f r u i t r I . ) 0 n 0 o 1 t . | . I : 0 : . ‘ t 0 ] l ‘ 1 ; . l a - f T h a r ” I l fi l l l l ' l l l l l l l l l l l l l l l fl fl fi l l l l l i i fl l l l fi l l 3 1 2 9 3 0 0 7 9 3 7 5 5 4 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d S o l u t i o n s F o r T h e N a t u r a l M o d e s O f A C y l i n d r i c a l C a v i t y L o a d e d W i t h L o s s y M a t e r i a l s p r e s e n t e d b y E d w a r d B e n j a m i n M a n r i n g h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g K y m d e g r e e i n M a j o r p r o f e s s o r V D a t e fl u i d ( l l / \ \ M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n P T L O A C E A V O I I N D R F E I T N U E R S N r e B t u O r X n o o r e m o r b e o f v o t n e r t h d i a s t e c e h e d u c e k . o u t f r o m y o u r r e c o r d . M S U I s A n A f f i r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y s t i t u i o n t w I n c fl l c h i g e n S t a t e U n i v e r s i t y L I B R A R Y D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E I A Y . l E b b fi b k e M \ \ i f ? 2 s 3 9 9 2 _ _ _ ’ _ — — - — — ~ . ‘ T , f ‘ E { m 5 1 1 9 0 _ _ — _ — — — — — — — _ _ — — — — E L E C T R O M A G N E T I C F I E L D S O L U T I O N S F O R T H E N A T U R A L M O D E S O F A C Y L I N D R I C A L C A V I T Y L O A D E D W I T H L O S S Y M A T E R I A L S V o l u m e I B y E d w a r d B e n j a m i n M a n r i n g A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g 1 9 9 2 A B S T R A C T E L E C T R O M A G N E T I C F I E L D S O L U T I O N S F O R T H E N A T U R A L M O D E S O F A C Y L I N D R I C A L C A V I T Y L O A D E D W I T H L O S S Y M A T E R I A L S B y E d w a r d B e n j a m i n M a n r i n g A r i g o r o u s s o l u t i o n i s p r e s e n t e d f o r t h e n a t u r a l m o d e fi e l d s o f a c i r c u l a r c y l i n d r i c a l c a v i t y c o a x i a l l y l o a d e d w i t h h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c , l o s s y m a t e r i a l s f o r l o a d s o f a r b i t r a r y l e n g t h a n d d i s t a n c e f r o m t h e c a v i t y e n d p l a t e s . F i e l d e x p r e s s i o n s a n d n u m e r i c a l l y s t a b l e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s a r e d e r i v e d f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y w i t h c a v i t y — l e n g t h l o a d s ( c a v i t y - s h o r t t y p e ) , a n d t h e c a u d a l l y - l o a d e d c a v i t y w i t h l o a d s o f l e n g t h l e s s t h a n c a v i t y - l e n g t h ( c a v i t y - o p e n t y p e ) . C a v i t y - O p e n t y p e s o l u t i o n s a r e c o n s t r u c t e d u s i n g a m o d e - m a t c h i n g t e c h n i q u e w h i c h i s s h o w n t o b e m o r e n u m e r i c a l l y s t a b l e t h a n t h e m o d e - m a t c h i n g m e t h o d p r e v i o u s l y p u b l i s h e d f o r l o s s l e s s l o a d s . T h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s o n a n t f r e q u e n c y a r e s h o w n t o a g r e e t o w i t h i n 0 . 2 % f o r a 1 " d i a m e t e r n y l o n l o a d i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n a n d t o w i t h i n 0 . 0 6 % f o r a l l l e n g t h s f r o m z e r o t o c a v i t y - l e n g t h o f a 0 . 5 " d i a m e t e r n y l o n l o a d i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y f o r t h e c a v i t y — o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n . A s o l u t i o n i s i n c l u d e d f o r t h e a z i m u t h a l l y s y m m e t r i c T M m o d e s o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n f o r a c o n d u c t i n g l o a d ; t h i s s o l u t i o n e q u a l l y a p p l i e s t o t h e r e e n t r a n t c a v i t y . N u m e r i m l s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r T B , ' I M , a n d h y b r i d m o d e s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e a n d t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n , a n d t h e T M m o d e s o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n . C o m p l e x m o d e b e h a v i o r i s d e m o n s t r a t e d i n t h e w a v e g u i d e f o r l o s s l e s s l o a d s w i t h h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t . F o r l o s s y l o a d s , a b a c k w a r d w a v e r e g i o n i s d i s c o v e r e d i n t h e l o w f r e q u e n c y r a n g e f o r T M m o d e s . M o d e c h a r t s p r e s e n t e d f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n s h o w t h a t m o d e b e h a v i o r i s h i g h l y d i v e r s e a n d t h a t m o d e s c a n n o t b e c o n s i s t e n t l y l a b e l e d b y a s s o c i a t i o n w i t h c o r r e s p o n d i n g e m p t y c a v i t y m o d e s w h i c h a r e a p p r o a c h e d a s t h e l o a d r a d i u s b e c o m e s s m a l l o r t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a p p r o a c h e s u n i t y . V e r y h i g h l o s s f a c t o r l o a d s a r e s h o w n t o b e h a v e l i k e g o o d c o n d u c t o r s . I t i s s h o w n t h a t a s m a l l c h a n g e i n d i e l e c t r i c c o n s t a n t c a n c a u s e a m o d e s w i t c h w i t h o u t a f f e c t i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o r Q . M i s c e l l a n e o u s c o n t r i b u t i o n s i n c l u d e p r e s e n t a t i o n o f t h r e e p r e v i o u s l y u n t a b u l a t e d i n d e fi n i t e B e s s e l f u n c t i o n i n t e g r a l s , a c o m p l e x z e r o - fi n d i n g s u b r o u t i n e , a n d t h e d i s c o v e r y o f n a t u r a l m o d e fi e l d r o t a t i o n i n t h e p r e s e n c e o f b o u n d a r i e s b e t w e e n l o s s y m e d i a . C o p y r i g h t “ D E d w a r d B e n j a m i n M a n r i n g , 1 9 9 2 T o m y w i f e , S a n d y , w h o m I l o v e w i t h a l l m y h e a r t , w h o s e c o m p a n i o n s h i p h a s m a d e m y l i f e s o m u c h m o r e j o y f u l a n d f r u i t f u l , a n d t o m y S a v i o r , J e s u s C h r i s t , “ t h r o u g h w h o m a l l t h i n g s w e r e m a d e , a n d w i t h o u t H i m n o t h i n g w a s m a d e t h a t w a s m a d e . ” “ I t i s t h e G o d w h o c o m m a n d e d l i g h t t o s h i n e o u t o f d a r k n e s s w h o h a s s h o n e i n o u r h e a r t s t o g i v e t h e l i g h t o f t h e k n o w l e d g e o f t h e g l o r y o f G o d i n t h e f a c e o f J e s u s C h r i s t . ” A C K N O W L E D G M E N T S I a m m u c h i n d e b t t o D r . J e s A s m u s s e n , m y m a j o r p r o f e s s o r , f o r h i s m a n y s u g g e s t i o n s a n d i n s i g h t s i n t o t h e n a t u r e o f m i c r o w a v e c a v i t y a n d m a t e r i a l i n t e r a c t i o n s , b u t I o w e h i m n o l e s s g r a t i t u d e f o r t h e c o n g e n i a l m a n n e r i n w h i c h h e h a s o v e r s e e n m y c a r e e r a s a g r a d u a t e s t u d e n t . I n a d d i t i o n , h i s e d i t o r i a l , t e c h n i c a l , a n d t h e m a t i c c o m m e n t s o n t h e r o u g h d r a f t s o f t h i s d i s s e r t a t i o n h a v e i m p r o v e d i t m o r e t h a n I w o u l d e a r e t o a d m i t . C r e d i t i s d u e t o D r . E d w a r d R o t h w e l l w h o s h a r e d s e l e c t i o n s f r o m h i s a b u n d a n t k n o w l e d g e i n t h e fi e l d o f p r a c t i c a l n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s a n d w h o , w i t h D r . D e n n i s N y q u i s t , h e l p e d s t e e r p a r t s o f t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s i n t h e r i g h t d i r e c t i o n . I m u s t a l s o e x t e n d t h a n k s t o m y g o o d f r i e n d R o n F r i t z w h o s e e x p e r t i s e a t d o i n g m i c r o w a v e c a v i t y e x p e r i m e n t s i s u n s u r p a s s e d , a n d w h o s e a b i l i t y t o q u o t e p e r t i n e n t B i b l e p a s s a g e s k e e p s t h e m i n p e r s p e c t i v e . F i n a l l y , i f i t w e r e n o t f o r t h e g e n e r o u s a n d p a t i e n t n a t u r e o f m y w i f e , w h o h a s s e e n m o r e t h a n o n e d e a d l i n e c o m e a n d g o , n o n e w o u l d b e r e a d i n g t h i s t o d a y . T h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y g r a n t s f r o m D A R P A ( U S . A r m y G r a n t D A A G 4 6 - 8 5 - k - 0 0 0 6 ) , D A R P A / V i r g i n i a T e c h . ( C o n t r a c t C R - 4 3 5 5 - 4 3 0 0 3 1 ) , t h e M i c h i g a n M a t e r i a l s a n d P r o c e s s i n g I n s t i t u t e ( P r o p o s a l O R D # 4 8 4 2 2 ) , t h e S t a t e o f M i c h i g a n R E F , a n d t h e N a v y U n i v e r s i t y R e s e a r c h I n i t i a t i v e a d m i n i s t e r e d b y t h e U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i i C h a p t e r 1 : I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 C h a p t e r 2 : R E V I E W O F P E R T I N E N T L I T E R A T U R E . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 . 2 W a v e g u i d e a n d C a v i t y - S h o r t T y p e S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 2 . 1 D i e l e c t r i c R o d W a v e g u i d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 2 . 2 C o a x i a l l y — L o a d e d W a v e g u i d e s f o r P a r t i c l e A c c e l e r a t i o n a n d M i c r o w a v e C i r c u i t C o m p o n e n t s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 . 2 . 3 B a c k w a r d a n d C o m p l e x m o d e s i n L o s s l e s s C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 . 2 . 4 M i c r o w a v e P l a s m a D i a g n o s i s a n d E x c i t a t i o n . . . . . . . . . 1 4 2 . 2 . 5 P e r m i t t i v i t y M e a s u r e m e n t a n d M a t e r i a l s P r o c e s s i n g . . . . . 1 8 2 . 2 . 6 M i s c e l l a n e o u s R e c e n t S t u d i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 . 3 M o d e - M a t c h i n g a n d C a v i t y - O p e n T y p e S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . 2 3 C h a p t e r 3 : T H E O R Y O F C Y L I N D R I C A L W A V E G U I D E S . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 . 2 T h e S o u r c e - F r e e T i m e - H a r m o n i c M a x w e l l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . 2 8 3 . 2 . 1 M a x w e l l ’ s E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 . 2 . 2 M a g n e t i c a n d E l e c t r i c V e c t o r P o t e n t i a l s . . . . . . . . . . . . 3 1 3 . 3 E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s i n R e g i o n s o f C y l i n d r i c a l S y m m e t r y . . . . . . 3 2 3 . 3 . 1 S e p a r a t i o n o f V a r i a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 . 3 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s i n T e r m s o f t h e z - D i r e c t e d V e c t o r P o t e n t i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 3 . 4 H o m o g e n e o u s l y F i l l e d W a v e g u i d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 3 . 5 T h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 3 . 5 . 1 D e s c r i p t i o n o f t h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . 4 O 3 . 5 . 2 F i e l d s o f t h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . 4 0 3 . 5 . 3 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n f o r t h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 C h a p t e r 4 : T H E L O S S Y - L O A D E D C Y L I N D R I C A L C A V I T Y . . . . . . . . . . . 5 0 4 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 4 . 2 T h e L o s s y H o m o g e n e o u s l y F i l l e d C a v i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 4 . 3 C o a x i a l l y l o a d e d C a v i t y C o n fi g u r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 4 . 4 T h e C a v i t y - S h o r t T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 4 . 5 T h e C a v i t y - O p e n T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 4 . 5 . 1 M o d e - M a t c h i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 4 . 5 . 2 F i e l d E q u a t i o n s f o r G e n e r a l i z e d A x i a l D e p e n d e n c e . . . . . . 6 4 4 . 5 . 3 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n : M e t h o d I . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 4 . 5 . 4 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n : M e t h o d 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 C h a p t e r 5 : T M M O D E S O L U T I O N F O R A P E R F E C T L Y C O N D U C T I N G R O D L O A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 5 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 5 . 2 F i e l d E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8 5 . 3 M o d e — M a t c h i n g E q u a t i o n s f o r B o l l e ’ s P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 5 . 4 N u m e r i c a l S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 5 . 5 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 C h a p t e r 6 : N A T U R A L F R E Q U E N C Y A N D T H E S I N U S O I D A L S T E A D Y - S T A T E R E S P O N S E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 6 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 6 . 2 E q u i v a l e n t C i r c u i t D e s c r i p t i o n o f t h e L o s s y C a v i t y . . . . . . . . . . . 1 2 7 6 . 3 Q u a l i t y F a c t o r a n d t h e N a t u r a l F r e q u e n c i e s o f t h e M i c r o w a v e C a v i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 6 . 4 S - P l a n e R e p r e s e n t a t i o n o f N a t u r a l F r e q u e n c i e s . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 6 . 5 S - P l a n e F r e q u e n c i e s v s . L o s s F a c t o r f o r C a v i t y - S h o r t T y p e M o d e s . 1 4 0 C h a p t e r 7 : W A V E N U M B E R R E L A T I O N S H I P S I N T H E C O A X I A L L Y - L O A D E D W A V E G U I D E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 7 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 7 . 2 N a m i n g o f t h e M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5 7 . 3 L o s s l e s s L o a d : 6 , = 3 7 . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 7 . 4 L o s s l e s s L o a d s : e , = 3 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0 v i i i 7 . 5 N y l o n L o a d s : E , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8 7 . 6 H i g h e r L o s s F a c t o r L o a d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7 7 . 7 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4 C h a p t e r 8 : N U M E R I C A L S O L U T I O N S F O R T H E C A V I T Y - S H O R T T Y P E C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6 8 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6 8 . 2 N a m i n g o f M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 8 . 3 M o d e C h a r t s a n d F i e l d P a t t e r n s : T M M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 8 . 3 . 1 L o w D i e l e c t r i c C o n s t a n t L o a d s w i t h V a r i o u s L o s s F a c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 8 . 3 . 2 E l e c t r i c F i e l d M a g n i t u d e s f o r I n c r e a s i n g L o s s F a c t o r s . . . . 1 9 3 8 . 3 . 3 H i g h L o s s F a c t o r M o d e s A s s o c i a t e d w i t h C o a x i a l C a v i t y T M M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 8 . 3 . 4 T M 0 1 1 M o d e F r e q u e n c y V a r i a t i o n w i t h D i e l e c t r i c C o n s t a n t a n d L o s s F a c t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3 8 . 3 . 5 F r e q u e n c y a n d F i e l d P a t t e r n V a r i a t i o n w i t h L o a d R a d i u s . . 2 1 5 8 . 3 . 6 D i e l e c t r i c C o n fi n e m e n t a n d E x c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 8 . 4 M o d e C h a r t s a n d F i e l d P a t t e r n s : T E M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 8 . 4 . 1 V a r i a t i o n s i n t h e T E D “ M o d e w i t h I n c r e a s i n g L o s s F a c t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 8 . 4 . 2 R a d i a l O r d e r E x h i b i t e d i n F r e q u e n c y V a r i a t i o n w i t h L o a d R a d i u s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 8 . 4 . 3 D i e l e c t r i c C o n fi n e d a n d D i e l e c t r i c E x c l u d e d T E M o d e s . . . 2 5 9 8 . 4 . 4 D i e l e c t r i c E x c l u d e d a n d C o a x i a l C a v i t y T E M o d e s . . . . . . 2 6 7 8 . 5 M o d e C h a r t s a n d F i e l d P a t t e r n s : H E M M o d e s . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 8 . 5 . 1 L o s s l e s s L o a d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 8 . 5 . 2 T r a c i n g H E M M o d e s T h r o u g h P e r m i t t i v i t y a n d L o a d R a d i u s V a r i a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 5 8 . 5 . 3 M o d a l O r d e r i n g a n d L o s s F a c t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 5 8 . 6 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 5 C h a p t e r 9 : N U M E R I C A L S O L U T I O N S F O R T H E C A V I T Y - O P E N T Y P E C O N F I G U R A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7 9 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7 9 . 2 T M S p e c i a l i z a t i o n o f t h e C a v i t y - O p e n T y p e C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8 9 . 2 . 1 C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e T M C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n . 2 9 8 i x 9 . 2 . 2 M e t h o d I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 9 9 . 2 . 3 M e t h o d 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 9 9 . 3 O u t l i n e o f N u m e r i c a l P r o c e d u r e U s e d t o S o l v e E q u a t i o n s ( 4 - 1 4 7 ) a n d ( 4 - 1 8 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 0 9 . 4 N u m e r i c a l a n d E x p e r i m e n t a l R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 9 . 4 . 1 E x p e r i m e n t a l M e a s u r e m e n t T e c h n i q u e s : C a v i t y - I m a g e T y p e w i t h V a r y i n g L o a d L e n g t h . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5 9 . 4 . 2 M e t h o d I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 0 9 . 4 . 3 M e t h o d I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 7 9 . 4 . 4 C o n v e r g e n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 6 9 . 4 . 5 C a v i t y - O p e n T y p e S o l u t i o n s : V a r y i n g h . . . . . . . . . . . . 3 2 9 9 . 4 . 6 Q u a l i t y F a c t o r C a l c u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1 9 . 5 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 C h a p t e r 1 0 : S U M M A R Y A N D C O N C L U S I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 7 1 0 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 7 1 0 . 2 T h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 8 1 0 . 3 T h e C a v i t y — S h o r t T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9 1 0 . 4 T h e C a v i t y - I m a g e a n d C a v i t y - O p e n T y p e C o n fi g u r a t i o n s . . . . . . . 3 4 1 1 0 . 5 L o s s y , M a t e r i a l F i l l e d C a v i t y a n d C o n d u c t i n g R o d L o a d e d C a v i t y S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 2 1 0 . 6 R e l a t i o n s h i p o f C o m p l e x N a t u r a l F r e q u e n c i e s t o R e s o n a n t F r e q u e n c y a n d Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 3 1 0 . 7 M i s c e l l a n e o u s T h e o r e t i c a l F o r m u l a t i o n C o n t r i b u t i o n s . . . . . . . . . 3 4 3 1 0 . 8 A p p l i c a t i o n o f T h e o r y t o M a t e r i a l s H e a t i n g P r o c e s s e s ' . . . . . . . . . 3 4 5 1 0 . 9 S u g g e s t i o n s f o r F u r t h e r R e s e a r c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 6 A p p e n d i x A : I N T E G R A L S A N D R E C U R R E N C E R E L A T I O N S H I P S U S E D I N C I R C U L A R C Y L I N D R I C A L O R T H O G O N A L I T Y I N T E G R A T I O N A N D E N E R G Y C A L C U L A T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 8 A . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 8 A 2 I n d e fi n i t e I n t e g r a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 8 A . 3 R e c u r r e n c e I d e n t i t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 1 A . 4 E v a l u a t i o n o f t h e I n t e g r a l E x p r e s s i o n s a t E x t r e m u m . . . . . . . . . . 3 5 2 A . 4 . 1 E v a l u a t i o n a t z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 3 A . 4 . 2 E v a l u a t i o n a t z = 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 6 A . 5 D e fi n i t e I n t e g r a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 7 A p p e n d i x B : M O D E O R T H O G O N A L I T Y I N I N H O M O G E N E O U S L Y F I L L E D W A V E G U I D E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 9 A p p e n d i x C : B R A C K E T E D C O N S T A N T S U S E D I N T H E C A V I T Y - O P E N T Y P E S O L U T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 4 A p p e n d i x D : T I M E - A V E R A G E V A L U E O F A D E C A Y I N G , R O T A T I N G F I E L D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 9 D . l I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 9 D . 2 T i m e - A v e r a g e F i e l d V a l u e s f o r a G i v e n T i m e P e r i o d . . . . . . . . . 3 6 9 D . 3 F i e l d R o t a t i o n o f t h e N a t u r a l M o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1 D 4 R e l a t i v e T i m e - A v e r a g e F i e l d V a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 6 A p p e n d i x E : C O M P L E X R O O T - F I N D I N G A L G O R I T H M S U S E D I N T H I S D I S S E R T A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 8 A p p e n d i x F : C H A R A C T E R I S T I C E Q U A T I O N F O R T H E S L A B - L O A D E D C A V I T Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 3 L I S T O F W O R K S C I T E D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 8 L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 - 1 C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 F i g u r e 1 - 2 C a v i t y - O p e n T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 F i g u r e 1 - 3 C a v i t y - S h o r t T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 F i g u r e . 1 - 4 C a v i t y - I m a g e T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 F i g u r e 3 - 1 H o m o g e n e o u s l y F i l l e d C y l i n d r i c a l W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . 3 6 F i g u r e 3 — 2 C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 F i g u r e 4 - 1 H o m o g e n e o u s l y F i l l e d C y l i n d r i c a l C a v i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 F i g u r e 4 - 2 G e n e r a l C a v i t y - O p e n T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 F i g u r e 4 - 3 C a v i t y - S h o r t T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 F i g u r e 4 - 4 C a v i t y - I m a g e T y p e C o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 F i g u r e 5 - 1 C a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h c o n d u c t i n g l o a d . . . . . . . . . 9 9 F i g u r e 5 - 2 f o v s . I f o r L 3 = 1 5 . 6 5 c m f r o m t h e e m p t y c a v i t y T M O I Z m o d e . . . . 1 0 9 F i g u r e 5 - 3 C u t - a w a y d r a w i n g o f t h e 6 " c a v i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 F i g u r e 5 - 4 C o n d u c t i n g l o a d s a m p l e c o n s t r u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 F i g u r e 5 - 5 6 " C a v i t y l o a d e d w i t h a s u s p e n d e d c o n d u c t i n g r o d . . . . . . . . . . . 1 1 3 F i g u r e 5 - 6 C o n v e r g e n c e o f s o l u t i o n s w i t h m a t r i x s i z e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 F i g u r e 5 - 7 R e s o n a n t f r e q u e n c y b e h a v i o r f o r l o a d l e n g t h s n e a r t h e e a v i t y l e n g t h . 1 1 6 F i g u r e 5 - 8 C o m p a r i s o n o f s o l u t i o n s f o r a = 0 . 6 3 5 a n d 0 . 7 0 0 c m . . . . . . . . . . 1 1 8 F i g u r e 5 - 9 H i g h l o a d l e n g t h r e g i o n o f F i g u r e 5 - 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9 F i g u r e 5 - 1 0 “ “ 0 2 0 e m p t y c a v i t y t o T M 0 1 0 c o a x i a l c a v i t y m o d e f o r L 8 = 1 5 . 6 5 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 F i g u r e 5 - 1 1 S e v e r a l m o d e s f o r L 8 = 1 0 a n d 2 5 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 F i g u r e 5 - 1 2 E m p t y c a v i t y T M O 1 0 h a s n o c o a x i a l c a v i t y c o m p a n i o n m o d e . . . . . 1 2 4 F i g u r e 6 1 P a r a l l e l R L C C i r c u i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8 F i g u r e 6 - 2 R L C c i r c u i t d r i v e n b y a c u r r e n t s o u r c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9 F i g u r e 6 - 3 S - P l a n e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o m p l e x L a P l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s . 1 3 3 x i i F i g u r e 6 - 4 S - P l a n e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m a g n i t u d e o f t h e i m p e d a n c e . . . . . . . 1 3 5 F i g u r e 6 - 5 S - P l a n e f r e q u e n c i e s o f t h e l o s s y h o m o g e n e o u s l y fi l l e d e a v i t y . . . . . 1 3 6 F i g u r e 6 - 6 I m p e d a n c e a s a f u n c t i o n o f s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e d r i v i n g f r e q u e n c y c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9 F i g u r e 6 - 7 C a v i t y - s h o r t t y p e ' I ' E o n m o d e f r e q u e n c i e s a s a f u n c t i o n o f l o s s f a c t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1 F i g u r e 6 - 8 C a v i t y - s h o r t t y p e T M O 1 1 m o d e f r e q u e n c i e s a s a f u n c t i o n o f l o s s f a c t o r : a = 0 . 1 " a n d 0 . 2 ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 F i g u r e 7 - 1 k p l a v s . k o a f o r T B a n d T M m o d e s , 5 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1 F i g u r e 7 - 2 R e a l k p l a v s . k o a f o r H E M ] m o d e s , 6 , . = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 F i g u r e 7 - 3 I m a g i n a r y k p l a v s . k o a f o r H E M ] m o d e s , 5 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 F i g u r e 7 - 4 y a v s . k o a f o r H E M I m o d e s , e r = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . 1 5 7 F i g u r e 7 - 5 R e a l k p l a v s . k o a f o r H E M Z m o d e s , 5 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 F i g u r e 7 - 6 I m a g i n a r y k p l a v s . k o a f o r H E M 2 m o d e s , e , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9 F i g u r e 7 - 7 R e a l k p l a v s . k o a f o r H E M 3 m o d e s , 6 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1 F i g u r e 7 — 8 I m a g i n a r y k p l a v s . k o a f o r H E M 3 m o d e s , 6 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 F i g u r e 7 - 9 k p l b v s . f f o r T B a n d T M m o d e s , e , = 3 . 0 , a = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 F i g u r e 7 - 1 0 k p l b v s . f f o r T B a n d T M m o d e s , 6 , = 3 . 0 , a = 3 . 8 1 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 F i g u r e 7 — 1 1 k p l b v s . f f o r T E a n d T M m o d e s , 5 , . = 3 . 0 , a = 6 . 3 5 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 F i g u r e 7 - 1 2 k p l b v s . f f o r T E a n d T M m o d e s , e , = 3 . 0 , a = 7 . 6 0 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 F i g u r e 7 — 1 3 f v s . y f o r t h e T M O I m o d e , 5 , = 3 . 0 , a = 7 . 6 0 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . 1 6 6 F i g u r e 7 - 1 4 L o w f r e q u e n c y , l o w 7 r e g i o n o f F i g u r e 7 - 1 3 . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7 F i g u r e 7 - 1 5 R e a l k p l b v s . f f o r T B a n d T M m o d e s : n y l o n , a = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 F i g u r e 7 - 1 6 I m a g i n a r y k p l b v s . f f o r T E a n d T M m o d e s : n y l o n , a = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 x i i i F i g u r e 7 - 1 7 I m a g i n a r y k p l b v s . f f o r T E ” a n d m m u p t o 2 0 G H z . . . . . . . . 1 7 1 F i g u r e 7 - 1 8 f v s . ' y f o r t h e T M 0 1 m o d e : n y l o n , a = 7 . 6 0 c m , b = 7 . 6 2 c m . . . . 1 7 2 F i g u r e 7 - 1 9 f v s . 7 f o r t h e M 1 m o d e f o r f r e q u e n c i e s u p t o 1 0 G H z . . . . . . . 1 7 4 F i g u r e 7 - 2 0 C u t o f f r e g i o n o f F i g u r e s 7 - 1 8 a n d 7 - 1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 F i g u r e 7 - 2 1 f v s . 7 f o r t h e T M m m o d e , e x h i b i t i n g l o w f r e q u e n c y b a c k w a r d m o d e b e h a v i o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6 F i g u r e 7 - 2 2 f v s . 1 f o r T M O I a n d T M 0 2 m o d e s : 8 , = 3 - j l . . . . . . . . . . . . . 1 7 8 F i g u r e 7 - 2 3 f v s . 7 f o r T M 0 3 a n d T M 0 4 m o d e s : 6 , . = 3 - j 1 . . . . . . . . . . . . . 1 7 9 F i g u r e 7 - 2 4 f v s . 7 f o r T E O I , T 1 3 0 2 , a n d T E 0 3 m o d e s : 1 ? , = 3 - j 1 . . . . . . . . . 1 8 1 F i g u r e 7 - 2 5 f v s 7 f o r H E M “ a n d H E M I Z m o d e s : 3 = 3 - j 0 . 5 . . . . . . . . . . 1 8 2 F i g u r e 7 - 2 6 f v s . 7 f o r H E M “ a n d H E M 1 2 m o d e s 1 n t h e l o w e r f r e q u e n c y r e g i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3 F i g u r e 8 - 1 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . e i g e n l e n g t h f o r 1 " d i a m e t e r n y l o n r o d i n 6 " d i a m e t e r c a v i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 F i g u r e 8 - 2 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . c a v i t y l e n g t h f o r n y l o n l o a d w i t h h y p o t h e t i c a l l o s s f a c t o r s . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1 F i g u r e 8 - 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . c a v i t y l e n g t h f o r n y l o n l o a d w i t h h y p o t h e t i c a l l o s s f a c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2 F i g u r e e 8 4 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , = 1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5 F i g u r e 8 - 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , “ “ 0 1 1 m o d e , 6 " ! = 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5 F i g u r e 8 — 6 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 5 , " = 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6 F i g u r e 8 — 7 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o r l m o d e , e , = 3 o . . . . . . . . . . 1 9 6 F i g u r e 8 — 8 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , a , " = 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 8 F i g u r e 8 - 9 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 6 , " = 3 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 8 F i g u r e 8 - 1 0 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 6 , ? = 1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 F i g u r e 8 - 1 1 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M O I 1 m o d e , 6 , " = 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 F i g u r e 8 - 1 2 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , c o a x i a l c a v i t y ' I ' E M m o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 x i v F i g u r e 8 - 1 3 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . c a v i t y l e n g t h : 1 " d i a m e t e r r o d i n 6 " d i a m e t e r c a v i t y , T i t / 1 0 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 1 4 R e a l f r e q u e n c y v e r s u s l o s s f a c t o r : T M 0 2 1 m o d e . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 1 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v e r s u s l o s s f a c t o r : T M 0 2 1 m o d e . . . . . . . . F i g u r e 8 — 1 6 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M 0 2 1 m o d e , e ’ = 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 1 7 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M 0 2 1 m o d e , 6 " = 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 1 8 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M 0 2 1 m o d e . . F i g u r e 8 - 1 9 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M O Z I m o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 2 0 R e a l f r e q u e n c y v e r s u s l o s s f a c t o r f o r e , " = 0 t o 5 0 . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 2 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r T M o u m o d e , 6 ; = 0 t o 5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 2 2 R e a l f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r m a t e r i a l s w i t h l o w v a l u e s o f e , ’ F i g u r e 8 - 2 3 R e a l f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r m o m m o d e , e , ’ = 1 t o 5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 2 4 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r m o m m o d e , 6 ; = l t o 5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 2 5 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r l o s s l e s s l o a d , e , = 9 . . . . . F i g u r e 8 - 2 6 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r n y l o n l o a d , 3 2 ‘ , = 3 - j 0 . 0 3 9 . . . . F i g u r e 8 - 2 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r n y l o n l o a d , a , = 3 - j 0 . 0 3 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 2 8 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r m o d e r a t e l y l o s s y l o a d , 3 , : 2 0 — j 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 2 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r m o d e m m e l o s s y l o a d , é ‘ , = 2 0 - j 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 3 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h l y l o s s y l o a d , 3 , = 1 0 - j 3 0 F i g u r e 8 - 3 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h l y l o s s y l o a d , e , = 1 0 — j 3 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 3 2 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 7 . 5 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 3 3 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 7 . 5 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 3 4 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e ( l o a d o n l y ) : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 7 . 5 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 3 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : m o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X V . 2 0 2 . 2 0 4 . 2 0 5 . 2 0 6 . 2 0 6 2 0 7 2 0 7 2 0 9 2 1 0 . 2 1 1 2 1 3 2 1 4 2 1 7 2 1 8 2 1 9 2 2 1 2 2 2 . 2 2 4 . 2 2 5 . 2 2 7 . 2 2 7 . 2 2 8 . 2 2 9 F i g u r e 8 - 3 6 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 F i g u r e 8 - 3 7 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P 2 m o d e A , l o a d r a d i u s 4 c m . . 2 3 0 F i g u r e 8 - 3 8 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O p Z m o d e A , l o a d r a d i u s 4 c m . 2 3 0 F i g u r e 8 - 3 9 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 2 c m . . 2 3 1 F i g u r e 8 - 4 0 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 2 c m . 2 3 1 F i g u r e 8 - 4 1 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 F i g u r e 8 - 4 2 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O p Z m o d e A , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 F i g u r e 8 — 4 3 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 0 4 7 7 c m . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5 F i g u r e 8 - 4 4 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 0 4 7 7 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5 F i g u r e 8 — 4 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O p Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 1 4 3 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6 F i g u r e 8 - 4 6 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 1 4 3 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6 F i g u r e 8 — 4 7 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 7 F i g u r e 8 — 4 8 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 7 F i g u r e 8 - 4 9 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p 2 m o d e B , l o a d r a d i u s 2 c m . . 2 3 8 F i g u r e 8 - 5 0 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 2 c m . 2 3 8 F i g u r e 8 - 5 1 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . . 2 3 9 F i g u r e 8 - 5 2 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . 2 3 9 F i g u r e 8 - 5 3 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 0 F i g u r e 8 - 5 4 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 5 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M m m o d e . . F i g u r e 8 - 5 6 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M m m o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 5 7 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 6 , . = 2 0 - j 3 0 , T M O p Z . . . . . . . . F i g u r e 8 - 5 8 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 7 5 ‘ , = 2 0 - j 3 0 , T M O p Z . . . . . F i g u r e 8 - 5 9 T E D “ R e a l f r e q u e n c y v s . e a v i t y l e n g t h f o r e ; = 3 . 0 3 w i t h h y p o t h e t i c a l l o s s f a c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 5 6 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r e " . = 3 . 0 3 i n t h e T 1 3 0 “ m o d e . . . x v i 2 4 0 2 4 4 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4 9 2 5 0 F i g u r e 8 - 6 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r e " . = 3 . 0 3 i n t h e T E D “ m o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 6 2 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D “ m o d e , e , " = 1 F i g u r e 8 - 6 3 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D 1 1 m o d e , e ; ' = 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 6 4 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D “ m o d e , e , " = 3 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 6 5 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D “ m o d e , e , " = 1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 6 6 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T 5 0 1 1 m o d e , a , " = 1 , 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e ' 8 - 6 7 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , c o a x i a l c a v i t y T E D “ m o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F i g u r e 8 - 6 8 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : l o s s l e s s l o a d , 5 , = 9 , T E o p z . 2 5 1 . 2 5 2 2 5 2 2 5 3 2 5 3 2 5 4 2 5 4 m o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 6 F i g u r e 8 - 6 9 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 6 , , = 3 — j 0 . 0 3 9 , T E O P Z m o d e s . . . . 2 5 7 F i g u r e 8 - 7 0 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 8 , = 3 — j 0 . 0 3 9 , T E O P Z m o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8 F i g u r e 8 — 7 1 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : t i , = 2 0 - j 8 , T E O P Z m o d e s . . . . . 2 6 0 F i g u r e 8 - 7 2 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : é , = 2 0 — j 8 , T E O P Z m o d e s . 2 6 1 F i g u r e 8 - 7 3 E n l a r g e d v i e w o f p r i m a r y m o d e c r o s s i n g : E , = 2 0 - j 8 , T E o p z m o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 F i g u r e 8 - 7 4 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h e r o r d e r T E O P Z m o d e s . . . . 2 6 4 F i g u r e 8 - 7 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h e r o r d e r T E O P Z m o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 F i g u r e 8 - 7 6 E n l a r g e d v i e w o f i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s i n m o d e c r o s s i n g r e g i o n . . 2 6 6 F i g u r e 8 - 7 7 A x i a l H - fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T E m z m o d e . . . . 2 6 8 F i g u r e 8 - 7 8 R a d i a l H - fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T E D ” m o d e . . . . 2 6 8 F i g u r e 8 - 7 9 A x i a l H - fi e l d m a g n i t u d e : T E D p Z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . . . . . 2 6 9 F i g u r e 8 - 8 0 R a d i a l H - fi e l d m a g n i t u d e : T E O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . . . . 2 6 9 F i g u r e 8 - 8 1 A x i a l H - fi e l d m a g n i t u d e : T E O p Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 c m . . . . . 2 7 0 F i g u r e 8 - 8 2 R a d i a l H - fi e l d m a g n i t u d e : T E U p Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 c m . . . . 2 7 0 F i g u r e 8 - 8 3 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H s z a n d E 1 1 1 9 2 , e , = 9 . . . . 2 7 3 F i g u r e 8 - 8 4 B l o w u p v i e w o f s m a l l l o a d r a d i u s r e g i o n . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4 F i g u r e 8 - 8 5 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H E M - ” , 2 , e , = 9 . . . . . . . . 2 7 6 F i g u r e 8 - 8 6 R e a l f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t 6 ; : I - I E M I P Z , e , " = 8 . . . . . 2 7 7 F i g u r e 8 - 8 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t 6 ; : H E M I p Z ’ e , " = 8 . . 2 7 9 F i g u r e 8 - 8 8 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H E M l p z , 2 . , = 2 0 - j 8 . . . . . . . . . 2 8 0 x v i i F i g u r e 8 - 8 9 F i g u r e 8 - 9 0 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H E M l p z , 6 , = 2 0 - j 8 . . . . . 2 8 1 R e a l f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r : H E M l p Z ’ e ; = 1 , a = 1 . 2 7 c m . . . . 2 8 3 F i g u r e 8 - 9 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r : H E M l p z , e , ’ = l , a = 1 . 2 7 c m 2 8 4 F i g u r e 8 - 9 2 R e a l f r e q u e n c y v s . e r ' : H E M l p z , e ; = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 6 F i g u r e 8 — 9 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p Z ’ e , " = 4 . . . . . . . . . . . . . . 2 8 6 F i g u r e 8 - 9 4 R e a l f r e q u e n c y v s . 5 r " H E M I P Z , e , ” = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7 F i g u r e 8 - 9 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e : = 5 . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7 F i g u r e 8 - 9 6 R e a l f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e , ” = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 F i g u r e 8 - 9 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e ; = 6 . . . . . . . . . . . . . . 2 8 8 F i g u r e 8 - 9 8 R e a l f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e ; = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9 F i g u r e . 8 - 9 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p Z » e ; = 7 . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9 F i g u r e 8 - 1 0 0 R e a l f r e q u e n c y v s . e , ’ : ' H E M 1 p 2 , e ; = 7 . 5 . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0 F i g u r e 8 — 1 0 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e ; = 7 . 5 . . . . . . . . . . . . 2 9 0 F i g u r e 8 - 1 0 2 R e a l f r e q u e n c y v s . 5 ; : H E M I P Z , e , " = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1 F i g u r e 8 - 1 0 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e , " = 9 . . . . . . . . . . . . . 2 9 1 F i g u r e 8 - 1 0 4 R e a l f r e q u e n c y v s . e r ' : H E M I P Z , e , " = 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 F i g u r e 8 - 1 0 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e , " = 1 0 . . . . . . . . . . . . 2 9 2 F i g u r e 8 - 1 0 6 R e a l f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e , " = 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 3 F i g u r e 8 - 1 0 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 r " H E M l p Z ’ e , ” = 1 2 . . . . . . . . . . . . 2 9 3 F i g u r e 8 — 1 0 8 R e a l f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M 1 e r e } ! = 1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 4 F i g u r e 8 - 1 0 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e , " = 1 5 . . . . . . . . . . . . 2 9 4 F i g u r e 9 - 1 L o a d s a m p l e w i t h h o l e s f o r t h r e a d s u s p e n s i o n . . . . . . . . . . . . . . 3 0 6 F i g u r e 9 - 2 M i c r o w a v e c i r c u i t f o r l o w p o w e r m e a s u r e m e n t s o f f r e q u e n c y a n d Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 F i g u r e 9 - 3 R e a l f r e q u e n c y v s . r o d l e n g t h : T M O l z m o d e , 3 x 3 a n d 5 x 5 m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1 F i g u r e 9 - 4 R e a l f r e q u e n c y v s . r o d l e n g t h : ' I ' M m z m o d e , 5 x 5 a n d 7 x 7 m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 F i g u r e 9 - 5 7 " c a v i t y , T M O I Z m o d e : 1 x 1 , 3 x 3 , 5 x 5 , a n d 7 x 7 m a t r i c e s . . . . 3 1 4 F i g u r e 9 - 6 7 " c a v i t y , T M o r z m o d e : 1 x 1 , 3 x 3 , 5 x 5 , 7 x 7 , a n d 1 3 x 1 3 m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 F i g u r e 9 - 7 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d l e n g t h : M e t h o d 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8 F i g u r e 9 - 8 M e t h o d 1 1 c o m p a r e d w i t h a p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . 3 2 0 F i g u r e 9 - 9 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d l e n g t h : 2 a = 0 . 5 ' a n d 1 . 0 " . . . . . . . . . . . 3 2 1 F i g u r e 9 - 1 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d l e n g t h , 2 a = 1 . 0 " : M e t h o d I I a n d p e r t u r b a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2 F i g u r e 9 - 1 1 R e a l f r e q u e n c y v s . a f o r a n y l o n l o a d : T M O I Z , b = 3 " , l = 4 c m . . 3 2 4 x v i i i F i g u r e 9 - 1 2 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . a f o r a n y l o n l o a d : T M 0 1 2 » b = 3 " , I = 4 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 5 F i g u r e 9 - 1 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . a f o r a n y l o n l o a d : T M O I Z , b = 3 " , I = 4 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 F i g u r e 9 - 1 4 R e a l f r e q u e n c y v s . h : T M O I Z , a = 0 . 2 5 ” ( n y l o n ) , b = 3 . 5 ” , I = 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 F i g u r e 9 - 1 5 Q u a l i t y f a c t o r v s . l o a d l e n g t h : T M O I Z , a = 0 . 2 5 ” ( n y l o n ) , b = 3 " . . 3 3 2 F i g u r e 9 - 1 6 Q u a l i t y f a c t o r v s . h : m o m : a = 0 . 2 5 ” ( n y l o n ) , b = 3 . 5 ” , I = 2 c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 F i g u r e B — l C r o s s - s e c t i o n o f a n i n h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e . . 3 6 0 F i g u r e D - l E l l i p s e r o t a t e d b y ( p a w a y f r o m c o o r d i n a t e a x e s . . . . . . . . . . . . . 3 7 2 F i g u r e D - 2 R o t a t i o n e l l i p s e w i t h i n s c r i b e d fi e l d t r a j e c t o r y . . . . . . . . . . . . . . 3 7 5 F i g u r e E — l C o m p l e x r o o t s l o c a t e d b y c r o s s i n g o f r e a l a n d i m a g i n a r y r o o t c u r v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 3 F i g u r e E — 2 P o i n t s u s e d b y C O M B I S i n fi n d i n g c o m p l e x r o o t s . . . . . . . . . . . . 3 8 4 F i g u r e E — 3 N o n - e x i s t e n t r o o t l o c a t e d b y C O M B I S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 2 F i g u r e F - l G e n e r a l s l a b - l o a d e d c a v i t y c o n fi g u r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 3 F i g u r e F - 2 S l a b - l o a d e d c a v i t y w i t h s l a b a t o n e e n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 6 x i x C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t w o r k i s t o p r e s e n t a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s o f c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s c o a x i a l l y - l o a d e d w i t h h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c , l o s s y , c y l i n d r i c a l l y s h a p e d m a t e r i a l s fl ‘ T h e m e t i v a t i o n f o r t h i s s t u d y i s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e s e s o l u t i o n s t o m i c r o w a v e h e a t i n g o f l o s s y m a t e r i a l s . E l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s o l u t i o n s p r o v i d e f u n d a m e n t a l i n f o r m a t i o n o n t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n m i c r o w a v e s a n d l o s s y m a t e r i a l s i n w a v e g u i d e s a n d r e s o n a n t c a v i t i e s . F o r m a t e r i a l s p r o c e s s i n g p u r p o s e s , k n o w l e d g e o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s r e v e a l s w h e r e e n e r g y i s d i s s i p a t e d i n t h e m a t e r i a l , h o w e f fi c i e n t l y e n e r g y i s c o u p l e d i n t o t h e m a t e r i a l , a n d h o w m a t e r i a l p r o p e r t i e s a f f e c t w a v e p r o p a g a t i o n o r r e s o n a n t c o n d i t i o n s i n t h e w a v e g u i d e a n d c a v i t y r e s p e c t i v e l y . S i n c e m a t e r i a l p r o p e r t i e s c h a n g e d u r i n g p r o c e s s i n g , t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s a r e d y n a m i c a l l y l i n k e d t o t h e p r o c e s s c y c l e . A c c u r a t e fi e l d s o l u t i o n s m a k e i t p o s s i b l e t o t r a c k m a t e r i a l p r o p e r t i e s d u r i n g t h e c o u r s e o f p r o c e s s i n g . T h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i s s h o w n i n F i g u r e 1 - 1 . T h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y i n v e s t i g a t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n f a l l s i n t o t h r e e c o n fi g u r a t i o n s c a l l e d c a v i t y - s h o r t t y p e , c a v i t y - i m a g e t y p e , a n d c a v i t y - o p e n t y p e . T h e m o s t g e n e r a l o f t h e s e , t h e c a v i t y - o p e n t y p e , i s s h o w n i n F i g u r e 1 - 2 . S p e c i a l c a s e s o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n e x i s t w h e n t h e l e n g t h o f t h e l o a d i s e q u a l t o t h e c a v i t y l e n g t h , c a v i t y - s h o r t t y p e , o r w h e n t h e l o a d r e s t s o n o n e e n d o f t h e c a v i t y , c a v i t y - i m a g e t y p e . T h e s e a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 - 3 a n d 1 - 4 r e s p e c t i v e l y . T h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n a l s o d e s c r i b e s t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n w h e n t h e l o a d m a t e r i a l i s l o c a t e d I T h e t e r m “ c y l i n d r i c a l ” o fi e n r e f e r s t o w a v e g u i d e a n d c a v i t y s y s t e m s o f g e n e r a l c r o s s s e c t i o n w i t h n o c r o s s s e c t i o n a l v a r i a t i o n i n t h e a x i a l v a r i a b l e . H e r e w e u s e i t i n a m o r e s p e c i a l i z e d s e n s e t o r e f e r t o c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s w i t h c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n . 1 F i g u r e 1 - 1 C o a x i a l l y — L o a d e d W a v e g u i d e . . . . C a ? ) a - R e g i o n I c : " ’ 0 ‘ ‘ ' 1 ‘ : 1 R e g i o n H ' 1 7 3 A 1 L 5 f : I . g . “ - } . I - : ’ 1 t r _ R e g i o n H I F i g u r e 1 - 2 C a v i t y - O p e n T y p e C o n fi g u r a t i o n . \ E R N E G L o a d M a t e r i a l . J T “ g m M ) F i g u r e 1 - 3 C a v i t y - S h o r t T y p e C o n fi g u r a t i o n . - x — ' 1 r - é l fi l b R e g i o n I > L o a d , E § M a t e r i a l 2 R e g i o n [ I F i g u r e 1 - 4 C a v i t y - I m a g e T y p e C o n fi g u r a t i o n . 4 e x a c t l y h a l f w a y b e t w e e n t h e e n d s o f t h e c a v i t y . T h e f e a t u r e s o f t h e s e c o n fi g u r a t i o n s a r e d i s c u s s e d i n g r e a t e r d e t a i l i n C h a p t e r s 3 a n d 4 . C o a x i a l l y — l o a d e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d r e s o n a n t c a v i t i e s h a v e f o u n d a n i m m e n s e r a n g e o f a p p l i c a t i o n s i n t h e 5 0 y e a r s s i n c e t h e y w e r e fi r s t s t u d i e d . P a r t i c l e a c c e l e r a t i o n , m i c r o w a v e c i r c u i t c o m p o n e n t s , p l a s m a g e n e r a t i o n a n d d i a g n o s i s , a n d m a t e r i a l s p r o c e s s i n g a r e o n l y t h e b r o a d h e a d i n g s t h a t c l a s s i f y m o s t o f t h e h u n d r e d s o f d i f f e r e n t p u r p o s e s t h e y h a v e s e r v e d . P r o b a b l y t h e c h i e f r e a s o n t h a t s u c h a t t e n t i o n h a s b e e n g i v e n t o t h e c o a x i a l g e o m e t r y i s i t s c i r c u l a r s y m m e t r y w h i c h m a k e s i t s i m p l e t o c o n s t r u c t p h y s i c a l l y a n d r e n d e r s i t s e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d p a r a m e t e r s a m e n a b l e t o c l o s e d f o r m a n a l y t i c e x p r e s s i o n . A l s o , i t s s y m m e t r y i s b u t o n e - d i m e n s i o n a l a n d a l l o w s f o r j u n c t i o n s t o b e f o r m e d a l o n g p l a n e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e r e m a i n i n g f r e e v a r i a b l e s p a c i a l c o m p o n e n t , i n t h i s c a s e t h e a x i a l v a r i a b l e . T h a t i s n o t t h e c a s e , f o r e x a m p l e , w i t h t h e c o n c e n t r i c s p h e r i c a l g e o m e t r y , w h o s e s y m m e t r y i s t w o - d i m e n s i o n a l . A s i d e f r o m s p h e r e s b e i n g d i f fi c u l t t o c o n s t r u c t , a n y p l a n a r j u n c t i o n f o r m e d o n a s p h e r e d i s t o r t s i t s s y m m e t r y . T h e a x i a l l y i n v a r i a n t r e c t a n g u l a r g e o m e t r y p r e s e n t s a d i f fi c u l t y o f a d i f f e r e n t k i n d : t h e r e a r e n o c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e w a v e n u m b e r s o f a r e c t a n g u l a r w a v e g u i d e w i t h a s m a l l e r r e c t a n g u l a r m a t e r i a l l o c a t e d a l o n g t h e a x i s . N e i t h e r a r e t h e r e a n y e a s e s i n w h i c h p u r e l y T M o r p u r e l y T E m o d e s p r o p a g a t e i n s u c h a g u i d e . 1 T h e c o m e r s o f t h e r e c t a n g u l a r l o a d m a t e r i a l m a k e e v e n p e r t u r b a t i o n a n a l y s i s d i f fi c u l t f o r m a n y m o d e s a n d c o n s t i t u t e p o t e n t i a l h o t s p o t s i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . W i t h a l l t h e a t t e n t i o n t h a t c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s h a v e r e c e i v e d , t h e r e r e m a i n s e v e r a l u n a n s w e r e d q u e s t i o n s a b o u t t h e i r b e h a v i o r , e s p e c i a l l y f o r l o s s y l o a d s . A l t h o u g h s o l u t i o n s h a v e b e e n p r e s e n t e d , a s w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 2 , f o r l o s s y c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s a n d c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t i e s , a n d o t h e r s h a v e b e e n p r e s e n t e d f o r t h e c a v i t y - o p e n t y p e c a v i t y l o a d e d w i t h l o s s l e s s 1 I f t h e m a t e r i a l i s a l t e r e d s o t h a t i t fi l l s o n e d i m e n s i o n o f t h e w a v e g u i d e , c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n s f o r t h e w a v e n u m b e r s a r e a v a i l a b l e a n d T E n o m o d e s e x i s t w i t h t h e e l e c t r i c fi e l d p a r a l l e l t o t h e m a t e r i a l i n t e r f a c e . C f . R . E . C o l l i n , F i e l d T h e o r y o f G u i d e d W a v e s ( N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 0 ) , 2 2 4 - 2 5 . 5 m a t e r i a l s , n o o n e h a s r i g o r o u s l y i n v e s t i g a t e d t h e c a v i t y - o p e n o r c a v i t y - i m a g e t y p e c a v i t y l o a d e d w i t h l o s s y m a t e r i a l s . A s a s e c o n d s t e p , b e y o n d p e r t u r b a t i o n m e t h o d s , fi e l d s o l u t i o n s f o r t h e s e c a v i t y c o n fi g u r a t i o n s w h e n t h e l o a d i s l o s s y a r e v i t a l t o o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e e x a c t i n t e r a c t i o n b e t w e e n l o s s y m a t e r i a l s a n d t h e c a v i t y fi e l d s . I n m a t e r i a l s p r o c e s s i n g a n d m i c r o w a v e c a v i t y p l a s m a a p p l i e a t i o n s , t h i s i n f o r m a t i o n i s i m p o r t a n t b o t h i n t h e d e s i g n o f c a v i t y a p p l i c a t o r s a n d i n u n d e r s t a n d i n g t h e b e h a v i o r o f e x i s t i n g c a v i t y a p p l i c a t o r s f o r n e w l o a d m a t e r i a l s a n d m o d e s . S i n c e s o l u t i o n s f o r t h e w a v e g u i d e a n d c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h l o s s y l o a d s h a v e b e e n p r e v i o u s l y d e m o n s t r a t e d , t h e p r i n c i p a l c o n t r i b u t i o n o f t h i s w o r k i s t h e p r e s e n t a t i o n o f a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o t h e c a v i t y - o p e n a n d c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n s f o r l o s s y l o a d s . T h i s p r e s e n t a t i o n p r o c e e d s a s f o l l o w s : C h a p t e r 2 c o n t a i n s a r e v i e w o f p a s t i n v e s t i g a t i o n s o f c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s a n d e a v i t i e s u p t o 1 9 9 1 . T h e p a p e r s r e v i e w e d a r e c a t a l o g e d p r i m a r i l y b y a p p l i c a t i o n a n d c h r o n o l o g y . C h a p t e r s 3 , a n d 4 , w i t h A p p e n d i c e s A , B , C , a n d F , p r e s e n t a n a n a l y s i s o f t h e n a t u r a l m o d e s o f l o s s y , c o a x i a l l y - l o a d e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s a c c o r d i n g t o a r i g o r o u s s o l u t i o n o f M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s . F o r t h e c a v i t y - o p e n a n d c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n s , m o d e - m a t c h i n g i s u s e d t o fi n d t h e e i g e n v a l u e s . I C h a p t e r 5 i s a r e w o r k i n g o f a s o l u t i o n b y D . M . B o l l e p u b l i s h e d i n 1 9 6 2 . 2 B o l l e u s e d m o d e - m a t c h i n g t o s o l v e f o r t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f a c y l i n d r i c a l c a v i t y c o a x i a l l y l o a d e d w i t h a c o n d u c t i n g c y l i n d e r . T h e c y l i n d e r w a s l o c a t e d a t t h e c a v i t y c e n t e r s o t h a t t h e c o n fi g u r a t i o n c a n b e c o n s i d e r e d c a v i t y - i m a g e t y p e . T h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h a c o n d u c t i n g l o a d a n d a n e l e c t r i c w a l l i s i d e n t i c a l t o t h e 1 ~ T h e e q u a t i o n s i n C h a p t e r s 3 , 4 , a n d 5 a n d A p p e n d i c e s C a n d F h a v e b e e n a s s i d u o u s l y c h e c k e d f o r e r r o r s . M o s t o f t h e m h a v e n o t b e e n s i m p l y c o p i e d f r o m n o t e b o o k s a t p u b l i c a t i o n t i m e . M a n y o f t h e p r o g r a m s w r i t t e n t o s o l v e t h e m n u m e r i c a l l y h a v e b e e n f o u n d e d d i r e c t l y o n t h e s e e q u a t i o n s a s r e c o r d e d i n r o u g h d r a f t s o f t h i s w o r k , s o t h a t t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s r e f l e c t t h e a n a l y s i s a s g i v e n b y w h a t i s a c t u a l l y p r i n t e d o n t h e s e p a g e s . T h a t i s n o t t o c l a i m t h a t a l l e q u a t i o n s p r e s e n t e d h e r e a r e i n e r r a n t , e s p e c i a l l y t h o s e w h i c h w e r e n o t t e s t e d b y n u m e r i c a l s o l u t i o n , b u t o n l y t o s a y t h a t e x c e p t i o n a l c a r e w a s t a k e n t o p r e v e n t t y p o g r a p h i c a l e r r o r s . 2 D . M . B o l l e , “ E i g e n v a l u e s f o r a C e n t r a l l y L o a d e d C i r c u l a r C y l i n d r i c a l C a v i t y , ” H I E D a n s . M i c r o w a v e D a y . T e d r . M I T — 1 0 ( 3 ) ( M a r c h 1 9 6 2 ) : 1 3 3 - 3 8 . 6 r e e n t r a n t c a v i t y . B o l l e ’ s r e s u l t s a r e i n e r r o r s i n c e t h e T E M m o d e c o n t r i b u t i o n t o t h e fi e l d s i n t h e c a v i t y r e g i o n c o n t a i n i n g t h e c o n d u c t o r w a s n e g l e c t e d . C h a p t e r 5 i n c l u d e s t h e d e v e l o p m e n t o f t h e m o d e - m a t c h i n g e q u a t i o n a n d n u m e r i c a l r e s u l t s . T h e n u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e r e s o t h f r e q u e n c y a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t s h o w i n g e x c e l l e n t a g r e e m e n t . T h e s o l u t i o n i s p r e s e n t e d i n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e p r i n c i p l e s a n d u t i l i t y o f m o d e - m a t c h i n g , a n d t o e x a m i n e t h e l i m i t i n g c a s e o f h i g h c o n d u c t i v i t y o r l o s s f a c t o r f o r d i e l e c t r i c l o a d s . I C h a p t e r 6 i s a d i s c u s s i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e n a t u r a l m o d e l o s s y e a v i t y f r e q u e n c i e s t o t h e r e s o n a n c e s o f t h e S i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e a n d t h e m a t e r i a l l o a d e d c a v i t y q u a l i t y f a c t o r . I t i s s h o w n t h a t f o r q u a l i t y f a c t o r s g r e a t e r t h a n 5 0 , t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l m o d e c o m p l e x f r e q u e n c y c l o s e l y a p p r o x i m a t e s t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s o n a n t f r e q u e n c y . W i t h t h e s a m e r e s t r i c t i o n , t h e q u a l i t y f a c t o r i s o n e - h a l f o f t h e r a t i o o f t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y t o t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y . F o r m a t e r i a l s p r o c e s s i n g a p p l i c a t i o n s , t h e q u a l i t y f a c t o r i s o f t e n s e v e r a l t h o u s a n d a n d r a r e l y l e s s t h a n 5 0 , s o t h a t t h i s r e s t r i c t i o n i s n o t p r o h i b i t i v e . N u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e a n a l y s i s o f C h a p t e r s 3 a n d 4 a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r s 7 , 8 , a n d 9 . C h a p t e r 7 c o n t a i n s p m p a g a t i o n d i a g r a m s , i . e . , p l o t s o f s y s t e m w a v e n u m b e r s v e r s u s f r e q u e n c y , f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . N u m e r i c a l r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h p u b l i s h e d v a l u e s o f t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s f o r g i v e n w a v e g u i d e a n d l o a d p a r a m e t e r s . C o m p l e x m o d e p r o p a g a t i o n i s d e m o n s t r a t e d i n t h e l o s s l e s s c a s e f o r h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t l o a d s . B o t h p r o p a g a t i o n a n d a t t e n u a t i o n p a t t e r n s a r e e x a m i n e d f o r t h e l o s s y c a s e . N u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e e a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n a r e f o u n d i n C h a p t e r 8 . T h e a x i a l w a v e n u m b e r i s c o n s t r a i n e d t o b e a r e a l i n t e g e r m u l t i p l e o f a ' n o r m a l i z e d b y t h e c a v i t y l e n g t h . L o s s e s a r e n o l o n g e r s p a c i a l l y d i s t r i b u t e d , a s i n t h e w a v e g u i d e c a s e , b u t a r e t e m p o r a l l y d i s t r i b u t e d , r e p r e s e n t e d b y a c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y . R e s o n a n t f r e q u e n c i e s a r e c o m p u t e d f o r s e v e r a l l o a d m a t e r i a l s a n d s i z e s a n d c o m p a r e d f a v o r a b l y t o e x p e r i m e n t . F i e l d 1 T h e e f f e c t i v e e q u i v a l e n c e o f h i g h c o n d u c t i v i t y a n d h i g h l o s s f a c t o r i s d e m o n s t r a t e d i n C h a p t e r 3 . 7 p a t t e r n s a r e c o m p u t e d f r o m a s p e c i a l t i m e a v e r a g e m a g n i t u d e d e fi n e d i n A p p e n d i x D . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e m o d e s a r e f o l l o w e d f o r a n u m b e r o f v a r i a b l e s . T h e n a t u r a l f r e q u e n c y v e r s u s l o a d r a d i u s i s p l o t t e d f o r s e v e r a l m o d e s a n d m a t e r i a l s o v e r a l o a d r a d i u s r a n g e o f z e r o t o t h e r a d i u s o f t h e c a v i t y . T h e s e p l o t s d e m o n s t r a t e t h a t t h e m o d e s t r u c t u r e m a y c h a n g e r a d i c a l l y , c h a n g i n g f r o m T E - l i k e t o T M - l i k e a n d v i c e v e r s a , a s t h e l o a d r a d i u s c h a n g e s , e s p e c i a l l y f o r h i g h e r o r d e r m o d e s a n d h i g h l o s s f a c t o r m a t e r i a l s . C h a p t e r 9 c o n c l u d e s t h e b o d y o f t h e d i s s e r t a t i o n w i t h n u m e r i c a l e x a m p l e s o f s o l u n ‘ o n s f o r T M m o d e s i n t h e c a v i t y - o p e n a n d c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n s . I t i s d e m o n s t r a t e d t h a t c o n v e n t i o n a l f o r m u l a t i o n s o f t h e m o d e - m a t c h i n g e q u a t i o n s p r o d u c e a h i g h l y i l l - c o n d i t i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x , a n d c a n n o t b e u s e d t o o b t a i n r e l i a b l e e i g e n v a l u e s . A n o t h e r f o r m u l a t i o n , w o r k e d o u t i n C h a p t e r 4 , i s s h o w n t o y i e l d a w e l l - c o n d i t i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x t h a t p r o v i d e s a c c u r a t e r e s u l t s f o r a l l l o a d l e n g t h s . I t i s a l s o s h o w n h o w t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d q u a l i t y f a c t o r v a r y w i t h t h e h e i g h t o f t h e l o a d a n d i t s r a d i u s . A l l s o l u t i o n s a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t s t h a t s h o w e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h c o m p u t e d r e s o n a n t f r e q u e n c i e s a n d q u a l i t a t i v e a g r e e m e n t w i t h c o m p u t e d q u a l i t y f a c t o r s . T h e q u a l i t y f a c t o r d i s c r e p a n c y i s d u e t o t h e fi n i t e c o n d u c t i v i t y o f t h e c a v i t y w a l l s a n d l o s s e s d u e t o i m p e r f e c t i o n s i n t h e e x p e r i m e n t a l c a v i t y t h a t w e r e n o t a c c o u n t e d f o r b y t h e t h e o r y . Q u a l i t y f a c t o r a g r e e m e n t i s b e t t e r w i t h l a r g e r l o a d s w h e n l o a d l o s s e s d o m i n a t e c a v i t y w a l l l o s s e s a n d l o s s e s d u e t o c a v i t y i m p e r f e c t i o n s . C e r t a i n o f t h e A p p e n d i c e s c o n t a i n i n f o r m a t i o n t h a t i s o f m o r e g e n e r a l i n t e r e s t . F o r e x a m p l e , A p p e n d i x A c o n t a i n s a l i s t o f t h r e e p r e v i o u s l y u n p u b l i s h e d i n d e fi n i t e i n t e g r a l s o f p r o d u c t s o f B e s s e l f u n c t i o n s . A l s o i n c l u d e d a r e t h r e e p r e v i o u s l y u n p u b l i s h e d B e s s e l f u n c t i o n r e c u r r e n c e i d e n t i t i e s a n d t w o o r t h o g o n a l d e fi n i t e i n t e g r a l s . A p p e n d i x B i s a n e x a m i n a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e n e r g y o r t h o g o n a l i t y a n d p o w e r o r t h o g o n a l i t y i n i n h o m o g e n e o u s l y l o a d e d w a v e g u i d e s o f 8 a r b i t r a r y c r o s s s e c t i o n . I t i s s h o w n t h a t e n e r g y o r t h o g o n a l i t y i s a c t u a l l y a s p e c i a l c a s e o f p o w e r o r t h o g o n a l i t y w h e n t h e m o d e s a r e p u r e l y T M o r p u r e l y T E . I t i s s h o w n i n A p p e n d i x D t h a t i n t h e p r e s e n c e o f b o u n d a r i e s b e t w e e n l o s s y m a t e r i a l s , o r b e t w e e n a l o s s y m a t e r i a l a n d a l o s s l e s s m a t e r i a l , t h e n a t u r a l fi e l d s o f a l o a d e d c a v i t y r o t a t e a s t h e y d e c a y i n t i m e . T h e r o t a t i o n i s d e s c r i b e d b y a t i m e d e c a y i n g e l l i p s o i d w h o s e p a r a m e t e r s d e p e n d o n t h e p h a s e s o f t h e v a r i o u s fi e l d c o m p o n e n t s . S i n c e t h e t i m e - a v e r a g e o f a d e c a y i n g fi e l d i s z e r o , a r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e i s d e fi n e d f o r e a c h fi e l d c o m p o n e n t . D u e t o t h e r o t a t i o n , t h e r e l a t i v e v a l u e i s n o t d e fi n e d b y s i m p l y n e g l e c t i n g t h e t i m e — d e c a y f a c t o r , b u t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e d i f f e r i n g p h a s e s o f t h e v a r i o u s fi e l d c o m p o n e n t s . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n C h a p t e r s 7 , 8 , a n d 9 a l l i n v o l v e fi n d i n g t h e r o o t s o f c o m p l e x f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e . T h i s c a n b e a v e r y d i f fi c u l t n u m e r i c a l p r o b l e m a n d i t p r o v e d s o i n t h i s c a s e . I t w a s n e c e s s a r y t o u s e t w o d i f f e r e n t a p p r o a c h e s w h i c h a r e d i s c u s s e d i n A p p e n d i x E . T h e F O R T R A N s o u r c e c o d e i s s u p p l i e d f o r e a c h . S i m i l a r l y , i t w a s n e c e s s a r y t o e v a l u a t e B e s s e l f u n c t i o n s w i t h c o m p l e x a r g u m e n t s . A n a d d r e s s i s g i v e n i n t h e s a m e A p p e n d i x w h e r e e x c e l l e n t s u b r o u t i n e s m a y o b t a i n e d f o r t h i s p u r p o s e . I n t h e fi n a l A p p e n d i x , A p p e n d i x F , a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n i s d e r i v e d f o r a s l a b - l o a d e d c a v i t y w h e n t h e s l a b i s l o c a t e d a t a n a r b i t r a r y h e i g h t a b o v e t h e c a v i t y b o t t o m . T h i s s o l u t i o n i s t h e r a d i a l a n a l o g t o t h e c a v i t y - s h o r t t y p e s o l u t i o n , b u t i s m u c h e a s i e r t o s o l v e b e c a u s e i t i n v o l v e s o n l y s i n e a n d c o s i n e f u n c t i o n s . I t i s u s e d i n C h a p t e r 9 t o c h e c k c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n s a s t h e l o a d r a d i u s a p p r o a c h e s t h e c a v i t y r a d i u s . I f c r o s s s e c t i o n a l w a v e n u m b e r s a r e k n o w n , t h e s a m e s o l u t i o n m a y b e u s e d f o r s l a b - l o a d e d c a v i t i e s o f a r b i t r a r y c r o s s s e c t i o n . C h a p t e r 2 R E V I E W O F P E R T I N E N T L I T E R A T U R E 2 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e l i t e r a t u r e o n c o a x i a l l y - l o a d e d c y l i n d r i c a l m i c r o w a v e c a v i t i e s a n d w a v e g u i d e s i s d i v e r s e , d e a l i n g w i t h p e r m i t t i v i t y m e a s u r e m e n t s , m a t e r i a l s p r o c e s s i n g a n d h e a t i n g , i n c l u d i n g d i r e c t c e r a m i c s i n t e r i n g b y m i c r o w a v e s , fi l t e r s f o r m i c r o w a v e c i r c u i t s , a t o m i c c l o c k s , p a r t i c l e a c c e l e r a t o r s , a n d p l a s m a g e n e r a t i o n f o r a p p l i e a t i o n s i n s u c h a w i d e r a n g e o f t e c h n o l o g y a s h e a t i n g o f m a t e r i a l s , i o n g e n e r a t o r s , a n i s o t r o p i c e t c h i n g o f s o l i d s t a t e c i r c u i t c o m p o n e n t s , d i a m o n d t h i n fi l m d e p o s i t i o n , a n d d e e p s p a c e e n g i n e s . T h e g e n e r a l fi e l d o f t h i s l i t e r a t u r e h a s b e e n r e v i e w e d b e f o r e . 1 S i n c e t h e p r i m a r y a i m o f t h e p r e s e n t s t u d y i s t o p e r f o r m t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s r e q u i r e d t o o b t a i n t h e s y s t e m e i g e n v a l u e s , o n l y l i t e r a t u r e p e r t i n e n t t o t h e c h o s e n m e t h o d o f a n a l y s i s i s r e v i e w e d h e r e . A s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 1 , s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y , a n d t h e c a v i t y - o p e n t y p e 1 A r e v i e w c o v e r i n g s e v e r a l o f t h e s e a r e a s i s f o u n d i n H a w - H w a L i n , “ T h e o r e t i c a l F o r m u l a t i o n a n d E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f a C y l i n d r i c a l C a v i t y L o a d e d w i t h L o s s y D i e l e c t r i c M a t e r i a l s ” ( P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 9 ) . L i t e r a t u r e o n h e a t i n g o f m a t e r i a l s , d i e l e c t r i c c o n s t a n t m e a s u r e m e n t s , a n d t e c h n i q u e s o f m e a s u r i n g e l e c t r i c fi e l d s t r e n g t h s i n s i d e a c a v i t y i s r e v i e w e d i n E d w a r d B . M a n r i n g , “ A n E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f t h e M i c r o w a v e H e a t i n g o f S o l i d N o n - R e a c t i v e M a t e r i a l s i n a C i r c u l a r C y l i n d r i c a l R e s o n a n t C a v i t y ” ( M . S . t h e s i s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 8 ) . L i t e r a t u r e o n e l e c t r i c p l a s n n p r o p u l s i o n a n d g e n e r a l u s e o f t h e c a v i t i e s d e v e l o p e d a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y ’ s D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g i s r e v i e w e d b y L y d e l l L . F r a s c h , “ A n E x p e r i m e n t a l a n d T h e o r e t i c a l S t u d y o f a M i c r o w a v e C a v i t y A p p l i c a t o r L o a d e d w i t h L o s s y M a t e r i a l s ” ( P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 7 ) . T h r e e n e w p u b l i c a t i o n s t h a t d e s e r v e m e n t i o n i n t h e m a t e r i a l s p r o c e s s i n g fi e l d a r e M i c r o w a v e P r o c e s s i n g o f M a t e r i a l s : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y S y m p o s i a P r o c e e d i n g s 1 2 4 , S y m p o s i u m H e l d a t R e n o , N e v a d a 5 - 8 A p r i l 1 9 8 8 , e d . W . H . S u t t o n , M . H . B r o o k s , a n d I . J . C h a b i n s k y ( P i t t s b u r g h : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y , 1 9 8 8 ) ; M i c r o w a v e P r o c e s s i n g o f M a t e r i a l s I I : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y s y m p o s i a P r o c e e d i n g s 1 8 9 , S y m p o s i u m H e l d a t S a n F r a n c i s c o , C a l i f o r n i a 1 7 - 2 0 A p r i l 1 9 9 0 , e d . W m . B . S n y d e r , e t a l . ( P i t t s b u r g h : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y , 1 9 9 1 ) ; M i c r o w a v e s : T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n i n M a t e r i a l s P r o c e s s i n g : C e r a m i c I r a n s a a i o n s 2 1 , S y m p o s i u m H e l d D u r i n g t h e 9 3 r d M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n C e r a m i c S o c i e t y a t C i n c i n n a t i , O h i o 2 9 A p r i l - 3 M a y , 1 9 9 1 , e d . D . E . C l a r k , F . D . G a c , W . H . S u t t o n ( W e s t e r v i l l e , O h i o : T h e A m e r i c a n C e r a m i c S o c i e t y , 1 9 9 1 ) . 1 0 c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y . T h e m e t h o d u s e d t o s o l v e f o r t h e l a t t e r c o n fi g u r a t i o n i s e a l l e d m o d e - m a t c h i n g . S i n c e t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e a n d t h e c a v i t y - s h o r t t y p e l o a d e d c a v i t y a r e t r e a t e d s i m i l a r l y , t h e l i t e r a t u r e w i l l b e d i v i d e d i n t o t w o c a t e g o r i e s : 1 ) w a v e g u i d e a n d c a v i t y - s h o r t t y p e s o l u t i o n s , 2 ) m o d e - m a t c h i n g t e c h n i q u e s a n d c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n s . C o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s h a v e b e e n s t u d i e d f o r a w i d e v a r i e t y o f r e a s o n s o v e r t h e p a s t 5 0 y e a r s , t h e r e f o r e s p e c i a l a t t e n t i o n i s p a i d t o t h e p r o g r e s s i v e a p p l i c a t i o n s m o t i v a t i n g t h e i r d e v e l o p m e n t . 2 . 2 W a v e g u i d e a n d C a v i t y - S h o r t T y p e S o l u t i o n s 2 . 2 . 1 D i e l e c t r i c R o d W a v e g u i d e s W a v e g u i d e s i n v o l v i n g d i e l e c t r i c r o d s c o m e i n v a r i o u s f o r m s . S o m e c o n s i s t o f a s i m p l e r o d - s h a p e d m a t e r i a l w i t h a h i g h e n o u g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t t h a t e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y fl o w i n g t h r o u g h t h e r o d i s c o n fi n e d b y t o t a l i n t e r n a l r e fl e c t i o n . T h i s i s c a l l e d a d i e l e c t r i c w a v e g u i d e . S o m e t i m e s d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s a r e e n c l o s e d i n a s e c o n d m a t e r i a l c a l l e d a c l a d d i n g . A t h i r d f o r m e x i s t s w h e n t h e d i e l e c t r i c r o d i s e n c a s e d i n a m e t a l . A d i e l e c t r i c r o d s u r r o u n d e d b y a c l a d d i n g e n c a s e d i n m e t a l i s c a l l e d a s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e o r a c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . T h e f o u n d a t i o n a l m o d e r n p a p e r t r e a t i n g d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s w a s w r i t t e n b y E . S n i t z e r a n d p u b l i s h e d i n 1 9 6 1 . 2 I n i t h e r e f e r s t o t h e fi r s t w o r k d o n e o n d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s a t t h e t u r n o f t h e c e n t u r y . A l t h o u g h o t h e r s h a d a l r e a d y d e r i v e d t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d e x a m i n e d t h e fi r s t f e w m o d e s , S n i t z e r d e m o n s t r a t e d t h e b e h a v i o r o f t h e h i g h e r o r d e r m o d e s , d e v e l o p e d a r e l i a b l e m e a n s o f c l a s s i f y i n g t h e m , a n d d r e w s o m e v e r y c l e a r p i c t u r e s o f t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s . H i s c l a s s i fi c a t i o n s c h e m e h a s b e e n w i d e l y a c c e p t e d a m o n g t h o s e t r e a t i n g n o n - s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s . M o d e c l a s s i fi c a t i o n s c h e m e s , i n c l u d i n g S n i t z e r ’ s , a r e d i s c u s s e d i n g r e a t e r d e t a i l i n C h a p t e r 7 . T h e d i e l e c t r i c w a v e g u i d e w i t h c l a d d i n g h a s b e e n r e c e n t l y t r e a t e d b y B r u n o a n d B r i d g e s u s i n g a p o w d e r c o r e t o c r e a t e a fl e x i b l e m i l l i m e t e r - w a v e d i e l e c t r i c 2 1 2 . S n i t z e r , “ C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c W a v e g u i d e M o d e s , ” J . O p t . S o c . A m . 5 1 ( 5 ) ( M a y 1 9 6 1 ) : 4 9 1 - 9 3 . 1 1 w a v e g u i d e . 3 A l l fl e x i b l e s o l i d s w i t h l o w m i l l i m e t e r - w a v e l o s s e s h a v e l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t s . I n o r d e r t o c o n fi n e t h e w a v e s t o t h e c o r e r e g i o n , t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t m u s t b e h i g h . B r u n o a n d B r i d g e s ’ s s o l u t i o n t o t h i s d i f fi c u l t y w a s t o fi l l a h o l l o w t u b e w i t h t h e p o w d e r o f a h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t , l o w l o s s m a t e r i a l . I n a d d i t i o n t o p r e s e n t i n g a c l e a r l y w r i t t e n p a p e r , w e l l - r e a s o n e d c o n c l u s i o n s , a n d u s e f u l d a t a , B r u n o a n d B r i d g e s m a k e a n o r i g i n a l c o n t r i b u t i o n i n d e t e r m i n i n g h o w t o c l a s s i f y h y b r i d m o d e s a c c o r d i n g t o t h e r e l a t i v e a x i a l fi e l d s t r e n g t h s o f t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s . T h e y d e t e m r i n e w h e t h e r a h y b r i d m o d e i s T E - l i k e o r T M - l i k e b y c o m p a r i n g t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e r a t i o o f E Z t o H 2 ( s u p p r e s s i n g t h e o - d e p e n d e n c e ) w i t h t h e w a v e i m p e d a n c e o f a p l a n e w a v e t r a v e l i n g a t t h e s a m e p h a s e v e l o c i t y . T h i s m e a n s o f m o d e c l a s s i fi c a t i o n h a s p h y s i c a l i n t u i t i v e a p p e a l a n d p r o v i d e s a n o b j e c t i v e r e f e r e n c e f o r d e t e r m i n i n g t h e m e a n i n g o f t h e r a t i o o f E 2 t o H z . T h e m e r i t s o f B r u n o a n d B r i d g e s ’ s m o d e c l a s s i fi c a t i o n s a r e d i s c u s s e d f u r t h e r i n C h a p t e r 7 . 2 . 2 . 2 C o a x i a l l y — L o a d e d W a v e g u i d e s f o r P a r t i c l e A c c e l e r a t i o n a n d M i c r o w a v e C i r c u i t C o m p o n e n t s M o r e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e r e s e a r c h p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e s t u d i e s o f t h e s h i e l d e d d i e l e c t r i c o r c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . T h e fi r s t s t u d y i n A m e r i c a o f t h e fi e l d s i n a c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e w a s r e p o r t e d i n 1 9 4 4 b y L . P i n c h e r l e i n w h i c h h e d e m o n s t r a t e s t h e m e t h o d f o r o b t a i n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r ¢ ~ s y m m e t r i c m o d e s a n d h o w t o s o l v e t h e m g r a p h i c a l l y . “ O t h e r i n v e s t i g a t i o n s o f d — s y m m e t r i c T M O I m o d e s w e r e r e p o r t e d i n 1 9 4 7 b y S . F r a n k e l a n d b y G . G . B r u c k 3 W i l l i a m M . B r u n o a n d W i l l i a m B . B r i d g e s , “ F l e x i b l e D i e l e c t r i c W a v e g u i d e s w i t h P o w d e r C o r e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e I h r y . T e c h . 3 6 ( 5 ) ( M a y 1 9 8 8 ) : 8 8 2 - 9 0 . 4 L . P i n c h e r l e , “ E l e c t r o m a g n e t i c W a v e s i n M e t a l T u b e s F i l l e d L o n g i t u d i n a l l y w i t h T w o D i e l e c t r i c s , ” P h y s . R e v . 2 : 6 6 ( 5 , 6 ) ( S e p t e m b e r 1 a n d 1 5 , 1 9 4 4 ) : 1 1 8 - 3 0 . B e a m a n d W a c h o w s k i r e f e r t o a s i m i l a r p u b l i c a t i o n i n G e r m a n y t h e p r e v i o u s y e a r b y V o n H e r b e r t B u c h o l z , “ D e r H o h l l e i t e r v o n k r e i s f o r m i g e n Q u e r s c h n i t t m i t G e s c h i c h t e t e m D i e l e k t r i s c h e n E i n s a t z , ” A n n a l e n d e r P h y s i k ( L e i p z i g ) 4 3 ( 1 9 4 3 ) : 3 1 3 - 6 8 , f r o m w h i c h w e m a y i n f e r t h a t t h e N a z i s w e r e t h e fi r s t t o l o o k i n t o t h i s q u e s t i o n . D u e t o t h e w a r , h o w e v e r , i t i s c e r t a i n t h a t P i n c h e r l e ’ s w o r k w a s d o n e i n d e p e n d e n t l y . 1 2 a n d E . R . W i c h e r i n t h e s a m e i s s u e o f t h e J o u r n a l o f A p p l i e d P h y s i c s . 5 T h e i r i n t e r e s t s i n t h e c o a x i a l l y — l o a d e d w a v e g u i d e g e o m e t r y s t e m m e d f r o m a d e s i r e t o u s e t h e T M o r w a v e g u i d e m o d e f o r p a r t i c l e a c c e l e r a t i o n . F o r o p t i m a l p a r t i c l e a c c e l e r a t i o n i t i s d e s i r a b l e t h a t t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e fi e l d s b e n e a r t h e v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e s . T h i s h a d b e e n a c c o m p l i s h e d i n t h e p a s t b y c a r v i n g s p i r a l g r o o v e s o r i n s e r t i n g fi n s i n t h e w a v e g u i d e w a l l s . T h e o b j e c t o f t h e i r i n v e s t i g a t i o n s w a s t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e p h a s e v e l o c i t y m i g h t b e r e d u c e d b e l o w t h e s p e e d o f l i g h t i n a c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e b y l i n i n g t h e w a v e g u i d e w a l l s w i t h a h i g h p e r m i t t i v i t y d i e l e c t r i c . I n 1 9 4 9 c o m p l e t e s o l u t i o n s f o r t h e c o a x i a l l y — l o a d e d w a v e g u i d e , i n c l u d i n g t h e n o n - d - s y m m e t r i c h y b r i d m o d e s , w e r e p r e s e n t e d b y T e a s d a l e a n d H i g g i n s . 6 M o r e r e s u l t s w e r e p u b l i s h e d i n 1 9 5 1 b y R . E . B e a m a n d H . M . W a c h o w s k i i n w h i c h t h e l a b e l s H E a n d E H a r e a p p l i e d f o r t h e fi r s t t i m e t o t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e h y b r i d m o d e s . 7 T h e s e l a b e l s w e r e i m p o r t e d f r o m t h e d i e l e c t r i c w a v e g u i d e w h i c h B e a m a l s o s t u d i e d . 8 O t h e r s c o n t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e 1 9 5 0 ’ s t o t h e e x p a n d i n g fi e l d o f k n o w l e d g e o f t h e p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . T h e m o t i v a t i o n f o r t h i s r e s e a r c h h a d m o v e d b e y o n d p a r t i c l e a c c e l e r a t i o n t o b u i l d i n g m i c r o w a v e c i r c u i t c o m p o n e n t s l i k e i m p e d a n c e t r a n s f o r m e r s , m a t c h i n g d e v i c e s , p h a s e s h i f t e r s , a n d a n t e n n a f e e d s . I n 1 9 5 9 , P . J . B . C l a n i c o a t s p u b l i s h e d t h e fi r s t i n a s e r i e s o f s t u d i e s h e c a r r i e d o u t o v e r t h e n e x t s e v e r a l y e a r s o n c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s . H i s c o m p r e h e n s i v e s u r v e y o f d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s , b o t h s h i e l d e d a n d u n - s h i e l d e d , 5 s . F r a n k e l , “ T M O I M o d e i n C i r c u l a r W a v e G u i d e s w i t h T w o C o a x i a l D i e l e c t r i c s , ” 1 . A p p . P h y s . 1 8 ( 1 9 4 7 ) : 6 5 0 - 5 5 ; G . G . B r u c k a n d E . R . W i c h e r , “ S l o w T r a n s v e r s e W a v e s i n C y l i n d r i c a l G u i d e s , ” J . A p p . P h y s . 1 8 ( 1 9 4 7 ) : 7 6 6 - 7 0 . 6 R . D . T e a s d a l e a n d T . J . H i g g i n s , “ E l e c t r o m a g n e t i c W a v e s i n C i r c u l a r W a v e g u i d e s C o n t a i n i n g T w o C o a x i a l M e d i a , ” P r o c . N a t . E l e c . C o n f l 5 ( 1 9 4 9 ) : 4 2 7 - 4 1 . 7 R . E . B e a m a n d H . M . W a c h o w s k i , “ S h i e l d e d D i e l e c t r i c R o d W a v e g u i d e s , ” T r a n s . A m e r . I n s t . E l e c . E n g . 7 0 ( 1 9 5 1 ) : 8 7 4 - 8 0 . ‘ 1 1 . E . B e a m , M . M . m m , W . c . J a k e s , H . M . W a c h o w s k i , a n d w . L . F i r e s t o n e , “ D i e l e c t r i c T u b e W a v e g u i d e s , ” R e p o r t A T I 9 4 9 2 9 , C h . V , N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y , E v a n s t o n , I L ( 1 9 4 9 ) , c i t e d i n S n i t z e r a n d i n B r u n o a n d B r i d g e s . 1 3 c o v e r e d 1 7 p a g e s i n t h e P r o c e e d i n g s o f t h e I n s t i t u t i o n o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r s i n 1 9 6 0 . 9 I n t h i s P r o c e e d i n g s h e d e m o n s t r a t e s t h a t p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s f o r t h e s h i e l d e d a n d u n - s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e a r e s i m i l a r w h e n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s s u f fi c i e n t l y h i g h a n d t h e r a d i u s o f t h e d i e l e c t r i c i s s u f fi c i e n t l y l e s s t h a n t h e r a d i u s o f t h e s h i e l d . H e a l s o d i s c u s s e s a p p l i c a t i o n s o f t h e t h e o r y t o f e r r i t e m a t e r i a l s . I f C l a r r i c o a t s i s a f a i r r e p r e s e n t a t i v e , t h e B r i t i s h e n g i n e e r s d o n o t s e e m t o h a v e t a k e n u p B e a m ’ s I - I E - E I - I h y b r i d m o d e n a m i n g s c h e m e . A b o u t t h e s a m e t i m e C l a r r i c o a t s w a s i n v e s t i g a t i n g t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , R . F . H a r r i n g t o n ’ s T i m e - H a r m o n i c E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s w a s p u b l i s h e d i n w h i c h h e p r e s e n t s a g e n e r a l i z e d s o l u t i o n t h a t c a n b e a d a p t e d t o t h e d i e l e c t r i c w a v e g u i d e , t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , t h e c o a t e d c y l i n d r i c a l c o n d u c t o r , o r a c o r r u g a t e d c y l i n d r i c a l c o n d u c t o r . 1 0 H a r r i n g t o n ’ s s o l u t i o n a l s o a p p l i e s t o t h e c o a x i a l w a v e g u i d e , i . e . , a c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e w i t h a c y l i n d r i c a l c o n d u c t i n g r o d a l o n g t h e a x i s . T h e s i m p l i c i t y . o f H a r r i n g t o n ’ s n o t a t i o n a n d p r o c e d u r e m a k e s h i s a n a l y s i s t h e e a s i e s t t o f o l l o w . B e i n g a t e x t b o o k , h o w e v e r , f e w n u m e r i c a l r e s u l t s f r o m t h e e q u a t i o n s a r e p r o v i d e d . T h e a n a l y s i s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e f o u n d i n C h a p t e r 3 o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s a n e x t e n s i o n o f H a r r i n g t o n ’ s f o r m u l a t i o n . 2 . 2 . 3 B a c k w a r d a n d C o m p l e x m o d e s i n L o s s l e s s C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e s A m o n g t h e m o r e i n t e r e s t i n g t o p i c s C l a n i c o a t s a d d r e s s e d i n h i s s e r i e s o f s t u d i e s w a s t h e e x i s t e n c e o f c o m p l e x a n d b a c k w a r d m o d e s i n t h e l o s s l e s s c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . 1 1 I n p a r t i c u l a r , h i s p a p e r W i t h B . C . T a y l o r o n “ e v a n e s c e n t a n d p r o p a g a t i n g m o d e s ” d i s c u s s e s c o m p l e x m o d e b e h a v i o r i n a c o a x i a l l y - l o a d e d 9 ? . J . B . C l a r r i c o a t s , “ P r o p a g a t i o n A l o n g U n b o u n d e d a n d B o u n d e d D i e l e c t r i c R o d s — p t s . l a n d 2 , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . , 1 0 8 ( 3 ) , p t . C ( M a r c h 1 9 6 1 ) : 1 7 0 - 8 6 . l o R o g e r F . H a r r i n g t o n , T i m e - H a r m o n i c E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s ( N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 1 ) , 2 1 9 - 2 3 . “ P . J . B . C l a r r i c o a t s , “ C i r c u l a r - W a v e g u i d e B a c k w a r d - W a v e S t r u c t u r e s , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 1 0 ( 2 ) ( F e b . 1 9 6 3 ) : 2 6 1 - 7 0 ; P . J . B . C l a r r i c o a t s a n d K . R . S l i n n , “ E x p e r i m e n t a l O b s e r v a t i o n o f T r a v e l l i n g B a c k w a r d W a v e s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d C i r c u l a r W a v e g u i d e , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 1 1 ( 6 ) ( J u n e 1 9 6 4 ) : 1 0 9 0 - 9 2 ; P . J . B . C l a r r i c o a t s a n d B . C . T a y l o r , “ E v a n e s c e n t a n d P r o p a g a t i n g M o d e s o f D i e l e c t r i c - L o a d e d C i r c u l a r W a v e g u i d e , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 1 1 ( 1 2 ) ( D e c . 1 9 6 4 ) : 1 9 5 1 - 5 6 . l 4 w a v e g u i d e f o r t h e fi r s t t i m e . T h e a u t h o r s d e m o n s t r a t e t h a t t h e a p p e a r a n c e o f a b a c k w a r d p r o p a g a t i n g m o d e i s a s s o c i a t e d w i t h t h e a p p e a r a n c e a t a l o w e r f r e q u e n c y o f a c o m p l e x m o d e , b u t c o m p l e x m o d e s d o n o t n e c e s s a r i l y g i v e r i s e t o h i g h e r f r e q u e n c y b a c k w a r d m o d e s . T h e m e t h o d u s e d t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f t h e c o m p l e x m o d e s i s i n s t r u c t i v e . C l a r r i c o a t s a n d T a y l o r e x p a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a t t h e e d g e s o f b a n d s w h e r e p u r e l y r e a l o r p u r e l y i m a g i n a r y p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s c e a s e t o e x i s t . T h e e x p a n d e d c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s u s e d t o s h o w t h a t a n i n c r e m e n t a l c h a n g e i n t o e a n n o t p r o d u c e a p u r e l y r e a l o r p u r e l y i m a g i n a r y 7 s o l u t i o n , b u t a c o m p l e x 7 w i l l s o l v e t h e e q u a t i o n . . A n a b s t r a c t s t u d y o f c o m p l e x a n d b a c k w a r d m o d e s w a s p u b l i s h e d b y A . S . O m a r a n d K . F . S c h fi n e m a n n i n 1 9 8 7 i n w h i c h a r i g o r o u s p r o o f w a s p r e s e n t e d o f t h e e x i s t e n c e o f c o m p l e x a n d b a c k w a r d m o d e s i n i n h o m o g e n e o u s l y a n d a n i s o t r o p i c a l l y fi l l e d w a v e g u i d e s o f g e n e r a l c r o s s s e c t i o n . 1 2 T h e i r p a p e r a l s o i n c l u d e s a d i s c u s s i o n o f p o w e r o r t h o g o n a l i t y b e t w e e n t h e m o d e s , s h o w i n g t h a t t h e e l e c t r i c fi e l d o f o n e c o m p l e x m o d e c o u p l e s t o t h e m a g n e t i c fi e l d o f a n o t h e r i n s t e a d o f t o i t s o w n m a g n e t i c fi e l d . T h u s , t h e c o m p l e x m o d e s m u s t e x i s t i n c o u p l e d p a i r s . T h e e f f e c t o f t h e s e m o d e s o n c a v i t y r e s o n a n c e s w a s l a t e r d e m o n s t r a t e d b y C h e n a n d Z a k i . T h e y l o c a t e d a r e s o n a n c e i n t h e i r c a v i t y c o n t a i n i n g a l o s s l e s s d i e l e c t r i c r o d t h a t c o u l d n o t b e e x p l a i n e d w i t h o u t c o n s i d e r i n g c o m p l e x m o d e s . 1 3 2 . 2 . 4 M i c r o w a v e P l a s m a D i a g n o s i s a n d E x c i t a t i o n E v e n a s p a r t i c l e a c c e l e r a t i o n w a s a n e a r l y m o t i v a t i o n f o r r e s e a r c h i n g t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , f o l l o w e d l a t e r b y a p p l i c a t i o n s i n m i c r o w a v e c i r c u i t r y , i n t h e 1 9 6 0 ’ s m i c r o w a v e p l a s m a a p p l i c a t i o n s b e c a m e y e t a n o t h e r r e a s o n t o s t u d y t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . Q u a s i s t a t i c s o l u t i o n s f o r c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s w e r e p r e s e n t e d b y T r i v e l p i e c e i n 1 9 5 8 a n d T r i v e l p i e c e a n d G o u l d i n 1 9 5 9 i n 1 2 A i r b u s s . O m a r a n d K l a u s F . S c h i i n e m a n n , “ C o m p l e x a n d B a c k w a r d W a v e M o d e s i n l n h o m o g e n e o u s l y a n d A n i s o t r O p i c a l l y F i l l e d W a v e g u i d e s , ” E E E F a n s . M i c r o w a v e 7 h r y . T e d l . M I T - 3 5 ( 3 ) ( M a r c h 1 9 8 7 ) : 2 6 8 - 7 5 . 1 3 C h u n m i n g C h e n a n d K a w t h a r A . Z a k i , “ R e s o n a n t F r e q u e n c i e s o f D i e l e c t r i c R e s o n a t o r s C o n t a i n - i n g G u i d e d C o m p l e x M o d e s , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . 3 6 ( 1 0 ) ( O c t . 1 9 8 8 ) : 1 4 5 5 - 5 7 . 1 5 w h i c h t h e y p r e s e n t t h e d i s c o v e r y o f s p a c e c h a r g e w a v e s o n s t a t i o n a r y p l a s m a c o l u m n s . 1 4 T h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n o f l o s s l e s s p l a s m a s w i t h t i t - s y m m e t r i c c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s w a s p r e s e n t e d i n 1 9 6 0 b y B u c h s b a u m , M o w e r , a n d B r o w n . 1 5 T h e y f o u n d e x a c t e x p r e s s i o n s f o r a l o s s l e s s c o l d p l a s m a c o l u m n - i n T M O m O a n d T E O M m o d e s , a n d d e v e l o p e d p e r t u r b a t i o n f o r m u l a s f o r s e v e r a l o t h e r m o d e s . A n a x i a l m a g n e t i c fi e l d w a s s h o w n n o t t o a f f e c t t h e c a l c u l a t i o n s f o r t h e T M o m o m o d e a n d c o u l d b e a c c o u n t e d f o r b y p e r t u r b a t i o n f o r T E O M m o d e s . T h i s w o r k w a s f o l l o w e d u p b y A g d u r a n d E n a n d e r t h e n e x t y e a r w i t h a n e x a c t s o l u t i o n t h a t i n c l u d e d t h e n o n - o - s y m m e t l i c m o d e s , a l t h o u g h w i t h o u t c o n s i d e r i n g t h e a n i s o t r o p i c a l b e h a v i o r i n d u c e d b y a n a x i a l s t a t i c B - fi e l d . “ 5 I n a d d i t i o n t o t h e o - s y m m e t r i c m o d e s , A g d u r a n d E n a n d e r i d e n t i fi e d t h e l e n g t h - i n d e p e n d e n t T M a n m o d e s a s n o n - h y b r i d . T h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e p l a s m a w e r e d e t e r m i n e d u s i n g t h e c o l d p l a s m a a p p r o x i m a t i o n , a n d l o s s e s w e r e c o n s i d e r e d o n l y a s a p e r t u r b a t i o n t o t h e l o s s l e s s s o l u t i o n . T h e y p r e s e n t s e v e r a l c h a r t s o f r e s o n a n t f r e q u e n c y v e r s u s p l a s m a d e n s i t y a n d p l a s m a f r e q u e n c y f o r a n u m b e r o f d i f f e r e n t m o d e s . T h e s e a r e e q u i v a l e n t t o m o d e c h a r t s f o r r e s o n a n t f r e q u e n c y v e r s u s d i e l e c t r i c c o n s t a n t . T w o i n t e r e s t i n g f e a t u r e s o f t h e i n v e s t i g a t i o n o f A g d u r a n d E n a n d e r w e r e t h e i n c l u s i o n o f r a d i a l v a r i a t i o n i n t h e p l a s m a f o r s o m e o f t h e o - s y m m e t r i c m o d e s a n d t h e d i s c o v e r y o f T M - l i k e m o d e s t h a t h a d n o c o r r e s p o n d i n g e m p t y c a v i t y r e l a t i v e s . T h e s e m o d e s w e r e l a b e l e d T M n ' " 0 p b e c a u s e t h e m o d e f o r t h e n = 0 c a s e i s r e l a t e d t o t h e c o a x i a l c a v i t y T E M m o d e . ’ r A s t h e p l a s m a d e n s i t y b e c o m e s s m a l l , t h e r e s o n a n t 1 4 A . W . T r i v e l p i e c e , “ S l o w W a v e P r o p a g a t i o n i n P l a s m a W a v e g u i d e s , ” ( P h . D . d i s s . , C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , 1 9 5 8 ) ; A . W . T r i v e l p i e c e a n d R . W . G o u l d , “ S p a c e C h a r g e W a v e s i n C y l i n d r i c a l P l a s m a C o l u m n s , ” J . A p p . P h y . 3 0 ( 1 1 ) ( N o v . 1 9 5 9 ) : 1 7 8 4 - 9 3 . 1 ’ 8 . J . B u c h s b a u m , L . M o w e r , a n d S . C . B r o w n , “ I n t e r a c t i o n B e t w e e n C o l d P l a s m a s a n d G u i d e d E l e c t r o m a g n e t i c W a v e s , ” P h y s . F l u i d s 3 ( 5 ) ( S e p t - O c t . 1 9 6 0 ) : 8 0 6 - 8 1 9 . 1 6 B . A g d u r a n d B . E n a n d e r , “ R e s o n a n c e s o f a M i c r o w a v e C a v i t y P a r t i a l l y F i l l e d w i t h a P l a s m a ” 1 . A p p . P h y . 3 3 ( 2 ) ( F e b . 1 9 6 2 ) : 5 7 5 - 8 1 . 1 T r i v e l p i e c e a n d G o u l d h a d e a r l i e r s h o w n t h e e x i s t e n c e o f t h e s e m o d e s f o r t h e W e c a s e . 1 6 f r e q u e n c i e s f o r t h e T M : 0 ? m o d e s g o t o z e r o . A g d u r a n d E n a n d e r , f o l l o w e d b y o t h e r s t r e a t i n g p l a s m a s i n c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t i e s , u s e t h e a s t e r i s k ( * ) s u p e r s c r i p t t o i d e n t i f y h y b r i d m o d e s . L o s s e s w e r e fi r s t r i g o r o u s l y i n c l u d e d i n t h e p l a s m a m o d e l o f A g d u r a n d E n a n d e r t h r e e y e a r s l a t e r b y S h o h e t a n d M o s k o w i t z . 1 7 A s p o i n t e d o u t e a r l i e r b y A g d u r a n d E n a n d e r , l o s s e s i n t h e p l a s m a o c c u r d u e t o c o l l i s i o n s . I n t h e m o d e l s o f b o t h A g d u r a n d E n a n d e r a n d S h o h e t a n d M o s k o w i t z e l e c t r o n c o l l i s i o n s a r e t h e c h i e f s o u r c e o f l o s s e s . T h e y e n t e r t h e m o d e l b y i n c l u d i n g a n o n - z e r o e l e c t r o n c o l l i s i o n f r e q u e n c y i n t h e e q u i v a l e n t d i e l e c t r i c c o n s t a n t e x p r e s s i o n . I t i s s i g n i fi c a n t t h a t S h o h e t a n d M o s k o w i t z a r e t h e fi r s t , i n t r e a t i n g e i t h e r p l a s m a s o r d i e l e c t r i c s , t o i n c l u d e l o s s e s r i g o r o u s l y i n t h e i r n u m e r i c a l a n a l y s i s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y . P r e s u m a b l y , t h i s i s c o n n e c t e d w i t h t h e a v a i l a b i l i t y o f n u m e r i c a l m e t h o d s o f e v a l u a t i n g B e s s e l f u n c t i o n s w i t h c o m p l e x a r g u m e n t s . S h o h e t a n d M o s k o w i t z s h o w h o w t h e b e h a v i o r o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y v e r s u s p l a s m a f r e q u e n c y c a n c h a n g e r a d i c a l l y n e a r c r i t i c a l v a l u e s o f l o s s i n t h e p l a s m a . T h e s a m e s o r t o f b e h a v i o r i s o b s e r v e d b y L i n i n t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y v e r s u s d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r a c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y l o a d e d w i t h a l o s s y d i e l e c t r i c r o d . 1 8 U n d e r l o s s l e s s c o n d i t i o n s , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f a d i e l e c t r i c - l o a d e d c a v i t y w i l l d r o p w i t h i n c r e a s i n g d i e l e c t r i c c o n s t a n t o r m a t e r i a l s i z e ( f o r a p l a s m a t h e o p p o s i t e o c c u r s s i n c e t h e e f f e c t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s n e g a t i v e ) . W h e n l o s s e s a r e p r e s e n t , a s S h o h e t a n d M o s k o w i t z s h o w , a n i n c r e a s e i n t h e e f f e c t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t c a n c a u s e a d r o p i n r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r a p l a s m a l o a d , o r a s L i n s h o w s , a r i s e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r a d i e l e c t r i c l o a d . F o l l o w i n g t h e w o r k o f A g d u r a n d E n a n d e r a n d S h o h e t a n d M o s k o w i t z , s e v e r a l i n v e s t i g a t i o n s o f p l a s m a s e x c i t e d a l o n g t h e a x i s o f c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s w e r e c a r r i e d o u t a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . I n 1 9 7 1 F r e d e r i c k s e x a m i n e d p l a s m a c o l u m n s u s i n g b o t h t h e d i e l e c t r i c w a v e g u i d e a n d c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e l s . ” J . L . S h o h e t a n d C . M o s k o w i t z , “ E i g e n v a l u e s o f a M i c r o w a v e - C a v i t y - L o s s y - P l a s m a S y s t e m , ” J . A p p . P h y . 3 6 ( 5 ) ( M a y 1 9 6 5 ) : 1 7 5 5 - 5 9 . m t i n , 1 9 2 , 1 9 5 . 1 7 T h e p l a s m a w a s m o d e l e d a s l o s s l e s s , h o m o g e n e o u s , a n d i s o t r o p i c w i t h t h e e q u i v a l e n t d i e l e c t r i c c o n s t a n t b e i n g c a l c u l a t e d f o r b o t h t h e c o l d p l a s m a a n d w a r m p l a s m a a p p r o x i m a t i o n s . T h e w a r m p l a s m a s u p p o r t s T o n k s - D a t t n e r m o d e s w h i c h d i s a p p e a r i n t h e a b s e n c e o f t h e p l a s m a . T h e y a r e h e a v i l y d a m p e d f o r a p p r e c i a b l e c o l l i s i o n f r e q u e n c i e s a n d e x i s t o n l y f o r l o w p r e s s u r e s . H y b r i d m o d e s w e r e i n c l u d e d i n t h e a n a l y s i s . 