O P T I M E Z A T I O N 0 F « L I N E A R S Y S T E M S T h e s i s f d r t h e D e g r e e o f P h . D M E C H I G A N S T A T E u m v s a s n ’ v . V i j a y K ' . J a i n 1 9 6 4 . f r H E s l S 2 5 1 1 2 9 3 4 \ \ \ “ ‘ I ‘ I I I @ E E I B I W I I I I “ z . T h i s i s t o c e r t i f g t h a t t h e t h e s i s e n t i t l e d O P T I M I Z A T I O N O F L I N E A R S Y S T E M S p r e s e n t e d b y V i j a y K . J a i n h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r M d e g r e e i n m a l E n g i n e e r i n g % / / z / 4 z w < / 1 ( ’ I a j o r p r o f e s s o r D a t e A u g u s t 1 0 , 1 9 6 4 0 - 1 6 9 L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y A B S T R A C T O P T I M I Z A T I O N O F L I N E A R S Y S T E M S b y V i j a y K . J a i n I n t h i s t h e s i s , c e r t a i n p r o b l e m s i n t h e o p t i m i z a t i o n o f l i n e a r s y s t e m s a r e c o n s i d e r e d . T e c h n i q u e s a r e g i v e n t o c a r r y o u t m i n i m i z a t i o n ( o r m a x i — m i z a t i o n ) o f a r b i t r a r y o b j e c t f u n c t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e s y s t e m p a r a m e t e r s a n d c o n t r o l f u n c t i o n s . U s i n g t h e t h e o r y o f f u n c t i o n s o f m a t r i c e s , e x p l i c i t f o r m u l a s f o r s o m e i m p o r t a n t o b j e c t f u n c t i o n s h a v e b e e n d e r i v e d a n d t h e m e t h o d o f s t e e p e s t d e s c e n t i s u s e d t o m i n i m i z e t h e o b j e c t f u n c t i o n . T h e c a s e s o f t e r m i n a l s t a t e e r r o r , a n d i n t e g r a l - q u a d r a t i c - e r r o r t o a s t e p o r r a m p i n p u t - f u n c t i o n a r e s o l v e d s p e c i f i c a l l y . E x t e n s i o n t o i n c l u d e t i m e w e i g h t i n g i s a l s o c o n s i d e r e d . A p r a c t i c a l p r o c e d u r e f o r s t a b i l i z i n g a n i n i t i a l l y u n s t a b l e l i n e a r s y s t e m , o f a r b i t r a r y o r d e r , w i t h r e s p e c t t o q v a r i a b l e s i s g i v e n . A n e w a p p r o a c h t o t i m e o p t i m a l c o n t r o l h a s b e e n d e v e l o p e d . I t h a s b e e n s h o w n t h a t s w i t c h i n g t h e p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m a n d t h e c o n t r o l f u n c t i o n s a b e t t e r t i m e o p t i m a l i t y c a n b e o b t a i n e d . T i m e o p t i m a l c o n t r o l i s d i s c u s s e d a l s o f o r t h e c a s e w h e n c e r t a i n m a s s a n d o t h e r p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m a r e t i m e v a r y i n g w i t h t h e i r v a r i a t i o n d e p e n d i n g o n t h e c o n t r o l s . F o r a s p e c i a l c a s e , t h e o p t i m a l c o n t r o l s a r e o f t h e g e n e r a l i z e d “ b a n g - b a n g ” t y p e . F o r t h e f i x e d t i m e p r o b l e m w i t h i n t e g r a l - q u a d r a t i c - e r r o r a n d c o n t r o l , a t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n i s g i v e n a n d a n e x p l i c i t s o l u t i o n i s o b t a i n e d f o r t h e c a s e w h e n t h e t r a n s i t i o n t i m e g r o w s o u t o f b o u n d s . O P T I M I Z A T I O N O F L I N E A R S Y S T E M S B Y V i j a y K . J a i n A T H E S I S S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g 1 9 6 4 A C K N O W L E D G E M E N T S T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k D r . H . E . K o e n i g f o r h i s g u i d a n c e a n d h e l p , D r . H . G . H e d g e s f o r h i s c o n s t a n t e n c o u r a g e - - m e n t , a n d D r . J . S . F r a m e f o r h i s i n s p i r a t i o n a n d s u g g e s t i o n s . H e a l s o w i s h e s t o t h a n k t h e U . S . A g e n c y f o r I n t e r n a t i o n a l D e v e l o P m e n t a n d t h e B i r l a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y a n d S c i e n c e , ( e a r l i e r B i r l a C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g ) , P i l a n i , f o r t h e i r j o i n t s p o n s o r s h i p w h i c h m a d e t h i s w o r k p o s s i b l e . - 1 1 - C O N T E N T S S e c t i o n P a g e I I N T R O D U C T I O N 2 . P A R A M E T E R O P T I M I Z A T I O N O F L I N E A R S Y S T E M S . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Z . I P r e l i m i n a r y C o n s i d e r a t i o n s . . . . . . 5 2 . 2 G e n e r a l T h e o r y . . . . . . . . . . . . 6 Z . 3 T e r m i n a l S t a t e O p t i m i z a t i o n . . . . . 9 T r a j e c t o r y O p t i m i z a t i o n . . . . . . . l 4 I n f i n i t e T r a n s i t i o n T i m e . . . . . . . . 2 3 Z . 4 T i m e W e i g h t e d O p t i m i z a t i o n - ° - . - Z 8 2 . . 5 S t a b i l i z a t i o n o f a L i n e a r S y s t e m o - . - 3 0 3 T I M E O P T I M A L C O N T R O L P R O B L E M S - 3 6 3 . l B a n g — B a n g P a r a m e t e r O p t i m i z a t i o n . 3 6 3 . 2 T i m e a V a r y i n g M a s s P a r a m e t e r s - - - - 4 4 4 : T H E l ‘ l e X I M U M P R I N C I P L E I N F I X E D T I M E P R O B L E M S . . . . . . - . - 5 2 4 - . I F i n i t e T r a n s i t i o n T i m e . . . . . . . 5 2 , 4 . 2 I n f i n i t e T r a n s i t i o n T i m e - . - - . . - 6 2 5 S U N U A A R Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . 9 l - 1 1 1 — L I S T O F A P P E N D I C E S A P P E N D I X P a g e A F U N C T I O N S o r M A T R I C E S ; D I F F E R E N T I A B I L I T Y o r E I G E N V A L U E S 6 8 B V A R I A T I O N A L T E C H N I Q U E S A N D M A X I M U M P R I N C I P L E 7 9 - i v - - - - — - - - - — - - - - L I l . I N T R O D U C T I O N T h e c o n c e p t s o f o p t i m u m c o n t r o l a n d p e r f o r m a n c e a r e b a s i c t o t h e e c o n o m i c s t u d i e s , c o n t r o l s y s t e m d e s i g n , g u i d a n c e a n d o t h e r p h y s i c a l s y s t e m s . T h e i n c r e a s i n g c o m p l e x i t y o f t h e s e s y s t e m s c r e a t e d t h e i m p e l l i n g n e e d f o r i m p r o v e d a n a l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e s y s t e m 3 — 4 a n d i t s p e r - f o r m a n c e m e a s u r e . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e s y s t e m a i n F i g . l a c t u a t e d b y t h e c o n t r o l l e r U c o n t i n u o u s l y ( o r d i s c r e t e l y ) i n t i m e . T h e s t a t e o f t h e s y s t e m a t t i m e t c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y a r e a l n — d i m e n s i o n a l v e c t o r x ( t ) . T h e o b j e c t i v e o f t h e c o n t r o l l e r m a y b e t o t r a n s f e r t h e s t a t e o f X A ( - f V $ 3 a I I - I I I I t I I I I I I I I I I I I I I I I I I l I I I I l F i g u r e l . l . . t h e s y s t e m x 0 a t t i m e t O t o s o m e s t a t e x a t t i m e t 1 i n s u c h a m a n n e r t h a t t h e o b j e c t f u n c t i o n t 1 J = / f o ( x ( t ) , u ( t ) ) d t t o i s a m i n i m u m , w h e r e t h e s y s t e m s t a t e x ( t ) i s r e l a t e d t o t h e c o n t r o l b y t h e f i r s t o r d e r v e c t o r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n X ( t ) = f ( X ( t ) . W . M G ) - 1 - - 2 - T h e o b j e c t f u n c t i o n m a y b e a m e a s u r e o f t h e c o s t o f c o n t r o l , a m e a s u r e o f t h e e r r o r r e l a t i v e t o a d e s i r e d p e r f o r m a n c e , o r s o m e o t h e r p h y s i c a l m e a s u r e . F o r p h y s i c a l r e a l i z a t i o n , i t i s r e q u i r e d t o i m p o s e c e r t a i n r e s t r i c t i o n s o n t h e c o n t r o l f u n c t i o n u ( t ) , t o - S t 5 t 1 , n a m e l y t h a t i t s h a l l b e l o n g t o a c e r t a i n c l a s s o f f u n c t i o n s ( e . g . p i e c e - w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s ) a n d i t s h a l l h a v e v a l u e s i n s o m e b o u n d e d r e g i o n U o f a s u i t a b l e r - d i m e n s i o n a l s p a c e . I n t h e p a s t , i t h a s b e e n a p r a c t i c e t o r e a l i z e a n a c c e p t a b l e d e s i g n o f a d y n a m i c s y s t e m o n t h e a n a l o g c o m p u t e r b y a d j u s t m e n t o f p a r a m e t e r s . W i t h t h e d e v e l o p m e n t o f s t a t e - s p a c e m o d e l s a n d t h e m o d e r n c o m p u t i n g f a c i l i t i e s , a n e w l e v e l o f s o p h i s t i c a t i o n i n d e s i g n i s p o s s i b l e . N o t o n l y i s i t p o s s i b l e t o m e e t t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e d e s i g n , b u t i n m a n y c a s e s a n o p t i m u m d y n a m i c p e r f o r m a n c e m a y b e o b t a i n e d a s p a r t o f a r o u t i n e d e s i g n p r o c e d u r e . A l t h o u g h e x t e n s i v e w o r k h a s b e e n d o n e i n t h e w a y o f h i g h l y t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s , r e c e n t l y b y P o n t r y a g i n , l ’ Z B e l l m a n l l a n d o t h e r s a n d e a r l i e r t h r o u g h t h e s u b j e c t o f C a l c u l u s o f V a r i a t i o n s , 1 2 c o m p a r a t i v e l y l i t t l e h a s b e e n a c h i e v e d i n t h e w a y o f a p p l i c a t i o n s , p e r h a p s b e c a u s e o f t h e a w e w i t h w h i c h t h e s e t h e o r i e s h a v e b e e n v i e w e d . A g e n e r a l s o l u t i o n e n c o m p a s s i n g a l l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s c a n n o t b e e x p e c t e d , n o t o n l y b e c a u s e o f t h e l a r g e v a r i e t y o f p r o b l e m s , b u t a l s o b e c a u s e o f t h e e x t r e m e d i f f i c u l t y e n c o u n t e r e d i n s o l v i n g n o n - l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e o r d e r o f e q u a t i o n s i s l a r g e . H o w e v e r , j u d i c i o u s c h o i c e o f t h e t h e o r e t i c a l t o o l s a n d a p p r o p r i a t e u s e o f t h e c o m p u t e r c a n c o n s i d e r a b l y s o f t e n t h e s e i n t r i n s i c d i f f i c u l t i e s . T h i s t h e s i s i s a n a t t e m p t i n t h e d i r e c t i o n o f b r i n g i n g t h e s e h i g h l y t h e o r e t i c a l r e s u l t s c l o s e r t o p r a c t i c e a n d a l s o b r i n g s o m e n e w c o n c e p t s i n t i m e o p t i m a l i t y . F o r m a n y o f t h e r e s u l t s , c o m p u t e r p r o g r a m s h a v e b e e n w r i t t e n a n d u s e d f o r - 3 - o b t a i n i n g c o n c r e t e r e s u l t s . T h e s e p r o g r a m s a r e p r e s e n t e d a s a s u p p l e m e n t t o t h i s t h e s i s . I n s e c t i o n 2 , t h e t h e o r y o f p a r a m e t e r O p t i m i z a t i o n f o r a r b i t r a r y o b j e c t f u n c t i o n s i s d e v e l o p e d . O p t i m i z a t i o n o f t e r m i n a l s t a t e o b j e c t f u n c t i o n s a r e c o n s i d e r e d s p e c i f i c a l l y a n d i l l u s t r a t e d b y a n e x a m p l e t a k e n f r o m t h e a r e a o f m u l t i f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m s . P r o c e d u r e s f o r d e t e r ; m i n i n g t h e p a r a m e t e r s f o r b e s t s i m u l a t i o n o f a s p e c i f i e d r e s p o n s e o f a s y s t e m t o a g i v e n i n p u t f u n c t i o n a r e d e v e l o p e d a n d e x p l i c i t f o r m u l a s f o r c a l c u l a t i n g t h e o b j e c t f u n c t i o n i n a c l o s e d f o r m a r e g i v e n f o r t h e c a s e s o f s t e p a n d r a m p i n p u t s . P r o c e d u r e s f o r m i n i m i z i n g t h e i n t e g r a l s q u a r e e r r o r , i n c l u d i n g t i m e w e i g h t i n g , o v e r i n f i n i t e t r a n s i t i o n t i m e a r e a l s o c o n s i d e r e d a n d a p p l i e d t o a n e x a m p l e o f a n e l e c t r o - m e c h a n i c a l s y s t e m . S e c t i o n 2 c o n c l u d e s w i t h a c o m p u t e r p r o c e d u r e f o r s t a b i l i z i n g a s y s t e m o f a r b i t r a r y o r d e r w i t h q v a r i a b l e p a r a m e t e r s . A n o b j e c t f u n c t i o n o f t h e h i g h e s t i m p o r t a n c e i s ' t i m e ' . R a t h e r r e c e n t l y , i t h a s b e e n e s t a b l i s h e d t h a t f o r a l i n e a r s y s t e m , d r i v e n b y a c o n t r o l w i t h a l i m i t e d m a g n i t u d e , t h e b a n g - b a n g c o n t r o l y i e l d s a b e t t e r t i m e o p t i m a l i t y Z Z t h a n a l i n e a r c o n t r o l l e r . I t i s b e l i e v e d t h a t a s t e p f u r t h e r h a s b e e n t a k e n i n t h i s d i r e c t i o n i n S e c t i o n 3 o f t h i s t h e s i s . I f c e r t a i n s y s t e m p a r a m e t e r s r e p r e s e n t e d b y t h e q - d i m e n s i o n a l v e c t o r v _ v c a n b e c h a n g e d w i t h i n a c e r t a i n s e t o f v a l u e s W , t h e n b y c h a n g i n g t h e s e v a l u e s a t s u i t a b l e i n s t a n t s , i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e m a n i p u l a t i o n o f c o n t r o l s , a b e t t e r s o l u t i o n t o t h e o p t i m a l t i m e p r o b l e m r e s u l t s . A s e c o n d o r d e r m e c h a n i c a l s y s t e m h a s b e e n u s e d t o i l l u s t r a t e t h i s p o i n t . T h e f i x e d t i m e p r o b l e m s , w h e r e t h e f i n a l s t a t e o f t h e p r o c e s s i s a r b i t r a r y , i s o f i n t e r e s t i n c e r t a i n e c o n o m i c s t u d i e s . A t h e o r e t i c a l p r o — c e d u r e i s g i v e n a l t h o u g h a n e x p l i c i t s o l u t i o n f o r t h e o p t i m a l c o n t r o l m a y , - 4 - i n g e n e r a l , b e d i f f i c u l t t o o b t a i n e x c e p t i n t h e c a s e w h e n t h e t r a n s i t i o n t i m e g r o w s o u t o f h a n d . A p p e n d i x A s t a t e s s o m e s t a n d a r d t h e o r e m s a n d r e s u l t s o n f u n c t i o n s o f m a t r i c e s a n d s y s t e m s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t a r e n e c e s s a r y t o t h e d e v e l o p m e n t o f S e c t i o n 2 . F o r m u l a s f o r c a l c u l a t i n g a f u n c t i o n o f a r e a l m a t r i x i n t h e r e a l d o m a i n a r e d e r i v e d i n t e r m s o f m o d i f i e d c o n s t i t u e n t m a t r i c e s a n d t h e m o d i f i e d e i g e n v a l u e s . A l s o , i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e m o d i f i e d e i g e n v a l u e s o f a l i n e a r s t a t e m o d e l f o r a n a r b i t r a r y p a r a m e t e r v e c t o r w , c a n b e e v a l u a t e d f r o m t h e i n i t i a l e i g e n - v a l u e s b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f c e r t a i n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . I n A p p e n d i x B , a p r o o f o f P o n t r y a g i n ' s m a x i m u m p r i n c i p l e , b a s e d o n t h e t h e o r y o f c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s , i s g i v e n . 