M S U R E T U R N I N G M A T E R I A L S : P l a c e i n b o o k d r o p t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m L I B R A R I E S n y o u r r e c o r d . F I N E S w i l l b e c h a r g e d i f b o o k i s r e t u r n e d a f t e r t h e d a t e s t a m p e d b e l o w . I n t ? ! " “ 3 ’ ‘ 5 S I M U L A T I O N O F T E M P E R A T U R E A N D Q U A L I T Y P R O F I L E S I N F R O Z E N F O O D S S U B J E C T T O S T E P C H A N G E S I N S T O R A G E C O N D I T I O N S B y E l a i n e P a t r i c i a S c o t t W fl m m l A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g 1 9 8 7 A B S T R A C T S I M U L A T I O N O F T E M P E R A T U R E A N D Q U A L I T Y P R O F I L E S I N F R O Z E N F O O D S S U B J E C T T O S T E P C H A N G E S I N S T O R A G E C O N D I T I O N S b y E l a i n e P a t r i c i a S c o t t F r o z e n f o o d p r o d u c t s m a y b e e x p o s e d t o f l u c t u a t i n g a m b i e n t c o n d i - t i o n s d u r i n g s t o r a g e . A n i n c r e a s e i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e m a y r e s u l t i n a n i n c r e a s e i n t h e o v e r a l l q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e a n d / o r a s u b s t a n - t i a l q u a l i t y d i f f e r e n t i a l w i t h i n t h e f o o d p r o d u c t . T h e o v e r a l l o b j e c t i v e s o f t h i s r e s e a r c h w e r e t o d e v e l o p a m a t h e m a t i c a l m u l t i - d i m e n s i o n a l m o d e l t o s i m u l a t e t r a n s i e n t t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n w i t h i n a f r o z e n f o o d p r o d u c t s u b j e c t t o s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s , a n d t o e s t i m a t e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s p r e v a i l i n g d u r i n g s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s . T h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r y o f t h e p r o d u c t , u s e d i n s i m u l a t i n g t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e , w a s f o u n d n u m e r i c a l l y u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s . T h e t r a n s i e n t s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w e r e e s t i m a t e d u s i n g e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s i n t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d , d e v e l o p e d f o r a c l a s s o f p r o b l e m s c a l l e d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s . A h i g h l y c o n c e n t r a t e d m e t h y l - c e l l u l o s e s u b s t a n c e w a s u s e d a s a n a n a l o g f o o d s u b s t a n c e i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s . A s y s t e m a t i c p r o c e d u r e w a s d e v e l o p e d t o s e l e c t t h e o p t i m a l n u m e r i c a l p a r a m e t e r s u s e d i n t h e f i n i t e d i f f e r e n c e a n d t h e E l a i n e P a t r i c i a S c o t t s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d s . T h e q u a l i t y s i m u l a t i o n m o d e l w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e e f f e c t s o f v a r i o u s p a r a m e t e r s o n t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e . P a r a m e t e r s i n v e s t i g a t e d i n c l u d e d t h e m a g n i t u d e s o f t h e k i n e t i c p a r a m e t e r s a n d t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , t h e s t o r a g e t i m e a n d t e m p e r a t u r e , t h e m a g n i t u d e o f a s t e p c h a n g e i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e , t h e f o o d p r o d u c t d i m e n s i o n s , a n d t h e p r o d u c t g e o m e t r y . T h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n p r o c e d u r e w a s f o u n d t o p r o v i d e e s - t i m a t e s o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w h i c h i n c l u d e d t h e e f f e c t s o f t h e e x t e r i o r p a c k a g i n g b o u n d a r y a n d t h e a c c u m u l a t i o n a n d d i m i n u t i o n o f f r o s t o n t h e o u t e r s u r f a c e . I n t e r n a l p a c k a g i n g b o u n d a r i e s w e r e f o u n d t o h a v e a s i g n i f i c a n t i n f l u e n c e o n t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n - t i a l w i t h i n t h e f o o d p r o d u c t . T h e m a g n i t u d e o f c h a n g e i n t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e w a s h i g h l y d e p e n d e n t o n t h e m a g n i t u d e o f t h e k i n e t i c p a r a m e t e r s , a n d s t r o n g l y i n f l u e n c e d b y p r o d u c t d i m e n s i o n s a n d t h e c h o i c e o f a o n e o r t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r m o d e l . T o M a r y S c o t t , T h a n k s f o r y o u r s u p p o r t , E l a i n e i v A C K N O W L E D G M E N T S I w o u l d l i k e t o g i v e s p e c i a l t h a n k s t o D r . D e n n i s R . H e l d m a n , w h o c o n t i n u e d t o s e r v e a s m y a d v i s o r a f t e r l e a v i n g M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . I g r e a t l y a p p r e c i a t e d h i s g u i d a n c e , s u p p o r t , a n d p a t i e n c e i n h e l p i n g m e t o c o m p l e t e t h i s r e s e a r c h . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k t h e m e m b e r s o f m y C o m m i t t e e , D r . J . V . B e c k , D r . L . J . S e g e r l i n d , D r . J . F . S t e f f e , a n d D r . M . A . U b e r s a x . S p e c i a l t h a n k s g o t o D r . B e c k , f o r h i s i n p u t o n t h e I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m , t o D r . S e g e r l i n d f o r h i s t h o u g h t s o n d e t e r m i n i n g t h e n u m e r i c a l p a r a m e t e r s a n d f o r h i s h u m o r o u s r e m a r k s , a n d e s p e c i a l l y t o D r . S t e f f e w h o h a n d l e d t h e m a j o r i t y o f t h e p a p e r w o r k i n t h e a b s e n c e o f D r . H e l d m a n . I n a d d i t i o n , I w a n t t o t h a n k m y f a m i l y , M a r y , M a r y A n n , a n d C h a r l e s , m y l o n g t i m e f r i e n d s , C i n d y a n d C h r i s , a n d m y n e w f o u n d M i c h i g a n f r i e n d s , S h a r o n , J a n i c e a n d A l l y s o n , w h o h e l p e d m e i n m o r e w a y s t h a n t h e y w i l l e v e r k n o w . L a s t , b u t n o t l e a s t , s p e c i a l t h a n k s t o S c o t t , w h o g a v e n e v e r e n d i n g s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t t h r o u g h m y f r a n t i c h o u r s . T A B L E O F C O N T E N T S P A G E L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v L I S T O F S Y M B O L S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x v i C H A P T E R I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 1 . 1 O b j e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 L I T E R A T U R E R E V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 . 1 Q u a l i t y L o s s i n F r o z e n F o o d s d u r i n g S t o r a g e . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 . 2 S i m u l a t i o n o f T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n i n F r o z e n d u r i n g S t o r a g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 2 . 1 O n e D i m e n s i o n a l A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 2 . 2 M u l t i - D i m e n s i o n a l A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 . 3 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . . . . . 1 6 T H E O R E T I C A L C O N S I D E R A T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 . 1 T h e r m a l P r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 . 1 . 1 U n f r o z e n W a t e r F r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 . 1 . 2 D e n s i t y i n F r o z e n F o o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 . 1 . 3 T h e r m a l C o n d u c t i v i t y i n F r o z e n F o o d s . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 . 1 . 4 A p p a r e n t S p e c i f i c H e a t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 . 2 P r a c t i c a l E v a l u a t i o n o f T h e r m a l P r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 3 . 3 T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n d u r i n g F r o z e n F o o d S t o r a g e . . . . . 3 0 v i v i i 3 . 3 . 1 O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 . 3 . 2 T w o D i m e n s i o n a l A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 3 . 4 N u m e r i c a l T i m e - T e m p e r a t u r e S i m u l a t i o n M o d e l s . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 . 4 . 1 O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r F i n i t e D i f f e r e n c e S c h e m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 3 . 4 . 2 T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . 4 2 3 . 5 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . . . . . 4 5 3 . 5 . 1 A n a l y t i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 3 . 5 . 1 . 1 F o r c e d C o n v e c t i o n o v e r a F l a t P l a t e . . . . . . . . 4 7 3 . 5 . 1 . 2 F r e e C o n v e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 3 . 5 . 1 . 3 C o m b i n e d F o r c e d a n d F r e e C o n v e c t i o n . . . . . . . . 4 8 3 . 5 . 1 . 4 P a c k a g i n g L a y e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 3 . 5 . 1 . 5 O v e r a l l S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . 4 9 3 ’ 5 2 2 I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 3 . 5 . 2 . 1 T h e S e q u e n t i a l R e g u l a r i z a t i o n M e t h o d . . . . . . . 5 3 3 . 5 . 2 . 2 D e t e r m i n a t i o n o f t h e T e m p e r a t u r e a t t h e S u r f a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 3 . 5 . 2 . 3 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 3 . 6 Q u a l i t y L o s s P r e d i c t i o n i f F r o z e n F o o d s d u r i n g S t o r a g e . . . 5 9 E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 4 . 1 K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 4 . 2 C o n t a i n e r s f o r t h e K a r l s r u h e B r i c k e t t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 4 . 3 T e m p e r a t u r e M e a s u r e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 4 . 4 V e l o c i t y M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 4 . 5 E x p e r i m e n t a l S t o r a g e C o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 D E T E R M I N A T I O N O F N U M E R I C A L P A R A M E T E R S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 5 . 1 S e l e c t i o n o f P a r a m e t e r s I n h e r e n t i n t h e F i n i t e D i f f e r e n c e S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 I . U l . 2 U . 1 . 3 v i i i N u m e r i c a l O s c i l l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 A c c u r a c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 S e l e c t i o n o f t h e O p t i m a l T i m e S t e p a n d S p a t i a l S t e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 A n a l y s i s o f T i m e a n d S p a t i a l S t e p s f o r O t h e r G e o m e t r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8 A n a l y s i s o f T i m e a n d S p a t i a l S t e p s f o r t h e T w o D i m e n s i o n a l M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6 S u m m a r y o f O b s e r v a t i o n s i n t h e D e t e r m i n a t i o n o f F i n i t e D i f f e r e n c e P a r a m e t e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7 5 . 2 P a r a m e t e r s U s e d i n t h e S o l u t i o n o f t h e I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9 5 . 2 . 1 T h e D e t e r m i n i s t i c B i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 5 . 2 . 2 M e a n S q u a r e d E r r o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 5 . 2 . 3 T i m e I n c r e m e n t B e t w e e n T e m p e r a t u r e M e a s u r e m e n t s . . . . 1 1 9 5 . 2 . 4 S e l e c t i o n o f t h e O p t i m a l P a r a m e t e r s u s e d i n t h e I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m o f E s t i m a t i n g t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 6 . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0 6 . 1 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . . . . . 1 3 0 6 . 1 . 1 A n a l y t i c a l E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r 6 . 1 . 2 C o e f f i c i e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 6 . 1 . 1 . 1 F o r c e d C o n v e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 6 . 1 . 1 . 2 F r e e C o n v e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 6 . 1 . 1 . 3 C o m b i n e d F r e e a n d F o r c e d C o n v e c t i o n . . . . . . . . 1 3 5 6 . 1 . 1 . 4 P a c k a g i n g L a y e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8 6 . 1 . 1 . 5 O v e r a l l S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t . . 1 4 1 E s t i m a t i o n o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t u s i n g I n v e r s e T r a n s f e r E s t i m a t i o n T e c h n i q u e s . . . . . . . 1 4 1 6 . 2 6 . 3 6 . 4 6 . 5 6 . 6 i x 6 . 1 . 3 C o m p a r i s o n o f R e s u l t s u s i n g A n a l y t i c a l a n d I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9 S i m u l a t i o n o f O n e D i m e n s i o n a l H e a t C o n d u c t i o n T h r o u g h a F o o d P r o d u c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 6 . 2 . 1 C o m p a r i s o n w i t h A n a l y t i c a l S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 6 . 2 . 2 C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7 S i m u l a t i o n o f T w o D i m e n s i o n a l H e a t C o n d u c t i o n T h r o u g h a F o o d P r o d u c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8 6 . 3 . 1 V e r i f i c a t i o n o f t h e T w o D i m e n s i o n a l M o d e l . . . . . . . . . . 1 7 0 6 . 3 . 2 C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1 E f f e c t s o f t h e M a g n i t u d e o f t h e A c t i v a t i o n E n e r g y C o n s t a n t o n t h e M a s s A v e r a g e Q u a l i t y H i s t o r y . . . . . . . . . . . . . 1 8 0 E f f e c t s o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y H i s t o r i e s o f F r o z e n f o o d s D u r i n g S t o r a g e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5 6 . 5 . 1 I n f l u e n c e o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y D i s t r i b u t i o n H i s t o r i e s . . 1 8 6 6 . 5 . 2 E f f e c t s o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y D i s t r i b u t i o n H i s t o r i e s . . 1 9 3 6 . 5 . 3 E f f e c t s o f A m b i e n t T e m p e r a t u r e D u r i n g S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e C o n d i t i o n s o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y D i s t r i b u t i o n H i s t o r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 E f f e c t s o f S i z e , T w o D i m e n s i o n a l G e o m e t r y , a n d G e o m e t r i c S h a p e o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y H i s t o r i e s o f F r o z e n F o o d s D u r i n g S t o r a g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 6 . 6 . 1 I n f l u e n c e o f P r o d u c t T h i c k n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7 6 . 6 . 2 E f f e c t s o f T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y H i s t o r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7 6 . 6 . 3 E f f e c t s o f G e o m e t r i c a l S h a p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 S U M M A R Y A N D C O N C L U S I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 8 A P P E N D I X A A P P E N D I X B A P P E N D I X C A P P E N D I X D A P P E N D I X E E Q U A T I O N F O R B O U N D A R Y N O D E S I N T W O D I M E N S I O N A L F I N I T E D I F F E R E N C E S O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 O N E D I M E N S I O N A L T R A N S I E N T H E A T C O N D U C T I O N A N D Q U A L I T Y R E T E N T I O N P R O G R A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 T W O D I M E N S I O N A L T R A N S I E N T H E A T C O N D U C T I O N A N D Q U A L I T Y R E T E N T I O N P R O G R A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 S U R F A C E H E A T T R A N S F E R C O E F F I C I E N T E S T I M A T I O N P R O G R A M . 3 4 7 R E S U L T S F R O M S E C O N D A N D T H I R D E X P E R I M E N T A L T E S T T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e . 2 a . 2 b . 4 a . 4 b . 7 a . 7 b L I S T O F T A B L E S P A G E T h e r m a l P r o p e r t i e s o f t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e a b o v e F r e e z i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 S t o r a g e T i m e s a n d M e a s u r e m e n t I n t e r v a l s f o r t h e T h r e e C o n f i g u r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 V a l u e s f o r A x , p , k , C p , U s e d i n E v a l u a t i n g A m a x ( h x , - 7 . 8 5 W / m ' C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 E i g e n v a l u e s a n d R e s u l t i n g C r i t i c a l N o O s c i l l a t i o n s T i m e S t e p ( s e c ) f o r P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C . . . . . . . . . . . . . 8 3 E i g e n v a l u e s a n d R e s u l t i n g C r i t i c a l N o O s c i l l a t i o n s T i m e S t e p ( s e c ) f o r P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 1 2 ° C . . . . . . . . . . . . . 8 4 C o m p a r i s o n o f A m a x a n d 2 - 1 : : ; ( - 1 0 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 S u m m a t i o n T e r m s i n S e r i e s S o l u t i o n a n d R e s u l t i n g T i m e f o r T e r m s t o V a n i s h ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . 9 0 S u m m a t i o n T e r m s i n S e r i e s S o l u t i o n a n d R e s u l t i n g T i m e f o r T e r m s t o V a n i s h ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 1 2 ° C ) . . . . . . 9 1 L i m i t i n g T i m e S t e p B a s e d o n A c c u r a c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 L i m i t i n g T i m e S t e p s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l G e o m e t r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 C o m p a r i s o n o f t : V a l u e s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l G e o m e t r i e s ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 C o m p a r i s o n o f t : V a l u e s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l x i T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e . 9 a . 9 b . 9 c . 9 d . 9 e . 9 f . 9 g . 1 0 a . 1 0 b . 1 0 c x i i G e o m e t r i e s ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 1 2 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3 C o m p a r i s o n o f A ( ° ) a n d A f o r a T w o D i m e n s i o n a l G r i d m a x m a x ( A x - A y , P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 9 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 8 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ' C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 . 7 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 . 6 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t ~ 3 3 ‘ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 5 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 - 4 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ‘ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 . 3 ( A t - 6 0 0 s e c o n d s : T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 o f S ( a s ) A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r ( S ) f o r a - 1 0 ‘ 6 ( m : m - 6 0 0 a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n s e c o n d s ; T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ’ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0 A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r ( S ) o f s ( a s ) f o r a - 1 0 ‘ S ( A c m - 5 0 0 a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n s e c o n d s ; T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ' C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 A A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r ( S ) o f s ( a s ) f o r a - 1 0 “ ( A c m - 6 0 0 a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n s e c o n d s ; T h e r m a l P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ’ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 ‘ * . 1 1 A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r p e r T i m e S t e p ( S ) a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n ( 0 ; ) f o r A t m - 6 0 0 a n d 1 2 0 0 s e c o n d s ( a - 1 0 ' “ , r - 1 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e T a b l e x i i i 6 . 1 A v e r a g e N u s s u l t N u m b e r s R e s u l t i n g f r o m F o r c e d C o n v e c t i o n o v e r a F l a t P l a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 6 . 2 A v e r a g e N u s s u l t N u m b e r s R e s u l t i n g f r o m F r e e C o n v e c t i o n . . . 1 3 7 6 . 3 a C o m b i n e d F r e e a n d F o r c e d N u s s u l t N u m b e r s , N E , a n d C o n v e c t i v e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x c v , A s s u m i n g a C o n s t a n t T e m p e r a t u r e B o u n d a r y C o n d i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9 6 . 3 b C o m b i n e d F r e e a n d F o r c e d N u s s u l t N u m b e r s , N E , a n d C o n v e c t i v e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x c v , A s s u m i n g a C o n s t a n t H e a t F l u x B o u n d a r y C o n d i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0 6 . 4 S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s u s e d i n t h e N u m e r i c a l S o l u t i o n i n t h e C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f t h e S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t s 1 a - c ) . . . . . . . 1 6 0 6 . 5 I n i t i a l a n d A m b i e n t T e m p e r a t u r e s u s e d i n t h e N u m e r i c a l S o l u t i o n i n t h e C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f t h e D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t s 2 a - c ) . . . . . . . 1 6 2 6 . 6 T h e r m a l P r o p e r t i e s o f U n f r o z e n S t r a w b e r r i e s . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1 6 . 7 K i n e t i c P r o p e r t i e s o f F r o z e n S t r a w b e r r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4 6 . 8 D e f i n i t i o n o f B o u n d a r y C o n d i t i o n C a s e s , w i t h S t e p C h a n g e s i n s t o r a g e T e m p e r a t u r e s o v e r G i v e n S t o r a g e I n t e r v a l . . . . . . 1 8 7 B . 1 D e s c r i p t i o n o f O n e D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 8 . 2 C o m p u t e r C o d e f o r O n e D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 C . 1 D e s c r i p t i o n o f T w o D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 C . 2 C o m p u t e r C o d e f o r T w o D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 D . 1 D e s c r i p t i o n o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r E s t i m a t i o n P r o g r a m . . 3 4 8 x i v T a b l e D . 2 C o m p u t e r C o d e f o r S u r f a c e H e a t T r a n s f e r E s t i m a t i o n P r o g r a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 9 L I S T O F F I G U R E S P A G E F i g u r e 3 . 1 C o m p a r i s o n o f C o n s t a n t T h e r m a l C o n d u c t i v i t y V a l u e s w i t h T h e r m a l C o n d u c t i v i t y V a l u e s a s a F u n c t i o n o f T e m p e r a t u r e . . 3 1 F i g u r e 3 . 2 D i r e c t i o n o f A s s u m e d H e a t T r a n s f e r f o r D i f f e r e n t O n e D i m e n s i o n a l G e o m e t r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 F i g u r e 3 . 3 D i r e c t i o n o f A s s u m e d H e a t T r a n s f e r f o r D i f f e : a t T w o D i m e n s i o n a l G e o m e t r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 F i g u r e 3 . 4 E v a l u a t i o n o f T h e r m a l P r o p e r t i e s i n O n e D i m e : o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 F i g u r e 3 . 5 E v a l u a t i o n o f T h e r m a l P r o p e r t i e s i n T w o D i m e : . o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 F i g u r e 3 . 6 I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 F i g u r e 4 . 1 S i n g l e L a y e r , O n e D i m e n s i o n a l C o n t a i n e r C « w f i g u r a t i o n . . 6 7 F i g u r e 4 . 2 D o u b l e L a y e r , O n e D i m e n s i o n a l C b n t a i n e r C o n f i g u r a t i o n . . 6 9 F i g u r e 4 . 3 T r i p l e L a y e r , T w o D i m e n s i o n a l C o n t a i n e r C o n f i g u r a t i o n . . 7 0 F i g u r e 4 . 4 T h e r m o c o u p l e a n d H y p o d e r m i c N e e d l e A s s e m b l y . . . . . . . . . . . . 7 1 F i g u r e 5 . 1 N u m e r i c a l E i g e n v a l u e s a s P e r c e n t a g e s o f A n a l y t i c a l E x p o n e n t i a l T e r m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 F i g u r e 5 . 2 C r a n k - N i c o l s o n A p p r o x i m a t i o n f o r t h e T i m e E e r i v a t i v e . . . 9 6 F i g u r e 5 . 3 N u m e r i c a l E i g e n v a l u e s a s P e r c e n t a g e s o f A n a l y t i c a l E x p o n e n t i a l T e r m s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l G e m e t r i e s . . . . 1 0 5 F i g u r e 5 . 4 E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s w i t h a n d w i t h o u t X V R a n d o m E r r o r s i n I n p u t D a t a w i t h S t a n d a r d D e v i a t i o n , a , o f 0 . 7 3 ' C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 F i g u r e 5 . 5 A m b i e n t a n d I n t e r n a l T e m p e r a t u r e I n p u t D a t a w i t h a n d w i t h o u t R a n d o m E r r o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7 F i g u r e 5 . 6 E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s w i t h a n d w i t h o u t R a n d o m E r r o r s i n I n p u t D a t a w i t h S t a n d a r d D e v i a t i o n , a , o f 0 . 3 6 ' C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 F i g u r e 6 . 1 A m b i e n t a n d A v e r a g e I n t e r n a l T e m p e r a t u r e o f K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e M e a s u r e m e n t s u s i n g S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 F i g u r e 6 . 2 a A n a l y t i c a l D e t e r m i n a t i o n o f t h e O v e r a l l H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t u s i n g C o n s t a n t T e m p e r a t u r e B o u n d a r y C o n d i t i o n . . . . . . 1 4 2 F i g u r e 6 . 2 b A n a l y t i c a l D e t e r m i n a t i o n o f t h e O v e r a l l H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t u s i n g C o n s t a n t H e a t F l u x B o u n d a r y C o n d i t i o n . . . . . . . . 1 4 3 F i g u r e 6 . 3 E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e H e a t F l u x , q , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 F i g u r e 6 . 4 a E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e H e a t F l u x , 3 , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 a ) , a n d A v e r a g e A m b i e n t T e m p e r a t u r e s f o r E a c h S t o r a g e I n t e r v a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 F i g u r e 6 . 4 b E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e H e a t F l u x , 3 , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t l b ) , a n d A v e r a g e A m b i e n t T e m p e r a t u r e s f o r E a c h S t o r a g e I n t e r v a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 F i g u r e 6 . 4 c E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e x v i i A H e a t F l u x , q , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 c ) , a n d A v e r a g e A m b i e n t T e m p e r a t u r e s f o r E a c h S t o r a g e I n t e r v a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8 F i g u r e 6 . 5 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d w i t h A n a l y t i c a l S o l u t i o n w i t h C o n s t a n t T h e r m a l P r o p e r t i e s o f K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e a t x - L x / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 F i g u r e 6 . 6 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d w i t h A n a l y t i c a l S o l u t i o n w i t h C o n s t a n t T h e r m a l P r o p e r t i e s o f K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e a t x - L x / 4 a n d x - 3 - L x / 4 . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 F i g u r e 6 . 7 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l R e s u l t s f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t l a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1 F i g u r e 6 . 8 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l R e s u l t s f r o m D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 2 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3 F i g u r e 6 . 9 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n , u s i n g I n i t i a l F r e e z i n g P o i n t , T i f ’ G i v e n b y S p e c h t e t . a 1 . ( 1 9 8 1 ) , C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l R e s u l t s f r o m D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 2 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 F i g u r e 6 . 1 0 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n , w i t h a n d w i t h o u t I m p o s e d I n s u l a t e d B o u n d a r y C o n d i t i o n a t P a c k a g i n g I n t e r f a c e ( x - L x / 2 ) , C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 2 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7 F i g u r e 6 . 1 1 O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n , w i t h h x o - 1 W / m 2 ° C a t x - 0 , C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 2 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 F i g u r e 6 . 1 2 a V e r i f i c a t i o n o f T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n w i t h h x - 8 . 5 1 W / m 2 ° C , h y - 0 . 0 , w i t h O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l x v i i i S o l u t i o n w i t h h x - 8 . 5 1 U / m z ' c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2 F i g u r e 6 . 1 2 b V e r i f i c a t i o n o f T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n w i t h h x - 0 . 0 , h y - 8 . 5 1 W / m z ‘ C , w i t h O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n w i t h b y - 8 . 5 1 w / n 2 ° c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3 F i g u r e 6 . 1 3 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l R e s u l t s f r o m T r i p l e L a y e r S l a b w i t h T w o E x p o s e d S u r f a c e s ( T e s t 3 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 F i g u r e 6 . 1 4 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n , w i t h a n d w i t h o u t I m p o s e d I n s u l a t e d B o u n d a r y C o n d i t i o n a t P a c k a g i n g I n t e r f a c e C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m T r i p l e L a y e r S l a b w i t h T w o E x p o s e d S u r f a c e s ( T e s t 3 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 F i g u r e 6 . 1 5 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n , w i t h h x o - h y o - 1 H / m 2 ° C , C o m p a r e d t o E x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m T r i p l e L a y e r S l a b w i t h T w o E x p o s e d S u r f a c e s ( T e s t 3 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 8 F i g u r e 6 . 1 6 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f A c t i v a t i o n E n e r g y C o n s t a n t , E a ( k J / m o l e ) , o n F o o d Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t I n i t i a l l y a t - 3 0 ' C , E x p o s e d t o 1 0 0 d a y s i n S t o r a g e a t - 5 ‘ C . . . . . . 1 8 3 F i g u r e 6 . 1 7 E f f e c t o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t , h x , o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r a n d E x p o s e d S u r f a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9 F i g u r e 6 . 1 8 E f f e c t o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t , h x , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t G e o m e t r i c C e n t e r a n d E x p o s e d S u r f a c e ( E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ‘ C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 F i g u r e 6 . 1 9 E f f e c t o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t , h x , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t G e o m e t r i c C e n t e r a n d E x p o s e d S u r f a c e ( E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1 F i g u r e 6 . 2 0 a E f f e c t o f D u r a t i o n o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e x i x T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ’ C ( C a s e s 1 , 2 a n d 3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 0 b E f f e c t o f D u r a t i o n o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e s 1 , 2 a n d 3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 1 E f f e c t o f D u r a t i o n o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e s 1 , 2 a n d 3 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ‘ C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 2 E f f e c t o f D u r a t i o n o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ‘ C ( C a s e s 1 , 2 a n d 3 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ‘ C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 3 s E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e s 1 , 4 a n d 7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 3 b E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 1 , 4 a n d 7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 4 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 1 , 4 a n d 7 ; E s - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ' C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 6 . 2 5 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a 1 9 4 1 9 5 1 9 7 1 9 8 2 0 1 2 0 2 2 0 3 P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ‘ C ( C a s e s 1 , 4 a n d 7 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4 F i g u r e 6 . 2 6 s E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f ~ 3 0 ' C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6 F i g u r e 6 . 2 6 b E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7 F i g u r e 6 . 2 7 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ’ C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ' C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9 F i g u r e 6 . 2 8 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0 F i g u r e 6 . 2 9 s E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ’ C ( C a s e s 3 , 6 a n d 9 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1 F i g u r e 6 . 2 9 b E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 3 , 6 a n d 9 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 F i g u r e 6 . 3 0 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 3 , 6 a n d 9 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4 F i g u r e 6 . 3 1 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 3 , 6 a n d 9 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t ~ 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 F i g u r e 6 . 3 2 a E f f e c t o f L a r g e P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t t h e G e o m e t r i c C e n t e r f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 F i g u r e 6 . 3 2 b E f f e c t o f L a r g e P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9 F i g u r e 6 . 3 3 E f f e c t o f L a r g e P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 F i g u r e 6 . 3 4 s E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t t h e G e o m e t r i c C e n t e r f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 F i g u r e 6 . 3 4 b E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ’ C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 F i g u r e 6 . 3 5 E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s , L x - 1 . 0 m , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l x x i i T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ’ C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ; E s - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ' C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5 F i g u r e 6 . 3 6 E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s , L x - 0 . 2 m , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 F i g u r e 6 . 3 7 L o c a t i o n s o f S o l u t i o n s f o r T w o D i m e n s i o n a l G e o m e t r y . . . . 2 2 9 F i g u r e 6 . 3 8 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n f o r S q u a r e R o d ( L x - L y - 2 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h E q u a l D i m e n s i o n , L x , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0 F i g u r e 6 . 3 9 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S q u a r e R o d ( L x - L y - 2 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h E q u a l D i m e n s i o n , L x , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f — l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1 F i g u r e 6 . 4 0 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 1 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 1 . 0 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e 6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 F i g u r e 6 . 4 1 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l S o l u t i o n f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 1 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 1 . 0 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ' C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . . 2 3 4 F i g u r e 6 . 4 2 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 0 . 2 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 0 . 2 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l x x i i i T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5 F i g u r e 6 . 4 3 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l S o l u t i o n f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 0 . 2 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 0 . 2 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f ~ 3 0 ° C ( C a s e 6 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . . . . . 2 3 6 F i g u r e 6 . 4 4 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l S o l u t i o n f o r S q u a r e R o d ( L x - L y - 2 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h E q u a l D i m e n s i o n , L x , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e 6 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ' C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 8 F i g u r e 6 . 4 5 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l S o l u t i o n f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 1 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 1 . 0 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . 2 3 9 F i g u r e 6 . 4 6 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l S o l u t i o n f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 0 . 2 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 0 . 2 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ’ C ( C a s e 6 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . . . . . . . 2 4 0 F i g u r e 6 . 4 7 C o m p a r i s o n o f S o l u t i o n s f o r T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a S q u a r e R o d a n d O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a C y l i n d e r o f E q u a l S u r f a c e A r e a ( C a s e 6 ) . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 F i g u r e 6 . 4 8 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a S q u a r e R o d a n d O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a C y l i n d e r o f E q u a l S u r f a c e A r e a ( C a s e 6 ) . 2 4 3 F i g u r e 6 . 4 9 C o m p a r i s o n o f S o l u t i o n s f o r T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a S q u a r e R o d a n d O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r x x i v T h r o u g h a C y l i n d e r o f E q u a l V o l u m e ( C a s e 6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 F i g u r e 6 . 5 0 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n - s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a S q u a r e R o d a n d O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a C y l i n d e r o f E q u a l V o l u m e ( C a s e 6 ) . . . . . . . 2 4 6 F i g u r e E . 1 a A m b i e n t a n d A v e r a g e I n t e r n a l T e m p e r a t u r e o f K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e M e a s u r e m e n t s u s i n g S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 2 F i g u r e E . 1 b A m b i e n t a n d A v e r a g e I n t e r n a l T e m p e r a t u r e o f K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e M e a s u r e m e n t s u s i n g S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 F i g u r e E . 2 a E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e H e a t F l u x , q , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 4 F i g u r e E . 2 b E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e H e a t F l u x , q , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 5 F i g u r e E . 3 a O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i - m e n t a l R e s u l t s f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 6 F i g u r e E . 3 b O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i - m e n t a l R e s u l t s f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 7 F i g u r e E . 4 a O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i — m e n t a l R e s u l t s f r o m D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 2 b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 8 F i g u r e E . 4 b O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i - m e n t a l R e s u l t s f r o m D o u b l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 2 c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 9 F i g u r e E . 5 a T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i - m e n t a l R e s u l t s f r o m T r i p l e L a y e r S l a b w i t h T w o E x p o s e d S u r f a c e s ( T e s t 3 b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 0 F i g u r e E . 5 b T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n C o m p a r e d t o E x p e r i - m e n t a l R e s u l t s f r o m T r i p l e L a y e r S l a b w i t h T w o E x p o s e d S u r f a c e s ( T e s t 3 c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 1 * 3 F ' 0 U O G ( e ) 0 G P C p ( ' r ) L I S T O F S Y M B O L S C o n s t a n t S u r f a c e A r e a ( m 2 ) C o e f f i c i e n t m a t r i x f o r t e m p e r a t u r e s a t t i m e n + 1 C o n s t a n t C o e f f i c i e n t m a t r i x f o r t e m p e r a t u r e s a t t i m e n C o n c e n t r a t i o n o f q u a l i t y i n d e x H e a t C a p a c i t y M a t r i x E l e m e n t a l H e a t C a p a c i t y M a t r i x C o n f i d e n c e I n t e r v a l S p e c i f i c h e a t ( k J / k g ' C ) S p e c i f i c h e a t o f f r o z e n f o o d a s f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e ( k J / k g ° C ) V e c t o r c o n t a i n i n g k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s D e t e r m i n i s t i c E r r o r A c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( k J / m o l e ) A c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y ( m / s z ) G r a s h o f n u m b e r E n t h a l p y ( I d / k s ) R e g u l a r i z a t i o n d i f f e r e n c e m a t r i x S u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o n b o u n d a r i e s a l o n g x - a x i s ( W / m 2 ° C ) h x c v h y H e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f r o m f o r c e d a n d f r e e c o n v e c t i o n 2 . ( W u C ) S u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s o n b o u n d a r i e s a l o n g y - a x i s x x v i x x v i i ( W / m Z ' C ) 1 t h o r d e r B e s s e l f u n c t i o n T h e r m a l c o n d u c t i v i t y ( W / m ’ C ) M a t r i x c o n t a i n i n g t h e r m a l c o n d u c t i v i t y t e r m s - E l e m e n t a l m a t r i x c o n t a i n i n g t h e r m a l c o n d u c t i v i t y t e r m s T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f f r o z e n f o o d a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e ( W / m ’ C ) R a t e c o n s t a n t ( s e c " 1 o r d a y - 1 ) T o t a l n u m b e r o f n o d e s a l o n g x a x i s P o s i t i o n a l o n g x a x i s o f f i r s t b o u n d a r y ( m ) C h a r a c t e r i s t i c L e n g t h ( m ) P o s i t i o n a l o n g x a x i s o f s e c o n d b o u n d a r y ( m ) P o s i t i o n a l o n g y a x i s o f s e c o n d b o u n d a r y ( m ) T o t a l n u m b e r o f n o d e s a l o n g y a x i s M o l e c u l a r w e i g h t o f s u b s t a n c e 3 ( k g / m o l e ) M o l e c u l a r m a s s o f s u b s t a n c e j W a t e r c o n t e n t ( t ) o f m e t h y l - c e l l u l o s e O r d e r o f r e a c t i o n T o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s N u m b e r o f t h e r m o c o u p l e s N u s s u l t n u m b e r P r a n d l t n u m b e r S u r f a c e h e a t f l u x ( W / m z ) S u r f a c e h e a t f l u x v e c t o r ( W / m z ) F o o d q u a l i t y ( t i m e o r % ) A s s u m e d h e a t f l u x v e c t o r ( W / m z ) I n i t i a l f o o d q u a l i t y a t r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e T r ( t i m e ) U n i v e r s a l g a s c o n s t a n t R e g u l a r i z a t i o n t e r m s ( 3 - 0 , 1 , 2 ) € N N N x x v i i i R a l e i g h n u m b e r R e y n o l d s n u m b e r L e a s t s q u a r e s f u n c t i o n t h s e t o f r a n d o m n u m b e r s L e a s t s q u a r e s f u n c t i o n f o r 1 M e a n s q u a r e d e r r o r p e r t i m e s t e p T i m e ( s ) T e m p e r a t u r e ( “ C o r ‘ K ) T e m p e r a t u r e V e c t o r ( ' C o r ° K ) T i m e f o r 1 t h t e r m s i n s u m m a t i o n b e i n s i g n i f i c a n t T i m e f o r s o l u t i o n t o r e a c h s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e ( ° K ) R e f e r e n c e t e m p e r a t u r e ( ' K ) S u r f a c e t e m p e r a t u r e ( ' C ) T e m p e e t u r e m a t r i x f r o m a s s u m e d h e a t f l u x ( ° C ) I n i t i p r o d u c t t e m p e r a t u r e ( ° C ) A i r f ; e s t r e a m v e l o c i t y ( m / s ) V a r i a n c e W e i g h t i n g f a c t o r s f o r r e g u l a r i z a t i o n t e r m s ( j - 0 , 1 , 2 ) p o s i t i c n . a l o n g x a x i s ( m ) S e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t ( ' C / W / m z ) S e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t m a t r i x ( ° C / W / m 2 ) M o l e f r a c t i o n l o c a t i o n o f t e m p e r a t u r e s e n s o r ( m ) p o s t i o n a l o n g y a x i s ( m ) T e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s a t x o ( ° C ) T e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s a t x o v e c t o r ( ° C ) R e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r W e i g h t i n g f a c t o r a t t i m e n W e i g h t i n g f a c t o r a t t i m e n i n x - d i r e c t i o n ( 2 - D s o l u t i o n ) A t A t a c A t A t o s c x x i x W e i g h t i n g f a c t o r a t t i m e n i n y - d i r e c t i o n ( 2 - D s o l u t i o n ) E x p a n s i o n c o e f f i c i e n t o f a i r ( ‘ K ' 1 ) L a t e n t h e a t o f s o l v e n t T i m e s t e p M a x i m u m t i m e s t e p f o r a c c u r a c y T i m e i n c r e m e n t f o r t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s L i m i t i n g t i m e s t e p f o r n o o s c i l l a t i o n s S p a t i a l s t e p x d i r e c t i o n S p a t i a l s t e p y d i r e c t i o n t h 1 r o o t o f t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n W e i g h t i n g f a c t o r a t t i m e n + 1 W e i g h t i n g f a c t o r a t t i m e n + 1 i n x - d i r e c t i o n ( 2 - D s o l u t i o n ) W e i g h t i n g f a c t o r a t t i m e n + 1 i n y - d i r e c t i o n ( 2 - D s o l u t i o n ) K i n e m a t i c v i s c o s i t y ( m z / s ) T h e r m a l d i f f u s i v i t y ( m z / s ) M a x i m u m n u m e r i c a l e i g e n v a l u e ( ' C - 1 ) M a x i m u m e l e m e n t a l n u m e r i c a l e i g e n v a l u e ( ° C ' 1 ) t h 1 1 n u m e r i c a l e i g e n v a l u e ( ' 0 ' ) 1 t h a n a l y t i c a l e i g e n v a l u e ( ' 0 ' 1 ) P 1 D e n s i t y ( k g / m 3 ) D e n s i t y o f f r o z e n f o o d a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e ( k g / m 3 ) S t a n d a r d d e v i a t i o n o f t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s ( ° C ) S t a n d a r d d e v i a t i o n o f l e a s t s q u a r e s f u n c t i o n ( ° C ) S t a n d a r d d e v i a t i o n o f l e a s t s q u a r e s f u n c t i o n p e r t i m e s t e p ( ° C / s e c ) A r b i t r a r y t e m p e r a t u r e f u n c t i o n S u b s c r i p t : a a i r c c a r b o h y d r a t e D w i t h o u t i n p u t e r r o r s F f o r c e d c o n v e c t i o n 1 i c e 1 p l i p i d L x s e c o n d b o u n d a r y i n x - d i r e c t i o n o n f i r s t b o u n d a r y i n x - d i r e c t i o n L y s e c o n d b o u n d a r y i n y - d i r e c t i o n m m i n e r a l N f r e e c o n v e c t i o n p u n f r o z e n f o o d p r o d u c t p b p a p e r b o a r d p f p l a s t i c f i l m p k p a c k a g i n g m a t e r i a l p r p r o t e i n 3 s o l i d s V w i t h i n p u t e r r o r s w w a t e r w i w a t e r - i c e c o m p o n e n t w i s w a t e r - i c e - s o l i d s c o m p o n e n t w o u n f r o z e n w a t e r 0 f i r s t b o u n d a r y i n y - d i r e c t i o n 1 f i r s t s t o r a g e p e r i o d 2 s e c o n d s t o r a g e p e r i o d 1 c a m b i e n t c o n d i t i o n s f o r f i r s t s t o r a g e p e r i o d 2 m a m b i e n t c o n d i t i o n s f o r s e c o n d s t o r a g e p e r i o d x x x i - - a t a l o c a t i o n b e t w e e n m t h a n d ( m - l ) t h n o d e + - a t a l o c a t i o n b e t w e e n m t h a n d ( n + 1 ) t h n o d e W - - M e a n A - E s t i m a t e d C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N F r e e z i n g i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t m e t h o d s o f f o o d p r e s e r v a t i o n u s e d i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e f r e e z i n g p r o c e s s c a n n o t i m p r o v e t h e q u a l i t y o f a f o o d p r o d u c t ; t h e r e d u c t i o n o f t e m p e r a t u r e i n a f o o d p r o d u c t o n l y r e s u l t s i n t h e r e t a r d a t i o n o f t h e p r o c e s s e s w h i c h a r e d e t r i m e n t a l t o p r o d u c t q u a l i t y , s u c h a s e n z y m e a c t i v i t y , m i c r o b i a l g r o w t h a n d c h e m i c a l r e a c t i o n s . T h e o v e r a l l q u a l i t y o f t h e f o o d p r o d u c t m a y b e a f f e c t e d d u r i n g p r o - t r e a t m e n t ( p o s t h a r v e s t h a n d l i n g a n d p r e p a r a t i o n ) , f r e e z i n g , a n d p o s t - f r e e z i n g h a n d l i n g ( t r a n s p o r t a t i o n , s t o r a g e a n d d i s t r i b u t i o n ) . H o w e v e r , w i t h p r o p e r p r e - t r e a t m e n t a n d f r e e z i n g , t h e m a j o r i t y o f t h e q u a l i t y r e d u c t i o n o c c u r s d u r i n g t h e p o s t - f r e e z i n g h a n d l i n g p h a s e o f t h e o v e r a l l f r e e z i n g p r o c e s s . T h e r a t e o f q u a l i t y l o s s d u r i n g t h i s p h a s e i s p r i m a r i l y t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t ; c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e d u r i n g t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e m a y r e s u l t i n a r e d u c t i o n i n s t o r a g e o r s h e l f - l i f e f o r t h e p r o d u c t ( S i n g h a n d W a n g , 1 9 7 7 ) . Z a r i t z k y ( 1 9 8 2 ) c i t e d t w o t y p e s o f t e m p e r a t u r e c h a n g e s a f r o z e n f o o d p r o d u c t m a y b e e x p o s e d t o d u r i n g t h e p o s t — f r e e z i n g p h a s e : ( 1 ) f l u c t u a t i o n s i n t h e t e m p e r a t u r e o f t h e s t o r a g e c h a m b e r , a n d ( 2 ) s u d d e n i n c r e a s e s i n t e m p e r a t u r e d u r i n g l o a d i n g a n d u n l o a d i n g o f t h e p r o d u c t d u r i n g t r a n s p o r t a t i o n a n d d i s t r i b u t i o n . I n b o t h o f t h e s e c a s e s , a r i s e i n t e m p e r a t u r e m a y l e a d t o a n u n d e s i r a b l e l o s s o f p r o d u c t q u a l i t y . A d d i t i o n a l l y , s i n c e f r o z e n f o o d p r o d u c t s a r e c o m m o n l y s t o r e d i n l a r g e p a l l e t l o a d s , a s u d d e n c h a n g e i n t e m p e r a t u r e m a y r e s u l t i n a h i g h e r r a t e o f q u a l i t y l o s s a t t h e s u r f a c e o f t h e p a l l e t l o a d t h a n a t t h e c e n t e r . S i n c e p r o d u c t q u a l i t y i s l a r g e l y a r e s u l t o f t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r y o f t h e p r o d u c t a f t e r f r e e z i n g , a c c u r a t e m e t h o d s o f p r e d i c t i n g t e m p e r a - t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s w i t h i n t h e p r o d u c t a s a r e s u l t o f f l u c t u a t i n g s t o r a g e t e m p e r a t u r e s a r e i m p o r t a n t i n e s t i m a t i n g f i n a l p r o d u c t q u a l i t y . S u b s t a n t i a l r e s e a r c h h a s b e e n d e v o t e d t o d e v e l o p i n g a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l m o d e l s f o r t h e s i m u l a t i o n o f f r e e z i n g i n f o o d s a n d t h e e s t i m a - t i o n o f f r e e z i n g t i m e s ( P l a n k , 1 9 1 3 , H a y a k a w a a n d B a k a l , 1 9 7 2 , C h a r m e t . a 1 . , 1 9 7 2 , a n d C l e l a n d a n d E a r l e , 1 9 7 7 a ) . O n l y a l i m i t e d a m o u n t o f w o r k h a s f o c u s e d o n e x t e n d i n g t h e s e s t u d i e s , p a r t i c u l a r l y t h e n u m e r i c a l m o d e l s , t o s i m u l a t i n g t h e f o o d p r o d u c t d u r i n g t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e . A l t h o u g h m a n y s i m i l a r i t i e s e x i s t i n t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f t h e t w o p r o b l e m s , s i m u l a t i o n o f t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e d i f f e r s f r o m t h e f r e e z - i n g p r o c e s s i n s e v e r a l w a y s : f i r s t , t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s p r e v a l e n t d u r i n g t h e f r e e z i n g p h a s e a r e g e n e r a l l y m u c h h i g h e r t h a n t h o s e f o u n d i n t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e . S e c o n d , t h e s i z e o f t h e b o d y c o n - s i d e r e d a l s o d i f f e r s . D u r i n g f r e e z i n g , t h e i n d i v i d u a l l y p a c k a g e d p r o d u c t i s c o n s i d e r e d , w h i l e d u r i n g t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e t h e p r o d u c t i s o f t e n p a l l e t i z e d , a n d c o n s e q u e n t l y , t h e p a l l e t l o a d i s t h e o b j e c t o f c o n s i d e r a t i o n . I n a d d i t i o n , t h e d u r a t i o n o f t h e f r e e z i n g p r o c e s s i s g e n e r a l l y m u c h s h o r t e r t h a n t h e d u r a t i o n o f t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e . T h e s e d i f f e r e n c e s i n t h e r a t e o f h e a t t r a n s f e r , s i z e o f b o d y , a n d d u r a — t i o n t i m e , s u g g e s t t h a t c a r e m u s t b e t a k e n i n a d a p t i n g n u m e r i c a l m e t h o d s d e v e l o p e d f o r t h e f r e e z i n g p r o c e s s t o t h e p o s t - f r e e z i n g p r o c e s s . T h e h e a t t r a n s f e r r a t e d e p e n d s o n t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l b e t w e e n t h e s u r r o u n d i n g e n v i r o n m e n t a n d t h e p r o d u c t , a n d t h e h e a t t r a n s - f e r c o e f f i c i e n t . S e v e r a l r e s e a r c h e r s , i n c l u d i n g B o n a c i n a a n d C o m i n i ( 1 9 7 2 ) a n d C h a v a r r i a a n d H e l d m a n ( 1 9 8 3 ) h a v e i n v e s t i g a t e d t h e m e a s u r e - m e n t o f t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t d u r i n g t h e f r e e z i n g s t a g e , b u t l i t t l e d a t a c a n b e f o u n d o n i t s v a l u e d u r i n g t h e p o s t - f r e e z i n g s t a g e . V a l u e s w e r e m e a s u r e d b y D a g e r s k o g ( 1 9 7 4 ) , b u t o n l y f o r s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s . T o g a i n a f u l l u n d e r s t a n d i n g o f t h e p o s t — f r e e z i n g s i t u a - t i o n , i t i s d e s i r a b l e t o e s t i m a t e t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r b o t h t r a n s i e n t a n d s t e a d y - s t a t e h e a t t r a n s f e r . E s t i m a t i o n o f i n t e r n a l f r o z e n f o o d t e m p e r a t u r e s i s e s s e n t i a l i n e s t i m a t i n g f i n a l p r o d u c t q u a l i t y . I f a f i r s t o r d e r q u a l i t y d e t e r i o r a - t i o n m e c h a n i s m i s a s s u m e d , t h e p r o d u c t q u a l i t y l o s s m y b e p r e d i c t e d f r o m i n t e r n a l t e m p e r a t u r e s a n d k n o w n k i n e t i c p a r a m e t e r s . I n t h i s s t u d y , t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i b u t i o n s i n f o o d p r o d u c t s s u b j e c t t o s t e p c h a n g e s i n a m b i e n t t e m - p e r a t u r e s i n t h e p o s t - f r e e z i n g p h a s e w a s c o n s i d e r e d . A n u m e r i c a l m e t h o d w a s d e v e l o p e d t o s i m u l a t e o n e o r t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r , a n d a c c o m m o d a t e r e g u l a r g e o m e t r i c s h a p e s ; a r e c t a n g l e , c y l i n d e r o r s p h e r e . A d d i t i o n a l l y , a p r o c e d u r e i s p r e s e n t e d t o e s t i m a t e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s f r o m i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s t h r o u g h o u t t r a n s i e n t a n d s t e a d y s t a t e h e a t t r a n s f e r . T h e p r e d i c t e d t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s a r e u s e d t o e s t i m a t e p r o d u c t q u a l i t y l o s s , a s s u m - i n g a s i n g l e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n p r o c e s s e x i s t s w h i c h l i m i t s t h e o v e r a l l q u a l i t y d e g r a d a t i o n r a t e . T h e u n i q u e n e s s o f t h i s s t u d y l i e s i n t h e c o u p l i n g o f t e m p e r a t u r e h i s t o r y w i t h q u a l i t y l o s s e s t i m a t i o n , i n t h e d e v e l o p m e n t o f a n u m e r i c a l m o d e l t o a c c o m m o d a t e t h e c o n d i t i o n s i n h e r e n t t o t h e p o s t - f r e e z i n g p r o c e s s , a n d i n t h e e s t i m a t i o n o f t h e t r a n s i e n t a n d s t e a d y - s t a t e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . 1 . 1 O b j e c t i v e s T h e p r i n c i p a l o b j e c t i v e s o f t h i s s t u d y w e r e : 1 . T o d e v e l o p a g e n e r a l i z e d o n e d i m e n s i o n a l m a t h e m a t i c a l m o d e l t o s i m u l a t e t r a n s i e n t t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i b u t i o n s w i t h i n f r o z e n f o o d p r o d u c t s s u b j e c t t o s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s , u s i n g t h e i m p l i c i t C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e , a n d a s s u m i n g a s i n g l e l i m i t i n g q u a l i t y r e a c t i o n e x i s t s , w h i c h g o v e r n s t h e o v e r a l l q u a l i t y d e g r a d a t i o n r a t e . 2 . T o e x t e n d t h e o n e d i m e n s i o n a l a n a l y s i s t o t w o d i m e n s i o n s u s i n g a n a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n i m p l i c i t ( A D I ) f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e . 3 . T o e s t i m a t e t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f a f r o z e n f o o d p r o d u c t d u r i n g s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s a s a f u n c t i o n o f t i m e , f r o m d i s c r e t e a m b i e n t a n d i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s . 4 . T o a n a l y z e t h e i n f l u e n c e o f t h e p r o d u c t b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n q u a l i t y l o s s d u r i n g s t o r a g e . P a r a m e t e r s a f f e c t i n g t h e p r o d u c t b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n c l u d e a m b i e n t t e m p e r a t u r e , t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , a n d , f o r s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s , t h e t i m e i n t e r v a l a t e a c h s t o r a g e t e m p e r a t u r e , a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e s t e p c h a n g e i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e . 5 . T o a n a l y z e t h e e f f e c t s o f p r o d u c t d i m e n s i o n s a n d k i n e t i c p a r a m e t e r s o n t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n . S p e c i f i c a l l y , i t w a s d e s i r e d t o d e t e r m i n e u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i b u t i o n s a r e u n i f o r m t h r o u g h o u t t h e b o d y , a n d a l u m p e d ( u n i f o r m t e m p e r a t u r e ) m o d e l c a n b e u s e d . 6 . T o d e t e r m i n e t h e i n f l u e n c e t h a t g e o m e t r y a n d t h e c h o i c e o f a o n e o r t w o d i m e n s i o n a l m o d e l h a s o n t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i b u t i o n s . T h i s i n c l u d e s d e t e r m i n i n g u n d e r w h a t c o n d i t i o n s a o n e d i m e n s i o n a l m o d e l c a n b e u s e d t o a p p r o x i m a t e t w o d i m e n s i o n a l h e a t f l o w , t h a t i s , t o d e t e r m i n e w h e n h e a t f l o w i n a n i n f i n i t e c y l i n d e r c a n b e u s e d t o a p p r o x i m a t e t w o d i m e n s i o n a l h e a t f l o w t h r o u g h a n i n f i n i t e r e c t a n g u l a r r o d . C H A P T E R 2 L I T E R A T U R E R E V I E W 2 . 1 Q u a l i t y L o s s i n F r o z e n F o o d s d u r i n g S t o r a g e F r e e z i n g i s a n i m p o r t a n t m e t h o d o f p r e s e r v i n g f o o d p r o d u c t s f o r l a t e r c o n s u m p t i o n . T h i s p r o c e s s r e d u c e s t h e r a t e o f q u a l i t y l o s s b y r e s t r i c t i n g e n z y m e a c t i o n , r e d u c i n g c h e m i c a l r e a c t i o n r a t e s a n d i n h i b i t - i n g m i c r o b i a l g r o w t h . T h e p r o c e s s d o e s n o t c o m p l e t e l y p r e s e r v e f o o d q u a l i t y ; d e t r i m e n t a l c h a n g e s c o n t i n u e a t a r e d u c e d r a t e d e p e n d e n t u p o n s t o r a g e t e m p e r a t u r e a n d t y p e o f p r o d u c t . P h y s i c a l a n d c h e m i c a l c h a n g e s a r e t h e p r i m a r y f a c t o r s a f f e c t i n g t h e o v e r a l l q u a l i t y o f f r o z e n f o o d s . I m p o r t a n t d e t r i m e n t a l p h y s i c a l c h a n g e s c i t e d b y S i n g h a n d W a n g ( 1 9 7 7 ) a r e i c e c r y s t a l l i z a t i o n w i t h v o l u m e e x p a n s i o n , a n d d e s i c c a t i o n a t t h e s u r f a c e o f t h e f r o z e n f o o d p r o d u c t . F l u c t u a t i o n s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e t h e r a t e o f d e s i c c a t i o n a t t h e s u r f a c e o f t h e p r o d u c t , e s p e c i a l l y i n i m p r o p e r l y p a c k a g e d f o o d s , r e s u l t i n g i n d r y , b r o w n s p o t s , p a r t i c u l a r l y i n p o u l t r y p r o d u c t s , c o m - m o n l y r e f e r r e d t o a s ” f r e e z e r b u r n " . C h e m i c a l c h a n g e s o c c u r r i n g d u r i n g f r o z e n s t o r a g e , a s d e s c r i b e d b y F e n n e m a e t . a 1 . ( 1 9 7 3 ) , a r e l i p i d o x i d a t i o n , e n z y m a t i c b r o w n i n g , f l a v o r d e t e r i o r a t i o n , p r o t e i n i n s o l u b i l i z a t i o n a n d d e g r a d a t i o n o f c h l o r o p h y l l a n d v i t a m i n s . M o s t o f t h e e x i s t i n g d a t a o n q u a l i t y c h a n g e s i n f r o z e n f o o d s r e p r e - s e n t t h e a l l o w a b l e o r t o l e r a b l e t i m e a n d t e m p e r a t u r e c o n d i t i o n s f o r a 6 s p e c i f i e d q u a l i t y r e t e n t i o n . T h e s e t e s t s , i n i t i a t e d b y V a n A r s d e l ( 1 9 5 7 ) , a r e c o m m o n l y k n o w n a s t h e t i m e - t e m p e r a t u r e — t o l e r a n c e ( T T T ) e x p e r i m e n t s . T h e W e s t e r n R e g i o n a l R e s e a r c h C e n t e r , B e r k e l e y , C a l i f o r n i a c o n t i n u e d t h e s e t e s t s i n t o t h e e a r l y s i x t i e s o n a g r e a t m a n y f r u i t , v e g e t a b l e , a n d p o u l t r y p r o d u c t s ( J u l ( 1 9 8 4 ) ) . S e v e r a l m a t h e m a t i c a l m o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o p r e d i c t t h e q u a l i t y c h a n g e o f f r o z e n f o o d s d u r i n g s t o r a g e b a s e d o n t h i s d a t a . S c h w i m m e r e t . a l . ( 1 9 5 5 ) d e v e l o p e d s e r i e s r e l a t i o n s h i p s f o r q u a l i t y l o s s e s r e s u l t i n g f r o m p e r i o d i c s t o r a g e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s . V a n A r s d e l a n d G u a d a g n i ( 1 9 5 9 ) p r e s e n t e d a p r o c e d u r e t o p r e d i c t q u a l i t y c h a n g e s r e s u l t i n g f r o m k n o w n i r r e g u l a r t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s t h r o u g h g r a p h i c a l i n t e g r a t i o n o f t e m p e r a t u r e h i s t o r y c u r v e s . I n t h e c a s e w h e r e a l i m i t i n g r e a c t i o n a f f e c t i n g q u a l i t y e x i t s , k i n e t i c t h e o r y m a y b e u s e d t o d e s c r i b e t h e c h a n g e i n q u a l i t y a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . T h e l o s s o f q u a l i t y w i t h s t o r a g e t i m e , a t a g i v e n t e m p e r a t u r e m a y b e f o u n d f r o m : - 3 ; - k r o c w h e r e C c o n c e n t r a t i o n o f q u a l i t y i n d e x t - t i m e k r - r a t e c o n s t a n t n - o r d e r o f t h e r e a c t i o n I t w a s s u g g e s t e d b y C h a r m ( 1 9 7 1 ) t h a t i f a l i m i t i n g q u a l i t y f a c t o r e x i s t s , t h e e m p i r i c a l e q u a t i o n d e v e l o p e d b y A r r h e n i u s ( 1 8 8 9 ) c a n b e u s e d t o d e s c r i b e t h e e f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e r a t e c o n s t a n t . S i n g h ( 1 9 7 6 ) a l s o u t i l i z e d t h e A r r h e n i u s e q u a t i o n t o d e s c r i b e t h e f i r s t o r d e r r e d u c t i o n o f a s i n g l e c o m p o n e n t i n a p r o d u c t . T h e k i n e t i c s o f q u a l i t y c h a n g e i n f r o z e n f o o d s w e r e a n a l y z e d b y L a i a n d H e l d m a n ( 1 9 8 2 ) i n a n e f f o r t t o a p p l y k i n e t i c m o d e l s t o T T T d a t a f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . I n a r e l a t e d s t u d y , H e l d m a n a n d L a i ( 1 9 8 3 ) d e v e l o p e d a m o d e l b a s e d o n t h e A r r h e n i u s e q u a t i o n w h e r e t h e r e a c t i o n o r d e r n e e d n o t b e c o n s i d e r e d . S t a t i s t i c a l m e t h o d s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f k i n e t i c p a r a m e t e r s u s e d i n t h e A r r h e n i u s e q u a t i o n f r o m e x i s t i n g T T T d a t a w e r e d e v e l o p e d b y C h u ( 1 9 8 3 ) , H a r a l a m p u e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) , a n d C o h e n a n d S a g u y ( 1 9 8 5 ) . R o s s e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) d e v e l o p e d s h e l f - l i f e p r e d i c t i o n m o d e l s b a s e d o n n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n d c o n t i n g e n c y - t a b l e m e t h o d s . S i n g h a n d H e l d m a n ( 1 9 7 6 ) m o d e l e d t h e d i f f u s i o n o f o x y g e n a c c o m p a n i e d b y a s e c o n d o r d e r c h e m i c a l r e a c t i o n w i t h a s c o r b i c a c i d t o s i m u l a t e f o o d q u a l i t y l o s s i n l i q u i d s d u r i n g s t o r a g e . B h a t t a c h a r y a a n d H a n n a ( 1 9 8 6 ) e s t i m a t e d r a t e c o n s t a n t s , t h e o r d e r o f r e a c t i o n a n d t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t f o r t e x t u r e d e g r a d a t i o n o f f r o z e n b e e f d u r i n g s t o r a g e . J u l ( 1 9 8 4 ) w a r n e d a g a i n s t t h e u s e o f m a t h e m a t i c a l m o d e l s b a s e d o n a s i n g l e q u a l i t y f a c t o r i n p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s w h e r e t h e r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n m a y b e a r e s u l t o f s e v e r a l f a c t o r s a n d n o s i n g l e l i m i t i n g r e a c t i o n e x i s t s . T h e e f f e c t s o f t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s d u r i n g s t o r a g e o n p r o d u c t q u a l i t y h a s b e e n t h e s u b j e c t o f r e s e a r c h f o r a n u m b e r o f y e a r s . H u s t r u l i d a n d W i n t e r ( 1 9 4 3 ) r e p o r t e d f l u c t u a t i n g s t o r a g e t e m p e r a t u r e s b e l o w - 1 5 ’ C h a d n o g r e a t i n f l u e n c e o n t h e a p p e a r a n c e a n d / o r p a l a t a b i l i t y o f t h e p r o d u c t s s t u d i e d . G o r t n e r e t . a 1 . ( 1 9 4 8 ) c o m p a r e d q u a l i t y l o s s i n f r o z e n f o o d p r o d u c t s ( p o r k , s t r a w b e r r i e s , s n a p b e a n s , a n d p e a s ) s u b j e c t t o t h r e e d i f f e r e n t s t o r a g e c o n d i t i o n s . O n e s t o r a g e c o m p a r t m e n t w a s m a i n t a i n e d a t - 1 7 . 8 ° C , t h e s e c o n d w a s h e l d a t - 1 2 . 2 ° C , a n d t h e t h i r d f l u c t u a t e d b e t w e e n - l 7 . 8 ° C a n d - 6 . 7 ° C i n a s i x d a y c y c l e . Q u a l i t y l o s s e s i n t h e p r o d u c t s h e l d a t - 1 2 . 2 ° C a n d i n t h e f l u c t u a t i n g c o m p a r t - m e n t w e r e c o m p a r a b l e , b a s e d o n p a l a t a b i l i t y , t h a m i n e , a n d p e r i o x i d e c o n t e n t i n p o r k , a n d a s c o r b i c a c i d l o s s i n f r u i t s a n d v e g e t a b l e s . A n u m b e r o f t h e T T T s t u d i e s , c o m p l e t e d d u r i n g t h e l a t e f i f t i e s a n d e a r l y s i x t i e s , i n v e s t i g a t e d t h e e f f e c t s o f t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s d u r i n g s t o r a g e . D i e t r i c h e t . a 1 . ( 1 9 6 0 ) f o u n d , i n a s t u d y o f f r o z e n s n a p b e a n s , t h a t w h e n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s w e r e v a r i e d i n p a t t e r n s , d e t e r i o r a t i o n w a s f o u n d t o b e a s u m m a t i o n o f c o n s t a n t t e m p e r a t u r e i n c r e - m e n t s . I n a n i n v e s t i g a t i o n o f r e a d y - t o - c o o k c u t - u p c h i c k e n , K l o s e e t . a 1 . ( 1 9 5 9 ) c o n d u c t e d c o n s t a n t s t o r a g e t e s t s a t - 6 . 7 ° C , - 1 2 . 2 ° C , - l 7 . 8 ° C , - 2 7 . 8 ° C a n d - 3 4 . 4 ° C , a n d p e r i o d i c s t o r a g e t e s t s b e t w e e n - 1 7 . 8 ° C a n d ~ 6 . 7 ’ C , a n d b e t w e e n - 2 7 . 8 ° C a n d - 1 2 . 2 ’ C , a n d f o u n d o n l y s l i g h t l y g r e a t e r d e t e r i o r a t i v e e f f e c t s o n q u a l i t y i n t h e f l u c t u a t i n g s t o r a g e t e s t s t h a n f o u n d a t t h e e q u i v a l e n t a r i t h m e t i c m e a n t e m p e r a t u r e . C o m p a r a b l e r e s u l t s , u s i n g s i m i l a r t e s t c o n d i t i o n s , w e r e o b t a i n e d b y B o g g s e t . a 1 . ( 1 9 6 0 ) i n a T T T s t u d y o f f r o z e n p e a s , a n d b y D i e t r i c h e t . a 1 . ( 1 9 6 2 ) i n a n i n v e s t i g a t i o n o f q u a l i t y c h a n g e s i n c a u l i f l o w e r . F e n n e m a a n d P o w r i e ( 1 9 6 4 ) d i s c u s s e d t h e l a c k o f e v i d e n c e t o e x t e n d t h e c o n c l u s i o n s f o u n d i n t h e T T T s t u d i e s t o t h e t e x t u r e o f f r u i t s , a n d c a l l e d f o r m o r e i n v e s t i g a - t i o n s o n t h e e f f e c t s o f f l u c t u a t i n g t e m p e r a t u r e s o n f r u i t t e x t u r e . A s h b y e t . a 1 . ( 1 9 7 9 ) s t u d i e d e n e r g y s a v i n g s r e s u l t i n g f r o m p e r i o d i c f l u c t u a t i n g s t o r a g e t e m p e r a t u r e s r a n g i n g f r o m - 2 3 t o - 1 5 ° C . F o r s t o r a g e p e r i o d s g r e a t e r t h a n s i x m o n t h s , i t w a s d e t e r m i n e d t h a t t h e p r o d u c t t e m p e r a t u r e s h o u l d n o t r i s e a b o v e - 1 8 ° C , a n d s h o u l d n o t f l u c t u a t e m o r e t h a n 3 ’ C . M o l e e r a t a n o n d e t . a 1 . ( 1 9 8 1 ) c o n d u c t e d s i m i l a r s t u d i e s o n t h e e n e r g y c o n s u m p t i o n o f a f l u c t u a t i n g t e m p e r a t u r e s t o r a g e r e g i m e a n d i t s e f f e c t s o n q u a l i t y c h a n g e s i n f r o z e n b o x e d b e e f . R e s u l t s i n d i c a t e d t h a t p r o d u c t q u a l i t y w a s n o t s e r i o u s l y a f f e c t e d i n p e r i p h e r a l p a l l e t l o c a - t i o n s , p r o v i d e d t h e t e m p e r a t u r e w a s m a i n t a i n e d a t l e s s t h a n - 1 8 ° C a n d t h e m a x i m u m f l u c t u a t i o n d i d n o t e x c e e d 3 ° C . 1 0 S a s t r y a n d K i l a r a ( 1 9 8 3 ) r e f l e c t e d t h e n e e d f o r a n a l y s i s o f h e a t t r a n s f e r i n f r o z e n f o o d s e x p o s e d t o p e r i o d i c s t o r a g e c o n d i t i o n s t o d e t e r m i n e q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n a g i v e n p a l l e t l o a d . 2 . 2 S i m u l a t i o n o f T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n i n F r o z e n F o o d s d u r i n g S t o r a g e C o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n h a s b e e n g i v e n t o s i m u l a t i o n o f f r e e z i n g i n f o o d p r o d u c t s w i t h i n t h e l a s t t w o d e c a d e s . O n l y r e c e n t l y h a v e r e s e a r c h - e r s b e g u n t o i n v e s t i g a t e t h e t h e r m a l b e h a v i o r o f f r o z e n f o o d s d u r i n g d i s t r i b u t i o n a n d s t o r a g e . I n m a n y i n s t a n c e s , t h e m e t h o d s u t i l i z e d i n f r e e z i n g s t u d i e s m a y a l s o b e u t i l i z e d i n s t o r a g e s t u d i e s . F r e e z i n g s i m u l a t i o n m o d e l s m a y b e c a t e g o r i z e d w i t h r e g a r d s t o t h e r e s u l t s g e n e r - a t e d i n t w o g r o u p s : ( 1 ) t h o s e p r o d u c i n g f r e e z i n g t i m e e s t i m a t i o n s , a n d ( 2 ) t h o s e p r o d u c i n g t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s w i t h i n t h e p r o d u c t . O n l y t h e l a t t e r g r o u p i s o f i n t e r e s t i n s t o r a g e s i m u l a t i o n s t u d i e s a n d i s i n c l u d e d i n t h i s r e v i e w . 2 . 2 . 1 O n e D i m e n s i o n a l A n a l y s i s M o s t o f t h e m o d e l s d e v e l o p e d t o s i m u l a t e f r e e z i n g o r f r o z e n f o o d s t o r a g e a r e b a s e d o n o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r a n a l y s i s . A n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s h a v e b e e n p r o p o s e d t o e s t i m a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s i n b o t h t h e f r e e z i n g a n d p o s t - f r e e z i n g s t a g e s . A n a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h e f r e e z i n g p h e n o m e n o n i n v o l v i n g a p u r e l i q u i d w a s p r e s e n t e d b y C a r s l a w a n d J a e g e r ( 1 9 5 9 ) . K o m o r i a n d H i r a i ( 1 9 7 0 ) p r o v i d e d a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e f r e e z i n g p r o b l e m i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s , w i t h t h e s i n g l e , u n i q u e t e m p e r a t u r e a n d o n l y a t t h e s o l i d - l i q u i d i n t e r f a c e . T i e n a n d G e i g e r ( 1 9 6 7 ) d e v e l o p e d a n 1 1 a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h e s o l i d i f i c a t i o n o f a b i n a r y e u t e c t i c s y s t e m , a s s u m i n g t h r e e d i s t i n c t r e g i o n s : a s o l i d , l i q u i d , a n d a l i q u i d - s o l i d r e g i o n i n w h i c h t h e s o l i d f r a c t i o n i s l i n e a r w i t h p o s i t i o n . G r a n g e e t . a 1 . ( 1 9 7 6 ) o b t a i n e d a n a p p r o x i m a t e a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r f r e e z i n g o f s a l t s o l u t i o n s u s i n g a n i n t e g r a l m e t h o d , a n d a s s u m i n g l a t e n t h e a t i s r e l e a s e d a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . A f o o d p r o d u c t i s a s o l u t i o n o r m i x t u r e , h o w e v e r , a n d f r e e z i n g d o e s n o t o c c u r a t a s i n g l e d i s t i n c t t e m p e r a t u r e . I n s t e a d , t h e i n i t i a l f r e e z - i n g t e m p e r a t u r e o f t h e m i x t u r e i s d e p r e s s e d c o m p a r e d t o t h a t o f t h e p u r e s u b s t a n c e , s u c h a s w a t e r ( H e l d m a n , 1 9 8 2 , a n d C h e n , 1 9 8 6 ) . A s t h e m i x - t u r e f r e e z e s , t h e l i q u i d p o r t i o n b e c o m e s m o r e c o n c e n t r a t e d w i t h s o l u t e , a n d t h e f r e e z i n g p o i n t i s d e p r e s s e d f u r t h e r . A s a r e s u l t , l a t e n t h e a t i s p r o d u c e d o v e r a r a n g e o f t e m p e r a t u r e s , a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s , w h i c h v a r y a c c o r d i n g t o t h e s o l i d - l i q u i d c o m p o s i t i o n , a r e t e m p e r a t u r e d e p e n d - e n t . S e v e r a l r e s e a r c h e r s h a v e u s e d a n a l y t i c a l m e t h o d s i n d e v e l o p i n g s o l u t i o n t e c h n i q u e s w i t h m o d i f i c a t i o n t o a l l o w f o r t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . S a s t r y a n d K i l a r a ( 1 9 8 3 ) a p p r o x i m a t e d c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s o v e r s m a l l t e m p e r a t u r e r a n g e s u s i n g a n “ a p p a r e n t ” t h e r m a l d i f f u s i v i t y w h i c h i n c l u d e s l a t e n t h e a t t e r m s . A n a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e l i n e a r o n e d i m e n s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m w i t h d e s i g n a t e d s i n u s o i d a l t e m p e r a t u r e s a t t h e b o u n d a r i e s w a s t h e n o b t a i n e d t o s i m u l a t e t h e t e m p e r a t u r e r e s p o n s e o f f r o z e n p e a s i n f l u c t u a t i n g t e m p e r a t u r e s t o r a g e c o n d i t i o n s . Z a r i t z k y ( 1 9 8 2 ) d e v e l o p e d b o t h a n a l y t i - c a l a n d n u m e r i c a l m o d e l s t o s i m u l a t e t h e t h e r m a l b e h a v i o r o f f r o z e n m e a t d u r i n g i t s s t o r a g e a n d d i s t r i b u t i o n . I n t h e a n a l y t i c a l m o d e l , a v e r a g e v a l u e s f o r t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s , i n c l u d i n g t h e e f f e c t s o f l a t e n t h e a t , w e r e a g a i n u s e d , b u t i n t h i s c a s e , a b o u n d a r y c o n d i t i o n o f t h e t h i r d k i n d w i t h s i n u s i o d a l a m b i e n t t e m p e r a t u r e s w a s i m p o s e d . O n e d i m e n s i o n a l 1 2 a n a l y t i c a l s o l u t i o n s w e r e m u l t i p l i e d t o g e t h e r t o g e n e r a t e t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n a l m o d e l s , a n d r e s u l t s w e r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a . I n a r e l a t e d s t u d y u s i n g s i m i l a r b o u n d a r y c o n d i t i o n s , Z u r i t z , e t . a 1 . ( 1 9 8 6 ) s i m u l a t e d t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s w i t h i n f r o z e n f o o d s s t o r e d i n c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r s . Z u r i t z a n d S a s t r y ( 1 9 8 6 ) d e t e r m i n e d t h e e f f e c t s o f p a c k a g i n g m a t e r i a l s o n t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n f r o z e n f o o d s u s i n g a n a n a l y t i - c a l m o d e l t o c a l c u l a t e t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s , r e s u l t i n g f r o m a n i m p o s e d s i n u s i o d a l a m b i e n t t e m p e r a t u r e a t t h e s u r f a c e , a n d a s s u m i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . M a n y d i f f e r e n t a p p r o a c h e s h a v e b e e n u s e d i n d e v e l o p i n g m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f t h e f r e e z i n g a n d p o s t - f r e e z i n g p h a s e s . D e M i c h e l i s a n d C a l v e l o ( 1 9 8 2 ) u s e d a s i m p l i f i e d m o d e l w h i c h u s e s t h r e e d i s t i n c t p r e c o o l i n g , f r e e z i n g a n d t e m p e r i n g p h a s e s . A n a n a l y t i c a l s o l u t i o n w i t h c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s i s o b t a i n e d f o r t h e p r e c o o l i n g a n d t e m p e r i n g p h a s e s , a n d t h e f r e e z i n g p h a s e i s s i m u l a t e d a s s u m i n g s t e a d y s t a t e h e a t t r a n s f e r a n d c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s . C h e n e t . a l . ( 1 9 8 4 ) u s e d a m e t h o d o f l u m p i n g t o i n c o r p o r a t e d i f f u s i v i t y a n d l a t e n t h e a t t e r m s i n t o a t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t ' e f f e c t i v e ' d i f f u s i v i t y . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n w a s s o l v e d u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s . S a n z , e t . a l . ( 1 9 8 6 ) a p p l i e d t h e z - t r a n s f e r f u n c t i o n m e t h o d t o p r e d i c t t e m p e r a t u r e - t i m e h i s t o r y o f f o o d s t u f f s d u r i n g c h i l l i n g a n d c o l d s t o r a g e . I n t h i s p r o c e d u r e , t h e z - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a r e o b t a i n e d h e m e a n s o f a n e x p e r i m e n t a l m e t h o d . A n u m b e r o f r e s e a r c h e r s u s e d m e t h o d s w h i c h a s s u m e d l a t e n t h e a t i s r e l e a s e d a t a f i x e d f r e e z i n g p o i n t . C h a r m e t . a 1 . ( 1 9 7 2 ) a s s u m e d l a t e n t h e a t w a s r e l e a s e d a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e o v e r a s p e c i f i e d r e g i o n . G r a n g e e t . a l . ( 1 9 7 6 ) a l s o a s s u m e d l a t e n t h e a t a t a d i s t i n c t t e m p e r a - t u r e . A n i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n w a s o b t a i n e d a s s u m i n g 1 3 v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s a n d c o m p a r e d w i t h a n a p p r o x i m a t e a n a l y t i c a l s o l u t i o n . D i x a n d C i z e k ( 1 9 7 1 ) s o l v e d t h e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m r e p l a c i n g t h e u s u a l d e p e n d e n t v a r i a b l e , t e m p e r a t u r e a s a f u n c t i o n o f p o s i t i o n a n d t i m e , w i t h t h e i s o t h e r m p o s i t i o n a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e a n d t i m e . T h i s t e c h n i q u e i s t e r m e d t h e ' i s o t h e r m m i g r a t i o n m e t h o d ' ( I M M ) . T h e s o l u t i o n w a s o b t a i n e d e x p l i c i t l y u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s a n d v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s . C h e r n o u s ' k o ( 1 9 7 0 ) a l s o d e v e l o p e d a s i m i l a r m e t h o d o l o g y u s i n g i s o t h e r m s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m w i t h p h a s e c h a n g e . T a l m o n a n d D a v i s ( 1 9 8 1 ) u t i l i z e d t h e p r e v i o u s l y d e v e l o p e d I M M m e t h o d s i n d e v e l o p i n g a n e w t e c h n i q u e c a l l e d t h e ' m o d i f i e d i s o t h e r m m i g r a t i o n m e t h o d ' ( M I M M ) . U n l i k e p r e v i o u s I M M m e t h o d s , t h e M I M M u s e s a m o v i n g f r o n t b o u n d a r y c o n d i t i o n i n t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . M a s t a n a i a h ( 1 9 7 6 ) a l s o i n c o r p o r a t e d a m o v i n g f r o n t b o u n d a r y c o n d i t i o n , t h i s t i m e b y u s e o f t h e t r a n s f o r m a t i o n o f c o o r d i n a t e s . T e m p e r a t u r e w a s m a i n t a i n e d a s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , a n d t h e s o l u t i o n w a s o b t a i n e d u s i n g t h e C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d ( O z i s i k , 1 9 8 0 ) . A s i g n i f i c a n t n u m b e r o f r e s e a r c h e r s h a v e i n c o r p o r a t e d t h e l a t e n t h e a t i n t o a n ' a p p a r e n t ' s p e c i f i c h e a t . F r e e z i n g i s a s s u m e d t o t a k e p l a c e o v e r a r a n g e o f t e m p e r a t u r e s , c o n s e q u e n t l y , a l l t h e r m a l p r o p e r t i e s a r e a s s u m e d t o b e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t . L e s c a n o ( 1 9 7 3 ) u s e d t h e C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e t e c h n i q u e t o s i m u l a t e f r e e z i n g i n c o d f i s h . H e l d m a n ( 1 9 7 4 a ) a l s o u s e d t h e C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d t o s i m u l a t e t h e f r e e z i n g p r o c e s s i n s p h e r i c a l f o o d p r o d u c t s . T h e K o p e l m a n ( 1 9 6 6 ) e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e r m a l c o n d u c - t i v i t y w i t h t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t p r o d u c t c o m p o s i t i o n w a s i m p l e m e n t e d i n t h i s s i m u l a t i o n m o d e l . B o n a c i n a a n d C o m i n i ( 1 9 7 3 a ) u s e d a s e c o n d o r d e r a c c u r a t e t h r e e l e v e l t i m e s c h e m e o r i g i n a l l y p r o p o s e d b y l 4 L e e s ( 1 9 6 6 ) f o r t h e s o l u t i o n o f t h e t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n w i t h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t p a r a m e t e r s . B o n a c i n a e t . a l . ( 1 9 7 3 ) e x t e n d e d t h i s w o r k t o a c c o u n t f o r p h a s e - c h a n g e b y i n c l u d i n g l a t e n t h e a t t e r m s i n t o t h e s p e c i f i c h e a t . C l e l a n d a n d E a r l e ( 1 9 8 4 ) n o t e d t h e a d v a n t a g e s o f L e e ' s s c h e m e , i n t h a t t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s a r e e v a l u a t e d a t t h e m i d - p o i n t t i m e l e v e l i n s t e a d o f a t t h e b e g i n n i n g t i m e l e v e l a s d o n e i n o t h e r m e t h o d s , s u c h a s t h e C r a n k - N i c o l s o n m e t h o d . T a r n a w k s i ( 1 9 7 6 ) d e v e l o p e d f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s f o r s i m u l t a n e o u s h e a t a n d m a s s t r a n s f e r i n f r o z e n f o o d p r o d u c t s . Z a r i t z k y ( 1 9 8 2 ) u s e d t h e D o u g l a s - J o n e s m e t h o d o f f i n i t e d i f f e r e n c e s ( V o n R o s e n b e r g , 1 9 6 9 ) t o s i m u l a t e f r o z e n m e a t i n s t o r a g e , a n d c o m p a r e d r e s u l t s w i t h a n a n a l y t i c a l m e t h o d d i s c u s s e d p r e v i o u s l y . A n a l t e r n a t e a p p r o a c h w a s p r e s e n t e d b y J o s h i a n d T a o ( 1 9 7 4 ) . I n t h i s p r o c e d u r e , t h e f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s w e r e w r i t t e n i n t e r m o f t h e e n t h a l p y , a n d t h e s e w e r e s o l v e d i m p l i c i t l y b y a s s u m i n g a n e x p o n e n - t i a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e n t h a l p y a n d t e m p e r a t u r e . 