1 9 A s m u s s e n , M a l l a v a r p u , H a m a n n , a n d P a r k l a t e r u s e d s i m i l a r m o d e l s , b u t w i t h l o s s e s , a s p a r t o f t h e d e s i g n p r o c e s s i n c o n s t r u c t i n g m i c r o w a v e p l a s m a a p p l i c a t o r s . 2 0 S i n c e t h e p l a s m a w a s c o n t a i n e d i n a q u a r t z t u b e i n t h e c a v i t y , i t w a s d e s i r a b l e t o i n c l u d e t h e t u b e i n t h e m o d e l t o o b t a i n m o r e a c c u r a t e r e s u l t s . A c c o r d i n g l y , a t h r e e r e g i o n m o d e l o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n , i n c l u d i n g h y b r i d m o d e s a n d l o s s e s i n t h e p l a s m a , w a s d e v e l o p e d b y M a l l a v a r p u i n 1 9 7 6 . 2 1 M a l l a v a r p u n o t i c e d i n h i s t h r e e r e g i o n m o d e l t h e s a m e k i n d o f T M n ' B p m o d e s f o u n d b y A g d u r a n d E n a n d e r i n t h e i r t w o r e g i o n m o d e l . A f o u r t h r e g i o n w a s a d d e d l a t e r b y R o g e r s b e c a u s e t h e p l a s m a d i d n o t c o m p l e t e l y fi l l t h e t u b e i n w h i c h i t w a s c o n t a i n e d . R o g e r s s t i l l i n c l u d e d l o s s e s i n h i s m o d e l , b u t d u e t o t h e c o m p l i c a t e d n a t u r e o f t h e f o u r - r e g i o n b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , a n d a n e x p e r i m e n t a l i n t e r e s t i n t h e T M O 1 2 m o d e , o n l y o - s y m m e t r i c s o l u t i o n s w e r e s o u g h t . 2 2 R o g e r s ’ s s o l u t i o n c o n t i n u e s t o b e u s e d f o r d i a g n o s i s o f t u b e - c o n t a i n e d p l a s m a c o l u m n s i n c y l i n d r i c a l c a v i t i e s . 2 3 ” R o b e r t M i c h a e l F r e d e r i c k s , “ A n E x p e r i m e n t a l a n d T h e o r e t i c a l S t u d y o f R e s o n a n t l y S u s t a i n e d P l a s m a i n M i c r o w a v e C a v i t i e s ” ( P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 7 1 ) . 2 0 J e s A s m u s s e n , J r . , R a g h u v e e r M a l l a v a r p u , J o h n R . H a m a n n , a n d H e e C h u n g P a r k , “ T h e D e s i g n o f a M i c r o w a v e P l a s m a C a v i t y , ” P r o c . E E E 6 2 ( 1 ) ( J a n . 1 9 7 4 ) : 1 0 9 - 1 1 7 . 2 1 R a g h u v e e r M a l l a v a r p u , “ A n I n v e s t i g a t i o n o f t h e E l e c t r o m a g n e t i c B e h a v i o r o f a M i c r o w a v e P l a s m a S o u r c e O v e r a W i d e R a n g e o f P r e s s u r e s a n d F l o w R a t e s ” ( P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 7 6 ) ; R . M a l l a v a r p u , J . A s m u s s e n , a n d M . C . H a w l e y , “ B e h a v i o r o f a M i c r o w a v e C a v i t y D i s c h a r g e O v e r a W i d e R a n g e o f P r e s s u r e s a n d F l o w R a t e s , ” E E E D a n s . P l a s m a S c i . P S - 6 ( 4 ) ( D e c . 1 9 7 8 ) : 3 4 1 - 5 4 . 2 2 J a m e s R . R o g e r s , “ P r o p e r t i e s o f S t e a d y S t a t e , H i g h P r e s s u r e , A r g o n M i c r o w a v e D i s c h a r g e s ” ( P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 2 ) . 2 3 M . L . P a s s o w , M . L . B r a k e , P . L e p e z , W . B . M c C o l l , a n d T . E . R e p e t t i , “ M i c r o w a v e R e s o n a n t - C a v i t y - P r o d u e e d A i r D i s c h a r g e s , ” E E E T r a n s . P l a s m a S c i . P S - l 9 ( 2 ) ( A p r i l 1 9 9 1 ) : 2 1 9 - 2 8 . 1 8 M o d e l s b a s e d o n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y c o n fi g u r a t i o n c o n t i n u e t o b e u s e d t o c h a r a c t e r i z e p l a s m a d i s c h a r g e s . S i n c e m o s t p l a s m a s a r e n o t h o m o g e n e o u s , t h e i n h o m o g e n e i t y m u s t b e c o n s i d e r e d i n o r d e r t o g a i n a n a c c u r a t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e p l a s m a / c a v i t y i n t e r a c t i o n . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e f o r h i g h - p r e s s u r e p l a s m a d i s c h a r g e s . T h e p r o b l e m i s a n e s p e c i a l l y d i f fi c u l t o n e , h o w e v e r , b e c a u s e t h e i n h o m o g e n e i t y o f t h e p l a s m a i s c o u p l e d t o t h e fi e l d s . T o s i m p l i f y t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e s e p h e n o m e n a , O f f e r m a n n s e x a m i n e d a h i g h - p r e s s u r e m e r c u r y p l a s m a c o l u m n i n t h e T M O m O m o d e , w h i c h m a y b e c o n s i d e r e d t o h a v e a o n e - d i m e n s i o n a l fi e l d c o n fi g u r a t i o n . 2 4 . O f f e r m a n s ’ s p l a s m a w a s c o n s i d e r e d t o b e l o n g i t u d i n a l l y h o m o g e n e o u s w i t h i n h o m o g e n e i t y o n l y i n t h e r a d i a l v a r i a b l e . T h e i n h o m o g e n e i t y w a s i n c o r p o r a t e d i n t o t h e m o d e l b y s o l v i n g M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s f o r t h e T M O m O m o d e t o g e t h e r w i t h t h e p l a s m a e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n . T h e s e e q u a t i o n s a r e l i n k e d b e c a u s e t h e J o u l e a n h e a t i n g t e r m i n t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n d e p e n d s o n t h e l o c a l e l e c t r i c fi e l d . T h e t e m p e r a t u r e f r o m t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n , i n t u r n , a f f e c t s t h e l o c a l p e r m i t t i v i t y , e , i n t h e fi e l d e q u a t i o n s . T h i s i s b e c a u s e t h e c o l l i s i o n f r e q u e n c y a n d t h e p l a s m a f r e q u e n c y / d e n s i t y , o n w h i c h 5 d e p e n d s , a r e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t . T h e m a g n i t u d e o f t h e n u m e r i c a l p r o b l e m m a y b e c o m p r e h e n d e d b y n o t i n g t h a t i t t o o k b e t w e e n 8 a n d 2 4 h o u r s o f C P U t i m e o n a n I B M 4 3 4 1 - 1 1 t o s o l v e f o r e a c h s t a t e . 2 . 2 . 5 P e r m i t t i v i t y M e a s u r e m e n t a n d M a t e r i a l s P r o c e s s i n g A p a r t f r o m p l a s m a a p p l i c a t i o n s , w h e r e i t w a s n e c e s s a r y t o i n c l u d e l o s s e s t o u n d e r s t a n d m o r e a c c u r a t e l y t h e b e h a v i o r o f t h e p l a s m a a s i t r e l a t e d t o s y s t e m e i g e n v a l u e s , m o s t a n a l y s e s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e a n d c a v i t y h a v e b e e n m o t i v a t e d b y l o s s l e s s o r a l m o s t l o s s l e s s a p p l i c a t i o n s . T w o m o r e a p p l i c a t i o n s o f t h e t e c h n o l o g y , d e v e l o p e d i n t h e 1 9 5 0 ’ s a n d 6 0 ’ s , d e m a n d e d t h a t l o s s e s b e e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n t h e o r e t i c a l m o d e l s : t h e fi r s t n e w a p p l i c a t i o n w a s m a t e r i a l s p r o c e s s i n g , t h e 2 4 S t e p h a n O f f e r m a n n s , “ E l e c t r o d e l e s s H i g h - P r e s s u r e M i c r o w a v e D i s c h a r g e s , ” J . A p p . P h y . 6 7 ( 1 ) ( J a n u a r y 1 9 9 0 ) : 1 1 5 - 2 3 ; S t e p h a n O f f e r m a n n s , “ R e s o n a n c e C h a r a c t e r i s t i c s o f a C a v i t y — O p e r a t e d E l e c t r o d e l e s s H i g h - P r e s s u r e M i c r o w a v e D i s c h a r g e S y s t e m , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . 3 8 ( 7 ) ( J u l y 1 9 9 0 ) : 9 0 4 - 1 1 . 1 9 s e c o n d w a s h i g h f r e q u e n c y c o m p l e x p e r m i t t i v i t y m e a s u r e m e n t . A c o m b i n a t i o n o f t h e t w o a p p l i c a t i o n s h a s b e e n d e s c r i b e d b y A s m u s s e n , L i n , M a n r i n g , a n d F r i t z f o r s i n g l e - m o d e c a v i t i e s u s i n g t h e s a m e m o d e b o t h t o p r o c e s s t h e l o a d m a t e r i a l a n d t o m e a s u r e m a t e r i a l p r o p e r t i e s d u r i n g p r o c e s s i n g . 2 5 B o t h m a t e r i a l s p r o c e s s i n g a p p l i c a t i o n s a n d p e r m i t t i v i t y m e a s u r e m e n t w e r e t r e a t e d i n t h e b e g i n n i n g b y p e r t u r b a t i o n t h e o r y . 2 6 T h i s m e t h o d , h o w e v e r , i s i n a d e q u a t e f o r c a v i t i e s c o n t a i n i n g l a r g e s a m p l e s a n d m a t e r i a l s w i t h h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t s o r l o s s f a c t o r s . T h i s o b s t a c l e l e d L i n t o i n v e s t i g a t e e x a c t s o l u t i o n s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e a n d c a v i t y w i t h a l o s s y d i e l e c t r i c r o d a l o n g t h e a x i s . ” _ L i n ’ s c o n t r i b u t i o n t o t h e s t u d y o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e l i e s c h i e fl y i n t h e l a r g e n u m b e r o f c a s e s h e s o l v e s f o r t h e l o s s y - l o a d . W h e n t h e l o a d i s l o s s y , a n d t h e f r e q u e n c y i s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e r e a r e s i x d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e s o l u t i o n f o r e a c h m o d e : t h e w a v e g u i d e r a d i u s , t h e l o a d r a d i u s , a n d t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t s o f b o t h t h e c o r e r e g i o n a n d t h e r e g i o n b e t w e e n t h e c o r e a n d t h e w a v e g u i d e . t a t - 7 d i a g r a m s , w h e r e 7 i s t h e c o m p l e x a x i a l w a v e n u m b e r , m a y b e d r a w n f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f e a c h d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r e a c h o f a n i n fi n i t e n u m b e r o f m o d e s . T h a t , i n c i d e n t a l l y , i s o n e o f t h e r e a s o n s t h a t t h e s u b j e c t o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e h a s n o t b e e n w r a p p e d u p i n t h e 5 0 y e a r s t h a t i t h a s b e e n s t u d i e d . I n a d d i t i o n t o r e p r o d u c i n g s o m e r e s u l t s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y t h a t o t h e r s h a d r e p o r t e d e a r l i e r , a n d a s m e n t i o n e d a b o v e o n p a g e 1 6 , L i n i n v e s t i g a t e s t h e r e l a t i v e l y u n e x p l o r e d r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a ( a b e i n g d e fi n e d b y 7 = B - j a ) a n d a t f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e w i t h a l o s s y c o r e . H e d e m o n s t r a t e s t h a t a s t h e l o s s f a c t o r o f t h e c o r e r i s e s , l o s s e s i n t h e g u i d e r i s e u n t i l a c r i t i c a l l o s s f a c t o r i s r e a c h e d , a f t e r w h i c h r i s i n g l o s s f a c t o r c a u s e s a d e c r e a s e i n p r o p a g a t i o n l o s s . T h i s i s 2 5 1 . A s m u s s e n , H . H . L i n , B . M a n r i n g , a n d R . F r i t z , “ S i n g l e - M o d e o r C o n t r o l l e d M u l t i m o d e M i c r o w a v e C a v i t y A p p l i c a t o r s f o r P r e c i s i o n M a t e r i a l s P r o c e e s i n g , ” R e v . S c i . I n s t r u m . 5 8 ( 8 ) ( A u g u s t 1 9 8 7 ) : 1 4 7 7 - 8 6 . 2 6 A r e v i e w o f t h e l i t e r a t u r e o n t h e s e a p p l i c a t i o n s i s f o u n d i n L i n a n d i n M a n r i n g . 2 " L i n . 2 0 d u e , p r e s u m a b l y , t o t h e l a r g e c o r e m a t e r i a l l o s s f a c t o r b e i n g i n d i s t i n g u i s h a b l e f r o m a h i g h e l e c t r o n c o n d u c t i v i t y . T h e e q u i v a l e n c e o f t h e t w o i s d i s c u s s e d b e l o w i n C h a p t e r 3 . A s t h e l o s s f a c t o r r i s e s , t h e s l d n d e p t h o f t h e m a t e r i a l d e c r e a s e s , f o r c i n g t h e fi e l d s o u t o f t h e m a t e r i a l a n d i n h i b i t i n g e n e r g y d i s s i p a t i o n i n t h e l o a d . A m o n g t h e m o r e i n t e r e s t i n g f e a t u r e s d e m o n s t r a t e d b y L i n ’ s p l o t s i s t h a t t h e l i g h t l i n e c r o s s i n g f o r t h e T M 0 1 m o d e i s i n d e p e n d e n t o f t h e r a t i o o f t h e c o r e d i a m e t e r t o t h e w a v e g u i d e d i a m e t e r . 2 . 2 . 6 M i s c e l l a n e o u s R e c e n t S t u d i e s . M o s t s t u d i e s o f d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s a n d c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t i e s h a v e b e e n c o n t e n t t o e x a m i n e t h e p r o p a g a t i o n w a v e n u m b e r s , a n d p r e s e n t n o d r a w i n g s o f w h a t t h e fi e l d s l o o k l i k e , S n i t z e r ’ s e a r l y p a p e r b e i n g a n e x c e p t i o n . K . A . Z a k i a n d C . C h e n r e m e d y t h i s d e fi c i e n c y b y p r e s e n t i n g d i a g r a m s o f t h e t r a n s v e r s e fi e l d p a t t e r n s o f s e v e r a l h y b r i d m o d e s i n a c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . ” T h e fi e l d s a r e s h o w n f o r a n o u t e r w a v e g u i d e r a d i u s o f 0 . 5 " w i t h a d i e l e c t r i c c o r e r a d i u s o f 0 . 3 9 4 " a t f r e q u e n c i e s o f 4 a n d 8 G H z . T h e r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e c o r e r e g i o n w a s 3 7 . 6 w i t h f r e e - s p a c e b e t w e e n t h e c o r e a n d t h e w a v e g u i d e w a l l . F i e l d c o m p o n e n t m a g n i t u d e p l o t s a r e a l s o p r e s e n t e d b y L i n . T h e s e a r e s i m i l a r t o t h o s e f o u n d b e l o w i n C h a p t e r 8 . M a n y o f t h e m o r e r e c e n t s t u d i e s o f c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s a r e c o n c e r n e d w i t h m e t a l l i c w a v e g u i d e s c o a t e d o n t h e i n s i d e w i t h o n e o r m o r e l a y e r s o f d i e l e c t r i c m a t e r i a l . S i n c e t h e o b j e c t o f t h e c o a t i n g i s o f t e n t o p r o d u c e a h i g h a t t e n u a t i o n r a t e f o r s e l e c t e d m o d e s , t h e d i e l e c t r i c s i n t h e s e s t u d i e s a r e u s u a l l y l o s s y . C h o u a n d L e e p r e s e n t a n i n v e s t i g a t i o n o f m o d a l a t t e n u a t i o n i n w a v e g u i d e s c o a t e d w i t h m u l t i p l e l a y e r s o f l o s s y d i e l e c t r i c a n d l o s s y m a g n e t i c m a t e r i a l s . 2 9 T h e y d e m o n s t r a t e t h e t e c h n i q u e o f d e a l i n g w i t h m u l t i p l e l a y e r s b y m a n i p u l a t i o n o f a s e r i e s o f 4 x 4 m a t r i c e s 2 8 K a w t h a r A . Z a k i a n d C h u n m i n g C h e n , “ I n t e n s i t y a n d D i s t r i b u t i o n o f H y b r i d - M o d e F i e l d s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d W a v e g u i d e s , ” E E E T r a m . M i c r o w a v e N a y . T e d r . M I T - 3 3 0 2 ) ( D e c . 1 9 8 5 ) : 1 4 4 2 - 4 7 . 2 ” I i i - C h o c C h o u a n d S h u n g - W u L e e , “ M o d a l A t t e n u a t i o n i n M u l t i l a y e r e d C o a t e d W a v e g u i d e s , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e 7 7 r r y . T e c h . 3 6 ( 7 ) ( J u l y 1 9 8 8 ) : 1 1 6 7 - 7 6 . 2 1 r a t h e r t h a n o n e l a r g e 4 n x 4 n m a t r i x , w h e r e n i s t h e n u m b e r o f l a y e r s o u t s i d e t h e c o r e . T h i s t e c h n i q u e i s n o t o r i g i n a l w i t h C h o u a n d L e e , b u t t h e i r a p p l i c a t i o n p r e s e n t s a g o o d e x a m p l e o f i t s u t i l i t y . T h e y s h o w t h a t m u l t i p l e l a y e r s c a n b r o a d e n t h e f r e q u e n c y r a n g e f o r m o d a l a t t e n u a t i o n c o m p a r e d t o a s i n g l e l a y e r c o a t i n g . T h e y a l s o s h o w t h a t a l o s s l e s s l a y e r o n t o p o f a l o s s y m a g n e t i c c o a t i n g i n c r e a s e s d o m i n a n t m o d e a t t e n u a t i o n b y 2 0 d B p e r d i s t a n c e a w h e r e a i s t w i c e t h e w a v e g u i d e w a v e l e n g t h . T h e p r o b l e m t r e a t e d b y C h o u a n d L e e i n t h e i r p a p e r o n m u l t i l a y e r e d c o a t e d w a v e g u i d e s i s v e r y s i m i l a r t o o n e e x a m i n e d e a r l i e r b y S p h i c o p o u l o s , B e r n i e r , a n d G a r d i o l i n s o l v i n g f o r t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y q u a l i t y f a c t o r o f a c y l i n d r i c a l c a v i t y c o a x i a l l y l o a d e d w i t h a m u l t i l a y e r e d m a t e r i a l . 3 0 T h e c o n c e n t r i c l a y e r s o f d i e l e c t r i c m a t e r i a l s e x t e n d t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e c a v i t y s o t h a t t h e a x i a l w a v e n u m b e r , 7 , i s r e a l a n d e q u a l t o % w h e r e q i s a n i n t e g e r a n d L i s t h e c a v i t y l e n g t h . A s S p h i c o p o u l o s , B e r n i e r , a n d G a r d i o l p o i n t o u t , s i n c e 4 m a y b e s e t t o z e r o , m a k i n g 7 z e r o , n o n - q S - s y m m e t r i c , l e n g t h - i n d e p e n d e n t T a n o m o d e s e x i s t . N o r m a l l y n o n - d z - s y m m e t r i c m o d e s a r e n e i t h e r T M n o r T E , b u t a r e h y b r i d . W h e n t h e r e a r e o n l y t w o l a y e r s , t h e c a v i t y o f S p h i c o p o u l o s , B e r n i e r , a n d G a r d i o l i s t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y o f F i g u r e 1 - 3 o f C h a p t e r 1 . S p h i c 0 p o u l o s , B e r n i e r , a n d G a r d i o l u s e t h e 4 x 4 m a t r i x m a n i p u l a t i o n t e c h n i q u e , u s e d l a t e r b y C h o u a n d L e e , i n s t e a d o f t h e 4 n x 4 n m a t r i x a r i s i n g w h e n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e m a t c h e d a t t h e n b o u n d a r i e s b e t w e e n l a y e r s . T h e y a l s o i n c l u d e l o s s e s i n t h e m e t a l w a l l s o f t h e c a v i t y . S i n c e l o s s e s a r e a l l o w e d i n t h e d i e l e c t r i c s , t h e w a l l l o s s e s c o u l d c o n c e i v a b l y b e t a k e n c a r e o f b y m a k i n g t h e l o s s f a c t o r o f t h e o u t e r m o s t l a y e r v e r y h i g h , b u t t h e e x p l i c i t i n c l u s i o n o f w a l l c o n d u c t i v i t y i n t h e e q u a t i o n s i s e l e g a n t l y i n c o r p o r a t e d a n d a l l o w s d i r e c t i n p u t o f t h e w a l l c o n d u c t i v i t y i n t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . T o a l l o w l o s s e s i n t h e c a v i t y , t h e n a t u r a l f r e q u e n c y m u s t b e c o m p l e x . S p h i c o p o u l o s , B e r n i e r , a n d G a r d i o l d e fi n e t h e r e s o n a n t 3 0 r . S p h i c o p o u l o s , L . G . B e r n i e r , a n d F . G a r d i o l , “ T h e o r e t i c a l B a s i s f o r t h e D e s i g n o f t h e R a d i a l l y S t r a t i fi e d D i e l e c t r i c - L o a d e d C a v i t i e s U s e d i n M i n i a t u r i s e d A t o m i c F r e q u e n c y S t a n d a r d s , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 3 1 ( 2 ) , p t . H ( A p r i l 1 9 8 4 ) : 9 4 - 9 8 . 2 2 f r e q u e n c y a s t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y a n d t h e c a v i t y q u a l i t y f a c t o r , Q , t h e y d e fi n e a s Q = ‘ ° 0 4 ) w h e r e w ’ i s t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x r a d i a n f r e q u e n c y , £ 5 , a n d w " i s t h e i m a g i n a r y p a r t , i . e . , 6 : = w ’ + j w " . T h e i r d i s c u s s i o n d o e s n o t a t t e m p t t o j u s t i f y t h e a s s e r t e d s i g n i fi e a n c e o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y . I n C h a p t e r 6 o f t h i s d i s s e r t a t i o n t h o s e q u e s t i o n s a r e a d d r e s s e d a n d r e s o l v e d i n a g r e e m e n t w i t h S p h i c o p o u l o s , B e r n i e r , a n d G a r d i o l . A l a s t n o t e o n t h i s p a p e r i s t h a t i t c o n t a i n s s e v e r a l p l o t s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e fi e l d c o m p o n e n t s v e r s u s r a d i a l c o o r d i n a t e . A l t h o u g h t h e c a v i t y s i z e a n d d i e l e c t r i c c o n s t a n t a r e d i f f e r e n t , t h e g e n e r a l s h a p e s o f t h e p l o t s a r e s i m i l a r t o m a n y o f t h o s e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 8 o f t h e p r e s e n t w o r k . T h e s h o r t e d d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r i s s i m i l a r i n c o n fi g u r a t i o n t o t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y . T h e d i f f e r e n c e i s t h a t t h e s h o r t e d d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r h a s n o r a d i a l c o n d u c t i n g w a l l b o u n d a r y . I n s p i t e o f t h i s d i f f e r e n c e , s o m e m o d e s b e h a v e s i m i l a r l y i n e i t h e r c o n fi g u r a t i o n , p a r t i c u l a r l y t h o s e w i t h fi e l d s c o n fi n e d t o t h e d i e l e c t r i c r o d . T h e a b s e n c e o f a r a d i a l w a l l f o r t h e d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r d o e s i n t r o d u c e t h e p o s s i b i l i t y t h a t e n e r g y m a y p r o p a g a t e a w a y f r o m t h e d i e l e c t r i c r o d r e g i o n . M o d e s e x h i b i t i n g t h i s s o r t o f b e h a v i o r a r e c a l l e d “ l e a k y m o d e s ” w h i l e t h o s e w h o s e e n e r g y i s c o n fi n e d t o t h e d i e l e c t r i c a r e c a l l e d “ t r a p p e d m o d e s . ” A s t u d y o f t h e s h o r t e d d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r h a s b e e n p r e s e n t e d b y K o b a y a s h i a n d T a n a k a i n w h i c h t h e y c o n s i d e r b o t h t r a p p e d a n d l e a k y m o d e s . 3 1 A l t h o u g h n o d i e l e c t r i c o r c o n d u c t i n g l o s s e s a r e p r e s e n t i n t h e s y s t e m , a c o m p l e x f r e q u e n c y m u s t b e i n v o k e d t o a c c o u n t f o r t h e e n e r g y l o s s d u e t o p r o p a g a t i o n a w a y f r o m t h e r e s o n a t o r f o r t h e l e a k y m o d e s . I n a d d i t i o n t o s t a n d a r d t y p e s o f m o d e c h a r t s , o f w h i c h t h e y p r e s e n t s e v e r a l d e t a i l e d o n e s , t h e y d e m o n s t r a t e t h e e f f e c t o f r o d r a d i u s a n d d i e l e c t r i c c o n s t a n t o n Q f o r t h e l e a k y m o d e s . O n e p l o t s h o w s h o w Q 3 1 Y o s h i o K o b a y a s h i a n d S h u z o T a n a k a , “ R e s o n a n t M o d s o f a D i e l e c t r i c R o d R e s o n a t o r S h o r t - C i r c u i t e d a t B o t h E n d s b y P a r a l l e l C o n d u c t i n g P l a t e s , ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e fi r y . T e c h . M I T - 2 8 ( 1 0 ) ( O c t . 1 9 8 0 ) : 1 0 7 7 - 8 5 . 2 3 i n c r e a s e s w i t h d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r a l l l e n g t h - i n d e p e n d e n t T M m o d e s , e s p e c i a l l y t h e h i g h e r o r d e r m o d e s . Q a l s o i n c r e a s e s w i t h r o d d i a m e t e r f o r m o s t l e n g t h - d e p e n d e n t m o d e s , a l t h o u g h i t i s s h o w n t h a t t h e Q o f t h e H E I Z I m o d e ( a f t e r S n i t z e r ’ s n o t a t i o n ) f o r e , = 1 0 d r o p s w i t h i n c r e a s i n g r o d d i a m e t e r u n t i l t h e d i a m e t e r r e a c h e s 2 0 % o f t h e r o d l e n g t h . Q f o r l e n g t h - i n d e p e n d e n t m o d e s i s n o t a f f e c t e d b y c h a n g e s i n r o d d i a m e t e r . K o b a y a s h i a n d T a n a k a d i d n o t c o m p a r e t h e i r r e s u l t s w i t h a c a v i t y - s h o r t t y p e l o a d e d c a v i t y , b u t i t w o u l d b e u s e f u l t o i n v e s t i g a t e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l e a k y a n d t r a p p e d m o d e s o f t h e s h o r t e d d i e l e c t r i c r e s o n a t o r a n d t h e m o d e s o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e l o a d e d c a v i t y . 2 . 3 M o d e - M a t c h i n g a n d C a v i t y - O p e n T y p e S o l u t i o n s M o d e - m a t c h i n g d e r i v e s i t s n a m e f r o m t h e m e t h o d i t d e s c r i b e s o f s a t i s f y i n g e l e c t r o m a g n e t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t j u n c t i o n s u r f a c e s b e t w e e n t w o r e g i o n s . T h e fi e l d s i n e a c h r e g i o n a r e e x p r e s s e d a s i n fi n i t e s u m s o f m o d e s , w h e r e e a c h m o d e s a t i s fi e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n i t s o w n r e g i o n . B y e q u a t i n g a p p r o p r i a t e fi e l d c o m p o n e n t s f r o m e a c h r e g i o n a t t h e j u n c t i o n , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e j u n c t i o n a r e m e t . A l t h o u g h t h i s m e t h o d h a s b e e n u s e d e x t e n s i v e l y i n t h e p a s t 5 0 y e a r s f o r w a v e g u i d e j u n c t i o n s , i t w a s o r i g i n a l l y c o n c e i v e d a s t h e m e a n s o f s o l v i n g f o r t h e e i g e n f r e q u e n c i e s o f a c a v i t y . F i r s t s u g g e s t e d i n 1 9 3 6 b y L . V . K i n g f o r e l e c t r o s t a t i c a p p l i c a t i o n s , i t w a s d e v e l o p e d f o r m i c r o w a v e c a v i t i e s i n 1 9 4 0 b y W . C . H a h n o f t h e G e n e r a l E l e c t r i c C o m p a n y . 3 2 N o t h a v i n g t h e c o m p u t a t i o n a l a b i l i t y w e e n j o y t o d a y i n t h e a g e o f t h e m i c r o c o m p u t e r , H a h n n e v e r t h e l e s s s h o w e d t h e f e a s i b i l i t y o f u s i n g m o d e - m a t c h i n g t o s o l v e f o r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s b e t w e e n t w o c y l i n d r i c a l c a v i t y r e g i o n s o f d i f f e r i n g d i a m e t e r s . S i m i l a r p r o b l e m s h a d b e e n e x a m i n e d p r e v i o u s t o H a h n ’ s r e s e a r c h , b u t a l l h a d r e l i e d o n v a r i o u s a p p r o x i m a t i o n s . ” 3 2 w . c . H a h n , “ A N e w M e t h o d f o r t h e C a l c u l a t i o n o f C a v i t y R e s o n a t o r s , ” J . A p p . m y . 1 2 ( J a n u a r y 1 9 4 1 ) : 6 2 - 6 8 . H a h n c i t e s t h e w o r k o f L . v . K i n g , P h i l . M a g . 2 1 ( 1 9 3 6 ) : 1 2 3 f f . 3 3 F o r e x a m p l e , W . W . H a n s e n ’ s w o r k o n r e e n t r a n t c a v i t i e s , “ 0 n t h e R e s o n a n t F r e q u e n c y o f C l o s e d C o n c e n t r i c L i n e s , ” J . A p p . P h y . 1 0 ( J a n . 1 9 3 9 ) : 3 8 - 4 5 . 2 4 H a h n ’ s m e t h o d w a s i m m e d i a t e l y t a k e n u p a s a m e a n s o f d e t e r m i n i n g s h u n t i m p e d a n c e s a r i s i n g f r o m d i s c o n t i n u i t i e s i n w a v e g u i d e s , b u t i t w a s n ’ t u n t i l 1 9 6 1 t h a t i t w a s o n c e a g a i n a p p l i e d t o r e s o n a n t c a v i t i e s . I n t h a t y e a r D . M . B o l l e u s e d m o d e - m a t c h i n g t o fi n d t h e e i g e n v a l u e s f o r t h e o - s y m m e t r i c T M m o d e s o f a c a v i t y c o n t a i n i n g a c o n d u c t i n g c y l i n d e r a l o n g i t s a x i s . 3 4 T h e c e n t e r o f t h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r w a s c o i n c i d e n t w i t h t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y s o t h a t i n a d d i t i o n t o b e i n g a z i m u t h a l l y s y m m e t r i c , t h e c o n fi g u r a t i o n w a s a x i a l l y s y m m e t r i c a c r o s s t h e t r a n s v e r s e p l a n e a t t h e c a v i t y c e n t e r , i . e . , c a v i t y - i m a g e t y p e . B o l l e u s e s t h e a x i a l s y m m e t r y p l a n e a s a n e l e c t r i c w a l l w h e r e t h e t r a n s v e r s e E — fi e l d i s z e r o . H i s s o l u t i o n s m a y t h e r e f o r e b e a p p l i e d t o t h e e v e n ( e l e c t r i c w a l l ) m o d e s o f t h e c e n t r a l l y l o a d e d c a v i t y , o r t o t h e r e e n t r a n t c a v i t y . H e d i v i d e s t h e i m a g e d c a v i t y i n t o t w o r e g i o n s s e p a r a t e d b y t h e p l a n e c o n t a i n i n g o n e e n d s u r f a c e o f t h e c o n d u c t i n g c y l i n d e r . T h e t a n g e n t i a l a n d n o r m a l e l e c t r i c fi e l d s a r e e x p r e s s e d a s s e r i e s o f m o d e s i n e a c h r e g i o n . I n t h e r e g i o n c o n t a i n i n g t h e c y l i n d e r , t h e m o d e s a r e t h o s e o f t h e c o a x i a l w a v e g u i d e w i t h a n a x i a l d e p e n d e n c e s u c h t h a t t h e t a n g e n t i a l E - fi e l d i s z e r o a t t h e i m a g e p l a n e . I n t h e o t h e r r e g i o n , t h e s e r i e s i s c o m p o s e d o f e m p t y w a v e g u i d e m o d e s w i t h a n a x i a l d e p e n d e n c e s u c h t h a t t h e t a n g e n t i a l E - fi e l d i s z e r o a t t h e e n d o f t h e c a v i t y . T w o i n fi n i t e s u m s o f m o d e s a r e e q u a t e d a t t h e b o u n d a r y f o r e a c h b o u n d a r y c o n d i t i o n . T o s i m p l i f y t h e r e s u l t i n g t w o e q u a t i o n s , e a c h c o n t a i n i n g a n i n fi n i t e s u m o n e i t h e r s i d e o f t h e e q u a l s s i g n , t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e m o d e s i s u s e d t o r e d u c e o n e s i d e o f e a c h e q u a t i o n t o a s i n g l e t e r m a n d a l l o w t h e e q u a t i o n s t o b e p u t i n t o m a t r i x f o r m . A k e y p o i n t i n B o l l e ’ s a p p r o a c h i s t h a t h e u s e s a m o d e f r o m t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n t o o r t h o g o n a l i z e o n e e q u a t i o n , a n d a m o d e f r o m t h e c o a x i a l w a v e g u i d e t o o r t h o g o n a l i z e t h e o t h e r . I n t h e w o r k o f K o b a y a s h i , F u k u o k a a n d 3 4 B o l l e . 2 5 Y o s h i d a , 3 5 Z a k i a n d C h e n , 3 6 a n d V i g n e r o n a n d G u i l l o n , 3 7 w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w , t h e y u s e o n l y t h e e m p t y w a v e g u i d e m o d e t o o r t h o g o n a l i z e b o t h e q u a t i o n s . A s w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 9 o f t h i s d i s s e r t a t i o n , B o l l e ’ s m e t h o d i s p r e f e r a b l e s i n c e t h e o t h e r y i e l d s a n i l l - c o n d i t i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x . T h e z e r o s o f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x a r e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f t h e l o a d e d c a v i t y . B o l l e i n c l u d e s a f u l l d i s c u s s i o n o f n u m e r i c a l e r r o r s a n d c o m p a r e s h i s r e s u l t s b o t h t o a p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n a n d e x p e r i m e n t . U n f o r t u n a t e l y , h i s s o l u t i o n a p p e a r s t o w o r k o n l y f o r t h e m o m m o d e . T h e p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e p r o v e d t o b e b e t t e r t h a n B o l l e ’ s m o d e - m a t c h i n g m e t h o d f o r t h e T M 0 1 2 m o d e . T h i s s a d r e s u l t i s n o t d u e t o i m p e r f e c t i o n i n t h e m o d e - m a t c h i n g m e t h o d , n o r t o n u m e r i c a l e r r o r s i n h e r e n t i n i t . A n o v e r s i g h t c a u s e d B o l l e t o n e g l e c t t h e T E M m o d e i n h i s s e r i e s f o r t h e c o a x i a l w a v e g u i d e r e g i o n . T h e T E M m o d e i s a c t u a l l y a o - s y m m e t r i c T M m o d e w i t h a r a d i a l w a v e n u m b e r e q u a l t o z e r o . I t t u r n s o u t t h a t t h e T E M m o d e m a k e s t h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n t o t h e fi e l d i n t h e c o a x i a l r e g i o n f o r T M O l z - C h a p t e r 5 o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s d e v o t e d t o r e w o r k i n g B o l l e ’ s s o l u t i o n b y i n c l u d i n g t h e T E M m o d e . I t i s s h o w n t h a t b y i n c l u d i n g t h e T E M m o d e , e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t i s a c h i e v e d f o r T M m o d e s i n t h e e n t i r e r a n g e o f r o d l e n g t h s f r o m z e r o t o c a v i t y l e n g t h . A n a n a l y s i s o f a c a v i t y s i m i l a r t o B o l l e ’ s w a s c a r r i e d o u t i n 1 9 6 9 b y B h a r t i a a n d H a m i d t o m o d e l a n A l v a r e z t y p e l i n e a r a c c e l e r a t o r . 3 8 T h e i r c o n fi g u r a t i o n d i f f e r s f r o m B o l l e ’ s b y t h e a d d i t i o n o f a h o l e t h r o u g h t h e c e n t e r a l o n g t h e a x i s o f t h e 3 5 Y o s h i o K o b a y a s h i , N o b u s h i g e F u k u o k a , a n d S i n k - i c h i r o Y o s h i d a , “ R e s o n a n t M o d e s f o r 8 S h i e l d e d D i e l e c t r i c R o d R e s o n a t o r , ” E l e c t . C o m m . J a p . 6 4 - B ( 1 1 ) ( t r a n s . S c r i p t a p u b l i s h i n g C o . , 1 9 8 3 ) : 4 4 - 5 1 , t r a n s l a t e d f r o m D e n s h i T s u s h i n G a k k a i R o n b u n s h i 6 4 - B ( 5 ) ( 1 9 8 1 ) : 4 3 3 - 4 0 . 3 6 K a w t h a r A . Z a k i a n d C h u n m i n g C h e n , “ N e w R e s u l t s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d R e s o n a t o r s , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e fi l l y . T e c h . M T T - 3 4 ( 7 ) ( J u l y 1 9 8 6 ) : 8 1 5 - 2 4 . 3 ' 7 8 . V i g n e r o n a n d P . G u i l l o n , “ M o d e - M a t c h i n g M e t h o d f o r D e t e r m i n a t i o n o f t h e R e s o n a n t F r e q u e n c i e s o f a D i e l e c t r i c R e s o n a t o r P l a c e d i n a M e t a l l i c B o x , ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 3 4 , p t . H ( 2 ) ( A p r i l 1 9 8 7 ) : 1 5 1 - 5 5 . 3 3 9 . B h a r t i a a n d M . A . K . H a m i d , “ F i e l d d i s t r i b u t i o n i n a C e n t r a l l y L o a d e d C i r c u l a r C y l i n d r i c a l C a v i t y , ” H 5 5 1 5 T r a n s . N u c . S c i . N S - l 6 ( 2 ) ( A p r i l 1 9 6 9 ) : 2 7 . 3 4 . 2 6 l o a d . T h e i r d e v e l o p m e n t o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s i d e n t i c a l t o B o l l e ’ s . T h i s i n c l u d e s , a p p a r e n t l y , n e g l e c t i n g t h e T E M m o d e s i n c e i t i s n o t i n c l u d e d s p e c i fi e a l l y i n t h e e q u a t i o n s p r o v i d e d . S i n c e t h e y p r e s e n t e x p e r i m e n t a l d a t a o n l y f o r t h e m o m m o d e , i t i s n o t d i s c e m a b l e f r o m t h e i r fi n a l r e s u l t s w h e t h e r t h e y d i d s o o r n o t . T h e fi r s t a p p l i c a t i o n o f m o d e - m a t c h i n g t o r e s o n a n t s t r u c t u r e s c o n t a i n i n g d i e l e c t r i c s w a s p r e s e n t e d b y K o b a y a s h i , F u k u o k a a n d Y o s h i d a i n 1 9 8 1 . 3 9 T h e i r i n t e r e s t i n c a v i t i e s a p p a r e n t l y a r o s e f r o m t h e n e c e s s i t y o f s h i e l d i n g t h e i r d i e l e c t r i c r e s o n a t o r s . T h e y i n v e s t i g a t e m o d e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n p a r a l l e l - p l a t e - o p e n d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r s t r u c t u r e s a n d c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n l o a d e d c a v i t i e s . T h e p a r a l l e l - p l a t e - o p e n d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r i s s i m i l a r t o t h e d i e l e c t r i c r o d s h o r t - c i r c u i t e d a t e i t h e r e n d b y p a r a l l e l c o n d u c t i n g p l a t e s , e x c e p t t h e e n d s o f t h e r o d a r e d e t a c h e d f r o m t h e p l a t e s s u c h t h a t a g a p e x i s t s b e t w e e n t h e r o d a n d t h e s h o r t i n g p l a t e s . T h e t e r m i n o l o g y “ c a v i t y - o p e n , ” “ c a v i t y - s h o r t , ” a n d “ c a v i t y - i m a g e ” i s d e r i v e d f r o m s i m i l a r u s a g e f o r d i e l e c t r i c r o d r e s o n a t o r s b e t w e e n p a r a l l e l p l a t e s s t r u c t u r e s . K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a i n t r o d u c e t h e s e t e r m s f o r b o t h t h e d i e l e c t r i c r e s o n a t o r b e t w e e n p a r a l l e l p l a t e s a n d t h e l o a d e d c a v i t y . K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a a r e t h e fi r s t t o a p p l y t h e m o d e - m a t c h i n g m e t h o d t o t h e c a v i t y c o a x i a l l y - l o a d e d w i t h a l o s s l e s s d i e l e c t r i c , a n t i c i p a t i n g b y 5 y e a r s t h e w o r k o f Z a k i a n d C h e n . I n t h e i r w o r k t h e y d e m o n s t r a t e n u m e r i c a l l y t h a t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r T 1 3 0 1 q c a v i t y - o p e n t y p e m o d e s w h e n t h e l o a d i s s m a l l a n d o f h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t d o e s n o t d i f f e r s i g n i fi c a n t l y f r o m t h e c a s e w h e r e t h e o u t e r w a l l s o f t h e c a v i t y a r e r e m o v e d a n d t h e m a t e r i a l b e h a v e s a s a s i m p l e d i e l e c t r i c r e s o n a t o r . T h e y p r e s e n t m o d e c h a r t s w i t h d r a w i n g s o f t h e c a v i t y fi e l d p a t t e r n s f o r s e v e r a l m o d e s . A n a p p a r e n t l y i n d e p e n d e n t d e v e l o p m e n t o f a s o l u t i o n f o r t h e p a r a l l e l - p l a t e — o p e n d i e l e c t r i c r e s o n a t o r w a s p u b l i s h e d i n 1 9 8 3 b y M a y s t r e , V i n c e n t , a n d M a r g e . ” I t i s s i m i l a r t o t h e w o r k o f K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a . ” K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a . 4 0 D . M a y s t r e , P . V i n c e n t , a n d J . C . M a g e , “ T h e o r e t i c a l a n d E x p e r i m e n t a l S t u d y o f t h e R e s o n a n t F r e q u e n c y o f a C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c R e s o n a t o r , ” I E E E I i - a n s . M i c r o w a v e T i n y . T e d r . M I T - 3 1 ( 1 0 ) ( O c t . 1 9 8 3 ) : 8 4 4 - 4 8 . 2 7 I n 1 9 8 3 , Z a k i a n d A t i a p r e s e n t e d a m o d e - m a t c h i n g s o l u t i o n f o r a l o s s l e s s l o a d , s i m i l a r t o t h a t o f K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a , p u b l i s h i n g w i t h i t s o m e v a l u e s o f t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n . 4 1 A l t h o u g h t h e y d e r i v e a t h e o r e t i e a l m o d e - m a t c h i n g m a t r i x , t h e i r n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e a n a p p r o x i m a t i o n b a s e d o n t r u n c a t i n g t h e m a t r i x a f t e r t h e fi r s t e l e m e n t . T h i s a p p r o x i m a t i o n w a s i m p r o v e d b y Z a k i a n d C h e n i n 1 9 8 6 t o i n c l u d e a s u f fi c i e n t n u m b e r o f m a t r i x e l e m e n t s f o r e i g e n v a l u e c o n v e r g e n c e . 4 2 T h i s m o d e l d i d n o t i n c l u d e c o m p l e x c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s w h i c h w e r e a d d e d l a t e r . 4 3 T h e l o a d c o n fi g u r a t i o n s o f Z a k i a n d C h e n a n d K o b a y a s h i , e t a 1 . , w e r e a c t u a l l y o f t h e c a v i t y - i m a g e t y p e , s i n c e t h e i r l o a d w a s s i t u a t e d a x i a l l y s y m m e t r i c a l l y i n t h e c a v i t y . A g e n e r a l c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n f o r a l o a d o f v a r y i n g h e i g h t w a s p u b l i s h e d i n 1 9 8 7 b y V i g n e r o n a n d G u i l l o n . “ T h e m o d e - m a t c h i n g s o l u t i o n s p u b l i s h e d t h u s f a r o n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y h a v e b e e n a i m e d a t d i s c o v e r i n g o p t i m a l c a v i t y / l o a d c o n fi g u r a t i o n s f o r v a r i o u s m i c r o w a v e c i r c u i t c o m p o n e n t s , p r i m a r i l y fi l t e r s . T h e o r e t i c a l s o l u t i o n s p r o v i d e e s s e n t i a l i n f o r m a t i o n o n m o d e s p a c i n g a n d s o u r c e s o f e n e r g y l o s s . 4 5 S i n c e e n e r g y l o s s t o t h e l o a d a n d c a v i t y i s a n u n d e s i r a b l e e f f e c t i n m i c r o w a v e c i r c u i t r y , o n l y l o s s l e s s l o a d m a t e r i a l s h a v e b e e n c o n s i d e r e d . F o r m a t e r i a l s p r o c e s s i n g , l o s s i n e s s i n t h e l o a d i s e s s e n t i a l t o b e i n g a b l e t o t r a n s f e r e n e r g y f r o m t h e fi e l d s t o t h e m a t e r i a l . L o s s e s a r e a l s o a f e a t u r e o f p l a s m a l o a d s . I t i s t h e r e f o r e d e s i r a b l e f o r m a t e r i a l s p r o c e s s i n g o r m i c r o w a v e p l a s m a a p p l i c a t i o n s t o u n d e r s t a n d t h e m a t e r i a l / fi e l d i n t e r a c t i o n s f o r t h e l o s s y c a s e . I t i s t h e o b j e c t o f t h i s d i s s e r t a t i o n t o p r o v i d e s o l u t i o n s f o r t h e fi e l d s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n w h e n t h e l o a d m a t e r i a l i s l o s s y . “ K a w t h a r A . Z a k i a n d A l i E . A t i a , “ M o d e s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d W a v e g u i d e s a n d R e s o n a t o r s , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M T T - 3 1 ( 1 2 ) ( D e c . 1 9 8 3 ) : 1 0 3 9 - 4 5 . 4 2 Z a k i a n d C h e n , ” N e w R e s u l t s . ” 4 3 C h e n a n d Z a k i . 4 4 S . V i g n e r o n a n d P . G u i l l o n , “ M o d e M a t c h i n g M e t h o d f o r D e t e r m i n a t i o n o f t h e R e s o n a n t F r e q u e n c y o f a D i e l e c t r i c R e s o n a t o r P l a c e d i n a M e t a l l i c B o x , ” E E P r o c e e d i n g s 1 3 4 , p t . H ( 2 ) ( A p r i l 1 9 8 7 ) : 1 5 1 - 5 5 . 4 S K a w t h a r A . Z a k i a n d C h u n m i n g C h e n , “ L o s s M e c h a n i s m s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d R e s o n a t o r s , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e T i l l y . T e c h . M I T - 3 3 ( 1 2 ) ( D e c e m b e r 1 9 8 5 ) : 1 4 4 8 - 5 2 . C h a p t e r 3 T H E O R Y O F C Y L I N D R I C A L W A V E G U I D E S 3 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e t h e o r e t i c a l f o r m u l a t i o n o f fi e l d s o l u t i o n s t o e m p t y c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e a n d c a v i t y s y s t e m s i s s t a n d a r d i n a d v a n c e d u n d e r g r a d u a t e a n d b e g i n n i n g g r a d u a t e e l e c t r o m a g n e t i c s t e x t b o o k s . 1 T h e t r e a t m e n t f o u n d h e r e f o r e m p t y w a v e g u i d e s i s a d i g e s t o f t h e c o n v e n t i o n a l f o r m u l a t i o n s a n d i s p r o v i d e d f o r c o n v e n i e n c e a n d c o n t i n u i t y . S t a n d a r d t e x t b o o k s a l s o t r e a t t h e c o a x i a l l y l o a d e d c y l i n d r i c a l w a v e - g u i d e , 2 a l t h o u g h i n l e s s d e t a i l t h a n i s f o u n d h e r e . I n t h i s C h a p t e r t h e fi e l d s o l u t i o n s f o r t h e l o s s y c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e a r e d e l i n e a t e d f o r a l l m o d e s . 3 . 2 T h e S o u r c e - F r e e T i m e - H a r m o n i c M a x w e l l E q u a t i o n s 3 . 2 . 1 M a x w e l l ’ s E q u a t i o n s T h e d i f f e r e n t i a l f o r m o f t h e M a x w e l l E q u a t i o n s , g o v e r n i n g a l l w e l l - b e h a v e d e l e c t r o m a g n e t i c q u a n t i t i e s , i s g i v e n i n g e n e r a l b y B B V X E = - — _ a t D = e - E V - D = p J = o - E ( 3 - 1 ) V x H - § 2 + J a t B = p ~ H V ~ B = 0 w h e r e 1 J o h n a . R e i t z , F r e d e r i c k J . M i l f o r d , a n d R o b e r t w . C h r i s t y , F o u n d a t i o n s o f E l e c t r o m a g n e t i c T h e o r y , 3 d e d . ( R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 7 9 ) : 4 1 2 - 1 7 ; H a r r i n g t o n , 1 2 9 - 3 0 , 1 9 8 - 2 1 6 ; C o l l i n , 1 7 0 - 8 9 , 1 9 5 - 9 8 ; J . D . J a c k s o n , C l a s s i c a l E l e c t r o d y n a m i c s ( N e w Y o r k : J o h n W i l e y & S o n s , 1 9 7 5 ) : 3 3 9 - 5 6 . 2 H a r r i n g t o n , 2 1 9 - 2 2 3 . 2 8 V X H = i j ( 3 - 5 ) 2 9 E i s t h e e l e c t r i c fi e l d s t r e n g t h ( V o l t s p e r m e t e r ) D i s t h e e l e c t r i c fl u x d e n s i t y ( C o u l o m b s p e r s q u a r e m e t e r ) H i s t h e m a g n e t i c fi e l d s t r e n g t h ( A m p e r e s p e r m e t e r ) B i s t h e m a g n e t i c fl u x d e n s i t y ( V o l t - s e c o n d s p e r s q u a r e m e t e r ) J i s t h e e l e c t r i c c u r r e n t d e n s i t y ( A m p e r e s p e r s q u a r e m e t e r ) p i s t h e e l e c t r i c c h a r g e d e n s i t y ( C o u l o m b s p e r c u b i c m e t e r ) e i s t h e e l e c t r i c p e r m i t t i v i t y o f t h e m e d i u m ( C o u l o m b s p e r V o l t - m e t e r ) a i s t h e e l e c t r i c c o n d u c t i v i t y o f t h e m e d i u m ( C o u l o m b - m e t e r s p e r V o l t - s e c o n d ) fl i s t h e m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y o f t h e m e d i u m ( V o l t - s e c o n d s p e r A m p e r e - m e t e r ) . T a k i n g t h e d i v e r g e n c e o f t h e t h i r d a n d u s i n g t h e s e c o n d o f M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s a b o v e , t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y , e x p r e s s i n g t h e l a w o f t h e c o n s e r v a t i o n o f e l e c t r i c a l c h a r g e , i s g i v e n b y V . J + . 3 3 . = , ( 3 - 2 ) a t W i t h i n t h i s c o m p a c t s e t o f E q u a t i o n s ( 3 - 1 ) a n d ( 3 - 2 ) c a n b e f o u n d t h e d e s c r i p t i o n o f a l l m a c r o s c o p i c e l e c t r o m a g n e t i c p h e n o m e n a . I n t h e t i m e h a r m o n i c d o m a i n , w h e r e t i m e d e p e n d e n c e c a n b e d e s c r i b e d b y a p e r i o d i c s i n u s o i d , M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s b e c o m e m u c h s i m p l e r . I n s u c h a c a s e , t h e t i m e - d e p e n d e n c e , i n c l u d i n g t h e t i m e p h a s e i n f o r m a t i o n , c a n b e i n c l u d e d i n M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s a s a f a c t o r o f t h e f o r m e j ‘ “ . I f o n l y s o u r c e - f r e e r e g i o n s a r e c o n s i d e r e d , i . e . , J = 0 a n d p = 0 , a f u r t h e r s i m p l i fi c a t i o n c a n b e a c h i e v e d a n d t h e e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n a s V x E = - i j ( 3 ' 3 ) : 7 4 ) = 0 ( 3 ' 4 ) v - B = o ( 3 - 6 ) w h e r e D = 8 - E ( 3 ' 7 ) B = , 2 . H ( 3 - 8 ) T h e p h y s i c a l , t i m e - d e p e n d e n t v a l u e s o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s a r e d e t e r m i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e fi e l d s g i v e n i n E q u a t i o n s ( 3 - 3 ) t h r o u g h ( 3 - 8 ) b y e j ‘ “ a n d t a k i n g t h e r e a l p a r t . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e e l e c t r i c p e r m i t t i v i t y a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y a r e c o m p l e x q u a n t i t i e s i n t h e t i m e - h a r m o n i c d o m a i n . T h i s i s i n d i c a t e d b y t h e h a t s y m b o l ( ‘ ) o v e r 6 a n d i t . I n t e r m s o f t h e i r r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s , t h e y a r e e x p r e s s e d a s e e - j e ( 3 - 9 ) i n l t ’ - J ' n ” - w h e r e e ' i s c a l l e d t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , e ” t h e d i e l e c t r i c l o s s f a c t o r , p . ’ t h e a - c i n d u c t i v i t y , a n d [ 1 " t h e m a g n e t i c l o s s f a c t o r . A l l m a t e r i a l s , i n c l u d i n g f r e e - s p a c e , h a v e n o n - z e r o e ’ a n d 1 1 ' . M a t e r i a l s w i t h n o n - z e r o e " o r i t ” a r e c a l l e d “ l o s s y ” b e c a u s e t h e y a r e c a p a b l e o f a b s o r b i n g e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y . E n e r g y i s a b s o r b e d d i r e c t l y f r o m t h e e l e c t r i c fi e l d t h r o u g h 6 " a n d d i r e c t l y f r o m t h e m a g n e t i c fi e l d t h r o u g h i t " . M a t e r i a l s w i t h fi n i t e , n o n - z e r o c o n d u c t i v i t i e s a r e a l s o c a p a b l e o f a b s o r b i n g e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y d i r e c t l y f r o m t h e e l e c t r i c fi e l d s o t h a t a n e f f e c t i v e d i e l e c t r i c l o s s f a c t o r c a n b e d e fi n e d w h i c h i n c l u d e s b o t h d i e l e c t r i c r e l a x a t i o n a n d c o n d u c t i v i t y l o s s e s , i . e . , ( 3 - 1 0 ) m “ 3 I I a t + S l a t W h e n a : i s c o m p l e x , a n o n - z e r o c o n d u c t i v i t y a l s o c o n t r i b u t e s t o t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x p e r m i t t i v i t y , m a k i n g i t u s e f u l t o d e fi n e a n e f f e c t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a s w e l l . H o w e v e r , u n l e s s i t i s n e c e s s a r y t o s e p a r a t e t h e e f f e c t s o f d i e l e c t r i c r e l a x a t i o n 3 1 ' a n d c a p a c i t i v i t y f r o m f r e e - e l e c t r o n c o n d u c t i v i t y , t h e r e i s n o n e e d t o c o m p l i c a t e t h e n o t a t i o n . T h e n o t a t i o n o f E q u a t i o n ( 3 - 9 ) i s s u f fi c i e n t t o d e fi n e t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s f o r e l e c t r o m a g n e t i c p u r p o s e s , w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t e f f e c t s o f f r e e - e l e c t r o n c o n d u c t i v i t y a r e i n c l u d e d i n e ' a n d e " . A n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f t h i s u n d e r s t a n d i n g , f r o m E q u a t i o n ( 3 - 1 0 ) , i s t h a t h i g h v a l u e s o f e " a r e e l e c t r o m a g n e t i c a l l y e q u i v a l e n t t o t o h i g h v a l u e s o f o . T h i s p r i n c i p l e w i l l b e u s e d t o e x p l a i n fi e l d b e h a v i o r i n t h e p r e s e n c e o f h i g h 6 " m a t e r i a l s i n t h e C h a p t e r s t h a t f o l l o w . 3 . 2 . 2 M a g n e t i c a n d E l e c t r i c V e c t o r P o t e n t i a l s T h e fi e l d s o f t h e s o u r c e - f r e e M a x w e l l E q u a t i o n s c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n a l t e r n a t e s e t o f f u n c t i o n s c a l l e d p o t e n t i a l f u n c t i o n s . 3 S i n c e V - H = O , H c a n b e r e p r e s e n t e d a s t h e c u r l o f s o m e o t h e r v e c t o r A . A i s c a l l e d t h e m a g n e t i c v e c t o r p o t e n t i a l , H = V x A . ( 3 ' 1 1 ) S i m i l a r l y , a n e l e c t r i c v e c t o r p o t e n t i a l c a n b e d e fi n e d s u c h t h a t E = - V X F . ( 3 ’ 1 2 ) W e r e m a i n f r e e t o c h o o s e v a l u e s f o r V - A a n d V - F . W i t h a p p r o p r i a t e c h o i c e s , A a n d F m a y b e f o u n d t o s a t i s f y t h e v e c t o r H e l m h o l t z e q u a t i o n s , V Z F + k 2 F 0 ( 3 - 1 3 ) V 2 A + s z 0 , w h e r e k 2 = w z é i i . T h e fi e l d s E a n d H c a n b e r e p r e s e n t e d e x c l u s i v e l y i n t e r m s o f A a s i n E q u a t i o n ( 3 - 1 4 ) , 3 H n r r i n g t o n , 7 7 , 1 2 9 - 1 3 0 . 3 2 l E = — V X X A j w é ( V ) ( 3 - 1 4 ) B = V x A , o r e x c l u s i v e l y i n t e r m s o f F a s i n E q u a t i o n ( 3 - 1 5 ) , E - V x F , l , V X ( V X F ) M m ( 3 - 1 5 ) H O f t e n i t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e m a s a s u p e r p o s i t i o n o f s o l u t i o n s i n t e r m s o f b o t h A a n d F a s i n E q u a t i o n ( 3 - 1 6 ) , 1 E - V x F + , _ , V x ( V x A ) J w e ( 3 - 1 6 ) 1 A H w a x r ) V X A + , J 3 . 3 E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s i n R e g i o n s o f C y l i n d r i c a l S y m m e t r y 3 . 3 . 1 S e p a r a t i o n o f V a r i a b l e s U p t o t h i s p o i n t t h e f o r m u l a t i o n o f t h e s o l u t i o n h a s b e e n g e n e r a l t o a n y c o o r d i n a t e s y s t e m . N o w w e w i s h t o r e s t r i c t t h e d i s c u s s i o n t o p r o b l e m g e o m e t r i e s w h i c h c a n b e s t b e d e s c r i b e d u s i n g c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s . T a k i n g s o l u t i o n s o f t h e f o r m g i v e n i n E q u a t i o n ( 3 - 1 4 ) , s o l u t i o n s m a y b e s o u g h t f o r E a n d H w i t h A = z ( 1 1 " , w h e r e z i s t h e c o o r d i n a t e i n v a r i a n t z - d i r e c t e d u n i t v e c t o r a n d I I I , " i s a s c a l a r f u n c t i o n o f a l l c o o r d i n a t e s . T h i s c h o i c e f o r A a l l o w s u s t o s o l v e a s c a l a r H e l m h o l t z e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 3 - 1 7 ) , i n s t e a d o f t h e v e c t o r f o r m , E q u a t i o n ( 3 - 1 3 ) . W h e t h e r o r n o t t h i s i s a v a l i d c h o i c e f o r A i s d e t e r m i n e d b y w h e t h e r o r n o t t h e fi e l d s g i v e n b y E q u a t i o n ( 3 - 1 4 ) m e e t t h e e l e c t r o m a g n e t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e g i v e n c o n fi g u r a t i o n . V Z ‘ l / m + k 2 ¢ m = o ( 3 ‘ 1 7 ) I n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s , E q u a t i o n ( 3 - 1 7 ) b e c o m e s I t g o n o n ' g _ P e R t L O n D . g ) t h " 2 3 e P . t r i v i a 5 9 ( p l 3 1 s 3 o ) l . ( p u ) t i o n + . ¢ 1 p m 1 2 = p 1 ( " 1 < p , ¢ , z , 0 ) ( ¢ e v ) ) w 6 2 = d 9 4 0 , e 3 i R i 2 ) d i 9 ( a e b o , ) h ( 1 2 2 s ) t 2 ( i 2 d ) e s . s i 3 E q u o z 2 f e 2 ) a + t i o n ( k 2 3 = - 1 8 O ) ° b y ( ( 3 3 i 4 l 4 " l 9 0 ) ) 3 3 2 2 . . 1 - a 1 V " + a 1 V " - k z l m = o . ( 3 4 8 ) 6 p 6 p p 2 6 ¢ 2 6 2 2 T h i s e q u a t i o n c a n b e s o l v e d b y s e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s , s u c h t h a t T h e t h i r d t e r m o f E q u a t i o n ( 3 - 2 0 ) i s i n d e p e n d e n t o f p a n d 4 > - S i n c e n o n e o f t h e o t h e r t e r m s a r e z - d e p e n d e n t , y e t a l l t e r m s s u m t o z e r o f o r a l l 2 , i t m u s t n o t b e d e p e n d e n t o n 2 e i t h e r . W e s e t i t e q u a l t o a c o n s t a n t , 1 3 2 2 ( 2 ) = _ 2 3 - 2 1 2 ( 2 ) 6 2 2 k z . ( ) M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f E q u a t i o n ( 3 - 2 0 ) b y p 2 a n d s u b s t i t u t i n g i n t h e c o n s t a n t g i v e n i n E q u a t i o n ( 3 - 2 1 ) f o r t h e t h i r d t e r m , w e h a v e J ’ _ § _ _ _ a R ( P ) + 1 5 2 ‘ 1 “ ” ) . - k 2 _ k 2 2 = 0 ( 3 - 2 2 ) R o o m ) “ a n 9 ( a ) 3 4 , 2 ( Z ) ” ' A n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h e o n e l e a d i n g t o E q u a t i o n ( 3 - 2 1 ) c a n b e m a d e f o r t h e s e c o n d t e r m o f E q u a t i o n ( 3 - 2 2 ) t o g e t 1 3 2 4 W ) = - 2 , ( 3 - 2 3 ) 4 4 ¢ ) 3 4 , 2 T h i s l e a v e s a n e q u a t i o n f o r p i n t e r m s o f t h e s e p a r a t i o n s c o n s t a n t s k 2 , n , a n d k . I f w e i n t r o d u c e a c o n s t a n t k p , s u c h t h a t 3 4 k 2 = 6 2 1 2 : : = k } + k } , ( 3 - 2 4 ) t h e n t h e e q u a t i o n f o r p c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s , — ( p i L W ) + ( p z k p z - n 2 ) R ( p ) = 0 . ( 3 - 2 5 ) E q u a t i o n ( 3 - 2 5 ) i s c a l l e d B e s s e l ’ s E q u a t i o n w i t h w e l l - k n o w n t a b u l a t e d s o l u t i o n s c a l l e d B e s s e l ’ s f u n c t i o n s . W i t h r e g a r d t o t h e s e e q u a t i o n s i t s h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t i f t h e c o n fi g u r a t i o n b o u n d a r i e s a r e s y m m e t r i c i n ¢ > t h e n n m u s t b e a n i n t e g e r ; a l s o i f n i s z e r o a n d t h e b o u n d a r i e s a r e s y m m e t r i c i n ¢ > . < I > ( ¢ > ) m u s t b e a c o n s t a n t . T h e f u n c t i o n s p a c e o f t h e c o m p o n e n t s o f E q u a t i o n ( 3 - 1 9 ) , s o l v i n g t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n E q u a t i o n s ( 3 - 2 1 ) t h r o u g h ( 3 - 2 5 ) , i s g i v e n b y r 1 { 1 1 1 ( k a ) , : r c g n s t a n t ( n = 0 ) N n ( k ‘ D p ) 0 0 3 0 1 4 0 R = B k = 4 9 q ) = ‘ . ’ ( P ) n ( p p ) H £ I ) ( k p p ) t ( 4 ’ ) S l n ( n 4 > ) t ( 2 ) c i n d l H ( k p ) _ . L n p J t e j n ¢ J ( 3 ' 2 6 ) r c o s ( k z z ) ‘ s i n ( k z z ) Z = . t . ( z ) i e l k z z l e j k z z 1 3 . 3 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s i n T e r m s o f t h e z - D i r e c t e d V e c t o r P o t e n t i a l T h e e l e c t r i c fi e l d o f E q u a t i o n ( 3 - 1 4 ) c a n b e r e e x p r e s s e d b y u s i n g t h e H e l m h o l t z e q u a t i o n f o r A , g i v e n i n E q u a t i o n ( 3 - 1 3 ) , a s 3 5 E = - . — 1 — . V > < ( V > < A ) = - j t h + . — I . V ( V - A ) . ( 3 - 2 7 ) j w e J w e W i t h A = 2 1 V " , w h e r e z i s t h e u n i t n o r m a l i n t h e z - d i r e c t i o n a n d W ” i n d i m e n s i o n s o f A m p e r e s , t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a r e g i v e n b y E . . 1 a i r " - z m + _ . . V 1 ” " ‘ 0 j o e ( — 6 2 ( 3 - 2 8 ) H V x ( z ¢ ' " ) = v i z / " x 2 . T h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e c o m p o n e n t s c a n t h e n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r , E “ L a w “ r i p - i i " . p j c h 3 s z P a d ’ E e i l a z m H ¢ = - - _ _ ¢ ( 3 ’ 2 9 ) 4 ’ j o e p a e a 6 p _ 1 2 _ E z - m k p d H z - O T h e z - c o m p o n e n t o f t h e m a g n e t i c fi e l d o f E q u a t i o n ( 3 - 2 9 ) i s z e r o f o r a n y 1 ” " . T h e r e f o r e s o l u t i o n s o f t h e f o r m f o u n d i n E q u a t i o n ( 3 - 2 9 ) a r e r e f e r r e d t o a s t r a n s v e r s e m a g n e t i c , a b b r e v i a t e d T M . A s i m i l a r s e t o f e q u a t i o n s c a n b e f o u n d b y b e g i n n i n g w i t h E q u a t i o n s ( 3 - 1 5 ) a n d c o n s t r a i n i n g F t o b e 2 d i e , w i t h t i e i n d i m e n s i o n s o f V o l t s . T h e f u n c t i o n s p a c e o f 1 1 1 ‘ i s t h e s a m e a s t h a t o f 1 V " g i v e n i n E q u a t i o n ( 3 - 2 6 ) . T h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a r e g i v e n b y E - V x ( z ¢ ‘ ) = - V t [ / ‘ X z ( 3 - 3 0 ) H l - j w § z s l z e + w i t h t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e c o m p o n e n t s g i v e n b y " 4 3 > = ' = " p e P 3 4 w 0 E E E . d z = = = a H H p 4 ’ 2 W a _ p 1 _ J _ — j J a 1 c 1 u i _ o l _ ‘ l _ k n “ z z c 2 e ‘ a . p a 3 a ¢ 2 P ( 3 ' 3 1 ) T h e s e t - o f fi e l d s g i v e n b y E q u a t i o n ( 3 - 3 1 ) , d u e t o t h e a b s e n c e o f t h e z - d i r e c t e d e l e c t r i c fi e l d , i s r e f e r r e d t o a s t r a n s v e r s e e l e c t r i c , o r T B . 3 . 4 H o m o g e n e o u s l y F i l l e d W a v e g u i d e s T h e h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e i s s h o w n b e l o w i n F i g u r e 3 - 1 . I t h a s a n i n s i d e r a d i u s b a n d i s fi l l e d w i t h a h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c m a t e r i a l o f c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t 2 a n d c o m p l e x m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y , 1 . T h e w a v e g u i d e w a l l s a r e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s u c h t h a t 1 2 , , m = O a t t h e w a l l . B e g i n n i n g w i t h a p p r o p r i a t e c h o i c e s f o r ( W a n d ( b e f r o m E q u a t i o n s ( 3 - 1 9 ) a n d ( 3 - 2 6 ) , w e s e e k fi e l d s o l u t i o n s u s i n g E q u a t i o n s ( 3 - 2 9 ) a n d ( 3 - 3 1 ) . S i n c e t h e r e g i o n o f F i g u r e 3 - 1 H o m o g e n e o u s l y F i l l e d C y l i n d r i c a l W a v e g u i d e . A k m f e k i w . - A A = = = 5 , : E E a 2 k z w 1 “ e 1 , I n 1 p ; k ( k p m p m p p ) ) o o s s m o t f 2 . I n k p m p ) 0 0 8 0 1 _ . ” o ) ) e _ e ' 1 ; e ” . ” ‘ 2 ‘ 5 ’ 2 ’ ( 9 n e ) ( ( < 3 3 3 - - 3 3 3 3 5 4 ) ) ) 3 7 i n t e r e s t c o n t a i n s t h e o r i g i n , s o l u t i o n s f o r R ( p ) w i l l b e o f t h e f o r m J n ( k p p ) r a t h e r t h a n N n ( k p p ) , w h i c h i s u n b o u n d e d a t p = 0 . T h e t b - d e p e n d e n c e o f t h e fi e l d s i s d e t e r m i n e d p r i m a r i l y b y t h e d e v i c e u s e d t o c o u p l e e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y i n t o t h e w a v e g u i d e . A l t h o u g h c o u p l i n g i s n o t c o n s i d e r e d h e r e , i t i s p r a c t i c a l t o a s s u r e c o m m o n t i l - d e p e n d e n c e f o r T B a n d T M fi e l d s o l u t i o n s s i n c e t h e y w i l l p r e s u m a b l y b e e x c i t e d b y t h e s a m e c o u p l i n g d e v i c e f o r a g i v e n w a v e g u i d e o r c a v i t y . I f w e c h o o s e < I > ( ¢ ) = c o s ( n ¢ ) f o r T M s o l u t i o n s a n d < I > ( 4 > ) = s i n ( n ¢ ) f o r T B s o l u t i o n s , t h e fi e l d c o m p o n e n t s w i l l h a v e s i m i l a r ( b - d e p e n d e n c e f o r b o t h T E a n d T M s o l u t i o n s . . F i n a l l y , s i n c e t h e i m p l i c i t t i m e - d e p e n d e n c e i s r e p r e s e n t e d b y e j ‘ “ , t h e d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n m a y b e c h o s e n i n t h e p o s i t i v e z - d i r e c t i o n b y a l l o w i n g Z ( z ) = e 7 7 % . v i “ a n d ( V a r e t h e n g i v e n b y 1 V " = A J n ( k , , ' " p ) c o s ( n 9 ) e - j k z z ( 3 - 3 2 ) v ’ = B I n d i e ) s m o t e ) e ' j k z z . U s i n g t / z m f r o m E q u a t i o n s ( 3 - 3 2 ) a n d p l u g g i n g i t i n t o E q u a t i o n s ( 3 - 2 9 ) , t h e T M fi e l d c o m p o n e n t s , i n c l u d i n g t h e n = 0 c a s e , a r e f o u n d t o b e m j w e H , - - a . g 1 , ( k , § " p ) s l n ( n e ) e ‘ j ‘ z ’ ( 3 - 3 6 ) ’ B % J e a s i e r ) c o s ( n ¢ ) e " ’ 7 " : = - - = - _ = E E E H H H p e : 4 P : , k J " p B 0 _ B — B k . e k c = B . " a J m ' a Z u 5 2 . k I , ( ‘ p p ) ‘ p k p n 7 n n r ( k J n J 0 . 1 . 1 I l l i c i t ' m ( p ) : p s e k ) n i s p ( » 4 > ) e ” 7 ‘ 1 1 s . r ) c n ( n n ( o n s ¢ ) d > ) ( n e . k ' 1 - e z - ” Z ‘ 2 " e ) ¢ ' 1 : ' 1 . 2 . ( ( ( ( ( ( 3 3 3 3 3 3 - - 3 4 9 0 4 4 4 4 1 2 3 4 ) ) ) ) ) ) 3 8 H 4 , = - A k p m J 1 i ( k p m p ) c o s ( n 4 > ) e fi k z z ( 3 ' 3 7 ) H = 0 . ( 3 - 3 8 ) T E fi e l d c o m p o n e n t s , f o r n 9 6 0 , f r o m E q u a t i o n s ( 3 - 3 1 ) w i t h W f r o m E q u a t i o n s ( 3 - 3 2 ) a r e g i v e n b y I f n = 0 , a l l T E fi e l d c o m p o n e n t s a r e z e r o e x c e p t E é , H p , a n d H z , w h i c h a r e g i v e n b y r : q b . - B k : J o ' ( k : p ) e ' j k z z ( 3 4 5 ) 3 9 e k k - - H , = - B i f : 1 5 ( k p ‘ p ) e ” : 2 ( 3 - 4 6 ) e 2 ' 1 : H z = B 1 . 2 ; ; 1 0 ( k p ‘ p ) e ’ 1 2 ‘ . ( 3 ' 4 7 ) T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n E t a m a t t h e w a v e g u i d e w a l l , i . e . , p = b , y i e l d s t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t s o n t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s k p m " : l n ( k ; " b ) = 0 ( 3 — 4 8 ) I e J n ( k p b ) = 0 . E q u a t i o n s ( 3 - 4 8 ) l e a d t o t h e f o l l o w i n g d e fi n i t i o n s f o r k p ° ’ m : k ’ " - K " ? P - 7 ( 3 - 4 9 ) X ! e _ n p " 9 ' T w h e r e A n } , i s p ' h z e r o o f I n a n d M P i s t h e p t h z e r o o f 1 ; . 3 . 5 T h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e 3 . 5 . 1 D e s c r i p t i o n o f t h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e A d i a g r a m o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i s s h o w n i n F i g u r e 3 - 2 . I t c o n s i s t s o f a c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e o f r a d i u s b , a n d a h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c m a t e r i a l r o d o f r a d i u s a , d i e l e c t r i c c o n s t a n t 6 1 , a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y i l l , l o c a t e d c o a x i a l l y i n s i d e t h e w a v e g u i d e . B e t w e e n t h e l o a d m a t e r i a l a n d t h e w a v e g u i d e w a l l s i s a h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c fi l l e r o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t 2 2 a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y 1 ‘ 1 2 . O f t e n i n p r a c t i c e t h e fi l l e r m a t e r i a l c o n s i s t s o f f r e e s p a c e o r a l o s s l e s s d i e l e c t r i c u s e d t o s u p p o r t t h e l o a d m a t e r i a l . t i l e ] = B i n d ( 1 6 : 1 p ) s i n ( n e 1 ¢ ) c . 1 7 1 2 . ( 3 ' 5 1 ) 4 O F i g u r e 3 - 2 C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e . 3 . 5 . 2 F i e l d s o f t h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e A s s h o w n i n F i g u r e 3 - 2 , t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i s d i v i d e d i n t o t w o r e g i o n s : r e g i o n 1 f o r p < a a n d r e g i o n 2 f o r a < p < b . F i e l d s i n e a c h o f t h e r e g i o n s m a y b e o b t a i n e d u s i n g t h e g e n e r a l s o l u t i o n s f o u n d i n S e c t i o n 3 . 3 . E x c e p t f o r o n e s p e c i a l c a s e , t h e c a s e n = 0 , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e o f t h e c o a x i a l l o a d e a n n o t b e m e t b y fi e l d s t h a t a r e e x c l u s i v e l y T M o r e x c l u s i v e l y T E t o 2 . I n s t e a d , a s u p e r p o s i t i o n o f T M a n d T E s o l u t i o n s , a s e x p r e s s e d b y E q u a t i o n ( 3 - 1 6 ) , m u s t b e i m p l e m e n t e d . W e b e g i n b y w r i t i n g d o w n t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n ( V s f o r t h e t w o w a v e g u i d e r e g i o n s . F i e l d c o m p o n e n t s f r o m t h e s e p o t e n t i a l s a r e f o u n d a s b e f o r e f o r t h e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d w a v e g u i d e b y s u b s t i t u t i n g t h e m i n t o E q u a t i o n s ( 3 - 2 9 ) a n d ( 3 - 3 1 ) . T h e s u p e r p o s i t i o n i s a c h i e v e d b y a d d i n g t h e t w o r e s u l t i n g s e t s o f e q u a t i o n s t o g e t h e r t o g e t a n e x p r e s s i o n f o r t h e t o t a l fi e l d . I n r e g i o n 1 , t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n s a r e g i v e n b y C a n ( k 2 D G n 2 ( p e = = i t ” V 2 N P M ; 2 1 0 ) = p z p ) ) k c o s ( n s i n ( n p ’ ; p ) e - m 2 2 ¢ ¢ ) ) e 1 7 c 1 . 7 2 " ' 2 1 “ 2 1 ? 2 ” , , ” ; " c a n ? ” ( ( ( 3 3 3 - ' - 5 5 5 2 3 4 ) ) ) k n n m 2 ( k p 2 b ) 1 m 2 ( 4 1 F o r n = 0 w e r e p l a c e t h e s i n e a n d c o s i n e f u n c t i o n s i n t h e a b o v e e q u a t i o n s b y a c o n s t a n t . N o t e t h a t t h e r a d i a l d e p e n d e n c e i n r e g i o n 1 , s i n c e i t c o n t a i n s p = 0 , c o n s i s t s o n l y o f B e s s e l ’ s f u n c t i o n s o f t h e fi r s t k i n d . I n r e g i o n 2 t h e r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n s a l s o i n c l u d e s B e s s e l ’ s f u n c t i o n s o f t h e s e c o n d k i n d . T h e p o t e n t i a l s i n r e g i o n 2 , w i t h t h e s a m e m o d i fi c a t i o n f o r t h e n = 0 e a s e a s f o r r e g i o n 1 , a r e g i v e n b y w h e r e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n 1 ' 2 2 m u a t p = b i s m e t b y r e q u i r i n g o m e n “ ; p ) = 1 x 1 4 2 ( I t ; 2 b ) J n ‘ 2 ( k p e 2 p ) - 1 4 . 2 0 9 3 b ) N n e 2 ( k : 2 p ) . ( 3 - 5 5 ) T h e c o m p o n e n t w a v e n u m b e r s k g ‘ l , 1 : 5 1 , k 3 , k a , 7 ' 1 " , 7 : , 7 ' 2 " , a n d 7 ; , a n d t h e a z i m u t h a l d e p e n d e n c e s " m 1 : n e 1 ' ” m 2 : a n d " e r a r e f o u n d i n t e r m s o f t h e f r e q u e n c y , t o , b y a p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f c o n t i n u o u s t a n g e n t i a l e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n r e g i o n s 1 a n d 2 . T h e a p p l i c a t i o n o f t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l s o r e d u c e s t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t w a v e n u m b e r s s u c h t h a t m e _ k p l = p l ' 3 k p l r n _ e m m e 7 1 = 7 1 = 7 2 = 7 2 E . 7 " m 1 = " e l = " m 2 = " : 2 2 5 " - 9 1 = ' [ A 7 w k £ 1 1 1 , n ( k p l p ) + 1 3 % J ¢ l = [ A — ‘ Y — % J H ( k p l p ) + k a l J E E n t ( k p 1 p ) t ( k p l : p ! c o s ( n t l > ) ] s i n ( n _ : - ) ¢ o ) : e , 1 7 z j 7 2 4 2 T h e s e p a r a t i o n e q u a t i o n s f o r t h e t w o r e g i o n s a r e 2 _ 2 . . . _ 2 2 k 1 p 2 2 . . . 2 2 k 2 - k p 2 + ' y . n 8 m N ' 1 : N 1 ( 3 - 5 7 ) T h e r a d i a l w a v e n u m b e r s , k a a n d k p z , a r e c o u p l e d i n E q u a t i o n ( 3 - 5 7 ) t h r o u g h 7 , t h e a x i a l w a v e n u m b e r c o m m o n t o b o t h r e g i o n s 1 a n d 2 , a n d t h r o u g h t o . W e m a y n o w w r i t e d o w n t h e fi e l d c o m p o n e n t s f o r e a c h r e g i o n . I n r e g i o n 1 t h e fi e l d s f o r n a ! 0 a r e g i v e n b y ( 0 3 1 2 k . E = A ” 1 J k c o s n e ' ” z v k p w i l l M I I - [ A % 1 n ( k p 1 p ) + B 2 1 : I 2 k . H I = 3 1 , 5 3 J n ( k p 1 p ) s i n ( n d > ) e ' J ‘ fl . l 1 1 ; , ( l < , , 1 l o ) ] s i n ( n 4 0 9 " . ” - - A l t 1 ' ] : a w n — “ 4 . 2 1 ( k p ) c o s ( n ¢ ) e ' j 7 z [ p l n ( p l w i l l ! ) n p l ( 3 - 5 8 ) ( 3 - 5 9 ) ( 3 ' 6 0 ) ( 3 - 6 1 ) ( 3 - 6 2 ) ( 3 - 6 3 ) ( p p k ) 7 é ‘ 2 z k o c g : E F ' a n n k ( F n ( . k 2 n p F ( 9 k = - [ C [ C E c ” 2 z k a j E E E s z 2 2 p ¢ : z = = = - [ C ' z 2 P ) + D p r ) + D a n ( 2 p ) 4 ” k a z G c o s ( n ¢ ' J ' 2 2 ) “ 7 e k : 2 P ) ] 0 0 3 p 2 p ) ] s i n _ . 1 9 3 p ) e ' j ' 0 ( 1 n 4 ( p k k ( z . ( n k p 2 p ) ] , 1 s n ( n 4 > ) e _ . " 2 ' z 7 i Z ; v G ( ( ( ( 3 3 3 3 ‘ - - - 6 6 7 6 7 8 0 9 ) ) ) ) 4 3 F o r n = O t h e a b o v e e x p r e s s i o n s r e m a i n v a l i d e x c e p t f o r E ¢ , H p , a n d H z w h i c h b e c o m e 1 5 ¢ , = k a 1 1 6 ( k p 1 p ) e - j 7 z ( 3 - 6 4 ) 7 k ] I - ' H = — B f J ( k w e ! “ 3 - 6 5 ) p l “ # 1 0 p l ( k 2 ' l T h e fi e l d e q u a t i o n s i n r e g i o n 2 f o r 1 1 ¢ 0 a r e g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 6 7 ) t h r o u g h ( 3 - 7 2 ) , 1 r d , , 2 = - [ C k p 2 F , ' , ( k p 2 p ) + D fi g o n a p z m ] c o s ( n w e ? “ ( 3 - 7 1 ) 6 ; , ( k p z p ) = N ; ( k , 2 b ) 1 ; , ( k p 2 p ) - 1 ; , ( k p 2 b ) N a ( k p 2 9 ) ( 3 - 7 9 ) 2 k . H : 2 = D ” 2 G n ( k , 2 p ) s i n ( n 4 0 6 1 ’ ” . ( 3 - 7 2 ) 2 J w i i F o r n = 0 , E q u a t i o n s ( 3 - 6 7 ) t h r o u g h ( 3 - 7 2 ) a r e c o r r e c t e x c e p t f o r E 4 ” H p , a n d H 2 w h i c h a r e g i v e n b y 1 3 , , 2 = k a z G é ( k p 2 p ) e - j 7 z ( 3 - 7 3 ) H 2 = — D 7 k ” 6 5 0 : 2 p ) e ’ i 7 ‘ ( 3 - 7 4 ) P ( 0 , 1 2 0 k 2 H = D _ ‘ i o k ‘ 1 ' “ . ‘ ( 3 - 7 5 ) : 2 j w fi z 0 ( p 2 1 0 ) 6 I n E q u a t i o n s ( 3 - 6 7 ) t h r o u g h ( 3 - 7 5 ) , t h e f u n c t i o n s F " , F ; , G " , a n d 0 ; , f r o m E q u a t i o n s ( 3 - 5 4 ) a n d ( 3 - 5 5 ) , a r e g i v e n b y F n ( k p 2 p ) = N n ( k p 2 b ) J , , ( k p z p ) - 1 , , ( k p 2 b ) N n ( k p z p ) ( 3 - 7 6 ) F n ( k 9 2 p ) = N n ( k p 2 b ) J n ( k 9 2 p ) ' J n ( k p Z b ) N n ( k 9 2 p ) ( 3 ' 7 7 ) G , . ( k , , 2 p ) = N ; , ( k , , 2 b ) J n ( 1 9 , 2 p ) - J , ' , ( k , , 2 b ) N , . ( k , 2 p ) ( 3 - 7 8 ) 4 5 3 . 5 . 3 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n f o r t h e C o a x i a l l y — L o a d e d W a v e g u i d e A p p l i c a t i o n o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n E n I n a n d H t a n a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n r e g i o n s 1 a n d 2 , i . e . , p = a , w a s m e n t i o n e d i n t h e p r e v i o u s S e c t i o n w i t h r e g a r d t o r e d u c i n g t o f o u r t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t w a v e n u m b e r s . T h e s e w e r e g i v e n b y [ t n 1 ' k p z , ‘ y , a n d n . A p p l i c a t i o n o f t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l s o p r o v i d e s s u f fi c i e n t i n f o r m a t i o n f o r c a l c u l a t i o n o f a l l c o m p o n e n t w a v e n u m b e r s , f o r a g i v e n n , a s a f u n c t i o n o f t h e e x c i t a t i o n f r e q u e n c y , 6 : . I n a d d i t i o n , t h e c o e f fi c i e n t s B , C , a n d D m a y b e f o u n d i n t e r m s o f A s u c h t h a t t h e fi e l d s f o r a g i v e n I t m a y b e c a l c u l a t e d a s a u n i q u e f u n c t i o n o f a : w i t h A a s a n a r b i t r a r y a m p l i t u d e c o e f fi c i e n t . T h e t a n g e n t i a l fi e l d c o m p o n e n t s a t p = a a r e E ¢ , E 2 , 1 1 4 , , a n d H z . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t a n g e n t i a l fi e l d c o m p o n e n t s a c r o s s a n i n t e r f a c e o f fi n i t e c o n d u c t i v i t y i s t h a t t h e y m u s t b e c o n t i n u o u s . E n f o r c i n g c o n t i n u i t y o f E 4 , a t p = a w e h a v e n r A 2 % . ] . 3 1 , 0 t h 0 ) + k a 1 1 n ( k p l a ) ( 3 - 8 0 ) . . ‘ 7 n ' - C I D — g — a - F n a c p z a ) + k a z G n ( k p 2 0 ) ' A s i m i l a r e q u a t i o n r e s u l t s f r o m t h e c o n t i n u i t y o f H 4 ) , A k J ' k 1 3 . 1 . 2 1 k p l n ( p l a ) + W 1 1 0 n ( p l “ ) ( 3 - 8 1 ) = C k F ' k D L E G k a . p 2 n ( p 2 0 ) + w fi z a n ( p 2 ) F r o m t h e c o n t i n u i t y o f E 2 a n d o f H z , 1 ‘ 2 1 k z z 3 8 2 { T 1 , ( k p l a ) - c é r n a t p z a ) = o ( ‘ ) 4 6 k 2 k 2 B fi l n a p l a ) - D - a n k p z a ) = 0 . ( 3 - 8 3 ) E q u a t i o n s ( 3 - 8 0 ) t h r o u g h ( 3 - 8 3 ) m a k e i t c l e a r w h y i t i s n o t p o s s i b l e i n g e n e r a l t o e x c i t e a p u r e l y T M o r T E m o d e i n t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e . F o r e x a m p l e , i f B a n d D w e r e b o t h z e r o , i . e . , t h e fi e l d s c o n s i s t o f t h e T M c o n t r i b u t i o n o n l y , E q u a t i o n ( 3 - 8 2 ) w o u l d p r o v i d e a v a l u e f o r C i n t e r m s o f A . T h e n H 4 , c o u l d b e m a d e c o n t i n u o u s b y s o m e c o n s t r a i n t o n k a a n d k p z i n t e r m s . o f a ) , r e m e m b e r i n g t h a t k p ] a n d k p z a r e n o t b o t h i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s s i n c e t h e y a r e l i n k e d b y t h e s e p a r a t i o n e q u a t i o n s . H o w e v e r , u n l e s s n = 0 , t h a t p r o c e s s l e a v e s E 4 , d i s c o n t i n u o u s . A s i m i l a r a r g u m e n t c a n b e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h a t T E s o l u t i o n s a l o n e w i l l n o t p r o v i d e s o l u t i o n s w h i c h m e e t a l l o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s u n l e s s n = 0 . I t i s c o n v e n i e n t t o m a k e t h e f o l l o w i n g a b b r e v i a t i o n s : J a 1 , , ( k p l a ) , J ’ a 1 ; , ( k p l a ) , F a 1 2 , , ( k p 2 a ) , F ' F ; ( k p 2 a ) , ( 3 - 8 4 ) G E G n ( k p 2 0 ) ’ G , ' 1 5 G ; ( k p 2 0 ) . U s i n g t h e s e a b b r e v i a t i o n s , E q u a t i o n s ( 3 - 8 0 ) t h r o u g h ( 3 - 8 3 ) m a y b e w r i t t e n i n a s i n g l e h o m o g e n e o u s m a t r i x e q u a t i o n a s k p J ’ k s z ' 4 . 2 1 . 1 7 2 0 " A ' ' 0 ‘ w i l l a w u z a : 2 I r } , J a , [ ( 0 2 2 r o o ‘ C 0 = ( 3 - 3 5 ) _ 7 _ . L ' . J L 2 1 : k J ’ k G ’ ( 0 & 1 a ( 0 3 2 0 p l p 2 B 0 o o “ k 2 J “ k 2 G - D o L # 2 p l # 1 p 2 . _ l - J 4 7 T h e w e l l - k n o w n s o l u t i o n t o t h e h o m o g e n e o u s m a t r i x e q u a t i o n i s t h a t t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x i s e q u a l t o z e r o . A l s o t h e f o u r fi e l d c o e f fi c i e n t s i n t h e c o l u m n v e c t o r a r e n o t i n d e p e n d e n t . T h r e e o f t h e m m a y b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e f o u r t h . C a l c u l a t i o n o f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x o f E q u a t i o n ( 3 - 8 5 ) y i e l d s t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , V a W " - n 2 ( 7 3 e 0 ( 3 - 8 6 ) w h e r e , V n = k p l k p 2 ( fi l k p 2 J ’ G ' fi z k l e G ' ) ( 3 ' 8 7 ) W u = k p l k p z fi l k p z l ' r - é z k p l l F ’ ) ( 3 - 8 8 ) ~ _ ' y 2 _ 2 - U n - R ( k p i p 2 ) J \ / F G - ( 3 8 9 ) T h i s e q u a t i o n i s t r u e r e g a r d l e s s o f t h e t y p e o f s o l u t i o n s c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e a x i a l v a r i a t i o n o f t h e fi e l d s . H o w e v e r , a s n o t e d b e l o w , t h e m o d e c o e f fi c i e n t s d o v a r y w i t h t h e t y p e o f s o l u t i o n s c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e a x i a l v a r i a t i o n . A s t h e s e e q u a t i o n s d e m o n s t r a t e , f o r t h e g e n e r a l n 9 6 0 c a s e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d fi e l d c o e f fi c i e n t e x p r e s s i o n s a r e r a t h e r c o m p l i c a t e d . H o w e v e r , i f n = 0 t h e n t h e m a t r i x o f E q u a t i o n ( 3 - 8 5 ) , t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , a n d t h e fi e l d c o e f fi c i e n t s a r e a l l g r e a t l y s i m p l i fi e d . T h e m a t r i x e q u a t i o n f o r t h e c a s e n = 0 i s s h o w n b e l o w i n E q u a t i o n ( 3 - 9 0 ) . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e m a t r i x i s r e s o l v e d i n t o t w o i n d e p e n d e n t s u b - m a t r i c e s . I f t h e d e t e r m i n a n t o f e i t h e r o f t h e s u b - m a t r i c e s i s z e r o t h e n t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c o m p o s i t e m a t r i x i s z e r o . T h e u p p e r l e f t s u b - m a t r i x c o r r e s p o n d s t o t h e fi e l d c o e f fi c i e n t s A a n d C w h i c h w e r e a s s i g n e d t o t h e T M c o n t r i b u t i o n i n E q u a t i o n s ( 3 - 5 0 ) a n d ( 3 - 5 2 ) . S i m i l a r l y , t h e l o w e r r i g h t s u b - m a t r i x c o r r e s p o n d s t o t h e fi e l d c o e f fi c i e n t s B a n d D w h i c h w e r e a s s i g n e d t o t h e T B c o n t r i b u t i o n i n E q u a t i o n s ( 3 - 5 1 ) a n d ( 3 - 5 3 ) . p 7 : 2 1 : 3 1 ] 0 F r o m E q u a t i o n ( 3 - 9 0 ) t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r n = O i s g i v e n b y , k p Z F ' 0 2 : 1 1 : 3 2 F o 0 k n J ’ a 2 a 2 0 I ‘ z k p 1 J 1 1 1 1 ( s z - 4 8 0 - A O - C k p G ' B . - D - V 0 W 0 = 0 , 0 ( 3 - 9 0 ) ( 3 - 9 1 ) w h e r e V 0 a n d W 0 a r e g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 8 7 ) a n d ( 3 - 8 8 ) w h e n n = 0 . E q u a t i o n ( 3 - 9 1 ) i s c o n s i s t e n t w i t h t h e n = 0 s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 3 - 8 6 ) . E q u a t i o n ( 3 - 9 1 ) i s t r u e f o r e i t h e r 7 0 = 0 , o r W 0 = 0 . I f 9 0 = 0 , t h e n t h e s o l u t i o n s a r e T E ; i f W = 0 , t h e s o l u t i o n s a r e T M . F o r p r o g r a m m i n g p u r p o s e s i t i s b e s t t o w r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i n d i m e n s i o n l e s s f o r m . T h i s m a y b e a c c o m p l i s h e d b y m u l t i p l y i n g E q u a t i o n ( 3 - 8 6 ) b y w z a 2 2 2 k p l k p z G o fl o w h e r e E I I U n " o k y a ( _ p _ l k p z . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n b e c o m e s 2 V a n - a n n = 0 , A V " = k o a ( fl k p z a J ' G - 2 p l a J G ' ) p O A E l , 6 2 , k o a ( _ k p 2 a J r - _ p l a n “ ) 6 0 6 0 k - k _ " 2 . ) J \ / F G . 1 p I f n = 0 : T E s o l u t i o n s — V n = 0 , T M s o l u t i o n s — W , = 0 . ( 3 - 9 2 ) ( 3 - 9 3 ) ( 3 - 9 4 ) ( 3 - 9 5 ) 4 9 T h e fi e l d c o e f fi c i e n t s a r e n o t a l t e r e d b y w r i t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i n d i m e n s i o n l e s s f o r m . T h e c o e f fi c i e n t s B , C , a n d D a r e g i v e n i n t e r m s o f A f o r t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s a s 3 : , ” k ° . ’ i l 2 % ( 3 - 9 6 ) ( 3 - 9 7 ) 0 I h e D = A n _ , _ _ _ e _ 1 . _ ’ _ _ y _ " ( 3 - 9 8 ) F o r a x i a l s t a n d i n g w a v e s t h e c o e f fi c i e n t s B a n d D a s g i v e n a b o v e m u s t b e m u l t i p l i e d b y - j , o r b y + j i f h y p e r b o l i c f u n c t i o n s a r e u s e d t o r e p r e s e n t t h e a x i a l d e p e n d e n c e . C i s n o t a f f e c t e d b y a c h a n g e f r o m t r a v e l i n g t o s t a n d i n g w a v e s . I n t h e c a s e o f T M s o l u t i o n s , t h e fi e l d c o e f fi c i e n t s B a n d D a r e s e t t o z e r o a n d C i s g i v e n i n t e r m s o f A b y E q u a t i o n ( 3 - 9 7 ) a b o v e . F o r T E s o l u t i o n s A a n d C a r e s e t t o z e r o w i t h D g i v e n i n t e r m s o f B , r e g a r d l e s s o f a x i a l d e p e n d e n c e , b y a 2 2 . ( 3 - 9 9 ) , 2 , k p 2 G D : T h e fi e l d s o l u t i o n s a n d c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e w i l l b e u s e d e x t e n s i v e l y i n t h e n e x t C h a p t e r f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y . A s i n d i c a t e d a b o v e , t h e fi e l d c o e f fi c i e n t s w i l l c h a n g e s l i g h t l y d e p e n d i n g u p o n t h e e i g e n f u n c t i o n s c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e a x i a l d e p e n d e n c e . S i n c e i t i s o f t e n c o n v e n i e n t t o c h o o s e v a r i o u s a x i a l d e p e n d e n c e s f o r t h e c a v i t y s o l u t i o n , a fi e l d s o l u t i o n f o r g e n e r a l i z e d a x i a l d e p e n d e n c e s w i l l b e d e v e l o p e d . H o w e v e r , t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) , w i l l b e u s e d w i t h o u t a l t e r a t i o n . C h a p t e r 4 T H E L O S S Y - L O A D E D C Y L I N D R I C A L C A V I T Y 4 . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s C h a p t e r i s c o n c e r n e d w i t h e x t e n d i n g t h e w a v e g u i d e s o l u t i o n s f o u n d i n t h e l a s t C h a p t e r t o c a v i t i e s w i t h c y l i n d r i c a l c r o s s s e c t i o n . T h e a x i a l b o u n d a r i e s i m p o s e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n t o a c a v i t y s y s t e m d i s c r e t i z e s t h e w a v e n u m b e r s n o n - u n i f o r m l y . T h e w a v e n u m b e r c a n n o l o n g e r b e c o n s i d e r e d a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t h e a x i a l w a v e n u m b e r , i . e . , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e d i s c r e t e v a l u e s w h i c h a r e d e t e r m i n e d b y t h e c a v i t y e i g e n v a l u e e q u a t i o n f o r a n i n fi n i t e s e t o f d i s c r e t e n a t u r a l m o d e s . F o r t h e l o s s l e s s c a s e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e r e a l a n d c o r r e s p o n d t o t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f t h e l o a d e d c a v i t y . T h e p r e s e n c e o f l o s s i n t h e c a v i t y w a l l s o r i n t h e m a t e r i a l i n s i d e t h e c a v i t y c a u s e s t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o b e c o m e c o m p l e x . I n t h e l i m i t a s l o s s e s a p p r o a c h z e r o , t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c i e s a p p r o a c h t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f t h e l o s s l e s s s y s t e m , s o t h a t b o t h l o s s l e s s a n d l o s s y c a v i t y s o l u t i o n s m a y b e o b t a i n e d f r o m t h e s o l u t i o n f o r t h e l o s s y c a v i t y . T h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d h e r e w i l l b e f o r g e n e r a l l o s s y l o a d s a n d m a y b e s p e c i a l i z e d t o t h e l o s s l e s s c o n d i t i o n s i m p l y b y s e t t i n g t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o r m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y f o u n d i n E q u a t i o n s ( 3 - 9 ) t o z e r o . I n t h i s C h a p t e r t h r e e c a v i t y / l o a d c o n fi g u r a t i o n s w i l l b e c o n s i d e r e d . F i r s t t h e m o d e s o f t h e c a v i t y h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w i t h a l o s s y d i e l e c t r i c w i l l b e d i s c u s s e d . W h i l e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d c a v i t i e s a r e c o m m o n l y d i s c u s s e d i n s t a n d a r d t e x t b o o k s , 1 t h e s e d i s c u s s i o n s a r e f o r l o s s l e s s l o a d i n g s . A s o l u t i o n f o r a c a v i t y h o m o g e - n e o u s l y fi l l e d w i t h a l o s s y d i e l e c t r i c , w h i l e n o t r e p r e s e n t i n g a s t a n d a r d p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n , p r o v i d e s a s i m p l e e x p r e s s i o n f o r t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y w h i c h i l l u s t r a t e s h o w l o s s e s a f f e c t c a v i t y b e h a v i o r . F o r s i m p l i c i t y , t h i s s o l u t i o n i s g i v e n f o r ‘ H a r r i n g t o n , 2 1 3 - 1 6 ; R . E . C o l l i n , F o u n d a t i o n s f o r M i c r o w a v e E n g i n e e r i n g ( N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 6 ) , 3 2 6 - 2 9 ; J a c k s o n , 3 5 4 - 5 6 ; C . G . M o n t g o m e r y , T e c h n i q u e o f M i c r o w a v e M e a s u r e m e n t s ( N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 4 7 ) , 2 9 7 f f . 5 0 5 1 a m a t e r i a l w i t h a r e a l m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y a n d a c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t , o r v i c e - v e r s a . S e c o n d l y , a s o l u t i o n i s g i v e n f o r a c a v i t y c o a x i a l l y l o a d e d w i t h a l o s s y c y l i n d r i c a l m a t e r i a l w h i c h e x t e n d s t h e e n t i r e a x i a l l e n g t h o f t h e c a v i t y . T h i s i s t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 - 3 o f C h a p t e r 1 a n d d e s c r i b e d m o r e f u l l y b e l o w . T h e s o l u t i o n f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i s a s i m p l e e x t e n s i o n o f t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e s o l u t i o n , r e q u i r i n g o n l y a n a d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n o n t h e a x i a l w a v e n u m b e r , ' y , a s d i s c u s s e d b e l o w . F i n a l l y , a s o l u t i o n i s p r e s e n t e d f o r a c a v i t y c o a x i a l l y l o a d e d w i t h a l o s s y c y l i n d r i c a l m a t e r i a l o f l e n g t h l e s s t h a n t h e c a v i t y l e n g t h , i . e . , c a v i t y - o p e n o r c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n s , s h o w n i n F i g u r e s 1 - 2 a n d 1 — 4 o f C h a p t e r 1 . T h e s e s o l u t i o n s a r e m u c h m o r e c o m p l i c a t e d t h a n e i t h e r o f t h e fi r s t t w o , r e q u i r i n g e x p r e s s i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s i n t h e c a v i t y a s i n fi n i t e m o d a l e x p a n s i o n s w h i c h a r e m a t c h e d a t t h e a x i a l l o a d - m a t e r i a l b o u n d a r i e s . T h e m e t h o d i s c a l l e d m o d e - m a t c h i n g a n d h a s b e e n p r e v i o u s l y e m p l o y e d f o r t h e l o s s l e s s c a s e . 2 T h e q u e s t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e d r i v e n r e s p o n s e o f t h e c a v i t y i s r e s e r v e d f o r C h a p e r 6 . S i n c e c a l c u l a t i o n o f e n e r g y s t o r e d a n d d i s s i p a t e d a t s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e d e p e n d s o n t h i s r e l a t i o n s h i p , i t w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 a s w e l l . 4 . 2 T h e L o s s y H o m o g e n e o u s l y F i l l e d C a v i t y T h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s i n t h e c y l i n d r i c a l c a v i t y fi l l e d w i t h a h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c m a t e r i a l a r e s i m i l a r t o t h o s e f o u n d i n t h e s i m i l a r l y fi l l e d w a v e g u i d e , b u t w i t h s t a n d i n g w a v e s i n s t e a d o f t r a v e l i n g w a v e s i n t h e a x i a l d i r e c t i o n . T h e c a v i t y i s c o n s t r u c t e d b y p l a c i n g s h o r t i n g p l a t e s a t e i t h e r e n d o f a s e c t i o n o f w a v e g u i d e . F i x i n g t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s a t o n e e n d o f t h e c a v i t y , a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 1 , t h e v e c t o r p o t e n t i a l m a g n i t u d e s s i x “ a n d i f f o r t h e c a v i t y a r e g i v e n b y 2 K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a ; Z a k i a n d C h e n , “ N e w R e s u l t s ” ; V i g n e r o n a n d G u i l l o n . N > 5 2 F i g u r e 4 - 1 H o m o g e n e o u s l y F i l l e d C y l i n d r i c a l C a v i t y . e m = A J n ( k p m p ) c o s ( n o ) c o s ( k z z ) ( 4 - 1 ) t / x ‘ = B J n ( k p e p ) s i n ( n t p ) s i n ( k z z ) . E q u a t i o n s ( 4 - 1 ) , w i t h E q u a t i o n s ( 3 - 2 9 ) a n d ( 3 - 3 1 ) , p r o v i d e fi e l d s o l u t i o n s s i m i l a r t o t h o s e f o r t h e w a v e g u i d e i n E q u a t i o n s ( 3 - 3 3 ) t h r o u g h ( 3 - 4 7 ) . T h e T M fi e l d c o m p o n e n t s , i n c l u d i n g t h e n = 0 c a s e , a r e g i v e n e x p l i c i t l y a s , A . . _ Z " P I P ° 4 - 2 5 4 , = A , _ _ % J n o t n p . 3 . ) s i n ( n o ) s i n ( k z z ) ( 4 - 3 ) Ip E ‘ 9 s - z _ p b _ J ' ( ” I W A p b . — . 8 ) 1 n ( n ¢ ) s ' 1 n k ( z z ) 5 3 2 A 3 _ b _ " £ 1 , 0 , , % ) c o s ( m i ) c o s ( k z z ) I H l g , = = . 4 ‘ j S ) E I - A % 1 , 1 a n 1 % ) s i n ( n o ) c o s ( k z z ) 5 : I I i t - A — ; — p 1 , “ a n g . ) c o s ( n ¢ ) c o s ( k z z ) T E fi e l d c o m p o n e n t s , f o r n 9 6 0 , a r e g i v e n b y E D = — B % J u m p ? c o s ( n c b ) s i n ( k z z ) k ) t ’ , p 1 . 6 : } 2 _ ; £ J , ' , ( ) \ , ’ , p % ) s 1 n ( n ¢ ) c o s ( k z z ) k z n r P H 4 , = B . . ; J n O t a n ) c o s ( n q b ) c o s ( k z z ) J e n i i l 3 K ' 2 H z = B 1 7 0 ; i i ” . J n ( ) t , ' , p % ) s i n ( n d i ) s i n ( k z z ) . ( 4 - 4 ) ( 4 - 5 ) ( 4 - 6 ) ( 4 - 7 ) ( 4 - 8 ) ( 4 - 9 ) ( 4 - 1 0 ) ( 4 - 1 1 ) ( 4 - 1 2 ) ( 4 - 1 3 ) I f n = 0 , a l l T E fi e l d c o m p o n e n t s a r e z e r o e x c e p t E 4 ” p , a n d H z , w h i c h a r e g i v e n b y 5 4 x ' , 1 5 ¢ = 3 Z P l g o g p g ) s 1 n ( k z z ) ( 4 - 1 4 ) H = 3 k : “ P r , p k ' ( 4 - 1 5 ) " j e t : b ° 0 ‘ ° P 3 ) ° ° S ( Z Z ) , 2 H = B _ . 1 _ . > ‘ _ ° E J ( x ' £ ) s i n ( k z ) ( 4 - 1 6 ) Z j a i fi b 2 O O p b Z ° T h e s e s o l u t i o n s m e e t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n E u m a t t h e s h o r t i n g p l a t e l o c a t e d a t t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s . T o m e e t t h e s a m e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e o t h e r e n d o f t h e e a v i t y , a c o n s t r a i n t m u s t b e p l a c e d o n k Z s u c h t h a t k = 1 1 , ( 4 - 1 7 ) Z L s w h e r e q i s a n i n t e g e r a n d L s i s t h e c a v i t y l e n g t h a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 1 . D u e t o t h e c o n s t r a i n t s o n k p a n d k z i n E q u a t i o n s ( 3 - 4 9 ) a n d ( 4 - 1 7 ) , k , h e n c e t h e f r e q u e n c y ( 2 ) , m a y t a k e o n o n l y c e r t a i n d i s c r e t e v a l u e s , d e fi n e d f o r T M s o l u t i o n s b y E q u a t i o n ( 4 - 1 8 ) b e l o w . A s i m i l a r e q u a t i o n e x i s t s f o r T B fi e l d s w i t h k n ] , r e p l a c e d b y M P “ A t e a c h d i s c r e t e v a l u e o f t i ) , e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y m a y r e s i d e i n t h e c a v i t y i n t h e s t a n d i n g w a v e p a t t e r n s d e s c r i b e d a b o v e . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s t h e c a v i t y i s s a i d t o r e s o n a t e i n a c e r t a i n m o d e . T h e fi e l d s m a y b e e i t h e r T M o r T E t o z , a n d t h e i r u n i q u e m o d a l fi e l d p a t t e r n s a r e p r e s c r i b e d b y t h e i n t e g e r v a l u e s n , p , a n d q . T h e m o d e s m a y t h e n b e d e s i g n a t e d i n s h o r t h a n d f o r m b y e i t h e r T M , “ o r T E R M . _ 2 2 ( 4 1 8 ) [ a w - : 1 T h e a b o v e r e s u l t s a r e v a l i d w h e t h e r t h e m a t e r i a l i n s i d e t h e c a v i t y i s l o s s l e s s o r l o s s y . H o w e v e r , w h e n t h e m a t e r i a l i s l o s s y , E q u a t i o n ( 4 - 1 8 ) c o n s t r a i n s t 3 t o b e c o m p l e x , s i g n i fi e d b y t h e h a t s y m b o l ( ‘ ) o v e r t o . T h i s i s e v i d e n t s i n c e t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q u a t i o n ( 4 - 1 8 ) o r i t s s q u a r e i s p u r e l y r e a l . I n o r d e r f o r t h e l e f t h a n d s i d e t o 5 5 b e p u r e l y r e a l a s w e l l , t h e f r e q u e n c y m u s t b e c o m p l e x s u c h t h a t I m ( l 2 1 2 £ t € ) = o , ( 4 ' 1 9 ) 2 2 R e ( t 2 1 2 f t é ) = [ % ] + [ £ 1 1 . ] , ( 4 - 2 0 ) T h e c o m p l e x r a d i a n f r e q u e n c y , 6 3 , m a y b e w r i t t e n a s ( 4 - 2 1 ) c ’ b = w ' + j w " , w h e r e c o ' i s t h e r e a l p a r t a n d w " i s t h e i m a g i n a r y p a r t o f 6 ) . N e g l e c t i n g m a g n e t i c l o s s , i . e . , s e t t i n g p " = 0 , E q u a t i o n ( 4 - 1 9 ) i m p l i e s t h a t d o " i s g i v e n i n t e r m s o f w ' b y w " = w ' ‘ 6 ' i ' 3 ' . ( 4 - 2 2 ) E i t h e r s i g n m a y b e c h o s e n a s l o n g a s i t i s u s e d c o n s i s t e n t l y t h r o u g h o u t . T h e s a m e a n s w e r f o r t 2 ) r e s u l t s . I t i s w o r t h c o m m e n t i n g t h a t , f r o m E q u a t i o n ( 4 - 2 2 ) , i t i s e v i d e n t t h a t v a l u e s f o r s = j 6 : d o n o t f a l l i n t o c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s . I n o r d e r t o c o n s i d e r t h e r e s o n a n t c a v i t y i n t e r m s o f c i r c u i t a n a l y s i s , i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e s ’ s c o m e i n c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s . E q u a t i o n ( 4 - 2 2 ) d o e s n o t n e c c e s s a r i l y p r e s e n t a c o n t r a d i c t i o n , h o w e v e r , b e c a u s e t h e n a t u r a l m o d e r e s o n a n c e s d o n o t i n d i v i d u a l l y f o r m i n d e p e n d e n t c i r c u i t s ; a s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s o n a n c e i s c o m p o s e d o f c o n t r i b u t i o n s f r o m a l l t h e n a t u r a l m o d e s , d o m i n a t e d b y t h e n a t u r a l m o d e n e a r e s t i n f r e q u e n c y . U s i n g E q u a t i o n s ( 4 - 2 0 ) a n d ( 4 - 2 2 ) a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r a : f o r e a c h i n t e g e r v a l u e i t , p , a n d q m a y b e d e r i v e d : 8 ) l l l + 2 2 [ h e ] i 2 : 1 b L s z fl l e I Z ( 4 ‘ 2 3 ) x ( w e : + i j 2 | ) . 5 6 T h e c h o i c e o f t h e p o s i t i v e s i g n i n E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) i s t h e o n l y p h y s i c a l l y r e a l i z a b l e s o l u t i o n . E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) m a y a l s o b e u s e d t o e x p l o r e c a v i t y r e s o n a n c e s f o r m a g n e t i c l o s s w i t h a l o s s l e s s d i e l e c t r i c . S i n c e 3 a n d i t a r e s y m m e t r i c i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 9 ) a n d ( 4 - 2 0 ) , E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) m a y b e r e c o n s t r u c t e d f o r m a g n e t i c l o s s b y r e p l a c i n g s y m b o l s 6 w i t h p a n d v i c e - v e r s a . 4 . 3 C o a x i a l l y l o a d e d C a v i t y C o n f i g u r a t i o n s T h e g e n e r a l c o n fi g u r a t i o n o f t h e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y i s s h o w n b e l o w i n F i g u r e 4 - 2 . A s s h o w n i n F i g u r e 4 - 2 , t h e l o a d o f r a d i u s a a n d l e n g t h l i s l o c a t e d c o a x i a l l y i n t h e c a v i t y a t a h e i g h t h a b o v e t h e b o t t o m . W h e n t h e l o a d l e n g t h l i s l e s s t h a n t h e c a v i t y l e n g t h L S , t h i s c o n fi g u r a t i o n i s r e f e r r e d t o a s c a v i t y - o p e n t y p e “ F i g u r e 4 - 2 s h o w s t h e c a v i t y d i v i d e d i n t o t h r e e r e g i o n s . R e g i o n s I a n d H I c o n s i s t o f h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w a v e g u i d e , w h i l e R e g i o n H c o n s i s t s o f a s e c t i o n o f c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e . R e g i o n s I a n d H I a r e b o u n d e d b y s h o r t i n g p l a t e s a t e i t h e r e n d o f t h e c a v i t y . R e g i o n I R e g i o n H R e g i o n H I F i g u r e 4 - 2 G e n e r a l C a v i t y - O p e n T y p e C o n fi g u r a t i o n . 1 " T h e c a v i t y c o n fi g u r a t i o n n o t a t i o n , a s n o t e d i n C h a p t e r 2 , i s t h a t u s e d b y K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a . § \ \ \ s \ \ \ \ § 5 7 T h e g e n e r a l c o a x i a l l y l o a d e d c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e 4 - 2 m a y t a k e o n t w o s p e c i a l c a s e c o n fi g u r a t i o n s f o r v a r i a t i o n s i n l o a d l e n g t h . T h e fi r s t s p e c i a l c a s e , c a l l e d t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n , i s f o r a l o a d w h i c h e x t e n d s t h e e n t i r e c a v i t y l e n g t h . T h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n c o n s i s t s o f a s e c t i o n o f c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e , a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s C h a p t e r i n S e c t i o n 3 . 5 a n d s h o w n i n F i g u r e 3 - 2 , w i t h s h o r t i n g p l a t e s o n e i t h e r e n d . A l l a z i m u t h a l c r o s s s e c t i o n a l d i a g r a m o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y c o n fi g u r a t i o n i s s h o w n b e l o w i n F i g u r e 4 - 3 . . L o a d / M a t e r i a l b J T “ a E : 2 ” 2 _ ¥ _ F i g u r e 4 - 3 C a v i t y - S h o r t T y p e C o n fi g u r a t i o n . A s e c o n d s p e c i a l c a s e i s r e f e r r e d t o a s t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n . I n t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n t h e l o a d r e s t s a t o n e e n d o f t h e c a v i t y a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 4 . T h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n i s c o m p o s e d o f t w o r e g i o n s . R e g i o n I c o n s i s t s o f a h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w a v e g u i d e s h o r t e d a t o n e e n d . R e g i o n H c o n s i s t s o f a c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n s h o r t e d a t t h e e n d a w a y f r o m R e g i o n I . T h e s h o r t i n g p l a n e w h i c h b o u n d s R e g i o n H m a y b e e i t h e r a p e r f e c t e l e c t r i c a l c o n d u c t o r , i n w h i c h c a s e t h e t r a n s v e r s e e l e c t r i c fi e l d i s s h o r t e d , o r a p e r f e c t “ m a g n e t i c c o n d u c t o r , ” i n w h i c h c a s e t h e t r a n s v e r s e m a g n e t i c fi e l d i s s h o r t e d . I n t h e 5 8 fi r s t c a s e , t h e R e g i o n I I s h o r t i n g p l a t e a p e r f e c t e l e c t r i c a l c o n d u c t o r , t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n i n c l u d e s t w o c a s e s . I t i n c l u d e s t h e c a s e w h e r e t h e l o a d s i t s o n o n e e n d o f t h e c a v i t y a n d t h e c a s e f o r a x i a l l y e v e n m o d e s w h e r e t h e l o a d i s l o c a t e d i n t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y , r e f e r r i n g t o F i g u r e 4 - 2 , a t h = 1 1 2 L 3 . I n t h e s e c o n d c a s e , t h e R e g i o n I I s h o r t i n g p l a t e a p e r f e c t “ m a g n e t i c c o n d u c t o r , ” t h e a x i a l l y o d d m o d e s f o r a l o a d i n t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y m a y b e f o u n d . T a k i n g a d v a n t a g e o f a x i a l s y m m e t r y b y f o r m u l a t i n g s o l u t i o n s t o t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n , w h e n h = 1 1 2 L 3 , a s e v e n o r o d d c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n s g r e a t l y r e d u c e s t h e n u m b e r o f n u m e r i c a l o p e r a t i o n s r e q u i r e d t o s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c d e t e r m i n a n t . - r - ‘ 1 - é l fi l b R e g i o n I a L o a d E ? M a t e r i a l 2 _ _ \ _ e * / " 2 9 2 % _ l _ R e g i o n I [ 2 . 1 . F i g u r e 4 - 4 C a v i t y - I m a g e T y p e C o n fi g u r a t i o n . 4 . 4 T h e C a v i t y - S h o r t T y p e C o n f i g u r a t i o n T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e e a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i s f o u n d i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t f o l l o w e d f o r t h e h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d c a v i t y i n S e c t i o n 4 . 2 . T h e e i g e n f r e q u e n c i e s o f t h e h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d c a v i t y w e r e f o u n d b y r e q u i r i n g t h e a x i a l d e p e n d e n c e o f t h e fi e l d s f o r t h e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d w a v e g u i d e t o b e r e p r e s e n t e d b y s t a n d i n g w a v e s o l u t i o n s i n s t e a d o f t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s . T h e n t h e V ” = A 1 , . ( k p V 2 = D ( 3 , , ( k p t 2 p ) c o s < n ¢ ) 0 0 8 ( 7 2 ) m o p ) s i n ( n e ) s i n ( y z ) . ( 4 - 2 7 ) 5 9 a x i a l w a v e n u m b e r w a s c o n s t r a i n e d i n o r d e r t o m e e t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s h o r t i n g p l a t e s . F o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n t h e s a m e p r o c e d u r e i s f o l l o w e d e x c e p t n o w t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s a r e g i v e n b y t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e c h a r a c t e r i s - t i c e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) , i n s t e a d o f t h e h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 3 - 4 8 ) . W i t h 2 = 0 a t o n e e n d o f t h e c a v i t y , t h e fi e l d p o t e n t i a l f u n c t i o n s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i n t h e l o a d e d r e g i o n , r e g i o n 1 , a r e g i v e n b y i t " = 1 3 1 , 0 9 , 1 p ) s i n ( n o ) s i n ( y z ) . ( 4 - 2 5 ) F o r n = 0 w e r e p l a c e t h e ¢ - d e p e n d e n c e i n t h e a b o v e e q u a t i o n s b y a c o n s t a n t . T h e p o t e n t i a l s i n r e g i o n 2 , w i t h t h e s a m e m o d i fi c a t i o n f o r t h e n = 0 c a s e a s f o r r e g i o n 1 , a r e g i v e n b y V ” = € 1 2 , 0 9 2 p ) 9 0 8 m b ) c o s ( y z ) ( 4 - 2 6 ) A s i n t h e c a s e o f t h e h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d c a v i t y , i n o r d e r t o m e e t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t z = L s , t h e a x i a l w a v e n u m b e r m u s t b e a n i n t e g e r n u m b e r o f h a l f - w a v e l e n g t h s , i . e . , = q 7 " , 4 - 2 8 T h e s e p a r a t i o n e q u a t i o n s f o r e a c h r e g i o n , f r o m E q u a t i o n s ( 3 - 5 7 ) f o r t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e , a r e H , “ = [ - A k p l l ; ( k p 1 p ) + B J — ‘ a Y T ‘ l g j n ( k p l p ) ] c o s ( n ¢ > ) c o s ( v z ) ( 4 ' 3 4 ) 6 0 _ 5 2 0 A _ 2 q t z k 1 “ w e l / ‘ l - k p l + ( 1 : ) ( 4 - 2 9 ) 2 . . . 2 1 ‘ 2 “ 2 6 2 % = k p 2 * ( q T : ) 2 - T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) w i t h ' y a s g i v e n i n E q u a t i o n ( 4 - 2 8 ) a n d k a a n d k p z l i n k e d b y E q u a t i o n s ( 4 - 2 9 ) . T h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s g i v e n i n E q u a t i o n s ( 3 - 5 8 ) t h r o u g h ( 3 - 7 5 ) a r e m o d i fi e d t o r e fl e c t t h e s t a n d i n g w a v e s i n t h e z - d i r e c t i o n . I n r e g i o n 1 t h e fi e l d s f o r n i t 0 b e c o m e , ' k 1 5 , , = - [ . 4 7 2 1 1 ; , ( k p l p ) + B fl l n ( k p l p ) ] c o s ( n ¢ ) s i n ( y z ) ( 4 - 3 0 ) 1 0 ° 5 1 P E , l = [ A f g e — n g n Q p l p ) + k a 1 1 ; ( k p , p ) ] s i n ( n e ) s i n ( y z ) ( 4 - 3 1 ) k 2 E 2 1 = 4 1 . 