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D . d e g r e e i n E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g M a j o r p r o f e s s o r K u n - M u C h e n D a t e / W N L 7 , / ; 0 0 J M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 M S U L I B R A R I E S - : — R E T U R N I N G M A T E R I A L S : P l a c e i n b o o k d r o p t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . F I N E S w i l l b e c h a r g e d i f b o o k i s r e t u r n e d a f t e r t h e d a t e s t a m p e d b e l o w . R A D A R T A R G E T D I S C R I M I N A T I O N U S I N G T H E E X T I N C T I O N - P U L S E T E C H N I Q U E B y E d w a r d J o s e p h R o t h w e l l A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d S y s t e m s S c i e n c e 1 9 8 5 C o p y r i g h t b y E D W A R D J O S E P H R O T H W E L L 1 9 8 5 A B S T R A C T R A D A R T A R G E T D I S C R I M I N A T I O N U S I N G T H E E X T I N C T I O N - P U L S E T E C H N I Q U E B y E d w a r d J o s e p h R o t h w e l l T h e e x t i n c t i o n - p u l s e ( E - p u l s e ) t e c h n i q u e i s a r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e w h i c h u t i l i z e s t h e n a t u r a l r e s o n a n c e b e h a v i o r o f c o n d u c t i n g s c a t t e r e r s . A n E - p u l s e i s a f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m s y n t h e s i z e d i n s u c h a w a y t h a t , u p o n i n t e r a c t i o n w i t h a p a r t i c u l a r t a r g e t , i t e x c i t e s o n l y a p r e - s p e c i f i e d p o r t i o n o f t h e t a r g e t ' s n a t u r a l r e s o n a n c e s p e c t r u m . S i n c e t h e E - p u l s e w a v e f o r m i s b a s e d o n l y o n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t , i t i s a s p e c t i n d e p e n d e n t . T h i s t h e s i s i n v e s t i g a t e s E - p u l s e s y n t h e s i s , a n d a v a r i e t y o f o t h e r t o p i c s r e l e v a n t t o t h e t e c h n i q u e . W a v e f o r m s a r e s y n t h e s i z e d u s i n g b o t h a t i m e a n d a f r e q u e n c y d o m a i n a p p r o a c h , a n d d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n d i f f e r i n g t h i n c y l i n d e r t a r g e t s i s c a r r i e d o u t n u m e r i c a l l y , d e m o n s t r a t i n g t h e s u c c e s s o f t h e t e c h n i q u e i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e . T h e e x t r a c t i o n o f t a r g e t n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m a m e a s u r e d r e s p o n s e i s a l s o c o n s i d e r e d , a n d a v a r i e t y o f t e c h n i q u e s i s i n t r o d u c e d . P a r t i c u l a r l y s u c c e s s f u l i s t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a p p r o a c h , w h i c h p r o v e s a v i a b l e r e p l a c e m e n t f o r t h e h i g h l y n o i s e - s e n s i t i v e P r o n y ' s m e t h o d . E d w a r d J o s e p h R o t h w e l l A s a n i n v e s t i g a t i o n i n t o t h e r e s o n a n c e p r o p e r t i e s o f a p a r t i c u l a r t a r g e t , a t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f a t h i n w i r e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r i s u n d e r t a k e n . A n u m b e r o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d c o r r e s p o n d i n g s u r f a c e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s o f t h e t a r g e t a r e c a l c u l a t e d , b y s o l v i n g a h o m o g e n e o u s e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e s h o w n t o m a k e s m o o t h t r a n s i t i o n s t o t h o s e o f t h e l i m i t i n g c a s e s o f a c i r c u l a r l o o p a n d a t r a n s m i s s i o n l i n e . L a s t l y , a n e x p e r i m e n t a l v a l i d a t i o n o f t h e n a t u r a l r e s o n a n c e b e h a v i o r o f s i m p l e t h i n w i r e t a r g e t s i s p r e s e n t e d , a s w e l l a s a n e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t . S u c c e s s f u l d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t w o r e a l i s t i c a i r c r a f t t a r g e t m o d e l s i s a c c o m p l i s h e d b y u t i l i z i n g m e a s u r e m e n t s o f t h e i r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e s . I n l o v i n g m e m o r y o f m y f a t h e r i i i A C K N O W L E D G M E N T S F o r e m o s t t h a n k s a r e d u e D r . K u n - M u C h e n , m y a c a d e m i c a d v i s o r , f o r h i s g e n e r o u s s u p p o r t a n d g u i d a n c e t h r o u g h o u t t h i s w o r k . G r a t i t u d e m u s t a l s o b e e x p r e s s e d t o D r . D e n n i s N y q u i s t f o r h i s u n e n d i n g a s s i s t a n c e a n d t o D r . B y r o n D r a c h m a n f o r h i s s i n c e r e i n t e r e s t a n d e n c o u r a g i n g a d v i c e . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k t h e m e m b e r s o f m y g u i d a n c e c o m m i t t e e , D r . J e s A s m u s s e n a n d D r . B o n g H o , f o r t h e i r g e n e r o u s d o n a t i o n o f t i m e a n d a s s i s t a n c e . F i n a l l y , I m u s t t h a n k m y w i f e , K i t t y , m y m o t h e r , M r s . C a t h e r i n e R o t h w e l l , a n d m y c l o s e f r i e n d , R i c k N o l a n , f o r t h e i r s u p p o r t a n d u n d e r s t a n d i n g d u r i n g m y m a n y y e a r s o f g r a d u a t e s t u d y . i v T A B L E O F C O N T E N T S C h a p t e r P a g e 1 I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 T H E S I N G U L A R I T Y E X P A N S I O N M E T H O D . . . . . . . . . . 4 2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . 4 2 . 2 S E M R e p r e s e n t a t i o n o f S c a t t e r e d F i e l d . . . . . S 2 . 3 I n t e g r a l E q u a t i o n f o r S u r f a c e C u r r e n t . . . . . 1 0 2 . 4 T i m e d o m a i n R e p r e s e n t a t i o n o f S c a t t e r e d F i e l d . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 R A D A R T A R G E T D I S C R I M I N A T I O N A N D I D E N T I F I C A T I O N S C H E M E S . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 . 2 P o l a r i z a t i o n T e c h n i q u e s . . . . . . . . . . . . 1 5 3 . 3 F r r e q u e n c y R e s p o n s e T e c h n i q u e s . . . . . . . . . 1 7 3 . 3 . M u l t i p l e F r e q u e n c y M e a s u r e m e n t s . . . . 1 8 3 . 3 . 2 R a m p R e s p o n s e I m a g i n g . . . . . . . . . 2 0 3 . 3 . 3 N a t u r a l R e s o n a n c e B a s e d R a m p R e s p o n s e . . . . . . . . . . . . . 2 1 3 . 3 . 4 N a t u r a l F r e q u e n c y C o m p a r i s o n . . . . . . 2 4 3 . 3 . 5 T h e K - p u l s e . . . . . . . . . . . . . . 2 6 4 T H E E X T I N C T I O N P U L S E . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4 . 2 T r a n s m i t D o m a i n D i s c r i m i n a t i o n . . . . . . . . 2 9 4 . 3 R e c e i v e D o m a i n D i s c r i m i n a t i o n . . . . . . . . . 3 1 4 . 4 E - p u l s e S y n t h e s i s . . . . . . . . . . . 3 4 4 . 4 . 1 T r a n s m i t D o m a i n P e r s p e c t i v e . . . . . . 3 5 4 . 4 2 R e c e i v e D o m a i n P e r s p e c t i v e . . . . . . . 3 6 4 . 4 . 3 E - p u l s e R e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . 3 8 4 . 4 . 4 F o r c e d a n d N a t u r a l E - p u l s e s . . . . . . 4 0 4 . 4 . 5 D C E - p u l s e . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 4 . 4 6 C o n v o l u t i o n a l E - p u l s e . . . . . . . 4 5 4 . 4 7 S i n g l e M o d e E x c i t a t i o n W a v e f o r m s . . . . 4 6 I U — I i ' U I U m w fi b L l i U U " t O — ‘ O ‘ O i N W ‘ ‘ O L ‘ I O U ‘ ‘ O ‘ O O N ‘ D C C ‘ O O \ C h a p t e r T A B L E O F C O N T E N T S c o n t i n u e d 4 . 5 E - p u l s e B a s i s S e t s . . . . . . 4 . 6 4 . 5 . 1 P o l y n o m i a l E - p u l s e D u r a t i o n . . . . . . . . . . . 4 . 6 . 3 E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t C a l c u l a t i o n A l g o r i t h m . 4 . 7 N o n l i n e a r E - p u l s e C a l c u l a t i o n E - P U L S E D I S C R I M I N A T I O N 5 . 6 I n t r o d u c t i o n . . T h e T h i n C y l i n d e r T a r g e t S a m p l e d P o i n t C o n v o l u t i o n . . Q u a n t i f y i n g E - p u l s e D i s c r i m i n a t i o n E x a m p l e s o f E - p u l s e D i s c r i m i n a t i o n . 5 . 5 . 1 E - p u l s e D i s c r i m i n a t i o n 5 . 5 . 2 S i n g l e M o d e D i s c r i m i n a t i o n E - p u l s e U n i q u e n e s s . E X T R A C T I O N O F N A T U R A L F R E Q U E N C I E S F R O M A M E A S U R E D R E S P O N S E . . . . . . . I n t r o d u c t i o n . P r o n y ' 5 M e t h o d L e a s t S q u a r e s C u r v e F i t t i n g L i n e a r / N o n l i n e a r I t e r a t i o n . . . . . T h e C o n t i n u a t i o n M e t h o d . E - p u l s e M e t h o d . L a t e - t i m e M i n i m i z a t i o n M e t h o d M o m e n t M e t h o d A p p r o a c h . C o m p a r i s o n o f t h e M e t h o d s T H I N W I R E E L L I P T I C A L L O O P S C A T T E R E R . . . . 7 . 7 . 7 . 7 . 1 2 3 4 I n t r o d u c t i o n . T h i n W i r e E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n . C i r c u l a r L o o p S c a t t e r e r . . . . . E l l i p t i c a l L o o p S c a t t e r e r I n t e g r a l E q u a t i o n v i 4 . 5 2 D a m p e d S i n u s o i d E - p u l s e 4 . 5 3 F o u r i e r C o s i n e E — p u l s e 4 . 5 4 P u l s e F u n c t i o n E - p u l s e 4 . 5 . 5 I m p u l s e F u n c t i o n E - p u l s e 4 . 5 . 6 E x a m p l e s o f E - - p u l s e W a v e f o r m s . T h e P u l s e F u n c t i o n E — p u l s e . . 4 . 6 1 E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t C a l c u l a t i o n . 4 . 6 2 N a t u r a l S i n e a n d C o s i n e E — m - p u l s e P a g e 5 5 5 6 5 9 6 1 6 3 6 9 7 1 9 2 9 3 1 1 5 1 1 7 1 2 5 1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 4 1 1 4 7 1 5 1 1 5 1 1 8 6 2 2 9 2 4 2 2 4 2 2 4 3 2 4 7 2 5 4 2 6 3 2 7 6 2 8 0 2 8 6 2 9 6 3 1 0 3 1 0 3 1 2 3 1 4 3 2 1 o o H o N o W o o D o - o o l o U C h a p t e r B I B L I O G R A P H Y 7 . 7 . 7 . 5 6 7 T A B L E O F C O N T E N T S c o n t i n u e d P a g e M o m e n t M e t h o d S o l u t i o n t o E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n . . . . . . . . . . . 3 2 7 A l t e r n a t i v e M o m e n t M e t h o d S o l u t i o n . . . . . . . 3 4 2 N u m e r i c a l R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 2 E X P E R I M E N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 4 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . 3 7 4 E x p e r i m e n t a l F a c i l i t y a n d M e a s u r e m e n t S y s t e m . . 3 7 5 D a t a A c q u i s i t i o n a n d P r o c e s s i n g P r o c e d u r e . . . 3 7 8 E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f S E M V a l i d i t y . . . 3 8 9 E x p e r i m e n t a l V e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e C o n c e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 1 C O N C L U S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 3 9 . 9 . 1 2 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 3 T o p i c s f o r F u t u r e S t u d y . . . . . . . . . . . . 4 4 6 . 4 4 9 v i i T a b l e 5 . 6 . 1 L I S T O F T A B L E S T h i n c y l i n d e r n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d a p p r o x i m a t i o n s . . . . . . . . . . P e r f o r m a n c e o f v a r i o u s n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n m e t h o d s i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e . . . . . . . . . . P e r f o r m a b c e o f v a r i o u s n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n m e t h o d s w h e n n u m b e r o f m o d e s i s u n d e r e s t i m a t e d . . . . . . . . . . . . E n t r i e s i n m o m e n t m e t h o d m a t r i x f o r e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . . . . . . . . A l t e r n a t i v e e n t r i e s i n m o m e n t m e t h o d m a t r i x f o r e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r F i r s t t e n T y p e I p o l e s o f a c i r c u l a r l o o p o f r a d i u s b a n d w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 b F i r s t f i v e T y p e I p o l e s o f c i r c u l a r l o o p f o u n d b y m o m e n t m e t h o d s o l u t i o n t o e l l i p t i c a l l o o p E F I E w i t h B / A = 1 , a / A = 0 . 0 1 , u s i n g 1 5 p a r t i t i o n s E x t r a c t e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s , a m p l i t u d e s , a n d p h a s e s f o r a c o m p o u n d w i r e t a r g e t a t v a r i o u s a s p e c t s v i i i P a g e 2 3 4 2 9 9 3 0 2 3 4 3 3 4 9 3 5 3 3 5 3 4 1 2 F i g u r e 2 . 2 . 1 4 . 4 . 4 . 1 4 . 5 . 4 . 1 4 . 5 . 6 . 1 4 . 5 . 6 . 2 4 . 5 . 6 . 3 4 . 5 . 6 . 4 4 . 5 . 6 . 5 4 . 5 . 6 . 6 L I S T O F F I G U R E S P a g e T r a n s i e n t e x c i t a t i o n o f a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s c a t t e r e r C O O C O I O I O O C O O C C I I O I O 6 D e c o m p o s i t i o n o f E - p u l s e w a v e f o r m i n t o f o r c i n g a n d e x t i n c t i o n c o m p o n e n t s . . . . . . . . . . . . 4 1 T y p i c a l p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e w a v e f o r m s , ( a ) U s i n g p u l s e s o f w i d t h A . ( b ) U s i n g p u l s e s o f w i d t h l e s s t h a n A . . . . . . . . . . . 6 5 N a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 N a t u r a l E - p u l s e s o f s e c o n d - s m a l l e s t d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 N a t u r a l D C E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 F o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n T = l . 8 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F g u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 F o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c . e . . s y n t h e s i z e d u 3 1 n g p u l s e a n d F o u r 1 e r c o s 1 n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 F o r c e d D C E - p u l s e s o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r 1 e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 i x F i g u r e 4 . 5 . 6 . 7 4 . 5 . 6 . 8 4 . 5 . 6 . 9 4 . 5 . 6 . 1 0 4 . 5 . 6 . 1 1 4 . 5 . 6 . 1 2 4 . 5 . 6 . 1 3 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d N a t u r a l s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . . . . . . . N a t u r a l s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N a t u r a l c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . N a t u r a l D C s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . N a t u r a l s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e t h i r d m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s o n e , t w o , a n d f o u r t h r o u g h t e n . . . . . . . . . N a t u r a l c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e t h i r d m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s o n e , t w o , a n d f o u r t h r o u g h t e n . . . . . . . . . F o r c e d s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . P a g e 8 0 8 1 8 2 8 3 8 5 8 6 8 7 7 C . . u p . " C d 4 . . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 4 4 . 5 . 6 . 1 5 4 . 5 . 6 . 1 6 4 . 5 . 6 . 1 7 4 . 7 . 1 4 . 7 . 2 4 . 7 . 3 4 . 7 . 4 4 . 7 . 5 . 4 . 7 . 6 4 . 7 . 7 4 . 7 . 8 5 . 2 . 1 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d F o r c e d s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c g s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e t h i r d m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s o n e , t w o , a n d f o u r t h r o u g h t e n . F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 0 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p o l y n o m i a l b a s i s s e t t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p o l y n o m i a l e b a s i s s e t t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T = 1 . 8 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p o l y n o m i a l e b a s i s s e t t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r T w o d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e . F r e e p a r a m e t e r s a r e p o s i t i o n a n d a m p l i t u d e o f s e c o n d i m p u l s e . T h r e e d e l a t f u n c t i o n E - p u l s e . F r e e p a r a m e t e r s a r e p o s i t i o n s o f s e c o n d a n d t h i r d i m p u l s e s G r a p h i c a l s o l u t i o n f o r i m p u l s e p o s i t i o n s T w o p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e . F r e e p a r a m e t e r s a r e p u l s e w i d t h s . . . . . C o n v e r g e n c e o f t h e E - p u l s e d u r a t i o n , a n d c o n v e r g e n c e o f t h e f i r s t p u l s e t o a n i m p u l s e T w o m o d e n a t u r a l E - p u l s e r e c o n s t r u c t e d v i a n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s . . . . . T w o m o d e E - p u l s e s y n t h e s i z e d v i a n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s . . . . . . . . . . T w o m o d e E - p u l s e s y n t h e s i z e d v i a n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s . . . . . . . . . . O r i e n t a t i o n f o r t h i n c y l i n d e r e x c i t a t i o n a n d f i r s t t e n n a t u r a l f r e q u e n c i e s x i P a g e 8 8 8 9 9 0 9 1 1 2 7 1 2 7 1 2 9 1 2 9 1 3 1 1 3 4 1 3 4 1 3 5 1 3 8 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d I m p u l s e o r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o r i e n t e d a t 6 = 6 O , c o n s t r u c t e d u s i n g f i r s t f i v e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . . . . . . . . . . N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r N a t u r a l D C E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e g o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = l . 8 L / c s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . S p e c t r a o f f o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c ( s o l i d l i n e ) a n d T = l . 8 L / c ( d o t t e d l i n e ? f o r o = - 0 . 2 6 0 1 c / L . . f . . . . . . . . . . . . . S p e c t r a o f n a t u r a l E — p u l s e ( d o t t e d l i n e ) a n d n a t u r a l D C E - p u l s e ( s o l i d l i n e ) f o r o = - O . 2 6 0 1 c / L C o n v o l u t i o n o f n a t u r a l E - p u l s e w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h i m p u l s e r e s p o n s e s o f c y l i n d e r s 5 % a n d 1 0 % l o n g e r C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T = 1 . 8 L / c w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r F i v e m o d e 6 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e w i t h 1 0 % r a n d o m n o i s e a d d e d . . . . . . . x i i P a g e 1 5 2 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 2 5 . 5 . 1 . 2 1 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d C o n v o l u t i o n o f n a t u r a l E - p u l s e w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . . . . . . . . . . . . C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 - 5 L / c w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t e d b y n a t u r a l E - p u l s e ( d o t t e d l i n e ) a n d f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c ( s o l i d l i n e ) D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t e d b y n a t u r a l D C E - p u l s e ( s o l i d l i n e ) a n d f o r c e d E — p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c ( d o t t e d l i n e ) D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f a f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 5 e x c i t e d b y n a t u r a l E - p u l s e ( d o t t e d l i n e ) a n d n a t u r a l D C E - p u l s e ( s o l i d l i n e ) D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f a f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 5 e x c i t e d b y f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = l . 8 L / c . . . . o . . . D 1 5 c r 1 m 1 n a t 1 o n a r e a o f 6 0 t h 1 n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 e x c i t e d b y n a t u r a l E - p u l s e ( c i r c l e s ) a n d n a t u r a l D C E - p u l s e ( c r o s s e s ) . D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 e x c i t e d b y f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " I d e a l " s p e c t r u m f o r E - p u l s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e f o u r t a r g e t m o d e s w h i c h h a v e e q u a l d a m p i n g c o e f f i c i e n t s . . x i i i P a g e 1 6 6 1 6 7 1 6 8 1 7 1 1 7 4 1 7 5 1 7 6 1 7 7 1 7 8 1 8 1 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 5 . 5 . 1 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 2 2 . 2 3 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g d a m p e d s i n u s o i d b a s i s f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r . S p e c t r u m o f o n e m o d e d a m p e d s i n u s o i d b a s e d E - p u l s e f o r o = - 0 . 2 6 0 l c / L . N a t u r a l s i n e ( d o t t e d l i n e ) a n d c o s i n e ( s o l i d l i n e ) f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s o f m i n i m u m d u r a t i o n f o r f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r N a t u r a l s i n e ( d o t t e d l i n e ) a n d c o s i n e ( s o l i d l i n e ) t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s o f m i n i m u m d u r a t i o n f o r f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r S p e c t r a o f f i r s t ( d o t t e d l i n e ) a n d t h i r d ( s o l i d l i n e ) m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t a t i o n s i g n a l s f o r o = - O . 2 6 0 1 c / L . . . . . C o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e s i n e a n d c g s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e 6 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . C o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e 6 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . . . . . . . . . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e x i v P a g e 1 8 3 1 8 4 1 8 7 1 8 8 1 8 9 1 9 1 1 9 2 1 9 4 1 9 5 1 9 6 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 9 5 . 5 . 2 . 1 0 5 . 5 . 2 . 1 1 5 . 5 . 2 . 1 2 5 . 5 . 2 . 1 3 5 . 5 . 2 . 1 4 5 . 5 . 2 . 1 5 5 . 5 . 2 . 1 6 5 . 5 . 2 . 1 7 5 . 5 . 2 . 1 8 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m O d e I O O C I O O O O O O O I O O O O I C 0 B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e f i r s t m o d e c o n v o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e t h i r d m o d e c o n v o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . C o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e i m p u l s e r e s p o n s e o f 6 0 0 t h i n c y l i n d e r w h i c h i s 1 0 % l o n g e r t h a n e x p e c t e d . . . . . . . . . . . C o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e i m p u l s e r e s p o n s e o f 6 0 0 t h i n c y l i n d e r w h i c h i s 1 0 % ~ l o n g e r t h a n e x p e c t e d . . . . . . . . . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e f i r s t m o d e , 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r c o n v o l u t i o n . . X V P a g e 1 9 7 2 0 0 2 0 1 2 0 3 2 0 4 2 0 6 2 0 7 2 0 8 2 0 9 2 1 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 9 5 . 5 . 2 . 2 0 5 . 5 . 2 . 2 1 5 . 5 . 2 . 2 2 5 . 5 . 2 . 2 3 5 . 5 . 2 . 2 4 5 . 5 . 2 . 2 5 5 . 5 . 2 . 2 6 5 . 5 . 2 . 2 7 5 . 5 . 2 . 2 8 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e t h i r d m o d e , 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r c o n v o l u t i o n . C o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e s i n e a n d c o s i n e e x g i t a t i o n s i g n a l s w i t h n o i s y f i v e m o d e 6 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . . C o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x g i t a t i o n s i g n a l s w i t h n o i s y f i v e m o d e 6 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e f i r s t m o d e , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e t h i r d m o d e , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n F o r c e d s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s o f d u r a t i o n T e = 2 . 0 n s s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e f u n c t i o n s ( d o t t e d l i n e ) a n d d a m p e d s i n u s o i d s ( s o l i d l i n e ) t o e x c i t e t h e s e c o n d m o d e o f t h e F - 1 8 a i r c r a f t m o d e l x v i P a g e 2 1 1 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 7 2 1 8 2 1 9 2 2 0 2 2 3 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 9 5 . 5 . 2 . 3 0 5 . 5 . 2 . 3 1 5 . 6 . 1 5 . 6 . 2 ' 5 . 6 . 3 6 . 4 . 2 6 . 5 . 1 6 . 5 . 2 6 . 5 . 3 6 . 5 . 4 6 . 5 . 5 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d S p e c t r a o f p u l s e f u n c t i o n ( d o t t e d l i n e ) a n d d a m p e d s i n u s o i d ( s o l i d l i n e ) F - 1 8 s e c o n d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s f o r o = - O . l 3 x 1 0 9 F o r c e d s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m o f d u r a t i o n T = 2 . 1 4 n s s y n t h e s i z e d u s i n g F o u r i e r c o s i n e b g s i s f u n c t i o n s t o e x c i t e t h e s e c o n d m o d e o f t h e F - 1 8 a i r c r a f t m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . S p e c t r u m o f F - 1 8 F o u r i e r c o s i n e s e c o n d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l a t o = - O . l 3 x 1 0 9 . . . . N a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e 3 , 5 , 7 , a n d 1 0 m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . . . . . . . . . . . . . . . N a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g F o u r i e r c o s i n e b a s i s f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e t h e f i r s t 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , a n d 1 0 m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r T h i n c y l i n d e r n a t u r a l f r e q u e n c y b e h a v i o r C o n v e r g e n c e o f t h e l i n e a r / n o n l i n e a r i t e r a t i o n m e t h o d . . . . . . . . . . . T y p i c a l p a t h f o r c o n t i n u a t i o n m e t h o d i n ( § , T ) s p a c e . . . . . . . . . . . . . . . T y p i c a l s u c c e s s i o n o f p r e d i c t i o n s a n d c o r r e c t i o n s i n c o n t i n u a t i o n m e t h o d S t r u c t u r e d f l o w c h a r t f o r c o n t i n u a t i o n m e t h o d 0 O O O O O O O O C O O I 0 E x a m p l e s o l u t i o n u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h O d O O O O O O O O O O O O O O O O 0 E x a m p l e s o l u t i o n u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d w i t h m o d i f i e d p e n a l t y t e r m . x v i i P a g e 2 2 5 2 2 7 2 2 8 2 3 0 2 3 1 2 3 5 2 6 2 2 6 7 2 6 7 2 7 0 2 7 2 2 7 5 F i g u r e 6 . 9 . 1 6 . 9 . 2 6 . 9 . 3 6 . 9 . 4 7 . 3 . 1 7 . 4 . 1 7 . 5 . 1 7 . 7 . 1 7 . 7 . 2 7 . 7 . 3 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d I m p u l s e r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o r i e n t e d a t 6 : 3 0 0 , c o n s t r u c t e d u s i n g f i r s t e i g h t n a t u r a l m o d e s . . . . E i g h t m o d e 3 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e w i t h 1 0 % r a n d o m n o i s e a d d e d N a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e u s i n g P r o n y ' s m e t h o d w i t h e i g h t m o d e s a s s u m e d ( A ) a n d s i x t e e n m o d e s a s s u m e d ( + ) . C i r c l e s r e p r e s e n t f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t n o i s e f r e e i m p u l s e r e s p o n s e . . . . . . . . . N a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e u s i n g c o n t i n u a t i o n m e t h o d w i t h e i g h t m o d e s a s s u m e d ( X ) . C i r c l e s r e p r e s e n t f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t n o i s e f r e e i m p u l s e r e s p o n s e . . . . . . G e o m e t r y o f t h i n w i r e c i r c u l a r l o o p s c a t t e r e r o o o o o o o o o o o o o o o o 0 G e o m e t r y o f t h i n w i r e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . . . . . . . S y m m e t r y c a s e s f o r c u r r e n t o n e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . . . . . . . . . . . F i r s t t e n T y p e I n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a c i r c u l a r l o o p o f r a d i u s b a n d w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 b C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 1 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . . . . . . . . . . . . . C a s e 3 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 4 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 2 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . . . . . . . . . . . . . x v i i i P a g e 3 0 5 3 0 6 3 0 7 3 0 8 3 1 5 3 2 2 3 2 8 3 5 4 3 5 7 3 5 8 F i g u r e 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 4 . 1 0 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 l A a r i s i n g f r o m n = 3 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t C a s e 3 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 4 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 l A a r i s i n g f r o m n = 4 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . . . . . . C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 l A a r i s i n g f r o m n = 5 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . . . . . . . . . . . . . . . . . R e a l p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = 0 . 4 , f o r c a s e 3 ( s o l i d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 2 c i r c u l a r m o d e I m a g i n a r y p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 3 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 4 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 2 c i r c u l a r m o d e . A m p l i t u d e i s s c a l e d r e l a t i v e t o r e a l p a r t R e a l p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 3 c i r c u l a r m o d e . . . . . . . . . . I m a g i n a r y p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 3 c i r c u l a r m o d e . A m p l i t u d e i s s c a l e d r e l a t i v e t o r e a l p a r t x i x P a g e 3 5 9 3 6 0 3 6 1 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 F i g u r e 7 . 7 . 1 1 7 . 7 . 1 2 7 . 7 . 1 3 7 . 7 . 1 4 7 . 7 . 1 5 8 . 3 . 1 8 . 4 . 1 8 . 4 . 2 8 . 4 . 3 8 . 4 . 4 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 l A a r i s i n g f r o m f i r s t l a y e r T y p e I I n = 1 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . . . . . . . . . . R e a l p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m f i r s t l a y e r T y p e I I n = 1 c i r c u l a r m o d e . I m a g i n a r y p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m f i r s t l a y e r T y p e I I n = 1 c i r c u l a r m o d e . A m p l i t u d e i s s c a l e d r e l a t i v e t o r e a l p a r t . N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e T y p e I m o d e s o f t h e c i r c u l a r l o o p s c a t t e r e r N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e t e n m o d e s o f t h e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r a r i s i n g f r o m t h e f i r s t f i v e T y p e I c i r c u l a r m o d e s , f o r B / A = O . 4 . . T y p i c a l t a r g e t a n d r e f e r e n c e t r a c e s o n C R T o f o s c i l l o s c o p e . . . . . . . . . M e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 6 . 2 5 i n c h e s p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . O n e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d 6 . 2 5 " t h i n c y l i n d e r s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e . . . . . . . M e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 8 . 2 5 i n c h e s p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . . . . . . F o u r t i e r s p e c t r u m o f 1 8 % " t h i n c y l i n d e r m e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e , o b t a i n e d V i a F F T 0 O O O O O O O O O O O O O O 0 x x P a g e 3 6 9 3 7 0 3 7 1 3 7 2 3 7 3 3 8 0 3 9 1 3 9 2 3 9 4 3 9 5 F i g u r e 8 . 4 . 6 8 . 4 . 7 8 . 4 . 8 8 . 4 . 9 8 . 4 . 1 0 8 . 4 . 1 1 8 . 4 . 1 2 8 . 4 . 1 3 8 . 4 . 1 4 8 . 4 . 1 5 8 . 4 . 1 6 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d P a g e F o u r m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 8 % " t h i n c y l i n d e r s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e . . . . . . . . . . . . 3 9 7 M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 6 . 2 5 i n c h e s p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . . . . . . . 3 9 9 T w o m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 6 % " t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 0 M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 2 . 5 i n c h e s r a i s e d 5 . 2 5 i n c h e s a b o v e t h e g r o u n d s c r e e n a n d i n c l i n e d a t 4 5 0 t o w a r d t h e t r a n s m i t t i n g a n t e n n a . . . . . . 4 0 2 F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 3 T h r e e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 4 M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 2 . 5 i n c h e s r a i s e d 5 . 2 5 i n c h e s a b o v e t h e g r o u n d s c r e e n , i n c l i n e d a t 4 5 0 a n d r o t a t e d b y 4 5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 5 F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d a n d r o t a t e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . . . . . . . . . . . 4 0 6 F i v e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d a n d r o t a t e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . . . . . . . 4 0 7 L a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d c o m p u n d w i r e t a r g e t s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e f o r 6 = 0 ° , a n d f o u r m o d e b e s t f i t . . . . . . . . 4 0 9 F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d c o m p o u n d w i r e t a r g e t s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 0 x x i F i g u r e 8 . 5 . 1 8 . 5 . 2 8 . 5 . 3 8 . 5 . 4 8 . 5 . 5 8 . 5 . 6 8 . 5 . 7 8 . 5 . 8 8 . 5 . 9 8 . 5 . 1 0 8 . 5 . 1 1 8 . 5 . 1 2 8 . 5 . 1 3 8 . 5 . 1 4 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a B o e i n g 7 0 7 a i r c r a f t s c a l e m o d e l , a n d s e v e n d o m i n a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s . . M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a M c D o n n e l D o u g l a s F - 1 8 a i r c r a f t s c a l e m o d e l , a n d f i v e d o m i n a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s . F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d 7 0 7 s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . . . S e v e n m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 7 0 7 s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e F i v e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d F - 1 8 s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e s e v e n d o m i n a n t m o d e s o f t h e m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i v e d o m i n a n t m o d e s o f t h e m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e C o n v o l u t i o n o f 7 0 7 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . C o n v o l u t i o n o f F - 1 8 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . . . . . . C o n v o l u t i o n o f 7 0 7 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . . . . . . . . . C o n v o l u t i o n o f F - 1 8 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . . . . . . . C o n v o l u t i o n o f F - l 8 c o s i n e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l w i t h m e a s u r e d F - l 8 r e s p o n s e R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . . . . . . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . . . . . . . x x i i P a g e 4 1 3 4 1 4 4 1 6 4 1 7 4 1 8 4 1 9 4 2 0 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 6 4 2 7 4 2 8 F i g u r e 8 . 5 . 1 5 8 . 5 . 1 6 8 . 5 . 1 7 8 . 5 . 1 8 8 . 5 . 1 9 8 . 5 . 2 0 8 . 5 . 2 1 8 . 5 . 2 2 8 . 5 . 2 3 8 . 5 . 2 4 8 . 5 . 2 5 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . ‘ . . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . . . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n t h i r d m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . . . . . . . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . x x i i i o f o f o f o f o f P a g e 4 2 9 4 3 0 4 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 3 7 4 3 8 4 3 9 F i g u r e 8 . 5 . 2 6 8 . 5 . 2 7 8 . 5 . 2 8 L I S T O F F I G U R E S c o n t i n u e d D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . . . . . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . . . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e F - l 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . . . . . . . x x i v P a g e 4 4 0 4 4 1 4 4 2 C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N T h e t o p i c s o f r a d a r t a r g e t i d e n t i f i c a t i o n a n d d i s c r i m i n a t i o n h a v e g a i n e d i n c r e a s i n g i n t e r e s t i n r e c e n t y e a r s . R e c o n s t r u c t i n g t h e g e o m e t r y a n d c o m p o s i t i o n o f a c o n d u c t i n g t a r g e t b a s e d u p o n a m e a s u r e - m e n t o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s c a t t e r e d f r o m i t s s u r f a c e i s k n o w n a s t h e " i n v e r s e s c a t t e r i n g " p r o b l e m . S i n c e t h e t r u e i n v e r s e p r o b l e m i s e x t r e m e l y d i f f i c u l t t o s o l v e , t h e m o s t p r o m i s i n g d i s c r i m i n a t i o n t e c h n i q u e s h a v e c o n c e n t r a t e d o n e x t r a c t i n g s i m p l e u n i q u e t a r g e t f e a t u r e s f r o m t h e s c a t t e r e d f i e l d . T h i s t h e s i s p r e s e n t s a d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e c a l l e d t h e " E x t i n c t i o n - p u l s e ” o r " E - p u l s e " t e c h n i q u e , w h i c h u t i l i z e s u n i q u e f e a t u r e s i n t h e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a r a d a r t a r g e t . ° I t h a s b e e n h y p o t h e s i z e d t h a t t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a c o n d u c t i n g r a d a r t a r g e t i s c o m p o s e d e n t i r e l y o f d a m p e d s i n u s o i d s , o s c i l l a t i n g a t f r e q u e n c i e s w h i c h a r e f u n c t i o n s o n l y o f t a r g e t g e o m e t r y , a n d n o t t a r g e t a s p e c t . T h e s e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o m p r i s e a s e t o f f e a t u r e s w h i c h u n i q u e l y d e t e r m i n e t h e t a r g e t . A n E - p u l s e i s a s p e c i a l a s p e c t i n d e p e n d e n t , f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m c o n s t r u c t e d i n s u c h a w a y t h a t , u p o n i n t e r a c t i o n w i t h a c e r t a i n t a r g e t , r e s u l t s i n a s c a t t e r e d f i e l d w h i c h c o n t a i n s o n l y a p r e - s p e c i f i e d c o m p o n e n t o f t h e t a r g e t ' s n a t u r a l m o d e s p e c t r u m . I n p a r t i c u l a r , t h e E — p u l s e c a n b e c o n s t r u c t e d t o r e s u l t i n a n u l l s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m b y e l i m i n a t i n g t h e e n t i r e d e x c i t e d p o r t i o n o f t h e t a r g e t ' s n a t u r a l m o d e s p e c t r u m . T h e u s e f u l n e s s o f t h e E — p u l s e t e c h n i q u e i s f o u n d e d o n t h e p r o p e r t y t h a t t h e w a v e f o r m n e e d n o t a c t u a l l y b e t r a n s m i t t e d . I t i s e a s i l y s h o w n t h a t t h e c o n v o l u t i o n o f t h e E — p u l s e w a v e f o r m a n d t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f t h e t a r g e t g i v e s r e s u l t s c o m p l e t e l y a n a l o g o u s t o t r a n s m i t t i n g t h e E - p u l s e d i r e c t l y . T h i s i s i m p o r t a n t , s i n c e i t a l l o w s t h e u s e o f a n y c o n v e n i e n t i n t e r r o g a t i o n w a v e f o r m , a s l o n g a s i t h a s s u f f i c i e n t f r e q u e n c y c o n t e n t t o e x c i t e t h e d e s i r e d n a t u r a l m o d e s . T h i s t h e s i s c o v e r s a w i d e v a r i e t y o f t o p i c s p e r t i n e n t t o t h e E - p u l s e t e c h n i q u e . C h a p t e r 2 g i v e s a r e v i e w o f t h e s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n m e t h o d ( S E M ) , w h i c h p r o v i d e s a n a n a l y t i c a l m e t h o d o f e x p l o i t i n g t h e n a t u r a l r e s o n a n c e d e s c r i p t i o n o f t h e r e s p o n s e o f a c o n d u c t i n g t a r g e t . C h a p t e r 3 p r e s e n t s a b r i e f o v e r v i e w o f s o m e o f t h e m o r e r e l e v a n t t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e s d e v e l o p e d b y o t h e r w o r k e r s , a n d s h o w s t h e a d d i t i o n a l n e e d f o r t h e E - p u l s e t e c h n i q u e . T h e E - p u l s e c o n c e p t i s i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 4 , a n d e x p a n d e d u p o n i n g r e a t d e t a i l . M a t e r i a l i n t h i s c h a p t e r i n c l u d e s m e t h o d s o f E - p u l s e s y n t h e s i s a n d i n t e r p r e t a t i o n . C h a p t e r 5 p r e s e n t s a n u m e r i c a l v e r i f i c a t i o n o f t h e E — p u l s e c o n c e p t , a n d p r o v i d e s e x a m p l e s o f d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n d i f f e r i n g t h i n c y l i n d e r t a r g e t s . C h a p t e r 6 p r e s e n t s m e t h o d s f o r e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f c o n d u c t i n g t a r g e t s f r o m m e a s u r e m e n t s o f t h e i r t i m e d o m a i n r e s p o n s e s . T h i s i s a n i m p o r t a n t t o p i c , s i n c e t h e n a t u r a l ' f r e q u e n c i e s o f p r a c t i c a l t a r g e t s w i l l n o t b e a v a i l a b l e f r o m t h e o r e t i c a l a n a l y s e s . C h a p t e r 7 g i v e s a n e l e c t r o m a g n e t i c a n a l y s i s o f a p a r t i c u l a r s c a t t e r e r - - a t h i n w i r e s h a p e d i n t o a n e l l i p t i c a l l o o p . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i s t a r g e t a r e o b t a i n e d u s i n g t h e s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n m e t h o d i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 2 , a n d E - p u l s e s a r e c o n s t r u c t e d f o r t h e i r e l i m i n a t i o n . L a s t l y , c h a p t e r 8 i n t r o d u c e s e x p e r i m e n t a l v a l i d a t i o n o f b o t h t h e n a t u r a l r e s o n a n c e e x p a n s i o n o f t h e f i e l d s c a t t e r e d b y a c o n d u c t i n g t a r g e t , a n d o f t h e E - p u l s e c o n c e p t i t s e l f . V e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t i s p r o v i d e d u s i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d m e a s u r e m e n t s o f s c a l e a i r c r a f t m o d e l s . C H A P T E R 2 T H E S I N G U L A R I T Y E X P A N S I O N M E T H O D 2 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n m e t h o d ( S E M ) i s a n a n a l y t i c a l t e c h n i q u e f i r s t f o r m a l i z e d b y C . E . B a u m i n t h e e a r l y 1 9 7 0 ' s f o r a n a l y z i n g t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e o f a n t e n n a s a n d s c a t t e r e r s t o c o m p l i c a t e d t i m e v a r y i n g e x c i t a t i o n s [ 1 ] . I t s b a s i s i s f o u n d e d o n t h e r e s u l t s o f m a n y e x p e r i m e n t s a n d t h e o r e t i c a l a n a l y s e s ( s e e [ 2 ] , [ 3 ] , o r [ 4 ] f o r e x a m p l e ) w h i c h r e v e a l e d t h a t t h e t i m e d o m a i n r e s p o n s e o f s u c h o b j e c t s i s d o m i n a t e d i n t h e l a t e - t i m e p e r i o d ( i . e . a f t e r t h e e x c i t a t i o n h a s b e e n r e m o v e d ) b y a s u m o f e x p o n e n t i a l l y d a m p e d s i n u s o i d a l f u n c t i o n s . T h e f r e q u e n c i e s o f t h e s e o s c i l l a t i o n s w e r e s e e n t o b e d e p e n d e n t o n l y u p o n t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e o b j e c t s - - g e o m e t r y , f o r p e r f e c t l y c o n d u c t i n g b o d i e s - - a n d n o t u p o n t h e p a r t i c u l a r f o r m o f e x c i t a t i o n . L a t e r d e v e l o p m e n t s i n t h e f i e l d o f S E M h a v e i n g e n e r a l t a k e n o n e o f t w o p a t h s . M a n y r e s e a r c h e r s h a v e a t t e m p t e d t o i n v e s t i g a t e t h e t h e o r e t i c a l i m p l i c a t i o n s o f t h e m e t h o d [ S J - [ 1 3 ] , i n c l u d i n g t h e p r o p e r e x p a n s i o n o f t h e e a r l y a n d l a t e - t i m e r e s p o n s e s , w h i l e o t h e r s h a v e e m p l o y e d t h e m e t h o d f o r t h e a n a l y s i s o f p a r t i c u l a r e l e c t r o m a g n e t i c p r o b l e m s [ 1 4 1 - [ 1 7 ] . T h i s c h a p t e r w i l l p r e s e n t a s h o r t t h e o r e t i c a l o v e r v i e w o f t h e S E M t e c h n i q u e t h e r e s u l t s o f w h i c h f o r m t h e b a s i s f o r a r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n m e t h o d w h i c h i s i n v e s t i g a t e d e x t e n s i v e l y i n l a t e r c h a p t e r s . A n e l e c t r o m a g n e t i c a n a l y s i s o f a p a r t i c u l a r s c a t t e r e r ( a t h i n w i r e e l l i p t i c a l l y s h a p e d l o o p ) w i l l b e c o n d u c t e d i n c h a p t e r s e v e n u s i n g t h e t h e o r y d e v e l o p e d i n t h i s c h a p t e r . 2 . 2 S E M R e p r e s e n t a t i o n o f S c a t t e r e d F i e l d T h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s c a t t e r e d b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g t a r g e t r e s u l t s f r o m t h e s u r f a c e c u r r e n t a n d c h a r g e i n d u c e d b y t h e e x c i t a t i o n f i e l d , a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 2 . 1 . E x p e r i m e n t a l e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t t h e s u r f a c e c u r r e n t c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e l a t e - t i m e p e r i o d b y a s u m o f n a t u r a l m o d e d a m p e d s i n u s o i d a l f u n c t i o n s 2 + + + + g t K ( r , t ) = “ £ 1 A n K n ( r ) e n c o s ( w n t + ¢ n ) ( 2 . 2 . 1 ) H e r e R n ( f ) i s t h e s p a t i a l c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o f t h e n ' t h n a t u r a l o s c i l l a t i o n m o d e , A n a n d ¢ n a r e t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f t h e n ' t h m o d e , a n d S D = o n + j w n i s t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e n ' t h m o d e . W h e r e a s t h e p h a s e a n d a m p l i t u d e a r e d i r e c t l y d e p e n d e n t u p o n t h e f o r m o f e x c i t a t i o n ( e . g . t a r g e t a s p e c t ) , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a n y p a r t i c u l a r c o n d u c t i n g t a r g e t a r e d e t e r m i n e d b y t h e o b j e c t ' s g e o m e t r y o n l y . C a l c u l a t i o n o f t h e t r a n s i e n t s c a t t e r e d f i e l d m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t a n d c h a r g e i s s i m p l i f i e d g r e a t l y b y u s i n g a t r a n s f o r m d o m a i n a n a l y s i s . T h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f a f u n c t i o n f ( t ) i s d e f i n e d a s [ 1 8 ] o S ( ? . t ) c o n d u c t i n g t a r g e t E i ( ? , t ) F i g u r e 2 . 2 . 1 . T r a n s i e n t e x c i t a t i o n o f a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s c a t t e r e r . F ( s ) = L { f ( t ) } = f : f ( t ) e - S t d t ( 2 . 2 . 2 ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g i n v e r s e t r a n s f o r m i s f ( t ) = L - 1 { F ( s ) } = 5 % 3 - f F ( s ) e S t d s ( 2 . 2 . 3 ) B r w h e r e t h e i n v e r s i o n i n t e g r a l i s p e r f o r m e d o v e r t h e B r o m w i c h c o n t o u r , a n d f ( t ) i s t a k e n t o b e a t i m e c a u s a l f u n c t i o n . S u b s t i t u t i n g t h e t i m e d o m a i n f o r m o f t h e s u r f a c e c u r r e n t ( 2 . 2 . 1 ) i n t o ( 2 . 2 . 2 ) r e s u l t s i n t h e t r a n s f o r m d o m a i n f o r m o f t h e s u r f a c e c u r r e n t + + 2 N + + _ 1 K ( r , s ) = Z a ( s ) K ( r ) ( s - s ) ( 2 . 2 . 4 ) n = 1 n n n T h u s , t h e l a t e - t i m e s u r f a c e c u r r e n t i s a s u m o f s i m p l e p o l e s i n g u l a r i t i e s i n t h e c o m p l e x f r e q u e n c y p l a n e . F o r r e a l c o n d u c t i n g t a r g e t s t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o c c u r i n N c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s , a n d i t i s e a s i l y s e e n t h a t a p p l i c a t i o n o f t h e i n v e r s e t r a n s f o r m ( 2 . 2 . 3 ) a n d C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m r e t u r n s ( 2 . 2 . 4 ) t o t h e t i m e d o m a i n f o r m ( 2 . 2 . 1 ) . T h e a m p l i t u d e a n d p h a s e i n f o r m a t i o n o f t h e n ' t h m o d e i s c o n t a i n e d i n t h e a s p e c t d e p e n d e n t " c o u p l i n g c o e f f i c i e n t " a n ( s ) . T h e f u n d a m e n t a l a s s u m p t i o n o f S E M a n a l y s i s i s t h a t ( 2 . 2 . 4 ) i s a v a l i d t r a n s f o r m d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s u r f a c e c u r r e n t d u r i n g t h e l a t e - t i m e . T h a t i s , t h e r e e x i s t n o c o n t r i b u t i o n s d u e t o h i g h e r o r d e r p o l e s , e s s e n t i a l s i n g u l a r i t i e s , e n t i r e f u n c t i o n s , e t c . I t i s i m p o r t a n t t o s t r e s s , t h o u g h , t h a t t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d i n t h e 8 l a t e - t i m e o n l y . C o n s e n s u s h o l d s t h a t a s i m p l e p o l e s e r i e s a l o n e i s n o t a s u f f i c i e n t r e p r e s e n t a t i o n d u r i n g t h e e a r l y - t i m e p e r i o d ( w h e n t h e e x c i t a t i o n f i e l d i s i n t e r a c t i n g w i t h t h e t a r g e t ) , a n d a n e n t i r e f u n c t i o n m u s t a l s o b e i n c l u d e d ( s e e [ 9 ] o r [ I Q f o r e x a m p l e . ) U s i n g r e t a r d e d p o t e n t i a l t h e o r y , t h e s c a t t e r e d e l e c t r i c f i e l d c a n b e w r i t t e n a s ( 2 . 2 . 5 ) w h e r e t h e s c a l a r p o t e n t i a l i s g i v e n i n t e r m s o f e l e c t r i c s u r f a c e c h a r g e + d e n s i t y p 8 ( r , t ) a s o s ( ? , t ) = d S ' ( 2 . 2 . 6 ) 1 p s ( ? ' s t " R / C ) l , R 4 n e o a n d t h e v e c t o r p o t e n t i a l i s g i v e n i n t e r m s o f s u r f a c e c u r r e n t d e n s i t y R ( ? , t ) a s S ( i t ) = u + + ' - ' — - 9 - J K “ ’ t R “ ) d S ' ( 2 . 2 . 7 ) S a 4 n I n v o k i n g t h e L a p l a c e t r a n s f o r m ( 2 . 2 . 2 ) a n d e m p l o y i n g t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n r e s u l t s i n t h e t r a n s f o r m d o m a i n e x p r e s s i o n f o r t h e s c a t t e r e d e l e c t r i c f i e l d m a i n t a i n e d b y t h e i n d u c e d s u r f a c e c u r r e n t - ‘ Y R $ 5 3 6 . 3 ) = « L ! [ v " . ' 1 € ( ? : s ) v - # 1 5 6 3 3 ) ] 9 — — d S ' ( 2 . 2 . 8 ) 3 6 0 S R + + w h e r e R = I r — r ' l a n d y = s / c , c b e i n g t h e s p e e d o f l i g h t i n f r e e s p a c e . A t t h i s p o i n t i t b e c o m e s c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e t h e G r e e n ' s d y a d i c n o t a t i o n . D e n o t i n g t h e e l e c t r i c G r e e n ' s d y a d i c f u n c t i o n a s E ( ? | ? ' ; s ) = ( I - V V ) G ( ? | ¥ ' ; S ) ( 2 . 2 . 9 ) w h e r e _ - Y R R C ( F I F ' ; s ) = ( 2 . 2 . 1 0 ) W i t h t h i s n o t a t i o n a n d u s i n g ( 2 . 2 . 4 ) t o r e p r e s e n t s u r f a c e c u r r e n t , t h e S E M t r a n s f o r m d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s c a t t e r e d f i e l d c a n b e w r i t t e n a s + 3 + 2 N + - + - + - > E ( r , s ) = - s u 0 Z a n n ( s ) ( s - s ) I F S ( r l r ' ; s ) ° K ( r ' ) d S ' ( 2 . 2 . 1 1 ) F i n a l l y , u s i n g ( 2 . 2 . 3 ) t o i n v e r t ( 2 . 2 . 1 1 ) t h e S E M t i m e d o m a i n r e p r e - s e n t a t i o n o f t h e s c a t t e r e d e l e c t r i c f i e l d i s g i v e n b y 2 N E S ( ? , c ) = - u o Z s n a n ( s n ) e S n t f é e ( r l r ' ; s n ) K n ( r ) d S ' ( 2 . 2 . 1 2 ) n = 1 1 0 2 . 3 I n t e g r a l E q u a t i o n f o r S u r f a c e C u r r e n t B e f o r e e q u a t i o n ( 2 . 2 . 1 2 ) c a n b e e m p l o y e d t o c a l c u l a t e t h e s c a t t e r e d e l e c t r i c f i e l d , t h e s u r f a c e c u r r e n t e s t a b l i s h e d b y t h e e x c i t a t i o n f i e l d m u s t b e d e t e r m i n e d . T h i s r e q u i r e s t h e c a l c u l a t i o n o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s , a n d m o d a l c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s , a l l o f w h i c h a r e i n c l u d e d i n t h e c u r r e n t r e p r e s e n t a t i o n ( 2 . 2 . 4 ) . A s s t r e s s e d e a r l i e r , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d m o d a l c u r r e n t s a r e d e t e r m i n e d f r o m s o l u t i o n s t o t h e u n f o r c e d p r o b l e m , a n d a r e f u n c t i o n s o f t a r g e t g e o m e t r y o n l y . H o w e v e r , t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a r e s t r o n g f u n c t i o n s o f t a r g e t e x c i t a t i o n a n d c o n t a i n a l l t h e i n f o r - m a t i o n r e g a r d i n g t a r g e t a s p e c t . T h e s u r f a c e c u r r e n t i s c a l c u l a t e d t h r o u g h t h e s o l u t i o n t o a n e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( E F I E ) . T h i s i n t e g r a l e q u a t i o n i s f o r m u l a t e d b y e m p l o y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r t h e e l e c t r i c f i e l d o n t h e s u r f a c e o f t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s c a t t e r ( f , s ) = - c - E S ( ? , s ) ( 2 . 3 . 1 ) w h e r e E 1 ( f , s ) i s t h e e x c i t a t i o n f i e l d i n c i d e n t u p o n t h e s c a t t e r e r a n d A t i s t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r . W r i t i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d a s i n ( 2 . 2 . 1 1 ) y i e l d s t h e E F I E N 2 + + + + . n E l a n “ ) ( s - s n ) - 1 £ t ' G é ( r | r ' ; s ) - K n ( r ' ) d S ' = — — £ L £ £ 4 § 2 - ( 2 . 3 . 2 ) w h i c h m u s t h o l d f o r a l l p o i n t s o n t h e s u r f a c e o f t h e s c a t t e r : ; e S . 1 1 W h e n t h e e x c i t a t i o n f i e l d i s z e r o , t h e o n l y p o s s i b l e s o l u t i o n s t o t h e r e s u l t i n g h o m o g e n e o u s e q u a t i o n r e p r e s e n t t h e n a t u r a l o s c i l l a t i o n m o d e s o f t h e t a r g e t ( i . e . t h e r e a r e s o l u t i o n s t o t h e h o m o g e n e o u s E F I E o n l y a t d i s c r e t e f r e q u e n c i e s S = S n ' ) T h u s , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d t h e n a t u r a l m o d e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s a r e d e t e r m i n e d b y s o l v i n g f t E e ( ¥ | ¥ ' ; s ) - E n ( ? ' ) d s ' = o f o r a l l P a s ( 2 . 3 . 3 ) 8 T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e E F I E ( 2 . 3 . 2 ) " + + + + b y r e p l a c i n g t h e t a n g e n t i a l u n i t v e c t o r t w i t h d e K m ( r ) , w h e r e K m ( r ) S i s t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o f t h e m ' t h m o d e . E m p l o y i n g t h e r e c i p r o c a l i t y o f t h e G r e e n ' s d y a d i c i n f a n d f ' , t a k i n g t h e l i m i t a s 5 n + 5 m a n d u s i n g l ' H 6 p i t a 1 ' s r u l e a n d ( 2 . 3 . 3 ) r e s u l t s i n = 1 + 1 + ' . - + + ' ' a m ( s m ) E ; ; fi ; ; ; g E ( r , s m ) K m ( r ) d S ( 2 . 3 . 4 ) w h e r e c m i s a n o r m a l i z a t i o n c o e f f i c i e n t g i v e n b y + + 3 5 ( ? | ? ' ; s ) + + c m = d e K m ( r ) - J - 9 ' K m ( r ' ) d S ' ( 2 . 3 . 5 ) a s S S s - s m T h i s i s t h e s o - c a l l e d " c l a s s - 1 " c o u p l i n g c o e f f i c i e n t o f B a u m [ 8 ] , w h i c h i s a p p l i c a b l e t o l a t e - t i m e o n l y , a n d i s u s e d i n t h e t i m e d o m a i n S E M r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s c a t t e r e d f i e l d ( 2 . 4 . 3 ) . R e p l a c i n g s m b y 3 y i e l d s t h e m o r e c o n t r o v e r s i a l " c l a s s - 2 " c o e f f i c i e n t 1 2 a m ( s ) = s n i c m g E i ( ? ' , s ) - E m ( ? ' ) d s ' ( 2 . 3 . 6 ) w h i c h i s t h e l a t e - t i m e f r e q u e n c y d o m a i n e q u i v e l a n t t o t h e c l a s s - 1 c o e f f i c i e n t ; t h a t i s , i t s u s e i n ( 2 . 2 . 1 1 ) a l o n g w i t h C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m m e r e l y r e s u l t s i n t h e i d e n t i c a l c l a s s - 1 a n ( s n ) o f e q u a t i o n ( 2 . 2 . 1 2 ) . H o w e v e r , t h e c l a s s - 2 c o e f f i c i e n t i s c o n j e c t u r e d t o a p p l y t o e a r l y - t i m e a s w e l l [ 8 ] . I n t h i s c a s e , a n ( s ) m u s t b e c a l c u l a t e d e x p l i c i t l y , a n d a m o r e r i g o r o u s i n v e r s i o n o f ( 2 . 2 . 1 1 ) e m p l o y e d . 2 . 4 T i m e D o m a i n R e p r e s e n t a t i o n o f S c a t t e r e d F i e l d F o r t h e c a s e o f r a d a r i l l u m i n a t i o n , i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h e t a r g e t i s i n t h e f a r f i e l d r e g i o n o f t h e t r a n s m i t t i n g a n t e n n a . T h u s , t h e i n c i d e n t e l e c t r i c f i e l d i s a c o m p o n e n t o f a p l a n e w a v e f r o n t , o r . t ) = p E O e ( t - r / c ) ( 2 . 4 . 1 ) w h e r e p d e t e r m i n e s t h e p o l a r i z a t i o n o f t h e e l e c t r i c f i e l d , a n d e ( t ) d e s c r i b e s t h e t e m p o r a l v a r i a t i o n o f t h e f i e l d . T r a n s f o r m i n g t h i s t o t h e f r e q u e n c y d o m a i n v i a ( 2 . 2 . 2 ) y i e l d s E i ( ? , s ) = p E O E ( s ) e - Y r ( 2 4 . 2 ) w h e r e E ( s ) i s t h e t r a n s f o r m o f e ( t ) . S u b s t i t u t i n g ( 2 . 4 . 2 ) i n t o t h e c l a s s — 1 c o u p l i n g c o e f f i c i e n t ( 2 . 3 . 4 ) a n d t h a t r e s u l t i n t o ( 2 . 2 . 1 2 ) g i v e s t h e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d r e p r e s e n t a t i o n 1 3 + 8 + 2 N E ( S n ) s t - r . + + E ( r , t ) = - E 0 2 e n [ f e Y p ' K ( r ) d S ] x n = 1 C n s n x 1 £ 5 e ( ? | ? ' ; s n ) ~ fi n ( ¥ ' ) d s ' ] ( 2 . 4 . 3 ) S i n c e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o c c u r i n c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s , t h e v e c t o r m a g n i t u d e o f t h i s f i e l d c a n a l s o b e w r i t t e n a s N E s ( ¥ , c ) = Z A ' ( ¥ ) e ° n t c o s ( m c + ¢ ' ( ? ) ) ( 2 . 4 . 4 ) n n n n = 1 r e v e a l i n g t h a t t h e s c a t t e r e d e l e c t r i c f i e l d a l s o v a r i e s , i n t h e l a t e - t i m e , a s a s u m o f d a m p e d s i n u s o i d a l f u n c t i o n s . I t i s t h i s l a t e - t i m e b e h a v i o r o f t h e s c a t t e r e d f i e l d t h a t w i l l b e u t i l i z e d f o r r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n p u r p o s e s i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . C H A P T E R 3 R A D A R T A R G E T D I S C R I M I N A T I O N A N D I D E N T I F I C A T I O N S C H E M E S 3 . 1 I n t r o d u c t i o n R a d a r t a r g e t i d e n t i f i c a t i o n i n i t s p u r e s t f o r m i s a n i n v e r s e p r o b l e m - - t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e g e o m e t r y a n d c o m p o s i t i o n o f a t a r g e t f r o m m e a s u r e m e n t s o f s c a t t e r e d e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n . T h e t a r g e t c a n t h e n b e i d e n t i f i e d o r d i s c r i m i n a t e d f r o m o t h e r t a r g e t s o r c l a s s e s o f t a r g e t s b y c o m p a r i s o n t o k n o w n s h a p e s a n d c o m p o s i t i o n s . I n a l e s s r i g i d s e n s e , r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n i n v o l v e s t h e e x t r a c t i o n o f f e a t u r e s f r o m t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d w h i c h c o r r e s p o n d u n i q u e l y t o i n d i v i d u a l t a r g e t s [ 2 9 ] . D i s c r i m i n a t i o n ( o r i d e n t i f i c a t i o n ) i s t h e n a c c o m p l i s h e d b y a c o m p a r i s o n o f t h e s e f e a t u r e s . R a d a r t a r g e t f e a t u r e s f o r a c o n d u c t i n g t a r g e t a r e c l o s e l y r e l a t e d t o g e o m e t r y , a n d c a n t a k e a d v a n t a g e o f a l l t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e s c a t t e r e d f i e l d - - a m p l i t u d e , p h a s e , p o l a r i z a t i o n , a n d f r e q u e n c y c o n t e n t . W h e r e a s t h e s o l u t i o n o f t h e t r u e i n v e r s e p r o b l e m r e q u i r e s a n i n f i n i t e a m o u n t o f i n f o r m a t i o n ( i . e . a m e a s u r e m e n t o f t h e s c a t t e r e d f i e l d a t a l l f r e q u e n c i e s o r a l l a s p e c t a n g l e s ) [ 3 0 ] o n l y a f e w f e a t u r e s m a y b e r e q u i r e d f o r t h e c l a s s i f i c a t i o n o f a w i d e v a r i e t y o f t a r g e t s . A n e x a m p l e o f a f e a t u r e w h i c h i s n o t u n i q u e i s t h e c l a s s i c a l r a d a r c r o s s s e c t i o n ( R C S ) . 1 4 1 5 T h i s c h a p t e r w i l l c o n d u c t a s h o r t o v e r v i e w o f s o m e o f t h e m o r e r e c e n t m e t h o d s c o n c e i v e d f o r r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n . I t w i l l b e b y n o m e a n s e x h a u s t i v e , b u t i n s t e a d w i l l t r y t o p l a c e t h e p r o p o s e d d i s c r i m i n a t i o n t e c h n i q u e s o f t h i s t h e s i s i n p r o p e r p e r s p e c t i v e . T h e n e w s c h e m e a s s u g g e s t e d i n t h i s a n d l a t e r c h a p t e r s w i l l b e s h o w n t o b e a n e v o l u t i o n o f a n a t t e m p t t o o v e r c o m e t h e t w o m o s t f u n d a m e n t a l p r o b l e m s o f t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n - - n o i s e a n d s e n s i t i v i t y t o t a r g e t a s p e c t . T h e d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e s r e v i e w e d i n t h i s c h a p t e r c a n b e d i v i d e d i n t o t w o f u n d a m e n t a l g r o u p s . T h e f i r s t i n v o l v e s t h e u s e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e t a r g e t s c a t t e r i n g m a t r i x . T h e s e c o n d u t i l i z e s t h e f r e q u e n c y ( o r , e q u i v a l e n t l y , t i m e ) r e s p o n s e o f t h e t a r g e t . 3 . 2 P o l a r i z a t i o n T e c h n i q u e s I n t h e c a s e o f t i m e — h a r m o n i c e x c i t a t i o n i t i s c o n v e n i e n t t o c o n s i d e r a r a d a r t a r g e t a s a " p o l a r i z a t i o n t r a n s f o r m e r " [ 3 1 ] . T h e v e c t o r e l e c t r i c f i e l d s c a t t e r e d f r o m t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g t a r g e t c a n b e r e l a t e d t o t h e i n c i d e n t f i e l d t h r o u g h ( 3 . 2 . 1 ) w h e r e 2 . 1 3 t h e t w o d i m e n s i o n a l s c a t t e r i n g m a t r i x . T h i s m a t r i x d e s c r i b e s t h e c h a n g e s i n p o l a r i z a t i o n b e t w e e n t h e i n c i d e n t a n d r e f l e c t e d w a v e s a n d i s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y a n d t a r g e t a s p e c t . T h e p o l a r i z a t i o n s t a t e s o f t h e s e w a v e s a r e o f t e n m a p p e d o n t o t h e s u r f a c e o f a s p h e r e ( t h e P o i n c a r é s p h e r e . ) T w i c e t h e o r i e n t a t i o n 1 6 a n g l e o f t h e e l l i p t i c a l p o l a r i z a t i o n a n d t w i c e t h e a r c t a n g e n t o f t h e a x i a l r a t i o d e f i n e l o n g i t u d e a n d l a t i t u d e , r e s p e c t i v e l y , o f a p o i n t o n t h e s p h e r e . T h u s , t h e m a p p i n g i s o n e t o o n e a n d t h e e q u a t o r o f t h e s p h e r e c o n t a i n s a l l l i n e a r p o l a r i z a t i o n s [ 3 2 ] . T a r g e t c l a s s i f i c a t i o n b y r e c o n s t r u c t i n g t h e s c a t t e r i n g m a t r i x i s i m p r a c t i c a l , s i n c e m e a s u r e m e n t s w o u l d b e r e q u i r e d a t a n i n f i n i t e n u m b e r o f p o l a r i z a t i o n s t a t e s . R a t h e r , t h e p o l a r i z a t i o n p r o p e r t i e s o f a n y t a r g e t c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y i t s " n u l l p o l a r i z a t i o n s " - - t h e t w o s t a t e s f o r w h i c h t h e b a c k s c a t t e r e d w a v e i s p o l a r i z e d o r t h o g o n a l t o t h e t r a n s m i t t i n g a n t e n n a ( a n d f o r w h i c h t h e t a r g e t i s i n v i s i b l e t o t h e r a d a r . ) T h e s e p o l a r i z a t i o n s c o r r e s p o n d t o t h e e i g e n v e c t o r s o f : 1 W i t h t h i s n o t a t i o n i t i s p o s s i b l e t o m a k e a g e n e r a l c l a s s i f i c a t i o n o f r a d a r t a r g e t s b a s e d o n t h e i r p o l a r i z a t i o n p r o p e r t i e s . T h e n u l l p o l a r - i z a t i o n s o f l i n e a r t a r g e t s ( s u c h a s t h i n w i r e s ) c o i n c i d e a t a s i n g l e p o i n t o n t h e s p h e r e . T h e n u l l p o l a r i z a t i o n s o f a n i s o t r o p i c t a r g e t ( s u c h a s a h o m o g e n e o u s s p h e r e ) r e s i d e a t o p p o s i t e p o i n t s o n t h e s p h e r e . A s y m m e t r i c t a r g e t h a s n u l l p o i n t s l o c a t e d a l o n g p a r a l l e l s o f l a t i t u d e e q u i d i s t a n t f r o m t h e l i n e a r p o l a r i z a t i o n e q u a t o r . I n a d d i t i o n t o t h e n u l l p o l a r i z a t i o n s , e a c h t a r g e t h a s a s s o c i - a t e d w i t h i t a m a x i m a l c o p o l a r i z a t i o n . T o g e t h e r , t h i s s e t i s r e f e r r e d t o a s t h e " o p t i m u m " p o l a r i z a t i o n s [ 3 3 ] . T h e o p t i m u m p o l a r i z a t i o n s f a l l o n a g r e a t c i r c l e o n t h e p o l a r i z a t i o n s p h e r e i n a s y m m e t r i c a l a r r a n g e m e n t r e f e r r e d t o a s t h e " H u y n e n f o r k . " T h e H u y n e n f o r k i s o n e o f t h e m o s t p o p u l a r " p o l a r i z a t i o n i n v a r i e n t s " w h i c h c a n b e u s e d i n t a r g e t c l a s s i f i c a t i o n a n d d i s c r i m i n a t i o n . A l t h o u g h t h e f o r k r o t a t e s a s t h e p i t c h a n g l e o f t h e t a r g e t i s c h a n g e d ( a l o n g t h e r a d a r l i n e o f 1 7 s i g h t ) , i t s r e l a t i v e o r i e n t a t i o n r e m a i n s c o n s t a n t ( t h u s t h e d e s c r i p t i o n " i n v a r i e n t " . ) S i n c e e a c h s p e c i f i c t a r g e t h a s a s p e c i f i c h u y n e n f o r k ( a t a g i v e n v a l u e o f r o l l a n d y a w ) t h e t a r g e t c a n b e c o n c e i v a b l y d i s c r i m i n a t e d r e g a r d l e s s o f t h e v a l u e o f p i t c h a n g l e . T h e u s e o f a p o l a r i z a t i o n i n v a r i e n t s u c h a s t h e H u y n e n f o r k a s t h e f e a t u r e f o r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n h a s a g r e a t a p p e a l . S i n c e o n l y o n e f r e q u e n c y i s n e e d e d t h i s t e c h n i q u e i s e a s i l y a d a p t a b l e t o e x i s t i n g s i n g l e f r e q u e n c y r a d a r s y s t e m s . I t i s o n l y n e c e s s a r y t h a t t h e r a d a r b e m o d i f i e d t o b e p o l a r i z a t i o n s e n s i t i v e . U n f o r t u n a t e l y , t h e o p t i m a l p o l a r i z a t i o n s h a v e b e e n s h o w n t o b e e x t r e m e l y d e p e n d e n t u p o n t h e y a w a n d r o l l a n g l e o f t h e t a r g e t [ 3 3 ] . S i n c e t h e o p t i m a l p o l a r i z a t i o n s d e s c r i b e t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e s c a t t e r i n g m a t r i x , a n y o t h e r p o l a r - i z a t i o n d i s c r i m i n a n t w i l l a l s o b e h i g h l y s e n s i t i v e t o r o l l a n d y a w . T h i s d e p e n d e n c e u p o n c h a n g i n g a s p e c t m a k e s p o l a r i z a t i o n i n v a r i e n t s v e r y d i f f i c u l t t o u s e a s t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n f e a t u r e s f o r m o v i n g t a r g e t s [ 3 3 ] . 3 . 3 F r e q u e n c y R e s p o n s e T e c h n i q u e s Q u i t e a l a r g e n u m b e r o f t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e s h a v e b e e n d e v e l o p e d b a s e d o n t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f t h e t a r g e t ( o r , e q u i v a - l e n t l y , t h e i m p u l s e r e s p o n s e , w h i c h i s t h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e . ) S e v e r a l o f t h e s e w i l l b e c o n s i d e r e d i n t h i s s e c t i o n . 1 8 3 . 3 . 1 M u l t i p l e F r e q u e n c y M e a s u r e m e n t s T h e c o m p o n e n t o f b a c k s c a t t e r e d f i e l d i n t h e d i r e c t i o n o f t h e i n c i d e n t e l e c t r i c f i e l d a l a r g e d i s t a n c e f r o m a c o n d u c t i n g t a r g e t c a n b e w r i t t e n a s [ 3 4 ] E S 3 M G ( j w ) E i ( 3 . 3 . 1 . 1 ) 2 / F f w h e r e k i s t h e w a v e n u m b e r a n d C ( j m ) i s t h e t a r g e t ' s b a c k s c a t t e r f r e q u e n c y r e s p o n s e a t a g i v e n a s p e c t . ( T h e m a g n i t u d e s q u a r e d o f G c o r r e s p o n d s t o t h e R C 8 o f t h e t a r g e t . ) K n o w l e d g e o f C ( j w ) u n i q u e l y d e t e r m i n e s t h e t a r g e t a n d t h u s c a n b e u s e d f o r i d e n t i f i c a t i o n o r d i s c r i m i n a t i o n . H o w e v e r , i t i s i m p r a c t i c a l t o r e c o n s t r u c t C ( j w ) s i n c e a n i n f i n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s w o u l d b e r e q u i r e d . R a t h e r , i t i s m o r e p l a u s i b l e t o a p p r o x i m a t e C ( j m ) b y m a k i n g o n l y a f e w m e a s u r e m e n t s a t c a r e f u l l y c h o s e n f r e q u e n c i e s . I f t h e t a r g e t r e s p o n s e a t t h e s e f r e q u e n c i e s i s u n i q u e l y d e p e n d e n t u p o n t h e t a r g e t g e o m e t r y , t h e n t h e a m p l i t u d e o f t h e b a c k s c a t t e r e d w a v e a t t h e s e f r e q u e n c i e s c a n b e u s e d a s t h e s e t o f t a r g e t f e a t u r e s . I t i s i m p o r t a n t t o d e c i d e o v e r w h i c h f r e q u e n c y r a n g e t h e t a r g e t i s b e s t c h a r a c t e r i z e d . T h e h i g h e r f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d t o t h e f i n e d e t a i l o f t h e t a r g e t , w h i l e t h e l o w e r f r e q u e n c i e s c h a r a c t e r i z e t h e t a r g e t ' s b u l k s h a p e . T h i s c a n b e s h o w n b y l e t t i n g s = j w a n d e x p a n d i n g C ( s ) a t s m a l l v a l u e s o f 3 , g i v i n g G ( s ) = a 0 + a l s + a z s 2 + . . . ( 3 . 3 . 1 . 2 ) 1 9 H e r e a 0 a n d 3 1 a r e z e r o , w h i l e a 2 , t h e R a y l e i g h c o e f f i c i e n t , i s a p p r o x i m a t e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e v o l u m e o f t h e o b j e c t [ 3 5 ] . W i t h t h i s i n f o r m a t i o n , a d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e h a s b e e n p r o p o s e d u t i l i z i n g t h e r e s p o n s e o f t h e t a r g e t a t d i s c r e t e v a l u e s o f f r e q u e n c y i n a r a n g e o f w a v e l e n g t h s s t a r t i n g a t a b o u t o n e h a l f t h e m a x i m u m d i m e n s i o n o f t h e t a r g e t a n d i n c r e a s i n g t o a b o u t t e n t i m e s t h i s l e n g t h [ 3 0 ] . T h i s f r e q u e n c y r a n g e e x t e n d s f r o m t h e " R a y l e i g h " r e g i o n u p t o t h e l o w r e s o n a n c e r e g i o n a n d c o n t a i n s t h e e s s e n t i a l i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g o v e r a l l t a r g e t s h a p e a n d c o m p o s i t i o n . B y u s i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d a m p l i t u d e s m e a s u r e d a t t w e l v e e q u a l l y s p a c e d f r e q u e n c i e s ( i n t h e r a n g e d i s c u s s e d a b o v e ) a s t a r g e t f e a t u r e s , i t h a s b e e n p o s s i b l e t o c l a s s i f y a n u m b e r o f s i m p l e t a r g e t s h a p e s . D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e c l a s s e s i s a c c o m p l i s h e d u s i n g a l i n e a r d i s c r i m i n a t i o n p r o c e d u r e o n t h e t a r g e t f e a t u r e v e c t o r s , a t a g i v e n v a l u e o f t a r g e t a s p e c t [ 3 5 ] . F o r m o r e c o m p l e x t a r g e t s s u c h a s a i r c r a f t s c a l e m o d e l s , a m o r e s o p h i s t i c a t e d " n e a r e s t n e i g h b o r " a p p r o a c h i s r e q u i r e d . W i t h t h i s t e c h n i q u e i t h a s b e e n p o s s i b l e t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n e i g h t q u i t e s i m i l a r a i r c r a f t s c a l e m o d e l s , i n t h e p r e s e n c e o f m o d e r a t e n o i s e l e v e l s . F u r t h e r m o r e , i t i s p o s s i b l e t o d e c r e a s e t h e n u m b e r o f f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s r e q u i r e d t o a s f e w a s t w o b y e m p l o y i n g t h e p h a s e a n d t h e p o l a r i z a t i o n o f t h e s c a t t e r e d w a v e a s a d d i t i o n a l t a r g e t f e a t u r e s [ 3 0 ] . T h e p r a c t i c a l l i m i t a t i o n s o f t h i s m e t h o d a r e t h r e e f o l d . T h e f i r s t i s t h e e x p e n s i v e r e q u i r e m e n t f o r a m u l t i - f r e q u e n c y r a d a r . B e c a u s e o f t h i s , g r e a t e m p h a s i s h a s b e e n p l a c e d o n m i n i m i z i n g t h e n u m b e r o f f r e q u e n c i e s r e q u i r e d f o r d i s c r i m i n a t i o n . S e c o n d l y , f o r t r u e 2 0 a i r c r a f t t a r g e t s , t h e r a d a r w o u l d b e r e q u i r e d t o o p e r a t e a t r e l a t i v e l y l o w f r e q u e n c i e s , d o w n i n t o t h e V H F b a n d . M o s t i m p o r t a n t l y , t h o u g h , t h e s t r o n g d e p e n d e n c e o f t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e C ( j m ) o n t a r g e t a s p e c t m a k e s t h i s t e c h n i q u e q u i t e c u m b e r s o m e i n a c t u a l s i t u a t i o n s . T h i s p r o b l e m c a n o n l y b e w o r s e n e d i f p o l a r i z a t i o n i s i n c o r p o r a t e d i n t o t h e s c h e m e , a s s h o w n b y t h e l a s t s e c t i o n . I t h a s b e e n s u g g e s t e d t h a t t h e t a r g e t a t t i t u d e c a n b e e s t i m a t e d t o w i t h i n 1 0 0 b y u s i n g c o n v e n t i o n a l r a d a r [ 3 5 ] . H o w e v e r , i t i s q u e s t i o n a b l e w h e t h e r t h i s r e p r e s e n t s s u f f i c i e n t a c c u r a c y i n t h e c a s e o f c o m p l e x t a r g e t s h a p e s . 3 . 3 . 2 R a m p R e s p o n s e I m a g i n g A v e r y i n t e r e s t i n g r a d a r t a r g e t s i g n a t u r e w h i c h u n i q u e l y d e s c r i b e s t h e t a r g e t i s i t s r e s p o n s e t o a n i n c i d e n t r a m p w a v e f o r m [ 3 ] . T h e f r e q u e n c y d o m a i n r e s p o n s e t o t h e t i m e d o m a i n r a m p s i g n a l c a n b e w r i t t e n a s F ( j m ) = [ S i g - V e g . . . ) ( 3 . 3 . 2 . 1 ) w h e r e G ( j w ) i s t h e r e s p o n s e o f t h e t a r g e t a t a f r e q u e n c y w . B y t h e p r o p e r t i e s o f F o u r i e r t r a n s f o r m s , t h e t i m e d o m a i n r a m p r e s p o n s e c a n a l s o b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e s e c o n d i n t e g r a l o f t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e t a r g e t . A s i t i s n o t p o s s i b l e t o t r a n s m i t a r a m p o r i m p u l s e w a v e f o r m , i t i s n e c e s s a r y t o a p p r o x i m a t e t h e r a m p f r e q u e n c y r e s p o n s e ( 3 . 3 . 2 . 1 ) o f a t a r g e t b y u s i n g m u l t i p l e f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s . I t h a s b e e n f o u n d t h a t m e a s u r e m e n t s o f t h e t a r g e t r e s p o n s e a t t e n d i s c r e t e 2 1 f r e q u e n c i e s i n t h e u p p e r R a y l e i g h t o l o w e r r e s o n a n c e r a n g e a r e a d e q u a t e t o a p p r o x i m a t e t h e r a m p r e s p o n s e o f t h e t a r g e t [ 3 6 ] . W i t h t h e a p p r o x i m a t i o n t o t h e r a m p r e s p o n s e i t i s p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a n i m a g e o f t h e t a r g e t . T h i s i m a g e r e f l e c t s t h e g r o s s s h a p e o f t h e s t r u c t u r e , s i n c e o n l y l o w f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s a r e i n v o l v e d . T a r g e t d i s c r i m i n a t i o n i s t h e n e a s i l y a c c o m p l i s h e d b y a c o m p a r i s o n t o t h e s h a p e s o f k n o w n t a r g e t s . H o w e v e r , t h e c o n s t r u c t i o n o f a n i m a g e i s q u i t e t i m e c o n s u m i n g a n d r e q u i r e s t h e m e a s u r e m e n t o f t h e ( a p p r o x i m a t e ) r a m p r e s p o n s e f r o m t h r e e o r t h o g o n a l l o o k a n g l e s . T h u s , i t b e c o m e s m o r e e x p e d i e n t t o d i s c r i m i n a t e t a r g e t s b y a c o m p a r i s o n o f t h e r a m p r e s p o n s e s t h e m s e l v e s . ( T h a t i s , d e s i g n a t i n g t h e r a m p r e s p o n s e a s t h e t a r g e t f e a t u r e a s o p p o s e d t o t h e t a r g e t i m a g e . ) S u c h a c o m p a r i s o n r e v e r t s t o a t e c h n i q u e n e a r l y i d e n t i c a l t o t h a t o f t h e l a s t s e c t i o n , e x c e p t t h a t t h e l o w e r f r e q u e n c i e s o f t h e r a m p r e s p o n s e a r e a c c e n t u a t e d b y a U L . ) 2 f a c t o r . T h e r e f o r e , c o m p a r i s o n o f r a m p r e s p o n s e s h a s a l l o f t h e l i m i t a t i o n s o f t h e p r e v i o u s m e t h o d , e s p e c i a l l y t h e s e n s i t i v i t y t o a s p e c t a n g l e . 3 . 3 . 3 N a t u r a l R e s o n a n c e B a s e d R a m p R e s p o n s e T h e p r e s s i n g p r o b l e m o f t a r g e t a s p e c t d e p e n d e n c e c a n b e o v e r c o m e b y i n c o r p o r a t i n g t a r g e t n a t u r a l r e s o n a n c e s i n t o t h e r a m p r e s p o n s e c o m p a r i s o n . T h e f r e q u e n c i e s o f t h e n a t u r a l t a r g e t o s c i l l a t i o n s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e a s p e c t o f t h e t a r g e t ( o n l y t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s o f t h e n a t u r a l m o d e s a r e a s p e c t d e p e n d e n t ) , a s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 2 . I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e o f a n y l i n e a r s y s t e m m u s t o b e y t h e d i f f e r e n c e e q u a t i o n 2 2 f ( t ) = g ( — 1 ) n A N n f ( t - n A t ) ( 3 . 3 . 3 . 1 ) n = 1 ’ w h e r e f ( t ) i s t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e a n d t h e d i f f e r e n c e c o e f f i c i e n t s A N , n a r e d e f i n e d v i a a n a p p r o p r i a t e r e l a t i o n s h i p i n v o l v i n g t h e N n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e s y s t e m [ 3 7 ] . T h i s a l l o w s t h e r e c o n s t r u c t i o n o f f ( t ) f r o m N s a m p l e d v a l u e s o f t h e r e s p o n s e . R a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n i s b a s e d u p o n t h e f o l l o w i n g s c h e m e . T h e r a m p r e s p o n s e o f a n u n k n o w n t a r g e t i s a p p r o x i m a t e d u s i n g M d i s c r e t e f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s v i a t h e F o u r i e r s y n t h e s i s M G ( m w o ) F R ( t ) 8 K fi é l - — ; E — — - c o s ( m w o t + ¢ ( m w o ) ) ( 3 . 3 . 3 . 2 ) w h e r e K i s a c o n s t a n t . N e x t , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f k n o w n t a r g e t s a r e u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e m e a s u r e d r a m p r e s p o n s e v i a e q u a t i o n ( 3 . 3 . 3 . 1 ) . H e r e f ( t ) i s t a k e n t o b e t h e m e a s u r e d r a m p r e s p o n s e g i v e n b y ( 3 . 3 . 3 . 2 ) . F i n a l l y , a c o e f f i c i e n t 0 ' i s d e f i n e d a s u n i t y m i n u s t h e n o r m a l i z e d d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d r e c o n s t r u c t e d r a m p r e s p o n s e s . E q u a t i o n ( 3 . 3 . 3 . 