‘ u ‘ u v ” . ” H , . ’ , k ‘ 9 . l 3 3 ‘ . \ ' v w ' I I I I I I - I I m m I N S T A B I L I T Y P S H L E I N T A O — M J E E N T A I L N O W F T I W E O L F D D I M E N S I O P H . D . d e g r e e i n M E C H A N I C A L N E A N L G I N E E R I N G M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 4 2 7 7 1 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t l o n e n t i t l e d p r e s e n t e d b y S Y E D K H U R S H E D A L I h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r l l x - l l W I ; s i J i I l l ) D a t e 5 / 1 5 / 9 1 ” i s . . w , 5 . . . ; : . | ; . u u h , . - ‘ t ; x - § v 4 1 - . J - v ‘ - _ ‘ L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E M S U I s A n A f f i r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n - c : \ c I r c \ d a t o d u e . p m 3 - p . 1 D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g I N S T A B I L I T Y P H E N O M E N A I N A T W O - D I M E N S I O N A L S L I T — J E T F L O W F I E L D V o l u m e I B y S y e d K h u r s h e d A l i A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y 1 9 9 1 4 e s / s Q P s — - z 3 3 : 6 4 T t p l n d m p h w e a o u i l e r s m t c i o - d i e i b t f m r e o i m e u c o e e s e r s a p v p t y g r i r h m r o i o e t o w e i i e n m n D r s : n t e T t m l s R h d e i n b . h r e o y s e s e t n a s b i a p s e c t s o l p r t p f e o e l y a i v T r v i o 1 e p t n l n a r u 0 e i s o w v h v e r i o e a r i a n 0 s a t t t r t i t l d a e o l a h t e r t y n d f s e 5 d b i x e e o h r u s p x s n e l a m t s i l s p i n o o o s i t f e r l h t a m g £ l t t r o t v a t e - l e 2 e u u r y e i s h n n j y t 5 t t r w m e o e g m t i y e o o a s . s v t f o e t r ! h i b a a o t u e e c r 5 n n o o f i n f a w a c r f s o f a l l e w 3 a s l s 5 n r i t h u o e 0 e t T t n l o w e 0 t d h i . o e d w x — i t . 0 h n f e u t m r i e c s t h I e e h e h e n a s s e s . m i o 0 o s t 0 v m 5 e s i 3 a l n d T e s l u r u i n d i q h a c u i l c e a o m h e d r t t H l a n h o e a u d e - c s o i n s u a v l a r e i d j o w z n v e i s a s t e m f o e b a e e r u n c o . i t f p o v e t x e r t v o c b e a e n , e r t e r , i l r o e m s e a i d r r r e h x n u e D t i i s i e b e d , n y v s t a z u i t s s v d i n i l i e w e w e d t e h l t h h e i t a o n v d o , c i s s h n w i i v f s e l i i i i e u t t s b e e c d s d t a d o s o n t o s t t w r v y c f r n d h h e d y b a a y i h a i h a t g e v n p s t a n h e t o i t : e n n a i c r g r h r g a i e n t s i m e o e g e r d d t o a l , e u d e f f e f e i d a i m o o o n ) R f l o e l a r r u t e o s u z u o s i R a n u s a a m e t e i n 5 0 b i t R t t a f i t . e t r m n i e i o l f o h g d r 0 , e e g o y o l i n e a a g i f q e x c m i n i c = u d f o 1 r r n n n y c p g o s i o n t r e p y d f , - s t - — a e a e l r e a x n o d d e m n r r f t i a h t e i l e o - ) i m e s , A B S T R A C T I N S T A B I L I T Y P H E N O M E N A I N A T W O — D I M E N S I O N A L S L I T — J E T F L O W F I E L D B y S y e d K h u r s h e d A l i o f t h e s l i t - j e t , C D , a t x / w = 1 , A l s o , t h e p r e d i c t e d a n d t h e m e a s u r e d c o n v e c t i o n s p e e d s a n d i i i ) t h e f o r m a t i o n o f a l a r g e s c a l e m o t i o n i s p r e c e d e d b y a s e - q u e n c e o f w e l l d e f i n e d e v e n t s . * * S t r o u h a l n u m b e r ( S t F ) , c o n v e c t i o n s p e e d ( u C ) a n d w a v e l e n g t h ( A ) * h a v e b e e n d e t e r m i n e d f r o m t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n d a t a . T h e S t F a n d A d i s t r i b u t i o n s a s a f u n c t i o n o f R e y n o l d s n u m b e r s h o w c o n s i d e r a b l e s c a t t e r . S i m i l a r s c a t t e r w a s a l s o r e p o r t e d e a r l i e r . T h e S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n t h e d o m i n a n t f r e q u e n c y o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s , S t V , a l s o s h o w s s o m e s c a t t e r . I t i s o b s e r v e d t h a t f o r s i m i l a r v a l u e s o f R e a n d t h e s a m e x / w l o c a t i o n s , S t F i s n o m i n a l l y t w i c e t h e v a l u e o f S t v . N o e x p l a n a t i o n f o r t h i s d i f f e r e n c e i n t h e t w o S t r o u h a l n u m b e r s h a s b e e n f o u n d . T h e i n t e n s i t y o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s , u ( x / w ) / U O , e x h i b i t s e x p o n e n t i a l g r o w t h a t n o m i n a l l y t h e s a m e r a t e o v e r t h e e n t i r e R e r a n g e : 5 0 0 - 3 0 0 0 . T h e a v e r a g e v a l u e o f t h e g r o w t h r a t e , d [ 1 0 g ( a ( X ) / U o ) ] / d x , w a s f o u n d t o b e 0 . 5 4 . V e l o c i t y s u r v e y s a c r o s s t h e j e t e x h i b i t a t o p - h a t v e l o c i t y p r o - f i l e a t x / w = l a n d a r o u n d e d j e t a t x / w = 2 . 4 . T h e s o l u t i o n o f t h e l i n e a r i z e d , i n v i s c i d e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e t o p — h a t v e l o c i t y p r o - f i l e p r e d i c t s a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t w i t h S t r o u h a l n u m b e r , S t I = 0 . 6 6 , w h i c h c o m p a r e s v e r y w e l l w i t h t h e a v e r a g e v a l u e o f S t V = 0 . 7 0 c o m p a r e q u i t e w e l l . H o w e v e r , t h e p r e d i c t e d v a l u e o f A / w i s l a r g e r t h a n t h e v a l u e f o u n d f r o m t h e f l o w v i s u a l i z t i o n d a t a . I d e d i c a t e t h i s t h e s i s t o M r . S y e d M o h a m m a d H o s a i n m y f a t h e r a n d m e n t o r k e s s s a n l t l e I b x n a V n . , F d . B i I F a n r g e s e d n u d a l o d r w h s o e u f r o o s t e c k , D r . A o l n a f o a n d w h k h s f i l i t M s u . i n r d s n i k d e c i M e . t e o s n s t t o i n o s . K o r h p p s e m m o a s d t e A t t o h e r p e s r s e u s c p p i o a m r t y t i o n l c s a m o i n i m n d g p c i h l t e y t r g e u e s i i a f a h a n i , D r . M . i e c x l A u a c h e e e c x i t t p p r n o d l C a s . c P e o t t e r , l a o h f f t o h r i a h e s t r n H i t s h i o d o u e n g d e h u s o a n i t u n t - s o t o d A C K N O W L E D G M E N T S . e . Y . W a n g f o r s e r v i n g a s m e m b e r s o f t h e G u i d a n c e C o m m i t t e e . a d d i t i o n , I w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y g r a t i t u d e a n d a c k n o w l e d g e t r i b u t i o n o f t h e f o l l o w i n g p e o p l e i n m a k i n g t h i s d i s s e r t a t i o n e : R i c h a r d H a w f o r d e v e l o p i n g t h e s o f t w a r e t o d r i v e t h e s t e p p e r n d e r c o m p u t e r c o n t r o l ; R o b e r t R o s e o f t h e M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t f o r h i s t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p , s p e c i a l l y w i t h t h e e l e c t r i c a l c i r - a e d e d f o r t h i s w o r k ; S t e v e S o u t h w a r d f o r m o d i f y i n g t h e c o m p u t e r c o d e s o t h a t v i n e o u s f l o w v i s u a l i z a t i o n / L D A m e a s u r e m e n t s c o u l d b e . i s h e d ; f e l l o w g r a d u a t e a n d u n d e r g r a d u a t e s t u d e n t s a t t h e T u r b u l e n t ' l o w s L a b I , i n p a r t i c u l a r : M a t t B o e r m a , L a r r y C a m e r o n , A l a n . , R o n F o c i a , J o h n J o y c e , S t e v e L a r s o n , I r w i n L a w s o n , T i m M c C a u - w M o n d o l , B o b M i t c h e l l , C h r i s P u n g a n d Z a i - C h u n Y a n g ; C . P e t t y f o r l e t t i n g m e u s e h i s l a s e r D o p p l e r a n e m o m e t e r a n d : r s y s t e m f o r v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s ; f r i e n d s D r . S . S h a k i r a n d D r . M . U s m a n f o r p r o v i d i n g b o t h . a l a n d s o c i a l s u p p o r t o v e r t h e l o n g d u r a t i o n o f s t a y i n E a s t L e f i n a n c i a l s u p p o r t p r o v i d e d b y t h e M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g l e n t , t h e D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n - U n i t e d T e c h n o l o g i e s R e s e a r c h C e n t e r , K r e b b s E n g i n e e r s , a n d M S U i o n d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s s t u d y a r e d e e p l y a p p r e c i a t e d . n a l l y , I w i s h t o a c k n o w l e d g e t h e s u p p o r t a n d s a c r i f i c e o f m y , t h e e n c o u r a g e m e n t o f m y b r o t h e r s a n d s i s t e r s , a n d t h e p a t i - n d s u p p o r t o f m y w i f e , F a t i m a , a n d c h i l d r e n d u r i n g t h e p u r s u i t e r e d u c a t i o n . T A B L E O F C O N T E N T S O F T A B L E S O F F I G U R E S H C L A T U R E F E R l H I S T O R I C A L P E R S P E C T I V E A N D P L A N O F S T U D Y 1 . l . l 2 . 2 . 3 . 4 . l . 2 I n t r o d u c t i o n H i s t o r i c a l P e r s p e c t i v e . 1 I n s t a b i l i t y o f t h e S l i t - J e t F l o w F i e l d - E x p e r i m e n t a l S t u d i e s . 2 I n s t a b i l i t y o f 2 D J e t s I s s u i n g f r o m C o n t o u r e d N o z z l e s . 3 T h e o r e t i c a l I n v e s t i g a t i o n o f I n s t a b i l i t y o f 2 D J e t s . 3 . 1 S o l u t i o n o f O r r - S o m m e r f e l d E q u a t i o n . 3 . 2 N u m e r i c a l S o l u t i o n o f F u l l N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n . 3 . 3 S i m u l a t i o n o f V o r t e x S t r e e t O b j e c t i v e s o f t h e P r e s e n t S t u d y C o n t e n t s o f t h e T h e s i s A N A L Y T I C A L C O N S I D E R A T I O N S I n t r o d u c t i o n I n v i s c i d F l o w P a t t e r n i n t h e S l i t - J e t F l o w F i e l d . v i i i P a g e . x v i i x v i i i x l v i i 1 3 1 4 1 5 l 7 l 9 1 9 2 O 2 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n 2 . 2 . 2 I n v i s c i d F l o w A n a l y s i s 2 . 2 . 2 . 1 D e t a i l s o f C o n f o r m a l T r a n s f o r m a t i o n s 2 . 2 . 2 . 2 E q u a t i o n o f S e p a r a t i n g S t r e a m l i n e 2 . 2 . 2 . 3 C o n t r a c t i o n R a t i o 2 . 2 . 2 . 4 E q u a t i o n o f S t r e a m l i n e i n z - p l a n e 2 . 2 . 2 . 5 E q u a t i o n s o f V e l o c i t y a n d P r e s s u r e F i e l d s o n N o z z l e P l a t e 2 . 2 . 3 C o m p a r i s o n B e t w e e n J e t s f r o m F i n i t e a n d I n f i n i t e P l e n u m s 2 . 2 . 3 . 1 P r e s s u r e F i e l d A l o n g t h e N o z z l e P l a t e 2 . 2 . 3 . 2 T r a j e c t o r y o f S e p a r a t i n g S t r e a m l i n e 2 . 3 D e t e r m i n a t i o n o f B o u n d a r y L a y e r P a r a m e t e r s 2 . 3 . 1 M o m e n t u m T h i c k n e s s 0 2 . 3 . 2 D i s p l a c e m e n t T h i c k n e s s 6 d 2 . 4 S t a b i l i t y C a l c u l a t i o n s o f t h e S l i t - J e t F l o w F i e l d 2 . 5 M o d e l f o r G r o w t h o f P r e s s u r e F l u c t u a t i o n s A l o n g t h e C e n t e r l i n e 2 . 5 . 1 I n t r o d u c t i o n 2 . 5 . 2 D e r i v a t i o n o f E q u a t i o n f o r P r e s s u r e F l u c t u a t i o n s 2 . 5 . 3 D i s c u s s i o n 3 E X P E R I M E N T A L F A C I L I T Y A N D P R O C E D U R E S 3 . 1 I n t r o d u c t i o n 3 . 2 E x p e r i m e n t a l F a c i l i t y i x 2 0 2 1 2 2 2 5 2 8 2 9 3 2 3 5 3 5 3 6 3 6 3 8 . 4 0 . 4 2 . 4 6 . 4 6 . 4 7 5 0 5 1 5 1 5 2 U 1 U 1 0 " \ I . 8 . 8 . 8 . 8 . 9 . 1 V o l u m e F l o w S e n s o r . 2 F i l l i n g D e v i c e . 3 W o r k i n g L i q u i d . 4 O p e r a t i n g P r i n c i p l e F l o w M o d e l l i n g C o m p u t e r F a c i l i t y f o r D a t a A c q u i s i t i o n a n d C o n t r o l S o f t w a r e t o C o n t r o l t h e B l e e d V a l v e . 1 P r o g r a m C L A W S N . 2 P r o g r a m Z V A L V E O p e r a t i n g P r o c e d u r e / S t a r t o f E x p e r i m e n t a l R u n C a l i b r a t i o n o f S e n s o r s . 1 C h e c k i n g O p e r a t i o n o f t h e L D A S y s t e m . 2 C a l i b r a t i o n o f V o l u m e F l o w S e n s o r . 2 . 1 C a l i b r a t i o n o f P r e s s u r e T r a n s d u c e r . 2 . 2 C a l i b r a t i o n o f L V D T . 2 . 3 D a t a A c q u i s i t i o n a n d P r o c e s s i n g M e t h o d s o f F l o w V i s u a l i z a t i o n . l S c h l i e r e n . 2 H y d r o g e n B u b b l e T e c h n i q u e . 3 D y e I n j e c t i o n D a t a A c q u i s i t i o n . 1 F l o w V i s u a l i z a t i o n . 2 V e l o c i t y M e a s u r e m e n t u s i n g L D A . 3 C o m b i n e d F l o w V i s u a l i z a t i o n a n d L D A 5 3 5 4 5 5 5 5 5 6 6 0 6 1 6 2 6 3 6 3 6 5 6 5 6 7 6 7 6 8 6 8 6 9 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 . 4 5 5 5 5 V e l o c i t y - S e n s i n g F L O W V I S U A L I Z A T I O N : Q U A L I T A T I V E R E S U L T S & D I S C U S S I O N . 1 I n t r o d u c t i o n . 2 W i d t h E v a l u a t i o n o f t h e D y e S t r e a k . 3 C o m m o n P a t t e r n s o f t h e F l o w F i e l d . 3 . l S t a r t i n g V o r t e x P a i r . 3 . 2 B u l g e s w i t h O v e r r i d i n g U n i t V o r t i c e s a t L o w R e . 3 . 3 B u l g e s o n J e t B o u n d a r y w i t h L a r g e S c a l e V o r t e x F o r m a t i o n s . 3 . 4 F o r m a t i o n o f U n i t V o r t i c e s a t H i g h R e V a l u e s . 4 V a r i o u s R e g i m e s B a s e d o n R e y n o l d s N u m b e r . 4 . 1 R e < 1 5 7 . 4 . 2 1 5 7 S R e 5 2 1 0 . 4 . 3 2 6 8 5 R e 5 1 7 0 0 . 4 . 3 . 1 F o r m a t i o n o f S y m m e t r i c M o t i o n s . 4 . 3 . 2 S o m e E x c e p t i o n s t o t h e C o m m o n O b s e r v a t i o n s . 4 . 4 R e > 2 3 0 0 . 5 I n t e r a c t i o n s B e t w e e n S y m m e t r i c M o t i o n s . 6 L o s s o f S y m m e t r y i n V o r t e x S t r e e t A L G O R I T H M S F O R P R O C E S S I N G T H E P H O T O G R A P H I C D A T A . 1 I n t r o d u c t i o n . 2 C r e a t i o n o f D a t a B a s e f o r F l o w V i s u a l i z a t i o n E x p e r i m e n t s . 2 . l C o m p u t a t i o n o f S p a t i a l l y / T e m p o r a l l y A v e r a g e d V e l o c i t y o f J e t x i 7 7 7 8 7 8 8 1 8 1 8 2 8 4 8 4 ‘ 8 4 8 5 8 6 8 6 8 7 8 7 8 9 9 0 9 2 9 4 9 7 9 7 9 8 9 8 i s p i s . I . \ . 2 P i c t u r e T i m i n g s o r B e g i n n i n g a n d E n d T i m e f o r L D A D a t a . 3 D i g i t i z a t i o n o n P R I M E 7 5 0 C o m p u t e r S y s t e m . . 4 C o m b i n i n g I n f o r m a t i o n : T i m e , < U > a n d P o s i t i o n o f V o r t e x P a i r s A l g o r i t h m s f o r P r o c e s s i n g P h o t o g r a p h i c D a t a b a s e . 1 A l g o r i t h m s f o r G e o m e t r i c / K i n e m a t i c P r o p e r t i e s o f t h e J e t F l o w F i e l d s . l . 1 S p a c e - T i m e ( x * - t * ) P l o t s o f V o r t i c e s . 1 . 2 L a t e r a l S p a c i n g B e t w e e n V o r t i c e s o f I n d i v i d u a l P a i r s . 1 . 3 D i f f e r e n c e i n A x i a l L o c a t i o n o f t h e T w o V o r t i c e s o f a P a i r . 2 A l g o r i t h m s t o C o m p u t e V o r t e x S t r e e t P a r a m e t e r s . 2 . 1 S t r o u h a l N u m b e r S t F ( x / w ) . 2 . 2 T r a n s l a t i o n S p e e d c k ( x / w ) o f V o r t e x P a i r s P k . 2 . 4 L o n g i t u d i n a l S p a c i n g B e t W e e n V o r t e x P a i r s . 2 . 3 P a s s a g e T i m e t . 2 . 5 A S t a t i s t i c a l M e t h o d t o C o m p u t e E s t i m a t e s o f u a n d A : c E x a m p l e C a l c u l a t i o n s . 1 G e o m e t r i c / K i n e m a t i c P r o p e r t i e s . 2 P a r a m e t e r s o f t h e V o r t e x S t r e e t . 2 . 1 C h o i c e o f C o n t r o l P a r a m e t e r s T p a n d T w . 2 . 2 D i s c u s s i o n o f R e s u l t s 1 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 0 4 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 9 1 1 0 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 5 1 1 5 1 2 0 6 \ I \ I Q U A N T I T A T I V E R E S U L T S U S I N G P R O C E S S E D D I G I T I Z E D D A T A . 1 S y n o p s i s . 2 G e o m e t r i c / K i n e m a t i c P r o p e r t i e s o f t h e J e t F l o w F i e l d s . 2 . 1 S p a c e - T i m e ( x * , t * ) P l o t s o f V o r t i c e s . 2 . 2 L a t e r a l S p a c i n g B e t w e e n V o r t i c e s o f I n d i v i d u a l P a i r s . 2 . 3 D i f f e r e n c e i n A x i a l L o c a t i o n s o f t h e V o r t i c e s o f a P a i r . 3 S t a b i l i t y C h a r a c t e r i s t i c s o f t h e S l i t - J e t F l o w f i e l d . 3 . 1 D i s t r i b u t i o n o f S t r o u h a l N o . S t F ( x * ) . 3 . 1 . 1 E x a m i n a t i o n o f t h e P o s s i b l e S o u r c e s o f v a r i a t i o n i n S t F ( x * ) . 3 . 1 . 2 C o n c l u s i o n . 3 . 2 C o n v e c t i o n V e l o c i t i e s u : o f t h e V o r t e x M o t i o n s . 3 . 3 D i s t r i b u t i o n o f W a v e l e n g t h A * ( x * ) . 4 C o n c l u s i o n s V E L O C I T Y M E A S U R E M E N T S U S I N G L A S E R D O P P L E R A N E M O M E T R Y . 1 I n t r o d u c t i o n . 2 D i s c h a r g e C o e f f i c i e n t C D o f t h e S l i t - J e t . 3 V e l o c i t y F i e l d I n f o r m a t i o n . 3 . 1 L o n g i t u d i n a l S u r v e y s . 3 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n . 3 . 1 . 2 V e l o c i t y T i m e H i s t o r i e s a t S e l e c t e d L o c a t i o n s x i i i 1 2 2 1 2 2 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 8 1 3 0 1 3 0 1 3 1 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3 8 1 4 2 1 4 2 1 4 3 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 8 . 3 . . 4 . 4 . 4 . 5 . 5 . 1 . 3 M e a n a n d R m s V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s . 2 L a t e r a l S u r v e y s . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n . 2 . 2 V e l o c i t y T i m e H i s t o r i e s a t S e l e c t e d L o c a t i o n s . 2 . 3 M e a n a n d R m s V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s A c r o s s t h e J e t . 2 . 3 . 1 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s a t x / w = 1 . 2 . 3 . 2 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s a t x / w = 2 . 4 . 2 . 4 A n a l y t i c a l M o d e l s o f t h e M e a n V e l o c i t y P r o f i l e . 2 . 4 . 1 V e l o c i t y P r o f i l e a t x / w = 1 2 . 4 . 2 V e l o c i t y P r o f i l e a t x / w = 2 . 4 A u t o s p e c t r u m - D e f i n i t i o n , E x a m p l e s a n d U s e s . 1 P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y F u n c t i o n . 2 E x a m p l e s a n d U s e s . I d e n t i f i c a t i o n o f B a c k g r o u n d D i s t u r b a n c e s U s i n g t h e A u t o s p e c t r a . 1 I n f l u e n c e o f D i s t u r b a n c e s I n d u c e d b y T w o D i f f e r e n t F i l l i n g P r o c e s s e s . 2 B a c k g r o u n d D i s t u r b a n c e s i n t h e P l e n u m D e t e r m i n a t i o n o f S t r o u h a l N u m b e r S t V f r o m t h e A u t o s p e c t r a . 1 D i s t r i b u t i o n o f S t v ( x * , R e ) ~ * ~ * . 2 D i s t r i b u t i o n o f u ( S t V , R e , X ) / u ( R e , x ) . 3 S t r o u h a l N o . f r o m t h e C o m b i n e d L D A - F l o w 1 4 9 1 5 2 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 6 0 1 6 0 1 6 1 1 6 2 1 6 3 1 6 5 1 6 6 1 6 7 1 6 9 V i s u a l i z a t i o n E x p e r i m e n t s . . . . . . . . . . . . 1 7 2 l l 8 S T A B I L I T Y O F T H E S L I T - J E T S - I N F E R E N C E S , R E S U L T S A N D ‘ I I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 8 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 8 . 2 I n f e r e n c e s f r o m t h e A u t o s p e c t r a o f u ( x , y = 0 , t ) . . . 1 7 6 8 . 2 . 1 R e g i o n o f " N o n - S e l e c t i v e " G r o w t h o f D i s t u r b a n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6 8 . 2 . 2 R e g i o n o f " S e l e c t i v e " G r o w t h o f D i s t u r b a n c e s . . 1 7 7 8 . 2 . 3 I n f l u e n c e o f P a i r i n g o f V o r t i c e s o n S t v ( x * ) . . . 1 7 7 8 . 2 . 4 Q u a s i p e r i o d i c i t y i n a n U n e x c i t e d j e t . . . . . . 1 7 8 8 . 3 S t a b i l i t y C a l c u l a t i o n s U s i n g t h e L a t e r a l M e a n V e l o c i t y P r o f i l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 8 8 . 3 . 1 C o m p u t a t i o n s a t x / w = 1 . . . . . . . . . . . . . 1 7 9 8 . 3 . 2 C o m p u t a t i o n s a t x / w = 2 . 4 . . . . . . . . . . . . 1 8 0 8 . 4 G r o w t h o f P r e s s u r e F l u c t u a t i o n s A l o n g t h e J e t C e n t e r l i n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2 8 . 4 . 1 C h o i c e o f P a r a m e t e r s a n d R e s u l t s . . . . . . . . 1 8 4 8 . 4 . 2 D i s c u s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6 9 C O N C L U S I O N S A N D R E C O M M E N D A T I O N S . . . . . . . . . . . 1 8 7 9 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 9 . 2 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 9 . 2 . 1 G e n e r a l P r o p e r t i e s o f t h e S l i t - J e t . . . . . . . 1 8 8 9 . 2 . 2 S t a b i l i t y C h a r a c t e r i s t i c s . . . . . . . . . . . . 1 9 0 9 . 3 R e c o m m e n d a t i o n s 1 9 7 X V I X A D E S I G N O F F L O W F A C I L I T Y A . 1 G e n e r a l R e q u i r e m e n t s a n d C o n s t r a i n t s A . 2 P r o p o s e d F a c i l i t y a n d A d d i t i o n a l C o n s t r a i n t s A . 3 D e s i g n S t r a t e g i e s t o M e e t t h e R e q u i r e m e n t s A . 3 . 1 D i m e n s i o n s a n d R a n g e o f P a r a m e t e r s A . 3 . 2 C o n t r o l o f F l o w R a t e A . 