3 . P A R A M E T E R O P T I M I Z A T I O N O F L I N E A R S Y S T E M S 2 . 1 P r e l i m i n a r y C o n s i d e r a t i o n s T h e s y s t e m s u s e d a s a b a s i s f o r d e v e l o p m e n t a r e d e t e r m i n i s t i c a n d g o v e r n e d b y l i n e a r , o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T e c h n i q u e s f o r d e v e l o p i n g t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l d e s c r i b i n g t h e d y n a m i c p e r - f o r m a n c e o f l i n e a r p h y s i c a l s y s t e m s h a v e a l r e a d y b e e n e s t a b l i s h e d . I f t h e c o m p o n e n t s o f a s y s t e m c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e n u s i n g t h e t o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f t h e l i n e a r g r a p h o f t h e s y s t e m , t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f t h e s y s t e m c o n s i s t i n g o f a s e t o f l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d p o s s i b l y a s e t o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s c a n b e o b t a i n e d . 3 ’ 4 F o r l i n e a r s y s t e m s , t h e s e e q u a t i o n s , c a l l e d t h e S t a t e M o d e l o f t h e s y s t e m , a r e o f t h e f o r m x : A x + B u ( 1 ) y : C x + D u ( 2 ) w h e r e x i s t h e n - d i m e n s i o n a l s t a t e - v e c t o r i n t h e n — s p a c e D E , A i s a r e a l n x n m a t r i x , B i s a r e a l n x r m a t r i x , a n d u i s a n r - d i m e n s i o n a l v e c t o r w i t h r a n g e i n a s u b s e t U o f t h e r — s p a c e . I n s o m e c a s e s , A a n d B m a y t a k e o n v a l u e s i n f a m i l i e s o f m a t r i c e s A ( w ) a n d B ( w ) w h e r e t h e q - d i m e n s i o n a l v e c t o r w _ o f p a r a m e t e r s m a y a s s u m e v a l u e s i n a s p e c i - f i e d s u b s e t W o f t h e q - s p a c e . E q u a t i o n ( 2 ) i n d i c a t e s t h a t t h e " o u t p u t " v e c t o r y o f d i m e n s i o n p w h i c h a s s u m e s i t s v a l u e s i n t h e p - s p a c e i s o b t a i n e d a s a l i n e a r t r a n s - f o r m a t i o n o f t h e s t a t e v e c t o r x a n d t h e v e c t o r E . I n p a r t i c u l a r , a n y p e r - f o r m a n c e m e a s u r e o r o b j e c t f u n c t i o n J , i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y t h e t r a j e c t o r y x ( t ) , t o _ < t _ < t ) a n d t h e c o n t r o l f u n c t i o n u ( t ) , t < t < t 1 , i . e . , l 0 — — - 6 - t t l l J = / g ( V ( t ) . x ( t ) , u ( t ) ) d t = / f o ( X ( t ) , u ( t ) ) d t ( 3 ) t O t o F o r t h e p u r p o s e s o f o p t i m i z a t i o n s t u d i e s , i t i s c o n v e n i e n t t o t r a n s - f o r m t h e a b o v e i n t e g r a l r e l a t i o n a s f o l l o w s . I n t r o d u c e a n e w v a r i a b l e x 0 d e f i n e d a s t x o z t / f 0 ( x , u ) d t , x 0 ( t 1 ) : : J ( 4 ) 0 t h e n u p o n d i f f e r e n t i a t i o n o f ( 4 ) 5 ( 0 = f 0 ( x , u ) ( 5 ) w h e r e f O i s a s c a l a r f u n c t i o n w h i c h i s p o s i t i v e d e f i n i t e . I f f O i s d e f i n e d a n d c o n t i n u o u s i n ) 3 x U i t i s s a i d t o b e i n c l a s s C 0 3 x U ) . I f i n a d d i - > . . _ t i o n , i t h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o x i n X t h e n i t w i l l b e s a i d t o b e i n c l a s s e s 0 0 3 x U ) a n d 1 3 ( 3 ) . 2 . 2 G e n e r a l T h e o r y F o r t h e l i n e a r s y s t e m ( 1 ) , l e t t h e c o n t r o l s i g n a l u ( t ) b e s p e c i f i e d o n t h e t i m e i n t e r v a l [ 0 , t 1 ] . L e t t h e p a r a m e t e r v e c t o r w _ = ( a , b ) , a s s u m e v a l u e s i n a c l o s e d a n d b o u n d e d s u b s e t W : V — V a x V — V b o f t h e q — d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e , w h e r e a a n d b a r e q a a n d q b d i m e n s i o n a l 5 T h i s s t a t e m e n t w o u l d b e u s e d t o m e a n t h a t a l l e n t r i e s o f t h e r o w v e c t o r ( 5 f / 5 x ) h a v e t h i s p r o p e r t y . I n g e n e r a l , a f / a x h a s a c e r t a i n p r o p e r t y w o u l d b e u s e d t o m e a n t h a t a l l e n t r i e s o f t h e J a c o b i a n m a t r i x [ B f / B X ] h a v e t h a t p r o p e r t y . - 7 - v e c t o r s w h o s e c o m p o n e n t s a r e e n t r i e s o f t h e m a t r i c e s A a n d B . T h e p r o b l e m i s t o f i n d t h e p a r a m e t e r v e c t o r E w h i c h m i n i m i z e s t h e p e r - f o r m a n c e m e a s u r e l i n ( 4 ) w h e n f O i s i n C O : x U ) a n d D ( g ) . T h e m i n i m i z a t i o n p r o c e d u r e c o n s i d e r e d h e r e r e q u i r e s t h e e v a l u - a t i o n o f t h e g r a d i e n t a J / a w . T o e s t a b l i s h t h i s g r a d i e n t l e t ( 1 ) b e r e w r i t t e n a s A ( a ) x + B ( b ) u x 0 I I f ( x , u , a , b ) = f ( x , w ) ( 6 ) S i n c e _ f i s l i n e a r i n w , a s s t a t e d i n t h e p r o b l e m , t h e p a r t i a l s g i — v e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s f o r w i n W , a n d t h e s o l u t i o n x ( t , w ) t o ( 6 ) , h a s 1 3 c o n t i n u o u s ( p a r t i a l s a x ( t , w ) / a w . T h e r e f o r e , t h e p a r t i a l s a f o ( x , u ) / a w a r e c o n t i n u o u s f o r w i n W a n d i t f o l l o w s f r o m ( 5 ) t h a t t h e s o l u t i o n x O h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l s a x e / a w . I n p a r t i c u l a r , f o r t = t w e h a v e t h e f o l l o w i n g 1 , L e m m a . L e m m a 1 . F o r t h e l i n e a r s y s t e m ( 6 ) , a n d t h e p e r f o r m a n c e m e a s u r e d e f i n e d b y ( 3 ) , t h e p e r f o r m a n c e m e a s u r e h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o ‘ 3 3 ! i . e . a J / 5 w e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s . L e m m a 2 . I f i n a d d i t i o n t o t h e h y p o t h e s i s o f L e m m a 1 , t h e i n t e g r a l i n ( 3 ) c o n v e r g e s , u n i f o r m l y i n w , w E W , t h e n t h e p e r f o r m a n c e m e a s u r e J = x 0 ( o o ) , h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i - v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o v _ v . L e t ) \ : ( a 1 + j ( 3 1 , 0 . 1 - j fi l , . . . , m e H , . . . . , k n ) , w h e r e d i , ( 3 i , 1 : l , . . . . , m X k : 2 m + l , . . . , n k ! - 3 - a r e a l l r e a l , b e t h e v e c t o r o f e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A a n d l e t * — ) \ ‘ ( a l t fi l t ° " : > \ 2 m + 1 9 ° " ’ ) \ n ) b e t h e m o d i f i e d v e c t o r o f e i g e n v a l u e s , h a v i n g r e a l e n t r i e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x e i g e n v a l u e s i n t h e f i r s t 2 m e n t r i e s a n d t h e r e a l e i g e n v a l u e s i n t h e f o l l o w i n g n - Z m e n t r i e s . I t i s s h o w n i n t h e A p p e n d i x A t h a t _ J _ i s a f u n c t i o n o f t h e m o d i f i e d v e c t o r o f e i g e n v a l u e s ) 0 “ = x * ( a ) a n d t h e p a r a m e t e r v e c t o r w . T h e r e f o r e , t h e g r a d i e n t o f . _ T _ i s g i v e n b y — < < : — I I s a - “ I + < : — : > I I I T h e m e t h o d o f s t e e p e s t d e s c e n t m m l 8 c a n n o w b e u s e d t o m i n i m i z e l w i t h r e s p e c t t o v _ v . L e t w e l l — V : V — V ' a x W b w h e r e W b i s t h e a l l o w a b l e s e t o f p a r a m e t e r v e c t o r s 2 a n d W ' a i s t h e s u b s e t o f a l l o w a b l e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r v e c t o r 3 s u c h t h a t t h e m a t r i x A ( a ) h a s d i s t i n c t e i g e n v a l u e s . F r o m t h e t h e o r y o f t h e m e t h o d o f s t e e p e s t d e s c e n t t h e v a r i a t i o n o f v 1 a l o n g t h e p a t h o f s t e e p e s t d e s c e n t i s g i v e n b y 3 — : = - C 2 % , ) ( 8 ) w h e r e ( r i s a n i n d e p e n d e n t p a r a m e t e r a n d C i s a s u i t a b l e w e i g h t i n g m a t r i x . O n e s i m p l e a n d o b v i o u s c h o i c e f o r C i s t h e u n i t m a t r i x . A l o c a l m i n i m u m f o r l i s o b t a i n e d a s a s o l u t i o n t o ( 8 ) a s o — ' o o . A n a l t e r n a t i v e t o a d i r e c t s o l u t i o n o f ( 8 ) i s a o n e — d i m e n s i o n a l s e a r c h . D i s c r e t i z i n g ( 8 ) w ( k + l ) : w ( k ) — C ( é — J : > ' \ 3 ‘ ” A 0 ‘ ( 9 ) w ( k ) - 9 - F o r a f i x e d v a l u e o f t h e v e c t o r ( 5 1 ) ' t h e s c a l a r A 0 “ i s i n c r e a s e d f r o m 0 u n t i l J t a k e s o n a m i n i m u m v a l e / J i f ) w h e r e J i s a f u n c t i o n o f w ( k + l ) a n d I x * . A n e w g r a d i e n t i s n o w f o u n d a n d t h e p r o c e d u r e i s c o n t i n u e d u n t i l t h e r a t i o J ( k + l ) / J ( k ) i s s u i t a b l y n e a r u n i t y . F o r e a c h s u c c e s s i v e v a l u e o f t h e p a r a m e t e r w ( k + l ) , ) t * i s e v a l u a t e d b y q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n o f E q . ( A 1 9 ) . 2 . 3 . 1 T e r m i n a l S t a t e O p t i m i z a t i o n A c o n t r o l s y s t e m i s o f t e n d e s i g n e d o n t h e b a s i s o f a t e r m i n a l s t a t e c r i t e r i o n , i . e . 9 J = f o u x - d e , u ] ( 1 0 ) t z t l w h e r e x ( 1 i s a d e s i r e d o r s p e c i f i e d r e s p o n s e t o t h e s y s t e m . T y p i c a l e x a m p l e s o f t h e f u n c t i o n f O a r e : ( i ) J = x ' ( t 1 ) x ( t ( 1 1 ) 1 ) r e p r e s e n t i n g t h e e u c l i d e a n n o r m o f t h e d e v i a t i o n f r o m t h e e q u i l i b r i u m s t a t e x : 0 . . . d I d ( 1 1 ) J : ( x ( t l ) - x ) G ( x ( t 1 ) - x ) ( 1 2 ) w h i c h r e p r e s e n t s a l i n e a r l y t r a n s f o r m e d ( o r w e i g h t e d ) e u c l i d e a n n o r m o f t h e d e v i a t i o n f r o m a d e s i r e d t e r m i n a l s t a t e . F o r t h e i m p o r t a n t c a s e w h e n t h e i n p u t i s a u n i t - s t e p f u n c t i o n o f t i m e , t h e s y s t e m s t a t e i s g i v e n a s n X ( t ) = 2 1 : 1 i 1 a n d t h e o b j e c t f u n c t i o n i s - 1 0 - n n ( k . + ) \ ) t , J é z : z e 1 k ( x ' + £ ) z . ' s z ( x + 3 1 ” i = 1 k 2 ] . 0 x i 1 O x k I . t k d ' B ' , B - [ e ( X + T ) Z i s z ( X O “ t r - ) 1 ] 1 k - I k i t I ' + B ) Z ' G Z ( d ' + £ ) ] + [ ( d + i ' D ’ - ) Z ' G Z ( C H - 1 1 ) ] e x o T i k x ) t X h . i k X ) . 1 k 1 k ( 1 3 ) T h e s e a n d t h e g e n e r a l p e r f o r m a n c e m e a s u r e J = f o n x - £ 5 . ( 5 : - 5 6 1 m l ] c a n b e t r e a t e d a c c o r d i n g t o t h e g e n e r a l t h e o r y o f t h i s s e c t i o n . E x a m p l e 1 C F i g . 2 C o n s i d e r t h e s y s t e m s h o w n i n F i g . 2 w h e r e t h e p l a n t c h a r a c t e r i z e d b y t h e l i n e a r m o d e l - x l - " o 1 0 ‘ " x 1 “ " 1 o 1 ‘ ” 7 , 1 " 3 % x 2 = o o 1 x 2 + o 0 1 e 2 , x - 3 . 7 5 - 7 . 2 5 - 5 x o 1 o e - 3 - _ _ _ 3 - L _ L . 3 - _ x fl m j _ 0 1 e : Z + u 2 2 1 x 2 ( 0 ) = 0 ( 1 3 . 1 . 1 ) e : Z + u 3 3 2 x 3 ( 0 ) o Z 1 0 0 - c 1 x l — i z Z = — c 2 - 3 - 1 x 2 ( E . l . 2 ) Z 3 0 0 c 1 x 3 _ _ _ L _ I _ . — J w h e r e £ 1 , z 2 a n d E 3 , r e p r e s e n t t h e f e e d b a c k s i g n a l s a n d t h e p a r a m e t e r s - C - 1 a n d 2 2 a r e c o n s t r a i n e d t o t h e r e g i o n l c 1 | _ < 0 . 1 | e Z | : 1 . o ( 1 3 . 1 . 3 ) a n d t h e i n p u t s a r e s p e c i f i e d a s — 2 . 0 , u = 1 . 0 ( 1 3 . 1 . 4 ) ( : 1 w h i c h I t i s d e s i r e d t o f i n d t h e v a l u e o f t h e p a r a m e t e r v e c t o r ( ( 6 1 , 2 ) w i l l m i n i m i z e t h e s c a l a r _ _ I _ J — ( x ( t , ) x 8 5 ) G ( x ( t 1 ) X . . . ) w h e r e X 5 5 2 x ( o o ) , t 1 = 5 a n d t h e w e i g h t i n g m a t r i x i s - 1 2 - T h e s t a t e e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m a r e _ _ r o 1 x 1 3 % X 2 : 0 0 x 3 - 3 . 7 5 _ 1 o 1 — + 0 0 l O l 0 I o 1 = O O ( - 3 . 7 5 — c 2 ) - l O . 2 5 o r " x 1 0 l 3 % X 2 = O 0 x 3 a 2 — l O . 2 5 w h e r e a l . _ l + c l a 2 : ’ 3 0 7 5 " C 2 T h e m a t r i x [ A X 3 a ( l + c - 6 . 1 ) J r e q u i r e d i n ( 7 ) i s ( 5 2 . 1 . 5 ) - 1 3 - - ( 1 0 . 2 5 k 1 - a 2 ) 2 1 + 1 2 ) t 1 + 1 0 . 2 5 a 1 3 X - ( 1 0 . 2 5 > . - a 2 2 ) 2 2 + 1 2 ) . + 1 0 . 