2 . 2 . 2 M u l t i - D i m e n s i o n a l A n a l y s i s V a r i o u s m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f a n o n l i n e a r t w o d i m e n s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . M o s t o f t h e s o l u t i o n m e t h o d s m a y b e c a t e g o r i z e d a s f i n i t e e l e m e n t o r f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u - t i o n s . T h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d w a s u s e d t o s o l v e t r a n s i e n t , n o n l i n e a r h e a t t r a n s f e r p r o b l e m s b y D e B a e r d e m a e k e r e t . a l . ( 1 9 7 7 ) i n a x i - s y m m e t r i c p r o d u c t s , a n d b y Z u r i t z a n d S i n g h ( 1 9 8 5 ) i n m o d e l i n g t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n s t o r e d f r o z e n f o o d s . C o m i n i e t . a l . ( 1 9 7 4 ) u t i l i z e d f i n i t e e l e m e n t s i n a t h r e e d i m e n s i o n a l a n a l y s i s o f a b r i c k s h a p e d b o d y , i n c l u d i n g c o n v e c t i v e a n d r a d i a t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T w o d i m e n s i o n a l f i n i t e e l e m e n t t e c h n i q u e s w e r e a l s o u t i l i z e d b y D e 1 5 C i n d i o e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) i n t h e a n a l y s i s o f i c e c r e a m b r i c k e t t e s a n d b y R e b e l l a t o e t . a l . ( 1 9 7 8 ) i n t h e f r e e z i n g o f m e a t c a r c a s s e s . L e w i s e t . a 1 . ( 1 9 8 4 ) a p p l i e d a n a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n f i n i t e e l e m e n t s c h e m e t o t h e f r e e z i n g p r o b l e m w i t h a s u b s t a n t i a l s a v i n g s i n c o m p u t a t i o n t i m e a n d c o m p a r a b l e a c c u r a c y t o s t a n d a r d s c h e m e s . F i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d s w e r e u s e d a s a n a l t e r n a t e a p p r o a c h . M o s t o f t h e s e m e t h o d s m a y b e c l a s s i f i e d a s e x p l i c i t , i m p l i c i t o r a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n t e c h n i q u e s . D a g e r s k o g ( 1 9 7 4 ) u s e d a n e x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d i n t h r e e d i m e n s i o n s t o s i m u l a t e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u - t i o n s i n f o o d s d u r i n g h a n d l i n g a n d s t o r a g e . T h i s m e t h o d w a s s e v e r l y l i m i t e d i n i t s u s e f u l n e s s b y t h e s t a b i l i t y c o n d i t i o n o n t h e t i m e s t e p . I m p l i c i t s o l u t i o n s t o t h e t w o d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t n o n l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m r e q u i r e t h e i n v e r s i o n o f l a r g e m a t r i c e s a t e a c h t i m e s t e p , r e q u i r i n g a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f c o m p u t a t i o n t i m e ( A n d e r s o n e t . a 1 . ( 1 9 8 4 ) ) . T o o v e r c o m e t h e d i f f i c u l t i e s o f s o l v i n g t h e t w o d i m e n - s i o n a l p r o b l e m u s i n g e x p l i c i t o r i m p l i c i t t e c h n i q u e s , a n a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n i m p l i c i t ( A D I ) s c h e m e w i t h s e c o n d o r d e r a c c u r a c y w a s d e v e l o p e d b y P e a c e m a n a n d R a c h f o r d ( 1 9 5 5 ) . T h e A D I m e t h o d i n v o l v e s a t w o s t e p s c h e m e , w h e r e t h e t e m p e r a t u r e f i e l d i s d e t e r m i n e d i n d i f f e r e n t d i r e c t i o n s f o r e a c h t i m e s t e p . T h i s r e s u l t s i n t h e i n v e r s i o n o f t w o t r i d i a g o n a l m a t r i c e s a t e a c h t i m e s t e p , f o r w h i c h e f f i c i e n t a l g o r i t h m s e x i s t . D o u g l a s a n d G u n n ( 1 9 6 4 ) d e v e l o p e d a g e n e r a l A D I m e t h o d f o r t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s u t i l i z i n g a C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e w h i c h i s o f s e c o n d o r d e r a c c u r a c y a n d u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e . A l l a d a a n d Q u o n ( 1 9 6 6 ) d e v e l o p e d a s t a b l e e x p l i c i t m u l t i d i m e n - s i o n a l a l t e r n a t i o n d i r e c t i o n s o l u t i o n f o r n o n h o m o g e n e o u s m e d i a . F l e m i n g ( 1 9 7 3 ) u t i l i z e d t h e P e a c e m a n - R a c h f o r d m e t h o d i n s i m u l a t i n g t h e f r e e z i n g p r o c e s s w i t h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . B o n a c i n a a n d C o m i n i ( 1 9 7 3 b ) a p p l i e d L e e ' s t r i — l e v e l s c h e m e i n a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n s 1 6 t o s i m u l a t e f o o d f r e e z i n g w i t h t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r . E v a n s a n d C a n e ( 1 9 7 8 ) s o l v e d t h e t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m f o r a n a n n u l a r r i n g , u s i n g t h e P e a c e m a n - R a c h f o r d A D I m e t h o d . A l t e r n a t e a p p r o a c h e s t o t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n t o t h e t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m i n c l u d e t h e s p l i t t i n g o r f r a c t i o n a l - s t e p m e t h o d s d i s c u s s e d b y Y a n e n k o ( 1 9 7 1 ) a n d d e v e l o p e d b y S o v i e t m a t h e m a t i c i a n s a b o u t t h e s a m e t i m e A D I m e t h o d s w e r e d e v e l o p e d i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e m o d i f i e d b o x m e t h o d f o r t h e h e a t e q u a t i o n a n d t h e h o p s c o t c h m e t h o d s a r e t w o a d d i t i o n a l m e t h o d s d i s c u s s e d b y A n d e r s o n e t . a 1 . ( 1 9 8 4 ) . T h e m o d i f i e d b o x m e t h o d i s s e c o n d o r d e r a c c u r a t e e v e n w i t h v a r i a b l e g r i d s p a c i n g . T h e h o p s c o t c h m e t h o d i s a f i r s t o r d e r a c c u r a t e t w o s t e p a l t e r n a t i n g e x p l i c i t - i m p l i c i t s c h e m e . 2 . 3 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t T h e p r e d i c t i o n o f t e m p e r a t u r e p r o f i l e s w i t h i n a f r o z e n f o o d s u b - s t a n c e d u r i n g s t o r a g e r e q u i r e s k n o w l e d g e o f t h e r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r b e t w e e n t h e p r o d u c t a n d t h e c o o l i n g m e d i u m . T h i s r e s i s t a n c e i s c h a r a c t e r i z e d b y a s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ( h ) , w h i c h m a y b e d e p e n d e n t o n t i m e a n d / o r p o s i t i o n . T h e i m p o r t a n c e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n e s t i m a t - i n g f r e e z i n g t i m e s w a s d i s c u s s e d b y H e l d m a n ( 1 9 7 4 a ) , H s i e h e t . a l . ( 1 9 7 7 ) a n d T a r n a w s k i ( 1 9 7 6 ) , b u t l i t t l e e f f o r t h a s b e e n d i r e c t e d t o w a r d i n v e s t i g a t i n g t h e e f f e c t s o f t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g s t o r a g e c o n d i t i o n s . S o m e s i m p l e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n s f o r t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t r e s u l t i n g f r o m f o r c e d c o n v e c t i o n h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r r e g u l a r g e o m e t r i e s . K e y s a n d C r a w f o r d ( 1 9 8 0 ) p r e s e n t e d s o l u t i o n s f o r c o n s t a n t f r e e s t r e a m v e l o c i t y f l o w o v e r a c o n s t a n t - t e m p e r a t u r e o r a r b i t r a r i l y l 7 s p e c i f i e d t e m p e r a t u r e s e m i - i n f i n i t e f l a t p l a t e , a n d f o r f l o w o v e r a s e m i ~ i n f i n i t e p l a t e w i t h a n a r b i t r a r i l y s p e c i f i e d s u r f a c e h e a t f l u x . S i n c e t h e R e y n o l d s n u m b e r s e n c o u n t e r e d i n s t o r a g e c o n d i t i o n s a r e t y p i c a l l y l o w d u e t o l o w a i r v e l o c i t i e s , h e a t t r a n s f e r d u e t o n a t u r a l o r f r e e c o n v e c t i o n m a y a l s o b e a s i g n i f i c a n t f a c t o r . S o l u t i o n s f o r t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t r e s u l t i n g f r o m n a t u r a l c o n v e c t i o n o f a h o t o r c o l d h o r i z o n t a l s u r f a c e f a c i n g u p w e r e g i v e n b y M c A d a m s ( 1 9 5 4 ) , a n d m o d i f i e d b y G o l d s t e i n , e t . a l . ( 1 9 7 3 ) . I n a d d i t i o n , s o l u t i o n s f o r t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t r e s u l t i n g f r o m i n d u c e d f l o w p a r a l l e l t o a v e r t i c a l w a l l w e r e p r e s e n t e d b y R a y s a n d C r a w f o r d , ( 1 9 8 0 ) . I n t h e s i t u a t i o n s w h e r e b o t h f r e e a n d f o r c e d c o n v e c t i o n e f f e c t s a r e c o m p a r a b l e , c o r r e l a t i n g e q u a t i o n s t o i n c l u d e b o t h f o r c e d a n d f r e e c o n - v e c t i o n e f f e c t s h a v e b e e n d e v e l o p e d b y C h u r c h i l l ( 1 9 7 7 , 1 9 8 3 ) . T h e f r e e c o n v e c t i o n f a c t o r w i l l t e n d t o e i t h e r e n h a n c e o r d e c r e a s e t h e f o r c e d c o n v e c t i o n e f f e c t , d e p e n d i n g o n w h e t h e r o r n o t t h e b o u y a n c y f o r c e o p p o s e s o r a i d s t h e f o r c e d c o n v e c t i v e m o t i o n ( K e y s a n d C r a w f o r d , 1 9 8 0 , a n d I n c r o p e r a a n d D e W i t t , 1 9 8 5 ) . E s t i m a t i o n o f s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s u s i n g a n a l y t i c a l m e t h o d s i s v e r y d i f f i c u l t , e s p e c i a l l y f o r o t h e r c a s e s , s u c h a s , t r a n - s i e n t h e a t t r a n s f e r , o d d s h a p e d g e o m e t r i e s , a n d i r r e g u l a r f l o w p a t t e r n s ( L i g h t f o o t e t . a l . , 1 9 6 5 ) . C o n s e q u e n t l y , r e s e a r c h e r s h a v e r e s o r t e d t o u s i n g e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s i n t h e e s t i m a t i o n o f s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s , a n d m a n y d i f f e r e n t m e t h o d o l o g i e s h a v e e v o l v e d . S e v e r a l r e s e a r c h e r s h a v e u s e d m e t a l t r a n s d u c e r s t o e s t i m a t e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g f r e e z i n g . D u e t o t h e h i g h t h e r m a l c o n d u c - t i v i t y o f t h e m e t a l , t h e t r a n s d u c e r i s a s s u m e d t o h a v e n e g l i g i b l e i n t e r n a l r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r . T h e r e f o r e , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t m a y b e o b t a i n e d f r o m a l o g a r i t h m i c p l o t o f d i m e n - s i o n l e s s t i m e a g a i n s t d i m e n s i o n l e s s t e m p e r a t u r e . L e s c a n o ( 1 9 7 3 ) 1 8 u t i l i z e d g e o m e t r i c a n d k i n e m a t i c s i m i l a r i t y i n u s i n g a l u m i n u m t r a n s d u c e r s t o s i m u l a t e h e a t t r a n s f e r t h r o u g h c o d f i s h f i l l e t s d u r i n g f r e e z i n g . C r e e d a n d J a m e s ( 1 9 8 5 ) u s e d c o p p e r t r a n s d u c e r s i n p r e d i c t i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a s s o c i a t e d w i t h p l a t e f r e e z e r s . I n t h e i r s t u d y , e s t i m a t i o n s o f t h e i n f l u e n c e o f p a c k a g i n g m a t e r i a l s w e r e m a d e b y p l a c i n g a l a y e r o f t h e m a t e r i a l b e t w e e n t h e t r a n s d u c e r a n d t h e c o o l i n g m e d i u m . B o n a c i n a a n d C o m i n i ( 1 9 7 2 ) u s e d n o n l i n e a r r e g r e s s i o n b e t w e e n c a l c u - l a t e d a n d m e a s u r e d t e m p e r a t u r e s t o p r e d i c t s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . I n t h i s m e t h o d t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t , t h a t i s , n o t a f u n c t i o n o f t i m e a n d / o r p o s i t i o n . C o m i n i ( 1 9 7 2 ) e x t e n d e d t h i s s t u d y t o i n v e s t i g a t e t h e d e s i g n o f o p t i m u m t r a n s i e n t e x p e r i m e n t s f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . T h e s e s t u d i e s w e r e b a s e d o n w o r k b y B e c k ( 1 9 6 7 , 1 9 6 9 ) . B e c k u t i l i z e d s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t s i n e s t i m a t i n g t h e r m a l c o n t a c t c o n d u c t a n c e , a n d i n d e t e r m i n i n g O p t i m u m , t r a n s i e n t e x p e r i m e n t s f o r e s t i m a t i n g c o n d u c t a n c e c o e f f i c i e n t s . C h a v a r r i a a n d H e l d m a n ( 1 9 8 3 ) a l s o u s e d n o n l i n e a r r e g r e s s i o n i n e s t i m a t i n g a c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r g r o u n d b e e f d u r i n g f r e e z i n g . T h e c o e f f i c i e n t w a s a s - s u m e d t o b e c o n s t a n t d u r i n g t h e f r e e z i n g p r o c e s s , a n d h e a t t r a n s f e r w a s a s s u m e d t o b e o n e d i m e n s i o n a l . S u c c a r a n d H a y a k a w a , ( 1 9 8 6 ) u s e d a s u r f a c e r e s p o n s e m e t h o d f o r t h e e s t i m a t i o n o f c o n v e c t i v e a n d r a d i a t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a s a f u n c t i o n o f t i m e d u r i n g f r e e z i n g a n d t h a w i n g o f f r o z e n f o o d s . I n t h i s m e t h o d , e x p e r i m e n t a l a n d p r e d i c t e d t e m p e r a t u r e s w e r e m i n i m i z e d u s i n g t h e m e t h o d o f l e a s t s q u a r e s . C l e l a n d a n d E a r l e ( 1 9 7 6 ) p r e s e n t e d a n e w m e t h o d o f e s t i m a t i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s f r o m s u r f a c e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s o f a t r a n s d u c e r w i t h a t h e r m a l c o n d u c t i v i t y c l o s e l y r e s e m b l i n g a f o o d p r o d u c t . S o m e o f t h e r e s t r i c t i o n s o f t h i s m e t h o d w e r e t h a t t h e 1 9 p r e - c o o l i n g p a r t o f t h e f r e e z i n g c u r v e b e s u f f i c i e n t l y l o n g , a n d t h a t t h e c e n t e r t e m p e r a t u r e o f t h e b o d y b e u n a l t e r e d f o r s e v e r a l m i n u t e s a f t e r t h e o n s e t o f c o o l i n g . D i f f e r e n t n u m b e r s o f c a r d b o a r d s h e e t s b e t w e e n T y l o s e s a m p l e s a n d t h e c o o l i n g m e d i u m w e r e u s e d b y C l e l a n d a n d E a r l e ( 1 9 7 7 b ) t o e s t i m a t e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a n d t h e n u m b e r o f s h e e t s ( t h i c k n e s s o f p a c k a g i n g m a t e r i a l ) . T h e p r e v i o u s m e t h o d s a s s u m e t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s c o n - s t a n t i n t h e s o l u t i o n ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f S u c c a r a n d H a y a k a w a , 1 9 8 6 , w h o i n v e s t i g a t e d t r a n s i e n t h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g f r e e z i n g a n d t h a w i n g ) . B e c k e t . a l . ( 1 9 8 5 ) p r e s e n t e d m e t h o d o f e s t i m a t i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a s a f u n c t i o n o f t i m e u s i n g a m b i e n t t e m p e r a t u r e s a n d t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s f r o m a s e n s o r l o c a t e d i n s i d e t h e b o d y . I n t h i s s o l u t i o n , t h e p r o b l e m i s t r e a t e d a s p a r t o f a c l a s s o f p r o b l e m s c a l l e d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s ( I H C P ) . I n t h e s o l u t i o n o f t h e I H C P , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e d e t e r m i n e d i n s t e a d o f t h e i n t e r n a l t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n w h i c h i s f o u n d i n t h e d i r e c t s o l u t i o n . V a r i o u s m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d t o s o l v e t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g a b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e s u r f a c e o f a b o d y f r o m d i s - c r e t e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s . E x a c t a n a l y t i c a l s o l u t i o n s w e r e d e v e l o p e d b y B u r g r a f f ( 1 9 6 4 ) a n d L a n g f o r d ( 1 9 7 6 ) . T h e s e m e t h o d s r e q u i r e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e d a t a . S t o l z ( 1 9 6 0 ) p r o v i d e d o n e o f t h e e a r l i e s t s o l u t i o n s t o t h e I H C P , w h i c h w a s f o u n d t o b e u n s t a b l e w i t h s m a l l t i m e s t e p s . A s i m i l a r m e t h o d i n v o l v i n g t h e n u m e r i c a l i n v e r s i o n o f a c o n v o l u t i o n i n t e g r a l a n d u t i l i z i n g f u t u r e t i m e s t e p s w a s d e v e l o p e d b y B e c k ( 1 9 6 8 ) . T h i s m e t h o d p r o v i d e s a s o l u t i o n a t e a c h t i m e s t e p , a n d i s c a l l e d t h e s e q u e n t i a l f u n c t i o n s p e c i f i c a t i o n m e t h o d . O s m a n a n d B e c k ( 1 9 8 7 ) u s e d t h e s e q u e n t i a l f u n c t i o n s p e c i f i c a t i o n m e t h o d i n e s t i m a t i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a s a f u n c t i o n o f p o s i t i o n , u s i n g a s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m . O t h e r i n t e g r a l m e t h o d s u s i n g L a p l a c e t r a n s f o r m s h a v e 2 0 b e e n d e m o n s t r a t e d i n o n e d i m e n s i o n a l f o r m b y I m b e r a n d K h a n ( 1 9 7 2 ) , a n d i n t w o d i m e n s i o n a l f o r m b y I m b e r ( 1 9 7 4 ) . W e b e r ( 1 9 8 1 ) r e p l a c e d t h e t r a d i t i o n a l h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n b y a h y p e r b o l i c o n e t o o b t a i n a w e l l - p o s e d p r o b l e m w i t h e s t a b l i s h e d s o l u t i o n t e c h n i q u e s . R e g u l a r i z a t i o n m e t h o d s w e r e p r o p o s e d b y M i l l e r ( 1 9 7 0 ) , a n d T i k h o n o v a n d A r s e n i n ( 1 9 7 7 ) . T h e s e m e t h o d s p r o v i d e s t a b i l i t y b y t h e a d d i t i o n o f s m o o t h i n g f a c t o r s a n d r e d u c e t h e i n f l u e n c e o f m e a s u r e m e n t e r r o r s i n t h e d a t a . T h e i n f l u e n c e o f t h e r e g u l a r i z a t i o n c o m p o n e n t i s d e t e r m i n e d b y t h e m a g n i t u d e o f a r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r . D i f f e r e n t c r i t e r i a a r e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e f o r t h e s e l e c t i o n o f t h i s p a r a m e t e r . T i k h o n o v a n d A r s e n i n ( 1 9 7 7 ) a n d R e i n s c h ( 1 9 6 7 ) b a s e t h e i r c r i t e r i a o n t h e e r r o r s i n t h e m e a s u r e m e n t s , w h i l e M u r i o ( 1 9 8 5 ) c o n s i d e r s i n a d d i t i o n a b o u n d b a s e d o n t h e s q u a r e o f t h e L 2 n o r m o f t h e h e a t f l u x v e c t o r . H i l l s a n d M u l h o l l a n d ( 1 9 7 9 ) a p p l i e d t h e m e t h o d o f B a c k u s a n d G i l b e r t ( 1 9 7 0 ) t o a t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . T h i s m e t h o d , a d a p t e d f r o m g e o p h y s i c s , a l s o u t i l i z e s s m o o t h i n g f u n c t i o n t o s t a b i l i z e t h e s o l u t i o n . B e c k a n d M u r i o ( 1 9 8 6 ) p r e s e n t e d a n e w m e t h o d w h i c h c o m b i n e s t h e s e q u e n t i a l f u n c t i o n s p e c i f i c a t i o n p r o c e d u r e w i t h t h e r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d . T h i s m e t h o d d i f f e r s f r o m t h e g l o b a l r e g u l a r i z a t o n m e t h o d s i n t h a t t h e s o l u t i o n i s f o u n d s e q u e n t i a l l y , g r e a t l y i m p r o v i n g c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y . T h i s m e t h o d w a s s h o w n t o b e v e r y c o m p e t i t i v e w i t h t h e g l o b a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d s i n t e r m s o f t h e h e a t f l u x e s t i m a t e s . D i f f e r e n c e m e t h o d s h a v e b e e n u s e d t o s o l v e t h e n o n l i n e a r I H C P , w h i c h c a n n o t b e s o l v e d u s i n g i n t e g r a l m e t h o d s . M e t h o d s u t i l i z i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s w e r e d e m o n s t r a t e d b y B l a c k w e l l ( 1 9 8 1 ) , B e c k ( 1 9 7 0 ) , B e c k e t . a l . , ( 1 9 8 2 ) , a n d W i l l i a m s a n d C u r r y ( 1 9 8 4 ) . I n B e c k ' s m e t h o d s t h e s a m e c o n c e p t s a r e u s e d t o d e v e l o p t h e a l g o r i t h m s a s w e r e u s e d f o r t h e c o n - v o l u t i o n b a s e d m e t h o d s . A s t a b i l i z i n g m a t r i x w a s u t i l i z e d b y H e n s e l a n d H i l l s ( 1 9 8 4 ) i n d e v e l o p i n g a s p a c e m a r c h i n g f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . 2 1 F i n i t e e l e m e n t s w e r e i n c o r p o r a t e d i n t h e s o l u t i o n b y K r u t z , e t a 1 . ( 1 9 7 8 ) , a n d B a s s ( 1 9 8 0 ) . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e l i n e a r I H C P w i t h t h e f u n c t i o n s p e c i f i c a t i o n a n d r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e m e t h o d o f s o l u t i o n o f t h e h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n b e c a u s e w h e t h e r n u m e r i c a l c o n v o l u t i o n , f i n i t e d i f f e r e n c e s o r f i n i t e e l e m e n t s a r e u s e d , n e a r l y i d e n t i c a l s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d ( p r o v i d e d a c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n s a r e u s e d i n e a c h c a s e ) . C H A P T E R 3 T H E O R E T I C A L C O N S I D E R A T I O N S T h e t h r e e m a j o r p r o b l e m s a n a l y z e d i n t h i s s t u d y a r e : ( 1 ) t h e d e t e r - m i n a t i o n o f t e m p e r a t u r e p r o f i l e s o f f o o d p r o d u c t s i n s t o r a g e , ( 2 ) t h e e s t i m a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s e n c o u n t e r e d d u r i n g s t o r a g e c o n d i t i o n s , a n d ( 3 ) t h e p r e d i c t i o n o f q u a l i t y p r o f i l e s w i t h i n f o o d p r o d u c t s d u r i n g s t o r a g e . T h e d e t e r m i n a t i o n o f t e m p e r a t u r e p r o f i l e s f r o m k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s c a l l e d a d i r e c t p r o b l e m , a n d i t i s c o n s i d e r e d t o b e m a t h e m a t i c a l l y w e l l - p o s e d . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s e s t i m a t e d f r o m i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e - m e n t s . T h i s i s c a l l e d a n i n d i r e c t p r o b l e m , a n d i t i s i l l - p o s e d . T h e t h r e e p r o b l e m s a r e i n t e r r e l a t e d i n t h a t t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f - f i c i e n t s a r e r e q u i r e d a s i n p u t f o r t h e d i r e c t p r o b l e m ; t h e t e m p e r a t u r e p r o f i l e s r e s u l t i n g f r o m t h e s o l u t i o n o f t h e d i r e c t p r o b l e m a r e r e q u i r e d f o r t h e p r e d i c t i o n o f t h e q u a l i t y p r o f i l e s ; a n d , t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e d i r e c t p r o b l e m i s i n h e r e n t i n t h e s o l u t i o n o f t h e i n d i r e c t p r o b l e m . I n b o t h t h e o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n s f o r t h e t e m p e r a - t u r e p r o f i l e , a n d t h e e s t i m a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , d e t e r m i n a t i o n o f t h e r m a l p r o p e r t i e s a s a f u n c t i o n o f t e m - p e r a t u r e i s r e q u i r e d . A l s o , b o t h t h e t w o d i m e n s i o n a l d i r e c t p r o b l e m a n d t h e o n e d i m e n s i o n a l i n d i r e c t p r o b l e m u s e t h e s o l u t i o n o f t h e o n e d i m e n - s i o n a l d i r e c t p r o b l e m a s a f u n d a m e n t a l b u i l d i n g b l o c k i n t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s . 2 2 2 3 I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , t h e e v a l u a t i o n p r o c e d u r e f o r t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s i s p r e s e n t e d f i r s t , f o l l o w e d b y a n a n a l y s i s o f t h e o n e d i m e n - s i o n a l d i r e c t p r o b l e m . T h e r e s u l t s i n b o t h o f t h e s e s e c t i o n s a r e i m p o r t a n t i n t h e s o l u t i o n o f t h e t w o d i m e n s i o n a l d i r e c t p r o b l e m a n d t h e o n e d i m e n s i o n a l i n d i r e c t p r o b l e m . T h e a n a l y s e s a n d n u m e r i c a l p r o c e d u r e s f o r t h e s e t w o p r o b l e m s a r e p r e s e n t e d i n t h e s u c c e e d i n g s e c t i o n s . F i n a l l y , t h e m e t h o d s u s e d t o e v a l u a t e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n f r o m c a l c u - l a t e d t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s w i t h i n t h e f o o d p r o d u c t a r e p r e s e n t e d . 3 . 1 T h e r m a l P r o p e r t i e s F o o d p r o d u c t s a r e p r i m a r i l y c o m p o s e d o f w a t e r w h i c h c o n t a i n s v a r i o u s s o l u t e s . D u e t o t h e p r e s e n c e o f s o l u t e s , t h e i n i t i a l f r e e z i n g p o i n t i s d e p r e s s e d , c o m p a r e d w i t h t h a t o f p u r e w a t e r . C o n s e q u e n t l y f r e e z i n g o c c u r s o v e r a r a n g e o f t e m p e r a t u r e s , a n d u n b o u n d l i q u i d w a t e r c a n b e p r e s e n t a t t e m p e r a t u r e s a s s o c i a t e d w i t h s t o r a g e a n d d i s t r i b u t i o n . T h e c h a n g i n g w a t e r f r a c t i o n o v e r a r a n g e o f t e m p e r a t u r e r e s u l t s i n t e m p e r a - t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s i n f r o z e n f o o d p r o d u c t s . A c c u r a t e p r e d i c t i o n o f t h e r m a l p r o p e r t i e s i s v e r y i m p o r t a n t i n e s t i m a t i n g t e m - p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t . 3 . 1 . 1 U n f r o z e n W a t e r F r a c t i o n T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n a n d t e m p e r a t u r e i s b a s e d o n t h e e q u a l i t y o f t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l s i n d i f f e r e n t p h a s e s w i t h i n a s y s t e m ( H e l d m a n , 1 9 7 4 b ) . T h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s o f t h i s H J H — - — I \ 2 4 d e r i v a t i o n a r e ( l ) t h e s o l u t i o n i s d i l u t e , a n d ( 2 ) t h e c o n d i t i o n s a p - p r o a c h t h a t o f a n i d e a l b i n a r y s y s t e m . T h e d e r i v a t i o n o f t h i s r e l a t i o n s h i p r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( M o o r e , 1 9 6 2 ) [ [ 1 l n X - - w R T i f ( 3 . 1 ) w h e r e , X . w i s t h e m o l e f r a c t i o n a t a b s o l u t e t e m p e r a t u r e ( T ) , w h i c h i s f o u n d f r o m a n e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d i n i t i a l f r e e z i n g p o i n t ( T i f ) ’ t h e l a t e n t h e a t o f t h e s o l v e n t , ( F ) , a n d t h e u n i v e r s a l g a s c o n s t a n t ( R ) . S u b s t i t u t i n g t h i s v a l u e i n t o t h e d e f i n i t i o n o f m o l e f r a c t i o n , s h o w n b e l o w i n E q . ( 3 . 2 ) , t h e e f f e c t i v e m o l e c u l a r w e i g h t o f t h e p r o d u c t s o l u t e m a y b e f o u n d ( H e l d m a n , 1 9 7 4 b ) M w o l m w X w - M / m . + M / m ( 3 ' 2 ) w o w s s w h e r e m w a n d “ w e r e f e r t o t h e m o l e c u l a r w e i g h t a n d m a s s o f t h e u n f r o z e n w a t e r , r e s p e c t i v e l y . I n a f o o d p r o d u c t , t h e p r o d u c t s o l u t e a n d s o l i d s a r e a s s u m e d t o b e i n d i s t i n g u i s h a b l e ; t h e r e f o r e , t h e m a s s a n d e f f e c t i v e m o l e c u l a r w e i g h t , ( M 8 a n d m s ) , a r e o f t h e c o m b i n e d s o l u t e a n d s o l i d s , a n d a r e h e r e b y r e f e r r e d t o a s t h e m a s s a n d m o l e c u l a r w e i g h t o f t h e s o l i d s . F u r t h e r m o r e , d u e t o t h e b i n a r y s o l u t i o n a s s u m p t i o n , t h e i n - d i v i d u a l e f f e c t s o f t h e c a r b o h y d r a t e , l i p i d , p r o t e i n a n d m i n e r a l c o m p o n e n t s o f t h e f o o d p r o d u c t a r e l u m p e d t o g e t h e r i n t h e e f f e c t i v e m o l e c u l a r w e i g h t o f t h e s o l i d s ( m s ) . B y e q u a t i n g E q s . ( 3 . 1 ) a n d ( 3 . 2 ) a n d s u b s t i t u t i n g d i f f e r e n t v a l u e s f o r t e m p e r a t u r e , T , t h e m o l e f r a c t i o n o f u n f r o z e n w a t e r m a y b e f o u n d f o r t e m p e r a t u r e s b e l o w t h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e . S i n c e t h e r m a l p r o p e r t i e s a r e d e p e n d e n t o n t h e r e l a t i v e a m o u n t o f e a c h c o m p o n e n t i n t h e - p ( T ) M p ( 3 . 3 ) 2 5 f o o d p r o d u c t , k n o w l e d g e o f t h e f r o z e n a n d u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n s a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e a l l o w s f o r t h e e s t i m a t i o n o f t h e r m a l p r o p e r t i e s d u r i n g f r e e z i n g a n d s t o r a g e . 3 . 1 . 2 D e n s i t y i n F r o z e n F o o d s T h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f d e n s i t y i n f r o z e n f o o d s c a n b e p r e d i c t e d f r o m t h e r e l a t i v e a m o u n t s o f s o l i d s , l i q u i d w a t e r , i c e , a n d i n s o m e c a s e s , a i r p r e s e n t i n t h e p r o d u c t . T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p , i n c l u d i n g t h e a i r f r a c t i o n c o n t r i b u t i o n , i s b a s e d o n t h e d e n s i t y m o d e l w i t h o u t a i r u t i l i z e d b y H e l d m a n a n d G o r b y ( 1 9 7 5 a ) , H s i e h e t . a l . ( 1 9 7 7 ) , a n d P e r e z ( 1 9 8 4 ) 1 fl o w “ ) + ( H i m / p 1 ) + ( " s / ” 5 ’ + ( M a / p g ) w h e r e t h e s u b s c r i p t s w , i , s a n d a r e f e r t o t h e w a t e r , i c e , s o l i d s a n d a i r c o m p o n e n t s , a n d M . p i s t h e t o t a l m a s s o f t h e f o o d p r o d u c t . G i v e n t h e s o l i d s , u n f r o z e n w a t e r a n d a i r m a s s f r a c t i o n s , a n d t h e p r o d u c t d e n s i t y a b o v e f r e e z i n g , t h e s o l i d s d e n s i t y m a y b e f o u n d f r o m E q . ( 3 . 3 ) a s 1 . _ ( M D / p p ) + ( M w o / p w ) + ( M g / p a ) T > T ( 3 4 ) p s M 8 i f ' T h e r e l a t i o n s h i p s h o w n i n E q . ( 3 . 3 ) d o e s n o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e v a r i o u s c o m p o n e n t s o f t h e s o l i d f r a c t i o n . T h e i n f l u e n c e o f t h e c a r - b o h y d r a t e , l i p i d , p r o t e i n a n d m i n e r a l c a n b e i n c l u d e d a s 2 6 1 _ £ § y ( T ) / p ¥ ) + ( M 1 ( T ) / p i ) + ( M C / p c ) + ( M I D / 9 1 D p ( T ) M p ( M / p ) + ( M / p ) + ( M / p ) + U K D r m fi _ m _ _ _ _ _ _ e _ _ a _ ( 3 . 5 ) P E q . ( 3 . 5 ) i s d i f f i c u l t t o u t i l i z e p r a c t i c a l l y s i n c e t h e d e n s i t i e s a n d m a s s f r a c t i o n s o f t h e s o l i d c o m p o n e n t s m u s t b e k n o w n . F u r t h e r m o r e , H s i e h e t . a 1 . ( 1 9 7 7 ) s h o w e d l i t t l e v a r i a t i o n i n d e n s i t y a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e , c o n s e q u e n t l y , a n y v a r i a b i l i t y d u e t o t h e i n d i v i d u a l s o l i d s c o m p o n e n t s i n E q . ( 3 . 5 ) w o u l d g e n e r a l l y b e i n s i g n i f i c a n t . 3 . 1 . 3 T h e r m a l C o n d u c t i v i t y i n F r o z e n F o o d s D u e t o t h e l a r g e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f i c e a n d w a t e r , t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e u n f r o z e n f o o d p r o d u c t i n - c r e a s e s s u d d e n l y d u r i n g f r e e z i n g . C o n s e q u e n t l y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i s d i f f i c u l t t o p r e d i c t ( H e l d m a n , 1 9 8 2 ) . K o p e l m a n ( 1 9 6 6 ) d e v e l o p e d r e l a t i o n s h i p s f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i n t w o - c o m p o n e n t - h o m o g e n e o u s d i s p e r s e d , f i b r o u s a n d l a y e r e d s y s t e m s . T h e s e m o d e l s a s s u m e t h a t t w o p h a s e s a r e p r e s e n t ; a c o n t i n u o u s p h a s e a n d a d i s c o n t i n u o u s p h a s e . M o r e t h a n t w o p h a s e s a r e p r e s e n t i n f r o z e n f o o d p r o d u c t s ( w a t e r , i c e , s o l i d s a n d , i n s o m e c a s e s , a i r ) ; t h e r e f o r e , m o d i f i c a t i o n s o f t h i s m o d e l a r e r e q u i r e d t o i n c l u d e t h e a d d i t i o n a l p h a s e s . H e l d m a n a n d C o r b y ( 1 9 7 5 a ) m o d i f i e d t h e K o p e l m a n m o d e l t o s i m u l a t e a t h r e e p h a s e ( w a t e r , i c e a n d s o l i d s ) f r o z e n f o o d p r o d u c t . I n t h i s m o d e l , t w o s t e p s a r e r e q u i r e d f o r t h e e s t i m a t i o n o f t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . A d d i t i o n a l m o d i f i c a t i o n h a s r e s u l t e d i n a t h r e e s t e p m o d e l t o i n c l u d e - k " 1 k w 1 - Q 1 ( 1 - v i / 3 ) ( 3 6 8 ) 2 7 a i r , i f p r e s e n t . I n t h e f i r s t s t e p , t h e w a t e r f r a c t i o n i s c o n s i d e r e d t o b e t h e c o n t i n u o u s p h a s e a n d t h e i c e f r a c t i o n t o b e t h e d i s c o n t i n u o u s p h a s e . F o r t h e s e c o n d s t e p , t h e c o m b i n a t i o n o f w a t e r a n d i c e i s a s s u m e d t o t h e c o n t i n u o u s p h a s e , a n d t h e s o l i d s f r a c t i o n i s a s s u m e d t o b e d i s - c o n t i n u o u s . I n t h e f i n a l s t e p , t h e w a t e r - i c e - s o l i d s c o m b i n a t i o n i s c o n s i d e r e d c o n t i n u o u s , a n d t h e a i r f r a c t i o n i s d i s c o n t i n u o u s . T h e t h r e e s t e p p r o c e s s i s s h o w n m a t h e m a t i c a l l y b e l o w . S t e p 1 . C o n t i n u o u s p h a s e : w a t e r D i s c o n t i n u o u s p h a s e : i c e M , < T > / p i < r ) i ' u w < T > / p w < r ) + M 1 < r ) / p , < T > Q . - v 1 ( 1 - k , / k w > S t e p 2 . C o n t i n u o u s p h a s e : w a t e r - i c e D i s c o n t i n u o u s p h a s e : s o l i d s v _ M s / p s s M w ( T ) / p w ( T ) + M i ( T ) / P 1 ( T ) + M s / p s 2 / 3 Q 2 - V s ( 1 - k s / k w i ) k k 1 - Q 2 ( 3 6 b ) w i s w i 1 _ Q 2 ( 1 _ V i / B ) ' 2 8 S t e p 3 . C o n t i n u o u s p h a s e : a i r / w a t e r / i c e D i s c o n t i n u o u s p h a s e : s o l i d s M a / p a a " M w < T ) / p w < ' r ) + M i a m i m + M s / P s + M , , / p a 2 / 3 Q 3 - V a ( 1 ' k a / k w i s ) k ( T ) - k - k ( 3 . 6 0 ) T h e v a l u e f o r t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d s m a y b e f o u n d f r o m t h e K o p e l m a n m o d e l a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d t h e r m a l c o n - d u c t i v i t y o f t h e u n f r o z e n f o o d p r o d u c t . I n s u m m a r y , e s t i m a t i o n o f t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i n f r o z e n f o o d s i s a m u l t i - s t e p p r o c e d u r e w h i c h f i r s t r e q u i r e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d s , a n d t h e p r e d i c t i o n o f t h e u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n a n d p r o d u c t d e n s i t y a s f u n c t i o n s o f t e m p e r a t u r e . 3 . 1 . 4 A p p a r e n t S p e c i f i c H e a t A f o o d p r o d u c t r e l e a s e s b o t h s e n s i b l e a n d l a t e n t h e a t a s i t f r e e z e s . M a n y r e s e a r c h e r s ( H e l d m a n a n d G o r b y , 1 9 7 5 b , L e s c a n o , 1 9 7 3 , a n d B o n a c i n a a n d C o m i n i , 1 9 7 3 a ) , h a v e i n c o r p o r a t e d t h e s e n s i b l e a n d l a t e n t h e a t e f f e c t s i n t o a n a p p a r e n t s p e c i f i c h e a t . T h i s a p p a r e n t s p e c i f i c h e a t c a n b e e s t i m a t e d f r o m t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l o f t h e e n t h a l p y ( H ) C p ( T ) - $ 1 . 9 1 ( 3 . 7 ) 2 9 T h e e n t h a l p y c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e s e n s i b l e h e a t r e m o v e d f r o m t h e s o l i d , u n f r o z e n w a t e r , i c e a n d , i n s o m e c a s e s , a i r f r a c t i o n s , a n d f r o m t h e l a t e n t h e a t ( F ) a s f o l l o w s ( H e l d m a n a n d S i n g h , 1 9 8 1 ) T H c T ) - I [ ( M W < T ) - p r ) + ( M , < T > - C p , ) + ( M s - o p s ) + ( M a - C p , ) d e m ] + I ‘ - d T d T ( 3 . 8 ) N o t e t h a t t h e m a s s f r a c t i o n s o f t h e s o l i d s a n d a i r f r a c t i o n s a r e n o t a s s u m e d t o b e f u n c t i o n s o f t e m p e r a t u r e . S u b s t i t u t i n g E q . ( 3 . 8 ) i n t o E q . ( 3 . 7 ) , r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r t h e a p p a r e n t s p e c i f i c h e a t C P ( T ) - ( M w ( T ) ° C P w ) + ( M 1 ( T ) ° C P 1 ) + ( M S ° C P S ) + ( M a ° C P a ) d M ( T ) + 1 5 + “ . ( 3 . 9 ) T h e s p e c i f i c h e a t o f s o l i d s c a n b e f o u n d f r o m a n e x p e r i m e n t a l v a l u e f o r t h e s p e c i f i c h e a t o f t h e p r o d u c t a b o v e f r e e z i n g o p _ ( M b / o p p ) + ( M o o / 0 3 o ) + ( ” c / C p o l T > T s M i f s ( 3 . 1 0 ) 3 . 2 P r a c t i c a l E v a l u a t i o n o f T h e r m a l P r o p e r t i e s T h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e r m a l p r o p e r t i e s m u s t b e c o n s i d e r e d d u r i n g t h e s i m u l a t i o n o f f r o z e n f o o d s t o r a g e . T h e r m a l p r o p e r t i e s m a y b e d e t e r m i n e d e x p l i c i t l y u s i n g E q s . ( 3 . 3 ) , ( 3 . 6 a - c ) , a n d ( 3 . 9 ) f o r d e n s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , a n d s p e c i f i c h e a t , r e s p e c t i v e l y . H o w e v e r , u s e o f 3 0 e x p l i c i t f u n c t i o n s i n a n u m e r i c a l s o l u t i o n i s c o m p u t a t i o n a l l y i n e f f i - c i e n t . A l t e r n a t e l y , a s c h e m e w a s d e v e l o p e d t o d e t e r m i n e c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t y v a l u e s o v e r s p e c i f i e d t e m p e r a t u r e i n t e r v a l s w h i c h w e r e s e l e c t e d t o m i n i m i z e e r r o r s i n t h e s o l u t i o n . T h e t e m p e r a t u r e i n t e r v a l s , o v e r w h i c h t h e r m a l p r o p e r t y v a l u e s w e r e c o n s i d e r e d c o n s t a n t , w e r e s e l e c t e d b y l i m i t i n g ( 1 ) t h e c h a n g e i n t h e m a g n i t u d e ( t h a t i s , t h e f i r s t d e r i v a t i v e ) a n d ( 2 ) t h e c h a n g e i n t h e s l o p e ( t h a t i s , t h e s e c o n d d e r i v a t i v e ) o f t h e t h e r m a l p r o p e r t y f u n c t i o n o v e r a g i v e n t e m p e r a t u r e i n t e r v a l . T h e d e r i v a t i v e v a l u e s w e r e e s t i m a t e d n u m e r i c a l l y f r o m E q s . ( 3 . 3 ) , ( 3 . 6 a - c ) , a n d ( 3 . 9 ) . T h e c o n s t a n t p r o p e r t y v a l u e s o v e r e a c h t e m p e r a t u r e i n t e r v a l w e r e d e t e r m i n e d n u m e r i c a l l y u s i n g a f i v e p o i n t G a u s s q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n m e t h o d ( H o r n b e c k , 1 9 7 5 ) . C o n s t a n t t h e r m a l c o n d u c t i v i t y v a l u e s a n d a s s o c i a t e d t e m p e r a t u r e r a n g e s a r e c o m p a r e d i n F i g u r e 3 . 1 w i t h t h e r m a l c o n d u c t i v i t y v a l u e s f o u n d u s i n g E q . ( 3 . 6 a - c ) . ( N o t e , i n t h i s c a s e , k p - 0 . 9 4 W / m C , M w o - 7 7 % , T i f - 0 . 7 ° C . ) T h e s e v a l u e s w e r e d e t e r m i n e d b y l i m i t i n g t h e i n c r e a s e i n b o t h m a g n i t u d e a n d s l o p e o f t h e d e n s i t y c u r v e o v e r e a c h c o n s t a n t p r o p e r t y i n t e r v a l t o 5 % a n d 2 5 $ , r e s p e c t i v e l y . S i m i l a r c o n s t a n t p r o p e r t y t e m - p e r a t u r e i n t e r v a l s w e r e d e t e r m i n e d f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t . 3 . 3 T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n d u r i n g F r o z e n F o o d S t o r a g e T o p r e d i c t q u a l i t y l o s s i n f r o z e n f o o d s t o r a g e , t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n w i t h i n t h e p r o d u c t a s a f u n c t i o n o f t i m e m u s t b e e s t i m a t e d a c c u r a t e l y . T h i s i n v o l v e s t h e s o l u t i o n o f t h e t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . T h e c o m p l e x i t y o f t h e s o l u t i o n a r i s e s f r o m t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s . 5 0 u . e r 5 v - T t a s r e e u p l m a e V T y f t o i v n i o 0 t i F c t 1 ) u c - d n C r o F ° n u l a ( C “ a v 5 r I e 1 e a s m a l t r - r n I u e s C ' h e " t d T u l m / l V e 0 a t a i n V r 2 r f a C ° i - e t y s t s 4 7 e 9 . i . O t r 0 - c e U p S p n i m 5 e o v C i t % f c e 3 r T 2 T o u p - m - 7 e d o 7 - / r t y o v n n P n t o r o o “ s C t - i i t o I v i t P ) T ( k c 0 k 1 u 0 t n d 4 g u c e t T 3 o 0 t e n n d - n i l i r l a a p m m r . t 3 i w e r u g r 1 n a o e P o t I o z b C h C C e - e n a T s i e l 5 r 1 h e r n y r F z a a t u o F o m V l C i t a r r s s i f t n e i n e o h i n U D M i T 3 - - T - — 1 . . - . . - 5 0 . . 1 1 0 0 0 0 i 4 F 3 1 ( o w / M ) K i i A n o n p u o o I o w J e u i 3 2 T h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h i s s t u d y w e r e : 1 . H e a t t r a n s f e r b e t w e e n t h e s u r r o u n d i n g s a n d t h e f o o d p r o d u c t o c c u r s b y c o n v e c t i o n o n l y , a n d h e a t t r a n s f e r w i t h i n t h e p r o d u c t p r o c e e d s b y c o n d u c t i o n . 2 . T h e f r o z e n f o o d p r o d u c t i s i s e n t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s . 3 . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s s o c i a t e d w i t h c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r i s a c o n s t a n t o r a f u n c t i o n o f t i m e , b u t n o t a f u n c t i o n o f p o s i t i o n . 4 . M o i s t u r e l o s s f r o m t h e p r o d u c t i s n e g l i g i b l e , a n d t o t a l p r o d u c t m a s s r e m a i n s c o n s t a n t . 5 . I n t e r n a l p a c k a g i n g b o u n d a r i e s w i t h i n a l a r g e m a s s ( s u c h a s a p a l l e t l o a d ) o f p r o d u c t h a v e n e g l i g i b l e a f f e c t o n t h e h e a t t r a n s f e r r a t e . 3 . 3 . 1 O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r A n a l y s i s I n t h i s a n a l y s i s , i t i s a s s u m e d t h a t h e a t t r a n s f e r o c c u r s i n o n e d i m e n s i o n o n l y . T h e F o u r i e r o n e d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n d e s c r i b e s o n e d i m e n s i o n a l c o n d u c t i v e h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a n i s e n t r o p i c m e d i u m ( C a r s l a w a n d J a e g e r , 1 9 5 9 ) . T h e g o v e r n i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r r e g u l a r g e o m e t r i e s i s g i v e n b y 1 3 . 5 3 ; [ x j - k ( T ) g ' ; ‘ E ] - p ( T ) ~ C p ( T ) § % ( 3 . 1 1 ) X j - 0 : i n f i n i t e s l a b j - l : i n f i n i t e c y l i n d e r j - 2 : s p h e r e A n i n f i n i t e s l a b i s f i n i t e i n t h e d i r e c t i o n o f h e a t t r a n s f e r , a n d i t i s i n f i n i t e i n t h e o t h e r t w o d i m e n s i o n s . A n i n f i n i t e c y l i n d e r i s f i n i t e i s I T 3 3 t h e r a d i a l d i r e c t i o n ( d i r e c t i o n o f h e a t t r a n s f e r ) a n d h a s i n f i n i t e l e n g t h . H e a t t r a n s f e r i s a s s u m e d t o o c c u r o n l y i n t h e r a d i a l d i r e c t i o n i n t h e s p h e r e . T h e v a r i o u s g e o m e t r i e s a n d i n d i c a t e d d i r e c t i o n s o f h e a t t r a n s f e r a r e s h o w n i n F i g u r e 3 . 2 . S i n c e t h e p r o d u c t p r o p e r t i e s a r e f u n c t i o n s o f t e m p e r a t u r e , t h e p r o b l e m i s n o n l i n e a r . A n i n i t i a l c o n d i t i o n i s r e q u i r e d f o r t h e s o l u t i o n ; t h e p r o d u c t i s a s s u m e d t o b e a t a u n i f o r m t e m p e r a t u r e , o r a t a t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n t h a t i s a k n o w n f u n c t i o n o f p o s i t i o n . o r r - l o ( X ) t - 0 ( 3 . 1 2 ) N o t e , o n - 0 f o r a s l a b , s o l i d i n f i n i t e c y l i n d e r a n d s p h e r e , a n d o n # 0 f o r a h o l l o w i n f i n i t e c y l i n d e r . T w o b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t x - o n a n d a t x - L x a r e r e q u i r e d b e - c a u s e o f t h e s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l w i t h p o s i t i o n i n t h e g o v e r n i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( E q . ( 3 . 1 1 ) ) . C o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r i s a s s u m e d t o b e o c c u r r i n g a t t h e s u r f a c e o f t h e p r o d u c t . F o r t h e c a s e o f s y m m e t r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n b o t h s i d e s o f a n i n f i n i t e s l a b , o r a s o l i d i n f i n i t e c y l i n d e r , o r a s p h e r e , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e H _ 0 x . . o ( 3 . 1 3 s ) 6 x x - O t > 0 k ( T ) fl I - h x ( t ) - [ T - T ( t ) ] x - L x ( 3 1 3 b ) a x x - L x L x m , L x t > 0 . I f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a s y m m e t r i c a l , o r i f t h e g e o m e t r i c s h a p e i s a h o l l o w c y l i n d e r , t h e c o n v e c t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t x - 0 i s r e d n i l y C e t i n i f n I e r e h p S e n O t n e r e f f i D r o f r e f s n a r T t a e H d e m u . s s s e A i r f t o e m n o o e i G t c l e a r n i o D i s n 2 e . m 3 i D e r u g i F \ i I / Q a r ” — ’ — - - ~ “ ‘ \ . / / \ i I i \ \ \ L ’ / / I I n f i n i t e S l a b k . x I ” — N \ \ \ i . ’ C Y \ \ J / I I 3 h X i ' d a — x [ x J , k m l E x a ] + Q a . y [ k ( T ) fl a I y ] _ P < T ) . C P ( T ) R a I t ( 3 . 1 4 ) 3 5 fl I - k ( T ) a x X _ L x - t h x o ( t ) o [ T - T m ’ o n ( t ) ] x o n ( 3 . 1 3 c ) 0 3 . 3 . 2 T w o D i m e n s i o n a l A n a l y s i s H e a t t r a n s f e r i n t w o d i m e n s i o n s i s c o n s i d e r e d f o r r e c t a n g u l a r a n d c y l i n d r i c a l g e o m e t r i e s . T h e g o v e r n i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s l j - 0 : i n f i n i t e r e c t a n g l e j - 1 : f i n i t e c y l i n d e r A n i n f i n i t e r e c t a n g l e i s f i n i t e i n t w o d i m e n s i o n s ( d i r e c t i o n s o f h e a t t r a n s f e r ) a n d i n f i n i t e i n t h e o t h e r d i m e n s i o n ; i n t h i s c a s e , a f i n i t e c y l i n d e r h a s a f i n i t e r a d i u s a n d l e n g t h ( d i r e c t i o n s o f h e a t t r a n s f e r ) , w i t h n o a n g u l a r h e a t f l u x . T h e g e o m e t r i e s a n d a s s u m e d d i r e c t i o n s o f h e a t t r a n s f e r a r e s h o w n i n F i g u r e 3 . 3 . T h e i n i t i a l c o n d i t i o n i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t , o r a k n o w n f u n c t i o n o f p o s i t i o n 0 s y s L y o r T - T ° ( X ) t - O ( 3 . 1 5 ) w h e r e o n - 0 f o r a n i n f i n i t e r e c t a n g l e o r s o l i d c y l i n d e r a n d o n # O f o r a h o l l o w c y l i n d e r . r e d n i l y C e t i n i F o w T t n e r e f f i D r o f r e f s n a r T t a e H d e m u . s s s e A i r f t o e m n o o e i G t c l e a r n i o D i s n 3 e . m 3 i D e r u g i F e l g n a t c e R e t i n i f n I x A “ — ‘ " ' — - i _ _ — _ ' i I \ 3 6 3 7 F o u r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e n e e d e d i n t h i s c a s e b e c a u s e o f t h e s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l i n b o t h d i m e n s i o n s . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r s y m m e t r i c a l h e a t t r a n s f e r a l o n g t h e X o a x i s o f a n i n f i n i t e r e c t a n g l e , o r a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n o f a s o l i d c y l i n d e r a r e g i v e n b y E q s . ( 3 . 1 3 a , b ) f o r 0 s y s L y . E q u a t i o n s ( 3 . 1 3 a , c ) d e s c r i b e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r u n s y m m e t r i c a l h e a t t r a n s f e r a l o n g t h e x - a x i s , o r a l o n g t h e r a d i a l a x i s o f a h o l l o w c y l i n d e r f o r 0 S y S L y . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l o n g t h e y - a x i s a r e k ( T ) § § - h y o < t > - { T - T m ’ o ( t ) ] y - 0 ( 3 . 1 6 a ) y - O o n s x S L x t > 0 k c r ) fl I - b y < c ) - [ T - T < t ) 1 y - L y < 3 . 1 6 b ) 6 y y - L y L y ° ° : L y L x L x o s x s t > 0 3 . 4 N u m e r i c a l T i m e - T e m p e r a t u r e S i m u l a t i o n M o d e l s T h e o n e d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n m o d e l f o r f r o z e n f o o d s d u r i n g s t o r a g e w a s b a s e d o n t h e p r e d i c t i v e m o d e l s d e v e l o p e d b y L e s c a n o ( 1 9 7 3 ) a n d H e l d m a n a n d G o r b y ( 1 9 7 5 b ) f o r e s t i m a t i n g f r e e z i n g t i m e s . T h e C r a n k - N i c o l s o n i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e w a s u s e d t o n u m e r i c a l l y s o l v e t h e g o v e r n i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n g i v e n i n E q . ( 3 . 1 1 ) . T h e t w o d i m e n s i o n a l p r e d i c t i o n m o d e l w a s b a s e d o n t h e D o u g l a s a n d G u n n ( 1 9 6 4 ) A l t e r n a t i n g D i r e c t i o n I m p l i c i t ( A D I ) s c h e m e . T h e s c h e m e w a s m o d i f i e d t o a l l o w t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . I n b o t h m o d e l s , t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e a s s u m e d t o b e c o n s t a n t o v e r s p e c i f i e d t e m p e r a t u r e r a n g e s , u s i n g t h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 2 , w h i l e 3 8 a l l o w i n g f o r v a r i a t i o n o v e r t h e t o t a l t e m p e r a t u r e r a n g e i n c o n s i d e r a - t i o n . I n a d d i t i o n , b o t h m o d e l s p e r m i t a n u m b e r o f d i f f e r e n t s t o r a g e p e r i o d s w i t h d i f f e r e n t s t o r a g e t e m p e r a t u r e s a n d c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g e a c h p e r i o d . I n p u t p a r a m e t e r s r e q u i r e d f o r t h e s o l u t i o n o f b o t h t h e o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m s a r e : 1 . I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e . 2 . U n f r o z e n w a t e r a n d a i r f r a c t i o n s . 3 . T h e r m a l p r o p e r t i e s o f t h e u n f r o z e n f o o d p r o d u c t . 4 . T e m p e r a t u r e o f t h e f r o z e n p r o d u c t p r i o r t o s t o r a g e . 5 . P r o d u c t t h i c k n e s s o r r a d i u s , o r l e n g t h ( f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l ) . a n d f o r e a c h s t o r a g e p e r i o d : 6 . L e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d . 7 . A m b i e n t s t o r a g e t e m p e r a t u r e . 8 . H e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s ( o n a l l s i d e s o f p r o d u c t ) . I n a d d i t i o n , f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l : 9 . P r o d u c t l e n g t h . 3 . 4 . 1 O n e D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r F i n i t e D i f f e r e n c e S c h e m e T h e o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r g i v e n b y E q . ( 3 . 1 1 ) w a s s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r a n i n f i n i t e s l a b , i n f i n i t e c y l i n d e r a n d s p h e r e u s i n g t h e C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e , a n d t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . T h e r e s u l t i n g i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n f o r a n i n t e r i o r n o d e i s O + A 3 9 1 t _ A _ T n “ - ( k _ A _ + k + A + ) + ( ( c ) + ( c ) ) A x - A T n ” + 3 1 5 : T n “ " - Z ; — 1 _ 1 q A x P P _ p p + 2 e A t 2 V A x 2 + 1 k A ( k A + k A ) A X ' A k A - - n A - - + + n + + n - - p — Z ; — T £ _ 1 + [ p A x - ( ( p C p ) _ + ( p C P ) + ) 2 . A t ] T 2 ’ 5 A x I 2 + 1 ( 3 . 1 7 ) w h e r e 6 - n - 0 . 5 f o r t h e C r a n k - N i c o l s o n m e t h o d . T h e t h e r m a l p r o p e r t i e s ( p , k , a n d C p ) a r e e v a l u a t e d a t t h e n t h t i m e s t e p , a n d a t t h e l o c a - t i o n s i n d i c a t e d i n F i g u r e 3 . 4 . E q u a t i o n ( 3 . 1 7 ) m a y b e u s e d f o r v a r i o u s g e o m e t r i e s b y u s i n g t h e a p p r o p r i a t e c r o s s S e c t i o n a l a r e a s a s s h o w n b e l o w . A - A - A - 1 . 0 } f o r i n f i n i t e s l a b s + A - 2 s - [ o n A x - ( 2 - 3 / 2 ) ] A - 2 « - [ o n + A x o ( £ - l ) ] f o r i n f i n i t e c y l i n d e r s A - Z K ' I I A X x ' ( l - 1 / 2 ) ] A - 4 x - [ o n A x - ( 1 - 3 / 2 ) ] 2 ‘ 4 . + A - 4 n - [ o n A x - ( i - l ) ] 2 f o r s p h e r e s A - 4 w - [ o n A x o ( £ - l / 2 ) ] 2 + J w h e r e I - 1 a t t h e l o c a t i o n o n . T h e f i n i t e d i f f e r e n c e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e n i n E q s . ( 3 . 1 3 a , b , c ) a r e 2 : 1 _ ! I I A T . ! I I l I l l : f ” ” c ‘ — A x / 2 | A 1 - < a - . . — . — l | I l I ( 4 P C a / 4 2 A — x / A x P N - — — - ! + ‘ + ! | I A ‘ l i I I 1 2 4 1 1 4 0 F i g u r e 3 . 4 E v a l u a t i o n o f T h e r m a l P r o p e r t i e s i n O n e D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n . ( P C P ( W X E x , E 2 E , + ) ° : E ' T E L A T f t L i x J I ' O : n i I ' T T h X + ; + 1 : 2 ) + h [ < k fl + A fl ° T L x , A x e , 2 3 ( 1 + L , x - + ' L h ) ‘ - - - A t x + 1 n 2 T 1 : A 5 x V 5 % + 5 : T 2 ) A 1 ( 3 . 1 8 s ) 4 1 A t x - 0 , ( 2 - l ) k A 1 k A 1 A x - A I k ' ‘ T n + 1 - [ a ' ' + < ( p C p ) _ ) - ] - r “ + 1 - - a — A L A X ' T “ " A x L - l A x 2 - A t k A x o 3 - L - L n n n n + n + 1 + [ A x ' ( ( p C P ) - ) ' 2 - A t ] ° T L ' ( 5 ° T m , L x ' t h x + " ' T ~ , L x ' t h x ) A L ( 3 . 1 8 b ) N o t e : i n E q . ( 3 . 1 8 s ) , h x , i s e q u a l t o z e r o f o r t h e i n s u l a t e d s l a b , s o l i d c y l i n d e r , a n d s o l i d s p h e r e , a n d i n E q . ( 3 . 1 8 b ) , L i s t h e t o t a l n u m b e r o f n o d e s . T h e s e t o f f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s m a y b e e x p r e s s e d i n m a t r i x f o r m a s A n T n + 1 - n o t “ + n ( 3 . 1 9 ) T h e c o e f f i c i e n t m a t r i x , A , i s t r i d i a g o n a l . T h e s e t o f e q u a t i o n s i s s o l v e d b y u s i n g t h e T h o m a s A l g o r i t h m ( T h o m a s , 1 9 4 9 ) , w h i c h m a k e s u s e o f t h e l a r g e n u m b e r s o f z e r o s i n t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x t o s o l v e t h e e q u a - t i o n s e f f i c i e n t l y . + k _ y A _ v y + A y k + Y A + y _ ( ( p C p ) x + ( p C p ) + x + ( p C p ) _ + y ( P C P ) + ) y 4 2 A f l o w c h a r t f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l t e m p e r a t u r e s o l u t i o n , i n c l u d i n g t h e p r e d i c t i o n o f t h e q u a l i t y p r o f i l e , a n d t h e c o d e f o r t h e c o m p u t e r p r o g r a m , w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 o n a V a x 1 1 / 7 5 0 c o m p u t e r , a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x B . 3 . 4 . 2 T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r A n a l y s i s T h e t w o d i m e n s i o n a l A l t e r n a t i n g D i r e c t i o n I m p l i c i t ( A D I ) m e t h o d p r o p o s e d b y D o u g l a s a n d G u n n ( 1 9 6 4 ) w a s m o d i f i e d t o i n c l u d e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . I n t h i s m e t h o d , t h e C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e i s u t i l i z e d , a n d a t w o s t e p p r o c e d u r e w a s e m p l o y e d . T h e m o d i f i e d d i f - f e r e n c e e q u a t i o n f o r a n i n t e r i o r n o d e i s s h o w n b e l o w . S t e p 1 . U s e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n i n t h e x o d i r e c t i o n T n + £ m k A + k A n x _ - J i A _ x T 1 - 1 - [ n x _ - . z i a s “ H : + 2 : + ( ( p C p ) _ x + ( p C p ) + x + ( P C P ) _ y A A n + £ k A n + 5 + ( p C p ) ) - . 1 5 4 “ 1 ‘ + ' 1 _ + 2 § . _ + x T + y 4 A t 1 , 1 1 1 x A x £ + l o m k A n k A n k x A x + k A - - p - § x - x T £ - 1 , m - - § - y T £ , m - 1 + [ fi x - x + x + x y x A x A A n k A n k A n ] . T 1 m - + 1 + 3 T 2 m + 1 - fi x + x + 3 T 2 “ , m ( 3 . 2 0 s ) A y ’ A x 4 3 S t e p 2 . U s e r e s u l t s f r o m a b o v e f o r x - d i r e c t i o n i n 2 D C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n . T n + 1 k Y _ A Y + k n y _ _ 1 _ _ 1 T 3 m 1 - [ n y - v y A y + 1 3 + y + ( ( P C P ) _ x + ( p C p ) + x + ( P C P ) - y A A n + 1 k A n + 1 + ( p C p ) ) _ x _ x T + n + + T + y 4 A t £ , m A y £ , m + 1 T n + € k _ x _ A x + k A _ 1 , 1 1 4 . 5 - - n x _ _ x _ _ x T £ _ 1 m - n x - x A x + x + x T ? n x _ i x _ i x T 2 + 1 m k A n k A n k A + k A - fi x — ; § ; ; K T 2 - 1 , m - fi y — ; % ; ; l T £ , m - 1 + [ B x ' X " X * + 3 + x A x k A + k A + - v - v + y + v - C x + C + C + C B y - , A y ( ( p p ) _ ( p 1 0 + x ( p p ) _ y ( p p ) + y ) . fi z fi l - T 2 m - fl k + A T E m + 1 - fi i n E é i E T 2 + 1 m ( 3 ’ 2 0 b ) 4 A t ’ A y ' A x ’ w h e r e fi x - fl y - " x - n y — 0 . 5 f o r t h e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n . T h e t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e e v a l u a t e d a t t h e n t h t i m e s t e p , u n l e s s s p e c i f i e d o t h e r w i s e , a n d a l l c r o s s s e c t i o n a l a r e a s , A , a r e d e f i n e d a t t h e l o c a - t i o n s a b o u t t h e n o d e ( £ , m ) , a s s h o w n i n F i g u r e 3 . 5 . T h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a s f o r t h e r e c t a n g u l a r r o d a n d s o l i d c y l i n d e r a r e A - A - A - A y f o r r e c t a n g u l a r r o d A - A - A - A x 4 4 Z I n H - l ! . . _ _ | _ . . _ - J , _ _ - _ I ' 7 3 7 + y + ' l _ I | I | l l I fi x - I A x : A T + A j r a 2 : 1 , m A y 7 x : _ ' ( p c r ) x - I t n ( p c r ) x + k x + A £ + l , m . l . ! - + — — - : — — — ( p 6 p > y - : — I L — — — l - - - a m I l I l I , _ k _ . L _ _ " I F i g u r e 3 . 5 E v a l u a t i o n o f T h e r m a l P r o p e r t i e s i n T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n . 4 5 A _ x - 2 1 - [ o n + A x - ( l - 3 / 2 ) ] A y T A X - Z I O I L X ° + A x - ( 2 - 1 ) ] A y r f o r s o l i d c y l i n d e r A + x - 2 « o [ o n + A x - ( 2 - 1 / 2 ) ] A y A _ - A y - A + y - « o A x - [ o n + A x - ( 2 - 1 ) ] J w h e r e l - l a t t h e l o c a t i o n o n . T h e D o u g l a s - G u n n A D I m e t h o d d i f f e r s f r o m t h e m e t h o d s p r o p o s e d b y P e a c e m a n a n d R a c h f o r d ( 1 9 5 5 ) a n d D o u g l a s ( 1 9 5 5 ) , b e c a u s e , i n t h e f i r s t s w e e p , a f u l l t i m e s t e p i s u s e d t o p r o v i d e a n e s t i m a t e o f t h e t e m p e r a - t u r e v a l u e s a t n + 1 ; t h e s e v a l u e s a r e u s e d i n t h e s e c o n d e q u a t i o n a n d a r e d e n o t e d a s n + 5 . T h e t r a d i t i o n a l m e t h o d s e v a l u a t e t h e f i r s t s w e e p a t n + 1 / 2 , t h e o n e - h a l f t i m e s t e p . E i g h t d i f f e r e n t e x p r e s s i o n s f o r t h e b o u n d a r y n o d e s ( f o u r s u r f a c e s a n d f o u r e d g e s ) w e r e d e r i v e d i n a s i m i l a r m a n n e r a s f o r t h e o n e d i m e n - s i o n a l c a s e . T h e s e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s a r e f o u n d i n A p p e n d i x A . A f l o w c h a r t , d e s c r i b i n g t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e t w o d i m e n - s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p u t e r c o d e ( F o r t r a n 7 7 ) a r e g i v e n i n A p p e n d i x C . T h e t w o s u b r o u t i n e s , ' P R O P E R ' , a n d ‘ C O N S P ' , a r e i d e n t i c a l t o t h e s a m e s u b r o u t i n e s i n t h e o n e d i m e n - s i o n a l m o d e l , a n d a r e o m i t t e d i n t h e c o d e l i s t i n g . 3 . 5 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t A n a l y t i c a l , n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d t o d e t e r m i n e t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . T r a d i t i o n a l a n a l y t i c a l m e t h o d s o f d e t e r m i n i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a r e p r e s e n t e d f i r s t . T h i s i s f o l l o w e d b y a i n v e s t i g a t i o n o f a n u m e r i c a l m e t h o d w h i c h u s e s e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d i n t e r n a l t e m p e r a t u r e s t o e s t i m a t e t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . I n t h i s c a s e , t h e 4 6 p r o b l e m o f e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s t r e a t e d a s p a r t o f a g r o u p o f p r o b l e m s c a l l e d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s . 3 . 5 . 1 A n a l y t i c a l M e t h o d s T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s a f u n c t i o n o f t h e a i r s t r e a m v e l o c i t y , t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s u r f a c e b e i n g h e a t e d o r c o o l e d a n d t h e s u r r o u n d i n g s , a n d t h e p a c k a g i n g l a y e r b e t w e e n t h e f r e e a i r s t r e a m a n d t h e p r o d u c t . T h e R e y n o l d s n u m b e r ( R e L x ) i s u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y , a n d t h e G r a s h o f n u m b e r ( G e r ) i s u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t a s U m - L x R e L x - - — ; — — g ( 3 . 2 1 3 ) s ' fi g - ( T a - T m > - < L x c > 3 G e r - 2 ( 3 . 2 1 b ) V w h e r e U c o i s t h e a i r f r e e s t r e a m v e l o c i t y , u i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y o f t h e a i r , g i s t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y , fi e i s t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t o f a i r , T 8 i s t h e t e m p e r a t u r e o f t h e s u r f a c e , a n d L x c i s t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h . T h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h i s d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a a n d t h e p e r i m e t e r o f t h e s u r f a c e ( G o l d s t e i n , e t . a l . , 1 9 7 3 ) . F o r c e d c o n v e c t i o n , r e s u l t i n g f r o m f o r c e d a i r f l o w , a n d f r e e c o n v e c - t i o n , r e s u l t i n g f r o m t e m p e r a t u r e i n d u c e d d e n s i t y g r a d i e n t s , a r e b o t h i m p o r t a n t w h e n t h e s q u a r e o f t h e R e y n o l d s n u m b e r a n d t h e G r a s h o f n u m b e r a r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l . F o r c e d c o n v e c t i o n e f f e c t s d o m i n a t e w h e n ( R e i s m u c h g r e a t e r t h a n C r a n d f r e e c o n v e c t i o n e f f e c t s d o m i n a t e L x ) L x ’ w h e n t h e o p p o s i t e i s t r u e . T h e s e r e l a t i o n s h i p s a r e s u m m a r i z e d b e l o w . 4 7 - — L K — - > > 1 F r e e C o n v e c t i o n o n l y ( 3 . 2 2 s ) “ — L K — — z 1 B o t h F r e e a n d F o r c e d ( 3 . 2 2 b ) L x C o n v e c t i o n - L K — — < < 1 F o r c e d C o n v e c t i o n o n l y ( 3 . 2 2 c ) 3 . 5 . 1 . 1 F o r c e d C o n v e c t i o n o v e r a F l a t P l a t e T h e s t e a d y s t a t e o n e d i m e n s i o n a l f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e m e a n N u s s u l t n u m b e r ( fi E F ) r e s u l t i n g f r o m a c o n s t a n t f r e e s t r e a m v e l o c i t y f l o w a l o n g a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s e m i - i n f i n i t e p l a t e , a n d a l o n g a s e m i - i n f i n i t e p l a t e w i t h a n a r b i t r a r i l y s p e c i f i e d s u r f a c e h e a t f l u x a r e ( R a y s a n d C r a w f o r d , 1 9 8 0 ) E S P - 0 . 6 6 4 - P r 1 / 3 - R e i 4 2 C o n s t a n t T e m p e r a t u r e ( 3 . 2 3 a ) L a m i n a r F l o w , P r 2 0 . 6 E E F - 0 . 9 0 6 - P r 1 / 3 - R e i 4 2 C o n s t a n t H e a t F l u x ( 3 . 2 3 b ) L a m i n a r F l o w w h e r e k a - t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f f l u i d ( a i r ) 4 8 3 . 5 . 1 . 2 F r e e C o n v e c t i o n F r e e o r n a t u r a l c o n v e c t i o n i s a r e s u l t o f t e m p e r a t u r e i n d u c e d d e n - s i t y g r a d i e n t s i n t h e f l u i d . T h e s e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t s c a u s e f r e e c o n v e c t i o n c u r r e n t s a s t h e d e n s e r f l u i d ( c o o l e r f l u i d ) f a l l s , a n d t h e l e s s d e n s e f l u i d ( w a r m e r f l u i d ) r i s e s . T h e N u s s u l t n u m b e r s r e s u l t i n g f r o m f r e e c o n v e c t i o n ( N u N ) f o r t h e u p p e r s u r f a c e o f a h o r i z o n t a l h e a t e d o r c o o l e d p l a t e , a r e g i v e n b e l o w ( M c A d a m s , 1 9 5 4 ) . 1 . U p p e r s u r f a c e o f a h e a t e d p l a t e ( T s > T ) . Q - — 1 / 4 4 7 N u N - 0 . 5 4 - R a L x 1 0 s R a L s 1 0 ( 3 . 2 4 s ) - — - 1 / 3 7 l l N u N - 0 . 1 5 - R a L x 1 0 s R a L s 1 0 ( 3 . 2 4 b ) 2 . U p p e r s u r f a c e o f a c o o l e d p l a t e ( T c o > T 8 ) . — — . 1 / 4 5 1 0 N u N 0 . 2 7 R a L x 1 0 s R a L s 1 0 ( 3 . 2 5 ) w h e r e t h e R a y l e i g h n u m b e r , R a L x i s d e f i n e d a s I 3 R a - G r o P r - g fi ‘ . ( T § - T ” ) ( c ) L x L x V ' K 3 . 5 . 1 . 3 C o m b i n e d F o r c e d a n d F r e e C o n v e c t i o n F o r t h e c a s e w h e r e ( G e r / R e i x ) z 1 , a c o r r e l a t i n g e q u a t i o n h a s b e e n r e c o m m e n d e d a s ( C h u r c h i l l , 1 9 8 3 ) - — n - n - — n - + N u N u F _ N u N ( 3 . 2 6 ) 4 9 w h e r e n — 3 o r 7 / 2 f o r p a r a l l e l o r p e r p e n d i c u l a r f l o w s r e s p e c t i v e l y . T h e n a t u r a l c o n v e c t i o n c o m p o n e n t m a y i n c r e a s e o r r e d u c e t h e i n f l u e n c e o f f o r c e d c o n v e c t i o n d e p e n d i n g o n w h e t h e r o r n o t t h e f r e e c o n v e c t i o n i n - d u c e s m o t i o n s i n t h e s a m e o r o p p o s i t e d i r e c t i o n a s t h e f o r c e d a i r f l o w . T h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t r e s u l t i n g f r o m f r e e a n d f o r c e d c o n v e c - t i o n i s h x - — — 3 ( 3 . 2 7 ) 3 . 5 . 1 . 4 P a c k a g i n g L a y e r T h e t h i n p a c k a g i n g l a y e r b e t w e e n t h e p r o d u c t s u r f a c e a n d t h e s u r - r o u n d i n g a i r m a y r e s u l t i n a d d i t i o n a l r e s i s t a n c e t o t h e f l o w o f h e a t t o t h e p r o d u c t . T h i s r e s i s t a n c e m a y b e c h a r a c t e r i z e d b y a n e f f e c t i v e p a c k a g i n g r e s i s t a n c e , d e f i n e d a s k h - { 9 - 1 5 ( 3 . 2 8 ) p k w h e r e k p k a n d k a a r e t h e o v e r a l l e f f e c t i v e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d l e n g t h o f t h e p a c k a g i n g l a y e r , i n c l u d i n g t h e p a c k a g i n g m a t e r i a l , a i r i n t e r f a c e s , a n d f r o s t b u i l d - u p , i f a n y . 3 . 5 . 1 . 5 O v e r a l l S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t T h e o v e r a l l s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s a r e s u l t o f t h e c o m - b i n e d t h e r m a l r e s i s t a n c e f r o m f o r c e d a n d f r e e c o n d u c t i o n , a n d t h e 5 0 p a c k a g i n g l a y e r . T h e o v e r a l l s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s d e f i n e d a s h x h ( 3 . 2 9 ) 3 . 5 . 2 I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n M e t h o d s . T h e e s t i m a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c - t i o n o f t i m e i s b a s e d o n t h e s o l u t i o n o f t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m ( I H C P ) . I n c o n t r a s t t o t h e d i r e c t p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g i n t e r — n a l t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s f r o m k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e I H C P i n v o l v e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f a b o u n d a r y c o n d i t i o n f r o m i n t e r n a l t e m - p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s . I n t h i s s t u d y , o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r i n c o n s i d e r e d t h r o u g h a r e g u l a r g e o m e t r i c a l l y s h a p e d f o o d p r o d u c t w i t h v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s . A t e m p e r a t u r e s e n s o r i s l o c a t e d a t x - x 0 , w h e r e m e a s u r e - m e n t s a r e t a k e n a t a d i s c r e t e t i m e i n t e r v a l , A t m . T h e b o u n d a r y a t x - 0 i s i n s u l a t e d , a n d a n u n k n o w n h e a t f l u x i s i m p o s e d a t t h e o p p o s i t e b o u n d - a r y . T h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i s a s s u m e d t o b e k n o w n u p t o t h e n t h t i m e s t e p , t n , ( t n - n - A t ) . T h e p r o b l e m i s m a t h e m a t i c a l l y e x p r e s s e d a s m 1 3 % ; [ x J - k < r ) % § ] - p m c p m g g X 0 s x S L x t 2 t ( 3 . 3 0 a ) j - 0 : i n f i n i t e s l a b j - l : i n f i n i t e c y l i n d e r j - 2 : s p h e r e 5 1 3 % - o x - o x — O t z t n ( 3 . 3 0 b ) Q 1 - - k ( T ) a x q ( t ) ( u n k n o w n ) x L x x - L x t a c “ ( 3 . 3 0 c ) ' r - T 0 O s s t x c < t “ ( 3 . 3 0 a ) w h e r e t h e u n k n o w n h e a t f l u x i s a s s u m e d t o b e t h e r e s u l t o f a c o n v e c t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t x - L x ( K t ) - t h x ( t ) - ( T ( L x , t ) - T m ’ L x ( t ) ) ( 3 . 3 0 6 ) A l s o , t h e t e m p e r a t u r e a t x 0 , Y ( t n ) , i s k n o w n f o r a l l t i m e s t e p s , t n T ( x o , t n ) - Y ( t n ) x - x 0 t > t ( 3 . 3 1 ) N o t e t h i s p r o b l e m c a n b e d i v i d e d i n t o t w o p a r t s , t h e d i r e c t p r o b l e m f r o m x - 0 t o x - x 0 , a n d t h e i n v e r s e p r o b l e m f r o m x - x 0 t o x - L , a s s h o w n i n F i g u r e 3 . 6 . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s d e t e r m i n e d b y f i r s t e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t f l u x a t x - L x . I n t h i s a n a l y s i s , b o t h t h e h e a t f l u x a n d t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , w e r e a s s u m e d t o b e a f u n c t i o n o f t i m e , b u t n o t p o s i t i o n . T h e h e a t f l u x w a s f i r s t e s t i m a t e d a s a f u n c t i o n o f t i m e u s i n g t h e r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d a n d f i n i t e d i f - f e r e n c e s i n t h e s o l u t i o n . T h e t e m p e r a t u r e a t t h e b o u n d a r y , T ( L x , t ) , w a s c a l c u l a t e d u s i n g t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n d e s c r i b e d f o r t h e d i r e c t M 5 2 a Y ( t ) / / / / / / / / / / / / / / / / x o v D i r e c t / I n v e r s e F i g u r e 3 . 6 I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m . P r o b l e m P r o b l e m q ( t ) u n k n o w n / / / / / / / / / / / / / / / / 5 2 : 0 Y ( t ) x o v / D i r e c t , _ I n v e r s e P r o b l e m 4 7 " P r o b l e m F i g u r e 3 . 6 I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m . q ( t ) u n k n o w n 5 3 p r o b l e m i n S e c t i o n 3 . 4 . 1 , a n d s u b s t i t u t i n g t h e c a l c u l a t e d s u r f a c e h e a t f l u x v a l u e s f o r t h e c o n v e c t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n i n E q . ( 3 . 1 8 b ) . F i n a l l y , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s c a l c u l a t e d f r o m E q . ( 3 . 3 0 e ) g i v e n t h e p r e d i c t e d s u r f a c e h e a t f l u x a n d s u r f a c e t e m p e r a t u r e , a n d t h e k n o w n a m b i e n t t e m p e r a t u r e . T w o v a r i a t i o n s o f t h e r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d u s e d t o e s t i m a t e t h e s u r f a c e h e a t f l u x a r e f o u n d : ( 1 ) t h e w h o l e d o m a i n t e c h n i q u e , a n d ( 2 ) t h e s e q u e n t i a l t e c h n i q u e , p r o p o s e d b y B e c k a n d M u r i o ( 1 9 8 6 ) , i n w h i c h t h e h e a t f l u x c o m p o n e n t s a r e e s t i m a t e d s e q u e n t i a l l y . T h e s e q u e n t i a l p r o c e d u r e i s m o r e c o m p u t a t i o n a l l y e f f i c i e n t t h a n t h e w h o l e d o m a i n m e t h o d b e c a u s e , t h i s p r o c e d u r e e s t i m a t e s o n l y a f e w h e a t f l u x c o m p o n e n t s a t a t i m e i n s t e a d o f s i m u l t a n e o u s l y e s t i m a t i n g a l l o f t h e c o m p o n e n t s , a s d o n e i n t h e w h o l e d o m a i n p r o c e d u r e . D u e t o i t s c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y , t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d w a s u s e d i n t h i s s t u d y . 3 . 5 . 2 . 1 T h e S e q u e n t i a l R e g u l a r i z a t i o n M e t h o d T h e m o d i f i e d l e a s t s q u a r e d f u n c t i o n o f t h e r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d i n m a t r i x f o r m i s 2 s - ( Y - T ) - ( Y - T ) + a - R , ( 3 . 3 2 ) j - O w h e r e Y ' a n d T a r e t h e m e a s u r e d a n d e s t i m a t e d t e m p e r a t u r e v e c t o r s , a n d t h e t e r m s i n t h e s u m m a t i o n ( R 0 , R 1 , R 2 ) r e p r e s e n t t h e z e r o t h , f i r s t a n d s e c o n d o r d e r r e g u l a r i z a t i o n c o m p o n e n t s . T h e s c a l a r t e r m , a , i s t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r w h i c h i s a d j u s t e d t o d e t e r m i n e t h e d e g r e e o f t h e i n f l u e n c e t h e r e g u l a r i z a t i o n t e r m s h a v e o n t h e l e a s t s q u a r e s f u n c - t i o n . 5 4 T i k h o n o v a n d A r s e n i n ( 1 9 7 7 ) s u g g e s t e d t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r t h e v a r i o u s r e g u l a r i z a t i o n t e r m s t d j R - W . I [ _ _ g ] d r j - 0 , l , o r 2 ( 3 . 3 3 ) J J ( 1 , : E a c h r e g u l a r i z a t i o n t e r m a c t s t o m i n i m i z e i t s c o r r e s p o n d i n g d e r i v a t i v e o f t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x w h e n t h e l e a s t s q u a r e d f u n c t i o n , 8 , i s m i n i - m i z e d . T h e r e f o r e , t h e z e r o t h o r d e r r e g u l a r i z a t i o n t e r m t e n d s t o b i a s t h e h e a t f l u x t o w a r d s z e r o , t h e f i r s t o r d e r p u s h e s t h e h e a t f l u x t o w a r d s a c o n s t a n t v a l u e , a n d t h e s e c o n d o r d e r t e r m f o r c e s t h e h e a t f l u x t o w a r d s a c o n s t a n t s l o p e , B e c k e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) . F o r w a r d d i f f e r e n c e s w e r e u s e d t o a p p r o x i m a t e t h e r e g u l a r i z a t i o n t e r m s i n E q . ( 3 . 3 3 ) . T h e e x p r e s s i o n s f o r j - 0 , l , 2 a r e s h o w n b e l o w i n E q s . ( 3 . 3 4 a , b , c ) , r e s p e c t i v e l y . r _ 2 R 0 ‘ w o ' E ( q n + i 1 ) ( 3 . 3 4 a ) 1 - 1 r - 2 R 1 - w , - E ( q n + 1 - q n + 1 1 ) r z 1 ( 3 . 3 4 1 3 ) i - l r + i + 1 + 1 + i - 1 2 R 2 ' ” 2 ' E ( q n ' q n + q n ) i - l r 2 2 ( 3 . 3 4 c ) w h e r e t h e W 3 v a l u e s a r e w e i g h t i n g f a c t o r s . I n t h e s e q u e n t i a l p r o c e d u r e , t h e s u m m a t i o n i s c a r r i e d o u t o v e r r - f u t u r e t i m e s t e p s , a n d q n + 1 + l , q m ’ 1 a n d q m ' i . 1 a r e e v a l u a t e d a t t h e ( n + i + l ) t h , ( n + 1 ) t h a n d ( n + 1 - 1 ) t h t i m e 5 5 s t e p s , r e s p e c t i v e l y . T h e h e a t f l u x a t q n " 1 i s a s s u m e d t o b e k n o w n . E q s . ( 3 . 3 4 a , b , c ) c a n b e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m a s : T R j - W j ( q u ) ( t h ) j 0 , l , o r 2 ( 3 . 3 5 ) w h e r e t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x c o m p o n e n t s a r e c o n t a i n e d i n t h e v e c t o r q , t h e f o r w a r d d i f f e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s f o r d q / d t a r e c o n t a i n e d i n t h e H J m a t r i c e s , a n d t h e w e i g h t i n g f a c t o r s , W j , a r e s c a l a r . B e c k e t . a l . ( 1 9 8 5 ) p r o p o s e d t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o r t h e H 1 m a t r i c e s H o - I ( I d e n t i t y m a t r i x ) ( 3 . 3 6 a ) ' - l l 0 . . . 0 q 0 - l l 0 0 H 1 - e o ( 3 . 3 6 b ) 0 0 - l l L 0 0 0 . ' 1 - 2 1 o o ‘ 0 l - 2 l 0 0 H 2 - ° ' ( 3 . 3 6 b ) 0 0 l - 2 l 0 0 0 _ 0 0 0 J T h e H 1 m a t r i c e s a r e r x r w i t h j + l n o n - z e r o d i a g o n a l s , a n d w i t h a l l z e r o s i n t h e l a s t j r o w ( s ) . T h e r e g u l a r i z a t i o n o r d e r s w e r e a n a l y z e d i n d i v i d u a l l y b y s e t t i n g t h e j t h w e i g h t i n g f a c t o r ( W j ) e q u a l t o o n e , a n d t h e r e m a i n i n g w e i g h t i n g 5 6 f a c t o r s ( W 1 , 1 # j ) , e q u a l t o z e r o , a n d s u b s t i t u t i n g E q . ( 3 . 3 5 ) i n t o E q . ( 3 . 3 2 ) t o o b t a i n S - ( Y F T ) 2 ( Y F T ) + a - W J - ( q u ) T ( q u ) j - 0 , l , o r 2 ( 3 . 3 7 ) T h e u n k n o w n h e a t f l u x q i s e s t i m a t e d b y m i n i m i z i n g t h e l e a s t s q u a r e s f u n c t i o n i n E q . ( 3 . 3 7 ) . T h e e x p r e s s i o n i s d i f f e r e n t i a t e d w i t h r e s p e c t t o q a n d t h e n s e t e q u a l t o z e r o . T A T A V q S - 2 [ V q ( Y - T ) ] ( Y - T ) + 2 0 : V q ( q u ) ( q u ) - 0 j - 0 , 1 , o r 2 ( 3 . 3 8 ) T h e t e m p e r a t u r e m a t r i x I m a y b e e x p a n d e d i n a T a y l o r ' s s e r i e s a s 1 ' - 1 * + V q ' l ' ( q - q * ) ( 3 . 3 9 ) * w h e r e T i s t h e r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e v e c t o r f r o m a n a s s u m e d i m p o s e d * h e a t f l u x q . A s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t m a t r i x , X , i s d e f i n e d a s x _ - V E T ( 3 . 4 0 ) F r o m E q . ( 3 . 4 0 ) , v q ( Y - 1 ' ) T - . x T ( 3 . 4 1 ) a n d , " ' 1 ‘ T - - , 4 V q ( q u ) H j j o , 1 , o r 2 ( 3 2 ) I l 5 7 B e c k e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) . S u b s t i t u t i n g E q s . ( 3 . 3 9 ) , ( 3 . 4 0 ) , ( 3 . 4 1 ) a n d ( 3 . 4 2 ) i n t o E q . ( 3 . 3 8 ) p r o d u c e s A X T X ( q - q * ) + ( . . a n a n - x T ( Y - ' r * ) - o _ 1 - o , 1 , o r 2 ( 3 . 4 3 ) N o t i n g t h a t a - H J T H J q * - o ( 3 . 4 4 ) A a l l o w s E q . ( 3 . 4 3 ) t o b e r e a r r a n g e d a n d s o l v e d f o r q : A q - q * + ( x T x + a o a n n j i l - x T a - r “ ) _ 1 - o , 1 , o r 2 ( 3 . 4 5 ) T h e t e m p e r a t u r e v e c t o r 1 * w a s f o u n d b y s o l v i n g t h e d i r e c t p r o b l e m u s i n g t h e C r a n k - N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 4 . 2 , a n d s u b s t i t u t i n g a n a s s u m e d i m p o s e d h e a t f l u x q f a t x - L x , i n p l a c e o f t h e c o n v e c t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s h o w n i n E q . ( 3 . 1 8 b ) . T h e s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t m a t r i x X , i s f o u n d b y d i f f e r e n - t i a t i n g E q s . ( 3 . 3 0 a - d ) w i t h r e s p e c t t o q ( t ) , t h e u n k n o w n h e a t f l u x a t x - L x . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a r e s h o w n b e l o w . 1 1 . 3 3 ; [ x 3 . k ( r ) g § f ] - p ( T ) - C p ( r ) g - ’ é ( 3 . 4 6 a ) X j - 0 : i n f i n i t e s l a b L . » : i n f i n i t e c y l i n d e r j - 2 : s p h e r e E 8 x x - O t 2 t ( 3 . 4 6 b ) 5 8 k ( T ) g § - 1 x - L x x - L x t z t “ ( 3 . 4 6 c ) X - 0 0 S x 5 L x t < t n ( 3 . 4 6 d ) T h e s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t s w e r e f o u n d u s i n g t h e s a m e f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m u s e d t o c a l c u l a t e t h e T * v a l u e s , o n l y s u b s t i t u t i n g t h e b o u n d - a r y c o n d i t i o n s h o w n i n E q . ( 3 . 4 6 c ) i n p l a c e o f t h e a s s u m e d h e a t f l u x ( q * ) a t t h e b o u n d a r y a t x - L x , a n d n o t i n g t h a t t h e s e n s i t i v i t y c o e f f i - c i e n t s a r e e q u a l t o z e r o f o r t < t n , t h a t i s , X . - 0 w a s u s e d a s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n . 3 . 5 . 2 . 2 D e t e r m i n a t i o n o f t h e T e m p e r a t u r e a t t h e S u r f a c e T h e t e m p e r a t u r e v a l u e s a t x - L x a r e r e q u i r e d t o e s t i m a t e t h e s u r - f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ( E q . ( 3 . 3 0 e ) ) . T h e s e v a l u e s w e r e f o u n d b y u s i n g t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x v a l u e s , q ( t n ) , i n p l a c e o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n g i v e n i n E q . ( 3 . 1 8 b ) , a n d s o l v i n g E q . ( 3 . 1 7 ) f o r t h e t e m p e r a - t u r e a t x - L x , u s i n g t h e o n e d i m e n s i o n a l f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t x - L x i s s h o w n b e l o w . u n g fi L x - q ( t ) x - L x x - t n < t s t n + r ( 3 . 4 7 ) 5 9 3 . 5 . 2 . 3 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t m a y b e f o u n d f r o m t h e e s - t i m a t e d h e a t f l u x , c a l c u l a t e d t e m p e r a t u r e s a t x - L x , a n d t h e m e a s u r e d a m b i e n t t e m p e r a t u r e s , f o r d i s c r e t e t i m e s t n , a s , B e c k e t . a l . ( 1 9 8 5 ) A A n h x n - A Q A ( 3 . 4 8 ) T : - 0 . 5 - ( ' 1 : n - T ( n ' 1 ) ) x - 0 w h e r e T “ a n d $ ( n - l ) a r e t h e e s t i m a t e d t e m p e r a t u r e s a t x - 0 f o r t i m e s t n a n d t ( n ' 1 ) . A f l o w c h a r t o u t l i n i n g t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s g i v e n i n A p p e n d i x D , a l o n g a l i s t - i n g o f t h e p r o g r a m w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 , o n a V a x 1 1 / 7 5 0 c o m p u t e r . 3 . 6 Q u a l i t y L o s s P r e d i c t i o n i n F r o z e n F o o d s d u r i n g S t o r a g e T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o t h e d i r e c t o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 3 w e r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e r a t e o f q u a l i t y l o s s i n f r o z e n f o o d s . T h e q u a l i t y l o s s m o d e l d e v e l o p e d b y H e l d m a n a n d L a i ( 1 9 8 3 ) , w h i c h a s s u m e s t h e r a t e o f q u a l i t y l o s s i s a f u n c t i o n o f t i m e a n d t e m p e r a t u r e , w a s u s e d i n t h i s s t u d y . I n t h i s m o d e l , t h e r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n i s a n e x p l i c i t f u n c t i o n o f t i m e , t e m p e r a t u r e a n d t h e k i n e t i c p r o p e r t i e s o f t h e p r o d u c t . F o r t h e s i t u a t i o n w h e r e p r o d u c t t e m p e r a t u r e i s p o s i t i o n d e p e n d e n t , t h a t i s , i n p a l l e t l o a d s , q u a l i t y w i l l a l s o b e a f u n c t i o n o f p o s i t i o n . Q u a l i t y i s o f t e n e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p r o d u c t s s h e l f - l i f e , a n d c o n s e q u e n t l y , t h e u n i t s a r e e x p r e s s e d i n d a y s o r m o n t h s . T h e m o d e l , i n c l u d i n g t h e 6 0 s p a t i a l a n d t e m p e r a l d e p e n d e n c e o f p r o d u c t q u a l i t y o r s h e l f - l i f e i s s h o w n b e l o w . Q ( x , t ) - Q o r - J : e x p { % a — — ‘ 1 — [ T ( x T ) - % — ] } d r ( 3 . 4 9 ) r w h e r e Q ( x , t ) i s t h e r e m a i n i n g q u a l i t y o r s h e l f - l i f e o f t h e f o o d , i f s t o r e d a t t h e r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e T r ’ g i v e n t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r y o f t h e p r o d u c t a t t h e s p a t i a l l o c a t i o n x , Q ° r i s t h e i n i t i a l q u a l i t y o r s h e l f - l i f e a t a r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e T r ” E a i s t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t f o r t h e g i v e n f o o d p r o d u c t , a n d R i s t h e g a s c o n s t a n t . N o t e , f o r t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r , T - T ( x , y , t ) , t h e r e f o r e , Q - Q ( x , y , t ) . T h e i n t e g r a l i s d e t e r m i n e d n u m e r i c a l l y b y a s s u m i n g t h e i n t e g r a n d i s c o n s t a n t o v e r e a c h t i m e s t e p , a n d s u m m i n g o v e r t h e t o t a l t i m e i n t e r v a l a s Q ( x , t ) - Q o r - g e x p { - § 5 [ T ( x t ) % — ] } A t ( 3 . 