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❋✐❣✉r❡ ✸✳✸ ❚❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♥❡t✇♦r❦ ❢♦r μ = 0.90
✇✐t❤ t✇♦ ♣❡❛❦s ❛t t = 41 ❛♥❞ t = 81✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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❋✐❣✉r❡ ✸✳✹ ✭❛✮❲❛✈❡❢♦r♠ ❢♦r ❡rr♦r tr✐❛❧s ❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts✱ ✵ ♠s ♠❛r❦s t❤❡ t✐♠❡ ♦❢
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❢♦r ✷ s❡❝♦♥❞s ♦❢ ❊❊● ❞❛t❛ ❛❝r♦ss ✾✶ s✉❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ t❤❡t❛ ❢r❡q✉❡♥❝②
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✸✻

❋✐❣✉r❡ ✸✳✺ ❚❤❡ ●r❛ss♠❛♥♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝✲
t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❙❱❉ ❛♥❞ t❡♥s♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✳ ✸✽
❋✐❣✉r❡ ✸✳✻ ❚❤❡ ❤✐st♦❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ✐♥ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡ η2 ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❊❘◆
t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ✜tt❡❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ N2 (−0.20, 0.09)✳ ✳ ✳ ✳ ✳

①

✸✾

❋✐❣✉r❡ ✸✳✼ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡
♣r♦❥❡❝t❡❞ ❋❈ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs k = l = 1 ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮ (0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

❋✐❣✉r❡ ✸✳✽ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡
♣r♦❥❡❝t❡❞ ❋❈ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs k = l = 2 ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮ (0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

❋✐❣✉r❡ ✸✳✾ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡
♣r♦❥❡❝t❡❞ ❋❈ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs k = l = 3 ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮ (0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✵ ❚❤❡ ❤✐st♦❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ✐♥ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡ η2 ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❊❘◆
t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ✜tt❡❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ N2 (−0.20, 0.09)✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✶ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ s❡t ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢
t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞ ❋❈ ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮ (0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✷ ✭❛✮ s❤♦✇s t❤❡ t♦♣ 5% ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ r❡s✉❧t ✉s✐♥❣ ❙❱❉ ♠❡t❤♦❞✱ ✭❜✮
s❤♦✇s t❤❡ t♦♣ 5% ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ r❡s✉❧t ✉s✐♥❣ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ✳

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(55, 281) ♠s✱ ✹✳ (281, 469) ♠s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

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(−35, 224)♠s✱ ✭❝✮ (224, 828)♠s✱ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ③✲t❡st ✇✐t❤ p = 0.95✳ ✳ ✳

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❊❘Ps ❜❡tt❡r t❤❛♥ ♣r❡✲❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❜❡tt❡r ❊❘P ❡①tr❛❝t✐♦♥
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s✐❣♥❛❧ ❡♥❡r❣② ✐♥ t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① s✐❣♥❛❧ ♥♦t❛t✐♦♥ ✉♥❧✐❦❡ ♠♦st
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s1 (t)s∗2 (t)dt✱ ✇❤❡r❡ s1 (t) ❛♥❞ s2 (t) ❛r❡ t✇♦ ❝♦♠♣❧❡①

s✐❣♥❛❧s ❛t t❤❡ s❛♠❡ ❢r❡q✉❡♥❝②✮ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ s✐❣♥❛❧ ✇✐t❤✐♥ s♦♠❡
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r❡str✐❝t❡❞ t♦ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ t✐♠❡✲❢r❡q✉❡♥❝② ❡♥❡r❣② ❞❡♥s✐t②
❢✉♥❝t✐♦♥✿

1
CRihaczek (t, ω) = √ s(t)S ∗ (ω) exp (−jωt),
2π
✇❤❡r❡

CRihaczek (t, ω)

✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ s✐❣♥❛❧ ❛r♦✉♥❞ t✐♠❡

✭✷✳✶✮

t

❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝②

ω✳

❘✐❤❛❝③❡❦ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ❛ ❜✐❧✐♥❡❛r✱ t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② s❤✐❢t ✐♥✈❛r✐❛♥t
t✐♠❡✲❢r❡q✉❡♥❝② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧s✱ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧
✇✐t❤ str♦♥❣ t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② s✉♣♣♦rt ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ t❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ♦♥❧② ♥♦♥③❡r♦
✇❤❡♥ ❜♦t❤ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✐ts❡❧❢ ❛♥❞ ✐ts ❋♦✉r✐❡r s♣❡❝tr✉♠ ❛r❡ ♥♦♥③❡r♦✳
❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ❘✐❤❛❝③❡❦ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s t❤❛t ✐t ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ❝r♦sst❡r♠s ♦❢
♠✉❧t✐❝♦♠♣♦♥❡♥t s✐❣♥❛❧s✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❝r♦sst❡r♠s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝②
❧♦❝❛t✐♦♥s ❛s t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s✐❣♥❛❧s✱ t❤❡② ❝❛✉s❡ ❜✐❛s❡❞ ❡♥❡r❣② ❛♥❞ ♣❤❛s❡ ❡st✐♠❛t❡s✳ ❚❤❡ ❦❡r✲

✶✶

♥❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❈❤♦✐✲❲✐❧❧✐❛♠s ✭❈❲✮ ✇✐t❤ φ(θ, τ ) = exp

−(θτ )2
σ

✐s ✉s❡❞ ✐♥ ❘■❉✲❘✐❤❛❝③❡❦

❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✜❧t❡r ♦✉t t❤❡ ❝r♦sst❡r♠s ♦❢ ❘✐❤❛❝③❡❦ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❬✺✾❪✱ ❛s✿
Ci (t, ω) =

exp −

(θτ )2
σ

exp(j

θτ
) Ai (θ, τ )e−j(θt+τ ω) dτ dθ,
2

✭✷✳✷✮

❈❤♦✐✲❲✐❧❧✐❛♠s ❦❡r♥❡❧ ❘✐❤❛❝③❡❦ ❦❡r♥❡❧

✇❤❡r❡ Ai (θ, τ ) =

si (u + τ2 )s∗i (u − τ2 )ejθu du ✐s t❤❡ ❛♠❜✐❣✉✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✮

♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ si (t)✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ σ ❝❛♥ ❜❡ ❛❞❥✉st❡❞ t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❛ ❞❡s✐r❡❞ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥
r❡s♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝r♦sst❡r♠s r❡t❛✐♥❡❞✳
❚❤❡ ♣❤❛s❡✲s②♥❝❤r♦♥② ♠❡❛s✉r❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s t❤❡s✐s ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❘■❉✲❘✐❤❛❝③❡❦ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳
❙②♥❝❤r♦♥② ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ str✉❝t✉r❡s ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧s r❡❣❛r❞❧❡ss
♦❢ s✐❣♥❛❧ ❛♠♣❧✐t✉❞❡✳ ❚❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ s②♥❝❤r♦♥② ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ s✐❣♥❛❧s ✐s ✉s✉❛❧❧② q✉❛♥t✐✜❡❞ ❜②
❡st✐♠❛t✐♥❣ t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ♣❤❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ s✐❣♥❛❧s ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳
❚❤❡ ♣❤❛s❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ s✐❣♥❛❧s ✭♦r ❡❧❡❝tr♦❞❡s✮ si (t) ❛♥❞ sj (t) ❢♦r t❤❡ k t❤ tr✐❛❧
✐s Φk(i,j) (t, ω) = |Φki (t, ω) − Φkj (t, ω)|✱ ✇❤❡r❡ Φi (t, ω) = arg

Ci (t,ω)
|Ci (t,ω)|

✳

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ ♣❤❛s❡ s♣❡❝tr✉♠ ✐s ♥♦t ❞✐r❡❝t❧② ✉s❡❢✉❧ ❢♦r ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ s②♥✲
❝❤r♦♥② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s✐❣♥❛❧s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ q✉❛♥t✐❢② ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥✱ t❤❡ ♣❤❛s❡ ❧♦❝❦✐♥❣
✈❛❧✉❡ ✭P▲❱✮ ❬✷✶❪ ✐s ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ♣❤❛s❡ s②♥❝❤r♦♥② ❜❡t✇❡❡♥ ❡❧❡❝tr♦❞❡s i ❛♥❞ j ❛t t✐♠❡ t
❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② ω ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r L r❡❛❧✐③❛t✐♦♥s✴tr✐❛❧s✱ ❛s✿

P LV(i,j) (t, ω) =

1
L

L

exp jΦk(i,j) (t, ω)

,

✭✷✳✸✮

k=1

■❢ t❤❡ ♣❤❛s❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✈❛r✐❡s ❧✐tt❧❡ ❛❝r♦ss t❤❡ tr✐❛❧s✱ P▲❱ ✐s ❝❧♦s❡ t♦ ✶✳ P▲❱ ✐s ❛ ✈❛❧✉❡
❜❡t✇❡❡♥ ③❡r♦ ❛♥❞ ♦♥❡✳
❖♥❝❡ t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ s②♥❝❤r♦♥② ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② ♣♦✐♥t✱ ✇❡
❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❣r❛♣❤ {G(t); ∀t ∈ {t = 1, 2, . . . , T }} ✇✐t❤
ω

b
1
P LV(i,j) (t, ω),
G(i,j) (t) =
Ω ω=ω
a

✶✷

✭✷✳✹✮

✇❤❡r❡ G(i,j) (t) ∈ [0, 1] r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② str❡♥❣t❤ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♥♦❞❡s i ❛♥❞ j ✇✐t❤✐♥
t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜❛♥❞ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ [ωa, ωb]✱ ❛♥❞ Ω ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜✐♥s ✐♥ t❤❛t ❜❛♥❞✳
■t ✐s ❛❧s♦ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡✜♥❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❣r❛♣❤s ♦✈❡r ❜♦t❤ t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜② ❞✐r❡❝t❧②
t❛❦✐♥❣ t❤❡ P▲❱ ✈❛❧✉❡ ❛s t❤❡ ❡♥tr② ✐♥ t❤❡s❡ ❣r❛♣❤s✳
❚❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① Gs (t) ✐s ❜✉✐❧t ❢r♦♠ ❊❊● ❞❛t❛ s❡t ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✷ ❢♦r ❡❛❝❤
s✉❜❥❡❝t s ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ t ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ❡❧❡❝tr♦❞❡s i ❛♥❞ j ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✷✳✹✳ Gs,(i,j) (t), ∀i, j ∈
{1, 2, . . . , N } ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♥♦❞❡s i ❛♥❞ j ✳ ❚❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥
♦❢ S s✉❜❥❡❝ts ❛t t✐♠❡ t ❢♦r♠s ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r G(t) ∈ RN ×N ×S ✱ ✇❤❡r❡ Gs (t) = Gi3=s (t)✳
✷✳✷ ❊❊● ❉❛t❛

❚❤❡ ❊❊● ❞❛t❛ ❛♥❛❧②③❡❞ ✐♥ t❤✐s t❤❡s✐s ❝♦♠❡s ❢r♦♠ ❛ st✉❞② ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❡rr♦r✲r❡❧❛t❡❞ ♥❡❣✲
❛t✐✈✐t② ✭❊❘◆✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❜r❛✐♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ r❡s♣♦♥s❡ t❤❛t ♦❝❝✉rs ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❡rr♦rs
✐♥ ❛ s♣❡❡❞❡❞ r❡❛❝t✐♦♥ t✐♠❡ t❛s❦ ✉s✉❛❧❧② ✷✺✲✼✺ ♠s ❛❢t❡r t❤❡ r❡s♣♦♥s❡ ❬✻✵❪✳ ❊❊● ❞❛t❛ ❢r♦♠
62✲❝❤❛♥♥❡❧s ✇❛s ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ ❛❝❝♦r❞❛♥❝❡ ✇✐t❤ t❤❡ 10✴20 s②st❡♠ ♦♥ ❛ ◆❡✉r♦s❝❛♥ ❙②♥❛♠♣s✷
s②st❡♠ ✭◆❡✉r♦s❝❛♥✱ ■♥❝✳✮ ❛t ❛ s❛♠♣❧✐♥❣ r❛t❡ ♦❢ 128 ❍③✳ ❚❤✐s st✉❞② ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✾✶ ✉♥❞❡r❣r❛❞✉✲
❛t❡ st✉❞❡♥ts ✭✸✹ ♠❛❧❡✮ ❢r♦♠ t❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ▼✐♥♥❡s♦t❛✮✳ ❋✉❧❧ ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣✐❝❛❧ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ t❤❡
r❡❝♦r❞✐♥❣ ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ ❛ ♣r❡✈✐♦✉s ♣❛♣❡r ❬✻✶❪✳ ❚❤❡ t❛s❦ ✇❛s ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♣❡❡❞❡❞✲r❡s♣♦♥s❡
❧❡tt❡r ✭❍✴❙✮ ✢❛♥❦❡r✱ ✇❤❡r❡ ❡rr♦r r❡s♣♦♥s❡✲❧♦❝❦❡❞ tr✐❛❧s ❢r♦♠ ❡❛❝❤ s✉❜❥❡❝t ✇❛s ✉t✐❧✐③❡❞✳ ❚❤❡
❊❊● ❞❛t❛ ❛r❡ ♣r❡✲♣r♦❝❡ss❡❞ ❜② t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ s♣❧✐♥❡ ❝✉rr❡♥t s♦✉r❝❡ ❞❡♥s✐t② ✭❈❙❉✮ ✇❛✈❡❢♦r♠s
t♦ s❤❛r♣❡♥ ❡✈❡♥t✲r❡❧❛t❡❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✭❊❘P✮ s❝❛❧♣ t♦♣♦❣r❛♣❤✐❡s ❛♥❞ r❡❞✉❝❡ ✈♦❧✉♠❡ ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥
❬✻✷❪✳ ❚❤❡ ❈❙❉ ❤❛s ❢❡✇❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥s t❤❛♥ ♠❛♥② ✐♥✈❡rs❡ tr❛♥s❢♦r♠s✱ ❛tt❡♥✉❛t❡s ✈♦❧✉♠❡
❝♦♥❞✉❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥ts ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s♦✉r❝❡s ♥❡❛r t❤❡ ❝♦rt✐❝❛❧ s✉r❢❛❝❡ ❬✻✸❪✳
❚❤❡ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s ✐♥ t❤✐s st✉❞② ❛r❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡
♣❛✐r✇✐s❡ P▲❱ ♦✈❡r ❛♥ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ ✷✹ tr✐❛❧s ❜❡t✇❡❡♥ ✻✷ ❝❤❛♥♥❡❧s ✐♥ t❤❡ t❤❡t❛ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜❛♥❞
✭✭✹✱✼✮ ❍③✮ ❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡ ✭✷ s❡❝♦♥❞s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✷✺✻ t✐♠❡ s❛♠♣❧❡s✮ ❛♥❞ ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts✱
r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥ Gs (t) ∈ R62×62, t ∈ {1, 2, . . . , 256}, s ∈ {1, 2, . . . , 91}✳
✶✸

✷✳✸ ❚❡♥s♦r ❙✉❜s♣❛❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

❚❡♥s♦rs ❛r❡ t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ✈❡❝t♦rs ❛♥❞ ♠❛tr✐❝❡s t♦ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡rs✳ ❊❛❝❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛
t❡♥s♦r ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♠♦❞❡✱ ♦r ❛ ✇❛②✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ ❡❛❝❤ ♠♦❞❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡s
t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❛t ♠♦❞❡✳ ▲❡t X ∈ Rm1×m2×...×md ❜❡ ❛ d✲✇❛② t❡♥s♦r✱ ✇❤❡r❡ mi ✐s t❤❡
❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛❧♦♥❣ t❤❡ it❤ ♠♦❞❡✱ ❛♥❞ xi1,i2,i3,...,id ❞❡♥♦t❡s t❤❡ (i1, i2, i3, . . . , id)t❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢
t❤❡ t❡♥s♦r X ✳
❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ d = 3✱ xi1,i2,i3 ✐s t❤❡ i1 t❤ r♦✇✱ i2 t❤ ❝♦❧✉♠♥✱ ❛♥❞ i3 t❤ t✉❜❡ ♦❢ t❤❡
✸✲✇❛② t❡♥s♦r✱ X ∈ Rm1×m2×m3 ✭❋✐❣✳ ✷✳✶✮✳ ❆ s✉❜t❡♥s♦r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✜①✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ❛❧♦♥❣
♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ♠♦❞❡s✳ ❲❤❡♥ t✇♦ ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ ✜①❡❞ ✐♥ t✇♦ ♠♦❞❡s ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞❡① ✈❛r✐❡s ✐♥ t❤❡
♦t❤❡r ♠♦❞❡✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✈❡❝t♦r ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ✜❜❡r✳ ❋✐❣✳ ✷✳✶ ❞✐s♣❧❛②s ❝♦❧✉♠♥✱ r♦✇✱ ❛♥❞ t✉❜❡
✜❜❡rs ♦❢ ❛ ✸✲✇❛② t❡♥s♦r✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✇❤❡♥ ❛♥ ✐♥❞❡① ✐s ✜①❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ♠♦❞❡ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ✈❛r② ✐♥
t❤❡ t✇♦ ♦t❤❡r ♠♦❞❡s✱ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ s❧✐❝❡✳ ❲❤❡♥ t❤❡ i1 t❤ r♦✇ ✐s ✜①❡❞✱ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥
✐s ❛ m2 × m3 ❤♦r✐③♦♥t❛❧ s❧✐❝❡ ✭Xi1.. ✮❀ ✐❢ t❤❡ i2 t❤ ❝♦❧✉♠♥ ✐s ✜①❡❞✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♣❛rt✐t✐♦♥ ✐s ❛
m1 × m3 ✈❡rt✐❝❛❧ s❧✐❝❡ ✭X.i2 . ✮❀ ❢♦r t❤❡ ✜①❡❞ i3 t❤ t✉❜❡✱ ❛ m1 × m2 ❢r♦♥t❛❧ s❧✐❝❡ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞
✭X..i3 ✮ ❬✻✹❪✳ ❋✐❣✳ ✷✳✷ s❤♦✇s t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧✱ ✈❡rt✐❝❛❧✱ ❛♥❞ ❢r♦♥t❛❧ s❧✐❝❡s ♦❢ ❛ ✸✲✇❛② t❡♥s♦r✳

✭❛✮

✭❜✮

✭❝✮

❋✐❣✉r❡ ✷✳✶ ✭❛✮ ❈♦❧✉♠♥s✱ ✭❜✮ ❘♦✇s✱ ✭❝✮ ❚✉❜❡s✳
❆ ♠♦❞❡❧ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❡♥s♦rs ❝♦♥s✐sts ♦❢ t✇♦ ♣❛rts✱ ❛ str✉❝t✉r❛❧ ♣❛rt ❛♥❞ ❛ r❡s✐❞✉❛❧ ♣❛rt✳
❲❤✐❧❡ t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ♣❛rt tr✐❡s t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♠✉❧t✐✇❛② t❡♥s♦r✱
t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧ ♣❛rt r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ♣❛rt ♦❢ ❞❛t❛ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ str✉❝t✉r❛❧ ♣❛rt✳
✶✹

3

X(n)

X

n

❋✐❣✉r❡ ✷✳✸ ❯♥❢♦❧❞✐♥❣ ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r ✐♥ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡✳
♠♦❞❡✳ ❋✐❣✳ ✷✳✸ s❤♦✇s t❤❡ ✉♥❢♦❧❞✐♥❣ ♣r♦❝❡ss ✐♥ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡ ❢♦r ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r✳
♥✕♠♦❞❡ ♣r♦❞✉❝t✿ ❚❤❡ ♥✕♠♦❞❡ ♣r♦❞✉❝t✱ ×n ✱ ♦❢ ❛ t❡♥s♦r✱ X ∈ Rm1 ×m2 ×...×md ✱ ❜② ❛

♠❛tr✐①

U ∈ Rmn ×Jn

✐s t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❢♦❧❞❡❞ t❡♥s♦r ✐♥ t❤❡ n t❤ ♠♦❞❡ ❜② t❤❡

♠❛tr✐① U✱ ❛s✿
X ×n U = U† X(n) =

✇❤❡r❡ † ✐s t❤❡ ♠❛tr✐① tr❛♥s♣♦s❡ ♦♣❡r❛t♦r✳

in

xi1 ,i2 ,...,in ,...,id Ujn ,in ,

✭✷✳✺✮

❑r♦♥❡❝❦❡r ♣r♦❞✉❝t✿ ❚❤❡ ❑r♦♥❡❝❦❡r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ♠❛tr✐❝❡s A ∈ Rm1 ×m2 ❛♥❞ B ∈
Rm3 ×m4

✐s ❛ m1 m3 × m2 m4 ♠❛tr✐①✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿
⎡

⎤

a12 B . . . a1m2 B
⎢ a11 B
⎢
⎢ a21 B
a22 B . . . a2m2 B
⎢
A ⊗ B = ⎢ ✳✳ ✳
⎢ ✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳
⎢
⎣
am1 1 B am1 1 B . . . am1 m2 B

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎦

✭✷✳✻✮

❑❤❛tr✐✕❘❛♦ ♣r♦❞✉❝t ✿ ❚❤❡ ❑❤❛tr✐✕❘❛♦ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ♠❛tr✐❝❡s A = [a1 , a2 , . . . , am ]

❛♥❞ B = [b1 , b2 , . . . , bm ] ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s✿
A

B = [a1 ⊗ b1 , a2 ⊗ b2 , . . . , am ⊗ bm ] .