3 . 3 C o n t r o l o f D i s t u r b a n c e L e v e l I X B S E L E C T I O N O F A R E G R E S S I O N M O D E L F O R E I ( T ) D A T A 3 . 1 I n t r o d u c t i o n 3 . 2 E x a m p l e I X C D E T A I L S O F E X P E R I M E N T A L R U N S A N D S P A C E - T I M E P L O T S . 0 . 1 I n t r o d u c t i o n C . 2 D e t a i l s o f E x p e r i m e n t a l R u n s C . 3 S p a c e - T i m e P l o t s F R E F E R E N C E S 3 9 9 3 9 9 4 0 1 4 0 2 4 0 2 4 0 3 4 0 3 4 0 5 4 0 5 4 0 6 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4 1 0 4 5 2 L I S T O F T A B L E S 1 e P a g e F i d u c i a l P o i n t s o f V a r i o u s P l a n e s . . . . . . . . . . . . . . 2 3 V b / V S a t R e - 9 8 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 I n f l u e n c e o f T , T o n S t , u a n d A . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 p w F c S t F a n d S t v f r o m t h e C o m b i n e d L D A - F l o w V i s u a l i z a t i o n E x p e r i m e n t s 1 7 3 E i g e n v a l u e s a t m a x i m u m g r o w t h r a t e . . . . . . . . . . . . . 1 8 1 . - S u m o f s q u a r e s a n d F r a t i o . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 7 . - D e t a i l s o f E x p e r i m e n t a l R u n s . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 9 x v i i L I S T O F F I G U R E S i r e P a g e S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l s l i t - j e t . . 2 0 1 A J e t P u m p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f a s l i t - j e t i s s u i n g f r o m a f i n i t e , c h a n n e l - l i k e p l e n u m . T h e b o u n d a r i e s o f t h e p l e n u m a n d t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e d e f i n e t h e c o m p l e x p l a n e : z = ( x l + i x 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f a s l i t - j e t i s s u i n g f r o m a n i n f i n i t e p l e n u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f § p l a n e . . . . . . . . . . . . 2 0 4 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f § ’ p l a n e . . . . . . . . . . . . 2 0 4 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t p l a n e . . . . . . . . . . . . 2 0 5 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f w p l a n e . . . . . . . . . . . . 2 0 5 S t r e a m l i n e p a t t e r n u p s t r e a m o f a s l i t - j e t i s s u i n g f r o m a ) a f i n i t e , c h a n n e l - l i k e p l e n u m w i t h m = 2 0 , a n d b ) a n i n f i n i t e p l e n u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6 I n f l u e n c e o f m o n t h e r a t i o o f s l i t w i d t h s w / w a a n d t h e p r o x - i m i t y r a t i o H / w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7 N o r m a l i z e d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o n t h e n o z z l e p l a t e f o r a f i n i t e ( m = 2 0 ) a n d a n i n f i n i t e p l e n u m . . . . . . . . . . . 2 0 8 N o r m a l i z e d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o n a n e x p a n d e d p r e s s u r e a x i s . 2 0 9 x v i i i C o m p a r i s o n o f t h e w i d t h s o f t h e j e t s i s s u i n g f r o m a f i n i t e ( m = 2 0 ) a n d a n i n f i n i t e p l e n u m . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e w i t h v e l o c i t y U a n d t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n f o r f l o w o n t h e 0 n o z z l e p l a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1 D e f i n i t i o n s k e t c h f o r t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s . T h e f l o w a l o n g t h e c e n t e r s t r e a m l i n e b e t w e e n " 0 " a n d " n " i s m o d e l l e d a s s t e a d y f l o w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r a v i t y d r i v e n , s t e a d y s t a t e , f i n i t e d u r a t i o n l i q u i d f l o w f a c i l i t y . . . . . . . . . . . 2 1 3 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o p e r a t i o n a l f e a t u r e s o f t h e f l o w f a c i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e F i l l i n g D e v i c e ( F D ) . A : P l a - s t i c t u b e , B : R u b b e r g a s k e t , C : S t y r o f o a m b a s e , D : S t r i n g , E : H a n d l e t o m a n e u v e r t h e d e v i c e . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f o r m a t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a l v o r t i c e s i n t h e p l e n u m . A : G l a s s t a n k , B : P l e n u m , C : T w o - d i m e n s i o n a l v o r t i c e s , D : R e c e i v e r , E : T o v a c u u m t a n k . . . 2 1 6 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u s e o f F D t o p r e v e n t t h e f o r - m a t i o n o f v o r t i c e s i n t h e p l e n u m . A : S t r i n g , B : N o z z l e h o u s — i n g , C : F i l l i n g d e v i c e ( F D ) , D : F D p a r k e d d u r i n g e x p e r i m e n t . 2 1 6 S c h l i e r e n v i s u a l i z a t i o n o f v o r t e x f o r m a t i o n d u r i n g t h e f i l l i n g p r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7 I c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f o u r c o n t r o l v o l u m e s C V i u s e d i n I - S c h e a s s x - F l o w - S c h e p r e s t h r t - C o n t - S c h : p e r t - C o u r t a c l - S c h : V 0 1 1 S t e ; ( L V I ‘ S c h e T r a r ‘ C a l i ‘ C a l i i n f l o w m o d e l l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t i m e h i s t o r i e s o f q ( = C D U 0 A j ) ’ p N H ’ a n d A v ' A s t e p c h a n g e i n t h e j e t v e l o c i t y a t t = 0 i s a s s u m e d i n t h e a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9 F l o w c h a r t o f t h e " t i g h t w a i t l o o p " t o j o g t h e s t e p p e r m o t o r . 2 2 0 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t i m e h i s t o r i e s o f t h e c a v i t y p r e s s u r e , p N H ’ a n d t h e r a t e o f f l o w o f a i r i n t o t h e c a v i t y t h r o u g h t h e b l e e d v a l v e , q b . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 C o n f i g u r a t i o n o f t h e s i n g l e c h a n n e l L D A s y s t e m . . . . . . 2 2 2 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a r r a n g e m e n t t o c h e c k t h e p e r f o r m a n c e o f t h e L D A s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 C o m p a r i s o n o f d i s k v e l o c i t y m e a s u r e d b y t h e L D A a n d t h e t a c h o m e t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 N o r m a l i z e d r m s o f t h e d i s k v e l o c i t y . . . . . . . . . . . . 2 2 5 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a r r n g e m e n t f o r c a l i b r a t i n g t h e V o l u m e F l o w S e n s o r ( V F S ) . A : G l a s s t a n k w i t h l i q u i d , B : V F S , C : V e r t i c a l t r a v e r s i n g m e c h a n i s m , D : C o m p u t e r c o n t r o l l e d s t e p p e r m o t o r , E : L i n e a r V a r i a b l e D i f f e r e n t i a l T r a n s f o r m e r ( L V D T ) , F : T r i p o d w i t h s u p p o r t a r m . . . . . . . . . . . . 2 2 6 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e L i n e a r V a r i a b l e D i f f e r e n t i a l T r a n s f o r m e r ( L V D T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7 C a l i b r a t i o n d a t a f o r t h e p r e s s u r e t r a n s d u c e r u s e d i n t h e V F S . 2 2 8 C a l i b r a t i o n d a t a f o r t h e L V D T u s e d i n t h e c a l i b r a t i o n o f V F S . X X S e e F i g u r e 3 0 f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n f i g u r a t i o n . . . . . 2 2 9 - F l o w c h a r t f o r c a l i b r a t i n g t h e V F S . . . . . . . . . . . . 2 3 0 - R a t e o f p r e s s u r e r i s e i n t h e c u p a s a f u n c t i o n o f i t s v e l o - c i t y . 2 3 1 - S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r a y d i a g r a m f o r t h e s c h l i e r e n f l o w v i s u a l i z a t i o n . 2 3 2 - F l o w v i s u a l i z a t i o n p h o t o g r a p h s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d u s i n g t h e s c h l i e r e n t e c h n i q u e : R e = 1 4 0 0 a n d w = 2 . 6 3 c m . . . 2 3 3 - S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a r r a n g e m e n t f o r i n j e c t i n g d y e o n t h e n o z z l e p l a t e s . A : S t a n d , B : B o t t l e w i t h d y e , C : P l a s - t i c t u b i n g , D : H e a d e r , E : N o z z l e p l a t e , F : J e t o f d y e s p r e a d - i n g o n t h e n o z z l e p l a t e s . 2 3 4 - S i d e v i e w o f t h e f l o w f a c i l i t y w i t h i n c o m i n g / o u t g o i n g s i g n a l s . 2 3 5 - S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o m p a r a t o r c i r c u i t . . . . 2 3 6 - S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s w i t c h i n g c i r c u i t f o r t h e A p p l e I I e c o m p u t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 7 - S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n f i g u r a t i o n f o r c o m b i n e d L D A - f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s . . . . . . . . . . . . 2 3 8 - S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o r n e r e d d i e s i n a c h a n n e l - l i k e p l e n u m u n d e r s t e a d y f l o w c o n d i t i o n s . . . . . . . . . 2 3 9 - V a r i a t i o n o f S d / w a s a f u n c t i o n o f R e . . . . . . . . . . . 2 4 0 - J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 8 7 , V b / V S = 0 . 6 8 a n d w = 1 . 9 9 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 1 . 8 a n d b ) 1 8 . 1 . U p t o t h i s t i m e t h e b u l g e b e h i n d t h e S V P r e m a i n s u n d e f o r m e d . . . . . 2 4 1 - J e - J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 1 0 5 , V b / V S = 0 . 7 a n d w = 1 . 9 9 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 4 . 2 , b ) 1 8 . 1 a n d c ) 2 2 . 4 . B y — 2 2 . 4 t h e b u l g e h a s e v o l v e d i n t o a k i n k . N o t e t h e i n c r e a s e d i n w a r d d i s p l a c e m e n t o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e p o s i t i o n a s c o m p a r e d t o t h a t i n F i g u r e 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 J e t d e v e l o p m e n t a t R e - 1 2 9 , V b / V S - 0 . 7 2 a n d w - 1 . 9 9 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 6 . 9 , b ) 2 2 . 5 a n d c ) 2 7 . 0 . B y t * a 2 2 . 5 t h e b u l g e h a s e v o l v e d i n t o a k i n k a n d b y t * = 2 7 . 0 t h e k i n k h a s e v o l v e d i n t o a f o l d o v e r . N o t e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e v e n a c o n t r a c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3 R a t i o o f b u l g e v e l o c i t y t o t h e v e l o c i t y o f t h e s t a r t i n g v o r - t e x p a i r a s a f u n c t i o n o f R e . T h e f i g u r e a l s o s h o w s t h e d i s - t r i b u t i o n o f V b / < U > a n d V s / < U > a s f u n c t i o n s o f R e . . . . . 2 4 4 J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 1 5 6 , V b / V s = 1 . 0 4 a n d w = 1 . 9 9 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 2 2 . 7 , b ) 2 4 . 1 a n d c ) 2 6 . 8 . I n ( a ) a b u l g e h a s e v o l v e d i n t o a k i n k ; i n ( b ) t h e k i n k h a s e v o l v e d i n t o a f o l d o v e r . S i n c e V b / V S > 1 , t h e f o l d o v e r i n ( c ) i s p a s s i n g i n t o t h e S V P . N o t e t h e d e v e l o p m e n t o f a n o t h e r b u l - g e b e h i n d t h e S V P . T h i s w a s t h e s m a l l e s t R e a t w h i c h u n i t v o - r t i c e s w e r e f i r s t o b s e r v e d o n t h e j e t c o l u m n . . . . . . . 2 4 5 J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 9 8 0 a n d w = 2 . 6 3 c m . T h e n o n d i m e n - s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 0 . 9 , b ) 1 2 . 0 , c ) 1 3 . 1 , d ) 1 4 . 1 , e ) 1 5 . 2 , f ) 1 6 . 3 , g ) 1 7 . 3 , h ) 1 8 . 4 , i ) 1 9 . 5 a n d j ) 2 0 . 5 . T h e S V P i s d e s i g n a t e d b y 1 . T h e i n d i c e s 2 , 3 , . . . d e s i g n a t e t h e n e w l y f o r m i n g d i s t i n c t i v e m o t i o n s . B u l g e s 2 a n d 3 m e r g e w i t h t h e x x i i + — l S V P w i t h o u t e v o l v i n g i n t o r o l l o v e r s . H o w e v e r t h e b u l g e N o . 4 e v o l v e s i n t o a v o r t e x p a i r b e f o r e c o a l e s c i n g w i t h t h e S V P . 2 4 6 J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 2 0 7 , W = 2 . 6 3 c m a n d V b / V S = 1 . 0 7 . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 2 . 5 , b ) 1 5 . 1 , c ) 1 7 . 7 a n d d ) 2 0 . 2 . A n u m b e r o f d a r k s p o t s i n t h e S V P i n ( a ) i n d i c a t e t h e m e r g e r s o f k i n k s / f o l d o v e r s w i t h t h e S V P . T h e f o l d o v e r i n ( a ) i s a p p r o a c h i n g t h e S V P i n ( b ) a n d a n o t h e r b u l g e h a s f o r m e d w i t h o v e r r i d i n g u n i t v o r t i c e s . I n ( d ) t h r e e b u l g e s c a n b e i d e n t i f i e d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 F o r m a t i o n o f b u l g e s a n d l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s a t t w o v a l - u e s o f R e : a ) 5 1 0 a n d b ) 1 2 0 0 . N o m i n a l l y s i m i l a r f e a t u r e s a r e o b s e r v e d o v e r t h e R e y n o l d s n u m b e r r a n g e o f 2 6 9 - 1 7 0 0 . . . . 2 4 8 F o r m a t i o n o f u n i t v o r t i c e s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d a l o n g w i t h t h e l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s . R e , w a n d t * a r e a ) 9 8 0 , 2 . 6 3 c m a n d 2 4 . 8 ; b ) 1 0 4 4 , 1 . 4 0 c m a n d 3 6 . 8 ; c ) 2 9 4 9 , 2 . 5 7 c m a n d 1 4 . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9 J e t d e v e l o p m e n t a t t h r e e v a l u e s o f R e w i t h V b / V S < 1 , w = 1 . 9 9 c m a n d c * = 1 8 . 1 . R e a n d v b / v s a r e a ) 8 6 , 0 . 6 8 b ) 1 0 5 , 0 . 7 0 a n d c ) 1 2 9 , 0 . 7 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0 T h e s l i t - j e t f l o w f i e l d o f F i g u r e 4 9 a t l a t e r t i m e s . T h e n o n - d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 2 8 . 2 , b ) 3 0 . 2 a n d c ) 3 2 . 3 . I n ( a ) t h e f i r s t b u l g e i s p a s s i n g i n t o t h e S V P , w h e r e a s , i n ( c ) a s t h e s e c o n d b u l g e i s a p p r o a c h i n g t h e S V P m o r e b u l g e s h a v e f o r - m e d o n t h e j e t c o l u m n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 S e q u e n c e o f p h o t o g r a p h s a t R e = 2 8 1 a n d w = 1 . 5 1 c m e x h i b i t i n g x x i i i - 1 l . « \ t h e f o r m t i m e s a r g ) 4 9 - 1 . t e x n o . t h e g r o w i n g p h o t j e t e x h i - P r o c e s s n o n d i m e n c ) 1 8 . 1 c a n b e t i s b e g i n 0 f S p o t s ‘ P r o c e s s T h e n o n d 1 5 . 0 , I 1 * 8 d o w i n t e r a c t i n t e r a c t 7 0 P r e s e i n t h e n i d e n t i f i t h e f o r m a t i o n t w o d i m e n s i o n a l v o r t e x p a i r s . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 4 2 . 3 , b ) 4 3 . 4 , c ) 4 4 . 5 , d ) 4 5 . 7 , e ) 4 6 . 8 , f ) 4 7 . 9 , g ) 4 9 . 1 , h ) 5 0 . 2 a n d i ) 5 1 . 3 . N o t e : i ) t h e f o r m a t i o n o f v o r - t e x n o . 8 i n ( h ) c a n b e t r a c e d b a c k t o t h e b u l g e i n ( b ) . i i ) t h e g r o w t h o f b u l g e n o . 7 s t o p p e d a r o u n d t * = 4 6 ; i n t h e r e m a i n - i n g p h o t o g r a p h s i t s i m p l y a p p e a r s a s a m a r k o f d y e . i i i ) t h e j e t e x h i b i t s d e v e l o p m e n t o f s i n u o u s m o d e b e y o n d x * : 8 . . . 2 5 2 P r o c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n a t R e = 1 0 6 3 a n d w = 2 . 5 7 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 7 . 0 , b ) 1 7 . 3 , c ) 1 7 . 5 , d ) 1 7 . 8 , e ) 1 8 . 1 a n d f ) 1 8 . 4 . T h e f o r m a t i o n o f v o r t e x n o . 1 4 i n ( f ) c a n b e t r a c e d b a c k t o t h e b u l g e i n ( b ) . I n ( e ) b u l g e n o . 1 5 i s b e g i n n i n g t o f o r m . N o t e i n ( f ) t h e s y m m e t r i c a c c u m u l a t i o n o f s p o t s o f d y e a s t h e b u l g e n o . 1 5 i s e v o l v i n g i n t o a k i n k . 2 5 3 P r o c e s s o f f o r m a t i o n o f s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t a t R e = 1 5 8 0 . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 3 . 8 , b ) 1 4 . 2 , c ) 1 4 . 6 a n d d ) 1 5 . 0 . N o t e t h e t w o s p o t s o f d y e w h i c h a p p e a r t o b e u n i t v o r t - i c e s d o w n s t r e a m o f t h e k i n k n o . 1 5 . A l s o n o t e t h e s y m m e t r i c i n t e r a c t i o n b e t w e e n 1 0 a n d 1 1 i n ( a ) a n d s o m e w h a t a s y m m e t r i c i n t e r a c t i o n b e t w e e n ( 1 0 , 1 1 ) a n d ( 1 2 ) i n ( c ) a n d ( d ) . F i g u r e 7 0 p r e s e n t s a c o n t i n u a t i o n o f t h i s s e q u e n c e u p t o t * = 1 6 . 2 . 2 5 4 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e s l i t - j e t f l o w . V a r i o u s f e a t u r e s a r e - d e n t i f i e d a s : A : F o r m a t i o n o f v e a n a c o n t r a c t a , B : I n f l e x i o n x x i v \ o o . \ _ a , p o i n t i t E : F o l d c - J e t d e v e i o n a l t i f ) 2 9 . 5 r k e d b y t i m e . 1 a m e p a r t - J e t d e v e o n a l t i n U 0 . 1 4 j f o r m a t i r t h e i n t e a n d C o n g - J e t d e v e i 0 1 m l t i t i e s 1 2 k i n k i n b e f o r e ( W h i c h i s 1 0 - A ] ' J e t d e v i a n d t * E 3 9 ' 3 1 a 1 t e x m o t j p o i n t i n t h e d y e s t r e a k , C : B u l g e , D : K i n k i n t h e d y e s t r e a k , E : F o l d o v e r , F : R o l l o v e r a n d G : F u l l y f o r m e d v o r t e x p a i r . 2 5 5 J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 3 6 2 a n d w = 2 . 6 3 c m . T h e n o n d i m e n s - i o n a l t i m e s a r e a ) 2 5 . 5 , b ) 2 6 . 3 , c ) 2 7 . 1 , d ) 2 7 . 9 , e ) 2 8 . 7 , f ) 2 9 . 5 a n d g ) 3 0 . 3 . N o t e t h a t t h e g r o w t h o f t h e f e a t u r e s m a — r k e d b y t h e i n d i c e s 1 1 , 1 3 , 1 4 a n d 1 6 s t o p p e d a t s o m e p o i n t o f t i m e . T h e s e f e a t u r e s t h e n s i m p l y b e c a m e a m a r k o f d y e o r b e c - a m e p a r t o f a n o t h e r v o r t e x p a i r . . . . . . . . . . . . . . 2 5 6 J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 1 6 8 5 a n d w = 2 . 5 7 c m . T h e n o n d i m e n s i - o n a l t i m e s a r e a ) 1 5 . 5 , b ) 1 5 . 9 , c ) 1 6 . 3 a n d d ) 1 6 . 8 . V o r t e x n o . 1 4 i n c o n t r a s t t o n o . 1 3 h a s f o r m e d w i t h o u t a n a p p a r e n t f o r m a t i o n o f a b u l g e ; i n ( d ) b u l g e n o . 1 5 h a s f o r m e d . N o t e t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e v o r t i c e s 1 1 a n d 1 2 s t r a t i n g i n ( b ) a n d c o m p l e t i n g i n ( d ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 J e t d e v e l o p m e n t a t R e - 1 6 9 7 a n d w = 2 . 5 7 c m . T h e n o n d i m e n s - i o n a l t i m e s a r e a ) 1 4 . 9 , b ) 1 5 ; 3 , c ) 1 5 . 7 a n d d ) 1 6 . 1 . E n t i - t i e s 1 2 a n 1 4 a p p e a r a s a c c u m u l a t i o n s o f d y e a n d p r o d u c e a k i n k i n t h e j e t b o u n d a r y . K i n k N o . 1 2 g r o w s i n t o a f o l d o v e r b e f o r e d i s i n t e g r a t i n g a n d b e c o m i n g a p a r t o f v o r t e x N o . 1 1 w h i c h i s i t s e l f i n t h e p r o c e s s o f c o a l e s c i n g w i t h v o r t e x N o . 1 0 . A l s o n o t e t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n v o r t i c e s 8 a n d 9 . 2 5 8 J e t d e v e l o p m e n t a t R e = 2 8 0 i n t h r e e d i f f e r e n t j e t s . R e , w a n d t * a r e : a ) 2 8 1 , 2 . 6 3 c m a n d 2 9 . 7 , b ) 2 7 6 , 1 . 9 9 c m a n d 9 . 3 , a n d c ) 2 8 0 , 1 . 5 1 c m a n d 3 9 . 3 . N o t e t h e p a t t e r n o f v o r - e x m o t i o n s i n t h e t h r e e j e t s . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9 mw ‘ m 0 \ . a \ . J e t d e v e l o l p : - J e t d e v e l o i * I a n d t a r e . 3 8 . 7 , c ) 4 1 - J e t d e v e l o ; i o n a l t i m e : t h e f o r m a t i a t e s f r o m 1 - U n i t v o r t i < W Z . 5 7 c m . C ) 2 2 . 1 . I “ i s n u m b e r - P r o c e s s o f T h e n o n d i m e d ) 1 6 . 7 , I V o r t e x N o , P r e c e s s d e : b e t w e e n ( 7 ( 1 0 , 1 1 ) a m t h a t i n C ) s i o n a l t i m e u n i t V o r t n v o r t e x N 0 . g r o w t h 0 f \ 8 , R c e m 2 = . a 6 n 4 2 0 c 5 m 7 i n a n t d h a r 3 n e 8 d j 1 e . d i f b 4 ) 2 f e r 4 e 2 1 , 6 n 1 , t . e a R d c a m n , w d 7 . 0 n a ) t 1 t e o n i n r : b a e a t o n e n n e i 4 9 a a l ) i . x a i i z n h d a t 0 9 t ) u t z o e ) f 9 b N t a t ) h f o n t d d n x a o p m e e a l r e 4 d t e * , l f d e o f v o 1 m s n 7 s n 5 2 n e n 6 7 . u s o . x s e i 1 e ) n v o J a 3 ) e r e n 8 s o e o h t n h e . t n e i e 2 t d c 1 r o t 0 t c w , a t 7 a s t . 2 e e e 1 d t o i r o n a t t w e t l v x h J i t a U w c ) o r 1 e h v p ( b t c P T d e i n o r - J s u v g v c b . d v t r r . N ) e i m o r c t m e o i o d ( l o m a m e t i . r f m e 7 . n e N s , d a c l i e t r N o t o f ) o m p e i c . v o h e r i : 2 p s i t 6 m o h , e a n e c N e o 1 s T t 9 o s t 3 r e . i ) o e 1 2 r n a v n 1 o c s r 8 v m s e 4 t e t r i e n r c f o t i m e s s R 1 e 8 i t n l h n 2 f ) o R a o e i 3 , e e d a 0 o t e 1 . n r i s f r i i b 0 n = 1 v l e , a a n n r t o r t r s c m i e a f n b , 4 s m m e a d 1 ) 2 3 , r a e e o a 4 a ) . . p n m s f = . e b 5 m m y o n a e m r R n e . = . e 3 ) s a . s g c n e l = 4 r 1 0 p t , 0 a 0 d e n t . 