5 0 ) n 9 1 r w h e r e N i s t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s . T h e i n p u t p a r a m e t e r s r e q u i r e d i n t h e s o l u t i o n a r e t h e p r o d u c t t e m - p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r y , T ( x , t ) , a n d t h e k i n e t i c p a r a m e t e r s , i n c l u d i n g t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , E a , a n d t h e i n i t i a l p r o d u c t q u a l i t y , Q ° r ’ a t a r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e , T r ' T h e p r o d u c t t e m p e r a t u r e s a r e o b t a i n e d f r o m t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n d e s c r i b e d p r e v i o u s l y . T h e k i n e t i c p a r a m e t e r s a r e e v a l u a t e d u s i n g a s t a t i s t i c a l l y b a s e d m e t h o d , s u c h a s , C h u ( 1 9 8 3 ) , f r o m t i m e - t e m p e r a t u r e d a t a f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e , a n d a r e a s s u m e d t o b e k n o w n i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . B y u s i n g a s t a t i s t i - c a l l y b a s e d m e t h o d , t h e v a r i a n c e o f t h e p r e d i c t e d q u a l i t y l o s s m a y b e d e t e r m i n e d f r o m t h e v a r i a n c e o f t h e e s t i m a t e d i n p u t k i n e t i c p a r a m e t e r s 6 1 2 2 V ( Q ) - 3 5 3 % ] ° V ( Q o r ) + 3 % ] - V ( E a ) + 2 [ [ § % o r ] o [ g g a ] o c o v ( Q o r , E a ) ] ( 3 . 5 1 ) T h e i n i t i a l p r o d u c t q u a l i t y a n d t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t a r e i n d e p e n d e n t ( C h u , 1 9 8 3 ) , t h e r e f o r e , t h e c o v a r i a n c e t e r m d r o p s o u t a n d 2 2 V ( Q ) - 3 1 3 % ] - V ( Q o r ) + [ 2 % , ] m m ( 3 . 5 2 ) S u b s t i t u t i n g E q . ( 3 . 5 0 ) i n t o E q . ( 3 . 5 2 ) a n d p e r f o r m i n g t h e i n d i c a t e d d i f f e r e n t i a t i o n s y i e l d s W . . . » - m m . ) + { - ) [ 3 4 - 5 % 7 1 — , - 1 ; ] } ° { - i [ # 5 3 - H } ' “ ] } 2 ' V ‘ E : ’ ‘ 3 ' ” ) r I n s u m m a r y , t h i s p r o c e d u r e a l l o w s t h e e s t i m a t i o n o f q u a l i t y l o s s a n d i t s a s s o c i a t e d v a r i a n c e i n f r o z e n f o o d s a s a f u n c t i o n o f t i m e a n d p o s i - t i o n , b a s e d o n p r e d i c t e d i n t e r n a l t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s a n d e s t i m a t e d k i n e t i c p a r a m e t e r s a n d a s s o c i a t e d v a r i a n c e s . C H A P T E R 4 . E X P E R I M E N T A L P R O C E D U R E S F r o z e n f o o d s i n f l u c t u a t i n g t e m p e r a t u r e s t o r a g e c o n d i t i o n s w e r e s i m u l a t e d e x p e r i m e n t a l l y u s i n g t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e ( G u t s c h m i d t , 1 9 6 0 ) , a s a s u b s t i t u t e f o o d p r o d u c t . T h e t e s t s u b s t a n c e w a s a l t e r n a t e l y p l a c e d i n t w o a d j a c e n t s t o r a g e c h a m b e r s ( A a n d B ) w i t h a v e r a g e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s o f - 6 a n d - 3 0 ° C , r e s p e c t i v e l y . T e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s w i t h i n t h e t e s t s u b s t a n c e w e r e d e t e r m i n e d f r o m t h e r m o c o u p l e r e a d i n g s r e c o r d e d b y a d a t a a q u i s i t i o n c o m p u t e r . T h e s e m e a s u r e m e n t s w e r e u s e d i n c o n f i r m i n g t h e o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l f i n i t e d i f f e r e n c e m o d e l s , d i s - c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 4 , a n d i n e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s , d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 5 . 3 . 4 . 1 K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e T h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e , d e v e l o p e d a t t h e F e d e r a l R e s e a r c h I n s t i t u t e , W e s t G e r m a n y , i s a h i g h l y c o n c e n t r a t e d m e t h y l - c e l l u l o s e m i x t u r e , w h i c h h a s s i m i l a r t h e r m a l p r o p e r t i e s a n d f r e e z i n g c h a r a c t e r i s - t i c s a s c o m m o n f o o d p r o d u c t s . M e t h y l - c e l l u l o s e m i x t u r e s h a v e b e e n u s e d i n s t u d y i n g t h e f r e e z i n g p r o c e s s i n f o o d s b y m a n y r e s e a r c h e r s , s u c h a s , B o n a c i n a , e t . a 1 . ( 1 9 7 3 ) , C l e l a n d a n d E a r l e ( 1 9 7 7 b ) , a n d S u c c a r a n d H a y a k a w a ( 1 9 8 6 ) . 6 2 6 3 O n e h a l f g a l l o n p a p e r b o a r d i c e c r e a m c o n t a i n e r s , m e a s u r i n g 0 . 1 7 0 m l o n g , 0 . 1 2 5 m a c r o s s , a n d 0 . 9 0 m h i g h , w e r e u s e d a s t h e p r o d u c t c o n - t a i n e r s . T h e t e s t s u b s t a n c e w a s s h a p e d i n t o b r i c k e t t e s t o f i t i n t o t h e b o x e s , w r a p p e d t w i c e w i t h p l a s t i c f i l m t o p r e v e n t m o i s t u r e l o s s , a n d t h e p l a c e d i n t h e p a p e r b o a r d c o n t a i n e r s . T h e t h i c k n e s s o f t h e n p a p e r b o a r d b o x e s a n d t h e t w o l a y e r s o f p l a s t i c f i l m w e r e m e a s u r e d w i t h a m i c r o m e t e r . T h e p a p e r b o a r d b o x t h i c k n e s s a v e r a g e d 1 . 7 m m , a n d t h e p l a s t i c f i l m a v e r a g e d 0 . 3 m m . T h e v o l u m e o f t h e c o n t a i n e r s w a s 0 . 0 0 1 9 m 3 . A s s u m i n g a d e n s i t y o f 1 0 4 0 k g / m 3 f o r t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e ( S p e c h t e t . a l . , 1 9 8 1 ) , 1 . 9 8 k g o f t e s t s u b s t a n c e w e r e r e q u i r e d f o r e a c h c o n t a i n e r . T h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e w a s f o l l o w e d t o p r e p a r e t h e t e s t s u b s t a n c e ( G u t s c h m i d t , 1 9 6 0 ) : l . T h e w a t e r c o n t e n t o f t h e s u p p l i e d m e t h y l - c e l l u l o s e ( M C ) w a s f o u n d f r o m t h e m a n u f a c t u r e r s ( D o w C h e m i c a l , U . S . A ) , a n d t h e a d d i t i o n a l w a t e r r e q u i r e d f o r a t e s t s u b s t a n c e w i t h 7 7 % m o i s t u r e c o n t e n t w a s d e t e r m i n e d . T h i s a m o u n t o f w a t e r w a s i n c r e a s e d b y a p p r o x i m a t e l y 4 % o f t h e w e i g h t o f t h e m e t h y l - c e l l u l o s e , s i n c e , a s G u t s c h m i d t , ( 1 9 6 0 ) h a s s h o w n , t h i s a m o u n t o f w a t e r v a p o r i z e s i n t h e w a r m i n g o f t h e w a t e r , a n d i n t h e s t i r r i n g , k n e a d i n g a n d f o r m i n g o f t h e m e t h y l - c e l l u l o s e . 2 . S a l t ( N a C l ) w a s a d d e d t o d e p r e s s t h e f r e e z i n g p o i n t o f t h e m e t h y l - c e l l u l o s e f r o m - 0 . 6 ° C t o - 1 . 0 ° C . T h e a m o u n t o f s a l t a d d e d w a s d e t e r m i n e d f r o m A d b a l l a a n d S i n g h ( 1 9 8 4 ) . S A L T ( k g ) - 0 . 0 2 4 - ( 1 - 0 . 0 1 - M C ) 3 . I n a d d i t i o n , 1 g m p a r a c h o r o m e t a c r e s o l w a s a d d e d a s a p r e s e r v a t i v e f o r e v e r y 1 0 0 g r a m s a d d e d w a t e r . 6 h 4 . T h e w a t e r w a s w a r m e d i n a l a r g e b e a k e r t o a p p r o x i m a t e l y 6 0 - 7 0 ‘ C , a n d t h e n t h e h e a t i n g s o u r c e w a s t u r n e d o f f . 5 . T h e s a l t a n d p a r a c h o r o m e t a c r e s o l w e r e a d d e d w h i l e s t i r r i n g c o n t i n u o u s l y . 6 . T h e m e t h y l - c e l l u l o s e p o w d e r , M e t h o c e l A 4 m P r e m i u m , s u p p l i e d b y D o w C h e m i c a l , U . S . A . , w a s s l o w l y p o u r e d i n t o t h e s a l t w a t e r m i x t u r e , a n d w a s s t i r r e d c o n t i n u o u s l y u n t i l t h e s o l u t i o n b e c a m e h o m o g e n e o u s . 7 . T h e t e s t s u b s t a n c e w a s a l l o w e d t o c o o l t o 3 5 - 4 0 ’ C . 8 . T h e s u b s t a n c e w a s k n e a d e d u n t i l i t f o r m e d a b r e a d - l i k e d o u g h . 9 . B r i c k e t t e s w e r e f o r m e d b y f l a t t e n i n g t h e s i d e s o n a s m o o t h p l a n a r s u r f a c e . T h e y w e r e t h e n w r a p p e d i n p l a s t i c f i l m , a n d p l a c e d i n t h e p a p e r b o a r d c o n t a i n e r s . T h e f o l l o w i n g q u a n t i t i e s w e r e r e q u i r e d f o r e v e r y 1 k g K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e : 0 . 7 7 2 k g w a t e r 0 . 2 3 7 k g m e t h y l - c e l l u l o s e ( 4 5 0 0 c p s , 2 % m o i s t u r e c o n t e n t ) 5 . 5 7 g m N a C l 0 . 7 6 g m p a r a c h l o r o m e t a c r e s o l F o r b e t t e r m i x i n g , t h e t e s t s u b s t a n c e w a s p r e p a r e d i n 0 . 9 9 k g b a t c h e s , a n d t w o b a t c h e s w e r e c o m b i n e d j u s t p r i o r t o k n e a d i n g t o f o r m e a c h b r i c k e t t e . T h e r e i s s o m e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e v a r i o u s t h e r m a l p r o p e r t i e s f o r t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e g i v e n i n t h e l i t e r a t u r e . T h e i n i t i a l f r e e z i n g p o i n t g i v e n b y G u t s c h m i d t ( 1 9 6 0 ) h a s n o t b e e n u s e d b y o t h e r r e s e a r c h e r s ( S p e c h t , e t . a l . , 1 9 8 1 ) . V a l u e s f o r T i f ’ p p , k p , a n d C p p 6 5 a r e s h o w n i n T a b l e 4 . 1 . T h e p r o p e r t i e s g i v e n b y S p e c h t , e t . a l . ( 1 9 8 1 ) w e r e u s e d i n s u c c e e d i n g c a l c u l a t i o n s f o r c o n s i s t e n c y , u n l e s s o t h e r w i s e n o t e d . 4 . 2 C o n t a i n e r s f o r t h e K a r l s r u h e B r i c k e t t e s T h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e w a s u s e d i n t h e f o l l o w i n g t h r e e w a y s : ( 1 ) i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s ; ( 2 ) f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e o n e d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l m o d e l ; a n d ( 3 ) f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l . T h i s r e s u l t e d i n t h r e e c o n f i g u r a t i o n s f o r t h e c o n t a i n e r s t o h o l d t h e K a r l s r u h e s a m p l e s . T h e f i r s t c o n f i g u r a t i o n w a s u s e d i n e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . A c o n t a i n e r w a s c o n s t r u c t e d t o h o l d t h r e e a d - j a c e n t p a i r s o f b r i c k e t t e s w i t h a n e x p o s e d t o p s u r f a c e , a n d i n s u l a t i o n a r o u n d t h e r e m a i n i n g t h r e e s i d e s . A n o p e n t o p p e d b o x o r t r o u g h , c o n - s i s t i n g o f 0 . 0 1 2 5 m p l y w o o d , f o r m e d s t r u c t u r a l s u p p o r t f o r t h e c o n t a i n e r . F o a m i n s u l a t i o n , 0 . 0 7 7 m i n t h i c k n e s s , w a s g l u e d t o t h e i n t e r i o r s i d e s o f t h e b o x . T h i s i n s u l a t i o n t h i c k n e s s w a s b a s e d o n t h a t u s e d b y o t h e r r e s e a r c h e r s u s i n g t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e ( C l e l a n d a n d E a r l e , 1 9 7 7 b , a n d S u c c a r a n d H a y a k a w a , 1 9 8 6 ) . V a l u e s f o r t h e t h e r - m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e f o a m i n s u l a t i o n f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e v a r i e d a r o u n d 0 . 2 8 - 0 . 3 1 W / m ' C ( B a u m e i s t e r , e t . a l . , 1 9 7 8 ) a n d 0 . 3 5 W / m ’ C ( C l e l a n d a n d E a r l e , 1 9 7 7 b ) . T h e b o x w a s c o n s t r u c t e d i n t w o p a r t s , a n d c l a m p e d s h u t a f t e r f i l l - i n g , f o r b e t t e r p a c k i n g o f t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e b r i c k e t t e s . T h e c o n t a i n e r w i t h b r i c k e t t e s i n p l a c e i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 . F o r t h e s e c o n d c o n f i g u r a t i o n , a s i m i l a r c o n t a i n e r w a s c o n s t r u c t e d , b u t w i t h o u t a b o t t o m , t o h o l d s i x b r i c k e t t e s i n a s i n g l e l a y e r . T h i s l a y e r w a s s e c u r e d t o t h e t o p o f t h e f i r s t c o n f i g u r a t i o n t o f o r m a d o u b l e 6 6 T a b l e 4 . 1 T h e r m a l P r o p e r t i e s o f t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e M o i s t u r e I n i t i a l D e n s i g y T h e r m a l S p e c i f i c R e f e r e n c e C o n t e n t F r e e z i n g ( k g / m ) C o n d u c t i v i t y H e a t ( % ) T e m p e r a t u r e ( W / m ° C ) ( k J / k g ° C ) ( ° C ) 7 7 % - 1 . 0 G u t s c h m i d t ( 1 9 6 0 ) 7 7 % - 0 . 7 1 0 4 0 0 . 9 4 4 3 . 8 S p e c h t ( 1 9 8 1 ) b — f I l . _ 1 7 c n u n — . 1 r u e I n “ / I n s u 1 a a t i o n 6 7 1 2 . 7 C l ! H y p o d e r m i c B o x e s w i t h N e e d l e s ( 1 8 3 : ) m 1 . t u b e 1 s t S u b s t a n c e ( 6 ) / , I 1 . 2 c m P l y w o o d . , / . . ’ é / _ T ° / : : : 9 ° - 1 % ? \ N Z ? S E F i g u r e 4 . 1 S i n g l e L a y e r , O n e D i m e n s i o n a l C o n t a i n e r C o n f i g u r a t i o n . 6 8 l a y e r s l a b w i t h o n l y t h e t o p s i d e e x p o s e d . T h e c o n f i g u r a t i o n i s s h o w n i s F i g u r e 4 . 2 . I n t h e f i n a l c a s e , t w o a d j a c e n t s i d e s w e r e e x p o s e d t o a l l o w t w o d i m e n s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n . A n i n s u l a t e d p l y w o o d b o x w a s c o n s t r u c t e d t o h o l d t w e l v e b r i c k e t t e s , i n t h r e e l a y e r s . T h e c o n t a i n e r h o l d i n g t h e b r i c k e t t e s i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 . 4 . 3 T e m p e r a t u r e M e a s u r e m e n t I n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s w e r e o b t a i n e d u s i n g 3 0 g a g e , T y p e T , t h e r m o c o u p l e s ( O m e g a , 1 9 8 5 ) . T h e t h e r m o c o u p l e s w e r e p l a c e d a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r o f e a c h b r i c k e t t e t h r o u g h 0 . 1 2 7 m l o n g 1 8 g a h y p o d e r m i c n e e d l e s . P r i o r t o p l a c e m e n t i n t h e b r i c k e t t e s , t h e t h e r m o c o u p l e w i r e w a s t h r e a d e d t h r o u g h t h e n e e d l e s , a n d s o l d e r e d a t t h e p o i n t o f t h e n e e d l e ( F i g u r e 4 . 4 ) . T h e e n d c a v i t y o f t h e n e e d l e w a s f i l l e d w i t h e p o x y t o k e e p t h e t h e r m o c o u p l e i n p l a c e . T h e h y p o d e r m i c n e e d l e w a s p l a c e d t h r o u g h a h o l e d r i l l e d t h r o u g h t h e p l y w o o d a n d t h e i n s u l a t i o n a t t h e d e s i r e d t h e r m o c o u p l e l o c a t i o n . T h i s s e r v e d a s a g u i d e f o r t h e h y p o d e r - m i c n e e d l e t o m i n i m i z e t h e v a r i a b i l i t y o f t h e t h e r m o c o u p l e l o c a t i o n w i t h i n t h e b r i c k e t t e . T h e e n d s o f t h e t h e r m o c o u p l e s w e r e i n s u l a t e d w i t h f o a m t o l i m i t c o n d u c t i o n d o w n t h e t h e r m o c o u p l e w i r e a n d h y p o d e r m i c n e e d l e . T h e p l a c e m e n t o f t h e t h e r m o c o u p l e s i n t h e t h r e e c o n f i g u r a t i o n s a r e a l s o s h o w n i n F i g u r e s 4 . 1 , 4 . 2 , a n d 4 . 3 . T h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s w e r e m e a s u r e d u s i n g a t h e r m o c o u p l e p l a c e d a b o v e t h e K a r l s r u h e c o n t a i n e r , m i d w a y b e t w e e n t h e c o n t a i n e r a n d t h e c e i l i n g o f t h e s t o r a g e c h a m b e r . A l l t h e r m o c o u p l e s m e a s u r e m e n t s w e r e r e c o r d e d b y a H e w l e t t P a c k a r d 3 4 9 7 A D a t a A q u i s i t i o n / C o n t r o l u n i t , c o u p l e d t o a H e w l e t t P a c k a r d 8 5 d e s k « V / a % / » 2 / - / : M 1 W 5 \ “ < W : x : o q / / / % ~ u 1 “ — ¢ 1 ° e 1 , “ ‘ . 1 . ” ” 6 9 1 2 . 7 c m H y p o o c d e r m i e e d l e s ( 1 8 g a a ) T h e e r m o c o u p l e r \ T h e r m o c o u p l e / ; T O P V I E W B o x e w i t h C o n n e c t o r K e r 1 s r u h e T s S u b t t u n e ( 1 2 ) A 8 1 C l / ’ r ’ r ' 1 2 . 5 c m . 1 3 . 7 . . / . / 2 % T h e r m o c o u p l e B o x e s J o i n e d c a t S I D E V I E W 0 e t e r F i g u r e 4 . 2 D o u b l e L a y e r , O n e D i m e n s i o n a l C o n t a i n e r C o n f i g u r a t i o n . 9 . 2 1 . ‘ 1 1 ; F ; — W ” 1 . T . h . e r . m o . o c . u “ p l e 3 1 6 : 2 1 3 ? ? ? 1 7 c m . . - 7 0 . . r W : V _ _ ~ _ - . . _ . " ' T " 7 / 1 2 . 5 c m / 1 — - — — — - — ~ - ‘ " 1 2 . 5 c m 6 . 3 a : / / / \ i T h e r m o c o u p l e I L . 1 7 c m . 4 B ‘ o x e s w i t h B e a d ( T y p e T , 3 0 g a ) K a r l s r u h e T e s t / S u b s t a n c e ( 1 2 ) ' — 1 K ‘ — ' 9 c m ‘ " " ' - " ' “ " " / - v " 7 9 c m " ’ ’ ’ ’ " " " " " " " U ‘ 7 1 — ‘ — W 9 c m " " " " " . \ 9 c m S I D E V I E W F i g u r e 4 . 3 T r i p l e L a y e r , T w o D i m e n s i o n a l C o n t a i n e r C o n f i g u r a t i o n . e l p u o n c o o i m t r c e n h u T J % y p . ‘ i T e l l b m e s d s e A e N e l d e e N c i m r e d o p y H d n a e l p u o c o m r e h e t T l a i p t n u a U o D c n r o m o o m o i t r r t c e f i e h s n T d i n a u o o e q C t L A 4 . 4 e r u g i F e l p u o c o m r e h T a 3 e r 0 i 3 w e m l d 7 e 2 e 1 N . 0 c i y m b r e a d g o p 8 y 1 H 7 1 7 2 t o p c o m p u t e r . T h e c a p a c i t y o f t h e d a t a a q u i s i t i o n d e v i c e w a s l i m i t e d t o a m a x i m u m o f 1 6 s i m u l t a n e o u s t h e r m o c o u p l e m e a s u r e m e n t s o v e r a t o t a l o f 2 1 6 t i m e s t e p s . 4 . 4 V e l o c i t y M e a s u r e m e n t s T h e a i r f r e e s t r e a m v e l o c i t y w a s r e q u i r e d f o r t h e a n a l y t i c a l d e t e r - m i n a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . T h e t w o s t o r a g e c h a m b e r s u s e d i n t h e s t u d y m e a s u r e d 2 . 2 0 m a c r o s s b y 6 . 9 0 m l o n g b y 2 . 5 3 m h i g h f o r c h a m b e r A , a n d 1 . 8 1 m a c r o s s b y 6 . 9 0 m l o n g b y 2 . 5 3 m h i g h f o r c h a m b e r B . T h e f o r c e d a i r f l o w i n b o t h c h a m b e r s r e s u l t e d f r o m t w o 0 . 3 7 k W f a n s . , p l a c e d i n t h e u p p e r e n d c o r n e r s o f b o t h c h a m b e r s . T h e f a n s w e r e a t t h e s a m e e n d i n c h a m b e r A , a n d t h e y w e r e a t o p p o s i t e e n d s i n c h a m b e r B . V e l o c i t y m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n a t 0 . 0 4 5 m i n c r e - m e n t s i n a g r i d p a t t e r n a b o u t t h e r e g i o n w h e r e t h e K a r l s r u h e c o n t a i n e r s w e r e p l a c e d , u s i n g a h o t w i r e a n e m o m e t e r ( M o d e l 2 4 4 0 , W e a t h e r t r o n i c s , I n c . ) . T h e m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n i n t h e m i d d l e o f a d e f r o s t c y c l e . T h e h o r i z o n t a l v e l o c i t i e s i n c h a m b e r A r a n g e d f r o m 0 . 1 - 0 . 6 m / s a n d a v e r a g e d 0 . 2 5 m / s , a n d r a n g e d f r o m 0 . 8 t o 1 . 2 5 i n c h a m b e r B , a n d a v e r a g e d 1 . 0 m / s . T h e a i r f l o w i n c h a m b e r A w a s l o w e r d u e t o a l a r g e o b s t r u c t i o n i n t h e s t o r a g e r o o m n e a r t h e f a n s . V e r t i c a l v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s i n c h a m b e r B v a r i e d f r o m i 0 . 5 t o i 1 . 0 m / s , i n d i c a t i n g m i x e d a i r f l o w c o n d i t i o n s . S t r e a m e r s w e r e u s e d a s a v i s u a l c o n f o r m a t i o n o f t h e f l o w c o n d i t i o n s . T h e s t r e a m e r s , m a d e o f m a g n e t i c t a p e , w e r e h u n g f r o m s t r i n g p l a c e d a t 0 . 4 5 m i n t e r v a l s , i n a g r i d p a t t e r n , a c r o s s e a c h c h a m b e r . C o n s i s t e n t w i t h t h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s , t h e s t r e a m e r s f l u t t e r e d u p a n d d o w n r a n d o m l y i n c h a m b e r B , a n d s h o w e d c o m p a r a t i v e l y s t r e a m l i n e c h a r a c t e r i s t i c s i n c h a m b e r A . 7 3 4 . 5 E x p e r i m e n t a l S t o r a g e C o n d i t i o n s T h e K a r l s r u h e b r i c k e t t e s w e r e p r e p a r e d j u s t p r i o r t o p l a c e m e n t i n t h e p l y w o o d c o n t a i n e r s , a n d t h e n i m m e d i a t e l y p l a c e d i n c h a m b e r B u n t i l e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s w e r e o b t a i n e d ( a p p r o x i m a t e l y f o u r t o f i v e d a y s ) . O n e c o m p l e t e s t e p c h a n g e c y c l e i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e w a s u s e d f o r a l l c o n f i g u r a t i o n s . T h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e , i n i t i a l l y a t e q u i - l i b r i u m i n c h a m b e r B , w a s p l a c e d i n c h a m b e r A f o r a g i v e n s t o r a g e t i m e p e r i o d , a n d t h e n p l a c e d b a c k i n c h a m b e r B f o r a n e q u i v a l e n t t i m e p e r i o d , t o c o m p l e t e t h e c y c l e . T h e s t o r a g e p e r i o d w a s l i m i t e d b y t h e c a p a c i t y o f t h e d a t a a q u i s i t i o n u n i t . S i n c e t h e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s o b - t a i n e d u s i n g t h e f i r s t c o n f i g u r a t i o n , s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 , w e r e r e q u i r e d i n t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n s o l u t i o n f o r t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s , a s m a l l e r t i m e i n t e r v a l f o r t h e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s w a s u s e d , t h a n i n t h e o t h e r t w o c a s e s . T h e t i m e s t e p s a n d t h e s t o r a g e t i m e p e r i o d s f o r t h e t h r e e c a s e s a r e s h o w n i n T a b l e 4 . 2 . E a c h t e s t w a s r e p e a t e d t h r e e t i m e s , u s i n g t h e s a m e K a r l s r u h e s a m p l e s f o r e a c h c o n f i g u r a t i o n . T h e s a m p l e s w e r e a l l o w e d t o e q u i l i b r a t e i n c h a m b e r B a f t e r t h e c o n c l u s i o n o f e a c h t e s t . I n s u b s e q u e n t s e c t i o n s , t h e t h r e e r e p e t i t i o n s u s i n g t h e s i n g l e l a y e r , d o u b l e l a y e r , a n d t w o d i m e n s i o n a l t r i p l e l a y e r c o n f i g u r a t i o n s w i l l b e r e f e r r e d t o a s T e s t s l a - c , T e s t s 2 a - c , a n d T e s t s 3 a - c , r e s p e c t i v e l y . T h e d e f r o s t c y c l e p e r i o d w a s a p p r o x i m a t e l y 1 . 5 h o u r s i n s t o r a g e c h a m b e r A , a n d f o u r h o u r s i n c h a m b e r B . S o m e f r o s t a c c u m u l a t e d o n t h e s u r f a c e o f e a c h c o n t a i n e r a f t e r s t o r a g e i n c h a m b e r B . T h e a v e r a g e s t o r a g e t e m p e r a t u r e i n c h a m b e r A w a s - 6 ° C f o r a l l t e s t c a s e s . T h e a v e r a g e s t o r a g e t e m p e r a t u r e v a r i e d f r o m - 3 3 t o - 3 4 ° C f o r a l l t h r e e t e s t s u s i n g t h e f i r s t c o n f i g u r a t i o n ( s i n g l e l a y e r ) , b u t d u e t o a f a i l i n g 7 4 T a b l e 4 . 2 S t o r a g e T i m e s a n d M e a s u r e m e n t I n t e r v a l s f o r t h e T h r e e C o n f i g u r a t i o n s _ S t o r a g e P e r i o d M e a s u r e m e n t T e s t i n e a c h C h a m b e r I n t e r v a l ( h o u r S ) ( m i n s ) 1 1 8 1 0 ( s i n g l e l a y e r ) 2 2 4 3 0 ( d o u b l e l a y e r ) 3 4 8 3 0 ( t w o d i m e n s i o n a l ) 7 5 c o m p r e s s o r , i n c r e a s e d t o - 2 6 ' C b y t h e e n d o f t h e f i n a l t e s t u s i n g t h e t h i r d c o n f i g u r a t i o n ( t w o d i m e n s i o n a l c a s e ) . A t t h e c o n c l u s i o n o f t h e t e s t s , t h e h y p o d e r m i c n e e d l e s w e r e r e m o v e d f r o m t h e K a r l s r u h e b r i c k e t t e s , a n d t h e b r i c k e t t e s w e r e r e m o v e d f r o m t h e c o n t a i n e r s . D u e t o t h e s t a r c h y n a t u r e o f t h e K a r l s r u h e T e s t s u b s t a n c e , t h e h o l e l e f t b y t h e h y p o d e r m i c n e e d l e w a s l e f t i n t a c k . T o d e t e r m i n e t h e e x a c t l o c a t i o n o f t h e t h e r m o c o u p l e s , r e d f o o d d y e w a s p l a c e d i n t h e h o l e u s i n g a g l a s s p i p e t t e , a n d e a c h b r i c k e t t e w a s c u t o p e n t o r e v e l t h e e n d p o i n t o f t h e h o l e . T h i s l o c a t i o n w a s t h e n m e a s u r e d a n d r e c o r d e d . F i n a l l y , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e K a r l s r u h e b r i c k e t t e a n d t h e o u t e r s u r f a c e o f t h e p a p e r b o a r d c a r t o n w a s m e a s u r e d . T h e t h i c k n e s s o f t h e p a p e r b o a r d c a r t o n a n d t h e p l a s t i c f i l m w e r e s u b t r a c t e d f r o m t h i s v a l u e t o o b t a i n t h e a i r i n t e r s p a c e t h i c k n e s s b e t w e e n t h e c a r t o n a n d t h e K a r l s r u h e t e s t s u b s t a n c e . T h e a i r i n t e r f a c e w a s f o u n d t o v a r y b e t w e e n o n e a n d t e n m i l l i m e t e r s . C H A P T E R 5 . D E T E R M I N A T I O N O F N U M E R I C A L P A R A M E T E R S T h e n u m e r i c a l a n a l y s i s i n t h i s i n v e s t i g a t i o n o f f r o z e n f o o d s d u r i n g s t o r a g e f o c u s e s o n t h r e e m a j o r p r o b l e m s : ( 1 ) t h e d e v e l o p m e n t o f a n u m e r i c a l p r o c e d u r e t o e s t i m a t e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s t y p i c a l o f s t o r a g e c o n d i t i o n s ( i n d i r e c t p r o b l e m ) ; ( 2 ) t h e d e v e l o p m e n t o f a m u l t i - d i m e n s i o n a l m o d e l t o s i m u l a t e t e m p e r a t u r e c h a n g e s w i t h i n f r o z e n f o o d s d u r i n g s t o r a g e ( d i r e c t p r o b l e m ) ; a n d ( 3 ) T h e e s t i m a t i o n o f t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n . T h e s e m o d e l s w e r e d e s c r i b e d i n d e t a i l i n C h a p t e r 3 . A p p l i c a t i o n o f t h e s e m o d e l s r e q u i r e i n p u t o f p a r a m e t e r s i n h e r e n t t o t h e p r o b l e m b e i n g s t u d i e d , t h a t i s , p r o d u c t p r o p e r t i e s a n d g e o m e t r y , a n d u s e r s p e c i f i e d p a r a m e t e r s i n h e r e n t t o t h e n u m e r i c a l p r o c e - d u r e . I n p u t p a r a m e t e r s , d e t e r m i n e d b y t h e u s e r , i n t r i n s i c i n t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n s o f b o t h t h e d i r e c t a n d i n d i r e c t p r o b l e m s , i n c l u d e t h e n u m b e r o f n o d e s a n d t h e t i m e s t e p . I n a d d i t i o n , t h e u s e r m u s t s e l e c t t h e m a g n i t u d e o f t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , t h e o r d e r o f r e g u l a r i z a t i o n , t h e t i m e b e t w e e n t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , a n d t h e n u m b e r o f f u t u r e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s u s e d i n t h e s o l u t i o n f o r t h e i n d i r e c t p r o b l e m . A n i n v e s t i g a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f t h e u s e r d e f i n a b l e p a r a m e t e r s o n t h e n u m e r i c a l m o d e l s d e s c r i b e d a b o v e w a s c o m p l e t e d t o p r o v i d e a s y s t e m a t i c p r o c e d u r e f o r o p t i m a l p a r a m e t e r s e l e c t i o n . S i n c e t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r p r o b l e m w i t h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t p r o d u c t p r o p e r t i e s i s n o t r e a d i l y o b t a i n a b l e , t h i s i n v e s t i g a t i o n o f u s e r 7 6 7 7 d e f i n a b l e p a r a m e t e r s f o c u s e d o n t h e c o n s t a n t p r o p e r t y s o l u t i o n , f o r w h i c h e x a c t s o l u t i o n s e x i s t . T h e r e s u l t i n g o b s e r v a t i o n s a n d c o n c l u s i o n s f r o m t h e s t u d y o f t h e l i n e a r p r o b l e m w a s u s e d a s a b a s i s f o r t h e s e l e c - t i o n o f t h e p a r a m e t e r s i n t h e n o n l i n e a r c a s e . 5 . 1 S e l e c t i o n o f P a r a m e t e r s I n h e r e n t i n t h e F i n i t e D i f f e r e n c e S o l u t i o n T h e o n e d i m e n s i o n a l d i r e c t p r o b l e m i s a n i n t r i n s i c p a r t o f t h e s o l u t i o n o f t h e i n v e r s e p r o b l e m , a n d i t p r o v i d e s a b a s i s f o r t h e s o l u - t i o n o f t h e t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m . B e c a u s e o f i t s i m p o r t a n c e i n b o t h p r o b l e m s , t h e i n f l u e n c e s o f t h e u s e r a d j u s t a b l e p a r a m e t e r s ; n o d e s p a c i n g a n d t i m e s t e p s , o n t h e a c c u r a c y a n d n u m e r i c a l o s c i l l a t o r y t e n d e n c i e s o f t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , w e r e s t u d i e d i n d e t a i l . R e s u l t s f r o m t h i s a n a l y s i s w e r e a l s o u s e d i n t h e i n d i r e c t p r o b l e m , a n d e x p a n d e d u p o n i n t h e a n a l y s i s o f t h e t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m . T h e n u m b e r o f n o d e s a n d t h e t i m e s t e p , a l o n g w i t h t h e p r o d u c t p r o p e r t i e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a r e i m p o r t a n t f a c t o r s d e t e r m i n i n g t h e n u m e r i c a l o s c i l l a t o r y t e n d e n c i e s a n d t h e a c c u r a c y o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n . I n b o t h c a s e s , t h e e i g e n v a l u e s r e s u l t i n g f r o m t h e s e t o f f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s , E q . ( 3 . 1 9 ) , p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e a n a l y s i s . 5 . 1 . 1 N u m e r i c a l O s c i l l a t i o n s I n e v a l u a t i n g t h e n u m e r i c a l o s c i l l a t i o n c r i t e r i a , t h e m a t r i x e q u a - t i o n s h o w n i n E q . ( 3 . 1 9 ) i s c o n s i d e r e d . M u l t i p l y i n g E q . ( 3 . 1 9 ) b y A f l r e s u l t s i n : T n + 1 - A ' l s o ' r “ + [ ( 1 1 ) ( 5 . 1 ) 7 8 N u m e r i c a l o s c i l l a t i o n s a r e r e l a t e d t o t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A l e ; o s c i l l a t i o n s w i l l o c c u r i n a s t a b l e s o l u t i o n i f s o m e o f t h e e i g e n - v a l u e s a r e n e g a t i v e , b u t g r e a t e r t h a n - 1 , ( M e y e r s , 1 9 7 1 ) . T h e r e f o r e , t o a v o i d o s c i l l a t i o n s , A 7 1 3 m u s t b e p o s i t i v e d e f i n i t e . S e g e r l i n d ( 1 9 8 4 ) s h o w e d t h a t t h e s t u d y o f t h e e i g e n v a l u e s o f A l e m a y b e r e d u c e d t o a s t u d y o f A . a n d B w h e r e : A . - ‘ l - C + K . ( 5 . 2 a ) n A t n - - l — c - x . ( 5 . 2 b ) fl A t T h e C a n d K . m a t r i c e s c o n t a i n t h e h e a t c a p a c i t y ( p o n ) t e r m s a n d t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y ( k ) t e r m s , r e s p e c t i v e l y . F o r t h e s i m p l i f i e d c a s e o f a o n e d i m e n s i o n a l f i n i t e s l a b w i t h c o n s t a n t p r o d u c t p r o p e r t i e s , a n d i n s u l a t e d a t t h e f i r s t b o u n d a r y ( x - 0 ) , a n d w i t h a c o n v e c t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e s e c o n d b o u n d a r y ( x - L x ) , t h e C a n d K . m a t r i c e s a r e g i v e n b e l o w . " 2 9 2 A : 0 0 1 2 0 p C p r c - p c p r 5 ( 5 . 3 a ) o . . . 0 2 - 9 3 % 7 9 ' . 3 _ _ 1 s , , , ‘ A x A x 0 0 , 1 ; 2 1 5 , 3 I A x A x A x . _ _ J s A _ J s K 0 A x A x A x 0 ( S ' B b ) o o o . - k l _ 0 A x A x + t h x ‘ F o r A l e t o b e p o s i t i v e d e f i n i t e , A . a n d B m u s t b o t h b e p o s i t i v e d e f i n i t e . T h e c o n d i t i o n f o r A . i s s a t i s f i e d s i n c e f r o m E q s . ( 5 . 3 a , b ) , C i s p o s i t i v e d e f i n i t e , a n d K . i s p o s i t i v e d e f i n i t e i n t h i s c a s e b e c a u s e o f t h e t h x t e r m ( S e g e r l i n d , 1 9 8 4 ) . T h e s e c o n d m a t r i x i n q u e s t i o n , B i s p o s i t i v e d e f i n i t e i f ( F r i e d , 1 9 7 9 ) d e t [ K — A C ] - o 2 - 1 , 2 , . . . , L , ( t o t a l N o . o f n o d e s ) w h e r e - A ! 7 ‘ 1 7 ; ( 5 . 4 ) a n d fl - t h e w e i g h t i n g c o e f f i c i e n t u s e d i n t h e n u m e r i c a l m e t h o d T h e r e f o r e , c o n s i d e r i n g t h e w o r s t c a s e w h e r e 2 1 - A t h e m a x i m u m m a x ’ e i g e n v a l u e , n u m e r i c a l o s c i l l a t i o n s c a n b e a v o i d e d i f ( B - 0 . 5 ) *A fi 8 ‘ 8 fl a T § _ x 7 1 x I x ( - O L x x x - - x , 0 ) £ - - § ¥ . % ¥ o T t o h x c r m L x - T ( L x , t ) ) O 0 o s < < 0 s x c t x s 5 s s o L t x 1 t L c 1 x < s : 1 ( ( ( ( 5 5 5 5 - . . . 6 6 6 6 8 b c d ) ) ) ) 8 0 4 t o s c ( 5 ' 5 ) m a x T h e f o l l o w i n g h y p o t h e t i c a l p r o b l e m , s i m i l a r t o t h e c o n d i t i o n s u s e d d u r i n g t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s f o r t h e s i n g l e p r o d u c t l a y e r d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 5 , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e u s e o f c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , w a s c o n s i d e r e d i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e o s c i l - l a t o r y c r i t e r i a w h e r e L x - 0 . 1 3 m T - - 5 ’ C T o - - 3 3 ° C t - 1 8 h o u r s E x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m s i m i l a r c o n d i t i o n s i n d i c a t e d t h a t t h e t e m p e r a t u r e o f t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e a t t h e m i d - s e c t i o n o f t h e l a y e r c h a n g e d f r o m z - 3 3 ° C t o z - 1 2 ° C a f t e r 1 8 h o u r s . T h e r e f o r e , i n t h e 8 1 n u m e r i c a l o s c i l l a t o r y a n a l y s i s , t h e p r o b l e m g i v e n b y E q s . ( 5 . 6 a - d ) w a s c o n s i d e r e d u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s o f t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e e v a l u a t e d a t t h e t w o e x t r e m e t e m p e r a t u r e s o f - 3 3 ° C a n d - 1 2 ° C . T h e v a l u e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s s e t a t 7 . 8 5 W / m Z C , w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h D a g e r s k o g ( 1 9 7 4 ) , w h o r e p o r t e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s r a n g i n g f r o m 4 t o 1 3 W / m Z C , u s i n g t r a n s d u c e r s , f o r f r e e a i r o v e r a f r o z e n f o o d p a l l e t i n s t o r a g e . T h e h e a t c a p a c i t y a n d c o n d u c t i v i t y m a t r i c e s s h o w n i n E q s . ( 5 . 3 a , b ) , r e s p e c t i v e l y , w e r e e v a l u a t e d u s i n g 5 , 9 , 1 3 , a n d 1 7 n o d e s , a n d w i t h t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 3 3 a n d - 1 2 ° C , u s i n g E q s . ( 3 . 3 ) , ( 3 . 6 a - c ) , a n d ( 3 . 9 ) f o r p , k a n d C p , r e s p e c t i v e l y . T a b l e 5 . 1 s h o w s t h e v a l u e s o f A x , p , k , a n d C p u s e d f o r t h e e i g h t c a s e s c o n s i d e r e d . E q u a t i o n ( 5 . 4 ) w a s s o l v e d f o r A ! u s i n g t h e J a c o b i M e t h o d ( B a t h e a n d W i l s o n , 1 9 7 6 ) , f o r e a c h h y p o t h e t i c a l c o n d i t i o n . T h e l a r g e s t e i g e n v a l u e ( A m a x ) w a s u s e d t o d e t e r m i n e A t o s c a c c o r d i n g t o E q . ( 5 . 5 ) , f o r e a c h c a s e c o n s i d e r e d . T h e v a l u e s f o r A 1 a n d A t o s c a r e s h o w n i n T a b l e 5 . 2 a , b . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t a s t h e n u m b e r o f n o d e s i n c r e a s e , t h e t i m e s t e p t o p r e v e n t n u m e r i c a l o s c i l l a t i o n s d e c r e a s e s . I n a d d i t i o n , t h e t i m e s t e p l i m i t a t i o n w a s m u c h m o r e s e v e r e f o r t h e c a s e s w h e r e t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e e v a l u a t e d a t - 3 3 ° C , r a t h e r t h a n - 5 ° C ; f o r a l l v a l u e s o f A x i n v e s t i g a t e d , t h e c r i t i c a l t i m e s t e p s f o u n d u s i n g t h e r m a l p r o p e r t i e s a t - 3 3 ° C w e r e a 6 0 % o f t h o s e v a l u e s f o u n d u s i n g t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s a t - 1 2 ‘ C . T h i s c o i n c i d e s w i t h t h e i n v e r s e r a t i o o f t h e t h e r m a l d i f - f u s i v i t i e s ( 5 ) e v a l u a t e d a t t h e r e s p e c t i v e t e m p e r a t u r e s . T h u s x ( - 1 2 ) A t ( - 3 3 ) n ( - 3 3 ) ' A t ( - 1 2 ) ( 5 . 7 ) O S C T a b l e 5 . 1 V a l u e s ( “ 1 . x f o r A x , p , k , a n d C p U s e d i n E v a l u a t i n g A m a 8 2 - 7 . 8 5 W / m ' C ) . X N o . o f A x p 3 k C p C a s e N o . N o d e s ( m ) ( k g / m ) ( W / m ‘ C ) ( k J / k g ' C ) c o m m e n t s 1 5 0 . 0 3 2 5 0 9 7 2 . 2 2 . 2 4 2 . 4 7 P r o p e r t i e s 2 9 0 . 0 1 6 2 5 9 7 2 . 2 2 . 2 4 2 . 4 7 e v a l u a t e d 3 1 3 0 . 0 1 0 8 3 9 7 2 . 2 2 . 2 4 2 . 4 7 . a t - 3 3 ' C 4 1 7 0 . 0 0 8 1 3 9 7 2 . 2 2 . 2 4 2 . 4 7 5 5 0 . 0 3 2 5 0 9 7 4 . 6 1 . 9 8 3 . 6 6 P r o p e r t i e s 6 9 0 . 0 1 6 2 5 9 7 4 . 6 1 . 9 8 3 . 6 6 e v a l u a t e d 7 1 3 0 . 0 1 0 8 3 9 7 4 . 6 1 . 9 8 3 . 6 6 a t ~ 1 2 ' C 8 1 7 0 . 0 0 8 1 3 9 7 4 . 6 1 . 9 8 3 . 6 6 8 3 T a b l e 5 . 2 a E i g e n v a l u e s a n d R e s u l t i n g C r i t i c a l n o O s c i l l a t i o n s T i m e S t e p ( s e c ) f o r P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C . C a s e N o . ( N o . o f N o d e s ) E i g e n v a l u e s ( n o - 1 ) 8 ) ( 3 ) ( 1 3 ) ( 1 ; ) A 1 2 . 1 8 5 8 - 1 0 2 . 1 7 3 6 - 1 0 ‘ 5 2 . 1 7 3 2 - 1 0 ’ S 2 . 2 2 3 5 - 1 0 ' 5 A 2 5 . 6 5 9 1 - 1 0 5 . 8 6 2 7 0 1 0 - “ 5 . 9 0 1 6 - 1 0 ' 4 5 . 9 1 9 7 - 1 0 " A , 1 . 8 1 4 9 - 1 0 2 . 1 1 7 6 o 1 0 ' 3 2 . 1 7 8 1 - 1 0 ' 3 2 . 1 9 9 9 - 1 0 ' 3 A , 3 . 0 6 3 7 - 1 0 4 . 4 0 8 2 - 1 0 ' 3 4 . 7 0 2 8 - 1 0 ' 3 4 . 8 0 9 6 - 1 0 ' 3 A 5 3 . 5 5 9 1 - 1 0 7 . 1 1 0 0 - 1 0 " 3 7 . 9 9 2 9 - 1 0 ' 3 8 . 3 2 1 4 - 1 0 ' 3 A , 9 . 8 1 1 7 - 1 0 ' 3 1 . 1 8 2 4 o 1 o ' 2 1 . 2 6 0 1 - 1 0 ’ 2 A 7 1 . 2 1 0 2 - 1 0 ' 2 1 . 5 9 3 6 - 1 0 ' 2 1 . 7 4 8 3 - 1 0 ' 2 A , 1 . 3 6 3 3 - 1 0 ' 2 2 . 0 0 4 7 - 1 0 ' 2 2 . 2 7 8 0 - 1 0 ’ 2 A , 1 . 4 1 4 9 o 1 o ‘ 2 2 . 3 8 7 8 - 1 0 ' 2 2 . 8 2 8 9 o 1 0 ' 2 A 1 ° 2 . 7 1 6 9 - 1 0 ' 2 3 . 3 7 9 8 - 1 0 ' 2 A , , 2 . 9 5 9 3 - 1 0 ' 2 3 . 9 0 9 5 - 1 0 ' 2 A 1 2 3 . 1 2 8 1 - 1 0 ' 2 4 . 3 9 7 7 - 1 0 ' 2 A 1 3 3 . 1 8 0 0 - 1 0 ‘ 2 4 . 8 2 5 6 - 1 0 ' 2 A 1 , 5 . 1 7 6 8 o 1 0 ' 2 A , , 5 . 4 3 7 3 - 1 0 ' 2 A , , 5 . 5 9 8 5 - 1 0 ' 2 A , , 5 . 6 5 0 6 - 1 0 ' 2 A t o s c 5 6 2 1 4 1 6 3 3 5 8 4 T a b l e 5 . 2 b E i g e n v a l u e s a n d R e s u l t i n g C r i t i c a l n o O s c i l l a t i o n s T i m e S t e p ( s e c ) f o r P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 1 2 ’ C . C a s e N o . ( N o . o f N o d e s ) E i g e n v a l u e s _ , s 6 7 8 ( S E C ) ( 5 ) ( 9 ) ( 1 3 ) ( 1 7 ) - 5 - 5 - s - 5 A 1 1 . 4 4 0 5 - 1 0 1 . 4 3 9 0 - 1 0 1 . 4 1 4 6 - 1 0 1 . 4 3 8 3 - 1 0 A 2 3 . 4 0 1 6 - 1 0 " 3 . 5 2 4 1 o 1 0 ' “ 3 . 5 4 3 8 - 1 0 ' “ 3 . 5 5 3 7 o 1 o ' “ A , 1 . 0 8 2 9 - 1 0 ’ 3 1 . 2 6 3 3 - 1 0 ' 3 1 . 2 9 8 6 - 1 0 ' 3 1 . 3 1 1 4 4 0 “ 3 A , 1 . 8 2 5 4 - 1 0 ' 3 2 . 6 2 5 6 - 1 0 ' 3 2 . 7 9 9 5 - 1 0 ’ 3 2 . 8 6 2 9 0 1 0 ' 3 A , 2 . 1 1 8 6 - 1 0 ' 3 4 . 2 3 2 4 - 1 0 ’ 3 4 . 7 5 5 4 - 1 0 ‘ 3 4 . 9 5 0 7 - 1 0 ' 3 A , 5 . 8 3 9 1 - 1 0 ' 3 7 . 0 3 3 1 - 1 0 ' 3 7 . 4 9 4 6 - 1 0 ' 3 A 7 7 . 2 0 1 3 . 1 o ' 3 9 . 4 7 7 3 - 1 0 ‘ 3 1 . 0 3 9 7 - 1 0 ' 2 A , 8 . 1 1 2 1 - 1 0 ' 3 1 . 1 9 2 2 - 1 0 ' 2 1 . 3 5 4 6 - 1 0 ' 2 A , 8 . 4 1 5 8 - 1 0 ' 3 1 . 4 1 9 9 - 1 0 ‘ 2 1 . 6 8 2 1 - 1 0 ' 2 A , o 1 . 6 1 5 5 o 1 0 ' 2 2 . 0 0 9 6 - 1 0 ' 2 A 1 1 1 . 7 6 5 6 - 1 0 ' 2 2 . 3 2 4 5 - 1 0 ’ 2 A , , 1 . 8 6 0 0 - 1 0 ’ 2 2 . 6 1 4 8 - 1 0 ' 2 A , , 1 . 8 9 0 7 - 1 0 ' 2 2 . 8 6 9 2 - 1 0 ‘ 2 A , , 3 . 0 7 7 9 - 1 0 ' 2 A , , 3 . 2 3 3 1 - 1 0 ' 2 A , , 3 . 3 2 8 7 - 1 0 ’ 2 - 2 A 1 1 3 . 3 5 9 5 - 1 0 A t 9 4 4 2 3 3 1 0 6 s o A s m a x { k ( e ) ( 5 - 3 ) 8 5 I n t h e a p p l i c a t i o n t o t h e n o n l i n e a r p r o b l e m , g i v e n A t o s c f o r a s p e c i f i c v a l u e o f t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y e v a l u a t e d a t T 1 , t h e c r i t i c a l t i m e s t e p u s i n g t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t T , c a n b e d e t e r m i n e d b y m u l t i p l y - i n g A t o s c e v a l u a t e d a t T 1 b y t h e i n v e r s e r a t i o o f t h e r e s p e c t i v e t h e r m a l d i f f u s i v i t i e s . T h i s p r o v i d e s a b a s i s f o r u s i n g a v a r i a b l e s t e p i n t h e s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r p r o b l e m . A n a l t e r n a t e m e t h o d o f e s t i m a t i n g A m a x w a s p r e s e n t e d b y F r i e d ( 1 9 7 9 ) . H e f o u n d t h a t t h e m a x i m u m e i g e n v a l u e f o r a g l o b a l f i n i t e e l e - m e n t m a t r i x i s l e s s t h a n o r e q u a l t o t h e m a x i m u m e i g e n v a l u e f o r a l l o f i t s e l e m e n t a l m a t r i c e s , t h a t i s t h e l e m e n t m a t r i x . T h e w h e r e A ; : ; i s t h e m a x i m u m e i g e n v a l u e o f t h e e h e a t c a p a c i t y a n d t h e r m a l c o n d u c t i v i t y m a t r i c e s f o r a o n e d i m e n s i o n a l ‘ e l e m e n t ' u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s i s f o u n d f r o m t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m t w o a d j a c e n t n o d e s . T h e s e m a t r i c e s a r e g i v e n b e l o w . C ( e ) _ P O C p o A X . [ 3 g ] ( 5 . 9 8 ) 2 k ( e ) - _ k - [ _ i i ] ( 5 . 9 b ) T h e m a x i m u m e i g e n v a l u e w a s f o u n d f r o m E q . ( 5 . 4 ) b y r e p l a c i n g t h e g l o b a l m a t r i c e s b y t h e e l e m e n t m a t r i c e s a s d e t [ k ( e ) - A g e ) . c ( e ) ] - 0 ( 5 . 1 0 ) S o l v i n g f o r A é z i f r o m t h e d e t e r m i n a n t y i e l d e d A 3 2 ; _ _ p _ ° _ C ; & P ; ° k ( _ A _ X _ ) ( 5 . 1 1 ) 8 6 ( 8 ) ) T h e m a x i m u m e i g e n v a l u e s c a l c u l a t e d f r o m t h e e l e m e n t a l m a t r i x ( A m a x f o r 5 , 9 , l 3 , a n d 1 7 n o d e s a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 3 3 a n d - 1 2 ‘ C . U p o n c o m p a r i s o n w i t h A m a x c a l c u l a t e d f r o m t h e g l o b a l m a t r i c e s ( T a b l e 5 . 2 a , b ) , i t w a s f o u n d t h a t A z A ( ° ) _ ( 5 . 1 2 ) m a x m a x f o r t h e f i n i t e d i f f e r e n c e g r i d . T h e m a x i m u m e i g e n v a l u e s c a l c u l a t e d f r o m t h e e l e m e n t a l m a t r i c e s a n d t h e g l o b a l m a t r i c e s a r e c o m p a r e d i n T a b l e 5 . 3 . 5 . 1 . 2 A c c u r a c y T h e a c c u r a c y o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e n o n - l i n e a r p r o b l e m d e s c r i b e d b y E q s . ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) , a n d ( 3 . 1 3 a , b ) i s d i f f i c u l t t o d e t e r - m i n e , b e c a u s e t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n i s i m p r a c t i c a l t o o b t a i n . I n s i g h t i n t o t h e a c c u r a c y o f t h e n o n l i n e a r p r o b l e m w a s a c h i e v e d , h o w e v e r , b y c o n s i d e r i n g t h e l i n e a r p r o b l e m w i t h c o n s t a n t p r o p e r t i e s . T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h e s i m p l i f i e d o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m d e s c r i b e d b y E q s . ( 5 . 6 a - d ) i s g i v e n b y C a r s l a w a n d J a e g e r ( 1 9 5 9 ) a s 8 T ( x , t ) - T o + ( T - T o ) - 1 - R e ( 5 . 1 3 a ) 0 0 . 1 , ) : w h e r e - 1 ) ( 8 8 0 ( 5 ) “ 3 3 ° ( C 1 3 ) ( 9 ) ( 1 7 ) ( 5 ) - 1 2 ° C ( 1 3 ) ( 9 ) ( 1 7 ) 8 7 2 a n d A ( e ) - 1 0 2 . T a b l e 5 . 3 C o m p a r i s o n o f A 0 1 0 m a x m a x T e m p e r a t u r e ( N o . o f N o d e s ) A m a x 0 . 3 5 6 1 . 4 1 5 3 . 1 8 0 5 . 6 5 1 0 . 2 1 2 0 . 8 4 2 1 . 8 9 1 3 . 3 5 9 A i fi i 0 . 3 5 3 1 . 4 1 2 3 . 1 7 7 5 . 6 4 8 0 . 2 1 0 0 . 8 3 9 1 . 8 8 9 3 . 3 5 7 8 9 9 . 2 9 9 . 8 9 9 . 9 9 9 . 9 ‘ 9 9 . 0 9 9 . 7 9 9 . 9 9 9 . 9 8 8 2 - h k o c o s ( § £ x ) R x ' 2 2 [ ( h k + ( 1 ) - L x + h k ] - c o s ( § £ L x ) A ‘ - ( k / p C p > - c 2 1 I h k - t h x / k a n d { 1 i s t h e 2 t h r o o t o f t h e t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n { i - t a n ( § 1 - L x ) - L x - h k ( 5 . 1 3 b ) T h e e i g e n v a l u e s f o u n d i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n , A 1 , a r e a p p r o x i m a - t i o n s t o t h e e x p o n e n t i a l t e r m , A } , o f t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n . S i n c e t h e r e a r e a f i n i t e n u m b e r o f e i g e n v a l u e s i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n , i t i s i m p o r t a n t t o d e t e r m i n e h o w m a n y o f t h e t e r m s i n t h e s u m m a t i o n s h o w n i n E q . ( 5 . 1 3 a ) a r e s i g n i f i c a n t f o r a n y g i v e n t i m e . C o n s i d e r i n g t e r m s < 0 . 0 1 ' C t o b e i n s i g n i f i c a n t , t h e t i m e f o r a n y g i v e n t e r m i n t h e s u m m a t i o n t o b e i n s i g n i f i c a n t c a n b e c a l c u l a t e d f o r a s p e c i f i c l o c a t i o n o f x . V a l u e s f o r R £ , x w e r e c a l c u l a t e d , w i t h t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 3 3 a n d - 1 2 ° C , f o r t h e f i r s t n i n e v a l u e s o f { I ( A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , 1 9 6 5 ) , a t t h e i n s u l a t e d b o u n d a r y ( x - 0 ) , t h e m i d - s e c t i o n ( x - L x / 2 ) , a n d a t t h e c o n v e c t i v e b o u n d a r y ( x - L x ) . D u e t o t h e i n s u l a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n a n d r e s u l t i n g d a m p i n g e f f e c t s , t h e v a l u e s f o r R £ , x a t x - 0 , ( R £ , 0 ) ’ w e r e g r e a t e r i n m a g n i t u d e t h a n t h o s e a t t h e o t h e r l o c a t i o n s . C o n s e q u e n t l y , t h e v a l u e s o f R 2 , 0 w e r e t h e m o s t c r u c i a l v a l u e s i n d e t e r - m i n i n g t h e t i m e s ( t j ) f o r e a c h t e r m i n t h e s u m m a t i o n t o b e i n s i g n i f i c a n t . T h e v a l u e s f o r t : w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h t e r m s u c h t h a t < 0 . 0 1 ( 5 . 1 4 ) 8 9 e V a l u e s f o r A l , R £ , 0 ’ 2 , L x / 2 ’ £ , L x f i r s t n i n e t e r m s i n t h e s u m m a t i o n a r e f o u n d i n T a b l e s 5 . 4 a , b f o r t h e r m a l R R a n d t : e v a l u a t e d u s i n g R 1 0 f o r t h e p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 3 3 a n d ~ 1 2 ° C , r e s p e c t i v e l y . T h e v a l u e s f o r t ; m o n o t o n i c a l l y d e c r e a s e d t o l e s s t h a n o n e a f t e r o n l y f o u r e i g e n v a l u e s ; t h e r e f o r e , t h e t h e d a m p i n g e f f e c t s o f t h e e x p o n e n t i a l f a c t o r s w e r e m o r e i n f l u e n t i a l o n t h e b e h a v i o r o f t : t h a n t h e s i n u s i o d a l e f f e c t s o f t h e R 2 t e r m s . S i n c e o n l y t h e f i r s t t h r e e e i g e n v a l u e s w e r e s i g n i f i c a n t a f t e r 1 0 0 s e c o n d s , t h e s e t e r m s w e r e c o n s i d e r e d t h e m o s t t h e i m p o r t a n t w h e n c o m p a r i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n ( A 1 ) t o t h e e x p o n e n - t i a l f a c t o r s o f t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n ( A Z ) . I n a d d i t i o n , d u e t o t h e d i f f e r e n c e s i n t h e r m a l p r o p e r t i e s , t h e t : v a l u e s e v a l u a t e d a t - 1 2 ’ C w e r e g r e a t e r t h a n t h o s e v a l u e s e v a l u a t e d a t - 3 3 ° C ( E q . ( 5 . 7 ) ) , a n d c o n s e - q u e n t l y , t h e r e w e r e m o r e s i g n i f i c a n t t e r m s u s i n g t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 1 2 ° C t h a n a t - 3 3 ° C . S i n c e t h e f i r s t t h r e e e x p o n e n t i a l t e r m s w e r e t h e m o s t s i g n i f i c a n t i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , i t w a s d e c i d e d t h a t t h e f i r s t t h r e e e i g e n v a l u e s o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n b e w i t h i n 5 % o f t h e c o r r e s p o n d i n g a n a l y t i c a l t e r m s . T h e e i g e n v a l u e s w e r e c a l c u l a t e d a s p e r c e n t a g e s o f t h e a s s o c i a t e d 2 t e r m s f o r t h e e i g h t c o n d i t i o n s s h o w n i n T a b l e s 5 . 2 a , b w i t h 2 5 9 i n A F i g u r e 5 . 1 . F r o m t h e s e r e s u l t s , t h r e e e i g e n v a l u e s w e r e f o u n d w i t h i n 5 % o f A ; u s i n g n i n e o r m o r e n o d e s , f o r t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t b o t h - 3 3 a n d ~ 1 2 ° C . T h e r e f o r e , A x - 0 . 0 1 6 2 5 m e t e r s ( T a b l e 5 . 1 ) w a s t h e m a x i m u m s p a t i a l i n c r e m e n t c o n s i d e r e d , g i v e n t h e 5 % a c c u r a c y c r i t e r i a . S e g e r l i n d ( 1 9 8 6 ) h a s p r o p o s e d t h a t t h e l i m i t i n g t i m e s t e p w i t h r e g a r d s t o a c c u r a c y b e b a s e d o n t h e t i m e f o r t h e s o l u t i o n t o r e a c h s t e a d y s t a t e ( t s s ) . T h e f i r s t e i g e n v a l u e c o n t r o l s t h e t i m e r e q u i r e d t o r e a c h s t e a d y s t a t e . C o n s i d e r i n g t h e e x p o n e n t i a l t e r m a s t h e d o m i n a n t f a c t o r a t t s s ’ h e h a s s u g g e s t e d t h e f o l l o w i n g c r i t e r i a f o r d e t e r m i n i n g t h e m a x i m u m t i m e s t e p f o r a c c u r a c y ( A t a c ) 9 0 T a b l e 5 . 4 a S u m m a t i o n T e r m s i n S e r i e s S o l u t i o n a n d R e s u l t i n g T i m e f o r T e r m s t o V a n i s h ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - 3 3 ’ C ) . ‘ ; R 2 , 0 R 2 , 1 x / 2 R £ , L x 5 : 2 ( s e c " > ( ‘ c > ( ° C ) ( ° C ) ( s e c ) 1 2 . 1 7 3 - 1 0 ' 5 1 . 0 6 5 1 . 0 1 0 . 8 6 2 1 4 , 8 1 8 2 5 . 9 3 2 - 1 0 ' “ - 8 . 0 5 - 1 0 ' 5 . 5 5 - 1 0 ' 7 . 9 8 - 1 0 ' 3 , 5 1 7 3 2 . 2 2 7 . 1 0 ' 3 2 . 2 2 - 1 0 ’ - 2 . 2 2 o 1 0 ’ 2 . 2 1 - 1 0 ' 3 5 8 4 4 . 9 4 9 - 1 0 ' 3 - 1 . 0 1 - 1 0 ' - 2 . 7 4 - 1 0 ' 1 . 0 1 - 1 0 ' 2 5 8 . 7 6 0 - 1 0 ' 3 5 . 7 1 - 1 0 ' - 5 . 7 1 - 1 0 ' 5 . 7 1 - 1 0 ' < 1 6 1 . 3 6 9 - 1 0 ‘ 2 - 3 . 6 6 - 1 0 ' 6 . 0 0 - 1 0 ' 3 . 6 7 - 1 0 ’ < 1 7 1 . 9 6 5 - 1 0 ' 2 2 . 5 5 - 1 0 ‘ - 2 . 5 5 - 1 0 ' 2 . 5 5 - 1 0 ’ < 1 8 2 . 6 7 2 - 1 0 ' 2 - 1 . 8 8 - 1 0 ’ - 1 . 9 4 - 1 0 ' 1 . 8 8 - 1 0 ' < 1 9 3 . 4 9 2 - 1 0 ‘ 2 1 . 4 4 - 1 0 ' 1 . 4 4 . 1 0 ' 1 . 4 4 . 1 0 ' < 1 9 1 T a b l e 5 . 4 b S u m m a t i o n T e r m s i n S e r i e s S o l u t i o n a n d R e s u l t i n g T i m e f o r T e r m s t o V a n i s h ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t - l 2 ° C ) . ‘ 2 R 2 , 0 R £ , L x / 2 R £ , L x t : 1 ( s e a l ) ( ° C ) ( ° C ) ( ‘ 6 ) ( s e c ) 1 1 . 4 3 5 - 1 0 ’ 5 1 . 0 7 1 . 0 1 0 . 8 5 3 2 5 , 7 8 2 2 3 . 5 6 3 - 1 0 ' “ - 8 . 9 7 - 1 0 ' 6 . 9 5 . 1 0 “ 8 . 8 6 - 1 0 ' 6 , 1 5 8 3 1 . 3 2 8 - 1 0 ' 3 2 . 5 1 - 1 0 ’ - 2 . 5 1 - 1 0 ’ 2 . 5 0 . 1 0 ' 6 9 8 4 2 . 9 4 6 - 1 0 ' 3 - 1 . 1 4 - 1 0 ' - 3 . 1 0 o 1 0 ' 1 . 1 4 - 1 0 ’ 4 5 5 5 . 2 1 0 - 1 0 ' 3 6 . 4 7 . 1 0 ' 6 . 4 7 . 1 0 ’ 6 . 4 7 - 1 0 ‘ < 1 6 8 . 1 2 4 - 1 0 ' 3 - 4 . 1 6 - 1 0 ' 6 . 8 0 - 1 0 ' 4 . 1 6 - 1 0 ' < 1 7 1 . 1 6 8 - 1 0 ' 2 2 . 8 9 - 1 0 ' - 2 . 8 9 - 1 0 ' 2 . 8 9 - 1 0 ' < 1 8 1 . 5 8 9 - 1 0 ' 2 - 2 . 1 3 - 1 0 ' - 2 . 5 0 - 1 0 ' 2 . 1 3 - 1 0 ' < 1 9 2 . 0 7 4 - 1 0 ' 2 1 . 6 3 - 1 0 ' 1 . 6 1 - 1 0 ‘ 1 . 6 1 . 1 0 ' < 1 b « j \ \ t \ \ \ a \ \ l a c i t y l a n A f o s e g a t n e l 6 e u l a v n e g i c C C E ° ° 5 T 3 2 3 1 f o \ ~ - t t r a a e r e P s a s e u s s l b e e a l 4 t i m \ : N e e n i i t r r u \ o d p p d o o e r r h s P P v n e g i . E s m t l r u e M ‘ ) 3 ) > l a e c T s i e e d c s s o e n s e s r l e a m i e e u t 3 s N f o r e e e ° ° d e d o d o d d d d d N o N o f ° ° o o N n e N N n f N N N N e e l 2 r 1 o i r D e e r . p e e ° u r o u r 5 x e n n o w o w h h E b e t m i O F O T T T T F e r u 0 ‘ 0 a n 8 i e u N F - ’ - - — o e H 5 a H H e i g i F . 4 - 0 - ~ 0 0 8 6 4 1 1 1 . 1 9 1 l o n u s u o d x g I D O ! i / ( I D U V o x l o 1 0 0 ” “ ‘ T 2 0 - ‘ 7 0 ) m ~ i \ 9 2 9 3 t A t - J 5 ( 5 . 1 5 ) w h e r e , T h e v a l u e s f o r t h e t i m e s t e p b a s e d o n a c c u r a c y a r e s h o w n i n T a b l e 5 . 5 . F r o m c o m p a r i s o n o f t h e s e v a l u e s ( t s s ) w i t h t h e t i m e s s t e p s r e s u l t i n g f r o m t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a ( T a b l e s 5 . 2 a , b ) , t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a w a s f a r m o r e l i m i t i n g t h a n t h e a c c u r a c y c r i t e r i a , i n t h i s p a r t i c u l a r p r o b l e m . 5 . 1 . 3 S e l e c t i o n o f t h e O p t i m a l T i m e S t e p a n d S p a t i a l S t e p T o e n s u r e a n e f f i c i e n t a n d a c c u r a t e s o l u t i o n w i t h o u t o s c i l l a t i o n s , m a x i m u m s p a t i a l a n d t i m e s t e p s w e r e c h o s e n t o s a t i s f y b o t h t h e o s c i l l a - t i o n a n d a c c u r a c y c r i t e r i a d i s c u s s e d i n t h e t w o p r e v i o u s s e c t i o n s . F r o m t h e a n a l y s i s o f a c c u r a c y , t h e m a x i m u m s p a t i a l s t e p w a s f o u n d u s i n g a m i n i m u m o f n i n e n o d e s , a n d t h e l i m i t i n g t i m e s t e p , b a s e d o n t h e o s c i l l a - t i o n c r i t e r i a f o r n i n e n o d e s , w a s 1 4 1 s e c o n d s , u s i n g t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 3 3 ' C , a n d 2 3 8 s e c o n d s , u s i n g t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 1 2 ’ C . A t i m e s t e p o f 1 2 0 s e c o n d s , w h i c h s a t i s f i e s t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a f o r b o t h s e t s o f p r o p e r t i e s w a s u s e d . S e g e r l i n d ( 1 9 8 6 ) h a s s u g g e s t e d a p r o c e d u r e f o r a n a l y z i n g t h e l o n g t i m e s o l u t i o n u s i n g t h e v a l u e s o f A x a n d A t c h o s e n a b o v e . I n t h i s a n a l y s i s , t h e f i r s t e x p o n e n t i a l t e r m o f t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n a f t e r N ( t m a x / A t ) t i m e s t e p s w i t h t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n . I n t h i s c a s e t h e m a x i m u m t i m e i s 1 8 h o u r s o r 6 4 , 8 0 0 s e c o n d s , w h i c h i s g r e a t e r t h a n t : u s i n g t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t b o t h - 3 3 a n d - l 2 ° C ; t h e r e f o r e , ( 5 ) ( 9 ) - 3 3 ° c ( 1 3 ) - ( 1 7 ) ( 5 ) - 1 2 ° C ( 1 3 ) ( 9 ) ( 1 7 ) 9 4 T a b l e 5 . 5 L i m i t i n g T i m e S t e p B a s e d o n A c c u r a c y . T e m p e r a t u r e ( N o . o f N o d e s ) A t 2 2 8 8 2 3 0 0 2 3 0 1 2 2 4 9 3 4 7 1 3 4 7 5 3 5 3 5 3 4 7 6 a c ( s e c ) 9 5 o n l y o n e e i g e n v a l u e o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n i s s i g n i f i c a n t . T h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o e x p [ - A : - t ] w a s f o u n d u s i n g t h e P a d r e e x p a n - s i o n o f t h e C r a n k N i c o l s o n f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d w i t h N t i m e s t e p s . T h e P a d r e e x p a n s i o n f o r t h e f i r s t e x p o n e n t i a l t e r m w a s f o u n d b y c o n s i d e r i n g b o t h t h e a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o t h e t i m e d e p e n d e n t d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s t h e s e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s s o l u t i o n o f t h e l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m , O z i s i k ( 1 9 8 0 ) £ 9 + A § . ¢ - 0 ( 5 . 1 6 ) a t T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n i s ( 5 . 1 7 ) w h e r e , a - C O H S t a n t F r o m F i g u r e 5 . 2 , t h e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n s t o t h e t i m e d e r i v a - t i v e , a n d Q a r e d e t e r m i n e d a s 2 2 2 _ _ ; _ 2 _ a t ' A t ( 5 . 1 8 ) 1 O o - 9 — - § - 9 — ( 5 . 1 9 ) S u b s t i t u t i n g E q s . ( 5 . 1 8 ) , a n d ( 5 . 1 9 ) i n t o E q . ( 5 . 1 6 ) a n d r e p l a c i n g A : b y t h e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n ( A 1 ) . a n d s o l v i n g f o r § 1 y i e l d s 1 ( 1 ‘ A I A t / Z ) o ( 1 + A l A t / 2 ) ' ° ( 5 . 2 0 ) - 7 , 9 6 0 C r a n k - N i c o l s o n 9 ° _ _ _ _ _ _ A p p r o x i m a t i o n 2 2 o f a t l I { I I I A t 2 A t F i g u r e 5 . 2 C r a n k - N i c o l s o n A p p r o x i m a t i o n f o r t h e T i m e D e r i v a t i v e . 9 7 A f t e r n t i m e s t e p s , t h e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n i s ( 5 . 2 1 ) n ( 1 - A 1 A t / 2 ) n 0 ° ' ( 1 + A l A t / Z ) ' ° 0 E v a l u a t i n g E q . ( 5 . 1 7 ) , a t t - 0 , g i v e s Q - a , a n d t h e r e f o r e , 0 - a , a n d t h e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n t o t h e e x p o n e n t i a l t e r m i s e ( 5 . 2 2 ) - A § c ( 1 - A l A t / 2 ) n z ( 1 + A 1 A t / 2 ) w h e r e t - n - A t . T h e e x p o n e n t i a l t e r m o f t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n a f t e r t 1 - 6 4 , 8 0 0 s e c o n d s , a n d t h e a p p r o x i m a t e n u m e r i c a l t e r m a f t e r n - 5 4 0 t i m e s t e p s ( A t - 1 2 0 s e c o n d s ) f o r p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 3 3 a n d - 1 2 ‘ C a r e 1 . T h e r m a l p r o p e r t i e s a t - 3 3 ° C : - A f - t e 1 - 0 . 2 4 4 6 1 _ A I - A t / Z r 9 9 . 9 % A c c u r a c y - 0 . 2 4 4 4 1 + A I - A t / Z J w h e r e : A : - 2 . 1 7 3 - 1 0 ‘ 5 A , - 2 . 1 7 4 . 1 0 ' S 2 . T h e r m a l p r o p e r t i e s a t ~ 1 2 ° C : 9 8 ~ A § ~ t 1 ‘ e - 0 . 3 9 4 6 1 A A t / 2 r 9 9 . 7 % A c c u r a c y . 1 . - 0 . 3 9 3 6 1 + A , ~ A t / 2 J w h e r e : A : - 2 . 1 7 3 - 1 0 ' 5 A 1 - 2 . 1 7 4 - 1 0 ‘ 5 5 . 1 . 4 A n a l y s i s o f T i m e a n d S p a t i a l S t e p s f o r O t h e r G e o m e t r i e s C y l i n d r i c a l a n d s p h e r i c a l g e o m e t r i e s w e r e c o n s i d e r e d u s i n g n i n e n o d e s a n d c o m p a r e d w i t h r e s u l t s f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n s . T h e e i g e n - v a l u e s f r o m t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n w e r e f o u n d b y m o d i f y i n g t h e c o n d u c t i v i t y a n d h e a t c a p a c i t y m a t r i c e s , E q s . ( 5 . 3 a , b ) , t o a c c o u n t f o r t h e d i f f e r e n t g e o m e t r i e s , a n d s o l v i n g E q . ( 5 . 4 ) a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 5 . 1 . 1 . T h e l i m i t i n g t i m e s t e p s f o r t h e n u m e r i c a l o s c i l l a t i o n c r i t e r i a a n d f o r t h e a c c u r a c y c r i t e r i a p r o p o s e d b y S e g e r l i n d ( 1 9 8 6 ) w e r e f o u n d u s i n g E q . ( 5 . 5 ) a n d E q . ( 5 . 1 5 ) , r e s p e c t i v e l y , f o r t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 a n d ~ 1 2 ' C . R e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 5 . 6 f o r b o t h c y l i n d r i c a l a n d s p h e r i c a l g e o m e t r i e s u s i n g n i n e n o d e s . A g a i n , t h e o s c i l l a t o r y c r i t e r i a w a s m o r e r e s t r i c t i v e o n t h e t i m e s t e p t h a n t h e a c c u r a c y c r i t e r i a o f E q . ( 5 . 1 5 ) . C o m p a r i n g T a b l e 5 . 6 w i t h T a b l e 5 . 2 a , b r e v e a l e d t h a t A t o s c f o r t h e s p h e r e w a s s i g n i f i c a n t l y l e s s t h a n t h a t f o r t h e c y l i n d e r , a n d t h a t t h e A t o s c f o r t h e i n f i n i t e s l a b w a s l e a s t r e s t r i c t i v e o f a l l . F o r t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t b o t h ~ 3 0 a n d ~ 1 2 ° C , t h e c r i t i c a l t i m e s t e p s f o r n o o s c i l l a t i o n s u s i n g s p h e r i c a l a n d c y l i n d r i c a l g e o m e t r i e s w e r e 6 3 a n d 8 3 % , r e s p e c t i v e l y , o f t h o s e f o r a n i n f i n i t e s l a b . 9 9 T a b l e 5 . 6 L i m i t i n g T i m e S t e p s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l G e o ~ m e t r i e s . C y l i n d r i c a l S p h e r i c a l G e o m e t r y G e o m e t r y ~ 3 3 ' C ~ 1 2 ° C ~ 3 3 ° C ~ 1 2 ‘ C A t ( s e c ) 1 1 7 1 9 7 8 9 1 5 0 o s c A t a c ( s e c ) 1 0 7 2 1 6 7 4 7 0 6 1 0 8 9 I2 1 0 0 T h e e i g e n v a l u e s o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n w e r e c o m p a r e d w i t h t h e e x p o n e n t i a l t e r m s ( A 2 ) o f t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n ; t h e a n a l y t i c a l s o l u ~ t i o n s f o r a n i n f i n i t e s o l i d c y l i n d e r a n d a s o l i d s p h e r e w i t h a c o n v e c t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t r - 0 . 1 3 m a r e g i v e n b e l o w ( C a r s l a w a n d J a e g e r , 1 9 5 9 ) . 1 . F o r a n i n f i n i t e s o l i d c y l i n d e r T ( r , t ) - T , + ( T c L x - T , ) - [ 1 - E C l o e x p ( ~ A £ - t e ) ] ( 5 . 2 3 a ) w h e r e 2 ( h k ) - J o ( § £ r ) 1 . x . ( g 2 + h k 2 ) o J o ( c , L x ) V ( k / P C P ) ° § i h k - t h x / k a n d , ( l i s t h e 1 t h r o o t o f t h e t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n c l u n g - I x ) - ( h k ) - J o ( § £ L x ) ( 5 . 2 3 b ) 2 . F o r a s o l i d s p h e r e T ( r , t ) - T , + ( T c o L x - T , ) - [ 1 - E S fl o e x p ( ~ A £ - t ¢ ) ] ( 5 . 2 4 a ) w h e r e 1 ] . s i n ( o n g ' £ ) . 3 1 n ( 1 - . g 2 ) 1 0 1 2 2 , r - ( i [ ( L x - g £ ) 2 + L x - h k - ( L x - h k - l ) 2 - L x - h k o g + ( o n h k ~ 1 ) 2 s - C A , - ( m o m - c f , b k - t h x / k a n d , { i i s t h e 2 t h r o o t o f t h e t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n L x - g i c o t ( § £ ~ L x ) - 1 ~ L x - h k ( 5 . 2 4 b ) T h e t i m e f o r e a c h t e r m i n t h e s u m m a t i o n t o b e i n s i g n i f i c a n t ( t ? ) w a s a l s o d e t e r m i n e d f o r t h e c y l i n d e r a n d t h e s p h e r e , u s i n g t h e c r i t e r i a p r e s e n t e d i n E q . ( 5 . 1 4 ) , g i v i n g a . C y l i n d e r : S 0 . 0 1 ( 5 . 2 5 a ) b . S p h e r e : 2 c o | . e - ( A l t 2 ) 1 , 0 S 0 . 0 1 ( 5 . 2 5 b ) T h e t i m e s f o r e a c h s u m m a t i o n t e r m t o b e c o m e i n s i g n i f i c a n t w e r e c a l c u l a t e d a n d c o m p a r e d f o r t h e s o l i d s p h e r e a n d t h e i n f i n i t e s o l i d c y l i n d e r . R e s u l t s f o r t h e f i r s t s i x e i g e n v a l u e s a r e s h o w n i n T a b l e 5 . 7 a , b f o r t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 a n d ~ 1 2 ° C , r e s p e c t i v e l y . 1 0 2 G e o m e t r i e s ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . T a b l e 5 . 7 a C o m p a r i s o n o f t : V a l u e s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l C y l i n d r i c a l S p h e r i c a l G e o m e t r y G e o m e t r y * ; _ 1 C 2 , 0 t : * ; - 1 5 2 , 0 ‘ 7 ( s e c ) ( ° C ) ( s e c ) ( s e c ) ( ° C ) ( s e c ) 4 . 4 8 - 1 0 ' 5 1 . 1 0 6 1 0 5 , 0 6 6 6 . 8 0 - 1 0 ' 1 . 1 3 1 6 9 , 5 5 0 8 . 5 8 - 1 0 ’ “ 0 . 1 4 4 3 , 1 1 1 1 . 1 6 - 1 0 ' 0 . 2 0 2 2 , 5 8 2 2 . 7 6 - 1 0 ' 3 6 . 0 4 - 1 0 ' 2 6 5 1 3 . 3 4 - 1 0 ' 0 . 1 1 8 7 3 8 5 . 7 6 - 1 0 ' 3 3 . 4 9 . 1 0 ' 2 2 1 7 6 . 6 1 - 1 0 ' 8 . 3 5 - 1 0 ' 2 3 2 1 9 . 8 4 - 1 0 ‘ 3 2 . 3 4 - 1 0 ' 2 8 6 1 . 1 0 . 1 0 ' 6 . 4 8 - 1 0 ' 2 1 7 0 1 . 5 0 . 1 0 ' 2 1 . 7 0 - 1 0 ' 2 3 5 1 . 6 4 - 1 0 ’ 5 . 2 9 - 1 0 ' 2 1 0 2 1 0 3 G e o m e t r i e s ( P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t ~ 1 2 ° C ) . T a b l e 5 . 7 b C o m p a r i s o n o f t : V a l u e s f o r C y l i n d r i c a l a n d S p h e r i c a l C y l i n d r i c a l S p h e r i c a l G e o m e t r y G e o m e t r y ‘ ; . 1 C 2 , 0 t : * ; - 1 5 2 , 0 ‘ 7 ( s e c ) ( ' C ) ( s e c ) ( s e c ) ( ' C ) ( s e c ) 2 . 9 8 . 1 0 ' S 1 . 1 2 0 1 5 8 , 5 4 3 4 . 6 1 - 1 0 ‘ 5 1 . 1 4 9 1 0 2 , 9 4 5 5 . 1 5 - 1 0 ' “ ~ 0 . 1 6 2 5 , 4 1 0 7 . 0 0 - 1 0 ' “ ~ O . 2 2 8 4 4 , 6 7 0 1 . 6 5 - 1 0 ' 3 6 . 8 3 - 1 0 ' 2 1 , 1 6 7 2 . 0 0 - 1 0 ' 3 0 . 1 3 3 1 , 2 9 4 3 . 4 3 - 1 0 ' 3 3 . 9 6 - 1 0 ’ 2 4 0 1 3 . 9 5 - 1 0 ' 3 9 4 6 . 1 0 " 2 5 6 8 5 . 8 5 . 1 0 ' 3 2 . 6 5 1 0 ' 2 1 6 7 6 . 5 7 - 1 0 ’ 3 7 . 3 4 - 1 0 ' 2 3 0 4 8 . 9 3 . 1 0 ’ 3 1 . 9 3 . 1 0 ' 2 7 4 9 . 8 1 - 1 0 ‘ 3 5 . 9 9 . 1 0 ' 2 1 8 3 1 0 4 T h e f i r s t t w o t e r m s i n t h e s u m m a t i o n a p p r o a c h z e r o f a s t e r f o r t h e s p h e r e c o m p a r e d w i t h t h e c y l i n d e r , a n d f o r t h e c y l i n d e r c o m p a r e d w i t h t h e i n f i n i t e s l a b ( T a b l e 5 . 4 a , b ) , a s w o u l d b e e x p e c t e d d u e t o t h e i n c r e a s e d s u r f a c e a r e a t o v o l u m e r a t i o o f t h e s p h e r e a n d c y l i n d e r , c o m p a r e d w i t h t h e s l a b . H o w e v e r , t h e t i m e f o r t h e r e m a i n i n g t e r m s i n t h e s u m m a t i o n t o b e c o m e i n s i g n i f i c a n t i s l o n g e r f o r t h e s p h e r e c o m p a r e d w i t h t h e c y l i n d e r , a n d l o n g e r f o r t h e c y l i n d e r c o m p a r e d w i t h t h e s l a b , i n d i c a t i n g t h a t m o r e e i g e n v a l u e s a r e s i g n i f i c a n t w h e n e v a l u a t i n g t h e a c c u r a c y c r i t e r i a f o r t h e s p h e r e a n d c y l i n d e r . F r o m T a b l e 5 . 7 a , w i t h t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C , t h e r e a r e f o u r a n d s i x s i g n i f i c a n t e i g e n - v a l u e s a f t e r 1 0 0 s e c o n d s f o r t h e c y l i n d e r a n d t h e s p h e r e , r e s p e c t i v e l y , c o m p a r e d w i t h t h r e e f o r t h e i n f i n i t e s l a b ( T a b l e 5 . 4 a ) . F o r p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 1 2 ° C , t h e n u m b e r o f s i g n i f i c a n t t e r m s i n c r e a s e s t o 5 t e r m s f o r t h e c y l i n d e r , a n d a t l e a s t s i x t e r m s f o r t h e s p h e r e ( T a b l e 5 . 7 b ) , c o m p a r e d w i t h t h r e e f o r t h e i n f i n i t e s l a b ( T a b l e 5 . 4 b ) . T h e n u m e r i c a l e i g e n v a l u e s , e x p r e s s e d a s p e r c e n t a g e s o f t h e a n a l y t i ~ c a l e x p o n e n t i a l f a c t o r s ( A 2 ) f o r t h e i n f i n i t e s o l i d c y l i n d e r a n d t h e s o l i d s p h e r e a r e s h o w n i n F i g u r e 5 . 3 , u s i n g n i n e n o d e s a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 a n d ~ 1 2 ° C . O n l y t h e f i r s t t w o e i g e n v a l u e s f o r b o t h t h e c y l i n d r i c a l a n d s p h e r i c a l c a s e s s a t i s f y t h e 5 % a c c u r a c y c r i t e r i a s e t f o r t h e i n f i n i t e s l a b , i n d i c a t i n g t h a t a s m a l l e r p o s i t i o n s t e p ( A r ) i s r e q u i r e d f o r t h e c y l i n d e r a n d t h e s p h e r e , t h a n f o r t h e i n f i n i t e s l a b t o s a t i s f y t h e g i v e n a c c u r a c y c r i t e r i a . I n s u m m a r y , u s i n g o b s e r v a t i o n s f r o m t h e i n f i n i t e s o l i d c y l i n d e r a n d t h e s o l i d s p h e r e : ( 1 ) t h e l i m i t i n g t i m e s t e p f o r t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a ( A t o s c ) d e c r e a s e d a s t h e s u r f a c e a r e a t o v o l u m e o f t h e g e o m e t r y i n c r e a s e d ; ( 2 ) t h e a c c u r a c y o f t h e e i g e n v a l u e s e x p r e s s e d a s A l / A Z - 1 0 0 % d e c r e a s e d w i t h i n c r e a s e d s u r f a c e a r e a t o v o l u m e r a t i o ; a n d ( 3 ) t h e t i m e r e q u i r e d f o r e a c h e x p o n e n t i a l t e r m t o b e i n s i g n i f i c a n t d e c r e a s e d w i t h l i l 5 . s e a r c t i e t m y o l e a G n A l a f c o i e u l r a I v 4 n s e e h g p a S e t g i n d e n c a E r f o C C ° 2 ° r e l P a c s i a r d s n 1 e - 3 I 3 u l 3 e i — — b y l t t a a u m a C v n r d e o o s s N h e e t i t g f i E s n t i m i e M r r l r d p p e e o o r r e e c s n u e r s e P P I 2 e a } } m i u t a e c T i r l f N n e r r d e e e e f i o D r r d d n n e e N i i e e t n i n i i h h l l p p y y S C S C e n 3 o . p 5 x E e N F ! E 9 e l r 0 0 0 — - . . 0 — E l ' — E 3 [ 9 e - 0 O i u g i F 0 1 8 6 4 2 u u e i l b n u e u o d x g I D O I M I D U V z 1 0 5 1 0 6 i n c r e a s e d s u r f a c e a r e a t o v o l u m e r a t i o f o r t h e f i r s t t w o t e r m s , b u t i n c r e a s e d f o r t h e r e m a i n i n g t e r m s . 5 . 1 . 5 A n a l y s i s o f T i m e a n d S p a t i a l S t e p s f o r t h e T w o D i m e n s i o n a l M o d e l T h e a n a l y s i s o f t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a a n d a c c u r a c y o f t h e o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m r e q u i r e d t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e n u m e r i c a l e i g e n - v a l u e s a s s h o w n i n E q . ( 5 . 4 ) f o r a n L b y M m a t r i x ( L , M - n u m b e r o f n o d e s i n x a n d y d i r e c t i o n s ) . T h e m a t r i c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m a r e c o n s i d e r a b l y l a r g e r : f o r e q u a l n u m b e r o f n o d e s i n t w o d i m e n s i o n s , t h e c o e f f i c i e n t m a t r i c e s w i l l b e L 2 b y M 2 , f o r w h i c h i t i s g e n e r a l l y i m p r a c t i c a l t o s o l v e f o r t h e e i g e n v a l u e s , e x c e p t f o r s m a l l v a l u e s o f L a n d M . T h e r e f o r e , a s i m p l i f i e d a n a l y s i s w a s s o u g h t w h i c h w o u l d g i v e i n s i g h t i n t o o s c i l l a t i o n c r i t e r i a a n d t h e a c c u r a c y o f t h e s o l u t i o n . I n t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n o f t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a , i t w a s f o u n d t h a t t h e m a x i m u m e i g e n v a l u e o f t h e e l e m e n t a l m a t r i c e s ( A é z i ) p r o v i d e d a n e x c e l l e n t e s t i m a t e o f A m a x o f t h e g l o b a l m a t r i x . F o r t h e t w o d i m e n ~ s i o n a l e l e m e n t , t h e e l e m e n t a l m a t r i c e s a r e s h o w n b e l o w ( B e l y t s c h k o a n d H u g h e s , 1 9 8 3 ) a + b ~ b 0 ~ a ( e ) ~ a a + b ~ b 0 ‘ k _ ( 5 . 2 6 s ) 0 ~ a a + b ~ b 1 0 7 w h e r e a - E A ! a n d b - k 4 ; ( 5 . 2 6 b ) w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x . A s s u m i n g A x - A y , a n d s u b s t i t u t i n g t h e s e m a t r i c e s i n t o E q . ( 5 . 1 0 ) , r e s u l t e d i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r A ( e ) . m a x 5 3 2 3 . - 4 ” ? ( W ) p ° C p ( A X ) T h i s e x p r e s s i o n f o r A ( e ) i s f o u r t i m e s t h e v a l u e o f A ( e ) f o r t h e o n e m a x m a x d i m e n s i o n a l e l e m e n t , E q . ( 5 . 1 1 ) ; t h e r e f o r e , t h e n o o s c i l l a t i o n t i m e s t e p i s f o u r t i m e s a s r e s t r i c t i v e f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e , a s f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l c a s e w i t h e q u a l p o s i t i o n i n c r e m e n t s . T h e v a l u e s f o r A m a x c a l c u l a t e d f r o m t h e g l o b a l m a t r i x a r e c o m p a r e d w i t h A é i i f o r b o t h a 3 x 3 a n d a 4 x 4 t w o d i m e n s i o n a l g r i d w i t h A x - A y , u s i n g t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ' C . A g a i n , r e s u l t s i n d i c a t e t h a t f o r a f i n i t e d i f f e r e n c e g r i d , 8 8 : ; p r o v i d e s a g o o d e s t i m a t i o n o f A w i t h i n 5 % , a s s h o w n i n T a b l e 5 . 8 . m a x 5 . 1 . 6 S u m m a r y o f O b s e r v a t i o n s i n t h e D e t e r m i n a t i o n o f F i n i t e D i f f e r e n c e P a r a m e t e r s T w o c r i t e r i a w e r e u s e d i n t h e s e l e c t i o n o f t h e t i m e s t e p a n d p o s i - t i o n i n c r e m e n t u s e d i n t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n . T h e p o s i t i o n i n c r e m e n t ( A x ) w a s s e l e c t e d t o s a t i s f y t h e a c c u r a c y c r i t e r i a , a n d t h e t i m e s t e p w a s d e t e r m i n e d a c c o r d i n g t o t h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i a . T h e o s c i l l a t i o n a n d a c c u r a c y a n a l y s i s i s s u m m a r i z e d b e l o w . 1 . T h e n o o s c i l l a t i o n t i m e s t e p i s d e t e r m i n e d u s i n g t h e l a r g e s t 1 0 8 T a b l e 5 . 8 C o m p a r i s o n o f A ( e ) a n d A f o r a T w o D i m e n s i o n a l G r i d m a x m a x ( A x - A y , P r o p e r t i e s E v a l u a t e d a t ~ 3 3 ' C ) . G r i d S i z e ( p o s i t i o n i n c r e m e n t ) 3 x 3 4 x 4 ( A x - 0 . 0 6 5 m ) ( A x - 0 . 0 4 3 3 m ) A 1 . 8 2 2 - 1 0 ’ 3 3 . 8 7 3 - 1 0 ' 3 m a x A ( e ) 1 . 7 6 5 - 1 0 ‘ 3 3 . 9 7 2 - 1 0 ‘ 3 m a x ( 8 ) 9 6 . 9 % 1 0 2 . 5 % 1 0 9 e i g e n v a l u e ( A m a x ) o f t h e s e t o f f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s . 2 . T h e e l e m e n t a l e i g e n v a l u e ( A ( e ) ) i s a p p r o x i m a t e l y t h e v a l u e o f A , m a x m a x w i t h i n 9 9 % a c c u r a c y f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l c a s e a n d 9 5 % a c c u r a c y f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e . 3 . T h e n o o s c i l l a t i o n t i m e s t e p d e c r e a s e s a s t h e s u r f a c e a r e a t o v o l u m e r a t i o o f t h e g e o m e t r i c s h a p e i n c r e a s e s : ( c y l i n d e r ) > A t A t o s c ( s l a b ) > A t ( s p h e r e ) . 0 8 ¢ 0 8 C 4 . T h e n o o s c i l l a t i o n t i m e s t e p o f a t w o d i m e n s i o n a l g r i d w i t h e q u a l p o s i t i o n i n c r e m e n t s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s i s h a l f t h e v a l u e f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l g r i d , u s i n g t h e s a m e p o s i t i o n i n c r e m e n t . S . T h e o s c i l l a t i o n t i m e s t e p a t o n e t e m p e r a t u r e , g i v e n A t o s c a t a s e c - o n d t e m p e r a t u r e , i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i n v e r s e r a t i o o f t h e i r r e s - p e c t i v e t h e r m a l d i f f u s i v i t i e s . 6 . T h e p o s i t i o n s t e p w a s d e t e r m i n e d a c c o r d i n g t o t h e a c c u r a c y o f t h e s i g n i f i c a n t e i g e n v a l u e s i n t h e s e r i e s s o l u t i o n . 7 . T h e t i m e f o r e a c h t e r m i n t h e s e r i e s s o l u t i o n t o b e i n s i g n i f i c a n t i n c r e a s e d w i t h d e c r e a s i n g t h e r m a l d i f f u s i v i t y . 8 . T h e n u m b e r o f s i g n i f i c a n t e i g e n v a l u e s i n c r e a s e d w i t h i n c r e a s i n g s u r - f a c e t o v o l u m e r a t i o . 9 . T h e l i m i t i n g t i m e s t e p f o r a c c u r a c y , p r o p o s e d a s 1 % o f t h e t o t a l t i m e t o s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s , w a s n o t a s r e s t r i c t i v e a s t h e t i m e s t e p f o r t h e n o o s c i l l a t i o n c r i t e r i a . 5 . 2 P a r a m e t e r s U s e d i n t h e S o l u t i o n o f t h e I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m T h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d , u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s , w a s u s e d t o e s t i m a t e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . T h i s m e t h o d r e - q u i r e s i n p u t v a l u e s f o r : ( l ) t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , a ; ( 2 ) t h e l l O o r d e r o f r e g u l a r i z a t i o n , W 0 , W 1 , o r W 2 ; ( 3 ) t h e n u m b e r o f f u t u r e t i m e s t e p s , r , u s e d t h e s e q u e n t i a l p r o c e d u r e ; ( 4 ) a n d t h e t i m e i n c r e m e n t b e t w e e n t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , A t m , i n a d d i t i o n t o t h e u s e r a d j u s ~ t a b l e p a r a m e t e r s i n h e r e n t i n t h e f i n i t e d i f f e r e n c e t e c h n i q u e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . 1 . T h e v a l u e s s e l e c t e d f o r t h e s p a t i a l a n d t i m e s s t e p s ( A x a n d A t ) i n t h e o n e d i m e n s i o n a l d i r e c t p r o b l e m w e r e a l s o u s e d i n t h e o n e d i m e n s i o n a l i n d i r e c t p r o b l e m . T h e t i m e i n c r e m e n t b e t w e e n t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , A t m , w a s l i m i t e d b y t h e d a t a a q u i s i t i o n u n i t u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s , t o a m i n i m u m v a l u e o f 6 0 0 s e c o n d s . T w o c r i t e r i a , t h e d e t e r m i n i s t i c b i a s a n d t h e v a r i a n c e , w e r e u s e d i n d e t e r m i n i n g o p t i m a l v a l u e s f o r t h e p a r a m e t e r s i n h e r e n t t o t h e i n v e r s e p r o b l e m . T h e d e t e r m i n i s t i c b i a s i s d e f i n e d a s a m e a s u r e o f t h e b i a s o r e r r o r i n t h e e s t i m a t o r w h e n i n p u t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t e r r o r s a r e e q u a l t o z e r o . T h e v a r i a n c e i s a m e a s u r e o f t h e e s t i m a t o r s s e n s i t i v i t y t o r a n d o m m e a s u r e m e n t e r r o r s ( B e c k e t . a l . , 1 9 8 5 ) . T h e d e t e r m i n i s t i c b i a s a n d v a r i a n c e o f t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x f o r t h e n t h t i m e s t e p , D ? a n d V n , a r e d e f i n e d b y S c o t t a n d B e c k ( 1 9 8 5 ) a s n A n n D e - E ( q D ) ~ q ( 5 . 2 8 a ) v n - 8 ( [ 3 3 - E < § 3 > 1 2 ) ( 5 . 2 8 1 » w h e r e q n i s t h e t r u e h e a t f l u x , E ( ; B ) i s t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x w i t h n o e r r o r s i n t h e t e m p e r a t u r e i n p u t v a l u e s , a n d E ( a $ ) i s t h e e x p e c t e d v a l u e o f a n w i t h r a n d o m t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t e r r o r s . I t w a s d e s i r e d t o f i n d p a r a m e t e r v a l u e s w h i c h m i n i m i z e d b o t h t y p e s o f e r r o r s . T h e m e a n s q u a r e e r r o r , S , w a s d e f i n e d a s t h e s u m o f t h e v a r i a n c e a n d t h e s q u a r e o f t h e d e t e r m i n i s t i c b i a s ( S N ) 2 ~ v N + ( 1 ) 1 3 ) 2 ( 5 . 2 9 ) w h e r e N i s t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s . T h e p r o b l e m u s e d t o e v a l u a t e t h e s p a t i a l a n d t i m e s t e p s ( E q u a t i o n s 5 . 6 a - d ) , a s s u m i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s a n d a s u r f a c e h e a t t r a n s - f e r c o e f f i c i e n t o f 7 . 8 5 W / m ° C , w a s a l s o u s e d i n t h e d e t e r m i n i n g o f t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s , w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t , i n t h i s c a s e , t w o 1 8 h o u r s t o r a g e p e r i o d s w e r e u s e d . T h e f i r s t s t o r a g e p e r i o d w a s ~ 3 0 ° C , a n d t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e f o r t h e s e c o n d s t o r a g e p e r i o d w a s ~ 5 ° C . T h e i n i t i a l t e m p e r a t u r e w a s s e t a t ~ 3 0 ° C . T h e a n a l y t i c a l s o l u - t i o n o f t h i s p r o b l e m w a s s o l v e d t o o b t a i n t e m p e r a t u r e v a l u e s a t x - L x / 2 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e l o c a t i o n o f t h e t h e r m o c o u p l e i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s f o r t h e s i n g l e l a y e r s l a b d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 3 . T h e s e t e m p e r a t u r e v a l u e s w e r e u s e d a s i n p u t d a t a f o r t h e s e q u e n - t i a l r e g u l a r i z a t i o n s o l u t i o n o f t h e I H C P . T h e s u r f a c e h e a t f l u x w a s f i r s t e s t i m a t e d u s i n g e x a c t t e m p e r a t u r e s f r o m t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n a s i n p u t , a n d t h e d e t e r m i n i s t i c e r r o r w a s c a l c u l a t e d f o r v a r i o u s v a l u e s o f a a n d r , a n d f o r t h e z e r o t h , f i r s t a n d s e c o n d r e g u l a r i z a t i o n o r d e r . T h e p r o c e s s w a s r e p e a t e d u s i n g i m p o s e d r a n d o m m e a s u r e m e n t e r r o r s i n t h e t e m p e r a t u r e i n p u t v a l u e s t o e s t i m a t e t h e m e a n s q u a r e d e r r o r . 5 . 2 . 1 T h e D e t e r m i n i s t i c B i a s T h e d e t e r m i n i s t i c b i a s w a s e s t i m a t e d b y S c o t t a n d B e c k ( 1 9 8 5 ) N 0 5 0 - [ E ( h x n - h x ) 2 ] ' ( 5 3 0 ) “ e L x L x ' n - l 1 1 2 t h w h e r e h n g i s t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x a t t h e n t i m e s t e p , a n d h x i s L x t h e c o n s t a n t h e a t f l u x v a l u e u s e d i n g e n e r a t i n g t h e i n p u t t e m p e r a t u r e v a l u e s f o r t h e I H C P . T h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r ( a ) r e g u l a t e s t h e d e g r e e t h e r e g u l a r - i z a t i o n t e r m s , s h o w n i n E q u a t i o n ( 3 . 3 4 a - c ) , i n f l u e n c e t h e s o l u t i o n . T h e n u m b e r o f f u t u r e t i m e s t e p s , r , i n f l u e n c e s t h e s t a b i l i t y o f t h e s o l u t i o n a n d c o m p u t a t i o n t i m e . A s r b e c o m e s l a r g e , t h e s o l u t i o n a p p r o a c h e s t h e w h o l e d o m a i n s o l u t i o n , a n d c o m p u t a t i o n t i m e i n c r e a s e s s i g n i f i c a n t l y ( B e c k , e t . a l . , 1 9 8 5 ) . T o d e t e r m i n e t h e c r i t i c a l v a l u e s f o r b o t h o f t h e s e p a r a m e t e r s o n t h e s o l u t i o n , t h e s u r f a c e h e a t f l u x v a l u e s w e r e e s t i m a t e d u s i n g v a r i o u s v a l u e s o f a a n d r , f o r t h e z e r o t h , f i r s t a n d s e c o n d o r d e r r e g u l a r i z a t i o n o r d e r s , w i t h t h e t i m e s t e p f o r t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , A t m , e q u a l t o 6 0 0 s e c o n d s . T h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ’ C , s i n c e f r o m T a b l e s 5 . 2 a , b , t h e t i m e s t e p f o r n o o s c i l l a t i o n s w a s m o s t r e s t r i c t i v e a t t h a t t e m p e r a t u r e . T h e r a n g e o f v a l u e s f o r r w e r e c o n s e r v a t i v e l y c h o s e n f r o m t w o t o f i f t e e n , b a s e d o n o b s e r v a t i o n s b y S c o t t a n d B e c k ( 1 9 8 5 ) , w h o n o t e d t h a t t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n s o l u t i o n o f t h e I H C P i s i n d e p e n d e n t o f r f o r r z 8 . I n d e t e r m i n i n g t h e r a n g e o f v a l u e s c o n s i d e r e d f o r t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , a , i t w a s n o t e d t h a t t h e r e g u l a r i z a t i o n t e r m i s a d d e d t o t h e s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t m a t r i x p r o d u c t , X F X , i n t h e r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d . T h e r e f o r e , t h e m a g n i t u d e o f t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e x x x . m a t r i x , w i t h 0 e q u a l z e r o a n d r e q u a l f i f t e e n , w e r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e r a n g e o f v a l u e s f o r a . T h e m a g n i t u d e s o f t h e X F X . m a t r i x p r o d u c t r a n g e d f r o m ~ 1 0 ' 9 t o - 1 0 - 3 . T h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , a , i s m u l t i p l i e d b y H i T n i , i - 0 , l , o r 2 , w h i c h , f r o m E q u a t i o n s ( 3 . 3 6 a - c ) 9 a r e o f o r d e r o n e ; t h e r e f o r e , v a l u e s o f a r a n g i n g f r o m 1 0 - t o 1 0 ' 3 w e r e u s e d t o d e t e r m i n e i t s i n f l u e n c e o n t h e s o l u t i o n . 1 1 3 T h e d e t e r m i n i s t i c e r r o r w a s c a l c u l a t e d a n d c o m p a r e d f o r d i s c r e t e v a l u e s o f a a n d r . R e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e s 5 . 9 a - g , f o r r e q u a l 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , a n d 1 5 ; f o r t h e z e r o t h , f i r s t a n d s e c o n d r e g u l a r i z a t i o n o r d e r s ; a n d f o r a - 1 0 ’ 9 , 1 0 ’ 8 , 1 0 ' 7 , 1 0 ' 6 , 1 0 ' s , 1 0 ' “ , a n d 1 0 ’ 3 , r e s p e c t i v e l y . T h e t i m e s t e p b e t w e e n t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , A t m , w a s e q u a l t o 6 0 0 s e c o n d s a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C i n a l l c a s e s . T h e r e s u l t s f o r e x a c t t e m p e r a t u r e i n p u t v a l u e s s u p p o r t t h e o b s e r v a - t i o n s b y S c o t t a n d B e c k , ( 1 9 8 5 ) , i n t h a t t h e d e t e r m i n i s t i c b i a s s h o w s l i t t l e d e p e n d e n c e o n r , f o r r g r e a t e r t h a n e i g h t . T h e c r i t i c a l v a l u e s f o r t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , a , r a n g e d f r o m s 1 0 ' “ t o 3 1 0 ' 7 , f o r a l l r e g u l a r i z a t i o n o r d e r s . F o r a 2 1 0 - 5 , t h e d e t e r m i n i s t i c b i a s , D e , i n c r e a s e d w i t h i n c r e a s i n g o r d e r o f r e g u l a r i z a t i o n , a n d f o r a 5 1 0 - 6 , D 6 d e c r e a s e d w i t h i n c r e a s i n g a . 5 . 2 . 2 M e a n S q u a r e d E r r o r T h e h y p o t h e t i c a l p r o b l e m u s e d t o d e t e r m i n e t h e d e t e r m i n i s t i c b i a s w a s a l s o u s e d t o e s t i m a t e t h e m e a n s q u a r e d e r r o r . I n p u t a m b i e n t a n d i n t e r n a l t e m p e r a t u r e s w e r e m o d i f i e d b y t h e a d d i t i o n o f n o r m a l l y d i s - t r i b u t e d r a n d o m n u m b e r s . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n u s e d f o r t h e r a n d o m n u m b e r s w a s d e t e r m i n e d f r o m t h e e r r o r l i m i t s o f t h e t h e r m o c o u p l e s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s . T h e e r r o r l i m i t s o f t h e T - t y p e t h e r m o c o u p l e s w e r e g i v e n a s t h e g r e a t e s t v a l u e b e t w e e n ( O m e g a , 1 9 8 5 ) i 1 ° C o r i 1 . 5 % o f m a x i m u m I ° C I 1 1 4 T a b l e 5 . 9 a . D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 9 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . 2 4 6 8 1 0 1 2 1 5 W 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 7 5 . 4 4 7 8 . 2 6 7 8 . 2 4 7 8 . 2 4 7 8 . 2 4 7 8 . 2 4 w , ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 4 . 7 2 6 9 . 0 9 6 8 . 8 8 6 8 . 9 1 6 8 . 9 1 6 8 . 9 1 W , ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 2 . 4 4 2 8 . 1 6 2 8 . 7 8 2 8 . 9 9 2 7 . 6 2 2 8 . 1 4 T a b l e 5 . 9 8 . D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 8 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . 2 4 6 8 1 0 1 2 1 5 W 0 2 2 . 0 2 5 5 . 7 3 5 4 . 8 6 5 4 . 8 8 5 4 . 8 9 5 4 . 8 9 5 4 . 8 9 W , ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 5 . 1 3 3 7 . 4 8 3 7 . 5 2 3 7 . 5 5 3 7 . 5 5 3 7 . 5 5 W 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 . 2 1 2 3 . 7 8 2 6 . 2 2 2 6 . 6 6 2 6 . 7 0 2 6 . 7 1 1 1 5 T a b l e 5 . 9 a . D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 . 7 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ’ C ) . 2 4 6 8 1 0 1 2 1 5 N o 2 5 . 0 2 2 4 . 9 8 2 4 . 9 6 2 4 . 9 4 2 4 . 9 3 2 4 . 9 3 2 4 . 9 3 W , 2 9 . 4 0 1 3 . 5 7 1 8 . 0 6 1 9 . 1 6 1 9 . 2 9 1 9 . 2 9 1 9 . 2 9 W 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 8 . 3 0 1 5 . 5 7 1 5 . 2 5 1 5 . 4 9 1 5 . 6 4 1 5 . 6 7 T a b l e 5 . 9 d . D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 6 ( A t m - t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . 6 0 0 s e c o n d s ; 2 4 6 8 1 0 1 2 1 5 N O 1 2 . 3 3 1 1 . 7 7 1 4 . 7 8 1 4 . 8 1 1 4 . 8 4 1 4 . 8 4 1 4 . 8 4 W 1 2 4 . 1 2 9 . 9 2 1 2 . 3 6 1 2 . 6 3 1 3 . 1 3 1 3 . 1 3 1 3 . 1 4 W 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 7 . 9 0 9 . 4 1 1 1 . 8 2 1 1 . 7 7 1 1 . 9 0 1 1 . 9 6 1 1 6 D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 " 5 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; T a b l e 5 . 9 e . t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . 2 4 6 ' 8 1 0 1 2 1 5 W 0 1 6 . 8 8 1 2 . 3 7 1 3 . 1 7 1 4 . 0 6 1 4 . 0 9 1 4 . 4 2 1 4 . 4 3 W , 8 1 . 5 1 1 0 . 3 9 1 3 . 4 2 1 3 . 4 9 1 3 . 8 8 1 3 . 9 0 1 3 . 9 5 W 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 1 . 6 4 1 4 . 5 3 1 5 . 6 6 1 5 . 6 2 1 5 . 6 6 1 5 . 7 1 T a b l e 5 . 9 f . D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 ' 4 ( A t m - t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . 6 0 0 s e c o n d s ; 2 4 6 8 1 0 1 2 1 5 N O 6 4 . 5 1 2 2 . 5 2 1 9 . 0 5 2 0 . 0 5 2 0 . 0 5 1 9 . 9 3 2 0 . 0 2 W , 1 2 9 . 5 1 3 5 . 4 3 2 1 . 4 6 2 4 . 0 5 2 3 . 0 1 2 2 . 6 7 2 2 . 8 3 W 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 2 . 4 4 2 8 . 1 6 2 8 . 7 8 2 8 . 9 9 2 7 . 6 2 2 8 . 1 4 1 1 7 T a b l e 5 . 9 g . D e t e r m i n i s t i c B i a s f o r a - 1 0 . 3 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . r 2 4 6 8 1 0 1 2 1 5 W 0 1 2 5 . 8 3 1 1 3 . 6 1 5 1 . 7 2 3 9 . 3 8 3 6 . 7 8 3 7 . 0 7 3 7 . 6 4 W , 1 3 7 . 3 2 1 0 7 . 4 4 5 6 . 3 8 4 2 . 8 2 4 6 . 3 1 4 7 . 2 9 4 4 . 8 1 W 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 3 3 . 2 3 1 4 4 . 4 8 5 1 . 2 6 5 5 . 8 1 5 8 . 3 2 5 3 . 8 7 1 1 8 T h e e x p e r i m e n t a l d a t a r a n g e d f r o m a ~ 3 3 ° C t o ~ 5 ° C , t h e r e f o r e , t h e f i r s t c r i t e r i a ( i 1 ° C ) w a s t h e g r e a t e s t . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n w a s c a l c u ~ l a t e d a s s u m i n g t h a t i l ' C r e p r e s e n t e d t h e 9 9 . 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l o f t h e t h e r m o c o u p l e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n w a s c a l c u l a t e d f r o m t h e t a / 2 , u p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , w i t h a - 9 9 . 5 % , a n d t h e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m , u , e q u a l t o f i v e , c o r r e s p o n d i n g t o t h e s i x t h e r m o c o u p l e s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s . T h e r e f o r e , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n w a s e s t i m a t e d f r o m t h e c o n f i d e n c e i n t e r v a l ( C I ) , w h e r e ( W a l p o l e a n d M y e r s , 1 9 7 8 ) t c a 0 1 - : F ’ s - 1 4 4 2 4 7 5 — ( 5 . 3 1 ) ( 8 , ) w h e r e t h e n u m b e r o f t h e r m o c o u p l e s , N e q u a l e d s i x , a n d t a / 2 y - 3 . 3 6 5 . t ! F r o m E q u a t i o n ( 5 . 3 1 ) , a w a s e s t i m a t e d t o b e 0 . 7 3 ° C . T h i s w a s c o n s i d e r e d t o b e a c o n s e r v a t i v e e s t i m a t e , s i n c e t h e l a r g e s t v a r i a t i o n b e t w e e n t h e r m o c o u p l e s l o c a t e d w i t h i n t h e K a r l s r u h e t e s t s u b s t a n c e f r o m t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w a s o n l y 0 . 7 ' C . B e c k , e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) r e c o m m e n d e d u s i n g a s i n g l e t e m p e r a t u r e m e a s u r e - m e n t e r r o r a s a n e s t i m a t i o n o f t h e v a r i a n c e . A n a l t e r n a t e a p p r o a c h , u s e d b y S c o t t a n d B e c k , ( 1 9 8 5 ) i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s t h e M o n t e C a r l o M e t h o d . I n t h i s c a s e , t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s e s t i m a t e d f r o m i n p u t v a l u e s w i t h a d d e d r a n d o m t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t v a l u e s . T h e m e a n s q u a r e e r r o r w a s e s t i m a t e d f r o m t h e e s t i m a t e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t u s i n g r a n d o m e r r o r s i n t h e i n p u t t e m p e r a t u r e v a l u e s a s f o l l o w s A N . 2 0 . 5 n . 1 - [ § ( . . . , - . . . , x ] ] . . . . . . n p l 1 1 9 A S i n c e t h e v a l u e o f S 1 d e p e n d s o n t h e s e t o f r a n d o m n u m b e r s a d d e d t o t h e i n p u t t e m p e r a t u r e s , d i f f e r e n t s e t s o f r a n d o m n u m b e r s ( 1 ) w e r e a d d e d t o t h e i n p u t t e m p e r a t u r e v a l u e s t o c a l c u l a t e d i f f e r e n t v a l u e s f o r S i ' m e a n s q u a r e d e r r o r , 8 , w a s d e t e r m i n e d f r o m t h e a v e r a g e o f t h e 8 1 v a l u e s T h e f r o m t w e l v e d i f f e r e n t s e t s o f r a n d o m n u m b e r s N 1 ' s — E ( S i / i ) ( 5 . 3 3 ) n - l w h e r e t w e l v e d i f f e r e n t s e t s o f r a n d o m n u m b e r s ( N r ) w e r e u s e d . F r o m T a b l e s 5 . 9 a - g , t h e r a n g e o f a f o r w h i c h t h e d e t e r m i n i s t i c e r r o r w a s l e s s 2 5 , w a s s e l e c t e d a s t h e r a n g e o v e r w h i c h t h e m e a n s q u a r e d e r r o r 7 4 w a s d e t e r m i n e d . T h e c r i t i c a l v a l u e s o f a r a n g e d f r o m u 1 0 ' t o ~ 1 0 ' . " 4 - 5 V a l u e s o f S w e r e c a l c u l a t e d f o r a - 1 0 - , 1 0 , a n d 1 0 - 6 , r - 4 , 6 , 8 , 1 0 , a n d 1 2 , a n d f o r W 0 , W 1 , a n d W 2 . R e s u l t s f o r t h e a v e r a g e m e a n s q u a r e d e r r o r S , a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f S a r e s h o w n i n T a b l e s 5 . 1 0 a - c , f o r a - 1 0 - 4 , 1 0 . 5 , a n d 1 0 ' 6 , r e s p e c t i v e l y . S i n c e t h e r e s u l t s f o r S u s i n g a - 1 0 " 6 w e r e m u c h g r e a t e r t h e t h o s e u s i n g a - 1 0 - 5 , t h e m e a n s q u a r e d e r r o r u s i n g a - 1 0 . 7 w a s n o t c o n s i d e r e d . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t 8 c a l c u l a t e d u s i n g a - 1 0 ' 4 p r o v i d e d t h e l o w e s t m e a n s q u a r e d e r r o r 8 , a n d t h a t t h e s o l u t i o n i s i n d e p e n d e n t o f r , f o r r z 1 0 . T h e z e r o t h o r d e r r e g u l a r i z e r p r o v i d e d a s l i g h t l y b e t t e r e s t i m a t o r t h a n t h e f i r s t o r s e c o n d o r d e r e s t i m a t o r s . 5 . 2 . 3 T i m e I n c r e m e n t b e t w e e n T e m p e r a t u r e M e a s u r e m e n t s S i n c e t h e t i m e i n c r e m e n t b e t w e e n t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s w a s l i m i t e d t o 6 0 0 s e c o n d s b y t h e d a t a a q u i s i t i o n d e v i c e u s e d i n t h e e x - p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s , t h e v a l u e s o f A t m w e r e l i m i t e d t o 6 0 0 s e c o n d s o r 1 2 0 A T a b l e 5 . 1 0 s . A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r ( 8 ) a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n o f s ( a s ) f o r a - 1 0 ' 6 ( m : 1 m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ° C ) . 4 6 8 1 0 1 2 W 0 S 2 3 1 . 0 8 2 0 5 . 5 7 2 0 0 . 4 2 1 9 7 . 6 0 1 9 4 . 1 8 a s 3 8 . 0 6 4 5 . 1 2 4 3 . 4 5 4 3 . 7 7 4 4 . 1 8 W , S 1 6 7 . 3 2 1 5 8 . 8 9 1 3 1 . 5 7 1 2 5 . 2 6 1 2 3 . 8 5 a s 1 7 . 5 3 1 8 . 5 4 1 5 . 4 4 1 4 . 9 4 1 4 . 3 5 W , 8 2 5 4 . 3 6 1 0 0 . 3 2 1 0 8 . 3 9 1 0 6 . 2 1 9 9 . 7 4 a s 2 3 . 7 2 6 . 5 2 7 . 9 4 8 . 3 8 8 . 6 7 1 2 . 1 A T a b l e 5 . 1 0 b . A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r ( 8 ) a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n o f s ( a s ) f o r o - 1 0 ' 5 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ' C ) . r 4 6 8 1 0 1 2 W 0 S 9 2 . 5 2 7 2 . 8 7 7 2 . 3 2 6 4 . 7 0 6 2 . 9 2 a S 7 . 5 1 5 . 9 6 6 . 9 4 8 . 8 5 8 . 7 0 W , S 1 0 0 . 9 1 4 9 . 5 1 5 5 . 0 8 4 8 . 0 2 4 8 . 1 0 a s 7 . 6 1 4 . 6 6 4 . 1 9 4 . 0 9 4 . 4 7 U , S 4 4 . 2 0 5 5 . 8 6 4 4 . 9 4 4 2 . 1 5 4 1 . 4 1 a S 2 . 3 6 5 . 1 7 3 . 9 7 4 . 3 6 4 . 1 5 1 2 2 T a b l e 5 . 1 0 c . A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r ( S ) a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n o f S ( a s ) f o r a - 1 0 - 4 ( A t m - 6 0 0 s e c o n d s ; t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t ~ 3 3 ’ C ) . 4 6 8 1 0 1 2 N o S 3 6 . 3 7 3 0 . 8 9 2 7 . 2 5 2 6 . 9 9 2 6 . 9 0 a 1 . 7 7 1 . 8 8 1 . 5 6 1 . 5 8 1 . 6 0 W , S 4 0 . 3 4 3 2 . 8 4 2 8 . 8 4 2 9 . 1 9 2 8 . 3 4 a 1 . 0 9 1 . 7 0 1 . 2 2 1 . 3 3 1 . 3 1 W 2 S 1 0 2 . 5 0 3 4 . 7 2 3 1 . 7 2 3 1 . 4 6 3 0 . 2 2 a 0 . 3 2 0 . 9 3 0 . 5 8 0 . 5 2 0 . 4 8 1 2 3 a m u l t i p l e o f 6 0 0 s e c o n d s . T o d e t e r m i n e t h e i n f l u e n c e o f A t I n o n t h e m e a n s q u a r e d e r r o r , t h e s o l u t i o n w a s d e t e r m i n e d f o r t h e z e r o t h , f i r s t a n d s e c o n d r e g u l a r i z a t i o n o r d e r s u s i n g a A t m o f 1 2 0 0 s e c o n d s , w i t h t e n f u t u r e t i m e s t e p s a n d a - 1 0 . “ . R a n d o m e r r o r s w e r e a g a i n a d d e d t o t h e i n p u t t e m p e r a t u r e v a l u e s , a n d t h e a v e r a g e m e a n s q u a r e d e r r o r w a s c a l c u - l a t e d f r o m E q u a t i o n ( 5 . 3 3 ) u s i n g t w e l v e s e t s o f r a n d o m n u m b e r s ( N r - 1 2 ) . S i n c e t h e m e a n s q u a r e d e r r o r i s d e p e n d e n t o n t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s , N , a s s h o w n i n E q u a t i o n ( 5 . 3 2 ) , t o c o m p a r e t h e s e r e s u l t s w i t h t h o s e f o u n d u s i n g A t m - 6 0 0 s e c o n d s , t h e r e s u l t i n g a v e r a g e m e a n s q u a r e d v a l u e s w e r e d i v i d e d b y t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s u s e d i n e a c h c a s e t o o b t a i n a n a v e r a g e m e a n s q u a r e d e r r o r p e r t i m e s t e p , 8 * . T h e s e v a l u e s f o r 8 * a r e s h o w n i n T a b l e 5 . 1 1 , a l o n g w i t h t h e r e s p e c t i v e s t a n d a r d d e v i a t i o n s , 0 ; , ( 0 S d i v i d e d b y t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s ) , f o r A t m - 6 0 0 s e c o n d s a n d A t m - 1 2 0 0 s e c o n d s , w i t h a - 1 0 - 4 a n d t e n f u t u r e t i m e s t e p s . T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e a v e r a g e m e a n s q u a r e d e r r o r p e r t i m e s t e p i s s i g n i f i c a n t l y h i g h e r u s i n g A t m - 1 2 0 0 s e c o n d s t h a n t h a t f o u n d u s i n g A t m - 6 0 0 s e c o n d s , f o r a l l r e g u l a r i z a t i o n o r d e r s . 5 . 2 . 4 S e l e c t i o n o f O p t i m a l P a r a m e t e r s u s e d i n t h e I n v e r s e H e a t C o n d u c - t i o n P r o b l e m o f E s t i m a t i n g t h e S u r f a c e T r a n s f e r C o e f f i c i e n t T h e v a l u e s f o r t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r , a , t h e n u m b e r o f f u t u r e t i m e s t e p s , r , t h e o r d e r o f r e g u l a r i z a t i o n , W i - 0 , l , o r 2 , a n d t h e 1 ’ t i m e i n c r e m e n t b e t w e e n t e m p e r a t u r e i n c r e m e n t s , A t m , w e r e s e l e c t e d t o A m i n i m i z e t h e a v e r a g e m e a n s q u a r e d e r r o r ( S ) i n t h e s o l u t i o n . F r o m t h e r e s u l t s s h o w n i n T a b l e s 5 . 9 a - g , 5 . 1 0 a - c , a n d 5 . 1 1 , t h e f o l l o w i n g v a l u e s w e r e s e l e c t e d f o r t h e p a r a m e t e r s i n h e r e n t i n t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a ~ t i o n I H C P s o l u t i o n : a - 1 0 - 4 , 1 2 4 A * T a b l e 5 . 1 1 . A v e r a g e M e a n S q u a r e d E r r o r p e r T i m e S t e p ( 8 ) a n d S t a n d a r d D e v i a t i o n ( 0 : ) f o r A t m - 6 0 0 a n d 1 2 0 0 s e c o n d s 4 ( 0 - 1 0 ' , r - 1 0 ) . W 0 w 1 w 2 A t m - 6 0 0 8 * 0 . 1 2 9 0 . 1 3 9 0 . 1 5 0 a ; 0 . 0 0 8 0 . 0 0 6 0 . 0 0 2 A t m f 1 2 0 0 s * 0 . 1 8 8 0 . 2 0 3 0 . 2 3 8 a ; 0 . 0 1 2 0 . 0 1 4 0 . 0 0 7 1 2 5 r - 1 0 , W 0 - 1 , ( W 1 - W 2 - 0 ) , a n d A t m - 6 0 0 s e c o n d s . S u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s ( t h x ) , e s t i m a t e d u s i n g b o t h e x a c t i n p u t t e m p e r a t u r e s a n d i n p u t t e m p e r a t u r e s w i t h a d d e d r a n d o m e r ~ r o r s , a n d t h e a b o v e v a l u e s f o r t h e i n p u t p a r a m e t e r s , a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e i n F i g u r e 5 . 4 . T h e m e a n s q u a r e d e r r o r f o r t h i s p a r ~ t i c u l a r s e t o f r a n d o m n u m b e r s ( 8 1 ) w a s 2 3 . 7 W / m 2 ° C . ( F r o m T a b l e 5 . 1 0 c , S - 2 6 . 9 9 W / m 2 ° C ) . S e v e r a l o b s e r v a t i o n s m a y b e n o t e d f r o m t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 5 . 4 . ( 1 ) A t t i m e , t - 0 , t h e s i m u l a t e d p r o d u c t w a s e x p o s e d s u d d e n l y t o a c h a n g e i n a m b i e n t t e m p e r a t u r e f r o m ~ 3 0 ’ C t o ~ 5 ° C . D u r i n g t h i s t i m e , t h e d a m p i n g e f f e c t o f t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n p r o c e d u r e o n t h x w a s e v i d e n t i n t h e g r a d u a l i n c r e a s e o f t h e p r e d i c t e d v a l u e o f t h x , u s i n g e x a c t d a t a , t o a c o n s t a n t v a l u e a t t z 3 h o u r s . ( 2 ) A t t - 1 8 h o u r s , w h e n t h e s i m u l a t e d a m b i e n t t e m p e r a t u r e c h a n g e d s u d d e n l y f r o m ~ 5 ° C t o ~ 3 0 ' C , t h x s u d d e n l y d e c r e a s e d , a n d t h e n i n c r e a s e d g r a d u a l l y t o a c o n s t a n t v a l u e a s b e f o r e w i t h t - 0 . ( 3 ) T h e s i n u s i o d a l n a t u r e o f t h x u s i n g i n p u t t e m p e r a t u r e s w i t h a d d e d r a n d o m e r r o r s w a s a r e s u l t o f t h e e s t i m a t o r s t e n d e n c y t o s m o o t h o u t v a r i a t i o n s i n t h e i n p u t t e m p e r a t u r e v a l u e s . ( 4 ) T h e h i g h v a r i a b i l i t y o f t h e e s t i m a t e d h e a t f l u x w a s a r e s u l t o f t h e l a r g e s t a n d a r d d e v i a t i o n u s e d i n t h e r a n d o m e r r o r s a d d e d t o t h e i n p u t t e m p e r a t u r e v a l u e s . T h e i n p u t t e m p e r a t u r e s ( a m b i e n t t e m p e r a t u r e s a n d i n t e r n a l t e m p e r a t u r e s ) u s i n g e x a c t d a t a a n d u s i n g a d d e d r a n d o m e r r o r s a r e s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . S i n c e t h e m a x i m u m v a r i a t i o n i n t h e i n p u t t e m p e r a t u r e s w i t h r a n d o m e r r o r s w a s h i g h e r t h a n t h a t o b s e r v e d f r o m t h e a c t u a l t e m ~ p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , i t i s e x p e c t e d t h a t t h e r e s u l t i n g v a r i a b i l i t y i n t h e e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t u s i n g t e m p e r a t u r e 5 3 0 3 ' 4 2 m o d n a R t . u C o ' h 3 t 7 i . w 0 d f n o a , h a t i , w n o s i t t n a e i i v ) c e s i D r u f f d e r o o a ) C ' 3 7 . 0 r 8 h 1 ( s s r e C d n r a e t f S s a t r i T w t a a t = a s ( r o s r r r o E r r m E o d n a R m o d n a o R n h h t t i i w w a a t t a a D D r u u o C m n h o h " T i h 6 m T C / 8 3 ° ~ 1 W 0 = 3 - 2 e a 8 T m 5 1 H D - 0 1 — 8 , 3 . C " . 7 1 = 3 C . " s - 1 ‘ 0 " r e - 0 i - = d t e u t p a n m I i e r 3 ~ u — = f t n t e s i t = e a m r a e . s o E = s C e ’ T 5 s r n . 4 o r p p k s . r a m m c n 5 r t t e P e a i E u u p p n n I I 0 — — 5 1 T h r T T T ~ t l 1 a . , u i p t b i b t a a n l e m n I A I S H . . 0 ‘ O 5 ' ” e r u g i F 1 9 1 s u a J 1 3 , 0 9 1 4 p e i a w n s M ) T U G I O U I Q O O 3 ( O o z w / I O F 1 I D 1 2 6 5 8 . 7 s e . n = k p m c f e i . T h e e r r e T o l C a i b t a . i n l s u u I S t t a t a l n a r a r n r T n e e e r e t p i p t m b m a n e m e e I H T A T C ' 3 7 C C ' ' ' C C m 3 " 3 0 7 0 C . 1 . . m . 0 ° 0 . 0 0 / 0 0 W 3 - = t u o h t i w d n a = h s t i w a t a D t u p n I e r ) u s r t a r u e o h ( e m i T 2 1 p m e T l a n r e t n I d n a . t s n r e o i r b r m E A m o 5 d . n 5 a R e r u g i F ( 3 , ) e J n 1 a J e d u J e l r I " ) l J O A 4 fl b b b b L r I - C D 1 2 7 1 2 8 m e a s u r e m e n t s a s i n p u t w i l l b e l e s s t h a n t h a t s h o w n i n F i g u r e 5 . 4 . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s e s t i m a t e d u s i n g a s t a n d a r d d e v i a - t i o n o n e h a l f o f t h a t u s e d p r e v i o u s l y ( a ( n e w ) - 0 . 5 - a ( o l d ) - 0 . 5 - 0 . 7 3 - 0 . 3 6 5 ’ C ) . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 5 . 6 ; t h e m a x i m u m v a r i a t i o n i n t h x f o r t h i s c a s e w a s z 2 W / m 2 ° C , c o r r e s p o n d i n g t o a m a x i m u m v a r i a t i o n i n i n p u t t e m p e r a t u r e s o f z 0 . 5 ' C . 5 3 0 m o d n a R t . u C o ‘ 3 h 6 t 3 i . w 0 d f n o a , h a t i , w n o s i t t n a e i i v 4 2 ) s c e r i D u o f f d e r V 8 T h o a 1 ( e m C d n r a e t f S s T i n h T ‘ 2 T a t r i T w t a a t 1 e a r H D d t e u t p a n m I i t n s i E r 6 s r 6 o . r 5 r E e r u g i F r 0 5 _ s r o r r E m o d n a R o n h t i w a t a D t u p n I - — 1 5 0 I n p u t D a t a w i t h R a n d o m E r r o r s ( a = 0 . 3 6 5 ' C ) F O . . . J e i s u b r 3 ( 0 . . w / M ) 4 9 9 1 0 1 1 4 9 0 0 I n p u t P a r a m e t e r s I n i t i a l T e m p e r a t u r e = ~ - - 3 0 " C A m b . T e m p . = = — 5 ' C , 0 — 1 8 h o u r s = - 3 0 ‘ C , 1 8 - 3 6 h o u r s 0 1 S l a b T h i c k n e s s = 0 . 1 3 m H e a t T r a n s . C o e f = 7 . 8 5 W / m " C : 5 J 1 i o e H p a m w n s a 1 2 9 C H A P T E R 6 . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N B o t h a n a l y t i c a l a n d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n m e t h o d s w e r e u s e d i n e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ; r e s u l t s a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 6 . 1 . T h e o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l d i r e c t n u m e r i c a l s o l u t i o n s w e r e v e r i f i e d b y c o m p a r i s o n w i t h a n a l y t i c a l s o l u t i o n s , a s s u m i n g c o n s t a n t p r o d u c t p r o p e r t i e s , a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , a s s u m i n g v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s . T h e s e c o m p a r i s o n s a r e d e s c r i b e d i n S e c t i o n s 6 . 2 a n d 6 . 3 . S o m e o f t h e p a r a m e t e r s a f f e c t i n g t h e t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s ~ t r i b u t i o n h i s t o r i e s o f a s i m u l a t e d f o o d p r o d u c t w e r e a l s o i n v e s t i g a t e d . T h i s s t u d y c o n c e n t r a t e d o n t w o a r e a s : ( 1 ) t h e e f f e c t s o f b o u n d a r y c o n d i - t i o n s ( S e c t i o n 6 . 4 ) , a n d ( 2 ) t h e e f f e c t s o f s i z e a n d g e o m e t r y ( S e c t i o n 6 . 5 ) . T h e p r i m a r y o b j e c t i v e s i n t h i s a n a l y s i s w e r e t o d e t e r m i n e h o w t h e p a r a m e t e r s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e a r e a s a f f e c t e d t h e o v e r a l l r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n , a n d t h e v a r i a t i o n o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n w i t h i n t h e p r o d u c t . 6 . 1 E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s e s t i m a t e d u s i n g b o t h a n a l y t i c a l a n d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n m e t h o d s . B o t h m e t h o d s r e q u i r e d a m b i e n t a n d p r o d u c t t e m p e r a t u r e s , a n d i n a d d i t i o n , t h e a n a l y t i c a l s o l u ~ t i o n r e q u i r e d k n o w l e d g e o f t h e v e l o c i t y p r o f i l e o v e r t h e s u r f a c e o f t h e 1 3 0 1 3 1 p r o d u c t . T h e a m b i e n t a n d a v e r a g e p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , o b t a i n e d i n t h e f i r s t r e p e t i t i o n f o r t h e s i n g l e l a y e r s l a b w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t 1 a , S e c t i o n 4 . 5 ) , a r e s h o w n i n F i g u r e 6 1 1 . ( M e a s u r e m e n t s o b t a i n e d i n t h e s e c o n d t w o r e p e t i t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e s E . 1 a , b . ) T h e s e v a l u e s w e r e u s e d i n b o t h a n a l y t i c a l a n d i n v e r s e s o l u t i o n s , a n d t h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s f o r t h e a n a l y t i c a l c a s e w e r e d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 4 . 6 . 1 . 1 A n a l y t i c a l E s t i m a t i o n o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s e s t i m a t e d u s i n g t h e a n a l y t i c a l m e t h o d s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 5 . 1 . F o r b o t h f o r c e d a n d f r e e c o n v e c t i o n t o b e s i g n i f i c a n t , E q . ( 3 . 2 2 b ) m u s t b e s a t i s f i e d . T h e R e y n o l d s n u m b e r i n E q . ( 3 . 2 2 b ) w a s d e t e r m i n e d u s i n g a v e r a g e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s . T h e a v e r a g e a i r v e l o c i t i e s o v e r t h e p r o d u c t d u r i n g t h e f i r s t a n d s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l s , U 1 c o a n d U 2 ” , f r o m 0 t o 1 8 h o u r s a n d f r o m 1 8 t o 3 6 h o u r s , r e s p e c t i v e l y , w e r e e s t i m a t e d f r o m t h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s , f o u n d u s i n g a h o t w i r e a n e m o m e t e r , i n e a c h s t o r a g e c h a m b e r a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 4 . T h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y w a s c a l c u l a t e d u s i n g t h e a v e r a g e a m b i e n t t e m p e r a t u r e v a l u e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 ( I n c r o p e r a a n d D e w i t t , 1 9 8 5 ) . F o r t h e f i r s t s t o r a g e i n t e r v a l , t h e a v e r a g e a m b i e n t t e m p e r a t u r e , T 1 ” e q u a l e d ~ 6 ° C , a n d f o r t h e s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l , t h e a v e r a g e a m b i e n t t e m p e r a t u r e , T 2 c o e q u a l e d ~ 3 3 ° C . ( S i m i l a r v a l u e s w e r e f o u n d f o r t h e s e c o n d t w o t e s t c a s e s , s h o w n i n F i g u r e s E . 1 a , b . ) T h e R e y n o l d s n u m b e r w a s c a l c u l a t e d f o r b o t h 1 8 h o u r s t o r a g e i n t e r v a l s f r o m E q . ( 3 . 2 1 a ) . R e s u l t s a r e s h o w n b e l o w . m C ° 3 3 1 3 . 0 ~ = = , e x r L u t , a s r s e e n p k m c e i T h T l a i b t a i l 6 3 0 0 0 , 0 9 9 0 ‘ 0 ; : 0 9 0 3 ‘ 0 o G 0 . . 0 9 o 0 a 9 0 . 3 1 . 5 9 0 . d 0 : 0 0 0 0 8 o 0 , f 8 c . 0 . ? ; , % 2 0 o 0 : 9 % 0 8 o 4 2 ) s n o 0 I S g r 5 ‘ 8 ‘ w ‘ e ‘ 8 3 8 ‘ 8 ‘ p ‘ 8 ‘ 8 ‘ 8 ‘ w “ ~ : . ( o 4 ? o 8 c o u o 8 h ' 1 ( 2 / x e L m t . i T a . p m e 2 , T 1 t e c r u u d t o a . r r P e p l m a n e r T e 6 , t t n I n e i . g b v m . A A - 0 — . 0 4 - 5 0 5 “ 1 3 — - ( 3 , ) e a n a J e d w e i I 1 i n l U I O 3 ‘ F i g u r e 6 . 1 A m b i e n t a n d A v e r a g e I n t e r n a l T e m p e r a t u r e o f R a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e M e a s u r e m e n t s u s i n g S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t l a ) . 1 3 2 1 3 3 u o L x R e - - 2 3 - — — - 9 - 2 . 7 4 - 1 0 3 0 z c > 1 8 h o u r s L x , l v , 6 o L x R e - ~ 2 3 — — — — 9 - 1 . 1 0 . 1 0 “ 1 8 z c z 3 6 h o u r s L x , 2 v , w h e r e : L x c - 0 . 1 1 8 m U 1 c o - 0 . 2 5 m / s U 2 c o - 1 . 0 m / s v 1 - 1 . 2 9 6 - 1 0 ' 5 m z / s 9 2 - 1 . 0 6 7 - 1 0 ' S m 2 / s T h e G r a s h o f n u m b e r w a s c a l c u l a t e d f r o m E q . ( 3 . 2 1 b ) b y a p p r o x i m a t i n g a v e r a g e i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s f o r t h e s u r f a c e t e m ~ p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s . T h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t , B e , w a s d e t e r m i n e d a s s u m i n g a n i d e a l g a s , a n d u s i n g t h e a v e r a g e a m b i e n t s t o r a g e t e m p e r a t u r e v a l u e s . U s i n g t h e e x t r e m e a v e r a g e p r o d u c t t e m p e r a t u r e v a l u e s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g o f b o t h s t o r a g e i n t e r v a l s , ( T a t 0 , 1 8 - , 1 8 + , a n d 3 6 h o u r s ) t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m G r a s h o f n u m b e r s w e r e f o u n d a t t h e s e t i m e s , a s F i r s t s t o r a g e i n t e r v a l : s w a m - ( m ) - 1 ' 1 , » i n 6 G e r - ” I - 9 . 3 5 - 1 0 t - 0 h r s - — 3 g - fi e 1 - ( Y ( 1 8 ) - T l m ) - L x c - 2 - 2 . 1 6 - 1 0 6 t - 1 8 ‘ h r s ” 1 S e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l : 1 3 4 3 s - fi , , 2 - ( ? ( 1 8 > - T , , ) - L x c ” 2 7 c - 1 8 + h r s 3 S ' fi e ’ 2 ° ( 7 ( 3 6 ) - 5 2 , ) . L x c - V 2 - 2 . 9 5 0 1 0 2 6 c - 3 6 h r s T h e c r i t e r i o n f o r b o t h f o r c e d a n d f r e e c o n v e c t i o n w a s c a l c u l a t e d f r o m E q . ( 3 . 2 2 b ) a t 0 , 1 8 - , l 8 + , a n d 3 6 h o u r s . R e s u l t s a r e s h o w n b e l o w . G e r 2 - 1 . 2 5 t - 0 h r s 1 R e , L x > T l o o - ~ 6 C - 0 . 2 9 t - l 8 - h r s C e r + 2 - 0 . 1 0 t - 1 8 h r s ‘ R e - ' o L x > T 2 " , - ~ 3 3 C - 0 . 0 2 t - 3 6 h r s J T h e u p p e r a n d l o w e r l i m i t s o f t h e c r i t e r i o n s h o w n i n E q s . ( 3 . 2 2 a — c ) w e r e a r b i t r a r i l y s e t f r o m 0 . 1 t o 1 0 . 0 . B o t h f o r c e d a n d f r e e c o n v e c t i o n w e r e f o u n d t o b e s i g n i f i c a n t i n a l l b u t o n e c a s e ; t h e r e f o r e , b o t h f o r c e d a n d f r e e c o n v e c t i o n w e r e c o n s i d e r e d i n t h e a n a l y s i s . 6 . 1 . 1 . 1 F o r c e d C o n v e c t i o n S t e a d y s t a t e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s a r e a v a i l a b l e f o r s i m p l e b o u n d a r y c o n d i t i o n s s u c h a s a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e o r a c o n s t a n t h e a t f l u x a t t h e s u r f a c e o f a s p e c i f i e d g e o m e t r y . T h e a c t u a l c o n d i t i o n s p r e v a i l i n g 1 3 5 d u r i n g t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s w e r e n o t b o u n d t o s t e a d y s t a t e c o n d i ~ t i o n s o r e i t h e r o f t h e t w o b o u n d a r y c r i t e r i a ; h o w e v e r , t h e s o l u t i o n s t o t h e s e s i m p l i f i e d c o n d i t i o n s w e r e u s e d t o p r o v i d e o r d e r o f m a g n i t u d e e s t i m a t e s o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . T h e N u s s u l t n u m b e r s r e s u l t i n g f r o m f o r c e d c o n v e c t i o n w e r e c a l c u l a t e d f r o m E q s . ( 3 . 2 3 a , b ) , f o r b o t h t h e c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a n d c o n s t a n t h e a t f l u x b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d f o r b o t h 1 8 h o u r s t o r a g e i n t e r v a l . P r a n d l t n u m b e r s w e r e f o u n d f r o m t h e p r o p e r t i e s o f a i r a t T 1 ” , a n d T 2 c o ( I n c r o p e r a a n d D e w i t t , 1 9 8 5 ) . R e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 1 . 6 . 1 . 1 . 2 F r e e C o n v e c t i o n N u s s u l t n u m b e r s r e s u l t i n g f r o m f r e e c o n v e c t i o n w e r e c a l c u l a t e d u s i n g E q . ( 3 . 2 5 ) f o r t h e f i r s t s t o r a g e i n t e r v a l ( T 1 0 ° > T ) , a n d E q . ( 3 . 2 4 a o r b ) f o r t h e s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l ( T z o < T ) , d e p e n d i n g o n t h e m a g n i t u d e o f t h e R a y l e i g h n u m b e r . S i n c e t h e m a x i m u m R a y l e i g h n u m b e r f o r t h e s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l w a s f o u n d t o b e < 1 0 7 , E q . ( 3 . 2 4 a ) w a s u s e d . N u s s u l t n u m b e r s w e r e c a l c u l a t e d u s i n g a v e r a g e a m b i e n t a n d i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s f r o m t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 . B o t h R a y l e i g h a n d N u s s u l t n u m b e r s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 2 . 6 . 1 . 1 . 3 C o m b i n e d F r e e a n d F o r c e d C o n v e c t i o n . E q u a t i o n ( 3 . 2 6 ) w i t h n e q u a l 7 / 2 w a s u s e d t o c a l c u l a t e N u s s u l t n u m b e r s f r o m c o m b i n e d f r e e a n d f o r c e d c o n v e c t i o n f o r b o t h a i d i n g a n d a b a t i n g f r e e c o n v e c t i o n . H e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w e r e d e t e r m i n e d f r o m t h e N u s s u l t n u m b e r s u s i n g E q . ( 3 . 2 7 ) . N u s s u l t n u m b e r s a n d r e s u l t - i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s f o r b o t h a i d i n g a n d a b a t i n g f l o w s a r e 1 3 6 T a b l e 6 . 1 A v e r a g e N u s s u l t N u m b e r s R e s u l t i n g f r o m F o r c e d C o n v e c t i o n o v e r a F l a t P l a t e . B o u n d a r y A v e r a g e R e y n o l d s P r a n d l t A v e r a g e C o n d i t i o n s A m b i e n t N u m b e r N u m b e r N u s s u l t T e m p e r a t u r e T u p R e L x P r N u F C o n s t a n t T e m p e r a t u r e 3 1 . 0 9 ~ 6 ° C 2 . 7 4 - 1 0 3 0 . 7 1 6 C o n s t a n t H e a t F l u x 4 2 . 4 2 C o n s t a n t T e m p e r a t u r e 6 2 . 5 2 - 3 3 ° c 1 . 1 0 - 1 0 4 0 . 7 2 3 C o n s t a n t H e a t F l u x 8 5 . 3 0 1 3 7 T a b l e 6 . 2 A v e r a g e N u s s u l t N u m b e r s R e s u l t i n g f r o m F r e e C o n v e c t i o n . T i m e R a y l e i g h A v e r a g e ( h o u r s ) N u m b e r N u s s u l t N u m b e r R a L x ( - 1 0 6 ) F i fi 0 6 . 6 7 1 3 . 7 2 S t o r a g e 3 5 . 1 3 1 2 . 8 5 I n t e r v a l 6 3 . 8 5 1 1 . 9 6 N o . l 9 2 . 8 9 1 1 . 1 3 ( ~ 6 ° C ) 1 2 2 . 4 4 1 0 . 6 7 1 5 2 . 0 5 1 0 . 2 2 1 8 - 1 . 8 0 9 . 8 8 1 8 + 8 . 3 4 2 9 . 0 2 S t o r a g e 2 1 7 . 5 1 2 8 . 2 7 I n t e r v a l 2 4 6 . 2 6 2 7 . 0 1 N o . 2 2 7 4 . 5 9 2 4 . 9 9 ( ~ 3 3 ° C ) 3 0 3 . 7 5 2 3 . 7 7 3 3 2 . 5 0 2 1 . 4 8 3 6 2 . 0 9 2 0 . 5 2 1 3 8 s h o w n i n T a b l e 6 . 3 a f o r t h e c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a s s u m p t i o n , a n d i n T a b l e 6 . 3 b f o r t h e c o n s t a n t h e a t f l u x a s s u m p t i o n . 6 . 1 . 1 . 4 P a c k a g i n g L a y e r . T h e e f f e c t i v e p a c k a g i n g r e s i s t a n c e w a s f o u n d u s i n g E q . ( 3 . 2 8 ) , f r o m t h e t h i c k n e s s a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s o f t h e p a c k a g i n g m a t e r i a l . S i n c e t h e p a c k a g i n g l a y e r w a s a c t u a l l y c o m p o s e d o f t h r e e s u b s t a n c e s ; t h e p a p e r b o a r d b o x , t h e p l a s t i c f i l m w r a p p i n g , a n d a i r t r a p p e d b e t w e e n t h e t w o m a t e r i a l s , ( S e c t i o n 4 . 5 ) E q . ( 3 . 2 8 ) w a s m o d i f i e d a s f o l l o w s t o a c c o u n t f o r a l l t h r e e s u b s t a n c e s k k k h - - 9 9 + E ? + - 9 £ ( 6 . 1 ) w h e r e L p b ’ L a a n d L p f a r e t h e t h i c k n e s s e s o f t h e p a p e r b o a r d , a i r i n t e r - f a c e a n d p l a s t i c f i l m , r e s p e c t i v e l y . T h e t h i c k n e s s o f t h e p a p e r b o a r d , L p b ’ w a s f o u n d t o b e S 1 . 7 m m , a n d t h e p l a s t i c f i l m w a s s 0 . 3 m m . T h e a i r i n t e r f a c e v a r i e d f r o m 1 t o 1 0 m m . T h e r m a l c o n d u c t i v i t i e s w e r e f o u n d t o b e 0 . 1 8 W / m ’ C f o r t h e p a p e r b o a r d , a n d 0 . 2 2 5 6 W / m ’ C f o r a i r a t t h e a v e r a g e t e m p e r a t u r e b e t w e e n - 6 a n d - 3 3 ° C ( I n c r o p e r a a n d D e w i t t , 1 9 8 5 ) . T h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e p l a s t i c f i l m w a s 0 . 2 0 W / m ° C ( M o d e r n P l a s t i c s E n c y c l o p e d i a 1 9 8 4 - 8 5 ) . T h i s r e s u l t e d i n a n e f f e c t i v e p a c k a g i n g c o e f f i c i e n t , h p k ’ r a n g i n g f r o m 2 . 2 0 W / m ° C t o 1 8 . 1 0 W / m ‘ C , a n d a v e r a g i n g 4 . 7 5 W / m ° C . 1 3 9 T a b l e 6 . 3 a C o m b i n e d F r e e a n d F o r c e d N u s s u l t N u m b e r s , E 6 . a n d C o n v e c t i v e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x c v , a s s u m i n g a C o n s t a n t T e m p e r a t u r e B o u n d a r y C o n d i t i o n . T i m e A i d i n g F l o w 1 A b a t i n g F l o w 2 ( h o u r s ) E B h x c v E H h x c v 0 3 1 . 5 9 6 . 3 3 3 0 . 5 7 6 . 1 3 3 3 1 . 4 9 6 . 3 1 3 0 . 6 8 6 . 1 5 6 3 1 . 4 0 6 . 3 0 3 0 . 7 7 6 . 1 7 9 3 1 . 3 3 6 . 2 8 3 0 . 8 4 6 . 1 8 1 2 3 1 . 3 0 6 . 2 8 3 0 . 8 8 6 . 1 9 1 5 3 1 . 2 7 6 . 2 7 3 0 . 9 1 6 . 2 0 1 8 ' 3 1 . 2 5 6 . 2 7 3 0 . 9 3 6 . 2 0 1 8 + 6 3 . 7 1 1 1 . 6 1 6 1 . 2 7 1 1 . 1 6 2 1 6 3 . 6 1 1 1 . 5 9 6 1 . 3 8 1 1 . 1 8 2 4 6 3 . 4 5 1 1 . 5 6 6 1 . 5 5 1 1 . 2 2 2 7 6 3 . 2 3 1 1 . 5 2 6 1 . 7 9 1 1 . 2 6 3 0 6 3 . 1 2 1 1 . 5 0 6 1 . 9 1 1 1 . 2 8 3 3 6 2 . 9 4 1 1 . 4 7 6 2 . 0 9 1 1 . 3 1 3 6 6 2 . 8 8 1 1 . 4 6 6 2 . 1 6 1 1 . 3 2 1 . F r e e c o n v e c t i o n a i d i n g f o r c e d c o n v e c t i o n . 2 . F r e e c o n v e c t i o n o p p o s i n g f o r c e d c o n v e c t i o n . 1 4 0 T a b l e 6 . 3 b C o m b i n e d F r e e a n d F o r c e d N u s s u l t N u m b e r s , R E , a n d C o n v e c t i v e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x c v ’ a s s u m i n g a C o n s t a n t H e a t F l u x B o u n d a r y C o n d i t i o n . T i m e A i d i n g F l o w 1 A b a t i n g F l o w 2 ( h o u r s ) R E h x c v E B h x c v 0 4 2 . 6 5 8 . 5 5 4 2 . 1 9 8 . 4 6 3 4 2 . 6 0 8 . 5 4 4 2 . 2 3 8 . 4 7 6 4 2 . 5 6 8 . 5 3 4 2 . 2 8 8 . 4 8 9 4 2 . 5 3 8 . 5 3 4 2 . 3 1 8 . 4 8 1 2 4 2 . 5 2 8 . 5 2 4 2 . 3 2 8 . 4 9 1 5 4 2 . 5 0 8 . 5 2 4 2 . 3 4 8 . 4 9 1 8 ’ 4 2 . 4 9 8 . 5 2 4 2 . 3 5 8 . 4 9 1 8 + 8 5 . 8 6 1 5 6 4 8 4 . 7 4 1 5 . 4 4 2 1 8 5 . 8 1 1 5 . 6 3 8 4 . 7 9 1 5 . 4 5 2 4 8 5 . 7 3 1 5 . 6 2 8 4 . 8 6 1 5 . 4 6 2 7 8 5 . 6 3 1 5 . 6 0 8 4 . 9 7 1 5 . 4 8 3 0 8 5 . 5 8 1 5 . 5 9 8 5 . 0 2 1 5 . 4 9 3 3 8 5 . 4 9 1 5 . 5 8 8 5 . 1 0 1 5 . 5 1 3 6 8 5 . 4 7 1 5 . 5 7 8 5 . 1 3 1 5 . 5 1 1 . F r e e c o n v e c t i o n a i d i n g f o r c e d c o n v e c t i o n . 2 . F r e e c o n v e c t i o n o p p o s i n g f o r c e d c o n v e c t i o n . 1 4 1 6 . 1 . 1 . 5 O v e r a l l S u r f a c e H e a t t r a n s f e r C o e f f i c i e n t . O v e r a l l s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s , i n c l u d i n g t h e e f f e c t s o f f r e e a n d f o r c e d c o n v e c t i o n a n d t h e p a c k a g i n g l a y e r , w e r e f o u n d f r o m E q . ( 3 . 2 9 ) , u s i n g t h e r e s u l t s s h o w n i n T a b l e s 6 . 3 a , b , a n d i n S e c t i o n 6 . 1 . 1 . 4 . R e s u l t s f o r b o t h a i d i n g a n d a b a t i n g f l o w c o n d i t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 a , b , f o r c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a n d c o n s t a n t h e a t f l u x b o u n d a r y c o n d i t i o n s , r e s p e c t i v e l y . T h e r e w e r e i n s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s i n b o t h t h e c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a n d c o n s t a n t h e a t f l u x s o l u t i o n s f o r a i d i n g a n d a b a t i n g f l o w c o n d i t i o n s , i n d i c a t i n g t h a t t h e f r e e c o n v e c t i o n t e r m h a d v e r y l i t t l e i n f l u e n c e o n t h e s o l u t i o n . 6 . 1 . 2 E s t i m a t i o n o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s u s i n g I n v e r s e H e a t T r a n s f e r E s t i m a t i o n T e c h n i q u e s . S u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w e r e e s t i m a t e d u s i n g t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n ( I H C P ) t e c h n i q u e s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 5 . 2 f r o m t h e t h r e e t e s t r e s u l t s u s i n g t h e s i n g l e l a y e r s l a b o f K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t s l a - c ) , d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 5 . T h e e x p e r i m e n t a l a m b i e n t a n d i n t e r n a l t e m p e r a t u r e v a l u e s , s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 , f o r t h e f i r s t r e p e t i t i o n o f T e s t 1 , a n d i n F i g u r e s E . 1 a , b f o r t h e s e c o n d t w o r e p e t i t i o n s o f T e s t 1 , a n d t h e O p t i m u m p a r a m e t e r s d e t e r m i n e d i n S e c t i o n 5 . 2 . 4 w e r e u s e d a s i n p u t t o t h e s o l u t i o n a l g o r i t h m o u t l i n e d i n A p p e n d i x D . R e s u l t s f o r t h e s u r f a c e h e a t f l u x a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 , f o r t h e f i r s t r e p e t i t i o n , a n d i n F i g u r e s E . 2 a , b f o r t h e s e c o n d t w o r e p e t i t i o n s . E s t i m a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t f l u x , q , a n d t h e s u r f a c e h e a t t r a n s - f e r c o e f f i c i e n t , h x p r o d u c e d s i m i l a r r e s u l t s i n a l l t h r e e L x , r e p e t i t i o n s . I n a l l c a s e s , t h e r e i s a s u d d e n i n c r e a s e i n b o t h q a n d g — s = s e n = - k £ c i h T — g : n i = — 6 3 0 g e c a : 3 a k £ f c r a - e — P t n I n i r i A = 0 L — $ “ — 3 " ‘ - & : ; ' 2 . : 3 n n o o i i n n t t o o c c i i t t e e i o o o d d C C p i r e f . s n n o a i r t T i d t n a o e C H y l r l a a d r n e u v o O B e e t T a n t i n m a r t e s t n 4 2 ) s r h r u t u o h t f a 8 o r 1 ( e e i e n p o m m i v T c c g v e e n n n g o o v v i n C C n s n d e o 2 A p e e e e O c c e e r r r r o o F F F F » ' 7 ' i d m ‘ m m m m m m m m m m m 0 0 0 . 5 0 5 . . . 0 . 0 . 1 1 1 4 1 4 0 B fi - 0 A G 0 . 0 1 1 D C l g a n c i i s t u y l t a n n e A i c i a f 2 f . e 6 o C e r u g i F ( 0 . 9 4 4 / M ) i u e l o u i e o o 3 9 1 5 1 1 0 3 1 1 0 9 1 4 p e m w n s g O fl 0 o _ I _ J . J i O O _ l . . J L u ) 0 1 4 2 s s - L - J e ‘ $ — — — - 6 3 . — n k c i g . - . . . “ a — ~ h — T n i e g c a a k f c r a e w - . . P . t “ n 4 i n 9 ~ — a 5 : 0 - — - — — — i 2 a r e f s n . a n r o T i t t i a d r i . 1 . 3 A . = = a L . . - : 3 . 7 = — g a T - 1 : . 3 2 . $ — e n - - — a - — - — — ~ " 4 4 H o C l l y 2 a r r a e d v n O u ' ) o s e B a + - r — u h t x u — — - o f l 8 h o F n n o o . n n i i - - — — e 3 I — ' 1 ( 1 £ n t o a i e t H o o t t — . m a c c - - d 2 ' n t i — + a T — — - — i n m a r t e s t n e o e a a a “ - - 3 - e A 1 H a H J ? - 0 . - ‘ W i 0 6 4 0 . 0 ' 2 i i . t t e e c c v . g v e e n n n v i v g o o n n s n C C o o o i d d C C p i e e A p e e O c c e e r r r r o o F F F F ’ r 7 m j m m m m m m m m m m m 0 0 0 . 5 0 5 . . 0 . . 0 . 1 1 1 4 1 4 = = = = = 9 - & 0 0 0 a 0 0 — L L L L L L 1 D C — 4 — s a 6 ' l g a n c i i s t u y l t a n n e A i c i b f 2 f . e 6 o C e r u g i F J 8 } S U D J _ L 1 0 9 1 . 1 p e 1 o w 1 1 s 3 ( o o z w / M ) 1 1 1 9 1 0 1 1 1 9 0 0 . 1 j H i i 4 1 1 1 i t « I 0 . 0 1 4 3 0 0 0 0 5 0 5 0 2 2 1 1 3 H E 0 0 0 1 5 — - - - - _ - F - 5 o b g p ( s r s u r C o u ° h o 3 h 3 8 — 6 1 — 3 = 0 — m 8 . ; 1 C — 6 5 : ‘ d t e a t e a m i t s E 0 I 3 H e c a f r u S d n 3 p 1 m ° 0 ; . 0 e . C T 6 ° — 6 - = . e c 3 , 3 n = x L a — t . s p = , b s m s e u e S T n k t c s . i e b h T m T A l a b i . a t g i l n v S I A l a t s n n e ' a , x h 4 I , 2 s t n e i ' ) c s r u i f f e o o ' C 8 h ' 1 ( e r e f s m n ' a i T r T t a 2 e 1 o 1 H m i i t r i e d p n x o E C d e t a m i t s E ' x i i d e I 6 t 3 a . m 6 i t s E ' r e u g i 0 F ( Q O Z U J / M ) 1 u e i 3 1 4 4 9 0 0 J e l s q u i m e H p e 1 a w i 1 s 3 0 A F l u x , q , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 a ) . E s t i m a t e d S u r f a c e H e a t F l u x ( W / m z ) 1 1 1 1 i 1 4 5 A t h x a t t - 0 h o u r s , a n d a s u d d e n d e c r e a s e f o l l o w e d b y a s h a r p i n c r e a s e i n t h x a t t - 1 8 h o u r s . T h e s e o b s e r v a t i o n s c o r r e s p o n d e d t o t h e s u d d e n i n c r e a s e i n t h e e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a t t - 0 h o u r s , a n d s h a r p d r o p f o l l o w e d b y a n i n c r e a s e i n t h x a t t - 1 8 h o u r s , i n t h e s o l u t i o n u s i n g e x a c t d a t a f r o m a c o n s t a n t h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t a s i n p u t ( F i g u r e 5 . 4 ) . T h e r e f o r e , t h e s u d d e n c h a n g e s i n t h e e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t f l u x , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 , a r e a s s u m e d t o b e a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e s o l u t i o n m e t h o d , a n d n o t c h a r a c t e r i s t i c o f t h e a c t u a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e e s t i m a t i o n p r o c e d u r e p r o v i d e d r e l a t i v e l y s m o o t h c u r v e s f o r t h e s u r f a c e h e a t f l u x c o m p a r e d w i t h t h o s e f o r t h e e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . T h e a l g o r i t h m t o e s t i m a t e q w a s d e s i g n e d t o d a m p e n t h e e f f e c t s o f i r r e g u l a r i t i e s i n t h e s o l u t i o n , b y i n c l u d i n g r e g u l a r i z a t i o n t e r m s a n d b y i n c o r p o r a t i n g s e v e r a l f u t u r e t i m e s t e p s i n t h e p r o c e d u r e . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , h o w e v e r , i s a d i r e c t f u n c t i o n o f q , w h i c h i s a s m o o t h e d f u n c t i o n , a n d t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e , w h i c h f l u c t u a t e s w i t h t h e d e f r o s t c y c l e , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 . T o d a m p e n t h e i r r e g u l a r i t i e s i n t h e s o l u t i o n r e s u l t i n g f r o m t h e d e f r o s t c y c l e s , t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s f o r e a c h s t o r a g e i n t e r v a l w e r e a v e r a g e d i n t h e e s t i m a t i o n o f t h x . R e s u l t s f o r t h e t h r e e r e p e t i t i o n s , u s i n g a v e r a g e d a m b i e n t t e m p e r a t u r e s f r o m F i g u r e s 6 . 1 a n d E . 1 a , b , a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 4 a - c . T h e e s t i m a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t f l u x w a s u n c h a n g e d ; h o w e v e r , t h e i r r e g u l a r i t i e s i n t h e e s t i m a t i o n o f h x w e r e L x d a m p e d u s i n g t h e a v e r a g e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s . C o m p a r i n g t h x f o r t h e t w o s t o r a g e i n t e r v a l s i n d i c a t e d t h a t d i f - f e r e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s p r e v a i l e d i n e a c h s t o r a g e r o o m . T h e t w o f a n s i n t h e f i r s t r o o m w e r e a t t h e s a m e e n d , a n d o p e r a t e d c o n t i n u o u s l y d u r i n g e a c h d e f r o s t c y c l e . T h i s r e s u l t e d i n e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w h i c h d e c r e a s e d s m o o t h l y , i n d i c a t i n g t h a t f r e e c o n v e c t i o n 0 0 0 5 0 5 2 2 1 _ ~ 0 0 1 - - - s r s u r C o u ° h o 3 h 3 8 — 6 1 — 3 = 0 - m 8 . ; 1 3 p C 1 m ° ; . 0 e C 0 . T ° 6 6 - = e . c 3 , 3 n = x L a — t . s , p = b s m s e u e S T n k t . . c s i e b h T m T A l a b i . a t g i l n v S I A l a t s n n e o m i i t r i e d p n Y o E C 6 3 1 : d e t t e a c e n H d a . a t n m i t s E e s a c b a u , f S ) r a , t 0 u l 3 S s . l - - . e t a d s T n e v r a T e e h t ( , u n x r e I h s c l a e , r f g 4 s , 2 t n a r a K r u S o e h t i t d S c i e i w h s f o c f p a s e x E t ) s r u o E l o C u r 8 h ' r n e f s e o 1 ( e R O f s s l h e e n a t r m a t i u . i r n w t T e a T m b r , 2 1 t i a e a r l p e e S m H p e x r T d E e e y t t g a n a n L e m i i . i s e b x h d t u l m s g A E , n A q i e S g l a , a e 6 t a 4 m x r . o u e m v 6 l r i t s . E - - F f A e r u g i F J 0 0 2 ( 0 . . w / ’ M ) 1 1 1 8 1 0 1 1 1 9 0 0 J e i s q u l 1 , 0 9 1 . 4 p e m w n s g J L 1 0 0 E s t i m a t e d S u r f a H e a t F l u x ( W / 8 m C 1 9 e ) 0 I D I 1 1 4 6 0 0 0 5 0 5 2 2 1 ' _ ~ s a C r s ° u r d t e e a c 2 o u t e n 6 3 . h o 1 h 3 8 — 6 1 3 — = — 0 m 8 . ; 1 3 . p C 1 ; m ° . 0 e C 0 . T ° 6 5 = e . - c 3 , n = 3 x L a — t . , s p = s m b s e u e S T n k t c s . - b i e h T m T A l a b i . a t g i l n v S I A l a t s n n e o m i i t r i e d p a H a d m 4 t n i t s e s a c b a u , f S E ) 0 f 3 r b u t 1 S s . l — a e t . h t ( d T s v n e r a T e e , u n x r e I h s c l a e , r f g 4 a r a r s 2 K r u . t n S o e h t i t d S c i e i w h s f o c f s p a e t x E o E l C u r 8 s e o ' 1 r e n f e R O f s s h l e n a t r a t i u . r n w t T e a m b r t e i a a p r l e m e S r 2 p H e 1 x r T d E e e y t t g a n a L n e m i i . n i X o E C 0 2 x i F d , e 6 s e b t u l m s g A E , n x q i e S g b a , t m 4 x r a m i t s . o u e 6 r l v F f A e . r E - - 0 u g i F ( s a w / M ) i u e i o i u e o o J e i s q u i 1 0 9 1 . 1 p e q o w p s g b 1 0 0 E s t i m a t e d S u r f a c e H e a t F l u x ( W / m z ) T i m e ( h o u r s ) 1 4 7 0 0 0 0 5 0 5 0 2 2 1 1 0 0 1 - t _ F P * 6 s C r s ° u r 5 o u 3 3 d e . t h o 1 3 h — 8 - 6 1 — 3 = - 0 m 8 . ; 1 3 p C 1 m ° ; . 9 e C 0 . T ° 5 0 = e . - c 3 , n = 3 x L a — t . , s p = s m b s e u e S T n k t c s . - b i e h m T T A l a b i . a t g i l n v S I A l a t s n n a j m i t s E 0 3 fi — 4 2 ) s r u o 8 I h 1 ( e m U i T o I e m i t i i r e d p n X o E C 0 2 2 1 ‘ x 1 1 d e 6 r t a m i t s E T - — 0 . 6 2 ( g n a w / m ) 1 u e i H e a t F l u x ( W / O ‘ 5 ’ « 3 E s t i m a t e d S u r f a m 9 3 ’ 3 1 4 4 9 0 0 J e l s q u i 1 0 9 1 . 1 p e i a w n s g O I n I 4 + 1 O F i g u r e 6 . 4 c A E s t i m a t e d H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s , h x , a n d S u r f a c e H e a t F l u x , q , u s i n g E x p e r i m e n t a l R e s u l t s w i t h K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e f r o m S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t 1 c ) , a n d A v e r a g e A m b i e n t T e m p e r a t u r e s f o r E a c h S t o r a g e I n t e r v a l . 1 4 8 1 4 9 w a s a s i g n i f i c a n t f a c t o r , a n d t h a t i t a b a t e d t h e i n f l u e n c e o f f o r c e d c o n v e c t i o n . T h e t w o f a n s i n t h e s e c o n d s t o r a g e r o o m w e r e a t o p p o s i t e e n d s , p r o v i d i n g a m i x e d f l o w , a n d t h e y c y c l e d o n a n d o f f i n s y n c h r o n i z a - t i o n w i t h t h e d e f r o s t c y c l e . T h i s r e s u l t e d i n a c y c l i c c u r v e f o r t h x w h i c h f o l l o w e d t h e d e f r o s t c y c l e . F r e e c o n v e c t i o n a p p e a r e d t o h a v e l e s s i n f l u e n c e d u r i n g t h i s s t o r a g e i n t e r v a l a s s h o w n b y t h e s m a l l o v e r a l l c h a n g e i n m a g n i t u d e i n t h x w i t h t i m e . T h i s w a s a s s u m e t o b e a r e s u l t o f t h e m i x e d f l o w c o n d i t i o n s p r e v a i l i n g i n t h e s t o r a g e r o o m . 6 . 1 . 3 C o m p a r i s o n o f R e s u l t s u s i n g A n a l y t i c a l a n d I n v e r s e H e a t C o n d u c - t i o n M e t h o d s I n c o m p a r i n g t h e a n a l y t i c a l a n d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n s o l u t i o n s f o r t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , t h e a s s u m p t i o n s u s e d i n g e n e r a t i n g t h e s o l u t i o n s w e r e f i r s t e x a m i n e d . T h e a s s u m p t i o n s m a d e i n g e n e r a t i n g t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n a r e g i v e n b e l o w . 1 . S t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s , 2 . C o n s t a n t t e m p e r a t u r e o r c o n s t a n t h e a t f l u x b o u n d a r y c o n d i t i o n s , 3 . L a m i n a r , u n i d i r e c t i o n a l a i r f l o w o v e r s u r f a c e o f p r o d u c t , 4 . K n o w n t e m p e r a t u r e a t s u r f a c e o f p r o d u c t , 5 . N e g l i g i b l e c h a n g e s a t p a c k a g i n g i n t e r f a c e , s u c h a s t h e b u i l d u p o f f r o s t , 6 . O n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r , 7 . N e g l i g i b l e m o i s t u r e l o s s , a n d 8 . C o n s t a n t a m b i e n t t e m p e r a t u r e . T h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n s o l u t i o n a r e a s f o l l o w s . 1 . O n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r , 1 5 0 2 . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s a c o n s t a n t , o r a f u n c t i o n o f t i m e o n l y , 3 . H o m o g e n e o u s , i s e n t r o p i c t h e r m a l p r o p e r t i e s , 4 . T e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s a r e m a d e a t a k n o w n p o s i t i o n w i t h i n p r o d u c t , a n d 5 . N e g l i g i b l e m o i s t u r e l o s s . T h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e I H C P s o l u t i o n a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e c o n d i t i o n s p r e v a i l i n g d u r i n g t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s ; h o w e v e r , m a n y o f t h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n c o n f l i c t w i t h t h e s e c o n d i t i o n s . E x a m p l e s o f c o n d i t i o n s w h i c h c o n f l i c t t h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e a n a l y t i c a l c a s e a r e t r a n s i e n t h e a t t r a n s f e r , m i x e d f l o w c o n d i - t i o n s , a n d k n o w n i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e s ( n o t a t s u r f a c e ) . T h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n w e r e v e r y r e s t r i c t i v e , c o m p a r e d t o t h o s e u s e d i n t h e I H C P s o l u t i o n , w h i c h w a s d e s i g n e d t o a c c o m m o d a t e a w i d e v a r i e t y o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s . B o t h m e t h o d s y i e l d e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s r a n g i n g f r o m 2 t o 1 8 W / m ’ C , a s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 a , b a n d 6 . 4 a - c . I n t h e f i r s t s t o r a g e i n t e r v a l , t h e I H C P s o l u t i o n i n d i c a t e d t h a t e i t h e r f r e e c o n v e c - t i o n o r t h e d i m i n u t i o n o f f r o s t w a s t h e l i m i t i n g f a c t o r i n f l u e n c i n g t h e m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , w h i l e i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , f o r c e d c o n v e c t i o n d o m i n a t e d . T h e f o u r p r i m a r y f a c t o r s i n f l u e n c i n g t h e m a g n i t u d e a n d i n f l u e n c e o f f r e e c o n v e c t i o n i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n w e r e : ( 1 ) t h e m a g n i t u d e o f t h e c o e f f i c i e n t s i n E q s . ( 3 . 2 4 a , b ) a n d ( 3 . 2 5 ) ; ( 2 ) t h e m a g n i t u d e o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a m b i e n t a n d p r o d u c t t e m p e r a t u r e s , u s e d i n d e t e r m i n i n g t h e R a y l e i g h n u m b e r ; ( 3 ) t h e v a l u e o f n u s e d i n E q . ( 3 . 2 6 ) ; a n d , ( 4 ) t h e m a g n i t u d e o f t h e a i r f r e e s t r e a m v e l o c i t y u s e d i n c a l c u l a t i n g t h e R e y n o l d s n u m b e r f o r f o r c e d c o n v e c t i o n . T h e m a g n i t u d e s o f t h e c o e f f i c i e n t s i n E q s . ( 3 . 2 4 a , b ) 1 5 1 a n d ( 3 . 2 5 ) w e r e g i v e n f o r v e r y s p e c i f i e d f l o w c o n d i t i o n s , a n d t h e 0 p - t i m u m c o e f f i c i e n t s f o r t h e f l o w c o n d i t i o n s u s e d i n t h i s s t u d y m a y h a v e a c t u a l l y b e e n g r e a t e r o r l e s s t h a n t h o s e p r e s e n t e d i n t h e s e e q u a t i o n s . F u t h e r m o r e , s i n c e i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e s w e r e u s e d i n s t e a d o f s u r f a c e t e m p e r a t u r e s , t h e s e e s t i m a t e d v a l u e s o f t h x a r e a s s u m e d t o h i g h e r t h a n t h o s e t h a t m i g h t h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g s u r f a c e t e m p e r a — t u r e s . T h e v a l u e o f n i n E q . ( 3 . 2 6 ) w a s a l s o v e r y i n f l u e n t i a l : a s n i n c r e a s e s , t h e i n f l u e n c e o f t h e h i g h e r N u s s u l t n u m b e r ( f r e e o r f o r c e d ) i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y ; t h e r e f o r e , i f n - 3 h a d b e e n u s e d , f r e e c o n v e c - t i o n w o u l d h a v e b e e n m o r e i n f l u e n t i a l . F i n a l l y , t h e v a r i a b i l i t y o f t h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s w a s h i g h , a n d t h e v e l o c i t y w a s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t o v e r e a c h s t o r a g e i n t e r v a l , d i s r e g a r d i n g t h e d e f r o s t c y c l e s . I n s u m m a r y , s m a l l c h a n g e s i n t h e a n a l y t i c a l d e t e r m i n a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s m a y h a v e r e s u l t e d i n m o r e o r l e s s i n f l u e n c e f r o m f r e e c o n v e c t i o n . B o t h s o l u t i o n s y i e l d e d l i t t l e o v e r a l l c h a n g e i n t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w i t h t i m e d u r i n g t h e s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l ; h o w e v e r , t h e I H C P s o l u t i o n r e s p o n d e d t o t h e d e f r o s t c y c l e , w i t h d e c r e a s e s a n d i n c r e a s e s i n t h e e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t a s t h e f a n s t u r n e d o f f a n d o n . T o d e t e c t s i m i l a r v a r i a t i o n s i n a i r v e l o c i t i e s u s i n g t h e a n a l y t i c a l m e t h o d , v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s w o u l d h a v e b e e n r e q u i r e d t h r o u g h o u t t h e s t o r a g e i n t e r v a l . S i n c e t h e c o n d u c t i v i t y o f a i r i s v e r y l o w , e s p e c i a l l y a t l o w t e m - p e r a t u r e s , t h e a i r i n t e r f a c e t h i c k n e s s , L a , p r o v i d e d t h e h i g h e s t r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r , a n d i t w a s m o s t i n f l u e n t i a l i n t h e d e t e r - m i n a t i o n o f t h e o v e r a l l s u r f a c e c o e f f i c i e n t . T h e r e f o r e , u s i n g d i f f e r e n t v a l u e s f o r L a c h a n g e d t h e s o l u t i o n s i g n i f i c a n t l y , a s s e e n i n F i g u r e s 6 . 2 a , b . T h e a i r i n t e r f a c e t h i c k n e s s w a s v e r y d i f f i c u l t t o m e a s u r e a c c u r a t e l y , a n d t h e m e a s u r e m e n t s v a r i e d s i g n i f i c a n t l y , w i t h i n a g i v e n 1 5 2 p a c k a g e . T h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n s o l u t i o n d o e s n o t r e q u i r e k n o w l e d g e o f t h e s u r f a c e c o n d i t i o n s i n t h e e s t i m a t i o n p r o c e d u r e ; t h e r e - f o r e i t i s n o t s u b j e c t t o t h e h i g h v a r i a t i o n i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n r e s u l t i n g f r o m t h e i n t e r f a c e m e a s u r e m e n t s . F u r t h e r m o r e , t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n d o e s n o t a c c o u n t f o r t h e a c c u m u l a t i o n a n d d i m i n u t i o n o f f r o s t a s t h e p r o d u c t i s c o o l e d a n d h e a t e d , b o t h i n t h e p a c k a g e i n t e r f a c e a n d o n t h e s u r f a c e o f t h e p r o d u c t . T h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s o f s n o w a n d i c e a r e 1 0 t o 1 0 0 t i m e s g r e a t e r t h a n t h a t o f a i r ; t h e r e f o r e , a s t h e f r o s t l a y e r a c c u m u l a t e s o r d i m i n i s h e s , t h e r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r d e c r e a s e s o r i n c r e a s e s a c c o r d i n g l y . T h i s r e s u l t s i n a n i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n p r o v i d e d a c o n t i n u o u s , s m o o t h e s t i m a t i o n o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g e a c h s t o r a g e i n t e r v a l , w i t h a s t e p c h a n g e i n t h e e s t i m a t i o n o f t h x b e t w e e n s t o r a g e i n t e r v a l s . T h e I H C P m e t h o d p r e d i c t e d , h o w e v e r , a s h a r p i n c r e a s e i n t h x a t t h e b e g i n n i n g o f t h e f i r s t s t o r a g e i n t e r v a l , a s u d d e n d i p i n t h x b e t w e e n s t o r a g e i n t e r v a l s , a n d a s h a r p d r o p i n t h x a t t h e e n d o f t h e s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l . A s d i s c u s s e d p r e v i o u s l y , t h e s e s u d d e n c h a n g e s i n t h x a r e a l l a s s u m e d t o b e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e e s t i m a t i o n m e t h o d , a n d n o t t h e a c t u a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h i s m e t h o d d o e s n o t r e s p o n d w e l l t o s t e p c h a n g e s i n s u r f a c e c o n d i t i o n s . I n s u m m a r y , a l t h o u g h u s e o f t h e a n a l y t i c a l a n d I H C P m e t h o d s y i e l d e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w i t h i n s i m i l a r r a n g e s , ( f r o m 2 t o 8 W / m ’ C f o r t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , a n d f r o m z 5 t o 1 7 W / m ’ C f o r t h e i n v e r s e s o l u t i o n ) , s e v e r a l d i f f e r e n c e s i n t h e s o l u t i o n m e t h o d s m u s t b e n o t e d . U n l i k e t h e a n a l y t i c a l m e t h o d , t h e I H C P m e t h o d p r o v i d e d a s o l u - t i o n v a l i d f o r t i m e d e p e n d e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w i t h o u t a n y r e s t r i c t i o n s o n t h e a i r f l o w p a t t e r n , o r c h a n g e s a t t h e p r o d u c t s u r f a c e , s u c h a s f r o s t a c c u m u l a t i o n . I n a d d i t i o n , t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n w a s 1 5 3 h i g h l y d e p e n d e n t o n e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f a i r v e l o c i t y a n d a i r i n t e r f a c e t h i c k n e s s , w h i c h w e r e b o t h e x t r e m e l y v a r i a b l e a n d d i f f i c u l t t o m e a s u r e a c c u r a t e l y . I n c o m p a r i n g t h e r e s u l t s f o r t h e t h r e e t e s t c a s e s , s h o w n i n F i g u r e s 6 . 4 a - c , a l m o s t i d e n t i c a l e s t i m a t i o n s f o r t h x w e r e o b t a i n e d , i n d i c a t i n g t h a t t h e i n v e r s e m e t h o d p r o d u c e s r e p e a t a b l e r e s u l t s . T h e p r i m a r y d r a w b a c k o f t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n m e t h o d w a s i t s p o o r r e s p o n s e t o s t e p c h a n g e s i n s u r f a c e c o n d i t i o n s . P o o r r e s p o n s e t o s t e p c h a n g e s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e o v e r a l l e x p e r i m e n t a l t e s t t i m e c a n b e a v o i d e d , h o w e v e r , b y t a k i n g t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s b e f o r e , a n d c o n t i n u i n g m e a s u r e m e n t s a f t e r t h e d e s i g n a t e d t e s t i n g t i m e ( B e c k e t . a l . , 1 9 8 5 ) . 6 . 2 S i m u l a t i o n o f O n e D i m e n s i o n a l H e a t C o n d u c t i o n T h r o u g h a F o o d P r o d u c t T h e o n e d i m e n s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n p r o g r a m ( A p p e n d i x B ) w a s v e r i f i e d b y c o m p a r i s o n w i t h a n a l y t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . A n a l y t i c a l s o l u t i o n s o b t a i n e d u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , a n d e x p e r i m e n t a l d a t a ( S e c t i o n 4 . 5 ) f r o m t h e s i n g l e l a y e r s l a b w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t s l a - c ) , a n d t h e d o u b l e l a y e r s l a b w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t s 2 a - c ) w e r e u s e d i n t h e e v a l u a t i o n s . 6 . 2 . 1 C o m p a r i s o n w i t h A n a l y t i c a l S o l u t i o n s T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , a s s u m i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , w a s d e t e r m i n e d f o r a s t e p c h a n g e i n a m b i e n t t e m p e r a t u r e . T h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n w i t h i n a b o d y , i n i t i a l l y a t a u n i f o r m t e m p e r a t u r e , T o , t h e n e x p o s e d t o c o n s t a n t a m b i e n t c o n d i t i o n s , T 1 0 0 a n d t h x ’ a t x - L x , a n d t h e n s u b j e c t t o a s t e p c h a n g e i n a m b i e n t c o n d i t i o n s ( T 1 0 a n d t h x ) a t 1 5 4 t i m e t 1 , i s g i v e n b e l o w ( C a r s l a w a n d J a e g e r , 1 9 5 9 ) . ( T h e b o u n d a r y a t x - 0 i s i n s u l a t e d t h r o u g h o u t . ) - A t T ( x , t ) - T o + ( T l m ' T o ) - [ 1 - R i c e 1 ] 0 < t 5 t 1 ( 6 . 2 a ) , - 1 £ c T ( x , t ) - T 2 c o - R I - T o - e t 1 < t s ( t 1 + t 2 ) ( 6 . 2 b ) w h e r e A - ( k / c ) - § 2 2 P P 2 2 - h k - c o s ( § £ x ) R _ 2 2 2 [ ( ( h k ) + ( 2 ) - L x + h k ] - c o s ( § £ L x ) T ' T T - A l t l 0 - 1 m - o + ( T 2 ” - T l m ) - e h k - t h x / k T h e t i m e s t a n d t w e r e b o t h s e t a t 1 8 h o u r s , a n d t h e t h i c k n e s s , L x , l 2 w a s s e t e q u a l t o 0 . 1 3 m e t e r s ; a l l o f t h e s e v a l u e s w e r e c o n s i s t e n t w i t h t h e v a l u e s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s f o r t h e s i n g l e l a y e r s l a b w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t s 1 a - c ) . T h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s , T 1 “ , a n d T 2 ” , a n d t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , t h x ’ w e r e b a s e d o n t h e o v e r a l l a v e r a g e v a l u e s f o u n d f r o m T e s t s l a - c . T h e i n i t i a l t e m p e r a t u r e w a s s e t a t - 3 3 ° C , a n d t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s , T 1 0 a n d T 2 ” , w e r e s e t a t - 6 ° C a n d - 3 3 ° C , r e s p e c t i v e l y . T h e a v e r a g e o v e r a l l h e a t t r a n s f e r c o e f f i - 2 c i e n t , w a s f o u n d f r o m F i g u r e s 6 . 4 a - c t o b e 8 . 5 W / m ' 6 , a n d w a s u s e d f o r t h x i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n . T h e t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e c a l c u l a t e d ' 1 5 5 u s i n g t h e a v e r a g e v a l u e s b e t w e e n - 3 3 a n d ~ 1 2 ° C . T h i s r a n g e w a s d e t e r - m i n e d f r o m t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m p r o d u c t t e m p e r a t u r e v a l u e s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 1 a n d E . 1 a , b . T h e n u m e r i c a l o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n w a s f o u n d u s i n g i d e n t i c a l i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d u s i n g b o t h c o n s t a n t a n d t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . A t i m e s t e p o f 1 2 0 s e c o n d s a n d a p o s i t i o n i n c r e m e n t o f 0 . 0 1 6 m w e r e u s e d i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n . T h e s e a r e t h e s a m e v a l u e s p r o p o s e d f o r u s e i n S e c t i o n 5 . 1 . 3 . T h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t t h e m i d - s e c t i o n o f t h e s l a b ( x - 0 . 0 6 5 m ) , f r o m t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , a n d f r o m t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n , u s i n g b o t h c o n s t a n t a n d t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 5 . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n w i t h c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s p r o v i d e d a n e x c e l - l e n t a p p r o x i m a t i o n t o t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n ( u s i n g c o n s t a n t p r o p e r t i e s ) . T h e e f f e c t o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s w a s f o u n d t o b e v e r y s i g n i f i c a n t : a t t h e e n d o f t h e f i r s t s t o r a g e i n t e r — v a l , t h e s o l u t i o n u s i n g v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s w a s 2 7 % h i g h e r t h a n b o t h a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . T h i s i n d i c a t e s t h e i m p o r t a n c e o f a c c u r a t e e s t i m a t i o n o f t h e r m a l p r o p e r t i e s o f f o o d s d u r i n g t h e f r e e z i n g a n d p o s t - f r e e z i n g p r o c e s s e s . S i m i l a r s o l u t i o n s w e r e o b t a i n e d u s i n g t h e s a m e c o n d i t i o n s , d e s c r i b e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s , f o r t h e d o u b l e l a y e r s l a b , w i t h a t h i c k - n e s s ( L x ) o f 0 . 2 5 m , a n d o n l y o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t s 2 a - c ) . I n t h e s e t e s t s , t h e m e t h y l - c e l l u l o s e b o x e s w e r e l a y e r e d t w o h i g h , a n d b o t h s t o r a g e i n t e r v a l s w e r e i n c r e a s e d t o 2 4 h o u r s . T h e s a m e i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a v e r a g e t h e r m a l p r o p e r t y v a l u e s , t i m e s t e p , a n d s p a t i a l i n c r e m e n t u s e d f o r t h e c o m p a r i s o n w i t h t h e s i n g l e l a y e r s l a b ( F i g u r e 6 . 5 ) , w e r e a l s o u s e d i n t h i s c o m p a r i s o n . S o l u t i o n s f o r t h e 6 3 r ‘ 0 I 3 I 4 l s r u o h 6 3 - l a c i t y l t a s n e A T h e t h i u w r s d l e r r a a K p m f o o 8 2 C 1 s x L n e o i i t = T ) t r , C ° 3 x 3 s e u r u l p o o — t S r a o P ; h l 8 s , r C = ' 1 ( u x o ° a l c a i m ) s ) e s i e t i r t e r p e r r o p r o P r h t ’ e m m a m e e m h 8 i u T / fi P 3 t n e a l t b s a i n r o 1 1 T W C N . ° — 5 0 ’ 0 . 8 m C = , / 2 ° ' t . l n 2 a a / n t x o s L a W i 1 n C V ( ( n n o o i i t t u u l l C = , 3 ° x 3 L . 6 0 s - o n C — . e x - f 0 m h , s = = e o s C = e . . . i t t D a i w e e n n c O o n i a o o n S S l l k p s p c m m n i e e a a a 6 r t t c c h T T T T 5 u s i i l . l b r r e e a . b i t 6 o u a t a b S S m m i l e m e n u u N N - — — “ 0 - 5 - 0 . 7 5 “ 1 - S l H A r u g i F 0 0 . 5 3 — ( 3 ° ) e a n o J e d t u e i 0 . 0 0 A n a l y t i c a l S o l u t i o n ( C o n s t a n t P r o p e r t i e s ) . 1 d l 0 . O , _ I 1 5 6 1 5 7 t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t L x / 4 ( x - 0 . 0 6 2 5 m ) , a n d 3 - L x / 4 ( x - 0 . 1 8 7 5 m ) a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 6 . A g a i n , t h e a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e a l m o s t i d e n t i c a l , w h i l e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n u s i n g v a r i a b l e s t h e r m a l p r o p e r t i e s y i e l d e d t e m p e r a - t u r e v a l u e s s i g n i f i c a n t l y h i g h e r . 6 . 2 . 2 C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s . R e s u l t s o b t a i n e d u s i n g t h e n u m e r i c a l o n e d i m e n s i o n a l h e a t c o n d u c t i o n p r o g r a m w e r e c o m p a r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e s i n g l e l a y e r s l a b , w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e , ( T e s t s l a - c ) , a n d f o r t h e d o u b l e l a y e r s l a b , w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e , ( T e s t s 2 a - c ) . I n s i m u l a t - i n g t h e c o n d i t i o n s i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s , t h e p r e d i c t e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s , s h o w n i n F i g u r e s 6 . 4 a - c , w e r e a v e r a g e d o v e r s p e c i f i e d t i m e i n c r e m e n t s f o r e a c h s t o r a g e i n t e r v a l . T h e s e v a l u e s w e r e u s e d a s i n p u t t o t h e n u m e r i c a l m o d e l a n d c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . I n u s i n g t h e n u m e r i c a l m o d e l t o c o m p a r e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s d e t e r m i n e d i n t w o w a y s . F i r s t , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w e r e a v e r a g e d o v e r t h e t o t a l s t o r a g e i n t e r v a l , a n d s e c o n d , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f - f i c i e n t s w e r e a v e r a g e d o v e r t w o t o f o u r h o u r l y i n c r e m e n t s o v e r t h e t o t a l s t o r a g e i n t e r v a l . I n e a c h c a s e , v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s , a n d i d e n - t i c a l p r o d u c t t h i c k n e s s e s ( L x - 0 . 1 3 m ) w e r e u s e d . T h e t h e r m a l p r o p e r t i e s w e r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e , T i f ’ g i v e n b y G u t s c h m i d t ( 1 9 6 0 ) , a n d t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s o f t h e u n f r o z e n m e t h y l - c e l l u l o s e , p , k , a n d C p , g i v e n b y S p e c h t e t . a 1 . ( 1 9 8 1 ) , s h o w n i n T a b l e 4 . 1 . T h e i n i t i a l a n d a m b i e n t t e m p e r a t u r e s w e r e o b t a i n e d f r o m a v e r a g e i n i t i a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e a n d o v e r a l l a m b i e n t t e m p e r a t u r e s e s i e t i r t e r p e o p 8 4 U 0 I 4 s r u o h r o 8 l a c i t y l t a s n e A T h e t h i u a ° n n c m o o o o i i i i i t t i e e a . t t t t h T r 0 T T u u u u T l l l l l 4 1 o d 0 “ 4 0 . 0 . 3 0 ‘ t ' 0 0 5 — 1 1 “ — P r P t n e a t s n o l b a i r C V } ) ) 4 4 ) ) / / 4 4 x x / / L L X x * 4 L L 3 3 = = = = \ “ x x ’ x x : : : : r ) e e e e , 4 v v v v ) / r r r r 4 x u u u u / L C C C C x 4 L 3 r r r r e e e e w w p p = = o p p o L U U L x x ( ( ( ( ( ( n n n n o o i i t t u u l l o o S S o o o o S S S S l l l l l l a a a a a a c c c c c c i i i i i i t t r r r r y y l l a a e e e e m m m m n n u u u u A A N N N N 0 0 - - — — - — 4 w r - V 4 2 x s d l e r r a L a K , p C m f = 2 r 3 3 x 3 ~ t a o o C s n e o i i t ; ) s , r u C ° 1 t r s u e . 4 r l p / o o x o u m o P - h ’ L S r 5 4 / 4 r m O h 3 l 2 2 = c a - W 2 ( a l . 0 - i m 5 0 . x e r r x C = , 8 m e e t m h d ° a i u T n 3 C = , T ° x 3 C L . 6 — ° — f , e ’ s = m = o 6 s e n C f / . W . . k p s p m 0 n N a t l n 4 a a / n t x o s L i n s - o n C e x m h = a . t b i a t a b i l m e n S l H A D a i w e e n n c O o n i a 8 t t 6 u s . b l 6 o u S S e r u g i F ( 3 ° ) e a n i o J e d u J e l 1 5 8 1 5 9 m e a s u r e m e n t s o v e r e a c h s t o r a g e i n t e r v a l . A g a i n , a n i n s u l a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n w a s i m p o s e d a t x - 0 . T h e i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s u s e d i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 4 . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 7 f o r t h e f i r s t r e p e t i t i o n u s i n g t h e s i n g l e l a y e r s l a b w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e , ( T e s t s l a ) , a n d i n F i g u r e E . 3 a , b f o r t h e s e c o n d t w o r e p e t i t i o n s ( T e s t s l b , c ) . I n a l l c a s e s t h e s o l u t i o n o b t a i n e d u s i n g i n c r e m e n t a l l y a v e r a g e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s y i e l d e d v e r y s i m i l a r v a l u e s a s t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . T h i s w a s e x p e c t e d , s i n c e t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n w a s u s e d d i r e c t l y i n e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . T h e t e m p e r a t u r e s o l u t i o n s o b t a i n e d u s i n g o v e r a l l a v e r a g e d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t s y i e l d e d s l i g h t l y l o w e r v a l u e s t h a n t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T o c o m p a r e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n w i t h t h e r e s u l t s o f t h e t w o l a y e r s l a b w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t s 2 a - c ) , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s s h o w n i n T a b l e 6 . 4 , c a l c u l a t e d u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r t h e s i n g l e l a y e r s l a b , w e r e u s e d . T h e t i m e i n c r e m e n t s f o r t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w e r e a d j u s t e d t o a c c o u n t f o r t h e l o n g e r s t o r a g e i n t e r v a l s ( 2 4 h o u r s ) u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s f o r t h e d o u b l e l a y e r s l a b , c o m p a r e d w i t h t h e i n t e r v a l s ( 1 8 h o u r s ) u s e d f o r t h e s i n g l e l a y e r s l a b . T h e i n i t i a l a n d a m b i e n t t e m p e r a t u r e s u s e d i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n w e r e b a s e d o n t h e a v e r a g e i n i t i a l a n d a m b i e n t t e m p e r a t u r e s f o r t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f t h e d o u b l e l a y e r s l a b . T h e s e v a l u e s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 5 . N u m e r i c a l s o l u t i o n s w e r e f o u n d a t L x / 4 ( x - 0 . 6 3 m ) a n d a t 3 - L x / 4 ( x - 0 . 1 8 8 m ) , a n d c o m p a r e d w i t h t e m p e r a t u r e s m e a s u r e m e n t a t a p - p r o x i m a t e l y t h e s a m e l o c a t i o n s i n t h e d o u b l e l a y e r s l a b c o n f i g u r a t i o n , d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 2 . T h e s e c o m p a r i s o n s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 8 , f o r t h e f i r s t r e p e t i t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l t e s t u s i n g t h e d o u b l e l a y e r s l a b , a n d i n F i g u r e s E . 4 a , b , f o r t h e s e c o n d t w o r e p e t i t i o n s o f t h e t e s t . 1 6 0 T a b l e 6 . 4 . S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s u s e d i n t h e N u m e r i c a l S o l u t i o n i n t h e C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f t h e S i n g l e L a y e r S l a b w i t h O n e E x p o s e d S u r f a c e ( T e s t s l a - c ) . S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t ( W / m 2 ° C ) T i m e T e s t 1 a T e s t l b T e s t 1 c A v e r a g e S t o r a g e I n t e r v a l l : 0 - 2 h r 1 2 . 3 1 1 1 . 9 0 1 2 . 0 0 1 2 . 0 7 2 - 4 h r 1 2 . 1 6 1 1 . 8 1 1 1 . 9 9 1 1 . 9 9 4 - 6 h r 1 1 . 1 8 1 1 . 0 9 1 0 . 7 8 1 1 . 0 1 6 - 8 h r 9 . 1 1 9 . 4 8 9 . 1 0 9 . 2 3 8 - 1 0 h r 7 . 8 1 7 . 8 5 7 . 5 5 7 . 7 4 1 0 - 1 2 h r 6 . 4 4 6 . 6 3 6 . 4 7 6 . 5 1 1 2 - 1 4 h r 5 . 6 5 5 . 9 3 5 . 8 8 5 . 8 2 l 4 - 1 6 h r 5 . 5 6 5 . 6 6 5 . 7 1 5 . 6 5 l 6 - 1 8 h r 5 . 4 9 5 . 4 5 5 . 5 8 5 . 5 1 S t o r a g e I n t e r v a l 2 : 1 8 - 2 0 h r 5 . 3 7 6 . 6 2 6 . 6 5 6 . 2 1 1 0 - 1 2 h r 7 . 3 4 9 . 2 0 9 . 4 6 7 . 4 4 1 2 - 1 4 h r 9 . 2 4 1 0 . 8 6 1 1 . 1 0 1 0 . 4 0 1 4 - 1 6 h r 9 . 5 6 1 0 . 8 6 1 0 . 9 1 1 0 . 3 8 A v e r a g e f o r S t o r a g e I n t e r v a l 1 : 7 8 . 4 1 8 . 4 2 8 . 3 4 8 . 3 9 A v e r a g e f o r S t o r a g e I n t e r v a l 2 : 8 . 3 7 9 . 7 3 9 . 9 3 9 . 3 4 I n i t i a l a n d S t o r a g e T e m p e r a t u r e s ( ° C ) T o - 3 3 . 0 - 3 1 . 2 - 3 1 . 5 - 3 l . 9 T - 6 . 0 - 6 . 0 - 5 . 9 - 6 . 0 0 , 1 T - 3 3 . 6 - 3 3 . 5 - 3 3 . 0 - 3 3 . 4 0 0 , 2 m 5 5 0 . 0 = x t a s r h 6 3 0 3 s r h 6 3 — 8 1 x L — . l ) a a t l n e t m s i e r T e ( p x e E c a o f t r u d S e r d a e p s m o 4 o p I . 2 C x n l o 6 , C ° S s 3 6 r - . h 3 = E x o e n t ) t O i n l 8 a 1 c 6 i r e m u N 3 , — 6 8 . 1 9 — m 4 . 7 . 5 5 3 s a r — r ) C ; s ° u l h o t S i u o w r 8 h l m ° ' h b a m ( 1 3 / 8 1 W 1 . 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T o t e s t t h e s e h y p o t h e s i s , t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n w a s f i r s t r e p e a t e d u s i n g T 1 f - - 0 . 7 ‘ C , i n s t e a d o f T 1 f - - l . 0 ° C , a s g i v e n b y G u t s c h m i d t ( 1 9 6 0 ) , t o d e t e r m i n e t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s . A l l o t h e r i n p u t v a l u e s f o r t h e n u m e r i c a l m o d e l r e m a i n e d u n c h a n g e d f r o m t h o s e u s e d f o r t h e s o l u t i o n s h o w n i n F i g u r e 6 . 8 . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s a t x - L x / 4 a n d x - 3 - L x / 4 a r e c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n F i g u r e 6 . 9 . 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T h e s e c o n d e x p l a n a t i o n , p r o p o s e d t o e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , w a s t h a t t h e a s s u m p t i o n o f l a g t . n n ) r i e a * 1 z m 2 e i e r t r s e F p e x T l E ( a i o e t t c i a n d f s r h 1 e r I r u s r h 8 g a S 4 8 - 4 n p i m d s o e — u C s x L 4 2 o p , , n ) x = E 4 2 , C ° . 9 2 — , x 4 2 fi . — ) 2 t l O 0 ( a 1 o o 1 i 8 t e 9 u n 1 S h . 1 t l i a r e a e l m t S u h C C . ; 6 1 ° a w s ° 7 r c . m ’ ; h i b t . m s ) ) m m ) ) 0 5 / r m m 4 h - 2 W 2 . ( 3 8 3 8 6 8 6 8 0 1 = — i N c r 0 4 0 1 0 - . 2 e e . . f — f p l y 0 0 0 0 . . - = = - i c - — e T , ° 0 o 9 C C , a S a n L = = ° , x o y x t a ( ( x x t i b e . L , n 5 s l 0 r 5 i . . e ( ( 2 , n b n s s t t n n l l o o i i o f 6 b 5 P - — a s — l n 1 g = . t S a e u e m v o i i D u u = D G s s u u t t e e n r i f T 2 1 l l . 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T h e c o n t a i n e r w h i c h h e l d t h e m e t h y l - c e l l u l o s e p a p e r b o a r d b o x e s w a s d e s i g n e d t o l i m i t t h e h e a t f l o w a t t h e u n e x p o s e d s u r f a c e s t o l e s s t h a n 1 % o f t h e e x p e c t e d h e a t t r a n s f e r r a t e a t t h e e x p o s e d s u r f a c e , a s s u m i n g e q u a l s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f - f i c i e n t s o n a l l s i d e s o f t h e c o n t a i n e r . H o w e v e r , t h e b o t t o m o f t h e c o n t a i n e r r e s t e d o n a s t a i n l e s s s t e e l c a r t ( h i g h c o n d u c t i v i t y ) , s o t h a t i n t h e e x t r e m e c a s e o f p e r f e c t c o n d u c t a n c e b e t w e e n t h e c o n t a i n e r a n d t h e c a r t , t h e b o t t o m o f t h e c o n t a i n e r m a y h a v e b e e n a t t h e a m b i e n t t e m p e r a - t u r e . 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T h e e x p e r i m e n - t a l d a t a ( S e c t i o n 4 . 5 , T e s t s 3 a - c ) w a s c o m p a r e d w i t h t w o d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s o l u t i o n u s i n g v a r i a b l e t h e r m a l p r o p e r t i e s . 6 . 3 . 1 V e r i f i c a t i o n o f T w o D i m e n s i o n a l M o d e l . T h e o n e d i m e n i s o n a l n u m e r i c a l m o d e l , u s e d i n v e r i f y i n g t h e t w o d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l m o d e l , w a s s h o w n t o a p p r o x i m a t e t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n e x c e l l e n t l y , u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , i n S e c t i o n 6 . 2 . 1 . T h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l w a s c o m p a r e d w i t h t h e o n e d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l m o d e l f o r t w o r e a s o n s : ( 1 ) t o v e r i f y t h e a c c u r a c y o f t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l ; a n d ( 2 ) t o s h o w t h a t t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l m a y b e r e d u c e d t o t h e o n e d i m e n s i o n a l m o d e l . T h e g e o m e t r y o f t h e p r o b l e m c o n s i d e r e d h e r e w a s b a s e d o n t h e g e o m e t r y u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s f o r T e s t s 3 a - c . A r e c t a n - g u l a r r o d , m e a s u r i n g 0 . 2 5 m b y 0 . 2 7 m , w i t h p e r f e c t l y i n s u l a t e d s u r f a c e s a l o n g t h e t h i r d d i m e n s i o n w a s c o n s i d e r e d i n t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l . A s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m z ‘ C w a s a l t e r n a t e l y i m - p o s e d a l o n g t w o o f t h e r e m a i n i n g p a r a l l e l s u r f a c e s , a n d a n i n s u l a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n w a s i m p o s e d a l o n g t h e o t h e r t w o s u r f a c e s . T h e i n i t i a l t e m p e r a t u r e w a s - 3 3 ° C , a n d t h e s i m u l a t e d a m b i e n t c o n d i t i o n s w e r e t a k e n t o b e ~ 6 ’ C f r o m 0 - 4 8 h o u r s , a n d - 3 3 ° C f r o m 4 8 t o 9 6 h o u r s . T h e s e w e r e t h e s a m e s t o r a g e t i m e i n t e r v a l s u s e d i n T e s t s 3 a - c . F i r s t , t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s i m p o s e d a t x - 0 . 2 5 m , a n d t h e s u r f a c e a t y - 0 . 2 7 m w a s t a k e n t o b e i n s u l a t e d . T h i s s o l u t i o n w a s c o m p a r e d w i t h t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n u s i n g a s l a b , 0 . 2 5 m i n t h i c k n e s s , w i t h a s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m z ’ C a t x - 0 . 2 5 m , a n d a n i n s u l a t e d c o n d i t i o n a t x - 0 . 0 m . R e s u l t s a r e s h o w n i n 1 7 1 F i g u r e 6 . 1 2 s . A s i m i l a r c o m p a r i s o n w a s m a d e u s i n g a s u r f a c e h e a t t r a n s - f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 1 W / m 2 ° C a l o n g t h e s u r f a c e a t y - 0 . 2 7 m , a n d a n i n s u l a t e d c o n d i t i o n o n a l l o t h e r s u r f a c e s , a s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l , a n d s i m i l a r b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( h y - 0 , a t y - 0 ; b y - 8 . 5 W / m Z ' C , a t y - 0 . 2 7 m ) , w i t h y - 0 . 2 7 m , f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l m o d e l , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 2 b . i n b o t h i n s t a n c e s , t h e s o l u t i o n s p r o v e d t o b e i d e n t i c a l , w h i c h d e m o n s t r a t e s t h a t t h e t w o d i m e n - s i o n a l n u m e r i c a l s o l u t i o n m a y b y r e d u c e d t o t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , a n d t h a t , s i n c e t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n a c c u r a c y w a s p r e v i o u s l y v e r i f i e d ( S e c t i o n 6 . 2 . 1 ) , t h e t w o d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s o l u t i o n i s a c c u r a t e . 6 . 3 . 2 C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t a l R e s u l t s . T h e t w o d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l h e a t c o n d u c t i o n p r o g r a m w a s c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s u s i n g t h e t r i p l e l a y e r , t w o d i m e n s i o n a l c o n f i g u r a t i o n ( T e s t s 3 a - c ) , s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 . N u m e r i c a l s o l u t i o n s w e r e f o u n d u s i n g t h e s a m e g e o m e t r y f o r t h e c o n f i g u r a t i o n u s e d i n T e s t s 3 a - c ( L x - 0 . 2 5 m , L y - 0 . 2 2 m ) , w i t h i n s u l a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s i m p o s e d a l o n g t h e s u r f a c e s a t x - 0 , a n d y - 0 . T h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s s h o w n i n T a b l e 6 . 4 w e r e u s e d a s i n p u t f o r t h x a n d h y L y i n t h e n u m e r i c a l m o d e l , ( t h x a n d h y L y w e r e c o n s i d e r e d t o b e e q u a l ) . S i n c e t h e s t o r a g e i n t e r v a l u s e d f o r t h e e x p e r i m e n t a l t e s t s w a s l o n g e r t h a n e i t h e r o f t h e o n e d i m e n s i o n a l t e s t s ( T e s t l a - c a n d T e s t 2 a - c ) , t h e t i m e i n c r e m e n t f o r t h e l a s t h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f e a c h s t o r a g e i n t e r - v a l , s h o w n i n T a b l e 6 . 4 , w a s a d j u s t e d t o a c c o u n t f o r t h e l o n g e r s t o r a g e t i m e o f t h e t w o d i m e n s i o n t e s t s . T h i s w a s d o n e o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s , s h o w n i n F i g u r e s 6 . 4 a - c , a p - p r o a c h a c o n s t a n t v a l u e a t t h e e n d o f e a c h s t o r a g e p e r i o d . ( T h e s u d d e n 2 . 0 = = = x y Y L L 6 9 s r u h t i w n l o a i c t i u r l e o m S u N L 2 o T l : : . . m m i i D D h 7 6 9 a l c a i n r o e i - m s 2 1 8 ) x L 4 , u n N e m l i a D ) C ) n 0 - = = x x ( ( ° o e s 3 i n 3 - r s O u n o e h e ; h e a r t f ) L n r 0 - C r c ) x e u : C S = ; ; ( x : 1 s T 8 4 ( D w ° m t . i i C u o 2 o , m h w / 0 e ° 0 . m T . W 8 i 0 f 1 0 0 . . 