✭✷✳✼✮

♥✕r❛♥❦✿ ❚❤❡ ♥✕r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r X ✐s t❤❡ ❝♦❧✉♠♥ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜②

✉♥❢♦❧❞✐♥❣ t❤❡ t❡♥s♦r ❛❧♦♥❣ ✐ts nt❤ ♠♦❞❡✳
✶✻

❋✐❣✉r❡ ✷✳✹ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r✳
✷✳✸✳✷

❚✉❝❦❡r ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ❛ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❙✐♥❣✉❧❛r ❱❛❧✉❡ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥
✭❙❱❉✮ ❢♦r t❡♥s♦rs ❬✻✹❪✳ ❚❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ d✲✇❛② t❡♥s♦r X ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞
❛s✿
X = C ×1 U(1) ×2 U(2) ×3 U(3) . . . ×d U(d) + E,
X =

✇❤❡r❡

(1)

C ∈ Rr1 ×r2 ×r3 ×...×rd

❡rr♦r✱ ❛♥❞

(2)

(3)

(d)

i1 ,i2 ,i3 ,...,id Ci1 ,i2 ,i3 ,...,id ui1 ◦ ui2 ◦ ui3 ◦ . . . ◦ uid

×k

✐s t❤❡ ❝♦r❡ t❡♥s♦r✱

+ Ei1 ,i2 ,i3 ,...,id ,

E ∈ Rm1 ×m2 ×m3 ×...×md

✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ t❡♥s♦r ❛♥❞ ❛ ♠❛tr✐① ❛❧♦♥❣ ♠♦❞❡✲ ❦ ✳

U(2) ∈ Rm2 ×r2 ✱ . . .✱

❛♥❞ U(d)

∈ Rmd ×rd

✭✷✳✽✮

✐s t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧

U(1) ∈ Rm1 ×r1 ✱

❛r❡ t❤❡ ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ❧❡❢t s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs ♦❢ t❤❡

t❡♥s♦r ✉♥❢♦❧❞❡❞ ❛❧♦♥❣ t❤❡ it❤ ♠♦❞❡✱ ❝❛❧❧❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠❛tr✐❝❡s✱ ❛♥❞

ri ≤ m i ✳

❚❤❡r❡❢♦r❡✱

(i)
t❤❡ kt❤ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r ❛❧♦♥❣ ♠♦❞❡ i✱ u(i)
k ✐s t❤❡ k t❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠❛tr✐① U ✳

❋✐❣✳ ✷✳✹ s❤♦✇s t❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r✳
❚❤❡ t❡♥s♦r X

∈ Rm1 ×m2 ×m3 ×...×md

✐s ♣r♦❥❡❝t❡❞ t♦ ❛♥♦t❤❡r t❡♥s♦r Y ∈ Rr1 ×r2 ×r3 ×...×rd

˜ (i) ∈ Rmi ×ri ❬✻✾❪✱ ❛s✿
✉s✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s U

˜ (1)† ×2 U
˜ (2)† ×3 U
˜ (3)† . . . ×d U
˜ (d)† ,
Y = X ×1 U

✭✷✳✾✮

˜ (i) ✐s ❢♦r♠❡❞ ❜② t❛❦✐♥❣
✇❤❡r❡ † ✐s t❤❡ ♠❛tr✐① tr❛♥s♣♦s❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❛tr✐① U

t❤❡ ✜rst ri ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ U(i) ✱ ✇❤❡r❡ ✉s✉❛❧❧② ri ≤ mi ✳
✶✼

❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ♠♦r❡ ✢❡①✐❜❧❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ♦t❤❡r t❡♥s♦r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s
s✉❝❤ ❛s P❆❘❆❋❆❈ t❤❛♥❦s t♦ ✐ts ❝♦r❡ ❛rr❛② C ✳ ❚❤❡ ❝♦r❡ ❛rr❛② r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡✲
t✇❡❡♥ ❢❛❝t♦rs ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t ♠♦❞❡s ❬✻✹❪✳ ❲❤✐❧❡ t❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❞❡t❡r♠✐♥❡
t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠❛tr✐❝❡s ✉♥✐q✉❡❧②✱ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳ ❚❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✲
✐t② ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♠❛❦❡s ✐t ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❧♦✇❡r
❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜s♣❛❝❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✳
✷✳✸✳✷✳✶

❚✉❝❦❡r✲❆▲❙

❱❛r✐♦✉s ❛❧❣♦r✐t❤♠s s✉❝❤ ❛s ❆❧t❡r♥❛t✐♥❣ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡s ❬✼✵❪✱ ❙✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ♠❛tr✐① ❞✐❛❣♦♥❛❧✲
✐③❛t✐♦♥s ❬✼✶❪✱ ❙✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❙❝❤✉r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❬✼✷❪✱ ❡t❝✳ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞
t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡s❡ ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤❡ ♠♦st ♣♦♣✉❧❛r ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐✲
t✐♦♥ ✐s ❆❧t❡r♥❛t✐♥❣ ▲❡❛st ❙q✉❛r❡ ✭❆▲❙✮ ♠❡t❤♦❞✳ ❚❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❆▲❙ ❢♦r ♥✲✇❛② t❡♥✲
s♦rs ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❍✐❣❤❡r✲♦r❞❡r ❖rt❤♦❣♦♥❛❧ ■t❡r❛t✐♦♥ ✭❍❖❖■✮ ❬✻✽❪✳ ❚❤❡ ❜❛s✐❝ ✐❞❡❛ ✐s t♦ ❡st✐✲
♠❛t❡ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠❛tr✐① ❛t ❛ t✐♠❡ ✉s✐♥❣ ❙❱❉ ♦❢ t❤❡ ✉♥❢♦❧❞❡❞ t❡♥s♦r✳ ❋♦r ❛ ✸✲✇❛②
t❡♥s♦r✱ t❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛♥ ✉♥❢♦❧❞❡❞ t❡♥s♦r ✐♥ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡ ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s
X(1) = U(1) C(1) (U(2) ⊗ U(3) )† + E(1) ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱
U(2) ❛♥❞ U(3) ❛r❡ r❛♥❞♦♠❧② ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡ ❧❡❢t s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r ♦❢ X(1) (U(3) ⊗ U(2) ) ✐s
t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ U(1) ✳ ❚❤❡♥✱ ❙❱❉ ♦❢ X(2) (U(3) ⊗ U(1) ) ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ U(1) ✐s
❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ U(2) ✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❙❱❉ ♦❢ X(3) (U(2) ⊗ U(1) ) ❜❛s❡❞ ♦♥ ❡st✐♠❛t❡❞ U(1) ❛♥❞
U(2) ②✐❡❧❞s ❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r U(3) ✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s r❡♣❡❛t❡❞ ✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳
✷✳✸✳✷✳✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❈♦♥✈❡① ❍✉❧❧ ❜❛s❡❞ ▼♦❞❡❧ ❙❡❧❡❝t✐♦♥

❚❡♥s♦r r❛♥❦ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❛❞❞r❡ss❡❞ t❤r♦✉❣❤ ♠♦❞❡❧ s❡❧❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧
❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❜❡st r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r ❛❧♦♥❣ ❡❛❝❤
♠♦❞❡ ❬✼✸❪✳ ■t ✐s ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ t❤❡ ✈✐s✉❛❧ ✐♥s♣❡❝t✐♦♥ ♦❢ s❝r❡❡✲❧✐❦❡ ♣❧♦ts
❬✼✹❪✳ ❚❤❡s❡ ❤✉❧❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❤❛✈❡ t❤❡ ❜❡st ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t✴♥✉♠❜❡r✲♦❢✲❢r❡❡✲♣❛r❛♠❡t❡r ❜❛❧❛♥❝❡✳
✶✽

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❜❡st r❛♥❦ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ✇❤♦s❡ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ✐s ♦♥ ♦r ❝❧♦s❡ t♦ ❛♥
❡❧❜♦✇ ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤✐s s❝r❡❡✲❧✐❦❡ ♣❧♦t✳
❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭ ❢♣ ✮ ❢♦r ❚✉❝❦❡r ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r ✇✐t❤ s✐③❡ (m1, m2, m3)
❛♥❞ r❛♥❦ (r1, r2, r3) ✐s m1r1 + m2r2 + m3r3 + r1r2r3 − r12 − r22 − r32 ❬✼✸❪✳ ❚❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t
♣❛r❛♠❡t❡r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿
f=

r1
i=1
m1
i=1

r2
j=1
m2
j=1

r3
2
k=1 cijk
m3 2 .
k=1 xijk

✭✷✳✶✵✮

❚♦ ✜♥❞ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧✱ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ❛♥❞
❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❢♣ ✱ ♦♥❧② t❤❡ ❧❛r❣❡st ❣♦♦❞♥❡ss✲
♦❢✲✜t ✈❛❧✉❡ ✐s r❡t❛✐♥❡❞✳ ❚❤❡♥✱ ❛❧❧ n r❡t❛✐♥❡❞ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ✈❛❧✉❡s ❛r❡ s♦rt❡❞ ❛♥❞ ❧❛❜❡❧❡❞
✇✐t❤ si (i = 1, 2, . . . , n)✳ ◆❡①t✱ si ✐s ❞✐s❝❛r❞❡❞ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts sj ✭j < i✮ s✉❝❤ t❤❛t fj > fi✳
❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ i = 1✱ ❞✐s❝❛r❞ si+1 ✐❢ ✐ts ✈❛❧✉❡ ✐s ❜❡❧♦✇ t❤❡ ❧✐♥❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ si t♦ si+2✳ ❚❤❡
r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♣♦✐♥ts ❣✐✈❡s t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ✈❡rs✉s
t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❚❤❡ ❜❡st ♠♦❞❡❧ ✭r❛♥❦✮ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ r❛t✐♦✿
fi −fi−1
f pi −f pi−1
.
fi+1 −fi
f pi+1 −f pi

✷✳✸✳✸

✭✷✳✶✶✮

P❆❘❆❋❆❈ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡ d✲✇❛② t❡♥s♦r X ∈ Rm1×m2×...×md ✐s ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✉s✐♥❣ P❆❘❆❋❆❈ ✇✐t❤ R ❢❛❝t♦rs ♦r ❛
❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ R r❛♥❦✲✶ t❡♥s♦rs ❛s✿

X =

(1)
R
r=1 ar

(2)

(d)

◦ ar ◦ . . . ◦ ar + E =

R
r=1 λr

(1)

(2)

(d)

ar ◦ . . . ◦ ˆ
ar
ˆ
ar ◦ ˆ

+E
(i)

✭✷✳✶✷✮

(i)
a
m ×1 ✐s t❤❡ ❧♦❛❞✐♥❣ ✈❡❝t♦r ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✐ t❤ ♠♦❞❡✱ ❛♥❞ ˆ
✇❤❡r❡ a(i)
ar = (i)r
✐s t❤❡
r ∈ R i
a r 2
❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❧♦❛❞✐♥❣ ✈❡❝t♦r✳ λr ✐s t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡

✶✾

❋✐❣✉r❡ ✷✳✺ P❆❘❆❋❆❈ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r✳
rth

❢❛❝t♦r✱ ❛♥❞

E ∈ Rm1 ×m2 ×...×md

✐s t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧✳ ❚❤❡ ❧♦❛❞✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s

♠❛tr✐❝❡s ✇❤♦s❡ ❝♦❧✉♠♥s ❛r❡ t❤❡ ❧♦❛❞✐♥❣ ✈❡❝t♦rs✱

(i)

(i)

(i)

A(i) = [a1 , a2 , . . . , aR ]✳

❋✐❣✳ ✷✳✺ s❤♦✇s

P❆❘❆❋❆❈ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ d = 3✳ ❋♦r ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r✱ d = 3✱ t❤r❡❡ t②♣❡s ♦❢
s❧✐❝❡s ❛❧♦♥❣ t❤r❡❡ ♠♦❞❡s ♦❢ ❛ t❤r❡❡✲✇❛② t❡♥s♦r ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿

❍♦r✐③♦♥t❛❧ ❙❧✐❝❡s ✿ ❚❤❡ ith
1 ❤♦r✐③♦♥t❛❧ s❧✐❝❡ ✭❋✐❣✳ ✷✳✷✭❛✮✮ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s✿
Xi1 .. =

(1)
R
(2)
r=1 ar (i1 )(a r

◦ a(3) r ).

✭✷✳✶✸✮

❱❡rt✐❝❛❧ ❙❧✐❝❡s ✿ ❚❤❡ ith
2 ✈❡rt✐❝❛❧ s❧✐❝❡ ✭❋✐❣✳ ✷✳✷✭❜✮✮ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s✿
X.i2 . =

(2)
R
(1)
r=1 ar (i2 )(a r

◦ a(3) r ).

✭✷✳✶✹✮

❋r♦♥t❛❧ ❙❧✐❝❡s ✿ ❚❤❡ ith
3 ❢r♦♥t❛❧ s❧✐❝❡ ✭❋✐❣✳ ✷✳✷✭❝✮✮ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s✿
X..i3 =

(3)
R
(1)
r=1 cr (i3 )(a r

◦ a(2) r ).

✭✷✳✶✺✮

❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❢❛❝t♦r ❛♥❛❧②s✐s ✭P❆❘❆❋❆❈✮ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐s t❤❛t ✐t ♣r♦✈✐❞❡s
❛ ✉♥✐q✉❡ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ♠✉❧t✐✇❛② ❛rr❛②✳ ❚❤✐s ♠♦❞❡❧ ✐♠♣♦s❡s ❛ r❡str✐❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❢❛❝t♦rs ✐♥
❞✐✛❡r❡♥t ♠♦❞❡s ❝❛♥ ♦♥❧② ✐♥t❡r❛❝t ❢❛❝t♦r✇✐s❡✱ ✇❤✐❝❤ r❡s✉❧ts ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝t♦rs ❢♦r
❡❛❝❤ ♠♦❞❡✳ ■t ❛❧s♦ ❞♦❡s ♥♦t ❤❛✈❡ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥❛❧ ❢r❡❡❞♦♠ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ❣✉❛r❛♥t❡❡s
t❤❛t t❤❡ ♣✉r❡ s♣❡❝tr❛ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐❢ t❤❡ r✐❣❤t ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐s ❝❤♦s❡♥ ❬✼✺❪✳
❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥✉♠❡r♦✉s ♠❡t❤♦❞s t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝t♦rs✱ ❧✐❦❡ ❝♦r❡
❝♦♥s✐st❡♥❝② ❬✼✻❪✱ r❡s✐❞✉❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❬✼✻❪✱ ❡t❝ ❬✼✼✱ ✼✽❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡s❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❝❛♥♥♦t ❣✉❛r✲
❛♥t❡❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛❝t♦rs ❢♦r r❡❛❧ ❞❛t❛ ❬✻✹❪✳
✷✵

✷✳✸✳✸✳✶

P❆❘❆❋❆❈✲❆▲❙

❚❤❡ ✉♥❢♦❧❞❡❞ t❡♥s♦r ✐♥ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡ ❢♦r P❆❘❆❋❆❈ ♠♦❞❡❧ ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s X(1) = A(1)
†
A(3) A(2) + E(1) ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ P❆❘❆❋❆❈ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ t✇♦ ♠❛tr✐❝❡s
A(2) ❛♥❞ A(3) ❛r❡ r❛♥❞♦♠❧② ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ♠❛tr✐① A(1) ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ❛s✿ A(1) =
−1
−1
✱ ✇❤❡r❡ Z = A(3) A(2) ✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ A(1) ✱ A(2) = X(2) Z Z†Z ✱
X(1) Z Z† Z
✇❤❡r❡ Z = A(3) A(1) ✱ ✐s ❡st✐♠❛t❡❞✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ ♣r❡✈✐♦✉s ❡st✐♠❛t❡❞ ❢❛❝t♦rs✱ A(3) ✐s ❡st✐♠❛t❡❞
−1
✉s✐♥❣ A(3) = X(3) Z Z†Z ✱ ✇❤❡r❡ Z = A(2) A(1) ✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ✐t❡r❛t✐✈❡❧② r❡♣❡❛t❡❞
✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳

✷✶

❈❍❆P❚❊❘ ✸
❚❊◆❙❖❘✲❇❆❙❊❉ ❋❯◆❈❚■❖◆❆▲ ❇❘❆■◆ ❈❖◆◆❊❈❚■❱■❚❨ ❚❘❆❈❑■◆●
✸✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ t✇♦ st❡♣ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ tr❛❝❦ ✇❤♦❧❡ ❜r❛✐♥ ❞②♥❛♠✐❝ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②✳
■♥ t❤❡ ✜rst st❡♣✱ ✇❡ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ t✐♠❡ ✇❤❡r❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❝❤❛♥❣❡s t♦ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦
str✉❝t✉r❡ ♦❝❝✉r✳ ❲❡ q✉❛♥t✐❢② t❤❡s❡ ❝❤❛♥❣❡s t❤r♦✉❣❤ ❛ ❧♦✇✲r❛♥❦ t❡♥s♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡
❋❈◆s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ✉s✐♥❣ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♠❡tr✐❝s✳ ❖♥❝❡ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts
❛r❡ ❞❡t❡❝t❡❞✱ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡ ❢♦r t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ❜❡t✇❡❡♥ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡
st❛t✐♦♥❛r② ❛♥❞ s✉♠♠❛r✐③❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❡♥s♦r✲♠❛tr✐① ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛♥❞ t✐♠❡✳ ❚❤❡
❦❡② ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✇♦r❦ ❛r❡ t❤r❡❡ ❢♦❧❞✳ ❋✐rst✱ ✉♥❧✐❦❡ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✇♦r❦
✇❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ❞✉r✐♥❣ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❋❈◆ ❤❛s ❛ ❝♦♠♠♦♥ q✉❛s✐✲st❛t✐♦♥❛r② ♣❛tt❡r♥
❛❝r♦ss t✐♠❡ ❛♥❞ s✉❜❥❡❝ts✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✇♦r❦ r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❤✐❣❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t②
♦❢ t❤❡ ❋❈◆s ❜② ✈❡❝t♦r✐③✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s ✐♥t♦ ❧♦♥❣ ✈❡❝t♦rs ❜❡❢♦r❡ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡
♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ♠❛② ❧♦s❡ s♦♠❡ ✐♠♣♦rt❛♥t r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♥♦❞❡s
❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t ♣r❡s❡r✈❡ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦✳

■♥ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✇♦r❦✱

✇❡ ❛❞❞r❡ss t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❜② ❦❡❡♣✐♥❣ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❋❈◆s ✐♥t❛❝t ❜② ✉s✐♥❣ t❡♥s♦r
r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳ ❚❤r♦✉❣❤ t❡♥s♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❛♣t✉r❡ t❤❡ ✈❛r✐❛❜✐❧✐t② ❝♦♠♠♦♥ t♦
❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛❝r♦ss t✐♠❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ✢❡①✐❜❧❡ ❢♦r ❡①t❡♥s✐♦♥s t♦ ❤✐❣❤❡r
♦r❞❡r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s s✉❝❤ ❛s t✐♠❡ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s ❛❝r♦ss t✐♠❡✳

✸✳✷ ❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥
❚❤❡ ✜rst st❡♣ t♦ tr❛❝❦✐♥❣ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✐s t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s
♦❢ t❤❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡s✳ ▲❡t✬s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐❝❡s ♦❢ ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts
❛t t✐♠❡

t t♦ ❢♦r♠ ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r G(t), t ∈ {1, 2, . . . , T }✱ t❤❡♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ G(t) ❝♦♥t❛✐♥s τ + 1

✷✷

{t1 , t2 , . . . , tτ }✱

❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡s ❬✺✷✱ ✹✾✱ ✼✾❪✱ ✇✐t❤ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❧♦❝❛t❡❞ ❛t
✇❤❡r❡ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♥♦t ❦♥♦✇♥

❛ ♣r✐♦r✐ ✳

♣r♦♣♦s❡ t✇♦ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts✿

❍❡r❡✱ ✇❡

s✐♠✐❧❛r✐t②✲❜❛s❡❞

❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❛s❡❞ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥✳

✸✳✷✳✶

❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥ ❯s✐♥❣ ❙✐♠✐❧❛r✐t② ▼❛tr✐①

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡
s✐♠✐❧❛r✐t② ❜❡t✇❡❡♥ ❣r❛♣❤s ❛t ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡ st❡♣s✳ ❚❤❡ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②
❣r❛♣❤s ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛♥❞ t✐♠❡✱

G ∈ RN ×N ×T ×S

G(t), t = 1, 2, . . . , T ✱

❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛s ❝❤❛♥♥❡❧

♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s✱

T

×

❝❤❛♥♥❡❧

❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛ ✹✲♠♦❞❡ t❡♥s♦r

×

t✐♠❡

t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞

S

×

s✉❜❥❡❝t✱ ✇✐t❤

N

❜❡✐♥❣ t❤❡

t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✉❜❥❡❝ts✳ ❚❤❡

❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② t❡♥s♦r ②✐❡❧❞s✿

G = C ×1 U(1) ×2 U(2) ×3 U(3) ×4 U(4) + E,
✇❤❡r❡

C ∈ RN ×N ×T ×S

✐s t❤❡ ❝♦r❡ t❡♥s♦r✱ ❛♥❞

❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢
❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✇✐t❤

E ∈ RN ×N ×T ×S

G ✱ Gˆ ∈ RN ×N ×T ×S ✱

✭✸✳✶✮

✐s t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧ ❡rr♦r✳

✇❡ ✜rst ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉❧❧ ❚✉❝❦❡r

U(1) ∈ RN ×N ✱ U(2) ∈ RN ×N ✱ U(3) ∈ RT ×T ✱

❛♥❞

U(4) ∈ RS×S ✳

❚❤❡

s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s ❛❧♦♥❣ ❡❛❝❤ ♠♦❞❡ ❛r❡ ♦r❞❡r❡❞ ❜② ✜①✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞❡① ♦❢ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♠♦❞❡s
t♦

1✳

❙✐♥❝❡ t❤❡ ✜rst s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s ❛❧♦♥❣ ❡❛❝❤ ♠♦❞❡ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❧❛r❣❡st ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡

❞❛t❛ ❛❧♦♥❣ t❤❛t ♠♦❞❡✱ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ✜rst s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ t♦ ♦r❞❡r t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♠♦❞❡s✳ ❚♦
❣❡t t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❡♥s♦r✱ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs ❛❧♦♥❣ ✜rst ❛♥❞
s❡❝♦♥❞ ♠♦❞❡s

ˆ
N

✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

ˆ = jk ✱ ✇❤❡r❡ jk
N

✐s t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✐♥❞❡① ❢♦r ✇❤✐❝❤

❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❢♦✉rt❤ ♠♦❞❡ ✐s
❤✐❣❤❡st ✐♥❞❡① ❢♦r ✇❤✐❝❤

C1,1,1,sk ≥ 0✳

Sˆ = sk ✱

Cjk ,1,1,1 ≥ 0✳

✇❤❡r❡

sk

✐s t❤❡

❚❤❡ t✐♠❡ ♠♦❞❡ ✐s ♥♦t ♣r♦❥❡❝t❡❞ t♦ ❛ ❧♦✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧

s♣❛❝❡ s✐♥❝❡ ❛❧❧ t✐♠❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❡①❛❝t ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦
st❛t❡s✳ ❚❤❡ ❧♦✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿

✷✸

ˆ (1) = [u(1) u(1) ...u(1) ]✱
U
1
2
ˆ
N

ˆ (2) = [u(2) u(2) ...u(2) ]✱ U
ˆ (4) = [u(4) u(4) ...u(4) ]✳
U
1
2
1
2
ˆ
ˆ
S

N

❚❤❡ r❡❝♦♥str✉❝t❡❞ t❡♥s♦r

Gˆ ∈ RN ×N ×T ×S

✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s✿

ˆ (1) U
ˆ (2) U
ˆ (3) U
ˆ (4) U
ˆ (1)† ×2 U
ˆ (2)† ×3 U
ˆ (3)† ×4 U
ˆ (4)† .
Gˆ = G ×1 U
❚❤❡ ✹✲♠♦❞❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❡♥s♦r

ˆ
G(t);
t ∈ {1, 2, . . . , T }✳

Gˆ

✭✸✳✷✮

❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✸✲♠♦❞❡ t❡♥s♦rs

❚♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ♥❡✇ t❡♠✲

♣♦r❛❧ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

❯♥❧✐❦❡ r❡❣✉❧❛r ❞❛t❛ ❝❧✉st❡r✐♥❣✱ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ❝♦♥s✐❞❡rs

❜♦t❤ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦s ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡✐r
❝❧♦s❡♥❡ss ✐♥ t✐♠❡✳ ❚❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♦❢ t✇♦ ♥❡t✇♦r❦s ❛t t✐♠❡
❝♦s✐♥❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❡tr✐❝ ❜❡t✇❡❡♥

ˆ 1)
G(t

❛♥❞

ˆ 2)
G(t

t1

❛♥❞

t2

✐s q✉❛♥t✐✜❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛

❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

ˆ ),G(t
ˆ )
G(t
1
2

Δ(t1 , t2 ) = ˆ
ˆ ) ; t1 , t2 ∈ {1, 2, . . . , T },
G(t1 ) G(t
2
✇❤❡r❡

a, b

✐s t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦❢

a

❛♥❞

b✱

❛♥❞

a

✐s t❤❡ ❋r♦❜❡♥✐✉s ◆♦r♠✳

t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ❝❧♦s❡♥❡ss ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❣r❛♣❤s ✐s q✉❛♥t✐✜❡❞ ❛s

{1, 2, . . . , T }✱

✇❤❡r❡

σ

✭✸✳✸✮

Θ(t1 , t2 ) =

❙✐♠✐❧❛r❧②✱

−(t1 −t2 )2
e 2σ 2 ; t1 , t2

∈

✐s ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r ✇❤✐❝❤ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡

s❡♣❛r❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ s❛♠♣❧✐♥❣ ❢r❡q✉❡♥❝②✳
❚❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❛tr✐① ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿

Ψ(t1 , t2 ) = λΘ(t1 , t2 ) + (1 − λ)Δ(t1 , t2 ); t1 , t2 ∈ {1, 2, . . . , T },
✇❤❡r❡

✭✸✳✹✮

λ ∈ (0, 1) ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ tr❛❞❡✲♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ t❡♥s♦r s✐♠✐❧❛r✐t② ❛♥❞ t✐♠❡ ♣r♦①✐♠✐t②✳

s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❛tr✐① ✐s ✐♥♣✉t t♦ ❛ st❛♥❞❛r❞ s♣❡❝tr❛❧ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤

❚❤✐s

❦ ✲♠❡❛♥s

t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s ❬✽✵❪✳

✸✳✷✳✷

❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥ ❯s✐♥❣ ❙✉❜s♣❛❝❡ ❉✐st❛♥❝❡

■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢
❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡s

tk , ∀k ∈ {1, 2, . . . , τ }✱
✷✹

✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡

❧♦✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s t❤❛t ❜❡st ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❣r❛♣❤s ❛❧♦♥❣ t❤❡ t❤r❡❡
♠♦❞❡s ♦❢

G(t) ❢♦r t = 1, 2, . . . , T ✳

❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ♠♦st r❡❛❧ ❞❛t❛

❧✐❡s ✐♥ ❛ ❧♦✇ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜♣❛❝❡ ♦r ❛♥ ✉♥✐♦♥ ♦❢ s✉❜s♣❛❝❡s ❬✽✶❪✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts✱ ✇❡ ✉s❡ ❛

S¯ s✉❜❥❡❝ts ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ r❛♥❞♦♠❧② ✇✐t❤♦✉t r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t✳

❜♦♦tstr❛♣♣✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ❬✽✷❪✳

¯

G(t) ∈ RN ×N ×S ✱ (ˆ
n(t), n
ˆ (t), sˆ(t))✱

❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❧♦✇ r❛♥❦ ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r

s✉❜❥❡❝ts ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

❢♦r t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞

❚❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❡✈❛❧✉❛t❡s

t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss ♦❢ ✜t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ t❡♥s♦r ❛♥❞ ✐ts ❧♦✇ r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t
❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ r❛♥❦s ❛♥❞ s❡❧❡❝ts t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✈❛❧✉❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ❬✼✸❪✳
♠❛tr✐①