1 ) c a n b e v i e w e d a s a p r e d i c t o r a n d t h e c o e f f i c i e n t 0 ' a s a c o r r e l a t o r . I d e a l l y , w h e n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e m e a s u r e d t a r g e t a r e u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e m e a s u r e d r a m p r e s p o n s e , 0 ' w i l l b e u n i t y a n d t h e u n k n o w n t a r g e t i s i d e n t i f i e d . W h e n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e r a m p r e s p o n s e c o r r e s p o n d t o a t a r g e t d i f f e r e n t t h a n t h a t m e a s u r e d , 0 ' w i l l b e l e s s t h a n u n i t y a n d t h e t a r g e t i s d i s c r i m i n a t e d . I n p r a c t i c e , t h e r a m p r e s p o n s e c a n n o t b e e x a c t l y r e p r o d u c e d , b o t h b e c a u s e t h e r a m p r e s p o n s e i s o n l y a p p r o x i m a t e 2 3 a n d b e c a u s e o n l y a f i n i t e n u m b e r o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s c a n b e u s e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n . H o w e v e r , v e r y g o o d r e c o n s t r u c t i o n h a s b e e n a c c o m p l i s h e d u s i n g t h e d o m i n a n t n a t u r a l r e s o n a n c e s o f t h e t a r g e t s ( c o r r e s p o n d i n g t o t h e l o w e r p o r t i o n o f t h e r e s o n a n c e r a n g e ) [ 3 6 ] . D i s c r i m i n a t i o n u s i n g t h i s t e c h n i q u e h a s b e e n d e m o n s t r a t e d f o r s i m p l e w i r e a i r c r a f t m o d e l s . T h e d o m i n a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e w i r e m o d e l s a r e c a l c u l a t e d t h e o r e t i c a l l y u s i n g S E M a n a l y s i s . A r e a c t i o n i n t e g r a l e q u a t i o n i s s o l v e d i n t h e r a d i a t i o n m o d e f o r t h e c a s e o f z e r o d r i v i n g v o l t a g e . T h i s i s e q u i v a l e n t t o s o l v i n g e q u a t i o n ( 2 . 3 . 3 ) , a n d a s e a r c h p r o c e d u r e i s n e e d e d t o l o c a t e t h e z e r o e s i n t h e c o m p l e x p l a n e . W i t h t h e s e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n s t r a i g h t a n d s w e p t w i n g m o d e l s h a s b e e n a c c o m p l i s h e d f o r v a r i o u s t a r g e t a s p e c t s a n d i n c i d e n t f i e l d p o l a r i z a t i o n s , u s i n g t e n f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s . I m p r o v e d d i s c r i m i n a t i o n h a s b e e n o b t a i n e d b y e m p l o y i n g t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e . I n s t e a d o f o b t a i n i n g t h e n a t u r a l r e s o n a n c e s o f t h e t a r g e t m o d e l f r o m t h e s o l u t i o n t o a h o m o g e n e o u s i n t e g r a l e q u a t i o n , a l e s s r i g o r o u s p r o c e s s i s u s e d . F i r s t , t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f t h e a i r c r a f t m o d e l ( a t a s p e c i f i c a s p e c t ) i s o b t a i n e d n u m e r i c a l l y a t t h e s a m e t e n f r e q u e n c i e s a s u s e d i n t h e m e a s u r e m e n t s b y a l o w f r e q u e n c y g r i d w i r e a n a l y s i s [ 3 8 ] . T h i s r e s p o n s e i s t h e n u s e d t o c a l c u l a t e t h e a p p r o x i m a t e r a m p r e s p o n s e o f t h e t a r g e t m o d e l v i a e q u a t i o n ( 3 . 3 . 3 . 2 ) . L a s t l y , P r o n y ' s m e t h o d i s u s e d t o e x t r a c t t h e d o m i n a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m t h i s t i m e d o m a i n r a m p r e s p o n s e . P r o n y ' s m e t h o d i s a n u m e r i c a l t e c h n i q u e f o r a p p r o x i m a t i n g a w a v e f o r m u s i n g d a m p e d s i n u s o i d a l f u n c t i o n s . I t i s d i s c u s s e d i n d e p t h i n s e c t i o n 6 . 2 . U s i n g t h i s p r o c e s s i t i s f o u n d t h a t o n l y t h e d o m i n a n t f e w n a t u r a l f r e q u e n c i e s 2 4 m a t c h e x p l i c i t l y w i t h t h e t r u e f r e q u e n c i e s f o u n d f r o m s o l v i n g t h e i n t e g r a l e q u a t i o n [ 3 9 ] . T h i s i s d u e i n p a r t t o t h e a p p r o x i m a t i o n s u s e d t o c a l c u l a t e t h e r a m p r e s p o n s e ( o n l y a f i n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c i e s u s e d . ) H o w e v e r , t h e d i s c r i m i n a t i o n d o e s i m p r o v e , b e c a u s e t h e P r o n y ' s m e t h o d r e s o n a n c e s p r o v i d e a b e t t e r f i t t o t h e a p p r o x i m a t e ( m e a s u r e d ) r a m p r e s p o n s e t h a n d o t h e t r u e f r e q u e n c i e s . I t i s d i f f i c u l t , t h o u g h , t o j u s t i f y t h e u s e o f r e s o n a n c e s w h i c h d o n o t i n t h e l e a s t r e s e m b l e t h o s e o f t h e a c t u a l t a r g e t . T h i s i m p r o v e d P r o n y ' s m e t h o d r a m p w a v e f o r m d i s c r i m i n a t i o n h a s b e e n s u c c e s s f u l l y d e m o n s t r a t e d f o r t h r e e q u i t e c o m p l e x a i r c r a f t m o d e l s [ 3 9 ] . A n d a l t h o u g h t h i s t e c h n i q u e h a s c o n q u e r e d t h e p r o b l e m o f t a r g e t a s p e c t s e n s i t i v i t y , i t d o e s h a v e a f e w d r a w b a c k s . T h e p r e d i c t o r — c o r r e l a t o r m e t h o d i s a f a i r l y c o m p l i c a t e d p r o c e d u r e , a n d i s s e n s i t i v e t o t h e c h o i c e o f A t i n e q u a t i o n ( 3 . 3 . 3 . 1 ) . M a n y v a l u e s m i g h t n e e d t o b e t r i e d t o p r o v i d e a d e q u a t e d i s c r i m i n a t i o n . A l s o , a m u l t i - f r e q u e n c y r a d a r s y s t e m i s s t i l l n e e d e d t o m e a s u r e t h e r a m p r e s p o n s e . E a c h o f t h e s e p r o b l e m s i s a d d r e s s e d b y t h e m e t h o d o f t h e n e x t s e c t i o n . 3 . 3 . 4 N a t u r a l F r e q u e n c y C o m p a r i s o n P e r h a p s t h e m o s t s t r a i g h t f o r w a r d w a y t o u t i l i z e n a t u r a l t a r g e t r e s o n a n c e s i n a d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e i s t o u s e a d i r e c t c o m p a r i s o n o f t h e f r e q u e n c i e s . T h e l a t e - t i m e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a n u n k n o w n t a r g e t c a n b e a n a l y z e d i n t e r m s o f i t s n a t u r a l r e s o n a n c e m o d e s a n d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s d e t e r m i n e d . T h e s e c a n t h e n b e c o m p a r e d d i r e c t l y t o a l i b r a r y o f f r e q u e n c i e s f r o m k n o w n t a r g e t s , a n d t h e t a r g e t i d e n t i f i e d o r d i s c r i m i n a t e d . T h e b e n e f i t s o f t h i s 2 5 t e c h n i q u e a r e s u b s t a n t i a l . B e s i d e s b e i n g a s p e c t i n d e p e n d e n t , t h e t e c h n i q u e d o e s n o t r e q u i r e a l o w - f r e q u e n c y o r m u l t i - f r e q u e n c y r a d a r . I t i s o n l y n e c e s s a r y t h a t a w a v e f o r m b e t r a n s m i t t e d w h i c h h a s e n e r g y a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s w h i c h u n i q u e l y d e t e r m i n e t h e t a r g e t s t o b e d i s c r i m i n a t e d . A l t h o u g h a w i d e b a n d p u l s e w o u l d b e i d e a l , i t m a y b e p o s s i b l e t o c h o o s e t h e s e f r e q u e n c y f e a t u r e s t o l i e i n a f a i r l y n a r r o w b a n d a t r e a s o n a b l y h i g h f r e q u e n c y ( d e s c r i b i n g s o m e u n i q u e f i n e s t r u c t u r e o n t h e t a r g e t . ) T h e n , b a n d p a s s i n t e r r o g a t i o n p u l s e s c a n b e u s e d a s t h e e x c i t a t i o n w a v e f o r m , w h i c h i s c o m p a t i b l e w i t h e x i s t i n g r a d a r s [ 4 Q ] . L a s t l y , o n c e t h e n a t u r a l r e s o n a n c e f r e q u e n c i e s o f t h e u n k n o w n t a r g e t h a v e b e e n c h o s e n , t h e c o m p a r i s o n i s a s i m p l e p r o b l e m i n f e a t u r e r e c o g n i t i o n . T h i s i s a n a r e a w h i c h i s w e l l d e v e l o p e d , a n d h a s m a n y r a p i d s c h e m e s f o r i m p l e m e n t a t i o n . I n t h i s s c h e m e t h e p r o b l e m o f f e a t u r e e x t r a c t i o n r e d u c e s t o e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l r e s o n a n c e f r e q u e n c i e s f r o m t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f a t a r g e t r e s p o n s e . T h e m o s t p o p u l a r r o u t i n e i n v o l v e s t h e u s e o f P r o n y ' s m e t h o d . I t h a s b e e n s h o w n t h a t P r o n y ' s m e t h o d i s c a p a b l e o f a c c u r a t e l y i d e n t i f y i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e r e s p o n s e s o f s i m p l e s t r u c t u r e s d r i v e n b y t r a n s i e n t s o u r c e s [ k l ] . A r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n c o n c e p t b a s e d u p o n P r o n y ' s m e t h o d h a s b e e n i n v e s t i g a t e d i n d e p t h b o t h n u m e r i c a l l y [ 4 2 ] a n d e x p e r i m e n t a l l y [ 4 3 ] . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n h a s r e s u l t e d i n t h e s u c c e s s f u l d i s c r i m i n a t i o n o f d i f f e r i n g n a t u r a l f r e q u e n c y s e t s i n t h e p r e s e n c e o f n o i s e l e v e l s a s h i g h a s 0 d B s i g n a l t o n o i s e . T h e t e c h n i q u e s u s e d f o r f e a t u r e r e c o g n i t i o n i n v o l v e d c o r r e l a t i o n b a s e d u p o n l i n e a r p r e d i c t i o n , p o l e r e s i d u e s , p o l e v a l u e s ( 1 . e . n a t u r a l f r e q u e n c y v a l u e s ) , a n d 2 6 r e s p o n s e w a v e f o r m s . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t o n l y l i n e a r p r e d i c t i o n a n d p o l e v a l u e s a r e i n d e p e n d e n t o f t a r g e t a s p e c t . T h e l i n e a r p r e d i c t i o n s c h e m e i s i d e n t i c a l t o t h a t o u t l i n e d i n t h e s e c t i o n o n r a m p r e s p o n s e s , e x c e p t t h a t t h e m e a s u r e d t i m e d o m a i n w a v e f o r m i s u s e d i n s t e a d o f t h e a p p r o x i m a t e r a m p r e s p o n s e . F o r t h e t w o a s p e c t i n d e p e n d e n t t e c h n i q u e s , a s i g n a l t o n o i s e l e v e l a s l o w a s 1 0 d B h a s s t i l l l e d t o a c c u r a t e d i s c r i m i n a t i o n . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s h a v e n o t b e e n q u i t e a s s u c c e s s f u l . A l a t e - t i m e s i g n a l t o n o i s e l e v e l o f 1 5 t o 2 0 d B i s r e q u i r e d f o r t h e a c c u r a t e e x t r a c t i o n o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m a m e a s u r e d t a r g e t r e s p o n s e [ 4 4 ] . T h i s s e n s i t i v i t y o f P r o n y ' s m e t h o d t o t h e p r e s e n c e o f n o i s e i s o n l y o n e o f t h e p r o b l e m s w h i c h r e s t r i c t s i t s u s e f o r d i s c r i m i n a t i o n p u r p o s e s . O t h e r d i f f i c u l t i e s h a v e b e e n d e t a i l e d [ 4 5 ] , [ 4 6 ] . T h e y i n c l u d e e r r o r d u e t o u n d e r e s t i m a t i n g t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e r e s p o n s e , a l i a s i n g , a n d u n d e r - u s e o f s a m p l e d p o i n t s ( r e q u i r i n g " w i n d o w i n g " a p p r o a c h e s . ) 3 . 3 . 5 T h e K - p u l s e T h e v a r i o u s p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h P r o n y ' s m e t h o d h a v e r e d u c e d t h e u s e f u l n e s s o f a n a t u r a l f r e q u e n c y c o m p a r i s o n s c h e m e . W h a t i s n e e d e d i s a t e c h n i q u e w h i c h i n c l u d e s a l l t h e b e n e f i t s o f f r e q u e n c y c o m p a r i s o n ( a s p e c t i n d e p e n d e n c e , s i m p l i c i t y o f i m p l e m e n t a t i o n ) b u t d o e s n o t d i s p l a y P r o n y ' s m e t h o d ' s s e n s i t i v i t y t o n o i s e . S u c h a m e t h o d w i l l b e i n t r o d u c e d i n t h e n e x t c h a p t e r ( t h e E - p u l s e t e c h n i q u e ) , a n d i t h a s i t s r o o t s i n t h e s o - c a l l e d " K — p u l s e " c o n c e p t i n t r o d u c e d b y K e n n a u g h [ 4 7 ] . 2 7 A K - p u l s e i s d e f i n e d a s a m i n i m a l d u r a t i o n , t i m e l i m i t e d w a v e f o r m , w h i c h u p o n i n t e r a c t i o n w i t h a r a d a r t a r g e t p r o d u c e s a t i m e l i m i t e d r e s p o n s e . T h e r e s p o n s e m a y b e a s p e c t d e p e n d e n t , b u t i t i s t o b e t i m e l i m i t e d f o r a s l a r g e a r a n g e o f a s p e c t a n g l e s a s p o s s i b l e . K e n n a u g h w a s a b l e t o c o n s t r u c t a p p r o x i m a t e K - p u l s e s ( a l s o c a l l e d k i l l - p u l s e s ) f o r s i m p l e t a r g e t s b a s e d u p o n g e o m e t r i c c o n s i d e r a t i o n s . H e u s e d s i m p l e w a v e r e f l e c t i o n a r g u m e n t s t o a p p r o x i m a t e a K - p u l s e f o r a t h i n w i r e t a r g e t , a n d t h e g e o m e t r i c t h e o r y o f d i f f r a c t i o n t o a p p r o x i m a t e t h e K - p u l s e o f a s p h e r e . B y e m p l o y i n g a p o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e K - p u l s e , h e w a s a l s o a b l e t o e s t i m a t e t h e n a t u r a l r e s o n a n c e f r e q u e n c i e s o f t h e s e s t r u c t u r e s b y l o c a t i n g t h e z e r o e s o f t h e p o l y n o m i a l s . T h e K - p u l s e t e c h n i q u e c a n b e i m p l e m e n t e d i n t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n b a s e d o n i t s u n i q u e c o r r e s p o n d e n c e t o a p a r t i c u l a r t a r g e t g e o m e t r y . I t s i n t e n t i o n , t h o u g h , i s t o a p p r o x i m a t e t h e r e s o n a n c e s o f a t a r g e t u s i n g g e o m e t r i c a l c o n s i d e r a t i o n s . A m o r e a p p r o p r i a t e d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e w o u l d u s e t h e a c t u a l t a r g e t r e s o n a n c e f r e q u e n c i e s ( d e t e r m i n e d f r o m e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g , o r s c a l e m o d e l m e a s u r e m e n t s ) i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e K - p u l s e , r a t h e r t h a n v i c e - v e r s e . I t w o u l d b e a n a s p e c t i n d e p e n d e n t t e c h n i q u e , a n d r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o n o i s e . S u c h a s c h e m e , c a l l e d t h e " E - p u l s e " t e c h n i q u e , i s t h e s u b j e c t o f t h e n e x t c h a p t e r . C H A P T E R 4 T H E E X T I N C T I O N P U L S E 4 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e n a t u r a l r e s o n a n c e b a s e d t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n t e c h n i q u e s o f t h e p r e v i o u s c h a p t e r i n v o l v e d i l l u m i n a t i n g a n u n k n o w n r a d a r t a r g e t w i t h a n a r b i t r a r y t i m e v a r y i n g w a v e f o r m a n d a n a l y z i n g t h e s c a t t e r e d e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d . N o s p e c i a l c a r e w a s g i v e n t o t h e s h a p e o f t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m , o t h e r t h a n d e m a n d i n g t h a t i t c o n t a i n a d e q u a t e f r e q u e n c y c o n t e n t t o e x c i t e e n o u g h n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t t o a l l o w d i s c r i m i n a t i o n . I n c o n t r a s t , t h e K — p u l s e m e t h o d i n v e s t i g a t e d t h e p o s s i b i l i t y o f c o n s t r u c t i n g a s p e c i a l t i m e - l i m i t e d w a v e f o r m w h i c h w o u l d r e s u l t i n a t i m e - l i m i t e d s c a t t e r e d f i e l d . T h i s c h a p t e r w i l l i n t r o d u c e a m e t h o d t o e n h a n c e r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n b y c o m b i n i n g t h e K - p u l s e c o n c e p t w i t h t h e a s p e c t i n d e p e n d e n c e o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s . A n e x t i n c t i o n - p u l s e ( E - p u l s e ) w a v e f o r m i s d e f i n e d a s a f i n i t e d u r a t i o n ( 1 . e . t i m e — l i m i t e d ) w a v e f o r m w h i c h u p o n e x c i t a t i o n o f a p a r t i c u l a r r a d a r t a r g e t e x t i n g u i s h e s a p r e - s p e c i f i e d p o r t i o n o f t h e t a r g e t ' s n a t u r a l m o d e s p e c t r u m . S i n c e t h e t a r g e t s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e i s m e r e l y t h e c o n v o l u t i o n o f t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m a n d t h e t a r g e t s c a t t e r e d f i e l d i m p u l s e r e s p o n s e , i t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e E - p u l s e n e e d n o t a c t u a l l y b e t r a n s m i t t e d t o a f f e c t d i s c r i m i n a t i o n . 2 8 2 9 I n d e e d , t w o v i e w s o f t h e E - p u l s e w i l l b e c o n s i d e r e d . T h e f i r s t d e s c r i b e s t h e e f f e c t s o f d i r e c t l y t r a n s m i t t i n g t h e E - p u l s e a n d u s e s a f r e q u e n c y d o m a i n a p p r o a c h . T h e s e c o n d c o n s i d e r s t h e m o r e t r a c t a b l e s c h e m e o f c o n v o l v i n g t h e E - p u l s e w i t h t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m a n d u s e s a t i m e d o m a i n a p p r o a c h . E a c h a p p r o a c h w i l l b e s h o w n t o g i v e e q u i v a l e n t r e s u l t s . P r e l i m i n a r y t r e a t m e n t o f t h e E - p u l s e t e c h n i q u e h a s b e e n c a r r i e d o u t i n [ 1 7 ] a n d [ 1 9 1 - [ 2 1 ] . 4 . 2 T r a n s m i t [ b m a i n D i s c r i m i n a t i o n T h e m o t i v a t i o n f o r s h a p i n g t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m c a n b e f o u n d b y e x a m i n i n g t h e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d r e p r e s e n t a t i o n ( 2 . 4 . 3 ) . E a c h o f t h e c o m p l e x e x p o n e n t i a l t e r m s i n t h e s c a t t e r e d f i e l d n a t u r a l m o d e s e r i e s i s m u l t i p l i e d b y E ( S n ) ’ w h e r e E ( s ) i s t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m e ( t ) , a n d s n i s t h e f r e q u e n c y o f t h e n ' t h n a t u r a l r e s o n a n c e m o d e o f t h e s c a t t e r e r . I f N n a t u r a l m o d e s a r e e x c i t e d b y t h e f i n i t e f r e q u e n c y c o n t e n t o f e ( t ) , t h e n r e q u i r i n g E ( S n ) = 0 ( 4 . 2 . 1 ) E ( s g ) = 0 ( 4 . 2 . 2 ) f o r a l l l fi p r ( a s s u m i n g t h a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o c c u r i n c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s ) r e s u l t s i n a n u l l s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m i n t h e l a t e - t i m e . I t i s e a s y t o e n v i s i o n t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n u s i n g E - p u l s e 3 0 w a v e f o r m s . S i n c e a n E - p u l s e i s b a s e d e n t i r e l y o n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f o n e p a r t i c u l a r t a r g e t , a n d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a s c a t t e r e r a r e u n i q u e , e a c h E - p u l s e w i l l c o r r e s p o n d u n i q u e l y t o o n e t a r g e t . T h u s , i f E - p u l s e ( a ) i s d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t a r g e t ( a ) , i t s i n t e r a c t i o n w i t h a d i f f e r e n t t a r g e t ( b ) w i l l r e s u l t i n a s c a t t e r e d f i e l d t h a t i s n o n - z e r o i n t h e l a t e - t i m e . I n f a c t , e q u a t i o n ( 2 . 4 . 3 ) s h o w s t h a t t h e f i e l d s c a t t e r e d b y t a r g e t ( b ) w i l l c o n t a i n a l l t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f ( b ) n o t c o m m o n t o ( a ) . T h i s a l l o w s d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e t w o t a r g e t s w i t h o u t a n y a n a l y s i s o f t h e l a t e - t i m e s c a t t e r e d f i e l d m o r e d i f f i c u l t t h a n r e c o g n i z i n g a z e r o r e s p o n s e . T h e E - p u l s e c o n c e p t c a n b e b r o a d e n e d t o a l l o w f u r t h e r d i s c r i m i - n a t i o n t e c h n i q u e s . I f e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) a r e e n f o r c e d f o r a l l l j p r , n # m , t h e n a l l t h e n a t u r a l m o d e s o f t h e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e e x c e p t t h e m ' t h w i l l b e c a n c e l l e d . T h u s , t h e l a t e - t i m e s c a t t e r e d f i e l d w i l l v a r y i n t i m e a s a s i n g l e d a m p e d s i n u s o i d . T h i s t y p e o f E - p u l s e w a v e f o r m i s t e r m e d a " s i n g l e - m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l " , " m e t h m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m " , o r a n " E - m - p u l s e " , s i n c e i t e x c i t e s o n l y t h e s i n g l e m ' t h m o d e ( o r , a l t e r n a t i v e l y , e l i m i n a t e s a l l b u t t h e m ' t h m o d e . ) T h e g e n e r a l t e r m " E = p u l s e " w i l l b e t a k e n t o i n c l u d e t h e s e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s a s w e l l . D i s c r i m i n a t i o n i n t h i s c a s e r e q u i r e s d i f f e r e n t i a t i n g b e t w e e n a s i n g l e m o d e r e s p o n s e ( f r o m t h e e x p e c t e d t a r g e t ) a n d a c o m b i n a t i o n o f m a n y m o d e s ( f r o m a d i f f e r e n t t a r g e t . ) T h i s i s a r e l a t i v e l y s i m p l e t a s k , s i n c e i t i s n o t n e c e s s a r y t o d e c o m p o s e t h e w a v e f o r m s i n t o t h e i r n a t u r a l m o d e c o n s t i t u e n t s , a s w a s r e q u i r e d b y t h e n a t u r a l m o d e c o m p a r i s o n t e c h n i q u e s o f c h a p t e r 3 . P e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c o f t h e E - p u l s e i s i t s 3 1 a s p e c t i n d e p e n d e n t n a t u r e . A l t h o u g h e a c h t e r m i n t h e s c a t t e r e d f i e l d r e p r e s e n t a t i o n ( 2 . 4 . 3 ) d e p e n d s u p o n t h e t a r g e t a s p e c t , t h e z e r o o f E ( s ) d e m a n d e d b y ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) w i l l n u l l i f y t h e t e r m . T h i s a l l o w s t h e u s e o f o n e p a r t i c u l a r E — p u l s e r e g a r d l e s s o f t h e t a r g e t ' s p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e r a d a r a n t e n n a . 4 . 3 R e c e i v e D o m a i n D i s c r i m i n a t i o n T h e u s e f u l n e s s o f t r a n s m i t d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n i s l i m i t e d b y p r a c t i c a l c o n s i d e r a t i o n s . I t i s v e r y d i f f i c u l t t o t r a n s m i t c o m p l i c a t e d t i m e - v a r y i n g w a v e f o r m s , e s p e c i a l l y i f t h e y h a v e a D C c o m p o n e n t . T h u s , a n a l t e r n a t i v e t o t r a n s m i t t i n g t h e E - p u l s e w a v e f o r m s m u s t b e c o n s i d e r e d . A n e a s i l y i m p l e m e n t e d t e c h n i q u e i n v o l v e s u t i l i z i n g t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m . A s i n t h e n a t u r a l r e s o n a n c e b a s e d t e c h n i q u e s o f c h a p t e r 3 , a n y c o n v e n i e n t w a v e f o r m w i t h a d e q u a t e f r e q u e n c y c o n t e n t i s u s e d t o i l l u m i n a t e t h e u n k n o w n t a r g e t . B u t r a t h e r t h a n a n a l y z i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d i n t e r m s o f i t s n a t u r a l m o d e c o m p o s i t i o n , i t i s c o n v o l v e d w i t h t h e E - p u l s e d e f i n e d b y e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) . T h e r e s u l t s a r e a n a l o g o u s t o a c t u a l l y t r a n s m i t t i n g t h e E - p u l s e a n d h a v i n g i t i n t e r a c t w i t h t h e t a r g e t . T h i s i s e a s i l y s e e n b y c a l c u l a t i n g t h e c o n v o l u t i o n . C o n s i d e r t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e t i m e d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s c a t t e r e d f i e l d ( 2 . 4 . 4 ) w h i c h i s g i v e n b y N A ' G ) j a m ? ) - j ¢ . ' . < ¥ ) x n e e E S ( ? . S ) = 2 n = 1 - - - - ' + . . 2 s - s n s - s g ( 4 3 I ) C o n v o l u t i o n i n t h e t i m e d o m a i n i s e q u i v a l e n t t o m u l t i p l i c a t i o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h u s ' g a z e I f 7 : B u t V 1 1 3 8 E ) a k n ‘ l n u . ' u ' N , ‘ : . 5 L 1 N A ; ( f o ) e j ¢ a < ? o > e - j ¢ a < ? o > 3 2 L { e ( c ) * E S ( ? o , c ) } = = E “ ? — — T + ‘ ? T ' “ 8 ) < 4 “ ) n — l n n I m p l e m e n t i n g t h e i n v e r s i o n i n t e g r a l ( 2 . 2 . 3 ) a n d i n v o k i n g C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m r e s u l t s i n t h e t i m e d o m a i n c o n v o l v e d r e s p o n s e r ( t ) = e ( c ) * r s ( ¥ o , c ) = ( 4 . 3 . 3 ) N A ' I , + . , + Z . E £ : 3 : E ( s ) e s n t + j ¢ n ( r o ) + E ( S * ) e S H t ' J ¢ n ( r o ) n = 1 2 n n B u t E ( s n ) = E ( s g ) = O b y t h e d e f i n i t i o n o f t h e E - p u l s e ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) , s o r ( t ) = O i n t h e l a t e - t i m e . I n o t h e r w o r d s , t h e E - p u l s e h a s e x t i n g u i s h e d t h e l a t e - t i m e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d . I t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t r e c e i v e d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n i s n o t i d e n t i c a l t o t r a n s m i t d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n . T h e r e s p o n s e g e n e r a t e d b y c o n v o l v i n g a n E - p u l s e w i t h a n u n e x p e c t e d t a r g e t i s i d e n t i c a l t o ( 4 . 3 . 3 ) . H o w e v e r , n o w t h e z e r o e s o f E ( s ) d o n o t c o r r e s p o n d t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e m e a s u r e d t a r g e t . U s i n g t h e f a c t t h a t E ( s g ) a E * ( s n ) ( a s s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n ) e q u a t i o n ( 4 . 3 . 3 ) c a n b e w r i t t e n a s N r ( t ) a n é l A g ( r o ) [ E ( s n ) l e o n t c o s ( w n t + ¢ é ( r o ) + 8 n ) ( 4 . 3 . 4 ) w h e r e 3 3 E r n = R e { E ( s n ) } E i n = I m { E ( s n ) } ( 4 . 3 . 5 ) = 2 2 = ‘ 1 . _ i a I E ( s n ) I / E r n + E i n 8 n t a n E r a T h u s , t h e t i m e d o m a i n r e s p o n s e r ( t ) i s a g a i n a s u m o f n a t u r a l m o d e s , a s i s t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d i n t h e t r a n s m i t d o m a i n t r e a t m e n t . T h e d i f f e r e n c e i s t h a t t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e s w i l l n o t n e c e s s a r i l y b e t h e s a m e a s t h o s e w h i c h w o u l d b e m e a s u r e d i f t h e E - p u l s e w e r e t r a n s m i t t e d d i r e c t l y . T h i s m a y s e e m a t r i v i a l p o i n t , b u t i t i n d i c a t e s t h a t d i s c r i m i n a t i o n s e n s i t i v i t y t o c e r t a i n m o d e s m a y b e a l t e r e d . A s e c o n d i m p o r t a n t p o i n t i s t h a t u s e o f t h e E - p u l s e i n t h e r e c e i v e d o m a i n a l s o g i v e s a s p e c t i n d e p e n d e n t r e s u l t s . T h a t i s , t h e c o n d i t i o n t h a t r ( t ) b e z e r o i n e q u a t i o n ( 4 . 3 . 3 ) d i d n o t d e p e n d o n t h e a s p e c t d e p e n d e n t m o d a l a m p l i t u d e s a n d p h a s e s . T h u s , c o n v o l u t i o n o f t h e E - p u l s e w i t h t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d f r o m t h e e x p e c t e d t a r g e t r e s u l t s i n z e r o l a t e - t i m e r e s p o n s e r e g a r d l e s s o f t h e p o s i t i o n o f t h e t a r g e t w h e n t h e m e a s u r e m e n t s w e r e m a d e . ' S i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s c a n a l s o b e u s e d i n t h e r e c e i v e d o m a i n . U s i n g e q u a t i o n ( 4 . 3 . 4 ) a n d e m p l o y i n g ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) f o r l fi a n , n # m , r e s u l t s i n t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e = ' + a m t ' + r ( t ) A m ( r o ) I E ( s m ) l e c o s ( m m t + ¢ m ( r o ) + 8 m ) ( 4 . 3 . 6 ) A s e x p e c t e d , t h e r e s u l t o f c o n v o l v i n g a s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f t h e e x p e c t e d t a r g e t i s a s i n g l e 3 4 n a t u r a l m o d e . A g a i n , t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f t h i s m o d e m a y n o t b e t h e s a m e a s t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f t h e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e i f t h e w a v e f o r m h a d a c t u a l l y b e e n t r a n s m i t t e d . 4 . 4 E - P u l s e S y n t h e s i s I t i s n o w n e c e s s a r y t o f i n d s o m e c o n v e n i e n t w a y t o i m p l e m e n t t h e d e f i n i n g E - p u l s e e q u a t i o n s . F o r t r a n s m i t d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) w e r e t a k e n a s d e f i n i n g a n E - p u l s e . F o r r e c e i v e d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n i t i s m o r e a p p r o p r i a t e t o d e f i n e a n E - p u l s e v i a r ( t ) = 0 t > T + T ( 4 . 4 . 1 ) E e w h e r e r ( t ) i s g i v e n b y r ( t ) = e ( t ) * t s ( ? o , t ) ( 4 . 4 . 2 ) a s i n e q u a t i o n ( 4 . 3 . 3 ) . H e r e T E i s t h e l e n g t h o f t h e e a r l y t i m e p e r i o d o f t h e m e a s u r e d r e s p o n s e d e t e r m i n e d b y = + . . T E T w 2 T ( 4 4 3 ) w h e r e T i s t h e m a x i m a l o n e w a y t r a n s i t t i m e o f t h e t a r g e t a n d T w i s t h e d u r a t i o n o f t h e i n c i d e n t w a v e f o r m . T o t h i s m u s t b e a d d e d T e ’ t h e f i n i t e d u r a t i o n o f t h e E - p u l s e w a v e f o r m , t o s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e c o n v o l u t i o n . I t i s o b v i o u s t h a t T e m u s t a l w a y s b e t a k e n t o b e 3 5 f i n i t e , o r e l s e t h e r e w o u l d b e n o l a t e s t i m e p e r i o d . I t i s a l s o s e e n t h a t r e c e i v e d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n h a s l e s s l a t e - t i m e w i t h w h i c h t o w o r k , s i n c e t h e d u r a t i o n o f t h e e x c i t a t i o n w a v e f o r m m u s t b e a d d e d t o e a r l y - t i m e . T h i s c o u l d b e i m p o r t a n t i f t h e t a r g e t h a s r a p i d l y d e c a y i n g n a t u r a l m o d e s . B o t h r e c e i v e d o m a i n a n d t r a n s m i t d o m a i n d i s c r i m i n a t i o n p e r s p e c t i v e s a r e n o w c o n s i d e r e d , a n d a r e s h o w n t o b e e q u i v a l e n t . 4 . 4 . 1 T r a n s m i t D o m a i n P e r s p e c t i v e T h i s a n a l y s i s m a y a c t u a l l y b e t e r m e d a f r e q u e n c y d o m a i n a n a l y s i s s i n c e i t i s t h e f r e q u e n c y d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e x c i t a t i o n w a v e f o r m w h i c h i s u t i l i z e d . T h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e e x c i t a t i o n w a v e f o r m e ( t ) c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g e q u a t i o n ( 2 . 2 . 2 ) a s T E ( s ) = L { e ( t ) } = f e e ( t ) e - S t d t ( 4 . 4 . 1 . 1 ) o w h e r e T e i s t h e f i n i t e d u r a t i o n o f t h e w a v e f o r m . T h e t r a n s m i t d o m a i n d e f i n i t i o n o f t h e E - p u l s e ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) r e q u i r e s T e - s t E ( s n ) = I e ( t ) e n d t = o 1 : 6 1 p ( 4 . 4 . 1 . 2 ) 0 T e 1 ' : - S t E ( s g ) = f e ( t ) e n d t = o l i n i N ( 4 . 4 . 1 . 3 ) 0 W r i t i n g 3 n = o n + j m n a n d e x p a n d i n g t h e e x p o n e n t i a l y i e l d s 3 6 T e - 0 n t o o E ( s n ) = f e ( t ) e ( c o s m n t - 3 3 1 n w n t ] d t = o l f n i N ( 4 . 4 . 1 . 4 ) 0 T e - 0 t E ( s g ) . f e ( t ) e n ( c o s w n t + j s i n m n t ) d t o l i n i N ( 4 . 4 . 1 . 5 ) 0 N o t e t h a t t h i s s h o w s t h a t E ( s g ) = E * ( s n ) . B o t h ( 4 . 4 . 1 . 4 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 5 ) h o l d s i m u l t a n e o u s l y o n l y i f T e - o n t _ f e ( t ) e c o s w n t d t - o l i n i N ( 4 . 4 . 1 . 6 ) 0 T e - o t . I e ( t ) e n S l n w n t d t = o l f p r ( 4 . 4 . 1 . 7 ) 0 T h e s e t w o e q u a t i o n s w i l l b e u s e d t o c a l c u l a t e e ( t ) u p o n a n a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n . 4 . 4 . 2 R e c e i v e D o m a i n P e r s p e c t i v e J u s t a s s e c t i o n 4 . 4 . 1 w a s a c t u a l l y a f r e q u e n c y d o m a i n a n a l y s i s , t h i s s e c t i o n c a n m o r e a c u r a t e l y b e t e r m e d a t i m e d o m a i n a n a l y s i s s i n c e a l l c a l c u l a t i o n s a v o i d t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f e ( t ) . I n v o k i n g t h e r e c e i v e d o m a i n d e f i n i t i o n o f t h e E - p u l s e ( 4 . 4 . 1 ) a l o n g w i t h e q u a t i o n ( 4 . 4 . 2 ) a n d t h e s c a t t e r e d f i e l d r e p r e s e n t a t i o n ( 2 . 4 . 4 ) y i e l d s N r ( t ) = e ( t ) * n § 1 A ; ( f o ) e O n t c o s ( w n t + ¢ ; ( f o ) ) = 0 ( 4 . 4 . 2 . 1 ) W r i t i n g t h e c o n v o l u t i o n i n i n t e g r a l f o r m g i v e s 3 7 T e N + ( - , r ( t ) = I e ( t ' ) Z A ' ( r ) e o n t t > x 0 n = 1 n o _ i l + i = x c o s ( m n ( t t ) + ¢ n ( r o ) ) d t 0 ( 4 . 4 . 2 . 2 ) w h i c h c a n b e w r i t t e n m o r e s i m p l y a s N r ( t ) = Z A r ' l ( - 1 r o ) e o n t x n = 1 x ( a n c o s ( m n t + ¢ ; ( f o ) ) + b n s i n ( m n t + ¢ g ( f o ) ) ) = 0 ( 4 . 4 . 2 . 3 ) w h e r e T 1 e - o t f e ( t ' ) e n c o s w n t ' d t ' ( 4 . 4 . 2 . 4 ) O 0 : l l T e - o t ' f e ( t ' ) e n s i n w n t ' d t ' ( 4 . 4 . 2 . 5 ) O 0 " l l N o w , s i n c e s i n ( w n t + ¢ n ) a n d c o s ( w n t + ¢ n ) a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , e q u a t i o n ( 4 . 4 . 2 . 2 ) c a n h o l d o n l y i f a n = b n = O f o r a l l l i n i N . T h i s r e q u i r e s T I e ( t ' ) e n c o s w n t d t 0 l O I E P E N ( 4 . 4 . 2 . 6 ) T e - 0 t ' I e ( t ' ) e n s i n w n t ' d t ' 0 l l 0 l fi a n ( 4 . 4 . 2 . 7 ) 3 8 w h i c h a r e i d e n t i c a l t o ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) f r o m t h e t r a n s m i t d o m a i n a n a l y s i s . 4 . 4 . 3 E - p u l s e R e p r e s e n t a t i o n T o i m p l e m e n t t h e 2 N e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) t h e E - p u l s e w a v e f o r m m u s t b e r e p r e s e n t e d m a t h e m a t i c a l l y . I t i s n e c e s s a r y t o h a v e a t l e a s t 2 N v a r i a b l e p a r a m e t e r s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n i n o r d e r t o s a t i s f y t h e e q u a t i o n s . T h e r e p r e s e n t a t i o n n e e d n o t b e l i n e a r i n t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s , a l t h o u g h t h a t i s e s s e n t i a l l y t h e s i m p l e s t c a s e . F o r e x a m p l e , i t i s e a s y t o e n v i s i o n a n E — p u l s e c o m p o s e d o f 2 N f i n i t e d u r a t i o n s i n u s o i d s , e a c h o f e q u a l a m p l i t u d e a n d d u r a t i o n , b u t w i t h f r e q u e n c i e s c h o s e n t o s o l v e t h e d e f i n i n g e q u a t i o n s . T h i s r e s u l t s i n 2 N n o n l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e 2 N u n k n o w n f r e q u e n c y p a r a m e t e r s . T h e m a j o r i t y o f t h e E - p u l s e s t o b e c o n s i d e r e d c a n b e r e p r e s e n t e d a s M e ( t ) = Z o m f m ( t ) ( 4 . 4 . 3 . 1 ) m = 1 w h e r e f m ( t ) i s t h e m ' t h b a s i s f u n c t i o n f r o m a n a p p r o p r i a t e l y c h o s e n s e t a n d a m i s t h e a m p l i t u d e o f t h e b a s i s f u n c t i o n . T h e b a s i s f u n c t i o n s n e e d n o t b e s i m i l a r t o e a c h o t h e r , a n d t h e y m a y o v e r l a p o r b e s u b - s e c t i o n a l . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 4 . 3 . 1 ) i n t o t h e E - p u l s e e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) y i e l d s M T e _ t ' Z a I f ( t ' ) e 0 n c o s w t ' d t ' = o l j i j ( 4 . 4 . 3 . 2 ) m = 1 m 0 m n 3 9 M T e - 0 t ' Z a f f ( t ' ) e n s i n w t ' d t ' 1 < n < N ( 4 . 4 . 3 . 3 ) m m n ' - - m = 1 0 W h e n s o m e o f t h e a m p l i t u d e p a r a m e t e r s r e p r e s e n t a l l t h e u n k n o w n v a r i a b l e s , t h e s e e q u a t i o n s b e c o m e s i m u l t a n e o u s l i n e a r e q u a t i o n s a n d c a n b e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m a s r 1 r y r M e 0 . 1 O 1 m , n - - - - - - : = : ( 4 . 4 . 3 . 4 ) S 0 . m 1 “ 1 1 Q M 1 . 1 w h e r e M c = f f ( t ' ) e O n t c o s w t ' d t ' ( 4 . 4 . 3 . 5 ) m , n o m n T e - ' M S a f f ( t ' ) e ° n t s i n w t ' d t ' ( 4 . 4 . 3 . 6 ) m , n o m n T h e e n t r i e s o f t h e " M " m a t r i x ( 4 . 4 . 3 . 4 ) a r e g e n e r a l l y q u i t e d i f f i c u l t t o c o m p u t e u s i n g ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) . T h e a m o u n t o f e f f o r t n e e d e d t o c a l c u l a t e t h e s e e n t r i e s i n c l o s e d f o r m ( t h a t i s , u s i n g n o n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n ) c a n b e r e d u c e d b y u s i n g t h e t r a n s m i t d o m a i n a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 4 . 1 . C o m p a r i s o n o f e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) w i t h ( 4 . 4 . 1 . 4 ) r e v e a l s t h a t t h e m a t r i x e n t r i e s c a n a l s o b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f f m ( t ) a s c M m n = R e { F m ( s n ) } ( 4 . 4 . 3 . 7 ) E 9 b ' u » t : - R E S 3 I S V . I A " 1 4 1 2 ‘ . . . 4 0 M n = - I m { F m ( s n ) } ( 4 . 4 . 3 . 8 ) w h e r e F m ( s ) i s t h e t r a n s f o r m o f f m ( t ) . W i t h f e w e x c e p t i o n s , t h e t r a n s f o r m o f f m ( t ) w i l l b e a m u c h s i m p l e r f u n c t i o n ( a l b e i t , c o m p l e x ) t h a n t h o s e r e s u l t i n g f r o m t h e c o m p u t a t i o n o f ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) . T h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f F m ( s n ) a r e e a s i l y s e p a r a t e d a f t e r t h e t r a n s f o r m h a s b e e n n u m e r i c a l l y e v a l u a t e d . T h e o n l y d r a w b a c k t o t h i s m e t h o d i s t h e n e e d f o r c o m p l e x a r i t h m e t i c . 4 . 4 . 4 F o r c e d a n d N a t u r a l E - p u l s e s W h e n t h e a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s i n e q u a t i o n ( 4 . 4 . 3 . 1 ) r e p r e s e n t a l l t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s , a s p e c i a l E - p u l s e c a n b e c o n s t r u c t e d w h i c h h a s a h e l p f u l p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n . T h e E - p u l s e w a v e f o r m i s a u g m e n t e d b y a s u b — s e c t i o n a l f o r c i n g f u n c t i o n e f ( t ) e x t e n d i n g f r o m t = 0 t o t = T w h i c h f i r s t i n t e r a c t s w i t h t h e t a r g e t . T h e r e m a i n d e r o f f t h e E - p u l s e , w h i c h e x t e n d s f r o m t = T t o t = T e a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 4 . 4 . 1 , f i s c a l l e d t h e " e x t i n c t i o n " c o m p o n e n t e e ( t ) a n d i s v i e w e d a s e x t i n g u i s h i n g t h e r e s p o n s e c a u s e d b y e f ( t ) . C h o o s i n g a t o t a l o f M = 2 N b a s i s f u n c t i o n s , e q u a t i o n ( 4 . 4 . 3 . 4 ) c a n t h e n b e w r i t t e n a s V W V W V I C C M m , n 0 . 1 F n - - - - - - : = _ _ _ ( 4 . 4 . 4 . 1 ) S O . S 1 \ m ’ n J \ 2 N J k n J 4 1 e ( t ) / — e f m _ _ j f \ \ _ ’ \ f o r c i n g c o m p o n e n t e e ( t ) I e x t i n c t i o n c o m p o n e n t T T t i m e F i g u r e 4 . 4 . 4 . 1 . D e c o m p o s i t i o n o f E - p u l s e w a v e f o r m i n t o f o r c i n g a n d e x t i n c t i o n c o m p o n e n t s . d e t ( E ) = 0 ( 4 . 4 . 4 . 4 ) 4 2 w h e r e T f _ , F : = I e f ( t ' ) e O n t c o s w n t ' d t ' ( 4 . 4 . 4 . 2 ) o T f - ' F : = I e f ( t ' ) e O n t s i n m n t ' d t ' ( 4 . 4 . 4 . 3 ) o T h i s i s a s e t o f 2 N l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e 2 N u n k n o w n a m p l i t u d e p a r a m e t e r s a n d c a n b e s o l v e d e a s i l y b y m a t r i x m e t h o d s . I t i s n o w c o n v e n i e n t t o i d e n t i f y t w o f u n d a m e n t a l t y p e s o f E - p u l s e s . W h e n T f > 0 t h e f o r c i n g v e c t o r o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 4 . 4 . 4 . 1 ) i s n o n - z e r o a n d a s o l u t i o n f o r e e ( t ) e x i s t s f o r n e a r l y a n y c h o i c e o f T e ( e x c l u d i n g t h e c a s e o f a s i n g u l a r m a t r i x . ) T h i s t y p e o f E - p u l s e h a s a n o n - z e r o f o r c i n g c o m p o n e n t a n d i s c a l l e d a " f o r c e d " E - p u l s e . I n c o n t r a s t , w h e n T = 0 t h e f o r c i n g v e c t o r v a n i s h e s f a n d s o l u t i o n s f o r e e ( t ) e x i s t o n l y w h e n t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x i s z e r o . T h e s e s o l u t i o n s c o r r e s p o n d t o d i s c r e t e e i g e n v a l u e s f o r t h e E - p u l s e d u r a t i o n T e a n d a r e f o u n d b y s o l v i n g w h e r e M ' i s t h e m a t r i x i n ( 4 . 4 . 4 . 1 ) . S i n c e t h e r e i s n o f o r c i n g c o m - p o n e n t , t h i s t y p e o f E - p u l s e i s v i e w e d a s e x t i n g u i s h i n g i t s e l f a n d i s t e r m e d a " n a t u r a l " E — p u l s e . T h e c o n c e p t o f t h e f o r c e d E - p u l s e c a n b e b r o a d e n e d t o i n v o l v e a f o r c i n g f u n c t i o n w h i c h i s n o t a s u b - s e c t i o n a l b a s i s f u n c t i o n . I n p a r t i c u l a r , i t c a n b e o f t h e t y p e u s e d t o c o n s t r u c t e e ( t ) . I n t h i s 4 3 c a s e t h e f o r c i n g v e c t o r c o m p o n e n t s b e c o m e m e r e l y T C _ e i “ O n t ' v 1 E n - 0 2 N + 1 I f 2 N + 1 ( t ) e c o s w n t d t ( 4 . 4 . 4 . 5 ) T S _ e g ‘ U n t ' . t i F n - 6 2 N + 1 I f 2 N + 1 ( t ) e S l n w n t d t ( 4 . 4 . 4 . 6 ) a n d a 2 N + l i s c h o s e n t o g i v e t h e d e s i r e d n o r m a l i z a t i o n o f t h e E - p u l s e a m p l i t u d e . N o t e t h a t a n a t u r a l E - p u l s e r e q u i r e s o n l y 2 N b a s i s f u n c t i o n s , w h i l e a f o r c e d E - p u l s e r e q u i r e s 2 N + 1 ( i n c l u d i n g t h e f o r c i n g f u n c t i o n . ) 4 . 4 . 5 D C E - p u l s e T h e e l e c t r i c f i e l d s c a t t e r e d b y a c o n d u c t i n g t a r g e t h a s b e e n s h o w n t o t a k e t h e f o r m o f e q u a t i o n ( 2 . 4 . 4 ) . W h e n t h i s f i e l d i s m e a s u r e d , h o w e v e r , i t w i l l s h o w c o n t a m i n a t i o n i n t h e f o r m o f v a r i o u s t y p e s o f n o i s e . C e r t a i n t y p e s o f m e a s u r e m e n t s y s t e m s ( s u c h a s t h o s e u t i l i z i n g d i g i t a l s a m p l i n g ) w i l l a l s o i n t r o d u c e a n a r t i f i c i a l c o n s t a n t D C l e v e l . I n t h i s c a s e , t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d w i l l t a k e t h e f o r m E S ( ? O , c ) a K + I A ; ( f o ) e c n t c o s ( m n t + ¢ ; ( f o ) ) ( 4 . 4 . 5 . 1 ) n = 1 w h e r e K r e p r e s e n t s t h e c o n s t a n t D C l e v e l . I f a n a t t e m p t i s m a d e t o a p p l y t h e E — p u l s e t e c h n i q u e i n t h e r e c e i v e d o m a i n , t h e a t t e m p t w i l l f a i l . T h e c o n v o l u t i o n w i l l r e s u l t i n a n a d d e d D C c o m p o n e n t w h i c h i s n o t i n t e r p r e t e d a s z e r o . I t t h u s b e c o m e s i m p o r t a n t t o s h a p e t h e e x t i n c t i o n p u l s e s o a s t o e l i m i n a t e 4 4 t h e D C l e v e l i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e , a s w e l l a s t h e n a t u r a l m o d e s . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 4 . 5 . 1 ) i n t o t h e r e c e i v e d o m a i n d e f i n i t i o n o f t h e E - p u l s e ( 4 . 4 . 1 ) g i v e s N ‘ * O ' t r ( t ) = x ' + Z A ' ( r ) e n x _ n o n - l x ( a 6 6 5 ( 6 c + ¢ ' ( ? ) ) + b s i n ( m c + ¢ ' ( ¥ ) ) ) = o ( 4 4 5 2 ) n n n o n n n o ' ° ° ° w h e r e a n a n d b n a r e g i v e n b y ( 4 . 4 . 2 . 4 ) a n d ( 4 . 4 . 2 . 5 ) a n d T e K ' = I e ( t ' ) d t ' ( 4 . 4 . 5 . 3 ) o F o r ( 4 . 4 . 5 . 2 ) t o h o l d r e q u i r e s a = b = 0 l i n i N ( 4 . 4 . 5 . 4 ) a n d K ! N 0 ( 4 . 4 . 5 . 5 ) T h e f i r s t t w o r e q u i r e m e n t s a r e e x a c t l y a s p r e v i o u s l y d e t e r m i n e d f o r a n o n - D C E - p u l s e ( 4 . 4 . 2 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 2 . 7 ) . T h e t h i r d r e q u i r e m e n t i s e q u i v a l e n t t o d e m a n d i n g t h a t t h e a r e a u n d e r t h e E - p u l s e b e z e r o . D C E - p u l s e s c a n b e c o n s t r u c t e d a s f o r c e d o r n a t u r a l , e x a c t l y a s i n s e c t i o n 4 . 4 . 4 . H o w e v e r , t h e a d d e d r e q u i r e m e n t f r o m e q u a t i o n ( 4 . 4 . 5 . 5 ) n e c e s s i t a t e s t h e u s e o f a n a d d i t i o n a l b a s i s f u n c t i o n i n t h e E - p u l s e 4 5 e x p a n s i o n ( 4 . 4 . 3 . 1 ) . T h u s , a f o r c e d D C E — p u l s e w i l l c o n s i s t o f 2 N + 2 b a s i s f u n c t i o n s a n d a n a t u r a l D C E - p u l s e w i l l c o n s i s t o f 2 N + 1 b a s i s f u n c t i o n s . T h e E - p u l s e w a v e f o r m i t s e l f i s f o u n d b y s o l v i n g t h e m a t r i x p r o b l e m g i v e n b y ( 4 . 4 . 4 . 1 ) , w i t h o n e a d d i t i o n a l r o w t o i m p l e m e n t ( 4 . 4 . 5 . 5 ) . N o t e t h a t t h e r e q u i r e m e n t g i v e n b y ( 4 . 4 . 5 . 5 ) c a n b e i n t e r p r e t e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n a s r e q u i r i n g E ( s = 0 ) = 0 ( 4 . 4 . 5 . 6 ) T h i s i s e a s i l y s e e n b y s u b s t i t u t i n g s = 0 i n t o e q u a t i o n ( 4 . 4 . 1 . 1 ) . T h e r e s u l t i s i d e n t i c a l t o ( 4 . 4 . 5 . 3 ) . A s w i t h t h e o t h e r e n t r i e s i n t h e " M " m a t r i x , c a l c u l a t i n g t h e s p e c t r a o f t h e b a s i s f u n c t i o n s a n d u s i n g e q u a t i o n ( 4 . 4 . 5 . 6 ) i s u s u a l l y m u c h s i m p l e r t h a n c a l c u l a t i n g ( 4 . 4 . 5 . 3 ) . 4 . 4 . 6 C o n v o l u t i o n a l E - p u l s e A q u i t e i n t e r e s t i n g a n d u s e f u l p r o p e r t y o f t h e E - p u l s e i s t h a t t h e c o n v o l u t i o n o f a n E - p u l s e s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e o n e g r o u p o f n a t u r a l m o d e s w i t h a n E - p u l s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e a d i f f e r e n t g r o u p r e s u l t s i n a s i n g l e E - p u l s e w h i c h w i l l e l i m i n a t e b o t h g r o u p s o f m o d e s . T h i s i s v e r i f i e d i n t h e r e c e i v e d o m a i n t h r o u g h e q u a t i o n ( 4 . 3 . 3 ) a n d t h e f a c t t h a t c o n v o l u t i o n i n t h e t i m e d o m a i n i s e q u i v a l e n t t o m u l t i p l i c a t i o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . I f E ( s ) i s t a k e n a s t h e p r o d u c t o f s e v e r a l s p e c t r a , e a c h w i t h z e r o e s a t v a r i o u s n a t u r a l f r e q u e n c i e s , t h e n E ( s ) w i l l a l s o h a v e z e r o e s a t t h o s e f r e q u e n c i e s . T h u s , r ( t ) w i l l h a v e n o n a t u r a l m o d e c o n t e n t c o r r e s p o n d i n g t o t h o s e 4 6 f r e q u e n c i e s . I d e n t i c a l r e a s o n i n g a p p l i e s t o t h e t r a n s m i t d o m a i n t h r o u g h e q u a t i o n ( 2 . 4 . 3 ) . S i n c e a o n e m o d e E - p u l s e t a k e s t h e m i n i m u m a m o u n t o f e f f o r t t o c a l c u l a t e , t h i s m e t h o d p r e s e n t s a n a l t e r n a t i v e t o s o l v i n g l a r g e m a t r i x p r o b l e m s o f t h e f o r m o f ( 4 . 4 . 4 . 1 ) . I f N o n e m o d e E — p u l s e s c a n b e s y n t h e s i z e d e a c h t o e l i m i n a t e a d i f f e r e n t m o d e , t h e n a n N m o d e E - p u l s e i s e a s i l y c o n s t r u c t e d b y t a k i n g t h e i r c o n v o l u t i o n . T h i s i s e s p e c i a l l y s i m p l e w h e n d e l t a f u n c t i o n s o f e q u a l s p a c i n g a r e u s e d a s t h e b a s i s f u n c t i o n s w h e n c a l c u l a t i n g t h e o n e m o d e E - p u l s e s [ 2 2 ] . T h e d u r a t i o n o f t h e c o n v o l u t i o n o f t w o f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m s i s m e r e l y t h e s u m o f t h e t w o d u r a t i o n s . T h u s , t h e d u r a t i o n o f t h e c o n v o l u t i o n a l E - p u l s e m a y b e w r i t t e n a s M T e = . 2 T e i ( 4 . 4 . 6 . 1 ) 1 = 1 w h e r e T e i i s t h e d u r a t i o n o f t h e i ' t h E - p u l s e o f t h e M u s e d i n t h e c o n v o l u t i o n . N o t e t h a t t h i s m a y b e m a d e a s s h o r t a s d e s i r e d i f f o r c e d E - p u l s e s a r e u s e d . 4 . 4 . 7 S i n g l e M o d e E x c i t a t i o n W a v e f o r m s T h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m w a s o r i g i n a l l y d e f i n e d i n s e c t i o n 4 . 2 a s j u s t a s p e c i a l c a s e o f t h e E - p u l s e w h e r e o n e m o d e w a s i g n o r e d d u r i n g t h e s y n t h e s i s . A l t h o u g h t h i s t y p e o f E — p u l s e w i l l c e r t a i n l y e x c i t e a s i n g l e m o d e u p o n i n t e r a c t i o n w i t h a t a r g e t , t h e c o n c e p t o f s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n c a n b e e x p a n d e d t o i n c l u d e m o r e s p e c i f i c i n f o r m a t i o n a b o u t t h e m o d e ( i n e s s e n c e , p h a s e . ) 4 7 F r o m t h e r e c e i v e d o m a i n p e r s p e c t i v e , t h e c o n v o l u t i o n o f a s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m a n d t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 4 . 3 . 4 ) . T h e o r i g i n a l d e f i n i t i o n o f t h e E - m - p u l s e r e q u i r e s a n = b n = O f o r l j a n , n # m , r e s u l t i n g i n t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e = ' + a m t ; ' + r ( t ) A m ( r O ) I E ( s m ) I e c o s ( m m t + ¢ m ( r o ) + 8 m ) ( 4 . 4 . 7 . 1 ) T h e t r a n s m i t d o m a i n a n a l y s i s g i v e s e q u i v a l e n t r e s u l t s t h r o u g h e q u a t i o n ( 2 . 4 . 4 ) a n d t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d w o u l d b e m e r e l y S + = g + O m t ' + E ( r o , t ) A m ( r o ) e c o s ( m m t + ¢ m ( r o ) ) ( 4 . 4 . 7 . 2 ) S y n t h e s i s o f t h i s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m p r o c e e d s e x a c t l y a s w i t h t h e E - p u l s e , v i a e q u a t i o n ( 4 . 4 . 3 . 1 ) . ' I f t h e a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s a r e t a k e n t o b e t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s , t h e n b o t h f o r c e d a n d n a t u r a l s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s c a n b e c o n s t r u c t e d . N o t e t h a t t h e n a t u r a l w a v e f o r m r e q u i r e s o n l y 2 N — 2 b a s i s f u n c t i o n s ( s i n c e o n e l e s s m o d e i s b e i n g e l i m i n a t e d ) a n d t h e f o r c e d w a v e f o r m r e q u i r e s o n l y 2 N — 1 . A m a t r i x e q u a t i o n d i r e c t l y a n a l o g o u s t o ( 4 . 4 . 4 . 1 ) n o w d e s c r i b e s t h e p r o b l e m , w i t h 2 N - 2 e n t r i e s r a t h e r t h a n 2 N . C l o s e e x a m i n a t i o n o f e q u a t i o n ( 4 . 4 . 2 . 3 ) r e v e a l s t h a t a m o r e s p e c i f i c E - m - p u l s e c a n b e s y n t h e s i z e d b y r e q u i r i n g ( 4 . 4 . 7 . 3 ) 4 8 T h e n t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e b e c o m e s + o t + = A . m 0 + ' r s ( t ) m ( r o ) e b m 5 5 1 n ( w m t ¢ m ( r o ) ) w h e r e T e - 0 t ' b = I e S ( t ' ) e m s i n w m t ' d t ' m s 0 0 n t h e o t h e r h a n d , r e q u i r i n g a = b = 0 l i n i N n # m r e s u l t s i n t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e ' + g m t ' - > r c ( t ) A m ( r o ) e a m c c o s ( w m t + ¢ m ( r o ) ) w h e r e T e - 0 t . ' ' a = I e ( t ' ) e m c o s m t d t I n c 0 C 1 1 1 ( 4 . 4 . 7 . 4 ) ( 4 . 4 . 7 . 5 ) ( 4 . 4 . 7 . 6 ) ( 4 . 4 . 7 . 7 ) ( 4 . 4 . 7 . 8 ) T h e f i r s t o f t h e s e E - m - p u l s e s , e s ( t ) , i s c a l l e d a s i n e m ' t h m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s i n c e t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e v a r i e s a s s i n ( m m t + ¢ $ ) a n d t h e s e c o n d , e c ( t ) , a c o s i n e m ' t h m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s i n c e t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e v a r i e s a s c o s ( m m t + ¢ $ ) . a l f l u « P i v L u . ‘ ‘ 0 . . . ! - ‘ v 4 9 B y a d d i n g a n a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t , t h e t w o E - p u l s e s h a v e b e e n c o n s t r u c t e d t o b e e x a c t l y n i n e t y d e g r e e s o u t o f p h a s e . T h e o r i g i n a l E - p u l s e d e s c r i b e d b y ( 4 . 4 . 7 . 1 ) i s a c o m b i n a t i o n o f t h e s i n e a n d c o s i n e w a v e f o r m s a n d i s t e r m e d a s i n / c o s m ' t h m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m . T h e u t i l i t y o f t h e s i n e a n d c o s i n e E - m - p u l s e s i s m a d e a p p a r e n t t h r o u g h t h e f o l l o w i n g n o r m a l i z a t i o n s c h e m e . L e t é é t ) = K c e c ( t ) s u c h t h a t ~ T e ~ - 0 t ' = I e ( t ' ) e m C O S w t ' d t ' = 1 ( 4 . 4 . 7 . 9 ) m e o c m T h e n T e - 0 t ' I K e ( t ' ) e m c o s w t ' d t ' = 1 ( 4 . 4 . 7 . 1 0 ) o c c m o r 1 K = ( 4 . 4 . 7 . 1 1 ) c T e - 0 t ' I e ( t ' ) e m c o s m t ' d t ' c m 0 T h u s ~ e c ( t ) e ( t ) = T — - r — 7 ( 4 . 4 . 7 . 1 2 ) e _ i I e ( t ' ) e a m t c o s w t ' d t ' o c m L i k e w i s e , c h o o s e t h e n o r m a l i z e d 6 5 ( 6 ) s u c h t h a t ~ T e ~ - o t ' b m s = I e s ( t ' ) e m s i n w m t ' d t ' = 1 ( 4 . 4 . 7 . 1 3 ) O 5 0 w h i c h r e s u l t s i n e ( t ) e s ( t ) = S ( 4 . 4 . 7 . 1 4 ) T e _ , I e ( t ' ) e O m t s i n w t ' d t ' O S m N o w , e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 7 . 4 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 7 ) c a n b e w r i t t e n i n n o r m a l i z e d f o r m a s E ( t ) = A ' ( ? ) e O m t B s i n ( m c + ¢ ' ( ¥ ) ) ( 4 . 4 . 7 . 1 5 ) S m 0 m s m m 0 E ( t ) = A ' ( ? ) e o m t a c o s ( c + ¢ ' ( ¥ ) ) ( 4 . 4 . 7 . 1 6 ) C m 0 [ D C ( A m 1 1 1 0 B u t a = E m s = 1 b y t h e n o r m a l i z a t i o n j u s t i m p o s e d , s o + _ r ( t ) w t + ¢ ' ( r ) = t a n 3 ( 4 . 4 . 7 . 1 7 ) m m 0 r ( t ) C i ' * = 1 ~ 2 ~ 2 l o g ( A m ( r o ) ) + O m t 1 1 0 g I r C ( t ) + r s ( c ) ) ( 4 . 4 . 7 . 1 8 ) T h e s e e q u a t i o n s p r o v i d e a g o o d g r a p h i c a l m e a n s o f p o r t r a y i n g t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n b a s e d o n t h e s i n e a n d c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s . I f t h e c o n v o l u t i o n i s p e r f o r m e d w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f t h e e x p e c t e d t a r g e t a s i n g l e m o d e w i l l r e s u l t a n d e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 7 . 1 7 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 1 8 ) w i l l p r o d u c e s t r a i g h t l i n e s i n t h e l a t e — t i m e w i t h s l o p e s g i v e n b y c m a n d m m , r e s p e c t i v e l y . H o w e v e r , i f t h e c o n v o l u t i o n i s p e r f o r m e d w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a n u n e x p e c t e d t a r g e t , t h e r e s u l t w i l l t a k e t h e f o r m o f ( 4 . 4 . 2 . 3 ) w h e r e a n # 0 a n d b n # 0 . A p p l y i n g e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 7 . 1 7 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 1 8 ) t h e n y i e l d s s o m e t h i n g ( J ‘ r 4 t r 5 1 q u i t e d i f f e r e n t t h a n s t r a i g h t l i n e s , e a s i l y d i s t i n g u i s h a b l e f r o m t h e r e s u l t s d u e t o t h e e x p e c t e d t a r g e t . I t i s i n t e r e s t i n g t o i n v e s t i g a t e t h e t r a n s m i t d o m a i n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s i n e a n d c o s i n e E - m - p u l s e s . W h a t r e q u i r e m e n t s m u s t b e m a d e o f E ( s ) i n e q u a t i o n ( 2 . 4 . 3 ) s u c h t h a t e q u a t i o n ( 4 . 4 . 7 . 4 ) o r ( 4 . 4 . 7 . 7 ) i s s a t i s f i e d ? T h e a n s w e r i s o b t a i n e d b y w o r k i n g b a c k - w a r d s , a n d e x a m i n i n g t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e d e s i r e d r e s u l t . T a k i n g t h e t r a n s f o r m o f ( 4 . 4 . 7 . 4 ) y i e l d s A ' < ‘ r ’ ) 1 : 3 4 . 1 . 6 ) - j ¢ ' ( ‘ r ’ ) M r s m } = 3 . 3 9 . 3 . 8 . 2 . 7 . 1 . . _ 2 . 2 % . : ( 4 . 4 . 7 . 1 9 ) J S S m 5 s m T h i s s u g g e s t s t h a t E ( s m ) = - E ( s ; ) ( 4 . 4 . 7 . 2 0 ) i s n e c e s s a r y t o s y n t h e s i z e a s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m . T h i s t r a n s l a t e s t o T e _ T e _ s I e ( t ) e S m t d t = - I e ( t ) e S m t d t ( 4 . 4 . 7 . 2 1 ) O O o r , e x p a n d i n g t h e e x p o n e n t i a l s I e ( t ) e G m c o s m m t d t - j I e ( t ) e O m s i n m m t d t = o o = - I e ( t ) e O m t c o s m m t d t - j I e ( t ) e O m t s i n m m t d t ( 4 . 4 . 7 . 2 2 ) 0 o a n d t h u s 3 r 5 2 T e - 0 t I e ( t ) e m c o s w m t d t = 0 ( 4 . 4 . 7 . 2 3 ) o T h i s , t o g e t h e r w i t h t h e r e q u i r e m e n t t h a t E ( s n ) = E ( s g ) = 0 ( e q u i v a l e n t t o a n 3 b n = 0 , a s s h o w n e a r l i e r ) f o r l j n i N , n # m , i s i d e n t i c a l t o t h e r e s u l t s f r o m t h e r e c e i v e d o m a i n a n a l y s i s . S i m i l a r l y , t h e t r a n s f o r m o f ( 4 . 4 . 7 . 7 ) g i v e s A ' c ' r ’ 0 1 a m c a m i d . ) w h e n ] : 3 m — — _ — — — — — — L { r c ( t ) } 2 S _ S + S _ S * ( 4 . 4 . 7 . 2 4 ) m m s u g g e s t i n g = * E ( s m ) E ( s m ) ( 4 . 4 . 7 . 2 5 ) i s r e q u i r e d t o c o n s t r u c t a c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m . T h i s m e a n s T T e _ e - * I e ( t ) e S m t d t = I e ( t ) e S m t d t ( 4 . 4 . 7 . 2 6 ) o 0 o r T e _ T e - I e ( t ) e o m t c o s m m t d t - j I e ( t ) e O m t s i n m m t d t = o 0 T e - 0 t T e - 0 t = I e ( t ) e m c o s m m t d t + j I e ( t ) e m s i n m m t d t ( 4 . 4 . 7 . 2 7 ) o 0 S O . < r - a 1 ‘ i n ‘ V . . . " 1 “ . M ‘ 1 ( I ) 5 3 T e - o t I e ( t ) e m s i n m m t d t = o ( 4 . 4 . 7 . 2 8 ) 0 w h i c h i s t h e s a m e a s r e q u i r e d b y t h e r e c e i v e d o m a i n a n a l y s i s ( 4 . 4 . 7 . 6 ) . F o r c a l c u l a t i o n p u r p o s e s ( a n a l o g o u s t o ( 4 . 4 . 3 . 7 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 8 ) ) e q u a t i o n ( 4 . 4 . 7 . 2 3 ) f o r t h e s i n e s i n g l e m o d e c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e t r a n s f o r m o f e ( t ) a s R e { E ( s m ) } = 0 ( 4 . 4 . 7 . 2 9 ) a n d e q u a t i o n ( 4 . 4 . 7 . 2 8 ) f o r t h e c o s i n e s i n g l e m o d e a s I m { E ( s m ) } = 0 ( 4 . 4 . 7 . 3 0 ) A s w i t h t h e E - p u l s e , b o t h t h e s i n e a n d c o s i n e E - m — p u l s e s c a n b e c o n s t r u c t e d a s f o r c e d o r n a t u r a l w a v e f o r m s . D u e t o t h e a d d e d c o n s t r a i n t g i v e n b y ( 4 . 4 . 7 . 2 9 ) o r ( 4 . 4 . 7 . 3 0 ) , t h e n u m b e r o f b a s i s f u n c t i o n s r e q u i r e d i n ( 4 . 4 . 3 . 1 ) f o r t h e s y n t h e s i s i s 2 N - 1 f o r t h e n a t u r a l E - m — p u l s e a n d 2 N f o r t h e f o r c e d w a v e f o r m . T h e y c a n a l s o b e s y n t h e s i z e d a s D C s i n e o r c o s i n e E - m - p u l s e s b y a d d i n g t h e r e q u i r e m e n t g i v e n b y e q u a t i o n ( 4 . 4 . 5 . 6 ) a n d u s i n g o n e m o r e b a s i s f u n c t i o n . T h e s o l u t i o n f o r a n y o f t h e s e w a v e f o r m s r e s u l t s f r o m t h e s o l u t i o n t o a m a t r i x p r o b l e m a n a l o g o u s t o ( 4 . 4 . 4 . 1 ) . I n a d d i t i o n , c o n v o l u t i o n a l s i n e a n d c o s i n e s i n g l e m o d e s i g n a l s a r e e a s i l y c r e a t e d b y c o n v o l v i n g E - p u l s e s t o ( j o i n t l y ) e l i m i n a t e a l l t h e m o d e s i n a r e s p o n s e e x c e p t t h e o n e t o b e e x c i t e d . f ) ‘ 4 . . 1 ; ( O . V 4 4 r r H . 5 4 O n e l a s t m e t h o d o f s i n e a n d c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s y n t h e s i s i s w o r t h m e n t i o n i n g . I n e q u a t i o n ( 4 . 4 . 2 . 3 ) r e q u i r i n g a = b = 0 1 < n < N n ¢ m n n - — - ( 4 . 4 . 7 . 3 1 ) b = 0 a = 1 m m w i l l r e s u l t i n a c o s i n e E - m - p u l s e w i t h a n y s e l e c t a b l e d u r a t i o n ( e x c e p t f o r t h o s e r e s u l t i n g i n a s i n g u l a r c o e f f i c i e n t m a t r i x . ) T h i s r e q u i r e s 2 N b a s i s f u n c t i o n s a n d h a s a s o l u t i o n g i v e n b y t h e s o l u t i o n t o t h e m a t r i x p r o b l e m f r r y I 0 . 1 I O c I M m , n 1 = 0 ( 4 0 4 0 7 . 3 2 ) ' 0 M s m , n . a 0 . 1 . 2 N . 1 w h e r e M S a n d M C a r e g i v e n b y e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) . T h u s , t h i s i s e q u i v a l e n t t o a f o r c e d E - m — p u l s e i n t h e s p i r i t o f t h e p r e c e d i n g a n l y s i s . L i k e w i s e , r e q u i r i n g S ) : 5 L . . y \ - i \ ‘ A J a . k . ‘ * 1 5 5 ( 4 . 4 . 7 . 3 3 ) w i l l r e s u l t i n a s i n e E - m - p u l s e w i t h a s o l u t i o n d e t e r m i n e d b y s o l v i n g r i r r a l I 0 1 M C : m , n . 0 0 = . ( 4 . 4 . 7 . 3 4 ) M S 1 m , n a 0 L J \ 2 N J \ J T h i s w a v e f o r m i s e q u i v a l e n t t o a f o r c e d s i n e E - m - p u l s e . T h e b e n e f i t o f t h i s m e t h o d i s t h a t b e c a u s e o f t h e r e q u i r e m e n t s o n a m a n d b m i n ( 4 . 4 . 7 . 3 1 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 3 3 ) t h e n o r m a l i z a t i o n p r e v i o u s l y r e q u i r e d b y ( 4 . 4 . 7 . 9 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 1 3 ) i s a u t o m a t i c a l l y i n c l u d e d . 4 . 5 E - p u l s e B a s i s S e t s I t i s p o s s i b l e t o c h o o s e a n y n u m b e r o f b a s i s s e t s t o r e p r e s e n t t h e E - p u l s e i n ( 4 . 4 . 3 . 1 ) . H o w e v e r , a j u d i c i o u s c h o i c e m u s t t a k e t h e f o l l o w i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n : s i m p l i c i t y o f r e p r e s e n t a t i o n , s i m p l i c i t y o f c a l c u l a t i o n , n o i s e a v e r a g i n g q u a l i t y , p o s s i b i l i t y o f c o n t i n u o u s w a v e f o r m r e p r e s e n t a t i o n , c o m p l e t e n e s s , a n d f r e q u e n c y d o m a i n s h a p i n g . A b a s i s s e t c o n s i s t i n g o f v e r y c o m p l i c a t e d f u n c t i o n s w o u l d n e e d t o 5 6 d i s p l a y s o m e i m p o r t a n t a l t e r n a t e q u a l i t y t o o u t w e i g h t h e f i r s t t w o c o n s i d e r a t i o n s . F i v e d i f f e r e n t E - p u l s e b a s i s s e t s w i l l b e c o n s i d e r e d i n t h i s s e c t i o n a n d t h r o u g h o u t t h e r e m a i n d e r o f t h i s t h e s i s . E a c h h a s v a r y i n g c o m b i n a t i o n s o f t h e a b o v e q u a l i t i e s . T h e r e q u i r e d E - p u l s e m a t r i x e n t r i e s ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) w i l l b e d e r i v e d f o r e a c h b a s i s s e t , a s w e l l a s t h e E - p u l s e s p e c t r u m ( 4 . 4 . 1 . 1 ) . T o p r o v i d e c o m p a r i t i v e e x a m p l e s e a c h b a s i s s e t w i l l t h e n b e u s e d t o c o n s t r u c t v a r i o u s t y p e s o f f o r c e d a n d n a t u r a l E - p u l s e s a n d s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s . 4 . 5 . 1 P o l y n o m i a l E - p u l s e A q u i t e s i m p l e s e t o f E - p u l s e b a s i s f u n c t i o n s i s g i v e n b y _ m - l f m ( t ) - t ( 4 . 5 . 1 . 1 ) s o t h a t e ( t ) = Z a c m ‘ l ( 4 . 5 . 1 . 2 ) T h u s , a n N m o d e E - p u l s e i s m e r e l y a p o l y n o m i a l o f d e g r e e M - l , w h e r e M d e p e n d s u p o n t h e n u m b e r o f b a s i s f u n c t i o n s n e e d e d ( e . g . M - l = 2 N f 1 f o r a n a t u r a l E - p u l s e . ) T h e m o t i v a t i o n b e h i n d c h o o s i n g t h i s s e t o f b a s i s f u n c t i o n s i s t w o f o l d . F i r s t , m a n y t y p e s o f p o l y n o m i a l s ( s u c h a s C h e b y s h e v ) h a v e s p e c i a l p r o p e r t i e s w h i c h m i g h t b e u s e f u l i n c o n s t r u c t i n g a n E - p u l s e . T h e e x p a n s i o n ( 4 . 5 . 1 . 2 ) h a s a m u c h s i m p l e r f o r m t h a n t h e s e , b u t i t d o e s 5 7 d i s p l a y t h e g e n e r a l b e h a v i o r o f a p o l y n o m i a l E - p u l s e . S e c o n d , t h i s E - p u l s e h a s t h e b e n e f i t o f b e i n g s m o o t h a n d c o n t i n u o u s . W h e n t h e c o n v o l u t i o n p r o c e s s i n ( 4 . 4 . 2 ) i s p e r f o r m e d a l l o f t h e s a m p l e d p o i n t s o f t h e m e a s u r e d r e s p o n s e w i l l b e u s e d , a v e r a g i n g a n d t h u s r e d u c i n g t h e n o i s e l e v e l . T h e m a t r i x e l e m e n t s r e q u i r e d t o c o n s t r u c t t h e p o l y n o m i a l E - p u l s e a r e g i v e n b y ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) S u b s t i t u t i n g ( 4 . 5 . 1 . 1 ) y i e l d s c T e m - l - o n t - I t e c o s w n t d t ( 4 . 5 . 1 . 3 ) o e — _ . c m 1 e O u t s i n w n t d t ( 4 . 5 . 1 . 4 ) : 3 ( I ) l l 0 “ H P — 3 T h e i n t e g r a t i o n s c a n b e p e r f o r m e d b y u s i n g s u c c e s s i v e i n t e g r a t i o n b y p a r t s [ 2 3 ] , r e s u l t i n g i n c m l _ m e - o n T e m ( — 1 ) r r = 0 ( m - r ) ! ( o n T e ) r c o s ( w n T e - ( r + 1 ) € n ) m - . £ 1 % 1 _ C o s ( - ( m + 1 ) g n ) ) ( 4 . 5 . 1 . 5 ) o n m r M : n a fi i . T : e ‘ 0 n T e Z ( - 1 ) r S i n ( m n T e m ( r - + - 1 ) E n ) - ’ n r = 0 ( m - r ) ! ( p n T e ) m - . & 1 % 1 _ s i n ( - ( m + 1 ) § n ) ( 4 . 5 . 1 . 6 ) p n w h e r e o n = / o § + w § ( 4 . 5 . 1 . 7 ) e J 3 _ ' 0 D _ _ \ 5 8 a n d ( 4 . 5 . 1 . 8 ) 5 n = t a n - 1 I - T h e r e q u i r e d m a t r i x e l e m e n t s a r e o b v i o u s l y q u i t e c o m p l i c a t e d . I t i s e a s y n o w t o s e e t h a t s i m p l i c i t y o f r e p r e s e n t a t i o n d o e s n o t n e c e s s a r i l y g o h a n d i n h a n d w i t h s i m p l i c i t y o f c a l c u l a t i o n . T h e s p e c t r u m o f t h e p o l y n o m i a l E - p u l s e i s f o u n d b y e m p l o y i n g e q u a t i o n ( 4 . 4 . 1 . 1 ) T e M m - l - s t E ( s ) = I Z a m t e d t ( 4 . 5 . 1 . 9 ) o m = 1 I n t e g r a t i n g y i e l d s M f m 1 _ E ( s ) = - Z a 2 4 ' T m e S T E 2 1 - l — - ( 4 . 5 . 1 . 1 0 ) m e r m m = 1 r = 0 ( m - r ) ! ( s T e ) s I t i s n e c e s s a r y t o k n o w t h i s f r e q u e n c y d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n f o r u s e i n e q u a t i o n s s u c h a s ( 4 . 3 . 4 ) . I t a l s o p r o v i d e s a n a l t e r n a t i v e m e t h o d f o r c a l c u l a t i n g t h e E - p u l s e m a t r i x e n t r i e s . A g r e a t s i m p l i c i t y o v e r t h e e n t r i e s ( 4 . 5 . 1 . 5 ) a n d ( 4 . 5 . 1 . 6 ) i s o b v i o u s l y g a i n e d b y u s i n g t h e E r p u l s e s p e c t r u m a n d e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 3 . 7 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 8 ) . T h e p e n a l t y i s t h a t t h e s e e n t r i e s a r e c o m p l e x a n d t h u s c o m p l e x m a t r i x c a l c u l a t i o n s a r e r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e E - p u l s e . 5 9 4 . 5 . 2 D a m p e d S i n u s o i d E - p u l s e A p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t s e t o f E - p u l s e b a s i s f u n c t i o n s i s g i v e n b y f ( t ) = e a m t c o s ( m t + 5 ) ( 4 5 2 1 ) m m m C O C s o t h a t M 8 t ~ = “ 1 ~ e ( t ) Z a m e c o s ( m m t + o m ) ( 4 . 5 . 2 . 2 ) m 1 T h e c h o i c e o f c o m p l e x f r e q u e n c i e s E n = 5 n + j m n a n d p h a s e s I n u s e d i n t h e e x p a n s i o n d e t e r m i n e s t h e u s e f u l n e s s o f t h i s E — p u l s e . D i s c u s s i o n o f a p p r o p r i a t e c h o i c e s i s g i v e n a l o n g w i t h a m o r e i n d e p t h a n a l y s i s o f t h e r e s u l t i n g f r e q u e n c y d o m a i n s h a p i n g i n s e c t i o n 5 . 5 . L i k e t h e p o l y n o m i a l E — p u l s e , t h i s E - p u l s e r e p r e s e n t a t i o n i s s m o o t h a n d c o n t i n u o u s . A s s u c h , i t a l s o h a s t h e b e n e f i t s o f n o i s e r e d u c t i o n t h r o u g h t h e a v e r a g i n g p r o c e s s i n t r o d u c e d b y t h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l . T h e E - p u l s e m a t r i x e n t r i e s a r e f o u n d v i a ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) t o b e T ~ e 1 - _ M C — I e o m t c o s ( w t + ¢ ) e O n t C O S w t d t ( 4 . 5 . 2 . 3 ) m , n o m m n T e “ 3 = o m t ~ ~ - o n t , M m , n I e c o s ( w m t + ¢ m ) e S i n w n t d t ( 4 . 5 . 2 . 4 ) O 6 0 I n t e g r a t i n g g i v e s C - M m ’ n - ( l , ( T e ) - 1 1 ( 0 ) + 1 2 ( T e ) - 1 2 ( 0 ) ) c o s ¢ m - - ( l 3 ( T e ) - l 3 ( 0 ) + l . , ( ' r e ) - l . , ( 0 ) ) s l n q i m ( 4 . 5 . 2 . 5 ) s - M m , “ - ( - l 3 ( T e ) + l 3 ( 0 ) + l . , ( T e ) - I . , ( 0 ) ] c o s ¢ m - - ( 1 1 ( T e ) - l l ( 0 ) - 1 2 ( T e ) + 1 2 ( 0 ) ) s i n é m ( 4 . 5 . 2 . 6 ) w h e r e e A t I l ( t ) = - — — - — - — — - — I B s i n B t + A c o t h I 2 ( A 2 + 8 2 ) e A t 1 2 ( t ) = - — - — - — — — * * I C s i n C t + A c o s C t I 2 ( A Z + c 2 ) ( 4 . 5 . 2 . 7 ) e A t 1 3 ( t ) = - — - — * — — — — - I A s i n B t - B c o t h I 2 ( A 2 + B 2 ) e A t 1 4 ( t ) = — — — — — — — — — - [ A s i n C t - C c o s C t ) 2 ( A 2 + B 2 ) w h e r e A = 6 - o , B = 6 — w , a n d C = 0 + w . m n m n m n T h e E - p u l s e s p e c t r u m i s f o u n d t o b e T e M 6 t ~ ~ - s t E ( s ) = I Z a e m c o s ( w t + ¢ ) e d t ( 4 . 5 . 2 . 8 ) o m = 1 m m m o r N . . : . . . u . . ‘ J 6 1 T T M . ~ - ( s - § ) — 9 T = _ _ e _ 3 % m . - “ _ s E ( s ) 2 I a m e e s 1 n h c [ ( s s m ) 2 I + m = 1 “ j é - ( S - S ; ) — _ - ~ T e + e m e s i n h c ( ( s - s ; ) § — J ( 4 . 5 . 2 . 9 ) w h e r e , z - z s i n h c z 2 E l fl h i i l = - 9 — 4 1 4 1 — - ( 4 . 5 . 2 . 1 0 ) z 2 2 U s i n g t h e s p e c t r u m p r o v i d e s q u i t e a s i z a b l e g a i n i n s i m p l i c i t y o v e r u s i n g ( 4 . 5 . 2 . 5 ) a n d ( 4 . 5 . 2 . 6 ) t o c a l c u l a t e t h e E - p u l s e m a t r i x e n t r i e s . 4 . 5 . 3 F o u r i e r C o s i n e E - p u l s e A F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t c a n b e c o n s t r u c t e d f r o m t h e f u n c t i o n s 1 3 m m = c o s ( ( m - 1 ) % - : ) ( 4 . 5 . 3 . 1 ) s u c h t h a t M t e ( t ) = I a m c o s [ ( m - 1 ) % ; ; ( 4 . 5 . 3 . 2 ) m = 1 T h e s e f u n c t i o n s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t a n d , i n f a c t , f o r m a c o m p l e t e s e t . A n y a r b i t r a r y c o n t i n u o u s w a v e f o r m o f f i n i t e d u r a t i o n T e c a n b e r e p r e s e n t e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f F o u r i e r c o s i n e s . T h i s h a s p a r t i c u l a r l y i n t r i g u i n g i m p l i c a t i o n s f o r E - p u l s e s y n t h e s i s . W h i l e i t i s t r u e t h a t t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a n y t a r g e t c o n t a i n s o n l y a f i n i t e I t r . 6 2 n u m b e r o f n a t u r a l m o d e s , i t i s d i f f i c u l t t o t e l l e x a c t l y w h i c h m o d e s w i l l b e p r e s e n t . A n i d e a l E — p u l s e w a v e f o r m w o u l d e l i m i n a t e t h e e n t i r e i n f i n i t e s e t o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t . T h a t i s , t h e E - p u l s e w o u l d c o n v e r g e t o a d i s t i n c t w a v e f o r m a s t h e n u m b e r o f m o d e s t o b e e l i m i n a t e d w a s t a k e n t o i n f i n i t y . S u c h a n E — p u l s e c o u l d o n l y b e c o n s t r u c t e d a s a n e x p a n s i o n o v e r a c o m p l e t e s e t o f b a s i s f u n c t i o n s . T h e t h o u g h t t h a t a f i n i t e d u r a t i o n E — p u l s e c o u l d b e c o n s t r u c t e d t o e l i m i n a t e a n i n f i n i t e n u m b e r o f n a t u r a l m o d e s i s n o t a s a s t o u n d i n g a s i t m i g h t f i r s t s e e m . I t c a n b e s h o w n q u i t e e a s i l y t h a t a r e c t a n g u l a r p u l s e w a v e f o r m o f p r o p e r l y c h o s e n d u r a t i o n i s a n E - p u l s e f o r a l o s s l e s s t r a n s m i s s i o n l i n e . A p p l i c a t i o n s t o t h e m o r e c o m p l i c a t e d t h i n w i r e s c a t t e r e r w i l l b e a d d r e s s e d i n s e c t i o n 5 . 6 . A F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t h a s o t h e r i m p o r t a n t q u a l i t i e s b e s i d e s t h e p o t e n t i a l o f r e p r e s e n t i n g a n i d e a l E - p u l s e . I t i s s m o o t h a n d c o n t i n u o u s , a n d t h u s h a s t h e b e n e f i t o f n o i s e a v e r a g i n g i n t h e c o n v o l u t i o n p r o c e s s . S i n c e t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t i s m e r e l y a s p e c i a l c a s e o f t h e d a m p e d s i n u s o i d a l b a s i s s e t w i t h t h e i m p l i c i t c h o i c e o f c o m p l e x f r e q u e n c i e s a n d p h a s e s g i v e n b y 5 = 0 1 1 1 ~ n ( 1 1 m 3 ( m - 1 ) T - ; ( 4 . 5 . 3 . 3 ) 9 m = 0 t h e m a t r i x e l e m e n t s r e q u i r e d t o c o n s t r u c t a n E - p u l s e w i l l n o t b e r e p e a t e d . T h e s p e c t r u m o f t h e E - p u l s e i s q u i t e i n t e r e s t i n g , t h o u g h , 6 3 a n d i s f o u n d t o b e T M e - E ( s ) = I Z 0 1 c o s ( ( m - 1 ) 1 ' i ) e S t d t ( 4 . 5 . 3 . 4 ) m T o m = 1 e o r T e T e - 2 M - . ( m - l ) n E ( s ) = 3 " 8 m é l a m J s i n t h s - J T e I + + ( - j ) m - l s i n h c [ s + j £ £ % i l l ) I ( 4 . 5 . 3 . 5 ) e . O f c o u r s e , t h i s c a n a l s o b e v i e w e d a s a s p e c i a l c a s e o f t h e d a m p e d s i n u s o i d a l E — p u l s e s p e c t r u m . A n i n t e r e s t i n g p r o p e r t y o f t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t , e x c e p t f o r m = 1 , e a c h o f t h e b a s i s f u n c t i o n s h a s n o D C c o m p o n e n t . I t i s t h e r e f o r e p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a D C E - p u l s e b y u s i n g o n e f e w e r b a s i s f u n c t i o n ( i . e . b y e l i m i n a t i n g t h e m = 1 t e r m . ) 4 . 5 . 4 P u l s e F u n c t i o n E - p u l s e T h e m o s t u s e f u l b a s i s s e t , d u e i n m o s t p a r t t o i t s g r e a t s i m p l i c i t y , i s o n e c o m p o s e d o f s u b - s e c t i o n a l p u l s e f u n c t i o n s a s g ( t - ( m - 1 ) A ) ( m - 1 ) A § t : m A f ( t ) = ( 4 . 5 . 4 . 1 ) m 0 e l s e w h e r e w h e r e g ( t ) i s s o m e a r b i t r a r y f u n c t i o n a n d A i s t h e p u l s e w i d t h g i v e n b y A = ( 4 . 5 . 4 . 2 ) 6 4 T _ S . M T h e b a s i s f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n c a n b e s i m p l i f i e d s o m e w h a t b y d e f i n i n g 1 ( m - 1 ) A : t : m A P m ( t ) = ( 4 . 5 . 4 . 3 ) 0 e l s e w h e r e T h e n f m ( t ) = P m ( t ) g ( t - ( m - 1 ) A ) ( 4 . 5 . 4 . 4 ) a n d M e ( t ) = I 0 1 P ( t ) g ( t - ( m - 1 ) A ) ( 4 . 5 . 4 . 5 ) m = 1 m m A s i m p l e e x a m p l e o f a p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 5 . 4 . 1 ( a ) . I n p a r t i c u l a r , g ( t ) c o u l d b e d e f i n e d a s n o n z e r o o v e r o n l y a p o r t i o n o f t h e p u l s e w i d t h A . S u c h a n E - p u l s e i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 5 . 4 . 1 ( b ) , w i t h g ( t ) b e i n g i n t h i s c a s e a u n i t s t e p f u n c t i o n . T h e v a l u e o f t h i s t y p e o f E — p u l s e i n r e d u c i n g t h e n o i s e i n t r o d u c e d d u r i n g t a r g e t r e s p o n s e m e a s u r e m e n t s d e p e n d s m u c h u p o n t h e s h a p e o f t h e i n d i v i d u a l p u l s e s . O b v i o u s l y t h e n a r r o w e r p u l s e s o f F i g u r e 4 . 5 . 4 . 1 ( b ) w i l l d o a m u c h p o o r e r j o b o f a v e r a g i n g t h e n o i s e t h a n t h e w i d e r p u l s e s o f F i g u r e 4 . 5 . 4 . 1 ( a ) . A l t h o u g h t h e p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e i s n e v e r s m o o t h , i t i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s , a n d t h e n u m e r i c a l 6 5 " I A 1 ‘ - T e t i m e ( a ) e ( t ) ‘ 4 A 1 ‘ " T e t i m e ( b ) F i g u r e 4 . 5 . 4 . 1 . T y p i c a l p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e w a v e f o r m s . ( a ) U s i n g p u l s e s o f w i d t h A . ( b ) U s i n g p u l s e s o f w i d t h l e s s t h a n A . 6 6 c o n v o l u t i o n c a n b e p e r f o r m e d w i t h o u t d i f f i c u l t y . T h e E - p u l s e m a t r i x e l e m e n t s a r e f o u n d u s i n g ( 4 . 4 . 3 . 5 ) a n d ( 4 . 4 . 3 . 6 ) t o b e T e c g _ _ - o n t M m , n I P m ( t ) g ( t ( m 1 ) A ) e c o s m n t d t ( 4 . 5 . 4 . 6 ) M S I e 1 " O n t ' d 4 4 m , n - O P m ( t ) g ( t - ( m - ) A ) e S l n m n t t ( . 5 . . 7 ) U s i n g t h e d e f i n i t i o n o f P m ( t ) g i v e s m A M c = I g ( c - ( m - 1 ) A ) e ‘ ° n t c o s w t d t ( 4 . 5 . 4 . 8 ) m , n n ( m - 1 ) A 8 m A - 0 t M = I g ( t - ( m - 1 ) A ) e n s i n w t d t ( 4 . 5 . 4 . 9 ) m , n n ( m - 1 ) A N o w , u s i n g t h e s u b s t i t u t i o n u t - ( m - 1 ) A ( 4 . 5 . 4 . 1 0 ) r e s u l t s f i n a l l y i n c - 0 ( — 1 ) A A - o u = e n m c o s w n ( m - 1 ) A I g ( u ) e n c o s w n u d u - O A - e - o n ( m - 1 ) A s i n w n ( m - 1 ) A I g ( u ) e - O n u s i n w n u d u ( 4 . 5 . 4 . 1 1 ) 0 M S = e - O n ( m - 1 ) A c o s ( m - 1 ) A I ( u ) e - O n u s i n u d u + m , n w n 0 8 w n A e - O n ( m - 1 ) A s i n w n ( m - 1 ) A I g ( u ) e - O n u C O S m n u d u ( 4 . 5 . 4 . 1 2 ) O + g ( t ) = 1 ( 4 . 5 . 4 . 1 8 ) 6 7 T h e E - p u l s e s p e c t r u m i s f o u n d u s i n g ( 4 . 4 . 1 . 1 ) t o b e T M E ( s ) = I e Z a P ( t ) g ( t - ( m - 1 ) A ) e - S t d t ( 4 . 5 . 4 . 1 3 ) o m = 1 m m 0 1 ' M m A _ t E ( s ) = Z a I g ( t - ( m - 1 ) A ) e 3 d t ( 4 . 5 . 4 . 1 4 ) m = 1 m ( m - 1 ) A U s i n g t h e s u b s t i t u t i o n g i v e n i n ( 4 . 5 . 4 . 1 0 ) r e s u l t s i n M - s ( m - 1 ) A A - s E ( s ) = I a m e I g ( u ) e u d u ( 4 . 5 . 4 . 1 5 ) m = 1 0 w h i c h c a n a l s o b e w r i t t e n a s s A M - s m A E ( s ) = F 1 ( s ) e Z a m e ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) m = 1 w h e r e F 1 ( s ) i s t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n A F 1 ( s ) = L { f 1 ( t ) } = I g ( t ) e S d t ( 4 . 5 . 4 . 1 7 ) o T h i s i s p a r t i c u l a r l y s i m p l e i n c o m p a r i s o n t o r e s u l t s f o r o t h e r b a s i s s e t s s u c h a s ( 4 . 5 . 1 . 1 0 ) o r ( 4 . 5 . 2 . 9 ) . T h e s i m p l e s t a n d m o s t u s e f u l c h o i c e f o r g ( t ) i n e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 ) i s 6 8 T h i s m e r e l y r e p r e s e n t s a r e c t a n g u l a r p u l s e b a s i s s e t s p a n n i n g T e . T h e u s e f u l n e s s o f t h e r e c t a n g u l a r p u l s e i s t h r e e f o l d : i t i s s i m p l e t o u s e , i t r e p r e s e n t s a u n i f o r m a v e r a g i n g o f n o i s e , a n d i t f o r m s a c o m p l e t e s e t o f b a s i s f u n c t i o n s . T h e c o m p l e t e n e s s c o n d i t i o n p u t s i t i n t h e c a t e g o r y w i t h t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t a s h a v i n g t h e p o t e n t i a l t o r e p r e s e n t a n i d e a l E - p u l s e o f i n f i n i t e m o d a l c o n t e n t . T h e E - p u l s e m a t r i x e n t r i e s f o r t h e r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e a r e f o u n d b y s u b s t i t u t i n g ( 4 . 5 . 4 . 1 8 ) i n t o ( 4 . 5 . 4 . 1 1 ) a n d ( 4 . 5 . 4 . 1 2 ) w h i c h r e s u l t s i n c e - o n m A M m n = - — - — - — - [ - o n c o s w n m A + w n s i n w n m A ) - ’ o % + w % “ e ( ‘ 0 C O S w ( m - 1 ) A + w s i n w ( m - 1 ) A ) ( 4 . 5 . 4 . 1 9 ) 0 2 + , w 2 n n n n n n s e - o n m A M . I n n = - — - — — — - [ - o s i n m n m A - m c o s w n m A ) — : o t z l + w t 2 1 f 1 e - o n ( m - 1 ) A - [ - 0 s i n w ( m - 1 ) A n n w c o s w ( m - 1 ) A ) ( 4 . 5 . 4 . 2 0 ) 0 3 1 4 1 0 1 2 1 n n T h e s p e c t r u m i s c a l c u l a t e d i n a s i m i l a r m a n n e r . F o r a r e c t a n g u - l a r p u l s e e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 7 ) b e c o m e s A F 1 ( s ) = I e ' S t d t = % e s i n h c ( s % J ( 4 . 5 . 4 . 2 1 ) 0 « 3 9 » w h e r e s i n h c ( z ) i s d e f i n e d i n ( 4 . 5 . 2 . 1 0 ) . U s i n g ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) t h e n r e s u l t s i n 6 9 s 9 - M e 2 s i n h c ( s $ 3 I a e ‘ s ‘ “ A ( 4 . 5 . 4 . 2 2 ) m = 1 m N l l > E ( s ) = T h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t i s s o s i m p l e t h a t i t i s p o s s i b l e t o f i n d a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a m . I t i s a l s o p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a d i f f e r e n t b u t v e r y e f f i c i e n t a l g o r i t h m f o r s o l v i n g ( 4 . 4 . 4 . 1 ) f o r a m w i t h o u t p e r f o r m i n g m a t r i x i n v e r s i o n . T h e s e t o p i c s w i l l b e e x p l o r e d f u r t h e r i n s e c t i o n 4 . 6 . 4 . 5 . 5 I m p u l s e F u n c t i o n E - p u l s e P e r h a p s t h e s i m p l e s t s e t o f b a s i s f u n c t i o n s i s d e f i n e d b y f m ( t ) = 5 ( t - m A ) ( 4 . 5 . 5 . 1 ) s o t h a t M e ( t ) = X a 5 ( t - m A ) ( 4 . 5 . 5 . 