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A t i m e s t e p o f 6 0 s e c o n d s w a s u s e d , w i t h a s p a t i a l i n c r e m e n t o f 0 . 0 1 6 m , f o r A x , a n d 0 . 0 1 7 m f o r A y , b a s e d o n t h e a n a l y s i s g i v e n i n S e c t i o n 5 . 1 . 5 . T h e r m a l p r o p e r t i e s , g i v e n b y G u t s c h m i d t ( 1 9 6 0 ) a n d S p e c h t e t . a 1 . ( 1 9 8 1 ) w e r e a g a i n u s e d t o d e t e r m i n e t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s b e l o w t h e i n i t i a l f r e e z i n g p o i n t . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 3 f o r t h e f i r s t r e p e t i t i o n u s i n g t h e t r i p l e l a y e r c o n f i g u r a t i o n w i t h t w o e x p o s e d s u r f a c e s ( T e s t 3 a ) , a n d i n F i g u r e s E . 5 a , b , f o r t h e s e c o n d t w o r e p e t i t i o n s o f t h e t e s t . S i m i l a r r e s u l t s w e r e f o u n d i n a l l r e p e t i t i o n s . T h e s e r e s u l t s h a v e t h e s a m e c h a r a c t e r i s t i c s a s t h e r e s u l t s f o u n d f o r t h e d o u b l e l a y e r s l a b c o n - f i g u r a t i o n w i t h o n e e x p o s e d s u r f a c e ( T e s t 2 a — c ) , s h o w n i n F i g u r e s 6 . 8 , a n d E . 4 a , b . T h e t e m p e r a t u r e s a t t h e l o c a t i o n n e a r e s t t h e s u r f a c e ( x - 0 . 1 9 m , y - 0 . 2 2 5 m ) w e r e u n d e r - e s t i m a t e d d u r i n g t h e f i r s t s t o r a g e i n t e r v a l , a n d o v e r - e s t i m a t e d d u r i n g t h e s e c o n d s t o r a g e i n t e r v a l . A t t h e e n d o f 4 8 s i m u l a t e d s t o r a g e h o u r s , t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n g a v e t e m p e r a - t u r e s 1 . 5 C ° l o w e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a t t h e s a m e t i m e a n d l o c a t i o n . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n v a r i e d l e s s t h a n 1 C ? f r o m t h e e x - p e r i m e n t a l v a l u e s a t t h e l o c a t i o n x - 0 . 0 6 3 m , y - 0 . 0 3 5 m . A s w a s f o u n d i n t h e c o m p a r i s o n s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 8 a n d E . 4 a , b , t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n p r e d i c t e d a s m a l l e r v a r i a t i o n i n t e m p e r a t u r e b e t w e e n t h e l o c a - t i o n s s h o w n , t h a n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . T h e l a t t e r t w o h y p o t h e s i s 6 9 2 7 ) I m l . a ) t a n 3 e m t i s r e e T p ( x E s e o c t a f d r e u r S a p d m e o s C o p n x o E i t o 5 ) u w 3 s 0 . 0 r u l T o S h t o l i = h a w 8 r ( c : 4 l e y i b , e l r a d e m m S m u 3 6 i 0 T . I 0 N r e l y a a n L o = i e x ( s t s l n p e i m r i T D o M l a C c ° i 9 r . e 7 m 2 u - N — r o f = l u m 4 I e s r r u e t t a e r m e a p m s 2 e R . r o o w r T f s e 3 t p x E I 1 l . u 6 s r e a e T . g e R r P v A u l t a u i p t i n n I I e — e g i F ( 3 ° ) e J n 1 o J e d u i e i A m b . T e m p . = — 6 . 1 ° C , 0 — 4 8 h r s ; - 2 9 . 3 ° C , 4 8 — 9 6 h r s V a r . h x = b y = 1 2 1 — 5 . 5 , 0 — 4 8 h r s ; 7 . 7 — 1 0 . 4 h r s H e a t T r a n s . C o e f . ( W / m ’ ° C ) , h x , h y , a t x = L x . y = L y x = L o c a t i o n a l o n g X — a x i s ( L x = 0 . 2 5 m ) y = L o c a t i o n a l o n g Y - a x i s ( L y = 0 . 2 7 m ) - - N u m e r i c a l S o l u t i o n ( x = 0 . 1 9 m , y a 0 . 2 2 m ) — - N u m e r i c a l S o l u t i o n ( x = 0 . 0 6 3 m , y - 0 . 0 3 5 m ) e — e A v g . E x p e r . R e s u l t s ( x = 0 . 1 9 m , y = 0 . 2 2 m ) 1 7 5 1 7 6 p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 2 . 2 w e r e p r o p o s e d a s e x p l a n a t i o n s f o r t h e r e s u l t s . I n t h e f i r s t c a s e , t h e a s s u m p t i o n o f n e g l i g i b l e i n f l u e n c e d u e t o t h e p a c k a g i n g i n t e r f a c e w a s h y p o t h e s i z e d t o b e i n v a l i d . T h i s h y p o t h e s i s w a s t e s t e d i n t h e s a m e m a n n e r a s w a s d o n e i n S e c t i o n 6 . 2 . 2 . A n i n s u l a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n w a s i m p o s e d a t t h e p a c k a g i n g i n t e r f a c e a r o u n d t h e c o r n e r m e t h y l - c e l l u l o s e b o x ( x - 0 . 1 3 , y - 0 . 1 8 m ) , a n d t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n w a s r e p e a t e d u s i n g a l l o t h e r i n p u t v a l u e s a s b e f o r e . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 4 . A s w a s f o u n d i n t h e o n e d i m e n s i o n a l c o m - p a r i s o n ( F i g u r e 6 . 1 0 ) , t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f e l l b e t w e e n t h e t w o n u m e r i c a l s o l u t i o n s w i t h a n d w i t h o u t t h e i n s u l a t e d c o n d i t i o n a t t h e p a c k a g i n g i n t e r f a c e . T h i s i n d i c a t e d t h a t t h e r e s i s t a n c e d u e t o t h e p a c k a g i n g i n t e r f a c e w a s g r e a t e r t h a n z e r o , b u t l e s s t h a n i n f i n i t y , a g a i n s u p p o r t i n g t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e a s s u m p t i o n o f n o r e s i s t a n c e t o h e a t f l o w b y t h e p a c k a g i n g m a t e r i a l w a s i n v a l i d . T h e t h i r d h y p o t h e s i s , p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 2 . 2 , t h a t t h e a s s u m p - t i o n o f p e r f e c t i n s u l a t i o n a t t h e i n t e r i o r b o u n d a r i e s ( x - 0 , y - 0 ) w a s i n v a l i d , w a s t e s t e d b y i m p o s i n g a s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 1 W / m 2 ° C a l o n g t h e t h e s e b o u n d a r i e s . A g a i n , s i m i l a r r e s u l t s w e r e o b t a i n e d a s w a s f o u n d i n S e c t i o n 6 . 2 . 2 . T h e e s t i m a t e d t e m p e r a t u r e s a r e c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n F i g u r e 6 . 1 5 . T h e s o l u t i o n n e a r e s t t h e i n t e r i o r b o u n d a r y ( x - 0 . 6 3 m , y - 0 . 3 5 m ) o v e r - e s t i m a t e d t h e e x p e r i m e n - t a l r e s u l t s d u r i n g t h e f i r s t s t o r a g e p e r i o d a n d o v e r e s t i m a t e d t h e r e s u l t s d u r i n g t h e s e c o n d s t o r a g e p e r i o d . C o m p a r i n g F i g u r e s 6 . 1 3 a n d 6 . 1 5 , t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s a t x - 0 . 6 3 m , y - 0 . 3 5 m , w e r e b o u n d e d b y t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s u s i n g a n i n s u l a t e d c o n d i t i o n a n d a s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f l W / m Z ’ C a t t h e b o u n d a r y a t x - 0 , y - 0 . T h i s a g a i n s u p p o r t s t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a t t h e i n t e r i o r b o u n d a r i e s w a s s o m e w h a t g r e a t e r t h a n z e r o . 6 9 o w T h t e t u c i o a w h f t b r i e a w t l n S d I n r s r h 6 9 — 8 4 , ‘ ' s y r L h = y 4 2 a g e 7 n y h i a t g L i a w e k c l a p m 8 , 1 m . I 0 8 n P i o r i t T a . t = 1 , m 0 x 1 y . ) u l n o 0 s L o o r - = , = ) ) 7 y m r S i f x m u t C m . ° 3 . 9 2 7 3 , o t a 5 m 7 1 h l s i a t d ; . 2 2 , s . 0 . 3 y - 0 r 0 1 8 n c l I 4 i o u ( r C s e e — h h . x . 0 e r m y ) = = u r a t = m : l e d o M 3 ; , 8 s x x a N a l r h 4 x y i d a ° 8 ) i s s - t T L L n l t n t , 0 i I ( ( o a u s a n t a n T o B m n e o e l h a C c m 7 2 N - , C r o f 1 e . 6 — s r r u e t t a = e r m . e a p p r m 9 4 C , o ( r i i l i i . — ° 5 u i x s d r e t x ’ s . a a n s e e u — I 0 a m 5 n l = ° 2 g g o l / - X s Y — u e e t p m c a x W s t a n i l E ( D u f 1 u I t 1 h h n n u T . o n u t o o t t s 2 f e w I S l l i i 4 s o r e R w w T d = a a o C . s . . . e r e d e d y n n n n r h o o l l e i p o o i t t S S x 4 s a s 1 o p o . m p p n = a a E 6 m x o a ‘ c c . . 7 I E C m r a e e P T T l t a . u i p t b i n m n I I A x T o o m m e . h L L u u g v N N A t . a = = r u g r i e a - e - H x V y — F — — o ( 3 ° ) e a n o J e d L u e i 1 7 7 6 9 b a l S r - e ' y o a y L h e - l p o i x r h T h m t o i r w f , s n t o l i u t s u e 2 I 7 — ‘ s r h 6 9 — 8 4 y ) . s ) l r , ) L - r ) s ) o h m m S l a r C ° 3 . : 9 e d o M y 4 . . 0 x ) a 3 m 5 l t m u 5 3 a n t o 3 2 0 1 0 2 h L . 2 I 8 - 2 . - ) ( ) 0 4 . c e s i m e r i T e r ( m e u p l x 7 . 0 m m - 2 0 . ~ t 7 = y O y 5 = a y 7 e 0 = ; m s e . , N x ; 2 y , 2 s s r l h a C c i r ° 8 9 4 . e - 7 m 0 u 2 N — , C r = ° , - . r 0 , m y 0 m , h h m i E c y m l a - - 3 3 T , 8 , 9 6 x 0 9 6 h y 1 4 x 0 1 T a o f n t r 0 o u - . - . L . L ' ( ( . 0 0 0 i d S , 0 ) 0 s e - = - C , x x x s = s = n r d i i x x e a e ' 5 ( ( , x ( ( x a . C a a m / W 5 - s s ' - n n - X Y a o o t t m p s i m o D o p o 1 l l C x f 1 e . 6 — s r r u e t t a = e r m . e a p p r m ( m i i 4 I u u o E 2 g g t t / s s 2 1 , n n u u w . W e e o o l l f R R l l o o e 0 - a a S S o . C 1 . . y n n r r l l T C o “ w 2 T 5 m h o e e o 1 / h . I a a I i p p i s c c t t x x n - a o a a i i E E r y c r r r c . W t 6 i 1 w m x a e e P T T l T o o e e e h . . h L L m m r g g t u u v v u . , a - N N - A A r e h g i F t a a . u i t b H t x V y - e p — i n m n I I A ' _ 0 . 5 _ — — - e H . . 4 0 - " C 0 0 ° - . 5 0 5 2 3 3 “ - ‘ ( 3 ° ) G J I ’ I I D J S d U J e i 1 O i n | 1 7 8 1 7 9 T h e r e f o r e , t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 1 4 a n d 6 . 1 5 s u g g e s t t h a t b o t h a s s u m p t i o n s o f n e g l i g i b l e i n t e r n a l p a c k a g i n g r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r , a n d p e r f e c t l y i n s u l a t e d i n t e r i o r b o u n d a r i e s w e r e i n v a l i d , s u p p o r t i n g t h e r e s u l t s f o u n d i n S e c t i o n 6 . 2 . 2 . T h i s a g a i n i n d i c a t e s t h a t t h e r e i s a n n e e d f o r f u r t h e r s t u d y i n e s t i m a t i n g t h e r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r d u e t o t h e p a c k a g i n g i n t e r f a c e . 1 8 0 6 . 4 E f f e c t s o f t h e M a g n i t u d e o f t h e A c t i v a t i o n E n e r g y C o n s t a n t o n t h e M a s s A v e r a g e Q u a l i t y H i s t o r y T h e d e g r e e o f t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f q u a l i t y d e g r a d a t i o n i s d e p e n d e n t o n t h e m a g n i t u d e o f t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( E a ) ; t y p i c a l v a l u e s f o r f o o d p r o d u c t s r a n g e f r o m 4 0 t o 2 0 0 k J / m o l e ( B o n n e r , e t . a l . , 1 9 8 4 ) . T w o q u a l i t y c r i t e r i a a r e c o m m o n l y u s e d t o d e t e r m i n e t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t : ( 1 ) H i g h Q u a l i t y L i f e ( H Q L ) , a n d ( 2 ) P r a c t i c a l S t o r a g e L i f e ( P S L ) . H i g h Q u a l i t y L i f e i s d e f i n e d a s t h e l e n g t h o f p r o d u c t s t o r a g e t i m e u n t i l a d e t e c t a b l e c h a n g e i n f r o z e n f o o d q u a l i t y e x i s t s w h e n c o m p a r e d t o t h e s a m e p r o d u c t s t o r e d a t c o n d i t i o n s w h e r e q u a l i t y c h a n g e i s l i m i t e d . P r a c t i c a l S t o r a g e L i f e i s d e f i n e d a s t h e l e n g t h o f p r o d u c t s t o r a g e t i m e u n t i l t h e f r o z e n f o o d h a s u n a c c e p - t a b l e q u a l i t y ( S c o t t , e t . a l . , 1 9 8 4 ) . A c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s r e p o r t e d f o r H Q L a r e g e n e r a l l y h i g h e r t h a n t h o s e r e p o r t e d f o r P S L ( B o n n e r , e t . a l . , l 9 8 4 ) . T h e e f f e c t s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( E a ) o n t h e m a s s a v e r a g e r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n w a s d e m o n s t r a t e d b y c o m p a r i n g t h e p r e d i c t e d m a s s a v e r a g e q u a l i t y h i s t o r i e s f o r a r a n g e o f v a l u e s o f E a . O n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r w a s c o n s i d e r e d t h r o u g h a r e c t a n g u l a r l y s h a p e d p r o d u c t m a s s , m e a s u r i n g t w o m e t e r s i n t h e d i r e c t i o n o f h e a t t r a n s f e r , a n d i n i t i a l l y a t a u n i f o r m t e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C . A s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m 2 ° C w a s i m p o s e d o n t h e b o u n d a r i e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f h e a t f l o w , a n d a l l o t h e r b o u n d a r i e s w e r e c o n s i d e r e d t o b e p e r f e c t l y i n s u l a t e d . T h e h y p o t h e t i c a l f o o d p r o d u c t w a s s u b j e c t t o s t o r a g e c o n d i t i o n s o f 1 0 0 d a y s a t - 5 ° C . T h e t h e r m a l p r o p e r t i e s o f s t r a w b e r r i e s w e r e u s e d i n g e n e r a t i n g t h e t e m p e r a - t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s . T h e s e v a l u e s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 6 . N o t e t h e t h e r m a l p r o p e r t i e s g i v e n f o r s t r a w b e r r i e s a r e v e r y s i m i l a r t o t h o s e 1 8 1 T a b l e 6 . 6 T h e r m a l P r o p e r t i e s o f U n f r o z e n S t r a w b e r r i e s . D e n s i t y T h e r m a l S p e c i f i c 3 C o n d u c t i v i t y H e a t ( k s / m ) ( i i / m m ) ( k J / k s ‘ m 1 0 4 0 0 . 5 4 3 . 9 3 ( H e l d m a n , 1 9 8 2 ) 1 8 2 g i v e n f o r t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e . Q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s w e r e d e t e r m i n e d u s i n g a h y p o t h e t i c a l r e f e r e n c e s h e l f - l i f e o f 5 0 0 d a y s , a n d a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s r a n g i n g f r o m 2 0 t o 2 0 0 k J / m o l e . T h e r e s u l t i n g q u a l i t y w a s e x p r e s s e d a s a p e r c e n t o f t h e i n i t i a l s h e l f - l i f e a t t h e r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e , i n t h i s e x a m p l e , 5 0 % q u a l i t y w o u l d m e a n t h e p r o d u c t w o u l d h a v e 5 0 % o f 5 0 0 d a y s , o r 2 5 0 d a y s r e m a i n i n g s t o r a g e l i f e a t - 1 8 ’ C ( r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e ) . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 6 f o r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s o f 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 1 0 0 , 1 2 0 , 1 4 0 , 1 6 0 , 1 8 0 , a n d 2 0 0 k J / m o l e . A n a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f z e r o i n d i c a t e s n o t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e f o r t h e r a t e c o n s t a n t , a n d w a s u s e d a s t h e b a s e l i n e f o r c o m p a r i s o n . F r o m F i g u r e 6 . 1 6 , p r o d u c t s w i t h a c - t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s o f s i x t y o r l e s s h a v e l i t t l e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e , p r o d u c t s w i t h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s f r o m 6 0 - 1 0 0 k J / m o l e h a v e m o d e r a t e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e , a n d p r o d u c t s w i t h E a g r e a t e r t h a n 1 0 0 k J / m o l e h a v e h i g h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e . S t r a w b e r r i e s w e r e c h o s e n a s t h e f o o d p r o d u c t c o n s i d e r e d i n a l l o f t h e s u b s e q u e n t q u a l i t y a n a l y s i s , s i n c e t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e f o r t h e H Q L a n d P S L c r i t e r i a c o v e r b o t h e x - t r e m i t i e s o f t h e r a n g e f o r t y p i c a l f o o d p r o d u c t s . G u a d a g n i ( 1 9 6 9 ) r e p o r t e d a n a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( E a ) o f 1 8 2 . 3 7 k J / m o l e , w i t h a r e f e r e n c e s h e l f l i f e o f 6 3 0 d a y s a t - 1 8 ° C f o r H Q L o f b u l k f r o z e n s t r a w - b e r r i e s . T r e s s l e r , e t . a 1 . ( 1 9 5 7 ) , r e p o r t e d a n a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 4 9 . 1 3 k J / m o l e , a n d a r e f e r e n c e s h e l f l i f e o f 5 4 0 d a y s a t - l 8 ° C f o r t h e P S L o f s l i c e d f r o z e n s t r a w b e r r i e s . T h e k i n e t i c p r o p e r t i e s f o r s t r a w b e r r i e s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 7 . C ° 8 1 — C ° ’ m / t m W a 0 5 s . . y 2 8 a d = = 0 x x 0 L h 5 = e f i L — f l e h S . f e R 0 0 1 0 8 a t E c . u C d ° o 5 r - , t n a P t t s a a n o r e C o g f a y r g o , r t e e S t n a E R n i n n o o s i i y t a t a a d 0 v r 6 i o 0 ) s t i 0 c r 1 y A e a t o d ( e m f e t o D d e y e d t s u i o t l p i i a x 0 T 4 n u E g Q a , M d C o ' f 0 o o F 3 - t n c t o e a f , f y ) E l e l l 0 o a 2 6 m i 1 / t . J i 6 n k ( I e r u g i F 4 - 0 4 0 8 6 0 - 0 2 ( 2 ) 4 1 1 1 0 0 0 1 0 0 E 0 E a E a E a E a E a E 0 E 0 E a E a E a 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 0 1 0 0 . 0 1 2 0 . 0 1 4 0 . 0 1 6 0 . 0 1 8 0 . 0 2 0 0 . 0 4 0 - I I E I I I I I I I I 1 8 3 1 8 4 T a b l e 6 . 7 K i n e t i c P r o p e r t i e s o f F r o z e n S t r a w b e r r i e s . A c t i v a t i o n R e f e r e n c e R e f e r e n c e S h e l f E n e r g y C o n s t a n t S h e l f L i f e L i f e T e m p e r a t u r e ( k J / m o l e ) ( d a y s ) ( ° C ) 1 H Q L C r i t e r i o n 1 8 2 . 3 7 6 3 0 . 0 - 1 8 2 P S L C r i t e r i o n 4 9 . 1 3 5 4 0 . 0 - 1 8 l . G u a d a g u i , 1 9 6 9 . 2 . T r e s s l e r , 1 9 5 7 . 1 8 5 6 . 5 E f f e c t s o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y H i s t o r i e s o f F r o z e n F o o d s d u r i n g S t o r a g e . V a r i a t i o n s i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s , s u c h a s s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s , o r a c h a n g e i n t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , c a n c h a n g e t h e r a t e o f h e a t t r a n s f e r , w h i c h c o n s e q u e n t l y , c h a n g e t h e t e m - p e r a t u r e h i s t o r y o f t h e f o o d p r o d u c t . S i n c e q u a l i t y d e g r a d a t i o n w a s a s s u m e d t o b e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t ( E q . 3 . 4 9 ) , v a r i a t i o n s i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s w i l l a l s o a f f e c t t h e q u a l i t y p r o f i l e w i t h i n t h e p r o d u c t . I t w a s d e s i r e d t o d e t e r m i n e u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r y w a s a f f e c t e d t h e m o s t . S e v e r a l d i f f e r e n t p a r a m e t e r s a f f e c t i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e i n v e s t i g a t e d : ( 1 ) t h e m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ; ( 2 ) t h e s t o r a g e t i m e i n t e r v a l f o r s t e p c h a n g e s i n t h e a m b i e n t s t o r a g e t e m p e r a t u r e ; a n d , ( 3 ) t h e m a g n i t u d e o f t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e , a n d t h e a m p l i t u d e o f s t e p c h a n g e s i n t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e . O n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a r e c t a n g u l a r l y s h a p e d f o o d p r o d u c t o f t h i c k n e s s , L x , e q u a l t o 2 . 0 m , w a s c o n s i d e r e d . T h e i n i t i a l t e m p e r a t u r e w a s u n i f o r m a n d e q u a l t o - 3 0 ° C i n a l l c a s e s . T h i s m i g h t c o r r e s p o n d t o a p a l l e t l o a d o f f r o z e n f o o d s w i t h t w o n o n - a d j a c e n t e x — p o s e d o u t e r s u r f a c e s , a n d p e r f e c t l y i n s u l a t e d o n a l l o t h e r s i d e s . T h e t o t a l s i m u l a t e d s t o r a g e t i m e w a s s e t a t 1 0 0 d a y s . F r o m T a b l e s 5 . 4 a , b , o n l y o n e e i g e n v a l u e w a s f o u n d t o b e s i g n i f i c a n t a f t e r a p p r o x i m a t e l y t w o h o u r s , a n d t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n f o r t h e f i r s t e i g e n v a l u e w a s v e r y a c c u r a t e , e v e n f o r l a r g e A x ( F i g u r e 5 . 1 ) . T h e r e f o r e , o n l y 2 5 n o d e s ( A x - 0 . 0 4 2 m ) w e r e u s e d f o r t h e l o n g s t o r a g e t i m e s o l u t i o n s . A t i m e s t e p o f 3 6 0 0 s e c o n d s w a s u s e d ; t h i s v a l u e i s n e a r t h e u p p e r e n d o f t h e a c c u r a c y c r i t e r i o n , s h o w n i n T a b l e ( 5 . 5 ) , f o r t h e r m a l p r o p e r t i e s e v a l u a t e d a t - 1 2 ° C , a n d i t i s m u c h h i g h e r t h a n t h e 1 8 6 t i m e s t e p c r i t e r i o n r e q u i r e m e n t f o r n o o s c i l l a t i o n s ( T a b l e s 5 . 2 a , b ) . U s e o f t h i s t i m e s t e p a n d s p a t i a l i n c r e m e n t w a s j u s t i f i e d b y c o m p a r i s o n w i t h r e s u l t s u s i n g 3 2 n o d e s a n d a t i m e s t e p o f 6 0 0 s e c o n d s . N o d i f - f e r e n c e i n t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r y w a s f o u n d a f t e r 5 0 h o u r s o f s i m u l a t e d s t o r a g e t i m e a t - 5 ° C , w i t h t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f - f i c i e n t , h x , e q u a l t o 8 . 5 W / m 2 ° C . T h e i n f l u e n c e o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t w a s d e m o n s t r a t e d u s i n g a s i n g l e s t o r a g e i n t e r v a l a t - 5 ° C f o r 1 0 0 d a y s . T h e e f f e c t s o f s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s w e r e i n v e s - t i g a t e d u s i n g n i n e d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s o f s t o r a g e t e m p e r a t u r e s a n d s t o r a g e t i m e i n t e r v a l s . T h e s e n i n e c a s e s a r e d e f i n e d i n T a b l e 6 . 8 , a n d w i l l b e r e f e r r e d t o b y t h e i r r e s p e c t i v e c a s e n u m b e r , f o r e x a m p l e , C a s e 1 r e f e r s t o f l u c t u a t i n g s t o r a g e c o n d i t i o n s b e t w e e n o n e d a y s t o r a g e p e r i o d s a t - 5 ’ C , a n d t e n d a y s t o r a g e p e r i o d s a t - 3 0 ° C , f o r a t o t a l o f 1 4 s t o r a g e p e r i o d s o v e r 1 0 0 d a y s . 6 . 5 . 1 I n f l u e n c e o f t h e S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y D i s t r i b u t i o n H i s t o r i e s . T h e e f f e c t s o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ( h x ) o n t h e t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i b u t i o n s w i t h i n a f r o z e n f o o d p r o d u c t w e r e d e m o n s t r a t e d b y s i m u l a t i n g s t o r a g e c o n d i t i o n s b y u s i n g t h e e x t r e m e r a n g e o f v a l u e s f o r h x f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e ( D a g e r s k o g , 1 9 7 4 , a n d Z a r i t z k y , 1 9 8 2 ) . F o r t h e u p p e r l i m i t o f t h e r a n g e , h x - 2 0 W / m Z ’ C w a s s e l e c t e d , a n d f o r t h e l o w e r l i m i t , h x - l W / m 2 ° C w a s u s e d . O n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r w a s s i m u l a t e d i n a p r o d u c t , i n i t i a l l y a t - 3 0 ° C , a n d s u b j e c t t o s t o r a g e f o r 1 0 0 d a y s a t - 5 ° C . R e s u l t s o b t a i n e d u s i n g h x - 2 0 W / m 2 ° C a n d h x - l W / m 2 ° C w e r e c o m - p a r e d w i t h t h e r e s u l t s f o u n d w i t h h x - 8 . 5 W / m 2 ° C . ( T h i s i s t h e o v e r a l l 1 8 7 T a b l e 6 . 8 D e f i n i t i o n o f B o u n d a r y C o n d i t i o n C a s e s , w i t h S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o v e r G i v e n S t o r a g e I n t e r v a l . H i g h S t o r a g e L o w S t o r a g e T e m p e r a t u r e P e r i o d T e m p e r a t u r e I n t e r v a l ( ’ C ) ( d e w ) ( ° C ) ( d a y s ) C a s e 1 - 5 l - 3 0 1 0 C a s e 2 - 5 5 ~ 3 0 1 0 C a s e 3 - 5 1 0 - 3 0 1 0 C a s e 4 - 5 - 1 8 1 0 C a s e 5 - 5 - 1 8 1 0 C a s e 6 - 5 1 0 - 1 8 1 0 C a s e 7 - 1 3 - 1 8 1 0 C a s e 8 - 1 3 — 1 8 1 0 C a s e 9 - 1 3 1 0 - 1 8 1 0 1 8 8 a v e r a g e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t d e t e r m i n e d f r o m t h e e x p e r i m e n - t a l r e s u l t s , d e s c r i b e d i n S e c t i o n 6 . 1 . 2 . ) T h e e f f e c t s o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o n t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r y a t t h e e x p o s e d s u r f a c e a n d a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 7 . T h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l b e t w e e n t h e t w o s u r f a c e s w a s v e r y s m a l l f o r h x - 1 . 0 W / m 2 ° C , c o m p a r e d w i t h t h e r e s u l t s s h o w n f o r h x - 8 . 5 W / m z ’ C , a n d h x - 2 0 . 0 W / m Z ‘ C , d u r i n g t h e f i r s t 2 0 d a y s o f t h e s i m u - l a t e d s t o r a g e p e r i o d . H o w e v e r , a s t h e m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s i n c r e a s e d , t h e s o l u t i o n a p p r o a c h e d l u m p e d s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s ( c o n s t a n t t e m p e r a t u r e w i t h t i m e a n d p o s i t i o n ) f a s t e r . I n a d d i t i o n , t h e s h a p e o f t h e c u r v e s c h a n g e d d r a m a t i c a l l y b y i n - c r e a s i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f r o m h x - 1 . 0 W / m 2 ° C , t o h x - 8 . 5 W / m 2 ° C , c o m p a r e d w i t h t h e c h a n g e i n t h e s h a p e o f t h e c u r v e s s h o w n b y i n c r e a s i n g h x f r o m 8 . 5 t o 2 0 . 0 W / m z ’ C . T h i s i n d i c a t e s t h a t a c h a n g e i n m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t h a s a g r e a t e r i n f l u e n c e o n t h e s o l u t i o n a t l o w e r v a l u e s o f h x t h a n a t h i g h e r v a l u e s o f h x . T h e e f f e c t s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t o n t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s , d e t e r m i n e d f o r s t r a w b e r r i e s f r o m E q . ( 3 . 4 9 ) , a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 8 f o r t h e c r i t e r i o n w i t h E a - 1 8 2 k J / m o l e , a n d r e f e r e n c e s h e l f - l i f e o f 6 3 0 d a y s a t - l 8 ’ C , a n d i n F i g u r e 6 . 1 9 , f o r t h e c r i t e r i o n w i t h E a - 4 9 k J / m o l e , a n d r e f e r e n c e s h e l f - l i f e o f 5 4 0 d a y s a t - 1 8 ' C . T h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t r e s u l t e d i n a h i g h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e . A l l o f t h e s i m u l a t i o n s u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t r e s u l t e d i n z e r o s h e l f l i f e b y t h e e n d o f t h e 1 0 0 d a y s t o r a g e p e r i o d . T h e s h e l f l i f e w a s c o m p l e t e l y d i m i n i s h e d b y t h e e n d o f 7 9 d a y s s t o r a g e t i m e f o r t h e c a s e w h e r e t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t e q u a l e d t c u d o r P . e n c o a f , r x u h S d , e t n s e o i p c x i E e r c e a t f T n r f e u f d C S e n 0 r 6 ) s o a C r r e e t f n s e y n C a a d r ( r c T i r t t a e ) e m e C H o m ° e i ’ e G m I 0 T c 4 a t / W ( . f f 1 e o C f a r u y S r o f t o s i t H - ' ; ” I B " C C ' m ' 6 0 0 . - . « c 3 2 " - = r " : = e ‘ - r , u , e x r L t u a t , r e s p s m e n a r e p e a T k m c e i t T h n T l e a i i b t b o e t H = i x n m l I S A . h — [ 0 5 3 — e f s t 0 r n a 2 a r r T 7 e 1 p . m t 6 e e f r f u E e T e r u g i F H I I i n l ( 3 ° ) e J n m J e d u J e i h x h x h x h x h x h x 1 . 0 8 . 5 2 0 . 0 1 . 0 8 . 5 2 0 . 0 1 8 9 l “ 1 3 1 1 1 — 8 m t 0 0 1 y t i l a u Q 0 0 C ) 0 5 0 . 5 . " . . 0 . . 0 m 1 1 8 2 8 2 C / 0 W ' C . ( 0 2 ' 6 3 - x x x x . x x — - - h h h h h h f e o - - C s s e . ' . n . p p k s 0 r 8 c u d o r P n e o c a f m , n m c d e i e ' T h 1 4 T r T T l e i t t b a a . b r c a i e a e t f H n m l I S A n r e u - C S x h 1 . “ " 3 - J " 0 0 0 8 1 x r h u S , . d t ) n s e e s y i o a c p d i x f E 0 f 3 e d 6 o n C a - 0 r 6 ) s r r C y a e e ' f t 8 s n 1 d ~ n e . ( a C r t T a c e i m t r e a t f i e e i 0 T T 4 " H l m o - e e f c G l a e f t h r a S u S e , t e f a l o R o m t n / c o J ‘ e i k 0 r 2 _ f t f a 2 E r 8 o 1 1 i . . 0 0 8 r - 1 e . t a 6 e E D ( e r u g i F ( x ) 4 3 . 1 1 0 0 0 1 ' 1 I I I E I I 4 0 4 2 0 4 1 9 0 0 0 1 I 0 r 8 6 6 ) s y a d I ( e m i ) C ° r 0 T 4 ’ m / W ( . I f e o C . s n a r T t a e H = x h 0 I 2 r - . 0 0 0 8 ( 2 ) 4 1 1 1 0 0 0 1 0 0 I " W ] h x 2 0 . 0 1 h x 3 5 C e n t e r h x 1 . 0 = h x 2 0 . 0 I n i t i a l T e m p . - - 3 0 ' C h x 8 . 5 ' S u r f a c e A m b . T e m p . - ~ 6 ' C h x 1 . 0 _ S l a b T h i c k n e s s - 2 . 0 m I I E I I I F i g u r e 6 . 1 9 E f f e c t o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t , h x , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t G e o m e t r i c C e n t e r a n d E x p o s e d S u r f a c e ( E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - l 8 ' C - 5 4 0 d a y s ) . 1 9 1 1 9 2 1 . 0 W / m 2 ° C , w h i l e f o r t h e c a s e s w h e r e t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i - c i e n t e q u a l e d 8 . 5 W / m 2 ° C a n d 2 0 . 0 W / m 2 ° C , s h e l f - l i f e w a s d i m i n i s h e d b y t h e e n d o f 3 5 a n d 2 1 d a y s , r e s p e c t i v e l y . T h e d i f f e r e n c e i n q u a l i t y o f t h e p r o d u c t a t t h e o u t e r s u r f a c e c o m - p a r e d t o t h e q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r i n c r e a s e d a s t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w a s i n c r e a s e d . W h e n t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t w a s c o n s i d e r e d , t h e d i f f e r e n c e s i n q u a l i t y b e t w e e n t h e t w o s u r f a c e s w e r e s u b s t a n t i a l : n i n e t y p e r c e n t o f t h e q u a l i t y a t t h e c e n t e r o f t h e p r o d u c t m a s s w a s r e t a i n e d a t t h e t i m e w h e n t h e q u a l i t y a t t h e s u r f a c e w a s d i m i n i s h e d , u s i n g h x - 2 0 . 0 W / m z ’ C , w h i l e 7 7 % o f t h e i n i t i a l q u a l i t y w a s r e t a i n e d u s i n g h x - 8 . 5 W / m 2 ° C , a n d 3 3 % o f t h e q u a l i t y r e m a i n e d a t t h e c e n t e r u s i n g h x - 8 . 5 W / m z ’ C . D u e t o t h e l o w e r t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o n t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e f o r t h e c r i t e r i o n w i t h t h e l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , t h e r e w a s v e r y l i t t l e d i f f e r e n c e b e t w e e n e a c h o f t h e s o l u t i o n s u s i n g h x - l , 8 . 5 , a n d 2 0 W / m ' C , a n d e v e n s m a l l e r v a r i a t i o n s i n t h e p r o d u c t q u a l i t y b e t w e e n t h e c e n t e r a n d t h e e x p o s e d o u t e r s u r f a c e s , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 9 . I n n o n e o f t h e c a s e s w a s t h e p r o d u c t s h e l f l i f e e x c e e d e d , a n d t h e d i f f e r e n c e i n q u a l i t y b e t w e e n t h e c e n t e r a n d t h e o u t e r b o u n d a r y a t t h e e n d o f 1 0 0 d a y s s t o r a g e w a s l e s s t h a n 5 % o f t h e i n i t i a l q u a l i t y , f o r a l l c a s e s . I n s u m m a r y , c h a n g e s i n t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a t l o w v a l u e s ( 5 8 . 5 W / m 2 ° C ) h a d m o r e i n f l u e n c e o n t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n t h a n e q u i v a l e n t c h a n g e s a t h i g h e r m a g n i t u d e s ( z 8 . 5 W / m 2 ° C ) . H i g h v a l u e s f o r t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t y i e l d e d s o l u t i o n s w h i c h h a d a g r e a t e r t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l b e t w e e n t h e t w o b o u n d a r i e s i n i t i a l l y , b u t a p p r o a c h e d t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n r a p i d l y . T h e e f f e c t s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w e r e s t r o n g l y d e p e n d - e n t o n t h e m a g n i t u d e o f t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . F o r l o w v a l u e s 1 9 3 o f E a ( s 5 0 k J / m o l e ) , i n c r e a s i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n c r e a s e d t h e q u a l i t y d e g r a d a t i o n r a t e m o d e r a t e l y , b u t w i t h o n l y s m a l l v a r i a t i o n s i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t ( L x s 2 . 0 m ) . O n t h e o t h e r h a n d , f o r h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s ( z 1 8 0 k J / m o l e ) , i n c r e a s i n g t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t d e c r e a s e d p r o d u c t s h e l f l i f e s u b s t a n t i a l l y , a n d r e s u l t e d i n h i g h q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t . 6 . 5 . 2 E f f e c t s o f t h e F r e q u e n c y o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y D i s t r i b u t i o n H i s t o r i e s . T h e e f f e c t s o f t h e f l u c t u a t i o n f r e q u e n c i e s o f s t e p c h a n g e s i n t h e s t o r a g e c o n d i t i o n s w e r e i n v e s t i g a t e d u s i n g t h r e e d i f f e r e n t i n t e r v a l s f o r t h e s t e p c h a n g e s : ( 1 ) o n e d a y a t - 5 ° C , a n d t e n d a y s a t - 3 0 ° C ( C a s e 1 ) ; ( 2 ) f i v e d a y s a t - 5 ° C , a n d t e n d a y s a t - 3 0 ° C ( C a s e 2 ) ; a n d , ( 3 ) t e n d a y s a t ~ 5 ° C , a n d t e n d a y s a t - 3 0 ° C ( C a s e 3 ) . E a c h o f t h e s e c y c l e s w e r e r e p e a t e d f o r a t o t a l s t o r a g e t i m e o f 1 0 0 d a y s . A g a i n , o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r w a s c o n s i d e r e d t h r o u g h a 2 . 0 m p r o d u c t , w i t h a n i n i t i a l t e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C , a n d w i t h a c o n s t a n t h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m 2 ° C o n t h e e x p o s e d b o u n d a r i e s . T h e r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 0 a , a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , a n d i n F i g u r e 6 . 2 0 b , a t t h e o u t e r s u r f a c e . F o r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s d e s c r i b e d i n C a s e 1 , t h e t e m p e r a t u r e a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r c h a n g e d o n l y s l i g h t l y , w h i l e t h e t e m p e r a t u r e a t t h e o u t e r s u r f a c e c h a n g e d s i g n i f i c a n t l y ( 1 4 ° C ) , b u t o n l y f o r a v e r y s h o r t p e r i o d o f t i m e , c o m p a r e d t o t h e o v e r a l l p r o d u c t s h e l f l i f e . U s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s d e s c r i b e d i n C a s e 2 r e s u l t e d i n t e m p e r a t u r e f l u c t u a - t i o n s a t t h e c e n t e r o f 6 ° C , a n d f l u c t u a t i o n s o f 1 9 ° C a t t h e o u t e r s n o . i . t i d 0 0 1 r ' 1 0 n 8 o C e g m o , t S ) ) 3 / ' C ° 0 T ’ 6 ) 2 \ m A I e e s e s a s a C a C ( - C ( ( C C ° C ° 0 3 ° 0 — \ / / \ a " \ / W ) s y \ / 5 d . f ( / 8 ’ , = e v m 0 t 3 - / \ i 3 — — t t a t a a s s y s y a y a d a d i \ \ 0 T I 4 n e i c i f f e o m d 0 \ 0 C . I / 2 r 0 1 0 1 1 . e f s n a r T 0 ‘ 2 C = . . C ° ° 5 C - 5 ° - — 5 - / \ b a l - t 0 S t a t a a s f t o a y e s y y a a a d d d 0 1 1 5 e H r H 5 x s H s e e I n c k a c f i r h u T S ‘ _ . 4 0 I , 5 _ 5 5 5 1 2 3 _ - — ( 3 ° ) S J t h J Q d L U Q l 1 9 4 F i g u r e 6 . 2 0 a E f f e c t o f D u r a t i o n o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 1 , 2 a n d 3 ) . s n o i t i d n o C e g a r o t S ) 0 0 1 0 8 C ° ’ 3 ) ) ) 2 1 e e s e s a s a C a C ( C ( ( C C ° C ° 0 ° 0 3 0 3 — 3 — - t t a t a a s s y s y a y a d a d m / W s y a 5 d . ( 8 = e m i 0 T 4 t n e i c i f f e o m 0 C d 0 . 0 1 0 1 1 , C , ° , C 5 C ° - ° 5 - 2 r e = f s n a r b a 5 — T l 0 S 2 — t t a t a a s s y y y a a a d d d 0 I 1 5 e e — — H e a 1 4 4 5 5 5 - 1 2 _ — f t o a e s H s e e n c k a c f i r h u T S ( 3 ° ) G J D I D J e d w e i _ 3 5 [ ‘ 5 O I I I fi 6 0 F i g u r e 6 . 2 0 b E f f e c t o f D u r a t i o n o f S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h ( C a s e s 1 , 2 a n d 3 ) . I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C 1 9 5 1 9 6 s u r f a c e , f o r a s l i g h t l y l o n g e r p e r i o d o f t i m e . W h e n t h e s t o r a g e i n t e r - v a l s w e r e e q u a l f o r e a c h s t o r a g e t e m p e r a t u r e ( C a s e 3 ) , f l u c t u a t i o n s o f 1 0 ° C w e r e f o u n d a t t h e c e n t e r , a n d f l u c t u a t i o n s o f 2 0 ° C w e r e f o u n d a t t h e e x p o s e d s u r f a c e . T h e m a s s a v e r a g e p r o d u c t t e m p e r a t u r e i n c r e a s e d f r o m 2 9 ° C f o r C a s e 1 , a n d 2 3 ° C f o r C a s e 2 , t o 1 8 ° C f o r C a s e 3 . T h e e f f e c t s o f t h e s e s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s o n t h e q u a l i t y h i s t o r i e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d a t t h e o u t e r s u r f a c e a r e s h o w n f o r t h e c r i t e r i o n w i t h a n a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 ° C i n F i g u r e 6 . 2 1 , a n d f o r t h e c r i t e r i o n w i t h a n a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 4 9 ° C i n F i g u r e 6 . 2 2 . I n t h e c a s e s w h e r e t h e s t o r a g e i n t e r v a l s w e r e l e s s t h a n o r e q u a l t o f i v e d a y s a t - 5 ° C ( C a s e s 1 a n d 2 ) t h e s t e p c h a n g e s i n t h e s t o r a g e c o n d i t i o n s h a d v e r y l i t t l e e f f e c t o n t h e q u a l i t y h i s t o r y a t t h e c e n t e r f o r b o t h h i g h a n d l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s . T h e e f f e c t o f t h e s h o r t h i g h t e m p e r a t u r e i n t e r v a l ( C a s e 1 ) o n t h e q u a l i t y a t t h e e x p o s e d s u r f a c e w a s a l s o v e r y s m a l l , w i t h v e r y l i t t l e v a r i a t i o n i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t m a s s . T h e s t e e p e r s l o p e o f t h e c u r v e s r e s u l t i n g f r o m s t o r a g e c o n d i t i o n s o f o n e d a y a t - 5 ° C ( C a s e 1 ) i n F i g u r e 6 . 2 2 , c o m p a r e d t o t h e c o r r e s p o n d i n g c u r v e s i n F i g u r e 6 . 2 1 , w e r e a r e s u l t o f t h e s h o r t e r r e f e r e n c e s h e l f l i f e f o r t h e P S L c r i t e r i o n ( 5 4 0 d a y s ) , c o m p a r e d w i t h t h e H Q L c r i t e r i o n ( 6 3 0 d a y s ) . I n c r e a s i n g t h e s t o r a g e t i m e i n t e r v a l a t t h e h i g h e r s t o r a g e t e m p e r a - t u r e t o f i v e d a y s ( C a s e 2 ) r e s u l t e d i n a s u b s t a n t i a l l o s s o f q u a l i t y a t t h e o u t e r s u r f a c e ( 5 0 % ) , w i t h v e r y l i t t l e c h a n g e i n q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , u s i n g t h e q u a l i t y c r i t e r i o n w i t h t h e h i g h e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . F o r t h e q u a l i t y c r i t e r i o n w i t h a n a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 4 9 k J / m o l e , t h e r e w a s a s l i g h t d r o p ( 8 % ) i n o v e r a l l q u a l i t y , c o m p a r e d t o t h e r e s u l t s u s i n g o n e d a y a t - 5 ° C ( C a s e 1 ) , a n d o n l y a 4 % c h a n g e i n q u a l i t y b e t w e e n t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e . . - ) o s f 0 r o y 0 P a 1 e d n r o 0 u t 3 s a 6 e r r e - c ° ’ m u p ' / W m 5 0 . , 8 2 0 I 8 t m C a e ° r T 8 e 1 p l - m a e i t T t a = = i x x h L a i e e n g f I T r h l o t - t i f S w l — e n h t i S c u s d , 0 e o T e 6 r ) s g l n P o a m y h a / a C J d ' ( e r k p o e 2 f t 8 S 1 , e m t f - i o a R a 0 T n E 1 4 o n n o t i 3 n i o ; o . i i a t t r a d t a u r n a c D o a c i o ' o L f r 2 L o e r c t e 1 e t , e a c D t f n r e u C S I , o I 2 e s f y e f t s E i a l C ( 7 ; a 1 2 3 1 2 3 1 u 2 Q e e e e e e . C s s s s s s ' 6 t ° a a a a a a C C C C C C c 0 e u 3 r d - u g i F 1 1 — - 0 2 3 5 _ - C 4 4 — — — - s . - . - A O 0 0 0 0 B 6 2 1 ( 2 ) 4 1 1 1 0 0 0 4 0 - I I I E I I 1 9 7 0 0 1 - . o f ) r o s P y e a n d r o u t 0 s a 4 e r 5 ' r e n o n o i 0 . t i 8 t a a c c o o L L e r c e a t f n r e u C S l ’ u p - t m a e C r T ° e 8 p l 1 m a - e i T t t i a e n g e I a f r h i o t l t i - S w f l n e t i h c u S 1 s _ " d _ 1 { . 0 ) , 6 e o ) ) e 3 3 ) g r ) ) 2 2 n P l 1 e 1 e e e s s s y a o h a m e s C e s a a a / s a s a C C d r J a C a C ( ( C ( C ( ' ( ( ( C C p k o e f t 9 c ° C ° S 4 c C ° 0 ° 0 e , e ° ° m 0 3 0 3 f - t 0 o 0 3 - 3 — a i 3 - 3 - R a - - t t l 0 T n E t o n a a t 4 t t a a a s s a s s y y s y s y a a y a y a d d a d a d d 0 d 0 ' 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 , , . , C C . ° , ° c C i o ; t i 3 a t r a d u n r D o a i f r 2 o e t , t e 1 C C c D ° ° 5 5 ° ° 5 5 — - 5 5 e s - - - — 0 I f y e - - t t 2 f s t t t E a i a a t t l a C a a ( s a s s s y y y y y y a a a a a a d d d d d d - 0 0 1 1 1 1 5 5 0 a 2 u 2 Q . C 6 t ° c 0 e u 3 r d - u g i F 0 0 1 - = W - 0 4 ( z ) m o n o 8 0 - 1 E 1 1 3 0 c o o l H . 1 1 2 0 — I I I H I 1 9 8 1 9 9 I n C a s e 3 , w h e r e t h e s t o r a g e i n t e r v a l a t - 5 ° C w a s e q u a l t o t h e i n t e r v a l a t - 3 0 ° C , t h e r e w a s s i g n i f i c a n t q u a l i t y l o s s f o r t h e h i g h e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t a t b o t h t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e , a n d a s u b s t a n t i a l d i f f e r e n c e i n q u a l i t y b e t w e e n t h e t w o l o c a - t i o n s . T h e p r o d u c t q u a l i t y w a s d i m i n i s h e d a t t h e s u r f a c e a f t e r 6 7 d a y s o f s t o r a g e , w h i l e t h e p r o d u c t q u a l i t y a t t h e c e n t e r w a s o n l y r e d u c e d t o 8 4 % o f i t s i n i t i a l v a l u e . w h e n t h e l o w e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t w a s u s e d ( F i g u r e 6 . 2 2 ) , t h e r e w a s a l s o a d e c r e a s e i n o v e r a l l p r o d u c t q u a l i t y a n d a n i n c r e a s e i n t h e q u a l i t y d i f f e r e n t i a l w i t h i n t h e p r o d u c t , b u t t h e d e g r e e o f c h a n g e w a s m u c h s m a l l e r i n b o t h c a s e s . P r o d u c t q u a l i t y a t t h e s u r f a c e d r o p p e d t o 7 5 % o f i t s i n i t i a l v a l u e , c o m p a r e d w i t h 9 3 % r e m a i n i n g q u a l i t y a f t e r 1 0 0 d a y s i n s t o r a g e , u s i n g s t e p c h a n g e i n t e r v a l s o f o n l y o n e d a y a t - 5 ° C ( C a s e 1 ) . A g a i n , t h e q u a l i t y d i f f e r e n t i a l w i t h i n t h e p r o d u c t w a s l e s s t h a n 5 % o f i t s i n i t i a l q u a l i t y . T o s u m m a r i z e , i n c r e a s e s i n a m b i e n t t e m p e r a t u r e f o r s h o r t t i m e i n t e r - v a l s , c o m p a r e d w i t h t h e o v e r a l l s t o r a g e t i m e a t t h e l o w e r t e m p e r a t u r e ( 5 1 0 % o v e r a l l s t o r a g e t i m e ) , h a d n e g l i g i b l e e f f e c t s o n o v e r a l l p r o d u c t q u a l i t y . S t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s w i t h e q u i v a l e n t s t o r a g e t i m e i n t e r v a l s a t h i g h a n d l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e s h a d m u c h g r e a t e r i n f l u e n c e o n q u a l i t y r e d u c t i o n , e s p e c i a l l y w h e n u s i n g h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s . S t e p c h a n g e s i n t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e s w i t h t h e s t o r a g e i n t e r v a l a t - 5 ° C e q u a l t o o n e h a l f t h e i n t e r v a l a t - 3 0 ° C , r e s u l t e d i n s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n s i n q u a l i t y a t t h e s u r f a c e , w i t h h i g h q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t , w h e n u s i n g h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s . H o w e v e r , w h e n u s i n g l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s u n d e r t h e s a m e c o n d i t i o n s , o n l y s m a l l c h a n g e s i n b o t h t h e o v e r a l l q u a l i t y a n d t h e i n t e r n a l q u a l i t y v a r i a t i o n w e r e o b s e r v e d . 2 0 0 6 . 5 . 3 E f f e c t s o f A m b i e n t T e m p e r a t u r e d u r i n g S t e p C h a n g e s i n S t o r a g e C o n d i t i o n s o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y D i s t r i b u t i o n H i s t o r i e s . _ T h e e f f e c t o f t h e m a g n i t u d e o f t h e a m b i e n t s t o r a g e t e m p e r a t u r e i n f l u c t u a t i n g s t o r a g e c o n d i t i o n s w a s d e m o n s t r a t e d u s i n g t h e s a m e t h r e e r e p e a t i n g s t e p c h a n g e i n t e r v a l s d e s c r i b e d b y C a s e s 1 , 2 a n d 3 ( T a b l e 6 . 8 ) , b u t w i t h d i f f e r e n t m a g n i t u d e s f o r t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e s . T h r e e d i f f e r e n t s e t s o f h i g h a n d l o w a m b i e n t t e m p e r a t u r e w e r e c o n s i d e r e d f o r t h e s e t h r e e s t e p c h a n g e c y c l e s ( f o r a t o t a l o f n i n e c a s e s ) : ( 1 ) l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e - - 3 0 ° C , h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e - - 5 ° C , ( s a m e t e m p e r a t u r e s u s e d i n C a s e s 1 , 2 , a n d 3 ) ; ( 2 ) l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e - - 1 8 ° C , h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e - - 5 ° C , ( C a s e s 4 , 5 , a n d 6 ) ; a n d , ( 3 ) l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e - - 1 8 ° C , h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e - - l 3 ° C , ( C a s e s 7 , 8 , a n d 9 ) . T h e s e c a s e s a r e a l s o d e f i n e d i n T a b l e 6 . 8 . T h e s a m e p r o d u c t g e o m e t r y , i n i t i a l t e m p e r a t u r e , a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 6 . 4 . 2 w e r e a l s o u s e d i n t h i s a n a l y s i s . T h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d a t t h e o u t e r s u r f a c e f o r t h e s t e p c h a n g e i n t e r v a l s o f o n e d a y a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 3 0 ° C ( C a s e 1 ) , o n e d a y a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C ( C a s e 4 ) , a n d o n e d a y a t - l 3 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C ( C a s e 7 ) , a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 3 a , b . T h e m e a n t e m p e r a t u r e s w e r e h i g h e r f o r b o t h C a s e s 4 a n d 7 d u e t o t h e i n c r e a s e i n t h e m i n i m u m s t o r a g e t e m p e r a t u r e . T h e t e m p e r a t u r e a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r f l u c t u a t e d s l i g h t l y ( 1 ° C ) u s i n g C a s e 4 b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d n e g l i g i b l y u s i n g C a s e 7 . T h e o u t e r s u r f a c e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t e d o n l y 2 ° C . T h e e f f e c t s o f t h e c h a n g e s i n a m b i e n t t e m p e r a t u r e o n t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e f o r t h e H Q L a n d P S L c r i t e r i a a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 4 a n d 6 . 2 5 , r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t t h e s c a l e f o r % Q u a l i t y r a n g e s f o r m 6 0 t o 1 0 0 % , i n s t e a d o f 0 t o 1 0 0 % . T h e s o l i d b o x e s r e p r e s e n t t h e k 0 0 ! 1 n : o s n o . l . t : 3 : : : [ 1 : : : : ' 2 h s t e i r w . u t t a c r u e d p o m r e P d : 1 T 0 n [ 8 a o C 1 ; _ e _ g _ a - ) I m I i ’ 6 a ) I 4 e e e s s s a a a C ‘ . I I I ( ( . ' I 8 . C ° 0 I e g r a o r f o t , . S r ) e 7 n t i n d e n e C a g n 4 c / W ) s h r , C 1 t y e a p m s 5 d e o e t s e S a G C f t ( = o a e m C t e y ° n 0 d r i e T 3 0 I u o i c i f f m 4 t t - i s n i f g H o o M e e 0 C . ' 2 r r f u u r o t t e a a = f s n a r b a l 0 T T S 2 t t r r c e e e p p f m m f e e E T T r o t S ) 7 C C ( ( C C C ° ° ° 8 0 8 1 3 1 - — — t t a a a s s s y y y a a a d d d t I 0 - 0 0 1 1 1 , , C c ° ° , C ° 3 1 5 5 — — — - . . . " . I I I I I I ‘ . I I I I I . . ‘ e a t t t f t l a a a y y y a a a d d d 1 1 1 o s c a a e s H 3 u i 2 d t s . i o e T e 6 n r n c P I k a c f i r e r u h u g H H H T S i F _ 5 _ I 0 5 3 — “ l L O ' — I ( 3 ° ) e J n m J e d t u e i 2 0 1 “ h e I I ! ) ‘ 7 ' 1 I s n o i t i d n o C e g a r o t S ) 7 ) ) 1 4 0 0 1 0 8 h t i w t c u d o r P a r o f . ) 7 , e c d a n f a c r ° 0 ’ 6 u 4 S m / s d 1 e ) , e y e e s l s s a a a C C C ( ( ( C C C ° ° ° 8 . W s s a o e 5 d p s . ( x a 8 E C ( = e t a 8 1 t 0 3 1 - — - t t a t a a s y s s m m C i y ° n e i c 0 T 4 r 0 o 3 t - i s f f e o i f H o e e 0 C . r r 2 r e = f s n a r b a u u t t a a r r e e p p m m y y a a a d d d 0 0 0 1 1 1 , , , C C ° C ° ° 3 5 5 1 l 0 — — — - t t t a a a y y y a a a d d d 1 1 1 J e { — — B e H T e e S 2 f t o a e H s s e e n c k a c f i r h u T S T T t l c a u i d t o i r n P I ( 3 ° ) e J n l D J e d U J e i I D ‘ 1 ‘ - 3 5 I L 0 | L . W . - I _ I l I r 0 I r I F i g u r e 6 . 2 3 b E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n 2 0 2 0 0 1 n o i t a c " O . ' 0 t 8 O C O o L L e r c e a t f n r e u C S * 1 1 ' 1 0 ) ) ) 6 ) ) s 7 ) ) 7 1 4 4 1 e e y e e s a s e e s s d a s s a a a C a a C C C ( C C ( . ( ( ( ( ( C C C C ° C C ° e ° ° 8 ° 8 m ' 8 0 6 1 0 1 1 i 3 - 1 — 3 - 0 T ~ - - - ' t t 4 t t a a t t a a a a s s s s y s s y y y a y y a a a d a a d d . d d d 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 , , , C C . , , C _ - - — > C ° C C ° C ° ° ° 5 ° 3 ° 3 ’ m / W m 5 0 . . - 0 1 5 5 1 r 5 — ~ - ~ — — - 2 t t t t t t a a a a a a y y y y y y a a a a a a d d d d d d T . 8 2 4 4 ~ — < 0 0 1 = = x x h L 0 0 4 ( z ) K i m o n o I O ‘ 0 1 1 1 1 1 1 F i g u r e 6 . 2 4 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o - d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 1 , 4 a n d 7 ; E s - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . 2 0 3 0 0 1 n o i t a c o L n o . i 0 t 8 a c o L e r c e a t f n r e u C S ’ > - o f . r o ) P s e y n r a o d u t s a 0 e r 4 r e 5 u p t m - a e r T C e ° p l 8 m a 1 e i - T t i t e n a g I a e r h f o t i t i l S w - f n t l i c e u h e d S 0 r o g ) ) ) 6 ) ) 7 7 ) ) s n r a P 1 4 1 4 h , e l e e y C a o e e m s s e e a s s a s s a d p r / a a C a a C e J o C C ( f t k ( C C ( ( ( ( ( S C C C C ° C C ° e , 9 f 4 e ° ° 8 o m ° ° 8 0 8 1 0 8 1 i t a - 3 1 — 3 1 — e R - — I - — 0 T t 4 t a a d s u n E t t t t t o a a a a s s s s y s s y y y a y y a a a d a a d d d d d 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 , , i ; i n t 7 g a a r d M o n i a f r o e 4 t C . , , , C C C ° 3 C C ° ° ° ° 1 1 ° ° 3 c D 1 e f y s 2 m 5 — 5 5 5 7 1 — — — — — — 2 f t e C , t e / t t t t t t a a a a a a y y y y y y a a a a a a d d d d d d W m 5 0 . . 8 2 = = x x h L E s i l a a C 5 u ( 2 Q . C 6 ° t c 0 e u 3 r d - u g i F - 1 0 0 0 0 0 6 4 8 1 1 l - — 1 0 ( 3 4 ) 6 1 1 1 0 0 0 q ‘ 1 1 1 1 1 1 2 0 4 2 0 5 r e s u l t s o f u s i n g s t e p c h a n g e s i n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f o n e d a y a t - 5 ’ C a n d t e n d a y s a t - 3 0 ’ C ( C a s e 1 ) i n b o t h f i g u r e s , a n d a r e i d e n t i c a l t o t h e c o r r e s p o n d i n g c u r v e s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 1 a n d 6 . 2 2 . B o t h c o n d i - t i o n s o f s t e p c h a n g e s o f o n e d a y a t ~ 5 ’ C a n d t e n d a y s a t ~ 1 8 ’ C ( C a s e 4 ) , a n d o n e d a y a t - l 3 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ’ C ( C a s e 7 ) r e s u l t e d i n a l o w e r q u a l i t y r e t e n t i o n a t t h e e n d o f 1 0 0 d a y s , c o m p a r e d t o t h e r e s u l t s u s i n g C a s e 1 ( o n e d a y a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t ~ 3 0 ° C ) r e s u l t s , b e c a u s e o f t h e o v e r a l l h i g h e r m e a n s t o r a g e t e m p e r a t u r e . S t e p c h a n g e s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s b e t w e e n - 5 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 4 ) r e s u l t e d i n a 1 0 % q u a l i t y d i f f e r e n t i a l a c r o s s t h e t w o s u r f a c e s u s i n g t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 k J / m o l e , a n d 1 . 5 % u s i n g t h e l o w e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . T h e r e s u l t s f r o m u s i n g t e m p e r a t u r e s f l u c - t u a t i n g b e t w e e n - l 8 ’ C a n d - l 3 ° C ( C a s e 7 ) i n d i c a t e d v e r y l i t t l e i n f l u e n c e o n t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r y i n a l l c a s e s . T h e q u a l i t y d i f f e r e n - t i a l b e t w e e n t h e c e n t e r a n d t h e s u r f a c e w a s 2 % u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , a n d 1 % u s i n g t h e l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . T h e s a m e s e t s o f a m b i e n t t e m p e r a t u r e s ( - S ° C a n d - 3 0 ° C , - 5 ’ C a n d - 1 8 ° C , a n d - l 3 ° C a n d - 1 8 ‘ C ) w e r e u s e d i n C a s e s 2 , 5 , a n d 8 , b u t w i t h s t o r a g e p e r i o d s a l t e r n a t i n g b e t w e e n f i v e d a y s a t t h e h i g h e r s t o r a g e t e m p e r a t u r e , a n d t e n d a y s a t t h e l o w e r s t o r a g e t e m p e r a t u r e . T h e s o l u - t i o n s f o r t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d a t t h e o u t e r s u r f a c e a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 6 a , b . T h e s o l u t i o n s f o r C a s e 2 ( f i v e d a y s a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 3 0 ° C ) i n b o t h f i g u r e s a r e t h e s a m e a s t h e c o r r e s p o n d i n g c u r v e s i n F i g u r e s 6 . 2 0 3 , b . T h e t e m p e r a t u r e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r f l u c t u a t e d a p p r o x i m a t e l y 3 ° C f o r t h e c o n d i t i o n s w h e r e t h e h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e e q u a l e d - 5 ° C , a n d t h e l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e e q u a l e d - 1 8 ° C , ( C a s e 5 ) a n d o n l y 1 ° C u s i n g - 1 3 ° C f o r t h e h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e , a n d - 1 8 ° C f o r t h e l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e . T h e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n a t t h e o u t e r s u r f a c e w a s s u b s t a n t i a l i n a l l 0 0 1 0 8 0 6 n o h s t e i r w u t t a c r u e d p o m r e P T a e g r a o r f o t , . S ) r e 8 n t i n d e n e C a g n c 5 ) a i s h r , y C t 2 e p s m d e o e ( t e s S G a e f t o a C ( C s n o . i . t i d n o C e g a r o t S ) ) 2 5 ) 8 e e e s a a a C C C ( ( ( C C C ° ° ° 8 s s a 0 8 1 m 3 1 — — — t t a a t a s s s y y y a a a d d d i e y ‘ 0 T d r 0 u o 3 4 ~ t t i s n i f g H o a M e e 0 r r 0 0 1 1 1 , . , C C C ° ° ' 3 f u u o t t a a t r r c e e e p p 5 5 1 f m m ~ - — f e e 0 2 E T T t t t a a a s s s y y y a a a d d d 5 5 5 H H H t l a c a 6 u i 2 d t . i o 6 n r P I e r u g i F 0 _ 1 5 4 ( 3 0 ) e a n o J e d w e i I I n ‘ 7 ' / T h i c k n e s s o f S l a b = 2 . 0 m S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t = 8 . 5 W / m ” C — 3 5 . . , . r . , . 2 0 6 0 0 1 ' 0 ' 8 ' C ° ’ I 0 s e r u t a r e p m e T e g a r o t S n i e g ) n s n o . l . t l d n o C e g a r o t S ) ) 8 2 5 e e e s s s a a a C C C ( ( ( n ' 1 C . f l C C ° ° ° 8 0 8 1 3 1 - — — t t a a t a s s s y q 1 ' y y a ' 4 a a d r ( , ‘ L - ’ - 6 m ) a ’ / W s h y a C p 5 e d . t 1 ( 8 S = e m f o t n i e ~ d e o T T i u 4 c - c i f f t i n m g e o d d 0 C 0 . J . v 0 0 1 1 1 . , , C C C ° ° ° 3 2 r e = f s n a b a 5 5 1 r ~ — — T l 0 I t t t a a a s s s S 2 t f o a e H y y y s a a a s d d d e e t 5 5 5 l E — B H H n c k a c f i r h u T S a M f o t c e f f E b 6 2 . 6 e r u g i I F o 5 3 _ 1 I D | ( 3 0 ) 9 . 1 n q u e d w e l 1 l 0 ‘ 7 ’ 2 0 7 P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ‘ C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ) . o n 2 0 8 c a s e s , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 6 b . T h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t e d 1 0 ° C f o r C a s e 5 , a n d b ' C f o r C a s e 8 , c o m p a r e d t o 1 9 ° C f o r C a s e 2 . T h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s f o r t h e s t e p c h a n g e s i n b o u n d a r y c o n d i t i o n a l t e r n a t i n g f i v e d a y s a t t h e h i g h e r s t o r a g e t e m p e r a t u r e t e n d a y s a t t h e l o w e r s t o r a g e t e m p e r a t u r e , w i t h s t o r a g e t e m p e r a t u r e s o f - 5 ° C a n d - 3 0 ° C ( C a s e 2 ) , - 5 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 5 ) , a n d - l 3 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 8 ) , a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 7 , u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , a n d i n F i g u r e 6 . 2 8 , u s i n g t h e l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . T h e h i g h e r m i n i m u m s t o r a g e t e m p e r a t u r e u s e d i n C a s e 5 , c o m p a r e d w i t h t h a t u s e d i n C a s e 2 , h a d a v e r y s i g n i f i c a n t e f f e c t o n t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . T h e s h e l f l i f e a t t h e o u t e r s u r f a c e w a s d i m i n i s h e d a f t e r 7 8 s t o r a g e d a y s , w h i l e a t t h e s a m e t i m e , 6 0 % o f t h e i n i t i a l q u a l i t y w a s r e t a i n e d a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r . M o d e r a t e d i f f e r e n c e s ( 6 % ) i n q u a l i t y w e r e d e t e r m i n e d b e t w e e n t h e c e n t e r a n d t h e s u r f a c e u s i n g s t e p c h a n g e s i n t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e b e t w e e n - 1 3 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 8 ) , a n d t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n - s t a n t . F o r t h e q u a l i t y c r i t e r i o n w i t h t h e l o w e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , l i t t l e v a r i a t i o n i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t m a s s w a s f o u n d f o r b o t h s t e p c h a n g e s b e t w e e n - 5 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 5 ) , a n d b e t w e e n - 1 3 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 8 ) . I n C a s e s 3 , 6 , a n d 9 , t h e s t e p c h a n g e i n t e r v a l s w e r e t e n d a y s f o r b o t h h i g h a n d l o w s t o r a g e t e m p e r a t u r e s , a n d a g a i n , t h e m a g n i t u d e s o f s t o r a g e t e m p e r a t u r e s w e r e ~ 3 0 a n d - 5 ° C , - 1 8 a n d - 5 ° C , a n d - 1 8 a n d - l 3 ° C , f o r C a s e s 3 , 6 , a n d 9 , r e s p e c t i v e l y . T h e s o l u t i o n s f o r t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 9 a , b . T h e l o n g e r s t o r a g e p e r i o d a t t h e h i g h s t o r a g e t e m p e r a — t u r e r e s u l t e d i n a g r e a t e r f l u c t u a t i o n i n t e m p e r a t u r e s a t b o t h l o c a t i o n s . F l u c t u a t i o n s o f 9 ° C , 5 ° C , a n d 3 ° C w e r e o b s e r v e d a t t h e a : ‘ n n o o , i i t t a a c c o o L L e r c e a t f n r e u C S ’ , 1 ‘ 2 5 8 2 5 e e e e e s s s s s a a a a a C C C C C , X ‘ “ . 0 0 0 0 0 6 4 2 1 ~ 4 — ( % ) ’ ( l H D n O m m H H X . . J 2 0 9 C a s e 8 . l . 1 . , j r 0 2 0 4 O 6 0 8 0 1 0 0 I I I I I I T u n e ( d a y s ) F i g u r e 6 . 2 7 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o - d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f ~ 3 0 ° C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - l 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . o o 1 n o n o i o i t s t a a c c o o L L e r c e a t f n r e u C S * ( T ) - ) ) 1 6 ) ) ) ) 8 8 ) 2 5 2 5 e e e e s e e s s y s s a s s a a a a C C a a C C ( ( C C ( ( ( ( r C C c ° C C c ° d ( e ° 0 5 ° 8 ° ° 8 a 1 0 8 1 m : 1 - 3 1 — i — - — — t t o T t t a a t t 4 a a a a s s s s y y s s y y y y a a a a a a d d d d d d 0 0 . 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 , , . C , , . C C C ° C C ° ° ° 5 5 ° 3 ° 3 - 5 1 5 - 1 - ~ — ~ — — I 0 2 t t t t t t a a a a a a s s s s s y y y y y a a a a a d d d d d 5 5 5 5 5 fl o 4 0 O 2 0 0 1 ( z ) K i m o n o 6 0 - 1 : 1 1 1 : T F i g u r e 6 . 2 8 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o - d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 2 , 5 a n d 8 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . 2 1 0 s n o . l . t l d n o C e g a r o t S ) ) 9 3 ) . 6 e e e s s s a a a C C C ( ( ( C C C ° ° ° 8 0 8 1 3 1 ~ 0 0 1 o s C ° 0 ’ 6 m / W ) s y a 5 d . ( 8 = e ~ ~ t t n m i t t a e T a a i s c s s y y y a a a d d d 0 0 0 1 1 1 , , , C C C ° i f m f e o 0 C . . 2 r e = f ° s 5 ° 3 - 5 1 - ~ ~ t t t a a a s s s y y y a a a d d d 0 0 0 1 1 1 - A t « ~ — [ r b , _ 5 _ b a n a r l , T S t f o a e s H s e e . n c k a c f i r h u T S r 4 5 5 2 3 _ ~ 4 5 + \ \ ( 3 ° ) S J D l D J e d L u e i 2 1 1 / r O 2 0 4 O T F i g u r e 6 . 2 9 a E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t G e o m e t r i c C e n t e r , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 3 , 6 a n d 9 ) . 0 0 1 1 s n o _ l . t l 0 d n o C e g a r o t S ) ° C ' 8 ' 0 ' n o s e r u t a r e p m e T e g a r o t S n i e g ) ) 9 3 6 e e e s s s a ’ 6 n m / W ) s a h y C C a a a C C ( ( ( C C ° ° C ° 8 1 0 8 — 3 - 1 - - t a t t a a 5 d . ' ( 8 p e t S = f e t n e 0 i ' m o i e T d c 4 u s t s s y y y a a a d d d 0 0 0 1 1 1 i f f m e i n g o a 0 C . ' 2 r M f . e o , C , C ° C ° 5 ° 5 - 5 1 - — ~ t t t a a a s s s y y y a a a d d d 0 0 0 1 1 1 J 0 E — — B 0 H j _ 5 _ = f b a l S t f o a e H s s s n a r 0 f t c e T ‘ 2 f E b 9 2 e . e . n c k a c f i r 6 e r h u u T S g . 0 F i 5 3 — i i f ) r - I ( 3 ° ) G J fl l D J e d w e i I n ‘ T ‘ P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t E x p o s e d S u r f a c e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 3 , 6 a n d 9 ) . 2 1 2 2 1 3 g e o m e t r i c c e n t e r , f o r s t o r a g e t e m p e r a t u r e s a l t e r n a t i n g b e t w e e n - 5 ° C a n d - 3 0 ° C ( C a s e 3 ) , - 5 ° C a n d ~ 1 8 ° C ( C a s e 6 ) , a n d - l 3 ° C a n d - 1 8 ° C ( C a s e 9 ) , r e s p e c t i v e l y . A t t h e o u t e r s u r f a c e , t e m p e r a t u r e s v a r i e d 1 5 ° C f o r C a s e 3 , 1 0 ° C f o r C a s e 6 , a n d 3 . 5 ° C f o r C a s e 9 . I n a l l c a s e s , t h e r e t e n t i o n t i m e n e a r t h e h i g h e r s t o r a g e t e m p e r a t u r e w a s l o n g e r t h a n t h a t f o u n d f o r t h e p r e v i o u s s t e p c h a n g e c y c l e s . T h i s r e s u l t e d i n a s u b s t a n t i a l i n c r e a s e i n t h e r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 0 . T h e s h e l f - l i f e a t t h e s u r f a c e , u s i n g s t o r a g e t e m p e r a t u r e s b e t w e e n - 5 ° C a n d - 3 0 ° C , w a s p r e d i c t e d t o b e e x h a u s t e d a f t e r 6 7 s t o r a g e d a y s . H o w e v e r , u s i n g s t o r a g e t e m p e r a t u r e s b e t w e e n - 1 8 a n d - 5 ° C r e s u l t e d i n t h e t o t a l l o s t o f q u a l i t y t h r o u g h o u t t h e e n t i r e p r o d u c t a f t e r 8 8 d a y s . T h e o u t e r s u r f a c e e x c e e d e d i t r e c o m m e n d e d s h e l f l i f e i n 4 5 d a y s , w h i l e t h e p r o d u c t a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r s t i l l r e t a i n e d 6 4 % o f i t s i n i t i a l s h e l f l i f e . W h e n u s i n g t h e l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 1 , t h e s l o p e o f t h e c u r v e s w a s s l i g h t l y g r e a t e r t h a n t h o s e s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 8 f o r t h e f i v e d a y s t e p c h a n g e i n t e r v a l t i m e a t t h e h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e . A g a i n , t h e s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s h a d v e r y l i t t l e e f f e c t o n t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r y c o m p a r e d t o t h a t s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 0 f o r t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 k J / m o l e . I n a l l c a s e s , t h e v a r i a t i o n i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t w a s l e s s t h a n 5 % . I n c o m p a r i n g t h e r e s u l t s f r o m F i g u r e s 6 . 2 4 , 6 . 2 5 , 6 . 2 7 , 6 . 2 8 , 6 . 3 0 , a n d 6 . 3 1 , s e v e r a l o b s e r v a t i o n s w e r e n o t e d . S t e p c h a n g e s w i t h s h o r t s t o r a g e i n t e r v a l s ( o n e d a y o r l e s s ) a t h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e s h a d v e r y l i t t l e e f f e c t o n t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n f o r m o s t c a s e s u s i n g b o t h h i g h a n d l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s . T h e e x c e p t i o n t o t h i s o b s e r — v a t i o n o c c u r r e d w h e n t e m p e r a t u r e s w e r e a l l o w e d t o f l u c t u a t e b e t w e e n ~ 1 8 0 | 0 1 J — — ¥ \ ‘ K 8 0 j K v 0 1 6 ) s y a d 1 ( e + m i n 1 0 T . ) s y a d 0 3 6 - C ° 8 1 - t a e f i l - f l e h S , e l o m / J k 2 8 1 - a n o o i i t t a a c c o 4 E ; 9 d o n L L a t e r c e a t f n r e u 6 , 3 C S s 0 r . r 2 e s — a E S . ‘ _ c ‘ 4 0 0 0 1 8 e e e e e e s s s s s s a a a a a a C C C C C C O C ( C ° 0 3 - ( z ) K i m o n o 6 0 4 , 4 I I I E Z I F i g u r e 6 . 3 0 E f f e c t o f M a g n i t u d e o f S t e p C h a n g e i n S t o r a g e T e m p e r a t u r e s o n P r o - d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f 2 1 h 0 0 1 . - ) o s f r o y P a e d n r o 0 u t 4 s a 5 . e r n o 0 i 8 t a c o L r e t n e C ) ) ) ) 9 9 T 0 6 r e - u p t m C a e ° r T 8 e 1 p l - m a e i t T t a i e e n g f I a i r h l o t - t f i S l w e n h t i c S u e d , 5 6 3 g 6 o ) e e e e e e e s s s s s s s a a y n r l a P o h m a a a a C C a C a C C C C ( ( ( ( ( ( d C C * ( C C ° C C ° / J p r k e o t f ° 9 8 ° ° ° 8 0 S 4 0 8 8 1 ' — 5 1 e 3 1 1 m f — - . , e - - - ~ - — t t i o t t t t t o T r a a a a e R E a a a a 4 d s s s s s s y y y y y y a a a a a a d d d d d d 0 0 0 0 0 0 1 1 ' 1 1 1 1 , , , , , , C C C C C C ° ° ° ° ° ° 3 3 5 5 1 5 1 5 ~ - - — - — u n t o ; i i 9 n t g a d a r n M o a i f r 6 o e t , t e 3 c D t t t t t t f y e 2 a a a a a a f 0 e s s s s s s s y y y y y y a a a a a a d d d d d d 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 f s t E a i l C a ( 1 u 3 Q ' . C 6 t ° c 0 e u 3 r d - u g i F . s 0 0 1 1 - 0 8 ( 2 ; ) M I I D H O 6 0 ~ 1 1 1 3 1 1 S u r f a c e L o c a t i o n 2 1 5 2 1 6 a n d - 5 ° C , a n d t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t w a s u s e d ; i n t h i s c a s e , a 1 0 % v a r i a t i o n i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t w a s f o u n d . T h e r e w a s v e r y l i t t l e c h a n g e i n t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e u s i n g t h e l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , i n a l l c a s e s . I n c o n t r a s t , u s e o f t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t r e s u l t e d i n s u b s t a n t i a l q u a l i t y c h a n g e s , e x p e c i a l l y f o r t h e s i t u a t i o n s w h e r e t h e s t o r a g e i n t e r v a l a t t h e h i g h e r t e m p e r a t u r e w a s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o f i v e d a y s , a n d t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n w a s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 1 3 ° C . S t e p c h a n g e s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s b e t w e e n ~ 1 8 ° C a n d - 1 3 ° C ( C a s e s 4 , S , a n d 6 ) h a d v e r y l i t t l e a f f e c t o n t h e o v e r a l l q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e o f t h e p r o d u c t . T h i s o b s e r v a t i o n s u p p o r t s t h e w o r k b y M o l e e r a n t a n o n d , e t . a 1 . ( 1 9 8 2 ) , w h o f o u n d v e r y l i t t l e c h a n g e i n t h e q u a l i t y o f f r o z e n b e e f r e s u l t i n g f r o m 3 ° C f l u c t u a t i o n s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s , a n d w h o p r o p o s e d u s e o f c y c l i c s t o r a g e t e m p e r a t u r e s a s a m e a n s o f e n e r g y c o n s e r - v a t i o n . 6 . 6 E f f e c t s o f S i z e , T w o D i m e n s i o n a l G e o m e t r y , a n d G e o m e t r i c S h a p e o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y H i s t o r i e s o f F r o z e n F o o d s D u r i n g S t o r a g e S i z e a n d g e o m e t r y a r e i m p o r t a n t f a c t o r s i n d e t e r m i n i n g t h e r a t e o f h e a t t r a n s f e r t h o u g h a m a s s o f f o o d p r o d u c t . T h r e e a s p e c t s w e r e c o n - s i d e r e d h e r e : ( 1 ) t h e p r o d u c t s i z e o r t h i c k n e s s ; ( 2 ) t h e r a t i o o f t h i c k n e s s v e r s u s l e n g t h ; a n d , ( 3 ) t h e g e o m e t r i c s h a p e . I n t h e f i r s t c a s e o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r w a s a s s u m e d . T h e o b j e c t i v e s f o r t h i s c a s e w e r e t o d e t e r m i n e u n d e r w h a t c o n d i t i o n s a p r o d u c t w i t h a l o w a c - t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t w i l l h a v e a s i g n i f i c a n t q u a l i t y v a r i a t i o n b e t w e e n t h e t w o s i d e s p e r p e n d i c u l a r t o h e a t f l o w , a n d t o d e t e r m i n e w h e n a h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y p r o d u c t w i l l h a v e i n s i g n i f i c a n t q u a l i t y v a r i a - t i o n b e t w e e n t h e s e t w o b o u n d a r i e s . I n t h e s e c o n d c a s e , t w o d i m e n s i o n a l 2 1 7 h e a t t r a n s f e r w a s a s s u m e d , a n d t h e i n f l u e n c e o f t h e l e n g t h v e r s u s t h i c k - n e s s r a t i o w a s i n v e s t i g a t e d . F i n a l l y , t h e i n f l u e n c e o f g e o m e t r i c s h a p e w a s s t u d i e d . I n t h i s c a s e , i t w a s d e s i r e d t o d e t e r m i n e i f a n d u n d e r w h a t c i r c u m s t a n c e s a o n e d i m e n s i o n a l g e o m e t r y c o u l d b e u s e d t o a p p r o x i m a t e a t w o d i m e n s i o n a l s h a p e . F o r e x a m p l e , o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a c y l i n d r i c a l m a s s , w i t h i n s u l a t e d e n d s , m i g h t b e u s e d t o s i m u l a t e t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h c u b e s h a p e d m a s s , i n s u l a t e d o n t w o o p p o s i t e s i d e s . 6 . 6 . 1 I n f l u e n c e o f P r o d u c t T h i c k n e s s T h e i n f l u e n c e o f p r o d u c t t h i c k n e s s w a s f i r s t c o n s i d e r e d u s i n g t h e c r i t e r i o n w i t h t h e l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( 4 9 k J / m o l e ) . I n S e c t i o n s 6 . 5 . 2 , a n d 6 . 5 . 3 , a o n e d i m e n s i o n a l s l a b o f t h i c k n e s s 2 . 0 m w a s c o n s i d e r e d . T h e q u a l i t y d i f f e r e n t i a l b e t w e e n t h e c e n t e r a n d o u t e r s u r f a c e s n e v e r e x c e e d e d 6 % i n a l l o f t h e n i n e c a s e s ( T a b l e 6 . 8 ) c o n - s i d e r e d i n t h e s e s e c t i o n s . A v e r y l a r g e p r o d u c t m a s s w a s s i m u l a t e d t o d e t e r m i n e i f t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n w i t h i n t h e p r o d u c t i n c r e a s e d s i g n i f i c a n t l y . O n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a p r o d u c t 6 . 0 m i n t h i c k n e s s , u s i n g s t e p c h a n g e s i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f o n e d a y a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C ( C a s e 4 ) , f i v e d a y s a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C ( C a s e 6 ) , a n d t e n d a y s a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C ( C a s e 8 ) , w a s c o n s i d e r e d . T h e r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d a t t h e o u t e r s u r f a c e a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 3 2 a , b . T h e t e m p e r a t u r e a t t h e i n n e r s u r f a c e g r a d u a l l y i n c r e a s e d w i t h n e g l i g i b l e f l u c t u a t i o n s ( F i g u r e 6 . 3 2 a ) , w h i l e t h e t e m p e r a t u r e a t t h e o u t e r s u r f a c e a p p r o a c h e d t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e i n l e s s t h a n t h r e e d a y s , a n d f l u c t u a t e d c o n t i n u o u s l y i n s y n c h r o n i z a t i o n w i t h t h e s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e s . s n o . i . t i d n o C e g a r o t S ) ) 8 ) 6 0 0 1 r 0 T 8 Y C ° 0 r ’ 5 m 4 e / ) s y e s W a a e s s a C a C ( C ( ( C C ° C ° 8 ° 8 1 8 1 ~ 5 d . r ( 8 = e t n m i 1 1 ~ - t 1 e T t a t a a s s y s y a y a d a d 4 i c i f m f e o 0 C d 0 . 0 1 0 1 1 , C 6 r e = f , s ° , C n 5 C ° — ° 5 - 5 ~ - t t a t a a s s y y y a a a d d d 0 1 1 5 H H H 1 _ 5 _ b a l S a r T t f o a e s H s e e f n c k a c f i r h u T S 5 3 — ( 3 ° ) e J m o J e d w e i l t o I r L O 1 ‘ 2 1 8 \ r O 2 0 f F i g u r e 6 . 3 2 a E f f e c t o f L a r g e P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t t h e G e o m e t r i c C e n t e r f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ) . s n o . i . t i d n o C e g a r o t S ) ) 8 ) 6 4 e e s e s a s a C a C ( C ( ( C C ° ° 8 8 1 C ° 8 1 1 — — — - t t a t a a s s y a m s y y a d a d d 0 1 0 . 0 6 0 1 1 , , C , C ° C ° 5 ° 5 — t y c r u o d t o s r i P H a e r r u o t f a r , e s p l m a e v T r e . t ) t c n 8 u I d d o n e r a g P n a 6 n h o C , 4 s p ) s e s s y e t e n S s k a a c t C ( d i n ( e h e T r C e ° t f 0 c f 3 m u i - i T d D o f r r o P o f e e r g e u r c t a a a L f r r e f p u o m S = e b a t d T c e e l s l f a o 5 — — t S f i p t a t a f E i E t x a s o s y y y a a a d d d 0 1 1 5 8 0 — — 9 0 H 4 5 5 _ 2 — s 2 h s t 3 h n b e I e n k c i h T . t 6 t i a w e r u g i F L n I ( 3 ° ) e J m o J e d w e i 2 1 9 S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t = 8 . 5 W / m ’ ° C ‘ 3 5 I r T T T . r r T f O 2 0 4 O 5 0 8 0 1 0 0 2 2 0 D u r i n g t h e i n i t i a l p h a s e o f t h e t o t a l s t o r a g e t i m e , t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l w i t h i n t h e p r o d u c t w a s a s m u c h a s 2 8 ° C ; a t t h e e n d o f t h e t o t a l s t o r a g e t i m e , t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l r e d u c e d t o a b o u t 8 ° C . T h e e f f e c t s o f t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l o n t h e q u a l i t y h i s t o r i e s a t t h e t w o l o c a t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 3 . E v e n w i t h h i g h t e m p e r a - t u r e v a r i a t i o n s , t h e q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t w e r e v e r y m o d e r a t e , e s p e c i a l l y w h e n c o m p a r e d t o t h o s e s h o w n f o r t h e 2 . 0 m p r o d u c t m a s s , u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( F i g u r e 6 . 2 7 , a n d 6 . 3 0 ) . I n t h e s i t u a t i o n w h e r e t h e s t e p c h a n g e i n t e r v a l f o r t h e s t o r a g e t e m p e r a - t u r e a t - 5 ° C w a s o n e d a y , t e n d a y s f o r t h e s t o r a g e t e m p e r a t u r e a t ~ 1 8 ° C ( C a s e 4 ) , a 9 % v a r i a t i o n i n q u a l i t y w a s f o u n d a f t e r 1 0 0 s t o r a g e d a y s . I n c r e a s i n g t h e s t o r a g e p e r i o d a t - S ° C t o f i v e d a y s i n c r e a s e d t h e q u a l i t y d i f f e r e n t i a l t o 1 4 % , a n d f o r e q u a l s t o r a g e p e r i o d s a t - 5 a n d - 1 8 ° C , t h e q u a l i t y d i f f e r e n t i a l i n c r e a s e d t o a l m o s t 1 8 % . T h e r e f o r e , f o r l o w a c - t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s , s i g n i f i c a n t ( < 1 0 % ) q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t m a s s w e r e o n l y f o u n d u s i n g v e r y l a r g e p r o d u c t t h i c k n e s s e s ( > 6 . 0 m ) . N e x t , t h e p r o d u c t u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t w a s c o n s i d e r e d , w i t h t h e o b j e c t i v e o f d e t e r m i n i n g i f a n d u n d e r w h a t c o n d i t - i o n s , t h e q u a l i t y v a r i a b i l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t w a s n e g l i g i b l e . A g a i n , C a s e s 4 , 6 , a n d 8 ( s t e p c h a n g e s o f : o n e d a y a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C , f i v e d a y s a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C , a n d t e n d a y s a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - l 8 ° C ) , w e r e u s e d f o r t h e s i m u l a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e q u a l i t y v a r i a t i o n b e t w e e n t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e w a s s i g n i f i c a n t ( > 1 0 % ) u s i n g t h e s e c a s e s , a n d a p r o d u c t m a s s o f 2 . 0 m , a s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 2 4 , 6 . 2 7 , a n d 6 . 3 0 ; t h e r e f o r e , t h e p r o d u c t t h i c k - n e s s w a s r e d u c e d t o 1 . 0 m , a n d t h e s i m u l a t i o n p r o c e s s e s w e r e r e p e a t e d . T h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 3 4 a , b . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e c u r v e 1 . « w e 0 0 1 n n o . o i 0 i 8 t t a a c c o o L L r e t n e C 1 G C M F U S P q ) T ) ) 0 T ) ) ) 8 8 6 ) ) 6 6 4 4 e e e e s s s y e s e s a a a s s a a C C a C a C ( ( C ( C ( ( ( C C fl d ( C ° ° C C ° C 8 8 ° e ° ° 8 1 1 8 m 8 8 1 - ~ 1 i 1 1 ~ — ~ - r - T t t 0 t a a t 4 t t a a a a s s s s y y s y y s a a y a y a d d a d a d d d 0 0 r 0 0 1 1 ” 0 1 0 1 1 1 , , , . C C , ° ° C , C C ° ° C ° 5 5 5 - — ° 5 C ° 2 5 - — 5 — r ’ 0 - — 2 - t t t t a a t t a a a a s s s s y y y y y y a a a a a a d d d d d d ’ 0 0 v 1 1 1 1 5 5 m " - , W 5 . 8 = x h 0 0 0 1 4 J 0 i O m ( z ) m o n o I O ( O m m L x 2 ‘ 6 . 0 m 2 2 1 T F i g u r e 6 . 3 3 E f f e c t o f L a r g e P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o - d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 5 4 0 d a y s ) . 1 s n o . i . t i d n o C e g a r o t S 9 4 1 0 0 1 ' 0 l 8 ' ) 1 T ’ I 0 6 ) m 8 ) ) 6 4 e e s e s a s a a C C ( ( C C ° ° 8 8 1 C ° 8 1 1 — 3 — — - t t a t a a s s y s y a 4 y a d a d d 0 t c u d o r P a r o f , s l a v r e t . n ) I 8 e d g n n a a h 6 C , p 4 e t s S e s r r e u t t n a e r C e p c m i e / W s y a a t . ' ( 8 = e e r e C f ° f 0 m 3 i i D - o T l r f 4 o o f t n e i c i f e m f e o 0 C . ' l 0 e l T l S 2 m a f t o a e s H o i e t G i n e I s h e e f n c k a c f i r h u T S l 0 t h t t i a w C C 5 d n ( ( . 1 1 0 0 1 1 , C r e = f , s , ° C n C ° 5 ° 5 a b r T 5 ~ r x a t ~ — ~ t t a t a 1 a s s y y y a a a d d d 0 1 1 5 m r H H _ 5 . _ 4 4 5 5 5 , 1 2 3 " - - ( 3 ° ) e i n i o J e d w e i 2 2 2 F i g u r e 6 . 3 4 s E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y s n o . i . t i d n o C e g a r o t S ) ) 8 ) 6 4 e e s e s a s a C a C ( C ( ( C C ° C ° 8 ° 8 1 8 1 ~ 1 — — t t a t a a s s y s y a y a d a d d 0 0 1 0 1 1 . , C . C ° C ° 5 ° 5 - 5 ~ ~ t t a t a a s s y y y a a a d d d 0 1 1 5 8 0 - — 0 0 H _ 0 ' 8 ' C ° 0 l ’ 6 m / W 5 . ' 8 = t n e i c i f f e o C r e f s n a r T t a e H o l 4 0 2 e I c a f r u S — [ o 5 5 _ 3 — ~ 1 5 . " ( 3 ° ) e J m o J e d L u e i L O “ T 2 2 3 T h i c k n e s s o f S l a b = 1 . 0 m l fi 1 0 0 T i m e ( d a y s ) F i g u r e 6 . 3 4 b E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s o n P r o d u c t T e m p e r a t u r e H i s t o r y a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ) . 2 2 4 f o r r e s u l t i n g f r o m o n e d a y a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C ( C a s e 4 ) , t h e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n c r e a s e d s i g n i f i c a n t l y , c o m p a r e d t o t h o s e f o u n d u s i n g a t h i c k n e s s o f 2 . 0 m . C o m p a r i n g F i g u r e s 6 . 3 4 s a n d 6 . 3 4 b , t h e r e s o n a n c e t i m e n e a r t h e h i g h s t o r a g e t e m p e r a t u r e a t t h e o u t e r s u r - f a c e w a s a b o u t t w i c e t h a t a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r . T h e r e s u l t i n g q u a l i t y h i s t o r i e s , u s i n g t h e c r i t e r i o n w i t h a n a c t i v a - t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 k J / m o l e , a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d a t t h e o u t e r s u r f a c e , a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 5 f o r t h e t h r e e c a s e s c o n s i d e r e d . T h e q u a l i t y v a r i a t i o n w i t h i n t h e p r o d u c t w a s s m a l l ( 8 % ) u s i n g C a s e 4 b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( o n e d a y a t - 5 ° C , t e n d a y s a t - l 8 ° C ) , w h i l e t h e q u a l i t y v a r i a t i o n s u s i n g t h e o t h e r t w o c a s e s w e r e h i g h . F o r s t e p c h a n g e s o f f i v e d a y s a t - S ° C a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C i n t h e s t o r a g e c o n d i - t i o n s ( C a s e 6 ) , t h e s h e l f - l i f e a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r w a s e x h a u s t e d a f t e r 6 5 d a y s , a t w h i c h t i m e 3 5 % o f t h e i n i t i a l q u a l i t y w a s r e t a i n e d a t t h e o u t e r s u r f a c e . W h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s d e s c r i b e d b y C a s e 8 ( 1 0 d a y s a t b o t h - 5 ° C a n d - 1 8 ° C ) w e r e u s e d , t h e q u a l i t y a t t h e s u r f a c e w a s d i m i n i s h e d a f t e r 2 9 d a y s , w h i l e 3 2 % o f t h e i n i t i a l q u a l i t y r e m a i n e d i n t h e p r o d u c t a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r . A l t h o u g h t h e q u a l i t y v a r i a t i o n b e t w e e n t h e t w o l o c a t i o n s w a s l e s s t h a n t h a t f o u n d u s i n g L x - 2 . 0 m , t h e r e w a s s t i l l a h i g h v a r i a t i o n i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t u s i n g L x - 1 . 0 m u s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t - i o n s d e f i n e d b y C a s e s 6 a n d 8 . T h e s a m e s i m u l a t i o n s w e r e r e p e a t e d u s i n g L x - 0 . 2 m . T h e q u a l i t y v a r i a t i o n b e t w e e n t h e c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e s w a s a b o u t 6 . 5 % o f t h e i n i t i a l q u a l i t y , f o r t h e C a s e 4 b o u n d a r y c o n d i t i o n ; t h i s v a l u e c h a n g e d o n l y s l i g h t l y , c o m p a r e d t o t h e r e s u l t s u s i n g L x - 2 . 0 m , d u e t o t h e s h o r t s t o r a g e i n t e r v a l a t - 5 ° C . T h e t e m - p e r a t u r e v a r i a t i o n s b e t w e e n t h e s u r f a c e s , u s i n g C a s e s 6 a n d 8 , w e r e f o u n d t o b e v e r y s m a l l ( < 0 . 5 ° C ) , r e s u l t i n g i n v e r y l i t t l e v a r i a t i o n i n q u a l i t y b e t w e e n t h e s u r f a c e s f o r t h e s e c a s e s , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 6 . 0 0 1 U 0 I 8 I : 0 l 6 ) s y a d ( e m i “ “ = ‘ ' o l T 4 ' c ' j e c a fi ° 0 ’ m / n w r ) C 5 . . 1 8 u S T 2 , 3 e e e e e e s s s s s s a a a a a a . z C C C C C C 0 0 1 4 1 — - 0 0 - 0 8 6 4 0 ( z ) M I I D D O H H x x . 4 . c I 2 0 " 1 C e n t e r ; = 1 1 1 1 1 1 ~ r ¢ o ¢ n " ¢ - m > a F i g u r e 6 . 3 5 E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s , L x - 1 . 0 m , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r - v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . 2 2 S 4 6 8 4 6 8 e e e e e e s s s s s s a a a a a a C C C C C C 1 £ e H H — — H o H ' s F _ F _ ‘ 4 n n o o i i t t a a c c o o L L r c e 0 ‘ 0 1 C ° ’ m / m W 2 5 F 0 . . 8 0 8 = = x x L h e a 0 t f 6 n r e u C S - . \ . . - . \ \ ‘ i ) s y a d ( e m i 0 T T 4 \ 0 2 J ‘ 0 7 - — 1 - 0 0 0 0 0 0 1 8 6 4 2 ( z ) m o n o f I f F i g u r e 6 . 3 6 E f f e c t o f S m a l l P r o d u c t T h i c k n e s s , L x - 0 . 2 m , o n P r o d u c t Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e a t t h e E x p o s e d S u r f a c e f o r D i f f e r e n t S t e p C h a n g e I n t e r - v a l s , f o r a P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e s 4 , 6 a n d 8 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . 2 2 6 2 2 7 T o s u m m a r i z e , f o r l o w a c t i v a t i o n e n e r g y p r o d u c t s , q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t w e r e f o u n d t o b e s i g n i f i c a n t o n l y f o r v e r y l a r g e p r o d u c t m a s s e s ( 2 6 . 0 m ) , c o n s i d e r i n g o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r , a n d a s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m 2 ° C o n t w o p a r a l l e l s u r - f a c e s , w i t h i n s u l a t e d c o n d i t i o n s o n a l l o t h e r b o u n d a r i e s . F o r h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y p r o d u c t s , t h e q u a l i t y v a r i a t i o n w a s i n s i g n i f i c a n t o n l y f o r v e r y s m a l l p r o d u c t m a s s e s ( 5 0 . 2 m ) , u s i n g t h e s t e p c h a n g e s i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f a t l e a s t f i v e d a y s a t ~ 5 ° C , a n d t e n d a y s a t - 1 8 ° C . I n a d d i t i o n , t h e o v e r a l l r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n i n c r e a s e d s u b s t a n t i a l l y a s t h e p r o d u c t s i z e c o n s i d e r e d d e c r e a s e d . 6 . 6 . 2 E f f e c t s o f T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r o n T e m p e r a t u r e a n d Q u a l i t y H i s t o r i e s . T w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r w a s s i m u l a t e d i n a r e c t a n g u l a r l y s h a p e d p r o d u c t m a s s , u s i n g s t e p c h a n g e s i n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f f i v e d a y s a t - 5 ° C a n d t e n d a y s a t ~ 1 8 ° C ( C a s e 6 ) . A c o n s t a n t h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m 2 ° C w a s c o n s i d e r e d o n t h e s u r f a c e s p e r - p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n s o f h e a t t r a n s f e r , a n d t h e s u r f a c e s p a r a l l e l t o t h e h e a t f l o w w e r e c o n s i d e r e d t o b e i n s u l a t e d . V a r i o u s w i d t h v e r s u s h e i g h t r a t i o s w e r e c o n s i d e r e d f o r t h e e x p o s e d b o u n d a r i e s . T e m p e r a t u r e h i s t o r i e s , a s s u m i n g t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s , w e r e f i r s t d e t e r m i n e d u s i n g e q u a l l e n g t h s o f 2 . 