❙✐♥❝❡ t❤❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝②

ˆ (t)
Gs (t) ✐s s②♠♠❡tr✐❝✱ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ♠♦❞❡s ❛r❡ ❢♦r❝❡❞ t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ r❛♥❦ n

❬✽✸✱ ✽✹❪✳

(ˆ
n(t), n
ˆ (t), sˆ(t))✱

●✐✈❡♥ t❤❡ r❛♥❦s ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r ❛❧♦♥❣ ❡❛❝❤ ♠♦❞❡✱

♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭❍❖❖■✮ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛ ❧♦✇✲r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢
✇✐t❤ r❛♥❦

(ˆ
n(t), n
ˆ (t), sˆ(t))

❬✻✽❪✳

❚❤❡

3✲✇❛②

t❡♥s♦r

ˆ
G(t)

❛t t✐♠❡ st❡♣

✇❡ ✉s❡❞ ❤✐❣❤❡r✲♦r❞❡r

ˆ ✱
G(t)✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② G(t)
t

✐s ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✉s✐♥❣

❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

ˆ = C(t) ×1 U(1) (t) ×2 U(2) (t) ×3 U(3) (t),
G(t)
✇❤❡r❡
❛♥❞

C(t) ∈ Rnˆ (t)׈n(t)׈s(t)
¯

U(3) ∈ RS׈s(t)

✐s t❤❡ ❝♦r❡ t❡♥s♦r✱ ❛♥❞

(2)

❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜s♣❛❝❡s✳ ◆♦t❡ t❤❛t
❖♥❝❡

(3)

uk (t), k ∈ {1, 2, . . . , sˆ(t)}

U(1) (t)✳
n
ˆ (t)

(1)

ui (t), i ∈

s♣❛♥ t❤❡ ❧♦✇❡r

✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s②♠♠❡tr✐❝ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②✳

♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❞❡t❡❝t✐♥❣

t❤❡ ❝❤❛♥❣❡s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠♦❞❡✳

♠❛② ❜❡ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐♠❡♥s✐♦♥s

❚❤❡ ❜❛s❡s

❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✱ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ s✉❜s♣❛❝❡s ♦❢ t❤❡

G(t), ∀t ∈ {1, 2, . . . , T }

❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ ♣♦✐♥ts ✉s✐♥❣

❛♥❞

U(1) (t) = U(2) (t)

U(1) (t) ∀t ∈ {1, 2, . . . , T }

✜rst ♠♦❞❡ ♦❢

U(1) ∈ RN ׈n(t) ✱ U(2) ∈ RN ׈n(t) ✱

❛r❡ t❤❡ ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ❧❡❢t s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✳

ˆ (t)}✱
{1, 2, . . . , n
ˆ (t)}✱ uj (t); j ∈ {1, 2, . . . , n

✭✸✳✺✮

❙✐♥❝❡ s✉❜s♣❛❝❡s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡ ♦❢

❛♥❞

❛s ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✉s❡❞✳

❚❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥

n
ˆ (t + 1)✱

G(t) ❛♥❞ G(t + 1)

♦r❞✐♥❛r② s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡s s✉❝❤

❚❤✉s✱ ✇❡ q✉❛♥t✐❢② t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✉s✐♥❣ t❤❡

✷✺

●r❛ss♠❛♥♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❬✽✺❪ ❜❡t✇❡❡♥ (G(t), G(t + 1)) , ∀t ∈ {1, 2, . . . , T −1} ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡✱
❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
r

1
d(t) = √
r

θk2 U(1) (t), U(1) (t + 1) ,

✭✸✳✻✮

k=1

✇❤❡r❡ r = ♠✐♥ (ˆn(t), nˆ (t + 1))✱ ❛♥❞ θk U(1)(t), U(1)(t + 1) ✐s t❤❡ kt❤ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❛♥❣❧❡ ❜❡✲
t✇❡❡♥ s✉❜s♣❛❝❡s ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡ ♦❢ G(t) ❛♥❞ G(t + 1) ❬✽✺❪✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r d(t) ✐s ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t✱ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡✱ d(t)✱ ♥❡❡❞s t♦
❜❡ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ ❛ ❜✐♥❛r② ✈❛❧✉❡✱ v(t)✱ t❤r♦✉❣❤ t❤r❡s❤♦❧❞✐♥❣✱ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
v(t) =

1
0

✐❢
✐❢

1
μd = T −1

σd =

1
T −2

d(t)≥μd +2σd
d(t)<μd +2σd

,

T
t=1 d(t),

✭✸✳✼✮

T
2
t=1 (d(t) − μd ) .

✇❤❡r❡ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❛s μ + 2σ s✐♥❝❡ t❤❛t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ 95% s✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡ ❧❡✈❡❧
❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡s ❛r❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛s ●❛✉ss✐❛♥✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s
r❡♣❡❛t❡❞ B t✐♠❡s ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t r❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧✐♥❣s ❛❝r♦ss t❤❡ s✉❜❥❡❝t ♠♦❞❡ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞
❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ❞✐✛❡r❡♥t r❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧✐♥❣s✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❜✐♥❛r②
t✐♠❡ s❡r✐❡s✱ v(t)✱ ❛❝r♦ss B s❛♠♣❧✐♥❣s ❛r❡ s✉♠♠❡❞ ✉♣✳ ❚❤❡ ✜♥❛❧ s❡t ♦❢ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ t❤❡
❧♦❝❛❧ ♠❛①✐♠❛ ✭♣❡❛❦s✮ ♦❢ t❤✐s s✉♠✳ ❋✐❣✳ ✸✳✶ ✐❧❧✉str❛t❡s t❤❡ st❡♣s ♦❢ ❝❤❛♥❣❡✲♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥
❛❧❣♦r✐t❤♠✳
✸✳✸ ❙t❛t❡ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❆❢t❡r ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡s✱ t❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦
s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♣❛tt❡r♥s ❛❝r♦ss t✐♠❡ ❛♥❞ s✉❜❥❡❝ts ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥✲
t❡r✈❛❧ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ st❛t❡ ❝♦♥♥❡❝t♦♠❡✳ Pr❡✈✐♦✉s❧②✱ t❤✐s ✇❛s ❝♦♠♠♦♥❧② ❛❞❞r❡ss❡❞ ❜② ❛✈❡r❛❣✐♥❣
t❤❡ ❡❞❣❡s ♦✈❡r t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❬✺✷✱ ✽✻❪✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❤❛s t❤❡ ❞r❛✇❜❛❝❦ ♦❢ ❡♠♣❤❛s✐③✐♥❣ ❛❧❧
♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ❡q✉❛❧❧② ❛♥❞ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥ ✈❡r② ❞❡♥s❡ ♥❡t✇♦r❦ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳
✷✻

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶ ❆ ✢♦✇❝❤❛rt ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡✲♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✷✳✷✱
✭❛✮ ❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❋❈ t❡♥s♦rs ❢♦r♠❡❞ ❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ ♣♦✐♥t✱ ✭❜✮ ❆ r❛♥❞♦♠
s✉❜s❡t ♦❢ s✉❜❥❡❝ts ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❢♦r ❜♦♦tstr❛♣♣✐♥❣✱ ✭❝✮ ❋✉❧❧ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❋❈ t❡♥✲
s♦rs ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ s✉❜❥❡❝ts ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❜❡st ❧♦✇✲r❛♥❦
❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❡❛❝❤ ♠♦❞❡✱ ✭❞✮ ▲♦✇✲r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❋❈ t❡♥s♦rs ✉s✐♥❣ ❝♦♥✈❡①
❤✉❧❧ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱ ✭❡✮ ❚❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇✲r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞
❢r♦♠ ✭❞✮✱ ✭❢✮ ❙✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ st❡♣s ✉s✐♥❣ t❤❡ ❜❛✲
s✐s ❡❧❡♠❡♥ts ✭❝♦❧✉♠♥s ♦❢✮ U1 ✱ ✭❣✮ ❚❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡s t❤r❡s❤♦❧❞✐♥❣✱ ✭❤✮ ❈❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t
❞❡t❡❝t✐♦♥✳
❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ q✉❛s✐✲st❛t✐♦♥❛r②✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t
t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♣❛tt❡r♥s ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s✳
❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ s✐♥❣❧❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐① ❞❡♠♦♥✲
str❛t✐♥❣ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❛♠♦♥❣ ✈❛r✐♦✉s ❜r❛✐♥ r❡❣✐♦♥s✳
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ t✇♦ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ t❡♥s♦r✲♠❛tr✐① ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❛r❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ t♦
s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡s✱ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r✱ ❛♥❞
✷✼

♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ s❡t ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✳

✸✳✸✳✶

Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ ❙✐♥❣❧❡ ❙✐♥❣✉❧❛r ❱❡❝t♦r

❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ (tk , tk+1 ) ❛♥❞ t❤❡ ✸✲♠♦❞❡ t❡♥s♦r s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤✐s
✐♥t❡r✈❛❧ G(tk ), G(tk + 1), . . . , G(tk+1 )✱ t❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡ t♦♣♦❣r❛♣❤✐❝ ♠❛♣ Θ ∈ RN ×N
✇❤✐❝❤ ❜❡st r❡♣r❡s❡♥ts t❤❛t ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡✳ ❚❤❡ ✸✲♠♦❞❡ t❡♥s♦rs ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧ (tk , tk+1 ) ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ✹✲♠♦❞❡ t❡♥s♦r ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ♠♦❞❛❧✐t② ✐♥t♦
❛❝❝♦✉♥t G ∈ RN ×N ×(tk+1 −tk +1)×S ✱ ❛♥❞ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢✉❧❧ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱
U

(1)

∈ RN ×N , U

(2)

∈ RN ×N , U

(3)

∈ R(tk+1 −tk +1)×(tk+1 −tk +1) , U

(4)

∈ RS×S ✱ s✐♠✐❧❛r

t♦ ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✶✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ✜♥❞ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✉♥✐q✉❡ ♠♦❞❡❧ ✇❤✐❝❤ ✜ts ❛❧❧
s✉❜❥❡❝ts✱ t❤❡ ✹✲♠♦❞❡ t❡♥s♦r G ∈ RN ×N ×(tk+1 −tk +1)×S ✐s ♣r♦❥❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r
(4)

ul

❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ lth ❧❛r❣❡st s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ t♦ s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡
(3)

t✐♠❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✸✲♠♦❞❡ t❡♥s♦r✱ ✐t ✐s ♣r♦❥❡❝t❡❞ t♦ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r uk
(3)

❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ k th ❧❛r❣❡st s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ ♠♦❞❡✱ η = G ×3 uk

(4)

× 4 ul

✳

❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ k ❛♥❞ l ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❡q✉❛❧ t♦ 1 ❜✉t ♠❛② ❝❤❛♥❣❡ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❞❛t❛✳

✸✳✸✳✷

Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ s❡t ♦❢ ❙✐♥❣✉❧❛r ❱❡❝t♦rs

❙✐♥❝❡ ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ♣❡r❢♦r♠ t❤❡ s❛♠❡ t❛s❦ ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②
♥❡t✇♦r❦s ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳ ●✐✈❡♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧
(tk , tk+1 )✱ ❛❧❧ 3✲✇❛② t❡♥s♦rs G(t) ✐♥ t❤✐s t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛r❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ❢✉❧❧② ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✉s✐♥❣

❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛s ✿
G(t) = C(t) ×1 U(1) (t) ×2 U(2) (t) ×3 U(3) (t),

≥ Cil =2 (t) 2 ≥ · · · ≥ Ci =N (t) 2 ❢♦r l = 1
l
2
2
2
❛♥❞ 2✱ ❛♥❞ Ci3 =1 (t) ≥ Ci3 =2 (t) ≥ · · · ≥ Ci3 =S (t) ❛r❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s ❛❧♦♥❣ t❤❡

✇❤❡r❡ C(t) ✐s t❤❡ ❝♦r❡ t❡♥s♦r✱ ❛♥❞ Cil =1 (t)

2

✭✸✳✽✮

✷✽

❋✐❣✉r❡ ✸✳✷ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❈♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❙t❛t❡ ❙✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✢♦✇❝❤❛rt ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥
s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳✷✳
✜rst✱ s❡❝♦♥❞✱ ❛♥❞ t❤✐r❞ ♠♦❞❡✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳
❲❡ ❞❡✜♥❡

ζ(t) = C(t) ×1 U(1) (t) ×2 U(2) (t)✱

♦❢ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛s
❛♥❞

U(2) (t)✱

✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥

G(t) = ζ(t) ×3 U(3) (t)✳

✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ ❢r♦♠

❉✉❡ t♦ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② ♦❢

U(1) (t)

Ci3 =1 (t) 2 ≥ Ci3 =2 (t) 2 ≥ · · · ≥ Ci3 =S (t) 2

ζi3 =1 (t) 2 ≥ ζi3 =2 (t) 2 ≥ · · · ≥ ζi3 =S (t) 2

❬✽✼❪✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ s✉❜t❡♥s♦r
S

θ(t) = ζi3 =1 (t) =

t❤❛t

(3)

Us,1 (t)Gs (t),

✭✸✳✾✮

s=1

✇❤❡r❡ θ(t) ∈ RN ×N ✱ ✐s t❤❡ ❢❛❝t♦r t❤❛t ❝❛♣t✉r❡s ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ t❤❡ ❛❝t✐✈❛t✐♦♥ ♣❛tt❡r♥s
❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛t t✐♠❡ t✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱

ζi3 =2 (t)

❝❛♣t✉r❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧❛r❣❡st ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♥❡r❣②

❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛t t✐♠❡ t ❬✽✼✱ ✽✽❪✳ ❚❤❡ s✉❜t❡♥s♦r θ(t) ✐s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②
♣❛tt❡r♥ ❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛t t❤❡ t✐♠❡ st❡♣ t✳

✷✾

✸✳✸✳✷✳✶

❚✐♠❡ ❙✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥

❆❢t❡r t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ✐s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜②
❛ s✐♥❣❧❡ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐①✱ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡ θ(t), ∀t ∈ {tk , tk + 1, · · · , tk+1} ♥❡❡❞s t♦ ❜❡
s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❛❝r♦ss t✐♠❡ ♠♦❞❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s
✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ st❛t❡ ❝♦♥♥❡❝t♦♠❡✳
❋✐rst✱ ✇❡ ❝♦♥str✉❝t ❛ 3✲✇❛② t❡♥s♦r Θ ∈ RN ×N ×(tk+1−tk +1) ❢r♦♠ t❤❡ s❡t ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s
θ(t) ∈ RN ×N ✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ t❤✐r❞ ♠♦❞❡ ✐s t✐♠❡✳ ❚❤❡ t❡♥s♦r Θ ✐s ❢✉❧❧② ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✉s✐♥❣ ❚✉❝❦❡r
❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
¯ (1) ×2 U
¯ (2) ×3 U
¯ (3) = ζ¯ ×3 U
¯ (3) .
Θ = ϑ ×1 U

✭✸✳✶✵✮

k+1 U
¯ (3) Θi =t ✱ ✇❤❡r❡ η ∈ RN ×N ✱ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❧❛r❣❡st
❚❤❡ s✉❜t❡♥s♦r η = ζ¯i3=1 = tt=t
3
k t,1
❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♥❡r❣② ❛❝r♦ss ❛❧❧ t✐♠❡ st❡♣s✳ ❚❤✉s✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❛s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧
❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② st❛t❡ ❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛♥❞ t✐♠❡ st❡♣s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ (tk , tk+1)✳

✸✳✸✳✸

❙✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡ ❚❡st✐♥❣

❚❤❡ s✉❜t❡♥s♦r η r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛♥❞
t✐♠❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ (tk , tk+1)✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❋❈ ✇✐t❤✐♥ ❛ st❛t❡ ♠♦r❡
❝♦♥❝✐s❡❧②✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ η✳ ❚❤✉s✱ ❛ ❤②♣♦t❤❡s✐s t❡st✐♥❣ ♦♥ η
♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s r❡q✉✐r❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s✳ ❙✐♥❝❡
t❤❡ ❤✐st♦❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡ ✈❛❧✉❡s ✐♥ η ❛♣♣❡❛r t♦ ❜❡ ❜❡❧❧ s❤❛♣❡ ❛♥❞ s②♠♠❡tr✐❝✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡
❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡❞❣❡ ✈❛❧✉❡s ✐♥ η ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✸✳✶✵✮✳ ❚❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡
✈❛❧✐❞❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✕❙♠✐r♥♦✈ t❡st ❬✽✾✱ ✾✵❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✐s t❤❛t t❤❡ ❡❞❣❡
✈❛❧✉❡s ✐♥ η ❛r❡ ❞r❛✇♥ ❢r♦♠ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢❛♠✐❧②✳ ❆ ③✲t❡st ❝❛♥ t❤❡♥ ❜❡ ✉s❡❞ ♦♥
t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ η t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s✳ ❋✐❣✳ ✸✳✷ s❤♦✇s ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡
♣r♦♣♦s❡❞ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

✸✵

✸✳✸✳✹

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♠♣❧❡①✐t②

❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❞❡♣❡♥❞s ♠♦st❧② ♦♥
t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❍❖❖■ s✐♥❝❡ ❍❖❖■ r❡q✉✐r❡s t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r ✇✐t❤ ✈❛r✐♦✉s
r❛♥❦s ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❧♦✇ r❛♥❦✳ ▲❡t✬s ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❍❖❖■ ❞❡❝♦♠♣♦s❡s t❤❡ t❡♥s♦r
✇✐t❤ I ❞✐✛❡r❡♥t s❡ts ♦❢ r❛♥❦s✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❡❛❝❤ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞
r❛♥❦✳ ❚❤❡ ❢✉❧❧ r❛♥❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❤❛s t❤❡ ❤✐❣❤❡st ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉❛❧
4
❬✾✶❪✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ❢✉❧❧ r❛♥❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛❧❧ ❍❖❖■ ✐t❡r❛t✐♦♥s ✭t❤❡
t♦ O N +N3 +S
4

✇♦rst ❝❛s❡✮✱ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❍❖❖■ ✐s ❛t ♠♦st ❡q✉❛❧ t♦ O I N +N3 +S ✳
❊✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ❍❖❖■ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❢♦r ❡✈❡r② t✐♠❡ st❡♣✱ ❍❖❖■ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ❛❧❧
t✐♠❡ st❡♣s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ s✐♥❝❡ ❍❖❖■ ❢♦r ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢
❛♥♦t❤❡r✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❢✉❧❧ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞
4
4
t❤❡ (ˆn, nˆ , sˆ)✲r❛♥❦ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ❛r❡ O N +N3 +S
❛♥❞ O nˆ+ˆ3n+ˆs ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳
❚❤✉s t❤❡ t♦t❛❧ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ st❡♣ ✐s
4
4
+S
n
ˆ +ˆ
n+ˆ
s
✳
+
O (I + 1) N +N
3
3
❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❋❈ st❛t❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t✇♦ ♣❛rts✱ ❝♦♠♣✉✲
t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛♥❞ t✐♠❡✳ ❊❛❝❤ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ st❡♣
✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❛t ♦❢ t❤❡ ♣r♦✲
❥❡❝t✐♦♥ st❡♣✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ s✐③❡
d1 × d2 ❜② ❛ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ s✐③❡ d2 × 1 ✐s O (d1 d2 ) ❬✾✷❪✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢
4
❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ✐s O S N +N3 +S ✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠✲
♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ s✉❜❥❡❝ts ♦♥t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❛tr✐① ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣
✐s O S 2N 2 ✳ ❚❤❡ t♦t❛❧ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❢♦r t❤❡ s✉❜❥❡❝t s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ st❡♣ ✐s
4
N +N +S
O
+ S 2 N 2 s✐♥❝❡ t❤❡ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ ❝❛♥
3
❜❡ ❞♦♥❡ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss
4
t✐♠❡ ✐s O N +N3 +τ + τ 2N 2 ✱ ✇❤❡r❡ τ = tk+1 − tk + 1✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❝♦♠♣✉t❛✲

✸✶

t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ st❡♣ ✐s

O

N +N +S 4
+
3

N +N +τ 4
+ (τ 2 + S 2 )N 2
3

.

✸✳✹ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts ❋♦r ❙✐♠✉❧❛t❡❞ ❉❛t❛
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ♦♥ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♥❡t✇♦r❦s ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ t♦
❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞s✳
❲❡ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❞②♥❛♠✐❝ ♥❡t✇♦r❦ t❤❛t r❡s❡♠❜❧❡s t❤❡ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♦✉r ❊❊●
❋❈◆s t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❆ t❡♥s♦r ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛
❞②♥❛♠✐❝ ♥❡t✇♦r❦ ✇✐t❤

N = 64 ♥♦❞❡s✱ S = 32 s✉❜❥❡❝ts✱ ❛♥❞ T = 128 t✐♠❡ st❡♣s ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞✳

❚❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ✜①❡❞ ❛t t1
❲✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧

= 41

[1, 40]✱

❛♥❞ t2

= 81✳

❛❧❧ ❣r❛♣❤s ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ ♣♦✐♥t ❛♥❞ ❛❝r♦ss ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛r❡

❣❡♥❡r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ t✇♦ ❝❧✉st❡r str✉❝t✉r❡✳ ❚❤❡ ✜rst ❝❧✉st❡r ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♥♦❞❡s
♥♦❞❡s

(49 − 64)

(1 − 48)✱

✇❤✐❧❡

❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❧✉st❡r✳ ■♥tr❛✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s ❤❛✈❡ ❤✐❣❤❡r ♠❡❛♥ ❡❞❣❡

✈❛❧✉❡ ❛♥❞ ❧♦✇❡r ✈❛r✐❛♥❝❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ✐♥t❡r✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s✳ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ✐♥tr❛✲❝❧✉st❡r
❡❞❣❡s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ❢r♦♠
❝❤♦s❡♥ r❛♥❞♦♠❧② ❢r♦♠

N (0.2, 0.01) ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s ❛r❡

N (0.1, 0.02)✳

❖✉t ♦❢

1128 ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ✜rst ❝❧✉st❡r✱ 500 s✐❣♥✐✜❝❛♥t

❡❞❣❡s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ✉s✐♥❣ ❘✲▼❆❚ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬✾✸❪✳ ■♥ ♦r❞❡r ❢♦r t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❡❞❣❡s
t♦ ❜❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ✐♠♣♦rt❛♥t✱ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❢r♦♠
❛♥❞ ❛❞❞❡❞ t♦ t❤❡ ✐♥tr❛✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡ ✈❛❧✉❡s✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱

50

N (μ, 0.01)✱

♦✉t ♦❢

120

✇❤❡r❡

μ ∈ (0.2, 0.6)

❡❞❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ s❡❝♦♥❞

❝❧✉st❡r ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ r❛♥❞♦♠❧② ✉s✐♥❣ ❘✲▼❆❚ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❛♥❞ t❤❡✐r ✇❡✐❣❤ts ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②
❛❞❞✐♥❣ r❛♥❞♦♠ ✈❛❧✉❡s ❢r♦♠
❋♦r t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧

N (μ, 0.01)

✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡

μ

✈❛❧✉❡ t♦ t❤❡ ✐♥tr❛✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s✳

[41, 80]✱ ♥♦❞❡s (1 − 16) ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❜❡❧♦♥❣

t♦ t❤❡ ✜rst ❝❧✉st❡r ✇❤✐❧❡ ♥♦❞❡s

(17−64) ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❧✉st❡r✳

❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ❢r♦♠
❡❞❣❡s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢r♦♠

N (0.2, 0.01)

N (0.1, 0.02)✳ 50

❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❛❧❧ ✐♥tr❛✲

✇❤✐❧❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r✲❝❧✉st❡r

s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ✜rst ❝❧✉st❡r ❛♥❞

500

s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❧✉st❡r ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ✉s✐♥❣ ❘✲▼❆❚ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

✸✷

❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ❢♦r ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ❛r❡ ❢♦r♠❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣
r❛♥❞♦♠ ✈❛❧✉❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ N (μ, 0.01)✱ ✇❤❡r❡ μ ∈ (0.2, 0.6)✱ ❛♥❞ ❛❞❞✐♥❣ t❤❡♠ t♦
t❤❡ ✐♥tr❛✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s✳ ●r❛♣❤s ❢♦r ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧
[81, 128] ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [1, 40]✳
❚♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ 5
❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✇✐t❤ μ ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ r❛♥❣❡ (0.2, 0.6) ❛r❡ r✉♥✳ ❊❛❝❤ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✐s r❡♣❡❛t❡❞
400 t✐♠❡s✳ ❚❤❡ s✐❣♥❛❧ t♦ ♥♦✐s❡ r❛t✐♦ ✭❙◆❘✮ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ μ✱ ✇❤❡r❡
s✐❣♥❛❧ ♣♦✇❡r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r ♦❢ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✭ N (μ, 0.01)✮✱ ❛♥❞ t❤❡
♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r ♦❢ ✐♥t❡r ❛♥❞ ✐♥tr❛✲❝❧✉st❡r ❡❞❣❡s✳ ▲❡t ns,(i,j) (t) ❜❡
t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② str❡♥❣t❤ ♦❢ s✉❜❥❡❝t s ❜❡t✇❡❡♥ ♥♦❞❡s i ❛♥❞ j ❛t t✐♠❡ t✱ ❛♥❞
ns,(i,j) (t) + fs,(i,j) (t) ❜❡ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ s✉❜❥❡❝t s ❜❡t✇❡❡♥ ♥♦❞❡s i ❛♥❞ j ❛t t✐♠❡ t✱
✇❤❡r❡ fs,(i,j) (t) ∼ N (μ, 0.01)✳ ❚❤❡♥✱ ❙◆❘ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s
SN R =