2 ) . m = 1 m H e r e 6 ( t ) i s t h e D i r a c d e l t a ( i m p u l s e ) f u n c t i o n . T h i s b a s i s s e t c a n b e v i e w e d a s a s p e c i a l c a s e o f t h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t w i t h g ( t ) = 6 ( t - A ) ( 4 . 5 . 5 . 3 ) T h i s i s t h e c a s e s h o w n i n F i g u r e 4 . 5 . 4 . 1 ( b ) w i t h t h e p u l s e s t a k i n g o n z e r o w i d t h b u t f i n i t e , n o n z e r o a r e a . T h e d e l t a f u n c t i o n b a s i s s e t i s t r u l y a p o o r c h o i c e i f n o i s e 7 0 l e v e l i s a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n . C o n v o l u t i o n w i l l r e d u c e t o d i s c r e t e , p o i n t b y p o i n t i n t e g r a t i o n w h i c h p r o v i d e s l i t t l e a v e r a g i n g o f r a n d o m n o i s e . A l s o , t h e d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e i s n o t c o n t i n u o u s a n d d o e s n o t h a v e t h e p o t e n t i a l o f r e p r e s e n t i n g a u n i q u e E - p u l s e o f i n f i n i t e m o d a l c o n t e n t ( i . e . t h e i m p u l s e f u n c t i o n s a r e n o t c o m p l e t e . ) T h e E - p u l s e m a t r i x e n t r i e s a r e f o u n d b y s u b s t i t u t i n g ( 4 . 5 . 5 . 3 ) i n t o ( 4 . 5 . 4 . 1 1 ) a n d ( 4 . 5 . 4 . 1 2 ) a n d u s i n g t h e i n t e g r a l p r o p e r t y o f t h e d e l t a f u n c t i o n X 1 0 0 < _ X 1 < X O I 6 ( x - x o ) f ( x ) d x = ( 4 . 5 . 5 . 4 ) O f ( x o ) X l i x o w h i c h y i e l d s M e = e - o n ( t - m A ) c o s w ( t - m A ) ( 4 . 5 . 5 . 5 ) m , n n M 3 = e - O n ( t - m A ) s i n m ( t - m a ) ( 4 . 5 . 5 . 6 ) m , n n T h e d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e s p e c t r u m i s p a r t i c u l a r l y s i m p l e . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 5 . 5 . 3 ) i n t o ( 4 . 5 . 4 . 1 7 ) a n d u s i n g ( 4 . 5 . 5 . 4 ) r e s u l t s i n - S A F 1 < S > = 8 ( 4 . 5 . 5 . 7 ) a n d t h u s t h e s p e c t r u m i s f o u n d f r o m e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) t o b e M - A E ( s ) = Z a e 3 m ( 4 . 5 . 5 . 8 ) 7 1 T h e f o r c e d d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e h o l d s a v e r y i n t r i g u i n g r e l a t i o n s h i p w i t h P r o n y ' s m e t h o d . I t i s p o s s i b l e t o o b t a i n t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s d i r e c t l y f r o m a m e a s u r e d r e s p o n s e b y e m p l o y i n g P r o n y ' s m e t h o d a s d e s c r i b e d i n g r e a t d e t a i l i n [ 2 2 ] . T h i s p r o c e d u r e h a s t h e d r a w b a c k , h o w e v e r , o f b e i n g d o u b l y s e n s i t i v e t o r a n d o m n o i s e . N o t o n l y i s u s i n g P r o n y ' s m e t h o d t o o b t a i n t h e E - p u l s e f r o m a m e a s u r e d r e s p o n s e h i g h l y s e n s i t i v e t o n o i s e ( a s d e m o n s t r a t e d i n s e c t i o n 6 . 9 ) , b u t u s i n g t h a t E - p u l s e f o r d i s c r i m i n a t i n g a d i f f e r e n t t a r g e t r e s p o n s e p r o v i d e s l i t t l e u s e f u l a v e r a g i n g o f t h e n o i s e i n t h a t r e s p o n s e . 4 . 5 . 6 E x a m p l e s o f E - p u l s e W a v e f o r m s I t i s p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a m u l t i t u d e o f n a t u r a l / f o r c e d / D C E - p u l s e / m ' t h m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s b a s e d o n a c e r t a i n s e t o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s . T h i s s e c t i o n w i l l p r e s e n t a s m a l l n u m b e r o f t h e s e , c h a r a c t e r i s t i c o f w h a t m i g h t b e c o n s t r u c t e d f o r a p r a c t i c a l t a r g e t . T h u s , o n l y E - p u l s e s o f s h o r t d u r a t i o n w i l l b e c o n s i d e r e d ( i n d e f e r e n c e t o m a x i m u m a v a i l a b l e l a t e - t i m e . ) T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d ( o r e x c i t e d ) a r e t a k e n a s t h e f i r s t t e n ( o f t h e f i r s t l a y e r ) o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 5 . 2 . T h e s e a r e s h o w n i n F i g u r e 5 . 2 . 1 . E - p u l s e s a r e c o n s t r u c t e d u s i n g v a r i o u s b a s i s s e t s b y s o l v i n g e q u a t i o n ( 4 . 4 . 4 . 1 ) . T h e f i r s t g r o u p o f E - p u l s e s h a v e b e e n c o n s t r u c t e d u s i n g t h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t ( a n d r e p r e s e n t e d u s i n g r e c t a n g u l a r p u l s e s ) a n d t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 s h o w s n a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n p l o t t e d a g a i n s t t i m e n o r m a l i z e d b y t h e l e n g t h o f t h e c y l i n d e r , L , a n d t h e s p e e d o f l i g h t , c . C o n s t r u c t i o n o f 0 1 . 6 e d u t i l p m A e v i t a l e R 7 2 o c ; r r r r l 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 . N a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . 7 3 t h e s e E - p u l s e s r e q u i r e s a t o t a l o f t w e n t y b a s i s f u n c t i o n s . F o r t h e c a s e o f t h e p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e t h e m i n i m u m d u r a t i o n c a n b e f o u n d e x p l i c i t l y f r o m ( 4 . 6 . 1 . 2 4 ) a n d i s c a l c u l a t e d a s T = 2 0 - — 3 - = 2 . 0 4 0 7 L / c ( 4 . 5 . 6 . 1 ) F o r t h e F o u r i e r c o s i n e E - p u l s e t h e s m a l l e s t d u r a t i o n i s f o u n d v i a n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n t o b e T e = 2 . 0 4 4 6 L / c . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 2 s h o w s n a t u r a l E - p u l s e s o f t h e n e x t l a r g e s t d u r a t i o n . F o r t h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t t h i s d u r a t i o n i s T = 2 0 a ; = 2 . 2 7 0 8 L / c ( 4 . 5 . 6 . 2 ) w h e r e a s u s i n g t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t g i v e s t h e n e x t d u r a t i o n a s T e I 2 . 2 4 5 1 L / c . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 3 d i s p l a y s t h e n a t u r a l D C E - p u l s e o f l o w e s t d u r a t i o n . N o w a t o t a l o f 2 1 b a s i s f u n c t i o n s a r e r e q u i r e d i n t h e s y n t h e s i s . T h e d u r a t i o n o f t h e p u l s e f u n c t i o n w a v e f o r m i s c a l c u l a t e d a s T e = 2 . 1 4 2 7 L / c w h i l e t h e d u r a t i o n o f t h e F o u r i e r c o s i n e b a s e d w a v e f o r m i s f o u n d n u m e r i c a l l y t o b e T 8 = 2 . 1 4 8 4 L / c . N o t e t h a t t h e a r e a u n d e r e a c h o f t h e s e E - p u l s e s i s z e r o , a s r e q u i r e d b y ( 4 . 4 . 5 . 5 ) . F o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n s h o r t e r a n d l o n g e r t h a n t h a t o f t h e m i n i m u m d u r a t i o n n a t u r a l E - p u l s e a r e s h o w n i n F i g u r e s 4 . 5 . 6 . 4 a n d 4 . 5 . 6 . 5 . E a c h r e q u i r e s a t o t a l o f 2 1 b a s i s f u n c t i o n s . T h e f i r s t o f t h e s e f i g u r e s h a s E - p u l s e s o f d u r a t i o n c h o s e n t o b e T e = 1 . 8 L / c . T h e s e w a v e f o r m s a r e s e e n t o b e v e r y o s c i l l a t o r y a n d a r e n o t a t a l l s i m i l a r t o t h e n a t u r a l E - p u l s e s . T h e s e c o n d o f t h e s e f i g u r e s s h o w s e d u t i l p m A e v i t a l e R 7 4 D D I T 0 - 0 0 . 5 1 . 0 1 - 5 2 - 0 2 - 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 2 . N a t u r a l E - p u l s e s o f s e c o n d - s m a l l e s t d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . e d u t i l p m A 2 e 0 v 1 - i t a l e R — - - - - - - - - - - — fi I l 3 . 2 I l T 4 1 0 - 0 0 . 5 1 - 0 1 - 5 2 - 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 3 . N a t u r a l D C E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . e 1 1 l d . u 8 t i l p m A e 0 v 0 i : l 2 ” t a l e R fl u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 4 . F o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c s y n t h e s i z e d N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) 0 . 2 2 . 0 C D ‘ 1 2 2 0 0 i l 2 . 0 2 . 7 6 e d u t i l p m A e v i t a l e R 7 7 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 5 . I I 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 ‘ 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n T = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d . e . u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c 0 5 1 n e b a S l S s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . 7 8 E - p u l s e s o f d u r a t i o n c h o s e n a s T e = 2 . 5 L / c . T h e s e w a v e f o r m s a r e m u c h s m o o t h e r , a n d a r e a c t u a l l y q u i t e s i m i l a r t o t h e n a t u r a l E - p u l s e s o f F i g u r e 4 . 5 . 6 . 2 . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 6 d i s p l a y s f o r c e d D C E - p u l s e s o f d u r a t i o n c h o s e n a s T e = 2 . 5 L / c . T h e s e E - p u l s e s r e q u i r e 2 2 b a s i s f u n c t i o n s a n d a r e s e e n t o b e s o m e w h a t s i m i l a r t o t h e n a t u r a l D C E - p u l s e s o f F i g u r e 4 . 5 . 6 . 3 . N o t e t h a t t h e y a l s o h a v e z e r o a r e a . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 7 s h o w s n a t u r a l s i n / c o s f i r s t m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n , e a c h r e q u i r i n g a t o t a l o f e i g h t e e n b a s i s f u n c t i o n s . T h e d u r a t i o n o f t h e p u l s e f u n c t i o n w a v e f o r m i s c a l c u l a t e d a s T e 8 1 . 8 3 6 6 L / c , w h i l e t h e F o u r i e r c o s i n e w a v e f o r m h a s a d u r a t i o n f o u n d n u m e r i c a l l y t o b e T 8 = 1 . 8 3 7 8 L / c . N a t u r a l s i n e a n d c o s i n e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e s 4 . 5 . 6 . 8 a n d 4 . 5 . 6 . 9 . E a c h r e q u i r e s a t o t a l o f n i n e t e e n b a s i s f u n c t i o n s . T h e f i r s t o f t h e s e f i g u r e s s h o w s t h e s i n e w a v e f o r m s , w i t h d u r a t i o n s T e = 1 . 9 3 8 6 L / c a n d T e = 1 . 9 4 0 5 L / c f o r t h e p u l s e f u n c t i o n a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s , r e s p e c t i v e l y . T h e s e c o n d f i g u r e s h o w s t h e c o s i n e w a v e f o r m s , w i t h d u r a t i o n s T e = 1 . 9 3 8 6 L / c a n d T e = 1 . 9 4 4 0 L / c f o r t h e p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s , r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t e a c h w a v e f o r m r e s e m b l e s q u i t e c l o s e l y a f u l l p e r i o d o f t h e f i r s t n a t u r a l m o d e o f t h e t a r g e t . T h e s i n e w a v e f o r m s s e e m t o a p p r o x i m a t e a s i n e w a v e o f z e r o p h a s e , w h i l e t h e c o s i n e w a v e f o r m s s e e m t o a p p r o x i m a t e a c o s i n e w a v e o f z e r o p h a s e . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 0 g i v e s n a t u r a l D C s i n e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n . E a c h r e q u i r e s a t o t a l o f t w e n t y b a s i s f u n c t i o n s . T h e d u r a t i o n o f t h e p u l s e f u n c t i o n w a v e f o r m i s c a l c u l a t e d a s T e = 2 . 0 4 0 7 L / c w h i l e t h e F o u r i e r c o s i n e w a v e f o r m i s f o u n d t o h a v e e d u t i l p m A e v i t a l e R 7 9 I l . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 6 . F o r c e d D C E - p u l s e s o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h i n c y l i n d e r . 0 . 0 J 5 e d u t i l p m A e v i t a l e R 8 0 ° o . o F i g u r e 4 . 5 . 6 . 7 . I I 0 . 5 1 . 0 1 - 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . e d u t i l p m A e 0 v . i 0 t a l e R 0 . 0 1 0 - 1 0 0 . 0 8 1 0 . 0 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 8 . 7 T I 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . 0 . 0 J 0 . 0 8 2 : 3 m C ) 3 1 ' 3 . 5 w " : 3 c : u : . 1 “ . 3 8 ’ c 3 1 ° . ‘ c , ’ I T r I l 0 . 0 0 . 5 1 - 0 1 . 5 2 . 0 2 - 5 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 9 . N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . 0 1 . 0 e d u t i l p m A e v i t a l e R - - - ‘ 1 1 . fl 0 0 . 1 8 3 0 . 0 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 0 . I I 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l D C s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . 8 4 d u r a t i o n T e = 2 . 0 4 8 4 L / c . E a c h o f t h e s e w a v e f o r m s i s a l s o v e r y s i m i l a r t o a s i n e w a v e o f z e r o p h a s e . N o t e a l s o t h a t e a c h h a s z e r o a r e a . F i g u r e s 4 . 5 . 6 . 1 1 a n d 4 . 5 . 6 . 1 2 s h o w n a t u r a l t h i r d m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n , r e q u i r i n g n i n e t e e n b a s i s f u n c t i o n s . T h e f i r s t t w o e x c i t e a s i n e t h i r d m o d e a n d h a v e d u r a t i o n T e = 1 . 9 3 8 6 L / c f o r t h e p u l s e b a s i s a n d T e = 1 . 9 3 6 5 f o r t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s . T h e s e c o n d t w o e x c i t e a c o s i n e t h i r d m o d e a n d h a v e d u r a t i o n s o f T e 8 1 . 9 3 8 6 L / c f o r t h e p u l s e b a s i s a n d T e = 1 . 9 4 5 3 L / c f o r t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s . T h i s t i m e t h e w a v e f o r m s a p p e a r t o b e a p p r o x i m a t i n g t h r e e o s c i l l a t i o n s o f t h e t h i r d m o d e . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 3 d i s p l a y s f O r c e d s i n e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f d u r a t i o n c h o s e n a s T e = 2 . 5 L / c . E a c h a g a i n a p p r o x i m a t e s o n e p e r i o d o f t h e f i r s t n a t u r a l m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d a r e q u i t e s i m i l a r i n a p p e a r a n c e , a l t h o u g h n o t a s s i m i l a r a s t h e c o r r e s p o n d i n g n a t u r a l w a v e f o r m s . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 4 s h o w s f o r c e d t h i r d m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f d u r a t i o n c h o s e n a s T 8 = 2 . 5 L / c . E a c h a p p r o x i m a t e s t h r e e p e r i o d s o f t h e t h i r d n a t u r a l t a r g e t m o d e . A s a f u r t h e r c o m p a r i s o n , t h e l a s t t h r e e f i g u r e s d i s p l a y f o r c e d E - p u l s e s s y n t h e s i z e d u s i n g t h e p o l y n o m i a l b a s i s s e t o f s e c t i o n 4 . 5 . 1 t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e n a t u r a l m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t ( a n d t h u s r e q u i r e e l e v e n b a s i s f u n c t i o n s . ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 5 s h o w s a f o r c e d p o l y n o m i a l E - p u l s e o f d u r a t i o n c h o s e n t o b e T e = 2 . 0 5 L / c , q u i t e c l o s e t o t h e d u r a t i o n s o f t h e n a t u r a l E - p u l s e s f o u n d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s f u n c t i o n s . I t i s s e e n t h a t t h e w a v e f o r m i s v e r y s i m i l a r t o t h e n a t u r a l E - p u l s e w a v e f o r m s o f F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 . F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 6 s h o w s a f o r c e d p o l y n o m i a l E - p u l s e o f d u r a t i o n c h o s e n s e d u t i l p m A e v i t a l e R 8 5 D U C I 0 . 0 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 1 . l 1 0 - 5 1 - 0 1 ~ 5 2 - 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e t h i r d m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s o n e , t w o , a n d f o u r t h r o u g h t e n . J - - - - - — — - - - - . - - . . - . “ - n - - I - . - - - - — - - - - - - — ‘ s - - - - . u c - - - . - - - , e d - - - u - t - - - — - i l p m A e v i t a l e R l o I “ ' 0 l “ ~ ’ “ 8 6 — — - - ‘ u p I ” T 0 . 0 0 - 5 1 - 0 1 - 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 2 . N a t u r a l c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e t h i r d m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s o n e , t w o , a n d f o u r t h r o u g h t e n . 1 . 0 q 0 8 7 c 3 3 c : 3 " c 1 5 e g g 3 c : . 5 3 5 ‘ " : 3 : 3 . I C ? I I I I l 0 . 0 0 - 5 1 - 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 3 . N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F o r c e d s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s t w o t h r o u g h t e n . — n — - — - L e d u t i l p m A e v i t a l e R 1 0 8 8 - - ‘ D - r - — ‘ | : I I I I - | : - - 1 : I , 1 “ 3 1 : c a — . - - : I I I I I I I I I I I I I I ° . ‘ i . 1 fi ’ L I I I I ’ 1 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 4 . F o r c e d s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s t o e x c i t e t h e t h i r d m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , a n d e l i m i n a t e m o d e s o n e , t w o , a n d f o u r t h r o u g h t e n . 2 . 1 0 . 1 8 L - 0 e d u t i l p m A e 6 . _ 1 J ( v i t a l e R 2 . 1 ( 8 9 \ T r 7 ' F 1 0 . 0 0 . 5 1 - 0 1 - 5 2 - 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 5 . F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 0 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p o l y n o m i a l b a s i s s e t t o e l i m i n a t e f i r s t t e n ' m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . 0 . 0 J 2 0 . 5 1 1 0 . 0 1 e 1 d u t i l p m A e 0 v 1 . 5 i t a l e R 0 . 0 0 0 5 “ 9 0 0 . 0 F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 6 . T ' I 0 . 5 1 . 0 1 - 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p o l y n o m i a l b a s i s s e t t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 5 9 1 0 . C J F i g u r e 4 . 5 . 6 . 1 7 . I I 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c s y n t h e s i z e d u s i n g p o l y n o m i a l b a s i s s e t t o e l i m i n a t e f i r s t t e n m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . a t c t E c s t v n h s o - o o a e a a e s p s r r t e T i u n i i u m g e f n l o n o r s e = r e e s l o e s t e u a t o t . c f a T u t o e b n h w 2 . f d a d e a T n h s 5 c a u s v h / p r l t m L - i o u u i s f g o e p u h a i s c s o n r s t i l l e . s m t e s . s i s a t s s t d p E s t i e g e T n E s i a w h b h L - i v t h a i i o c a p e y i s t l s s f u h f c i t F i i y s e e m t a e t o b m h t o l t l o y s s r e h m g n , t s w l r o e u i e s e f r s o F t i e o t e o f n i n m E h g n t h a - e 4 u b i t o r a y p . d r e h t i v u r e 5 e e e b g e l . T o n u s e s 4 6 s t n e w i e u . . c i a e a n l 5 3 i 5 v c a n u g t . l a e r n . e o r w s i t c 1 i 6 l E f l l i a . n . a - o y q g 1 8 t d r l E p u w u L p d r r s l n c s i o u 7 u m e a l g e e / y a s e a v i c c n c t e s v e a t o i t . i s f e e s o n n a i u o d s s l c n w r w I . t l i a i m u a t e r y q l l s r u u l i f i i e c e f d n s o s t u a b q c h v c o d a u p e e e i c t i u r u a d n o i t l y f s a n o e s p o i t p s n s n l c g n r d . i o r e a n i i s i t a y e t g e g r t e r e s t n n m e t d i r i r d o h a T c e l e m F e r h u d a F i s o e i l o r a t u s a i o i g e e t r n i t h u l i r r n r e r 9 2 m o r e d e p t h i n c h a p t e r f i v e . 4 . 6 T h e P u l s e F u n c t i o n E - p u l s e B e c a u s e o f i t s g r e a t s i m p l i c i t y a n d n o i s e a v e r a g i n g q u a l i t i e s t h e r e c t a n g u l a r p u l s e b a s e d E - p u l s e w i l l b e u s e d e x t e n s i v e l y i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s t h e s i s . I t i s o f i n t e r e s t , t h e n , t o i n v e s t i g a t e t h e p u l s e f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e i n g r e a t e r d e p t h . E q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) d e m o n s t r a t e s t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e i s c o m p o s e d o f t h e p r o d u c t o f t h e s p e c t r u m o f a n i n d i v i d u a l p u l s e m u l t i p l i e d b y a s u m o f e x p o n e n t i a l f a c t o r s . T h e p r o p e r l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e e x p o n e n t i a l f a c t o r s r e s u l t s i n t h e E - p u l s e s p e c t r u m b e i n g z e r o a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . U n d e r m a n y c i r c u m s t a n c e s t h i s s i m p l e r e l a t i o n s h i p a l l o w s a c l o s e d f o r m r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a m . I t i s a l s o p o s s i b l e t o c r e a t e a n e f f i c i e n t a l g o r i t h m t h a t , w h i l e n o t K M « 9 3 s p e c i f y i n g t h e m d i r e c t l y , w i l l c a l c u l a t e t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s w i t h o u t i n v e r t i n g t h e E - p u l s e m a t r i x . E a c h o f t h e s e t e c h n i q u e s p r o v i d e s t h e o p t i o n o f n e v e r k e e p i n g t h e E - p u l s e e n t r i e s i n c o m p u t e r m e m o r y , t h u s e l i m i n a t i n g r e s t r i c t i o n s o n s t o r a g e . T h e r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e a n d t h e d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e a l s o p r o v i d e a s i m p l e m e a n s f o r i n v e s t i g a t i n g t h e u s e o f f r e e p a r a m e t e r s o t h e r t h a n t h e p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s . I t i s p o s s i b l e t o u s e n o n - u n i f o r m p u l s e f u n c t i o n w i d t h s a s t h e p a r a m e t e r s t o b e a d j u s t e d t o s a t i s f y t h e E - p u l s e e q u a t i o n s . T h e r e s u l t i n g s e t o f s i m u l t a n e o u s n o n l i n e a r e q u a t i o n s w i l l b e s o l v e d a n d t h e E - p u l s e w i l l b e p l a c e d i n p e r s p e c t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e p r e v i o u s e x a m p l e s . 4 . 6 . 1 E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t C a l c u l a t i o n T h e t r a n s m i t d o m a i n d e f i n i t i o n o f t h e E - p u l s e r e q u i r e s t h e E - p u l s e s p e c t r u m t o b e z e r o a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . F o r t h e p u l s e f u n c t i o n b a s e d E — p u l s e , e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) c a n b e s u b s t i t u t e d i n t o ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) t o p r o v i d e t h e r e q u i r e m e n t s 5 A M - s m A F 1 ( s ) e n X a e n = 0 1 < n < N ( 4 . 6 . 1 . 1 ) n m _ _ m = 1 * M * F 1 ( s § ) e s n A Z a m e S n m A = o l fi fi i N ( 4 . 6 . 1 . 2 ) m = 1 A s s u m i n g t h a t F 1 ( s n ) # 0 a n d F 1 ( s ; ) # 0 t h e s e e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n m o r e s i m p l y a s a m e ‘ s n ‘ “ A = o l i p i N ( 4 . 6 . 1 . 3 ) m 9 4 - s m A 2 a m e n = 0 l i p i N ( 4 . 6 . 1 . 4 ) w h i c h c a n b e r e p r e s e n t e d i n m a t r i x f o r m a s a s i m p l i f i c a t i o n o f e q u a t i o n ( 4 . 4 . 3 . 4 ) . D e f i n i n g z = e ‘ s n A ( 4 . 6 . 1 . 5 ) n * z : = e 5 8 A ( 4 . 6 . 1 . 6 ) a l l o w s e q u a t i o n s ( 4 . 6 . 1 . 3 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 4 ) t o b e w r i t t e n a s M Z a z m = 0 1 < n < N ( 4 . 6 . 1 . 7 ) I n n - — m = 1 M m £ 1 6 m ( z ; ) m = 0 1 : 6 5 8 ( 4 . 6 . 1 . 8 ) N o w , s i n c e z n # 0 a n d z : # 0 , o n e p o w e r o f z a n d 2 * c a n b e d i v i d e d o u t t o g i v e M — l m 2 a m + l z n = 0 1 5 6 5 8 ( 4 . 6 . 1 . 9 ) m = 0 M - l m * = m a n m fl u n ) 0 I E P E N ( 4 . 6 . 1 . 1 0 ) A n a l y s i s o f t h e s e t w o e q u a t i o n s p r o c e e d s a l o n g s l i g h t l y d i f f e r e n t l i n e s f o r t h e n a t u r a l E - p u l s e a n d t h e g e n e r a l i z e d f o r c e d E - p u l s e . T h u s , t h e t w o c a s e s w i l l b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y . 9 5 I . N a t u r a l E — p u l s e F o r a n a t u r a l E - p u l s e ( w h i c h w i l l b e g e n e r a l i z e d t o a n a t u r a l s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m l a t e r ) t h e n u m b e r o f b a s i s f u n c t i o n s r e q u i r e d i n t h e e x p a n s i o n i s M = 2 N . T h u s , e q u a t i o n s ( 4 . 6 . 1 . 9 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 1 0 ) b e c o m e 2 N - 1 m a m + l z n = 0 l i n i N m - O 2 N - 1 m 2 a m + 1 ( z ; ) = 0 l i p i N m = 0 W r i t i n g t h e s e i n m a t r i x f o r m r e s u l t s i n o r 2 . . . 2 N ' 1 1 2 1 2 1 2 1 9 1 — 1 1 z ? z f z ° ° ° * Z N a 2 2 . . . 2 N - 1 1 2 2 2 2 2 2 * * 2 * Z N - l 1 z N z N Z N J a 2 N ( 4 . 6 . 1 . 1 1 ) ( 4 . 6 . 1 . 1 2 ) ( 4 . 6 . 1 . 1 3 ) ( 4 . 6 . 1 . 1 4 ) N o t e t h a t t h e r o w s h a v e b e e n a r r a n g e d i n a s l i g h t l y d i f f e r e n t m a n n e r t h a n i n e q u a t i o n ( 4 . 4 . 3 . 4 ) . T h i s i s m e r e l y t o p r o v i d e a m o r e c o n v e n i e n t n o t a t i o n . S i n c e e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 1 4 ) r e p r e s e n t s a s e t o f 2 N h o m o g e n e o u s 9 6 l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e 2 N u n k n o w n e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a , a s o l u t i o n i s p o s s i b l e o n l y i f t h e m a t r i x i s s i n g u l a r . T h i s r e q u i r e s I I C d e t ( A ) ( 4 . 6 . 1 . 1 5 ) C l o s e i n s p e c t i o n o f t h e m a t r i x K r e v e a l s t h a t i t s d e t e r m i n a n t i s o n e o f a s p e c i a l g r o u p o f d e t e r m i n a n t s c a l l e d " a l t e r n a n t s " ( d e t e r m i n a n t s g e n e r a t e d f r o m a l t e r n a t i n g f u n c t i o n s . ) I t i s f a i r l y c o m m o n i n m a t h e m a t i c s a n d i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s t h e V a n d e r m o n d e l d e t e r m i n a n t [ 2 4 ] . I t s v a l u e i s g i v e n t h e n o t a t i o n C 1 a n d c a n b e e x p r e s s e d a s t h e d i f f e r e n c e p r o d u c t [ 2 4 ] d e t ( X ' ) = C % ( z l , z * , . . . , z , z * ) N N ( 4 . 6 . 1 . 1 6 ) = H ( w , - W 1 ) l i i < j 1 2 N w i t h t h e m a t r i x e n t r i e s o r d e r e d a s w 2 k - 1 = z k ( 4 . 6 . 1 . 1 7 ) = * W z k z k A s i m p l e 4 x 4 e x a m p l e m a y c l a r i f y t h i s n o t a t i o n 9 7 2 3 1 W 1 W 1 W 1 2 3 1 W 2 W 2 W 2 5 5 2 3 = C ( W 1 , W Z , W 3 , W L + ) 1 W 3 W 3 W 3 2 3 1 W u W “ W k = ( W m - W 3 ) ( W u - W 2 ) ( W u - W 1 ) ( W 3 - W 2 ) ( W 3 - W 1 ) ( W Z - W l ) ( 4 . 6 . 1 . 1 8 ) I t i s a p p a r e n t f r o m e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 1 6 ) a n d t h e a b o v e e x a m p l e t h a t t h e m a t r i x X w i l l b e s i n g u l a r i f a n d o n l y i f ( W i - W J ) = 0 f o r s o m e i a n d j . E a c h o f f o u r p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s c a n b e e x a m i n e d q u i t e e a s i l y . C o n s i d e r f i r s t t h e p o s s i b i l i t y ( z n - z m ) = 0 , m # n . T h i s b n p l i e s e - O m A ( c o s m A - j s i n w A ] = e _ O n A ( c o s w A - j s i n w A ) ( 4 . 6 . 1 . 1 9 ) m m n _ n O r , e q u a t i n g r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s - 0 A - o A e m c o s m m A = e n c o s w n A ( 4 . 6 . 1 . 2 0 ) - o A , - o A e m S i n w m A = e n s i n w n A O b v i o u s l y b o t h e q u a t i o n s c a n n o t h o l d s i m u l t a n e o u s l y f o r a r b i t r a r y o , o , w , a n d w . T h u s n m n m z - z n # 0 m f n ( 4 . 6 . 1 . 2 1 ) 9 8 S i m i l a r r e a s o n i n g r e s u l t s i n 2 * - z # 0 m ¢ n m n ( 4 . 6 . 1 . 2 2 ) z - 2 * # 0 m ¥ n m n N o w c o n s i d e r ( z m - 2 ; ) = 0 . T h i s i m p l i e s e - O m A c o s w A = e - O m A c o s m A m m ( 4 . 6 . 1 . 2 3 ) - e - O m A s i n w A = e - O m A s i n m A m m w h i c h a r e s a t i s f i e d i f a n d o n l y i f A a E l p = 1 , 2 , 3 , . . . 1 : 6 1 : 1 1 ( 4 . 6 . 1 . 2 4 ) m N o t e t h a t t h i s i m p l i e s t h a t t h e s m a l l e s t p o s s i b l e d u r a t i o n o f t h e n a t u r a l p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e i s T = Z N L ( 4 . 6 . 1 . 2 5 ) w h e r e w h i s t h e l a r g e s t n a t u r a l f r e q u e n c y ( i m a g i n a r y p a r t ) t o b e e l i m i n a t e d . W i t h A g i v e n b y ( 4 . 6 . 1 . 2 4 ) t h e m a t r i x 2 b e c o m e s s i n g u l a r . T h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s c a n b e s o l v e d f o r b y l e t t i n g a Z N = 1 a n d e l i m i n a t i n g t h e e q u a t i o n i n v o l v i n g W 2 k w h e r e 9 9 = ' S fi A o r w 2 k e ( 4 . 6 . 1 . 2 6 ) D I I . 8 [ 3 B r i n g i n g t h e l a s t c o l u m n o f e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 1 3 ) t o t h e r i g h t h a n d s i d e r e s u l t s i n t h e r e d u c e d m a t r i x e q u a t i o n f ‘ r W V 2 . . . 2 N - 2 2 N - 1 I 1 W 1 W 1 W 1 ( 1 1 W 1 2 N — 2 2 N - 1 2 . . . 1 W 2 N Z W Z 0 . 2 w z 2 . . . 2 N - 2 Z N - l 1 W Z k - l w 2 k - 1 k a - l ; = - w 2 k - 1 ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) 2 . . . 2 N - 2 . 2 N — 1 l w 2 k + 1 w 2 k + 1 w 2 k + 1 w 2 k + 1 2 . . . V 2 N - 2 2 N - 1 \ 1 W Z N w 2 N ” 2 N I k “ Z N - 1 I . s z T h i s e q u a t i o n i s n o w i n a f o r m w h i c h c a n b e s o l v e d u s i n g s t a n d a r d m a t r i x t e c h n i q u e s . H o w e v e r , i t i s a l s o i n a f o r m c o n d u c i v e t o s o l u t i o n u s i n g C r a m e r ' s r u l e a n d a s p e c i a l t h e o r e m f r o m a l t e r n a n t s . C r a m e r ' s r u l e i s u s u a l l y n o t e m p l o y e d t o s o l v e l a r g e s y s t e m s o f e q u a t i o n s d u e t o t h e t r e m e n d o u s n u m b e r o f a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s r e q u i r e d t o c a l c u l a t e t h e d e t e r m i n a n t r a t i o s ( a s c o m p a r e d t o G a u s s i a n e l i m i n a t i o n , o r s i m i l a r m e t h o d s . ) I n t h e c a s e o f e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) , t h o u g h , t h e d e t e r m i n a n t r a t i o s t a k e a s p e c i a l f o r m w h i c h c a n b e c a l c u l a t e d q u i t e q u i c k l y u s i n g t h e f o l l o w i n g i d e n t i t y f r o m t h e t h e o r y o f a l t e r n a n t s [ 2 5 ] 1 0 0 2 . . . - 1 1 + 1 . . . n 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 - 1 i + 1 n 1 2 . . . 1 . 0 . a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 2 0 . . l _ 1 1 + 1 . 0 . n 1 a 3 a 3 3 3 a 3 a 3 2 . . . 1 - 1 i + 1 . . . n 1 a n a n a n a n a n 5 = P n - i ( 4 . 6 . 1 . 2 8 ) C ( 8 1 , 8 2 , 0 0 . a n ) w h e r e P n - i i s t h e s u m o f t h e p r o d u c t s n - i a t a t i m e , w i t h o u t r e p i t i t i o n s , o f t h e q u a n t i t i e s a 1 , . . . , a n . F o r e x a m p l e 4 _ 2 = a l a z + a 1 a 3 + a l a u + a 2 a 3 + a z a u + a 3 a u ( 4 . 6 . 1 . 2 9 ) T h u s , P n - i i s t h e r a t i o o f t h e d i f f e r e n c e p r o d u c t w i t h t h e i ' t h p o w e r o m i t t e d t o t h e o r i g i n a l d i f f e r e n c e p r o d u c t . A p p l i c a t i o n o f C r a m e r ' s r u l e t o ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) r e s u l t s i n t h e s o l u t i o n f o r t h e n ' t h e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y r e p l a c i n g t h e n ' t h c o l u m n o f t h e m a t r i x w i t h t h e c o l u m n v e c t o r o n t h e r i g h t h a n d s i d e , a n d t a k i n g t h e r a t i o o f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e r e s u l t i n g m a t r i x t o t h e d e t e r m i n a n t o f t h e o r i g i n a l . T h u s 1 0 1 n - 2 2 N - 1 n 2 N - 2 1 W 2 ° ' W 2 W 2 W 2 ° " W 2 a n = - a ( 4 . 6 . 1 . 3 0 ) 2 N - 2 1 W 1 ° - - W 1 1 w . . . W Z N - Z 2 2 w i t h t h e m i n u s s i g n b e i n g c a r r i e d o v e r f r o m t h e r i g h t h a n d s i d e v e c t o r . N o w , t h e r i g h t h a n d s i d e v e c t o r c a n b e m o v e d t h r o u g h t h e m a t r i x s o t h a t i t f i n a l l y r e s i d e s i n t h e l a s t c o l u m n o f t h e m a t r i x b y r e p e a t e d l y s w a p p i n g i t w i t h t h e c o l u m n t o i t s r i g h t . H o w e v e r , t h e t h e o r y o f d e t e r m i n a n t s r e q u i r e s t h e s i g n o f t h e d e t e r m i n a n t t o c h a n g e w h e n e v e r t w o c o l u m n s a r e i n t e r c h a n g e d . T h u s , ( 4 . 6 . 1 . 3 0 ) c a n a l s o b e w r i t t e n a s n - Z n 2 N - 1 1 W 1 ° ° W 1 W 1 ° ° ° W 1 n - 2 n 2 N - 1 1 W 2 . 0 0 w z W 2 . 0 0 W Z n o n = ( - 1 ) _ _ , ( 4 . 6 . 1 . 3 1 ) 2 N - 2 1 W 1 " ' W 1 1 w . . . s z - z 1 0 2 T h i s i s e x a c t l y t h e f o r m n e e d e d t o e m p l o y e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 2 8 ) . T h u s , t h e n ' t h e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t c a n b e w r i t t e n e x p l i c i t l y a s a n = ( - 1 ) n p ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) ( 2 N - 1 ) - ( n - 1 ) W w h e r e P i n v o l v e s t h e f a c t o r s W 1 , W 2 , , W 2 k _ 1 , W 2 k + 1 , . . . , 2 N ° I t i s n o t o b v i o u s a t f i r s t t h a t t h e s u m o f p r o d u c t s o f t h e c o m p l e x f a c t o r s W w i l l r e s u l t i n a r e a l v a l u e ( a s t h e p u l s e a m p l i t u d e s m u s t s u r e l y b e ) , b u t g r o u p i n g t e r m s i n c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s s o o n m a k e s t h i s a p p a r e n t . B e s i d e s p r o v i d i n g a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s , e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) r e p r e s e n t s s e v e r a l i m p r o v e m e n t s o v e r s o l v i n g ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) u s i n g s t a n d a r d m a t r i x m e t h o d s . F i r s t , i t e l i m i n a t e s t h e n e c e s s i t y o f h a v i n g a l a r g e n u m b e r o f m a t r i x e l e m e n t s i n c o m p u t e r m e m o r y s i m u l t a n e o u s l y , a s r e q u i r e d w i t h G a u s s i a n e l i m i n a t i o n . S e c o n d , o n l y t h e 2 N c o m p l e x f a c t o r s W 1 , . . . , W 2 N n e e d b e c a l c u l a t e d a s o p p o s e d t o t h e N 2 m a t r i x e l e m e n t s . L a s t l y , e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) e l i m i n a t e s t h e e r r o r a c c u m u l a t e d d u r i n g G a u s s i a n e l i m i n a t i o n d u e t o r e p e a t e d r o w o p e r a t i o n s . A s i m p l e t w o m o d e E — p u l s e e x a m p l e s h o u l d c l a r i f y t h e u s e o f e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 3 1 ) . F o r t h e c a s e o f t w o m o d e s ( 4 . 6 . 1 . 1 4 ) b e c o m e s f 1 w w 2 w 3 1 f a 1 f 0 1 1 1 1 1 2 3 1 W 2 w 2 w 2 0 . 2 _ 0 2 3 - ( 4 . 6 . 1 . 3 3 ) W W 1 w 3 3 3 a 3 0 1 W W 2 W 3 a k 1 + L “ L } J \ l + J 1 k 0 J w h e r e N o w , c h o o s e w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e s m a l l e s t d u r a t i o n i f m 2 > m 1 . 1 0 3 - A - A 2 1 = e 8 1 W 3 = 2 2 = e 8 2 ( 4 . 6 . 1 . 3 4 ) - * _ * z ? = e S 1 A W u = z ; = e 8 2 A t h e E - p u l s e d u r a t i o n u s i n g ( 4 . 6 . 1 . 2 4 ) a s ( 4 . 6 . 1 . 3 5 ) R e d u c t i o n o f t h e m a t r i x y i e l d s w i t h o n s e t e q u a l t o 2 3 W 1 W 1 a 1 W 1 2 = - 3 2 3 W 3 W 3 L ( 1 3 J \ W 3 J 1 . A p p l y i n g ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) r e s u l t s i n a — = . . = — * a 1 P 3 - O W 1 W 2 W 3 2 1 2 1 2 2 - + = e ( 2 ‘ 7 1 0 2 ” ( 4 . 6 . 1 . 3 7 ) 0 2 - P 3 _ 1 = W 1 W 2 + W 1 W 3 + W 2 W 3 = 2 1 2 ? + 2 2 ( Z l + z f ) = e - 0 1 A [ e - O I A - Z e - O z A c o s m l A ) ( 4 . 6 . 1 . 3 8 ) ‘ r l n 1 0 4 G 3 = - P " ( W 1 ‘ 1 ' W Z + 1 3 1 3 ) = ' 2 2 " ( 2 1 + Z f ) 3 - 2 - O z A - 2 e ‘ 0 1 A c o s w l a + e ( 4 . 6 . 1 . 3 9 ) I n p a r t i c u l a r , i f t h e f i r s t t w o n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t h i n w i r e t a r g e t a r e u s e d ( a s g i v e n i n F i g u r e 5 . 2 . 1 ) , t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s b e c o m e 0 1 = 1 . 6 0 2 0 2 = 1 . 1 7 0 ( 4 . 6 . 1 . 4 0 ) a 3 = 1 . 1 0 4 a , = 1 w i t h t h e E - p u l s e d u r a t i o n = 2 . 0 9 2 ( 4 . 6 . 1 . 4 1 ) I t i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r t h a t t h i s a n a l y s i s d o e s n o t d e p e n d u p o n t h e i n d i v i d u a l p u l s e s h a p e s . T h u s , t h e r e s u l t s g i v e n b y ( 4 . 6 . 1 . 4 0 ) c o u l d r e p r e s e n t t h e a m p l i t u d e s o f t r i a n g l e p u l s e s , d e l t a f u n c t i o n s , o r p u l s e s o f a n y d e s i r e d s h a p e . I t i s i n t e r e s t i n g t h a t , i n p a r t i c u l a r , 0 1 a n d a a r e e a s i l y 2 N - 1 g e n e r a l i z e d f o r a n N m o d e E - p u l s e - o A N - ( - 1 ) p e k n ( 2 . 2 6 ) i = 1 1 1 i a ‘ k “ 1 = ' P 2 N - 1 N i = 1 - ( - 1 ) p e ( 4 . 6 . 1 . 4 2 ) 1 0 5 a n d N - ( - 1 ) p e ' O k A - E ( 2 1 + 2 : ) “ 2 N — 1 = ’ P 1 = , 1 i # k - o A N - o ' A = ( - 1 ) p e k - 2 2 e 1 c o s w i A ( 4 . 6 . 1 . 4 3 ) i = 1 - _ _ P ‘ O k A . w h e r e A - p w / w k , p - 1 , 2 , . . . , a n d W Z k - l - ( - 1 ) e . T h u s , t h e f i r s t a n d l a s t a m p l i t u d e s ( a 2 p r e v i o u s l y a s s u m e d a s 1 ) o f t h e m i n i m u m N d u r a t i o n n a t u r a l E - p u l s e ( p = 1 ) a l w a y s h a v e t h e s a m e s i g n . W i t h o u t k n o w i n g t h e s p e c i f i c v a l u e s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d i t i s i m p o s s i b l e t o t e l l t h e s i g n o f a I t i s a l s o q u i t e d i f f i c u l t 2 N - 1 ' t o w r i t e o u t t h e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n f o r a n a r b i t r a r y a w h e n N i s l a r g e . F o r e x a m p l e , t h e s i m p l e s t r e m a i n g e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t t o r e p r e s e n t i s 0 2 . B y g r o u p i n g t e r m s p r o p e r l y t h i s c a n b e w r i t t e n a s 1 % N I N 0 2 = W _ ( z . + z # ) H 2 . 2 ? + H 2 . 2 ? 2 k 1 i = 1 1 1 3 : 1 J J j = 1 J J i # k j ¢ 1 j # k j # k ( 4 . 6 . 1 . 4 4 ) N N ( ‘ ( - - 1 ) p e + U k A H e 2 0 3 A ) ( ( - 1 ) p e G k A - 2 Z e o l A c o s w i A ] j = 1 1 : 1 T h i s l a t t e r f o r m i s t h e r e s u l t o f q u i t e a b i t o f m a n i p u l a t i o n a n d i s s e e n t o b e t h e p r o d u c t o f t w o t e r m s . T h e f i r s t i s m e r e l y 0 1 w h i l e t h e s e c o n d i s “ Z N - 1 w i t h o + - o . E x t e n d i n g t h e a n a l y s i s t o t h e c a s e o f s i n / c o s s i n g l e m o d e 1 0 6 e x c i t a t i o n i s s t r a i g h t f o r w a r d . T h e f a c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e m o d e t o b e e x c i t e d m u s t b e l e f t o u t o f P . T h u s , t h e E - m - p u l s e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a r e g i v e n b y _ _ n o n - ( 1 ) 9 ( 2 N _ 3 ) _ ( n _ 1 ) ( 4 . 6 . 1 . 4 5 ) w h e r e P i n v o l v e s W 1 , . . . , w 2 k - 1 ’ W 2 k + 1 , . . . , W 2 N b u t n o t W 2 m o r W 2 m - l ' N o t e t h a t i n A = p I I / w k t h e c a s e k = m i s n o t a l l o w e d . I t i s a l s o p o s s i b l e t o e x t e n d t h i s a n a l y s i s t o t h e D C E - p u l s e . A D C E - p u l s e r e q u i r e s o n e a d d i t i o n a l e q u a t i o n t o s a t i s f y ( 4 . 4 . 5 . 6 ) . U s i n g e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) r e s u l t s i n 2 N Z a = 0 ( 4 . 6 . 1 . 4 6 ) m m = 0 w h e r e o n e a d d i t i o n a l b a s i s f u n c t i o n h a s b e e n a d d e d t o a c c o m m o d a t e t h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t . W i t h t h i s , e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 1 3 ) b e c o m e s I 1 Z 1 2 % ° - - s z 1 f 9 1 1 I 0 W 1 z ? z f z - - - z f 2 N a 2 0 1 Z 2 2 % - - ° Z E N . . . . . . z = : ( 4 . 6 . 1 . 4 7 ) 1 z § z § 2 ° ° ° z § 2 N G Z N \ l 1 1 . . . 1 I . a 2 N + 1 J K 0 J U s i n g ( 4 . 6 . 1 . 1 6 ) t h e w i d t h s o f t h e p u l s e f u n c t i o n s a r e s e e n t o b e 1 0 7 u n a l t e r e d f r o m t h o s e o f t h e n o n - D C E - p u l s e A = ~ E l p = 1 , 2 , 3 , . . . l i m fi N ( 4 . 6 . 1 . 4 8 ) m m b u t d u e t o t h e e x t r a b a s i s f u n c t i o n t h e d u r a t i o n o f t h e E - p u l s e i s s l i g h t l y l a r g e r . T h e p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s c a n t h e n b e f o u n d a s _ _ n + 1 a n - ( 1 ) P Z N - ( n - l ) ( 4 . 6 . 1 . 4 9 ) w h e r e P i n v o l v e s t h e f a c t o r s W W 1 ’ 2 ’ ' ° ° ’ w 2 k - 1 ’ w 2 k + 1 ’ ° ° ° ’ 2 N ’ I I . F o r c e d E - p u l s e I t i s a l s o p o s s i b l e t o d e r i v e a r e l a t i o n s h i p a n a l o g o u s t o ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) f o r t h e f o r c e d E - p u l s e . F o r t h e d e r i v a t i o n t o w o r k , h o w e v e r , t h i s E - p u l s e m u s t h a v e a f o r c i n g c o m p o n e n t c o n s i s t i n g o f o n e i d e n t i c a l p u l s e b a s i s f u n c t i o n . T h i s a l l o w s e q u a t i o n s ( 4 . 6 . 1 . 9 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 1 0 ) t o b e w r i t t e n a s 2 N m I a m + l z n - 0 1 E P E N ( 4 . 6 . 1 . 5 0 ) m = 0 2 N m 2 a ( 2 * ) = 0 1 < n < N ( 4 . 6 . 1 . 5 1 ) m = 0 m + 1 n - - — w h e r e o n e m o r e b a s i s f u n c t i o n h a s b e e n u s e d t h a n i n t h e n a t u r a l E - p u l s e d e v e l o p m e n t . I n m a t r i x f o r m t h e s e e q u a t i o n s b e c o m e a 3 ( - 1 ) P _ ( 4 . 6 . 1 . 5 4 ) 1 0 8 r 1 r r 1 2 1 z ? - - - z i N 9 1 1 0 1 1 z ? z f z ° ° ° z f 2 N 0 2 0 2 . . . 2 N 1 2 2 ‘ 2 2 2 2 . . : a : ( 4 . 6 . 1 . 5 2 ) I N N N I . O ‘ 2 N + 1 I k I S i n c e t h e r e i s o n e m o r e f r e e p a r a m e t e r t h a n t h e r e a r e e q u a t i o n s , t h i s m a t r i x e q u a t i o n h a s n o u n i q u e s o l u t i o n . I t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y o n e o f t h e p a r a m e t e r s a n d s o l v e t h e r e s u l t i n g i n h o m o g e n e o u s s y s t e m o f e q u a t i o n s . L e t t i n g a = 1 a n d m o v i n g t h e l a s t c o l u m n t o t h e r i g h t 2 N + 1 h a n d s i d e r e s u l t s i n 2 N - 1 1 ' ‘ ' 2 N ‘ 1 W 1 ° ° W 1 a 1 W 1 5 E E 3 = - f ( 4 . 6 . 1 . 5 3 ) 2 N - 1 2 N 1 w - - - w a w \ 2 N 2 N I . 2 N I ( 2 N I w h e r e W 1 , . . . , W 2 N a r e g i v e n i n ( 4 . 6 . 1 . 1 7 ) . A g a i n u s i n g s u c c e s s i v e a p p l i c a t i o n s o f C r a m e r ' s r u l e a n d e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 2 8 ) y i e l d s t h e s o l u t i o n f o r t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a s w h e r e P i n v o l v e s a l l t h e f a c t o r s W 1 , . . . , W 2 N ° = . . _ . I 6 I I l ' = - ( ‘ z ? - ( l z ° ? 1 + ° 2 ) A ( 4 . 6 . 1 . 5 5 ) ) ( 2 2 + z § ) - ( 2 2 2 2 ) ( z l + 2 1 ) ( 4 . 6 . 1 . 5 6 ) 1 0 9 A s i m p l e e x a m p l e i n v o l v i n g a t w o m o d e E - p u l s e d e m o n s t r a t e s t h e e a s e o f u s i n g e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 5 4 ) . L e t t i n g W , W b e d e f i n e d a s 1 ’ 4 i n ( 4 . 6 . 1 . 3 4 ) t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s b e c o m e I ' U “ 1 - = W 1 W 2 W 3 W u = ( 2 1 2 1 ) ( 2 2 2 3 ) 4 - 0 0 2 4 _ 1 - - ( w 1 w 2 w 3 + w l w z w , + w 1 w 3 w 1 + + w 2 w 3 w u ) = - 2 e - ( 0 1 + 0 2 ) A [ e - 0 1 A c o s m 2 A + e - O Z A c o s m l A ) a 3 = P 4 _ 2 = W I W Z + W 1 W 3 + W I W g + W 2 W 3 + W 2 W q + W 3 W Q ( z l + z f ) ( z z + z § ) + ( z l + z ¥ ) + ( 2 2 + z g ) ( 4 . 6 . 1 . 5 7 ) = 4 8 - ( 0 1 + 0 2 ) A C I A c o s m l A c o s m z A + 2 e - c o s z A + - o A + 2 e 2 c o s s z a “ = - P = - ( W 1 + W 2 + W 3 + W “ ) = - ( z l + z f ) - ( 2 2 + z g ) - Z e — 0 1 A c o s w 1 A - 2 e - 0 2 A c o s m 2 A ( 4 . 6 . 1 . 5 8 ) w h e r e a s h a s b e e n s e t e q u a l t o 1 . N o t e t h a t A h a s n o t b e e n s p e c i f i e d i n t h e s e e q u a t i o n s . A n y E - p u l s e d u r a t i o n t h a t d o e s n o t f o r c e t h e m a t r i x i n ( 4 . 6 . 1 . 5 3 ) t o b e s i n g u l a r c a n b e u s e d , a n d t h u s t h e E — p u l s e 1 1 0 c a n b e m a d e a s s h o r t a s d e s i r e d . T h i s w a s n o t t h e c a s e w i t h t h e n a t u r a l p u l s e f u n c t i o n E — p u l s e , w h i c h h a d a m i n i m u m d u r a t i o n g i v e n b y ( 4 . 6 . 1 . 2 5 ) . I n p a r t i c u l a r , 9 1 a n d 0 2 N c a n b e g e n e r a l i z e d a s N 3 = * “ 1 P 2 N . H ( 2 1 2 1 ) 1 = 1 N = n e ‘ z c ’ i A ( 4 . 6 . 1 . 5 9 ) i = 1 a n d N = - 3 - ' k O ‘ 2 N P 2 N - ( 2 N - 1 ) i = l ( z i + z i ) N - o - A = - 2 2 e 1 c o s m i A ( 4 . 6 . 1 . 6 0 ) i = 1 T h u s , t h e f i r s t a n d l a s t p u l s e a m p l i t u d e s ( a Z N + 1 p r e v i o u s l y s e t e q u a l ‘ m o o n e ) a l w a y s h a v e t h e s a m e s i g n , e x a c t l y a s w i t h t h e n a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n . E x t e n d i n g t h i s a n a l y s i s f o r t h e c a s e o f s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n i s q u i t e e a s y . I t r e q u i r e s o n l y t h a t t h e f a c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e m o d e t o b e e x c i t e d b e l e f t o u t o f P . T h u s , t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s o f t h e s i n / c o s E - m — p u l s e a r e g i v e n b y a = ( - 1 ) “ ‘ 1 p ( 4 . 6 . 1 . 6 1 ) n 2 N - 2 - ( n - 1 ) b u t n o t W o r w h e r e P i n v o l v e s W 1 , . . . , W 2 N 2 m w 2 m - 1 ' 1 1 1 T h e f o r c e d D C E - p u l s e i s a l s o q u i t e s i m p l e t o a n a l y z e . T h e a m p l i t u d e s a r e g i v e n b y ( 4 . 6 . 1 . 6 2 ) _ _ n “ n ’ ( 1 ) P 2 N + 1 - ( n - 1 ) w h e r e P i n v o l v e s W 1 . 1 , . . . , W Z N ’ E q u a t i o n s ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 5 4 ) h a v e p r o v i d e d e x p l i c i t f o r m u l a s f o r c a l c u l a t i n g t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s o f a n a t u r a l a n d a f o r c e d p u l s e f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e . H o w e v e r , t h e i r u s e f u l n e s s i n a c t u a l l y c o m p u t i n g t h e c o e f f i c i e n t s h a s o n l y b e e n d e m o n s t r a t e d f o r a s m a l l n u m b e r o f m o d e s ( n a m e l y , t w o . ) T h e q u e s t i o n r e m a i n s a s t o w h e t h e r t h e s e s i m p l e r e p r e s e n t a t i o n s a r e f e a s i b l e w h e n t h e n u m b e r o f m o d e s t o b e e l i m i n a t e d i s l a r g e . T h e i m p o r t a n t p a r a m e t e r t o c a l c u l a t e i n r e f e r e n c e t o c o m p u t e r c o m p u t a t i o n i s t h e n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s r e q u i r e d t o f i n d a l , . . . , a Z N ' I f t h i s n u m b e r i s e x c e s s i v e l y l a r g e i n c o m p a r i s o n t o s t a n d a r d m a t r i x s o l v i n g r o u t i n e s t h e n i t d o e s n o t r e p r e s e n t a f e a s i b l e m e t h o d . L e t ( n n _ n ! l ] : C r - m ( 4 . 6 . 1 . 6 3 ) w h i c h i s t h e b i n o m i a l c o e f f i c i e n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o m b i n a t i o n o f n t h i n g s t a k e n r a t a t i m e . W i t h t h i s , t h e t o t a l n u m b e r o f t e r m s 1 + [ n ] + [ n ] + . . . = 2 n - 1 ( 4 . 6 . 1 . 6 8 ) 1 1 2 a d d e d t o g e t h e r t o c a l c u l a t e a l l t h e o ' s f o r a n a t u r a l E - p u l s e c a n b e w r i t t e n a s Z N - l [ ( 4 . 6 . 1 . 6 4 ) 2 N — 1 ] k = 1 T h e t o t a l n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s r e q u i r e d i s f o u n d b y c o n s i d e r i n g t h e n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s i n v o l v e d i n e a c h t e r m . T h i s i s j u s t 2 N - 1 M + = Z ( k - 1 ) [ 2 N - 1 ] ( 4 . 6 . 1 . 6 5 ) k k = 1 B y e x a m i n i n g t h e f o r m o f P i t i s f o u n d t h a t t h e n u m b e r o f m u l t i p l i - c a t i o n s r e q u i r e d c a n b e r e d u c e d c o n s i d e r a b l y i f i n t e r m e d i a t e r e s u l t s a r e s t o r e d i n t h e c o m p u t e r ' s m e m o r y . T h e n e a c h a d d i t i o n a l a a d d s o n l y o n e a d d i t i o n a l m u l t i p l i c a t i o n p e r t e r m . U s i n g t h i s p r o c e d u r e r e q u i r e s m = T - ( Z N - 1 ) ( 4 . 6 . 1 . 6 6 ) t o t a l m u l t i p l i c a t i o n s . T h e a d d i t i o n a l s t o r a g e n e e d e d b y t h i s m e t h o d i s . . _ I S = m a x [ 2 1 1 : 1 ] = é - 3 - P g - fi — i — i — S T ( 4 . 6 . 1 . 6 7 ) k = 1 , 2 , . . . , 2 N - 1 ' ' c o m p l e x t e r m s s t o r e d . f o l l o w i n g f o r m u l a s [ 2 6 ] T , a n d m c a n b e c a l c u l a t e d e x p l i c i t l y w i t h t h e h e l p o f t h e N O E n ( k + 1 ) [ ) k = 0 k u . _ _ 2 + 1 | N 1 1 3 C o m b i n i n g ( 4 . 6 . 1 . 6 8 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 6 9 ) g i v e s n n n - l n Z [ k ] - 2 ' 2 - 1 - — 2 - 1 ( 4 6 k = 1 ‘ a n d t h u s T - 2 2 N ‘ 1 1 ( 4 . 6 . w h i c h r e s u l t s i n 2 N - 1 _ N o w , u s i n g ( 4 . 6 . 1 . 7 0 ) 1 ' ! n 2 . ( + 1 4 ) T h u s n ( k - l ) [ k ] ( 4 . 6 . y i e l d s n 1 + X ( k + 1 ) I E ] ( 4 . 6 . 2 “ “ 1 ( n + 2 ) ( 4 . 6 . . 6 9 ) . 7 0 ) . 7 1 ) . 7 2 ) . 7 3 ) k = 1 2 n ’ 1 ( n + 2 ) + 1 ( 4 . 6 . 1 . 7 4 ) 2 n ‘ 1 ( n - 2 ) + 1 ( 4 . 6 . 1 . 7 5 ) 1 1 4 w h i c h g i v e s M + = 2 2 N ' 2 ( 2 N - 3 ) + 1 ( 4 . 6 . 1 . 7 6 ) I t i s i n f o r m a t i v e t o c a l c u l a t e M + , S , a n d m f o r a t h r e e m o d e a n d a t e n m o d e E - p u l s e . T h e r e s u l t s a r e 3 m o d e s 1 0 m o d e s M + 4 9 3 , 9 3 2 , 1 6 1 ( 4 . 6 . 1 . 7 7 ) m 2 6 5 2 4 , 2 6 8 S 1 0 9 2 , 3 7 8 T h u s , a t e n m o d e E — p u l s e r e q u i r e s n e a r l y f o u r m i l l i o n m u l t i p l i c a t i o n s . T h i s c a n b e r e d u c e d t o a b o u t h a l f a m i l l i o n b y s a v i n g i n t e r m e d i a t e r e s u l t s , b u t o n l y a t a c o s t o f s t o r i n g 9 2 , 0 0 0 c o m p l e x n u m b e r s . R e m e m b e r i n g t h a t G a u s s i a n e l i m i n a t i o n f o r n e q u a t i o n s r e q u i r e s a b o u t n 3 / 3 m u l t i p l i c a t i o n s ( o r a b o u t 2 3 0 0 f o r a t e n m o d e E — p u l s e ) s u g g e s t s t h a t e q u a t i o n s ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 5 4 ) a r e n o t f e a s i b l e f o r c a l c u l a t i n g t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s d i r e c t l y . T h i s d o e s n o t m e a n t h a t t h o s e e q u a t i o n s a r e w o r t h l e s s , h o w e v e r , f o r t h e y p r o v i d e a w e a l t h o f g e n e r a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e b e h a v i o r o f t h e p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s . 1 1 5 4 . 6 . 2 N a t u r a l S i n e a n d C o s i n e E — m — p u l s e D u r a t i o n I t w o u l d s e e m a t f i r s t t h a t t h e m e t h o d o f t h e p r e c e e d i n g s e c t i o n c o u l d b e a p p l i e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r t o c o n s t r u c t n a t u r a l s i n e o r c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s . U n f o r t u - n a t e l y , t h e a d d e d r e q u i r e m e n t ( 4 . 4 . 7 . 2 0 ) o r ( 4 . 4 . 7 . 2 5 ) f o r t r a n s m i t d o m a i n s y n t h e s i s r e s u l t s i n a n E - p u l s e m a t r i x t h a t i s n o t a m e n a b l e t o s o l u t i o n u s i n g t h e t e c h n i q u e s o f s e c t i o n 4 . 6 . 1 . I t i s p o s s i b l e , t h o u g h , t o s o l v e e x p l i c i t l y f o r t h e d i s c r e t e E - p u l s e d u r a t i o n s . T h i s i s v e r y h e l p f u l , s i n c e i t e l i m i n a t e s t h e n e e d f o r a s e a r c h p r o c e d u r e . T h e n a t u r a l E - m - p u l s e d u r a t i o n s a r e c a l c u l a t e d b y d e m a n d i n g t h a t t h e d e t e r m i n a n t o f t h e E - p u l s e m a t r i x b e z e r o . T h e m a t r i x e n t r i e s f o r a p u l s e f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e a r e f o u n d u s i n g t h e E - p u l s e s p e c t r u m ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) , e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 7 . 2 0 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 2 5 ) a n d e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) . T h e r e s u l t i n g m a t r i x e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n a s V _ _ \ r r 1 8 z t B * z * B 2 2 : 6 * z * 2 ~ - - 6 Z Z N 1 i B * z * 2 N 1 6 1 W o m m m m m m m m m m m m 2 N - 2 1 W I . . . w 1 6 2 0 2 N - 2 1 w 2 o o o w z 2 N - 2 3 = 3 1 W Z m - Z m e - Z ° ' 2 N - 2 1 w 2 m + 1 w 2 m + l 2 N - 2 1 1 W Z N . . . W Z N J 1 . C I Z N - ‘ l J 1 O J ( 4 . 6 . 2 . 1 ) 1 1 6 w h i c h i s d i r e c t l y a n a l o g o u s t o ( 4 . 6 . 1 . 1 3 ) f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n . I n ( 4 . 6 . 2 . 1 ) t h e m ' t h m o d e i s t o b e e x c i t e d , t h e p l u s s i g n c o r r e s p o n d s t o a s i n e E - m - p u l s e a n d t h e m i n u s s i g n t o a c o s i n e E - m - p u l s e , t h e W ' s a r e d e f i n e d i n e q u a t i o n ( 4 . 6 . 1 . 1 7 ) , t h e 2 ' s a r e d e f i n e d i n ( 4 . 6 . 1 . 5 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 6 ) , a n d = s m A 3 m F 1 ( 3 m ) e ( 4 . 6 . 2 . 2 ) 5 3 6 w h e r e F 1 ( s ) i s d e f i n e d i n ( 4 . 5 . 4 . 1 7 ) . I t i s a p p a r e n t t h a t t h e a b o v e m a t r i x e q u a t i o n c a n n o t b e p u t i n t o a f o r m t o u t i l i z e ( 4 . 6 . 1 . 2 8 ) a n d s o a s o l u t i o n f o r t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s b y t h e m e t h o d o f s e c t i o n 4 . 6 . 1 i s n o t p o s s i b l e . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t o c a l c u l a t e t h e d e t e r m i n a n t e x p l i c i t l y , u s i n g t h e f o l l o w i n g r u l e [ 2 7 ] ' 1 ' ' . . . + ' 3 1 1 + a 1 1 a 1 2 + a 1 2 a 1 N a 1 N 8 2 1 8 2 2 3 2 N . a N 1 a 1 1 2 a w J r a a 0 0 0 a 1 r a . a ' 0 0 0 a . 1 1 1 1 2 I N 1 1 1 2 I N - d e t a 2 1 a 2 2 " ° a 2 N 3 2 1 8 2 2 " ' a Z N I 2 . + d e t ; g : ( 4 . 6 . 2 . 4 ) a . 0 . a . . . a 1 N 1 8 N 2 a N N J 1 a N 1 N 2 N N J 1 1 7 S e t t i n g t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x i n ( 4 . 6 . 2 . 1 ) e q u a l t o z e r o a n d e m p l o y i n g ( 4 . 6 . 2 . 4 ) y i e l d s 8 2 H ( w - w ) i B * z * H ( w - w , ) = 0 m m J 1 m m J i l g i < j § 2 N 1 5 1 < j 5 2 N ( 4 . 6 . 2 . 5 ) i ¥ 2 m i # 2 m - 1 A s w i t h t h e E - p u l s e a n a l y s i s t h i s r e q u i r e s 2 - 2 * = 0 k # m ( 4 . 6 . 2 . 6 ) f o r s o m e k , o r A = P l p = 1 , 2 , 3 , . . . k a é m ( 4 . 6 . 2 . 7 ) w k N o t e t h a t i n t h i s c a s e A = p w / m m i s n o t a l l o w e d s i n c e e q u a t i o n ( 4 . 6 . 2 . 5 ) d o e s n o t i n v o l v e t h e t e r m ( z m - z s ) . 4 . 6 . 3 E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t C a l c u l a t i o n A l g o r i t h m S e c t i o n 4 . 6 . 1 p r e s e n t e d a m e t h o d f o r c a l c u l a t i n g t h e E - p u l s e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s f o r a p u l s e f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e w i t h o u t u s i n g s t a n d a r d m a t r i x s o l v i n g r o u t i n e s . T h e r e w a s n o e x c e s s i v e s t o r a g e r e q u i r e m e n t , b u t t h e n u m b e r o f a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s n e e d e d w a s s h o w n t o b e p r o h i b i t i v e . I t i s p o s s i b l e t o t a k e a d i f f e r e n t a p p r o a c h w h i c h a l l o w s t h e c h o i c e o f o n e o f t w o d i s t i n c t a d v a n t a g e s : 1 ) n o s t o r a g e r e q u i r e m e n t , b u t a r i t h m e t i c c o m p l e x i t y s i m i l a r t o G a u s s i a n b y e x p a n d i n g t h e d e t e r m i n a n t i n t h e n u m e r a t o r i n m i n o r s , e a c h o f w h i c h 1 1 8 e l i m i n a t i o n ; o r 2 ) s t o r a g e e q u i v a l e n t t o G a u s s i a n e l i m i n a t i o n b u t a m u c h s m a l l e r n u m b e r o f a r i t h m e t i c c a l c u l a t i o n s . N e i t h e r r o u t i n e u s e s e l e m e n t a r y r o w o p e r a t i o n s f o r r e d u c t i o n t o t r i a n g u l a r f o r m , a n d t h u s a r e n o t a s s e n s i t i v e t o m a t r i x c o n d i t i o n i n g a s G a u s s i a n e l i m i n a t i o n . E a c h r o u t i n e b a s i c a l l y p e r f o r m s o n l y t h e b a c k s u b s t i - t u t i o n p o r t i o n o f t h e G a u s s i a n m e t h o d . T h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p [ 2 8 ] . . . . z 8 N 4 % : 6 3 5 . 3 % : N H 1 N 2 ‘ 2 1 W M W M W : 1 M f 1 1 H F ‘ — = + 6 3 ( w 1 , w 2 , , w M ) ( w l - w 2 ) ( w 1 - w 3 ) ( w l - W M ) £ 2 f M + + + m ( W z - W 1 ) ( W 2 ‘ W 3 ) " ‘ ( W z r w fi ) ( W M ‘ W 1 ) ( W M - W 2 ) ‘ ° ' ( W M - W fi _ 1 ) M f , = X T 1 ( 4 . 6 . 3 . 1 ) i = 1 H ( w i - w . ) 1 = 1 J j i ‘ i w h e r e c i s g i v e n i n ( 4 . 6 . 1 . 1 6 ) . T h i s i d e n t i t y i s e a s i l y d e v e l o p e d 1 1 9 i s a V a n d e r m o n d e d e t e r m i n a n t . I t i s a f u n d a m e n t a l f o r m u l a i n t h e c a l c u l u s o f f i n i t e d i f f e r e n c e s w h e r e i t i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e M - l ' t h f i n i t e d i f f e r e n c e d e r i v a t i v e . T h e a l g o r i t h m i s s l i g h t l y d i f f e r e n t f o r t h e n a t u r a l a n d f o r c e d E - p u l s e s , s o e a c h c a s e w i l l b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y . I . N a t u r a l E - p u l s e T h e m a t r i x e q u a t i o n t o b e s o l v e d f o r t h e c a s e o f t h e n a t u r a l p u l s e f u n c t i o n b a s e d E — p u l s e i s g i v e n i n ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) w h e r e i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t t h e E - p u l s e d u r a t i o n i s g i v e n b y A = p w / w k . T h u s , t h e r o w c o n t a i n i n g p o w e r s o f w 2 k h a s b e e n e l i m i n a t e d . T h e g e n e r a l a l g o r i t h m f o r c a l c u l a t i n g t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s i s t h e n a s f o l l o w s : 1 . S o l v e f o r a b y u s i n g C r a m e r ' s r u l e a n d ( 4 . 6 . 3 . 1 ) . 2 N - 1 2 . W i t h a k n o w n , r e d u c e t h e o r d e r o f t h e m a t r i x b y m u l t i - Z N - l p l y i n g t h e f i n a l c o l u m n b y a 1 , m o v i n g i t t o t h e r i g h t 2 N - h a n d s i d e , a n d e l i m i n a t i n g t h e l a s t e q u a t i o n . 3 . R e p e a t u n t i l a l l t h e 0 ' s a r e c o m p u t e d . N o t e t h a t t h e r e i s n o n e e d t o c r e a t e t h e m a t r i x i n ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) a n d t h u s v e r y l i t t l e c o m p u t e r s t o r a g e i s r e q u i r e d . I f s t o r a g e e q u i v a l e n t t o t h a t c o n s u m e d b y t h e m a t r i x i s a l l o w e d , a n a l t e r n a t i v e , v e r y e f f i c i e n t a l g o r i t h m c a n b e c o n s t r u c t e d . T h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s c a n t h e n b e s o l v e d f o r a s f o l l o w s : I ( l- 1 2 0 1 . E f f e c t i v e l y e l i m i n a t e t h e r o w c o n t a i n i n g w 2 k b y l e t t i n g f o r 1 : m : N = = * < W Z m - l 2 m w 2 m 2 m f o r m _ h = = * W 2 m _ 2 z m W é m _ 1 z m f o r m > k w h e r e 2 m a n d z ; a r e d e f i n e d i n ( 4 . 6 . 1 . 5 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 6 ) . 2 . C r e a t e a n a r r a y D s t o r i n g t h e r e q u i r e d d i f f e r e n c e p r o d u c t s . I t s e n t r i e s a r e g i v e n b y U I W 1 - W 2 ) U ( W j - W l ) f o r 2 i j i 2 N - 1 ( w j - w i ) D i - 1 , j i < 3 i j ( w ) D i z j j - w i + 1 i - 1 , j f o r i = 2 , 3 , . . . , 2 N - 2 ; j = 1 , 2 , . . . , 2 N - 1 3 . L e t f = - W - f o r 1 : i : 2 N - 1 4 . L e t m = 2 N - 1 1 2 1 5 . R e p e a t u n t i l m = 1 b ) f : = f - a w ? ‘ 1 f o r 1 < i < m m 1 ' — - c ) m : = m - 1 H e r e : = r e p r e s e n t s t h e r e p l a c e m e n t o f t h e q u a n t i t y o n t h e l e f t w i t h t h e q u a n t i t y o n t h e r i g h t . I t i s s e e n t h a t f o r a g i v e n c o l u m n e a c h a d d i t i o n a l e n t r y i n t h e a r r a y D r e q u i r e s o n l y o n e a d d i t i o n a l m u l t i p l i c a t i o n . T h u s t h e n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s n e e d e d t o f i l l D i s M D = ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 2 ) ( 4 . 6 . 3 . 2 ) S t e p s 5 a a n d 5 b r e q u i r e a n o t h e r M A = ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 2 ) ( 4 . 6 . 3 . 3 ) m u l t i p l i c a t i o n s a n d d i v i s i o n s . T h u s , t h e t o t a l n u m b e r o f i m p o r t a n t a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s r e q u i r e d i s M T = 2 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 2 ) = 8 N 2 ( 4 . 6 . 3 . 4 ) 1 2 2 O n t h e o t h e r h a n d , G a u s s i a n e l i m i n a t i o n r e q u i r e s 1 3 8 3 = ' — - = I . . . M G 3 ( 2 N 1 ) 3 1 ( 4 6 3 5 ) o r , N / 3 t i m e s a s m a n y m u l t i p l i c a t i o n s a n d d i v i s i o n s . N o t e a l s o t h a t l e s s m u l t i p l i c a t i o n s o f W a r e n e e d e d i n s t e p 5 b t h a n i n f i l l i n g u p t h e m a t r i x i n ( 4 . 6 . 1 . 2 7 ) i f a n a d d i t i o n a l v e c t o r s t o r i n g t h e m ' t h p o w e r o f W 1 i s u s e d . T h e n a t e a c h i t e r a t i o n W fi - l i s c a l c u l a t e d b y m e r e l y d i v i d i n g o u t o n e p o w e r o f w i . I I . F o r c e d E - p u l s e T h i s m e t h o d c a n b e e x t e n d e d q u i t e e a s i l y t o t h e c a s e o f a f o r c e d E - p u l s e . I t d o e s n o t r e q u i r e t h e r e s t r i c t i o n , a s d i d t h e a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 6 . 1 , t h a t t h e f o r c e d E - p u l s e h a v e a f o r c i n g c o m p o n e n t c o n s i s t i n g o f o n e i d e n t i c a l p u l s e b a s i s f u n c t i o n . C o n s i d e r t h e E - p u l s e s h o w n i n F i g u r e 4 . 4 . 4 . 1 . I t i s c o m p o s e d o f a f o r c i n g c o m p o n e n t e f ( t ) e x t e n d i n g f r o m t = 0 t o t = T f a n d a n e x t i n c t i o n c o m p o n e n t e e ( t ) m a d e u p o f 2 N p u l s e f u n c t i o n s e x t e n d i n g f r o m t = T f t o t = T e . T h i s c a n b e w r i t t e n a s e ( t ) = e f ( t ) + e e ( t ) ( 4 . 6 . 3 . 6 ) w h e r e e 2 N f e ( t ) = Z a u m ( t ) g ( t - ( m — 1 ) A - T f ) ( 4 . 6 . 3 . 7 ) m = 1 1 2 3 w i t h 1 T f + ( m - l ) A : t § T f + m A P : ( t ) = ( 4 . 6 . 3 . 8 ) 0 e l s e w h e r e T h e s p e c t r u m o f t h i s E - p u l s e i s f o u n d u s i n g ( 4 . 4 . 1 . 1 ) t o b e E ( s ) = E f ( s ) + 6 9 ( 5 ) ( 4 . 6 . 3 . 9 ) w h e r e T f E f ( s ) = f e f ( t ) e - S t d t ( 4 . 6 . 3 . 1 0 ) O a n d e T e e - s t E ( S ) = I e ( t ) e d t T f 2 N T f + m 6 _ t = Z a I g ( t - ( m - 1 ) A - T f ) e 3 d t ( 4 . 6 . 3 . 1 1 ) m = 1 m T f + ( m - 1 ) A T h e i n t e g r a l i n ( 4 . 6 . 3 . 1 1 ) c a n b e s i m p l i f i e d u s i n g t h e s u b s t i t u t i o n u = t - ( m — 1 ) A - T f ( 4 . 6 . 3 . 1 2 ) T h e n 2 N A 6 8 ( 3 ) = 1 a m I g ( u ) e ’ 3 “ e ‘ s ( ( m ' 1 ) A ’ T f ) d u ( 4 . 6 . 3 . 1 3 ) m = 1 o 1 2 4 w h i c h c a n b e w r i t t e n m o r e s i m p l y a s 2 N 3 ( A + T f ) Z a m e ' s ‘ “ A ( 4 . 6 . 3 . 1 4 ) m = 1 E e ( s ) = F 1 ( s ) e w h e r e F 1 ( s ) i s g i v e n b y ( 4 . 5 . 4 . 1 7 ) . I n v o k i n g t h e t r a n s m i t d o m a i n d e f i n i t i o n o f t h e E - p u l s e ( 4 . 2 . 1 ) a n d ( 4 . 2 . 2 ) r e s u l t s i n 2 N E f ( s ) + F ( s ) e s n ( A + T f ) Z a e ‘ s n ’ “ A 1 < n < N ( 4 . 6 . 3 . 1 5 ) n 1 n m - - — m = 1 * 2 N * E f ( s * ) + F ( s * ) e S n ( A + T f ) Z 6 e ‘ s n ‘ “ A 1 < n < N ( 4 . 6 . 3 . 1 6 ) n 1 n m ‘ — - — m = 1 R e a r r a n g i n g y i e l d s 2 ” - ( - 1 ) A - T B f Z a e S “ m = - e S “ f - — $ § n l - 1 < n < N ( 4 . 6 . 3 . 1 7 ) I n F ( S n ) " ' — ‘ m = 1 1 2 N * f * X a s n ( m - 1 ) A = _ e S a n % _ % § § % . I E P E N ( 4 . 6 . 3 . 1 8 ) m = 1 1 S n V W V r 2 . . . Z N - l ) 1 W 1 W 1 W 1 o 1 f 1 2 . . . Z N - l 1 W 2 W 2 W 2 o 2 f 2 2 . . . 2 N - 1 1 W 3 W 3 W 3 . . . . f = E ( 4 . 6 . 3 . 1 9 ) 2 . . . 2 N - l 1 . 1 W 2 1 1 w 2 N W Z N J \ 0 ‘ 2 1 : J \ E Z N J 1 2 5 w h e r e f E ( s ) = . . ' 5 k a _ _ L 1 k f E ( 5 * ) = _ ‘ S fi T f _ _ _ _ l < _ f 2 k e F 1 ( s § ) ( 4 . 6 . 3 . 2 1 ) T h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a r e n o w r e a d i l y o b t a i n a b l e . E i t h e r o f t h e a l g o r i t h m s d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n c a n b e u s e d t o s o l v e e q u a t i o n ( 4 . 6 . 3 . 1 9 ) . 4 . 7 N o n l i n e a r E - p u l s e C a l c u l a t i o n T h e b u l k o f t h i s c h a p t e r h a s c o n s i d e r e d E - p u l s e s c o n s t r u c t e d f r o m a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f b a s i s f u n c t i o n s w i t h t h e a m p l i t u d e s o f t h e f u n c t i o n s r e p r e s e n t i n g a l l t h e f r e e p a r a m e t e r s . T h i s i s i n e s s e n c e a l i n e a r p r o b l e m s i n c e t h e u n k n o w n a m p l i t u d e s a r e d e s c r i b e d b y a s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s . I t i s a l s o i n t e r e s t i n g , a n d i n f o r m a t i v e , t o i n v e s t i g a t e t h e b e h a v i o r o f E - p u l s e s c o n s t r u c t e d u s i n g a g r o u p o f f r e e p a r a m e t e r s n o t e n t i r e l y c o m p o s e d o f b a s i s f u n c t i o n a m p l i t u d e s ~ - 1 e a d i n g t o a n o n l i n e a r p r o b l e m f o r E - p u l s e s o l u t i o n . T h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t p r o v i d e s a n i d e a l v e h i c l e f o r i n v e s t i g a t i n g n o n l i n e a r s o l u t i o n s . T h e d u r a t i o n s o f t h e p u l s e s a r e e a s i l y i n c o r p o r a t e d a s f r e e p a r a m e t e r s i n s o l v i n g ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) . A l s o , b e c a u s e o f t h e v a s t a m o u n t o f p u l s e f u n c t i o n a n a l y s i s a l r e a d y u n d e r t a k e n i n t h i s c h a p t e r , t h e r e a r e a m p l e r e s u l t s f o r c o m p a r i s o n . T h e v e r y s i m p l e s t e x a m p l e r e v e a l s a n i n t e r e s t i n g c o n n e c t i o n T l l 0 A = e ° T ( - 1 ( 4 . 7 4 ) 1 2 6 b e t w e e n n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s a n d t h e p r e v i o u s l y d e f i n e d n a t u r a l E - p u l s e . C o n s i d e r a n E - p u l s e c o n s i s t i n g o f t w o d e l t a f u n c t i o n s d e s i g n e d t o e l i m i n a t e a s i n g l e n a t u r a l m o d e , a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . 1 . T h e f i r s t i m p u l s e i s p l a c e d a t t = 0 a n d h a s a n a m p l i t u d e s e l e c t e d a s u n i t y . T h e t w o r e m a i n i n g p a r a m e t e r s - - t h e h e i g h t , A , a n d t i m e p o s i t i o n , T , o f t h e s e c o n d i m p u l s e - - a r e d e t e r m i n e d b y s o l v i n g t h e s y s t e m o f t w o n o n l i n e a r e q u a t i o n s g i v e n t h r o u g h ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) a s 1 + A c o s z e - O ( 4 . 7 . 1 ) l l 0 A s i a n e — O T ( 4 . 7 . 2 ) w h e r e s = o + j w i s t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e s i n g l e m o d e t o b e e l i m i n a t e d . T h e s o l u t i o n i s b y i n s p e c t i o n , a n d y i e l d s f r o m e q u a t i o n ( 4 . 7 . 2 ) 1 = 5 1 - p = l , 2 , . . . ( 4 . 7 . 3 ) a n d t h e n f r o m ( 4 . 2 . 3 ) + 1 ) P T h i s i s r e c o g n i z e d a s m e r e l y a o n e m o d e n a t u r a l E - p u l s e , w i t h d u r a t i o n a n d a m p l i t u d e s v e r i f i e d b y u s i n g ( 4 . 6 . 1 . 2 4 ) a n d ( 4 . 6 . 1 . 3 2 ) . S o l v i n g f o r t h e d u r a t i o n ( t h e n o n l i n e a r v a r i a b l e ) i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e s t e p 1 2 7 e ( t ) T t i m e F i g u r e 4 . 7 . 1 . T w o d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e . F r e e p a r a m e t e r s a r e p o s i t i o n a n d a m p l i t u d e o f s e c o n d i m p u l s e . T T t i m e F i g u r e 4 . 7 . 2 . T h r e e d e l a t f u n c t i o n E - p u l s e . F r e e p a r a m e t e r s a r e p o s i t i o n s o f s e c o n d a n d t h i r d i m p u l s e s . - — I I I r | N 1 2 8 n e c e s s a r y t o o b t a i n a s o l u t i o n t o a n y n a t u r a l E - p u l s e p r o b l e m ( n o t j u s t p u l s e f u n c t i o n b a s e d . ) T h u s , n a t u r a l E - p u l s e s r e p r e s e n t t h e s o l u t i o n t o a c o m b i n e d l i n e a r / n o n l i n e a r p r o b l e m , w i t h t h e n o n l i n e a r p r o b l e m i n v o l v i n g o n l y o n e v a r i a b l e ( T e ) , a n d t h e l i n e a r p r o b l e m i n v o l v i n g t h e r e m a i n i n g 2 N - 1 b a s i s f u n c t i o n a m p l i t u d e s ( w h e r e N i s t h e n u m b e r o f m o d e s t o b e e l i m i n a t e d ) f o r a t o t a l o f 2 N f r e e p a r a m e t e r s , a s r e q u i r e d . T h e n e x t s i m p l e s t e x a m p l e i s t o c o n s t r u c t a t h r e e d e l t a f u n c t i o n E - p u l s e t o e l i m i n a t e o n e n a t u r a l m o d e , a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . 2 . T h e f i r s t i m p u l s e i s p l a c e d a t t = 0 , a n d t h e a m p l i t u d e s o f t h e i m p u l s e s a r e c h o s e n t o b e 1 , 2 , a n d 2 , r e s p e c t i v e l y . E q u a t i o n s ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) t h e n r e q u i r e - C T 2 c o s m T l e - O T l + c o s z Z e ( 4 . 7 . 5 ) 0 T 2 I I C s i a n l e c 0 T 1 + s i a n z e - ( 4 . 7 . 6 ) w h e r e T 1 a n d T 2 a r e t h e t i m e p o s i t i o n o f t h e s e c o n d a n d t h i r d i m p u l s e s . T h i s s y s t e m o f n o n l i n e a r e q u a t i o n s c a n o n l y b e s o l v e d n u m e r i c a l l y . D e p e n d i n g o n t h e v a l u e s o f o a n d w t h e r e m a y b e o n e s o l u t i o n o r m o r e , o r p e r h a p s n o n e a t a l l . A s a n e x a m p l e l e t 0 = - 0 . 1 a n d w = 1 . 0 . E q u a t i o n s ( 4 . 7 . 5 ) a n d ( 4 . 7 . 6 ) c a n t h e n b e s o l v e d i n d i v i d u a l l y a n d p l o t t e d a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . 3 . T h e p o i n t w h e r e t h e t w o s o l u t i o n s i n t e r s e c t g i v e s t h e s o l u t i o n t o t h e s y s t e m o f t w o n o n l i n e a r e q u a t i o n s : T 1 8 3 . 7 6 , T 2 = 0 . 9 0 , a n d a n E - p u l s e w i t h n o n u n i f o r m l y s p a c e d i m p u l s e s . 1 2 9 0 . 9 0 3 . 7 6 I D T F i g u r e 4 . 7 . 3 . G r a p h i c a l s o l u t i o n f o r i m p u l s e p o s i t i o n s . e ( t ) T T t i m e F i g u r e 4 . 7 . 4 . T w o p u l s e f u n c t i o n E - p u l s e . F r e e p a r a m e t e r s a r e p u l s e w i d t h s . 1 3 0 A c a s e s i m i l a r t o t h e f i r s t , b u t m o r e i n t e r e s t i n g , c a n b e c o n s t r u c t e d b y u s i n g t w o r e c t a n g u l a r p u l s e s r a t h e r t h a n d e l t a f u n c t i o n s . T h e E - p u l s e s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . 4 i s c o m p o s e d o f t w o p u l s e s o f p r e s e l e c t e d a m p l i t u d e s A 1 a n d A 2 . S o l v i n g t h e s y s t e m o f t w o n o n l i n e a r e q u a t i o n s d e s c r i b e d b y ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) r e s u l t s i n t h e d u r a t i o n s T 1 a n d T 2 . T h i s i s d o n e g r a p h i c a l l y , a s w i t h t h e l a s t c a s e . T o m a k e t h e r e s u l t s m o r e r e l e v a n t a s s u m e 0 = - 0 . 2 6 0 1 a n d w = 2 . 9 0 6 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e f i r s t ( n o r m a l i z e d ) n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e t h i n w i r e s c a t t e r e r . T h e n , l e t t i n g A 1 = 1 a n d A 2 = 0 . 7 5 4 8 9 r e s u l t s i n T 1 = 1 . 0 8 1 a n d T 2 = 2 . 1 6 2 , t h e r e s u l t s e x p e c t e d f r o m w o r k i n g b a c k w a r d s f r o m t h e s o l u t i o n f o r a n a t u r a l E - p u l s e . C h a n g i n g t h e p u l s e a m p l i t u d e s r e s u l t s i n d i f f e r e n t d u r a t i o n s , a s v e r i f i e d b y l e t t i n g A 1 = 1 0 a n d A 2 = 1 , y i e l d i n g T 1 = 0 . 0 4 8 8 a n d T 2 = 1 . 8 4 5 . I n c r e a s i n g t h e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e i n t h e t w o p u l s e e x a m p l e r e v e a l s a n i n t r i g u i n g t r e n d . A s t h e a m p l i t u d e i s a l l o w e d t o i n c r e a s e w i t h o u t b o u n d , t h e r e s u l t i n g s o l u t i o n f o r t h e d u r a t i o n s s h o w s t h a t t h e a r e a u n d e r t h e f i r s t p u l s e a n d t h e t o t a l d u r a t i o n o f t h e E - p u l s e w a v e f o r m a p p r o a c h c o n s t a n t s . T h a t i s , t h e E - p u l s e a p p r o a c h e s a w a v e f o r m c o n s i s t i n g o f a d e l t a f u n c t i o n f o l l o w e d b y a s i n g u l e r e c t a n g u l a r p u l s e . T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . 5 . T h e p r o d u c t o f t h e a m p l i t u d e a n d d u r a t i o n o f t h e f i r s t p u l s e i s f o u n d t o b e a s y m p t o t i c t o 0 . 4 6 2 2 , w h i l e t h e d u r a t i o n o f t h e s e c o n d p u l s e a p p r o a c h e s T 2 = 1 . 8 2 1 1 . I t i s i n t e r e s t i n g t o a n a l y z e e x a c t l y t h e w a v e f o r m t o w h i c h t h e E - p u l s e i s c o n v e r g i n g . C o n s i d e r a d e l t a f u n c t i o n f o l l o w e d b y a r e c t a n g u l a r p u l s e . E q u a t i o n s ( 4 . 4 . 1 . 6 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 7 ) d e m a n d 1 3 1 2 ( I 2 . 0 h 1 . 9 v f — 1 . 8 2 1 1 1 . 8 - - h f 1 ‘ fl - l o g l O A 1 1 2 3 F i g u r e 4 . 7 . 5 . C o n v e r g e n c e o f t h e E - p u l s e d u r a t i o n , a n d c o n v e r g e n c e o f t h e f i r s t p u l s e t o a n i m p u l s e . - I ( I n r 1 r } : * 4 . ( I ) 1 3 2 A 1 + A 2 [ ( - o c o s u ) T e + m s i a n ) + J = 0 ( 4 . 7 . 7 ) 0 2 + w 2 e 0 2 + w 2 - — o T e e . w A 2 [ ( - 0 5 1 a n e - w c o s z e ) + 1 - 0 ( 4 . 7 . 8 ) 0 2 + w 2 0 2 + w 2 w h e r e T e i s t h e d u r a t i o n o f t h e w a v e f o r m . A n a l y z i n g t h i s a s a n a t u r a l E - p u l s e ( t h a t i s , t h e a m p l i t u d e o f t h e i m p u l s e , A 1 , a n d t h e a m p l i t u d e o f t h e r e c t a n g u l a r p u l s e , A 2 , a r e n o t p r e s p e c i f i e d ) r e q u i r e s t h a t t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x o f c o e f f i c i e n t s b e z e r o , r e s u l t i n g i n e - O T e ( - o s i a n e - w c o s z e ) + w = 0 ( 4 . 7 . 9 ) U s i n g t h e f i r s t n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e t h i n c y l i n d e r , t h e f i r s t t w o r o o t s t o t h i s c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n y i e l d : T e = 1 . 8 2 0 9 4 , A l / A z - 0 . 4 6 2 2 5 , a n d T e = 2 . 4 8 2 6 7 , A l / A z = - 0 . 5 2 6 9 8 . T h e f i r s t s o l u t i o n i s r e c o g n i z e d a s t h e w a v e f o r m t o w h i c h t h e t w o p u l s e E - p u l s e a p p e a r s t o c o n v e r g e , v e r i f y i n g t h e e a r l i e r o b s e r v a t i o n s . S o l u t i o n s t o m o r e c o m p l e x n o n l i n e a r E - p u l s e p r o b l e m s c a n n o t b e s o l v e d e f f i c i e n t l y u s i n g t h e g r a p h i c a l m e t h o d d e s c r i b e d e a r l i e r . I t i s n e c e s s a r y t o e m p l o y a c o m p u t e r r o u t i n e t o s o l v e t h e r e s u l t i n g s y s t e m o f n o n l i n e a r e q u a t i o n s . A p r o g r a m h a s b e e n d e v e l o p e d w h i c h i n c o r p o r a t e s s u c h a r o u t i n e , a l l o w i n g t h e s p e c i f i c a t i o n o f p u l s e a m p l i t u d e s a n d s o l v i n g f o r t h e p u l s e w i d t h s . A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c o n s t r u c t i o n o f a f o u r p u l s e E - p u l s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t t w o n a t u r a l m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . S p e c i f y i n g t h e a m p l i t u d e s a s A 1 = 0 . 7 2 1 , A 2 = 0 . 5 2 7 , A 3 = 0 . 4 9 7 , a n d A n = 0 . 4 5 r e s u l t s i n T 1 = 0 . 5 2 3 , 1 3 3 T 2 = 1 . 0 4 6 , T 3 = 1 . 5 6 9 , a n d T H = 2 . 0 9 2 . T h i s i s t h e e x p e c t e d s o l u t i o n o b t a i n e d b y w o r k i n g b a c k w a r d s f r o m t h e s o l u t i o n t o t h e n a t u r a l E - p u l s e , a n d i s p l o t t e d i n F i g u r e 4 . 7 . 6 . H o w e v e r , c h o o s i n g A 1 = 1 , A 2 = 0 . 5 8 , A 3 = 0 . 4 9 , a n d A 4 = 0 . 4 5 r e s u l t s i n t h e E - p u l s e s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . 7 , w i t h d u r a t i o n T e = 2 . 0 0 6 3 . L a s t l y , c h o o s i n g A 1 = 3 5 5 a n d k e e p i n g A 2 = 0 . 5 8 , A 3 = 0 . 4 9 , a n d A “ = 0 . 4 5 r e s u l t s i n t h e E - p u l s e p l o t t e d i n F i g u r e 4 . 7 . 8 w i t h d u r a t i o n 1 . 9 3 5 3 . I n c r e a s i n g A 1 f u r t h e r r e s u l t s a g a i n i n t h e f i r s t p u l s e c o n v e r g i n g t o a d e l t a f u n c t i o n , w i t h t h e f o l l o w i n g p u l s e d u r a t i o n s a l s o c o n v e r g i n g t o s p e c i f i c v a l u e s . I t i s q u i t e i n t e r e s t i n g t o s e e h o w t h e l a s t t h r e e p u l s e s d e f i n e a s h a p e t h a t c h a n g e s v e r y l i t t l e a s t h e f i r s t p u l s e a m p l i t u d e i s i n c r e a s e d w i t h o u t b o u n d . W i t h t h e i r a m p l i t u d e s f i x e d , t h e d u r a t i o n s t a k e o n v a l u e s w h i c h s e e m t o m o l d t h e p u l s e s t o t h i s p a r t i c u l a r s h a p e . T h i s p h e n o m e - n o n w i l l b e c o n s i d e r e d i n m o r e d e t a i l i n c h a p t e r f i v e w h e n u n i q u e n e s s o f t h e t h i n c y l i n d e r E - p u l s e w a v e f o r m i s d i s c u s s e d . 1 3 4 e ( t ) H 0 . 8 4 0 . 6 h 0 . 4 4 - j — fi ' — " 0 . 2 4 h . L 5 . L ; = t i m e 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 F i g u r e 4 . 7 . 6 . T w o m o d e n a t u r a l E - p u l s e r e c o n s t r u c t e d v i a n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s . e ( t ) 1 . 0 0 . 5 « P ‘ L — _ _ — L A : t i m e 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 1 D . 1 ) . F i g u r e 4 . 7 . 7 . T w o m o d e E - p u l s e s y n t h e s i z e d v i a n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s . 1 3 5 e ( t ) I E 1 . 0 0 . 5 u j % 5 3 _ ‘ % = : t i m e 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 F i g u r e 4 . 7 . 8 . T w o m o d e E — p u l s e s y n t h e s i z e d v i a n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s . C H A P T E R 5 E - P U L S E D I S C R I M I N A T I O N 5 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e p r e v i o u s c h a p t e r c o n s i d e r e d t h e c o n s t r u c t i o n o f v a r i o u s t y p e s o f E - p u l s e s u s i n g m a n y d i f f e r e n t k i n d s o f b a s i s s e t s . T h i s c h a p t e r w i l l c o n t i n u e t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t , a p p l y i n g i t t o d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n d i f f e r i n g t h e o r e t i c a l t a r g e t s . E - p u l s e s c o n s t r u c t e d f r o m t w o d i f f e r e n t b a s i s s e t s w i l l b e c o n s i d e r e d i n d e t a i l . T h e f i r s t , t h e r e c t a n g u l a r p u l s e b a s i s s e t , i s v e r y e a s y t o u s e , w h i l e t h e s e c o n d , t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s i s s e t ( a n d i t s r e l a t i v e , t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t ) h a s p o t e n t i a l l y u s e f u l f r e q u e n c y d o m a i n p r o p e r t i e s . T h e y w i l l b e u s e d t o c o n s t r u c t v a r i o u s E - p u l s e s a n d s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s w h i c h w i l l i n t u r n b e c o n v o l v e d w i t h t h e o r e t i c a l t h i n c y l i n d e r t a r g e t r e s p o n s e s , a n d a c o m p a r i s o n w i l l b e m a d e b e t w e e n t h e r e s u l t s . 5 . 2 T h e T h i n C y l i n d e r T a r g e t V e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t a n d e x p e r i m e n t a t i o n w i t h v a r i o u s E - p u l s e w a v e f o r m s i s m o s t e a s i l y c a r r i e d o u t u s i n g a t h e o r e t i c a l r e s p o n s e . T h e S E M a n a l y s i s o f a t h i n c o n d u c t i n g c y l i n d e r h a s b e e n c a r r i e d o u t b y v a r i o u s a u t h o r s [ 1 4 ] , [ 1 7 ] a n d i t s s c a t t e r e d f i e l d i m p u l s e r e s p o n s e b e c o m e s a n e x c e l l e n t g u i n e a p i g f o r t e s t i n g E - p u l s e 1 3 6 1 3 7 m e r i t . T h e g e o m e t r y o f a t h i n c i r c u l a r c y l i n d r i c a l s c a t t e r e r o f r a d i u s ' a ' a n d l e n g t h L a n d i t s o r i e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o a t r a n s i e n t e x c i t a t i o n f i e l d i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 2 . 1 . T h e a n g l e 9 r e p r e s e n t s t h e t a r g e t a s p e c t f o r t h e c a s e o f b a c k s c a t t e r e d r e c e p t i o n . S o l v i n g e q u a t i o n ( 2 . 3 . 