0 m f o r b o t h t h e w i d t h , L x , a n d h e i g h t , L y . A c o n s t a n t h e a t t r a n s f e r c o e f - f i c i e n t o f 8 . 5 W / m 2 ° C w a s i m p o s e d a l o n g a l l b o u n d a r i e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f h e a t f l o w . T h e t w o d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r e h i s t o r y w a s d e t e r m i n e d a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r ( x - O , y - O ) , t h e m i d p o i n t o f t h e e x p o s e d s i d e s ( x - O , y - L y / Z ; a n d x - L x / 2 , y - O ) , a n d a t t h e e x p o s e d 2 2 8 c o r n e r , ( x - L x / 2 , y - L y / 2 ) f o r a l l c a s e s c o n s i d e r e d i n t h i s s e c t i o n . T h e s e l o c a t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 7 . T h e r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s w e r e c o m p a r e d t o t h e o n e d i m e n - s i o n a l s o l u t i o n o f a 2 . 0 m p r o d u c t m a s s s u b j e c t t o t h e s a m e i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 6 a , b . T h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 8 , f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n a t t h e l o c a t i o n s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 7 , a n d f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d e x p o s e d s u r f a c e . C o m p a r i n g t h e o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n s , t h e t e m p e r a t u r e a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r u s i n g t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n w a s s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h a t f o u n d w i t h t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n . T h e t e m p e r a t u r e a t t h e s u r f a c e , u s i n g t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n w a s b o u n d e d b y t h e t e m p e r a t u r e s a t t h e m i d p o i n t o f t h e s i d e s a n d t h e c o r n e r s . N o t e t h a t t h e t e m p e r a t u r e s a r o u n d t h e p e r i m e t e r o f t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e w e r e b o u n d e d b y t h e t e m p e r a t u r e s a t t h e c o r n e r s a n d t h e m i d p o i n t o f t h e s i d e s , a n d d u e t o s y m m e t r y , t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t ( 0 , L y / 2 ) a n d ( L x / 2 , 0 ) a r e i d e n t i c a l . T h e q u a l i t y h i s t o r i e s , u s i n g t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 k J / m o l e , a t t h e s e l o c a t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 9 . I n a l l c a s e s , t h e r a t e o f q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n i n c r e a s e d , c o m p a r e d w i t h t h e o n e d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n . T h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n p r e d i c t e d q u a l i t y 8 % h i g h e r t h a n t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n a f t e r 1 0 0 s t o r a g e d a y s . T h e p r e d i c t e d q u a l i t y a t t h e e x p o s e d s u r f a c e , u s i n g t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , w a s s i m i l a r t o t h a t p r e d i c t e d a t t h e s i d e m i d p o i n t s i n t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n . T h e q u a l i t y a t t h e m o s t e x t r e m e p o i n t ( L x / 2 , L y / 2 ) d e t e r i o r a t e d a f t e r o n l y 4 7 d a y s . A l t h o u g h t h e d i f f e r e n c e i n t e m p e r a t u r e a r o u n d t h e p e r i m e t e r o f t h e p r o d u c t m a s s w a s s m a l l ( t w o d i m e n s i o n a l c a s e ) , t h e d i f f e r e n c e i n p r e d i c t e d q u a l i t y a r o u n d t h e o u t e r s u r f a c e w a s h i g h , d u e t o t h e h i g h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e r a t e c o n s t a n t . 2 2 9 ( T A M I - Y ) Y I < 0 . L y ) # 4 L y / 2 ( 1 3 . 0 ) l l I i — W F i g u r e 6 . 3 7 L o c a t i o n s o f S o l u t i o n s f o r T w o D i m e n s i o n a l G e o m e t r y . 0 0 1 0 = y . ' x L = X . 6 A a " — — — O 0 H A m H 0 8 { r r r e e t e e t n e d d n r i i e o ' w C S C S C { m ' 0 5 0 ) . 2 = y s y a L d . ( , m e 0 m . i m 0 . 2 ) 6 e s a C ( C ° 8 1 — = = 2 I ° T t a s y a C d ° 2 0 m 1 / W , C 5 ° . 5 8 — t a s y = y h a = d x 5 h x 4 x L L : D : D 1 2 , T 0 2 . / I 0 « - 5 1 5 2 — — 5 3 _ . ‘ i . r . . ( I ’ 1 ' / ' / ' / " / q ' 1 ‘ " / \ u . u | n ‘ u . u ‘ u l , I \ I I ‘ I l l / \ ~ I . . ~ . g . ' v k \ . . . ( g o ) a n i o J e d w e i F i g u r e 6 . 3 8 T w o D i m e n s i o n a l N u m e r i c a l S o l u t i o n f o r S q u a r e R o d ( L x - L y - 2 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h E q u a l D i m e n s i o n , L x , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ) . 2 3 0 0 0 1 0 8 0 ' 6 T : ) s y a d ( e m i H : T 0 T C 4 : ° 8 1 — C - ° ' m t " a 7 C ° / s m W y 0 a 5 d ' . m . n ’ 1 2 8 0 r T / = 0 J y 2 W - J Z 5 L y , C ° . b - 5 8 - = - = = - = x x t L a x — r “ : x x . » s H r e t e n d e i S C : m i D 2 K ‘ k ‘ - ’ \ ‘ - : r . A ‘ " T ‘ . , ~ 4 - t x h ‘ : g . 1 ‘ z h : n m s y h i a D d D 1 Z 5 - 0 0 1 ‘ ‘ 0 - - 0 0 0 4 2 ( z ) m o n o L x . \ \ C o r n e r B — E l x = L x . . , C e n t e r 0 ' 0 x = 0 8 0 - . 1 D i m . S i d e x L 6 0 - i f 2 3 1 F i g u r e 6 . 3 9 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S q u a r e R o d ( L x - L y - 2 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h E q u a l D i m e n s i o n , L x , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f ~ 3 0 ° C ( C a s e 6 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ° G - 6 3 0 d a y s ) . 2 3 2 T h e t w o d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n s w e r e r e p e a t e d u s i n g L x - 2 . 0 m a n d L y - 1 . 0 m ; r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 0 . T h e t e m p e r a t u r e v a r i a - t i o n s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , u s i n g t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , w e r e h i g h e r t h a n t h a t s h o w n f o r t h e p r e v i o u s c a s e . D u e t o l a c k o f s y m m e t r y , t h e t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a t ( O , L y / 2 ) a n d ( L x / 2 , 0 ) w e r e n o t t h e s a m e . T h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n w a s c o m p a r e d t o t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u - t i o n f o r a n i n f i n i t e s l a b 1 . 0 m i n t h i c k n e s s . A g a i n , t h e o n e d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r e s o l u t i o n w a s b o u n d e d b y t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n . T h e p r e d i c t e d q u a l i t y h i s t o r i e s r e s u l t i n g f r o m t h e s e t e m p e r a - t u r e h i s t o r i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 1 , u s i n g t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 k J / m o l e . T h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r o f t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e w a s g r e a t e r c o m p a r e d t o t h a t f o u n d f o r t h e 2 . 0 m b y 2 . 0 m r o d ; h o w e v e r , l i t t l e c h a n g e w a s f o u n d i n t h e q u a l i t y p r o f i l e a t t h e e x p o s e d c o r n e r , c o m p a r e d t o t h e 2 . 0 m b y 2 . 0 m s o l u t i o n . T h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n f o r a 1 . 0 m s l a b o v e r - e s t i m a t e d t h e q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , a n d c l o s e l y a p p r o x i m a t e d t h e q u a l i t y a l o n g t h e s i d e s , w h i l e g r e a t l y o v e r - e s t i m a t i n g t h e q u a l i t y a t t h e c o r n e r s . F i n a l l y a 2 m b y 0 . 2 m r o d w a s c o n s i d e r e d . D u e t o t h e s m a l l h e i g h t v e r s u s w i d t h r a t i o , t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n w a s v e r y s i m i l a r a t a l l p o i n t s i n t h e r o d , w i t h h i g h t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n a l l c a s e s , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 2 . T h e r e s u l t i n g o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n ( n o t s h o w n h e r e ) f o r a n i n f i n i t e s l a b , 0 . 2 m t h i c k , w a s b o u n d e d b y t h e s o l u t i o n f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e . T h e r e s u l t i n g q u a l i t y h i s t o r i e s w e r e v e r y s i m i l a r f o r a l l l o c a t i o n s ( F i g u r e 6 . 4 3 ) . D u e t o t h e h i g h t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s , t h e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e w a s v e r y r a p i d , a n d l i t t l e v a r i a t i o n i n q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t ( < 1 0 % ) w a s f o u n d . T h e o n e d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r e s o l u t i o n p r o d u c e d v e r y s i m i l a r q u a l i t y r e s u l t s , , m . ) 0 - 6 . n 2 e e m s - i a D C x ( L h ( t C i ' d w 0 o 3 R b - a r l f a S o l u e a g r n r u a t o t a f c r e e n R p o r r e e r e n t t e e n n d d r e i i e o C S C S C { i m m r e t o u T f l o l 0 S n a 6 T 0 . ) o i 1 = y L , m s i t l y a t i a u n n l I o d o i ' ( S s h C 0 ° 1 . n 0 m . e n t l e i a m w c i i D t ) 6 e s a C ( 8 1 — t a s y a C d ° 2 0 m 1 / W , C 5 ° . 5 8 — = t 2 u r c = = e e u O T x x T m n d L T 4 u O o L N r : : D D r a o P l t 1 o 2 T i r n d o e f r 0 2 s a , n m p e m m 0 o i C . D 1 ) o m - w T 0 x . L 1 0 a , y h s y a = d x 5 h 4 - n . o 6 y i L s e r u g i F ' r O 5 3 ‘ “ ’ 1 I 1 0 I ( Q C ) S J n l D J e d L U S i 1 L 0 ‘ 7 ‘ 2 3 3 0 0 = = y y , . x 0 L = = X x v — H 0 0 1 I ; n o i t u l o S l a n o i s H v r 8 e 0 n { r e t e n d e i C S m 0 B j m i D o w T m o V r f 0 I g . n 6 1 = y L , m 0 . ) i s t y a d l u s e r ( R - " e t e m a 2 R = x L : D 2 = n o T " i = C 4 ° 8 1 — o i t a r o i t C — a r 7 ° e s ’ y m a d / t e D W 0 y 1 t 5 i 0 I . , l 2 t 5 8 c ' i fi f i 0 0 o 0 1 6 4 4 ~ a u Q 1 f 4 . = - y t a h s y = 6 a d 5 r e u g i F ( z ) m o n o 2 0 - 1 X C o r n e r a — « a x 1 D : L x = 1 . 0 m { g z n t e r H x = 0 I e H x O f o r R e c t a n g u l a r R o d ( L x - 2 . 0 m , L y - 1 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S l a b w i t h D i m e n s i o n , L x - 1 . 0 m , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ° C ( C a s e 6 ; E a - 1 8 2 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - l 8 ° C - 6 3 0 d a y s ) . 2 3 1 4 y _ ° | y O . = L s . e y - y y y - x , x , 0 L L 3 " O : - " - 0 1 x x x a — 0 H H H a 8 { r e r e n t e n d r e i e o C S C m 2 6 T 0 . 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' . x x ° L 0 = = = x X x L = = x a — 2 0 0 1 C ' 8 n o l i a t n l u a o l i C i o t ° s S i 8 n e n 1 l m I - a i n D t h o t a i e i s w n e n f O — e i t 1 0 T m c l o H H H a : — 8 i u - t t C a D d f d o l ° o e r e ’ s y m a / d w r P h T a S p r m m o W 0 o o f , e l { 1 r C m 2 . 5 f . , 8 C ° 5 0 = ~ , o ) m m g m / n 2 J i k . 2 y t a b 6 t . 0 ) s l 2 0 u - 8 y 1 s - 0 s = y a d R y - L a e x = L i r r e e " t e n 3 n r d 3 e i o C S C 3 m 2 - 0 = y L . m 0 x L . : 2 o = x 1 L : D 2 d ( x a e , h E 5 t , n e a m o R i m 0 s ; i n . 6 n o 2 e 0 T T i m e 4 t - i s a D a r x C o h L ( i t ( r C i e d w ° t o 0 e R b 3 D a - r l y a S f t l o i u r l e g o . ) a r n s f u a u y Q t t n a c a o d e r i 3 R e t 0 4 p u 3 . r m l 6 6 o o e f S T - e r u g i F 1 - 0 2 ( z ) M l l o n o c > . § H H x x ' l 2 3 6 2 3 7 i n d i c a t i n g t h a t f o r t h e l i m i t i n g c a s e w h e r e L x > > L y , t h e o n e d i m e n - s i o n a l s o l u t i o n f o r a n i n f i n i t e s l a b m a y b e u s e d t o a p p r o x i m a t e t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a r e c t a n g u l a r r o d . T h e s a m e t h r e e c a s e s ( L x - L y - 2 . 0 m ; L x - 2 . 0 m , L y - 1 . 0 m ; a n d , L x - 2 . 0 m , L y - 0 . 2 m ) w e r e r e p e a t e d u s i n g t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n - s t a n t o f 4 9 k J / m o l e . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 . 4 4 - 6 . 4 6 . I n a l l c a s e s , t h e s l o p e o f t h e c u r v e s w e r e v e r y s i m i l a r , a n d v e r y l i t t l e v a r i a - t i o n i n q u a l i t y w a s f o u n d w i t h i n t h e p r o d u c t . S i n c e t h e t e m p e r a t u r e s o l u t i o n f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l c a s e w a s b o u n d e d b y t h e s o l u t i o n f o r t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e , t h e r e s u l t i n g o n e d i m e n s i o n a l q u a l i t y p r o f i l e s w o u l d b e b o u n d e d b y t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n s s h o w n i n F i g u r e s 6 . 4 4 - 6 . h 6 . T h e i m p l i c a t i o n s f r o m t h e s e r e s u l t s a r e t h a t f o r p r o d u c t s w i t h l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s ( > 6 0 k J / m o l e ) , t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n m a y b e u s e d t o a p p r o x i m a t e q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e s r e s u l t - i n g f r o m t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r w i t h l i t t l e e r r o r . I n c o n c l u s i o n , q u a l i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t , u s i n g t h e h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t , w e r e s i g n i f i c a n t f o r w i d t h v e r s u s h e i g h t r a t i o s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 5 0 % , a n d i n s i g n i f i c a n t f o r r a t i o s l e s s t h a n o r e q u a l t o 1 0 % . H o w e v e r , f o r l o w a c t i v a t i o n e n e r g y p r o d u c t s , t h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n w a s r e l a t i v e l y i n d e p e n d e n t o f t h e w i d t h v s h e i g h t r a t i o , i n d i c a t i n g t h a t a o n e d i m e n s i o n a l m o d e l , o r a m o d e l u s i n g t h e m a s s a v e r a g e t e m p e r a t u r e ( l u m p e d c a p a c i t a n c e m o d e l ) m i g h t p r o v i d e a n e x c e l l e n t e s t i m a t i o n o f t h e p r o d u c t q u a l i t y . W h e n c o m p a r i n g t h e t w o d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , u s i n g e q u a l w i d t h a n d h e i g h t , t o t h e o n e d i m e n - s i o n a l s o l u t i o n o f e q u i v a l e n t g e o m e t r y , t h e q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e c o r n e r s o f t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e w e r e o v e r e s t i m a t e d b y t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n . T h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n c l o s e l y a p p r o x i m a t e d a t t h e o u t e r s u r f a c e c l o s e l y a p p r o x i m a t e d t h e t w o d i m e n — s i o n a l s o l u t i o n a t t h e m i d p o i n t o f t h e s i d e s . 0 0 1 y 0 L = = y y o = y , x . ' , L x o L - e a a c x x a v a ’ . — — w F v B 8 0 r r r e e t n e n r d * e o i ' C S C m 0 r 6 0 ) ' 1 , m . 2 = 0 m s y a d ( e i 0 T r 4 0 2 . 0 ) 6 . 2 e = s y a L ~ = c 2 x L : D t a s y a C ( C ° 8 1 d ° ’ 0 m 1 / W , C 5 ° . 5 8 ~ t a = y s h y = a = d x 5 h - 0 6 ( z ) m o n o 2 3 8 2 0 - 4 F i g u r e 6 . 4 4 Q u a l i t y D e t e r i o r a t i o n R a t e R e s u l t i n g f r o m T w o D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r S q u a r e R o d ( L x - L y - 2 . 0 m ) C o m p a r e d t o O n e D i m e n s i o n a l S o l u t i o n f o r a S l a b w i t h E q u a l D i m e n s i o n , L x , f o r P r o d u c t w i t h I n i t i a l T e m p e r a t u r e o f - 3 0 ' C ( C a s e 6 ; E a - 4 9 k J / m o l e , S h e l f - l i f e a t - 1 8 ' C - 5 4 0 d a y s ) . 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H e a t t r a n s f e r t h r o u g h a t w o d i m e n s i o n a l s q u a r e r o d a n d a o n e d i m e n s i o n a l c y l i n d e r w e r e u s e d i n t h e c o m p a r i s o n . T w o c r i t e r i a w e r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e r a d i u s ( R ) o f t h e c y l i n d e r : ( 1 ) s h a p e s o f e q u a l s u r f a c e a r e a ; a n d , ( 2 ) s h a p e s o f e q u a l v o l u m e . I n b o t h c a s e s , n o h e a t t r a n s f e r w a s a s s u m e d a l o n g t h e a x i s o f t h e r o d a n d t h e c y l i n d e r , a n d t h e s u r f a c e a r e a a n d . v o l u m e w e r e c a l c u l a t e d u s i n g u n i t l e n g t h a l o n g t h i s a x i s . T w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a s q u a r e r o d w i t h d i m e n s i o n s 2 m b y 2 m ( F i g u r e 6 . 3 7 ) . U n i f o r m b o u n d a r y c o n d i t i o n s , o f f i v e d a y s a t - 5 ’ C , a n d t e n d a y s a t - 1 8 ’ C ( C a s e 6 ) , w e r e i m p o s e d o n a l l s u r f a c e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f h e a t t r a n s f e r , a n d a n i n s u l a t e d b o u n d a r y w a s i m p o s e d i n t h e a x i a l d i r e c - t i o n . T h i s w a s t h e s a m e p r o b l e m s o l v e d f o r f i r s t i n S e c t i o n 6 . 5 . 2 , a n d s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 8 . T h e r a d i u s o f a c y l i n d e r w i t h e q u a l s u r f a c e a r e a w a s f o u n d t o b e 1 . 2 7 3 m . T h e s o l u t i o n f o r o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h t h e c y l i n d e r i s c o m p a r e d t o t h e s o l u t i o n o f t h e t w o d i m e n s i o n a l r o d i n F i g u r e 6 . 4 7 . T h e s o l u t i o n s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r s f o r b o t h g e o m e t r i e s w e r e v e r y s i m i l a r ; a n d t h e s o l u t i o n a t t h e o u t e r s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r w a s a p p r o x i m a t e l y t h e a v e r a g e o f t h e s o l u t i o n s a t t h e m i d p o i n t o f t h e s i d e s a n d t h e c o r n e r s f o r t h e s q u a r e r o d . T h e q u a l i t y h i s t o r i e s w e r e d e t e r m i n e d u s i n g t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o f 1 8 2 k J / m o l e , a n d c o m p a r e d a t t h e s a m e l o c a t i o n s . R e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 8 . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e q u a l i t y h i s t o r i e s p r e d i c t e d f o r t h e r o d a n d t h e c y l i n d e r a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , w a s l e s s t h a n 2 % a t t h e e n d o f 1 0 0 d a y s i n s i m u l a t e d s t o r a g e . T h e s o l u t i o n a t a h l g a u u y o q 0 y L r E 0 L = = h = = y y T f y y o . u . . < ' > x O o = L = = = g r x r x x n r e r f e s d n n a i » e I a r l — 0 T y — — H H 8 o I H a ' { r r r e e e t t n e e n n r d d ' e e o fi i C S C S C m C t a a e H h g l u a o n r o h i T s n r e e ) 6 0 ' i s 0 m f . 2 5 ) D n m s a e 7 s 2 a . = o r y w T y L a T d t C ( 1 , ‘ ( m = e C 0 ° . m 8 i R 2 r a o e f H s l n a o n : r = i o x t i 0 T l e L 4 d n i l : d y o C R u s l n o e S m . i ) f 6 D o e e n n s o a O s C i d ( r n a a a 1 — t a s y 0 / 0 1 , 3 w — , C 5 ° = . 5 8 — . = p t a m y e b T s y l a = a d x i t i n 5 h i q 5 c ' a d ° ’ C ° D D m 1 2 0 l p e 2 m d r I o o A C R e e c 7 r a 4 a f . u r 6 q u S S e r u g n 5 f i o F _ 5 _ 1 ~ 3 _ ( 3 ° ) e J n i o J e d w e i 2 1 2 0 0 1 o s I H I I r r r e e e t n t e e n d r n d e i e o l C S C C S _ L ' L : d : l o o a h g t u a o e r H h T l a r n e o f i s s n n a e r m T i D t a o e w H T l m a o n r o f i s g n n e i m t i . l D ) R C y m m i i D D 2 1 0 0 1 s ) s y u 6 a s e d ( e n e R O s a e d C t n ( e a a m R a i d e n o r 0 T l o R A 4 i \ \ C ' 8 1 — \ C ‘ n t ' fi t e e a r c r a a o u f i q r r u S a e S C ° r a e m s l / y W a t a e l D h a n C g u 0 d 3 l ' - 5 7 . a 0 — y 2 m 8 1 ) ? L y q u t o E i r i i = 1 W = = . a T o . / 2 l h f = 2 = = 5 y . h x C ° u 5 Q r r . p m ? 8 t — - l z - = : t a d e a fi o x e e f d 8 s n 4 n i T . a l C R h x l h s y a a n n 6 r y T C i h h e d t i D D r n 5 I l 2 ‘ 0 4 — 0 0 6 4 . . 0 2 u g i F ( z ) K i m o n o 2 1 3 U 2 h u t h e o u t e r s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r , w a s b e t w e e n t h e t w o s o l u t i o n s a t t h e s i d e m i d p o i n t s a n d t h e c o r n e r s o f t h e r o d . T h i s s o l u t i o n p r o v i d e d a n e s t i m a t e o f t h e a v e r a g e q u a l i t y a t t h e s u r f a c e , b y u n d e r e s t i m a t i n g t h e q u a l i t y a l o n g t h e s i d e s , a n d o v e r e s t i m a t i n g t h e q u a l i t y a t t h e c o r n e r s . T h i s c o m p a r i s o n w a s r e p e a t e d u s i n g t h e e q u i v a l e n t v o l u m e c r i t e r i o n . T h e r a d i u s s a t i s f y i n g t h i s c r i t e r i o n w a s f o u n d t o b e 1 . 1 2 8 m . T h e r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 9 . T h e s m a l l e r r a d i u s r e s u l t e d i n a p o o r e r e s t i m a t e o f t h e t e m p e r a t u r e a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , t h a n t h a t f o u n d u s i n g t h e e q u a l s u r f a c e a r e a c r i t e r i o n . O n t h e o t h e r h a n d , t h e t e m p e r a t u r e a t t h e s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r w a s a l m o s t t h e s a m e a s t h a t f o u n d u s i n g R - 1 . 2 7 3 m . T h e p r e d i c t e d q u a l i t y p r o f i l e s a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e o u t e r s u r f a c e a r e c o m p a r e d w i t h t h e s o l u t i o n f o r t h e r o d i n F i g u r e 6 . 5 0 . ( T h e s o l u t i o n f o r t h e r o d i s t h e s a m e a s t h a t s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 8 . ) C o m p a r i n g F i g u r e s 6 . 4 8 a n d 6 . 4 9 , t h e e q u a l s u r f a c e a r e a c r i t e r i o n r e s u l t e d i n a b e t t e r e s t i m a t i o n o f t h e q u a l i t y h i s t o r y o f t h e t w o d i m e n s i o n a l r o d , t h a n e i t h e r t h e e q u a l v o l u m e c r i t e r i o n o r t h e o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n u s i n g t h e s a m e g e o m e t r y ( S e c t i o n 6 . 6 . 2 ) , d u e t o t h e b e t t e r e s t i m a t i o n o f t h e t e m p e r a t u r e a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , a n d t h e o u t e r s u r f a c e f o r t h e s o l u t i o n u s i n g t h e s a m e g e o m e t r y . A 1 0 % d i f f e r e n c e i n q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r w a s e s t i m a t e d u s i n g t h e v o l u m e c r i t e r i o n , c o m p a r e d t o o n l y a 2 % e r r o r u s i n g t h e e q u a l s u r f a c e a r e a c r i t e r i o n . T h e r e f o r e , u s i n g o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a c y l i n d e r p r o v i d e d a g o o d m o d e l f o r t h e e s t i m a t i o n o f t h e q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r a n d t h e a v e r a g e q u a l i t y a r o u n d t h e p e r i m e t e r o f a s q u a r e r o d , w i t h u n i f o r m b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n f o u r a d j a c e n t s i d e s , a n d i n s u l a t e d o n t h e o t h e r s i d e s . T h e e q u i v a l e n t s u r f a c e a r e a c r i t e r i o n p r o v i d e d a b e t t e r e s t i m a t e o f t h e q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r t h a n e i t h e r t h e e q u i v a l e n t v o l u m e c r i t e r i o n o r u s i n g t h e s a m e g e o m e t r y . E x t e n d i n g t h i s = . l . I y 0 y L 0 L = = = = y y y y . 0 R ¢ . u , L > , x 0 ' 0 l a u q E f o r = = - = ' = " g e I 5 \ x X n r r x ‘ \ ’ - » . 3 A K 5 k H H H H H H { r r r e e e t t n e e n r n d d e i i e o " { C S C S C { . I ” . m 0 d n i l y C a h g u o r h T r e f s n . i n i i m m a 2 3 1 = y L r T . t 1 , a I = - R m 0 . 2 = e H l a n : o g ; \ ‘ \ m ; r x e L d n i l : d y o C R D D } 1 2 " 3 \ \ ‘ i - } a T i s n e m i D e n O . ) d 6 n a e s d a o C R ( e e r m a u u l q o S / V ' 2 . r 5 3 _ ( 3 ° ) e J n i o J e d w e i 5 d a y s a t — 5 ° C , 1 0 d a y s a t — 1 8 ° C ( C a s e 6 ) h x = h y = 8 . 5 W / m ’ ° C _ 5 q I n i t i a l T e m p . = « 3 0 ° C 1 ' - e ‘ ’ \ 9 : ~ i l ’ - } ( _ “ ' ~ . e . . . , " 1 ' x 5 “ - / / , / ‘ Q ‘ ~ . . . k I . . b ” x ' I t o w — l s b . - J r ' I ' 1 * 8 0 1 0 0 j . o 2 0 4 0 d o T i m e ( d a y s ) F i g u r e 6 . 4 9 C o m p a r i s o n o f S o l u t i o n s f o r T w o D i m e n s i o n a l H e a t T r a n s f e r T h r o u g h a 2 1 4 5 y 0 L = = y y 0 = y , , R , x 0 L x = = L = = = = x x x r r m v J E 0 e — — - - n m v B 0 o r r r e e e t e n t e n d d n r e i o e i C S C C S T _ _ ’ 4 ‘ : d " o Y R C m " i . " 0 0 1 a h g t u a o e r H h . T l a r n e o f i s s n n a e r m T i D t a o e w H T l m a o n r o f i s g n n e i m t i l D i 0 8 . i 0 6 ) s y u D 0 a s e 2 I d ( e e n R O . e ) d t n 6 a a m R e i d s n o a i o R 0 T C 4 i ( C ' 8 1 - n C r t . " a C . / 2 s y 0 m t e a r e r a m o u u i q l r S o e V t a e l ° D h a W a 0 m d C g u 3 " 5 - y u q — m y 3 1 L / . 0 t o E 8 1 0 I i r 2 l h f . - - = W — = , 1 - C = 5 y ° a T o u x Q r r . 5 . b p R - 8 L m - : - e e f d t 0 s n 5 i n . l a 6 y r T C e r : = d e l a T y o x C R h x h l a m m i i i t i n D D I 1 2 s y a d 0 0 1 . - ‘ O 0 0 0 4 2 g i F 5 u ( z ) K i o n o 2 1 4 6 7 2 1 4 7 a p p l i c a t i o n t o a l o w a c t i v a t i o n e n e r g y p r o d u c t w o u l d r e s u l t i n a b e t t e r e s t i m a t e o f t h e s u r f a c e q u a l i t y , s i n c e , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 4 , t h e r e w a s v e r y l i t t l e d i f f e r e n c e i n t h e q u a l i t y a r o u n d t h e s u r f a c e o f t h e r o d u s i n g t h e P S L c r i t e r i o n . T h i s l e a d s t o a m e a n s o f q u i c k l y e s t i m a t i n g t h e q u a l i t y p r o f i l e o f a l a r g e m a s s o f p r o d u c t . R u n n i n g t h e o n e d i m e n - s i o n a l h e a t t r a n s f e r p r o g r a m f o r t h e c y l i n d r i c a l g e o m e t r y , r e q u i r e d a p p r o x i m a t e l y e i g h t m i n u t e s o f C P U t i m e o n a V A X l l / 7 5 0 c o m p u t e r , w h i l e r u n n i n g t h e t w o d i m e n s i o n a l p r o g r a m o n t h e s a m e c o m p u t e r t o o k o v e r s i x h o u r s o f C P U t i m e . T h i s c o n c e p t c o u l d b e e x t e n d e d t o a p p r o x i m a t e t h r e e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a r e c t a n g u l a r c u b e b y u s i n g a t w o d i m e n s i o n a l f i n i t e c y l i n d e r . T h i s m e t h o d , h o w e v e r , s h o u l d o n l y u s e d f o r u n i f o r m b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r o u n d t h e o u t e r s u r f a c e s o f a s q u a r e r o d , a n d m a y n o t p r o v i d e a c c u r a t e r e s u l t s i f e x t e n d e d t o o t h e r s i t u a t i o n s , s u c h a s , n o n - u n i f o r m b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d u n e q u a l s i d e s . C H A P T E R 7 . S U M M A R Y A N D C O N C L U S I O N S A f i n i t e d i f f e r e n c e m o d e l , i n c l u d i n g t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , w a s d e v e l o p e d t o s i m u l a t e o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h f r o z e n f o o d s e x p o s e d t o s t e p c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e s t o r a g e c o n d i t i o n s . T h e r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r i e s w e r e u s e d t o p r e d i c t q u a l i t y r e t e n t i o n a t d i f f e r e n t l o c a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t , b a s e d o n a t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e c o n s t a n t , a n d a r e f e r e n c e s h e l f - l i f e . T h e o n e d i m e n s i o n a l f i n i t e d i f f e r e n c e m o d e l w a s m o d i f i e d t o s i m u l a t e t w o d i m e n s i o n a l h e a t f l o w , b y u t i l i z i n g t h e C r a n k - N i c o l s o n a p p r o x i m a t i o n i n a n A l t e r n a t i n g D i r e c t i o n I m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e m o d e l . T w o d i m e n s i o n a l q u a l i t y p r o f i l e s w e r e e s t i m a t e d u s i n g t h i s m o d e l . T h e t e m p e r a t u r e s i m u l a t i o n m o d e l s w e r e v e r i f i e d b y c o m p a r i s o n w i t h a n a l y t i c a l s o l u t i o n s u s i n g c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s , a n d w i t h e x - p e r i m e n t a l t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , o b t a i n e d i n c o n t r o l l e d s t o r a g e c o n d i t i o n s , u s i n g t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e , a h i g h l y c o n c e n t r a t e d m e t h y l - c e l l u l o s e m i x t u r e ( G u t s c h m i d t , 1 9 6 0 ) , a s a n a n a l o g f o r t h e f o o d p r o d u c t . T h e i n t e r f a c e b e t w e e n t w o i n t e r i o r p r o d u c t p a c k a g e s w a s f o u n d t o i n c r e a s e t h e r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r w i t h i n t h e p r o d u c t m a s s , r e s u l t i n g i n a h i g h e r t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l b e t w e e n i n t e r i o r a n d e x t e r i o r p a r t s o f t h e p r o d u c t , t h a n f o u n d w i t h t h e s o l u t i o n w i t h n o i n t e r f a c e . T h e r e f o r e , t h e p a c k a g i n g i n t e r f a c e r e d u c e s t h e q u a l i t y 2 4 8 2 4 9 d e t e r i o r a t i o n r a t e a t t h e i n t e r i o r o f t h e p r o d u c t , a n d i n c r e a s e s i n q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n r a t e i n t h e e x t e r i o r p o r t i o n s o f t h e p r o d u c t . T h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s p r e v a i l i n g d u r i n g s t e p c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e s t o r a g e c o n d i t i o n s w e r e e s t i m a t e d a s a f u n c t i o n o f t i m e u s i n g t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d o f e s t i m a t i n g t h e s u r f a c e h e a t f l u x f r o m i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , a g a i n u s i n g t h e K a r l s r u h e T e s t S u b s t a n c e . T h e o n e d i m e n s i o n a l d i r e c t f i n i t e d i f f e r e n c e p r o g r a m w a s u t i l i z e d i n t h e s o l u t i o n . T h e e f f e c t s o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , s i z e , g e o m e t r i c a l s h a p e , a n d t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t o n t h e t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i b u - t i o n h i s t o r i e s w e r e s t u d i e d . T h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s w e r e d r a w n f r o m t h i s i n v e s t i g a t i o n . 1 . T h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d p r o v i d e d e s t i m a t e s o f t h e t r a n s i e n t s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s w h i c h i n c l u d e d t h e e f f e c t s o f t h e e x t e r i o r p a c k a g i n g l a y e r , a n d t h e a c c u m u l a t i o n a n d d i m i n u t i o n o f f r o s t o n t h e o u t e r s u r f a c e . 2 . T h e i n t e r i o r p r o d u c t p a c k a g i n g i n t e r f a c e i n c r e a s e d t h e r e s i s t a n c e t o h e a t f l o w w i t h i n t h e p r o d u c t . T h i s r e s u l t e d i n a h i g h e r t e m p e r a t u r e d i f f e r e n t i a l , a n d a p o t e n t i a l l y h i g h e r q u a l i t y d i f f e r e n t i a l w i t h i n t h e t o t a l p r o d u c t m a s s , t h a n p r e d i c t e d f o r b y u s i n g t h e a s s u m p t i o n o f n e g l i - g i b l e i n t e r n a l p a c k a g i n g r e s i s t a n c e t o h e a t t r a n s f e r . 3 . V a r i a t i o n s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s a f f e c t e d t h e r e t e n t i o n o f q u a l i t y w i t h i n t h e p r o d u c t . H i g h e r s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s r e s u l t e d i n a l o w e r q u a l i t y r e t e n t i o n ; c h a n g e s a t l o w e r m a g n i t u d e s o f t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ( 1 . 0 - 8 . 5 W / m 2 ° C ) h a d g r e a t e r i n f l u e n c e o n t h e r e s u l t s t h a n c h a n g e s a t h i g h e r m a g n i t u d e s ( 8 . 5 - 2 O W / m 2 ° C ) . S t e p 2 5 0 c h a n g e s i n s t o r a g e t e m p e r a t u r e f r o m - 1 8 ° C t o - S ° C f o r o n e d a y o r l e s s , a n d t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s b e t w e e n - 1 8 ° C a n d - 1 3 ° C h a d v e r y l i t t l e e f f e c t o n t h e r e t e n t i o n o f p r o d u c t q u a l i t y . 4 . T h e m a g n i t u d e o f c h a n g e i n q u a l i t y r e t e n t i o n w a s h i g h l y d e p e n d e n t o n t h e m a g n i t u d e o f o f t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t . I n m o s t s i t u a t i o n s o f s t e p c h a n g e s i n a m b i e n t c o n d i t i o n s , s m a l l i n t e r n a l v a r i a t i o n s i n q u a l i t y c a n b e e x p e c t e d f o r p r o d u c t s w i t h l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n - s t a n t s ( < 6 0 k J / m o l e ) , s u g g e s t i n g t h a t a v e r a g e p r o d u c t t e m p e r a t u r e s ( l u m p e d c a p a c i t a n c e s o l u t i o n ) c o u l d b e u s e d t o e s t i m a t e q u a l i t y h i s - t o r i e s . P r o d u c t s w i t h a c t i v a t i o n e n e r g i e s a b o v e 6 0 k J / m o l e a r e c o n s i d e r e d t o b e s e n s i t i v e t o t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p r o d u c t , s u c h t h a t t h e l u m p e d c a p a c i t a n c e s o l u t i o n s h o u l d n o t b e u s e d . P r o d u c t s w i t h h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s ( > 1 2 0 k J / m o l e ) a r e v e r y s e n s i t i v e t o v a r i a t i o n s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s , s u c h t h a t v a r i a t i o n s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s w o u l d r e s u l t i n l a r g e q u a l i t y d i f f e r e n t i a l s w i t h i n t h e p r o d u c t m a s s . 5 . Q u a l i t y d i f f e r e n c e s w i t h i n t h e p r o d u c t m a s s f o r l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t p r o d u c t s ( < 6 0 k J / m o l e ) , a s s u m i n g o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r a n d s t e p c h a n g e s i n s t o r a g e c o n d i t i o n s , w e r e s i g n i f i c a n t ( > 1 0 % v a r i a t i o n ) f o r v e r y l a r g e p r o d u c t m a s s e s ( 2 6 . 0 m ) , u s i n g a s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t o f 8 . 5 W / m 2 ° C , a n d a m b i e n t t e m p e r a t u r e < - 5 ° C . P r o d u c t s w i t h h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t s h a d i n s i g n i f i c a n t q u a l i t y d i f f e r e n c e s w i t h i n t h e p r o d u c t o n l y w h e n t h e p r o d u c t t h i c k n e s s w a s v e r y s m a l l ( 5 0 . 2 m ) , u s i n g i d e n t i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . F o r t w o d i m e n - s i o n a l h e a t t r a n s f e r i n l o w a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t p r o d u c t s , t h e q u a l i t y d i f f e r e n c e s w i t h i n t h e p r o d u c t h a v e l i m i t e d d e p e n d e n c e o n t h e w i d t h v e r s u s h e i g h t r a t i o , a s s u m i n g i d e n t i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n 2 5 1 b o t h d i r e c t i o n s o f h e a t f l o w . F o r h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y p r o d u c t s u n d e r t h e s a m e c o n d i t i o n s , t h e q u a l i t y d i f f e r e n c e s a r e i n s i g n i f i c a n t o n l y f o r s m a l l w i d t h v e r s u s h e i g h t r a t i o s ( 5 1 0 % ) . 6 . T h e q u a l i t y d i s t r i b u t i o n h i s t o r y r e s u l t i n g f r o m t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a r e c t a n g u l a r r o d c a n b e a p p r o x i m a t e d w i t h i n 5 % a c - c u r a c y b y t h e o n e d i m e n s i o n a l m o d e l h e a t t r a n s f e r a n d q u a l i t y r e t e n t i o n , f o r a n i n f i n i t e s l a b o f e q u a l w i d t h , o n l y i f t h e h e i g h t v e r s u s w i d t h r a t i o f o r t h e r e c t a n g u l a r s l a b i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 1 0 : 1 . 7 . T h e q u a l i t y r e t e n t i o n r e s u l t i n g f r o m t w o d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r t h r o u g h a s q u a r e r o d c a n b e a p p r o x i m a t e d b y t h e o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r a n d q u a l i t y r e t e n t i o n m o d e l , f o r a n i n f i n i t e c y l i n d e r o f e q u a l s u r f a c e a r e a , w i t h o v e r 9 0 % r e d u c t i o n i n c o m p u t a t i o n t i m e . T h e e q u a l s u r f a c e a r e a c r i t e r i o n p r o v i d e d a b e t t e r e s t i m a t e o f t h e t w o d i m e n s i o n a l m o d e l t h a n e i t h e r a c y l i n d r i c a l g e o m e t r y w i t h e q u a l v o l u m e , o r t h e e q u i v a l e n t o n e d i m e n s i o n a l r e c t a n g u l a r g e o m e t r y . T h e c y l i n d r i c a l m o d e l p r o v i d e d a n e x c e l l e n t e s t i m a t i o n o f t h e q u a l i t y a t t h e g e o m e t r i c c e n t e r , a n d t h e a v e r a g e q u a l i t y a r o u n d t h e p e r i m e t e r o f t h e s q u a r e r o d , h o w e v e r , t h e m o d e l g r e a t l y o v e r - e s t i m a t e d t h e q u a l i t y a t t h e c o r n e r s o f t h e r o d , g i v e n a p r o d u c t w i t h a h i g h a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( < 1 2 0 k J / m o l e ) . , ’ ~ . i ' i l T I 1 1 1 . 1 1 4 1 “ 1 . m u m - m I 1 ‘ I M M ‘ 1 I H ‘ ‘ M T 1 1 . I i ‘ l i I 1 . 1 1 1 . 1 I 1 2 9 3 0 0 5 3 0 8 0 3 0 1 1 3 : 1 M S U ' L I B R A R I E S 4 2 — . R E T U R N I N G M A T E R I A L S : P l a c e i n b o o k d r o p t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . F W E S w i l l b e c h a r g e d i f b o o k i s r e t u r n e d a f t e r t h e d a t e s t a m p e d b e l o w . E h W 3 1 1 ° C ” { . 5 3 ’ I ' ‘ A » 2 . . S I M U L A T I O N O F T E M P E R A T U R E A N D Q U A L I T Y P R O F I L E S I N F R O Z E N F O O D S S U B J E C T T O S T E P C H A N G E S I N S T O R A G E C O N D I T I O N S B y E l a i n e P a t r i c i a S c o t t V o l u m e I I A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f ' D O C T O R O F P H I L O S O P H Y A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g 1 9 8 7 A P P E N D I X A A P P E N D I X A E Q U A T I O N S F O R B O U N D A R Y N O D E S I N T W O D I M E N S I O N A L F I N I T E D I F F E R E N C E S O L U T I O N T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s w e r e d e r i v e d f o r t h e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y n o d e s s h o w n i n F i g u r e A . l f o r a n i n f i n i t e r o d a n d a s o l i d c y l i n d e r , u s i n g t h e D o u g l a s - G u n n a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e ( D o u g l a s a n d G u n n , 1 9 6 4 ) . E i g h t u n i q u e e q u a t i o n s w e r e r e q u i r e d t o d e t e r m i n e a l l o f t h e t e m p e r a t u r e v a l u e s a t t h e b o u n d a r i e s . 1 . 1 - 1 , m . = 1 S t e p 1 . S w e e p i n x - d i r e c t i o n . n k A A A _ x n + 6 . + x + x . z 1 n + 5 [ 2 [ t h x o A x + A x ] + ( ( p C p ) + x + ( p C P ) + y ) 8 A t J T 1 , 1 + k + x A + x T n + £ " x 2 A x 2 , 1 fi x n k + X A + X n A k A — — o _ o J M - [ 2 t h x 0 A x + A x + h y o 2 + 2 A y ( ( p C P ) + x A X A ! n k + ! A + ! n k + z A + X n + ( P C P ) + y ) ’ 8 A t T 1 , 1 ' 2 A y T 1 , 2 ' fi x 2 A x T 2 , 1 A h y n A . n . n . n + 6 . n + 5 _ § _ O x . n - ( fi x h X L X o T c o + " x t h x o T c o ) 2 2 T c o ( A . 1 a ) 2 5 2 - ( ( C ) P P + x + ( C ) P P + y ) . y f 8 § A f t T n 1 , 1 _ fl k + y y y 2 A A + y T n 1 , 2 _ fl k + x g 3 Z A A + X T n 2 , 1 2 5 3 S t e p 2 . S w e e p i n t h e y - d i r e c t i o n . - 3 1 h “ - A + E i x g i l + ( ( p C p ) + ( p o p ) > - fi z fi x T n + 1 2 y 0 y A y + x + y 8 A t 1 , 1 + k + 1 A + 1 T n + 1 " y 2 A y 1 , 2 _ Z r h x n + € , A + E i r f i r T n + € _ E i r f i r T n + € 2 o n x A x 1 , 1 " x 2 A x 2 , 1 3 k A fl k A _ E n , _ i § _ i § . 1 n , _ i l _ i l + [ 2 [ t h X o A x + A x ] + 2 [ h y O A + A n + 5 n + 5 X . T 0 0 ) 2 n n ( fi x - t h x o - T c o + n x - t h x o A n n n + 1 n + 1 y - ( ' B y . h y 0 . T o o + n y o h y o 0 1 ‘ ” ) 2 ( A . 1 b ) 2 . l - 1 , 1 ‘ < m u < H S t e p 1 . S w e e p i n x - d i r e c t i o n . + X 4 " ) ! k A - [ n x [ h x § ; E - A x + A x J + < < p C p > + x + < < p C p > _ y + < p C p > + y ) ) / 2 > - - p k ( < fi x C p > + x + A x + X A + X < T < 2 n p , C m p > _ , y + ( 5 X ( . p o p ) t h I 1 x o H . > T / A 4 2 c n o + X : " A , ) x T n 1 , . t h n x + o 6 . m T - c o n + 6 fl ) y A k x + x x 2 A A + y T n 1 , m + 1 2 5 4 k A k A k A + k A - - — ; ¥ — ; 1 T n + p h x n - A + _ i r _ : r + - y - y + y + y 2 A y 1 , m - 1 x o n x A x 2 A y A x A y n k + y A + y n - ( ( p C p ) + x + ( ( p C p ) _ y + ( p C p ) + y ) ) / 2 ) - 4 A t T 1 , m - 2 A y T 1 , m + 1 k + x A + x n . n . n . n + 5 . n + 5 - fl x + A x T 2 , m - ( fi x h X L X o T m + " x h X o n T c o ) A x ( A . 2 a ) S t e p 2 . S w e e p i n t h e y - d i r e c t i o n . k A k _ v A - v + k A - 1 ' 2 1 n + 1 _ - + y + y " y 2 A y T l , m - l [ " y 2 A y + ( ( P C P ) + X + ( ( P C P ) _ y p p + A A t 1 , m " y 2 A y l , m + 1 k A k A k A _ n + 5 . + x + x n + 5 _ + x + x n + 5 - - y - y n " x [ t h x o A x + A x ] T 1 , m " x A x T 2 , m B y 2 A y T 1 , m - l ( A . 2 b ) - ( ( p c p ) + x + ( P C P ) - y ) - 8 5 3 A 5 t 1 T n 1 , m * fl x 5 1 x 2 5 A + x x T n 2 . M 2 5 5 3 . l - 1 , n = ’ H S t e p 1 . S w e e p i n x - d i r e c t i o n . n k A A A _ x n + 5 . + x + x . 5 1 n + 6 [ 2 [ t h x o A x + A x ] + ( ( p c p ) + x + ( p C P ) - y ) 8 A t ] T k A 3 k A k A b y 0 A - _ ; x _ ; 1 T n + . 3 h x n , A + _ : r _ : r + : y : X , + L y X 2 A y l , M - l 2 o n x A x 2 A y 2 _ ( ( C ) + ( C ) ) . A x A y T n _ k + x A + x T n p p + x p p - y 8 A t l , M fi x 2 A x 2 , M b y - A . . o n o n o n + 6 o n + £ - — — - L L 1 . n ( fi x h X L X o T 0 ° + " x t h x o T c o ) A x 2 T c o ( A . 3 a ) S t e p 2 . S w e e p i n t h e y - d i r e c t i o n . k ” A ’ T n + l [ 2 1 [ E L X E L X + h “ + 1 A ] + ( ( c ) + ( c ) ) y y y p p + x p p _ y " y 2 A y 1 , m - 1 ‘ 2 A y L A A . _ z _ x T n + 1 ] _ E X h x n + € o A + E i fl f i fi T n + € _ k + x A + x . T n + § _ fl k _ ¥ A _ x T n 2 o n X A X 1 , M " x 2 A x 2 , M y 2 A y 1 , M - 1 3 k A fl k A _ ) . ( . n . + X + X J - ¥ - 1 n . + [ 2 [ t h x o A x + - — A ; _ _ ] + 2 [ A y + h y L y A y 2 k E _ X 2 y " _ _ y 5 8 A A . + ' 5 A h [ < 5 t x < T 1 o n 3 J p 1 m 0 [ n 1 + n 2 a , + € p ) - A + - n 1 h + T x 1 t X + , + n 1 m E p . i c x 0 < 2 é A A p 1 2 é x x fi i + ) - y k + e _ X A x 8 A T A x — A A y n + 1 H t _ , + X A € M k V + _ + T + y + h " “ 1 Y x fl J , n L k 2 M A A A 1 x 2 - y + x k 1 9 n + 2 2 ' ( ( § M + , 2 x A A + x + x p _ C h T 9 fl y n 2 ) L y n 9 + k y M - x X . I A T A y — k + ) ) _ y n l , M - 1 x - + x 2 ( p x C p T A A - y . A y 2 5 5 3 . l - 1 , n . = H S t e p 1 . S w e e p i n x — d i r e c t i o n . 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S w e e p i n x - d i r e c t i o n . k A n k A - x - x n + 6 _ _ x - x - x n + E . n x 2 A x T L 1 M [ [ + b x A x J + < < p C p > _ x + ( p C p > _ y ) 2 6 1 , f z fi x T n + 5 8 A t L , M k - x A - x n k _ A _ n E ; k _ A _ n ' ' fi x 2 A x T L - 1 , M ‘ 2 A y T L , M - 1 + 2 A x + t h x ' A x k _ A _ h y L o A A x A n + 2 A y + - — § 1 - 1 - ( < p 0 p > _ x + ( p o p ) _ y ) - § ; ; ¥ T L , M A b y - A _ . n . n . n + 6 . n + 6 _ x _ _ _ fi _ _ 1 . n ( fi x t h x T m + " x t h x T m ) 2 2 T m ( A . 8 a ) S t e p 2 . S w e e p i n t h e y - d i r e c t i o n . 1 “ A ‘ T “ + 1 - 2 1 4 — H A ’ + h n + 1 - A + ( ( C ) + ( C ) ) " y 2 A y L , M - 1 2 A y y L y y p p - x p p - y . A X A X T n + 1 8 A t L , M _ _ E L K fi L E n + £ - 2 % E L § § ; § + h x n + € O A T n + § - fl E : K f ; § " x 2 A x L - 1 , M 2 A x L x x L , M x 2 A x T “ - 5 k ' A “ T “ + E 5 k ' x A ' x + h x n - A L - 1 , M y 2 A y L , M - 1 2 A x L x x E X k _ A _ n A x A n A . n . n . n + § . n + 5 _ x - ( B x t h X T 0 0 + " x t h X T 0 0 ) 2 A l - ( fl y - h y g y . T : + n y - h y fl ; - T : + 1 > § 1 ( A . 8 b ) A P P E N D I X B A P P E N D I X B O N E D I M E N S I O N A L T R A N S I E N T H E A T C O N D U C T I O N A N D Q U A L I T Y R E T E N T I O N P R O G R A M T h e o n e d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o g r a m , i n c l u d i n g e s t i m a t i o n o f q u a l i t y r e t e n t i o n , d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 , i s p r e s e n t e d h e r e . A n o u t l i n e o f t h e p r o g r a m i s g i v e n i n T a b l e 3 . 1 , a n d t h e l i s t i n g f o r t h e p r o g r a m , w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 f o r a V a x 1 1 / 7 5 0 i s g i v e n i n T a b l e 3 . 2 . 2 6 2 2 6 3 T a b l e 8 . 1 D e s c r i p t i o n o f O n e D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . s u b r o u t i n e T i t l e P R O G R A M F R E E Z E S U B R O U T I N E P R O P E R D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N M O I S T ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N D E N S ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N K I ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N C O N D U C ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N S P H E A T ( X ) S U B R O U T I N E C O N S P R S U B R O U T I N E I N T E G R B L O C K D A T A C O N S T S U B R O U T I N E I N P U T I S U B R O U T I N E I N P U T 2 S U B R O U T I N E S O L N S U B R O U T I N E C O E F F D e s c r i p t i o n M a i n p r o g r a m ; c o n t a i n s p r o g r a m m e n u . A l l o w s i n t e r a c t i v e f o r t h e r m a l p r o p e r t i e s , p r i n t s o u t p r o d u c t p r o p e r t i e s a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . D e t e r m i n e s p e r c e n t a g e o f u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n o f f o o d p r o d u c t a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e b e l o w 0 ° C . D e t e r m i n e s d e n s i t y o f f o o d p r o d u c t a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e b e l o w 0 ° C . D e t e r m i n e s t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f i c e a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e b e l o w 0 ° C . D e t e r m i n e s t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f f o o d p r o d u c t a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e b e l o w 0 ° C . D e t e r m i n e s s p e c i f i c h e a t o f f o o d p r o d u c t a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e b e l o w 0 ° C . C a l c u l a t e s c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t y a p p r o x i m a t i o n s o v e r s p e c i f i e d t e m p e r a t u r e i n t e r v a l s b e l o w 0 ° C . W r i t e s o u t p u t t o d a t a f i l e . D e t e r m i n e s m e a n p r o p e r t y v a l u e o v e r s p e c i f i e d t e m p e r a t u r e i n t e r v a l u s i n g G a u s s q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n . D e f i n e s c o n s t a n t t h e r m a l p r o p e r t i e s ( w a t e r , i c e ) A l l o w s i n t e r a c t i v e i n p u t o f a m b i e n t c o n d i t i o n s a n d p r o d u c t g e o m e t r y . W r i t e s o u t p u t t o d a t a f i l e . A l l o w s i n t e r a c t i v e i n p u t o f k i n e t i c p r o p e r t i e s . W r i t e s o u t p u t t o d a t a f i l e . C o m p u t e s t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n a n d q u a l i t y r e t e n t i o n a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . C a l l s o u t p u t s u b r o u t i n e . D e t e r m i n e s m a t r i x c o e f f i c i e n t s u s e d i n f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . 2 6 4 T a b l e 3 . 1 ( c o n t ’ d ) . S U B R O U T I N E P F I N D F i n d s v a l u e s f o r t h e r m a l p r o p e r t i e s r e q u i r e d f o r f i n i t e d i f f e r e n c e c a l c u l a t i o n s f r o m t h e p r o p e r t y v a l u e s d e t e r m i n e d i n C O N S P R . S U B R O U T I N E O U T P U T W r i t e s i n p u t d a t a a n d r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y r e t e n t i o n v a l u e s t o o u t p u t f i l e . 0 O O 0 0 O O 0 O O O 0 2 6 5 T a b l e B . 2 C o m p u t e r C o d e f o r O n e D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . P R O G R A M F R E E Z E c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c R e s i d u a l S h e l f - l i f e P r o g r a m c b y c E l a i n e S c o t t C 1 9 8 5 C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * T h i s p r o g r a m c a l c u l a t e s t h e t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i - b u t i o n h i s t o r i e s o f a o n e d i m e n s i o n a l f r o z e n f o o d p r o d u c t s u b j e c t t o f l u c t u a t i n g a m b i e n t t e m p e r a t u r e s d u r i n g s t o r a g e b e l o w O C . I n p u t p a r a m e t e r s i n c l u d e u n f r o z e n p r o d u c t d e n s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t . T h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e o r m o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s i s r e q u i r e d t o p r e d i c t t h e s e v a l u e s f o r t h e f r o z e n f o o d p r o d u c t . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a s s u m e d t o b e c o n v e c t i v e , r e q u i r i n g a n i n p u t o f t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e a s a f u n c t i o n o f t i m e , a n d t h e c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . T h e i n i t i a l c o n d i t i o n m u s t b e a k n o w n f u n c t i o n o f p o s i t i o n . c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * p a r a m e t e r ( m a x p - 2 0 , m a x m - l O l , m a x d = 1 0 1 , m a x c = 5 1 , m a x s = 2 0 1 ) i n t e g e r m o d e l d o u b l e p r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , d s , t h , t l , a v g d , a v g k , a n c , & y n a v g , t d t c h a r a c t e r t i t l e * 2 0 , t t l f i l * 4 , f i l y n l * l , f i l y n 2 * l , f i l y n * l , f i l d a t * 1 2 , & i n p d a t * 1 2 l o g i c a l i t m o d e c o m m o n / m o d / m o d e l , / i t m / i t m o d e , / t t l / t i t l e , t t l f i l , / p r o f i 1 / p r p f i l , 2 6 6 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . & / d a t f i l / f i l d a t , i n p d a t , k i n d a t , / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / d / d s , & / p a v g / t h , t 1 , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g , / t o l d t / t d t C S e t I T M O D E - . F A L S E . i f r u n n i n g b a t c h . I T M O D E - . T R U E . I F ( I T M O D E ) T H E N w r i t e ( 5 , 1 0 0 0 ) 1 0 0 0 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' * ' ) , / , ' 0 ' , t 2 3 , ’ R e s i d u a l S h e l f - l i f e P r o g r a m ' , / , ' 0 ' , & t 3 5 , ' b y ' , / , ' 0 ' , t 3 0 , ' E 1 a i n e S c o t t ' , / , ' 0 ' , t 2 4 , ' M i c h i g a n S t a t e ' , & ' U n i v e r s i t y ' , / , ' 0 ' , t 3 0 , ' J a n u a r y l 9 8 6 ' , / , ' 0 ' , 7 2 ( ' * ' ) ) W R I T E ( 5 , 1 0 0 ) 1 0 0 F O R M A T ( ' 0 ' , ' P r o g r a m M e n u : ' , / / , ' ' , ' 1 . P r o d u c t p r o p e r t i e s ( < 0 C ) ’ & , / , ' ' , ' 2 . T e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r y : k n o w n T a a n d h ' , & / , ' ' , ' 3 . T e m p . & q u a l . d i s t . h i s t o r i e s : e x a c t k i n e t i c p r o p . ' , & / , ' ' , ' 4 . T e m p . & q u a l . d i s t . h i s t . : r a n d o m k i n e t i c p r o p . ' , & / , ' 0 ' , ' T a - A m b i e n t t e m p . ; h - S u r f a c e h e a t t r a n s . c o e f . ' , & / / , ' ' , ' S e l e c t i o n ? ' , $ ) E N D I F R E A D ( 5 , 1 0 ) m o d e l l O F O R M A T ( I l ) I F ( I T M O D E ) w r i t e ( 5 , 2 0 0 ) 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' P r o d u c t : ' , $ ) R E A D ( 5 , 2 0 ) T I T L E I F ( I T M O D E ) w r i t e ( 5 , 3 0 0 ) 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' K e y w o r d f o r d a t a f i l e s ; 4 C h a r a c t e r s : ' , $ ) R E A D ( 5 , 2 0 ) T T L F I L 2 0 F O R M A T ( A ) i f ( m o d e l . e q . l ) t h e n f i l y n l - ' n ' e l s e i f ( i t m o d e ) w r i t e ( 5 , 4 0 0 ) 4 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ’ A r e p r o d u c t p r o p e r t i e s a p p r o x i m a t i o n s ' , / , ' ' , 2 x , & ' w i t h t e m p e r a t u r e s t o r e d o n f i l e ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i l y n l i f ( i t m o d e ) w r i t e ( 5 , 5 0 0 ) 5 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e i n p u t i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s ' , / , ' ' & , 2 x , ' a n d g e o m e t r i c a l d i m e n s i o n s s t o r e d o n f i l e ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i l y n 2 i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n i f ( i t m o d e ) w r i t e ( 5 , 6 0 0 ) 6 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e k i n e t i c p r o p e r t i e s s t o r e d o n f i l e ? ' , & ' ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i 1 y n 3 e n d i f e n d i f i f ( f i l y n 1 . e q . ' n ' . o r . f i l y n 1 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l p r o p e r C A L L C O N S P R e n d i f i f ( m o d e 1 . n e . 1 ) t h e n i f ( f i l y n 2 . e q . ' n ' . o r . f i 1 y n 2 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l i n p u t l 2 6 7 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . e n d i f i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n i f ( f i l y n 3 . e q . ' n ' . o r . f i l y n 3 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l i n p u t 2 e n d i f e n d i f c a l l s o l n e n d i f e n d S U B R O U T I N E P R O P E R c T h i s s u b r o u t i n e p r o v i d e s t h e i n p u t f o r t h e p r o p e r t y f u n c t i o n s . c I n p u t v a l u e s i n c l u d e u n f r o z e n p r o d u c t m o i s t u r e c o n t e n t , i n i t i a l c f r e e z i n g p o i n t o r m o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s , a n d u n f r o z e n c p r o d u c t d e n s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t . c O u t p u t i n c l u d e s a p r i n t o u t o f u n f r o z e n w a t e r ( p e r c e n t ) , d e n s i t y c t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t a s f u n c t i o n s o f t e m p e r - c a t u r e . c T h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s s u b r o u t i n e a r e : c C o n s t a n t s - c C 1 - 1 8 . 0 1 5 k g / k m o l e ( m o l e c u l a r w e i g h t o f w a t e r ) c C Z - l . / 2 7 3 . 1 5 1 / K c C 3 - 6 0 0 3 . / 8 . 3 1 4 K ( l a t e n t h e a t o f i c e / R ) c C 6 - 2 7 3 . 1 5 K c I n p u t V a r i a b l e s - c W f 0 - U n f r o z e n p r o d u c t m o i s t u r e c o n t e n t c T 0 - I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e ( C ) c M s - M o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s c D p - P r o d u c t d e n s i t y ( k g / m 2 3 ) } > 0 C c K p - P r o d u c t t h e r m a l c o n d u c t i v i t y ( W / m K ) } > O C c C p - P r o d u c t s p e c i f i c h e a t ( k J / k g K ) } > 0 C c M i s c . V a r i a b l e s - c X x - I n t e r m i t t e n t v a l u e i n d e t e r m i n i n g M s o r T 0 . 0 T c - T e m p e r a t u r e f o r p r i n t o u t . c Y n - C h a r a c t e r - Y o r N i n t e g e r t y p e , p r p s c r , p r p f i l d o u b l e p r e c i s i o n c l , c 2 , c 3 , c 5 , c 6 , w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , d s , & d i , d w , k w , c p i , c p w , m o i s t , d e n s , c o n d u c , k i , s p h e a t , t c , x x , t O i n v , & t l , t h , e t a ( 2 0 ) , w ( 2 0 ) , t a v g , t d i f , x ( 2 0 ) , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g c h a r a c t e r y n * l , p r p f l l * 1 0 , p r p f 1 2 * 1 2 , t i t l e * 2 0 , t t l f i l * 4 2 6 8 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . l o g i c a l i t m o d e e x t e r n a l m o i s t , d e n s , c o n d u c , s p h e a t c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / c o n s / c 1 , c 2 , c 3 , / d / d s , / d e n s i / d i , d w , & / C O N D / K W , / S P H / C P I , C P W , / I T M / I T M O D E , / t t 1 / t i t l e , t t l f i l , / p r o f i l / p r p f i l & / m o d / m o d e 1 , / p a v g / t h , t l , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g S a v e c 1 - l 8 . 0 1 5 d 0 c 2 - 1 . 0 d 0 / 2 7 3 . 1 5 d 0 c 3 - 6 0 0 3 . 0 d 0 / 8 . 3 1 4 d 0 c 6 - 2 7 3 . 1 5 d 0 I F ( . N O T . I T M O D E ) T H E N R E A D ( 1 0 , * ) W F O , T 0 , D P , K P , C P , T Y P E I F ( T Y P E . N E . 1 ) M S - T 0 G O T O 2 0 E L S E w r i t e ( 5 , 2 0 0 0 ) 2 0 0 0 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' - ' ) , / , ' 0 ' , t 2 7 , ' P r o d u c t P r o p e r t i e s ' , / , ' 0 ' , 7 2 ( ' - ' ) ) 5 w r i t e ( 5 , 1 0 0 ) 1 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r i n i t i a l m o i s t u r e c o n t e n t ( % ) : ' , $ ) R E A D * , W F O i f ( w f 0 . L T . 1 . . O R . W F O . G T . 1 0 0 . ) T H E N p r i n t * , ' T r y a g a i n ! ! ' g o t o 5 E N D I F 1 0 W R I T E ( S , 3 0 0 ) 3 0 0 F O R M A T ( ' 0 ' , ' C h o o s e : ' , / , ' ' , ' 1 . I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e ' , / , & ' ' , ' 2 . M o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s ' ) R E A D ( 5 , * ) t y p e i f ( t y p e . N E . l ) T H E N W R I T E ( 5 , 4 0 0 ) 4 0 0 F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , ' M o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s : ' , $ ) R E A D ( 5 , * ) M S E L S E W R I T E ( 5 , 5 0 0 ) 5 0 0 F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , ' I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e ( C ) : ' , $ ) R E A D ( 5 , * ) T 0 E N D I F w r i t e ( 5 , 6 0 0 ) 6 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r u n f r o z e n p r o d u c t p r o p e r t y v a l u e s : ' , / , & ' ' , 2 x , ' d e n s i t y ( k g / m 2 3 ) : ' , $ ) R E A D ( 5 , * ) D P W R I T E ( 5 , 7 0 0 ) 7 0 0 F O R M A T ( ' ' , 2 x , ' t h e r m a 1 c o n d u c t i v i t y ( W / m K ) : ' , $ ) R E A D ( 5 , * ) K P W R I T E ( 5 , 8 0 0 ) 8 0 0 F O R M A T ( ' ' , 2 x , ’ s p e c i f i c h e a t ( k J / k g K ) : ' , $ ) R E A D ( 5 , * ) C P 0 E n t e r t e m p e r a t u r e r a n g e f o r d e t e r m i n a t i o n o f m e a n p r o p e r t y v a l u e s . w r i t e ( 5 , 8 5 0 ) 8 5 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r t e m p e r a t u r e r a n g e f o r m e a n p r o p e r t y ' , 2 6 9 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . C 8 6 0 8 8 0 9 0 0 2 0 0 & ' v a l u e s : ' / , 2 x , ' l o w t e m p e r a t u r e ( C ) : ' ) r e a d ( 5 , * ) t l w r i t e ( 5 , 8 6 0 ) f o r m a t ( ' ' , 2 x , ’ h i g h t e m p e r a t u r e ( C ) : ' ) r e a d ( 5 , * ) t h t l - t 1 + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 t h - t h + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 w r i t e ( 5 , 8 8 0 ) f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , 2 x , ' U s e a v e r a g e t e m p e r a t u r e s i n F D s o l u t i o n ? ' ( O - n o ; 1 - y ) ' ) r e a d ( 5 , * ) y n a v g W R I T E ( 5 , 9 0 0 ) F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e s e v a l u e s c o r r e c t ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 0 ) y n F O R M A T ( A ) i f ( y n . n e . ' y ' . a n d . Y N . N E . ' Y ' ) g o t o 5 E N D I F 2 0 w f 0 - w f 0 / 1 0 0 . 0 d 0 i f ( t y p e . N E . 1 ) T H E N I n i t i a l f r e e z i n g p o i n t t 0 - 1 . 0 d 0 / ( c 2 - l o g ( w f 0 / c 1 / ( w f 0 / c 1 + ( 1 . 0 d 0 - w f 0 ) / m s ) ) * l . 0 d 0 / c 3 ) E L S E t 0 - t 0 + 2 7 3 . 1 5 d 0 M o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s t O i n v - 1 . 0 d 0 / t 0 x x - e x p ( c 3 * ( c 2 - t 0 i n v ) ) M s - ( l . 0 d 0 - w f 0 ) * x x * c l / ( w f 0 * ( l . 0 d 0 - x x ) ) E N D I F D e t e r m i n e m e a n p r o p e r t y v a l u e o v e r s p e c i f i e d r a n g e u s i n g G a u s s Q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n : 2 0 p t . q u a d . E t a v a l u e s : e t a ( l ) - - 0 . 9 9 3 1 2 8 5 9 9 1 8 5 0 9 e t a ( 2 ) - - O . 9 6 3 9 7 1 9 2 7 2 7 7 9 1 e t a ( 3 ) - - 0 . 9 1 2 2 3 4 4 2 8 2 5 1 3 3 e t a ( h ) - - 0 . 8 3 9 1 1 6 9 7 1 8 2 2 2 2 e t a ( S ) - - 0 . 7 4 6 3 3 1 9 0 6 4 6 0 1 5 e t a ( 6 ) - - 0 . 6 3 6 0 5 3 6 8 0 7 2 6 5 2 e t a ( 7 ) - - 0 . 5 1 0 8 6 7 0 0 1 9 5 0 8 3 e t a ( 8 ) - - 0 . 3 7 3 7 0 6 0 8 8 7 1 5 4 2 e t a ( 9 ) - - 0 . 2 2 7 7 8 5 8 5 1 1 4 1 6 5 e t a ( l O ) - - 0 . 0 7 6 5 2 6 5 2 1 1 3 3 5 0 d o i - 1 , 1 0 e t a ( 2 1 - i ) - - e t a ( i ) e n d d o W e i g h t i n g f a c t o r s : w ( l ) - 0 . 0 1 7 6 1 4 0 0 7 1 3 9 1 5 O O C 2 7 0 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . C C w ( 2 ) - 0 . 0 4 0 6 0 1 4 2 9 8 0 0 3 9 w ( 3 ) - 0 . 0 6 2 6 7 2 0 4 8 3 3 4 1 1 w ( h ) - 0 . 0 8 3 2 7 6 7 4 1 5 7 6 7 0 w ( 5 ) - 0 . 1 0 1 9 3 0 1 1 9 8 1 7 2 4 w ( 6 ) - 0 . 1 1 8 1 9 4 5 3 1 9 6 1 5 2 w ( 7 ) - 0 . 1 3 1 6 8 8 6 3 8 4 4 9 1 8 w ( 8 ) - 0 . 1 4 2 0 9 6 1 0 9 3 1 8 3 8 w ( 9 ) - 0 . 1 4 9 1 7 2 9 8 6 4 7 2 6 0 w ( 1 0 ) - 0 . 1 5 2 7 5 3 3 8 7 1 3 0 7 3 d o i - 1 , 1 0 w ( 2 1 - i ) - w ( i ) e n d d o T r a n s f o r m e t a o n t o ( t h - t l ) i n t e r v a l t a v g - ( t h + t l ) / 2 . 0 d 0 t d i f - ( t h - t 1 ) / 2 . 0 d 0 a v g d - 0 a v g k - 0 a v g c - 0 d o i = 1 , 2 0 x ( i ) - t a v g + t d i f * e t a ( i ) S u m i n t e g r a l a p p r o x i m a t i o n a v g d - a v g d + w ( i ) * d e n s ( x ( i ) ) a v g k - a v g k + w ( i ) * c o n d u c ( x ( i ) ) a v g c - a v g c + w ( i ) * s p h e a t ( x ( i ) ) e n d d o a v g d - a v g k - a v g c - . 5 0 * a v g d . 5 0 * a v g k . 5 0 * a v g c I F ( I T M O D E ) T H E N p r p s c r - 0 p r p f i l - 0 w r i t e ( 5 , 9 0 5 ) 9 0 5 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' D i s p l a y p r o d u c t p r o p e r t i e s o n s c r e e n ? ( y / n ) ' , $ ) 9 0 6 r e a d ( 5 , 2 0 0 ) y n i f ( y n . e q . ' y ' . O R . Y N . E Q . ' Y ' ) p r p s c r = l w r i t e ( 5 , 9 0 6 ) f o r m a t ( ' ' , ' D o y o u w a n t p r o d u c t p r o p e r t i e s = f ( T ) ' , ' s a v e d i n a f i l e ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 0 ) y n i f ( y n . e q . ' y ' . O R . Y N . E Q . ' Y ' ) p r p f i l = l I F ( P R P S C R . E Q . 0 . A N D . P R P F I L . E Q . 0 ) G O T O 9 0 E L S E R E A D ( 5 , * ) P R P F I L E N D I F I F ( P R P F I L . E Q . 1 ) T H E N 9 1 0 6 : ) W R I T E ( P R P F L 2 , 9 1 0 ) T T L F I L , ' P R P . V A R ' F O R M A T ( ' ' , A , A ) O P E N ( U N I T - 1 2 , N A M E - P R P F L 2 ( 1 : 1 2 ) , T Y P E = ' N E W ' , C A R R I A G E C O N T R O L = ' L I S T ' w r i t e ( 1 2 , 1 0 0 0 ) t i t l e w r i t e ( 1 2 , 1 0 5 0 ) 2 7 1 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . w r i t e ( 1 2 , 1 1 0 0 ) t 0 - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 w r i t e ( 1 2 , 1 2 0 0 ) m s w r i t e ( 1 2 , 1 3 0 0 ) w r i t e ( 1 2 , 1 4 0 0 ) W R I T E ( 1 2 , 1 5 0 0 ) T C - A I N T ( t 0 + 2 . 0 d 0 ) + . 1 5 0 d 0 4 0 I F ( T C . G E . t 0 ) T H E N W R I T E ( 1 2 , 1 6 0 0 ) t c - c 6 , w f 0 * 1 0 0 . , D P , k p , c p E L S E W R I T E ( 1 2 , 1 6 0 0 ) t c - c 6 , M O I S T ( T C ) * 1 0 0 . , D E N S ( T C ) , c o n d u c ( t c ) , & S P H E A T ( T C ) E N D I F I F ( T C . G E . t 0 + 1 . 0 d 0 ) T H E N T C - T C - 1 . 0 d 0 G O T O 4 0 E N D I F I F ( T C . G T . A I N T ( t 0 - l . 0 d 0 ) + . 1 5 ) T H E N T C - T C - . 2 5 0 d 0 G O T O 4 0 E N D I F I F ( T C . G T . A I N T ( t 0 - 4 . 0 d 0 ) + . 1 5 ) T H E N T C - T C - . 5 0 d 0 G O T O 4 0 E N D I F I F ( T C . G T . A I N T ( t 0 - 1 0 . 0 d 0 ) + . 1 5 ) T H E N T C - T C - 1 . 0 d 0 G O T O 4 0 E L S E T C - T C - 2 . 0 d 0 I F ( T C . G E . 2 3 3 . 1 5 0 d 0 ) G O T O 4 0 E N D I F w r i t e ( 1 2 , 1 7 0 0 ) t l - 2 7 3 . 1 5 , t h - 2 7 3 . 1 5 , a v g d , a v g k , a v g c C L O S E ( U N I T = 1 2 ) E N D I F C P r i n t o u t o n s c r e e n I F ( I T M O D E ) T H E N I F ( P R P S C R . E Q . 1 ) T H E N w r i t e ( 5 , 1 0 0 1 ) t i t l e w r i t e ( 5 , 1 0 5 0 ) w r i t e ( 5 , 1 1 0 0 ) t 0 - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 w r i t e ( 5 , 1 2 0 0 ) m s w r i t e ( 5 , 1 3 0 0 ) w r i t e ( 5 , 1 4 0 0 ) W R I T E ( 5 , 1 5 0 0 ) 1 0 0 0 f o r m a t ( ' ' , T 3 1 , A ) 1 0 0 1 f o r m a t ( ’ l ' , T 3 1 , A ) 1 0 5 0 f o r m a t ( ' ' , t 2 7 , ’ P r o d u c t P r o p e r t i e s ' , / , ' ' , t 2 2 , ' a s a ' , & ' F u n c t i o n o f T e m p e r a t u r e ' ) 1 1 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e ( C ) = ' , f 6 . 2 ) 1 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E q u i v a l e n t m o l e c u l a r w e i g h t - ' , f 6 . 2 ) 1 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , 2 8 x , ' P r o d u c t p r o p e r t i e s ' / / ) 1 4 0 0 F O R M A T ( ' ’ , / , ' ’ , 3 X , ' T e m p e r a t u r e ' , 5 X , ' U n f r o z e n ' , 7 X , ’ D e n s i t y ' , & 4 X , ' C o n d u c t i v i t y ' , 2 x , ' A p . S p . H e a t ' ) 1 5 0 0 F O R M A T ( ' ' , 7 X , ’ ( C ) ' , 1 0 X , ' W a t e r ' , 8 x , ’ ( k g / m “ 3 ) ' , 7 X , ' ( W / m * K ) ' , 2 7 2 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . & 6 X , ' ( k J / k g * K ) ' , / , 3 X , 5 ( ' - - - - - - - - - - - - ' ) ) 1 6 0 0 F O R M A T ( ' ' , T 4 , F 7 . 2 , T 2 2 , F 6 . 2 , T 3 6 , F 6 . l , T 4 9 , F 6 . 3 , T 6 2 , F 8 . 3 ) 1 7 0 0 f o r m a t ( ’ ' , / / , ' ' , ' A v e r a g e p r o p e r t y v a l u e s o v e r t h e i n t e r v a l ' & , f 6 . 1 , ' t o ' , f 6 . 1 ' : ' , / , ' ' , 5 x , ' A v e r a g e d e n s i t y - ' , t 4 0 , f 6 . 1 , & / , ' ' , 5 x , ' A v e r a g e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y - ' , t 4 0 , f 5 . 3 , / , ' ' , 5 x , & ' A v e r a g e s p e c i f i c h e a t - ' , t 4 0 , f 5 . 3 ) T C - A I N T ( t 0 + 2 . 0 d 0 ) + . 1 5 0 d 0 5 0 I F ( T C . G E . t 0 ) T H E N W R I T E ( S , l 6 0 0 ) t c - c 6 , w f 0 * 1 0 0 . , D P , k p , c p E L S E W R I T E ( S , 1 6 0 0 ) t c - c 6 , M O I S T ( T C ) * 1 0 0 . , D E N S ( T C ) , c o n d u c ( t c ) , & s p h e a t ( t c ) E N D I F I F ( T C . G E . t 0 + 1 . 0 d O ) T H E N T C - T C - 1 . 0 d 0 G O T O 5 0 E N D I F I F ( T C . G T . A I N T ( t 0 - 1 . 0 d 0 ) + . 1 5 ) T H E N T C - T C - . 2 5 0 d 0 G O T O 5 0 E N D I F I F ( T C . G T . A I N T ( t O - 4 . 0 d 0 ) + . 1 5 ) T H E N T C - T C - . 5 0 d 0 G O T O 5 0 E N D I F I F ( T C . G T . A I N T ( t 0 - 1 0 . 0 d 0 ) + . 1 5 ) T H E N T C - T C - l . 0 d 0 G O T O 5 0 E L S E T C - T C - 2 . 0 d 0 I F ( T C . G E . 2 3 3 . 1 5 0 d 0 ) G O T O 5 0 E N D I F E N D I F E N D I F w r i t e ( 5 , 1 7 0 0 ) t 1 - 2 7 3 . 1 5 , t h - 2 7 3 . 1 5 , a v g d , a v g k , a v g c 9 0 r e t u r n E N D D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N M O I S T ( X ) c T h i s f u n c t i o n d e t e r m i n e s t h e u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n o f a f o o d p r o c d u c t b e l o w t h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p - p e r a t u r e . 0 0 c t h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s f u n c t i o n a r e : c l - 1 8 . 0 1 5 k g / k m o l e ; m o l e c u l a r w e i g h t o f w a t e r c 2 = 1 . / 2 7 3 . 1 5 K A - l c 3 - 6 0 0 3 . / 8 . 3 1 4 K ; l a t e n t h e a t o f i c e / m o l e / R w a - m o i s t u r e c o n t e n t o f u n f r o z e n p r o d u c t m s - m o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 3 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 0 C d o u b l e p r e c i s i o n c l , c 2 , c 3 , x x , m s , t i n v , t 0 , w f 0 , d p , k p , c p c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / c o n s / c 1 , c 2 , c 3 c 1 - 1 8 . 0 1 5 d 0 c 2 = l . 0 d 0 / 2 7 3 . 1 5 d 0 c 3 - 6 0 0 3 . 0 d 0 / 8 . 3 1 4 d 0 t i n v - 1 . 0 d 0 / x x x - e x p ( c 3 * ( c 2 - t i n v ) ) m o i s t - x x * ( l . 0 d 0 - w f 0 ) * c 1 / ( m s * ( l . 0 d 0 - x x ) ) r e t u r n e n d D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N D E N S ( X ) t h i s f u n c t i o n d e t e r m i n e s t h e d e n s i t y o f a f o o d p r o d u c t b e l o w t h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e , a s a f u c t i o n o f u n - f r o z e n w a t e r f r a c t i o n . t h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s f u n c t i o n a r e : d i - d e n s i t y o f i c e ( k g / m 3 3 ) d p - d e n s i t y o f u n f r o z e n p r o d u c t ( k g / m 3 3 ) d s - d e n s i t y o f s o l i d s ( k g / m A B ) d w - d e n s i t y o f w a t e r ( k g / m A 3 ) w f 0 - m o i s t u r e c o n t e n t o f u n f r o z e n p r o d u c t d o u b l e p r e c i s i o n m o i s t , w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , d i , d w , d s e x t e r n a l m o i s t c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / d e n s i / d i , d w , / d / d s S a v e S o l i d s d e n s i t y d s - ( l . 0 d 0 - w f 0 ) / ( l . 0 d 0 / d p - w f 0 / d w ) d e n s - l . 0 d 0 / ( m o i s t ( x ) / d w + ( 1 . 0 d 0 - w f 0 ) / d s + ( w f 0 - m o i s t ( x ) ) / d i ) r e t u r n e n d D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N K I ( X ) c T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f i c e a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e ( k ) k i - 7 . 3 6 4 0 d 0 - 0 . 0 2 8 5 0 d 0 * x + 3 . 5 2 5 d - 5 * x * * 2 r e t u r n e n d 2 7 4 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N C O N D U C ( X ) c T h i s f u n c t i o n s u b r o u t i n e d e t e r m i n e s t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y c o f a f o o d p r o d u c t b e l o w t h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e . c T h e r m a l c o n d u c t i v i t y i s a f u n c t i o n o f m o i s t u r e c o n t e n t a n d c s o l i d s c o n t e n t , t h e r e f o r e , ' c o n d u c ' i s a f u n c t i o n o f t e m p e r — c a t u r e . c T h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s f u n c t i o n s u b r o u t i n e a r e : c d i - d e n s i t y o f i c e c d w - d e n s i t y o f w a t e r c k i ( x ) - t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f i c e a s a f u n c t i o n o f c t e m p e r a t u r e c k p - t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f p r o d u c t c k s - t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f s o l i d s c k w - t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r c w a - u n f r o z e n p r o d u c t m o i s t u r e c o n t e n t c m o i s t ( x ) - m o i s t u r e c o n t e n t a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e c k l - i n t e r m i t t e n t v a l u e c k 2 - i n t e r m i t t e n t v a l u e c k 3 - t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r - i c e p h a s e c k 4 - i n t e r m i t t e n t v a l u e c k S - i n t e r m i t t e n t v a l u e c v a - i n t e r m i t t e n t v a l u e c v a l - i n t e r m i t t e n t v a l u e c c 4 - 2 . / 3 . d o u b l e p r e c i s i o n m o i s t , d e n s , k i , w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , d i , d w , d s , & k w , c 4 , v a , v a 1 , k s , k l , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / d e n s i / d i , d w , / d / d s , / c o n d / k w e x t e r n a l m o i s t , d e n s , k i c 4 - 2 . 0 d 0 / 3 . 0 d 0 c S o l i d s d e n s i t y d s - ( 1 . 0 d 0 - w f 0 ) / ( l . O d O / d p - w a / d w ) c T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f s o l i d s v a - ( l . 0 d 0 - w f 0 ) / d s v a l - ( v a / ( v a + w f 0 / d w ) ) * * c 4 k s - k w * ( v a 1 - ( ( k w - k p ) / k w — k p * ( 1 . 0 d O - v a l * * . 5 ) / v a l ) ) c P h a s e I : i c e - - w a t e r k 1 - ( w f 0 - m o i s t ( x ) ) / d i / ( m o i s t ( x ) / d w + ( w f 0 - m o i s t ( x ) ) / d i ) k 2 - k l * * c 4 * ( 1 . 0 d 0 - k i ( x ) / k w ) k 3 - k w * ( 1 . 0 d 0 - k 2 ) / ( 1 . 0 d 0 - k 2 * ( 1 . 0 d 0 - k l * * ( l . 0 d 0 / 3 . 0 d 0 ) ) ) c P h a s e I I : s o l i d s - ~ w a t e r / i c e k 4 = v a / ( v a + ( w f 0 - m o i s t ( x ) ) / d i + m o i s t ( x ) / d w ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 5 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . C k 5 - k 4 * * c 4 * ( 1 . 0 d 0 - k s / k 3 ) c o n d u c - k 3 * ( l . 0 d 0 - k 5 ) / ( 1 . 0 d 0 - k 5 * ( 1 . 0 d 0 - k 4 * * ( 1 . 0 d 0 / 3 . 0 d 0 ) ) ) r e t u r n e n d D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N S P H E A T ( X ) T h i s f u n c t i o n d e t e r m i n e s t h e a p p a r e n t s p e c i f i c h e a t o f a f r o z e n f o o d p r o d u c t a s a f u n c t i o n o f u n f r o z e n w a t e r b e l o w t h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e . T h e e x t e r n a l f u n c t i o n m o i s t ( u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n ) u s e d c t o d e t e r m i n e t h e a p p a r a n t s p e c i f i c h e a t i s a f u n c t i o n o f C C 0 t e m p e r a t u r e ; t h e r e f o r e , ' s p h e a t ' i s a l s o a f u n c t i o n o f t e m p e r - a t u r e . t h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s f u n c t i o n a r e : c p - s p e c i f i c h e a t p r o d u c t > 0 C ( k J / k g C ) c p i - s p e c i f i c h e a t o f i c e ( k J / k g C ) c p s - s p e c i f i c h e a t o f s o l i d s ( k J / k g C ) c p w - s p e c i f i c h e a t o f w a t e r ( k J / k g C ) w a - m o i s t u r e c o n t e n t o f u n f r o z e n p r o d u c t d o u b l e p r e c i s i o n m o i s t , w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , c p i , c p w , d h , c p s , d c p , c 5 e x t e r n a l m o i s t c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / s p h / c p i , c p w c 5 - 6 0 0 3 . 0 d 0 / 1 8 . 0 1 5 d 0 d h - 0 . 0 0 1 0 d 0 c s o l i d s s p e c i f i c h e a t c p s - ( 1 . 0 d O - w a ) / ( l . O d O / c p - w a / c p w ) i f ( x + d h . g e . t 0 ) t h e n d c p - ( m o i s t ( x ) - m o i s t ( x - d h ) ) * c 5 / d h e l s e d c p - ( m o i s t ( x + d h ) - m o i s t ( x - d h ) ) * c S / ( 2 . 0 d 0 * d h ) e n d i f s p h e a t - ( l . 0 d 0 - w f 0 ) * c p s + m o i s t ( x ) * c p w + ( w a - m o i s t ( x ) ) * c p i + d c p r e t u r n e n d S U B R O U T I N E C O N S P R 2 7 6 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . c T h i s s u b r o u t i n e p r o v i d e s c o n s t a n t p r o p e r t y a p p r o x i m a t i o n s t o t h e c p r o p e r t i e s a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . p a r a m e t e r ( m a x d - 1 0 1 , m a x c - 5 1 , m a x s = 2 0 1 ) i n t e g e r p r p f i l , n s d , n s c , n s s , y n a v g d o u b l e p r e c i s i o n t c , c 5 , a a , a , b , t 0 m 1 , a p b , & e r d e n s , e r c o n d , e r p s h , & a v g d i , a v g k i , a v g c i , & b s t e p , e r l d d , e r 1 d c , e r 1 d s , e r 2 d d , e r 2 d c , e r 2 d s & d d e r a , d d e r a b , r h 0 2 d , r h o l d , c d e r a , c d e r a b , k 2 d , k 1 d , & s d e r a , s d e r a b , s p h 2 d , s p h 1 d c D e c l a r e v a r i a b l e s i n c o m m o n b l o c k s d o u b l e p r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & c 1 , c 2 , c 3 , & d e n s t ( m a x d ) , d e n s c ( m a x d ) , c o n d t ( m a x c ) , c o n d c ( m a x c ) , & s p h t ( m a x s ) , s p h c ( m a x s ) , & t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , & M O I S T , D E N S , C O N D U C , S P H E A T c h a r a c t e r t i t 1 e * 4 0 , t t l f i 1 * 1 0 , p r p f l 3 * 1 2 , f i l d a t * l 6 E X T E R N A L M O I S T , D E N S , C O N D U C , S P H E A T c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & / c o n s / c l , c 2 , c 3 , & / C O N S T P / D E N S T , D E N S C , C O N D T , C O N D C , S P H T , S P H C , & / N C O N S T P / N S D , N S C , N S S , & / t t 1 / t i t l e , t t 1 f i l , & / p r o f i 1 / p r p f i l , & / p a v g / t h , t 1 , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g A A - 2 3 3 . 1 5 0 d 0 N T S D - 1 0 0 N T S C - 5 0 N T S S - 2 0 0 E R l D D . 0 5 0 d 0 E R l D C . 0 5 0 d 0 E R l D S . 0 5 0 d 0 E R 2 D D . 2 5 0 d 0 E R 2 D C . 2 5 0 d 0 E R 2 D S . 2 5 0 d 0 B S T E P 0 . 1 0 d 0 T O M l - T O - 0 . 0 5 0 d 0 C F i n d v a l u e s f o r d e n s i t y 5 I - 1 A - A A D E N S T ( 1 ) = A B - B S T E P I P l - I + 1 A P B - A + B 2 7 7 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . C D e t e r m i n e % s e c o n d d e r i v a t i v e f o r d e n s i t y . 1 0 D D E R A - ( D E N S ( A + 0 . 0 1 0 d 0 ) - D E N S ( A ) ) / D E N S ( A ) D D E R A B - ( D E N S ( A P B + 0 . 0 1 0 d 0 ) - D E N S ( A P B ) ) / D E N S ( A P B ) R H O Z D - ( D D E R A B - D D E R A ) / D D E R A C D e t e r m i n e % f i r s t d e r i v a t i v e f o r d e n s i t y . R H O l D - ( D E N S ( A ) - D E N S ( A P B ) ) / ( D E N S ( A ) ) C C h e c k i f s e c o n d d e r i v a t i v e i s g r e a t e r t h a n a l l o w a b l e e r r o r ; i f s o , s t o r e C t e m p e r a t u r e e n d p o i n t v a l u e a n d d e t e r m i n e t h e a v e r a g e p r o p e r t y v a l u e f o r t h a t C s e c t i o n , a s s u m i n g p r o p e r t y i s l i n e a r w i t h t e m p e r a t u r e o v e r e a c h s e g m e n t . I F ( A B S ( R H 0 2 D ) . G T . E R 2 D D . O R . A B S ( R H 0 1 D ) . G T . E R 1 D D ) T H E N D E N S T ( I P l ) - A P B c a l l i n t e g r ( a p b , a , a v g d i , a v g k i , a v g c i , 1 ) d e n s c ( i ) - a v g d i A - A + B I - I P 1 I P 1 - I + 1 C C h e c k i f n u m b e r o f s t e p s i s g r e a t e r t h a n a r r a y d i m e n s i o n s ; i f s o , C d o u b l e t h e a l l o w a b l e e r r o r i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e a n d r e p e a t c a l c u - C l a t i o n s . I F ( I . G T . N T S D ) T H E N E R 2 D D — E R 2 D D * 2 . 0 d 0 E R l D D - E R l D D * 2 . 0 d 0 G O T O 5 E N D I F B - B S T E P E L S E B - B + B S T E P E N D I F A P B - A + B I F ( A P B . L T . T 0 - b s t e p ) G O T O 1 0 D E N S T ( I P l ) - T 0 c a l l i n t e g r ( t 0 m 1 , a , a v g d i , a v g k i , a v g c i , 1 ) d e n s c ( i ) - a v g d i N S D - I C F i n d v a l u e s f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y 2 0 I - 1 A - A A C O N D T ( 1 ) - A B - B S T E P I P 1 - I + 1 A P B - A + B C D e t e r m i n e % s e c o n d d e r i v a t i v e f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . 2 7 8 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 3 O C D E R A - ( C O N D U C ( A + 0 . 0 l O d 0 ) - C O N D U C ( A ) ) / C O N D U C ( A ) C D E R A B - ( C O N D U C ( A P B + 0 . 0 1 0 d O ) - C O N D U C ( A P B ) ) / C O N D U C ( A P B ) K 2 D - ( C D E R A B - C D E R A ) / C D E R A C D e t e r m i n e % f i r s t d e r i v a t i v e f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . K l D - ( C O N D U C ( A ) - C O N D U C ( A P B ) ) / ( C O N D U C ( A ) ) C C h e c k i f s e c o n d d e r i v a t i v e i s g r e a t e r t h a n a l l o w a b l e e r r o r ; i f s o , s t o r e C t e m p e r a t u r e e n d p o i n t v a l u e a n d d e t e r m i n e t h e a v e r a g e p r o p e r t y v a l u e f o r t h a t C s e c t i o n , a s s u m i n g p r o p e r t y i s l i n e a r w i t h t e m p e r a t u r e o v e r e a c h s e g m e n t . I F ( A B S ( K 2 D ) . G T . E R 2 D C . O R . A B S ( K 1 D ) . G T . E R 1 D C ) T H E N C O N D T ( I P l ) - A P B c a l l i n t e g r ( a p b , a , a v g d i , a v g k i , a v g c i , 2 ) c o n d c ( i ) - a v g k i A - A + B I - I P 1 I P 1 - I + 1 C C h e c k i f n u m b e r o f s t e p s i s g r e a t e r t h a n a r r a y d i m e n s i o n s ; i f s o , C d o u b l e t h e a l l o w a b l e e r r o r i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e a n d r e p e a t c a l c u - C l a t i o n s . I F ( I . G T . N T S C ) T H E N E R 2 D C - E R 2 D C * 2 . 0 d 0 E R l D C - E R l D C * 2 . 0 d 0 G O T O 2 0 E N D I F B - B S T E P E L S E B - B + B S T E P E N D I F A P B - A + B I F ( A P B . L T . T 0 - b s t e p ) G O T O 3 0 C O N D T ( I P l ) - T 0 c a l l i n t e g r ( t 0 m 1 , a , a v g d i , a v g k i , a v g c i , 2 ) c o n d c ( i ) - a v g k i N S C - I C F i n d v a l u e s f o r s p e c i f i c h e a t 4 0 I - 1 A - A A S P H T ( 1 ) - A B - B S T E P I P 1 - I + 1 A P B - A + B C D e t e r m i n e % s e c o n d d e r i v a t i v e f o r s p e c i f i c h e a t . 5 0 S D E R A - ( S P H E A T ( A + 0 . 0 1 0 d 0 ) - S P H E A T ( A ) ) / S P H E A T ( A ) S D E R A B - ( S P H E A T ( A P B + 0 . 0 1 0 d 0 ) - S P H E A T ( A P B ) ) / S P H E A T ( A P B ) T a b l e 2 7 9 B . 2 ( c o n t ' d ) . S P H 2 D - ( S D E R A B - S D E R A ) / S D E R A C D e t e r m i n e % f i r s t d e r i v a t i v e f o r s p e c i f i c h e a t . S P H l D - ( S P H E A T ( A ) - S P H E A T ( A P B ) ) / ( S P H E A T ( A ) ) C C h e c k i f s e c o n d d e r i v a t i v e i s g r e a t e r t h a n a l l o w a b l e e r r o r ; i f s o , s t o r e C t e m p e r a t u r e e n d p o i n t v a l u e a n d d e t e r m i n e t h e a v e r a g e p r o p e r t y v a l u e f o r t h a t C s e c t i o n , a s s u m i n g p r o p e r t y i s l i n e a r w i t h t e m p e r a t u r e o v e r e a c h s e g m e n t . C I F ( A B S ( S P H 2 D ) . G T . E R 2 D S . O R . A B S ( S P H 1 D ) . G T . E R 1 D S ) T H E N S P H T ( I P 1 ) - A P B c a l l i n t e g r ( a p b , a , a v g d i , a v g k i , a v g c i , 3 ) s p h c ( i ) - a v g c i A - A + B I - I P 1 I P 1 - I + 1 C h e c k i f n u m b e r o f s t e p s i s g r e a t e r t h a n a r r a y d i m e n s i o n s ; i f s o , C d o u b l e t h e a l l o w a b l e e r r o r i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e a n d r e p e a t c a l c u - C l a t i o n s . I F ( I . G T . N T S S ) T H E N E R 2 D S - E R 2 D S * 2 . 0 d 0 E R l D S - E R l D S * 2 . 0 d O G O T O 4 0 E N D I F B - B S T E P E L S E B - B + B S T E P E N D I F A P B - A + B I F ( A P B . L T . T 0 - b s t e p ) G O T O 5 0 S P H T ( I P 1 ) - T 0 c a l l i n t e g r ( t 0 m l , a , a v g d i , a n k i , a v g c i , 3 ) s p h c ( i ) - a v g c i N S S - I C P r i n t o u t a p p r o x i m a t e d p r o p e r t y v a l u e s i n f i l e . 8 5 8 8 9 0 1 0 0 1 1 0 I F ( P R P F I L . E Q . 1 ) T H E N W R I T E ( P R P F L 3 , 8 5 ) T T L F I L , ' P R P . C O N ' F O R M A T ( ' ’ , A , A ) O P E N ( U N I T - 1 2 , N A M E - P R P F L 3 ( 1 : 1 2 ) , T Y P E - ' N E W ' , C A R R I A G E C O N T R O L = ' L I S T ' ) W R I T E ( 1 2 , 8 8 ) T I T L E F O R M A T ( ' ' , / / , ' ' , T 3 1 , A ) W R I T E ( 1 2 , 9 0 ) F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , T 2 5 , ' C O N S T A N T P R O P E R T I E S ' ) W R I T E ( 1 2 , 1 0 0 ) T 0 - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 F O R M A T ( ' ’ , / , ' ' , ' I n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e ( C ) = ' , F 6 . 2 ) W R I T E ( 1 2 , 1 1 0 ) M S F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , ' E q u i v a l e n t m o l e c u l a r w e i g h t = ' , F 6 . 2 ) 2 8 0 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . W R I T E ( 1 2 , 1 2 0 ) 1 2 0 F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , / / , 2 8 X , ' P r o d u c t P r o p e r t i e s ' / / ) W R I T E ( 1 2 , 1 3 0 ) 1 3 0 F O R M A T ( 4 X , ' T e m p e r a t u r e ' , 5 X , ' U n f r o z e n ' , 7 X , ' D e n s i t y ' , 4 X , + ' C o n d u c t i v i t y ' , 2 X , ' A p . S p . H e a t ' ) W R I T E ( 1 2 , 1 4 0 ) 1 4 0 F O R M A T ( ' ' , 7 X , ' ( C ) ' , 1 0 X , ' W a t e r ' , 8 X , ' ( k g / m 2 3 ) ' , 7 X , ' ( W / m * K ) ' , + 6 X , ' ( k J / k g * C ) ' , / , 3 X , 5 ( ' - - - - - - - - - - - - ' ) ) T C - A I N T ( T O + 2 . 0 d 0 ) + . 1 5 0 d 0 1 5 0 I F ( T C . L T . T O ) G O T O 1 7 0 W R I T E ( 1 2 , 1 6 0 ) T C - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 , W F O * 1 0 0 . 0 d 0 , D P , K P , C P 1 6 0 F O R M A T ( S X , F 7 . 2 , T 2 2 , F 6 . 2 , T 3 6 , F 6 . 1 , T 4 9 , F 6 . 3 , T 6 2 , F 8 . 3 ) G O T O 2 4 0 1 7 0 D O I - 1 , N S D I F ( T C . G E . D E N S T ( I ) . A N D . T C . L T . D E N S T ( I + 1 ) ) T H E N D E - D E N S C ( I ) G O T O 1 8 0 E N D I F E N D D O 1 8 0 D O I - 1 , N S C I F ( T C . G E . C O N D T ( I ) . A N D . T C . L T . C O N D T ( I + 1 ) ) T H E N C O - C O N D C ( I ) G O T O 1 9 0 E N D I F E N D D O 1 9 0 D O I - 1 , N S S I F ( T C . G E . S P H T ( I ) . A N D . T C . L T . S P H T ( I + 1 ) ) T H E N S P - S P H C ( I ) G O T O 2 0 0 E N D I F E N D D O 2 0 0 W R I T E ( 1 2 , 1 6 0 ) T C - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 , M O I S T ( T C ) * 1 0 0 . 0 d 0 , D E , C O , S P 2 4 0 I F ( T C . C E . T 0 + 1 . 0 d 0 ) G O T O 2 7 0 I F ( T C . L E . A I N T ( T 0 - 1 . 0 d O ) + . 1 5 ) G O T O 2 5 0 T C - T C - . 2 5 0 d 0 G O T O 2 9 0 2 5 0 I F ( T C . L E . A I N T ( T 0 - 4 . 0 d 0 ) + . 1 5 ) G O T O 2 6 0 T C - T C - . 5 0 d 0 G O T O 2 9 0 2 6 0 I F ( T C . L E . T 0 - 1 0 . 0 d 0 ) G O T O 2 8 0 2 7 0 T C - T C - 1 . 0 d 0 G O T O 2 9 0 2 8 0 T C - T C - 2 . 0 d 0 2 9 0 I F ( T C . G E . 2 3 3 . l S O d 0 ) G O T O 1 5 0 W R I T E ( 1 2 , 3 0 0 ) N S D , N S C , N S S 3 0 0 F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , ' N o . c o n s t . d e n s i t y v a l u e s - ' , I 3 , / , & X , ' N o . c o n s t . c o n d u c t i v i t y v a l u e s - ' , 1 3 , / , & X , ' N o . c o n s t . s p e c i f i c h e a t v a l u e s - ' , 1 3 ) W R I T E ( 1 2 , 3 0 5 ) E R 1 D D , E R 1 D C , E R 1 D S , E R Z D D , E R 2 D C , E R 2 D S 3 0 5 F O R M A T ( ' ' , / , ' ' , ' E r r o r 1 D d e n s . - ' , F 6 . 4 , ' E r r o r 1 D c o n d . = ' , & F 6 . 4 , / ' ' , ' E r r o r 1 D s p . h e a t - ' , F 6 . 4 , ' E r r o r 2 D d e n s i t y = ' , F 6 . 4 , & / , X , ’ E r r o r Z D c o n d . - ' , F 6 . 4 , ' E r r o r 2 D s p . h e a t = ' , F 6 . 4 ) W R I T E ( 1 2 , 3 0 6 ) B S T E P 3 0 6 F O R M A T ( ' ' , ' S t e p i n c r e m e n t - ' , f 8 . 