5 : 1 , , ( k p l p ) 9 0 8 ( n 9 ) 9 0 8 ( 7 2 ) ( 4 ' 3 2 ) 1 k H p ] = [ - A £ 1 n ( k p l p ) + B ; 0 2 1 1 ; ( k p 1 p ) ] S i n ( n ¢ ) C O S ( ‘ Y Z ) ( 4 - 3 3 ) P # 1 2 k H z : = 3 1 , 5 } : J n ( k p 1 P ) 5 i n ( n ¢ ) $ i n ( ‘ Y Z ) o ( 4 - 3 5 ) 1 F o r n = O t h e a b o v e e x p r e s s i o n s r e m a i n v a l i d e x c e p t f o r 1 5 ¢ , H p , a n d H 2 w h i c h b e c o m e E ¢ l = k a l 1 6 ( k p l p ) 8 1 1 1 0 7 2 ) B V k p l f w fi l 2 1 : 3 ( k a p ) 0 0 8 ( 7 2 ) H # # t h p ) s i n ( v z ) - z l q u l 0 p l 6 1 ( 4 - 3 6 ) ( 4 - 3 7 ) ( 4 - 3 8 ) T h e fi e l d e q u a t i o n s i n r e g i o n 2 f o r n ¢ 0 a r e g i v e n b y E q u a t i o n s ( 4 - 3 9 ) t h r o u g h ( 4 - 4 4 ) , p 7 k 2 r n . - [ C n g z F n ( k p 2 p ) + D 3 G n ( k p 2 p ) : l c o s ( n d ) s r n ( ' y 2 ) ( 4 - 3 9 ) J w e [ C 2 7 7 2 g . r = , , ( k , , 2 p ) + D I t , 2 G , ' , ( k , , 2 m ] s i n ( n o ) s i n ( y z ) ( 4 4 0 ) 2 k - s t e : F n ( k p 2 p ) c o s ( n ¢ ) c o s ( y z ) ( 4 4 1 ) z k i - C - ’ 3 F k 7 ” 2 ' ' 4 4 2 [ p n ( p 2 0 ) 4 ’ D j w fi z G n ( k p 2 p ) ] s r n ( n ¢ ) c o s ( y z ) ( ) [ - C k s z ; ( k p 2 p ) + D E E — 2 % G n ( k p 2 p ) : l c o s ( n t b ) c o s ( y z ) ( 4 4 3 ) B = A L l “ 5 1 2 3 ’ ! ( 4 . 4 3 ) 6 2 2 k H 2 2 = D ” 2 G n ( k p 2 p ) s i n ( n ¢ > ) s i n ( y z ) . ( 4 ‘ 4 4 ) 2 ' A F o r n = 0 , E q u a t i o n s ( 4 - 3 9 ) t h r o u g h ( 4 4 4 ) a r e c o r r e c t e x c e p t f o r E 5 4 , , H p , a n d H 2 w h i c h a r e g i v e n b y E “ = k a 2 6 6 0 9 0 2 p ) s i n ( y z ) ( 4 ' 4 5 ) s z = D 7 1 2 2 6 6 ( k 0 2 p ) c o s ( ) 2 ) ( 4 - 4 6 ) l e l 2 2 k H = D . — £ . 2 — G ( k p ) s i n ( v z ) . ( 4 ' 4 7 ) 2 2 1 “ , ” ? 0 p 2 T h e c o e f fi c i e n t s B , C , a n d D a r e g i v e n i n t e r m s o f A b y “ k J c A 6 2 9 1 « 4 % E k z F l p 2 2 ~ k D = A f i i fl J — l _ i _ fl . ( 4 - 5 0 ) 4 . 5 T h e C a v i t y - O p e n T y p e C o n f i g u r a t i o n 4 . 5 . 1 M o d e - M a t c h i n g M e t h o d s T h e c a v i t y - o p e n a n d c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n s r e q u i r e a m u c h m o r e c o m p l i c a t e d p r o c e d u r e f o r c a l c u l a t i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e s y s t e m t h a n d i d t h e 6 3 s p e c i a l c a s e o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n . T h i s i s d u e t o t h e a d d i t i o n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s w h i c h m u s t b e m e t a t z = h - ' A L S i ’ A l , r e f e r r i n g t o F i g u r e 4 - 2 a n d p l a c i n g t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s a t t h e c a v i t y c e n t e r h a l f w a y b e t w e e n t h e s h o r t i n g p l a t e s . I n o r d e r t o d e s c r i b e t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s i n t h e c a v i t y , t h e fi e l d s i n e a c h o f r e g i o n s I , H , a n d I I I , a g a i n r e f e r r i n g t o F i g u r e 4 - 2 , a r e r e p r e s e n t e d a s a n i n fi n i t e s e r i e s m o d a l e x p a n s i o n o f t h e w a v e g u i d e m o d e s i n e a c h r e g i o n . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e m e t b y m a t c h i n g a p p r o p r i a t e fi e l d c o m p o n e n t s a t z = h - 4 2 L , : 1 : ’ A i u s i n g t h e m o d a l e x p a n s i o n r e p r e s e n t a t i o n o f t h e fi e l d s . H e n c e t h e m e t h o d i s c a l l e d “ m o d e m a t c h i n g . ” T h i s m e t h o d w a s fi r s t a p p l i e d t o m i c r o w a v e r e s o n a t o r s b y W . C . H a h n 3 i n 1 9 4 0 a n d h a s s i n c e b e e n u s e d b y s e v e r a l o t h e r s t o s u c c e s s f u l l y c a l c u l a t e t h e c h a r a c t e r i s t i c v a l u e s f o r l o s s l e s s r e s o n a n t c a v i t i e s . 4 T h e r e a r e t w o m e t h o d s w h i c h m a y b e u s e d t o r e s o l v e t h e m o d e m a t c h i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s i n t o o n e h o m o g e n e o u s m a t r i x e q u a t i o n . B o t h i n v o l v e o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e m o d a l fi e l d e x p a n s i o n s b y a s i n g l e m o d e f r o m o n e o f t h e r e g i o n s a t t h e b o u n d a r y w h e r e t h e fi e l d s a r e b e i n g m a t c h e d . T h e fi r s t m e t h o d u s e s a s i n g l e m o d e f r o m t h e h o m o g e n e o u s r e g i o n , i . e . , e i t h e r r e g i o n I o r r e g i o n 1 1 1 , t o o r t h o g o n a l i z e b o t h o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s . T h i s i s t h e m e t h o d u s e d b y K o b a y a s h i , F u k u o k a a n d Y o h s h i d a , Z a k i a n d A t i a , a n d V i g n e r o n a n d G u i l l o n f o r t h e l o s s l e s s l o a d . 5 T h e s e c o n d m e t h o d u s e s a m o d e f r o m t h e h o m o g e n e o u s r e g i o n t o o r t h o g o n a l i z e o n e o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s a n d a m o d e f r o m t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n , r e g i o n 1 1 , t o o r t h o g o n a l i z e t h e o t h e r e q u a t i o n . T h i s m e t h o d w a s u s e d b y B o l l e i n h i s w o r k o n t h e c o n d u c t i n g l o a d . 6 T h e fi r s t m e t h o d h a s t h e a d v a n t a g e o f h a v i n g f e w e r i n t e g r a l s t o s o l v e a n d r e s u l t s i n s i m p l e r e x p r e s s i o n s f o r t h e e l e m e n t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x t h a n t h e 3 W . C . H a h n , “ A N e w M e t h o d f o r t h e C a l c u l a t i o n o f C a v i t y R e s o n a t o r s , ” J . A p p . P h s . 1 2 , n o . 1 ( J a n . 1 9 4 1 ) , 6 2 - 6 8 . 4 D . M . B o l l e , “ E i g e n v a l u e s f o r a C e n t r a l l y L o a d e d C i r c u l a r C y l i n d r i c a l C a v i t y , ” I R E D a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M t t - l O , n o . 3 ( M a r c h 1 9 6 2 ) , 1 3 3 - 1 3 8 ; Z a k i a n d A t i a ; V i g n e r o n a n d G u i l l o n . s K o b a y a s h i , F u k u o k a , a n d Y o s h i d a ; Z a k i a n d A t i a ; V i g n e r o n a n d G u i l l o n . 6 B o l l e . 6 4 s e c o n d m e t h o d . H o w e v e r , t h e fi r s t m e t h o d h a s t h e g r a v e d i s a d v a n t a g e o f p r o d u c i n g a h i g h l y i l l - c o n d i t i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x . T h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x o f t h e s e c o n d m e t h o d i s m u c h b e t t e r c o n d i t i o n e d t h a n t h a t o f t h e fi r s t m e t h o d a n d i s t h e p r e f e r r e d m e t h o d f o r n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f t h e e i g e n f r e q u e n c i e s . A n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r b o t h m e t h o d s w i l l b e g i v e n h e r e a n d n u m e r i c a l c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e m w i l l b e m a d e i n C h a p t e r 9 . 4 . 5 . 2 F i e l d E q u a t i o n s f o r G e n e r a l i z e d A x i a l D e p e n d e n c e A t t h e c o n c l u s i o n o f t h e d e r i v a t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e , i t w a s b r i e fl y m e n t i o n e d t h a t t h e m o d e c o e f fi c i e n t s v a r y s l i g h t l y d e p e n d i n g u p o n w h i c h s e t o f e i g e n f u n c t i o n s a r e c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e a x i a l d e p e n d e n c e . S i n c e i t i s c o n v e n i e n t t o u s e v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e a x i a l d e p e n d e n c e i n c o n s t r u c t i n g s o l u t i o n s f o r t h e c a v i t y - O p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n , a g e n e r a l i z e d f o r m f o r t h e fi e l d s w i l l b e g i v e n h e r e t h a t a l l o w s f o r s i m p l e c o n v e r s i o n s b e t w e e n a x i a l r e p r e s e n t a t i o n s . T h e p o t e n t i a l s i n r e g i o n s I a n d 1 1 1 m a y b e w r i t t e n a s v ’ " = T " m 1 , 0 , , » 0 0 5 ( n ¢ ) 2 3 , 1 “ . ( 4 - 5 1 ) . . 1 , 1 1 1 w e = S I ’ m J n O t n p p ) S l n ( n d > ) z , . R e m e m b e r i n g t h a t t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s i s l o c a t e d a t t h e c a v i t y c e n t e r h a l f w a y b e t w e e n t h e s h o r t i n g p l a t e s , a n d a p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s h o r t i n g p l a t e s , t h e a x i a l d e p e n d e n c e s 2 k m a n d 2 3 : 1 " m a y b e w r i t t e n i n a n y o f t h e f o l l o w i n g p a i r s , . . r 1 , 1 1 1 = e - s z z + e j k z ( z T L , ) m ( 4 - 5 2 ) . . 1 1 m _ e - j k z _ e j k z ( z i F L , ) f o r t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n s , 2 : 1 1 1 = c o s [ k Z [ z 3 F 5 5 5 ] ] ( 4 - 5 3 ) L 2 7 1 : 1 1 1 c o s h [ j k z [ 2 3 F — 2 ’ . ] ] ( 4 - 5 4 ) I , I I I . . . L Z e = s r n h [ j k z [ 2 3 F _ 2 . ’ . ] ] f o r h y p e r b o l i c s o l u t i o n s . W e a l s o i n t r o d u c e t h e c o n s t a n t s £ 1 , 1 1 1 a n d i t ’ l l ] , w h e r e E m = - £ , , = - l s t a n d i n g w a v e s E m = 5 e = ' 1 ' t r a v e l i n g w a v e s ( 4 - 5 5 ) E m = E e = j h y p e r b o l i c w a v e s . I t m a y s h o w n t h a t 6 2 O Z 7 ) ; " : = s m k z z , a ; = 5 , 1 9 2 , , ( 4 - 5 6 ) w h e r e £ m £ e = - l . T h e T M fi e l d s i n r e g i o n s I a n d 1 1 1 m a y t h e n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m , L m _ _ L I I I k z h n q , p . 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 _ E p ‘ T W - J n a n q ' b ' ) C O S ( H ¢ ) ( 1 5 m ) 2 : 9 ( 4 5 7 ) w e ’ b L m k . . L m r , m 6 6 2 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 b 1 , 1 1 1 E 2 = r j e e l t m b u ; J n a n % ) c o s ( n ¢ ) Z m , . 1 , 1 1 1 = _ T I . m % J n a n % ) s m ( n ¢ ) Z m , I , I I I , 1 , 1 1 1 H 4 , - . - - T l t m . § ” 5 2 1 , , ( x , , q % ) c o s ( n ¢ ) z m , H = 0 . T h e T E s o l u t i o n s f o r n ¢ 0 m a y b e w r i t t e n a s I . H I _ _ _ L I I ] ? ! r p 1 . 1 1 1 5 , , - S Z l n o a n z ) c o s ( n ¢ ) z e , E l e m _ S L I I I > 4 3 9 1 : 0 ! p ) ' n ¢ ) z l a m r ‘ T n " 4 3 3 ‘ " ’ . ’ E l ’ m = o , k I H u n : _ S r , m q u J , n n O p l ’ m b q b 1 , 1 1 1 k , . 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 H , = — s r , m _ _ z i % 1 n ( a n % ) c o s ( n o ) ( y g , ) z m , ( 3 1 4 1 ’ 1 1 1 1 1 m 1 N 2 p 1 m H ’ = S ’ " p J ' - s i n n Z ’ . z j a p I J I I b 2 n M b ) ( 4 ) ) e ( N 3 ) s i n ( m b ) ( 1 : 2 1 “ ) 2 1 ; “ . ( 4 - 5 9 ) ( 4 - 6 0 ) ( 4 - 6 1 ) ( 4 - 6 2 ) ( 4 - 6 3 ) ( 4 - 6 4 ) ( 4 - 6 5 ) ( 4 - 6 6 ) ( 4 - 6 7 ) ( 4 - 6 8 ) 6 7 I f n = 0 , a l l T E c o m p o n e n t s a r e z e r o e x c e p t f o r E , ” p , a n d H z , w h i c h a r e g i v e n b y 1 . 1 1 1 _ 1 , 1 1 1 N : , . p L I I I - E ¢ - s I " ! 1 0 0 . 0 4 3 . ) 2 , , ( 4 6 9 ) H l ’ m - s l i m k 2 “ ? 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T h e g e n e r a l a x i a l d e p e n d e n c e s f o r r e g i o n I I , 2 ; , 2 : , 2 : , a n d 2 3 , a r e s i m i l a r t o t h o s e d e fi n e d f o r r e g i o n s I a n d I I I . T h e f u n c t i o n s 2 ; a n d Z ’ : a r e u s e d f o r t h e T M f o r m u l a t i o n , i . e . , a f o r m u l a t i o n w h i c h b e c o m e s T M f o r n = 0 . T h e y a r e % 3 E “ 6 8 2 : , = A e ' j ' y z - P e ” z ( 4 - 7 4 ) 2 ’ : = A e ' j ' fl + P e h z f o r t r a v e l i n g w a v e s , A . Z " , = A c o s ( ' y z ) - P S I I I ( ' ) ’ Z ) _ ( 4 - 7 5 ) Z ’ : = A s i n ( y z ) + P c o s ( ' y z ) f o r s t a n d i n g w a v e s , a n d z ; = A c o s h ( j ' y z ) + P s i n h ( j y z ) ( 4 - 7 6 ) 2 ’ : = A s i n h ( j ' y z ) + P c o s h ( j ' y z ) f o r h y p e r b o l i c w a v e s . F o r t h e T E f o r m u l a t i o n , i . e . , t h e f o r m u l a t i o n w h i c h b e c o m e s T E f o r n = 0 , t h e a x i a l f u n c t i o n s a r e t r a n s f o r m e d b y m u l t i p l y i n g t h e T M f o r m u l a t i o n a x i a l f u n c t i o n s b y g t o g e t Z 5 , a n d 2 5 . W e h a v e Z = B e ' j 7 2 - e r i ' z ( 4 - 7 7 ) Z = B e ’ j 7 Z + e r ' Y Z f o r t r a v e l i n g w a v e s , ( 4 - 7 8 ) z f , = B c o s ( ' y z ) - Q s i n ( y z ) 2 ? = B s i n ( v z ) + Q c o s t v z ) f o r s t a n d i n g w a v e s , a n d 6 9 2 5 , = 3 9 0 8 1 1 0 7 2 ) + Q s i n h U ' v z ) ( 4 - 7 9 ) B Z = B s i n h ( i j ) + Q c o s h U ' v z ) f o r h y p e r b o l i c w a v e s , w h e r e Q = 2 ; . U s i n g E m a n d 2 , , d e fi n e d a b o v e f o r r e g i o n s I a n d H 1 i n E q u a t i o n ( 4 - 5 5 ) w e d e fi n e t h e c o n s t a n t s B A , C A , D A , A B r a n d C B , w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f a x i a l f o r m u l a t i o n : B k o ” I G U n B A = = ’ 1 — , . - — — — ( 4 - 8 0 ) j E ’ I ’ I l A ( 0 5 1 # 0 F V " 2 k I C A = E = 6 2 P l ( 4 - 8 1 ) D A = D n _ k _ f _ 5 3 k t " J E ( 4 - 8 2 ) k “ U 4 3 - A = n 0 : 1 . i . e . ( 4 - 8 3 ) e r B “ # 1 6 0 G n 2 C B = f l = n k 0 E l k / ’ 2 1 J U " ( 4 - 8 4 ) 1 2 . 8 “ ’ " 1 ‘ ° k l : l / F G W " D [ £ s z J D B = _ _ = — _ _ p 1 . 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T h e p r o c e d u r e l e a d i n g t o E q u a t i o n ( 4 - 1 3 6 ) m a y b e r e p e a t e d f o r t h e e l e c t r i c fi e l d a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n r e g i o n s 1 1 a n d I I I a n d t h e m a g n e t i c fi e l d s a t t h e t w o b o u n d a r i e s . T h i s g i v e s t h r e e m o r e e q u a t i o n s s i m i l a r t o E q u a t i o n ( 4 - 1 3 6 ) , 1 1 n 2 E , , 1 2 8 q J n 2 ‘ + I I - Z a : X > , A m - n a h r e d e 2 d a n d t _ _ _ n ) x a q a . a r r 2 e ' l 0 ” V O t i : ‘ h m ) A a n e e - , z J n z a n d z e h t e s e p s " a q e ( 3 , = ( n c d ) m e l n d i a a l Z x v } H Z e e ; p : s : T M ) p i Z u M 1 1 m T a e l m n > e a t “ c ) E h e n v d , h e H ( 4 - 1 3 7 ) 7 — ’ < A q i e d a t E z , e q T + = z M = s e . v i a s l u a t e f o u n d d a i t n z E > i ( ( . L , - a z ' t : — 2 + i . e i o n . ( h q = u 3 3 8 9 ) ) - ' I 2 . 1 1 , 4 4 . , C - 3 ) n s i o n l u e ( 1 5 T I P z 1 I k m ' e k m , m m " g 1 1 m 1 1 T q “ m d 2 . i I , 1 5 1 1 w Z z o f h e r e m = A e : h p p I 3 + i T Z 2 4 1 1 : m , L T n d - e I I z a , n C g 1 - - x 7 9 I n a b b r e v i a t e d f o r m E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 6 ) t h r o u g h ( 4 - 1 3 9 ) m a y b e w r i t t e n , < e ; . e , } > = 2 < E , " . e ; > . ( 4 — 1 4 0 ) ( h p l , h ; > = 2 : : < H , " , h : > ( 4 - 1 4 1 ) < e ; “ , e ; “ > = 5 ‘ ; < 5 , “ . e , m > ( 4 4 4 2 ) ( a fi h f b = : 3 < 3 , “ , h f ‘ > ( 4 . 1 4 2 . ) T h e s e m a y b e c o m b i n e d i n t o t w o h o m o g e n e o u s e q u a t i o n s w h i c h a r e g i v e n b y o = 2 , : [ < H s n t h ; > ( e x f t ‘ z b " ( £ 3 1 1 , 3 1 1 ) < h ; . h ; > ] ( 4 - 1 4 4 ) 8 0 o = § ; [ < u , < 3 " , h q m > < e f £ e ; “ > - « 5 2 % , , “ 5 0 2 ; " . h f ‘ x ] T h e s e e q u a t i o n s a c t u a l l y r e p r e s e n t a s e t o f e q u a t i o n s s i n c e t h e y a r e t r u e f o r a n y c h o i c e o f t h e i n t e g e r v a r i a b l e s 1 ) a n d q . T h i s s e t o f e q u a t i o n s m a y b e r e w r i t t e n a s I O : Z : [ A , - X I X p i + P t i i ] ( 4 - 1 4 5 ) 0 : 2 [ A i n I i I I + P i Y q u n , l w h e r e A , - a n d P , - a r e t h e m o d e c o e f fi c i e n t s i n r e g i o n I I f o u n d i n t h e e x p r e s s i o n s f o r 2 ; } 1 a n d 2 3 i n E q u a t i o n s ( 4 - 7 4 ) t h r o u g h ( 4 - 7 6 ) . E q u a t i o n s ( 4 - 1 4 5 ) m a y b e e x p r e s s e d i n m a t r i x f o r m a s - - r - I I ~ X . Y - A I " I " ' = 0 ( 4 - 1 4 6 ) I I I I I I ’ _ X q i Y q i _ _ P i _ w h e r e t h e m a t r i x i n d i c e s r u n f r o m I t o i n fi n i t y , 1 ’ a s t h e c o l u m n i n d e x a n d p a n d q a s r o w i n d i c e s . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e c a v i t y o p e n - t y p e c o n fi g u r a t i o n m a y n o w b e w r i t t e n d o w n a s t h e z e r o d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x o f E q u a t i o n ( 4 — 1 4 6 ) : 8 1 I I D e , I ; 1 ; ! = o . ( 4 4 4 7 ) . X 4 " Y 4 " - T h i s d e t e r m i n a n t i s a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s , u s u a l l y t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y , 6 : . H o w e v e r , a n y t w o i n d e p e n d e n t q u a n t i t i e s o r c o m p o n e n t s o f i n d e p e n d e n t c o m p l e x q u a n t i t i e s m a y b e u s e d a s t h e z e r o - fi n d i n g v a r i a b l e , e . g . , t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t w h e n a c o m p l e x v a l u e f o r £ 6 h a s b e e n s p e c i fi e d , o r t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y w h e n t h e r e a l p a r t o f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d i m a g i n a r y p a r t o f t h e f r e q u e n c y h a v e b e e n s p e c i fi e d . T h e s e c o n d o f t h e s e e x a m p l e s m a y b e u s e f u l i n a n i n s t a n c e w h e n p r o p e r t i e s o f a l o a d m a t e r i a l a r e b e i n g s o u g h t t o p r o d u c e a c e r t a i n c a v i t y q u a l i t y f a c t o r f o r a g i v e n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d m o d e . F o r n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f t h e e i g e n v a l u e s t h e i n fi n i t e m a t r i x o f E q u a t i o n s ( 4 - 1 4 6 ) a n d ( 4 - 1 4 7 ) m u s t b e t r u n c a t e d . T h i s i s e q u i v a l e n t t o l i m i t i n g t h e s u m m a t i o n s o f E q u a t i o n ( 4 - 1 4 5 ) t o a fi n i t e n u m b e r o f t e r m s . T h e n u m b e r o f t e r m s o r m a t r i x e l e m e n t s i s d e t e r m i n e d b y t h e c o n v e r g e n c e o f t h e e i g e n v a l u e f o r d i f f e r e n t m a t r i x s i z e s . T h e p r o c e d u r e i s t o s o l v e f o r t h e e i g e n v a l u e u s i n g a g i v e n m a t r i x s i z e . T h e n t h e m a t r i x s i z e i s a u g m e n t e d a n d a n e w v a l u e f o r t h e e i g e n v a l u e i s f o u n d . I f a f t e r s e v e r a l i t e r a t i o n s t h e e i g e n v a l u e i s u n a l t e r e d t o a g i v e n p r e c i s i o n , t h e e i g e n v a l u e i s p r e s u m e d d e t e r m i n e d t o t h a t p r e c i s i o n . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e t r u n c a t i o n p r o c e s s m a y e l i m i n a t e s e l e c t e d m o d e s a n d n e e d n o t e l i m i n a t e o n l y t h o s e w h i c h a r e o f h i g h e s t o r d e r . I n o t h e r w o r d s , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n ( 4 - 1 4 7 ) , t h e t r u n c a t i o n n w d n o t e l i m i n a t e o n l y t e r m s f o r p a n d i g r e a t e r t h a n a c e r t a i n v a l u e . C e r t a i n m o d e s m a y b e e l i m i n a t e d o r i n c l u d e d b y c h o o s i n g o n l y s e l e c t e d v a l u e s o f p a n d i . A s a n e x a m p l e , s u p p o s e a s o l u t i o n w e r e d e s i r e d f o r o - s y m m e t r i c m o d e s u s i n g T M O l , T M 0 3 , a n d M s i n r e g i o n I , T M o z , T M 0 4 , a n d T M O S i n r e g i o n H I , a n d T M O I , m o z : a n d T M 0 9 i n r e g i o n I I . W i t h n = O i m p l i c i t , t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x w o u l d b e I i X p , ( ’ 1 7 1 1 + = 1 " p m Z 7 ) ' ? l ( E s e m p . - - n ( 7 . - z ) i — z ” — E m Z r < H . h m ) p , - ( 4 1 5 0 ) 8 2 I I I I X 8 1 X 8 2 X 8 9 Y s r Y s z Y s 9 ( 4 - 1 4 8 ) 1 1 1 I I I I I I I I I I I I I I I X 2 1 X 2 2 X 2 9 e r Y 2 2 Y 2 9 I I I I I I I I I I I I X 4 1 X 4 2 X 4 9 Y 4 r Y 4 2 Y 4 9 I I I I I I I I I I I I I I I I I I _ X 5 1 X 5 2 X 5 9 Y s r Y s z 1 ’ 5 9 J I t n o w r e m a i n s t o p r e s e n t t h e e x p r e s s i o n s f o r X p , , Y ; - , § I X a n d Y 2 i ] . I n o r d e r t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e g e n e r a l a x i a l f o r m u l a t i o n s t h e a x i a l r e p r e s e n t a t i o n s m u s t b e e x p r e s s e d e x p l i c i t l y a s A Z " , = A n ( 7 Z ) + P ¢ ( 7 Z ) Z : = A n ' ( 7 Z ) + P N 7 2 ) . ( “ 4 9 ) 2 } } , £ 3 . T h e e x p r e s s i o n s f o r X p , , Y p i , X m , a n d Y I I I a r e p r e s e n t e d b e l o w i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 5 0 ) t h r o u g h ( 4 - 1 5 3 ) . T o a r r i v e a t t h e s e e x p r e s s i o n s , i t i s n e c e s s a r y t o p e r f o r m s e v e r a l n o n - s t a n d a r d i n t e g r a t i o n s o f p r o d u c t s o f B e s s e l ’ s f u n c t i o n s . F o r m u l a s f o r T h e s e i n t e g r a l s a r e f o u n d i n A p p e n d i x A . I Z r } ? Z e a l : I 1 a n d n g - a r e d e fi n e d 0 " P a g e 5 2 a n d ( E e l - 1 “ ) ” 8 3 I k I ’ 7 ' 1 + 2 I 1 ‘ 4 . 1 5 1 ) i m ' = $ 0 ( 7 7 2 + ) @ 7 1 s z < E , e m > p i - ¢ ( ' y i z + ) : l ’ i g m Z a p ( H ’ h m > p i ( ) k m m ' ’ 7 ' m - - Z 1 1 1 1 1 1 ' 4 - 1 5 2 x q i = n ( 7 . - z ) 3 ? ! q u ( E ’ e m > q i - n ( 7 i z ) e — I I I — E m Z e q ( H a h m > q i ( ) k m m , - 7 ' I I I ‘ _ z m m ' . . Y q i = ¢ ( 7 i Z ) ‘ é ' i ' z m q ( E s e m ( I i - w h i z ) — I - ‘ I l I - £ m Z e q < H , h m > q i ( 4 1 5 3 ) ' G w h e r e 2 ' , 2 + , Z e q , a n d < H , h m > p i a r e d e fi n e d i n A p p e n d i x c i n E q u a t i o n s ( 0 2 ) a n d ( 0 3 ) . e ] a n d 6 1 1 1 a r e t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t s i n r e g i o n s I a n d H I r e s p e c t i v e l y ; t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t s i n r e g i o n I I a r e E l a n d 6 2 i n s u b r e g i o n s l a n d 2 r e s p e c t i v e l y . T h e a x i a l w a v e n u m b e r s i n r e g i o n s I a n d I I I a r e g i v e n b y A 4 - 1 5 4 k : = é z p l e l - . 2 3 ( ) P b 2 a n d ) 3 ( 4 - 1 5 5 ) k z m = ( 5 2 ] . ; m e - _ " Z , 4 b 2 w i t h t h e a x i a l w a v e n u m b e r i n r e g i o n 1 1 g i v e n b y ( 4 - 1 5 6 ) _ . 2 2 7 i - t / w # 2 6 2 " k p 2 F u r t h e r , i t s h o u l d b e r e m e m b e r e d t h a t t h e v a l u e s o f k a , k p z , a n d 7 a r e l i n k e d b y 8 4 E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) w h i c h e n s u r e s t h e m a t c h i n g o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t p = a i n r e g i o n 1 1 . I t i s o f i n t e r e s t t o n o t e t h a t f o r t h e o - s y m m e t r i c c a s e , n = 0 , t h e t h i r d t e r m s o f E q u a t i o n s ( C - 2 ) a n d ( C - 3 ) o f A p p e n d i x C d i s a p p e a r . T h e s e t e r m s a r e t h e c o n t r i b u - t i o n s f r o m t h e T E p o r t i o n s o f t h e fi e l d s i n r e g i o n 1 1 . T h i s i m p l i e s t h a t f o r t h e o - s y m m e t r i c c a s e , T M m o d e s i n r e g i o n s I a n d I I I m a t c h t o p u r e l y T M m o d e s i n r e g i o n I I . B e l o w i t i s s h o w n t h a t t h e s a m e i s t r u e f o r ( 1 ) - s y m m e t r i c T E m o d e s , i . e . , o - s y m m e t r i c T E m o d e s i n r e g i o n s I a n d I I I m a t c h t o p u r e l y T E m o d e s i n r e g i o n H . . I n o r d e r t o e x a m i n e t h e e f f e c t o f T E m o d e s i n r e g i o n s I a n d 1 1 1 i t i s n e c e s s a r y t o o r t h o g o n a l i z e t h e m o d e - m a t c h i n g e q u a t i o n b y a h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w a v e g u i d e T E m o d e . T h i s p r o v i d e s a n a l t e r n a t e s e t o f e q u a t i o n s f o r d e t e r m i n i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e n o n - d z - s y m m e t r i c m o d e s o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n . F o r t h e « b - s y m m e t r i c c a s e , T E o r t h o g o n a l i z a t i o n p r o v i d e s t h e o n l y m e a n s o f o b t a i n i n g T E e i g e n v a l u e s . T h e p r o c e d u r e i s t h e s a m e a s t h a t o u t l i n e d a b o v e f o r T M m o d e s , b u t t h e m a t r i x e l e m e n t s a r e d i f f e r e n t f r o m t h o s e g i v e n i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 5 0 ) t h r o u g h ( 4 - 1 5 3 ) . A l s o , t h e c o e f fi c i e n t v e c t o r i s w r i t t e n i n t e r m s o f B , - a n d Q i i n s t e a d o f A l i a n d P i . T h e T E — o r t h o g o n a l i z e d fi e l d m a t c h i n g e q u a t i o n s , c o r r e s p o n d i n g t o E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 6 ) t h r o u g h ( 4 - 1 3 9 ) f o r T M o r t h o g o n a l i z a t i o n , a r e l I I + , 2 2 , 3 + ' 2 S p z , ( a n - n 2 ) J n o . , , p ) = 2 z , ( E , e T E > p i ( 4 - 1 5 7 ) 1 1 I k l I I + 2 2 I I 3 * 7 . 2 . - t - 2 S p ‘ 2 1 g , z m ( a n - n ) J n Q n P ) - Z s , z m 7 1 ( H , h r s ) p i ( 4 1 5 8 ) u 1 I I I I I I - , 2 2 , B - é s q z , n q - n 2 ) J n ( ) \ n q ) = 2 z , ( E , e T E > q i ( 4 - 1 5 9 ) 1 8 5 I I I l I I I k z I I I I I I ' I 2 2 2 : 1 1 3 - 7 ’ ' 5 S q — £ 3 Z m n q ' n ) J n o ‘ n q ) 3 Z : E e Z m I T : ( H , h T E > q i . ( 4 4 6 0 ) F l T h e T E m a t r i x e l e m e n t s a r e t h e n w r i t t e n I k I ' z I 7 ' 1 1 4 - 1 6 1 X p i = ' 7 ( 7 5 ) : ; t h ( 5 , 8 7 3 ) “ - " M 7 2 3 7 ; E m Z e p < H , h n > p i ( ) I k I ' z ’ 7 ' I I 4 — 1 6 2 1 3 , : = « a ( 7 6 ) : ; - t h ( E , e m > p , - - < p ( ' y z + ) p — ; g m z e p ( H , h m ) p i ( ) I I I k m _ , - z m n - - ‘ Y ' l I l I l I 1 3 4 - 1 6 3 X . - n ( 7 z ) T I ‘ B t h < E , e > 4 : - " ( 7 2 ) 7 ; 5 m z , q ( 1 1 , } ; ) q i ( ) I I I k m ” — z m - ‘ Y ' m m 4 - 1 6 4 Y q i = ‘ P ( 7 2 ) F I ‘ I I t h ( E ’ e m > q i - 5 9 ( 7 2 ) I i - E m Z e q ( H ’ h m > q i ( ) w h e r e ( E , e T E p , - a n d ( H m m ) ! ” - a r e f o u n d i n E q u a t i o n s ( C - 6 ) a n d ( C - 7 ) o f A p p e n d i x C . F o r T E o r t h o g o n a l i z a t i o n t h e a b b r e v i a t i o n s u s e d f o r T M o r t h o g o n a l i z a t i o n r e m a i n v a l i d e x c e p t t h a t t h e a x i a l w a v e n u m b e r s i n r e g i o n s I a n d I I I b e c o m e 2 N 4 - 1 6 5 k : = fi l t h — " P ( ) P b 2 a n d 8 6 2 ) s ' 4 - k z I I I a a z fl m e m _ n q . ( 1 6 6 ) 4 b 2 O n c e t h e e i g e n v a l u e s h a v e b e e n f o u n d , t h e fi e l d c o e f fi c i e n t s B i a n d Q , m a y b e d e t e r m i n e d f r o m t h e T E e q u a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o E q u a t i o n ( 4 - 1 4 6 ) a n d t h e fi e l d s m a y b e c a l c u l a t e d f r o m E q u a t i o n s ( 4 - 9 9 ) t h r o u g h ( 4 - 1 1 6 ) . F o r t h e o - s y m m e t r i c c a s e , n = O , t h e t h i r d t e r m s o f E q u a t i o n s ( C — 6 ) a n d ( C - 7 ) o f A p p e n d i x C d i s a p p e a r . T h e s e t e r m s c o n t a i n t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e T M c o m p o n e n t o f t h e fi e l d s i n r e g i o n H . 4 . 5 . 4 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n : M e t h o d H A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e m a t r i x o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f M e t h o d I i s h i g h l y i l l - c o n d i t i o n e d . T h i s c o n d i t i o n i n g p r o b l e m a r i s e s f r o m t h e s u b t r a c t i o n t h a t t a k e s p l a c e i n a r r i v i n g a t E q u a t i o n ( 4 - 1 4 4 ) f r o m E q u a t i o n s ( 4 - 1 4 0 ) t h r o u g h ( 4 - 1 4 3 ) . W h e n o n e v a l u e i s s u b t r a c t e d f r o m a n o t h e r o f m u c h h i g h e r o r d e r , o r i f t w o v a l u e s w h i c h a r e n e a r l y e q u a l a r e s u b t r a c t e d f r o m o n e a n o t h e r , n u m e r i c a l i n f o r m a t i o n i s l o s t u n l e s s c a l c u l a t i o n s a r e c a r r i e d o u t t o h i g h e n o u g h p r e c i s i o n t o t r a c k t h e o p e r a t i o n . I n t h e c a s e o f M e t h o d I , f o r c e r t a i n c a v i t y / l o a d c o n fi g u r a t i o n s a n d m a t e r i a l p r o p e r t i e s , t h i r t y - t w o d e c i m a l p l a c e s i s n o t e n o u g h t o p r e v e n t l o s s o f n u m e r i c a l i n f o r m a t i o n . I n o r d e r t o a v o i d s u c h n u m e r i c a l d i f fi c u l t i e s i t i s n e c e s s a r y t o f o r m u l a t e a s o l u t i o n w h i c h d o e s n o t r e q u i r e t h e s a m e s u b t r a c t i o n a s t h a t o f M e t h o d I . T h e m e t h o d u s e d h e r e , M e t h o d H , i s s i m i l a r t o t h a t o f D . M . B o l l e i n h i s w o r k o n t h e c a v i t y - o p e n t y p e p r o b l e m w h e n t h e l o a d i s a c o n d u c t o r . 9 I n s t e a d o f u s i n g a m o d e f r o m t h e h o m o g e n e o u s r e g i o n o f t h e c a v i t y t o o r t h o g o n a l i z e b o t h b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s f o r a g i v e n b o u n d a r y , o n e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n i s o r t h o g o n a l i z e d b y a m o d e f r o m r e g i o n H . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n l e a v e s c o e f fi c i e n t s T a n d S f r o m t h e fi e l d e x p r e s s i o n s o f t h e h o m o g e n e o u s r e g i o n i n s i d e o f a s u m m a t i o n . U n d e r M e t h o d 1 , T a n d S w e r e 9 B o l l e . [ [ E m i x u m j - a d p o i ¢ j , ( 4 - 1 6 7 ) 1 1 2 . , x 2 = : 2 a n j t p ) c o s o u b ) - 3 » a g o ) s i n ( n o ) . ( 4 4 6 9 ) 8 7 a l w a y s o u t s i d e s u m m a t i o n s , a s i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 6 ) a n d ( 4 - 1 5 7 ) , a n d c o u l d b e s u b t r a c t e d o f f . I n s t e a d o f s u b t r a c t i n g a w a y t h e h o m o g e n e o u s fi e l d c o e f fi c i e n t s , e x p l i c i t e x p r e s s i o n s f o r T a n d S a r e s u b s t i t u t e d i n t o t h e fi r s t e q u a t i o n f r o m t h e o t h e r b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s w h e r e T a n d S a r e o u t s i d e s u m m a t i o n s . F r o m t h i s fi n a l e q u a t i o n , f r o m w h i c h T a n d S h a v e b e e n e l i m i n a t e d b y s u b s t i t u t i o n , a c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x m a y b e c o n s t r u c t e d w h o s e r o o t s a r e t h e d e s i r e d n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e s y s t e m . I f w e c h o o s e t o o r t h o g o n a l i z e t h e E m e q u a t i o n b y a m o d e f r o m r e g i o n H , w e m a y s t a r t f r o m E q u a t i o n ( 4 - 1 3 2 ) w h i c h e x p r e s s e s t h e c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d a c r o s s t h e d i e l e c t r i c b o u n d a r y b e t w e e n r e g i o n s I a n d H . M o d e o r t h o g o n a l i t y i n n o n - h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e s d o e s n o t f o l l o w E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 3 ) b u t m u s t b e e x p r e s s e d m o r e g e n e r a l l y a s 1 0 w h e r e 2 i s t h e a x i a l u n i t v e c t o r . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n E q u a t i o n s ( 4 — 1 3 3 ) a n d E q u a t i o n ( 4 - 1 6 7 ) i s d i s c u s s e d f u r t h e r i n A p p e n d i x B . E q u a t i o n ( 4 - 1 6 7 ) m a y b e r e w r i t t e n a s H E m i - ( H m j x i ) d s = o i ¢ j . ( 4 - 1 6 8 ) T h e o r t h o g o n a l i z a t i o n v e c t o r , i . e . , t h e t a n g e n t i a l m a g n e t i c fi e l d c r o s s e d w i t h t h e a x i a l u n i t v e c t o r i n a b b r e v i a t e d f o r m i s + + D o t t i n g b o t h s i d e s o f E q u a t i o n ( 4 - 1 3 2 ) b y t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q u a t i o n ( 4 - 1 6 9 ) a n d i n t e g r a t i n g o v e r t h e c r o s s s e c t i o n o f t h e c a v i t y y i e l d s l o C o l l i n , F i e l d T h e o r y o f G u i d e d W a v e s , 2 3 1 . I I N a — o 8 8 2 1 I z 2 [ E E p l m q w ) H ¢ n j ( P ) c o s ( m t p ) c o s ( n t p ) m 4 ' 1 5 m ( . 0 ) H n ‘ 0 0 ) 8 1 1 1 0 7 1 4 0 8 1 n ( n d > ) d e n « t q 9 H i 1 ( 4 4 7 0 ) g 2 1 : 5 [ E n m , - ( p ) H s n j ( p ) c o s o m b ) 0 0 8 ( n ¢ ) - E , , , , . - W ) , E j ( p ) s i n ( m ¢ ) s i n ( n 4 0 ] p d ¢ d o T h e o - d e p e n d e n c e i n t e g r a t e s a w a y a s b e f o r e , l e a v i n g o n l y t e r m s w i t h m = n . T h e i n t e g r a t i o n o v e r p , a c c o r d i n g t o E q u a t i o n ( 4 - 1 6 8 ) , e l i m i n a t e s a l l t e r m s o n t h e l e f t h a n d s i d e b u t t h o s e w h e r e i = j . I T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s 1 m . I ' I ' M 1 m l k z 6 1 T M I ' I ' E I 7 ' 5 1 T E 2 T 4 , 1 2 z s B _ J . _ H , h 2 4 : ‘ q 5 ' " 4 6 1 ( H > 9 j 1 q ‘ 1 4 1 " — p l < > ‘ ” ( 4 - 1 7 1 ) _ I I A ” T M - z m z e j ' y j ( E , H x 2 ] - j w h e r e a l l n o t a t i o n h a s b e e n d e fi n e d p r e v i o u s l y e x c e p t f o r t h e d i m e n s i o n l e s s T M ( E , H x 2 ] . , w h i c h i s g i v e n i n E q u a t i o n ( C - l O ) o f A p p e n d i x C . E q u a t i o n ( 4 - 1 7 1 ) e x p r e s s e s t h e c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n r e g i o n s I a n d H . T o m a k e u s e o f i n f o r m a t i o n f r o m t h e c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l m a g n e t i c fi e l d , v a l u e s f o r T g a n d S g a r e s u b s t i t u t e d i n t o E q u a t i o n ( 4 - 1 7 1 ) f r o m E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 7 ) a n d ( 4 - 1 5 8 ) . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s 1 I f t h e 2 i n t e g r a t i o n i s p e r f o r m e d w i t h r a t j , t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n c o n t a i n s f a c t o r s o f V " W ” — n 2 U 2 , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) . E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) 1 8 t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e c o a x i a l l y l o a d e d r e g i o n , i . . , e V " W " - n 2 U 2 i s e q u a l t o z e r o . T h e r e f o r e o n l y t e r m s w i t h i = j a r e n o n — z e r o . , 8 9 + I 2 , 2 m ‘ 1 ' 4 2 2 m l 6 a n 1 ; ; a n ) I _ 4 l i e T E ( 4 - 1 7 2 ) 2 I . - B ( H h > . I e [ I 6 7 A . ’ + - s m T E q l J J 1 ] 2 8 2 4 . 2 1 2 4 1 - 7 1 ’ ( H ’ h T E > q i 1 ; . 5 k I T E 2 I 2 _ n 2 ) 1 2 0 1 ) i ‘ ‘ z m 2 q # 1 M n M ‘ 1 . J _ 1 H A + m - a g m z e j 7 j ( E , H x 2 j j . T h e s u m m a t i o n o v e r i i s b r o u g h t o u t s i d e t h e s u m m a t i o n o v e r q a n d t h e e q u a t i o n i s r e a r r a n g e d a s f o l l o w s , I ’ I 2 2 2 T : 5 : 3 2 " ? [ ( 1 : 3 1 ( H ’ h m > q f < H ’ h m > q i o l + 1 q 2 , 2 Z i T M 5 a n I n “ ' 1 4 ) q . - 4 - 1 7 3 ) I ' m - z T E T E ( m + I , 2 2 2 , 2 1 “ l a m / i . , - n H a w . ) m q q - 1 n A + m — s m z e j — y j ( E , H x i j j . N I U s i n g a s h o r t e n e d f o r m n o t a t i o n , a n d t a k i n g a d v a n t a g e o f t h e a x i a l r e p r e s e n t a t i o n f o r m g i v e n i n E q u a t i o n ( 4 - 1 4 9 ) w e m a y w r i t e E q u a t i o n ( 4 - 1 7 3 ) a s 2 : ( A i r ) , - + P i t o i ) K j i = 5 f ( A f t ) ; " ' P j ‘ P j ) , ( 4 - 1 7 4 ) 1 w h e r e . . 1 T M - a ] . - 5 7 ] . ( 5 , 1 1 x z j j ( 4 1 7 5 ) 9 O a n d — 1 m 1 m ' “ T M T M K = K . . = 2 E l m Z ‘ q k z q E l ( H ’ h > q j < H ’ h > q i J ! l ] m q I 6 1 ) ‘ 2 1 , 2 0 ) Z T M n q n n q q m + 4 I 1 . 1 . E k T E 2 Z m z q E I T E Z e T E # 1 3 1 V j ' Y i B A J - B A i ( H ’ h T E > q j < H ’ h T E > q i . 2 2 2 . n q - n ) J n o ‘ n q ) ( 4 - 1 7 6 ) E q u a t i o n ( 4 - 1 7 4 ) r e p r e s e n t s a s e t o f e q u a t i o n s o v e r t h e i n t e g e r v a r i a b l e j a n d c a n b e e x p r e s s e d i n m a t r i x f o r m a s 5 3 2 3 ' 7 3 K 1 1 K 1 2 K 1 3 K 2 1 K 2 2 K 2 3 K 3 1 K 3 2 K 3 3 5 1 % 0 0 ‘ 0 1 a I o “ ’ 2 0 $ 0 2 6 I 0 O 3 9 0 3 ‘ P 3 - F A l K 1 1 K 1 2 K 1 3 " ” I l A 2 1 7 I K 2 1 K 2 2 K 2 3 E 2 I P 1 9 ’ I K 3 1 K 3 2 K 3 3 l : . . . . P 2 ¢ 2 A r ’ l r P r i o r P 2 9 ’ 2 ( 4 - 1 7 7 ) 9 1 T h i s i s r e d u c e d t o h o m o g e n e o u s f o r m b y s u b t r a c t i n g t h e l e f t h a n d s i d e f r o m t h e r i g h t h a n d s i d e . T h i s s u b t r a c t i o n i s m o r e n u m e r i e a l l y s t a b l e t h a n t h e o n e u s e d i n t h e M e t h o d I s o l u t i o n . I n a b b r e v i a t e d f o r m t h e m a t r i x e q u a t i o n b e c o m e s . . . , A - . [ K i i ‘ I — M i I K ‘ i ’ 6 W ] I " : = o ( 4 4 7 8 ) w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x . I n o r d e r t o i n c l u d e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e o t h e r e n d o f t h e r o d , i t i s c o n v e n i e n t t o w r i t e t h i s E q u a t i o n i n s l i g h t l y d i f f e r e n t f o r m , A ! “ ( 4 - 1 7 9 ) l O K j i ’ l i ' 1 5 i n } : K j i i ’ i ‘ 1 5 : 1 0 : ] A s i m i l a r s e t o f e q u a t i o n s i s f o u n d f o r t h e b o u n d a r y b e t w e e n r e g i o n s H a n d H I p r o d u c i n g a s e c o n d h o m o g e n e o u s m a t r i x . B o t h b o u n d a r i e s a r e i n c l u d e d i n t h e s a m e e q u a t i o n b y v e r t i c a l c o n c a t e n a t i o n o f t h e t w o h o m o g e n e o u s m a t r i x e q u a t i o n s t o p r o d u c e I + I , K j i ’ h - ' 1 6 i n i + I + I , + : K j i ‘ P i " ” N o t A I I I I I I I I I I H I = 0 ' ( 4 - 1 8 0 ) K j , fl i " 1 5 i q ; I K j i e i - I 5 , . e ; P i b - W h e n h = % L s , P o r A m a y b e s e t t o z e r o a n d o n l y t h e u p p e r l e f t o r r i g h t s u b m a t r i x n w d b e c o n s i d e r e d . I n s u c h a e a s e E q u a t i o n ( 4 - 1 7 8 ) s h o u l d b e u s e d i f p o s s i b l e s i n c e t h e n t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x i s s y m m e t r i c . T h e o n l y r e a s o n t o u s e o n e o f t h e q u a d r a n t s o f t h e m a t r i x o f E q u a t i o n ( 4 - 1 8 0 ) a s t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x w h e n s o l v i n g f o r a n i m a g e - t y p e c o n fi g u r a t i o n w o u l d b e a s i n g u l a r i t y i n t h e f o r m f o u n d i n E q u a t i o n ( 4 - 1 7 8 ) . 9 2 E q u a t i o n ( 4 - 1 8 0 ) i s f o r o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d e q u a t i o n b y r e g i o n H m o d e s , o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e t a n g e n t i a l m a g n e t i c fi e l d b y r e g i o n I / H I m o d e s . S i m i l a r e q u a t i o n s m a y b e d e r i v e d f o r o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e t a n g e n t i a l m a g n e t i c fi e l d e q u a t i o n b y r e g i o n H m o d e s , o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d b y r e g i o n I / H I m o d e s . I n t h a t c a s e t h e c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l m a g n e t i c fi e l d m a y b e e x p r e s s e d b y 1 T B . I T ' M I T M . 1 T 5 I n : I k 2 ' 5 1 T E 2 Z T 7 ° < E t e > ' + J Z E 5 B A . 4 ( E , e > 4 m q q J 4 ] m q e 4 J ” I q } ( 4 - 1 8 1 ) T M = Z m ; 7 j ( E , H X z J - J U s i n g e x p r e s s i o n s f o r T I a n d S I f r o m E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 6 ) a n d ( 4 - 1 5 7 ) , w h i c h e x p r e s s t h e c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d , w e g e t t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , . I T M T M T M E l m : q u e I 7 j 7 i < E : > ' < E e q i . ‘ i + I ' ‘ 1 1 m I m a k T M X 2 1 3 0 ) m l e g l 2 4 " q n " 4 I E 3 I T E T E - . . q u e q u k T E 1 3 , 4 1 , 1 3 A , t ‘ ? , e ( ) 1 , ( E , e “ ) 4 . ( 4 1 8 2 ) + I , Z I T E g fl T E I ( x , 2 ) : o n . ) e q d _ 1 — _ _ fi . 1 . 0 5 , s z m I n h o m o g e n e o u s m a t r i x f o r m t h i s s e t o f e q u a t i o n s i s w r i t t e n a s . . A - ' . L ] , - L fi l t j , — L " : " " 0 ( 4 - 1 3 3 ) 1 1 , - l t o , - 1 1 “ , ; ’ 9 3 w h e r e - I T ' M T M T M L . . = L . . = 2 2 % e ‘ “ M A E , " > a i < E ’ e a t J ' l ] q 1 + I A I T M x 2 1 , 2 0 ) Z e m £ m m € 1 q u " 4 " " q - ‘ 1 ( 4 - 1 8 4 ) I T E . . I T E T E T E 1 q u e l k z q B A j B A i < E ’ e > q j < E ’ e > q i + + I 2 2 Z I T E I n ; u 0 , 3 , - n 2 ) 1 , 0 2 , ) e q m a n d 5 , - i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 1 7 5 ) . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n b e t w e e n r e g i o n s H a n d H 1 i s i n c l u d e d i n t h e s a m e m a n n e r a s b e f o r e . W h e n h = ’ A L s , P o r A m a y b e s e t t o z e r o a n d o n l y o n e p a r t i t i o n o f t h e m a t r i x o f E q u a t i o n ( 4 - 1 8 3 ) n e e d b e c o n s i d e r e d . I f s u c h i s t h e c a s e , s o l u t i o n s m a y b e c o n s t r u c t e d a s e v e n a n d o d d a b o u t t h e c a v i t y c e n t e r . F o r e v e n s o l u t i o n s ( P = 0 ) i t i s b e s t t o u s e E q u a t i o n ( 4 - 1 7 8 ) s i n c e t h e n t h e m a t r i x e l e m e n t s w i l l b e w r i t t e n i n t e r m s o f t a n ( y ( / 2 ) i n s t e a d o f c o t ( y t ’ / 2 ) . F o r s m a l l s a m p l e l e n g t h s t h e c o t a n g e n t f u n c t i o n t e n d s t o b l o w u p . T h e t a n ( y ! / 2 ) f o r m u l a t i o n a l s o h a s t h e a p p e a l i n g p r o p e r t y o f c r e a t i n g a d i a g o n a l c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x f o r s m a l l s a m p l e l e n g t h s . F o r o d d s o l u t i o n s ( A = 0 ) , i t i s b e s t t o u s e E q u a t i o n ( 4 - 1 8 3 ) f o r t h e s a m e r e a s o n . F i n a l l y , i t i s n e c e s s a r y t o c o n s i d e r t h e n = 0 c a s e s . A s f o r m u l a t e d i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 7 3 ) a n d ( 4 — 1 8 2 ) , t h e s o l u t i o n s b e c o m e T M b y s i m p l y s e t t i n g I : = 0 i n t h e e q u a t i o n s . T h e r e a r e n o d i f fi c u l t i e s w i t h i n d e t e r m i n a n t f o r m s f o r n = 0 a s l o n g a s T M s o l u t i o n s a r e b e i n g s o u g h t , i . e . , W o = O , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n ( 3 - 9 4 ) . H o w e v e r , E q u a t i o n s ( 4 - 1 7 3 ) a n d ( 4 - 1 8 2 ) m a y a l s o b e u s e d t o fi n d T E s o l u t i o n s f o r n = 0 . T h e s e s o l u t i o n s m a y b e f o u n d b y r e s o l v i n g t h e i n d e t e r m i n a n t f o r m s w h i c h a r i s e w h e n V o = 0 , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n ( 3 - 9 3 ) . T h e i n d e t e r m i n a n t f o r m s a r e r e s o l v e d b y s u b s t i t u t i n g a p p r o p r i a t e v a l u e s f o r n , W " , V " , a n d U n f r o m E q u a t i o n ( 3 — 9 2 ) i n t o 9 4 E q u a t i o n s ( + 1 7 3 ) a n d ( 4 - 1 8 2 ) w h e n i n d e t e r m i n a c y a r i s e s . i T h i s m a y a p p e a r t o b e a f o r m i d a b l e t a s k , n o t i n g t h e c o m p l e x i t y o f t h e e q u a t i o n s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . H o w e v e r , t h e r e i s a s i m p l e w a y o f m a k i n g a l l n e c e s s a r y s u b s t i t u t i o n s b y r e w r i t i n g E q u a t i o n s ( 4 - 1 7 3 ) a n d ( 4 - 1 8 2 ) s u c h t h a t t h e y b e c o m e T E f o r n = O w i t h n o i n d e t e r m i n a n t f o r m s . F i r s t , t h e r e g i o n H a x i a l d e p e n d e n c e s a r e r e w r i t t e n i n T E f o r m , i . e . , i n t e r m s o f c o e f fi c i e n t s B a n d Q , u s i n g t h e n o t a t i o n d e fi n e d i n E q u a t i o n s ( 4 - 8 0 ) t h r o u g h ( 4 - 8 6 ) , z A = n g = j s E A B z B . ( 4 4 8 5 ) S e c o n d , b o t h s i d e s o f E q u a t i o n s ( 4 - 1 7 3 ) a n d ( 4 - 1 8 2 ) a r e m u l t i p l i e d b y A B ; . E q u a t i o n ( 4 - 1 7 3 ) b e c o m e s Z E N k z l m e r A B j A B i < H ’ h T M > q j ( H ’ h T M > q i + I 2 3 2 3 . 2 3 5 m m 1 q r ‘ q 2 , 2 Z I T M 5 a n J n ( a n ) 1 ; , ' ( 4 - 1 8 6 ) . T E T E _ E I T E Z e q P 1 5 1 7 j 7 i < H ’ h > q j ( H ’ h > q i m 1 + I T E 2 , 2 2 J 2 , Z T E k z [ L l n q - n ) n a n ) m 4 ‘ 1 . J 1 I I 8 * 2 T M = i g m z e j y j A B j ( E , H x 2 j j . I t i s u s e f u l t o d e fi n e t h e d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t , ( E , H X 2 ) ; ] a , s u c h t h a t T E _ _ F l 2 T M 4 - 1 8 ( E , H x 2 ) j j - E A R ] . ( E , H x 2 ) j j , ( 7 ) T h i s c o n s t a n t i s g i v e n e x p l i c i t l y i n E q u a t i o n ( C - 1 1 ) o f A p p e n d i x C . 1 T h e T E f o r m u l a t i o n f o r M e t h o d I c o u l d n o t b e a c c o m p l i s h e d b y s i m p l y r e w r i t i n g t h e e q u a t i o n s a c c o r d i n g t o T B n o t a t i o n i n r e g i o n H . T h i s w a s b e c a u s e a l l o r t h o g o n a l i z a t i o n w a s p e r f o r m e d u s i n g e i g e n v e c t o r s f r o m r e g i o n s I a n d H I . M ] , — I L " : | M ] , — 3 : 2 : A I I I = 0 ( 4 4 8 8 ) w h e r e 2 1 1 “ k I T M I I l A B j A B i < H ’ h T M > Q i ( H ’ h T M > q I 9 5 I n m a t r i x f o r m , u s i n g t h i s c o n s t a n t , E q u a t i o n ( 4 - 1 8 6 ) i s w r i t t e n , i f U + Z I I “ 6 1 I ‘ r t h I : 2 2 O ‘ n q ) " ' 4 ( 4 - 1 8 9 ) 1 . ; 5 - T E T E I ' I ' l ' i 2 3 4 p l ' Y j ' Y i ( H ’ h > q j ( H ’ h > q i - g m 1 + I n : ’ 2 2 2 , , Z m T E k z q [ 1 . 1 n q - n ) J u a n q ) q - a n d 1 T E 9 1 . = _ 2 _ 7 1 . ( E , H “ h i , ( 4 - 1 9 0 ) I n a s i m i l a r m a n n e r t h e m a t r i x f o r m o f E q u a t i o n ( 4 - 1 8 2 ) m a y b e w r i t t e n i n T E f o r m a s . A - ' . N j i " I i I N j i - . o l _ ‘ f £ 1 " ! = 0 ’ ( 4 - 1 9 1 ) i I " ’ i P i e ; w h e r e 2 : 1 , ? ” I ’ d ? ( E ’ e T q u < E ’ e m > q i 9 6 2 2 : “ ! e l u l ' Y j ’ Y i A B j A B i ( £ 3 , 8 i j < E , e T M > q i I 2 , 2 I T M E L I - M e z s z M a n I n a n ) 4 m 4 ( 4 - 1 9 2 ) + 2 2 2 1 1 1 3 5 2 5 I ‘ { , q ' n ) 1 n 0 \ , ' . q ) T h e s e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c i e s w i l l b e u s e d a n d t e s t e d i n t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s i n t h e C h a p t e r s t h a t f o l l o w . M e t h o d I a n d M e t h o d I I e x p r e s s i o n s w i l l b e n u m e r i c a l l y c o m p a r e d , a n d a s p r e v i o u s l y m e n t i o n e d , i t w i l l b e s h o w n t h a t M e t h o d 1 1 p r o d u c e s a w e l l - c o n d i t i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x w h o s e r o o t s c o m p a r e w e l l w i t h e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y q u a l i t y f a c t o r f o r a v a r i e t y o f l o a d t y p e s a n d s i z e s . C h a p t e r 5 T M M O D E S O L U T I O N F O R A P E R F E C T L Y C O N D U C T I N G R O D L O A D 5 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n C h a p t e r s 3 a n d 4 h a v e b e e n f o r d i e l e c t r i c o r s e m i - c o n d u c t i n g l o a d s i n a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c a v i t y . P r e s u m a b l y , t h e s e s o l u t i o n s c a n b e s p e c i a l i z e d t o t h e c a s e w h e n t h e l o a d i s a p e r f e c t c o n d u c t o r b y t a k i n g t h e l i m i t a s 6 " g o e s t o i n fi n i t y . S o l u t i o n s f o r a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g r o d l o a d w o u l d b e u s e f u l s i n c e t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h a n e l e c t r i c w a l l w o u l d r e p r e s e n t a r e e n t r a n t c a v i t y . N o a t t e m p t i s m a d e h e r e t o o f f e r e x p r e s s i o n s f o r t h i s l i m i t i n g c a s e e x c e p t t o s a y t h a t fi e l d s i n r e g i o n 1 , r e f e r r i n g t o F i g u r e 3 — 2 , o f t h e l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n m u s t d i s a p p e a r , a n d t h a t t h e s o l u t i o n s m u s t b e c o m e p u r e l y T E o r p u r e l y T M , e v e n f o r n o n - o - s y m m e t r i c m o d e s . F u r t h e r m o r e , c a r e m u s t b e t a k e n t h a t m a t c h i n g f o r H 4 , h a s b e e n c a r r i e d o u t o n l y i n t h e r e g i o n f o r p > a , w h e r e a i s t h e r a d i u s o f t h e c o n d u c t i n g r o d . T h i s i s b e c a u s e t h e c u r r e n t s o n t h e t o p o f t h e c o n d u c t i n g r o d a r e u n k n o w n p r i o r t o s o l v i n g f o r t h e f r e q u e n c y a n d t h e r e l a t i v e c o n t r i b u t i o n o f e a c h o f t h e m o d e s . E x a m i n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i c e s a t t h e e n d o f C h a p t e r 4 , a n d t h e c o n s t a n t s i n A p p e n d i x C u s e d t o d e fi n e t h e m a t r i x e l e m e n t s , i t m u s t b e a d m i t t e d t h a t i t i s n o t i m m e d i a t e l y o b v i o u s h o w t h e l i m i t i n g c a s e a p p e a r s f r o m t h e g e n e r a l e x p r e s s i o n s . T h a t i s n o t t o s a y t h a t t h e l i m i t i n g c a s e c a n n o t b e e x t r a c t e d f r o m t h e g e n e r a l c a s e , o n l y t h a t i t i s p r o b a b l y s a f e r t o d e r i v e t h e c o n d u c t i n g r o d s o l u t i o n f r o m fi r s t p r i n c i p l e s . S i n c e t h e m o d e s a r e e i t h e r T E o r T M a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s i m p l e r , s o l u t i o n s f o r t h e c o n d u c t i n g r o d l o a d a r e m u c h l e s s c o m p l i c a t e d t h a n f o r t h e d i e l e c t r i c l o a d . F u r t h e r m o r e , s i n c e t h e r e a r e n o l o s s e s p r e s e n t , t h e f r e q u e n c i e s a r e r e a l a n d a l l c a l c u l a t i o n s c a n b e c a r r i e d o u t u s i n g r e a l m a t h . I n f a c t , a m o d e - m a t c h i n g s o l u t i o n f o r t h e 4 > ~ s y m m e t r i c T M m o d e s f o r t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h a c o n d u c t i n g r o d l o a d w a s p r e s e n t e d a s e a r l y a s 1 9 6 2 . I n t h a t y e a r , D . M . B o l l e ’ s p a p e r , “ E i g e n v a l u e s f o r a C e n t r a l l y L o a d e d C i r c u l a r C y l i n d r i c a l C a v i t y , ” w a s p u b l i s h e d i n I R E T r a n s a c t i o n s o n M i c r o w a v e 9 7 9 8 T h e o r y a n d T e c h n i q u e s . 1 A s w a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 2 , a n d m e n t i o n e d i n C h a p t e r 4 , B o l l e ’ s f o r m u l a t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x e q u a t i o n p r o v i d e s t h e b a s i s f o r C h a p t e r 4 ’ s M e t h o d I I f o r m u l a t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x e q u a t i o n f o r t h e d i e l e c t r i c l o a d e d c a v i t y . U n f o r t u n a t e l y , f o r t h e c o n d u c t i n g l o a d w h i c h h e w a s a n a l y z i n g , B o l l e e r r e d b y o m i t t i n g t h e T E M m o d e c o n t r i b u t i o n i n t h e l o a d e d r e g i o n o f t h e e a v i t y . T h i s o m i s s i o n c a u s e d h i s n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o f a i l i n p r e d i c t i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s f o r l o a d s i n e x c e s s o f 1 0 % o f t h e c a v i t y l e n g t h . T h i s C h a p t e r i s a r e w o r k i n g o f B o l l e ’ s s o l u t i o n w i t h t h e T E M m o d e s i n c l u d e d . I t i s s h o w n t h a t h i s m e t h o d a c t u a l l y p r o v i d e s h i g h l y a c c u r a t e s o l u t i o n s f o r a l l l o a d l e n g t h s f r o m z e r o t o c a v i t y l e n g t h . 5 . 2 F i e l d E q u a t i o n s T h e c a v i t y i s d i v i d e d i n t o h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d a n d c o a x i a l w a v e g u i d e r e g i o n s , s i m i l a r t o t h e h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d a n d c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n s s h o w n i n F i g u r e s 4 - 2 , 4 - 3 , a n d 4 - 4 o f t h e l a s t C h a p t e r . F i g u r e 5 - 1 i s a d r a w i n g o f a n . a z i m u t h a l c r o s s s e c t i o n o f t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h a c o n d u c t i n g l o a d . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y i n t h e h o m o g e n e o u s l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n a r e 6 1 a n d p 1 r e s p e c t i v e l y . T h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y o f t h e m a t e r i a l b e t w e e n t h e i n n e r c o n d u c t o r a n d t h e c a v i t y w a l l i n t h e c o a x i a l w a v e g u i d e r e g i o n a r e E l l a n d p . “ r e s p e c t i v e l y . T h e e m p t y w a v e g u i d e fi e l d e q u a t i o n s a r e g i v e n b y E q u a t i o n s ( 4 - 5 7 ) t h r o u g h ( 4 - 7 1 ) . F o r a c o a x i a l w a v e g u i d e o f i n n e r r a d i u s b w i t h a c e n t e r c o n d u c t o r o f r a d i u s a , T M m o d e s o l u t i o n s a r e g i v e n b y n v , V . n A E n = ‘ ( ” : 1 1 ¥ F a b ? » 0 0 8 ( n ¢ ) 1 2 , , Z , , ( 5 - 1 ) 1 B o l l e . ) C ' H “ = o , < 5 - 6 ) 9 9 I R e g i o n I b 9 C o n d u c t o r R e g i o n [ I F i g u r e 5 - 1 C a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i t h c o n d u c t i n g l o a d . E 4 , = : 1 1 p n ( — " — ” p ) s m ( n d > ) 1 £ m , , ( 5 ' 2 ) 1 1 l ” 2 3 E = — ” — " F ( ” — ; — I " " p n z o s m q w z . ( 5 ' ) z j a m . I I b 2 n m H ? = = 3 F , . ( 1 ' ; — p ) s i n ( n ¢ ) z m . ( 5 4 ) H 2 - - — " — ” m i ; — p ) c o s ( n ¢ ) 2 " , , ( 5 ' 5 ) 1 0 0 w h e r e t h e a x i a l d e p e n d e n c e Z f u n c t i o n s a r e d e fi n e d b y E q u a t i o n s ( 4 - 7 4 ) t h r o u g h ( 4 - 7 6 ) a n d t h e E c o n s t a n t s a r e d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 4 - 5 5 ) . T h e f u n c t i o n F a i s d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 3 - 7 6 ) o f C h a p t e r 3 . T h e c o n s t a n t s ” u p a r e t h e r a d i a l w a v e n u m b e r c o n s t a n t s d e fi n e d b y t h e T M m o d e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , F , L g fl a ) = o . ( 5 - 7 ) T h e s e v a l u e s a r e i n d e p e n d e n t o f f r e q u e n c y a n d t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e m a t e r i a l b e t w e e n t h e i n n e r c o n d u c t o r a n d t h e w a v e g u i d e w a l l . T h e y d e p e n d o n l y o n t h e r a t i o o f a t o b . S i n c e t h e y d o n o t d e p e n d o n f r e q u e n c y , t h e y a r e d e fi n e d i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o t h e B e s s e l f u n c t i o n z e r o s , A n p . W h e n n = O , a z e r o s o l u t i o n e x i s t s f o r ” 0 p , i . e . , v 0 0 = 0 . T h i s s o l u t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e T E M m o d e . 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I n t h i s a n a l y s i s t h e fi e l d c o m p o n e n t s u s e d i n t h e m a t c h i n g e q u a t i o n s w i l l b e E p a n d H 4 , . U s i n g t h e c o o r d i n a t e s y s t e m d e fi n e d b y F i g u r e 5 - 1 w i t h z = 0 a t t h e c a v i t y b o t t o m , t h e s e fi e l d c o m p o n e n t s a r e e x p r e s s e d i n n o t a t i o n s i m i l a r t o B o l l e ’ s a s . L 3 s m l e ( — 2 - - 2 ) ] o n E : . — . 2 A m 5 m _ b _ 1 5 ( _ 9 2 p ) , ( 5 - 2 2 ) " “ 1 * 0 ” b c o s t fl ( i f — 5 ) ] " P 2 2 [ B ( L ‘ ) 1 o n I x C O S m — - Z H i = z - A , , , j “ " b J 6 ( _ O _ m p ) 2 ( 5 - 2 3 ) m = l > ‘ O m b L s l , 0 0 $ [ 5 m ( — é - ‘ - 2 - ) ] 1 0 3 B . B . v o i 1 ‘ n 7 , . 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T h e e r r o r t e r m i s c a l c u l a t e d b y n o t i n g t h a t f o r l a r g e n , 7 , , i s g i v e n b y 1 0 8 _ _ [ ” 0 n ] 2 ” O n ( 5 4 0 ) 7 , , — 0 : 2 p e n ~ j — . U s i n g l i m i t i n g f o r m s f o r l a r g e a r g u m e n t s o f t h e B e s s e l f u n c t i o n s i t m a y b e s h o w n t h a t n b y o " 3 b t o , ( 5 - 4 1 ) a n d Z z a , 5 ' 4 2 , , b _ a ( ) F o r l a r g e n i t i s a l s o t r u e t h a t 2 _ 2 2 ( 5 . 4 3 ) ” O n ) ‘ O q ’ 2 P o n - T h e r e f o r e h m q m a y b e w r i t t e n a s P h m , = 2 0 [ y n t a n ( ' y , , é ) 2 , , C u m ] + 5 , , ( 5 4 4 ) n : w h e r e 2 E z M J A 2 1 > . . . L t a t h L L . ( 5 4 5 ) p 1 r b 4 ° ( ° m b ) o ( 0 4 % ) n = § : : + 1 n 3 2 ( a - b ) E p i s i n d e p e n d e n t o f t h e f r e q u e n c y a n d m a y b e c a l c u l a t e d f o r e a c h l o a d l e n g t h a n d m a t r i x e l e m e n t p r i o r t o e x e c u t i o n o f t h e r o o t - fi n d i n g a l g o r i t h m . 5 . 4 N u m e r i c a l S o l u t i o n s E q u a t i o n ( 5 - 3 4 ) w a s s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n o f l o a d l e n g t h f o r 0 . 5 " d i a m e t e r r o d s i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y . O n e s u c h s o l u t i o n , w i t h e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t p o i n t s i n c l u d e d , i s p l o t t e d i n F i g u r e 5 - 2 . ) Z H M ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 1 0 9 2 5 0 0 - J 6 " D i a m e t e r C a v i t y , 0 . 5 " D i a m e t e r R o d s C a v i t y L e n g t h = 1 5 . 6 5 c m 2 4 0 0 - E x p e r i m e n t a l p o i n t s ( c m ) : 0 , 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 7 1 1 . 3 , 1 3 2 3 0 0 - E m p t y C a v fi y 2 2 0 0 - T M 0 1 2 2 1 0 0 - 4 J 2 0 0 0 - - H M o d e — M a t c h i n g S o l u t i o n C o a x i a l T M 0 0 2 1 9 0 0 0 E x p e r i m e n t a l P o i n t s R e s o n a t o r — > c x o ' c f i ( £ 2 c i s ( £ 4 ' c i s ' c f s ' c i 7 ' c i a I c i g " H o L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 2 f o v s . I f o r L s = 1 5 . 6 5 c m f r o m t h e e m p t y c a v i t y T M 0 1 2 m o d e . 1 1 0 F i g u r e 5 - 2 s h o w s t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y v a r i a t i o n v e r s u s l o a d l e n g t h b e g i n n i n g w i t h t h e e m p t y c a v i t y T M O l z m o d e f o r L , 5 = 1 5 . 6 5 c m . A s t h e l o a d l e n g t h i n c r e a s e s f r o m z e r o , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y d r o p s f r o m 2 . 4 4 G H z , s l o w l y a t fi r s t , t h e n i n c r e a s i n g l y a s t h e l o a d l e n g t h a p p r o a c h e s 2 5 % o f t h e c a v i t y l e n g t h u n t i l i t i s n e a r l y h a l f o f t h e c a v i t y l e n g t h . A s t h e l o a d l e n g t h p a s s e s 6 0 % o f t h e c a v i t y l e n g t h , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y v e r s u s l o a d l e n g t h b e c o m e s n e a r l y l e v e l a t a r o u n d 2 . 0 G H z u n t i l t h e l o a d a l m o s t t o u c h e s t h e t o p o f t h e c a v i t y . J u s t b e f o r e c o n t a c t i s m a d e , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y d r o p s v e r y s h a r p l y t o 1 . 9 1 6 G H z w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e c o a x i a l r e s o n a t o r T M 0 0 2 m o d e . “ “ 0 0 2 i s a T E M m o d e w i t h a n a x i a l d e p e n d e n c e s i m i l a r t o t h a t o f t h e e m p t y c a v i t y T M 0 1 2 m o d e . A s s h o w n i n F i g u r e 5 - 2 , t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n a g r e e s v e r y w e l l w i t h e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s f o r a l l l o a d l e n g t h s m e a s u r e d , t h e b e s t a g r e e m e n t b e i n g i n r e g i o n s w h e r e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y c h a n g e s s l o w l y w i t h l o a d l e n g t h . T h e m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n i n t h e 6 " d i a m e t e r c a v i t y s h o w n i n F i g u r e 5 - 3 . 2 T h i s c a v i t y i s d e s c r i b e d i n d e t a i l b y F r a s c h , 3 b u t i t s m a i n f e a t u r e s a r e o u t l i n e d h e r e . T h e c a v i t y h a s a s l i d i n g t o p s h o r t i n g p l a t e w i t h a 1 " d i a m e t e r h o l e i n t h e c e n t e r s o t h a t m a t e r i a l s m a y b e i n t r o d u c e d i n t o t h e c a v i t y . T h e h o l e m a y b e p l u g g e d o r fi t t e d w i t h c o l l a r s w i t h s m a l l e r h o l e s i n t h e m . F o r t h e m e a s u r e m e n t s s h o w n i n F i g u r e 5 - 2 , a c o l l a r w i t h a 0 . 5 3 1 ” d i a m e t e r h o l e t h r o u g h t h e c e n t e r w a s u s e d . A l s o s h o w n i n F i g u r e 5 - 3 a r e s m a l l 2 m m d i a m e t e r h o l e s i n t h e c a v i t y w a l l s . S m a l l p r o b e s , a l s o d e s c r i b e d b y F r a s c h , 4 m a y b e i n s e r t e d t h r o u g h t h e h o l e s s o t h a t d i a g n o s t i c m e a s u r e m e n t s c a n b e t a k e n o f t h e fi e l d s n e a r t h e w a l l s . T h e s e h o l e s d o n o t s i g n i fi c a n t l y a l t e r t h e m i c r o w a v e p r o p e r t i e s o f t h e c a v i t y s i n c e t h e i r d i a m e t e r i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e w a v e l e n g t h o f t h e e x c i t a t i o n . F i g u r e 5 - 3 a l s o s h o w s t h e m e c h a n i s m f o r c o u p l i n g p o w e r i n t o t h e e a v i t y . T h e c o u p l e r c o n s i s t s o f a n a d j u s t a b l e l e n g t h c o a x i a l p r o b e . F o r t h i s 6 " c a v i t y , t h e p r o b e 2 T h e d r a w i n g i s b y L e o n a r d M a h o n e y . 3 F r a s c h , 1 3 7 - 5 2 . ‘ l b i d . , 1 5 5 - 5 7 . F i g u r e 5 - 3 C u t - a w a y d r a w i n g o f t h e 6 " c a v i t y . © l l l 1 1 2 T h r e a d — — ‘ — — ’ l l ( \ ‘ T é — m g I \ + / l l I l l T u b e — — — - > : I : l : ’ . L “ J I f , » 1 ’ 4 — P l u g / / l l O ‘ \ \ I F i g u r e 5 - 4 C o n d u c t i n g l o a d s a m p l e c o n s t r u c t i o n . i s r e l a t i v e l y s m a l l i n o r d e r n o t t o d i s t u r b t h e fi e l d s . T h e p o r t d i a m e t e r i s 0 . 6 7 c m a n d t h e d i a m e t e r o f t h e i n n e r c o n d u c t o r / p r o b e i s 0 . 2 c m . F o r a g i v e n l o a d t h e p r o b e i s a d j u s t e d f o r i m p e d a n c e m a t c h a t t h e p o r t s o t h a t i n c i d e n t p o w e r i s c o u p l e d i n t o t h e e a v i t y i n s t e a d o f b e i n g r e fl e c t e d a t t h e c a v i t y i n t e r f a c e . E x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n f o r l o a d l e n g t h s o f 0 ( e m p t y c a v i t y ) , 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 . 3 , a n d 1 3 c m . T h e l o a d s c o n s i s t e d o f 0 5 " d i a m e t e r c o p p e r t u b e s w i t h b r a s s p l u g s o n e i t h e r e n d . A s c h e m a t i c d r a w i n g o f a s a m p l e l o a d i s s h o w n i n F i g u r e 5 - 4 . T i n y h o l e s w e r e d r i l l e d t h r o u g h t h e p l u g s t o a l l o w a t h r e a d t o b e i n s e r t e d t h r o u g h t h e e n t i r e t u b e . T h e t h r e a d s w e r e t i e d o f f o n o n e e n d s o t h a t t h e t u b e s c o u l d b e l o w e r e d i n t o t h e e a v i t y a n d s u s p e n d e d a t t h e d e s i r e d l o c a t i o n a l o n g t h e c a v i t y a x i s , i n t h i s c a s e t h e c a v i t y c e n t e r . F i g u r e 5 - 5 i l l u s t r a t e s h o w t h e c o n d u c t i n g r o d s a r e s u s p e n d e d i n s i d e t h e c a v i t y . R e s o n a n t f r e q u e n c i e s w e r e m e a s u r e d u s i n g a H e w l e t t P a c k a r d 8 3 5 0 - B s w e e p o s c i l l a t o r w i t h a 2 - 4 G H z p l u g i n u n i t f o r t h e f o u r h i g h e s t f r e q u e n c y p o i n t s . T h e l o w e r f r e q u e n c y r e s o n a n c e s w e r e m e a s u r e d u s i n g a H e w l e t t P a c k a r d 8 7 2 0 - B n e t w o r k a n a l y z e r . T h e m a r k e r s o n t h e s w e e p o s c i l l a t o r a r e a b l e t o m e a s u r e f r e q u e n c i e s t o 0 . 1 M H z , w h i l e t h e n e t w o r k a n a l y z e r i s c a p a b l e o f m e a s u r i n g f r e q u e n c i e s t o e v e n g r e a t e r p r e c i s i o n . F i g u r e 5 - 5 6 " C a v i t y l o a d e d w i t h a s u s p e n d e d c o n d u c t i n g r o d . . O . o r o c o i o o w o 1 1 3 1 1 4 I m p e r f e c t i o n s i n t h e c a v i t y c a u s e i t s e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y t o d i f f e r s l i g h t l y f r o m t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f o r a g i v e n c a v i t y l e n g t h . I n t h i s c a s e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y w a s m e a s u r e d a t 2 . 4 5 0 G H z f o r a c a v i t y l e n g t h o f 1 5 . 6 5 c m . T h e t h e o r e t i c a l v a l u e i s 2 . 4 3 7 G H z . I n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h e p e r t u r b a t i o n d u e t o t h e n o n - i d e a l c a v i t y f e a t u r e s , a l l o f t h e m e a s u r e d v a l u e s w e r e s h i f t e d b y - 0 . 0 1 3 G H z . T h a t i s w h y t h e e m p t y c a v i t y m e a s u r e m e n t m a t c h e s t h e t h e o r y p e r f e c t l y i n F i g u r e 5 - 2 . I t w a s a s s u m e d t h a t a s i m i l a r s h i f t a p p l i e s t o t h e o t h e r m e a s u r e m e n t s a s w e l l . T h e n u m b e r o f m o d e s n e c e s s a r y t o p r o v i d e a n a c c u r a t e v a l u e o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y i s d e t e r m i n e d b y c o n v e r g e n c e . T h e m i n i m u m n u m b e r o f m o d e s s u c h t h a t t h e a d d i t i o n o f m o r e m o d e s d o e s n o t a l t e r t h e f r e q u e n c y t o a g i v e n a c c u r a c y i s c o n s i d e r e d t h e n u m b e r n e c e s s a r y f o r c o n v e r g e n c e t o t h a t a c c u r a c y . T h i s c o n c e p t i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 5 - 6 w h e r e s o l u t i o n s f o r t h e m o d e o f F i g u r e 5 - 2 a r e p r e s e n t e d f o r m a t r i x s i z e s o f 1 x 1 , 2 x 2 , 3 x 3 , 5 x 5 , a n d 2 5 x 2 5 . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e s o l u t i o n i s c l e a r l y c o n v e r g i n g t o t h e o n e r e p r e s e n t e d b y t h e 2 5 x 2 5 d e t e r m i n a n t f o r l a r g e r a n d l a r g e r m a t r i c e s . E v e n t u a l l y , i n c r e a s i n g t h e d i m e n s i o n o f t h e m a t r i x h a s n o e f f e c t o n t h e c a l c u l a t e d r e s o n a n t f r e q u e n c y . A t t h a t p o i n t i t m a y b e c o n c l u d e d t h a t c o n v e r g e n c e h a s o c c u r r e d . I t s h o u l d b e r e m e m b e r e d t h a t t h e d i m e n s i o n o f t h e m a t r i x c o r r e s p o n d s t o t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n . T h e n u m b e r o f t e r m s i n t h e s u m m a t i o n i n e a c h m a t r i x e l e m e n t c o r r e s p o n d s t o t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e c o a x i a l w a v e g u i d e r e g i o n . S i n c e i t i s p o s s i b l e t o a c c u r a t e l y a p p r o x i m a t e t h e h i g h e r o r d e r t e r m s i n t h e s u m s , a n d a c c o u n t f o r t h e m b y a d d i n g a n e r r o r t e r m t o t h e e x p l i c i t l y s u m m a t i o n o f t h e l o w e r o r d e r t e r m s , t h e n u m b e r o f t e r m s i n t h e s u m m a t i o n i s n o t v e r y i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g c o n v e r g e n c e . F o r a l l F i g u r e s s h o w n , 3 0 l o w e r o r d e r s u m m a t i o n t e r m s w e r e c a l c u l a t e d e x p l i c i t l y , w i t h a n e r r o r t e r m a d d e d f o r t h e h i g h e r o r d e r t e r m s . I t i s n e c e s s a r y , t h e r e f o r e , o n l y t o c o n s i d e r t h e n u m b e r o f m o d e s i n t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n , i . e . , t h e m a t r i x d i m e n s i o n s , w h e n d e t e r m i n i n g c o n v e r g e n c e . T h e s o l u t i o n s h o w n i n F i g u r e 5 - 2 i s t h e 2 5 x 2 5 s o l u t i o n o f F i g u r e 5 - 6 . T h e b e h a v i o r o f t h e m o d e s h o w n i n F i g u r e 5 - 2 w h e n t h e l o a d l e n g t h i s n e a r t h a t o f t h e c a v i t y i s s h o w n i n a m a g n i fi e d v i e w i n F i g u r e 5 - 7 . F i g u r e 5 - 7 s h o w s t h a t ) z H M ( y c n e u q e r F t n a n o I s e i R E i I 2 5 0 0 - d 2 4 0 0 - 2 3 0 0 - 2 2 0 0 - - 2 1 0 0 - 2 0 0 0 - q 1 1 5 6 " D i a m e t e r C a v i t y , 0 . 5 " D i a m e t e r R o d s . , . . . - . . C a v i t y L e n g t h = 1 5 . 6 5 c m 1 X 1 D e t e r m i n a n t 2 X 2 D e t e r m i n a n t " 1 a , ; 3 X . 3 D e t e r m i n a n t 5 X 5 D e t e r m i n a n t 2 5 X 2 5 D e t e r m i n a n t ' - ~ . . . . ' ; ' : ' . " - . - 7 1 9 0 0 ‘ l l ' l ' l ' l ' l ‘ l ' l ' l ' 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 6 C o n v e r g e n c e o f s o l u t i o n s w i t h m a t r i x s i z e . 1 1 6 2 0 0 0 - A : i : ‘ 2 1 9 8 0 - V 5 ‘ . ( 1 9 6 5 . 5 ) Q C ) 1 9 5 0 7 g 8 d C a v i t y l e n g t h 1 5 . 6 5 c m I : 1 9 4 0 - C a v i t y d i a m e t e r 6 i n . . L e a d d i a m e t e r 0 . 5 i n . S S g 1 9 2 0 ‘ ( 1 9 1 5 . 7 ) ‘ o — e 1 5 X 1 5 D e t e r m i n a n t 1 9 0 0 H . 3 0 X 3 0 D e t e r m i n a n t f 0 0 2 = 1 9 1 5 7 M H Z 0 . 9 6 0 . 9 7 0 . 9 8 ' 0 . 9 9 1 . 0 0 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 7 R e s o n a n t f r e q u e n c y b e h a v i o r f o r l o a d l e n g t h s n e a r t h e c a v i t y l e n g t h . 1 1 7 i n t h i s r e g i o n i t i s n e c e s s a r y t o u s e a l a r g e r m a t r i x s i z e i n o r d e r t o a c h i e v e c o n v e r g e n c e . T h e 1 5 x 1 5 d e t e r m i n a n t p r o v i d e s n e a r l y t h e s a m e r e s o n a n t f r e q u e n c y v a l u e a s t h e 3 0 x 3 0 d e t e r m i n a n t w h e n t h e l o a d l e n g t h i s 9 7 % o f t h e c a v i t y l e n g t h , b u t w h e n t h e l o a d i s 9 9 % t o 1 0 0 % o f t h e c a v i t y l e n g t h , t h e 1 5 x 1 5 d e t e r m i n a n t e m b o d i e s t o o f e w m o d e s f o r a n a c c u r a t e s o l u t i o n . T h e s u d d e n d r o p i n t h e f r e q u e n c y a s t h e e n d s o f t h e r o d a p p r o a c h t h e e n d p l a t e s o f t h e c a v i t y , a l t h o u g h n o t a l w a y s a s d r a m a t i c a s s h o w n i n F i g u r e s 5 - 2 a n d 5 - 7 , i s a c o m m o n f e a t u r e o f t h e o - s y m m e t r i c T M m o d e s . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e c a p a c i t a n c e b e t w e e n t h e e n d s o f t h e r o d a n d t h e c a v i t y e n d p l a t e s , t h i n k i n g o f t h e c a v i t y i n t e r m s o f i t s e q u i v a l e n t c i r c u i t , b e c o m e s l a r g e e n o u g h t o d o m i n a t e r e s o n a n t b e h a v i o r i n t h i s r e g i o n . A s t h e g a p b e t w e e n t h e r o d a n d t h e e n d p l a t e s s h r i n k s , t h i s e f f e c t i s e n h a n c e d , d e m o n s t r a t e d b y t h e i n c r e a s i n g l y s t e e p s l o p e o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y c u r v e a s t h e r o d e n d s a p p r o a c h t h e c a v i t y s h o r t i n g p l a t e s . S i n c e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f a s e r i e s o r p a r a l l e l R L C c i r c u i t i s g i v e n b y a , = _ 1 _ , ( 5 - 4 6 ) L C i n c r e a s i n g t h e c a p a c i t a n c e w i t h o u t s i g n i fi c a n t l y a f f e c t i n g L w i l l c a u s e a d e c r e a s e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y . T h i n k i n g o f t h e e n d o f t h e r o d a n d t h e s h o r t i n g p l a t e a s a p a r a l l e l p l a t e c a p a c i t o r , t h e c a p a c i t a n c e i s g i v e n b y C o c a e . ( 5 ' 4 7 ) I f t h e e x p l a n a t i o n g i v e n a b o v e f o r t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y b e h a v i o r i s v a l i d , t h e f r e q u e n c y d r o p s h o u l d o c c u r e a r l i e r , i . e . , f o r g r e a t e r g a p l e n g t h s , o r d r o p f a s t e r w h e n t h e r o d r a d i u s i s l a r g e r . F i g u r e 5 - 8 s h o w s h o w t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y c h a n g e s w h e n t h e l o a d r a d i u s i s i n c r e a s e d f r o m 0 . 6 3 5 c m ( 0 . 5 ” d i a m e t e r ) t o 0 . 7 0 0 c m . T h e d r o p i n r e s o n a n t f r e q u e n c y w h e n t h e e n d s o f t h e l o a d a p p r o a c h t h e s h o r t i n g p l a t e s o c c u r s s l i g h t l y e a r l i e r f o r t h e l a r g e r l o a d d i a m e t e r . A l s o , t h e f a l l i n r e s o n a n t f r e q u e n c y i s g r e a t e r o v e r a l l . F i g u r e 5 - 9 , a m a g n i fi e d v i e w o f t h e h i g h l o a d l e n g t h r e g i o n o f F i g u r e 5 - 8 , s h o w s t h i s m o r e c l e a r l y . ) z H M ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 1 1 8 2 5 0 0 — 2 4 0 0 — C a v i t y L e n g t h = 1 5 . 6 5 c m 2 3 0 0 - . . E m p t y 6 " D i a m e t e r C a v u t y C a v fi y 2 2 0 0 - T M 0 1 2 2 1 0 0 - ° ° ° ° ° ° ° D o u o o o o o o o o 2 0 0 0 - ° ° a a = 0 . 7 0 0 c m C o a x i a l T M 0 0 2 1 9 0 0 H a = 0 . 6 3 5 c m R e s o n a t o r — t > ' l ' l ' l ‘ F ' l ' l ' l ' l l ' l 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 8 C o m p a r i s o n o f s o l u t i o n s f o r a = 0 . 6 3 5 a n d 0 . 7 0 0 c m . ) Z H M ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 1 1 9 2 0 2 0 - D ' E D ‘ D — U ‘ D ' O fl - O — fi m - 2 0 0 0 ~ ° ‘ ° ‘ ° “ ' 0 1 9 8 0 - 1 9 6 0 - C a v i t y d i a m e t e r 6 " C a v i t y l e n g t h 1 5 . 6 5 c m 1 9 4 0 - 1 9 2 0 - ( 1 9 1 5 . 7 ) - a — a a = 0 . 7 0 0 c m _ f o o z = 1 9 1 5 . 7 M H Z 1 9 0 0 H ° ‘ 0 ' 6 3 ? c m . , . , . , 0 . 9 6 0 . 9 7 0 . 9 8 0 . 9 9 1 . 0 0 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 9 H i g h l o a d l e n g t h r e g i o n o f F i g u r e 5 - 8 . 1 2 0 T h e r e a s o n t h a t r e s o n a n t f r e q u e n c y i n F i g u r e 5 - 9 i s g e n e r a l l y h i g h e r f o r t h e l a r g e r d i a m e t e r l o a d i s d u e t o t h e i n fl u e n c e o f t h e H — fi e l d i n t h e r e g i o n . W h e n a p e r t u r b a t i o n i s i m p o s e d o n t h e s p a c e i n w h i c h t h e fi e l d s e x i s t , a l o s s o f s p a c e i n a h i g h H — fi e l d r e g i o n w i l l r a i s e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y . A l o s s o f s p a c e i n a h i g h E - fi e l d r e g i o n w i l l c a u s e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y t o d r o p . 5 I n t h e fl a t r e g i o n o f t h e c u r v e i n F i g u r e 5 - 8 , a s t h e l o a d g e t s l o n g e r , a n e q u i v a l e n t a m o u n t o f fi e l d s p a c e i s b l o c k e d o u t f o r b o t h t h e E - fi e l d a n d t h e H - fi e l d . H o w e v e r , a n i n c r e a s e i n t h e l o a d d i a m e t e r d i m i n i s h e s t h e r e g i o n i n w h i c h t h e H - fi e l d i s h i g h e r t h a n t h e E - fi e l d , m u s i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y t o r i s e . _ A p p l i c a t i o n o f t h i s p r i n c i p l e a l s o i n d i c a t e s t h a t w h e n t h e l o a d i s n e a r l y a s l o n g a s t h e c a v i t y , t h e r e g i o n b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e c a v i t y s h o r t i n g p l a t e i s a r e g i o n o f h i g h E — fi e l d , s i n c e t h e f r e q u e n c y d r o p s a s t h e l o a d l e n g t h i n c r e a s e s i n t h a t r e g i o n . W e m a y a l s o i n f e r t h a t i t i s a x i a l s i n c e a t r a n s v e r s e E - fi e l d w o u l d b e t a n g e n t i a l t o t h e e n d o f t h e r o d a n d t h e c a v i t y s h o r t i n g p l a t e . T h e e x i s t e n c e o f a n a x i a l E - fi e l d b e t w e e n t h e e n d o f t h e c o n d u c t i n g r o d a n d t h e c a v i t y s h o r t i n g p l a t e a c c o r d s w e l l w i t h t h e n o t i o n o f a p a r a l l e l p l a t e c a p a c i t a n c e e f f e c t . B e f o r e p a s s i n g o n t o t h e n e x t F i g u r e , i t i s w o r t h w h i l e t o n o t i c e a n i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h e c o a x i a l r e s o n a t o r T E M m o d e s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 5 - 9 , v i z . , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y i s i n d e p e n d e n t o f t h e d i a m e t e r o f t h e i n n e r c o n d u c t o r . A l t h o u g h i t i s n o t d e m o n s t r a t e d i n t h e F i g u r e , i t m a y b e i n f e r r e d , a n d i s i n f a c t t h e e a s e , t h a t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r t h e T E M m o d e s i s i n d e p e n d e n t o f t h e c a v i t y d i a m e t e r a s w e l l . O t h e r m o d e s a l s o e x i s t i n t h e 6 " d i a m e t e r c a v i t y l o a d e d w i t h 0 5 " d i a m e t e r c o n d u c t i n g r o d s . O n e o f t h e m i s s h o w n i n F i g u r e 5 - 1 0 a l o n g s i d e t h e m o d e o f F i g u r e s S L 2 t h r o u g h 5 - 9 . T h e c a v i t y l e n g t h r e m a i n s a t 1 5 . 6 5 e m , b u t t h e f r e q u e n c y r a n g e h a s b e e n e x t e n d e d u p t o 3 5 0 0 M H z . M o d e d e s i g n a t i o n s a r e p r o v i d e d f o r t h e e m p t y c a v i t y a n d c o a x i a l r e s o n a t o r l i m i t s . T h e u p p e r m o d e i n t h e F i g u r e b e g i n s a s t h e l e n g t h - i n d e p e n d e n t e m p t y c a v i t y T M 0 2 0 m o d e . A s t h e l e n g t h o f l o a d i n c r e a s e s f r o m z e r o , t h e m o d e e v e n t u a l l y b e c o m e s t h e c o a x i a l r e s o n a t o r T M m o m o d e , a l s o l e n g t h i n d e p e n d e n t . S i n c e t h e f r e q u e n c y a t b o t h l o a d l e n g t h l i m i t s i s e a v i t y / l o a d S H a r r i n g t o n , 3 1 9 - 2 0 . ) Z H M ( y c n e u q l ’ 1 N O‘ \ e r F t n a n o s e R T M 0 1 2 1 2 1 6 " D i a m e t e r C a v i t y . 0 . 5 " D i a m e t e r R o d s L S = 1 5 . 6 5 c m T M 0 1 0 T M 0 0 2 \ \ \ a \ \ ‘ 5 1 l ' fl 0 . 2 0 . 4 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h 1 I ' I I 0 . 6 0 . 8 1 . 0 F i g u r e 5 - 1 0 T M 0 2 0 e m p t y c a v i t y t o m o w c o a x i a l c a v i t y m o d e f o r L 8 = 1 5 . 6 5 c m . 1 2 2 l e n g t h i n d e p e n d e n t , i t m i g h t b e a s k e d i f t h e s h a p e o f t h e c u r v e b e t w e e n t h e l i m i t s i s a f f e c t e d b y a c h a n g e i n c a v i t y l e n g t h . F o r l a r g e c h a n g e s i n c a v i t y l e n g t h , t h i s q u e s t i o n i s a n s w e r e d b y t h e p l o t s h o w n i n F i g u r e 5 - 1 1 . F i g u r e 5 - 1 1 i s a p l o t o f t w o m o d e s e a c h f o r c a v i t y l e n g t h s o f 1 0 c m a n d 2 5 c m . F o r e a c h e a v i t y l e n g t h o n e p l o t i s d r a w n a s e m a n a t i n g f r o m t h e e m p t y c a v i t y T M O Z O m o d e a n d a n o t h e r f r o m t h e c o a x i a l r e s o n a t o r m o r e m o d e . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , n e i t h e r t h e 1 0 c m c a v i t y n o r t h e 2 5 c m c a v i t y h a v e a m o d e w h i c h g o e s f r o m t h e e m p t y e a v i t y T M O Q O m o d e t o t h e c o a x i a l c a v i t y T M o r o m o d e , n o t e v e n t o s p e a k o f t h e s h a p e o f t h e c u r v e b e t w e e n t h e l i m i t s . F o r t h e 1 0 c m c a v i t y , t h e e m p t y T M 0 2 0 m o d e g o e s t o t h e c o a x i a l T M 0 0 2 m o d e , w h i l e t h e c o a x i a l m o m m a d e g o e s t o t h e e m p t y T M 0 1 2 m o d e . F o r t h e 2 5 c m c a v i t y , t h e e m p t y m o m m a d e g o e s t o t h e c o a x i a l T M O I Z m o d e , w h i l e t h e c o a x i a l T M o l o m o d e g o e s t o t h e e m p t y T M O M m o d e . A l l o f t h e s e m o d e s d e m o n s t r a t e a s h a r p d r o p i n r e s o n a n t f r e q u e n c y j u s t a s t h e c a v i t y b e c o m e s c o a x i a l . F i n a l l y , i t i s s h o w n t h a t t h e r e e x i s t c o n d u c t i n g r o d - l o a d e d c a v i t y m o d e s w h i c h c o r r e s p o n d t o n o c o a x i a l c a v i t y m o d e i n t h e l i m i t a s t h e l o a d l e n g t h a p p r o a c h e s t h e c a v i t y l e n g t h . F i g u r e 5 - 1 2 s h o w s t h a t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e m o d e w h i c h i n c l u d e s t h e e m p t y c a v i t y m o m m a d e f o r 1 = 0 h e a d s t o w a r d z e r o a s t h e l o a d l e n g t h i n c r e a s e s . T h e F i g u r e s h o w s t h i s f o r L 8 = 5 a n d 1 0 c m . F o r c a v i t y l e n g t h s g r e a t e r t h a n 2 0 c m , t h e a x i a l l y e v e n T E M m o d e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s d r o p b e l o w t h e e m p t y e a v i t y T M O I O f r e q u e n c y . I n s u c h c a s e s i t i s p o s s i b l e t h a t t h e e m p t y c a v i t y m o m m a d e w o u l d a p p r o a c h a c o a x i a l c a v i t y T E M m o d e a s t h e l e n g t h o f t h e r o d a p p r o a c h e d t h e e a v i t y l e n g t h . I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t f o r c e r t a i n l o a d r a d i i a n d c a v i t y l e n g t h s h i g h e r o r d e r m o d e s w o u l d e x h i b i t t h e b e h a v i o r s h o w n i n F i g u r e 5 - 1 2 , w i t h t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y h e a d i n g t o w a r d z e r o a s t h e l o a d i n c r e a s e s i n l e n g t h . 5 . 5 C o n c l u s i o n T h i s C h a p t e r h a s d e m o n s t r a t e d t h e a p p l i c a t i o n o f m o d e - m a t c h i n g t o s o l v i n g f o r t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f a c a v i t y l o a d e d w i t h a c o n d u c t i n g r o d , s h o w i n g e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t f o r a w i d e r a n g e o f l o a d l e n g t h s . T h e s o l u t i o n h a s ) z H M ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 1 2 3 3 6 0 0 - l d / T M o z o d ° : . - - . - . . - ' I I I I I I I I I 3 2 0 0 - b \ ° 1 3 0 3 0 1 2 0 I . . . E 2 8 0 0 - 2 4 0 0 - 2 5 c m ° ° ° o ° ° ° ° 1 0 c m T M 0 1 0 > ° ° ° ° ‘ 0 L S z o o o i t s j - r m m w r - j - w . 0 . 0 0 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 1 1 S e v e r a l m o d e s f o r L 5 = 1 0 a n d 2 5 c m . ) z H M ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 1 2 4 1 6 0 0 1 . . . . . . 1 - 4 0 0 - \ 1 2 0 0 _ E m p t y C a v n t y T M 0 1 0 m a d e 1 0 0 0 - 8 0 0 — 5 0 0 1 6 " D i a m e t e r C a v i t y , 0 . 5 " D i a m e t e r R o d s 4 0 0 - 2 0 0 - . B — E J L 5 = 5 c m o 9 — 0 L 5 = 1 0 c m 0 ' I ' f ' I ' I T I 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 L o a d L e n g t h / C a v i t y L e n g t h F i g u r e 5 - 1 2 E m p t y c a v i t y m o m h a s n o c o a x i a l c a v i t y c o m p a n i o n m o d e . 1 2 5 p r o v i d e d s p e c i a l i n s i g h t i n p r e d i c t i n g t h e s h a r p d r o p i n r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r t h e T M m o d e s w h i c h o c c u r s j u s t a s t h e l o a d l e n g t h n e a r s t h e e a v i t y l e n g t h . A l t h o u g h n o fi e l d c a l c u l a t i o n s w e r e m a d e , r e s o n a n t f r e q u e n c y b e h a v i o r p r o v i d e s i n d i e a t i o n s o f t h e fi e l d s t r u c t u r e . A r i s i n g r e s o n a n t f r e q u e n c y i n d i c a t e s a h i g h H - fi e l d i n t h e d i r e c t i o n o f l o a d e x p a n s i o n w h i l e a f a l l i n g r e s o n a n t f r e q u e n c y i n d i c a t e s a h i g h E - fi e l d i n t h e d i r e c t i o n o f l o a d e x p a n s i o n . M o d e s e x h i b i t i n g e s p e c i a l l y s h a r p r e s o n a n t f r e q u e n c y d e c l i n e s a s t h e l o a d l e n g t h a p p r o a c h e s t h a t o f t h e c a v i t y m a y b e u s e f u l i n f o c u s i n g E - fi e l d e n e r g y i n t o a m a t e r i a l b y p l a c i n g t h e m a t e r i a l b e t w e e n t h e e n d o f t h e c o n d u c t i n g r o d a n d a c a v i t y e n d p l a t e . T h e t h e o r y p r o v i d e s t h e m e a n s f o r e x p l i c i t fi e l d c a l c u l a t i o n s i f d e s i r e d . F i n a l l y , t h e s o l u t i o n p r e s e n t e d h e r e p r o v i d e s a n e x a m p l e o f t h e u t i l i t y o f t h e m o d e - m a t c h i n g m e t h o d . I t d e m o n s t r a t e s t h a t B o l l e ’ s a p p r o a c h t o c o n s t r u c t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n w o r k s v e r y w e l l i n s p i t e o f t h e p o o r r e s u l t s r e p o r t e d i n h i s p a p e r . L a s t o f a l l , i t p o i n t s t o t h e n e c e s s i t y i n m o d e - m a t c h i n g s o l u t i o n s o f i n c l u d i n g a l l o f t h e l o w e r o r d e r m o d e s i n t h e fi e l d e x p a n s i o n e x p r e s s i o n s . C h a p t e r 6 N A T U R A L F R E Q U E N C Y A N D T H E S I N U S O I D A L S T E A D Y - S T A T E R E S P O N S E 6 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e l a s t t h r e e C h a p t e r s h a v e p r o v i d e d a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r t h e w a v e n u m b e r s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e a n d v a r i o u s c o n fi g u r a t i o n s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y . T h e w a v e g u i d e s o l u t i o n s a r e f o r 7 , t h e a x i a l w a v e n u m b e r , k p l , t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i n s i d e t h e i n n e r d i e l e c t r i c , a n d k p z , t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i n t h e r e g i o n b e t w e e n t h e i n n e r d i e l e c t r i c a n d t h e w a v e g u i d e w a l l . W h e n t h e e x c i t a t i o n f r e q u e n c y i s s p e c i fi e d t h e s e w a v e n u m b e r s a r e f o u n d a s r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) o f C h a p t e r 3 . F o r t h e w a v e g u i d e , t h e e x c i t a t i o n f r e q u e n c y s p e c i fi e d i s a r e a l v a l u e , t h e r e f o r e t h e s o l u t i o n e x t r a c t e d m a y b e d i r e c t l y a s s o c i a t e d w i t h t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e d r i v e n r e s p o n s e . L o s s e s a r e a c c o u n t e d f o r i n s p a c e , i . e . , w a v e a t t e n u a t i o n a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e . T h i s i s t h e r e s p o n s e o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y w i t h a c o n t i n u o u s w a v e ( C W ) g e n e r a t o r o r s w e e p o s c i l l a t o r s o u r c e w i t h a s w e e p r a t e m u c h l e s s t h a n t h e e x c i t a t i o n f r e q u e n c y . I n s o l v i n g f o r t h e w a v e n u m b e r s o f t h e e a v i t y , t h e f r e q u e n c y i s n o t u s u a l l y a n i n p u t v a l u e , b u t o n e o f t h e v a l u e s b e i n g s o u g h t . F r e q u e n c y , t h r o u g h t h e w a v e n u m b e r k 0 , i s o n e o f t h e v a r i a b l e s d e t e r m i n e d b y t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . W h e n l o s s e s a r e p r e s e n t t h e f r e q u e n c y i s c o m p l e x . T T h i s c o r r e s p o n d s t o w a v e a t t e n u a t i o n i n t i m e , i . e . , i n t h e a b s e n c e o f a d d i t i o n a l i n p u t e n e r g y , t h e m a g n i t u d e o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d w i t h i n t h e c a v i t y d e c r e a s e s w i t h t i m e . T h e c o m p l e x f r e q u e n c y , a l s o c a l l e d t h e n a t u r a l f r e q u e n c y , d e s c r i b e s t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e o f t h e e a v i t y t o a p u l s e o r t o h a v i n g a C W s o u r c e i n s t a n t a n e o u s l y s h u t o f f o r t u r n e d o n . T h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y d e s c r i b e s t h e t i m e p e r i o d o f fi e l d o s c i l l a t i o n w h i l e t h e i m a g i n a r y 1 ’ I t i s p o s s i b l e t o i n p u t a c o m p l e x f r e q u e n c y a n d s e a r c h f o r o t h e r s y s t e m e i g e n v a l u e s . I f t h e r e a r e l o s s e s p r e s e n t , b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y m u s t b e k n o w n . 1 2 6 1 2 7 p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y i s t h e e x p o n e n t i a l d e c a y c o n s t a n t ? T h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s u n d e r s u c h c o n d i t i o n s a r e s a i d t o r e s o n a t e i n t h e i r n a t u r a l m o d e s . T h i s C h a p t e r i s a d i s c u s s i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n a t u r a l f r e q u e n c y a n d t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s p o n s e w h i c h i s o b s e r v e d w h e n t h e c a v i t y s y s t e m i s d r i v e n b y a C W s o u r c e . S i n c e n e a r l y a l l m i c r o w a v e p r o c e s s i n g o f m a t e r i a l s e m p l o y s c o n t i n u o u s w a v e e n e r g y o r r e l a t i v e l y l o n g ( c o m p a r e d t o o n e f r e q u e n c y c y c l e ) p u l s e s o f c o n t i n u o u s w a v e e n e r g y , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n a t u r a l f r e q u e n c y a n d t h e - s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s p o n s e m u s t b e u n d e r s t o o d i n o r d e r t o i n t e r p r e t n a t u r a l m o d e s o l u t i o n s a s d e s c r i p t i v e o f c o n t i n u o u s w a v e a p p l i c a t i o n s . 6 . 2 E q u i v a l e n t C i r c u i t D e s c r i p t i o n o f t h e L o s s y C a v i t y T h e s i n u s o i d a l s t e a d - s t a t e r e s p o n s e i s a t e r m c o m m o n l y u s e d i n l u m p e d p a r a m e t e r c i r c u i t a n a l y s i s . F o r a n o r d i n a r y c i r c u i t , s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e f e r s t o t h e b e h a v i o r o f t h e c i r c u i t w h e n i t i s d r i v e n b y a c u r r e n t o r v o l t a g e s o u r c e w h i c h v a r i e s s i n u s o i d a l l y i n t i m e a t a c o n t i n u o u s f r e q u e n c y . S i n c e m i c r o w a v e d e v i c e s m a y b e a p p r o x i m a t e l y r e p r e s e n t e d b y e q u i v a l e n t l u m p e d c i r c u i t s , t h e s i n u s o i d a l s t e a d y — s t a t e d e s c r i p t i o n i s a p p l i e d t o m i c r o w a v e d e v i c e s w h e n t h e d e v i c e i s e x c i t e d b y a C W s o u r c e . T h e s i n u s o i d a l s t e a d y — s t a t e r e s p o n s e i s c o n t r a s t e d w i t h t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e e x h i b i t e d w h e n t h e m i c r o w a v e e n e r g y s o u r c e i s i n s t a n t a n e o u s l y t u r n e d o n o r o f f . A n o t h e r c o n c e p t b o r r o w e d f r o m c i r c u i t t h e o r y a n d a p p l i e d t o m i c r o w a v e d e v i c e s i s t h e i d e a o f r e s o n a n t c i r c u i t q u a l i t y f a c t o r , c o m m o n l y a b b r e v i a t e d Q . T h e Q o f a r e s o n a n t c i r c u i t i s a m e a s u r e o f t h e r a t i o o f e n e r g y s t o r e d i n t h e c i r c u i t a t r e s o n a n c e t o t h e a m o u n t o f e n e r g y d i s s i p a t e d i n t h e c i r c u i t e v e r y c y c l e . Q i s c o n v e n t i o n a l l y d e fi n e d i n u n i t s o f i n v e r s e r a d i a n s s u c h t h a t , T i m e a v e r a g e e n e r g y s t o r e d i n c i r c u i t ‘ ( 6 — 1 ) T i m e a v e r a g e e n e r g y d i s s i p a t e d i n c i r c u i t p e r r a d i a n ° 1 T o s p e a k m o r e p r e c i s e l y , i n t h e p r e s e n c e o f l o s s e s , t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s d o n o t s i m p l y o s c i l l a t e a s t h e y d e c a y . R a t h e r t h e y r o t a t e a s d e s c r i b e d i n A p p e n d i x D . T h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y c o r r e s p o n d s t o t h e r a t e o f r o t a t i o n i n s p a c e . 1 2 8 V C : : : v o L 1 1 0 R F i g u r e 6 — 1 P a r a l l e l R L C C i r c u i t . W e n o w e x a m i n e t h e r e s o n a n t c h a r a c t e r i s t i c s o f a l u m p e d c i r c u i t , d e r i v i n g t h e q u a l i t y f a c t o r a n d r e s o n a n t f r e q u e n c y . G i v e n a p a r a l l e l R L C c i r c u i t s u c h a s t h e o n e s h o w n i n F i g u r e 6 1 , i t m a y b e s h o w n t h a t t h e v o l t a g e V s a t i s fi e s t h e f o l l o w i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , l 2 d V . . _ 1 - fl ’ + _ 2 . o . ( 6 2 ) T h e u n d e r d a m p e d s o l u t i o n ( t h e o n e t h a t i s o s c i l l a t o r y ) r e s u l t s i n a n e x p r e s s i o n f o r t h e v o l t a g e V 2 A 1 e 3 1 t + A 2 e 3 2 t s A l e r ‘ t - r A z e r z t , ( 6 ' 3 ) w h e r e A , a n d A 2 a r e a r b i t r a r y c o e f fi c i e n t s d e p e n d e n t o n t h e i n i t i a l v o l t a g e o n t h e e a p a c i t o r , v 0 , a n d t h e i n i t i a l c u r r e n t i n t h e i n d u c t o r , i 0 . T h e c o m p l e x v a l u e s s 1 a n d 3 2 a r e t h e L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s . T h e L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c y i s r e l a t e d t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c y a “ : b y s = j 6 : . T h e u n d e r d a m p e d L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s a r e g i v e n b y 1 1 m w . N i l s s o n , E l e c t r i c C i r c u i t s ( R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 8 3 ) , 2 0 7 . 1 2 9 F i g u r e 6 - 2 R L C c i r c u i t d r i v e n b y a c u r r e n t s o u r c e . 3 1 . 2 ' 0 ’ " 1 1 ' 3 “ ? ) ” ‘ 1 ’ ” : ( 6 . 4 ) w h e r e . ( 6 - 5 ) a n d “ ’ o > c o " . I t i s e v i d e n t t h a t s 1 a n d s 2 a r e c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s . W h e n t h e c i r c u i t i s d r i v e n b y a t i m e - h a r m o n i c c u r r e n t s o u r c e a s s h o w n i n F i g u r e 6 - 2 , i t i s f o u n d t h a t t o o i s t h e f r e q u e n c y a t w h i c h t h e o u t p u t v o l t a g e i s m a x i m i z e d . I f t h e c u r r e n t s o u r c e i s v a r y i n g s i n u s o i d a l l y a t a c o n s t a n t f r e q u e n c y s u c h t h a t i = 1 , . c o s ( w t ) , t h e p h a s o r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o u t p u t v o l t a g e V i s r e l a t e d t o t h e p h a s o r c u r r e n t o f t h e s o u r c e I b y V : - I 1 ( 6 - 6 ) . 1 ° r ” [ “ ’ c 3 7 : ] T h e m a g n i t u d e o f V i s g i v e n b y 1 3 0 . 1 : | V | = ; 1 1 2 ( 6 - 7 ) J 7 2 * i “ C ‘ E i s o t h a t t h e m a g n i t u d e o f V i s m a x i m u m f o r t h e f r e q u e n c y w = ( n o , w h e r e ( 0 , , i s g i v e n a b o v e i n E q u a t i o n ( 6 - 5 ) . c o o , o r 1 ; , = 0 1 0 / 2 1 r , i s c a l l e d t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e d r i v e n c i r c u i t . T h e Q o f t h e c i r c u i t i s f o u n d b y d e t e r m i n i n g t h e r a t i o o f t h e s t o r e d e n e r g y i n t h e i n d u c t o r a n d t h e c a p a c i t o r t o t h e e n e r g y d i s s i p a t e d i n t h e r e s i s t o r p e r c y c l e a t r e s o n a n c e . T h e s e t w o v a l u e s m a y b e p u t i n t o E q u a t i o n ( 6 — 1 ) t o g i v e a v a l u e f o r t h e c i r c u i t Q . S i n c e t h e s t o r e d e n e r g y i s t r a n s f e r r e d b e t w e e n t h e i n d u c t o r a n d t h e c a p a c i t o r 9 0 ° o u t o f p h a s e , t h e p e a k v a l u e o f e n e r g y s t o r e d i n o n e o f t h e m w i l l p r o v i d e a n e x p r e s s i o n f o r t h e t o t a l . A t r e s o n a n c e , t h e t o t a l a n d t h e t i m e - a v e r a g e s t o r e d e n e r g i e s a r e t h e s a m e . T h e p e a k v a l u e o f e n e r g y s t o r e d i n t h e c a p a c i t o r i s g i v e n b y u , - . 1 . c h . ( 6 - 8 ) 2 T h e t i m e - a v e r a g e e n e r g y d i s s i p a t e d i n t h e r e s i s t o r o v e r o n e c y c l e i s V 2 1 1 , . 1 £ 9 . _ 1 _ . ( 6 9 ) 2 R c o o T h e r e f o r e t h e q u a l i t y f a c t o r i s g i v e n b y U S Q s _ s w o R C , ( 6 ' 1 0 ) 0 : 1 U s i n g E q u a t i o n s ( 6 - 5 ) w e m a y w r i t e a n " i n t e r m s o f “ ’ o a n d Q s u c h t h a t " I 1 3 . 0 3 — 0 ( 6 ‘ 1 1 ) 2 R C 2 9 ’ ( I ) a n d t a h n e e q u i v a l e n t c i r c u i t d e s c r i p t i o n g i 0 2 ’ d e s a v : = = ( . . , w ’ + n . o [ = I , - L j " - w 3 ( " , 1 _ Q - 2 _ ° . . ( ( 6 6 - ‘ 1 1 4 5 ( 6 - 1 6 ) ) ) 1 3 1 8 _ 1 . ‘ _ 1 2 ( 6 - 1 2 ) 5 1 , 2 m o [ m i J J I ( z — Q ' ) ] : 0 1 ' k $ 1 , 2 ‘ i w o J 1 ' ( fi 2 U g o — 3 - ( 6 ' 1 3 ) T h e s e a r e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c i r c u i t . T r e a t i n g t h e c a v i t y i n t e r m s o f i t s e q u i v a l e n t c i r c u i t , E q u a t i o n ( 6 - 1 3 ) s h o w s t h a t t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e c a v i t y , 6 : , c o n t a i n s w i t h i n i t i n f o r m a t i o n o n b o t h r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d Q . R e c a l l i n g t h a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e c a v i t y f r o m E q u a t i o n ( 4 - 2 1 ) o f C h a p t e r 4 i s g i v e n b y 2 Q F o r a h i g h Q ( Z 5 0 ) , t h e r e a l p a r t o f 6 3 p r o v i d e s a c l o s e a p p r o x i m a t i o n t o t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y c o o , i . e . , w z w ’ . ( 5 ' 1 7 ) a n d Q i s g i v e n b y Q a s w , ( 6 ’ 1 8 ) 1 3 2 H a v i n g q u a l i fi e d t h e s e a p p r o x i m a t i o n s b y r e q u i r i n g Q ’ s i n e x c e s s o f 5 0 o r s o , i t n e e d s t o b e s a i d t h a t , f o r a m i c r o w a v e c a v i t y , Q ’ s f o r a g o o d r e s o n a n c e a r e c o m m o n l y i n t h e r a n g e o f s e v e r a l t h o u s a n d . T h e r e s t r i c t i o n i s t h e r e f o r e n o t u s u a l l y p r o b l e m a t i c . 6 . 3 Q u a l i t y F a c t o r a n d t h e N a t u r a l F r e q u e n c i e s o f t h e M i c r o w a v e C a v i t y T h e c a v i t y q u a l i t y f a c t o r m a y b e d e r i v e d i n t e r m s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y d i r e c t l y f r o m t h e d e fi n i t i o n o f E q u a t i o n ( 6 - 1 ) . 2 I n t h e a b s e n c e o f i n p u t e n e r g y t h e p o w e r d i s s i p a t e d i s r e l a t e d t o t h e e n e r g y s t o r e d b y t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y s u c h t h a t B U P a - _ , 6 ' 1 9 ) d a : ( w h e r e P d i s t h e p o w e r d i s s i p a t e d a n d U i s t h e s t o r e d e n e r g y . T h e n a t u r a l m o d e c a v i t y q u a l i t y f a c t o r m a y t h e n b e w r i t t e n Q 3 “ " a U ’ ( 6 - 2 0 ) w h e r e w ’ i s t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y . T h i s m a y b e r e w r i t t e n a s 8 U w ' . _ _ _ U = O . 6 ' 2 1 a t + Q ( ) T h e s o l u t i o n t o t h i s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s g i v e n b y " a t . ( 6 - 2 2 ) S i n c e e n e r g y s t o r e d i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e m a g n i t u d e o f t h e e l e c t r i c fi e l d , i . e . , E ~ 1 5 " , t h e e l e c t r i c fi e l d i s g i v e n b y 0 E “ ) 3 E o e — E t e j w ’ t y ( 6 . 2 3 ) z J a c k s o n , 3 5 7 . 1 3 3 w h e r e E 0 = « U 0 . S i n c e t h e e l e c t r i c fi e l d i s a l s o g i v e n b y E ( t ) = 1 5 o e j a " = E o e ’ “ " ‘ e j " ’ " , ( 6 ' 2 4 ) w h e r e a , = w ’ + j w " , i t i s c l e a r t h a t t h i s a n a l y s i s y i e l d s t h e s a m e v a l u e f o r t h e c a v i t y Q a s d i d t h e e q u i v a l e n t c i r c u i t a p p r o a c h , v i z . , Q = ‘ 9 , ( 6 - 2 5 ) 6 . 4 S - P l a n e R e p r e s e n t a t i o n o f N a t u r a l F r e q u e n c i e s I t i s c u s t o m a r y t o p r e s e n t t h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s 3 1 2 ' a s p o i n t s o n a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m p l a n e w h e r e t h e y — a x i s r e p r e s e n t s t h e i m a g i n a r y p a r t o f 3 w h i l e t h e x - a x i s r e p r e s e n t s t h e r e a l p a r t o f s . F i g u r e 6 - 3 i s a n I R e ( s ) F i g u r e 6 - 3 S - P l a n e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s . 1 3 4 e x a m p l e o f t h e s - p l a n e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l o c a t i o n o f t h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s f o r a n R L C c i r c u i t . A s s h o w n i n F i g u r e 6 — 3 t h e t w o f r e q u e n c i e s 3 1 a n d 3 2 a r e c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s i n t h e l o c u s o f p o i n t s w h i c h f o r m a c i r c l e o f r a d i u s ( 0 0 c e n t e r e d a t t h e o r i g i n . T h e r e a l p a r t o f e a c h o f t h e t w o f r e q u e n c i e s i s l o c a t e d a t - w " w h i l e t h e i m a g i n a r y p a r t s a r e f o u n d a t 1 3 0 ' . Q ’ s a r e c o n s t a n t a l o n g l i n e s t h r o u g h t h e o r i g i n w i t h h i g h e r Q ’ s a l o n g l i n e s c l o s e r t o t h e R e ( s ) - a x i s , l o w e r Q ’ 5 a l o n g l i n e s c l o s e r t o t h e I m ( s ) - a x i s O n e o f t h e u s e f u l f e a t u r e s o f F i g u r e 6 — 3 i s t h a t i t m a y b e u s e d t o g r a p h i c a l l y r e p r e s e n t t h e b e h a v i o r o f t h e i m p e d a n c e o f t h e c i r c u i t s h o w n i n F i g u r e 6 - 2 . F r o m E q u a t i o n ( 6 - 6 ) t h e i m p e d a n c e s e e n b y t h e c u r r e n t s o u r c e o f F i g u r e 6 - 2 i s g i v e n b y 1 ' 6 — 2 6 1 . , - { . . c - ; ] < > R w L U s i n g E q u a t i o n s ( 6 - 4 ) a n d ( 6 - 5 ) , t h e i m p e d a n c e m a y b e r e w r i t t e n a s 2 : 1 : I l z = _ [ 1 " “ J . C ( i w - s l ) ( i w - s 2 ) T h e m a g n i t u d e o f t h e i m p e d a n c e i s s i m p l y t h e p r o d u c t o f t h e m a g n i t u d e s o f t h e f a c t o r s s o t h a t ( 6 - 2 7 ) 0 3 I l l , Z ( 6 - 2 8 ) C . l a w - s n l l w - e l E q u a t i o n ( 6 - 2 8 ) i s t h e b a s i s f o r r e p r e s e n t i n g t h e i m p e d a n c e g r a p h i c a l l y o n t h e s - p l a n e s h o w n i n F i g u r e 6 - 3 . A t a p o i n t o n t h e I m ( s ) - a x i s , i . e . , s = j w , t h e i m p e d a n c e i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e p r o d u c t o f t h e m a g n i t u d e s o f t h e v e c t o r s f r o m 3 1 a n d 5 2 t o 3 . T h e s e v e c t o r s a r e s h o w n i n F i g u r e 6 - 4 . I t i s a p p a r e n t t h a t w h e n j w i s n e a r 3 1 o r : 2 t h e i m p e d a n c e a n d t h e o u t p u t v o l t a g e a r e l a r g e , e s p e c i a l l y i f o r " i s s m a l l . 1 3 5 I m ( s ) s 1 ” 0 s w I R e ( s ) _ w 0 5 2 F i g u r e 6 - 4 S - P l a n e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m a g n i t u d e o f t h e i m p e d a n c e . B e c a u s e o f t h e w i n t h e n u m e r a t o r , t h e i m p e d a n c e i s n o t q u i t e m a x i m u m a t c o = I m ( s l , 2 ) , b u t r e a c h e s i t s p e a k a t t o = ( 0 0 . A l t h o u g h t h e c u r r e n t s o u r c e i n t h e c i r c u i t o f F i g u r e 6 - 2 i s d r i v e n a t a r e a l f r e q u e n c y ( 0 , i t i s c o m m o n t o c o n s i d e r t h e i m p e d a n c e a s a f u n c t i o n o f t h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c y 5 . T h e g e n e r a l i z e d i m p e d a n c e f u n c t i o n i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 6 — 2 7 ) e x c e p t t h a t j w i s r e p l a c e d b y s s u c h t h a t z - _ 1 _ [ s ] ( e 2 9 ) C ( s - s l ) ( s - s z ) T h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s s 1 a n d 3 2 a r e s e e n t o b e p o l e s o f t h e g e n e r a l i z e d i m p e d a n c e ? T h e i m p e d a n c e a l s o h a s a z e r o a t t h e o r i g i n . 1 " I ' h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m f r e q u e n c i e s a r e o f t e n i d e n t i fi e d w i t h t h e z e r o s o f t h e i m p e d a n c e f t m c t i o n a n d t h e p a l e s o f t h e a d m i t t a n c e . I t i s t h e o t h e r w a y a r o u n d h e r e b e c e u s e a p a n l l e l r a t h e r t h a n a s e r i e s c i r c u i t i s u s e d t o m o d e l t h e c a v i t y . 1 3 6 I m ( s ) G - — - — w ’ I 5 1 I l I u ’ R e ( s ) - u ' I l | l . . w ’ _ _ _ 6 S B F i g u r e 6 — 5 S - P l a n e f r e q u e n c i e s o f t h e l o s s y h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y . I t i s p o s s i b l e t o p l o t t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s o f t h e m i c r o w a v e c a v i t y i n a n s - p l a n e r e p r e s e n t a t i o n . S u c h a p l o t i s s h o w n i n F i g u r e 6 — 5 f o r t h e l o s s y h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y w h o s e c o m p l e x f r e q u e n c i e s a r e g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) . T h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e t w o p o l e s s h o w n , b o t h o f w h i c h c o r r e s p o n d t o o n e m o d e , i . e . , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) , t h e s a m e v a l u e o f n , p , a n d q , i n d i c a t e t h a t t h e y a r e n o t c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s . ’ r F u r t h e r m o r e , 3 2 i s a n o n - p h y s i c a l l y r e a l i z a b l e f r e q u e n c y s i n c e i t c o r r e s p o n d s t o e x p o n e n t i a l g r o w t h o f e n e r g y i n t i m e . 