2 5 a 3 k 2 l — ( 1 0 . 2 5 k 3 - a 2 ) + 1 0 . 2 5 a 3 l 3 X 3 2 + 1 2 > . I — . 8 L 1 2 3 1 1 + 1 2 > . 1 + 1 o . 2 5 s 1 a 1 2 3 x 2 + 1 2 > . Z + 1 0 . 2 5 s 1 a 1 2 3 1 3 + 1 2 ) . 3 + 1 0 . 2 5 a 1 a n d t h e d e t a i l e d f o r m o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a s i n E q . ( A 1 6 ) a r e d x i _ _ ( 1 0 . 2 5 > . i - a 2 ) d a l 3 1 1 2 + 1 2 > . i + 1 0 . 2 5 a d k i _ a l d a z 3 x 1 2 + 1 2 > . i + 1 0 . 2 5 a T h e m a c h i n e s o l u t i o n a l o n g w i t h t h e i n i t i a l p a r a m e t e r a n d o b j e c t f u n c t i o n a r e P a r a m e t e r V e c t o r a a 2 I n i t i a l l . O - 3 . 7 5 F i n a l 0 . 9 - 3 . 8 3 6 O b j e c t F u n c t i o n 0 . 3 1 8 3 0 . 1 3 3 8 g i v i n g t h e p a r a m e t e r v e c t o r f o r m i n i m u m o b j e c t f u n c t i o n . - 1 4 - 2 . 3 . 2 T r a j e c t o r y O p t i m i z a t i o n A p e r f o r m a n c e m e a s u r e o f c o n s i d e r a b l e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e a n d p r a c t i c a l i m p o r t a n c e i s t l J = / f 0 [ ( x ( t ) - x d ( t ) ) . u ( t ) ] d t ( 1 4 ) t o w h e r e x d ( t ) i s a s p e c i f i e d o r d e s i r e d t r a j e c t o r y . A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r a p o s i t i o n s e r v o d e s c r i b e d b y t h e s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 0 + a 1 0 + a 2 0 : u ( 1 5 ) s e t t i n g 0 = x Q : X 2 i n ( 1 5 ) , 1 ’ d x 1 0 1 0 d 7 = + X 2 - a 2 - a 1 u I t i s r e q u i r e d t o f i n d ( a 1 , a Z ) E V _ V s u c h t h a t f o r a n y s p e c i f i e d ( 3 ( t ) t h e i n t e g r a l - s q u a r e - e r r o r p e r f o r m a n c e m e a s u r e t l 2 J = / [ 0 ( t ) - B ( t I I d t t o t l 2 = / [ x l m - m n ] d t t o i s m i n i m i z e d . ~ 1 5 — E x p l i c i t f o r m u l a s f o r t h i s p e r f o r m a n c e i n d e x a n d f o r t h e g e n e r a l c a s e o f a n n - t h o r d e r s y s t e m f o r a s t e p i n p u t r e s p o n s e a r e d e r i v e d b e l o w . U s i n g e q u a t i o n ( A 1 3 ) o f t h e A p p e n d i x A X . t 1 1 n 1 . . 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L b F i g . 4 T h e d y n a m i c s o f t h e e l e c t r o m e c h a n i c a l s y s t e m s h o w n i n F i g . 4 i s d e s c r i b e d b y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d i e = R i + L a - t - + M 6 m 6 + b 6 + k 6 = c i ( E 3 . l ) I t i s d e s i r e d t o f i n d t h e p a r a m e t e r s I i a n d k s u c h t h a t t h e o b j e c t f u n c t i o n O - 2 7 - i s m i n i m i z e d , w h e r e 6 s s i s t h e s t e a d y — s t a t e v a l u e o f t h e d i s - p l a c e m e n t f o r a u n i t s t e p v o l t a g e . t h e s t a t e - m o d e l _ d _ d t L e t - k / m : a S e t t i n g x 1 = 6 , x 2 = 6 , x 3 I " 0 l - _ k . - 3 m m M 0 - — L — - a n d - R / L l o 1 o ' - a l - 7 l 0 - 3 . 7 5 ~ a Z X 1 X 2 L 1 1 3 F ' I ‘ D _ 1 _ - S u b s t i t u t i n g t h e f i x e d p a r a m e t e r s i n t o E 3 . 3 g i v e s : i , t h e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y : a 2 h a v e b o u n d l < a < 6 a n d 0 . 9 < a < 1 . 1 . - 2 - T o m i n i m i z e t h e i n t e g r a l s q u a r e e r r o r u s i n g t h e t h e o r y o f t h i s S e c t i o n , e v a l u a t e t h e m a t r i x o f e q u a t i o n ( 7 ) a s _ 3 ) . 3 ) . 1 2 2 + 2 ( a 2 + 7 ) ) . 1 + ( 2 _ + 2 ( a 2 + 7 ) 1 2 + ( 7 a 2 + 3 . 7 5 + a ) . 3 + a 2 2 + 8 . 2 + 8 . 2 2 3 ) . 3 + 2 ( a 2 + 7 ) ) . 3 + ( 7 a 2 + 3 . 7 5 + a 7 a + 3 . 7 5 + a 1 ) 1 ) 1 ) 3 1 1 i 2 ( a 2 + 7 ) 1 l + ( 7 a 2 + 3 . 7 5 + a 1 ) 2 3 ) . 2 + 2 ( a 2 + 7 ) ) . 2 + ( 7 a 2 + 3 . 7 5 + a 2 3 X 3 + 2 ( a 2 + 7 ) ) . 3 + ( 7 a 2 + 3 . 7 5 + a 2 1 ‘ 2 2 > ‘ 3 + 3 . + a 1 l ) 1 1 ) . — - 2 8 — T h e e i g e n v a l u e s f o r a n y g i v e n p a r a m e t e r v e c t o r a r e e v a l u a t e d f r o m t h e i n i t i a l e i g e n v a l u e s b y q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n o f t h e f o l l o w n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o b t a i n e d f r o m ( A 1 6 ) . d ) . . x . + a 1 _ _ 1 Z d a 1 1 — 3 ) . 2 + 2 ( a + 7 » . + ( 7 a + 3 7 5 + a ) i 2 i 2 ° 1 ( E 3 . 5 ) d ) . ) . . 2 + a _ _ _ 1 l d a z - 3 ) . 2 + 2 ( a + 7 ) > . + ( 7 a + 3 7 5 + a ) i 2 i 2 ' 1 T h e r e s u l t s o f m a c h i n e s o l u t i o n a r e g i v e n b e l o w P a r a m e t e r V e c t o r P e r f o r m a n c e M e a s u r e ‘ 1 1 3 ‘ 2 I n i t i a l Z l . 0 0 . 8 7 6 8 9 F i n a l 6 1 . 1 0 . 1 7 3 0 9 g i v i n g t h e p a r a m e t e r s f o r t h e m i n i m u m p e r f o r m a n c e m e a s u r e . 2 . 4 T i m e W e i g h t e d O p t i m i z a t i o n A m o r e g e n e r a l m e a s u r e o f p e r f o r m a n c e i s 1 : 1 J = / g ( t ) f o ( x , u ) d t ( 4 0 ) t o w h e r e g ( t ) i s a t i m e w e i g h t i n g f u n c t i o n . I t c a n b e s h o w n t h a t i f g ( t ) i s c o n t i n u o u s a n d f 0 i s i n C O : x [ 7 ) , i . e . , i f i t i s d e f i n e d a n d i s c o n t i n u o u s o n a s u i t a b l e d o m a i n 2 : x i f , t h e n J i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o w i n t h i s d o m a i n . I n t h a t c a s e ( 7 ) i s a p p l i c a b l e a n d t h e p r o c e d u r e c a n b e c a r r i e d o u t a s i n d i c a t e d . F o r e f f i c i e n t u s e o f ( 7 ) i t i s n e c e s s a r y t h a t e x p l i c i t r e l a t i o n s b e a v a i l a b l e t o e v a l u a t e J . I f t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n g ( t ) i s o f t h e f o r m - 2 9 - g ( t ) z } : ( c 0 k + + C l k t fl ) ( 4 1 ) t h e n e x p l i c i t f o r m u l a s f o r J c a n b e o b t a i n e d . S o m e o f t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s c o m m o n l y u s e d a r e 1 ) g ( t ) = l f o r O i t i t l o f o r t 3 t 1 ( 4 2 ) i i ) g ( t ) = t ( 4 3 ) i i i ) g ( t ) = e “ t ( 4 4 ) I f t h e i n p u t i s a s t e p f u n c t i o n , t h e n t h e t i m e w e i g h t e d i n t e g r a l - q u a d r a t i c e r r o r f o r t h e s e t h r e e c a s e s c a n b e s h o w n t o b e i ) F o r g ( t ) g i v e n i n ( 4 2 ) n n ( ) . i + ) . k ) t 1 e . . . . I J 1 " Z Z 2 5 . s z k 0 . i i + > . k ) > . x k l - ( 4 5 ) ( x i + x k » . i ) . k T h e e v a l u a t i o n i s d o n e i n r e a l n u m b e r s i f a l l e i g e n v a l u e s a r e r e a l . I f s o m e o f t h e e i g e n v a l u e s a r e c o m p l e x , t h e c a l c u l a t i o n s i n v o l v e d a r e c o m p l e x . H o w e v e r , f o r m u l a s i n t h e r e a l d o m a i n c a n b e o b t a i n e d a s w a s d o n e i n ( 3 4 ) . i i ) F o r g ( t ) g i v e n i n ( 4 3 ) n n , = 2 2 2 1 % l Z ( 4 6 ) i : ] . k z l ) ‘ k 0 . i + ) \ k ) w h e r e i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t a l l e i g e n v a l u e s o f A h a v e a n e g a t i v e r e a l p a r t . - 3 0 - i i i ) a n d f o r g ( t ) g i v e n i n ( 4 4 ) n n Z E G Z Z Z 1 k ( 4 7 ) ) . i ) . 1 : ( o . + ) . i + ) . k ) J : H I i = 1 k z l w h e r e a g a i n i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t a l l e i g e n v a l u e s o f A h a v e a n e g a t i v e r e a l p a r t a n d ( ( 1 + m a x R e f ) . i } ) < 0 a < - m a x R e { ) . . } l 2 . 5 S t a b i l i z a t i o n o f a L i n e a r S y s t e m I f t h e s y s t e m i s i n i t i a l l y u n s t a b l e , m a n y o f t h e e r r o r c r i t e r i o n s u s e d a s p e r f o r m a n c e i n d e x f a i l t o a p p l y . F o r e x a m p l e , t h e i n t e g r a l s q u a r e e r r o r o v e r t h e i n f i n i t e t i m e i n t e r v a l , u s e d i n S e c t i o n 2 . 3 , h a s m e a n i n g o n l y i f t h e s y s t e m i s s t a b l e . M o r e o v e r , i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e s y s t e m r e s u l t i n g a t t h e e n d o f o p t i m i z a t i o n , w i t h r e s p e c t t o a c e r t a i n p e r f o r m a n c e i n d e x , b e s t a b l e . T h u s , a c o m p u t e r p r o c e d u r e f o r s t a b i l i z i n g t h e s y s t e m i n i t i a l l y i s d e s i r a b l e . I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e e q u i l i b r i u m s t a t e , x = O , o f t h e l i n e a r h o m o g e n e o u s s y s t e m 5 c 2 A X ( 4 8 ) i s a s y m p t o t i c a l l y ( g l o b a l l y ) s t a b l e i f a n d o n l y i f a l l e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x 1 3 h a v e n e g a t i v e r e a l p a r t s , i . e . , R e k i < 0 , i : l , . . . , n ( 4 9 ) I X O I < 5 ( 5 1 ) - 3 1 - H e r e t h e s t a b i l i t y i s i n t h e L i a p u n o v s e n s e 1 9 a s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s . D e f i n i t i o n 1 T h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n x = f ( x , t ) ( 5 0 ) i s s a i d t o b e s t a b l e i f f o r e v e r y 6 > 0 t h e r e e x i s t s a n u m b e r 6 > 0 s u c h t h a t i m p l i e s O [ x ( t , x , t 0 ) | < e f o r a l l t _ > _ t O ( 5 2 ) D e f i n i t i o n 2 T h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f ( 1 6 ) i s s a i d t o b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i f i ) i t i s s t a b l e ( D e f i n i t i o n 1 ) i i ) a n d t h e r e e x i s t s a 6 0 > 0 s u c h t h a t f o r a n y x ? s u c h t h a t l x o ‘ < 6 0 , l i m X ( t , X , t ) = O t - ’ o o D e f i n i t i o n 3 I f t h e n u m b e r 6 o i n D e f i n i t i o n 2 i s n o n - f i n i t e , t h e n t h e e q u i l i b r i u m s t a t e i s s a i d t o b e g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e . - 3 3 - T h e p r o b l e m o f s t a b i l i z a t i o n c a n b e s t a t e d m o r e p r e c i s e l y a s f o l l o w s . F i n d t h e _ q a d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r v e c t o r 3 f r o m t h e c l o s e d a n d b o u n d e d s e t W a w h i c h s t a b i l i z e s t h e m a t r i x A ( a ) . T h e p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e g i v e n a b o v e c a n b e u s e d t o s t a b i l i z e a n u n s t a b l e s y s t e m b y u s i n g t h e c r i t e r i o n f u n c t i o n R e x . J = . 2 e 1 ( 5 3 ) 1 : 1 n T h i s f u n c t i o n h a s a n i s o l a t e d a b s o l u t e m i n i m u m a t R e x i z - o o , i = 1 , . . . n F o r t h i s f u n c t i o n ( 7 ) r e d u c e s t o m n 0 . . 5 0 . . ) . . 5 ) . . a : = 2 2 : e 1 a 1 + 2 : e 1 a 1 ( 5 4 ) a j i = 1 5 j i = 2 m + l 5 J - A P Z a p l T a p l " [ 5 ( 3 - _ 5 3 . 1 a a . a d . 1 1 1 J l “ ’ a n ‘ a p l 2 s p a ) ? ’ ( 5 5 ) B P ( a a i ) ( 5 0 . i a a 2 L . 3 _ 5 6 ( x i . a j ) s k i a a j ( 5 6 ) . 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O T h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f t h e m a t r i x i s 3 2 6 ( ) . ) = ) . + 4 ) . + a 1 ) . + a 1 a Z ( E 1 . 3 ) t h e e i g e n v a l u e s f o r t h e i n i t i a l p a r a m e t e r v e c t o r a r e ) . l - 1 0 ) . 2 : - 2 . 0 ) . 3 = - 3 . 0 a n d t h e s y s t e m i s c l e a r l y u n s t a b l e . F o r t h i s s i m p l e p r o b l e m , i t i s o b v i o u s t h a t 3 2 b e i n g n e g a t i v e l e a d s t o a n o n - H u r w i t z c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l . T o s t a b i l i z e t h i s s y s t e m u s i n g t h e t h e o r y i n t h i s S e c t i o n , * e v a l u a t e t h e m a t r i x S : o f e q u a t i o n ( 1 1 ) a s _ ( ) . l + a 2 ) - a l 3 x 2 + 8 x + 3 ) . 2 + 8 ) . + l 1 a 1 l 1 8 ‘ 1 B X * _ 0 . 2 + a 2 ) _ a 1 = 2 a 5 3 > . Z + 8 > . 2 + a 1 3 ) . 2 + 8 ) . 2 + a 1 O . 3 + a 2 ) a 1 _ 2 - 3 ) . 3 + 8 ) . 3 + a l 3 x 3 + 8 x 3 + a 1 4 _ 3 5 _ T h e e i g e n v a l u e s f o r a n y g i v e n p a r a m e t e r v e c t o r a r e e v a l u a t e d f r o m t h e i n i t i a l e i g e n v a l u e s b y q u a d r a t u r e i n t e g r a t i o n o f ( A 1 6 ) w h i c h i n t h i s c a s e a r e s p e c i f i c a l l y d ) . . _ _ ( ) . i + a 2 ) d a l 3 ) . . 2 + 8 ) . . + a 1 1 l d ) . i _ - a l d 6 1 2 3 ) . . Z + 8 ) . . + a 1 1 1 a 1 : 0 . 5 a 2 = - 0 . 0 2 8 9 f o r w h i c h > \ 1 = - . 0 4 4 5 ) . 2 : - . 0 8 3 5 ) . = - 3 . 8 7 3 . T I M E O P T I M A L C O N T R O L P R O B L E M S 3 . 1 ” B a n g - B a n g H P a r a m e t e r O p t i m i z a t i o n T h e p r o b l e m o f t i m e o p t i m i z a t i o n f o r l i n e a r s y s t e m s , i . e . , r e a c h i n g t h e p r e s c r i b e d f i n a l s t a t e x ( t l ) = 0 f r o m a g i v e n i n i t i a l s t a t e x ( t o ) = x 0 , t h r o u g h t h e m a n i p u l a t i o n o f t h e c o n t r o l f u n c t i o n u h a s b e e n t h e s u b j e c t o f n u m e r o u s i n v e s t i g a t i o n s . 