3 ) r e s u l t s i n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i s s c a t t e r e r . T h e s e h a v e b e e n c a l c u l a t e d b y T e s c h e [ 1 4 ] w i t h i n t h e b o u n d s o f t h e t h i n w i r e a p p r o x i m a t i o n ( s e e c h a p t e r 7 ) a n d a r e f o u n d t o o c c u r i n " l a y e r s " i n t h e c o m p l e x f r e q u e n c y p l a n e . T h e l o w e r p o r t i o n o f t h e f i r s t l a y e r m a k e s t h e m o s t i m p o r t a n t c o n t i b u t i o n t o t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e s i n c e i t c o n t a i n s t h e f r e q u e n c i e s w i t h t h e s m a l l e s t r e a l p a r t s . T h a t i s , t h e m o d e s c o r r e s p o n d i n g t o t h i s r a n g e o f f r e q u e n c i e s w i l l d a m p t h e s l o w e s t . T h e v a l u e s o f t h e f i r s t t e n o f t h e s e f i r s t l a y e r f r e q u e n c i e s ( o n e h a l f o f a s e t o f c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s ) a r e a l s o s h o w n i n F i g u r e 5 . 2 . 1 , c o r r e s p o n d i n g t o L / a = 2 0 0 . T h e y a r e n o r m a l i z e d b y n c / L , w h e r e c i s t h e s p e e d o f l i g h t i n f r e e s p a c e . T h e b a c k s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t i s c a l c u l a t e d b y d e t e r m i n i n g t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s ( 2 . 3 . 6 ) . T h e r e s u l t i s , o f c o u r s e , d e p e n d e n t u p o n t h e a s p e c t a n g l e 0 . A s s u m i n g p l a n e w a v e e x c i t a t i o n a s i n ( 2 . 4 . 1 ) , t h e m a g n i t u d e o f t h e f a r z o n e b a c k s c a t t e r e d e l e c t r i c f i e l d i s f o u n d u s i n g ( 2 . 2 . 1 2 ) t o b e s i n z e L . N 1 E L . r 2 1 0 g ( L / a ) - 1 n = 1 ( n w ) 2 c X E b s ( ? , s ) = 2 0 6 ( 3 ) _ _ n ~ S T 2 s / s s / s * 1 ( * 1 ) e ] [ n “ ( 5 . 2 . 1 ) s T 2 ( 3 ; ) + 1 s - s s - s * n n w m w b m o w m o H 1 3 8 q — t 1 d h — 2 a L 1 5 “ \ 6 + 1 \ : > L ’ l l 9 ” ” I 2 3 s n / ( c n / L ) . 0 8 2 8 + j 0 . 9 2 5 1 . 1 2 1 2 + j 1 . 9 1 2 . 1 4 9 1 + j 2 . 8 8 4 . 1 7 1 3 + j 3 . 8 7 4 . 1 9 0 9 + j 4 . 8 5 4 . 2 0 8 0 + j 5 . 8 4 5 . 2 2 4 0 + j 6 . 8 2 9 , . 2 3 8 3 + j 7 . 8 2 1 . 2 5 2 2 + j 8 . 8 0 7 . 2 6 4 8 + j 9 . 8 0 0 F i g u r e 5 . 2 . 1 . O r i e n t a t i o n f o r t h i n c y l i n d e r e x c i t a t i o n a n d f i r s t t e n n a t u r a l f r e q u e n c i e s . ‘ r l o 1 3 9 + w h e r e r i s t h e p o s i t i o n v e c t o r m e a s u r e d i n a c o o r d i n a t e s y s t e m l o c a l + t o t h e t a r g e t , r = l r l , t h e o n e w a y t r a n s i t t i m e i s c o s e ( 5 . 2 . 2 ) a n d t h e c l a s s - 2 c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s h a v e b e e n u s e d ( s e e [ 1 7 ] ) . H e r e a l s o , E ( s ) i s t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m e ( t ) . I n t h e l a t e - t i m e e q u a t i o n ( 5 . 2 . 1 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e t i m e d o m a i n a s s i n 2 6 ' L r b s + E ( r ’ t ) ' E o 2 1 0 3 ( L / a ) - 1 N s ( t - r / c ) n £ 1 [ E ( s n ) C n ( s n ) e n + * + E ( s ; ) c n ( s 3 ) e s n ( t ' r / C ) ) ( 5 . 2 . 3 ) w h e r e n - s T 2 C n ( s ) = - — l — — - § £ - 1 ' ( ' 1 ) e 1 ( 5 . 2 . 4 ) ( n " ) 2 C 1 § I J Z + 1 ) n n N o w , u s i n g C n ( s : ) = C : ( S n ) E ( s g ) = E * ( s n ) ( 5 . 2 . 5 ) g i v e s b s + L s i n 2 6 N E ( r , t ) a E o - ; 2 1 0 8 ( L / a ) _ 1 n E 1 2 | E ( s n ) l l C n ( s n ) l x x e o n ( t - r / c ) c o s ( w n ( t - r / c ) + C n ) ( 5 . 2 . 6 ) 1 4 0 w h e r e I m { E ( s ) C ( s ) } n n n R e { E ( s n ) C n ( s n ) } t = t a n - 1 n ( 5 . 2 . 7 ) F r o m e q u a t i o n ( 5 . 2 . 1 ) i t i s p o s s i b l e t o i d e n t i f y t h e b a c k s c a t t e r f a r z o n e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e t h i n w i r e t a r g e t g 1 E L . 1 - ( - 1 ) n e - S T ] 2 [ s / s n s / s : n = 1 ( n w ) 2 C ‘ 3 ; 2 ( n u ) H ( S . 9 ) = + 1 s o t h a t t h e t i m e d o m a i n f a r z o n e b a c k s c a t t e r e d f i e l d c a n b e r e p r e s e n t e d a s ° 2 o 2 1 6 : ( : / : ) - 1 % ' e ( t ) * h ( t . 6 ) ( 5 . 2 . 9 ) E b s ( ¥ , c ) = E w h e r e h ( t , 6 ) = L ' 1 { H ( s , e ) } ( 5 . 2 . 1 0 ) i s t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e t a r g e t i n t h e b a c k s c a t t e r d i r e c t i o n ( i . e . t h e r e s p o n s e t o e ( t ) = 6 ( t ) . ) A s e x p e c t e d , t h e i m p u l s e r e s p o n s e i s a f u n c t i o n o f t a r g e t a s p e c t , w h i l e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t t h e r e s p o n s e a r e n o t . P e r f o r m i n g t h e L a p l a c e i n v e r s i o n i n ( 5 . 2 . 1 0 ) a l l o w s t h e c a l c u l a t i o n o f t h e t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e i n b o t h t h e e a r l y a n d l a t e - t i m e r e g i o n s . A l t h o u g h t h e e a r l y - t i m e r e s p o n s e i s p r o b a b l y i n c o r r e c t ( d u e t o t h e q u e s t i o n a b l e v a l i d i t y o f t h e c l a s s - 2 c o u p l i n g 1 4 1 c o e f f i c i e n t s ) i t d o e s p r o v i d e a h e l p f u l i n d i c a t i o n o f w h e r e l a t e - t i m e b e g i n s . ( I t i s o f c o u r s e r e m e m b e r e d t h a t t h e e a r l y - t i m e r e s p o n s e w a s n o t u s e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e E — p u l s e t h e o r y . ) 5 . 3 S a m p l e d P o i n t C o n v o l u t i o n T o d e m o n s t r a t e t h e v a l i d i t y o f t h e E - p u l s e c o n c e p t i t i s n e c e s s a r y t o p e r f o r m t h e t i m e d o m a i n c o n v o l u t i o n g i v e n i n ( 4 . 4 . 2 ) . S i n c e a m e a s u r e d r e s p o n s e i s s a m p l e d a t d i s c r e t e p o i n t s i n t i m e i t i s t e m p t i n g t o u s e s t a n d a r d d i s c r e t e p o i n t c o n v o l u t i o n . T h i s c o r r e s p o n d s t o u s i n g r e c t a n g u l a r r u l e i n t e g r a t i o n , a n d a l t h o u g h i t m i g h t b e w e l l m o t i v a t e d i n t h e p r e s e n c e o f e x p e r i m e n t a l n o i s e , i t d o e s n o t r e p r e s e n t s u f f i c i e n t a c c u r a c y w h e n u s i n g t h e o r e t i c a l d a t a w h e r e " p e r f e c t " e x t i n c t i o n i s t o b e e x p e c t e d . I t a l s o n e g l e c t s t h e f a c t t h a t t h e E - p u l s e w a v e f o r m i s k n o w n e x p l i c i t l y . M o r e a c c u r a t e c o n v o l u t i o n r e q u i r e s a n i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n t h e p o i n t s o f t h e s a m p l e d r e s p o n s e . S t a n d a r d t e c h n i q u e s m a k e u s e o f t h e s a m p l i n g t h e o r e m w h i c h a l l o w s t h e e x a c t r e c o n s t r u c t i o n o f a b a n d l i m i t e d s i g n a l f r o m a f i n i t e s a m p l i n g d e n s i t y . H o w e v e r , t h e n a t u r a l m o d e r e s p o n s e o f a t a r g e t i s n o t b a n d l i m i t e d a n d , p r a c t i c a l l y s p e a k i n g , i t i s v e r y d i f f i c u l t t o e s t i m a t e t h e h i g h e s t f r e q u e n c y e x c i t e d b y t h e i n c i d e n t w a v e o r p a s s e d b y t h e m e a s u r e m e n t s y s t e m . S o , a d i f f e r e n t m e t h o d o f i n t e r p o l a t i o n i s n e e d e d . A v e r y c o m m o n m e t h o d o f i n t e r p o l a t i o n u s e s c u b i c s p l i n e s . H e r e a c u b i c p o l y n o m i a l i s p a s s e d b e t w e e n a d j o i n i n g s a m p l e p o i n t s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e , a n d c o n v o l u t i o n r e d u c e s t o S i m p s o n ' s g - r u l e i n t e g r a t i o n [ E 8 ] . A m u c h s i m p l e r r o u t i n e i n v o l v e s r e p l a c i n g t h e c u b i c 1 4 2 b y a s t r a i g h t l i n e . T h e n t h e i n t e r p o l a t i o n b e c o m e s l i n e a r , a n d c o n v o l u t i o n r e d u c e s t o t r a p e z o i d a l r u l e i n t e g r a t i o n . T h e a m o u n t o f i n c r e a s e i n a c c u r a c y u s i n g t r a p e z o i d a l r u l e i n t e g r a t i o n o v e r r e c t a n g u l a r r u l e i n t e g r a t i o n i s q u i t e s u b s t a n t i a l . T h e r e i s a n o t h e r l a r g e j u m p i n a c c u r a c y i n g o i n g t o S i m p s o n ' s r u l e , b u t t h e c o m p l e x i t y a d d e d d o e s n o t j u s t i f y i t s i m p l e m e n t a t i o n . T h u s , t h i s s e c t i o n w i l l c o n s i d e r o n l y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n . T w o c a s e s o f t r a p e z o i d a l r u l e c o n v o l u t i o n w i l l b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y . F o r e a c h i t i s f i r s t n e c e s s a r y t o r e p r e s e n t t h e m e a s u r e d r e s p o n s e r ( t ) i n t e r m s o f l i n e a r i n t e r p o l a t i o n c o e f f i c i e n t s . T h i s i s d o n e b y l e t t i n g r ( t ) = m i t + b i t z i i t : _ < _ t i + 1 ( 5 . 3 . 1 ) w h e r e m = r ( t i “ ) - r ( t i ) ( 5 . 3 . 2 ) 1 D T b i = r ( t i ) - m i t i ( 5 . 3 . 3 ) a n d t i = ( i - 1 ) D T ( 5 . 3 . 4 ) w h e r e D T i s t h e t i m e b e t w e e n s a m p l e d p o i n t s . N o w c o n s i d e r t h e s e p a r a t e c a s e s o f t h e r e c t a n g u l a r p u l s e z o v r fi 1 4 3 f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e a n d t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s e d E - p u l s e . I . R e c t a n g u l a r P u l s e B a s e d E - p u l s e T h e r e c t a n g u l a r p u l s e b a s e d E - p u l s e w a v e f o r m i s g i v e n b y M e ( t ) = Z a u m ( t ) ( 5 . 3 . 5 ) m = 1 w h e r e 1 ( m - 1 ) A § t § m 0 P m ( t ) = ( 5 . 3 . 6 ) 0 e l s e w h e r e T h u s , t h e c o n v o l u t i o n o f t h e E - p u l s e w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e i s j u s t T e C ( t ) = e ( t ) * r ( t ) = f ' o l P m ( t ' ) r ( t - t ' ) d t ' M m A = Z a f r ( t - t ' ) d t ' ( 5 . 3 . 7 ) m = 1 m ( m - 1 ) A T h i s i s s i m p l i f i e d b y e m p l o y i n g t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s I = t - t ' ( 5 . 3 . 8 ) T h e n M t - ( m - 1 ) A e ( t ) = Z a f r ( T ) d T ( 5 . 3 . 9 ) m = 1 m t - m A 1 4 4 B y s u b s t i t u t i n g t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n f o r r ( t ) g i v e n b y ( 5 . 3 . 1 ) , t h e i n t e g r a l i n ( 5 . 3 . 9 ) c a n a l s o b e w r i t t e n a s M e ( t ) = E a m [ I k _ l ( t - m A , r k ) + I k ( T k , t - ( m — 1 ) A ) + m — l 1 m 1 m 2 m 2 m k z m - l + i = £ I i ( r i , r i + 1 ) ( 5 . 3 . 1 0 ) 1 m w h e r e T 2 I i ( r l , r z ) = f ( m i r + b i ) d r T 1 : ( T Z - T 1 ) ( b i + ' 2 — - ( T 2 + T 1 ) ) ( 5 . 3 . 1 1 ) T h e v a l u e s o f k 1 m a n d k 2 m u s e d i n t h e s u m m a t i o n i n ( 5 . 3 . 1 0 ) a r e g i v e n b y k l m = 2 + i n t ( ( c - m A ) / D T ) ( 5 . 3 . 1 2 ) k z m . 1 + i n t ( ( t - ( m - 1 ) A ) / D T ) ( 5 . 3 . 1 3 ) w h e r e i n t ( x ) r e p r e s e n t s t h e i n t e g e r p a r t o f t h e r e a l n u m b e r x . T w o i m p o r t a n t n o t e s a r e i n o r d e r . F i r s t , i t w a s a s s u m e d i n t h i s a n a l y s i s t h a t t h e f i r s t s a m p l e d p o i n t o f r ( t ) o c c u r s a t t = 0 . I f t h i s i s n o t t h e c a s e i t i s m e r e l y n e c e s s a r y t o s h i f t t h e o r i g i n o f t h e r e s p o n s e . S e c o n d , i f T 1 o r 1 2 a r e e v e r l e s s t h a n z e r o t h e y s h o u l d b e s e t t o z e r o t o o b t a i n t h e e x p e c t e d c o n t r i b u t i o n f r o m r ( t ) . 1 4 5 I I . D a m p e d S i n u s o i d B a s e d E - p u l s e F o r t h i s c a s e t h e E - p u l s e w a v e f o r m c a n b e w r i t t e n a s M . . . = O m t ~ ~ e ( t ) m g l a m e c o s ( w m t + ¢ m ) ( 5 . 3 . 1 4 ) a n d s o t h e c o n v o l u t i o n o f t h e E - p u l s e w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e b e c o m e s T e M 5 1 2 ' ~ 1 e ( t ) = e ( t ) * r ( t ) = f 2 d u e m c o s ( w m t ' + ¢ m ) r ( t - t ' ) d t ' o m = 1 ‘ ( 5 . 3 . 1 5 ) B y t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s ( 5 . 3 . 8 ) t h i s c a n b e w r i t t e n a s M t 6 ( t - T ) c ( t ) = Z a f e m 6 6 5 ( 6 m ( c - T ) + ¢ m ) r ( r ) d r ( 5 . 3 . 1 6 ) = 1 : S u b s t i t u t i n g t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n f o r r ( t ) r e s u l t s i n M e ( t ) = Z a 1 _ ( t - T , r ) + 1 ( r , c ) + m = 1 m m , k 1 1 e k 1 m , k 2 k 2 k z - l + Z 1 m 1 ( T i , r l + 1 ) ( 5 . 3 . 1 7 ) i - k l w h e r e I ( T T ) = } 2 ( T + b ) 5 m ( t - T ) ( ~ ( t - T ) + $ ) d ( 5 3 1 8 ) 3 1 , 1 1 , 2 T m i 1 e C O S m m m T . . 1 T h e i n t e g r a l i n ( 5 . 3 . 1 8 ) i s m o s t e a s i l y c a l c u l a t e d u s i n g c o m p l e x 1 4 6 a l g e b r a 1 2 ~ _ ~ _ ~ = R e { 1 ( m i T + b i ) e o n ( t T ) e j ( w n ( t T ) + ¢ 1 ’ 1 ) < 1 1 } I n , i ( T 1 ’ T 2 ) T 1 R e { e ( s n t + j ¢ n ) ( l l ( 1 2 ) + 1 2 ( 1 2 ) - I l ( T l ) - I Z ( T 1 ) ) } ( 5 . 3 . 1 9 ) w h e r e 3 n = o + j w a n d I - § n r ~ _ § S n # 0 n 1 1 ( r ) = ( ( 5 . 3 . 2 0 ) A T § = 0 1 ' 1 a n d - s n r ’ e § f - — ( - § n r - 1 ) s # 0 n 1 2 ( 1 ) = < ( 5 . 3 . 2 1 ) 2 T . . . L 2 S n - 0 A l s o , t h e v a l u e s o f k 1 a n d k 2 u s e d i n e q u a t i o n ( 5 . 3 . 1 7 ) a r e g i v e n b y k 1 = 2 + i n t ( ( t - T e ) / D T ) ( 5 . 3 . 2 2 ) k 2 = 1 + i n t ( t / D T ] ( 5 . 3 . 2 3 ) N o t e t h a t i t i s a g a i n a s s u m e d t h a t t h e f i r s t s a m p l e o c c u r s a t t = 0 a n d t h a t T 1 a n d T 2 s h o u l d n o t b e a l l o w e d t o b e l e s s t h a n z e r o . 1 4 7 5 . 4 Q u a n t i f y i n g E - p u l s e D i s c r i m i n a t i o n W h e n u s i n g E - p u l s e w a v e f o r m s i t i s u s u a l l y q u i t e d i f f i c u l t t o t e l l w h e n o n e w a v e f o r m d i s c r i m i n a t e s " b e t t e r " t h a n a n o t h e r . I f t h e r e s p o n s e d a t a i s e x p e r i m e n t a l t h e d e c i s i o n m u s t r e m a i n s u b j e c t i v e . H o w e v e r , i n t h e c a s e o f a n a r t i f i c i a l l y c o n s t r u c t e d r e s p o n s e , i t i s p o s s i b l e t o q u a n t i f y d i s c r i m i n a t i o n e x p l i c i t l y . C o n s i d e r t h e c a s e o f t h e t h i n c y l i n d e r b a c k s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e g i v e n i n ( 5 . 2 . 6 ) . I f t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m e ( t ) i s s y n t h e s i z e d a s a n E - p u l s e f o r a p a r t i c u l a r t h i n c y l i n d e r t a r g e t , t h e t r a n s f o r m r e p r e s e n t a t i o n E ( s ) w i l l b e z e r o a t t h e i m p o r t a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h a t t a r g e t , a n d t h e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d w i l l b e z e r o i n t h e l a t e - t i m e . H o w e v e r , i f t h e t a r g e t i s n o t t h e o n e e x p e c t e d i t w i l l h a v e d i f f e r e n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s t h a n e x p e c t e d . T h e s e w i l l b e e x c i t e d b y e ( t ) , a n d t h e b a c k s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e w i l l h a v e n o n z e r o l a t e - t i m e e n e r g y . N o w , m o r e t h a n o n e E - p u l s e c a n b e c o n s t r u c t e d t o e l i m i n a t e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e e x p e c t e d t a r g e t , a n d e a c h w i l l e x c i t e t h e m o d e s o f t h e u n e x p e c t e d t a r g e t . T h e q u e s t i o n i s , h o w t o d e c i d e w h i c h E - p u l s e l e a d s t o " b e s t " d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e t a r g e t s ? A s i m p l e a n d i n f o r m a t i v e m e a s u r e o f t h i s d i s c r i m i n a t i o n i s g i v e n b y t h e v a l u e o f t h e l a t e - t i m e e n e r g y o f t h e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e ( o r , e q u i v a l e n t l y , t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e . ) I n e s s e n c e , t h e e n e r g y m e a s u r e s t h e " a m o u n t " o f i n f o r m a t i o n t h a t i s a v a i l a b l e f o r a n a l y s i s . I f t h e t a r g e t i s t h e o n e e x p e c t e d t h e e n e r g y i n t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e i s z e r o . I f t h e t a r g e t i s n o t t h e o n e e x p e c t e d t h e n t h e e n e r g y w i l l b e n o n z e r o ( a n d f i n i t e . ) T h e E - p u l s e w h i c h d i s c r i m i n a t e s 3 — D % 0 b e s t i s t h e n d e f i n e d a s l a t e - t i m e e n e r g y . I n t h e s p i r i t o f d i s c r i m i n a t i o n a r e a , D , e n e r g y o f t h e l a t e - t i m e 1 4 8 t h e o n e w h i c h r e s u l t s i n t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e c l a s s i c a l r a d a r c r o s s s e c t i o n , t h e c a n b e d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e s i g n a l f a r z o n e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e w a v e f o r m i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n t o t h e s i g n a l e n e r g y i n t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m , m u l t i p l i e d b y t h e d i s t a n c e t o t h e t a r g e t s q u a r e d . T h e n o r m a l i z a t i o n i s i m p o r t a n t s i n c e t h e v a l u e o f t h e s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m s i g n a l e n e r g y i s d e p e n d e n t u p o n t h e i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m s i g n a l e n e r g y . T T + r / c E 3 T h u s , b a c k s c a t t e r d i s c r i m i n a t i o n a r e a i s g i v e n b y - L - I E b S ( ? , t ) | 2 d t E 1 1 m 1 ‘ 2 E r - m D b 8 8 4 n 1 1 m r 2 s 4 0 E — — - ( 5 . 4 . 1 ) e [ + 0 0 e ( e ( t ) ) z d t N o t e t h a t D h a s d i m e n s i o n o f a r e a ( a s d o e s r a d a r c r o s s s e c t i o n ) a n d i s a n i m p o r t a n t f u n c t i o n o f t a r g e t a s p e c t a n d E - p u l s e w a v e f o r m s h a p e . T h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a i s e a s i l y c a l c u l a t e d f o r t h e c a s e o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t u s i n g t h e b a c k s c a t t e r r e s p o n s e g i v e n i n ( 5 . 2 . 6 ) . g i v e n b y T h e l a t e - t i m e s i g n a l e n e r g y i n t h i s r e s p o n s e w a v e f o r m i s b 8 : 3 . 2 1 0 g ( L / a ) - 1 1 ( 5 - 4 - 4 ) 1 4 9 L 2 ” r s i n z e ) 2 ( N O t 2 ' ‘ " ' Q 6 “ c o s ( w t + c ) d t ( 5 . 4 . 2 ) r 2 £ E l 2 1 0 g ( L / a ) - 1 J l n 2 1 n n n w h e r e Q n i s d e f i n e d a s o n = 2 l E ( s n ) l l C n ( s n ) l ( 5 . 4 . 3 ) M u l t i p l y i n g o u t t h e s q u a r e i n ( 5 . 4 . 2 ) g i v e s 2 . 2 2 N N E _ _ _ L 8 1 1 1 0 Z Z Q 1 . 3 ( T E ) ' Q . ( - I i = 1 j = 1 i 3 w h e r e 0 0 I i ’ j ( t ) = £ E ( e o i t c o s ( m i t + ; i ) ) [ e o j t c o s ( m j t + § j ) ) d t ( 5 . 4 . 5 ) A s i n t h e c o n v o l u t i o n c a l c u l a t i o n s o f s e c t i o n 5 . 3 , t h e i n t e g r a l I i 9 i s q u i t e m e s s y t o c a l c u l a t e . A g r e a t d e a l o f s i m p l i f i c a t i o n i s o b t a i n e d a g a i n b y u s i n g c o m p l e x a r i t h m e t i c . E x p a n d i n g t h e d a m p e d c o s i n e f u n c t i o n s i n t e r m s o f c o m p l e x e x p o n e n t i a l s a n d i n t e g r a t i n g y i e l d s * s . # 0 + , + t 7 e j ( C i + C j ) e ( s i S j ) t + e 3 ( c i - c j ) e ( s i S J ) : r + * S i + s j S i S j s j # 0 1 i J ( c ) = % R e ( e 3 ( C i + C j ) t + e j ( c i - c j ) t S i - S j = 0 1 1 5 0 0 w h e r e s , = i i + ' m . J i T h e s i g n a l e n e r g y i n t h e i n c i d e n t E - p u l s e w a v e f o r m i s e a s i l y c a l c u l a t e d . E - p u l s e t h i s i s j u s t F o r t h e c a s e o f t h e r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s e d T e T e M 2 e = e 2 ( t ) d t = f [ Z 6 P ( c ) 1 d t ( 5 . 4 . 7 ) e _ m m j o o m - 1 o r , s i m p l y M g 2 e a A 2 a m ( 5 . 4 . 8 ) m = 1 w h e r e A i s t h e p u l s e w i d t h . F o r t h e c a s e o f t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s e d E - p u l s e , t h e s i g n a l e n e r g y i s M O t X a e m c o s ( w t + m m m = 1 ~ 6 e H 0 I n t e g r a t i n g g i v e s , a n a l o g o u s t o ( 5 . M M 2 2 9 i = 1 j = 1 E e i “ 3 1 1 1 1 ( T e ) w h e r e I i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 5 . 1 . 1 - 2 9 ) ] d t ( 5 . 4 . 9 ) 1 1 1 4 . 4 ) - I i , j ( 0 ) ] ( 5 . 4 . 1 0 ) 4 . 6 ) w i t h c + $ a n d 3 + 6 . T h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a a s d e f i n e d i s u s e f u l i n m e a s u r i n g m a n y t h i n g s . A s m e n t i o n e d e a r l i e r , i t s m a j o r p u r p o s e i s t o m e a s u r e t h e r e l a t i v e m e r i t o f E - p u l s e s w h i c h , w h i l e e l i m i n a t i n g t h e s a m e s e t o f 1 5 1 n a t u r a l f r e q u e n c i e s , h a v e d i f f e r e n t w a v e f o r m s h a p e s . B u t i t c a n a l s o m e a s u r e t h e s e n s i t i v i t y o f E - p u l s e d i s c r i m i n a t i o n t o t a r g e t a s p e c t , t a r g e t s i z e , a n d t h e a c t u a l n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e . 5 . 5 E x a m p l e s o f E - p u l s e D i s c r i m i n a t i o n T h i s s e c t i o n w i l l i n v e s t i g a t e t h i n c y l i n d e r E - p u l s e d i s c r i m i - n a t i o n u n d e r a v a r i e t y o f c i r c u m s t a n c e s i n c l u d i n g t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e a n d s p u r i o u s n a t u r a l m o d e c o n t e n t . I t w i l l a l s o c o n s i d e r s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n a n d d i s c r i m i n a t i o n b a s e d o n b o t h t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t a n d r e s u l t s f r o m t h e m e a s u r e m e n t o f a m o r e c o m p l e x a i r c r a f t t a r g e t m o d e l . L a s t l y , a p p l i c a t i o n o f f r e q u e n c y d o m a i n " s h a p i n g " f o r i m r o v e d s i n g l e m o d e a n d E - p u l s e d i s c r i m i n a t i o n w i l l b e a d d r e s s e d . 5 . 5 . 1 E - p u l s e D i s c r i m i n a t i o n V e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t i s e a s i l y a c c o m p l i s h e d b y c o n v o l v i n g a n E - p u l s e s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e n a t u r a l m o d e s o f a t h i n c y l i n d e r t a r g e t w i t h t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e t a r g e t . F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 d i s p l a y s t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h L a n d r a d i u s a = L / 2 0 0 o r i e n t e d a t 6 = 6 O O , c o n s t r u c t e d v i a e q u a t i o n ( 5 . 2 . 1 0 ) a t 6 0 0 p o i n t s i n t i m e u s i n g t h e f i r s t f i v e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f F i g u r e 5 . 2 . 1 . N o t e t h e e x p e c t e d e a r l y t i m e r e g i o n e x t e n d i n g f r o m t = 0 t o t = 2 T , w h e r e t h e o n e w a y t r a n s i t t i m e o f t h e c y l i n d e r i s T = c o s ( 6 0 ° ) L / c = 0 . 5 L / c . T h i s f o r c e d p e r i o d i s f o l l o w e d i m m e d i a t e l y b y t h e n a t u r a l r e s p o n s e . e d u t i l p m A e v i 0 t a l - 0 e 1 R ~ 0 . 5 1 - 1 5 2 ‘ 5 - 0 I l — O l a t e — t i m e l l I I l 4 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) - 2 0 0 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 . I m p u l s e r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o r i e n t e d a t e = 6 0 ° , c o n s t r u c t e d u s i n g f i r s t f i v e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . : U h e I " ) 1 5 3 N a t u r a l a n d f o r c e d r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e s h a v e b e e n s y n t h e s i z e d u s i n g t h e a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 6 t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e n a t u r a l m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r r e s p o n s e , a n d a r e s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 2 t h r o u g h 5 . 5 . 1 . 5 . F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 d i s p l a y s a n a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n w h i l e F i g u r e 5 . 5 . 1 . 3 s h o w s a n a t u r a l D C E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n . A f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c c a n b e s e e n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 4 a n d a f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 5 . A s o b s e r v e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , a l l o f t h e s e E - p u l s e s a r e f a i r l y s m o o t h , e x c e p t t h e s h o r t e r f o r c e d E - p u l s e w h i c h e x h i b i t s a h i g h l y o s c i l l a t o r y b e h a v i o r . A l s o , e a c h E - p u l s e h a s a D C c o m p o n e n t e x c e p t t h e n a t u r a l D C E - p u l s e . T h e s p e c t r a o f t h e f o u r E — p u l s e s a r e c a l c u l a t e d u s i n g e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 2 2 ) a n d t h e i r m a g n i t u d e i s p l o t t e d i n F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 6 a n d 5 . 5 . 1 . 7 v e r s u s w f o r o = - O . 2 6 0 1 c / L . I t i s s e e n t h a t e a c h s p e c t r u m h a s t h e e x p e c t e d z e r o a t t h e f i r s t n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e t h i n c y l i n d e r , 3 = - 0 . 2 6 0 1 + j 2 . 9 0 6 c / L . I t i s a l s o s e e n t h a t w h i l e t h e 1 s p e c t r a a r e n o t z e r o a t t h e v a l u e s o f w c o r r e s p o n d i n g t o t h e h i g h e r o r d e r m o d e s o f t h e c y l i n d e r , t h e y a r e v e r y s m a l l . T h i s s h o w s t h a t t h e E - p u l s e s a r e n o t t e r r i b l y s e n s i t i v e t o t h e v a l u e o f t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , a n d s h o u l d b e m o r e s e n s i t i v e d i s c r i m i n a t o r s o f w a s o p p o s e d t o o . I t i s a l s o v e r y i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t d u e t o t h e p e r i o d i c n a t u r e o f t h e s p e c t r a ( a r e s u l t o f t h e " w i n d o w i n g " o r f i n i t e d u r a t i o n r e q u i r e m e n t ) t h e r e a r e m i n i m u m p o i n t s a t v a l u e s o f w h i g h e r t h a n t h e l a r g e s t v a l u e o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . T h i s i n d i c a t e s t h a t m o d e s o t h e r t h a n t h o s e i n t e n d e d m a y b e ( n e a r l y ) e l i m i n a t e d . 5 . I 2 5 . e 1 d u t i l p m A e 0 v . i 1 t a l e R J i 1 5 4 “ 3 . . D o c ' , f r l I fl 0 . 0 0 . 6 1 . 0 1 . 6 2 . 0 2 . 6 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 . N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . 1 5 5 c . ’ « ‘ 1 o 0 . 1 . . . — . . . . m 6 " h r ' 3 c : U H H O . 5 3 c 3 ” . 3 . . . . C O I H Q J M o 0 ( r d L _ _ . ° . “ 3 a T I I a 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 - 0 2 . 5 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 3 . N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l D C E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . 0 . 1 8 0 . 6 e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 0 1 5 6 d I I 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 1 . 4 . F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 1 5 7 3 1 . 0 I I 0 - 0 0 . 5 1 - 0 1 - 5 2 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) h a 0 C " F i g u r e 5 . 5 . 1 . 5 . F o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . 5 . 2 R e l a t i v e A m p l i t u d e 1 . 5 0 - 0 1 1 5 8 l l l l 1 0 . 0 5 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 5 . 0 N o r m a l i z e d r a d i a n f r e q u e n c y m / ( c / L ) F i g u r e 5 . 5 . 1 . 6 . S p e c t r a o f f o r c e d E - p u l s e s o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c ( s o l i d l i n e ) a n d T e = 1 . 8 L / c ( d o t t e d l i n e ) f o r = - 0 . 2 6 0 1 C / L . 5 . 0 1 5 9 1 \ ‘ 3 ’ - 1 m o n ‘ F 1 a U 1 H 1 H 1 3 ' 1 1 o c ’ 1 > ' ~ * 1 N u Q 1 H 1 0 1 m 1 1 ‘ 1 ° . _ 1 ‘ v - o ‘ ’ a ‘ | I \ l ‘ I , \ ‘ I ’ I \ \ " 1 \ \ I , \ ‘ I ’ \ \ \ ’ I - ‘ “ ” ~ \ ’ Q ‘ Q . ‘ 4 J v ’ \ v ’ ‘ \ , ’ \ " ” ‘ “ \ ’ c I 1 1 1 l 0 . 0 5 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 2 0 ~ 0 2 5 . 0 N o r m a l i z e d r a d i a n f r e q u e n c y w / ( c / L ) F i g u r e 5 . 5 . 1 . 7 . S p e c t r a o f n a t u r a l E - p u l s e ( d o t t e d l i n e ) a n d n a t u r a l D C E - p u l s e ( s o l i d l i n e ) f o r o = - 0 . 2 6 0 1 c / L . 1 6 0 P e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c o f t h e E - p u l s e s p e c t r a i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p e a k s . T h e n a t u r a l E - p u l s e a n d t h e f o r c e d E - p u l s e o f l o n g e r d u r a t i o n b o t h h a v e a m a j o r i t y o f t h e i r e n e r g y l o c a t e d n e a r m = 0 . 0 n t h e o t h e r h a n d , t h e f o r c e d E - p u l s e o f s h o r t e r d u r a t i o n h a s m o s t o f i t s e n e r g y l o c a t e d a t a f r e q u e n c y h i g h e r t h a n t h e l a r g e s t f r e q u e n c y t o b e e l i m i n a t e d . T h i s i s a c t u a l l y t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n o f t h e E - p u l s e w a v e f o r m . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t a s t h e d u r a t i o n o f t h i s E - p u l s e i s r e d u c e d , t h e f o r m o f t h e o s c i l l a t i o n r e m a i n s t h e s a m e - - t h a t i s , t h e p u l s e a m p l i t u d e s a l t e r n a t e i n s i g n . T h u s , t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n i n c r e a s e s a n d t h e p e a k m o v e s f a r t h e r u p i n f r e q u e n c y . L a s t l y , t h e s p e c t r u m o f t h e n a t u r a l D C E - p u l s e a p p e a r s t o h a v e n o l a r g e l o c a l p e a k s . R a t h e r , t h e r e i s a n e v e n s p r e a d o f p e a k s a n d v a l l e y s . I t w i l l b e c o m e a p p a r e n t t h a t t h i s l a t t e r s p e c t r u m s h a p e i s t h e m o s t d e s i r e d f o r d i s c r i m i n a t i o n p u r p o s e s . V e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 8 . T h e n a t u r a l E - p u l s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 h a s b e e n c o n v o l v e d ( u s i n g t h e t e c h n i q u e o f s e c t i o n 5 . 3 ) w i t h t h e t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 . T h e r e s u l t i s s e e n t o b e c o m p o s e d o f a n o n z e r o e a r l y - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e f o l l o w e d b y a n u l l l a t e - t i m e p e r i o d . T h u s , t h e E - p u l s e h a s s u c c e e d e d i n e l i m i n a t i n g t h e f i v e n a t u r a l m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . N o t e t h a t t h e l a t e - t i m e p e r i o d b e g i n s a t t = T e + 2 T , a s r e q u i r e d b y t h e c o n v o l u t i o n . T h e n o n z e r o e a r l y - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e p e r i o d c a n b e v e r y u s e f u l b y p r o v i d i n g a c o m p a r i s o n f o r d e t e r m i n i n g t h e q u a l i t y o f t h e a n n u l l e d p o r t i o n o f t h e r e s p o n s e i n t h e c a s e o f a n i m p e r f e c t " e x t i n c t i o n " ( d u e t o n o i s e , e r r o r s i n t h e 1 6 1 n a t u r a l f r e q u e n c i e s , e t c . ) D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n d i f f e r i n g t h i n c y l i n d e r t a r g e t s i s d e m o n s t r a t e d b y c o n v o l v i n g t h e n a t u r a l E - p u l s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 w i t h t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f a t a r g e t 5 % l o n g e r a n d a t a r g e t 1 0 % l o n g e r . T h e r e s u l t s a r e a l s o s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 8 . I t i s s e e n t h a t w h i l e t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e o f t h e e x p e c t e d t a r g e t h a s b e e n a n n u l l e d , t h e r e s p o n s e s o f t h e d i f f e r i n g t a r g e t s a r e n o n z e r o o v e r t h e s a m e p e r i o d . D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e c o r r e c t a n d i n c o r r e c t t a r g e t s i s a c c o m - p l i s h e d b y d i f f e r e n t i a t i n g b e t w e e n n u l l a n d n o n z e r o l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . S i m i l a r r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 9 a n d 5 . 5 . 1 . 1 0 f o r t h e f o r c e d E - p u l s e s . A g a i n , d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e e x p e c t e d t a r g e t a n d a t a r g e t 5 % l o n g e r i s a c c o m p l i s h e d b y a c o m p a r i s o n o f t h e a n n u l l e d a n d n o n z e r o l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . I t a p p e a r s t h a t t h e n a t u r a l E - p u l s e r e s u l t s i n t h e g r e a t e s t a m o u n t o f l a t e - t i m e e n e r g y f o r t h e 5 % l o n g e r t a r g e t , a n d t h u s t h e g r e a t e s t a m o u n t o f d i s c r i m i n a t i o n . S e n s i t i v i t y o f E - p u l s e p e r f o r m a n c e t o t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e i s i n v e s t i g a t e d b y p e r t u r b i n g e a c h p o i n t o f t h e t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 b y a r a n d o m a m o u n t n o t e x c e e d i n g 1 0 % o f t h e m a x i m u m v a l u e o f t h e w a v e f o r m ( w h i c h i s e q u i v a l e n t t o a d d i n g a w a v e f o r m c o n s i s t i n g o f u n c o r r e l a t e d r a n d o m n o i s e . ) T h e r e s u l t i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 1 . A n a t t e m p t i s t h e n m a d e t o e x t i n g u i s h t h i s n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e b y c o n v o l v i n g w i t h i t t h e f o r c e d a n d n a t u r a l E - p u l s e s d i s c u s s e d e a r l i e r . A s e x p e c t e d , n o n e o f t h e r e s u l t i n g c o n v o l v e d r e s p o n s e s a s s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 1 2 t h r o u g h 5 . 5 . 1 . 1 4 r e v e a l s a n i d e n t i c a l l y z e r o l a t e - t i m e p e r i o d . I n s t e a d , e a c h r e s u l t s R e l a t i v e A m p l i t u d e 1 6 2 i — — . l a t e - t i m e 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 8 . r 1 r I 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) C o n v o l u t i o n o f n a t u r a l E — p u l s e w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h i m p u l s e r e s p o n s e s o f c y l i n d e r s 5 % a n d 1 0 % l o n g e r . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 3 ” 1 6 3 } — > l a t e — t i m e 0 . . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 9 . l I I I I 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . 0 . e 1 d ( u t i l p m A 0 e v i 0 0 1 t ” a l e R 0 0 0 2 “ 0 . 0 3 1 6 4 1 — — — - l a t e - t i m e 7 T 7 r 7 T 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 0 . C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . e d u t i l p m A e v i t a 0 l e ~ R 0 1 - 1 6 5 ’ 1 5 4 0 , — - > l a t e - t i m e 1 I 1 1 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) ’ 2 0 - 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 1 . F i v e m o d e 6 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e w i t h 1 0 % r a n d o m n o i s e a d d e d . e d u t i l p m A e v i t a l e R 1 6 6 F . l a t e - t i m e “ 6 0 0 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 2 . I 1 1 1 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) C o n v o l u t i o n o f n a t u r a l E — p u l s e w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 0 - 0 1 0 0 0 0 3 ' ” d " 2 0 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 3 . 1 6 7 l - — ‘ l a t e - t i m e T I 1 l 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . 3 d 1 . 0 ' - 1 R e l a t i v e A m p l i t u d e 1 . l 1 6 8 | - — . l a t e - t i m e . 0 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 4 . 1 9 . 0 t / ( L / c ) 1 6 - 0 N o r m a l i z e d t i m e r 3 . 0 C o n v o l u t i o n o f f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f t h i n c y l i n d e r o f e x p e c t e d l e n g t h , a n d w i t h n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a c y l i n d e r 5 % l o n g e r . 1 6 9 i n a d i s t r i b u t i o n o f n o i s e a b o u t t h e z e r o l i n e . U s i n g t h e e a r l y - t i m e r e g i o n f o r c o m p a r i s o n , a r e l a t i v e l y l a r g e a m o u n t o f n o i s e o n t h e i m p u l s e r e s p o n s e w a v e f o r m a p p e a r s t o p r o d u c e a m u c h s m a l l e r a m o u n t o n t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g s i n c e t h e c o n v o l u t i o n c a n b e v i e w e d a s a s m o o t h i n g p r o c e s s ( a s l o n g a s t h e E - p u l s e i s r e l a t i v e l y s m o o t h ) , a v e r a g i n g a n d t h u s r e d u c i n g t h e o r i g i n a l n o i s e c o n t e n t . A l s o p l o t t e d w i t h t h e s e c u r v e s i s t h e c o n v o l u t i o n o f t h e E - p u l s e s w i t h a n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e o f a 5 % l o n g e r c y l i n d e r . F o r t h e c a s e o f t h e n a t u r a l E - p u l s e a n d t h e f o r c e d E - p u l s e o f l o n g e r d u r a t i o n , i t i s q u i t e e a s y t o s e p a r a t e t h e e f f e c t s o f n o i s e a n d t a r g e t l e n g t h s e n s i t i v i t y , s u g g e s t i n g t h a t r a n d o m n o i s e w i l l n o t i n t e r f e r e w i t h t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n . F o r t h e c a s e o f t h e s h o r t e r d u r a t i o n f o r c e d E - p u l s e , h o w e v e r , a l l p o t e n t i a l t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n c a p a - b i l i t y a p p e a r s t o b e l o s t i n t h e n o i s e . T h e b e h a v i o r o f t h e v a r i o u s c o n v o l v e d r e s p o n s e s i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e i s e a s i l y e x p l a i n e d b y e x a m i n i n g t h e s p e c t r a o f t h e E - p u l s e s . A d d i n g n o i s e t o t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 c a n b e v i e w e d a s p e r t u r b i n g t h e v a l u e s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o n t a i n e d i n t h e r e s p o n s e . S i n c e t h e n a t u r a l E - p u l s e a n d t h e f o r c e d E - p u l s e o f l o n g e r d u r a t i o n h a v e t h e i r m a j o r s p e c t r a l c o n t e n t a t l o w f r e q u e n c i e s , t h e y w i l l e x c i t e w i t h g r e a t e s t a m p l i t u d e t h e s m a l l e s t p e r t u r b e d f r e q u e n c y i n t h e n o i s y r e s p o n s e u p o n c o n v o l u t i o n . T h i s i s i n d e e d t h e b e h a v i o r o b s e r v e d i n F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 1 2 a n d 5 . 5 . 1 . 1 3 , w h e r e t h e n o i s y w a v e f o r m o s c i l l a t e s w i t h l o w f r e q u e n c y a b o u t t h e z e r o l i n e . I n c o n t r a s t , t h e f o r c e d E - p u l s e o f s h o r t e r d u r a t i o n h a s i t s g r e a t e s t s p e c t r a l c o n t e n t a t a m u c h h i g h e r f r e q u e n c y . T h i s i s r e f l e c t e d i n 1 7 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 4 , w h e r e t h e n o i s e i s o b s e r v e d t o b e r a p i d l y o s c i l l a t i n g a b o u t t h e z e r o l i n e . T h e l a r g e r a m p l i t u d e o f t h i s n o i s e i s d u e i n p a r t t o t h e l a c k o f s m o o t h n e s s o f t h e E - p u l s e w a v e f o r m , w h i c h p r e v e n t s a n e f f e c t i v e a v e r a g i n g o f t h e n o i s e c o n t e n t . I t w a s m e n t i o n e d e a r l i e r t h a t t h e n a t u r a l E - p u l s e a p p e a r e d t o r e s u l t i n t h e g r e a t e s t a m o u n t o f d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e e x p e c t e d a n d l o n g e r t a r g e t . T h i s c a n b e i n v e s t i g a t e d i n m o r e d e p t h b y c a l c u - l a t i n g t h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a D ( a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 5 . 4 ) a s a f u n c t i o n o f t a r g e t l e n g t h . F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 5 s h o w s n o r m a l i z e d b a c k - s c a t t e r d i s c r i m i n a t i o n a r e a D / L 2 ( L = c y l i n d e r l e n g t h ) p l o t t e d a g a i n s t n o r m a l i z e d t a r g e t l e n g t h f o r 9 = 6 O O , u s i n g t h e n a t u r a l E - p u l s e a n d t h e f o r c e d E - p u l s e o f s h o r t e r d u r a t i o n . F o r e a c h c a s e t h e r e i s a n e x p e c t e d z e r o a t a n o r m a l i z e d t a r g e t l e n g t h o f 1 . 0 . T h a t i s , e a c h E - p u l s e e x t i n g u i s h e s t h e r e s p o n s e o f t h e e x p e c t e d t a r g e t . F o r l o n g e r a n d s h o r t e r t a r g e t s t h e E - p u l s e s d o n o t e x t i n g u i s h t h e r e s p o n s e , a n d t h e r e i s a n e t e n e r g y c o n t e n t i n t h e s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m , a n d t h u s a n o n z e r o v a l u e o f D / L Z . W h e n t h e n o r m a l i z e d t a r g e t l e n g t h i s 1 . 0 5 ( a 5 % l o n g e r t a r g e t ) t h e b a c k s c a t t e r d i s c r i m i n a t i o n a r e a i s m u c h g r e a t e r f o r t h e c a s e o f t h e n a t u r a l E - p u l s e , v e r i f y i n g t h e m o r e s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t m a d e e a r l i e r . I t i s a p p a r e n t , h o w e v e r , t h a t t h e n a t u r a l E - p u l s e w i l l d i s c r i m i n a t e l a r g e r t a r g e t s b e t t e r t h a n s m a l l e r o n e s , s i n c e t h e v a l u e o f D / L 2 i s g r e a t e r f o r l o n g e r t a r g e t s . I n c o n t r a s t , t h e f o r c e d E - p u l s e o f l e s s e r d u r a t i o n w i l l n o t d i s c r i m i n a t e t a r g e t s w e l l u n l e s s t h e i r n o r m a l i z e d l e n g t h s a r e m u c h s m a l l e r - - n e a r 0 . 3 3 o r 0 . 1 5 - - a s i n d i c a t e d b y t h e l a r g e v a l u e s o f D / L 2 a t t h e s e l e n g t h s i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 5 . T h u s , t h i s f o r c e d E - p u l s e i s n e a r l y 8 0 . 0 2 L / D a e r a 6 0 . n o i 0 t a n i m i r c s i d d e z i l a m r o N 4 . 0 0 2 0 . 0 0 . 0 r . 3 0 R e l a t l v i e 6 . T i 0 c y l r - 9 0 n d e r l e n g t h L / L A e 2 r ~ d 1 e x p e c t " 5 1 7 1 ( 1 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 5 . D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t e d b y n a t u r a l E - p u l s e ( d o t t e d l i n e ) a n d f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c ( s o l i d l i n e ) . 1 7 2 u s e l e s s f o r d i s c r i m i n a t i n g s l i g h t d i f f e r e n c e s i n t a r g e t l e n g t h s . T h e b e h a v i o r o f t h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a a s a f u n c t i o n o f t a r g e t l e n g t h c a n b e e x p l a i n e d b y e x a m i n i n g t h e s p e c t r a o f t h e t w o E - p u l s e s . I n e s s e n c e , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t a r g e t l e n g t h ( a s i n d i c a t e d i n t h e i r n o r m a l i z a t i o n . ) T h u s , a l o n g e r t a r g e t h a s l o w e r n a t u r a l f r e q u e n c i e s . S i n c e t h e n a t u r a l E - p u l s e h a s a m a j o r i t y o f i t s e n e r g y a t l o w e r f r e q u e n c i e s , a n d s i n c e t h e s m a l l e r o r d e r n a t u r a l f r e q u e n c i e s h a v e s m a l l e r d a m p i n g c o e f f i c i e n t s ( i . e . t h e l o w e r o r d e r n a t u r a l m o d e s m a k e t h e g r e a t e s t c o n t r i b u t i o n t o t h e l a t e - t i m e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e ) , t h e v a l u e o f D / L 2 i s g r e a t e r f o r l o n g e r t a r g e t s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e f o r c e d E - p u l s e o f s h o r t e r d u r a t i o n h a s i t s e n e r g y c o n c e n t r a t e d a t m u c h h i g h e r f r e q u e n c i e s . T h u s , t h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a i s s m a l l u n t i l t h e t a r g e t l e n g t h a p p r o a c h e s a v a l u e a t w h i c h t h e l o w e r o r d e r n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o i n c i d e w i t h t h e f r e q u e n c y o f E - p u l s e e n e r g y c o n c e n t r a t i o n . F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 5 s h o w s t h i s t o o c c u r n e a r n o r m a l i z e d l e n g t h s o f 0 . 3 3 a n d 0 . 1 5 . T h e s p e c t r u m o f t h e n a t u r a l E - p u l s e a l s o e x p l a i n s a n o t h e r i n t r i g u i n g a n o m a l y s e e n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 5 . I t i s s e e n t h a t t h e s p e c t r u m m i n i m a a r e s p a c e d v e r y e v e n l y ( d u e , o f c o u r s e , t o t h e e v e n s p a c i n g o f t h e t a r g e t n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d ) a n d t h a t t h e y r e p e a t a t h i g h e r f r e q u e n c i e s . T h u s , t h e r e s p o n s e s o f t a r g e t s t h a t h a v e n a t u r a l f r e q u e n c i e s w h i c h a r e i n t e g r a l m u l t i p l e s o f t h o s e t o b e e l i m i n a t e d a r e n e a r l y e x t i n g u i s h e d a s w e l l . T h i s i s r e f l e c t e d i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 5 b y m i n i m a a t n o r m a l i z e d l e n g t h s o f 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , e t c . I n c o n t r a s t , t h e l a r g e p e a k i n t h e s p e c t r u m o f t h e s h o r t e r d u r a t i o n 1 7 3 f o r c e d E - p u l s e p r e v e n t s s u c h m i n i m a i n t h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a p l o t a t t h e s e l e n g t h s . T h e b a c k s c a t t e r d i s c r i m i n a t i o n a r e a h a s a l s o b e e n p l o t t e d v e r s u s l e n g t h f o r t h e c a s e s o f t h e n a t u r a l D C E - p u l s e a n d t h e f o r c e d E - p u l s e o f l o n g e r d u r a t i o n . T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 6 . T h e f o r c e d E - p u l s e i s s e e n t o d i s c r i m i n a t e l o n g e r t a r g e t s m u c h b e t t e r t h a n s h o r t e r t a r g e t s , a s d i d t h e n a t u r a l E - p u l s e . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , s i n c e t h e w a v e f o r m s h a v e v e r y s i m i l a r s h a p e s . I t i s a l s o s e e n t h a t a t n o r m a l i z e d l e n g t h s s m a l l e r t h a n 1 / 2 , D / L 2 i s n e a r l y z e r o f o r t h e f o r c e d E - p u l s e , a n d d i s c r i m i n a t i o n i s q u i t e d i f f i c u l t . T h e r e a s o n f o r t h i s i s r e v e a l e d b y t h e E - p u l s e s p e c t r u m , w h i c h s h o w s a l m o s t n o e n e r g y a t h i g h e r f r e q u e n c i e s . I n c o n t r a s t , t h e n a t u r a l D C E - p u l s e i s s e e n t o d i s c r i m i n a t e l a r g e r a n d s m a l l e r t a r g e t s e q u a l l y w e l l . T h i s i s b e c a u s e t h e E - p u l s e e n e r g y i s s p r e a d e v e n l y a c r o s s a w i d e b a n d o f f r e q u e n c i e s . H o w e v e r , a s w i t h t h e n a t u r a l E - p u l s e , t h e r e a r e m i n i m a a t l e n g t h s o f 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , e t c . , d u e t o t h e e x t e n d e d p e r i o d i c n a t u r e o f t h e s p e c t r u m . T h e b a c k s c a t t e r d i s c r i m i n a t i o n a r e a c a n a l s o b e p l o t t e d v e r s u s a s p e c t a n g l e a n d n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e r e s p o n s e . F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 1 7 a n d 5 . 5 . 1 . 1 8 s h o w d i s c r i m i n a t i o n a r e a v e r s u s a s p e c t a n g l e f o r t h e n a t u r a l a n d f o r c e d E - p u l s e s , a t a n o r m a l i z e d l e n g t h o f 1 . 0 5 . A s e x p e c t e d , t h e r e i s n o s c a t t e r e d f i e l d f o r e n d - o n a s p e c t , s i n c e t h e t h i n c y l i n d e r c a n n o t b e e x c i t e d a t t h i s o r i e n t a t i o n . F o r t h e c a s e o f t h e n a t u r a l E - p u l s e , D / L 2 i n c r e a s e s f a i r l y s m o o t h l y f r o m e n d - o n t o n o r m a l a s p e c t . F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 1 9 a n d 5 . 5 . 1 . 2 0 s h o w d i s c r i m i n a t i o n a r e a p l o t t e d 1 7 4 U ) C ) 3 1 ' 0 — 1 x C D N 1 — 1 \ Q 3 n I n N O - c C 3 0 - . - 1 H C O I : - H B H H C U U o - 3 c ' U ' U U N 2 1 ‘ . — . m I , ‘ E v i I ‘ \ O o — I \ z 0 ’ \ l \ l \ I \ I \ I \ I \ I \ \ I a t - — 4 ” ‘ \ u l \ \ C D I r r ’ r 4 7 7 1 0 . 0 0 . 3 0 - 6 0 . 9 1 . 2 1 . 5 R e l a t i v e c y l i n d e r l e n g t h L / L e x p e c t e d F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 6 . D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t e d b y n a t u r a l D C E - p u l s e ( s o l i d l i n e ) a n d f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 2 . 5 L / c ( d o t t e d l i n e ) . 5 . 1 0 0 0 1 x 2 L / D a e r a n o i t a n i m i r c s i d d e z i l a m r o N 1 7 5 0 . 3 N I o O 1 5 ” I I I I d I o , \ I o " s 1 ’ " ’ I ‘ J [ \ I ’ : 3 C 3 r 7 1 ' r * 1 0 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 O r i e n t a t i o n a n g l e 0 x 1 0 - F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 7 . D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f a f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 5 e x c i t e d b y n a t u r a l E - p u l s e ( d o t t e d l i n e ) a n d n a t u r a l D C E - p u l s e ( s o l i d l i n e ) . 1 7 6 u : : 1 m o * 1 — 0 . d x o N 1 — J \ Q 8 m H ‘ - 9 3 o C . O - H U ( U C : H . 5 N 8 " " a , o ‘ H ' U “ U ' 0 ) N ' 1 ' " . . . 1 m — E ' - 0 o z 9 + r o r F F ‘ 1 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 O r i e n t a t i o n a n g l e 0 x 1 0 - 1 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 8 . D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f a f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 5 e x c i t e d b y f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c . a 1 0 \ O 5 3 c ? . 1 v X N . J \ Q 3 : : u 0 - 1 « 1 m 6 O H U ( U c : - H S o “ . . . - 1 a s : . . . 4 ' U ' U Q ) N ' 1 4 " . 3 0 E “ 0 " 0 Z ‘ 3 3 o 0 - 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 9 . 1 7 7 x x x x x o o 0 o o 1 I 1 2 - 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 N u m b e r o f m o d e s i n i m p u l s e r e s p o n s e N D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 e x c i t e d b y n a t u r a l E - p u l s e ( c i r c l e s ) a n d n a t u r a l D C E - p u l s e ( c r o s s e s ) . 1 n N O c > C ) O N “ ‘ 0 — X 0 N r — J \ Q 0 U ) H v - d ( 0 . . . ; s o 0 H u M G ' 1 4 S o : 0 - O - I l 5 3 : : ' U ' 0 Q ) N I a : “ 5 g o 0 — 1 2 0 O O ‘ 3 1 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 0 . 1 7 8 C ) C ) C ) G ) a , 1 1 1 2 . 0 4 . 0 6 - 0 8 . 0 1 0 . 0 N u m b e r o f m o d e s i n i m p u l s e r e s p o n s e N D i s c r i m i n a t i o n a r e a o f 6 0 0 t h i n c y l i n d e r o f r e l a t i v e l e n g t h 1 . 0 e x c i t e d b y f o r c e d E - p u l s e o f d u r a t i o n T e = 1 . 8 L / c . 1 7 9 v e r s u s t h e n u m b e r , N , o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t t h e t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e , f o r a n o r m a l i z e d l e n g t h o f 1 . 0 . O f c o u r s e , w h e n N 5 5 t h e f i v e m o d e E - p u l s e s e a c h e x t i n g u i s h t h e i m p u l s e r e s p o n s e . H o w e v e r , f o r N > 6 t h e E - p u l s e s e x c i t e t h e h i g h e r o r d e r m o d e s , r e s u l t i n g i n a n o n z e r o l a t e - t i m e r e s p o n s e . T h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a o f t h e f o r c e d E - p u l s e o f s h o r t e r d u r a t i o n i s s e e n t o b e o r d e r s o f m a g n i t u d e l a r g e r t h a n t h e d i s c r i m i n a t i o n a r e a o f t h e n a t u r a l a n d t h e n a t u r a l D C E - p u l s e s . E x a m i n a t i o n o f t h e E - p u l s e s p e c t r a e x p l a i n s t h e r e a s o n f o r t h i s . S i n c e t h e s h o r t e r d u r a t i o n f o r c e d E - p u l s e h a s a l a r g e a m o u n t o f e n e r g y a t h i g h e r f r e q u e n c i e s , a n d t h e o t h e r s p e c t r a a r e m u c h s m a l l e r a t t h e s e f r e q u e n c i e s , t h e h i g h e r o r d e r m o d e s a r e e x c i t e d m o s t e f f e c t i v e l y b y t h e s h o r t e r d u r a t i o n f o r c e d E - p u l s e . E m p l o y i n g a n E - p u l s e r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o t h e e x a c t n u m b e r o f n a t u r a l m o d e s p r e s e n t i n a m e a s u r e d t a r g e t r e s p o n s e i s p o t e n t i a l l y v e r y i m p o r t a n t . A s i t i s i m p o s s i b l e t o a c c u r a t e l y d e t e r - m i n e a l l t h e n a t u r a l m o d e s o f a c o m p l e x t a r g e t , o n l y a f i n i t e n u m b e r w i l l b e a v a i l a b l e f o r d i s c r i m i n a t i o n p u r p o s e s , w h i l e a n a c t u a l r e s p o n s e m a y c o n t a i n m a n y m o r e . F i g u r e s 5 . 5 . 1 . 1 9 a n d 5 . 5 . 1 . 2 0 i n d i c a t e t h a t a n E - p u l s e s h o u l d b e c o n s t r u c t e d s o a s t o E g g h a v e a r e l a t i v e l y l a r g e a m o u n t o f e n e r g y i n a r e g i o n o f t h e s p e c t r u m w h e r e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t a r e n o t a c c u r a t e l y k n o w n . T o t h i s e x t e n t , t h e f o r c e d E - p u l s e o f s m a l l e r d u r a t i o n i s n o t a g o o d c h o i c e f o r t h e u s e i n v e s t i g a t e d i n t h i s s e c t i o n . I t b e c o m e s e x p e d i e n t a t t h i s p o i n t t o a s k t h e q u e s t i o n : w h a t i s t h e f o r m o f t h e " b e s t " E - p u l s e ? T h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n h a v e s h o w n t h a t f o r a c c e p t a b l e p e r f o r m a n c e i n t h e p r e s e n c e o f n o i s e i t i s 1 8 0 i m p o r t a n t t h a t t h e w a v e f o r m b e r e l a t i v e l y s m o o t h . T h e s p e c t r u m o f t h e w a v e f o r m s h o u l d a l s o t a k e a n i d e a l f o r m . I t s h o u l d b e z e r o o v e r a s m a l l r a n g e o f o a n d w a r o u n d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . T h a t w a y , i f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t a r e n o t k n o w n w i t h g r e a t p r e c i s i o n , t h e r e i s a l i t t l e l e e w a y a v a i l a b l e . T h e s p e c t r u m s h o u l d t h e n b e c o n s t a n t a t a l l c o m p l e x f r e q u e n c i e s i n b e t w e e n , u p t o a r a n g e b e y o n d w h i c h t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t a r e n o t w e l l k n o w n , a n d z e r o e v e r y w h e r e o u t s i d e t h i s r a n g e . W i t h t h i s t y p e o f s p e c t r u m , e a c h o f t h e k n o w n n a t u r a l f r e q u e n c i e s w o u l d b e e l i m i n a t e d , w h i l e t h o s e o f a n u n k n o w n t a r g e t w o u l d e a c h b e e x c i t e d w i t h s i m i l a r a m p l i t u d e s . F o r t h e v e r y s i m p l e c a s e o f a t a r g e t w i t h e q u a l d a m p i n g c o e f f i c i e n t s , t h e s p e c t r u m m i g h t a p p e a r a s i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 1 . T h e s p e c t r u m s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 1 d o e s n o t , o f c o u r s e , c o r r e s p o n d t o a f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m , s i n c e i t i s f r e q u e n c y l i m i t e d [ 7 2 ] . T h e q u e s t i o n t h e n b e c o m e s w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o a r r i v e a t a f i n i t e d u r a t i o n E - p u l s e w i t h a s p e c t r u m a t a l l s i m i l a r t o t h e i d e a l . F o r t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t , a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h i s s p e c t r u m h a s a l r e a d y b e e n i d e n t i f i e d . F i g u r e 5 . 5 . 1 . 7 , i t i s r e m e m b e r e d , d i s p l a y s t h e s p e c t r u m o f t h e n a t u r a l D C E - p u l s e . T h i s s p e c t r u m h a s z e r o e s a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d , a n d h a s a f a i r l y c o n s t a n t a m p l i t u d e a t f r e q u e n c i e s i n b e t w e e n . A l s o , i t i s s e e n t o t a p e r o f f a t h i g h e r f r e q u e n c i e s w h e r e u n d e t e r m i n e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s m i g h t l i e . T h u s , t h e n a t u r a l D C E - p u l s e a p p e a r s t o b e t h e b e s t c h o i c e f o r t h i n c y l i n d e r d i s c r i m i n a t i o n . F o r m o r e c o m p l e x t a r g e t s , t h e n a t u r a l D C E - p u l s e m a y n o t h a v e t h e d e s i r e d s p e c t r a l f o r m . A l s o , t h e n a t u r a l E - p u l s e s m a y h a v e a e d u t i l p m A e v i t a l e R 1 8 1 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 1 . 1 1 r I l ( 1 ) 1 £ 0 2 ( 1 1 3 ( ” L 1 R a d i a n f r e q u e n c y " I d e a l " s p e c t r u m f o r E - p u l s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e f o u r t a r g e t m o d e s w h i c h h a v e e q u a l d a m p i n g c o e f f i c i e n t s . 1 8 2 m i n i m u m d u r a t i o n l a r g e r t h a n t h a t d e s i r e d . I t m i g h t s t i l l b e p o s s i b l e i n t h e s e c a s e s t o c o n s t r u c t E - p u l s e s w i t h s p e c t r a s i m i l a r t o t h e i d e a l . T h e k e y l i e s i n u s i n g a d i f f e r e n t b a s i s s e t . T h e s p e c t r u m o f t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s e d E - p u l s e i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 4 . 5 . 2 . 9 ) . T h e t r a n s f o r m o f a s i n g l e d a m p e d s i n u s o i d i s m e r e l y a p a i r o f p o l e s o f t h e f o r m l / ( s - s o ) . W h e n m u l t i p l i e d b y a r e c t a n g u l a r w i n d o w i n g f u n c t i o n t o t r u n c a t e t h e w a v e f o r m t o f i n i t e d u r a t i o n , t h e s p e c t r u m i s c o n v o l v e d i n t h e c o m p l e x f r e q u e n c y p l a n e w i t h a f u n c t i o n o f t h e t y p e s i n h ( s ) / s ( s e e [ 1 8 ] ) . A l o n e , t h e s i n h ( s ) / s f u n c t i o n h a s a p e a k a l o n g t h e m a x i s a t w = 0 . W h e n c o n v o l v e d w i t h t h e p o l e s o f t h e d a m p e d s i n u s o i d s p e c t r u m , t h e p e a k s h i f t s t o a p o i n t n e a r e r t h e p o S i t i o n o f t h e p o l e s ( a r e s u l t o f e m p l o y i n g C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m i n t h e c o m p l e x p l a n e c o n v o l u t i o n . ) T h u s , b y p r o p e r c h o i c e o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s o f t h e d a m p e d s i n u s o i d s , t h e s p e c t r u m o f t h e E - p u l s e c a n b e p e a k e d a t v a r i o u s p r e c h o s e n p o i n t s a l o n g t h e w a x i s . A s a n e x a m p l e o f t h i s t y p e o f s p e c t r u m s h a p i n g , c o n s i d e r a o n e m o d e n a t u r a l d a m p e d s i n u s o i d E - p u l s e s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t : 3 = - 0 . 2 6 0 1 + j 2 . 9 0 6 c / L . T h e d a m p e d 1 s i n u s o i d f u n c t i o n s a r e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e f r e q u e n c i e s a n d p h a s e s L L C 0 1 = ” 0 . 2 6 0 1 E 0 1 1 3 2 . 4 0 6 ¢ 1 = 0 ( 5 . 5 . 1 . 1 ) L L n : 0 2 = - 0 . 2 6 0 1 E m , = 3 . 4 0 6 9 2 = 3 - a n d t h e r e s u l t i n g E - p u l s e i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 2 . T h e s p e c t r u m o f t h i s E - p u l s e i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 3 . T h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s 1 8 3 “ 2 ‘ 2 4 . " 3 4 “ g D ' a ‘ . 5 3 % = 2 - 3 C ) H 9 2 ’ “ 2 c : — I ‘ 3 T 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 6 1 . 2 1 . 8 2 - 4 3 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 2 . N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g d a m p e d s i n u s o i d b a s i s f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r . 0 . 1 8 . 0 6 e 1 . d 0 u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 0 0 . 2 1 1 8 4 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 3 . r 1 1 1 2 . 0 4 . 0 6 . 0 6 . 0 N o r m a l i z e d r a d i a n f r e q u e n c y m / ( c / L ) S p e c t r u m o f o n e m o d e d a m p e d s i n u s o i d b a s e d E - p u l s e f o r o = - 0 . 2 6 0 1 c / L . 1 8 5 u s e d t o c o n s t r u c t t h e E - p u l s e h a v e b e e n c h o s e n s o t h a t t h e i r i m a g i n a r y p a r t s a r e j u s t t o t h e r i g h t a n d j u s t t o t h e l e f t o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y t o b e e l i m i n a t e d . I t i s h o p e d t h a t t h i s w i l l r e s u l t i n p e a k s o f t h e s p e c t r u m o n e a c h s i d e o f t h e f r e q u e n c y t o b e e l i m i n a t e d , a n d m o r e c l o s e l y s i m u l a t e t h e p r e v i o u s l y d i s c u s s e d " i d e a l " . F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 3 s h o w s t h a t t h i s a t t e m p t h a s s u c c e e d e d . E x t e n d i n g t h i s t e c h n i q u e t o t h e c a s e o f a m u l t i m o d e E - p u l s e i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d . O n e i s t e m p t e d m e r e l y t o p u t p e a k s i n b e t w e e n t h e f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . H o w e v e r , i t i s n o t o b v i o u s t h a t t h e a m p l i t u d e s o f t h e b a s i s f u n c t i o n s d e t e r m i n e d b y a p p l y i n g t h e E - p u l s e e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 1 . 2 ) a n d ( 4 . 4 . 1 . 3 ) w i l l r e s u l t i n a s p e c t r u m t h a t h a s r e l a t i v e l y c o n s t a n t a m p l i t u d e b e t w e e n t h e z e r o e s . A d i f f e r e n t a p p r o a c h c a n b e t r i e d , t h o u g h , w h i c h m i g h t a c h i e v e a f a i r l y e v e n d i s t r i b u t i o n b e t w e e n t h e z e r o e s . I t i s k n o w n f r o m t h e d i s c u s s i o n o f s e c t i o n 4 . 4 . 6 t h a t a m u l t i - m o d e E - p u l s e c a n b e c o n s t r u c t e d f r o m t h e c o n v o l u t i o n o f m a n y s i n g l e m o d e E - p u l s e s . T h i s c o r r e s p o n d s t o m u l t i p l y i n g t h e E - p u l s e s p e c t r a i n t h e c o m p l e x f r e q u e n c y d o m a i n . I f a s i n g l e m o d e E - p u l s e c o u l d b e c o n s t r u c t e d s o t h a t i t s s p e c t r u m w a s f a i r l y c o n s t a n t e x c e p t a t t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e l i m i n a t e d ( w h e r e t h e r e w o u l d b e a z e r o ) i t c o u l d b e c o n v o l v e d w i t h s i m i l a r E - p u l s e s d e s i g n e d t o e l i m i n a t e o t h e r m o d e s , r e s u l t i n g i n a n o v e r a l l s p e c t r u m n e a r t h e " i d e a l " . T h i s c o u l d b e a c c o m p l i s h e d u s i n g f o r c e d d a m p e d s i n u s o i d E - p u l s e s o f s h o r t d u r a t i o n . S i n c e t h e w i d t h s o f t h e s i n ( x ) / x l o b e s a l o n g t h e m a x i s a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e i n d i v i d u a l E - p u l s e d u r a t i o n s , m a k i n g t h e d u r a t i o n s s h o r t r e s u l t s i n a s p r e a d i n g o f t h e E - p u l s e e n e r g y a c r o s s t h e 1 8 6 s p e c t r u m - - a m o r e " c o n s t a n t " d i s t r i b u t i o n . I t i s a l s o n e c e s s a r y t o k e e p t h e d u r a t i o n s o f t h e i n d i v i d u a l E - p u l s e s s m a l l s i n c e t h e t o t a l d u r a t i o n o f t h e c o n v o l v e d E - p u l s e i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e i n d i v i d u a l d u r a t i o n s . 5 . 5 . 2 S i n g l e M o d e D i s c r i m i n a t i o n R a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n c a n a l s o b e b a s e d u p o n t h e d i f f e r - e n c e i n t a r g e t r e s p o n s e s t o s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s . A s i n g l e m o d e s i g n a l c r e a t e d t o e x c i t e o n e m o d e o f a s p e c i f i c t a r g e t w i l l e x c i t e m a n y m o d e s o f a d i f f e r e n t t a r g e t , r e s u l t i n g i n v e r y d i s s i m i l a r l a t e - t i m e r e s p o n s e s . ( O r , a l t e r n a t i v e l y , t h e s i n g l e m o d e s i g n a l w i l l e l i m i n a t e a l l b u t o n e m o d e o f t h e e x p e c t e d t a r g e t , w h i l e e x c i t i n g m a n y m o d e s o f a d i f f e r e n t t a r g e t . ) F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 1 a n d 5 . 5 . 2 . 2 s h o w m i n i m u m d u r a t i o n n a t u r a l s i n e a n d c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s s y n t h e s i z e d u s i n g t h e r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t v i a t h e a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 6 t o e x c i t e t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t , r e s p e c t i v e l y . T h e f i r s t f i v e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t a b u l a t e d i n F i g u r e 5 . 2 . 1 h a v e b e e n u s e d i n t h e c o n s t r u c t i o n . N o t e t h a t t h e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s h a v e t h e a p p r o x i m a t e s h a p e o f o n e p e r i o d o f t h e f i r s t n a t u r a l m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r , w h i l e t h e t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s a p p e a r t o c o n s i s t o f a p p r o x i m a t e l y t h r e e c y c l e s o f t h e t h i r d n a t u r a l m o d e . T h e s h a p e s o f t h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s a r e r e f l e c t e d i n t h e i r s p e c t r a , a s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 . T h i s f i g u r e s h o w s t h e s p e c t r u m o f t h e s i n e f i r s t m o d e s i g n a l , a t a v a l u e o f o = - 0 . 2 6 0 1 c / L , a n d a l s o t h e s p e c t r u m o f t h e s i n e t h i r d m o d e s i g n a l , a t a v a l u e o f 1 . e 0 d u - t i o c o l c — n u p p m A e v i t a l e R 2 0 0 ” 1 8 7 0 . 2 1 1 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 . N a t u r a l s i n e ( d o t t e d l i n e ) a n d c o s i n e ( s o l i d l i n e ) f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s o f m i n i m u m d u r a t i o n f o r f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r . - “ - ‘ - ' 1 “ - - b - . . . _ e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 0 0 " 1 8 8 P - - - ‘ 1 O — d 0 p - - - I - - - J ‘ - - ‘ - - “ - ‘ - - " r * T 0 - 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 . N a t u r a l s i n e ( d o t t e d l i n e ) a n d c o s i n e ( s o l i d l i n e ) t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s o f m i n i m u m d u r a t i o n f o r f i v e m o d e t h i n c y l i n d e r . 2 - J 0 2 - L 0 1 . I e 0 d u t i l p m A e 1 v . i 0 t a l e R 0 - I 0 1 8 9 1 I “ ‘ \ fi , ( 1 . 0 I r A A " I ‘ ~ _ v " - ~ ‘ 0 . 0 5 - 0 1 0 - 0 1 5 - 0 2 0 - 0 2 5 - 0 N o r m a l i z e d r a d i a n f r e q u e n c y w / ( c / L ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 . S p e c t r a o f f i r s t ( d o t t e d l i n e ) a n d t h i r d ( s o l i d l i n e ) m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t a t i o n s i g n a l s f o r o = - 0 . 2 6 0 1 c / L . 1 9 0 = - O . 4 6 8 4 c / L . I t i s s e e n t h a t t h e r e i s a p e a k i n e a c h o f t h e s p e c t r a a t a v a l u e o f m c o r r e s p o n d i n g t o t h e w o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y t o b e e x c i t e d . T h i s a u t o m a t i c c o n c e n t r a t i o n o f e n e r g y s e e m s t o b e u n i q u e t o t h e n a t u r a l s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s . I t w i l l b e s e e n t h a t s u c h a f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n r e s u l t s i n o p t i m u m d i s c r i m i n a t i o n , a n d a t t e m p t s w i l l b e m a d e t o d u p l i c a t e i t a r t i f i c i a l l y , u s i n g t h e d a m p e d s i m u s o i d b a s i s s e t , l a t e r i n t h i s s e c t i o n . V e r i f i c a t i o n o f t h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s i s a c c o m - p l i s h e d b y c o n v o l v i n g t h e s i n g l e m o d e E - p u l s e s o f F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 1 a n d 5 . 5 . 2 . 2 w i t h t h e t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 4 a n d 5 . 5 . 2 . 5 . I t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s a r e i n d e e d s i n g l e d a m p e d s i n u s o i d s o s c i l l a t i n g a t t h e f r e q u e n c i e s o f t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . I t i s a l s o s e e n t h a t t h e s i n e a n d c o s i n e r e s p o n s e s a r e e x a c t l y 9 0 0 o u t o f p h a s e , a s r e q u e s t e d . T h e m o s t s t r i k i n g d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e r e s p o n s e s i s d u e t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t s ( r e a l p a r t s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . ) T h e l a r g e r ( n e g a t i v e ) d a m p i n g c o e f f i c i e n t o f t h e t h i r d m o d e d r i v e s t h e m a g n i t u d e o f i t s r e s p o n s e t o n e a r z e r o b y t h e e n d o f t h e d i s p l a y , w h i l e t h e f i r s t m o d e r e s p o n s e i s s t i l l q u i t e l a r g e . T h i s m a k e s t h e h i g h e r o r d e r s i n g l e m o d e r e s p o n s e s l e s s p r a c t i c a l f o r d i s c r i m i n a t i o n p u r p o s e s , w h i c h i s u n f o r t u n a t e , s i n c e i t w i l l b e s e e n t h a t t h e h i g h e r o r d e r r e s p o n s e s a r e a c t u a l l y t h e m o s t s e n s i t i v e d i s c r i m i n a n t s . T h e r e a r e m a n y w a y s t o i n t e r p r e t t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 4 a n d 5 . 5 . 2 . 5 . P e r h a p s t h e m o s t d r a m a t i c i s t o u s e t h e t e c h n i q u e d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . 4 . 7 . T h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n e d u t i l p m A e v i t a l e R 1 9 1 1 F . l a t e - t i m e I ‘ F l I 4 4 4 1 0 - 0 3 - 0 6 . 0 9 - 0 1 2 . 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) “ 0 0 6 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 4 . C o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e 6 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . e d u t i l p m A e v 2 . i 0 t - a l e R 4 - L 0 " 1 9 2 F ‘ - — . ' l a t e - t i m e , l I I I I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 - 0 1 2 - 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) 0 . 6 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 5 . C o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e 6 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . 1 9 3 s i g n a l s s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 1 a n d 5 . 5 . 2 . 2 h a v e b e e n n o r m a l i z e d a c c o r d i n g t o e q u a t i o n s ( 4 . 4 . 7 . 1 2 ) a n d ( 4 . 4 . 7 . 1 4 ) , a n d t h u s t h e c o n v o l v e d s i n e a n d c o s i n e r e s p o n s e s c a n b e c o m b i n e d t o p r o v i d e a p l o t o f t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t a n d t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y . T h e s e a r e s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 6 t h r o u g h 5 . 5 . 2 . 9 . I f t h e r e s p o n s e s a r e p u r e d a m p e d s i n u s o i d s , t h e s e p l o t s s h o u l d p r o d u c e s t r a i g h t l i n e s , t h e s l o p e s o f w h i c h c o r r e s p o n d t o f r e q u e n c y ( r e a l o r i m a g i n a r y p a r t . ) T h i s i s i n d e e d s e e n t o b e t h e c a s e , a s e a c h o f t h e p l o t s d o e s p r o d u c e a s t r a i g h t l i n e i n l a t e - t i m e . ( N o t e t h a t t h i s a l s o p r o v i d e s a g o o d g r a p h i c a l i n d i c a t i o n o f t h e b e g i n n i n g o f t h e l a t e - t i m e p e r i o d - - t h e p o i n t w h e r e t h e r e s p o n s e b e c o m e s a p u r e d a m p e d s i n u s o i d . ) T o i m p l e m e n t a d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e , t h e s l o p e s o f t h e f r e q u e n c y p l o t s m u s t b e c o m p a r e d w i t h t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e e x p e c t e d t a r g e t . I f t h e t w o m a t c h , t h e t a r g e t h a s b e e n i d e n t i f i e d . I f t h e t w o a r e d i s s i m i l a r , t h e t a r g e t i s d i s c r i m i n a t e d f r o m t h e e x p e c t e d t a r g e t . T h e s i m p l e s t w a y t o i m p l e m e n t d i s c r i m i n a t i o n i s t o u s e a v i s u a l c o m - p a r i s o n . T h i s h a s b e e n p r o v i d e d i n e a c h o f t h e F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 6 t h r o u g h 5 . 5 . 2 . 9 , w h e r e t h e s l o p e o f t h e e x p e c t e d t a r g e t f r e q u e n c i e s h a s b e e n p l o t t e d n e x t t o t h e f r e q u e n c y p l o t s . I t i s a p p a r e n t t h a t t h e t w o l i n e s a r e p a r a l l e l i n t h e l a t e - t i m e f o r e a c h o f t h e f i g u r e s , a n d t h u s t h e t a r g e t i s i d e n t i f i e d a s t h a t e x p e c t e d . A l e s s s u b j e c t i v e c o m p a r i s o n c a n b e p r o v i d e d b y c o m p u t i n g a l i n e a r r e g r e s s i o n f o r t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e f r e q u e n c y p l o t s . T h i s p r o v i d e s a m o r e g l o b a l m e a s u r e o f t h e f r e q u e n c y c o n t e n t o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e ( a n d r e s u l t s i n a s i n g l e n u m b e r ) , a s o p p o s e d t o t h e l o c a l d e s c r i p t i o n p r o v i d e d b y t h e p l o t i t s e l f . A p p l i c a t i o n o f l i n e a r r e g r e s s i o n g i v e s v a l u e s o f 0 . 0 3 0 . 0 2 0 s n a i d a R 1 9 4 1 0 . ° . 0 C ? } — . l a t e - t i m e o T I I I T I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 6 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . 0 . I 0 s r e i p a N 0 - 1 4 ' 0 3 4 0 “ l 1 0 . 0 “ 4 2 0 0 ' { 5 0 0 I 1 9 5 F l a t e - t i m e 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 7 . T 4 r 1 ' T ‘ 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 - 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . s n a i d a R O - O l l 0 . 0 1 1 9 6 ‘ — — . l a t e - t i m e I 1 I 0 . 0 3 . 0 5 - 0 9 - 0 1 2 - 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 8 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . s i N p a r e 1 9 7 ‘ 3 ’ 1 m ~ 9 . F l a t e - t i m e c o 7 T I T I I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 9 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . 1 9 8 = - 0 . 2 6 0 1 c / L a n d w = 2 . 9 0 6 c / L f o r t h e f i r s t m o d e r e s p o n s e , a n d = - 0 . 4 6 8 4 c / L a n d w = 9 . 0 5 8 c / L f o r t h e t h i r d m o d e r e s p o n s e . T h e s e c o m p a r e e x t r e m e l y w e l l w i t h t h e e x a c t f r e q u e n c i e s o f t h e e x p e c t e d t a r g e t . A n y s l i g h t d i s c r e p a n c i e s i n t h e l a s t d e c i m a l p l a c e i s p r o b a b l y d u e t o i n a c c u r a c i e s i n t h e c o n v o l u t i o n t e c h n i q u e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 5 . 3 . T h e c o n s t r u c t i o n o f f r e q u e n c y p l o t s r e q u i r e s t h e u s e o f b o t h s i n e a n d c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s . T h e c o m p l e x i t y o f t h e d i s c r i m i n a t i o n p r o c e s s c a n b e r e d u c e d b y a f a c t o r o f t w o i f o n l y o n e o f t h e t w o w a v e f o r m s n e e d b e u s e d . T h i s r e q u i r e s a d i f f e r e n t i n t e r - p r e t a t i o n o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . O n e q u i t e s i m p l e m e t h o d i s t o e m p l o y o n e o f t h e n a t u r a l m o d e e x t r a c t i o n s c h e m e s ( a s d e s c r i b e d i n c h a p t e r 6 ) t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f e i t h e r t h e s i n e o r c o s i n e r e s p o n s e ( o r a s i n / c o s r e s p o n s e . ) T h i s a p p r o a c h i n v o l v e s e x t r a c t i n g j u s t a s i n g l e m o d e . I f t h e t a r g e t i s t h e e x p e c t e d o n e , t h e e x t r a c t e d v a l u e s o f o a n d m w i l l m a t c h t h o s e a n t i c i p a t e d . I f t h e t a r g e t i s n o t t h a t e x p e c t e d , t h e e x t r a c t e d v a l u e s w i l l n o t m a t c h . A s a n e x a m p l e , t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d h a s b e e n a p p l i e d t o t h e s i n e r e s p o n s e s o f F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 4 a n d 5 . 5 . 2 . 5 . F o r t h e f i r s t m o d e r e s p o n s e , t h e e x t r a c t e d v a l u e s a r e f o u n d t o b e o = - O . 2 6 0 l c / L a n d w = 2 . 9 0 6 c / L , w h i l e t h e t h i r d m o d e s i n e r e s p o n s e y i e l d s o a - O . 4 6 7 4 c / L a n d w = 9 . 0 5 8 c / L . A g a i n , t h e s e a r e e x t r e m e l y c l o s e t o t h e e x p e c t e d r e s u l t s . N o t e t h a t t h i s t e c h n i q u e a l s o d e s c r i b e s a g l o b a l r a t h e r t h a n a l o c a l b e h a v i o r . A t h i r d w a y o f i n t e r p r e t i n g t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s c o m b i n e s b o t h a l o c a l a n d a g l o b a l d e s c r i p t i o n , a n d i n v o l v e s o n l y o n e o f e i t h e r t h e s i n e o r c o s i n e r e s p o n s e s . T h i s m e t h o d i n v o l v e s f i t t i n g a 1 9 9 o n e m o d e d a m p e d s i n u s o i d a l w a v e f o r m t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e . T h e e x p e c t e d n a t u r a l f r e q u e n c y i s h e l d c o n s t a n t a n d t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f t h e w a v e f o r m w h i c h b e s t f i t s t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e a r e c a l c u l a t e d . T h i s i s a l i n e a r l e a s t - s q u a r e s p r o b l e m a n d i s d e s c r i b e d e x p l i c i t l y i n s e c t i o n 6 . 4 . T o p r o v i d e a g r a p h i c a l p r e s e n t a t i o n o f t h e r e s u l t s , t h i s b e s t f i t i s t h e n s u b t r a c t e d f r o m t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e . T h e r e s u l t i n g w a v e f o r m i s t h e n m u c h l i k e t h e o u t p u t f r o m a n E - p u l s e c o n v o l u t i o n . I f t h e t a r g e t i s t h a t e x p e c t e d , t h e w a v e f o r m i s i d e n t i c a l l y z e r o i n t h e l a t e - t i m e ( s i n c e t h e b e s t f i t e x a c t l y f i t s t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e i n t h e l a t e - t i m e . ) I f t h e t a r g e t i s n o t t h e o n e e x p e c t e d , t h e n t h e l a t e - t i m e p o r t i o n w i l l b e n o n z e r o . F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 1 0 a n d 5 . 5 . 2 . 1 1 s h o w t h e r e s u l t s f o r t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e s i n e r e s p o n s e s . A s a n t i c i p a t e d , t h e w a v e f o r m s a r e z e r o i n t h e l a t e - t i m e . I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h e l a t t e r t w o m e t h o d s o f i n t e r p r e t i n g t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s r e q u i r e a k n o w l e d g e ( o r a t l e a s t a n e s t i m a t e ) o f t h e b e g i n n i n g o f t h e l a t e - t i m e p e r i o d . T h i s w a s n o t n e e d e d t o c o n s t r u c t t h e f r e q u e n c y p l o t s o f t h e f i r s t m e t h o d . H o w e v e r , c o m p a r i n g t h e f r e q u e n c y p l o t s w i t h t h e e x p e c t e d s l o p e s d o e s r e q u i r e k n o w i n g t h e p o i n t t o b e g i n t h e c o m p a r i s o n . A n d p e r f o r m i n g l i n e a r r e g r e s s i o n o n t h e f r e q u e n c y l i n e s a l s o r e q u i r e s t h e k n o w l e d g e o f t h e b e g i n n i n g o f t h e l a t e - t i m e r e g i o n . T h i s i s i d e n t i c a l w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n v o l u t i o n s , s i n c e i t i s n e c e s s a r y t o k n o w t h e p o i n t b e y o n d w h i c h a n u l l r e s p o n s e i t t o b e e x p e c t e d . D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n d i f f e r i n g t h i n c y l i n d e r t a r g e t s i s i n v e s t i g a t e d b y c o n v o l v i n g t h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s w i t h e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 0 0 1 - 0 — - — - — - — l a t e - t i m e 1 . 5 I I I I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 0 . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e f i r s t m o d e c o n v o l u t i o n . e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 0 1 1 l a t e - t i m e I I I fi O I O 3 . 0 6 . 0 8 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 1 . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e t h i r d m o d e c o n v o l u t i o n . 