5 2 i s n e g l e c t e d w h e n u s i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s t o a p p r o x i m a t e s i n u s o i d a l s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s . W h i l e E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) i s s p e c i fi c t o t h e c y l i n d r i e a l c a v i t y , E q u a t i o n ( 4 - 2 2 ) w i t h t h e “ + ” s i g n i s t r u e f o r a n y h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y w i t h p e r f e c t l y c o n d u c t i n g w a l l s . S i n c e t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e p o l e s i n F i g u r e 6 - 5 m a y b e T A n e x p l a n a t i o n w a s o f f e r e d i n C h a p t e r 4 t o t h e e f f e c t t h a t i n d i v i d u a l m o d e s d o n o t f o r m i n d e p e n d e n t c i r c u i t e l e m e n t s a n d t h e r e f o r e n a t u r a l m o d e f r e q u e n c i e s d o n o t h a v e t o c o n f o r m i n d i v i d u a l l y t o t h e c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r r e q u i r e m e n t . 1 3 7 d e t e r m i n e d b y E q u a t i o n ( 4 - 2 2 ) , F i g u r e 6 - 5 m a y r e p r e s e n t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f a g e n e r a l h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y . A l t h o u g h c o u p l i n g h a s n o t b e e n c o n s i d e r e d i n t h e n a t u r a l f r e q u e n c y s o l u t i o n s o f C h a p t e r 4 , i t i s n e c e s s a r y t o m a k e a f e w g e n e r a l o b s e r v a t i o n s r e g a r d i n g t h e e f f e c t o f c o u p l i n g o n s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s o n a n c e s a n d t h e i r r e l a t i o n t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c a v i t y a l o n e . T h i s n e c e s s a r i l y i n v o l v e s t h e i m p e d a n c e o f t h e s y s t e m . H o w e v e r , w i t h o u t a d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e c o u p l i n g m e c h a n i s m w h i c h t r a n s f e r s p o w e r f r o m t h e s o u r c e i n t o t h e c a v i t y , a f u l l d e s c r i p t i o n o f t h e i m p e d a n c e f u n c t i o n i s n o t p o s s i b l e . N e v e r t h e l e s s , t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c a v i t y c o n s t i t u t e c e r t a i n o f t h e p o l e s s o t h a t a p a r t i a l k n o w l e d g e o f t h e i m p e d a n c e i s k n o w n w i t h o u t c o n s i d e r i n g t h e c o u p l i n g . I n f a c t , a w e l l d e s i g n e d c o u p l i n g m e c h a n i s m s h o u l d n o t i n t r o d u c e a n y n e w p o l e s i n t o t h e i m p e d a n c e , a t l e a s t n o n e t h a t a r e n e a r t h e I m ( s ) - a x i s . S u c h a p o l e w o u l d c o r r e s p o n d t o a n u n d e s i r a b l e r e s o n a n c e i n s i d e t h e c o u p l e r . A t t h e s a m e t i m e i t m u s t b e n o t e d t h a t t h e c o u p l i n g w i l l s l i g h t l y p e r t u r b t h e p o l e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s d u e o n l y t o t h e e a v i t y . I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t i t m a y q u a s h s o m e o f t h e m b y i m p r e s s i n g a z e r o o n t o p o f t h e c a v i t y p o l e . T h i s w o u l d b e t h e c a s e , f o r e x a m p l e , i f c o u p l i n g w e r e a c c o m p l i s h e d b y m e a n s o f a n i n fi n i t e s i m a l p r o b e l o c a t e d i n t h e c e n t e r o f o n e o f t h e s h o r t i n g p l a t e s o f a c y l i n d r i c a l c a v i t y . S u c h a p r o b e w o u l d n o t b e a b l e t o c o u p l e e n e r g y i n t o a n y c a v i t y m o d e w h i c h h a d n o a x i a l e l e c t r i c fi e l d i n t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y c r o s s s e c t i o n . T h i s w o u l d i n c l u d e a l l T E m o d e s a n d a l l n o n - ¢ - s y m m e t r i c T M m o d e s . A n o t h e r c o u p l i n g m e c h a n i s m , w h o s e i m p e d a n c e z e r o s w e r e l o c a t e d e l s e w h e r e , w o u l d h a v e t o b e u s e d t o e x c i t e t h e s e m o d e s . F i n a l l y , i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e s - p l a n e f r e q u e n c i e s o f t h e c a v i t y w i t h c o u p l i n g i n c l u d e d s h o u l d f a l l i n t o c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r s a s d o t h e f r e q u e n c i e s f o r t h e R L C c i r c u i t . T h i s i s a c c o m p l i s h e d a p p r o x i m a t e l y b y a r e fl e c t i o n o f t h e c a v i t y p o l e 3 1 a c r o s s t h e R e ( s ) - a x i s . T h i s i s n e c e s s a r y b e c a u s e a n e g a t i v e e x c i t a t i o n f r e q u e n c y i n r e a l t i m e c o r r e s p o n d s t o a s i m p l e c h a n g e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e p r o p a g a t i o n o f t h e w a v e s i n t h e c a v i t y , w h i c h i n t u r n m a y b e r e p r e s e n t e d b y a 1 8 0 ° p h a s e d e l a y a n d a p o s i t i v e f r e q u e n c y . S i n c e t h e m o d e r e s o n a n c e i s i n s e n s i t i v e t o a d e l a y i n t h e i n i t i a l 1 3 8 e x c i t a t i o n , b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e d r i v i n g f r e q u e n c i e s s h o u l d e x c i t e t h e s a m e m o d e w i t h t h e s a m e l o s s e s . W i t h t h e s e c o n s i d e r a t i o n s i n m i n d , w e n o w d i s m i s s t h e m b y c o n c e n t r a t i n g o n a p a r t i c u l a r n a t u r a l c a v i t y f r e q u e n c y , a s s u m i n g a c o u p l i n g s t r u c t u r e w h i c h i m p o s e s n o p o l e s o r z e r o s n e a r t h e n a t u r a l c a v i t y f r e q u e n c y p o l e . O t h e r p o l e s a r i s i n g f r o m t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c a v i t y s h o u l d b e f a r a w a y a s w e l l . T h e n t h e m a g n i t u d e o f t h e i m p e d a n c e i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e n a t u r a l c a v i t y f r e q u e n c y 3 0 m a y b e w r i t t e n a s 1 ' 2 1 . z A — . — — , ' j w - s o l ( 6 - 3 0 ) w h e r e A i s a p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t . T h e m a g n i t u d e o f t h e i m p e d a n c e m a y b e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f 3 a l o n g t h e j w - a x i s t o s h o w h o w t h e i m p e d a n c e a n d t h e i n p u t p o w e r v a r y a s a f u n c t i o n o f t h e d r i v i n g f r e q u e n c y . A n e x a m p l e o f s u c h a p l o t i s s h o w n b e l o w i n F i g u r e 6 - 6 . T h e n a t u r a l c a v i t y f r e q u e n c y i s f = 2 + j 0 . 0 0 1 G H z w h i l e t h e p o l e i s l o c a t e d a t s o = j d = j 2 1 r f . F i g u r e 6 - 6 d i s p l a y s a p l o t o f t h e n o r m a l i z e d i m p e d a n c e i n t h e v i c i n i t y o f t h i s p o l e . I t i s u s e f u l t o n o t e t h a t t h e c a v i t y Q m a y b e d e t e r m i n e d f r o m t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d t h e b a n d w i d t h a t t h e h a l f - p o w e r p o i n t s . T h e h a l f - p o w e r p o i n t s r e f e r t o t h e f r e q u e n c y a t w h i c h h a l f o f t h e p o w e r d e l i v e r e d a t r e s o n a n c e i s c o u p l e d i n t o t h e c a v i t y . T h e h a l f p o w e r p o i n t s o c c u r f o r I Z I = I Z I m a x + f f , o r , f o r t h e n o r m a l i z e d i m p e d a n c e , l z l . . 7 0 7 . I f t h e h a l f - p o w e r b a n d w i d t h , i . e . , t h e f r e q u e n c y d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o h a l f - p o w e r p o i n t s , i s d e n o t e d b y A w , t h e n Q i s g i v e n b y 3 _ “ ’ _ ° _ ( @ 3 1 ) Q A ( . 0 ° F r o m F i g u r e 6 — 6 w e c a n s e e t h a t A w = 2 1 0 . 0 0 1 - 1 . 9 9 9 ) G H z . T h e r e s o n a n t f r e q u e n c y i s c o o = 2 1 0 . 0 ) G H z . F r o m E q u a t i o n ( 6 - 3 1 ) Q i s e q u a l t o 1 , 0 0 0 . T h i s i s t h e s a m e v a l u e f o u n d b y u s i n g E q u a t i o n ( 6 - 2 5 ) . 1 3 9 1 . 0 — g 0 . 8 - ' 8 h a l f - p o w e r _ _ > < — ( D E - 0 . 6 - l | — I l 8 l I g 0 . 4 “ I I O E 1 l | o I I z 0 . 2 - l | l | 0 . 0 . . e L ' . j , 2 . . . . . . . 1 0 0 0 2 . 0 0 4 2 . 0 0 8 2 . 0 1 2 j 0 2 / 2 1 1 . . , fi . 1 . 9 8 8 1 . 9 9 2 1 . 9 9 6 F i g u r e 6 - 6 I m p e d a n c e a s a f u n c t i o n o f s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e d r i v i n g f r e q u e n c y t o . e . . f . . ( 6 - 3 2 ) 1 4 0 6 . 5 S - P l a n e F r e q u e n c i e s v s . L o s s F a c t o r f o r C a v i t y - S h o r t T y p e M o d e s A s e x a m p l e s o f s - p l a n e f r e q u e n c y c h a r t s a n d t h e i r u s e s , w e d e m o n s t r a t e h o w t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s o f t w o c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s a p p e a r a s p l o t t e d o n t h e s - p l a n e . T h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 4 - 3 o f C h a p t e r 4 . I t c o n s i s t s o f a c y l i n d r i c a l c a v i t y c o a x i a l l y l o a d e d w i t h a d i e l e c t r i c r o d o f l e n g t h e q u a l t o t h e c a v i t y l e n g t h . F i g u r e 6 - 7 i s a p l o t o f a s e r i e s o f f r e q u e n c i e s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e T E D “ m o d e f o r a v a r i e t y o f l o a d m a t e r i a l l o s s f a c t o r s , w h i l e t h e c a v i t y l e n g t h , c a v i t y r a d i u s , l o a d l e n g t h , l o a d r a d i u s a n d l o a d d i e l e c t r i c c o n s t a n t a r e k e p t c o n s t a n t . T h e f r e q u e n c i e s a r e f o u n d a s r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) w i t h n = 0 a n d T E s o l u t i o n s s p e c i fi e d . T h e a x i a l w a v e n u m b e r , 7 , i s e q u a l t o 1 r / L s w h e r e L 8 i s t h e c a v i t y l e n g t h . T h e p l o t i s f o r a 6 " d i a m e t e r c a v i t y a n d 1 " d i a m e t e r l o a d , w i t h a c a v i t y a n d l o a d l e n g t h b o t h e q u a l t o 6 . 5 c m . A l l f r e q u e n c y v a l u e s a r e i n g i g a - r a d i a n s p e r s e c o n d . T h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e l o a d m a t e r i a l i s e " . = 3 , w h e r e t h e s u b s c r i p t r i n d i e a t e s a r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , i . e . , r e l a t i v e t o t h e p e r m i t t i v i t y o f f r e e - s p a c e , M a t e r i a l p e r m i t t i v i t i e s i n t h e F i g u r e s o f t h i s a n d t h e f o l l o w i n g C h a p t e r s a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t . A s s h o w n i n F i g u r e 6 - 7 , s i s p u r e l y i m a g i n a r y w h e n t h e l o s s f a c t o r i s z e r o , b u t m o v e s i n t o t h e n e g a t i v e - r e a l h a l f o f t h e p l a n e a s 6 " i n c r e a s e s f r o m z e r o . T h e m a g n i t u d e o f t h e r e a l p a r t i s m a x i m u m w h e n e , " i s n e a r 5 . T h e n , a s e ” c o n t i n u e s t o i n c r e a s e , t h e r e a l p a r t o f 3 d e c r e a s e s u n t i l t h e f r e q u e n c y i s n e a r l y b a c k a t t h e I m ( s ) - a x i s f o r e , " = 1 0 , 0 0 0 . A t t h e s a m e t i m e , t h e i m a g i n a r y p a r t o f s s t e a d i l y i n c r e a s e s w i t h 6 " s o t h a t t h e f r e q u e n c y c u r v e o n t h e s - p l a n e i s o v a l s h a p e d . A l s o i n c l u d e d i n F i g u r e 6 - 7 a r e l i n e s o f c o n s t a n t Q . S i n c e t h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i s f a r a w a y f r o m t h e o r i g i n o f t h e p l o t , t h e c o n s t a n t Q l i n e s a p p e a r n e a r l y v e r t i c a l . L i n e s f o r Q = 5 0 a n d Q = 3 0 a r e s h o w n . T h e s e l i n e s p r o v i d e a q u i c k r e f e r e n c e f r o m w h i c h t o e s t i m a t e w h a t t h e Q i s a t d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e p l a n e . T h e c a v i t y / l o a d s y s t e m i s s h o w n t o b e h i g h Q f o r b o t h v e r y l o w a n d v e r y h i g h l o s s S — 0 = P 3 I G n e 0 1 Q = 5 0 C u r = 1 0 . 0 0 6 2 . 0 . . 3 6 2 7 5 c c c m m m ’ ' . - ' I 1 F 2 2 2 ‘ 2 1 1 . . 1 1 1 . . 2 8 5 4 0 2 2 0 8 0 0 - 6 | J U ) S ( O J 3 9 ) 0 ( “ 7 1 = = b 0 L 8 S " , 8 ' = = " ' - \ I I r 8 = 5 r . 5 - 0 I . 4 - 0 I . 3 - 0 N I . 2 - 0 - r . = 0 - - 1 f . 0 - : : \ x 0 . 0 1 4 1 R e ( s ) o r I m ( w * ) F i g u r e 6 - 7 C a v i t y — s h o r t t y p e T E D “ m o d e f r e q u e n c i e s a s a f u n c t i o n o f l o s s f a c t o r . | l u ) s ( O J 3 9 ) 0 ( “ 1 4 2 c " r = 1 0 , 0 0 0 T M O 1 1 m o d e b = 7 . 6 2 c m - 1 6 . 8 ~ 1 6 . 4 H S D - 1 5 . 6 I F f I I Y T - 0 . 9 - 0 . 7 I 4 5 . 5 1 ' — 0 . 3 ' R e ( s ) o r I m ( c d “ ) T 1 5 . 2 F i g u r e 6 - 8 C a v i t y - s h o r t t y p e T M o u m o d e f r e q u e n c i e s a s a f u n c t i o n o f l o s s f a c t o r : a = 0 . 1 " a n d 0 . 2 " . 1 4 3 f a c t o r s . T h e Q i s h i g h f o r l o w l o s s f a c t o r l o a d s b e c a u s e t h e l o a d i s a n e a r l y l o s s l e s s d i e l e c t r i c a n d t h e r e i s l i t t l e e n e r g y d i s s i p a t e d i n t h e m a t e r i a l . F o r v e r y h i g h l o s s f a c t o r s t h e l o a d b e h a v e s m o r e l i k e a c o n d u c t o r t h a n a l o s s y d i e l e c t r i c — a g a i n l i t t l e e n e r g y i s d i s s i p a t e d i n t h e l o a d m a t e r i a l . A s i m i l a r p l o t i s s h o w n i n F i g u r e 6 - 8 f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e T M o u m o d e i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y . T h e c a v i t y a n d l o a d l e n g t h i s 7 . 7 6 c m a n d t h e l o a d m a t e r i a l d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s a g a i n g i v e n b y e " . = 3 . F i g u r e 6 - 8 c o n t a i n s t w o p l o t s , o n e f o r a l o a d r a d i u s o f 0 . 1 ” , o n e f o r a l o a d r a d i u s o f 0 . 2 " . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e l a r g e r l o a d p r o d u c e s a g r e a t e r e f f e c t o n b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y a s t h e l o a d m a t e r i a l l o s s f a c t o r c h a n g e s . C o m p a r i n g F i g u r e s 6 — 7 a n d 6 - 8 , i t i s e v i d e n t t h a t e v e n t h o u g h t h e l o a d m a t e r i a l i s m u c h s m a l l e r f o r t h e T M m o d e s o f F i g u r e 6 - 8 , t h e Q i s g e n e r a l l y l o w e r t h a n t h a t o f t h e T B m o d e o f F i g u r e 6 - 7 . T h e r e a s o n f o r t h i s i s b e c a u s e t h e e l e c t r i c fi e l d s c o u p l e m o r e e f f e c t i v e l y t o t h e l o a d m a t e r i a l w h e n t h e y a r e t a n g e n t i a l t o i t . T h i s i m p l i e s m o r e e n e r g y d i s s i p a t i o n , a n d l o w e r Q v a l u e s , f o r T M m o d e s w h e n t h e g r e a t e r d i m e n s i o n o f t h e l o a d i s a l i g n e d a x i a l l y i n t h e c a v i t y . F i e l d a n d m a t e r i a l i n t e r a c t i o n w i l l b e d i s c u s s e d f u r t h e r i n t h e C h a p t e r s t h a t f o l l o w . T h e r e s u l t s o f t h i s C h a p t e r , v i z . , h o w t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e r e l a t e d t o e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s o f r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y Q , w i l l b e u s e d t o s h o w t h a t t h e a n a l y s i s p r e s e n t e d a c c o r d s w i t h e x p e r i m e n t . C h a p t e r 7 W A V E N U M B E R R E L A T I O N S H I P S I N T H E C O A X I A L L Y - L O A D E D W A V E G U I D E 7 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e t h e o r y o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 5 o f C h a p t e r 3 . A d r a w i n g o f a c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e o f r a d i u s b w i t h a l o a d o f c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t 6 1 , m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y [ 1 . 1 , a n d r a d i u s a i s s h o w n i n F i g u r e 3 - 2 . T h e m a t e r i a l b e t w e e n t h e w a v e g u i d e w a l l a n d t h e l o a d b o u n d a r y i s c o m p o s e d o f a m a t e r i a l o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t £ 2 a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y 1 4 2 . T h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a r e g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 5 8 ) t h r o u g h ( 3 - 7 5 ) . N u m e r i e a l s o l u t i o n i s r e q u i r e d i n o r d e r t o fi n d t h e w a v e n u m b e r s 7 , k n 1 , a n d k p z d e fi n e d b y E q u a t i o n s ( 3 - 5 0 ) t h r o u g h ( 3 - 5 7 ) . W h e n a n i s g i v e n ( a r e a l n u m b e r ) , t h e s e a r e f o u n d a s s o l u t i o n s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) , w i t h t h e s e p a r a t i o n e q u a t i o n s , E q u a t i o n s ( 3 - 5 7 ) , l i n k i n g t h e m . T h i s C h a p t e r c o n c e r n s t h e s e n u m e r i c a l s o l u t i o n s a n d g r a p h i c a l p r e s e n t a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p s t h a t t h e w a v e n u m b e r s s u s t a i n t o t h e d r i v i n g f r e q u e n c y , t o . S i n c e t h e l o a d m a t e r i a l i s a l l o w e d t o b e l o s s y , y , k p l , a n d k p z a r e c o m p l e x . I n t h e c a s e o f t h e a x i a l w a v e n u m b e r , y , t h e e x i s t e n c e o f a n i m a g i n a r y p a r t i n d i c a t e s t h a t t h e w a v e i s a t t e n u a t e d i n t h e d i r e c t i o n o f e n e r g y p r o p a g a t i o n . ’ r I t i s c u s t o m a r y t o e x p r e s s c o m p l e x v a l u e s o f 7 i n t e r m s o f a r e a l p a r t B , a n d a n i m a g i n a r y p a r t a t . T h e s a m e c o n v e n t i o n i s f o l l o w e d h e r e s u c h t h a t 7 = fi - j a . ( 7 - 1 ) 1 ’ S i n c e i t i s p o s s i b l e t o e x c i t e b a c k w a r d m o d e s , i . e . , m o d e s i n w h i c h t h e e n e r g y p r o p a g a t i o n m o v e s i n a d i r e c t i o n o p p o s i t e t o t h e w a v e f r o n t , a t t e n u a t i o n i s n o t a l w a y s i n t h e d i r e c t i o n t h a t t h e w a v e f r o n t t r a v e l s . 1 4 4 1 4 5 T h e n u m e r i c a l r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e u s e d t o s o l v e E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) f o r t h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h i s C h a p t e r w a s a n i m p l e m e n t a t i o n o f M l ‘ i l l e r ’ s m e t h o d f o r c o m p l e x f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e , t h e F O R T R A N c o d e o f w h i c h i s g i v e n i n A p p e n d i x E . T h e p r o g r a m w a s i m p l e m e n t e d o n a n I B M c o m p a t i b l e 8 0 3 8 6 ( 2 5 M H z ) p e r s o n a l c o m p u t e r w i t h a m a t h c a p r o c e s s o r . E v e n w i t h o u t a g o o d i n i t i a l g u e s s , s o l u t i o n s t o E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) c o u l d u s u a l l y b e f o u n d i n u n d e r 2 s e c o n d s . I n p r o d u c i n g t h e c u r v e s p r e s e n t e d i n t h e F i g u r e s b e l o w , t w o a d j a c e n t p o i n t s w e r e l o c a t e d i n i t i a l l y o n e a c h c u r v e . I n i t i a l g u e s s e s f o r s u c c e s s i v e p o i n t s w e r e c a l c u l a t e d b y a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n u s i n g t h e t w o p o i n t s i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e p o i n t b e i n g s o u g h t . A l l t h e p o i n t s i n a t y p i c a l c u r v e c o u l d u s u a l l y b e l o c a t e d w i t h i n 1 0 s e c o n d s . I t i s n o t t h e p u r p o s e h e r e t o p r e s e n t a n e x h a u s t i v e e x a m i n a t i o n o f t h e p h e n o m e n a a s s o c i a t e d w i t h t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . O n e o f t h e r e a s o n s f o r t h i s i s t h e e x t e n s i v e r a n g e o f s u c h p h e n o m e n a . E v e n w h e n t h e l o a d m a t e r i a l i s l o s s l e s s , t h e r e e x i s t a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s , i n c l u d i n g b a c k w a r d a n d c o m p l e x m o d e p r o p a g a t i o n . l W h e n t h e l o a d b e c o m e s l o s s y t h e r a n g e o f s o l u t i o n s i s e v e n m o r e m u l t i f a r i o u s , s i n c e t h e p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s a r e a f u n c t i o n o f t w o d e g r e e s o f f r e e d o m i n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , i . e . , e " . a n d e } . T h e m o t i v a t i o n f o r t h i s s t u d y i s t o e x a m i n e w a v e n u m b e r b e h a v i o r t o k n o w h o w b e s t t o fi n d w a v e n u m b e r s f o r u s e i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d r e g i o n o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e o r c a v i t y - i m a g e t y p e l o a d e d c a v i t y . T h e p r i m a r y a i m i s t o u n d e r s t a n d h o w t h e w a v e n u m b e r s a n d m o d e s p a c i n g a r e a f f e c t e d b y t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s a n d r a d i u s o f t h e l o a d . 7 . 2 N a m i n g o f t h e M o d e s A s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 3 , t h e m o d e s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e d o n o t d i v i d e i n t o c l a s s i fi c a t i o n s T E a n d T M t o z e x c e p t f o r t h e c a s e n = 0 . S e v e r a l s c h e m e s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r c l a s s i f y i n g h y b r i d m o d e s o f d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s a c c o r d i n g t o w h i c h fi e l d , t h e E — fi e l d o r t h e H - fi e l d , h a s t h e d o m i n a n t a x i a l l C l t t n n ' c c t t t s a n d T a y l o r , 1 9 5 1 . 1 4 6 c o m p o n e n t . ’ r M o s t o f t h e m u s e t h e t w o d e s i g n a t i o n s H E a n d E H t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e t w o c l a s s e s , b u t u n f o r t u n a t e l y , t h e s c h e m e s d o n o t a g r e e o n w h e t h e r E H i s T E - l i k e o r w h e t h e r i t i s T M - l i k e , a n d s i m i l a r l y f o r t h e H E d e s i g n a t i o n . T h e s c h e m e f a v o r i n g E H a s T E - l i k e s e e m s t o b e i n t h e a s c e n d a n c y f o r n o n - s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s , b e i n g t h a t o f S n i t z e r , K o b a y a s h i a n d T a n a k a , a n d B r u n o a n d B r i d g e s . 2 O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e v e r s e d e s i g n a t i o n s h a v e b e e n c h o s e n b y s e v e r a l w h o h a v e r e c e n t l y t r e a t e d s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s , C h o u a n d L e e , S p h i c o p o u l o s e t . a 1 . , a n d L i n . 3 Z a k i a n d A t i a , a n d Z a k i a n d C h e n h a v e s i m p l y r e f e r r e d t o a l l h y b r i d c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s a s H E . 4 V i g n e r o n a n d G u i l l o n h a v e c a l l e d t h e m a l l H E M . 5 S t i l l a n o t h e r s c h e m e h a s b e e n a d o p t e d b y t h o s e t r e a t i n g p l a s m a c o l u m n s i n w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s . F o l l o w i n g A g d u r a n d E n a n d e r 6 T E - l i k e h y b r i d m o d e s h a v e b e e n c a l l e d T E " m o d e s w i t h T M - l i k e h y b r i d m o d e s c a l l e d T M “ m o d e s . T h e s h i e l d e d w a v e g u i d e g r o u p a l s o t h e i r d e s i g n a t i o n s o n a d i f f e r e n t p r i n c i p l e t h a n t h e n o n - s h i e l d e d g r o u p . W h i l e m o s t o f t h e n o n - s h i e l d e d g r o u p h a s c o n c e n t r a t e d o n t h e r a t i o s o f 1 5 ' z t o H 2 i n t h e c o r e r e g i o n , t h o s e s t u d y i n g s h i e l d e d w a v e g u i d e s h a v e b a s e d t h e i r d e s i g n a t i o n s o n t h e T B o r T M l i m i t i n g c a s e s w h e n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a p p r o a c h e s u n i t y o r w h e n t h e c o r e m a t e r i a l g r o w s v e r y s m a l l . T h e h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e m o d e r e m a i n i n g a t e n d o f t h e l i m i t i n g p r o c e d u r e p r o v i d e s t h e d e s i g n a t i o n W e t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i s d i f f e r e n t f r o m a c i r c u l a r d i e l e c t r i c w a v e g u i d e , t h e y a r e s i m i l a r i n m a n y r e s p e c t s , e s p e c i a l l y i n t h e n e c e s s i t y o f h y b r i d m o d e s w h e n u i t 0 . D e p e n d i n g o n o n e ’ s p e r s p e c t i v e , t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m a y j u s t a s e a s i l y b e c a l l e d a s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e , w h i c h i t o f t e n i s . 2 S n i t z e r , “ C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c W a v e g u i d e M o d e s , ” 4 9 4 ; K o b a y a s h i a n d T a n a k a , 1 0 7 8 - 7 9 ; B r u n o a n d B r i d g e s , 8 8 4 - 8 5 . 3 R i - C h e e C h o u a n d S h u n g - W u L e e , 1 1 6 8 ; T . S p h i c O p o u l o s , L . G . B e r n i e r , a n d F . G a r d i o l , 9 7 ; L i n , 3 8 . 4 Z a k i a n d A t i a ; Z a k i a n d C h e n , “ I n t e n s i t y a n d D i s t r i b u t i o n o f H y b r i d - M o d e F i e l d s . ” 5 V i g n e r o n a n d G u i l l o n . 6 A g d u r a n d E n a n d e r , 5 7 6 . 1 4 7 E H i f t h e m o d e i s T M o r H E i f t h e m o d e i s T E . T h e n a m e a s s o c i a t i o n o f H E w i t h T B m o d e s a n d E H w i t h T M m o d e s a p p e a r s t o b e a r b i t r a r y . I f t h e r e i s t o b e a d i s t i n c t i o n i n t h e h y b r i d m o d e s b a s e d u p o n t h e T M — l i k e n e s s o r T E - l i k e n e s s o f t h e m o d e s , t h e p r i n c i p l e s b e h i n d S n i t z e r ’ s a n d B r u n o a n d B r i d g e s ’ s s c h e m e s a r e m o r e t r u s t w o r t h y t h a n t h o s e o f C h o u a n d L e e , a n d L i n . I t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t l i m i t i n g c a s e s d o n o t p r o v i d e u n i q u e l a b e l s f o r a l l c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s . S o m e t i m e s , f o r e x a m p l e , a c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e w i l l a p p r o a c h a h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e T M m o d e f o r s m a l l l o a d r a d i i a n d a h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e T E m o d e a s t h e l o a d r a d i u s a p p r o a c h e s t h a t o f t h e w a v e g u i d e . S o m e t i m e s a l o w o r d e r c o a x i a l l y - l o a d e d m o d e w i l l a p p r o a c h a h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e m o d e o f m u c h g r e a t e r o r d e r m a k i n g i t v e r y d i f fi c u l t t o l o c a t e w h a t k i n d o f h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e m o d e i s b e i n g a p p r o a c h e d . F o r h i g h l y l o s s y m a t e r i a l s o r p l a s m a s w i t h h i g h c o n d u c t i v i t i e s , m o d e s e x i s t w h i c h a r e r e l a t e d t o t h e c o a x i a l w a v e g u i d e T E M m o d e s . T h e s e a r e n o t r e l a t e d t o h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w a v e g u i d e o r c a v i t y m o d e s . A l t h o u g h t h e l i m i t i n g c a s e m e t h o d m i g h t b e u s e f u l i n s o m e i n s t a n c e s , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d l o s s f a c t o r o f t h e l o a d i n t h e w a v e g u i d e i s l o w , i t c a n n o t p r o v i d e a g e n e r a l m e a n s o f d i s t i n g u i s h i n g t h e m o d e s . W h i l e S n i t z e r ’ s m e t h o d o f d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n H E a n d E H m o d e s h a s b e e n a s s o c i a t e d w i t h c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f E l a n d H z , S n i t z e r h i m s e l f d o e s n o t r e f e r t o t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f I ? z a n d H z . I n s t e a d , S n i t z e r p o i n t s o u t t h a t t h e p h y s i c a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e H E a n d E H m o d e s i s t h a t “ f o r t h e E H m o d e s t h e p e a k s i n t h e P o y n t i n g f l u x a r e l o c a t e d f u r t h e r f r o m t h e c e n t e r o f t h e g u i d e t h a n t h e p e a k s i n E 2 a n d H z ; t h e r e v e r s e i s t h e c a s e f o r t h e H E m o d e s . ” 7 I t m a y b e t h a t t h i s i s a m o r e f u n d a m e n t a l p h y s i c a l d i s t i n c t i o n t h a n t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f E 2 a n d H z a n d b e a r s m o r e d e t a i l e d s t u d y . N o n e t h e l e s s , S n i t z e r ’ s d i s t i n c t i o n s a p p e a r a l s o t o d i f f e r e n t i a t e b e t w e e n m o d e s w i t h g r e a t e r a n d l e s s e r r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e r a t i o s o f E 2 t o H z . B r u n o a n d B r i d g e s , w h o s e m e t h o d i n v o l v e s a d i r e c t c a l c u l a t i o n o f t h e r a t i o o f E 2 t o H z , c l a i m t h a t t h e i r m e t h o d i s i d e n t i c a l t o S n i t z e r ’ s w h e n t h e i r t h r e e r e g i o n g u i d e i s r e d u c e d t o a t w o r e g i o n g u i d e . 7 S n i t z e r , 4 9 7 . 1 4 8 A n o t h e r f e a t u r e o f S n i t z e r ’ s m e t h o d t h a t n w d s a d d r e s s i n g i s t h a t i t d e p e n d s u p o n a c e r t a i n f a c t o r i z a t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . T h a t t h e f a c t o r i z a t i o n e m p l o y e d a l w a y s p r o v i d e s a p h y s i c a l l y s i g n i fi c a n t d i s t i n c t i o n i n t h e s h i e l d e d d i e l e c t r i c w a v e g u i d e m o d e s i s n o t c l e a r . O n t h e o t h e r h a n d , B r u n o a n d B r i d g e s ’ s m e t h o d i n v o l v e s a s i m p l e d i r e c t c a l c u l a t i o n o f t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e r a t i o o f E 2 t o H z ( s u p p r e s s i n g t h e ¢ - d e p e n d e n c e ) . T h i s r a t i o i s c o m p a r e d t o t h e w a v e i m p e d a n c e o f a p l a n e w a v e t r a v e l i n g a t t h e s a m e p h a s e v e l o c i t y , i . e . , ” 0 Z g 6 0 ( 7 - 2 ) k 0 I f t h e r a t i o i s g r e a t e r t h a n t h e p l a n e w a v e i m p e d a n c e t h e m o d e i s c a l l e d H E ( T M - l i k e ) , o t h e r w i s e i t i s l a b e l e d E H ( T E - l i k e ) . T h e m e t h o d t h e r e f o r e h a s s i m p l i c i t y a n d a p h y s i c a l l y i n t u i t i v e q u a l i t y t o r e c o m m e n d i t “ F o r t h i s r e a s o n , t h e m e t h o d d e v e l o p e d b y B r u n o a n d B r i d g e s i s p r e f e r a b l e t o S n i t z e r ’ s i f t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e a x i a l e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a r e t o b e t h e d i s t i n g u i s h i n g t r a i t s o f t h e t w o m o d e t y p e s . G i v e n t h a t t h e h y b r i d m o d e s a r e t o b e d i s t i n g u i s h e d b y t h e r e l a t i v e c o n t r i b u t i o n s o f t h e a x i a l e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s , t h e o n l y m a t t e r l e f t t o s e t t l e i s w h a t t o c a l l t h e T E / T M - l i k e m o d e s . A l t h o u g h i t s e e m s t o b e t h e m o s t p o p u l a r , f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h i s a u t h o r , t h e E H / H E m o d e n a m i n g c o n v e n t i o n i s n o t w e l l - c o n c e i v e d . S i n c e o n e t y p e o f m o d e i s d i s t i n g u i s h e d f r o m a n o t h e r b y a s i m p l e t r a n s p o s i t i o n o f l e t t e r s , i t i s d i f fi c u l t t o r e m e m b e r w h i c h i s w h i c h . F u r t h e r m o r e , i t i s n o t c l e a r t h a t t h e r e i s a f u n d a m e n t a l p h y s i c a l d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e E H a n d H E m o d e s , e s p e c i a l l y w h e n E z a n d H z a r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l i n t h e w a v e i m p e d a n c e s e n s e . I t m a y b e b e s t t o r e f e r t o h y b r i d m o d e s s i m p l y a s H E M i n g e n e r a l a n d t o d i s t i n g u i s h t h e m a c c o r d i n g t o t h e m e t h o d o f B r u n o a n d B r i d g e s w h e n s u c h d i s t i n c t i o n ’ r l t n e e d s t o b e m e n t i o n e d , h o w e v e r , t h a t t h e i n t u i t i v e a p p e a l o f t h i s m e t h o d s u f f e r s s o m e w h a t w h e n l o s s e s a r e p r e s e n t , o r w h e n e x a m i n i n g m o d e s i n t h e n o n - p r o p a g a t i n g r e g i o n , i . e . , w h e n 1 i s c o m p l e x o r p u r e l y i m a g i n a r y . I n t h e p r e s e n t w o r k , | 7 | h a s b e e n u s e d i n p l a c e o f B I n E q u a t i o n ( 7 - 2 ) . I t s h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t t h e fi e l d r a t i o i s t a k e n i n t h e l o a d m a t e r i a l . I n c a s e s w h e r e t h e fi e l d r e s i d e s p r i m a r i l y o u t s i d e t h e l o a d , t h e fi e l d r a t i o i n s i d e t h e l o a d m a y n o t b e p h y s i c a l l y s i g n i fi c a n t . 1 4 9 l e n d s s i g n i fi c a n t p h y s i c a l i n s i g h t t o t h e d e s c r i p t i o n . A t a n y r a t e , a m o r e t r a n s p a r e n t n a m i n g s c h e m e i s n e c e s s a r y w h e n h y b r i d m o d e s a r e d i s t i n g u i s h e d a s b e i n g T M - l i k e o r T E - l i k e . I t i s p r o p o s e d h e r e t h a t t h e l a b e l H E b e r e t a i n e d f o r t h e T M - l i k e m o d e s a n d t h a t T E - l i k e m o d e s b e c a l l e d H H m o d e s . I n a d d i t i o n t o r e m o v i n g c o n f u s i o n d u e t o t r a n s p o s i t i o n o f t h e c h a r a c t e r s , t h e r e a r e a t l e a s t f o u r o t h e r g o o d r e a s o n s f o r a d o p t i n g t h i s s c h e m e : 1 ) a s B r u n o a n d B r i d g e s p o i n t o u t , i t i s c o n v e n t i o n a l t o r e f e r t o t h e f u n d a m e n t a l m o d e o f t h e d i e l e c t r i c w a v e g u i d e , w h i c h i s T M - l i k e , a s H E l 1 , 2 ) t h e fi r s t l e t t e r o f t h i s m o d e d e s i g n a t i o n m a y b e u n d e r s t o o d t o s t a n d f o r “ h y b r i d , ” a n d i s t h u s d e s c r i p t i v e o f b o t h t y p e s o f m o d e s , 3 ) i n t h e o l d e r l i t e r a t u r e T M m o d e s a r e r e f e r r e d t o a s “ E m o d e s ” a n d T E m o d e s a r e c a l l e d “ H m o d e s . ” T h u s t h e h y b r i d m o d e s w o u l d u s e a s i m i l a r n a m i n g s c h e m e i n c a l l i n g t h e T M — l i k e m o d e s “ H ( y b r i d ) E ” a n d t h e T E - l i k e m o d e s “ H ( y b r i d ) H ” , 4 ) t h e l e t t e r s i n m o d e l a b e l s s t a n d f o r a c t u a l w o r d s a n d m a y b e c o n s i d e r e d a b b r e v i a t i o n s i n t h e s a m e w a y t h a t “ T M ” s t a n d s f o r “ t r a n s v e r s e m a g n e t i c ” a n d “ T E ” s t a n d s f o r “ t r a n s v e r s e e l e c t r i c . ” T h i s i s t h e l a b e l l i n g s c h e m e a d o p t e d h e r e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n T M - l i k e a n d T E - l i k e h y b r i d m o d e s w h e n i t i s u s e f u l t o d o s o . O t h e r w i s e t h e h y b r i d m o d e s w i l l s i m p l y b e c a l l e d H E M . T E a n d T M l a b e l s w i l l b e r e t a i n e d f o r t h e « a s y m m e t r i c m o d e s . P a r t i c u l a r m o d e s w i t h i n e a c h c l a s s w i l l b e d i s t i n g u i s h e d b y t h e c o n v e n t i o n a l m e t h o d o f d o u b l e s u b s c r i p t i n g t h e l a b e l s . T h e fi r s t s u b s c r i p t r e f e r s t o t h e i n t e g e r o r d e r o f t h e a z i m u t h a l d e p e n d e n c e . T h e s e c o n d s u b s c r i p t r e f e r s t o t h e r e l a t i v e o r d e r o f t h e r e a l p a r t o f t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i n t h e c o r e r e g i o n . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s s e r v e t o i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h e s u b s c r i p t s : t h e T M m o d e w h o s e r a d i a l w a v e n u m b e r ( r e a l p a r t ) i s t h e l o w e s t f o r a p a r t i c u l a r f r e q u e n c y i s c a l l e d m m f o r t h a t f r e q u e n c y . T h e h y b r i d T E - l i k e m o d e w i t h n = 2 a n d t h e l o w e s t c o r e r a d i a l w a v e n u m b e r ( r e a l p a r t ) a t a g i v e n f r e q u e n c y i s c a l l e d H H Z I a t t h a t f r e q u e n c y . I f t h e r e a l p a r t o f t h e c o r e r a d i a l w a v e n u m b e r f o r a n H E m o d e e x i s t s b e l o w t h a t o f t h e I I I - 1 2 1 m o d e , t h e g e n e r i c H E M l a b e l f o r H H Z l w o u l d b e H E M ” , e t c . 1 5 0 7 . 3 L o s s l e s s L o a d : e , = 3 7 . 6 A s w a s d e m o n s t r a t e d i n C h a p t e r 3 , t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i s c a p a b l e o f s u s t a i n i n g T M o r T E m o d e s o n l y w h e n t h e fi e l d s a r e a z i m u t h a l l y ( d z ) s y m m e t r i c , i . e . , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n s ( 3 - 5 8 ) t h r o u g h ( 3 - 7 5 ) , n = 0 . W h e n t h e l o a d m a t e r i a l i s l o s s l e s s , t h e c u t o f f f r e q u e n c y i s m e r e l y t h e f r e q u e n c y a t w h i c h 5 a n d a t a r e b o t h z e r o . T h i s i s t h e s i m p l e s t c a s e a n d p r o v i d e s a f o u n d a t i o n f o r u n d e r s t a n d i n g w a v e p r o p a g a t i o n i n t h e c o a x i a l l y — l o a d e d w a v e g u i d e . T h i s S e c t i o n p r e s e n t s t h e b e h a v i o r o f s e v e r a l d i f f e r e n t m o d e s i n a w a v e g u i d e o f r a d i u s b = 1 . 2 7 c m w i t h a l o a d r a d i u s a = 1 . 0 0 c m a n d l o s s l e s s d i e l e c t r i c c o n s t a n t e , = 3 7 . 6 . T h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , l o a d r a d i u s , a n d w a v e g u i d e r a d i u s i n F i g u r e s 7 - 1 t h r o u g h 7 — 8 b e l o w a r e t h e s a m e a s t h o s e f o u n d i n t h e r e s u l t s p r e s e n t e d b y Z a k i a n d A t i a 8 a n d Z a k i a n d C h e n 9 s o t h a t c o m p a r i s o n s m i g h t b e m a d e w i t h t h e i r s t u d y . F i g u r e 7 - 1 i s a p l o t o f t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i n r e g i o n 1 v e r s u s f r e q u e n c y f o r t h e ¢ - s y m m e t r i c T E a n d T M m o d e s . T h e r a d i a l w a v e n u m b e r i s n o r m a l i z e d b y t h e l o a d r a d i u s , a , w h i l e t h e f r e q u e n c y i s g i v e n i n t e r m s o f I t o a n d i s a l s o n o r m a l i z e d b y a . F o r r e f e r e n c e , t h e h o r i z o n t a l a x i s r u n n i n g f r o m k o a = 0 t o k o a = 2 c o r r e s p o n d s t o a f r e q u e n c y r a n g e o f 0 t o 9 . 5 G H z . A p l o t o f k p v e r s u s k 0 , s u c h a s t h e o n e s h o w n i n F i g u r e 7 - 1 , i s e q u i v a l e n t t o t h e f a m i l i a r c t r - 6 d i a g r a m f o r r e p r e s e n t i n g t h e m o d e . I t i s s o m e t i m e s m o r e c o n v e n i e n t o r l e n d s m o r e i n s i g h t t o v i e w t h e m o d e d i a g r a m s i n k p r a t h e r t h a n B . k p ' k o t y p e m o d e d i a g r a m s a r e e s p e c i a l l y u s e f u l i f k p i s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t h e r o o t - fi n d i n g a l g o r i t h m o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o l u t i o n . A t o t h e r t i m e s a n ( 0 ' 3 d i a g r a m m a k e s i t e a s i e r t o u n d e r s t a n d t h e b e h a v i o r o f t h e m o d e . B o t h t y p e s o f m o d e d i a g r a m s w i l l b e u s e d i n t h i s C h a p t e r . T h e s o l i d d o t s i n F i g u r e 7 - 1 , a s i n d i c a t e d , o u t l i n e t h e T M m o d e s , w h i l e t h e o p e n c i r c l e s a r e f o r t h e T B m o d e s . T h e d i a g o n a l l i n e d r a w n f r o m t h e o r i g i n t o t h e u p p e r r i g h t c o r n e r d i s t i n g u i s h e s t h e p r o p a g a t i o n r e g i o n , i . e . , 7 r e a l , f r o m t h e c u t o f f r e g i o n , i . e . , ' y i m a g i n a r y . A r e a l v a l u e o f k p l t o t h e r i g h t o f t h e p r o p a g a t i o n l i n e “ Z a k i a n d A t i a , 1 0 4 3 . ” Z a k i a n d C h e n , “ I n t e n s i t y a n d D i s t r i b u t i o n o f H y b r i d - M o d e F i e l d s , ” 1 4 4 6 . o x 1 p k 1 5 1 1 4 - . T M a n d T E m o d e s 1 2 . 6 , . = 3 7 . 6 , b = 1 . 2 7 c m , o = 1 . 0 0 c m . o o o o o o o o O ° ° ° ° ° o ’ _ 0 0 0 0 . 3 ° ° o o o o o o o o o o o o o O ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 c ) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e z . . . . . . . . q 1 o o o o o - ' ~ ° ° ° ° o o o o o o o . 0 0 ° 8 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ° ° ° ° ° ° 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 0 O O O O O O O O O O O C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 6 O O O O O O O O O O O O ' o o o o o o o o o o o o o o o o o « o o o o o o o o o o 4 ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . o e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e g s w O O O O O O O O O O O ’ - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 2 \ 0 T E m o d e s 0 0 “ \ Q p r o p o g o t i o n r e g i o n . T M m o d e s I u u r I I r l f 1 0 . 0 O . 4 O . 8 . 2 1 1 . 5 2 . 0 k o x o F i g u r e 7 - 1 k p l 0 v s . k o a f o r T B a n d T M m o d e s , e r = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . 1 5 2 m e a n s t h a t t h e w a v e s p r o p a g a t e a x i a l l y d o w n t h e w a v e g u i d e u n a t t e n u a t e d . I f k p l i s r e a l a n d t o t h e l e f t o f t h e l i n e , t h e w a v e s d o n o t p r o p a g a t e , b u t d e c a y e x p o n e n t i a l l y i n 2 . W h e n t h e r e i s n o a z i m u t h a l d e p e n d e n c e , a s i s t h e c a s e f o r t h e T B a n d T M m o d e s , t h e r e i s n o p o s s i b i l i t y o f e x c i t i n g c o m p l e x m o d e s . l o T h e r e f o r e , a l l v a l u e s o f k p l i n F i g u r e 7 - 1 a r e p u r e l y r e a l a n d c u t o f f f o r e a c h m o d e i s c l e a r l y m a r k e d b y a s i m p l e p r o p a g a t i o n l i n e . A fi n a l r e m a r k o n t h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f F i g u r e 7 - 1 i s t h a t f a r f r o m c u t o f f t h e m o d e s a r e i n t e r l a c e d T M - T E - T M - T E , e t c . A l t h o u g h i t i s n o t p r o v e n h e r e t h a t t h i s i s a l w a y s t h e c a s e , t h i s F i g u r e a n d F i g u r e s 7 — 2 a n d 7 - 5 b e l o w s h o w t h e i n t e r l a c i n g o f t h e T B a n d T M m o d e s f a r f r o m c u t o f f f o r t h e fi r s t s e v e r a l m o d e s w i t h e , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . F o r k o a = 0 . 8 3 8 4 , Z a k i a n d A t i a r e p o r t k p l a v a l u e s o f 3 . 4 5 4 2 , 5 . 8 9 8 8 , a n d 8 . 4 1 5 8 f o r t h e fi r s t t h r e e T M m o d e s , a n d 3 . 7 8 6 3 a n d 7 . 0 2 9 6 f o r t h e fi r s t t w o T E m o d e s . A c t u a l l y , i n t h e i r p a p e r t h e y h a v e m i s t a k e n l y r e v e r s e d t h e T B a n d T M m o d e d e s i g n a t i o n s s o t h a t t h e i r T E m o d e s s h o u l d b e u n d e r s t o o d t o b e T M m o d e s a n d v i c e v e r s a . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g u r e 7 - 1 a t k o a = 0 . 8 3 8 4 g i v e v a l u e s o f 3 . 7 8 6 4 , 5 . 0 9 6 1 , a n d 7 . 0 2 9 4 f o r t h e fi r s t t h r e e T M m o d e s a n d 3 . 2 5 3 5 , 5 . 8 9 7 0 , a n d 8 . 4 1 1 7 f o r t h e fi r s t t h r e e T E m o d e s . S m a l l d i f f e r e n c e s i n t h e p a r a m e t e r v a l u e s d u e t o u n i t c o n v e r s i o n ( Z a k i a n d A t i a u s e i n c h u n i t s w h i l e t h e p r e s e n t c a l c u l a t i o n s a r e i n c m , a n d t h e y m a y b e u s i n g f = 4 G H z i n s t e a d o f k 0 a = 0 . 8 3 8 4 ) p r o b a b l y a c c o u n t f o r t h e d i s c r e p a n c i e s i n t h e fi n a l t w o d i g i t s . T h e y m i s s t h e s e c o n d T M m o d e a n d g i v e 3 . 4 5 4 2 f o r t h e fi r s t T E m o d e . I t i s p r o b a b l y a t y p o g r a p h i c e r r o r a n d s h o u l d r e a d 3 . 2 5 4 2 . W i t h t h e s e m i n o r d i s c r e p a n c i e s , t h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e m a t c h t h o s e o f Z a k i a n d A t i a . F i g u r e 7 - 2 i s s i m i l a r t o F i g u r e 7 — 1 , e x c e p t t h a t t h e a z i m u t h a l d e p e n d e n c e i s s p e c i fi e d b y n = 1 . W h e n n : 5 0 s o m e r e g i o n s a r e c h a r a c t e r i z e d b y c o m p l e x m o d e b e h a v i o r , t h e r e f o r e t h e v e r t i c a l a x i s i n d i c a t e s t h a t F i g u r e 7 - 2 p r e s e n t s t h e r e a l p a r t o f k l a . I n f a c t , k p l a i s r e a l i n m o s t o f t h e r e g i o n c o v e r e d b y F i g u r e 7 - 2 . T h e r e a r e p t w o r e g i o n s , i n d i c a t e d b y a r r o w s i n t h e F i g u r e , w h e r e t h e r a d i a l a n d a x i a l 1 0 O m a r a n d S c h i ' l n e m a n n , 2 7 1 - 7 2 . C o m p l e x m o d e s h a v e c o m p l e x w a v e n u m b e r s e v e n i n t h e a b s e n c e o f l o s s e s . T h e y w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e d e s c r i p t i o n o f F i g u r e 7 - 2 b e l o w . ) o x 1 p k ( l a e R 1 5 3 c o m p l e x m o d e r e g i o n s I I l I T T I l ' l 0 . 0 0 . 5 1 . 0 I I S 2 . 0 F i g u r e 7 - 2 R e a l k p l a v s . k o a f o r H E M I m o d e s , 5 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . 1 5 4 w a v e n u m b e r s a r e c o m p l e x . T h e s e t w o r e g i o n s o c c u r n e a r t h e p r o p a g a t i o n l i n e a n d e x t e n d b e h i n d i t f o r t h e fi r s t t w o p a i r s o f m o d e s . T h e y m a y b e i d e n t i fi e d a s t h e r e g i o n w h e r e t w o c o m p l e x m o d e s e x i s t t o g e t h e r . T h e c o m p l e x r e g i o n b e g i n s w h e r e t h e t w o m o d e s j o i n a n d e n d s w h e r e t h e y s p l i t b a c k a p a r t . I n t h i s r e g i o n t h e t w o m o d e s h a v e c o m p l e x c o n j u g a t e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s . T h e c o m p l e x m o d e s m u s t b e u n d e r s t o o d a s e x i s t i n g i n p a i r s . T h e e l e c t r i c fi e l d o f o n e o f t h e c o m p l e x m o d e s c o u p l e s t o t h e m a g n e t i c fi e l d o f t h e o t h e r i n s t e a d o f t o i t s o w n m a g n e t i c fi e l d . 1 1 . O n e o f t h e m c a n n o t e x i s t w i t h o u t t h e o t h e r . I n d i v i d u a l l y , o n e i s a d e c a y i n g , f o r w a r d p r o p a g a t i n g m o d e , t h e o t h e r i s a d e c a y i n g , b a c k w a r d p r o p a g a t i n g m o d e . T h e n e t p o w e r p r o p a g a t i o n i s z e r o , s o t h a t t o g e t h e r , t h e c o m p l e x m o d e p a i r i s n o n - p r o p a g a t i n g . S i n c e t h e r e i s n o l o s s i n t h e s y s t e m , t h e p o w e r e a r r i e d b y t h e c o m p l e x m o d e p a i r i s p u r e l y r e a c t i v e . 1 2 I t m a y o b s e r v e d t h a t t h e l o w e r o r d e r e d p a i r c o m p l e x m o d e s i n F i g u r e 7 - 2 e x t e n d s s l i g h t l y b e y o n d t h e p r o p a g a t i o n l i n e , i n d i c a t i n g t h a t t h e s e m o d e s d o n o t b e g i n t o p r o p a g a t e u n t i l t h e f r e q u e n c y i s s l i g h t l y h i g h e r t h a n n e c e s s a r y f o r n o r m a l , n o n - c o m p l e x m o d e p r o p a g a t i o n . H a n d - d r a w n l a b e l s i n F i g u r e 7 - 2 i n d i c a t e t h e T E / T M - l i k e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o d e s , w h e t h e r t h e m o d e i s H E o r H H . T h e s e d e s i g n a t i o n s a r e b a s e d o n t h e c r i t e r i a o f B r u n o a n d B r i d g e s d i s c u s s e d a b o v e . T h e p o i n t a t w h i c h H H r e g i o n s b e c o m e H E m o d e s a n d v i c e v e r s a i s i n d i c a t e d b y a s m a l l v e r t i c a l l i n e d r a w n o n t h e m o d e p a t h . I n t h e c o m p l e x m o d e r e g i o n s , t h e s e v e r t i c a l l i n e s c a n n o t b e d r a w n w i t h g r e a t c e r t a i n t y s i n c e t h e r e a r e a c t u a l l y t w o m o d e s p r e s e n t . S i n c e t h e e l e c t r i c fi e l d o f o n e o f t h e c o m p l e x m o d e s c o u p l e s t o t h e m a g n e t i c fi e l d o f t h e o t h e r i n s t e a d o f t o i t s o w n m a g n e t i c fi e l d , i t i s l i k e l y t h a t o n e o f t h e c o m p l e x m o d e s i s H H a n d t h e o t h e r H E . A g a i n , a s f o r t h e n = 0 c a s e , a n d e x c e p t f o r t h e fi r s t t w o m o d e s b e l o w c u t o f f , t h e m o d e s a l t e r n a t e b e t w e e n b e i n g H H a n d H E a w a y f r o m c u t o f f . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t i n t h e n o n e - s y m m e t r i c c a s e i t i s t h e T E - l i k e H H m o d e s w h i c h f o l l o w t h e p r o p a g a t i o n l i n e n e a r c u t o f f . I n t h e ¢ « s y m m e t r i c c a s e i t w a s t h e T M m o d e s w h i c h f o l l o w e d t h e p r o p a g a t i o n l i n e n e a r c u t o f f . l l O m a r a n d S c h i i n e m a n n , 2 6 8 . 1 2 l b i d . 1 5 5 C o m p a r i n g r e s u l t s w i t h Z a k i a n d C h e n 1 3 w e fi n d g o o d a g r e e m e n t w i t h a s l i g h t d i s c r e p a n c y i n t h e 4 t h a n d 5 t h d i g i t s , d u e a g a i n t o u n i t d i f f e r e n c e s a n d c o n v e r s i o n s i n s e t t i n g t h e w a v e g u i d e a n d l o a d p a r a m e t e r s . F o r f = 4 G H z Z a k i a n d C h e n g i v e k p l a v a l u e s o f 2 . 2 6 0 7 , 4 . 4 0 5 2 , 5 . 2 1 4 5 , a n d 5 . 3 5 2 3 . V a l u e s f o u n d o n t h e c u r v e s o f F i g u r e 7 - 2 a r e 2 . 2 6 0 5 , 4 . 4 0 4 4 , 5 . 2 1 3 4 , a n d 5 . 3 5 2 5 . F i g u r e 7 - 3 i s a p l o t o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l a f o r t h e l o w e r o r d e r c o m p l e x m o d e o f F i g u r e 7 - 2 . T h e i m a g i n a r y p a r t r i s e s f r o m 0 a t t h e e d g e s o f t h e b a n d t o a m a x i m u m j u s t a b o v e t h e f r e q u e n c y m i d p o i n t . T h i s p l o t s e r v e s t o c h a r a c t e r i z e b o t h o f t h e c o u p l e d c o m p l e x m o d e s , s i n c e t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e o n e i s s i m p l y t h e n e g a t i v e o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e o t h e r . T h e a x i a l w a v e n u m b e r , y , i n t h i s r e g i o n i s p l o t t e d i n F i g u r e 7 - 4 w h e r e b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s a r e s h o w n . T h e s c a l e f o r t h e i m a g i n a r y p a r t i s g i v e n b y t h e v e r t i c a l a x i s o n t h e r i g h t s i d e w h i l e t h e s c a l e f o r t h e r e a l p a r t i s s h o w n o n t h e l e f t . T h e F i g u r e d e m o n s t r a t e s t h a t 0 : d r o p s t o w a r d z e r o a s t h e f r e q u e n c y i n c r e a s e s t o w a r d t h e p o i n t w h e r e t h e t w o c o m p l e x m o d e s d i v i d e n e a r k o a = 0 . 4 5 , w h i l e 3 i n c r e a s e s f r o m z e r o f r o m t h e p o i n t w h e r e t h e t w o m o d e s j o i n n e a r k 0 a = 0 . 1 . F i g u r e 7 - 5 i s s i m i l a r t o F i g u r e 7 - 2 e x c e p t t h a t t h e a z i m u t h a l d e p e n d e n c e i s g i v e n b y n = 2 . A g a i n t h e r e e x i s t c o m p l e x m o d e r e g i o n s w h e r e t w o m o d e s j o i n . N o w t h e r e a r e 3 o f t h e s e r e g i o n s i n s t e a d o f t w o . A l s o n o t e t h a t t h e r e a r e b l a n k s p a c e s i n c e r t a i n o f t h e l o w e r m o d e p a t h l i n e s . I n t h e s e r e g i o n s t h e r o o t s c o u l d n o t b e l o c a t e d a c c u r a t e l y b y t h e M u l l e r ’ s m e t h o d t e c h n i q u e u s e d t o s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . I t i s n o t c l e a r w h y t h i s i s s o , b u t t h a t r o o t s d o e x i s t i n t h o s e r e g i o n s i s c o n fi r m e d b y Z a k i a n d C h e n w h o l o c a t e a r o o t a t f = 8 G H z , k p l a = 5 . 9 1 9 5 . 1 4 T h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l a f o r t h e c o m p l e x m o d e s i s p l o t t e d i n F i g u r e 7 - 6 , s h o w i n g a s i m i l a r p a t t e r n t o t h a t p l o t t e d i n F i g u r e 7 - 3 f o r t h e H E M I m o d e s . F i g u r e 7 - 6 d e m o n s t r a t e s t w o a d d i t i o n a l f e a t u r e s o f t h e c o m p l e x m o d e s : 1 ) t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i s s m a l l e r f o r t h e h i g h e r o r d e r c o m p l e x 1 3 z t t l t i a n d C h e n , “ I n t e n s i t y a n d D i s t r i b u t i o n o f H y b r i d - M o d e F i e l d s , ” 1 4 4 6 . ” I b i d . 1 5 6 0 ' 4 5 “ I m a g i n a r y p o r t o f K r l x o f o r t h e f i r s t c o m p l e x m o d e n = 1 , 6 , = 3 7 . 6 , b = 1 . 2 7 c m , 0 = 1 . 0 0 c m ’ 0 ‘ 0 . 3 5 — p fi ' o I o “ M R x [ 0 , 0 ° \ o 0 I 3 . / ° / \ ° \ i s o / 0 o \ 0 . 2 5 - o / o E : / \ 0 ° 0 . 3 o / \ « E 0 1 5 J I _ - . / \ / o O 0 - 0 5 I ' F ' I ' I I I 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 k 0 x 0 F i g u r e 7 - 3 I m a g i n a r y k p l 0 v s . k o a f o r H E M I m o d e s , a s , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . X 1 5 7 7 x o f o r t h e c o m p l e x m o d e 1 3 ‘ n = 1 , € r = 3 7 . 6 , b = 1 . 2 7 c m , o = 1 . 0 0 c m " - 0 s d . 0 . 0 / . - 0 : ; 0 0 0 0 0 0 b ” } X I ° ‘ o . o , e — O 8 1 4 ‘ ‘ o b b ‘ . z . ’ “ t h 3 ” I O I " I ° ‘ — 0 5 _ — _ ’ 3 R R , . 7 — I 3 J a , l - o 1 . 0 - . 1 . \ o \ " 1 . , a x Q \ Q ’ . " O 4 ( 0 ’ I I \ I 0 q . I . \ i - 0 . 6 - + 0 . ; 0 \ . / , / 0 ~ 0 2 / ' \ . O ' 1 O 0 . 2 . I . I . I . 1 . 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 k O x 0 F i g u r e 7 — 4 y a v s . k o a f o r H E M ] m o d e s , a t = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . ) o x 1 p k ( l o e R 1 5 8 c o m p l e x m o d e r e g i o n s , 2 ; H E M 2 m o d e s , € r = 3 7 . 6 % b = 1 . 2 7 c m , o = 1 . 0 0 c m 0 I I I I I I T T I I r I I I I 1 I T I I 0 . 0 0 . 4 0 . 8 1 . 2 1 . 6 2 . 0 k 0 x 0 F i g u r e 7 - 5 R e a l k p l 0 v s . k o a f o r H E M 2 m o d e s , t s r = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . ) o x 1 p k ( y r a n i g a m I b = 1 . 2 7 F i g u r e 7 - 6 I m a g i n a r y k p l ( 1 v s . k o a f o r H E M 2 m o d e s , c r = 3 7 . 6 , a = 1 c m , c m . k o x o O 1 . 0 0 c m - O . 3 m — 0 1 4 - 0 . 2 - 1 5 9 1 6 0 m o d e s , a n d 2 ) a t a g i v e n f r e q u e n c y n o t m o r e t h a n o n e p a i r o f c o m p l e x m o d e s m a y b e e x c i t e d . F i g u r e s 7 - 7 a n d 7 - 8 a r e s i m i l a r t o F i g u r e s 7 - 5 a n d 7 - 6 , e x c e p t t h a t t h e a z i m u t h a l o r d e r h a s b e e n i n c r e a s e d t o n = 3 . C o m p a r i n g F i g u r e s 7 - 2 , 7 - 5 , a n d 7 - 7 , i t i s e v i d e n t t h a t k p l f o r t h e l o w e s t o r d e r m o d e r i s e s f o r i n c r e a s i n g a z i m u t h a l o r d e r . C o m p a r i n g F i g u r e s 7 - 3 , 7 - 6 , a n d 7 — 8 , i t b e c o m e s a p p a r e n t t h a t t h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l f o r t h e c o m p l e x m o d e s i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g a z i m u t h a l o r d e r . I n a d d i t i o n , f o r n = 3 , t h e p r o p a g a t i o n l i n e h a s b e c o m e n e a r l y c o i n c i d e n t w i t h t h e p o i n t s a t w h i c h t h e c o m p l e x m o d e s s p l i t i n t o t w o p r o p a g a t i n g m o d e s . Z a k i a n d C h e n s u p p l y t h e f o l l o w i n g k p l a v a l u e s f o r t h e H E M Z m o d e s a t 4 G H z : 3 . 6 8 6 5 , 5 . 0 9 2 2 , 5 . 8 5 6 0 a n d 6 . 6 9 6 0 . T h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s i n F i g u r e 7 - 5 a r e 3 . 6 8 6 0 , 5 . 0 9 1 9 , 5 . 8 5 3 7 , a n d 6 . 6 9 6 3 . F o r t h e H E M 3 m o d e s a t 4 G H z Z a k i a n d C h e n g i v e 6 . 7 9 5 3 , c a l l i n g i t H I E / 3 1 . S i n c e t h e y w e r e s e a r c h i n g o n l y f o r e v a n e s c e n t a n d p r o p a g a t i n g m o d e s , t h e i r c a l c u l a t i o n s w e r e a l l i n r e a l m a t h a n d t h e y d i d n o t l o c a t e t h e c o m p l e x m o d e a t k p l a = 5 . 2 5 - j 0 . 3 3 . I n a l a t e r p a p e r t h e y c o r r e c t e d t h i s d e fi c i e n c y a n d a l s o w e r e a b l e t o l o c a t e c o m p l e x m o d e s , a l t h o u g h t h e y d o n o t r e p o r t a n y s p e c i fi c v a l u e s o f k m a w i t h w h i c h w e m a y m a k e c o m p a r i s o n . ” F o r H E M 3 m o d e s a t 4 G H z F i g u r e 7 - 7 c o n t a i n s k p l a v a l u e s o f 5 . 2 4 5 0 - j 0 . 3 3 3 1 0 , 6 . 7 9 2 4 , a n d 8 . 0 2 4 0 . 7 . 4 L o s s l e s s L o a d s : e , = 3 . 0 M a n y o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n i n v o l v e l o a d s m a d e o f n y l o n 6 6 w h i c h h a s a c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f E , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 . I n a d d i t i o n , t h e d i a m e t e r o f t h e e x p e r i m e n t a l c a v i t y i n w h i c h m o s t o f t h e e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d w a s 6 " . I n o r d e r t o c o m p a r e t h e r e s u l t s f o r n y l o n l o a d s u n d e r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s p r e s e n t e d h e r e w i t h a s i m i l a r l o s s l e s s l o a d m a t e r i a l , s e v e r a l m o d e p a t h c h a r t s w e r e m a d e f o r a 6 " d i a m e t e r w a v e g u i d e w i t h c o a x i a l l o a d s o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t e , = 3 . 0 . S i n c e t h e l o a d d i a m e t e r w a s v a r i e d w h i l e t h e w a v e g u i d e 1 5 C h e n a n d Z a k i , 1 4 5 5 . ) 0 x 1 p k ( | o e R I 4 - 1 6 1 c o m p l e x m o d e r e g i o n s p r o p a g a t i o n r e g i o n 2 L H E M 3 m o d e s , 6 , = 3 7 . 6 - b = 1 . 2 7 c m , o = 1 . 0 0 c m 0 I I I I I I fi I I I I I I I I I I I I 1 0 . 0 0 . 4 0 . 8 1 . 2 1 . 6 2 . 0 k O x 0 F i g u r e 7 - 7 R e a l k p l a v s . k o a f o r H E M 3 m o d e s , t s r = 3 7 . 6 , a = 1 c m , b = 1 . 2 7 c m . ) o x 1 p k ( y r o n i g o m l O b = 1 . 2 7 F i g u r e 7 - 8 I m a g i n a r y k p l a v s . k o a f o r H E M 3 m o d e s , 6 , = 3 7 . 6 , a = 1 c m , c m . k O X G l - O . 7 0 . 0 I 0 . 4 0 . 8 1 . 2 I 1 . 6 I 2 . 0 1 . 0 0 c m b = 1 . 2 7 c m 1 6 2 1 6 3 d i a m e t e r r e m a i n e d c o n s t a n t , t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i s n o r m a l i z e d b y b i n s t e a d o f a . F r e q u e n c y i s p l o t t e d d i r e c t l y r a t h e r t h a n i n t e r m s o f k 0 0 . F i g u r e s 7 - 9 t h r o u g h 7 - 1 2 s h o w h o w t h e r a d i a l w a v e n u m b e r f o r T B a n d T M m o d e s c h a n g e s a s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s f r o m 1 6 . 7 % t o 9 9 . 7 % o f t h e w a v e g u i d e r a d i u s . A s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s , t h e r a d i a l w a v e n u m b e r b e c o m e s l e s s d e p e n d e n t o n f r e q u e n c y u n t i l , f o r a l l f r e q u e n c i e s , k p l b i s e q u a l t o t h e z e r o s o f J o ( x ) f o r T M m o d e s a n d J g ( x ) f o r T B m o d e s w h e n t h e l o a d c o m p l e t e l y fi l l s t h e w a v e g u i d e . V a l u e s o f k p l b i n F i g u r e 7 - 1 2 a r e n e a r l y i d e n t i c a l t o t h e B e s s e l f u n c t i o n z e r o s f o r t h e T M m o d e s , a n d t o t h e z e r o s o f t h e fi r s t d e r i v a t i v e o f t h e B e s s e l f u n c t i o n f o r t h e T E m o d e s . I t m a y b e o b s e r v e d t h a t t h e c u t o f f f r e q u e n c y o f t h e s e m o d e s d r o p s w i t h i n c r e a s i n g l o a d r a d i u s . I f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e l o a d w e r e h i g h e r , t h e s l o p e o f t h e p r o p a g a t i o n l i n e w o u l d a l s o b e g r e a t e r . F o r l a r g e l o a d d i a m e t e r s , a t l e a s t , t h i s m e a n s t h a t t h e c u t o f f f r e q u e n c y d r o p s f o r b o t h a n i n c r e a s e i n l o a d d i a m e t e r a n d d i e l e c t r i c c o n s t a n t . I n t e r m s o f m o d e s p a c i n g , F i g u r e s 7 - 9 t h r o u g h 7 - 1 2 s h o w t h a t f o r l o w e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t s t h e m o d e s a r e m o r e e v e n l y s p a c e d t h a n f o r t h e h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t l o a d s o f F i g u r e 7 — 1 . D e p e n d i n g o n t h e f r e q u e n c y , t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s o f t h e T M m o d e s i n F i g u r e 7 — 1 m i g h t b e s e p a r a t e d b y 0 . 5 c m ' 1 b e t w e e n t w o m o d e s a n d t h e n 3 c m ' 1 u n t i l t h e n e x t o n e . I n F i g u r e s 7 - 9 t h r o u g h 7 - 1 2 t h e m o d e s d o n o t f a l l i n i n t o a p e r f e c t l y u n i f o r m p a t t e r n , b u t o n e w h i c h i s f a r m o r e u n i f o r m t h a n t h a t o f F i g u r e 7 - 1 . A l t h o u g h i t i s n o t s h o w n h e r e , a s t h e o r d e r o f t h e m o d e s g r o w s h i g h e r t h e y b e c o m e m o r e u n i f o r m i n t h e i r s e p a r a t i o n . T h i s u n i f o r m i t y i s s i m i l a r t o t h a t o f t h e B e s s e l f u n c t i o n z e r o s w h i c h b e c o m e l i n e a r l y s e p a r a t e d a s t h e i r o r d e r i n c r e a s e s . T h e s e p a r a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o d e s a r e i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d i n o r d e r t h a t n o m o d e s b e l e f t o u t a n d n o s p u r i o u s m o d e s b e i n c l u d e d i n c o n s t r u c t i n g s o l u t i o n s t o t h e c a v i t y - o p e n o r c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n s w h i c h w e r e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 . B o t h r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e a x i a l p r o p a g a t i o n c o n s t a n t , 7 , a r e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y f o r t h e T M 0 1 m o d e w i t h a = 1 . 2 7 c m i n F i g u r e 7 - 1 3 . A b o v e t h e c u t o f f f r e q u e n c y , a p p r o x i m a t e l y 1 . 3 G H z , t h e i m a g i n a r y p a r t i s z e r o a n d y i s p u r e l y r e a l , i . e . , y = B . B e l o w c u t o f f ' y i s p u r e l y i m a g i n a r y , b e i n g e q u a l t o - j a . n 0 2 0 0 0 0 0 0 0 . ” . . . . . . . . . . . . . 0 = 1 . 2 7 c m 1 6 4 1 2 " 0 0 0 ° 0 0 0 0 T M m o d e s o o O O ° ° ° ° ° ° ° ° 0 0 0 ° 0 T E m o d e s o o o o o o o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 O J D O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . , . . . C a . 0 . 0 0 " . A A - ‘ A ‘ . . “ A A “ ‘ . ‘ . - ' v ' v ' - V ' v ' v v v v v ' v v " " . 0 X . 0 ‘ 6 . - - - 0 0 0 0 . . . . . . x : : : : : : : : C " " " " " I 0 0 0 0 0 . 0 . \ Q \ M s ' l p r o p o g o t i o n r e g i o n fi r 1 U I I I n I T 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 F r e q u e n c y ( G H z ) F i g u r e 7 - 9 k p l b v s . f f o r T E a n d T M m o d e s , 5 , = 3 . 0 , a = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m . 1 2 - 0 T M m o d e s o o o o o o o o o o o o o o o o O ° ° ° 0 T E m o d e s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 O J l o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o e A - . . . . . . e e e e e - I A - - A : v v v v o . . . . . - : : : _ _ - - v 0 0 - - - - - - - - - - - - - - - - “ “ 3 3 ; v v v v v v v v v c , e o c z 8 " v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 o o o o o o o o o o o o o o o . x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ‘ A ‘ A A . . . . . . . . e o e e o e o 6 _ - _ _ - - - A - - — — : : : : : : : : : : : : : : v v v v v v v . . . . . . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0 ° ‘ — 3 8 8 8 0 0 0 0 0 Q ‘ ‘ 0 0 0 0 0 0 9 9 9 6 . . . 3 ‘ . 0 0 0 0 ° 0 " 4 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( I o n o . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . e ‘ 4 0 " . o = 3 . 8 1 c m c o o . 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A N I 8 6 - > \ U C Q ) 3 4 - U ( D L L I . 2 . . O O 0 $ 1 . . / o r b I I I j I 7 = B - J a 1 6 6 T M 0 1 m o d e e r = 3 . 0 0 o = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m 5 I I I I I I F ' I I I I I fi I 1 0 1 5 2 0 2 5 7 x b F i g u r e 7 - 1 3 f v s . 7 f o r t h e T M O I m o d e , e , = 3 . 0 , a = 7 . 6 0 c m , b = 7 . 6 2 c m . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 6 7 2 . 0 : : / o / 0 a s 3 5 3 / 0 ” / I ; o / O / o \ § \ < \ 1 . 5 3 : / o / ° / 6 & 9 “ ! ! < — - — — - ' 0 O D \ D \ o \ ( £ 0 : : 0 \ . I d “ I : . . . e 1 . 0 : , T M 0 1 m o d e _ . “ x \ I “ g ; e , = 3 . 0 0 ' g 3 \ I Q : : o = 1 . 2 7 c m ‘ 4 3 ; b = 7 . 6 2 c m 0 . 5 3 3 1 : “ a “ o r b 0 0 I I I I l fi 7 * I r I I I I I I I I O O 0 . 5 1 . 0 1 5 2 O 2 5 3 . 0 F i g u r e 7 - 1 4 L o w f r e q u e n c y , l o w 7 r e g i o n o f F i g u r e 7 - 1 3 . 1 6 8 I n t h e p r o p a g a t i n g r e g i o n j u s t a b o v e 6 G H z t h e m o d e c r o s s e s t h e f r e e - s p a c e l i g h t l i n e i n t o t h e f r e e - s p a c e s l o w w a v e r e g i o n . A s t h e f r e q u e n c y i n c r e a s e s t h e p r o p a g a t i o n c u r v e a p p r o a c h e s t h e e , = 3 l i g h t l i n e f r o m t h e l e f t . F i g u r e 7 - 1 4 i s a n e n l a r g e d v i e w o f t h e c u t o f f r e g i o n s h o w i n g t h a t B = 0 b e l o w c u t o f f a n d a = 0 a b o v e c u t o f f . P o i n t s o n t h e p l o t a r e s h o w n a s o p e n s q u a r e s f o r a a n d a s o p e n c i r c l e s f o r B . 7 . 5 N y l o n L o a d s : E , = 3 . 0 3 — j 0 . 0 3 9 A d d i n g a s m a l l a m o u n t o f l o s s t o a m a t e r i a l d o e s n o t s u b s t a n t i a l l y a f f e c t t h e r e a l p a r t o f k p l . A s a n e x a m p l e , F i g u r e 7 - 1 5 c o n t a i n s a p l o t o f k p l b a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y f o r a n y l o n l o a d o f c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t E , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 o v e r t h e s a m e r a n g e a s t h a t s h o w n a b o v e i n F i g u r e 7 - 9 f o r a l o s s l e s s l o a d w i t h e , = 3 . 0 . A p a r t f r o m t h e i n c l u s i o n o f a d e c i s i v e c u t o f f l i n e i n F i g u r e 7 — 9 , t h e t w o F i g u r e s a r e n e a r l y i n d i s t i n g u i s h a b l e . T h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l , o n t h e o t h e r h a n d , i s v e r y d i f f e r e n t w h e n l o s s e s a r e i n c l u d e d . I n t h e a b s e n c e o f l o s s e s , f o r n o n - c o m p l e x m o d e s t h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l i s a l w a y s z e r o . F i g u r e 7 - 1 6 s h o w s h o w t h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l b b e h a v e s a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y f o r n y l o n . I n t h e f r e q u e n c y r a n g e b e l o w 3 G H z t h e i m a g i n a r y p a r t d e c r e a s e s n e g a t i v e l y w i t h f r e q u e n c y f o r a l l m o d e s s h o w n . I f t h e f r e q u e n c y r a n g e i s i n c r e a s e d t o i n c l u d e f r e q u e n c i e s u p t o 2 0 G H z , i t m a y b e s e e n t h a t e v e n t u a l l y t h e i m a g i n a r y p a r t r e a c h e s a m i n i m u m a n d b e g i n s t o r i s e . T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 7 - 1 7 f o r t h e T M 0 1 a n d T E m m o d e s . T h e f r e q u e n c y a t w h i c h t h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l b o t t o m s o u t i n F i g u r e 7 - 1 7 i s n e a r t h e p o i n t a t w h i c h B c r o s s e s t h e f r e e - s p a c e l i g h t l i n e . F i g u r e 7 - 1 8 s h o w s t h a t B c r o s s e s t h e f r e e - s p a c e l i g h t l i n e j u s t a b o v e 6 G H z f o r t h e m m m o d e . T h e m i n i m u m o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f k p l i s a t 7 G H z . T h e r e i s a l s o a s l i g h t b u l g e i n a i n t h i s f r e q u e n c y r e g i o n w h i c h i s m o r e v i s i b l e w i t h m a t e r i a l s t h a t h a v e a h i g h e r l o s s f a c t o r . T h e b u l g e i n ( 2 c o r r e s p o n d s n o t s o m u c h t o t h e l i g h t l i n e c r o s s i n g a s t o t h e c h a n g e i n t h e s l o p e o f B , w h i c h h a p p e n s t o o c c u r n e a r t h e c r o s s i n g p o i n t i n t h i s c a s e . I n t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e , F i g u r e 7 - 1 8 s h o w s t h a t t h e s l o p e o f B c h a n g e s t o b e c o m e n e a r l y p a r a l l e l w i t h t h e n y l o n l i g h t l i n e . I n t h e l o w f r e q u e n c y r a n g e i t i s s o m e w h a t p a r a l l e l w i t h t h e f r e e - s p a c e l i g h t l i n e i n d i c a t i n g t h a t t h e g r o u p v e l o c i t y o f t h e w a v e i s 0 q 1 O . fi o o o o 0 o o D o o o o o T T o o M " o o E o m o ' o d e s o O o d o e o s o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 o 0 o o o o o . o o o o o o o o o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . ( 0 ’ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . 0 ° 0 ° ) b x m k ( l a e R 6 . . { . . 1 . . O ' . . . ‘ . . Q C . . . ' l 0 O , I . I . 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A t h i g h e r f r e q u e n c i e s t h e g r o u p v e l o c i t y i s t h a t o f a p l a n e w a v e t r a v e l i n g i n a n y l o n m e d i u m . F i g u r e s 7 - 1 9 a n d 7 - 2 0 s h o w a n e n l a r g e d v i e w o f t h e l o w e r f r e q u e n c y r a n g e o f t h e m o d e s h o w n i n F i g u r e 7 - 1 8 . I n F i g u r e 7 - 1 9 t h e f r e q u e n c y r a n g e i s O t o 1 0 G H z w h i l e F i g u r e 7 - 2 0 i s p r i m a r i l y a p i c t u r e o f t h e c u t o f f r e g i o n . T h e s e t w o F i g u r e s s h o u l d b e c o m p a r e d w i t h t h e s i m i l a r p l o t s f o r t h e l o s s l e s s , e , = 3 . 0 l o a d s h o w n i n F i g u r e s 7 - 1 3 a n d 7 - 1 4 . F i g u r e s 7 - 1 8 , 7 - 1 9 , a n d 7 - 2 0 e x h i b i t a n o t h e r i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f T M m o d e p r o p a g a t i o n i n t h e l o s s y , c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . I n t h e v e r y l o w f r e q u e n c y r a n g e , b e l o w 4 5 0 M H z , 0 : i s n e g a t i v e . T h e s e n e g a t i v e v a l u e s a r e n o t s h o w n i n F i g u r e 7 - 2 0 b u t m a y b e s e e n o u t s i d e t h e c o o r d i n a t e s p a c e i n t h e l o w e r l e f t h a n d c o r n e r o f F i g u r e s 7 - 1 8 a n d 7 - 1 9 . O r d i n a r i l y , n e g a t i v e v a l u e s o f a w o u l d p r e s e n t a d i f fi c u l t y i n t h a t t h e y w o u l d r e p r e s e n t e n e r g y g r o w t h i n t h e d i r e c t i o n o f e n e r g y p r o p a g a t i o n . H o w e v e r , a f u r t h e r m a g n i fi c a t i o n o f B i n t h e l o w f r e q u e n c y r e g i o n r e v e a l s t h a t f o r f r e q u e n c i e s w h e r e a i s n e g a t i v e , t h e “ “ 0 1 m o d e i s b a c k w a r d . T h i s i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 7 - 2 1 . A b a c k w a r d m o d e i s o n e i n w h i c h t h e s l o p e o f t h e w — fl d i a g r a m i s n e g a t i v e , m e a n i n g t h a t e n e r g y i s p r 0 p a g a t i n g i n a d i r e c t i o n O p p o s i t e t o t h a t o f t h e w a v e f r o n t . F o r a l o s s y b a c k w a r d m o d e i t i s n e c e s s a r y t h a t a b e n e g a t i v e i n o r d e r t h a t t h e fi e l d s d e c a y i n t h e d i r e c t i o n o f e n e r g y p r o p a g a t i o n . F i g u r e 7 - 2 1 s h o w s t h a t o r c h a n g e s s i g n a t t h e e x a c t p o i n t t h a t t h e m o d e b e c o m e s b a c k w a r d , a t a p p r o x i m a t e l y 4 2 0 M H z . I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t t h i s r e g i o n i s v e r y h i g h l y d a m p e d , t h e m a g n i t u d e o f a b e i n g n e a r . 2 6 c m ] . A n y w a v e e x c i t e d i n t h i s f r e q u e n c y r a n g e w o u l d b e d a m p e d b y a f a c t o r o f H e w i t h i n 3 . 8 c m . T h e s h o r t e s t w a v e l e n g t h i n t h e b a c k w a r d r e g i o n s h o w n i n F i g u r e 7 - 2 1 i s a p p r o x i m a t e l y 1 . 2 x 1 0 4 c m . T h e d a m p i n g l e n g t h i s t h e r e f o r e b u t a t i n y f r a c t i o n o f t h e w a v e l e n g t h . B a c k w a r d w a v e r e g i o n s w i l l b e p o i n t e d o u t b e l o w i n T M m o d e s f o r l o a d s w i t h h i g h e r l o s s f a c t o r — i t i s n o t o b s e r v e d h e r e i n a n y o t h e r b u t t h e d r - s y m m e t r i c T M m o d e s . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 7 4 1 0 — 0 . . . . . . \ ° \ \ ° " E B a b ~ e - - - - - 8 - ’ \ \ ° ’ . - . - ' Q . - ' 0 . - ' 0 . I a b 9 Q “ 1 . “ . - 0 6 - ‘ 5 0 \ § \ < ‘ e ‘ I . " “ q v o ‘ l \ ° 4 - . 7 = I 8 - J a , x 2 _ _ . . - " ' m m m o d e e r = 3 . 0 3 — j 0 . 0 3 9 / o = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m O " " l " ‘ f l 1 " ' l " " l " " l 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 7 x b F i g u r e 7 - 1 9 f v s . 7 f o r t h e T M O l m o d e f o r f r e q u e n c i e s u p t o 1 0 G H z . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 7 5 2 . 0 - . g / o / ° Q a b p b / o . D O b . / ° / ' 0 c g o \ \ 1 5 - Q / 0 / ‘ 6 k . c a n 0 / 0 a \ \ O . o / o > < \ o 6 9 0 0 9 ’ - a s “ 1 . 0 - ' 0 ' - I { \ “ e g O “ \ ' \ Q “ ‘ fi g 7 ( 0 ‘ 3 ' - 0 . 5 - J ' - G I I : T M m m o d e ' . . € r = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 I o = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m 0 . 0 , . . r . , . . . . l . . . . , . . . . ] . . . . , . . . . 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 7 x b F i g u r e 7 - 2 0 C u t o f f r e g i o n o f F i g u r e s 7 - 1 8 a n d 7 - 1 9 . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 7 6 a x b I T 1 j ' l ' ' l ' 0 . 7 - - 2 0 - 1 2 - 0 . 4 0 4 1 . 2 2 . 0 . o o o 0 ’ 6 0 7 = I 3 — J a 0 0 ° " 0 0 a n o o O 0 . 5 m o o o o ° ° 1 3 % 0 0 ° 0 ° 4 - 0 ° 0 0 T M O ‘ ] m o d e ' ° ° ° o 6 , . = 3 . 0 3 - — j 0 . 0 3 9 0 3 " 0 ° 0 0 o o = 1 . 2 7 c m , b = 7 . 6 2 c m . . 0 0 0 0 0 0 . 2 - ° o 0 . 1 - o B x b 0 0 a a x b I V l I I I I j T U l U U I 0 . 0 0 1 0 . 0 0 3 0 . 0 0 5 0 . 0 0 7 B x b F i g u r e 7 - 2 1 f v s . 7 f o r t h e T M 0 1 m o d e , e x h i b i t i n g l o w f r e q u e n c y b a c k w a r d m o d e b e h a v i o r . 1 7 7 7 . 6 H i g h e r L o s s F a c t o r L o a d s I t i s t o b e e x p e c t e d t h a t t h e d e g r e e o f d a m p i n g r i s e w i t h a n i n c r e a s e i n t h e l o s s f a c t o r o f t h e l o a d m a t e r i a l . T h a t i s , a s l o n g a s t h e l o s s f a c t o r i s s m a l l e n o u g h t h a t t h e l o a d d o e s n o t a p p e a r t o b e a g o o d c o n d u c t o r . F i g u r e s 7 - 2 2 a n d 7 - 2 3 a r e p l o t s o f ' y f o r T M m o d e s i n a w a v e g u i d e o f r a d i u s 7 . 6 2 c m , a l o a d r a d i u s o f 1 . 2 7 c m , a n d a c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f E , = 3 - — j 1 . T h e r e a l p a r t o f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , 6 ; , i s n e a r l y t h e s a m e a s t h a t o f n y l o n , b u t t h e l o s s f a c t o r , 6 , " , i s l a r g e r b y a f a c t o r o f m o r e t h a n 2 0 . T h e h i g h l o s s f a c t o r a f f e c t s n o t o n l y a , b u t a l s o B , a s c a n b e s e e n b y c o m p a r i n g F i g u r e 7 - 2 2 w i t h 7 - 1 8 . I n F i g u r e 7 - 1 8 , B c r o s s e s t h e f r e e - s p a c e l i g h t l i n e j u s t a b o v e 6 G H z ; i n F i g u r e 7 — 2 2 t h e c r o s s i n g p o i n t i s a t l e s s t h a n 2 G H z . I n F i g u r e 7 - 2 2 t h e r e i s a n o b v i o u s i n c r e a s e i n a o v e r t h a t o f n y l o n i n F i g u r e 7 - 1 8 : F o r t h e n y l o n l o a d a t 1 0 G H z , a b i s 0 . 3 4 . F o r T M O I i n F i g u r e 7 - 2 2 i t i s n e a r l y 4 0 t i m e s a s g r e a t a t 1 3 . 3 . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e : a n d a i s c l e a r l y n o n - l i n e a r . W i t h s u c h h i g h d a m p i n g c o e f fi c i e n t s , n e i t h e r o f t h e m o d e s i n F i g u r e 7 - 2 2 c a n b e c o n s i d e r e d t o b e t r u l y p r o p a g a t i n g . W i t h a b a t 1 3 . 3 , t h e m o d e i s d a m p e d b y a f a c t o r o f l / e w i t h i n 6 m m . U s i n g L i n ’ s c r i t e r i a f o r c o m p l e x c u t o f f , “ i . e . , c u t o f f o c c u r s w h e n a k 0 = l w h e r e h o i s t h e f r e e - s p a c e w a v e l e n g t h , t h e m o d e s i n b o t h F i g u r e s 7 - 2 2 a n d 7 - 2 3 a r e e v e r y w h e r e c u t o f f . A g e n e r a l o b s e r v a t i o n e a n a l s o b e m a d e t h a t , f o r l o w f r e q u e n c i e s , t h e h i g h e r o r d e r m o d e s , m m a n d T M 0 4 , a r e m o r e h i g h l y d a m p e d t h a n t h e l o w e r o r d e r m o d e s , T M O I a n d T M O Z - T h e h i g h d a m p i n g o f t h e s e m o d e s o v e r a l l f r e q u e n c y r a n g e s s u g g e s t s a p o s s i b l e u s e f o r a p p r o p r i a t e l y m a t c h e d l o s s y c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s e c t i o n s a s n o n - r e fl e c t i v e t e r m i n a t i o n m i c r o w a v e c i r c u i t c o m p o n e n t s . F i g u r e 7 - 2 2 e x h i b i t s a b u l g e i n a f o r t h e T M 0 2 m o d e i n t h e r e g i o n w h e r e B c h a n g e s s l o p e . T h i s w a s n o t e d e a r l i e r i n t h e T M 0 1 m o d e f o r t h e n y l o n l o a d . T h i s b u l g e i s a l s o a f e a t u r e o f t h e T M 0 4 m o d e i n F i g u r e 7 - 2 3 w h e r e i t i s e s p e c i a l l y p r o n o u n c e d . T w o m o r e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s e m o d e s h o u l d b e n o t e d . F i r s t i s t h a t t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e o f T M O I i n F i g u r e 7 - 2 2 i s n e a r l y c o i n c i d e n t w i t h t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e o f T M 0 3 i n F i g u r e 7 - 2 3 . I t i s p o s s i b l e , a l t h o u g h i t i s n o t s h o w n 1 6 L i n , r o r . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 7 8 2 0 ‘ § . 0 . \ \ ( \ o . 0 ' O . 0 . ‘ 6 5 . . 0 . 1 8 - . 0 ' \ \ 0 1 , ° ‘ a . 0 o . o 0 o ‘ 1 6 " 0 0 I . , . 0 . ‘ J Q . e . B b . . . ' 1 4 - . 0 . x g o o . O . . ° . \ . \ ( \ e t ‘ o 0 . ° ~ Q V “ 1 2 — , o ' , . \ \ \ ‘ - a b . ' . ' 1 0 ~ . ' “ a l O O o 4 . . O . . o . . 6 ‘ . 8 _ 3 0 . . ° . 7 = fl — J a I 5 5 . - , - 6 - : 0 ' 0 0 . , ’ T M m o d e s 4 : 6 , . = 3 — j 1 2 g e . , ? o — 1 . 2 7 c m 0 T M ' = 0 2 . o b 7 . 6 2 c m . m m 0 I 1 ’ r 1 1 " l " " l f " ' l 1 " 1 ‘ fl 7 x b F i g u r e 7 - 2 2 f v s . ' y f o r T M m a n d T M o z m o d e s : é ‘ , = 3 — j 1 . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 7 9 . 0 $ 3 . \ s S ‘ . . 0 . 0 0 ° 0 ‘ 0 0 ° 0 0 ° , ° \ \ 0 > 0 0 ° 0 o 0 o O a . 0 O . o 8 . ' g . @ Q 0 0 0 0 . 5 b o . Q ) 0 . 0 9 0 d o 0 9 9 W 6 0 . 0 0 . v ‘ 8 8 0 . 0 . \ \ \ Q a b § € 0 9 9 . / . \ b , 0 9 2 - 4 5 . 5 ° 0 0 . 0 0 . € ( . fi r 7 = fi - J a . 0 “ c o ? : T M m o d e s 0 0 . 0 0 . : 2 . E r = 3 - j 1 0 9 9 ' ' . o = 1 . 2 7 c m ° ' ' . b = 7 . 6 2 c m 0 T M 0 4 ° ° 0 T M 0 3 I ' I l I I I U T T U ' I I I I I I U ' I I I I T W ' I U U I I I Y T U I I I U I I I l r U F T 1 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 7 x b F i g u r e 7 — 2 3 f v s . 7 f o r T M 0 3 a n d T M 0 4 m o d e s : é r = 3 — j l . 1 8 0 h e r e , t h a t t h e o d d o r d e r e d m o d e s b e h a v e s i m i l a r l y f o r h i g h f r e q u e n c i e s . T h e s a m e i s n o t t r u e o f t h e e v e n l y o r d e r e d m o d e s . S e c o n d l y , a l l o f t h e s e T M m o d e s e x h i b i t b a c k w a r d w a v e b e h a v i o r i n t h e l o w f r e q u e n c y r a n g e . F o r t h e T M 0 2 m o d e i n F i g u r e 7 - 2 2 i t i s e s p e c i a l l y o b v i o u s a n d m a y b e o b s e r v e d i n t h e r e g i o n j u s t b e l o w 1 G H z w i t h o u t m a g n i fi c a t i o n o f t h e p l o t . T h a t t h e o t h e r m o d e s e x h i b i t b a c k w a r d b e h a v i o r m a y b e a s c e r t a i n e d b y t h e n e g a t i v e o r r e g i o n s w h i c h a r e i n d i c a t e d b y t h e i n i t i a t i o n p o i n t s o f t h e 0 : c u r v e s w h i c h a r e l o c a t e d a b o v e f = O . A p l o t s i m i l a r t o t h o s e s h o w n i n F i g u r e s 7 - 2 2 a n d 7 - 2 3 f o r T M m o d e s i s g i v e n b y F i g u r e 7 - 2 4 f o r t h e T 1 3 0 1 , T 1 3 0 2 » a n d T 1 5 0 3 m o d e s . T h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e w a v e g u i d e a n d t h e l o a d f o r F i g u r e 7 - 2 4 a r e t h e s a m e a s t h o s e f o r F i g u r e s 7 - 2 2 a n d 7 - 2 3 . T h e s a m e g e n e r a l o b s e r v a t i o n s m i g h t b e m a d e c o n c e r n i n g t h e T B m o d e s a s w e r e m e n t i o n e d f o r t h e T M m o d e s e x c e p t t h a t t h e r e i s n o b a c k w a r d w a v e b e h a v i o r i n t h e l o w f r e q u e n c y r a n g e . T h e o d d l y o r d e r e d m o d e s b e h a v e a l m o s t i d e n t i c a l l y f o r h i g h f r e q u e n c i e s a n d t h e T E o z m o d e e x h i b i t s a d e fi n i t e b u l g e i n a n e a r t h e f r e q u e n c y w h e r e 6 m a k e s a c h a n g e i n s l o p e , i n t h i s c a s e , n e a r t h e f r e e - s p a c e l i g h t l i n e c r o s s i n g p o i n t . T h e T E m o d e s , j u s t l i k e t h e T M m o d e s , a r e v e r y h i g h l y d a m p e d . A s a fi n a l e x a m p l e o f c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e p r o p a g a t i o n , t h e p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n o n - d - s y m m e t r i c H E M I m o d e s a r e p l o t t e d i n F i g u r e s 7 - 2 5 a n d 7 - 2 6 . T h e w a v e g u i d e a n d l o a d r a d i i a r e s t i l l 7 . 6 2 c m a n d 1 . 2 7 c m r e s p e c t i v e l y , e , ’ i s s t i l l 3 . 0 , b u t o r : h a s b e e n r e d u c e d t o 0 . 5 . A l t h o u g h a h a s b e e n r e d u c e d f r o m t h e c a s e f o r T M a n d T E m o d e s w i t h e , ” = 1 , F i g u r e 7 - 2 5 i n d i c a t e s t h a t t h e s e m o d e s a r e s t i l l c u t o f f f o r a l l f r e q u e n c i e s u s i n g L i n ’ s c r i t e r i a . I t i s n o t i n d i c a t e d i n t h e F i g u r e s w h e t h e r t h e m o d e s a r e H E o r H H , b u t b o t h H E M “ a n d H E M I Z a r e H E a b o v e 3 . 5 G H z , w h i l e b e l o w 3 . 5 G H z H E M “ i s H a n d H E M l z i s H E . A n e n l a r g e d v i e w o f t h e r e g i o n b e l o w 5 G H z i s s h o w n i n F i g u r e 7 - 2 6 . T h e r e d o e s n o t a p p e a r t o b e a n y t h i n g r e m a r k a b l e i n t h e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t b e h a v i o r a t 3 . 5 G H z f o r e i t h e r m o d e . O n c e a g a i n , a s f o r t h e T E m o d e s , t h e H E M I m o d e s e x h i b i t n o b a c k w a r d w a v e b e h a v i o r i n t h e l o w f r e q u e n c y r e g i o n . u d A N I O V 0 5 : 0 9 . . . 1 8 1 O O O O O O . J o _ O o e I O 0 \ 6 x x o . A V = I O I . . . b 0 “ 0 M 7 . . B . o . \ O \ 0 I O . \ . « . c x . . o x x ? a : O , ) 0 W I I 0 a 3 a ) ) I o / / d I ) 0 0 I I o o ‘ o . . 9 a . . o e m ) I O l ) o I E z A . . 1 o I ) I . o T ) ) I . O ) ) ) I I 0 I I I 0 I I I . . . I I I I I ( b I I I I I I A I . . . a I I I . . . . n D T 5 0 3 0 T E 0 2 I T E . = 1 . 2 7 c m 7 . 6 2 c m 2 0 - d _ . 8 _ d 6 4 1 T 1 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 2 0 5 1 X F i g u r e 7 - 2 4 f v s . 7 f o r T E O I , T E 0 2 , a n d T E 0 3 m o d e s : é r = 3 - j l . ) z H G ( y c n e u q e r F 1 8 2 2 0 ‘ . . = 5 9 r 1 8 ' 5 6 " ) Q 5 0 ‘ . _ - - 5 ( g ? ( , 0 . 3 . . " . - — I O O . ' _ ' 1 6 " : - 0 0 ° 6 Q 0 . . I . . . - . _ : 0 ° 0 0 a " . H " . . ( \ 6 1 4 q : - 0 8 \ < . . 0 . . . . . u . \ \ \ I a . I . \ \ 1 2 " . ' a b 6 9 . 9 . ' 0 ' . ‘ 3 q I : 0 0 0 0 ‘ . . . 5 b I . . . . / . \ 0 1 0 - : 8 ’ b " : 0 0 o . . I ' . 4 8 - 1 5 0 0 ° . . 0 . . - . . l - e ( o r 5 § x . w ' 7 = fi - J a 6 ‘ : ( 9 3 ' 2 . " - * ' 5 9 H E M 1 m o d e s 4 - 5 3 , 5 5 " 6 , = 3 — j 0 . 5 2 . . . i f } . 0 = 1 . 2 7 c m H E M b = 7 . 6 2 c m ° 1 2 2 ; a D H E M 1 1 0 0 " " I I I ' I T I I I I I U U I I I I U U I U j U l ' I ' I l i i ' I l ' r ' T l ' I t ' l 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 7 x b F i g u r e 7 - 2 5 f v s . 7 f o r H E M “ a n d H E M ” m o d e s : 8 , = 3 - j 0 . 5 . 1 8 3 5 , 0 - . 6 ’ f r e e s p a c e l i g h t l i n e 0 ° 0 ' 1 a b : - 0 6 ) \ A . o n D « a . 9 - ° a b 1 : 0 0 D D 4 . 0 - : 6 9 o n o . . - 7 0 0 ° 0 ° A : 6 9 0 ° 0 ° N - . . D o D o ( 2 % . : - o o o c a n ( « ‘ 6 v 3 . 0 “ . ' : 0 ° 0 ° 6 \ \ Q > ~ 1 . . : 0 ° C . ' a \ O ' U - . l . 3 0 ‘ u 3 / Q C ) . 1 - I 0 ° 0 4 a 2 . 0 1 - ' ° 6 ‘ 7 = fi - i a . _ - a 9 4 0 0 0 : D o n G o o L I . 0 ° : D D 0 ‘ 0 ° . ' . ° H E M 1 m o d e s W : 6 9 0 0 0 % 6 , . = 3 - j 0 . 5 o = 1 . 2 7 c m ' - . b = 7 . 6 2 c m ° H E M 1 2 0 0 0 : 1 I I U “ I I I I I 1 I I I U I I H E V I 1 ' I I 0 2 4 6 8 1 0 7 x b F i g u r e 7 - 2 6 f v s . 7 f o r H E M “ a n d H E M ” m o d e s i n t h e l o w e r f r e q u e n c y r e g i o n . 1 8 4 7 . 7 C o n c l u s i o n S o l u t i o n s t o E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) o f C h a p t e r 3 h a v e b e e n p r e s e n t e d a s a f u n c t i o n o f r e a l f r e q u e n c y v a l u e s . T h e s e s o l u t i o n s c o r r e s p o n d t o v a r i o u s m o d e s a n d p r o p a g a t i o n b e h a v i o r i n c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s . A m o d e n a m i n g s c h e m e h a s b e e n d e v e l o p e d , b a s e d o n t h e c r i t e r i a o f B r u n o a n d B r i d g e s , w h i c h m a k e s i t e a s i e r t o r e m e m b e r w h i c h h y b r i d m o d e s a r e T E - l i k e a n d w h i c h a r e T M - l i k e , l a b e l i n g T E - l i k e m o d e s H H a n d T M - l i k e m o d e s H E . I t w a s a l s o p o i n t e d o u t t h a t t h e s e d i s t i n c t i o n s d o n o t a l w a y s p r o v i d e p h y s i c a l i n s i g h t a n d t h a t t h e y m i g h t a l l b e l a b e l e d H E M m o d e s i n s u c h c a s e s . . G r a p h i c a l s o l u t i o n s w e r e p r e s e n t e d f o r b o t h l o s s l e s s a n d l o s s y l o a d e d w a v e g u i d e s . L o s s l e s s s o l u t i o n s f o r e , = 3 7 . 6 w i t h a = 1 c m a n d b = 1 . 2 7 c m w e r e c o m p a r e d t o r e s u l t s p u b l i s h e d b y Z a k i a n d A t i a a n d Z a k i a n d C h e n a n d w e r e s h o w n t o m a t c h w i t h i n a s m a l l u n c e r t a i n t y r e l a t e d t o u n i t c o n v e r s i o n . C o m p l e x m o d e s w e r e i d e n t i fi e d f o r t h e s e l o a d a n d w a v e g u i d e p a r a m e t e r s a n d b o t h r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e w a v e n u m b e r s w e r e p l o t t e d . T E a n d T M m o d e s p r o p a g a t i n g i n a w a v e g u i d e o f r a d i u s 7 . 6 2 c m c o a x i a l l y l o a d e d w i t h l o s s l e s s l o a d s o f v a r y i n g r a d i i a n d a d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f e , = 3 . 0 w e r e e x a m i n e d i n t h e r e g i o n f r o m O t o 3 G H z . I t w a s s h o w n t h a t f o r l a r g e l o a d r a d i i t h e r a d i a l w a v e n u m b e r i n r e g i o n 1 i s n o t d e p e n d e n t o n f r e q u e n c y . A d d i t i o n a l l y , t h e c u t o f f f r e q u e n c y f a l l s w i t h i n c r e a s i n g l o a d r a d i u s a n d , a t l e a s t f o r t h e l a r g e r l o a d r a d i i , l o a d d i e l e c t r i c c o n s t a n t . S m a l l l o s s e s w e r e c o n s i d e r e d b y e x p l o r i n g t h e p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e T B a n d T M m o d e s f o r a 1 . 2 7 c m r a d i u s n y l o n l o a d i n a 7 . 6 2 c m r a d i u s w a v e g u i d e . I t w a s s h o w n t h a t t h e r e a l p a r t s o f t h e T M M w a v e n u m b e r s w e r e n o t g r e a t l y c h a n g e d f r o m t h e l o s s l e s s c a s e , b u t t h a t t h e m o d e s w e r e a t t e n u a t e d . T h e l o s s e s a l s o i n t r o d u c e d a h i g h l y d a m p e d b a c k w a r d w a v e r e g i o n i n t h e T M 0 1 m o d e b e l o w 4 2 0 M H z . W h e n l a r g e r l o s s e s w e r e i n c l u d e d , t h e T M m o d e s c o n t i n u e d t o d i s p l a y t h e b a c k w a r d w a v e r e g i o n w h i c h w a s n o t o b s e r v e d i n t h e T E o r H E M ] m o d e s . I t w a s s h o w n t h a t f o r c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t s o f 3 - j 1 f o r T B a n d T M m o d e s , a n d 3 - j 0 . 5 f o r H E M 1 m o d e s , a l l o f t h e l o w e r o r d e r m o d e s w e r e h i g h l y d a m p e d f o r a l l f r e q u e n c i e s b e l o w 2 0 G H z w i t h a = 1 . 2 7 c m a n d b = 7 . 6 2 c m . 1 8 5 T h e c h i e f b e n e fi t o f t h i s C h a p t e r r e g a r d i n g i t s r e l a t i o n t o t h e s o l u t i o n s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y i s t h e p r e s e n t a t i o n o f t h e l o c a t i o n o f t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s f o r a v a r i e t y o f l o a d s a n d f r e q u e n c i e s . F o r h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l s m o r e c a r e i s n w d e d i n s e a r c h i n g o u t t h e w a v e n u m b e r s f o r l o w e r o r d e r m o d e s . S i n c e t h e y a r e n o t e v e n l y s p a c e d , i t e a s y t o m i s s o n e o f t h e m , a s Z a k i a n d A t i a d o i n a n e a r l y p a p e r . P l o t t i n g t h e w a v e n u m b e r s v e r s u s f r e q u e n c y , a s i n F i g u r e s 7 — 1 , e t c . , i s t h e s a f e s t m e a n s o f a s s u r i n g t h a t a l l m o d e s a r e l o c a t e d w h e n c o n s t r u c t i n g s o l u t i o n s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d c a v i t y . H I C H I G R N S T R T E U N I V . L I B R R R I E S H H I I I W I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | | | W | I I I H | | | | | | | W | H H 1 | , 3 1 2 9 3 0 0 7 9 3 7 5 5 4 ! . n I - I n ( t . » . I . . A V ; 5 . ‘ . . . 3 ‘ . . . . . 4 1 v V ‘ . . t % 1 . i . v v 1 1 t » . . z . . . 1 } . 3 ! t . ‘ 2 « \ k ‘ ‘ A ¢ : ! A , ‘ . ! . . ‘ . " 2 0 - ? ’ “ . E : ( | . \ . 1 A . . 5 0 ! ! 6 ' ‘ . 1 3 1 3 4 1 ‘ 9 - - . l i 3 i l t 1 E . } { v 2 < ! . ! n 1 . . : 5 1 . < : v 5 r I 4 : } I . : J . 1 , ( 5 A 1 0 : ' n - 7 : 0 . . 4 : 1 . . ( 3 . 1 I ‘ ( I A M\ 3 1 2 9 3 \ L ' \ \ W A \ “ a n “ H . W \ \ W , \ \ W Y \ \ \ L I B R A R Y U n i v e r s i t y M i c h i g a n S t a t e _ . _ j P T L O A D C V A E O I I N D R F E I A g T E b fi X n o B t u e T N D U E R S U é N r E fi O r o D t n n o r e o r A o f e b m T o v E e r t e h d D a h d E i a s t c e U _ _ o u t e u c e k . f D r o A m y o u r r e c T E D o U r d . E . , I . I S E ? . 2 5 1 3 2 . 5 . £ 8 0 6 1 3 3 3 * ‘ 4 * 1 ‘ . ~ : . 7 j 1 1 : 3 5 “ ‘ k - : 1 L . . . . . ” ’ 1 4 : ; I — T i M S U I . A n A f f i r m a i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n c a m p u s - 9 . 1 E L E C T R O M A G N E T I C F I E L D S O L U T I O N S F O R T H E N A T U R A L M O D E S O F A C Y L I N D R I C A L C A V I T Y L O A D E D W I T H L O S S Y M A T E R I A L S V o l u m e I I B y E d w a r d B e n j a m i n M a n r i n g A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g 1 9 9 2 C h a p t e r 8 N U M E R I C A L S O L U T I O N S F O R T H E C A V I T Y - S H O R T T Y P E C O N F I G U R A T I O N 8 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t C h a p t e r i s t o p r e s e n t n u m e r i c a l f r e q u e n c y s o l u t i o n s t o E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) o f C h a p t e r 3 w i t h 7 d e fi n e d b y t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n s t r a i n t g i v e n i n E q u a t i o n ( 4 - 2 8 ) o f C h a p t e r 4 . P l o t s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y v e r s u s s y s t e m p a r a m e t e r s a r e r e f e r r e d t o i n g e n e r a l a s m o d e c h a r t s . T h e s e m o d e c h a r t s a r e u s e f u l i n i n v e s t i g a t i n g r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d q u a l i t y f a c t o r b e h a v i o r a s a f u n c t i o n o f s u c h p a r a m e t e r s a s l o a d r a d i u s , c a v i t y l e n g t h , l o a d d i e l e c t r i c c o n s t a n t , a n d l o a d l o s s f a c t o r . T h e y d e m o n s t r a t e s e n s i t i v i t y o r i n d i f f e r e n c e o f t h e m o d e s t o c h a n g e s i n c a v i t y a n d l o a d p a r a m e t e r s , a n d p r e d i c t , t h r o u g h t h e q u a l i t y f a c t o r , w h i c h m o d e s a r e b e s t f o r h e a t i n g p u r p o s e s . O n c e t h e f r e q u e n c y i s k n o w n , t h e f i e l d s m a y b e d i r e c t l y c a l c u l a t e d a n d p l o t t e d . M a n y o f t h e s e p l o t s a r e i n c l u d e d i n t h i s C h a p t e r . P l o t s o f t h e fi e l d m a g n i t u d e s v e r s u s s p a c i a l c o o r d i n a t e s s h o w w h e r e t h e e n e r g y i s c o n c e n t r a t e d i n t h e c a v i t y , a n d t h e p r i m a r y d i r e c t i o n o f t h e fi e l d s . T h i s i n f o r m a t i o n i s u s e f u l f o r d e t e r m i n i n g w h i c h m o d e s a r e b e s t u s e d t o c o u p l e e n e r g y i n t o m a t e r i a l s o f a g i v e n s i z e a n d s h a p e . F i e l d p l o t s a l s o h e l p t o e x p l a i n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y q u a l i t y f a c t o r b e h a v i o r . T h e c a v i t y — s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n , d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 3 a n d s h o w n i n F i g u r e 4 - 3 , c o n s i s t s o f a s e c t i o n o f c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e , s h o w n i n F i g u r e 3 - 2 , o f l e n g t h L s w i t h s h o r t i n g p l a t e s o n e i t h e r e n d . T h e r a d i u s o f t h e c a v i t y i s b ; t h e r a d i u s o f t h e c o a x i a l l o a d i s a . A s g i v e n i n C h a p t e r 3 b y E q u a t i o n ( 3 - 9 ) , a n d d e fi n e d r e l a t i v e t o t h e f r e e - s p a c e p e r m i t t i v i t y b y E q u a t i o n ( 6 - 3 2 ) o f C h a p t e r 6 , t h e r e l a t i v e c o m p l e x p e r m i t t i v i t y o f t h e l o a d i s d e fi n e d b y 1 8 6 1 8 7 E , = e ; - j e ; ' , ( 8 - 1 ) w h e r e e , ’ i s t h e r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d e , " i s t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r . F o r t h e c o m p u t a t i o n s p r e s e n t e d h e r e , t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o u t s i d e t h e l o a d i s t h a t o f f r e e s p a c e , s o . T h i s C h a p t e r w i l l i n c l u d e a b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e n a m i n g o f t h e m o d e s f o l l o w e d k b y s e v e r a l m o d e c h a r t s f o r r e s o n a n t f r e q u e n c y v e r s u s L s , a , e , ’ , a n d e , " . C a l c u l a t i o n s o f c a v i t y Q w i l l b e p r e s e n t e d f o r s e v e r a l m o d e s a s a f u n c t i o n o f l o s s f a c t o r a n d r o d r a d i u s , a , f o r a v a r i e t y o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t s , 6 ; . I t w i l l b e s h o w n h o w c o a x i a l l y l o a d e d m o d e s a p p r o a c h t h e T B a n d T M m o d e s o f t h e h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y , b o t h a s a - > O a n d a - > b . 8 . 2 N a m i n g o f M o d e s T h e n a m i n g o f m o d e s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i n v o l v e s t h e s a m e c o n s i d e r a t i o n s e n c o u n t e r e d i n n a m i n g t h e m o d e s i n t h e c o a x i a l l y l o a d e d w a v e g u i d e . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a v i t y a n d t h e w a v e g u i d e i s t h a t t h e a x i a l w a v e n u m b e r , 7 , i n t h e c a v i t y i s c o n s t r a i n e d t o b e a r e a l n u m b e r a s d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 4 - 2 8 ) , a n d t h e f r e q u e n c y i s c o m p l e x w h e n t h e l o a d i s l o s s y . I t w a s v i c e - v e r s a i n t h e l o s s y , c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . T h i s e x c h a n g e o f c o m p l e x p r o p e r t i e s b e t w e e n t h e p r o p a g a t i o n w a v e n u m b e r a n d t h e f r e q u e n c y p r e s e n t s n o f u n d a m e n t a l d i f fi c u l t i e s i n r e t a i n i n g t h e s a m e m o d e n a m i n g s c h e m e f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y m o d e s a s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s . T h e o - s y m m e t r i c m o d e s a r e c a l l e d T M o r T E d e p e n d i n g o n t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o l v e d t o fi n d t h e w a v e n u m b e r s , w h i l e t h e h y b r i d m o d e s m a y b e l a b e l e d H E M i n g e n e r a l , o r w h e n i t l e n d s i n s i g h t , l a b e l e d a c c o r d i n g t o t h e H E / H I - I s y s t e m d e v e l o p e d f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . T h e H E / H H s y s t e m o f m o d e n a m i n g d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 i n v o l v e s c o m p a r i n g t h e r a t i o o f E l t o H 2 i n t h e l o a d m a t e r i a l w i t h t h e w a v e i m p e d a n c e o f a p l a n e w a v e t r a v e l i n g a t t h e s a m e p h a s e v e l o c i t y , d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 7 - 2 ) . I f t h e r a t i o i s g r e a t e r t h a n t h e w a v e i m p e d a n c e , t h e m o d e i s c a l l e d H E ( T M - l i k e ) . O t h e r w i s e i t i s c a l l e d H I - I ( T E - l i k e ) . F o r t h e c o a x i a l l y — l o a d e d w a v e g u i d e , t h e p l a n e 1 8 8 w a v e p h a s e v e l o c i t y w a s d e fi n e d a c c o r d i n g t o t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e a x i a l w a v e n u m b e r , 7 , w h e r e 7 = B - j a . F o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n c a v i t y , 7 i s a l w a y s r e a l , b u t t h e f r e q u e n c y i s n o t . I n t h i s c a s e , t h e r e a l p a r t o f t h e f r e q u e n c y i s u s e d i n E q u a t i o n ( 7 — 2 ) . T h e p l a n e w a v e w h o s e i m p e d a n c e i s c o m p a r e d w i t h t h e r a t i o o f I ? z t o H z i s d e c a y i n g i n t i m e a t t h e s a m e r a t e t h e n a t u r a l m o d e fi e l d s d e c a y i n t h e c a v i t y . T h e l a b e l s a r e s u b s c r i p t e d w i t h t h r e e i n t e g e r s n , p , a n d q . T h e o r d e r s o f t h e ¢ > a n d z d e p e n d e n c e s a r e p r e - s p e c i fi e d b y t h e i n t e g e r s n a n d q i n E q u a t i o n s ( 4 - 2 4 ) t h r o u g h ( 4 - 5 0 ) . p i s u s e d t o i n d i c a t e t h e o r d e r o f t h e r a d i a l d e p e n d e n c e a n d i s d e t e r m i n e d t h e s a m e w a y t h a t t h e r a d i a l o r d e r s u b s c r i p t i s d e t e r m i n e d i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , u s i n g t h e r e a l p a r t o f t h e f r e q u e n c y . F o r a g i v e n I t a n d q , t h e m o d e w i t h t h e l o w e s t f r e q u e n c y ( r e a l p a r t ) i s a s s i g n e d a p v a l u e o f l . T h e m o d e w i t h t h e n e x t l o w e s t f r e q u e n c y i s i d e n t i fi e d w i t h p e q u a l t o 2 , e t c . T h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s p l o t t e d i n t h e F i g u r e s i n t h i s C h a p t e r a r e r e l a t e d t o t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e a s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 6 . T h e y a r e a c t u a l l y t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y . S i n c e t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y d i f f e r s s l i g h t l y f r o m t h e s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e r e s o n a n t f r e q u e n c y , i t i s n o t a p p r o p r i a t e t o c a l l i t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y . A t t h e s a m e t i m e , i t i s c u m b e r s o m e t o u s e t h e f u l l d e s c r i p t i o n “ r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y ” e v e r y t i m e r e f e r e n c e i s m a d e t o i t . T h e a b b r e v i a t e d t e r m s “ r e a l f r e q u e n c y ” a n d “ i m a g i n a r y fi e q u e n c y ” w i l l b e u s e d t o r e f e r t o t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s r e s p e c t i v e l y , o f t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y . 8 . 3 M o d e C h a r t s a n d F i e l d P a t t e r n s : T M M o d e s 8 . 3 . 1 L o w D i e l e c t r i c C o n s t a n t L o a d s w i t h V a r i o u s L o s s F a c t o r s C h a n g e s i n r e s o n a n t f r e q u e n c y w i t h c a v i t y l e n g t h p r o v i d e a c o n v e n i e n t m e a n s o f c o m p a r i n g c o a x i a l l y l o a d e d m o d e s w i t h e m p t y c a v i t y m o d e s , s i n c e b o t h c o n fi g u r a t i o n s a l l o w f o r v a r i a t i o n i n c a v i t y l e n g t h . I t i s a l s o s i m p l e t o m e a s u r e t h e f r e q u e n c y a s t h e c a v i t y l e n g t h i s v a r i e d w h e n e x p e r i m e n t i n g w i t h a v a r i a b l e l e n g t h l 1 8 9 s i n g l e - m o d e c a v i t y . 1 F i g u r e s 8 - 1 a n d 8 - 2 b e l o w a r e c a v i t y l e n g t h m o d e c h a r t s f o r m o m a n d T M o u m o d e s f o r d i e l e c t r i c c o n s t a n t l o a d s o f e ; = 3 . 0 3 . e , " i n F i g u r e 8 - 1 i s t h a t o f n y l o n , w h i l e F i g u r e 8 - 2 c o n t a i n s p l o t s f o r a v a r i e t y o f l o s s f a c t o r s . F o r a m a t e r i a l s u c h a s n y l o n , w i t h a l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d l o s s f a c t o r , ( 5 5 ‘ , = 3 . 0 3 — j 0 . 0 3 9 a t 2 . 4 5 G H z ) t h e T M m q m o d e s o f t h e e m p t y c a v i t y a n d c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y a r e c l o s e l y r e l a t e d , p a r t i c u l a r l y f o r r e d r a d i i m u c h l e s s t h a n t h e c a v i t y r a d i u s . F i g u r e 8 — 1 i s a c o m p a r i s o n o f t h e r e a l f r e q u e n c i e s o f t h e e m p t y c a v i t y T M O 1 2 m o d e a n d t h e c o a x i a l l y l o a d e d T M O I Z m o d e f o r a 1 " d i a m e t e r n y l o n r o d i n s i d e a 6 " d i a m e t e r c a v i t y . E x p e r i m e n t a l f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s a r e i n c l u d e d f o r b o t h t h e e m p t y a n d l o a d e d c o n fi g u r a t i o n s , s h o w i n g e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t f o r b o t h . I T h e s l o p e s o f t h e t w o c u r v e s a r e n e a r l y t h e s a m e , w i t h t h e r e a l f r e q u e n c y o f t h e l o a d e d c a v i t y i s s h i f t e d d o w n f r o m t h e e m p t y c a v i t y b y a p p r o x i m a t e l y 1 0 0 M H z . T h e s h i f t i s s l i g h t l y l e s s f o r t h e l o w e r c a v i t y l e n g t h s , i n c r e a s i n g s l o w l y a s t h e c a v i t y a n d l o a d g r o w l o n g e r . F i g u r e 8 - 2 d e m o n s t r a t e s t h e e f f e c t o f a h y p o t h e t i c a l l y r i s i n g l o s s f a c t o r f o r t h e n y l o n l o a d o f F i g u r e 8 - 1 , t h i s t i m e i n t h e T M , “ m o d e . T h e u p p e r c u r v e f o r a r e l a t i v e l o s s f a c t o r o f 1 . 0 i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h a t f o r a c t u a l n y l o n w h i c h h a s a r e l a t i v e l o s s f a c t o r o f 0 . 