1 - 2 ’ 2 1 - 2 7 ’ 3 0 I n t h e f o l l o w i n g d e v e 1 0 p m e n t , t h e p o s s i b i l i t y o f m a n i p u l a t i n g s o m e o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s , w h i c h c a n p o s s i b l y b e c h a n g e d a f i n i t e n u m b e r o f t i m e s ( p o s s i b l y o n l y a t c e r t a i n d i s c r e t e l e v e l s ) , i n c o n j u n c t i o n w i t h c o n t r o l m a n i p u l a t i o n i s c o n s i d e r e d . I t i s s h o w n t h a t i f t h e p a r a m e t e r r e g i o n i s a c l o s e d p a r a l l e l e p i p e d t h e o p t i m u m t r a n s i t i o n t i m e r e s u l t s w h e n t h e p a r a m e t e r s a s s u m e v a l u e s o n l y o n t h e b o u n d a r y o f W . F u r t h e r m o r e , i t t u r n s o u t t h a t t h e p a r a m e t e r v e c t o r w _ i s a c o n s t a n t e x c e p t a t a f i n i t e n u m b e r o f i n s t a n t s o f t i m e w h e r e i t u n d e r g o e s a j u m p . T h i s r e s u l t i s b a s e d o n t h e M a x i m u m P r i n c i p l e o f P o n t r y a g i n . T h i s b a s i c t h e o r e m i s g i v e n a l o n g w i t h a p r o o f b a s e d o n t h e c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s i n A p p e n d i x B . T h e t i m e o p t i m a l p r o b l e m a s c o n s i d e r e d h e r e c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s . L e t w ( t ) a n d u ( t ) r e p r e s e n t v e c t o r s o f d i m e n s i o n s q a n d _ 1 ; r e s p e c t i v e l y f r o m t h e c h s s o f p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , w h i c h a s s u m e v a l u e s i n t h e c o m p a c t s e t s W a n d T I . F r o m t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s , s e l e c t v _ v ( t ) a n d g ( t ) s u c h t h a t t l J 2 ] f 0 d t : t 1 , x ( t 1 ) = 0 ( 5 8 ) O - 3 6 - - 3 7 - t a k e s o n a m i n i m u m v a l u e f o r a g i v e n i n i t i a l s t a t e x ( 0 ) = x 0 a n d f o r t h e t e r m i n a l s t a t e x ( t l ) , o b t a i n e d a s a s o l u t i o n t o x : A ( w ( t ) ) x + B u ( t ) ( 5 9 ) F o l l o w i n g a p r o c e d u r e s i m i l a r t o t h a t u s e d b y P o n t r y a g i n a n d o t h e r s , l e t ( 5 8 ) a n d ( 5 9 ) b e w r i t t e n a s l e 5 : = f ( x , V ) w h e r e v i s t h e p r o d u c t v e c t o r ( w , u ) w h i c h t a k e s o n v a l u e s i n t h e p r o d u c t s e t W x [ T i n a n q + r s p a c e . T h e H a m i l t o n i a n f u n c t i o n a p p e a r i n g i n t h e o r e m B 1 i s _ I _ I I i _ \ I / O f o + \ 1 1 f _ \ 1 1 0 + \ 1 1 ( A ( w ) x + B u ) B y t h e m a x i m a l p r i n c i p l e , t h e o p t i m u m w a n d u s a t i s f y t h e f u n c t i o n a l e q u a l i t y \ I I ' ( A ( W ) + B U ) = S U P \ I I ' ( A ( W ) X + B u ) w e W n e t ? o r \ I I ' A ( W ) X = s u p \ I t ' A ( W ) x ( 6 0 ) w e v a a n d q J ' B u : s u p . p ' B u ( 6 1 ) \ I J ' A ( w ) x + \ J j ' B u ( 6 3 ) - 3 8 — C o n s i d e r t h e c a s e w h e n t h e e n t r i e s i n t h e v e c t o r w a r e i d e n t i f i e d w i t h d i s t i n c t e n t r i e s i n A . E x t e n s i o n s t o t h e c a s e w h e r e e n t r i e s i n w c o r r e s p o n d t o d i s t i n c t e n t r i e s i n B a r e s t r a i g h t f o r w a r d . L e t W x I T b e a p o l y h e d r o n a n d a s s u m e t h a t t h e o p t i m a l w ( t ) a n d u ( t ) e x i s t . T h e n T h e o r e m : E q u a t i o n s ( 6 0 ) a n d ( 6 1 ) u n i q u e l y * d e t e r m i n e t h e o p t i m a l w ( t ) a n d u ( t ) f o r e a c h n o n - t r i v i a l s o l u t i o n o f t h e a d j o i n t s y s t e m 5 : = - A ' ( W ( t ) ) x ( 6 2 ) i f f o r e v e r y v e r t e x o f W , A ( w ) s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n o f c o m p l e t e c o n t r o l l a b l l l t y a n d t h e r e a r e n o c r 1 t 1 c a l > | < p o m t s o f _ ) _ c _ . I n a d d i t i o n , w ( t ) a n d u ( t ) a r e p i e c e w i s e c o n s t a n t a n d a s s u m e v a l u e s a t t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y h e d r o n s W a n d a . P r o o f : T h e f u n c t i o n i s l i n e a r i n ( w , u ) a n d i s e i t h e r a c o n s t a n t o r a t t a i n s i t s m a x i m u m o n t h e b o u n d a r y o f W x { — 1 . T h u s , i t a s s u m e s i t s m a x i m u m a t a v e r t e x o f W x { — 1 o r o n e o f i t s e n t i r e f a c e s . W e w i s h t o s h o w t h a t t h e l a t t e r h a p p e n s o n l y f o r a f i n i t e n u m b e r o f v a l u e s o f t i m e . * U n i q u e t o t h e e x t e n t t h a t a t t h e p o i n t s o f j u m p s u ( t ) i s a r b i t r a r y b e t w e e n u - a n d 1 1 + . > 3 * A p o i n t w h e r e \ I / i = 0 o r 5 : . = 0 . J a n d \ I / i = 0 o r x . = 0 I S - 3 9 - A s s u m e t h e c o n t r a r y ; i . e . , l e t t h e r e e x i s t a n i n f i n i t e s e t o f s u c h t i m e s t , t 0 5 t E t . S i n c e t h e r e a r e o n l y a f i n i t e n u m b e r o f f a c e s o f W x [ 7 , t h e f u n c t i o n ( 6 3 ) a s s u m e s i t s m a x i m u m f o r a n i n f i n i t e s e t M o f t i m e s o n a c e r t a i n f a c e L . T w o c a s e s n o w a r i s e . I I f L i s p a r a l l e l t o 1 7 , t h e n f r o m t h e r e s u l t s o f P o n t r y a g i n 2 a c o n t r a d i t i o n i s o b t a i n e d i f t h e s y s t e m i s c o m p l e t e l y c o n t r o l l a b l e . I f L i s p a r a l l e l t o W , l e t V 1 = ( w l , u ) a n d v ‘ 2 = ( W Z ’ u ) b e v e c t o r s t o t h e e n d p o i n t s o f s o m e e d g e F . T h e n f o r t E M , w e h a v e ‘ I I ' A ( W 1 ) X + \ I J ' B u : \ I I ' A ( w 2 ) x + \ I I ' B u \ I J ' A ( W 1 ) X - \ I I ' A ( w 2 ) x = 0 \ I I ' A ( W 1 - W 2 ) x = 0 F i g . 6 B u t s i n c e w 1 — w 2 i s a n e d g e o f W , i t i s a v e c t o r w h o s e c o m p o n e n t s a r e a l l z e r o e x c e p t o n e a n d t h i s o n e f o r m s s o m e e n t r y i , j o f t h e m a t r i x A . T h u s [ \ P ' ] 0 0 J 0 I 0 0 I I 1 - - - - - - - a . . - - - - - x = 0 1 J I I O 0 I 0 a n d i t f o l l o w s t h a t \ I / i ( t ) a i j x j ( t ) = O ( 6 4 ) T h e s e t M m u s t h a v e a t l e a s t o n e l i m i t p o i n t T s i n c e t h e i n t e r v a l ( t o , t 1 ) i s f i n i t e . T h e r e f o r e , t h e r e e x i s t s a m o n o t o n e s e q u e n c e o f p o i n t s T 1 , . . . . c o n v e r g i n g t o T . S i n c e x ( t ) a n d \ I / ( t ) a r e ’ T k ! ' c o n t i n u o u s f u n c t i o n s k — * o o F u r t h e r m o r e , b e t w e e n e v e r y t w o r o o t s o f ( 6 4 ) t h e d e r i v a t i v e , t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 6 4 ) h a s a z e r o . L e t t h e s e p o i n t s b e d e n o t e d T 1 * , . . . , T k * , . . . . . T h e l i m i t o f t h i s s e q u e n c e a l s o c o n v e r g e s t o T . S i n c e t h e d e r i v a t i v e o f ( 6 4 ) v a n i s h e s a t e a c h p o i n t T k * , w e h a v e 3 : : > : < ' ° ’ 1 ‘ _ \ I / i h k ) x j h k ) + w i n k * ) x j ( T k I — o ( 6 6 ) w h e r e f r o m t h e s y s t e m a n d a d j o i n t e q u a t i o n s i l : _ _ I a ) : ' t @ 1 6 1 3 ) — . 1 : ( 7 k ) A ( w h k w ) i c j t r 1 5 “ ) = A j < w < T k * ) ) x ( t 1 5 " ) l i m { \ I J ' ( T k * ) A i ( w ( T k * ) ) x j ( T k * ) + \ I " ( T k * ) [ A J - ( T k ’ : ‘ ) X ( T k * ) + B j u ( T k * ) ] } - 4 1 - T h e s u b s c r i p t s a n d s u p e r s c r i p t s d e n o t e t h e r o w a n d c o l u m n r e s p e c t i v e l y o f t h e i n d i c a t e d m a t r i c e s . S u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s i n ( 6 6 ) a n d u s i n g t h e o n e - s i d e d c o n t i n u i t y o f w ( t ) , i t f o l l o w s t h a t k — ’ o o w t ) A i ( w ( - r ) ) x J - ( ' r ) + \ I / { h ) [ A J - ( T ) x < ~ r > + B j u h ) 1 { p i e - ) x j m + t i e ) s c j m = o ( 6 7 ) B u t t h i s r e s u l t i s a c o n t r a d i c t i o n t o t h e h y p o t h e s i s a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e . W h e n t h e b o u n d a r i e s o f W a n d 1 7 a r e i n d e p e n d e n t , t h a t i s w h e n k a w k S - fi k ' k = 1 , 0 0 0 , q ( 6 3 ) ’ 1 ' > I ¢ “ k g u k i fi k , k = 1 , r i t f o l l o w s f r o m ( 6 0 ) a n d ( 6 1 ) t h a t t h e p a r a m e t e r s a n d c o n t r o l a r e ) 3 + 0 . 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N u m b e r s m a r k e d a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s g i v e t h e t i m e i n s e c o n c i s t o r e a c h t h e o r i g i n . T r a j e c t o r i e s o p t i m i z e d w i t h r e s p e c t t o c o n t r o l a n d b a n g - b a n g p a r a m e t e r s a r e s h o w n i n F i g . . 1 0 . A c o m p a r a t i v e p i c t u r e o f t h e t r a j e c t o r i e s f o r a = - 1 . 8 , a = O a n d f o r b a n g - b a n g p a r a m e t e r s f o r a s p e c i f i c i n i t i a l s t a t e x 0 i s s h o w n i n F i g . 1 1 . I n i t i a l l y : T h e r e s u l t s a r e s h o w n b e l o w . - 4 4 - A t t i m e t = l . 0 9 5 p a r a m e t e r s w i t c h e s t o a = 0 A t t i m e t = 2 . 0 8 5 c o n t r o l s w i t c h e s t o u : : 1 p a r a m e t e r s w i t c h e s t o a : - 1 . 8 F i n a l s t a t e t i m e t 1 = 3 . 7 8 5 s e c . C o m p a r a t i v e t i m i n g s a r e T r a n s i t i o n t i m e a f i x e d a t - 1 . 8 4 . 3 7 a f i x e d a t 0 2 0 . 9 B a n g - B a n g p a r a m e t e r s 3 . 7 8 5 s e c . 3 . 2 T i m e - V a r y i n g M a s s P a r a m e t e r s I t i s n o t u n u s u a l t h a t s o m e o f t h e s y s t e m p a r a m e t e r s u n d e r g o c h a n g e w i t h a n i n t e g r a l r e l a t i o n t o t h e c o n t r o l s e x e r c i s e d . F o r e x a m p l e , t h e m a s s p a r a m e t e r s o f a s p a c e v e h i c l e d e c r e a s e w i t h c o n t i n u o u s f u e l c o n s u m p t i o n . T h u s , i t i s r e q u i r e d t o f i n d a v e c t o r f u n c t i o n u ( t ) f r o m t h e c l a s s o f p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s w h i c h t a k e t h e i r v a l u e s i n t h e c o m p a c t s e t U — o f r - d i m e n s i o n a l v e c t o r s s u c h t h a t t 1 J = f o f o d t = t 1 , x ( t l ) = 0 t a k e s o n a m i n i m u m v a l u e s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t . 0 i t = A ( w ( t ) ) x + B ( w ( t ) ) u , x ( t o ) = x ( 7 1 ) w h e r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e v e c t o r w a r e g i v e n b y . \ \ I - 4 5 - F fl g . 8 ' “ / u F + 1 ) i ‘ L A I , 7 / / / / - 1 0 ~ 1 1 / / * r ‘ “ ‘ * \ : \ 3 y o ' I u = - i 6 2 8 3 . 1 - 7 - 6 - 5 - 4 - 9 . 4 2 1 2 . 5 6 \ . \ \ \ \ - 8 = 0 T R A J E C T O R I E S F O R P A R A M E T E R V A L U E @ - . I I \ \ , ” . . - . w \ \ \ “ m - “ u N M H A X m - I w A \ \ . \ I “ a 4 T \ A H I \ \ W I g \ \ . . h u a . 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C T I W S R E \ T E M A R A \ P D N A L O R T N O C * \ \ » 5 / \ — 7 - 5 - 6 - \ - 5 - 4 - 3 ( - 2 ‘ 1 L 7 8 5 3 . 2 : 8 6 ‘ \ 2 . 2 . ! 2 . 7 8 4 \ \ / 1 . 2 3 5 ( 1 ) . . . 9 8 / . \ - 2 ‘ \ \ - 1 \ \ ' 4 9 8 5 6 i \ ' 2 ‘ . \ \ . . 2 5 2 . 3 . 2 1 0 1 . 2 1 1 . 8 5 T R A J E C ' I O R I E S I P O R B A N G - B A N G P A R A M E T E R S / / 1 a : u = - 1 O / . 2 1 A 4 5 6 7 2 5 m 3 7 1 3 5 V X X \ 8 . . 1 . 2 6 \ F i g . 1 0 ' - 4 7 - = 4 8 = F i g . _ 1 1 . X 2 x 0 \ \ . \ \ \ - 1 \ , , , - ; - - - - . . \ ’ 1 ’ \ \ \ \ 1 " - \ \ V / \ / / \ \ / \ / \ / \ / / \ \ u = - 1 ¢ , = _ / \ 1 8 , / / I \ \ \ \ \ \ \ C o n s t a n t a : 0 T r a n s i t i o n t i m e 2 0 . 9 S e c . C o n s t a n t . a . = - 1 . 8 T r a n s i t i o n t i m e 4 . 3 7 8 8 e c . B a n g - B a n g P a r a m e t e r s T r a n s i t i o n t i m e 3 . 7 8 5 S e c . 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P r o o f I T h e e q u a t i o n ( 7 7 ) t a k e s o n t h e f o r m _ ) — ‘ 1 > I < _ " ' > I < " \ I J ' B ( w ) u + 1 1 1 ' ( u l l : m a x { \ 1 1 ' B ( w ) u + \ I I ' I u l ) ' } * | u k 1 E l ' k = 1 , . . . , r * I u r l I n ] . | _ - _ I . - _ . a n d t h e e x p r e s s i o n r n n § : Z \ I 1 . b . u - 2 : \ I J l u l k = 1 i = 1 1 1 k k k : 1 n + k k m u s t a s s u m e a m a x i m u m w i t h r e s p e c t t o u k = 1 , . . . r . B u t k , t h i s f u n c t i o n a s s u m e s a m a x i m u m w h e n f o r e a c h k , k = l , . . . r , t h e f u n c t i o n ‘ 1 ’ b i k u k ' ‘ I ’ n + k l u k ‘ ( 7 9 ) 1 : 1 1 a s s u m e s i t s m a x i m u m . L e t t i n g - 5 1 _ Z ‘ I ’ i b i k z ‘ r k ( 8 0 ) i t c a n b e s h o w n t h a t ( 7 9 ) a s s u m e s i t s m a x i m u m w h e n C a s e 1 . \ P n + k i 0 I » t h e n u k 2 s i g n c r k C a s e 2 . \ I l n + k > 0 . t h e n u k 0 f o r x 1 1 n + k > I c r k l s i g n G k f o r 1 1 1 n + k < | 6 k | A l t h o u g h t h e a b o v e t h e o r e m i n d i c a t e s t h a t t h e o p t i m u m c o n t r o l t a k e s o n i t s v a l u e s e i t h e r a t t h e b o u n d a r i e s + 1 o r - 1 , o r i s 0 , t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e s w i t c h i n g i n s t a n t s r e m a i n s t o b e s o l v e d . A n d i n t h i s s e n s e t h i s p r o b l e m h a s b e e n c a r r i e d t o t h e s a m e s t a t e a s t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e s w i t c h i n g t i m e f o r t h e u s u a l o p t i m u m t i m e p r o b l e m . F o r t h e l a t t e r p r o b l e m , s o m e i n v e s t i g a t o r s z z ’ 2 4 h a v e d e v e l o p e d m e t h o d s o f o b t a i n i n g t h e s e s w i t c h i n g i n s t a n t s t h r o u g h t h e s o l u t i o n o f c e r t a i n t r a n s o e r r l e n i a l e q u a t i o n s . T h e s a m e p r o c e d u r e s c a n p o s s i b l y b e e x t e n d e d t o t h e s o l u t i o n o f t h e s w i t c h i n g p r o b l e m d e f i n e d a b o v e . H o w e v e r , t h e p o s s i b l e n u m b e r o f v a l u e s f o r e a c h c o n t r o l i s n o w t h r e e i n s t e a d o f t w o . 4 . T H E M A X I M U M P R I N C I P L E I N F I X E D T I M E P R O B L E M S 4 . 