2 0 2 a t a r g e t 1 0 % l o n g e r . T h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s f o r t h e f i r s t m o d e s i g n a l s a r e s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 2 w h i l e t h o s e f o r t h e t h i r d m o d e s i g n a l s a r e s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 3 . I t i s s o m e w h a t d i f f i c u l t t o t e l l t h a t t h e f i r s t m o d e s i n e a n d c o s i n e r e s p o n s e s a r e n o t i d e n t i c a l t o t h o s e o f t h e c o r r e c t c y l i n d e r s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 4 , b u t a c l o s e e x a m i n a t i o n r e v e a l s t h a t t h e p e r i o d s a r e l o n g e r f o r t h e l o n g e r t a r g e t . I t i s m u c h m o r e o b v i o u s t h a t t h e t h i r d m o d e c o n v o l v e d r e s p o n s e s a r e n o t m e r e l y t h e s i n g l e d a m p e d s i n u s o i d s e x p e c t e d . T h e r e a s o n f o r t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t r e n d s s e e n i n t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e r e s p o n s e s i s t h r e e f o l d . F i r s t , t h e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t m o d e i n b o t h t h e e x p e c t e d a n d l o n g e r t a r g e t s i s g r e a t e r t h a n t h a t o f t h e t h i r d m o d e . S e c o n d , t h e s m a l l e r d a m p i n g c o e f f i c i e n t o f t h e f i r s t m o d e a l l o w s i t t o c o m e t h r o u g h m u c h s t r o n g e r . I n t h e c a s e o f t h e r e s p o n s e o f t h e l o n g e r t a r g e t t o t h e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , t h e e x c i t e d f i r s t m o d e d o m i n a t e s t h e e x c i t e d t h i r d m o d e ( a n d , o f c o u r s e , t h e o t h e r m o d e s . ) I n t h e c a s e o f t h e r e s p o n s e o f t h e l o n g e r t a r g e t t o t h e t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , b o t h t h e e x c i t e d f i r s t a n d s e c o n d m o d e s m a k e i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s . L a s t l y , t h e s p e c t r a o f t h e e x c i t a t i o n s i g n a l s r e v e a l t h a t f o r t h e f i r s t m o d e s i g n a l t h e r e i s l i t t l e e n e r g y a t t h e f r e q u e n c y o f t h e t h i r d m o d e ( o f t h e l o n g e r t a r g e t ) , w h i l e f o r t h e t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l t h e r e i s q u i t e a l o t o f e n e r g y a t t h e f r e q u e n c y o f t h e f i r s t m o d e ( o f t h e l o n g e r t a r g e t . ) D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e e x p e c t e d a n d t h e l o n g e r t a r g e t i s b a s e d o n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . I f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e i s a p u r e d a m p e d s i n u s o i d w i t h t h e e x p e c t e d f r e q u e n c y t h e n t h e t a r g e t h a s b e e n i d e n t i f i e d . I f i t i s n o t a p u r e 0 - 1 e d u t i l p m A e 0 v I . 0 i t a l e R 0 - 1 " ’ \ I \ / \ 2 0 3 F l a t e - t i m e T T T I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 - 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 2 . C o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e i m p u l s e r e s p o n s e o f 6 0 t h i n c y l i n d e r w h i c h i s 1 0 % l o n g e r t h a n e x p e c t e d . e d u t i l p m A e v i t a l e R 4 . I 0 - 6 ~ ) 4 ' 2 0 4 0 . 0 l a t e - t i m e I I I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 3 . C o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h f i v e m o d e i m p u l s e r e s p o n s e o f 6 0 t h i n c y l i n d e r w h i c h i s 1 0 % l o n g e r t h a n e x p e c t e d . 2 0 5 s i n u s o i d , o r i f i t h a s a f r e q u e n c y o t h e r t h a n t h a t e x p e c t e d , t h e t a r g e t i s d i s c r i m i n a t e d f r o m t h e e x p e c t e d t a r g e t . E m p l o y i n g t h e t h r e e i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s p r o v i d e s a f i r m b a s i s f o r t h i s d i s c r i m i n a t i o n . F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 1 4 t h r o u g h 5 . 5 . 2 . 1 7 s h o w t h e f r e q u e n c y p l o t s f o r e a c h r e s p o n s e . I t i s a p p a r e n t t h a t n o n e o f t h e s e e x a c t l y p a r a l l e l s t h e e x p e c t e d s l o p e . A p p l i c a t i o n o f l i n e a r r e g r e s s i o n t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e s e c u r v e s y i e l d s v a l u e s o f o = - O . 2 3 9 5 c / L a n d w = 2 . 6 3 5 c / L f o r t h e f i r s t m o d e a n d o = - O . 1 8 8 4 c / L a n d w = 3 . 6 6 2 c / L f o r t h e t h i r d m o d e , a l l o f w h i c h a r e q u i t e a b i t d i f f e r e n t f r o m t h e e x p e c t e d v a l u e s . T h e t h i r d m o d e r e s p o n s e p r o v i d e s t h e g r e a t e s t a m o u n t o f d i s c r i m i n a t i o n , f o r t h e t h r e e r e a s o n s d i s c u s s e d a b o v e . U s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d o n t h e l a t e - t i m e p o r t i o n s o f t h e c o n v o l v e d s i n e r e s p o n s e s r e s u l t s i n b e s t f i t v a l u e s o f o = - O . 2 4 0 2 c / L a n d w = 2 . 6 3 2 c / L f o r t h e f i r s t m o d e a n d o = - O . 5 7 1 3 c / L a n d w = 4 . 2 7 4 c / L f o r t h e t h i r d m o d e . A g a i n , a l l o f t h e s e a r e d i f f e r e n t f r o m t h e e x p e c t e d v a l u e s , a n d t h e l o n g e r t a r g e t i s d i s c r i m i n a t e d f r o m t h e e x p e c t e d t a r g e t . L a s t l y , t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e s i n e r e s p o n s e s h a v e b e e n b e s t f i t a n d t h e r e s u l t s u b t r a c t e d f r o m t h e o r i g i n a l w a v e f o r m s . F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 1 8 a n d 5 . 5 . 2 . 1 9 s h o w t h e r e s u l t i n g w a v e f o r m s . H e r e t h e n o n z e r o l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e w a v e f o r m s d i s c r i m i n a t e t h e l o n g e r t a r g e t f r o m t h e t a r g e t e x p e c t e d , i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o t h e E - p u l s e d i s c r i m i n a t i o n o f t h e l a s t s e c t i o n . S e n s i t i v i t y o f s i n g l e m o d e d i s c r i m i n a t i o n t o t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e i s i n v e s t i g a t e d b y c o n v o l v i n g t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h t h e n o i s y t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 1 1 . T h e r e s u l t i n g c o n v o l v e d r e s p o n s e s 0 . 0 J 4 i 2 0 6 R a d i a n s o D . - C : l a t e - t i m e c 5 1 ‘ I I I I I 0 . 0 3 . 0 8 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 4 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . s r e i p a N 0 . J 0 0 0 4 ’ 0 0 3 I £ “ 0 . 0 1 “ 4 3 0 0 “ 4 5 0 0 2 0 7 I — fi l a t e - t i m e 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 5 . I I l I 3 . 0 8 . 0 9 . 0 1 2 - 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . s n a i d a R 0 . 0 6 0 . 0 4 0 - 0 2 0 . 0 0 . 0 2 2 0 8 ' - — — ’ l a t e - t i m e I I I 0 . 0 3 . 0 6 - 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 6 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . 2 0 9 I n M 3 ’ . D . g c . ’ a ) — I c ? T — : 3 F l a t e - t i m e . " 3 . l I I I I 1 1 1 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 - 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 7 . N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r , t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 1 0 l a t e — t i m e 1 . 0 I I I 0 1 0 3 ~ 0 6 . 0 9 - 0 1 2 - 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 8 . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e f i r s t m o d e , 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r c o n v o l u t i o n . e d u t i l p m A e v i t a l e R 3 2 1 1 1 F — l a t e - t i m e I I I I I 0 . 0 3 . 0 6 - 0 9 - 0 1 . 2 - 0 1 . 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) . 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 1 9 . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e t h i r d m o d e , 1 0 % l o n g e r c y l i n d e r c o n v o l u t i o n . 2 1 2 a r e s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 2 0 a n d 5 . 5 . 2 . 2 1 . I t i s a p p a r e n t t h a t t h e f i r s t m o d e c o n v o l v e d r e s p o n s e s h a v e b e e n e f f e c t e d v e r y l i t t l e b y t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e w h i l e t h e t h i r d m o d e r e s p o n s e s h a v e b e e n e f f e c t e d s u b s t a n t i a l l y . T h i s m i g h t b e d u e i n p a r t t o t h e m o r e o s c i l l a t o r y n a t u r e o f t h e t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , r e s u l t i n g i n l e s s n o i s e a v e r a g i n g . T h e f r e q u e n c y p l o t s , s h o w n i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 2 2 t h r o u g h 5 . 5 . 2 . 2 5 a l s o r e f l e c t t h i s d i f f e r e n c e . W h e r e a s t h e f i r s t m o d e f r e q u e n c y p l o t s a r e n e a r l y i d e n t i c a l t o t h e e x p e c t e d s l o p e s , t h e t h i r d m o d e p l o t s a r e m u c h n o i s i e r , e s p e c i a l l y t h e p l o t o f a t . N o t e t h a t t h e t h i r d m o d e r e s p o n s e i s e f f e c t e d m o s t g r e a t l y a t l a t e r t i m e s , w h e n i t h a s d a m p e d d o w n t o a v e r y s m a l l m a g n i t u d e . L i n e a r r e g r e s s i o n o f t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e f r e q u e n c y p l o t s i n F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 2 2 t h r o u g h 5 . 5 . 2 . 2 5 g i v e s v a l u e s o f o = - 0 . 2 7 4 5 c / L a n d w = 2 . 9 1 5 c / L f o r t h e f i r s t m o d e r e s p o n s e s a n d o = - 0 . 1 9 3 1 c / L a n d w = 1 0 . 6 5 c / L f o r t h e t h i r d m o d e r e s p o n s e s . A p p l i c a t i o n o f t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e s i n e r e s p o n s e s r e s u l t s i n o = - O . 2 5 9 0 c / L a n d w = 2 . 9 0 9 c / L f o r t h e f i r s t m o d e a n d = - 0 . 4 9 3 8 c / L a n d m = 8 . 9 8 l c / L f o r t h e t h i r d m o d e . N o t e t h a t t h e v a l u e s c a l c u l a t e d u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a r e q u i t e c l o s e t o t h e e x p e c t e d v a l u e s , e v e n f o r t h e t h i r d m o d e r e s p o n s e . T h i s a l l o w s a s e p a r a t i o n o f t h e e f f e c t s o f r a n d o m n o i s e a n d t a r g e t l e n g t h s e n s i - t i v i t y . L a s t l y , F i g u r e s 5 . 5 . 2 . 2 6 a n d 5 . 5 . 2 . 2 7 s h o w t h e r e s u l t s o f b e s t f i t t i n g t h e l a t e - t i m e r e g i o n s o f t h e s i n e r e s p o n s e s a n d s u b t r a c t i n g . A l t h o u g h n e i t h e r l a t e - t i m e r e g i o n o f t h e r e s u l t i n g w a v e f o r m s i s i d e n t i c a l l y z e r o , e a c h i s q u i t e s m a l l . I n f a c t , a q u i c k c o m p a r i s o n s h o w s t h a t t h e y a r e m u c h s m a l l e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g r e g i o n s o f t h e e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 2 1 3 I — — l a t e - t i m e I I I I I 0 - 0 3 - 0 6 . 0 9 . 0 1 2 - 0 1 . 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) . 6 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 0 . C o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h n o i s y f i v e m o d e 6 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 2 1 4 “ 0 0 4 l l — — > l a t e - t i m e I I I I I 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) . 6 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 1 . C o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e s i n e a n d c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h n o i s y f i v e m o d e 6 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e . s n a i d a R 0 . 0 2 0 1 . 0 0 . 0 2 1 5 3 0 . 0 } - — - — ' - l a t e - t i m e ‘ 3 o T I I I I I 0 . 0 3 . 0 8 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 2 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . s r e i p a N 0 0 4 “ ‘ 2 0 0 2 1 6 ‘ ? C D I O } - — ‘ l a t e - t i m e ‘ ? I I I I I I 0 . 0 3 . 0 3 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 3 . N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d f i r s t m o d e . 0 . 0 0 0 . 0 6 0 . . 0 4 0 2 0 0 . 0 0 . 0 2 s n a i d a R 2 1 7 ' — — - V l a t e - t i m e I I I 0 - 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 4 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s r a d i a n f r e q u e n c y p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . 0 0 6 “ 0 0 8 - N a p i e r s - ‘ . 0 1 0 . 0 2 1 8 l a t e - t i m e fl 0 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 5 . 1 1 I 1 3 . 0 8 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m t h i r d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n s . D o t t e d l i n e i s d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t o f e x p e c t e d t h i r d m o d e . e d u t i l p m A e v i t a l e R 5 . 1 ‘ 2 1 9 1 F — l a t e - t i m e I I I I 0 - 0 3 - 0 6 . 0 9 - 0 1 2 . 0 1 5 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 6 . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e f i r s t m o d e , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n . e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 2 0 3 . 0 | — — . l a t e - t i m e I I I I l 0 . 0 3 . 0 0 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 6 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) 2 . 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 7 . B e s t f i t d i f f e r e n c e p l o t f o r s i n e t h i r d m o d e , n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e c o n v o l u t i o n . 2 2 1 f i g u r e s g e n e r a t e d f r o m t h e l o n g e r t a r g e t . A g a i n , t h i s a l l o w s a s e p a - r a t i o n o f t h e e f f e c t s o f r a n d o m n o i s e a n d t a r g e t l e n g t h s e n s i t i v i t y . I t i s a p p r o p r i a t e a t t h i s p o i n t t o i n q u i r e , a s w a s d o n e w i t h t h e E - p u l s e , a s t o w h a t m i g h t b e t h e b e h a v i o r o f a n " i d e a l " s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l . T h e a n s w e r i s s o m e w h a t d i f f e r e n t f r o m t h a t g i v e n f o r t h e E - p u l s e . I t i s m o s t i m p o r t a n t f o r t h e s p e c t r u m o f a s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m t o h a v e a l a r g e m a g n i t u d e a t t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e x c i t e d , i n c o m p a r i s o n t o t h a t a t t h e f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . T h i s i s d u e t o t h e p r a c t i c a l p r o b l e m o f t h e p r e s e n c e o f e r r o r s i n t h e m e a s u r e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t t h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s . B e c a u s e o f t h i s e r r o r , t h e m o d e s w h i c h s h o u l d b e e l i m i n a t e d w i l l a c t u a l l y b e e x c i t e d . T h e a m p l i t u d e s o f t h e s e m o d e s a r e , o f c o u r s e , d e t e r m i n e d b y t h e a m o u n t o f e n e r g y i n t h e e x c i t a t i o n s i g n a l s p e c t r u m a t t h e m o d a l f r e q u e n c i e s . N o w , i f t h e r e i s a r e l a t i v e l y s m a l l a m o u n t o f e n e r g y a t t h e f r e q u e n c y t o b e e x c i t e d , t h e s e e x t r a n e o u s m o d e s m a y m a k e a r e l a t i v e l y l a r g e c o n t r i b u t i o n t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e , s o t h a t t h e e x p e c t e d t a r g e t m i g h t n o t b e p r o p e r l y i d e n t i f i e d . T h i s i s e s p e c i a l l y t r o u b l e - s o m e f o r t h e c a s e o f h i g h e r m o d e e x c i t a t i o n , w h e r e t h e s m a l l e r d a m p i n g c o e f f i c i e n t s o f t h e l o w e r o r d e r m o d e s t o b e e l i m i n a t e d a l l o w t h e m t o d o m i n a t e t h e e x p e c t e d h i g h e r o r d e r m o d e i n t h e l a t t e r p a r t o f t h e l a t e - t i m e r e g i o n . T h e s p e c t r a o f t h e n a t u r a l f i r s t a n d t h i r d m o d e t h i n c y l i n d e r e x c i t a t i o n s i g n a l s p r e s e n t e d e a r l i e r i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 r e v e a l e d t h a t p e a k s w e r e c r e a t e d a u t o m a t i c a l l y n e a r t h e f r e q u e n c i e s o f t h e m o d e s t o b e e x c i t e d . T h i s b e h a v i o r i s p r o b a b l y d u e t o t h e e q u a l l y s p a c e d n a t u r e 2 2 2 o f t h e t h i n c y l i n d e r n a t u r a l f r e q u e n c i e s , a n d s h o u l d n ' t b e e x p e c t e d i n t h e c a s e o f m o r e c o m p l e x t a r g e t s . F o r t h e s e c a s e s , t h o u g h , i t m i g h t b e p o s s i b l e t o a r t i f i c i a l l y i n d u c e a p e a k i n t h e e x c i t a t i o n s i g n a l s p e c t r u m a t a d e s i r e d f r e q u e n c y b y u s i n g t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s i s s e t . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y u s i n g c o m p l e x f r e q u e n c i e s n e a r t h e n a t u r a l f r e q u e n c y t o b e e x c i t e d . A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e f i r s t t h r e e m e a s u r e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a M c D o n n e l D o u g l a s F - 1 8 a i r c r a f t s c a l e m o d e l ( a s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 8 ) s 1 = - O . 2 6 + j 3 . 2 9 x 1 0 9 s 2 = - o . 1 3 + j 7 . 3 2 x 1 0 9 . ( 5 . 5 . 2 . 1 ) . 9 3 3 = - o . 4 4 + 3 9 . 8 9 x 1 0 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 8 s h o w s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m s c o n s t r u c t e d t o e x c i t e t h e s e c o n d o f t h e s e t h r e e m o d e s . T h e d o t t e d c u r v e i s a f o r c e d s i n / c o s w a v e f o r m s y n t h e s i z e d u s i n g t h e r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t . T h e s o l i d c u r v e i s a f o r c e d s i n / c o s w a v e f o r m o f i d e n t i c a l d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s i s s e t w i t h t h e p h a s e s a n d c o m p l e x f r e q u e n c i e s £ 1 = - 0 . 1 3 + j 7 . 3 2 x 1 0 9 1 1 = o g = - o 1 3 + 3 7 3 2 x 1 0 9 5 = - n 2 ‘ ° 2 £ 3 = 0 . 1 3 + j 7 . 3 2 x 1 0 9 1 3 = 0 ( 5 . 5 . 2 . 2 ) ~ - o 1 3 + ' 7 3 2 1 0 9 I = - n 5 4 - . J . x u 0 . 2 0 . e 1 d u t i l p m A e v i t a l e R 2 2 3 - ‘ - — - - - - . “ ' 2 . 0 I I I I 0 - 0 0 - 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 T i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 8 . F o r c e d s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s o f d u r a t i o n T e = 2 ° 0 n s s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e f u n c t i o n s ( d o t t e d l i n e ) a n d d a m p e d s i n u s o i d s ( s o l i d l i n e ) t o e x c i t e t h e s e c o n d m o d e o f t h e F - 1 8 a i r c r a f t m o d e l . 2 2 4 I \ O I s = 0 . + j 7 . 3 2 x 1 0 ¢ 5 = - N o t e t h a t t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s a r e c h o s e n t o b e q u i t e c l o s e t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e x c i t e d . F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 9 d i s p l a y s t h e s p e c t r a o f t h e t w o e x c i t a t i o n s i g n a l s . I t i s s e e n t h a t w h i l e t h e p u l s e f u n c t i o n s i g n a l h a s o n l y a s m a l l p o r t i o n o f i t s e n e r g y a t t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e x c i t e d , t h e d a m p e d s i n u s o i d s i g n a l h a s a m a j o r i t y o f i t s e n e r g y a t t h i s f r e q u e n c y . B y p r o p e r c h o i c e o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s , t h e s p e c t r u m h a s b e e n s h a p e d f o r i m p r o v e d s i n g l e m o d e p e r f o r m a n c e . A s i m i l a r f r e q u e n c y d o m a i n s h a p i n g c a n b e a c c o m p l i s h e d u s i n g t h e F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t a s . 5 m 0 e ( t ) = Z a c o s ( — — J t ( 5 . 5 . 2 . 3 ) m T m = 1 e T h e d u r a t i o n o f t h i s s e c o n d m o d e f o r c e d s i n / c o s e x c i t a t i o n s i g n a l i s c h o s e n s o t h a t t h e l a r g e s t e x p a n s i o n f r e q u e n c y i s e q u a l t o t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e x c i t e d . U s i n g T e = 2 . 1 4 1 5 9 x 1 0 - 9 r e s u l t s i n t h e e x p a n s i o n f r e q u e n c i e s m l = 1 . 4 6 4 x 1 0 * 9 w z = 2 . 9 2 8 x 1 0 ~ 9 w = 4 . 3 9 2 x 1 0 ( 5 . 5 . 2 . 4 ) 0 . I 4 0 . L e 3 d u t i l p m A e 0 v . 1 i 2 t a l e R 2 2 5 I I I 0 . 0 5 . 0 1 0 - 0 1 5 . 0 2 0 . 0 R a d i a n f r e q u e n c y w x 1 0 - 9 F i g u r e 5 . 5 . 2 . 2 9 . S p e c t r a o f p u l s e f u n c t i o n ( d o t t e d l i n e ) a n d d a m p e d s i n u s o i d ( s o l i d l i n e ) F - 1 8 s e c o n d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s f o r o = - 0 . 1 3 x 1 0 . 2 2 6 w = 5 . 8 5 6 x 1 0 9 4 . ~ 9 0 5 = 7 . 3 2 0 x 1 0 N o t e t h a t ( 5 . 5 . 2 . 3 ) i s a D C E - p u l s e w a v e f o r m , s i n c e t h e m = 0 c o m p o n e n t h a s n o t b e e n u s e d . T h i s i s i m p o r t a n t , s i n c e f u r t h e r n u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n h a s s h o w n t h a t i f t h e m = 0 t e r m i s i n c l u d e d a m a j o r i t y o f t h e e x c i t a t i o n s i g n a l e n e r g y i s f o r c e d t o r e s i d e n e a r m = 0 . T h e e x c i t a t i o n s i g n a l g e n e r a t e d b y ( 5 . 5 . 2 . 3 ) u s i n g ( 5 . 5 . 2 . 4 ) i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 0 w h i l e i t s s p e c t r u m i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 1 . T h e s p e c t r u m i s s e e n t o t a k e t h e d e s i r e d s h a p e , w i t h t h e l a r g e s t p e a k a t t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e x c i t e d . T h e o n l y p r o b l e m f o r e s e e n u s i n g t h i s s y n t h e s i s t e c h n i q u e i s t h a t t h e d u r a t i o n n e e d e d t o p l a c e t h e l a r g e s t e x p a n s i o n f r e q u e n c y a t t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f r e q u e n c y o f t h e m o d e t o b e e x c i t e d m a y b e t o o l a r g e t o b e p r a c t i c a l ( d u e t o a l i m i t e d a m o u n t o f a v a i l a b l e l a t e - t i m e r e s p o n s e . ) 2 2 7 R e l a t i v e A m p l i t u d e I I I I T 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 8 . 0 T i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 0 . F o r c e d s i n / c o s s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n w a v e f o r m o f d u r a t i o n T e = 2 . 1 4 n s s y n t h e s i z e d u s i n g F o u r i e r c o s i n e b a s i s f u n c t i o n s t o e x c i t e t h e s e c o n d m o d e o f t h e F - 1 8 a i r c r a f t m o d e l . 1 2 2 8 2 . 5 R e l a t i v e A m p l i t u d e 0 . 0 I T I 0 . 0 5 - 0 1 0 - 0 1 5 - 0 2 0 - 0 2 5 . 0 R a d i a n f r e q u e n c y w x 1 0 - F i g u r e 5 . 5 . 2 . 3 1 . S p e c t r u m o f F - 1 8 F o u r i s r c o s i n e s e c o n d m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l a t 0 = — 0 . 1 3 x 1 0 . 2 2 9 5 . 6 E - p u l s e U n i q u e n e s s A v e r y i m p o r t a n t t o p i c t o c o n s i d e r i s w h e t h e r t h e r e e x i s t s a " p e r f e c t " E - p u l s e u n i q u e t o a p a r t i c u l a r t a r g e t . T h a t i s , f o r a g i v e n t a r g e t c a n a f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m b e c o n s t r u c t e d w h i c h e l i m i n a t e s a l l t h e t a r g e t ' s n a t u r a l f r e q u e n c i e s ? F i g u r e s 5 . 6 . 1 a n d 5 . 6 . 2 a n d t h e a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 7 s u g g e s t t h a t s u c h a w a v e f o r m m i g h t e x i s t f o r t h e c a s e o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t . T h i s s e c t i o n w i l l e x p l o r e t h a t p o s s i b i l i t y a l i t t l e m o r e f u l l y . F i g u r e s 5 . 6 . 1 a n d 5 . 6 . 2 d i s p l a y n a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n d e s i g n e d t o e l i m i n a t e v a r i o u s n u m b e r s o f n a t u r a l m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t u s i n g b o t h r e c t a n g u l a r p u l s e a n d F o u r i e r c o s i n e b a s i s s e t s . I t a p p e a r s t h a t f o r e a c h b a s i s s e t t h e w a v e f o r m i s c o n v e r g i n g t o t h e s a m e u n i q u e E - p u l s e a s t h e n u m b e r o f m o d e s t o b e e l i m i n a t e d i s i n c r e a s e d . A n d s i n c e t h e s e E - p u l s e s i n v o l v e t h e f i r s t " l a y e r " o f t h i n c y l i n d e r n a t u r a l r e s o n a n c e s , i t s e e m s t h a t t h i s u n i q u e , b a s i s - i n d e p e n d e n t w a v e f o r m m a y e l i m i n a t e a l l t h e f r e q u e n c i e s o f t h e f i r s t l a y e r . I f t h i s i s i n d e e d t r u e , i t w o u l d b e p l a u s i b l e t o e x t e n d t h e a s s u m p t i o n t o t h e e l i m i n a t i o n o f a l l t h e l a y e r s . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t i f t h e p e r f e c t E - p u l s e d o e s e x i s t i t m u s t b e a s p e c i f i c n a t u r a l E - p u l s e . F o r a n y g i v e n n u m b e r o f m o d e s t o b e e l i m i n a t e d , t h e f o r c e d E - p u l s e i s n o t w e l l d e f i n e d , s i n c e a l m o s t a n y d u r a t i o n m a y b e c h o s e n . D e s p i t e t h e e x i s t a n c e o f a n i n f i n i t e n u m b e r o f n a t u r a l E - p u l s e s , t h i s s e c t i o n w i l l c o n c e n t r a t e o n l y o n t h e n a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n . T o p r o v e t h a t t h i s E - p u l s e i s c o n v e r g e n t i s q u i t e d i f f i c u l t . I t r e q u i r e s t h a t a l l t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t h i n c y l i n d e r 6 . L 2 e d u t i l p m A e v i t a l e R 5 , . L 1 0 . 1 0 . 0 2 3 0 I I 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 - 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 6 . 1 . N a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g p u l s e f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e 3 , 5 , 7 , a n d 1 0 m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . 2 3 1 3 . 0 1 “ 3 . 0 N “ 3 . 1 “ Q 3 , N . 2 5 ' 3 . 1 w e . 3 : , . . ‘ 8 E 0 - 4 “ 3 0 “ a c ; I I I I I 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 5 . 6 . 2 . N a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d u s i n g F o u r i e r c o s i n e b a s i s f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e t h e f i r s t 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , a n d 1 0 m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r . 2 3 2 b e k n o w n ( o r , a t l e a s t t h o s e o f t h e f i r s t l a y e r ) , a n d i t r e q u i r e s t h a t t h e E - p u l s e w a v e f o r m b e c a l c u l a t e d f o r i n c r e a s i n g l y l a r g e r n u m b e r s o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s . N e i t h e r o f t h e s e a r e p r a c t i c a l , o f c o u r s e , b u t i t i s i n t e r e s t i n g t o e x p l o r e a f e w a s p e c t s o f E - p u l s e c o n v e r g e n c e u s i n g t h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t . I f t h e E - p u l s e i s t r u l y u n i q u e , t h e n i t s h o u l d b e i n d e p e n d e n t o f t h e b a s i s s e t c h o s e n t o r e p r e s e n t i t ( i n t h e i n f i n t e l i m i t ) , a s l o n g a s t h e b a s i s s e t i s c o m p l e t e . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t o r e p r e s e n t e x p l i c i t l y t h e E - p u l s e w a v e f o r m u s i n g r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n s a n d t h e a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 6 . 1 . T h i s i s n o t p o s s i b l e w i t h t h e o t h e r c o m p l e t e b a s i s s e t s . ( A t l e a s t , n o t a t t h i s t i m e . ) W i t h o u t t h e e x p l i c i t r e p r e s e n t a t i o n , i t i s q u i t e d i f f i c u l t t o c o m p a r e t h e w a v e - f o r m s a s N , t h e n u m b e r o f f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d , i s t a k e n t o i n f i n i t y . T h e m o s t a p p a r e n t r e q u i r e m e n t f o r E - p u l s e u n i q u e n e s s i s t h a t t h e d u r a t i o n c o n v e r g e t o a s p e c i f i c v a l u e . E v e n i f t h i s h a p p e n s , t h o u g h , i t d o e s n o t i n s u r e t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g w a v e f o r m w i l l c o n v e r g e . H o w e v e r , i f t h e d u r a t i o n d o e s n o t c o n v e r g e , t h e w a v e f o r m c a n n o t p o s s i b l y c o n v e r g e . E q u a t i o n 4 . 6 . 1 . 2 4 r e v e a l s t h a t t h e d u r a t i o n i s d e p e n d e n t o n l y u p o n t h e i m a g i n a r y p a r t o f o n e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n - c i e s o f t h e t a r g e t . F o r t h e n a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n , t h i s b e c o m e s 0 T - 2 N ; — ( 5 . 6 . 1 ) w h e r e w h i s t h e l a r g e s t i m a g i n a r y f r e q u e n c y c o m p o n e n t t o b e e l i m i n a t e d . 2 3 3 T h u s , f o r t h e d u r a t i o n t o c o n v e r g e t o a c e r t a i n v a l u e , w h m u s t b e d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o N i n t h e l i m i t t h a t N + m . F o r t h e c a s e o f t h e t h i n c y l i n d e r , t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e k ' t h n a t u r a l f r e q u e n c y c a n b e r e p r e s e n t e d a s C “ ’ 1 . = 1 : 0 . - 5 0 . ) ) 1 ' ( 5 . 6 . 2 ) w h e r e l i m 6 ( k ) = k w T 0 ( 5 . 6 . 3 ) T h i s i s i n a c c o r d a n c e w i t h t h e o b s e r v e d b e h a v i o r o f t h e f i r s t l a y e r o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s , a n d i s s h o w n q u i t e c l e a r l y i n T a b l e 5 . 6 . 1 a n d F i g u r e 5 . 6 . 3 . W i t h t h i s , t h e m i n i m u m d u r a t i o n c o n v e r g e s t o _ l i m 0 ‘ 2 ( T e ) m i n - N + m 2 N fl N - 6 ( N ) c ( 5 . 6 . 4 ) - E - 2 c d e m o n s t r a t i n g t h e u n i q u e n e s s o f t h e E - p u l s e d u r a t i o n . W i t h t h e d u r a t i o n s h o w n t o c o n v e r g e t o a u n i q u e v a l u e i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o v e r i f y t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g w a v e f o r m c o n v e r g e s t o a u n i q u e s h a p e . T h i s i s q u i t e d i f f i c u l t , s i n c e i t r e q u i r e s t h e c o n - s t r u c t i o n o f a n i n c r e a s i n g l y l a r g e n u m b e r o f p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s . I n d e e d , i t w o u l d b e m u c h e a s i e r t o p r o v e t h e o p p o s i t e - - t h a t t h e w a v e f o r m d o e s n o t c o n v e r g e . F i g u r e 5 . 6 . 1 s h o w s w h y t h i s m i g h t b e a 2 3 4 T a b l e 5 . 6 . 1 T h i n c y l i n d e r n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d a p p r o x i m a t i o n s . O n l o g ( n ) w n ( L / c ) n o n ( L / c ) O n - l l o g ( n + 1 ) - . 3 4 0 9 l o g ( n + 1 ) n n 1 - 0 . 2 6 0 1 - O . 2 3 6 2 0 . 9 2 5 0 2 - 0 . 3 8 0 8 . 9 2 3 7 - 0 . 3 7 4 5 . 9 5 6 0 3 - 0 . 4 6 8 4 . 9 1 0 5 - 0 . 4 7 2 6 . 9 6 1 3 4 - 0 . 5 3 8 2 . 9 8 9 7 - 0 . 5 4 8 7 . 9 6 8 5 5 - 0 . 5 9 9 7 . 0 0 1 - O . 6 1 0 8 . 9 7 0 8 6 - 0 . 6 5 3 5 . 0 0 3 - O . 6 6 3 4 . 9 7 4 0 7 - 0 . 7 0 3 7 . 0 0 8 - 0 . 7 0 8 9 . 9 7 5 4 8 - O . 7 4 8 6 . 0 0 7 - O . 7 4 9 0 . 9 7 7 6 9 - 0 . 7 9 2 3 . 0 1 0 - 0 . 7 8 5 0 . 9 7 8 6 1 0 - 0 . 8 3 1 9 . 0 0 8 - 0 . 8 1 7 4 . 9 8 0 0 2 3 5 I . 1 1 . o 1 0 1 / ‘ \ . / \ o 1 0 0 - ” ' 0 9 9 " " o / 0 . 9 8 ‘ 1 ' / . / 0 — — — - o 0 ” . 0 9 7 « 1 - . / ° / m n C L / C ) ‘ / / / ’ n w O 9 6 ~ - ’ / , / ° 0 . 9 5 - - q _ l o g ( n ) O 9 4 - - o _ 1 l o g ( n + 1 ) 0 . 9 3 " 0 9 2 1 » \ \ \ \ 0 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F i g u r e 5 . 6 . 3 . T h i n c y l i n d e r n a t u r a l f r e q u e n c y b e h a v i o r . 2 3 6 w o r r y . A s N i s i n c r e a s e d , t h e l e a d i n g p o r t i o n o f t h e E - p u l s e w a v e - f o r m a p p e a r s t o i n c r e a s e w i t h o u t b o u n d . I t i s i m p o r t a n t t o e x a m i n e t h i s b e h a v i o r m o r e c l o s e l y . E q u a t i o n 4 . 6 . 1 . 4 2 s t a t e s t h a t t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n i s a l w a y s p o s i t i v e a n d i s d e t e r m i n e d o n l y b y t h e E - p u l s e d u r a t i o n a n d b y t h e r e a l p a r t s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e e l i m i n a t e d . I t i s g i v e n b y ( 5 . 6 . 5 ) w h e r e A i s t h e w i d t h o f e a c h p u l s e , a i s t h e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t 1 p u l s e f u n c t i o n , a n d a i s t h e a m p l i t u d e o f t h e l a s t p u l s e f u n c t i o n . 2 N B y k n o w i n g a l l t h e 0 ' s i t w o u l d b e p o s s i b l e t o c a l c u l a t e t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e . T h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e v a l u e s i t c a n t a k e a s N + m . I t m i g h t d i v e r g e ( i . e . d + w o r 0 1 + s i n g l e v a l u e ) , 1 i t m i g h t c o n v e r g e t o z e r o , o r i t m i g h t c o n v e r g e t o a n u m b e r # 0 . I t w o u l d b e h o p e d t h a t t h e a m p l i t u d e w o u l d c o n v e r g e t o a n o n z e r o v a l u e . I f 0 1 d o e s a p p r o a c h i n f i n i t y , i t d o e s n ' t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t t h e E - p u l s e d o e s n ' t c o n v e r g e , s i n c e t h i s c o u l d a l s o i n d i c a t e t h a t 0 2 N = 0 ( a n d t h u s e ( T e ) = O . ) O f g r e a t e s t i n t e r e s t i s A 0 1 w h i c h d e s c r i b e s t h e a r e a o f t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n . I f t h e E - p u l s e i s c o n v e r g i n g t o a c o n t i n u o u s w a v e f o r m , t h e n A d w i l l c o n v e r g e t o z e r o , f o r e a c h 0 . H o w e v e r , t h e n o n l i n e a r E - p u l s e a n a l y s i s o f s e c t i o n 4 . 7 s u g g e s t e d t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n m i g h t a c t u a l l y c o n v e r g e t o 2 3 7 a n i m p u l s e . I n t h a t c a s e , i t s a r e a w o u l d a p p r o a c h a c o n s t a n t . T h i s r e q u i r e s t h a t d b e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e w i d t h o f a p u l s e , 1 f o r N v e r y l a r g e . T h a t i s , i f t h e w i d t h o f t h e p u l s e s i s d e c r e a s e d b y o n e h a l f , t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e m u s t d o u b l e . T o e x a m i n e t h e b e h a v i o r o f t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e , i t i s c o n v e n i e n t t o r e w r i t e ( 5 . 6 . 5 ) , r e p l a c i n g t h e p r o d u c t o f e x p o n e n t i a l s w i t h t h e e x p o n e n t i a l o f a s u m 0 A N a = e N e x p { - 2 A 2 o n } ( 5 . 6 - 6 ) n = 1 T h i s p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e w i l l c o n v e r g e t o a s p e c i f i c n o n z e r o v a l u e o n l y i f N l i m N + m U N A Z A H E I O H ( 5 . 6 . 7 ) e x i s t s . A s t h e d u r a t i o n T e = 2 N A i s c o n v e r g i n g t o a u n i q u e v a l u e a s N + m , ( 5 . 6 . 7 ) c a n b e w r i t t e n a s T O N N 1 1 1 - j : N e [ 2 ' E o n ] ( 5 . 6 . 8 ) = 1 O n t h e o t h e r h a n d , t h e f i r s t p u l s e w i l l c o n v e r g e t o a n i m p u l s e i f N l i m U N A N + w A e e x p { 2 A n é l o n } ( 5 . 6 . 9 ) e x i s t s a n d i s n o t z e r o . T h i s r e q u i r e s Z M I I 2 3 8 l i m 1 { O N N + w N ' _ — - 2 o n - N l o g N = K ( 5 . 6 . 1 0 ) w h e r e K i s s o m e c o n s t a n t . R a t h e r t h a n c a l c u l a t i n g t h e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n b a s e d u p o n a k n o w l e d g e o f a l l t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , i t i s m o r e e x p e d i e n t t o e x a m i n e i t s b e h a v i o r u s i n g a n e m p i r i c a l r e l a t i o n - s h i p f o r o n . E x a m i n a t i o n o f t h e f i r s t l a y e r o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t r e v e a l s t h a t t h e r e a l p a r t s a r e n e g a t i v e a n d m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g ( n e g a t i v e l y . ) U s i n g t h e f i r s t t e n n a t u r a l f r e q u e n c i e s i t i s p o s s i b l e t o d e d u c e t h a t t h e 0 ' s o b e y a n a p p r o x i m a t e r e l a t i o n s h i p g i v e n b y c a — 0 0 o n A l o g ( n + 1 ) L ( 5 6 1 1 ) w h e r e A < 0 . T h i s i s s h o w n q u i t e c l e a r l y i n T a b l e 5 . 6 . 1 a n d i n F i g u r e 5 . 6 . 3 , w h i c h p l o t s ( o ( n ) / o ( n - 1 ) ) ~ ( l o g ( n ) / l o g ( n + 1 ) ) . I f t h e r e l a t i o n - s h i p w e r e e x a c t , t h i s w o u l d y i e l d u n i t y . I t i s n o t e x a c t , b u t i t i s q u i t e c l o s e . T h e v a l u e o f t h e c o n s t a n t A i s d e t e r m i n e d b y p e r f o r m i n g a l e a s t s q u a r e s f i t o f t h e 0 ' s Z o n l o g ( n + 1 ) A = - “ ( 5 . 6 . 1 2 ) { 1 1 0 8 ( n + 1 ) 1 2 1 ' 1 S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s f o r o n f r o m T a b l e 5 . 6 . 1 g i v e s A = - 0 . 3 4 0 9 . T h e I l l - I I I l l l l l l . l l l l | . I I I I I A = — — = — — ( 5 . 6 . 1 3 ) 2 3 9 v a l u e s o f o n g e n e r a t e d u s i n g t h i s v a l u e o f A a n d ( 5 . 6 . 1 1 ) a r e a l s o s h o w n i n T a b l e 5 . 6 . 1 . U s i n g ( 5 . 6 . 1 1 ) i n t h e f o r m u l a f o r t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e f u n c t i o n , a l o n g w i t h t h e r e l a t i o n s h i p f o r t h e d u r a t i o n f o r l a r g e N r e s u l t s i n N 0 1 = e p r fi - l o g ( N + 1 ) } H e x p f - Z A - é l o g ( n + 1 ) } ( 5 . 6 . 1 4 ) n = 1 o r ~ A / N N - 2 A / N 0 1 1 - ( N + 1 ) H ( n + 1 ) n = 1 = ( N + 1 ) A / N ( ( N + 1 ) ! 1 ' 2 A / N ( 5 . 6 . 1 5 ) F o r l a r g e N , S t i r l i n g ' s a p p r o x i m a t i o n f o r t h e f a c t o r i a l f u n c t i o n [ 7 Q ] ( n / e ) “ / 2 n n ( 5 . 6 . 1 6 ) D I ! c a n b e a p p l i e d t o y i e l d 2 4 0 N + 1 - 2 A / N 5 . ~ ( N + 1 ) A / N [ ( § ‘ — : - 1 — ) / 2 1 I ( N + 1 ) e ( 5 . 6 . 1 7 ) ( 2 0 ) - A / N [ N + 1 ] ' 2 A ( N + 1 ) / N + ( N / e ) - 2 A a s N + w T h u s , s i n c e A < 0 , 0 1 d o e s n o t c o n v e r g e . T h i s a g r e e s w i t h t h e t r e n d s e e n i n F i g u r e 5 . 6 . 1 , w h e r e t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e f i r s t p u l s e s e e m s t o g r o w a s N i n c r e a s e s . N o w , t h e r e l a t i v e a r e a o f t h e f i r s t p u l s e g o e s t o 6 6 1 1 + 1 : 6 2 A 1 1 ‘ 2 " “ 1 ( 5 . 6 . 1 8 ) T h u s ' O A > - % 1 6 2 1 + 1 . . A < 4 » ; ( 5 . 6 . 1 9 ) K L . e - 1 A = — 5 5 C S i n c e A = - 0 . 3 4 0 9 , t h e r e l a t i v e a r e a o f t h e f i r s t p u l s e c o n v e r g e s t o z e r o . T h i s i m p l i e s t h a t w h i l e t h e a m p l i t u d e i n c r e a s e s i n a n u n b o u n d e d m a n n e r a s N + m , t h e a r e a b e h a v e s a s d o e s t h e a r e a o f a b o u n d e d p u l s e . 2 4 1 T h i s s e c t i o n h a s n o t p r o v e d o r d i s p r o v e d t h e c o n v e r g e n c e o f t h e t h i n c y l i n d e r E — p u l s e w a v e f o r m . H o w e v e r , i t h a s p r o v i d e d s o m e i n s i g h t i n t o t h e d i f f i c u l t y s u c h a p r o o f m i g h t e n t a i l . “ + 5 5 3 5 m m M 1 H ] W W ' I T I T fl I i ' I I I fl ! l 3 1 2 9 3 0 0 5 3 0 8 0 6 3 L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y C H A P T E R 6 E X T R A C T I O N O F N A T U R A L F R E Q U E N C I E S F R O M A M E A S U R E D R E S P O N S E 6 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e m o s t o b v i o u s r e q u i r e m e n t f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a r a d a r t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e b a s e d o n n a t u r a l t a r g e t r e s o n a n c e s i s t h e a c c u r a t e k n o w l e d g e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a w i d e v a r i e t y o f t a r g e t s . F o r m o s t r e a l i s t i c t a r g e t s , t h e o r e t i c a l d e t e r m i n a t i o n o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i s i m p r a c t i c a l . T h u s i t b e c o m e s n e c e s s a r y , i n s o m e m a n n e r , t o d e t e r m i n e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m a m e a s u r e m e n t o f t h e r e s p o n s e o f a s c a l e m o d e l t a r g e t . T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a v a r i e t y o f m e t h o d s f o r e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a t a r g e t f r o m i t s m e a s u r e d r e s p o n s e . B a s i c a l l y , t h e m e t h o d s c a n b e d i v i d e d i n t o f o u r c a t e g o r i e s . T h e f i r s t i n v o l v e s P r o n y ' s m e t h o d , w h i c h i s w e l l k n o w n a n d w a s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 3 . I t h a s m a n y d i s a d v a n t a g e s , i n c l u d i n g a h i g h s e n s i t i v i t y t o n o i s e , w h i c h p r o m p t s t h e i n v e s t i g a t i o n i n t o t h e o t h e r m e t h o d s p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . I n t h e s e c o n d g r o u p , m e t h o d s a r e d e v e l o p e d w h i c h e m p l o y l e a s t s q u a r e s p a r a m e t e r e s t i m a t i o n , i n c l u d i n g a t e c h n i q u e f o r r e g u l a r i z i n g t h e u s u a l l y i l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m . T h e l a s t t w o g r o u p s u t i l i z e t h e E - p u l s e c o n c e p t , s o l v i n g f i r s t f o r a n E - p u l s e a n d t h e n e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m t h e E - p u l s e w a v e f o r m . T h e f i r s t o f t h e s e t w o g r o u p s i n v o l v e s m i n i m i z i n g t h e n o r m o f t h e l a t e - t i m e c o n v o l u t i o n o f 2 4 2 2 4 3 t h e m e a s u r e d r e s p o n s e a n d t h e E - p u l s e w a v e f o r m . T h e s e c o n d i n v o l v e s u s i n g t h e m e t h o d o f m o m e n t s t o s o l v e t h e i n t e g r a l e q u a t i o n o b t a i n e d b y s e t t i n g t h i s c o n v o l u t i o n e q u a l t o z e r o . E a c h o f t h e s e t e c h n i q u e s w i l l b e e x a m i n e d i n d e t a i l . T h e i r p e r f o r m a n c e u n d e r v a r i o u s c i r c u m s t a n c e s , i n c l u d i n g t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e , w i l l b e e x a m i n e d f o r a r t i f i c i a l l y c o n s t r u c t e d r e s p o n s e s . 6 . 2 P r o n y ' s M e t h o d P r o n y ' s m e t h o d i s a n o l d a n d w e l l r e s p e c t e d t e c h n i q u e f o r a p p r o x i m a t i n g a k n o w n f u n c t i o n u s i n g a f i n i t e s u m o f c o m p l e x e x p o n e n t i a l s [ 4 9 ] . I f t h e f u n c t i o n i s t a k e n a s t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a t a r g e t t h e n t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t t h e c u r v e w h i c h p a s s e s t h r o u g h a l l t h e m e a s u r e d d a t a p o i n t s ( o r a s e l e c t e d s u b s e t ) c a n b e t a k e n a s a n e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e r e s p o n s e . L e t r ( t ) r e p r e s e n t t h e r e s p o n s e o f a c o n d u c t i n g t a r g e t , a n d a s s u m e t h a t t h e r e s p o n s e i s s a m p l e d a t a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n t i m e . T h e n { r 1 } ' { r ( t i ) } b e c o m e s t h e d i s c r e t e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m e a s u r e d r e s p o n s e , w h e r e t i i s t h e t i m e o f t h e i ' t h s a m p l e t i = ( i - 1 ) A ( 6 . 2 . 1 ) a n d A i s t h e c o n s t a n t s a m p l i n g i n t e r v a l . P r o n y ' s m e t h o d a t t e m p t s t o f i n d a f u n c t i o n o f t h e f o r m M t £ ( c ) = Z c e S m ( 6 . 2 . 2 ) m = 1 m 2 4 4 w h i c h h a s t h e s a m e v a l u e s a s r ( t ) a t t h e s a m p l e d t i m e s . H e r e S m a n d c m a r e c o m p l e x q u a n t i t i e s . E q u a t i o n ( 6 . 2 . 2 ) c a n a l s o b e w r i t t e n a s M f ( t ) = Z c m 2 ; ( 6 . 2 . 3 ) m = l w h e r e z = e s m ( 6 . 2 . 4 ) T h e f u n c t i o n f ( t ) i s a g o o d m o d e l f o r r ( t ) i f r ( t ) i s c o m p o s e d o f a s u m o f d a m p e d s i n u s o i d s ( a s e x p e c t e d i n t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e o f a t a r g e t . ) S i n c e r ( t ) i s n e c e s s a r i l y r e a l , c m a n d s I n w i l l o c c u r o n l y o n l y i n c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s . F o r f ( t ) t o b e c a l c u l a t e d u n i q u e l y , t h e r e m u s t b e a t l e a s t 2 M s a m p l e d r e s p o n s e p o i n t s . T h e n f ( t ) c a n b e m a d e t o f i t e x a c t l y t h r o u g h t h o s e p o i n t s . I f f e w e r p o i n t s a r e u s e d t h e r e s u l t i n g v a l u e s o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s w i l l n o t b e a g o o d e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e r e s p o n s e . I t i s t h u s n e c e s s a r y t o h a v e a g o o d g u e s s a t t h e n u m b e r o f c o m p l e x e x p o n e n t i a l s n e e d e d t o a c c u r a t e l y m o d e l t h e m e a s u r e d r e s p o n s e ( i . e . t o k n o w h o w m a n y m o d e s a r e p r e s e n t i n t h e r e s p o n s e . ) S i n c e t h e s a m p l i n g d e n s i t y A i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t , e q u a t i n g t h e s a m p l e d r e s p o n s e a n d t h e m o d e l f ( t ) d e m a n d s t h a t t h e f o l l o w i n g d i f f e r e n c e e q u a t i o n b e s a t i s f i e d 2 4 5 M M M A M A M - j r - Z a r = Z c . ( 2 . ) - Z a , ( Z . ) ( 6 . 2 . 5 ) M i = 1 i M 1 i = 1 1 1 j = l 3 1 I n e s s e n c e , t h i s r e q u i r e s t h a t t h e m o d e l f i t e x a c t l y t h r o u g h t h e A s a m p l e d r e s p o n s e p o i n t s . N o w , l e t Z i b e t h e c o m p l e x r o o t s o f t h e p o l y n o m i a l e q u a t i o n a Z = 0 ( 6 . 2 . 6 ) U s i n g t h i s , t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 6 . 2 . 5 ) r e d u c e s t o z e r o a n d t h e e q u a t i o n b e c o m e s M . 2 a i r M - i = r M ( 6 . 2 . 7 ) i = 1 T h e c o e f f i c i e n t s o f t h e p o l y n o m i a l c a n b e d e t e r m i n e d b y c h o o s i n g R E M s a m p l e d r e s p o n s e v a l u e s t o u s e i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 6 . 2 . 7 ) . T h i s r e s u l t s i n M i § 1 a i r M + k - i = r M + k k = 1 ’ 2 ’ ° " ’ K ( 6 - 2 - 8 ) E q u a t i o n ( 6 . 2 . 8 ) i s a m a t r i x e q u a t i o n w h i c h c a n b e s o l v e d q u i t e e a s i l y u s i n g s t a n d a r d t e c h n i q u e s . I f K > M i t c a n b e s o l v e d a p p r o x i m a t e l y u s i n g t h e m e t h o d o f l e a s t s q u a r e s . O n c e t h e a ' s a r e d e t e r m i n e d , t h e r o o t s 2 A a r e f o u n d b y s o l v i n g ( 6 . 2 . 6 ) , a n d e s t i m a t e s f o r t h e n a t u r a l f r e - i q u e n c i e s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e a r e g i v e n v i a ( 6 . 2 . 4 ) a s 2 4 6 1 s m = Z ' l o g ( Z m ) ( 6 . 2 . 9 ) L a s t l y , w i t h 3 1 k n o w n , t h e c o m p l e x a m p l i t u d e s c i c a n b e d e t e r m i n e d b y s o l v i n g f ( t i ) = r ( t i ) i = 1 , 2 , . . . , K ( 6 . 2 . 1 0 ) b y t h e m e t h o d o f l e a s t s q u a r e s . P r o n y ' s m e t h o d i s e x t r e m e l y s i m p l e t o u s e . E x c e p t f o r ( 6 . 2 . 6 ) a l l e q u a t i o n s a r e l i n e a r a n d c a n b e s o l v e d u s i n g s t a n d a r d m a t r i x a l g e b r a . S e v e r a l s t a n d a r d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s a l s o e x i s t f o r s o l v i n g t h e l a r g e p o l y n o m i a l e q u a t i o n ( 6 . 2 . 6 ) . H o w e v e r , P r o n y ' s m e t h o d h a s m a n y s h o r t c o m i n g s w h i c h g r e a t l y r e d u c e i t s u s e f u l n e s s u n d e r p r a c t i c a l c i r c u m s t a n c e s . T h e w o r s t o f t h e s e i s i t s e x t r e m e s e n s i - t i v i t y t o r a n d o m n o i s e , w h i c h w i l l a l m o s t c e r t a i n l y b e p r e s e n t i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e . H i l d e b r a n d [ S Q ] g i v e s a c l a s i c e x a m p l e o f s e n s i - t i v i t y t o e r r o r s i n t h e d a t a , i n d i c a t i n g t h a t P r o n y ' s m e t h o d i s i n h e r e n t l y a n i l l - c o n d i t i o n e d a l g o r i t h m , a n d a v e r a g i n g o f r e s u l t s o v e r d i f f e r e n t g r o u p s o f s a m p l e s o r u s i n g l i n e a r l e a s t s q u a r e s i n ( 6 . 2 . 8 ) c a n o n l y g i v e m a r g i n a l l y i m p r o v e d r e s u l t s . E x a m p l e s o f t h e p e r f o r m a n c e o f P r o n y ' s m e t h o d i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e , a n d a n a d d i t i o n a l s u g g e s t i o n f o r i m p r o v e m e n t , a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 6 . 9 . A s e c o n d i m p o r t a n t d r a w b a c k t o P r o n y ' s m e t h o d i s t h e n e c e s s i t y o f k n o w i n g t h e n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e w a v e f o r m . I f M / 2 m o d e s a r e a c t u a l l y p r e s e n t , u s i n g f e w e r t h a n M 2 4 7 e x p o n e n t i a l s i n ( 6 . 2 . 2 ) r e s u l t s i n v e r y i n a c c u r a t e e s t i m a t e s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . T h i s i s e s p e c i a l l y m i s l e a d i n g s i n c e t h e a p p r o x i m a t i o n f ( t ) c a l c u l a t e d u s i n g t h e s m a l l e r n u m b e r o f e x p o n e n t i a l s w i l l s t i l l p a s s e x a c t l y t h r o u g h t h e s a m p l e d p o i n t s , a n d w i l l p r o b a b l y b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n e l s e w h e r e ( a g a i n , s e e t h e e x a m p l e i n H i l d e b r a n d . ) L a s t l y , a l t h o u g h i t i s n o t o f g r e a t c o n s i d e r a t i o n w i t h m o s t m e a s u r e m e n t s y s t e m s , P r o n y ' s m e t h o d i s t h e o n l y t e c h n i q u e o f t h i s c h a p t e r t h a t r e q u i r e s a c o n s t a n t s a m p l i n g d e n s i t y . T h e s e p r a c t i c a l d i f f i c u l t i e s h a v e p r o m p t e d t h e n e e d f o r i m p r o v e d n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n t e c h n i q u e s . F i v e s u c h m e t h o d s a r e c o n s i d e r e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . 6 . 3 L e a s t S q u a r e s C u r v e F i t t i n g L e t { r 1 } ' { r ( t i ) } r e p r e s e n t t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a c o n d u c t i n g t a r g e t , s a m p l e d a t t i m e s t i . A s s u m i n g t h a t t h e r e s p o n s e i s c o m p o s e d o f a f i n i t e n u m b e r o f n a t u r a l m o d e s ( p l u s p o s s i b l y a D C l e v e l ) , a n e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o n t a i n e d i n r ( t ) c a n b e d e t e r m i n e d b y f i n d i n g t h e f u n c t i o n o f t h e f o r m N - O t A F ( A 1 , . . . , w N , K , t ) = K + 2 A n a n c o s ( m n t + w n ) ( 6 . 3 . 1 ) n = l w h i c h " b e s t f i t s " i n s o m e w a y t h e m e a s u r e d d a t a . W i t h a b e s t f i t , t h e e x t r a c t e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e g i v e n b y ( 8 n + j m n ) . T h e m o s t c o m m o n m e a n s o f d e t e r m i n i n g a b e s t f i t i s t o m i n i m i z e t h e s q u a r e d e r r o r b e t w e e n t h e f i t t i n g f u n c t i o n a n d t h e m e a s u r e d d a t a . 2 4 8 I n t e r m s o f m u l t i v a r i a b l e c a l c u l u s , l e t E ( § ) b e a n o n l i n e a r v e c t o r v a l u e d f u n c t i o n o f t h e v e c t o r i , w h e r e E h a s t h e f o r m g i v e n i n ( 6 . 3 . 1 ) w i t h i ' t h c o m p o n e n t F ( A 1 , . . . , w N , K , t i ) a n d § i s g i v e n b y + T x = ( A 1 , o l , . . . , w N , w N , K ) ( 6 . 3 . 2 ) + + w h e r e T d e n o t e s m a t r i x t r a n s p o s e . N o w , d e f i n e R ( x ) a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m e a s u r e d d a t a a n d t h e f i t t i n g f u n c t i o n R i ( § ) = F 1 ( § ) - r i ( 6 . 3 . 3 ) w h e r e F 1 6 ? ) = M a u i ) ( 6 . 3 . 4 ) R i ( X ) = R ( X . t i ) T h e n , l e a s t s q u a r e s a n a l y s i s r e q u i r e s t h e m i n i m i z a t i o n o f [ 5 H ( 6 . 3 . 5 ) H I I M K z : r 6 » A x + V 1 2 6 ? ) = l i k i n g + w i t h r e s p e c t t o t h e v e c t o r x , w h e r e M i s t h e n u m b e r o f d a t a p o i n t s t o b e u s e d a n d t h e s u b s c r i p t 2 o n t h e a b s o l u t e v a l u e s i g n d e s i g n a t e s L 2 n o r m ( v e c t o r m a g n i t u d e . ) I n v e c t o r n o t a t i o n , e q u a t i o n ( 6 . 3 . 5 ) c a n a l s o b e w r i t t e n a s E ( § ) = § ( § ) T § ( § ) ( 6 . 3 . 6 ) 2 4 9 M i n i m i z a t i o n o f t h e q u a n t i t y ( 6 . 3 . 5 ) i s a c c o m p l i s h e d b y s e t t i n g t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f R ( x ) w i t h r e s p e c t t o e a c h o f t h e c o m p o n e n t s O f X e q u a l t o z e r o . T h l s i S m e r e l y t h e g r a d i e n t O f E , S O 3 - - o . K V " X . 2 1 V , X , X w h i c h c a n b e w r i t t e n i n m a t r i x n o t a t i o n a s T + + f ( T ) . 3 % ( § ) R ( x ) = 0 ( 6 . 3 . 8 ) w h e r e 3 £ ( ; ) i s t h e J a c o b i a n m a t r i x o f § ( § ) , w i t h e n t r i e s . + a + 3 R i ( x ) [ J R ( X ) ] i , j 3 T ( 6 . 3 . 9 ) 3 T h e v e c t o r v a l u e d f u n c t i o n ? ( § ) i n ( 6 . 3 . 8 ) r e p r e s e n t s a s y s t e m o f 4 N + 1 n o n l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e 4 N + 1 u n k n o w n v a r i a b l e s o f 2 . T h e r e a r e m a n y w a y s o f s o l v i n g s u c h a s y s t e m , b u t t h e m o s t w i d e l y u s e d i s s t r a i g h t f o r w a r d N e w t o n ' s m e t h o d . N e w t o n ' s m e t h o d f o r s o l v i n g ( 6 . 3 . 8 ) i s d e v e l o p e d b y e x p a n d i n g + + + + f ( x ) i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t a p o i n t x = x O f ( i ) = f ( i o ) + v ; ? ( § O ) T ( § - § O ) + 3 ( § - § O ) T v § f ( § o ) ( § - § o ) + . . . ( 6 . 3 . 1 0 ) K e e p i n g o n l y t h e f i r s t t w o t e r m s o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 6 . 3 . 1 0 ) _ ) . a n d u s i n g f ( x ) = 0 g i v e s t h e a p p r o x i m a t i o n H e r e 2 § V R 1 ( + x ) i s s o m e t i m e s c a l l e d t h e " H e s s i a n " o f R i ( + x ) , a n d h a s t h e 2 5 0 - > + f + - 1 - > - > x = x 0 - [ V § f ( x o ) ] f ( x ) ( 6 . 3 . 1 1 ) T h i s e q u a t i o n i s t h e n u s e d i n a n i t e r a t i v e s c h e m e t o c o n v e r g e f r o m s o m e i n i t i a l g u e s s f o r E t o t h e s o l u t i o n o f ( 6 . 3 . 8 ) . T h e g r a d i e n t o f ? ( § ) i n ( 6 . 3 . 1 1 ) c a n b e e x p a n d e d a s M v § ? ( § ) = V % E ( ; ) = v 2 g i - V § R 1 ( x ) R i ( x ) ] 1 = J ( x ) J ( x ) + S ( x ) ( 6 . 3 . 1 2 ) w h e r e § ; ( § ) i s t h e 2 N + 1 b y 2 N + 1 m a t r i x M 8 + 3 + 2 + S R ( x ) i § 1 R 1 ( x ) V § R i ( x ) ( 6 . 3 . 1 3 ) a n d - - > T = ' - + M + + T J R ( x ) J R ( x ) = i £ 1 v § R i ( x ) v § R i ( x ) ( 6 . 3 . 1 4 ) e n t r i e s s z ( T ) - 2 ( 6 3 1 5 ) 2 1 x m , n m e a x ° ° T h u s , e q u a t i o n ( 6 . 3 . 1 1 ) c a n b e w r i t t e n a s 2 5 1 + + = + T = = + = + - ] _ = = — > T - > - > x - x o J R ( x o ) J R ( x O ) + S R ( x o ) J R ( x O ) R ( x o ) ( 6 . 3 . 1 6 ) I t i s o b v i o u s t h a t a g r e a t d e a l o f c a l c u l a t i o n i s n e c e s s a r y t o c o m p u t e e a c h v a l u e o f ' ; i n ( 6 . 3 . 1 6 ) . I f § ( § ) w a s a m o r e c o m p l i c a t e d f u n c t i o n t h a n ( 6 . 3 . 3 ) m a n y o f t h e d e r i v a t i v e s i n v o l v e d w o u l d h a v e t o b e a p p r o x i m a t e d u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s . S u c h a p p r o x i m a t i o n u s u a l l y l e a d s t o a r e d u c t i o n i n t h e r e g i o n o f c o n v e r g e n c e o f N e w t o n ' s m e t h o d . F o r t u n a t e l y , f o r t h i s a p p l i c a t i o n t h e d e r i v a t i v e s c a n b e c a l c u l a t e d a n a l y t i c a l l y . T h e J a c o b i a n r e q u i r e s t h e f i r s t p a r t i a l s o f R 1 6 2 ) a n d t h e H e s s i a n t h e s e c o n d p a r t i a l s . F o r t h e s a k e o f c o m p l e t e n e s s , t h e s e d e r i v a t i v e s a r e g i v e n b e l o w . T h e y a r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e o r i g i n a l v a r i a b l e s i n ( 6 . 3 . 1 ) w i t h t h e r e q u i r e d s u b s t i t u t i o n g i v e n b y ( 6 . 3 . 2 ) a s x 4 n - 3 2 A n x 4 n - 1 - n x 4 N + 1 - ( 6 . 3 . 1 2 ) x 4 n - 2 g 0 n x 4 n = w n U s i n g t h e s e , t h e d e r i v a t i v e s a r e 3 R 1 a j t i c S E E - t e c o s ( w j t i + w j ) 3 R 1 . a j t i A 5 3 _ t i A j e c o s ( w j t i + w j ) 3 R 8 - 1 : ~ 1 — - = - t . A , e J 1 s i n ( w , t , + ¢ 1 J 1 ) _ , _ . = 5 t ? 1 A , J e r t i c o s ( m . t J ¢ . + 1 ) . J ) o i 8 m N a l ) - 0 € F ” 3 : 2 5 2 5 . t . - a _ A e J l s i n ( w . t . + w . ) J J 1 3 a o t i A — - - — a ' 1 ‘ 3 A é j k t i e J c o s ( m j t i w j ) _ _ _ . = - 5 . 8 - t A J 1 ' t + . J k t i e 5 1 n ( w j 1 $ 3 ) 8 . 1 ; . . . — — — = — 6 . e 3 l s i n . t . + . 3 k ( w J 1 $ 3 ) 3 0 j k - 2 8 j t i ‘ A t + 3 6 é j k t i A j e $ 1 n ( u 1 j i w j ) 6 t - . . . . . s - 6 . t . A . e J l s i n . t + . 3 k 1 3 ( ” J 1 $ 3 ) 2 5 3 3 3 R 1 6 t _ _ _ . _ _ _ . = _ 2 ' i A a n 3 & i j t i A j e J c o s ( w j t i + w j ) J 3 3 R 1 6 4 : — — - — : — = - 6 J i A + a w k 3 w . j k t i A j e C O S < w j t i I l ’ j ) J . 3 _ _ f i g — = 0 3 K 6 1 . J 3 R A 3 i o - t - . — — — - - — — - = - 6 J 1 + a w k 3 W . j k A j e c o s ( w j t i w j ) J L 3 3 — 1 2 3 0 3 K 3 “ ’ 1 ( 6 . 3 . 1 8 ) 3 . . 3 ‘ 1 , 0 8 K 8 K w h e r e 1 j = k 6 8 ( 6 0 3 . 1 9 ) 3 1 ‘ 0 j a ‘ k T h e r e a r e t w o d i f f i c u l t i e s e n c o u n t e r e d w h e n d i r e c t l y a p p l y i n g N e w t o n ' s m e t h o d v i a ( 6 . 3 . 1 6 ) . F i r s t , N e w t o n ' s m e t h o d i s o n l y l o c a l l y c o n v e r g e n t . O b t a i n i n g a m e a n i n g f u l s o l u t i o n i s h i g h l y d e p e n d e n t u p o n t h e i n i t i a l g u e s s f o r § [ 5 2 ] . I n g e n e r a l , i t w i l l b e p o s s i b l e t o e s t i m a t e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s b y u s i n g o t h e r t e c h n i q u e s ( s u c h a s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m ) , b u t t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s o f t h e i n d i v i d u a l 2 5 4 m o d e s w i l l b e q u i t e d i f f i c u l t t o a p p r o x i m a t e . S e c o n d , n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s a n a l y s e s a r e u s u a l l y i l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m s . T h i s i s t r a n s f e r r e d i n t o p o o r c o n d i t i o n i n g o f t h e m a t r i c e s i n ( 6 . 3 . 1 6 ) . T h e f i r s t o f t h e s e p r o b l e m s , t h e e f f e c t o f p o o r i n i t i a l g u e s s e s , i s a d d r e s s e d b y t h e m e t h o d o f s e c t i o n 6 . 4 . B o t h p r o b l e m s a r e a t t a c k e d b y t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d t e c h n i q u e s o f s e c t i o n 6 . 5 . 6 . 4 L i n e a r / N o n l i n e a r I t e r a t i o n T h e l e a s t s q u a r e s p r o b l e m a s i n t r o d u c e d i n e q u a t i o n ( 6 . 3 . 5 ) i s a c t u a l l y a c o m b i n e d l i n e a r / n o n l i n e a r p r o b l e m . T h e f i t t i n g f u n c t i o n ( 6 . 3 . 1 ) i s l i n e a r i n a m p l i t u d e a n d p h a s e ( a n d D C l e v e l ) b u t n o n l i n e a r i n c o m p l e x f r e q u e n c y . I t m i g h t s e e m t h a t t h i s t y p e o f p r o b l e m c o u l d b e s e p a r a t e d i n t o t w o p r o b l e m s , o n e r e q u i r i n g l i n e a r l e a s t s q u a r e s a n d t h e o t h e r r e q u i r i n g n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s . T h i s i s i n d e e d t h e c a s e , a n d a g e n e r a l t e c h n i q u e f o r s o l v i n g c o m b i n e d l i n e a r / n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m s h a s b e e n i n t r o d u c e d b y v a r i o u s a u t h o r s [ 5 3 ] - [ 5 6 ] . T h e b e n e f i t g a i n e d b y t h i s s e p a r a t i o n a p p r o a c h i s t w o f o l d . F i r s t , i t e l i m i n a t e s t h e n e e d t o p r o v i d e i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s w h i c h , i t h a s b e e n p o i n t e d o u t , i s q u i t e d i f f i c u l t . S e c o n d , i t r e d u c e s t h e s i z e o f t h e n o n l i n e a r p r o b l e m t o b e s o l v e d b y 3 - H o w e v e r , t h i s t e c h n i q u e i s c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t a k i n g t h e p r o b l e m a s t o t a l l y n o n l i n e a r a n d u s i n g N e w t o n ' s m e t h o d . T h i s s e c t i o n p r e s e n t s a n a l t e r n a t i v e t o t h e s e p a r a t i o n o f t h e l i n e a r a n d t h e n o n l i n e a r p r o b l e m s , k e e p i n g t h e b e n e f i t s o f t h a t a p p r o a c h , b u t e l i m i n a t i n g t h e c o m p l e x i t y . T h e a l g o r i t h m t o b e i n t r o d u c e d i s t e r m e d " l i n e a r / n o n l i n e a r 2 5 5 i t e r a t i o n " ( h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s l / n i t e r a t i o n . ) T h e v e c t o r d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e f i t t i n g f u n c t i o n a n d t h e m e a s u r e d d a t a c a n b e w r i t t e n w i t h i t s l i n e a r c o m p o n e n t s e p a r a t e d o u t b y e x p a n d i n g t h e c o s i n e i n ( 6 . 3 . 1 ) a s A n c o s ( & n t + y a ) = a n c o s m n t + b n s i n m n t ( 6 . 4 . 1 ) w h e r e a n 3 A n c o s w n b = - A n s i m p n ( 6 . 4 . 2 ) N o t e t h a t t h e p h a s e - a m p l i t u d e f o r m ( 6 . 3 . 1 ) i s e a s i l y r e g a i n e d t h r o u g h 5 : A a ( a 2 + b 2 ) n n n ( 6 . 4 . 3 ) N o w , d e f i n e t w o n e w v e c t o r s , o n e c o n t a i n i n g t h e l i n e a r v a r i a b l e s a n d o n e c o n t a i n i n g t h e n o n l i n e a r v a r i a b l e s , a s ( 8 . 1 , 1 , . o o , a N , N ’ K ) ( 6 . 4 . 4 ) + A A A A T 2 = ( o l , w 1 , . . . , o N , w N ) U s i n g t h e s e a l l o w s t h e v e c t o r d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e f i t t i n g f u n c t i o n a n d t h e m e a s u r e d d a t a t o b e w r i t t e n a s 2 5 6 ( 6 . 4 . 5 ) w h e r e r i = r ( t i ) a n d Z g i s a n M b y 2 N + 1 m a t r i x w i t h t h e e n t r i e s e a m t k c o s m t J m ( A l m m a e o m t k s i n m t ( m ( A J 2 N + 1 , m 1 k - 1 1 k k - 2 , n o d d k = g - n e v e n ( 6 . 4 . 6 ) I f t h e v e c t o r 3 i n ( 6 . 4 . 5 ) i s t a k e n a s c o n s t a n t , t h e n t h e l e a s t s q u a r e s p r o b l e m g i v e n b y m i n i m i z i n g ( 6 . 3 . 5 ) b e c o m e s p u r e l y l i n e a r , i n v o l v i n g o n l y t h e v e c t o r § . T h e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m i s w e l l k n o w n a n d r e q u i r e s n o s e a r c h i n g a l g o r i t h m . T h e v e c t o r § * w h i c h m i n i m i z e s t h e s q u a r e d d i f f e r e n c e i s t h e s o l u t i o n t o t h e n o r m a l e q u a t i o n [ m m - 5 ) ] ; = M T : w h i c h i s 9 * . . [ : ( : ) T : ( : ) ] - 1 : T ; W r i t i n g ( 6 . 4 . 7 ) m o r e s i m p l y a s ( 6 . 4 . 7 ) ( 6 . 4 . 8 ) § * = fi ( § ) ’ b ( 6 . 4 . 1 0 ) 2 5 7 3 ( 2 ) ; = 3 ( 6 . 4 . 9 ) a l l o w s t h e s o l u t i o n t o b e w r i t t e n a s T h e e n t r i e s i n B a n d g a r e e a s i l y c a l c u l a t e d a s l . n o d d , k = ( n + 1 ) / 2 = t - . . . ( B J n . 2 N + 1 . E l e k 1 C ° k a t 1 2 n e v e n , k = n / 2 = = M a k t . . ( B ) n , 2 N + l — 1 : 1 8 l s i n w k t i 3 . n o d d , k = ( n + 1 ) / 2 ; m o d d , q = ( m + 1 ) / 2 a t ' A 8 t ' A e k 1 c o s w t , e q l c o s w t , k 1 q 1 r — \ w “ \ _ . J I I I I M : 1 4 . n o d d , k = ( n + 1 ) / 2 ; m e v e n , q = m / 2 ( 3 ' ) 8 t . A 6 t . . A = 2 e k 1 c o s m t , e q l S i n m t , k 1 q 1 n m . ’ i = 1 2 5 8 5 . n e v e n , k = n / 2 ; m o d d , q = ( m + 1 ) / 2 M A A ( B ) = Z e o k t l s i n m k t i e o q t i c o s m q t i i = 1 6 . n e v e n , k = n / 2 ; m e v e n , q = m / 2 M . A ( B ) = Z e o k t i s i n m t , e o q t l s i n m t , n , m i = 1 k 1 q 1 7 m o d d , q = ( m + 1 ) / 2 = M A o ( B ) 2 N + 1 m " X e q 1 c o s w t ’ i = 1 8 . m e v e n , q = m / 2 ( 6 . 4 . 1 1 ) " M 8 t i ( B ) 2 N + 1 , m = E e q S i n w t i 9 . ( B ) 2 N + 1 , 2 N + 1 ’ M 1 0 . n o d d , k = ( n + 1 ) / 2 b 3 Z r e o k t i c o s m k t i n i = 1 i 2 5 9 1 1 . n e v e n , k = n / 2 M a k t = 3 1 " b n 1 § 1 r i e S i n w k t i 1 2 . 2 N + 1 g I f t h e v e c t o r y i n ( 6 . 4 . 5 ) i s t a k e n a s c o n s t a n t , t h e n t h e l e a s t s q u a r e s p r o b l e m g i v e n b y m i n i m i z i n g ( 6 . 3 . 5 ) b e c o m e s c o m p l e t e l y n o n - l i n e a r , i n v o l v i n g o n l y t h e v e c t o r 2 . T h i s p r o b l e m m u s t b e s o l v e d b y s o m e s e a r c h i n g a l g o r i t h m , s u c h a s t h e N e w t o n ' s m e t h o d o f s e c t i o n 6 . 3 , a n d r e q u i r e s i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e c o m p o n e n t s o f 2 . H o w e v e r , t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s i n v o l v e d i n t h e m i n i m i z a t i o n i s r e d u c e d b y 5 o v e r t h e o r i g i n a l c o m b i n e d l i n e a r / n o n l i n e a r p r o b l e m . T h e l / n i t e r a t i o n a l g o r i t h m a l t e r n a t e s b e t w e e n t h e s o l u t i o n s t o t h e l i n e a r a n d n o n l i n e a r p r o b l e m s o u t l i n e d a b o v e . A s i m p l i f i e d f l o w c h a r t f o r t h e a l g o r i t h m i s s h o w n i n F i g u r e 6 . 4 . 1 . A t t h e o u t s e t a n i n i t i a l g u e s s i s m a d e f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e a n d t h e l i n e a r p r o b l e m i s s o l v e d w i t h t h e v e c t o r 2 a s s u m e d c o n s t a n t a s t h e i n i t i a l g u e s s e s . T h e n , w i t h t h e v e c t o r § a s s u m e d c o n s t a n t a s t h e s o l u t i o n ; * t o t h e l i n e a r p r o b l e m , t h e n o n l i n e a r p r o b l e m i s s o l v e d f o r a n u p d a t e d v e c t o r 2 u s i n g N e w t o n ' s m e t h o d ( 6 . 3 . 1 6 ) t o a s p e c i f i e d a c c u r a c y . W i t h 2 h e l d c o n s t a n t , a n e w v e c t o r y * i s c a l c u l a t e d a n d t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d , i t e r a t i n g b e t w e e n t h e l i n e a r + + a n d n o n l i n e a r p r o b l e m s , u n t i l s u f f i c i e n t a c c u r a c y i n b o t h y a n d z a r e 2 6 0 m a k e g u e s s e s f o r 6 , A n n c a l c u l a t e a n , F — H b n ’ K b y l i n e a r 8 n , 1 : ) “ a s s u m e d c o n s t a n t l e a s t s q u a r e s ‘ A c a l c u l a t e o n , w [ 1 b y n o n l i n e a r a n , b n ’ K a s s u m e d c o n s t a n t l e a s t s q u a r e s s u f f i c i e n t Y E S E N D | a c c u r a c y ‘ ? F i g u r e 6 . 4 . 1 . S i m p l i f i e d f l o w c h a r t f o r l i n e a r / n o n l i n e a r i t e r a t i o n . 2 6 1 o b t a i n e d . T h e s u c c e s s o f t h e l / n i t e r a t i o n s c h e m e i s c o n t i n g e n t u p o n t h e s o l u t i o n s t o t h e l i n e a r a n d t h e n o n l i n e a r p r o b l e m s b e i n g d i f f e r e n t . T h a t t h i s i s s o i s n o t o b v i o u s . F u r t h e r m o r e , t h e a u t h o r k n o w s o f n o p r e v i o u s a l g o r i t h m o f t h i s t y p e , a n d t h u s k n o w s o f n o a n a l y s i s o f i t s c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s ( a n d n o n e w i l l b e a t t e m p t e d . ) A l t h o u g h t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t h i s m e t h o d w i l l c o n v e r g e a t a l l , n u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n s h o w s t h a t u n d e r m a n y c i r c u m s t a n c e s i t d o e s , a n d t h a t i t s r e g i o n o f c o n v e r g e n c e i s s u r p r i s i n g l y l a r g e . A s a s i m p l e e x a m p l e , c o n s i d e r a t h e o r e t i c a l r e s p o n s e c o n s i s t i n g o f o n e m o d e , c o n s t r u c t e d a s r ( t ) a 0 . 1 + 1 e ' 0 ' 2 t c o s ( 2 c + 1 ) ( 6 . 4 . 1 2 ) N o w , a s a m e a s u r e m e n t s i m u l a t i o n , t h i s r e s p o n s e i s s a m p l e d a t 1 0 0 p o i n t s b e t w e e n t = 0 a n d t = 1 0 , w i t h a c o n s t a n t s a m p l i n g i n t e r v a l o f i t = 0 . 1 . A n a t t e m p t i s t h e n m a d e t o r e c o v e r o = - O . 2 a n d w = 2 . 0 b y m e a n s o f t h e l / n i t e r a t i o n a l g o r i t h m . A n i n i t i a l g u e s s o f 3 = 0 a n d w - 1 . 6 i s a s s u m e d , a n d F i g u r e 6 . 4 . 2 s h o w s t h e r e s u l t s . E a c h o f t h e c o m p o n e n t s o f § a n d ; ( n o r m a l i z e d t o t h e a c t u a l v a l u e s i n t h e c o n s t r u c t e d r e s p o n s e ) h a v e b e e n p l o t t e d v e r s u s t h e i t e r a t i o n n u m b e r . I t e r a t i o n 0 r e p r e s e n t s t h e i n i t i a l g u e s s e s f o r 3 a n d Q a n d t h e i n i t i a l l i n e a r s o l u t i o n f o r A , w , a n d K . E a c h a d d i t i o n a l i t e r a t i o n r e p r e s e n t s o n e s o l u t i o n t o b o t h t h e l i n e a r a n d n o n l i n e a r p r o b l e m s . I t c a n b e s e e n t h a t t h e d i f f e r e n t v a r i a b l e s c o n v e r g e a t q u i t e d i f f e r e n t r a t e s . W h i l e 8 h a s c o n v e r g e d t o w i t h i n a p e r c e n t o f i t s a c t u a l v a l u e b y t h e 2 6 2 # p a r a m e t e r ? a c t u a l v a l u e A 2 . 0 L W 1 . 5 4 » , o \ . \ 1 . 0 . , _ _ _ _ . . . ' " ‘ — ' , . . _ . _ _ _ _ _ . . 0 ' 3 ’ . . — — — o . — — - — ' 0 / ' _ _ _ — - O : : . ; : § . / o 1 1 / . \ o - — " " " / . . / . / . / ' / K . / o / / o / 0 5 - h / / é k ” . / / / / . 4 / . / . 8 ( " / / ’ > — - = + : : F 1 4 — : 4 + 4 . L 3 : i t e r a t i o n n u m b e r F i g u r e 6 . 4 . 2 . C o n v e r g e n c e o f t h e l i n e a r / n o n l i n e a r i t e r a t i o n m e t h o d . 2 6 3 s i x t h i t e r a t i o n , i t t a k e s n e a r l y e l e v e n i t e r a t i o n s b e f o r e K h a s c o n v e r g e d t o w i t h i n t h e s a m e a c c u r a c y , e v e n t h o u g h t h e " i n i t i a l g u e s s " g u e s s f o r K ( f r o m t h e f i r s t s o l u t i o n t o t h e l i n e a r p r o b l e m - - i t e r a t i o n 0 ) i s m u c h c l o s e r t o t h e a c t u a l v a l u e . 6 . 5 T h e C o n t i n u a t i o n M e t h o d T h e l / n i t e r a t i o n m e t h o d o f s e c t i o n 6 . 4 a t t e m p t e d t o a l l e v i a t e t h e p r o b l e m o f n e e d i n g g o o d i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f N e w t o n ' s m e t h o d t o s o l v e ( 6 . 3 . 8 ) , b u t i t d i d n o t a d d r e s s t h e f a c t [ S fl t h a t t h e n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m i s i l l - c o n d i t i o n e d . W h e n a p r o b l e m i s i l l - c o n d i t i o n e d n o a l g o r i t h m c a n b e d e p e n d e d u p o n t o p r o d u c e t r u l y a c c u r a t e r e s u l t s u n d e r m o s t c i r c u m s t a n c e s . " R e g u l a r i z a t i o n " i s a t e c h n i q u e f o r s o l v i n g s u c h a p r o b l e m b y t r a n s f o r m i n g i t i n t o a r e l a t e d w e l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m w i t h a s o l u t i o n t h a t i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e e l u s i v e s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m [ 5 8 ] , [ 5 9 ] . A n e a s i l y a p p l i c a b l e c h o i c e f o r a r e g u l a r i z a t i o n s c h e m e f o r t h e n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m i s t h e w e l l - k n o w n " c o n t i n u a t i o n m e t h o d " [ 6 0 ] , [ 6 g . T h i s t e c h n i q u e i s d i s c u s s e d i n g e n e r a l t e r m s i n A l l g o w e r a n d G e o r g [ 6 2 ] . I n s t e a d o f m i n i m i z i n g t h e n o r m o f t h e v e c t o r d i s t a n c e b e t w e e n t h e f i t t i n g f u n c t i o n a n d t h e m e a s u r e d d a t a a s i n ( 6 . 3 . 5 ) c o n s i d e r t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e q u a n t i t y 0 1 6 ? ) - M i d i ” : + ( 1 - r ) | ‘ 1 3 ( 3 2 ) | § ( 6 . 5 . 1 ) w h e r e E ( § ) i s g i v e n i n ( 6 . 3 . 3 ) , t h e s u b s c r i p t 2 o n t h e a b s o l u t e v a l u e 2 6 4 s i g n d e s i g n a t e s L n o r m , a n d t h e i ' t h c o m p o n e n t o f t h e v e c t o r 0 ( 2 ) 2 i s g i v e n b y X . w . ( § ) - — l — - - 1 ( 6 . 5 . 2 ) 1 x . o 1 w h e r e 2 0 c o n t a i n s a s e t o f i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e c o m p o n e n t s o f E . fi ( § ) i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s a " p e n a l t y t e r m " a n d i s d e s i g n e d t o k e e p i f r o m w a n d e r i n g t o o f a r f r o m t h e i n i t i a l g u e s s e s , a s w e l l a s i m p r o v i n g t h e c o n d i t i o n i n g o f t h e p r o b l e m . M i n i m i z a t i o n o f c T ( § ) w i t h r e s p e c t t o t h e p a r a m e t e r s i n 1 r e q u i r e s fi ( § , r ) = V E G T ( ; ) = 1 3 g ( § ) T E ( § ) + ( 1 - 1 ) ? L ( § ) T § ( § ) = 0 ( 6 . 5 . 3 ) a n a l o g o u s t o ( 6 . 3 . 8 ) . T h e s e c o n d t e r m i n H ( ; , T ) i s q u i t e s i m p l e . U s i n g a w ( i ) ( 3 1 4 6 : ) 1 1 = a : = x 1 5 1 ' “ ' 5 ' “ . j o i J g i v e s ( T ( 5 % " ) ) - w i ( 6 s 5 ) W X X i - X o i . . I t i s s e e n t h a t w i t h T = 1 ( 6 . 5 . 3 ) r e p r e s e n t s t h e o r i g i n a l i l l - c o n d i t i o n e d n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m ( 6 . 3 . 8 ) . H o w e v e r , w i t h r = 0 e q u a t i o n ( 6 . 5 . 3 ) r e d u c e s t o t h e w e l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m i fl + 4 x 5 2 6 5 + T + + 3 % ( x ) W ( x ) = 0 ( 6 . 5 . 6 ) w h i c h h a s t h e o b v i o u s s o l u t i o n ( 6 . 5 . 7 ) T h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d i s a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e , b e g i n n i n g w i t h T o = 0 a n d w i t h : 0 a s a s e t o f i n i t i a l g u e s s e s . A t e a c h s u c c e s s i v e i t e r a t i o n T 1 i s r e p l a c e d b y T i + 1 = T i + A r a n d t h e p r o b l e m ( 6 . 5 . 3 ) i s s o l v e d u s i n g t h e N e w t o n ' s m e t h o d a n a l y s i s o f s e c t i o n 6 . 3 . A s 1 i n c r e a s e s a t e a c h s t e p , m o r e o f t h e o r i g i n a l i l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m i s a d d e d o n t o t h e w e l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m ( 6 . 5 . 6 ) . A s s u m i n g t h a t A t i s s m a l l e n o u g h t o i n s u r e c o n v e r g e n c e , t h e p r o c e d u r e c o n t i n u e s u n t i l T = I f . I f r f = 1 t h e n t h e o r i g i n a l p r o b l e m i s s o l v e d . H o w e v e r , i t m i g h t b e n e c e s s a r y t o s t o p a t T < 1 i f t h e p r o b l e m ( 6 . 5 . 3 ) b e c o m e s t o o i l l - c o n d i t i o n e d . f I t i s h o p e d t h a t a t t h i s v a l u e o f r t h e s o l u t i o n t o ( 6 . 5 . 3 ) i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e s o l u t i o n t o ( 6 . 3 . 8 ) . T h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a s o u t l i n e d a b o v e h a s b e e n i m p l e m e n t e d u s i n g t h e s t a n d a r d I M S L r o u t i n e " Z S C N T " [ 6 3 ] t o s o l v e ( 6 . 5 . 3 ) w i t h v e r y p r o m i s i n g r e s u l t s . H o w e v e r , t h i s p a r t i c u l a r v e r s i o n w i l l n o t c o n v e r g e u n d e r m a n y c i r c u m s t a n c e s . F i x i n g t h e s t e p s i z e A T a n d a l w a y s r e q u i r i n g T t o i n c r e a s e i s o v e r l y r e s t r i c t i v e , a s i t m a y a c t u a l l y b e c o m e n e c e s s a r y t o r e d u c e T a t c e r t a i n p o i n t s t o i n s u r e c o n v e r g e n c e . I t i s p o s s i b l e t o d e v e l o p a n a l t e r n a t i v e s c h e m e w h i c h w o r k s w e l l i n p r a c t i c e a n d s e e m s t o b e l e s s s e n s i t i v e t o t h e i n i t i a l g u e s s e s b y 2 6 6 a s s u m i n g t h a t ( 6 . 5 . 3 ) d e t e r m i n e s a s i m p l e p a t h i n ( 2 , 1 ) s p a c e l e a d i n g f r o m ( E o , 0 ) t o ( x f , 1 f ) a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 5 . 1 . T h e p a t h l e a d s f r o m a s e t o f i n i t i a l g u e s s e s t o t h e b e s t a p p r o x i m a t i o n f o r t h e d e s i r e d s o l u t i o n t o ( 6 . 3 . 8 ) . L o c a t i n g t h e s o l u t i o n t h u s r e d u c e s t o m e r e l y f o l l o w i n g t h i s p a t h u n t i l T = 1 o r t h e p r o b l e m b e c o m e s t o o i l l - c o n d i t i o n e d . I t i s c o n v e n i e n t t o p a r a m e t e r i z e t h e p a t h b y a r c l e n g t h 3 . T h e n , i f t h e c h a i n r u l e i s a p p l i e d , t h e d e r i v a t i v e o f e q u a t i o n ( 6 . 5 . 3 ) c a n b e w r i t t e n a s - + - > d + + d x d H d r _ d s H ( x ( s ) , r ( s ) ) ( V i fl . d s + d T d s - ( 6 ' 5 ' 8 ) T h i s c a n b e v i e w e d a s a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 1 i s : d s = 3 ( 6 . 5 . 9 ) S I . d s 1 1 w h e r e 3 i s t h e n o r m a l i z e d s o l u t i o n t o t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n + d fi ( v i a , — ) § F = 0 ( 6 . 5 . 1 0 ) H e r e " n o r m a l i z e d " i n d i c a t e s t h a t t h e s o l u t i o n t o ( 6 . 5 . 1 0 ) s h o u l d b e r e p l a c e d b y t h e u n i t v e c t o r $ / | $ | b e f o r e b e i n g u s e d i n ( 6 . 5 . 9 ) . + x - - — - . q 2 6 7 i n i t i a l g u e s s ~ ~ " h F i g u r e 6 . 5 . 1 . T y p i c a l p a t h f o r c o n t i n u a t i o n m e t h o d i n ( ; , T ) s p a c e . + x p r o j e c t t a n g e n t c o r r e c t b a c k t o c u r v e * t o c u r v e \ \ u s i n g N e w t o n ' s m e t h o d + " " ( x i + 1 ’ T i + 1 ) F i g u r e 6 . 5 . 2 . T y p i c a l s u c c e s s i o n o f p r e d i c t i o n s a n d c o r r e c t i o n s i n c o n t i n u a t i o n m e t h o d . 2 6 8 I f i t i s a s s u m e d t h a t a t e a c h p o i n t o n t h e c u r v e + d a ) ( V g H , E E J h a s f u l l r a n k + ‘ ( 6 . 5 . 1 1 ) M W 9 1 : 3 d r ’ d s b ) A ( s ) = + i s n o n s i n g u l a r + d H V 2 “ ’ 3 ‘ ? L J t h e n e q u a t i o n ( 6 . 5 . 9 ) c a n b e s o l v e d u s i n g a s t a n d a r d o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o l l o w e r , l e a d i n g t o t h e d e s i r e d s o l u t i o n a t T = T f . I t i s a l s o p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a " p r e d i c t o r - c o r r e c t o r " f o l l o w e r t o s t e p a l o n g t h e p a t h u n t i l t h e f i n a l p o i n t ( x f , r f ) i s r e a c h e d , e i t h e r a t T = 1 o r w h e n t h e p r o b l e m b e c o m e s t o o i l l - f c o n d i t i o n e d . T h e p r e d i c t o r s t e p ( E u l e r ) i s t o s o l v e ( 6 . 5 . 1 0 ) f o r ( A X , A T ) u s i n g a p r e s e l e c t e d v a l u e o f a r c l e n g t h A s . T h e s i g n o f d e t ( X ( s ) ) i s u s e d t o c h o o s e t h e c o r r e c t s i g n o f 3 , t o c o n t i n u e m o v i n g i n t h e s a m e d i r e c t i o n a l o n g t h e c u r v e . P r o b l e m s c a n o c c u r i f d e t ( X ( s ) ) = 0 , w h i c h i n d i c a t e s t h a t t h e p a t h c r o s s e s i t s e l f a t t h a t p o i n t o r t h a t t h e p a t h b i f u r c a t e s . T h e s e p r o b l e m s c a n b e o v e r c o m e , a n d a r e a d d r e s s e d i n [ 6 Q ] . I t i s a l s o p o s s i b l e t o i n c o r p o r a t e a v a r i a b l e s t e p s i z e A s w h i c h i n c r e a s e s a t p o i n t s o f s m a l l c u r v a t u r e a n d d e c r e a s e s w h e n t h e p a t h m a k e s s h a r p t u r n s . T h i s i s d i s c u s s e d i n [ 6 2 ] . C o r r e c t i o n b a c k t o t h e c u r v e u s e s N e w t o n ' s m e t h o d a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 6 . 3 , w i t h T h e l d c o n s t a n t 1 1 4 > 2 6 9 - > - + + — ] _ + 4 - 1 + 1 - X i - ( V ; H ( x i , ' r p ) ) H < X i ’ T p ) ( 6 . 5 . 1 2 ) w h e r e T p i s t h e p r e d i c t e d v a l u e o f T . A t e a c h i t e r a t i o n i n N e w t o n ' s m e t h o d t h e c o n d i t i o n n u m b e r o f t h e m a t r i x 1 7 * " ) 6 5 1 3 1 { fi x i n p ( - - ) i s c h e c k e d t o d e t e r m i n e i f t h e p r o b l e m i s b e c o m i n g t o o i l l - c o n d i t i o n e d a n d w h e t h e r t h e a l g o r i t h m s h o u l d b e t e r m i n a t e d . T h e c o n d i t i o n n u m b e r i s c a l c u l a t e d u s i n g s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n o r e s t i m a t e d u s i n g L i n p a c k r o u t i n e " S G E C O " [ 6 5 ] . T e r m i n a t i o n i s d e m a n d e d w h e n t h e l o g ( b a s e t e n ) o f t h e c o n d i t i o n n u m b e r b e c o m e s l a r g e r t h a n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e n u m b e r o f d i g i t s c a r r i e d b y t h e c o m p u t e r a n d t h e n u m b e r o f d i g i t s o f a c c u r a c y e s t i m a t e d t o b e p r e s e n t i n t h e m e a s u r e d d a t a . I f t e r m i n a t i o n i s n o t r e q u i r e d t h e a l g o r i t h m c o n t i n u e s t o f o l l o w t h e c u r v e . F i g u r e 6 . 5 . 