0 3 9 . A s t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r i n c r e a s e s f r o m 1 t o 3 0 t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y d r o p s d r a m a t i c a l l y , a p p r o x i m a t e l y 5 0 0 M H z f o r a c a v i t y l e n g t h o f 7 c m . A s t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r c o n t i n u e s t o i n c r e a s e f r o m 3 0 t o 1 0 0 0 t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y s t o p s f a l l i n g a n d r i s e s a p p r o x i m a t e l y 1 0 0 M H z a t t h e 7 c m e i g e n l e n g t h . A s s h o w n i n F i g u r e 8 - 2 , r e s o n a n t f r e q u e n c i e s f o r e , " = 1 0 0 0 a r e c l o s e t o t h o s e o f t h e T M o o r ( T E M ) m o d e o f t h e c o a x i a l c a v i t y o f t h e s a m e d i m e n s i o n s } t F i g u r e 8 - 3 c o n t a i n s p l o t s o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y v e r s u s l o a d l e n g t h c o r r e s p o n d i n g t o t h e r e a l f r e q u e n c y p l o t s o f F i g u r e 8 - 2 . F i g u r e 8 - 3 d e m o n s t r a t e s t h a t l A s m u s s e n , L i n , M a n r i n g , a n d F r i t z . m e e x p e r i m e n t a l p o i n t s w e r e a l l s h i f t e d a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 5 . 4 o f C h a p t e r 5 , u s i n g t h e e m p t y c a v i t y m e a s u r e m e n t a t L , = 1 1 c m a s r e f e r e n c e . L o a d e d c a v i t y m e a s u r e m e n t s a g r e e w i t h t h e o r y t o w i t h i n 7 M H z . * T h e t e r m “ c o a x i a l c a v i t y ” i s u s e d t o r e f e r t o t h e c a v i t y p r o d u c e d b y t e r m i n a t i n g a t l e n g t h o f p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c o a x i a l l i n e o n e i t h e r e n d b y a s h o r t i n g p l a t e . 1 9 0 3 . 1 ; C a v i t y - S h o r t T y p e “ “ 0 1 2 m a d e - C a v i t y d i a . 6 " , N y l o n R o d L o a d d i a . 1 " ” a ? : e r = 3 . 0 - 1 0 . 0 3 9 I . . 0 2 . 9 . V 5 I c 2 . 7 - ( D . 3 0 ' . 8 d L l . . . 2 . 5 - “ 5 . 0 ) . 0 : 2 . 3 . . - — E m p t y C a v i t y T h e o r e t i c a l - 0 E m p t y C a v i t y E x p e r i m e n t a l P o i n t s ‘ e — o L o a d e d C a v i t y T h e o r e t i c a l 2 1 ‘ 0 L o a d e d C a v i t y E x p e r i m e n t a l p o i n t s 0 I T I U I I l I ' I l . . 1 0 1 ' 1 1 2 1 3 1 ' 4 1 ' 5 1 6 1 7 1 8 C a v i t y L e n g t h ( c m ) F i g u r e 8 - 1 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . e i g e n l e n g t h f o r 1 " d i a m e t e r n y l o n r o d i n 6 " d i a m e t e r c a v i t y . 1 9 1 o 3 . 2 - \ o \ T M 0 1 1 m o d e 1 ° \ C a v i t y d i d . 6 " , L o a d d i d . 1 " A . o \ - E 3 . 0 - ° \ ° O \ \ _ . 0 L ) ; 2 . 8 \ o \ 0 \ C ° \ g ° \ ° \ 2 . 6 % o s x \ o L . L t . — 2 . 4 - o — o e = 3 . 0 3 — j l 8 a — a e = 3 . 0 3 - j 1 0 0 : H e = 3 . 0 3 - j 3 0 2 . 2 - 1 3 — 9 8 = 3 . 0 3 — j 1 0 0 ( 9 — 0 a = 3 . 0 3 - j 1 , 0 0 0 e — o c o a x i a l c a v i t y T M o m ( T E M ) 2 - 0 ' fl ' I ' I ' I ' f ' I 4 . 7 5 . 1 5 . 5 5 . 9 6 . 3 6 . 7 7 . 1 C a v i t y L e n g t h ( c m ) F i g u r e 8 - 2 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . c a v i t y l e n g t h f o r n y l o n l o a d w i t h h y p o t h e t i c a l l o s s f a c t o r s . ) z H G ( y c n e u q e 0 N O r F y r a n i g a m I 1 9 2 C a v i t y L e n g t h ( c m ) T M O H m o d e C a v i t y d i d . 6 " L o a d d i e . 1 " o — o c - 3 . 0 3 - j 1 H r : 8 3 . 0 3 - j 1 0 H t - 3 . 0 3 - j 3 0 9 — 6 a I 3 . 0 3 - j 1 0 0 H r : = 3 . 0 3 - j 1 , 0 0 0 o — e e I 3 . 0 3 - j 1 0 . 0 0 0 F i g u r e 8 - 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . c a v i t y l e n g t h f o r n y l o n l o a d w i t h h y p o t h e t i c a l l o s s f a c t o r s . 1 9 3 f o r t h e m o m m a d e w i t h a = 0 . 5 " , b = 3 " , a n d a l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y , h e n c e t h e q u a l i t y f a c t o r , d o e s n o t c h a n g e m u c h w i t h c a v i t y l e n g t h . A l t h o u g h t h e r e a r e e x c e p t i o n s f o r s o m e m o d e s a n d l o a d m a t e r i a l s , t h i s i s t h e g e n e r a l r u l e . F i g u r e 8 - 3 s h o w s t h a t t h e q u a l i t y f a c t o r c h a n g e s a g r e a t d e a l w i t h m a t e r i a l l o s s f a c t o r . F o r a l o s s f a c t o r o f 1 t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s a p p r o x i m a t e l y 4 5 M H z f o r L 8 = 7 c m . F o r 6 , " = 1 0 t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y r i s e s n e a r l y a n o r d e r o f m a g n i t u d e t o a p p r o x i m a t e l y 3 5 0 M H z . F r o m t h e r e i t f a l l s s t e a d i l y f o r i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r s , a p p r o a c h i n g z e r o f o r e , " = 1 0 , 0 0 0 . F r o m E q u a t i o n ( 6 - 1 8 ) o f C h a p t e r 6 , t h e c a v i t y Q i s g i v e n b y Q = 2 1 : 1 1 ? ) ’ ( 8 . 2 ) w h e r e f i s t h e c o m p l e x f r e q u e n c y . I t i s e v i d e n t t h e n t h a t t h e q u a l i t y f a c t o r i s l o w e s t f o r e , " = 1 0 , b e i n g a p p r o x i m a t e l y 3 . 5 1 ‘ a t L 8 = 6 c m . A t 5 ; = 1 t h e q u a l i t y f a c t o r i s a p p r o x i m a t e l y 3 1 . F o r a n a c t u a l n y l o n l o a d , é , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 ( n o t s h o w n i n t h e F i g u r e ) , t h e q u a l i t y f a c t o r f r o m E q u a t i o n ( 8 - 2 ) i s 8 4 0 . 8 . 3 . 2 E l e c t r i c F i e l d M a g n i t u d e s f o r I n c r e a s i n g L o s s F a c t o r s 1 I t i s o f i n t e r e s t t o q u e s t i o n w h a t c a u s e s t h e f r e q u e n c y t o f a l l f o r i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r i n t h e l o w e r l o s s f a c t o r r a n g e , a n d w h a t c a u s e s i t t o r i s e a s t h e l o s s f a c t o r b e c o m e s v e r y l a r g e ? I n f a c t , i t i s e a s i e r t o e x p l a i n t h e r i s e i n t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y w i t h i n c r e a s i n g l a r g e l o s s f a c t o r s t h a n i t i s t o e x p l a i n t h e d e c r e a s e i n t h e f r e q u e n c y f o r t h e l o w e r v a l u e s o f i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r . A s p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 3 , E q u a t i o n ( 3 - 1 0 ) , t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t ( 5 ‘ m a y b e c o n s i d e r e d t o i n c l u d e a f r e e e l e c t r o n 1 " T h e a p p r o x i m a t i o n o f E q u a t i o n ( 7 - 3 ) i s n o t s t r i c t l y t r u e f o r t h i s l o w Q v a l u e , b u t p r o v i d e s a r o u g h e s t i m a t e . * W h i l e t h e fi e l d m a g n i t u d e s p r o v i d e u s e f u l i n f o r m a t i o n a n d d e m o n s t r a t e b e n e fi c i a l q u a l i t a t i v e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n v a r i o u s m o d e s , t h e p h a s e i n f o r m a t i o n i s n e c e s s a r y t o f u l l y c h a r a c t e r i z e t h e fi e l d s . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e i n t h e p r e s e n c e o f l o s s e s a s d i s c u s s e d i n A p p e n d i x D . 1 9 4 c o n d u c t i v i t y , 0 ’ , a s w e l l a s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t e ' a n d l o s s f a c t o r 6 " s u c h t h a t , f o r a g e n e r a l m a t e r i a l , a = e ' , - j ( e " + £ ) . ( 8 - 3 ) 0 ) T h i s m e a n s t h a t a l a r g e l o s s f a c t o r h a s t h e s a m e e l e c t r o m a g n e t i c e f f e c t a s a h i g h c o n d u c t i v i t y . T h e i n c r e a s i n g r e s o n a n t f r e q u e n c y m a y b e u n d e r s t o o d a s r e s u l t i n g f r o m t h e s h i e l d i n g o f t h e l o a d f r o m t h e fi e l d s a s t h e m a t e r i a l a p p e a r s m o r e a n d m o r e l i k e a g o o d c o n d u c t o r . A s t h e fi e l d s a r e b l o c k e d o u t o f t h e l o a d m a t e r i a l t h e y e x i s t p r i m a r i l y i n t h e f r e e s p a c e r e g i o n o f t h e c a v i t y i n s t e a d o f t h e h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t r e g i o n o f t h e l o a d , c a u s i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y t o r i s e . T h e r e f o r e , f o r v e r y l a r g e l o s s f a c t o r s i t i s s a f e t o s a y t h a t a n i n c r e a s e i n l o s s f a c t o r w i l l p r o d u c e a n i n c r e a s e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y . T h i s s h i e l d i n g e f f e c t i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e s 8 - 4 a n d 8 - 5 . F i g u r e 8 — 4 i s a p l o t o f t h e m a g n i t u d e ' r o f t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d a l o n g a c a v i t y r a d i u s f o r t h e m o m m o d e o f F i g u r e 8 - 2 w i t h e , " = 1 0 0 . T h e v e r t i c a l l i n e a t t h e r a d i a l c o o r d i n a t e 1 . 2 7 c m i n d i c a t e s t h e l o a d b o u n d a r y . F i g u r e 8 - 5 i s a s i m i l a r p l o t f o r e , " = 1 0 0 0 . I t m a y b e s e e n b y c o m p a r i n g F i g u r e s 8 - 4 a n d 8 - 5 t h a t t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d i s n e a r l y s q u e e z e d o u t o f t h e l o a d r e g i o n f o r e , " = 1 0 0 0 . H o w e v e r , c o m p a r i s o n s b e t w e e n fi e l d m a g n i t u d e s i n t h e l o a d e d r e g i o n c a n n o t p r o v i d e a g e n e r a l a n s w e r t o t h e q u e s t i o n o f w h y t h e f r e q u e n c y d r o p s f o r i n c r e a s i n g 6 " i n o n e 5 " r a n g e a n d r i s e s i n a n o t h e r . T h i s i s e v i d e n t b y e x a m i n a t i o n o f F i g u r e s 8 - 6 a n d 8 - 7 w h i c h a r e p l o t s o f t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d a l o n g a r a d i u s s i m i l a r t o t h e p l o t s o f F i g u r e s 8 - 4 a n d 8 — 5 , e x c e p t w i t h 5 ; e q u a l t o 1 0 a n d 3 0 . E v e n t h o u g h t h e fi e l d i n t h e l o a d r e g i o n i s r e l a t i v e l y s m a l l e r f o r e , " = 3 0 t h a n f o r e , " = 1 0 , F i g u r e 8 - 2 1 * r ' l t e t e a r e d i f fi c u l t i e s i n d e fi n i n g t i m e a v e r a g e v a l u e s o f d e c a y i n g fi e l d s , n o t o n l y b e c a u s e o f t h e u n i v e r s a l d e c a y f a c t o r , b u t a l s o b e c a u s e o f a r b i t r a r y p h a s e d i f f e r e n c e s b e t w e e n fi e l d c o m p o n e n t s . T h e fi e l d m a g n i t u d e s u s e d i n t h i s c h a p t e r a n d t h o s e t h a t f o l l o w a r e r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e v a l u e s a s d e fi n e d i n E q u a t i o n ( D - 1 9 ) o f A p p e n d i x D . e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A 0 0 ° ° o ° ° ° o ° T M O . 3 f C = v a 2 t y i 1 i d 9 d . + 1 6 1 " j . . m L e 4 o 0 o d 2 a 5 d 3 d ( . i d C H 2 ) 1 " 1 9 5 0 . 1 6 — . . < 1 0 O o 0 0 T M 0 1 1 m o d e ' ° f = . 7 ° . H 0 . 1 2 _ 0 % . 2 2 3 + 1 0 9 6 0 3 . ( G z ) . 0 0 , , C a v 1 t y d i d . 6 ” , L o a d d i d . 1 " 0 0 0 ° C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m * . 0 . 0 0 e , = 3 . 0 3 - j 1 0 0 0 . 0 8 - 0 0 0 . _ , o " o 0 . 0 4 “ “ o ‘ 0 0 o < l — l o a d b o u n d a r y 1 W 0 ° ° ° ° ° ° 0 . 0 0 I r I 1 I T I 1 1 . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o “ m o d e , e ; = 1 0 0 . 1 4 0 0 — 1 2 0 0 - 1 0 0 0 - 8 0 0 - 6 0 0 - 4 0 0 - 2 0 0 - < I — l o a d b o u n d a r y ° o o C a v i t y L e n g t h 6 . 4 c m 8 , . = 3 . 0 3 - j 1 . 0 0 0 I r I ' I ' I 2 3 5 \ 1 - 4 I 6 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 6 , " = 1 0 0 0 . t — c b — H U 1 9 6 < — l o a d b o u n d a r y O O K ’ T M O 1 1 m o d e ° o f = 2 . 3 9 9 + j . 3 4 2 8 ( C H 2 ) ° o C a v i t y d i a . 6 " . L o a d d i a . 1 " 0 . , C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m 5 r = 3 . 0 3 - j 1 0 g 0 . 0 1 6 4 3 1 ' E ‘ g r . E 0 . 0 1 2 — E - l . 2 L I . . . . . 9 0 . 0 0 8 “ . t : o 2 . L _ ‘ _ J 0 . 0 0 4 - . 9 ~ x < 0 . 0 0 0 f I r l r I I ' 2 3 4 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 6 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , e , " = 1 0 . < r — l o a d b o u n d a r y T M 0 1 1 m o d e ° ° f = 2 . 2 4 0 + j . 2 0 1 3 ( G H Z ) ° o C a v i t y d i d . 6 " . L o a d d i d . 1 " ° o C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m ° ° . e , = 3 . 0 3 — j 3 0 0 . 0 3 - ( D . 0 3 d . ‘ t . ’ S . g 0 . 0 2 1 E . 9 2 L 1 . . 2 . b o 0 . 0 1 — . 9 2 L I J : 9 . X < 0 . 0 0 0 — s - 1 T T I ' I r ' ' I 2 3 4 5 \ l — I m I 6 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 7 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , m o m m o d e , o r , " = 3 0 . 1 9 7 d e m o n s t r a t e s t h a t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y d r 0 p s a s t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r g o e s f r o m 1 0 t o 3 0 . T h e fi e l d p l o t s i n F i g u r e s 8 4 t h r o u g h 8 - 7 a r e f o r t h e a x i a l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c fi e l d . S i n c e t h e t o t a l e l e c t r i c fi e l d f o r a T M m o d e c o n s i s t s o f b o t h a x i a l a n d r a d i a l c o m p o n e n t s b o t h m u s t b e c o n s i d e r e d i n o r d e r k n o w t h e t o t a l fi e l d m a g n i t u d e . C o n c e r n i n g t h e q u e s t i o n o f t h e c a u s e o f t h e f a l l o r r i s e i n t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r , t h e b e h a v i o r o f t h e r a d i a l c o m p o n e n t i s c l e a r l y a n e c e s s a r y c o n s i d e r a t i o n . A c c o r d i n g t o F i g u r e s 8 - 4 t h r o u g h 8 - 7 , t h e a x i a l c o m p o n e n t o f t h e fi e l d i s r e d u c e d f o r i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r w h e t h e r t h e f r e q u e n c y r i s e s o r f a l l s . I s t h a t a l s o t r u e f o r t h e r a d i a l c o m p o n e n t ? F i g u r e s 8 - 8 t h r o u g h 8 - 1 1 s h o w t h a t i t i s . T h e s e F i g u r e s c o n t a i n p l o t s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e r a d i a l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c fi e l d f o r r e l a t i v e l o s s f a c t o r s o f 1 0 , 3 0 , 1 0 0 , a n d 1 0 0 0 r e s p e c t i v e l y . A s s h o w n , t h e r a d i a l c o m p o n e n t o f t h e fi e l d i n s i d e t h e l o a d d i m i n i s h e s a s t h e l o s s f a c t o r o f t h e l o a d i n c r e a s e s . . S i n c e a d e c r e a s e i n fi e l d m a g n i t u d e i n s i d e t h e l o a d c a n n o t b e a s s o c i a t e d g e n e r a l l y w i t h a r i s i n g r e a l f r e q u e n c y , h o w i s i t p o s s i b l e t o s a y t h a t t h e r i s i n g r e a l f r e q u e n c y f o r e ; = 1 0 0 t o e : = 1 , 0 0 0 i n F i g u r e 8 — 2 i s d u e t o t h e d e c r e a s e i n fi e l d m a g n i t u d e i n s i d e t h e l o a d m a t e r i a l ? T h e a r g u m e n t i s b a s e d u p o n p e r t u r b a t i o n c o n s i d e r a t i o n s . I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f a c a v i t y w i t h p e r f e c t l y c o n d u c t i n g w a l l s d r o p s w h e n t h e w a l l s a r e p e r t u r b e d t o r e fl e c t a fi n i t e c o n d u c t i v i t y . 2 A h i g h l o s s f a c t o r m a t e r i a l w h i c h a l l o w s fi e l d p e n e t r a t i o n o n l y t o a g i v e n s k i n - d e p t h i s s i m i l a r t o a fi n i t e l y c o n d u c t i n g c a v i t y w a l l . T h e h i g h e r t h e l o s s f a c t o r , t h e s m a l l e r t h e s k i n - d e p t h a n d t h e h i g h e r t h e f r e q u e n c y . W h e n t h e l o s s f a c t o r i s l o w e n o u g h t h a t a s u b s t a n t i a l fi e l d e x i s t s i n t h e m a t e r i a l , t h e a n a l o g y b e t w e e n l o s s f a c t o r a n d c o n d u c t i v i t y b r e a k s d o w n a n d t h e p e r t u r b a t i o n a s s u m p t i o n s a r e n o l o n g e r v a l i d . R e t u r n i n g t o F i g u r e s 8 — 4 t h r o u g h 8 - 1 1 , i t m a y b e o b s e r v e d h o w t h e fi e l d d i r e c t i o n c h a n g e s w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r . A t a g i v e n p o i n t a l o n g t h e r a d i a l c o o r d i n a t e o f t h e c a v i t y , t h e fi e l d d i r e c t i o n m a y b e f o u n d b y v e c t o r i a l l y a d d i n g r a d i a l 2 H a r r i n g t o n , 3 7 2 ( P r o b l e m 7 4 ) . e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 0 . 0 4 - 0 . 0 3 - 0 . 0 2 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 - 4 1 9 8 ‘ i o < I — l o a d b o u n d a r y 0 T M 0 1 1 m o d e 0 f = 2 . 3 9 9 + j . 3 4 2 8 ( C H 2 ) ° e C a v i t y d i d . 6 " . L o a d d i d . 1 " o C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m ° ° ° c r = 3 . 0 3 - j 1 0 I I U I I I I 5 3 4 5 i s R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 8 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e ' a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 5 , " = 1 0 . < I — l o a d b o u n d a r y 0 T M O 1 1 m o d e ° , f = 2 . 2 4 0 + j . 2 0 1 3 ( G H z ) ° . ° C a v i t y d i d . 6 " . L o a d d i d . 1 ' - ° o o C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m ° o ° a . = 3 . 0 3 — j 3 0 I ' I ' I T I . I 2 3 4 5 6 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 9 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 6 , " = 3 0 . 1 . 6 - m d U . 3 . ‘ t ' . ’ . C o w 1 . 2 - o 2 . 1 E . . 9 3 ‘ L ‘ - O 8 - o . ' C 4 - ’ . o 2 . ‘ _ “ _ " 0 . 4 a . 9 ~ U ' 1 o O : O 0 4 " . “ 1 9 9 ” Q — l o a d b o u n d a r y T M O 1 1 m o d e ° f = 2 . 2 7 3 + j . 0 9 6 0 3 ( C H 2 ) 0 C a v i t y d i a . 6 " , L o a d d i a . 1 " o C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m ° 0 8 , . = 3 . 0 3 — j 1 0 0 I r I ' I . I . . 5 6 7 8 N — t ( 1 4 4 s R a d i a i C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 0 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o u m o d e , 5 , " = 1 0 0 . 4 E + 0 4 — q ) < L < — l o a d b o u n d a r y 3 d o g 3 E + O 4 0 o T M O I I m o d e g ° . ° f = 2 . 3 1 9 + j . 0 2 5 4 3 ( C H 2 ) ‘ 0 - ° o ° C a v i t y d i d . 6 " , L o a d d i a . 1 " E ° ° ° C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m 0 2 5 + 0 4 ‘ e , = 3 . 0 3 - j 1 . 0 0 0 E o . 2 ‘ i ’ 1 E + 0 4 - . 2 8 4 ' “ “ ‘ ° C K O I ' T ‘ I T I ' I r I I r n O i 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 1 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M o r l m o d e , 6 , " = 1 0 0 0 . 2 0 0 a n d a x i a l c o m p o n e n t s . T h e a x i a l p o s i t i o n o f t h e p o i n t m u s t a l s o b e c o n s i d e r e d s i n c e E , i s p r o p o r t i o n a l t o s i n ( k z z ) w h i l e E z i s p r o p o r t i o n a l t o c o s ( k z z ) . A s a n e x a m p l e w e c h o o s e a p o i n t a t z = L s / 4 w h e r e t h e a x i a l d e p e n d e n c e f a c t o r i s t h e s a m e f o r b o t h r a d i a l a n d a x i a l c o m p o n e n t s . A p o i n t o n t h e l o a d b o u n d a r y p r o v i d e s a c o n v e n i e n t r a d i a l p o s i t i o n a t w h i c h t o e x a m i n e t h e fi e l d d i r e c t i o n . F r o m F i g u r e s 8 - 6 a n d 8 - 8 t h e r a t i o o f t h e r a d i a l fi e l d m a g n i t u d e t o t h e a x i a l fi e l d m a g n i t u d e i s a p p r o x i m a t e l y 2 . 9 f o r e , " = 1 0 . F o r e , " = 3 0 f r o m F i g u r e s 8 — 7 a n d 8 - 9 t h e r a t i o i s 5 . 8 . S i m i l a r l y , f o r e , " = 1 0 0 t h e r a t i o i s 9 . 5 a n d f o r e ; = 1 0 0 0 t h e r a t i o i s 3 2 . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e fi e l d a t t h e l o a d b o u n d a r y b e c o m e s p r e d o m i n a n t l y r a d i a l , o r n o r m a l t o t h e l o a d b o u n d a r y , a s t h e l o s s e s i n c r e a s e . T h i s o b s e r v a t i o n i s i n a c c o r d a n c e w i t h a s s o c i a t i n g a h i g h l o s s f a c t o r l o a d w i t h a c o n d u c t i n g m a t e r i a l . 8 . 3 . 3 H i g h L o s s F a c t o r M o d e s A s s o c i a t e d w i t h C o a x i a l C a v i t y T M M o d e s F u r t h e r c o n fi r m a t i o n o f a s s o c i a t i n g a h i g h l o s s f a c t o r m a t e r i a l w i t h a c o n d u c t o r i s d e m o n s t r a t e d b y t h e s i m i l a r i t y i n t h e r a d i a l e l e c t r i c fi e l d s f o r t h e e : = 1 0 0 0 l o a d o f F i g u r e 8 - 1 1 a n d t h e c o a x i a l c a v i t y T M o o r m o d e , w h i c h i s T E M . F i g u r e 8 - 1 2 i s a n o r m a l i z e d p l o t o f t h e fi e l d m a g n i t u d e f o r a h a l f - w a v e l e n g t h T E M m o d e i n a 6 " d i a m e t e r c o a x i a l c a v i t y w i t h a 1 " d i a m e t e r i n n e r c o n d u c t o r . F o r t h e T E M m o d e t h e a x i a l c o m p o n e n t s o f b o t h t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c fi e l d s a r e z e r o ; t h e o n l y t w o fi e l d c o m p o n e n t s a r e t h e r a d i a l e l e c t r i c fi e l d a n d t h e a z i m u t h a l m a g n e t i c fi e l d , e a c h w i t h a r a d i a l d e p e n d e n c e o f l / p . T h e s i m i l a r i t y i s d e m o n s t r a t e d b y c o m p a r i n g F i g u r e 8 - 1 2 w i t h F i g u r e 8 - 1 1 . L i k e w i s e , a n e x a m i n a t i o n o f t h e T M 0 2 1 m o d e f o r d i f f e r e n t l o s s f a c t o r s s h o w s t h a t f o r i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r s t h e m o d e a p p r o a c h e s t h a t o f t h e T M 0 1 1 m o d e o f t h e c o a x i a l c a v i t y . F i g u r e 8 - 1 3 c o n t a i n s a m o d e c h a r t f o r t h e T M 0 2 1 m o d e s i m i l a r t o t h a t o f F i g u r e 8 - 2 f o r T M o r r - T h e s a m e g e n e r a l b e h a v i o r i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 8 - 1 3 a s w a s s h o w n i n F i g u r e 8 - 2 , w i t h r e a l f r e q u e n c y a t fi r s t f a l l i n g w i t h i n c r e a s e d l o s s f a c t o r , t h e n r i s i n g a g a i n a s t h e l o s s f a c t o r b e c o m e s l a r g e . F o r l a r g e l o s s f a c t o r , t h e e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 2 0 1 1 . 0 - i C o a x i a l C a v i t y T M 0 0 1 m o d e 0 8 ' R e s o n a n t F r e q u e n c y = 2 . 3 4 C H 2 - C a v i t y d i a . 6 " , I n n e r C o n d u c t o r d i a . 1 " 0 . 6 - C a v n t y L e n g t h = 6 . 4 c m 0 . 4 - 0 . 2 4 1 < I — i n n e r c o n d u c t o r b o u n d a r y 0 0 I I ' I ' I 1 l ' l I I ' I T _ I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 2 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , c o a x i a l c a v i t y T E M m o d e . 2 0 2 4 . 2 - . ° \ . T M 0 2 1 m o d e 4 . 0 - ° \ o \ C a v 1 t y C 1 1 0 . 6 " , L o a d d i a . 1 " A . ° \ 0 \ N o \ ° \ ( : 5 3 . 8 - A \ A \ ° \ ° \ ° v \ o \ ° \ a ° ‘ ° \ c 3 . 6 - a ) 3 a ) 3 . 4 - L L i . 6 3 _ 2 _ H C o a x i a l C a v i t y . a ) 0 — 0 s , = 3 . 0 3 — j 1 0 1 a — a r : r = 3 . 0 3 - j 3 x 3 . 0 - H e , = 3 . 0 3 - j 1 0 ‘ * \ x . o — o c , = 3 . 0 3 - j 1 0 0 o — a 5 r = 3 . 0 3 — j 1 , 0 0 0 2 0 8 I I l I T 1 f I I I U I j I I I I j I 1 fi 4 . 8 5 . 2 5 . 6 6 . 0 6 . 4 6 . 8 C a v i t y L e n g t h ( c m ) F i g u r e 8 - 1 3 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . c a v i t y l e n g t h : 1 " d i a m e t e r r o d i n 6 " d i a m e t e r c a V i t y , T M 0 2 1 ° 2 0 3 f r e q u e n c i e s a p p r o a c h t h o s e o f t h e c o a x i a l c a v i t y T M o u m o d e . I n t h i s c a s e t h e c o a x i a l c a v i t y T M m o d e i s n o t T E M b u t h a s a n a x i a l e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t . I t i s d i f fi c u l t t o d e t e r m i n e f r o m F i g u r e 8 - 1 3 t h e p r e c i s e l o s s f a c t o r v a l u e f o r w h i c h t h e r e a l f r e q u e n c y i s a m i n i m u m , b e i n g s o m e w h e r e b e t w e e n 3 a n d 1 0 0 . F o r L 8 = 6 . 5 c m , F i g u r e 8 - 1 4 s h o w s t h a t t h e m i n i m u m o c c u r s n e a r 5 , " = 9 . F i g u r e 8 - 1 4 a l s o d e m o n s t r a t e s t h a t t h e s e p a r a t e c u r v e s i n F i g u r e 8 - 1 3 b e l o n g t o t h e s a m e m o d e . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e r e a l f r e q u e n c y c h a n g e s m o s t d r a m a t i c a l l y f r o m c , " = 0 t o e , " = 9 , u n d e r g o i n g a c h a n g e o f n e a r l y 6 0 0 M H z . I n t h e s a m e l o s s f a c t o r r e g i o n , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s a l s o u n d e r g o i n g c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n , a s s h o w n b y F i g u r e 8 - 1 5 . A s t h e l o s s f a c t o r i n c r e a s e s f r o m z e r o , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y q u i c k l y r i s e s t o a p e a k n e a r e , " = 4 , t h e n d r o p s a l m o s t a s f a s t u n t i l 5 , " = 1 0 w h e r e i t c o n t i n u e s t o f a l l , b u t n o t a s d r a m a t i c a l l y . T h e r a p i d c h a n g e s i n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d q u a l i t y f a c t o r r e p r e s e n t e d b y t h e s e F i g u r e s s h o w t h a t l o w l o s s m a t e r i a l s t h a t b e c o m e l o s s y d u r i n g m i c r o w a v e p r o c e s s i n g m a y v e r y q u i c k l y d e t u n e t h e s y s t e m f o r c e r t a i n m o d e s . F i g u r e s 8 - 1 6 a n d 8 - 1 7 a r e p l o t s o f t h e e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e s a l o n g a r a d i u s f o r t h e T M 0 2 1 m o d e f o r e : = 1 0 0 0 . F i g u r e s 8 — 1 8 a n d 8 - 1 9 a r e s i m i l a r p l o t s f o r t h e m a l l m o d e i n a c o a x i a l c a v i t y o f t h e s a m e d i m e n s i o n s . T h e t w o s e t s o f p l o t s h a v e s i m i l a r s h a p e s a n d t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e a x i a l a n d r a d i a l c o m p o n e n t s a r e t h e s a m e , t h e m a x i m u m o f t h e r a d i a l c o m p o n e n t b e i n g r o u g h l y t w i c e t h a t o f t h e a x i a l c o m p o n e n t . 8 . 3 . 4 T M O l l M o d e F r e q u e n c y V a r i a t i o n w i t h D i e l e c t r i c C o n s t a n t a n d L o s s F a c t o r T h e p l o t s i n F i g u r e s 8 — 1 4 a n d 8 - 1 5 a b o v e d e m o n s t r a t e t h e u s e f u l n e s s o f p l o t t i n g t h e f r e q u e n c i e s a s f u n c t i o n s o f t h e l o a d m a t e r i a l l o s s f a c t o r . D u r i n g m a t e r i a l s p r o c e s s i n g , i t i s c h i e fl y t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e l o a d m a t e r i a l t h a t u n d e r g o c h a n g e r a t h e r t h a n t h e i r p h y s i c a l d i m e n s i o n s . P l o t s l i k e t h e o n e s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 1 4 a n d 8 - 1 5 d e s c r i b e t h e f r e q u e n c y a n d e n e r g y c o u p l i n g c y c l e o f m a t e r i a l s , l i k e a l u m i n a , w h o s e l o s s f a c t o r s i n c r e a s e w i t h t e m p e r a t u r e . I n t h i s S e c t i o n , t h e r e a l a n d i m a g i n a r y fi e q u e n c i e s o f t h e m o m m o d e w i l l b e e x a m i n e d a s f u n c t i o n s o f t h e ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R 2 0 4 3 . 7 - 3 . 6 - X - C a v i t y l e n g t h = 6 . 5 c m 3 - 4 ‘ C a v i t y d i d . 6 " , R o d d i d . 1 " 3 " } 8 r = 3 . 0 3 3 . 2 - ° 3 . 1 - 3 . 0 . I . , 4 r . l . I 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 L o s s F a c t o r ( r e l a t i v e ) F i g u r e 8 - 1 4 R e a l f r e q u e n c y v e r s u s l o s s f a c t o r : W 0 2 1 m o d e . ) 2 H C ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 0 5 0 . 4 - O ° 3 - T M 0 2 1 m o d e . " x C a v i t y l e n g t h = 6 . 5 c m C a v i t y d i a . 6 " , R o d d i d . 1 " 0 . 2 - J " c ' " = 3 . 0 3 0 . 1 . 1 0 0 0 U I I I V T I I I O 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 L o s s F a c t o r ( r e l a t i v e ) F i g u r e 8 - 1 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v e r s u s l o s s f a c t o r : T M 0 2 1 m o d e . e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A 4 E + O 6 - 3 E + 0 6 ~ d 2 E + 0 6 ~ 1 E + 0 6 - 0 - 1 ° T M 0 2 1 m o d e o ° f = 3 . 2 5 0 + j 0 . 0 1 9 4 0 C H 2 0 0 o o C a v i t y d i d . 6 " , L O O d d i d . 1 " o o ° C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m ° o 0 0 . 0 e r = 3 . 0 3 - j 1 0 0 0 ° . , 0 t ‘ ’ 0 0 o < I — l o a d b o u n d a r y ° ° I ' I I I I I ' I ' I T i a — I 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 6 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M 0 2 1 m o d e , 5 ' = 1 0 0 0 . 1 . 0 E + 0 7 - < 1 ) < 1 — l o a d b o u n d a r y ‘ 0 3 o 3 ' 8 0 E + 0 6 ~ o C C » . 0 W 0 2 1 m o d e g ° . f = 3 . 2 5 0 + j 0 . 0 1 9 4 0 C H 2 0 . . u . H E 6 . 0 E + 0 6 - r o 0 C o v u t y d u o . 6 . L o a d d i d . 1 L ? ° C O V i t Y L e n g t h = 6 . 4 c m 0 ° e ° e r = 3 . 0 3 — j 1 0 0 0 E 4 . 0 E + 0 6 - . 0 0 0 0 a § 2 . 0 9 0 6 4 ° ° . o ° ° e o 4 0 ° 0 : 0 ° 0 ° 0 9 0 0 . 0 T ‘ T I 1 r i f j I I I 1 l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 7 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T M 0 2 1 m o d e , 6 " = 1 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 4 8 “ 3 4 2 1 . . . . . 0 2 4 5 0 0 8 0 - - . 1 1 1 - - 1 ‘ - . . . J 0 ! d A 0 ° 0 0 0 ° e . n F r e " n 6 L o e a v n n d i t a i e t r , 3 . y c 0 y n a n 0 ° 0 ° s i t o . C i . e v 0 R 0 a — 9 ° 0 ° C l , 2 o < ° . 0 ° ) 0 0 0 0 ° C , 0 ° 0 n n c e e n h t o y r . = r q g u I t u 4 c , 3 d n . c . d m 2 a . = o . o C 6 b n 4 u , 5 0 ° 0 ° 0 0 O ° 7 d r 0 i y 0 0 0 0 ° C H a . , 6 o 2 o 1 " o a c ’ o o 0 ° ° o , 7 ° e o a _ , 8 e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 2 0 7 C o a x i a l C a v i t y T M 0 1 1 m o d e R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 8 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y m o m m a d e . 1 ' 0 1 o . ° < l — l n n e r c o n d u c t o r b o u n d a r y . O 0 ' 8 “ ° C o a x i a l C a v i t y T M O l l m o d e . 0 ° 0 0 6 - 0 ° R e s o n a n t F r e q u e n c y = 3 . 2 7 C H 2 ° , , C a v i t y d i d . 6 " , I n n e r C o n d u c t o r d i e . 1 " ‘ ° ° ° C a v i t y L e n g t h = 6 . 4 c m 0 . 4 4 ° ° O O J 0 ° 0 0 0 0 . 2 4 0 0 0 0 0 0 ° 0 0 J 0 0 0 ° 0 0 0 0 o o 0 ° 0 . 0 , - 1 fl T . e 9 I 1 I - I 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 1 9 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M 0 2 1 m o d e . 2 0 8 d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e l o a d , w h e r e t h e l o a d i s 1 " i n d i a m e t e r a n d t h e c a v i t y i s 6 " i n d i a m e t e r . F i g u r e 8 — 2 0 c o n t a i n s a p l o t o f t h e r e a l f r e q u e n c y v e r s u s r e l a t i v e l o s s f a c t o r o v e r t h e r a n g e o f 0 t o 5 0 f o r l o a d s w i t h r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t s o f 1 . 5 , 5 . 0 , a n d 1 0 . 0 . T h e F i g u r e d e m o n s t r a t e s t h a t t h e r e a l f r e q u e n c i e s f o r l o a d s w i t h d i f f e r e n t o r ; v a l u e s c o n v e r g e a s t h e l o s s f a c t o r g r o w s l a r g e . F o r l o w l o s s f a c t o r s , t h e r e a l f r e q u e n c y f o r s m a l l i s ; v a l u e s i s h i g h e r t h a n f o r g r e a t e r e , ’ v a l u e s ; t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s a r e r e v e r s e d f o r h i g h e r l o s s f a c t o r s , w i t h r e a l f r e q u e n c y b e i n g h i g h e r f o r t h e l a r g e r v a l u e s o f e , ’ . F i g u r e 8 - 2 1 s h o w s t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y v a r i a t i o n o f t h e r e s o n a n c e s o f F i g u r e 8 - 2 0 . A s s h o w n F i g u r e 8 — 2 1 , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y r i s e s f r o m 0 f o r a l o a d w i t h n o l o s s e s t o a p e a k , w h i c h o c c u r s n e a r 6 " ! = 1 0 f o r a d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f 5 . T h e p e a k i s h i g h e r a n d s h a r p e r a n d o c c u r s f o r a s l i g h t l y l o w e r e , " w h e n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s l o w e r a t e " . = 1 . 5 . F o r e ” . = 1 0 , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y v a r i a t i o n w i t h e , " i s m o r e m o d e r a t e t h a n f o r e i t h e r o f t h e o t h e r t w o c u r v e s , b u t i t d e m o n s t r a t e s t h e s a m e r i s e f o r l o w l o s s f a c t o r s f o l l o w e d b y a g e n t l e d e c l i n e . A s t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r i n c r e a s e s b e y o n d 4 0 , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s f o r t h e v a r i o u s d i e l e c t r i c c o n s t a n t s c o n v e r g e s o t h a t t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y b e c o m e s i n d e p e n d e n t o f e , ’ f o r l a r g e v a l u e s o f e , " . T h e r e a l f r e q u e n c y p l o t f o r e ” . = 1 . 5 i n F i g u r e 8 — 2 0 s h o w s t h a t t h e r e i s n o v a r i a t i o n i n t h e r e a l f r e q u e n c y w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r i n t h e l o w l o s s f a c t o r r e g i o n . T h i s r e g i o n i s e x a m i n e d i n m o r e d e t a i l i n F i g u r e 8 - 2 2 , w h i c h i s a m a g n i fi e d v i e w o f t h e l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t z o n e f o r r e l a t i v e l o s s f a c t o r s l e s s t h a n 8 . P l o t s a r e s h o w n f o r e " . = l , 1 . 2 5 , 1 . 5 , 1 . 7 5 , a n d 2 . 0 . T h e p l o t s s h o w t h a t f o r e x t r e m e l y l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l s t h e r e i s a c t u a l l y s l i g h t r i s e i n r e a l f r e q u e n c y a s t h e l o s s f a c t o r i n c r e a s e s f r o m z e r o . T h i s r i s e i s m o s t e v i d e n t i n t h e “ l o s s y v a c u u m , ” L e , a h y p o t h e t i c a l m a t e r i a l w i t h a d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f l a n d a l o s s f a c t o r g r e a t e r t h a n 1 . A r i s e i s a l s o e v i d e n t i n m a t e r i a l s w i t h o r ; v a l u e s o f 1 . 2 5 a n d 1 . 5 . F o r l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t l o a d s w i t h e ; 2 2 , a d d i n g l o s s c a u s e s t h e r e a l f r e q u e n c y t o d e c r e a s e . ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R 2 0 9 2 . 5 T M 0 1 1 m o d e H 5 r : = 1 ' 5 2 4 _ o — o 5 r a 5 ° 6 " C a v i t y . 1 " d i a . R o d H 8 r . = 1 0 2 . ? ” L 8 = 7 . 7 6 2 . 2 - ‘ 2 . 1 - 2 . 0 - 1 . 9 - 1 . 8 . I f I I ' I E 1 O 1 0 2 0 3 0 4 O 5 0 L o s s F a c t o r F i g u r e 8 - 2 0 R e a l f r e q u e n c y v e r s u s l o s s f a c t o r f o r e , " = 0 t o 5 0 . ) z H G ( y c n e u q e r F y r o n i g o m l 0 . 4 8 - 0 . 4 0 - 0 . 3 2 - 0 . 2 4 - 1 0 . 1 6 - 0 . 0 8 - 0 . 0 0 2 1 0 T M 0 1 1 m o d e H 5 r ' = 1 - 5 ' e — e e r ' = 5 6 " C a v i t y , 1 " d i o . R o d H 8 r ' = ‘ 0 1 . 3 = 7 . 7 6 I ‘ I . r . 1 . 1 O 2 0 3 0 4 O 5 0 L o s s F o c t o r F i g u r e 8 - 2 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r T M O U m o d e , e ; = 0 t o 5 0 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 1 1 2 . 5 5 - ' . T M 0 1 1 _ m o d e H e r . = 1 0 — 0 e r ' = 1 . 2 5 H 5 , ! = 1 . 5 H a " = 1 . 7 5 1 3 — 9 e r ' = 2 C a v i t y , 1 " d i a . R o d L S = 7 . 7 6 c m 2 ' 2 0 ' I ' I ' I . I . fl 0 1 2 3 4 5 L o s s F a c t o r 0 ) . . . \ 1 fi g u r e 8 - 2 2 R e a l f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r m a t e r i a l s w i t h l o w v a l u e s o f e , ’ . m - J 2 1 2 F o r a l o s s l e s s c a v i t y a n d l o a d i t m a y b e s h o w n t h a t a n i n c r e a s e i n d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a y p r o d u c e o n l y a d e c r e a s e i n t h e e a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y . 3 W h e n l o s s e s a r e p r e s e n t , h o w e v e r , t h a t i s n o t t h e e a s e . T h i s w a s s h o w n i n t h e h i g h l o s s f a c t o r r e g i o n o f F i g u r e 8 - 2 0 a s 5 ; i n c r e a s e d f r o m 1 . 5 t o 1 0 . I t c a n a l s o b e s e e n i n F i g u r e 8 - 2 3 , w h i c h c o n t a i n s p l o t s o f t h e r e a l f r e q u e n c y v e r s u s d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r v a l u e s o f 5 , " e q u a l t o 0 , 1 , 5 , 7 , 1 0 , a n d 2 0 . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e r e a l f r e q u e n c y i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r t h e l o s s l e s s c a s e , a s e x p e c t e d . T h e r e a l f r e q u e n c y f o r e , " = l i s i n d i s t i n g u i s h a b l e f r o m t h e l o s s l e s s e a s e . . T h e r e a l f r e q u e n c y i s a l s o s t r i c t l y d e c r e a s i n g f o r l o s s f a c t o r s 5 , a n d 7 . F o r t h e h i g h e r l o s s f a c t o r s o f 1 0 a n d 2 0 , h o w e v e r , t h e r e a l f r e q u e n c y i n c r e a s e s w i t h d i e l e c t r i c c o n s t a n t i n c e r t a i n r a n g e s . F o r 6 , " = 1 0 t h e r e a l f r e q u e n c y i n c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g d i e l e c t r i c c o n s t a n t i n t h e r a n g e o f e , ’ = l t o a p p r o x i m a t e l y 5 . F o r 5 , " = 2 0 t h i s r a n g e e x t e n d s f r o m 1 t o n e a r l y 1 5 , b u t t h e s l o p e i s g e n t l e r . I n t h e h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t r a n g e , i . e . , e " . 2 3 5 , F i g u r e 8 - 2 3 s h o w s t h a t i n c r e a s i n g t h e l o s s f a c t o r f r o m 1 0 t o 2 0 c a u s e s a n i n c r e a s e i n r e a l f r e q u e n c y . A l t h o u g h t h e F i g u r e i s n o t c l e a r e n o u g h t o d i s t i n g u i s h w h a t h a p p e n s a s t h e l o s s f a c t o r i s i n c r e a s e d f r o m O t o 1 0 f o r t h e s e h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t s , t h e d a t a f o r t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t v a l u e c ” . = 4 0 . 2 i n d i c a t e s t h a t t h e r e a l f r e q u e n c y r i s e s u n i f o r m l y w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r t h r o u g h o u t t h e r a n g e f r o m O t o 2 0 . F i n a l l y , F i g u r e 8 - 2 3 d e m o n s t r a t e s t h a t f o r d i e l e c t r i c c o n s t a n t s i n t h e r a n g e o f 3 3 t o 3 5 t h e l o s s f a c t o r p l a y s n o p a r t i n d e t e r m i n i n g t h e r e a l f r e q u e n c y f o r t h i s m o d e a n d l o a d c o n fi g u r a t i o n . W h i l e t h a t m a y b e t r u e o f t h e r e a l f r e q u e n c y , t h e s a m e c a n n o t b e s a i d o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y . F i g u r e 8 - 2 4 s h o w s t h a t t h e r e i s n o d i e l e c t r i c c o n s t a n t r a n g e f o r w h i c h a c h a n g e i n l o s s f a c t o r d o e s n o t p r o d u c e a c h a n g e i n i m a g i n a r y f r e q u e n c y o r c a v i t y Q . F i g u r e 8 - 2 4 i s o f m u c h i n t e r e s t i n i t s e l f . T h e b e s t m e a n s o f u n d e r s t a n d i n g i t a s a w h o l e i s t o v i e w e a c h s e p a r a t e 6 , " c u r v e i n s u c c e s s i o n . F o r t h e l o s s l e s s e a s e , e , ” = 0 , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s z e r o f o r a l l v a l u e s o f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t « 5 ; . 3 1 1 m m , 3 2 3 . 2 1 3 2 . 7 _ T M 0 1 1 m o d e 6 " C a v i t y , 1 . . d i a . R o d H l o s s l e s s c a s e ' L - 7 7 6 H e " ' = 1 . S — . , C m H 8 u r = 5 , 1 : 2 . 5 - - H a " , = 7 2 : 9 B — E I 8 " , . = 1 0 V H a " , = 2 0 > \ U C ( D 3 U ’ ( D L . L “ - ' \ \ . . _ : \ 8 = § ‘ § ; \ a : 1 . 9 “ ' : ‘ 1 ” \ g g ~ \ " ' \ ~ . \ ~ . \ . u 1 . 7 r I ‘ I T 1 l 0 1 0 2 0 3 0 4 O 5 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 2 3 R e a l f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r m o m m a d e , e " . = l t o 5 0 . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 1 4 T M O H m o d e , ' . 1 6 " C a v i t y . 1 " d i a . R o d 0 ' 4 " L 8 = 7 . 7 6 c m 0 . 3 - ‘ 0 . 2 - 0 . 1 - = = = _ 9 — 0 8 " , . = 1 H C u r = 5 H a " , = 7 H a " , = 1 0 H a " , = 2 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t fi g u r e 8 - 2 4 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t f o r m o m m a d e , e " . = l t o 5 0 . 2 1 5 T h e c u r v e f o r t h i s e a s e , w e r e i t s h o w n i n t h e F i g u r e , w o u l d l i k e a l o n g t h e e , ’ - a x i s . A s i s ; i n c r e a s e s f r o m z e r o t h e c u r v e b e g i n s t o r i s e u p o f f o f t h e e , ’ - a x i s a s s h o w n i n t h e F i g u r e f o r e , " = 1 . A s l o s s f a c t o r c o n t i n u e s t o i n c r e a s e , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i n c r e a s e s , e s p e c i a l l y f o r l o w e r v a l u e s o f e , ’ a s t h e c u r v e s f o r e , ” = 5 a n d 7 d e m o n s t r a t e . I f t h e l o s s f a c t o r c o n t i n u e s t o i n c r e a s e t o 1 0 o r 2 0 t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y c o n t i n u e s t o i n c r e a s e f o r l o a d s w i t h h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t s , b u t f o r l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t l o a d s t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y c o m e s d o w n , i . e . , Q r i s e s . W h a t t h i s m e a n s a s f a r a s m a t e r i a l h e a t i n g i s c o n c e r n e d i s t h a t h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l s a b s o r b i n c r e a s i n g a m o u n t s o f e n e r g y w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r . I t i s t r u e t h a t Q i s l o w e r f o r m a t e r i a l s w i t h l o w e r e , ’ t h a n f o r t h o s e w i t h h i g h e r e , ’ , a t l e a s t f o r t h o s e w i t h e " ! l e s s t h a n 2 0 , b u t a s t h e l o s s f a c t o r o f t h e m a t e r i a l i n c r e a s e s , Q v a l u e s b e g i n t o r i s e i n t h e l o w e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l s w h e r e a s t h e y c o n t i n u e t o d e c r e a s e f o r m a t e r i a l s w i t h h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t . 8 . 3 . 5 F r e q u e n c y a n d F i e l d P a t t e r n V a r i a t i o n w i t h L o a d R a d i u s I n o r d e r t o u n d e r s t a n d m o d e b e h a v i o r i n r e l a t i o n t o c a v i t y a n d l o a d p a r a m e t e r s i t i s u s e f u l t o e x p l o r e f r e q u e n c y v a r i a t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e l o a d r a d i u s . F o r l o s s l e s s a n d l o w l o s s m a t e r i a l s i t i s o f t e n p o s s i b l e t o t r a c e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y m o d e s b a c k t o n e a r b y e m p t y c a v i t y m o d e s a s t h e l o a d r a d i u s v a n i s h e s . S i m i l a r l y , a s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s a n d a p p r o a c h e s t h e c a v i t y r a d i u s , c o a x i a l l y l o a d e d e a v i t y m o d e s a p p r o a c h h o m o g e n e o u s l y l o a d e d , o r m a t e r i a l fi l l e d , c a v i t y m o d e s . T h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s o f t h e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d c a v i t y a r e g i v e n i n C h a p t e r 4 b y E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) . I t m i g h t s e e m r e a s o n a b l e t h a t c o a x i a l l y l o a d e d e a v i t y m o d e s w o u l d a p p r o a c h t h e s a m e e m p t y c a v i t y m o d e f o r v a n i s h i n g l y s m a l l l o a d r a d i i a s t h e y w o u l d h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y m o d e f o r l o a d r a d i i a p p r o a c h i n g t h e c a v i t y r a d i u s . I t i s s h o w n h e r e t h a t t h i s i s n o t a l w a y s t h e c a s e . W h e r e t h e s a m e m o d e i s a p p r o a c h e d i n e i t h e r l i m i t i t s e e m s s a f e t o n a m e t h e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y m o d e w i t h t h e n a m e o f t h e e m p t y o r h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y m o d e s w h i c h i t a p p r o a c h e s . T h i s c h a r a c t e r i s t i c o f c e r t a i n m o d e s f o r a p a r t i c u l a r l o a d m a t e r i a l , w h e r e t h e e m p t y c a v i t y 2 1 6 m o d e s m a y b e t r a c e d t h r o u g h t h e c o a x i a l l y l o a d e d m o d e s t o t h e s a m e h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c a v i t y m o d e s b y i n c r e a s i n g t h e l o a d r a d i u s f r o m z e r o u n t i l t h e l o a d fi l l s t h e c a v i t y , w i l l a p p e a r i n s e v e r a l o f t h e e x a m p l e s t h a t f o l l o w . I t i s t h e r e f o r e c o n v e n i e n t t o a s s i g n t o s u c h m o d e s a d e s i g n a t i o n b y w h i c h t o i d e n t i f y t h e m . W e w i l l r e f e r t o m o d e s w h i c h e x h i b i t t h i s b e h a v i o r a s r a d i a l l y t r a c e a b l e . R a d i a l t r a c e a b i l i t y i s a c h a r a c t e r i s t i c o f a m o d e o n l y f o r a p a r t i c u l a r l o a d m a t e r i a l , a n d p o s s i b l y o n l y f o r a p a r t i c u l a r c a v i t y s i z e . F i g u r e 8 - 2 5 c o n t a i n s a n e x a m p l e o f r a d i a l t r a c e a b i l i t y f o r t h e fi r s t t h r e e T M m o d e s o f t h e 6 " d i a m e t e r c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y f o r a l o s s l e s s l o a d w i t h e , = 9 . T h e c a v i t y l e n g t h i s 1 3 . 8 7 c m . I n t h e F i g u r e t h e m o d e s a r e l a b e l e d T M o n : W 2 : a n d T M 0 3 2 s i n c e a t t h e l i m i t s o f v a n i s h i n g l o a d r a d i u s a n d c a v i t y d i m e n s i o n l o a d r a d i u s t h e m o d e s b e c o m e e m p t y a n d m a t e r i a l fi l l e d T M O I Z , T M O Z Z , a n d T M 0 3 2 m o d e s . F o r t h e l o s s l e s s c a s e , t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y f r e q u e n c y d i f f e r s f r o m t h a t o f t h e e m p t y c a v i t y b y a f a c t o r o f 1 A / e r . W i t h 5 , = 9 t h e e m p t y c a v i t y m o d e f r e q u e n c y i s t h r e e t i m e s t h a t o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a t e r i a l fi l l e d m o d e . T h e e m p t y a n d m a t e r i a l fi l l e d m o d e f r e q u e n c i e s f o r t h e m o d e s o f F i g u r e 8 - 2 5 a r e i n t h i s r a t i o . F o r t h e T M O I Z m o d e s h o w n i n F i g u r e 8 - 2 5 , t h e r e s o n a n t f r e q u e n C y w h e n t h e l o a d r a d i u s i s z e r o i s 2 . 6 3 4 G H z ; t h i s i s t h e e m p t y c a v i t y T M O 1 2 e i g e n f r e q u e n c y f o r a 6 " d i a m e t e r c a v i t y w i t h l e n g t h 1 3 . 8 7 c m . F o r a l o a d r a d i u s o f 7 . 6 2 c m t h e c o a x i a l l y l o a d e d m o d e f r e q u e n c y i s 0 . 8 7 8 1 G H z , t h e s a m e a s t h a t o f a c a v i t y o f t h e s a m e d i m e n s i o n s fi l l e d w i t h a l o s s l e s s d i e l e c t r i c o f e , = 9 . T h e T M m m o d e h a s f r e q u e n c i e s o f 4 . 0 7 7 G H z a n d 1 . 3 5 9 G H z ' a t e i t h e r l i m i t a n d t h e T M 0 3 2 m o d e h a s f r e q u e n c i e s o f 5 . 8 3 4 G H z a n d 1 . 9 4 5 G H z . A d d i n g l o s s t o t h e l o a d m a k e s t h e n a t u r a l f r e q u e n c y c o m p l e x . B o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s m a y t h e n b e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f l o a d r a d i u s . F i g u r e s 8 - 2 6 a n d 8 - 2 7 s h o w t h e r e a l a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s v e r s u s l o a d r a d i u s f o r t h e m o d e s o f F i g u r e 8 - 2 5 w h e n t h e c o m p l e x p e r m i t t i v i t y o f t h e l o a d i s 6 , = 3 - j 0 . 0 3 9 . I n t h i s c a s e , a s f o r t h e l o s s l e s s c a s e w i t h e , = 9 , t h e m o d e s s h o w n a r e r a d i a l l y t r a c e a b l e . S i n c e t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e m o d e s a r e c o m p l e x , b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y m u s t m a t c h t h e a p p r o p r i a t e c o m p o n e n t s o f t h e c o m p l e x ) 2 H C ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 2 1 7 ‘ 3 T M m o d e s ( q = 2 ) L 8 = 1 3 . 8 7 c m , 8 , . = 9 C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m O T I I I I I l T T l I T j ’ i j ' l e e r I T l I ' U ‘ r l i l l r r fi fi t 0 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 2 5 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r l o s s l e s s l o a d , a s , = 9 . ) z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 1 8 T M m o d e s ( q = 2 ) C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m L s = 1 3 . 8 7 c m 8 , . = 3 - j 0 . 0 3 9 1 I I U l I I I l I I U j U I I I I I I l l . . , . . . . O 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 2 6 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r n y l o n l o a d , ( 5 ‘ = 3 - j 0 . 0 3 9 . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 1 9 0 . 0 3 - 1 T M m o d e s ( q = 2 ) ‘ C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m ' L = 1 3 . 8 7 c m . S , T M 0 3 2 , 5 r = 3 — 1 0 . 0 3 9 0 . 0 2 - . 0 2 1 8 9 0 . 0 0 " H . I — l ' I I I I I fi ' I I I I r j I I I I I I I I I I I I I I 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 2 ‘ 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r n y l o n l o a d , 6 = 3 - j 0 . 0 3 9 . m a 2 2 0 f r e q u e n c y o f t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y i n o r d e r f o r t h e m o d e s t o b e c o n s i d e r e d r a d i a l l y t r a c e a b l e . F r o m E q u a t i o n ( 4 - 2 3 ) , t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o m m a d e f o r a 6 " d i a m e t e r c a v i t y o f l e n g t h 1 3 . 8 7 c m i s 1 . 5 2 1 + j 0 . 0 0 9 8 8 5 G H z . F o r t h e m m a n d T M 0 3 2 m o d e s t h e f r e q u e n c i e s a r e 2 . 3 5 4 + j 0 . 0 1 5 3 0 G H z a n d 3 . 3 6 8 + j 0 . 0 2 1 8 9 G H z r e s p e c t i v e l y . A s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 2 6 a n d 8 - 2 7 , b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c i e s o f t h e c o a x i a l l y l o a d e d e a v i t y m o d e s a p p r o a c h t h o s e o f t h e m a t e r i a l fi l l e d m o d e s a s t h e l o a d r a d i u s a p p r o a c h e s t h e c a v i t y r a d i u s . T h e e m p t y c a v i t y f r e q u e n c i e s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h o s e g i v e n a b o v e u n d e r t h e d e s c r i p t i o n o f F i g u r e 8 - 2 5 . _ A n o t h e r f e a t u r e o f F i g u r e 8 - 2 7 i s t h a t t h e r a d i a l o r d e r o f t h e m o d e s i s r e v e a l e d i n t h e o s c i l l a t i o n s o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n o f l o a d r a d i u s . I t m a y b e r o u g h l y o b s e r v e d t h a t t h e r e a r e t h r e e u n d u l a t i o n s i n t h e T M 0 3 2 p l o t , t w o i n t h e T M m p l o t , a n d o n e i n t h e T M 0 1 2 p l o t . T h i s s o r t o f v a r i a t i o n i s a l s o o b s e r v a b l e i n t h e r e a l f r e q u e n c y p l o t s w h e r e t h e r e o c c u r r e g i o n s i n w h i c h t h e r e i s l i t t l e v a r i a t i o n w i t h r a d i u s o r “ fl a t s ” i n t h e p l o t . T h e r a d i a l o r d e r i s s e e n m o r e c l e a r l y i n h i g h e r o r d e r m o d e s o r w i t h l o a d s o f h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d l o s s f a c t o r , a s i s s h o w n i n t h e n e x t F i g u r e . I n c r e a s i n g b o t h t h e l o a d l o s s f a c t o r a n d t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t t o E , = 2 0 - j 8 t h e l o w e r o r d e r T M m o d e s r e m a i n r a d i a l l y t r a c e a b l e a s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 2 8 a n d 8 — 2 9 . F o r t h i s h i g h e r c o m p l e x p e r m i t t i v i t y l o a d t h e f r e q u e n c y v a r i e s m o r e s t r o n g l y w i t h l o a d r a d i u s , e s p e c i a l l y t h e i m a g i n a r y p a r t . H e r e i s a g o o d e x a m p l e t o s h o w h o w t h e c o m p l e x n a t u r e o f t h e f r e q u e n c y i s u s e f u l f o r c o r r e c t l y t r a c i n g t h e m o d e . I f i t a p p e a r s t h a t o n e c o m p o n e n t o f t h e f r e q u e n c y h a s j u m p e d t o a n o t h e r m o d e a s t h e m o d e i s t r a c e d o u t w i t h l o a d r a d i u s , t h e p l o t o f t h e o t h e r c o m p o n e n t m a y b e c o n s u l t e d t o s e e i f i t h a s a l s o c h a n g e d d r a s t i c a l l y a t t h e s a m e p o i n t . I f s o t h e n i t i s l i k e l y t h a t t h e t r a c e h a s j u m p e d f r o m t h e o r i g i n a l m a d e t o a n o t h e r . O n t h e o t h e r h a n d , i f o n e c o m p o n e n t o f t h e f r e q u e n c y d e m o n s t r a t e s g o o d c o n t i n u i t y e v e n t h o u g h t h e o t h e r m a y a p p e a r t o b e d i s c o n t i n u o u s , i t i s l i k e l y t h a t t h e m o d e i s b e i n g t r a c e d c o r r e c t l y . I n o r d e r t o a c c u r a t e l y t r a c e t h e m o d e s e v e n f o r l o s s l e s s m a t e r i a l s , i t m a y p r o v e u s e f u l i n ) z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 2 1 , \ T M m o d e s \ L 3 = 1 3 . 8 7 c m , a , = 2 0 — j 8 C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m O I I I T I I I I I I I I I I I I I r f r f fi I — fi I I I I I I I I r I I I T f T I I O 1 ' 2 3 4 5 6 7 8 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 2 8 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r m o d e r a t e l y l o s s y l o a d , 6 = 2 0 — j 8 . ) z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I T M 0 1 2 2 2 2 T M m o d e s L S = ' 1 3 . 8 7 c m , 5 r = 2 0 - j 8 C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m A / . a . . e s ‘ “ - ‘ . \ ‘ ~ : ‘ - - - - - : - — _ “ r t - ‘ . _ g - - - - - _ “ ~ A - * - - \ ‘ ‘ - - . - : - _ ‘ ‘ - . _ - ‘ . _ - _ - - 7 : ‘ _ - _ _ I l I fi I I r I I I I ' I I I I T j — r T I ' I I I r j I I i I i 2 3 4 5 6 7 8 L o a d R a d i u s ( c m ) I 0 1 F i g u r e 8 - 2 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r m o d e r a t e l y l o s s y l o a d , a ? = 2 0 - j 8 . 2 2 3 c e r t a i n c a s e s t o a d d a t i n y a m o u n t o f l o s s t o i n s u r e t h a t t h e t r a c e b e l o n g s t o a s i n g l e m o d e . T h e h i g h l o a d r a d i u s r a n g e i n F i g u r e 8 - 2 8 d i s p l a y s s i m i l a r r e a l f r e q u e n c y b e h a v i o r t o t h a t o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e c o n d u c t i n g r o d l o a d e d e a v i t y d i s c u s s e d i n C h a p t e r 5 . R e c a l l t h a t t h e c o n d u c t i n g r o d s o l u t i o n d e m o n s t r a t e d a s h a r p d r o p i n r e s o n a n t f r e q u e n c y w i t h i n c r e a s i n g r o d l e n g t h j u s t a s t h e r o d l e n g t h r e a c h e d t h e l e n g t h o f t h e c a v i t y . T h i s w a s a t t r i b u t e d t o t h e i n c r e a s e d c a p a c i t a n c e b e t w e e n t h e e n d o f t h e r o d a n d t h e c a v i t y s h o r t i n g p l a t e . A s i m i l a r , a l t h o u g h l e s s d r a m a t i c , d r o p i n r e a l f r e q u e n c y i s s h o w n i n F i g u r e 8 2 8 a s t h e m a t e r i a l r a d i u s n e a r s t h e e a v i t y r a d i u s . I t i s m o r e p r o n o u n c e d i n t h e l o w e r o r d e r m o d e s . C o m p a r i n g F i g u r e 8 — 2 8 w i t h F i g u r e 8 - 2 6 , t h i s p h e n o m e n o n a p p e a r s o n l y f o r t h e h i g h e r l o s s m a t e r i a l . ' F i g u r e 8 - 2 9 i s a g o o d e x a m p l e t o p o i n t o u t t h a t e v e n r a d i a l l y t r a c e a b l e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y m o d e s m a y n o t b e c o n s i s t e n t l y o r d e r e d r a d i a l l y w i t h t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y . I n o t h e r w o r d s , t h e m a g n i t u d e o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s n o t a l w a y s h i g h e r f o r a h i g h e r o r d e r c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y m o d e . I n F i g u r e 8 - 2 9 , f o r e x a m p l e , a t a l o a d r a d i u s o f 4 c m t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y o f t h e T M 0 3 2 m o d e i s l o w e r t h a n t h a t o f b o t h t h e T M 0 2 2 a n d t h e m a n m o d e s . T h i s i s i n c o n t r a s t t o t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y w h e r e b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y a r e h i g h e r f o r h i g h e r o r d e r m o d e s . 8 . 3 . 6 D i e l e c t r i c C o n fi n e m e n t a n d E x c l u s i o n F i g u r e s 8 - 3 0 a n d 8 - 3 1 r e v e a l s o m e o f t h e m o r e u n u s u a l b e h a v i o r s o f t h e m o d e f r e q u e n c i e s a s a f u n c t i o n o f l o a d r a d i u s . F i g u r e s 8 - 3 0 a n d 8 - 3 1 s h o w t h e f r e q u e n c y m o d e p a t h s w h i c h e m a n a t e f r o m t h e e m p t y a n d m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e T M 0 1 2 m o d e f o r a l o a d m a t e r i a l o f c o m p l e x r e l a t i v e p e r m i t t i v i t y E , = 1 0 - j 3 0 . T h e a r r o w s i n F i g u r e 8 - 3 0 i n d i c a t e t h e e m p t y a n d m a t e r i a l fi l l e d m o d e s t o w h i c h t h e r e a l f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d f o r l o a d r a d i i o f z e r o a n d 7 . 6 2 c m ( t h e c a v i t y r a d i u s ) . A s s h o w n i n F i g u r e 8 - 3 0 t h e m o d e e m a n a t i n g f r o m t h e e m p t y c a v i t y m o m m a d e , m o d e B , e x h i b i t s a f r e q u e n c y r i s e f r o m t h e e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y a s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s f r o m z e r o , g r o w i n g f a s t e r a s t h e l o a d 2 2 4 1 5 - . T M m o d e s ( q = 2 ) 4 C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 ” I Q ' . L 5 = 1 3 . 8 7 c m . e = 1 0 - ° 3 0 8 1 0 - r J > \ . o Q C ) . D . m o d e 8 . 8 L ‘ T M L i . 5 _ 0 1 2 B . a ) D C . A m o d e A k 0 | ' l " I l ' r ' l ‘ I " ' r ‘ r O 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 3 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h l y l o s s y l o a d , 3 = 1 0 - j 3 0 . ) z H G ( y c n e u q . : I e 4 r F y r a n i g a m I 2 2 5 T M m o d e s ( q = 2 ) C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 L 8 = 1 3 . 8 7 c m 8 r = 1 0 - j 3 0 I I I I I I I v I — r I I I I I O 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) m - i F i g u r e 8 - 3 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h l y l o s s y l o a d , 6 = 1 0 — j 3 0 . 2 2 6 r a d i u s d r a w s n e a r t h a t o f t h e c a v i t y . A t t h e s a m e t i m e m a d e A , w h i c h a p p r o a c h e s t h e m a t e r i a l fi l l e d m o m m a d e f o r l o a d r a d i u s a p p r o a c h i n g e a v i t y r a d i u s , i s t r a c e d b a c k w i t h d e c r e a s i n g l o a d r a d i u s t o a m u c h h i g h e r o r d e r e m p t y c a v i t y m o d e . C l e a r l y , t h e s e m o d e s a r e n o t r a d i a l l y t r a c e a b l e a s d e fi n e d a b o v e . T h e f r e q u e n c y b e h a v i o r o f m o d e s A a n d B w i l l b e s e e n l a t e r o n i n t h e T E a n d H E M m o d e s , s o i t i s c o n v e n i e n t t o a t t a c h a n a m e t o t h e s e s o r t s o f m o d e s i n o r d e r t o r e f e r t o t h e m m o r e c o n c i s e l y . T h e r a p i d l y r i s i n g f r e q u e n c y b e h a v i o r o f m o d e A f o r d e c r e a s i n g l o a d r a d i u s i n t h e l o w r a d i u s r a n g e w i l l b e r e f e r r e d t o a s d i e l e c t r i c c o n fi n e m e n t . T h e r a p i d l y r i s i n g r e a l a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c y b e h a v i o r o f m o d e B f o r i n c r e a s i n g l o a d r a d i u s i n t h e h i g h r a d i u s r a n g e w i l l b e r e f e r r e d t o a s d i e l e c t r i c e x c l u s i o n . A s w i l l b e s h o w n b e l o w , t h e s e n a m e s r e f e r t o t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e fi e l d s r e l a t i v e t o t h e l o a d m a t e r i a l . T h e fi e l d s o f t h e d i e l e c t r i c c o n fi n e d m o d e s t e n d t o b e c o n c e n t r a t e d i n a n d a r o u n d t h e l o a d m a t e r i a l i n t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e o f t h e m o d e . C o n v e r s e l y , t h e fi e l d s o f t h e d i e l e c t r i c e x c l u d e d m o d e s i n t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e t e n d t o b e e x c l u d e d f r o m t h e l o a d , b e i n g c o n c e n t r a t e d i n t h e r e g i o n b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e c a v i t y w a l l s . I n t h e l o w f r e q u e n c y r a n g e o f t h e m o d e s t h e s e q u a l i t a t i v e d e s c r i p t i o n s m a y n o t c h a r a c t e r i z e t h e e x i s t i n g fi e l d d i s t r i b u t i o n , b u t t h e n a m e s d i e l e c t r i c c o n fi n e d a n d d i e l e c t r i c e x c l u d e d w i l l b e a p p l i e d t o t h e m o d e f o r a l l v a l u e s o f l o a d r a d i u s . I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h e Q ’ s o f t h e s e m o d e s a r e e x t r e m e l y l o w . U s i n g t h e f o r m u l a o f E q u a t i o n ( 8 - 2 ) , a l t h o u g h i t i s n o t s t r i c t l y a p p l i c a b l e f o r s u c h l o w Q v a l u e s , y i e l d s a Q o f a p p r o x i m a t e l y 1 f o r m o d e A a t a l o a d r a d i u s o f 2 c m , a n d n o t m u c h h i g h e r f o r a n y o t h e r l o a d r a d i u s . M o d e B h a s h i g h e r Q ’ s , e s p e c i a l l y f o r v e r y s m a l l l o a d r a d i i , b u t i t r a p i d l y d e c r e a s e s a s t h e l o a d r a d i u s g o e s u p , b e i n g a p p r o x i m a t e l y 1 3 f o r a l o a d r a d i u s o f 2 c m . F o r l a r g e l o a d r a d i i , t h e r e a l f r e q u e n c y o f M o d e B b e g i n s t o o u t s t r i p t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y s o t h a t t h e Q r i s e s , b u t i t i s s t i l l q u i t e l o w . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e n a t u r e o f t h e s e m o d e s i t i s h e l p f u l t o e x a m i n e t h e i r fi e l d d i s t r i b u t i o n s . F i g u r e s 8 - 3 2 t h r o u g h 8 4 2 c o n t a i n p l o t s o f t h e m a g n i t u d e s o f t h e a x i a l a n d r a d i a l c o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r i c fi e l d a t s e v e r a l d i f f e r e n t l o a d r a d i i f o r e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A 0 . 0 0 1 2 e 2 2 7 T M O p Z m o d e A f = . 4 3 0 0 + j . 2 6 0 7 ( G H z ) " l o a d b o u n d a r y — t > 0 . 0 0 0 8 — . . C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ° ° ° o L o a d r a d . = 7 . 5 7 c m 0 . 0 0 0 4 e C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 5 r = 1 0 - j 3 0 0 . 0 0 0 0 4 I , . , . , . I . , fi 0 1 2 3 4 5 6 7 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) m . . . F i g u r e 8 - 3 2 . A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 7 . 5 7 c m . 0 ' 0 2 0 : l o a d b o u n d a r y — t > g . 3 . 4 . : ‘ E 0 . 0 1 6 - m . 1 o ‘ 1 2 I ! g 0 . 0 1 2 - T . - ~ M m o d e A u . 0 p 2 . o . f = . 4 3 0 0 + 1 . 2 6 0 7 ( G H z ) ' 5 0 . 0 0 8 - C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m E - L o a d r a d . = 7 . 5 7 c m L : ‘ C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 2 % 0 ' 0 0 4 ' . e r = 1 0 — j 3 0 o . m - I 0 . 0 0 0 4 W . T , . , ' I ' T 1 2 3 4 5 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) r 6 \ I — F i g u r e 8 — 3 3 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 7 . 5 7 c m . e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 1 1 1 8 5 4 2 O - . . - . . . D 4 2 0 0 0 0 0 E 5 E E 5 E E 5 - ’ - - — - - - F 0 0 O 0 0 0 0 O 3 3 3 4 4 4 4 O ‘ - - - ‘ - - ‘ - - 2 O r m y — z ) t e d ) o l o = l m 0 ' j = . a o . d ' 7 d a e 1 . d I 2 7 5 u n d a b o A 6 . 0 5 3 J 6 7 7 3 2 . n 8 e ( c G m c m l e 7 g c ° ' H 6 c I > t 1 7 I o ° ° , ° 0 0 . ° ° ° . ° ° ° 0 ° 0 0 0 ° ° ° ° o . ) : ? 0 0 0 ° I 1 . I 2 . N 4 a a . y o C i t L t a 2 d + t r d p = I g a i . a h e d 1 0 0 y n r 3 L w d 8 0 e . t ' u t o - s 4 f c ( a d = v a I 3 2 2 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 3 4 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e ( l o a d o n l y ) : T M O p Z m o d e A , l o a d r a d i u s 7 . 5 7 c m . e d u t i n g a M d l e i F 0 . OS c i r t c e l E l a i d a R 2 2 9 0 0 0 4 - l o a d b o u n d a r y — — t > a ) g ‘ T M O p Z m o d e A 4 . ) " ' f = . 5 1 3 8 + ' . 5 H g 0 . 0 0 3 : . j 3 8 5 ( G 2 ) o C a v r t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 2 . o C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m ' 0 0 . , B ° a ° L o a d r a d . = 6 . 5 3 c m ° _ 0 L B 0 0 0 2 ? ° o ° a , = 1 0 - j 3 0 . 9 ” 0 0 b ‘ ° . , 0 § 1 . e r l 0 . 0 0 1 ~ . ° . , / ° . — 0 ° 0 ° 0 g - 0 % 0 ° 0 0 0 0 0 < 0 0 ° ° ° 0 ° 0 ° 0 0 0 ° 0 0 0 0 0 I i I I I I I { w I l I I f ? g l O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 3 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . 0 ' 0 0 4 ‘ l o a d b o u n d a r y — > T M O p Z m o d e A 0 f = . 5 1 3 8 + j . 3 5 8 5 ( G H z ) ° o . C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 6 . 5 3 c m \ C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m e r = 1 0 - j 3 0 0 . 0 0 3 — 0 . 0 0 0 . , . . . T . , . 1 0 1 2 3 4 5 I I I 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 3 6 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O p Z m o d e A , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . 2 3 0 0 . 0 0 6 1 0 ) . m q ‘ b 0 T M O p Z m o d e A R ° ° a f = . 7 3 5 9 + ' . 5 0 9 4 C H 2 3 0 . 0 0 5 - . 0 . l ( ) ' E o C a v r t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ‘ o 8 ’ o C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 2 0 . 0 0 4 - 0 ° ° L o a d r a d . = 4 c m ' 0 . E ° o 8 , . = 1 0 — j . 3 0 ' L E 0 0 0 3 - o o . ° j < — _ — l o a d b o u n d a r y 3 ° . f 0 0 0 . 0 0 2 - , 0 ° . 2 0 0 0 ° L r J . o o E 0 . 0 0 1 4 ° . , ° X o o < ( T o o O O ( p 0 . 0 0 0 a , , . , fl I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 3 7 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 4 c m . 0 . 0 0 4 1 < ' — — l o a d b o u n d a r y ( 1 ) T M O p Z m o d e A 3 ' f = . 7 3 5 9 + j . 5 0 9 4 ( C H z ) 0 H g 0 . 0 0 3 “ C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m ° ° ° 2 ° L o a d r a d . = 4 c m 0 ° . 0 - C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m " a 0 3 . 3 . e = 1 0 — j 3 0 ° ° “ - 0 . 0 0 2 - r ° ° o o 0 0 0 E ° o 8 ‘ A - 0 ° 0 0 “ J 0 0 0 1 - 0 0 ° ° ° . ° _ o o . 9 0 ° 0 ° ' C . 0 ° 0 ° C o O a : o n ° ° a 0 - 0 0 0 0 T I r I r f . c f I T j I ' I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 3 8 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 4 c m . e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A l — d 0 . 0 0 6 - 0 . 0 0 4 ~ 0 . 0 0 2 - 2 3 1 < — l o a d b o u n d a r y T M O p Z m o d e A f = 1 . 4 0 6 + j . 9 0 7 6 ( C H 2 ) C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r o d . 2 c m C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 8 , . = 1 0 — j 3 0 0 . 0 0 0 1 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 3 9 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 2 c m . < r — l o a d b o u n d a r y D O o T M O P Z m o d e A ° ° f = 1 . 4 0 6 + j . 9 0 7 6 ( G H z ) 0 0 C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r o d . 2 c m 0 ° C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 0 ° e r = 1 0 — j 3 0 0 - 0 1 0 7 Q ) . 0 . 3 . ‘ t : c 0 . 0 0 8 - 0 1 o . 2 2 0 . 0 0 6 - . 2 L L . . . 2 : 5 0 . 0 0 4 - 0 . 9 . L I J E 0 . 0 0 2 - . 0 O a C 1 1 0 . 0 0 0 . r . 2 3 4 5 6 I ' I I I V — m — R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 0 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 2 c m . 2 3 2 0 . 0 6 — 0 . < — - l o a d b o u n d a r y ' 0 1 3 0 . 0 5 - ' E . g 0 0 4 - T M O P Z m o d e A 5 ' f = 5 . 4 8 4 + j 3 . 6 0 6 ( G H z ) ' 0 . 7 . 3 " C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 0 . 5 2 4 c m L " 0 ' 0 3 - C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m a n t — l o 0 . 0 2 - 2 a L e t E 0 . 0 1 4 x < . 0 . 0 0 ” , . , . , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 1 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e A , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . 0 ‘ 0 1 0 ‘ < — l o a d b o u n d a r y a ) U 0 D : t ’ a 0 . 0 0 8 1 \ T M O p Z m o d e A g ' f = 5 . 4 8 4 + j 3 . 6 0 6 ( G H z ) P . 0 . 0 0 6 - C a v r t y r a d . 7 . 6 2 c m . L o a d r a d . 0 . 5 2 4 c m . E C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 2 8 , - = 1 0 - j 3 0 3 : 0 . 0 0 4 - \ o . 1 ) . L I J E 0 . 0 0 2 - . 0 0 O : 0 . 0 0 0 4 f ' I 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 2 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e A , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . 2 3 3 m a d e A , r e f e r r i n g t o F i g u r e 8 - 3 0 . F i g u r e s 8 - 4 3 t h r o u g h 8 - 5 4 a r e s i m i l a r p l o t s f o r m o d e B . E x a m i n i n g t h e fi e l d s t r u c t u r e i n a p r o g r e s s i v e o r d e r w i t h i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g l o a d r a d i u s p r o v i d e s i n s i g h t i n t o f r e q u e n c y b e h a v i o r a s a f u n c t i o n o f l o a d r a d i u s . R e f e r r i n g t o F i g u r e 8 - 3 0 , m o d e A b e c o m e s t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y T M 0 1 2 m o d e w h e n t h e l o a d r a d i u s i s e q u a l t o t h a t o f t h e c a v i t y r a d i u s . F i g u r e 8 - 3 2 s h o w s t h e a x i a l fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y w h e n t h e l o a d n e a r l y fi l l s t h e e a v i t y , b e i n g 0 . 5 m m f r o m t h e 6 " d i a m e t e r c a v i t y w a l l . E v e n f o r t h i s s l i g h t p e r t u r b a t i o n f r o m t h e m a t e r i a l fi l l e d c a s e i t i s e v i d e n t t h a t t h e a x i a l fi e l d p a t t e r n i s s o m e w h a t d i f f e r e n t f r o m t h e f a m i l i a r T M m z p a t t e r n w h e r e t h e a x i a l fi e l d m a g n i t u d e f a l l s u n i f o r m l y w i t h t h e r a d i a l c o o r d i n a t e t o z e r o , f o r m i n g a q u a r t e r - p e r i o d B e s s e l f u n c t i o n p a t t e r n ( c o m p a r e F i g u r e 8 - 4 3 ) . T h e fi e l d p a t t e r n o f F i g u r e 8 - 3 2 i s s i m i l a r t o t h e m a t e r i a l fi l l e d T M O I Z p a t t e r n n e a r t h e c a v i t y c e n t e r , b u t n e a r t h e w a l l t h e m a g n i t u d e t u r n s u p j u s t i n s i d e t h e l o a d b o u n d a r y . S i n c e t h e a x i a l fi e l d i s c o n t i n u o u s a n d i s a l s o z e r o a t t h e c a v i t y w a l l t h e r e i s a v e r y s h a r p d r o p i n t h e a x i a l fi e l d i n t h e s h o r t d i s t a n c e b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e w a l l . F i g u r e s 8 - 3 3 a n d 8 - 3 4 s h o w t h e r a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e s a m e m o d e . D u e t o t h e s h a r p r i s e i n t h e d i s c o n t i n u o u s r a d i a l fi e l d a t t h e l o a d b o u n d a r y F i g u r e 8 - 3 3 i s d i f fi c u l t t o r e c o g n i z e a s a c l o s e r e l a t i v e o f t h e r a d i a l fi e l d o f t h e T M m z m a d e . H o w e v e r , t h e r a d i a l fi e l d i n s i d e t h e l o a d a l o n e , s h o w n i n F i g u r e 8 - 3 4 , s h o w s t h a t t h e c o a x i a l l y l o a d e d r a d i a l fi e l d a p p e a r s a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e r a d i a l fi e l d o f t h e m a t e r i a l fi l l e d T M 0 1 2 m o d e w i t h a m a x i m u m a p p r o x i m a t e l y 2 / 3 a l o n g t h e r a d i u s f r o m t h e c e n t e r t o t h e c a v i t y w a l l . T h e s e F i g u r e s , 8 - 3 2 t h r o u g h 8 — 3 4 , a r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e fi e l d s t r u c t u r e o f m o d e A i s i n f a c t s i m i l a r t o t h a t o f t h e m a t e r i a l fi l l e d m o m m a d e . T h i s i s n e c e s s a r y b e c a u s e a s t h e l o a d r a d i u s b e c o m e s s m a l l e r , p u l l i n g t h e l o a d m a t e r i a l f a r t h e r a w a y f r o m t h e c a v i t y w a l l , t h e fi e l d p a t t e r n s b e g i n t o l o o k v e r y d i f f e r e n t f r o m t h e m a t e r i a l fi l l e d m a n m a d e fi e l d p a t t e r n s . F i g u r e s 8 - 3 5 t h r o u g h 8 4 2 s h o w t h e fi e l d m a g n i t u d e s f o r l o a d r a d i i o f 6 . 5 3 c m , 4 c m , 2 c m , a n d 0 . 5 2 4 c m s u c c e s s i v e l y . I n t h e s e F i g u r e s t h e a x i a l fi e l d m a g n i t u d e i s s e e n t o d i s p l a y a d o u b l e h a l f - l o b e d 2 3 4 a p p e a r a n c e w h i c h i s n o r m a l l y a s s o c i a t e d w i t h m o d e s o f s e c o n d r a d i a l o r d e r . T h e s e p l o t s d e m o n s t r a t e t h r e e t h i n g s . F i r s t o f a l l , t h e y s h o w b y t h e i r s i m i l a r s h a p e s t h a t t h e r e i s g o o d r e a s o n t o c l a s s i f y a l l o f t h e s e r e s o n a n c e s a s b e l o n g i n g t o a c o m m o n m o d e , m o d e A a s i t i s r e f e r r e d t o i n F i g u r e 8 - 3 0 . S e c o n d , t h e y d e m o n s t r a t e t h a t a n a p p r e c i a b l e a m o u n t o f t h e fi e l d r e m a i n s i n s i d e t h e l o a d m a t e r i a l a s t h e l o a d g r o w s s m a l l e r i n r a d i u s . F u r t h e r m o r e t h e d o u b l e h a l f - l o b e p a t t e r n o f t h e a x i a l fi e l d e x i s t s w i t h i n t h e l o a d m a t e r i a l , e v e n f o r s m a l l l o a d r a d i i . T h i s fi e l d o s c i l l a t i o n w i t h i n t h e l o a d m a t e r i a l a c c o u n t s f o r t h e h i g h f r e q u e n c y o f t h i s m o d e f o r s m a l l l o a d r a d i i s i n c e t h e l o a d b o u n d a r y b e h a v e s a s a r e fl e c t o r f o r t h e fi e l d s i n s i d e t h e m a t e r i a l . T h i r d , t h e F i g u r e s s h o w t h a t t h e fi e l d b e c o m e s m o r e a n d m o r e a x i a l f o r m o d e A a s t h e l o a d r a d i u s d e c r e a s e s . W h e n t h e l o a d n e a r l y fi l l s t h e c a v i t y t h e a v e r a g e r a d i a l a n d a x i a l c o n t r i b u t i o n s t o t h e fi e l d a r e c o m p a r a b l e . W h e n t h e l o a d r a d i u s i s . 5 2 4 c m t h e a x i a l c o n t r i b u t i o n i s a p p r o x i m a t e l y t w i c e t h e r a d i a l c o n t r i b u t i o n i n t h e r e g i o n o u t s i d e t h e l o a d . I n s i d e t h e l o a d t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d i s a p p r o x i m a t e l y 1 8 t i m e s t h a t o f t h e r a d i a l e l e c t r i c fi e l d . I n c i d e n t a l l y , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t i t w o u l d b e d i f fi c u l t t o c o u p l e t o m o d e A t h r o u g h t h e s i d e o f t h e c a v i t y w h e n t h e l o a d r a d i u s i s s m a l l . T h e c o u p l i n g p r o b e w o u l d h a v e t o e x t e n d q u i t e f a r i n t o t h e c a v i t y . A p r o b e i n s e r t e d t h r o u g h t h e e n d o f t h e c a v i t y n e a r t h e l o a d w o u l d b e b e s t . T h i s i s t r u e f o r t w o r e a s o n s : 1 ) t h e fi e l d m a g n i t u d e i s l o w o u t s i d e a n d a w a y f r o m t h e l o a d , 2 ) t h e d i r e c t i o n o f t h e fi e l d i s p r i m a r i l y a x i a l . S i m i l a r k i n d s o f i n f o r m a t i o n m a y b e g a t h e r e d f r o m t h e fi e l d p a t t e r n p l o t s f o r m o d e B . F i g u r e s 8 4 3 a n d 8 - 4 4 c o n t a i n p l o t s o f t h e a x i a l a n d r a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e s f o r a l o a d r a d i u s o f 0 . 0 4 7 7 2 c m , a fi l a m e n t o f l e s s t h a n 1 m m d i a m e t e r . I t m i g h t b e e x p e c t e d t h a t t h e i n t r o d u c t i o n o f t h i s fi l a m e n t w o u l d p r o d u c e m o r e o f a c h a n g e i n t h e p a t t e r n o f t h e a x i a l fi e l d t h a n i n t h e r a d i a l fi e l d s i n c e t h e l o s s f a c t o r i s f a i r l y l a r g e , e , " = 3 0 , a n d t h e l o a d l i e s p a r a l l e l t o t h e a x i a l fi e l d . I n f a c t , F i g u r e s 8 4 3 a n d 8 4 4 s h o w t h a t t h i s i s n o t t h e c a s e . T h e a x i a l fi e l d p a t t e r n i s e s s e n t i a l l y t h a t o f t h e e m p t y c a v i t y T M O I Z a x i a l fi e l d . M o r e o v e r , t h e o v e r a l l m a g n i t u d e o f t h e a x i a l e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 0 . 0 2 0 - 2 3 5 < — — l o a d b o u n d a r y . . . . . . C g . O . . . . . 0 o O o o o o O c o o T M O p Z m o d e 8 f = 2 . 6 3 4 + j . 0 0 1 8 9 ( G H z ) C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 0 . 0 4 7 7 C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m e r = 1 0 — j 3 0 I ' I O 1 2 3 4 1 7 I I I I r I I I 5 m g I I 6 7 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 3 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 0 4 7 7 c m . 0 . 0 1 6 1 < _ _ 1 0 0 d b o u n d a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . 0 1 2 - 0 0 0 0 0 0 ° 0 0 0 . 0 0 8 - . ° ° ° ° ’ ° ° o ° ° T M O p Z m o d e 8 0 0 ° f = 2 . 6 3 4 + j . 0 0 1 8 9 ( C H 2 ) 0 . 0 0 4 - 0 0 ° C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 0 . 0 4 7 7 c m 0 ° ° ° ° C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ‘ 5 9 ° a , = 1 0 — j 3 0 0 . 0 0 0 t T r I . I f I . I . I I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 4 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 0 4 7 7 c m . e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i x A e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 2 3 6 . < I — l o a d b o u n d a r y ' 0 . 0 ' 0 ‘ a a a . . . a a O c o o o o T M O p Z m o d e 8 f = 2 . 6 3 0 + j . 0 1 7 6 1 ( C H 2 ) C a v i t y r a d . 7 . 6 2 ’ c m , L o a d r a d . 0 . 1 4 3 c m - . C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m e r = 1 0 — j 3 0 I ' l ' l , . 2 3 4 5 6 V ‘ 0 0 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : ' I ‘ M o p z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 1 4 3 c m . 0 . 0 2 0 - 0 . 0 1 6 - 0 . 0 1 2 - 0 . 0 0 8 - 0 < — l o a d b o u n d a r y T M O p Z m o d e 8 f = 2 . 6 3 0 + j . 0 1 7 6 1 ( G H Z ) C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 0 . 1 4 3 c m C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 5 r = 1 0 - j 3 0 ' ' I f F T I ' I 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 — 4 6 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 1 4 3 c m . 2 3 7 0 . 0 2 0 3 ° 6 0 < I - — l o a d b o u n d a r y i t ) ' 0 . 3 : 1 0 . 0 1 6 - C . o r o 2 . : 9 0 . 0 1 2 - . 9 ‘ L I . : 5 0 . 0 0 8 - m 0 p 2 m o d e B 0 0 0 0 : 6 ‘ f = 2 . 8 4 1 + j . 1 7 7 3 ( G H z ) ° ° . ° ° t r J 4 j C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 0 . 5 2 4 c m ° a ° : 3 0 ' 0 0 . C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ° ° ° x O < . 2 , = 1 0 - j 3 0 ° < > . , o ' 1 O 0 . 0 0 0 T r I I I fi I l I r I f ' 0 ‘ I O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 4 7 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . 0 ' 0 7 " < — l o a d b o u n d a r y 8 ‘ i 3 0 . 0 6 — : ‘ 1 8 ‘ ‘ o T M O p Z m o d e 8 2 0 0 . 0 5 - o f = 2 . 8 4 1 + j . 1 7 7 3 ( G H z ) . 0 ‘ o C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m , L o a d r a d . 0 . 5 2 4 c m E 0 ' 0 4 - ° C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ‘ ° = 1 0 — ' 3 0 0 ° 8 1 ’ J E 0 . 0 3 — 0 . . 0 E D 0 . 0 2 4 E a t ' 8 0 . 0 1 - c r . 0 . 0 0 1 m r f j fi ’ I ' I f I ' I I l O 1 2 3 4 5 6 7 8 F i g u r e s - 4 8 R a d i a l R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 0 . 5 2 4 c m . 2 3 8 0 ' 8 7 < I — — — l o a d b o u n d a r y i n ' 0 A : 3 I t : ‘ 0 ° 0 g 3 0 ’ 6 — 0 0 ° 0 0 0 C . 0 ° 0 0 ° 2 ‘ 0 ° 0 0 ' 0 0 ° 0 0 E . ) . 0 ° ° ° ° L ' - 0 ' 4 — 0 ° T M O p Z m a d e B ° ° E i f = 3 . 2 9 3 + j . 1 3 0 0 ( G H z ) 0 " . 0 g . 0 ° C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 0 ° . I I I 0 . 2 - ° ° . C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m ° . ° . 5 . ' ° ° ° L o a d r a d . 2 c m ° ° x . 1 0 0 . 0 ° < 1 : . p o ° 3 r = 1 0 — j 3 0 0 0 t 0 . 0 . , . e , . T . , . , 2 , 3 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 — 4 9 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O p Z m o d e B , l o a d r a d i u s 2 c m . 1 . 0 - . 8 4 0 T M O D Z m o d e 8 3 ° ° f = 3 . 2 9 3 + j . 1 3 0 0 ( C H 2 ) E 0 - 8 “ ° C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 0 0 g ° ° C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 3 2 0 . 6 4 0 0 L o a d r o d . 2 c m 2 ° ° e r = 1 0 — j 3 0 L L . 4 o . 9 ° o b 0 . 4 1 0 ° 0 0 o 0 o c o m - l 0 0 0 0 ° _ . ° ° 0 ° . 9 0 ' 2 - o o ° ° ° 1 3 ° . . ° ° “ r ‘ I a b ” i f Q — 0 0 0 U ” O O - O ‘ W ’ ' I 1 I ' r y I f I “ r I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 0 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 2 c m . ’ s 2 E . L ' L : 2 ' . a % 0 0 0 L L ) . ] 1 2 5 5 2 0 1 0 0 0 6 8 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ‘ — - - - ‘ . 4 o l o T i a , f C a = v 4 . y o v r C . t a L 8 1 M a d 5 L t . 4 d e 1 y O = b Z a 2 n D g r r a o + t d 1 d h . 0 d a . . d o — — 7 = u n m j . 2 3 2 3 . c y 9 2 r 6 4 1 j e 1 W — 8 m 8 7 c 0 3 1 ° . > m z ) — ( G H c 7 m 9 ° 0 ° 0 0 0 0 0 ° ° 1 5 ° o ° ° ° 0 a . ° f 6 4 4 o 0 0 0 f ” 0 ° ° 0 ° 5 ’ ° ° 0 T fl I 7 I 8 2 3 9 1 6 0 0 1 ( D . T M O p Z m o d e 8 g f = 4 . 5 1 2 + j . 1 9 2 7 ( G H Z ) o m o E 1 2 0 0 — C a v i t y L e n g t h = 1 3 ° 8 7 c m 0 0 0 ° ° ° o 8 ‘ . C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 0 0 ° ° 2 . L o a d r a d . = 4 c m 0 0 c o . 0 6 ~ g , = 1 0 - j 3 0 , ° ° , L : 8 0 0 — ° ° 0 ‘ o o a : 0 O * 5 l o a d b o u n d a r y — — > o 2 1 ° ° m 4 0 0 - ° 0 _ . t i ° . 2 ° ° 1 0 0 4 M T T I , ° I O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 1 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M o p z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 2 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O p Z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . . , o » 5 o % . 6 ] L X “ 3 ' 2 3 a 8 : L E < 5 4 3 2 ( 1 5 E E E 5 E 5 + + + 1 + - 2 + 2 2 2 2 2 e 2 2 2 O 2 - r - - 7 1 — 1 ‘ o a H r z c m l j m o o = 6 7 - u n ( 7 m m o 8 8 c 8 c 0 d . a . . ' d 6 5 6 2 2 3 e 1 j b 6 3 . 3 I 4 d G ' y ) T 5 3 e y 7 g p r r 2 + t a a 9 n 0 = h . . 0 d d 1 1 3 f C a = v 1 y v o T 3 i a , 5 M d L . t . i C t a L r T I 1 I 2 — — — I > I J 5 ' r I 7 I 8 e d u t i n g a M d l e i F c i r t c e l E l a i d a R 0 d 0 . 0 w 1 , 1 2 2 m 3 , T , 4 — £ n 5 _ 6 1 _ _ . _ _ 1 2 4 0 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 3 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . 1 ' O E + 2 2 _ l o a d b o u n d a r y — — { > ‘ l 8 . 0 E + 2 1 — 1 f T M O p Z m o d e 8 [ 6 . 0 E + 2 1 - f = 1 3 . 3 9 + I . 6 2 6 8 ( C H 2 ) C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 4 . 0 E + 2 1 — L o a d r a d . 6 . 5 3 c m 8 r = 1 0 - j 3 0 d . l 2 . 0 E + 2 1 - R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 4 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e : T M O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 . 5 3 c m . 2 4 1 fi e l d i s n o t d i m i n i s h e d r e l a t i v e t o t h e r a d i a l fi e l d m a g n i t u d e b u t r e m a i n s i n a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e a v e r a g e p r o p o r t i o n t o t h e r a d i a l fi e l d a s f o r t h e e m p t y c a v i t y c a s e . T h e r a d i a l fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e m o d e d o e s e x h i b i t a s o m e w h a t d i f f e r e n t s h a p e t h a n t h e e m p t y e a v i t y T M O I Z m o d e r a d i a l fi e l d i n t h e v i c i n i t y o f t h e l o a d . T h i s i s d u e t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e r a d i a l e l e c t r i c fi e l d w h i c h m a n d a t e s t h a t t h e r a d i a l fi e l d b e d i s c o n t i n u o u s a t t h e l o a d b o u n d a r y i n a p r o p o r t i o n r e l a t e d t o t h e c o m p l e x p e r m i t t i v i t y , w h i c h i s s u b s t a n t i a l i n t h i s c a s e . N e v e r t h e l e s s , i n t h e g r e a t e r p o r t i o n o f t h e c a v i t y t h e s h a p e o f t h e r a d i a l fi e l d i s e s s e n t i a l l y t h a t o f t h e e m p t y e a v i t y T M 0 1 2 - m ° d e ° . E v e n t h o u g h t h e fi e l d p a t t e r n s a r e n o t g r e a t l y p e r t u r b e d f r o m t h e e m p t y e a v i t y fi e l d p a t t e r n s , a n d a l t h o u g h t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y ( c l o s e l y a p p r o x i m a t e d b y t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y ) i s n e a r l y t h e s a m e a s t h e e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i n d i c a t e s t h a t t h e m a t e r i a l i s a b s o r b i n g a l a r g e p e r c e n t a g e o f t h e i n p u t e n e r g y . T h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y , a s i n d i c a t e d i n F i g u r e s 8 4 3 a n d 8 - 4 4 , i s 0 . 0 0 1 8 9 G H z . W i t h t h e r e a l f r e q u e n c y a t 2 . 6 3 4 G H z t h i s t r a n s l a t e s i n t o a Q f a c t o r v a l u e o f 6 9 7 . W e r e f e r t o t h i s Q , d e r i v e d f r o m m a t e r i a l l o s s e s a l o n e , a s Q m . O f c o u r s e , w h e n t h e c a v i t y w a l l s a r e m o d e l e d a s p e r f e c t c o n d u c t o r s , a l l o f t h e i n p u t e n e r g y m u s t b e d i s s i p a t e d i n t h e l o s s y l o a d m a t e r i a l . H o w e v e r , b y i n c l u d i n g a fi n i t e w a l l c o n d u c t i v i t y i n t h e m o d e l a s a p e r t u r b a t i o n l o s s e s i n t h e c a v i t y w a l l s m a y b e c o m p u t e d . I t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t a n e m p t y b r a s s c a v i t y o f t h e s a m e d i m e n s i o n s a s t h e c o a x i a l c a v i t y o f F i g u r e s 8 4 3 a n d 8 - 4 4 h a s a q u a l i t y f a c t o r , c a l l e d Q o f o r t h e e m p t y c a v i t y , o f 1 4 , 7 0 0 . S i n c e t h e e l e c t r i c fi e l d s f o r t h e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y o f F i g u r e s 8 — 4 3 a n d 8 - 4 4 a r e e s s e n t i a l l y t h e s a m e a t t h e c a v i t y w a l l a s t h e e m p t y c a v i t y fi e l d s t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e c a v i t y Q f r o m t h e w a l l l o s s e s , Q w , i s g i v e n b y Q w a s 1 4 , 7 0 0 . T h e Q o f t h e c a v i t y s y s t e m , Q " , i n c l u d i n g b o t h w a l l l o s s e s a n d l o s s e s i n t h e l o a d m a t e r i a l , i s g i v e n b y 2 4 2 l l l — = — — + — — . 8 - 4 0 . . Q . . . a . . . ( ) W i t h Q m = 6 9 7 a n d Q , = 1 4 , 7 0 0 t h e c o n t r i b u t i o n t o Q “ f r o m t h e w a l l l o s s e s i s a l m o s t n e g l i g i b l e g i v i n g Q u = 6 6 5 . F o r t h i s v a l u e o f t h e s y s t e m q u a l i t y f a c t o r , a n d u s i n g t h e f a c t t h a t t h e fi e l d s a t t h e c a v i t y w a l l s a r e s i m i l a r t o t h e e m p t y c a v i t y fi e l d s , t h e m a t e r i a l c o u p l i n g e f fi c i e n c y m a y b e d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n 4 E f f = 1 0 0 [ l - — % . ( 8 - 5 ) T h e c o u p l i n g e f fi c i e n c y t o t h e fi l a m e n t l o a d a s g i v e n b y E q u a t i o n ( 8 - 5 ) i s 9 5 % . T h i s e x a m p l e d e m o n s t r a t e s t h a t i t i s p o s s i b l e t o c o u p l e e n e r g y v e r y e f fi c i e n t l y t o c e r t a i n m a t e r i a l s w i t h o u t a l t e r i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o r s u b s t a n t i a l l y c h a n g i n g t h e fi e l d p a t t e r n s f r o m t h e e m p t y c a v i t y c o n d i t i o n s . A s t h e r a d i u s o f t h e l o a d i n c r e a s e s t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d r e t a i n s a r e s e m b l a n c e t o t h e e m p t y c a v i t y a x i a l fi e l d u n t i l t h e l o a d i s m o r e t h a n 1 c m i n d i a m e t e r . T h e r a d i a l fi e l d p a t t e r n b e g i n s t o c h a n g e i m m e d i a t e l y . F i g u r e s 8 4 5 t h r o u g h 8 - 5 4 c o n t a i n p l o t s o f t h e a x i a l a n d r a d i a l fi e l d s o f m o d e B o f F i g u r e 8 - 3 0 f o r l o a d r a d i i o f 0 . 1 4 3 c m , 0 . 5 2 4 c m , 2 c m , 4 c m , a n d 6 . 5 3 c m . T h e a x i a l fi e l d a s d e p i c t e d i n F i g u r e 8 - 4 5 f o r a l o a d r a d i u s o f 0 . 1 4 3 c m i s n o t m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e a x i a l fi e l d f o r 0 . 0 4 7 7 c m s h o w n i n F i g u r e 8 - 4 3 , b u t t h e r a d i a l fi e l d o f F i g u r e 8 - 4 6 i s a l t e r e d s i g n i fi c a n t l y f r o m t h e e m p t y c a v i t y r a d i a l fi e l d a n d f r o m t h a t o f F i g u r e 8 - 4 4 f o r l o a d r a d i u s 0 . 0 4 7 7 c m . A s t h e l o a d r a d i u s c o n t i n u e s t o i n c r e a s e b o t h t h e a x i a l a n d r a d i a l fi e l d p a t t e r n s a r e a l t e r e d s i g n i fi c a n t l y . I t b e c o m e s e v i d e n t w h e n t h e l o a d h a s r e a c h e d 2 c m i n r a d i u s , F i g u r e s 8 — 4 9 a n d 8 5 0 , t h a t t h e fi e l d s o f m o d e B a r e b e i n g e x c l u d e d f r o m t h e l o a d , e x i s t i n g p r i m a r i l y i n t h e r e g i o n b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e c a v i t y w a l l . T h i s h e l p s t o e x p l a i n w h y t h e Q i s h i g h e r i n g e n e r a l f o r m o d e B t h a n f o r m o d e A . I n f a c t , t h e fi e l d p a t t e r n s b e g i n t o r e s e m b l e t h o s e o f t h e c o a x i a l c a v i t y T M o r q m o d e s w h e r e t h e fi e l d s r e s i d e e x c l u s i v e l y o u t s i d e t h e i n n e r c o n d u c t o r . T h i s i s s e e n 4 A s r r r u s s e n , L i n , M a n r i n g , a n d F r i t z , 1 4 8 2 . 2 4 3 b y c o m p a r i n g F i g u r e s 8 - 5 1 a n d 8 - 5 2 f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d e a v i t y w i t h a l o a d r a d i u s o f 4 c m a n d m a t e r i a l c o m p l e x p e r m i t t i v i t y o f 6 r = 1 0 - j 3 0 w i t h F i g u r e s 8 - 5 5 a n d 8 — 5 6 f o r t h e c o a x i a l c a v i t y m o m m a d e w i t h a 4 c m r a d i u s i n n e r c o n d u c t o r . N o t o n l y a r e t h e fi e l d p a t t e r n s s i m i l a r , b u t t h e r e a l f r e q u e n c y o f t h e c o a x i a l l y l o a d e d m o d e i s 4 . 5 1 2 G H z , v e r y n e a r t h e c o a x i a l c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y o f 4 . 6 5 7 G H z . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a l t h o u g h t h e r e a l f r e q u e n c y i n F i g u r e s 8 - 5 1 a n d 8 - 5 2 i s c l o s e t o t h a t o f t h e c o a x i a l c a v i t y m o r z m o d e , t h e Q o f F i g u r e s 8 - 5 1 a n d 8 - 5 2 i s o n l y 1 2 . T h e fi e l d s o f m o d e B d o n o t r e s e m b l e c o a x i a l c a v i t y m o d e s f o r s m a l l l o a d r a d i u s , . y e t w h e n t h e l o a d r a d i u s i s l a r g e r t h e y d o . A t t h e s a m e t i m e i t i s a p p a r e n t t h a t t h e r e i s a s m o o t h t r a n s i t i o n i n t h e fi e l d p a t t e r n s a s t h e l o a d r a d i u s i s i n c r e a s e d s o t h a t a l l o f t h e r e s o n a n c e s c a n b e t h o u g h t o f a s m e m b e r s o f a s i n g l e m o d e i n t h e l o a d r a d i u s v a r i a b l e . T w o fi n a l c o m m e n t s o n m o d e B o f F i g u r e 8 - 3 0 w i l l c o n c l u d e o u r d i s c u s s i o n o f t h i s m o d e . F i r s t , a s w i t h m o d e A , a h i g h e r r e s o n a n t f r e q u e n c y i s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e g i o n o f t h e m o d e w h e r e fl u c t u a t i o n o f t h e fi e l d o c c u r s w i t h i n a s m a l l e r s p a c e . F o r m o d e A t h i s o c c u r r e d i n t h e s m a l l l o a d r a d i u s r e g i o n w i t h t h e fi e l d fl u c t u a t i n g i n s i d e t h e l o a d . F o r m o d e B t h e h i g h f r e q u e n c y r e g i o n i s w h e r e t h e l o a d r a d i u s a p p r o a c h e s t h e c a v i t y r a d i u s w i t h t h e fi e l d s c o n fi n e d t o t h e r e g i o n b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e e a v i t y w a l l . S e c o n d , t h e fi e l d p a t t e r n F i g u r e s 8 - 4 3 t h r o u g h 8 - 5 4 s h o w t h a t t h e e l e c t r i c fi e l d b e c o m e s m o r e a x i a l a s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s . A g a i n , t h i s i s s i m i l a r t o t h e b e h a v i o r o f m o d e A i n t h a t t h e h i g h f r e q u e n c y r e g i o n s o f b o t h m o d e s a r e r e g i o n s o f h i g h e r a x i a l e l e c t r i c fi e l d . T h e fi n a l m o d e c h a r t f o r c a v i t y - s h o r t t y p e T M m o d e s p r e s e n t e d h e r e i s f o u n d i n F i g u r e 8 - 5 7 f o r t h e r e a l p a r t o f t h e f r e q u e n c y a n d i n F i g u r e 8 - 5 8 f o r t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f r e q u e n c y w h e r e i t i s s h o w n t h a t t h e m o d e b e h a v i o r d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 8 - 3 0 d e p e n d s n o t o n l y u p o n t h e m a t e r i a l l o s s f a c t o r b u t a l s o t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t . F i g u r e s 8 - 5 7 a n d 8 - 5 8 a r e p l o t s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s f o r T M O P Z m o d e s f o r t h e s a m e e a v i t y d i m e n s i o n s a n d m a t e r i a l l o s s f a c t o r a s f o r t h e m o d e s o f F i g u r e 8 - 3 0 , b u t w i t h t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t d o u b l e d f r o m 1 0 t o 2 0 . 2 4 4 0 . 1 0 - C o a x i a l C a v i t y T M m o d e 0 ) T 0 1 2 c a m e o ' 0 ° 0 3 ° 0 : 1 : 0 0 8 — ° ° C 0 ° 0 0 8 ‘ . F r e q u e n c y = 4 . 6 5 7 G H z 0 o 2 C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ° ° ‘ 0 0 0 6 - 5 a ° 6 I n n e r C o n d u c t o r r o d . 4 c m 0 ° - - o “ - 1 C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m . o { 1 ’ 0 0 4 - ° ° 6 . ° 2 a O a D J . o B 0 . 0 2 - . d t ° a . . I n n e r c o n u c o r i f b o u n d a r y _ ' > 0 0 0 0 0 . 0 0 . 1 . r . r . , 1 1 , ° 1 0 l 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 5 A x i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M 0 2 2 m o d e . 0 0 7 ' C o a x i a l C a v i t y T M 0 1 2 m o d e a ) - l . 0 3 0 . 0 6 - " a . ‘ L ' : o C c l 0 0 C " o g 0 0 5 - F r e q u e n c y = 4 . 6 5 7 G H z ° ° E ‘ C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ° ° 0 0 W 1 . 1 9 : " 0 ' 0 4 “ I n n e r C o n d u c t o r r o d . 4 c m ° ° 0 0 ° 0 C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m ° a ° E 0 . 0 3 - ° ° 0 ° 0 ‘ o o a ) 0 [ I ] 0 0 2 - ° ° 0 O 6 . ° ° ‘ 6 0 . 0 1 5 i n n e r c o n d u c t o r 0 0 ° 0 C 2 b o u n d a r y _ ' D , 0 o 0 0 0 . 0 0 . I + t . I . T l J 1 l 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 5 6 R a d i a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T M 0 2 2 m o d e . ) z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 4 5 1 0 - : - ' . A T M m o d e s ( q = 2 ) 8 ' ~ ' . C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m - . ' _ L s = 1 3 . 8 7 c m 6 ; . 8 , . = 2 0 - j 3 0 4 _ ‘ . . . q a 1 _ ‘ T M 0 5 2 , _ _ ' ‘ . T M 0 3 2 2 _ . . . . . . . . \ ‘ T M 0 1 2 J . > O 1 I r T ] I f l r I T l 0 l 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 5 7 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : « ‘ 5 ‘ , = 2 0 — j 3 0 , T M O p Z ‘ ) z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 4 6 3 . 0 « 2 5 _ T M m o d e s ( q = 2 ) C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m = 1 3 . 8 7 c m 2 . 0 - L 5 . 8 , = 2 0 - j 3 0 1 . 5 — 1 T M 0 5 2 1 . 0 - T M 0 1 2 T M 0 3 2 \ \ § ( ) 5 : ‘ a . ‘ § 0 . 0 - A i l [ T r i l l i l l I I I I I I I T I r r T r r r l r r r 0 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 5 8 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 6 , = 2 0 - j 3 0 , T M O P Z . 2 4 7 T h e m o d e w h i c h i n c l u d e s t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y T M 0 1 2 m o d e a t t h e l i m i t o f l o a d r a d i u s a p p r o a c h i n g t h e e a v i t y r a d i u s b e h a v e s s i m i l a r l y t o m o d e A o f F i g u r e s 8 - 3 0 a n d 8 - 3 1 . H o w e v e r , t h e m o d e w h i c h i n c l u d e s t h e e m p t y c a v i t y T M O I Z r e s o n a n c e f o r z e r o l o a d r a d i u s i s q u i t e d i f f e r e n t f r o m m o d e B . I n s t e a d o f t h e r e a l f r e q u e n c y i n c r e a s i n g w i t h l o a d r a d i u s t h e r e i s a l m o s t n o v a r i a t i o n i n t h e r e a l f r e q u e n c y f o r t h i s m o d e e x c e p t n e a r t h e l o a d r a d i u s l i m i t s . T h e f r e q u e n c y s t a b i l i t y o f t h i s m o d e s u g g e s t s a u s e f o r i t i n p r o c e s s i n g n o n - u n i f o r m l y s h a p e d m a t e r i a l s , i f t h e m o d e e x i s t s f o r t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e m a t e r i a l i n q u e s t i o n . I f t h e Q o f t h e m o d e c a n b e r a i s e d i t m i g h t a l s o b e u s e f u l a s a l o s s y fi l t e r f o r a p r e c i s e l y c e n t e r e d f r e q u e n c y b a n d . F i g u r e 8 - 5 7 s u g g e s t s t h a t t h e b e h a v i o r e x h i b i t e d b y m o d e A o f F i g u r e 8 - 3 0 i s c o n fi n e d t o t h e l o w e r o r d e r e d m o d e s . W h i l e t h e f r e q u e n c i e s b e c o m e l a r g e f o r s m a l l l o a d r a d i i f o r t h e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y m o d e s w h i c h i n c l u d e m a t e r i a l fi l l e d T M 0 1 2 a n d T 1 1 4 0 3 2 m o d e s , s u c h i s n o t t h e c a s e f o r t h e m o d e w h i c h i n c l u d e s t h e m a t e r i a l fi l l e d T M O S Z m o d e . ' I n t h i s S e c t i o n w e h a v e d e v e l o p e d e x p l a n a t i o n s f o r v a r i o u s m o d e b e h a v i o r s w h i c h w i l l b e u t i l i z e d i n t h e f o l l o w i n g S e c t i o n s f o r T B a n d H E M m o d e s . T h e s e h a v e i n c l u d e d d e m o n s t r a t i n g t h e c l o s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m o d e s f o r h i g h l o s s f a c t o r m a t e r i a l s a n d t h e c o a x i a l c a v i t y m o d e s . A d d i t i o n a l l y , h i g h f r e q u e n c y b e h a v i o r f o r m o d e s e m a n a t i n g f r o m l o w e r o r d e r e m p t y o r m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s h a s b e e n a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n fi n e m e n t o f fi e l d fl u c t u a t i o n i n t o a s m a l l r e g i o n , t h e m a t e r i a l b o u n d a r y b e h a v i n g a s a r e fl e c t o r o f e i t h e r o r b o t h t h e r a d i a l ( n o r m a l ) a n d t h e a x i a l ( p a r a l l e l ) fi e l d s . O t h e r i n t e r e s t i n g f e a t u r e s o f p a r t i c u l a r T M m o d e s h a v e b e e n e x a m i n e d w h i c h m a y o r m a y n o t a p p e a r i n T E a n d H E M m o d e b e h a v i o r . 8 . 4 M o d e C h a r t s a n d F i e l d P a t t e r n s : T E M o d e s 8 . 4 . 1 V a r i a t i o n s i n t h e T E D “ M o d e w i t h I n c r e a s i n g L o s s F a c t o r R e f e r r i n g b a c k t o F i g u r e 8 - 2 , s e v e r a l m o d e c h a r t s o f r e a l f r e q u e n c y v e r s u s c a v i t y l e n g t h w e r e s h o w n f o r t h e m a n m a d e w i t h e ; = 3 . 0 3 , a = 0 . 5 ” , a n d b = 3 " . E a c h c u r v e i n F i g u r e 8 2 r e p r e s e n t s t h e m o d e f o r a d i f f e r e n t l o s s f a c t o r , e ; , i n t h e 2 4 8 r a n g e f r o m 1 t o 1 , 0 0 0 . T h e f r e q u e n c y v e r s u s c a v i t y l e n g t h m o d e c h a r t o f t h e c o a x i a l c a v i t y m o m m a d e i s i n c l u d e d i n F i g u r e 8 - 2 f o r c o m p a r i s o n w i t h c o a x i a l l y l o a d e d T M o u m o d e s f o r h i g h l o s s f a c t o r l o a d s . N o w w e w i s h t o e x a m i n e a T B m o d e f o r t h e s a m e l o a d m a t e r i a l s a n d s i z e s . T h e m o d e c h a r t s o f F i g u r e 8 - 5 9 a r e f o r t h e s a m e l o a d s a s t h o s e o f F i g u r e 8 - 2 , b u t f o r t h e T E D “ m o d e . T h e c o a x i a l e a v i t y T E D “ m o d e i s i n c l u d e d i n F i g u r e 8 — 5 9 t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e r e a l f r e q u e n c i e s o f t h e T E D “ c o a x i a l l y l o a d e d m o d e a p p r o a c h t h o s e o f t h e c o a x i a l c a v i t y f o r h i g h l o s s f a c t o r s . I n c o n t r a s t t o t h e T M ) “ m o d e o f F i g u r e 8 - 2 a n d t h e T M 0 2 1 m o d e o f F i g u r e 8 - 1 3 , F i g u r e 8 - 5 9 s h o w s t h a t t h e f r e q u e n c y o f t h e T 1 5 0 “ m o d e r i s e s u n i f o r m l y w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r . T h i s i s s h o w n m o r e c l e a r l y i n F i g u r e 8 - 6 0 w h e r e t h e r e a l f r e q u e n c y i s p l o t t e d a g a i n s t t h e l o a d m a t e r i a l l o s s f a c t o r f o r a c o n s t a n t e a v i t y l e n g t h o f 6 . 5 c m . F i g u r e 8 6 0 s h o w s t h a t t h e r e a l f r e q u e n c y r i s e s r a p i d l y a s o r ; g o e s f r o m z e r o t o n e a r 1 0 . F o r h i g h e r l o s s f a c t o r s i t c o n t i n u e s t o i n c r e a s e , b u t m u c h m o r e s l o w l y . T h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f l o s s f a c t o r i n F i g u r e 8 - 6 1 . F o r a l o s s l e s s d i e l e c t r i c t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s z e r o . A s t h e l o s s f a c t o r i n c r e a s e s f r o m z e r o t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y r i s e s r a p i d l y t o a p e a k o f a p p r o x i m a t e l y 7 3 M H z n e a r 6 , " = 5 . T h e r e a l f r e q u e n c y a t t h e s a m e p o i n t i s 3 . 3 5 4 G H z . T a k e n t o g e t h e r t h i s t r a n s l a t e s i n t o a Q f a c t o r o f a p p r o x i m a t e l y 2 3 , w h e r e t h e Q a s a f u n c t i o n o f m a t e r i a l l o s s f a c t o r i s a m i n i m u m . F u r t h e r i n c r e a s i n g o f t h e l o s s f a c t o r c a u s e s t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y t o f a l l a n d Q t o r i s e . T h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y p e a k o c c u r s a t a l o w e r l o s s f a c t o r f o r T E D “ , i . e . , e , " = 5 , t h a n f o r T M o r r w h e r e t h e p e a k o c c u r s n e a r o r ; = 1 0 . H o w e v e r , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y p e a k f o r t h e m a n o c c u r s a t a p p r o x i m a t e l y 5 , " = 5 , t h e s a m e a s f o r t h e T E D “ m o d e . F o r l a r g e l o s s f a c t o r s , e . g . , 5 r " = 1 , 0 0 0 , t h e e i g e n f r e q u e n c y o f t h e c o a x i a l l y l o a d e d T 5 0 1 1 m o d e i s n e a r l y e q u a l t o t h a t o f t h e c o a x i a l c a v i t y T 5 0 1 1 m o d e , a s s h o w n i n F i g u r e 8 - 5 9 . I t i s a l s o t r u e t h a t t h e fi e l d p a t t e r n s a p p e a r m o r e l i k e t h e c o a x i a l c a v i t y fi e l d p a t t e r n s a s l o s s f a c t o r i s i n c r e a s e d . F i g u r e s 8 - 6 2 t h r o u g h 8 - 6 6 s h o w h o w t h e a z i m u t h a l e l e c t r i c fi e l d m a g n i t u d e o f t h e c o a x i a l l y l o a d e d c a v i t y c h a n g e s w i t h i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r . N o t i c e t h a t t h e e l e c t r i c fi e l d i n s i d e t h e l o a d , i . e . , ) z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 4 9 4 . 0 - T 5 0 1 1 m o d e C a v i t y d i a . 6 " , R o d d i a . 1 " 3 . 8 - . l 3 . 6 - H C o a x i a l C a v i t y T 5 0 1 1 3 . 4 - 6 - 0 a = 3 . 0 3 - j 1 , 0 0 0 o - _ B — E I e = 3 . 0 3 - j 1 0 0 \ . H 8 = 3 . 0 3 - j 3 0 ° \ o \ A a — a e = 3 . 0 3 — j 1 0 \ o e — e e = 3 . 0 3 — j 1 \ o 3 . 2 l I r I r I I 1 r I l 1 4 . 7 5 . 1 5 . 5 5 . 9 6 . 3 6 . 7 7 . 1 C a v i t y L e n g t h ( c m ) F i g u r e 8 — 5 9 7 5 0 1 1 R e a l f r e q u e n c y v s . e a v i t y l e n g t h f o r e ; = 3 . 0 3 w i t h h y p o t h e t i c a l l o s s f a c t o r s . ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R 2 5 0 3 . 4 0 - / : 1 T 5 0 1 1 m o d e 3 ' 3 6 " C a v i t y l e n g t h = 6 . 5 c m : C a v i t y d i a . 6 " , R o d d i a . 1 " ‘ ° e ' , = 3 . 0 3 3 . 3 2 - 1 l I ! 3 . 2 8 . , T , . I , r I o 2 0 4 o 6 0 8 0 L o s s F a c t o r ( r e l a t i v e ) F i g u r e 8 - 6 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r e , ’ = 3 . 