1
ST N 2
1
ST N 2

T
t=1
T
t=1

S
s=1
S
s=1

N
2
i,j=1 fs,(i,j) (t)
,
N
2
n
(t)
i,j=1 s,(i,j)

✇❤❡r❡ S ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✉❜❥❡❝ts✱ T ✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡ st❡♣s✱ ❛♥❞ N ✐s t❤❡
♥✉♠❜❡r ♥♦❞❡s✳
✸✳✹✳✶

❙✐♠✉❧❛t❡❞ ◆❡t✇♦r❦ ❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥ ❯s✐♥❣ ❙✉❜s♣❛❝❡ ❉✐st❛♥❝❡

❚❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s r✉♥ ♦♥ ❛❧❧ 400 s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ♦❢ t❤✐s ❞②♥❛♠✐❝ ♥❡t✇♦r❦
♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❜✐♥❛r② ✈❡❝t♦r✱ v(t)✱ ❛❝r♦ss 400 s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ μ✳ ❚❤❡ ♣❡❛❦s
♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢♦r ❡❛❝❤ μ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛s s❡❡♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✸✳
✸✳✹✳✷

❙✐♠✉❧❛t❡❞ ◆❡t✇♦r❦ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❈♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❙t❛t❡ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ s❡t ♦❢
❙✐♥❣✉❧❛r ❱❡❝t♦rs

❊❛❝❤ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s t❤❛t ✇❡r❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ✇❡r❡
s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ❛❝r♦ss 400 s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✳ ③✲t❡st ✇✐t❤ ❛ ♣✲✈❛❧✉❡ ♦❢ 0.95 ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥
✸✸

❋✐❣✉r❡ ✸✳✸ ❚❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ s✉❜s♣❛❝❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♥❡t✇♦r❦ ❢♦r
♣❡❛❦s ❛t t = 41 ❛♥❞ t = 81✳

μ = 0.90

✇✐t❤ t✇♦

❚❛❜❧❡ ✸✳✶ ❚❤❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❢♦r s✐♠✉❧❛t❡❞ ❞②♥❛♠✐❝ ♥❡t✇♦r❦s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ❱✲❆
❙◆❘
❚②♣❡ ■ ✭▼✐ss✮
❚②♣❡ ■■ ✭❋❛❧s❡ ❆❧❛r♠✮

−10.63❞❇

−7.13❞❇

−4.66❞❇

−2.71❞❇

−1.11❞❇

32.8%

17%

10.8%

10.2%

9.9%

3.53%

2.41%

1.64%

1.46%

1.37%

t❤❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❣r❛♣❤s✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ❛r❡ ♥♦t r❡❝♦✈❡r❡❞ ❞✉r✐♥❣ s✉♠♠❛r✐③❛✲
t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❣r♦✉♥❞✲tr✉t❤ t♦ ❝♦♠♣❛r❡ η t♦✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ ♦♥❧② t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢
t❤❡ ❞❡t❡❝t❡❞ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✱ ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t②♣❡
■

✭❢❛❧s❡ ♣♦s✐t✐✈❡✮ ❛♥❞ ■ ■ ✭❢❛❧s❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✮ ❡rr♦rs ❛✈❡r❛❣❡❞ ❛❝r♦ss ❡❛❝❤ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱

(μ, σ)✱ ✐✳❡✳

❞✐✛❡r❡♥t ❙◆❘s✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t②♣❡ ■ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤♦s❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t

❡❞❣❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❞❡t❡❝t❡❞ t♦ t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢
t②♣❡ ■ ■ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❡t❡❝t❡❞ ❡❞❣❡s ✇❤✐❝❤ ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ t♦ t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r
♦❢ ♥♦r♠❛❧ ❡❞❣❡s✳ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶ s✉♠♠❛r✐③❡s t❤❡ r❡s✉❧ts ❢♦r ❡❛❝❤ ❙◆❘ ✈❛❧✉❡✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ t❤❛t
❛s ❙◆❘ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ✐✳❡✳ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜♦t❤ t②♣❡

■

❛♥❞ ■ ■ ❡rr♦rs ❞❡❝r❡❛s❡s ❛s ❡①♣❡❝t❡❞ s✐♥❝❡ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ❛r❡ ❡❛s✐❡r t♦ ❞❡t❡❝t ✇✐t❤ ❧❛r❣❡
✈❛❧✉❡s ♦❢ ❙◆❘✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ♠♦st ❋❈◆s ❛r❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❙◆❘ ✐♥ t❤❡ r❛♥❣❡ ♦❢ ✵❞❇ ❛♥❞
❛s s✉❝❤ ✇✐❧❧ r❡s✉❧t ✐♥ ❚②♣❡ ■ ❛♥❞ ■■ ❡rr♦rs ❜❡❧♦✇

✸✹

10%✳

✸✳✺ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❘❡s✉❧ts ❢♦r ❘❡❛❧ ❉❛t❛
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ♦♥ ❊❊● ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦s
✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞s✳ ❚❤❡ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ ❝♦♥♥❡❝✲
t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❢♦r ❊❊● ❞❛t❛ ✐♥ t❤✐s st✉❞② ❛r❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ♣❛✐r✇✐s❡ P▲❱
♦✈❡r ❛♥ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ ✷✹ tr✐❛❧s ❜❡t✇❡❡♥ ✻✷ ❝❤❛♥♥❡❧s ✐♥ t❤❡ t❤❡t❛ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡
✭✷ s❡❝♦♥❞s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✷✺✻ t✐♠❡ s❛♠♣❧❡s✮ ❛♥❞ ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✷✳✸✱ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥

G(t) ∈ R62×62×91

✸✳✺✳✶

❢♦r t❤❡ ❡rr♦r r❡s♣♦♥s❡✳

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❈♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥

❚❤❡ t✇♦ ♣r♦♣♦s❡❞ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦

✸✳✺✳✶✳✶

❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥ ❯s✐♥❣ ❙✐♠✐❧❛r✐t② ▼❛tr✐①

■♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts✱ t❤❡ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ ❣r❛♣❤s✱

{1, 2, . . . , S}✱

{1, 2, . . . , 256}

❛♥❞

σ

Ψ

Gs (t), t ∈ {1, 2, . . . , 256}, s ∈

❢♦r ❛❧❧ s✉❜❥❡❝ts ❛♥❞ ❛❧❧ t✐♠❡ ✇✐❧❧ ❜❡ tr❡❛t❡❞ ❛s ❛ ✹✲♠♦❞❡ t❡♥s♦r

❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✉s✐♥❣ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭❊q✳ ✸✳✶✮✳

♠❛tr✐①

G(t), t ∈ {1, 2, . . . , 256}✳

✇✐t❤

ˆ = 2, Sˆ = 3
N

✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤

❚❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❡♥s♦rs

❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡

λ = 0.4

❛♥❞

σ = 2500

G✱

256 × 256

✇❤✐❝❤ ✐s

ˆ
G(t);
t ∈

s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❛tr✐①

Ψ✳

❚❤❡

❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✹✭❜✮✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢

λ

❛r❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧❧② ❝❤♦s❡♥ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❜❡st s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❝❧✉st❡rs✳

❖♥❝❡ t❤❡ ♠❛tr✐①
❝❧✉st❡r✐♥❣ ✇✐t❤

Ψ

K = 5✳

✐s ♦❜t❛✐♥❡❞✱ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ t✐♠❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧
❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs

K

✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥s♣❡❝tr✉♠ ♦❢

t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❛tr✐① ❬✾✹❪✳ ❚❤❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❛t

{−703, −375, −132, 188, 736}

♠s✳
❚❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧
t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧

(−132, 188)♠s

(188, 736)♠s

✐♥ t❤❡ ✇❛✈❡❢♦r♠ ✐s ❝❧♦s❡ t♦

❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❊❘◆ ❛♥❞ Pr❡✲❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✇❤✐❧❡

✐s P❡✳ ❆s ✐t ❛♣♣❡❛rs ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✹✭❛✮✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❡❛❦ ♦❢ ❊❘◆

188♠s✱

✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥ ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❡♥❞ ♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡t❡❝t❡❞

❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞ r❡q✉✐r❡s

λ

❛♥❞

✸✺

σ

t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❡♠♣✐r✐❝❛❧❧②✳

Ψ

S¯ = 40
91
106
106

{−859, −656, −180, −39, 55, 281, 469, 664}

(−39, 55)

✇✐t❤ ♣♦st✲❊❘◆ ❛❝t✐✈✐t②✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ P❡✳ ❘✐❣❤t ❜❡❢♦r❡ ❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✱ (−39, 55)♠s✱ t❤❡
❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦ ✐s ♥♦t st❛❜❧❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ✐♥ r❡s♣♦♥s❡ t✐♠❡ ❛❝r♦ss
s✉❜❥❡❝ts✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♣❡❛❦s r✐❣❤t ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ✵ t✐♠❡ ♣♦✐♥t
✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❝♦♥s✐❞❡r ❛s ✈❛❧✐❞ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❞♦❡s ♥♦t r❡q✉✐r❡ ❛♥ ❡♠♣✐r✐❝❛❧
s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❛tr✐①✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t
❣✐✈❡s ♠✉❧t✐♣❧❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❝❧♦s❡ t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r r✐❣❤t ❜❡❢♦r❡ ❊❘◆✳ ❚❤❡ r❡❛s♦♥ ✇❤② s❡✈❡r❛❧
❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❝❧♦s❡ t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡rs ❛r❡ ❞❡t❡❝t❡❞ ✐s t❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐❝✐♣❛♥ts ❡①♣❡❝t t♦ r❡❝❡✐✈❡ t❤❡
r❡s♣♦♥s❡ r✐❣❤t ❜❡❢♦r❡ ❊❘◆ ❛♥❞ t❤❡✐r ❜r❛✐♥s ❛r❡ ♣r❡♣❛r✐♥❣ t♦ r❡❛❝t t♦ t❤❡ st✐♠✉❧✐✳ ❚❤✉s✱ t❤❡
❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✐s tr❛♥s✐t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s st❛t❡ t♦ t❤❡ ♥❡✇ ❊❘◆ st❛t❡✳ ❙✐♥❝❡
t❤❡s❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❢r♦♠ ♦♥❡ st❛t❡ t♦ t❤❡ ♥❡①t✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✈❛❧✐❞
t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠ ❛♥❞ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ✐❣♥♦r❡❞✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡♥❡ss ♦❢ t❡♥s♦r✲❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞s ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧
♠❛tr✐①✲❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞s✱ t❤❡ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣❧❡ ♣❛rt ♦❢ Gs (t), s ∈ {1, 2, . . . , S} ✐s ✈❡❝t♦r✐③❡❞ ❛♥❞
❝♦♥❝❛t❡♥❛t❡❞ ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts t♦ ❢♦r♠ ❛ ♠❛tr✐①✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s r❡♣❡❛t❡❞ ❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡ st❡♣s
s♦ t❤❛t T s✉❜❥❡❝t✲❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s ♦❢ s✐③❡ 1953 × 91 ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ s✐♠✐❧❛r t♦ ❬✺✸❪✳ ❙❱❉
✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ t❡♥s♦r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✇✐t❤♦✉t
s✉❜❥❡❝t s❛♠♣❧✐♥❣✳ ❆♥ ♦♣t✐♠❛❧ r❛♥❦ ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ ♣♦✐♥t ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧
❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ●✐✈❡♥ t❤❡ r❛♥❦ ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡✱ t❤❡ ●r❛ss♠❛♥♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡
st❡♣s ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞✳ ❋✐❣✳ ✸✳✺ s❤♦✇s t❤❡ ●r❛ss♠❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ st❡♣s
❜❛s❡❞ ♦♥ ❙❱❉ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r✐③❡❞ ❛❞❥❛❝❡♥❝② ♠❛tr✐❝❡s✱ ❛♥❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ t❡♥s♦r
♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✶ ✳ ■♥ t❤❡ ❣r❛♣❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❙❱❉ ♠❡t❤♦❞✱ ❛ ❢❡✇ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡
♦❜✈✐♦✉s✱ ❛♠♦♥❣ t❤❡♠✱ t❤❡ ♦♥❡ ❝❧♦s❡ t♦ ③❡r♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ ❊❘◆✳ ❍♦✇❡✈❡r✱
♦t❤❡r ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ❊❘◆ ❛r❡ ♥♦t ❞❡t❡❝t❛❜❧❡✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ s❝❛❧❡s ♦❢ ❙❱❉
❛♥❞ t❡♥s♦r✲❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ t❡♥s♦r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ♠♦r❡
s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ str✉❝t✉r❡ ✇✐t❤ ♠♦r❡ ❛♣♣❛r❡♥t ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❜❡❢♦r❡
✶ ◆♦t❡ t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❡①♣❡r✐♠❡♥t r❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧✐♥❣ ♦❢ s✉❜❥❡❝ts ✐s ♥♦t ♣❡r❢♦r♠❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡s❡ ❛r❡
❞✐st❛♥❝❡s ♥♦t t❤❡ ❜✐♥❛r② ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤❛t ✐s ✇❤② t❤❡ r❡s✉❧t ❣✐✈❡♥ ❤❡r❡ ❢♦r t❤❡ t❡♥s♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥
✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ❋✐❣✳ ✸✳✶✸
✸✼

❋✐❣✉r❡ ✸✳✺ ❚❤❡ ●r❛ss♠❛♥♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥✲
♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❙❱❉ ❛♥❞ t❡♥s♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✳
❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ r❡s♣♦♥s❡✳ ❇♦t❤ ♠❡t❤♦❞s ②✐❡❧❞ s✐♠✐❧❛r ♣❡❛❦s ❛r♦✉♥❞ ❊❘◆ ✇❤✐❝❤ ✈❡r✐✜❡s t❤❡
❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ t❡♥s♦r ❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞✳
✸✳✺✳✷

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❈♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❙t❛t❡ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❖♥❝❡ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✱ t❡♥s♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ s✉❜❥❡❝t ❛♥❞ t✐♠❡ ♠♦❞❡s
❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❋❈✲st❛t❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❤❛♥❣❡✲
♣♦✐♥t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❣✐✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞
s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✱ t❤❡② ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♦♥ ♣r❡❞❡t❡r♠✐♥❡❞ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s (−100, 0)♠s✱
(0, 100)♠s✱

✸✳✺✳✷✳✶

❛♥❞ (100, 400)♠s✳

Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❙✐♥❣❧❡ ❙✐♥❣✉❧❛r ❱❡❝t♦rs

❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ♥❡t✇♦r❦ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ♦♥❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r✱ ✇❡ ✜rst s❡❧❡❝t❡❞ k = l = 1
t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❤✐❣❤❡st s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡s✱ ❛♥❞ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥
✐s ✜tt❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s✱

η

t♦ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ③✲t❡st ✇✐t❤

p = 0.95✳

❆s ✐t ✐s s❤♦✇♥

✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✼✱ ♠♦st ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ♥♦❞❡s s✐♥❝❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ t♦ t❤❡
s✉❜s♣❛❝❡ s♣❛♥♥❡❞ ❜② t❤❡ ❧❛r❣❡st s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ♠♦st❧② ❝♦♥t❛✐♥s ❡❞❣❡s ❜❡t✇❡❡♥ ♣❤②s✐❝❛❧❧②
❛❞❥❛❝❡♥t ♥♦❞❡s✳ ❚❤✐s ✐s ❛ s✐❞❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ✈♦❧✉♠❡ ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥ ❛✛❡❝t✐♥❣ P▲❱ ✈❛❧✉❡s ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t
❝♦♥✈❡② t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥✳
✸✽

4
k = l = 2
N1 (−0.01, 0.11) N2 (−0.01, 0.13)
N3 (−0.08, 0.14)
(0, 100)

η

p = 0.95

(0, 100)

(0, 100)

(−100, 0)

(100, 400)

N2 (−0.20, 0.09)

η2

k=l=3
k=l=2

k=l=2

❝♦♥❞✉❝t✐♦♥ ✇❤✐❧❡ ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡ r❡t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❛❝t✐✈✐t②✳

✭❛✮

✭❜✮

✭❝✮

❋✐❣✉r❡ ✸✳✼ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞
❋❈ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs k = l = 1 ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮
(0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳

✸✳✺✳✷✳✷

Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ s❡t ♦❢ ❙✐♥❣✉❧❛r ❱❡❝t♦rs

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2

= 1953

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❋✐❣✉r❡ ✸✳✽ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞
❋❈ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs k = l = 2 ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮
(0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳
❡♥tr✐❡s✱ ❛♥❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡❛♥ ❛♥❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ❛r❡ ✜tt❡❞ t♦ t❤❡ ✈❡❝t♦rs✳
N1 (0.22, 0.01)✱ N2 (−0.20, 0.09)✱ ❛♥❞ N3 (−0.16, 0.09) ❛r❡ t❤❡ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✜tt❡❞ t♦
(η1 , η2 , η3 )✱

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η2

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✐♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ✜tt❡❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✕❙♠✐r♥♦✈ t❡st ✐s ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡
t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ❢♦r t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✕❙♠✐r♥♦✈ t❡st ✇✐t❤
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❋✐❣✉r❡ ✸✳✾ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ s✐♥❣❧❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs✿ t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞
❋❈ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs k = l = 3 ✇✐t❤ p = 0.95 ❢♦r t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✭❛✮ (−100, 0)♠s✱ ✭❜✮
(0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳
α = 0.01

❞♦❡s ♥♦t r❡❥❡❝t t❤❡ ♥✉❧❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s t❤❛t t❤❡ ❡❞❣❡s ❢♦❧❧♦✇ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳

❚❤❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t✐❡s (η1 , η2 , · · · , η9 ) ❛r❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦
t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ♠❡❛♥s ❛♥❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s✳ ③✕t❡st ✇✐t❤

α = 0.05

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s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ 9 t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ❋✐❣✳ ✸✳✶✶ s❤♦✇s t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ❢♦r t❤r❡❡
t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s (−100, 0)♠s✱ (0, 100)♠s✱ (100, 400)♠s✳
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η2
N2 (−0.20, 0.09)

(0, 100)

(0, 100)

✇✐t❤ ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡✐♥❣ t❤❛t✱ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❊❘◆ ✇✐♥❞♦✇✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛♠♦♥❣
❢r♦♥t❛❧ r❡❣✐♦♥s ✐s ❞❡❝r❡❛s❡❞ ✇❤✐❧❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛♠♦♥❣ ♣❛r✐❡t❛❧ r❡❣✐♦♥s ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞✳ ❚❤✐s ✐s
❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ✐❞❡❛ t❤❛t ❢r♦♥t❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ❛r❡ ✐♥ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ♦❢ ❜❡❝♦♠✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧❧②
✐♥t❡❣r❛t❡❞ ❧❡❛❞✐♥❣ ✉♣ t♦ t❤❡ ❊❘◆✱ ✇❤❡r❡ t❤✐s t②♣❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ✐s ♠❛①✐♠❛❧✳ ❋✐✲
♥❛❧❧②✱ ❢♦r t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✇✐♥❞♦✇ ✭❋✐❣✳ ✸✳✶✶ ✭❝✮✮ ♦♥❧② ♦♥❡ t❛✐❧ r❡♣r❡s❡♥ts ❛ ❞❡♥s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞
st❛t❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✭✇❤❡r❡ t❤❡ ❡❞❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♦t❤❡r t❛✐❧ ❛r❡ ♠♦r❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞
❛♥❞ ❞✐s❝♦♥♥❡❝t❡❞✱ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❛♥❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② s♣✉r✐✲
♦✉s✮✳ ■♥ ❋✐❣✳ ✸✳✶✶ ✭❝✮ (100, 400)♠s t❤❡ ♣r✐♠❛r② ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡ ❝♦♥t✐♥✉❡s t❤✐s s❤✐❢t t♦✇❛r❞s
♣❛r✐❡t❛❧ r❡❣✐♦♥s✳ ❇r♦❛❞❧②✱ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ ❞✉r✐♥❣✱ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❊❘◆
❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❤②♣♦t❤❡s✐③❡❞ ❊❘◆✲r❡❧❛t❡❞ ♥❡t✇♦r❦ ❞②♥❛♠✐❝s✱ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥
♦❢ tr❛♥s✐❡♥t ❢r♦♥t❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ❞✉r✐♥❣ ❡rr♦r ♣r♦❝❡ss✐♥❣✳
❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ t❡♥s♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❝♦♠♣❛r❡❞
✇✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ ❙❱❉ ❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡
❙❱❉ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❡①❛❝t❧② t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❢r♦♠ t❤❡ t❡♥s♦r ❛♣♣r♦❛❝❤✱ t❤❡
s✉♠♠❛r✐③❡❞ ♥❡t✇♦r❦s ✇♦✉❧❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇♦✉❧❞
♥♦t ❜❡ ❢❛✐r✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ t❡♥s♦r✕❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ✐s ✉s❡❞
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❛♥❞ st❛❝❦✐♥❣ t❤❡ ❋❈ ♠❛tr✐❝❡s ♦❢ s✉❜❥❡❝ts ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ❛r❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞ ♦♥t♦ t❤❡✐r ✜rst s✐♥✲
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(0, 100)♠s✱ ✭❝✮ (100, 400)♠s✳
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t♦♣ 5% ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ r❡s✉❧t ✉s✐♥❣ ❚✉❝❦❡r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳
✸✳✺✳✷✳✸

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❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥ts

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❛♥❞ t✐♠❡ ♠♦❞❡s ❢♦r ❛❧❧ 9 t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❋❈✲st❛t❡s (η1 , η2 , · · · , η9 )✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ ✐♥t❡r✈❛❧✱ t❤❡ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♣❛rt ♦❢
✐s ❝♦♥✈❡rt❡❞ t♦ ❛ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤

63
2

= 1953

❡♥tr✐❡s✱ ❛♥❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t

♠❡❛♥ ❛♥❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ❛r❡ ✜tt❡❞ t♦ t❤❡ ✈❡❝t♦rs✳

N1 (0.22, 0.01)✱ N2 (0.32, 0.01)✱ N3 (0.07, 0.01)✱

N4 (−0.44, 0.01)✱ N5 (−0.08, 0.01)✱ N6 (0.24, 0.01)✱ N7 (−0.40, 0.02)✱ N8 (−0.40, 0.01)✱
(−0.25, 0.02)

ηi

❛♥❞ N9

❛r❡ t❤❡ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ✜tt❡❞ t♦ (η1 , η2 , · · · , η9 )✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❋✐❣✳ ✸✳✶✵

s❤♦✇s t❤❡ ❤✐st♦❣r❛♠ ♦❢ η5 ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ✜tt❡❞ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐s✲
tr✐❜✉t✐♦♥✳ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✕❙♠✐r♥♦✈ t❡st ✐s ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ❣♦♦❞♥❡ss✲♦❢✲✜t ❢♦r t❤❡ ❛ss✉♠❡❞
●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈✕❙♠✐r♥♦✈ t❡st ✇✐t❤

α = 0.01

❞♦❡s ♥♦t r❡❥❡❝t t❤❡ ♥✉❧❧

❤②♣♦t❤❡s✐s t❤❛t t❤❡ ❡❞❣❡s ❢♦❧❧♦✇ ❛ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳
❚❤❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t✐❡s (η1 , η2 , · · · , η9 ) ❛r❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦
t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ♠❡❛♥s ❛♥❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s✳ ③✕t❡st ✇✐t❤
✹✻

α = 0.05

✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡

s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡
❢♦✉r t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s

9

t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ❋✐❣✳ ✸✳✶✸ ✭❝✮ s❤♦✇s t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ❢♦r

(−180, −39)♠s✱ (−39, 55)♠s✱ (55, 281)♠s✱ (281, 469)♠s✳

✸✳✻ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ t✇♦ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ❞②♥❛♠✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥
❛♥❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❡♥s♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋❈◆s ✇❡r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞✳ ❚❤❡ ✜rst
❛♣♣r♦❛❝❤ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s t❤r♦✉❣❤ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❛ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❡tr✐❝ ✇❤✐❝❤ t❛❦❡s ❜♦t❤
t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ❧♦✇✲r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s t♦ t❡♥s♦rs ❛♥❞ t❤❡✐r ♣r♦①✐♠✐t② ✐♥ t✐♠❡ t♦ ♦❜✲
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❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ❞❡t❡❝t✐♥❣ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ ❝♦♥♥❡❝✲
t✐✈✐t② ♣❛tt❡r♥s s❤♦✇ ❝♦♥s✐st❡♥t ❝❤❛♥❣❡ ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts t❤r♦✉❣❤ ❧♦✇✲r❛♥❦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s t♦
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❆❢t❡r ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✱ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡ ✐♥✲
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t✐♠❡ ❛♥❞ s✉❜❥❡❝t ♠♦❞❡s✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞

❛♣♣r♦❛❝❤ ❡①tr❛❝ts t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s t❤r♦✉❣❤ t❡♥s♦r ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ ❛ s❡t ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦rs
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✐s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞✳

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a.