2 t 3 e a d = n i l ) g 3 d 2 . t t r e o a i d o f m u . w . . e o 7 4 h v 1 n 1 . 1 0 a 8 m l a f a e t e a 1 e l . t a i w e p n 1 , . o d a n d , i o i b . 6 t t . e 1 t e s s w i u R 2 b ) n o f < e n a d . 2 9 9 b t e i - ) e s o f x . i o n e y o n b t n g e w s n r r i a e h 6 b a 9 ) e i l i 6 i d . . ) ‘ 9 d 3 r e , ) 2 1 . a a s . 8 b o x a d h . c h f ) e o . n . . e . 7 . t m t s 9 m 9 r t 9 c e t 1 . r e r R . a 2 , 1 t f e e b l . 1 m s a A ) n e c e c ) e . b a : 5 6 e 5 d e a . 5 ) . t s = c f t ) 0 T . h N h s 1 T . , c ) e o r a ) , 1 o e o n 5 i d o e o p . 1 . n t a a - f t n t e e o . s e . r a n . e h . N m e 0 . . 3 t n o n d 7 a = . k . v 2 . 3 1 o c 0 i b i o l o 4 . . r m a n e n w i s s e n b l e s t o o n d u d l e g s i 1 m ) e h e e t t a n h - s e e c n p r 7 1 t t o s i 4 u 1 . 9 s l r a 9 ) c n i . e s 5 . . e N i d 1 r 5 o 7 a m r m n . 2 o n . d d t 2 g y . 0 e . w , f 1 i i ( 5 n n d 1 c a h e . j ) a - a l . e r . a 1 n 5 d . . i s 1 g c 2 b a ) 1 i h m . s t . 0 e i . n o . - - d n 2 6 0 2 6 1 d 2 6 2 2 6 3 2 6 4 x x v i - N O . _ N , 3 \ N [ . . S i m u l t a n e o u F i r s t S t a g e 6 9 - I n t e r a c t i o n w = 1 . 9 9 c m c ) 5 2 . 5 , d ) c e s 7 a n d 8 o v e r , ( 7 , 8 ) t h e l a r g e 1 ( 6 , 7 , 8 ) a n d s e r v e d i n a i c h f o r m e d s i n t e g r a t e d - C o n t i n u a t i o r e 5 8 . T h e 1 6 - 2 - N o t e ( 1 0 : 1 1 ) a n d i n t e r a c t i o n - o n e S i d e d p 1 0 0 1 a n d w . b ) 1 0 . 6 , c ) T h e “ O n d i m e - n o n d i m e n s i O ] 2 7 5 ‘ N o t e j O i n e d b y 2 | A l s o , 2 8 3 m 3 1 5 0 , 2 8 a n d 2 9 a r e u n d e r g o i n g p a i r i n g i n d ) . 2 6 9 I n t e r a c t i o n b e t w e e n s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s a t R e = 6 7 8 a n d w = 1 . 9 9 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 5 0 . 2 , b ) 5 1 . 3 , c ) 5 2 . 5 , d ) 5 3 . 6 , e ) 5 4 . 8 a n d f ) 5 5 . 9 . S t a r t i n g i n b ) v o r t i - c e s 7 a n d 8 b e g a n t o i n t e r a c t a n d b e f o r e t h e p a i r i n g w a s o v e r , ( 7 , 8 ) s t a r t e d t o i n t e r a c t w i t h v o r t e x N o . 6 i n d ) . N o t e t h e l a r g e l o n g i t u d i n a l s p a c i n g i n f ) b e t w e e n t h e c o n g l o m e r a t e ( 6 , 7 , 8 ) a n d t h e v o r t e x N o . 9 ; s i m i l a r s p a c i n g c a n a l s o b e o b - s e r v e d i n a ) . T h e f i g u r e a l s o s h o w s t h a t t h e b u l g e N o . 1 0 w h - i c h f o r m e d i n b ) d i d n o t b e c o m e a v o r t e x p a i r ; r a t h e r , i t d i - s i n t e g r a t e d i n t o a m a r k o f d y e b y t * = 5 4 . 8 i n f ) . . . . . 2 6 5 C o n t i n u a t i o n o f t h e s e q u e n c e o f p h o t o g r a p h s p r e s e n t e d i n F i g u — r e 5 8 . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 5 . 4 , b ) 1 5 . 8 a n d c ) 1 6 . 2 . N o t e t h e a s y m m e t r y d u r i n g t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n ( 1 0 , 1 1 ) a n d 1 2 i n a ) a n d t h e r e t u r n o f s y m m e t r y i n c ) a s t h e i n t e r a c t i o n i s c o m p l e t e d . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 O n e s i d e d p a i r i n g e v e n t b e t w e e n p a i r s ( 3 , 4 ) a n d ( 5 . 5 ) a t R e = 1 0 0 1 a n d w = 2 . 5 7 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e : a ) 1 0 . 0 , b ) 1 0 . 6 , c ) 1 1 . 1 a n d d ) 1 1 . 6 . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 S i m u l t a n e o u s c o a l e s c e n c e o f t h r e e v o r t e x p a i r s a t R e = 3 4 0 1 . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 2 2 . 1 , b ) 2 2 . 9 a n d c ) 2 3 . 6 . . 2 6 8 F i r s t s t a g e o f f o r m a t i o n o f f i v e p a i r i n g s a t R e = 3 4 0 1 . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 2 5 . 2 , b ) 2 6 . 0 , C ) 2 6 . 7 a n d d ) 2 7 . 5 . N o t e t h a t v o r t e x p a i r s 2 4 a n d 2 5 p a i r a n d t h e y a r e i o i n e d b y 2 6 i n b ) a n d b y 2 7 a t s o m e t i m e b e t w e e n c ) a n d d ) . x x v i i ! NU 4 ; - S e c o n d s t a g w = 2 . 5 7 c m 0 ) 2 9 . 8 a n d c o n g l o m e r a t m e d w h i c h c - L o s s o f s y n = 2 . 5 7 c m . c ) 1 5 . 2 a n d a r e b e g i n n j v o r t i c e s 1 1 0 f t h e c e n t e W e d i n d ) i n C ) a n d d C e n t e r l i n e . - L o s s o f S y n I n s t a b i l i t y C ) 1 0 , 7 a n d t r i g , t w o - d . R e o r g a n i Z a t s i o n a l t i m e e x P a i r H u m 9 ) a n d h ) t c e n C e a n d b d i m e n s i o n a l i i m e n s i o n a l c h a r a c t e r . 2 7 3 S e c o n d s t a g e o f f o r m a t i o n o f f i v e p a i r i n g s a t R e = 3 4 0 1 a n d w = 2 . 5 7 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 2 8 . 3 , b ) 2 9 . 1 , c ) 2 9 . 8 a n d d ) 3 0 . 6 . T h e p a i r ( 2 8 , 2 9 ) b e g i n s t o a p p r o a c h t h e c o n g l o m e r a t e ( 2 4 - 2 7 ) i n a ) a n d b y d ) a n e w p a i r h a s b e e n f o r - m e d w h i c h c o m p r i s e s o f f i v e p a i r i n g s . . . . . . . . . . . 2 7 0 L o s s o f s y m m e t r y d u e t o a s y m m e t r i c p a i r i n g a t R e = 1 0 0 4 a n d w = 2 . 5 7 c m . T h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 3 . 7 , b ) 1 4 . 5 , c ) 1 5 . 2 a n d d ) 1 6 . 0 . I n a ) t h e v o r t i c e s o f t h e p a i r ( 8 - 1 0 ) a r e b e g i n n i n g t o d i s p l a c e w i t h r e s p e c t t o o n e a n o t h e r , w h i l e , v o r t i c e s 1 1 a n d 1 2 a r e a b o u t t o p a i r o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e c e n t e r l i n e . S i m i l a r l y , a s y m m e t r i c p a i r i n g c a n b e o b s - e r v e d i n d ) . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e n e w l y f o r m i n g v o r t i c e s i n c ) a n d d ) a r e s y m m e t r i c a l l y l o c a t e d w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t e r l i n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1 L o s s o f s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t d u e t o t h e t h r e e d i m e n s i o n a l i n s t a b i l i t y o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l v o r t e x c o r e s . F l o w R e = 1 5 7 1 a n d t h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e s a r e a ) 8 . 5 , b ) 9 . 6 , c ) 1 0 . 7 a n d d ) 1 1 . 8 . N o t e t h e r e e s t a b l i s h m e n t o f t h e s y m m e - t r i c , t w o - d i m e n s i o n a l v o r t e x p a t t e r n i n d ) . . . . . . . . 2 7 2 R e o r g a n i z a t i o n o f v o r t e x m o t i o n s a t R e = 1 0 2 7 . T h e n o n d i m e n - s i o n a l t i m e s a r e a ) 1 1 . 0 , b ) 1 1 . 9 , c ) 1 2 . 7 a n d d ) 1 3 . 6 . V o r t - e x p a i r n u m b e r s ( 7 , 8 ) a n d 9 h a v e b e e n t i l t e d i n a ) . B e t w e e n a ) a n d b ) t h e p a i r s ( 7 , 8 ) , 9 a n d 1 0 b e g i n t o u n d e r g o c o a l e s - c e n c e a n d b y d ) t h e y a p p e a r t o h a v e r e g a i n e d t h e t w o - x x v i i i n o \ \ c c 0 2 o \ c [ . S c h e m a t i c 1 7 8 - c o , _ _ . A r e p r e s e n t e r t e r d u r i z E N E “ ) a r e T h e o u t p u t , m e s a t w h i < - A t y p i c a l 1 d i g i t i z e d . e s c e d p a i r : c o m a a s 9 , } - S c h e m a t i c 1 p a i r i n t h e s t a r t o f t i ' F ° u r p o s s i l r e s p e c t t o m e . T h e i ] - S c h e m e f o r w i t h r e s w ( k + 1 ) _ T h e T h e c u r l y 1 i n c l ‘ a t e l ’ m i i i n d i c a t e s 1 o v e r a l l e S 1 I n d e p e n d e n t “ 0 % o f t } - A r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e o f t h e d a t a r e c o r d e d b y t h e A / D c o n v - e r t e r d u r i n g a f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t . E I ( t ) a n d E N H ( t ) a r e t h e v o l t a g e s c o r r e s p o n d i n g t o p I ( t ) a n d p N H ( t ) . T h e o u t p u t , C ( t ) , o f t h e c o m p a r a t o r c i r c u i t r e p r e s e n t s t h e t i - m e s a t w h i c h p h o t o g r a p h s w e r e t a k e n . . . . . . . . . . . . 2 7 4 A t y p i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p h o t o g r a p h s t h a t h a v e b e e n d i g i t i z e d . E a c h v o r t e x p a i r i s m a r k e d b y a n u m b e r . T h e c o a l - e s c e d p a i r s a r e d e s i g n a t e d b y t w o n u m b e r s s e p a r a t e d b y a c o m a a s 9 , 1 0 i n t h i s p h o t o g r a p h . 2 7 5 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l o c a t i o n o f t h e k t h v o r t e x p a i r i n t h e j t h p h o t o g r a p h w h i c h i s a t t i m e t j a f t e r t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t . 2 7 6 F o u r p o s s i b l e c a s e s o f p o s i t i o n s o f t h e k t h v o r t e x p a i r w i t h r e s p e c t t o t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n a t x 0 f r o m t h e e x i t p l a - n e . T h e i n d e x j d e n o t e s t h e p i c t u r e n u m b e r a t t i m e t j . . 2 7 7 S c h e m e f o r d e t e r m i n i n g t h e s p a c i n g L k o f t h e k t h v o r t e x p a i r w i t h r e s p e c t t o t h e n e i g h b o r i n g v o r t e x p a i r s : ( k - l ) a n d ( k + l ) . T h e i n d e x j d e n o t e s t h e p h o t o g r a p h n u m b e r a t t i m e t j ' T h e c u r l y b r a c k e t i n d i c a t e s t h e v o r t e x p a i r s w h i c h a r e u s e d i n d e t e r m i n i n g k a T h e s o l i d l i n e a t x o f r o m t h e e x i t p l a n e i n d i c a t e s t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n . 2 7 8 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t e c h n i q u e u s e d t o f i n d t h e o v e r a l l e s t i m a t e s o f A * a n d u : f r o m t h e m e a s u r e d S t F a n d t h e . , * * . i n d e p e n d e n t e s t i m a t e s o f L k a n d c k o f e a c h v o r t e x p a i r . T h e s l o p e o f t h e l i n e 0 C i s e q u a l t o S t F . . . . . . . . . . . 2 7 9 x x i x : > n l o . o c m n x a a c o c o - S p a c e - t i r u n . U p o v e r 1 0 c e s i s i - S t r e a m w i c o n t r o l . 0 5 , 0 . ] - D i s t r i b t * c k ’ o f V 0 . 0 5 + , 2 a r e r e p : i n d i c a t e - S t r e a m w j T w ' S e e ' D i s t r i b t “ P O n S t } ' D i s t r i b n L E . b e t u I S t r e a m w i T w , F o r ‘ C o m p a r i s d i f f e r e n - S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s f r o m t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t a l r u n . U p t o 5 v o r t i c e s m e r g e w i t h t h e s t a r t i n g v o r t e x p a i r o v e r 1 0 < t * < 1 8 . A r o u n d t * - 3 5 , a l a r g e c l u s t e r o f v o r t i - c e s i s f o r m e d d u e t o 3 s e q u e n t i a l p a i r i n g s . . . . . . . . 2 8 0 S t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f S t F f o r f i v e c o m b i n a t i o n s o f t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s T P , T w : 0 . 0 5 , . 0 5 + ; 0 . 1 , 0 . 1 * ; . 0 5 , 0 . 1 x ; 0 . 1 , 0 . 0 5 o , a n d 0 . 1 , 0 . 2 v . . . . . . . . . 2 8 1 D i s t r i b u t i o n o f m e a n a n d r m s v a l u e s o f c o n v e c t i o n v e l o c i t y , c : , o f v o r t i c e s f o r t h r e e c o m b i n a t i o n s o f T p a n d T W 2 0 . 0 5 , 0 . 0 5 + , z ; 0 . 1 , 0 . 1 * , s a n d 0 . 1 , 0 . 2 v , w . T h e m e a n v a l u e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e f i r s t s y m b o l , w h e r e a s t h e s e c o n d s y m b o l i n d i c a t e s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n f r o m t h e m e a n v a l u e . . . 2 8 2 * S t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f u c f o r f i v e c o m b i n a t i o n s o f T p a n d T w ' S e e F i g u r e 8 5 f o r l e g e n d . 2 8 3 D i s t r i b u t i o n o f t h e e s t i m a t e o f l o n g i t u d i n a l s p a c i n g L * b a s e d u p o n S t F a n d 3 * . S e e F i g u r e 8 5 f o r l e g e n d . . . . . . . . 2 8 4 D i s t r i b u t i o n o f m e a n a n d r m s v a l u e s o f l o n g i t u d i n a l s p a c i n g , L Z , b e t w e e n v o r t i c e s f o r t h r e e c o m b i n a t i o n s o f T p a n d T w . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 8 6 . 2 8 5 S t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f A * f o r f i v e c o m b i n a t i o n s o f T p a n d F o r l e g e n d s e e F i g u r e 8 5 . 2 8 6 e s i d u a l o f t h e r e g r e s s i o n o f S t F t h r o u g h c : a n d L : f o r f i v e o m b i n a t i o n s o f T p a n d T w . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 8 5 . . . 2 8 7 o m p a r i s o n o f S t w i t h l o c a l S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n t h e i f f e r e n c e i n t h e p a s s a g e t i m e , 6 t k , b e t w e e n t w o v o r t e x p a i r s . ‘ N o M r m a l i z e d l a r t h e R e t r e a t . N o r m a l i Z e d 1 a t N o r m a l i z e d l a t . . N o r m a l i Z e d l a t | t o \ o \ o \ o \ o \ z O x « 1 ‘ p L » \ o c o , _ . o 1 0 3 . c : S t r o u h a l n u ] c o n n e c t s t h e v a - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t - N o r m a l i z e d l a t e ‘ o v e r t h e R e r a n , t i o n s , t h e m i d d ‘ p l o t t e d a t 1 s t . ' N ” m a l l i z e d l a t o v e r t h e R e r a : o v e r t h e R e r a t 2 . N o m fi l i Z e d l a t O V e r t h e R e r a t o v e r t h e R e r a ; o v e r t h e R e r a j c : S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n S t k , X : S t F . T h e s o l i d l i n e c o n n e c t s t h e v a l u e s o f S t F . 2 8 8 S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s a t R e = 2 6 9 a n d w = 1 . 9 9 c m . . 2 8 9 S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s a t R e = 6 9 6 a n d w = 2 . 6 3 c m . . 2 9 0 S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s a t R e = 1 2 6 9 a n d w = 1 . 4 0 c m . 2 9 1 S p a c e - t i m e p l o t o f v o r i t c e s a t R e = 1 6 9 7 a n d w = 2 . 5 7 c m . 2 9 2 S p a c e - t i m e p l o t o f v o r i t c e s a t R e = 3 4 0 1 a n d w = 2 . 5 7 c m . 2 9 3 N o r m a l i z e d l a t e r a l s p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 2 6 9 - 2 8 5 . A t s e l e c t i v e S t r e a m w i s e l o c a — t i o n s , t h e m i d d l e x r e p r e s e n t s 3 * a n d t h e o u t e r x ' s h a v e b e e n p l o t t e d a t 1 s t a n d a r d d e v i a t i o n f o r m t h e m e a n v a l u e . . . . 2 9 4 N o r m a l i z e d l a t e r a l s p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 3 6 2 - 5 2 5 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 2 9 5 - N o r m a l i z e d l a t e r a l s p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 6 4 0 - 6 9 8 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 2 9 6 N o r m a l i z e d l a t e r a l s p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 9 3 0 - 1 0 7 4 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 2 9 7 N o r m a l i z e d l a t e r a l S p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 1 2 5 7 - 1 2 7 2 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . N o r m a l i z e d l a t e r a l s p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 1 5 7 1 - 1 6 9 7 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . N o r m a l i z e d l a t e r a l s p r e a d i n g b e t w e e n v o r t i c e s o f g i v e n p a i r s o v e r t h e R e r a n g e o f 2 9 4 9 - 3 4 6 9 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . x x x i 1 0 U 1 x a 1 0 n \ 1 0 o o 1 0 1 1 t S t N h e R e r a t i s t i e R e r a c a g l g n a n d e e a o e o y f t f u d s t h o r m a l i z e N o r m a l i z e d a s y m . N e o r m a 1 1 2 e d a s y u e t i n t h e R e I 1 0 \ O o , _ . 1 1 2 . 1 1 3 . 1 1 . - S t a t i s t i c a l d e t t h e R e r a n g e 2 6 x / w v a l u e ; * : s q u a r e f i t t o t - S t a t i s t i c a l d e t t h e R e r a n g e o f - S t a t i s t i c a l d e t t h e R e r a n g e o f - S t a t i s t i c a l d e t t h e R e r a n g e o f - S t a t i s t i c a l d e t t h e R e r a n g e o f G e t i n t h e R e I S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s i n t h e R e r a n g e 2 6 9 - 2 8 5 . + : T h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n a t e a c h x / w v a l u e ; * : t h e r a t i o o f t h e r e s i d u a l o f t h e l e a s t s q u a r e f i t t o t h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n d e n o t e d b y + . S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s ' t h e R e r a n g e o f 3 6 2 — 5 2 5 . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 1 0 5 . S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s t h e R e r a n g e o f 6 4 0 - 6 9 8 . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 1 0 5 . S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s ' t h e R e r a n g e o f 9 3 0 - 1 0 7 4 . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 1 0 5 . S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s t h e R e r a n g e o f 1 2 5 7 - 1 2 7 2 . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 1 0 5 . S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s t h e R e r a n g e o f 1 5 7 1 - 1 6 9 7 . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 1 0 5 . S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e l a t e r a l s p r e a d i n g o f v o r t i c e s t h e R e r a n g e o f 2 9 4 9 - 3 4 6 9 . F o r l e g e n d s e e F i g u r e 1 0 5 . N o r m a l i z e d a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r - e e t i n t h e R e r a n g e o f 2 6 9 — 2 8 5 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . N o r m a l i z e d a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r - e e t i n t h e R e r a n g e o f 3 6 2 - 5 2 5 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . o r m a l i z e d a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r - e t i n t h e R e r a n g e o f 6 4 0 - 6 9 8 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . x x x i i 3 0 1 3 0 2 3 0 3 3 0 4 3 0 5 3 0 6 3 0 7 3 0 8 3 0 9 1 m x o 1 1 1 \ 1 1 ii e e t i n t h e R e i . S t a t i s t i c a l d e 1 1 1 c o \ 0 o 1 2 1 . 1 2 . - N o r m a l i z e d a s y I e e t i n t h e R e 1 - N o r m a l i z e d a s y i e e t i n t h e R e 1 - N o r m a l i z e d a s y 1 e e t i n t h e R e : ‘ N o r m a l i z e d a s y t ‘ S t a t i s t i c a l d e m e “ O v e r t h . d E t a i l s , S t a t i s t i c a l d e s t r e e t o v e r t h d e t a i l s S t a t i s t i c a l d e s t r e e t O V e r t h d e t a i l s . S t r e e t W e ) : t h d e t a i l s . . N o r m a l i z e d e e t i n t h e . N o r m a l i z e d e e t i n t h e N o r m a l i z e d e e t i n t h e N o r m a l i z e d e e t i n t h e S t a t i s t i c a l s t r e e t o v e r d e t a i l s . S t a t i s t i c a l s t r e e t o v e r d e t a i l s . S t a t i s t i c a l s t r e e t o v e r d e t a i l s . S t a t i s t i c a l s t r e e t o v e r d e t a i l s . 3 1 0 a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r — R e r a n g e o f 9 3 0 - 1 0 7 4 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 3 1 1 a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r - R e r a n g e o f 1 2 5 7 - 1 2 7 2 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 3 1 2 a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r - R e r a n g e o f 1 5 7 1 - 1 6 9 7 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 3 1 3 a s y m m e t r y e s t i m a t e o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r - R e r a n g e o f 2 9 4 9 - 3 4 6 9 . S e e F i g u r e 9 8 f o r d e t a i l s . 3 1 4 d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x t h e R e r a n g e o f 2 6 9 - 2 8 5 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r 3 1 5 d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x t h e R e r a n g e o f 3 6 2 - 5 2 5 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r 3 1 6 d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x t h e R e r a n g e o f 6 4 0 - 6 9 8 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r 3 1 7 d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c “ v o r t e x t h e R e r a n g e o f 9 3 0 - 1 0 7 4 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r 3 1 8 x x x i i i 2 w > . 1 2 1 U 1 2 N O 1 2 5 \ D i s t r i b u t i o n 0 1 1 2 - S t a t i s t i c a l d e ‘ s t r e e t o v e r t h l d e t a i l s . - S t a t i s t i c a l d e s t r e e t o v e r t h i d e t a i l s . - S t a t i s t i c a l d e s t r e e t o v e r t h i d e t a i l s . - D i s t r i b u t i o n 0 s u g a r m i x t u r e - a n d t h e j e t w i ' D i s t r i b u t i o n 0 S u g a r m i x t u r e - i g n a t e d b y h . f 1 3 6 2 . 2 . 6 3 ; . “ 1 4 2 6 . 1 . 9 9 , 1 2 8 . u s e d a s t h e W 0 w i d t h s i n c m a - D i s t r i b u t i o n 0 u s e d a s t h e w o S W b 0 1 S q ) 1 ' a - S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r e e t o v e r t h e R e r a n g e o f 1 2 5 7 - 1 2 7 2 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r d e t a i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 9 - S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r e e t o v e r t h e R e r a n g e o f 1 5 7 1 — 1 6 9 7 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r d e t a i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 0 - S t a t i s t i c a l d e t a i l s o f t h e s y m m e t r y o f t h e " s y m m e t r i c " v o r t e x s t r e e t o v e r t h e R e r a n g e o f 2 9 4 9 - 3 4 6 9 . S e e F i g u r e 1 0 5 f o r d e t a i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . 3 2 1 - D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 2 6 9 - 2 8 5 . A w a t e r - s u g a r m i x t u r e w a s u s e d i n a l l t h e s e c a s e s . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e 0 : 2 6 9 , 1 . 9 9 ; a : 2 6 9 , 1 . 9 9 ; b : 2 7 6 , 1 . 9 9 ; c : 2 7 7 , 1 . 5 1 ; d : 2 8 0 , 1 . 5 1 ; e : 2 8 5 , 2 . 6 3 . 3 2 2 - D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 3 6 2 - 4 2 6 . A w a t e r - s u g a r m i x t u r e w a s u s e d i n a l l c a s e s e x c e p t f o r t h e c a s e d e s - i g n a t e d b y h . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e : f : 3 6 2 , 2 . 6 3 ; g : 3 7 3 , 2 . 6 3 ; h : 3 9 6 , 1 . 4 ; i : 4 0 7 , l 5 1 ; j : 4 0 8 , 2 . 6 3 ; k : 4 1 2 , 1 . 5 1 ; l : 4 2 1 , 1 . 5 1 ; m : 4 2 3 , 1 . 9 9 ; n : 4 2 6 , 1 . 9 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 3 D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 5 1 0 - 5 2 5 . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e : 0 : 5 2 5 , 1 . 4 ; p : 5 1 0 , 1 . 4 . . . . . . . 3 2 4 D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 6 4 0 — 7 0 0 . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d f o r t h e c a s e s d e s i g n a t e d b y t h e s y m b o l s q , r a n d s . F o r t h e c a s e s d e s i g n a t e d b y t , u a n d v x x x i v 1 3 c 1 3 1 3 A L » . w w a s i d t u h s s e d i n a s c m t h a . D i s t r i b u t i O n 0 ‘ w e r e d e r i v . D i s t r i b u t i e O d n f ; o ~ ) , _ . , _ . L . ) [ \ D 1 3 4 . a w a t e r - s u g a r ‘ . w i d t h s i n c m a t : 6 7 9 , 1 . 9 9 ; - D i s t r i b u t i o n 0 w a s u s e d a s t h c a s e d e s i g n a t e c m a r e : w : 9 3 2 . 5 7 ; B : 1 0 0 4 1 0 7 4 , 2 . 5 7 . - D i s t r i b u t i o n 0 1 2 7 2 , 1 , 4 _ ' D i S t r i b u t i o n 0 w a s “ 5 9 d a s t h . 2 5 7 a n d L ; 1 6 w a s u s e d a s t h . w i d t h s i n c m a : 2 . 5 7 , p : 3 4 0 1 ’ l i i s t r i t m t i o n 0 : r a t i o , B / w , a s a w a t e r - s u g a r m i x t u r e w a s u s e d . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e : q : 6 4 0 , 1 . 4 ; r : 6 4 0 , 1 . 4 ; s : 6 4 0 , 1 . 4 ; t : 6 7 9 , 1 . 9 9 ; u : 6 9 6 , 2 . 6 3 a n d v : 6 9 8 , 1 . 9 9 . - D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 9 3 0 - 1 0 7 4 . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d i n a l l c a s e s e x c e p t i n t h e c a s e d e s i g n a t e d b y x . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h i n c m a r e : w : 9 3 0 , 1 . 4 ; x : 9 8 0 , 2 . 6 3 ; y : 1 0 4 4 , 1 . 4 ; A : 1 0 0 1 , 2 . 5 7 ; B : 1 0 0 4 , 2 . 5 7 ; C : 1 0 2 7 , 2 . 5 7 ; D : 1 0 6 3 , 2 . 5 7 a n d E : 1 0 7 4 , 2 . 5 7 . - D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 1 2 5 7 - 1 2 7 2 . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e : F : 1 2 5 7 , 1 . 4 ; G : 1 2 6 9 , 1 . 4 a n d H : 1 2 7 2 , 1 . 4 . ' D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 1 5 7 0 - 1 7 0 0 . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e : I : 1 5 7 1 , 2 . 5 7 ; J : 1 5 8 0 , 2 . 5 7 ; K : 1 6 8 5 , 2 . 5 7 a n d L : 1 6 9 7 , 2 . 5 7 . D i s t r i b u t i o n o f S t F i n t h e R e r a n g e o f 2 9 4 9 - 3 4 0 0 . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d . T h e R e v a l u e s a n d t h e j e t w i d t h s i n c m a r e : M : 2 9 4 9 , 2 . 5 7 ; N : 2 9 6 4 , 2 . 5 7 ; 0 : 3 3 8 9 , 2 . 5 7 , P : 3 4 0 1 , 2 . 5 7 a n d Q : 3 4 6 9 , 2 . 5 7 . D i s t r i b u t i o n o f S t F a s a f u n c t i o n o f R e w i t h t h e a s p e c t r a t i o , B / w , a s a p a r a m e t e r . N o t e t h a t t h e s e S t F v a l u e s w e r e d e r i v e d f r o m t h e r a t e o f f o r m a t i o n o f b u l g e s . D i s t r i b u t i o n o f S t d a s a f u n c t i o n o f R e w i t h B / w a s a X X X V 3 2 5 3 2 6 3 2 7 3 2 8 3 2 9 3 3 0 1 1 3 c a \ 3 - \ 1 3 o o 1 3 1 4 1 1 ) . . . v ' D i s t r i b u t i o n c . D i s t r i b u t i o n e D S D n i e i d s e e F i S t r i b u t i n d s e e F S t r i D U t i r u g o i o u n g n . D i s t r i b u t i o n 0 e 0 r 0 0 \ o c : , _ . M 1 4 4 . 1 4 5 . 1 4 6 1 4 . 1 1 ; . p a r a m e t e r . 0 ( t h e r a t e o f f < - D i s t r i b u t i o n ( p a r a m e t e r . T 1 - D i s t r i b u t i o n c p a r a m e t e r . T 1 - D i s t r i b u t i o n c B / W a s a p a r a m B e a v e r s a n d N i - D i s t r i b u t i o n c e n d s e e F i g u r e O f a l l s i z e s . e n d s e e F i g u r e D i S t r i b u t i O n c e n d S e e F i g u r e D i s t r i b u t i o n 0 e n d S e e F i g u l ‘ e S e n d S e e F i g u r p a r a m e t e r . 6 a n d U h a v e b e e n u s e d t o n o n d i m e n s i o n a l i z e 0 0 t h e r a t e o f f o r m a t i o n o f b u l g e s . D i s t r i b u t i o n o f S t F a s a f u n c t i o n o f R e w i t h B / w a s p a r a m e t e r . T h e s e v a l u e s o f S t w e r e r e c o r d e d a t F D i s t r i b u t i o n o f S t F a s a f u n c t i o n o f R e w i t h B / w a s p a r a m e t e r . T h e s e v a l u e s o f S t F w e r e r e c o r d e d . a t D i s t r i b u t i o n o f S t r o u h a l n u m b e r a s a f u n c t i o n o f B / w a s a p a r a m e t e r . T h i s B e a v e r s a n d W i l s o n ( 1 9 7 0 ) * * D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n e n d s e e F i g u r e 1 2 6 . N o t e o f a l l s i z e s . 0 a o * * a D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n e n d s e e F i g u r e 1 2 7 . w a * * a D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n e n d s e e F i g u r e 1 2 8 . I a o * * a D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n e n d s e e F i g u r e 1 2 9 . . a * D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n e n d s e e F i g u r e 1 3 0 . . * * . D i s t r i b u t i o n o f u C ( x ) i n g e n d s e e F i g u r e 1 3 1 . , , * * D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n g e n d s e e F i g u r e 1 3 2 . I a I * * I D i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) i n f i g u r e i s a r e p r o d u c t i o n o f d a t a . t h e t h e t h e t h e t h e t h e t h e t h e t h e R e r a n g e o f 2 6 9 - 2 8 5 . x / w = 2 . 7 . R e w i t h F o r l e g - g o o d c o l l a p s e o f d a t a f o r j e t s R e x x x v i r a n g e r a n g e r a n g e r a n g e r a n g e r a n g e r a n g e 3 6 2 - 4 2 6 . 5 1 0 - 5 2 5 . 6 4 0 - 7 0 0 . 9 3 0 - 1 0 7 4 . 1 2 5 7 - 1 2 7 2 . 1 5 7 0 - 1 7 0 0 . 2 9 4 9 - 3 4 6 9 . F o r l e g - F o r l e g - F o r l e g - F o r l e g - F o r l e - F o r l e - F o r l e - 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 3 3 8 3 3 9 3 4 0 3 4 1 1 4\ . o s 1 5 1 5 1 5 ' D i s t r i b u t i o n c 1 5 . . : . 4 . . I n t e r c e p t S o f D i s t r i b u t i O I I o 1 4 o o 1 4 o , _ . n : 1 5 1 4 . 1 5 5 . 1 5 6 1 5 7 g e n d s e e F i g u i - D i s t r i b u t i o n ( e n d s e e F i g u r t o f v a r i o u s s i : ( s h o w n i n F i g - D i s t r i b u t i o n < e n d s e e F i g u r e - D i s t r i b u t i o n < e n d s e e F i g u r e - D i s t r i b u t i o n ( e n d s e e F i g u r e - D i s t r i b u t i o n c e n d s e e F i g u r e l e g e n d s e e F i g l e g e n d s e e F i g D i s t r i b u t i o r 1 c l e g e n d s e e F i g S l o p e s o f t h e c t i o n o f R e , ° f R e , g e D e o ( i n f s n s d h d t v o r s a w s i e r n e i e b e u o i u n F i o g t F i i s g n u s F i u r o e f r i g e z u e r 1 2 1 A 3 * 6 a 1 3 ( . r 2 . x * e 6 ) ) N c r r r F i i i i i i g o g o g o u n u n u n e o e o e o i i e i g o o u n F n F r i i o t n F h i e f f u f e o g o g o g u f u s T h u u e t e t e t F t t F t F e i e e i e i b s r s r s r s r d i d s n r r c e i o d i e e e i e b e b e b e b u s o f b p u f u s u s u t - - - e D e D e D e D l D l i e n i n i e n i n i d s d s d s d s g s g t t t t e t e n t e r n p o w e e n e r R t e r . i D l S c i e l t s g o i a I 0 D s n f i t s - - - i n e s d . . n . n . o o a . . t n n i i . . i n i n i n i n s e 1 1 3 A e A f f r r r t 1 1 e A e r t e . 2 A * 2 A * 2 A e 7 * 8 * . ( . ( 9 * 0 * . ( . ( 1 ( 1 ( 1 a d x 3 m a x * ) x * ) x * ) ) . ) . ) i . a x 3 x 3 * 1 * 2 * 3 w t p . . . . . . . . . . . . . . r a o f 2 6 9 - a 8 n i 3 2 i t 1 . - 5 2 5 . - 7 0 0 . - 1 0 7 . 0 . 6 s a . . 3 - . - . a 1 2 1 7 . . f 4 a . s . - . ) e . s i e . . 0 . 7 0 a e F f . A f . f . f . 1 i i v g t i . . 1 . 2 . * n * . n r r 1 0 . 9 0 . 5 . * h 7 . s o a u . 2 5 . 6 . 5 9 . 1 . 4 3 9 4 ( x t . a . 5 o 9 . 4 . 7 . . . 9 m . u . i h . o o o o . . . . o f f . . . o . * f f d o . . . ) . n A s . * . F f i F . F . F . . o o n . o o r o . F n n F . F . . r . . o o o n r r . . r o - g . . S r . e r . r . f r . . t . c . u a . i . . . . . 2 . 0 . . . a . . e n n v h r e t n g a i . n g e . n g e t n . . n n a . a . n n g n u d . n a . o o a . a . n o . e . e g . g . g . p e e e A . o t s . e e . R . e t n ( R . e R . R . R . R e a e . . t t h h i s u t : . h h t . t . h t . t . h e t . t . h e h e . . e . e . r e e . , r i . R e t h e e e i w h w o . r r . . r . r a . t g . . t r i r n i r a . 3 4 2 . - s 3 4 3 4 3 4 l e e F j t . . g t . . l . l . e l . . . s . e g - g . e . . . . . - g - 3 4 5 3 4 6 3 4 7 8 9 0 4 1 3 3 4 3 5 3 5 3 5 2 R s s . d o e e . l i o s i s n . f . t r h e e a . m w e h t e s . d i s t v d s a . e S . i t s F t b . i b u n u b e . : u . b u t i o n o f t h e e s t i m a t e o f n o d i m e n s i o n a l l o c a t i o n o f * * D i s t r i b u t i o n o f A ( x ) i n t h e R e r a n g e o f 3 6 2 - 4 2 6 . F o r l e g — x x x v i i 1 5 o \ 1 6 > \ I 1 6 w . N o n d i m e n s 1 0 m l ] . N o n d i m e n s i O n a ] - N o n d i m e n s i o n a l 1 5 o o o 1 6 . , _ . 1 6 4 . 1 6 5 1 6 6 1 6 . t h e f o r m a t i o n - D i s t r i b u t i o n . o f R e i n j e t s m b o l s r e p r e s e : 2 1 . 7 ( t N / w = ‘ w i t h B / w = 1 0 C D f o r a n i n v : - S c h e m a t i c r e p : e r s a l s . F o r j r a i s e d o r l o w « V 9 1 5 t h e f l o w ‘ N o n d i m e n s i o n a j ° f t h e j e t a t N o n d i m e n s i o n a j o f t h e j e t a t N o n d i m e n s i o n a ] o f t h e j e t a t o f t h e j e t a t N ° n d i m e n S i o n a 1 o f t h e j e t a t o f t h e j e t a t o f t h e j e t a t t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s a s a f u n c t i o n o f R e . D i s t r i b u t i o n o f d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t , C D , a s a f u n c t i o n o f o f R e i n j e t s w i t h t w o d i f f e r e n t s l i t w i d t h s . T h e c l o s e d s y - m b o l s r e p r e s e n t t h e m e a s u r e m e n t s m a d e i n a j e t w i t h B / w = 2 1 . 7 ( t N / w = l ) a n d t h e o p e n s y m b o l s r e p r e s e n t t h e c a s e w i t h B / w = 1 0 . 8 ( t N / w z 0 . 5 ) . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s C D f o r a n i n v i s c i d j e t . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m e c h a n i s m f o t v e l o c i t y t r a v - e r s a l s . F o r l o n g i t u d i n a l s u r v e y s t h e b a s e o f t h e L D A w a s r a i s e d o r l o w e r e d u s i n g p l a s t i c b l o c k s . F o r l a t e r a l s u r - v e y s t h e f l o w f a c i l i t y w a s t r a v e r s e d a c r o s s t h e L D A . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 5 0 9 a n d w = 1 . 2 7 c m . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 1 0 1 1 a n d w = 2 . 5 7 c m . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 1 0 2 1 a n d w = 2 . 5 7 c m . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h c e n t e r l i n e ( D o f t h e j e t a t R e = 1 2 9 3 a n d w = 2 . 5 7 c m . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 1 3 2 8 a n d w = 2 . 5 7 c m . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 1 5 2 7 a n d w = 2 . 5 7 c m . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 2 3 0 8 a n d w = 2 . 5 7 c m . H ' H - H . X X X V 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 7 3 5 8 3 5 9 3 6 0 3 6 1 3 6 2 \ a a c o \ 1 7 1 7 1 1 . N ° n d i m e n s i o n a 1 . S a m p l e s o f V a l , _ . < = \ \ g 1 1 6 o , _ _ . [ \ J a . ) 1 7 4 . 1 7 . - N o n d i m e n s i o n a ? o f t h e j e t a t - N o r m a l i z e d m e ; o f t h e j e t . ' . c i t y d i s t r i b u i - S c h e m a t i c r e p ] j e c t o r y o f t h e s e n t s t h e p a t } - D i s t r i b u t i o n ( t u a t i o n s a l o n g i t h m i c p l o t . ‘ D e p e n d e n c e o f l ° 8 1 l ~ 1 ( x , y - = 0 ) / t t h e d i s t r i b u t i N o n d i m e n s i o n a ] X / W - a l a n d R e a ] N ° n d i m e n 8 i o n a 1 j e t a t X / W = 1 a 1 % a t V i m - 2 , 4 , l o c a t i o n s I ( x N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a t R e = 2 8 5 4 a n d w = 2 . 5 7 c m . N o r m a l i z e d m e a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s t h e i n v i s c i d v e l o - c i t y d i s t r i b u t i o n . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f R e o n t h e t r a - j e c t o r y o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e . T h e c u r v e 1 - 2 r e p r e - s e n t s t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n n o r m a l t o t h e s t r e a m l i n e s . D i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y f l u c - t u a t i o n s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t o n a l o g a r — i t h m i c p l o t . D e p e n d e n c e o f t h e s l o p e o f s t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f l o g ( u ( x , y = 0 ) / U o ) o n R e y n o l d s n u m b e r . F i g u r e 1 7 0 p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n a t e a c h v a l u e o f R e . . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a c r o s s t h e j e t a t x w = l a n d R e = 1 6 0 0 . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a c r o s s t h e j e t a t j e t a t x / w = 2 . 4 a n d R e = 1 6 0 0 . - N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a c r o s s t h e j e t a t j e t a t x / w = 1 a n d R e = 3 0 0 0 . N o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a c r o s s t h e j e t a t j e t a t X / W = 2 . 4 a n d R e = 3 0 0 0 . S a m p l e s o f v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s a t R e = 1 6 0 0 a n d f r o m t w o l o c a t i o n s : ( x / w , y / w ) = ( l , i 0 . 5 8 ) , a t w h i c h f l o w r e v e r s a l s w e r e i n f e r r e d t o h a v e t a k e n p l a c e . x x x i x 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 7 3 6 8 3 6 9 3 7 0 3 7 2 7\ l 1 7 c l o \ \ 1 8 1 8 N . N o r m a l i z e d m e a . N o r m a n Z e d m e a . P o w e r S p e c t r a l 1 o 1 o , _ . c o 5 , — - 1 8 3 1 8 4 . 1 8 5 - M e a n v e l o c i t y v a l u e s o f R e . r e v e r s a l s t o o l - D i s t r i b u t i o n ( t i o n s a c r o s s 1 - M e a n v e l o c i t y v a l u e s o f R e . r e v e r s a l s t o o l - D i s t r i b u t i o n ( t i o n s a c r o s s t ' N o r m a l i z e d m e g r e p r e s e n t s T h e d a t a . T h e d a t t e r m i n i n g t h e r e P r G S e n t s T h e d a t a _ T h e d a t “ m i n i n g t h e r e P r e s e n t s T h e T h e d a t a i n ( : 1 i n g t h e P a r a m e P o w e r s p e c t r a l ( x / w . y / w ) . ( 0 _ 8 M e a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a c r o s s t h e j e t a t x / w = l a n d t w o v a l u e s o f R e . T h e d a t a f r o m t h e r e g i o n s w h e r e v e l o c i t y r e v e r s a l s t o o k p l a c e a r e n o t i n c l u d e d h e r e . . . . . . . . 3 7 3 D i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y f l u c t u a - t i o n s a c r o s s t h e j e t a t x / w = l a n d t w o v a l u e s o f R e . . . . 3 7 4 M e a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a c r o s s t h e j e t a t x / w = 2 . 4 a n d t w o v a l u e s o f R e . T h e d a t a f r o m t h e r e g i o n s w h e r e v e l o c i t y r e v e r s a l s t o o k p l a c e a r e n o t i n c l u d e d h e r e . . . . . . . . 3 7 5 D i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y f l u c t u a - t i o n s a c r o s s t h e j e t a t x / w = 2 . 4 a n d t w o v a l u e s o f R e . . . 3 7 6 N o r m a l i z e d m e a n v e l o c i t y p r o f i l e a t x / w = l . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s T h e M o n t g o m e r y p r o f i l e f i t t e d t o t h e m e a s u r e d d a t a . T h e d a t a i n c l o s e d s y m b o l s w e r e n o t i n c l u d e d i n d e — t e r m i n i n g t h e t w o p a r a m e t e r s o f t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e . . 3 7 7 N o r m a l i z e d m e a n v e l o c i t y p r o f i l e a t x / w = 2 . 4 . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s T h e M o n t g o m e r y p r o f i l e f i t t e d t o t h e m e a s u r e d d a t a . T h e d a t a i n c l o s e d s y m b o l s w e r e n o t i n c l u d e d i n d e - t e r m i n i n g t h e t w o p a r a m e t e r s o f t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e . . 3 7 8 - N o r m a l i z e d m e a n v e l o c i t y p r o f i l e a t x / w = 2 . 4 . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s T h e B i c k l e y p r o f i l e f i t t e d t o t h e m e a s u r e d d a t a . T h e d a t a i n c l o s e d s y m b o l s w e r e n o t i n c l u d e d i n d e t e r m i n - i n g t h e p a r a m e t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 9 P o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y a t ( x / w , y / w ) = ( 0 . 8 6 , 0 ) a n d R e = 1 2 6 0 . . . . . . . . . . . . . 3 8 0 P o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y a t x l x o 1 \ 1 8 o c . P l o t s o f d i s : i o v a n d e r a W D i S t r i b u t i O H . 1 8 1 8 1 8 9 . 1 9 0 . 1 9 1 1 9 2 ( X / W . y / W ) = ( 1 , - A c o m p a r i s o n s t r e a m w i s e v e t w o d i f f e r e n t r e p r e s e n t s t h a n d N F i n d i c a n o t u s e d . - A c o m p a r i s o n s t r e a m w i s e v e t w o d i f f e r e n t d e t a i l s , ‘ A C 0 1 1 1 P a r i s o n n a n t f l u c t u a t i o n s . T h e c l f i l l i n g d e v i c f i l l i n g d e v i c A c o m p a r i s o n f i l l i n g c o n d i A ° ° m P a r i S o n t w o d i f f e r e n t a i l s . v e 1 ° ° i t y f l u C ( x / w , y / w ) = ( l , 0 ) a n d R e = l 6 4 0 . A c o m p a r i s o n o f t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e s t r e a m w i s e v e l o c i t y a t R e = 9 6 0 a n d a t ( x / w , y / w ) = ( 2 . 2 , 0 ) f o r t w o d i f f e r e n t f i l l i n g c o n d i t i o n s . T h e c u r v e m a r k e d w i t h F r e p r e s e n t s t h e c a s e i n w h i c h t h e f i l l n g d e v i c e w a s u s e d a n d N F i n d i c a t e s t h e c a s e i n w h i c h t h e f i l l i n g d e v i c e w a s n o t u s e d . A c o m p a r i s o n o f t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e 3 8 1 3 8 2 s t r e a m w i s e v e l o c i t y a t R e = 2 0 0 0 a n d a t ( x / w , y / w ) = ( 2 . 2 , 0 ) f o r t w o d i f f e r e n t f i l l i n g c o n d i t i o n s . S e e F i g u r e 1 8 6 f o r d e t a i l s . A c o m p a r i s o n o f t h e R e d e p e n d e n c e o f t h e f r e q u e n c y o f d o m i - n a n t f l u c t u a t i o n s i n u ( t ) f o r t w o d i f f e r e n t f i l l i n g c o n d i t - i o n s . T h e c l o s e d s y m b o l s r e p r e s e n t t h e c a s e i n w h i c h t h e f i l l i n g d e v i c e w a s u s e d a n d t h e o p e n s y m b o l s i n w h i c h t h e f i l l i n g d e v i c e w a s n o t u s e d . A c o m p a r i s o n o f t h e R e d e p e n d e n c e o f C D f o r t w o d i f f e r e n t f i l l i n g c o n d i t i o n s . S e e F i g u r e 1 8 8 f o r d e t a i l s . A c o m p a r i s o n o f t h e R e d e p e n d e n c e o f i n t e n s i t y o f u ( t ) f o r t w o d i f f e r e n t f i l l i n g c o n d i t i o n s . S e e F i g u r e 1 8 8 f o r d e t - a i l s . - P l o t s o f d i s t r i b u t i o n o f n o r m a l i z e d i n t e n s i t y o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y a t x / w — - 1 a n d o v e r a w i d e r a n g e o f R e . D i s t r i b u t i o n o f S t V a s a f u n c t i o n o f R e a t x / w = l . T h e d a s - 3 8 3 3 8 4 3 8 5 3 8 6 3 8 7 9 w1 1 9 . 1 9 ! U x e 1 9 4 \ 1 9 ; _ \ ' 1 9 a t : 1 9 9 . 1 0 0 . 2 0 1 . 2 0 2 . h e d l i n e r e p l - D i s t r i b u t i o n d a s h e d l i n e I - A c o m p a r i s o n n a n t f l u c t u a t w i d t h s a t x / w - S t r e a m w i s e d i u a t i o n s a t R e - S t r e a m w i s e d J ‘ u a t i o n s a t R s - S t r e a m w i s e d j u a t i o n s a t R e ‘ A u t o s p e c t r a ( t h e t r a n s i t i < i 0 “ 0 f m u t u a j S t v = 0 . 3 7 a t 1 E i g e n v a l u e s j r e P r e s e n t t h < e i g e n v a l u e p 1 E i g e n V a l u e s < F i g u r e 1 9 9 f t E i g e n v a h e s ( 1 9 9 f o r d e t a j N o r m a l i z E d p 1 h e d l i n e r e p r e s e n t s t h e a v e r a g e v a l u e o f S t v = 0 . 7 0 . . . . 3 8 8 D i s t r i b u t i o n o f S t V a s a f u n c t i o n o f R e a t x / w = 2 . 2 . T h e d a s h e d l i n e r e p r e s e n t s t h e a v e r a g e v a l u e o f S t v = 0 . 5 2 . . . 3 8 9 A c o m p a r i s o n o f t h e R e d e p e n d e n c e o f t h e f r e q u e n c y o f d o m i - n a n t f l u c t u a t i o n s o f u ( t ) f o r t w o j e t s w i t h d i f f e r e n t s l i t w i d t h s a t x / w = 2 . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 0 l S t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f v e l o c i t y f l u c t - u a t i o n s a t R e = 1 0 0 0 a n d a t t h r e e d i f f e r e n t v a l u e s o f S t v . 3 9 1 S t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f v e l o c i t y f l u c t - u a t i o n s a t R e = 1 3 0 0 a n d a t t h r e e d i f f e r e n t v a l u e s o f S t V . 3 9 2 S t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f v e l o c i t y f l u c t - u a t i o n s a t R e = 2 3 0 0 a n d a t t h r e e d i f f e r e n t v a l u e s o f S t V ' 3 9 3 A u t o s p e c t r a o f u ( t ) i n a j e t w i t h w = l . 2 7 c m a n d R e = 5 1 0 . N o t e t h e t r a n s i t i o n i n t h e n e i g h b o r h o o d o f x / w = l . 3 4 - t h e " r e g - i o n o f m u t u a l i n t e r a c t i o n " - f r o m S t V = 0 . 7 l a t x / w = 0 . 9 t o S t v = 0 . 3 7 a t x / w = 2 . 1 2 . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . 3 9 4 E i g e n v a l u e s f o r t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e a t x / w = l . A a n d B r e p r e s e n t t h e s y m m e t r i c a n d a s y m m e t r i c s o l u t i o n s o f t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 5 E i g e n v a l u e s o f t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e a t x / w = 2 . 4 . S e e F i g u r e 1 9 9 f o r d e t a i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 6 E i g e n v a l u e s o f t h e B i c k l e y p r o f i l e a t x / w = 2 . 4 . S e e F i g u r e 1 9 9 f o r d e t a i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 7 N o r m a l i z e d p r e s s u r e a n d v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a t t h r e e 1 s t r e a m w i s e l o c a t i o n s : s - 0 . 5 , 1 . 0 a n d 1 . 5 w i t h - a i - 3 . 5 , a 3 \ c ( > . _ . c a , _ . c : , _ . c ) m c ) w o 4 > n U 1 ( 1 = 1 0 . 4 , ( F 4 . r - D e t a i l s o f t h - T i m e h i s t o r i e - A n i l l u s t r a t i E I ( t ) , a n d t h - S p a c e - t i m e p l - - S p a c e - t i m e p 1 - ' S p a c e - t i m e p 1 ' ' S P a c e - t i m e p 1 ‘ S p a c e ~ t i m e p 1 . S p a c e - t i m e p l . S p a c e - t i m e p l . S p a c e ~ t i m e p l . S p a c e t m e p ; 1 . 0 S p a c e . t i m e p a r = 1 0 . 4 , w = 4 . 4 a n d u a = 6 . 2 x i o ' 4 . - D e t a i l s o f t h e m e c h a n i s m f o r a c t u a t i n g t h e b l e e d v a l v e . 3 9 8 4 1 1 - T i m e h i s t o r i e s o f t h e v o l t a g e s r e c o r d e d d u r i n g a n e x p e r i m e n t . - A n i l l u s t r a t i o n o f t h e r e g r e s s i o n o f t h e m e a s u r e d v o l t a g e , E I ( t ) ’ a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r e s i d u a l . - S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s ( R 0 4 0 F ) - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t - S p a c e — t i m e p l o t — S p a c e — t i m e p l o t - S p a c e - t i m e p l o t S p a c e - t i m e p l o t S p a c e - t i m e p l o t o f o f o f o f o f o f v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s ( R O 4 0 A ) ( R 0 4 O D ) ( R 0 4 0 3 ) ( R 0 4 0 1 ) ( R 0 6 0 I ) ( R 0 6 0 H ) ( R 0 9 0 P ) ( R 0 6 0 E ) x l i i i a t R e = 2 6 9 a n d w = l . 9 9 c m . a t R e = 2 7 6 a n d w = 1 . 9 9 c m . a t R e = 2 7 7 a n d w = l . 5 1 c m . a t R e = 2 8 0 a n d w = l . 5 1 c m . a t R e = 2 8 5 a n d w = 2 . 6 3 c m . a t R e = 3 6 1 a n d w = 2 . 6 3 c m . a t R e = 3 7 3 a n d w = 2 . 6 3 c m . a t R e = 3 9 6 a n d w = 1 . 4 0 c m . a t R e = 4 0 7 a n d w = l . 5 1 c m . S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s ( R O 6 0 G ) a t R e = 4 0 8 a n d w = 2 . 6 3 c m . 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 1 7 4 1 8 4 1 9 4 2 0 4 2 2 9 1 1 - 9 1 2 - 9 1 3 - 0 . 1 4 - 9 1 5 . C . 1 6 . 9 1 7 . 9 1 8 . 9 1 9 . 9 2 0 . 0 . 2 1 . S p a c e - S p a c e - S p a c e - S p a c e - S p a c e - S p a c e - S p a c e - S p a c e ~ s P a C e - S p a c e . S p a c e . - S p a c e . t i m e p t i m e p t i m e p t i m e p t i m e p t i m e p t i m e p : t i m e p j t i m e p : t i m e p _ t i m e p ] t i m e p ] . 1 1 L 1 2 1 8 S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e - t i m e S p a c e — t i m e S p a c e - t i m e p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t o f o f o f o f o f o f o f v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s ( R 0 6 0 3 ) ( R 0 6 0 D ) ( R 0 6 0 A ) ( R 0 6 0 F ) ( R 0 9 O V ) ( R O 9 O U ) ( R 0 9 0 R ) ( R 0 9 0 S ) ( R 0 9 0 T ) ( R 1 0 0 C ) ( R 1 0 0 D ) ( R 1 8 0 E ) x l i v a t a t a t a t a t a t a t a t a t R e = 4 1 2 R e = 4 2 1 R e = 4 2 3 R e = 4 2 6 R e = 5 1 0 R e = 5 2 5 R e = 6 4 0 R e = 6 4 0 R e = 6 4 0 R e = 6 7 9 R e = 6 9 8 R e = 9 3 0 a n d a n d a n d a n d a n d a n d a n d a n d w = 1 . w = l . w = 1 . w = 1 . w = 1 . w = l w = l . w = l w = l w = 1 . w = l . w = l . 5 1 9 9 4 O . 4 0 4 0 . 4 0 . 4 0 9 9 9 9 4 0 c m . C fl ' l . C m . 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 2 7 4 2 9 4 3 0 4 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 »C . A 2 p 1 U ‘ 0 4 \ n o . S p a c a t i m e Space‘time p p . 2 C . C . 2 C . 2 C . 2 C . 2 0 . 2 9 . 0 . 3 0 . 0 . 3 1 . 9 . 3 2 . 9 . 3 3 . 9 . 3 4 0 . 3 5 . - S p a c e - t i m e p w = 2 . 5 7 c m . - S p a c e - t i m e ; w = 2 . 5 7 c m . - S p a c e - t i m e p w = 2 . 5 7 c m . - S p a c e - t i m e p w = l . 4 0 c m . - S p a c e - t i m e p " = 2 . 5 7 c m . ‘ S P a c e - t i m e p w = 2 . 5 7 c m . S P a c e - t i m e p w = 1 . 4 0 c m . S P a c e - t i m e p w = 1 _ 4 0 c m . S p a c e - t i m e p ” 7 2 - 5 7 c m . S P a c e ~ t i m e p w s 2 _ 5 7 C m . S p a c e ‘ t i m e p w = 2 . 5 7 c m . 9 1 : 2 . 5 7 c m - 2 4 2 6 S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 1 . 4 0 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 1 . 4 0 c m . S p a c e - t i m e w = 1 . 4 0 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 2 5 7 c m . S p a c e - t i m e w = 2 . 5 7 c m . S p a c e - t i m e p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t p l o t o f o f o f o f o f o f v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s v o r t i c e s ( U 0 9 0 A 0 0 0 ) ( U 0 9 0 A 0 0 1 ) ( U 0 9 0 C 0 0 2 ) ( R 1 8 0 D ) a t ( U 0 9 0 C 0 0 0 ) ( U 0 9 0 C 0 0 1 ) ( R 1 8 0 6 ) a t ( R 1 8 0 A ) a t ( U 1 5 0 K 0 0 1 ) ( U l S O K O O O ) ( U 1 5 0 L 0 0 0 ) ( U 2 2 0 C 0 0 0 ) ( U 3 O O I 0 0 1 ) a t R e = 1 0 0 1 a n d a t R e = 1 0 0 4 a n d a t R e = 1 0 2 7 a n d R e = 1 0 4 4 a n d a t R e = 1 0 6 3 a n d a t R e = 1 0 7 4 a n d R e = 1 2 5 7 a n d R e = 1 2 7 2 a n d a n d a t R e = 1 5 7 l a n d a t R e = 1 5 8 0 a n d a t R e = l 6 8 5 a n d a t R e = 2 2 9 9 a t R e = 2 9 4 9 a n d 4 3 6 4 3 7 4 3 8 4 3 9 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 4 7 1 \ C . 3 C . 3 C . 3 O \ c o w = 2 . 5 7 c m . - S p a c e - t i m e ; w = 2 . 5 7 c m . - S p a c e - t i m e p w = 2 . 5 7 c m . - S p a c e - t i m e p w = 2 . 5 7 c m . w = 2 . 5 7 c m . C . 3 6 - S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s ( U 3 0 0 1 0 0 2 ) a t R e = 2 9 6 4 a n d w = 2 . 5 7 c m . C . 3 7 - S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s ( U 3 0 0 6 0 0 2 ) a t R e = 3 3 8 9 a n d w = 2 . 5 7 c m . C . 3 8 - S p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s ( U 3 0 0 G 0 0 0 ) a t R e e 3 4 6 9 a n d w = 2 . 5 7 c m . x l v i 4 4 8 4 4 9 4 5 0 4 5 1 a r e a o f 5 a r e a o f 1 a r e a o f 1 t i m e d e p e d i f f e r e n c p a r a m e t e r p a r a m e t e r h a l f w i d t l e n g t h o f D i s c h a r g e D i s c h a r g e C O m p l e x p m e a s u r e d m e a n c O n P e r i m e n t a m a t e r i a l P a r t i a l d t i m e d e k t h p a i r f r e Q U E n c y k t h f r e q t i m e s e r i p a s s a g e O n c o n n t i . m p e e a r n i m e c n o t n a v l e c r t u i n o n s p e e d o f v o r t e x m o t i o n s f o r a g i v e n e x - e t k i t m h d i e r p a p e n d e n t l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n t h e v o r t i c e k t t i h m e f s r e e r q i u e e s n c y c o m p o n e n t o f t h e a u t o s p e c t r u m o f a s d o f t h e i s c r e t e . n - — p H N o m e n c l a t u r e a r e a o f s l i t j e t = B w a r e a o f n o z z l e h o u s i n g = B H a r e a o f r e c e i v e r t i m e d e p e n d e n t a r e a o f t h e b l e e d v a l v e d i f f e r e n c e i n a x i a l l o c a t i o n o f t h e t w o v o r t i c e s o f a p a i r p a r a m e t e r i n t h e e q u a t i o n f o r t h e B i c k l e y j e t p a r a m e t e r i n t h e e q u a t i o n f o r t h e B i c k l e y j e t h a l f w i d t h o f t h e j e t l e n g t h o f n o z z l e D i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e s l i t - j e t D i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e b l e e d v a l v e c o m p l e x p h a s e s p e e d ; c = C r + i c i m e a s u r e d c o n v e c t i o n s p e e d o f k t h v o r t e x m o t i o n m a t e r i a l d e r i v a t i v e p a r t i a l d e r i v a t i v e i n t h e y d i r e c t i o n f r e q u e n c y o r r a t e o f r o t a t i o n P a s s a g e f r e q u e n c y o f v o r t e x m o t i o n s a t a g i v e n x a n d b a s e d o n c o u n t i n g f r o m a s e q u e n t i a l p h o t o g r a p h i c d a t a x l v f r e q u e n C ) i n s t a b i l i f r e q u e n C ) a u t o s p e c t e s t i m a t e a c c e l e r a t d i s t a n c e s h a p e f a c s a m p l i n g t i m e d e p e t i m e d e p e l i q u i d 1 e t i m e d e p e u n i t V e c t H H l o c a t i O n e s t i m a t e m e a s u r e d V o r t e x p a m e a n V a l u r a t i o o f m a s s o f a t o t a l n u m t o t a l r m m m d i s t a n C e l t l h c t f c f o o m a o e u h t r t y r o u f m a e s o t p o h f e u r v h t x l e h t t d d e g e a o o s n , f w u e s i e e n n h h a t e e t e a a h h e t i h s i d m e g t o o e c r w c n m a t a a t s o t f y e l e s t A n i i d n n l f v n o n u n s t a b s i s r v l i i l l l o n i i e t d d n u a i a r l t n e y s n q q s u u m p a i n o o e i f f c d d e t i b s d o e f o 2 u l i c o t h e y z s e f i t t r r o e p w o d e a t t i t i t i b t t n n v n d d e d o e o i n t r m e e l e n e n n o r s f i f a r n r u e s e t q t q o u a u s e b e p n i n e c l c c y i y t t r c f e a e a e a s c t c i e m l a e i s t a n h a a m p p e l i d d n e e g p p l e e p c e t i d d v c e e e o o . d s s t t l t u j J l e s m v m r e o e a e e u m u e e t o i i i m m q i m n T i I T o s t t a r a t t s a t T c s a s t n i a i l l a m t t d a o o i n n p n h t t i o n a r x v t e a o e d p l f o f n n u u m m n c e f f s r r r h s a p l a o t p m i s t f o i a a n o o c l f f a i r u a e H i b b n r e e o u i g d e b n i d f c s o g i n g a e h v d t e o a o c i w r t t a s r b e t t f c p i c e e o n d i s t u r b a n d i c t e c d ) o e e n e m t p e a r r t i f n r e e d q d f b o y m r t t h h e e u e n c y f k t c u i a t f t y u i n o u c n ( t t i a n n c U V h ’ 1 ; e u l s - e l d i k b e y m p W l h e i n t u e ( 1 9 7 4 ) l f f y e t w a h o r s i r d i a n r t ; i a n h h t a m e s m c e e h n o e t i e t e a x v p s n l e v e t t t - e p x c t n v a o i a t e t l m s i a o e g v r n i h v e o v f o o e t r r r c g n t w e t i n e e e n n o m x f a i 0 b n j l n t t h s e t e a i s . . 4 a — — [ p o i e a d r u s i c n h g a n c e s e r l g o e c d a t i o n o e p h z c l e z e e l i n r e v u e e m f h r e r o n s q u a s e e b a e s n s t o i n o n E ( a 1 n 1 d ) k f t F h o t c o e e c l r r o x p t o e r r a e o x n u i i o m m e r e e s d o u n d t n t a l r u r u n i c C m t e a V a 2 l n t e n h m r e a m w i i n a t e s y s t e x l v i a t m o n t i m e d e p < i n d e x o f p r e s s u r e p r e s s u r e d i s t u r b a l f u n c t i o n k i n e t i c 1 t i m e a v e ] f l u c t u a t : p r e s s u r e p r e s s u r e l i q u i d a t m o S p h e ; a m b i e n t m a g n i t u d i f l o w r a t t i m e d e p w r a d i u s r a t i o o f R e y n o l d s R e y n o l d s R e Y H O I d s S t t e a l l l w i g S u m 0 f s < S t r o U h a l d e o p f e n r d e e f n r t a i t n i d o e n c x o f t h e n u m b e r o f m o t o r s t e p s x s s u t t i i n m d e e p r e s p d f k t f r i u i i l p p l r r i e s n s t c n m u e e q e c e s s u t t s s i u r u r i i u a r b o c a v e e a n e t n p r i r r e e u u d a t c d e e r n a i e g g n i s s e n c o n t v p c e r r n e i a s b s i u n r g s c t u h v o r a m e t l p e h u o c ; e e n u e p n n r f a u d = p o c n e k f t a t e t c p p p e h i n + k z l e = U O p ' ( x , y , z ) u o 1 f w o d p h n e g e r e c e n h v h o o l u u s m i e n g f l o a w b s e n o v e s t o h r e ( s V u F r S f ) a c e o f t h e e p o y k f t o o f z a t m o s p h e r i c p r e s s u r e a m b i e n t p r e s s u r e m a g n i t u d e o f v e l o c i t y V = u 1 + i u 2 f l o w r a t e t h r o u g h t h e s l i t - j e t t i m e d e p e n d e n t f l o w r a t e t h r o u g h t h e b l e e d v a l v e r a d i u s r a t i o o f w i d t h s o f t w o j e t s R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n w a n d < U > R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n w a n d U 0 R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n 0 s t r e a m w i s e d i s t a n c e i n t h e s t r e a m w i s e c o o r d i n a t e s y s t e m s u m o f s q u a r e s o f 6 k S t r o u h a l n u m b e r ; S t = f w / < U > x l i x r - r x 1 1 0 ; S t r o u h a l S t r o u h a l S t r o u h a l S t r o u h a l S t r o u h a l t i m e p e r v e l o c i t y t o t a l d a I t o l e r a n c r a v o r t e x t o l e r a n c e W h e t h e r 1 t i m e i n 1 k t h t i m e P a s s a g e 1 t l i é l r l s f o r r t h i c k n e s ; f r e e s t r e ; S p a t i a l / 1 9 0 2 x , y . C a S e m t i m e d e l V a l V e v e l o c i t i e t i m e [ n e a r C o n v e c t i c % 1 . 7 ” m , d y e = p 0 e ; ) n d e n t x m z v w e l f o o c r i t a y E v c t ( a i a X s m l Z e e v X e a l r a e t ' t h f e l u v i e d n a a n c d o n x t m r + a w c i n t a o n a f n v i h e t i b s l c e i e d d p , ‘ _ . ( ‘ 1 C . ‘ 9 “ C 1 S t r o u h a l n u m b e r b a s e d o n f F S t r o u h a l n u m b e r b a s e d o n f I S t r o u h a l n u m b e r b a s e d o n f V S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n f I a n d U 0 S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n f F , 9 a n d U 0 t i m e p e r i o d o f t h e d o m i n a n t f l u c t u a t i o n i n t h e m e a s u r e d v e l o c i t y t o t a l d a t a a c q u i s i t i o n t i m e f o r u ( t ) m e a s u r e m e n t u s i n g L D A t o l e r a n c e a r o u n d t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n t o d e c i d e w h e t h e r a v o r t e x i s " f a r " f r o m t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n t o l e r a n c e o n s p a c i n g b e t w e e n t w o v o r t e x m o t i o n s t o d e c i d e w h e t h e r t h e y h a v e p a i r e d t i m e i n s e c o n d s k t h t i m e s t e p f o r c o m p u t i n g t h e a r e a o f t h e b l e e d v a l v e p a s s a g e t i m e o f t h e k t h v o r t e x m o t i o n p a s t x o t r a n s f o r m e d § ’ - p 1 a n e t h i c k n e s s o f t h e n o z z l e p l a t e f r e e s t r e a m v e l o c i t y i n t h e x 1 d i r e c t i o n s p a t i a l / t e m p o r a l a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e j e t v e l o c i t i e s i n t h e x 1 a n d x 2 d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y t i m e m e a n o f t h e l o n g i t u d i n a l v e l o c i t y r m s o f t h e l o n g i t u d i n a l v e l o c i t y c o n v e c t i o n v e l o c i t y o f v o r t e x m o t i o n s d i s t u r b a r s t r e a m w i s v e c t o r d e c o m p l e x \ m a g n i t i d e v e l o c i t y v e l o c i t y r e l a t i v e V o l u m e o f v e l o c i t y v e l o c i t y V e l o c i t y t a n k S l i t w i d t S l i t w i d t t r a n s f o r n w i d t h o f f i n i t e 1 ) ] W i d t h o f a v e r a g e 9 1 s t r e a m w i s t i m e d e g S t r e a m w i s 3 t h P h o t o S t r e a m W i s s t r e a m W i s f l o w a n a l t t j s s s i h t t t t e h m r r r e e e e d e p e a p a a x m h m m i w o w w t t i i i o s s s e p g e e e n l r d a a d l n e p i a o e n h s n c t ; t d a a n i a t v s l c o e e e n a r e t a e o o e f f g r e q d a h h i t e e u t t a l s i c t o k p o n a t l o n h a r ( c n d 1 v e e i 2 o n o o 9 r a f t f ) t t o e x e s h b e s ( l e u k r e s t f v e h d t a r n v i o i o r o n t r t e i h x g e t h t p p ) a o i t r e f r t o h m e i n n t i a l ( y ) c u p 3 ( X ) L v e d i s t u r b a n c e v e l o c i t y v e c t o r ; 3 ' = i u ’ + j v ' s t r e a m w i s e d i s t u r b a n c e v e l o c i t y v e c t o r d e f i n i n g y d e p e n d e n c e o f 3 ' c o m p l e x v e l o c i t y = u 1 + i u 2 m a g n i t i d e o f v e l o c i t y i n t h e 5 d i r e c t i o n v e l o c i t y v e c t o r . _ 1 v e l o c i t y o f t h e b o u n d a r y o f t h e d e f o r m a b l e c o n t r o l v o l u m e r e l a t i v e v e l o c i t y o f t h e f l u i d c r o s s i n g t h e c o n t r o l s u r f a c e v o l u m e o f t h e i t h c o n t r o l v o l u m e v e l o c i t y o f b u l g e v e l o c i t y o f s t a r t i n g v o r t e x p a i r ( S V P ) ’ v e l o c i t y o f c u p o f t h e V F S r e l a t i v e t o t h e l i q u i d i n t h e 1 t a n k s l i t w i d t h ‘ s l i t w i d t h f o r a j e t i s s u i n g f r o m a n i n f i n i t e p l e n u m t r a n s f o r m e d t - p l a n e ; w = d + i ¢ w i d t h o f a j e t a t a d i s t a n c e x f r o m t h e e x i t p l a n e o f a f i n i t e p l e n u m w i d t h o f a j e t a t x i n t h e c a s e o f a n i n f i n i t e p l e n u m a v e r a g e w i d t h o f t h e d y e s t r e a k s t r e a m w i s e c o o r d i n a t e f l o w a n a l y s i s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d l i G R E E K S Y M B O o 2 a C P P L n o a a S g m r r l p a a e l e m m e e b x t t e e e X U X U u p p e r a 1 x d i s c r e t e n % n o r m a l i z o f b u l g e & d i s c r e t e Y l a t e r a l d l a t e r a l j t h p h o t 1 0 p a r a m e t e z t r a n s v e r z z = x 1 t h e f l o w 2 P O S i t i o n d b o u n d a r y k e s t i m a t e t h e k t h ‘ t r a n s f o r ] t r a n s f o n W e i g h t i n ; ( 1 4 1 ) e S t i m a t o ] m O d e l i e e r t e t e e m t r a h r a c t e s e a n o f a n d l o w e t i g t e z e e e c r r m b a u e l l c e e r r r p e a a h l l o t o e r r s m s e v f t l i t e x o o 1 w n r s i e d d F o d g t i f o u o i r i r s a n c e + i f e s c e f o m e r e s o r d t p t m i i a h t e n n h o i l c o r x d o z r ; e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n i n t h e x 1 d i r e c t i o n o x f i s t f t h p o r e l m a v e r a g e a n o e f X n l o c a t i o n o f t h e f o r m a t i o n t h e k t h v o r t e x l e f t o r r i g h t ) i n t h e e q u a t i o n f o r t h e M o n t g o m e r y p r o f i i n a t t h o f e i L s V c o m p l e x D T w i t h r p e l s a p n e e c d e t f i n i e t s s l e e o m e t r y o f ( o u d p i n o d l o f i a l j a t t h p t a r r a z t p h o e s a c n o g m l p p s r a n = s t i m k e l m m d e e e a x t t r a t f t h o e r f o r n n s s h t i n r r u t a a n i p p a a b e t t t o s h r r e a a w ( e 1 i 4 e m s o t d m o m g 1 i e e ) m l n t h e g b o d f y l o w t r a u ) ) t t g e i d i r n e i M o r n e o e s ( s q n 6 ( 7 v o r l e e c t i o n o f g r o e m s e s r i y o s a l a t p i a o s n x n a p a i l r i n ( ; p r o f i l e f r e q u e n c y o f g 1 e 4 5 ) s e e r e q u a t i o n e g r e s s i o n n e a r e q u a t i o e n t h e x l - b e t w w a e v i e n i n n u t m h t b e h d e e i r s ; m p o l a y f r t f e d r e e z { u x - - n v i p a a t i i r p p c l l t a a i n n o e n e r r e e y v m m g s l o o e e d d a a x i = d a n f e c r l e o o s s f o m f m e e e e s n f e o o r n n S t o t e e h q e t a n r f o d + r l t t h i t a h i h n i e c e i e a k d u ; u i a a s e n n m t e s i n e o t k i t o h ; ; d o c n F q r a t o r o f t h t u m d e f i c i t e t h i e p e n d e n k n e s s t o v a a r n i g a u b l a r p o s i t i o n 2 G R E E K S Y M B O L S 1 1 m o m e n t u m 1 w a v e l e n g i 1 1 w a v e l e n g l v k i n e m a t i r P d e n s i t y P W d e n s i t y ( P 2 t i m e d e p e P v d e n s i t y c 9 e s t i m a t e " b n o r m a l i z e t i o n o f t ” 0 ' 0 1 m s o f 0 1 : w S h e a r s t : ¢ f u n c t i o n 9 ' . d l s t u r b a n w ! d i S t u r b a n 9 ) c ° m p 1 e x f S P E C I A L S Y M B O L S ( ) t i m e a V e r i r m s o f t h ( 0 ) S p a t i a l a 1 “ H u m m u s i i t h C o n t r A / D a n a l o g t o m o m e n t u m d e f i c i t t h i c k n e s s a t s e p a r a t i o n w a v e l e n g t h o r s t r e a m w i s e s p a c i n g b e t w e e n v o r t e x m o t i o n s w a v e l e n g t h c o r r e s p o n d i n g t o f I k i n e m a t i c v i s c o s i t y d e n s i t y d e n s i t y o f w o r k i n g l i q u i d t i m e d e p e n d e n t d e n s i t y o f a i r i n t h e c o n t r o l v o l u m e C V 2 d e n s i t y o f a i r a t t h e v e n a c o n t r a c t a o f t h e b l e e d v a l v e e s t i m a t e o f t h e s t a n d a r d e r r o r n o r m a l i z e d e s t i m a t e o f t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n i n t h e l o c a - t i o n o f t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s f r o m t h e e x i t p l a n e r m s o f o u t p u t a n d i n p u t s i g n a l s o f L V D T s h e a r s t r e s s a t t h e w a l l f u n c t i o n d e s c r i b i n g t h e y d e p e n d e n c e o f p ' d i s t u r b a n c e s t r e a m f u n c t i o n d i s t u r b a n c e v o r t i c i t y f u n c t i o n c o m p l e x f r e q u e n c y ; w - w r + i w i ? E C I A L S Y M B O L S 9 t i m e a v e r a g e o f t h e q u a n t i t y ( ) . ) r m s o f t h e f l u c t u a t i n g q u a n t i t y ( ) > ) s p a t i a l a v e r a g e o f t h e q u a n t i t y ( ) B R E V I A T I O N S i i t h c o n t r o l v o l u m e 3 a n a l o g t o d i g i t a l c o n v e r t e r f i l l i n g d e v i c e l i i i L D A L S B L V D T S V P V F S l a s e r D 0 ] l e a s t s i g L i n e a r V a n o z z l e h ( s t a r t i n g v o l u m e f l L S B L V D T S V P V F S l a s e r D o p p l e r a n e m o m e t e r l e a s t s i g n i f i c a n t b i t L i n e a r V a r i a b l e D i f f e r e n t i a l T r a n s f o r m e r n o z z l e h o u s i n g s t a r t i n g v o r t e x p a i r v o l u m e f l o w s e n s o r 1 . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s u r a l l y t - j e t f n s a l t i d u y r s o l t c o u c w i n e r f i i s l i t - j e t 1B e a v e r s g e o m e t r y . a n d W i l s s l o t “ [ V a l l e n t i n e ( f l c o n i b e e r f i e l d . ) o f a l e t , c a s e A s a t h e e n v f o a a S t r e a I n l i n e s t h e t h e I“ t h e c a s e o f a r 1 Jet w i 9 9 1 1 ) f o r m s w i - E X i t e ' 1 t , N a m e . I n s y m e t r i c w o r t ; H I S T s ” - . l g n l f l c a n t C o n t r i t H I S T O R I C A L P E R S P E C T I V E A N D P L A N O F S T U D Y r n e d i l s y e e [ h l t s e t t V s , e a c T a j j e r t i i e a o e u r t l t t a s t " d - - v t h . j c w i t , S y ) e a r e d P t l m h a m ) n e i f i c a n a l l 3 L . " e C i 1 n e g l a A m a l s e t t s a . r o n e s o l v f n m d n c o t e e o e t t u c w n s f o r m f o i e a l e f i c c o d u y r t i r n W y e i h e a a n b a r f e . l f c i i c r s I v n n o t w i r r t i i n e s ( s g l o 1 d n 9 l u i . 6 d o i e b o e t a n d x u t e r a m a h d e l i d t n i m i c ( l 7 t o a o o d N ( a f ) c f i t n ] t f o i s l n n i c s o 1 t 9 e 7 e t F 0 a r o m a l y u m u i i p r g b u t ) r , e t i s d t , o a d u o i m d i , n n o , n t s o w c t s e i l r t p r e e l m i r e e h c e a e n m l 1 v d s . e i a p h i " d j l n n n 5 r n n r s s e y a a u , g d e t i h t f t m d h n a a e r t i o e v e w w p t s p i a h s l u d i p e a d a r h t h e f n e a i o h a l p o t t e l w y e o h r e h l e f t i a c - h e r e n n t s d r e t t a e t o v o n e f n s t s a u b b e d r m g e a e f t d e d e s i r r h l v w s e a c m o l e i t e n d h l a t e g t h l o p h t . e i l i t y c h a m i e c r r n h e a e o n t i d t f [ r t g r w e e o d p - t , o r d i r o t e n c h n V u a e l s e s e l e i s m a i e n c o n t d r o a w s R e T y h n e j e t o s [ e l B c n d t s s m W . e e s f o t a t r t e x t C v e t o r i i l i r n i s o " . e 6 n t n e s 9 e f k d c i f s p 7 i e K s o o f n t a h l e " e w m n d l l f f ) m t t i a l o ] h u h a i t n o . e m r I e a n t l r i t s h a e ( n a 1 m o i f o a w n n c o t s B t - a i e d t o W ] o r r i i m i o s e n n t a o h i n p c l r h e t d n ( e e t e u a m m b e r o a n r s k m a a n . . 1 I n t r o d u c t i o n (1980), t h i s w o r k , F°SS a n d K t h e R e y w i: a : W where i s t h e of the J'at a n d y O f i n < U > t h e T h e use u s e b y B W s l i t - j e t - T h e s i m p l e g e < to p r o d u c e a f l o w d e r s t a n d i n g 0 f 1 t } serve a s a b u i l d i n g free b o u n d a r y o f and growth analyses a n d l a y e r s y m m e n u m e r i T h e r e s u l t s 0 t e c h n o l o g i c a from a s l i t - j e t f l o w f i l a p p l i c a t i o n Shum i s r e l a schematical l' w h i c h : r e f o r e , d e p e n d u p o n t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e h i g h s p e e d 1 9 8 0 ) , F o s s a n d K o r s c h e l t ( 1 9 8 3 ) , h e r e i n a f t e r r e f e r r e d t o a s F K ] . I n h i s w o r k , t h e R e y n o l d s n u m b e r o f t h e j e t i s d e f i n e d a s V ( 1 ) h e r e w i s t h e w i d t h o f t h e j e t , < U > i s t h e s p a t i a l a v e r a g e v e l o c i t y f t h e j e t a n d u i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y o f t h e w o r k i n g l i q u i d . h e u s e o f < U > a s t h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y i s c o n s i s t e n t w i t h i t s s e b y B W i n t h e f i r s t i n v e s t i g a t i o n o f t h e i n s t a b i l i t y o f t h e l i t - j e t . T h e s i m p l e g e o m e t r y o f t h e s l i t - j e t n o z z l e ( F i g u r e l ) i s e x p e c t e d 0 p r o d u c e a f l o w f i e l d w h i c h i s u n i v e r s a l i n n a t u r e . H e n c e , a n u n - e r s t a n d i n g o f t h e i n s t a b i l i t y o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l s l i t - j e t w i l l e r v e a s a b u i l d i n g b l o c k i n u n r a v e l i n g t h e s t a b i l i t y p h e n o m e n a o f r e e b o u n d a r y l a y e r f l o w s . A l s o , t h e r e s u l t s r e l a t e d t o t h e f o r m a t i o n 1 d g r o w t h o f s y m m e t r i c v o r t e x p a t t e r n s c a n s e r v e a s a b e n c h m a r k f o r i a l y s e s a n d n u m e r i c a l e x p e r i m e n t a t i o n . T h e r e s u l t s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n a r e a l s o e x p e c t e d t o b e u s e f u l o m a t e c h n o l o g i c a l p o i n t o f V i e w . T h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i t - j e t f l o w f i l e d c a n b e e x p l o i t e d i n a n u m b e r o f w a y s . O n e s u c h P l i c a t i o n i s r e l a t e d t o t h e p e r f o r m a n c e o f a j e t p u m p . A j e t p u m p , > W n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 2 , c o n s i s t s o f a n i n n e r h i g h s p e e d j e t L c h e n t r a i n s t h e o u t e r f l u i d . T h e p u m p i n g e f f i c i e n c y w i l l , t w o - d i m e n s i o n a l j e t 1.2.1 I n s t a b i l i t y itself in the f o r m a j e t w h i c h w i l l c o n s e c o n d a r y f l u i d . t h r e e s u b s e c t i o n s ‘ s t a t e m e n t o f t h e . o f t h i s t h e s i s . 1 . 2 H i s t o r i c a l P e i T h e s t u d i e s i ) e x p e r i m e r i i ) e x p e r i m e r c o n t o u r e d 1 1 1 ) t h e o r e t i c t w 0 - d i m e n T h e i n s t a b i l i K i t ( 1 9 8 0 ) ] _ m o t ‘ i o n s c a n b e E X p r r i i i ) t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s o f t h e s t a b i l i t y o f a t w h i c h w i l l c o n t r o l i t s a b i l i t y t o i n d u c e s t r e a m w i s e m o t i o n i n t h e e c o n d a r y f l u i d . T h e b a l a n c e o f c h a p t e r 1 h a s b e e n s u b d i v i d e d i n t o h r e e s u b s e c t i o n s w h i c h d e a l w i t h ( i ) a r e v i e w o f l i t e r a t u r e , ( i i ) a t a t e m e n t o f t h e o b j e c t i v e s o f t h i s s t u d y , a n d ( i i i ) t h e o r g a n i z a t i o n f t h i s t h e s i s . i . 2 H i s t o r i c a l P e r s p e c t i v e T h e s t u d i e s i n v e s t i g a t i n g t h e s t a b i l i t y o f a n u n e x c i t e d , w o - d i m e n s i o n a l j e t w i l l b e c a t e g o r i z e d a s : l 1 ) e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f t h e i n s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t ; i i ) e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f t h e i n s t a b i l i t y o f j e t s i s s u i n g f r o m c o n t o u r e d n o z z l e s ; t w o - d i m e n s i o n a l j e t s . 2 . 1 I n s t a b i l i t y o f t h e S l i t - J e t F l o w F i e l d - E x p e r i m e n t a l S t u d i e s T h e i n s t a b i l i t y p h e n o m e n a o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d m a n i f e s t s s e l f i n t h e f o r m a t i o n o f a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t [ B W , C l a r k a n d t ( 1 9 8 0 ) ] . T h e n o n d i m e n s i o n a l f r e q u e n c y o f t h e n a t u r a l l y o c c u r r i n g : i o n s c a n b e e x p r e s s e d a s a S t r o u h a l n u m b e r , S t . s A a k “ ( 1 n t o n i a , 9 B 5 I , 4 O ) W n e R o R c ' 1N0te t h a t F K r e p u p o n t h e S is the m e a s u r e d i n f e r r e d CD " /110 = 0.7 P r e s e n t S t u d y . B W f o u n d t h a t S 2 5 0 - 1 5 0 0 . T h i s W 3 o b s e r v e d . A b r e a i s r e p o r t e d b y B W ( 1 9 8 0 ) s h o w c o n s t a d e n c e o n w . A s p a r a t u s d e p e n d e n t . 8 3 0 - 1 1 6 0 . 1 I n a d d i 1 . 2 w , a n d t h e c o n ‘ t h e i r R e r a n g e . t h e s 1 i t ~ j e t f l o w : t h a n a l e n g t h s < m o m e n t u m t h i c k n e s s j e t i s s u i n g f r o m a b y P a r a l l e l s t r e a m ] s e — f — W — ( 2 ) B W f o u n d t h a t S t w a s i n d e p e n d e n t o f R e ( S t = 0 . 4 3 ) o v e r t h e r a n g e 2 5 0 - 1 5 0 0 . T h i s w a s t h e s a m e r a n g e o v e r w h i c h s y m m e t r i c m o t i o n s w e r e o b s e r v e d . A b r e a k d o w n i n t h e f o r m a t i o n o f s y m m e t r i c c o h e r e n t m o t i o n s i s r e p o r t e d b y B W f o r R e v a l u e s g r e a t e r t h a n 1 5 0 0 . C l a r k a n d K i t ( 1 9 8 0 ) s h o w c o n s t a n c y o f S t w i t h R e , b u t , t h e i r S t s h o w s d i r e c t d e p e n - d e n c e o n w . A s i n t e r p r e t t e d b y F o s s ( 1 9 8 0 ) , t h i s s u g g e s t s a n a p - p a r a t u s d e p e n d e n t c o n d i t i o n . F K f o u n d S t = 0 . 6 1 o v e r t h e i r R e r a n g e o f 8 3 0 — 1 1 6 0 . 1 I n a d d i t i o n , F K f o u n d t h e s p a c i n g b e t w e e n t h e v o r t i c e s , A = 1 . 2 w , a n d t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y o f t h e v o r t i c e s , u c = 0 . 5 1 U 0 , o v e r t h e i r R e r a n g e . T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t t h e i n s t a b i l i t y p h e n o m e n a o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d d e p e n d u p o n a g e o m e t r i c l e n g t h s c a l e w , r a t h e r t h a n a l e n g t h s c a l e o f t h e s e p a r a t i n g b o u n d a r y l a y e r ( e . g . , t h e m o m e n t u m t h i c k n e s s 0 ) . T h i s m a k e s t h e s l i t - j e t f l o w d i f f e r e n t f r o m a j e t i s s u i n g f r o m a c o n t o u r e d n o z z l e . T h e l a t t e r f l o w i s c h a r a c t e r i z e d ) y p a r a l l e l s t r e a m l i n e s a t t h e e x i t p l a n e . [ S a t o ( 1 9 6 0 ) , S a t o a n d i a k a o ( 1 9 6 4 ) , R o c k w e l l a n d N i c c o l l s ( 1 9 7 2 ) , H u s a i n a n d C l a r k ( 1 9 7 7 ) , . n t o n i a , B r o w n e , R a j g o p a l a n a n d C h a m b e r s ( 1 9 8 3 ) , N a m e r a n d O t u g e n 1 N o t e t h a t F K r e p o r t e d a S t v a l u e o f 0 . 4 3 . T h i s v a l u e w a s b a s e d u p o n t h e m e a s u r e d c e n t e r l i n e v e l o c i t y U 0 . T h e v a l u e , S t = 0 . 6 1 , i s t h e i n f e r r e d S t r o u h a l n u m b e r u s i n g t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t , C D = < U > / U o = 0 . 7 1 , t h a t w a s c o m p u t e d u s i n g t h e d a t a f r o m t h e p r e s e n t s t u d y . (1988)]- T h e b a n d r e P ° r t e r d b e g i n s w i t h t h e c e n t e r l i v e s t i g a t e d n t o r t i c e s . F K i b e s s e q u e a k d o w i f w r 1 b y P a 0 e h r e e h e a v e S P 0 1 n t b : v s v i t a b i l i t t h e i r t h e f r o m s t t i o n s t h e o r t s e e x s h h w c u e d e h o i n n n s t a b i l i t t h e l a c k r a t e , e t c . , i n c h d o t y b s i i o t w n o c u a e s n a n b r t s u o f i n d i e a s e t a l r i j i 0 1 l t e b i i n e x h s p e with t h e p r e e x i s t i n 1.2.2 Instability The g r o w t h o f i n v e s t i g a t e d s t r e e t p a t sively Vortex Rockwell a n d N i c c o l t o r t e x p a t t e r n w e ( 1 9 8 8 ) ] . T h e b r e a k d o w n o f t h e s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s h a s b e e n o b s e r v e d a n d r e p o r t e d b y B W a n d C l a r k a n d K i t ( 1 9 8 0 ) . T h e p r o c e s s o f b r e a k d o w n b e g i n s w i t h p a i r i n g a n d c o a l e s c e n c e o f v o r t i c e s o n t h e s a m e s i d e o f t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . C l a r k a n d K i t ( 1 9 8 0 ) h a v e a l s o i n - v e s t i g a t e d t h e l a t e r a l d i s t o r t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f t h e c y l i n d r i c a l v o r t i c e s . F K h a v e h y p o t h e s i z e d t h e e x i s t e n c e o f t h r e e d i f f e r e n t i n - s t a b i l i t i e s r e s p o n s i b l e f o r t h e f o r m a t i o n o f t h e v o r t e x m o t i o n a n d t h e i r s u b s e q u e n t b r e a k d o w n . A c c o r d i n g t o t h e m , t h e " r o l l i n g u p " o f t h e s h e d b o u n d a r y l a y e r i n t o " u n i t " v o r t e x m o t i o n s c a n b e i n f e r r e d f r o m t h e i n s t a b i l i t y o f s i m i l a r c u r v e d s h e a r l a y e r s . T h e v o r t e x m o - t i o n s w h i c h w e r e o b s e r v e d b y B W h a v e b e e n h y p o t h e s i z e d t o b e c a u s e d b y t h e s e c o n d i n s t a b i l i t y w h i c h r e s u l t s i n a n a g g l o m e r a t i o n o f t h e " u n i t " v o r t e x m o t i o n s i n t o l a r g e s c a l e c o h e r e n t m o t i o n s . F i n a l l y , t h e t h i r d i n s t a b i l i t y c a u s e s t h e b r e a k d o w n o f t h e v o r t e x m o t i o n s . B e c a u s e o f t h e l a c k o f e x p e r i m e n t a l d a t a r e l a t e d t o v e l o c i t y p r o f i l e , g r o w t h r a t e , e t c . , i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d , n o c o m p a r i s o n s c a n b e m a d e w i t h t h e p r e e x i s t i n g r e s u l t s b a s e d u p o n t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s . 1 . 2 . 2 I n s t a b i l i t y o f 2 D J e t s I S S u i n g f r o m C o n t o u r e d N o z z l e s T h e g r o w t h o f n a t u r a l d i s t u r b a n c e s i n a j e t h a s b e e n m o r e e x t e n - s i v e l y i n v e s t i g a t e d f o r a c o n t o u r e d n o z z l e t h a n f o r a s l i t — j e t . T h e w r t e x s t r e e t p a t t e r n h a s b e e n f o u n d t o b e R e d e p e n d e n t [ s e e , e . g , , o c k w e l l a n d N i c c o l l s ( 1 9 7 2 ) ] . A c c o r d i n g t o t h i s s t u d y , a s y m m e t r i c o r t e x p a t t e r n w a s o b s e r v e d a t l o w e r v a l u e s o f R e 2 1 8 6 0 . A t v a l u e s of Re b e y o n d 5 0 0 0 m e t r i c n u m b e r l e t i n s t r e a m l i n a n d H u s s a R n p d m - a “ n t a d e s y n i t t e a h i s i s s i n S i t n ( 1 9 n e e X v p a t t e r n h a s f i l e a t t h e e b e p r o f i l o l w a s ( f u l T h i s t h a t s e b y s t ( u n d e r d d . l o p e d s - e d r e v v e e e e m s u d y n , s t i o n u f 8 f i e H p ' b i _" r t i c , t w a r r u o o l t i i t n j o e h e u t b c v n i o o s e i f t t b t h e f o r n t o n i a , ] ( 1 9 8 6 ) e n d o f t c w o - d i m e e n t e r l i n e v e l o c i t o f a n c i t y a d y s i d i y s m t m r ” h i C h i m p l y [ s t u d i e s A G o l d s c h m i d t f o r e t h e . m e t r i c W e dominant . b u t o f R e b e y o n d 5 0 0 0 t h e v o r t e x p a t t e r n w a s f o u n d t o c y c l e b e t w e e n a s y m — m e t r i c a n d a n a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t . T h e h i g h e s t v a l u e o f R e y n o l d s n u m b e r r e p o r t e d i n t h i s s t u d y w a s 1 0 , 8 0 0 . F r o m t h e p h o t o g r a p h s o f t h e j e t i n t h i s s t u d y , a t o p - h a t t y p e o f v e l o c i t y p r o f i l e w i t h p a r a l l e l s t r e a m l i n e s i s i n f e r r e d a t t h e e x i t p l a n e . I n o t h e r s t u d i e s [ H u s a i n a n d H u s s a i n ( 1 9 8 3 ) , C h a m b e r s , A n t o n i a a n d B r o w n e ( 1 9 8 5 ) ] , t h e v o r t e x p a t t e r n h a s b e e n f o u n d t o d e p e n d u p o n t h e s h a p e o f t h e v e l o c i t y p r o - f i l e a t t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t . F o r a t o p - h a t t y p e o f v e l o c i t y p r o f i l e ( u n d e r d e v e l o p e d v e l o c i t y p r o f i l e ) a s y m m e t r i c v o r t e x p a t t e r n m a s o b s e r v e d . H o w e v e r , i n t h e c a s e o f a p a r a b o l i c v e l o c i t y p r o f i l e f f u l l y - d e v e l o p e d p r o f i l e ) a n a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t w a s o b s e r v e d . h i s s e e m s t o b e i n a g r e e m e n t w i t h t h e f i n d i n g s o f S a t o ( 1 9 6 0 ) . I n : h a t s t u d y , t w o m o d e s o f f l u c t u a t i o n s w e r e f o u n d i n t h e f l o w f i e l d o f w o - d i m e n s i o n a l j e t s , o n e s y m m e t r i c a n d t h e o t h e r a s y m m e t r i c a b o u t t h e e n t e r l i n e o f t h e j e t . T h e a s y m m e t r i c f l u c t u a t i o n s p r e v a i l e d w h e n t h e e l o c i t y d i s t r i b u t i o n w a s n e a r l y p a r a b o l i c w h i c h i m p l i e s t h e f o r m a t i o n E a n a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t . H o w e v e r , f o r a t o p — h a t t y p e o f v e l o - i t y d i s t r i b u t i o n , s y m m e t r i c a l v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s w e r e o b s e r v e d r i c h i m p l y t h e f o r m a t i o n o f a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t . S o m e r e c e n t : u d i e s [ A n t o n i a , B r o w n e , R a j g o p a l a n a n d C h a m b e r s ( 1 9 8 3 ) , T h o m a s a n d l d s c h m i d t ( 1 9 8 6 ) ] h a v e s h o w n t h a t t h e n e a r - f i e l d o f a p l a n e j e t b e - r e t h e e n d o f t h e p o t e n t i a l c o r e e x h i b i t s t h e p r e s e n c e o f a s y m - : r i c m o d e , b u t f a r t h e r d o w n s t r e a m t h e a s y m m e t r i c m o d e b e c o m e s m i n a n t . s l i Unlike t h e the c o n t o u r e d theoretical j e t p r e d i c . . I n a d d i t i o n wavelength (197 )2 to be t o of R e t h e ‘ t h e dept afully-developed P' A l a r g e v a r n u m b e r [ c h a m b e r s a v a l u e s o f S t i n t h t h a t , w h e r e a s , 5 t t i o n , i t v a r i e s W i q u n c y o f s i n u s o i d a w i t h w i n d s p e e d " r a n g e , 1 0 0 - 2 0 0 0 , t 1 v a r i e d a s , f ( I r e p o r t e d S t , b a s e d t h e n i n c r e a s i n g ( m o m e n t u m t h i c k n e s s i n g t h e f r e q u e n c y 1 b e i n d e p e n d e n t o f i ( 1 9 7 2 ) f o u n d S t = 1 e “ 8 t h a n d v e l o c i t y b e e n f o u n d t o e x ( 1 9 6 8 ) ] . A l a r g e v a r i a t i o n e x i s t s i n t h e r e p o r t e d v a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r [ C h a m b e r s a n d G o l d s c h m i d t ( 1 9 8 2 ) ] . B a s e d u p o n t h e r e p o r t e d v a l u e s o f S t i n t h e p l a n e a n d c i r c u l a r j e t s S c h w e i g e r ( 1 9 8 3 ) c o n c l u d e d t h a t , w h e r e a s , S t i s i n d e p e n d e n t o f R e f o r a g i v e n n o z z l e c o n f i g u r a - t i o n , i t v a r i e s w i t h t h e w i d t h w . A c c o r d i n g t o S a t o ( 1 9 6 0 ) , “ t h e f r e - q u n c y o f s i n u s o i d a l f l u c t u a t i o n s i n t h e j e t h a s n o . s i m p l e r e l a t i o n w i t h w i n d s p e e d " . S a t o a n d S a k a o ( 1 9 6 4 ) f o u n d t h a t o v e r t h e l o w R e r a n g e , 1 0 0 - 2 0 0 0 , t h e f r e q u e n c y , f , o f t h e n a t u r a l l y o c c u r r i n g m o t i o n s v a r i e d a s , f « U i , w h e r e U j i s t h e j e t e x i t s p e e d . S a t o ( 1 9 6 0 ) r e p o r t e d S t , b a s e d u p o n w a n d U j ’ t o b e c o n s t a n t o v e r R e 1 5 0 0 - 8 0 0 0 a n d t h e n i n c r e a s i n g d r a m a t i c a l l y . H o w e v e r , f o r t h e s a m e d a t a w h e n t h e m o m e n t u m t h i c k n e s s 0 w a s u s e d a s t h e l e n g t h s c a l e i n n o n d i m e n s i o n a l i z - U . 0 i n g t h e f r e q u e n c y ( N 5 = 5 2 ) a n d i n d e f i n i n g R 9 6 = - & — , N j w a s f o u n d t o J b e i n d e p e n d e n t o f R e g f o r 8 0 2 R e a 2 5 0 0 . R o c k w e l l a n d N i c c o l l s ( 1 9 7 2 ) f o u n d S t = 0 . 0 1 2 R e o ' s . H e r e w a n d < U > h a v e b e e n u s e d a s t h e l e n g t h a n d v e l o c i t y s c a l e s , r e s p e c t i v e l y . A s i m i l a r r e l a t i o n s h i p h a s b e e n f o u n d t o e x i s t i n c i r c u l a r j e t s a s w e l l [ B e c k e r a n d M a s s a r o ( 1 9 6 8 ) ] . U n l i k e t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d , e n o u g h d a t a h a v e b e e n a c q u i r e d i n : h e c o n t o u r e d j e t t o c o m p a r e t h e e x p e r i m e n t a l f i n d i n g s w i t h t h e h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s b a s e d u p o n t h e l i n e a r i z e d s t a b i l i t y t h e o r y . n a d d i t i o n t o t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e v o r t i c a l m o t i o n s , t h e a v e l e n g t h o f t h e s e m o t i o n s h a s b e e n f o u n d b y R o c k w e l l a n d N i c c o l l s 0 . 5 1 9 7 2 ) t o b e R e d e p e n d e n t : a = 0 . 