1 F i n i t e T r a n s i t i o n T i m e F o r a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m s , t h e f i n a l s t a t e o f t h e s y s t e m i s u s u a l l y s p e c i f i e d t o b e a s p e c i f i c v a l u e o r w i t h i n a r e g i o n o f s p e c i f i e d v a l u e s . F o r c e r t a i n e c o n o m i c a n d p o s s i b l y o t h e r s y s t e m s , i t i s o n l y t h e o b j e c t f u n c t i o n , o v e r a f i x e d t i m e d u r a t i o n , w h i c h i s o f i n t e r e s t a n d t h e f i n a l s t a t e i s a r b i t r a r y . T o f o r m u l a t e t h e p r o b l e m o f m i n i m i z i n g t h e o b j e c t f u n c t i o n f o r t h i s c a s e , c o n s i d e r t h a t ( 1 ) h a s f i x e d p a r a m e t e r s a n d t h e m a t r i x A h a s d i s t i n c t e i g e n v a l u e s w i t h n e g a t i v e r e a l p a r t s . I t i s r e q u i r e d t o f i n d c o n t r o l V e c t o r u ( t ) , f r o m t h e c l a s s o f m e a s u r e a b l e f u n c t i o n s a s s u m i n g v a l u e s i n a c o m p a c t s e t I T w h i c h m i n i m i z e s ( 3 ) f o r t h e i n i t i a l s t a t e 5 0 ’ g i v e n t h a t _ f _ O i n ( 3 ) i s i n c l a s s e s C D : x I I ) a n d D O E ) . S i n c e u a s s u m e s i t s v a l u e i n a c o m p a c t s e t , t h e o b j e c t f u n c t i o n J , i n g e n e r a l , i s n o t d i f f e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o x 0 a n d B e l l m a n ' s 1 1 e q u a t i o n J M ' o J S a t — l — e u m [ f 0 ( x , u ) + 3 5 £ 0 f ( x ° , u ) ] ( 8 1 ) i s n o t a p p l i c a b l e . H o w e v e r , P o n t r y a g i n ' s m a x i m u m p r i n c i p l e i s s t i l l a p p l i c a b l e a n d s t a t e s a s n e c e s s a r y c o n d i t i o n s 2 T h e o r e m P 1 C o n s i d e r a s y s t e m w i t h f i x e d i n i t i a l s t a t e x 0 a n d f r e e f i n a l s t a t e x 1 . A n a d m i s s i b l e c o n t r o l u ( t ) , t 0 3 t 3 t 1 , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g t r a j e c t o r y a r e O p t i m a l o n l y i f t h e r e e x i s t s a n o n - z e r o c o n t i n u o u s v e c t o r f u n c t i o n \ I / ( t ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e f u n c t i o n s u ( t ) a n d x ( t ) s u c h t h a t - 5 2 - . - 5 3 - ( l ) f o r a l l t , t o _ < _ t E t t h e H a m i l t o n i a n f u n c t i o n H ( _ \ I l ( t ) , x ( t ) , u ) 1 , o f t h e v a r i a b l e u e l J a t t a i n s i t s m a x i m u m a t t h e p o i n t u = u ( t ) H = M = S u p H ( g ( t ) , x ( t ) , u ) ( 8 2 ) u E I I ( 2 ) g ( t l ) = { - 1 . 0 . . . . , 0 ) ( 8 3 ) I f t h e r e e x i s t s a n o p t i m a l c o n t r o l a n d i f t h e f i n a l s t a t e x ( t l ) i s k n o w n , t h e n i t i s p o s s i b l e t o s o l v e f o r t h e c o n t r o l u ( t ) e x p l i c i t l y . W h e n x ( t l ) i s n o t k n o w n , i t i s p o s s i b l e t o p r o c e e d a s f o l l o w s ! C o n s i d e r t h e o b j e c t f u n c t i o n t 1 t 1 J 2 ] f ( x , u ) d t : f ( x ' G x + u ' C u ) d t ( 8 4 ) O O 0 1 ' 5 . 0 = x ' G X + u ' C u , x o ( t 1 ) = J ( 8 5 ) w h e r e l u i | _ < _ l , i : l , . . . , n ( 8 6 ) a n d G a n d C a r e n x n a n d r x r d i a g o n a l w e i g h t i n g m a t r i c e s . T h e H a m i l t o n i a n f u n c t i o n i s H A 3 ( 1 : ) , x ( t ) , u ) = \ P o f o + \ I l ' f = \ 1 / 0 ( x ' C - x + u ' C u ) + \ 1 1 ' ( A x + B u ) ( 8 ) . 1 1 ' ) 2 : 0 1 1 0 s I I I M H ‘ 1 ! n o N 4 . [ H N 0 C + . I M N ' o A V - 5 4 - a n d ‘ D o a n d t h e n - v e c t o r \ T / a r e s o l u t i o n s t o t h e a d j o i n t s y s t e m . 1 7 0 = 0 \ I , : - Z G X - A ' fi l F r o m ( 8 7 ) , u i s o p t i m a l i f r - u ' C u + \ I I ' B u : - Z C i i u i z + 2 \ p ' b u i a s s u m e s i t s m a x i m u m a t t h e p o i n t u f o r a l l t . H e r e b i ’ i : l , . . . i s t h e i t h c o l u m n o f B . T h e e x p r e s s i o n ( 9 0 ) i s m a x i m u m i f \ I l ' b . \ I I ' b . 1 w h e n 1 < 1 2 c i i 2 c i i - x v ' b i u . : 4 1 w h e n > 1 1 2 c . . — 1 1 ‘ 1 ' ' b 1 — 1 w h e n 2 < - 1 K C i l — l = 1 , r ( 8 8 ) ( 8 9 ) ( 9 0 ) ( 9 1 ) A s s u m i n g t h e e x i s t e n c e ( w h i c h m u s t b e a s c e r t a i n e d f r o m t h e P h y s i c s o f t h e p r o b l e m ) o f a n o n - t r i v i a l O p t i m a l c o n t r o l , t h e f o l l o w i n g t h e o r e m e s t a b l i s h e s t h a t t h e c o n t r o l i s l i n e a r o v e r a n o n - z e r o i n t e r v a l o f t i m e t Z E t 3 t 1 . - 5 5 - T h e o r e m 1 I F o r t h e c o n t r o l i n ( 9 1 ) , t h e r e e x i s t s a \ I I ' b . 1 2 . . C : 1 1 0 E t < t s u c h t h a t o n ( t 2 , t 1 ) , u 1 = a n d 2 — 1 ’ t 2 , \ u i | < 1 , i : l , . . . , r . M o r e o v e r , u i 0 o n ( t 2 , t 1 ) . P r o o f : F r o m T h e o r e m P l , . 1 1 0 1 = - l , \ 1 1 1 = 0 . S i n c e \ I x i - 0 ( f o r o t h e r w i s e t h e c o n t r o l i s t r i v i a l ) t h e r e e x i s t s a T , O < T : t l , s u c h t h a t o n ( T - E , T ) , \ I H A O a n d o n [ T , t 1 ] , \ I I E 0 . D e n o t e t h e o p e n s p h e r e S i = { 1 1 / 2 l — z - E — l — l < 1 } , a n d i i r l e t S : 8 1 ' U s i n g t h e c o n t i n u i t y o f \ I l a t T t h e i n v e r s e i m a g e 1 : ] . I I " b i o f S i s a n o n - e m p t y o p e n i n t e r v a l ( T - 6 , T ) o n w h i c h 1 7 5 — — ) < 1 i i a n d u ( L 1 . - \ L I F i g . 1 2 1 1 1 ' b . - — 2 C — 1 £ 0 , i = 1 , . . . , r . D e n o t e t h e i n f . o f T - 6 a s t z a s i n F i g . 1 2 . i i T h e n o n ( t w e h a v e l u i | < l , i = 1 , . . . , n a n d u é 0 . 2 ! t 1 ) , S t r u c t u r e o f t h e C o n t r o l F r o m t h e c o n t r o l e q u a t i o n s ( 9 1 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e c o m p o s i t e s y s t e m . 2 : D Z ' 1 ' C d ( 9 2 ) - 5 6 - w h e r e z = ( x , \ 1 1 ) , h a s 2 r p o s s i b l e f o r m s , i . e . , I A : E b l k b l k : 1 5 i k - S 1 ‘ l k l k D = - - - - - I - - - - - - - - - - - - - I 2 0 : - A ' L . . — r " . - “ d j b H I ! 1 j k C = b d : - - - - - d . : S i g n J l 3 R 2 c . . J k a — a — d ( 9 4 ) w h e r e t h e i n d i c e s i a r e m u t u a l l y e x c l u s i v e a n d c o m p l e t e t h e k ’ J R i n d i c e s 1 t h r o u g h r . + b . ' \ I » ( t ) . — 1 L e m m a 3 E v e r y t w o z e r o s o n [ 0 , t 2 ] o f t h e f u n c t i o n i t i ( t ) = — 2 — C i 1 — i l , i = l , . . . , n , a r e s e p a r a t e d b y a n o n - z e r o t i m e i n t e r v a l o r o t h e r w i s e [ . 1 i : ( t ) E 0 o n s o m e n o n - z e r o s u b - i n t e r v a l o f [ 0 , t 2 ] . P r o o f : A s s u m e T a n d T ' b e t w o z e r o s o f t h e f u n c t i o n a n d l e t T < T ' . A u n i q u e c o n t r o l i s d e t e r m i n e d f o r T + a n d c o r r e s p o n d i n g l y a u n i q u e c o m p o s i t e s y s t e m . T h e s o l u t i o n \ I l i s l o c a l l y a n a l y t i c s i n c e t h e c o m p o s i t e s y s t e m i s l i n e a r . C o n s e q u e n t l y , f o r a s u f f i c i e n t l y s m a l l e > 0 - 5 7 . . . + i i d U i — ( T ) 6 2 d 2 i ” i ( T + E ) = H i I T H T — a - E — + 7 1 — ‘ 7 H i ( T ) + d t + d _ . _ E [ E l - t - } J . ( T ) + o . o ] i d i t T h u s i f u i ( t ) i 0 o n ( t , t + E ) t h e n g t - ( . 1 ( T ) £ 0 a n d o n s o m e + i n t e r v a l ( T , T ' ) , p : ( 1 : ) d o e s n o t v a n i s h . 1 b . ' \ 1 1 U s i n g L e m m a 3 , i t f o l l o w s t h a t 2 : , i : 1 , . . r , c a n e q u a l i i 1 o n l y a f i n i t e n u m b e r o f t i m e s o n [ 0 , t 2 ] . ( A ) T w o c a s e s m u s t b e c o n s i d e r e d b i ' x l l ' 2 c . . 1 1 ( i ) I f o n [ 0 , t 2 ] , s i l , i = l , . . . , r , t h e n u i E i l , i = 1 , . . . , r , o n [ 0 , t 2 ] . ( 2 ) I f f o r s o m e i , l i i i r , a n d s o m e T , 0 < T < t 2 , l b i \ I I 2 c . . 1 1 < l i n t h e i n t e r v a l ( T , t 2 ) w e r e d e f i n e t h e o r i g i n a l t t o b e i n f T a s s h o w n i n F i g . 1 3 . T h i s 2 p r o c e d u r e m a y b e r e p e a t e d u n t i l t h i s i s n o l o n g e r p o s s i b l e . T h u s f o r t h e n e w t 2 , l u i [ < l o n ( t 2 , t 1 ) e x c e p t o n a s e t o f m e a s u r e z e r o . T ‘ u n e w t t t F i g . 1 3 - 5 8 - b i ' x p 2 c . . 1 1 N o w f o r s o m e i , > 1 o n ( t 2 - 6 , t 2 ) f o r e > 0 . L e t T h e n t 3 = 0 o r ( B ) t w o c a s e s a r i s e . b x ] ? ( 1 ) 2 7 1 E + l f o r i = l , . . . r , i n w h i c h c a s e u i - = ' _ + _ l , C i i ‘ ” o n [ 0 , t 3 ] . ( 2 ) 1 f f o r s o m e : 1 , i = 1 , . . . , r , a n d s o m e T , 0 < T < t 3 , b i ' \ I I 2 c . . 1 1 > 1 i n t h e i n t e r v a l ( T , t 3 ) w e r e d e f i n e t 3 t o b e i n f T . T h i s p r o c e d u r e i s c o n t i n u e d u n t i l i t i s n o l o n g e r p o s s i b l e . T h u s f o r t h e n e w t 3 , l u ) Z l o n ( t 3 , t 2 ) . b . ' \ 1 r N o w f o r s o m e 6 > 0 , 2 1 c < 1 o n ( t 3 - 6 , t 3 ) . L e t t 4 : i i i n f ( t 3 - E ) [ 0 . t ] 3 u n e w t t 3 t 2 t 1 _ 5 9 - T h e n e i t h e r t 4 : O o r p r o c e d u r e A a n d B m a y b e r e p e a t e d u n t i l t h e p r o c e s s t e r m i n a t e s . S y n t h e s i s P r o c e d u r e F o r s i m p l i c i t y , w e c o n s i d e r a s c a l a r c o n t r o l . T h e v e c t o r c o n t r o l i s n o d i f f e r e n t a n d f o l l o w s d i r e c t l y . T h e c o m p o s i t e s y s t e m h a s e i t h e r o f t h e t w o f o r m s d e p e n d i n g o n w h e t h e r b ' . 1 2 3 1 “ » c o m p o s i t e s y s t e m s a r e r e s p e c t i v e l y o r | T h e c o r r e s p o n d i n g _ x — — A 4 L 1 m V - _ x - 2 c d a " ? — ( 9 5 8 . ) @ Z G A A ' @ ” x ' ’ A O — _ x “ F b ‘ 1 I i _ + S i g n P Z — g ( 9 5 b ) d t " C 6 2 G A A ' 6 0 O n t h e i n t e r v a l ( t t 1 ] , T h e o r e m 1 e s t a b l i s h e s t h e f o r m o f t h e Z 9 c o m p o s i t e s y s t e m a s ( 9 5 a ) a n d a s s u m i n g , f o r s i m p l i c i t y , t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x D a r e d i s t i n c t , w r i t e i t s c o n s t i t u e n t m a t r i c e s i n t h e p a r t i t i o n e d f o r m i " 1 2 2 . : 1 : 1 , . . . , Z n ( 9 6 ) i i Z 2 1 Z 2 2 i F 2 1 1 2 w h e r e Z i ’ i : l , . . . n c o r r e s p o n d t o e i g e n v a l u e s ) . i , 1 2 1 , . . . n w i t h n e g a t i v e r e a l p a r t s a n d a s a c o n s e q u e n c e o f L e m m a ( A 5 ) t h e - 6 0 — m a t r i c e s Z i ’ i = n + l , . . 2 n c o r r e s p o n d t o t h e e i g e n v a l u e s ) . n + i = - ) . i ’ i : l , . . . n w i t h p o s i t i v e r e a l p a r t s . F r o m T h e o r e m P l , i t f o l l o w s t h a t M t l ) = 0 . L e t t i n g t 1 - t 2 : 8 1 ’ t h e s o l u t i o n t o ( 9 5 a ) i s " ' 7 — n 2 n _ . ) . . ( - s ) . - ) . . ( - s ) x 2 Z Z 1 e i l + E : Z 1 e i l . l l . 1 1 1 : 1 i = n + 1 = x 1 ( 9 7 ) n 2 n ) . . ( — s ) - ) . . ( - s ) 2 l 1 ' l i i l 1 3 1 ’ - b Z l e e + . 2 l e e - _ i = 1 i : n + l t h e s u p e r s c r i p t 2 r e f e r s t o t h e t i m e t 2 . I n o r d e r t h a t t 2 c o i n c i d e w i t h t = 0 , w e r e q u i r e x 0 t o b e w i t h i n t h e r e g i o n d e f i n e d b y 2 n 1 b ' ( Z 0 ‘ i ( t l - t o ) — E . 2 1 e 1 i = 1 2 n . - ) . . ( t - t ) - 1 ( Z z l l l e 1 1 0 ) x 2 < 1 ( 9 8 ) 1 : 1 I f x 0 d o e s n o t s a t i s f y ( 9 8 ) t h e n t h e c o n t r o l o v e r t h e i n t e r v a l [ t , t l i s u = l b ' \ I / Z = + l a n d t h e s o l u t i o n t o ( 9 5 b ) g i v e s t h e s t a t e 3 Z 2 . _ a t t 3 a s 3 A ( - S z ) 1 b ' 1 b ' 2 x = e s u b s t i t u t i n g f o r x 2 f r o m ( 9 7 ) - 6 1 - 3 x = x ( 5 2 , 8 1 ’ x 1 ) w h e r e 5 2 = t 2 - t 3 i s o b t a i n e d f r o m t h e s o l u t i o n o f l I 3 1 I ( ” A ' H ' S Z ) - s 2 I { . 1 1 2 + / e ( ' A ) t 2 G x ( t ) d t } = i 1 0 w h e r e Z - l b ' 2 \ I J ) ' A 1 3 ‘ 2 q u _ I x ( t ) = e A t ( x 2 + A 1 I s 5 1 C — t h e n i t i s e s t a b l i s h e d t h a t s i s o b t a i n e d a s t h e s o l u t i o n t o a n 2 e q u a t i o n o f t h e f o r m l b w / 3 e s x ) - + l ( 1 0 0 ) 2 c 2 ’ 1 ’ l - — C o n t i n u i n g t h i s p r o c e d u r e , t h e e n t i r e i n t e r v a l [ 0 , t 1 ] i s c o v e r e d t o y i e l d t h e s e t o f e q u a t i o n s x O : X m + l : X I I I - 5 ‘ 1 ( s , , 3 1 ; x 1 ) ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) - 6 2 - W e h a v e t h u s n + m e q u a t i o n s i n n + m u n k n o w n s s m , . . . , 8 1 ' , X I . T h e e q u a t i o n ( 1 0 1 ) i s l i n e a r a n d h a s a s o l u t i o n b y t h e a s s u m p t i o n o f t h e o p t i m a l c o n t r o l . T h e f i r s t e q u a t i o n i n ( 1 0 2 ) i s t r i v i a l a n d t h u s t h e r e a r e ( m - l ) n o n - l i n e a r e q u a t i o n s t o b e s o l v e d . 4 . 2 I n f i n i t e T r a n s i t i o n T i m e T h e p r o b l e m i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e e x c e p t t h a t t 1 : c o . S p e c i f i c a l l y , f o r t h e o b j e c t f u n c t i o n c o s z ( x ' G x + u ' C u ) d t ( 1 0 3 ) o i t i s n e c e s s a r y t h a t x 1 = x ( o o ) : 0 f o r c o n v e r g e n c e o f t h e i n t e g r a l . T h i s p r o b l e m i s o f g r e a t i n t e r e s t f r o m t h e v i e w p o i n t o f a p p l i c a t i o n s t o a l a r g e c l a s s o f p r o b l e m s a n d m o r e o v e r i t h a s a n e x p l i c i t s o l u t i o n . I n o r d e r t h a t ( 1 0 3 ) c o n v e r g e i t i s a l s o n e c e s s a r y t h a t u ( ° ° ) : O . T h e o p t i m a l c o n t r o l m u s t s a t i s f y ( 9 1 ) . T h u s o n t h e \ I / " b . 