0 3 i n t h e T E D “ m o d e . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 5 1 T 5 0 1 1 m o d e C a v i t y l e n g t h = 6 . 5 c m C a v i t y d i a . 6 " , R o d d i a . 1 " e ' r = 3 . 0 3 l ' I ' I j l 2 0 4 0 s o 8 0 t 1 6 0 L o s s F a c t o r ( r e l a t i v e ) F i g u r e 8 - 6 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r f o r e " . = 3 . 0 3 i n t h e T E D “ m o d e . 2 5 2 0 . 0 0 1 0 - 0 . 0 . 4 3 0 . 0 0 0 8 - c O E 0 . 0 0 0 6 - % T E 0 1 1 m o d e " L C 3 C a v i t y d i a . 6 " . L o a d d i d . 1 " L L 0 . 0 0 0 4 - g ? f = 3 . 2 9 5 + j . 0 2 3 3 9 G H z 0 6 g ? C a v i t y L e n g t h = 6 . 5 c m 4 " o ' 3 g . e r = 3 . 0 3 - j 1 . 0 g 0 . 0 0 0 2 - 1 g N o < l ; g < — l o a d b o u n d a r y 0 0 0 0 0 ' I ' I I I r I V r a I I I I O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 6 2 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E o u m o d e , 6 , " = 1 . 0 . 0 0 9 0 - { ‘ 3 3 0 . 0 0 7 5 ‘ 1 : 1 C 8 ’ 0 0 0 6 0 2 . E i T E 0 1 1 m o d e ' . ‘ 1 ’ 0 0 0 4 5 — . = i : ' C a v 1 t y d i a . 6 " . L o a d d i d . 1 " L L f = 3 . 3 9 8 + j . 0 5 9 1 1 G H z : 9 : 0 - 0 0 3 0 - C a v i t y L e n g t h = 6 . 5 c m 3 I a , = 3 . 0 3 - j 1 0 ' g 0 . 0 0 1 5 - < J < I — l o o d b o u n d a r y 0 . 0 0 0 0 - ° ? I ' I ' l r I ' I O ‘ l 2 3 4 5 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) \ j - t m I 6 F i g u r e 8 - 6 3 A z i m u t h a l E — fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D “ m o d e , e , " = 1 0 . e d u t i n g a M d l e i F — E l a t ’ u m i z A 0 . 1 0 - 0 . 0 8 - « 0 . 0 6 - 2 5 3 . ‘ T 5 0 1 1 m o d e C a v i t y d i a . 6 ” . L o a d d i d . 1 " f = 3 . 4 2 5 + j . 0 3 2 4 0 G H z C a v i t y L e n g t h = 6 . 5 c m 8 , . = 3 . 0 3 - j 3 0 O o " O O O O O 0 O O O O O O O < 1 — I o a d b o u n d a r y r r ' I ' I ' I ' I I I 1 2 3 4 5 6 i 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 6 4 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E o u m o d e , e , " = 3 0 . A z i m u t a l E — F i e l d M a g n i t u d e o O T 5 0 1 1 m o d e C a v i t y d i a . 6 " , L o a d d i a . 1 " f = 3 . 4 4 1 + j . 0 1 8 3 2 C H 2 C a v i t y L e n g t h = 6 . 5 c m 8 , . = 3 . 0 3 — j 1 0 0 § 0 O O O O O O O O O O O O O O O O O O D i < — I o a d b o u n d a r y T l ' I I ' I ' I ' . 2 3 4 5 5 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 6 5 A z i m u t h a l E - fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D “ m o d e , 6 , ? = 1 0 0 . e d u t i n g a M d l e i F — E l a t u m i z A 3 ‘ 5 C g ( g ; 1 D : ; L % 2 E E < : i L 7 0 0 0 0 0 0 0 , . ‘ ‘ . . . O 1 1 0 0 0 0 2 0 4 2 8 6 0 - 4 “ - _ 1 ' 1 ‘ ‘ . u O l - l 0 \ 0 t y T 5 0 1 1 m o d e C o a x i a l C a v i = i n t d y u . i d c t 5 ? — 3 ? 2 3 : g ° 0 I - , 0 ? < c . O : ° e C i t C c e n L a u v o n r b u y o . I n n C F o a r a e d v , i 3 l . . 1 c e y n d T 6 6 d 6 " i . 0 . . r d o 3 = 4 , d 5 , . G c 1 H " z m , 5 6 f 7 8 h y , t r g a 4 4 E + O 7 — 3 E + 0 7 fi 2 E + O 7 - 1 E + O 7 - l 0 - 1 0 fl ’ t 2 5 4 . . T 5 0 1 1 m o d e . - C a v i t y d i a . 6 " . L o a d d i a . 1 " f f = 3 . 4 5 4 + j . 0 0 5 9 9 7 G H z 3 ‘ ? C a v i t y L e n g t h = 6 . 5 c m 3 , 3 a , = 3 . 0 3 — j 1 , 0 0 0 o : 4 — l o a d b o u n d a r y I ‘ I ' I I . ' T 2 3 4 5 5 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 6 6 A z i m u t h a l E — fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , T E D “ m o d e , 6 , " = 1 , 0 0 0 . R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 6 7 A z i m u t h a l E — fi e l d m a g n i t u d e a l o n g a r a d i u s , c o a x i a l c a v i t y T E D “ m o d e . 2 5 5 p < 1 . 2 7 c m , s t e a d i l y d i m i n i s h e s u n t i l t h e fi e l d f o r e , " = 1 , 0 0 0 , s h o w n i n F i g u r e 8 - 6 6 , i s n e a r l y z e r o , i d e n t i c a l t o t h e c o a x i a l c a v i t y fi e l d s h o w n i n F i g u r e 8 - 6 7 . 8 . 4 . 2 R a d i a l O r d e r E x h i b i t e d i n F r e q u e n c y V a r i a t i o n w i t h L o a d R a d i u s T h e T E m o d e s e x h i b i t f r e q u e n c y b e h a v i o r s i m i l a r t o t h e T M m o d e s a s t h e l o a d r a d i u s i s v a r i e d . T h i s i n c l u d e s r a d i a l t r a c e a b i l i t y I u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s . I t i s a l s o p o s s i b l e t o s e e i n t h e r e a l f r e q u e n c y m o d e c h a r t s a c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e r a d i a l o r d e r o f t h e m o d e s a n d t h e n u m b e r o f “ fl a t s ” i n t h e p l o t , i . e . , r e g i o n s w h e r e f r e q u e n c y i s n o t g r e a t l y d e p e n d e n t o n l o a d r a d i u s . B o t h o f t h e s e f e a t u r e s , r a d i a l t r a c e a b i l i t y a n d r a d i a l o r d e r c o r r e s p o n d e n c e , a r e s e e n i n F i g u r e s 8 - 6 8 a n d 8 — 6 9 w h i c h a r e m a d e c h a r t s o f r e a l f r e q u e n c y v e r s u s r o d r a d i u s f o r t h e fi r s t f e w T E o p z m o d e s . F i g u r e 8 - 6 8 i s p l o t t e d f o r a l o s s l e s s l o a d m a t e r i a l w i t h e , = 9 , w h i l e F i g u r e 8 . 6 9 i s f o r a l o w l o s s m a t e r i a l o f E , = 3 - j 0 . 0 3 9 , s i m i l a r t o n y l o n . S i n c e t h e m o d e s a r e r a d i a l l y t r a c e a b l e t h e y h a v e b e e n n a m e d a c c o r d i n g t o t h e m o d e s t h e y b e c o m e a t e i t h e r r a d i a l l i m i t , w h i c h a r e t h e T E M m o d e , T E 0 2 2 m o d e , a n d T E D ” m o d e i n b o t h F i g u r e s . C o m p a r i n g F i g u r e s 8 - 6 8 a n d 8 - 6 9 w i t h F i g u r e s 8 - 2 5 a n d 8 - 2 6 , w h i c h c o n t a i n s i m i l a r p l o t s f o r t h e T M m o d e s , i t a p p e a r s t h a t t h e r a d i a l d e p e n d e n c e i s e v e n m o r e v i s i b l e i n t h e r e a l f r e q u e n c y b e h a v i o r f o r t h e T B m o d e s t h a n f o r t h e T M m o d e s . T a k i n g t h e T 5 0 1 2 m o d e o f F i g u r e 8 - 6 8 , a s i n g l e fl a t e x i s t s f r o m p = 0 t o p = 0 . 8 c m . F o r t h e T E 0 2 2 m o d e t h e r e a r e t w o fl a t s w h i c h g o f r o m p = O t o p = 0 . 5 c m a n d f r o m p = 1 . 4 c m t o p = 2 . 2 c m . T h r e e fl a t s a r e d i s t i n g u i s h a b l e i n t h e T E 0 3 2 m o d e p l o t : t h e fi r s t e x t e n d s f r o m p = 0 t a p = O . 1 5 c m , t h e s e c o n d f r o m p = 1 c m t a p = 1 . 2 c m , t h e t h i r d f r o m p = 2 . 6 c m t o p = 3 . 2 c m . T h e fl a t r e g i o n s o f t h e p l o t s i n F i g u r e 8 - 6 9 f o r E , = 3 - j 0 . 0 3 9 a r e n o t q u i t e a s p r o n o u n c e d a s t h o s e i n F i g u r e 8 - 6 8 w h e r e t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t i s h i g h e r , b u t t h e r a d i a l o r d e r c o r r e l a t i o n i s s t i l l d i s t i n g u i s h a b l e . I n a d d i t i o n , s i n c e t h e l o a d i s l o s s y , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y a l s o p r o v i d e s a r a d i a l o r d e r c o r r e l a t i o n b y t h e n u m b e r o f l o c a l m i n i m a i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y v e r s u s l o a d r a d i u s c h a r t . C o m p a r i n g t h e r a d i a l c o o r d i n a t e s o f i m a g i n a r y f r e q u e n c y l o c a l m i n i m a i n F i g u r e 8 - 7 0 w i t h t h e l o c a t i o n o f I ' l ' h i s t e r m i s d e fi n e d a b o v e o n p a g e 2 1 5 . ) Z H G ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 2 5 6 7 1 ‘ T E m o d e s 3 ? “ ' L S = 1 3 . 8 7 c m , 8 r = 9 C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m T E 0 3 2 " H I ' I ' T I fi ' H I H ' I I " " I I T * fi I " I " ‘ l ‘ " " " - ' _ l O 1 2 3 4 5 6 7 8 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 — 6 8 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : l o s s l e s s l o a d , 6 , . = 9 , T E O p Z m o d e s . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 5 7 T E m o d e s ( q = 2 ) C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m L S = 1 3 . 8 7 c m 5 r = 3 — j 0 . 0 3 9 1 I I I I I I i i T fi I T I I I r l I I I l I I I O 1 2 3 4 5 L o a d R a d i u s ( c m ) 0 3 — 1 \ l — l F i g u r e 8 - 6 9 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : é , = 3 - j 0 . 0 3 9 , T E O P Z m o d e s . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 0 , 0 3 4 2 5 8 T E m o d e s ( q = 2 ) . C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m A i n ‘ é / C 0 . 0 0 I I I l I I I l I I I r I I j j I I I I I r I l I I I l 1 2 3 4 5 6 7 8 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 7 0 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 6 , = 3 - j 0 . 0 3 9 , T E O p Z m o d e s . 2 5 9 t h e r e a l f r e q u e n c y fl a t s i n F i g u r e 8 - 6 9 , i t m a y b e s e e n t h a t l o c a l i m a g i n a r y f r e q u e n c y m i n i m a o c c u r t o w a r d t h e e n d o f e a c h r e a l f r e q u e n c y fl a t r e g i o n . ( L o c a l m a x i m a i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y o c c u r n e a r t h e e n d o f r e g i o n s o f m a x i m a l s l o p e i n t h e r e a l f r e q u e n c y p l o t s . ) G l a n c i n g b a c k a t F i g u r e s 8 - 2 6 a n d 8 - 2 7 , t h e r e a l f r e q u e n c y fl a t s a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c y l o c a l m i n i m a a r e s i m i l a r l y r e l a t e d f o r T M m o d e s . 8 . 4 . 3 D i e l e c t r i c C o n fi n e d a n d D i e l e c t r i c E x c l u d e d T E M o d e s T h e b e h a v i o r o f t h e t w o T M m o d e s p r e s e n t e d p r e v i o u s l y i n F i g u r e 8 - 3 0 w a s s h o w n t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e m o d e d e s c r i p t i o n s d i e l e c t r i c c o n fi n e d f o r m o d e A a n d d i e l e c t r i c e x c l u d e d f o r m o d e B , a s d e s c r i b e d a b o v e i n S e c t i o n 8 . 3 . 6 . S i m i l a r b e h a v i o r o c c u r s f o r T B m o d e s . T h i s i s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e s 8 - 7 1 a n d 8 - 7 2 w h e r e d i e l e c t r i c c o n fi n e d a n d d i e l e c t r i c e x c l u d e d m o d e s l a b e l e d A a n d B r e s p e c t i v e l y a r e s h o w n t o e x i s t i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y f o r a c o m p l e x p e r m i t i v i t t y o f E , = 2 0 - j 8 . T h e e a v i t y l e n g t h i s 1 3 . 8 7 c m a n d t h e a x i a l o r d e r i s g i v e n b y q = 2 . T h e r e a l a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s o f m o d e A , f o r l o a d r a d i i a p p r o a c h i n g t h e c a v i t y r a d i u s , b e c o m e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s o f t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y T E D ” m o d e . L i k e w i s e , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f m o d e B f o r z e r o l o a d r a d i u s i s t h a t o f t h e e m p t y c a v i t y T E 0 1 2 m a d e . T h e s e e m p t y a n d m a t e r i a l fi l l e d m o d e s a r e i n d i c a t e d b y t h e a r r o w s i n t h e F i g u r e s . F o r s m a l l l o a d r a d i i t h e r e a l f r e q u e n c y o f t h e d i e l e c t r i c c o n fi n e d m o d e , m o d e A , r i s e s r a p i d l y , a s d o e s t h e r e a l f r e q u e n c y o f t h e d i e l e c t r i c e x c l u d e d m o d e , m o d e B , f o r l o a d r a d i i a p p r o a c h i n g t h e e a v i t y r a d i u s . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y o f m o d e A s h o w n i n F i g u r e 8 - 7 2 m a k e s a n a b r u p t d r 0 p c l o s e t o t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y a x i s . A t t h e s a m e t i m e t h e r e a l f r e q u e n c y c o n t i n u e s t o r i s e s m o o t h l y . A l t h o u g h i t m i g h t a p p e a r t h a t t h e r e h a s b e e n s o m e e r r o r i n t h e r o o t fi n d i n g , i t i s u n l i k e l y f o r t w o r e a s o n s : 1 ) t h e r e a l f r e q u e n c y c u r v e i s s m o o t h i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e a p p a r e n t d i s c o n t i n u i t y i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y , a n d 2 ) i t i s n e c e s s a r y f o r t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y t o d r o p a t s o m e p o i n t n e a r t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y a x i s s o t h a t t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s z e r o f o r z e r o l o s s i n s i d e t h e c a v i t y . T h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f t h e e m p t y c a v i t y T E O p z m o d e s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e l o w r a d i u s e n d p o i n t o f m o d e A , n e a r 5 5 ( 3 1 1 2 i n ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R 2 6 0 6 0 - L o w e s t o r d e r T E m o d e s ( q = 2 ) C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m 5 0 - L 8 = 1 3 . 8 7 c m " a , = 2 0 - j 8 4 0 4 % 3 0 - 1 » A Z O - T ' T 5 0 1 2 1 0 - T 0 I I I . I ' — I ' _ — " _ _ l ' — ' — ‘ i — ' — _ I . O 1 2 3 4 5 6 7 8 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 7 1 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : t i , = 2 0 - j 8 , T E M m o d e s . 2 6 1 3 . 5 — L o w e s t o r d e r T E m o d e s ( q = 2 ) 1 : 3 O - C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m 2 3 , ) . . L 5 = 1 3 . 8 7 c m : 2 5 _ S r = 2 0 - j 8 o . 8 g - 2 . 0 - m ' A B L . u . 1 . 5 - > . ‘ T l 5 0 1 2 g 1 . 0 - 0 3 . o g 0 . 5 - M L 0 - 0 ' ' I ' I ' I ' I ' I ' I I O 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 7 2 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 8 , = 2 0 - j 8 , T E O P Z m o d e s . 2 6 2 F i g u r e 8 - 7 1 , a r e 5 5 . 6 1 G H z f o r T E 0 ( 2 9 ) 2 , 5 7 . 5 8 G H z f o r T E 0 ( 3 0 ) 2 , a n d 5 9 . 5 4 G H z f o r T E O ( 3 1 ) 2 ° M o d e A a p p e a r s t o a p p r o a c h o n e o f t h e s e e m p t y c a v i t y m o d e s i n t h e l i m i t a s t h e l o a d r a d i u s g o e s t o z e r o . M o d e s A a n d B a l s o e x h i b i t b e h a v i o r t h a t i n d i e a t e s i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e t w o m o d e s . T h e r e a r e s e v e r a l l o c a l i z e d fl u c t u a t i o n s i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s o f b o t h m o d e s . T h e s h a r p e s t fl u c t u a t i o n i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y o f m o d e B i s t h e fi r s t o n e e n c o u n t e r e d a s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s f r o m z e r o . T h e r e i s a fl u c t u a t i o n i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y o f m o d e A f o r t h e s a m e l o a d r a d i u s . I t m a y b e s e e n b y c o m p a r i n g F i g u r e s 8 - 7 1 a n d 8 - 7 2 t h a t t h e s e t w o fl u c t u a t i o n s c o r r e s p o n d t o t h e p o i n t w h e r e t h e r e a l f r e q u e n c y c u r v e s o f m o d e s A a n d B c r o s s o n e a n o t h e r . F i g u r e 8 - 7 3 i s a n e n l a r g e d v i e w o f t h e r e g i o n w i t h b o t h r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y p l o t t e d f o r b o t h m o d e s . T h e r e a l f r e q u e n c y c r o s s i n g i s a t a l o a d r a d i u s o f 0 . 7 6 c m . T h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y fl u c t u a t i o n m a x i m u m o f m o d e B a n d t h e m i n i m u m o f m o d e A b o t h o c c u r a t 0 . 7 8 c m , j u s t a f t e r t h e r e a l f r e q u e n c y c r o s s i n g . S i n c e t h e c r o s s i n g s h o w n i n F i g u r e 8 - 7 3 t a k e s p l a c e b a w e e n t h e l o w e s t o r d e r e d d i e l e c t r i c e x c l u d e d a n d d i e l e c t r i c c o n fi n e d m o d e s i t i s r e f e r r e d t o a s t h e p r i m a r y c r o s s i n g . T h e o t h e r i m a g i n a r y f r e q u e n c y fl u c t u a t i o n s i n F i g u r e 8 - 7 2 , a s i s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 7 4 t h r o u g h 8 - 7 6 , c o r r e s p o n d t o r e a l f r e q u e n c y c r o s s i n g s b e t w e e n m o d e s A a n d B a n d h i g h e r o r d e r m o d e s . F i g u r e 8 - 7 4 i s s i m i l a r t o F i g u r e 8 - 7 1 e x c e p t t h e m o d e s w h i c h h a v e r a d i a l e n d p o i n t s a t t h e e m p t y a n d m a t e r i a l fi l l e d T E , ” a n d T E 0 3 2 m o d e s h a v e b e e n p l o t t e d w i t h t h o s e o f F i g u r e 8 - 7 1 . F i g u r e 8 - 7 5 c o n t a i n s t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s o f t h e m o d e s o f F i g u r e 8 - 7 4 . F l u c t u a t i o n s a r e v i s i b l e i n e a c h o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y p l o t s . A n e n l a r g e d v i e w o f t h e s m a l l l o a d r a d i u s r e g i o n o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s i s s h o w n i n F i g u r e 8 - 7 6 w h e r e i t m a y b e m o r e c l e a r l y o b s e r v e d t h a t t h e p l a c e a t w h i c h t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s o f a d i e l e c t r i c c o n fi n e d m o d e a n d a d i e l e c t r i c e x c l u d e d m o d e a r e p i n c h e d t o g e t h e r c o r r e s p o n d s t o t h e p o i n t a t w h i c h t h e i r r e a l f r e q u e n c i e s c r o s s . I v L _ a \ ; ; - : 8 > g E 8 ' 5 5 4 3 2 - _ - 4 . . . — — H 4 1 . : A \ - A A i r . - m a e A a = l g - A 8 A n A - i , = A - - A L - A B s ‘ a - t v ° " 5 i ~ , 0 A - « A t y o O / - 4 A r L R - o A ' w e C : - A A , ; 3 A - - A - a A r = y A : F £ d R e a T u i r d _ — E s 1 R s A - A - A - A 2 ) = m . n I g a r y A ( q c a m = . o d 7 8 7 s 6 e . c 2 m . i m \ ° ‘ ' 3 \ - o A 9 5 8 7 6 . . . . 0 0 O O 0 - - ' - ~ . P _ . f o I 0 u . ‘ - ‘ ‘ > g g 8 L Z O 8 E . E T I 0 . 0 2 6 3 0 . 3 5 0 . 4 5 0 . 5 5 0 ' 6 5 ' 0 ' 7 5 ' 0 . 8 5 0 . 9 5 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 7 3 E n l a r g e d v i e w o f p r i m a r y m o d e c r o s s i n g : E , = 2 0 — j 8 , T E O P Z m o d e s . ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R 2 6 4 1 T E m o d e s ( q = 2 ) ' C a v i t y R a d i u s = 7 . 5 2 c m 5 0 ‘ ‘ I . s = 1 3 . 8 7 c m i a , = 2 0 - j 8 4 0 - ' , W ” 3 0 - 1 » 2 0 - 1 : 1 0 - “ ‘ “ “ X V — H 0 . , . . . , . r 0 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 7 4 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h e r o r d e r T E O P Z m o d e s . 2 6 5 3 . 5 - T E m o d e s ( q = 2 ) f t " ? 3 . 0 - C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m 5 4 . L 5 = 1 3 . 8 7 c m : 2 5 _ C r = 2 0 " j 8 U . . 5 l l . 3 2 . 0 ‘ U - U ( D 3 I L L I . 1 . 5 - > x . L . . g 1 . 0 - 0 5 . 0 g 0 . 5 - ’ _ _ _ _ _ , , / / , ) i - \ I x " ' 0 ' 0 ‘ 3 I I I I I I I I I T I I I O 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) fi g u r e 8 - 7 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s f o r h i g h e r o r d e r T E o p z m o d e s . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 6 6 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 7 6 E n l a r g e d v i e w o f i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s i n m o d e c r o s s i n g r e g i o n . 2 6 7 8 . 4 . 4 D i e l e c t r i c E x c l u d e d a n d C o a x i a l C a v i t y T E M o d e s E x a m i n a t i o n o f t h e H - fi e l d o f M o d e B o f F i g u r e 8 - 7 1 d e m o n s t r a t e s t h a t d i e l e c t r i c e x c l u d e d T E m o d e s a p p r o x i m a t e c o a x i a l c a v i t y T E m o d e s f o r l a r g e l o a d r a d i i . T h i s w a s s h o w n a b o v e f o r T M m o d e s i n F i g u r e s 8 - 5 1 , 8 - 5 2 , 8 - 5 5 , a n d 8 - 5 6 . T h e H - fi e l d d i s t r i b u t i o n o f t h e T E D ” m o d e i n a 6 " d i a m e t e r c o a x i a l e a v i t y w i t h a n i n n e r c o n d u c t o r r a d i u s o f 4 c m i s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 7 7 a n d 8 - 7 8 , w h e r e t h e a x i a l a n d r a d i a l m a g n i t u d e s a r e p l o t t e d a s f u n c t i o n s o f t h e r a d i a l c o o r d i n a t e . F i g u r e s 8 - 7 9 a n d 8 - 8 0 s h o w t h e c o r r e s p o n d i n g a x i a l a n d r a d i a l m a g n i t u d e s o f t h e H - fi e l d o f m o d e B i n F i g u r e 8 - 7 1 . . I t m a y b e o b s e r v e d t h a t t h e fi e l d p a t t e r n s o u t s i d e t h e l o a d r e g i o n a r e s i m i l a r t o t h o s e o f t h e c o a x i a l c a v i t y T E M m a d e ; h o w e v e r , t h e a x i a l H - fi e l d i n s i d e t h e l o a d i s s t i l l r a t h e r s u b s t a n t i a l , p r o p o r t i o n a l l y g r e a t e r t h a n t h e e l e c t r i c fi e l d i n s i d e t h e l o a d f o r t h e T M m o d e i n F i g u r e s 8 - 5 1 a n d 8 - 5 2 . T h i s m a y b e e x p l a i n e d b y t h e f a c t t h a t t h e l o s s f a c t o r i n F i g u r e s 8 - 7 9 a n d 8 - 8 0 , w h e r e e , " = 8 , i s m u c h l e s s t h a n t h a t o f F i g u r e s 8 - 5 1 a n d 8 - 5 2 , w h e r e e , " = 3 0 . E v e n s o , t h e fi e l d p a t t e r n s b e a r r e s e m b l a n c e t o t h e c o a x i a l c a v i t y fi e l d s a n d t h e r e a l f r e q u e n c y , 4 . 6 7 9 G H z , i s n e a r t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e c o a x i a l c a v i t y m o d e , 4 . 7 2 7 G H z . B y a d d i n g 2 c m t o t h e l o a d r a d i u s t h e r e s e m b l a n c e b e t w e e n m o d e B a n d t h e c o a x i a l c a v i t y T E 0 1 2 m o d e b e c o m e s e v e n m o r e a p p a r e n t . T h e a x i a l a n d r a d i a l H — fi e l d m a g n i t u d e s f o r m o d e B o f F i g u r e 8 - 7 1 a r e s h o w n i n F i g u r e s 8 - 8 l a n d 8 - 8 2 f o r a l o a d r a d i u s o f 6 c m . N o t i c e t h a t t h e a x i a l H - fi e l d i n s i d e t h e l o a d i s r e d u c e d i n c o m p a r i s o n t o t h a t o f t h e 4 c m l o a d r a d i u s p l o t o f F i g u r e 8 - 7 9 . 8 . 5 M o d e C h a r t s a n d F i e l d P a t t e r n s : H E M M o d e s 8 . 5 . 1 L o s s l e s s L o a d s I t w a s m e n t i o n e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s C h a p t e r u n d e r t h e q u e s t i o n o f n a m i n g t h e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s t h a t a m o d e d e fi n e d i n c e r t a i n m o d e v a r i a b l e s , e . g . , t h e l o a d r a d i u s , m a y b e t r a c e d t h r o u g h t h e m o d e v a r i a b l e t o a h o m o g e n e o u s l y l o a d e d e a v i t y m o d e . I n t h e c a s e o f t h e m o d e v a r i a b l e b e i n g t h e l o a d r a d i u s a , t h e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d c a v i t y m a y b e e i t h e r t h e e m p t y c a v i t y , f o r a = 0 , o r t h e ? 5 ’ 6 o ? s ° 0 ? 3 9 : 8 o z 2 3 « 3 0 0 i 0 0 6 f I 7 I 8 c t o r ' I 3 f 4 I 5 . a u l . t y C a w T 5 0 1 2 m o d e I G 7 4 H z c c m m 2 3 o d 7 1 r 2 7 . . c 8 m 9 % ‘ 3 3 , 8 3 , ‘ 3 8 a 4 x . = r . 6 0 0 O 0 0 0 0 . . . . . 0 1 1 0 8 0 0 2 0 6 4 2 * . 0 0 - — 4 4 1 - . 1 O C o o 7 u y q y F v n a n r i e e t r C I C a v n i n r t C . u b n | I L o e y n e n n c d r y u g a h = t t c d . e r o u c n o d n a d r 2 I e d u t i n g a M d l e i F — H I ’ a i x A e d u t i n g a M d l e i F — H l a i d a R 2 6 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 7 7 A x i a l H - fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T E D ” m o d e . 0 . 0 5 - . . C o a x n a l C a v u t y T E 0 1 2 m o d e 0 . 0 4 - . F r e q u e n c y = 4 . 7 2 7 G H z : 9 . = g o 0 . 0 3 _ C a v n t y L e n g t h 1 3 . 8 7 c m a , 8 % I n n e r C o n d u c t o r r o d . 4 c m s ? ‘ 2 ; C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 5 9 2 , O 0 . 0 2 - g c ; O O 2 2 ° 0 0 . 0 1 - 3 3 ; , i n n e r c o n d u c t o r : % b o u n d a r y 0 ‘ 3 O p o 0 . 0 0 r r I l r I ' l j l I : A I O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 7 8 R a d i a l H — fi e l d m a g n i t u d e f o r t h e c o a x i a l c a v i t y T E 0 1 2 m o d e . 2 6 9 0 ' 0 8 - T E O p Z m o d e 6 d f = 4 . 6 7 9 + j . 2 1 5 2 G H z % C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m ; : 2 , 0 . 0 6 - C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m . . 8 . i t ) L o a d r o d . 4 c m < 3 , . 0 , - ‘ 0 2 ° I ; a , — 2 0 - j 8 - ‘ ° % 2 0 0 4 - ° ‘ 3 ; . ‘ 2 o ° o L " o ‘ 3 : I - ‘ 3 s I O o 0 0 - - o A c 6 3 g 0 . 0 2 - o o ‘ 2 . § x ° ' o 0 0 ° 0 < . e 2 % 3 : " l o a d b o u n d a r y — ( > V 0 . 0 0 . , 4 , . r . 4 , , 4 I I O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 7 9 A x i a l H — fi e l d m a g n i t u d e : T E O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . T E O p Z m o d e b a ) 0 . 0 3 — f = 4 . 6 7 9 + j . 2 1 5 2 G H z . 0 3 C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m g ~ C a v i t y r a d . 7 . 5 2 c m a s ? 0 E C L o a d r o d . 4 c m ( I ? 2 : 3 0 . 0 2 - I 8 = 2 0 _ _ ° 8 g ‘ 2 , ‘ 0 1 ' J g o ' 5 g ‘ 3 : L E , o ‘ 3 : I 3 8 I l o a d b o u n d a r y — t > : g _ O O . 9 0 . 0 1 - ‘ o : 3 , . 0 O o ‘ 3 ; C K - I : O O 8 0 . 0 0 r fi i I I I I f I I ‘ j : I O 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 8 0 R a d i a l H - fi e l d m a g n i t u d e : T E o p z m o d e B , l o a d r a d i u s 4 c m . 2 7 0 7 ‘ l o a d b o u n d a r y — — - - L > } 5 0 g 5 4 a a , . - O 3 5 T E O p 2 m o d e b 3 ‘ 9 g 3 ! . — — O S , g f = 9 . 4 0 4 + j . 5 9 5 6 G H z 0 0 c ; g 2 0 4 _ C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m 0 ° 0 : E . C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m 3 9 ? ° ° o O E 3 . . L o a d r o d . 6 c m 5 ? o o ' - e = 2 0 — j 8 o ° I 2 ‘ l ’ f o o B o O 1 — a : a O I r I ' I T ' l ' fl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 8 1 A x i a l H - fi e l d m a g n i t u d e : T E O P Z m o d e B , l o a d r a d i u s 6 c m . 1 ' 6 - l o a d b o u n d a r y — — ( > a ‘ 9 ' u . { ‘ 4 D o o ’ 5 1 . 2 - T E O p 2 m o d e b g g g ‘ f = 9 . 4 0 4 + j . 5 9 5 6 G H z : 1 E C a v i t y L e n g t h = 1 3 . 8 7 c m o . % 0 . 8 - C a v i t y r a d . 7 . 6 2 c m : : L I : 4 L o a d r o d . 6 c m o o I ‘ a , = 2 0 - j 8 j Z ‘ 6 ° 0 = 6 0 . 4 — o O 4 C E 0 O 0 . 0 , . , . . , f , o 1 2 3 4 5 6 7 8 R a d i a l C o o r d i n a t e ( c m ) F i g u r e 8 - 8 2 R a d i a l H - f i e l d m a g n i t u d e : T I E - . 0 9 2 m o d e B , l o a d r a d i u s 6 c m . 2 7 1 m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y , f o r a = b , w h e r e b i s t h e c a v i t y r a d i u s . I f t h e m o d e v a r i a b l e i s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t e ’ a n d t h e l o a d m a t e r i a l i s l o s s l e s s , t h e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e m a y b e t r a c e d t o a n e m p t y c a v i t y m o d e a s e ’ a p p r o a c h e s z e r o . T h e r e a r e , o f c o u r s e , o t h e r p o s s i b i l i t i e s o f t h i s s o r t . i f A d d i t i o n a l l y , a s h a s b e e n s h o w n a b o v e f o r t h e c a s e s o f t h e T B a n d T M m o d e s , i t i s p o s s i b l e t o t r a c e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s t o c o a x i a l c a v i t y m o d e s a s t h e l o s s f a c t o r 6 " b e c o m e s l a r g e , i n d e p e n d e n t o f t h e v a l u e o f e ' . I t w a s a l s o m e n t i o n e d t h a t t h e n a m e s o f t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s t o w h i c h t h e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s a r e t r a c e d c a n n o t a l w a y s b e u s e d t o n a m e t h e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s . T h i s i s b e c a u s e i n g e n e r a l c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s a r e t r a c e d b y d i f f e r e n t m o d e v a r i a b l e s t o d i f f e r e n t m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s . I n t h e c a s e o f t h e l o a d r a d i u s a s m o d e v a r i a b l e t h e r e a r e c e r t a i n l o a d m a t e r i a l s f o r w h i c h a t r a c e m a y l e a d t o a d i f f e r e n t l y n a m e d e m p t y c a v i t y m o d e f o r a = 0 t h a n t h a t o f t h e m a t e r i a l fi l l e d m o d e f o r a = b . T h i s p h e n o m e n o n w a s d e m o n s t r a t e d m o s t c l e a r l y i n F i g u r e 8 - 5 7 w h e r e o n e o f t h e m o d e s s h o w n b e c a m e t h e e m p t y c a v i t y m o m m a d e a t a = O a n d t h e T M 0 5 2 m o d e a t a = b . M o d e s d e fi n e d i n t h e l o a d r a d i u s m o d e v a r i a b l e w h e r e b o t h r a d i a l e n d p o i n t e m p t y c a v i t y a n d m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s b e a r t h e s a m e d e s i g n a t i o n w e r e c a l l e d r a d i a l l y t r a c e a b l e , a s d i s c u s s e d a b o v e i n S e c t i o n 8 . 3 . 5 . T h e h y b r i d o r H E M m o d e s m a y b e r e p r e s e n t e d i n a s i m i l a r m a n n e r t o t h e T M a n d T E m o d e s t h r o u g h m o d e c h a r t s f o r a n u m b e r o f d i f f e r e n t m o d e v a r i a b l e s . H o w e v e r , t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r h y b r i d m o d e s i s m o r e c o m p l i c a t e d t h a n f o r e i t h e r t h e T B o r t h e T M m o d e s , a s c a n b e s e e n b y c o m p a r i n g E q u a t i o n s ( 3 - 8 6 ) a n d ( 3 - 9 1 ) o f C h a p t e r 3 . I n a d d i t i o n t o t h e a d d e d n u m e r i c a l d i f fi c u l t y , t h e h y b r i d m o d e s c a n n o t b e c l a s s i fi e d a c c o r d i n g t o t h e i r a x i a l fi e l d s , a s c a n t h e T B m o d e s ( n o a x i a l E - fi e l d ) o r t h e T M m o d e s ( n o a x i a l H - fi e l d ) , b e c a u s e t h e h y b r i d m o d e s h a v e b o t h a n a x i a l E - fi e l d a n d a n a x i a l H - fi e l d . T h i s m a k e s n a m i n g t h e m m o r e d i f fi c u l t . I n g e n e r a l t h e y m u s t b e n a m e d a c c o r d i n g t o t h e s c h e m e i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 8 . 2 o f 1 ' C l e a r l y t h i s p r o c e d u r e i s n o t v a l i d f o r a l l m a d e v a r i a b l e s , e . g . , t h e c a v i t y l e n g t h , s i n c e t h e r e i s n o v a l u e f o r t h e c a v i t y l e n g t h , e x c e p t f o r z e r o , a t w h i c h t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n a n d t h e h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c o n fi g u r a t i o n a r e i n d i s t i n g u i s h a b l e . 2 7 2 c a l l i n g t h e h y b r i d m o d e s H E M m o d e s , i n d e x i n g t h e m a c c o r d i n g t o t h e i r a z i m u t h a l , r a d i a l , a n d a x i a l o r d e r . A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 8 . 2 , i t i s p o s s i b l e t o d i s t i n g u i s h t h e H E M m o d e s i n t o t w o c l a s s e s b a s e d o n t h e r a t i o o f E 2 t o H z , c a l l i n g T M - l i k e m o d e s H E a n d T E - l i k e m o d e H H . H o w e v e r , t h e s e d i s t i n c t i o n s a r e n o t a l w a y s m e a n i n g f u l , e s p e c i a l l y w h e n E z a n d H 2 a r e b o t h s u b s t a n t i a l . A s w i l l b e s h o w n i n t h i s S e c t i o n , e v e n i n c a s e s w h e r e H E M m o d e s a r e r a d i a l l y t r a c e a b l e , t h e y m a y b e H H i n o n e l o a d r a d i u s r e g i o n a n d H E i n a n o t h e r . Y e t t h e r e d o a p p e a r t o b e t w o c l a s s e s o f m o d e s w i t h i n t h e H E M m o d e s w h i c h b e a r a s t r o n g r e l a t i o n s h i p t o t h e H E / H H d i s t i n c t i o n d e s c r i b e d i n S e c t i o n 8 . 2 . F i g u r e s 8 - 8 3 a n d 8 - 8 4 d e m o n s t r a t e b o t h t h e u s e f u l n e s s o f t h e H E / H H d i v i s i o n a n d t h e d i f fi c u l t y a s s o c i a t e d w i t h i t . F i g u r e 8 — 8 3 s h o w s t w o r a d i a l l y t r a c e a b l e H E M l p z m o d e s f o r a l o s s l e s s l o a d w i t h e " . = 9 i n a c a v i t y o f r a d i u s 7 . 6 2 c m a n d l e n g t h 1 3 . 8 7 c m . O n e o f t h e m o d e s , l a b e l e d H n g z i n t h e F i g u r e , i s t r a c e a b l e t o t h e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d T E 1 9 2 m o d e s . T h e o t h e r , l a b e l e d H E 1 9 2 , i s t r a c e a b l e t o t h e h o m o g e n e o u s l y l o a d e d T M 1 9 2 m o d e s . T h a t t h e r e i s a p h y s i c a l s i g n i fi c a n c e t o t h e r a d i a l i n d e x o f t h e s e m o d e s , i . e . , 9 , i s d e m o n s t r a t e d b y t h e 9 fl a t r e g i o n s o n e a c h c u r v e . A l t h o u g h i t a p p e a r s f r o m t h e F i g u r e t h a t t h e H H m o d e h a s o n l y 8 “ fl a t s ” i t i s e v i d e n t f r o m t h e e n l a r g e d v i e w s h o w n i n F i g u r e 8 - 8 4 t h a t i t a c t u a l l y h a s 9 . W e r e t h e s e m o d e s n a m e d a c c o r d i n g t o t h e H E M c o n v e n t i o n , t h e y w o u l d b e c a l l e d I ' I E M I O D Z a n d H E M 1 ( 1 8 ) 2 - T h e a x i a l fi e l d i n f o r m a t i o n a n d r a d i a l o r d e r w o u l d n o t b e r e p r e s e n t e d i n t h e n a m e s . A t t h e s a m e t i m e , F i g u r e 8 - 8 4 s h o w s t h a t t h e r e i s a r e g i o n o f t h e I ‘ I E l g z m o d e w h i c h i s n o t H E b u t i s H H . M o s t o f t h e H E 1 9 2 c u r v e i s i n d e e d H E , a n d t h e r e f o r e i t h a s b e e n l a b e l e d a s s u c h , b u t t h e s m a l l H H r e g i o n f r o m p = 0 . 2 4 c m t o p = 0 . 3 3 c m s h o w s t h a t t h i s l a b e l i n g m e t h o d i s n o t p e r f e c t l y c o n s i s t e n t f o r m o d e c h a r t s o f f r e q u e n c y v e r s u s l o a d r a d i u s . A l t h o u g h n o o t h e r F i g u r e s a r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h a t t h i s o c c u r s f o r o t h e r m o d e s a n d l o a d p a r a m e t e r s , i t h a s b e e n f r e q u e n t l y o b s e r v e d b y t h e a u t h o r . S o m e t i m e s , t h o u g h , a m o d e i s p u r e l y H H o r p u r e l y H E f o r a l l v a l u e s o f l o a d r a d i u s . T h e I I I - 1 1 9 2 m o d e i s H R f o r a l l p o i n t s s h o w n i n F i g u r e 8 - 8 3 . ) Z H G ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 2 7 3 2 0 - , . H y b r i d m o d e s 3 ‘ . ° L s = 1 3 . 8 7 c m , 8 r = 9 1 6 ; C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m . T ” 1 1 9 2 1 2 - J H 5 1 9 2 8 : H H 1 9 2 : T E 1 9 2 ‘ > 4 I I I I l I I I I I I I I I I I I T ‘ r I I I I I l I I I T I I I W I l T 0 1 2 3 4 5 6 7 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 8 3 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : 1 1 s z a n d E H 1 9 2 , e , = 9 . ) Z H G ( y c n e u q e r F t n a n o s e R _ 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 5 6 6 . . . . . . 7 5 3 1 9 7 . 5 0 - _ - — 1 - . 1 . d . u i 7 i b r , 8 d m o c s m = H 1 y 3 y R a d , e 5 s r 7 . 6 2 = 9 c m L S C a v i = t H E H H 1 9 2 . , 2 4 0 . . , 2 8 0 . . , 3 2 0 . . , 3 6 0 . . , 4 0 0 . 2 0 2 7 4 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 8 4 B l o w u p v i e w o f s m a l l l o a d r a d i u s r e g i o n . 2 7 5 I n a l l F i g u r e s p r e s e n t e d f o r t h e T M a n d T E c a s e s , t h e m o d e s s h o w e d r a d i a l t r a c e a b i l i t y w h e n t h e l o a d w a s l o s s l e s s . F i g u r e 8 - 8 5 s h o w s t h a t e v e n f o r l o s s l e s s l o a d s t h e h y b r i d m o d e s a r e n o t a l w a y s r a d i a l l y t r a c e a b l e a n d m a y d e m o n s t r a t e d i e l e c t r i c c o n fi n e d b e h a v i o r . F i g u r e 8 - 8 5 i s a p l o t o f t h e m o d e w h i c h i n c l u d e s t h e m a t e r i a l fi l l e d T M 7 1 2 m o d e w h e n t h e l o a d r a d i u s i s e q u a l t o t h e e a v i t y r a d i u s . T h e l o s s l e s s l o a d h a s a r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f 9 . A s s h o w n , t h e m a t e r i a l fi l l e d T M 7 1 2 m o d e i s t r a c e d b a c k t h r o u g h t h e l o a d r a d i u s m o d e v a r i a b l e t o a m u c h h i g h e r o r d e r e m p t y c a v i t y m o d e . T h e f r e q u e n c y b e h a v i o r o f t h i s m o d e f o r s m a l l l o a d r a d i i i s s i m i l a r t o t h a t d i s p l a y e d b y T M a n d T E c o n fi n e d m o d e s i d e n t i fi e d e a r l i e r . 8 . 5 . 2 T r a c i n g H E M M o d e s T h r o u g h P e r m i t t i v i t y a n d L o a d R a d i u s V a r i a b l e s H E M m o d e s i n t r o d u c e a n o t h e r f a c e t i n t o t h e d i s c u s s i o n o f h o w m o d e s a r e t r a c e d f r o m t h e e m p t y c a v i t y t h r o u g h t h e l o a d r a d i u s m o d e v a r i a b l e t o t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y : w h e r e a s w i t h T M o r T E c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s , t h e m o d e s a t e i t h e r r a d i a l e n d p o i n t w e r e e i t h e r T M f o r T M c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s o r T E f o r T B c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s , n o w i t i s p o s s i b l e t h a t a t o n e e n d p o i n t a m o d e m a y b e T M a n d a t t h e o t h e r i t m a y b e T E . I t i s p r o b a b l y a l s o p o s s i b l e , a l t h o u g h i t i s n o t s h o w n h e r e , t h a t a n o n - o - s y m m e t r i c c o a x i a l c a v i t y T E m o d e m a y b e t r a c e d t h r o u g h t h e l o s s f a c t o r m o d e v a r i a b l e t o a n e m p t y c a v i t y T M m o d e , e t c . B e c a u s e i t i s u s e f u l t o u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s a n d m a t e r i a l fi l l e d o r c o a x i a l c a v i t y m o d e s , a n e f f o r t w i l l b e m a d e i n t h i s S e c t i o n t o e x a m i n e t w o c a v i t y - s h o r t t y p e H E M m o d e s a s t h e y m a y b e t r a c e d t o m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s . T h e t w o m o d e s a r e s h o w n i n F i g u r e 8 - 8 6 w h e r e t h e i r r e a l f r e q u e n c i e s a r e p l o t t e d a g a i n s t t h e r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e l o a d , 6 ; . T h e s e m o d e s e x i s t i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y f o r a 1 " d i a m e t e r l o a d a n d a c a v i t y l e n g t h o f 1 3 . 8 7 c m . T h e l o s s f a c t o r o f t h e m a t e r i a l i s g i v e n b y e , " = 8 . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e m o d e s a r e l a b e l e d a s m o d e 1 a n d m o d e 2 . T h e q u e s t i o n m i g h t a r i s e a s t o w h e t h e r t h e s e m o d e s a r e p r o p e r l y i d e n t i fi e d a s b e i n g c o n n e c t e d a s s h o w n . F i g u r e 8 - 8 6 s h o w s t h e m c r o s s i n g n e a r 6 ; = 1 0 . H o w d o w e k n o w t h a t t h e p o i n t s i d e n t i fi e d w i t h m o d e 1 f o r e ; < 1 0 s h o u l d n o t b e g r o u p e d ) Z H G ( y c n e u q e r F t n a n o s e R 2 7 6 1 0 0 H E M 7 p 2 m o d e L 5 = 1 3 . 8 7 c m , a , = 9 8 0 C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 8 5 R e s o n a n t f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H E M - “ , 2 , e , = 9 . o 0 L S = 1 3 . 8 7 c m , 8 " , . = 8 . 0 ) z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 7 7 H E M 1 p 2 m o d e s e . 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d r ' 1 O 1 0 2 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 8 6 R e a l f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t 5 ; : H E M l p z , e : = 8 . 2 7 8 w i t h t h o s e o f m o d e 2 f o r e , ’ > 1 0 t o f o r m o n e m o d e , a n d v i c e - v e r s a t o f o r m t h e o t h e r m o d e ? O n e i n d i c a t i o n t h a t t h e p o i n t s a r e p r o p e r l y g r o u p e d i s t h a t t h e s l o p e s o f t h e m o d e s a r e c o n t i n u o u s a s i d e n t i fi e d i n t h e F i g u r e , w h e r e a s t h e y w o u l d n o t b e c o n t i n u o u s t h e o t h e r w a y . T h i s i s o n l y a n i n d i c a t i o n b e c a u s e i t h a s n o t b e e n s h o w n t h a t t h e i r s l o p e s m u s t b e c o n t i n u o u s . 1 ’ H o w e v e r , e v e n i f t h e s l o p e s a r e n o t r e q u i r e d t o b e a l w a y s c o n t i n u o u s , i s i t l i k e l y t h a t t w o d i f f e r e n t m o d e s w o u l d h a v e d i s c o n t i n u o u s s l o p e s a t p r e c i s e l y t h e s a m e v a l u e f o r t h e m o d e v a r i a b l e ? T h e c o n t i n u i t y o f t h e s l o p e a t t h e c r o s s i n g p o i n t i s t h e r e f o r e a g o o d i n d i c a t i o n o f h o w t h e p o i n t s o u g h t t o b e g r o u p e d i n t o a m o d e . A b e t t e r i n d i c a t i o n , a n d i n f a c t a c o n c l u s i v e r e a s o n , i s g i v e n b y t h e p l o t s o f t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s i n F i g u r e 8 - 8 7 . T h e r e i t i s s h o w n t h a t t h e m o d e s a r e d i s t i n g u i s h a b l e b y t h e i r i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s , w h o s e p l o t s d o n o t c r o s s i n t h i s c a s e . T h e r e i s n o q u e s t i o n , t h e n , w h i c h p o i n t s b e l o n g t o w h i c h m o d e . A s a n a s i d e , t h i s d e m o n s t r a t i o n p o i n t s o u t t h a t i f a m o d e c h a r t i s b e i n g c o n s t r u c t e d f o r a l o s s l e s s s y s t e m a n d i t i s d i f fi c u l t t o d e t e r m i n e h o w d i s c r e t e p o i n t s a r e t o b e g r o u p e d i n t o m o d e s , a d d i n g a s m a l l a m o u n t o f l o s s m a y p r o v i d e t h e a n s w e r t h r o u g h t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y . I t i s n o w s h o w n h o w t h e s e m o d e s a r e t r a c e d t o m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s . F i r s t , a t r a c e t h r o u g h t h e l o a d r a d i u s i s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 8 8 a n d 8 - 8 9 . I n F i g u r e s 8 - 8 8 a n d 8 — 8 9 t h e m o d e s a r e l a b e l e d 1 a n d 2 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e m o d e s i n F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 . T h e t w o s e t s o f F i g u r e s c o n t a i n c o m m o n n a t u r a l r e s o n a n c e p o i n t s : T h e p o i n t s a t e , ’ = 2 0 i n F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 a r e f o r t h e s a m e n a t u r a l r e s o n a n c e s a s t h e p o i n t s a t a = 1 . 2 7 c m i n F i g u r e s 8 - 8 8 a n d 8 - 8 9 . T h e c o m m o n r e s o n a n c e p o i n t s a r e t h e b a s i s f o r t h e l a b e l s 1 a n d 2 i n F i g u r e s 8 - 8 8 a n d 8 - 8 9 . F r o m F i g u r e s 8 - 8 8 a n d 8 - 8 9 i t m a y b e o b s e r v e d t h a t m o d e 1 f o r e , ’ = 2 0 m a y b e t r a c e d b a c k t h r o u g h d i m i n i s h i n g l o a d r a d i u s t o t h e e m p t y c a v i t y T E l 1 2 m o d e . I t m a y a l s o b e t r a c e d w i t h i n c r e a s i n g l o a d r a d i u s t o t h e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y T E ] 1 2 1 I t m u s t a l s o b e r e c o g n i z e d t h a t c o n t i n u i t y , e s p e c i a l l y i n t h e s l o p e , i s d i f fi c u l t t o j u d g e w h e n t h e c u r v e i s c o m p o s e d o f d i s c r e t e p o i n t s . A s h a r p b e n d m a y a p p e a r d i s c o n t i n u o u s a t l o w r e s o l u t i o n , i . e . , f o r a c u r v e c o m p o s e d o f o n l y a f e w p o i n t s . A d d i n g m o r e p o i n t s m a y d e m o n s t r a t e t h a t t h e c u r v e i s a c t u a l l y c o n t i n u o u s . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 7 9 H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L S = 1 3 . 8 7 c m a " , = 8 . 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 8 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . d i e l e c t r i c c o n s t a n t e , { : H E M I P Z , e , " = 8 . R e a l F r e q u e n c y ( G H Z ) 2 8 0 . H E M 1 p 2 m o d e s 7 1 _ 8 r = 2 0 - j 8 , L 5 = 1 3 . 8 7 ‘ . C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m 2 . 0 - 5 1 , 1 . 5 3 ° ‘ ° 1 . 0 - : : T E ' H Z 0 . 5 I I I 1 ‘ W I I I I I I I I r l f r I I I r r ‘ I j I I . t I u r t t l i “ * 1 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 8 8 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H E M l p z , 6 , = = 2 0 - j 8 . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 8 1 0 . 4 - « H E " " 1 p 2 m o d e s : s r = 2 0 - j 8 . L s = 1 3 . 8 7 ‘ ‘ . C a v i t R a d i u s = 7 . 6 2 c m 0 . 3 - y 1 _ 0 . 2 - ' ‘ _ m o d e 2 T E t z z " l ‘ 1 4 » T E " : 0 . 1 — m a d e 1 « V 0 0 0 - I I I I I I I I I I I I ' T I F I I I I I T T I I I ' I I I I ' I F I I ] I 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 L o a d R a d i u s ( c m ) F i g u r e 8 - 8 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o a d r a d i u s : H E M I P Z , i i , = 2 0 — j 8 . 2 8 2 m o d e . S i n c e t h e e m p t y c a v i t y a n d m a t e r i a l fi l l e d e a v i t y m o d e s a r e t h e s a m e t h i s r e s o n a n c e i s r a d i a l l y t r a c e a b l e . T h a t d o e s n o t m e a n t h a t a l l p o i n t s o n m o d e 1 i n F i g u r e 8 - 8 6 a r e r a d i a l l y t r a c e a b l e . R a d i a l t r a c e a b i l i t y h a s o n l y b e e n s h o w n f o r t h e e " . = 2 0 n a t u r a l r e s o n a n c e . T h e r e s o n a n c e a t e , ’ = 2 0 f o r m o d e 2 i s n o t r a d i a l l y t r a c e a b l e . A s t h e l o a d r a d i u s d e c r e a s e s t o w a r d z e r o t h e m o d e a p p r o a c h e s t h e e m p t y e a v i t y m l 1 2 m o d e . A s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e s n e a r t h e c a v i t y r a d i u s t h e m o d e a p p r o a c h e s t h e m a t e r i a l fi l l e d 7 5 1 2 2 m o d e . T h i s i s a n e x a m p l e o f h o w a n e m p t y c a v i t y T M m o d e m a y b e t r a n s f o r m e d i n t o a m a t e r i a l fi l l e d T E . m o d e t h r o u g h t h e l o a d r a d i u s m o d e v a r i a b l e . S o m e t h i n g e l s e t o n o t i c e a b o u t F i g u r e s 8 - 8 8 a n d 8 - 8 9 i s t h a t t h e d i s p l a y o f t h e r a d i a l o r d e r o f t h e m o d e s b y t h e n u m b e r o f “ fl a t s ” i n t h e r e a l f r e q u e n c y p l o t , o r t h e n u m b e r o f l o c a l m i n i m a i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y , c o r r e s p o n d s t o t h e r a d i a l o r d e r o f t h e m a t e r i a l fi l l e d m o d e r a t h e r t h a n t h e e m p t y c a v i t y m o d e . M o d e 2 c o n t a i n s t w o “ fl a t s ” i n t h e r e a l f r e q u e n c y a n d t w o l o c a l m i n i m a i n t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y . T h e s e n u m b e r s c o r r e s p o n d t o t h e r a d i a l o r d e r o f t h e m a t e r i a l fi l l e d T E 1 2 2 m o d e r a t h e r t h a n t h e e m p t y c a v i t y T M 1 1 2 m o d e . R e t u r n i n g t o F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 , w e n o w w i s h t o t r a c e m o d e s 1 a n d 2 b a c k t o t h e e m p t y c a v i t y t h r o u g h t h e l o s s f a c t o r . I n o r d e r t o r e a c h t h e e m p t y c a v i t y b y r e d u c i n g t h e l o s s f a c t o r t o z e r o , t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t m u s t b e t h a t o f a v a c u u m , i . e . , e " . = 1 . B e g i n n i n g w i t h t h e n a t u r a l r e s o n a n c e f o r e , ’ = l i n F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 , t h e m o d e s a r e t r a c e d i n F i g u r e s 8 - 9 0 a n d 8 - 9 1 , s t a r t i n g a t t h e f a r r i g h t f o r e , " = 8 , b a c k t o t h e l o s s l e s s e m p t y c a v i t y m o d e s a t e , " = 0 . M o d e l i s t r a c e d b a c k t o t h e e m p t y c a v i t y T M 1 4 2 m o d e w h i l e m o d e 2 i s t r a c e d b a c k t o T E 1 1 2 . I t i s i n t e r e s t i n g t h a t i t w a s m o d e 1 w h i c h w a s t r a c e d b a c k t o t h e e m p t y c a v i t y T E 1 1 2 m o d e t h r o u g h t h e l o a d r a d i u s m o d e v a r i a b l e i n F i g u r e s 8 8 8 a n d 8 - 8 9 . I t m u s t n o w a p p e a r a s i n d i s p u t a b l e t h a t t r a c i n g a m o d e t h r o u g h a n a r b i t r a r y m o d e v a r i a b l e b a c k t o a m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e , w h i l e p r o v i d i n g s o m e f a s c i n a t i n g p i c t u r e s o f t h e p a t h s o f t h e m o d e s , c a n n o t b e u s e d t o u n i q u e l y a s s o c i a t e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e s w i t h c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s . T h i s i s t h e b a s i s f o r t h e d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 8 . 2 o n t h e n a m i n g o f t h e c a v i t y — s h o r t t y p e m o d e s b y t h e g e n e r a l H E M ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 8 3 1 0 . 0 - ' T M “ , 0 ' H E M 1 P 2 m o d e s 1 W 0 ° ° ° 8 " . = 1 , L 5 = 1 3 8 7 8 . 0 e ° . L o a d R a d i u s = 1 . 2 7 c m ‘ ° s C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m F i g u r e 8 - 9 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r : H E M l p z , e " , = 1 , a = 1 . 2 7 c m . ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m 0 . I J I H I I I I I I 1 I U I I J J I I I 2 8 4 ; H E M 1 p 2 m o d e s 3 . 0 } . a " . ' = 1 , L 5 = 1 3 . 8 7 , a = 1 . 2 7 c m : C a v i t y R a d i u s = 7 . 6 2 c m 2 . 5 4 ' 0 1 ' o A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . A A A A A . 0 o l r I I I l I I I I I T I I I l e I I I I I I I I I I I I F I I T I I 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 H 5 r F i g u r e 8 - 9 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . l o s s f a c t o r : H E M I P Z , e , ’ = 1 , a = 1 . 2 7 c m . 2 8 5 c o n v e n t i o n . A l t h o u g h s o m e o f t h e r a d i a l l y t r a c e a b l e m o d e s h a v e b e e n n a m e d i n t h i s C h a p t e r a c c o r d i n g t o t h e H E / H H c o n v e n t i o n , e v e n t h e y c a n n o t b e u n a m b i g u o u s l y l a b e l e d s o i n e v e r y i n s t a n c e . I t i s i m p o r t a n t t o b e a r t h i s i n m i n d w h e n d i s c u s s i n g t h e s e m o d e s . 8 . 5 . 3 M o d a l O r d e r i n g a n d L o s s F a c t o r I n F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 8 7 t w o m o d e s a r e s h o w n f o r t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , e , ’ , a s t h e m o d e v a r i a b l e . T h e m o d e s i n t h e F i g u r e s w e r e d e fi n e d f o r a l o s s f a c t o r o f e , ” = 8 . I t i s i n t e r e s t i n g t o e x a m i n e t h e b e h a v i o r o f t h e s e t w o m o d e s f o r a v a r i e t y o f l o s s f a c t o r s . T h e F i g u r e s o n t h e f o l l o w i n g s e v e r a l p a g e s , n u m b e r e d 8 - 9 2 t h r o u g h 8 - 1 0 9 s h o w h o w t h e m o d e s o f F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 a r e r e l a t e d t o o n e a n o t h e r f o r l o s s f a c t o r s 6 , " = 4 , 5 , 6 , 7 , 7 . 5 , 9 , 1 0 , 1 2 , a n d 1 5 . W h a t m a k e s t h i s r a t h e r e x t e n d e d s e r i e s o f F i g u r e s i n t e r e s t i n g i s t h e w a y t h e m o d e s s e e m t o t r a d e p o s i t i o n s a s t h e l o s s f a c t o r r i s e s . F i g u r e s 8 - 9 2 a n d 8 - 9 3 s h o w t w o i n d e p e n d e n t m o d e s d e fi n e d b y f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t . T h e l o s s f a c t o r i s h e l d c o n s t a n t a t e , " = 4 . F i g u r e s 8 — 9 4 a n d 8 - 9 5 s h o w t h e s a m e m o d e s , b u t f o r e , " = 5 , a n d s o o n . A s 6 , " i n c r e a s e s t h e t w o m o d e s b e g i n t o d r a w n e a r t o o n e a n o t h e r i n r e a l f r e q u e n c y f o r d i e l e c t r i c c o n s t a n t s n e a r e , ’ = 1 0 . T h e i r i m a g i n a r y f r e q u e n c i e s , w h i c h a r e i n t e r t w i n e d a n d c r o s s n e a r 6 ; = 1 0 f o r l o s s f a c t o r s l e s s t h a n 8 , b e g i n t o p u l l a p a r t a s t h e l o s s f a c t o r r i s e s . W h e n t h e l o s s f a c t o r i s n e a r 7 , a n e c k i s c l e a r l y v i s i b l e i n t h e r e a l f r e q u e n c y p l o t o f F i g u r e 8 - 9 8 . I n c r e a s i n g t h e l o s s f a c t o r s l i g h t l y t o 7 . 5 t h e m o d e s n e a r l y t o u c h a s s h o w n i n F i g u r e 8 - 1 0 0 . A d d i n g a n o t h e r 0 . 5 t o t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r , t h e m o d e s a p p e a r a s s h o w n i n F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 , w h i c h w e r e d i s c u s s e d a b o v e . A t t h i s p o i n t t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y p l o t s a r e n o l o n g e r i n t e r t w i n e d , b u t t h e r e a l f r e q u e n c y p l o t s o f t h e t w o m o d e s n o w c r o s s . T h e w a y i n w h i c h t h i s c r o s s i n g a n d u n c r o s s i n g h a s o c c u r r e d h a s b e e n f o r t h e m o d e s a t s o m e c r i t i c a l j u n c t u r e b e t w e e n 6 , " = 7 . 5 a n d e : = 8 t o t r a d e p l a c e s f o r p o i n t s i n t h e r a n g e e r ’ > 1 0 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 8 6 . H E M 1 p 2 m o d e s 3 . 2 _ 6 C a v 1 t y , 1 l e . R o d L 5 = 1 3 . 8 7 c m D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 2 R e a l f r e q u e n c y v s . 5 ; . 2 H E M l p z , e , " = 4 . 0 . 3 0 — . - H E M 1 p 2 m o d e s ” i s ? J . . ~ ‘ 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d I . . 0 0 ° 2 4 . . L 5 = 1 3 . 8 7 c m v . 0 n — > ‘ “ C r - 4 . 0 0 . Q C ) 0 ' 1 8 : " u 3 U - - n v 5 : = = ‘ Q ) _ ‘ ' 4 ' ‘ = ‘ 0 . 1 2 - ' 4 u E 2 ‘ > x . . ‘ = - I . . ' 1 . t “ = - C ‘ , , ' 4 ‘ = = ‘ . E ‘ ‘ = : l o . 0 = = : - E ) ” 0 . 0 6 - . c - = s , 0 . 0 0 . I - I . T , 1 O 1 0 2 0 3 0 4 O D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 5 ; : H E M I p Z ’ e , " = 4 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a ' e R 2 8 7 H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L 8 = 1 3 . 8 7 c m a " , = 5 . 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 4 R e a l f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e , " = 5 . 0 . 5 - H E M 1 p 2 m o d e s 1 : ? 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d 3 : 9 0 ' 4 “ L S ) = 1 3 . 8 7 c m v > ‘ 4 a " , = 5 . 0 O 8 0 . 3 - 4 3 0 ' Q ) t 0 . 2 “ = : = : = ‘ a ‘ - = : = C . o = = s . E 9 ‘ = = = - g 0 . 1 " c - : = : : : = : : _ _ 0 . 0 l - - - - - - - - - l O 2 0 3 O 4 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e , ’ . : I - I E M I P Z , e , " = 5 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 8 8 3 . 2 : H E M 1 p 2 m o d e s l 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L 5 = 1 3 . 8 7 c m 8 " , . = 6 . 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 6 R e a l f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e ; = 6 . 1 . 0 - ‘ H E M 1 p 2 m o d e s ’ 1 ? J 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d ( I 9 0 ' 8 1 L 5 = 1 3 . 8 7 c m v > 1 8 ' } = 6 . 0 U . " 8 0 . 6 - 4 3 . a C - J 0 . 4 “ o E ‘ 4 v C 4 . S ‘ ' ) ° r = : - - g 0 ’ 2 - a " 5 5 “ , ‘ : = : : = : : — - g ‘ c " _ _ ' = = 5 ‘ ‘ x ‘ c - ‘ = : : : : : : : : _ _ _ _ 0 . 0 ' 1 I I " M 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 : : : ; 0 ‘ 0 2 0 3 0 4 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M I p Z ’ e ; = 6 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a ' e R ) 2 H C ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 8 9 H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L S = 1 3 . 8 7 c m 8 " , . - - = 7 . 0 , 2 . 0 - D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 8 R e a l f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e , " = 7 . H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d “ L s = 1 3 . 8 7 c m a " " = 7 . 0 I I \ I ‘ 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 9 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M I P Z , e , " = 7 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 9 0 3 . 0 — 2 . 7 ; H E M 1 p 2 m o d e s 2 . 4 - - - ' " ~ - - : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ' - - - - - - - - 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d 2 1 . L S = 1 3 . 8 7 c m 1 . 8 - 1 . 5 - 1 . 2 . , . , . , . I O 1 0 2 0 3 0 4 O D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 . 1 0 0 R e a l f r e q u e n c y v s . 1 5 ; : H E M l p z , e , " = 7 . 5 . 2 . 0 - , , ‘ H E M 1 p 2 m o d e s . v 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d 1 ' 6 — L 8 = 1 3 . 8 7 c m “ 8 " , . = 7 . 5 1 . 2 - “ 0 . 8 ~ " 4 o 0 . 4 “ 0 r ~ _ - - 1 c : : : = : = ‘ \ : : : : : : : : ; - - - - : : : : : : : : : = : : : : : : 0 . 0 1 l ' l ' " ‘ * ~ - A = . = . : - : _ : _ : - : - : - : _ : _ : _ : _ 3 O 1 0 2 0 3 O 4 O D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 1 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e " ! = 7 . 5 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 9 1 H E M 1 p 2 m o d e s ‘ 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d 2 . 8 - ‘ L s = 1 3 . 8 7 c m : : \ \ H _ g ’ “ e t a - 9 0 2 . 4 “ 5 5 “ - - _ — - - - : = : : : = = = Z : : : : : : a . ‘ : = : = : : = ‘ ° 2 . 0 - “ g L 6 - ‘ = : , , 5 ‘ : : ‘ J 1 . 2 I I Y j I I 1 fl 0 1 0 2 0 3 0 4 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 2 R e a l f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , e , " = 9 . H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L 8 = 1 3 . 8 7 c m 8 " , . = 9 . 0 - - - - w A - - ‘ - - - v - Q ‘ a . “ A - - - ‘ - _ - - - ‘ D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . € ; . I H E M l p z , e ; = 9 . ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R ) Z H G ( y c n e u q e r F y r a n i g a m I 2 9 2 3 . 0 - " H E M 1 p 2 m o d e s 2 . 7 - ° , . 6 " C a v i t y . 1 " d i a . R o d 2 - ‘ j L s = 1 3 . 8 7 c m 1 s " , = 1 0 . 0 1 . 8 - 1 e ~ ‘ g ‘ 1 . 5 ‘ : : : c c : : § 1 2 ' T ' i ' a m l 0 1 O 2 0 3 O D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 4 R e a l f r e q u e n c y v s . 1 5 ” . : H E M l p z , e , " = 1 0 . 1 . 8 1 H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L S = 1 3 . 8 7 c m 5 " , . = 1 0 “ § Q ‘ Q “ : - ‘ - s A - ‘ - - - w - D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 5 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . e , ’ : H E M I P Z , e , " = 1 0 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R I m a g i n a r y F r e q u e n c y ( G H Z ) 2 9 3 3 . 0 - ‘ H E M 1 p 2 m o d e s 2 . 7 - - 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d 2 - 1 ‘ L S = 1 3 . 8 7 c m . 1 2 1 . 8 - 1 . 5 - 1 . 2 v i T i i a I O 1 0 2 0 3 0 4 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 6 R e a l f r e q u e n c y v s . e r ’ : H E M l p z , a , " = 1 2 . 1 . 6 — « H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d 1 2 ; L s = 1 3 . 8 7 c m 8 " , . = 1 2 0 . 8 - J 0 . 4 - 0 . 0 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 7 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e , " = 1 2 . ) Z H G ( y c n e N u q e r F l a e R T ) Z H G ( y c n e u q e O ( ! I L r F y r a n i g a m I 2 9 4 3 . 0 - 1 H E M 1 p 2 m o d e s 2 . 7 — 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L 5 = 1 3 . 6 7 c m 1 5 D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 8 R e a l f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z » e ; = 1 5 . 1 . 5 - ‘ . . H E M 1 p 2 m o d e s 6 " C a v i t y , 1 " d i a . R o d L 5 = 1 3 . 8 7 c m 5 " , . = 1 5 1 . 2 - D i e l e c t r i c C o n s t a n t F i g u r e 8 - 1 0 9 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . 6 ; : H E M l p z , e , " = 1 5 . 2 9 5 A s t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r c o n t i n u e s t o r i s e b e y o n d 8 , t h e l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t r a n g e o f t h e m o d e c a l l e d m o d e 1 i n F i g u r e s 8 - 8 6 a n d 8 - 8 7 d r o p s i n r e a l f r e q u e n c y , w h i l e m o d e 2 r e m a i n s r e l a t i v e l y s t a b l e . B y t h e t i m e c , " = 1 2 t h e r e a l f r e q u e n c y o f m o d e 1 h a s f a l l e n c o m p l e t e l y b e l o w m o d e 2 , a s s h o w n i n F i g u r e 8 - 1 0 6 . T h e m o d e s s e p a r a t e e v e n f a r t h e r , i n b o t h r e a l a n d i m a g i n a r y f r e q u e n c y , a s t h e l o s s f a c t o r r i s e s b e y o n d 1 2 t o 1 5 , s h o w n i n F i g u r e s 8 - 1 0 8 a n d 8 - 1 0 9 . T h e s e F i g u r e s d e m o n s t r a t e t h e c o m p l i c a t e d n a t u r e o f t h e r e l a t i o n s h i p o f l o s s y c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s t o o n e a n o t h e r . T h e y d e m o n s t r a t e t h a t a s l i g h t c h a n g e i n d i e l e c t r i c c o n s t a n t o r l o s s f a c t o r c a n s w i t c h a h e a t i n g p r o c e s s f r o m o n e m o d e o v e r t o a n o t h e r w i t h n o i m m e d i a t e l y n o t i c e a b l e c h a n g e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y o r q u a l i t y f a c t o r . F o r i n s t a n c e , s u p p o s e t h a t a c e r t a i n h e a t i n g p r o c e s s u s i n g t h e m o d e s d e s c r i b e d b y F i g u r e s 8 - 9 2 t h r o u g h 8 - 1 0 9 c a u s e s t h e r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f a m a t e r i a l t o i n c r e a s e f r o m 5 t o 1 5 . I f t h e r e l a t i v e l o s s f a c t o r i s b e t w e e n 7 . 5 a n d 8 , a v e r y s l i g h t c h a n g e i n t h e l o s s f a c t o r a t e ; = 1 0 w i l l c a u s e a s w i t c h i n t h e e x c i t e d m o d e w h i c h h e a t s t h e m a t e r i a l . W h i l e t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y i s n o t d i s t u r b e d a t t h e p o i n t w h e r e t h e m o d e i s s w i t c h e d , f u r t h e r p r o c e s s i n g w i l l r e q u i r e d i f f e r e n t t u n i n g i n t h e r e s o n a n t ‘ f r e q u e n c y a s e , ’ i n c r e a s e s f r o m 1 0 t o 1 5 . I n t h e o n e c a s e t h e f r e q u e n c y w i l l n e e d t o b e t u n e d h i g h e r a n d w i l l t h e n r e m a i n s t a b l e , i n t h e o t h e r i t w i l l h a v e t o b e c o n t i n u o u s l y t u n e d d o w n w a r d . 8 . 6 C o n c l u s i o n T h e p l o t s p r e s e n t e d i n t h e F i g u r e s o f t h i s C h a p t e r d e m o n s t r a t e s o m e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e w i d e v a r i e t y o f m o d e b e h a v i o r d i s p l a y e d b y t h e c a v i t y — s h o r t t y p e l o a d e d c a v i t y . I t h a s b e e n s h o w n t h a t f o r l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t s a n d l o s s f a c t o r s , a n d f o r s m a l l l o a d r a d i i , t h e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s a r e s i m i l a r t o e m p t y c a v i t y m o d e s , b o t h i n f r e q u e n c y a n d fi e l d p a t t e r n s . F o r s m a l l l o a d r a d i i , e v e n w h e n t h e l o s s f a c t o r a n d d i e l e c t r i c c o n s t a n t a r e h i g h , a n d t h e m a t e r i a l a b s o r b s m o s t o f t h e m i c r o w a v e e n e r g y , r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d fi e l d p a t t e r n s c a n b e s i m i l a r t o e m p t y c a v i t y c o n d i t i o n s , a s s h o w n i n F i g u r e s 8 4 3 a n d 8 - 4 4 . 2 9 6 H i g h l o s s f a c t o r m a t e r i a l s c a n b e v i e w e d a s p e r t u r b a t i o n s o f t h e c o a x i a l c a v i t y , b o t h i n f r e q u e n c y a n d fi e l d s t r u c t u r e . I t h a s b e e n s h o w n t h a t i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r i n t h e h i g h l o s s f a c t o r r a n g e c a u s e s a n i n c r e a s e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y , b u t t h a t a n i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r i n a m o d e r a t e l y l o s s y m a t e r i a l c a n c a u s e a r e d u c t i o n i n r e s o n a n t f r e q u e n c y , p a r t i c u l a r l y f o r T M m o d e s . I t h a s b e e n d e m o n s t r a t e d t h a t c h a n g e s i n c a v i t y l e n g t h a f f e c t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y , w h i l e t h e c a v i t y Q i s r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o s u c h c h a n g e s . W h i l e a f e w g e n e r a l i z a t i o n s a r e p o s s i b l e , o n t h e w h o l e , t h e F i g u r e s d e m o n s t r a t e t h a t t h e c a v i t y - s h o r t t y p e m o d e s d i s p l a y d i v e r s e a n d s o m e t i m e s u n u s u a l b e h a v i o r , e s p e c i a l l y w h e n t h e d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s o f t h e l o a d m a t e r i a l a r e a l t e r e d . F o r t h i s r e a s o n i t i s w o r t h w h i l e , w h e n d e s i g n i n g a h e a t i n g p r o c e s s , t o d e t e r m i n e h o w c h a n g e s i n d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s w i l l a f f e c t c a v i t y t u n i n g a n d c o u p l i n g o f e n e r g y i n t o t h e m a t e r i a l . C a v i t y t u n i n g m a y b e p a r t i a l l y u n d e r s t o o d b y r e s o n a n t f r e q u e n c y b e h a v i o r , w h i l e e n e r g y c o u p l i n g t o t h e m a t e r i a l i n v o l v e s c o n s i d e r a t i o n o f b o t h q u a l i t y f a c t o r a n d fi e l d s t r u c t u r e . F o r s i m p l e c o n fi g u r a t i o n s l i k e t h e c o a x i a l l y - l o a d e d e a v i t y , n u m e r i c a l s o l u t i o n s l i k e t h o s e p r e s e n t e d i n t h i s C h a p t e r m a y p r o v e i n v a l u a b l e f o r u n d e r s t a n d i n g t h e p r o c e s s . F o r m a t e r i a l s o f a r b i t r a r y s h a p e , c a r e f u l a n a l o g i e s t o t h e s i m p l e c o n fi g u r a t i o n m a y l e n d i n s i g h t a s w e l l . C h a p t e r 9 N U M E R I C A L S O L U T I O N S F O R T H E C A V I T Y - O P E N T Y P E C O N F I G U R A T I O N 9 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e c a v i t y - o p e n t y p e l o a d i n g c o n fi g u r a t i o n i s s h o w n i n i t s m o s t g e n e r a l f o r m i n F i g u r e 4 - 2 o f C h a p t e r 4 . I t c o n s i s t s o f a c y l i n d r i c a l c a v i t y o f r a d i u s b a n d l e n g t h L , w i t h a c y l i n d r i c a l l y s h a p e d , h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c d i e l e c t r i c l o a d p l a c e d c o a x i a l l y i n s i d e t h e c a v i t y w i t h i t s c e n t e r a t h e i g h t h a b o v e t h e c a v i t y fl o o r . T h e l o a d i s o f r a d i u s a a n d l e n g t h I . T h e e s s e n t i a l c h a r a c t e r i s t i c o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n w h i c h d i s t i n g u i s h e s i t f r o m t h e w a v e g u i d e o r e a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n i s t h a t t h e l o a d l e n g t h i s l e s s t h a n t h e w a v e g u i d e o r c a v i t y l e n g t h . T h e e n d s o f t h e l o a d b e c o m e a d d i t i o n a l b o u n d a r i e s a t w h i c h t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s m u s t b e a p p r o p r i a t e l y m a t c h e d . A s p e c i a l c a s e o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n e x i s t s f o r h = 1 1 6 L 3 . T h i s s p e c i a l c a s e , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 3 o f C h a p t e r 4 , i s c a l l e d t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n . T h e d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 4 . 3 p o i n t s o u t t h a t , b y t a k i n g a d v a n t a g e o f t h e g e o m e t r i c a l s y m m e t r y o f t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n , c a l c u l a t i o n s o f r e s o n a n t c h a r a c t e r i s t i c s a r e g r e a t l y s i m p l i fi e d o v e r t h e g e n e r a l c a v i t y - o p e n t y p e c a s e . T h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 4 - 4 o f t h e s a m e S e c t i o n . T h i s C h a p t e r i s i n t e n d e d t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e a n a l y t i c s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 4 f o r t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n s m a y b e i m p l e m e n t e d n u m e r i c a l l y . D u e t o t h e i r c o m p l e x i t y , h o w e v e r , c o m p a r a t i v e l y f e w s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d r e l a t i v e t o t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s C h a p t e r f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e s i m p l e r , « I i - s y m m e t r i c T M m o d e s h a v e b e e n c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e t e c h n i q u e f o r o b t a i n i n g n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e g e n e r a l c a s e . S e c t i o n 9 . 2 c o n t a i n s a T M ( n = 0 ) s p e c i a l i z a t i o n o f t h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o u n d i n C h a p t e r 4 . N o s p e c i a l n a m i n g s c h e m e i s p r o p o s e d f o r t h e m o d e s e x a m i n e d i n t h i s C h a p t e r . T h e y a r e s i m p l y c a l l e d b y t h e i r n e a r e s t e m p t y c a v i t y 2 9 7 2 9 8 r e l a t i v e . I n g e n e r a l t h i s i s a n i n s u f fi c i e n t m e a n s o f i d e n t i f y i n g c a v i t y - o p e n t y p e m o d e s , b u t i t w i l l s e r v e f o r t h e f e w c a s e s p r e s e n t e d h e r e . N e x t w i l l b e p r e s e n t e d a n o u t l i n e o f t h e m e t h o d o f t h e n u m e r i e a l p r o c e d u r e . T h e a i m o f t h e p r o c e d u r e i s t o fi n d t h e s o l u t i o n s t o t h e c a v i t y - o p e n t y p e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , E q u a t i o n ( 4 - 1 4 7 ) o r E q u a t i o n ( 4 - 1 8 0 ) . T h e c o m p l e x i t y o f E q u a t i o n s ( 4 - 1 4 7 ) a n d ( 4 - 1 8 0 ) r e q u i r e t h a t t h e y b e s o l v e d i n a n u m b e r o f s t e p s . T h e s e s t e p s c o n s i s t o f i n p u t o f c a v i t y a n d l o a d p a r a m e t e r s , r e a d i n g i n t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s f o r t h e m o d e s i n t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n s , s o l v i n g f o r r a d i a l w a v e n u m b e r s i n t h e l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n s , c o n s t r u c t i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x , fi n d i n g i t s d e t e r m i n a n t , fi n d i n g t h e d e t e r m i n a n t z e r o s , a n d s o l v i n g f o r t h e m o d e c o e f fi c i e n t s . A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h i s p r o c e d u r e i s g i v e n i n S e c t i o n 9 . 3 . F o l l o w i n g t h e d i s c u s s i o n o f t h e n u m e r i c a l p r o c e d u r e , n u m e r i c a l s o l u t i o n s w i l l b e p r e s e n t e d f o r s e l e c t e d m o d e s a n d m a t e r i a l l o a d s . S o l u t i o n s f o r M e t h o d s I a n d I I o f C h a p t e r 4 f o r t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n w i l l b e c o m p a r e d w i t h e a c h o t h e r a n d w i t h e x p e r i m e n t . T h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a , r e g a r d i n g t h e n u m b e r o f m a t r i x e l e m e n t s n e c e s s a r y t o p r o v i d e a c c u r a t e r e s u l t s , w i l l a l s o b e e x a m i n e d . T h e C h a p t e r c o n c l u d e s w i t h n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r t h e g e n e r a l c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n w h e n t h e h e i g h t h o f t h e l o a d i s a l l o w e d t o v a r y . 9 . 2 T M S p e c i a l i z a t i o n o f t h e C a v i t y - O p e n T y p e C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n 9 . 2 . 1 C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e T M C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n T h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g c a v i t y - o p e n t y p e r e s o n a n c e s a r e m u c h s i m p l i fi e d w h e n t h e m o d e s h a v e n o o - d e p e n d e n c e , i . e . , n = 0 . A s d e m o n s t r a t e d i n C h a p t e r s 3 a n d 4 , u n d e r s u c h c o n d i t i o n s t h e c a v i t y m o d e s m a y b e c o n s t r u e d a s e i t h e r T M o r T E . F o r T M m o d e s t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e w a v e n u m b e r s i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n o f t h e c a v i t y a r e f o u n d a s t h e s o l u t i o n t o W = 0 , ( 9 - 1 ) n = 0 w h e r e W " i s d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 3 - 9 4 ) o f C h a p t e r 3 . 2 9 9 9 . 2 . 2 M e t h o d I T h e M e t h o d I c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e l o a d e d c a v i t y i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 1 4 7 ) o f C h a p t e r 4 w i t h t h e m a t r i x e l e m e n t s a s g i v e n i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 5 0 ) t h r o u g h ( 4 - 1 5 3 ) . T h e s u b o r d i n a t e e x p r e s s i o n s f r o m A p p e n d i x C , f o u n d i n E q u a t i o n s ( C - 2 ) a n d ( C - 3 ) , a r e s i m p l i fi e d t o b e c o m e 2 k I ( k 1 a ) S ( k z a ) < E , e m > - = R ( k l a ) - L l ° 1 * ° 9 , < 9 - 2 ) P l 0 P [ ‘ 3 2 F o ( k p 2 0 ) a n d 2 6 2 k p l 1 0 ( k p 1 a ) S ° ( k p 2 a ) a , [ ( 3 2 F 0 0 0 2 “ ) ( H , h m ) p , = R o ( k p 1 a ) - ( 9 - 3 ) w h e r e R o ( k p 1 a ) a n d 8 0 ( k p 2 a ) a r e g i v e n b y E q u a t i o n s ( C - 4 ) a n d ( G S ) , J o ( k p 1 a ) i s a n o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n o f t h e fi r s t k i n d , a n d F o ( k p 2 a ) i s d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 3 - 7 6 ) o f C h a p t e r 3 . I f t h e l o a d i s l o c a t e d a t t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y , i . e . , h = ‘ 1 5 L 3 , a n d s t a n d i n g w a v e s o l u t i o n s a r e u s e d f o r t h e a x i a l d e p e n d e n c e i n b o t h R e g i o n I a n d i n R e g i o n I I , t h e m a t r i x e l e m e n t s f o r M e t h o d I a r e g i v e n b y ‘ y - . t L 7 ‘ X p i = a . s r n ( ' y i § ) c o s [ k z [ ‘ 2 ] ( E , e 7 ” ) . . - ] ( 1 1 , } : m ) ” . T h i s m a t r i x , a s w i l l b e s h o w n b e l o w , i s h i g h l y i l l - c o n d i t i o n e d a n d , d e s p i t e i t s r e l a t i v e s i m p l i c i t y , i s n o t s u i t a b l e f o r c a l c u l a t i n g t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s o f t h e T M m o d e s . ( 9 - 4 ) L , - e k r . + j c o s ( y , - - 2 - ) s r n [ k z [ 9 . 2 . 3 M e t h o d 1 1 A m o r e n u m e r i c a l l y s t a b l e m a t r i x i s f o u n d o n t h e l e f t h a n d s i d e o f E q u a t i o n ( 4 - 1 8 0 ) . W h e n n = 0 , t h e T M m o d e o f f - d i a g o n a l m a t r i x e l e m e n t s d e fi n e d b y 3 0 0 E q u a t i o n ( 4 - 1 7 6 ) a r e s i m p l i fi e d s u c h t h a t K i j i s g i v e n b y 2 ‘ q u k z l 4 ‘ 1 ( H h m ) ” ( H ’ h T M > q i I , 4 Z " ; 6 x 0 4 1 : ( x o q ) ( 9 - 5 ) T h e d i a g o n a l e l e m e n t s a r e a l s o s i m p l i fi e d . W i t h K i i g i v e n b y E q u a t i o n ( 9 - 5 ) w h e n i = j , 5 , . i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 1 7 5 ) w h e r e ( E , H x 2 I , ” h a s b e e n s i m p l i fi e d t o b e c o m e 2 J z k p Z ( E , H x 2 ; . £ M = ( k p l a ) ( 1 , 1 ' ) + E S E — . 2 3 2 [ P ; F ' 2 ( k p z b ) - ( F , F ' ) ] , ( 9 - 6 ) 2 1 ‘ 0 s z w i t h 2 1 , ] J ' 2 + J J ’ , - ( > = l 1 + k p l a ] ( 9 7 ) a n d F , F F ' 2 + F 2 2 F F ’ . - ( > = [ + k p z a ] ( 9 8 ) I , F , J ' , a n d F ’ a r e d e fi n e d b y E q u a t i o n s ( 3 - 8 4 ) o f C h a p t e r 3 . 9 . 3 O u t l i n e o f N u m e r i c a l P r o c e d u r e U s e d t o S o l v e E q u a t i o n s ( 4 - 1 4 7 ) a n d ( 4 - 1 8 0 ) I t i s p o s s i b l e t o s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r a v a r i e t y o f s y s t e m p a r a m e t e r s , e . g . , g i v e n t h e g e o m e t r i c a l d i m e n s i o n s , r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y Q , t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a y b e d e t e r m i n e d a s a z e r o o f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x . S i m i l a r l y , g i v e n r e s o n a n t f r e q u e n c y , c a v i t y Q , a n d c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t , a n y t w o g e o m e t r i c a l p a r a m e t e r s m i g h t b e f o u n d a s s o l u t i o n s . 1 ' T h e e i g e n v a l u e s f o r w h i c h t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s s o l v e d i n t h i s d i s c u s s i o n a r e 1 ' O f c o u r s e , i t i s p o s s i b l e i n t h i s c a s e t h a t a s o l u t i o n d o e s n o t e x i s t . H o w e v e r , i f a s o l u t i o n d o e s e x i s t f o r t h e i n p u t v a r i a b l e s , i t m a y b e f o u n d a s a s o l u t i o n t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . 3 0 1 t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x f r e q u e n c y . T h e g e o m e t r i c a l p a r a m e t e r s o f t h e c a v i t y a n d l o a d , i . e . , a , b , I , L s , a n d h , a n d t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e l o a d , 6 , a r e p r e - s p e c i fi e d . T h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e t h e n v a l u e s f o r c o m p l e x f r e q u e n c y , i . e . , 6 : = w ’ + j t o " . T h e r e a r e c o m m o n s t e p s i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n p r o c e s s f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o f b o t h M e t h o d s I a n d I I . T h e fi r s t o f t h e s e i s t h e i n p u t o f d a t a d e s c r i b i n g t h e c a v i t y a n d l o a d d i m e n s i o n s , a n d t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e l o a d m a t e r i a l . F o r t h e g e n e r a l c a s e , t h e h e i g h t o f t h e s a m p l e a b o v e t h e c a v i t y f l o o r i s a l s o s p e c i fi e d . I t i s c o n v e n i e n t t o i n c l u d e s u c h d a t a i n a n e d i t a b l e fi l e w h i c h t h e c o m p u t e r p r o g r a m r e a d s a u t o m a t i c a l l y a t t h e b e g i n n i n g o f e x e c u t i o n . A c c e s s i n g t h e p a r a m e t e r s f r o m a fi l e s a v e s t i m e i n t y p i n g t h e m i n e a c h t i m e , a n d m a k e s t h e m i n d e p e n d e n t o f t h e p r o g r a m i t s e l f . I f p a r a m e t e r s a r e m a d e a p a r t o f t h e p r o g r a m c o d e , t h e p r o g r a m m u s t b e r e c o m p i l e d e a c h t i m e t h e p a r a m e t e r s c h a n g e . F o r t h e p a r a m e t e r s w h i c h c h a n g e w i t h e a c h e x e c u t i o n , e . g . , i f i t i s d e s i r e d t o fi n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c y f o r a n u m b e r o f d i f f e r e n t s a m p l e l e n g t h s , i t i s c o n v e n i e n t t o i n p u t t h e m a t a p r o g r a m p r o m p t s u c h t h a t t h e i n p u t v a l u e o v e r r i d e s t h e v a l u e r e a d f r o m t h e p a r a m e t e r fi l e . O t h e r v a r i a b l e p r o g r a m i n f o r m a t i o n m a y b e t r e a t e d t h e s a m e w a y . S u c h i n f o r m a t i o n a s t h e m a t r i x d i m e n s i o n s , t h e a c c u r a c y o f t h e r o o t s d e s i r e d , m a x i m u m n u m b e r o f i t e r a t i o n s , e t c . , m a y b e i n c l u d e d i n t h e p a r a m e t e r fi l e o r p l a c e d i n i t s o w n fi l e . I t i s u s e f u l t o p l a c e c o m m e n t s i n t h e s e e x t e r n a l fi l e s t o i n d i c a t e w h a t e a c h n u m e r i c fi e l d c o r r e s p o n d s t o . I n o r d e r t o c o n s t r u c t t h e m a t r i x e l e m e n t s i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e r a d i a l a n d a x i a l w a v e n u m b e r s b e k n o w n f o r e a c h m o d e i n e a c h r e g i o n . A l l o f t h e s e v a l u e s , e x c e p t f o r t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s i n t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n , a r e f r e q u e n c y d e p e n d e n t . T h e f r e q u e n c y d e p e n d e n t w a v e n u m b e r s m u s t b e c a l c u l a t e d d u r i n g t h e r o o t - fi n d i n g p r o c e s s a s t h e f r e q u e n c y c h a n g e s . H o w e v e r , t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n r a d i a l w a v e n u m b e r s a r e g i v e n s i m p l y i n t e r m s o f t h e z e r o s o f B e s s e l f u n c t i o n s a n d m a y b e r e a d i n t o a n a r r a y a t t h e s t a r t o f t h e p r o g r a m . S i n c e t h e s e B e s s e l f u n c t i o n z e r o s m a y b e c a l c u l a t e d i n d e p e n d e n t l y , o r m a y b e f o u n d i n r e f e r e n c e t a b l e s , i t i s b e s t 3 0 2 t o s t o r e t h e m i n a fi l e , s u b r o u t i n e , o r e x t e r n a l f u n c t i o n p r o g r a m b l o c k . T h e a x i a l w a v e n u m b e r s a r e l i n k e d t o t h e r a d i a l w a v e n u m b e r s t h r o u g h t h e f r e q u e n c y a c c o r d i n g t o E q u a t i o n ( 3 - 2 4 ) o f C h a p t e r 3 . T h e r a d i a l w a v e n u m b e r s i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n o f t h e c a v i t y m u s t b e c a l c u l a t e d d u r i n g t h e r o o t - fi n d i n g p r o c e s s , a s m e n t i o n e d a b o v e . H o w e v e r , t h e s e w a v e n u m b e r s a r e t h e m s e l v e s d e t e r m i n e d b y a r o o t - fi n d i n g p r o c e d u r e . T h e y , a l o n g w i t h t h e a x i a l w a v e n u m b e r s , a r e f o u n d a s t h e s o l u t i o n o f E q u a t i o n ( 9 - 1 ) . I n o r d e r t o s o l v e f o r t h e m , a n i n i t i a l g u e s s f o r t h e r a d i a l w a v e n u m b e r o f e a c h m o d e m u s t b e e n t e r e d . I t i s p o s s i b l e , d u r i n g t h e p r o c e s s o f fi n d i n g t h e r o o t s o f t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t , t o g i v e a z e r o i n i t i a l g u e s s f o r e a c h r a d i a l w a v e n u m b e r e v e r y t i m e t h e f r e q u e n c y i s a d j u s t e d a n d t h e n i n c r e m e n t t h e i n i t i a l g u e s s e s u n t i l t h e y a r e c l o s e e n o u g h t h a t t h e r a d i a l w a v e n u m b e r r o o t i s f o u n d . T h e p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h i s t h a t i t o f t e n r e s u l t s i n s p u r i o u s r o o t s . I t i s a l s o e x t r e m e l y s l o w a n d t h e w a v e n u m b e r s a r e n o t f o u n d i n o r d e r s o t h a t t h e y m u s t b e s o r t e d a f t e r w a r d s . A b e t t e r a l t e r n a t i v e i s t o r e a d i n a l i s t o f i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r a d i a l w a v e n u m b e r s a t t h e b e g i n n i n g o f p r o g r a m e x e c u t i o n . T h e s e i n i t i a l g u e s s e s m a y b e c a l c u l a t e d i n d e p e n d e n t l y a s r o o t s o f E q u a t i o n ( 9 - 1 ) f o r a s p e c i fi e d c o m p l e x f r e q u e n c y . A s l o n g a s t h e f r e q u e n c y d u r i n g t h e z e r o fi n d i n g f o r t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t d o e s n o t c h a n g e d r a s t i c a l l y f r o m t h e f r e q u e n c y u s e d t o e a l c u l a t e t h e g u e s s e s , t h e l i s t w i l l c o n t a i n g o o d i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e w a v e n u m b e r s i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d r e g i o n . T h i s l i s t o f g u e s s e s , o r “ s e e d s , ” m a y b e e n t e r e d a t t h e b e g i n n i n g o f p r o g r a m e x e c u t i o n i n t h e s a m e w a y a s t h e B e s s e l f u n c t i o n z e r o s . T h e b o d y o f t h e p r o g r a m i s c o n c e r n e d w i t h t h e a c t u a l fi n d i n g o f t h e z e r o s o f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x . F o r t h e i m p l e m e n t a t i o n h e r e , t h e z e r o s a r e t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s o f t h e l o a d e d c a v i t y . C o m p l e x r o o t - fi n d i n g i s a m u c h m o r e d i f fi t h t a s k t h a n fi n d i n g t h e r o o t s o f a r e a l f u n c t i o n w i t h r e a l a r g u m e n t s . F o r s m o o t h l y v a r y i n g c o m p l e x f u n c t i o n s t h e r e a r e f a i r l y r e l i a b l e t e c h n i q u e s w h i c h m a y b e u s e d , a m o n g t h e m t h e s e c a n t m e t h o d a n d M u l l e r ’ s m e t h o d . T h e s e a r e u s e f u l o n l y f o r s i n g l e — o r d e r e d r o o t s , i . e . , n o f u n c t i o n s l i k e f ( z ) = ( z - z o ) 2 . N e w t o n ’ s m e t h o d i s a l s o 3 0 3 a v a i l a b l e f o r c o m p l e x r o o t s o f a c o m p l e x f u n c t i o n , b u t r e q u i r e s a s m o o t h l y v a r y i n g f u n c t i o n , a g o o d g u e s s f o r t h e r o o t , a n d c o m p u t a t i o n o f t h e f u n c t i o n d e r i v a t i v e . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n z e r o s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , i . e . , E q u a t i o n s ( 3 - 9 1 ) , ( 3 - 9 2 ) , a n d ( 9 - 1 ) , h a v e b e e n f o u n d , f o r t h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e , u s i n g T r a u b ’ s r e c e n s i o n o f M i l l e r ’ s m e t h o d . T h i s m e t h o d w a s a l s o u s e d t o fi n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y i n C h a p t e r 8 a n d t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e i n C h a p t e r 7 . I t i s b r i e fl y d i s c u s s e d a n d t h e F O R T R A N s o u r c e c o d e p r o v i d e d i n A p p e n d i x E . A l t h o u g h t h i s m e t h o d w o r k s w e l l f o r t h e w a v e g u i d e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , i t d o e s n o t w o r k f o r fi n d i n g t h e z e r o s o f t h e c a v i t y - o p e n t y p e m a t r i x d e t e r m i n a n t . T h e z e r o s o f t h e i d e t e r m i n a n t s o f t h e m a t r i c e s i n E q u a t i o n s ~ ( 4 - 1 4 7 ) a n d ( 4 - 1 8 0 ) c o u l d n o t b e f o u n d b y t h i s t e c h n i q u e b e c a u s e n e i t h e r M e t h o d I n o r M e t h o d I I m a t r i x d e t e r m i n a n t s a r e s m o o t h l y v a r y i n g c o m p l e x f u n c t i o n s . B o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t s a r e s t e p f u n c t i o n s i n b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e a r g u m e n t s . T h e z e r o s m a y b e p i c t u r e d a s “ p i n - h o l e s ” i n t h e d e t e r m i n a n t m a g n i t u d e s u r f a c e o v e r t h e c o m p l e x p l a n e . I n o r d e r t o fi n d t h e z e r o s o f t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t s i t w a s n e c e s s a r y t o i n v o k e a t e c h n i q u e b a s e d u p o n m a p p i n g t h e z e r o s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s s e p a r a t e l y o n t h e c o m p l e x a r g u m e n t p l a n e . S i n c e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e d e t e r m i n a n t a r e s t e p f u n c t i o n s , b i s e c t i o n i s n e c e s s a r y t o fi n d t h e i r z e r o s . T h e p r o c e d u r e i s a s f o l l o w s : 1 ) T h e z e r o s o f t h e r e a l p a r t o f t h e d e t e r m i n a n t a r e p l o t t e d i n t h e c o m p l e x p l a n e , f o r m i n g a c u r v e , 2 ) t h e z e r o s o f t h e i m a g i n a r y p a r t a r e p l o t t e d i n a s e p a r a t e c u r v e , 3 ) t h e p o i n t w h e r e t h e t w o c u r v e s c r o s s i s t h e z e r o o f t h e c o m p l e x d e t e r m i n a n t . I n a c t u a l i t y , p h y s i c a l p l o t s a r e n o t n e c e s s a r y a n d t h e c r o s s i n g p o i n t s m a y b e d e t e r m i n e d w i t h o u t g r a p h i c a l o u t p u t . A F O R T R A N p r o g r a m c a l l e d C O M B I S w a s d e v e l o p e d t o s o l v e f o r t h e r o o t s i n t h i s m a n n e r . T h e c o d e f o r C O M B I S i s f o u n d i n A p p e n d i x E . W h a t e v e r r o o t - fi n d i n g r o u t i n e i s u s e d , t h e g e n e r a l p r o c e d u r e f o r fi n d i n g r o o t s i s t h e s a m e . T h e r o o t - fi n d e r m u s t b e g i v e n a f u n c t i o n w h o s e z e r o s a r e b e i n g s o u g h t , a n i n i t i a l g u e s s o r t w o f o r t h e z e r o , t h e a c c u r a c y t o w h i c h t h e z e r o i s d e s i r e d , a n d t h e 3 0 4 m a x i m u m n u m b e r o f i t e r a t i o n s t o d i s c h a r g e b e f o r e g i v i n g u p . T h e o u t p u t o f t h e r o o t - fi n d e r i s , o f c o u r s e , t h e r o o t . I n t h e c a s e a t h a n d , a f t e r c a l l i n g t h e r o o t - fi n d e r f r o m t h e m a i n p r o g r a m , t h e r o o t - fi n d i n g r o u t i n e s p e c i fi e s t h e i n i t i a l g u e s s e s a s f r e q u e n c i e s f o r w h i c h t h e m a t r i x e l e m e n t s a r e e a l c u l a t e d . C o n t r o l i s t h e n t r a n s f e r r e d t o a s u b r o u t i n e w h i c h c a l c u l a t e s t h e m a t r i x f o r t h e g i v e n f r e q u e n c y . T h e fi r s t t h i n g t h e m a t r i x c a l c u l a t i o n s u b r o u t i n e d o e s i s t o c a l l a n o t h e r s u b r o u t i n e t h a t c a l c u l a t e s t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e w a v e n u m b e r s 7 , k n ] , a n d k p z , a n d r e t u r n s t h e m t o t h e m a t r i x c a l c u l a t o r i n a n i n d e x e d a r r a y . . T h i s w a v e n u m b e r c a l c u l a t i o n s u b r o u t i n e u s e s t h e “ s e e d ” v a l u e s f o r k p l t h a t w e r e i n i t i a l l y s p e c i fi e d i n t h e m a i n p r o g r a m . H a v i n g c a l c u l a t e d a l l o f t h e w a v e n u m b e r s a n d k n o w i n g t h e f r e q u e n c y , t h e m a t r i x e l e m e n t s m a y t h e n b e c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n s ( 4 - 1 5 0 ) o r ( 9 - 4 ) f o r M e t h o d 1 , o r ( 4 - 1 7 5 ) a n d ( 4 - 1 7 6 ) o r ( 9 - 5 ) a n d ( 9 - 6 ) f o r M e t h o d I I . W i t h t h e m a t r i x e l e m e n t s c a l c u l a t e d , t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x i s c o m p u t e d a n d t h e a n s w e r r e t u r n e d t o t h e r o o t - fi n d e r } T h e r o o t - fi n d e r e v a l u a t e s t h e a n s w e r a n d s u g g e s t s a n o t h e r f r e q u e n c y f o r w h i c h t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t i s t o b e c a l c u l a t e d . T h e p r o c e s s o f m a t r i x c a l c u l a t i o n f o l l o w e d b y c o m p u t a t i o n o f t h e d e t e r m i n a n t c o n t i n u e s f o r e a c h n e w f r e q u e n c y s p e c i fi e d b y t h e r o o t - f m d e r u n t i l t h e r o o t - fi n d e r i s s a t i s fi e d t h a t t h e r o o t h a s b e e n f o u n d . I f a l l t h a t i s w a n t e d i s t h e c o m p l e x f r e q u e n c y , t h e p r o b l e m i s s o l v e d a t t h i s p o i n t . I f t h e fi e l d v a l u e s a r e n e e d e d , i t i s n e c e s s a r y t o c o m p u t e t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x f o r t h e c o m p l e x f r e q u e n c y a n d s o l v e E q u a t i o n ( 4 - 1 4 6 ) o r E q u a t i o n ( 4 - 1 8 0 ) f o r t h e m o d e c o e f fi c i e n t s i n R e g i o n I I . T h e m o d e c o e f fi c i e n t s i n R e g i o n s I o r I I I a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e R e g i o n I I m o d e c o e f fi c i e n t s i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 6 ) t h r o u g h ( 4 - 1 3 9 ) a n d E q u a t i o n s ( 4 - 1 5 7 ) t h r o u g h ( 4 - 1 6 0 ) . A l l c o e f fi c i e n t s , a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g w a v e n u m b e r s , a r e t h e n p u t b a c k i n t o t h e s u m m e d fi e l d e q u a t i o n s , E q u a t i o n s ( 4 - 1 1 8 ) t h r o u g h ( 4 - 1 2 5 ) , e t c . T h e fi e l d s a r e t h e n k n o w n a t a n y p o i n t w i t h i n t h e e a v i t y o r l o a d . * F o r s y m m e t r i c m a t r i c e s , t h e d e t e r m i n a n t i s c a l c u l a t e d m o r e s i m p l y a n d a c c u r a t e l y b y t a k i n g t h e s y m m e t r y i n t o a c c o r m t i n t h e d e t e r m i n a n t a l g o r i t h m . 3 0 5 9 . 4 N u m e r i c a l a n d E x p e r i m e n t a l R e s u l t s 9 . 4 . 1 E x p e r i m e n t a l M e a s u r e m e n t T e c h n i q u e s : C a v i t y - I m a g e T y p e w i t h V a r y i n g L o a d L e n g t h S i n c e t h e c h i e f f e a t u r e o f t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n i s a l o a d l e n g t h d i f f e r e n t f r o m t h e c a v i t y l e n g t h , m e a s u r e m e n t s w e r e m a d e f o r a v a r i e t y o f l o a d l e n g t h s t o e x p l o r e t h e e f f e c t o f l o a d l e n g t h o n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y Q . L o a d s a m p l e s o f a c o m m o n m a t e r i a l w e r e p r e p a r e d i n a n u m b e r o f d i f f e r e n t l e n g t h s a n d fi t t e d w i t h t i n y h o l e s t o a c c o m m o d a t e t h e t h r e a d u s e d t o s u s p e n d t h e s a m p l e s i n t h e c a v i t y , . s i m i l a r t o t h e l o a d s u s p e n s i o n . s h o w n i n F i g u r e 5 - 5 . A t y p i c a l s a m p l e i s s h o w n i n F i g u r e 9 - 1 w i t h t h r e a d h o l e s d i a g o n a l l y t h r o u g h t h e t o p a n d s i d e s a s i n d i c a t e d . T h e m e a s u r e m e n t s p r e s e n t e d i n t h i s C h a p t e r w e r e m a d e u s i n g t h e 6 " d i a m e t e r c a v i t y d e s c r i b e d a b o v e i n C h a p t e r 5 . I n p u t p o w e r w a s p r o v i d e d b y a n u n a m p l i fi e d s i g n a l f r o m a s w e e p o s c i l l a t o r , o n t h e o r d e r o f 1 m W , s o t h a t t h e l o a d m a t e r i a l t e m p e r a t u r e w o u l d n o t b e a f f e c t e d b y t h e m e a s u r e m e n t a p p a r a t u s . A c i r c u i t d i a g r a m f o r l o w p o w e r f r e q u e n c y a n d c a v i t y Q m e a s u r e m e n t s i s s h o w n i n F i g u r e 9 - 2 . T h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y Q w e r e m e a s u r e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r : S i n c e a n y c h a n g e s i n t h e c a v i t y p a r a m e t e r s L s , t h e c a v i t y l e n g t h , a n d L P , t h e p r o b e p e n e t r a t i o n l e n g t h , a f f e c t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y , t h e s e a d j u s t m e n t s w e r e h e l d c o n s t a n t f o r a l l f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s f o r a g i v e n e x p e r i m e n t . T h e c o n s t a n t v a l u e s o f L S a n d L P w e r e d e t e r m i n e d b y fi r s t t u n i n g a n d c r i t i c a l l y c o u p l i n g t h e e m p t y c a v i t y t o t h e d e s i r e d e m p t y c a v i t y T M m o d e b y a d j u s t i n g L s a n d L p . T h e s e s e t t i n g s , a l o n g w i t h t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d c a v i t y Q w e r e r e c o r d e d . T h e n a n a v e r a g e s i z e d s a m p l e w a s p l a c e d i n t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y a n d L p w a s a d j u s t e d f o r c r i t i c a l c o u p l i n g . L s w a s n o t a d j u s t e d f r o m t h e e m p t y c a v i t y s e t t i n g . L s a n d L P r e m a i n e d a t t h e s e s e t t i n g s t h r o u g h o u t t h e e x p e r i m e n t f o r f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t . S a m p l e s o f v a r y i n g l e n g t h w e r e t h e n p l a c e d i n s i d e t h e c a v i t y b y s u s p e n d i n g t h e m o n t h i n c o t t o n t h r e a d s a n d l o w e r i n g t h e m u n t i l t h e i r c e n t e r s c o i n c i d e d w i t h t h e e a v i t y c e n t e r . T h e r e s o n a n t f r e q u e n c y w a s m e a s u r e d . T h e n L p w a s a d j u s t e d f o r c r i t i c a l c o u p l i n g a n d Q w a s m e a s u r e d b y t h e h a l f - p o w e r b a n d w i d t h m e t h o d u s i n g t h e \ 1 3 0 6 T h r e a d . T h r e a d h o l e h o l e F i g u r e 9 - 1 L o a d s a m p l e w i t h h o l e s f o r t h r e a d s u s p e n s i o n . S w e e p O s c i l l a t o r 3 0 7 M a t e r i a l L o a d ‘ D i r e a t i o n a l C o u p l e r { D X e — U C r y s t a l D e t e c t o r — E Z X E — — O s c i l l o s c o p e M i c r o w a v e C a v i t g F i g u r e 9 - 2 M i c r o w a v e c i r c u i t f o r l o w p o w e r m e a s u r e m e n t s o f f r e q u e n c y a n d Q . 0 5 C “ I W . 3 0 8 o s c i l l o s c o p e l L p w a s r e t u r n e d t o i t s o r i g i n a l s e t t i n g a n d t h e s a m p l e w a s r e m o v e d . S i n c e t h e e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y t e n d e d t o s h i f t v e r y s l i g h t l y d u r i n g t h e e x p e r i m e n t , i t w a s r e m e a s u r e d a f t e r e a c h s a m p l e w a s r e m o v e d . F i n a l l y , i t w a s n e c e s s a r y t o s h i f t t h e m e a s u r e d r e s o n a n t f r e q u e n c i e s a n d Q ’ s t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n n o n - i d e a l i t i e s i n t h e e x p e r i m e n t a l c a v i t y . F o r e x a m p l e , t h e e x p e r i m e n t a l e m p t y c a v i t y e i g e n l e n g t h , L 8 , i s 1 5 . 6 4 8 c m a t 2 . 4 5 0 0 0 G h z f o r t h e m o m m a d e . F o r t h e s a m e e i g e n l e n g t h t h e t h e o r e t i c a l e m p t y e a v i t y s h o u l d r e s o n a t e i n t h e T M 0 1 2 m o d e a t 2 . 4 3 6 8 5 G h z . I n o r d e r f o r t h e s e t o m a t c h , t h e e x p e r i m e n t a l l y o b t a i n e d f r e q u e n c y m u s t b e s h i f t e d d o w n b y 1 3 . 1 5 M h z . T h e j u s t i fi c a t i o n f o r t h i s s h i f t i s t h a t n o n - i d e a l i t i e s h a v e b e e n i n t r o d u c e d i n t o t h e e x p e r i m e n t a l c a v i t y , e . g . , w a l l s o f fi n i t e c o n d u c t i v i t y , a n e x c i t a t i o n p r o b e , fi n g e r s t o c k a r o u n d t h e t o p s h o r t i n g p l a t e , t i n y h o l e s i n t h e c a v i t y w a l l s . T h e 1 3 . 1 5 M h z s h i f t a c c o u n t s f o r t h e p e r t u r b a t i o n d u e t o t h e s e n o n - i d e a l f e a t u r e s o f t h e e x p e r i m e n t a l c a v i t y . A s i m i l a r s h i f t w a s a p p l i e d t o t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s f o r t h e c o n d u c t i n g l o a d i n C h a p t e r 5 . S i n c e t h e d e g r e e o f p e r t u r b a t i o n d e p e n d s o n t h e ‘ fi e l d p a t t e r n s i n t h e v i c i n i t y o f t h e n o n — i d e a l f e a t u r e s o f t h e c a v i t y , t h e s h i f t i s d i f f e r e n t f o r e a c h m o d e . I f i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h e fi e l d p a t t e r n s n e a r t h e c a v i t y w a l l s , t h e fi n g e r s t o c k , a n d t h e p r o b e , e t c . , a r e n o t g r e a t l y a l t e r e d b y i n t r o d u c i n g t h e l o a d s a m p l e i n t o t h e c a v i t y , t h e n t h e s a m e s h i f t s h o u l d b e a p p l i e d t o t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d f r e q u e n c i e s w h e n t h e l o a d s a m p l e i s i n p l a c e . F o r r e l a t i v e l y s m a l l s a m p l e s w i t h l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t s a n d l o s s f a c t o r s t h i s a s s u m p t i o n i s v a l i d ; i n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t h a t f o l l o w t h e e x p e r i m e n t a l f r e q u e n c i e s h a v e b e e n s h i f t e d d o w n b y a p p r o x i m a t e l y 1 3 . 1 5 M h z f o r t h e “ “ 0 1 2 m a d e . T h e p r e c i s e s h i f t , b e t w e e n 1 3 . 1 5 a n d 1 3 . 4 5 M h z , w a s d e t e r m i n e d b y t h e e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y m e a s u r e d a f t e r e a c h s u c c e s s i v e s a m p l e w a s r e m o v e d . W h e n t h e s a m p l e p r e s e n t s a l a r g e e l e c t r o m a g n e t i c l o a d , b y v i r t u e o f l a r g e g e o m e t r i e a l d i m e n s i o n s o r d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s , t h e a b o v e a s s u m p t i o n r e g a r d i n g t h e c o n t i n u i t y o f t h e f i e l d p a t t e r n s h a p e s i s l e s s l e g i t i m a t e . H o w e v e r , i n s u c h a e a s e , t h e s m a l l p e r t u r b a t i o n o f 1 3 o r s o M H z i s i n s i g n i fi c a n t i n p r o p o r t i o n t o t h e o v e r a l l * S e e S e c t i o n 8 . 2 o f C h a p t e r 8 . 3 0 9 f r e q u e n c y s h i f t d u e t o t h e l o a d i t s e l f . I t m a y s t i l l b e i n c l u d e d o r n e g l e c t e d w i t h o u t s i g n i fi c a n t l y a f f e c t i n g t h e a c c u r a c y o f t h e m e a s u r e m e n t . S t i l l , u n l e s s t h e fi e l d p a t t e r n s a r e c h a n g e d f r o m t h e e m p t y c a v i t y fi e l d s s o r a d i c a l l y a s t o h a v e s w i t c h e d r e g i o n s o f h i g h H - fi e l d f o r r e g i o n s o f h i g h E - fi e l d a n d v i c e - v e r s a , a s m a l l f r e q u e n c y s h i f t i n t h e s a m e d i r e c t i o n a s b e f o r e i s i n o r d e r . T h e r e f o r e , i t i s u s u a l l y b e s t t o i n c l u d e t h e o r i g i n a l f r e q u e n c y s h i f t p e r t u r b a t i o n r e g a r d l e s s o f t h e l o a d . T h e s a m e t y p e o f a r g u m e n t c a n b e m a d e f o r s h i f t i n g t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f c a v i t y Q . T h e i d e a l e m p t y c a v i t y w i t h p e r f e c t l y c o n d u c t i n g w a l l s h a s a Q 0 o f 0 ° , w h e r e t h e s u b s c r i p t 0 i n d i c a t e s t h a t t h e c a v i t y i s e m p t y . S i n c e t h e e x p e r i m e n t a l c a v i t y w a l l s a r e m a d e o f b r a s s , w h i c h h a s a fi n i t e c o n d u c t i v i t y , i t ’ s q u a l i t y f a c t o r , Q w , i s fi n i t e . T h e s u b s c r i p t w i n d i c a t e s t h a t t h e fi n i t e n e s s o f t h i s q u a l i t y f a c t o r i s d u e t o t h e c a v i t y w a l l c o n d u c t i v i t y . I f t h e q u a n t i t y E , i s d e fi n e d a s t h e e n e r g y s t o r e d i n t h e e m p t y c a v i t y , a n d t h e q u a n t i t y P d w a s t h e p o w e r d i s s i p a t e d i n t h e c a v i t y w a l l s , Q w i s d e fi n e d a s 5 3 . ( 9 - 9 ) P d w Q w = w I f P r i n t i s t h e p o w e r d i s s i p a t e d i n t h e l o a d m a t e r i a l o f t h e l o a d e d c a v i t y , t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f o r t h e q u a l i t y f a c t o r i n a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c a v i t y , a s s u m i n g t h a t t h e s t o r e d e n e r g y i s c l o s e t o t h e e n e r g y s t o r e d i n t h e e m p t y c a v i t y , m a y b e a p p r o x i m a t e d b y E s ‘ ( 9 - 1 0 ) s z t o . P d m T h e a c t u a l m e a s u r e d v a l u e c o n t a i n s p o w e r l o s s e s i n b o t h t h e c a v i t y w a l l s a n d t h e l o a d m a t e r i a l , i . e . , E S ( 9 - 1 1 ) Q z w , e P d w + P d o w h e r e t h e s u b s c r i p t e r e f e r s t o e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d l o a d e d c a v i t y Q . I t i s t h e q u a n t i t y Q m w h i c h w e w a n t t o c o m p a r e w i t h t h e t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n s . F r o m E q u a t i o n s ( 9 - 9 ) t h r o u g h ( 9 - 1 1 ) i t i s e v i d e n t t h a t _ . e _ - _ , 9 - 1 2 Q m Q . Q w ( ) o r Q Q 3 . 4 ; , 9 - 1 3 9 ' " Q w - Q . ( ) H a v i n g d e r i v e d t h i s e x p r e s s i o n , i t i s n e c e s s a r y t o s a y t h a t E q u a t i o n ( 9 - 1 3 ) i s a f a i r l y r o u g h a p p r o x i m a t i o n f o r Q m s i n c e t h e e n e r g y d i s s i p a t e d i n t h e c a v i t y w a l l s i s l e s s w h e n t h e c a v i t y c o n t a i n s a d i e l e c t r i c l o a d w h i c h d o e s n ’ t t o u c h t h e w a l l s t h a n w h e n t h e c a v i t y i s e m p t y . 1 S u b t r a c t i n g o f f e m p t y c a v i t y w a l l l o s s e s i s a n o v e r c o m p e n s a t i o n f o r l o s s e s i n t h e w a l l s w h e n t h e c a v i t y i s l o a d e d . T h e r e f o r e , t h e e x p e r i m e n t a l Q " , a s g i v e n b y E q u a t i o n ( 9 - 1 3 ) o u g h t t o b e h i g h e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e o f Q m . I t w i l l b e s h o w n b e l o w t h a t t h i s i s i n f a c t t h e c a s e . 9 . 4 . 2 M e t h o d I T h e c a v i t y — i m a g e t y p e s o l u t i o n f r o m t h e m a t r i x d e fi n e d b y E q u a t i o n ( 9 4 ) p r o v i d e s t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s i n F i g u r e 9 - 3 . E x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n , a s d e s c r i b e d a b o v e , f o r s a m p l e s o f l e n g t h s 1 . 