FCz

.2

PV

0

-.2

-.4

b.
35
30
25
20
15
10
5
0

-800

-400

0

400

800

Time (ms)

c.
1.

2.
FP1

FPZ

FP1

AF8
AF7
AF3 AFZ
F7 F5
F8
F3 F1 FZ F2 F4 F6
FT7 FC5
FT8
FC3 FC1 FCZ FC2 FC4 FC6
T7

C5

C3

C1

CZ

C2

C4

C6

T8

T7

CP5 CP3 CP1 CPZ CP2 CP4 CP6
TP8
P3 P1 PZ P2 P4 P6
P7 P5
P8
PO3 POZ PO4
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0

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C5

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CP5 CP3 CP1 CPZ CP2 CP4 CP6
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CP5 CP3 CP1 CPZ CP2 CP4 CP6
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AF8
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TP7

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4

4.

FP2

AF8
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TP7

-4

3.

FP2

2

-6

-39 to 55 ms

-4

-2

0

2

55 to 281 ms

FP1 FPZ FP2
AF8
AF7
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F7 F5
F8
F3 F1 FZ F2 F4 F6
FT7 FC5
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FC3 FC1 FCZ FC2 FC4 FC6
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C5

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CZ

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T8

CP5 CP3 CP1 CPZ CP2 CP4 CP6
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P3 P1 PZ P2 P4 P6
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TP7

-6

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0

2

281 to 469 ms

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t❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ ❢r❡q✉❡♥❝② ❜❛s✐s s✉❝❤ ❛s ❉❈❚✳ ❚❤✉s✱ ❍✲❙❈❈■ ✇✐t❤ ❞✐s❝r❡t❡ ❝♦s✐♥❡
tr❛♥s❢♦r♠ ✭❉❈❚✮ ❜❛s✐s ✐s ✉s❡❞ t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ s❝❡♥❡✳

✹✳✷ ❙❈❈■ ▼♦❞❡❧ ❘❡❝♦✈❡r②
❉✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦♠♣r❡ss✐✈❡ s❡♥s✐♥❣ ❛ss✉♠❡s t❤❛t s✐❣♥❛❧s ❛❝q✉✐r❡❞ ❛❝r♦ss ♠✉❧t✐♣❧❡ s❡♥s♦rs ❛r❡
s♣❛rs❡ ✐♥ ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❜❛s❡s✱ ✐✳❡✳ t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✐s ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✱ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♣❛rs❡
❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇❤✐❝❤ ✐s s❤❛r❡❞ ❜② ❛❧❧ s✐❣♥❛❧s✱ ❛♥❞ ❛♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇❤✐❝❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ t♦
❡❛❝❤ s✐❣♥❛❧ ❬✶✷✸❪✳ ❚❤❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ♣❛rt ♦❢ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦♠♣r❡ss✐✈❡ s❡♥s✐♥❣ ✐s ♥♦t ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠
❝♦♠♣r❡ss✐✈❡ s❡♥s✐♥❣ ✐♥ t❤❛t ❡❛❝❤ s✐❣♥❛❧ ✐s s❡♣❛r❛t❡❧② ♣r♦❥❡❝t❡❞ ♦♥t♦ s♦♠❡ r❛♥❞♦♠✱ ✐♥❝♦❤❡r❡♥t
❜❛s❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ♦❢ ❛❧❧ s✐❣♥❛❧s✱ ✇❤✐❝❤
❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r ✈❛r✐♦✉s ♣✉r♣♦s❡s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❡①tr❛❝t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s t❤❡s✐s✱
✇❡ ♦♥❧② ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ♣❛rt ♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧✳

✹✳✷✳✶

❙❈❈■ ▼♦❞❡❧

▲❡t✬s ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s Λ = {xj ∈ RN ; ∀j ∈ {1, 2, . . . , J}} ❛r❡ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡✳
■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♠♦♥❣ t❤❡ s✐❣♥❛❧s✳ ❚❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧
❬✶✷✹✱ ✶✵✾❪✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥❝❧✉❞❡s ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t zc ∈ RN ❛♥❞ ❛♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t
✺✸

zj ∈ R N ✱

❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s✿

xj = zc + zj , j = 1, 2, . . . , J.

✭✹✳✶✮

❚❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♠♦♥❣ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ✇❤✐❧❡
t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ✉♥✐q✉❡ t♦ ❡❛❝❤ s✐❣♥❛❧✳ ❚❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts
♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s

Λ

❛r❡ s♣❛rs❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t s❡ts ♦❢ ❜❛s❡s✱

φc

❛♥❞

φj ✱

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛s✿

zc = φ c θ c ,
zj = φ j θ j ,
✇❤❡r❡

θc

❛♥❞

t❤❡ s✐❣♥❛❧

θj

xj

θ c 0 = Kc

✭✹✳✷✮

j ∈ {1, 2, . . . , J},

❛r❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs✱ ❛♥❞ t❤❡ ❜❛s❡s

φc

❛♥❞

φj

❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✳

❙✐♥❝❡

✐s s♣❛rs❡✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs ❤❛✈❡ ❛ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♥♦♥③❡r♦ ❡♥t✐t✐❡s✱

N

❛♥❞

θ j 0 = Kj

N✳

■♥ ♦r❞❡r t♦ r❡❝♦✈❡r t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s
t♦ ❢♦r♠ ❛ s✐♥❣❧❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳

Λ✱ ❛❧❧ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ st❛❝❦❡❞

❊q✳ ✹✳✸ s❤♦✇s t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧

s✐❣♥❛❧s ❛♥❞ t❤❡✐r s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ✐♥ ♠❛tr✐① ❢♦r♠❛t✳

⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
Θ=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

θc
θ1
θ2
✳
✳
✳

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

θJ
✇❤❡r❡

X = ΦΘ,

⎤

⎡

⎤

⎢ x1 ⎥
⎥
⎢
⎢ x2 ⎥
⎥
⎢
X = ⎢ ✳ ⎥,
⎢ ✳✳ ⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
xJ

X ∈ RJN ×1 ✱ Θ ∈ RJN ×1 ✱

❛♥❞

ΦΘ

⎢
⎢
⎢
⎢
Φ=⎢
⎢
⎢
⎣

φc φ1
φc

0

✳
✳
✳

✳
✳
✳

φc

0

0

···

⎤

0 ⎥
⎥
φ2 · · · 0 ⎥
⎥
⎥,
✳
✳✳
✳✳
⎥
✳
✳
✳
✳
⎥
⎦
· · · 0 φJ

✭✹✳✸✮

Φ ∈ RJN ×(J+1)N ✳

❚❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r
t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

⎡

Θ

s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❡rr♦r ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s✐❣♥❛❧

✐s ♠✐♥✐♠✐③❡❞✿

✺✹

X

❛♥❞

ˆ = arg min Θ 0 s.t. X − ΦΘ ≤ .
Θ
✇❤❡r❡

✭✹✳✹✮

✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ r❡❝♦✈❡r② ❡rr♦r✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❊q✳ ✹✳✺ ✐s ❧0 ✲♥♦r♠

♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✇❤✐❝❤ ✐s ◆P✲❤❛r❞ ❛♥❞ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡ ❧0 ✲♥♦r♠ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ✉s✉✲
❛❧❧② r❡❧❛①❡❞ t♦ ❧1 ✲♥♦r♠ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥
♣r♦❜❧❡♠ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ✢❡①✐❜❧❡✱

λ − ✇eighted ❧1 ✲♥♦r♠

♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♣r♦♣♦s❡❞

❬✶✷✹✱ ✶✵✾❪✱ ❛s✿

ˆ = arg min λc θc 1 +
Θ

J

λj θj 1 s.t. X − ΦΘ ≤ ,

✭✹✳✺✮

j=1
✇❤❡r❡

λc , λj ≥ 0

❛r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦❢ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ■♥ ❬✶✷✺✱ ✶✵✾❪✱ ✐t ✐s

s❤♦✇♥ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② t❤❛t t❤✐s ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥ ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ r❡❝♦✈❡r②✳
❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts✱

λj s✱ ❢♦r t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② s❡❧❡❝t❡❞ t♦ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡✳

❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱

❲✐t❤♦✉t

λj s ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ t♦ ❜❡ ❡q✉❛❧ t♦ ♦♥❡ ❛♥❞ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ λc ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞

♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ❬✶✷✺❪✳ ❚❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱

ˆ✱
Θ

❛r❡ ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱ ♦r ❢♦r r❡❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

zc ✳

✹✳✸ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ▼♦❞❡❧ ❘❡❝♦✈❡r②
✹✳✸✳✶

❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ▼♦❞❡❧

❚❤❡ ❥♦✐♥t s♣❛rs✐t② ♠♦❞❡❧ ❛ss✉♠❡❞ ❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱

Λ = {xj ∈ RN ; ∀j ∈ {1, 2, . . . , J}}✱

✐s ❙❈❈■✱ ❛s ✐♥ ❊q✳ ✹✳✶✳ ■♥ t❤✐s t❤❡s✐s✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❢❛st❡r✱ ✇❡ ♣❛rt✐t✐♦♥
t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱

Λ✱

✐♥t♦

Γ

❛r❜✐tr❛r②✱ ♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ s✉❜s❡ts✱

Λγ ⊂ Λ

s✉❝❤ t❤❛t✿

γ = 1, 2, . . . , Γ,
Γ
γ=1 Λγ ,

Λ=
Λi

Λγ ✱

Λj = ∅

✺✺

❢♦r

✭✹✳✻✮

i = j.

❖♥❝❡ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ❡①♣❧❛✐♥❡❞✱ t❤❡ ✇❛② t❤❡s❡ s✉❜s❡ts ❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✇✐❧❧
❜❡ ❝❧❛r✐✜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✸✳
❆❧❧ s✐❣♥❛❧s xj ∈ Λ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ zc✱ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✳
❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ❛❧❧ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ s✉❜s❡t xj ∈ Λγ ⊂ Λ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦♠♠♦♥
❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ zc✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ s✉❜s❡t ♠❛② ❤❛✈❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s✉❜s❡t Λγ ✳ ❚❤✉s✱ t❤✐s ♠♦❞❡❧
✐♥❝❧✉❞❡s ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t zc ∈ RN ✱ ❛ ✇✐t❤✐♥✕s✉❜s❡t ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t wc,γ ∈
RN ✱ ❛♥❞ ❛ ✇✐t❤✐♥✕s✉❜s❡t ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t wj ∈ RN ✱ ❛s✿
xj = zc + wc,γ + wj

❢♦r

✭✹✳✼✮

xj ∈ Λγ .

✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s✉❜s❡t
xj ∈ Λγ ✇❤✐❧❡ zc ✐s t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ zj = wc,γ + wj ✐s t❤❡
❣❧♦❜❛❧ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ s❛♠❡ ❥♦✐♥t s♣❛rs✐t② ♠♦❞❡❧ ❛s ❊q✳ ✹✳✶✱ t❤❡
❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ s♣❛rs❡ ♦♥ t✇♦ s❡ts ♦❢ ❜❛s❡s✱ φc ❛♥❞ φj ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱
❛s✿
uγ = zc + wc,γ

uγ = φc θuγ ;

γ = 1, 2, . . . , Γ,

w j = φ j θw j ;

✇❤❡r❡ θc ❛♥❞ θj ❛r❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs✱ ✇✐t❤
s❤♦✇s t❤❡ ✢♦✇❝❤❛rt ♦❢ ❍✲❙❈❈■✳
✹✳✸✳✷

✭✹✳✽✮

{j|xj ∈ Λγ },
θc 0 = Kuγ

❛♥❞

θ w j 0 = Kw j ✳

❋✐❣✳ ✹✳✶

❙✐❣♥❛❧ ❘❡❝♦✈❡r②

❚❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t zc ✇❤❡♥ J ✐s ❧❛r❣❡✳ ❋✐rst✱ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥
❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ❡❛❝❤ s✉❜s❡t Λγ ✐s ❡①tr❛❝t❡❞ s✐♠✐❧❛r t♦ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② t❤r♦✉❣❤ l1✲♥♦r♠
♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜② s❡❛r❝❤✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✇✐t❤ t❤❡ s♣❛rs❡st ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs
❛♥❞ ♠✐♥✐♠✉♠ ❡rr♦r✳ ❆❧❧ s✐❣♥❛❧s ♦❢ t❤❡ s✉❜s❡t Λγ ❛r❡ st❛❝❦❡❞ t♦ ❢♦r♠ ❛ ✈❡❝t♦r ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
✺✻

❋✐❣✉r❡ ✹✳✶ ❋❧♦✇❝❤❛rt ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞✿ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ▼♦❞❡❧ ❢♦r t✇♦ st❛❣❡s✳
⎤

⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
Θγ = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

θW γ ⎥
⎥
θw l ⎥
1 ⎥
⎥
⎥
θw l ⎥ ,
2 ⎥
✳✳ ⎥
✳ ⎥
⎥
⎦
θw l

Xγ = Φγ Θγ ,
⎡

Λγ = {xl1 , xl2 , . . . , xlγ¯ },
⎤

⎡

⎢ φ c φ l1 0 · · · 0
⎢
⎢ φc 0 φ
l2 · · · 0
⎢
Φγ = ⎢ ✳
✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳
⎢ ✳✳
✳
✳
⎢
⎣
φc 0 · · · 0 φlγ¯

⎢ x l1 ⎥
⎥
⎢
⎢ x ⎥
l
⎥
⎢
Xγ = ⎢ ✳ 2 ⎥ ,
⎢ ✳✳ ⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
xlγ¯

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥,
⎥
⎥
⎦

✭✹✳✾✮

γ¯

✇❤❡r❡ {l1 , l2 , . . . , lγ¯ } ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s ❢♦r t❤❡ s✐❣♥❛❧s ♦❢ t❤❡ γ t❤ s✉❜s❡t✱ ❛♥❞ γ¯ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r
♦❢ s✐❣♥❛❧s ✐♥ t❤❡ γ t❤ s✉❜s❡t✳
❚❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❢♦r t❤❡ γ t❤ s✉❜s❡t✱ uγ ✱ ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ✉s✐♥❣ uˆγ = φc θˆuγ t❤r♦✉❣❤
s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✿
ˆ γ = arg min Θγ 1 s.t. Xγ − Φγ Θγ ≤ .
Θ

❖♥❝❡ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ ❛❧❧ s✉❜s❡ts

uγ ; ∀γ ∈ {1, 2, . . . , Γ}

✭✹✳✶✵✮
❛r❡ ❡①tr❛❝t❡❞✱ t❤❡②

❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛ ♥❡✇ s❡t ♦❢ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧✿
✇❤❡r❡ zc ✐s t❤❡✐r ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳

zc

u
ˆ γ = zc + wc,γ ✱

✐s r❡❝♦✈❡r❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛♥♦t❤❡r l1 ✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

❛❧❣♦r✐t❤♠✳
❆❢t❡r r❡❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

zc ✱

t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥

❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ zj ✱ ❛r❡ ❡st✐♠❛t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛ s✐♥❣❧❡ s✐❣♥❛❧ r❡❝♦✈❡r② ♣r♦❜❧❡♠✿
✺✼

θˆj = arg min θj 1 s.t. (xj − zc ) − φj θj ≤ .

✭✹✳✶✶✮

❚❤❡ ♣s❡✉❞♦❝♦❞❡ ♦❢ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✶✳

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✹✳✸✳✶ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ▼♦❞❡❧ ❘❡❝♦✈❡r②

✶✿ ■♥♣✉t✿ {x1 , x2 , . . . , xJ }✱ φc ✱ {φ1 , φ2 , . . . , φJ }✱ ❛♥❞ Γ✳
✷✿ ❖✉t♣✉t✿ ❚❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t zc ✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥

J s✐❣♥❛❧s
✶✿Γ ❞♦

✸✿ P❛rt✐t✐♦♥
✹✿
✺✿

❢♦r γ

❂

Γ

❝♦♠♣♦♥❡♥ts

Rγ¯ N ×1 ✮

●❡♥❡r❛t❡

❡♥❞ ❢♦r

✾✿ ❋♦r♠
✶✵✿ ❙♦❧✈❡

✐♥ ❊q✳ ✹✳✾ ❢r♦♠ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ✐♥ t❤❡

l1✲♥♦r♠ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❊q✳ ✹✳✶✵✳
u
ˆ γ = zc + wc,γ = φc θWγ ❢r♦♠

❙♦❧✈❡

✼✿

{z1 , z2 , . . . , zJ }✳

♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ❣r♦✉♣s✳

Φ ∈ RN γ¯ ×(¯γ +1)N ✮
γ t❤ s✉❜s❡t✳

❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢♦r♠ t❤❡ ❜❛s✐s ♠❛tr✐① ✭

✻✿

✽✿

✐♥t♦

❛♥❞ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✈❡❝t♦r ✭

t❤❡ r❡❝♦✈❡r❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

X ∈

ˆ γ✳
Θ

Φ ∈ RN Γ×(Γ+1)N ❛♥❞ X ∈ RN Γ×1 ❢r♦♠ u
ˆ γ ∈ RN ×1 ❢♦r γ = 1, 2, . . . , Γ✳
l1✲♥♦r♠ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♥❡✇ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s t♦ r❡❝♦✈❡r zc ❢r♦♠ u
ˆ γ s✳

✶✶✿ ❘❡❝♦✈❡r t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✹✳✶✶

✹✳✸✳✸ ❙✉❜s❡t ❙❡❧❡❝t✐♦♥
■♥ ♦r❞❡r t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ t❤❡ s❡t ♦❢
❣r♦✉♣s✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❛ss✉♠❡ ❛♥②

❛ ♣r✐♦r✐

J

s✐❣♥❛❧s ❤❛s t♦ ❜❡ s♣❧✐t ✐♥t♦

Γ

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ r❡❣❛r❞✐♥❣ ❣r♦✉♣✐♥❣ t❤❡ s✐❣♥❛❧s✳

■♥❞❡❡❞✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♥❡❡❞ ❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s t♦ ❜❡ ♣❛rt✐t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♠❛♥♥❡r✳ ❘❛♥❞♦♠
❣r♦✉♣✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✐♥t♦

Γ

s✉❜s❡ts ✇✐t❤ ❡q✉❛❧ s✐③❡ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧ts✳ ❲❡

✐❧❧✉str❛t❡ t❤✐s t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✳
❆ss✉♠❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ s❡t ♦❢

4

❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s✱

Λ = {x1 , x2 , x3 , x4 }✳

❖✉r ❣♦❛❧ ✐s t♦

✜♥❞ t❤❡ ❥♦✐♥t s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s✳ ❆ss✉♠❡ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

zc ✳

■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✇✐t❤✐♥✲s✉❜s❡t ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

❜❡t✇❡❡♥

x3

❛♥❞

x1

x4 ✳

❛♥❞

x2

wc,1 ✱

✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❡①✐st ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ t✇♦ s✐❣♥❛❧s ❛♥❞ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s✱

◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠❛② ❛❧s♦ ❜❡ ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡r❡ ✐s

❛♥♦t❤❡r ✇✐t❤✐♥✲s✉❜s❡t ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱
✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡

❛ ♣r✐♦r✐

wc,2 ✱

❜❡t✇❡❡♥

x3

❛♥❞

x4 ✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❣r♦✉♣✐♥❣ ❛♥❞

✺✽

t❤❡ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡✐r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts
❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

x1 = zc + wc,1 + w1 ,
x2 = zc + wc,1 + w2 ,
x3 = zc + wc,2 + w3 ,

✭✹✳✶✷✮

x4 = zc + wc,2 + w4 ,
✇❤❡r❡

{w1 , w2 , w3 , w4 }

❛r❡ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧s✳ ❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡

❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❜❛s❡s ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ ❊q✳✹✳✶✷ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

x1 = φc θc + φj θc,w1 + φj θw1 ,
x2 = φc θc + φj θc,w1 + φj θw2 ,
x3 = φc θc + φj θc,w2 + φj θw3 ,

✭✹✳✶✸✮

x4 = φc θc + φj θc,w2 + φj θw4 .
❋✐rst✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✇❡ r❛♥❞♦♠❧② ♣❛rt✐t✐♦♥ t❤❡s❡ ❢♦✉r s✐❣♥❛❧s ✐♥t♦ t✇♦ s✉❜s❡ts s✉❝❤ t❤❛t

Λ1 = {x1 , x2 } ❛♥❞ Λ2 = {x3 , x4 }✱ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ s✉❜s❡ts ✇✐❧❧ t❤❡♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞
t❤r♦✉❣❤ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✶ ❛s

u1 = zc + wc,1 = φc θc + φ−1
c φj θc,w1 ,
θu 1

u2 = zc + wc,2 = φc θc + φ−1
c φj θc,w2 .
θu 2
❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣

{u1 , u2 }

{u1 , u2 }

✐s ❡①tr❛❝t❡❞ ❛s

❛s ❛ ♥❡✇ s❡t ♦❢ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s✱ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢

zc = φ c θ c ✱

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ❢♦✉r s✐❣♥❛❧s✳

◆❡①t✱ ❧❡t✬s ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❢♦✉r s✐❣♥❛❧s ❛r❡ r❛♥❞♦♠❧② ❝❛t❡❣♦r✐③❡❞ ✐♥t♦ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t s✉❜s❡ts

Λ1 = {x1 , x3 } ❛♥❞ Λ2 = {x2 , x4 }✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ s✉❜s❡ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❢♦✉♥❞
❛s

u1 = z c = φ c θ c

❢r♦♠

u1

❛♥❞

u2 ✱

❛♥❞

u2 = zc = φc θc ✳

■❢ ✇❡ ❝♦♥str✉❝t ❛ ♥❡✇ s✉❜s❡t ♦❢ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s

t❤❡✐r ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❝♦♠♠♦♥ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ❢♦✉r s✐❣♥❛❧s✳

✺✾

❚❤✉s✱ ♥♦

♠❛tt❡r ❤♦✇ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ❝❛t❡❣♦r✐③❡❞✱ t❤❡ ❡①tr❛❝t❡❞ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s t❤❡ tr✉❡ ♦♥❡✱
zc ✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s✉❜s❡ts✱ ✐✳❡✳ wc,1 = wc,2 = 0✱ t❤❡
❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ s✉❜s❡ts ✭r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣✮ ❛r❡ u1 = zc ❛♥❞ u2 = zc✳
✹✳✸✳✹

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❈♦st

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ❢❛st❡r t❤❛♥ ❡①✐st✐♥❣ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥✲
t❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♠❛✐♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ✉♣♦♥ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠
✉s❡❞ ✐♥ s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ t❤r♦✉❣❤
❡✐t❤❡r t❤❡ ✈❡❝t♦r✲♠❛tr✐① ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦r ❢❛st ♦♣❡r❛t♦rs ❬✾✷❪✳
❚❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ♦❢ J s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤ N s❛♠♣❧❡s r❡q✉✐r❡s ❛ JN × (J + 1)N ❞✐❝✲
t✐♦♥❛r②✱ Φ✱ t♦ ❜❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② ❛ (J + 1)N ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r Θ✳ ❚❤❡ ❝♦st ♦❢
t❤✐s ✈❡❝t♦r✲♠❛tr✐① ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ϑ = O ((J + 1)N log ((J + 1)N ))✳ ❚❤❡ r❡❛s♦♥ ❤✐❡r❛r❝❤✐✲
❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ❛❜❧❡ t♦ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ✐s t❤❛t ✐t
s♣❧✐ts t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② t♦ Γ ♠❛tr✐❝❡s s♦ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❧♦♦❦s ❢♦r t❤❡ s♣❛rs❡
r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s ♦✈❡r ❛ s♠❛❧❧❡r s❡t ♦❢ ❜❛s❡s✳
■♥ t❤❡ ✇♦rst ❝❛s❡ s❝❡♥❛r✐♦✱ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ♠❡t❤♦❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ l1✲♥♦r♠
)3
+ O(J(J + 1)N 2 )✱ ✇❤❡r❡ I ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐t❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞
♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝♦sts I (2(J+1)N
3
❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ✜①❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ❝❛s❡s ❬✾✷❪✳ ❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r②
♠❡t❤♦❞ ✐s t❤❛t ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ st❡♣s✱ ❛♥❞ t❤❡ J s✐❣♥❛❧s ❝❛♥ ❜❡
♣❛rt✐t✐♦♥❡❞ ✐♥t♦ Γ ❣r♦✉♣s✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♦♥❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢
♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ ✐s ❛❞❡q✉❛t❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❥♦✐♥t s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱
t❤❡ ❝♦♠♠♦♥
❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ Γ ❣r♦✉♣s✱ zc + zγ ✱ ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧② ✐♥ t❤❡ ✜rst st❛❣❡ ❛♥❞ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧
❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ zc✱ ✐s ❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ Γ ♦✉t❝♦♠❡s ♦❢ t❤❡ ✜rst st❛❣❡✳ ❊❛❝❤ ❣r♦✉♣
❝♦♥t❛✐♥s JΓ s✐❣♥❛❧s ✐♥ t❤❡ ✜rst st❛❣❡✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ l1✲♥♦r♠ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❡❛❝❤ ❣r♦✉♣ ✐♥ t❤❡ ✜rst
✐✳❡✳

2( J
Γ +1)N
3

3

st❛❣❡ r❡q✉✐r❡s I
+ O( JΓ ( JΓ + 1)N 2 ) ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❛t ♠♦st✳ ❚❤❡s❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥
♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ❛♥❞ t❤✉s ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱
✻✵

I

t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❛❣❡ ❝♦st ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜②

(2(Γ+1)N )3
3

+ O(Γ(Γ + 1)N 2 )✳

❚❤✉s✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❝♦♠✲

♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st r❡q✉✐r❡❞ t♦ r❡❝♦✈❡r t❤❡ ❥♦✐♥t ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✉s✐♥❣ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■
♠♦❞❡❧ ✐s ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜②

I

(2(J+Γ)N )3
3Γ3

+I

(2(Γ+1)N )3
3

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❧❡t✬s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡

+ O N2
J = 20

Γ=4

❧✶ ✲♥♦r♠

N 3 J 2 (J + 1) + O (N (J + 1))
r❡❝♦✈❡r② ❜❛s❡❞ ♦♥ ❖▼P ❝♦sts

N = 256✳

10

■❢ ✇❡

I4.43 × 1010 + O 3.28 × 106

9.36 + O(8.4)

❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧✲❜❛s❡❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♠♦r❡ t❤❛♥
❯s✐♥❣ ❖▼P ❢♦r t❤❡

✭✹✳✶✹✮

I4.14 × 1011 + O(2.75 × 107 )✳

❣r♦✉♣s✱ t❤✐s ❝♦st ❜❡❝♦♠❡s

❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♦❢ r❡❣✉❧❛r ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐s

.

❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤

❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✇✐t❤ l1 ✲♥♦r♠ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝♦sts
❞✐✈✐❞❡ t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✐♥t♦

J 2 +Γ(Γ3 +Γ2 +J)
Γ2

✳

t✐♠❡s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t❤❡

t✐♠❡s s❧♦✇❡r✳

♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ r❡s✉❧t ✐♥ ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♦❢

4(JN )3
3

+

❢♦r ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❬✾✷❪✳ ❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧

3
4( J
ΓN)
3

2

+ N 3 J 2 ( JΓ + 1) + O N ( JΓ + 1)
Γ

✐♥ t❤❡ ✜rst st❛❣❡ ❛♥❞

3 5 3
4(ΓN )3
+N 3 Γ2 (Γ+1)+O (N (Γ + 1)) ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❛❣❡✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❝♦st ✐s 4J +Γ2 N +
3
3Γ
N 3 (J 3 + J 2 Γ + Γ5 + Γ4 ) + O (N (J + 2Γ + 1))✳ ❚❛❜❧❡ ✹✳✶ s❤♦✇s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ ❢♦r
Γ2
❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢

J =8

❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❧② ♦♥❡ s✉❜s❡t

Γ = 1✱

N

❛♥❞

J✳

❲❤❡♥

❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ ♦❢ ❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r②

♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r② ♠♦❞❡❧ ❛r❡ ✈❡r② ❝❧♦s❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s

J

✐♥❝r❡❛s❡s✱ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡

❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ❛♣♣❛r❡♥t✳
❚❛❜❧❡ ✹✳✶ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♦❢ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r② ♠♦❞❡❧ ✉s✐♥❣ ❖▼P ❢♦r
❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢

J

❛♥❞

N✳

❚❤❡ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤❡ ♥✉♠❡r❛t♦r s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st

♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r s❤♦✇ t❤❛t ♦❢ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧
r❡❝♦✈❡r②✳

N

J
Γ

128
256
512
1024

8/1

16
2

32
4

64
8

128
16

2.64e9 +O(1.15e3 )
1.21e9 +O(1.41e3 )
2.11e10 +O(2.30e3 )
9.70e9 +O(2.82e3 )
1.69e11 +O(4.61e3 )
7.76e10 +O(5.63e3 )
1.35e12 +O(9.22e3 )
6.21e11 +O(1.13e4 )

2.06e10 +O(2.18e3 )
3.66e8 +O(1.66e3 )
1.65e11 +O(4.35e3 )
2.93e9 +O(3.33e3 )
1.32e12 +O(8.70e3 )
2.34e10 +O(6.66e3 )
1.05e13 +O(1.74e4 )
1.88e11 +O(1.33e3 )

1.62e11 +O(4.22e3 )
3.13e8 +O(2.18e3 )
1.30e12 +O(8.45e3 )
2.51e9 +O(4.35e3 )
1.04e13 +O(1.69e4 )
2.00e10 +O(8.70e3 )
8.32e13 +O(3.38e4 )
1.60e11 +O(1.74e4 )

1.29e12 +O(8.32e3 )
1.60e9 +O(3.20e3 )
1.03e13 +O(1.67e4 )
1.28e10 +O(6.40e3 )
8.27e13 +O(3.33e4 )
1.02e11 +O(1.28e4 )
6.61e14 +O(6.66e4 )
8.19e11 +O(2.56e4 )

1.03e13 +O(1.65e4 )
1.20e10 +O(5.25e3 )
8.24e13 +O(3.30e4 )
9.60e10 +O(1.05e4 )
6.59e14 +O(6.60e4 )
7.68e11 +O(2.10e4 )
5.27e15 +O(1.32e5 )
6.15e12 +O(4.20e4 )

✻✶

✹✳✸✳✺

❊rr♦r ❇♦✉♥❞

❏♦✐♥t r❡❝♦✈❡r② ♦❢ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s ❢❛st❡r ❝♦♠❡s ✇✐t❤ t❤❡ tr❛❞❡♦✛
♦❢ ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❡rr♦r✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡t ♦❢
s✐❣♥❛❧s ❥♦✐♥t❧② ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ Γ ❞✐✛❡r❡♥t ❥♦✐♥t s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ♣r♦❜❧❡♠s✱ t❤✐s ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡
r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡rr♦r✳
❆ss✉♠✐♥❣ ✇❡ ✇❛♥t t♦ r❡❝♦✈❡r Θ ❢r♦♠ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✈❡❝t♦r X✱ ✐t ✐s s❤♦✇♥ ❬✶✷✻❪ t❤❛t
t❤❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡rr♦r ❢r♦♠ t❤❡ l1 ✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠
♠✐♥ Θ 1

X − ΦΘ ≤

s✳t✳

✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜②✿

ˆ − Θ 2 ≤ Cv ,
Θ

✭✹✳✶✺✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥st❛♥t Cv ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ δ4v t❤❡ 4v ✲r❡str✐❝t❡❞ ✐s♦♠❡tr② ❝♦♥st❛♥t ♦❢ Φ✳
❍♦✇❡✈❡r✱ ♠♦st s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ♥♦t ❡①❛❝t❧② s♣❛rs❡✱ r❛t❤❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② s♣❛rs❡✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t
✈❡❝t♦r Θ ♦❢ s✉❝❤ s✐❣♥❛❧s ❝❛♥ ❜❡ tr✉♥❝❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ v ❧❛r❣❡st ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ Θv ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❡rr♦r
❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ❢♦❧❧♦✇s✿
Θ
ˆ − Θ 2 ≤ C1,v + C2,v Θ −
√ v 1.
Θ
v

✭✹✳✶✻✮

❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡rs t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❥♦✐♥t❧② ✇✐t❤✐♥ ♦♥❡ l1 ✲♥♦r♠
♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❡ ✈❡❝t♦r

Θ ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ s♣❛rs❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ❛❧❧ s✐❣♥❛❧s✳

❚❤✉s✱ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❢♦r ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱

zc ✱ wc,γ

❛♥❞

wj ✱

✉s✐♥❣ ❊q✳ ✹✳✶✻✳✱ ❛s✿

ˆ − Θv 1 =
Θ
+

Γ
γ=1

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

✇❤❡r❡ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ tr✉♥❝❛t❡❞ ✈❡❝t♦r
✈❡❝t♦r ✐♥

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|

ˆ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ J
Θ

J
j=1

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|,

Θv ❛s ❛ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ Jv ♥♦♥③❡r♦ ❡♥t✐t✐❡s✳

s✐❣♥❛❧s ❛r❡ tr✉♥❝❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡

✻✷

✭✹✳✶✼✮

❊❛❝❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

v ❧❛r❣❡st ✈❛❧✉❡s✳

❚❤❡ tr✉♥❝❛t❡❞

✈❡❝t♦r Θv ✐s ❜✉✐❧t ❢r♦♠ t❤❡s❡ J tr✉♥❝❛t❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r ❙❈❈■
r❡❝♦✈❡r② ♠♦❞❡❧ ✐s✿

ˆ − Θ 2 ≤ C1,v + C√2,v
Θ
v
+

Γ
γ=1

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

J
j=1

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✶✽✮

.

■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ✉♣♣❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r②✱
✇❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ t❤❡ ❞❛t❛s❡t ✐♥t♦ Γ s✉❜s❡ts✳ ❊❛❝❤ s✉❜s❡t r❡q✉✐r❡s ❛ l1 ✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜✲
❧❡♠✱ ❛♥❞ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s r❡❝♦✈❡r❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛♥♦t❤❡r l1 ✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥
♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❛ t♦t❛❧ ♦❢ Γ + 1 ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳

❚❤❡♦r❡♠

✶✿ ❆ss✉♠❡ t❤❛t X = ΦΘ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ J ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡

s✐❣♥❛❧ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ❊q✳ ✹✳✼✱ ✇❤❡r❡ Φ ✐s t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❜✉✐❧t ❢r♦♠ φc ✱ ψi s✱ ❛♥❞ φj s✳

Φ ❤❛s

v ✲r❡str✐❝t❡❞ ✐s♦♠❡tr② ❝♦♥st❛♥t δv ✱ ❛♥❞ X − ΦΘ 2 ≤ ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❡rr♦r ♠❛❞❡ ❜② t❤❡
❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ J s✐❣♥❛❧s ✐s ❜♦✉♥❞❡❞
❜②✿

ˆ − Θ 2 ≤ C1,v + C√2,v 2
Θ
v
+2

Γ
γ=1

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|
J
j=1

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✶✾✮

,

✇❤❡r❡ C1,v ❛♥❞ C2,v ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ δ4v ❬✶✷✻❪✳

Pr♦♦❢ ✿
❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ✉♣♣❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❊q✳ ✹✳✶✻✱ t❤❡ ✉♣♣❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ γth
s✉❜s❡t ✐s✿

ˆ γ − Θγ 2 ≤ C1,v,γ + C2,v,γ
√
Θ
v
+

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|

j∈γth s✉❜s❡t

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✷✵✮

.

❚❤❡ ❝♦♥st❛♥ts C1,v,γ ❛♥❞ C2,v,γ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ v ✲r❡str✐❝t❡❞ ✐s♦♠❡tr② ❝♦♥st❛♥t✱ δv,γ ✱ ♦❢
t❤❡ ♠❛tr✐① Φγ ✳ ❙✐♥❝❡ Φγ ✐s ❛ s✉❜♠❛tr✐① ♦❢ Φ✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ✐s♦♠❡tr②
✻✸

δv,γ ❛♥❞ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ✐s♦♠❡tr② δv ✱ t❤❡ v ✲r❡str✐❝t❡❞ ✐s♦♠❡tr② ❝♦♥st❛♥t ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① Φ✱ ✐s ❛s
❢♦❧❧♦✇s ❬✶✷✼❪✿

δv = sup δv,γ .

✭✹✳✷✶✮

γ

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t✿

ˆ γ − Θγ 2 ≤ C1,v + C√2,v
Θ
v
+

j∈γth subset

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|
N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

+

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]|

∀γ ∈ {1, 2, . . . , Γ}.

✭✹✳✷✷✮

❆❢t❡r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ Γ s✉❜s❡ts✱ t❤❡ ❧❛st l1 ✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥
st❡♣ ✜♥❞s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ♣❛rt ❛♠♦♥❣ t❤❡✐r ♦✉t♣✉ts✳ ❚❤❡ r❡❝♦✈❡r② ❡rr♦r ❢r♦♠ t❤✐s ❧❛st st❡♣ ✐s
❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ s✐♠✐❧❛r❧② ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✹✳✶✻✱ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

ˆ c − Θc 2 ≤ C1,v + C√2,v
Θ
v

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|

Γ
γ=1

+

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]|

.

✭✹✳✷✸✮
❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ t♦t❛❧ r❡❝♦✈❡r② ❡rr♦r ❢♦r t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜②✿

ˆ − Θ 2 ≤ C1,v + C√2,v 2
Θ
v
+2

Γ
γ=1

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|
J
j=1

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✷✹✮

.

❈♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞s ♦❢ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐♥ ❊q✳ ✹✳✶✽
❛♥❞ ❊q✳ ✹✳✶✾ ✐♠♣❧② t❤❛t t❤❡ ✉♣♣❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ♦❢ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ❧❛r❣❡r
C
t❤❛♥ t❤❛t ♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ❜② √2,v
v

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]| +

Γ
γ=1

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| ✳

▼♦r❡ r❡❝❡♥t❧②✱ ◆❡❡❞❡❧❧ ❡ t✳ ❛❧ ❬✶✷✽❪ ♣r♦♣♦s❡❞ ❘❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❖rt❤♦❣♦♥❛❧ ▼❛t❝❤✐♥❣ P✉rs✉✐t
✭❘❖▼P✮ t♦ ✜♥❞ ❛ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤ ❛ t✐❣❤t❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞✳ ❚❤❡ ❡rr♦r
❜♦✉♥❞ ♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✇❤❡♥ ❘❖▼P ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ✉s❡❞ ❢♦r s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ✐s ❡q✉❛❧
t♦✿
✻✹

√
ˆ − Θ 2 ≤ C log v
Θ
Γ
γ=1

+
✇❤❡r❡

C

+ √1v

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ ❛♥❞

❚❤❡♦r❡♠

2

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|
J
j=1

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✷✺✮

,

✐s t❤❡ ♥♦✐s❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ③❡r♦ ✐♥ t❤❡ ♥♦✐s❡❧❡ss s✐t✉❛t✐♦♥✳

✷✿ ❆ss✉♠❡ t❤❛t

X = ΦΘ

s✐❣♥❛❧ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ❊q✳ ✹✳✼✱ ✇❤❡r❡

Φ

✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢

J

❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡

✐s t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❜✉✐❧t ❢r♦♠

φc ✱ ψi s✱

❛♥❞

φj s✳

❚❤❡♥✱ t❤❡

❡rr♦r ♠❛❞❡ ❜② t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❉❈❙ r❡❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ ❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢

J

s✐❣♥❛❧s

✉s✐♥❣ ❘❖▼P ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜②✿

√
ˆ − Θ 2 ≤ C log v
Θ
+
✇❤❡r❡

C

2

+ √1v

N
1
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| + 2

✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ ❛♥❞

J
j=1

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|
N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✷✻✮

,

✐s t❤❡ ♥♦✐s❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ③❡r♦ ✐♥ t❤❡ ♥♦✐s❡❧❡ss s✐t✉❛t✐♦♥ ❬✶✷✽❪✳

Pr♦♦❢ ✿
❚❤❡ ✉♣♣❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡

γth

s✉❜s❡t ✐s✿

√
ˆ γ − Θγ 2 ≤ C log v
Θ
+

2

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| +

+ √1v

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|

j∈γth subset

❆❢t❡r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢

Γ

N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✷✼✮

.

s✉❜s❡ts✱ t❤❡ ❧❛st l1 ✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

st❡♣ ✜♥❞s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ♣❛rt ❛♠♦♥❣ t❤❡✐r ♦✉t♣✉ts✳ ❚❤❡ r❡❝♦✈❡r② ❡rr♦r ❢r♦♠ t❤✐s ❧❛st st❡♣ ✐s
❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

√
ˆ c − Θc 2 ≤ C log v
Θ
+

Γ
γ=1

2

+ √1v

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|

N
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]|

✭✹✳✷✽✮

.

❚❤❡ t♦t❛❧ r❡❝♦✈❡r② ❡rr♦r ♦❢ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❘❖▼P ✐s ❜♦✉♥❞❡❞
❜②✿

√
ˆ − Θ 2 ≤ C log v
Θ
+

2

+ √1v

N
1
k=1 |wc,γ [k] − wc,γ,v [k]| + 2
✻✺

J
j=1

N
k=1 |zc [k] − zc,v [k]|
N
k=1 |wj [k] − wj,v [k]|

✭✹✳✷✾✮

.

✹✳✸✳✻

◆✉♠❡r✐❝❛❧ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ t♦ s❤♦✇ t❤❡
✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ♦❢ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r②✳ ❆
r❡❛❧✲✇♦r❧❞ s❝❡♥❛r✐♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬✶✵✾❪ ✐s ✉s❡❞ ❤❡r❡ t♦ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ❛♥❞
t❤❡ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡rr♦r ♦❢ ❍✲❙❈❈■ ❛♥❞ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r②✱ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧②✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ s❡t ♦❢ s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ✇✐t❤ ✐♥t❡r✲s✐❣♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞
✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t s♣❛rs✐t② ♠♦❞❡❧ ✭❊q✳ ✹✳✶✮ ❛r❡ ❝r❡❛t❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧②✳ ❚♦ ❝r❡❛t❡
t❤❡ s♣❛rs❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r✱
❛r❡ s❡❧❡❝t❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ✇✐t❤ t❤❡ s♣❛rs✐t②
♥♦♥③❡r♦ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠
❜❛s❡s✱

Φc ∈ RN ×N ✳

Kc ∼ Binomial(N, pc = 15 )✳

N (μ, σ)✳

θc ✱

❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞

❉❈❚ ❜❛s❡s ✐s ❝❤♦s❡♥ ❛s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

❚❤❡♥✱ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤

zc = Φc θc ✳

❙✐♠✐❧❛r❧②✱

t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱

θj , ∀j ✱

Kj ∼ Binomial(N, pj = 15 )✳

❛r❡ ❝❤♦s❡♥ r❛♥❞♦♠❧② ✇✐t❤ t❤❡ s♣❛rs✐t②

♥♦♥③❡r♦ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠
✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❞✐❝t✐♦♥❛r②

Φj ✳

N (μ, σ)✳
❚❤❡

j t❤

❚❤❡

N ×N

❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢

❍❛❛r ❜❛s✐s ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❛s t❤❡

s✐❣♥❛❧ ✐♥ t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ✐s t❤❡♥ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛s

xj = Φc θc + Φj θj ✳
■♥ t❤❡ ✜rst ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧✱

N✱

✐s ❦❡♣t ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❡q✉❛❧ t♦

s❛♠♣❧❡s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱
t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐❣♥❛❧s✱

J✱

✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❢r♦♠

♦r❞❡r t♦ ✉s❡ t❤❡ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✉❜s❡ts✱
♦❢

J

s✉❝❤ t❤❛t

J
Γ

= 8✳

J ✱ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st✱

{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80}✳

✐s ✉s❡❞ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢

Γ✱

J

128

❙❈❈■ ♠♦❞❡❧

❥♦✐♥t❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ s✐❣♥❛❧s✳ ■♥

✐s s❡❧❡❝t❡❞ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡

❚❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✐s r❡♣❡❛t❡❞ ✶✵✵✵ t✐♠❡s✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ❛♥❞

❡rr♦r ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❢♦r ❜♦t❤ ♠❡t❤♦❞s✳ ❋✐❣✳ ✹✳✷ s❤♦✇s t❤❡ ♠❡❛♥ ✰✴✲ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢
t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧s✳ ❋✐❣✳ ✹✳✸ s❤♦✇s t❤❡
♠❡❛♥ ✰✴✲ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❡❛♥ sq✉❛r❡❞ ❡rr♦r ✭▼❙❊✮ ♦❢ ❜♦t❤ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■

✻✻

♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r✐❡s✳ ❆s ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥✱ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❣r♦✇s
❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❛s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✐♥❝r❡❛s❡s✳ ❨❡t✱ t❤❡ ❍✲s❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② r❡q✉✐r❡s
❧❡ss ❛♠♦✉♥t ♦❢ t✐♠❡ ✇✐t❤ s♠❛❧❧❡r st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ▼❙❊ ♦❢ ❍✲❙❈❈■
♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ❜❡❝♦♠✐♥❣ s❛t✉r❛t❡❞✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤✐s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ✇♦rst ❝❛s❡ t❤❡ ▼❙❊
❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♠❡t❤♦❞s ✐s 9 × 10−4✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ r❡str✐❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ t✐♠❡ t♦
❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❥♦✐♥t s♣❛rs✐t② ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❛♥② ♠❡♠♦r② ❧✐♠✐t❛t✐♦♥s✱ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✇♦r❦s
❜❡tt❡r s✐♥❝❡ ▼❙❊ ✐s s♠❛❧❧❡r✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r ❧❛r❣❡r ✈❛❧✉❡s ♦❢ J ✱ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥
r❡❝♦✈❡rs t❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ♠✉❝❤ ❢❛st❡r ❛t t❤❡ ❝♦st ♦❢ s❧✐❣❤t❧② ✐♥❝r❡❛s❡❞ ▼❙❊✳

❋✐❣✉r❡ ✹✳✷ ❚❤❡ ♠❡❛♥ ✰✴✲ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦
❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧s ✇❤❡♥ t❤❡ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐s ❉❈❚ ❛♥❞
t❤❡ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐s ❍❛❛r✳

❋✐❣✉r❡ ✹✳✸ ❚❤❡ ♠❡❛♥ ✰✴✲ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ ▼❙❊ ♦❢ ❜♦t❤ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧
r❡❝♦✈❡r② ✇❤❡♥ t❤❡ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐s ❉❈❚ ❛♥❞ t❤❡ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥
❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐s ❍❛❛r✳
✻✼

■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱

J

❥♦✐♥t❧② s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛② ❛s

❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜rst ❡①♣❡r✐♠❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❜❛s❡s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ t♦
❜❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❡q✉❛❧ t♦

N ×N

❉❈❚✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ❛♥❞ ▼❙❊ ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❢♦r

❜♦t❤ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r✐❡s✳ ❋✐❣✳ ✹✳✹ s❤♦✇s t❤❡ ♠❡❛♥ ✰✴✲ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥
♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧s✳ ❋✐❣✳ ✹✳✺ s❤♦✇s
t❤❡ ♠❡❛♥ ✰✴✲ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ ▼❙❊ ♦❢ ❜♦t❤ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳
❆♣♣❛r❡♥t ❢r♦♠ ❋✐❣✳ ✹✳✷ ❛♥❞ ✹✳✹✱ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ ♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ❧❛r❣❡r
♦♥ ❛✈❡r❛❣❡ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ ✐ts st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡
✜rst ♦♥❡✳

❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ ♠❡❛♥ ❛♥❞ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ ▼❙❊ ❢♦r ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r②

❞❡❝r❡❛s❡ ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✇❤✐❧❡ t❤❡② st❛② t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r②✳
❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ s✐t✉❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡
s♣❛rs❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ s❛♠❡ s❡t ♦❢ ❜❛s❡s✱ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐♠✲
♣r♦✈❡s ♠♦r❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ t✐♠❡ ❛♥❞ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥
❡rr♦r✳

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❡❛❝❤ s✉❜s❡t ✐s ❡①tr❛❝t❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧② t❤r♦✉❣❤ t❤❡ l1✲♥♦r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❊q✳ ✹✳✶✵✮✱
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❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ❛❧s♦ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐♠❛❣❡s ❞♦✇♥s❛♠♣❧❡❞
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{1, 2, . . . , 9}}✳ ❊✈❡r② t❤r❡❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ✐♠❛❣❡s ❛r❡ ❣r♦✉♣❡❞ ✐♥t♦ ♦♥❡ s✉❜s❡t✳ ❋✐❣✳ ✹✳✽ s❤♦✇s
t❤r❡❡ ❢r❛♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡q✉❡♥❝❡ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦r❡❣r♦✉♥❞ ❡①tr❛❝t❡❞ ❜② ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❍✲
❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✐♠❛❣❡ s✐③❡s✳ ❚❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✐s ♥♦t ❝❛♣❛❜❧❡ ♦❢ ❡①tr❛❝t✐♥❣
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✭t❤❡ ✜❢t❤ r♦✇ ♦❢ ❋✐❣✳ ✹✳✽✮ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛ ❧❛r❣❡r ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥

Θ

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❚❤✐s ❡①♣❧❛✐♥s t❤❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ✐♥ ▼❙❊ ❛♥❞ P❙◆❘ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✹✳✷✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐st♦rt✐♦♥
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✇✐❧❧ s❧✐❣❤t❧② ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t✐♠❡✳
❚❛❜❧❡ ✹✳✷ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ❛♥❞ P❙◆❘ ❢♦r t❤❡ t♦②✲✈❡❤✐❝❧❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t
▼❡t❤♦❞
80 × 80 ❢r❛♠❡s
128 × 128 ❢r❛♠❡s

✹✳✹✳✷

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❈♦st ✭♠✐♥✮ P❙◆❘ ✭❞❇✮
❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧
28
76

141

✲

33.33
36

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■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ✉s❡ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② t♦ tr❛❝❦ ❞②♥❛♠✐❝ ❋❈ ♥❡t✇♦r❦s
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✭❊❘◆✮✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♥❡t✇♦r❦ ✐s ❝♦♥✈❡rt❡❞ t♦ s✐❣♥❛❧s ♦r ✈❡❝t♦rs ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ ♣♦✐♥t ❛♥❞ t❤❡

✼✺

✭❛✮

✭❜✮

✭❝✮

❋✐❣✉r❡ ✹✳✶✵ ❚❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s ❢♦r t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✿ ✭❛✮ (−120, −35)♠s✱ ✭❜✮ (−35, 224)♠s✱
✭❝✮ (224, 828)♠s✱ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ③✲t❡st ✇✐t❤ p = 0.95✳
❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤✐s ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s t♦ ✜rst ✐❞❡♥t✐❢② ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts
✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❛♥❞ t❤❡♥ ❡①tr❛❝t t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ s♣❛rs❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❢♦r ♥❡t✇♦r❦ s✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥✳
✹✳✹✳✷✳✶

■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦s ❛❝r♦ss t✐♠❡ ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❢♦❧❧♦✇ ❛ t✐♠❡✲✈❛r②✐♥❣ s✐❣♥❛❧
♣❧✉s ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ♠♦❞❡❧✿
ˆ
G(t) = B + G(t),

✇❤❡r❡ B ∈ R62×62 ✐s t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❋❈ ♣❛tt❡r♥ ❝♦♠♠♦♥ ❛❝r♦ss ❛❧❧ t✐♠❡ st❡♣s✱ ❛♥❞
R62×62

✭✹✳✸✵✮
ˆ
G(t)
∈

✐s t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐① ❛t t✐♠❡ t✳ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧

✐s ✉s❡❞ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❋❈ ♣❛tt❡r♥✱
ˆ
G(t),
t ∈ {1, 2, . . . , 256}✳

B✱

❛♥❞ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s✱

❋✐rst✱ t❤❡ ✉♣♣❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡

✈❡❝t♦r✐③❡❞✱ ❛s✿
g(t) = b + g
ˆ(t),

✼✻

✭✹✳✸✶✮

✇❤❡r❡ g(t), b, gˆ(t) ∈ R1953×1✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ 256 s✐❣♥❛❧s✱ g(t), t ∈ {1, 2, . . . , 256}✱ ✐s ♣❛r✲
t✐t✐♦♥❡❞ t♦ Γ = 10 s✉❜s❡ts✱ Λ1 = {g(1), . . . , g(25)}✱ Λ1 = {g(26), . . . , g(50)}✱ . . .✱ ❛♥❞
Λ10 = {g(226), . . . , g(256)}✳ ❉✐s❝r❡t❡ ❈♦s✐♥❡ ❚r❛♥s❢♦r♠ ✭❉❈❚✮ ❜❛s✐s ✐s ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠✲
♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ φc ∈ R1953×1953✱ ✇❤✐❧❡ ❍❛❛r ✇❛✈❡❧❡t ❜❛s✐s ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥
✧ ✐s ✉s❡❞ t♦ s♦❧✈❡ t❤❡
❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ φj ∈ R1953×1953✳ ❚❤❡ ▼❆❚▲❆❇ ♣❛❝❦❛❣❡ ✧
♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❊q✳ ✹✳✶✵✱ ✇❤❡r❡ zc = b✱ xj = g(t)✱ ❛♥❞ zj = gˆ(t)✳ ❖♥❝❡ t❤❡ ❜❛❝❦✲
❣r♦✉♥❞ ❋❈ ♣❛tt❡r♥ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✱ ❊q✳ ✹✳✶✶ ✐s ✉s❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱
g
ˆ(t)✳
❈❤❛♥❣❡ P♦✐♥t ❉❡t❡❝t✐♦♥✿ ❚❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ gˆ(t)✱ ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❝❤❛♥❣❡
♣♦✐♥ts✳ ❚♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤✐s ❣♦❛❧✱ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ gˆ(t)✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts
✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ✐s tr❛❝❦❡❞ ♦✈❡r t✐♠❡✳ ❚❤❡ ❋❈◆s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞
t♦ ❜❡ q✉❛s✐✲st❛t✐♦♥❛r② ✇✐t❤✐♥ ❛ s❤♦rt t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❬✺✷✱ ✺✻❪✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡
✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✬ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s❤♦✉❧❞ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ ♠✉❝❤ ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳ ❆♥②
❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ s❛♠♣❧❡s ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞
❛s ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥t✳ ▲❡t t❤❡ ✈❡❝t♦r τ (t) ∈ R1953×1 ❜❡ ❛ ❜✐♥❛r② ✈❡❝t♦r s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ it❤
❡❧❡♠❡♥t τi(t) = 1 ✐❢ θˆj,i(t) ✭θˆj,i(t) ✐s t❤❡ it❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r θˆj ✐♥ ❊q✳ ✹✳✶✶✮ ✐s ♥♦♥③❡r♦✱
❛♥❞ τi(t) = 0 ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts✱ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡
s✉♣♣♦rts ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ t✐♠❡ s❛♠♣❧❡s ✐s q✉❛♥t✐✜❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❙✐♠♣❧❡
▼❛t❝❤✐♥❣ ❈♦❡✣❝✐❡♥t ✭❙▼❈✮ ❬✶✸✷❪✳ ❙▼❈ ✐s ❛ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❡❛s✉r❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❜✐♥❛r② ✈❡❝t♦rs✱
✇❤✐❝❤ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❜♦t❤ ③❡r♦ ❛♥❞ ♦♥❡ ❛ttr✐❜✉t❡s✳ ❋✐❣✳ ✹✳✾ s❤♦✇s t❤❡ ❙▼❈ s✐♠✐❧❛r✐t②
❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ τ (t)s✳
❋r♦♠ t❤❡ ♣❧♦t✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐❞❡♥t✐❢② s❡✈❡r❛❧ ❞✐st✐♥❝t t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✿ (−1000, −921)♠s✱ (−921,
−120) ♠s✱ (−120, −35) ♠s✱ (−35, 224) ♠s✱ (224, 828) ♠s✱ ❛♥❞ (828, 1000) ♠s✳ ❚❤❡ t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧ (−35, 224) ♠s ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ❊❘◆ r❡s♣♦♥s❡✳ ❉✉r✐♥❣ ❡rr♦r ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ✭❊❘◆ t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧✮✱ t❤❡ ❜r❛✐♥ ✐s ✐♥ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ♦❢ ❢♦r♠✐♥❣ tr❛♥s✐❡♥t ❢r♦♥t❛❧ ♥❡t✇♦r❦s✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛✉s❡s t❤❡
❞❡❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♦❢ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢
❋❈◆s ❛s t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ ✐s ❝❤❛♥❣✐♥❣✳
❧✶❜❡♥❝❤♠❛r❦

✼✼

◆❡t✇♦r❦ ❙✉♠♠❛r✐③❛t✐♦♥✿

❖♥❝❡ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✱ t❤❡ ❋❈ t♦♣♦❣r❛♣❤✐❝

♠❛♣ ♦❢ ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞✳ ❋❈ t♦♣♦❣r❛♣❤✐❝ ♠❛♣ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ s✐❣♥✐✜✲
❝❛♥t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❝♦♥s✐st❡♥t ❛❝r♦ss t❤❡ ❞❡t❡❝t❡❞ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✱ (t0 , t1 )✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦
❣❡t t❤❡ ❋❈ t♦♣♦❣r❛♣❤✐❝ ♠❛♣✱ ✇❡ ❛♣♣❧② ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ g
ˆ(t), t ∈ (t0 , t1 )✳
❚❤✉s✱ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s✿

g
ˆ(t) = π + g
ˇ(t), t ∈ (t0 , t1 ),

✭✹✳✸✷✮

✇❤❡r❡ π ✐s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ (t0 , t1 ) ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥✱ ❛♥❞ g
ˇ(t)
r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❛❝t✐✈✐t② ❛t t✐♠❡ t✳
❚❤❡ s✐❣♥❛❧ ♠♦❞❡❧ ❛ss✉♠❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐♥
❊q✳ ✹✳✸✷ ✐s t❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ✭❊q✳ ✹✳✸✮✱ ✇❤❡r❡ zc = π ✱ xj = g
ˆ(t)✱ ❛♥❞ zj = g
ˇ(t)✳ ❚❤❡
r❡s✉❧t✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❊q✳ ✹✳✶✵✮ ❢♦r g
ˆ(t), t ∈ (t0 , t1 ) ✐s s♦❧✈❡❞✱ ②✐❡❧❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥
♣❛tt❡r♥ ♦❢ ❋❈s ❛❝r♦ss t✐♠❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✱ π ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❋❈ ♣❛tt❡r♥
✐s ❡❧✐♠✐♥❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜rst st❡♣ ✭s❡❡ ❊q✳ ✹✳✸✶✮✱ π ✐s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❋❈ ♣❛tt❡r♥ s♣❡❝✐✜❝ t♦ t❤❡
t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❋❈ ♣❛tt❡r♥s ✐s ●❛✉ss✐❛♥✱ ③✲t❡st ❞❡t❡r✲
♠✐♥❡s t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❡❞❣❡s✳ ❋✐❣✳ ✹✳✶✵ s❤♦✇s t❤❡ ♠♦st s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❋❈s ❢♦r t❤r❡❡ t✐♠❡
✐♥t❡r✈❛❧s✱ (−120, −35)♠s✱ (−35, 224)♠s✱ ❛♥❞ (224, 828)♠s✱ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ③✲t❡st ✇✐t❤

p = 0.95✳ ❋✐❣✳ ✹✳✶✵✭❜✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s
❜❡t✇❡❡♥ ♠❡❞✐❛❧✲♣r❡❢r♦♥t❛❧ ❛♥❞ ♠❡❞✐❛❧✲❝❡♥tr❛❧ r❡❣✐♦♥s ❡♥❣❛❣✐♥❣ ❡❧❡❝tr♦❞❡s ❋❈✶✱ ❋❈③✱ ❋❈✷✱
❈✶✱ ❈③✱ ❛♥❞ ❈✷✳ ❚❤✐s ♣❛tt❡r♥ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ✇✐❞❡❧② ♦❜s❡r✈❡❞ ❊❘◆ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♠❡❛s✉r❡s
❬✾✺✱ ✾✻✱ ✺✺❪✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧s♦ s♦♠❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ♦❝❝✐♣✐t❛❧✲♣❛r✐❡t❛❧ ❛♥❞ ❢r♦♥t❛❧ r❡❣✐♦♥s✳
❋✐❣✳ ✹✳✶✵✭❛✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♣r❡✲❊❘◆ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳ ■♥ t❤✐s st❛t❡✱ t❤❡ ❜r❛✐♥ ✐s ♣r❡♣❛r✐♥❣
t♦ r❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ st✐♠✉❧✉s ✇✐t❤ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝r♦ss t❤❡ s❝❛❧♣✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡
❛❧s♦ s♦♠❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛♠♦♥❣ ❋❈✶✱ ❋❈③✱ ❛♥❞ ❋❈✷ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛♠♦♥❣ ❈✶✱
❈③✱ ❛♥❞ ❈✷✳ ❋✐❣✳ ✹✳✶✵✭❝✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❡rr♦r✲r❡❧❛t❡❞ ♣♦s✐t✐✈✐t② ✭P❡✮ ❛♥❞ P✸✵✵✱ s❤♦✇✐♥❣
str♦♥❣ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❢r♦♥t❛❧ ❛♥❞ ♣❛r✐❡t❛❧ r❡❣✐♦♥s✳ ❇r♦❛❞❧②✱ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s ✐❞❡♥t✐✲
✜❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ ❞✉r✐♥❣✱ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❊❘◆ ❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❤②♣♦t❤❡s✐③❡❞ ❊❘◆✲r❡❧❛t❡❞ ♥❡t✇♦r❦
✼✽

❞②♥❛♠✐❝s✱ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s✐❡♥t ❢r♦♥t❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ❞✉r✐♥❣ ❡rr♦r ♣r♦❝❡ss✐♥❣✳

✹✳✺ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❏♦✐♥t s♣❛rs❡ r❡❝♦✈❡r② ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡s ❛ s❡t ♦❢ ✐♥♣✉t s✐❣♥❛❧s s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② t❤r♦✉❣❤ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠✲
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♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜❛s❡s ✇❤✐❧❡ ✐t ❦❡❡♣s t❤❡ ❡rr♦r ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥♣✉t s✐❣♥❛❧s
s♠❛❧❧✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ r❡❝♦✈❡r② ♦❢ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ t♦ ❥♦✐♥t❧② r❡✲
❝♦✈❡r t❤❡ s❡t ♦❢ s✐❣♥❛❧s✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ♦♥ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❞❛t❛s❡ts✱ ❊❊●
❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦s ❛♥❞ ✈✐❞❡♦ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❡①tr❛❝t✐♦♥✳ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ✐s ❛❜❧❡
t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ✜♥❞ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳
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♦♥ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s✐❡♥t ❢r♦♥t❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ❞✉r✐♥❣ ❡rr♦r ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ♣❛r✐❡t❛❧
♥❡t✇♦r❦s✳ ❚❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ r❡s✉❧ts ♦♥ ✈✐❞❡♦ ❞❛t❛ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st
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❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ✐♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ✐♥❞✐❝❛t❡s✱ ♣r❡❞❡✲
t❡r♠✐♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❛r❡ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♦♣t✐♠❛❧ ❬✶✸✸❪✳ ❚❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣
❛❧❣♦r✐t❤♠s s✉❝❤ ❛s ❑❙❱❉ ❛♥❞ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ✭▼❖❉✮ ❬✶✸✹❪ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❞✐r❡❝t❧②
✉s❡❞ ❛s t❤❡② ❞♦ ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❡ ♣r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❙❈❈■ ❞✐❝t✐♦✲
♥❛r②✳ ❘❡❝❡♥t❧②✱ ❈❤❡♥

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❞✐❝t✐♦♥❛r② ✉♣❞❛t❡ ❢♦r ❙❈❈■✳ ■♥ ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ♦♥❧② ♦♥❡ ❛t♦♠ ❢♦r r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❡✐t❤❡r t❤❡ ❝♦♠✲
♠♦♥ ♦r t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡s✐❞✉❡
❛♥❞ t❤❡ ❛t♦♠s ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ❞✐❝t✐♦♥❛r②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❤❡♥ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣✱
t❤✐s ♠❡t❤♦❞ ♦♥❧② ❧❡❛r♥s ❛ s✐♥❣❧❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱
✇❤❡r❡ s♦♠❡ ❛t♦♠s ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ ♦t❤❡rs ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥
❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❆s ❛ r❡s✉❧t✱ ✇❤❡♥ ❏❖▼P r❡❝♦✈❡rs t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❡st ❞❛t❛
✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤✐s ❞✐❝t✐♦♥❛r②✱ ✐t ♠❛② s❡❧❡❝t t❤❡ ❛t♦♠s ❧❡❛r♥❡❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t
t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ t✇♦✲st❛❣❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇❤✐❝❤ ❛❞❞r❡ss❡s
t❤❡s❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❜② ❧❡❛r♥✐♥❣ t✇♦ s❡♣❛r❛t❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦✲
♥❡♥ts s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧②✳ ■♥ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞✱ str✉❝t✉r❡❞ ❑❙❱❉✱ ❛❢t❡r ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t
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♥❡♥t ❞✐❝t✐♦♥❛r② ✐s ✉♣❞❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r ❛♥❞ t❤❡ tr❛✐♥✐♥❣ ❞❛t❛✳ ❚❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡
t♦ ✉♣❞❛t❡ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❛r❡ s✐♠✐❧❛r t♦ ❑❙❱❉✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✉♣✲
❞❛t❡❞ ❛t♦♠ ✐s t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❡❝t♦r ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ♠❛tr✐①✳ ❯♥❧✐❦❡ ❑❙❱❉✱ t❤❡ str✉❝t✉r❡❞ ❑❙❱❉

✽✵

❜r❡❛❦s ❞♦✇♥ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r② t♦ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❛♥❞ ❧❡❛r♥ t❤❡s❡
s✉❜❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✳
■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ t❤❡ str✉❝t✉r❡❞ ❑❙❱❉ ✐s ✉s❡❞ t♦ ❧❡❛r♥ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐❝✲
t✐♦♥❛r✐❡s ❢♦r ❊rr♦r✲r❡❧❛t❡❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧s ✭❊❘Ps✮ ❢r♦♠ tr❛✐♥✐♥❣ ❞❛t❛ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❡①tr❛❝t ❊❘P
❢r♦♠ t❤❡ s✐❣♥❛❧s r❡❝♦r❞❡❞ ❜② t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❡❧❡❝tr♦❞❡s ❜❡❝❛✉s❡ ❊❘Ps ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② s✐♠✐❧❛r
❛❝r♦ss ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❡❧❡❝tr♦❞❡s ❞✉❡ t♦ ✈♦❧✉♠❡ ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❊❘P ❡①tr❛❝t✐♦♥ ❢r♦♠
❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❊❊● ❛❝t✐✈✐t② ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② ❡①tr❛❝t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡
s❡t ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❡❧❡❝tr♦❞❡s ✉s✐♥❣ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧✳ Pr❡✈✐♦✉s❧②✱ ❊❘Ps ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✉s❡❞ ❡①t❡♥✲
s✐✈❡❧② ❢♦r t❤❡ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♥❡✉r❛❧ ❞✐s❡❛s❡s ❛♥❞ t❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ❜r❛✐♥ ❝♦♠♣✉t❡r ✐♥t❡r❢❛❝❡ ✭❇❈■✮
❬✶✸✻✱ ✶✸✼❪✳ ❚❤❡ ❞✐✣❝✉❧t② ✇✐t❤ ❡①tr❛❝t✐♥❣ ❊❘Ps ✐s t❤❛t t❤❡✐r ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ✐s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞
t♦ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❛❝t✐✈✐t②✳ ❉✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤❡s s✉❝❤ ❛s ❛✈❡r❛❣✐♥❣✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥t
❛♥❛❧②s✐s ✭■❈❆✮✱ ❛♥❞ ✇❛✈❡❧❡ts ❬✶✸✽❪ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ ❬✶✸✾❪✳ ❙✐♥❝❡ ❊❘Ps ❛r❡ t✐♠❡✲❧♦❝❦❡❞✱ ✐t
✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❛✈❡r❛❣✐♥❣ ✇✐❧❧ ❛❞❞✲✉♣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❊❘P ✇❤✐❧❡ ❛tt❡♥✉❛t✐♥❣ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞
❛❝t✐✈✐t②✳ ■❈❆ ✐s ✉s❡❞ t♦ s❡♣❛r❛t❡ t❤❡ ❡✈♦❦❡❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❢r♦♠ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❛❝t✐✈✐t② ✉s✐♥❣ t❤❡
s✐❣♥❛❧s r❡❝♦r❞❡❞ ❜② ♥❡❛r❜② ❡❧❡❝tr♦❞❡s ❬✶✸✾❪ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t ❊❘P ❛♥❞ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❛❝t✐✈✐t②
❛r❡ st❛t✐st✐❝❛❧❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② tr✉❡✳ ❲❛✈❡❧❡t ❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱ ♦♥ t❤❡
♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❊❘Ps st❛t✐st✐❝❛❧❧② ❬✶✸✽❪✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞
r❡q✉✐r❡s s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞✱ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡s ❊❘P ✐s ✐♥ ❛ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢ ✇❛✈❡❧❡t
s♣❛❝❡✳ ❊❘Ps ❛r❡ ❛❧s♦ ❡①tr❛❝t❡❞ ❬✶✹✵❪ ❜② ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛♥❛❧②s✐s ✇✐t❤ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥
t❤❛t ❛❢t❡r t❤❡ ❛✈❡r❛❣✐♥❣ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❛❝t✐✈✐t② ❞❡❝r❡❛s❡s ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡
♦❢ ❊❘P ❤❛s ❛ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✉s✐♥❣ P❈❆✳ ❚❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s tr✉❡ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡
❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❛❝t✐✈✐t② ✐s ❛❝t✉❛❧ ♥♦✐s❡ ✇❤❡r❡❛s ✐t ✐s ❛♥♦t❤❡r ❜r❛✐♥ ❡✈❡♥t ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳
❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❊❘◆ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡❝t✲r❡❧❛t❡❞ ♥❡❣❛t✐✈✐t② ✭❈❘◆✮ s✐❣♥❛❧s✳
❊❘◆ ❛♥❞ ❈❘◆ ❛r❡ ❊❘Ps t❤❛t ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ t♦ ✐♥❞❡① ❝♦❣♥✐t✐✈❡ ❝♦♥tr♦❧ ❬ ❄❪✳ ❚❤❡ ❞✐s✲
t❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ♦❢ ❊❘◆ ❛♥❞ ❈❘◆ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡s❡ t✇♦ r❡s♣♦♥s❡s
❛r❡ s♣❛rs❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t s❡t ♦❢ ❜❛s❡s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❛r❡
✉s❡❞ t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡ t✇♦ ❊❘Ps ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t r❡s♣♦♥s❡s✳
✽✶

✺✳✷ ❑❙❱❉ ❆❧❣♦r✐t❤♠
■♥ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ s♣❛rs❡ s✐❣♥❛❧ r❡❝♦✈❡r②✱ ♣r❡❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜❛s✐s s❡ts s✉❝❤ ❛s ❋♦✉r✐❡r✱ ✇❛✈❡❧❡ts ♦r
t❤❡✐r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ t♦ ✜♥❞ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱
✐♥ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✐s
♥♦t ❦♥♦✇♥✳ ❉✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ✭❉▲✮ ❤❛s ❜❡❡♥ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ t♦ ❛❞❞r❡ss t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❬✶✹✶✱ ✶✸✸❪✳
❈✉rr❡♥t ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s s✉❝❤ ❛s ❑❙❱❉ ❬✶✸✸❪ ❛♥❞ ▼❖❉ ❬✶✸✹❪ ❢♦❝✉s ♦♥ s✐❣♥❛❧s
t❤❛t ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♣❛rs❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ♥♦t ♦♥ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✳
❉✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s tr② t♦ ✜♥❞ t❤❡ s♣❛rs❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs
❛♥❞ t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r②

D = [d1 , d2 , . . . , dL ]

Y = DA

t❤❡ ♠♦❞❡❧

❢♦r ❛ s❡t ♦❢ tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s

K

Y = [y1 , y2 , . . . , yJ ]

s✳ t✳

∀i αi 0 ≤ K

✐s t❤❡ s♣❛rs✐t② ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs✱

D ∈ RN ×L ✱ A ∈ RL×J ✱

❛♥❞

✭✺✳✶✮

yj ∈ RN ✱ αj ∈ RL ✱ Y ∈ RN ×J ✱

L ≥ N✳

❑❙❱❉ ♠✐♥✐♠✐③❡s ❊q✳ ✺✳✶ ✐t❡r❛t✐✈❡❧② ❜② ✜rst ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦rs✱
❞✐❝t✐♦♥❛r②✱

D✱ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ t❤❡♥ ✉♣❞❛t✐♥❣ D✳

❆❢t❡r ✐♥✐t✐❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r②

A✱

✇❤✐❧❡ t❤❡

D(0) ✱ ✐♥ t❤❡ ✜rst

st❛❣❡✱ ❑❙❱❉ ✉s❡s ❛ ♣✉rs✉✐t ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ✜♥❞ t❤❡ s♣❛rs❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥

(k)

αj

✱ ❢♦r ❡❛❝❤ s✐❣♥❛❧

αj

(k)

αj

(k) (k) 2 ≤
0 s✳ t✳ yj − D αj
2

∀j ∈ {1, 2, . . . , J}.