1 2 c . . i i i n t e r v a l ( t 2 , c o ) , t h e c o n t r o l s a r e g i v e n a s u i = , i = l , . . r a n d t h e c o m p o s i t e s y s t e m o f e q u a t i o n s t o b e s o l v e d i s o f t h e f o r m I ‘ q _ b . b . ' _ _ . . . . [ . x A Z — - 1 — - — 1 — - x i = 1 i i d . — 8 ? ‘ ( 1 0 4 ) A s s u m i n g t h a t t h e a b o v e m a t r i x h a s d i s t i n c t e i g e n v a l u e s a n d u s i n g t h e n o t a t i o n f o r c o n s t i t u e n t m a t r i c e s a s i n ( 9 6 ) a n d t h e r e s u l t s i n ( A 6 ) a n d ( A l 3 ' ) t h e s o l u t i o n t o ( 1 0 4 ) c a n b e w r i t t e n a s - 6 3 - ‘ 1 7 " 2 ) X n 2 n X ) . . ( t - t ) - > . . ( t - t ) l i m 2 Z i e 1 2 + Z Z i e 1 2 — t — * m i = 1 i = n + 1 N o w s i n c e R e ) . i < 0 , i : l , . . . n , t h e f i r s t m a t r i x i n s i d e t h e b r a c k e t s v a n i s h e s i n t h e l i m i t a n d t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s r e d u c e s t o 0 Z n l e l e X e ' ) ‘ i “ ' t 2 ) : l i r n E 1 t i : n + 1 1 i i 2 ‘ 1 ’ Z 2 1 Z 2 2 ‘ 1 ’ . _ . _ L . — - I t . . . _ - A s s u m i n g t h a t t h e r e q u i r e d i n v e r s e e x i s t s , t h e f i r s t s e t o f n e q u a t i o n s a r e s a t i s f i e d i f 2 n Z n @ 3 2 4 Z 2 1 2 5 4 ( Z 2 1 1 1 ) ; } : l e 2 i : n + 1 i = n + 1 T h u s t h e s a t u r a t i o n o f t h e c o n t r o l s o c c u r s o n t h e b o u n d a r i e s 2 2 I _ I _ ' _ _ . T h e c o n t r o l s a r e t h u s c o m p l e t e l y s y n t h e s i z e d f o r i : l , . . . , r , a s u = b i ' s z f o r l b i ' s z l 3 1 s i g n ( b i ' P X ? ) f o r [ b i ' P x 2 | _ > _ 1 L T h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t i n S e c t i o n 4 . 1 i s b e l i e v e d t o b e o f p a r t i c u l a r u s e i n c e r t a i n e c o n o m i c s t u d i e s , c h e m i c a l a n d o t h e r 1 - 6 4 - p r o c e s s e s w h e r e o n l y t h e o b j e c t f u n c t i o n i s o f i n t e r e s t . H o w e v e r , a s o b s e r v e d a t t h e e n d o f S e c t i o n 4 . 1 , a s e t o f n o n — l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s i s o b t a i n e d w h i c h m u s t b e s o l v e d . I f t h e e x a c t s t r u c t u r e o f t h e c o n t r o l i s k n o w n , a - p r i o r i t h e n t h i s s e t o f n o n - l i n e a r e q u a t i o n s c o u l d b e s o l v e d f o r t h e e x a c t c o n t r o l . I f t h i s i s n o t t h e c a s e , t h e n s o m e n u m e r i c a l t e c h n i q u e s m u s t b e d e v e l o p e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . H o w e v e r , i f t h e t r a n s i t i o n p e r i o d i s s u f f i c i e n t l y l o n g t h a t i t c a n b e r e g a r d e d a s i n f i n i t e t h e n t h e t h e o r y o f S e c t i o n 4 . 2 c a n b e a p p l i e d a n d a n e x p l i c i t s o l u t i o n o b t a i n e d . T h i s p r o b l e m h a s b e e n i n v e s t i g a t e d b y J e n - w e i 3 3 f o r a s c a l a r c o n t r o l . I n t h i s s e c t i o n , t h i s p r o b l e m h a s b e e n c o n s i d e r e d f o r a v e c t o r c o n t r o l a n d , m o r e o v e r , a m e t h o d f o r e x p l i c i t s o l u t i o n h a s b e e n g i v e n u s i n g t h e c o n c e p t s o f f u n c t i o n s o f m a t r i c e s . 5 . S U M M A R Y T h i s t h e s i s h a s d e v e l o p e d t e c h n i q u e s f o r t h e a p p l i c a t i o n o f t h e r e c e n t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s o n o p t i m i z a t i o n a n d e x t e n d e d s o m e o f t h e s e c o n c e p t s . C o m p u t e r p r o g r a m s h a v e b e e n w r i t t e n a n d u s e d o n d i v e r s e p r o b l e m s t o o b t a i n s p e c i f i c a n s w e r s . I n S e c t i o n 2 , m e t h o d s h a v e b e e n d e v e l o p e d w h i c h c a n b e s y s t e m a t i c a l l y i m p l e m e n t e d o n a d i g i t a l c o m p u t e r t o o p t i m i z e a p e r f o r m a n c e m e a s u r e o r o b j e c t f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o a g i v e n s e t o f s y s t e m p a r a m e t e r s . S p e c i f i c a l l y , i n S e c t i o n 2 . 3 . 1 , t h e c a s e o f f i n i t e - t i m e t e r m i n a l s t a t e e r r o r i s c o n s i d e r e d . T h e g e n e r a l t h e o r y o f p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n h a s b e e n a p p l i e d t o o p t i m i z e t h i s e r r o r a n d a n e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e t h e o r y d e v e l o p e d . I n S e c t i o n 2 . 3 . 2 , t r a j e c t o r y o p t i m i z a t i o n , 1 . e . , b e s t f i t t o a d e s i r e d r e s p o n s e h a s b e e n c o n s i d e r e d . E x p l i c i t f o r m u l a s h a v e b e e n d e v e 1 0 p e d f o r t h e c a s e s o f s t e p a n d r a m p i n p u t s w h i c h m a k e i t p o s s i b l e t o c a r r y o u t a n e f f i c i e n t c o m p u t e r i m p l e m e n t a t i o n . E x t e n s i o n t o t h e c a s e w h e n t h e t r a n s i t i o n t i m e g r o w s o u t o f b o u n d , i n c l u d i n g w e i g h t i n g , h a v e b e e n c o n s i d e r e d i n S e c t i o n s 2 . 3 . 3 a n d 2 . 4 a n d a p p l i e d s p e c i f i c a l l y t o a n e l e c t r o m e c h a n i c a l s y s t e m . A p r a c t i c a l p r o c e d u r e o f s t a b i - l i z i n g a l i n e a r s y s t e m o f a r b i t r a r y o r d e r i s g i v e n i n S e c t i o n 2 . 5 , w h i c h u s e s a s p e c i a l o b j e c t f u n c t i o n . A n e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e d e t a i l s o f t h e t h e o r y . I n p r a c t i c e , t h e s y s t e m c a n f i r s t b e s t a b i l i z e d u s i n g t h i s o b j e c t f u n c t i o n a n d t h e n o p t i m i z e d w i t h r e s p e c t t o a n y d e s i r e d o b j e c t f u n c t i o n b y m e r e l y c h a n g i n g t h e o b j e c t f u n c t i o n i n t h e c o m p u t e r p r o g r a m . — 6 5 - = 6 6 - P o n t r y a g i n " s m a x i m u m p r i n c i p l e h a s s o m e t i m e s b e e n r e g a r d e d a s a m a t h e m a t i c a l s o p h i s t i c a t i o n . I t i s s h o w n i n S e c t i o n s 3 a n d 4 t h a t t h e m a x i m u m p r i n c i p l e c a n b e a p p l i e d t o e n g i n e e r i n g p r o b l e m s a s e a s i l y a s s o m e o f t h e c o n v e n t i o n a l t e c h n i q u e s . T h e i m p o r t a n t c a s e o f t i m e o p t i m i z a t i o n h a s b e e n c o n s i d e r e d i n S e c t i o n 3 . 1 a n d a n e w a p p r o a c h t o t i m e o p t i m a l i t y h a s b e e n s u g g e s t e d . I t i s s h o w n t h a t b y t h e p o s s i b l e u s e o f p a r a m e t e r s w i t c h i n g i n c o n j u n c t i o n w i t h m a n i p u l a t i o n o f c o n t r o l s , a s m a l l e r t r a n s i t i o n t i m e c a n b e o b t a i n e d t h a n i s p o s s i b l e b y a . r e l a y c o n t r o l l e r o n l y . S e c t i o n 3 . 2 t r e a t s t h e c a s e w h e n s o m e o f t h e p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m b e a r a n i n t e g r a l r e l a t i o n t o t h e c o n t r o l s . F o r a s p e c i a l c a s e , t h e O p t i m a l c o n t r o l , w i t h a b o u n d [ u ( t ) ] _ < _ 1 , i s s h o w n t o b e o f t h e g e n e r a l i z e d b a n g — b a n g t y p e , i . e . , i t a s s u m e s o n l y t h r e e v a l u e s - 1 , 0 a n d + 1 . T h e f i x e d t i m e p r o b l e m w i t h a f r e e f i n a l s t a t e i s c o n s i d e r e d i n S e c t i o n 4 . E x p l i c i t r e s u l t s f o r t h e s y n t h e s i s o f t h e o p t i m u m c o n t r o l a r e o b t a i n e d f o r t h e c a s e w h e n t h e t r a n s i t i o n t i m e g r o w s o u t o f b o u n d s . A f u n d a m e n t a l d r a w b a c k o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i n S e c t i o n 2 i s t h a t t h e r e s u l t o b t a i n e d i s a r e l a t i v e m i n i m u m a n d n o t a n a b s o l u t e m i n i m u m . T h i s i s a n a r e a f o r f u r t h e r i n v e s t i - g a t i o n . A l t h o u g h t h e b e s t - f i t o p t i m i z a t i o n i s d o n e w i t h r e s p e c t t o a s t e p o r r a m p i n p u t , a s i n c o n v e n t i o n a l c o n t r o l s y s t e m d e s i g n , i t i s p o s s i b l e t o e x t e n d t h i s t o m o r e c o m p l e x s i g n a l s . I f t h e i n p u t i s a n a l g e b r a i c e x p r e s s i o n i n e x p o n e n t i a l s a n d p o l y n o m i a l s o f t i m e t h e n t h e h o m o g e n e o u s e q u i v a l e n t 3 6 o f t h e s y s t e m m a y p o s s i b l y b e u s e d t o y i e l d a b e t t e r m a c h i n e a d a p t a t i o n . - 6 7 - I n t h i s t h e s i s , a c o m p u t e r p r o g r a m w a s u s e d t o g e n e r a t e a n e t o f t i m e o p t i m a l t r a j e c t o r i e s r u n n i n g b a c k w a r d i n t i m e f r o m t h e o r i g i n f o r s e c o n d o r d e r s y s t e m s . I t i s d e s i r a b l e f o r s e c o n d o r d e r s y s t e m s , a n d a n e c e s s i t y f o r h i g h e r o r d e r s y s t e m s , t o c a l c u l a t e t h e s w i t c h i n g t i m e s f o r a g i v e n i n i t i a l s t a t e o f t h e s y s t e m . T h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e p a r a m e t e r a n d c o n t r o l s w i t c h i n g t i m e s r e m a i n s t o b e s o l v e d . A P P E N D I X A F U N C T I O N S O F M A T R I C E S ; D I F F E R E N T I A B I L I T Y O F E I G E N V A L U E S T h e o r e m A . l 4 ’ 5 ’ 2 ' 0 I f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n i n a n o p e n s e t c o n t a i n i n g t h e r o o t s ) . 1 , . . . , ) . o f t h e m i n i m a l p o l y n o m i a l ) 1 O . ) o f s A w i t h m u l t i p l i c i t i e s m l , . . . , m s , t h e n m ' - S U ) f ( A ) 1 k — 1 , ( A ) . . U ) f k f ( k ) ( X ) E ( A 1 ) j z l k 2 ] . k k w h e r e E k i s t h e p r o j e c t i o n m a t r i x o b t a i n e d b y r e p l a c i n g ) . b y A i n t h e p o l y n o m i a l s H ( x ) a k a ) ( A ) = ( A 2 ) ( A ' ) \ k ) a n d a k ( ) . ) i s t h e p o l y n o m i a l i n t h e n u m e r a t o r o f t h e p a r t i a l f r a c t i o n “ R e x p a n s i o n 5 0 . ) l k = A 3 1 ‘ 1 " ) g 1 m k ( ) L e m m a A . 1 4 ’ 5 ’ 2 0 L e t i j = k 1 1 1 ( A - A j U ) k E k ( A 4 ) T h e n m - 1 s ( M s z Z : f ( k O . J . ) z j k ( A 5 ) D : 1 , k = l i . e . , t h e f u n c t i o n f ( A ) o f t h e m a t r i x A i s d e t e r m i n e d b y t h e n m a t r i c e s i j , c a l l e d t h e c o n s t i t u e n t m a t r i c e s , a n d t h e s c a l a r f u n c t i o n s f ( k ) ( ) . j ) , k = 0 , ( m s - 1 ) , j = 1 , . . . , s . - 6 8 - - 6 9 . . L e m m a A . 2 4 ’ 5 ’ 2 0 I f t h e e i g e n v a l u e s o f A a r e d i s t i n c t , t h e n s f ( A ) : 2 f ( ) . i ) Z i ( A 6 ) i = 1 a n d n 1 2 1 : . 1 } [ 1 » ) . ( A 1 1 1 1 1 ) ] 1 — 1 1 J # 1 I f A i s a r e a l m a t r i x , ( i . e . , i t s e n t r i e s a r e f r o m t h e f i e l d o f r e a l n u m b e r s ) t h e n i t s e i g e n v a l u e s a r e e i t h e r r e a l o r a p p e a r a s c o m p l e x c o n j u g a t e s , ) . , ) . ) . . . . , A n w h e r e l ’ Z m ’ 2 m + l ’ ) . . = ) . 1 . , i : l , . . . , m a n d ) . . r e a l f o r i : 2 m + l , . . . , n a n d 2 1 — 1 2 1 i t h e c o n s t i t u e n t m a t r i c e s Z Z i - l ’ Z 2 i a s s o c 1 a t e d w 1 t h > . 2 i - l ’ x 2 i ’ i = 1 , . . . , m a r e c o m p l e x c o n j u g a t e s . T h e n m . n f ( A ) = Z [ 1 0 ‘ 2 1 - 1 ) Z 2 1 — 1 1 f ( " 2 1 1 ) Z Z i ] 1 r . 2 f 1 9 9 2 i 1 : 1 i = 2 m + l w h e r e 1 “ " Z i - l ) : m 2 1 ) I f Z 2 i - l 1 A 1 1 J B i " Z i - l 1 “ i 1 J fl i f o ‘ Z i — l ) : 5 1 1 j n i t h e n i t f o l l o w s t h a t - 7 0 _ m n f ( A ) = 2 2 [ 5 1 1 A i - n i B i ] + Z £ 1 0 . 9 2 i ( A 7 ) i = 1 i = 2 m + l w h e r e a l l q u a n t i t i e s i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n a r e r e a l . T h e m a t r i c e s A i ’ B i ’ i : l , . . . m ; Z i ’ i : 2 m + l , . . n a r e h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s t h e m o d i f i e d c o n s t i t u e n t m a t r i c e s , a n d a i , B i , i : l , . . . , m ; ) ‘ i ’ i : 2 m + l , , n a s t h e m o d i f i e d e i g e n v a l u e s . T h e v e c t o r f o r m e d b y t h e e i g e n v a l u e s w i l l b e d e n o t e d b y ) . a n d t h a t b y m o d i f i e d e i g e n v a l u e s b y ) . * . I n t h e f o l l o w i n g L e m m a , f o r m u l a s f o r c a l c u l a t i n g t h e m o d i f i e d c o n s t i t u e n t m a t r i c e s a r e g i v e n w i t h o u t p r o o f . T h e y f o l l o w f r o m d i r e c t c a l c u l a t i o n s . L e m m a A . 3 T h e m o d i f i e d c o n s t i t u e n t m a t r i c e s a r e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s : [ ( A - a k U ) 2 + s k Z U ] L . - H 1 1 1 _ < _ k § m 1 s , - a k ) 2 + ( 6 1 + R k I Z H I a i - a k ) 2 + ( 8 1 - 1 3 1 3 2 ] R E ( A - > . k U ) 1 2 1 1 1 k [ Z Z ] 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ( a i - u k ) + ( 3 i A 1 : I . i 5 3 1 : [ d ( A — a i U ) + c 1 1 1 i U ] ( A 8 ) B i : L i 7 5 3 1 : [ C ( A - a i U ) - ( 1 ( 3 i U ] ( A 9 ) 1 : l , . , m - 7 1 - w h e r e c + j d = K i m N a i - a k ) - i ( 1 3 1 + B k ) ] [ ( a i - a k ) 1 ° 1 6 , - I 5 1 3 ] 7 . 5 4 1 1 1 ' ] ( o . . - ) . - j [ 5 . ) i : l , 2 , . . . , m 2 m + l < k < n 1 k 1 k i t ? — 2 2 ( A - G U ) + I 3 U ( A - > . U ) z = n k k n 1 ‘ ( A 1 0 ) 1 l _ < _ k < m ( ) . i - c t k ) 2 + ( 3 k 2 2 m + 1 < k < n ( ) ‘ i ' x k s 1 . 1 1 k i t ? — 1 2 2 m + 1 , . . . , n S i m i l a r l y f o r m u l a s i n r e a l d o m a i n a r e o b t a i n a b l e f o r m u l t i p l e e i g e n v a l u e c a s e b u t w i t h a d d i t i o n a l a l g e b r a i c c o m p l e x i t y . T h e o r e m A . 