0 3 , 2 . 9 8 , 4 . 0 7 , 5 . 0 1 , 7 . 6 1 , 1 0 . 0 1 , a n d 1 1 . 9 0 c m , c u t f r o m a 0 . 5 " d i a m e t e r r o d o f n y l o n 6 6 . T h e c a v i t y d i a m e t e r w a s 6 " a n d i t s l e n g t h w a s 1 5 . 6 4 8 c m . T h e s a m p l e s w e r e i n s e r t e d t h r o u g h a h o l e o f d i a m e t e r 0 . 5 3 1 ” i n t h e t o p o f t h e c a v i t y a n d s u s p e n d e d a t t h e c a v i t y c e n t e r b y t h i n c o t t o n t h r e a d . A m e a s u r e m e n t w a s a l s o m a d e f o r a s a m p l e w h i c h e x t e n d e d t h e e n t i r e c a v i t y l e n g t h , i . e . , a c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n . T h e m e a s u r e m e n t s o n t h e s h o r t e r s a m p l e s , t h e c a v i t y - l e n g t h s a m p l e , a n d t h e e m p t y c a v i t y a l l a p p e a r a s c r o s s e d O ’ s i n F i g u r e 9 — 3 . F i g u r e 9 - 3 d e m o n s t r a t e s t h a t t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n s a r e v e r y c l o s e t o t h e m e a s u r e d v a l u e s f o r s a m p l e l e n g t h s o f 0 c m ( e m p t y c a v i t y ) a n d 1 5 . 6 4 8 c m ( c a v i t y - s h o r t t y p e ) . F u r t h e r m o r e , t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t z e r o c a l c u l a t i o n m e t h o d , i . e . , l Z a k i a n d A t i a , 1 0 4 0 - 4 1 . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 3 1 1 T M 0 1 2 m o d e , 6 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d . \ < — — e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y 2 . 4 3 5 : ‘ e t n 2 . 4 3 6 8 5 G H z 2 . 4 3 0 - 5 e r = 3 . 0 3 — j 0 . 0 3 9 § 1 5 . 6 4 8 c m 2 . 4 2 5 : 2 4 2 0 - : 2 . 4 1 5 - 1 I r e a l f r e q u e n c y 1 f r o m s h o r t — t y p e s o l u t i o n — — ( > 2 . 4 1 0 : B u t » : T h e o r y ( 3 x 3 m a t r i x ) 2 . 4 1 1 7 4 G H Z : o — o T h e o r y ( 5 x 5 m a t r i x ) . 9 E x e r ' m e n t o l D a t a 2 . 4 0 5 4 . . . ” . 1 . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . - , . . , 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 1 6 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 3 R e a l f r e q u e n c y v s . r o d l e n g t h : T M 0 1 2 m o d e , 3 x 3 a n d 5 x 5 m a t r i c e s . 3 1 2 c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n , y i e l d s p r e c i s e l y t h e s a m e t h e o r e t i c a l v a l u e w h e n l = 0 a s t h e e m p t y e a v i t y t h e o r e t i c a l s o l u t i o n , E q u a t i o n ( 4 - 1 8 ) . S i m i l a r l y , f o r l = L s = 1 5 . 6 4 8 , t h e c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n y i e l d s t h e s a m e v a l u e a s t h e c a v i t y - s h o r t t y p e s o l u t i o n , E q u a t i o n ( 9 - 1 ) w i t h t h e c o n s t r a i n t o f E q u a t i o n ( 4 - 2 8 ) . T h e s e v a l u e s a r e g i v e n i n F i g u r e 9 - 3 t o s i x s i g n i fi c a n t d i g i t s . A s i n d i c a t e d i n t h e F i g u r e , t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s a r e f o r m a t r i c e s t r u n c a t e d a t 3 x 3 a n d 5 x 5 . S i n c e t h e a c t u a l t h e o r e t i c a l s o l u t i o n r e q u i r e s a m a t r i x o f d i m e n s i o n s o n x o n , i f t h e d e t e r m i n a n t i s u n i f o r m l y c o n v e r g e n t i n t h e m a t r i x d i m e n s i o n , t h e l a r g e r t h e m a t r i x t h e b e t t e r t h e s o l u t i o n s h o u l d b e . E x a m i n i n g o n l y t h e 3 x 3 a n d 5 x 5 d e t e r m i n a n t z e r o s , i n i t i a l i n d i c a t i o n s a r e t h a t t h a t i s t h e c a s e h e r e . T h e 5 x 5 s o l u t i o n a p p e a r s t o b e t t e r fi t t h e e x p e r i m e n t a l d a t a t h a n t h e 3 x 3 . I n f a c t , i f i t c o u l d b e s h o w n t h a t t h e l a r g e r m a t r i x s o l u t i o n s c o n v e r g e d t o t h e s o l u t i o n s h o w n h e r e f o r t h e 5 x 5 m a t r i x , w e w o u l d s a y t h a t t h e s o l u t i o n s h o w s f a i r a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t . H o w e v e r , t h a t i s n o t t h e c a s e . F i g u r e 9 - 4 s h o w s w h a t h a p p e n s t o t h e s o l u t i o n w h e n t h e m a t r i x s i z e i s i n c r e a s e d t o 7 x 7 . T h e s o l u t i o n s m a t c h a t b o t h e n d s a n d a t a p o i n t n e a r I = 9 c m . A s f o r p o i n t s b e t w e e n , i t i s c l e a r t h a t t h e s o l u t i o n f o r t h e 7 x 7 m a t r i x i s s t r a y i n g a w a y f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h i s t e n d e n c y b e c o m e s m o r e p r o n o u n c e d a s t h e m a t r i x s i z e i n c r e a s e s . F i g u r e s 9 - 5 a n d 9 - 6 s h o w w h a t h a p p e n s w h e n t h e m a t r i x s i z e i n c r e a s e s t o 1 3 x 1 3 . T h e s e F i g u r e s a r e f o r a 7 " c a v i t y w h i c h d e m o n s t r a t e s n e a r l y i d e n t i c a l b e h a v i o r t o t h e 6 " c a v i t y o f F i g u r e s 9 - 3 a n d 9 - 4 . T h e l a r g e r t h e m a t r i x , t h e m o r e w i l d t h e c u r v e b e c o m e s . T h i s i s t y p i c a l b e h a v i o r f o r a n u m e r i c a l l y u n s t a b l e m a t r i x . O t h e r f a c t o r s i n d i c a t e a p r o b l e m w i t h t h i s s o l u t i o n a s w e l l . F i r s t o f a l l , t h e r e a r e n o d e t e r m i n a n t z e r o s i n t h e v i c i n i t y o f t h e t r u e s o l u t i o n f o r e v e n l y n u m b e r e d m a t r i x d i m e n s i o n s . T h e n c e t h e o d d - d i m e n s i o n e d m a t r i c e s i n F i g u r e s 9 - 3 t h r o u g h 9 - 6 . T h e r e i s n o i n t r i n s i c r e a s o n w h y t h e t r u n c a t i o n m u s t o c c u r o n l y a t o d d d i m e n s i o n s f o r a s o l u t i o n t o a p p e a r . T h i s p o i n t s t o a n u m e r i c a l d i f fi c u l t y . F u r t h e r m o r e , t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f r e q u e n c y b e a r s n o s e m b l a n c e o f c o r r e s p o n d e n c e t o t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s . I n f a c t , f o r s m a l l l o a d l e n g t h s , t h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y 3 1 3 T M 0 1 2 m o d e , 6 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d < r — — - e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y 2 . 4 3 5 a 0 2 . 4 3 6 8 5 G H z A N . I 2 4 3 0 1 - ' 8 . q e r — 3 . 0 3 - 1 0 . 0 3 9 > ‘ I — 1 5 . 6 4 8 c m 0 2 4 2 5 1 c . a ) a 3 - a ) 2 . 4 2 0 - L L ' 5 2 . 4 1 5 4 ( ‘ 1 1 : , r e a l f r e q u e n c y 2 f r o m s h o r t - t y p e s o l u t i o n 2 . 4 1 0 : a — a T h e o r y ( 7 x 7 m a t r i x ) 2 . 4 1 1 7 4 G H Z : H T h e o r y ( 5 x 5 m a t r i x ) 9 E x p e r i m e n t a l D a t a 2 . 4 0 5 ' . . , . . e , . fi , - . . , . . . , . . . , . . 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 1 6 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) I I fi 1 f 1 F i g u r e 9 - 4 R e a l f r e q u e n c y v s . r o d l e n g t h : T M 0 1 2 m o d e , 5 x 5 a n d 7 x 7 m a t r i c e s . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 3 1 4 2 . 4 2 2 _ T M 0 1 2 m o d e , 7 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d ‘ < , _ _ . e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y ' ‘ ' 2 . 4 1 9 4 6 G H z 2 . 4 1 8 - ' 6 , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 ' - 1 4 . 6 5 c m 2 . 4 1 4 4 2 . 4 1 0 - r e a l f r e q u e n c y ‘ f r o m s h o r t — t y p e s o l u t i o n 2 . 4 0 6 - B — E l 7 x 7 m a t r i x 2 . 4 0 5 7 2 G H Z ‘ H 5 x 5 m a t r i x 1 H 3 x 3 m a t r i x 2 . 4 0 2 0 — 0 1 x 1 m a t r i x ' fi . fi t . . . , . . . j . . 0 . 0 2 . 0 4 . 0 . T . . . , . . . 1 . . . , 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 5 7 " c a v i t y , T M 0 1 2 m o d e : 1 x 1 , 3 x 3 , 5 x 5 , a n d 7 x 7 m a t r i c e s . 3 1 5 T M O 1 2 m o d e , 7 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d 2 . 4 2 A N I ( . 9 v > \ 0 C ( D . g . 2 . 3 4 _ e r = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 3 3 1 L s = 1 4 . 6 5 c m u d 8 2 3 0 1 9 — 9 1 : 5 x 1 3 m a t r i x 0 5 ° q H 7 x 7 m a t r i x H 5 x 5 m a t r i x H 3 x 3 m a t r i x 0 — 0 1 x 1 m a t r i x 2 . 2 6 . . . 1 . . . , . . r . . . . , . . T , . . . . . . , . 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 6 7 " c a v i t y , m o m m a d e : 1 x 1 , 3 x 3 , 5 x 5 , 7 x 7 , a n d 1 3 x 1 3 m a t r i c e s . 3 1 6 f o u n d b y M e t h o d I i s n e g a t i v e . A s h a s b e e n p r e v i o u s l y m e n t i o n e d , n e g a t i v e i m a g i n a r y f r e q u e n c y c o r r e s p o n d s t o n o n — p h y s i c a l , e x p o n e n t i a l g r o w t h o f e n e r g y i n t i m e . T h a t t h e s e p r o b l e m s a r e c a u s e d b y i n s u f fi c i e n t n u m e r i c a l p r e c i s i o n c a n b e p r o v e d b y e x a m i n i n g t h e c o n d i t i o n n u m b e r s o f t h e m a t r i c e s . B y d e fi n i t i o n , t h e c o n d i t i o n n u m b e r i s t h e r a t i o o f t h e l a r g e s t t o t h e s m a l l e s t o f t h e s i n g u l a r v a l u e s o f a m a t r i x . I t i s a g a u g e b y w h i c h t o d e t e r m i n e t h e n u m e r i c a l p r e c i s i o n n e c e s s a r y t o p r o v i d e a c c u r a t e r e s u l t s i n c a l c u l a t i o n s i n v o l v i n g t h e m a t r i x . A r o u g h e s t i m a t e o f t h e n e c e s s a r y n u m b e r o f d i g i t s t o c a r r y i s t h e o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e c o n d i t i o n n u m b e r . A c o n d i t i o n n u m b e r o f 1 0 6 i n d i c a t e s t h a t a t l e a s t 6 d i g i t s m u s t b e c a r r i e d i n t h e c a l c u l a t i o n s . T h e r e f o r e , t h e h i g h e r t h e c o n d i t i o n n u m b e r , t h e m o r e d i g i t s n e c e s s a r y . N u m e r i c a l l y u n s t a b l e m a t r i c e s h a v e h i g h c o n d i t i o n n u m b e r s a n d a r e r e f e r r e d t o a s “ i l l - c o n d i t i o n e d . ” C o n d i t i o n n u m b e r s w e r e m e a s u r e d f o r 3 x 3 , 5 x 5 , a n d 7 x 7 m a t r i c e s f o r t h e c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e s 9 - 3 a n d 9 - 4 f o r a l o a d l e n g t h o f 4 c m . T h e f r e q u e n c y w a s s e t t o a r e a l v a l u e o f 2 . 4 3 G H z . S i n c e a n a c c u r a t e m e a s u r e m e n t w a s d e s i r e d f r o m a p r e s u m a b l y i l l - c o n d i t i o n e d m a t r i x , 2 5 t o 3 0 d i g i t s w e r e c a r r i e d i n t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e c o n d i t i o n n u m b e r . T h i s w a s a c c o m p l i s h e d b y 2 a m a t h e m a t i c a l s o f t w a r e p a c k a g e w h i c h , a m o n g i t s o t h e r u s i n g M a t h e m a t i c a , c a p a b i l i t i e s , i s a b l e t o p e r f o r m a r b i t r a r y p r e c i s i o n n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s . L o o k i n g a t F i g u r e s 9 - 3 t h r o u g h 9 - 6 , t h e p o i n t ( 4 c m , 2 . 4 3 G H z ) d o e s n o t c o i n c i d e w i t h a z e r o f o r a n y o f t h e m a t r i x s i z e s , y e t i s i n t h e v i c i n i t y o f z e r o s f o r a l l t h r e e . T h i s i s a g o o d l o c a t i o n a t w h i c h t o m e a s u r e t h e c o n d i t i o n n u m b e r s i n c e t h e m a t r i x i s e v a l u a t e d i n t h i s n e i g h b o r h o o d d u r i n g t h e z e r o - fi n d i n g p r o c e s s . A t t h e s a m e t i m e , a c a l c u l a t e d z e r o i s n o t c h o s e n a s a p o i n t a t w h i c h t o e v a l u a t e t h e c o n d i t i o n n u m b e r s i n c e t h e c o n d i t i o n n u m b e r i s h i g h , t h e o r e t i c a l l y i n fi n i t e , a t a d e t e r m i n a n t z e r o . T h e c o n d i t i o n n u m b e r f o r t h e 3 x 3 m a t r i x w a s 5 . 5 x 1 0 9 . T h i s i s a r e m a r k a b l y h i g h c o n d i t i o n n u m b e r f o r a 3 x 3 m a t r i x , a l t h o u g h m a n a g e a b l e a t 1 6 d i g i t s o f 0 1 6 p r e c i s i o n . F o r t h e 5 x 5 m a t r i x t h e c o n d i t i o n n u m b e r w a s 3 . 8 x l , a n i n c r e a s e o f 7 o r d e r s o f m a g n i t u d e o v e r t h e 3 x 3 c a s e . F i n a l l y , t h e 7 x 7 m a t r i x y i e l d e d a c o n d i t i o n Z M a r h e m a r i c a , V e r . 2 . 0 , W o l f r a m R e s e a r c h , I n c . ( C h a m p a i g n , 1 1 1 . : W o l f r a m R e s e a r c h , I n c . , 1 9 9 1 ) . 3 1 7 n u m b e r o f 9 . 8 x 1 0 2 5 . T h e s e n u m b e r s a r e r a t h e r a m a z i n g f o r s u c h s m a l l m a t r i c e s . T h e y m a y p r o v i d e o u t s t a n d i n g e x a m p l e s o f n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y t o b e r e f e r r e d t o i n t h e f u t u r e b y t e a c h e r s o f n u m e r i c a l m a t h e m a t i c s , b u t i n t h i s c o n t e x t t h e y i n d i c a t e t h a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e l o s s y , c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n a r e n o t t o b e f o u n d b y M e t h o d 1 . 9 . 4 . 3 M e t h o d I I A s o l u t i o n b a s e d u p o n M e t h o d I I w a s c o m p a r e d t o t h e s a m e e x p e r i m e n t a l d a t a p r e s e n t e d a b o v e i n F i g u r e s 9 - 3 a n d 9 7 4 f o r t h e M e t h o d I s o l u t i o n . F o r M e t h o d I I , c o n v e r g e n c e t o a s o l u t i o n i n v o l v e s n o t o n l y t h e m a t r i x s i z e , a s i n t h e M e t h o d I s o l u t i o n , b u t a l s o t h e n u m b e r o f t e r m s t o c o n s i d e r i n t h e s u m m a t i o n s w h i c h m a k e u p e a c h e l e m e n t . T h r e e d i f f e r e n t c a s e s a r e s h o w n i n F i g u r e 9 — 7 : T h e fi r s t i s f o r a 5 x 5 m a t r i x w i t h 1 0 t e r m s u m m a t i o n s , t h e s e c o n d i s f o r a 1 0 x 1 0 m a t r i x w i t h 2 0 t e r m s u m m a t i o n s , a n d t h e t h i r d i s f o r a 1 x 1 m a t r i x c o n s i d e r i n g o n l y t h e fi r s t t e r m o f e a c h s u m m a t i o n . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e 5 x 5 a n d t h e 1 0 x 1 0 s o l u t i o n s a r e n e a r l y t h e s a m e . I n a d d i t i o n , a 2 0 x 2 0 s o l u t i o n w i t h 3 0 t e r m s u m m a t i o n s , n o t s h o w n i n t h e F i g u r e , w a s i n d i s t i n g u i s h a b l e a t t h e r e s o l u t i o n o f t h i s p l o t f r o m t h e 1 0 x 1 0 s o l u t i o n . T h i s i n d i e a t e s t h a t c o n v e r g e n c e h a s b e e n a c h i e v e d a n d a v i a b l e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n f o u n d f o r t h e c a v i t y i m a g e - t y p e c o n fi g u r a t i o n . T h e g e n e r a l c o n v e r g e n c e o f t h e s e s o l u t i o n s i s d i s c u s s e d m o r e f u l l y i n t h e n e x t s e c t i o n . I n F i g u r e 9 - 7 a l l t h e s o l u t i o n s a t t = 0 g i v e t h e t h e o r e t i c a l e m p t y c a v i t y r e s o t h f r e q u e n c y v a l u e o f 2 . 4 3 6 8 5 G H z . F o r t = L s , t h e s o l u t i o n s a r e n e a r t h e r e a l f r e q u e n c y r e s u l t f r o m t h e c a v i t y - s h o r t t y p e s o l u t i o n , b u t o n l y t h e 1 0 x 1 0 s o l u t i o n m a t c h e s i t t o t h e s i x d i g i t s i n d i c a t e d i n t h e F i g u r e . T h e 2 0 x 2 0 s o l u t i o n , n o t s h o w n , a l s o m a t c h e s t h e c a v i t y - s h o r t t y p e s o l u t i o n t o s i x d i g i t s . T h e 1 x 1 m a t r i x w i t h o n e t e r m p e r s u m m a t i o n i s p l o t t e d f o r c o m p a r i s o n t o d e m o n s t r a t e t h e e f f e c t o f n e g l e c t i n g t h e h i g h e r o r d e r m o d e s i n t h e s o l u t i o n . A d d i t i o n a l l y , t h e 1 x 1 p l o t m a y b e u s e d t o c o m p a r e t h e M e t h o d I I s o l u t i o n t o t h e 5 x 5 m a t r i x s o l u t i o n o f M e t h o d 1 . I t i s a c o i n c i d e n c e t h a t , f o r t h e g i v e n c a v i t y a n d ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 3 1 8 T M 0 1 2 m o d e , 6 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d < r — — — e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y 2 4 3 5 - } \ 2 . 4 3 6 8 5 G H z 1 \ 2 . 4 3 0 } e , = 3 . 0 3 ' — j 0 . 0 3 9 3 L 5 = 1 5 . 6 4 8 c m 2 . 4 2 5 : 2 4 2 0 - : 3 r e a l f r e q u e n c y 2 4 1 5 ' : f r o m s h o r t - t y p e s o l u t i o n : 0 E x p e r i m e n t a l D a t a 2 4 1 1 7 4 G H Z — — > 2 . 4 1 0 : 1 3 — 9 5 x 5 m a t r i x , 1 0 t e r m s : H 1 0 x 1 0 m a t r i x . 2 0 t e r m s 2 . 4 0 5 r r t t 1 x 1 m a t r l x , 1 t e r m ' l " ' l " ' 1 0 . 0 2 3 0 ' ' . 4 3 0 . ' I 6 3 0 . ' ' 8 3 0 ' ” 1 0 1 0 ' 1 2 . 0 1 4 . 0 1 5 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 7 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d l e n g t h : M e t h o d I I . 3 1 9 l o a d p a r a m e t e r s , t h e 1 x 1 m a t r i x s o l u t i o n f o r M e t h o d I I a n d t h e 5 x 5 m a t r i x s o l u t i o n o f M e t h o d I a r e p r a c t i c a l l y i d e n t i c a l . T h e h i g h e r d i m e n s i o n e d s o l u t i o n s a g r e e v e r y w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a , e s p e c i a l l y f o r t h e s m a l l e r a n d t h e l a r g e r l o a d l e n g t h s . I n t h e r a n g e f r o m 4 t o 1 1 c m o r s o , t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s a r e s l i g h t l y b e l o w t h o s e c a l c u l a t e d f r o m t h e t h e o r y . T h e p o i n t f a r t h e s t b e l o w i t s c o r r e s p o n d i n g t h e o r e t i c a l v a l u e w a s m e a s u r e d f o r a l o a d l e n g t h o f 7 . 6 1 c m . T h e r e t h e e x p e r i m e n t a l f r e q u e n c y i s a p p r o x i m a t e l y 1 . 5 M H z b e l o w t h e t h e o r e t i c a l v a l u e . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e 1 3 M H z d o w n w a r d s h i f t i n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s , t o a c c o u n t f o r c a v i t y n o n - i d e a l i t i e s , i s n o t a s g o o d a n a p p r o x i m a t i o n i n t h i s r a n g e o f c a v i t y l o a d . F i g u r e 9 - 8 i s a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e M e t h o d 1 1 s o l u t i o n a n d a p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n b a s e d u p o n a q u a s i - s t a t i c a p p r o x i m a t i o n f o r t h e e l e c t r i c fi e l d i n s i d e t h e l o a d . F o r t h i s r e l a t i v e l y s m a l l l o a d t h e p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n i s n o t t e r r i b l y d i f f e r e n t f r o m t h e e x a c t s o l u t i o n o f M e t h o d H , e v e n m a i n t a i n i n g a r e a s o n a b l e d e g r e e o f a c c u r a c y f o r t h e l o n g e r l o a d l e n g t h s . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e a s s u m p t i o n s o f t h e p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n , v i z . , t h a t t h e fi e l d s i n s i d e t h e c a v i t y a n d l o a d a r e t h e c l o s e l y a p p r o x i m a t e d b y t h e e m p t y c a v i t y fi e l d s , a r e v a l i d . F i g u r e 9 - 9 d e m o n s t r a t e s h o w t h e f r e q u e n c y c h a n g e s w h e n t h e l o a d d i a m e t e r i s d o u b l e d f r o m 0 . 5 " t o 1 . 0 ” . C h a n g e s i n t h e l e n g t h o f t h e l o a d e f f e c t m u c h g r e a t e r c h a n g e s i n t h e r e a l f r e q u e n c y f o r t h e 1 0 " d i a m e t e r l o a d t h a n f o r t h e 0 . 5 " d i a m e t e r l o a d . A 2 0 x 2 0 m a t r i x i s u s e d f o r t h e 1 . 0 " l o a d d i a m e t e r s o l u t i o n s i n c e , i n t h i s l o a d d i a m e t e r r a n g e , l a r g e r l o a d d i a m e t e r s r e q u i r e l a r g e r c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x s i z e s f o r c o n v e r g e n c e . F i g u r e 9 - 1 0 s h o w s t h e 1 . 0 ” d i a m e t e r e x a c t s o l u t i o n c o m p a r e d t o a p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n . W h i l e t h e a g r e e m e n t b e t w e e n p e r t u r b a t i o n a n d e x a c t t h e o r i e s i n F i g u r e s 9 - 8 a n d 9 - 1 0 m a y a p p e a r s i m i l a r , t h e f r e q u e n c y s c a l e i n F i g u r e 9 - 1 0 i s b r o a d e r a n d t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n p e r t u r b a t i o n t h e o r y a n d t h e e x a c t s o l u t i o n a r e a g r e a t d e a l m o r e i n F i g u r e 9 - 1 0 t h a n i n F i g u r e 9 - 8 . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e a s s u m p t i o n s b e h i n d t h e p e r t u r b a t i o n t h e o r y a r e b r e a k i n g d o w n f o r t h e 1 . 0 " d i a m e t e r c a s e . ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 3 2 0 T M 0 1 2 m o d e , 6 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d \ < l — — e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y 2 . 4 3 5 : ‘ 3 2 . 4 3 6 8 5 G H z 2 . 4 3 0 % e r = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 3 L S = 1 5 . 6 4 8 c m 2 . 4 2 5 1 C l - a - c l - c r . . . I L 2 . 4 2 0 5 3 r e a l f r e q u e n c y 2 ' 4 1 5 ' 3 f r o m s h o r t — t y p e s o l u t i o n I 2 . 4 1 1 7 4 G H z c 2 . 4 1 0 : 0 E x p e r i m e n t a l D a t a : B — E l P e r t u r b a t i o n « H 1 0 1 0 m a t r ' , 2 0 t e r m s 2 . 4 0 5 . . . , 3 ‘ . . , . ! " . , . . . , . . . , . . . r . . 4 , . . . l 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 1 6 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 8 M e t h o d I I c o m p a r e d w i t h a p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n . ) 2 H C ( y c n e u q e r F l a e R 3 2 1 e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y 2 . 4 3 6 8 5 G H z 2 . 4 1 1 7 4 G H z _ _ _ > r e a l f r e q u e n c y f r o m s h o r t — t y p e s o l u t i o n 2 . 3 3 9 6 7 G H Z T M 0 1 2 m o d e : 6 " d i a . c a v i t y , L 5 = 1 5 . 6 4 8 c m 1 / 2 " a n d 1 “ d i a . n y l o n r o d 6 , = 3 . 0 3 — j 0 . 0 3 9 0 E x p e r i m e n t a l D a t a H 1 0 x 1 0 m a t r i x , 2 0 t e r m s , . 5 " d i a 0 — 9 2 0 x 2 0 m a t r i x , 3 0 t e r m s , 1 " d i o . u . 1 . . , . . , r . . , . r , . . 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 1 6 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 9 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d l e n g t h : 2 a = 0 . 5 " a n d 1 . 0 " . 2 . 4 3 9 < ) _ _ _ e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 2 . 3 3 9 3 - 0 2 0 x 2 0 m a t r l x , 3 O t e r m s , 1 d i d . 3 2 2 ‘ H P e r t u r b a t i o n 2 . 4 3 6 8 5 G H Z T M 0 1 2 m o d e , 6 " d i a . c a v i t y r e a l f r e q u e n c y f r o m s h o r t - t y p e s o l u t i o n 2 . 3 3 9 6 7 G H z 1 " d i a . n y l o n r o d 6 , . = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 L s = 1 5 . 6 4 8 c m I l f j 1 ' . T . e fi n p fl w n l u q n 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 1 6 . 0 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 1 0 R e a l f r e q u e n c y v s . l o a d l e n g t h , 2 a = 1 . 0 ” : M e t h o d 1 1 a n d p e r t u r b a t i o n . e r a e r a t h e 5 0 1 1 1 i s i t n o r s e e n l o a d c y l i n h e r e ( 1 8 1 1 2 1 6 8 5 6 ] h e , 3 2 3 I t m i g h t b e t h o u g h t t h a t t h e p e r t u r b a t i o n t h e o r y s h o u l d a t l e a s t a g r e e w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n w h e n t h e l o a d m a t e r i a l i s s m a l l , i . e . , ! ~ 0 . T h i s i s t r u e f o r t = 0 e x a c t l y , b u t f o r l o a d s w i t h s m a l l b u t n o n — z e r o l , t h e p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n s t r a y s f r o m t h e e x a c t s o l u t i o n . T h i s i s b e c a u s e o n e o f t h e a s s u m p t i o n s b e h i n d t h e p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n s h o w n i n F i g u r e 9 - 1 0 i s t h a t t h e e l e c t r i c fi e l d i s p r i m a r i l y t a n g e n t i a l t o t h e s u r f a c e o f t h e l o a d . T h i s i s a g o o d a s s u m p t i o n f o r l o n g e r l o a d l e n g t h s w h e n t h e l o a d i s r o d - s h a p e d , b u t f o r s m a l l l o a d l e n g t h s t h e l o a d i s m o r e l i k e a d i s k w i t h t h e fi e l d s n o r m a l t o t h e fl a t s u r f a c e . I n f a c t , t h i s e x p l a n a t i o n c a n b e a p p l i e d t o t h e d i s c r e p a n c y s e e n i n . t h e 7 t o 1 1 c m l o a d l e n g t h r a n g e o f t h e p l o t . I n t h i s r e g i o n t h e e n d o f t h e l o a d i s p a s s i n g t h r o u g h a n a r e a w h e r e t h e e l e c t r i c fi e l d s a r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e c y l i n d r i c a l s u r f a c e o f t h e l o a d . T h e a s s u m p t i o n o f a t a n g e n t i a l E - fi e l d b r e a k s d o w n h e r e a s w e l l . E x a m i n i n g F i g u r e 9 - 8 i t m a y b e o b s e r v e d t h a t t h e s a m e s o r t o f d e v i a t i o n s a p p e a r i n t h e p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n f o r t h e 0 . 5 " d i a m e t e r l o a d , b u t o n a l e s s e r s c a l e . F i g u r e s 9 - 1 1 a n d 9 - 1 2 s h o w h o w t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y v a r y a s a f u n c t i o n o f t h e l o a d r a d i u s f o r a 4 c m l o n g n y l o n l o a d i n t h e T M 0 1 2 m a d e . A l l o f t h e t h e o r e t i c a l p o i n t s s h o w n , e x c e p t t h o s e f o r a = 0 a n d a = b , w e r e f o u n d u s i n g t h e M e t h o d I I c a v i t y i m a g e - t y p e s o l u t i o n s . T h e e m p t y c a v i t y f r e q u e n c y f o r a = 0 i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 1 8 ) o f C h a p t e r 4 . T h e a = b s o l u t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e C a s e f o r a l o a d fi l l i n g t h e e n t i r e c r o s s - s e c t i o n o f t h e c a v i t y . S u c h a l o a d i s c o m m o n l y c a l l e d a “ s l a b . ” T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r s l a b - l o a d e d c a v i t i e s a r e t r a n s c e n d e n t a l , b u t a r e f a i r l y s i m p l e t o s o l v e n u m e r i c a l l y . A p p e n d i x F c o n t a i n s t h e C h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r a s l a b - l o a d e d c a v i t y f o r b o t h T E a n d T M m o d e s . T h e s e a r e g i v e n f o r t h e g e n e r a l c a s e w h e r e t h e s l a b i s a l l o w e d t o m o v e u p a n d d o w n i n s i d e t h e c a v i t y . W h e n t h e s l a b l i e s o n t h e b o t t o m o f t h e c a v i t y t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s S i m p l i fi e d a s s h o w n i n A p p e n d i x F . T h e s i m p l i fi e d f o r m f o r t h e s p e c i a l c a s e m a y a 1 3 0 b e f o u n d i n s t a n d a r d t e x t b o o k s . 3 T h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e s l a b - l o a d e d c a v i t y i n F i g u r e s 9 - 1 1 a n d 9 - 1 2 w a s f o u n d u s i n g t h e s i m p l e f o r m f o r a 2 c m t h i c k S l a b o n t h e b o t t o m o f a 7 . 8 2 4 c m l e n g t h c a v i t y e x c i t e d i n t h e ' I ' M o u m o d e . T h e \ 3 H a r r i n g t o n , 2 5 8 . f r x l I C ¥ > C C ~ U ¢ 1 ¢ O ® L 1 H § — O ® W & ) Z H G ( y c n e u q e r F l a e R 3 2 4 2 . 5 _ T M 0 1 2 m o d e , 6 " d i a . c a v i t y , 4 c m l o a d . W — e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y ° \ 2 . 4 3 6 8 5 G H z 2 . 4 . . ° \ ‘ o 2 . 3 - \ O \ ' e r = 3 . 0 3 — j 0 . 0 3 9 ° \ 2 . 2 - L 3 = 1 5 . 6 4 8 c m 0 \ f r o m " s l a b " s o l u t i o n 2 - 1 “ 2 . 1 0 5 5 1 G H z — ' > 2 0 0 l j j 1 T 1 I I I 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 F i g u r e 9 - 1 1 R e a l f r e q u e n c y v s . a f o r a n y l o n l o a d : T M 0 1 2 , b = 3 " , I = 4 c m . L o a d D i a m e t e r ( i n c h e s ) 3 2 5 f r o m " s l a b " s o l u t i o n 0 . 0 0 4 3 2 G H z ° / T M 0 1 2 m o d e , 6 " d i o . c a v i t y , 4 c m l o a d / e , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 0 / 0 L 5 = 1 5 . 6 4 8 c m / 0 . 0 0 5 — E O 0 . 0 0 4 - v > \ U 8 0 . 0 0 3 - 3 a . ( D L : 0 . 0 0 2 - 2 ‘ O . E 0 ‘ o 0 . 0 0 1 - . 5 : 0 . 0 0 0 0 . 0 r T l ' l ' 1 ' l ' 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 5 . 0 L o a d D i a m e t e r ( i n c h e s ) I “ i g u r e 9 - 1 2 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . a f o r a n y l o n l o a d : T M O l z , b = 3 " , t = 4 c m . 3 2 6 r e s o n a n t f r e q u e n c y i s t h e s a m e a s t h a t o f a 1 5 . 6 4 8 c m l e n g t h c a v i t y c e n t r a l l y l o a d e d w i t h a s l a b 4 c m t h i c k i n t h e T M O I Z m o d e . F o r t h e c a s e s h o w n , t h e r e a l f r e q u e n c y d r o p s a l m o s t l i n e a r l y w i t h l o a d r a d i u s w h e n t h e l o a d r a d i u s i s n o t n e a r z e r o o r i s c l o s e t o t h e e a v i t y r a d i u s . T h e i m a g i n a r y f r e q u e n c y i s a l s o n e a r l y l i n e a r w i t h t h e l o a d r a d i u s u n t i l i t a p p r o a c h e s t h e c a v i t y r a d i u s - J u s t a s t h e l o a d r a d i u s n e a r s t h e c a v i t y r a d i u s t h e r e i s a d r o p i n r e a l f r e q u e n c y . T h i s e f f e c t i s r e m i n i s c e n t o f t h e f r e q u e n c y d r o p w h i c h o c c u r s i n t h e c o n d u c t i n g r o d l o a d e d c a v i t y w h e n t h e r o d l e n g t h n e a r s t h e c a v i t y l e n g t h , r e f e r r i n g t o F i g u r e s 5 - 2 a n d 5 - 7 . T h i s a f f e c t , a t t r i b u t e d t o t h e i n c r e a s e d c a p a c i t a n c e b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e c a v i t y w a l l , w a s a l s o o b s e r v e d w h e n t h e l o a d m a t e r i a l w a s a d i e l e c t r i c . T h i s w a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 8 w i t h r e g a r d t o F i g u r e 8 - 2 8 . 9 . 4 . 4 C o n v e r g e n c e I t i s n e c e s s a r y a t t h i s p o i n t t o a n s w e r t h e q u e s t i o n o f h o w m a n y w a v e g u i d e m o d e s a r e n e e d e d t o b u i l d a s u i t a b l e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a c t u a l e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d i n t h e l o a d e d c a v i t y . U s i n g M e t h o d 1 1 , t h e n u m b e r o f c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s i s e q u a l t o o n e o f t h e d i m e n s i o n s o f t h e s q u a r e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x . T h e n u m b e r o f e m p t y w a v e g u i d e m o d e s i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f t e r m s i n c l u d e d i n t h e s u m m a t i o n s . T h e s a m e q u e s t i o n m a y t h e n b e c o n s i d e r e d i n t e r m s o f h o w l a r g e m u s t t h e m a t r i x b e , a n d h o w m a n y t e r m s m u s t b e i n c l u d e d i n t h e s u m m a t i o n s . I n f r a m i n g t h e q u e s t i o n i n t h i s w a y , i . e . , i n t e r m s o f n u m b e r o f m o d e s i n s t e a d o f a s k i n g w h i c h P a r t i c u l a r m o d e s , i t i s i m p l i e d t h a t t h e m o d e s i n c l u d e d b e g i n a t l o w e s t o r d e r a n d a r e a d d e d s u c c e s s i v e l y a c c o r d i n g t o t h e i r o r d e r . T h e a n s w e r t o t h e q u e s t i o n d e p e n d s u p o n h o w m a n y s i g n i fi c a n t d i g i t s a r e d e s i r e d i n t h e s o l u t i o n . I f a c r u d e a p p r o x i m a t i o n i s a l l t h a t i s r e q u i r e d , s a y t w o s i g n i fi c a n t d i g i t s , o n l y a f e w m o d e s a r e n w d e d . I f i t i s n e c e s s a r y t o h a v e 4 o r 5 S i g n i fi c a n t d i g i t s , t h e n m o r e m o d e s w i l l h a v e t o b e c o n s i d e r e d . T h e m i n i m u m n u m b e r o f m o d e s n e c e s s a r y t o g i v e t h e d e s i r e d p r e c i s i o n i s n o t a n u m b e r t h a t m a y b e e a s i l y p r e d i c t e d b e f o r e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s a r e c a r r i e d o u t . N O a t t e m p t h a s b e e n m a d e t o d o s o . R a t h e r , t h e n u m b e r i s d e t e r m i n e d f o r a s p e c i fi c L a p r 3 2 7 c o n fi g u r a t i o n b y m a k i n g s e v e r a l n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s , e a c h f o r d i f f e r e n t n u m b e r s o f m o d e s . T h e r e s u l t s a r e t h e n c o m p a r e d t o d e t e r m i n e t h e p o i n t b e y o n d w h i c h f u r t h e r n u m b e r s o f m o d e s d o n o t c h a n g e t h e a n s w e r t o t h e d e s i r e d p r e c i s i o n . S i n c e t h e r e a r e t w o w a y s i n w h i c h t h e n u m b e r o f m o d e s m a y b e v a r i e d , m a t r i x s i z e a n d n u m b e r o f t e r m s i n t h e s u m m a t i o n s , a s t u d y o f t h e n u m b e r o f m o d e s n e c e s s a r y f o r c o n v e r g e n c e c o u l d b e c o m p l i c a t e d . I t i s f u r t h e r c o m p l i c a t e d b y t h e f a c t t h a t c o n v e r g e n c e a l s o d e p e n d s o n t h e c a v i t y a n d l o a d p a r a m e t e r s . A l o a d w h i c h n e a r l y e x t e n d s t o t h e e n d s o f t h e c a v i t y m i g h t r e q u i r e o n l y a f e w m o d e s f r o m t h e c o a x i a l l y - l o a d e d r e g i o n , b u t m a n y m o d e s f r o m t h e e m p t y r e g i o n s . S i m i l a r l y , a s h o r t l o a d m i g h t r e q u i r e o n l y a f e w m o d e s f r o m t h e e m p t y r e g i o n s , b u t m a n y m o d e s f r o m t h e c o a x i a l l y - l o a d e d r e g i o n . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , t h e b r i e f s t u d y g i v e n h e r e i s l i m i t e d t o t h e c a s e w h e r e a n e q u a l n u m b e r o f m o d e s a r e t a k e n f r o m e a c h r e g i o n . T h e m i n i m u m n u m b e r o f m o d e s n e c e s s a r y f o r c o n v e r g e n c e a t a g i v e n p r e c i s i o n i s c a l l e d N m i n . F i g u r e 9 - 1 3 s h o w s h o w N m i n v a r i e s w i t h l o a d r a d i u s f o r t h e s a m e c a v i t y c o n fi g u r a t i o n a s t h a t s h o w n i n F i g u r e s 9 - 1 1 a n d 9 - 1 2 . T h e l o a d i s c o m p o s e d o f n y l o n a n d h a s a l e n g t h o f 4 c m . T h e c a v i t y i s 1 5 . 6 4 8 c m l o n g , 6 " i n d i a m e t e r , a n d i s e x c i t e d i n t h e T M O I Z m o d e . T h e t h r e e c u r v e s i n t h e F i g u r e r e p r e s e n t d i f f e r e n t n u m b e r s o f s i g n i fi c a n t d i g i t s i n t h e c o n v e r g e n c e o f t h e r e a l p a r t o f t h e f r e q u e n c y . F o r e x a m p l e , a l o a d d i a m e t e r o f 0 . 5 ” ( 0 . 0 8 3 3 w h e n n o r m a l i z e d b y t h e 6 " c a v i t y d i a n ' l e t e r ) t a k e s o n e m o d e i n e a c h r e g i o n t o g i v e 3 s i g n i fi c a n t d i g i t s i n t h e r e a l f r e q u e n c y , 2 . 4 3 G H z . F o r f o u r s i g n i fi c a n t d i g i t s , 2 . 4 2 7 G H z , t h r e e m o d e s a r e r e q u i r e d . S i m i l a r l y , f o r fi v e s i g n i fi c a n t d i g i t s , 2 . 4 2 7 5 G H z , i t i s n e c e s s a r y t h a t n i n e m O d e s b e i n c l u d e d . E x c e p t f o r o n e p o i n t o n t h e fi v e s i g n i fi c a n t d i g i t c u r v e , t h e g e n e r a l t r e n d i s f o r N a m , t o i n c r e a s e w i t h l o a d r a d i u s u n t i l t h e l o a d n e a r s t h e c a v i t y w a l l . W h e n t h e l o a d I ‘ a d i u s a p p r o a c h e s t h a t o f t h e c a v i t y , N m i n d e c r e a s e s . Q u a l i t a t i v e l y s p e a k i n g , w h e n ‘ h e l o a d i s s m a l l t h e c o a x i a l l y - l o a d e d r e g i o n i s n o t m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e e m p t y W a v e g u i d e r e g i o n a n d t h e l o w e s t o r d e r m o d e s i n e a c h r e g i o n p r o v i d e a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e t o t a l fi e l d . T h e s a m e i s t r u e w h e n t h e l o a d r a d i u s i s n e a r t h e 3 2 8 2 2 . 1 T M 0 . 1 2 " W e H 3 S i g n i f i c a n t D i g i t s 2 0 - C a v i t y R o d l u s = 3 9 — 9 4 S i g n i f i c a n t D i g i t s ” E 1 8 : C O V I t y L e n g t h = 1 5 5 4 8 c m H 5 S i g n i f i c a n t D i g i t s ‘ E ' . S a m p l e L e n g t h = 4 . 0 c m 2 1 6 - s , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 v a ( I ) 1 4 - ' 0 0 ) . a . " H o . L 8 ‘ . 8 6 ‘ g . z 4 ' : 2 — 6 / 9 3 0 \ fl 0 . . . , . . . , . . . , . . . , . a . , 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 N o r m a l i z e d L o a d R a d i u s F i g u r e 9 - 1 3 I m a g i n a r y f r e q u e n c y v s . a f o r a n y l o n l o a d : T M 0 1 2 ’ b = 3 " , I = 4 c m . 3 2 9 e a v i t y r a d i u s . I n t h i s c a s e t h e c a v i t y i s a p p r o x i m a t e l y a s l a b - l o a d e d c a v i t y . F o r a s l a b - l o a d e d c a v i t y i t m a y b e s h o w n t h a t t h e m o d e s f r o m t h e e m p t y a n d s l a b r e g i o n s m a t c h b y o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e . I t w o u l d t h e r e f o r e b e e x p e c t e d t h a t N m i n w o u l d d e c r e a s e f o r a l o a d r a d i u s n e a r t h e c a v i t y r a d i u s . 9 . 4 . 5 C a v i t y - O p e n T y p e S o l u t i o n s : V a r y i n g h A s s o o n a s t h e h e i g h t o f t h e l o a d i s a l l o w e d t o v a r y f r o m L s / 2 , i . e . , t h e s a m p l e m o v e s u p o r d o w n t h e c a v i t y a x i s f r o m t h e c e n t e r , t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n n o l o n g e r d e s c r i b e s t h e . s y s t e m . T h e g e n e r a l c a v i t y - o p e n t y p e m a t r i x m u s t b e u s e d i n t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . F o r t h e T M m o d e s ( n = 0 ) t h e m a t r i x i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 1 8 0 ) w i t h t h e s i m p l i fi c a t i o n s e m b o d i e d i n E q u a t i o n ( 9 - 5 ) . N u m e r i c a l l y , t h e z e r o s o f t h e d e t e r m i n a n t o f t h i s m a t r i x a r e m o r e e l u s i v e t h a n t h o s e o f t h e c a v i t y - i m a g e t y p e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 9 — 7 t h r o u g h 9 - 1 0 . N e v e r t h e l e s s , i t i s p o s s i b l e t o fi n d t h e m a n d d e t e r m i n e t h a t c o n v e r g e n c e h a s b e e n a c h i e v e d . A p l o t o f t h e r e a l f r e q u e n c y v e r s u s h i s s h o W n i n F i g u r e 9 - 1 4 f o r t h e m o m m a d e i n a 7 " d i a m e t e r c a v i t y . T h e l o a d i s a 2 c m l e n g t h p i e c e o f n y l o n r o d 0 . 5 " i n d i a m e t e r . T h e m a t r i x s i z e i n d i c a t e d i n t h e F i g u r e , 9 x 9 , i s t h e d i m e n s i o n o f e a c h q u a d r a n t , m a k i n g t h e t o t a l m a t r i x 1 8 x 1 8 . E a c h m a t r i x e l e m e n t w a s c a l c u l a t e d u s i n g 2 0 t e r m s i n t h e s u m m a t i o n . S i n c e t h e m o m m a d e i s s y m m e t r i c a c r o s s t h e t r a n s v e r s e p l a n e w h i c h c o n t a i n s t h e c a v i t y c e n t e r , 2 = L 3 / 2 , F i g u r e 9 — 1 4 s h o w s t h e f r e q u e n c y f o r o n l y v a l u e s o f h i n t h e u p p e r r e g i o n o f t h e c a v i t y . F r e q u e n c i e s a r e p l o t t e d f o r t h e l o a d m o v i n g u p t h e a x i s f r o m t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y u n t i l t h e t o p o f t h e l o a d c o i n c i d e s w i t h t h e t o p o f t h e c a v i t y . S i n c e t h e l o a d i s 2 c m l o n g , t h e fi n a l v a l u e o f h i s 1 c m l e s s t h a n L s . I n c l u d e d i n t h e F i g u r e a r e p o i n t s r e p r e s e n t i n g e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s t a k e n i n a 7 " d i a m e t e r c a v i t y w i t h a 2 c m l o n g n y l o n l o a d 0 . 5 ” i n d i a m e t e r . T h e 7 " c a v i t y , d e s c r i b e d b y M a n r i n g , 4 c o n t a i n s m o r e n o n - i d e a l f e a t u r e s t h a n t h e 6 " c a v i t y 4 E d w a r d B . M a n r i n g , “ A n E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f t h e M i c r o w a v e H e a t i n g o f S o l i d N o n - R e a c t i v e M a t e r i a l s i n a C i r c u l a r C y l i n d r i c a l R e s o n a n t C a v i t y ” ( M . S . t h e s i s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 8 ) , 2 3 - 2 7 . ) Z H G ( y c n e r " p 3 ” i 3 “ . u q e r F l a e R 3 3 0 T M 0 1 2 m o d e , 7 " C a v i t y , 1 / 2 ” N y l o n R o d . _ E m p t y C a v i t y R e s o n a n t F r e q u e n c y . . L 5 = 1 4 . 3 9 7 c m i S a m p l e L e n g t h = 2 c m a E x p e r i m e n t 2 . 4 4 6 5 H 9 ) : 9 % 2 0 t e r m s r I r I 7 8 $ 3 ' 1 ' 0 ' 1 ' 1 ' 1 ' 2 1 3 1 4 H e i g h t o f S a m p l e A b o v e C a v i t y B o t t o m ( c m ) F i g u r e 9 — 1 4 R e a l f r e q u e n c y v s . h : “ 4 0 1 2 : a = 0 . 2 5 " ( n y l o n ) , b = 3 . 5 ” , l = 2 c m . — a I - . 1 t . a . a n o . . . ’ . a o ' Q . i l b r l 0 0 b a ( / - l ; ' - : . l O I I . O ‘ c l . l 3 3 1 u s e d t o m a k e m e a s u r e m e n t s f o r t h e c a v i t y - i m a g e t y p e e x p e r i m e n t s p r e s e n t e d a b o v e . T h e s e f e a t u r e s a r e p r i m a r i l y a w i n d o w i n t h e s i d e o f c a v i t y , a l a r g e r d i a m e t e r e x c i t a t i o n p r o b e , a n d a l a r g e r h o l e i n t h e m o v e a b l e c a v i t y s h o r t . F o r t h e s e r e a s o n s f r e q u e n c y e r r o r b a r s a r e p l a c e d o n t h e d a t a p o i n t s t o i n d i c a t e a n u n c e r t a i n t y f o r c o m p a r i s o n w i t h i d e a l c y l i n d r i c a l c a v i t y c a l c u l a t i o n s . A l t h o u g h t h e e r r o r b a r s a p p e a r l a r g e i n t h e F i g u r e , t h e y a r e o n l y i 0 . 5 M H z i n e x t e n t . T h e F i g u r e d e m o n s t r a t e s r e m a r k a b l e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t . T h e h o r i z o n t a l a r r o w n e a r t h e t o p F i g u r e 9 - 1 4 i n d i c a t e s t h e v a l u e o f t h e e m p t y c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r m a n w i t h t h e g i v e n L s . A s i s e v i d e n t b y e x a m i n i n g t h e c u r v e , f o r h n e a r 1 0 . 7 5 c m t h e l o a d e d c a v i t y r e a l f r e q u e n c y i s v e r y n e a r t h e e m p t y e a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c y . T h i s i s d u e t o t h e l o w e l e c t r i c fi e l d i n t e n s i t y o f t h e T M o r z m o d e i n t h e v i c i n i t y o f t h e l o a d f o r t h i s h . W h e n t h e l o a d i s i n a r e g i o n o f h i g h e r e l e c t r i c fi e l d i n t e n s i t y , e . g . , a t t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y o r a t e i t h e r e n d , i t a f f e c t s t h e f r e q u e n c y m u c h m o r e t h a n w h e n i t i s i n a r e g i o n o f l o w fi e l d i n t e n s i t y , e . g . , h a l f w a y b e t w e e n t h e c a v i t y c e n t e r a n d o n e e n d . 9 . 4 . 6 Q u a l i t y F a c t o r C a l c u l a t i o n s T h e c a v i t y Q m a y b e c a l c u l a t e d f r o m t h e n a t u r a l f r e q u e n c y i n t h e s a m e w a y a s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n , u s i n g E q u a t i o n ( 6 - 1 8 ) o r ( 8 - 2 ) . T h e c a v i t y Q ’ s c o r r e s p o n d i n g t o t h e r e a l f r e q u e n c i e s o f F i g u r e s 9 - 7 a n d 9 - 8 a b o v e a r e s h o w n i n F i g u r e 9 - 1 5 . T h e c a l c u l a t e d Q ’ s a r e f o r l o s s e s i n t h e l o a d m a t e r i a l o n l y a n d d o n o t a c c o u n t f o r l o s s e s d u e t o fi n i t e w a l l c o n d u c t i v i t y . T h e r e f o r e t h e Q v a l u e s b e c o m e i n fi n i t e a s t h e v o l u m e o f t h e m a t e r i a l d e c r e a s e s t o z e r o . T w o s e t s o f e x p e r i m e n t a l p o i n t s s h o w n . O n e s e t , i d e n t i fi e d b y c h s S e d s q u a r e s i n t h e F i g u r e , i s c a l c u l a t e d f r o m m e a s u r e m e n t s o f Q w a n d Q , a s d e s c r i b e d a b o v e a n d c o m b i n e d i n E q u a t i o n ( 9 - 1 3 ) . A s s h o w n i n t h e F i g u r e , t h e s e v a l u e s a r e h i g h e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s . T h e s e c o n d s e t , i d e n t i fi e d b y c r o s s e d c i r c l e s i n t h e F i g u r e , a r e v a l u e s o f Q , d i r e c t e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f t h e Q o f t h e l o a d e d c a v i t y . F o r t h i s s e t o f d a t a n o a t t e m p t h a s b e e n m a d e t o c o m p e n s a t e f o r t h e i n c l u s i o n i n t h e m e a s u r e m e n t o f e n e r g y d i s s i p a t i o n i n t h e c a v i t y w a l l s , t h e r e f o r e t h e y a r e l o w e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s . C a v i t y Q u a l i t y F a c t o r 3 3 2 6 0 0 0 0 - . H 1 0 x 1 0 m a t r i x , 2 0 t e r m s 0 E x p e r i m e n t 5 0 0 0 0 - 3 E x p e r i m e n t a d j u s t e d b y e m p t y c a v i t y 0 0 T M m o d e , 6 " c o v i t , 1 2 " n I o n r o d 4 0 0 0 0 — 0 ‘ 2 y / y ‘ e , = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 3 0 0 0 0 “ L 5 = 1 5 . 6 4 8 c m 2 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 - 9 O fi i ' I T i fi i ' i ' i ' i - i O 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 L o a d L e n g t h ( c m ) F i g u r e 9 - 1 5 Q u a l i t y f a c t o r v s . l o a d l e n g t h : T M O I Z , a = 0 . 2 5 ” ( n y l o n ) , b = 3 " . 3 3 3 F o r t h e u p p e r ( a d j u s t e d ) s e t o f d a t a , m e a s u r e d v a l u e s a r e h i g h e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s b y o n e t o f o u r t h o u s a n d , t h e b e t t e r a g r e e m e n t b e i n g f o r l o n g e r l e n g t h l o a d s . T h e d i s c r e p a n c y i s s i g n i fi c a n t , i n t h e n e i g h b o r h o o d o f 2 5 % t o 4 0 % o f t h e t h e o r e t i c a l v a l u e . T w o r e a s o n s a r e p u t f o r t h t o e x p l a i n t h e d i s c r e p a n c y . F i r s t o f a l l , i t i s d i f fi c u l t t o c o n s i s t e n t l y m e a s u r e c a v i t y Q t o w i t h i n b e t t e r t h a n 1 0 % . ? T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e o f h i g h Q f a c t o r s , e . g . , f o r t h e e m p t y c a v i t y a n d s m a l l l o a d s . D a y t o d a y c h a n g e s i n t h e c o n d i t i o n s o f t h e c a v i t y , c o u p l i n g p r o b e , fi t o f t h e c o l l a r s , a n d s l i d i n g s h o r t d r i v e u p t h e u n c e r t a i n t y i n m e a s u r e m e n t s o f c a v i t y Q . S i n c e b o t h t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d e m p t y c a v i t y q u a l i t y f a c t o r , Q w , a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m a t e r i a l l o a d e d q u a l i t y f a c t o r , Q , a r e u s e d t o fi n d Q " , t h e c o n t r i b u t i o n t o Q d u e o n l y t o l o s s e s i n t h e m a t e r i a l w i t h w h i c h o u r c a l c u l a t i o n s a r e c o m p a r e d , t h e e r r o r i n Q m i s c o m p o u n d e d . S e c o n d l y , t h e a p p r o x i m a t i o n s a n d a s s u m p t i o n s b e h i n d E q u a t i o n ( 9 - 1 3 ) , a s m e n t i o n e d a b o v e , a r e r e s p o n s i b l e f o r t h e g r e a t e r p a r t o f t h e d i f f e r e n c e . T h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t h e s t o r e d e n e r g y w i l l b e t h e s a m e f o r t h e l o a d e d a n d e m p t y c a v i t y ; w e k n o w , i n f a c t , t h a t i t w i l l b e s o m e w h a t d i f f e r e n t . A d d i t i o n a l l y , P d w : t h e p o w e r d i s s i p a t e d i n t h e w a l l s , i s d i f f e r e n t f o r t h e l o a d e d c a v i t y t h a n f o r t h e e m p t y c a v i t y . F i g u r e 9 - 1 5 d e m o n s t r a t e s , a t l e a s t i n t h e c a s e s h o w n , t h a t t h e a d j u s t m e n t p r o c e d u r e l e a d i n g t o E q u a t i o n ( 9 - 1 3 ) a c t u a l l y m a k e s t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t w o r s e t h a n i f n o a d j u s t m e n t s w e r e a t t e m p t e d . T h e u n a d j u s t e d d a t a , f o r l o a d l e n g t h s g r e a t e r t h a n 4 c m , a g r e e s r e a s o n a b l y w e l l w i t h t h e t h e o r y , t o w i t h i n l e s s t h a n 1 5 % . A l t h o u g h i t m a y a p p e a r t h a t F i g u r e 9 - 1 5 p a i n t s a s o m e w h a t d i s m a l p i c t u r e o f t h e a b i l i t y o f t h e t h e o r y t o p r e d i c t e x p e r i m e n t a l Q v a l u e s , i n r e a l i t y t h e o p p o s i t e i s t r u e . T h e f a c t t h a t t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s f a l l b e t w e e n t h e a d j u s t e d a n d u n a d j u s t e d m e a s u r e m e n t v a l u e s i s a p l e a s a n t v e r i fi c a t i o n o f t h e v a l i d i t y o f t h e t h e o r y . I t h a s a l r e a d y b e e n p o i n t e d o u t t h a t s u b t r a c t i n g e m p t y c a v i t y w a l l l o s s e s t o a c c o u n t f o r l o a d e d c a v i t y w a l l l o s s e s i s a n o v e r c o m p e n s a t i o n a n d s h o u l d r e s u l t i n a n e x p e r i m e n t a l 1 " T h e s a m e i s n o t t r u e o f f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s w h i c h a r e c o n s i s t e n t l y m e a s u r a b l e t o w i t h i n a f r a c t i o n o f a p e r c e n t . 3 3 4 Q t h a t i s t o o h i g h . O n t h e o t h e r h a n d , a m e a s u r e d Q t h a t i n c l u d e s l o a d e d e a v i t y w a l l l o s s e s s h o u l d b e l o w e r t h a n a t h e o r e t i c a l v a l u e w h i c h n e g l e c t s w a l l l o s s e s . B o t h o f t h e s e p r e d i c t i o n s a r e b o r n e o u t i n t h e F i g u r e . F u r t h e r m o r e , w h e n t h e l o a d i s l a r g e r a n d w a l l l o s s e s a r e p r o p o r t i o n a l l y l e s s t h a n m a t e r i a l l o s s e s , t h e t h e o r y a g r e e s v e r y w e l l w i t h e x p e r i m e n t a l v a l u e s , a d j u s t e d o r n o t . T h i s i s a n o t h e r v e r i fi c a t i o n o f t h e v a l i d i t y o f t h e t h e o r y s i n c e i t o n l y s t a n d s t o r e a s o n t h a t t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n s w h i c h c o n s i d e r o n l y m a t e r i a l l o s s e s s h o u l d a g r e e b e t t e r w i t h e x p e r i m e n t s w h e r e m a t e r i a l l o s s e s d o m i n a t e t h a n w h e r e w a l l l o s s e s d o m i n a t e . O n e w a y t o i m p r o v e o n t h e t h e o r e t i c a l l y c a l c u l a t e d v a l u e s o f Q w o u l d b e t o i n c l u d e w a l l l o s s e s a s a p e r t u r b a t i o n u s i n g t h e fi e l d s d e r i v e d f r o m t h e s o l u t i o n f o r l o s s l e s s w a l l s . T h e l o s s e s c a l c u l a t e d f r o m t h e p e r t u r b a t i o n o f t h e l o a d e d c a v i t y s o l u t i o n , n o t t h e e m p t y c a v i t y w a l l l o s s e s , w o u l d t h e n b e u s e d t o c a l c u l a t e Q w o f E q u a t i o n ( 9 - 9 ) . T h i s v a l u e w o u l d b e s u b s t i t u t e d i n t o E q u a t i o n ( 9 - 1 3 ) t o g i v e a v a l u e o f Q m t o b e c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l v a l u e g i v e n b y E q u a t i o n ( 6 - 1 8 ) o r ( 8 — 2 ) . S i m i l a r l y , Q m c a l c u l a t e d f r o m E q u a t i o n ( 6 - 1 8 ) o r ( 8 - 2 ) a n d t h e p e r t u r b a t i o n c a l c u l a t i o n o f Q w c o u l d b e c o m b i n e d , a s i n E q u a t i o n ( 9 - 1 2 ) , t o p r o v i d e a t h e o r e t i c a l v a l u e o f Q . N o a t t e m p t i s m a d e h e r e t o d o t h i s , b u t t h e s u g g e s t i o n i s o f f e r e d a s a n e x t s t e p i n i m p r o v i n g o n t h e t h e o r y . A s a fi n a l e x a m p l e o f Q f a c t o r b e h a v i o r , t h e o r e t i c a l Q m f o r t h e c a v i t y a n d l o a d c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e 9 - 1 4 i s s h o w n i n F i g u r e 9 - 1 6 . T h e Q i s l o w e s t i n r e g i o n s o f h i g h e l e c t r i c fi e l d i n t e n s i t y , i . e . , t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y a n d t h e e n d s . T h e p e a k v a l u e o f Q i s f o u n d i n t h e r e g i o n w h e r e t h e l o a d p a s s e s t h r o u g h a r e g i o n o f l o w e l e c t r i c fi e l d . I n t h i s r e g i o n t h e c a v i t y h a r d l y s e n s e s t h e p r e s e n c e o f t h e l o a d a n d a c c o r d i n g l y i t s r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d Q a r e c l o s e t o t h o s e o f t h e e m p t y e a v i t y . S i n c e t h e e m p t y c a v i t y f o r t h e s e c a l c u l a t i o n s h a s a n i n fi n i t e Q , t h e h i g h v a l u e s a r e s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e a b o v e t h e l o w v a l u e s . T h e v e r t i c a l a x i s o f t h e p l o t i n F i g u r e 9 - 1 6 i s t h e r e f o r e o n a l o g a r i t h m i c s c a l e . ) Z H G ( r o t c a F y t i l a u Q l a c i t e r o e h T L E + O 4 . 7 r 8 . 4 a 1 9 1 0 1 - i l l . l 2 1 ' l 3 1 1 I 4 1 3 3 5 5 . E + 0 8 - , . T M 0 1 2 m o d e , 7 " C o v n t y , 1 / 2 " N y l o n R o d 1 . E + 0 8 - L 5 = 1 4 . 3 9 7 c m , S a m p l e L e n g t h = 2 c m 5 . E + 0 7 - 1 . E + 0 7 - 5 . 9 - 0 6 + 1 . E + O 6 d 5 . E + 0 5 - 1 . E + 0 5 - 5 . E + O 4 - H e i g h t o f S a m p l e A b o v e C a v i t y B o t t o m ( c m ) F i g u r e 9 - 1 6 Q u a l i t y f a c t o r v s . h : T M O I Z , a = 0 . 2 5 ” ( n y l o n ) , b = 3 . 5 " , l = 2 0 m . 3 3 6 9 . 5 C o n c l u s i o n C h a p t e r 9 h a s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e t r a d i t i o n a l m o d e - m a t c h i n g a p p r o a c h t o s o l v i n g f o r t h e e i g e n v a l u e s o f t h e c a v i t y - o p e n o r c a v i t y - i m a g e t y p e l o a d e d c a v i t y c o n fi g u r a t i o n s , c a l l e d M e t h o d I i n t h i s d i s s e r t a t i o n , i s n u m e r i c a l l y u n s t a b l e . M e t h o d I I , t h a t c h o s e n b y B o l l e f o r t h e c o n d u c t i n g r o d c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n , i s n u m e r i c a l l y s t a b l e a n d h a s b e e n s h o w n t o p r o v i d e r e s o n a n t f r e q u e n c y s o l u t i o n s w h i c h a g r e e w i t h e x p e r i m e n t a l v a l u e s t o w i t h i n 1 . 5 M H z ( 0 . 0 6 % ) o r b e t t e r f o r a 0 5 " d i a m e t e r n y l o n l o a d i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y i n t h e T M 0 1 2 m o d e f o r l o a d l e n g t h s o f z e r o t o - c a v i t y l e n g t h . A c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n w a s a l s o p r e s e n t e d f o r f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n o f t h e h e i g h t o f t h e l o a d . T h e o r y w a s c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t f o r a 0 5 " d i a m e t e r n y l o n r o d , 2 c m i n l e n g t h , i n t h e T M 0 1 2 m o d e o f a 7 " d i a m e t e r c a v i t y , a g r e e i n g t o w i t h i n l e s s t h a n 0 . 5 M H z . C a l c u l a t i o n s o f q u a l i t y f a c t o r d i d n o t a g r e e a s w e l l w i t h e x p e r i m e n t a s f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s d u e t o l o s s e s i n t h e c a v i t y w a l l s w h i c h w e r e n o t a c c o u n t e d f o r b y t h e t h e o r y . N e v e r t h e l e s s , i t w a s s h o w n t h a t c a l c u l a t e d v a l u e s f a l l b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s a n d e x p e r i m e n t a l v a l u e s a d j u s t e d b y s u b t r a c t i n g o f f w a l l l o s s e s a p p r o x i m a t e d b y t h e e m p t y c a v i t y c a s e . A d d i t i o n a l l y , w h e n t h e c a v i t y w a s l o a d e d w i t h l a r g e r m a t e r i a l s , a n d e n e r g y l o s s e s w i t h i n t h e c a v i t y w e r e d o m i n a t e d b y m a t e r i a l l o s s e s , t h e o r e t i c a l l y c a l c u l a t e d Q ’ s w e r e v e r y c l o s e t o m e a s u r e d v a l u e s . I n s u m m a r y , a n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r t h e c a v i t y - o p e n t y p e a n d c a v i t y - i m a g e t y p e l o a d e d c a v i t y e i g e n v a l u e s h a s b e e n p r e s e n t e d f o r l o s s y l o a d s . T h i s C h a p t e r , i n c o n j u n c t i o n w i t h C h a p t e r 4 , e x t e n d s t h e s c o p e o f t h e c u r r e n t l i t e r a t u r e b y a r i g o r o u s i n c l u s i o n o f l o s s e s i n t h e l o a d m a t e r i a l . C h a p t e r 1 0 S U M M A R Y A N D C O N C L U S I O N S 1 0 . 1 I n t r o d u c t i o n A s s t a t e d i n C h a p t e r 1 , t h e p u r p o s e o f t h e w o r k p r e s e n t e d h e r e h a s b e e n t o p r e s e n t a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s o f c o a x i a l l y — l o a d e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s . T h e s e s o l u t i o n s w e r e d e v e l o p e d i n o r d e r t o p r o v i d e f u n d a m e n t a l i n f o r m a t i o n o n w a v e g u i d e a n d c a v i t y fi e l d s , q u a l i t y f a c t o r s , a n d c h a r a c t e r i s t i c f r e q u e n c i e s f o r a p p l i c a t i o n t o m i c r o w a v e h e a t i n g o f l o s s y m a t e r i a l s . T h e fi e l d s , q u a l i t y f a c t o r s , a n d r e s o n a n t f r e q u e n c i e s o f a m a t e r i a l l o a d e d m i c r o w a v e e a v i t y a r e h i g h l y d e p e n d e n t o n b o t h t h e s h a p e a n d s i z e o f t h e c o n fi n i n g b o u n d a r y r e p r e s e n t e d b y t h e c a v i t y w a l l s , a n d t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e m a t e r i a l i n s i d e . T h e r e f o r e , a m a t h e m a t i c a l m o d e l i s n e c e s s a r y t o d e s c r i b e t h e e l e c t r o m a g n e t i c b e h a v i o r o f t h e m a t e r i a l l o a d e d c a v i t y o r w a v e g u i d e a p p l i c a t o r . M a t e r i a l l o a d e d c a v i t i e s h a v e o f t e n b e e n u n d e r s t o o d s i m p l y i n t e r m s o f t h e e m p t y c a v i t y . E m p t y c a v i t y s o l u t i o n s , s i n c e t h e y h a v e b e e n k n o w n f o r m a n y y e a r s , a n d s i n c e w e l l - d e v e l o p e d s p e c i a l f u n c t i o n s , s u c h a s t h e B e s s e l f u n c t i o n s , p r o v i d e c o n v e n i e n t m e a n s o f e x p r e s s i n g t h e m , a r e s i m p l e . I t i s a l s o t r u e t h a t i n s e r t i n g a m a t e r i a l i n t o a n e m p t y c a v i t y d o e s n o t a l w a y s a l t e r t h e fi e l d s t r u c t u r e a g r e a t d e a l , o r i f i t d o e s , t h e a l t e r a t i o n c a n b e u n d e r s t o o d i n t e r m s o f a p e r t u r b a t i o n f r o m t h e e m p t y c a v i t y c a s e . H o w e v e r , f o r m a t e r i a l s o f l a r g e r s i z e a n d h i g h e r d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d l o s s f a c t o r ( o r c o n d u c t i v i t y ) , t h e fi e l d s a n d r e s o n a n t f r e q u e n c y c a n b e r a d i c a l l y c h a n g e d s o t h a t e m p t y c a v i t y a n a l o g i e s o r p e r t u r b a t i o n s a r e n o l o n g e r m e a n i n g f u l . N e w m o d e l s m u s t b e d e v e l o p e d t o d e s c r i b e t h e s e c a s e s . T o t h a t e n d , n a t u r a l m o d e s o l u t i o n s w e r e d e v e l o p e d f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e , c a v i t y - i m a g e t y p e , a n d c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n s , r e f e r r i n g t o F i g u r e s 1 - 2 , 1 - 3 , a n d 1 - 4 , f o r h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c , l o s s y d i e l e c t r i c l o a d s . 3 3 7 3 3 8 1 0 . 2 T h e C o a x i a l l y - L o a d e d W a v e g u i d e A n e l e m e n t o f a l l t h r e e c a v i t y c o n fi g u r a t i o n s w a s t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e , s h o w n i n F i g u r e 1 - 1 . A d e t a i l e d a n a l y s i s o f fi e l d s o l u t i o n s i n c o a x i a l l y - 1 o a d e d w a v e g u i d e s w a s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 3 . I t w a s d e m o n s t r a t e d t h a t b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e o f t h e l o a d p r e v e n t t h e m o d e s f r o m b e i n g c h a r a c t e r i z e d a s T E o r T M e x c e p t w h e n t h e r e i s n o o - d e p e n d e n c e . I n g e n e r a l , t h e y a r e c o m p o s e d o f a s u p e r p o s i t i o n o f b o t h T E a n d T M m o d e s , t h u s a c q u i r i n g t h e d e s i g n a t i o n o f h y b r i d . T h i s a n a l y s i s c u l m i n a t e d i n t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e w a v e n u m b e r s , E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) , . a n d e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e f fi c i e n t s o f t h e fi e l d c o m p o n e n t s , E q u a t i o n s ( 3 - 9 6 ) t h r o u g h ( 3 - 9 9 ) . T h e s e e q u a t i o n s w e r e u s e d t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h e C h a p t e r s f o l l o w i n g . F o r a p r o - s p e c i fi e d r e a l f r e q u e n c y , n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) f o r c o m p l e x v a l u e s o f t h e p r o p a g a t i o n w a v e n u m b e r c o r r e s p o n d t o t h e m o d e s o f t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . C h a p t e r 7 w a s d e d i c a t e d t o p r e s e n t i n g t h e s e t y p e s o f n u m e r i c a l s o l u t i o n s . A l s o d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 w a s a m e t h o d f o r l a b e l i n g t h e h y b r i d m o d e s . S e v e r a l d i f f e r e n t m e t h o d s f o r d i s t i n g u i s h i n g t h e h y b r i d m o d e s a s T M - l i k e o r T E - l i k e w e r e d i s c u s s e d . T h e m e t h o d o f B r u n o a n d B r i d g e s , b a s e d u p o n a c o m p a r i s o n o f t h e r a t i o o f E 2 t o H 2 i n t h e l o a d r e g i o n t o t h e w a v e i m p e d a n c e o f a p l a n e w a v e t r a v e l i n g a t t h e s a m e p h a s e v e l o c i t y , w a s c h o s e n , a l t h o u g h i t w a s r e c o g n i z e d t h a t t h e d i s t i n c t i o n i s n o t a l w a y s m e a n i n g f u l . W h e n t h e d i s t i n c t i o n w a s e m p l o y e d , T M - l i k e m o d e s w e r e c a l l e d H E a n d T E - l i k e m o d e s w e r e c a l l e d H I - I . O t h e r w i s e t h e g e n e r a l l a b e l f o r t h e h y b r i d m o d e s w a s H E M . T h e H E / I - I H s y s t e m p r o p o s e d i n C h a p t e r 7 t o r e p l a c e t h e H E ! E H s y s t e m m a k e s i t e a s i e r t o r e m e m b e r w h i c h m o d e s a r e T E - l i k e a n d w h i c h a r e T M - l i k e . N u m e r i c a l w a v e g u i d e s o l u t i o n s w e r e f o u n d b y s o l v i n g E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) u s i n g a c o m p l e x r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e b a s e d o n M i i l l e r ’ s m e t h o d . E v e n t h o u g h t h e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s a r e f a i r l y s i m p l e , a t l e a s t c o m p a r e d t o t h o s e f o r t h e c a v i t y - i m a g e o r c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n s , t h i s t a s k r e q u i r e d a g r e a t d e a l o f e f f o r t a n d d e v e l o p m e n t o f t e c h n i q u e . O n c e t h e m e a n s o f g a t h e r i n g s o l u t i o n s h a d b e e n d e v e l o p e d , h o w e v e r , i t w a s p o s s i b l e t o p r o d u c e t h e m q u i c k l y . W i t h a g o o d i n i t i a l 3 3 9 g u e s s , t h e p o i n t s o n a t y p i c a l c u r v e i n t h e F i g u r e s o f C h a p t e r 7 c o u l d a l l b e l o c a t e d w i t h i n 1 0 s e c o n d s u s i n g a n 8 0 3 8 6 ( 2 5 M H z ) b a s e d c o m p u t e r w i t h a m a t h c o p r o c e s s o r . N u m e r i e a l s o l u t i o n s f o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e w e r e p r o d u c e d f o r T M , T E , a n d h y b r i d m o d e s f o r b o t h l o s s y a n d l o s s l e s s m a t e r i a l s . C o m p l e x m o d e r e g i o n s w e r e i d e n t i fi e d a n d e x a m i n e d f o r l o s s l e s s l o a d s w i t h e , = 3 7 . 6 . T h e s e m o d e s w e r e d i s c u s s e d , e x p l a i n i n g t h a t a l t h o u g h t h e w a v e n u m b e r s o f t h e c o m p l e x m o d e s a r e c o m p l e x , t h e y e x i s t i n c o u p l e d p a i r s s u c h t h a t n o e n e r g y i s p r o p a g a t e d o r d i s s i p a t e d b y t h e m . R a d i a l w a v e n u m b e r s f o r t h e s a m e l o s s l e s s l o a d i n g w e r e c o m p a r e d f a v o r a b l y w i t h o t h e r p u b l i s h e d n u m e r i c a l r e s u l t s . F o r l o s s l e s s l o a d s i t w a s s h o w n t h a t t h e c u t o f f f r e q u e n c y d r o p s w i t h i n c r e a s i n g l o a d r a d i u s , a n d t h a t f o r l a r g e l o a d d i a m e t e r s i t a l s o d r o p s w i t h i n c r e a s i n g d i e l e c t r i c c o n s t a n t . F o r l o s s y m a t e r i a l s , a h i g h l y d a m p e d b a c k w a r d w a v e r e g i o n w a s d i s c o v e r e d f o r t h e T M m o d e s a t v e r y l o w f r e q u e n c i e s . A l l m o d e s a p p e a r e d t o b e h i g h l y d a m p e d f o r l o w d i e l e c t r i c c o n s t a n t m a t e r i a l s ( ~ 3 ) w i t h r e l a t i v e l o s s f a c t o r s o f 0 . 5 o r 1 . 0 . 1 0 . 3 T h e C a v i t y - S h o r t T y p e C o n f i g u r a t i o n S o l u t i o n s f o r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e 1 - 3 w e r e p r e s e n t e d a n a l y t i c a l l y i n C h a p t e r 4 a n d n u m e r i c a l l y i n C h a p t e r 8 . A n a l y t i c a l l y , t h e y a r e n e a r l y i d e n t i c a l t o t h e w a v e g u i d e s o l u t i o n , r e q u i r i n g o n l y t h a t ' y , t h e a x i a l w a v e n u m b e r , b e c o n s t r a i n e d t o a n i n t e g e r m u l t i p l e o f 1 r n o r m a l i z e d b y t h e c a v i t y l e n g t h , a n d t h a t t h e fi e l d e x p r e s s i o n s b e m o d i fi e d t o r e fl e c t s t a n d i n g w a v e s i n t h e a x i a l d e p e n d e n c e . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 3 - 9 2 ) w i t h a c o m p l e x f r e q u e n c y . T h e c a v i t y - s h o r t t y p e s o l u t i o n w a s c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s o f t h e T M 0 1 2 m o d e w i t h a 1 " d i a m e t e r n y l o n l o a d i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y . M e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n f o r a n u m b e r o f d i f f e r e n t c a v i t y a n d l o a d l e n g t h s . R e s o n a n t f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s m a t c h e d t h e r e a l f r e q u e n c y o f t h e t h e o r y t o w i t h i n 6 M H z ( 0 . 2 % ) . A l a r g e n u m b e r o f p l o t s o f c a v i t y - s h o r t t y p e n u m e r i c a l s o l u t i o n s w e r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 8 f o r T M , T E , a n d H E M m o d e s , d e m o n s t r a t i n g t h e e f f e c t s o f v a r y i n g l o a d p a r a m e t e r s . I n c r e a s i n g l o s s f a c t o r s w e r e s h o w n t o p r o d u c e d i f f e r e n t 3 4 0 e f f e c t s o n t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y d e p e n d i n g o n t h e m o d e a n d r a n g e o f t h e l o s s f a c t o r . F o r T M m o d e s w i t h l o a d s o f e , ’ = 3 . 0 3 a n d l o w l o s s f a c t o r s , a n i n c r e a s e i n l o s s f a c t o r p r o d u c e d a d e c r e a s e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y , w h i l e t h e f r e q u e n c y i n c r e a s e d w h e n t h e l o s s f a c t o r w a s g r e a t e r t h a n 3 0 . F o r T E m o d e s w i t h e , ’ = 3 . 0 3 , a n i n c r e a s i n g l o s s f a c t o r a l w a y s p r o d u c e d a n i n c r e a s e i n r e s o n a n t f r e q u e n c y . I t w a s s h o w n t h a t t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n f o r v e r y h i g h l o s s f a c t o r l o a d s a p p r o x i m a t e s t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c o a x i a l c a v i t y b o t h i n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d fi e l d s t r u c t u r e . P l o t s o f f r e q u e n c y a n d Q f a c t o r v a r i a t i o n s w i t h l o a d d i e l e c t r i c c o n s t a n t , e ' , s h o w e d t h a t a s l i g h t c h a n g e i n d i e l e c t r i c c o n s t a n t c a n s h i f t a r e s o n a n c e f r o m o n e m o d e t o a n o t h e r w i t h o u t a f f e c t i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y . I t w a s a l s o i n t e r e s t i n g t o fi n d t h a t f o r c e r t a i n d i e l e c t r i c c o n s t a n t s , r e f e r r i n g t o F i g u r e ( 8 - 2 3 ) , l o s s f a c t o r p l a y s n o r o l e i n d e t e r m i n i n g t h e r e a l f r e q u e n c y . C a v i t y - s h o r t t y p e r e s o n a n c e s w e r e a l s o s t u d i e d a s a f u n c t i o n o f l o a d r a d i u s . I t w a s s h o w n t h a t f o r l o w l o s s f a c t o r s a n e m p t y c a v i t y m o d e c o u l d b e t r a c e d , a s t h e l o a d r a d i u s i n c r e a s e d f r o m z e r o , t o t h e s a m e m a t e r i a l fi l l e d c a v i t y m o d e i n t h e l i m i t a s t h e l o a d r a d i u s a p p r o a c h e d t h e c a v i t y r a d i u s . T h e s e m o d e s w e r e c a l l e d r a d i a l l y t r a c e a b l e . F o r l o s s l e s s l o a d s , a l l o f t h e p l o t s f o r T B a n d T M m o d e s d e m o n s t r a t e d r a d i a l t r a c e a b i l i t y . F o r H E M m o d e s , o n t h e o t h e r h a n d , a n e x a m p l e w a s p r e s e n t e d t o s h o w t h a t r a d i a l t r a c e a b i l i t y w a s n o t a s s u r e d e v e n i n t h e l o s s l e s s c a s e . A n o t h e r e x a m p l e w a s p r e s e n t e d t o s h o w t h a t a n a m e - s y m m e t r i c e m p t y c a v i t y T M m o d e m a y b e t r a c e d t o a m a t e r i a l fi l l e d T E m o d e . T w o o t h e r m o d e p h e n o m e n a a s a f u n c t i o n o f l o a d r a d i u s w e r e i d e n t i fi e d a s d i e l e c t r i c e x c l u s i o n a n d d i e l e c t r i c c o n fi n e m e n t . B o t h o f t h e s e r e f e r t o h i g h l o s s f a c t o r l o a d m o d e s w h i c h e x h i b i t d r a m a t i c f r e q u e n c y i n c r e a s e s a s t h e l o a d r a d i u s g r o w s l a r g e ( e x c l u s i o n ) o r a s i t d i m i n i s h e s t o w a r d z e r o ( c o n fi n e m e n t ) . D i e l e c t r i c e x c l u d e d m o d e s a r e v e r y l o w Q m o d e s w h e r e , f o r l a r g e r l o a d r a d i i , t h e fi e l d s t e n d t o b e e x c l u d e d f r o m t h e d i e l e c t r i c a n d c o n c e n t r a t e d i n t h e r e g i o n b e t w e e n t h e l o a d a n d t h e c a v i t y w a l l s . D i e l e c t r i c c o n fi n e d m o d e s a r e v e r y l o w Q m o d e s w h e r e , f o r s m a l l e r l o a d r a d i i , t h e fi e l d s t e n d t o b e c o n fi n e d t o t h e l o a d r e g i o n . 3 4 1 1 0 . 4 T h e C a v i t y - I m a g e a n d C a v i t y - O p e n T y p e C o n f i g u r a t i o n s T h e c h i e f c o n t r i b u t i o n o f t h e w o r k p r e s e n t e d h e r e i s t h e d e v e l o p m e n t o f n u m e r i c a l l y s t a b l e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r t h e fi e l d s o f t h e c a v i t y - i m a g e a n d e a v i t y - o p e n — t y p e c o n fi g u r a t i o n s , s h o w n i n F i g u r e s 1 - 2 a n d 1 - 4 . C h a p t e r 4 d i s c u s s e s t w o d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o c o n s t r u c t i n g a c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e s e c o n fi g u r a t i o n s . T h e fi r s t a p p r o a c h f o l l o w s t h e p r o c e d u r e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e o n t h e s u b j e c t f o r l o s s l e s s l o a d s , u s i n g a m o d e e x p r e s s i o n f r o m t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n t o o r t h o g o n a l i z e b o t h t h e E v a n a n d I n ! “ m m a t c h i n g e q u a t i o n s . I n C h a p t e r 9 t h i s f o r m u l a t i o n i s f o u n d t o p r o d u c e a h i g h l y i l l - c o n d i t i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x a n d i s u n s u i t a b l e f o r n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n . A s e c o n d e x p r e s s i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s d e v e l o p e d u s i n g a m o d e f r o m t h e e m p t y w a v e g u i d e r e g i o n t o o r t h o g o n a l i z e o n e m a t c h i n g e q u a t i o n a n d a m o d e f r o m t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n t o o r t h o g o n a l i z e t h e o t h e r . T h i s r e s u l t s i n a v e r y c o m p l i c a t e d e x p r e s s i o n f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x , w h i c h i s , n o n e t h e l e s s , n u m e r i c a l l y s t a b l e . A n a l y t i c s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r t h e g e n e r a l c a s e . T h i s i n c l u d e s H E M m o d e s a n d v a r i a b i l i t y i n t h e h e i g h t o f t h e l o a d a b o v e t h e c a v i t y b o t t o m . A s p e c i a l i z a t i o n t o t h e T M c a s e , w i t h n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r b o t h c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a p p r o a c h e s , i s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 9 . T h e n u m e r i c a l p r o b l e m w a s m u c h m o r e c o m p l i c a t e d f o r t h e c a v i t y - i m a g e a n d c a v i t y — o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n s t h a n f o r e i t h e r t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n o r t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e . T h e c o m p l e x f r e q u e n c i e s w e r e r o o t s o f t h e d e t e r m i n a n t o f a n i n fi n i t e l y d i m e n s i o n e d c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x , w h i c h w a s t r u n c a t e d a c c o r d i n g t o t h e n u m b e r o f e l e m e n t s n e c e s s a r y f o r c o n v e r g e n c e t o a s o l u t i o n . T h e s e f r e q u e n c i e s c o u l d n o t b e l o e a t e d b y c o n v e n t i o n a l c o m p l e x r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e s s o t h a t a m e t h o d b a s e d o n s e p a r a t e l y m a p p i n g t h e r o o t s o f r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e d e t e r m i n a n t h a d t o b e d e v e l o p e d . T h i s r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e i s d e s c r i b e d i n A p p e n d i x E . P l o t s o f f r e q u e n c y v e r s u s l o a d l e n g t h w e r e m a d e u s i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f r o m b o t h a n a l y t i c a l m e t h o d s . C o n v e r g e n c e c o u l d n o t b e a c h i e v e d w i t h t h e fi r s t m e t h o d d u e t o n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y , i . e . , r o u n d - o f f e r r o r . T h e s e c o n d m e t h o d , 3 4 2 h o w e v e r , d e m o n s t r a t e d c o n v e r g e n c e f o r a 1 0 x 1 0 m a t r i x i n t h e T M 0 1 2 m o d e w h e n t h e l o a d w a s c o m p o s e d o f a 0 . 5 " d i a m e t e r n y l o n r o d i n a 6 " d i a m e t e r c a v i t y . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n d e m o n s t r a t e d e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s o n a n t f r e q u e n c y , s h o w i n g a m a x i m u m d i f f e r e n c e o f 1 M H z f o r a l o a d l e n g t h e q u a l t o h a l f o f t h e c a v i t y l e n g t h . F o r o t h e r l o a d l e n g t h s t h e d i f f e r e n c e w a s e v e n l e s s . A c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n w a s a l s o p l o t t e d f o r a 0 . 5 " d i a m e t e r n y l o n l o a d , 2 c m i n l e n g t h , f o r v a r i o u s h e i g h t s w i t h i n t h e c a v i t y . A g a i n , t h e e m p t y c a v i t y m a n m o d e w a s u s e d . E x p e r i m e n t a l f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s w e r e w i t h i n 1 . 5 M H z o f t h o s e c a l c u l a t e d u s i n g t h e m o d e - m a t c h i n g t h e o r y . . C o m p a r i s o n s o f t h e m e a s u r e d q u a l i t y f a c t o r w i t h t h e q u a l i t y f a c t o r c a l c u l a t e d f r o m E q u a t i o n ( 6 - 1 8 ) d i d n o t s h o w a s c l o s e a g r e e m e n t a s t h e f r e q u e n c y c o m p a r i s o n s . T h i s w a s d u e t o t h e fi n i t e c o n d u c t i v i t y o f t h e c a v i t y w a l l s w h i c h w a s n e g l e c t e d i n t h e m o d e l . T h e l o s s y m a t e r i a l c o n t r i b u t i o n t o t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d Q c o u l d n o t b e s e p a r a t e d f r o m t h e e f f e c t o f t h e fi n i t e w a l l c o n d u c t i v i t y b y a s i m p l e s u b t r a c t i o n o f t h e c o n t r i b u t i o n t h a t w o u l d b e p r e s e n t e d b y t h e e m p t y c a v i t y w a l l s . T h i s i s b e c a u s e t h e r a t i o o f e n e r g y s t o r e d t o p o w e r d i s s i p a t e d i n t h e w a l l s i s h i g h e r i n t h e l o a d e d c a v i t y t h a n i n t h e e m p t y c a v i t y , a t l e a s t f o r l o w l o s s f a c t o r m a t e r i a l s . I n a d j u s t i n g t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s t o a c c o u n t f o r w a l l l o s s e s , t o o m u c h l o s s i s s u b t r a c t e d i f e m p t y e a v i t y w a l l l o s s e s a r e u s e d t o a p p r o x i m a t e t h e w a l l l o s s e s w h e n t h e c a v i t y i s l o a d e d . U s i n g t h e e m p t y c a v i t y w a l l l o s s a p p r o x i m a t i o n , a d j u s t e d e x p e r i m e n t a l v a l u e s a r e m u c h h i g h e r t h a n c a l c u l a t e d v a l u e s . O n t h e o t h e r h a n d , i f w a l l l o s s e s a r e n e g l e c t e d a l t o g e t h e r , e x p e r i m e n t a l Q v a l u e s a r e l o w e r t h a n t h o s e c a l c u l a t e d c o n s i d e r i n g m a t e r i a l l o s s a l o n e . C l o s e r a g r e e m e n t f o r Q b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t i s o b s e r v e d w i t h l a r g e r l o a d s s i n c e t h e m a t e r i a l l o s s e s t h e n d o m i n a t e t h e w a l l l o s s e s . 1 0 . 5 L o s s y , M a t e r i a l F i l l e d C a v i t y a n d C o n d u c t i n g R o d L o a d e d C a v i t y S o l u t i o n s S o l u t i o n s w e r e a l s o p r e s e n t e d f o r t w o o t h e r c a v i t y c o n fi g u r a t i o n s . T h e fi r s t w a s f o r a s i m p l e , m a t e r i a l - fi l l e d c a v i t y , s i m i l a r t o t h e e m p t y o r f r e e s p a c e fi l l e d c a v i t y . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m i s o n l y t h a t t h e d i e l e c t r i c fi l l i n g t h e c a v i t y w a s 3 4 3 a l l o w e d t o b e l o s s y , i . e . , 3 i s c o m p l e x . T h i s s o l u t i o n w a s p r o v i d e d a s a s i m p l e e x a m p l e t o s h o w h o w t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f a c a v i t y b e c o m e s c o m p l e x i n t h e p r e s e n c e o f l o s s e s . T h e s e c o n d c a v i t y c o n fi g u r a t i o n w a s s i m i l a r t o t h e c a v i t y - i m a g e t y p e c o n fi g u r a t i o n , e x c e p t w i t h a c o n d u c t i n g r o d f o r a l o a d . A n u n s u c c e s s f u l s o l u t i o n f o r T M m o d e s i n t h i s c o n fi g u r a t i o n h a d b e e n p r e s e n t e d s e v e r a l y e a r s a g o b y D . M . B o l l e . C h a p t e r 5 p r e s e n t e d a r e w o r k i n g o f h i s s o l u t i o n w h i c h t u r n e d u p t h e f a c t t h a t t h e T E M m o d e c o n t r i b u t i o n i n t h e c o a x i a l w a v e g u i d e r e g i o n h a d b e e n n e g l e c t e d i n B o l l e ’ s p a p e r . 1 . R e i n t r o d u c i n g i t p r o d u c e d s o l u t i o n s w h i c h s h o w e d e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t f o r a c o m p l e t e r a n g e o f l o a d l e n g t h s f r o m z e r o t o c a v i t y l e n g t h . T h e s o l u t i o n s h o w e d t h a t w h e n t h e l o a d l e n g t h i s v e r y n e a r t h e c a v i t y l e n g t h , t h e c a p a c i t a n c e b e t w e e n t h e e n d s o f t h e c o n d u c t i n g r o d a n d t h e c a v i t y e n d p l a t e s d o m i n a t e s t h e f r e q u e n c y b e h a v i o r , c a u s i n g a s h a r p d r o p i n r e s o n a n t f r e q u e n c y j u s t b e f o r e t h e r o d r e a c h e s t h e e n d o f t h e c a v i t y . 1 0 . 6 R e l a t i o n s h i p o f C o m p l e x N a t u r a l F r e q u e n c i e s t o R e s o n a n t F r e q u e n c y a n d Q C h a p t e r 6 w a s d e v o t e d t o e x p l a n a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c i e s , w h i c h w e r e c a l c u l a t e d a s r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s , a n d t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d q u a l i t y f a c t o r , Q , w h i c h a r e m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y . U s i n g a n e q u i v a l e n t c i r c u i t a n a l o g y , i t w a s s h o w n t h a t f o r Q ’ s i n e x c e s s o f 5 0 , t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y c o u l d b e i d e n t i fi e d w i t h t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d t h e Q c o u l d b e d e t e r m i n e d b y t h e r a t i o o f t h e r e a l p a r t o f t h e n a t u r a l f r e q u e n c y t o t w i c e t h e i m a g i n a r y p a r t . C a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n s o l u t i o n s w e r e p l o t t e d o n t h e c o m p l e x f r e q u e n c y p l a n e , d e m o n s t r a t i n g t h e e f f e c t o f v a r y i n g l o s s f a c t o r o n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d Q . 1 0 . 7 M i s c e l l a n e o u s T h e o r e t i c a l F o r m u l a t i o n C o n t r i b u t i o n s I n t h e p r o c e s s o f d e r i v i n g v a r i o u s a s p e c t s o f t h e m o d e l s r e v i e w e d a b o v e , s e v e r a l f o r m u l a t i o n s a n d p r o c e d u r e s w e r e d e v e l o p e d o r d i s c o v e r e d w h i c h a r e w o r t h y l B o u t . 3 4 4 m e n t i o n i n g i n t h e m s e l v e s . T h e s e a r e p r e s e n t e d i n s o m e o f t h e A p p e n d i c e s . O n e o f t h e s e i s t h e c o m p l e x r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e m e n t i o n e d a b o v e . A n o t h e r i s f o u n d i n A p p e n d i x A w h i c h c o n t a i n s a d e r i v a t i o n o f t h r e e p r e v i o u s l y u n p u b l i s h e d i n d e fi n i t e B e s s e l f u n c t i o n i n t e g r a l s a n d t h r e e B e s s e l f u n c t i o n r e c u r r e n c e r e l a t i o n s h i p s . T o m a k e d e fi n i t e e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l s s i m p l e r , e x p r e s s i o n s f o r l i m i t i n g c a s e s a s t h e a r g u m e n t g o e s t o z e r o o r i n fi n i t y w e r e p r o v i d e d . U s i n g t h e s e i n t e g r a l s i n c o n j u n c t i o n w i t h o t h e r p u b l i s h e d i n d e fi n i t e i n t e g r a l s , t w o d e fi n i t e i n t e g r a l s d i s p l a y i n g o r t h o g o n a l i t y w e r e i d e n t i fi e d . A p p e n d i x B c o n t a i n s a d i s c u s s i o n o f m o d e o r t h o g o n a l i t y i n i s o t r o p i c , i n h o m o g e n e o u s l y l o a d e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s o f a r b i t r a r y c r o s s s e c t i o n . I t i s w e l l — k n o w n t h a t t h e “ e n e r g y o r t h o g o n a l i t y ” r e l a t i o n s h i p s w h i c h a r e v a l i d f o r h o m o g e n e o u s l y l o a d e d w a v e g u i d e m o d e s d o n o t h o l d i n g e n e r a l f o r t h e i n h o m o g e n e o u s c a s e , b u t t h a t t h e “ p o w e r o r t h o g o n a l i t y ” r e l a t i o n s h i p s d o . A p p e n d i x B s h o w e d t h a t e n e r g y o r t h o g o n a l i t y i s a c t u a l l y a s p e c i a l c a s e o f p o w e r o r t h o g o n a l i t y a n d t h a t e n e r g y o r t h o g o n a l i t y e x p r e s s i o n s e x i s t f o r p u r e l y T E o r p u r e l y T M m o d e s i n a n i n h o m o g e n e o u s l y l o a d e d w a v e g u i d e . A p p e n d i x D i s a n a t t e m p t t o d e fi n e a t i m e - a v e r a g e m a g n i t u d e o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e n a t u r a l fi e l d s . S i n c e t h e n a t u r a l fi e l d s d e c a y w i t h t i m e , t h e t i m e a v e r a g e o v e r a l l t i m e i s z e r o . A n a d d i t i o n a l d i f fi c u l t y i s t h a t t h e n a t u r a l m o d e fi e l d s r o t a t e i n t i m e i n t h e p r e s e n c e o f a l o s s y l o a d b o u n d a r y . A r e l a t i v e m a g n i t u d e d e fi n i t i o n w a s g i v e n i n A p p e n d i x D , b a s e d o n t h e a v e r a g e m a g n i t u d e d u r i n g fi r s t h a l f t i m e p e r i o d a f t e r t h e fi e l d s a r e e x c i t e d . I t w a s p o i n t e d o u t t h a t t h e r o t a t i o n o f t h e n a t u r a l m o d e fi e l d s m a y p o s s i b l y b e u s e d t o h e a t m a t e r i a l s m o r e u n i f o r m l y o r fi n d a p p l i c a t i o n s i n m a t e r i a l s b o n d i n g . I f t h i s r o t a t i o n i s c o n fi n e d t o t h e n a t u r a l m o d e fi e l d s , i . e . , i t d o e s n o t e x i s t i n t h e s i n u s o i d a l s t e a d y s t a t e , i t c o u l d b e e x p l o i t e d b y r a p i d l y p u l s i n g e n e r g y i n t o t h e c a v i t y . T h e f r e q u e n c y o f t h e p u l s e w o u l d h a v e t o b e o n t h e o r d e r o f t h e f r e q u e n c y o f t h e e x c i t a t i o n i n o r d e r t o d e l i v e r a n a p p r e c i a b l e a m o u n t o f e n e r g y t o t h e l o a d , p r o m p t i n g t h e d e s i g n a t i o n o f e x t r e m e l y r a p i d p u l s e ( E R P ) t o t h e p r o c e s s . 3 4 5 A fi n a l c o n t r i b u t i o n t o t h e t h e o r y o f l o a d e d c y l i n d r i c a l e a v i t i e s w a s i n c l u d e d i n A p p e n d i x F . A c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n w a s d e r i v e d f o r t h e s l a b - l o a d e d c a v i t y w h e n t h e s l a b i s n o t c o n fi n e d t o o n e e n d o f t h e c a v i t y . T h e s l a b - l o a d e d c a v i t y e a r l b e c o n s i d e r e d t o b e t h e r a d i a l c o u n t e r p a r t o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n . I n t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n t h e c a v i t y a n d l o a d h a v e t h e s a m e l e n g t h . I n t h e s l a b - l o a d e d c a v i t y t h e c a v i t y a n d l o a d h a v e t h e s a m e r a d i u s . S o l u t i o n s f o r t h e s l a b - l o a d e d c a v i t y a r e u s e f u l f o r c h e c k i n g c a v i t y - O p e n t y p e s o l u t i o n s f o r l a r g e l o a d r a d i i . 1 0 . 8 A p p l i c a t i o n o f T h e o r y t o M a t e r i a l s H e a t i n g P r o c e s s e s A t t h e e n d o f C h a p t e r 8 i t w a s p o i n t e d o u t t h a t m a t e r i a l l o a d e d c a v i t i e s e x h i b i t d i v e r s e b e h a v i o r w h e n t h e p r o p e r t i e s o f t h e l o a d c h a n g e . E m p t y c a v i t y fi e l d s o r p e r t u r b a t i o n s f r o m t h e e m p t y c a v i t y s o l u t i o n s d o n o t a l w a y s p r o v i d e g o o d a p p r o x i m a t i o n s o f t h e m a t e r i a l a n d fi e l d i n t e r a c t i o n . I n s u c h c a s e s , s o l u t i o n s l i k e t h e o n e s p r e s e n t e d h e r e a r e v e r y u s e f u l i n d e t e r m i n i n g w h i c h m o d e s a r e b e s t f o r h e a t i n g d i f f e r e n t k i n d s a n d s h a p e s o f m a t e r i a l s . A m o d e t h a t i s u s e f u l f o r h e a t i n g a l o w l o s s fi l a m e n t i n t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n m a y n o t b e g o o d f o r h e a t i n g a s h o r t r o d o r w a f e r l o c a t e d i n t h e c e n t e r o f t h e c a v i t y . G i v e n t w o l o a d s o f t h e s a m e s h a p e , o n e m o d e m a y b e b e t t e r t h a n a n o t h e r d e p e n d i n g o n t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o r l o s s f a c t o r o f t h e m a t e r i a l s . T h e c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n m a y b e u s e d t o fi n d t h e o p t i m u m h e i g h t a b o v e t h e c a v i t y b o t t o m a n d t h e b e s t m o d e f o r h e a t i n g s e m i - c o n d u c t i n g w a f e r s o r s l a b s o f m a t e r i a l . O n c e t h e m o d e a n d p o s i t i o n o f t h e l o a d a r e c h o s e n , t h e t h e o r y m a y b e u s e d t o p r e d i c t r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d Q c h a n g e s t h a t o c c u r a s t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s c h a n g e d u r i n g h e a t i n g . I n v e r s e l y , c h a n g e s i n r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d Q m a y b e u s e d t o d e t e r m i n e h o w d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s a n d m a t e r i a l s h a p e a r e b e i n g m o d i fi e d b y t h e h e a t i n g p r o c e s s . 2 T h e t h e o r y m a y s i m i l a r l y b e u s e d t o d i a g n o s e t h e p r o p e r t i e s o f h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c p l a s m a s c o n t a i n e d i n t h e c a v i t y . C o n d u c t i n g r o d s o l u t i o n s f r o m C h a p t e r 5 c a n b e g o o d a p p r o x i m a t i o n s f o r s e m i - c o n d u c t i n g l o a d s o r f o r l o a d s w i t h v e r y h i g h l o s s f a c t o r s . T h e y m a y a l s o b e 2 A s m u s s e n , L i n , M a n r i n g , a n d F r i t z . 3 4 6 u s e d t o m o d e l r e e n t r a n t c a v i t y a p p l i c a t i o n s , i n c l u d i n g m a t e r i a l s p r o c e s s i n g b y p l a c i n g m a t e r i a l s b e t w e e n t h e e n d o f t h e c o n d u c t i n g r o d a n d t h e e a v i t y e n d p l a t e . T h e h i g h c a p a c i t a n c e b e t w e e n t h e e n d o f t h e r o d a n d t h e c a v i t y e n d p l a t e f o r t h i n g a p s m a y b e e x p l o i t e d f o r u n i f o r m , l o c a l i z e d h e a t i n g o f m a t e r i a l s l o c a t e d i n t h a t r e g i o n . W h a t e v e r t h e a p p l i c a t i o n , w h e t h e r i t b e h e a t i n g o f m a t e r i a l s , p l a s m a d i a g n o s i s , d i e l e c t r i c c o n s t a n t m e a s u r e m e n t , o r r e e n t r a n t c a v i t y d e s i g n , k n o w l e d g e o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y , q u a l i t y f a c t o r , a n d fi e l d s t r u c t u r e f o r t h e v a r i o u s m o d e s i s f o u n d a t i o n a l . W h i l e a c e r t a i n a m o u n t o f t h i s i n f o r m a t i o n m a y b e g a t h e r e d e x p e r i m e n t a l l y o r b y p e r t u r b a t i o n t h e o r y , a r i g o r o u s m a t h e m a t i c a l m o d e l e x p l a i n s b e h a v i o r s , s h e d s n e w l i g h t , a n d d e m o n s t r a t e s n e w p o s s i b i l i t i e s t h a t a r e n o t d i s c e m a b l e o t h e r w i s e . 1 0 . 9 S u g g e s t i o n s f o r F u r t h e r R e s e a r c h D e s p i t e t h e l a r g e a m o u n t o f r e s e a r c h t h a t h a s b e e n e x p e n d e d o n c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e a n d c a v i t y s y s t e m s , t h e r e i s s t i l l m u c h w o r k t o d o e v e n f o r h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c l o a d m a t e r i a l s . M u c h e f f o r t c o u l d b e p u t i n t o fi n d i n g s o l u t i o n s f o r n e w m a t e r i a l s a l o n e . A d d i n g m o r e l a y e r s t o t h e l o a d o n l y i n c r e a s e s t h e p o s s i b i l i t i e s f o r fi n d i n g i n t e r e s t i n g s o l u t i o n s . M o r e s p e c i fi c t o t h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d h e r e i s t h e n e e d o f a m o r e d e t a i l e d n u m e r i c a l s t u d y o f t h e l o s s y l o a d c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n , w i t h m o r e n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e T M m o d e s , a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e T B a n d H E M m o d e s . N e i t h e r h a v e s o l u t i o n s b e e n r e p o r t e d f o r T E o r n o n - a s y m m e t r i c T M m o d e s i n t h e c o n d u c t i n g r o d l o a d e d c a v i t y . T o b e t t e r r e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s , t h e s e s o l u t i o n s c o u l d b e i m p r o v e d b y i n c l u d i n g w a l l l o s s e s i n t h e t h e o r y . T h e e a s i e s t w a y t o d o t h i s w o u l d p r o b a b l y b e t o c a l c u l a t e w a l l l o s s e s a s a p e r t u r b a t i o n f r o m t h e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g c a v i t y c a s e , u s i n g t h e fi e l d s c a l c u l a t e d b y t h e m o d e - m a t c h i n g t h e o r y . C l o s e r a p p r o x i m a t i o n t o e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s w o u l d a l s o b e a c h i e v e d b y a l l o w i n g f o r i n h o m o g e n e o u s a n d a n i s o t r o p i c m a t e r i a l l o a d s , a n d i n c l u d i n g s o u r c e s , i . e . , c o u p l i n g p r o b e s , l o o p s , o r I t w o u l d a l s o b e i n t e r e s t i n g t o i n v e s t i g a t e w h e t h e r o r n o t t h e s i n u s o i d a l s t e a d y s t a t e fi e l d s r o t a t e i n t h e p r e s e n c e o f a l o s s y m a t e r i a l b o u n d a r y a s t h e n a t u r a l m o d e 3 4 7 fi e l d s d o . I f n o t , p l o t s o f fi e l d r o t a t i o n e l l i p s e s c o u l d b e c o m p a r e d w i t h E R P m a t e r i a l s h e a t i n g e x p e r i m e n t s t o s e e i f t h e r e i s a c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e fi e l d r o t a t i o n a n d m o r e u n i f o r m h e a t i n g o f t h e m a t e r i a l s . M o r e s o p h i s t i c a t e d n u m e r i c a l s o l u t i o n s w o u l d a c c o u n t f o r t i m e - d e p e n d e n t c h a n g e s i n m a t e r i a l t e m p e r a t u r e a n d i t s s u b s e q u e n t e f f e c t o n m a t e r i a l p r o p e r t i e s . T h i s w o u l d i n v o l v e a s i m u l t a n e o u s s o l u t i o n o f e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n s w i t h M a x w e l l ’ s e q u a t i o n s . A s o l u t i o n o f t h i s t y p e h a s a l r e a d y b e e n p r e s e n t e d f o r p l a s m a l o a d s i n t h e T M O I O m o d e i n t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n , 3 h o w e v e r , i n p r a c t i c e m a n y m i c r o w a v e c a v i t y p l a s m a s a r e e x c i t e d b y o t h e r m o d e s a n d d o n o t e x t e n d t h e e n t i r e c a v i t y l e n g t h . B o t h c a v i t y - s h o r t a n d c a v i t y - o p e n t y p e s o l u t i o n s , c o u p l e d w i t h e n e r g y b a l a n c e , w o u l d b e u s e f u l i n d e s c r i b i n g m i c r o w a v e p l a s m a a n d c e r a m i c s i n t e r i n g p r o c e s s e s . ‘ 3 O f f e r m a n n s , “ E l e c t r o d e l e s s H i g h - P r e s s u r e M i c r o w a v e D i s c h a r g e s . ” A P P E N D I C E S A p p e n d i x A I N T E G R A L S A N D R E C U R R E N C E R E L A T I O N S H I P S U S E D I N C I R C U L A R C Y L I N D R I C A L O R T H O G O N A L I T Y I N T E G R A T I O N A N D E N E R G Y C A L C U L A T I O N S A . l I n t r o d u c t i o n O f t e n i n t h e s o l u t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c s p r o b l e m s i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s , c o m b i n a t i o n s o f B e s s e l f u n c t i o n s a r e e n c o u n t e r e d i n i n d e fi n i t e i n t e g r a l s o r e l s e w h e r e . E x a m p l e s a r e o r t h o g o n a l i z a t i o n i n t e g r a l s o f m o d a l e x p a n s i o n s f o r m a t c h i n g fi e l d s a c r o s s d i s c o n t i n u i t i e s , c a l c u l a t i o n o f p o w e r d i s s i p a t e d a n d e n e r g y s t o r e d i n c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s a n d c a v i t i e s , o r s i m i l a r c a l c u l a t i o n s f o r c y l i n d r i c a l d i e l e c t r i c w a v e g u i d e s . l W h i l e t h e r e a r e t a b u l a t e d s o l u t i o n s t o c e r t a i n o f t h e s e i n t e g r a l s , s o m e c a n n o t b e f o u n d i n c o m m o n r e f e r e n c e s . 2 T h r e e p r e v i o u s l y u n t a b u l a t e d i n t e g r a l s a r e d e r i v e d a n d p r e s e n t e d h e r e . T h i s a p p e n d i x c o n t a i n s a t a b u l a t i o n o f s e v e r a l o f t h e s e u n c o m m o n i n t e g r a l a n d r e c u r r e n c e i d e n t i t i e s . W h i l e s o m e o f t h e i d e n t i t i e s b e l o w a r e n o t n e c e s s a r y f o r c a l c u l a t i o n s i n v o l v e d i n t h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , p a r t i c u l a r l y t h o s e i n v o l v i n g m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s , t h e y a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h o s e w h i c h a r e . I t w a s t h o u g h t c o n v e n i e n t t o i n c l u d e t h e m h e r e f o r t h e b e n e fi t o f t h o s e w o r k i n g o n r e l a t e d p r o b l e m s . A . 2 I n d e f i n i t e I n t e g r a l s G i v e n F ” a n d G , s u c h t h a t # l D a r k o K a j f e z , “ I n d e fi n i t e I n t e g r a l s U s e f u l i n t h e A n a l y s i s o f C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c R e s o n a t o r s , ” E E E T r a n s . M i c r o w a v e T i n y . T e c h , M T T - 3 5 ( 9 ) ( S e p . 1 9 8 7 ) : 8 7 3 - 7 4 . 2 M i l t o n A b r a m o w i t z a n d I r e n e S t e g u n , H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s ( N e w Y o r k : D o v e r P u b l i c a t i o n s , n . d . ) : 4 7 9 - 9 4 ; 1 . S . G r a d s h t e y n a n d I . M . R y z h i k , T a b l e o f I n t e g r a l s , S e r i e s , a n d P r o d u a s ( S a n D i e g o : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 0 ) : 6 3 3 - 3 4 . 3 4 8 6 , 0 6 2 ) = € 1 , 0 3 2 ) + D Y V w Z ) ’ 2 2 2 - l 3 a [ “ F v ( a z ) 6 1 3 0 8 2 ) ‘ B F 6 5 L 0 3 2 ) = 0 1 . 1 0 3 2 ) + D Y , ' , ( fi z ) , ( A ' l ) ( G Z ) G , . ( B z ) ] . M v w z ) = R 1 . 0 3 2 ) + S K . . ( B z ) , M L Q B Z ) s 1 2 1 . 1 5 2 ) + S K s z ) , ( A 4 ) 3 4 9 F , ( a z ) = A J , ( a z ) + B Y , ( a z ) , F , ( a z ) = A J , ( a z ) + B Y , ( a z ) , w h e r e J , a n d Y , a r e o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s w i t h c o m p l e x a r g u m e n t s a n d v i s a n a r b i t r a r y c o m p l e x c o n s t a n t , i t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t 2 [ [ F , ( a z ) G , ( B z ) + ” F , ( a z ) G , ( B z ) ] z d z ( 1 1 3 7 . 2 a 7 5 B ( A - 2 ) S i n c e t h e H a n k e l f u n c t i o n s H 9 ) a n d H E ? ) a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f I , a n d Y , , E q u a t i o n ( A - 2 ) i s a l s o t r u e i f F , a n d G , c o n t a i n l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f H a n k e l f u n c t i o n s . T h e i n t e g r a l m a y b e c h e c k e d b y d i f f e r e n t i a t i n g t h e r i g h t h a n d s i d e a n d s h o w i n g t h a t i t i s e q u a l t o t h e i n t e g r a n d . I n o r d e r t o p e r f o r m t h e d i f f e r e n t i a t i o n , i t i s n e c e s s a r y t o h a v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s o f F , a n d G , . T h e s e a r e f o u n d b y e x a m i n i n g t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e fi n i n g o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s , 2 d 2 w d w + z — + ( z z - v 2 ) w = 0 . ( A - 3 ) Z d z 2 d z T h e s a m e i n t e g r a l r e l a t i o n s h i p a s i s c o n t a i n e d i n E q u a t i o n ( A - 2 ) m a y b e d e r i v e d f o r m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s . G i v e n L , a n d M , s u c h t h a t L , ( a z ) = P I , ( a z ) + Q K , ( a z ) , L , ( a z ) = P I , ( a z ) + Q K , ( a z ) , 2 _ o r 3 £ - _ 3 [ a L , ( a z ) M , ( B z ) - B L ; ( a z ) M . ( B 2 ) ] - s 2 _ Z _ a _ + _ 3 2 _ [ a F , ( a z ) M , ( B z ) + B F ; ( a z ) M , , ( 3 z ) ] - 3 5 0 w h e r e I , a n d K , a r e m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s , i t m a y b e s h o w n t h a t 2 . J [ L , ( a t z ) M , ' , ( B z ) + ” L , ( a z ) M , ( B z ) ] z d z 0 1 6 2 2 a 9 ‘ 3 ( A - 5 ) E q u a t i o n ( A - S ) i s t r u e f o r K , a n d e i " K , f o r m u l a t i o n s o f t h e m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n o f t h e s e c o n d k i n d , u s i n g t h e n o t a t i o n o f A b r a m o w i t z a n d S t e g u n . 3 T h i s i n t e g r a l i s i d e n t i c a l t o t h e o n e g i v e n a b o v e f o r o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s a n d c a n b e c h e c k e d b y d i f f e r e n t i a t i o n u s i n g t h e g e n e r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s , 2 2 d W - r z fl - ( z 2 + u z ) w = 0 . ( N 6 ) z d z 2 d z W h e n o r d i n a r y a n d m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s a r e c o m b i n e d i n t h e f o r m f o u n d i n t h e i n t e g r a l s o f E q u a t i o n s ( A - 2 ) a n d ( A - S ) , t h e i n t e g r a l i s d i f f e r e n t . U s i n g t h e p r e v i o u s l y d e fi n e d f u n c t i o n s F , a n d M , , t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l r e l a t i o n s h i p m a y b e e s t a b l i s h e d , 2 j 1 F ; ( a z ) M ; ( s z ) + ” 2 F , ( a z ) M , ( B z ) ] z d z a B z ( A - 7 ) T h i s r e l a t i o n s h i p i s t r u e f o r l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s 1 , , K , , a n d c f " K , , a n d f o r t h e o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s i n c l u d i n g H a n k e l f u n c t i o n s . T h e i n t e g r a l s o f E q u a t i o n s ( A - 2 ) a n d ( A - 5 ) a r e v a l i d f o r F , = G , a n d L , = M , , b u t i n g e n e r a l i t i s n e c e s s a r y t h a t a a n d B b e d i f f e r e n t . F o r t h e c a s e w h e r e a = B , a _ 3 A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , 3 5 8 . = % - [ L , _ 1 ( a z ) M , : F 1 ( 5 Z ) 4 ' L y + 1 ( a z ) M y i l ( fl z ) ] 9 3 5 1 s o l u t i o n d o e s e x i s t w h e n t h e f u n c t i o n s a r e i d e n t i c a l . I n t e g r a l s f o r t h e c a s e a = B w i t h F , = G , f o r o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s , a n d o r = B w i t h L , = M , f o r m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s , a r e g i v e n b y K a j f e z a n d a r e r e p e a t e d h e r e : 4 2 J [ F , 2 ( a z ) + V F 3 ( a z ) ] z d z 2 2 a Z ( A - 8 ) 2 2 = 5 — [ F L 2 ( a Z ) + F f t a z ) ( 1 - " ) + 3 - a n z ) F , ( a z ) ] , 2 0 : 2 2 2 “ Z 2 I [ L , 2 ( a z ) + ; ’ 2 L 3 ( a z ) ] z d z 0 ‘ Z ( A - 9 ) V 2 2 2 2 2 2 = _ [ L L ( a z ) - L , ( a z ) ( 1 + ) + — L , ( a z z ) L , ( a t z ) ] . 2 2 o z ( 1 2 A . 3 R e c u r r e n c e I d e n t i t i e s T h e a b o v e i n t e g r a l s , a s n o t e d , m a y b e c h e c k e d b y d i f f e r e n t i a t i o n . H o w e v e r , d e r i v a t i o n o f t h e m p r o c e e d s f r o m t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s , 2 F . 1 ( a z ) G , ' , ( B z ) a ” F . ( a z ) 6 . 1 6 2 ) 2 “ 5 2 ( A - l O ) = i % - [ F , _ 1 ( a z ) G , q : 1 ( B Z ) + F V + 1 ( 0 ! Z ) G p i 1 ( B Z ) ] s 2 L , ( a z ) M , ( B z ) : 1 : ” L , ( a z ) M . . ( B 2 ) 0 : 3 2 2 ( A - l l ) . — 4 x s j r c z , 8 7 3 - 8 7 4 . = . 5 . [ F , - 1 ( a z ) M , : F 1 ( B Z ) " F y + l ( a z ) M y i l ( B z ) ] - 3 5 2 2 F ; ( a z ) M , ' . ( B z ) a ” 2 F . . ( a z ) M , , ( B z ) o z B Z ( A - 1 2 ) T h e s e i d e n t i t i e s m a y b e d e r i v e d f r o m t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n s h i p s f o r o r d i n a r y a n d m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s . 5 T h e y a r e t r u e o n l y w h e n t h e c o e f fi c i e n t s A , B , C , D , P , Q , R a n d S , a r e i n d e p e n d e n t o f v a n d Q - > e i " Q , S - v e i ' ” S . H o w e v e r , t h e i n t e g r a I s g i v e n a b o v e a r e n o t d e p e n d e n t u p o n s u c h c o n d i t i o n s a s c a n b e s h o w n b y t h e v e r i fi c a t i o n b y d i f f e r e n t i a t i o n . U s i n g i n t e g r a l 5 . 