4 4 R e - F o r t h e l a m i n a r j e t w i t h f u l l y - d e v e l o p e d p r o f i l e , t h e l o w e s t R e y n o l d s n u m b e r a t w h i c h t h e j e t h a s b e e n f o u n d t o c o n f i r m e d b y t h t h e p r e s e n c e o f p a r o u n d R e = 1 0 . p e r i o d i c v e l o c i t y b e y o n d x = 2 0 w p o n e n t o f v e l o c i t 0 f t h e j e t , w i v e l o c i t y p r o f i l e a g r e e m e n t b e t w e e ‘ t i o n s . 1 ' 2 - 3 T h e o r e t i C a V a r i o u s a p p r ‘ S t a b i l i t y o f m o m i ) a 8 0 1 m : R a y l e i g l d i s t u r b . i i ) a s o l u ‘ i i i ) a 5 1 1 1 1 1 1 1 ; T h e - h a s b e e n f o u n d t o b e c o m e u n s t a b l e i s 1 0 [ A n d r a d e 1 9 3 9 ] . T h i s h a s b e e n c o n f i r m e d b y t h e m e a s u r e m e n t s o f S a t o a n d S a k a o ( 1 9 6 4 ) w h o o b s e r v e d t h e p r e s e n c e o f p e r i o d i c v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s i n t h e j e t b e g i n n i n g a r o u n d R e = 1 0 . T h e i r i n v e s t i g a t i o n a l s o s h o w e d t h a t f o r R e 2 5 0 t h e p e r i o d i c v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s o f t h e n e a r — f i e l d b e c a m e i r r e g u l a r b e y o n d x z 2 0 w . T h e g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s i n t h e s t r e a m w i s e c o m - p o n e n t o f v e l o c i t y h a s b e e n f o u n d t o b e e x p o n e n t i a l i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t , w i t h t h e r a t e o f g r o w t h d e p e n d e n t u p o n t h e s h a p e o f t h e v e l o c i t y p r o f i l e [ S a t o ( 1 9 6 0 ) ] . I n t h e s a m e s t u d y S a t o h a s s h o w n g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n h i s e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a n d t h e o r e t i c a l p r e d i c - t i o n s . 1 . 2 . 3 T h e o r e t i c a l I n v e s t i g a t i o n o f I n s t a b i l i t y o f 2 D J e t s V a r i o u s a p p r o a c h e s h a v e b e e n u s e d t o a n a l y t i c a l l y i n v e s t i g a t e t h e s t a b i l i t y o f t w o - d i m e n s i o n a l j e t s . T h r e e o f t h e s e a r e : i ) a s o l u t i o n o f t h e ( v i s c o u s ) O r r - S o m m e r f e l d o r t h e ( i n v i s c i d ) R a y l e i g h e q u a t i o n f o r t e m p o r a l o r s p a t i a l g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s ; i i ) a s o l u t i o n o f f u l l N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n u s i n g n u m e r i c a l m e t h o d s ; i i i ) a s i m u l a t i o n o f t h e v o r t e x s t r e e t u s i n g p o i n t v o r t i c e s . 1 e f i r s t t e c h n i q u e i s t h e m o s t c o m m o n l y u t i l i z e d . C o m m o n p r a c i tions o f t h e i) T h e i n s t é s t a b i ] t o b e s e n s i t i v e t c p o n e n t [ S l a v i c ( 1 9 and C r i m i n a l e ( 1 9 7 l s y a 7 s u s d a i l e a s t t w o s o . W h e r e a s , t h e t i o n , t h e l i n e a r i z e d a s C r i n i n a l e ( 1 s t 9 i i ) T h e i n v e s t i g a t e d t e l y l a r g e t u r b a t i o n c c e n t e r l i n e o r t h e l a t d o o e i n f r R e s e a r c h e r s , d i t i o n o f t h e a n d C r i m i n a l e u y m b 1 t n t i t m m i m e o e t i l i ) a d a t ] . b e n i i r c o t h e g l , n u g e t o r ( 1 9 ' d e S i g n a t e t h e s y m m a n d I k e d a (195°) b a n c e s b a g e d d e s i g n a t i o n u p o n b y t h e . ‘ 1 . 2 . 3 . 1 S o l u t i o n 1 . 2 . 3 . 1 S o l u t i o n o f O r r - S o m m e r f e l d E q u a t i o n C o m m o n p r a c t i c e s a n d m a j o r r e s u l t s o f t h e t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a - t i o n s o f t h e i n s t a b i l i t y o f t h e j e t a r e : i ) T h e s t a b i l i t y o f t h e s y m m e t r i c p r o f i l e o f a j e t h a s b e e n f o u n d t o b e s e n s i t i v e t o t w o m o d e s o f d i s t u r b a n c e s i n a g i v e n v e l o c i t y c o m - p o n e n t [ g a v i c ( 1 9 4 1 ) , S a v i c a n d M u r p h y ( 1 9 4 3 ) , S a t o ( 1 9 6 0 ) , M a t t i n g l y a n d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) a n d I k e d a ( 1 9 7 7 ) ] . T h a t i s , t h e r e e x i s t s a t l e a s t t w o s o l u t i o n s t o t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m [ K o o c h e s f a h a n i ( 1 9 8 9 ) ] . W h e r e a s , t h e s y m m e t r i c a r r a n g e m e n t o f v o r t i c e s r e p r e s e n t s o n e s o l u - t i o n , t h e a s y m m e t r i c a r r a n g e m e n t r e p r e s e n t s t h e o t h e r s o l u t i o n o f t h e l i n e a r i z e d s t a b i l i t y e q u a t i o n [ S a v i c a n d M u r p h y ( 1 9 4 3 ) , M a t t i n g l y a n d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) ] . i i ) T h e s t a b i l i t y o f a g i v e n v e l o c i t y p r o f i l e ( t h e b a s i c f l o w ) i s ' n v e s t i g a t e d u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f v a n i s h i n g f l u c t u a t i o n s a t i n f i n i - e l y l a r g e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . I n a d d i t i o n , p e r — u r b a t i o n c o n d i t i o n s ( s y m m e t r i c o r a s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e e n t e r l i n e o f t h e j e t ) a r e a l s o s p e c i f i e d : e i t h e r t h e s t r e a m w i s e , u ’ , r t h e l a t e r a l , v ’ , c o m p o n e n t o f d i s t u r b a n c e v e l o c i t y i s u s e d . e s e a r c h e r s , i n g e n e r a l , d o n o t a g r e e i n d e s i g n a t i n g t h e s y m m e t r y c o n - i t i o n o f t h e u o r v c o m p o n e n t o f v e l o c i t y . F o r e x a m p l e , M a t t i n g l y d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) u s e d t h e v c o m p o n e n t o f v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s t o s i g n a t e t h e s y m m e t r y c o n d i t i o n o f t h e d i s t u r b a n c e s , w h e r e a s , S a t o . 9 6 0 ) a n d I k e d a ( 1 9 7 7 ) d e f i n e d t h e s y m m e t r y c o n d i t i o n o f t h e d i s t u r - a n e s b a s e d u p o n t h e u c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s . T h e s i g n a t i o n b y t h e l a t t e r a u t h o r s w i l l b e u s e d i n t h i s s t u d y : b ) A d s i y s m t m r e i t b l i w ‘ p p e a c t C r n t ! i o t b e :‘ e e r d s d e a a r e a T n e x n h s t e s , b s e c } c s C m m o u r m O D : i a ] i m i m t v a = t a q u a t i c ] w v m h e r e o e r t t r i c i i c p t v ' y o [ M a t t i n g l i s i f i ) l o h b S a h s a i p c e S P S C i f i e d , r y w a W Y ) h a s b e e n ( 1 9 5 6 ) ) t i n g l ) ’ a T n a d t h e a b o v e t r i b u t i o m o M n n b t g ] y P r o f i l e g i V e a ) s y m m e t r i d i s t r i b L a n d w ’ E a n d w ' E 1 0 a ) S y m m e t r i c d i s t u r b a n c e c o n d i t i o n : t h e u ' d i s t u r b a n c e s a r e d i s t r i b u t e d s y m m e t r i c a l l y w i t h r e s p e c t t o y w h e r e a s v ' , p ' a n d w ' a r e a s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d . b ) A s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e c o n d i t i o n : t h e u ’ d i s t u r b a n c e s a r e d i s t r i b u t e d a s y m m e t r i c a l l y w i t h r e s p e c t t o y w h e r e a s v ' , m ' a n d w ’ a r e s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d . w h e r e p ' a n d w ' a r e t h e d i s t u r b a n c e s t r e a m f u n c t i o n a n d d i s t u r b a n c e v o r t i c i t y , r e s p e c t i v e l y . I t i s t o b e n o t e d t h a t ( a ) r e s u l t s i n a s y m — m e t r i c v o r t e x p a t t e r n , a n d ( b ) r e s u l t s i n a n a s y m m e t r i c v o r t e x p a t t e r n [ M a t t i n g l y a n d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) ] . i i i ) T h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e o f t h e j e t f l o w s e r v e s a s t h e b a s i c f l o w s t a t e i n t h e s t a b i l i t y e q u a t i o n . V a r i o u s v e l o c i t y p r o f i l e s h a p e s h a v e b e e n u s e d . T h e B i c k l e y j e t [ B i c k l e y ( 1 9 3 7 ) ] w h i c h i s s p e c i f i e d a s , U ( y ) = b s e c h 2 ( § ) a , b a r e c o n s t a n t s ( 3 ) [ a s b e e n c o m m o n l y u s e d [ S a v i c ( 1 9 4 1 ) , S a v i c a n d M u r p h y ( 1 9 4 3 ) , C u r l e 1 9 5 6 ) , T a t s u m i a n d K a k u t a n i ( 1 9 5 8 ) , S a t o a n d S a k a o ( 1 9 6 4 ) a n d M a t - i n g l y a n d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) ] . S a t o ( 1 9 6 0 ) h a s u s e d a m o d i f i e d f o r m o f h e a b o v e e q u a t i o n . I k e d a ( 1 9 7 7 ) h a s u s e d a p a r a b o l i c v e l o c i t y d i S - r i b u t i o n . M o n t g o m e r y ( 1 9 8 5 ) h a s s p e c i f i e d a t o p - h a t t y p e o f v e l o c i t y T o f i l e g i v e n b y m e n t o f S a t o a n d w i t h m a x i m u m a m p l i v ) A s e x p f e r e n t s t a b i l i t y C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) h i g h e r g r o w t h r a t f o u n d t h e s a m e M o n t g m m e r y ( 1 9 8 5 ) f i l e t h e S y m m e t E l S l ’ l l l l l l e t r i c d i s t u r b e r e p r e s e n t e d v o r t e x S t r e e t , w t m e t r i c v o r t e x s t : V ) F o r t h e f o u n d t o b e 4 [ C r T h e r e s u l t S t h e i n s t a b i l i t y c i t y p h e n o m e n a . F i ) T h e V a l u h a s n o t b e e n e X p e i i ) S a t o ( l l 1 l y 1 5 y 0 u ( y ) = ( 4 ) l y l - y O l y l - y 0 2 c o s h - _ — E — — e x p - 0 . 5 — — — E — - | y | 2 y 0 i v ) A s e x p e c t e d , d i f f e r e n t v e l o c i t y p r o f i l e s h a p e s p r e d i c t d i f - : r e n t s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s . F o r t h e B i c k l e y j e t , M a t t i n g l y a n d T i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) h a v e f o u n d t h e a s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s t o h a v e a . g h e r g r o w t h r a t e t h a n t h e s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s . I k e d a ( 1 9 7 7 ) ) u n d t h e s a m e t o b e t r u e f o r a p a r a b o l i c v e l o c i t y p r o f i l e . v n t g o m e r y ( 1 9 8 5 ) , h o w e v e r , f o u n d t h a t f o r t h e t o p - h a t v e l o c i t y p r o - . l e t h e s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s e x h i b i t h i g h e r g r o w t h r a t e t h a n t h e : y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s . H e n c e , i f t h e v e l o c i t y p r o f i l e o f a j e t c a n r e p r e s e n t e d b y e q u a t i o n ( 4 ) t h e j e t s h o u l d e x h i b i t a s y m m e t r i c r t e x s t r e e t , w h e r e a s , f o r t h e p r o f i l e g i v e n b y e q u a t i o n ( 3 ) a n a s y m — t r i c v o r t e x s t r e e t s h o u l d b e e x p e c t e d . ‘ v ) F o r t h e B i c k l e y j e t , t h e c r i t i c a l R e y n o l d s n u m b e r h a s b e e n r n d t o b e 4 [ C u r l e ( 1 9 5 6 ) , T a t s u m i a n d K a k u t a n i ( 1 9 5 8 ) ] . T h e r e s u l t s o f t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s o f : i n s t a b i l i t y o f t h e j e t a g r e e o n l y i n s o m e a s p e c t s w i t h t h e s t a b i l - ' p h e n o m e n a . F o r e x a m p l e , s o m e o f t h e d i s a g r e e m e n t s a r e : i ) T h e v a l u e o f t h e c r i t i c a l R e y n o l d s n u m b e r f o r t h e B i c k l e y j e t n o t b e e n e x p e r i m e n t a l l y c o n f i r m e d i n t h e w e l l c o n t r o l l e d e x p e r i - t o f S a t o a n d S a k a o ( 1 9 6 4 ) . i i ) S a t o ( 1 9 6 0 ) r e p o r t s t h a t f o r t h e B i c k l e y j e t t h e f r e q u e n c y 1 m a x i m u m a m p l i f i c a t i o n r a t e d o e s n o t a g r e e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d f r e q u e n c p a r a b o l i c j e t g o o t h e o r e t i c a l r e s u l i i i ) T h e t h a c i c a t i o n , 7 ’ b a s e r d o n o t a g r e e v i ( 1 9 6 0 ) . A p r o b a b l e p r e d i c t i o n s a n d e P a r a l l e l f l o w i n n o t b e P a r a l l e l e ( 1 9 5 3 ) . S a t o a n d C O U S i d e r i n g l e c t u r e d t h a t a 1 1 1 w i l l r e q u i r e t a k i i ) t h e c u r P l a n e o f t h e j e t P r o f i l e i n t h e s t 1 1 ) t h e V i s e H o w e v e r , w h e n t h e c a l c u l a t i o n s a r e b a s e d u p o n t h e s e r v e d f r e q u e n c y . r a b o l i c j e t g o o d a g r e e m e n t i s a c h i e v e d b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d e o r e t i c a l r e s u l t s . T h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s o f t h e s p a t i a l r a t e o f a m p l i f i ~ i i i ) a c i t i o n , - — , b a s e d u p o n t h e B i c k l e y p r o f i l e a n d t h e p a r a b o l i c p r o f i l e r n o t a g r e e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d v a l u e s f o u n d b y S a t o 9 6 0 ) . A p r o b a b l e c a u s e f o r t h e d i s a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l e d i c t i o n s a n d e x p e r i m e n t i s c o n s i d e r e d t o b e t h e a s s u m p t i o n o f r a l l e l f l o w i n t h e f o r m e r . T h a t i s , t h e s t r e a m l i n e s a r e o b s e r v e d t o t b e p a r a l l e l e s p e c i a l l y a t l o w R e v a l u e s [ T a t s u m i a n d K a k u t a n i 9 5 8 ) , S a t o a n d S a k a o ( 1 9 6 4 ) ] . C o n s i d e r i n g t h e s t a t e o f t h e a r t o f s t a b i l i t y t h e o r y , i t i s c o n - : t u r e d t h a t a m o d e l l i n g o f t h e s l i t - j e t s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s 1 r e q u i r e t a k i n g i n t o a c c o u n t : i ) t h e c u r v a t u r e o f t h e s t r e a m l i n e s i n t h e v i c i n i t y o f t h e e x i t n e o f t h e j e t w h i c h r e s u l t s i n a r a p i d l y c h a n g i n g m e a n v e l o c i t y f i l e i n t h e s t r e a m w i s e d i r e c t i o n ; i i ) t h e v i s c o u s e f f e c t s ( e s p e c i a l l y a t l o w R e v a l u e s ) . d a r l ’ . b u t , d i s t a n c e g r a p h i c f o a r b t a t u h t r o } o f o d f a 1 . 2 . 3 . 2 N u m e r i c a N u m e r i c a l s p r i m i t i v e v a r i a b V ( X . y , z , t ) , e t c . b i l i t y c h a r a c t e r i a p p l i e d t h i s t e t i l e - d i m e n s i o n a l j t h e i r c a l c u l a t i o s h o w f o r m a t i o n o f d i m e n s i o n a l p a s s t h e J e t W i d t h , w e w i t h t h e e x p e r i m n a t i o n s [ S a t o ( 1 9 b e e n f o u n d t o S t r e a m _ F l o w V i s u a l f i e l d b a g e d u p ” e x p e r i m e U t e l l w o r t i v e a g r e e m e n t : i ) T h e f o r s t u d i e s S e e m s t o ‘ 1 . 2 . 3 . 2 N u m e r i c a l S o l u t i o n o f F u l l N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n N u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n i n t h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s c a n p r o v i d e s u f f i c i e n t d a t a [ u ( x , y , z , t ) , ( x , y , z , t ) , e t c . ] i n a g i v e n p h y s i c a l d o m a i n t o i n v e s t i g a t e t h e s t a - i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f a g i v e n f l o w f i e l d . S h i m i z u a n d W a d a ( 1 9 8 5 ) p p l i e d t h i s t e c h n i q u e t o s t u d y t h e v o r t e x g r o w t h p r o c e s s i n a w o - d i m e n s i o n a l j e t w i t h a p o t e n t i a l c o r e . T h e o u t f l o w b o u n d a r y i n h e i r c a l c u l a t i o n s t e r m i n a t e d a t 7 j e t w i d t h s . T h e s t r e a k l i n e p l o t s h o w f o r m a t i o n o f s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s f o r R e > 8 0 0 . T h e n o n - ‘ i m e n s i o n a l p a s s a g e f r e q u e n c y , b a s e d u p o n t h e c e n t e r l i n e v e l o c i t y a n d : h e j e t w i d t h , w a s f o u n d t o b e 0 . 2 2 . T h i s v a l u e c o m p a r e s q u i t e w e l l i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d v a l u e o f 0 . 2 3 f o r s y m m e t r i c a l f o r - a t i o n s [ S a t o ( 1 9 6 0 ) ] . I n t h i s n u m e r i c a l s t u d y t h e d i s t u r b a n c e s h a v e e e n f o u n d t o g r o w e x p o n e n t i a l l y u p t o a b o u t 4 . 2 s l i t - w i d t h d o w n - t r e a m . F l o w v i s u a l i z a t i o n o b s e r v a t i o n o f t h e d e v e l o p m e n t o f t h e f l o w , e l d b a s e d u p o n t h e n u m e r i c a l w o r k o f S h i m i z u a n d W a d a ( 1 9 8 5 ) a n d t h e p e r i m e n t a l w o r k o f B W i n a s l i t - j e t f l o w f i e l d s h o w s s o m e q u a l i t a — v e a g r e e m e n t : 1 ) T h e f o r m a t i o n o f t h e l a r g e s c a l e s y m m e t r i c m o t i o n s i n b o t h i d i e s s e e m s t o b e g i n w i t h s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s o n t h e j e t b o u n - f y , b u t , f o r t h e n u m e r i c a l w o r k t h e s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s f o r m a t a : t a n c e o f a b o u t 3 s l i t - w i d t h s d o w u s t r e a m ; i n c o m p a r i s o n , t h e p h o t o - p h i c d a t a f r o m B W s h o w t h e p r e s e n c e o f t h e s e d i s t u r b a n c e s w i t h i n a d i s t a n c e 1 1 ) ° f 1 T h e f o r R e v a l u e s S N “‘1” 1 5 5 t h e g r o w t l s h o w s : 2 5 0 . i i i ) of f u l l y T h e n “ d ' e v e l ° h e C l a r k a n d K i t ( 1 9 1 . 2 . 3 . 3 S i m u l a t i S o m e o f t h e h a v e a l s o b e e n i n g r o w t h a n d d e v e l i s r e p r e s e n t e d t a n c e a p a r t . b y P e r r e s p e c t t o e a c h 0 c a l i z e d t e r n . d i s t u r b a : . T h e i r c o m for b o t h t h e , s t r e e t ' 1 . e . , ' d i s t u r b a n c e s . to c h e c k t h e m i n e d V a l u e s . 8‘ S Y I T h e a g r e e l 4 d i s t a n c e o f 1 s l i t - w i d t h d o w n s t r e a m . i i ) T h e n u m e r i c a l w o r k d o e s n o t e x h i b i t s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s f o r R e v a l u e s l e s s t h a n 8 0 0 . T h e e x p e r i m e n t a l d a t a o n t h e o t h e r h a n d , s h o w s t h e g r o w t h a n d d e v e l o p m e n t o f s y m m e t r i c m o t i o n s b e g i n n i n g a t R e z 2 5 0 . i i i ) T h e n u m e r i c a l w o r k d o e s n o t s h o w t h e p r o c e s s o f c o a l e s c e n c e o f f u l l y d e v e l o p e d v o r t i c e s w h i c h w a s c o m m o n l y o b s e r v e d b y B W a n d l a r k a n d K i t ( 1 9 8 0 ) . . 2 . 3 . 3 S i m u l a t i o n o f V o r t e x S t r e e t S o m e o f t h e i n s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f a t w o - d i m e n s i o n a l j e t a v e a l s o b e e n i n v e s t i g a t e d b y u s i n g p o i n t v o r t i c e s t o s i m u l a t e t h e r o w t h a n d d e v e l o p m e n t o f t h e v o r t e x s t r e e t . I n t h i s m e t h o d , t h e j e t 5 r e p r e s e n t e d b y t w o r o w s o f p o i n t v o r t i c e s w h i c h a r e a c e r t a i n d i s — a n c e a p a r t . P e r t u r b a t i o n s a r e i n t r o d u c e d b y d i s p l a c i n g t h e r o w s w i t h a s p e c t t o e a c h o t h e r s y m m e t r i c a l l y o r a s y m m e t r i c a l l y . B W i m p o s e d l o - l i z e d d i s t u r b a n c e s o n t h e r o w o f v o r t i c e s t o s t u d y t h e g r o w t h p a t - r n . T h e i r c o m p u t a t i o n s s h o w t h a t a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t r e s u l t s : b o t h t h e s y m m e t r i c a n d a s y m m e t r i c p e r t u r b a t i o n o f t h e v o r t e x ' e e t ; i . e . , s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s s h o u l d d o m i n a t e i t h e a s y m m e t r i c t u r b a n c e s . T h e y d i d n o t c a l c u l a t e a n y o t h e r i n s t a b i l i t y p a r a m e t e r s : h e c k t h e a g r e e m e n t w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g e x p e r i m e n t a l l y d e t e r - d v a l u e s . A r e f a n d S i g g i a ( 1 9 8 1 ) s t u d i e d i n d e t a i l t h e e v o l u t i o n a n d b r e a k - O f a n a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t . A s a s p e c i a l c a s e , t h e y n u m b e r s r a n g i n g f i n v e s t i g a t e d t h e t u r b a t i o n t o r e s e m e t r i c v o r t e x 5 r e p r e s e n t v o r t e x H o w e v e r , a t l a t m o d e a n d n e a r e s t s t r e e t i s m a i n t a j 1 - 3 O b j e c t i v e s 0 T h e O b j e c t a n a l y t i c a l l y i n v e i s o t h e r m a l . t w o - u s i n g t h e f o l l o w i ‘ i ) D e t a i l e . f i e l d 0 ‘ t a i n e d , U s i n g n a ) h y p c t h e 5 7 1 1 1 1 1 b ) C h e c k O n l y u p m o r e 1 i “ C ) d e t e 1 5 v e s t i g a t e d t h e e v o l u t i o n o f t w o v o r t e x s h e e t s w i t h a n i n i t i a l p e r - r b a t i o n t o r e s e m b l e a p l a n e j e t . T h e t w o s h e e t s e v o l v e d i n t o a s y m - t r i c v o r t e x s t r e e t . T h e c a l c u l a t i o n s s h o w t h a t t h e s p i r a l s w h i c h p r e s e n t v o r t e x m o t i o n s b e c o m e f u z z y w i t h t h e p a s s a g e o f t i m e . w e v e r , a t l a t e r t i m e s t h e " v o r t i c e s b e c o m e u n s t a b l e t o a p a i r i n g d e a n d n e a r e s t n e i g h b o r s m e r g e " . T h e s y m m e t r i c c h a r a c t e r o f v o r t e x e e t i s m a i n t a i n e d a t a l l t i m e s . O b j e c t i v e s o f t h e P r e s e n t S t u d y T h e o b j e c t i v e o f t h i s s t u d y w a s t o e x p e r i m e n t a l l y a n d l y t i c a l l y i n v e s t i g a t e t h e i n s t a b i l i t y p h e n o m e n a o f a s u b m e r g e d , t h e r m a l , t w o - d i m e n s i o n a l s l i t - j e t f l o w f i e l d a t l o w R e y n o l d s b e r s r a n g i n g f r o m 1 0 0 - 4 0 0 0 . T h i s o b j e c t i v e h a s b e e n a d d r e s s e d b y m g t h e f o l l o w i n g e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s : 1 ) D e t a i l e d f l o w v i s u a l i z a t i o n p i c t u r e s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d o v e r m u c h o f t h e d e s i r e d r a n g e o f R e h a v e b e e n o b - t a i n e d . i i ) U s i n g t h e d a t a b a s e o f ( i ) : a ) h y p o t h e s i z e t h e p r o c e s s w h i c h l e a d s t o t h e f o r m a t i o n o f t h e s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t ; b ) c h e c k w h e t h e r t h e s y m m e t r i c c o h e r e n t m o t i o n s a r e o b s e r v e d o n l y u p t o R e = 1 5 0 0 a s r e p o r t e d b y B W . N o t e t h a t F K i n a m o r e l i m i t e d i n v e s t i g a t i o n , s u p p o r t e d t h e o b s e r v a t i o n o f B W ; c ) d e t e r m i n e t h e R e y n o l d s n u m b e r d e p e n d e n c e , i f a n y , o f t h e . 