2 1 3 C o n s i d e r t h e s y s t e m o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i i = f ( W . u ( t ) . t ) w h e r e u ( t ) i s a b o u n d e d m e a s u r a b l e f u n c t i o n o n [ t 0 , t 1 ] , w h i c h c a n t a k e o n v a l u e s i n a c o m p a c t s e t U . L e t f b e c o n t i n u o u s i n x a n d u a n d i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o x . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n x ( t ) w h i c h s a t i s f i e s t h e a b o v e e q u a t i o n . C o r o l l a r y A . 2 . 1 I f t h e s y s t e m i n T h e o r e m A . 2 i s l i n e a r , t h e n t h e s o l u t i o n t o t h e s y s t e m i s d e f i n e d o n t h e i n t e r v a l [ 1 0 ’ t 1 ] . x ( t ) : e A ( t - t ) O [ x o + - A ( t e l 1 - t ) O B u ( T ) d T ] ( A l l ) _ 7 2 - C o r o l l a r y A . 2 . 2 I n t h e s p e c i a l c a s e o f a l i n e a r s y s t e m a s i n ( l ) t h e s o l u t i o n i s e x p l i c i t l y g i v e n a s t 0 F u r t h e r m o r e , i f u ( t ) : u o n [ 1 0 ’ t 1 ] , t h e n A “ ’ t o ) - l - 1 ' x ( t ) : e ( x 0 + A B u ) - A B u ( A 1 2 ) a n d f o r u ( t ) : 0 , i . e . , w h e n t h e s y s t e m i s h o m o g e n e o u s A ( t - t o ) o x ( t ) = e X C o r o l l a r y A . 2 . 3 I f t h e i n p u t t o t h e l i n e a r s y s t e m i n ( l ) i s o f t h e f o r m r t r t u : Z p k ( t ) e k : 2 ( c o k + + c fl k t 1 ) e k k k t h e n t h e s o l u t i o n i s g i v e n i n a c l o s e d f o r m a s A ( t - t o ) Z { Z 1 % , C 1 0 ) 1 1 1 1 1 6 1 1 1 0 1 k i = 1 Z i j . - . o 1 1 3 ' W 1 a k i ( t — t o ) t I e I 1 ( A 1 3 ) “ 1 . 1 t O w h e r e o . i : ( r - 7 3 - - A ( t - t o ) P r o o f : E x p r e s s i n g e i n t e r m s o f i t s c o n s t i t u e n t m a t r i c e s i n e q u a t i o n ( A l l ) X ( t ) t n 1 A ( t - t ) - ) . . ( t - t ) . r ( t - t ) e ° [ x o + / 1 0 } : 2 3 . 1 w c a n t 0 t : k j s o J . . . . n A ( t — t ) ‘ t . ( - ) . . ( - t : e O [ X O + Z : Z 1 Z i / c J . k T J 1 k 1 1 1 o ) d T ] k ' 1 t O H . . . _ I f r o m w h i c h e q u a t i o n ( A 1 3 ) f o l l o w s i m m e d i a t e l y . L e t W : ' : W E - U { S ( a , 6 ) : x i : ) . j f o r i i j f o r A ( a ) } ( A 1 4 ) a n d l e t t h e i n t e r i o r o f W a ' b e d e n o t e d b y — W _ a O 0 T h e o r e m A . 3 . 1 I f t h e e i g e n v a l u e i i o f A ( a ) i s r e a l f o r a e W " o ( o r a s u b s e t o f W ' ) 1 t h e n t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f ) . i w i t h r e s p e c t 0 o t o a e x i s t s t h r o u g h o u t W ' ( o r t h a t s u b s e t o f W ' ) . M o r e o v e r ) . i i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o a . P r o o f : T h e c o e f f i c i e n t s i n t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l n n - l 6 ( ) . i ’ a ) — x i + d i ( a ) ) . i + . . . + d n ( a ) ( A 1 5 ) a r e l i n e a r ( o r h i g h e r ) f o r m s i n a . T h i s f o l l o w s d i r e c t l y b e c a u s e w e r e q u i r e d t h e e n t r i e s o f A ( a ) t o b e l i n e a r i n 3 . T h e n 5 6 ( ) . i , a ) / a a a r e d e f i n e d a n d d i f f e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o _ a _ a n y d e s i r e d n u m b e r o f t i m e s . T h e s a m e i s t r u e o f a 6 ( ) . i , a ) / a ) . i i f i t i s d e f i n e d f o r a p a r t i c u l a r a . - 7 4 - I m p l i c i t d i f f e r e n t i a t i o n o f ( A 1 5 ) g i v e s a x i ( 8 6 ( x i . a ) / 8 a j ) 8 3 , - — : ' ( a m p s / 8 M ) ( A 1 6 ) w h e r e t h e d e n o m i n a t o r d o e s n o t v a n i s h f o r o t h e r w i s e ) . i i s a d o u b l e r o o t o f 6 ( ) . i , a ) , w h i c h i s n o t p o s s i b l e i n k ' . T h u s t h e r i g h t h a n d s i d e e x i s t s a n d i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o ) . i a n d E j ' T h i s b e i n g t r u e f o r e v e r y j , t h e t h e o r e m i s p r o v e d . 0 T h e o r e m A . 3 . 2 I n t h e p a r a m e t e r s e t W ' t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s , ( 1 i a n d B i o f a p a i r o f c o m p l e x c o n j u g a t e e i g e n v a l u e s o f o A ( a ) , a E W ' , h a v e c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o a . P r o o f . U s m t g ) . Z i — l : 0 1 + J 1 3 1 1 n 6 ( ) . 2 i _ 1 , a ) w e h a v e a n 2 1 - 1 » a ) = p 1 ( 0 ~ i . B i . a ) + j p 2 1 a i , s i . a ) W e n o w r e q u i r e t o s o l v e t h e s i m u l t a n e o u s s y s t e m p 1 ( a i . 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N o w s u p p o s e l F i j l : 0 t h e n 5 P 1 5 P 2 A " L i ’ A O L i A P l A p a : — — - + : 0 . . . , B u t t h i s i m p l i e s 6 ( K Z i - l ) A a i A d i w h i c h r e q u i r e s X Z i — l t o b e a n e i g e n v a l u e o f m u l t i p l i c i t y m o r e t h a n o n e . C o r o l l a r y T h e e n t r i e s o f t h e J a c o b i a n m a t r i x A X * / a a e x i s t a n d t h e m a t r i x i s - 7 6 - F - _ 1 — 1 - 1 1 ‘ r F p F p l l 1 1 l q a l q a 2 : 2 m * a x : _ 5 a . ? n ( A 1 9 ) 5 % 2 m + 1 5 k Z m + 1 _ 6 a } _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a ? ‘ 1 a _ _ _ - a K n 5 K n g a l a a q a / W h e r e F i j i s t h e J a c o b i a n m a t r i x a s i n ( A 1 8 ) a n d p i j i s t h e v e c t o r 1 a p l 5 a i i a p 2 5 a - " i n t h e s a m e e q u a t i o n . 0 0 T h e o r e m A . 4 I f J : / f 0 ( x , u ) d t e x i s t s a n d f 0 i s i n c l a s s e s t C ( : ( x I 7 ) a n d D ( : ( ) t h e % f o r a f i x e d u a n d x , J i s a f u n c t i o n o f > ' < ‘ < O t h e a r g u m e n t s ) x . l = X a . 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P r o o f : T h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x o f D i s K U - A - Q ( A 2 1 ) I t s n e g a t i v e t r a n s p o s e i s - ) \ U + A ' G Q - > \ U — A A - 7 8 - N o w p r e a n d p o s t m u l t i p l y i n g b y t h e n o n — s i n g u l a r m a t r i c e s a s s h o w n 0 - U - ) \ U + A ' G 0 U — ) \ U - A - Q U 0 Q - ) \ U - A - U 0 - G - ) \ U + A ' ( A 2 2 ) E x c e p t f o r t h e s i g n ( A 2 2 ) m u s t h a v e t h e s a m e d e t e r m i n a n t a s ( A 2 1 ) . B u t ( A 2 2 ) i s o b t a i n e d s i m p l y b y r e p l a c i n g . X b y - k i n ( A 2 1 ) . H e n c e t h e p r o o f . A P P E N D I X B V A R I A T I O N A L T E C H N I Q U E S A N D M A X I M U M P R I N C I P L E T h e m a x i m u m p r i n c i p l e o r i g i n a t e d b y P o n t r y a g i n a n d a s s o c i a t e s i s d e v e l o p e d i n t h e f o l l o w i n g a s a n e x t e n s i o n t o t h e c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s . L e t t h e s y s t e m b e d e s c r i b e d b y i t = f ( x , 1 1 ) ( B l ) w h e r e x i s a n n - v e c t o r i n t h e n - s t a t e - s p a c e I : a n d u i s a n r - v e c t o r . I t i s a s s u m e d t h a t t h e n - v e c t o r f u n c t i o n f s a t i s f i e s c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e s o l u t i o n t o ( B 1 ) . T h e f u n c t i o n u ( t ) , t 0 3 t _ < _ t 1 , i s f r o m a c l a s s o f a d m i s s i b l e f u n c t i o n s . I n w h a t f o l l o w s , t h e c l a s s o f p i e c e - w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o r a n y o f i t s s u b c l a s s e s a r e c o n s i d e r e d a d m i s s i b l e . I n g e n e r a l u ( t ) i s p e r - m i t t e d t o t a k e v a l u e s i n a n a r b i t r a r y s u b s e t I I o f t h e r - s p a c e . T h e i n i t i a l a n d f i n a l s t a t e s , x ( t o ) : x 0 a n d x ( t l ) : x 1 , a r e p r e s c r i b e d a s t w o p o i n t s i n t h e s t a t e — s p a c e E . A s o l u t i o n o f ( B 1 ) p a s s i n g t h r o u g h x 0 a t t = t o a n d x 1 a t t : t l i s c a l l e d a t r a j e c t o r y a n d t h e a s s o c i a t e d f u n c t i o n u ( t ) i s c a l l e d t h e c o n t r o l . T h e p e r f o r m a n c e m e a s u r e i s t l J : / f o ( x ( t ) , u ( t ) ) d t ( 1 3 2 ) t o w h e r e f 0 s a t i s f i e s c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n t o t h e e q u a t i o n - 7 9 - - 8 0 - 5 : 0 = f 0 ( x < t ) , u ( t ) ) ( B 3 ) I t i s d e s i r e d t o f i n d t h e c o n t r o l u ( t ) , f r o m a m o n g a l l a d m i s s i b l e c o n t r o l s , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g t r a j e c t o r y x ( t ) s u c h t h a t t h e f u n c t i o n a l J i n ( B 2 ) t a k e s o n t h e l e a s t p o s s i b l e v a l u e . W h e n s u c h i s t h e c a s e u ( t ) a n d x ( t ) a r e c a l l e d o p t i m a l . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s t a t e s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r u ( t ) a n d x ( t ) t o b e o p t i m a l . T h e o r e m B 1 : F o r t h e c o n t r o l u ( t ) a n d t h e t r a j e c t o r y x ( t ) t o b e o p t i m a l , i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e r e e x i s t a n o n - z e r o c o n t i n u o u s f u n c t i o n \ I J ( t ) : ( - l , @ ‘ ( t ) ) c o r r e s p o n d i n g t o u ( t ) a n d x ( t ) s u c h t h a t ( a ) f o r e v e r y t , t 0 3 t E t 1 , t h e H a m i l t o n i a n n H Q “ ) . X ( t ) , U ) = - f O ( X ( t ) . 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S i n c e 6 x i s c o n t i n u o u s , a p p l i c a t i o n o f t h e f u n d a m e n t a l L e m m a o f c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s g i v e s - 8 3 - . a f ' , _ _ 2 . . i i t _ ( a x ) [ t ( . 1 1 ) T h e e q u a t i o n s ( B 1 1 ) a n d ( B 6 ) c a n b e w r i t t e n a s a H a m i l t o n i a n s y s t e m X i = A ‘ I ’ i 1 : 1 , n ( B 1 2 ) ' _ _ 3 H . _ \ I J i _ B X 1 _ 1 , . . . n ( B 1 3 ) w h i c h m u s t b e s a t i s f i e d f o r t h e v a r i a t i o n o f J t o v a n i s h . W h e n s u c h i s t h e c a s e , ( B 1 0 ) b e c o m e s t l + 6 5 t 1 . A J * = E x I I ' 6 x ( t l ) + j f * ( x + e a , u * ) d t 1 5 1 t l + ] { f o ( x + 6 6 x , u ’ i ‘ ) - \ I J ' f ( x + 6 6 x , u * ) t o - f o ( x + 6 6 X , u ) + \ I g ' f ( x + 6 6 x , u ) } d t + 0 ( 6 2 ) ( B 1 4 ) B u t 6 x ( t 1 ) 2 6 x l - x é t ( 1 3 1 5 ) ~ 8 4 — i n w h i c h 6 x 1 = 0 s i n c e x 1 i s f i x e d . S u b s t i t u t i n g f o r 6 x ( t 1 ) a n d f = : < f r o m ( B 1 5 ) a n d ( B 8 ) i n ( B 1 4 ) a n d a l l o w i n g c a n c e l l a t i o n o f t e r m s t h e r e r e s u l t s A M : e [ £ 0 — \ I x ' f ] 6 t 1 1 : 1 + [ [ f o ( x + 6 6 x , u ’ i ‘ ) - \ I l ' f ( x + 6 6 x , u * ) t o - f o ( x + 6 6 x , u ) + \ I J ' f ( x + 6 6 x , u ) ] d t + 0 ( 6 2 ) ( B 1 6 ) P e r t u r b e d C o n t r o l u ’ : < 2 S e l e c t i n s t a n t s o f t i m e ‘ T 1 a n d T s u c h t h a t t O < T 1 < T < t 1 a n d a r e p o i n t s o f c o n t i n u i t y o f u ( t ) . T h e n f o r a n a r b i t r a r y n u m b e r 6 t a n d a n a r b i t r a r y p o s i t i v e - n u m b e r 6 t t h e f o l l o w i n g h a l f - o p e n i n t e r v a l 1 , i s d e f i n e d 1 : 7 1 - 6 6 t 1 < t : 1 - 1 w h e r e E i s c h o s e n t o b e t h e s a m e a s e a r l i e r a n d s u c h t h a t t O < T 1 — 6 6 t 1 . 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X ( t * ) , u ( 1 ’ ) ) ( H e r e u i s O p t i m a l ) . T h e r e f o r e , N ( x 1 _ 1 ( t * ) . x ( t * ) ) - N ( x 1 _ J ( - r ) , x ( T ) ) 3 H ( \ I _ / ( t * ) . X ( t * ) . 1 1 ( 7 ) ) - H N K T ) , X ( T ) . 1 1 ( 7 ) ) 7 1 % N ( \ g ( t ) . x ( t ) ) ( 1 . . - E d i t H m t ) ’ x ( t ) ’ M T “ ( : 7 - 9 0 - S u p p o s e t * > T . D i v i d i n g t h e a b o v e i n e q u a l i t y b y t > 3 < - T a n d l e t t i n g i t a p p r o a c h z e r o , t h e r e r e s u l t s I I M B 0 1 m C L 1 ? + ' M 5 O ) C E : { 1 . > 4 ) 4 S i m i l a r l y , i f t ’ l < < T , w e o b t a i n 2 % N ( \ D ( t ) , u ( t ) ) E 0 T h u s M ( \ T _ J - ( t ) , x ( t ) ) E O o n t o E t 5 1 : 1 . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f T h e o r e m B l . 1 0 . l l . 1 2 . - 9 1 - R E F E R E N C E S P o n t r y a g i n , L . S . , B o l t y a n s k i , V . G . , G a m k r e l i d z e , R . V . , a n d M i s c h c h e n k o , E . F . , " T h e M a x i m u m P r i n c i p l e i n t h e T h e o r y o f O p t i m a l P r o c e s s e s o f C o n t r o l , " P r o c e e d i n g s o f t h e F i r s t I . C . I . F . A . C . , B u t t e r w o r t h s , L o n d o n , 1 7 7 6 1 . , T h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f O p t i m a l P r o c e s s e s , I n t e r s c i e n c e P u b l i s h e r s , 1 9 F 2 . K o e n i g , H . E . , T o k a d , Y . , a n d K e s a v a n , P . , A n a l y s i s o f D i s c r e t e S t a t e P h y s i c a l S y s t e m s , M c G r a w - H i f l B o o k C o m p a n y . T o b e p u b l i s h e d . F r a m e , J . S . , K o e n i g , H . E . , " M a t r i x F u n c t i o n s a n d A p p l i - c a t i o n s , " I E E E S P E C T R U M , M a r c h , A p r i l , M a y a n d J u n e , 1 9 6 4 . Z a d e h , L . A . , a n d D e s o e r , C . A . , L i n e a r S y s t e m T h e o r y . M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , 1 9 6 3 . S c h u l t z , W . C . , a n d R i d e o u t , V . C . , ” C o n t r o l S y s t e m P e r f o r m a n c e M e a s u r e s : P a s t , P r e s e n t , a n d F u t u r e , " I R E T r a n s . o n A - C , F e b r u a r y 1 9 6 1 , p p . 2 2 - 3 5 . , " T h e S e l e c t i o n a n d U s e o f S e r v o - P e r f o r m a n c e C r i t e r i o n , ” A I E E T r a n s . , V o l . 6 , B t . I I , 1 9 5 7 , p p . 3 8 3 - 3 8 8 . , " A G e n e r a l C r i t e r i o n f o r S e r v o P e r f o r m a n c e , " P r o c . N . E . C . , V o l . 1 3 , p p . 