5 4 . 1 o f G r a d s h t e y n a n d R y z h i k 6 o r 1 1 . 3 . 2 9 o f A b r a m o w i t z a n d S t e g u n 7 w i t h t h e i d e n t i t i e s o f E q u a t i o n s ( A - 1 0 ) a n d ( A - 1 1 ) a b o v e , t h e i n t e g r a l s o f E q u a t i o n s ( A - 2 ) a n d ( A - 5 ) m a y b e f o u n d . T h e i n t e n g o f E q u a t i o n ( A - 7 ) w a s d e r i v e d i n t h i s i n s t a n c e b y t r i a l a n d e r r o r d i f f e r e n t i a t i o n . T h e i n t e g r a l s o f E q u a t i o n s ( A - 8 ) a n d ( A - 9 ) m a y d e r i v e d u s i n g t h e i d e n t i t i e s o f E q u a t i o n s ( A - 1 0 ) a n d ( A - 1 1 ) w i t h 5 . 5 4 . 2 o f G r a d s h t e y n a n d R y z h i k . A . 4 E v a l u a t i o n o f t h e I n t e g r a l E x p r e s s i o n s a t E x t r e m u m T h e i n d e fi n i t e i n t e g r a l s g i v e n a b o v e m u s t o f t e n b e e v a l u a t e d a t e x t r e m u m v a l u e s o f 0 a n d 0 0 . T h e r e s u l t s v a r y d e p e n d i n g u p o n t h e B e s s e l f u n c t i o n s i n c l u d e d i n t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n s w h i c h m a k e u p F , , G , , L , , a n d M , . T h e s i m p l e s t m e a n s o f p r e s e n t i n g t h e v a l u e s o f t h e i n t e g r a l e x p r e s s i o n s a t e x t r e m u m i s i n t e r m s o f t h e c o e f fi c i e n t s A , B , C , D , P , Q , R , a n d S . s A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , 3 6 1 , 3 7 6 . 6 G r a d s h t e y n a n d R y z h i k , 6 3 4 . T h e 1 9 8 0 e d i t i o n c o n t a i n s a n e r r o r i n t h i s i n t e g r a l w h i c h s e e m s n o t t o b e p r e s e n t i n e a r l i e r e d i t i o n s . T h e “ + ” s i g n i n t h e n u m e r a t o r s h o u l d b e a “ - ” . 7 A b r a r n o w i t z a n d S t e g u n , 4 8 4 . V I I C y ( “ B y r d - 1 { - 2 - } 2 1 ! A . 4 . 1 E v a l u a t i o n a t z = 0 . g i v e n b y l i m Z - r O I I 3 5 3 r f o r r = 0 , a n d i n g e n e r a l ( R e 1 : > 0 ) , l i m I l z - > o L l i m E l n a ) 2 + 0 a 3 = t _ 2 3 B C N ( a 2 4 3 2 ) 0 l i m - B D ( v ! ) 2 Z - . 0 2 _ ( ( 1 2 + B Z ) B C B l l - 1 ( C 1 2 _ 3 2 ) 9 + 1 w a r A t z = 0 t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 2 ) , c a l l i t 1 1 , i s B , D ¢ 0 ( A - 1 3 ) D = O B , D ¢ 0 ( A - l 4 ) D = O 3 , 0 0 . F o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 5 ) , c a l l i t 1 2 , t h e l i m i t a t z = 0 i s . l i m 1 2 Z - t O u = 0 , l i m 9 . 3 1 m ) 2 4 0 d B 4 E Q R “ ( a 2 4 3 2 ) 0 L f o r v = 0 , a n d i n g e n e r a l ( R e v > 0 ) , Q , S ¢ O ( A - l S ) 3 5 4 , 2 l i m ‘ 9 5 “ ) 2 » Q , S ¢ O Z - D O V ( a B ) p + l [ - 3 - ] A - l 6 l i m 1 2 = , 2 2 — l ( ) “ 0 ( a + 6 ) Q R B 5 , 0 ( ( 1 2 ' 3 2 ) 2 a v + l . 0 Q , S = 0 . C o n s i d e r i n g t h e l i m i t a t z = 0 f o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 7 ) , c a l l i t 1 3 , f o r v = 0 w e h a v e i l i m ’ B S m ( z ) B , s s e o z - o a B - Z B B R S = 0 _ u m 1 3 = ‘ G T ( a 2 _ 6 2 ) ( A 1 7 ) Z - t O v = 0 ' 0 A S B = 0 ‘ 8 ( 0 1 2 - 1 3 2 ) 0 B , S = 0 , a n d i n g e n e r a l ( R e v > 0 ) , ' 2 l i m 3 5 " ! ) 2 , , 3 , 5 7 5 0 Z - D O V ( C ! B ) v + l [ E ] 2 ( 0 2 4 ' 3 2 ) B R B D ' I ( A ' l g ) l i m I 3 = - < - 2 2 + 1 S = 0 z - o ( a - 6 ) 1 a ” _ ( a 2 + 3 2 ) 2 1 5 0 : " . 1 3 : 0 ( a z - B z ) 2 3 " ” L 0 B , S = 0 3 5 5 T h e l i m i t a t z = 0 f o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 8 ) , c a l l i t 1 4 , f o r v = 0 i s r l i m 4 3 2 l n ( z ) B s e o l i m I 4 = . 2 7 ° * “ 2 ( A 4 9 ) Z - > 0 v = 0 O B = 0 s a n d i n g e n e r a l ( R e v > 0 ) , . ' 2 ( 1 _ 1 ’ . 2 v ! 2 7 2 1 % B [ : 3 ] _ — 1 2 » “ 0 ( A - 2 0 ) l i m 1 4 = , ( . 4 2 ) Z - D O L 0 B = 0 . T h e l i m i t a t z = 0 f o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 9 ) , c a l l i t 1 5 , f o r v = 0 i s 2 l i m _ Q _ z . l n ( z ) l i m 1 5 = , 2 7 ° 0 ‘ z - o u = 0 o a n d i n g e n e r a l ( R e v > O ) , . Z 0 a l h m 1 5 = 4 - . ( ' 2 ' o r Z - ‘ O 0 L l i m Q 2 [ f i r — ( l + Q # 0 ( A - 2 1 ) Q = 0 . 1 ) 4 v 2 . Q " 0 ( A - 2 2 ) Z ) Q = 0 . I f a l i m i t a t z e r o i s e n c o u n t e r e d w i t h R e v < 0 , t h e o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s m a y b e t r a n s f o r m e d b y 3 5 6 F , , ( a t z ) = [ A c o s ( v 1 r ) + B s i n ( v 1 r ) ] 1 , ( a z ) ( A - 2 3 ) + [ - A s i n ( v 1 r ) + B c o s ( v a ' ) ] Y , ( a z ) . T h e m o d i fi e d B e s s e l f u n c t i o n s m a y b e t r a n s f o r m e d s u c h t h a t L _ , ( o z z ) = P I , ( o z z ) + [ Q + P ; s i n ( n ) ] K , ( a z ) . ( A - 2 4 ) A . 4 . 2 E v a l u a t i o n a t z = ° ° . F o r t h e l i m i t s a t z = 0 ° , t h e r e a r e n o s p e c i a l c a s e l i m i t s f o r v = 0 . H o w e v e r , t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e r e s u l t s d e p e n d i n g o n t h e v a l u e s o f a , B , a n d t h e c o e f fi c i e n t s A , B , C , D , P , Q , R , a n d S . D u e t o t h e l a r g e n u m b e r o f p o s s i b l e r e s u l t s , t h e e x p r e s s i o n s a r e l e f t i n s i m p l e s t g e n e r a l l i m i t f o r m . F o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 2 ) t h e l i m i t a t 0 0 f o r l a r g l e < 1 ' a n d l a r g a z l < 1 r i s g i v e n b y . 2 ~ ' . l i m 1 1 = 1 1 m 0 : A c o s x + B s r n x M , 2 . . . . ” m y , ” < a . ) ( A - 2 5 ) x ( — C s i n x 3 + D c o s x 3 ) - B ( - A s i n x a + B c o s x a ) x ( C c o s t + D s i n x 3 ) } , w h e r e x 0 , = 0 1 2 . - ( % v + % ) a ' a n d x 3 = 6 2 - ( % v + % ) r . T h e l i m i t a t 0 0 o f t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 5 ) f o r I a r g l e < 1 / 2 1 ’ a n d I a r g a z l < % w i s l i m 1 2 : l i m 1 { 1 [ l P R e Z ( ° ‘ + 3 ) z - p o o z - e o c 2 m ( 1 + 5 1 ' ( A - 2 6 ) 1 . . w Q S e - z ( a + 3 ) ] + 0 . 5 [ Q R e ' z m - B ) _ p S e Z ( ° t - B ) ] } . 3 5 7 T h e l i m i t a t 0 0 f o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 7 ) f o r | a r g l e < % 1 a n d | a r g a z l < 1 i s 1 l i m I 3 = l i m { B _ ' z - - 0 0 z - ' o , r — w a fl ( a 2 + 3 2 ) e 2 R [ A ( a c o s x a l e n x a ) ( N 2 7 ) + B ( a s i n x a + B e o s x a ” - r e ’ Z B S [ A ( a c o s x a + B s i n x a ) + B ( a s i n x a - B c o s x a ) ” . T h e l i m i t a t 0 0 f o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 8 ) f o r | a r g a z l < 1 i s l i m I 4 _ l i m L ( A 2 + 3 2 ) + 2 z — p o o ' z — o o o 1 a 1 , 0 2 ( A - 2 8 ) x [ s i n c h o s x m ( B 2 - A 2 ) + ( 1 - 2 s i n 2 x a ) A B ] . T h e l i m i t a t 0 0 f o r t h e i n t e g r a l o f E q u a t i o n ( A - 9 ) f o r | a r g a z l < % 1 r i s 2 - 2 l i m 1 5 = l i m [ P 2 e “ Z + Q 2 1 i — f 4 0 2 1 - ] . ( A - 2 9 ) Z " ° ° Z " ° ° 2 1 0 : 2 2 0 : 2 a A . 5 D e f i n i t e I n t e g r a l s C e r t a i n o r t h o g o n a l i t y p r o p e r t i e s o f B e s s e l f u n c t i o n s m a y b e d e t e r m i n e d f r o m t h e i n t e g r a l r e l a t i o n s h i p s f o u n d i n E q u a t i o n s ( A - 2 ) , ( A - 5 ) , ( A - 8 ) , a n d ( A - 9 ) w i t h t h e l i m i t i n g r e l a t i o n s h i p s ( A - 1 3 ) t h r o u g h ( A - 2 2 ) . W e g i v e t w o o f t h e m h e r e f o r o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s o f t h e fi r s t k i n d : 3 5 8 b 2 ) s [ [ 1 : 4 f o — p ) J : ( f o p ) + n 2 , . — - 5 ’ — 5 1 ( — " — P p ) J : ( f o p ) l p d p k ) t p b 0 u p n q , ( A - 3 0 ) 0 p ¢ q = , 1 r ' 2 ' [ b J n ( x n p ) ] 2 p = q 9 b M , , 2 N M , [ [ 1 3 f o ” 1 0 1 : 1 , p , . ) + n 2 — ” — — J ( “ — ” - p ) 1 , . — ' L ( b q u p d p x ; x : p 2 b 0 P 4 I O p ¢ q ( A - 3 l ) = 1 b 2 " 2 1 1 2 w h e r e A " , a n d ) s ’ n p a r e t h e z e r o s o f o r d i n a r y B e s s e l f u n c t i o n s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s r e s p e c t i v e l y . T h e s e i n t e g r a l s a r e u s e d i n o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e fi e l d s i n r e g i o n s I a n d I I I b y a r e g i o n I / I I I m o d e , r e f e r r i n g t o C h a p t e r 4 , S e c t i o n 4 . 5 . 3 . E q u a t i o n ( A - 3 0 ) o c c u r s i n t h e T M m o d e o r t h o g o n a l i z a t i o n f o r m u l a t i o n a n d E q u a t i o n ( A - 3 l ) i s u s e d f o r T E m o d e o r t h o g o n a l i z a t i o n . A p p e n d i x B M O D E O R T H O G O N A L I T Y I N I N H O M O G E N E O U S L Y F I L L E D W A V E G U I D E S T h e w e l l - k n o w n o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s f o r m o d e s i n h o m o g e n e o u s l y l o a d e d c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e s o f a r b i t r a r y c r o s s s e c t i o n , [ J a y - E y e d i ¢ j J I I E F Q E Z E d s = o i ¢ j ( B - l ) d o n o t h o l d f o r t h e i n h o m o g e n e o u s c a s e . A m o r e g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r a c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e l o a d e d w i t h a n i n h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c m a t e r i a l i s g i v e n b y C o l l i n a s l J ' J E t i t h j - a z d s = 0 i ¢ j , ( 3 ' 2 ) w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s o v e r t h e c r o s s - s e c t i o n o f t h e w a v e g u i d e , 1 1 2 i s t h e a x i a l u n i t v e c t o r , a n d t h e t s u b s c r i p t i n d i c a t e s t h e t r a n s v e r s e p o r t i o n o f t h e fi e l d . T h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s o f E q u a t i o n ( B - l ) a r e c a l l e d e n e r g y o r t h o g o n a l i t y w h i l e t h e c o n d i t i o n s o f E q u a t i o n ( B - 2 ) a r e c a l l e d p o w e r o r t h o g o n a l i t y . 2 U n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s E q u a t i o n ( B - 2 ) m a y a s s u m e a f o r m s i m i l a r t o E q u a t i o n s ( B - l ) . G i v e n a c r o s s - s e c t i o n a l r e g i o n a s s h o w n i n F i g u r e 1 , c o n s i s t i n g o f s e v e r a l a d j a c e n t s u b r e g i o n s w h e r e e a c h s u b r e g i o n c o n s i s t s o f a n i s o t r o p i c , h o m o g e n e o u s d i e l e c t r i c , i t i s i n g e n e r a l n o t p o s s i b l e t o fi n d s o l u t i o n s t h a t a r e p u r e l y 1 C o l l i n , 2 3 1 . 2 R . a . A d l e r , “ W a v e s o n I n h o m o g e n e o u s C y l i n d r i c a l S t r u c t u r e s , ” P r o c e e d i n g s o f t h e I R E . ( 4 0 ) ( M a r c h 1 9 5 2 ) : 3 3 9 - 4 8 . 3 5 9 3 6 0 C o n d u c t l n B o u n d a r y 8 / 2 F i g u r e B - l C r o s s - s e c t i o n o f a n i n h o m o g e n e o u s l y fi l l e d c y l i n d r i e a l w a v e g u i d e . T M o r p u r e l y T E t o t h e w a v e g u i d e a x i s . H o w e v e r , t h e fi e l d s m a y b e c o n s t r u c t e d a s a s u p e r p o s i t i o n o f T M a n d T E m o d e s . I n e a c h h o m o g e n e o u s r e g i o n T M a n d T E s o l u t i o n s m a y b e w r i t t e n i n t e r m s o f a s c a l a r p o t e n t i a l , t o ( u , v , z ) = W u , v ) Z ( z ) , w h e r e u a n d v a r e t h e c r o s s - s e c t i o n a l c o o r d i n a t e s , z i s t h e a x i a l c o o r d i n a t e , a n d V t t b + k c 2 ¢ = 0 k f + k 3 = k 2 = w z fi é ( 3 . 3 ) 2 2 3 + k Z Z Z = 0 , 6 2 2 w h e r e I t , i s t h e t r a n s v e r s e w a v e n u m b e r , k 2 i s t h e a x i a l w a v e n u m b e r , a n d t h e h a t o v e r [ 1 . a n d e i n d i c a t e s t h a t t h e y m a y a s s u m e c o m p l e x v a l u e s . T h e t r a n s v e r s e fi e l d s a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e p o t e n t i a l s a s l H , = ( v t w m x a z ) z " ' + ” 7 . 1 7 0 % 0 3 - 4 ) _ 1 m 3 2 ' " _ _ e e E , - 7 3 0 7 ” ) ? 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( E 9 ) U s i n g E q u a t i o n s ( B - 4 ) a n d ( B - 8 ) i t m a y b e s h o w n t h a t m H x a = Z — , 1 , [ 1 : 2 1 ; 1 M + 1 : 2 5 : 7 3 ] . ( B - I O ) z q u a S i n c e k z , t o , Z m , Z ‘ , a n d a a r e n o t f u n c t i o n s o f t h e c r o s s - s e c t i o n a l c o o r d i n a t e s , t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n m a y b e r e w r i t t e n a s J I E , . - i I s z z , ” + k z z l a ‘ f ] d s = o i ¢ j . ( B - l l ) ’ F F o r c e r t a i n w a v e g u i d e c o n fi g u r a t i o n s , n o n - h y b r i d m o d e s , i . e . , T M m o d e s o r T E m o d e s , w i l l p r o p a g a t e i n a n i n h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w a v e g u i d e . A n e x a m p l e i s ¢ - s y m m e t r i c m o d e s i n a c o a x i a l l y - l o a d e d c i r c u l a r c y l i n d r i c a l w a v e g u i d e . I n s u c h c a s e s f o r T M m o d e s E q u a t i o n ( B - l l ) b e c o m e s [ I e E Z M - E , d s = 0 i ¢ j , ( B - 1 2 ) t J a n d f o r T E m o d e s [ I i E z E - E f d s - o i ¢ j . ( B ~ l 3 ) u S i m i l a r e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n f o r t h e m a g n e t i c fi e l d , [ [ 1 1 , - £ 3 2 1 1 3 ? + 6 1 1 , 7 , " s t = o i ¢ j i e I J [ I l i u m - H m - o i s e j ( B - l 4 ) = 0 i ¢ j . 3 6 3 F o r a h o m o g e n e o u s l y fi l l e d w a v e g u i d e , w h e r e o n l y T M o r T E m o d e s e x i s t , i t i s c l e a r h o w t h e s e e q u a t i o n s s p e c i a l i z e t o t h e fi r s t t w o o f E q u a t i o n s ( B - l ) . I t a l s o s h o u l d b e n o t e d o n t h e b a s i s o f t h e s e e q u a t i o n s t h a t t h e c a v i t y o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s g i v e n b y H a r r i n g t o n a r e n o t v a l i d i n g e n e r a l . 3 T h e e q u a t i o n g i v e n f o r t h e e l e c t r i c fi e l d i s v a l i d o n l y f o r T M m o d e s w h i l e t h e e q u a t i o n f o r t h e m a g n e t i c fi e l d i s v a l i d o n l y f o r T E m o d e s . 3 H a m ' n g t o a , 4 3 2 . A p p e n d i x C B R A C K E T E D C O N S T A N T S U S E D I N T H E C A V I T Y - O P E N T Y P E S O L U T I O N S O r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s a t e i t h e r e n d o f t h e c a v i t y l o a d f o r t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n p r o d u c e s c o m p l i c a t e d s p a c i a l c o n s t a n t e x p r e s s i o n s o n t h e s i d e o f t h e e q u a t i o n f o r w h i c h t h e o r t h o g o n a l i z a t i o n v e c t o r i s n o t a n o r t h o g o n a l e i g e n f u n c t i o n . T h e s e c o n s t a n t s h a v e b e e n a b b r e v i a t e d i n t h e t e x t o f C h a p t e r 4 i n a n g l e d b r a c k e t s t o i n d i c a t e t h a t t h e y r e s u l t f r o m i n t e g r a t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e s p a c i a l c o n s t a n t a r i s i n g f r o m t h e i n t e g r a t i o n o v e r t h e c a v i t y c r o s s s e c t i o n o f t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c fi e l d i n r e g i o n 1 1 , r e f e r r i n g t o F i g u r e 4 - 2 , d o t t e d w i t h t h e t a n g e n t i a l p o r t i o n o f t h e e l e c t r i c fi e l d o f a T M m o d e i n r e g i o n I o r I I I i s a b b r e v i a t e d , ( E x - 1 M ) ” . , ( C - l ) w h e r e t h e c a p i t a l l e t t e r r e f e r s t o a fi e l d i n r e g i o n 1 1 a n d t h e s m a l l l e t t e r r e f e r s t o a fi e l d i n r e g i o n 1 o r I I I . T h e s u p e r s c r i p t a b o v e t h e s m a l l l e t t e r i n d i c a t e s w h e t h e r t h e r e g i o n I / I I I m o d e i s T M o r T E . O u t s i d e t h e b r a c k e t s t h e fi r s t s u b s c r i p t p e r t a i n s t o t h e r a d i a l w a v e n u m b e r o f t h e r e g i o n I / I I I m o d e , t h e s e c o n d s u b s c r i p t t o t h e r a d i a l w a v e n u m b e r o f t h e r e g i o n H m o d e . T h e a z i m u t h a l o r d e r o f b o t h m o d e s i s t h e s a m e a n d i s i n d i c a t e d i n t h e e x p a n d e d e x p r e s s i o n s b e l o w b y t h e i n t e g e r n . T h e s e s p a c i a l c o n s t a n t s d o n o t d e p e n d o n t h e a x i a l d e p e n d e n c e s o f t h e fi e l d s a n d a r e m a d e d i m e n s i o n l e s s b y d i v i d i n g o f f a p p r o p r i a t e f a c t o r s . T h e s p a c i a l c o n s t a n t s f o u n d i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 3 6 ) t h r o u g h ( 4 - 1 3 9 ) o f t h e M e t h o d 1 s o l u t i o n a r e g i v e n b y 3 6 4 _ p 2 a l = , , ( k , 2 a ) J : ( ) . , , , % ) ] . 3 6 5 2 k p l J n ( k p 1 a ) S n ( k p 2 a ) ( E , e m > , , - = R n ( k , 1 a ) - + n 2 1 , ( > . , , , % ) 2 F k a k p 2 n ( p 2 ) ( C - 2 ) 2 _ x 5 fl - “ 2 k p 1 1 ( k a ) w y l ‘ Y i # 0 F o k p z z n p l F , , ( k , 2 a ) v " . < > < 5 s z J ( k a ) S ( k a ) H h m - = R ( k a ) - ” 1 " “ " ” 2 ” 1 2 1 0 , 5 5 ’ p t I : l n p P e 1 [ ( 3 2 - F , , ( k p z a ) b ( 0 3 ) 2 A x 7 i 6 0 1 — k _ 9 1 J ( k 1 a ) M P 3 , , k o é l k p z z n p F n ( k p z a ) V " w i t h V , a n d U , g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 9 3 ) a n d ( 3 - 9 5 ) , t h e f u n c t i o n s F , , a n d G , , g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 7 6 ) a n d ( 3 - 7 8 ) , a n d t h e f u n c t i o n s R n ( k p 1 a ) a n d S n ( k p 2 a ) g i v e n b y x k b R , ( k , , a ) = 2 " ? ” 2 1 [ M , . g l n o w g n u k fl a ) 2 ( ) ‘ n p - k p l b ) ( C - 4 ) , a x k b S n ( k p 2 0 ) = 2 1 1 p p : 2 [ a n % 1 n ( > \ n p % ) F , , ; ( k p Z U ) x - k b ) " P ” 2 ( C - 5 ) T h e s p a c i a l c o n s t a n t s f o u n d i n E q u a t i o n s ( 4 - 1 5 7 ) t h r o u g h ( 4 - 1 6 0 ) o f t h e M e t h o d 1 s o l u t i o n a r e g i v e n b y _ k , 2 a a , , ( k , 2 a ) i ; , ( x ; , , % ) ] . 3 6 6 2 ( E e m . = Q ( k l a ) _ ” k a l J n ( k , 1 a ) T n ( k p 2 0 ) 2 i a m k p z z G n ( k p 2 0 ) + n L A M P S ) ( C - 6 ) [ ( 0 7 1 . 3 1 k p z l F , , ( k 2 0 ) U n x 2 _ 1 - - 7 J n ( k p l a ) J G k n W t k 1 G o k ” 2 n ( p 2 “ ) n I r 2 J ( k a ) T ( k a ) < H , h T E > p i = Q n ( k p l a ) — k } : . n p é n ( k p 2 r z a ) p 2 + n 2 1 n ( } s , ' , , % ) ( 0 7 ) h o a , e z k z l r ( k 2 a ) U x _ _ - P 1 : 1 0 9 : 1 0 ) a n " , ' Y i 5 o e o k p z z G n ( k p 2 a ) W u w i t h W , a n d U , g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 9 4 ) a n d ( 3 - 9 5 ) , F , , a n d G , , g i v e n b y E q u a t i o n s ( 3 - 7 6 ) a n d ( 3 — 7 8 ) , a n d t h e f u n c t i o n s Q n ( k p 1 0 ) a n d T n ( k p 2 a ) g i v e n b y ' k b Q , , ( k , , a ) = " P P ‘ x : 3 1 , 0 : 3 ) J : ( k , , 1 a ) , 2 2 2 p b p b ( A n ? ' k p l b ) ( C - 8 ) - k p 1 a 1 n ( k p l a ) 1 , ' , ( > \ , ' , , % ) ] , x ' k b T n ( k p 2 a ) = ( z n p p : 2 [ K n p % 1 n ( > ‘ n p % ) 6 : 1 0 9 : 2 0 ) x ' - k b ) " P 9 2 ( C - 9 ) 3 6 7 F o r m e t h o d 1 1 t h e c o n s t a n t s a b o v e a r e a u g m e n t e d b y T M 2 1 z é a fl l G U i . 2 : 2 ( E , H x 2 j j = ( k p l a ) . 2 . l + n _ _ _ _ _ 2 ( 1 , 1 ) + n 2 n 2 k p l a 4 x . k _ ° . 9 . 9 . " . _ " _ l 1 . 1 3 - M 1 + . fi 7 F v n # 0 k l z A k 4 2 E I F O p 2 k 2 ( C ' I O ) 2 2 1 2 k 2 e k a . % _ _ ‘ 2 9 2 1 [ 2 3 n g t k p z b ) - ( F , F ' ) ] + % n 2 _ _ ° ” 2 2 ‘ E l e k p z a e l a o k fl 2 J Z U 2 2 x " 2 L z o i a p z b ) 1 - 2 " - ( G . G ’ ) . F o v , a k p z b z 1 a n d 2 2 G o fl l G W n k p l a z k U " 2 e k 4 2 x i l l g w ' i : 1 1 + 1 ? - 2 _ " 2 _ ‘ ; _ 1 1 + ‘ Y _ 2 7 - n 6 0 k 1 p l é o k p z k 2 ( C - l l ) 2 2 2 e k I U 2 + 1 . 2 , 1 n , [ W - a n ] 2 c o a l k p z r o w , a 2 2 k I 2 2 + $ . 1 1 n g b _ 2 G i ( k , 2 b ) 1 - 2 " 2 - ( G . G ’ ) , [ £ 1 1 6 s z a ‘ k p z b w h e r e 2 ( 1 , 1 ' ! ) = J I Z + J 2 1 _ L — + 2 I I I , ( C ' 1 2 ) 2 2 k a k p l a p l 3 6 8 2 ( F , F ’ ) = F ’ 2 + F 2 1 — _ _ 2 ’ i _ + 2 p p ' , ( C - 1 3 ) k p 2 a 2 " p z a a n d 2 2 n 2 2 ( G , G ’ > = 6 ’ + 6 “ 7 ‘ + 6 6 ' , ( c - 1 4 ) k p z a 2 k p Z a T h e v a r i a b l e s I , J ' , F , F ’ , G , a n d G ' a r e d e fi n e d i n C h a p t e r 3 i n E q u a t i o n s ( 3 - 8 4 ) . U " , V " , a n d W " a r e d e fi n e d i n E q u a t i o n s ( 3 - 9 2 ) t h r o u g h ( 3 9 5 ) . T h e l e f t h a n d s i d e e x p r e s s i o n s o f E q u a t i o n s ( C - 1 0 ) a n d ( G M ) , a s n o t e d i n E q u a t i o n ( 4 - 1 8 7 ) o f C h a p t e r 4 , a r e r e l a t e d s u c h t h a t ( C - 1 5 ) ’ ( E , s z j f E = _ A B j ( E , s z g M w h e r e A B i i s g i v e n b y E q u a t i o n ( 4 - 8 3 ) o f C h a p t e r 4 . A p p e n d i x D T I M E - A V E R A G E : V A L U E O F A D E C A Y I N G , R O T A T I N G F I E L D D . l I n t r o d u c t i o n I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e b e h a v i o r o f t h e n a t u r a l m o d e e l e c t r o m a g n e t i c fi e l d s i n s i d e a c a v i t y l o a d e d w i t h a l o s s y d i e l e c t r i c , i t i s u s e f u l t o d e fi n e a t i m e - a v e r a g e v a l u e o f t h e fi e l d . S i n c e t h e fi e l d s o f t h e n a t u r a l m o d e s d e c a y e x p o n e n t i a l l y i n t i m e i n t h e p r e s e n c e o f l o s s e s , t h e i r t i m e - a v e r a g e o v e r a l l t i m e i s z e r o . O n e m e a n s o f o v e r c o m i n g t h i s d i f fi c u l t y i s t o n e g l e c t t h e t i m e d e c a y i n t h e d e fi n i t i o n o f t h e a v e r a g e t o o b t a i n a r e l a t i v e a v e r a g e , i . e . , a n a v e r a g e r e l a t i v e t o t h e d e c a y f a c t o r . A n o t h e r s o l u t i o n i s t o d e fi n e t h e t i m e - a v e r a g e f o r a s p e c i fi c fi n i t e t i m e p e r i o d a n d i n c l u d e r e f e r e n c e t o t h e t i m e p e r i o d i n t h e r e s u l t . F o r t h e d e c a y i n g fi e l d s o f t h e n a t u r a l m o d e s o f a c a v i t y c o n t a i n i n g b o u n d a r i e s b e t w e e n l o s s y m e d i a , a r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e v a l u e c a n n o t b e d e fi n e d b y s i m p l y n e g l e c t i n g t h e t i m e d e c a y f a c t o r . S i n c e , a s w i l l b e s h o w n , t h e fi e l d s r o t a t e w i t h t i m e , s u c h a n e v a l u a t i o n d o e s n o t f a i r l y r e p r e s e n t t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f e a c h o f t h e fi e l d c o m p o n e n t s . I n s t e a d , a t i m e - a v e r a g e v a l u e i s d e fi n e d f o r a s p e c i fi c fi n i t e t i m e p e r i o d . T h e d e fi n i t i o n t a k e s i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e d i f f e r i n g fi e l d c o m p o n e n t p h a s e s w h i c h a c c o u n t f o r t h e r o t a t i o n . W i t h a p r o p e r c h o i c e o f t i m e p e r i o d , a t i m e - i n d e p e n d e n t , r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e m a y b e d e r i v e d f r o m t h e fi n i t e t i m e p e r i o d a v e r a g e . D . 2 T i m e - A v e r a g e F i e l d V a l u e s f o r a G i v e n T i m e P e r i o d F o r a n o n - d e c a y i n g p e r i o d i c f u n c t i o n i t i s c o m m o n t o d e fi n e a r o o t m e a n s q u a r e d ( R M S ) v a l u e f o r t h e m a g n i t u d e o f t h e f u n c t i o n . T h i s d e fi n i t i o n i s g i v e n b y t o + T F R M s = l , I [ f u n z d r . ( ” ' 1 ’ t o v w h e r e T i s t h e p e r i o d o f t h e f u n c t i o n a n d t o i s t h e i n i t i a l t i m e f o r t h e p e r i o d o v e r 3 6 9 3 7 0 w h i c h t h e a v e r a g e i s t a k e n . F o r n o n - d e c a y i n g p e r i o d i c f u n c t i o n s w i t h T a h a l f - i n t e g e r m u l t i p l e o f t h e p e r i o d , t h e R M S v a l u e i s i n d e p e n d e n t o f t o a n d i s e q u a l t o t h e t i m e - a v e r a g e o f t h e f u n c t i o n o v e r a l l t i m e . T h e t i m e - a v e r a g e v a l u e o f a d e c a y i n g f u n c t i o n m a y b e d e fi n e d s i m i l a r l y t o t h e R M S v a l u e f o r t h e p e r i o d i c f u n c t i o n . I n p a r t i c u l a r , t h e t i m e — d e c a y i n g e x p r e s s i o n f o r o n e v e c t o r c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c fi e l d o f a n a t u r a l l o s s y c a v i t y m o d e i s g i v e n b y E ( t ) = R e ( e f ‘ ? " é ) , ( D - 2 ) w h e r e ' 6 : a n d E a r e t h e c o m p l e x n a t u r a l r a d i a n f r e q u e n c y a n d t h e c o m p l e x e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t r e s p e c t i v e l y . I n t e r m s o f p u r e l y r e a l a n d p u r e l y i m a g i n a r y n u m b e r s t h e y m a y b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m 6 ) = w ’ + j w " , , ( I D - 3 ) E - E e s t T h e r e a l t i m e v a l u e o f t h e e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t m a y t h e n b e w r i t t e n E ( t ) = e ‘ w " ‘ E c o s ( w ' t + a ) . ( D 4 ) T o r e n d e r a t i m e - a v e r a g e v a l u e o f t h e m a g n i t u d e t h i s e x p r e s s i o n i s s u b s t i t u t e d i n t o E q u a t i o n ( D - l ) . C h o o s i n g T = 2 m w / w ’ , t h e r e s u l t i n g t i m e - a v e r a g e e l e c t r i c fi e l d c o m p o n e n t o v e r m c y c l e s i s t + 9 2 : I 2 0 t o , - 5 E m , = w E J e ' z ‘ ” ‘ c o s 2 ( w ’ t + 6 ) d t . ( D ) 2 m 1 r \ ‘ 0 P e r f o r m i n g t h e i n t e g r a t i o n t h e t i m e - a v e r a g e v a l u e i s g i v e n b y E a v = E ( D , " x ( m a t o a w ' s w " s 5 ) s ( D . 6 ) 2 m x w w h e r e i s t l i m e t h e t h e ' S C v e t h e I W h e r W h e r t h e c o r d i l e x i s t I 3 7 1 X 2 ( m . t ° , w ' , w " , 6 ) = l e - z w t ° ( 1 - e ' 4 m “ ’ " / “ " ) 2 ' 0 3 - 7 ) x 1 - _ _ ‘ i “ ’ _ [ s i n 2 ( w ’ t o + a ) - . ‘ 2 7 c o s Z ( w ’ t o + 5 ) “ " 2 + ( 0 : 2 a s I n t h e l i m i t a s a a p p r o a c h e s z e r o , X 2 a p p r o a c h e s m ' r w " / w ’ , t h u s . _ E _ 1 1 m E a v - — - E R M S ' ( D - 8 ) c i t - > 0 J 2 - D . 3 F i e l d R o t a t i o n o f t h e N a t u r a l M o d e s T h e u n r e s o l v e d q u e s t i o n i n d e fi n i n g t h e t i m e - a v e r a g e v a l u e b y E q u a t i o n ( D 6 ) i s t h e s p e c i fi c a t i o n o f t o . I t m i g h t s e e m t h a t t o w o u l d b e s t b e s p e c i fi e d s u c h t h a t t h e i n t e g r a t i o n b e g i n s a n d e n d s a t a fi e l d z e r o o r a fi e l d p e a k , i . e . , 5 t ° = — : o _ " o r t o : , , w h e r e n i s a n i n t e g e r . H o w e v e r , i t m u s t b e r e m e m b e r e d t h a t o n l y o n e c o m p o n e n t o f t h e v e c t o r fi e l d h a s b e e n c o n s i d e r e d s o f a r . T h e t o t a l e l e c t r i c fi e l d i s c o m p o s e d o f s e v e r a l v e c t o r c o m p o n e n t s w h i c h p e a k a t d i f f e r e n t t i m e s . I n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s t h e t o t a l fi e l d i s c o m p o s e d o f a x i a l , r a d i a l , a n d a z i m u t h a l c o m p o n e n t s s u c h t h a t ( 0 1 0 ) w h e r e t h e p h a s e s 5 p , 5 4 , , a n d 6 2 a r e i n g e n e r a l d i f f e r e n t . F o r t h e l o s s l e s s e a s e , o r w h e n l o s s e s a r e p r e s e n t b u t n o b o u n d a r i e s e x i s t b e t w e e n r e g i o n s o f l o s s y m e d i a , a s i n t h e c a s e o f a c a v i t y h o m o g e n e o u s l y l o a d e d w i t h l o s s y m a t e r i a l s , t h e p h a s e s a r e e q u a l o r d i f f e r b y i 1 . I n c o n t r a s t , w h e n t h e c a v i t y c o n t a i n s r e g i o n s w h e r e b o u n d a r i e s e x i s t b e t w e e n m e d i a , o f w h i c h a t l e a s t o n e i s l o s s y , t h e p h a s e s o f t h e fi e l d 3 7 2 c o m p o n e n t s d i f f e r b y a r b i t r a r y a m o u n t s d e p e n d e n t o n t h e e a v i t y / l o a d c o n fi g u r a t i o n a n d t h e f r e q u e n c y . F u r t h e r m o r e , t h e p h a s e s a r e f u n c t i o n s o f s p a c i a l c o o r d i n a t e s . A c o n s e q u e n c e o f a r b i t r a r y p h a s e d i f f e r e n c e s b e t w e e n fi e l d c o m p o n e n t s i s a c h a n g e i n fi e l d d i r e c t i o n w i t h t i m e . S i n c e t h e fi e l d c o m p o n e n t s c h a n g e i n t i m e a c c o r d i n g t o E q u a t i o n ( D - 4 ) , a n a r b i t r a r y p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t w o c o m p o n e n t s i n d i e a t e s t h a t i n g e n e r a l t h e y w i l l n o t b e z e r o a t t h e s a m e i n s t a n t o f t i m e . N e g l e c t i n g t h e t i m e d e c a y f a c t o r , t h e t i p o f a v e c t o r r e p r e s e n t i n g t w o fi e l d c o m p o n e n t s a t a p o i n t w i t h i n t h e c a v i t y m a y b e u n d e r s t o o d t o t r a c e o u t a n e l l i p t i c a l b o u n d a r y i n t i m e a s t h e fi e l d r o t a t e s a b o u t t h e c e n t e r o f t h e e l l i p s e . I f t h e p h a s e d i f f e r e n c e i s e x a c t l y i n : ( 1 : e q u a l s z e r o o r a n i n t e g e r ) , t h e e c c e n t r i c i t y o f t h e e l l i p s e i s 1 w i t h i t s m i n o r a x i s e q u a l t o z e r o a n d t h e r e i s n o fi e l d r o t a t i o n , r a t h e r t h e fi e l d o s c i l l a t e s s i n u s o i d a l l y i n a c o n s t a n t d i r e c t i o n . F i g u r e D - l i s a d r a w i n g o f a n e l l i p s e w i t h m a j o r a n d m i n o r a x e s l a b e l e d a a n d b . T h e a x e s o f t h e e l l i p s e a r e r o t a t e d a w a y f r o m t h e c o o r d i n a t e a x e s b y a n a n g l e : p . I f t h e e l l i p s e i s d e s c r i b e d p a r a m e t r i c a l l y w i t h 0 t h e p a r a m e t r i c v a r i a b l e , t h e p o i n t o n Y A F i g u r e D - l E l l i p s e r o t a t e d b y g o a w a y f r o m c o o r d i n a t e a x e s . 3 7 3 t h e e l l i p s e f o r 0 = 0 i s l o c a t e d a t t h e a n g l e 0 0 a w a y f r o m 9 0 a s s h o w n . T h e p o i n t o n t h e e l l i p s e m o v e s c o u n t e r c l o c k w i s e w i t h 0 f o r a b > O o r c l o c k w i s e a g a i n s t 0 f o r a b < O . T h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e e l l i p s e f o r 0 s t a r t i n g a t p o l a r c o o r d i n a t e a n g l e g o - 0 0 a r e g i v e n b y x a c o s ( 0 - 0 0 ) c o s y : - b s i n ( 0 - 0 0 ) s i n g o ( D - l l ) y a c o s ( 0 - 0 0 ) s i n e + b s i n ( 0 - 0 0 ) c o s e . T h e r o t a t i o n e l l i p s e f o l l o w e d b y t h e t i p o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t i n g t w o fi e l d c o m p o n e n t s m a y b e p u t i n t o t h e f o r m o f E q u a t i o n s ( D - l l ) . S u p p r e s s i n g t h e t i m e d e e a y f a c t o r , t h e fi e l d c o m p o n e n t s a r e g i v e n b y E x ( t ) = E x c o s ( w t + 6 x ) , ( D - 1 2 ) E y ( t ) = E ) , c o s ( c o t + 5 ) , ) . W i t h c o t a s t h e p a r a m e t r i c v a r i a b l e , i t m a y b e s h o w n t h a t t h e f e a t u r e s o f t h e e l l i p s e a r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e fi e l d m a g n i t u d e s a n d p h a s e s a s a = 1 [ ( 5 3 + 1 5 y 2 + 2 E x E ) , s i n ( 6 x - 5 y ) 0 3 - 1 3 ) J 2 2 . + E x + E y - Z E J C E y s m U S J r - 5 y ) ] , 1 2 2 . b = 5 [ fi x + E ) , + 2 E x E ) , s r n ( 6 x - b y ) 0 3 - 1 4 ) - ‘ 5 3 + 5 ) ? - 2 E x E y s i n ( a , - a , ) ] , ( P = l a r c t a n E x s i n fi x + E ) , c o s b y 2 E x c 0 5 6 , - E ) , s m é y ( 0 ' 1 5 ) 4 ' a r c t a n - E x s i n a x + E ) , c o s 6 y E x c o s b x + E ) . s i a n y ’ — [ 3 7 4 M I ! m I t i s u s e f u l t o n o t e t h a t a a s d e fi n e d i n E q u a t i o n ( D - 1 3 ) i s a l w a y s g r e a t e r t h a n z e r o s o - E x s i n b x + E y c o s b y E x c o s fi x + B y S i m s ) , ( D - 1 6 ) - a r c t a n E , c s i n b x + E ) , c o s 6 y E x c o s b x - E y s i n b y ° t h a t t h e d i r e c t i o n o f r o t a t i o n m a y b e d e t e r m i n e d s o l e l y f r o m t h e s i g n o f b . F o r t h e l o s s l e s s c a s e b i s z e r o . T h e d i r e c t i o n o f r o t a t i o n m a y a l s o b e d e t e r m i n e d f r o m t h e p h a s e v a l u e s a l o n e . C h o o s i n g t h e p r i n c i p a l v a l u e s o f t h e p h a s e s t o l i e b e t w e e n - 1 a n d + x t h e d i r e c t i o n o f r o t a t i o n i s f o u n d a s i n d i c a t e d i n T a b l e D - l b e l o w . F r o m E q u a t i o n s ( D - 1 3 ) a n d ( D - l 4 ) i t m a y a l s o b e s h o w n t h a t E 2 + E y 2 = a 2 + b 2 . ( D 1 7 ) 1 : T h i s q u a n t i t y i s t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s w e r e t h e m a j o r a n d m i n o r a x i s i n t e r s e c t t h e r o t a t i o n e l l i p s e . S i n c e t h e fi e l d s d e c a y w i t h t i m e , t h e t i p o f t h e fi e l d v e c t o r d o e s n o t r e m a i n o n t h e r o t a t i o n e l l i p s e b o u n d a r y b u t d r a w s i n w a r d t o w a r d t h e o r i g i n a s t h e fi e l d r o t a t e s . I n o r d e r t o a d e q u a t e l y r e p r e s e n t t h e fi e l d , t h e a c t u a l p a t h o f t h e v e c t o r d u r i n g o n e c y c l e i s i n s c r i b e d i n t h e r o t a t i o n e l l i p s e a s s h o w n i n F i g u r e D - 2 . B y i n s c r i b i n g t h e t i m e — d e c a y i n g fi e l d p a t h t h e d i r e c t i o n o f r o t a t i o n i s a l s o i n d i c a t e d . P h a s e A n g l e D i f f e r e n c e R o t a t i o n D i r e c t i o n * - 2 . « - 5 , < - . * “ W . “ “ - 1 r < 6 x 4 3 ) , < O c l o c k w i s e 0 < 6 x - 5 ) , < 1 ' c o u n t e r c l o c k w i s e w < B x - B y < 2 1 c l o c k W i s e T a b l e D - l R o t a t i o n d i r e c t i o n i n r e l a t i o n t o p h a s e d i f f e r e n c e s . 3 7 5 F i g u r e D - 2 R o t a t i o n e l l i p s e w i t h i n s c r i b e d fi e l d t r a j e c t o r y . F i e l d r o t a t i o n e l l i p s e s , s u c h a s t h e o n e s h o w n i n F i g u r e D - 2 , m a y b e d r a w n f o r a n y g i v e n p o i n t i n s i d e t h e c a v i t y . B y d r a w i n g a r o t a t i o n e l l i p s e a t e a c h p o i n t o n a g r i d r e p r e s e n t i n g a p l a n e o f p o i n t s i n t h e c a v i t y , a r e p r e s e n t a t i o n m a y b e m a d e f o r t h e r o t a t i n g v e c t o r fi e l d s o f t h e n a t u r a l m o d e s . S u c h a r e p r e s e n t a t i o n i s a n a l o g o u s t o t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a t i m e c o n s t a n t v e c t o r fi e l d p r o d u c e d b y d r a w i n g t h e a p p r o p r i a t e v e c t o r a t a n u m b e r o f e q u a l l y s p a c e d p o i n t s . T h i s r o t a t i o n o f t h e n a t u r a l m o d e fi e l d s g i v e s c a u s e f o r s p e c u l a t i o n o n i t s p o s s i b l e e f f e c t s o n m a t e r i a l s h e a t i n g p r o c e s s e s . T h e fi r s t q u e s t i o n i s , d o e s t h i s fi e l d r o t a t i o n t a k e p l a c e u n d e r s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s ? I f i t d o e s , t h e n t h e r e i s p r o b a b l y n o t h i n g n e w t o b e g a i n e d f r o m e x a m i n i n g t h e e f f e c t o f fi e l d r o t a t i o n o n h e a t i n g , s i n c e i t h a s b e e n a f a c t o r a l l a l o n g . H o w e v e r , i f t h i s r o t a t i o n o c c u r s o n l y w h e n t h e fi e l d s d e c a y w i t h t i m e i n n a t u r a l m o d e f a s h i o n , a n i n v e s t i g a t i o n o f m a t e r i a l s h e a t i n g u s i n g a s h a r p p u l s e s i g n a l m i g h t e x h i b i t i n t e r e s t i n g h e a t i n g p a t t e r n s . I n o r d e r t o d e l i v e r a n a p p r e c i a b l e a m o u n t o f e n e r g y w h i l e m a i n t a i n i n g a n a r r o w p u l s e w i d t h , 3 7 6 t h e f r e q u e n c y o f t h e p u l s e s w o u l d h a v e t o b e o n t h e o r d e r o f w ' . T h i s p r o m p t s t h e d e s i g n a t i o n o f e x t r e m e l y r a p i d p u l s e ( E R P ) f o r t h e p r o c e s s . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e E R P p r o c e s s w o u l d p r o v i d e m o r e u n i f o r m h e a t i n g . O n t h e o t h e r h a n d , s i n c e fi e l d r o t a t i o n o c c u r s o n l y w h e n t h e r e a r e b o u n d a r i e s b e t w e e n m a t e r i a l s i n a c a v i t y , p e r h a p s E R P h e a t i n g w o u l d p r e f e r e n t i a l l y h e a t t h e b o u n d a r y r e g i o n s . I f t h a t i s t h e c a s e , t h e E R P p r o c e s s c o u l d b e u s e d f o r b o n d i n g a n d j o i n i n g o f m a t e r i a l s , s i m i l a r t o t h e w a y s i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t e h e a t i n g i s u s e d a l r e a d y . l D . 4 R e l a t i v e T i m e - A v e r a g e F i e l d V a l u e s I t s h o u l d n o w b e c l e a r t h a t t h e c h o i c e o f t o i n d e t e r m i n i n g t h e t i m e - a v e r a g e v a l u e s o f t h e fi e l d c o m p o n e n t s i s v e r y i m p o r t a n t . E v e n i f a fi e l d a t a p o i n t i s p r i m a r i l y r a d i a l a t t = O , s e l e c t i n g t o s u c h t h a t t h e fi e l d i s a x i a l a t t = t o m a y p r o d u c e t h e i m p r e s s i o n t h a t t h e t i m e - a v e r a g e v a l u e o f t h e fi e l d i s p r i m a r i l y a x i a l . T h e l a r g e r w " t h e m o r e s u c h d i s t o r t i o n i s l i k e l y t o o c c u r b e c a u s e , d u e t o t h e d e c a y i n t i m e , t h e c o n t r i b u t i o n f r o m t h e fi e l d a t t 0 i s r e l a t i v e l y g r e a t e r t h a n t h e c o n t r i b u t i o n a q u a r t e r o f a c y c l e l a t e r . I t i s p r o p o s e d h e r e t h a t t h e b e s t m e a n s o f o b t a i n i n g a n i d e a o f t h e r e l a t i v e c o n t r i b u t i o n s o f e a c h c o m p o n e n t o f t h e fi e l d t o t h e t i m e - a v e r a g e v a l u e i s t o s e t t o t o z e r o a n d i n t e g r a t e o v e r a l a r g e n u m b e r o f c y c l e s , i . e . , r e f e r r i n g t o E q u a t i o n s ( D - S ) t h r o u g h ( D - 7 ) , s e t m = c o . T h e v a l u e f o r m i n t h e d e n o m i n a t o r o f E q u a t i o n ( D o 6 ) m a y b e n e g l e c t e d s i n c e i t i s c o m m o n t o a l l c o m p o n e n t s . T h i s p r o c e d u r e y i e l d s a ' v a l u e w h i c h i s a t r u e r e l a t i v e t i m e a v e r a g e o v e r a l l t i m e . U p o n e x a m i n i n g E q u a t i o n ( D - 7 ) i t m a y b e s e e n t h a t t h e r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e fi e l d v a l u e s f r o m t h e a b o v e p r o c e d u r e m a y b e o b t a i n e d i r r e s p e c t i v e o f m b y u s i n g a n y t o o f t h e f o r m t = 0 , o r 5 : 1 1 , ( I D - 1 3 ) I w h e r e n i s a n i n t e g e r . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e fi r s t ( o r n t h ) h a l f c y c l e a f t e r t o = 0 i s a l a m , G a c , a n d S u t t o n , 4 8 7 - 5 2 1 . 3 7 7 s u f fi c i e n t r e p r e s e n t a t i v e o f t h e r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e v a l u e o f t h e fi e l d c o m p o n e n t s o v e r a l l t i m e . I n s i m p l e s t f o r m , t h e r e l a t i v e t i m e - a v e r a g e v a l u e o f o n e fi e l d c o m p o n e n t m a y b e w r i t t e n ; 1 - _ L " ‘ £ ' _ ( s i n 2 5 - 2 ; c 0 5 2 6 ) . ( 9 ' 1 9 ) 2 + c 0 1 2 w w . E E m , ( r e l . ) = — \ / 2 _ E q u a t i o n ( D - 1 9 ) p r o v i d e s a t i m e - i n d e p e n d e n t m e a n s o f c o m p a r i n g t i m e - a v e r a g e v a l u e s o f t h e v a r i o u s fi e l d c o m p o n e n t s a t a s i n g l e p o i n t , o r f o r c o m p a r i n g v a l u e s o f a s i n g l e c o m p o n e n t a t d i f f e r e n t p o i n t s w i t h i n t h e c a v i t y a n d l o a d . I t r e d u c e s t o t h e R M S v a l u e o f E f o r w " = O . A p p e n d i x E C O M P L E X R O O T - F I N D I N G A L G O R I T H M S U S E D I N T H I S D I S S E R T A T I O N R o o t - fi n d i n g l i e s a t t h e h e a r t o f n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s . F o r r e a l f u n c t i o n s w i t h r e a l a r g u m e n t s t h e r e a r e a n u m b e r o f m e t h o d s w h i c h c a n b e u s e d t o fi n d t h e f u n c t i o n ’ s z e r o s . A m o n g t h e s e m e t h o d s a r e b i s e c t i o n , t h e f a l s e p o s i t i o n m e t h o d ( l i n e a r a p p r o x i m a t i o n ) , M i i l l e r ’ s m e t h o d ( a p p r o x i m a t i o n u s i n g a q u a d r a t i c ) , a n d N e w t o n ’ s m e t h o d . D e p e n d i n g o n t h e c h a r a c t e r o f t h e f u n c t i o n , a n y o f t h e s e m i g h t b e u s e d w i t h g o o d r e s u l t s . I n a n y e v e n t , w h e n a r o o t i s b r a c k e t e d , t h e b i s e c t i o n m e t h o d w i l l a l w a y s fi n d i t o r a n o t h e r z e r o o r s i n g u l a r i t y w i t h i n t h e b r a c k e t e d r e g i o n . U n f o r t u n a t e l y , w h e n t h e f u n c t i o n i s c o m p l e x a n d i t s a r g u m e n t i s c o m p l e x t h e p r o b l e m o f fi n d i n g i t s r o o t s i s f a r m o r e d i f fi c u l t . S e a r c h i n g f o r t h e c o m p l e x r o o t s o f a c o m p l e x f u n c t i o n c a n b e u n d e r s t o o d a s t h e s o l u t i o n o f t w o s i m u l t a n e o u s f u n c t i o n s o f t w o v a r i a b l e s . T h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x f u n c t i o n a r e t h e t w o s i m u l t a n e o u s f u n c t i o n s , w h i l e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e a r e t h e t w o v a r i a b l e s . I f t h e c o m p l e x f u n c t i o n i s f a n d t h e c o m p l e x a r g u m e n t i s z , t h e r o o t s a r e t h e s o l u t i o n s t o t h e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s R e [ f ( R e ( z ) , I m ( z ) ) ] 0 , ( E - l ) I m [ f ( R e ( z ) , I m ( z ) ) ] 0 . F o r m u l a t i n g t h e p r o b l e m t h i s w a y h e l p s t o c l a r i f y t h e d i f fi c u l t y i n v o l v e d i n s e a r c h i n g f o r c o m p l e x r o o t s o f a c o m p l e x f u n c t i o n . T h e a u t h o r s o f N u m e r i c a l R e c i p e s p u t t h e m a t t e r s u c c i n c t l y w h e n t h e y s a y , “ W e m a k e a n e x t r e m e , b u t w h o l l y d e f e n s i b l e , s t a t e m e n t : T h e r e a r e n o g o o d , g e n e r a l m e t h o d s f o r s o l v i n g s y s t e m s o f 3 7 8 3 7 9 m o r e t h a n o n e n o n l i n e a r e q u a t i o n . F u r t h e r m o r e , i t i s n o t h a r d t o s e e w h y ( v e r y l i k e l y ) t h e r e n e v e r w i l l b e a n y g o o d , g e n e r a l m e t h o d s ” ( e m p h a s i s t h e i r s ) . l T h i s p r e d i c t i o n p r o v e d t o b e t r u e f o r t h e c o m p l e x f u n c t i o n s a r i s i n g i n t h e p r o b l e m c o n s i d e r e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n . I t w a s n e c e s s a r y t o u s e t w o d i f f e r e n t c o m p l e x r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e s i n t h e p r o c e s s o f fi n d i n g t h e c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c a v i t y - o p e n o r c a v i t y - i m a g e t y p e c a v i t i e s . T h e fi r s t r o o t - fi n d i n g t e c h n i q u e w a s u s e d t o fi n d t h e w a v e n u m b e r s i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s e c t i o n o f t h e e a v i t y . T h e s a m e r o o t - fi n d e r w a s a l s o u s e d t o s o l v e f o r t h e w a v e n u m b e r s i n t h e c o a x i a l l y - l o a d e d . w a v e g u i d e a n d f o r t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c a v i t y . T h e t e c h n i q u e i s b a s e d o n T r a u b ’ s r e c e n s i o n o f M u l l e r ’ s m e t h o d a n d w o r k s e x t r e m e l y w e l l f o r s m o o t h l y v a r y i n g f u n c t i o n s . 2 T h e F O R T R A N i m p l e m e n t a t i o n u s e d i n t h i s r e s e a r c h i s c a l l e d R O O T a n d w a s d e v e l o p e d b y N . P . d e K 0 0 a n d A n t o n G . T i j h u i s o f t h e l a b o r a t o r y o f E l e c t r o m a g n e t i c R e s e a r c h i n t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a t D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y i n t h e N e t h e r l a n d s . 3 I t i s a n e s p e c i a l l y s a f e a n d e f fi c i e n t a l g o r i t h m a n d s h o u l d b e u s e f u l t o a n y o n e w h o fi n d s o c c a s i o n t o s e a r c h f o r c o m p l e x r o o t s o f a s m o o t h l y v a r y i n g c o m p l e x f u n c t i o n . T h e c o d e i s r e p r o d u c e d h e r e b y p e r m i s s i o n : s u s n o u r m s R W T C F U H C , A , B , E P S , N , N U L P , K E Y , I T R ) g [ fl a m m e e e e a a n e e a c e t a t e s : ” a n n e e m n a n e a a m m a m n a / c I * * l C / * S t b r o u t i n e R O O T d e t e r m i n e s a z e r o o f t h e f m c t i o n F U N C * / C / * s t a r t i n g f r o m t h e i n i t i a l e s t i m a t e s A < > B . ‘ l C / * M e t h o d e t r p l o y e d : M u l l e r ' s m e t h o d . * I C / * * l c / * D i r e c t i o n s f o r u s e : s e e f i l e U S E R . D O K . * l c / * * l c / * R e f e r e n c e : T r a t b , J . F . , “ i t e r a t i v e m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f * / l w m i t n n H . P r e s s , B r i a n P . F l a n n e r y , S a u l A . T e u k o l s k y , a n d W i l l i a m T . V e t t e r l i n g , N u m e r i c a l R e c i p e s : T h e A r t o f S c i e n t i fi c C o m p u t i n g ( C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 6 ) , 2 6 9 . 2 1 . F . T r a u b , I t e r a t i v e M e t h o d s f o r t h e S o l u t i o n o f E q u a t i o n : ( E n g l e w o o d C l i f f s , N J : P r e n t i c e - H a l l , 1 9 6 4 ) , c h . 1 0 . 3 N . P . d e K 0 0 a n d A n t o n G . T i j h u i s , R O O T ( L a b o r a t o r y o f E l e c t r o m a g n e t i c R e s e a r c h , D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , P . O . B o x 5 0 3 1 , 2 6 0 0 G A D e l f t , T h e N e t h e r l a n d s ) . F r o m t h e s a m e a d d r e s s m a y a l s o b e o b t a i n e d s o m e e x c e l l e n t s u b r o u t i n e s b y A . G . T i j h u i s a n d R . M . v a n d e r W e i d e n f o r t h e e v a l u a t i o n o f c o m p l e x B e s s e l f u n c t i o n s . A l t e r n a t i v e l y , a c c o r d i n g t o D r . T i j h u i s , t h e s e z e r o - fi n d i n g a n d c o m p l e x B e s s e l f u n c t i o n e v a l u a t i o n s u b r o u t i n e s m a y b e o b t a i n e d f r o m R i c k W h i t t a k e r a t M c D o n n e l l D o u g l a s R e s e a r c h L a b o r a t o r i e s i n S a i n t L o u i s . ! \ f ‘ i ~ ‘ f i f B i f B i f D i f D l f E 1 f D i f D 3 f E l f D i f l O ~ f ‘ l O ~ f ‘ i ~ O r ‘ D ~ i ( ‘ ! ; ? fi 3 ~ f ‘ i ~ f ‘ i ~ f ‘ b ; f ‘ i 3 f ‘ i f i f i f l f ) f ) f ) f ) r ) f 5 Q i ‘ ~ ‘ s ‘ 6 1 1 0 6 2 . 3 5 “ ) * e q u a t i o n s " , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e u o o d C l i f f s , N e w J e r s e y ( 1 9 6 4 ) . * C h a p t e r 1 0 . A u t h o r : N . P . d e K o o E n g l i s h v e r s i o n : A . G . T i j h u i s ( 1 9 8 4 ) ( C ) : 1 9 7 5 L a b o r a t o r y o f E l e c t r o m a g n e t i c R e s e a r c h D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y P . O . B o x 5 0 3 1 , 2 6 0 0 G A D e l f t , T h e N e t h e r l a n d s . F o r t r a n l a n g u a g e t r a n s l a t i o n : 1 1 / 8 5 C h a n d e r S a b h a r w a l M c D o n n e l l D o u g l a s R e s e a r c h L a b o r a t o r i e s P . 0 . B o x 5 1 6 S t . L o u i s , M O 6 3 1 6 6 U S A ( M o d i f i e d b y B e n N a n r i n g 9 / 8 9 t o r e t u r n a l s o t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s c a r r i e d o u t . ) I N T E G E R N , N , t r a C O N P L E X ' 1 6 A , 8 , N U L P , 2 3 , 2 2 , F 3 , F 2 , 2 2 3 , F 2 3 , Z 1 , F 1 , 0 2 2 3 , 2 1 2 , F 1 2 , 0 2 1 2 , 1 2 1 3 , $ 1 3 , 0 2 1 2 3 , o n u , o n n z , u 2 , u , u 1 , N 2 , c o s a , z , r u u c D O U B L E P R E C I S I O N E P S , A B S I , A B S Z L O G I C A L K E Y E X T E R N A L F U N C 2 3 8 A 2 2 8 8 F 3 ! F U N C ( A ) F 2 = F U N C ( B ) l F t K E Y ) T H E N U R I T E ( 6 , 6 1 ) A , F 3 , B , F 2 F O R M A T ( / 1 x , ' l n i t i a l v a l u e o f A 3 F 3 3 ' , Z D 1 5 . 7 , / 1 X , ' l n i t i a l v a l u e o f B = ' , Z D 1 5 . 7 , ' ' , 2 0 1 5 . 7 , ' F 2 8 ' , Z D 1 5 . 7 ) E N D I F 2 2 3 : 2 2 - 2 3 F 2 3 = F 2 - F 3 0 2 2 3 = F 2 3 / Z Z 3 2 1 : 2 2 - F 2 / D Z Z 3 N = - 1 F 1 = F U N C ( 2 1 ) 2 : 2 1 C O N T I N U E N = N + 1 I F t K E Y ) T H E N U R I T E < 6 , 6 2 ) N , 2 , F 1 F O R N A T < 1 X , ' N a ' , 1 6 , ' 2 = ' , 2 0 1 5 . 7 , ' F 1 = ' , Z D 1 5 . 7 ) E N D I F 2 1 2 . 2 1 . 2 2 F 1 2 2 F 1 — F 2 0 2 1 2 = F 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 - 2 3 F 1 3 = 0 2 1 2 - D Z Z 3 o z 1 2 3 = r 1 3 l z 1 3 0 N N = 2 1 2 * 0 2 1 2 3 + 0 2 1 2 0 H H 2 = O H H * O H N u 2 = 0 N N 2 - 4 5 0 * F 1 * D z 1 2 3 U S C D S O R T ( H 2 ) N 1 = N + O H H N 2 = O H H - U A B S 1 = C D A B S t N 1 ) A B S Z = C D A B S ( N 2 ) i F ( A B S T . C T . A 3 5 2 ) T H E N C O R R = F 1 I N 1 * Z D O * * * * * * * . * * * * * * * * i * * * * * * * * i * * i * * * * t t t i i t i fi t fi i * t t fi fi i fi t fi * i fi i * i * * i * t * t * * * l 3 8 1 E L S E C O R R = F 1 I N 2 * Z D O E N D I F 2 3 8 2 2 2 2 8 2 1 Z I Z T - C O R R F 3 = F 2 F 2 = F 1 F 1 = F U N C ( Z ) 2 1 8 2 0 2 2 3 8 0 2 1 2 I F ( N . E O . N ) T H E N H R I T E ( 6 , 6 3 ) 6 3 F O R M A T t h , ' T o o m a n y i t e r a t i o n s t e p s . ' ) G O T O 2 0 , E N D I F A B S T = C D A B S ( 2 1 ) I F ( C D A B S ( C O R R ) . G T . E P S * A B S T ) G O T O 1 0 l F t K E Y ) H R I T E ( 6 , 6 4 ) E P s - 6 4 F O R H A T ( / 1 X , ' T h e s p e c i f i e d a c c u r a c y , E P s 8 ' , E T S . 7 1 , ' h a s b e e n r e a c h e d . ' ) 2 0 C O N T I N U E l F t K E Y ) T H E N H R I T E ( 6 , 6 5 ) N + 1 , 2 1 , F 1 6 5 F O R N A T ( 1 X , ' N u m b e r o f i t e r a t i o n s t e p s : ' , l 1 0 1 / 1 X , ' Z 1 = ' , 2 0 2 5 . 1 4 2 / 1 X , ' F 1 = ' , 2 D 2 5 . 1 4 ) E N D I F I T R = N + 1 N U L P = 2 1 R E T U R N E N D W h i l e t h i s r o o t - fi n d e r w o r k e d v e r y w e l l i n s o l v i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s f o r c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e s e c t i o n s , i t w a s n o t a b l e t o l o c a t e r o o t s o f t h e m a t r i x d e t e r m i n a n t s p r o d u c e d b y e q u a t i n g t a n g e n t i a l E a n d H fi e l d s a c r o s s t h e b o u n d a r i e s b e t w e e n h o m o g e n e o u s a n d c o a x i a l l y - l o a d e d w a v e g u i d e r e g i o n s . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t b o t h t h e r e a l a n d t h e i m a g i n a r y p a r t s o f t h e d e t e r m i n a n t a r e s t e p f u n c t i o n s . T h e r o o t s o f s t e p f u n c t i o n s a r e d i f fi c u l t t o fi n d b y a n y m e a n s e x c e p t b i s e c t i o n , w h i c h i s n o t d i r e c t l y a p p l i c a b l e t o t h e c o m p l e x c a s e . A n a n a l o g t o b i s e c t i o n d o e s e x i s t f o r a n a l y t i c c o m p l e x f u n c t i o n s w i t h n o b r a n c h c u t s i n t h e v i c i n i t y o f t h e r o o t . F o r a n a n a l y t i c f u n c t i o n , c o n t o u r i n t e g r a t i o n i n t h e c o m p l e x p l a n e m a y b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f r o o t s e n c l o s e d i n t h e c o n t o u r . R o o t s m a y b e f o u n d b y t a k i n g s u c c e s s i v e l y s m a l l e r c o n t o u r s a r o u n d t h e r o o t u n t i l i t i s l o c a t e d t o s u f fi c i e n t p r e c i s i o n . T h i s m e t h o d i s n o t r e s t r i c t e d t o s i n g l e r o o t s . S u c h a n a p p r o a c h w a s b r i e fl y a t t e m p t e d t o s o l v e t h e c a v i t y - i m a g e t y p e p r o b l e m , b u t w i t h o u t s u c c e s s . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e r e a r e b r a n c h c u t s i n t h e r e g i o n n e a r t h e r o o t s . I n s t e a d , a r a t h e r c u m b e r s o m e , b u t e f f e c t i v e m e t h o d o f fi n d i n g c o m p l e x r o o t s w a s d e v e l o p e d f o r t h i s a p p l i c a t i o n . I t i s b a s e d o n fi n d i n g t h e r o o t s o f t h e r e a l a n d 3 8 2 i m a g i n a r y p a r t s o f t h e d e t e r m i n a n t i n d e p e n d e n t l y . T h e r o o t s o f e i t h e r p a r t f o r m a c u r v e o n t h e c o m p l e x a r g u m e n t p l a n e . T h e p o i n t a t w h i c h a c u r v e o f z e r o s o f t h e r e a l p a r t o f t h e d e t e r m i n a n t c r o s s e s a c u r v e o f z e r o s o f t h e i m a g i n a r y p a r t i s a z e r o o f t h e c o m p l e x d e t e r m i n a n t , b o t h t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s b e i n g z e r o . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e E - l . T h e F i g u r e s h o w s t w o c u r v e s . T h e n e a r l y v e r t i c a l c u r v e i s a p l o t o f t h e r o o t s o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e d e t e r m i n a n t ; t h e o t h e r c u r v e i s f o r t h e r e a l p a r t o f t h e d e t e r m i n a n t . T h e F i g u r e s h o w s a c o m p l e x n a t u r a l f r e q u e n c y f o r t h e c a v i t y / l o a d s y s t e m w h e r e t h e t w o c u r v e s c r o s s a t f = 2 . 4 1 6 8 1 5 + j 1 . 3 2 7 G H z . “ I t i s n o t n e c e s s a r y t o p l o t t h e z e r o s i n o r d e r t o fi n d t h e c o m p l e x r o o t , a s s h o w n i n F i g u r e E - l . I t i s e a s i e r t o i n c l u d e t h e b o o k k e e p i n g d e t a i l s i n a c o m p u t e r p r o g r a m a n d l o c a t e t h e c r o s s i n g p o i n t s b y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n i n t h e v i c i n i t y o f t h e r o o t . T h e s e c a p a b i l i t i e s a r e i n c l u d e d i n t h e c o m p l e x r o o t - fi n d e r C O M B I S . C O M B I S fi n d s c o m p l e x r o o t s a s d e s c r i b e d a b o v e b y u s i n g b i s e c t i o n i n d i v i d u a l l y o n t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e d e t e r m i n a n t . T h e F O R T R A N c o d e f o r C O M B I S i s g i v e n b e l o w a n d t h e a l g o r i t h m i s b r i e fl y o u t l i n e d h e r e . F i g u r e E - 2 s h o w s p o r t i o n s o f t h e c u r v e s f o r m e d b y t h e z e r o s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f a h y p o t h e t i c a l f u n c t i o n o n t h e c o m p l e x a r g u m e n t p l a n e . I n t h i s e x a m p l e , t h e fi r s t s t e p i s t o fi n d a r o o t o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e c o m p l e x f u n c t i o n . T h i s i s d o n e b y c h o o s i n g a v a l u e f o r t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e r o o t , y o , a s s h o w n i n F i g u r e E - 2 . W i t h y o fi x e d , t h e r o o t o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f u n c t i o n i s x 1 . I n g e n e r a l , x 1 m a y b e f o u n d u s i n g a n y k i n d o f r e a l r o o t - fi n d e r , b u t b i s e c t i o n i s p r o b a b l y n e c e s s a r y i f i t i s n e c e s s a r y t o r e s o r t t o a m e t h o d l i k e C O M B I S t o fi n d t h e c o m p l e x r o o t s o f t h e t o t a l f u n c t i o n . x 1 i s t h e n u s e d a s t h e fi x e d r e a l p a r t o f t h e r o o t a n d y l i s s o u g h t a s t h e r o o t o f t h e r e a l p a r t o f t h e f u n c t i o n . W h e n y l i s l o c a t e d i t i s u s e d a s t h e fi x e d i m a g i n a r y p a r t o f t h e r o o t w h i l e x 2 i s s o u g h t a s t h e r o o t o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f u n c t i o n . S i m i l a r l y , y z i s f o u n d b y fi x i n g x 2 a s t h e r e a l p a r t o f t h e r o o t a n d s o l v i n g f o r t h e r o o t o f t h e r e a l p a r t o f t h e f u n c t i o n . R e f e r r i n g t o F i g u r e E - 2 , w h e n p o i n t s 1 , 2 , 3 , a n d 4 a r e f o u n d , a n e w s t a r t i n g p o i n t i s c a l c u l a t e d f r o m t h e c r o s s i n g p o i n t , p o i n t 5 i n t h e I T h e d a t a p l o t t e d d e r i v e s f r o m t h e M e t h o d 1 t y p e s o l u t i o n w i t h a 5 x 5 m a t r i x . z H G ) f ( g a m l 2 1 5 - 0 5 3 L Q E — o s l L 7 E — 0 5 3 L 5 5 - 0 5 % , a s s - 0 5 5 L i e — 0 5 $ 9 . 0 E - 0 6 3 8 3 T M 0 1 2 m o d e , 7 " c a v i t y , 1 / 2 " n y l o n r o d 5 x 5 D e t e r m i n a n t L s = 1 4 . 6 5 c m b = 3 . 5 i n a = . 2 5 i n I = 2 . 5 c m a = 3 . 0 3 - j 0 . 0 3 9 1 i ) B — E i Z e r o s o f I m a g ( D e l ) a — e Z e r o s o f R e a l ( D e t ) 2 . 4 1 6 7 0 2 . 4 1 ' 6 7 6 2 . 4 1 6 8 2 2 . 4 1 6 8 8 2 . 4 1 6 9 4 2 . 4 1 7 0 0 R e a l ( f ) C H 2 F i g u r e E - l C o m p l e x r o o t s l o c a t e d b y c r o s s i n g o f r e a l a n d i m a g i n a r y r o o t c u r v e s . t n e m u g r A f o t r a P . g a m I 3 8 4 A I m o g i n a r g R e a l U \ 1 3 \ \ / / 2 \ 5 / / 9 3 g f ‘ 3 i g o I * 2 X 3 x 1 R e a l P o r t o f H r g u m e n t F i g u r e E - 2 P o i n t s u s e d b y C O M B I S i n fi n d i n g c o m p l e x r o o t s . 3 8 5 F i g u r e . T h u s y 3 b e c o m e s t h e n e w i n i t i a l i m a g i n a r y p a r t o f t h e r o o t , i . e . , y 3 b e c o m e s t h e n e w y o , a n d a n o t h e r i t e r a t i o n i s c a r r i e d o u t . C O M B I S d e t e r m i n e s w h e n e n o u g h i t e r a t i o n s h a v e b e e n c a r r i e d o u t b y c o m p a r i n g p o i n t s 1 , 2 , 3 , a n d 4 . I f t h e y a r e c l o s e e n o u g h t o g e t h e r , i . e . , t h e y d i f f e r b y a n a m o u n t l e s s t h a n t h e s p e c i fi e d a c c u r a c y , a n d p o i n t 5 i s l o c a t e d i n s i d e t h e r e c t a n g l e c o m p o s e d o f t h e l i n e s c o n n e c t i n g t h e m , C O M B I S r e t u r n s p o i n t 5 a s t h e r o o t . I t m a y b e o b s e r v e d t h a t t h e r e i s a d i f fi c u l t y i f o n e o f t h e c u r v e s o f z e r o s f o r m s a h o r i z o n t a l o r a v e r t i c a l l i n e o n t h e p l a n e . T w o c o u r s e s o f a c t i o n a r e a v a i l a b l e . F i r s t , o n e m a y t e s t f o r t h i s c o n d i t i o n b e f o r e h a n d . I f i t e x i s t s , t h e n a l l t h a t i s n e c e s s a r y i s t h a t t h e v a l u e r e p r e s e n t e d b y t h e v e r t i c a l o r h o r i z o n t a l l i n e b e s e t a p p r o p r i a t e l y a s t h e v a l u e o f o n e p a r t o f t h e r o o t . T h e o t h e r p a r t o f t h e r o o t i s t h e n f o u n d b y o n e a p p l i c a t i o n o f b i s e c t i o n t o t h e c o m p o n e n t o f t h e f u n c t i o n w h o s e z e r o s d i d n o t f a l l i n t o t h e v e r t i c a l o r h o r i z o n t a l l i n e . S e c o n d , t h e a c t u a l a r g u m e n t p l a n e m a y b e t r a n s f o r m e d b y r o t a t i o n i n t o a p l a n e w h i c h C O M B I S u s e s t o r e p r e s e n t t h e a r g u m e n t . T h i s i s t h e m e t h o d e m p l o y e d i n t h e v e r s i o n o f C O M B I S b e l o w . R o t a t i o n i s a l s o u s e f u l e v e n w h e n t h e z e r o c u r v e s a r e n o t h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l . S o m e t i m e s i t i s s i m p l y e a s i e r t o fi n d t h e c o m p l e x z e r o s f o r a c e r t a i n f u n c t i o n b y a r o t a t i o n o f t h e a x e s . 9 0 ° w a s a c o m m o n r o t a t i o n u s e d i n s o l v i n g f o r t h e r o o t s o f t h e d e t e r m i n a n t s i n t h i s d i s s e r t a t i o n . I n a d d i t i o n t o r o t a t i o n , t h e a x e s m a y a l s o b e s c a l e d o r i n v e r t e d . S c a l i n g i s u s e d i n t h e v e r s i o n o f C O M B I S b e l o w . I n v e r s i o n m a y e a s i l y b e a d d e d i f d e s i r e d : S U B R O U T I N E C O M B I S C G U E S S T , G U E S S Z , A C C , T N E T A , N I T R , N U L P , I T R ) C c / W m u a a a m a a a a m m a m m m n n w u / C I ‘ ' / C / * ( C ) : 1 9 9 2 , E . B . N a n r i n g * / C / * ’ I C / * S u b r o u t i n e C O M B I S i s d e s i g n e d t o f i n d t h e c o m p l e x z e r o s o f t h e * 1 C l * c o m p l e x f u n c t i o n , F U N C a R L F U N c + j I N F U N C . I t d o e s s o u s i n g R E A L * 1 C I * r o o t f i n d i n g t e c h n i q u e s , b i s e c t i o n h e r e , a l t h o u g h a n y r e a l z e r o * I C / * f i n d i n g t e c h n i q u e c o u l d b e s u b s t i t u t e d . H o w e v e r , t h e r e a s o n * I C / * o n e u o u l d u s e C O M B I S i n s t e a d o f a M u l l e r ' s m e t h o d , a s e c a n t * l C / * m e t h o d , o r s o m e o t h e r c o m p l e x z e r o - f i n d i n g t e c h n i q u e i s b e c a u s e * I C / * t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f u n c t i o n a r e s t e p f u n c t i o n s * I C / * N h o s e r o o t s c a n n o t b e f o u n d e a s i l y b y o t h e r m e a n s . S o , b i s e c - * / c g : t i o n i s p r o b a b l y n e e d e d i f C O M B I S i s n e e d e d . : I C I C I ‘ N E T N D D o f a t t a c k : C O M B I S f i n d s z e r o s o f t h e r e a l a n d i n a g - * / C l * i n a r y p a r t s o f t h e f u n c t i o n s e p a r a t e l y . T h e s e z e r o s w i l l f o r m * I C / * t u o c u r v e s o n t h e c o m p l e x a r g u m e n t p l a n e , o n e c u r v e u i l l r e p w * / 3 8 6 r e s e n t t h e z e r o s o f r e a l p a r t , t h e o t h e r c u r v e t h e z e r o s o f t h e i m a g i n a r y p a r t . w h e r e t h e t w o c u r v e s c r o s s , b o t h r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s a r e z e r o s i m u l t a n e o u s l y . C O M B I S a t t e m p t s t o f i n d t h a t c r o s s i n g p o i n t b y l i n e a r a p p r o x i m a t i o n i n t h e v i c i n i t y o f t h e r o o t . I M P O R T A N T N O T E : C O M B I S a s s u m e s t h a t t h e i n i t i a l g u e s s i s c l o s e e n o u g h t o t h e r e s u l t t h a t t h e p a t t e r n m a d e i n t h e c o m p l e x a r g u m e n t p l a n e b y t h e c u r v e f o r t h e z e r o s o f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f u n c t i o n a n d t h e c u r v e f o r t h e z e r o s o f t h e c o m p l e x p a r t o f t h e f u n c t i o n l o o k s l i k e a n x o r a + i n t h e “ v i c i n i t y “ o f t h e g u e s s . C O M B I S m a y w o r k a n y w a y u n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s ; h o w e v e r , e v e n i f t h i s r a t h e r v a g u e c r i t e r i o n i s s a t i s f i e d , C O M B I S m a y w a n d e r o f f t h e z e r o . T h e r e a r e n o g u a r a n t e e s m a d e b y t h e a u t h o r . V A R I A B L E S : . G U E S S T C o m p l e x * 1 6 . T h e i n i t i a l g u e s s f o r t h e r o o t . G U E S S Z C o m p l e x ' 1 6 . A s e c o n d g u e s s , c l o s e t o G U E S S T . A C C R e a l * 8 . T h e a b s o l u t e a c c u r a c y d e s i r e d i n t h e r o o t . T H E T A R e a l * 8 . T h e o f f s e t a n g l e o f t h e X - Y c o o r d i n a t e s u s e d b y C O M B I S f r o m t h e R E A L ( 2 ) - I M A G ( Z ) c o o r d i n a t e s o f t h e c o m p l e x a r g u m e n t p l a n e : r a d i a n s . S C A L E R e a l * 8 . T h i s v a r i a b l e i s t h e r a t i o o f t h e r e a l p a r t o f t h e i n i t i a l g u e s s t o t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e i n i t i a l g u e s s . ' I t i s u s e d t o s c a l e . t h e i m a g i n a r y a r g u m e n t a x i s t o t h e s a m e o r d e r a s t h e r e a l a r g u m e n t a x i s . T h i s m a k e s t h e a b s o l u t e a c c u r a c y s p e c i f i e d b y A C C a p p l i c a b l e t o b o t h r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e a r g u m e n t . i t i s a l s o h e l p f u l t o h a v e b o t h a x e s o f n e a r l y t h e s a m e o r d e r i n o r d e r t h a t t h e r o t a t i o n b e e f f e c t i v e . N I T R i n t e g e r . N u m b e r o f a l l o w e d i t e r a t i o n s . N U L P C o m p l e x ' 1 6 . T h e R o o t f o u n d b y C O M B I S . I T R i n t e g e r . N u m b e r o f i t e r a t i o n s C O M B I S t o o k t o f i n d t h e r o o t . T h e P R M v a r i a b l e i s a p a r a m e t e r w h i c h i s m a d e c o s m o n t o R L F L N C o r l M F U N C a s a f i x e d s e c o n d v a r i a b l e ( X o r Y w h i l e t h e o t h e r i s b e i n g s o u g h t ) . N O T E : F U N C T I O N N A M E T h e n a m e o f t h e f r a c t i o n i s n o t i n t h e a r g u a e n t l i s t . R a t h e r , i t i s n a m e d i n t h e e x t e r n a l f u n c t i o n s d b r o u t i n e s R L F U N C a n d I M F U N C . T h e s e s u b r o u t i n e s s h o u l d b e m o d i f i e d t o s p e c i f y t h e f u n c t i o n w h o s e r o o t s a r e b e i n g s o u g h t . N O T E : S U B R O U T T N E ' P A U S E D " T h e s u b r o u t i n e P A U S E D i s u s e d t o a l l o w t h e s c r e e n t o p a u s e f o r T I M s e c o n d s s o t h a t i n t e r m e d i a t e r e s u l t s m a y b e v i e w e d T h e i n t r i n s i c f u n c t i o n s c a l l e d b y P A U S E D m a y n o t b e a v a i l a b l e o n a l l s y s t e m s . C R E D I T S : S u b r o u t i n e s Z B R A C a n d R T B I S a r e m o d i f i e d f o r m s o f b r a c k e t i n g a n d b i s e c t i o n s u b r o u t i n e s f o u n d i n N u m e r i c a l R e c i p g g : T h e A r t o f § c i e n t i f i c C g m p g g i g g ( C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n v e r s 1 t y P r e s s , 1 9 8 6 ) , p p . 2 4 5 - 2 4 7 , b y N . H . P r e s s , 3 . P . F l a n n e r y , s . A . C / * C / * c / W m n m w e m m m e m e e m u l C n n n Z 3 E F 7 T e u k o l s k y , a n d U . T . V e t t e r l i n g . 1 " I * / I N T E G E R N I T R , I T R , G $ I G N , F I T R I N T E G E R * 2 T I N C O H P L E X ‘ 1 6 G U E S S T , G U E S S Z , N U L P , D C R E A L I C A C C , I N F U N C , R L F U N C , Y 1 , X 1 , Y 2 , X 2 , Y 3 , A , B , P R N , T N E T A , * T H E T A C , S , C , S C A L E , D X , D Y L O G I C A L C R o s s E X T E R N A L I N F U N C , R L F U N C 1 0 0 C 5 5 C O M M O N ] C P A R A H / P R N , T H E T A C , S C A L E C O M M O N ] P A U S T N I T I N G S I C N = 1 I T R = 1 T H E T A C I T N E T A S C A L E = O A B S ( D R E A L ( G U E S S T ) I D I H A G ( G U E S S T I ) T H E T A C = T H E T A S = D S I N ( T N E T A ) C = D C O S ( T H E T A ) A = D R E A L ( G U E S S 1 ) * C + S C A L E * D I N A G ( G U E S S I ) * S B S D R E A L < G U E S S Z J * C + S C A L E * D I M A G ( G U E S S Z ) * S Y 1 = S C A L E * D I H A O ( G U E S S 1 ) * C - D R E A L C G U E S S I ) ' S P R I N T * , ' ' P R I N T * , ' N O U C A L L I N G I M A G I N A R Y P A R T O F T H E F U N C T I O N ' I I P R N = Y 1 o x = A - a C A L L B I S E C ( I N F U N C , A , B , A C C , F I T R , X 1 ) P R I N T * , I I P R I N T * , I N o u C A L L I N G R E A L P A R T o r T H E F U N C T I O N ' P R I N T * , I - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P R I N T * , I I A = Y 1 B = S C A L E * D I H A G ( G U E S S Z ) * C - D R E A L < G U E S S Z ) * S P R N = x 1 o v = A - s C A L L B I S E C ( R L F U N C , A , B , A C C , F I T R , Y 2 ) P R I N T * , I I P R I N T * , I N o u C A L L I N G I M A G I N A R Y P A R T a s T H E F U N C T I O N : P R I N T * , I - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P R I N T * , I I A - x 1 + o x 1 3 . 1 a - x 1 - o x 1 3 . P R N s v z C A L L B I S E C ( I N F U N C , A , B , A C C , F I T R , X 2 ) P R I N T * , I I P R I N T * , I N o w C A L L I N G R E A L P A R T o r T N E F U N C T I O N ' P R I N T * , I - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P R I N T * , I I A = Y 2 + D Y / 3 . 1 s - v z - o v / 3 . P R N a x z C A L L B I S E C ( R L F U N C , A , B , A C C , F I T R , Y 3 ) C R O S S 8 ( Y Z - Y 3 ) * ( Y 2 - Y 1 ) . G E . O . P R I N T * , I I , ' P O I N T 1 : I , x 1 I C - Y I I S , ( x 1 * s + v 1 * C ) / S C A L E P R I N T I , ' P O I N T Z : ' , X 1 * C - Y 2 * S , ( X 1 * S + Y Z * C ) / S C A L E , ' P O I N T 3 : I , x 2 * C - v 2 * s , ( x 2 * s + v 2 * C ) / S C A L E 2 3 8 § 3 P R I N T * , ' P O I N T 4 : - , x z * C o T 3 * s , ( x 2 * s + v 3 * C I I S C A L E P R I N T * , I I I F ( ( X 1 . E O . X 2 . A N D . D A B S ( Y 2 - Y 3 ) . L T . 1 0 * A C C ) . O R . * ( Y 2 . E O . Y 3 . A N D . D A B S ( X 1 ~ X 2 ) . L T . 1 0 * A C C ) ) T N E N N U L P = D C N P L X ( X 2 * C - Y 3 * S , ( X 2 * S + Y 3 * C ) / S C A L E ) R E T U R N E L S E I F ( X 1 . E O . X Z . O R . Y 2 . E O . Y 3 ) T H E N A = x 2 s - v s E L S E A = ( X 2 * ( Y 1 - Y 2 ) + X 1 * ( Y 3 - Y 2 ) ) l ( ( Y 1 - Y 2 ) + ( Y 3 - Y 2 ) ) B = ( ( Y 3 - Y 2 ) * A + Y 2 * X 2 - Y 3 * X 1 ) / ( X 2 - X 1 ) E N D I F P R I N T * , ' C R O S S I N G P O I N T : ' , A * C - B * S , ( A * S + B * C ) / S C A L E P R I N T * , I I I F ( C R O S S ) T H E N P R I N T * , ' C r o s s i n g p o i n t i n s i d e r e c t a n g l e l ' C A L L P A U S E D ( T I N ) E L S E P R I N T ' , ' C A U T I O N . C R O S S I N G P O I N T O U T S I D E R E C T A N G L E . ‘ C A L L P A U S E D ( T I N ) ‘ G S I G N s - G S I G N E N D I F C C C / * N o w t h a t w e h a v e f o u n d f o u r p o i n t s a r o u n d t h e z e r o w e d r a w a n C / * X a n d u s e t h e c e n t e r a s t h e n e w s t a r t i n g p o i n t . C C I F ( D A B S ( X 2 - X 1 ) . L T . I O . * A C C . A N D . * D A B S ( Y 2 - Y 3 ) . L T . 1 0 . * A C C . A N D . * D A B S ( Y 2 - Y 1 ) . L T . 1 0 . * A C C . A N D . * C R O S S ) T H E N N U L P = D C N P L X ( A * C - 8 * S , ( A * S + B * C ) / S C A L E ) R E T U R N E N D I F D C = G S I G N * ( G U E S S I - G U E S S Z ) / 2 3 . G U E S S Z = D C N P L X ( A * C ’ B * S , ( A * S + B * C ) I S C A L E ) ' 2 . 1 * D C G U E S S 1 = D C N P L X ( A * C - 8 * S , ( A * S + 8 * C ) / S C A L E * 3 . 1 * D I H A G ( D C ) ) I T R = I T R + 1 P R I N T * ' ' P R I N T ' I T E R A T I O N S O F C O N B I S : ' P R I N T ' ' P R I N T P R I N T P R I N T P R I N T P R I N T P R I N T P R I N T P R I N T N I I T R , I I , I T R I T R , I I , I T R , I I , I T R I T R , I I , I T R , I I , I T R , I I , I T R I T R , I I , I T R , I I , I T R , I I , I T R , I ' , I T R I T R , I I , I T R , I I , I T R , I I , I T R , I I , I T R , I ' , I T R I I I : 9 3 2 ' : 9 3 2 - : 9 3 2 - : $ 2 . 1 m : I T R I I I I I T R Z I ' : I T R : ' ' : I T R : ' I Z I T R ' ' P R I N T I T R , I ' , I T R , ' I , I T R , I I , I T R P R I N T I T R , I ' , I T R , ' I , I T R P R I N T * , I T R , I I , I T R I F ( I T R . L T . N I T R ) G O T O 1 0 0 P R I N T * , ' T o o m a n y i t e r a t i o n s i n C O N B I S . ‘ N U L P = G U E 5 s 1 N O O O O N N N N Q N . ‘ Q . . . . Q . - ~ § R E T U R N E N D C C & & & & & C l & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & C S U B R O U T I N E B I S E C ( F U N C , A , B , A C C , I T R , Z E R O ) C c / m e e m s e u n e e n n e n e e n n e s e e m e e m e m m e e e e e e e m n m m / C / * C l * B I S E C i s a c o m b i n a t i o n o f Z B R A C a n d R T B I S , r e s p e c t i v e l y b r a c k - C / * e t i n g a n d b i s e c t i o n r o u t i n e s f o r r e a l f u n c t i o n s o f r e a l C / * v a r i a b l e s . C l ‘ C I W ” " * M W * * * * * t fl * * W * W W M I C 0 ' 0 0 O O n n n n n n o n n o o n 0 2 3 E “ ? I N T E G E R I T R R E A L ' B F U N C , A , B , A C C , Z E R O , R T B I S , F A , F B L O G I C A L S U C C E S E X T E R N A L F U N C C A L L Z B R A C ( F U N C , A , B , F A , F B , S U C C E S ) I F ( S U C C E S ) T H E N Z E R O = R T B I S ( F U N C , A , B , F A , F B , A C C , I T R ) E L S E P A U S E ' C o u l d n o t b r a c k e t t h e r o o t . N i t < C o n t r o l > < B r e a k > t o e n d . ’ E N D I F R E T U R N E N D C & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1 0 0 n S U B R O U T I N E z a R A C I E U N C , x 1 , x 2 , E 1 , E z , S U C C E S ) I N T E G E R J , N T R Y R E A L * 8 F A C T O R , X 1 , X 2 , F U N C , F 1 , F 2 L O G I C A L S U C C E S E X T E R N A L F U N C P A R A M E T E R ( F A C T 0 R = . 5 0 , N T R T = 4 0 ) I F ( X 1 . E O . X 2 ) P A U S E ' Y o u h a v e t o g u e s s o n i n i t i a l r a n g e . ‘ F 1 = F U N C ( X 1 ) F 2 8 F U N C ( X 2 ) S U C C E S = . T R U E . D O 1 0 0 , J 8 1 , N T R Y I F ( F 1 * F Z . L T . O . ) R E T U R N I F ( D A B S ( F 1 ) . L T . D A B S ( F Z ) ) T H E N X 1 = X 1 + F A C T O R * ( X 1 - X 2 ) F 1 = F U N C ( X 1 ) E L S E X 2 8 X 2 + F A C T O R * ( X 2 - X 1 ) F 2 = F U N C ( X 2 ) E N D I F C O N T I N U E S U C C E S = . F A L S E . R E T U R N E N D C & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & D O U B L E P R E C I S I O N F U N C T I O N R T B I S ( F U N C , X 1 , X 2 , F 1 , F 2 , A C C , I T R ) R E A L * 8 F U N C , X 1 , X 2 , A C C , F , F N I D , D X , X N I D , F 1 , F 2 I N T E G E R J , J H A X , I T R E X T E R N A L F U N C P A R A M E T E R ( J N A X 8 5 0 ) F N I D s F Z F - F i I F ( F * F N I D . G E . 0 . ) P A U S E ' R o o t m u s t b e b r a c k e t e d f o r b i s e c t i o n . ‘ I F l F . L T . 0 . ) T H E N R T B I S I X T o x = x 2 ~ x 1 E L S E R T B I S = X 2 o x = x 1 - x 2 E N D I F D O 1 0 0 , J = 1 , J N A X D X = D X * . S X N I D s R T B I S + D X n n n n n n i S S N ) F N I D = F U N C ( X N I D ) I T R = J I F ( F N I D . L E . 0 . ) R T B I S = X N I D I F ( D A B S ( D X ) . L T . A C C . O R . F H I D . E 0 . 0 . ) R E T U R N 1 0 0 C O N T I N U E P A U S E ' T o o m a n y b i s e c t i o n s ' E N D R E A L * 8 F U N C T I O N R L F U N C ( Y ) R E A L * 8 X , Y , T H E T A , C , S , R A R G , I A R G , S C A L E C O N P L E X I I 1 6 A R G , F U N C C O N N O N / C P A R A N / X , T H E T A , S C A L E E X T E R N A L F U N C C = D C O S ( T H E T A ) S = D S I N ( T N E T A ) R A R G = X * C - Y * S I A R G = ( X * S + Y * C ) I S C A L E P R I N T * , ' ' P R I N T * , ' A r g u m e n t : ' , R A R G , I A R G A R G = D C N P L X ( R A R G , I A R G ) R L F U N C S D R E A L ( F U N C ( A R G ) ) P R I N T * , ' R E A L p a r t o f t h e f u n c t i o n : ' , R L F U N C n R E T U R N E N D C & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & O R E A L * 8 F U N C T I O N I M F U N C ( X ) R E A L * 8 I A R G , R A R G , X , Y , T H E T A , C , S , S C A L E C O H P L E X * 1 6 A R G , F U N C C O N U O N / C P A R A H / Y , T H E T A , S C A L E E X T E R N A L F U N C C = D C O S ( T H E T A ) S = D S I N ( T H E T A ) R A R G = X * C - Y * S I A R G = ( X * S + Y * C ) I S C A L E P R I N T * , ' ' P R I N T * , ' A r g u m e n t : ' , R A R G , I A R G A R G = D C N P L X ( R A R G , I A R G ) I N F U N C = O I H A G ( F U N C ( A R G ) ) P R I N T ' , ' I N A G I N A R Y p a r t o f t h e f u n C t i o n t ' , I N F U N C R E T U R N E N D S U B R O U T I N E P A U S E D C T I H ) I N T E G E R ' Z T I N , I H R , I H I N , I S E C , I N N D , P S E C , P M I N , P H R C A L L G E T T I N ( I H R , I N I N , I S E C , I N N D ) P N I N = I N I N P S E C S I S E C 1 0 0 I F ( ( < P N I N . E O . I N I N ) . A N O . < P $ E C . G T . ( I $ E C + T I N ) ) ) . O R . * ( ( P N I N . N E . I N I N ) . A N O . ( I P s E C + 5 9 ) . G T . < I $ E C + T I N ) ) ) > R E T U R N 3 9 1 C A L L G E T T I N ( P I I | R , P H I N , P S E C , I H N D ) G O T O T O O E N D N O fi n e s s e i s c l a i m e d f o r C O M B I S . I t i s c u m b e r s o m e a n d s l o w c o m p a r e d t o m o s t o t h e r c o m p l e x r o o t - fi n d e r s . I n s o m e c a s e s i t m a y r e q u i r e m o r e t h a n a h u n d r e d f u n c t i o n c a l l s t o a c c u r a t e l y l o c a t e a r o o t . A l s o , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t w h i l e b i s e c t i o n i s a n e a r l y f o o l p r o o f m e t h o d o f fi n d i n g t h e r o o t s o f t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s o f t h e f u n c t i o n , C O M B I S i s n o t a s r e l i a b l e a s i t c o n s t i t u e n t p a r t s . I t m a y h a v e d i f fi c u l t y l o c a t i n g a r o o t f o r a g i v e n a x i s s c a l e a n d r o t a t i o n , p a r t i c u l a r l y i f a g o o d g u e s s i s n o t a v a i l a b l e . I t m a y a l s o r e t u r n a r e s u l t w h i c h i s n o t a r o o t . A n e x a m p l e w h e r e s o m e t h i n g l i k e t h i s m i g h t h a p p e n i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e E - 3 . N e v e r t h e l e s s , t h e r e a r e s o m e s i t u a t i o n s w h i c h r e q u i r e t h e b r u t e f o r c e m e t h o d e m b o d i e d i n C O M B I S . I n t h a t c a s e i t i s t h e o n l y m e a n s b y w h i c h a r e s u l t m a y b e O b t a i n e d . T h e r e f o r e , i t i s a v a l u a b l e r o o t fi n d i n g t e c h n i q u e a n d m a y b e u s e d w i t h g r e a t p r o fi t w h e n n o t h i n g e l s e w i l l w o r k . t n e m u g r H C ( f o t r o P g o m I 3 R e a l / \ m V 3 9 2 I m a g i n a r y / - j : l k e y / 1 , s . \ . 9 0 \ q \ 5 3 1 ‘ — \ / 3 . , X X X p - s R e a l P o r t 0 F A r g u m e n t F i g u r e E - 3 N o n - e x i s t e n t r o o t l o c a t e d b y C O M B I S . R e g i o n H 1 5 1 “ A p p e n d i x F C H A R A C T E R I S T I C E Q U A T I O N F O R T H E S L A B - L O A D E D C A V I T Y A s p e c i a l c a s e o f t h e c a v i t y - i m a g e o r c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n e x i s t s w h e n t h e l o a d r a d i u s , a , i s e q u a l t o t h e c a v i t y r a d i u s , b . T h i s s p e c i a l c a s e i s k n o w n a s t h e s l a b - l o a d e d c a v i t y c o n fi g u r a t i o n , s h o w n b e l o w i n F i g u r e F - l . I t m a y b e t h o u g h t o f a s t h e r a d i a l c o u n t e r p a r t o f t h e c a v i t y - s h o r t t y p e c o n fi g u r a t i o n . I n g e n e r a l , t h e l o a d o r s l a b i s o f t h i c k n e s s f w i t h i t s c e n t e r a t h e i g h t h a b o v e t h e c a v i t y fl o o r . T h e c a v i t y fi e l d s a n d n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e f o u n d b y w r i t i n g t h e fi e l d s f o r e a c h r e g i o n i n t e r m s o f t h e h o m o g e n e o u s w a v e g u i d e e x p r e s s i o n s a n d m a t c h i n g a p p r o p r i a t e fi e l d c o m p o n e n t s a t t h e d i e l e c t r i c b o u n d a r i e s . S i n c e t h e r e g i o n s a r e h o m o g e n e o u s , t h e fi e l d s i n e a c h r e g i o n a r e e i t h e r T E o r T M . F u r t h e r m o r e , i t i s n o t n e c e s s a r y t o w r i t e t h e fi e l d s a s s u m m a t i o n s o v e r a l l . m o d e s b e c a u s e t h e h o m o g e n e o u s R e g i o n I R e g i o n M l A L . * " F i g u r e F - l G e n e r a l s l a b - l o a d e d c a v i t y c o n fi g u r a t i o n . 3 9 3 3 9 4 w a v e g u i d e m o d e s a r e o r t h o g o n a l t o o n e a n o t h e r . T h e y m a t c h b y o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e a c r o s s t h e b o u n d a r i e s . F o r e x a m p l e , a T M O I m o d e i n R e g i o n I c o u p l e s t o a T M O I m o d e i n R e g i o n I I a n d t o n o o t h e r . T h i s f a c t g r e a t l y s i m p l i fi e s t h e s o l u t i o n s , n o t o n l y b y r e m o v i n g i n fi n i t e s u m s f r o m t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s , b u t a l s o b e c a u s e t h e t r a n s v e r s e c o o r d i n a t e f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e i s t h e s a m e o n e a c h s i d e o f t h e e q u a t i o n a n d m a y b e d i v i d e d o f f . F o r e x a m p l e , t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d f o r T M m o d e s i n R e g i o n I m a y b e w r i t t e n 2 . X A E : = A u p 1 , , ( 3 5 ) c o s ( n ¢ ) c o s [ k z l ( z - 1 . 5 ) ] , ( F - l ) j m e l b 2 b w h i l e t h e a x i a l e l e c t r i c fi e l d f o r t h e c o r r e s p o n d i n g m o d e i n R e g i o n I I i s g i v e n b y 2 A x E , " = . . _ " L J , , ( " P p ) c o s ( n ¢ ) [ C c o s ( k z n z ) + D s i n ( k z n z ) ] . ( F - 2 ) j w e l b z b E q u a t i n g 1 5 1 5 2 a t t h e d i e l e c t r i c b o u n d a r y y i e l d s I + _ I I + - I I + ( P 2 3 ) A c o s [ k z ( h - L s ) ] - C c o s ( k z h ) + D s r n ( k z h ) , w h e r e h T = h + % l . I n E q u a t i o n ( F - 3 ) t h e t r a n s v e r s e f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e h a s b e e n c a n c e l e d a n d o n l y t h e a x i a l d e p e n d e n c e i s l e f t . H o w e v e r , i n f o r m a t i o n f r o m t h e t r a n s v e r s e d e p e n d e n c e r e m a i n s i n t h e v a l u e o f k 2 , s i n c e k 2 : w z p e - k f , ( F 4 ) w h e r e k c i s t h e t r a n s v e r s e w a v e n u m b e r . I n t h e c y l i n d r i c a l c a s e k c = : 3 3 . T h e t r a n s v e r s e c o o r d i n a t e f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e a l s o c a n c e l s f o r t h e o t h e r b o u n d a r y c o n d i t i o n e q u a t i o n s . A n i n t e r e s t i n g c o r o l l a r y o f t h e c a n c e l l a t i o n O f t h e t r a n s v e r s e f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e i s t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s f o r t h e c i r c u l a r c y l i n d r i c a l s l a b - l o a d e d 3 9 5 c a v i t y a p p l y t o s l a b - l o a d e d c a v i t i e s o f g e n e r a l c y l i n d r i c a l c r o s s s e c t i o n . T h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m i s t h e v a l u e o f k c w h i c h d e p e n d s o n t h e g e o m e t r y o f t h e c r o s s s e c t i o n . I n a r e c t a n g u l a r c a v i t y , f o r e x a m p l e , k c i s g i v e n b y k f m c ) = ( I E ) 2 + ( £ 3 . 3 2 , w h e r e L x a n d L y a r e t h e c r o s s s e c t i o n a l d i m e n s i o n s o f t h e c a v i t y a n d n a n d p a r e i n t e g e r s . A s l o n g a s i t i s p o s s i b l e t o fi n d a n e x p r e s s i o n o r a n u m b e r f o r k c , t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s d e r i v e d b e l o w m a y b e u s e d f o r s l a b - l o a d e d c a v i t i e s o f g e n e r a l c r o s s s e c t i o n . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e F - l , o r a s i m i l a r l y c o n fi g u r e d c a v i t y o f g e n e r a l c y l i n d r i c a l c r o s s s e c t i o n , m a y b e w r i t t e n a s i n t h e f o r m [ ) 0 1 1 + ] [ C ] = O , ( F - S ) X - Y - D O f a m a t r i x e q u a t i o n a s w h e r e f o r T M m o d e s I I I k . I I I k ; I I + . I X + = 7 2 1 — 8 1 1 1 “ : h “ ) c o s [ k z ( I V - 1 4 3 ) ] - “ J C O S U C Z ’ 1 ) s m [ k z ( h + " L s ) ] , k n n 1 k 1 I I I Y ” = - e _ z l c o s ( k z h + ) c o s [ k z ( h + - L s ) ] — fi s i n a r z h * ) s i n [ k z ( h * - L _ , ) ] , k n k m ( F - 6 ) x - = _ £ . s i n ( k z n h ' ) c o s ( k z m h ’ ) - - Z _ I c o s ( k z n h ' ) s i n [ k z m ( h ’ ) , 6 1 E k " k m Y ” = - _ z c o s ( k z n h ' ) c o s ( k z m h ‘ ) - _ : _ I l . s i n ( k z n h ’ ) s i n ( k z m h ’ ) . £ 1 6 T h e v a l u e s h i a r e g i v e n b y h i = h $ 1 1 5 ! . T h e c o e f fi c i e n t s C a n d D a r e t h e a x i a l d e p e n d e n c e c o e f fi c i e n t s i n R e g i o n I I a s u s e d a b o v e i n E q u a t i o n ( F - 2 ) . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s f o u n d b y s e t t i n g t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x i n E q u a t i o n ( “ F - 5 ) e q u a l t o z e r o . F o r T M m o d e s t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s ( Q T 3 9 6 1 1 2 I I k l k m n m I Z Z Z " £ 2 t a n ( k z ( ) + E l e m t a n ( k z t ) t a n ( k z h ) t a n [ k z ( h * - L s ) ] 1 ( F 7 ) 1 1 r n m k k k - z z t a n r l c , ‘ ( h * - L , ) 1 + ‘ ‘ m n i j n h ' ) = 0 . e e 1 6 e m 1 1 S o l v i n g t h i s e q u a t i o n , t h e f r e q u e n c y o b t a i n e d m a y b e r e t u r n e d t o t h e m a t r i x e x p r e s s i o n o f E q u a t i o n ( F - S ) t o fi n d C i n t e r m s o f D , o r v i c e v e r s a . K n o w i n g t h e c o e f fi c i e n t s , t h e fi e l d s m a y b e d e t e r m i n e d . W h e n t h e s l a b l i e s o n t h e b o t t o m o f t h e c a v i t y , E q u a t i o n ( F - 7 ) b e c o m e s m u c h s i m p l e r . T h i s c o n fi g u r a t i o n i s s h o w n b e l o w i n F i g u r e F - 2 . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h e c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e F — 2 i s d e r i v e d f r o m E q u a t i o n ( F - 7 ) b y s e t t i n g h ‘ e q u a l t o z e r o . I n t h i s c a s e t h e s e c o n d a n d f o u r t h t e r m s d i s a p p e a r a n d t h e T M c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s 1 1 I k k 7 2 1 ' t a n ( k z n l ) = _ § m a fi a - L g ] . ( E 3 ) 6 « ( I \ 1 & 1 ‘ 4 L F i g u r e F - 2 S l a b - l o a d e d c a v i t y w i t h s l a b a t o n e e n d . ' — X Y = = k g n s i I I I - k z c o n s ( ( k k n I I z z h h ‘ - ) ) c c o o s s ( ( k k m I I I z z h h ’ ) - ) - + k z n I I k 2 c s o . 1 s n ( k ( k z z I n h I h ’ . . ) ) s s i . 1 n ( k z I I n ( k z m I h h ’ - ) ) , . ( F - 9 ) 3 9 7 T h e T E m o d e e q u a t i o n s m a y b e w r i t t e n i n a s i m i l a r m a n n e r t o t h e T M m o d e e q u a t i o n s . U s i n g t h e s a m e m a t r i x e q u a t i o n , E q u a t i o n ( F - S ) , t h e m a t r i x e l e m e n t s f o r t h e T B m o d e s a r e g i v e n b y I . I I I + I I I I . I X + = k z s r n ( k z h “ ) c o s [ k z ( h - L s ) ] - k z c o s ( k z h “ ) s r n [ k z ( h + - L S ) ] , + I I I I I I . I I . I Y = k z c o s ( k z h ” ) c o s [ k z ( h " - L s ) ] + k 2 s r n ( k z h + ) s r n [ k z ( h + - L s ) ] , T h e g e n e r a l T E c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s I I I I I I 1 1 2 I I I I I — I k z k Z t a n ( k z I ) + k 2 t a n ( k Z t ’ ) t a n ( k z h ) t a n [ k z ( h * - L s ) ] ( F 1 0 ) I I I I I I I I I I I I - - k z k z t a n [ k z ( h + - L s ) ] + k z k z t a n ( k z h ) = O . F o r t h e c o n fi g u r a t i o n o f F i g u r e F - 2 w i t h h ' = 0 , E q u a t i o n ( F - l O ) i s s i m p l i fi e d t o k 2 " c o t ( k z n I ) = k : c o q k z ‘ a - L , ) ] . ( F - l l ) S o l u t i o n s f o r t h e c a v i t y - o p e n t y p e c o n fi g u r a t i o n w h e n t h e l o a d r a d i u s i s n e a r t h a t o f t h e c a v i t y m a y b e c o m p a r e d w i t h s o l u t i o n s f r o m E q u a t i o n s ( E 7 ) a n d ( F - l O ) w h i c h a r e m u c h e a s i e r t o s o l v e , r e q u i r e l e s s n u m e r i c a l m a n i p u l a t i o n , a n d a r e t h e r e f o r e m o r e l i k e l y t o r e t u r n a n a c c u r a t e r e s u l t . S i m i l a r l y , c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n s m a y b e c o m p a r e d w i t h s o l u t i o n s f r o m E q u a t i o n s ( F — 8 ) a n d ( F - l 1 ) . T h e s e c o m p a r i s o n s a r e e s p e c i a l l y u s e f u l i n p r o v i d i n g a v e r i fi c a t i o n t h a t t h e m o r e c o m p l i c a t e d c a v i t y - o p e n a n d c a v i t y - i m a g e t y p e s o l u t i o n s a r e c o n v e r g i n g t o t h e e x p e c t e d a n s w e r s . L I S T O F W O R K S C I T E D L I S T O F W O R K S C I T E D A b r a m o w i t z , M i l t o n , a n d I r e n e S t e g u n . H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s . N e w Y o r k : D o v e r P u b l i c a t i o n s , n . d . A d l e r , R . B . “ W a v e s o n I n h o m o g e n e o u s C y l i n d r i c a l S t r u c t u r e s . ” P r o c e e d i n g s o f t h e I . R . E . ( 4 0 ) ( M a r c h 1 9 5 2 ) : 3 3 9 - 4 8 . A g d u r , B . , a n d B . E n a n d e r . “ R e s o n a n c e s o f a M i c r o w a v e C a v i t y P a r t i a l l y F i l l e d w i t h a P l a s m a . ” J . A p p . P h y . 3 3 ( 2 ) ( F e b . 1 9 6 2 ) : 5 7 5 - 8 1 . A s m u s s e n , J . , H . H . L i n , B . M a n r i n g , a n d R . F r i t z . “ S i n g l e - M o d e o r C o n t r o l l e d M u l t i m o d e M i c r o w a v e C a v i t y A p p l i c a t o r s f o r P r e c i s i o n M a t e r i a l s P r o c e s s i n g . ” R e v . S c i . I n s t r u m . 5 8 ( 8 ) ( A u g u s t 1 9 8 7 ) : 1 4 7 7 - 8 6 . A s m u s s e n , J e s J r . , R a g h u v e e r M a l l a v a r p u , J o h n R . H a m a n n , a n d H e e C h u n g P a r k . “ T h e D e s i g n o f a M i c r o w a v e P l a s m a C a v i t y . ” P r o c . I E I I E 6 2 ( 1 ) ( J a n . 1 9 7 4 ) : 1 0 9 - 1 1 7 . B e a m , R . E . , a n d H . M . W a c h o w s k i . “ S h i e l d e d D i e l e c t r i c R o d W a v e g u i d e s . ” T r a n s . A m e r . I n s t . E l e c . E n g . 7 0 ( 1 9 5 1 ) : 8 7 4 - 8 0 . B e a m , R . B . , M . M . A s t r a h a n , W . C . l a k e s , H . M . W a c h o w s k i , a n d W . L . F i r e s t o n e . “ D i e l e c t r i c T u b e W a v e g u i d e s . ” R e p o r t A T I 9 4 9 2 9 , C h . V , N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y , E v a n s t o n , I L ( 1 9 4 9 ) . B h a r t i a , P . , a n d M . A . K . H a m i d . “ F i e l d d i s t r i b u t i o n i n a C e n t r a l l y L o a d e d C i r c u l a r C y l i n d r i c a l C a v i t y . ” I E E E T r a n s . N u c . S c i . N S - 1 6 ( 2 ) ( A p r i l 1 9 6 9 ) : 2 7 - 3 4 . B o l l e , D . M . “ E i g e n v a l u e s f o r a C e n t r a l l y L o a d e d C i r c u l a r C y l i n d r i c a l C a v i t y . ” I R E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M I T - 1 0 ( 3 ) ( M a r c h 1 9 6 2 ) : 1 3 3 - 3 8 . B r u c k , G . G . , a n d E . R . W i c h e r . “ S l o w T r a n s v e r s e W a v e s i n C y l i n d r i c a l G u i d e s . ” J . A p p . P h y s . 1 8 ( 1 9 4 7 ) : 7 6 6 - 7 0 . 3 9 8 3 9 9 B r u n o , W i l l i a m M . , a n d W i l l i a m B . B r i d g e s . “ F l e x i b l e D i e l e c t r i c W a v e g u i d e s w i t h P o w d e r C o r e s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e I h r y . T e c h . 3 6 ( 5 ) ( M a y 1 9 8 8 ) : 8 8 2 - 9 0 . B u c h o l z , V o n H e r b e r t . “ D e r H o h l l e i t e r v o n k r e i s f o r n r i g e n Q u e r s c h n i t t r r r i t G e s c h i c h t e t e m D i e l e k t r i s c h e n E i n s a t z . ” A n n a l e n d e r P h y s i k ( L e i p z i g ) 4 3 ( 1 9 4 3 ) : 3 1 3 - 6 8 . Q u o t e d i n R . E . B e a m a n d H . M . W a c h o w s k i . “ S h i e l d e d D i e l e c t r i c R o d W a v e g u i d e s . ” T r a n s . A m e r . I n s t . E l e c . E n g . 7 0 ( 1 9 5 1 ) : 8 7 4 - 8 0 . B u c h s b a u m , S . J . , L . M o w e r , a n d S . C . B r o w n . “ I n t e r a c t i o n B e t w e e n C o l d P l a s m a s a n d G u i d e d E l e c t r o m a g n e t i c W a v e s . ” P h y s . F l u i d s 3 ( 5 ) ( S e p t . - O c t . 1 9 6 0 ) : 8 0 6 - 8 1 9 . ‘ C h e n , C h u n n r i n g , a n d K a w t h a r A . Z a k i . “ R e s o n a n t F r e q u e n c i e s o f D i e l e c t r i c R e s o n a t o r s C o n t a i n i n g G u i d e d C o m p l e x M o d e s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e I h r y . T e c h . 3 6 ( 1 0 ) ( O c t . 1 9 8 8 ) : 1 4 5 5 - 5 7 . C h o u , R i - C h e e , a n d S h u n g - W u L e e . “ M o d a l A t t e n u a t i o n i n M u l t i l a y e r e d C o a t e d W a v e g u i d e s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y ' . T e c h . 3 6 ( 7 ) ( J u l y 1 9 8 8 ) : 1 1 6 7 - 7 6 . C l a r k , D . E . , F . D . G a c , W . H . S u t t o n , e d s . M i c r o w a v e s : T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n i n M a t e r i a l s P r o c e s s i n g : C e r a m i c T r a n s a c t i o n s 2 ] , S y m p o s i u m H e l d D u r i n g t h e 9 3 r d M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n C e r a m i c S o c i e t y a t C i n c i n n a t i , O h i o 2 9 A p r i l - 3 M a y , 1 9 9 1 . W e s t e r v i l l e , O h i o : T h e A m e r i c a n C e r a m i c S o c i e t y , 1 9 9 1 . C l a r r i c o a t s , P . J . B . “ C i r c u l a r - W a v e g u i d e B a c k w a r d - W a v e S t r u c t u r e s . ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 1 0 ( 2 ) ( F e b . 1 9 6 3 ) : 2 6 1 - 7 0 . . “ P r o p a g a t i o n A l o n g U n b o u n d e d a n d B o u n d e d D i e l e c t r i c R o d s — p t s . l a n d 2 . ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g , 1 0 8 ( 3 ) , p t . C ( M a r c h 1 9 6 1 ) : 1 7 0 - 8 6 . C l a n i c o a t s , P . J . B . , a n d B . C . T a y l o r . “ E v a n e s c e n t a n d P r o p a g a t i n g M o d e s o f D i e l e c t r i c - L o a d e d C i r c u l a r W a v e g u i d e . ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 1 1 ( 1 2 ) ( D e c . 1 9 6 4 ) : 1 9 5 1 - 5 6 . C l a r r i c o a t s , P . J . B . , a n d K . R . S l i n n . “ E x p e r i m e n t a l O b s e r v a t i o n o f T r a v e l l i n g B a c k w a r d W a v e s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d C i r c u l a r W a v e g u i d e . ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 1 1 ( 6 ) ( J u n e 1 9 6 4 ) : 1 0 9 0 - 9 2 . 4 0 0 C o l l i n , R . E . F o u n d a t i o n s f o r M i c r o w a v e E n g i n e e r i n g . N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 6 . d e K O O , N . P . , a n d A n t o n G . T i j h u i s . R O O T . L a b o r a t o r y O f E l e c t r o m a g n e t i c R e s e a r c h , D e p a r t m e n t O f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , P . 0 . B o x 5 0 3 1 , 2 6 0 0 G A D e l f t , T h e N e t h e r l a n d s . F r a n k e l , S . “ T M O I M o d e i n C i r c u l a r W a v e G u i d e s w i t h T w o C o a x i a l D i e l e c t r i c s . ” J . A p p . P h y s . 1 8 ( 1 9 4 7 ) : 6 5 0 - 5 5 . F r a s c h , L y d e l l L . “ A n E x p e r i m e n t a l a n d T h e o r e t i c a l S t u d y O f a M i c r o w a v e C a v i t y A p p l i c a t o r L o a d e d w i t h L o s s y M a t e r i a l s . ” P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 7 . F r e d e r i c k s , R o b e r t M i c h a e l . “ A n E x p e r i m e n t a l a n d T h e o r e t i c a l S t u d y o f R e s o n a n t l y S u s t a i n e d P l a s m a i n M i c r o w a v e C a v i t i e s . ” P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 7 1 . G r a d s h t e y n , I . S . , a n d I . M . R y z h i k . T a b l e o f I n t e g r a l s , S e r i e s , a n d P r o d u c t s . S a n D i e g o : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 0 . ‘ H a h n , W . C . “ A N e w M e t h o d f o r t h e C a l c u l a t i o n o f C a v i t y R e s o n a t o r s . ” J . A p p . H - P h y . 1 2 ( J a n u a r y 1 9 4 1 ) : 6 2 - 6 8 . H a n s e n , W . W . “ O n t h e R e s o n a n t F r e q u e n c y o f C l o s e d C o n c e n t r i c L i n e s . ” J . A p p . P h y . 1 0 ( J a n . 1 9 3 9 ) : 3 8 - 4 5 . H a r r i n g t o n , R o g e r F . T i m e - H a r m o n i c E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s . N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 1 . J a c k s o n , J . D . C l a s s i c a l E l e c t r o d y n a m i c s . N e w Y o r k : J o h n W i l e y & S o n s , 1 9 7 5 . K a j f e z , D a r k o . “ I n d e fi n i t e I n t e g r a l s U s e f u l i n t h e A n a l y s i s o f C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c ~ — - - R e s o n a t o r s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . , M I T - 3 5 ( 9 ) ( S e p . 1 9 8 7 ) : 8 7 3 - 7 4 . K i n g , L . V . P h i l . M a g . 2 1 ( 1 9 3 6 ) . Q u o t e d i n W . C . H a h n . “ A N e w M e t h o d f o r t h e C a l c u l a t i o n o f C a v i t y R e s o n a t o r s . ” J . A p p . P h y . 1 2 ( J a n u a r y 1 9 4 1 ) : 6 2 - 6 8 . 4 0 1 K o b a y a s h i , Y o s h i o , a n d S h u z o T a n a k a . “ R e s o n a n t M o d s O f a D i e l e c t r i c R o d ‘ R e s o n a t o r S h o r t - C i r c u i t e d a t B o t h E n d s b y P a r a l l e l C o n d u c t i n g P l a t e s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e I h r y . T e c h . M T I - 2 8 ( 1 0 ) ( O c t . 1 9 8 0 ) : 1 0 7 7 - 8 5 . K o b a y a s h i , Y o s h i o , N O b u s h i g e F u k u o k a , a n d S i n k - i c h i r o Y o s h i d a . “ R e s o n a n t M o d e s f o r a S h i e l d e d D i e l e c t r i c R o d R e s o n a t o r . ” E l e c t . C o m m . J a p . 6 4 - B ( 1 1 ) . T r a n s . S c r i p t a P u b l i s h i n g C O . , 1 9 8 3 : 4 4 - 5 1 . T r a n s l a t e d f r o m D e n s h i T s u s h i n G a k k a i R o n b u n s h i 6 4 - B ( 5 ) ( 1 9 8 1 ) : 4 3 3 - 4 0 . L i n , H a w - H w a . “ T h e o r e t i c a l F o r m u l a t i o n a n d E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f a C y l i n d r i c a l C a v i t y L o a d e d w i t h L o s s y D i e l e c t r i c M a t e r i a l s . ” P h . D . d i s s . , - M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 9 . M a l l a v a r p u , R . J . A s m u s s e n , a n d M . C . H a w l e y . “ B e h a v i o r o f a M i c r o w a v e C a v i t y D i s c h a r g e O v e r a W i d e R a n g e o f P r e s s u r e s a n d F l o w R a t e s . ” I E E E T r a n s . P l a s m a S c i . P S - 6 ( 4 ) ( D e c . 1 9 7 8 ) : 3 4 1 - 5 4 . M a l l a v a r p u , R a g h u v e e r . “ A n I n v e s t i g a t i o n o f t h e E l e c t r o m a g n e t i c B e h a v i o r O f a M i c r o w a v e P l a s m a S o u r c e O v e r a W i d e R a n g e o f P r e s s u r e s a n d F l o w R a t e s . ” P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 7 6 . M a n r i n g , E d w a r d B . “ A n E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f t h e M i c r o w a v e H e a t i n g o f S o l i d N o n - R e a c t i v e M a t e r i a l s i n a C i r c u l a r C y l i n d r i c a l R e s o n a n t C a v i t y . ” M . S . t h e s i s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 8 . M a t h e m a t i c a , V e r . 2 . 0 . W o l f r a m R e s e a r c h , I n c . , C h a m p a i g n , 1 1 1 . , 1 9 9 1 . M a y s t r e , D . , P . V i n c e n t , a n d J . C . M a g e . “ T h e o r e t i c a l a n d E x p e r i m e n t a l S t u d y o f t h e R e s o n a n t F r e q u e n c y o f a C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c R e s o n a t o r . ” I E E E D a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M I T - 3 1 ( 1 0 ) ( O c t . 1 9 8 3 ) : 8 4 4 - 4 8 . M o n t g o m e r y , C . G . T e c h n i q u e o f M i c r o w a v e M e a s u r e m e n t s . N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 4 7 . N i l s s o n , J a m e s W . E l e c t r i c C i r c u i t s . R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 8 3 . O f f e r m a n n s , S t e p h a n . “ E l e c t r o d e l e s s H i g h - P r e s s u r e M i c r o w a v e D i s c h a r g e s . ” J . A p p . P h y . 6 7 ( 1 ) ( J a n u a r y 1 9 9 0 ) : 1 1 5 - 2 3 . 4 0 2 O f f e r m a n n s , S t e p h a n . “ R e s o n a n c e C h a r a c t e r i s t i c s O f a C a v i t y - O p e r a t e d E l e c t r o d e l e s s H i g h - P r e s s u r e M i c r o w a v e D i s c h a r g e S y s t e m . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . 3 8 ( 7 ) ( J u l y 1 9 9 0 ) : 9 0 4 - 1 1 . O m a r , A b b a s S . , a n d K l a u s F . S c h i ‘ r n e m a n n . “ C o m p l e x a n d B a c k w a r d W a v e M o d e s i n I n h o m o g e n e o u s l y a n d A n i s o t r o p i c a l l y F i l l e d W a v e g u i d e s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M I T - 3 5 ( 3 ) ( M a r c h 1 9 8 7 ) : 2 6 8 - 7 5 . P a s s o w , M . L . , M . L . B r a k e , P . L o p e z , W . B . M c C o l l , a n d T . E . R e p e t t i . “ M i c r o w a v e R e s o n a n t - C a v i t y - P r o d u c e d A i r D i s c h a r g e s . ” I E E E T r a n s . P l a s m a S c i . P S - 1 9 ( 2 ) ( A p r i l 1 9 9 1 ) : 2 1 9 - 2 8 . P i n c h e r l e , L . “ E l e c t r o m a g n e t i c W a v e s i n M e t a l T u b e s F i l l e d L o n g i t u d i n a l l y w i t h T w o D i e l e c t r i c s . ” P h y s . R e v . 2 : 6 6 ( 5 , 6 ) ( S e p t e m b e r 1 a n d 1 5 , 1 9 4 4 ) : 1 1 8 - 3 0 . P r e s s , W i l l i a m H . , B r i a n P . F l a n n e r y , S a u l A . T e u k o l s k y , a n d W i l l i a m T . V e t t e r l i n g . N u m e r i c a l R e c i p e s : T h e A r t o f S c i e n t i fi c C o m p u t i n g . C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 6 . R e i t z , J o h n R . , F r e d e r i c k J . M i l f o r d , a n d R o b e r t W . C h r i s t y . F o u n d a t i o n s o f E l e c t r o m a g n e t i c T h e o r y , 3 d e d . R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 7 9 . R o g e r s , J a m e s R . “ P r o p e r t i e s o f S t e a d y S t a t e , H i g h P r e s s u r e , A r g o n M i c r o w a v e D i s c h a r g e s . ” P h . D . d i s s . , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , 1 9 8 2 . S h o h e t , J . L . , a n d C . M o s k o w i t z . “ E i g e n v a l u e s o f a M i c r o w a v e - C a v i t y - L o s s y - P l a s m a S y s t e m . ” J . A p p . P h y . 3 6 ( 5 ) ( M a y 1 9 6 5 ) : 1 7 5 6 - 5 9 . S n i t z e r , E . “ C y l i n d r i c a l D i e l e c t r i c W a v e g u i d e M o d e s . ” J . O p t . S o c . A m . 5 1 ( 5 ) ( M a y 1 9 6 1 ) : 4 9 1 - 9 8 . S n y d e r , W m . B . , e t a l . , e d s . M i c r o w a v e P r o c e s s i n g o f M a t e r i a l s I I : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y S y m p o s i a P r o c e e d i n g s 1 8 9 , S y m p o s i u m H e l d a t S a n F r a n c i s c o , C a l i f o r n i a 1 7 - 2 0 A p r i l 1 9 9 0 . P i t t s b u r g h : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y , 1 9 9 1 . S p h i c o p o u l o s , T . , L . G . B e r n i e r , a n d F . G a r d i o l . “ T h e o r e t i c a l B a s i s f o r t h e D e s i g n O f t h e R a d i a l l y S t r a t i fi e d D i e l e c t r i c - L o a d e d C a v i t i e s U s e d i n M i n i a t u r i s e d A t o m i c F r e q u e n c y S t a n d a r d s . ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 3 1 ( 2 ) , p t . H ( A p r i l 1 9 8 4 ) : 9 4 - 9 8 . 4 0 3 S u t t o n , W . H . , M . H . B r o o k s , a n d I . J . C h a b i n s k y , e d s . M i c r o w a v e P r o c e s s i n g o f M a t e r i a l s : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y S y m p o s i a P r o c e e d i n g s 1 2 4 , S y m p o s i u m H e l d a t R e n o , N e v a d a 5 - 8 A p r i l 1 9 8 8 . ( P i t t s b u r g h : M a t e r i a l s R e s e a r c h S o c i e t y , 1 9 8 8 ) . T e a s d a l e , R . D . , a n d T . J . H i g g i n s . “ E l e c t r o m a g n e t i c W a v e s i n C i r c u l a r W a v e g u i d e s C o n t a i n i n g T w o C o a x i a l M e d i a . ” P r o c . N a t . E l e c . C o n f i 5 ( 1 9 4 9 ) : 4 2 7 - 4 1 . T r a u b , J . F . I t e r a t i v e M e t h o d s f o r t h e S o l u t i o n o f E q u a t i o n s . E n g l e w o o d C l i f f s , N J : P r e n t i c e - H a l l , 1 9 6 4 . T r i v e l p i e c e , A . W . “ S l o w W a v e P r o p a g a t i o n i n P l a s m a W a v e g u i d e s . ” P h . D . d i s s . , C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , 1 9 5 8 . T r i v e l p i e c e , A . W . , a n d R . W . G o u l d . “ S p a c e C h a r g e W a v e s i n C y l i n d r i c a l P l a s m a C o l u m n s . ” J . A p p . P h y . 3 0 ( 1 1 ) ( N o v . 1 9 5 9 ) : 1 7 8 4 - 9 3 . V i g n e r o n , S . , a n d P . G u i l l o n . “ M o d e - M a t c h i n g M e t h o d f o r D e t e r m i n a t i o n o f t h e R e s o n a n t F r e q u e n c i e s o f a D i e l e c t r i c R e s o n a t o r P l a c e d i n a M e t a l l i c B o x . ” P r o c . I n s t . E l e c . E n g . 1 3 4 , p t . H ( 2 ) ( A p r i l ' 1 9 8 7 ) : 1 5 1 - 5 5 . Z a k i , K a w t h a r A . , a n d A l i E . A t i a . “ M o d e s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d W a v e g u i d e s a n d R e s o n a t o r s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M T T - 3 l ( 1 2 ) ( D e c . 1 9 8 3 ) : 1 0 3 9 - 4 5 . Z a k i , K a w t h a r A . , a n d C h u n m i n g C h e n . “ I n t e n s i t y a n d D i s t r i b u t i o n o f H y b r i d - M o d e F i e l d s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d W a v e g u i d e s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M I T - 3 3 0 2 ) ( D e c . 1 9 8 5 ) : 1 4 4 2 - 4 7 . . “ L o s s M e c h a n i s m s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d R e s o n a t o r s . ” I E E E D a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M T T - 3 3 ( 1 2 ) ( D e c e m b e r 1 9 8 5 ) : 1 4 4 8 - 5 2 . . “ N e w R e s u l t s i n D i e l e c t r i c - L o a d e d R e s o n a t o r s . ” I E E E T r a n s . M i c r o w a v e T h r y . T e c h . M I T - 3 4 ( 7 ) ( J u l y 1 9 8 6 ) : 8 1 5 - 2 4 . " I n s u l i n