2 s h o w s a t y p i c a l s u c c e s s i o n o f p r e d i c t i o n s a n d c o r r e c t i o n s , a n d F i g u r e 6 . 5 . 3 p r e s e n t s a s t r u c t u r e d f l o w c h a r t f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e p r e d i c t o r - c o r r e c t o r a l g o r i t h m . T h e o r e m s c o n c e r n i n g s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e c o n v e r g e n c e o f t h i s f o r m o f t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a r e d i s c u s s e d i n [ 6 4 ] a n d [ 6 6 ] . I t w o u l d s e e m t h a t i n i t i a l g u e s s e s m u s t s t i l l b e m a d e f o r t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s o f t h e m o d e s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e a l g o r i t h m . A l t h o u g h t h i s r e q u i r e m e n t i s t r u e , i t c a n b e s i d e - s t e p p e d s o m e w h a t b y m a k i n g g u e s s e s o n l y f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d t h e n c a l c u l a t i n g t h e a m p l i t u d e s , p h a s e s , a n d D C l e v e l b y u s i n g t h e l i n e a r l e a s t s q u a r e s “ ! D i < — l p . 2 7 C ) e s t i m a t e { O ? , u ; } f r o m F F ] o o o c a l c u l a t e { A 1 t i } , K u s i n g l i n e a r l e a s t s q u a r e s * 0 0 0 0 0 . 0 c h o o s e A s x . { A i , o i , w 1 , w j } , k 0 w e 2 z ' { 0 i z - O D 0 u n t i l C 5 - c o n d i t i o n n u m b e r i s t o o l a r g e O R 1 ‘ 1 ( P r e d i c t o r S t e p : E u l e r ) x ) S - + d fi ~ f r o m ( g r a d ¢ H , - — - ) v - 0 A T x d : . . . c a l c u l a t e v - A s f i r s t i t e r a t i o n Y E S 1 ' 0 ? N 0 A o z - s i g n ( d e t A ( 0 ) ) A i : - s i g n ( d e t A ( s i ) ) 9 1 - < 0 ? A i ¢ A 2 Y E S 4 5 N O Y E S ° N O ¢ + 9 + V i - ‘ V V : ' - V ¢ V : - 1 L ' n o r m a l i z e d v a l u e o f v H + 0 ' 6 z : - ; o + v p r e d i c t e d v a l u e o f Z ( C o r r e c t o r S t e p : N e w t o n ' s m e t h o d ) k : - 0 D O u n t i l 3 c o n v e r g e s C H C N t o o l a r g e C N z - C o n d ( g r a d ; § ) s o l v e ( g r a d ; § ) ( § k - ; k + l ) - R ( E ‘ ) f o r + 2 k 1 w i t h T h e l d c o n s t a n t k : - k + l E o z - E k i : - i + 1 + f * o . . . . z : - 2 c o n t a i n s i d e n t i f i e d n a t u r a l f r e Q u e n c 1 e s F i g u r e 6 . 5 . 3 . S t r u c t u r e d f l o w c h a r t f o r c o n t i n u a t i o n m e t h o d . 2 7 1 a n a l y s i s o f e q u a t i o n ( 6 . 4 . 8 ) . A n i m p r o v e m e n t u p o n t h e c o r r e c t i o n s t e p c a n b e m a d e b y i n c l u d i n g I a s a f r e e v a r i a b l e i n N e w t o n ' s m e t h o d , a n d d e m a n d i n g t h a t c o r r e c t i o n b e m a d e n o r m a l t o t h e p r e d i c t i o n v e c t o r . T h i s r e q u i r e m e n t d e m a n d s . T + u ( x i , I i ) 0 ( 6 . 5 . 1 4 ) w h e r e u i s a u n i t t a n g e n t v e c t o r t o t h e c u r v e a t t h e p o i n t o f p r e d i c t i o n , a n d t h e m u l t i p l i c a t i o n i s t h e v e c t o r d o t p r o d u c t . S u c h a c h a n g e w o u l d a l l o w t h e p r e d i c t o r - c o r r e c t o r f o l l o w e r t o " t u r n t h e c o r n e r " b e t t e r i f t h e p a t h w a s t o f o l d b a c k a l o n g I . H o w e v e r , t h i s c h a n g e h a s n o t b e e n i m p l e m e n t e d . A f u r t h e r i m p r o v e m e n t , w h i c h h a s b e e n t r i e d , i s t o u s e l i n e a r l e a s t s q u a r e s a t t h e e n d o f e a c h p r e d i c t i o n s t e p , t o g i v e t h e N e w t o n ' s m e t h o d c o r r e c t i o n s t e p a b e t t e r s t a r t i n g p o i n t . R e s u l t s h a v e b e e n f a v o r a b l e , b u t p e r h a p s n o t q u i t e w o r t h t h e a d d i t i o n a l c o m p u t a t i o n a l e x p e n s e . A s a s i m p l e e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c o n s t r u c t e d r e s p o n s e g i v e n b y ( 6 . 4 . 1 2 ) a n d s a m p l e d a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 6 . 4 . A s t e p s i z e o f A s = 0 . 0 S i s c h o s e n a n d a n a t t e m p t i s m a d e t o r e c o v e r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s v i a i n i t i a l g u e s s e s o f K = 0 . 1 7 , A = 1 . 5 , 8 = 0 , m = 1 . 6 , a n d w = 2 . 0 . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 5 . 4 . T h e p a r a m e t e r s a r e p l o t t e d ( n o r m a l i z e d t o t h e a c t u a l v a l u e s i n t h e c o n s t r u c t e d r e s p o n s e ) a g a i n s t I o n a l o g a r i t h m i c s c a l e . E a c h o f t h e p a r a m e t e r s i s s e e n t o c o n v e r g e a t a d i f f e r e n t r a t e : w c o n v e r g e s q u i t e r a p i d l y w h i l e 0 d o e s n o t e v e n b e g i n t o c o n v e r g e u n t i l I i s q u i t e c l o s e t o 1 . T h e l o g a r i t h - m i c s c a l e c l o a k s s o m e w h a t t h e l a r g e a m o u n t o f c h a n g e o c c u r r i n g i n m a n y 2 7 2 p a r a m e t e r v a l u e v a l u e a t I = 1 2 . 0 - - - - - - - 1 ' 5 d b - - ~ ‘ 1 . 0 \ " " " " " " " - w I 0 . 5 4 r 0 ’ 4 L J . L l I fi 1 ' T 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 . 1 1 F i g u r e 6 . 5 . 4 . E x a m p l e s o l u t i o n u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . 2 7 3 o f t h e p a r a m e t e r s f o r s m a l l v a l u e s o f I . N o t e a l s o t h a t t h e r e i s n o " f o l d i n g b a c k " o f t h e p a t h - - t h e c u r v e i s s i n g l e v a l u e d i n I f o r t h i s c a s e . I t i s s o m e w h a t d i s c o n c e r t i n g t o s e e t h e a m o u n t o f c o r r e c t i o n o c c u r r i n g n e a r T 3 0 a n d n e a r I = 1 . T h i s i s d u e i n g r e a t p a r t t o t h e + + O O 0 f o r m o f t h e p e n a l t y t e r m W ( x ) i n e q u a t i o n ( 6 . 5 . 1 ) . A s I v a r 1 e s f r o m 0 t o 1 , t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e s o l u t i o n t o + T + + T i l - W ( x ) W ( x ) - - 0 ( 6 . 5 . 1 5 ) a n d t h e s o l u t i o n t o ? R ( § ) T § ( § E ) - 0 ( 6 . 5 . 1 6 ) i s n o t v e r y s m o o t h , b e c a u s e o f t h e d i s s i m i l a r n a t u r e s o f § ( § ) a n d f ( i ) . T h u s , a m u c h s m a l l e r s t e p s i z e A s i s r e q u i r e d t h a n w o u l d b e n e c e s s a r y i f t h e t r a n s i t i o n w e r e m o r e d i r e c t , i n o r d e r t o a l l o w t h e s h a r p c o r n e r s t o b e n e g o t i a t e d . I t i s v e r y i m p o r t a n t t o n o t e t h a t a r a p i d c o n v e r g e n c e i s n o t d e s i r e d w i t h t h i s m e t h o d . R a t h e r , t h e i d e a l r e l a t i o n s h i p w o u l d b e t o h a v e a l i n e a r t r a n s i t i o n b e t w e e n I = 0 a n d I = 1 , r e q u i r i n g t h e l e a s t a m o u n t o f c o r r e c t i o n a f t e r e a c h p r e d i c t i o n s t e p . I f fi ( § ) w e r e a f u n c t i o n m o r e s i m i l a r t o f ( i ) t h i s t r a n s i t i o n m i g h t b e m a d e m u c h s m o o t h e r . I n s t e a d o f m i n i m i z i n g G T ( ; ) a s g i v e n i n ( 6 . 5 . 1 ) c o n s i d e r t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e q u a n t i t y 2 7 4 6 T ( § ) = 1 | E ( § ) | § + A ( 1 - r ) | E ° ( § ) | § + 3 ( 1 - r ) | § ( § ) | § ( 6 . 5 . 1 7 ) w h e r e 0 ‘ + ‘ * O R 1 ( X ) = F i ( x ) - r i ( 6 . 5 . 1 8 ) 0 . . . H e r e { t i } r e p r e s e n t s t h e c u r v e g e n e r a t e d b y t h e 1 n 1 t i a l g u e s s e s a n d i s g i v e n b y r : = F i ( § o ) ( 6 . 5 . 1 9 ) T h e c o n s t a n t s A a n d B a r e c h o s e n t o m a k e t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e s o l u t i o n s a t I = 0 a n d I = 1 a s s m o o t h a s p o s s i b l e . S i n c e R O ( ; ) a n d E ( § ) a r e n e a r l y i d e n t i c a l i n n a t u r e , t h e t r a n s i t i o n w h e n A i s r e l a t i v e l y l a r g e a n d B r e l a t i v e l y s m a l l s h o u l d b e m o r e d i r e c t . N o t e t h a t t h e o r i g i n a l p r o b l e m i s e a s i l y r e g a i n e d b y l e t t i n g A = 0 a n d B = 1 i n ( 6 . 5 . 1 7 ) . A s a n e x a m p l e o f t h e i m p r o v e m e n t a l l o w e d b y t h i s m o d i f i c a t i o n , c o n s i d e r t h e s i m p l e o n e m o d e e x a m p l e s o l v e d e a r l i e r u s i n g ( 6 . 5 . 1 ) , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 5 . 4 . U s i n g A = 1 , B = 0 , a n d t h e s a m e s e t o f i n i t i a l g u e s s e s f o r 5 a n d A ( a n d l i n e a r l e a s t s q u a r e s f o r t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e ) , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e e x t r a c t e d v i a ( 6 . 5 . 1 7 ) . T h e r e s u l t s a r e p l o t t e d i n F i g u r e 6 . 5 . 5 o n a l i n e a r s c a l e , a n d t h e t r a n s i t i o n i s s e e n t o b e s u b s t a n t i a l l y s m o o t h e r . T h e r e i s n o l o n g e r t h e b e h a v i o r o f r a p i d c o r r e c t i o n n e a r I = 0 a n d I = 1 , a n d s o a m u c h 2 7 5 p a r a m e t e r v a l u e ( 1 v a l u e a t I = 1 2 . 0 9 - w 1 . 5 - 4 - 1 . 0 w o A 0 . 5 5 1 - l 1 l l L T I l T " " 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 F i g u r e 6 . 5 . 5 . E x a m p l e s o l u t i o n u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d w i t h m o d i f i e d p e n a l t y t e r m . 2 7 6 l a r g e r s t e p s i z e i s a l l o w e d . A l t h o u g h t h i s s o l u t i o n r e p r e s e n t s t h e c a s e o f n o p e n a l t y t e r m W ( x ) , m o r e c o m p l e x p r o b l e m s s h o u l d i n c l u d e a n o n z e r o v a l u e f o r B t o i n s u r e p r o p e r c o n d i t i o n i n g a n d t o k e e p I f r o m w a n d e r i n g t o o f a r f r o m t h e i n i t i a l g u e s s e s . T h e m o d i f i c a t i o n o f e q u a t i o n ( 6 . 5 . 1 ) g i v e n b y ( 6 . 5 . 1 7 ) i s q u i t e e a s y t o i m p l e m e n t , a n d b e c a u s e o f t h e s i z a b l e i m p r o v e m e n t i n t h e s m o o t h n e s s o f t h e p a t h i t s u s e i s h i g h l y r e c o m m e n d e d . 6 . 6 E - p u l s e M e t h o d A v e r y i n t e r e s t i n g m e t h o d f o r n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n c a n b e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e E - p u l s e c o n c e p t i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 4 . I f t h e m e a s u r e d r e s p o n s e i s i n d e e d a p u r e s u m o f n a t u r a l m o d e s ( p l u s , p e r h a p s , a c o n s t a n t D C l e v e l ) t h e n t h e r e s h o u l d e x i s t a w h o l e s p e c t r u m o f E - p u l s e s w h i c h w h e n c o n v o l v e d w i t h t h i s r e s p o n s e r e s u l t i n a z e r o l a t e - t i m e p e r i o d . A s t h e r e s p o n s e w i l l a c t u a l l y b e c o n t a m i n a t e d b y v a r i o u s t y p e s o f n o i s e , a p p l i c a t i o n o f a n E - p u l s e w o u l d y i e l d a s m a l l , b u t n o n z e r o r e s p o n s e . T h e E - p u l s e m e t h o d i s a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e w h i c h s e a r c h e s f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s w h i c h m a y b e u s e d t o c o n s t r u c t a n E - p u l s e w h i c h r e s u l t s i n a m i n i m u m l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e . L e t r ( t ) r e p r e s e n t t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a p a r t i c u l a r t a r g e t . ( A c t u a l l y , t h i s w i l l b e a s e t o f d i s c r e t e s a m p l e d d a t a p o i n t s . ) T h e n , t h e c o n v o l u t i o n o f a n e x c i t a t i o n s i g n a l e ( t ) a n d t h i s r e s p o n s e c a n b e w r i t t e n a s T q ( t ) = e ( t ) * r ( t ) = f e e ( t ' ) r ( t - t ' ) d t ' t > T ( 6 . 6 . 1 ) 0 2 7 7 T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s e m b e d d e d i n r ( t ) c a n b e e x t r a c t e d b y c o n s t r u c t i n g e ( t ) a s a n E - p u l s e ( v i a ( 4 . 4 . 3 . 4 ) ) a n d m i n i m i z i n g t h e n o r m o f t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e M | q ( t ) | : = X ( 9 ( c i ) ) 2 ( 6 . 6 . 2 ) i = 1 w i t h r e s p e c t t o t h e p a r a m e t e r s 0 1 , . . . , w N , w h e r e M d i s c r e t e p o i n t s a r e c h o s e n a t w h i c h t o e v a l u a t e t h e n o r m . A s m e n t i o n e d a b o v e , i f r ( t ) i s a p u r e s u m o f n a t u r a l m o d e s , a n d i f a s u f f i c i e n t n u m b e r o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e u s e d t o c o n s t r u c t e ( t ) , t h e n t h e m i n i m u m o f ( 6 . 6 . 2 ) w o u l d b e z e r o , a n d t h e r o u t i n e w o u l d w o r k p e r f e c t l y . S i n c e t h e r e s p o n s e w i l l a c t u a l l y b e c o n t a m i n a t e d b y n o i s e , t h e n a t u r a l f r e q u e n - c i e s u s e d t o c o n s t r u c t t h e E - p u l s e w i l l o n l y b e a n e s t i m a t e o f t h e f r e q u e n c i e s i n t h e r e s p o n s e . I t i s n o t w o r t h w h i l e t o a t t e m p t t o c o n s t r u c t a N e w t o n ' s m e t h o d m i n i m i z a t i o n s c h e m e a s w a s d o n e i n s e c t i o n 6 . 5 , s i n c e i t i s i m p o s s i b l e t o c a l c u l a t e a n a l y t i c a l l y t h e d e r i v a t i v e s o f t h e n o r m o f t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e w i t h r e s p e c t t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . R a t h e r , i t i s n e c e s s a r y t o c a l c u l a t e t h e s e u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e s . T h e r e i s a w e a l t h o f p r e p a c k a g e d c o m p u t e r r o u t i n e s t o p e r f o r m a m i n i m i z a t i o n w h e n t h e d e r i v a t i v e s a r e n o t s u p p l i e d , a n d t h e I M S L r o u t i n e " Z X M I N " w a s c h o s e n [ 6 3 ] . A s w i t h t h e m i n i m i z a t i o n e m p l o y e d i n s e c t i o n 6 . 5 , Z X M I N r e q u i r e s i n i t i a l g u e s s e s a s a s t a r t i n g p o i n t f o r i t e r a t i o n . T h e m a i n b e n e f i t o f t h e E - p u l s e m e t h o d o v e r t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d i s t h a t n o g u e s s e s f o r t h e p h a s e s a n d a m p l i t u d e s o f t h e m o d e s a r e r e q u i r e d , s i n c e 2 7 8 t h e y a r e n o t u s e d i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e E - p u l s e . T h i s a l s o m e a n s t h a t t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s i n t h e m i n i m i z a t i o n w i l l b e h a l f t h a t u s e d i n t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . I f t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s a r e n e e d e d f o r s o m e r e a s o n t h e y c a n b e c a l c u l a t e d a s a f i n a l s t e p u s i n g l i n e a r l e a s t s q u a r e s v i a ( 6 . 4 . 8 ) w i t h t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s h e l d c o n s t a n t . T h e m a j o r p r o b l e m i n e m p l o y i n g t h i s s c h e m e i s d e c i d i n g w h i c h t y p e o f E - p u l s e t o u s e i n t h e c o n v o l u t i o n . T h e E - p u l s e s h o u l d b e a s s t a b l e a s p o s s i b l e , s o t h a t a s t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e v a r i e d i n t h e m i n i m i z a t i o n p r o c e s s t h e r e s p o n s e w a v e f o r m q ( t ) d o e s n o t c h a n g e w i l d l y , m a k i n g t h e l o c a l m i n i m u m d i f f i c u l t t o f i n d . F r o m t h e r e s u l t s o f c h a p t e r 5 , t h i s s u g g e s t s u s i n g a n a t u r a l E - p u l s e . A l s o , s i n c e t h e m i n i m i z a t i o n i s a n i t e r a t i v e p r o c e s s , i t i s n e c e s s a r y t o m a k e t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e E - p u l s e a n d t h e c o n v o l u t i o n w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e a s r a p i d a s p o s s i b l e . T h u s , t h e l o g i c a l c h o i c e i s t o c o n s t r u c t e ( t ) a s a r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s e d n a t u r a l E - p u l s e . S e c t i o n 4 . 6 p r o v i d e s a v e r y q u i c k a l g o r i t h m f o r i t s c a l c u l a t i o n , a n d s a m p l e d d a t a c o n v o l u t i o n c a n b e p e r f o r m e d r a p i d l y a n d a c c u r a t e l y u s i n g t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d o f s e c t i o n 5 . 3 . A s a s i m p l e e x a m p l e c o n s i d e r a o n e m o d e r e s p o n s e c o n s t r u c t e d a s 2 t c o s ( 2 t + 1 ) ( 6 . 6 . 3 ) r ( t ) = 1 e — 0 ' T h i s r e s p o n s e i s t h e n s a m p l e d a t 5 0 0 p o i n t s b e t w e e n t = 0 a n d t = 1 0 , w i t h a c o n s t a n t s a m p l i n g i n t e r v a l . U s i n g i n i t i a l g u e s s e s o f o = - 0 . 1 a n d w = 1 - 9 a n d m i n i m i z i n g t h e n o r m o f t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e a t a 2 7 9 t o t a l o f 2 5 d i s c r e t e p o i n t s e q u a l l y s p a c e d b e t w e e n t h e b e g i n n i n g o f l a t e - t i m e a n d t = 1 0 , a n a t t e m p t i s m a d e t o r e c o v e r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . R e q u e s t i n g t h r e e d i g i t s o f a c c u a r c y f r o m r o u t i n e Z X M I N r e s u l t s i n o = - 0 . 2 0 0 a n d w = 2 . 0 0 , a n d t h e r o u t i n e h a s o b v i o u s l y b e e n s u c c e s s f u l . A s a s e c o n d e x a m p l e , c o n s i d e r t h e r e s p o n s e g i v e n b y ( 6 . 6 . 3 ) w i t h a v e r y s m a l l D C l e v e l o f 0 . 0 1 a d d e d . T h e s a m e s e t o f s a m p l i n g c o n d i t i o n s a n d i n i t i a l g u e s s e s t h e n r e s u l t s i n o = - 0 . 2 0 8 a n d w = 1 . 9 8 . I t i s s e e n t h a t t h e p r e s e n c e o f a D C l e v e l a d v e r s e l y a f f e c t s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e E - p u l s e t e c h n i q u e . T h i s s u g g e s t s t h a t a D C E - p u l s e s h o u l d b e u s e d i n t h e c o n v o l u t i o n ( 6 . 6 . 1 ) . U s i n g a D C E - p u l s e , r e s u l t s f o r t h e a b o v e e x a m p l e ( w i t h D C = 0 . 0 1 ) b e c o m e o = - 0 . 2 0 0 a n d w = 2 . 0 0 . T h u s , t h e D C l e v e l h a s b e e n a d e q u a t e l y a c c o m m o d a t e d . T h e r e i s o n e u n f o r t u n a t e d i f f i c u l t y i n v o l v e d i n i m p l e m e n t i n g t h e E - p u l s e m e t h o d , a n d i t r e s i d e s i n u s i n g t h e n a t u r a l E - p u l s e . S i n c e t h e E - p u l s e d u r a t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s u s e d i n i t s c o n s t r u c t i o n , e a c h i t e r a t i o n o f t h e r o u t i n e w i l l h a v e a d i f f e r e n t b e g i n n i n g t o l a t e - t i m e . I t t h u s b e c o m e s n e c e s s a r y t o e s t i m a t e t h e r a n g e o v e r w h i c h t h e l a t e - t i m e r e g i o n w i l l v a r y , s o t h a t n o p o i n t s i n t h e e a r l y - t i m e a r e u s e d i n c a l c u l a t i n g t h e n o r m ( 6 . 6 . 2 ) . T h i s i s q u i t e d i f f i c u l t s i n c e i t i s h a r d t o t e l l b e f o r e h a n d i n w h a t d i r e c t i o n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s w i l l m o v e . T h e b e s t a p p r o a c h i s t o a l w a y s u s e t h e n a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n ( w h i c h r e s u l t s i n t h e g r e a t e s t a m o u n t o f l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e ) a n d a t t e m p t t o a c c u r a t e l y e s t i m a t e t h e f r e q u e n c y ( i m a g i n a r y p a r t ) o f t h e h i g h e s t m o d e p r e s e n t . N o e x p e r i m e n t a t i o n h a s b e e n u n d e r t a k e n e m p l o y i n g f o r c e d 2 8 0 E — p u l s e s i n t h e c o n v o l u t i o n . A s t h i s w o u l d e l i m i n a t e t h e a b o v e p r o b l e m , s u c h a n a p p r o a c h s h o u l d b e c o n s i d e r e d a n i m p o r t a n t t o p i c f o r f u t u r e s t u d y . 6 . 7 L a t e - t i m e M i n i m i z a t i o n M e t h o d T h i s m e t h o d i s v e r y s i m i l a r t o t h a t o f s e c t i o n 6 . 6 i n t h a t i t a l s o r e q u i r e s t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e o f a n E - p u l s e a n d a m e a s u r e d r e s p o n s e . H o w e v e r , h e r e t h e m i n i m i z a t i o n i s n o t d o n e w i t h r e s p e c t t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , b u t w i t h r e s p e c t t o t h e a m p l i t u d e s o f t h e b a s i s f u n c t i o n s u s e d t o c o n s t r u c t t h e E - p u l s e . T h e b e n e f i t o v e r t h e E - p u l s e m e t h o d i s t h a t a n E - p u l s e n e e d n o t b e c o n s t r u c t e d a t e a c h s t e p , a n d t h u s e x e c u t i o n t i m e s h o u l d b e r e d u c e d . T h e r e s u l t o f t h e m i n i m i z a t i o n i n t h i s m e t h o d i s t h e a m p l i t u d e s o f t h e b a s i s f u n c t i o n s f o r m i n g a n E — p u l s e . A s a f i n a l s t e p i t i s n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s t h a t t h e E - p u l s e e l i m i n a t e s , a n d t h e y a r e t a k e n a s a n e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n - c i e s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e . T h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s c a n b e c a l c u l a t e d , i f d e s i r e d , u s i n g l i n e a r l e a s t s q u a r e s w i t h t h e f r e q u e n c i e s h e l d c o n s t a n t . A s w i t h t h e E - p u l s e m e t h o d , i f t h e m e a s u r e d r e s p o n s e i s a p u r e s e t o f n a t u r a l m o d e s a n d t h e r i g h t n u m b e r o f m o d e s a r e u s e d i n t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e , t h i s m e t h o d s h o u l d w o r k p e r f e c t l y . I t i s q u i t e p o s s i b l e , i n p r i n c i p l e , t o e x t r a c t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m t h e E - p u l s e w a v e f o r m , s i n c e e q u a t i o n ( 4 . 4 . 1 . 2 ) s t a t e s t h a t t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e E — p u l s e w a v e f o r m s h o u l d h a v e z e r o e s = 0 ( 6 . 7 . 1 ) 2 8 1 a t t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s t h a t t h e E - p u l s e e l i m i n a t e s . H o w e v e r , i f t h e E - p u l s e s p e c t r u m i s q u i t e c o m p l i c a t e d t h e r e m u s t b e a s e a r c h t h r o u g h t h e c o m p l e x p l a n e f o r t h e s e f r e q u e n c i e s , a n d t h i s c o u l d b e c o m p u t a t i o n a l l y d i f f i c u l t . I t i s t h e r e f o r e p r u d e n t t o u s e a n E - p u l s e w i t h a s p e c t r u m t h a t h a s e a s i l y d e t e r m i n a b l e z e r o e s . T h e m o s t c o n v e n i e n t E - p u l s e i s t h a t b a s e d u p o n r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n s . S a m p l e d d a t a c o n v o l u t i o n c a n b e p e r f o r m e d r a p i d l y u s i n g t h e t r a p e z o i d a l r u l e i n t e g r a t i o n m e t h o d o f s e c t i o n 5 . 3 , a n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s t h a t t h e E — p u l s e e l i m i n a t e s c a n b e e x t r a c t e d a s f o l l o w s . T h e s p e c t r u m o f a n a r b i t r a r y p u l s e f u n c t i o n b a s e d E — p u l s e i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 4 . 5 . 4 . 1 6 ) . T h u s , a t t h e f r e q u e n c i e s t h a t t h e E - p u l s e e l i m i n a t e s w h e r e A i s t h e p u l s e w i d t h , 0 i s t h e a m p l i t u d e o f t h e i ' t h p u l s e 2 f u n c t i o n d e t e r m i n e d b y t h e m i n i m i z a t i o n p r o c e s s , a n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s t o b e d e t e r m i n e d r e s i d e a t s = s N o w , l e t t i n g k ' z = e ' s A ( 6 . 7 . 2 ) t h e n ( 6 . 7 . 1 ) c a n b e w r i t t e n a s L 2 Z 6 2 2 = 0 ( 6 . 7 . 3 ) 2 8 2 o r , f r o m c o m p l e x a l g e b r a L - l H ( z - z k ) = 0 ( 6 . 7 . 4 ) k = 1 T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e r e a r e e x a c t l y L - l s o l u t i o n s t o ( 6 . 7 . 4 ) f o r Z k ' T h e v a l u e s o f z k a r e d e t e r m i n e d f r o m ( 6 . 7 . 3 ) b y u s i n g a s t a n d a r d c o m p l e x p o l y n o m i a l r o o t s o l v i n g r o u t i n e . F i n a l l y , t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s w h i c h s o l v e ( 6 . 7 . 1 ) a r e g i v e n b y s k = - 2 1 ; l o g ( z k ) ( 6 . 7 . 5 ) F o r a n a t u r a l E - p u l s e t h e n u m b e r o f p u l s e f u n c t i o n s u s e d i s L = 2 N , w h e r e N i s t h e n u m b e r o f m o d e s t o b e e x t i n g u i s h e d . T h u s , t h e r e a p p e a r s t o b e o n l y 2 N — 1 r o o t s t o ( 6 . 7 . 4 ) . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t m e a n t h a t o n l y 2 N - 1 n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e e l i m i n a t e d ( o b v i o u s l y , s i n c e t h e E - p u l s e w a s c o n s t r u c t e d t o e l i m i n a t e 2 N f r e q u e n c i e s - - t h e s e t o f 5 p l u s t h e i r c o m p l e x c o n j u g a t e s . ) E q u a t i o n ( 6 . 7 . 4 ) o n l y g i v e s k v a l u e s o f z k . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , a s d e t e r m i n e d f r o m ( 6 . 7 . 5 ) , w i l l b e i n f i n i t e i n n u m b e r s i n c e t h e l o g i s a m u l t i v a l u e d f u n c t i o n . T h e f r e q u e n c i e s o f i n t e r e s t a r e t h e p r i n c i p l e v a l u e s o f ( 6 . 7 . 5 ) , p l u s o n e o t h e r w h i c h i s t e m p o r a r i l y h i d i n g ( s i n c e t h e r e a r e o n l y 2 N - 1 p r i n c i p l e v a l u e f r e q u e n c i e s . ) T h e m i s s i n g f r e q u e n c y i s d i s c o v e r e d n u m e r i c a l l y t o b e ( 6 . 7 . 6 ) L s » T h e n t h e f r e q u e n c i e s a r e e x t r a c t e d f r o m t h e a m p l i t u d e v a l u e s b y 2 8 3 w h e r e s j i s t h e f r e q u e n c y u s e d t o c a l c u l a t e t h e E - p u l s e d u r a t i o n v i a ( 4 . 6 . 1 . 2 4 ) a n d t h e s i g n d e p e n d s o n t h e s p e c i f i c p r o b l e m . T o r e c o v e r t h i s f r e q u e n c y w r i t e ( 6 . 7 . 1 ) a s L - £ o A 2 a g e ( 6 6 3 ( 0 2 6 ) - j s i n ( w 2 A ) ] = 0 ( 6 . 7 . 7 ) 2 1 T h e n i t i s o b v i o u s t h a t ( 5 , m = t n / A ) i s a r o o t i f 5 o b e y s - 5 1 A = L L X a £ ( - 1 ) e 0 ( 6 . 7 . 8 ) i = 1 I t i s i m p o r t a n t n o w t o r e m e m b e r e x a c t l y t h e c o n d i t i o n t h a t l e d t o t h e n a t u r a l E - p u l s e s o l u t i o n . D e m a n d i n g t h a t ( 4 . 6 . 1 . 1 5 ) h o l d l e d t o d i s c r e t e v a l u e s o f t h e E - p u l s e d u r a t i o n , g i v e n t h r o u g h A = 9 3 - p = 1 , 2 , . . . ( 6 . 7 . 9 ) 0 ) J w h e r e w j i s a n y o n e o f t h e f r e q u e n c i e s o f t h e m o d e s t o b e e l i m i n a t e d . B u t t h i s r o o t a l s o r e q u i r e s ( 6 . 7 . 8 ) v i a ( 4 . 4 . 3 . 4 ) . T h u s , s = o j t j w j a r e b o t h z e r o e s o f ( 6 . 7 . 1 ) , a n d t h e s e t o f 2 N p r i n c i p l e v a l u e f r e q u e n c i e s i s c o m p l e t e . T h e c o n v o l u t i o n o f t h e E - p u l s e w a v e f o r m a n d a m e a s u r e d r e s p o n s e r ( t ) i s g i v e n b y ( 6 . 6 . 1 ) . A n e s t i m a t e o f t h e v a l u e s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s e m b e d d e d i n r ( t ) i s d e t e r m i n e d b y f i r s t m i n i m i z i n g t h e n o r m o f t h e l a t e t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e ( 6 . 6 . 2 ) w i t h r e s p e c t t o t h e a m p l i t u d e s o f t h e p u l s e f u n c t i o n s a n d p e r h a p s t h e d u r a t i o n T e = L A . 2 8 4 l o c a t i n g t h e z e r o e s o f ( 6 . 7 . 1 ) . M i n i m i z a t i o n o f ( 6 . 6 . 2 ) i s c a r r i e d o u t a s i n t h e E - p u l s e t e c h n i q u e b y u s i n g a s t a n d a r d c o m p u t e r l i b r a r y r o u t i n e . T h i s r o u t i n e r e q u i r e s i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e f r e e p a r a m e t e r s - - t h e a m p l i t u d e s o f t h e p u l s e f u n c t i o n s a n d p e r h a p s t h e d u r a t i o n . H o w e v e r , i t i s v e r y d i f f i c u l t t o e s t i m a t e t h e h e i g h t s o f t h e p u l s e s i n a n E - p u l s e w a v e f o r m f r o m t h e r e s p o n s e i t i s t o e x t i n g u i s h . T h i s p r o b l e m c a n b e c i r c u m - v e n t e d b y c o n s t r u c t i n g a n E - p u l s e a t t h e f i r s t i t e r a t i o n b a s e d o n g u e s s e s f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e r e s p o n s e . T h e a m p l i t u d e s o f t h e p u l s e s i n t h i s E - p u l s e t h e n b e c o m e t h e i n i t i a l g u e s s e s i n t h e m i n i m i z a t i o n r o u t i n e . I t i s r e m e m b e r e d f r o m c h a p t e r 4 t h a t t h e r e e x i s t a n i n f i n i t e n u m b e r o f E - p u l s e s t h a t e l i m i n a t e t h e s a m e f i n i t e s e t o f n a t u r a l m o d e s . ( T h u s , t h i s t e c h n i q u e c o u l d l e a d t o a w i d e v a r i e t y o f E - p u l s e s h a p e s . T h e f a c t o r r e s t r i c t i n g t h e s h a p e i s t h e i n i t i a l g u e s s . I f t h e i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e a m p l i t u d e s a r e o b t a i n e d b y c o n s t r u c t i n g a n a t u r a l E — p u l s e b a s e d o n g u e s s e s f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e , t h e n c h a n c e s a r e t h e w a v e f o r m w i l l c o n v e r g e t o a n a t u r a l E - p u l s e b a s e d o n t h e a c t u a l f r e q u e n c i e s i n t h e r e s p o n s e . F o r a n a t u r a l E - p u l s e , 2 N p u l s e a m p l i t u d e s a n d t h e d u r a t i o n a r e u s e d a s f r e e p a r a - m e t e r s i n t h e m i n i m i z a t i o n , w h e r e t h e r e s p o n s e i s a s s u m e d t o c o n t a i n N m o d e s . F o r a f o r c e d E - p u l s e , t h e d u r a t i o n i s c h o s e n ( a n d f i x e d ) a n d 2 N + 1 p u l s e a m p l i t u d e s a r e u s e d i n t h e m i n i m i z a t i o n . E i t h e r w a y , t h e r e a r e 2 N + 1 v a r i a b l e s i n v o l v e d . T o d a t e t h e t e c h n i q u e h a s o n l y b e e n i m p l e m e n t e d u s i n g n a t u r a l E - p u l s e s o f m i n i m u m d u r a t i o n . N o t e t h a t l o n g e r d u r a t i o n n a t u r a l E - p u l s e s c o u l d b e u t i l i z e d , b u t t h e l e n g t h 2 8 5 o f t h e l a t e - t i m e p e r i o d o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e i s r e d u c e d . A s a s i m p l e e x a m p l e , c o n s i d e r t h e r e s p o n s e c o n s t r u c t e d a s i n ( 6 . 6 . 3 ) . T h i s r e s p o n s e i s s a m p l e d a t 5 0 0 e q u a l l y s p a c e d p o i n t s b e t w e e n t = 0 a n d t = 1 0 . U s i n g i n i t i a l g u e s s e s o f o = - 0 . 1 a n d 6 = 2 . 2 a n d m i n i m i z i n g t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e a t a t o t a l o f 2 5 p o i n t s e q u a l l y s p a c e d b e t w e e n t h e b e g i n n i n g o f l a t e - t i m e a n d t = 1 0 , a n a t t e m p t i s m a d e t o r e c o v e r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . W i t h t w o p u l s e s a n d a r e q u e s t f o r t h r e e d i g i t s o f a c c u r a c y f r o m I M S L r o u t i n e Z X M I N , t h e r e s u l t s a r e a 1 = 1 . 2 6 5 , a 2 = 0 . 9 2 4 , a n d T e = 3 . 1 4 2 . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e e x t r a c t e d u s i n g ( 6 . 7 . 1 ) a n d a r e f o u n d t o b e o = - 0 . 2 0 0 a n d w = 2 . 0 0 , a n d t h e r o u t i n e h a s s u c c e e d e d . A s a s e c o n d e x a m p l e , c o n s i d e r t h e r e s p o n s e i n ( 6 . 6 . 3 ) w i t h a s m a l l D C l e v e l o f 0 . 0 2 a d d e d . T h e s a m e c o n d i t i o n s a n d i n i t i a l g u e s s e s a s a b o v e r e s u l t i n a l = 0 . 7 0 6 , a 2 = 0 . 5 4 7 , a n d T e = 3 . 1 4 6 . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e t h e n c a l c u l a t e d t o b e o = - 0 . 1 6 2 a n d w = 1 . 9 9 . O b v i o u s l y , t h e p r e s e n c e o f t h i s s m a l l D C l e v e l h a s h a d a d e l e t e r i o u s e f f e c t o n t h e a c c u r a c y o f o . T h i s i s e a s i l y o v e r c o m e b y u s i n g t h r e e p u l s e s i n t h e m i n i m i z a t i o n a n d c o n s t r u c t i n g a n a t u r a l D C E - p u l s e a s a n i n i t i a l g u e s s . W i t h t h i s , t h e a b o v e e x a m p l e r e s u l t s i n t h e a m p l i t u d e s a n d d u r a t i o n a l - - 3 . 6 1 , a 2 = 0 . 9 7 3 , a 3 = 2 . 6 4 , T e = 4 . 7 1 , a n d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o l = 0 , w 1 = 0 , 0 2 = - 0 . 2 0 0 , a n d w 2 = 2 . 0 0 . A g a i n t h e t e c h n i q u e h a s s u c c e e d e d . N o t e t h e e x p e c t e d f r e q u e n c y a t s = 0 n e c e s s a r y t o e l i m i n a t e t h e D C c o m p o n e n t . A s i n s e c t i o n 6 . 6 t h e r e r e m a i n s t h e d i f f i c u l t y i n v o l v i n g t h e v a r i a b i l i t y o f t h e b e g i n n i n g o f l a t e - t i m e . F u t u r e s t u d i e s s h o u l d i n c l u d e m o d i f y i n g t h i s t e c h n i q u e t o u s e f o r c e d E - p u l s e s . 2 8 6 6 . 8 M o m e n t M e t h o d A p p r o a c h T h e p r e v i o u s s e c t i o n o b t a i n e d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m a m e a s u r e d r e s p o n s e b y f i r s t c r e a t i n g a n E - p u l s e t h r o u g h l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e m i n i m i z a t i o n a n d t h e n e x t r a c t i n g t h e f r e q u e n c i e s f r o m t h e E - p u l s e . T h i s s e c t i o n a l s o p r e s e n t s a t w o s t e p m e t h o d , f i r s t c a l c u l a t i n g a n E - p u l s e u s i n g t h e m e t h o d o f m o m e n t s t o s o l v e t h e i n t e - g r a l e q u a t i o n c r e a t e d b y s e t t i n g t h e l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e t o z e r o , a n d t h e n e x t r a c t i n g t h e f r e q u e n c i e s f r o m t h e E - p u l s e . T h e c o n v o l u t i o n o f a n e x c i t a t i o n s i g n a l e ( t ) a n d a m e a s u r e d r e s p o n s e r ( t ) i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 6 . 6 . 1 ) . I f r ( t ) i s a p u r e s u m o f n a t u r a l m o d e s t h e n e ( t ) c a n b e c o n s t r u c t e d a s a n E - p u l s e , r e s u l t i n g i n a n u l l l a t e - t i m e c o n v o l v e d r e s p o n s e . T h u s , s o l v i n g T e q ( t ) = f e ( t ' ) r ( t - t ' ) d t ' = 0 t > T ( 6 . 8 . 1 ) o f o r e ( t ) r e s u l t s i n a w a v e f o r m t h a t a p p r o x i m a t e s a n E - p u l s e ( f o r r ( t ) c o n t a m i n a t e d b y n o i s e ) , a n d t h e f r e q u e n c i e s t h a t i t e l i m i n a t e s c a n b e t a k e n a s a n e s t i m a t e f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o n t a i n e d i n r ( t ) . E q u a t i o n ( 6 . 8 . 1 ) i s a n i n t e g r a l e q u a t i o n f o r t h e u n k n o w n w a v e - f o r m e ( t ) , a n d i t c a n b e s o l v e d u s i n g t h e s t a n d a r d m e t h o d o f m o m e n t s t e c h n i q u e . T h e u n k n o w n w a v e f o r m e ( t ) i s f i r s t e x p a n d e d i n a n a p p r o - p r i a t e l y c h o s e n s e t o f b a s i s f u n c t i o n s L e ( t ) = Z a g f z ( t ) ( 6 . 8 . 2 ) 1 = 1 2 8 7 T h e n , r a t h e r t h a n f o r c i n g ( 6 . 8 . 1 ) t o b e s a t i s f i e d f o r a l l t i m e , i t i s m u l t i p l i e d b y a s e t o f M w e i g h t i n g f u n c t i o n s w m ( t ) a n d t h e m o m e n t s a r e t a k e n [ 6 7 ] L T e < w ( t ) , 2 0 1 f f ( t ' ) r ( t - t ' ) d t ' > = 0 m = 1 , 2 , . . . , M ( 6 . 8 . 3 ) m 2 : 1 8 o 2 w h e r e t h e a n g l e b r a c k e t s r e p r e s e n t t h e u s u a l i n n e r p r o d u c t ( f ( t ) . 1 1 6 ) ) = m o u n d : ( 6 . 8 . 4 ) T h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 6 . 8 . 1 ) h a s n o w b e e n r e d u c e d t o a m a t r i x e q u a t i o n ( 6 . 8 . 3 ) . T h i s i s t h e m a i n b e n e f i t o f t h i s m e t h o d o v e r t h e m e t h o d s o f t h e t w o p r e c e e d i n g s e c t i o n s . A m a t r i x e q u a t i o n i s m u c h e a s i e r t o s o l v e t h a n t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m o f ( 6 . 6 . 2 ) . I f t h e n u m b e r o f w e i g h t i n g f u n c t i o n s i s c h o s e n t o b e e q u a l t o t h e n u m b e r o f b a s i s f u n c t i o n s , a s i s u s u a l l y d o n e , t h e n a s e a r c h m u s t b e m a d e t o f i n d a z e r o o f t h e d e t e r m i n a n t . B u t s i n c e o n l y o n e p a r a m e t e r i s i n v o l v e d ( t h e E - p u l s e d u r a t i o n ) , t h e c o m p u t a t i o n n e e d e d i s s t i l l m u c h l e s s t h a n t h a t i n t h e m i n i m i z a t i o n s c h e m e . T h e p r o p e r s e l e c t i o n o f b a s i s f u n c t i o n s i s d e t e r m i n e d a s i n s e c t i o n 6 . 7 b y t h e n e e d t o m a k e t h e e x t r a c t i o n o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s f r o m t h e E - p u l s e a s e a s y a s p o s s i b l e . T h e c h o i c e o f w e i g h t i n g f u n c t i o n s i s c o n t r o l l e d b y t h e d e s i r e t o s i m p l i f y t h e c a l c u - l a t i o n o f t h e m o m e n t s ( 6 . 8 . 3 ) . A l l t o l d , t h r e e s e p a r a t e c a s e s w i l l b e c o n s i d e r e d . 2 8 8 I . I m p u l s e b a s i s f u n c t i o n s , p o i n t m a t c h i n g A n E - p u l s e w a v e f o r m c o n s t r u c t e d u s i n g i m p u l s e f u n c t i o n s c a n b e w r i t t e n s i m i l a r t o ( 4 . 5 . 5 . 2 ) a s 2 N - 1 e ( t ) = 2 a 6 ( t - 2 A ) ( 6 . 8 . 4 ) 1 i = 0 w h e r e N m o d e s a r e a s s u m e d t o b e i n r ( t ) . T h u s , e ( t ) r e p r e s e n t s a n a t u r a l E - p u l s e . I n t h e o r y i t w o u l d b e a l l o w a b l e t o u s e m o r e t h a n 2 N b a s i s f u n c t i o n s , b u t t h i s l e a d s t o m a t r i x c o n d i t i o n i n g p r o b l e m s i f o n l y N m o d e s a r e a c t u a l l y p r e s e n t i n r ( t ) ( s e e [ 6 0 ] ) . U s i n g i m p u l s e f u n c t i o n s f o r w e i g h t i n g w m ( t ) = 6 ( t - m A ) ( 6 . 8 . 5 ) i s e q u i v a l e n t i n ( 6 . 8 . 3 ) t o p o i n t m a t c h i n g a t t i m e s t = m A . T h a t i s , t h e i n t e g r a l e q u a t i o n i s f o r c e d t o b e s a t i s f i e d a t d i s c r e t e v a l u e s o f t i m e w h i c h a r e s p a c e d t h e s a m e a s t h e i m p u l s e f u n c t i o n s i n e ( t ) . T h i s a l l o w s ( 6 . 8 . 3 ) t o b e w r i t t e n a s 2 8 9 u o r N _ 1 + a e r _ 2 + a e r _ 3 + . . . + a 2 N _ 1 r 0 = O a o r N + a e r _ 1 + a Z r N _ 2 + ~ - - + a 2 N _ 1 r 1 = 0 a o r N + 1 + - - - + 6 2 N _ 1 r 2 = 0 ( 6 . 8 . 6 ) a 0 5 N + M - 2 + ° ' ° + G Z N - I r M - l = 0 w h e r e r g = r ( t = £ A ) ( 6 . 8 . 7 ) E q u a t i o n ( 6 . 8 . 6 ) c a n a l s o b e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m a s 3 3 = 0 ( 6 . 8 . 8 ) w i t h t h e m a t r i x e n t r i e s ( ' 5 : ) 1 , j = r N + i - j - 1 i = 1 , 2 , . . . , M j = 1 , 2 , . . . 2 N ( 6 . 8 . 9 ) P r o p e r a p p l i c a t i o n o f t h e m o m e n t m e t h o d r e q u i r e s t h a t t h e s a m e n u m b e r o f w e i g h t i n g f u n c t i o n s a s b a s i s f u n c t i o n s b e u s e d . T h i s r e s u l t s i n a h o m o g e n e o u s m a t r i x e q u a t i o n , a s o l u t i o n o f w h i c h c a n o n l y 2 9 0 o c c u r w h e n d e t ( 3 ' ] = 0 ( 6 . 8 . 1 0 ) r e s u l t i n g i n d i s c r e t e , c h a r a c t e r i s t i c v a l u e s o f A . W i t h A d e t e r m i n e d , t h e m a t r i x i s r e d u c e d a n d t h e n i n v e r t e d t o g i v e t h e p u l s e a m p l i t u d e s , w h i c h d e s c r i b e a n a t u r a l E - p u l s e . T h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s e l i m i n a t e d b y t h e E — p u l s e a r e c a l c u l a t e d b y s o l v i n g ( 6 . 7 . 1 ) a n d t h e y a r e t a k e n a s a n e s t i m a t e o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n r ( t ) . S i n c e r ( t ) w i l l b e a v a i l a b l e o n l y a s a s a m p l e d w a v e f o r m , t h e r e a r e t w o s i m p l e w a y s t o c a l c u l a t e t h e m a t r i x e n t r i e s i n ( 6 . 8 . 8 ) . E i t h e r r ( t ) c a n b e i n t e r p o l a t e d b e t w e e n s a m p l e d p o i n t s , o r A c a n b e f i x e d a n d d i s c r e t e c o n v o l u t i o n u s e d . W i t h A f i x e d , t h o u g h , i t i s d o u b t f u l t h a t ( 6 . 8 . 1 0 ) w i l l b e s a t i s f i e d . D i s c r e t e c o n v o l u t i o n c a n a l s o b e e m p l o y e d i f o n e m o r e b a s i s f u n c t i o n t h a n m a t c h i n g p o i n t a n d o n e m o r e s a m p l e p o i n t f r o m t h e m e a s u r e d r e s p o n s e a r e u s e d . T h e n e ( t ) b e c o m e s a f o r c e d E - p u l s e , A c a n b e f i x e d a t t h e s a m p l i n g i n t e r v a l , a n d ( 6 . 8 . 8 ) c a n b e s o l v e d a s a n i n h o m o g e n e o u s m a t r i x p r o b l e m . A l t h o u g h t h i s a p p r o a c h i s n o t p r o p e r l y m o t i v a t e d f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e m o m e n t m e t h o d , t h e r e s u l t s a r e m o s t i n t e r e s t i n g . T h e m a t r i x e q u a t i o n g i v e n b y ( 6 . 8 . 3 ) n o w b e c o m e s 8 3 = 8 ( 6 . 8 . 1 1 ) w h e r e 2 9 1 B = 1 — r N + i _ 1 a _ l ( 6 . 8 . 1 2 ) W i t h t h e a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s d e t e r m i n e d b y s o l v i n g ( 6 . 8 . 1 1 ) , t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s e l i m i n a t e d b y e ( t ) a r e f o u n d b y c a l c u l a t i n g t h e r o o t s t o 2 N 2 Z = 0 ( 6 . 8 . 1 3 ) 1 C a z - 1 2 w h e r e z i s g i v e n i n e q u a t i o n ( 6 . 7 . 2 ) . A n a s t o u n d i n g f a c t i s n o w r e v e a l e d . T h e s e a r e e x a c t l y t h e s a m e t w o s t e p s u s e d i n P r o n y ' s m e t h o d a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 6 . 2 . T h u s , m o m e n t m e t h o d s o l u t i o n u s i n g i m p u l s e b a s i s a n d w e i g h t i n g f u n c t i o n s i s i d e n t i c a l t o P r o n y ' s m e t h o d , i f o n e e x t r a b a s i s f u n c t i o n i s a l l o w e d . S i n c e P r o n y ' s m e t h o d h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d , n o n u m e r i c a l r e s u l t s w i l l b e p r e s e n t e d . I I . R e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s i s , p o i n t m a t c h i n g E x p a n d i n g e ( t ) a c c o r d i n g t o L e ( t ) = Z 6 P ( t ) ( 6 . 8 . 1 4 ) £ = 1 £ 2 w h e r e P £ ( t ) i s g i v e n i n ( 4 . 5 . 4 . 3 ) , a n d p o i n t m a t c h i n g a t t i m e s t = t m a l l o w s ( 6 . 8 . 3 ) t o b e w r i t t e n i n t h e m a t r i x f o r m " U 9 1 " l l 0 ( 6 . 8 . 1 5 ) T 2 9 2 w i t h t h e e n t r i e s T e . _ . v _ v I g P n ( t ) r ( t m t ) d t ( 6 . 8 . 1 6 ) C a l c u l a t i n g t h e s e e n t r i e s i s i d e n t i c a l t o p e r f o r m i n g t h e s a m p l e d d a t a c o n v o l u t i o n d i s c u s s e d i n s e c t i o n 5 . 3 . S i n c e t h i s i n v o l v e s i n t e r p o - l a t i n g o n r ( t ) , t h e r e i s n o r e s t r i c t i o n o n t h e p u l s e w i d t h A . T h u s , a n a t u r a l E - p u l s e c a n b e u s e d a n d , w i t h L = 2 N , t h e r e q u i r e m e n t I I C ) d e t ( 5 : ) ( 6 . 8 . 1 7 ) c a n b e s a t i s f i e d i n t h e t r u e s p i r i t o f t h e m o m e n t m e t h o d . T h e n , s o l u - t i o n s t o ( 6 . 8 . 1 5 ) c a n b e f o u n d , c o r r e s p o n d i n g t o d i s c r e t e v a l u e s f o r t h e d u r a t i o n o f t h e E - p u l s e , a n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s c a n b e e x t r a c t e d f r o m t h e r e s u l t i n g E - p u l s e w a v e f o r m b y s o l v i n g ( 6 . 7 . 1 ) . I I I . R e c t a n g u l a r p u l s e b a s i s , r e c t a n g u l a r p u l s e w e i g h t i n g I n t h i s c a s e , t h e e x c i t a t i o n s i g n a l i s e x p a n d e d a c c o r d i n g t o ( 6 . 8 . 1 4 ) w h i l e t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s a r e g i v e n b y w ( c ) = 8 ( t ) ( 6 . 8 . 1 8 ) m m w h e r e ~ 1 ( m - 1 ) A § t : m A p ( t ) = ( 6 . 8 . 1 9 ) m 0 e l s e w h e r e : I : D I K 2 9 3 a n d A i s c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s c o v e r t h e e n t i r e l a t e - t i m e p e r i o d . W h e r e a s p o i n t m a t c h i n g f o r c e s t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e t o b e e x a c t l y z e r o a t d i s c r e t e p o i n t s , u s i n g p u l s e w e i g h t i n g f u n c t i o n s c o r r e s p o n d s t o f o r c i n g a n a v e r a g e o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e t o b e z e r o . W h e n r ( t ) i s c o n t a m i n a t e d b y n o i s e , e m p l o y i n g a n a v e r a g e o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s h o u l d b e a m o r e s t a b l e a p p r o a c h . W r i t i n g ( 6 . 8 . 3 ) i n t h e m a t r i x f o r m ( 6 . 8 . 1 5 ) l e a d s t o t h e m a t r i x e n t r i e s T ~ e = < P m ( t ) , f P n ( t ' ) r ( t - t ' ) d t ' > ( 6 . 8 . 2 0 ) 0 T h e d o u b l e i n t e g r a t i o n r e q u i r e d b y t h e i n n e r p r o d u c t o f t h e p u l s e a n d t h e c o n v o l u t i o n c a n b e c a l c u l a t e d q u i t e s i m p l y b y u s i n g r e c t a n g u l a r r u l e i n t e g r a t i o n T e [ P n ( t ' ) r ( t m k - t ' ) d t ' ( 6 . 8 . 2 1 ) 0 9 " M N k 1 w h e r e t h e d o u b l e s u b s c r i p t o n t m , k i n d i c a t e s t h e k ' t h v a l u e o f t o u t o f a t o t a l o f K v a l u e s e q u a l l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e m ' t h w e i g h t i n g f u n c t i o n i n t e r v a l . T h e r e m a i n i n g i n t e g r a l i n ( 6 . 8 . 2 1 ) i s o f t h e t y p e c a l c u l a t e d i n t h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s , p o i n t m a t c h i n g a n a l y s i s . T h u s , t h e m a t r i x e l e m e n t s a r e m e r e l y s u m s o f e l e m e n t s o f t h e t y p e u s e d f o r t h a t t e c h n i q u e , a n d s o l u t i o n s f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s e m b e d d e d i n r ( t ) p r o c e e d i d e n t i c a l l y . 2 9 4 A s a s i m p l e e x a m p l e c o n s i d e r a r e s p o n s e c o n s t r u c t e d a s i n ( 6 . 6 . 3 ) . T h i s r e s p o n s e i s s a m p l e d a t 5 0 0 p o i n t s i n t i m e , e q u a l l y d i s t r i b u t e d b e t w e e n t = 0 a n d t = 1 0 . A n a t t e m p t i s t h e n m a d e t o r e c o v e r t h e c o m p l e x f r e q u e n c y i n r ( t ) b y u s i n g t h e m o m e n t m e t h o d , f i r s t w i t h i m p u l s e a n d t h e n p u l s e w e i g h t i n g . U s i n g t w o p u l s e f u n c t i o n s f o r e x p a n s i o n , a n d m a t c h i n g a t t w o p o i n t s ( a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f l a t e - t i m e ) r e s u l t s i n a r o o t t o t h e d e t e r m i n e n t a l e q u a t i o n ( 6 . 8 . 1 7 ) b e i n g f o u n d a t T e = 3 . 1 4 1 5 9 . T h e c o r r e s p o n d i n g p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s a r e f o u n d t o b e a 1 = 1 . 3 6 9 a n d a z = 1 , w h i l e t h e c o m p l e x f r e q u e n c y f o u n d b y s o l v i n g ( 6 . 7 . 1 ) i s o = - 0 . 2 0 0 , w = 2 . 0 0 . U s i n g t w o p u l s e f u n c t i o n s f o r e x p a n s i o n a n d t w o p u l s e f u n c t i o n s f o r w e i g h t i n g r e s u l t s i n a r o o t o f ( 6 . 8 . 1 7 ) a t T e = 3 . 1 4 1 5 9 , p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s o f u l = 1 . 3 6 9 a n d a 2 3 1 , a n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c y o = - O . 2 0 0 , m = 2 . 0 0 . T h u s , t h e m o m e n t m e t h o d t e c h n i q u e h a s b e e n s u c c e s s f u l f o r b o t h t y p e s o f w e i g h t i n g f u n c t i o n s . A s a s e c o n d e x a m p l e , c o n s i d e r t h e r e s p o n s e i n ( 6 . 6 . 3 ) w i t h a s m a l l D C l e v e l o f 0 . 0 2 a d d e d . S a m p l i n g u n d e r t h e s a m e c o n d i t i o n s a s a b o v e a n d u s i n g t w o p u l s e f u n c t i o n s f o r e x p a n s i o n a n d t w o i m p u l s e f u n c t i o n s f o r w e i g h t i n g r e s u l t s i n a r o o t t o ( 6 . 8 . 1 7 ) b e i n g f o u n d a t T e = 3 . 1 9 9 . T h e c o r r e s p o n d i n g p u l s e a m p l i t u d e s a r e a l = 1 . 2 7 8 a n d c z = 1 , w h i l e t h e e x t r a c t e d f r e q u e n c y i s o = - 0 . 1 5 3 , m = 1 . 9 6 4 . U s i n g t w o p u l s e f u n c t i o n s f o r e x p a n s i o n a n d t w o p u l s e f u n c t i o n s f o r w e i g h t i n g r e s u l t s i n a r o o t t o ( 6 . 8 . 1 7 ) a t T e = 3 . 1 1 3 a n d t h e c o r r e s p o n d i n g p u l s e a m p l i t u d e s a n d f r e q u e n c y a l = 0 . 9 1 7 2 , a z = 1 , a n d o = 0 . 0 5 5 5 , w = 2 . 0 1 8 . O b v i o u s l y , t h e p r e s e n c e o f t h e D C c o m p o n e n t h a s h a d a h a r m f u l e f f e c t o n t h e a c c u r a c y o f t h e e x t r a c t e d f r e q u e n c y , b o t h f o r i m p u l s e a n d f o r p u l s e f u n c t i o n w e i g h t i n g . 2 9 5 T h e D C l e v e l i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e c a n b e a c c o m m o d a t e d b y e x p a n d i n g i n t h r e e p u l s e f u n c t i o n s , r e s u l t i n g i n t h e c r e a t i o n o f a n a t u r a l D C E - p u l s e . U s i n g t h r e e i m p u l s e f u n c t i o n s f o r w e i g h t i n g g i v e s a r o o t t o ( 6 . 8 . 1 7 ) a t T e = 4 . 7 1 2 , w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g p u l s e a m p l i t u d e s a n d f r e q u e n c i e s a = - 1 . 3 6 9 , a z = 0 . 3 6 9 , a 3 = 1 a n d 0 1 = 0 , w 1 = 0 , 0 2 = - 0 . 2 0 0 , 1 a n d w 2 = 2 . 0 0 . U s i n g t h r e e p u l s e f u n c t i o n s f o r w e i g h t i n g r e s u l t s i n a r o o t t o ( 6 . 8 . 1 7 ) a t T e = 4 . 7 1 2 a s w e l l , w i t h a m p l i t u d e s a n d f r e q u e n c i e s i d e n t i c a l t o t h o s e f o u n d w i t h i m p u l s e w e i g h t i n g . T h u s , t h e m o m e n t m e t h o d t e c h n i q u e h a s s u c c e e d e d i n e x t r a c t i n g b o t h t h e e x p e c t e d f r e q u e n c y a t o ' - 0 . 2 , w = 2 a n d a l s o t h e f r e q u e n c y a t s = 0 n e c e s s a r y t o e l i m i n a t e t h e D C c o m p o n e n t . T h e m o m e n t m e t h o d t e c h n i q u e s e e m s u n c o m f o r t a b l y s i m i l a r t o P r o n y ' s m e t h o d , a n d c a s e I s h o w e d t h e r e a s o n f o r c o n c e r n . H o w e v e r , t h e p r o b l e m s a f f l i c t i n g P r o n y ' s m e t h o d i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e a r e w e l l h a n d l e d b y e x p a n d i n g t h e E - p u l s e i n p u l s e f u n c t i o n s a s o p p o s e d t o i m p u l s e f u n c t i o n s . W i t h p u l s e e x p a n s i o n f u n c t i o n s , t h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l i n ( 6 . 8 . 3 ) i n c o r p o r a t e s a l l o f t h e p o i n t s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e , r e s u l t i n g i n a n a v e r a g i n g o f t h e n o i s e . W i t h i m p u l s e f u n c t i o n s t h e c o n v o l u t i o n o n l y i n v o l v e s r o u g h l y 4 N p o i n t s . F o r t h e s i m p l e o n e m o d e e x a m p l e d i s c u s s e d e a r l i e r , t h i s m e a n t u s i n g o n l y 1 % o f t h e t o t a l o f 5 0 0 p o i n t s a v a i l a b l e . I n t h e p r e s e n c e o f n o i s e , n o a v e r a g i n g c a n b e e x p e c t e d u s i n g P r o n y ' s m e t h o d a n d o n l y f i v e p o i n t s . A s i n s e c t i o n s 6 . 6 a n d 6 . 7 , t h e r e e x i s t s t h e p r o b l e m o f t h e b e g i n n i n g o f l a t e - t i m e c h a n g i n g . H o w e v e r , t h i s i s a m u c h l e s s s e r i o u s p r o b l e m h e r e , s i n c e T e i s t h e o n l y p a r a m e t e r t h a t i s v a r i e d i n 2 9 6 s e a r c h i n g f o r t h e s o l u t i o n t o ( 6 . 8 . 1 7 ) . 6 . 9 C o m p a r i s o n o f t h e M e t h o d s S i x m e t h o d s f o r e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a r a d a r t a r g e t f r o m a m e a s u r e d r e s p o n s e h a v e b e e n p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r , o f w h i c h o n l y o n e , P r o n y ' s m e t h o d , i s n o t o r i g i n a l . T h e s e n s i t i v i t y o f P r o n y ' s m e t h o d t o r a n d o m n o i s e h a s b e e n n o t e d a s t h e m o t i v a t i o n b e h i n d i n t r o d u c i n g t h e n e w m e t h o d s . I n t h i s s e c t i o n , a c o m p a r i s o n w i l l b e m a d e b e t w e e n t h e v a r i o u s m e t h o d s , a n d j u s t i f i c a t i o n f o r u s i n g t h e n e w t e c h n i q u e s w i l l b e s o u g h t . I t h a s b e e n s h o w n t h a t e a c h o f t h e n e w e x t r a c t i o n r o u t i n e s i s s u c c e s s f u l i n t h e s i m p l e c a s e o f a o n e m o d e r e s p o n s e , w h i l e P r o n y ' s m e t h o d i s a l s o k n o w n t o w o r k w e l l u n d e r i d e a l c i r c u m s t a n c e s . I n a d d i t i o n , t h e n e w m e t h o d s h a v e b e e n e x t e n d e d t o m u l t i m o d e r e s p o n s e s w i t h o u t d i f f i c u l t y . H o w e v e r , t h e r e a r e t h r e e i m p o r t a n t p r a c t i c a l c i r c u m s t a n c e s u n d e r w h i c h t h e n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n s c h e m e s m u s t b e a b l e t o p e r f o r m . T h e f i r s t i s p e r f o r m a n c e i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e , w h i c h w i l l u n d o u b t e d l y b e i n t r o d u c e d a t m a n y p o i n t s i n t h e m e a s u r i n g p r o c e s s . T h e s e c o n d i s t h e a b i l i t y t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n n e a r l y d e g e n e r a t e m o d e s - - t h a t i s , b e t w e e n m o d e s w i t h n a t u r a l f r e q u e n c i e s w h i c h a r e q u i t e c l o s e l y s p a c e d c o m p a r e d t o t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n o t h e r f r e q u e n c i e s . T h e l a s t i s t h e a b i l i t y t o w o r k w e l l w h e n t h e n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e i s u n d e r - e s t i m a t e d . T h e l a s t r e q u i r e m e n t l e a d s t o a p a r t i c u l a r l y u s e f u l t e c h n i q u e . S i n c e t h e n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e w i l l n o t b e 2 9 7 k n o w n a p r i o r i , o n e w o u l d l i k e t o b e g i n b y a s s u m i n g a s m a l l n u m b e r ( u s u a l l y o n e ) a n d s l o w l y i n c r e a s i n g i t . F o r t h e m e t h o d s w h i c h n e e d i n i t i a l g u e s s e s , t h e r e s u l t s f r o m t h e s o l u t i o n w i t h a s m a l l n u m b e r o f m o d e s a s s u m e d c a n b e u s e d a s g u e s s e s w h e n a l a r g e r n u m b e r i s a s s u m e d . T h i s i s o n l y p o s s i b l e , o f c o u r s e , i f t h e r o u t i n e w o r k s w e l l w h e n t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e m e a s u r e d r e s p o n s e i s u n d e r e s t i m a t e d . T h e i m p o r t a n c e o f e a c h a d d i t i o n a l m o d e i s d e t e r m i n e d e i t h e r b y t h e a m o u n t t h a t i t r e d u c e s t h e r e s i d u a l ( t h e v a l u e o f t h e m i n i m i z e d q u a n t i t y ) f o r t h e m e t h o d s w h i c h u s e m i n i m i z a t i o n , o r b y t h e a m o u n t o f e n e r g y t h e m o d e c o n t a i n s . ( A m p l i t u d e a l o n e i s a p o o r d e s c r i p t i o n o f t h e r e l e - v a n c e o f a m o d e ; t h e d a m p i n g f a c t o r m a y r e d u c e t h e a m p l i t u d e r a p i d l y . ) T h i s t e c h n i q u e o f u n d e r e s t i m a t i n g t h e n u m b e r o f n a t u r a l m o d e s h a s p r o v e n q u i t e u s e f u l w h e n t h e c o n t i n u a t i o n a n d m o m e n t m e t h o d s c h e m e s a r e e m p l o y e d . I n t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d , a s s u m i n g a s i n g l e m o d e r a r e l y f a i l s t o e x t r a c t t h e d o m i n a n t m o d e i n t h e r e s p o n s e ( a s l o n g a s t h e i n i t i a l g u e s s i s r e a s o n a b l y c l o s e . ) I n t h e m o m e n t m e t h o d t e c h n i q u e , t h e E - p u l s e d u r a t i o n o b t a i n e d r e m a i n s a g o o d a p p r o x i m a t i o n w h e n t h e n u m b e r o f m o d e s a s s u m e d t o b e i n t h e r e s p o n s e i s i n c r e a s e d , s i n c e a r o o t t o ( 4 . 6 . 1 5 ) r e m a i n s a r o o t e v e n i n t h e p r e s e n c e o f m o r e m o d e s . T o t e s t t h e v a r i o u s r e q u i r e m e n t s , c o n s i d e r t h e t h r e e m o d e r e s p o n s e ( w i t h D C ) g i v e n b y 2 9 8 r ( t ) - 0 . 1 + 1 6 ‘ 0 ' 2 6 0 1 t c o s ( 2 . 9 0 6 c + 1 ) + 0 . 5 e " 0 ' 3 8 0 8 t c o s ( 6 . 0 0 7 t + 2 ) + 0 . 3 6 ‘ 0 ' 4 6 8 4 ‘ c o s ( 9 . 0 6 o t + 3 ) ( 6 . 9 . 1 ) H e r e , t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t r ( t ) a r e t h e f i r s t t h r e e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t h i n w i r e t a r g e t ( w i t h f a c t o r s o f 1 0 9 s u p p r e s s e d , s e e s e c t i o n 5 . 2 ) a n d t h e a m p l i t u d e s h a v e b e e n c h o s e n t o a c c e n t u a t e t h e l o w e r f r e q u e n c y m o d e s . T h i s r e s p o n s e i s t h e n s a m p l e d a t 5 0 0 e q u a l l y s p a c e d p o i n t s b e t w e e n t = 0 a n d t = 1 0 . T h e s e n s i t i v i t y o f e a c h o f t h e r o u t i n e s t o t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e c a n b e t e s t e d b y p e r t u r b i n g e a c h p o i n t i n t h e r e s p o n s e b y a r a n d o m n u m b e r , t h e v a l u e o f w h i c h i s b o u n d e d b y a c e r t a i n p e r c e n t a g e o f t h e m a x i m u m ( a b s o l u t e v a l u e ) o f t h e r e s p o n s e . T a b l e 6 . 9 . 1 s h o w s t h e r e s u l t s o f u s i n g e a c h m e t h o d w i t h v a r i o u s l e v e l s o f n o i s e . I n t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a n d t h e l / n i t e r a t i o n m e t h o d o n l y 1 0 0 o f t h e 5 0 0 p o i n t s h a v e b e e n u s e d . U s i n g m o r e p o i n t s w o u l d h a v e g i v e n a n i n c r e a s e i n a c c u r a c y , b u t w o u l d h a v e r e q u i r e d m o r e c o m p u t e r t i m e . A t o t a l o f f i f t e e n i t e r a t i o n s w e r e a l l o w e d i n t h e l / n i t e r a t i o n m e t h o d . I n t h e l a t e - t i m e m i n i m i z a t i o n m e t h o d , t h e n o r m h a s b e e n c a l c u l a t e d a t a t o t a l o f 2 5 p o i n t s . F o r t h e m o m e n t m e t h o d , r e s u l t s a r e s h o w n f o r b o t h i m p u l s e a n d p u l s e f u n c t i o n e x p a n s i o n . F o r t h e s i n g l e c a s e o f P r o n y ' s m e t h o d , t h e D C l e v e l i n ( 6 . 9 . 1 ) h a s b e e n o m i t t e d , s i n c e t h e v e r s i o n o f P r o n y ' s m e t h o d u s e d i s u n a b l e t o a c c o m m o d a t e a D C l e v e l ( a l t h o u g h m o d i f i c a t i o n f o r s u c h i s p o s s i b l e . ) L a s t l y , r e s u l t s f o r t h e E - p u l s e m e t h o d h a v e n o t b e e n i n c l u d e d d u e t o t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e T a b l e 6 . 9 . 1 . V A L U E P M L / N L T M M M P F M M I F V A L U E P M L / N L T M M M P F M M I F 2 9 9 P e r f o r m a n c e o f v a r i o u s n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n m e t h o d s i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e . - . 2 6 0 1 - . 4 5 9 3 - . 2 5 7 5 ' - . 2 6 1 4 - . 2 5 8 4 - . 2 6 9 7 - . 2 5 7 5 - . 2 6 0 1 - . 3 5 3 3 - . 2 5 3 9 - . 2 7 2 9 - . 2 5 3 7 - . 2 7 8 1 - . 2 5 3 8 2 . 9 0 6 2 . 7 8 3 2 . 8 9 9 2 . 9 0 9 2 . 9 0 3 2 . 9 3 6 2 . 8 9 9 2 . 9 0 6 2 . 6 9 4 2 . 8 9 2 2 . 9 1 2 2 . 8 9 9 2 . 9 5 7 2 . 8 9 2 5 % N O I S E 0 2 - . 3 8 0 8 . 0 1 7 9 - . 3 9 6 4 - . 3 9 7 6 - . 4 2 9 4 - . 3 8 4 7 - . 3 9 6 4 1 0 % N O I S E O 2 - . 3 8 0 8 . 1 4 1 0 - . 4 0 9 9 - . 3 9 1 0 - . 4 7 8 8 - . 3 8 3 8 - . 4 0 9 9 6 . 0 0 7 3 . 4 9 1 6 . 0 5 5 6 . 0 0 5 6 . 0 3 2 6 . 0 3 1 6 . 0 5 6 6 . 0 0 7 2 . 9 8 1 6 . 1 1 1 5 . 9 5 5 6 . 0 7 5 6 . 0 2 2 6 . 1 1 2 . 4 6 8 4 . 3 0 4 3 . 4 7 1 1 . 5 2 2 9 . 0 4 1 4 . 2 2 8 4 . 4 7 1 7 . 4 6 8 4 . 1 7 1 7 . 4 8 2 5 . 4 7 0 8 . 0 3 3 2 . 0 8 7 8 . 4 8 4 5 9 . 0 6 0 . 7 6 2 0 9 . 1 4 9 8 . 9 5 9 8 . 9 6 1 8 . 9 2 4 9 . 1 4 9 9 . 0 6 0 . 6 7 2 9 9 . 2 2 4 8 . 9 7 3 9 . 2 1 1 8 . 9 0 7 9 . 2 2 5 3 0 0 T a b l e 6 . 9 . 1 ( c o n t ' d . ) 2 5 % N O I S E 0 1 ( 1 ) 1 0 2 0 . 1 2 0 3 ( D 3 V A L U E - . 2 6 0 1 2 . 9 0 6 - . 3 8 0 8 6 . 0 0 7 - . 4 6 8 4 9 . 0 6 0 P M - . 3 9 1 7 2 . 7 7 5 . 0 6 1 4 2 . 1 1 7 . 2 3 3 0 . 8 2 3 1 L / N - . 2 3 4 8 2 . 8 6 3 - . 4 0 5 3 6 . 3 2 1 - . 5 9 1 1 9 . 5 2 1 L T M - . 2 5 7 4 2 . 9 3 3 - . 3 3 9 3 5 . 9 9 6 1 . 2 7 2 8 . 5 4 1 M M P F - . 2 4 1 9 2 . 8 8 2 - . 4 9 9 9 6 . 2 0 8 . 3 0 7 7 9 . 3 1 2 M M I F - . 2 9 6 1 3 . 0 0 9 - . 4 3 4 4 5 . 9 4 6 . 0 9 9 0 8 . 8 9 9 C M - . 2 3 4 3 2 . 8 6 2 - . 4 0 3 6 6 . 3 2 2 - . 5 9 3 6 9 . 5 2 7 K E Y : V A L U E A c t u a l f r e q u e n c y v a l u e i n r e s p o n s e P M P r o n y ' s m e t h o d ( n o D C ) L / N L i n e a r / n o n l i n e a r i t e r a t i o n ( 1 5 i t e r a t i o n s ) L T M L a t e - t i m e m i n i m i z a t i o n m e t h o d M M P F M o m e n t m e t h o d - - p u l s e f u n c t i o n w e i g h t i n g M M I F M o m e n t m e t h o d - - i m p u l s e f u n c t i o n w e i g h t i n g C M C o n t i n u a t i o n m e t h o d 3 0 1 E - p u l s e a n d l a t e - t i m e m i n i m i z a t i o n t e c h n i q u e s . T a b l e 6 . 9 . 1 r e v e a l s t h a t e a c h o f t h e n e w t e c h n i q u e s w o r k s r e a s o n a b l y w e l l i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e , w i t h t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a n d l / n i t e r a t i o n w o r k i n g t h e b e s t . I t i s s e e n t h a t t h e r e s u l t s f o r t h e s e t w o m e t h o d s a r e n e a r l y i d e n t i c a l . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , s i n c e e a c h t e c h n i q u e m i n i m i z e s t h e s a m e q u a n t i t y . I t i s r e a s s u r i n g , t h o u g h , t o s e e t h a t t h e t w o q u i t e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s g i v e t h e s a m e r e s u l t s . T h e s l i g h t d i s c r e p a n c y i s d u e t o a n i n s u f - f i c i e n t n u m b e r o f i t e r a t i o n s i n t h e l / n i t e r a t i o n m e t h o d . F o r 1 0 % r a n d o m n o i s e , t h e m a x i m u m e r r o r i s 1 . 8 % o n w 3 a n d 6 % o n 0 2 w h e n u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . M o s t i m p o r t a n t l y , T a b l e 6 . 9 . 1 s h o w s t h a t w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f t h e f i r s t m o d e , P r o n y ' s m e t h o d f a i l s m i s e r a b l y i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e . R e s u l t s c o u l d b e i m p r o v e d s o m e w h a t b y a v e r a g i n g o r u s i n g l e a s t s q u a r e s , a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 6 . 2 , b u t o n l y m a r g i n a l l y . R e s u l t s c a n a l s o b e i m p r o v e d b y o v e r e s t i m a t i n g t h e n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e r e s p o n s e . T h i s i s c o n s i d e r e d l a t e r , w h e n P r o n y ' s m e t h o d a n d t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a r e c o n s i d e r e d i n g r e a t e r d e t a i l . T o t e s t t h e i r p e r f o r m a n c e w h e n t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e r e s p o n s e i s u n d e r e s t i m a t e d , e a c h o f t h e m e t h o d s i s a p p l i e d a s d e s c r i b e d a b o v e , a s s u m i n g f i r s t o n e m o d e a n d t h e n t w o m o d e s a r e p r e s e n t . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 9 . 2 . A g a i n , e a c h o f t h e n e w m e t h o d s w o r k s q u i t e w e l l , w i t h t h e l a t e - t i m e m i n i m i z a t i o n m e t h o d w o r k i n g t h e b e s t ( r e m a r k a b l y s o w h e n t w o m o d e s a r e a s s u m e d p r e s e n t . ) P r o n y ' s m e t h o d , o n t h e o t h e r h a n d , c a n n o t p o s s i b l y w o r k w i t h o u t u s i n g a s u f f i c i e n t n u m b e r o f m o d e s . T h i s m e a n s t h a t i t i s e s s e n t i a l t o 3 0 2 T a b l e 6 . 9 . 2 . P e r f o r m a n c e o f v a r i o u s n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n m e t h o d s w h e n n u m b e r o f m o d e s i s u n d e r e s t i m a t e d . O N E M O D E E X P E C T E D c ’ 1 “ ’ 1 V A L U E - . 2 6 0 1 2 . 9 0 6 P M - . 0 4 6 8 . 4 2 5 1 L / N - . 2 1 7 1 2 . 8 4 8 L T M - . 2 5 8 9 2 . 8 9 7 M M P F - . 2 4 6 0 2 . 9 0 9 M M I F - . 2 6 0 6 2 . 8 9 6 C M - . 2 1 7 1 2 . 8 4 8 T W O M O D E S E X P E C T E D 0 1 L 1 1 1 0 2 L 0 2 V A L U E - . 2 6 0 1 2 . 9 0 6 - . 3 8 0 8 6 . 0 0 7 P M - . 3 6 4 9 1 . 8 8 3 - . 6 5 4 9 . 8 4 6 7 L / N - . 2 4 8 6 2 . 8 8 9 - . 3 5 2 4 5 . 8 8 2 L T M - . 2 6 0 3 2 . 9 0 7 “ . 3 8 0 3 6 . 0 0 9 M M P F - . 2 5 9 8 2 . 9 0 5 - . 3 3 1 2 6 . 0 0 7 M M I F - . 2 9 7 7 2 . 9 1 4 - . 3 7 8 1 6 . 0 5 6 C M - . 2 4 8 6 2 . 8 8 9 - . 3 5 2 3 5 . 8 8 2 S e e k e y i n T a b l e 6 . 9 . 1 f o r e x p l a n a t i o n o f t e r m s 3 0 3 a c c u r a t e l y d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e r e s p o n s e w h e n u s i n g P r o n y ' s m e t h o d , o r t o a l w a y s r a d i c a l l y o v e r e s t i m a t e . T o s e e i f t h e m e t h o d s c a n d i s c r i m i n a t e b e t w e e n n e a r l y d e g e n e r a t e m o d e s , w = 6 . 0 0 7 i s c h a n g e d t o w = 3 . 1 i n t h e s e c o n d t e r m o f ( 6 . 9 . 1 ) s o t h a t t h e f i r s t a n d s e c o n d f r e q u e n c i e s a r e q u i t e c l o s e . E a c h m e t h o d i s t h e n u s e d t o e x t r a c t t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s a n d , a s e x p e c t e d , e a c h s u c c e e d s . I t i s d i f f i c u l t t o a s s e s s t h e r e l a t i v e a b i l i t y o f e a c h m e t h o d t o s e p a r a t e t h e m o d e s , b u t P r o n y ' s m e t h o d , t h e m o m e n t m e t h o d a n d t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d s e e m t o w o r k t h e b e s t . P r o n y ' s m e t h o d n e e d s n o i n i t i a l g u e s s e s a n d a n e x a c t a n s w e r i s e a s i l y o b t a i n e d w h e n t h e r e i s n o n o i s e . T h e m o m e n t m e t h o d a l s o w o r k s q u i t e w e l l s i n c e t h e r e i s o n l y t h e E - p u l s e d u r a t i o n t o b e d e t e r m i n e d . T h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d w o r k s t h e b e s t o f t h e m e t h o d s w h i c h n e e d i n i t i a l g u e s s e s i n t h a t i t c o n v e r g e s f o r e v e n b a d g u e s s e s . F o r e x a m p l e , t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d c o n v e r g e s r a p i d l y f o r g u e s s e s o f o l = — 0 . 1 , 0 2 = - 0 . l , o 3 = - 0 . 1 a n d w 1 = 2 . 5 , w 2 = 2 . 6 , w 3 = 8 . 6 . I t i s s e e n f r o m t h e a b o v e t e s t s t h a t P r o n y ' s m e t h o d i s t h e l e a s t p r a c t i c a l o f a l l t h e t e c h n i q u e s c o n s i d e r e d , e v e n t h o u g h i t i s t h e q u i c k e s t a n d e a s i e s t t o u s e . O f t h e r e m a i n i n g m e t h o d s , t h e m o m e n t m e t h o d t e c h n i q u e i s t h e m o s t e f f i c i e n t s i n c e i t i s a l s o q u i c k a n d o n l y n e e d s a g u e s s f o r t h e d u r a t i o n . H o w e v e r , i t d o e s h a v e d r a w b a c k s . O n m a n y o c c a s i o n s e x t r a n e o u s r o o t s w i l l b e f o u n d c o r r e s p o n d i n g t o n o n - e x i s t e n t m o d e s . T h e t r u s t w o r t h i n e s s o f a r o o t m u s t b e e s t i m a t e d b y c h a n g i n g t h e l a t e - t i m e r e g i o n o v e r w h i c h t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s a r e u s e d . A t r u e r o o t s h o u l d n ' t v a r y b y m u c h w h e n t h i s i s d o n e . I n t h e p r e s e n c e o f n o i s e t h e r e m a y b e n o r o o t a t a l l , b u t s o m e t i m e s i t c a n 3 0 4 b e t e a s e d o u t b y u s i n g t h e s a m e t r i c k . T h e m o s t r e l i a b l e m e t h o d u n d e r t h e w i d e s t v a r i e t y o f c i r c u m - s t a n c e s i s t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . A s o n e l a s t , m o r e r e a l i s t i c s i m u l a t i o n , F i g u r e 6 . 9 . 1 s h o w s a 3 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e c o n s t r u c t e d u s i n g t h e f i r s t e i g h t n a t u r a l f r e q u e n c i e s . T h i s r e p r e s e n t s w h a t m i g h t b e a t y p i c a l m e a s u r e d r e s p o n s e . F i g u r e 6 . 9 . 2 s h o w s t h e s a m e r e s p o n s e w i t h 1 0 % ( o f t h e m a x i m u m r e s p o n s e v a l u e ) r a n d o m n o i s e a d d e d . A n a t t e m p t i s m a d e t o e x t r a c t t h e e i g h t n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m t h e n o i s y r e s p o n s e u s i n g b o t h t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a n d P r o n y ' s m e t h o d . F i g u r e 6 . 9 . 3 s h o w s t h e r e s u l t o f u s i n g s t r a i g h t f o r w a r d P r o n y ' s m e t h o d . A s c a n b e s e e n , e x c e p t f o r t h e f i r s t a n d f o u r t h m o d e s t h e r e s u l t s a r e q u i t e d i s a p p o i n t i n g . I m p r o v e m e n t c a n b e g a i n e d b y a s s u m i n g t h a t s i x t e e n m o d e s r a t h e r t h a n e i g h t a r e p r e s e n t i n t h e r e s p o n s e . T h e r e s u l t s f o r t h i s c a s e a r e a l s o s h o w n i n F i g u r e 6 . 9 . 3 . T h e a c c u r a c y h a s i n d e e d i m p r o v e d f o r m a n y f r e q u e n c i e s , a s i s e x p e c t e d s i n c e m o r e o f t h e s a m p l e d p o i n t s h a v e b e e n i n c l u d e d i n t h e a n a l y s i s . H o w e v e r , a n a d d i t i o n a l p r o b l e m a r i s e s . I t i s v e r y d i f f i c u l t t o d e t e r m i n e w h i c h o f t h e s i x t e e n f r e q u e n c i e s a r e a c t u a l l y p r e s e n t i n t h e r e s p o n s e . A l t h o u g h s o m e o f t h e c o r r e s p o n d i n g a m p l i t u d e s a r e q u i t e l o w , o t h e r s b e l o n g i n g t o n o n e x i s t e n t m o d e s a r e o f s u b s t a n t i a l m a g n i t u d e . W i t h o u t t h e a p r i o r i k n o w l e d g e o f t h e t r u e f r e q u e n c y v a l u e s , i t w o u l d b e q u i t e d i f f i c u l t t o c a t e g o r i z e t h e r e s u l t s . I n c o n t r a s t , F i g u r e 6 . 9 . 4 s h o w s t h e f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d w i t h e i g h t m o d e s a s s u m e d p r e s e n t . T h e a c c u r a c y i s q u i t e r e m a r k a b l e . E v e n t h o u g h i t w o u l d n o t h a v e b e e n k n o w n t o e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 0 0 0 . f c 3 0 5 ' 2 0 . 0 - 4 0 . 0 - 5 0 - r I T ’ l 1 l - 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 - 0 1 0 . 0 1 2 - 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 6 . 9 . 1 . I m p u l s e r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o r i e n t e d a t 8 = 3 0 ° , c o n s t r u c t e d u s i n g f i r s t e i g h t n a t u r a l m o d e s . e d u t i l p m A e v i t a l e R 3 0 6 I I l 1 I fl 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( L / c ) F i g u r e 6 . 9 . 2 . E i g h t m o d e 3 0 0 t h i n c y l i n d e r i m p u l s e r e s p o n s e w i t h 1 0 % r a n d o m n o i s e a d d e d . 3 0 7 D C ) - m : 1 I D - + 6 4 T o A i s " + \ 9 0 3 c , _ > . 7 ' + U 0 g + + 3 C : 3 u : — o 1 4 - 4 " . + S h b 3 0 + 6 c 1 “ : 5 ' O " + + A a : 9 ° ‘ H ' 3 b + E c , ‘ + o 0 ' — 2 | ! ) + 6 * c : , + c : r r ’ f l I ” ’ 1 - 4 . 0 - 3 . 0 - 2 - 0 ' 1 - 0 0 . 0 1 - 0 2 . 0 F i g u r e 6 . 9 . 3 . N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / L ) N a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e u s i n g P r o n y ' s m e t h o d w i t h e i g h t m o d e s a s s u m e d ( A ) a n d s i x t e e n m o d e s a s s u m e d ( + ) . C i r c l e s r e p r e s e n t f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t n o i s e f r e e i m p u l s e r e s p o n s e . 3 0 8 O O : 6 3 9 m — i A N X 1 — 3 0 \ 3 \ 3 O @ X 0 ‘ > 5 g N M Q < D 3 H . ‘ H [ D — a c d . . ‘ P . “ U 3 G ‘ 3 ' 8 o — N d w - i I H i a o . o - n I D I O c ; r I 1 r r 1 - 4 0 0 " 3 0 0 - 2 0 0 - 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 F i g u r e 6 . 9 . 4 . N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / L ) N a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m n o i s y i m p u l s e r e s p o n s e u s i n g c o n t i n u a t i o n m e t h o d w i t h e i g h t m o d e s a s s u m e d ( X ) . C i r c l e s r e p r e s e n t f r e q u e n c i e s u s e d t o c o n s t r u c t n o i s e f r e e i m p u l s e r e s p o n s e . 3 0 9 e x p e c t e i g h t m o d e s , t h e r e s i d u a l g e n e r a t e d u s i n g n i n e o r m o r e w o u l d n o t h a v e b e e n s i g n i f i c a n t l y s m a l l e r t h a n w h e n u s i n g e i g h t . T h e " u n d e r e s t i m a t i n g " t e c h n i q u e w o u l d h a v e s a i d t o s t o p a t e i g h t . C H A P T E R 7 T H I N W I R E E L L I P T I C A L L O O P S C A T T E R E R 7 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g b o d y c a n b e o b t a i n e d t h e o r e t i c a l l y t h r o u g h t h e s o l u t i o n t o t h e e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n g i v e n b y ( 2 . 3 . 3 ) . A s t h i s e q u a t i o n c o n t a i n s o n l y v a r i a b l e s o f p o s i t i o n , i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s d e p e n d o n l y o n t h e g e o m e t r y o f t h e s c a t t e r e r , a n d n o t u p o n e x c i t a t i o n . H o w e v e r , s i n c e t h e n a t u r a l m o d e e x p a n s i o n o f c u r r e n t g i v e n i n ( 2 . 2 . 4 ) m a y n o t b e c o m p l e t e , i t b e c o m e s p r u d e n t t o v e r i f y t h e e x p a n s i o n e x p e r i m e n t a l l y . T h i s c a n b e a c c o m p l i s h e d b y c o m p a r i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a t a r g e t w i t h t h o s e d e t e r m i n e d t h r o u g h a t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , a n d b y d e m o n s t r a t i n g t h e i r a s p e c t i n d e p e n d e n c e . A n a p p r o p r i a t e t a r g e t f o r e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n m u s t b e s i m p l e t o a n a l y z e t h e o r e t i c a l l y , a n d y e t p o s s e s s e n o u g h c o m p l e x i t y t o a l l o w a n e f f i c i e n t m e t h o d f o r v a r y i n g i t s a s p e c t d e p e n d e n t i n t e r a c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e t r a n s m i t t i n g a n d r e c e i v i n g a n t e n n a s . T h u s t h e s p h e r e , w h i l e a l l o w i n g a s i m p l e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , i s u s e l e s s f o r a s p e c t d e p e n d e n c e c h e c k s . T h e t h i n c y l i n d e r t a r g e t p r o v i d e s a g o o d c h e c k o n t h e v a l u e s o f a n a l y t i c a l l y d e t e r m i n e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s , b u t s i n c e t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t i n v o l v e s t r a n s m i s s i o n o v e r a 3 1 0 3 1 1 c o n d u c t i n g g r o u n d s c r e e n ( s e e c h a p t e r 8 ) , o n l y n o r m a l i n c i d e n c e i s a l l o w e d , a n d a s p e c t d e p e n d e n c e c h e c k s a r e a g a i n u n a v a i l a b l e . I t i s w e l l k n o w n t h a t a t h i n w i r e l o o p a n t e n n a i s h i g h l y d i r e c t i v e . T h i s s u g g e s t s t h a t a w i r e l o o p w o u l d b e a g o o d c h o i c e f o r a n a s p e c t s e n s i t i v e t a r g e t . I f t h e l o o p i s p l a n a r , e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f n a t u r a l f r e q u e n c y a s p e c t i n d e p e n d e n c e w o u l d b e q u i t e s i m p l e . M e a s u r e m e n t s o f s c a t t e r e d f i e l d o r s u r f a c e c u r r e n t s c o u l d b e m a d e w i t h t h e p l a n e o f t h e l o o p n o r m a l t o t h e g r o u n d s c r e e n , a n d t h e l o o p c o u l d b e r o t a t e d t o p r o v i d e a c h a n g e o f a s p e c t . N o t e t h a t t h i s r e q u i r e s d e f i n i n g a l o o p g e o m e t r y t h a t i s s y m m e t r i c , t o i n c l u d e t h e i m a g i n g e f f e c t o f t h e g r o u n d s c r e e n . ' T h i s c h a p t e r w i l l c o n d u c t a t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f a n e l l i p t i c a l l y s h a p e d t h i n w i r e l o o p s c a t t e r e r . S u c h a l o o p c o n f o r m s w i t h t h e a b o v e d e s c r i p t i o n a n d s h o u l d p r o v i d e a g o o d c h e c k o f t h e v a l u e s a n d a s p e c t i n d e p e n d e n c e o f i t s n a t u r a l f r e q u e n c i e s . T h e s i m p l e m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f a n e l l i p t i c a l b o u n d a r y a l l o w s t h e f o r m u l a t i o n o f a p r e c i s e e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( w i t h i n t h e a p p r o x i m a t i o n s a l l o w e d b y a t h i n w i r e a n a l y s i s ) , a v o i d i n g t h e m e s s y b o u n d a r y c o n d i t i o n s r e q u i r e d b y a s e g m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n o f m o r e o d d s h a p e s ( s u c h a s a r e c t a n g l e . ) T h i s i n t e g r a l e q u a t i o n w i l l b e s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e m o m e n t m e t h o d , a n d t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s d e t e r m i n e d . I t i s i n t e r e s t i n g t o p o i n t o u t t h e s p e c i a l c a s e s a l l o w e d b y t h e a n a l y s i s o f t h e e l l i p t i c a l l o o p . W h e n t h e e c c e n t r i c i t y i s z e r o t h e e l l i p s e b e c o m e s a c i r c l e . A n a l y s i s o f a c i r c u l a r l o o p i s p a r t i c u l a r l y s i m p l e , a n d i s c a r r i e d o u t a s a p r e l i m i n a r y i n c u r r e n t + K + r ) ( h a s o n l y a n a x i a l c o m p o n e n t a n d t h a t i t c a n b e w r - i t t e n a s 3 1 2 s e c t i o n 7 . 3 . W h e n t h e e c c e n t r i c i t y a p p r o a c h e s u n i t y , t h e e l l i p t i c a l s c a t t e r e r a p p r o a c h e s a p a r a l l e l w i r e t r a n s m i s s i o n l i n e , w i t h e a c h e n d s h o r t e d . S u c h a t r a n s m i s s i o n l i n e s h o u l d n o t r a d i a t e a n d t h u s d e t e r m i n a t i o n o f i t s n a t u r a l f r e q u e n c i e s i s t r i v i a l . 7 . 2 T h i n W i r e E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d m o d a l s u r f a c e c u r r e n t d e n s i t i e s f o r a n a r b i t r a r i l y s h a p e d c o n d u c t i n g b o d y c a n b e f o u n d t h r o u g h e q u a t i o n ( 2 . 3 . 3 ) . S p e c i a l i z i n g t h e t a r g e t t o b e a t h i n c i r c u l a r w i r e a n d e m p l o y i n g a n u m b e r o f a p p r o x i m a t i o n s r e s u l t s i n m a n y s i m p l i f i c a t i o n s . I t i s m o r e c o n v e n i e n t a t t h i s p o i n t t o r e t u r n t o t h e n o t a t i o n u s e d i n e q u a t i o n ( 2 . 2 . 8 ) . W i t h t h i s , e q u a t i o n ( 2 . 3 . 3 ) c a n b e w r i t t e n a s - ) A ' A — Y R I [ V ' - K ( ; ' , s ) ( t - V ) - t h - K ( f ' , s ) e d S ' = 0 S 4 W R ( 7 . 2 . 1 ) f o r a l l r s S N o w a s s u m e t h a t t h e t a r g e t i s a t h i n w i r e w i t h c o n s t a n t c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n o f r a d i u s ' a ' . T h i s a l l o w s a n y p o i n t o n t h e w i r e s u r f a c e t o b e d e s c r i b e d b y ( u , w ) , w h e r e u i s t h e d i s t a n c e a l o n g t h e a x i s f r o m s o m e c o n v e n i e n t o r i g i n o f a x i a l c o o r d i n a t e s , a n d 0 d e s c r i b e s t h e a n g u l a r p o s i t i o n o n t h e p e r i p h e r y o f t h e w i r e c r o s s s e c t i o n . ' F u r t h e r a s s u m p t i o n s f o l l o w a l o n g t h e l i n e s o f t h e c l a s s i c " t h i n w i r e a p p r o x i m a t i o n " o f a n t e n n a t h e o r y . I t i s a s s u m e d t h a t t h e s u r f a c e 3 1 3 t h e p r o d u c t o f a n a x i a l c u r r e n t I ( u ) a n d a c o n s t a n t f u n c t i o n f = 1 / 2 n a . T h i s c o r r e s p o n d s t o z e r o t r a n s v e r s e v a r i a t i o n o f K ( f ) , a n d a l l o w s t h e s u r f a c e i n t e g r a l t o b e w r i t t e n a s t h e p r o d u c t o f t w o l i n e i n t e g r a l s , o n e a l o n g t h e a x i s a n d t h e o t h e r a r o u n d t h e p e r i p h e r y . F u r t h e r m o r e , R , w h i c h r e p r e s e n t s t h e d i s t a n c e b e t w e e n a f i e l d p o i n t a n d a s o u r c e p o i n t o n t h e s u r f a c e o f t h e w i r e , i s a p p r o x i m a t e d a s t h e d i s t a n c e R b e t w e e n t h e a x i a l l o c a t i o n o f t h e f i e l d p o i n t a n d t h e s o u r c e p o i n t o n t h e s u r f a c e . L a s t l y , t h e l i n e i n t e g r a l a r o u n d t h e p e r i p h e r y i s r e p l a c e d b y t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e i n t e g r a n d m u l t i p l i e d b y t h e t o t a l a n g l e o f t r a v e r s a l , 2 W . W i t h t h e s e a p p r o x i m a t i o n s , e q u a t i o n ( 7 . 