❖♥❝❡ t❤❡ s♣❛rs❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞✱ ❑❙❱❉ ✉♣❞❛t❡s ❡❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢
✜①✐♥❣ ❛❧❧ ❝♦❧✉♠♥s ✐♥

D(k)

♦r❞❡r t♦ ✉♣❞❛t❡ t❤❡

lt❤

✇❤❡r❡

αTl

yj s

k✱

yj , j ∈ {1, 2, . . . , J} t❤r♦✉❣❤ s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✿

min (k)

tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s

✐♥

s✉❝❤ t❤❛t✿

minA,D { Y − DA 2F }
✇❤❡r❡

A = [α1 , α2 , . . . , αJ ]

❡①❝❡♣t

❝♦❧✉♠♥

(k)

dl

dl ✱ ωl

t❤❛t ✉s❡ t❤❡ ❛t♦♠

✐s t❤❡ l t❤ r♦✇ ♦❢

A✱

❛s✿

✱ ❛♥❞ ✉♣❞❛t✐♥❣ t❤❡

lt❤

✭✺✳✷✮

D(k)

❝♦❧✉♠♥ ✈❡❝t♦r ❛s

❛t ❛ t✐♠❡✱

(k+1)

dl

✳ ■♥

✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s ♣♦✐♥t✐♥❣ t♦ t❤❡

dl ✱

✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ♥♦♥③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ♦❢

ωl = {j|1 ≤ j ≤ J, αTl (j) = 0}✳

✽✷

αTl ✱

❚❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❡rr♦r ♠❛tr✐① El ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s✿

El = Y −

f

f =l

df αT .

✭✺✳✸✮

❚❤❡ ♠❛tr✐① ER
l ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ El ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✐♥ ωl ✳
k+1 ✐s
T
❆❢t❡r ❛♣♣❧②✐♥❣ ❙❱❉ t♦ t❤❡ ♠❛tr✐① ER
l = UΔV ✱ t❤❡ ✉♣❞❛t❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❝♦❧✉♠♥ dl
l ✐s t❤❡ ✜rst ❝♦❧✉♠♥
❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ✜rst ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ U ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ✉♣❞❛t❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r αR
♦❢ V ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② Δ(1, 1)✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s r❡♣❡❛t❡❞ ✉♥t✐❧ t❤❡ st♦♣♣✐♥❣ ❝r✐t❡r✐❛ ❛r❡ ♠❡t✳

✺✳✸ ❈♦♠♠♦♥ ❆♥❞ ■♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❉✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ▲❡❛r♥✐♥❣
❚❤❡ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡ ✇✐t❤ ✉s✐♥❣ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s s✉❝❤ ❛s ❑❙❱❉ ✐♥ ❉❈❙ ✐s t❤❛t t❤❡②
❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ❞✐r❡❝t❧② t♦ ❊q✳ ✹✳✺✳ ❚❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ✐♥ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ Φ ∈ RJN ×(J+1)L ✱ ✐s
❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t s❡ts ♦❢ ❜❛s✐s✱ φc ∈ RN ×L ❛♥❞ φj ∈ RN ×L ✶ ✳ ❚❤✉s✱ s♦♠❡ ❡♥t✐t✐❡s ♦❢
t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② Φ ❛r❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ t♦ ③❡r♦ ✭❛s ✐t ✐s ❞❡♣✐❝t❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✹✳✸✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♥♦ ❞✐❝t✐♦♥❛r②
❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❣✉❛r❛♥t❡❡s t♦ ♣r❡s❡r✈❡ t❤✐s str✉❝t✉r❡ ♦❢ Φ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ✉♣❞❛t❡ st❡♣ ♦❢ t❤❡
❞✐❝t✐♦♥❛r②✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❑✲
❙❱❉ t♦ ❢✉❧✜❧❧ t❤✐s ❝♦♥str❛✐♥t ❛♥❞ ❧❡❛r♥ t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② Φ ❢r♦♠ t❤❡ tr❛✐♥✐♥❣ s❛♠♣❧❡s✳ ❙✐♥❝❡
t❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ zc ❛♠♦♥❣ t❤❡ tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r②
❤❛s t♦ ❜❡ ✉♣❞❛t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤✐s ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ ✇❡ r❛♥❞♦♠❧② s❡❧❡❝t J tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s
❢r♦♠ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s❡t ♦❢ tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s✱ ❧❡❛r♥ t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✱ ❛♥❞ r❡♣❡❛t t❤❡ ♣r♦❝❡ss t♦ ✉♣❞❛t❡

Φ✳
❆❢t❡r ✐♥✐t✐❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ ❜❛s❡s φc ❛♥❞ φj ❛♥❞ ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ Φ(k) ❛t t❤❡ k t❤ ✐t❡r❛t✐♦♥✱ t❤❡

ˆ (k) ∈ R(J+1)L×1 ✐s ❡st✐♠❛t❡❞✱ ❛s✿
❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r Θ
ˆ (k) = arg min Θ(k) 0 s.t. X − Φ(k) Θ(k) 2 ≤ .
Θ
2
✇❤❡r❡ X ∈ RJN ×1 ✐s t❤❡ ✐♥♣✉t s❡t ♦❢ tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s ❛s ✐♥ ❊q✳ ✹✳✸✳
✶ ◆♦t❡ t❤❛t ✇❡ ❛ss✉♠❡ ♦♥❡ ✉♥✐q✉❡

φj ❢♦r ❛❧❧ J ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts

✽✸

✭✺✳✹✮

❆❢t❡r ❡st✐♠❛t✐♥❣ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r✱ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s φc ❛♥❞ φj ❛r❡ ✉♣❞❛t❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧② s✐♠✐✲
(k)
(k)
❧❛r t♦ ❑❙❱❉✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✉♣❞❛t❡ φ(k)
c ✱ φj ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ✜①❡❞ ❛♥❞ φc = [d1 , d2 , . . . , dL ]✳
❚❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ ✐♥♣✉t s✐❣♥❛❧s X ∈ RN J×1 ✐s r❡❛rr❛♥❣❡❞ ❛s ❛ ♠❛tr✐① Y = [x1, . . . , xJ ] ∈ RN ×J ✱
❛♥❞ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r θˆc ∈ RL×1 ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ♣❛rt ✐s ❝♦♥❝❛t❡♥❛t❡❞ t♦ ❢♦r♠ t❤❡ ♠❛tr✐①
(k)
Ac = [θˆc , . . . , θˆc ] ∈ RL×J ✳ ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ tr❛✐♥✐♥❣ s✐❣♥❛❧s ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱
t❤❡② ❛❧❧ ❡✐t❤❡r ✉s❡ t❤❡ lt❤ ❛t♦♠ ♦r ♥♦t✳ ❚❤✉s✱ ωc,l ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ r♦✇ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♦♥❡s ✇✐t❤
s✐③❡ J ✱ 1 ∈ R1×J ✐❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ lt❤ ❛t♦♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r②✱
♦r ❛ r♦✇ ✈❡❝t♦r ♦❢ ③❡r♦s ✇✐t❤ s✐③❡ J ✱ 0 ∈ R1×J ✳ ❚❤❡ ❡rr♦r ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ lt❤ ❛t♦♠✱
Ec,l ∈ RN ×J ✱ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿
f
df θc,T .
✭✺✳✺✮
Ec,l = Y −
f =l

❚❤❡ ♠❛tr✐① ERc,l ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ Ec,l ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ✐❞❡♥t✐✜❡❞
✐♥ ωc,l ✳ d(k+1)
✐s t❤❡ ✜rst ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ ERc,l = UcΔcVcT ✇❤✐❧❡ ✐ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥t
l
✈❡❝t♦rs ❛r❡ ✉♣❞❛t❡❞ ❜② r❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ Vc ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② Δc(1, 1)✳
❖♥❝❡ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ φ(k+1)
❛r❡ ✉♣❞❛t❡❞✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② φ(k)
c
j ✐s ✉♣❞❛t❡❞ ✐♥
✐s ✜①❡❞✳ ❚❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r② φ(k)
❛ s✐♠✐❧❛r ♠❛♥♥❡r ❛ss✉♠✐♥❣ φ(k+1)
c
j = [c1 , c2 , . . . , cL ]✱ ❛♥❞ t❤❡
J
L×J ✳ ❚❤❡
ˆ
ˆ
✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts {θˆj(k)}j=1 ❢r♦♠ Θ(k) ✐s r❡❛rr❛♥❣❡❞ t♦ A(k)
j = [ θ1 , . . . , θJ ] ∈ R
l (i) = 0} ✐s ❢♦r♠❡❞ t♦ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ s✐❣♥❛❧s t❤❛t ✉s❡ t❤❡ lt❤ ❛t♦♠
s❡t ωj,l = {i|1 ≤ i ≤ J, θj,T
♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r②✳ ❚❤❡ ❡rr♦r ♠❛tr✐① Ej,l ✐s t❤❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s✐❣♥❛❧s
✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✐♥ ωj,l ✱ ❛s✿
N
f
cf θj,T ,
✭✺✳✻✮
Ej,l = Y −
f =1,f =l

f
✇❤❡r❡ θj,T
✐s t❤❡ f t❤ r♦✇ ♦❢ A✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ERj,l ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ Ej,l
✇✐t❤ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✐♥ ωj,l ✳ ❚❤❡ ✜rst ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ ERj,l ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s c(k+1)
✳
l
❖♥❝❡ φ(k+1)
❛♥❞ φ(k+1)
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❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❊❘◆ ♦❢ t❤❡ t❡st ❞❛t❛ r❡❝♦✈❡r❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❛♥❞
❛✈❡r❛❣✐♥❣✱ ✭❡✮ ❚❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ P✸✵✵ ❛❢t❡r ❈❘◆ ♦❢ t❤❡ t❡st ❞❛t❛ ✐s r❡❝♦✈❡r❡❞ ✉s✐♥❣
t❤❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❛♥❞ ❛✈❡r❛❣✐♥❣✱ ✭❢✮ ❚❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ P✸✵✵ ❛❢t❡r ❊❘◆ ♦❢ t❤❡
t❡st ❞❛t❛ ✐s r❡❝♦✈❡r❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❛♥❞ ❛✈❡r❛❣✐♥❣✳

✽✾

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❲✐t❤ t❤❡ ❛❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❤✐❣❤ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♥❡✉r♦✐♠❛❣✐♥❣✱ t❤❡r❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ❛ ❣r♦✇✐♥❣ ✐♥t❡r❡st ✐♥ t❤❡
st✉❞② ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❜r❛✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②✳ ▼♦st ♦❢ t❤❡ ❡❛r❧② st✉❞✐❡s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②
❜r❛✐♥ ♥❡t✇♦r❦s ❤❛✈❡ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❣r❛♣❤ t❤❡♦r❡t✐❝ ✐♥❞✐❝❡s ❢♦r st❛t✐❝ ♥❡t✲
✇♦r❦s✱ ✐✳❡✳ ❧♦♥❣✲t✐♠❡ ❛✈❡r❛❣❡s ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✇♦r❦s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②
✐s ❛ ❞②♥❛♠✐❝ ♣r♦❝❡ss ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ r❡♦r❣❛♥✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦s ✐s ❦❡② t♦ ✉♥✲
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♥❡t✇♦r❦s ♦✈❡r t✐♠❡ t❤r♦✉❣❤ ❞❡t❡❝t✐♥❣ t❤❡ q✉❛s✐✲st❛t✐♦♥❛r② t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❝❛❧❧❡❞ ❋❈ st❛t❡s✱
❛♥❞ s✉♠♠❛r✐③✐♥❣ t❤❡ ❋❈ st❛t❡s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞✳
■♥ ❈❤❛♣t❡r ✸✱ t❡♥s♦r t❤❡♦r② ✇❛s ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t ❞②♥❛♠✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♥❡t✲
✇♦r❦s ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝ts✳ ❚❤✐s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦✛❡rs s❡✈❡r❛❧ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ♦✈❡r ❡①✐st✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s
s✉❝❤ ❛s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ str✉❝t✉r❡ ❛♥❞ ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ❛❝r♦ss s✉❜❥❡❝t ✈❛r✐❛❜✐❧✐t②✳ ■t ❛❧s♦
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❛♥❞ t✐♠❡✳ ❚❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ♠♦❞❡s ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣
t❤❡ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ❛❝r♦ss ❢r❡q✉❡♥❝② ♦r ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❇② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❢r❡✲
q✉❡♥❝② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✱ ✇❡ ♠❛② ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ✐❞❡♥t✐❢② ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❛r❡ s❡♥s✐t✐✈❡
t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❢r❡q✉❡♥❝② ❜❛♥❞s ❛♥❞ ❢✉rt❤❡r ❞❡❝♦♠♣♦s❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♥❡t✇♦r❦ st❛t❡s ✐♥t♦ t❤❡✐r
❢r❡q✉❡♥❝② ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤✐s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✸
✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❡①tr❛ ♠♦❞❡ t❤✉s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✳
❈❤❛♣t❡r ✹ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛ ♥❡✇ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r t♦
♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ s♣❛rs❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ ❛ ❣r♦✉♣ ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✐♥ ❛ ❝♦♠♣✉t❛✲
t✐♦♥❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ♠❛♥♥❡r✳ ❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r② ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇❛s s❤♦✇♥ t♦ r❡❝♦✈❡r
✾✵

t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠✉❝❤ ❢❛st❡r t❤❛♥ t❤❡ ❡①✐st✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦st ❛♥❞
❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❞❡r✐✈❡❞ ❢♦r t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ t✐♠❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧✲
❣♦r✐t❤♠ ❞❡s♣✐t❡ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❡rr♦r ❜♦✉♥❞✳ ❚❤❡ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✇❛s ✉s❡❞ t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡
❢♦r❡❣r♦✉♥❞ ♥❡t✇♦r❦ ❢r♦♠ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❛❝t✐✈✐t②✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✉♥✐q✉❡❧②
❞❡✜♥❡s ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣✱ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✇❡r❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡❝t t❤❡
❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ❇② tr❛❝❦✐♥❣ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦✈❡r t✐♠❡✱
❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts ✇❡r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t✐♠❡ ♣♦✐♥ts ✇❤❡♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts
❝❤❛♥❣❡✳ ❆❢t❡r ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♣♦✐♥ts✱ ✐t ✇❛s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❋❈ ♥❡t✇♦r❦s ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤
t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❢♦❧❧♦✇s t❤❡ ❙❈❈■ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤✉s✱ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ✇❛s ✉s❡❞ t♦ ❡①tr❛❝t
t❤❡ s♣❛rs❡ ❝♦♠♠♦♥ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳
❙❈❈■ ❛♥❞ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹ ❡♠♣❧♦②❡❞ ♣r❡✲
❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t r❡❝♦✈❡r②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♠♦st
s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ♥♦t s♣❛rs❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ♣r❡✲❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r
✺✱ ❛ str✉❝t✉r❡❞ ❑❙❱❉ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t♦ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② ❧❡❛r♥ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞
✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ str✉❝t✉r❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇❛s ✉s❡❞ t♦
❧❡❛r♥ t❤❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ❊❘◆ ❛♥❞ ❈❘◆ ✐♥ ♦r❞❡r t♦
❡①tr❛❝t ❊❘◆ ❛♥❞ ❈❘◆ ❢r♦♠ ❊❊● r❡❝♦r❞✐♥❣s ♦❢ ❝❧♦s❡❧② ❧♦❝❛t❡❞ ❡❧❡❝tr♦❞❡s✳ ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ ✇✐❧❧
❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ str✉❝t✉r❡❞ ❑❙❱❉ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢
❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r②✳ ❚❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r② ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧❡ st❛❣❡s
♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts r❡❝♦✈❡r②✳ ■♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✱ t❤❡ s❛♠❡ ♣r❡✲❞❡t❡r♠✐♥❡❞
❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ✇❡r❡ ✉s❡❞ ❛t ❛❧❧ st❛❣❡s t♦ r❡❝♦✈❡r t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠✲
♣♦♥❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ s✐❣♥❛❧s ❛t ❞✐✛❡r❡♥t st❛❣❡s ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♥❞ ♠❛② ♥♦t ❜❡ s♣❛rs❡ ✇✐t❤
r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ s❛♠❡ s❡t ♦❢ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r② ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐❧❧
❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❧❡❛r♥ t❤❡s❡ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ❢♦r ❡❛❝❤ st❛❣❡ s♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✳ ❚❤❡ ❧❡❛r♥❡❞ ❞✐❝t✐♦♥❛r✐❡s ✇✐❧❧
✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❞ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❙❈❈■ r❡❝♦✈❡r②✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡❞
❑❙❱❉ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②
♥❡t✇♦r❦s ✇✐t❤✐♥ ❛ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✉s✐♥❣ ❍✲❙❈❈■ ♠♦❞❡❧ r❡❝♦✈❡r② ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✳

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P❘■◆❈■P❆▲ ❆◆●▲❊
(1)
(1)
(1)
(1)
▲❡t U(1) (t) = [u(1)
(t)] ❛♥❞ U(1) (t + 1) = [u1 (t + 1) u2 (t + 1) . . .
1 (t) u2 (t) . . . un
ˆ (t)
(1)

unˆ (t+1) (t + 1)]

s♣❛♥ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡s ♦❢ G(t) ❛♥❞ G(t + 1) ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡✳ ❆❧s♦✱ ❞❡✜♥❡

r = ♠✐♥ (ˆ
n(t), n
ˆ (t + 1))✳

❚❤❡♥✱ t❤❡ kt❤ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✈❡❝t♦rs pk ∈ U(1) (t) ❛♥❞ qk ∈ U(1) (t + 1)

❢♦r k = 1, 2, . . . , r ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✿
♠aximize p†k qk ,
subject to
pk ∈ U(1) (t), qk ∈ U(1) (t + 1),
† (1)

† (1)

pk u1 (t) = · · · = pk ur−1 (t) = 0, pk = 1,
† (1)

† (1)

qk u1 (t + 1) = · · · = qk ur−1 (t + 1) = 0, qk = 1.

❚❤❡ kt❤ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❛♥❣❧❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s cos(θk ) = p†k qk ; k = 1, 2, . . . , r❬✽✺❪✳

✾✸

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❇■❇▲■❖●❘❆P❍❨

✾✹

❇■❇▲■❖●❘❆P❍❨
❬✶❪

❖✳ ❇❛r♥✐❝❤ ❛♥❞ ▼✳ ❱❛♥ ❉r♦♦❣❡♥❜r♦❡❝❦✱ ✏❱✐❜❡✿ ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ r❛♥❞♦♠ t❡❝❤♥✐q✉❡ t♦ ❡st✐✲

❆❝♦✉st✐❝s✱ ❙♣❡❡❝❤ ❛♥❞ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱
✷✵✵✾✳ ■❈❆❙❙P ✷✵✵✾✳ ■❊❊❊ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥
♠❛t❡ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ✐♥ ✈✐❞❡♦ s❡q✉❡♥❝❡s✱✑ ✐♥

✳ ■❊❊❊✱ ✷✵✵✾✱ ♣♣✳ ✾✹✺✕✾✹✽✳

❬✷❪

▼✳ ❙t❡r✐❛❞❡✱ P✳ ●❧♦♦r✱ ❘✳❘✳ ▲❧✐♥❛s✱ ❋✳❍✳ ▲♦♣❡s ❉❛ ❙✐❧✈❛✱ ❛♥❞ ▼✳ ▼❡s✉❧❛♠✱
♠❡❝❤❛♥✐s♠s ♦❢ ❝❡r❡❜r❛❧ r❤②t❤♠✐❝ ❛❝t✐✈✐t✐❡s✱✑

r♦♣❤②s✐♦❧♦❣②
❬✸❪

✏❇❛s✐❝

❊❧❡❝tr♦❡♥❝❡♣❤❛❧♦❣r❛♣❤② ❛♥❞ ❝❧✐♥✐❝❛❧ ♥❡✉✲

✱ ✈♦❧✳ ✼✻✱ ♥♦✳ ✻✱ ♣♣✳ ✹✽✶✕✺✵✽✱ ✶✾✾✵✳

❙✳ ▲✳ ❇r❡ss❧❡r✱ ✏▲❛r❣❡✲s❝❛❧❡ ❝♦rt✐❝❛❧ ♥❡t✇♦r❦s ❛♥❞ ❝♦❣♥✐t✐♦♥✱✑

❇r❛✐♥ ❘❡s❡❛r❝❤ ❘❡✈✐❡✇s

✱

✈♦❧✳ ✷✵✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣♣✳ ✷✽✽✕✸✵✹✱ ✶✾✾✺✳
❬✹❪

❋✳ ❱❛r❡❧❛✱ ❏✳ ▲❛❝❤❛✉①✱ ❊✳ ❘♦❞r✐❣✉❡③✱ ❛♥❞ ❏✳ ▼❛rt✐♥❡r✐❡✱

✏❚❤❡ ❜r❛✐♥✇❡❜✿

◆❛t✉r❡ r❡✈✐❡✇s ♥❡✉r♦s❝✐❡♥❝❡

❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❧❛r❣❡✲s❝❛❧❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥✱✑

♣❤❛s❡ s②♥✲

✱ ✈♦❧✳ ✷✱ ♥♦✳ ✹✱

♣♣✳ ✷✷✾✕✷✸✾✱ ✷✵✵✶✳
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❋✳ ❇❛❜✐❧♦♥✐✱ ❋✳ ❈✐♥❝♦tt✐✱ ❈✳ ❇❛❜✐❧♦♥✐✱ ❋✳ ❈❛r❞✉❝❝✐✱ ❉✳ ▼❛tt✐❛✱ ▲✳ ❆st♦❧✜✱ ❆✳ ❇❛s✐❧✐s❝♦✱
P✳▼✳ ❘♦ss✐♥✐✱ ▲✳ ❉✐♥❣✱ ❨✳ ◆✐✱ ❏✳ ❈❤❡♥❣❣✱ ❑✳ ❈❤r✐st✐♥❡❣✱ ❏✳ ❙✇❡❡♥❡②❣✱ ❛♥❞ ❇✳ ❍❡✱
✏❊st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦rt✐❝❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✇✐t❤ t❤❡ ♠✉❧t✐♠♦❞❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦❢
❤✐❣❤✲r❡s♦❧✉t✐♦♥ ❡❡❣ ❛♥❞ ❢♠r✐ ❞❛t❛ ❜② ❞✐r❡❝t❡❞ tr❛♥s❢❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✱✑

◆❡✉r♦✐♠❛❣❡

✱ ✈♦❧✳ ✷✹✱

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❏✳❘✳ ❲❛❧t❡rs✱ ❋✳ ❳✳ ❈❛st❡❧❧❛♥♦s✱ ❛♥❞ ▼✳P✳ ▼✐❧❤❛♠✱ ✏❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ♦❢ ❤✉♠❛♥
str✐❛t✉♠✿ ❛ r❡st✐♥❣ st❛t❡ ❢♠r✐ st✉❞②✱✑

❈❡r❡❜r❛❧ ❝♦rt❡①

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✏❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❜r❛✐♥ ♥❡t✇♦r❦✿

r❡st✐♥❣✲st❛t❡ ❢♠r✐ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②✱✑

❛ r❡✈✐❡✇ ♦♥

❊✉r♦♣❡❛♥ ◆❡✉r♦♣s②❝❤♦♣❤❛r♠❛❝♦❧♦❣②

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str✉❝t✉r❛❧ ❛♥❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ s②st❡♠s✱✑

◆❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇s ◆❡✉r♦s❝✐❡♥❝❡

✱ ✈♦❧✳ ✶✵✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣♣✳

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❢r❡❡ ♦r❣❛♥✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✈♦①❡❧✲❜❛s❡❞ r❡st✐♥❣✲st❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✐♥ t❤❡ ❤✉♠❛♥
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❜r❛✐♥✱✑

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◆❡✉r♦✐♠❛❣❡

◆♦♥❧✐♥❡❛r ❜✐♦♠❡❞✐❝❛❧ ♣❤②s✐❝s

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❏✳ ▲❛❝❤❛✉①✱ ❊✳ ❘♦❞r✐❣✉❡③✱ ❏✳ ▼❛rt✐♥❡r✐❡✱ ❛♥❞ ❋✳❏✳ ❱❛r❡❧❛✱ ✏▼❡❛s✉r✐♥❣ ♣❤❛s❡ s②♥❝❤r♦♥②
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Pr♦❣r❡ss ✐♥ ♥❡✉r♦❜✐♦❧♦❣②✱ ✈♦❧✳ ✼✼✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✕✸✼✱ ✷✵✵✺✳

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t✐♦♥ ✢♦✇ ✐♥ t❤❡ ❜r❛✐♥ str✉❝t✉r❡s✱✑

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