5 ) C L O S E ( U N I T - 1 2 ) 2 8 1 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . E N D I F C S t o r e r e s u l t s i n d a t a f i l e C R e s u l t s f o r d e n s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t C a p p r o x i m a t i o n s a r e s t o r e d i n ' T T L F I L p r p . d a t ' W R I T E ( F I L D A T , 3 1 0 ) t t 1 f i l , ' P R P . D A T ' 3 1 0 F O R M A T ( ' ' , a , A ) O P E N ( U N I T - 1 2 , N A M E - F I L D A T ( 1 : l 6 ) , T Y P E = ' N E W ' , C A R R I A G E C O N T R O L P ' L I S T ' ) W R I T E ( 1 2 , * ) W F O , T 0 , M S W R I T E ( 1 2 , * ) D P , K P , C P W R I T E ( 1 2 , * ) N S D , N S C , N S S w r i t e ( l 2 , * ) t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g D O I - l , N S D W R I T E ( 1 2 , * ) D E N S T ( I ) , D E N S C ( I ) E N D D O D 0 I - 1 , N S C W R I T E ( 1 2 , * ) C O N D T ( I ) , C O N D C ( I ) E N D D O D O I - 1 , N S S W R I T E ( 1 2 , * ) S P H T ( I ) , S P H C ( I ) E N D D O C L O S E ( U N I T — l Z ) R E T U R N E N D S U B R O U T I N E I N T E G R ( t h i , t l o w , a v g d p , a v g k p , a v g c p , n c a s e ) i n t e g e r n p , n c a s e d o u b l e p r e c i s i o n e t a ( 2 5 ) , w ( 2 5 ) , t h i , t l o w , t a v g , t d i f f , a v g d p , & a v g k p , a v g c p , x ( 2 5 ) , & d e n s , c o n d u c , s p h e a t e x t e r n a l d e n s , c o n d u c , s p h e a t c N c a s e - 0 : 2 0 p t . q u a d f o r d e n s i t y , c o n d u c t i v i t y , s p . h e a t o v e r t H i - t L o c N c a s e - 1 : 5 p t . q u a d f o r d e n s i t y c N c a s e - 2 : 5 p t . q u a d f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y c N c a s e - 3 : 5 p t . q u a d f o r s p e c i f i c h e a t 0 D e t e r m i n e m e a n p r o p e r t y v a l u e o v e r s p e c i f i e d r a n g e u s i n g G a u s s Q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n : 0 i f ( n c a s e . e q . 0 ) t h e n 0 2 0 p t . q u a d . O O O O O O O O O T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . C C C C C n p = 2 0 E t a v a l u e s : e t a ( l ) - - 0 . 9 9 3 1 2 8 5 9 9 1 8 5 0 9 e t a ( 2 ) - - 0 . 9 6 3 9 7 l 9 2 7 2 7 7 9 1 e t a ( 3 ) - - 0 . 9 1 2 2 3 4 4 2 8 2 5 1 3 3 e t a ( 4 ) - - 0 . 8 3 9 1 1 6 9 7 1 8 2 2 2 2 e t a ( S ) - - 0 . 7 4 6 3 3 1 9 0 6 4 6 0 1 5 e t a ( 6 ) - - 0 . 6 3 6 0 5 3 6 8 0 7 2 6 5 2 e t a ( 7 ) - - 0 . 5 1 0 8 6 7 0 0 1 9 5 0 8 3 e t a ( 8 ) - - 0 . 3 7 3 7 0 6 0 8 8 7 1 5 4 2 e t a ( 9 ) - - 0 . 2 2 7 7 8 5 8 5 1 1 4 l 6 5 2 8 2 e t a ( 1 0 ) - - 0 . 0 7 6 5 2 6 5 2 1 1 3 3 5 0 d o i - 1 , 1 0 e t a ( 2 1 - i ) - - e t a ( i ) e n d d o W e i g h t i n g f a c t o r s : W ( 1 ) W ( 2 ) W ( 3 ) W ( 4 ) W ( 5 ) W ( 6 ) W ( 7 ) W ( 8 ) W ( 9 ) . 0 1 7 6 1 4 0 0 7 1 3 9 1 5 . 0 4 0 6 0 1 4 2 9 8 0 0 3 9 . 0 6 2 6 7 2 0 4 8 3 3 4 1 1 . 0 8 3 2 7 6 7 4 1 5 7 6 7 0 . 1 0 1 9 3 0 1 1 9 8 1 7 2 4 . 1 1 8 1 9 4 5 3 1 9 6 1 5 2 . 1 3 1 6 8 8 6 3 8 4 4 9 1 8 . 1 4 2 0 9 6 1 0 9 3 1 8 3 8 . 1 4 9 1 7 2 9 8 6 4 7 2 6 0 w ( l O ) - 0 . 1 5 2 7 5 3 3 8 7 1 3 0 7 3 d o i - 1 , 1 0 w ( 2 1 - i ) = w ( i ) e n d d o e l s e 5 p t . q u a d . n p - 5 E t a v a l u e s : e t a ( l ) e t a ( 2 ) e t a ( 3 ) e t a ( 4 ) e t a ( 5 ) - 0 . 9 0 6 1 7 9 8 4 5 9 3 8 6 6 - 0 . 5 3 8 4 6 9 3 1 0 1 0 5 6 8 0 . 0 - e t a ( 2 ) - e t a ( 1 ) W e i g h t i n g f a c t o r s : W ( 1 ) W ( 2 ) W ( 3 ) W ( 4 ) W ( 5 ) 0 . 2 3 6 9 2 6 8 8 5 0 5 6 1 9 0 . 4 7 8 6 2 8 6 7 0 4 9 9 3 7 0 . 5 6 8 8 8 8 8 8 8 8 9 w ( 2 ) w ( l ) 2 8 3 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . C C 0 0 0 0 0 e n d i f T r a n s f o r m e t a o n t o ( t h - t 1 ) i n t e r v a l t a v g - ( t h i + t l o w ) / 2 . 0 d 0 t d i f - ( t h i - t l o w ) / 2 . 0 d 0 a v g d p - 0 a v g k p - 0 a v g c p - 0 d o i - l , x ( i ) - n P t a v g + t d i f * e t a ( i ) S u m i n t e g r a l a p p r o x i m a t i o n i f ( n c a s e . e q . 0 . o r . n c a s e . e q . 1 ) a v g d p i f ( n c a s e . e q . 0 . o r . n c a s e . e q . 2 ) a v g k p i f ( n c a s e . e q . 0 . o r . n c a s e . e q . 3 ) a v g c p e n d d o i f ( n c a s e . i f ( n c a s e . i f ( n c a s e . r e t u r n e n d a v g d p + W ( i ) * d e n S ( X ( i ) ) a v g k p + w ( i ) * c o n d u c ( x ( i ) ) a v g c p + w ( i ) * s p h e a t ( x ( i ) ) e q . 0 . o r . n c a s e . e q . l ) a v g d p - 0 . 5 0 * a v g d p e q . 0 . o r . n c a s e . e q . 2 ) a v g k p - 0 . 5 0 * a v g k p e q . 0 . o r . n c a s e . e q . 3 ) a v g c p - 0 . 5 0 * a v g c p B L O C K D A T A C O N S T t h e f o l l o w i n g v a l u e s a r e d e f i n e d i n t h i s b l o c k d a t a : d i - d w - k w - c p i - c p w - d e n s i t y o f i c e ( 9 1 7 . k g / m A B ) ) b l o c k d e n s i t y o f w a t e r ( 9 9 8 . k g / m A 3 ) } / d e n s i / t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r } b l o c k ( 0 . 5 6 9 w / m k ) } / c o n d / s p e c i f i c h e a t o f i c e ( 2 . 1 k j / k g k ) s p e c i f i c h e a t o f w a t e r ( 4 . 1 8 7 k j / k g k ) b l o c k / S P h / d o u b l e p r e c i s i o n D I , D W , K W , C P I , C P W C O M M O N / D E N S I / D I , D W , / C O N D / K W , / S P H / C P I , C P W S A V E / D E N S I / , / C O N D / , / S P H / D A T A D I , D W / 9 l 7 . 0 d 0 , 9 9 8 . 0 d 0 / , K W / 0 . 5 6 9 0 d 0 / , & C P I , C P W / 2 . 1 0 d 0 , 4 . l 8 7 0 d 0 / E N D 0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 4 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . S U B R O U T I N E I N P U T l T h i s s u b r o u t i n e p r o v i d e s t h e i n p u t f o r t h e b o u n d a r y c o n d i - t i o n s o n t h p r o d u c t f o r t h e c a s e w h e r e t h e a m b i e n t t e m p e r - a t u r e a n d s u r f a c e h e a t t r a n f e r c o e f f i e n t a r e k n o w n a n d a s s u m e d t o b e c o n s t a n t o v e r a g i v e n s t o r a g e p e r i o d . I n p u t v a r i b l e s i n c l u d e , i n i t i a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e , s y m - m e t r y o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , n u m b e r o f c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s t o r a g e p e r i o d s , l e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d , a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . p a r a m e t e r ( m a x p = 2 0 ) i n t e g e r c t ( m a x p ) , c c t ( m a x p ) , p e r , s y m , s s t e p , u n i t , s h a p e , m , & h t y p e ( m a x p ) d o u b l e p r e c i s i o n t i , t e m p ( m a x p ) , s t o r ( m a x p ) , h l ( m a x p ) , h 2 ( m a x p ) , & t u n i t ( m a x p ) , h , 1 , d z , p e r l , p e r 2 , a m p 1 , a m p 2 c h a r a c t e r y n * l , t i t 1 e * 2 0 , t t 1 f i l * 4 , f i l d a t * 1 2 , i n p d a t * 1 2 l o g i c a l i t m o d e c o m m o n / b o u n d / p e r , t i , t e m p , s t o r , h 1 , h 2 , t u n i t , & / g e o m / s h a p e , h , l , d z , s y m , m , m p l , s s t e p / t t l / t i t l e , t t l f i l , / m o d / m o d e l , & / i t m / i t m o d e , / d a t f i l / f i l d a t , i n p d a t , k i n d a t S a v e i f ( i t m o d e ) g o t o 3 r e a d * , p e r , t i , s y m d o i - 1 , p e r r e a d * , t e m p ( i ) , u n i t , s t o r ( i ) , h l ( i ) , h 2 ( i ) i f ( u n i t . e q . 1 ) t h e n t u n i t ( i ) - 3 6 0 0 . 0 d 0 e l s e t u n i t ( i ) - 8 6 4 0 0 . 0 d 0 e n d i f e n d d o r e a d s h a p e i f ( s h a p e . l t . 3 ) t h e n r e a d * , 1 h - 1 . 0 d 0 e l s e r e a d * , l h - 0 . 0 d 0 e n d i f g o t o 5 0 0 w r i t e ( 5 , 1 ) 1 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' - ' ) , / , ' O ’ , 2 7 x , ' S t o r a g e C o n d i t i o n s ' , / , ' O ’ , 7 2 ( ' - ' ) ) w r i t e ( 6 , 1 0 ) 2 8 5 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 1 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r n u m b e r o f c o n s t a n t t e m p . s t o r a g e ' , & ' p e r i o d s : ' , $ ) r e a d * , p e r w r i t e ( 6 , 2 0 ) 2 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' I n i t i a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e ( C ) : ' , $ ) r e a d * , t i w r i t e ( 6 , 3 0 ) 3 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s s y m m e t r i c a l ? ' , & ' ( 0 - N o , l - Y e s ) ' , , ' ' , ' ( E n t e r " 1 " f o r c y l i n d e r & s p h e r e ' , & ' g e o m e t r i e s ) ' , $ ) r e a d * , s y m w r i t e ( 6 , 4 0 ) 4 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e s e v a l u e s c o r r e c t ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 ) y n 2 f o r m a t ( a ) i f ( y n . n e . ' y ' . a n d . y n . n e . ' Y ’ ) g o t o 5 c i n p u t b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r e a c h s t o r a g e p e r i o d d o 1 2 0 i - l , p e r 4 5 w r i t e ( 6 , 5 0 ) i 5 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d a t a f o r p e r i o d ' , i 3 , ' : ' , $ ) w r i t e ( 6 , 6 0 ) 6 0 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' S t o r a g e t e m p e r a t u r e ( C ) : ' , $ ) r e a d * , t e m p ( i ) 7 O w r i t e ( 6 , 7 5 ) 7 5 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' E n t e r u n i t s f o r s t o r a g e t e m p . : ' , / , ' ' , 7 x , ' l = h o u r s ' & , / , ' ' , 7 x , ' 2 - d a y s ' ) r e a d * , u n i t i f ( u n i t . l e . 0 . a n d . u n i t . g t . 2 ) t h e n p r i n t * , ' t r y a g a i n ! ’ g o t o 7 0 e n d i f i f ( u n i t . e q . 1 ) t h e n t u n i t ( i ) - 3 6 0 0 . 0 d 0 e l s e t u n i t ( i ) = 8 6 4 0 0 . 0 d 0 e n d i f 7 7 w r i t e ( 6 , 8 0 ) 8 0 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' L e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d : ' , $ ) r e a d * , s t o r ( i ) i f ( s t o r ( i ) . 1 t . 0 ) t h e n p r i n t * , ' t r y a g a i n ! ’ g o t o 7 7 e n d i f w r i t e ( 6 , 8 2 ) 8 2 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' E n t e r c u r v e t y p e o f h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t : ' , & / , ' ' , 7 x , ' l . c o n s t a n t ' , / , ' ' , 7 x , ' 2 . s i n u s i o d a l ' ) r e a d * , h t y p e ( i ) i f ( h t y p e ( i ) . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 9 0 ) 9 0 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' E n t e r s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t ( W / m A Z C ) : ' , & / , ' ' , 7 x , ' s i d e l = ' , $ ) r e a d * , h l ( i ) i f ( s y m . n e . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 1 0 0 ) + ' ' , 5 r x e , a ' d r a * d , i 1 u s ( m ) = ' » $ ) 2 8 6 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 1 0 0 f o r m a t ( ' ' , 7 x , ' s i d e 2 - ' , $ ) r e a d * , h 2 ( i ) e l s e h 2 ( i ) - 0 . 0 d 0 e n d i f e l s e w r i t e ( 6 , 1 0 2 ) 1 0 2 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' E n t e r a m p l i t u d e ( C ) a n d p e r i o d ( h r s ) o f s i n u s i o d a l ' , & ' c u r v e f o r h ( s i d e 1 ) : ' , $ ) r e a d * , a m p l , p e r 1 i f ( s y m . n e . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 1 0 4 ) 1 0 4 f o r m a t ( ' ' , 7 x , ’ s i d e 2 - ' , $ ) r e a d * , a m p 2 , p e r 2 e l s e a m p 2 - 0 . 0 d 0 p e r 2 - 0 . 0 d 0 h 2 ( i ) - 0 . 0 d 0 e n d i f e n d i f 1 1 0 w r i t e ( 5 , 1 1 5 ) 1 1 5 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e s e v a l u e s c o r r e c t ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 ) y n i f ( y n . n e . ' y ' . a n d . y n . n e . ' Y ' ) g o t o 4 5 1 2 0 c o n t i n u e c i n p u t g e o m e t r y a n d s i z e 1 4 0 w r i t e ( 6 , 1 5 0 ) 1 5 0 f o r m a t ( ' O ' , ' E n t e r p r o d u c t g e o m e t r y : ' , / , ' ' , 5 x , ' l - s l a b ' , / , ' ' , 5 x + , ' 2 - c y l i n d e r ' , / , ' ' , 5 x , ' 3 - s p h e r e ’ ) r e a d * , s h a p e i f ( s h a p e . g t . l . a n d . s y m . e q . 0 ) t h e n p r i n t * , ' B o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t b e s y m m e t r i c a l f o r c y l i n d e r a n d ' , & ' s p h e r e ; t r y a g a i n ! ! ' g o t o 3 e n d i f i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 1 6 0 ) 1 6 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r s l a b : ' , / , ' ' , 5 x , & ' t h i c k n e s s i n d i r e c t i o n o f h e a t t r a n s f e r ( m ) = ' , $ ) r e a d * , 1 h - 1 . 0 d 0 e l s e i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n w r i t e ( 6 , 1 8 0 ) 1 8 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r c y l i n d e r ' , / , + ' ' , 5 x , ' r a d i u s ( m ) - ' , $ ) r e a d * , 1 h - 1 . 0 d 0 e l s e w r i t e ( 6 , 2 0 0 ) 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r s p h e r e ( m ) ' , / , T a b l e 5 0 0 5 9 0 6 0 0 7 0 0 7 1 0 8 0 0 8 1 0 9 0 0 1 0 0 0 2 8 7 B . 2 ( c o n t ' d ) . h - 0 . 0 d 0 e n d i f e n d i f t i - t i + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 i f ( s y m . e q . 1 . a n d . s h a p e . e q . 1 ) L - L * 0 . 5 0 d 0 d o i - 1 , p e r t e m p ( i ) - t e m p ( i ) + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 s t o r ( i ) - s t o r ( i ) * t u n i t ( i ) i f ( s y m . e q . 1 . o r . s h a p e . n e . l ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h 2 ( i ) - 0 . 0 d 0 e l s e h 2 ( i ) — h 1 ( i ) h 1 ( i ) - 0 . 0 d 0 e n d i f e n d i f e n d d o i f ( l . g e . 0 . 8 0 d 0 ) t h e n m - 4 0 s s t e p - l O g o t o 5 9 0 e n d i f d o i - 1 , 1 0 i f ( l . 1 t . i * 0 . 0 8 0 d 0 ) t h e n m = i * 4 s s t e p - i g o t o 5 9 0 e n d i f e n d d o w r i t e ( i n p d a t , 6 0 0 ) t t l f i 1 , ' i n p . d a t ' f o r m a t ( ' ' , a , a ) o p e n ( u n i t - l 2 , n a m e - i n p d a t ( l : l 2 ) , t y p e = ' n e w ' , c a r r i a g e c o n t r o l = ' 1 i s t ' ) w r i t e ( 1 2 , 7 0 0 ) p e r , s y m , t i f o r m a t ( ' ' , i 2 , 2 x , i l , 2 x , f 6 . 2 ) d o i - 1 , p e r w r i t e ( 1 2 , 7 1 0 ) h t y p e ( i ) f o r m a t ( ' ' , i l ) i f ( h t y p e ( i ) . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 8 0 0 ) t e m p ( i ) , s t o r ( i ) , t u n i t ( i ) , h 1 ( i ) , h 2 ( i ) f o r m a t ( ' ' , 2 x , f 6 . 2 , 2 x , f 1 8 . 2 , 2 x , f 6 . 0 , 2 ( 2 x , f 8 . 2 ) ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 8 1 0 ) t e m p ( i ) , s t o r ( i ) , t u n i t ( i ) , a m p l , p e r 1 , a m p 2 , p e r 2 f o r m a t ( ' ' , 2 x , f 6 . 2 , 2 x , f l 8 . 2 , 2 x , f 6 . 0 , 4 ( 2 x , f 8 . 2 ) ) e n d i f e n d d o w r i t e ( 1 2 , 9 0 0 ) s h a p e , L , h f o r m a t ( ' ' , i l , 2 ( 2 x , f 8 . 4 ) ) w r i t e ( 1 2 , 1 0 0 0 ) m , s s t e p f o r m a t ( ' ' , 1 2 , 2 x , 1 2 ) c l o s e ( u n i t - 1 2 ) r e t u r n e n d 0 0 0 0 0 2 8 8 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . S U B R O U T I N E I N P U T 2 K i n e t i c p r o p e r t i e s t o d e t e r m i n e q u a l i t y l o s s i n a f o o d p r o d u c t a r e e n t e r e d i n t h i s s u b r o u t i n e . A f i l e t i t l e d ' T T L F I L k i n . d a t ' c o n t a i n i n g t h e k i n e t i c p r o p e r t i e s i s c r e a t e d . T h i s f i l e i s r e - o p e n e d i n t h e s o l u t i o n , a n d i t m a y b e r e u s e d a g a i n i n s u b s e q u e n t r u n s . i n t e g e r m o d e l d o u b l e p r e c i s i o n q 0 , t r e f , e a , v e a , v q 0 c h a r a c t e r t i t l e * 2 0 , t t l f i l * 4 , f i l d a t * 1 2 , i n p d a t * 1 2 , k i n d a t * 1 2 l o g i c a l i t m o d e c o m m o n / t t l / t i t 1 e , t t l f i 1 , / m o d / m o d e 1 , / i t m / i t m o d e , & / d a t f i l / f i l d a t , i n p d a t , k i n d a t c R e a d b a t c h f i l e d a t a ( i f i t m o d e - . f a l s e . ) i f ( i t m o d e ) g o t o 1 r e a d * , q 0 , t r e f , e a i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n r e a d * , v e a , v q 0 e n d i f g o t o 3 0 c R e a d i n t e r a c t i v e i n p u t 1 w r i t e ( 5 , 2 ) 2 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' - ' ) , / , ' 0 ' , t 2 3 , ' R e f e r e n c e S h e l f - l i f e d a t a ' , / , ' 0 ' , & 7 2 ( ' - ' ) ) 1 0 w r i t e ( 5 , 1 0 0 ) 1 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r r e f e r e n c e s h e l f - l i f e ( d a y s ) : ' , $ ) r e a d * , q 0 w r i t e ( 5 , 2 0 0 ) 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e f o r r e f e r e n c e ' , & ' s h e l f - l i f e ( C ) : ' , $ ) r e a d * , t r e f w r i t e ( 5 , 3 0 0 ) 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( k J / m o l e ) : ' & . $ ) r e a d * , e a i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n w r i t e ( 5 , 4 0 0 ) 4 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r s t a n d a r d d e v i a t i o n o f a c t i v a t i o n ' , & ' e n e r g y c o n s t . ( k J / m o l e ) : ' , $ ) r e a d * , v e a w r i t e ( 5 , 5 0 0 ) 5 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r s t a n d a r d d e v i a t i o n o f r e f . s h e l f - l i f e ' , & ' ( d a y s ) : ' , $ ) r e a d * , v q 0 e n d i f 2 8 9 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . w r i t e ( 5 , 5 5 0 ) 5 5 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e s e v a l u e s c o r r e c t ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) y n 2 0 f o r m a t ( a ) i f ( y n . e q . ' n ' . o r . y n . e q . 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D A T ' 3 1 0 F O R M A T ( ' ' , A , A ) O P E N ( U N I T - 1 2 , N A M E - F I L D A T ( 1 : 1 2 ) , T Y P E = ' O L D ' , C A R R I A G E C O N T R O L = ' L I S T ' ) R E A D ( 1 2 , * ) W F O , T 0 , M S R E A D ( 1 2 , * ) D P , K P , C P R E A D ( 1 2 , * ) N S D , N S C , N S S r e a d ( l 2 , * ) t 1 , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g D O I = 1 , N S D R E A D ( 1 2 , * ) D E N S T ( I ) , D E N S C ( I ) E N D D O D O I - l , N S C R E A D ( 1 2 , * ) C O N D T ( I ) , C O N D C ( I ) E N D D O D O I - l , N S S R E A D ( 1 2 , * ) S P H T ( I ) , S P H C ( I ) E N D D O C L O S E ( U N I T — 1 2 ) c R e a d i n k i n e t i c d a t a i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n w r i t e ( k i n d a t , 6 0 0 ) t t l f i 1 , ' k i n . d a t ' o p e n ( u n i t = l 2 , n a m e - k i n d a t ( l : 1 2 ) , t y p e = ' o l d ' , c a r r i a g e c o n t r o l = ' 1 i s t ' ) r e a d ( 1 2 , * ) q 0 , t r e f , e a i f ( m o d e l . e q . 4 ) r e a d ( 1 2 , * ) v e a , v q 0 c l o s e ( u n i t - 1 2 ) e n d i f 2 9 1 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . p i - d a c o s ( — l . 0 d 0 ) d t - 1 2 0 d z - L / m m p 1 - m + l D O k - 1 , 2 T A ( k ) - T E M P ( 1 ) i f ( h t y p e ( l ) . e q . 1 ) t h e n H H 1 ( k ) - H 1 ( l ) H H 2 ( k ) - H 2 ( 1 ) e l s e i f ( a m p 1 . n e . 0 ) t h e n h h 1 ( k ) - a m p l * c o s ( 2 * p i * ( k - l ) * d t / ( p e r 1 * 3 6 0 0 ) ) e l s e h h 1 ( k ) - 0 e n d i f i f ( a m p 2 . n e . 0 ) t h e n h h 2 ( k ) - a m p 2 * c o s ( 2 * p i * ( k - 1 ) * d t / ( p e r 2 * 3 6 0 0 ) ) e l s e h h 2 ( k ) - 0 e n d i f e n d i f D O I - 1 , m p 1 t ( I , k ) - t i e n d d o e n d d o t a v g - t i t i m e - 0 c o u n t - 0 J J - O J J J - O D O I - 1 , m p l I F ( M O D E L . G E . 3 ) T H E N Q U A L ( I ) - Q O * 8 6 4 0 0 . 0 d 0 E L S E Q U A L ( I ) - 0 . 0 d 0 E N D I F E N D D O q a v g - q 0 * 8 6 4 0 0 . 0 d 0 i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n d q ( l ) - 0 . 0 d 0 d q ( 2 ) - 0 . 0 d 0 q u - v q 0 * 8 6 4 0 0 . 0 d 0 v q - v q 0 e n d i f n p r i n t - 0 I F ( M O D E L . L T . 3 ) T H E N H E A D T Q - l e l s e h e a d t q - 2 e n d i f c a l l o u t p u t ( n p r i n t , h e a d t q , t , t a v g , t i m e , j j , q u a 1 , q a v g , v q , i i , e e n d , d t ) j = 1 c f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n 2 9 2 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 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0 i f ( i i . e q . p e r ) t h e n e e n d - l n p r i n t - 2 c a l l o u t p u t ( n p r i n t , h e a d t q , t , t a v g , t i m e , j j , q u a 1 , q a v g , v q , i i , e e n d , d t ) e n d i f c o n t i n u e r e t u r n e n d S U B R O U T I N E C O E F F ( i i , h h 1 , h h 2 , t a , d t m a x , t , a , b , c , d , d t ) p a r a m e t e r ( m a x m = 1 0 1 , m a x p — 2 0 , m a x d = 1 0 1 , m a x c = 5 1 , m a x s = 2 0 1 ) i n t e g e r s h a p e , m , m p 1 , i i d o u b l e p r e c i s i o n b e t a , n u , o m e g a , g a m a , h h l ( 2 ) , h h 2 ( 2 ) , & a a r , a r ( m a x m ) , a r 1 ( m a x m ) , a r e a , a v g 1 , a v g 2 , & d a , d b , d c , d d d , t a ( 2 ) , D E N S T ( m a x d ) , D E N S C ( m a x d ) , & C O N D T ( m a x c ) , C O N D C ( m a x c ) , S P H T ( m a x s ) , S P H C ( m a x s ) , c k ( m a x m ) , & c s d ( m a x m , 2 ) , a ( m a x m ) , b ( m a x m ) , c ( m a x m ) , d ( m a x m ) , t ( m a x m , 2 ) , & d t m a x , d t , p i , d z z , d t t , w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , h , l , d z , d s , 8 t h , t 1 , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g , t d t c o m m o n / g e o m / s h a p e , h , l , d z , s y m , m , m p l , s s t e p , / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , & c p , t 0 , / C O N S T P / D E N S T , D E N S C , C O N D T , C O N D C , S P H T , S P H C , / d f f / d i f , & / N C O N S T P / N S D , N S C , N S S , / d / d s , / p a v g / t h , t 1 , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g , 2 9 6 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . & / t o l d t / t d t p i - d a c o s ( - 1 . 0 d 0 ) c w e i g h t i n g f u n c t i o n s f o r f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d c m o d i f i e d c r a n k - n i c o l s o n m e t h o d c w e i g h t . c o e f f . f o r d 2 t / d z 2 c f o r t i m e t : b e t a - 0 . 5 0 d 0 c f o r t i m e t + 1 : n u - 0 . 5 0 d 0 c w e i g h t . c o e f f . f o r d t / d t c f o r t i m e t : o m e g a - - l . 0 d 0 c f o r t i m e t + l : g a m a - 1 . 0 d 0 q 1 - 0 . 0 d 0 q 2 - 0 . 0 d 0 d z z - 1 . 0 d 0 / d z i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n a a r - 2 . 0 d 0 * p i * h e l s e i f ( s h a p e . e q . 3 ) t h e n a a r - 4 . 0 d 0 * p i e n d i f e n d i f d o 1 0 i - l , m p 1 c s l a b i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n a r ( i ) - h a r 1 ( i ) - h e l s e c c y l i n d e r i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n a r ( i ) - a a r * ( i - 1 ) * d z a r l ( i ) — a r ( i ) + a a r * d z / 2 . 0 d 0 e l s e c s p h e r e a r ( i ) - a a r * ( ( i - 1 ) * d z ) * * 2 . 0 d 0 a r 1 ( i ) - a a r * ( ( i - l ) * d z + d z / 2 . 0 d 0 ) * * 2 . 0 d O e n d i f e n d i f 2 9 7 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 1 0 c o n t i n u e C A L L P F I N D ( T , M , C K , C S D , D T , D Z , d t m a x ) c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c l s t b o u n d a r y p o i n t A V G l - ( A R ( 1 ) + A R 1 ( 1 ) ) * 0 . 5 0 d 0 a ( l ) - 0 . 0 d 0 c ( l ) - n u * d z z * C K ( 1 ) * a r 1 ( 1 ) d c - - b e t a * d z z * C K ( 1 ) * a r 1 ( 1 ) b ( 1 ) - - g a m a * C S D ( 1 , 1 ) * a v g 1 - n u * h h 1 ( 2 ) * a r ( 1 ) - c ( 1 ) d b - o m e g a * C S D ( 1 , 1 ) * a v g 1 + b e t a * h h 1 ( l ) * a r ( 1 ) - d c d d d - - b e t a * ( t a ( 1 ) * h h l ( 1 ) * a r ( 1 ) + q 1 ) - n u * ( t a ( 2 ) * h h 1 ( 2 ) * a r ( l ) + q 1 ) d ( 1 ) - d b * t ( l , l ) + d c * t ( 2 , l ) + d d d c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c c i n t e r i o r p o i n t s d o 2 0 i - 2 , m A V G l - ( A R ( I ) + A R 1 ( I ) ) * 0 . 5 0 d O A V G Z - ( A R ( I ) + A R 1 ( I - 1 ) ) * 0 . 5 0 d 0 a ( i ) - n u * d z z * C K ( I — 1 ) * a r 1 ( i - 1 ) d a - - b e t a * d z z * C K ( I - 1 ) * a r 1 ( i - 1 ) c ( i ) - n u * d z z * C K ( I ) * a r 1 ( i ) d c - - b e t a * d z z * C K ( I ) * a r 1 ( i ) b ( i ) - 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l O l , M A X C - S l , M A X D = 1 0 1 , M A X S = 2 0 1 ) I N T E G E R N C ( 8 ) , N S C , N S D , N S S d o u b l e p r e c i s i o n T A V G K , T A V G S D ( 2 ) , C K ( M A X M ) , C S P D ( M A X M , 2 ) , & k c , D C ( 2 ) , S P C ( 2 ) , t ( m a x m , 2 ) , d t , d t m a x , d z d o u b l e p r e c i s i o n C O N D T ( M A X C ) , C O N D C ( M A X C ) , D E N S T ( M A X D ) , & D E N S C ( M A X D ) , S P H T ( M A X S ) , S P H C ( M A X S ) , & w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , d s , & t h , t 1 , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g , & d e n s , c o n d u c , s p h e a t C O M M O N / C O N S T P / D E N S T , D E N S C , C O N D T , C O N D C , S P H T , S P H C , & / N C O N S T P / N S D , N S C , N S S , / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / d / d s , & / p a v g / t h , t 1 , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g / t o l d t / t d t e x t e r n a l d e n s , c o n d u c , s p h e a t M P 1 - M + 1 e i g e n ( 1 ) - 0 . e m a x - 1 . 0 e 1 0 c c - 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A N D . K K . e q . l ) G O T O 3 0 I F ( I . E Q . 1 . A N D . K K . e q . 2 ) G O T O 3 0 i f ( t a v g s d ( k k ) . g e . t 0 ) t h e n d c ( k k ) - d p n c ( k k + 2 ) - 1 e l s e i f ( t a v g s d ( k k ) . g e . t 0 - 4 . 0 d 0 ) t h e n d c ( k k ) - d e n s ( t a v g s d ( k k ) ) n c ( k k + 2 ) - 1 e l s e I F ( T A V G S D ( K K ) . L E . D E N S T ( J ) ) T H E N D C ( K K ) - D E N S C ( J - 1 ) N C ( K K + 2 ) - 1 E N D I F e n d i f E N D I F 3 0 C O N T I N U E 4 0 C O N T I N U E D O 6 0 J - 2 , N S S + 1 D O 5 0 R R - 1 , 2 I F ( N C ( K K + 5 ) . E Q . 1 ) g o t o 5 0 I F ( I . E Q . m p l . A N D . K K . e q . 1 ) G O T O 5 0 I F ( I . E Q . 1 . A N D . 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E Q . 0 ) T H E N G O T O 1 1 0 0 E L S E i f ( n p r i n t . e q . 1 ) t h e n 3 0 1 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . g o t o 1 2 0 0 e l s e g o t o 1 3 0 0 e n d i f e n d i f 1 1 0 0 w r i t e ( o u t f i l , 1 0 0 0 ) t t 1 f i 1 , ' o u t . d a t ' 1 0 0 0 f o r m a t ( ' ' , a , a ) o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e - o u t f i 1 ( l : 1 2 ) , t y p e = ' n e w ' , c a r r i a g e c o n t r o l = ' 1 i s t ' ) w r i t e ( 1 2 , 1 ) t i t 1 e 1 f o r m a t ( ' ' , / / / , 3 x , ' T i t 1 e : ' , a 2 0 , / 3 x , ' - - - - - ' , / / , 1 4 x , ' I n p u t P a r a ' , + ' m e t e r s ' , / , 1 4 x , 1 6 ( ' — ' ) / / ) i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 ) 3 f o r m a t ( ' ' , ' K i n e t i c P a r a m e t e r s ' ) w r i t e ( 1 2 , 4 ) q 0 4 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , 2 x , ' R e f e r e n c e s h e l f - l i f e ( d a y s ) . . . . . . . . . . . . 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' , f 7 . 2 ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 2 6 ) a b c d f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' s t o r a g e t i m e ( d a y s ) . . . . . . . . . . ' , f 7 . 2 ) e n d i f a b c d r t e m p ( i ) - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 w r i t e ( 1 2 , 2 7 ) a b c d f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' s t o r a g e t e m p e r a t u r e ( C ) . . . . . . ' , f 6 . 1 ) w r i t e ( 1 2 , 2 8 ) f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f . ( W / m A 2 K ) : ' ) i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 2 9 ) h 1 ( i ) f o r m a t ( ' ' , 6 x , ' s i d e 1 - ' , f 7 . 2 ) i f ( s y m . n e . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 0 ) h 2 ( i ) f o r m a t ( ' ' , 6 x , ' s i d e 2 = ' , f 7 . 2 ) e n d i f e l s e w r i t e ( 1 2 , 3 5 ) h 2 ( i ) f o r m a t ( ' ' , 6 x , ' a t s u r f a c e - ' , f 7 . 2 ) e n d i f c o n t i n u e w r i t e ( 1 2 , 4 5 ) d t f o r m a t ( 4 x , ' T i m e s t e p - ' , f 6 . 2 ) w r i t e ( 1 2 , 1 0 0 ) t i t 1 e f o r m a t ( ' ' , / / / / / , ' ' , ' T i t l e - ' , a 2 0 , / ) i f ( s y m . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 1 0 ) 3 0 3 T a b l e B . 2 ( c o n t ' d ) . 1 1 0 f o r m a t ( ' ' , ' N o t e : D i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l ; ' / , 6 x , ' r e s u l t s ' , + ' a r e s h o w n f o r h a l f - t h i c k n e s s o n l y . ' / ) e n d i f h h 2 2 - ' D I S T R I B U T I O N H I S T O R Y ' i f ( h e a d t q . e q . l ) t h e n h h 1 1 - ' T E M P E R A T U R E ( C ) ' e l s e h h l l - ‘ T E M P E R A T U R E ( C ) & Q U A L I T Y ( % ) ' e n d i f w r i t e ( 1 2 , 1 2 0 ) h h 1 1 , h h 2 2 1 2 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , 1 9 x , a , / , 2 3 x , a , / , 1 9 x , 2 7 ( ' - ' ) , / ) i f ( m o d e 1 . l t . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 3 0 ) 1 3 0 f o r m a t ( ' ' , 2 8 x , ' p o s i t i o n ( m ) ' , / ' ' , 5 x , ' t i m e ' , 5 x , ' : ' , 4 2 x , & ' A v g T e m p ' ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 1 3 5 ) 1 3 5 f o r m a t ( ' ' , 2 8 x , ' p o s i t i o n ( m ) ' , / ' ' , 5 x , ' t i m e ' , 5 x , ' : ’ , 4 2 x , & ' A v g T e m p Q u a 1 . ' ) e n d i f d o i - 1 , 5 a b c ( i ) - ( i - 1 ) * s s t e p * d z e n d d o i f ( m o d e l . l t . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 3 7 ) a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) 1 3 7 f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' h o u r s : ' , 5 ( f 8 . 4 ) ) e l s e i f ( m o d e l . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 4 0 ) a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) 1 4 0 f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' d a y s + h r : ' , 5 ( f 8 . 4 ) , 2 x , ' o r Q u a l ' ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 1 4 5 ) a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) 1 4 5 f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' d a y s + h r : ' , 5 ( f 8 . 4 ) , 2 x , ' o r Q u a l S t D ( % ) ' ) e n d i f e n d i f i f ( m o d e l . n e . 4 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 5 0 ) 1 5 0 f o r m a t ( ' ' , 6 5 ( ' - ' ) ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 1 5 5 ) 1 5 5 f o r m a t ( 7 2 ( ' - ' ) ) e n d i f w r i t e ( 1 2 , 1 6 0 ) 1 6 0 f o r m a t ( ' ' , ' P e r i o d 1 : ' ) c P r i n t o u t t i m e h e a d i n g 1 2 0 0 c 7 - 8 6 4 0 0 . 0 d 0 t a v g l - t a v g - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 d o i - 1 , 5 a b c ( i ) - t ( ( i - 1 ) * s s t e p + 1 , 2 ) - 2 7 3 . 1 5 0 d 0 e n d d o w r i t e ( 1 2 , 1 9 0 ) ( t i m e + j j ) / 3 6 0 0 , a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) , 3 0 4 T a b l e B . 2 ( c o n t ’ d ) . & t a v g 1 1 9 0 f o r m a t ( ' ' , f 8 . 2 , ' h o u r : ' , 6 ( f 7 . 2 , 1 x ) , ' C ' ) i f ( h e a d t q . e q . 2 ) t h e n C P r i n t o u t q u a l i t y d i s t r i b u t i o n c 8 - 1 0 0 . 0 d 0 / ( 8 6 4 0 0 . 0 d 0 * q 0 ) d o i - 1 , m p l i f ( q u a 1 ( i ) . 1 t . 0 ) t h e n d e a d - 1 e n d i f e n d d o d o i - 1 , 5 a b c ( i ) - q u a 1 ( ( i — l ) * s s t e p + l ) * c 8 e n d d o i f ( m o d e l . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 2 1 0 ) a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) , q a v g * c 8 2 1 0 f o r m a t ( ' ' , 1 4 x , ' : ' , 6 ( f 7 . 2 , 1 x ) , ' % ' ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 2 1 5 ) a b c ( l ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) , q a v g * c 8 , & ( v q ) * * 0 . 5 0 d 0 * c 8 2 1 5 f o r m a t ( ' ' , 1 4 x , ’ : ' , 6 ( f 7 . 2 , 1 x ) , 1 x , e 7 . 1 , ' % ' ) e n d i f i f ( d e a d . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 2 2 0 ) 2 2 0 f o r m a t ( ' ' , 1 8 x , ' s h e 1 f - 1 i f e h a s b e e n e x c e e d e d ' ) e n d i f e n d i f r e t u r n c P r i n t o u t e n d l i n e 1 3 0 0 i f ( m o d e l . n e . 4 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 0 0 ) 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , 6 5 ( ' - ' ) ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 3 0 5 ) 3 0 5 f o r m a t ( ' ' , 7 2 ( ' - ' ) ) e n d i f i f ( e e n d . e q . 0 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 1 0 ) i i 3 1 0 f o r m a t ( ' ' , ' p e r i o d ' , i 3 ) e l s e c l o s e ( u n i t - 1 2 ) e n d i f r e t u r n e n d A P P E N D I X C A P P E N D I X C T W O D I M E N S I O N A L T R A N S I E N T H E A T C O N D U C T I O N A N D Q U A L I T Y R E T E N T I O N P R O G R A M T h e t w o d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o g r a m , i n c l u d i n g e s t i m a t i o n o f q u a l i t y r e t e n t i o n , d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 , i s p r e s e n t e d h e r e . A n o u t l i n e o f t h e p r o g r a m i s g i v e n i n T a b l e C . 1 , a n d t h e l i s t i n g f o r t h e p r o g r a m , w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 f o r a V a x 1 1 / 7 5 0 i s g i v e n i n T a b l e C . 2 . 3 0 5 3 0 6 T a b l e C . 1 D e s c r i p t i o n o f T w o D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . S u b r o u t i n e T i t l e P R O G R A M F R E E Z E S U B R O U T I N E P R O P E R D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N M O I S T ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N D E N S ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N K I ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N C O N D U C ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N S P H E A T ( X ) S U B R O U T I N E C O N S P R S U B R O U T I N E I N T E G R B L O C K D A T A C O N S T S U B R O U T I N E I N P U T l S U B R O U T I N E I N P U T 2 S U B R O U T I N E S O L N S U B R O U T I N E C O E F F l S U B R O U T I N E C O E F F 2 S U B R O U T I N E T H O M A L D e s c r i p t i o n M a i n p r o g r a m ; c o n t a i n s p r o g r a m m e n u . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . A l l o w s i n t e r a c t i v e i n p u t o f a m b i e n t c o n d i t i o n s a n d p r o d u c t g e o m e t r y . W r i t e s o u t p u t t o d a t a f i l e . A l l o w s i n t e r a c t i v e i n p u t o f k i n e t i c p r o p e r t i e s . W r i t e s o u t p u t t o d a t a f i l e . C o m p u t e s t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n a n d q u a l i t y r e t e n t i o n a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . C a l l s o u t p u t s u b r o u t i n e . D e t e r m i n e s m a t r i x c o e f f i c i e n t s u s e d i n f i r s t s w e e p i n A D I f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . D e t e r m i n e s m a t r i x c o e f f i c i e n t s u s e d i n s e c o n d s w e e p i n A D I f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . S o l v e s T h o m a s A l g o r i t h m f o r i n v e r s i o n o f t r i - d i a g o n a l m a t r i x . T a b l e C . 1 ( c o n t ' d ) . S U B R O U T I N E P F I N D S U B R O U T I N E H E A D I N G S U B R O U T I N E O U T P U T 3 0 7 F i n d s v a l u e s f o r t h e r m a l p r o p e r t i e s r e q u i r e d f o r A D I f i n i t e d i f f e r e n c e c a l c u l a t i o n s f r o m t h e p r o p e r t y v a l u e s d e t e r m i n e d i n C O N S P R . W r i t e s i n p u t d a t a t o o u t p u t f i l e . W r i t e s r e s u l t i n g t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y r e t e n t i o n v a l u e s t o o u t p u t f i l e . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 8 T a b l e C . 2 C o m p u t e r C o d e f o r T w o D i m e n s i o n a l T r a n s i e n t H e a t C o n d u c t i o n a n d Q u a l i t y R e t e n t i o n P r o g r a m . P R O G R A M F R E E Z E c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c R e s i d u a l S h e l f - l i f e P r o g r a m c b y c E l a i n e S c o t t c 1 9 8 5 C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * T h i s p r o g r a m c a l c u l a t e s t h e t e m p e r a t u r e a n d q u a l i t y d i s t r i - b u t i o n h i s t o r i e s o f a t w o d i m e n s i o n a l f r o z e n f o o d p r o d u c t s u b j e c t t o f l u c t u a t i n g a m b i e n t t e m p e r a t u r e s d u r i n g s t o r a g e b e l o w 0 C . I n p u t p a r a m e t e r s i n c l u d e u n f r o z e n p r o d u c t d e n s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t . T h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e o r m o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s i s r e q u i r e d t o p r e d i c t t h e s e v a l u e s f o r t h e f r o z e n f o o d p r o d u c t . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a s s u m e d t o b e c o n v e c t i v e , r e q u i r i n g a n i n p u t o f t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e a s a f u n c t i o n o f t i m e , a n d t h e c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i e n t . T h e i n i t i a l c o n d i t i o n m u s t b e a k n o w n f u n c t i o n o f p o s i t i o n . c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * p a r a m e t e r ( m a x p n 2 0 , m a x d = 1 0 1 , m a x c = 5 1 , m a x s = 2 0 1 ) i n t e g e r m o d e l d o u b l e p r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , d s c h a r a c t e r t i t 1 e * 2 0 , t t l f i l * 4 , f i 1 y n 1 * l , f i l y n 2 * l , f i l y n * 1 , f i l d a t * 1 2 , & i n p d a t * l 2 l o g i c a l i t m o d e c o m m o n / m o d / m o d e l , / i t m / i t m o d e , / t t 1 / t i t 1 e , t t l f i l , / p r o f i 1 / p r p f i 1 , & / d a t f i l / f i l d a t , i n p d a t , k i n d a t , / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , / d / d s 3 0 9 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . C S e t I T M O D E - . F A L S E . i f r u n n i n g b a t c h . I T M O D E - . f a l s e . I F ( I T M O D E ) T H E N w r i t e ( 5 , 1 0 0 0 ) 1 0 0 0 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' * ’ ) , / , ' 0 ' , t 2 3 , ' R e s i d u a 1 S h e l f - l i f e P r o g r a m ' , / , ' 0 ' , & t 3 5 , ' b y ' , / , ' 0 ' , t 3 0 , ' E l a i n e S c o t t ' , / , ' 0 ' , t 2 4 , ' M i c h i g a n S t a t e ' , & ' U n i v e r s i t y ' , / , ' 0 ’ , t 3 0 , ' J a n u a r y 1 9 8 6 ’ , / , ' 0 ' , 7 2 ( ' * ' ) ) W R I T E ( S , 1 0 0 ) 1 0 0 F O R M A T ( ' 0 ' , ' P r o g r a m M e n u : ' , / / , ' ' , ' 1 . P r o d u c t p r o p e r t i e s ( < 0 C ) ’ & , / , ' ' , ' 2 . T e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n h i s t o r y : k n o w n T a a n d h ' , & / , ' ' , ' 3 . T e m p . & q u a l . d i s t . h i s t o r i e s : e x a c t k i n e t i c p r o p . ’ , & / , ' ' , ' 4 . T e m p . & q u a l . d i s t . h i s t . : r a n d o m k i n e t i c p r o p . ' , & / , ' 0 ' , ' T a - A m b i e n t t e m p . ; h - S u r f a c e h e a t t r a n s . c o e f . ' , & / / , ' ' , ' S e l e c t i o n ? ' , $ ) E N D I F R E A D ( 5 , 1 0 ) m o d e l 1 0 F O R M A T ( I l ) I F ( I T M O D E ) w r i t e ( 5 , 2 0 0 ) 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' P r o d u c t : ' , $ ) R E A D ( 5 , 2 0 ) T I T L E I F ( I T M O D E ) w r i t e ( 5 , 3 0 0 ) 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' K e y w o r d f o r d a t a f i l e s ; 4 C h a r a c t e r s : ' , $ ) R E A D ( 5 , 2 0 ) T T L F I L 2 0 F O R M A T ( A ) i f ( m o d e l . e q . l ) t h e n f i l y n l - ' n ' e l s e i f ( i t m o d e ) w r i t e ( 5 , 4 0 0 ) 4 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e p r o d u c t p r o p e r t i e s a p p r o x i m a t i o n s ' , / , ' ' , 2 x , & ' w i t h t e m p e r a t u r e s t o r e d o n f i l e ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i l y n l i f ( i t m o d e ) w r i t e ( 5 , 5 0 0 ) 5 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e i n p u t i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s ' , / , ' ' & , 2 x , ' a n d g e o m e t r i c a l d i m e n s i o n s s t o r e d o n f i l e ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i 1 y n 2 i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n i f ( i t m o d e ) w r i t e ( 5 , 6 0 0 ) 6 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e k i n e t i c p r o p e r t i e s s t o r e d o n f i l e ? ' , & ' ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i 1 y n 3 e n d i f e n d i f i f ( f i l y n 1 . e q . ' n ' . o r . f i 1 y n 1 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l p r o p e r C A L L C O N S P R e n d i f i f ( m o d e l . n e . l ) t h e n i f ( f i l y n 2 . e q . ' n ' . o r . f i 1 y n 2 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l i n p u t l e n d i f i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n i f ( f i l y n 3 . e q . ' n ' . o r . f i 1 y n 3 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l i n p u t 2 T a b l e c S e e c S e e c S e e c S e e c S e e c S e e 3 1 0 C . 2 ( c o n t ' d ) . e n d i f e n d i f c a l l s o l n e n d i f e n d S U B R O U T I N E P R O P E R A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N M O I S T ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N D E N S ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N K I ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N C O N D U C ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N S P H E A T ( X ) A p p e n d i x B . 0 0 0 0 3 1 1 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . S U B R O U T I N E C O N S P R c S e e A p p e n d i x B . S U B R O U T I N E I N T E G R ( t h i , t l o w , a v g d p , a v g k p , a v g c p , n c a s e ) c S e e A p p e n d i x B . B L O C K D A T A C O N S T c S e e A p p e n d i x B . S U B R O U T I N E I N P U T l T h i s s u b r o u t i n e p r o v i d e s t h e i n p u t f o r t h e b o u n d a r y c o n d i - t i o n s o n t h e p r o d u c t f o r t h e c a s e w h e r e t h e a m b i e n t t e m p e r - a t u r e a n d s u r f a c e h e a t t r a n f e r c o e f f i e n t a r e k n o w n a n d a s s u m e d t o b e c o n s t a n t o v e r a g i v e n s t o r a g e p e r i o d . I n p u t v a r i b l e s i n c l u d e , i n i t i a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e , s y m - m e t r y o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , n u m b e r o f c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s t o r a g e p e r i o d s , l e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d , a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . 0 0 0 0 c T h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s s u b r o u t i n e a r e : p a r a m e t e r ( m a x p - 2 0 ) i n t e g e r p e r , s y m x , s y m y , s t e p x , s t e p y , u n i t , s h a p e , i x t , i y t , c y n d o u b l e p r e c i s i o n t i , t e m p ( m a x p ) , s t o r ( m a x p ) , h t c ( m a x p , 4 ) , t u n i t ( m a x p ) , & l x o , 1 x , l y c h a r a c t e r y n * l , t i t l e * 2 0 , t t 1 f i l * 4 , f i l d a t * 1 2 , i n p d a t * 1 2 l o g i c a l i t m o d e c o m m o n / t t 1 / t i t 1 e , t t l f i 1 , / m o d / m o d e 1 , / i t m / i t m o d e , / d a t f i 1 / f i 1 d a t , & i n p d a t , k i n d a t T a b l e 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 3 1 2 C . 2 ( c o n t ' d ) . S a v e i f ( i t m o d e ) g o t o 1 0 r e a d * , t i , s h a p e , l x 0 , 1 x , 1 y , p e r d o i - 1 , p e r r e a d * , t e m p ( i ) , u n i t , s t o r ( i ) r e a d * , h t c ( i , 1 ) , h t c ( i , 2 ) , h t c ( i , 3 ) , h t c ( i , 4 ) i f ( u n i t . e q . 1 ) t h e n t u n i t ( i ) - 3 6 0 0 . 0 d 0 e l s e t u n i t ( i ) = 8 6 4 0 0 . 0 d 0 e n d i f e n d d o g o t o 5 0 0 w r i t e ( 6 , 2 0 ) f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' - ' ) , / , ' 0 ' , 2 7 x , ' S t o r a g e C o n d i t i o n s ' , / , ' 0 ' , 7 2 ( ' - ' ) ) w r i t e ( 6 , 4 0 ) f o r m a t ( ' ' , / , ' ’ , ' I n i t i a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e ( C ) : ' , $ ) r e a d * , t i w r i t e ( 6 , 5 0 ) f o r m a t ( ' O ' , ' E n t e r p r o d u c t g e o m e t r y : ' , / , ' ' , 5 x , ' 1 - s l a b ' , / , ’ ' , 5 x & , ' 2 - c y l i n d e r ' ) 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 r e a d * , s h a p e i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 6 0 ) f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r s l a b : ' , / , ' ' , 5 x , & ' w i d t h - ' , $ ) r e a d * , 1 x 1 x 0 - 0 . 0 d 0 w r i t e ( 6 , 7 0 ) f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' h e i g h t o r l e n g t h = ' , $ ) r e a d * , 1 y 1 y 0 - 0 . 0 d 0 e l s e w r i t e ( 6 , 8 0 ) f o r m a t ( ’ ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r c y 1 i n d e r : ’ , / / , & ' ' , 5 x , ' I s t h e c y l i n d e r h o l l o w ? ( O = N o , 1 = Y e s ) ' , $ ) r e a d * , c y n i f ( c y n . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 9 0 ) f o r m a t ( ’ ' , 5 x , ' I n n e r r a d i u s ( m ) = ' , $ ) r e a d * , 1 x 0 e l s e 1 x 0 - 0 . 0 d 0 e n d i f w r i t e ( 6 , 1 0 0 ) f o r m a t ( ’ ’ , 5 x , ’ O u t e r r a d i u s ( m ) = ' , $ ) r e a d * , l x w r i t e ( 6 , 1 1 0 ) f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' L e n g t h o f c y l i n d e r ( m ) = ' , $ ) r e a d * , 1 y e n d i f i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n 3 1 3 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . w r i t e ( 6 , 1 2 0 ) 1 2 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' I n d i c a t e w h e t h e r t h e h e a t t r a n s f e r ' , & ' c o e f f i c i e n t s a r e ' , / , ' ' , ' t h e s a m e o n o p p o s i t e e n d s o f t h e ' , & ' s l a b : ' , / , ' ' , 5 x , ' i n t h e x - d i r e c t i o n ( w i d t h ) ? ( 0 - N o , 1 - Y e s ) r e a d * , s y m x w r i t e ( 6 , 1 3 0 ) 1 3 0 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' i n t h e y - d i r e c t i o n ( h e i g h t o r l e n g t h ) ? ' , & ' ( O - N o , 1 - Y e s ) ' , $ ) r e a d * , s y m y e l s e s y m x - 0 w r i t e ( 6 , 1 4 5 ) 1 4 5 f o r m a t ( ' ' , ' A r e t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s t h e s a m e ' , & / , ' ' , 5 x , ' o n o p p o s i t e e n d s o f t h e c y l i n d e r ? ( 0 = N o , 1 - Y e s ) r e a d * , s y m y e n d i f w r i t e ( 6 , 1 6 0 ) 1 6 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r n u m b e r o f c o n s t a n t t e m p . s t o r a g e ' , & ' p e r i o d s : ' , $ ) r e a d * , p e r w r i t e ( 6 , 1 7 0 ) 1 7 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e s e v a l u e s c o r r e c t ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 1 8 0 ) y n 1 8 0 f o r m a t ( a ) i f ( y n . n e . ' y ' . a n d . y n . n e . ' Y ' ) g o t o 3 0 i n p u t b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r e a c h s t o r a g e p e r i o d d o i - 1 , p e r 1 9 0 w r i t e ( 6 , 2 0 0 ) i 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d a t a f o r p e r i o d ' , i 3 , ' : ' , / , & ' ' , 5 x , ' S t o r a g e t e m p e r a t u r e ( C ) : ' , $ ) r e a d * , t e m p ( i ) 2 1 0 w r i t e ( 6 , 2 2 0 ) 2 2 0 f o r m a t ( ' ' , 5 x , ' E n t e r u n i t s f o r s t o r a g e t e m p . : ' , / , ' ' , 7 x , & ' 1 - h o u r s ' , / , ' ' , 7 x , ' 2 - d a y s ' ) r e a d * , u n i t i f ( u n i t . 1 e . 0 . a n d . u n i t . g t . 2 ) t h e n p r i n t * , ' T r y a g a i n ! ’ g o t o 2 1 0 e n d i f i f ( u n i t . e q . 1 ) t h e n t u n i t ( i ) - 3 6 0 0 . 0 d 0 e l s e t u n i t ( i ) - 8 6 4 0 0 . 0 d O e n d i f 2 3 0 w r i t e ( 6 , 2 4 0 ) 2 4 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , 5 x , ' L e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d : ' , $ ) r e a d * , s t o r ( i ) i f ( s t o r ( i ) . 1 t . 0 ) t h e n p r i n t * , ' T r y a g a i n ! ’ g o t o 2 3 0 e n d i f w r i t e ( 6 , 2 5 0 ) 2 5 0 f o r m a t ( ' O ' , 5 x , ' E n t e r s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f . ( W / m A Z C ) i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n ' , $ ) ' ! $ ) : ' ) 3 1 4 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . 2 6 0 2 7 0 2 8 0 2 9 0 3 0 0 3 1 0 3 2 0 3 3 0 w r i t e ( 6 , 2 6 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a t s i d e 1 a l o n g w i d t h o f s l a b - ' , $ ) r e a d * , h t c ( i , 1 ) e l s e i f ( c y n . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 2 7 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a l o n g i n n e r r a d i u s o f c y l i n d e r - ' , $ ) r e a d * , h t c ( i , l ) e l s e h t c ( i , 1 ) - 0 . 0 d 0 e n d i f e n d i f i f ( s y m x . n e . l . ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 2 8 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a t s i d e 2 a l o n g w i d t h o f s l a b - ' , $ ) e l s e w r i t e ( 6 , 2 9 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a l o n g o u t e r r a d i u s o f c y l i n d e r - ' , $ ) e n d i f r e a d * , h t c ( i , 3 ) e l s e h t c ( i , 3 ) - 0 . 0 d 0 e n d i f i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 3 0 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a t s i d e 1 a l o n g h e i g h t o r l e n g t h o f s l a b - ' , $ ) e l s e w r i t e ( 6 , 3 1 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a t s i d e 1 a l o n g l e n g t h o f c y l i n d e r - ' , $ ) e n d i f r e a d * , h t c ( i , 2 ) i f ( s y m y . n e . l . ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 3 2 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a t s i d e 2 a l o n g h e i g h t o r l e n g t h o f s l a b - ' , $ ) e l s e w r i t e ( 6 , 3 3 0 ) f o r m a t ( ' ' , 9 x , ' a t s i d e 2 a l o n g l e n g t h o f c y l i n d e r - ' , $ ) e n d i f r e a d * , h t c ( i , 4 ) e l s e h t c ( i , 4 ) - 0 . 0 d 0 e n d i f w r i t e ( 6 , 1 7 0 ) r e a d ( 5 , 1 8 0 ) y n i f ( y n . n e . ' y ' . a n d . y n . n e . ' Y ' ) g o t o 1 9 0 e n d d o c i n p u t g e o m e t r y a n d s i z e 5 0 0 t i - t i + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 i f ( s y m x . e q . 1 . a n d . s h a p e . e q . 1 ) L x — L x * 0 . 5 0 d 0 i f ( s y m y . e q . l ) L y - L y * 0 . 5 0 d 0 d o i - 1 , p e r t e m p ( i ) - t e m p ( i ) + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 s t o r ( i ) - s t o r ( i ) * t u n i t ( i ) 3 1 5 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . e n d d o i f ( ( l x - l e ) . g e . 0 . 4 0 d 0 ) t h e n i x t - 2 0 s t e p x - 5 g o t o 5 1 0 e n d i f i f ( l x . l t . 0 . 0 2 d 0 ) t h e n i x t - 2 s t e p x - 1 g o t o 5 1 0 e n d i f d o i - 1 , 5 i f ( ( l x - l e ) . l t . i * 0 . 0 4 0 d 0 ) t h e n i x t - i * 4 s t e p x - i g o t o 5 1 0 e n d i f e n d d o 5 1 0 i f ( l y . g e . 0 . 4 0 d 0 ) t h e n i y t - 2 0 s t e p y - 5 g o t o 5 2 0 e n d i f i f ( l y . l t . 0 . 0 2 d 0 ) t h e n i y t - 2 s t e p y - 1 g o t o 5 2 0 e n d i f d o i - l , 5 i f ( l y . 1 t . i * 0 . 0 4 0 d 0 ) t h e n i y t - 1 * 4 s t e p y - i g o t o 5 2 0 e n d i f e n d d o w r i t e ( i n p d a t , 5 3 0 ) t t 1 f i 1 , ' i n p . d a t ' 5 3 0 f o r m a t ( ' ' , a , a ) o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e = i n p d a t ( 1 : 1 2 ) , t y p e = ' n e w ' , c a r r i a g e c o n t r o l = ' 1 i s t ' ) w r i t e ( 1 2 , * ) t i , s h a p e , 1 x 0 , l x , 1 y w r i t e ( l 2 , * ) s y m x , s y m y , c y n , p e r d o i - 1 , p e r w r i t e ( 1 2 , * ) t e m p ( i ) , s t o r ( i ) , t u n i t ( i ) w r i t e ( 1 2 , * ) h t c ( i , l ) , h t c ( i , 2 ) , h t c ( i , 3 ) , h t c ( i , 4 ) e n d d o w r i t e ( 1 2 , * ) i x t , s t e p x , i y t , s t e p y c l o s e ( u n i t - 1 2 ) r e t u r n e n d 3 1 6 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . S U B R O U T I N E I N P U T 2 K i n e t i c p r o p e r t i e s t o d e t e r m i n e q u a l i t y l o s s i n a f o o d p r o d u c t a r e e n t e r e d i n t h i s s u b r o u t i n e . A f i l e t i t l e d ' T T L F I L k i n . d a t ' c o n t a i n i n g t h e k i n e t i c p r o p e r t i e s i s c r e a t e d . T h i s f i l e i s r e - o p e n e d i n t h e s o l u t i o n , a n d i t m a y b e r e u s e d a g a i n i n s u b s e q u e n t r u n s . 0 0 0 0 0 i n t e g e r m o d e l d o u b l e p r e c i s i o n q 0 , t r e f , e a , v e a , v q 0 c h a r a c t e r t i t 1 e * 2 0 , t t l f i l * 4 , f i l d a t * l 2 , i n p d a t * 1 2 , k i n d a t * 1 2 l o g i c a l i t m o d e c o m m o n / t t l / t i t 1 e , t t l f i l , / m o d / m o d e l , / i t m / i t m o d e , & / d a t f i l / f i l d a t , i n p d a t , k i n d a t c R e a d b a t c h f i l e d a t a ( i f i t m o d e - . f a l s e . ) i f ( i t m o d e ) g o t o 1 r e a d * , q 0 , t r e f , e a i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n r e a d * , v e a , v q 0 e n d i f g o t o 3 0 c R e a d i n t e r a c t i v e i n p u t 1 w r i t e ( 5 , 2 ) 2 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' - ' ) , / , ' O ' , t 2 3 , ' R e f e r e n c e S h e l f - l i f e d a t a ' , / , ' 0 ' , & 7 2 ( ' - ' ) ) 1 0 w r i t e ( 5 , 1 0 0 ) 1 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r r e f e r e n c e s h e l f - l i f e ( d a y s ) : ' , $ ) r e a d * , q O w r i t e ( 5 , 2 0 0 ) 2 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r r e f e r e n c e t e m p e r a t u r e f o r r e f e r e n c e ' , & ' s h e l f - l i f e ( C ) : ' , $ ) r e a d * , t r e f w r i t e ( 5 , 3 0 0 ) 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r a c t i v a t i o n e n e r g y c o n s t a n t ( k J / m o l e ) : ' & . $ ) r e a d * , e a i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n w r i t e ( 5 , 4 0 0 ) 4 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r s t a n d a r d d e v i a t i o n o f a c t i v a t i o n ' , & ' e n e r g y c o n s t . ( k J / m o l e ) : ' , $ ) r e a d * , v e a w r i t e ( 5 , 5 0 0 ) 5 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r s t a n d a r d d e v i a t i o n o f r e f . s h e l f - l i f e ' , & ' ( d a y S ) : ' , $ ) r e a d * , q u e n d i f 3 1 7 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . w r i t e ( 5 , 5 5 0 ) 5 5 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e t h e s e v a l u e s c o r r e c t ? ( y / n ) ' , $ ) r e a d ( 5 , 2 0 ) y n 2 0 f o r m a t ( a ) i f ( y n . e q . ' n ' . o r . y n . e q . ' N ' ) g o t o 1 0 3 0 t r e f - t r e f + 2 7 3 . 1 5 0 d 0 e a - e a * 1 0 0 0 . 0 d 0 i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n v e a - ( v e a * 1 0 0 0 . 0 d 0 ) * * 2 . 0 d 0 v q 0 - v q 0 * v q 0 e n d i f w r i t e ( k i n d a t , 6 0 0 ) t t l f i l , ' k i n . d a t ' 6 0 0 f o r m a t ( ' ' , a , a ) o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e - k i n d a t ( 1 : 1 2 ) , t y p e = ' n e w ' , c a r r i a g e c o n t r o l a ' l i s t ' ) w r i t e ( 1 2 , 7 0 0 ) q 0 , t r e f , e a 7 0 0 f o r m a t ( ' ' , 2 x , f 8 . l , 2 x , f 7 . 2 , 2 x , f l 3 . 0 ) i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 8 0 0 ) v e a , v q 0 8 0 0 f o r m a t ( ' ' , 2 ( 2 x , e l l . 3 ) ) e n d i f c l o s e ( u n i t - 1 2 ) r e t u r n e n d c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3 ? * * * * * * * ~ k > ‘ c * * * * * * * * * * * * * * * * c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S U B R O U T I N E S O L N P a r a m e t e r ( m a x d - 1 0 1 , m a x c - 5 1 , m a x s - 2 0 1 , m a x x = 3 l , m a x p = 2 0 , & t o l - 1 . 0 d 0 , r - 8 . 3 1 4 0 d 0 ) I n t e g e r p e r , s h a p e , i x t , i y t , s y m x , s y m y , s t e p x , s t e p y , b c , x y , i x , i y , & c y n , y n a v g , i x y , i x p l , i y p l D o u b l e P r e c i s i o n d t 2 , d e n s , c o n d u c , s p h e a t , d s , & h t f 1 x ( m a x p , 4 ) , a ( m a x x ) , b ( m a x x ) , c ( m a x x ) , d ( m a x x ) , & t x y ( m a x x ) , p i , h x y ( 4 , 3 ) , b c x y ( 4 , 3 ) , q u a 1 ( m a x x , m a x x ) , d q ( 2 ) , & t i m e , p t i m e , t a v g , q a v g , v q , f t i m e , t ( m a x x , m a x x , 3 ) c D e c l a r e a l l v a r i a b l e s i n c o m m o n b l o c k s . D o u b l e P r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & d e n s t ( m a x d ) , d e n s c ( m a x d ) , c o n d t ( m a x c ) , c o n d c ( m a x c ) , s p h t ( m a x s ) , & s p h c ( m a x s ) , & t i , t e m p ( m a x p ) , s t o r ( m a x p ) , h t c ( m a x p , 4 ) , t u n i t ( m a x p ) , & 1 x , l x 0 , l y , d x , d y , & e a , q 0 , v e a , v q 0 , t r e f , & t 1 , t h , a v g d , a v g k , a v g c 3 1 8 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . c h a r a c t e r t i t 1 e * 2 0 , t t l f i l * 4 , f i 1 d a t * 1 2 , i n p d a t * l 2 , k i n d a t * l 2 C o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & / c o n p / d e n s t , d e n s c , c o n d t , c o n d c , s p h t , s p h c , & / n c o n p / n s d , n s c , n s s , & / b o u n d / p e r , t i , t e m p , s t o r , h t c , t u n i t & / g e o m / s h a p e , 1 x , 1 x 0 , l y , d x , d y , s y m x , s y m y , c y n , i x p l , i y p 1 , s t e p y , & / s h e l f / e a , q 0 , v e a , v q 0 , t r e f , & / m o d / m o d e 1 , / i t m / i t m o d e , & / d a t f i l / f i l d a t , i n p d a t , k i n d a t , & / t t 1 / t i t 1 e , t t l f i l , & / p a v g / t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g S a v e c R e a d i n g e o m e t r y , d i m e n s i o n s , b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n w r i t e ( i n p d a t , 1 0 0 ) t t l f i l , ' i n p . d a t ' 1 0 0 f o r m a t ( ' ' , a , a ) o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e - i n p d a t ( l : 1 2 ) , t y p e - ' o l d ’ , c a r r i a g e c o n t r o l - ‘ l i s t ' ) r e a d ( 1 2 , * ) t i , s h a p e , l x 0 , l x , l y r e a d ( 1 2 , * ) s y m x , s y m y , c y n , p e r d o i - 1 , p e r r e a d ( 1 2 , * ) t e m p ( i ) , s t o r ( i ) , t u n i t ( i ) r e a d ( 1 2 , * ) h t c ( i , l ) , h t c ( i , 2 ) , h t c ( i , 3 ) , h t c ( i , 4 ) e n d d o r e a d ( l 2 , * ) i x t , s t e p x , i y t , s t e p y c l o s e ( u n i t - 1 2 ) c R e a d i n c o n s t a n t p r o p e r t y a s s u m p t i o n s a n d a s s o c i a t e d t e m p e r a t u r e r a n g e s c R e a d i n c o n s t a n t p r o p e r t y a s s u m p t i o n s w r i t e ( f i l d a t , 1 1 0 ) ' k a r l p r p . d a t ' 1 1 0 f o r m a t ( ' ' , a ) o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e - f i l d a t ( l : 1 2 ) , t y p e = ' o l d ' , c a r r i a g e c o n t r o l = ' l i s t ' ) r e a d ( 1 2 , * ) w f 0 , t 0 , m s r e a d ( 1 2 , * ) d p , k p , c p r e a d ( 1 2 , * ) n s d , n s c , n s s r e a d ( 1 2 , * ) t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g d o i - l , n s d r e a d ( 1 2 , * ) d e n s t ( i ) , d e n s c ( i ) e n d d o d o i - l , n s c r e a d ( 1 2 , * ) c o n d t ( i ) , c o n d c ( i ) e n d d o d o i - l , n s s r e a d ( 1 2 , * ) s p h t ( i ) , s p h c ( i ) e n d d o c l o s e ( u n i t - 1 2 ) 3 1 9 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . c R e a d i n k i n e t i c d a t a i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n w r i t e ( k i n d a t , 1 0 0 ) t t 1 f i l , ' k i n . d a t ' o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e - k i n d a t , t y p e - ' o l d ' , c a r r i a g e c o n t r o l - ' l i s t ’ ) r e a d ( 1 2 , * ) q 0 , t r e f , e a i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n r e a d ( 1 2 , * ) v e a , v q 0 e l s e v e a - 0 . 0 d 0 q u - 0 . 0 d 0 e n d i f c l o s e ( u n i t - 1 2 ) e n d i f c S e t i m p o s e d h e a t f l u x e q u a l t o 0 ; u s e r m a y c h a n g e i f d e s i r e d . d o i - 1 , p e r d o k - 1 , 4 h t f 1 x ( i , k ) - 0 . 0 d 0 e n d d o e n d d o d x - ( l x - 1 x 0 ) / d f l o a t ( i x t ) d y - 1 y / d f l o a t ( i y t ) i x p l - i x t + 1 i y p l - i y t + l p i - d a c o s ( - l . 0 d 0 ) d o i - l , i x p l d o j - 1 , i y p 1 d o k - 1 , 3 t ( i . 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( h t c ( l , 2 ) * t e m p ( l ) + h t f 1 x ( l , 2 ) ) * p i * d x b c x y ( 3 , k ) - ( h t c ( l , 3 ) * t e m p ( l ) + h t f 1 x ( 1 , 3 ) ) * d y * 2 . 0 d 0 * p i * l x b c x y ( 4 , k ) - ( h t c ( l , 4 ) * t e m p ( 1 ) + h t f 1 x ( l , 4 ) ) * p i * d x e n d i f 3 2 0 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . e n d d o i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n q a v g - q 0 * 8 6 4 0 0 . 0 d 0 i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n d q ( l ) - 0 . 0 d 0 d q ( 2 ) - 0 . 0 d 0 v q 0 - v q 0 * 8 6 4 0 0 . 0 d 0 v q - q u e l s e v q - 0 . 0 d 0 e n d i f e l s e q a v g - 0 . 0 d 0 v q - 0 . 0 d 0 e n d i f t i m e - 0 . 0 d 0 p t i m e - 0 . 0 d 0 f t i m e - 0 . 0 d 0 c o u n t - 0 n p t i m e - 0 n c c c - 0 n p r i n t - 0 i f ( m o d e l . l t . 3 ) t h e n h e a d t q - 1 e l s e h e a d t q - 2 e n d i f c a l l h e a d n g n p r i n t - 0 c a l l o u t p u t ( t , t i m e , p t i m e , l , n p r i n t , t a v g , q u a 1 , q a v g , v q ) n t i m e - l c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * > ‘ < > ‘ < * > ‘ c ~ k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d o 5 0 0 i i - 1 , p e r p t i m e - 0 . 0 d 0 i f ( i i . n e . 1 ) t h e n t i m e - t i m e + s t o r ( i i - l ) i f ( n c c c . n e . 0 ) t h e n n p r i n t - 1 c a l l o u t p u t ( t , t i m e , p t i m e , i i , n p r i n t , t a v g , q u a l , q a v g , v q ) e n d i f e n d i f d t 2 - 6 0 0 . 0 d 0 n p t i m e - 0 i f ( p e r . n e . 1 ) t h e n d o k - 2 , 3 i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n t a - t e m p ( i i ) h x y ( l , k ) - h t c ( i i , 1 ) * d y h x y ( 2 , k ) - h t c ( i i , 2 ) * d x h x y ( 3 , k ) - h t c ( i i , 3 ) * d y h x y ( 4 , k ) - h t c ( i i , 4 ) * d x b c x y ( l , k ) - ( h t c ( i i , 1 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 1 ) ) * d y b c x y ( 2 , k ) - ( h t c ( i i , 2 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 2 ) ) * d x b c x y ( 3 , k ) - ( h t c ( i i , 3 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 3 ) ) * d y 3 2 1 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . b c x y ( 4 , k ) - ( h t c ( i i , 4 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 4 ) ) * d x e l s e h x y ( l , k ) - h t c ( i i , l ) * d y * 2 . 0 d 0 * p i * l x 0 h x y ( 2 , k ) - h t c ( i i , 2 ) * p i * d x h x y ( 3 , k ) - h t c ( i i , 3 ) * d y * 2 . 0 d 0 * p i * l x h x y ( 4 , k ) - h t c ( i i , 4 ) * p i * d x b c x y ( l , k ) - ( h t c ( i i , l ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , l ) ) * d y * 2 . 0 d 0 * p i * 1 x 0 b c x y ( 2 , k ) - ( h t c ( i i , 2 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 2 ) ) * p i * d x b c x y ( 3 , k ) - ( h t c ( i i , 3 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 3 ) ) * d y * 2 . 0 d 0 * p i * l x b c x y ( 4 , k ) - ( h t c ( i i , 4 ) * t e m p ( i i ) + h t f 1 x ( i i , 4 ) ) * p i * d x e n d i f e n d d o e n d i f c c C h e c k i f t i m e i s > l e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d 2 0 0 i f ( p t i m e . g e . s t o r ( i i ) ) g o t o 5 0 0 c C h e c k i f t e m p . i s c l o s e t o a m b i e n t t e m p e r a t u r e e a b s - a b s ( t ( l , 1 , 3 ) - t e m p ( i i ) ) d o i - 1 , i x p 1 d o j - l , i y p l i f ( i . n e . 1 . a n d . j . n e . 1 ) t h e n e e a b s - a b s ( t ( i , j , 3 ) - t e m p ( i i ) ) i f ( e a b s . l t . e e a b s ) e a b s - e e a b s e n d i f e n d d o e n d d o i f ( e a b s . l t . t o l ) g o t o 3 0 0 p t i m e - p t i m e + d t 2 i f ( p t i m e . g t . s t o r ( i i ) ) t h e n k j t i m e - p t i m e - d t 2 p t i m e - s t o r ( i i ) d t 2 - p t i m e - k j t i m e e n d i f c F i r s t s w e e p x y - 0 i t p l - i x p l d o j - 1 , i y p l i x y - j i f ( j . e q . 1 ) b c - - 1 i f ( j . e q . i y p 1 ) b c - l i f ( j . n e . l . a n d . j . n e . i y p l ) b c - 0 c a l l c o e f l ( t , i x y , x y , h x y , b c x y , d t 2 , b c , a , b , c , d ) c a l l t h o m a 1 ( a , b , c , d , i t p 1 , t x y ) 3 2 2 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . d o i - l , i x p l t ( i , j , 2 ) - t x y ( i ) e n d d o e n d d o c N e x t s w e e p i n t h e Y - d i r e c t i o n x y - l i t p l - i y p l d o j - l , i x p l i x y - j i f ( j . e q . 1 ) b c - - l i f ( j . e q . i x p l ) b c - l i f ( j . n e . 1 . a n d . j . n e . i x p l ) b c - 0 c a l l c o e f 2 ( t , i x y , x y , h x y , b c x y , d t 2 , b c , a , b , c , d ) c a l l t h o m a 1 ( a , b , c , d , i y p 1 , t x y ) d o i - 1 , i y p 1 t ( j , i , 3 ) - t x y ( i ) e n d d o e n d d o t a v g - 0 . 0 d 0 d o i - 1 , i x p l d o j - l , i y p 1 t a v g - t ( i , j , 3 ) + t a v g e n d d o e n d d o t a v g - t a v g / ( i x p 1 * i y p l ) C c F i n d q u a l i t y d i s t r i b u t i o n a n d a d j u s t t i m e s t e p i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n v s u m - 0 q a v g — 0 d o i - 1 , i x p 1 d o j - 1 , i y p 1 e e x - l . 0 d 0 / t ( i , j , 3 ) - 1 . 0 d 0 / t r e f d 1 - e x p ( - ( e a / r * e e x ) ) q u a 1 ( i , j ) - q u a 1 ( i , j ) - d 1 * d t 2 q a v g - q a v g + q u a 1 ( i , j ) i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n d q d e a - d 1 * e e x * d t 2 / r v s u m - v s u m + d q d e a e n d i f e n d d o e n d d o c F i n d m a s s a v e r a g e q u a l i t y a n d v a r i a n c e q a v g - q a v g / ( i x p 1 * i y p l ) i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n d q d e a - v s u m / ( i x p l * i y p l ) d q ( 2 ) - d q ( 1 ) + d q d e a 3 2 3 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . v q - v q 0 + d q ( 2 ) * * 2 * v e a d c 1 ( 1 ) - d Q ( 2 ) e n d i f e n d i f f t i m e - f t i m e + d t 2 i f ( f t i m e . g e . 0 . 2 5 d 0 * s t o r ( i i ) ) t h e n n c c c - n c c c + l i f ( n c c c . e q . 6 ) t h e n c p r i n t o u t n p r i n t - 2 c a l l o u t p u t ( t , t i m e , p t i m e , i i , n p r i n t , t a v g , q u a 1 , q a v g , v q ) f t i m e - 0 . 0 d 0 n c c c - 0 e n d i f c i n i t i a l t f o r n e x t t i m e s t e p d o i - 1 , i x p 1 d o j - 1 , i y p 1 t ( i . J . 1 ) - t ( i . j . 3 ) e n d d o e n d d o d o i - 1 , 4 h x y ( i , l ) - h x y ( i , 3 ) b c x y ( i , 1 ) - b c x y ( i , 3 ) e n d d o n t i m e - n t i m e + l n p t i m e - n p t i m e + l g o t o 2 0 0 c e n d o f f i n i t e d i f f e r e n c e c a l c u l a t i o n s c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c s e t p r o d u c t t e m p . - a m b i e n t t e m p e r a t u r e ; d e t e r m i n e q u a l i t y 3 0 0 t a v g - 0 . 0 d 0 d o i - l , i x p l d o j - 1 , i y p 1 d o k - 1 , 3 t ( i , j , k ) - t e m p ( i i ) e n d d o e n d d o e n d d o t a v g - t e m p ( i i ) n x - l d t 2 - ( s t o r ( i i ) - p t i m e ) / n x d o i j - l , n x p t i m e - p t i m e + d t i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n 3 2 4 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . e e x - 1 . 0 d 0 / t e m p ( i i ) - 1 . 0 d 0 / t r e f d 1 - e x p ( - ( e a / r * e e x ) ) q a v g - 0 . 0 d 0 d o i - l , i x p 1 d o j - 1 , i y p l q u a l ( i , j ) - q u a 1 ( i , j ) - d l * d t 2 q a v g - q a v g + q u a 1 ( i , j ) e n d d o e n d d o q a v g - q a v g / ( i x p l * i y p 1 ) i f ( m o d e l . e q . 4 ) t h e n d q d e a - d 1 * e e x * d t / r d q ( 2 ) - d q ( 1 ) + d q d e a v q - v q 0 + d q ( 2 ) * * 2 * v e a d Q ( 1 ) - d Q ( 2 ) e n d i f e n d i f n t i m e - n t i m e + 1 n p t i m e - n p t i m e + l c o u n t - 0 e n d d o d o i - 1 , i x p l d o j - 1 , 1 y p 1 t ( 1 . J . 1 ) - t ( i . J . 3 ) e n d d o e n d d o d o i - 1 , 4 h x y ( i , l ) - h x y ( i , 3 ) b c x y ( i , l ) - b c x y ( i , 3 ) e n d d o i f ( i i . e q . p e r . a n d . n c c c . n e . 0 ) t h e n n p r i n t - 3 c a l l o u t p u t ( t , t i m e , p t i m e , i i , n p r i n t , t a v g , q u a l , q a v g , v q ) e n d i f 5 0 0 c o n t i n u e r e t u r n e n d C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ~ k ‘ k * * * ~ k * * ~ k * * * * * * * * * * * * * * * * c * ‘ k v b h k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 7 ‘ < * * * > ‘ < * 7 ‘ c > ‘ < 7 ’ c * * * * > ‘ c * * ~ k > ‘ < * 7 ’ : * 7 ’ c * * > ‘ < > ‘ < 7 ’ < * * * * S U B R O U T I N E C O E F 1 ( t , i x y , x y , h x y , b c x y , d t , b c , a , b , c , d ) P a r a m e t e r ( m a x d = 1 0 1 , m a x c - 5 1 , m a x s = 2 0 1 , m a x x = 3 1 ) i n t e g e r b c , i t , i t p 1 , i x y , s h a p e , s y m x , s y m y , i x p l , i y p l , s t e p x , s t e p y , & n s d , n s c , n s s , c y n , x y , y n a v g D o u b l e p r e c i s i o n p i , b e t a , n u , o m e g a , g a m a , h x y ( 4 , 3 ) , b c x y ( 4 , 3 ) , 3 2 5 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . & a ( m a x x ) , b ( m a x x ) , c ( m a x x ) , d ( m a x x ) , d a x 2 , d b x 2 , d c x 2 , d a x , d a y , d b x y , & d c y , d c x , d d , c k ( m a x x , 8 ) , c s d ( m a x x , 8 ) , d t , t ( m a x x , m a x x , 3 ) , h x y 2 , h x y 4 , & b x y 2 , b x y 4 c D e c l a r e a l l v a r i a b l e s i n c o m m o n b l o c k s . D o u b l e P r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & d e n s t ( m a x d ) , d e n s c ( m a x d ) , c o n d t ( m a x c ) , c o n d c ( m a x c ) , s p h t ( m a x s ) , & s p h c ( m a x s ) , & l x , l x 0 , l y , d x , d y , & t 1 , t h , a v g d , a v g k , a v g c c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & / n c o n p / n s d , n s c , n s s , & / c o n p / d e n s t , d e n s c , c o n d t , c o n d c , s p h t , s p h c , & / g e o m / s h a p e , l x , 1 x 0 , 1 y , d x , d y , s y m x , s y m y , c y n , i x p 1 , i y p 1 , s t e p y , & / p a v g / t 1 , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g p i - d a c o s ( - 1 . 0 d 0 ) i x - i x p l - l c W e i g h t i n g f u n c t i o n f o r A D I f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d . c M o d i f i e d C r a n k - N i c o l s o n M e t h o d c 1 . W e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s f o r d 2 T / d x 2 ; c a . a t t i m e t : b e t a - 0 . 5 0 d 0 c b . a t t i m e t + l / 2 * d t a n d t + d t ' n u - 0 . 5 0 d 0 c 2 . W e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s f o r d T / d t ; c a . a t t i m e t : o m e g a - - 1 . 0 d 0 g a m a - 1 . 0 d 0 i t p l - i x p l c F i n d p r o d u c t p r o p e r t y v a l u e s f o r e a c h y - v a l u e f o r c o n s t a n t x ( i x ) . c a l l p f i n d ( t , i x y , x y , i t p 1 , d t , b c , c k , c s d ) c l s t b o u n d a r y p o i n t i f ( b c . e q . - l ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 2 - h x y ( 2 , l ) b x y 2 - b c x y ( 2 , 1 ) e l s e h x y 2 - h x y ( 2 , l ) * ( l x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) 3 2 6 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . b x y 2 - b c x y ( 2 , 1 ) * ( 1 x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f a ( l ) - 0 . 0 d 0 c ( 1 ) - n u * c k ( 1 , 3 ) b ( 1 ) - - n u * h x y ( 1 , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( l , 3 ) - c ( 1 ) d c y - - c k ( 1 , 4 ) d c x - - b e t a * c k ( l , 3 ) d b x y - ( b e t a * h x y ( 1 , 1 ) + h x y 2 ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( l , 3 ) - d c y - d c x d d - - ( n u * b c x y ( 1 , 2 ) + b e t a * b c x y ( l , 1 ) + b x y 2 ) * 0 . 5 0 d 0 d ( 1 ) - d b x y * t ( l , i x y , 1 ) + d c y * t ( l , i x y + 1 , 1 ) + d c x * t ( 2 , i x y , 1 ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 0 ) t h e n c ( 1 ) - n u * c k ( l , 3 ) b ( 1 ) - - n u * h x y ( 1 , 2 ) - g a m a * ( c s d ( 1 , 2 ) + c s d ( l , 3 ) ) - c ( l ) d a y - - c k ( 1 , 2 ) d c y - - c k ( 1 , 4 ) d c x - - b e t a * c k ( 1 , 3 ) d b x y - b e t a * h x y ( 1 , 1 ) + o m e g a * ( c s d ( l , 2 ) + c s d ( 1 , 3 ) ) - d a y - d c y - d c x d d - - n u * b c x y ( l , 2 ) - b e t a * b c x y ( 1 , 1 ) d ( 1 ) - d a y * t ( l , i x y - 1 , 1 ) + d b x y * t ( 1 , i x y , 1 ) + d c y * t ( l , i x y + l , 1 ) + & d c x * t ( 2 , i x y , 1 ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 1 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 4 - h x y ( 4 , l ) b x y 4 - b c x y ( 4 , l ) e l s e h x y 4 - h x y ( 4 , 1 ) * ( l x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 4 - b c x y ( 4 , 1 ) * ( 1 x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f c ( 1 ) - n u * c k ( 1 , 3 ) b ( l ) - - n u * h x y ( 1 , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( 1 , 2 ) - c ( 1 ) d a y - ~ c k ( l , 2 ) d c x - - b e t a * c k ( l , 3 ) d b x y - ( b e t a * h x y ( l , 1 ) + h x y 4 ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( l , 2 ) - d a y - d c x d d - - ( n u * b c x y ( 1 , 2 ) + b e t a * b c x y ( l , l ) + b x y 4 ) * 0 . 5 0 d 0 d ( 1 ) - d a y * t ( 1 , i x y - 1 , 1 ) + d b x y * t ( 1 , i x y , l ) + d c x * t ( 2 , i x y , l ) + d d e n d i f c I n t e r i o r P o i n t s d o i - 2 , i x i f ( b c . e q . - l ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 2 - h x y ( 2 , 1 ) b x y 2 - b c x y ( 2 , 1 ) e l s e h x y 2 - h x y ( 2 , 1 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + d f l o a t ( i - l ) * d x ) b x y 2 - b c x y ( 2 , 1 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + d f l o a t ( i - 1 ) * d x ) e n d i f a ( i ) - n u * c k ( i , l ) c ( i ) - n u * c k ( i , 3 ) b ( i ) - - g a m a * ( c s d ( i , 3 ) + c s d ( i , 4 ) ) - a ( i ) - c ( i ) T a b l e C . 2 & 3 2 7 ( c o n t ' d ) . d a x - - b e t a * c k ( i , l ) d c y - - c k ( i , 4 ) d c x - - b e t a * c k ( i , 3 ) d b x y - h x y 2 + o m e g a * ( c s d ( i , 3 ) + c s d ( i , 4 ) ) - d a x - d c y - d c x d d - - b x y 2 d ( i ) - d a x * t ( i - l , i x y , 1 ) + d b x y * t ( i , i x y , l ) + d c y * t ( i , i x y + 1 , 1 ) + d c x * t ( i + 1 , i x y , l ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 0 ) t h e n & & a ( i ) - n u * c k ( i , l ) c ( i ) - n u * c k ( i , 3 ) b ( i ) - ~ g a m a * ( c s d ( i , 1 ) + c s d ( i , 2 ) + c s d ( i , 3 ) + c s d ( i , 4 ) ) - a ( i ) - c ( i ) d a x - - b e t a * c k ( i , 1 ) d a y - - c k ( i , 2 ) d c y - - c k ( i , 4 ) d c x - - b e t a * c k ( i , 3 ) d b x y - o m e g a * ( c s d ( i , l ) + c s d ( i , 2 ) + c s d ( i , 3 ) + c s d ( i , 4 ) ) - d a x - d a y - d c y - d c x d ( i ) - d a x * t ( i - 1 , i x y , 1 ) + d a y * t ( i , i x y - 1 , 1 ) + d b x y * t ( i , i x y , 1 ) + d c y * t ( i , i x y + 1 , 1 ) + d c x * t ( i + l , i x y , 1 ) e n d i f i f ( b c . e q . 1 ) t h e n & i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 4 - h x y ( 4 , 1 ) b x y 4 - b c x y ( 4 , l ) e l s e h x y 4 b x y 4 e n d i f a ( i ) - n u * c k ( i , l ) c ( i ) - n u * c k ( i , 3 ) b ( i ) - - g a m a * ( c s d ( i , l ) + c s d ( i , 2 ) ) - a ( i ) - c ( i ) d a x - - b e t a * c k ( i , 1 ) d a y - - c k ( i , 2 ) d c x - - b e t a * c k ( i , 3 ) d b x y - h x y 4 + o m e g a * ( c s d ( i , 1 ) + c s d ( i , 2 ) ) - d a x - d a y - d c x d d - ~ b x y 4 d ( i ) - d a x * t ( i - l , i x y , l ) + d a y * t ( i , i x y - 1 , 1 ) + d b x y * t ( i , i x y , 1 ) + d c x * t ( i + 1 , i x y , l ) + d d h x y ( 4 , l ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i - l ) * d x ) b c x y ( 4 , l ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i - l ) * d x ) e n d i f e n d d o C c 2 n d B o u n d a r y i f ( b c . e q . - 1 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 2 - h x y ( 2 , 1 ) b x y 2 - b c x y ( 2 , 1 ) e l s e h x y 2 - h x y ( 2 , 1 ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 2 - b c x y ( 2 , 1 ) * ( l x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f a ( i x p l ) - n u * c k ( i x p 1 , l ) b ( i x p l ) - - n u * h x y ( 3 , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( i x p l , 4 ) - a ( i x p 1 ) 3 2 8 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . d a x - - b e t a * c k ( i x p l , l ) d c y - - c k ( i x p 1 , 4 ) d b x y - ( b e t a * h x y ( 3 , 1 ) + h x y 2 ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( i x p l , 4 ) - d a x - d c y d d - - ( n u * b c x y ( 3 , 2 ) + b e t a * b c x y ( 3 , 1 ) + b x y 2 ) * 0 . 5 0 d 0 d ( i x p l ) - d a x * t ( i x , i x y , l ) + d b x y * t ( i x p 1 , i x y , l ) + & d c y * t ( i x p l , i x y + 1 , 1 ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 0 ) t h e n a ( i x p l ) - n u * c k ( i x p l , l ) b ( i x p l ) - - n u * h x y ( 3 , 2 ) - g a m a * ( c s d ( i x p 1 , 1 ) + c s d ( i x p l , 4 ) ) - a ( i x p 1 ) d a x - - b e t a * c k ( i x p l , 1 ) d a y - - c k ( i x p l , 2 ) d c y - - c k ( i x p l , 4 ) d b x y - b e t a * h x y ( 3 , 1 ) + o m e g a * ( c s d ( i x p l , l ) + c s d ( i x p l , 4 ) ) - d a x - d a y - d c y d d - - n u * b c x y ( 3 , 2 ) — b e t a * b c x y ( 3 , l ) d ( i x p l ) - d a x * t ( i x , i x y , l ) + d a y * t ( i x p l , i x y - 1 , 1 ) + d b x y * t ( i x p l , i x y , l ) & + d c y * t ( i x p 1 , i x y + l , 1 ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 1 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 4 - h x y ( 4 , 1 ) b x y 4 - b c x y ( 4 , l ) e l s e h x y 4 - h x y ( 4 , 1 ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 4 - b c x y ( 4 , 1 ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f a ( i x p l ) - n u * c k ( i x p 1 , 1 ) b ( i x p l ) - - n u * h x y ( 3 , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( i x p 1 , 1 ) - a ( i x p 1 ) d a x - - b e t a * c k ( i x p 1 , l ) d a y - - c k ( i x p 1 , 2 ) d b x y - ( b e t a * h x y ( 3 , l ) + h x y 4 ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( i x p 1 , l ) - d a x - d a y d d - - ( n u * b c x y ( 3 , 2 ) + b e t a * b c x y ( 3 , l ) + b x y 4 ) * 0 . 5 0 d 0 d ( i x p l ) - d a x * t ( i x , i x y , l ) + d a y * t ( i x p 1 , i x y - 1 , l ) + d b x y * t ( i x p l , i x y , 1 ) & + d d e n d i f r e t u r n e n d c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S U B R O U T I N E C O E F 2 ( t , i x y , x y , h x y , b c x y , d t , b c , a , b , c , d ) c T h i s i s t h e p r e l i m i n a r y v e r s i o n o f t h e s u b r o u t i n e w h i c h f i n d s t h e c o e f c f o r t h e s e c o n d s w e e p i n t h e Y - d i r e c t i o n . P a r a m e t e r ( m a x d - 1 0 1 , m a x c = 5 1 , m a x s = 2 0 1 , m a x x = 3 1 ) i n t e g e r b c , i y , i t p l , x y , i x y , n s d , n s c , n s s , s h a p e , s y m x , s y m y , i x p l , & i y p 1 , s t e p x , s t e p y , c y n , y n a v g 3 2 9 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . D o u b l e p r e c i s i o n p i , b e t a x , b e t a y , n u y , n u x , o m e g a , g a m a , h x y ( 4 , 3 ) , & b c x y ( 4 , 3 ) , a ( m a x x ) , b ( m a x x ) , c ( m a x x ) , d ( m a x x ) , d a x 2 , d b x 2 , d c x 2 , d a x , & d a y , d b x y , d c y , d c x , d d , c k ( m a x x , 8 ) , c s d ( m a x x , 8 ) , t ( m a x x , m a x x , 3 ) , & h x y 2 a , h x y 2 b , h x y 4 a , h x y 4 b , b x y 2 a , b x y 2 b , b x y 4 a , b x y 4 b c D e c l a r e a l l v a r i a b l e s i n c o m m o n b l o c k s . D o u b l e P r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & d e n s t ( m a x d ) , d e n s c ( m a x d ) , c o n d t ( m a x c ) , c o n d c ( m a x c ) , s p h t ( m a x s ) , & s p h c ( m a x s ) , & l x , l x 0 , l y , d x , d y , & t 1 , t h , a v g d , a v g k , a v g c c o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & / c o n p / d e n s t , d e n s c , c o n d t , c o n d c , s p h t , s p h c , & / n c o n p / n s d , n s c , n s s , & / g e o m / s h a p e , 1 x , 1 x 0 , 1 y , d x , d y , s y m x , s y m y , c y n , i x p 1 , i y p 1 , s t e p y , & / p a v g / t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g p i - d a c o s ( — 1 . 0 d 0 ) c W e i g h t i n g f u n c t i o n f o r A D I f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d . c M o d i f i e d C r a n k - N i c o l s o n M e t h o d c l . W e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s f o r d 2 T / d x 2 a n d d 2 T / d y 2 ; c a . a t t i m e t : b e t a x - 0 . 5 0 d 0 b e t a y - 0 . 5 0 d 0 c b . a t t i m e t + 1 / 2 * d t a n d t + d t n u x - 0 . 5 0 d 0 n u y - 0 . 5 0 d 0 c 2 . W e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s f o r d T / d t ; c a . a t t i m e t : o m e g a - - 1 . 0 d 0 g a m a - 1 . 0 d 0 i y - i y p l - 1 c F i n d p r o d u c t p r o p e r t y v a l u e s f o r e a c h y - v a l u e f o r c o n s t a n t x ( i x ) . c a l l p f i n d ( t , i x y , x y , i y p l , d t , b c , c k , c s d ) c l s t b o u n d a r y p o i n t a ( 1 ) - 0 . 0 d 0 i f ( b c . e q . - l ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 2 a - h x y ( 2 , 1 ) h x y 2 b - h x y ( 2 , 3 ) 3 3 0 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . & & & b x y 2 a - b c x y ( 2 , 1 ) b x y 2 b - b c x y ( 2 , 3 ) e l s e h x y 2 a - h x y ( 2 , 1 ) * ( l x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) h x y 2 b - h x y ( 2 , 3 ) * ( l x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 2 a - b c x y ( 2 , 1 ) * ( 1 x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 2 b - b c x y ( 2 , 3 ) * ( l x 0 + 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f c ( 1 ) - n u y * c k ( l , 8 ) b ( 1 ) - - n u y * h x y 2 b * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( l , 7 ) - c ( 1 ) d c x 2 - - n u x * c k ( 1 , 7 ) d b x 2 - n u x * h x y ( l , 2 ) * 0 . 5 0 d O - d c x 2 d c y - - b e t a y * c k ( l , 4 ) d c x - - b e t a x * c k ( 1 , 3 ) d b x y - ( b e t a x * h x y ( l , 1 ) + b e t a y * h x y 2 a ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( l , 3 ) - d c y - d c x d d - - ( n u x * b c x y ( l , 2 ) + b e t a x * b c x y ( 1 , 1 ) + n u y * b x y 2 b + b e t a y * b x y 2 a ) * 0 . 5 0 d 0 d ( 1 ) - d b x 2 * t ( i x y , 1 , 2 ) + d c x 2 * t ( i x y + l , 1 , 2 ) + d b x y * t ( i x y , l , 1 ) + d c y * t ( i x y , 2 , 1 ) + d c x * t ( i x y + 1 , 1 , l ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 0 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 2 a - h x y ( 2 , 1 ) h x y 2 b - h x y ( 2 , 3 ) b x y 2 a - b c x y ( 2 , 1 ) b x y 2 b - b c x y ( 2 , 3 ) e l s e h x y 2 a - h x y ( 2 , l ) * 2 . 0 d 0 * ( 1 x 0 + ( i x y - 1 ) * d x ) h x y 2 b - h x y ( 2 , 3 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i x y - 1 ) * d x ) b x y 2 a - b c x y ( 2 , 1 ) * 2 . 0 d 0 * ( 1 x 0 + ( i x y - 1 ) * d x ) b x y 2 b - b c x y ( 2 , 3 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i x y - 1 ) * d x ) e n d i f c ( 1 ) - n u y * c k ( l , 8 ) b ( 1 ) - - n u y * h x y 2 b - g a m a * ( c s d ( l , 7 ) + c s d ( l , 8 ) ) - c ( l ) d a x 2 - - n u x * c k ( 1 , 5 ) d c x 2 - - n u x * c k ( l , 7 ) d b x 2 - - d a x 2 - d c x 2 d a x - - b e t a x * c k ( 1 , 1 ) d c y - - b e t a y * c k ( l , 4 ) d c x - - b e t a x * c k ( l , 3 ) d b x y - b e t a y * h x y 2 a + o m e g a * ( c s d ( l , 3 ) + c s d ( 1 , 4 ) ) - d a x — d c y - d c x d d - - n u y * b x y 2 b - b e t a y * b x y 2 a d ( 1 ) - d a x 2 * t ( i x y - l , 1 , 2 ) + d b x 2 * t ( i x y , 1 , 2 ) + d c x 2 * t ( i x y + l , l , 2 ) + & d a x * t ( i x y - 1 , l , l ) + d b x y * t ( i x y , 1 , 1 ) + d c y * t ( i x y , 2 , l ) + & d c x * t ( i x y + l , 1 , l ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 1 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 2 a - h x y ( 2 , 1 ) h x y 2 b - h x y ( 2 , 3 ) b x y 2 a - b c x y ( 2 , 1 ) b x y 2 b - b c x y ( 2 , 3 ) e l s e h x y 2 a - h x y ( 2 , 1 ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) h x y 2 b h x y ( 2 , 3 ) * ( l x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) 3 3 1 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . & & & b x y 2 a - b c x y ( 2 , l ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 2 b - b c x y ( 2 , 3 ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f c ( 1 ) - n u y * c k ( 1 , 8 ) b ( 1 ) - - n u y * h x y 2 b * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( 1 , 8 ) - c ( 1 ) d a x 2 - - n u x * c k ( l , 5 ) d b x 2 - n u x * h x y ( 3 , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - d a x 2 d a x - - b e t a x * c k ( l , l ) d c y - - b e t a y * c k ( 1 , 4 ) d b x y - ( b e t a x * h x y ( 3 , l ) + b e t a y * h x y 2 a ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( l , 4 ) - d a x - d c y d d - - ( n u x * b c x y ( 3 , 2 ) + b e t a x * b c x y ( 3 , l ) + n u y * b x y 2 b + b e t a y * b x y 2 a ) * 0 . 5 d 0 d ( 1 ) - d a x 2 * t ( i x y - l , 1 , 2 ) + d b x 2 * t ( i x y , 1 , 2 ) + d a x * t ( i x y - 1 , 1 , 1 ) + d b x y * t ( i x y , l , l ) + d c y * t ( i x y , 2 , 1 ) + d d e n d i f c I n t & & & & e r i o r P o i n t s d o i - 2 , i y i f ( b c . e q . - l ) t h e n a ( i ) - n u y * c k ( i , 6 ) c ( i ) - n u y * c k ( i , 8 ) b ( i ) - - g a m a * ( c s d ( i , 6 ) + c s d ( i , 7 ) ) - a ( i ) - c ( i ) d c x 2 - - n u x * c k ( i , 7 ) d b x 2 - n u x * h x y ( l , 2 ) - d c x 2 d a y - - b e t a y * c k ( i , 2 ) d c y - - b e t a y * c k ( i , 4 ) d c x - - b e t a x * c k ( i , 3 ) d b x y - b e t a x * h x y ( 1 , l ) + o m e g a * ( c s d ( i , 2 ) + c s d ( i , 3 ) ) - d a y - d c y - d c x d d - - n u x * b c x y ( l , 2 ) - b e t a x * b c x y ( 1 , l ) d ( i ) - d b x 2 * t ( i x y , i , 2 ) + d c x 2 * t ( i x y + l , i , 2 ) + d a y * t ( i x y , i - l , 1 ) + d b x y * t ( i x y , i , 1 ) + d c y * t ( i x y , i + 1 , 1 ) + d c x * t ( i x y + 1 , i , l ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 0 ) t h e n a ( i ) - n u y * c k ( i , 6 ) c ( i ) - n u y * c k ( i , 8 ) b ( i ) - - g a m a * ( c s d ( i , 5 ) + c s d ( i , 6 ) + c s d ( i , 7 ) + c s d ( i , 8 ) ) - a ( i ) - c ( i ) d a x 2 - - n u x * c k ( i , 5 ) d c x 2 - - n u x * c k ( i , 7 ) d b x 2 - - d a x 2 - d c x 2 d a x - - b e t a x * c k ( i , l ) d a y - - b e t a y * c k ( i , 2 ) d c y - - b e t a y * c k ( i , 4 ) d c x - - b e t a x * c k ( i , 3 ) d b x y - o m e g a * ( c s d ( i , l ) + c s d ( i , 2 ) + c s d ( i , 3 ) + c s d ( i , 4 ) ) - d a x - d a y - d c y - d c x d ( i ) - d a x 2 * t ( i x y - 1 , i , 2 ) + d b x 2 * t ( i x y , i , 2 ) + d c x 2 * t ( i x y + 1 , i , 2 ) + d a x * t ( i x y - 1 , i , 1 ) + d a y * t ( i x y , i - l , l ) + d b x y * t ( i x y , i , 1 ) + d c y * t ( i x y , i + 1 , l ) + d c x * t ( i x y + 1 , i , 1 ) e n d i f i f ( b c . e q . 1 ) t h e n a ( i ) - n u y * c k ( i , 6 ) 3 3 2 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . c ( i ) - n u y * c k ( i , 8 ) b ( i ) - - g a m a * ( c s d ( i , 5 ) + c s d ( i , 8 ) ) - a ( i ) - c ( i ) d a x 2 - - n u x * c k ( i , 5 ) d b x 2 - n u x * h x y ( 3 , 2 ) - d a x 2 d a x - - b e t a x * c k ( i , l ) d a y - - b e t a y * c k ( i , 2 ) d c y - - b e t a y * c k ( i , 4 ) d b x y - b e t a x * h x y ( 3 , 1 ) + o m e g a * ( c s d ( i , 1 ) + c s d ( i , 4 ) ) - d a x - d a y - d c y d d - - n u x * b c x y ( 3 , 2 ) - b e t a x * b c x y ( 3 , 1 ) d ( i ) - d a x 2 * t ( i x y - 1 , i , 2 ) + d b x 2 * t ( i x y , i , 2 ) + d a x * t ( i x y - 1 , i , 1 ) + & d a y * t ( i x y , i - 1 , 1 ) + d b x y * t ( i x y , i , l ) + d c y * t ( i x y , i + l , l ) + d d e n d i f e n d d o c 2 n d B o u n d a r y c ( i y p l ) - 0 . 0 d 0 i f ( b c . e q . - l ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 4 a - h x y ( 4 , 1 ) h x y 4 b - h x y ( 4 , 3 ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , l ) b x y 4 b - b c x y ( 4 , 3 ) e l s e h x y 4 a - h x y ( 4 , 1 ) * ( l x + 0 . 