2 . 1 ) r e d u c e s t o J [ 2 2 S 2 2 2 § 2 . % ; . _ Y 2 ( 0 ° u ' ) l ( u ' , s ) g ( u | u ' ; s ) d u ' = 0 T B u ' ( 7 . 2 . 2 ) f o r a l l m ? w h e r e g ( u l u ' ° s ) = E L w r - ( 7 . 2 . 3 ) ’ 4 0 R a n d - ' 1 R ( u l u ' ) = ( d 2 + a 2 ) ( 7 . 2 . 4 ) H e r e d i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n a x i a l p o i n t s u a n d u ' o n t h e o u t e r p e r i p h e r y o f t h e w i r e , u i s a u n i t v e c t o r i n t h e a x i a l d i r e c t i o n a t 3 1 4 p o s i t i o n u , a n d T r e p r e s e n t s t h e a x i a l p a t h o f i n t e g r a t i o n . T h i s i s t h e t h i n w i r e e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n w h i c h w i l l b e e m p l o y e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . 7 . 3 C i r c u l a r L o o p S c a t t e r e r A t h i n w i r e s h a p e d i n t o a c i r c l e f o r m s t h e b a s i s f o r t h e c l a s s i c l o o p a n t e n n a , a n d h a s b e e n a n a l y z e d i n d e p t h [ 6 8 ] , [ 6 9 ] . A n a n t e n n a a n a l y s i s u s i n g t h e s i n g u l a r i t y e x p a n s i o n m e t h o d h a s a l s o b e e n e x a m i n e d [ 1 6 ] . A s t h i s s h a p e f o r m s a s p e c i a l c a s e f o r t h e e l l i p t i c a l l y s h a p e d l o o p , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s w i l l b e c a l c u l a t e d h e r e u s i n g a s i m i l a r a n a l y s i s . T h e i n t e g r a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c i r c u l a r l o o p b a s e d o n t h e t h i n w i r e a p p r o x i m a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g e q u a t i o n ( 7 . 2 . 2 ) . E m p l o y i n g t h e g e o m e t r y o f t h e l o o p s h o w n i n F i g u r e 7 . 3 . 1 , t h e a x i a l p o s i t i o n i s g i v e n b y u : b ¢ ( 7 . 3 . 1 ) w h i l e t h e d o t p r o d u c t o f t h e u n i t v e c t o r s i n t h e p r i m e d a n d u n p r i m e d c o o r d i n a t e s y s t e m s i s a . a v = c o s ( ¢ - ¢ ' ) ( 7 . 3 . 2 ) a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n a p o i n t o n t h e a x i s o f t h e w i r e a n d a p o i n t o n t h e o u t e r s u r f a c e i s g i v e n u s i n g ( 7 . 2 . 4 ) a s 3 1 5 F i g u r e 7 . 3 . 1 . G e o m e t r y o f t h i n w i r e c i r c u l a r l o o p s c a t t e r e r . 3 1 6 A F fi < ¢ | ¢ ' ) = 8 ( 9 - 9 ' ) = 4 b 2 s i n 2 ( ¢ ; ¢ ' ) + 6 2 ( 7 . 3 . 3 ) I n t h e s e e q u a t i o n s 0 i s t h e u s u a l a n g u l a r v a r i a b l e i n p o l a r c o o r d i n a t e s , b i s t h e o u t e r r a d i u s o f t h e l o o p , a n d ' a ' i s t h e w i r e r a d i u s . W i t h t h e s e , e q u a t i o n ( 7 . 2 . 2 ) c a n b e w r i t t e n a s 3 ¢ , 3 ¢ g < ¢ l ¢ : s ) d ¢ = 0 T I 1 [ A l i i _ 1 § l . § _ . - ( , b ) 2 c o s ( ¢ - ¢ ' ) I ( ¢ ' . s ) ' 0 ( 7 . 3 . 4 ) f o r a l l - n : 9 f y w h e r e e - ) R ( ¢ - ¢ ' ) 8 ( ¢ l ¢ ' ; s ) = 8 ( ¢ ‘ ¢ ' ) = z ; § ? $ : 3 7 ; — ( 7 . 3 . 5 ) A s o l u t i o n t o ( 7 . 3 . 4 ) c o u l d b e a c h i e v e d d i r e c t l y b y u s i n g a n u m e r i c a l t e c h n i q u e s u c h a s t h e m e t h o d o f m o m e n t s . H o w e v e r , t h e s p e c i a l s y m m e t r y o f t h e p r o b l e m a l l o w s a m o r e i n s i g h t f u l s o l u t i o n . E q u a t i o n ( 7 . 3 . 4 ) c a n b e s i m p l i f i e d s o m e w h a t b y i n t e g r a t i n g t h e f i r s t t e r m b y p a r t s T i I 3 1 0 1 2 2 1 3 ) 3 _ § ( ¢ - ¢ ' J ' S l ( 1 0 ' = I ( O ' , S ) 2 . 8 M ) . ' ; s _ , ¢ ' = - v K ( ¢ - ¢ ' ; s ) = Z a n ( s ) e ‘ j “ ( ¢ ‘ ¢ ' ) ( 7 . 3 . 9 ) 3 1 7 T I 3 2 " _ 1 . - I I ( ¢ ' . s ) 8 ; : 8 3 . ’ S > d ¢ ' 1 1 ’ I T 2 " _ v . = I I ( ¢ ' , s ) a g ( ¢ 2 i s ; 6 0 ' ( 7 . 3 . 6 ) 3 9 “ T I T h e i n t e g r a l e q u a t i o n t h e n r e d u c e s t o n I K ( ¢ - ¢ ' ; s ) I ( ¢ ' , s ) d ¢ ' = 0 f o r a l l — w : 0 : n ( 7 . 3 . 7 ) - n w h e r e v 3 2 2 - K ( ¢ - ¢ ; S ) = [ 8 . 6 — 2 _ ( Y b ) c o s ( ¢ - 9 ' ) 8 ( 9 - 9 ' ; s ) ( 7 . 3 . 8 ) B e c a u s e o f i t s d e p e n d e n c e o n l y o n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a n g l e s o a n d 0 ' , t h e k e r n e l o f t h e i n t e g r a l e q u a t i o n c a n b e e x p a n d e d i n a F o u r i e r s e r i e s a s n : - m w h e r e ‘ 2 a n ( s ) = a _ n ( s ) = - 1 % 9 ( K n + l ( s ) + K n _ 1 ( s ) ) - % § — K n ( s ) ( 7 . 3 . 1 0 ) 3 1 8 a n d " w e e - 8 ( a ) I d 0 ( 7 . 3 . 1 1 ) b K n ( s ) — Z n _ , , 8 ( a ) T h e c u r r e n t c a n a l s o b e e x p a n d e d i n a F o u r i e r s e r i e s o n I ( ¢ , s ) = Z 1 m ( s ) e ’ j m ¢ ( 7 . 3 . 1 2 ) m = — o o w h e r e t h e m o d a l c u r r e n t c o e f f i c i e n t s I m ( s ) d e p e n d u p o n t h e p a r t i c u l a r f o r m o f e x c i t a t i o n . S u b s t i t u t i n g t h e e x p a n s i o n s ( 7 . 3 . 9 ) a n d ( 7 . 3 . 1 2 ) i n t o t h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 3 . 7 ) r e s u l t s i n : 1 \ = i Z Z a n ( s ) I m ( s ) e - j n ¢ e j ( n - m ) ¢ d o ' = 0 m n ( 7 . 3 . 1 3 ) f o r a l l - fl : 9 : fi 0 r . T T . 1 Z Z a n ( s ) I m ( s ) e - J n ¢ I 6 3 ( n m ) ¢ d 0 ' = 0 m n ‘ 7 1 ( 7 . 3 . 1 4 ) f o r a l l - n : p : n T h e i n t e g r a l m e r e l y r e s u l t s i n t h e K r o n e c k e r d e l t a a n d t h u s ( 7 . 3 . 1 4 ) r e d u c e s t o 3 1 9 Z a n ( s ) I n ( s ) e - j n ¢ = O f o r a l l - n : 0 : fi ( 7 . 3 . 1 5 ) n E m p l o y i n g t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e e x p o n e n t i a l s g i v e s t h e r e q u i r e d c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c i r c u l a r l o o p a n ( s ) = 0 ( 7 . 3 . 1 6 ) R o o t s t o t h e a b o v e e q u a t i o n o c c u r a t s = s , w h e r e t h e i r e f e r s t o t h e n i i ' t h r o o t a t a g i v e n v a l u e o f n . T h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e m o d a l k e r n e l s K n ( s ) c a n b e s i m p l i f i e d b y i d e n t i f y i n g e v e n a n d o d d c o m p o n e n t s . F i r s t w r i t e e - ( Y b fi e j n e = e - ( O b ) r / C ( c o s ( n 6 - w b r / c ) + j s i n ( n 8 - w a / c ) ) ( 7 . 3 . 1 7 ) w h e r e f i s t h e n o r m a l i z e d d i s t a n c e f ( e ) = 3 1 9 ) — ( 7 . 3 . 1 8 ) b H e r e a l s o , s = o + j w , a n d c i s t h e s p e e d o f l i g h t . N e x t , l e t K n ( s ) = % ; ( K n r ( s ) + a n i ( s ) ] ( 7 . 3 . 1 9 ) I ! I D H 0 » 1 1 6 3 2 0 T h e n - o b f / c ~ n - b ~ / ~ c o s n 0 c o s ( m b r / C ) J e O r C s i n n e s i n ( m b r / c ) K n r ( s ) = ~ — u 8 + ~ d 8 r r - 7 ! . 1 1 n ~ - o b r / c ~ = 2 J e c o s n e c o s ( m b r / c ) d 8 ( 7 . 3 . 2 0 ) r o a n d - o b r / c ~ w - o b ~ / ~ _ e s i n n e c o s ( m b r / c ) 4 1 e r C c o s n e s i n ( m b r / c ) , K n i ( S ) - ~ U 6 - ~ 1 1 0 r r - n - n n ~ - o b r / c ~ g _ 2 I e c o s n e s i n ( w b r / c ) d 8 ( 7 . 3 . 2 1 ) r 0 ' N o t e t h a t t h e i n t e g r a n d o f K n r ( s ) h a s a l a r g e p e a k a t 6 = 0 w h i l e t h e i n t e g r a n d o f K n i ( s ) d o e s n o t . T h i s s u g g e s t s t h a t s p e c i a l a t t e n t i o n i s r e q u i r e d i n p e r f o r m i n g t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i n ( 7 . 3 . 2 0 ) . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t t h e i n t e g r a l c o n v e r g e s q u i t e q u i c k l y i f t h e d o m a i n i s s p l i t i n t o t w o p o r t i o n s : ( 0 , 5 ) a n d ( A , n ) , w h e r e A i s g i v e n b y t h e p o i n t w h e r e 1 / f b e c o m e s o n e t e n t h i t s m a x i m u m v a l u e . T h i s o c c u r s a t a p p r o x i m a t e l y ( 7 . 3 . 2 2 ) F i n a l l y , i t i s c o n v e n i e n t t o w r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r 3 2 1 t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s i n t h e n o r m a l i z e d f o r m ( x b ) 2 ( K n + 1 ( s ) + K n _ 1 ( s ) ] + Z n Z K n ( s ) = 0 ( 7 . 3 . 2 3 ) 7 . 4 E l l i p t i c a l L o o p S c a t t e r e r I n t e g r a l E q u a t i o n T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a t h i n w i r e f o r m e d i n t o a n e l l i p s e c a n b e d e t e r m i n e d b y t h e t h i n w i r e a n a l y s i s o f s e c t i o n 7 . 2 . A p r o p e r s p e c i a l i z a t i o n o f t h e t h i n w i r e e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 2 . 2 ) c a n b e o b t a i n e d b a s e d o n t h e g e o m e t r y o f t h i s s c a t t e r e r , a s g i v e n i n F i g u r e 7 . 4 . 1 . A s t a n d a r d s y s t e m o f e l l i p t i c a l c o o r d i n a t e s [ 7 d ] i s e s t a b l i s h e d a c c o r d i n g t o x = q c o s h E c o s n ( 7 . 4 . 1 ) y = q s i n h g s i n n w h e r e E a n d n a r e m e a s u r e d i n r a d i a n s . T h u s , a p o i n t o n t h e o u t e r p e r i p h e r y o f t h e w i r e i s g i v e n b y c o n s t a n t v a l u e s o f q a n d 6 . D e f i n i n g t h e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n o f ( x , y ) c o o r d i n a t e s t o t h e o u t e r e d g e o f t h e l o o p a l o n g t h e x - a x i s a s A a n d t h e d i s t a n c e a l o n g t h e y - a x i s a s B , a p o i n t o n t h e o u t e r p e r i p h e r y o f t h e l o o p c a n a l s o b e w r i t t e n a s 3 2 2 ” ’ 7 7 F i g u r e 7 . 4 . 1 . G e o m e t r y o f t h i n w i r e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . 3 2 3 A c o s n X I I B s i n n ‘ < l l ( 7 . 4 . 2 ) T h e r e f o r e , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s o n t h e o u t e r p e r i p h e r y o f t h e l o o p i s g i v e n b y 2 d ( n l n ' ) = A ( c o s n - c o s n ' ) 2 + E — ( s i n n - s i n n ' A 2 ( 7 . 4 . 3 ) T h e d i s t a n c e a l o n g t h e o u t e r e d g e o f t h e l o o p f r o m t h e o r i g i n o f t h e n c o o r d i n a t e a t t h e x — a x i s i s g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g a r c l e n g t h o f t h e e l l i p s e T 1 1 d x 2 d 2 3 “ W = A ] [ ( a ? ) ( a ? ? ? ) d ” ' 0 U s i n g — d — ) — ( — — = — ' ' 9 1 . . . = ' d n ' A g i n n d n ' B c o s n t h e a r c l e n g t h b e c o m e s n 1 3 2 $ 5 u ( n ) = A s i n z n ' + ‘ — — c o s z n ' d n ' A 2 0 ( 7 . 4 . 4 ) ( 7 . 4 . 5 ) ( 7 . 4 . 6 ) w h e r e = d “ W ( n ) W = ( n A _ _ = _ _ _ ) _ s i n z n + ' — — c o s z n _ = w ( n ) 7 ( ( 7 7 ( 7 . . 4 . 7 ) . 4 . 8 ) 4 . 9 ) 3 2 4 a n d t h e d i f f e r e n t i a l a r c l e n g t h i s A 2 U s i n g t h i s , t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e a r c l e n g t h c a n b e w r i t t e n a s L a s t l y , i t i s n e c e s s a r y t o c a l c u l a t e t h e f o r m o f a u n i t v e c t o r 6 t a n g e n t t o t h e s u r f a c e o f t h e w i r e . T h e s l o p e o f t h e e l l i p s e a t a p o i n t u o n t h e o u t e r e d g e o f t h e e l l i p s e i s g i v e n b y 2 S = § X _ = - § - § — - = - - § c o t n ( 7 . 4 . 1 0 ) a n d t h u s t h e u n i t v e c t o r 8 b e c o m e s : 4 ) . S n ) ? + u = - - — — - — - — — 1 - 2 ( 7 . 4 . 1 1 ) ( 5 2 + 1 ) ” : U w h e r e Z = s i g n ( n ) , - n : p § y . T h i s i s u s e d t o o b t a i n t h e p r o d u c t o f t h e 3 2 5 u n i t v e c t o r s a t u a n d u ' a s 2 s i n n s i n n ' + . § _ c o s n c o s n ' " " v 1 A 2 u - u ' U ( n | n ) = 2 l 2 l s i n z n + § — - c o s z n ] 1 [ s i n z n ' + § — - c o s z n ' A 2 A 2 ( 7 . 4 . 1 2 ) W i t h t h e s e r e l a t i o n s h i p s , t h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 2 . 2 ) t a k e s t h e f o r m n [ [ W ( H ) W ( n ' ) 3 1 5 — 2 ' 9 5 ) % - 7 2 U ( n | n ' ) 1 ( n . ’ s ) § ( n l n ' ; s ) $ 2 0 - n f o r a l l ‘ " i fi i fi ( 7 . 4 . 1 3 ) w h i c h c a n a l s o b e w r i t t e n a s 1 1 ’ B I ' , 3 , — , H — é fi r fl - fi - Y 2 5 ( n | n ' ) 1 ( n . s ) ] g < n | n ' ; s ) d n = o - n f o r a l l - n § p § fi ( 7 . 4 . 1 4 ) w h e r e 3 2 S ( n l n ' ) = A 2 s i n n s i n n ' + - — ; c o s n c o s n ' ( 7 . 4 . 1 5 ) A N o t e t h a t u n l e s s A = B , S ( n | n ' ) # S ( n - n ' ) a n d g ( n l n ' ) # g ( n - n ' ) , a n d 3 2 6 t h u s a F o u r i e r s e r i e s t y p e s o l u t i o n i s n o t p o s s i b l e . T h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 4 . 1 4 ) c a n a l s o b e w r i t t e n i n t h e m o r e c o n v e n i e n t n o r m a l i z e d f o r m a n ' 3 n 1 1 ' [ [ 3 _ I ( _ n _ ' _ , _ 5 _ ) _ § _ - ( Y A ) 2 § ( n l n ' ) I ( n ' . S ) 1 T § ( n l n ' ; s ) d n ' = O f o r a l l - n § p § fi ( 7 . 4 . 1 6 ) w h e r e § ( n l n ' = _ S _ ( _ n _ . l A _ n _ — L a ( n l n ' ) = g < _ n i n _ _ ) - ( 7 . 4 . 1 7 ) a n d _ e - ( v m i 3 ( n l n ' ; s ) = - — - — — ; - ( 7 . 4 . 1 8 ) ( Y A ) R w h e r e - a 2 ) 5 R = [ d 7 - + ( K ) J ( 7 . 4 . 1 9 ) A n i m p o r t a n t c h e c k o n t h e v a l i d i t y o f t h e i n t e g r a l e q u a t i o n c a n b e p e r f o r m e d b y l e t t i n g A + B . T h i s g i v e s S + A 2 c o s ( n - n ' ) a n d ( 7 . 4 . 2 0 ) 3 2 7 l d + A ( c o s n - c o s n ' ) 2 + ( s i n n - s i n n ' ) 2 ] g ” ) ( 7 . 4 . 2 1 ) + 2 A s i n ( n U s i n g t h i s , a l o n g w i t h t h e f a c t t h a t t h e c o o r d i n a t e v a r i a b l e n b e c o m e s t h e p o l a r c o o r d i n a t e v a r i a b l e ¢ , t h e e l l i p t i c a l l o o p i n t e g r a l e q u a t i o n r e d u c e s t o t h e c i r c u l a r l o o p i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 3 . 7 ) , a s e x p e c t e d . 7 . 5 M o m e n t M e t h o d S o l u t i o n t o E l e c t r i c F i e l d I n t e g r a l E q u a t i o n T h e e l l i p t i c a l l o o p e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n c a n b e s o l v e d b y u s i n g t h e s t a n d a r d m e t h o d o f m o m e n t s t e c h n i q u e [ 6 7 } . B e f o r e a s o l u t i o n i s a t t e m p t e d , h o w e v e r , t h e s y m m e t r y o f t h e e l l i p t i c a l l o o p c a n b e u s e d t o s i m p l i f y e q u a t i o n ( 7 . 4 . 1 6 ) c o n s i d e r a b l y . T h e r e a r e i n f a c t o n l y f o u r p o s s i b l e m a n n e r s i n w h i c h t h e c u r r e n t c a n b e d i s t r i b u t e d a r o u n d t h e l o o p . T h e s e a r e n u m b e r e d o n e t o f o u r a s s h o w n i n F i g u r e 7 . 5 . 1 . T h e s i g n i n d i c a t e d i n e a c h q u a d r a n t o f t h e e l l i p s e c o r r e s p o n d s t o t h e r e l a t i v e s i g n o f t h e c u r r e n t i n t h a t q u a d r a n t ( r e f e r r e d t o t h e s i g n i n q u a d r a n t I , w h i c h i s c h o s e n a s p o s i t i v e i n e a c h c a s e . ) W i t h t h e s e , t h e c u r r e n t i n a n y q u a d r a n t c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e c u r r e n t i n q u a d r a n t I a s I ( W - n ) = Q 2 j 1 ( n ) I ( m ) = Q 3 j I ( n ) o i n g - g - ( 7 . 5 . 1 ) I ( ‘ n ) = Q 4 j 1 ( n ) 3 2 8 F i g u r e 7 . 5 . 1 . S y m m e t r y c a s e s f o r c u r r e n t o n e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . 3 2 9 H e r e Q i j r e p r e s e n t s t h e s i g n o f t h e c u r r e n t i n q u a d r a n t i f o r s y m m e t r y c a s e j , r e f e r r e d t o t h e f i r s t q u a d r a n t . T h u s , Q i j i s g i v e n b y t h e s i g n t a b l e C A S E Q 1 3 Q 2 1 Q 3 1 Q 4 1 J = 1 + + - — j = 2 + - - + ( 7 . 5 . 2 ) 3 = 3 + - + - j = 4 + + + + T h e e l l i p s e s y m m e t r y c a n b e u t i l i z e d b y s p l i t t i n g u p t h e i n t e g r a l e q u a t i o n i n t o f o u r p a r t s n / 2 n - n / 2 o f f ( n l n ' ; s ) d n ' + f f ( n l n ' ; s ) d n ' + f f ( n l n ' ; s ) d n ' + f f ( n l n ' ; s ) d n ' = o o w / 2 - n - n / 2 f o r a l l - 1 T f _ n : n ( 7 . 5 . 3 ) w h e r e f ( n l n ' ; S ) = W a — - ( Y A ) 2 § ( n l n ' ) I ( n ' , S ) § ( n | n ' ; s ) ( 7 . 5 . 4 ) a n ' a n N u m b e r i n g t h e s e i n t e g r a l s a s o n e t h r o u g h f o u r , e a c h c a n b e c o n s i d e r e d i n d i v i d u a l l y . F i r s t c o n s i d e r 1 T 1 2 = f f ( n l n ' ; s ) d n ' ( 7 . 5 . 5 ) n / 2 3 3 0 U s i n g t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s x = n - n ' ( 7 . 5 . 6 ) y i e l d s n / 2 1 2 = J [ fi g § £ § § § § l - % E - ( 1 A ) 2 S ( n l n - X ) I ( n - x , s ) g ( n | n - x ; s ) d x 0 ( 7 . 5 . 7 ) T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e i s c a l c u l a t e d a s 3 1 ( n - x l s ) = 3 1 ( w - x , s ) 3 x _ 3 1 ( w - _ L s ) { 1 ‘ 3 ( n - x ) 3 x 8 ( n - x ) - 3 x 8 w - x 8 x _ 3 I ( n - x s ) - - — — — 7 S : — L _ _ ( 7 . 5 . 8 ) E m p l o y i n g t h i s a n d t h e s y m m e t r y r e l a t i o n s h i p f r o m ( 7 . 5 . 1 ) g i v e s n / 2 1 2 - - s z ] [ - l a g — 2 1 ; ; — ( m > 2 § ( n l n - x ) 1 < x , s > é < n | n - x ; s > d x 0 ( 7 . 5 . 9 ) S i m i l a r l y , t h e r e m a i n i n g t w o i n t e g r a l s c a n b e s h o w n t o b e - fl / 2 I 3 = f f ( n l n ' ; S ) d n ' - ' T T N / Z = Q 3 j J [ E l é f i i l . % ; - ( Y A ) 2 § ( n | X - fi ) I ( X . 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F i n a l l y , t h e d e r i v a t i v e o f t h e G r e e n ' s f u n c t i o n g i s c a l c u l a t e d a s a § . ( n l n " 8 ) - ( ¥ A ) § i - ( Y A ) § ' 3 8 . 9 a 1 ~ 1 a n = S F ' E — — — — f : — — = - S L — — — j f - ( ( y A ) R i + 1 ) S E l L ( 7 . 5 . 2 2 ) ( ~ m o R i ( 1 A ) R l w h e r e a fi . a 3 8 1 a ( 7 . 5 . 2 3 ) w i t h 3 3 5 2 . . 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T h e c u r r e n t o n t h e w i r e c a n b e e x p a n d e d i n t e r m s o f a r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t a s N I ( n , s ) = n Z 1 a “ P “ ( n ) ( 7 . 5 . 2 7 ) w h e r e 1 ( n - 1 ) A § p j n A P n ( n ) = ( 7 . 5 . 2 8 ) 0 e l s e w h e r e 3 3 6 a n d A = ( 7 . 5 . 2 9 ) E _ . 2 N H e r e t h e d i s c r e t i z a t i o n r e f l e c t s b a s i s f u n c t i o n s o f e q u a l a n g u l a r w i d t h A . N o t e t h a t t h e r e g i o n o f e x p a n s i o n o f t h e c u r r e n t h a s b e e n r e d u c e d t o t h e d o m a i n o f t h e i n t e g r a l ( 0 , % ) , r e q u i r i n g f e w e r b a s i s f u n c t i o n s t h a n t h e o r i g i n a l i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 4 . 1 6 ) . U s i n g t h e f a c t t h a t t h e d e r i v a t i v e o f a u n i t s t e p f u n c t i o n i s a p o s i t i v e i m p u l s e , t h e d e r i v a t i v e o f t h e c u r r e n t i n ( 7 . 5 . 2 0 ) b e c o m e s , N é l é g T i s l = Z 1 0 “ 5 % " P n ( n ) = Z a n ( 5 ( n ' - ( n - 1 ) A ) - 6 ( n ' — n A ) ) ( 7 . 5 . 3 0 ) n = l n = 1 w h e r e 6 ( x ) i s t h e D i r a c d e l t a , o r i m p u l s e f u n c t i o n . U s i n g t h e i n t e g r a l p r o p e r t y o f t h e i m p u l s e f u n c t i o n t h e n y i e l d s T r f a l g n ' p ) E 1 - 1 8 § i ( ” l ” " s ) v ( ' 1 ) Q d n ' g 0 3 n i = 1 i j 8 n ( 7 . 5 . 3 1 ) N 4 1 - 1 _ _ = 1 a n [ . 1 < — 1 ) Q i j ( g ; < n | ( n - 1 ) A ; s ) - g ; ( n l n 4 ; s ) ) ] n - l 1 — 1 w h e r e _ a é i m l n u s ) 3 1 ( n l n ' ; s ) = a n ( 7 . 5 . 3 2 ) T h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 5 . 2 0 ) t h e n b e c o m e s : I N 3 3 7 N 4 . 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E l Q i j I S i < n m l n ' > § i < n m l n ' ; s ) d n ' ] = o n 1 ( n - 1 ) A m = 1 , 2 , . . . , N ( 7 . 5 . 3 4 ) I t i s m o s t a p p r o p r i a t e t o c h o o s e m a t c h i n g p o i n t s i n t h e c e n t e r o f a p u l s e i n t e r v a l . T h u s n m a ( m a — 5 5 ) A ( 7 . 5 . 3 5 ) T h e i n t e g r a l i n ( 7 . 5 . 3 4 ) c a n b e a p p r o x i m a t e d q u i t e s i m p l y b y n p s r A n r a y p o m p = x e r t ( n - % i o o m p x a a a i t r p m i t p a ) o i r t A i n t o T n i h n e i c s t e h s a e s p a ( 7 . 5 . 3 7 ) i n m w o i n i x o l a o l t f ( i e n . t o e t h t . h e , e b i e n n i = a t e n c e g m c g r , u r a n n t r a l o a l t r e m , c a o n w n r h = e b m e e n ) c . a a i r c = e c I 1 f o n u m a l p n t l l h d i y i s . n s h ' e a a n s b d e y c d n i a m t p p a b r r e o e c p o r m i e a s t e 3 3 8 u s i n g r e c t a n g u l a r r u l e i n t e g r a t i o n n A I § i ( n m l n ' ) § i ( n m l n ' ; 8 ) d n ' = ( § i ( n m | n n ) § i ( n m l n n ; S ) J A ( 7 . 5 . 3 6 ) ( n - 1 ) A w h e r e t h e i n t e g r a n d h a s b e e n e v a l u a t e d a t t h e m i d p o i n t o f t h e d o m a i n o f t h e i n t e g r a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e i n t e g r a n d . E x p a n d i n g S i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t 1 t h e p o i n t n ' = n m g i v e s - - d S l ( n m | n ' ) ' = ' — o o o 5 1 ( n m l n ) 3 1 ( n m l n m ) + ( n n m ) d n ' ' _ + ( 7 . 5 . 3 8 ) 1 " ] “ T 1 m w h e r e d S l B 2 ' — — 7 = S i n n c o s n ' - ' — - c o s n s i n n ' ( 7 . 5 . 3 9 ) d n m A 2 1 1 1 T h u s d S 1 . B 2 . 5 3 7 ' ” , 2 ” — S i n n m c o s n m - - — - c o s n m s m n m ( 7 . 5 . 4 0 ) m A 2 3 3 9 a n d ~ ! , _ . , v _ 3 1 ( n m l n ) C 1 m + C 2 m ( n n m ) ( 7 . 5 . 4 1 ) w h e r e 2 C = s i n z n + 1 3 - — - c o s z n 1 m m A 2 m ( 7 . 5 . 4 2 ) 1 3 2 C = s i n n c o s n 1 - - — J 2 m m m A 2 E x p a n d i n g d a b o u t t h e s a m e p o i n t r e s u l t s i n 1 - ~ c 1 5 1 1 ' = ' — — — - — — + 0 0 . . . d 1 ( n m l n ) d 1 ( n m l n m ) + ( n n m ) d n ' ' _ ( 7 5 4 3 ) n - n m w h e r e d 1 ( ” m | ” m ) = 0 ( 7 . 5 . 4 4 ) a n d 3 2 . . _ v - v _ _ _ - v v d d l ( c o s n I n c o s n ) 8 1 n n A 2 ( s i n n m s 1 n n ) c o s n 5 3 7 ' : 1 ( 7 . 5 . 4 5 ) 3 2 ’ 5 ( c o s n - c o s n ' ) 2 + — — ( s i n n - s i n n ' ) 2 m A 2 m E v a l u a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e o f 5 1 i s s i m p l i f i e d b y u s i n g t h e e x p a n s i o n s [ 2 3 ] 3 4 0 c o s n - c o s n ' - 2 3 i n % ( n + n ' ) s i n % ( n - n ' ) m m m ( 7 . 5 . 4 6 ) s i n n - s i n n ' = 2 c o s % ( n + n ' ) s i n % ( n - n ' ) m m m t h e n a . - 1 V - 7 B 2 1 i I - 3 1 n 1 ( n + n ) 5 1 n n - — — c o s q ( n + n ) c o s n d d ] . m A 2 m — — , - = i 1 ( 7 . 5 . 4 7 ) d n H z 1 [ s i n 2 % ( n + n ' ) + - — c 0 3 2 % ( n + n ' ) ] m 2 m A a n d d d 2 l fi 8 7 % — = t [ s i n z n + 3 § — c o s z n ] ( 7 . 5 . 4 8 ) 1 ' 1 0 " ” m A 2 m m T h u s , 8 1 i s a p p r o x i m a t e d a s ~ 1 z t _ d 1 ( n m | n ) I n n m I C 3 m ( 7 . 5 . 4 9 ) w h e r e C 3 m = " 3 1 : 1 1 ( 7 . 5 . 5 0 ) A n d s o E l i s g i v e n b y " ( ' > 2 2 3 2 1 1 1 R = n - n C + - ( 7 . 5 . 5 1 ) 1 m 3 m A 2 ) 3 4 1 L a s t l y , i t i s n e c e s s a r y t o e x p a n d t h e e x p o n e n t i a l a s ' ( Y M fi l . 2 ~ g 1 ~ _ 1 f o r R 1 < ° 5 K ( 7 . 5 . 5 2 ) W i t h t h e s e a p p r o x i m a t i o n s , t h e i n t e g r a l i n ( 7 . 5 . 3 4 ) b e c o m e s n A ~ 1 ' 1 , v : I 8 1 ( n m l n ) 8 1 ( n m l n , S ) d n ( n - 1 ) A n + A / 2 m ' " 1 1 2 2 3 2 . L E ' z I ( C 1 m + C 2 m ( n ‘ n m ) ] [ ( Y A ) [ ( n - n m ) C 3 m + 2 2 ) - 1 ] d n n m - A / Z f o r n = m ( 7 . 5 . 5 3 ) w h i c h c a n b e s p l i t u p i n t o t h e f o l l o w i n g f o u r s e p a r a t e i n t e g r a l s I 1 = - A c l m ( 7 . 5 . 5 4 ) n m + A / 2 I = - c g ( n ' - n ) 2 = 0 ( 7 . 5 . 5 5 ) 2 2 m m n - A / 2 m C l m n m + A / 2 ' 2 2 8 2 _ % ' I 3 — : A — J [ ( n - n m ) C 3 m + ~ X § ] d n ( 7 . 5 . 5 6 ) n - A / 2 m C n m + A / 2 2 _ % . . . — 2 9 1 ' _ 2 2 _ a _ _ l _ 1 I 4 - Y A [ ( n ” m ) C 3 m + A 2 ] ( n n m ) d n ( 7 . 5 . 5 7 ) n m - A / Z 3 4 2 N o t e t h a t I a n d I a r e z e r o d u e t o t h e i n t e g r a n d s b e i n g o d d f u n c t i o n s 2 4 a b o u t n = n m . I 3 c a n b e c a l c u l a t e d b y a s i m p l e c h a n g e o f v a r i a b l e s a s l m l A A A A Z ‘ I ‘ E I 3 2 C 3 m Y A 1 g [ C 3 m 2 a + 1 + ( c 3 2 a ) J ( 7 . 5 . 5 8 ) T h e p a r t i t i o n e d e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 5 . 3 4 ) r e p r e s e n t s a s y s t e m o f N s i m u l t a n e o u s l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e N u n k n o w n c u r r e n t e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s a . I t c a n b e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m a s X ? = 0 ( 7 . 5 . 5 9 ) w h e r e t h e m a t r i x e n t r i e s a r e f o u n d u s i n g ( 7 . 5 . 3 6 ) a n d ( 7 . 5 . 5 3 ) a n d a r e g i v e n i n T a b l e 7 . 5 . 1 . S i n c e t h i s i s a h o m o g e n e o u s s y s t e m , i t w i l l h a v e a s o l u t i o n o n l y w h e n t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x i s z e r o . T h e f r e q u e n c i e s w h i c h c a u s e t h i s t o o c c u r r e s u l t i n ( 7 . 5 . 3 4 ) b e i n g s a t i s f i e d , a n d a r e t h u s t a k e n a s t h e n a t u r a l f r e q u e n - c i e s o f t h e t h i n w i r e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . 7 . 6 A l t e r n a t i v e M o m e n t M e t h o d S o l u t i o n I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n t h e c u r r e n t o n t h e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r w a s e x p a n d e d i n t e r m s o f a r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t w h e r e t h e p u l s e f u n c t i o n s h a d e q u a l a n g u l a r w i d t h . F o r r e a s o n s t o b e d i s c u s s e d l a t e r i n t h i s s e c t i o n , i t i s s o m e t i m e s a d v a n t a g e o u s t o c h o o s e p u l s e f u n c t i o n s t h a t h a v e u n e q u a l a n g u l a r w i d t h s . T h i s d o e s n o t c h a n g e t h e f o r m o f t h e i n t e g r a l e q u a t i o n t o b e s o l v e d ( 7 . 5 . 2 0 ) , » \ _ > / » N J 1 I _ 4 l + H + ( l ) I _ - A A V — m L N m 8 f \ g ‘ " X . . 3 4 3 T a b l e 7 . 5 . 1 . E n t r i e s i n m o m e n t m e t h o d m a t r i x f o r e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . a ) m ¥ n 4 1 - 1 - - A m n = 1 : 1 ( - 1 ) Q i j ( g £ ( n m | ( n - 1 ) A ; S ) - g i ( n m | n A ; s ) ) ‘ 4 ~ _ - ( Y A ) Z A Z Q i j ( S i ( n m l n n ) g i ( n m l n n ; 8 ) ) i = 1 b ) m = n 4 1 - 1 - - A m n = 1 § 1 ( - 1 ) Q i j ( g i ( n m l ( m - 1 ) A ; S ) - g ; ( n m l m A ; s ) J - 4 . 4 . . — _ ( Y A ) 2 A Z Q i j ( S i ( n m | n m ) g i ( n m | n m ; s ) l ' i = 2 2 2 0 3 m f A X l o g [ ( 3 3 1 1 1 2 - fl Z / I O 3 I ( n n a ' ' S ) 4 X = 1 i ( _ 1 ) . 1 - 1 Q _ 8 8 . 1 ( n 3 l ” i j ' ; n S ) d n ' = 5 3 3 4 4 b u t i t d o e s r e s u l t i n d i f f e r e n t e n t r i e s f o r t h e m o m e n t m e t h o d m a t r i x ( 7 . 5 . 5 9 ) . L e t t h e c u r r e n t e x p a n s i o n t a k e t h e f o r m N I ( n , s ) = n § 1 a n p n ( n ) ( 7 . 6 . 1 ) w h e r e _ 1 . n _ 1 § _ n § _ n P n ( n ) = n “ ( 7 . 6 . 2 ) 0 e l s e w h e r e a n d t h e p u l s e w i d t h s n n - n n _ 1 a r e l e f t a s a f r e e c h o i c e . U s i n g t h i s e x p a n s i o n , t h e i n t e g r a l i n ( 7 . 5 . 3 1 ) t a k e s t h e f o r m N 4 . = 2 1 a m [ . X l ( - l ) l 1 Q 1 j ( g i ( ” l ” n _ 1 ‘ s ) - 8 1 ( n l n n ; 8 ) ) = 1 : ( 7 . 6 . 3 ) a n d t h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 7 . 5 . 2 0 ) b e c o m e s 4 1 - 1 - , . _ - , . _ n = 1 . 1 ( - 1 ) Q . . ( s i ( n l n n _ 1 3 5 ) g i ( n l n n . s ) 1 ] i = 1 1 3 N 4 ” n ~ _ - ( Y A ) 2 X i a n [ i z l q i j I S i ( n l n ' ) g i ( n l n ' ; s ) d n ' ] = 0 ( 7 . 6 . 4 ) n : = n n - l 1 I 3 4 5 W f o r a l l 0 : _ n § _ § u T h i s e q u a t i o n c a n b e p o i n t m a t c h e d a t a r b i t r a r y a n g l e s C m b y m u l t i p l y i n g b y 6 ( n - c m ) a n d i n t e g r a t i n g , g i v i n g N . E l a n [ 1 ; { - 1 ) 1 1 Q i j ( g i ( c m l n n _ 1 ; 8 ) - g ; ( c m l n n ; 8 ) ) ] — 1 N O ” n 1 Q i j J 5 1 ( l e n ' ) g i ( c m l n ' ; 8 ) d n ' ] n N - ( Y A ) 2 2 a n [ n = 1 I M L ‘ n - l m = 1 , 2 , 3 , . . . , N ( 7 . 6 . 5 ) U n l e s s 1 8 1 a n d n ' a n d C m a r e i n t h e s a m e p a r t i t i o n , t h e i n t e g r a l i n ( 7 . 6 . 5 ) c a n b e a p p r o x i m a t e d u s i n g r e c t a n g u l a r r u l e i n t e g r a t i o n a s I I ” n J § i ( c m l n ' ) § i ( c m l n ' ; 8 ) d n ' ( 5 1 ( c m l v c n > § i ( c m | n < n ; s > ) 4 n ( 7 . 6 . 6 ) n n - l w h e r e n n _ 1 : K n i n n ( 7 . 6 . 7 ) a n d A n = n n - n n _ 1 ( 7 . 6 . 8 ) H e r e K n r e p r e s e n t s t h e a r b i t r a r y a n g l e s a t w h i c h t h e i n t e g r a n d i s t o b e e v a l u a t e d . I t i s s e n s i b l e t o d e m a n d t h a t t h e y l i e w i t h i n t h e d o m a i n o f i n t e g r a t i o n . 3 4 6 W h e n i = 1 a n d n ' a n d C m a r e i n t h e s a m e p a r t i t i o n , t h e i n t e g r a l m u s t b e c a l c u l a t e d m o r e c a r e f u l l y . E x p a n d i n g i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t n ' = § m g i v e s ~ 1 z ‘ ' v _ 5 1 ( l e n ) C 1 m + C 2 m ( n c m ) ( 7 . 6 . 9 ) w h e r e _ . 2 C = s i n z c + § — - c o s z c 1 m m A 2 ( 7 . 6 . 1 0 ) - . 1 3 2 C 2 m S i n t m c o s c m - - ; ; a n d 6 1 ( r m l n ' ) = l n ' — g m | E 3 m ( 7 . 6 . 1 1 ) w h e r e _ _ 1 c 3 m = ( c m ) 1 ( 7 . 6 . 1 2 ) T h u s 2 L i ~ 2 ' _ 2 - 2 + § _ R 1 ( n c m ) C 3 m A 2 ( 7 . 6 . 1 3 ) A l s o 3 4 7 - ( Y A ) § 1 ~ - - — - - - e - = — - — — l - - 1 f o r R 1 “ ) ? ( 7 . 6 . 1 4 ) T h u s , t h e i n t e g r a l i s a p p r o x i m a t e d a s n n ~ 1 ‘ v , v z I S i ( c m | n ) g i ( c m | n . s ) d n n n — l 0 n _ ; § 2 - - ' . - 1 V _ 2 - 2 2 3 _ 1 1 J [ C 1 m + C 2 m ( n C m ) ) [ ( Y A ) [ ( 0 C m ) C 3 m A 2 l j d n n n - l f o r n = m ( 7 . 6 . 1 5 ) S p l i t t i n g t h i s u p i n t o f o u r i n t e g r a l s g i v e s I 1 = - C 1 m ( n n - n n _ 1 ) = - C 1 m A n ( 7 . 6 . 1 6 ) E 2 m . - _ . - _ _ _ 2 _ _ 2 1 2 2 ( ( n n c m ) ( n n _ 1 c m ) ) ( 7 . 6 . 1 7 ) " T ] C n 2 — % . . 1 2 . . _ 2 ‘ 2 + 5 . . . I 3 Y A J [ ( n C m ) C 3 m A 2 ] d n ( 7 . 6 . 1 8 ) n n - l - n C n 2 - 5 . . 2 2 . . _ 2 ‘ 2 . 2 _ . _ 1 I 4 Y A J [ ( n c m ) C 3 m + 2 ] ( n C m ) d n ( 7 . 6 . 1 9 ) n A 3 4 8 N o t e t h a t I 2 a n d I 4 a r e n o l o n g e r z e r o , s i n c e t h e i n t e g r a n d s a r e n o t n e c e s s a r i l y o d d f u n c t i o n s a b o u t t h e m i d p o i n t o f i n t e g r a t i o n . I n t e g r a l s I 3 a n d I 4 c a n b e c a l c u l a t e d i n c l o s e d f o r m a s % - _ _ 2 ‘ 2 m 1 ( n n C m ) + [ ( n n C m ) + ( ( a / A ) / C 3 m ) ] 1 3 3 - 6 — fi 1 0 g ( — - L E 3 m ( n n _ 1 - C m ) + l ( n n _ 1 - c m ) 2 + ( ( a / A ) / C 3 m ) 2 ] J ( 7 . 6 . 2 0 ) 6 * 2 . . _ J £ . L . _ 2 - 2 _ I 4 C Y A [ ( n n C m ) + ( ( a / A ) / C 3 m ) ] 3 m - k - [ ( n n _ 1 - C m ) 2 + ( ( a / A ) / c 3 m ) 2 ] ( 7 . 6 . 2 1 ) U s i n g t h e s e , t h e r e s u l t i n g m o m e n t m e t h o d m a t r i x ( 7 . 5 . 5 9 ) e n t r i e s c a n b e c a l c u l a t e d , a n d a r e g i v e n i n T a b l e 7 . 6 . 1 . T h e p r o p e r c h o i c e o f b a s i s f u n c t i o n w i d t h s c a n b e m a d e b y u s i n g a l i t t l e i n t u i t i o n . M a k i n g t h e w i d t h s e q u a l i n a n g u l a r s i z e r e s u l t s i n t h e p a r t i t i o n s b e i n g s h o r t e r i n a r c l e n g t h n e a r n = 0 t h a n n e a r n = n / 2 . F o r e x a m p l e , w i t h B / A = 0 . 1 a n d N = 1 8 , t h e p a r t i t i o n s a r e n i n e t i m e s l a r g e r a t n = n / 2 t h a n a t n = 0 . I t a l s o m e a n s t h a t t h e m a t c h i n g p o i n t s a n d i n t e g r a l e v a l u a t i o n p o i n t s a r e n o t a t t h e a r c l e n g t h c e n t e r o f t h e p a r t i t i o n . I t s e e m s m u c h m o r e s e n s i b l e t o c h o o s e ” n s u c h t h a t t h e p u l s e w i d t h s a r e e q u a l i n a r c l e n g t h . T h e n t h e m a t c h i n g p o i n t s 3 4 9 T a b l e 7 . 6 . 1 . A l t e r n a t i v e e n t r i e s i n m o m e n t m e t h o d m a t r i x f o r e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . 4 ~ _ - ( Y M Z A n E l q i j ( 8 1 ( c h K n ) g i ( z ; m | K n s s ) ) 4 A = z ( — 1 ) 1 l Q i j ( § i ( l e n m _ l ; S ) - a d m i n m z s n - = 1 4 " ' — - ( Y M Z A m i E Z Q i j [ 5 1 ( l e K m ) g i ( c m | K m ; 8 ) ) - - ( Y A ) 2 Q 1 j ( I ) w h e r e I = I 1 + I 2 + I 3 + I n f r o m ( 7 . 6 . 1 6 ) - ( 7 . 6 . 1 9 ) 3 5 0 a n d t h e i n t e g r a l e v a l u a t i o n p o i n t s c a n b e p u t a t t h e a r c l e n g t h m i d p o i n t o f t h e i n t e r v a l s . T o e x a c t l y c a l c u l a t e t h e n n d e s c r i b i n g e q u a l a r c l e n g t h p a r t i t i o n s r e q u i r e s s o l v i n g n n 1 u ( n n - n n _ 1 ) = J [ A z s i n z n + B z c o s z n d n = A u ( 7 . 6 . 2 2 ) n n - l n u m e r i c a l l y f o r e a c h v a l u e o f n n , w h e r e A u i s t h e p a r t i t i o n w i d t h ( f o r c o n s t a n t a r c l e n g t h p a r t i t i o n s . ) T h i s i s q u i t e d i f f i c u l t a n d t i m e c o n s u m i n g . I n s t e a d , a p p r o x i m a t e t h e d i f f e r e n t i a l a r c l e n g t h a s 1 2 ’ 5 d u _ _ _ A s i n g ” + g t o s z n g A l l ( 7 . 6 . 2 3 ) d 7 ] A 2 A n T h e n p r o p e r p u l s e w i d t h s , m a t c h i n g p o i n t s , a n d i n t e g r a l e v a l u a t i o n p o i n t s c a n b e c a l c u l a t e d b y s u b d i v i d i n g A u i n t o a b o u t t e n p o r t i o n s a n d a n d i n c r e m e n t i n g n u m e r i c a l l y f r o m n = 0 t o n = n / 2 . T h e l a s t p a r t i t i o n w i l l e n d a t n > n / 2 d u e t o t h e i n a c c u r a c y i n a p p r o x i m a t i n g t h e a r c l e n g t h i n t h i s f a s h i o n . T h u s , a s a l a s t s t e p , i t i s n e c e s s a r y t o c o r r e c t a l l t h e p o i n t s b y m u l t i p l y i n g b y E J n N . T o c a l c u l a t e t h e p a r t i t i o n w i d t h , i t i s n e c e s s a r y t o k n o w t h e p e r i m e t e r ( a c t u a l l y , k o f t h e p e r i m e t e r ) o f t h e e l l i p s e q u i t e a c c u r a t e l y . T h i s i s d o n e b y c a l c u l a t i n g t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l 3 5 1 1 1 / 2 , 2 ’ 5 8 ( 8 2 / A 2 ) = 2 3 5 % 2 3 5 3 5 - = J [ s i n z n + 4 9 ; c o s z n ] d n ( 7 . 6 . 2 4 ) A 0 R a t h e r t h a n c a l c u l a t e t h i s n u m e r i c a l l y , i t i s p o s s i b l e t o e s t i m a t e t h e v a l u e o f t h e p e r i m e t e r v i a t h e f o l l o w i n g f o r m u l a [ 7 g 4 . 4 . E ( m ) = 1 + Z a . m l - l o g ( m ) Z b . m 1 + e ( m ) ( 7 . 6 . 2 5 ) . _ 1 1 1 . 1 1 1 — 1 i = 1 w h e r e B Z m 1 = l - m = ' — - ( 7 . 6 . 2 6 ) A 2 a n d 3 1 a 0 . 4 4 3 2 5 1 4 1 4 6 3 b l = 0 . 2 4 9 9 8 3 6 8 3 1 0 a 2 = 0 . 0 6 2 6 0 6 0 1 2 2 0 b 2 = 0 . 0 9 2 0 0 1 8 0 0 3 7 ( 7 . 6 . 2 7 ) a 3 = 0 . 0 4 7 5 7 3 8 3 5 4 6 b 3 = 0 . 0 4 0 6 9 6 9 7 5 2 6 a n = 0 . 0 1 7 3 6 5 0 6 4 5 1 b u = 0 . 0 0 5 2 6 4 4 9 6 3 9 a n d I s ( m ) | < 2 x 1 0 ' 8 ( 7 . 6 . 2 8 ) 3 5 2 7 . 7 N u m e r i c a l R e s u l t s T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d m o d a l c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s o f t h e t h i n w i r e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r a r e d e t e r m i n e d b y s o l v i n g e q u a t i o n ( 7 . 5 . 5 9 ) . L i t t l e i n s i g h t i s g a i n e d , h o w e v e r , b y h a p h a z a r d l y s o l v i n g f o r r o o t s t o t h e d e t e r m i n a n t a l e q u a t i o n . A m u c h m o r e i n f o r m a t i v e a n d s y s t e m a t i c a p p r o a c h c a n b e c o n c e i v e d , a s f o l l o w s . I t w a s m e n t i o n e d e a r l i e r t h a t t h e s p e c i a l c a s e o f a c i r c u l a r l o o p ( B / A = 1 , o r z e r o e c c e n t r i c i t y ) h a s b e e n h a n d l e d i n g r e a t d e t a i l b y B l a c k b u r n a n d W i l t o n [ 1 6 ] . B y s o l v i n g a n e q u a t i o n s i m i l a r t o ( 7 . 3 . 1 6 ) , t h e y h a v e b e e n a b l e t o i d e n t i f y t h r e e g e n e r a l " t y p e s " o f p o l e s . T h e r e i s o n e T y p e I p o l e f o r e a c h v a l u e o f t h e m o d a l i n d e x n , a n d i t i s l o c a t e d i n t h e c o m p l e x p l a n e n e a r w = n . T h e r e a r e n + 1 T y p e I I p o l e s f o r e a c h n , a n d t h e y l i e i n l a y e r s t o t h e l e f t o f t h e T y p e I l a y e r . L a s t l y , t h e r e a r e a n i n f i n i t e n u m b e r o f T y p e I I I p o l e s f o r e a c h n , a n d t h e y l i e i n a l a y e r n e a r l y p a r a l l e l t o t h e s = j w a x i s . S i n c e t h e T y p e . I p o l e s h a v e t h e s m a l l e s t d a m p i n g c o e f f i c i e n t s , t h e y p r o v i d e t h e g r e a t e s t c o n t r i b u t i o n t o t h e l a t e ~ t i m e p o r t i o n o f t h e s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m , a n d a r e t h u s o f t h e g r e a t e s t i n t e r e s t . T h e v a l u e s o f t h e T y p e I n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c i r c u l a r t h i n w i r e l o o p c a n b e c a l c u l a t e d b y s o l v i n g e q u a t i o n ( 7 . 3 . 1 6 ) . T h o s e c o r r e s p o n d i n g t o n = 1 t h r o u g h n = 1 0 h a v e b e e n c o m p u t e d a n d a r e s h o w n i n F i g u r e 7 . 7 . 1 . T h e p l o t t e d v a l u e s a r e n o r m a l i z e d b y c / b , w h e r e b i s t h e l o o p r a d i u s a n d c i s t h e s p e e d o f l i g h t , a n d t h e y c o r r e s p o n d t o a w i r e r a d i u s g i v e n b y a = 0 . 0 1 b . A s p r e d i c t e d , t h e y l i e i n a l a y e r w i t h w = n c / b . T h e i r n u m e r i c a l v a l u e s a r e g i v e n i n T a b l e 7 . 7 . 1 . A s t h e c i r c u l a r l o o p i s d e f o r m e d i n t o a n e l l i p s e , t h e T y p e I n a t u r a l 3 5 3 T a b l e 7 . 7 . 1 F i r s t t e n T y p e I p o l e s o f a c i r c u l a r l o o p o f r a d i u s b a n d w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 b . n s n / ( c / b ) 1 - 0 . 0 9 6 1 7 + j 1 . 0 4 6 2 - o . 1 4 2 5 + j 2 . 0 6 2 3 - 0 . 1 7 9 4 + j 3 . 0 7 4 4 - o . 2 1 1 5 + j 4 . 0 8 4 5 - o . 2 4 0 6 + j 5 . 0 9 2 6 - 0 . 2 6 7 7 + j 6 . 0 9 9 7 - o . 2 9 3 3 + j 7 . 1 0 6 8 - o . 3 1 7 7 + j 8 . 1 1 2 9 - o . 3 4 1 2 + j 9 . 1 1 8 1 o - o . 3 6 3 9 + j 1 0 . 1 2 T a b l e 7 . 7 . 2 F i r s t f i v e T y p e I p o l e s o f c i r c u l a r l o o p f o u n d b y m o m e n t m e t h o d s o l u t i o n t o e l l i p t i c a l l o o p E F I E w i t h B / A S l , a / A = 0 . 0 1 , u s i n g 1 5 p a r t i t i o n s . n s n / ( c / A ) 1 - o . 0 9 7 8 3 + j 1 . 0 3 6 2 - o . 1 4 3 6 + j 2 . 0 3 8 3 - O . 1 7 8 3 + j 3 . 0 2 9 4 - 0 . 2 0 6 2 + j 4 . 0 0 8 5 - 0 . 2 2 8 7 + j 4 . 9 7 4 3 5 4 I O N — F 0 : 3 . - 0 E 3 0 3 o 8 L o 8 1 4 ‘ g , 0 G ) 3 . 1 a 0 o n . . . . 8 c 3 - 0 “ u : “ U 3 o H H < 0 5 o z ? ‘ 9 - N o o O c ; l r l j 1 - 0 0 4 4 0 3 2 " 0 9 2 4 ’ " 0 0 1 6 - 0 o 0 8 0 0 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / b ) F i g u r e 7 . 7 . 1 . F i r s t t e n T y p e I n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a c i r c u l a r l o o p o f r a d i u s b a n d w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 b . 3 5 5 f r e q u e n c i e s s h o u l d c h a n g e s m o o t h l y i n t o a s p e c i a l c l a s s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . T h e s e w i l l b e e x a m i n e d e x t e n s i v e l y . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e e l l i p t i c a l l o o p a r e d e t e r m i n e d b y s o l v i n g t h e d e t e r m i n a n t a l e q u a t i o n d i c t a t e d b y ( 7 . 5 . 5 9 ) . T h e s e f r e q u e n c i e s w i l l b e i n f i n i t e i n n u m b e r a n d , l i k e t h o s e o f t h e c i r c u l a r l o o p , w i l l p r o b a b l y f a l l i n t o g r o u p s d e t e r m i n e d b y t h e i r p o s i t i o n i n t h e f r e q u e n c y p l a n e . O f g r e a t e s t p r e s e n t i n t e r e s t a r e t h o s e f r e q u e n - c i e s w i t h t h e s m a l l e s t d a m p i n g c o e f f i c i e n t s . I t i s h y p o t h e s i z e d t h a t s i n c e t h e T y p e I p o l e s h a v e t h e s m a l l e s t d a m p i n g c o e f f i c i e n t s f o r t h e c i r c u l a r l o o p , t h e f r e q u e n c i e s d e r i v e d f r o m t h e m a s t h e e c c e n t r i c i t y o f t h e e l l i p s e i s p e r t u r b e d f r o m z e r o w i l l h a v e t h e s m a l l e s t d a m p i n g c o e f f i c i e n t s f o r t h e e l l i p t i c a l l o o p . T h e b e h a v i o r o f t h e T y p e I f r e q u e n c i e s a s t h e l o o p i s d e f o r m e d i s i n v e s t i g a t e d b y s o l v i n g ( 7 . 5 . 5 9 ) f o r t h e s p e c i a l c a s e o f B / A = 1 , a n d t h e n s l o w l y d e c r e a s i n g B / A w h i l e u s i n g t h e p r e v i o u s s o l u t i o n s a s i n i t i a l g u e s s e s . E q u a t i o n ( 7 . 5 . 5 9 ) h a s b e e n s o l v e d w i t h B / A = 1 , u s i n g 1 5 p a r t i t i o n s . T h e r e s u l t s f o r t h e f i r s t f i v e T y p e I p o l e s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 7 . 7 . 2 , a n d c o r r e s p o n d t o a w i r e r a d i u s o f a = 0 . 0 1 A . I t i s s e e n t h a t t h e y d o n o t e x a c t l y m a t c h t h e v a l u e s d e t e r m i n e d v i a t h e F o u r i e r s e r i e s s o l u t i o n . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , s i n c e t h e m o m e n t m e t h o d a p p r o a c h i n t r o d u c e s m a n y a d d i t i o n a l a p p r o x i m a t i o n s . T h e a c c u r a c y i s w o r s t f o r t h e h i g h e r o r d e r m o d e s , w h e r e 1 5 p a r t i t i o n s m a y n o t b e e n o u g h t o a d e q u a t e l y r e p r e s e n t t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n . A s c r u t i n y o f t h e e l l i p t i c a l l o o p s y m m e t r y c a s e s g i v e n i n F i g u r e 7 . 5 . 1 r e v e a l s t h a t f o r t h e d e g e n e r a t e s i t u a t i o n B / A = 1 , c i r c u l a r 3 5 6 m o d e s o f o d d o r d e r n c o r r e s p o n d t o b o t h e l l i p t i c a l s y m m e t r y c a s e s 1 a n d 2 , w h i l e c i r c u l a r m o d e s o f e v e n o r d e r n c o r r e s p o n d t o b o t h s y m m e t r y c a s e s 3 a n d 4 . S i n c e e a c h s y m m e t r y c a s e i s e x p e c t e d t o p r o d u c e a s e p a r a t e m o d e w h e n B / A < 1 , e a c h o f t h e c i r c u l a r T y p e I p o l e s s h o u l d s p l i t i n t o t w o d i s t i n c t n a t u r a l f r e q u e n c i e s a s t h e l o o p i s d e f o r m e d . T h i s i s v e r i f i e d b y s o l v i n g ( 7 . 5 . 5 9 ) f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A , b e g i n n i n g w i t h B / A = 1 . U s i n g 1 5 p a r t i t i o n s o f e q u a l a r c l e n g t h ( t h e a p p r o a c h o f s e c t i o n 7 . 6 ) a n d a / A = 0 . 0 1 g i v e s t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e s 7 . 7 . 2 t h r o u g h 7 . 7 . 6 . H e r e n o r m a l i z e d v a l u e s o f n a t u r a l f r e q u e n c y h a v e b e e n p l o t t e d f o r v a l u e s o f B / A r a n g i n g f r o m 1 d o w n t o 0 . 1 . A s p r e d i c t e d , e a c h o f t h e T y p e I c i r c u l a r p o l e s s p l i t s i n t o t w o s e p a r a t e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a s B / A i s d e c r e a s e d . A n e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g f e a t u r e s e e n i n t h e f r e q u e n c y p l o t s i s t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c a s e 2 a n d c a s e 4 f r e q u e n c i e s . W i t h B / A + 0 , t h e e l l i p t i c a l l o o p a p p r o a c h e s a t r a n s m i s s i o n l i n e w i t h b o t h e n d s s h o r t e d . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f s u c h a t r a n s m i s s i o n l i n e a r e e a s i l y d e t e r m i n e d : t h e y h a v e z e r o r e a l p a r t s a n d h a v e i m a g i n a r y p a r t s e q u a l t o k g - c / A , k = 1 , 2 , . . . . T h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n t h e t r a n s m i s s i o n l i n e c o r r e s p o n d s w i t h c a s e 2 a n d c a s e 4 s y m m e t r y ( c u r r e n t a m a x i m u m a t e a c h e n d . ) I t i s t h u s e n c o u r a g i n g t o s e e i n F i g u r e s 7 . 7 . 2 t h r o u g h 7 . 7 . 6 t h a t t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c a s e 2 a n d c a s e 4 f r e q u e n c i e s a p p r o a c h t h e f r e q u e n c y v a l u e s o f t h e t r a n s m i s s i o n l i n e . T h i s i s s h o w n w i t h t h e d o t t e d c u r v e s . U n f o r t u n a t e l y , a s B / A + 0 , a / B b e c o m e s l a r g e r a n d t h e t h i n w i r e a p p r o x i m a t i o n b r e a k s d o w n b e f o r e t h e t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t i s r e a c h e d . I n d e e d , t h e l o o p p r o b a b l y c e a s e s t o b e a n e l e c t r i c a l l y t h i n w i r e b e f o r e B / A = 0 . 2 , a s t h e f i g u r e s s e e m t o s h o w . 3 5 7 1 n ‘ 7 ~ - § ~ = 0 . 2 x s : “ 3 - ‘ 8 W ’ l 1 ’ o 3 X x ’ 3 / / > . 1 ’ U 5 L 3 0 . 4 x 8 . . / d 0 . 5 g o 0 . 3 . . \ / g o 0 . 4 O 6 s “ 3 4 \ o 0 . 5 x m 7 \ / N a o 0 ' 6 x 0 . 7 E 0 7 / o G ) ' m z . . \ x 0 8 ' 2 " 0 . 8 @ \ / x 0 9 0 . 9 0 \ I 0 9 5 0 I x 0 9 5 \ ' 1 D . . ' . r l I I 1 “ 0 0 2 5 ” 0 0 2 “ 0 0 1 5 ’ 0 0 1 - 0 0 0 5 0 0 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / A ) F i g u r e 7 . 7 . 2 . C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 1 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . 3 5 8 B - 3 ; " 0 . 2 x / / / / ’ 0 3 X / / 0 . 2 o \ 0 x o U 1 c u ' q a ) C : 0 — 1 f a 0 0 < \ 3 \ 3 N D 5 . . m c a 3 o - m 1 H U - A : . 2 ' 8 “ 3 - H c c ' 0 m N . 4 H g m 8 “ 3 — c u C D 0 c a “ 0 0 4 F i g u r e 7 . 7 . 3 . I T I I I ~ 0 ~ 3 2 - 0 - 2 4 - 0 ~ 1 6 - 0 . 0 8 0 . 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / A ) C a s e 3 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 4 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 2 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . 3 5 9 D ' - I I n B — x - O . 2 X ’ - t o , I ’ 4 d / / 0 3 ’ : 2 ; ‘ x \ 0 0 . 2 U \ : 3 “ 0 0 . 3 0 . 4 > ~ 0 1 ‘ \ \ \ \ ‘ X g ' t 0 0 . 4 / 3 \ 0 5 o . . g ¢ ) 0 . 5 ‘ X ‘ H 5 a n \ / 0 6 p - - 0 . 6 X ' 8 m ‘ 9 H 8 \ N 0 . 7 0 x 0 . 7 ~ 1 4 H E . \ \ . - 0 . 8 8 ( 9 ° ‘ \ . \ 0 0 9 . 0 . 9 5 c ? ‘ 1 m l I T T fl 4 0 - 5 - 0 . 4 4 0 . 3 - 0 - 2 - 0 . 1 0 . 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t O / ( C / A ) F i g u r e 7 . 7 . 4 . C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 3 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . ) a / c ( / m y c n e u q e r f n a i d a r d e z i l a m r o N 3 6 0 6 . 7 5 0 0 . 4 0 . 5 0 0 . 5 X - \ ( " 3 " x 0 . 6 0 . 6 Q \ a \ x 0 . 7 8 ‘ \ u 0 . 8 \ 0 . 9 ' 1 - 0 . 9 5 C ’ ‘ - . . I I l “ I I “ 0 0 5 5 ' 0 0 “ 4 . 3 3 “ 0 0 2 2 ‘ O o l i 0 0 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t O / ( C / A ) F i g u r e 7 . 7 . 5 . C a s e 3 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 4 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 4 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l h n i t . 3 6 1 [ D m 7 B ‘ T 0 . 2 x ’ , — " " " r ~ 0 1 / / / / / / / r A 0 ' : 5 ( 9 " 0 . 3 ) ( 3 0 . 2 \ 0 0 . 3 . ° ‘ X > ‘ c ? _ . ( D 0 4 3 c o / g \ x 0 5 g 0 . 5 0 ' H . . \ 1 0 . 6 c 3 g : 0 . 6 0 i ' 8 c o \ M Q ( 0 . 7 ' U 3 . 3 \ , 3 I I 0 . 8 E “ L \ 0 . 9 2 u : ' ; I I 0 . 9 5 i 1 “ 3 a I I I I I " 0 9 6 " 0 0 * 8 ‘ 0 0 3 6 - 0 0 2 1 ' - 0 0 1 2 0 0 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / A ) F i g u r e 7 . 7 . 6 . C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m n = 5 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . D o t t e d l i n e s h o w s e x p e c t e d t r a j e c t o r y f o r t r a n s m i s s i o n l i n e l i m i t . 3 6 2 H o w e v e r , t h e l i m i t c a n b e a p p r o a c h e d f u r t h e r b y d e c r e a s i n g a / A . W i t h a / A - 0 . 0 0 1 , a n d u s i n g 6 0 p a r t i t i o n s , t h e c a s e 2 f r e q u e n c y w h i c h s p l i t s o f f f r o m t h e t h e f i r s t T y p e I p o l e i s f o u n d t o c o n v e r g e t o s = - 0 . 0 0 0 1 7 + j 1 . 5 6 5 c / A b y B / A = 0 . 0 2 5 . T h i s i s v e r y c l o s e t o t h e l i m i t i n g t r a n s m i s s i o n l i n e v a l u e o f s = 0 + j 1 . 5 7 1 c / A . I t i s a l s o p o s s i b l e t o d e s c r i b e t h e l i m i t i n g b e h a v i o r o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d i n g t o c a s e 1 a n d c a s e 3 s y m m e t r y . A s B / A + 0 , t h e c u r r e n t a s s o c i a t e d w i t h t h e s e s y m m e t r i e s a p p r o a c h e s t h a t o n a n o p e n c i r c u i t e d t r a n s m i s s i o n l i n e . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i s s t r u c t u r e h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d b y C h u a n g [ 7 3 ] b y a n a l y z i n g p a r a l l e l c o u p l e d t h i n w i r e s . F o r a p a i r o f w i r e s e a c h o f l e n g t h L a n d r a d i u s a = 0 . 0 1 L / 2 a t a s e p a r a t i o n o f D = 0 . 2 L , h e h a s o b t a i n e d a v a l u e o f s = - 0 . 2 1 + j 1 . 4 0 c / ( L / 2 ) f o r t h e f i r s t o p e n c i r c u i t m o d e . F i g u r e 7 . 7 . 2 s h o w s t h a t t h e f i r s t o p e n c i r c u i t m o d e o f t h e e l l i p t i c a l l o o p ( c a s e 1 s y m m e t r y ) h a s a n a t u r a l f r e q u e n c y o f s = - 0 . 2 2 + j 1 . 4 2 c / A w h e n B / A = 0 . 2 . T h i s i s a v e r y c l o s e m a t c h . T h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t w o s e t s o f e l l i p t i - c a l m o d e s h a v e a l s o b e e n p l o t t e d , f o r B / A = 0 . 4 , a n d a r e s h o w n i n F i g u r e s 7 . 7 . 7 t h r o u g h 7 . 7 . 1 0 . F i g u r e 7 . 7 . 7 s h o w s t h e r e a l p a r t o f t h e c u r r e n t s w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e t w o m o d e s a r i s i n g f r o m t h e n = 2 T y p e I c i r c u l a r m o d e , w h i l e F i g u r e 7 . 7 . 8 s h o w s t h e i m a g i n a r y p a r t . S i m i - l a r l y , F i g u r e 7 . 7 . 9 d i s p l a y s t h e r e a l p a r t o f t h e c u r r e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e m o d e s a r i s i n g f r o m t h e n = 3 T y p e I c i r c u l a r m o d e , w h i l e F i g u r e 7 . 7 . 1 0 s h o w s t h e i m a g i n a r y p a r t . E a c h o f t h e s e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s i s p l o t t e d v e r s u s n o r m a l i z e d a r c l e n g t h p o s i t i o n ( n o t a n g l e . ) T h e r e a l p a r t s a r e s e e n t o b e q u i t e c l o s e t o s i n u s o i d a l d i s t r i b u t i o n s , d e s p i t e a 3 6 3 m ' U s U ' H I - 4 Q . a . - < 3 6 R e l a t i v e a r c . 3 l e n g t h p o s i t i o n H m H m I : - 0 0 5 ‘ 1 - h - . . I l " ‘ 1 | I " ' 1 L “ - 1 . 0 ‘ - F i g u r e 7 . 7 . 7 . R e a l p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = 0 . 4 , f o r c a s e 3 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 4 ( d o t t e d l i n e ) s y m - m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 2 c i r c u l a r m o d e . e d u t i l p m A d e l a c S F i g u r e 7 . 7 . 8 . 3 6 4 % ~ 4 " - 1 R e l a t i v e a r c l e n g t h p o s i t i o n I m a g i n a r y p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 3 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 4 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 2 c i r c u l a r m o d e . A m p l i t u d e i s s c a l e d r e l a t i v e t o r e a l p a r t . l - — - - r e d u t i l p m A e v i t a l e R 3 6 5 1 . 0 ‘ b - fi r - — - — - 0 . 5 J - J - R e l a t i v e a r c l e n g t h p o s i t i o n - 0 . 5 . - 1 . 0 - F i g u r e 7 . 7 . 9 . R e a l p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = 0 . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 3 c i r c u l a r m o d e . 3 6 6 0 . 0 3 u - , _ d " 1 I L " ‘ 1 - . I I “ ' 1 I L - q I 5 - w L " ; - _ % - m 1 R e l a t i v e a r c ' 3 l e n g t h p o s i t i o n . 2 . . . q E " ' 8 - 0 . 0 3 . . . . . ; m . 2 - 0 . 0 4 w - 0 0 0 5 - + - 0 . 0 6 d - — 0 . 0 7 : - - 0 0 0 8 c l - F i g u r e 7 . 7 . 1 0 . I m a g i n a r y p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = O . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m n = 3 c i r c u l a r m o d e . A m p l i t u d e i s s c a l e d r e l a t i v e t o r e a l p a r t . 3 6 7 v a l u e o f B / A d i r e c t l y i n t e r m e d i a t e b e t w e e n a c i r c l e ( B / A = 1 ) a n d a t r a n s m i s s i o n l i n e ( B / A = 0 ) . F i g u r e s 7 . 7 . 2 t h r o u g h 7 . 7 . 6 s h o w t h a t e a c h T y p e I p o l e s p l i t s i n t o f r e q u e n c i e s w h i c h h a v e v e r y s i m i l a r i m a g i n a r y p a r t s , b u t d i f f e r e n t r e a l p a r t s . T h u s , i t m i g h t s e e m a t f i r s t t h a t a m e a s u r e m e n t o f t h e r e s p o n s e o f t h i s t a r g e t w o u l d p r o v i d e a g o o d m e a n s o f c h e c k i n g t h e a b i l i t y o f n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n s c h e m e s t o s e p a r a t e n e a r l y d e g e n e r a t e m o d e s . H o w e v e r , t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t o n l y a l l o w s t r a n s - m i s s i o n o v e r a c o n d u c t i n g g r o u n d s c r e e n . B e c a u s e o f t h e i m a g e e f f e c t , t h i s a l l o w s c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s o b e y i n g o n l y s y m m e t r y c a s e s 1 a n d 3 o r o n l y 2 a n d 4 t o b e p r e s e n t a t o n e t i m e ( d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r t h e l o n g o r s h o r t a x i s o f t h e e l l i p s e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . ) I t i s n o w a p p a r e n t t h a t T y p e I c i r c u l a r m o d e s s p l i t i n t o e l l i p t i c a l m o d e s w h i c h m a k e i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s t o t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e . T h e q u e s t i o n r e m a i n s a s t o w h e t h e r a n y T y p e I I o r T y p e I I I c i r c u l a r m o d e s b e c o m e i m p o r t a n t e l l i p t i c a l m o d e s . T h a t i s , d o a n y o f t h e T y p e I I o r T y p e I I I p o l e s s p l i t i n t o n a t u r a l f r e q u e n c i e s w h i c h h a v e t r a j e c t o r i e s c a r r y i n g t h e m n e a r t o t h e i m a g i n a r y a x i s ? I t i s a l s o i m p o r t a n t t o a s k w h e t h e r a n y e l l i p t i c a l f r e q u e n c i e s e x i s t w h i c h d o n o t a r i s e f r o m c i r c u l a r p o l e s . A n e x t e n s i v e s e a r c h o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y p l a n e h a s n o t b e e n p e r f o r m e d , a n d t h u s t h e l a t t e r q u e s t i o n c a n n o t b e a n s w e r e d . H o w e v e r , a p r e l i m i n a r y i n v e s t i g a t i o n i n t o t h e p r o p e r t i e s o f t h e T y p e I I p o l e s h a s b e e n u n d e r t a k e n . T h e n = 1 f r e q u e n c y o f t h e f i r s t l a y e r o f T y p e I I p o l e s i s f o u n d b y s o l v i n g e q u a t i o n ( 7 . 3 . 1 6 ) t o b e s = - 1 . 3 5 + j 1 . 5 5 c / A . F i g u r e 3 6 8 7 . 7 . 1 1 s h o w s t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e t w o e l l i p t i c a l l o o p f r e q u e n c i e s w h i c h s p l i t o f f f r o m t h i s p o l e . E a c h i s s e e n t o h a v e d a m p i n g c o e f f i c i e n t s w h i c h i n c r e a s e ( n e g a t i v e l y ) a s B / A i s d e c r e a s e d . T h i s m e a n s t h a t t h i s s e t o f p o l e s d o e s n o t c o r r e s p o n d t o m o d e s w h i c h m a k e i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s t o t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e o f t h e e l l i p t i c a l l o o p . F i g u r e s 7 . 7 . 1 2 a n d 7 . 7 . 1 3 s h o w t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e n a t u r a l f r e q u e n c i e s , f o r a v a l u e o f B / A = 0 . 4 . W i t h t h e a b o v e i n f o r m a t i o n , i t i s n o t a b a d a s s u m p t i o n t h a t o n l y T y p e I c i r c u l a r p o l e s g i v e r i s e t o e l l i p t i c a l m o d e s w h i c h m a k e i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s t o t h e l a t e — t i m e r e s p o n s e o f t h e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r . T h u s , i t i s p o s s i b l e t o c o n s t r u c t E - p u l s e s w h i c h s h o u l d d o a g o o d j o b o f e x t i n g u i s h i n g t h e l a t e — t i m e r e s p o n s e o f t h i s t a r g e t . F i g u r e 7 . 7 . 1 4 s h o w s a m i n i m u m d u r a t i o n n a t u r a l E - p u l s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e T y p e I m o d e s o f t h e c i r c u l a r l o o p ( w h o s e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 7 . 7 . 1 . ) T h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h i s E - p u l s e a n d t h e t h i n c y l i n d e r E - p u l s e o f F i g u r e 5 . 5 . 1 . 2 i s m o s t s t r i k i n g , b u t e a s i l y e x p l a i n e d b y t h e s i m i l a r i t i e s i n t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e t w o o b j e c t s . F i g u r e 7 . 7 . 1 5 s h o w s a n E - p u l s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e t e n e l l i p t i c a l m o d e s w h i c h a r i s e f r o m t h e f i r s t f i v e T y p e I c i r c u l a r m o d e s , f o r B / A = 0 . 4 . T h i s E - p u l s e w a v e f o r m i s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h a t o f t h e c i r c u l a r l o o p , b u t i s s t i l l v e r y w e l l b e h a v e d . T h i s s u g g e s t s t h a t n a t u r a l E - p u l s e s s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e n e a r l y d e g e n e r a t e m o d e s c a n b e q u i t e s m o o t h , a n i m p o r t a n t f a c t s i n c e m o s t r e a l i s t i c t a r g e t s w i l l p r o b a b l y h a v e s u c h m o d e s . y c n e u q e r f n a i d a r d e z i l a m r o N 3 6 9 ‘ 3 ‘ 0 ‘ ? B C 3 — . = . _ ‘ c ) A 0 3 A I D i . 3 9 . 1 \ 1 r ‘ 9 0 . 4 0 . \ 0 . 7 c 3 - \ 0 0 . 8 c u . 9 \ G I . 9 5 x x x x — x — x - x — > & 1 2 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 5 o , 3 I I I I j “ 3 0 0 4 0 6 4 0 2 \ 1 0 8 ‘ 1 0 4 - 1 0 0 N o r m a l i z e d d a m p i n g c o e f f i c i e n t o / ( c / A ) F i g u r e 7 . 7 . 1 1 . C a s e 1 ( c i r c l e s ) a n d c a s e 2 ( c r o s s e s ) n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i n w i r e e l l i p s e o f w i r e r a d i u s a = 0 . 0 1 A a r i s i n g f r o m f i r s t l a y e r T y p e I I n = 1 c i r c u l a r m o d e , f o r v a r i o u s v a l u e s o f B / A . 3 7 0 1 0 0 d b - fl “ ' 1 L - . . I 5 - Q I I I . - . I I ' - - - I I I L ' 1 I I L " ! 0 1 ' 3 u " 1 ' 7 0 5 : " 4 u p a . ' L E “ ' I I I a ) > “ ' 1 ” 4 I u I C O . — I I . - . 0 1 I ‘ 3 ‘ I L ’ 1 R e l a t i v e a r c l e n g t h p o s i t i o n F i g u r e 7 . 7 . 1 2 . R e a l p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = 0 . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m f i r s t l a y e r T y p e I I n = 1 c i r c u l a r m o d e . 3 7 1 R e l a t i v e a r c l e m g t h p o s i t i o n < 1 ) 5 . 3 - 0 . 2 * 1 : - r - I 9 - I 5 I I 8 3 ' " . 4 — 0 . 3 - - . ( U I U I m I . . - - I I I I - 0 0 4 " L : , - J I I I I f ‘ J - O . 5 - P : L - d F i g u r e 7 . 7 . 1 3 . I m a g i n a r y p a r t o f c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n e l l i p s e w i t h B / A = 0 . 4 , f o r c a s e 1 ( s o l i d l i n e ) a n d c a s e 2 ( d o t t e d l i n e ) s y m m e t r i e s a r i s i n g f r o m f i r s t l a y e r T y p e I I n = 1 c i r c u l a r m o d e . A m p l i t u d e i s s c a l e d r e l a t i v e t o r e a l p a r t . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 1 00 . 0 3 7 2 . 0 F i g u r e 7 . 7 . 1 4 . I r 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( A / c ) N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i r s t f i v e T y p e I m o d e s o f t h e c i r c u l a r l o o p s c a t t e r e r . 0 . 0 1 1 e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 0 3 7 3 0 . 0 F i g u r e 7 . 7 . 1 5 . I I I 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 N o r m a l i z e d t i m e t / ( A / c ) N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e t e n m o d e s o f t h e e l l i p t i c a l l o o p s c a t t e r e r a r i s i n g f r o m t h e f i r s t f i v e T y p e I c i r c u l a r m o d e s , f o r B / A = 0 . 4 . C H A P T E R 8 E X P E R I M E N T 8 . 1 I n t r o d u c t i o n B e s i d e s p r o v i d i n g a b a s i c d e s c r i p t i o n o f t h e M S U s c a t t e r i n g r a n g e a n d m e a s u r e m e n t f a c i l i t i e s , t h i s c h a p t e r h a s t w o m a i n p u r p o s e s . T h e f i r s t i s t o p r e s e n t e x p e r i m e n t a l j u s t i f i c a t i o n f o r u s i n g t h e S E M e x p a n s i o n o f t h e l a t e - t i m e t a r g e t s c a t t e r e d f i e l d w a v e f o r m . T h i s i s . a c c o m p l i s h e d b y c o m p a r i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a t h i n c y l i n d e r t a r g e t o b t a i n e d f r o m a t i m e d o m a i n m e a s u r e m e n t o f s c a t t e r e d f i e l d o r s u r f a c e c u r r e n t w i t h t h o s e p r e d i c t e d f r o m S E M a n a l y s i s . A v e r i f i - c a t i o n o f t h e a s p e c t i n d e p e n d e n c e o f t a r g e t n a t u r a l f r e q u e n c i e s w i l l a l s o b e g i v e n , v i a t i m e d o m a i n s u r f a c e c u r r e n t m e a s u r e m e n t s t a k e n a t m u l t i p l e a s p e c t s . N o t e t h a t e a c h o f t h e s e t a s k s r e q u i r e s t h e u t i l i - z a t i o n o f a n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n s c h e m e , a n d t h u s a l s o p r o v i d e s a p r a c t i c a l t e s t f o r t h e t e c h n i q u e s o f c h a p t e r 6 . S e c o n d , w i t h t h e l e g i t i m a c y o f t h e S E M e x p a n s i o n s t r e n g t h e n e d b y e m p i r i c a l o b s e r v a t i o n , a n e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t c a n b e s o u g h t . T h i s i s d o n e u s i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d m e a s u r e m e n t s o f t w o a i r c r a f t s c a l e m o d e l s - - t h o s e o f a B o e i n g 7 0 7 a n d a M c D o n n e l D o u g l a s F - 1 8 . 3 7 4 3 7 5 8 . 2 E x p e r i m e n t a l F a c i l i t y a n d M e a s u r e m e n t S y s t e m A f a c i l i t y f o r t h e m e a s u r e m e n t o f t h e t i m e d o m a i n s c a t t e r e d f i e l d , s u r f a c e c u r r e n t , a n d s u r f a c e c h a r g e r e s p o n s e o f r a d a r t a r g e t s h a s b e e n e s t a b l i s h e d a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . A r o u g h s k e t c h o f t h i s t r a n s i e n t s c a t t e r i n g r a n g e i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 1 . T a r g e t e x c i t a t i o n i s p r o v i d e d b y a n i n c i d e n t e l e c t r o m a g n e t i c w a v e r a d i a t e d b y a m o n o c o n e a n t e n n a s u s p e n d e d o v e r a l a r g e c o n d u c t i n g g r o u n d s c r e e n . T h e a n t e n n a h a s a n a x i a l h e i g h t o f 2 . 4 m e t e r s , a p o l a r a n g l e o f 8 0 , a n d a c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e o f 1 6 0 0 . I t t r a n s m i t s a s p h e r i c a l T E M w a v e w h i c h a p p r o x i m a t e s a p l a n e w a v e p o l a r i z e d p e r p e n - d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n a t t h e p o s i t i o n o f t h e t a r g e t . T h e g r o u n d s c r e e n c o n s i s t s o f n i n e i n d i v i d u a l 4 x 8 f t a l u m i n u m s h e a t h e d m o d u l e s , a n d h a s o v e r a l l d i m e n s i o n s o f 1 6 x 2 0 f t . T h i s p r o v i d e s a " w i n d o w " o f a p p r o x i m a t e l y 1 4 n a n o s e c o n d s i n w h i c h t o p e r f o r m t h e m e a s u r e m e n t s , b e f o r e r e f l e c t i o n s f r o m t h e e d g e s o f t h e g r o u n d s c r e e n a n d t h e t o p o f t h e a n t e n n a r e t u r n . F i g u r e 8 . 2 . 2 s h o w s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m e a s u r e - m e n t s y s t e m a s s o c i a t e d w i t h t h e s c a t t e r i n g r a n g e . R e c e p t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s c a t t e r e d b y a r a d a r t a r g e t i s p r o v i d e d b y t h e i n d i c a t e d ( 2 c m ) m o n o p o l e p r o b e , w h i c h i s l o c a t e d a b o u t 1 . 4 m f r o m t h e t r a n s m i t t i n g a n t e n n a . T a r g e t s u r f a c e c h a r g e o r s u r f a c e c u r r e n t c a n a l s o b e m e a s u r e d b y p l a c i n g a s h o r t m o n o p o l e o r a ( 5 m m d i a m e t e r ) s h i e l d e d l o o p p r o b e [ 7 5 ] d i r e c t l y o n t h e s u r f a c e o f t h e t a r g e t . T h e c o n n e c t i o n s s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 2 r e m a i n u n c h a n g e d . T h e m o n o c o n e a n t e n n a i s d r i v e n b y a T e k t r o n i x 1 0 9 p u l s e r , w h i c h p r o v i d e s q u a s i - r e c t a n g u l a r p u l s e s ( 1 0 0 p s r i s e t i m e ) o f a p p r o x i m a t e l y 3 7 6 t r a n s a n t e n n a I I l , ' p r o b e / I ’ I I I , A I I I I I ] I 7 ' V t a r g e t , I I I I I ’ , I I , I I I I l / I . . . . . I . - ' . . ‘ _ - . . - _ . _ J _ _ - - r _ - - - 4 - - _ - _ - _ - - 1 - - _ - I r e f e r e n c e / p r o b e / I I I I l M S U t r a n s i e n t s c a t t e r i n g r a n g e . F i g u r e 8 . 2 . 1 . — ; / m e 0 t 5 s 7 y - s R E r B e g n e i g s a s r e o c t o Y t s r C u p e n o h m p e e d l o e m / p a t U m t d S o a n M C d a % 5 8 ~ / / / / / e s g e k a v s r i i o r d t d s r e t u p m o c o r c n o i g t n i i s s i s u e q c r e t 9 r I D e - v c o l a A n . m a r p o e c t 3 a i s / m / e l o p e / . o b v n o c o r r m p | e l b a y i a r l a e v d m . n e t t a m e n . o s c n o a M n r E t T o m 7 e t a r . p e r z H k I e c e n l e o r p e e o b 7 f n o e o r r m p t d a n d a “ . ) J 2 ( y s t n D e t u o — t u g W 1 p e e w s m e r u s a e m e g n a r g n i . r t r e e t A ‘ v t a c s t e n p o g c n s i o l l p l m i a c s s o e i s n a r T . 2 . 2 . 8 e r u g i F 1 6 ° / / H V T _ : 1 t a r g e t G r o u n d s c r e e n H p 3 7 7 3 7 8 n a n o s e c o n d d u r a t i o n a t a r a t e o f 8 0 0 H z . A n e x t e r n a l p o w e r s u p p l y a l l o w s p u l s e a m p l i t u d e s o f u p t o 5 0 0 v o l t s . S i n c e t h e a n t e n n a i m p e d a n c e i s n e a r l y c o n s t a n t o v e r a l a r g e r a n g e o f f r e q u e n c i e s , t h e p u l s e i s t r a n s m i t t e d w i t h l i t t l e d i s t o r t i o n . A v a r i a b l e d e l a y i s p r o v i d e d b y a d j u s t i n g t h e c a b l e l e n g t h s i n t h e s y s t e m . T h i s a l l o w s t h e m o v e m e n t o f t h e t a r g e t r e s p o n s e r e l a t i v e t o o t h e r e v e n t s . T h e o u t p u t o f t h e p u l s e r i s u s e d t o t r i g g e r a T e k t r o n i x p s - r i s e t i m e s a m p l i n g o s c i l l o s c o p e . C h a n n e l B o f t h e s c o p e i s f e d b y t h e s i g n a l f r o m t h e t a r g e t r e s p o n s e p r o b e , w h i l e c h a n n e l A o f t h e s c o p e i s c o n n e c t e d t o a r e f e r e n c e p r o b e l o c a t e d a t a p o s i t i o n c o n v e n i e n t f o r t i m i n g p u r p o s e s . T h e r e f e r e n c e p r o b e i s u s e d t o m e a s u r e c h a n g e s i n t i m i n g a n d a m p l i t u d e b e t w e e n r u n s . A n a n a l o g - t o - d i g i t a l c o n v e r t e r i n t e r f a c e s t h e s a m p l i n g o s c i l l o s c o p e w i t h a I R S - 8 0 m i c r o c o m p u t e r , w h i c h a c q u i r e s t h e m e a s u r e d d a t a u n d e r s o f t w a r e c o n t r o l . E a c h o f t h e h o r i z o n t a l s w e e p v o l t a g e a n d t h e v e r t i c a l v o l t a g e s o f c h a n n e l A a n d c h a n n e l B o f t h e o s c i l l o s c o p e i s a c c e s s e d t h r o u g h a s e p a r a t e c h a n n e l i n t h e A / D c o n v e r t e r . O n c e m e a s u r e d d a t a h a s b e e n a c q u i r e d a n d i s i n t h e m i c r o - c o m p u t e r m e m o r y , i t c a n b e p r o c e s s e d a n d p l a c e d o n l o c a l d i s k m e m o r y o r t r a n s m i t t e d v i a t e l e p h o n e l i n e s t o t h e M S U C y b e r - 7 5 0 m a i n f r a m e c o m p u t e r s y s t e m . 8 . 3 D a t a A c q u i s i t i o n a n d P r o c e s s i n g P r o c e d u r e A s m e n t i o n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , r e c e p t i o n o f t a r g e t s c a t t e r e d f i e l d i s p r o v i d e d b y m e a n s o f a s h o r t m o n o p o l e p r o b e . T h e r e a s o n f o r u s i n g s u c h a l o w g a i n a n t e n n a i s t h a t i t s t r a n s f e r f u n c t i o n 3 7 9 i s e a s i l y m o d e l e d a s a p u r e d i f f e r e n t i a t o r . T h i s a l l o w s t h e e f f e c t s o f t h e r e c e i v i n g a n t e n n a t o b e r e m o v e d b y a p p l y i n g s i m p l e i n t e g r a t i o n t o t h e m e a s u r e d d a t a . T h e e f f e c t s o f a h i g h e r g a i n a n t e n n a , s u c h a s a h o r n , d o n o t m a n i f e s t t h e m s e l v e s s o s i m p l y , a n d r e q u i r e a d e c o n - v o l u t i o n p r o c e s s f o r t h e s e p a r a t i o n o f t h e t a r g e t r e s p o n s e f r o m t h e m e a s u r e d d a t a . T h e l o w g a i n o f t h e r e c e i v i n g p r o b e r e s u l t s i n a m e a s u r e d s i g n a l t h a t i s s e v e r e l y h a m p e r e d b y t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e . T o c o m b a t t h i s p r o b l e m , t h e d a t a a c q u i s i t i o n p r o c e s s i n v o l v e s m a k i n g r e p e a t e d m e a s u r e m e n t r u n s a n d a v e r a g i n g t h e r e s u l t s . T h i s h a s b e e n f o u n d t o i n c r e a s e t h e s i g n a l t o n o i s e r a t i o c o n s i d e r a b l y . H o w e v e r , i n c o n s i s t a n c i e s i n t h e m e a s u r e m e n t s b e t w e e n r u n s d u e t o o s c i l l o s c o p e t r i g g e r i n g j i t t e r , i n a c c u r a t e r e p r o d u c t i o n o f s a m p l i n g d e n s i t y , a n d d r i f t i n g o f t h e v e r t i c a l a m p l i f i e r c h a r a c t e r i s t i c s a n d t h e e x t e r n a l p o w e r s u p p l y v o l t a g e n e c c e s s i t a t e t h e i m p l e m e n t a t i o n o f f a i r l y s o p h i s t i c a t e d d a t a a c q u i s i t i o n a n d p r o c e s s i n g s o f t w a r e . F i g u r e 8 . 3 . 1 s h o w s w h a t m i g h t b e v i e w e d a s a t y p i c a l t r a c e o n t h e s a m p l i n g o s c i l l o s c o p e , d i s p l a y i n g b o t h t h e s i g n a l f r o m t h e t a r g e t p r o b e a n d t h e s i g n a l f r o m t h e r e f e r e n c e p r o b e . B e c a u s e t h e A / D c o n v e r t e r w i l l o n l y a c c e p t v o l t a g e v a l u e s b e t w e e n z e r o a n d f i v e v o l t s , t h e D C o f f s e t o n t h e v e r t i c a l a m p l i f i e r s o f e a c h c h a n n e l o f t h e s c o p e m u s t b e a d j u s t e d s o t h a t a n y p o r t i o n o f t h e t r a c e w h i c h i s t o b e m e a s u r e d a c c u r a t e l y f a l l s i n s i d e t h i s r a n g e . T h e f i r s t l a r g e p o s i t i v e g o i n g a n d n e g a t i v e g o i n g p e a k s o n b o t h t h e t a r g e t r e s p o n s e a n d r e f e r e n c e p r o b e t r a c e s r e p r e s e n t t h e d i f f e r e n t i a t e d v e r s i o n o f t h e i n c i d e n t p u l s e w a v e f o r m . T h e a m p l i f i e r g a i n o n t h e s c o p e i s t u r n e d u p 3 8 0 I I I I I I I I I I — — 1 5 V - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - — ' r e f e r e n c e - 4 v - t r a c e 3 v — A 2 v — 1 v - 0 v - - - - - - - - - — - t a r g e t t r a c e l l l l l l l l l t i m e F i g u r e 8 . 3 . 1 . T y p i c a l t a r g e t a n d r e f e r e n c e t r a c e s o n C R T o f o s c i l l o - s c o p e . 3 8 1 t o n e a r m a x i m u m o n t h e c h a n n e l w h i c h i n v o l v e s t h e t a r g e t t r a c e , t o a c c e n t u a t e t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e t a r g e t r e s p o n s e . H o w e v e r , t h i s c a u s e s t h e i n i t i a l t w o p e a k s t o v e n t u r e o u t s i d e t h e f i v e v o l t r a n g e a l l o w e d b y t h e A / D c o n v e r t e r . F o r t u n a t e l y , t h e p o s i t i v e g o i n g p e a k i s l i m i t e d a t f i v e v o l t s b y t h e s c o p e i t s e l f , a n d s o d o e s n o d a m a g e . T h e n e g a t i v e g o i n g p e a k f a l l s b e l o w t h e z e r o v o l t l e v e l , a n d t e m p o r a r i l y i n t e r r u p t s t h e a c q u i s i t i o n o f d a t a . T h i s i s a n i m p o r t a n t f a c t w h i c h m u s t b e e m p h a s i z e d : w h e n e v e r t h e A / D c o n v e r t e r i s p r e s e n t e d w i t h a n e g a t i v e v o l t a g e , m e a s u r e m e n t s o f A L L s i g n a l s a r e i n t e r f e r e d w i t h , a n d b e c o m e i n a c c u r a t e . F o r t u n a t e l y , t h e A / D c o n v e r t e r r e c o v e r s r a p i d l y a f t e r t h e n e g a t i v e v o l t a g e i s r e m o v e d . S c o p e g a i n a n d D C o f f s e t o n t h e r e f e r e n c e c h a n n e l a r e a d j u s t e d s o t h a t t h e e n t i r e w a v e f o r m , e s p e c i a l l y t h e f i r s t p o s i t i v e g o i n g p e a k , a r e w e l l w i t h i n t h e f i v e v o l t r a n g e a l l o w e d b y t h e A / D c o n v e r t e r . T h e h e i g h t a n d t i m e p o s i t i o n o f t h e f i r s t p e a k a r e u s e d a s t i m e a n d a m p l i t u d e r e f e r e n c e s f o r a d j u s t i n g e a c h d a t a r u n b e f o r e a v e r a g i n g . A s s u c h , i t i s i m p o r t a n t t h a t t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f t h i s p e a k i s r e m o v e d i n t i m e f r o m t h e p o s i t i o n o f t h e f i r s t n e g a t i v e g o i n g p e a k o f t h e t a r g e t t r a c e , f o r t h e r e a s o n s m e n t i o n e d a b o v e . T h i s i s e a s i l y a c c o m p l i s h e d b y c h o o s i n g t h e c o r r e c t c a b l e l e n g t h s , o r b y a d j u s t i n g t h e i n t e r n a l s c o p e d e l a y v i a t h e " B d e l a y " k n o b . F i g u r e 8 . 3 . 2 s h o w s a f l o w c h a r t o f t h e d a t a a c q u i s i t i o n a n d p r o c e s s i n g r o u t i n e s . T h e d a t a a c q u i s i t i o n p h a s e c o n s i s t s o f m a k i n g s e v e r a l ( t y p i c a l l y t e n ) s e p a r a t e t r a c e s , f i r s t w i t h t h e t a r g e t p r e s e n t , a n d t h e n w i t h t h e t a r g e t r e m o v e d . T h e o s c i l l o s c o p e s a m p l i n g d e n s i t y i s a d j u s t e d s u c h t h a t e a c h d a t a r u n t a k e s r o u g h l y f i v e s e c o n d s t o . g n i s s e c o r e d 0 r n 5 u a 7 t — u , . p s g r f q n e e d h . i g f r o f e s n n C g s i a e t f d o g n n n a . i o f r t s i s o a n o i t t t n t f n U l r c t o o c a o S o o o l l e r T i a r M r l t P p p T F t y u S p p c h a s r c a s n F a r t i i g t i e n s i n h m u e i i f p o s a r l a r u a G r s t o i a r m r t i u i o e t o f l g n F e r e r e r d a F t i v d p p e g a t r e o s t s i u q c a a t a — d — — — — - a t d e l l o r t n e a g a s t e e a o a t a g g d c r d a a a d l o d a r e r d t S i d o t o e r t h e t a t s n c g s S S r k e a g a y e e t u s u e i q D e f r e v k a e k l c s t s o l t p i a n i r u S o a D i d D f p “ " “ “ [ F ‘ — — P m o c o r c i m r o f t l d e n e . o s s s a e t , t c g - l r n e i v a e h l a v t y l o f b . c w o l i t l d a e s t a p e n s r e i t v a e e e b $ a 0 j d 0 e l a m v v o s t i a n r u u p e a m i C 0 t q N I C t d s e e r d D s D r a n e g R d e A o s t l s o t c e n F _ o e a o u s e n i t t s s l a p r t d r e g m v f e a t a £ i p v a r o i i v r c v g o a u u h o r c e n r u o e e r a e 0 q c m e t c f D n c m t t t c f a e v e f n a e e c n n n . 2 A o e R a o d r e R r a i I i . 3 . 