5 4 9 — 5 6 0 , 1 9 5 7 . C l a r k , P . N . , ” I n t e g r a l o f t h e E r r o r S q u a r e d a s a P e r - f o r m a n c e I n d e x f o r A u t o m a t i c C o n t r o l S y s t e m s , " A I E E T r a n s . , V o l . 7 9 , p p . 4 6 7 - 4 7 1 , 1 9 6 1 . R e k a s i u s , Z . V . , ” A G e n e r a l P e r f o r m a n c e I n d e x f o r A n a l y t i c a l D e s i g n o f C o n t r o l S y s t e m s , " I R E T r a n s . o n A - C . , M a y 1 9 6 1 , p p . 2 1 7 - 2 2 2 . B e l l m a n , R . a n d K a l a b a , R . , " D y n a m i c P r o g r a m m i n g a n d F e e d b a c k C o n t r o l , " P r o c . 1 . C . I . F . A . C . , B u t t e r w o r t h s , L o n d o n , 1 9 6 1 . G e l f a n d , I . M . , a n d F o m i n , S . V . , C a l c u l u s o f V a r i a t i o n s , P r e n t i c e H a l l , I n c . , 1 9 6 3 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 9 , 5 1 4 - 5 3 2 ( 1 9 5 1 ) . - 9 2 - P o n t r y a g i n , L . S . , O r d i n a r y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ( E n g l i s h T r a n s l a t i o n ) . , A d d i s o n - W e s l e y P u b l i s h i n g C o m p a n y , I n c . , 1 9 6 2 . S p a n g , H . A . , ” A R e v i e w o f M i n i m i z a t i o n T e c h n i q u e s f o r N o n - L i n e a r F u n c t i o n s , " S I A M R e v i e w , 1 9 6 2 , p p . 3 4 3 - 3 6 5 . C o u r a n t , R . , " V a r i a t i o n a l M e t h o d s f o r t h e S o l u t i o n o f P r o b l e m s o f E q u i l i b r i u m a n d V i b r a t i o n , " B u l l . A m . M a t h . S o c . , V o l . 4 9 , p p . 1 - 2 3 , 1 9 4 3 . R o s e n , J . B . , " T h e G r a d i e n t P r o j e c t i o n M e t h o d f o r N o n - L i n e a r P r o g r a m m i n g , P t . I . L i n e a r C o n s t r a i n t s , " S I A M J o u r n a l , 8 , 1 8 1 - 2 1 7 ( 1 9 6 0 ) . , " P t . I I , N o n - L i n e a r C o n s t r a i n t s , " S I A M J o u r n a l , L e i t m a n , , O p t i m i z a t i o n T e c h n i q u e s , A c a d e m i c P r e s s , H a h n , W . , T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n o f L i a p u n o v ' s D i r e c t - M e t h o d , ( E n g l i s h T r a n s l a t i o n ) , P r e n t i c e H a l l , I n c . 1 9 6 3 . G a n t m a c h e r , F . R . , T h e T h e o r y o f M a t r i c e s ( E n g l i s h T r a n s l a t i o n ) , C h e l s e a P u b l i s h i n g C o m p a n y , V o l . I a n d I I , 1 9 5 9 . D e s o e r , C . A . , ” T h e B a n g - B a n g S e r v o P r o b l e m T r e a t e d b y V a r i a t i o n a l T e c h n i q u e s , " I n f o r m a t i o n a n d C o n t r o l , V o l . 2 ( 1 9 5 9 ) , p p . 3 3 3 - 3 4 8 . L e e , E . B . , “ M a t h e m a t i c a l A s p e c t s o f t h e S y n t h e s i s o f L i n e a r M i n i m u m R e s p o n s e - T i m e C o n t r o l l e r s , " I R E T r a n s . A - C , S e p t . 1 9 6 0 , p p . 2 8 3 - 2 8 9 . B e l l m a n , R . , “ O n t h e B a n g - B a n g C o n t r o l P r o b l e m , " Q . o f A p p l i e d M a t h . , A p r i l , 1 9 5 6 , p . 1 1 . H e m e s a t h , N . B . , " O n t h e D e t e r m i n a t i o n o f T i m e O p t i m a l C o n t r o l s f o r L i n e a r S t a t i o n a r y S y s t e m s , " U n p u b l i s h e d T h e s i s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M i c h i g a n , 1 9 6 4 . S m i t h , F . B . , J r . , " T i m e O p t i m a l C o n t r o l o f H i g h e r O r d e r S y s t e m s , " I R E T r a n s . A - C , F e b r u a r y 1 9 6 1 , p p . 1 6 - 2 1 . H o p k i n , A . M . , " A P h a s e P l a n e A p p r o a c h t o t h e C o m p e n s a t i o n o f S a t u r a t i n g S e r v o m e c h a n i s m s , " A I E E T r a n s . , P t . I , 1 9 5 1 , p p . 6 3 1 - 6 3 9 . 2 7 . 2 8 . 2 9 . 3 0 . 3 1 . 3 2 . 3 3 . 3 4 . 3 5 . 3 6 . - 9 3 - B o g n e r , 1 . , K a z d a , L . F . , " A n I n v e s t i g a t i o n o f t h e S w i t c h i n g C r i t e r i o n f o r H i g h e r O r d e r C o n t a c t o r S e r v o m e c h a n i s m , " A I E E T r a n s . , V o l . 3 , P t . I I , p p . 1 8 8 - 1 2 7 , 1 9 5 4 . R o z o n o e r , L . I . , " L . S . P o n t r y a g i n M a x i m u m P r i n c i p l e i n t h e T h e o r y o f O p t i m u m S y s t e r m , " A . a n d R . C . , O c t o b e r , 1 9 5 9 . P P . 1 2 8 8 - l 3 0 2 , P t . 1 ; N o v e m b e r 1 9 5 9 p p . 1 4 0 5 - 1 4 2 1 , P t . I I ; D e c e m b e r 1 9 5 9 . P P . 1 5 1 7 - 1 5 3 3 , P t . I I I . R o z e n m a n , E . A . , ” O p t i m a l C o n t r o l o f a n O b j e c t w i t h T w o C o n t r o l l i n g S t i m u l i , " A . a n d R . C . , O c t o b e r 1 9 5 9 , p p . 1 3 1 4 - 1 3 1 8 . B o r - R a m e n s k i i , a n d S n u g C h i e n , " O p t i m u m S e r v o D r i v e w i t h T w o C o n t r o l P a r a m e t e r s , " A . a n d R . C . , S e p t e m b e r 1 9 6 1 , p p . 1 3 4 - 1 4 5 . L e t o v , A . M . , " T h e A n a l y t i c a l D e s i g n o f C o n t r o l S y s t e m s , " A . a n d R . C . , O c t o b e r 1 9 6 1 , p p . 3 6 3 - 3 7 2 . R o y d e n , H . L . , R e a l A n a l y s i s , T h e M a c m i l l i a n C o m p a n y , 1 9 6 3 . C h a n g , J e n - w e i , " A P r o b l e m i n t h e S y n t h e s i s o f O p t i m a l S y s t e m s u s i n g M a x i m u m P r i n c i p l e , " A . a n d R . C . , O c t o b e r 1 9 6 1 , p p . 1 1 7 0 - 1 1 7 6 . F i c k e i s e , F . C . , " A n a l o g u e M e t h o d s f o r S e r v o m e c h a n i s m D e s i g n , " A I E E T r a n s . , V o l . 7 1 , P t . I I , p p . 2 4 4 - 2 5 0 , 1 9 5 2 . L u c i e n , W . N e u s t a d t , " T i m e O p t i m a l C o n t r o l S y s t e m s w i t h P o s i t i o n a n d I n t e g r a l L i m i t s , " J . M a t h . A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s , V o l . 3 , p p . 4 0 6 - 4 2 7 , D e c e m b e r 1 9 6 1 . K o e i n g , H . E . , a n d T o k a d , Y . , " A H o m o g e n e o u s E q u i v a l e n t o f N o n h o m o g e n e o u s L i n e a r S t a t e M o d e l s a n d i t s A p p l i c a t i o n t o t h e A n a l y s i s o f C o n t i n u o u s a n d D i s c r e t e - S t a t e S y s t e m s , " A l l e r t o n C o n f e r e n c e o n C i r c u i t a n d S y s t e m T h e o r y , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , N o v e m b e r 1 9 6 3 . . 1 4 . . . . . . W . . - . - R O O M U S E O N L Y H I C H I G R N S T A T E U N I V . L i B R n R I E s 1 I ” l l ) 1 " ) 1 | W ) l i l i l i l i i i l i l i l i l i ( 1 | ) W I 9 3 0 0 7 9 1 5 4 0 2 1 3 1 . 2 “ w a s . I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ‘ i s a I I H H H H I 1 H H M I H H H I 1 1 1 I ! 1 W H U I ’ l fl H l i H l l H H l l H l g U 4 T 3 1 2 9 3 0 0 7 9 1 5 4 1 0 1 L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y M I C C E A G E P H I R O S M T A F L U N E A R S E S E T R I T N A N N C T L E E A B U O N C R I O A V P T G , M I C H E I Y R G O S A R I N Y T Y J " N A 1 4 1 9 5 5 7 / 9 / 9 3 / / C O M P U T E R P R O G R A M S F O R O P T I M I Z A T I O N O F L I N E A R S Y S T E M S ’ B Y V i j a y K . J a i n , ( A s u p p l e m e n t t o a t h e s i s e n t i t l e d , . " O p t i m i z a t i o n o f L i n e a r S y s t e m s , ” b y t h e a u t h o r ) M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g 1 9 6 4 n o N O T D E T A C H A C K N O W L E D G E M E N T S T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k D r . H . E . K o e n i g a n d D r . H . G . H e d g e s f o r t h e i r g u i d a n c e a n d c r i t i c i s m . H e a l s o w i s h e s t o t h a n k t h e s t a f f o f t h e C o m p u t e r C e n t e r f o r t h e i r c o o P e r a t i o n . I N T R O D U C T I O N T h i s s u p p l e m e n t p r e s e n t s t h e c o m p u t e r p r o g r a m s , f o r o p t i m i z a t i o n o f l i n e a r s y s t e m s , u s e d i n t h e e x a m p l e s “ O f t h e t h e s i s . T h e s e p r o g r a m s h a v e b e e n m a d e s u f f i c i e n t l y g e n e r a l a n d ' c a n b e u s e d f o r m a n y o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t h s l i g h t o r n o m o d i f i c a t i o n . A b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e t h e o r y a n d t h e i n p u t p r O c e d u r e p r e c e d e s t h e p r o g r a m s w h i c h h a v e b e e n w r i t t e n i n F O R T R A N l a n g u a g e . C O N T E N T S P r o g r a m ' P a g e 1 . C A L C U L A T I O N O F C O N S T I T U E N T M A T R I C E S A N D M A T R I X F U N C T I O N S l 2 . S O L U T I O N O F A L I N E A R S Y S T E M O F D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S T o A S T E P I N P U T , 1 1 3 . I N T E G R A L - Q U A D R A T I C - E R R O R ( I Q E ) O F A L I N E A R S Y S T E M T O A S T E P I N P U T 1 3 M I N I M I Z A T I O N O F T H E I Q E O B J E C T - F U N C T I O N B Y T H E M E T H O D O F S T E E P E S T D E S C E N T l 7 4 . T R A J E C T O R Y O B J E C T F U N C T I O N F O R R A M P I N P U T 3 5 5 . S T A B I L I Z A T I O N O F A L I N E A R S Y S T E M 3 9 6 . T I M E O P T I M A L T R A J E C T O R I E S 4 1 - i i - : n 1 < k < m [ ( [ a ( A - i — a a k k ) U ) + Z “ + 6 k - i a U l . B k ) ] [ ( a i - G k ) + “ ( 3 1 + fi k ) l . C A L C U L A T I O N O F C O N S T I T U E N T M A T R I C E S A N D M A T R I X F U N C T I O N S M a t h e m a t i c a l T h e o r y L e t t h e r e a l m a t r i x A h a v e m - p a i r s o f c o m p l e x c o n j u g a t e e i g e n v a l u e s x i ’ T i , 1 : l , . . . m w h e r e x i = G i + j fi i a n d r e a l e i g e n v a l u e s x i ’ i : 2 m + 1 , . . . n , w h i c h a r e a l l d i s t i n c t . A I n t e r m s o f c o m p l e x n u m b e r s , t h e c o n s t i t u e n t m a t r i c e s a r e g i v e n b y t h e f o r m u l a n z i - _ - 1 L 1 ] [ ( A — > . k U ) / ( > . i - x k ) ] k £ i Z . , i = l , . . . 2 m a r e c o m p l e x m a t r i c e s a n d Z i ’ i = 2 m + 1 , . . . n a r e r e a l m a t r i c e s . 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A u x i l i a r y s u b r o u t i n e s u s e d a r e l i s t e d b e l o w . i ) M A T A D D A d d s a s c a l a r m u l t i p l e o f a s q u a r e m a t r i x D t o a n o t h e r m a t r i x Z , i . e . , C = Z + S * D i i ) M A T M U L T M u l t i p l i e s t w o m a t r i c e s z a n d D a n d a s c a l a r s , i . e . , C : 2 * S * D i i i ) M A T E Q U I E q u a t e s t h e m a t r i x Z t o C Z = C i v ) S U B S T I C o n v e r t s a n n x n x n a r r a y Z Z i n t o n m a t r i c e s o f o r d e r n x n E n e m a » : z p a m c z n o m z m z m ~ 0 2 > l _ o . ~ o . « c a p o . ~ o . . o . ~ o . s o . . N N A . O . _ o . ~ o . . m b r n a m . . m m m q . m . . m n o x z o z p n m r n s o c o w x o o . ~ o o . n . ~ o . ~ o . . a l s o . s o . , 0 0 3 3 0 2 s z o fi u < o Z Q Z o Z ~ . 3 3 o > o C § O a N N o m > 7 9 4 m m m fi o m D m r s o T o m a » . . . 2 9 u m m o n 3 > 4 ~ o n m o . _ o . 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T W = T W + D T D O 8 0 I = I 9 N X ( I ) P X W ( I I T = T W R E T U R N C O N T I N U E I N S E R T T H E D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S A F T E R T H E S E C O M M E N T C A R D S . T H E Y M U S T B E V A L I D F O R T R A N S T A T E M E N T S I N T H E F O L L O W I N G F O R M . . . D X D T ( K ) = S O M E F U N C T I O N O F T 9 X ( 1 ) 9 X ( 2 ) 9 . . . X ( N ) 9 F O R N L E S S T H A N 1 0 A N D K = I T O N . ( I E 9 T H E R E W I L L B E E X A C T L Y N E Q U A T I O N S ) 1 F ( M ) 2 2 3 9 2 2 4 9 2 2 3 G O T O ( 2 0 1 ) 9 L R U N G A 5 : 1 . C O N T I N U E I F ( N 1 ) 2 2 5 9 2 5 0 9 2 2 5 D O 2 1 2 J = I 9 N 1 J M = 2 * M + J G O T O ( 2 3 1 9 2 1 1 ) 9 L R U N G A D E N O M = 3 . * X ( J ) * * 2 + ( 7 . + P A R A ( 2 ) ) * X ( J ) + 7 . * P A R A ( 2 ) + T + 3 . 7 5 D X D T ( J M ) = — ( X ( J M ) + P A R A ( 2 ) ) / D E N O M G O T O 2 1 2 D E N O M = 3 . * X ( J ) * * 2 + ( 7 9 + T ) * X ( J ) + 7 . * T + P A R A ( 1 ) + 3 . 7 5 D X D T ( J M ) = * ( X ( J ) * * 2 + 7 . * X ( J ) + P A R A ( 1 ) ) / D E N O M C O N T I N U E G O T O ( 5 0 9 5 2 9 5 4 9 5 6 ) 9 L E N D E N D 0 0 1 0 O . ‘ 2 0 ‘ 7 . 1 0 O . * 3 0 7 5 - 1 . N P A R A 2 . 1 . I . 6 . . 9 1 . 1 - . 1 7 5 8 3 6 ” 1 . 9 2 9 6 2 - 5 . 8 9 4 5 1 . O . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . O . 1 . 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 0 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 1 6 2 0 6 3 0 6 4 0 6 5 0 6 6 4 . T R A J E C T O R Y O B J E C T - F U N C T I O N F O R R A M P I N P U T T h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a s h a v e a l r e a d y b e e n g i v e n i n t h e m a i n t h e s i s . I n p u t P r o c e d u r e I n a d d i t i o n t o t h e d a t a c a r d s a s i n t h e p r e v i o u s c a s e , r e a d t h e c a r d s a n d p u t i n t h e d a t a f o r t h e m a t r i c e s C a n d D a n d v e c t o r A l p h a . 1 0 . F o r m a t 4 F Z O . 1 0 C 1 1 . F o r m a t 4 F 2 0 . 1 0 D 1 2 . F o r m a t 4 F 2 0 . 1 0 A l p h a D e t a i l s o f P r o g r a m R e p l a c e t h e I N D E X s u b r o u t i n e i n P r o g r a m 3 f o r q u a d r a t i c e r r o r b y I N D E X s u b r o u t i n e f o r T r a j e c t o r y e r r o r w h i c h i s g i v e n i n t h e f o l l o w i n g p a g e s . T h e c a l l i n g c a r d s h o u l d a l s o b e a d j u s t e d a c c o r d i n g l y . T h e a u x i l i a r y s u b r o u t i n e s c o n s i s t o f t h e s u b r o u t i n e s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a n d x x ) V E C V E C F i n d s t h e i n n e r p r o d u c t o f t w o v e c t o r s . - 3 5 - I w o l M C W D O C 4 ~ Z N H Z O W X A 0 . N . 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