2 5 d 0 * d x ) h x y 4 b - h x y ( 4 , 3 ) * ( l x + 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , l ) * ( l x + 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 4 b - b c x y ( 4 , 3 ) * ( l x + 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f a ( i y p l ) - n u y * c k ( i y p l , 6 ) b ( i y p l ) - - n u y * h x y 4 b * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( i y p l , 6 ) - a ( i y p l ) d c x 2 - - n u x * c k ( i y p 1 , 7 ) d b x 2 - n u x * h x y ( l , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - d c x 2 d a y - - b e t a y * c k ( i y p 1 , 2 ) d c x - - b e t a x * c k ( i y p l , 3 ) d b x y - ( b e t a x * h x y ( 1 , l ) + b e t a y * h x y 4 a ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( i y p 1 , 2 ) - & d a y - d c x d d - - ( n u x * b c x y ( 1 , 2 ) + b e t a x * b c x y ( l , l ) + n u y * b x y 4 b + & b e t a y * b x y 4 a ) * 0 . 5 0 d 0 d ( i y p l ) - d b x 2 * t ( i x y , i y p l , 2 ) + d c x 2 * t ( i x y + 1 , i y p 1 , 2 ) + & d a y * t ( i x y , i y p l - 1 , l ) + d b x y * t ( i x y , i y p 1 , 1 ) + d c x * t ( i x y + l , i y p l , 1 ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 0 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 4 a - h x y ( 4 , 1 ) h x y 4 b - h x y ( 4 , 3 ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , l ) b x y 4 b - b c x y ( 4 , 3 ) e l s e h x y 4 a - h x y ( 4 , 1 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i x y - l ) * d x ) h x y 4 b - h x y ( 4 , 3 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i x y - 1 ) * d x ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , 1 ) * 2 . 0 d 0 * ( 1 x 0 + ( i x y - 1 ) * d x ) b x y 4 b b c x y ( 4 , 3 ) * 2 . 0 d 0 * ( l x 0 + ( i x y - l ) * d x ) 3 3 3 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . e n d i f a ( i y p l ) - n u y * c k ( i y p 1 , 6 ) b ( i y p l ) - - n u y * h x y 4 b - g a m a * ( c s d ( i y p l , 5 ) + c s d ( i y p 1 , 6 ) ) - a ( i y p l ) d a x 2 - - n u x * c k ( i y p l , 5 ) d c x 2 - - n u x * c k ( i y p l , 7 ) d b x 2 - - d a x 2 - d c x 2 d a x - - b e t a x * c k ( i y p 1 , l ) d a y - - b e t a y * c k ( i y p 1 , 2 ) d c x - - b e t a x * c k ( i y p l , 3 ) d b x y - b e t a y * h x y 4 a + o m e g a * ( c s d ( i y p l , 1 ) + c s d ( i y p l , 2 ) ) - d a x - d a y - & d c x d d - - n u y * b x y 4 b - b e t a y * b x y 4 a d ( i y p l ) - d a x 2 * t ( i x y - 1 , i y p l , 2 ) + d b x 2 * t ( i x y , i y p l , 2 ) + & d c x 2 * t ( i x y + l , i y p 1 , 2 ) + d a x * t ( i x y - 1 , i y p 1 , l ) + d a y * t ( i x y , i y , l ) + & d b x y * t ( i x y , i y p 1 , 1 ) + d c x * t ( i x y + 1 , i y p 1 , 1 ) + d d e n d i f i f ( b c . e q . 1 ) t h e n i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n h x y 4 a - h x y ( 4 , 1 ) h x y 4 b - h x y ( 4 , 3 ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , l ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , 3 ) e l s e h x y 4 a - h x y ( 4 , 1 ) * ( l x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) h x y 4 b - h x y ( 4 , 3 ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , l ) * ( 1 x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) b x y 4 a - b c x y ( 4 , 3 ) * ( l x - 0 . 2 5 d 0 * d x ) e n d i f a ( i y p l ) - n u y * c k ( i y p 1 , 6 ) b ( i y p l ) - - n u y * h x y 4 b * 0 . 5 0 d 0 - g a m a * c s d ( i y p 1 , 5 ) - a ( i y p 1 ) d a x 2 - - n u x * c k ( i y p 1 , 5 ) d b x 2 - n u x * h x y ( 3 , 2 ) * 0 . 5 0 d 0 - d a x 2 d a x - - b e t a x * c k ( i y p 1 , 1 ) d a y - - b e t a y * c k ( i y p 1 , 2 ) d b x y - ( b e t a x * h x y ( 3 , 1 ) + b e t a y * h x y 4 a ) * 0 . 5 0 d 0 + o m e g a * c s d ( i y p l , l ) - & d a x - d a y d d - ~ ( n u x * b c x y ( 3 , 2 ) + b e t a x * b c x y ( 3 , l ) + n u y * b x y 4 b + & b e t a y * b x y 4 a ) * 0 . 5 0 d 0 d ( i y p l ) - d a x 2 * t ( i x y - l , i y p l , 2 ) + d b x 2 * t ( i x y , i y p 1 , 2 ) + & d a x * t ( i x y - 1 , i y p 1 , l ) + d a y * t ( i x y , i y , l ) + d b x y * t ( i x y , i y p l , 1 ) + d d e n d i f r e t u r n e n d C * ‘ k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ‘ k * * * ~ k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c * * * * * ‘ k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3 ? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ~ k * * * > ‘ < * * * * S U B R O U T I N E T H O M A L ( a , b , c , d , i t p 1 , t ) P a r a m e t e r ( m a x x - 3 1 ) 3 3 4 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . i n t e g e r i t p l d o u b l e p r e c i s i o n a ( m a x x ) , b ( m a x x ) , c ( m a x x ) , d ( m a x x ) , c c ( m a x x ) , & d d ( m a x x ) , t ( m a x x ) C C ( 1 ) - C ( l ) / b ( 1 ) d d ( l ) - d ( 1 ) / b ( 1 ) d o i - 2 , i t p 1 i i - i - l c c ( i ) - c ( i ) / ( b ( i ) - a ( i ) * c c ( i i ) ) d d ( i ) - ( d ( i ) - a ( i ) * d d ( i i ) ) / ( b ( i ) - a ( i ) * c c ( i i ) ) e n d d o t ( i t p l ) - d d ( i t p l ) d o i - 2 , i t p l i i - i t p l - i + l t ( i i ) - d d ( i i ) - c c ( i i ) * t ( i i + l ) e n d d o r e t u r n e n d C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * > ‘ c * * * * * C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S U B R O U T I N E P F I N D ( t , i x y , x y , i t p l , d t , b c , c k , c s d ) P a r a m e t e r ( m a x d - 1 0 1 , m a x c - 5 1 , m a x s - 2 0 1 , m a x x - 3 1 ) I n t e g e r n s d , n s c , n s s , k l , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , k 8 , s d 2 , s d 4 , s d 6 , s d 8 , x y , & n c ( 2 4 ) , i t p l , b c , i x y , s h a p e , c y n , s y m x , s y m y , i x p 1 , i y p l , s t e p y , y n a v g D o u b l e P r e c i s i o n p i , d t , d t i , d x i , d y i , v o l l , v o l 2 , t a v g k ( 8 ) , & t a v g s d ( 8 ) , c k ( m a x x , 8 ) , d c ( 8 ) , s p c ( 8 ) , c s d ( m a x x , 8 ) , & d e n s , c o n d u c , s p h e a t , a r k ( 3 ) , v o l s d ( 2 ) , t ( m a x x , m a x x , 3 ) c D e c l a r e a l l v a r i a b l e s i n c o m m o n b l o c k s . D o u b l e P r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & d e n s t ( m a x d ) , d e n s c ( m a x d ) , c o n d t ( m a x c ) , c o n d c ( m a x c ) , s p h t ( m a x s ) , & s p h c ( m a x s ) , & d s , & 1 x , 1 x 0 , 1 y , d x , d y , & t 1 , t h , a v g d , a v g k , a v g c C o m m o n / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & / c o n p / d e n s t , d e n s c , c o n d t , c o n d c , s p h t , s p h c , & / n c o n p / n s d , n s c , n s s , & / d / d s & / g e o m / s h a p e , 1 x , l x 0 , l y , d x , d y , s y m x , s y m y , c y n , i x p l , i y p 1 , s t e p y & / p a v g / t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g E x t e r n a l d e n s , c o n d u c , s p h e a t 3 3 5 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . p i - d a c o s ( - 1 . 0 d 0 ) d t i - 1 0 0 0 . 0 d 0 / d t d x i - 1 . 0 d 0 / d x d y i - 1 . 0 d 0 / d y v o l l - d x * d y * 0 . 2 5 d 0 v 0 1 2 - p i * d x * d y * 0 . 5 d 0 i f ( x y . e q . 0 ) t h e n k k x y - 4 k k l - 4 k k 2 - 8 k k 3 - 1 2 e l s e k k x y - 8 k k l - 8 k k 2 - 1 6 k k 3 - 2 4 e n d i f d o 1 0 0 1 - 1 , i t p 1 i f ( y n a v g . e q . 1 ) t h e n d o i i - 1 , 8 c k ( i , i i ) - a v g k d c ( i i ) - a v g d s p c ( i i ) - a v g c e n d d o g o t o 4 0 e n d i f d o k k - l , k k 3 n c ( k k ) - 0 i f ( k k . 1 e . k k 1 ) t h e n t a v g k ( k k ) - 0 . 0 d 0 t a v g s d ( k k ) - 0 . 0 d 0 e n d i f e n d d o i f ( x y . e q . 0 ) t h e n i f ( i . n e . 1 ) t a v g k ( l ) - 0 . 5 0 * ( t ( i , i x y , 1 ) + t ( i - 1 , i x y , 1 ) ) i f ( i . n e . i x p 1 ) t a v g k ( 3 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i , i x y , l ) + t ( i + 1 , i x y , l ) ) i f ( i x y . n e . l ) t a v g k ( 2 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i , i x y , 1 ) + t ( i , i x y - 1 , l ) ) i f ( i x y . n e . i y p 1 ) t a v g k ( 4 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i , i x y , 1 ) + t ( i , i x y + 1 , 1 ) ) i f ( i . n e . 1 . a n d . i x y . n e . 1 ) t h e n t a v g s d ( l ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i , i x y , l ) + 3 . 0 * t ( i - l , i x y , 1 ) + & 3 . 0 * t ( i , i x y - 1 , 1 ) + t ( i - l , i x y - 1 , 1 ) ) e n d i f i f ( i . n e . i x p l . a n d . i x y . n e . 1 ) t h e n t a v g s d ( 2 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i , i x y , l ) + 3 . 0 * t ( i + 1 , i x y , l ) + & 3 . 0 * t ( i , i x y - l , 1 ) + t ( i + l , i x y - 1 , 1 ) ) e n d i f i f ( i . n e . i x p 1 . a n d . i x y . n e . i y p l ) t h e n t a v g s d ( 3 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i , i x y , l ) + 3 . 0 * t ( i + 1 , i x y , l ) + 3 3 6 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . & 3 . 0 * t ( i , i x y + l , 1 ) + t ( i + l , i x y + l , 1 ) ) e n d i f i f ( i . n e . 1 . a n d . i x y . n e . i y p l ) t h e n t a v g s d ( 4 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i , i x y , l ) + 3 . 0 * t ( i - 1 , i x y , 1 ) + & 3 . 0 * t ( i , i x y + l , 1 ) + t ( i - 1 , i x y + 1 , 1 ) ) e n d i f e l s e i f ( i x y . n e . l ) t h e n t a v g k ( l ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , l ) + t ( i x y - l , i , l ) t a v g k ( S ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , 1 ) + t ( i x y - 1 , i , l ) e n d i f i f ( i x y . n e . i x p 1 ) t h e n t a v g k ( 3 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , 1 ) + t ( i x y + l , i , 1 ) ) t a v g k ( 7 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , l ) + t ( i x y + l , i , l ) ) e n d i f i f ( i . n e . 1 ) t h e n t a v g k ( 2 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , l ) + t ( i x y , i - 1 , 1 ) ) t a v g k ( 6 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , l ) + t ( i x y , i - 1 , l ) ) e n d i f i f ( i . n e . i y p 1 ) t h e n t a v g k ( 4 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , l ) + t ( i x y , i + 1 , 1 ) ) t a v g k ( 8 ) - 0 . 5 0 * ( t ( i x y , i , 1 ) + t ( i x y , i + 1 , l ) ) e n d i f i f ( i . n e . 1 . a n d . i x y . n e . l ) t h e n t a v g s d ( l ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , l ) + 3 . 0 * t ( i x y - 1 , i , l ) + ) ) & 3 . 0 * t ( i x y , i - 1 , l ) + t ( i x y — 1 , i - l , l ) ) t a v g s d ( S ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , 1 ) + 3 . 0 * t ( i x y - 1 , i , l ) + & 3 . 0 * t ( i x y , i - 1 , 1 ) + t ( i x y - 1 , i - l , l ) ) e n d i f i f ( i . n e . 1 . a n d . i x y . n e . i x p 1 ) t h e n t a v g s d ( 2 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , 1 ) + 3 . 0 * t ( i x y + l , i , 1 ) + & 3 . 0 * t ( i x y , i - l , 1 ) + t ( i x y + l , i - l , 1 ) ) t a v g s d ( 6 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , 1 ) + 3 . 0 * t ( i x y + 1 , i , l ) + & 3 . 0 * t ( i x y , i - l , l ) + t ( i x y + 1 , i - l , 1 ) ) e n d i f i f ( i . n e . i y p l . a n d . i x y . n e . i x p l ) t h e n t a v g s d ( 3 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , 1 ) + 3 . 0 * t ( i x y + l , i , 1 ) + & 3 . 0 * t ( i x y , i + 1 , l ) + t ( i x y + l , i + l , 1 ) ) t a v g s d ( 7 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , 1 ) + 3 . 0 * t ( i x y + l , i , l ) + & 3 . 0 * t ( i x y , i + 1 , 1 ) + t ( i x y + 1 , i + 1 , 1 ) ) e n d i f i f ( i . n e . i y p 1 . a n d . i x y . n e . l ) t h e n t a v g s d ( 4 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , 1 ) + 3 . 0 * t ( i x y - 1 , i , 1 ) + & 3 . 0 * t ( i x y , i + 1 , 1 ) + t ( i x y - 1 , i + l , 1 ) ) t a v g s d ( 8 ) - 0 . 0 6 2 5 * ( 9 . 0 * t ( i x y , i , l ) + 3 . 0 * t ( i x y - 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( W / m A 2 K ) : ' ) i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 0 ) h t c ( i , 1 ) 3 0 f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' i n t h e x - d i r e c t i o n : ' , / , ' ' , 6 x , & ' a t x - 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' f 7 . 2 ) i f ( s y m x . e q . 0 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 2 ) 1 x , h t c ( i , 3 ) 3 2 f o r m a t ( ' ' , 6 x , ' a t x - ' , f 9 . 5 , ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , f 7 . 2 ) e n d i f e l s e i f ( c y n . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 4 ) l x 0 , h t c ( i , l ) 3 4 f o r m a t ( ' ' , 4 x , ’ i n t h e r a d i a l d i r e c t i o n : ' , / , ' ' , 6 x , & ' a t x - ' , f 9 . 5 , ' ( i n n e r r a d i u s ) ' , ' . . . . ' , f 7 . 2 ) e n d i f w r i t e ( 1 2 , 3 6 ) 1 x , h t c ( i , 3 ) 3 6 f o r m a t ( ' ' , 6 x , ' a t x - ' , f 9 . 5 , ' ( o u t e r r a d i u s ) ' , ' . . . . ' , f 7 . 2 ) e n d i f 3 4 3 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . w r i t e ( 1 2 , 3 8 ) h t c ( i , 2 ) 3 8 f o r m a t ( ' ' , 4 x , ' i n t h e y - d i r e c t i o n : ' , / , ' ' , 6 x , & ' a t y - 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , f 7 . 2 ) i f ( s y m x . e q . 0 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 4 0 ) l y , h t c ( i , 4 ) 4 0 f o r m a t ( ' ' , 6 x , ' a t y - ' , f 9 . 5 , ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ , f 7 . 2 ) e n d i f 5 0 c o n t i n u e r e t u r n e n d c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ‘ k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S U B R O U T I N E O U T P U T ( t , t i m e , p t i m e , i i , n p r i n t , t a v g , q u a 1 , q a v g , v q ) p a r a m e t e r ( m a x x - 3 1 ) i n t e g e r i x p l , i y p 1 , i i , m o d e 1 , p e r , s h a p e , s y m x , s y m y , s t e p y , c y n d o u b l e p r e c i s i o n t ( m a x x , m a x x , 3 ) , t i m e , p t i m e , l x , 1 x 0 , l y , d x , d y , & a b c ( 1 0 ) , q u a 1 ( m a x x , m a x x ) , t a v g , q a v g , v q , e a , q 0 , v e a , v q 0 , t r e f , h r , p h r , & t t i m e , p t t i m e , d a y , p d a y c h a r a c t e r t i t l e * 2 0 , t t l f i l * 4 , o u t d a t * 1 5 , h h 1 1 * 2 9 , h h 2 2 * 2 1 c o m m o n / t t l / t i t l e , t t l f i l , & / g e o m / s h a p e , 1 x , l x 0 , 1 y , d x , d y , s y m x , s y m y , c y n , i x p l , i y p l , s t e p y , & / s h e l f / e a , q 0 , v e a , v q 0 , t r e f , & / m o d / m o d e 1 C N P R I N T - 0 i f p r i n t i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f f i r s t C s t o r a g e p e r i o d . C N P R I N T - 1 i f p r i n t i n g t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n a n d / o r q u a l i t y C d i s t r i b u t i o n s a t t h e e n d / b e g i n n i n g o f i t e r m e n t e n t s t o r a g e C p e r i o d s . C N P R I N T - 2 I f p r i n t i n g t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n a n d / o r q u a l i t y C d i s t r i b u t i o n s a t i t e r m e n t e n t t i m e s d u r i n g a s t o r a g e p e r i o d . C N P R I N T - 3 i f p r i n t i n g t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n a n d / o r q u a l i t y C d i s t r i b u t i o n s a t t h e e n d o f l a s t s t o r a g e p e r i o d . w r i t e ( 1 2 , 2 0 ) t i t 1 e 2 0 f o r m a t ( / / / , 1 0 x , ' P r o d u c t - ' , a , / / ) t t i m e - t i m e + p t i m e d a y - t t i m e / 8 6 4 0 0 . 0 d 0 h r - t t i m e / 3 6 0 0 . d 0 p d a y - p t i m e / 8 4 6 0 0 . 0 d 0 p h r - p t i m e / 3 6 0 0 . 0 d 0 i f ( n p r i n t . e q . 0 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 3 0 ) 3 0 f o r m a t ( l e , ' T h e s e a r e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t h e b e g i n n i n g ' , & ' o f t h e ' , / , 1 3 x , ' f i r s t s t o r a g e p e r i o d . ' , / ) 3 4 4 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . e l s e i f ( n p r i n t . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 4 0 ) & ' T o t a l e l a p s e d t i m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , d a y , ' d a y s ' , h r , ' h r s ' , & ' B e g i n n i n g o f s t o r a g e p e r i o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , i i , & ' E n d o f s t o r a g e p e r i o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , i i - 1 4 0 f o r m a t ( l e , a , f 6 . 2 , a , f 8 . 2 , a , / , 2 ( 1 0 x , a , i 3 , / ) ) e l s e i f ( n p r i n t . e q . 2 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 5 0 ) & ' T o t a l e l a p s e d t i m e . . . . . . . . . . . . . . . ' , d a y , ' d a y s ' , h r , ' h r s - ' , & t t i m e , ' s e c ' , & ' S t o r a g e P e r i o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , i i , & ' E l a p s e d t i m e f r o m b e g i n n i n g o f ' , & ' s t o r a g e p e r i o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , p d a y , ' d a y s ' , p h r , ' h r s ' 5 0 f o r m a t ( l e , a , f 6 . 2 , a , f 8 . 2 , a , f 8 . l , a , / , 1 0 x , a , i 3 , 2 ( / , 1 0 x , a ) , f 6 . 2 , a , & f 8 . 2 , a , / ) e l s e i f ( n p r i n t . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 6 0 ) & ' T o t a l e l a p s e d t i m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , d a y , ' d a y s ' , h r , ' h r s ' , & ' E n d o f l a s t s t o r a g e p e r i o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , i i 6 0 f o r m a t ( l e , a , f 6 . 2 , a , f 8 . 2 , a , / , 1 0 x , a , i 3 , / ) e n d i f i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n i f ( s y m x . e q . 1 . a n d . s y m y . e q . 0 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 7 0 ) 7 0 f o r m a t ( l e , ' N o t e : D i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l i n t h e x d i r e c t i o n ; ' & / , l 3 x , ' r e s u 1 t s a r e s h o w n f o r h a l f - t h i c k n e s s o n l y . ' / ) e l s e i f ( s y m x . e q . l . a n d . s y m y . e q . l ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 8 0 ) 8 0 f o r m a t ( l e , ' N o t e : D i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l i n b o t h ' , & ' x a n d y d i m e n s i o n s ; ' , / , 1 6 x , ' r e s u 1 t s a r e s h o w n f o r ' , & ' h a l f - t h i c k n e s s e s o n l y . ' / ) e n d i f e n d i f i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n i f ( c y n . e q . 0 . a n d . s y m y . e q . l ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 9 0 ) 9 0 f o r m a t ( l e , ' N o t e : D i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l i n b o t h ' , & ' r a d i a l a n d y d i m e n s i o n s ; ' , / , l 6 x , ' r e s u 1 t s a r e s h o w n f o r ' , & ' h a l f - d i a m e t e r a n d h a l f - t h i c k n e s s o n l y . ' / ) e l s e i f ( c y n . e q . l . a n d . s y m y . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 0 0 ) 1 0 0 f o r m a t ( l e , ' N o t e : D i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l i n t h e y d i r ' , & ' e c t i o n ; ' / , 1 6 x , ' r e s u l t s a r e s h o w n f o r h a l f - t h i c k n e s s o n l y . ' / ) e n d i f e n d i f h h 2 2 - ‘ D I S T R I B U T I O N H I S T O R Y ' i f ( m o d e l . e q . 2 ) t h e n h h 1 1 - ' T E M P E R A T U R E ( C ) ' e l s e h h l l - ‘ T E M P E R A T U R E ( C ) & Q U A L I T Y ( % ) ' e n d i f w r i t e ( 1 2 , 1 1 0 ) h h l l , h h 2 2 1 1 0 f o r m a t ( / , 2 9 x , a , / , 3 3 x , a , / , 2 9 x , 2 9 ( ' - ' ) , / ) T a b l e 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 0 0 3 4 5 C . 2 ( c o n t ' d ) . w r i t e ( 1 2 , 1 2 0 ) f o r m a t ( 3 7 x , ' y - p o s i t i o n ( m ) ' , / , l l x , ' x - p o s i t i o n ( m ) | ' ) i f ( i y p l . e q . 3 ) t h e n n s t e p - 3 e l s e n s t e p - 5 e n d i f d o i - l , n s t e p a b c ( i ) - ( i - 1 ) * s t e p y * d y e n d d o i f ( i y p l . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 3 0 ) a b c ( l ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) w r i t e ( 1 2 , 1 5 0 ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 1 4 0 ) a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) w r i t e ( 1 2 , 1 6 0 ) e n d i f f o r m a t ( 2 5 x , ' | ' 3 ( f 8 . 4 ) ) f o r m a t ( 2 5 x , ' | ' 5 ( f 8 . 4 ) ) f o r m a t ( l e , 4 2 ( ' - ' ) ) f o r m a t ( l e , 5 8 ( ' - ' ) ) i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n c 8 - 1 0 0 . 0 d 0 / ( 8 6 4 0 0 . 0 d 0 * q 0 ) d o i - l , i x p 1 d o j - 1 , i y p l i f ( q u a 1 ( i , j ) . l t . 0 . 0 d 0 ) d e a d = 1 e n d d o e n d d o e n d i f s t e p x - ( i x p l - l ) / 4 d o i — l , n s t e p d o j - l , n s t e p a b c ( j ) - t ( ( i - l ) * s t e p x + l , ( j - l ) * s t e p y + l , 3 ) - 2 7 3 . 1 5 d 0 i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n a b c ( j + n s t e p ) - q u a 1 ( ( i - 1 ) * s t e p x + 1 , ( j - 1 ) * s t e p y + l ) * c 8 e n d i f e n d d o i f ( n s t e p . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 7 0 ) ( i - l ) * s t e p x * d x , a b c ( l ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 1 8 0 ) ( i - 1 ) * s t e p x * d x , a b c ( 1 ) , a b c ( 2 ) , a b c ( 3 ) , a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) e n d i f f o r m a t ( l 6 x , f 8 . 4 , ' | ' , 3 ( f 7 . 2 , 1 x ) , ' C ' ) f o r m a t ( l 6 x , f 8 . 4 , ’ | ' , 5 ( f 7 . 2 , l x ) , ' C ' ) i f ( m o d e l . e q . 3 ) t h e n i f ( n s t e p . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 9 0 ) a b c ( 4 ) , a b c ( 5 ) , a b c ( 6 ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 2 0 0 ) a b c ( 6 ) , a b c ( 7 ) , a b c ( 8 ) , a b c ( 9 ) , a b c ( 1 0 ) e n d i f f o r m a t ( 2 5 x , ’ | ' , 3 ( f 7 . 2 , 1 x ) , ' % ' ) f o r m a t ( 2 5 x , ’ | ' , 6 ( f 7 . 2 , 1 x ) , ' % ' ) e n d i f 3 4 6 T a b l e C . 2 ( c o n t ' d ) . e n d d o i f ( i y p l . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 1 5 0 ) e l s e w r i t e ( 1 2 , 1 6 0 ) e n d i f w r i t e ( 1 2 , 2 1 0 ) t a v g - 2 7 3 . 1 5 2 1 0 f o r m a t ( / / / , 1 0 x , ' A v e r a g e t e m p e r a t u r e ( C ) = ' , f 7 . 2 ) i f ( m o d e l . g e . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 2 2 0 ) q a v g * 1 0 0 . 0 d 0 / ( 8 6 4 0 0 . 0 d 0 * q 0 ) 2 2 0 f o r m a t ( / , 1 0 x , ' A v e r a g e q u a l i t y ( % r e f . q u a l i t y ) - ' , f 7 . 2 ) i f ( m o d e l . e q . 4 ) w r i t e ( 1 2 , 2 3 0 ) ( v q ) * * 0 . 5 0 d 0 * c 8 2 3 0 f o r m a t ( / , 1 0 x , ' A v e r a g e s t . d e v . o f q u a l i t y ' , & ' ( % o f r e f . q u a l i t y ) - ' , e 7 . l ) e n d i f i f ( d e a d . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 2 4 0 ) 2 4 0 f o r m a t ( / , 1 0 x , ' S h e l f - l i f e w a s e x c e e d e d a t s o m e p o i n t o n b o d y . ' ) e n d i f i f ( n p r i n t . e q . 3 ) t h e n w r i t e ( 1 2 , 2 5 0 ) ' E n d o f d a t e f i l e . ’ 2 5 0 f o r m a t ( / , 1 0 x , a , i 3 , a ) c l o s e ( u n i t - 1 2 ) e n d i f r e t u r n e n d A P P E N D I X D A P P E N D I X D S U R F A C E H E A T T R A N S F E R C O E F F I C I E N T E S T I M A T I O N P R O G R A M T h e p r o g r a m u s e d t o e s t i m a t e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s u s i n g t h e s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n p r o c e d u r e , d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 , i s p r e s e n t e d h e r e . A n o u t l i n e o f t h e p r o g r a m i s g i v e n i n T a b l e D . l , a n d t h e l i s t i n g f o r t h e p r o g r a m , w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 f o r a V a x 1 1 / 7 5 0 i s g i v e n i n T a b l e D . 2 . 3 4 7 3 4 8 T a b l e D . l D e s c r i p t i o n o f S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t E s t i m a t i o n P r o g r a m . S u b r o u t i n e T i t l e P R O G R A M F R E E Z E S U B R O U T I N E P R O P E R D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N M O I S T ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N D E N S ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N K I ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N C O N D U C ( X ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N S P H E A T ( X ) S U B R O U T I N E C O N S P R S U B R O U T I N E I N T E G R B L O C K D A T A C O N S T S U B R O U T I N E I N P U T l S U B R O U T I N E S O L N S U B R O U T I N E C O E F F S U B R O U T I N E P F I N D S U B R O U T I N E O U T P U T S U B R O U T I N E S I M U L S U B R O U T I N E R A N D D e s c r i p t i o n M a i n p r o g r a m ; c o n t a i n s p r o g r a m m e n u . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . S e e T a b l e B . 1 . A l l o w s i n t e r a c t i v e i n p u t o f a m b i e n t a n d i n t e r n a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s , a n d p r o d u c t g e o m e t r y . W r i t e s o u t p u t t o d a t a f i l e . C o m p u t e s s u r f a c e h e a t f l u x a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a s a f u n c t i o n o f t i m e u s i n g t h e s e q u e n t i a l r e q u l a r i z a t i o n p r o c e d u r e . C a l l s o u t p u t s u b r o u t i n e . D e t e r m i n e s m a t r i x c o e f f i c i e n t s u s e d i n f i r s t s w e e p i n A D I f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . S e e T a b l e B . 1 . W r i t e s e s t i m a t e d s u r f a c e h e a t f l u x a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s t o o u t p u t d a t a f i l e . M a t r i x i n v e r s i o n s u b r o u t i n e . G e n e r a t e s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m n u m b e r s u s e d i n d e t e r m i n i n g o p t i m a l p a r a m e t e r s . 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 9 T a b l e D . 2 C o m p u t e r C o d e L i s t i n g f o r S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t E s t i m a t i o n P r o g r a m . P R O G R A M I H C P l D c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * C C S u r f a c e H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t E s t i m a t i o n P r o g r a m b y E l a i n e S c o t t 1 9 8 6 c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 T h i s p r o g r a m e s t i m a t e s t h e s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e d u r i n g f r o z e n f o o d s t o r a g e . T h e p r o g r a m a s s u m e s o n e d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r , w i t h a c o n v e c t i v e b o u n - d a r y c o n d i t i o n a t x - 0 , a n d a n i n s u l a t e d b o u n d a r y a t x - L . I n p u t p r o p e r t y p a r a m e t e r s i n c l u d e u n f r o z e n p r o d u c t d e n s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i f i c h e a t . T h e i n i t i a l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e o r m o l e c u l a r w e i g h t o f s o l i d s a l s o i s r e q u i r e d t o p r e d i c t t h e s e v a l u e s f o r t h e f r o z e n f o o d p r o d u c t . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e f o u n d f r o m i n t e r n a l t e m p e r a t u r e m e a s - u r e m e n t s a n d k n o w n a m b i e n t t e m p e r a t u r e s . T h e i n p u t d a t a f i l e i n c l u d e s p r o d u c t g e o m e t r y ; n u m b e r o f n o d e s ; n u m b e r o f t i m e s t e p s f o r b o t h d a t a p o i n t s a n d f o r f i n i t e d i f f e r e n c e c a l u l a t i o n s ; n u m b e r o f t h e r m o c o u p l e s a n d l o c a t i o n ; a n d a m b i e n t t e m p e r a t u r e a n d t h e r m o c o u p l e r e a d i n g a t e a c h t i m e s t e p . c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * p a r a m e t e r ( m a x t - 2 5 0 , m a x m - 4 1 , m a x d = 1 0 1 , m a x c = 5 1 , m a x s = 2 0 1 ) i n t e g e r m o d e l , y n a v g d o u b l e p r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & d s , & t h , t l , a v g d , a v g k , a v g c c h a r a c t e r t i t l e * 4 0 , t t l f i l * 1 0 , f i l y n 1 * l , f i 1 y n 2 * 1 , f i l y n * 1 , f i l d a t * l 6 , & i n p d a t * l 6 c o m m o n / m o d / m o d e l , & / t t l / t i t 1 e , t t l f i l , 3 5 0 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) . & / P r 0 P / w f 0 . m s . d p . k p . c p . t 0 . & / d / d s , & / p a v g / t h , t l , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g w r i t e ( 5 , 1 0 0 0 ) 1 0 0 0 f o r m a t ( ' l ' , 7 2 ( ' * ' ) , / , ' 0 ' , t 2 0 , ' H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t ' , & ' E s t i m a t i o n ' , / , ' 0 ' , t 3 5 , ’ b y ' , / , ' 0 ' , t 3 0 , ' E l a i n e S c o t t ' , / , ' 0 ’ , t 2 4 , & ' M i c h i g a n S t a t e ' , ’ U n i v e r s i t y ' , / , ' 0 ' , t 3 2 , ' M a y 1 9 8 6 ' , / , ' 0 ' , 7 2 ( ' * ' ) ) W R I T E ( 5 , 1 0 0 ) 1 0 0 F O R M A T ( ' 0 ' , ' P r o g r a m M e n u : ' , / / , ' ' , ' 1 . P r o d u c t p r o p e r t i e s ( < 0 C ) ’ & , / , ' ' , ' 2 . E s t i m a t e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t h ' , & / , ' 0 ’ , ' h - S u r f a c e h e a t t r a n s . c o e f . ' , & / / , ' ' , ' S e l e c t i o n ? ' ) R E A D ( 5 , 1 0 ) m o d e 1 1 0 F O R M A T ( I l ) w r i t e ( 5 , 3 0 0 ) 3 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' K e y w o r d f o r d a t a f i l e s ; 6 C h a r a c t e r s : ' ) R E A D ( 5 , 2 0 ) T T L F I L 2 0 F O R M A T ( A ) i f ( m o d e l . e q . l ) t h e n f i l y n l - ' n ' e l s e w r i t e ( 5 , 4 0 0 ) 4 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e p r o d u c t p r o p e r t i e s a p p r o x i m a t i o n s ' , / , ' ' , 2 x , & ' w i t h t e m p e r a t u r e s t o r e d o n f i l e ? ( y / n ) ' ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i 1 y n l w r i t e ( 5 , 5 0 0 ) 5 0 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' A r e i n p u t i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s ' , / , ' ' & , 2 x , ' a n d g e o m e t r i c a l d i m e n s i o n s s t o r e d o n f i l e ? ( y / n ) ' ) r e a d ( 5 , 2 0 ) f i 1 y n 2 e n d i f i f ( f i l y n l . e q . ' n ' . o r . f i l y n l . e q . ' N ' ) t h e n c a l l p r o p e r C A L L C O N S P R e n d i f i f ( m o d e l . n e . l ) t h e n i f ( f i l y n 2 . e q . ’ n ' . o r . f i l y n 2 . e q . ' N ' ) t h e n c a l l i n p u t l e n d i f c a l l s o l n e n d i f e n d S U B R O U T I N E P R O P E R c S e e A p p e n d i x B . T a b l e c S e e c S e e c S e e c S e e c S e e c S e e c S e e 3 5 1 D . 2 ( c o n t ' d ) D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N M O I S T ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N D E N S ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N K I ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N C O N D U C ( X ) A p p e n d i x B . D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N S P H E A T ( X ) A p p e n d i x B . S U B R O U T I N E C O N S P R A p p e n d i x B . S U B R O U T I N E I N T E G R ( t h i , t l o w , a v g d p , a v g k p , a v g c p , n c a s e ) A p p e n d i x B . 0 0 0 0 3 5 2 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) B L O C K D A T A C O N S T c S e e A p p e n d i x B . S U B R O U T I N E I N P U T l T h i s s u b r o u t i n e p r o v i d e s t h e i n p u t f o r t h e b o u n d a r y c o n d i - t i o n s o n t h e p r o d u c t f o r t h e c a s e w h e r e t h e a m b i e n t t e m p e r - a t u r e a n d s u r f a c e h e a t t r a n f e r c o e f f i e n t a r e k n o w n a n d a s s u m e d t o b e c o n s t a n t o v e r a g i v e n s t o r a g e p e r i o d . 0 0 0 0 I n p u t v a r i b l e s i n c l u d e , i n i t i a l p r o d u c t t e m p e r a t u r e , s y m - m e t r y o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , n u m b e r o f c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s t o r a g e p e r i o d s , l e n g t h o f s t o r a g e p e r i o d , a n d s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . p a r a m e t e r ( m a x t - 2 5 0 , m a x t c - 1 0 ) i n t e g e r s h a p e , m p l i , n t i m e , n t c , n d t d o u b l e p r e c i s i o n d e l t , t a m b ( m a x t ) , t c ( m a x t , m a x t c ) , x t c ( m a x t c ) , L c h a r a c t e r y n * 1 , t i t l e * 4 0 , t t l f i l * 1 0 , f i l d a t * l 6 , i n p d a t * l 6 c o m m o n / t t l / t i t 1 e , t t 1 f i l , & / d a t f i 1 / f i l d a t , i n p d a t s a v e w r i t e ( 6 , l ) l f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' P r o d u c t : ' ) R E A D ( 5 , 2 ) T I T L E 2 f o r m a t ( a ) c i n p u t g e o m e t r y a n d s i z e 5 w r i t e ( 6 , 1 0 ) 1 0 f o r m a t ( ' l ' , ' G e o m e t r y ' , / , ' ' , 8 ( ' - ' ) , / ' 0 ' , ' E n t e r p r o d u c t g e o m e t r y : ' & , / , ' ' , 5 x , ' 1 - s l a b ' , / , ' ' , 5 x , ' 2 = c y l i n d e r ' , / , ' ' , 5 x , & ' 3 - s p h e r e ' ) r e a d * , s h a p e i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n w r i t e ( 6 , 2 0 ) 2 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r s l a b ; ' , / , ' ' , 5 x , & ' t h i c k n e s s i n d i r e c t i o n o f h e a t t r a n s f e r ( m ) : ' ) r e a d * , l e l s e i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n w r i t e ( 6 , 3 0 ) 3 5 3 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) 3 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r c y l i n d e r ' , / , & ' ' , 5 x , ' r a d i u s ( m ) : ' ) r e a d * , 1 e l s e w r i t e ( 6 , 4 0 ) 4 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r d i m e n s i o n s f o r s p h e r e ( m ) ' , / , & ' ' , 5 x , ' r a d i u s ( m ) : ' ) r e a d * , 1 e n d i f e n d i f w r i t e ( 5 , 5 0 ) 5 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r t o t a l n u m b e r o f n o d e s i n F . D . ' & ' c a l c u 1 a t i o n s : ' ) r e a d * , m p l i w r i t e ( 5 , 6 0 ) 6 0 f o r m a t ( ' O ' , ' S t o r a g e C o n d i t i o n s ' , / , ' ' , 1 8 ( ' - ' ) ) w r i t e ( 6 , 7 0 ) 7 0 f o r m a t ( ' O ' , / , ' ' , ' E n t e r t o t a l n u m b e r o f t e m p e r a t u r e ' , & ' m e a s u r e m e n t s ' , / , ' ' , ' ( i n c l u d e t i m e - 0 ) : ' ) r e a d * , n t i m e w r i t e ( 6 , 8 0 ) 8 0 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r t i m e i n c r e m e n t b e t w e e n e a c h ' , & ' t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t ( s e c ) : ' ) r e a d * , d e l t w r i t e ( 6 , 8 5 ) 8 5 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r n u m b e r o f t i m e s t e p s p e r t e m p e r a t u r e ' , & ' m e a s u r e m e n t i n t e r v a l ' , / ' ' , ’ ( f o r F . 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( 1 = y , 0 = n ) ' ) 3 5 6 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) r e a d ( 5 , * ) y n i f ( y n . e q . 1 ) t h e n s u m t l - 0 s u m t 2 - 0 c t l - 0 c t 2 - 0 d o i - l , n t i m e i f ( t a m b ( i ) . g t . 2 5 8 . 1 5 ) t h e n s u m t l - s u m t 1 + t a m b ( i ) c t l - c t 1 + 1 e l s e s u m t 2 - s u m t 2 + t a m b ( i ) c t 2 - c t 2 + l e n d i f e n d d o t a l - s u m t l / c t l t a 2 - s u m t 2 / c t 2 d o i - l , n t i m e i f ( t a m b ( i ) . g t . 2 5 8 . 1 5 ) t h e n t a m b ( i ) - t a l e l s e t a m b ( i ) - t a 2 e n d i f e n d d o e n d i f c R e a d i n c o n s t a n t p r o p e r t y a s s u m p t i o n s W R I T E ( F I L D A T , 3 1 0 ) ' l d _ t 1 c P R P . 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C . d o i - l , n t i m e m i s t c - 0 s u m - 0 . 0 d 0 d o i t c - l , n t c s u m - s u m + t c ( i , i t c ) i f ( t c ( i , i t c ) . e q . 0 . 0 ) t h e n m i s t c - m i s t c + 1 e n d i f 3 5 7 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) e n d d o d o i t c - l , n t c i f ( t c ( i , i t c ) . e q . 0 . 0 ) t h e n t c ( i , i t c ) - s u m / ( n t c - m i s t c ) e n d i f e n d d o i f ( t a m b ( i ) . e q . 0 . 0 ) t h e n i f ( i . e q . 1 ) t h e n i i - 1 4 i f ( t a m b ( i i + l ) . n e . 0 . 0 ) t h e n d o j j - 1 , i i t a m b ( j j ) - t a m b ( i i + l ) e n d d o e l s e 1 1 - i i + 1 g o t o 4 e n d i f e l s e i i - i 6 i f ( t a m b ( i i + 1 ) . n e . 0 . 0 ) t h e n t a m b ( i ) - ( t a m b ( i - 1 ) + t a m b ( i i + l ) ) / 2 . 0 d 0 e l s e i i - i i + 1 g o t o 6 e n d i f e n d i f e n d i f e n d d o c R e g u l a r i z a t i o n c o m p o n e n t s w r i t e ( 6 , 3 ) 3 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r a l p h a , w 0 , w 1 , w 2 : ' , $ ) r e a d * , a l p h a , w 0 , w 1 , w 2 w r i t e ( 6 , 2 ) 2 f o r m a t ( ' ' , / , ' ' , ' E n t e r n u m b e r o f f u t u r e t i m e s t e p s = ' , $ ) r e a d * , i r f t s r f t s - i r f t s d t i - d e l t / n d t m i - m p l i - l d x i - L / m i n d t t - r f t s * n d t n t c i - n t c d o i - 1 , r f t s q 1 ( i ) - 0 . 0 d 0 d o j - 1 , r f t s i f ( i . n e . j ) t h e n h 0 ( i , j ) - 0 . 0 d 0 e l s e h 0 ( i , j ) - 1 . 0 d 0 e n d i f 3 5 8 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) h 1 ( i , j ) - 0 . 0 d 0 h 2 ( i , j ) - 0 . 0 d 0 e n d d o i f ( i . l t . r f t s ) t h e n h 1 ( i , i ) - - 1 . 0 d 0 h 1 ( i , i + 1 ) - 1 . 0 d 0 e n d i f i f ( i . l t . r f t s - l ) t h e n h 2 ( i , i ) - 1 . 0 d 0 h 2 ( i , i + 1 ) - - 2 . 0 d 0 h 2 ( i , i + 2 ) - 1 . 0 d 0 e n d i f e n d d o h t c - 0 . 0 d 0 c A s s u m e v a l u e f o r q 1 * : U s e q 1 * - 0 . 0 q l s t a r - 0 . 0 d 0 c a l l o u t p u t ( 0 , q 1 , h t c , l ) c f i n i t e d i f f e r e n c e s o l u t i o n d o 1 0 0 i t - l , n t i m e - 1 q 2 ( i t ) - 0 . 0 d 0 c A s s u m e v a l u e f o r q 1 * : U s e q 1 * - q 1 ( l ) i f ( i t . g t . l ) t h e n c a l l o u t p u t ( l , q 1 , h t c , i t , 0 . ) e n d i f c I n i t i a l i z e T s t a r a n d s e t s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t s e q u a l t o x e r o . i f ( i t . e q . l ) t h e n s u m - 0 . d 0 n t c i - n t c d o i t c - l , n t c i f ( t c ( 1 , i t c ) . e q . 0 . 0 d 0 . a n d . n t c . n e . l ) t h e n n t c i - n t c - l e l s e s u m - s u m + t c ( l , i t c ) e n d i f e n d d o d o i - 1 , m p l i T s t a r ( i , 1 ) - s u m / n t c i t ( i , 1 ) - s u m / n t c i x ( i , 1 ) - 0 . 0 d 0 e n d d o i f ( t a m b ( l ) . e q . 0 . 0 ) t a m b ( 1 ) - t a m b ( 2 ) e n d i f 3 5 9 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) c t h o m a s a l g o r i t h m c f i n d c o e f f i c i e n t s f o r t h o m a s a l g o r i t h m c a l l c o e f f ( t , d t i , m p l i , a , b , c , d a , d b , d c ) d o i r - 1 , r f t s & 9 ‘ 9 " d o i d t - l , n d t i n d t - n d t * ( i r - l ) + i d t i f ( i r . e q . 1 ) t h e n d t ( 1 ) - d b ( 1 ) * t s t a r ( l , i n d t ) + d c ( l ) * t s t a r ( 2 , i n d t ) - q l s t a r * 0 . 5 0 d 0 e l s e d t ( 1 ) - d b ( l ) * t s t a r ( 1 , i n d t ) + d c ( l ) * t s t a r ( 2 , i n d t ) - q l s t a r e n d i f i f ( i d t . e q . l ) t h e n d z ( l ) - 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( i - l ) * d x i ) t h e n m x - i r a t i o x - ( x t c ( i t c ) - ( i - 2 ) * d x i ) / d x i g o t o 5 e n d i f e n d d o 5 d o i r - 2 , r f t s + l i r r - ( i r - 1 ) * n d t + 1 t t ( i r - 1 , i t c ) - t s t a r ( m x - l , i r r ) + & r a t i o x * ( t s t a r ( m x , i r r ) ~ t s t a r ( m x - 1 , i r r ) ) x x ( i r , i t c ) - x ( m x - l , i r r ) + r a t i o x * ( x ( m x , i r r ) - x ( m x - 1 , i r r ) ) e n d d o e n d d o C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c C a l c u l a t e q f r o m m e a s u r e d t e m p e r a t u r e s d o i t c - l , n t c d o i i - 1 , r f t s d o j j - 1 , i i x m a t ( i i , j j , i t c ) - x x ( i i - j j + 2 , i t c ) e n d d o e n d d o e n d d o d o i t c - l , n t c d o i i - 1 , r f t s d o j j - 1 , r f t s x m a t t ( i i , j j , i t c ) - x m a t ( j j , i i , i t c ) e n d d o e n d d o e n d d o d o i i - 1 , r f t s s u m 2 - 0 . 0 d 0 d o j j - 1 , r f t s + 1 s u m - 0 . 0 d 0 s u m h l - 0 . 0 d 0 s u m h 2 - 0 . 0 d 0 d o i t c - l , n t c d o j - 1 , r f t s i f ( j j . 1 e . r f t s ) t h e n s u m - s u m + x m a t t ( i i , j , i t c ) * x m a t ( j , j j , i t c ) e l s e s u m 2 - s u m 2 + ( t c ( i t + j , i t c ) - t t ( j , i t c ) ) & * x m a t t ( i i , j , i t c ) e n d i f i f ( i t c . e q . 1 ) t h e n s u m h l - s u m h l + h 1 ( i i , j ) * h 1 ( j j , j ) s u m h 2 - s u m h 2 + h 2 ( i i , j ) * h 2 ( j j , j ) e n d i f e n d d o e n d d o i f ( j j . 1 e . r f t s ) t h e n x t x ( i i , j j ) - s u m + a l p h a * ( w 0 * h 0 ( i i , j j ) + w 1 * s u m h 1 + w 2 * s u m h 2 ) 3 6 1 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) e l s e x t x ( i i , j j ) - s u m 2 e n d i f e n d d o e n d d o c C a l l G a u s s e l i m i n a t i o n s u b r o u t i n e c a l l s i m u 1 ( x t x , q q , r f t s , 1 ) d o i r - 1 , r f t s q 1 ( i r + l ) - q l s t a r + q q ( i r ) e n d d o c K n o w i n g q l , r e e v a l u a t e d ( 1 ) a n d r e p e a t b a c k s u b s t i t i o n t o f i n d c t . d o i r - l , n d t i f ( i t . e q . 1 . o r . i r . n e . 1 ) t h e n d t ( 1 ) - d b ( 1 ) * t ( l , i r ) + d c ( 1 ) * t ( 2 , i r ) - q 1 ( 2 ) e l s e i f ( i r . e q . 1 ) t h e n d t ( 1 ) - d b ( l ) * t ( 1 , i r ) + d c ( 1 ) * t ( 2 , i r ) - 0 . 5 d 0 * q 1 ( l ) & - 0 . 5 d 0 * q 1 ( 2 ) e n d i f e n d i f d o i - 2 , m i d t ( i ) - d a ( i ) * t ( i - 1 , i r ) + d b ( i ) * t ( i , i r ) + d c ( i ) * t ( i + 1 , i r ) e n d d o i f ( i r . e q . 1 ) t h e n d t ( m p l i ) - d a ( m p 1 i ) * t ( m i , i r ) + d b ( m p l i ) * t ( m p 1 i , i r ) & - 0 . 5 d 0 * ( q 2 ( i t ) + q 2 ( i t + 1 ) ) e l s e d t ( m p l i ) - d a ( m p l i ) * t ( m i , i r ) + d b ( m p l i ) * t ( m p l i , i r ) & - q 2 ( i t + l ) e n d i f d d t ( 1 ) - d t ( 1 ) / b ( l ) d o k - 2 , m p 1 i k k - k - l d d t ( k ) - ( d t ( k ) - a ( k ) * d d t ( k k ) ) / ( b ( k ) - a ( k ) * c c ( k k ) ) e n d d o t ( m p l i , 1 + i r ) - d d t ( m p l i ) d o k - 2 , m p l i k k - m i - k + 2 t ( k k , 1 + i r ) = d d t ( k k ) - c c ( k k ) * t ( k k + 1 , l + i r ) e n d d o e n d d o C c E s t i m a t e t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f r o m q a n d t . s u m - 0 . 0 d 0 d o i - l , n d t + 1 i f ( i . e q . l . o r . i . e q . n d t + l ) t h e n s u m - s u m + 0 . 5 0 d 0 * t ( l , i ) 3 6 2 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) e l s e s u m - s u m + t ( 1 , i ) e n d i f e n d d o s u m - s u m / n d t h t c - q 1 ( 2 ) / ( ( t a m b ( i t + 1 ) + t a m b ( i t ) ) * 0 . 5 0 d 0 - s u m ) c e n d o f f i n i t e d i f f e r e n c e c a l c u l a t i o n s ( 3 5 ' : * v h r 9 : * * * * * 7 % * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 9 6 * ) ? 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C P . t 0 . & / C O N S T P / D E N S T , D E N S C , C O N D T , C O N D C , S P H T , S P H C , & / N C O N S T P / N S D , N S C , N S S , & / d / d s , & / p a v g / t l , t h , a v g d , a v g k , a v g c , y n a v g p i - d a c o s ( - l . 0 d 0 ) c w e i g h t i n g f u n c t i o n s f o r f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d c m o d i f i e d c r a n k - n i c o l s o n m e t h o d c w e i g h t . c o e f f . f o r d 2 t / d x 2 c f o r t i m e t : b e t a - 0 . 5 0 d 0 c f o r t i m e t + 1 : n u - 0 . 5 0 d 0 c w e i g h t . c o e f f . f o r d t / d t c f o r t i m e t : o m e g a - - l . 0 d 0 c f o r t i m e t + 1 : g a m a = 1 . 0 d 0 m i - m p l i - l d x x — 1 . 0 d 0 / d x i d t t - 1 . 0 d 0 / ( 2 . 0 d 0 * d t i ) i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n a a r - 2 . 0 d 0 * p i e l s e i f ( s h a p e . e q . 3 ) t h e n a a r - 4 . 0 d 0 * p i e n d i f e n d i f d o 1 0 i - l , m p l i c s l a b i f ( s h a p e . e q . 1 ) t h e n a r ( i ) - 1 . 0 d 0 a r 1 ( i ) - l . 0 d 0 e l s e c c y l i n d e r 3 6 4 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) i f ( s h a p e . e q . 2 ) t h e n a r ( i ) - a a r * ( i - 1 ) * d x i a r 1 ( i ) - a r ( i ) + a a r * d x i / 2 . 0 d 0 e l s e c s p h e r e 1 0 a r ( i ) - a a r * ( ( i - 1 ) * d x i ) * * 2 . 0 d 0 a r 1 ( i ) - a a r * ( ( i - l ) * d x i + d x i / 2 . 0 d 0 ) * * 2 . 0 d O e n d i f e n d i f c o n t i n u e C A L L P F I N D ( T , M i , C K , C S D , d t i , d x i ) c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c l s t b o u n d a r y p o i n t A V G l - ( A R ( 1 ) + A R 1 ( 1 ) ) * 0 . 5 0 d 0 a ( 1 ) - 0 . 0 d 0 c ( 1 ) - n u * d x x * C K ( l ) * a r l ( 1 ) b ( 1 ) - - g a m a * C S D ( 1 , l ) * a v g l - c ( 1 ) d a ( 1 ) - 0 . 0 d 0 d c ( l ) - - b e t a * d x x * C K ( 1 ) * a r l ( 1 ) d b ( l ) - o m e g a * C S D ( 1 , l ) * a v g l - d c ( l ) c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c i n t e r i o r p o i n t s d o i - 2 , m i A V G l - ( A R ( I ) + A R 1 ( I ) ) * 0 . 5 0 d 0 A V G Z - ( A R ( I ) + A R 1 ( I - 1 ) ) * 0 . 5 0 d 0 a ( i ) - n u * d x x * C K ( I - l ) * a r l ( i - l ) c ( i ) - n u * d x x * C K ( I ) * a r 1 ( i ) b ( i ) - - g a m a * ( C S D ( I , 1 ) * a v g 2 + C S D ( I , 2 ) * a v g 1 ) - a ( i ) - c ( i ) d a ( i ) - - b e t a * d x x * C K ( I - 1 ) * a r 1 ( i - l ) d c ( i ) - - b e t a * d x x * C K ( I ) * a r 1 ( i ) d b ( i ) - o m e g a * ( C S D ( I , 1 ) * a v g 2 + C S D ( I , 2 ) * a v g 1 ) - d a ( i ) - d c ( i ) e n d d o C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * c 2 n d b o u n d a r y p o i n t A V G 2 - ( A R ( m p l i ) + A R 1 ( M i ) ) * 0 . 5 0 d 0 3 6 5 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) c ( m p l i ) - 0 . 0 d 0 a ( m p l i ) - n u * d x x * C K ( M i ) * a r 1 ( m i ) b ( m p l i ) - - g a m a * C S D ( m p l i , 2 ) * a v g 2 — a ( m p 1 i ) d c ( m p l i ) - 0 . 0 d 0 d a ( m p l i ) - - b e t a * d x x * C K ( M i ) * a r 1 ( m i ) d b ( m p l i ) - o m e g a * C S D ( m p l i , 2 ) * a v g 2 - d a ( m p 1 i ) r e t u r n e n d S U B R O U T I N E P F I N D ( T , M i , C K , C S P D , d t i , d x ) C S e e A p p e n d i x A S U B R O U T I N E O U T P U T ( n p r i n t , q 1 , h t c , i t ) p a r a m e t e r ( m a x p - l O , m a x m - 2 1 , m a x r - 1 5 , m a x t = 2 5 0 , m a x t c = 6 ) i n t e g e r s h a p e , n t i m e , n t c , i r f t s d o u b l e p r e c i s i o n q l ( m a x r ) , h t c , t t c ( 6 ) , t t a m b c D e c l a r e v a r i a b l e s i n c o m m o n s t a t e m e n t s d o u b l e p r e c i s i o n w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & 1 , d x i , & d e 1 t , & t a m b ( m a x t ) , t c ( m a x t , m a x t c ) , x t c ( m a x t c ) , & a 1 p h a , w 0 , w 1 , w 2 c h a r a c t e r t i t l e * 4 0 , t t l f i l * 1 0 , o u t f i l * 2 0 , h h 1 1 * 3 0 , h h 2 2 * 2 1 c o m m o n / t t l / t i t l e , t t 1 f i l , & / p r o p / w f 0 , m s , d p , k p , c p , t 0 , & / g e o m / s h a p e , l , d x i , & / m e a s / d e 1 t , n t i m e , n t c , n d t & / m e a s 2 / t a m b , t c , x t c , & / i h c p / i r f t s , a l p h a , w 0 , w 1 , w 2 C N P R I N T - 0 i f p r i n t i n g i n p u t p a r a m e t e r s a n d h e a d i n g s . C N P R I N T - 1 i f p r i n t i n g e s t i m a t e d h e a t f l u x a n d h e a t C t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . 3 6 6 T a b l e D . 2 ( c o n t ' d ) C N P R I N T - 2 i f p r i n t i n g e n d o f f i l e . I F ( N P R I N T . E Q . 0 ) T H E N G O T O 1 1 0 0 E L S E i f ( n p r i n t . e q . 1 ) t h e n g o t o 1 2 0 0 e l s e g o t o 1 3 0 0 e n d i f e n d i f 1 1 0 0 w r i t e ( o u t f i l , 1 0 0 0 ) t t l f i l , ' o u t . d a t ' 1 0 0 0 f o r m a t ( ' ' , a , a ) o p e n ( u n i t - 1 2 , n a m e - o u t f i l ( 1 : 2 0 ) , t y p e = ' n e w ' , c a r r i a g e c o n t r o l - ' l i s t ' ) w r i t e ( 1 2 , 1 0 ) t i t 1 e 1 0 f o r m a t ( / / / , 3 x , ' T i t l e : ' , a 2 0 , / 3 x , ' - - - - - ' , / / , 1 4 x , ' I n p u t P a r a ' , + ' m e t e r s ' , / , 1 4 x , 1 6 ( ' - ' ) / / ) w r i t e ( 1 2 , 2 0 ) 2 0 f o r m a t ( / ' U n f r o z e n P r o d u c t P r o p e r t i e s ' , / ) a b c d - w f 0 * 1 0 0 . 0 d 0 w r i t e ( 1 2 , 3 0 ) a b c d 3 0 f o r m a t ( 2 x , ' M o i s t u r e c o n t e n t ( % ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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D A B S ( P I V O T ) ) G O T O 7 0 P I V O T - A ( I , J ) I R O W ( K ) - I J C O L ( K ) - J 7 0 C O N T I N U E 8 0 C O N T I N U E C * * * C * * * I N S U R E T H E S E L E C T E D P I V O T I S L A R G E R T H A N E P S c * * * I F ( D A B S ( P I V O T ) . G T . E P S ) G O T O 9 0 c W R I T E ( 5 , 2 0 0 0 ) P I V O T c 2 0 0 0 F O R M A T ( ' ' , ' V A L U E F O R P I V O T I S T O O S M A L L , S U B R O U T I N E T E R M I N A T E D . 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J C O L K ) A ( I , J ) = A ( I , J ) + A I J C K * A ( I R O W K , J ) e n d d o 1 2 0 e n d d o 1 3 0 C O N T I N U E c * * * C * * * O R D E R T H E S O L U T I O N V A L U E S ( I F A N Y ) A N D C R E A T E J O R D A R R A Y c * * * T a b l e 1 4 0 3 7 0 D . 2 ( c o n t ' d ) D O 1 4 0 I - 1 , N I R O W I - I R O W ( I ) J C O L I - J C O L ( I ) J O R D ( I R O W I ) - J C O L I I F ( I N D I C . G E . 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R R i i o o s t t S S n . a a . a r m o o w r T f s c c l l r o o a a e r b t T e p 5 l L L x c c t r r x T i i p E * a e e = = . fl e m m g . u E s e e R H x y v u u r v N N A A u - F e g i — - — e H . O " 0 - 5 3 " ( 3 ° ) e J n T O J a d L u e l I n p u t P a r a m e t e r s f o r N u m e r i c a l M o d e l : I n i t i a l T e m p e r a t u r e = - 2 7 . 9 ° C - 5 0 . . A m b . T e m p . = — 6 . 2 ° C . 0 - 4 8 h r s ; - 2 9 . 4 ° C , 4 8 — 9 6 h r s V a r . h x - b y = 1 2 . 1 — 5 . 5 . 0 - 4 8 h r s ; 7 . 7 - 1 0 . 4 h r s fl 3 8 1 B I B L I O G R A P H Y B I B L I O G R A P H Y A b r a m o w i t z , M . a n d I . A . S t e g u n , 1 9 7 0 . a n o o M a t w u n a a t c a b e . D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , N e w Y o r k . A b d a l l a , H . a n d R . P . S i n g h , 1 9 8 4 . S i m u l a t i o n o f T h a w i n g o f F o o d s U s i n g F i n i t e - E l e m e n t M e t h o d . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s E n g i n e e r i n g . A l l a d a , S . R . a n d D . Q u o n , 1 9 6 6 . A s t a b l e , e x p l i c i t n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e c o n d u c t i o n e q u a t i o n f o r m u l t i d i m e n s i o n a l n o n h o m o g e n e o u s m e d i a . C h e m i c a l E n g i n e e r i n g P r o g r e s s S y m p o s i u m S e r i e s - H e a t T r a n s f e r . L o s A n g e l e s , C A . 6 2 ( 6 4 ) : 1 5 1 - 1 5 6 . A n d e r s o n , D . A . , J . C . T a n n e h i l l , a n d R . H . P l e t c h e r , 1 9 8 4 . u t a t o a c d e a t I . H e m i s p h e r e P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n , M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k . A r r h e n i u s , 1 8 8 9 . Z . P h y s i k C h e m . 4 : 2 2 6 . C i t e d f r o m C h a r m , S . E . , 1 9 7 1 . W . T h e A v i P u b l i s h i n g C o m p a n y . I n c . W e s t p o r t , C o n n e c t i c u t . A s h b y , B . H . , A . H . B e n n e t t , W . A . B a i l e y , W . M o l e e r a t a n o n d , a n d A . K r a m e r , 1 9 7 9 . E n e r g y s a v i n g s a n d q u a l i t y d e t e r i o r a t i o n f r o m h o l d i n g f r o z e n a t t w o d a i l y t e m p e r a t u r e l e v e l s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S A E . 2 2 ( 4 ) : 9 3 8 - 9 4 3 . B a c k u s , B . a n d F . G i l b e r t , 1 9 8 0 . U n i q u e n e s s i n t h e i n v e r s i o n i n i n a c c u r a t e g r o s s e a r t h d a t a . P h i l . T r a n s . R . S o c . , L o n d o n . 2 6 6 : 1 2 3 - 1 9 2 . B a s s , B . R . , 1 9 8 0 . A p p l i c a t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d t o t h e n o n l i n e a r i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m u s i n g B e c k ' s s e c o n d m e t h o d . J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g f o r I n d u s t r y , T r a n s a c t i o n s o f t h e A S M E . 1 0 2 : 1 6 8 - 1 7 6 . B a t h e , K . a n d E . L . W i l s o n , 1 9 7 6 . e c a M e t h o d s n n t e e 3 A n a l y s i s . P r e n t i c e - H a l l , I n c . , E n g l e w o o d C l i f f s , N e w J e r s e y . B a u m e i s t e r T . , E . A . A v o l l o n e , a n d T . B a u m e i s t e r , e d i t o r s , 1 9 7 8 . M a 5 d b r M e 1 e , E i g h t h E d i t i o n . M c g r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k . B e c k , J . V . , 1 9 6 7 . T r a n s i e n t s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t s f o r t h e r m a l c o n t a c t c o n d u c t a n c e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 0 : 1 6 1 5 - 1 6 1 7 . B e c k , J . V . , 1 9 6 8 . S u r f a c e h e a t f l u x u s i n g a n i n t e g r a l m e t h o d . N u c l e a r E n g i n e e r i n g a n d D e s i g n , 7 : 1 7 0 - 1 7 8 . B e c k , J . V . , 1 9 6 9 . D e t e r m i n a t i o n o f o p t i m u m t r a n s i e n t e x p e r i m e n t s f o r t h e r m a l c o n t a c t c o n d u c t a n c e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 2 : 6 2 1 - 6 3 3 . 3 8 2 3 8 3 B e c k , J . V . , 1 9 7 0 . N o n l i n e a r e s t i m a t i o n a p p l i e d t o t h e n o n l i n e a r i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 3 : 7 0 3 - 7 1 6 . B e c k , J . V . , B . B l a c k w e l l , a n d C . R . S t . C l a i r , J r . , 1 9 8 5 . I n x g r § e _ fl e a t a n d u c t i o n P r o b l e m s . J o h n W i l e y & S o n s , I n c . , N e w Y o r k . B e c k , J . V . , B . L i t k o u h i , a n d C . R . S t . C l a i r , J r . , 1 9 8 2 . E f f i c i e n t s e q u e n t i a l s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . N u m e r i c a l H e a t T r a n s f e r . 5 : 2 7 5 - 2 8 6 . B e c k , J . V . a n d D . A . M u r i o , 1 9 8 6 . C o m b i n e d f u n c t i o n s p e c i f i c a t i o n - r e g u l a r i z a t i o n p r o c e d u r e f o r s o l u t i o n o f i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . A I A A J o u r n a l , 2 4 : 1 8 0 - 1 8 5 . B e l y t s c h k o , T . a n d T . J . R . H u g h e s , 1 9 8 3 . C Q m p u t g t i g n g 1 _ u g t h g g § _ f g r e . V a t a t c c . E v s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r i n g C o m p a n y , I n c . , N e w Y o r k . B h a t t a c h a r y a , M . a n d M . A . H a n n a , 1 9 8 6 . K i n e t i c s o f t e x t u r e a n d c o l o r d e g r a d a t i o n o f f r o z e n g r o u n d b e e f d u r i n g s t o r a g e . P r e s e n t e d a t t h e 4 6 t h A n n u a l M e e t i n g a n d F o o d E x p o o f t h e I n s t i t u t e o f F o o d T e c h n o l o g i s t s . D a l l a s , T e x a s , J u n e 1 5 - 1 8 . B l a c k w e l l , B . F . , 1 9 8 1 . E f f i c i e n t t e c h n i q u e f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l i n v e r s e p r o b l e m o f t h e c o n d u c t i o n . N u m e r - i c a l H e a t T r a n s f e r . 4 : 2 2 9 - 2 3 8 . B o g g s , M . M . , W . C . D i e t r i c h , M . N u t t i n g , R . L . O l s e n , F . E . L i n d q u i s t , G . S . B o h a r t , H . J . N e u m a n n , a n d H . J . M o r r i s , 1 9 6 0 . T i m e - t e m p e r - a t u r e t o l e r a n c e o f f r o z e n f o o d s . X X I . F r o z e n p e a s . F o o d T e c h - n o l o g y . 1 4 : 1 8 1 - 1 8 5 . B o n a c i n a , C . a n d G . C o m i n i , 1 9 7 2 . C a l c u l a t i o n o f c o n v e c t i v e h e a t t r a n s - f e r c o e f f i c i e n t s f r o m t i m e - t e m p e r a t u r e c u r v e s . P r o c e e d i n g s o f t h e X I I I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f R e f r i g e r a t i o n . p p . 1 5 7 - 1 6 6 . B o n a c i n a , C . a n d G . C o m i n i , 1 9 7 3 a . O n a n u m e r i c a l m e t h o d f o r t h e s o l u t i o n o f t h e u n s t e a d y s t a t e h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n w i t h t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t p a r a m e t e r s . P r o c e e d i n g s o f t h e X I I I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f R e f r i g e r a t i o n . p p . 1 5 7 - 1 6 6 . B o n a c i n a , C . a n d G . C o m i n i , 1 9 7 3 b . O n t h e s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n s b y n u m e r i c a l m e t h o d s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 6 : 5 8 1 - 5 8 9 . B o n a c i n a , C . , G . C o m i n i , A . F a s a n o , a n d M . P r i m i c e r i o , 1 9 7 3 . N u m e r i c a l s o l u t i o n o f p h a s e - c h a n g e p r o b l e m s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 6 : 1 8 2 5 - 1 8 3 2 . B u r g r a f f , O . R . , 1 9 6 4 . A n e x a c t s o l u t i o n o f t h e i n v e r s e p r o b l e m i n h e a t c o n d u c t i o n t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s . J o u r n a l o f H e a t T r a n s f e r , T r a n s a c t i o n s o f t h e A S M E , A u g u s t , p p . 3 7 3 - 3 8 2 . C a r s l a w , H . S . a n d J . C . J a e g e r , 1 9 5 9 . C o n d u c t i o n o f H e a t i n S o l i d s . O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , O x f o r d . C h a r m , 8 . E . , 1 9 7 1 . T h e F u n d a m e n t a l o f F o o d E n g i n e e r i n g . T h e A v i P u b l i s h i n g C o m p a n y , I n c . W e s t p o r t , C o n n e c t i c u t . 3 8 4 C h a r m , S . E . , D . H . B r a n d , a n d D . W . B a k e r , 1 9 7 2 . A s i m p l e m e t h o d f o r e s t i m a t i n g f r e e z i n g a n d t h a w i n g t i m e s o f c y l i n d e r s a n d s l a b s . A S H R E A J o u r n a l . N o v e m b e r , 1 4 : 3 9 - 4 5 . C h a v a r r i a , V . M . , a n d D . R . H e l d - a n , 1 9 8 3 . M e a s u r e m e n t o f c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g f o o d f r e e z i n g p r o c e s s e s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 9 ( 3 ) : 8 1 0 - 8 1 4 . C h e n , C . S . , 1 9 8 6 . E f f e c t i v e m o l e c u l a r w e i g h t o f a q u e o u s s o l u t i o n s a n d l i q u i d f o o d s c a l c u l a t e d f r o m t h e f r e e z i n g p o i n t d e p r e s s i o n . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 5 1 ( 6 ) : 1 5 3 7 - 1 5 4 3 . C h e n , C . S . , S . V . T i n g , a n d E . C . H i l l , 1 9 8 4 . P r e d i c t i n g t e m p e r a t u r e c h a n g e s i n f r e e z i n g o f c i t r u s s e c t i o n s c o n t a i n e d i n s t e e l d r u m s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S A E . p p . 1 6 0 4 - 1 6 0 8 . \ L h e r n o u s ' k o , F . L . , 1 9 7 0 . S o l u t i o n o f n o n - l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s i n m e d i a w i t h p h a s e c h a n g e s . I n t e r n a t i o n a l C h e m i c a l E n g i n e e r i n g . 1 0 ( 1 ) : 4 2 - 4 8 . C h u , Y . , 1 9 8 3 . A s t a t i s t i c a l a n a l y s i s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f r o z e n f o o d q u a l i t y a n d t e m p e r a t u r e . M . S . T h e s i s . D e p a r t m e n t o f F o o d S c i e n c e a n d H u m a n N u t r i t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . C h u , Y . a n d D . R . H e l d m a n , 1 9 8 4 . S e n s i t i v i t y o f f r o z e n f o o d s h e l f - l i f e p r e d i c t i o n t o s t a t i g fi i c a l v a r i a b i l i t y o f i n p u t p a r a m e t e r s . P r e s e n t e d a t t h e 4 4 A n n u a l M e e t i n g a n d F o o d E x p o o f t h e I n s t i t u t e o f F o o d T e c h n o l o g i s t s A n a h e i m , C a l i f o r n i a , J u n e , 1 9 8 4 . C h u r c h i l l , S . W . , 1 9 7 7 . A c o m p r e h e n s i v e c o r r e l a t i n g e q u a t i o n f o r l a m i n a r , a s s i s t e d , f o r c e d a n d f r e e c o n v e c t i o n . A I C h E J o u r n a l , 2 3 : 1 0 . C h u r c h i l l , S . W . , 1 9 8 3 . C o m b i n e d f r e e a n d f o r c e d c o n v e c t i o n a r o u n d i m m e r s e d b o d i e s . I n E . U . S c h l u n d e r , E d . - i n - C h i e f , 1 9 8 3 . H e a t E fi g h a n g g ; _ n g § 1 g g _ fl a n g h g g k , S e c t i o n 2 . 5 . 9 , H e m i s p h e r e P u b l i s h i n g C o r p . , N e w Y o r k . V C l e l a n d , A . C . a n d R . L . E a r l e , 1 9 7 6 . A n e w m e t h o d f o r p r e d i c t i o n o f s u r f a c e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s i n f r e e z i n g . P r o c e e d i n g s o f t h e X V I I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f R e f r i g e r a t i o n . p p . 3 6 1 - 3 7 6 . l e l a n d , A . C . a n d R . L . E a r l e , 1 9 7 7 a . F r e e z i n g t i m e p r e d i c t i o n s f o r f o o d s - - a s i m p l i f i e d p r o c e d u r e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R e f r i g e r a t i o n . 5 ( 3 ) : 1 3 4 - 1 4 0 . C l e l a n d , A . C . a n d R . L . E a r l e , 1 9 7 7 b . T h e t h i r d k i n d o f b o u n d a r y c o n d i t i o n i n n u m e r i c a l f r e e z i n g c a l c u l a t i o n s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 6 : 5 8 1 - 5 8 9 . C l e l a n d , A . C . a n d R . L . E a r l e , 1 9 8 4 . A s s e s s m e n t o f f r e e z i n g t i m e p r e d i c t i o n m e t h o d s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 9 ( 4 ) 1 0 3 4 - 1 0 4 2 . C o h e n , E . a n d I . S a g u y , 1 9 8 5 . S t a t i s t i c a l e v a l u a t i o n o f A r r h e n i u s m o d e l a n d i t s a p p l i c a b i l i t y i n p r e d i c t i o n o f f o o d q u a l i t y l o s s e s . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s i n g a n d P r e s e r v a t i o n . 9 : 2 7 3 - 2 9 0 . 3 8 5 C o m i n i , C . , 1 9 7 2 . D e s i g n o f t r a n s i e n t e x p e r i m e n t s f o r m e a s u r e m e n t o f c o n v e c t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . P r o c e e d i n g s o f t h e X 1 1 I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f R e f r i g e r a t i o n . p p . 1 5 7 - 1 6 6 . C o m i n i , C . , S . D . G u i d i c e , R . W . L e w i s , a n d O . C . Z i e n k i e w i c z , 1 9 7 4 . F i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f n o n - l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s w i t h s p e c i a l r e f e r e n c e t o p h a s e c h a n g e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g . 8 : 6 1 3 - 6 2 4 . C r e e d , P . G . a n d S . J . J a m e s , 1 9 8 5 . H e a t t r a n s f e r d u r i n g t h e f r e e z i n g o f l i v e r i n a p l a t e f r e e z e r . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 5 0 : 2 8 5 - 2 8 8 , 2 9 4 . D a g e r s k o g , M . , 1 9 7 4 . D e v e l o p m e n t o f a c o m p u t e r p r o g r a m t o s i m u l a t e t e m p e r a t u r e a n d t i m e - t e m p e r a t u r e e x p o s u r e o f p a c k e d f r o z e n f o o d d u r i n g h a n d l i n g i n t h e d i s t r i b u t i o n c h a i n . S w e d i s h I n s t i t u t e f o r F o o d P r e s e r v a t i o n R e s e a r c h ( S I K ) . R e p o r t T S B N 9 1 - 7 2 0 0 - 0 1 4 - 8 . D e B a e r d e m a e k e r , J . , R . P . S i n g h , a n d L . J . S e g e r l i n d , 1 9 7 7 . M o d e l l i n g h e a t t r a n s f e r i n f o o d s u s i n g t h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s E n g i n e e r i n g . 1 : 3 7 - 5 0 . D e C i n d i o , B . , G . I o r i o , a n d V . R o m a n o , 1 9 8 5 . T h e r m a l a n a l y s i s o f t h e f r e e z i n g o f i c e c r e a m b r i c k e t t e s b y t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 5 0 : 1 4 6 3 - 1 4 6 6 . D e M i c h e l i s , A . a n d A . C a l v e l o , 1 9 8 2 . M a t h e m a t i c a l m o d e l s f o r n o n s y m m e t r i c f r e e z i n g o f b e e f . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 7 : 1 2 1 1 - 1 2 1 7 . D i e t r i c h , C . , M . F . N u t t i n g , M . M . B o g g s , a n d N . E . W e i n s t e i n , 1 9 6 2 . T i m e - t e m p e r a t u r e t o l e r a n c e o f f r o z e n f o o d s X I V . Q u a l i t y c h a n g e s i n c a u l i f l o w e r . F o o d T e c h n o l o g y . 1 6 : 1 2 3 - 1 2 8 . D i e t r i c h , W . C . , M . N u t t i n g , R . L . O l s e n , F . E . L i n d q u i s t , M . M . B o g g s , G . S . B o h a r t , H . J . N e u m a n n , a n d H . J . M o r r i s , 1 9 6 0 . T i m e - t e m p e r a t u r e t o l e r a n c e o f f r o z e n f o o d s . X V I . Q u a l i t y r e t e n t i o n o f f r o z e n g r e e n s n a p b e a n s i n r e t a i l p a c k a g e s . F o o d T e c h n o l o g y . 1 4 : 1 8 1 - 1 8 5 . D i x , R . C . a n d J . C i z e k , 1 9 7 1 . T h e i s o t h e r m m i g r a t i o n m e t h o d f o r t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n a n a l y s i s . P r o c e e d i n g s . F o u r t h I n t e r n a t i o n a l H e a t T r a n s f e r C o n f e r e n c e , P a r i s . A S M E , N e w Y o r k . V o l . 1 , C u 1 . 1 , p p . 1 - 1 0 . D o u g l a g , J r z , J . , 1 9 5 5 . O n t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f a Z u / a x 2 + a u / a y - a u / a t b y i m p l i c i t m e t h o d s . S I A M J o u r n a l . 3 : 4 2 - 6 5 . D o u g l a s , J r . , J . a n d J . E . G u n n , 1 9 6 4 . A g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n m e t h o d s . P a r t I . P a r a b o l i c a n d h y p e r b o l i c p r o b l e m s . N u m e r i s c h e M a t h e m a t i k . 6 : 4 2 8 - 4 5 3 . E v a n s , D . J . a n d C . R . C a n e , 1 9 7 8 . A . D . I . m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m s i n r - o g e o m e t r y . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g . 1 2 : 1 7 9 9 - 1 8 0 7 . F e n n e m a , O . R . a n d W . D . P o w r i e , 1 9 6 4 . F u n d a m e n t a l s o f l o w - t e m p e r a t u r e f o o d p r e s e r v a t i o n . A d v a n c e s i n F o o d R e s e a r c h . 1 3 : 2 1 9 - 3 4 7 . 3 8 6 F e n n e m a , O . R . , W . D . P o w r i e , a n d E . H . M a r t h , 1 9 7 3 . w - e e a t u e E z e s e z g a t i g m o f E o g g s g a g L i m i n g M a t t e r . M a r c e l D e k k e r , I n c . N e w Y o r k . p p . 2 0 7 - 2 2 7 . F l e m i n g , A . K . , 1 9 7 3 . T h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f f r e e z i n g p r o c e s s e s . P r o c e e d i n g s o f t h e X 1 1 1 I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f R e f r i g e r a t i o n . A V I P u b l i s h i n g , I n c . V o l . I I , p p . 3 0 3 - 3 1 1 . F r i e d , I . , 1 9 7 9 . N m m g r i c g l s g l m t i g m 9 f D i f f e r e n t i a l E g u a t i o n s . A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . G o l d s t e i n , R . J . , E . M . S p a r r o w , a n d D . C . J o n e s , 1 9 7 3 . N a t u r a l c o n v e c t i o n m a s s t r a n s f e r a d j a c e n t t o h o r i z o n t a l p l a t e s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 6 : 1 0 2 5 . G o r t n e r , W . A . , F . F e n t o n , F . E . V o l z , a n d E . G l e i m , 1 9 4 8 . E f f e c t o f f l u c t u a t i n g s t o r a g e t e m p e r a t u r e s o n q u a l i t y o f f r o z e n f o o d s . I n d u s t r i a l a n d E n g i n e e r i n g C h e m i s t r y . 4 0 ( 8 ) : 1 4 2 3 - 1 4 2 6 . G r a n g e , B . W . , R . V i s k a n t a , a n d W . H . S t e v e n s o n , 1 9 7 6 . D i f f u s i o n o f h e a t a n d s o l u t e d u r i n g f r e e z i n g o f s a l t s o l u t i o n s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 9 : 3 7 3 - 3 8 4 . G u t s c h m i d t , J , 1 9 6 0 . U b e r D a s H e r s t e l l u n g U n d V e r p a c k e n D e r K a r l s r u h e r P r u f m a s s e . K a l t e t e c h n i k . 1 2 ( 8 ) : 2 2 6 - 2 2 9 . ( I n G e r m a n ) . H a r a l a m p u , S . G . , I . S a g u y a n d M . K a r e l , 1 9 8 5 . E s t i m a t i o n o f A r r h e n i u s m o d e l p a r a m e t e r s u s i n g t h r e e l e a s t s q u a r e s m e t h o d s . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s i n g a n d P r e s e r v a t i o n . 9 : 1 2 9 - 1 4 3 . y a k a w a , K . a n d A . B a k a l , 1 9 7 2 . F o r m u l a s f o r p r e d i c t i n g t r a n s i e n t t e m p e r a t u r e s i n f o o d d u r i n g f r e e z i n g o r t h a w i n g . A I C h E S y m p o s i u m S e r i e s , F o o d P r e s e r v a t i o n . 6 9 ( 1 3 2 ) : 1 4 - 2 5 . H e l d m a n , D . R . , 1 9 7 4 a . C o m p u t e r s i m u l a t i o n o f f o o d f r e e z i n g p r o c e s s . P r o c e e d i n g s o f t h e I V I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f F o o d S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y . V o l . I V , p p . 3 9 7 - 4 0 6 . H e l d m a n , D . R . , 1 9 7 4 b . P r e d i c t i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n f r o z e n w a t e r f r a c t i o n a n d t e m p e r a t u r e d u r i n g f o o d f r e e z i n g u s i n g f r e e z i n g p o i n t d e p r e s s i o n . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S A E . 1 7 : 6 3 - 6 6 . H e l d m a n , D . R . , 1 9 8 2 . F o o d p r o p e r t i e s d u r i n g f r e e z i n g . F o o d T e c h n o l o g y . / 3 6 ( 2 ) : 9 2 - 9 6 . \ f H e l d m a n , D . R . a n d D . P . G o r b y , 1 9 7 5 a . P r e d i c t i o n o f t h e r m a l c o n d u c - t i v i t y i n f r o z e n f o o d s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S A E . 1 8 ( 1 ) : 7 4 0 - * * * . H e l d m a n , D . R . a n d D . P . C o r b y , 1 9 7 5 b . C o m p u t e r s i m u l a t i o n o f i n d i v i - d u a l - q u i c k f r e e z i n g o f f o o d s . A S A E p a p e r N o . 7 5 - 6 0 1 6 , A S A E , S t . J o s e p h , M I , 4 9 0 8 5 . H e l d m a n , D . R . a n d D . L a i , 1 9 8 3 . A m o d e l o r p r e d i c t i o n o f s h e l f - l i f e f o r f r o z e n f o o d s . P r o c e e d i n g s o f 1 6 C o n g r e s s o f I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e o f R e f r i g e r a t i o n , P a r i s , F r a n c e , p p . 4 1 7 - 4 3 3 . H e l d m a n , D . R . a n d R . P . S i n g h , 1 9 8 1 . F o o d P r o g e s g E n g i n e e r i n g . S e c o n d E d i t i o n . A V I P u b l i s h i n g C o m p a n y , I n c . , W e s t p o r t , C o n n e c t i c u t . 3 8 7 H e n s e l , E . C . a n d R . G . H i l l s , 1 9 8 4 . A s p a c e m a r c h i n g f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l i n v e r s e c o n d u c t i o n h e a t t r a n s f e r p r o b l e m . A S M E p a p e r N o . 8 4 - H T - 4 8 . H i l l s , R . G . a n d M u l l h o l l a n d , 1 9 7 9 . T h e a c c u r a c y a n d r e s o l v i n g p o w e r o f o n e d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n t h e o r y a s a p p l i e d t o d i s c r e t e a n d i n a c c u r a t e m e a s u r e m e n t s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 2 2 : 1 2 2 1 - 1 2 2 9 . H o r n b e c k , R . W . , 1 9 7 5 . N g m § 1 1 g § 1 _ fl g § h g g § . Q u a n t u m P u b l i s h e r s , I n c . , N e w Y o r k . H s i e h , R . , L . E . L e r e w , a n d D . R . H e l d m a n , 1 9 7 7 . P r e d i c t i o n o f f r e e z i n g t i m e s f o r f o o d s a s i n f l u e n c e d b y p r o d u c t p r o p e r t i e s . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s E n g i n e e r i n g . 1 : 1 8 3 - 1 9 7 . H u s t r u l i d , A . a n d J . D . W i n t e r , 1 9 4 3 . T h e e f f e c t o f t e m p e r a t u r e s o n , f r o z e n f r u i t s a n d v e g e t a b l e s . A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g . I 2 4 ( 1 2 ) : 4 1 6 . m b e r , M . , 1 9 7 4 . T e m p e r a t u r e e x t r a p o l a t i o n m e c h a n i s m f o r t w o d i m e n - s i o n a l h e a t f l o w . A I A A J o u r n a l . 1 2 ( 8 ) : 1 0 8 9 - 1 0 9 3 . m b e r , M . a n d J . K h a n , 1 9 7 2 . P r e d i c t i o n o f t r a n s i e n t t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n w i t h e m b e d d e d t h e r m o c o u p l e s . A I A A J o u r n a l . 1 0 ( 6 ) : 7 8 4 - 7 8 8 . I n c r o p e r a F . P . a n d D . P . D e w i t t , 1 9 8 5 . I m g r g g m g g i g n _ § 9 _ fl g a § _ l r g n § £ § 1 . J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k . J o s h i , C . a n d L . C . T a o , 1 9 7 4 . A n u m e r i c a l m e t h o d o f s i m u l a t i n g t h e a x i s y m m e t r i c a l f r e e z i n g o f f o o d s y s t e m s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 3 9 : 6 2 3 - 6 2 6 . J u l , M . , 1 9 8 4 . I h g _ n g 1 1 § y _ g f _ £ ; g z g n _ £ g g g § . A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . K a y s , W . M . a n d M . E . C r a w f o r d , 1 9 8 0 . o v c t v e a t M a I g g m g f g g , s e c o n d e d i t i o n . M c G r a w H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k . K l o s e , A . A . , M . F . P o o l , A . A . C a m p b e l l , a n d H . L . H a n s o n , 1 9 5 9 . T i m e - t e m p e r a t u r e t o l e r a n c e o f f r o z e n f o o d s . X I X . R e a d y - t o - c o o k c u t - u p c h i c k e n . F o o d T e c h n o l o g y . 1 3 : 4 7 7 - 4 8 4 . K o m o r i , T . a n d E . H i r a i , 1 9 7 0 . A n a p p l i c a t i o n o f S t e f a n ' s p r o b l e m t o t h e f r e e z i n g o f a c y l i n d r i c a l f o o d - s t u f f . J o u r n a l o f C h e m i c a l E n g i n e e r i n g o f J a p a n . 3 ( 1 ) : 3 9 - 4 4 . K o p e l m a n , I . J . , 1 9 6 6 . T r a n s i e n t h e a t t r a n s f e r a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s i n f o o d s y s t e m s . P h . D . T h e s i s . D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . K r u t z , G . W . , R . J . S c h o e n h a l s , a n d P . S . H o r e , 1 9 7 8 . A p p l i c a t i o n o f t h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d t o t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . N u m e r i c a l H e a t T r a n s f e r . 1 : 4 8 9 - 4 9 8 . ‘ / L a i , D . a n d D . R , H e l d m a n , 1 9 8 2 . A n a l y s i s o f k i n e t i c s o f q u a l i t y c h a n g e i n f r o z e n f o o d s . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s E n g i n e e r i n g 6 : 1 7 9 - 2 0 0 . 3 8 8 L a n g f o r d , D . , 1 9 7 6 . N e w a n a l y t i c a l s o l u t i o n s o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l h e a t e q u a t i o n f o r t e m p e r a t u r e a n d h e a t f l o w r a t e b o t h p r e s c r i b e d a t t h e s a m e f i x e d b o u n d a r y ( w i t h a p p l i c a t i o n s t o t h e p h a s e c h a n g e p r o b l e m ) . Q u a r t e r l y o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s . 2 4 ( 4 ) : 3 1 5 - 3 2 2 . L e e s , M . , 1 9 6 6 . A l i n e a r t h r e e - l e v e l d i f f e r e n c e s c h e m e f o r q u a s i l i n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n s . M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n . 2 0 : 5 1 6 . L e s c a n o , C . E . , 1 9 7 3 . P r e d i c t i n g f r e e z i n g c u r v e s i n c o d f i s h f i l l e t s u s i n g t h e i d e a l b i n a r y s o l u t i o n a s s u m p t i o n . M . S . T h e s i s . D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . L e w i s , R . W . , K . M o r g a n , a n d P . M . R o b e r t s , 1 9 8 4 . A p p l i c a t i o n o f a n a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d t o h e a t t r a n s f e r p r o b l e m s i n v o l v i n g a c h a n g e o f p h a s e . N u m e r i c a l H e a t T r a n s f e r . 7 : 4 7 1 - 4 8 2 . L i g h t f o o t , E . N . , C . M a s s o t , a n d F . I r a n i , 1 9 6 5 . A p p r o x i m a t e e s t i m a t i o n o f h e a t a n d m a s s t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . A I C H E C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S y m p o s i u m S e r i e s , S e l e c t e d T o p i c s i n T r a n s p o r t P h e n o m e n a . 6 1 ( 5 8 ) : 2 8 - 6 0 . M a s t a n a i a h , K . , 1 9 7 6 . O n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f p h a s e c h a n g e p r o b l e m s i n t r a n s i e n t n o n - l i n e a r h e a t c o n d u c t i o n . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g . 1 0 : 8 3 3 - 8 4 4 . M c A d a m s , W . H . , 1 9 5 4 . fi a a ; _ 1 ; a n a m 1 § a i g n , t h i r d e d i t i o n . M c G r a w H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k . M i l l e r , K . , 1 9 7 0 . L e a s t s q u a r e s m e t h o d s f o r i l l - p o s e d p r o b l e m s w i t h a p r e s c r i b e d b o u n d . S I A M J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s . 1 ( 1 ) : 5 2 - 7 4 . M o d e r n P l a s t i c s E n c y c l o p e d i a 1 9 8 4 - 8 5 . V o l u m e 6 1 , N u m b e r 1 0 a . M c G r a w H i l l P u b l i s h i n g C o m p a n y , N e w Y o r k . M o l e e r a n t a n o n d , W . , B . H . A s h b y , A . K r a m e r , B . W . B e r r y , a n d W . L e e , 1 9 8 1 . E f f e c t o f a d i - t h e r m a l s t o r a g e r e g i m e o n q u a l i t y a n d n u t r i t i o n a l c h a n g e s a n d e n e r g y c o n s u m p t i o n o f f r o z e n b o x e d b e e f . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 6 : 8 2 9 - 8 3 3 , 8 3 7 . M o o r e , W . J . , 1 9 6 2 . P h y a i a a l _ § h a m 1 a § g y , t h i r d e d i t i o n . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N e w J e r s e y . M u r i o , D . A . , 1 9 8 5 . O n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s o l u t i o n o f t h e i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . A S M E P a p e r N o . 8 5 - W A / H T - 4 1 . M y e r s , G . E . , 1 9 7 1 . a l e d s i n C o n d u c o n e T a n s f e r . M c G r a w - H i l l B o o k s , N e w Y o r k . O m e g a , 1 9 8 5 . C g m p l a t a I e m p e g a g m r a M a a s u r e m e n t H a m d b o o k a n d E n c y c l o p e d i a . O m e g a E n g i n e e r i n g , I n c . O s m a n , A . M . a n d J . V . B e c k , 1 9 8 7 . N o n l i n e a r i n v e r s e p r o b l e m f o r t h e e s t i m a t i o n o f t i m e - a n d - s p a c e d e p e n d e n t h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s . A I A A - 8 7 - 0 1 5 0 . P r e s e n t e d a t t h e 2 5 t h A n n u a l A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , J a n u a r y , 1 2 - 1 5 , R e n o , N e . 3 8 9 O z i s i k , M . N . , 1 9 8 0 . H a a § _ § 9 n § m g g i g m . J o h n W i l e y & S o n s , I n c . N e w Y o r k . P e a c e m a n , D . W . a n d H . H . R a c h f o r d , J r . , 1 9 5 5 . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f p a r a b o l i c a n d e l l i p t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . J o u r n a l f o r t h e S o c i e t y o f I n d u s t r i a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s . 3 ( 1 ) : 2 8 - 4 1 . P e r e z , M . E . C . , 1 9 8 4 . C o m p u t e r s i m u l a t i o n o f m i c r o b i a l q u a l i t y o f a f o o d p r o d u c t d u r i n g f r e e z i n g a n d f r o z e n s t o r a g e . M . S . T h e s i s . A g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . P l a n k , R . 2 . , 1 9 1 3 . G a s . K a l t e - I n d . 2 0 , 1 0 9 ( I n G e r m a n ) . C i t e d b y A . J . E d e , 1 9 4 9 . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e f r e e z i n g a n d t h a w i n g o f f o o d s t u f f s . M o d e r n R e f r i g e r a t i o n . 5 2 ( 3 ) : 5 2 . R e b e l l a t o , L . , S . D e l G i u d i c e , a n d G . C o m i n i , 1 9 7 8 . F i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s o f f r e e z i n g p r o c e s s e s i n f o o d s t u f f s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 3 : 2 3 9 - 2 4 2 , 2 5 0 . R e i n s c h , C . H . J . , 1 9 6 7 . S m o o t h i n g b y s p l i n e f u n c t i o n . N u m e r i s c h e M a t h e m a t i k . 1 0 : 1 7 7 - 1 8 3 . R o s s , E . W . , M . V . K l i c k a , J . K a l i c k , a n d M . E . B r a n a g a n , 1 9 8 5 . A c c e p t a n c e o f a m i l i t a r y r a t i o n a f t e r 2 4 - m o n t h s t o r a g e . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 5 0 : 1 7 8 - 1 8 1 , 2 0 8 . S a n z , P . D . , R . H . M a s c h e r o n i , M . D o m e n g u e z a n d S . G a r c i a d e V i n u e s a , 1 9 8 6 . T i m e - t e m p e r a t u r e p r e d i c t i o n c u r v e s o f f o o d s t u f f s b y m e a n s o f t h e z - t r a n s f e r f u n c t i o n m e t h o d . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R e f r i g e r a t i o n . 9 : 8 9 - 9 2 . S a s t r y , S . K . a n d A . K i l a r a , 1 9 8 3 . T e m p e r a t u r e r e s p o n s e o f f r o z e n p e a s t o d i - t h e r m a l s t o r a g e r e g i m e s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 8 : 7 7 - 8 3 . S c h w i m m e r , S , L . L . I n g r a h a m , a n d H . M . H u g h e s , 1 9 5 5 . T e m p e r a t u r e t o l e r a n c e i n f r o z e n f o o d p r o c e s s i n g . E f f e c t i v e t e m p e r a t u r e s i n t h e r m a l l y f l u c t u a t i n g s y s t e m s . I n d u s t r i a l a n d E n g i n e e r i n g C h e m i s t r y . 4 7 ( 6 ) : 1 1 4 9 - 1 1 5 1 . S c o t t , E . P . a n d J . V . B e c k , 1 9 8 5 . A n a l y s i s o f o r d e r o f s e q u e n t i a l r e g u l a r i z a t i o n s o l u t i o n o f i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . A S M E p a p e r N o . 8 5 - W A / H T - 4 3 . S e g e r l i n d , L . , 1 9 8 4 . e l e m e n t n a s i s . J o h n W i l e y a n d S o n s , N e w Y o r k . S e g e r l i n d , L . , 1 9 8 6 . P e r s o n a l C o m m u n i c a t i o n . S i n g h , R . P . , 1 9 7 6 . C o m p u t e r s i m u l a t i o n o f f o o d q u a l i t y d u r i n g f r o z e n f o o d s t o r a g e . I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e o f R e f r i g e r a t i o n C o m m i s s i o n s C 2 , D 1 , D 2 , D 3 , E 1 . A n n e x . p p . 1 9 7 - 2 0 4 . , S i n g h , R . P . a n d D . R . H e l d m a n , 1 9 7 6 . S i m u l a t i o n o f l i q u i d f o o d q u a l i t y d u r i n g s t o r a g e . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S A E . 1 9 ( 1 ) : l 7 8 - 1 8 4 . S i n g h , R . P . a n d C . Y . W a n g , 1 9 7 7 . Q u a l i t y o f f r o z e n f o o d s - A r e v i e w . J o u r n a l o f F o o d P r o c e s s E n g i n e e r i n g . 1 : 9 7 - 1 2 7 . 3 9 0 S p e c h t , H . , H . K a r i u s , a n d J . K u n i s , 1 9 8 1 . Z u r H e r s t e l l u n g u n d U n t e r s u c h u n g v o n G e f r i e r p r u f m a s s e n . L e b e n s m i t t e l i n d u s t r i e . 2 8 : 1 2 - 1 3 . ( I n G e r m a n ) . S t o l z , G . , J r . , 1 9 6 0 . N u m e r i c a l s o l u t i o n s t o a n i n v e r s e p r o b l e m o f h e a t c o n d u c t i o n f o r s i m p l e s h a p e s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S M E . J o u r n a l o f H e a t T r a n s f e r . V o l . 8 2 , S e r i e s C , p p . 2 0 - 2 6 . S u c c a r , J . a n d K - I H a y a k a w a , 1 9 8 6 . A r e s p o n s e s u r f a c e m e t h o d f o r t h e e s t i m a t i o n o f c o n v e c t i v e a n d r a d i a t i v e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s d u r i n g f r e e z i n g a n d t h a w i n g o f f o o d s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 5 1 : 1 3 1 4 - 1 3 2 2 . T a l m o n , Y . a n d H . T . D a v i s , 1 9 8 1 . A n a l y s i s o f p r o p a g a t i o n o f f r e e z i n g a n d t h a w i n g f r o n t s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e . 4 6 : 1 4 7 8 - 1 4 8 3 , 1 4 8 8 . T a r n a w s k i , W . , 1 9 7 6 . M a t h e m a t i c a l m o d e l o f f r o z e n c o n s u m p t i o n p r o d u c t s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 1 9 : 1 5 - 2 0 . T h o m a s , L . H . , 1 9 4 9 . E l l i p t i c p r o b l e m s i n l i n e a r d i f f e r e n c e e q u a t i o n o v e r a n e t w o r k . W a t s o n S c i e n t i f i c C o m p u t . L a b o r a t o r y R e p o r t , C o l u m b i a U n i v e r s i t y , N e w Y o r k . C i t e d f r o m A n d e r s o n , D . A . , J . C . T a n n e h i l l , a n d R . H . P l e t c h e r , 1 9 8 4 . a m g _ n a a § _ 1 1 a m a f a 1 . H e m i s p h e r e P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n , M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k . T i e n , R . H . a n d G . E . G e i g e r , 1 9 6 7 . A h e a t - t r a n s f e r a n a l y s i s o f t h e s o l i d i f i c a t i o n o f a b i n a r y e u t e c t i c s y s t e m . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S M E . J o u r n a l o f H e a t T r a n s f e r . A u g u s t . p p . 2 3 0 - 2 3 4 . T i k h o n o v , A . N . a n d V . Y . A r s e n i n , 1 9 7 7 . O t - E n g l a m a . V . H . W i n s t o n a n d S o n s , W a s h i n g t o n , D . C . V a n A r s d e l , W . B . , 1 9 5 7 . T h e t i m e - t e m p e r a t u r e t o l e r a n c e o f f r o z e n f o o d s . I . I n t r o d u c t i o n - t h e p r o b l e m a n d t h e a t t a c k . F o o d T e c h n o l o g y . 1 1 : 2 8 . V a n A r s d e l , W . B . a n d D . G . G u a d a g n i , 1 9 5 9 . T i m e - t e m p e r a t u r e t o l e r a n c e o f f r o z e n f o o d s . X V . M e t h o d o f u s i n g t e m p e r a t u r e h i s t o r i e s t o e s t i m a t e c h a n g e s i n f r o z e n f o o d q u a l i t y . F o o d T e c h n o l o g y . 1 3 : 1 4 - 1 9 . V o n R o s e n b e r g , D . , 1 9 6 9 . M e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . M o d e r n A n a l y t i c a l a n d C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s i n S c i e n c e a n d M a t h e m a t i c s . N o . 1 6 . N e w Y o r k . A m e r i c a n E l s e v i e r . W a l p o l e , R . E . a n d R . H . M y e r s , 1 9 7 8 . P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s f o r n e e s S e n t , s e c o n d e d i t i o n . M a c M i l l a n P u b l i s h i n g C o m p a n y , I n c . , N e w Y o r k . W e b e r , C . 1 9 8 1 . A n a l y s i s a n d s o l u t i o n o f t h e i l l p o s e d i n v e r s e h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l H e a t a n d M a s s T r a n s f e r . 2 4 ( 1 1 ) : 1 7 8 3 - 1 7 9 2 W i l l i a m s , S . D . a n d D . M . C u r r y , 1 9 8 4 . A n a n a l y t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l s t u d y f o r s u r f a c e h e a t f l u x d e t e r m i n a t i o n . J o u r n a l o f S p a c e c r a f t . 1 4 ( 1 0 ) : 6 3 2 - 6 3 7 . 3 9 1 Y a n e n k o , N . N . , 1 9 7 1 . e M e t 0 r a c t i o n a l S t e 8 ' T h e S o u t i o f M M W W H M - M . H o l t . e d i t o r , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k . ~ ¢ 2 a r i t z k y , N . E . , 1 9 8 2 . M a t h e m a t i c a l s i m u l a t i o n o f t h e t h e r m a l b e h a v i o r _ ' o f f r o z e n m e a t d u r i n g i t s s t o r a g e a n d d i s t r i b u t i o n . J o u r n a l o f g F o o d P r o c e s s E n g i n e e r i n g . 6 : 1 5 - 3 6 . r t z , C . A . , S . K . S a s t r y , a n d S . C . M c C o y , 1 9 8 6 . M o d e l l i n g o f t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s w i t h i n f r o z e n f o o d s s t o r e d i n c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R e f r i g e r a t i o n . 9 : 2 1 5 - 2 1 9 . V fl u r t z , C . A . a n d S . K . S a s t r y , 1 9 8 6 . E f f e c t o f p a c k a g i n g m a t e r i a l s o n t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n f r o z e n f o o d s : m a t h e m a t i c a l m o d e l a n d e x p e r i m e n t a l s t u d i e s . J o u r n a l o f F o o d S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y . 5 1 ( 4 ) : 1 0 5 0 - 1 0 5 6 . ~ J Z u r t z , C . A . a n d R . P . S i n g h , 1 9 8 5 . M o d e l i n g T e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n s t o r e d f r o z e n f o o d s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R e f r i g e r a t i o n . 8 : 2 8 9 - 2 9 3 .