8 e r u g i F R a w D a t a D a t a A v e r a g i n g * — D i s k S t o r a q e D a t a I n t e g r a t i o n 3 8 2 3 8 3 c o m p l e t e . I t i s i m p o r t a n t t h a t t h e s a m p l i n g d e n s i t y b e h i g h e n o u g h f o r t h e t a r g e t r e s p o n s e t o b e a c c u r a t e l y r e p r o d u c e d . D a t a a c q u i s i t i o n s o f t w a r e ( a F O R T R A N p r o g r a m ) a l l o w s t h e s e l e c t i o n o f A / D c o n v e r t e r s a m p l i n g r a t e s v a r y i n g f r o m z e r o t o 1 0 0 0 s a m p l e s p e r s e c o n d . H o w e v e r , t h e a m o u n t o f a v a i l a b l e m i c r o c o m p u t e r m e m o r y p u t s a l i m i t o n t h e n u m b e r o f p o i n t s a l l o w e d i n e a c h d a t a r u n : 4 0 0 w h e n u s i n g p r o g r a m D A T P R O C f o r p r o c e s s i n g , a n d 1 0 0 0 w h e n u s i n g r o u t i n e D A T P R O L . T h u s , a s a m p l i n g r a t e o f 4 0 0 s a m p l e s / 5 s e c o n d s = 8 0 s a m p l e s / s e c i s t y p i c a l . T h e d a t a a c q u i s i t i o n p h a s e b e g i n s b y r u n n i n g t h e F O R T R A N p r o g r a m D A T A C Q . T h i s p r o g r a m c o n t r o l s t h e A / D c o n v e r t e r a n d i n t e r f a c e s w i t h t h e e x p e r i m e n t e r v i a k e y b o a r d c o n t r o l . I t b e g i n s b y a s k i n g f o r t h e n u m b e r , N , o f t a r g e t r u n s ( t a r g e t p r e s e n t ) a n d c l u t t e r r u n s ( t a r g e t a b s e n t ) t h e o p e r a t o r w i s h e s t o m a k e , t h e A / D c o n v e r t e r s a m p l i n g r a t e d e s i r e d , a n d t h e s c o p e t i m e p e r d i v i s i o n u s e d ( t y p i c a l l y o n e o r t w o n a n o s e c o n d s ) . I t w i l l t h e n l o o p t h r o u g h t h e e n t i r e d a t a a c q u i s i t i o n p r o c e s s N t i m e s . A t e a c h s t e p t h e o p e r a t o r i n d i c a t e s t h a t h e / s h e w a n t s t h e a c q u i s i t i o n o f t h e c u r r e n t d a t a s e t t o b e g i n . T h e p r o g r a m s t a r t s c o n v e r t i n g t h e h o r i z o n t a l v o l t a g e c h a n n e l a n d w a i t s f o r t h e v o l t a g e t o e x c e e d a p r e s e t l e v e l ( a r o u n d 5 0 m v ) . T h u s , t h e s y s t e m s i t s i d l e u n t i l t h e e x p e r i m e n t e r p u s h e s t h e s i n g l e s w e e p b u t t o n o n t h e s c o p e . T h i s i n i t i a t e s t h e t r a c e a n d t h e c o m p u t e r b e g i n s t o s t o r e d a t a f o r t h e h o r i z o n t a l a n d t h e t w o v e r t i c a l v o l t a g e s i n F O R T R A N a r r a y s . I t i s i m p o r t a n t f o r t h e o p e r a t o r t o a d j u s t t h e t i m i n g s o t h a t t h e u p w a r d g o i n g e d g e o f t h e f i r s t p e a k d o e s n o t s t a r t u n t i l a t l e a s t t w e n t y s a m p l e s i n t o t h e t r a c e . T h i s f i r s t g r o u p o f s a m p l e s i s u s e d t o d e t e r m i n e t h e D C l e v e l s o f t h e t a r g e t a n d r e f e r e n c e t r a c e s a t t h e 3 8 4 b e g i n n i n g o f t h e d a t a r u n . I t i s a l s o i m p o r t a n t t h a t t h e A / D s a m p l i n g r a t e b e a d j u s t e d s o t h a t a t l e a s t t w e n t y s a m p l e s a r e t a k e n a f t e r t h e s c o p e h a s p e r f o r m e d i t s r e t r a c e . T h i s g r o u p i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e D C l e v e l s a t t h e e n d o f t h e r u n . T h e D C l e v e l s a r e s u b t r a c t e d f r o m t h e d a t a d u r i n g s u b s e q u e n t d a t a p r o c e s s i n g . A f t e r t h e d a t a r u n h a s f i n i s h e d , t h e c o m p u t e r g i v e s t h e o p e r a t o r t h e o p t i o n o f r e t a k i n g t h e r u n ( i n c a s e o f p r o b l e m s i n c u r r e d d u r i n g t h e s w e e p ) , v i e w i n g t h e a c q u i r e d d a t a , r e s e t t i n g t h e s a m p l i n g r a t e , o r w r i t i n g t h e d a t a t o f l o p p y d i s k . E a r l y v e r s i o n s o f t h e d a t a a c q u i s i t i o n r o u t i n e w r o t e e a c h o f t h e s a m p l e d h o r i z o n t a l a n d t h e t w o v e r t i c a l v o l t a g e s t o d i s k . H o w e v e r , t h i s i s m o r e i n f o r m a t i o n t h a n n e e d s t o b e s a v e d . P r o g r a m D A T A C Q s t i l l w r i t e s t h e t a r g e t v e r t i c a l v o l t a g e d a t a s e r i e s , b u t i n s t e a d o f w r i t i n g t h e e n t i r e h o r i z o n t a l d a t a s e t , i t c a l c u l a t e s a n d w r i t e s o n l y t h e n u m b e r o f s a m p l e s t a k e n b e f o r e t h e r e t r a c e . T h i s d e t e r m i n e s t h e r e a l t i m e ( s c o p e ) s a m p l i n g d e n s i t y , w h i c h i s a s s u m e d t o r e m a i n c o n s t a n t d u r i n g a t r a c e . N e x t , r a t h e r t h a n w r i t i n g t h e e n t i r e r e f e r e n c e v e r t i c a l v o l t a g e d a t a s e t t o d i s k , t h e p r o g r a m c a l c u l a t e s a n d w r i t e s t h e D C l e v e l a t t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f t h e r e f e r e n c e t r a c e ( b y a v e r a g i n g t h e s a m p l e s ) , t h e s a m p l e t i m e o f t h e r e f e r e n c e p e a k , a n d t h e v e r t i c a l v o l t a g e v a l u e s o f t h e r e f e r e n c e p e a k a n d i t s t w o n e a r e s t n e i g h b o r s . I t i s i m p o r t a n t t o k e e p t h e d i s k w r i t i n g t i m e t o a m i n i m u m i n o r d e r t o m a k e t h e e n t i r e d a t a a c q u i s i t i o n p r o c e s s a s s h o r t a s p o s s i b l e . T h i s m i n i m i z e s t h e a m o u n t o f s c o p e d r i f t i n g b e t w e e n d a t a r u n s . A f t e r N r u n s a r e c o m p l e t e d w i t h t h e t a r g e t p r e s e n t , a n e q u a l n u m b e r o f r u n s a r e t a k e n w i t h t h e t a r g e t r e m o v e d . I f t h e t a r g e t 3 8 5 s u r f a c e c u r r e n t o r s u r f a c e c h a r g e i s t o b e m e a s u r e d , t h e n t h i s s t e p i s e l i m i n a t e d . W h e n t h e l a s t d a t a s e t h a s b e e n w r i t t e n t o d i s k , t h e d a t a a c q u i s i t i o n p h a s e i s c o m p l e t e . D a t a p r o c e s s i n g b e g i n s b y r u n n i n g e i t h e r p r o g r a m D A T P R O C o r D A T P R O L . B o t h p r o g r a m s a r e w r i t t e n i n F O R T R A N , a n d r u n a u t o m a t i c a l l y , w i t h o u t a n y u s e r i n p u t . T h e r e f e r e n c e d a t a s e t f o r t h e f i r s t t a r g e t r u n i s r e a d f r o m d i s k i n t o c o m p u t e r m e m o r y a n d t h e r e a l t i m e p o s i t i o n ( i n n a n o s e c o n d s ) a n d t h e a m p l i t u d e o f t h e r e f e r e n c e p e a k a r e c a l c u l a t e d . T h e D C l e v e l o f t h e r e f e r e n c e s i g n a l i s r e m o v e d b y p e r f o r m i n g l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n t h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g D C l e v e l s , a n d s u b - t r a c t i n g . I t i s f o u n d t h a t t h e s e t w o l e v e l s a r e r a r e l y t h e s a m e , d u e t o d r i f t i n g i n t h e s c o p e a m p l i f i e r s d u r i n g t h e d a t a r u n . T h e r e i s a c t u a l l y n o r e a s o n t o b e l i e v e t h a t t h i s d r i f t i s l i n e a r , b u t s u c h a n a p p r o x i m a t i o n i s a l l t h a t i s a v a i l a b l e . A l s o c a l c u l a t e d f r o m t h e f i r s t r u n i s t h e s c o p e s a m p l i n g d e n s i t y . E a c h o f t h e s e p a r a m e t e r s i s s t o r e d i n m e m o r y a n d i s u s e d a s a r e f e r e n c e f o r c o m p a r i s o n w i t h l a t e r d a t a r u n s . T h e v e r t i c a l t a r g e t d a t a s e t f o r t h e f i r s t t a r g e t r u n i s a l s o r e a d i n t o m e m o r y . T h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g D C l e v e l s a r e c a l c u l a t e d b y a v e r a g i n g t h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g s a m p l e s , a n d a r e s u b t r a c t e d o f f i n t h e s a m e l i n e a r f a s h i o n a s a b o v e . T h i s d a t a s e t i s t h e n u s e d a s t h e b a s i s w i t h w h i c h t o c o m p a r e t h e r e m a i n i n g s e t s . F o l l o w i n g t h e a n a l y s i s o f t h e i n i t i a l r u n , e a c h a d d i t i o n a l d a t a s e t i s r e a d i n t o m e m o r y a n d p r o c e s s e d . F i r s t t h e D C l e v e l o f t h e r e f e r e n c e s i g n a l i s s u b t r a c t e d o f f , a s b e f o r e . T h e n t h e s a m p l i n g d e n s i t y i s r e a d f r o m d i s k , a n d t h e t i m e s c a l e i s a d j u s t e d t o m a t c h 3 8 6 t h a t o f t h e f i r s t d a t a s e t . N e x t , t h e a m p l i t u d e a n d t i m e p o s i t i o n o f t h e r e f e r e n c e p e a k a r e c a l c u l a t e d . T h e s e a r e u s e d t o s c a l e a n d s h i f t t h e t r a c e t o m a t c h t h e r e f e r e n c e s i g n a l o f t h e f i r s t d a t a s e t . T h e l a s t s t e p b e f o r e a v e r a g i n g i s t o c a l c u l a t e t h e D C l e v e l s a t t h e b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e t a r g e t d a t a s e t , s u b t r a c t t h e D C l e v e l o n a l i n e a r s c a l e , a n d , f i n a l l y , s c a l e t h e t a r g e t d a t a s e t b y t h e s a m e a m o u n t a s r e q u i r e d t o m a t c h t h e a m p l i t u d e s o f t h e r e f e r e n c e p e a k s . N o w , s i n c e i t i s l i k e l y t h a t n e i t h e r t h e r e f e r e n c e p e a k p o s i t i o n n o r s a m p l i n g d e n s i t y w i l l m a t c h t h a t o f t h e f i r s t r u n , i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o e m p l o y a n i n t e r p o l a t i o n s c h e m e i n o r d e r t o a v e r a g e s u b s e q u e n t d a t a s e t s w i t h t h e f i r s t . T h i s i s w h e r e r o u t i n e s D A T P R O C a n d D A T P R O L d i f f e r . P r o g r a m D A T P R O C e m p l o y s a c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o n p r o c e s s [ 4 8 ] , w h i c h r e q u i r e s a c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f c o m p u t e r m e m o r y , a n d t a k e s q u i t e a b i t o f t i m e t o e x e c u t e . H o w e v e r , i t i s v e r y a c c u r a t e . I n c o n t r a s t , p r o g r a m D A T P R O L p e r f o r m s a s i m p l e , l e s s a c c u r a t e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n d a t a p o i n t s . T h e d i f f e r e n c e i n e x e c u t i o n t i m e i s q u i t e s u b s t a n t i a l . F o r e x a m p l e , i t t a k e s a b o u t t w e n t y m i n u t e s t o p r o c e s s t e n d a t a a n d t e n c l u t t e r r u n s o n t h e T R S - 8 0 u s i n g D A T P R O C , a n d o n l y f i v e m i n u t e s u s i n g D A T P R O L . A l s o , b e c a u s e i t d o e s n o t n e e d s p l i n i n g a r r a y s , D A T P R O L a l l o w s u p t o 1 0 0 0 d a t a p o i n t s t o b e p r o c e s s e d f o r e a c h r u n , a s o p p o s e d t o t h e 4 0 0 p o i n t s a l l o w e d b y D A T P R O C . M o s t i m p o r t a n t l y , e x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t w i t h t h e t y p i c a l l y h i g h e x p e r i m e n t a l n o i s e l e v e l s , u s i n g l i n e a r i n t e r p o l a t i o n g i v e s n e a r l y i d e n t i c a l r e s u l t s a s u s i n g c u b i c s p l i n e s . T h u s , u s e o f p r o g r a m D A T P R O L i s s u g g e s t e d . A s a f o o t n o t e , t h e F O R T R A N r o u t i n e s A C Q D A T a n d D A T P R O l a r e 3 8 7 s l i g h t l y d i f f e r e n t v e r s i o n s o f D A T A C Q a n d D A T P R O C , m o d i f i e d b y M a r t i n P e r r i n e , w h i c h a l l o w t h e m e a s u r e m e n t o f t a r g e t s u r f a c e c u r r e n t a n d s u r f a c e c h a r g e . T h e s e r o u t i n e s m e r e l y a v o i d t h e a c q u i s i t i o n a n d p r o c e s s i n g o f c l u t t e r w a v e f o r m s . A v e r a g i n g o f s u b s e q u e n t d a t a s e t s i s a c c o m p l i s h e d b y u s i n g t h e f i r s t d a t a s e t a s a t i m e b a s i s . T h e d a t a f r o m t h e s u b s e q u e n t s e t s i s i n t e r p o l a t e d t o f i n d t h e v a l u e s a t t h e t i m e s o f t h e f i r s t s e t ' s p o i n t s , a n d i s a d d e d o n t o ( f o r t a r g e t r u n s ) o r s u b t r a c t e d o f f f r o m ( f o r c l u t t e r r u n s ) t h e d a t a i n t h e f i r s t s e t . I f e v e r y t h i n g h a s g o n e p e r f e c t l y , w h e n a l l t h e d a t a s e t s h a v e b e e n p r o c e s s e d , t h e n e t r e s u l t i s t h e c l u t t e r - f r e e , d i f f e r e n t i a t e d r e s p o n s e o f t h e t a r g e t . T h i s r e s p o n s e i s f i n a l l y w r i t t e n t o f l o p p y d i s k a s t h e p r o c e s s e d d a t a . T h e d a t a p r o c e s s i n g a s d e s c r i b e d a b o v e i s f a i r l y c o m p l e x , a n d i t i s n o t w i s e t o t r u s t t h e s o f t w a r e o n m e a s u r e d d a t a w i t h o u t f i r s t c o n f i r m i n g i t s v i a b i l i t y . T o t h i s e n d , p r o g r a m P R O C T S T h a s b e e n d e v e l o p e d w h i c h g e n e r a t e s t e n a r t i f i c i a l t a r g e t a n d c l u t t e r r u n s . E a c h r u n i s g i v e n d i f f e r e n t s a m p l i n g d e n s i t i e s , s t a r t i n g a n d e n d i n g D C l e v e l s , r e f e r e n c e w a v e f o r m a m p l i t u d e s , a n d r e f e r e n c e w a v e f o r m p o s i t i o n s . T h e t a r g e t r e s p o n s e i s c o n s t r u c t e d a s a p e r f e c t s i n e w a v e , a n d t h e c l u t t e r + i n c i d e n t f i e l d w a v e f o r m a s a s i n c f u n c t i o n w h i c h i s l i m i t e d b e f o r e r e a c h i n g i t s p e a k ( a f t e r t h e D C h a s b e e n a d d e d ) . T h e r e f e r e n c e w a v e f o r m i s a l s o c o n s t r u c t e d f r o m a s i n c f u n c t i o n , w i t h a m u c h s m a l l e r a m p l i t u d e . T h e g e n e r a t e d d a t a i s a l l w r i t t e n t o d i s k u s i n g a f o r m a t i d e n t i c a l w i t h p r o g r a m D A T A C Q . T h u s , w h e n D A T P R O C o r D A T P R O L a r e e m p l o y e d , t h e r e s u l t s h o u l d b e a p e r f e c t s i n e w a v e . T h i s t e s t h a s b e e n p e r f o r m e d , a n d h a s p r o v e n t h e v a l i d i t y o f e a c h r o u t i n e . 3 8 8 A n u m b e r o f a d d i t i o n a l s t e p s a r e a v a i l a b l e f o r f u r t h e r e n h a n c e - m e n t o f t h e p r o c e s s e d d a t a . D A T A S U M i s a F O R T R A N p r o g r a m w h i c h i n t e g r a t e s t h e p r o c e s s e d d a t a b y u s i n g a s i m p l e r u n n i n g s u m . T h i s a l l o w s t h e d i f f e r e n t i a t i o n i n t r o d u c e d b y t h e r e c e i v i n g p r o b e t o b e r e m o v e d . H o w e v e r , i f t h e D C l e v e l o f t h e m e a s u r e d r e s p o n s e h a s n o t b e e n h a n d l e d a d e q u a t e l y , t h e r e w i l l b e a n u n w a n t e d r a m p c o m p o n e n t a d d e d t o t h e i n t e g r a t e d d a t a . P r o g r a m D A T A D J e x i s t s b o t h a s a B A S I C a n d a F O R T R A N p r o g r a m f o r t h e r e m o v a l o f t h i s d r i f t . T h e B A S I C p r o g r a m i s r u n f i r s t , a l l o w i n g t h e u s e r t o c h o o s e t h e s l o p e a n d i n t e r c e p t o f a l i n e a r c u r v e w h i c h i s s u b t r a c t e d f r o m t h e i n t e g r a t e d d a t a . T h e u s e r c a n t h e n h a v e t h e r e s u l t p l o t t e d o n t h e C R T o f t h e m i c r o c o m p u t e r , a n d v i e w t h e r e s p o n s e . I f i t i s n o t t o h e r / h i s l i k i n g , h e / s h e c a n i n p u t n e w p a r a m e t e r s . O n c e t h e s l o p e a n d i n t e r c e p t o f t h e b e s t l i n e h a v e b e e n d e t e r m i n e d , t h e F O R T R A N v e r s i o n o f D A T A D J i s r u n , w r i t i n g t h e e n d r e s u l t t o f l o p p y d i s k . A t a n y p o i n t i n t h e d a t a a n a l y s i s , B A S I C p r o g r a m D A T P L O T a l l o w s t h e p l o t t i n g o f a d i s k f i l e d a t a s e t o n t h e C R T s c r e e n , a n d a l s o a l l o w s a h a r d c o p y t o b e p r i n t e d . A l s o a v a i l a b l e i s p r o g r a m F F T D , w h i c h i s a B A S I C p r o g r a m e m p l o y i n g t h e f a s t F o u r i e r t r a n s f o r m a l g o r i t h m [ 7 4 ] t o o b t a i n t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f a d i s k f i l e d a t a s e t . T h i s a l l o w s a p r e l i m i n a r y i d e n t i f i c a t i o n o f t h e i m a g i n a r y p a r t s o f t h e t a r g e t n a t u r a l f r e q u e n c i e s , w h i c h c a n t h e n b e u s e d a s i n i t i a l g u e s s e s i n t h e m o r e s o p h i s t i c a t e d n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n s c h e m e s o f c h a p t e r 6 . O n e m a i n g o a l o f a l l t h e d a t a p r o c e s s i n g r o u t i n e s d i s c u s s e d i s t o a c c o m p l i s h a s m u c h a s p o s s i b l e i n t h e l a b o r a t o r y u s i n g t h e T R S - 8 0 m i c r o c o m p u t e r . A t t h i s t i m e , e v e r y t h i n g b u t t h e n a t u r a l f r e q u e n c y 3 8 9 e x t r a c t i o n s c h e m e s c a n b e c o m p l e t e d q u i t e r a p i d l y i n t h e l a b . I t i s n e c e s s a r y a s a l a s t s t e p t o t r a n s m i t t h e p r o c e s s e d d a t a o v e r t h e t e l e - p h o n e l i n e s t o t h e M S U C y b e r - 7 5 0 m a i n f r a m e c o m p u t e r s y s t e m t o p e r f o r m t h e f r e q u e n c y e x t r a c t i o n . A n e f f o r t i s c u r r e n t l y u n d e r w a y t o t r a n s f e r a l l t h e d a t a a c q u i s i t i o n a n d p r o c e s s i n g r e s p o n s i b i l i t i e s t o a n I B M P C c o m p u t e r . T h e a d d i t i o n a l m e m o r y a n d m o r e r a p i d e x e c u t i o n t i m e o f t h e I B M m i c r o - c o m p u t e r s h o u l d a l l o w a l l t h e n e c e s s a r y s t e p s o f t h e E - p u l s e t e c h n i q u e t o b e a c c o m p l i s h e d i n t h e l a b o r a t o r y . T h i s i n c l u d e s n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n , E - p u l s e s y n t h e s i s , c o n v o l u t i o n , a n d t h e p r o c e s s i n g o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . 8 . 4 E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f S E M V a l i d i t y T h e E - p u l s e c o n c e p t d i s c u s s e d i n t h i s t h e s i s i s b a s e d e n t i r e l y u p o n t h e c o n j e c t u r e t h a t t h e l a t e - t i m e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a c o n d u c t i n g t a r g e t c a n b e w r i t t e n a s i n e q u a t i o n ( 2 . 4 . 4 ) - - t h a t i s , i t c a n b e r e p r e s e n t e d c o m p l e t e l y b y a s e r i e s o f n a t u r a l - r e s o n a n c e - b a s e d d a m p e d s i n u s o i d f u n c t i o n s . I f t h i s e x p a n s i o n i s n o t c o r r e c t , o r i f i t i s n o t c o m p l e t e , t h e n t h e E - p u l s e c o n c e p t w i l l f a i l . I t t h u s b e c o m e s e x t r e m e l y p r u d e n t t o v e r i f y e x p e r i m e n t a l l y t h e n a t u r a l r e s o n a n c e b e h a v i o r o f c o n d u c t i n g t a r g e t s . A f f i r m a t i o n o f t h e n a t u r a l r e s o n a n c e d e s c r i p t i o n o f t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e o f a t a r g e t c a n b e a c c o m p l i s h e d b y c o m p a r i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m a m e a s u r e d t a r g e t r e s p o n s e w i t h t h o s e o b t a i n e d f r o m a t h e o r e t i c a l S E M a n a l y s i s . T o t h e e x t e n t t h a t S E M i n v o l v e s i m p l i c i t l y t h e a s s u m p t i o n o f a p u r e n a t u r a l r e s o n a n c e 3 9 0 d e s c r i p t i o n , c l o s e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t w o s e t s o f f r e q u e n c i e s w o u l d t e n d t o s u b s t a n t i a t e t h e S E M e x p a n s i o n . T h i s n e c e s s i t a t e s , h o w e v e r , t h e u s e o f a t a r g e t w h i c h h a s b e e n a n a l y z e d t h e o r e t i c a l l y . T h e t a r g e t s h o u l d a l s o b e a h i g h Q s t r u c t u r e , t o m a k e t h e f r e q u e n c y e x t r a c t i o n e a s i e r . T w o c a n d i d a t e s o b e y t h e s e c r i t e r i a - - t h e e l l i p t i c a l ( o r c i r c u l a r ) l o o p o f c h a p t e r 7 , a n d t h e t h i n c y l i n d e r o f c h a p t e r 5 . U n f o r t u n a t e l y , t h e r e s p o n s e o f t h e e l l i p t i c a l l o o p h a s n o t y e t b e e n m e a s u r e d . T h u s , t h e c o m p a r i s o n w i l l b e m a d e f o r t h e t h i n c y l i n d e r . A m o s t v i s u a l l y s t r i k i n g c o n f i r m a t i o n o f t h e n a t u r a l r e s o n a n c e e x p a n s i o n i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 4 . 1 . T h i s i s t h e m e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 5 . 8 7 c m a n d r a d i u s . 3 1 7 c m p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . ( T h e s e a n d s u b - s e q u e n t s u r f a c e c u r r e n t m e a s u r e m e n t s w e r e p e r f o r m e d b y M a r t i n P e r r i n e . ) N o t e t h e i n d i c a t e d l a t e - t i m e r e g i o n , a n d t h e r e g i o n w h e r e r e f l e c t i o n s f r o m t h e e d g e o f t h e g r o u n d s c r e e n b e g i n t o c a u s e i n t e r f e r i n g c l u t t e r . I t i s o b v i o u s t h a t t h i s t a r g e t r e s p o n s e i s d o m i n a t e d b y a s i n g l e n a t u r a l m o d e - - t h e f i r s t m o d e o f t h e t h i n c y l i n d e r . T h e s p e c t r a l c o n t e n t o f t h e i n c i d e n t p u l s e w a v e f o r m d o e s n o t h a v e e n e r g y a t t h e f r e q u e n c i e s n e c e s s a r y t o e x c i t e m o d e s o f h i g h e r o r d e r . F i g u r e 8 . 4 . 2 s h o w s a o n e m o d e b e s t f i t o f t h e l a t e - t i m e c l u t t e r f r e e r e g i o n o f t h e r e s p o n s e , o b t a i n e d u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d f r o m c h a p t e r 6 . T h e a n a l y s i s o f c h a p t e r 5 i n d i c a t e s t h a t t h e f i r s t n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h i s c y l i n d e r ( i n c l u d i n g i t s i m a g e ) s h o u l d o c c u r a t s = - 0 . 2 4 6 + j 2 . 7 5 x 1 0 9 r / s . T h e o n e m o d e b e s t f i t f r o m t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d a s c r i b e s a 9 f r e q u e n c y o f s = - 0 . 2 9 9 + j 2 . 7 9 x 1 0 r / s . T h e a g r e e m e n t i s v e r y g o o d . B y l e n g t h e n i n g t h e c y l i n d e r i t i s p o s s i b l e t o l o w e r t h e r e s o n a n t e d u t i l p m A e v i t a l e R 3 9 1 A — > c l u t t e r ' — — > l a t e - t i m e l I I I 0 . 0 5 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 5 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 4 . 1 . M e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 6 . 2 5 i n c h e s p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . 0 . . I 0 0 2 - R e l a t i v e A m p l i t u d e 3 9 2 0 . 0 F i g u r e 8 . 4 . 2 . I I I 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s O n e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d 6 . 2 5 " t h i n c y l i n d e r s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e . 3 9 3 f r e q u e n c i e s a n d t h u s t o e x c i t e h i g h e r o r d e r m o d e s . F i g u r e 8 . 4 . 3 s h o w s t h e m e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 4 6 . 3 6 c m p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . T h i s r e s p o n s e i s a p p a r e n t l y n o t d o m i n a t e d b y a n y s i n g l e m o d e . T h e q u e s t i o n t h e n i s : c a n t h e r e s p o n s e b e r e p r e s e n t e d b y a p u r e n a t u r a l r e s o n a n c e s e r i e s ? F i g u r e 8 . 4 . 4 s h o w s e v i d e n c e f o r a n s w e r i n g y e s . T h i s f i g u r e d i s p l a y s t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f t h e r e s p o n s e o b t a i n e d v i a t h e F F T . T h r e e p e a k s v e r y c l e a r l y d o m i n a t e t h e s p e c t r u m , w i t h e v i d e n c e f o r a f o u r t h , a n d t h e y c a n b e u s e d t o s u p p l y i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . D u e t o t h e g r o u n d s c r e e n i m a g e e f f e c t , o n l y t h e o d d o r d e r m o d e s o f t h e t h i n c y l i n d e r w i l l b e e x c i t e d , a n d t h e i m a g i n a r y p a r t s o f t h e e x p e c t e d v a l u e s c o r r e s p o n d q u i t e c l o s e l y t o t h e p e a k s i n F i g u r e 8 . 4 . 4 . M o r e c o n c l u s i v e e v i d e n c e i s p r o v i d e d b y e x t r a c t i n g t h e f r e q u e n c i e s f r o m t h e m e a s u r e d r e s p o n s e . F i g u r e 8 . 4 . 5 s h o w s a t w o m o d e b e s t f i t t o t h e l a t e - t i m e c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f t h e r e s p o n s e , o b t a i n e d u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . I t i s s e e n t h a t t h e f i t i s q u i t e g o o d , i m p l y i n g t h a t m o d e s o n e a n d t h r e e a r e o f g r e a t e s t i m p o r - t a n c e . A n e v e n b e t t e r f i t i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 4 . 6 , u s i n g f o u r m o d e s . T h e f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e f o u r m o d e s , a n d t h e f r e q u e n c i e s p r e d i c t e d f r o m t h e S E M a n a l y s i s a r e g i v e n a s 3 9 4 : 2 . " ” F T - 1 8 % ; . " I L L 0 3 — . 7 7 / l 4 1 / 7 7 D Q ) “ g “ 3 u D — U " ' " I , . . . 4 E ” O J 5 u C 3 ‘ 0 . v - I V i i - i O ) I o f . c l u t t e r U D 7 ‘ F . l a t e - t i m e ‘ 3 ‘ i ‘ I I I I a 0 . 0 5 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 5 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 4 . 3 . M e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 8 . 2 5 i n c h e s p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . 3 9 5 R e l a t i v e A m p l i t u d e 0 . 0 I 1 I 0 x 0 2 . 0 4 . 0 8 . 0 8 . 0 1 0 . 0 R a d i a n f r e q u e n c y x 1 0 - 9 F i g u r e 8 . 4 . 4 . F o u r i e r s p e c t r u m o f 1 8 % " t h i n c y l i n d e r m e a s u r e d s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . 0 . 1 e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 2 3 9 6 0 . 0 F i g u r e 8 . 4 . 5 . I I I 2 - 0 4 - 0 6 - 0 8 - 0 1 0 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s T w o m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 8 % " t h i n c y l i n d e r s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e . 0 . I 0 e d u t i l p m . A O L e v i t a l e R 0 - 2 4 ' 1 . 0 3 9 7 0 . 0 F i g u r e 8 . 4 . 6 . 8 . 1 E : l l 2 . 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F o u r m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 8 % " t h i n c y l i n d e r s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e . 3 9 8 £ 9 9 3 t h e o r e t i c a l f r e q e x t r a c t e d f r e q e x t r a c t e d a m p l 1 - . 0 8 4 2 + j . 9 4 0 x 1 0 9 - . 1 3 4 + j . 9 4 5 x 1 0 9 0 . 6 1 3 3 - . 1 5 2 + j 2 . 9 3 x 1 0 9 — . 1 4 2 + j 2 . 9 7 x 1 0 9 0 . 4 3 9 5 - . l 9 4 + j 4 . 9 3 x 1 0 9 - . 1 3 7 + j 4 . 9 9 x 1 0 9 0 . 1 7 1 7 - . 2 2 7 + j 6 . 9 4 x 1 0 9 - . 2 1 1 + j 6 . 9 7 x 1 0 9 0 . 0 4 7 3 T h e i m a g i n a r y p a r t s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o m p a r e e x t r e m e l y w e l l . T h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t s a r e n o t q u i t e a s c l o s e , b u t e x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t i t i s a l w a y s m o r e d i f f i c u l t t o e x t r a c t t h e r e a l p a r t s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s . C o n f i r m a t i o n o f t h e S E M e x p a n s i o n c a n a l s o b e p r o v i d e d t h r o u g h s c a t t e r e d f i e l d m e a s u r e m e n t s . F o r e x a m p l e , F i g u r e 8 . 4 . 7 s h o w s t h e m e a s u r e d f i e l d s c a t t e r e d b y a 1 5 . 8 7 c m w i r e p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . I t i s o b v i o u s t h a t t h e s c a t t e r e d f i e l d m e a s u r e m e n t s a r e m u c h n o i s i e r t h a n t h e s u r f a c e c u r r e n t m e a s u r e m e n t s . I n f a c t , t h e r e i s a n o t i c e a b l e a m o u n t o f n o i s e o n t h i s w a v e f o r m e v e n t h o u g h t e n d a t a r u n s w e r e a v e r a g e d t o g e t h e r . T h i s i s a l s o e v i d e n t i n F i g u r e 8 . 4 . 8 w h i c h s h o w s a t w o m o d e b e s t f i t t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e r e s p o n s e . B e c a u s e o f t h e i m a g e e f f e c t , o n l y t h e o d d m o d e s a r e a g a i n e x c i t e d . I t i s m o r e i n t e r e s t i n g t o c o n s i d e r a t h i n c y l i n d e r t a r g e t w h i c h i s p l a c e d a t a n a s p e c t t h a t a l l o w s b o t h e v e n a n d o d d m o d e s t o b e e x c i t e d . F i g u r e 8 . 4 . 9 s h o w s t h e m e a s u r e d r e s p o n s e o f a 3 1 . 7 5 c m l o n g t h i n c y l i n d e r r a i s e d 1 3 . 3 c m a b o v e t h e g r o u n d s c r e e n a n d i n c l i n e d a t a n 1 - 0 - 3 9 9 ' 3 1 i l " R e l a t i v e A m p l i t u d e 0 . 0 I } — — — l a t e - t i m e I I I I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 4 . 7 . M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 6 . 2 5 i n c h e s p l a c e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . 0 . 1 5 - I 0 \ 4 0 0 \ . , P I I h . " 3 : . 3 . 4 ' 3 c ’ \ 5 h I 3 2 ’ \ / a “ : I 0 1 C 3 - - ‘ M I I ‘ 3 ’ T - “ 2 T I I I I I 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 8 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 4 . 8 . T w o m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 6 % " t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . 4 0 1 a n g l e o f 4 5 0 d i r e c t l y t o w a r d t h e t r a n s m i t t i n g a n t e n n a . T h i s a r r a n g e - m e n t a c t u a l l y r e p r e s e n t s a s y s t e m o f c o u p l e d w i r e s , d u e t o t h e i m a g e e f f e c t . T h i s s y s t e m h a s b e e n a n a l y z e d [ 7 6 ] a n d t h e r e s u l t i n g n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e v e r y c l o s e t o t h o s e o f t h e i s o l a t e d w i r e . F i g u r e 8 . 4 . 1 0 s h o w s t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f t h e r e s p o n s e . I t i s o b v i o u s l y d o m i n a t e d b y t w o m o d e s w h i c h c o r r e s p o n d i n f r e q u e n c y q u i t e c l o s e l y t o t h e f i r s t t w o m o d e s o f t h e i s o l a t e d w i r e . T h e r e i s a l s o a p o s s i b l e t h i r d m o d e . F i g u r e 8 . 4 . 1 1 d i s p l a y s a t h r e e m o d e b e s t f i t t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e r e s p o n s e . T h e e x t r a c t e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d t h e f r e q u e n c i e s o f t h e f i r s t t h r e e m o d e s o f t h e c o u p l e d w i r e s y s t e m a r e m o d e t h e o r e t i c a l f r e q e x t r a c t e d f r e q » e x t r a c t e d a m p l . 9 . 9 1 - . 2 1 5 + 3 2 . 7 1 x 1 0 - . 2 8 0 + 3 2 . 7 8 x 1 0 0 . 7 1 0 2 - . 2 8 7 + j 5 . 7 0 x 1 0 9 - . 2 4 3 + j 5 . 6 2 x 1 0 9 0 . 4 1 3 3 - . 4 6 5 + j 8 . 5 7 x 1 0 9 - . 2 2 7 + j 8 . 2 1 x 1 0 9 0 . 0 4 9 6 T h e f i r s t t w o f r e q u e n c i e s a r e q u i t e c l o s e . T h e t h i r d i s n o t a s a c c u r a t e , b u t t h i s i s e x p e c t e d , s i n c e t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h i s m o d e i s f a i r l y s m a l l . F i g u r e 8 . 4 . 1 2 s h o w s t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f t h e c o u p l e d w i r e s y s t e m a f t e r i t h a s b e e n r o t a t e d 4 5 0 a b o u t a l i n e p e r p e n - d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n , w i t h t h e l o w e n d o f t h e w i r e a s a p i v o t p o i n t . T h i s r e s p o n s e i s a v e r y g o o d d e m o n s t r a t i o n o f t h e s e n s i t i v i t y t o a s p e c t a n g l e o f t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s o f t h e m o d e s o f a t a r g e t . e d u t i l p m A e v i t a l e R . 0 I 4 0 2 e = 4 5 ° c ? e " 1 " - I = 1 2 1 4 ; " 7 x I : = 5 1 / " L h i - - - c : : : : : : : - - - - “ 3 \ h . 4 — I ‘ I | — - l a t e - t i m e ° . “ 3 I I I I I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 F i g u r e 8 . 4 . 9 . t i m e i n n a n o s e c o n d s M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 2 . 5 i n c h e s r a i s e d 5 . 2 5 i n c h e s a b o v e t h e g r o u n d s c r e e n a n d i n c l i n e d a t 4 5 ° t o w a r d t h e t r a n s m i t t i n g a n t e n n a . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 - 0 4 0 3 I I T I 4 4 4 7 0 . 0 5 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 5 : 0 9 R a d i a n f r e q u e n c y x 1 0 - F i g u r e 8 . 4 . 1 0 . F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . e d u t i l p m A e v i t a l e R 1 . 0 2 t . i 0 m 3 . 0 4 . 0 5 1 0 5 . 0 e i n n a n o s e c o n d s I 0 . 0 F i g u r e 8 . 4 . 1 1 . 4 0 4 T h r e e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . e d u t i l p m . A 0 I e v i t a l e R e = 4 5 ° c ? e " ‘ o H — I i ‘ \ I l I I 9 \ \ / h } — — ‘ l a t e - t i m e O I l l I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 4 . 1 2 . M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t h i n c y l i n d e r o f l e n g t h 1 2 . 5 i n c h e s r a i g e d 5 . 2 5 i n c h e s a b o g e t h e g r O u n d s c r e e n , i n c l i n e d a t 4 5 a n d r o t a t e d b y 4 5 . 4 0 6 R e l a t i v e A m p l i t u d e S l ‘ 3 S — a ‘ 3 w — ‘ 3 C 3 T l I T A g fi fl T 0 . 0 5 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 5 . 0 R a d i a n f r e q u e n c y x 1 0 . - 9 F i g u r e 8 . 4 . 1 3 . F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d a n d r o t a t e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . R e l a t i v e A m p l i t u d e 4 0 7 F i g u r e 8 . 4 . 1 4 . 1 I l 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i v e m o d e b e s t f i t t o l a t e - t u n e p o r t i o n o f m e a s u r e d 1 2 % " i n c l i n e d a n d r o t a t e d t h i n c y l i n d e r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . 4 0 8 F i g u r e 8 . 4 . 1 3 s h o w s t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f t h e r e s p o n s e . C o m p a r i n g t h i s s p e c t r u m w i t h F i g u r e 8 . 4 . 1 0 r e v e a l s t h a t a t t h i s a s p e c t t h e s e c o n d m o d e i s n o t e x c i t e d , w h i l e t h e t h i r d a n d f o u r t h , w h i c h w e r e n o t e x c i t e d a t t h e o t h e r a s p e c t , a r e n o w p r e s e n t . I n f a c t , a t o t a l o f f i v e m o d e s c a n b e d e t e c t e d t o s o m e e x t e n t , a l t h o u g h t h e t w o n o t o b v i o u s i n t h e s p e c t r u m h a v e v e r y s m a l l a m p l i t u d e s . F i g u r e 8 . 4 . 1 4 s h o w s t h e f i v e m o d e b e s t f i t t o t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e r e s p o n s e p r o v i d e d b y t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d . T h e s e r e s u l t s f o r t h e t h i n c y l i n d e r p r o v i d e a g r e a t a m o u n t o f c o n f i d e n c e i n t h e n a t u r a l r e s o n a n c e e x p a n s i o n o f t h e l a t e - t i m e r e s p o n s e o f a c o n d u c t i n g t a r g e t . O n e l a s t t e s t c a n b e c o n d u c t e d w h i c h p r o v i d e s t h e c l i n c h i n g e v i d e n c e . I f t h e e x p a n s i o n i s i n d e e d c o m p l e t e , t h e n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s e x t r a c t e d f r o m t h e t a r g e t r e s p o n s e w a v e f o r m s s h o u l d b e i n d e p e n d e n t o f t a r g e t a s p e c t . T h i s h a s b e e n s h o w n t o b e t r u e t o s o m e e x t e n t f o r t h e c a s e o f t h e c o u p l e d w i r e s y s t e m a b o v e , b u t t h e i n d e p e n d e n c e s h o u l d b e i n v e s t i g a t e d i n m o r e d e p t h . F i g u r e 8 . 4 . 1 5 s h o w s t h e l a t e - t i m e c l u t t e r f r e e s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f a t a r g e t c o m p o s e d o f t w o 3 1 . 7 5 c m t h i n c y l i n d e r s a t t a c h e d a t a 4 5 0 a n g l e , a s s h o w n i n t h e f i g u r e , a n d p l a c e d w i t h o n e s e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n . B y r o t a t i n g t h i s t a r g e t a n d k e e p i n g t h e s a m e s e c t i o n a l w a y s p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r o u n d s c r e e n , t h e t a r g e t a s p e c t i s e a s i l y c h a n g e d . F i g u r e 8 . 4 . 1 6 s h o w s t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f t h e r e s p o n s e s h o w n i n F i g u r e 8 . 4 . 1 5 . T h e r e s e e m t o b e f o u r d o m i n a n t m o d e s , b u t t h e p e a k s a r e n o t a s d i s t i n c t a s w i t h t h e s i m p l e s t r a i g h t w i r e . S i n c e t h e r e i s n o t h e o r e t i c a l a n a l y s i s t o c o m p a r e w i t h t h e s e m e a s u r e m e n t s , i t i s d i f f i c u l t t o t e l l w h e t h e r s o m e J — — = _ _ 5 _ . 4 0 0 l . 0 5 . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 0 2 - 1 . 0 4 0 9 L = 1 2 . 5 " 0 . 0 F i g u r e 8 . 4 . 1 5 . l I T 2 - 0 . 0 6 - 0 8 - 0 1 0 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s L a t e - t i m e , c l u t t e r f r e e p o r t i o n o f m e a s u r e d c o m p u n d w i r e t a r g e t s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e f o r 6 = O ° , a n d f o u r m o d e b e s t f i t . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 0 4 1 0 T fl I 1 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 9 R a d i a n f r e q u e n c y x 1 0 - F i g u r e 8 . 4 . 1 6 . F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d c o m p o u n d w i r e t a r g e t s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . 4 1 1 o f t h e s e p e a k s m i g h t r e p r e s e n t n e a r l y d e g e n e r a t e m o d e s . A f o u r m o d e b e s t f i t g i v e n v i a t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d i s a l s o s h o w n i n F i g u r e 8 . 4 . 1 5 . S i n c e t h e f i t i s v e r y g o o d , i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h e s e f o u r m o d e s c o m p r i s e t h e m a j o r i t y o f t h e e x c i t e d p o r t i o n o f t h e t a r g e t ' s n a t u r a l m o d e s p e c t r u m . A v e r i f i c a t i o n o f t h e a s p e c t i n d e p e n d e n c e o f t h e f i r s t f o u r n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h i s c o m p o u n d s t r u c t u r e c a n b e o b t a i n e d b y m a k i n g m e a s u r e m e n t s a t m a n y a s p e c t s , a n d e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s f r o m e a c h r e s p o n s e . T a b l e 8 . 4 . 1 s h o w s t h e r e s u l t i n g n a t u r a l f r e q u e n c i e s , r e l a t i v e a m p l i t u d e s , a n d r e l a t i v e p h a s e s f o r f i v e d i f f e r e n t a s p e c t a n g l e s . I t c a n b e s e e n t h a t w h i l e t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s c h a n g e d r a m a t i c a l l y , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s r e m a i n r e m a r k a b l y c o n s t a n t . T h i s c o m p l e t e s a v e r y c o n v i n c i n g v a l i d a t i o n o f t h e n a t u r a l m o d e s e r i e s e x p a n s i o n . 8 . 5 E x p e r i m e n t a l V e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e C o n c e p t W i t h t h e n a t u r a l r e s o n a n c e r e p r e s e n t a t i o n v a l i d a t e d b y t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e s t a g e i s s e t f o r a n e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t . A n a t t e m p t w i l l b e m a d e t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n t w o a i r c r a f t s c a l e m o d e l s w i t h s i m i l a r d i m e n s i o n s b y u s i n g t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f e a c h t a r g e t . F i g u r e 8 . 5 . 1 s h o w s t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a s o l i d a l u m i n u m s c a l e m o d e l o f a B o e i n g 7 0 7 a i r c r a f t . T h e g e o m e t r y o f t h e m o d e l i s s h o w n i n t h e s a m e f i g u r e . S i m i l a r l y , F i g u r e 8 . 5 . 2 s h o w s t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a M c D o n n e l D o u g l a s F - 1 8 s c a l e 4 1 2 T a b l e 8 . 4 . 1 . E x t r a c t e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s , a m p l i t u d e s , a n d p h a s e s f o r a c o m p o u n d w i r e t a r g e t a t v a r i o u s a s p e c t s . A s p e c t D a m p i n g R a d i a n A n g l e C o e f f i c i e n t F r e q u e n c y R e l a t i v e R e l a t i v e 0 M o d e x 1 0 ‘ 9 x 1 0 ' 9 A m p l i t u d e P h a s e 0 0 1 — 0 . 0 2 5 2 0 . 7 1 6 1 . 0 0 . 0 2 - 0 . 1 1 5 2 . 2 3 0 . 8 1 4 0 . 3 9 2 3 - 0 . 1 3 3 3 . 7 2 1 . 2 2 1 . 1 8 4 — 0 . 1 5 5 5 . 2 1 0 . 4 3 2 1 . 5 9 4 5 ° 1 - 0 . 0 2 0 4 0 . 7 1 1 1 . 0 0 . 0 2 - 0 . 1 3 2 2 . 2 4 0 . 7 1 2 - 0 . 1 2 2 3 — 0 . 1 3 0 3 . 7 2 0 . 7 0 9 0 . 7 4 3 4 - 0 . 1 9 0 5 . 2 1 0 . 3 3 5 0 . 6 1 0 9 0 ° 1 — 0 . 0 1 4 8 0 . 7 1 9 1 . 0 0 . 0 2 - 0 . 1 5 2 2 . 2 3 0 . 7 9 9 - 0 . 9 6 8 3 - 0 . 1 0 1 3 . 7 1 0 . 3 6 3 1 . 6 3 4 - 0 . 2 0 1 5 . 1 1 0 . 2 4 4 - 0 . 8 9 8 1 3 5 ° 1 - 0 . 0 4 7 7 0 . 7 4 2 1 . 0 0 . 0 2 - 0 . 1 3 5 2 . 2 2 0 . 9 1 2 1 . 3 9 3 - 0 . 1 3 5 3 . 7 5 0 . 9 1 8 - 0 . 9 5 4 4 - 0 . 1 7 0 5 . 2 8 0 . 3 1 5 1 . 3 1 1 8 0 0 1 - 0 . 0 1 2 1 0 . 7 5 4 1 . 0 0 . 0 2 - 0 . 1 6 2 2 . 2 4 1 . 0 7 1 . 3 6 3 - 0 . 1 2 4 3 . 7 5 0 . 9 8 7 - 2 . 2 9 4 - 0 . 3 2 7 5 . 3 0 0 . 6 2 2 2 . 4 6 e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 8 ‘ 6 0 ~ 4 1 3 - 4 0 P l a t e - t i m e I I ‘ 4 1 0 . 0 2 - 0 4 - 0 3 - 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s . 0 F i g u r e 8 . 5 . 1 . M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a B o e i n g 7 0 7 a i r c r a f t s c a l e m o d e l , a n d s e v e n d o m i n a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s . 4 1 4 1 / / — q 0 ‘ N C \ . . _ 1 . _ C . _ . | 1 . . 0 Q ) m - o : 3 9 . . r i d E - D “ I - 9 . g 2 . 3 D x 1 0 ‘ 5 ‘ 2 ' 3 v - l — I U 1 - 0 . 2 6 + j 3 . 2 9 a : I 2 - 0 . 1 3 + j 7 . 3 2 3 - 0 . 4 4 + j 9 . 8 9 c 3 4 - 0 . 2 9 + j 1 4 . 6 g . . . 5 - 0 . 1 6 + j 1 6 . 5 I P — 9 l a t e - t i m e ‘ 3 m I I 0 - 0 2 . 0 4 - 0 6 . 0 8 . 0 1 0 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 . M e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a M c D o n n e l D o u g l a s F - 1 8 a i r c r a f t s c a l e m o d e l , a n d f i v e d o m i n a n t n a t u r a l f r e q u e n c i e s . 4 1 5 m o d e l . T h e F o u r i e r s p e c t r u m o f t h e l a t e - t i m e p o r t i o n o f t h e 7 0 7 r e s p o n s e i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 5 . 3 . T h e r e a r e s e v e n q u i t e d i s t i n c t m o d e s e v i d e n t i n t h e s p e c t r u m o f t h e 7 0 7 , a n d s i m i l a r a n a l y s i s r e v e a l s a t o t a l o f f i v e d o m i n a n t m o d e s f o r t h e f - 1 8 . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e m o d e s o f e a c h t a r g e t h a v e b e e n e x t r a c t e d u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d , a n d a r e t a b u l a t e d i n F i g u r e s 8 . 5 . 1 a n d 8 . 5 . 2 . T h e c o r r e s p o n d i n g l a t e - t i m e b e s t f i t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 8 . 5 . 4 a n d 8 . 5 . 5 . T h e m e t h o d s o f c h a p t e r f o u r h a v e b e e n u s e d t o c o n s t r u c t r e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s e d m i n i m u m d u r a t i o n n a t u r a l E - p u l s e s d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e f i v e t a b u l a t e d m o d e s o f t h e F - 1 8 a n d t h e s e v e n m o d e s o f t h e 7 0 7 . T h e s e w a v e f o r m s a r e s h o w n i n F i g u r e s 8 . 5 . 6 a n d 8 . 5 . 7 . C o n v o l v i n g t h e E - p u l s e s w i t h t h e t a r g e t r e s p o n s e s t h e y a r e m e a n t t o e x t i n g u i s h r e s u l t s i n t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s d i s p l a y e d i n F i g u r e s 8 . 5 . 8 a n d 8 . 5 . 9 . W h i l e t h e l a t e - t i m e p o r t i o n s o f t h e s e r e s p o n s e s a r e n o t i d e n t i c a l l y z e r o , t h e y a r e q u i t e s m a l l , a n d t h e E - p u l s e s h a v e d o n e a v e r y g o o d j o b o f e l i m i n a t i n g t h e n a t u r a l m o d e s . I n c o n t r a s t , F i g u r e s 8 . 5 . 1 0 a n d 8 . 5 . 1 1 s h o w t h e r e s u l t s o f c o n v o l v i n g t h e E - p u l s e w a v e f o r m s w i t h t h e r e s p o n s e s o f t h e o p p o s i t e t a r g e t s ( i . e . , n o t t h e t a r g e t s f o r w h i c h t h e y w e r e d e s i g n e d ) . N o w t h e l a t e - t i m e p o r t i o n s a r e s e e n t o b e q u i t e l a r g e i n m a g n i t u d e . D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n t h e t w o t a r g e t s c a n t h u s b e a c c o m p l i s h e d v e r y c o n v i n c i n g l y b y c o m p a r i n g t h e l a t e - t i m e p o r t i o n s o f e a c h o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s . A c o r r o b o r a t i o n o f t h e d i s c r i m i n a t i o n d e c i s i o n b a s e d o n t h e E - p u l s e c o n v o l u t i o n s c a n b e p r o v i d e d b y u s i n g s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s . R e c t a n g u l a r p u l s e f u n c t i o n b a s e d m i n i m u m d u r a t i o n n a t u r a l e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 4 1 6 ° . 2 — 9 . I D : 3 D I I I I I fl 0 . 0 5 . 0 1 0 - 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 5 . 0 3 0 . 0 R a d i a n f r e q u e n c y x 1 0 . 9 F i g u r e 8 . 5 . 3 . F o u r i e r s p e c t r u m o f m e a s u r e d 7 0 7 s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , o b t a i n e d v i a F F T . e d u t i l p m A e v i t a l e R F i g u r e 8 . 5 . 4 . 4 1 7 I I I 1 . 0 2 . 0 3 - 0 4 . 0 5 ~ 0 6 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s S e v e n m o d e b e s t f i t t o l a t e - t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d 7 0 7 s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . 5 . e d u t i l p m A e v i t a l e R 4 1 8 I I I 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 5 . F i v e m o d e b e s t f i t t o l a t e — t i m e p o r t i o n o f m e a s u r e d F - 1 8 s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e . e d u t i l p m A e v i t a l e R 4 1 9 I I I I 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 6 . N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e s e v e n d o m i n a n t m o d e s o f t h e m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . 0 - L 2 e d u t i l p m A e v i t 0 . a 1 l e R 4 2 0 1 " 3 . . 0 ° . c , I I I I I 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 7 . N a t u r a l E - p u l s e o f m i n i m u m d u r a t i o n s y n t h e s i z e d t o e l i m i n a t e t h e f i v e d o m i n a n t m o d e s o f t h e m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . e d u t i l p m 5 A . e v i t a l e R 0 0 2 " 4 2 1 l _ — ‘ l a t e - t i m e I I I I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 8 . C o n v o l u t i o n o f 7 0 7 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 I 4 2 2 ‘ 0 - 4 I I I I T I T 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s 0 . 6 F i g u r e 8 . 5 . 9 . C o n v o l u t i o n o f F - 1 8 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . 2 . 0 e d u t i l p m A 2 . e 0 v i t a l e R U I 4 - - - 6 - 0 - 0 . 4 4 2 3 } — — > l a t e - t i m e 0 . 0 F i g u r e 8 . 5 . 1 0 . I I I 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s C o n v o l u t i o n o f 7 0 7 E — p u l s e w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . e d u t i l p m A e v i t a l e R 0 . 2 4 2 4 ’ — — > l a t e - t i m e I I I 0 . 0 2 - 0 4 - 0 6 - 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 1 . C o n v o l u t i o n o f F - 1 8 E - p u l s e w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . 4 2 5 s i n e a n d c o s i n e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n ' s i g n a l s h a v e b e e n s y n t h e s i z e d t o e x c i t e t h e f i r s t a n d t h e f o u r t h m o d e s o f t h e 7 0 7 a n d t o e x c i t e t h e f i r s t a n d t h i r d m o d e s o f t h e F - 1 8 . E a c h o f t h e s e w a v e f o r m s i s t h e n c o n v o l v e d w i t h t h e m e a s u r e d r e s p o n s e s o f F i g u r e s 8 . 5 . 1 a n d 8 . 5 . 2 . A l t h o u g h l a c k o f s p a c e p r e c l u d e s s h o w i n g e a c h o f t h e c o n v o l v e d r e s p o n s e s , t h e r e s p o n s e s h o w n i n F i g u r e 8 . 5 . 1 2 i s t y p i c a l . T h i s i s t h e r e s u l t o f c o n v o l v i n g t h e f i r s t m o d e c o s i n e e x c i t a t i o n s i g n a l f o r t h e F - 1 8 w i t h t h e F - 1 8 m e a s u r e d r e s p o n s e . F i g u r e 8 . 5 . 1 3 t h r o u g h 8 . 5 . 2 8 s h o w t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t a n d r a d i a n f r e q u e n c y p l o t s g e n e r a t e d f r o m e a c h p a i r o f c o n v o l v e d r e s p o n s e s . T h e a n g u l a r f r e q u e n c i e s p l o t s r e s u l t i n g f r o m t h e c o n v o l u t i o n o f t h e s i n g l e m o d e s i g n a l s w i t h t h e r e s p o n s e s f o r w h i c h t h e y c o r r e s p o n d ( i . e . 7 0 7 w i t h 7 0 7 a n d F - 1 8 w i t h F - 1 8 ) a r e s e e n t o l i e p a r a l l e l w i t h t h e f r e q u e n c y l i n e s o f t h e e x p e c t e d m o d e s i n t h e l a t e - t i m e . W h i l e t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t s a r e n o t a s c l o s e , t h e y d o n o t d e v i a t e b y a s u b s t a n t i a l a m o u n t . I n c o n t r a s t , t h e a n g u l a r f r e q u e n c y p l o t s g e n e r a t e d f r o m t h e c o n v o l u t i o n o f t h e s i g n a l s w i t h t h e o p p o s i t e r e s p o n s e s ( i . e . 7 0 7 w i t h F - 1 8 a n d v i c e v e r s a ) a r e s e e n t o b e f a r f r o m p a r a l l e l . I n a d d i t i o n , t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t s a r e a l l s e e n t o b e m u c h l e s s s i m i l a r t o t h e e x p e c t e d d a m p i n g l i n e s t h a n w e r e t h e c o n v o l u t i o n s o f s i g n a l s w i t h t h e c o r r e c t t a r g e t r e s p o n s e s . T h e c o m b i n a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n v o l u t i o n s a n d t h e s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l c o n v o l u t i o n s a l l o w s t h e t w o t a r g e t s t o b e d i s c r i m i - n a t e d w i t h n e a r c e r t a i n t y . T h u s , f o r t h e c a s e o f t h e s e v e r y r e a l i s t i c t a r g e t s , t h e E - p u l s e t e c h n i q u e h a s b e e n v e r i f i e d e x p e r i m e n t a l l y . e d u t i l p m A e v i t a l e R 2 0 1 0 “ 6 0 0 - 4 2 6 6 . d 0 F — p l a t e - t i m e I I T I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 2 . C o n v o l u t i o n o f F - 1 8 c o s i n e f i r s t m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . s n a i d a R 0 . 0 4 2 7 f r o m e x p e c t e d f i r s t m o d e o f 7 0 7 l . — — . l a t e - t i m e I I I 7 0 . 0 2 . 0 4 . 0 B o o B o o 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 3 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . s r e i p a N 4 2 8 l - — . l a t e - t i m e r I ’ I ” T I 1 0 - 0 2 . 0 4 - 0 6 - 0 0 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 4 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . 0 - L 0 s n a i d a R 0 . 4 4 2 9 . 4 f r o m e x p e c t e d / f o u r t h m o d e ’ o f 7 0 7 0 0 \ ' — — . l a t e — t i m e I I I I I I 0 . 0 2 - 0 4 . 0 8 . 0 0 - 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 5 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e S p o n s e . 0 . ‘ - 0 0 4 1 - - 0 0 " - 4 3 0 J / / / / f r o m e x p e c t e d f o u r t h m o d e o f 7 0 7 N a p i e r s ’ 0 - 0 ‘ 6 - 0 - ‘ 2 0 0 } — ’ l a t e - t i m e I I I I 0 : 0 2 - 0 4 . 0 5 - 0 0 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 6 . t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 6 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . s n a i d a R 2 . 0 0 4 3 1 f r o m e x p e c t e d f i r s t m o d e o f F - 1 8 | - — — - > l a t e - t i m e r ’ I r r I ‘ 1 0 - 0 ~ 2 . 0 4 . 0 6 . 0 0 . 0 1 0 - 0 1 2 . 8 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 1 7 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . s r e i p a N 0 - 0 0 L 4 3 2 1 0 . L J ‘ 1 / / / f r o m e x p e c t e d f i r s t m o d e o f F - l 8 I ‘ ~ - ‘ ’ 1 ‘ 0 0 l — — o l a t e - t i m e I I I ‘ r * 0 . 0 2 ~ 0 4 . 0 8 . 0 0 - 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s . - ‘ F i g u r e 8 . 5 . 1 8 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . s n a i d a R 4 3 3 f r o m e x p e c t e d , ’ t h i r d m o d e / ’ o f F - 1 8 \ / } — — — q - l a t e - t i m e F i g u r e 8 . 5 . 1 9 . I I I I 2 . 0 4 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e F - l 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . 0 . 2 ‘ 0 . 4 - 0 . 6 ‘ “ 0 - 0 - 1 - 0 0 0 0 0 4 2 1 - ‘ 0 1 ' s r e i p a N 4 3 4 - 1 0 0 0 L ‘ — l a t e - t i m e I I I I ‘ — — 1 0 . 0 2 - 0 4 . 0 6 . 0 0 . 0 1 0 . 0 1 2 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s - 1 0 0 0 F i g u r e 8 . 5 . 2 0 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i n d m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . s n a i d a R 4 3 5 f r o m e x p e c t e d f i r s t / ’ m o d e o f 7 0 7 i — — . l a t e - t i m e / r I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 1 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F — 1 8 r e s p o n s e . s r e i p a N 0 l 0 0 4 1 - 0 . 6 1 4 3 6 . 0 f r o m e x p e c t e d f i r s t m o d e o f 7 0 7 l — — . l a t e — t i m e I I I I I 0 . 0 2 . 0 4 - 0 6 . 0 0 . 0 1 0 . 0 1 2 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 2 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - l 8 r e s p o n s e . 0 . 1 8 s n a i d a R 1 0 . 2 4 3 7 c : N ! fl C I 6 " 1 ’ — I I I I I I I I I ‘ 3 . . . I ’ D r , ’ f r o m e x p e c t e d , ’ f o u r t h m o d e ’ o f 7 0 7 = 3 - : 1 F — o l a t e - t i m e ° . 0 ‘ I I ’ I I I I 0 & 0 2 - 0 4 . 0 6 - 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 3 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . O 4 3 8 J / / f r o m e x p e c t e d f o u r t h m o d e o f 7 0 7 - 0 - 0 1 N a p i e r s _ 1 O I ” 1 2 0 0 F l a t e — t i m e c I I I 0 - 0 2 . 0 4 - 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 4 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f o u r t h m o d e 7 0 7 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d F - 1 8 r e s p o n s e . s n a i d a R 0 - 0 0 0 0 1 - 0 0 0 2 - 4 3 9 f r o m e x p e c t e d f i r s t ” m o d e o f F — 1 8 l a t e - t i m e I I I 0 . 0 2 . 0 4 - 0 6 . 0 0 . 0 1 0 - 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 5 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . s r e i p a N O - 2 ’ 1 1 - 0 - 4 1 4 4 0 } — — - ‘ l a t e - t i m e I I ” I I I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 6 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f f i r s t m o d e F — 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . s n a i d a R 4 4 1 D . . . f r o m e x p e c t e d I t h i r d m o d e ’ o f F - 1 8 l — — — — > l a t e - t i m e I I I I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 3 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 - 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 7 . R a d i a n f r e q u e n c y p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . s 4 4 2 N a p i e r c : . 6 T - | — — v l a t e - t i m e c a ; T I I I T 4 4 , I I 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 t i m e i n n a n o s e c o n d s F i g u r e 8 . 5 . 2 8 . D a m p i n g c o e f f i c i e n t p l o t f r o m c o n v o l u t i o n o f t h i r d m o d e F - 1 8 e x c i t a t i o n s i g n a l s w i t h m e a s u r e d 7 0 7 r e s p o n s e . C H A P T E R 9 C O N C L U S I O N 9 . 1 S u m m a r y T h i s t h e s i s h a s i n t r o d u c e d a s c h e m e f o r r a d a r t a r g e t d i s c r i m i - n a t i o n c a l l e d t h e " E - p u l s e " t e c h n i q u e . T h e E - p u l s e i s a f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m w h i c h , u p o n i n t e r a c t i o n w i t h a s p e c i f i c r a d a r t a r g e t , r e s u l t s i n a s c a t t e r e d f i e l d w h i c h h a s o n l y a p r e - c h o s e n c o m p o n e n t o f t h e t a r g e t ' s n a t u r a l m o d e s p e c t r u m . A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h h a s a l s o b e e n d i s c u s s e d , i n w h i c h t h e E — p u l s e i s n o t a c t u a l l y t r a n s m i t t e d , b u t i s m e r e l y c o n v o l v e d w i t h t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a t a r g e t . T h e i n t r o d u c t i o n o f t h i s t e c h n i q u e h a s b e e n s h o w n t o b e w a r r a n t e d i n t h e l i g h t o f d i f f i c u l t i e s e n c o u n t e r e d u s i n g e x i s t i n g d i s c r i m i n a t i o n s c h e m e s . S y n t h e s i s o f E - p u l s e w a v e f o r m s h a s b e e n c o n d u c t e d i n b o t h t h e t i m e a n d f r e q u e n c y d o m a i n s b y u s i n g a n e x p a n s i o n i n a s e t o f p r o p e r l y c h o s e n b a s i s f u n c t i o n s . T h e c h o i c e o f b a s i s f u n c t i o n s h a s b e e n s h o w n t o b e i m p o r t a n t f r o m t h e v i e w p o i n t o f s p e c t r a l c o n t e n t , n o i s e a v e r a g i n g p r o p e r t i e s , a n d s i m p l i c i t y o f c a l c u l a t i o n s . A f r e q u e n c y d o m a i n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e E - p u l s e h a s b e e n s h o w n t o b e p a r t i c u l a r l y i n s i g h t f u l . H e r e t h e E - p u l s e i s d e f i n e d m e r e l y a s a f i n i t e d u r a t i o n w a v e f o r m w h o s e L a p l a c e s p e c t r u m h a s z e r o m a g n i t u d e a t t h e n a t u r a l 4 4 3 4 4 4 f r e q u e n c i e s o f t h e t a r g e t w i t h w h i c h i t c o r r e s p o n d s . T w o f u n d a m e n t a l t y p e s o f E — p u l s e s h a v e b e e n i d e n t i f i e d : f o r c e d a n d n a t u r a l . T h e f o r c e d E - p u l s e w a v e f o r m c a n h a v e n e a r l y a n y d u r a t i o n a n d c o n s i s t s o f a n a r b i t r a r y f o r c i n g c o m p o n e n t f o l l o w e d i m m e d i a t e l y b y a n e x t i n c t i o n c o m p o n e n t , w h i c h i s v i e w e d a s e x t i n g u i s h i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d e s t a b l i s h e d b y t h e f o r c i n g c o m p o n e n t . A l e s s p h y s i c a l i n t e r p r e - t a t i o n o f t h e f o r c e d E - p u l s e i s a l s o a l l o w e d , b y m e r e l y u s i n g o n e a d d i t i o n a l b a s i s f u n c t i o n i n t h e E - p u l s e e x p a n s i o n . T h e n a t u r a l E - p u l s e , o n t h e o t h e r h a n d , h a s n o f o r c i n g c o m p o n e n t , a n d i s v i e w e d a s e x t i n g u i s h i n g i t s o w n r e s u l t i n g s c a t t e r e d f i e l d . T h i s E - p u l s e w a v e f o r m o n l y e x i s t s f o r d i s c r e t e v a l u e s o f d u r a t i o n . F u r t h e r t y p e s o f E - p u l s e s h a v e b e e n i n t r o d u c e d , i n c l u d i n g D C a n d c o n v o l u t i o n a l E - p u l s e s . D i s t i n c t i o n h a s a l s o b e e n m a d e b e t w e e n E - p u l s e s d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e e n t i r e e x c i t e d p o r t i o n o f t h e n a t u r a l m o d e s p e c t r u m o f a t a r g e t , a n d t h o s e d e s i g n e d t o e l i m i n a t e a l l b u t a s i n g l e m o d e . T h e l a t t e r a r e g i v e n t h e n a m e " s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n s i g n a l s . " T h e p u l s e f u n c t i o n b a s i s s e t h a s b e e n s h o w n t o b e e x t r e m e l y u s e f u l i n c o n s t r u c t i n g E - p u l s e w a v e f o r m s , d u e i n g r e a t e s t p a r t t o i t s s i m p l i c i t y . I n d e e d , e x p l i c i t r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e a m p l i t u d e s o f t h e s e p u l s e s h a v e b e e n o b t a i n e d , a l t h o u g h t h e y a r e n o t p r a c t i c a l f o r p e r f o r m i n g t h e a c t u a l E - p u l s e c a l c u l a t i o n . H o w e v e r , a v e r y e f f i c i e n t a l g o r i t h m h a s b e e n d e s i g n e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e p u l s e f u n c t i o n a m p l i t u d e s . C o m p a r i s o n o f n a t u r a l E - p u l s e s c o n s t r u c t e d f r o m p u l s e a n d f r o m F o u r i e r c o s i n e b a s i s f u n c t i o n s t o e l i m i n a t e t h e m o d e s o f a t h i n 4 4 5 c y l i n d e r t a r g e t h a v e b e e n s h o w n t o b e n e a r l y i d e n t i c a l . T h e y a l s o a p p a r e n t l y c o n v e r g e t o a u n i q u e w a v e f o r m a s t h e n u m b e r o f m o d e s t o b e e l i m i n a t e d i s i n c r e a s e d . T h i s s u g g e s t s t h e p o s s i b i l i t y o f E - p u l s e u n i q u e n e s s . I t h a s b e e n s h o w n t h a t f o r a n E - p u l s e t o b e u n i q u e , b o t h t h e i m a g i n a r y a n d r e a l p a r t s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s u s e d i n i t s c o n s t r u c t i o n m u s t b e h a v e i n a p a r t i c u l a r f a s h i o n . O f m o s t i m p o r t a n c e a r e t h e i m a g i n a r y p a r t s , w h i c h d e t e r m i n e t h e d u r a t i o n o f t h e p u l s e f u n c t i o n b a s e d E - p u l s e s . T h i s d u r a t i o n m u s t c o n v e r g e t o a s p e c i f i c v a l u e i f t h e E - p u l s e w a v e f o r m i s t o b e u n i q u e . D i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n d i f f e r i n g t h i n c y l i n d e r t a r g e t s h a s b e e n d e m o n s t r a t e d n u m e r i c a l l y , i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e , w i t h g r e a t c o n f i d e n c e . F r o m a f r e q u e n c y d o m a i n p o i n t o f v i e w , t h e n a t u r a l D C E - p u l s e h a s b e e n s u g g e s t e d a s t h e " b e s t " E - p u l s e f o r d i s c r i m i n a t i n g t h i n c y l i n d e r s . S h a p i n g o f t h e E - p u l s e s p e c t r a h a s b e e n u n d e r t a k e n a s w e l l , u s i n g t h e d a m p e d s i n u s o i d b a s i s s e t . T h i s s p e c t r a l m a n i p u l a t i o n h a s b e e n s h o w n t o b e p o t e n t i a l l y u s e f u l i n t h e c a s e o f s i n g l e m o d e e x c i t a t i o n . D i s c r i m i n a t i o n h a s a l s o b e e n c a r r i e d o u t u s i n g t h e m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f a i r c r a f t m o d e l t a r g e t s . T h e s u c c e s s o f t h i s p r a c t i c a l d e m o n s t r a t i o n h a s p r o v i d e d a n e m p i r i c a l v e r i f i c a t i o n o f t h e E - p u l s e c o n c e p t . A n e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e n a t u r a l r e s o n a n c e e x p a n s i o n o f t a r g e t s c a t t e r e d f i e l d h a s a l s o b e e n a c c o m p l i s h e d . O t h e r t o p i c s p e r t i n e n t t o t h e E - p u l s e t e c h n i q u e h a v e b e e n d i s c u s s e d a s w e l l . A g r o u p o f m e t h o d s f o r e x t r a c t i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t a r g e t s f r o m t h e i r m e a s u r e d s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e s 4 4 6 h a s b e e n p r e s e n t e d . T h e s e m e t h o d s a r e n e e d e d t o p r o v i d e t h e b a s i s f o r E - p u l s e c o n s t r u c t i o n f o r p r a c t i c a l t a r g e t s , w h e r e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s i s i m p o s s i b l e . F i v e o f t h e m e t h o d s a r e c o m p l e t e l y n e w , a n d o n e u t i l i z e s t h e E - p u l s e c o n c e p t i t s e l f . A l l t h e n e w m e t h o d s h a v e b e e n s h o w n t o b e s u c c e s s f u l i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e , a n d w i t h t h e n u m b e r o f m o d e s p r e s e n t i n t h e r e s p o n s e u n d e r e s t i m a t e d . H o w e v e r , d u e t o a l a c k o f t i m e , o n l y t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d h a s b e e n d e m o n s t r a t e d o n a c t u a l m e a s u r e d d a t a . T h e l a s t t o p i c i n t r o d u c e d i n t h i s t h e s i s i s a t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f a p a r t i c u l a r t a r g e t - - a t h i n w i r e e l l i p t i c a l l o o p . A n e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n h a s b e e n d e r i v e d f o r t h i s s t r u c t u r e , a n d i t h a s b e e n s o l v e d u s i n g t h e m e t h o d o f m o m e n t s . T h e r e s u l t i n g n a t u r a l f r e q u e n c i e s h a v e b e e n s h o w n t o f a l l i n t o f o u r d i f f e r e n t c a t e g o r i e s , b a s e d u p o n t h e s y m m e t r y o f t h e c o r r e s p o n d i n g s u r f a c e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n . T h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s e f r e q u e n c i e s h a v e b e e n f o u n d t o c o n v e r g e o n t h e e x p e c t e d l i m i t i n g c a s e s o f t h o s e o f a s h o r t e d t r a n s m i s s i o n l i n e a n d t h o s e o f t w o p a r a l l e l w i r e s . 9 . 2 T o p i c s f o r F u t u r e S t u d y M a n y t o p i c s d i s c u s s e d i n t h i s t h e s i s a r e e i t h e r n o t f u l l y c o m p l e t e , o r h a v e g e n e r a t e d a d d i t i o n a l i d e a s w h i c h s h o u l d p r o v e i n t e r e s t i n g . T h i s s e c t i o n s h a l l c o n s i d e r s e v e r a l o f t h e m . T h e s h a p i n g o f t h e E - p u l s e s p e c t r u m c o n s i d e r e d i n c h a p t e r 5 w a s o b v i o u s l y o n l y o f a p r e l i m i n a r y n a t u r e . T h i s t o p i c s h o u l d b e p u r s u e d f u r t h e r b y a t t e m p t i n g d i s c r i m i n a t i o n i n t h e p r e s e n c e o f r a n d o m n o i s e . I t i s a l s o p o s s i b l e t o e x t e n d t h e a n a l y s i s b y u s i n g o t h e r b a s i s s e t s , 4 4 7 o r b y a c t u a l l y s p e c i f y i n g t h e m a g n i t u d e o f t h e s p e c t r u m a t c e r t a i n p o i n t s . F o r e x a m p l e , t h e d e r i v a t i v e o f t h e s p e c t r u m m a g n i t u d e c o u l d b e f o r c e d t o b e z e r o a t c e r t a i n p o i n t s , i n a n a t t e m p t t o c r e a t e m a x i m a . N o t e t h a t t h i s a l s o r e q u i r e s t h e i n t r o d u c t i o n o f a d d i t i o n a l b a s i s f u n c t i o n s . S e v e r a l o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n s c h e m e s c a n b e i m p r o v e d . I t i s p o s s i b l e t o i n c l u d e v a r i a b l e s t e p s i z e i n t h e c o n t i n u a t i o n m e t h o d , a s w e l l a s c o r r e c t i o n s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p a t h . I n t h e s c h e m e s i n v o l v i n g t h e c o n s t r u c t i o n o f E - p u l s e s , t h e i n c l u s i o n o f f o r c e d w a v e f o r m s h a s b e e n s u g g e s t e d . T h i s w o u l d r e l i e v e t h e p r o b l e m o f t h e v a r i a t i o n o f t h e b e g i n n i n g t o t h e l a t e - t i m e p e r i o d . E a c h o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y e x t r a c t i o n s c h e m e s s h o u l d a l s o b e t e s t e d o n m e a s u r e d d a t a . T h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t h e e l l i p t i c a l l o o p c a n a l s o b e i m p r o v e d , b y u s i n g a H a l l é n t y p e i n t e g r a l e q u a t i o n . I n a d d i t i o n , i t w o u l d b e q u i t e s i m p l e t o c a l c u l a t e t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s , a n d t h u s t h e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e , f r o m t h e s u r f a c e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s . I t w o u l d a l s o b e p r u d e n t t o v e r i f y t h e a n a l y s i s e x p e r i m e n t a l l y , b y m e a s u r i n g t h e s u r f a c e c u r r e n t r e s p o n s e o f t h e l o o p . L a s t l y , t h e m o s t i n t e r e s t i n g t o p i c i s a l s o p e r h a p s t h e m o s t d i f f i c u l t . T h e r e r e m a i n s t h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r t h e e a r l y - t i m e p o r t i o n o f t h e s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e c a n b e u t i l i z e d f o r t a r g e t i d e n t i f i c a t i o n p u r p o s e s , d e s p i t e i t s h e a v y d e p e n d e n c e u p o n t a r g e t a s p e c t . T o p u r s u e t h i s t o p i c , i t w o u l d b e h e l p f u l t o m e a s u r e t h e e a r l y - t i m e p o r t i o n o f t h e s u r f a c e c u r r e n t o r s c a t t e r e d f i e l d r e s p o n s e o f s i m p l e t a r g e t s , f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e o r y . H o w e v e r , t h i s r e q u i r e s 4 4 8 t h e a c c u r a t e r e m o v a l o f t h e s y s t e m r e s p o n s e f r o m t h e m e a s u r e d d a t a . E s p e c i a l l y i m p o r t a n t i s t h e e x a c t r e m o v a l o f t h e r e c e i v i n g a n t e n n a r e s p o n s e . T o t h i s e n d , a n e f f i c i e n t a n d a c c u r a t e d e c o n v o l u t i o n s c h e m e m u s t b e e s t a b l i s h e d . B I B L I O G R A P H Y 1 0 . B I B L I O G R A P H Y B a u m , C . E . , " O n t h e S i n g u l a r i t y E x p a n s i o n M e t h o d f o r t h e S o l u t i o n o f E l e c t r o m a g n e t i c I n t e r a c t i o n P r o b l e m s , " I n t e r a c t i o n N o t e 8 8 , D e c e m b e r 1 9 7 1 . S c h m i t t , H . J . , e t . a l . , " C a l c u l a t e d a n d E x p e r i m e n t a l R e s p o n s e o f T h i n C y l i n d r i c a l A n t e n n a s t o P u l s e E x c i t a t i o n , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 1 4 , p p . 1 2 0 - 1 2 7 , M a r c h 1 9 6 6 . K e n n a u g h , E . M . , a n d D . L . M o f f a t t , " T r a n s i e n t a n d I m p u l s e R e s p o n s e A p p r o x i m a t i o n s , " P r o c . I E E E , p p . 8 9 3 - 9 0 1 , A u g u s t 1 9 6 5 . B e n n e t t , C . L . , e t . a l . , " T r a n s i e n t S c a t t e r i n g f r o m C o n d u c t i n g C y l i n d e r s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 1 8 , p p . 6 2 7 - 6 3 3 , S e p t e m b e r 1 9 7 0 . M a r i n , L . , " R e p r e s e n t a t i o n o f T r a n s i e n t S c a t t e r e d F i e l d s i n T e r m s o f F r e e O s c i l l a t i o n s o f B o d i e s , " P r o c . I E E E , p p . 6 4 0 - 6 4 1 , M a y 1 9 7 2 . M a r i n , L . , " N a t u r a l - m o d e R e p r e s e n t a t i o n o f T r a n s i e n t S c a t t e r e d F i e l d s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 1 , p p . 8 0 9 - 8 1 8 , N o v e m b e r 1 9 7 3 . M a r i n , L . , " N a t u r a l - m o d e R e p r e s e n t a t i o n o f T r a n s i e n t S c a t t e r i n g f r o m R o t a t i o n a l l y S y m m e t r i c B o d i e s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 2 , p p . 2 6 6 - 2 7 4 , M a r c h 1 9 7 4 . B a u m , C . E . , " T h e S i n g u l a r i t y E x p a n s i o n M e t h o d , " T r a n s i e n t E l e c t r o - m a g n e t i c F i e l d s , L . B . F e l s e n E d . , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , B a u m , C . E . , " E m e r g i n g T e c h n o l o g y f o r T r a n s i e n t a n d B r o a d - b a n d A n a l y s i s a n d S y n t h e s i s o f A n t e n n a s a n d S c a t t e r e r s , " P r o c . I E E E , v o l . 6 4 , p p . 1 5 9 8 - 1 6 1 6 , N o v e m b e r 1 9 7 6 . P e a r s o n , L . W . , " A N o t e o n t h e R e p r e s e n t a t i o n o f S c a t t e r e d F i e l d s a s a S i n g u l a r i t y E x p a n s i o n , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 2 , p p . 5 2 0 - 5 2 4 , M a y 1 9 8 4 . 4 4 9 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 . 4 5 0 F e l s e n , L . B . , " C o m m e n t s o n E a r l y T i m e S E M , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 3 , p p . 1 1 8 - 1 1 9 , J a n u a r y 1 9 8 5 . D u d l e y , 0 . 0 . , " C o m m e n t s o n S E M a n d P a r a m e t r i c I n v e r s e P r o b l e m , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 3 , p p . 1 1 9 - 1 2 0 , J a n u a r y 1 9 8 5 . M o r g a n , M . A . , " R e s p o n s e t o C o m m e n t s R e g a r d i n g S E M R e p r e s e n t a t i o n s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 3 , p . 1 2 0 , J a n u a r y 1 9 8 5 . T e s c h e , F . M . , " O n t h e A n a l y s i s o f S c a t t e r i n g a n d A n t e n n a P r o b l e m s U s i n g t h e S i n g u l a r i t y E x p a n s i o n T e c h n i q u e , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 1 , p p . 5 3 - 6 2 , J a n u a r y 1 9 7 3 . C h e n , K . M . , a n d D . W e s t m o r e l a n d , " I m p u l s e R e s p o n s e o f a C o n d u c t i n g B a s e d o n S i n g u l a r i t y E x p a n s i o n M e t h o d , " P r o c . I E E E , v o l . 6 9 , p p . 7 4 7 - 7 5 0 , J u n e 1 9 8 1 . B l a c k b u r n , R . F . , a n d D . R . W i l t o n , " A n a l y s i s a n d S y n t h e s i s o f I m p e d a n c e - l o a d e d L o o p A n t e n n a U s i n g t h e S i n g u l a r i t y E x p a n s i o n M e t h o d , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 6 , p p . 1 3 6 - 1 4 0 , J a n u a r y 1 9 7 8 . C h e n , K . M . , e t . a l . , " R a d a r W a v e f o r m S y n t h e s i s f o r S i n g l e - m o d e S c a t t e r i n g b y a T h i n C y l i n d e r a n d A p p l i c a t i o n f o r T a r g e t D i s c r i m i n a t i o n , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 0 , p p . 8 6 7 - 8 8 0 , S e p t e m b e r 1 9 8 2 . L e P a g e , R . , C o m p l e x V a r i a b l e s a n d t h e L a p l a c e T r a n s f o r m f o r E n g i n e e r s , D o v e r , N e w Y o r k , 1 9 8 0 . C h e n , K . M . , " R a d a r W a v e f o r m S y n t h e s i s M e t h o d - - a N e w R a d a r D e t e c t i o n S c h e m e , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 9 , p p . 5 5 3 - 5 6 6 , J u l y 1 9 8 1 . C h e n , K . M . , a n d D . W e s t m o r e l a n d , " R a d a r W a v e f o r m S y n t h e s i s f o r E x c i t i n g S i n g l e - m o d e B a c k s e a t t e r s f r o m a S p h e r e a n d A p p l i c a t i o n f o r T a r g e t D i s c r i m i n a t i o n , " R a d i o S c i e n c e , v o l . 1 7 , p p . 5 7 4 - 5 8 8 , J u n e 1 9 8 2 . R o t h w e l l , E . , e t . a l . , " R a d a r T a r g e t D i s c r i m i n a t i o n U s i n g t h e E - p u l s e T e c h n i q u e , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , t o a p p e a r 1 9 8 5 . W e b b , L . , " R a d a r T a r g e t D i s c r i m i n a t i o n U s i n g K - p u l s e s f r o m a ' F a s t ' P r o n y ' s M e t h o d , " D o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , M a y 1 9 8 4 . C R C S t a n d a r d M a t h e m a t i c a l T a b l e s , W . H . B e y e r E d . , C R C P r e s s , C l e v e l a n d , O h i o , 1 9 7 3 . H a n u s , P . H . , T h e o r y g f _ D e t e r m i n a n t s , G i n n a n d 0 0 . , B o s t o n , 1 8 8 6 . 2 5 . 2 6 . 2 7 . 2 8 . 2 9 . 3 0 . 3 1 . 3 2 . 3 3 . 3 4 . 3 5 . 3 6 . 3 7 . 3 8 . 3 9 . 4 5 1 M u i r , T . , A _ T r e a t i s e g n _ t h e T h e o r y 9 f _ D e t e r m i n a n t s , D o v e r , N e w Y o r k , 1 9 6 0 . G r a d s h t e y n , 1 . 5 . , a n d I . M . R y z h i k , T a b l e o f I n t e g r a l s , S e r i e s , a n d P r o d u c t s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 8 0 . S t r a n g , 0 . , L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 8 0 . J o r d a n , C . , C a l c u l u s o f F i n i t e D i f f e r e n c e s , 1 9 6 5 . M e s e , E . , e t . a l . , " T a r g e t I d e n t i f i c a t i o n b y M e a n s o f R a d a r , " M i c r o w a v e J o u r n a l , p p . 8 5 - 1 0 2 , D e c e m b e r 1 9 8 4 . L i n , H . , a n d A . K s i e n s k i , " O p t i m u m F r e q u e n c i e s f o r A i r c r a f t C l a s s i f i c a t i o n , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n A e r o s p a c e a n d E l e c t r o n i c S y s t e m s , v o l . A B S - 1 7 , p p . 6 5 6 - 6 6 5 , S e p t e m b e r 1 9 8 1 . K e n n a u g h , E . , " P o l a r i z a t i o n P r o p e r t i e s o f R a d a r R e f l e c t i o n s , " O h i o S t a t e U n i v . , P r o j e c t R e p . C o n t r a c t N o . R A D C - A F 2 8 ( 0 0 9 ) - 9 0 , R e p . 3 8 9 - 1 2 ( A D 2 4 9 4 ) , M a r c h 1 9 5 2 . C o p e l a n d , J . , " R a d a r T a r g e t C l a s s i f i c a t i o n b y P o l a r i z a t i o n P r o p e r t i e s , " P r o c . I R E , p p . 1 2 9 0 - 1 2 9 6 , J u l y 1 9 6 0 . M i e r a s , H . , " O p t i m a l P o l a r i z a t i o n s o f S i m p l e C o m p o u n d T a r g e t s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 1 , p p . 9 9 6 - 9 9 9 , N o v e m b e r 1 9 8 3 . R e p j a r , A . , K s i e n s k i , A . , a n d L . W h i t e , " O b j e c t I d e n t i f i c a t i o n f r o m M u l t i - f r e q u e n c y R a d a r R e t u r n s , " T h e R a d i o a n d E l e c t r o n i c E n g i n e e r , v o l . 4 5 , p p . 1 6 1 - 1 6 7 , A p r i l 1 9 7 5 . K s i e n s k i , A . , L i n , Y - T , a n d L . W h i t e , " L o w - f r e q u e n c y A p p r o a c h t o T a r g e t I d e n t i f i c a t i o n , " P r o c . I E E E , v o l . 6 3 , p p . 1 6 5 1 - 1 6 6 0 , D e c e m b e r 1 9 7 5 . Y o u n g , J . , " R a d a r I m a g i n g f r o m R a m p R e s p o n s e S i g n a t u r e s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 4 , p p . 2 7 6 - 2 8 2 , M a y 1 9 7 6 . C o r r i n g t o n , M . , " S i m p l i f i e d C a l c u l a t i o n o f T r a n s i e n t R e s p o n s e , " P r o c . I E E E , v o l . 5 3 , p p . 2 8 7 - 2 9 2 , M a r c h 1 9 6 5 . L i n , Y . , a n d J . R i c h m o n d , " E M M o d e l i n g o f A i r c r a f t a t L o w F r e q u e n c i e s , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 3 , p p . 5 3 - 5 6 , J a n u a r y 1 9 7 5 . C h u a n g , C . , a n d D . M o f f a t t , " N a t u r a l R e s o n a n c e s o f R a d a r T a r g e t s v i a P r o n y ' s M e t h o d a n d T a r g e t D i s c r i m i n a t i o n , " I E E E T r a n s - a c t i o n s o n A e r o s p a c e a n d E l e c t r o n i c S y s t e m s , v o l . A B S - 1 2 , p p . 5 8 3 - 5 8 9 , S e p t e m b e r 1 9 7 6 . 4 0 . 4 1 . 4 2 . 4 3 . 4 4 . 4 5 . 4 6 . 4 7 . 4 8 . 4 9 . 5 0 . 5 1 . 5 2 . 4 5 2 B e r n i , A . , " T a r g e t I d e n t i f i c a t i o n b y N a t u r a l R e s o n a n c e E s t i m a t i o n , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n A e r o s p a c e a n d E l e c t r o n i c S y s t e m s , v o l . A B S - 1 1 , p p . 1 4 7 - 1 5 4 , M a r c h 1 9 7 5 . V a n B l a r i c u m , M . , a n d R . M i t t r a , " A T e c h n i q u e f o r E x t r a c t i n g t h e P o l e s a n d R e s i d u e s o f a S y s t e m D i r e c t l y f r o m i t s T r a n s i e n t R e s p o n s e , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 3 , p p . 7 7 7 - 7 8 1 , N o v e m b e r 1 9 7 5 . M i l l e r , E . , " A S t u d y o f T a r g e t I d e n t i f i c a t i o n U s i n g E l e c t r o m a g n e t i c P o l e s , " L a w r e n c e L i v e r m o r e L a b o r a t o r y , L i v e r m o r e , C a l i f o r n i a , R e p o r t U C R L - 5 2 6 8 5 ( 1 9 7 9 ) . A u t o n , J . , e t . a l . , " O n t h e P r a c t i c a l i t y o f R e s o n a n c e - b a s e d I d e n t i f i c a t i o n o f S c a t t e r e r s , " p r e s e n t e d a t t h e I E E E / A P — S S y m p o s i u m a n d N a t i o n a l R a d i o s c i e n c e M e e t i n g , B o s t o n , M a s s a c h u s e t t s , J u n e 1 9 8 4 . M o r g a n , M . , " T i m e D o m a i n S c a t t e r i n g M e a s u r e m e n t s , " I E E E A n t e n n a s a n d P r o p a g a t i o n S o c i e t y N e w s l e t t e r , v o l . 2 6 , p p . 5 - 9 , A u g u s t 1 9 8 4 . P o g g i o , A . , e t . a l . , " E v a l u a t i o n o f a P r o c e s s i n g T e c h n i q u e f o r T r a n s i e n t D a t a , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 6 , p p . 1 6 5 - 1 7 3 , J a n u a r y 1 9 7 8 . M i l l e r , E . , " P r o n y ' s M e t h o d R e v i s i t e d , " L a w r e n c e L i v e r m o r e L a b o r a t o r y , L i v e r m o r e , C a l i f o r n i a , R e p o r t U C R L - 5 2 5 9 0 ( 1 9 7 8 ) . K e n n a u g h , E . , " T h e K - p u l s e C o n c e p t , " I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 2 9 , p p . 3 2 7 - 3 3 1 , M a r c h 1 9 8 1 . G e r a l d , C . , A p p l i e d N u m e r i c a l A n a l y s i s , A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M a s s a c h u s e t t s , 1 9 7 8 . P r o n y , R . , " E s s a i E x p e r i m e n t a l e t A n a l y t i q u e s u r l e s L o i s d e l a D i l a t a b i l i t e d e F l u i d e s E l a s t i q u e s e t s u r C e l l e s d e l l a F o r c e E x p a n s i v e d e l a V a p e u r d e l ' A l k o o l , a D i f f e r e n c e s T e m p e r - a t u r e s , " J . l ' E c o l e P o l y t e c h . ( P a r i s ) , v o l . 1 , p p . 2 4 - 7 6 , 1 7 9 5 . H i l d e b r a n d , F . B . , I n t r o d u c t i o n £ 3 _ N u m e r i c a l A n a l y s i s , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , 1 9 5 6 . D e n n i s , J . E . , a n d R . B . S c h n a b e l , N u m e r i c a l M e t h o d s f o r U n c o n - s t r a i n e d O p t i m i z a t i o n a n d N o n l i n e a r E q u a t i o n s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N e w J e r s e y , 1 9 8 3 . S t o e r , J . , a n d R . B u l i r s c h , I n t r o d u c t i o n £ 9 _ N u m e r i c a l A n a l y s i s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 8 0 . 5 3 . 5 4 . 5 5 . 5 6 . 5 7 . 5 8 . 5 9 . 6 0 . 6 1 . 6 2 . 6 3 . 6 4 . 6 5 . 6 6 . 6 7 . 4 5 3 G o l u b , G . H . , a n d V . P e r e y r a , " T h e D i f f e r e n t i a t i o n o f P s e u d o - i n v e r s e a n d N o n l i n e a r L e a s t S q u a r e s P r o b l e m s W h o s e V a r i a b l e s S e p a r a t e , " S I A M J . N u m e r . A n a l . , v o l . 1 0 , p p . 4 1 3 - 4 3 2 , 1 9 7 3 . K a u f m a n , L . C . , " A V a r i a b l e P r o j e c t i o n M e t h o d f o r S o l v i n g S e p a r a b l e N o n l i n e a r L e a s t S q u a r e s P r o b l e m s , " B I T , v o l . 1 5 , p p . 4 9 - 5 7 , 1 9 7 5 . K a u f m a n , L . , a n d V . P e r e y r a , " A M e t h o d f o r S e p a r a b l e N o n l i n e a r L e a s t S q u a r e s P r o b l e m s w i t h S e p a r a b l e N o n l i n e a r E q u a l i t y C o n s t r a i n t s , " S I A M J . N u m e r . A n a l . , v o l . 1 5 , p p . 1 2 - 2 0 , 1 9 7 8 . O s b o r n e , M . R . , " S o m e S p e c i a l N o n l i n e a r L e a s t S q u a r e s P r o b l e m s , " S I A M J . N u m e r . A n a l . , v o l . 1 2 , p p . 5 7 1 - 5 9 2 , 1 9 7 5 . R i c e , M a t r i x C o m p u t a t i o n s a n d M a t h e m a t i c a l S o f t w a r e , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , 1 9 8 1 . P h i l l i p s , " A T e c h n i q u e f o r t h e N u m e r i c a l S o l u t i o n s o f C e r t a i n I n t e g r a l E q u a t i o n s o f t h e F i r s t K i n d , " A C M , v o l . 8 - 9 , p p . 8 4 - 8 9 , 1 9 6 1 . T i k h o n o v a n d A r s e n i n , S o l u t i o n s p f _ I l l - P o s e d P r o b l e m s , W i l e y , N e w Y o r k , 1 9 7 7 . D a h l q u i s t , D . , a n d X B j B r c k , N u m e r i c a l M e t h o d s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N e w J e r s e y , 1 9 7 4 . D r a c h m a n , B . , a n d E . R o t h w e l l , " A C o n t i n u a t i o n M e t h o d f o r I d e n t i f i c a t i o n o f t h e N a t u r a l F r e q u e n c i e s o f a n O b j e c t U s i n g a M e a s u r e d R e s p o n s e , ” I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 3 , p p . 4 4 5 - 4 5 0 , A p r i l 1 9 8 5 . A l l g o w e r a n d G e o r g , " S i m p l i c i a l a n d C o n t i n u a t i o n M e t h o d f o r A p p r o x i m a t i n g F i x e d P o i n t s a n d S o l u t i o n s t o S y s t e m s o f E q u a t i o n s , " S I A M R e v . , v o l . 2 2 , n o . 1 , J a n u a r y 1 9 8 0 . I M S L U s e r ' s M a n u a l , E d i t i o n 9 . 2 , I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c a l a n d S t a t i s t i c a l L i b r a r i e s , I n c . , H o u s t o n , T e x a s , 1 9 8 4 . K e l l e r , R . B . , " N u m e r i c a l S o l u t i o n s o f B i f u r c a t i o n a n d N o n l i n e a r E i g e n v a l u e P r o b l e m s , " A p p l i c a t i o n s p f _ B i f u r c a t i o n T h e o r y , P . R a b i n o w i t z , E d . , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 7 , p p . 3 5 9 - 3 8 4 . L i n p a c k U s e r ' s G u i d e , S I A M , P h i l a d e l p h i a , 1 9 8 0 . O r t e g a , J . M . , a n d W . C . R h e i n b o l d t , I t e r a t i v e S o l u t i o n s g £ _ N o n l i n e a r E q u a t i o n s 1 3 S e v e r a l V a r i a b l e s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 0 . H a r r i n g t o n , R . F . , F i e l d C o m p u t a t i o n s p y _ M o m e n t M e t h o d s , M a c m i l l a n , N e w Y o r k , 1 9 6 8 . 6 8 . 6 9 . 7 0 . 7 1 . 7 2 . 7 3 . 7 4 . 7 5 . 7 6 . 4 5 4 W u , T . T . , " T h e o r y o f t h e T h i n C i r c u l a r A n t e n n a , " J . M a t h . P h y s . , v o l . 3 , p p . 1 3 0 1 - 1 3 0 4 , D e c e m b e r 1 9 6 2 . S t o r e r , J . E . , " I m p e d a n c e o f T h i n - W i r e L o o p A n t e n n a s , " T r a n s . A I E E , v o l . 7 5 , P a r t I , p p . 6 0 6 - 6 1 9 , 1 9 5 6 . A r f k e n , G . , M a t h e m a t i c a l M e t h o d s f o r P h y s i c i s t s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 0 . A b r a m o w i t z , M . , a n d I . A . S t e g u n , H a n d b o o k p £ _ M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s , D o v e r , N e w Y o r k , 1 9 6 5 . P a p o u l i s , A . , S i g n a l A n a l y s i s , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , 1 9 7 7 . C h u a n g , C . , " T r a n s i e n t W a v e f o r m S y n t h e s i s f o r R a d a r T a r g e t D i s c r i m i n a t i o n , " D o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 3 . O t n e s , R . , a n d L . E n o c h s o n , A p p l i e d T i m e S e r i e s A n a l y s i s , J o h n v _ _ ' W i l e y a n d S o n s , N e w Y o r k , 1 9 7 8 . P e a r s o n , L . , a n d Y . L e e , " S E M P a r a m e t e r E x t r a c t i o n T h r o u g h T r a n s i e n t S u r f a c e C u r r e n t M e a s u r e m e n t U s i n g K i n g - t y p e P r o b e s , ‘ I E E E T r a n s . A n t . P r o p . , v o l . A P - 3 0 , p p . 2 6 0 - 2 6 6 , M a r c h 1 9 8 2 . C h u a n g , C . , a n d D . N y q u i s t , " P e r t u r b a t i o n F o r m u l a t i o n f o r N e a r l y - d e g e n e r a t e S E M M o d e s o f L o o s e l y - c o u p l e d B o d i e s , " p r e s e n t e d a t t h e N a t i o n a l R a d i o s c i e n c e M e e t i n g , B o u l d e r , C o l o r a d o , J a n u a r y 1 9 8 4 .