4 , < V q u a l i t e t h e s y n d ) c h e v o r t e x f i r s t 0 i i i ) M e a s u r e < v t h e B i c b e s t f e i g e n v a f o r t h e M e a s u r e C e n t e r l t u r b a n c ‘ i n ( 1 1 1 ; D e t e r m i x u s i n g t l V e l o c i t ) n u fl l b e r s _ ( r e g a r d s P r o v i d e f i e l d . w i t h t h e t h r o u g h i i i ) i v ) l 6 q u a l i t a t i v e f e a t u r e s o f t h e g r o w t h a n d b r e a k d o w n p r o c e s s o f t h e s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s ; d ) c h e c k F K ’ s h y p o t h e s i s t h a t t h e a g g l o m e r a t i o n o f u n i t v o r t e x m o t i o n s r e s u l t s i n " l a r g e “ s c a l e m o t i o n s w h i c h w e r e f i r s t o b s e r v e d b y B W . M e a s u r e t h e u ( x = c , y ) v e l o c i t y p r o f i l e s a n d d e t e r m i n e w h e t h e r t h e B i c k l e y ( e q u a t i o n 3 ) o r M o n t g o m e r y ( e q u a t i o n 4 ) p r o f i l e b e s t f i t s t h e d a t a . U s e t h e f i t t e d p r o f i l e a n d c o m p u t e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e i n v i s c i d . l i n e a r i z e d s t a b i l i t y e q u a t i o n f o r t h e s p a t i a l l y g r o w i n g d i s t u r b a n c e s . M e a s u r e t h e l o n g i t u d i n a l v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t t o d e t e r m i n e t h e g r o w t h r a t e o f d i s » t u r b a n c e s a n d c o m p a r e i t w i t h t h e c o m p u t e d v a l u e s a s f o u n d i n ( i i i ) . D e t e r m i n e t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e s l i t - j e t f l o w , u s i n g t h e m e a s u r e d c e n t e r l i n e ( U 0 ) a n d s p a t i a l a v e r a g e ( < U > ) v e l o c i t y v a l u e s a s C = $ 2 2 . D U O o v e r a w i d e r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r s . N o t e t h a t t h e s e d a t a a r e o f i n t r i n s i c i n t e r e s t ( r e g a r d i n g t h e n o z z l e s h a p e s u s e d i n t h i s s t u d y ) a n d t h e y p r o v i d e v a l u a b l e d i a g n o s t i c i n f o r m a t i o n a b o u t t h i s f l o w - f i e l d . S p e c i f i c a l l y , t h e m e a s u r e d C v a l u e s c a n b e c o m p a r e d D w i t h t h e v a l u e o f 0 . 6 1 1 w h i c h c h a r a c t e r i z e s a n i n v i s c i d f l o w t h r o u g h t h e s l i t - j e t n o z z l e s . 1.1+ C o n t e n t s o f chalJter investigation: 2 i) Potenti“ upstream a n d d o m The purpose °f d Plenum which W i l ] jet. ii) Thwaite d i s t r i b u velocity boundary l a y e r p a i i i ) L i n e a r growth of d i s t u r b e q u a t i o n m o t i o : o f C h a p t e r 3 de: a c q u i s i t i o n e x p e r i m e n t é 5 data of t h e C h a p t e r 4 flow v i s u a l i z a t i o n lead t o uDon t h e Sidered. t h e f o r p a t t e r n s 1 7 C o n t e n t s o f t h e T h e s i s C h a p t e r 2 p r e s e n t s t h r e e a n a l y t i c a l a s p e c t s o f t h i s s t i g a t i o n : i ) P o t e n t i a l f l o w m e t h o d s h a v e b e e n u s e d t o m a p t h e f l o w f i e l d r e a m a n d d o w n s t r e a m o f t h e n o z z l e p l a t e s w h i c h f o r m t h e s l i t - j e t . p u r p o s e o f t h i s a n a l y s i s w a s t o d e t e r m i n e t h e s i z e o f t h e s m a l l e s t u m w h i c h w i l l n o t i n f l u e n c e t h e f r e e s t r e a m l i n e o f t h e e x i t i n g i i ) T h w a i t e s i n t e g r a l m e t h o d h a s b e e n u s e d t o g e t h e r w i t h t h e c i t y d i s t r i b u t i o n c o m p u t e d f r o m i n v i s c i d a n a l y s i s t o d e t e r m i n e t h e d a r y l a y e r p a r a m e t e r s 6 d a n d 0 * i i i ) L i n e a r a n d n o n l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s e s f o r t h e s p a t i a l t h o f d i s t u r b a n c e s h a v e b e e n c a r r i e d o u t u s i n g t h e i n v i s c i d E u l e r i o n o f m o t i o n . C h a p t e r 3 d e s c r i b e s t h e e x p e r i m e n t a l f a c i l i t y , m o d e l l i n g o f f l o w , a c q u i s i t i o n s y s t e m , f l o w v i s u a l i z a t o n t e c h n i q u e s a n d t h e d e t a i l s e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s . C h a p t e r 4 d e s c r i b e s t h e q u a l i t a t i v e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e i s u a l i z a t i o n p i c t u r e s a n d p r e s e n t s t h e s e q u e n c e o f e v e n t s t h a t t o t h e f o r m a t i o n o f t h e s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t . A l s o , b a s e d h e p a t t e r n s o f t h e f l o w f i e l d , v a r i o u s f l o w r e g i m e s a r e c o n - d . c h a p t e r 5 c e s s i n g t h e i n f o j c h a p t e r 6 P l a l g o r i t h m s o f C h e c h a p t e r 7 F t u d i n a l v e l o c i t y t h e e s t i m a t e s 0 f C h a p t e r 8 f l o w f i e l d u s i n g v e l o c i t y d a t a p r e C h a p t e r 9 r e c o m m e n d a t i o n s s u m fl m e n t s . 1 8 C h a p t e r 5 p r e s e n t s t h e d e t a i l s o f t h e a l g o r i t h m s u s e d f o r p r o — n g t h e i n f o r m a t i o n g a t h e r e d f r o m t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i - C h a p t e r 6 p r e s e n t s t h e q u a n t i t a t i v e r e s u l t s o b t a i n e d b y u s i n g t h e ' i t t h o f C h a p t e r 5 a n d t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n d a t a b a s e . C h a p t e r 7 p r e s e n t s t h e r e s u l t s b a s e d u p o n t h e l a t e r a l a n d l o n g i - l a l v e l o c i t y s u r v e y s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . I t a l s o p r e s e n t s , s t i m a t e s o f t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e s l i t - j e t . C h a p t e r 8 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h e s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t f i e l d u s i n g t h e a n a l y s e s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 2 a n d t h e m e a s u r e d i t y d a t a p r e s e n t e d i n C h a p t e r 7 . C h a p t e r 9 s u m m a r i z e s t h e f i n d i n g s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n a n d m a k e s n e n d a t i o n s f o r f u t u r e w o r k . a n a l l ’ s i s w i l l b e . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s c h a p t e f e r e n t a s p e c t s o f a n a l y s i s t o d e t e t h e j e t i s s u i n g f : 2 ' 3 t h e T h w a i t e ; P a r a m e t e r s u s i n g . b r i e f l y P r e s e n t s a n a l Y S i s w h i c h W i I d i s t u r b a n w S i n d e v e l o p e d f o r t h e t h e s t r e a m w i s e C c a m o d e l f o r t h e V e A N A L Y T I C A L C O N S I D E R A T I O N S s s e l t n i h t t e u n y d h s f a s p l r t u o u o e f i s - j f i n t t e s d m e l g i a d e u t l r p i t m l t s u i - f l e j l f u o l n c C t h a t t o t c h s o u a w t f t i i t e a p h f h o n f u e l p e a t p h n l a u t n t t i e o r m o a t a w i f t t e p p o l t i e p f p f n e s a s C o e n o a . . h w s i s o t 8 a n a n t l S h f y e e l l o 8 . o E e s t u l i s t n o I n u g l e r e n t c i r n a e n e d r l l t e t i d t i . a o v h i e t i e e r l a d l d y A g a i n , o i s c h w m s a p e t c s i h r e o a n n m e n t a e r t c t e i r S ( e t e e E d c j u h e i n i t e l o v c i t e l 2 a . e l 2 - t e d t r o e p l i k e d c n g a n e i I l u n t o h t r r o h i d e . s n c - e s c t . i h 2 b o d e . e n t s s ) u l t u S s r q 5 e e s p n i a f o u e l n e t n S a t s r r i t y o a n b o m w o t d n t o e i f o n r h s u e e u - e d n r d i t a f h n t a i y 2 o e . m c l 4 y f s g d t o i i l i l s i a n n t h i s e i e r s e t e T t s h i i a s s s p i s c h a p r e t o t e f e f r r r p h i m t m o e n s d n e g a i e h e s i i n n i t g t w n s t h l l t e c v t h e e b e o e a p m l p e t m h b e e e e o c l s n i i h r p o p a . m f I 1 . s j n y e t e l s r o S e t 1 i t h t y i p b s e t s T s o w h u e i c o u r i t w s s c t i s h e e r s e r a n d e f s p w c r h e f a o m r w i l l I n t r o d u c t i o n l 9 2 . 2 I n v i s c i d F l o 2 . 2 . 1 I n t r o d u c t i F i g u r e 3 i s p l e n u m w h i c h h a s I n g e n e r a l , t h e i d e a l i z e d c a s e w h f i n i t e ( l i / w - ) r a t i o . B / w 2 1 0 , 4 t l I O - d i m e n s i o n a l i T h i s s e c t i c ” w i l l s l i t - j e t f l ° b l e C t i v e o f t l ' t h e P O t e n t l a l f l c i ) c o I l l p a r e P 1 E n u m P a r i s o r t h e P 1 6 c a n t l y H / W : h e i n V e s t i O b t a i n o n t h e H O / W , b t a i h n a s b a n e e e s n t r e f e r i m a t e d r o e f t a o ) ( a t s h t i ) t h e " p r o x i e i n t e g r a l t m o i f y p r a e t n i t o i " a o t l i v n e l o c i t y 2 0 I n v i s c i d F l o w P a t t e r n i n t h e S l i t - J e t F l o w F i e l d . 1 I n t r o d u c t i o n F i g u r e 3 i s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f a f i n i t e , c h a n n e l - l i k e u m w h i c h h a s b e e n u s e d i n t h e t e s t f a c i l i t y o f t h i s i n v e s t i g a t i o n . g e n e r a l , t h e f l o w f i e l d i n t h i s c a s e w i l l b e d i f f e r e n t f r o m t h e l i z e d c a s e w h e n t h e ( i n f i n i t e a s p e c t r a t i o ) j e t i s f e d f r o m a n i n - t e ( H / w » w ) p l e n u m ; s e e F i g u r e 4 . T h e v a l u e o f t h e a s p e c t o , B / w 2 1 0 . 4 , f o r t h e p r e s e n t f a c i l i t y i s s u c h t h a t t h e f l o w i s d i m e n s i o n a l i n n a t u r e . T h i s s e c t i o n p r e s e n t s a n i n v i s c i d a n a l y s i s o f t h e f i n i t e p l e n u m h s l i t - j e t f l o w f i e l d t o d e t e r m i n e t h e s t r e a m l i n e p a t t e r n . T h e c t i v e o f t h e a n a l y s i s i s t o u s e t h e v e l o c i t y f i e l d d e t e r m i n e d b y p o t e n t i a l f l o w m e t h o d s t o : 1 ) C o m p a r e t h e f l o w f i e l d s o f t h e j e t i s s u i n g f r o m a f i n i t e p l e n u m w i t h t h a t i s s u i n g f r o m a n i n f i n i t e p l e n u m . T h e c o m - p a r i s o n w i l l b e u s e d t o d e t e r m i n e h o w s m a l l c a n t h e r a t i o o f t h e p l e n u m w i d t h t o t h e j e t w i d t h , H / w , b e w i t h o u t s i g n i f i - c a n t l y i n f l u e n c i n g t h e f l o w f i e l d . ( N o t e t h a t t h e r a t i o , t h i s i n v e s t i g a t i o n . ) o n t h e n o z z l e p l a t e , a n d , ( b ) t h e s t r e a m w i s e g r a d i e n t 0 f t h e ( B e r n o u l l i “ m a n p o t e n t : u s e d l l t h e t w 2 . 2 . 2 I n v i s c i d ] U s e o f p o l s l i t - j e t s , o n e i s f i n i t e p l e n u m , i s i ) T h e v j t h e t w ( k e e p s 1 i i ) S i n c e W h e r e j a n d t h e W h e n t h e s e g e n e r a l , C a n b e c ‘ D a n d y l x fi a o l O n e ° f t h e 8 0 1 7 a s o u t l i n e t h e d e t e r m i n a t i o n . _ W I 1 t i s u p u t 2 I n v i s e t p s l , e U s - j e t e i ) o f o n T t u h h o s h m e e t e e c e d i d p n e , t n t v w k e e p s v e i l n o t c e i g t r u n d a r y o n t h e n o l a t m e e r y h p o a d r , a a l a b o n o w t i w i n o F o i i t s s l e s A n a n u t i j u i n s a g t l i f f a y l i w s a y l o e s o m d l f r i e i o t s h c n e o o u z b s z o f p f e l r a y c t e t l s s a . y l u e n d a m e f t i h n o i d t b e c a u a s r e e e r s e s h e e t s h e o d , t t i o m a t c e o s m e z t z h l e m e t e r s t p o l e c n o u m m a a p h l w 6 t i a e t n . e d T m d s 6 p a a r n e d t t h h e e . f o l t o h w e r c o n f i f n a e v o a t h e b l e b p o r u e n s d s a u u r t h e j e t c e ( i . n s i r r o t a a l a a — u ) h e n , c 1 3 X l u l i e o o m f u i n e a t s e i r t e b u t n t t n n i = q d h l a s s e e 0 a . t i c t o e n r O n c d m e c i i t n t a n d e o p n o ) t i e n o n f t t i h t h i e n t i e d o u n s o a e h i e h r l o d e b e e i e t e a x h a e t i h e t t y o m y e t V t y . r i r n s f v r o m e u l s o e c d f e v n l x e t l o w b c o o f s a k f d e o l a t d l n h e d h e r i s . i e l o m d e + V , n i n 9 ' ' u - t u = m r e m a i a e d t i i s c e i n e c s t h o t h e n a e h e n e e s p m ( e 1 s u u r r p t 9 e h 6 o 7 f o s e t n e e s i o t a y l t o h f n e i e u S t h i t s e e r f e e t a b : m l r d e l s . a e u i e s v e d . i t . i o l p i r d ) i , e s e o h s f i l d b . i c s d u F r , r i n e s l s s o A m l i f b j e n o c 0 e r t f a u r t e e t i w n o - o n n t p e i f e r s l o d m f o n a y e l a g y r e a r d s i f r r n T d o t i t : T s e = e h n e h t i i t s e d i n . 3 w i s e l m d t e r , n t p ) f i r m t . : W 3 > l ' e 2 1 I i i ) S i n c e t h e e x p e r i m e n t b e g i n s f r o m r e s t , i . e . w = 0 e v e r y - w h e r e i n t h e l i q u i d , t h e m a j o r i t y o f t h e f l o w i n t h e p l e n u m 2 . 2 . 2 . 1 D e t a i l s I n F c W = e i n t t h e o r u ~ ° ° , t t a P P r o a c f l e o h h i t o s d c g h s i h u e m a r o e e s f n n n 3 i g i l s l s e s T h e d i m e n s i o n l e gle ° i s d e f i n e d T a b l e P o i n t s . o n l y o n e T S h i e d 1 f e l i : w l i o s ( t r a n s f o r m a t i o n s ” 2 ) p a t t e r n ( S t t e r m . T h e c o m ] t h e c o m p l e x c o n j l [ V a l l e n t i n e ( 1 9 6 7 0 f f l o w . s ) . c f o r m p a t T o m p l t e i r a t h e e x o n c n c o s o n ( s m j p u e m p l y e d i n t t o e t y f i e e x s r l m d p ( r o v o 3 ) i : o 3 c 3 i g u v o r e f , + m z i m e = ) d i n x p f 1 a r t o + - m n 1 2 e r a i T n l e n t i n D e e . 1 I r u n t t c m i s o f l h h e e n F o i t s d c i e s d g h u e m a n i s i h 1 o f e e l ' l d t y a r e l g e a e F x t e a x 1 e ) , f t . n n i s s n e f ] t s — . i i o m e t a m y e t h s t h u e l e w + z - p l - p i l u a 2 n ) a e n i e s ( w ( i . = e t d e ¢ e o n s . r g t a c w m e e r l d s e h e l r i a b p t l e e o h s e a n t t n i e s e c e q t u b e j e f o x r l e - a x i s t s h u o r i m p e a d r n i o e l a b t e a t l l a w a l e t x l T . h r = c t e e d i a s t o d t d h t l a h . e t h e n x . 2 e . - n T - h m a i n o w a i s m w i l a n e a o m f a , 1 ( 1 9 6 7 t a i l s o 2 i o n 5 . r m a l T 1 r 5 a e q u a C o n f o r o e e s f n n n l n e e l s e s d l s 3 i g i t e o a o t h e z - p T h e s l s o e l s p r e a s a p b r e i s a t t j u c h e m h e a i n m , t e d v a e e w w n h i t s e d o e n l g o l c e i s o i n n t h b i e t b a x 2 p 1 4 6 s f o r m a h e p h l h i e e " s t s s m i s s a " s y f s l r e s t t u i h t w e e n , n t y e t h a b l e T s h i e d e l o s s i w t i c o f l i t s h y e m s i d e a n m r e e t d g r l i i e c n a a l t n d v e l w e i t a h n a l y s i s . o r c e i s t p a t e a c t t o c I h ' o - I t h n e d s i t g h n e i r f i c a n t e f o r e , 2 2 3 W . a n g l e d e f i n e d e a r n a t i o n s a n d F i g u r . T a b ‘ P o i n t 2 I ' a = ~ 1 r / 2 ; V = A n / 2 , - 1 r ; 0 5 - 1 r ; 1 I ” W ; 1 T h e f o l l o w i l i e s i n T a b l e 1 : a ) Z ‘ P l a n e t T h e z ' P l a n e i = L e i u M w h e r e | V | i s t h e ‘ T a b l e l - F i d u c i a l P o i n t s o f V a r i o u s P l a n e s 1 6 f o l l o w i n g t r a n s f o r m a t i o n s a r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e q u a n t i - e Z - p l a n e i s f i r s t t r a n s f o r m e d i n t o t h e § p l a n e d e f i n e d b y i f i n e d e a r l i e r . T a b l e 1 i n c l u d e s t h e d e t a i l s o f t h e t r a n s f o r - 2 3 P l a n e 1 t 2 g g ' t w - i 1 r / 2 4 + 1 a = - 1 r / 2 ; V = l / m m e l n ( m ) — i 1 r / 2 J “ 2 — - k — o o 2 m - w / 2 , - n ; 0 w e - i fl / z ; w e - l n m - i n / Z ; w - i n - w , w 0 2 . . m + 1 _ W ; l l e - l w O - 1 W 1 l o g ( 2 m ) - 7 r / 2 ; 1 1 9 3 l e o » - i 1 r / 2 - 1 a s 1 T a b l e 1 : z - p l a n e t o § p l a n e : = T % | e i a ( 6 ) 7 | i s t h e m a g n i t u d e o f t h e r e s u l t a n t v e l o c i t y a n d a i s t h e f l o w a n d F i g u r e 5 s h o w s t h e { - p l a n e . t e r n i s t r a n s f o m t = c o s h E ‘ R e f e r r i n g t o F i g T h e 1 s F t i i t u t i n g u r e g 7 ° t m I C a t i h S e h S' o w s b ) { - p l a n e t i T a k i n g t h e n § ' = 1 n § i } f ' ° 1 “ l V l A g a i n . T a b l e 1 a t c ) § ' - p 1 a n e U s i n g t h e T a k i n g t h e n a t u r a l l o g o f t h e { - p l a n e g i v e s t h e ( ' - p l a n e : = 1 n — l l Z i — g e o r . — a r ’ + i a n d F i g u r e h C e r { z t r 1 l - h ) } = d c r S e c m ( h w t _ u r e + 6 i , n a o ) 6 g ( 8 ) c o n t a i n t h e p o i n t w i s e d e t a i l . r t i - s p t l e o a f n f e l a s t f r ( a s n e s e o F r i m g a u t r i e o n , ) 7 t h e § ' - p l a n e p a t - a n d { i = - i n , w h i c h g i v e s ( 9 ) ( 1 0 ) l e t s h f a n o t s o h { F T i g t a n c b o g r c t ‘ = m = s h 2 ( § 2 4 ) ) { - p l a n e t o § ’ - p l a n e ' = 1 n § ( 7 ) ’ ( ' - p l a n e t o t - p l a n e e l o c a t i o n o f v a r i o u s p o i n t s o n t h e t p l a n e i s o b t a i n e d b y s u b - ~ 8 t h e ( ' c o o r d i n a t e s i n ( 1 0 ) w h i c h a r e l i s t e d i n T a b l e 1 . m m 7 s h o w s t h e t p l a n e . F r o m t h e h a l f s o u r c e a t I ' 2 m 2 t h e f l u i d r e a c h e s i n g t h r o u g h o t h e r d ) t - p l a n e t T h e W - p l a n e s o u r c e o f s t r e n g t t h e s a m e s t r e n g t h 1 f w — 2 n I n “ o r . e q u i v a l e n t l y , w ' 1 n { m t + ] T a b l e 1 a n d F i g m 2 ' 2 ' 2 ' 2 E q U a t i o x A l o n g a f ] v e l o c i t y W ! i s ‘ [ C Y I V I i s e q u a l t o 1 . E q u a t i o n ( 8 ) t h u s b e c o m e s 2 5 F l u i d r e a c h e s a h a l f s i n k a t I = - 1 b o t h d i r e c t l y a n d a f t e r p a s s - : h r o u g h o t h e r p o i n t s . d ) t - p l a n e t o w - p l a n e T h e w - p l a n e t r a n s f o r m a t i o n i s o b t a i n e d b y s u p e r i m p o s i n g t h e h a l f ’ 4 : e o f s t r e n g t h = g , a t t = - E — — : § l = - k ( s a y ) a n d h a l f s i n k o f 2 m : a m e s t r e n g t h a t t = - 1 . T h u s , a E . _ 1 _ l l w 2 " l n ( t + k ) 2 " l n ( t + 1 ) ( ) e q u i v a l e n t l y , = t + k § 1 2 w l n { t + 1 } ( ) l a n d F i g u r e 8 p r e s e n t t h e p o i n t w i s e d e t a i l . . 2 E q u a t i o n o f S e p a r a t i n g S t r e a m l i n e A l o n g a f r e e s t r e a m l i n e a ’ g ’ c ' ( s e e F i g u r e 3 ) t h e m a g n i t u d e o f . . ( 1 3 ) a v a r i e s f r o m 0 t o - § . 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A f l o w f i e l d s i b u J 0 f i t f e i l o X d n . s o A o f f g t t h h , e e p r w r o e m s j s = e u t e 0 r s 2 , b f o t c h t a h e c o n e m g e e p b e d e s e t s n w u t e i r e c e r i n a c l t h h a i e n n g e t t w h s o e a i n j a v e i n t d c s i f h i o e t r n y n c e l o a f r g t t e h h r e e 3 5 m a x i m u m v a l u e o f l . 3 C o m p a r i s o n B e t w e e n J e t s f r o m F i n i t e a n d I n f i n i t e P l e n u m s T h e i n v i s c i d s t r e a m l i n e p a t t e r n u p s t r e a m o f t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t s w e r e s h o w n i n F i g u r e 9 . U s i n g t h e i n v i s c i d a n a l y s i s , a c o m - s o n b e t w e e n t h e t w o f l o w f i e l d s c a n a l s o b e m a d e b a s e d u p o n : i ) v a r i a t i o n o f p r e s s u r e f i e l d a l o n g t h e n o z z l e p l a t e ; i i ) t r a j e c t o r y o f s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e . 3 . 1 P r e s s u r e F i e l d A l o n g t h e N o z z l e P l a t e E q u a t i o n s ( 5 2 ) a n d ( 5 3 ) e x p r e s s t h e n o r m a l i z e d p r e s s u r e c h a n g e , d u e t o a c c e l e r a t i o n a l o n g t h e n o z z l e p l a t e . F i g u r e 1 1 i l - : a t e s t h e p r e s s u r e c h a n g e o v e r t h e n o z z l e p l a t e f o r b o t h t h e j e t s . V a l u e o f m f o r t h e f i n i t e p l e n u m i s e q u a l t o 2 0 ; t h i s r e s u l t s i n ’ o x i m i t y r a t i o , H / w = 1 2 . 2 . A t t h e l i p o f t h e t w o j e t s , t h e p r e s - c h a n g e b e c o m e s z e r o . M o r e t h a n 9 5 % o f t h e p r e s s u r e c h a n g e i n j e t s o c c u r w i t h i n o n e s l i t w i d t h o f t h e s e p a r a t i n g l i p . O n a n d e d p r e s s u r e c h a n g e a x i s , F i g u r e 1 2 s h o w s t h e d i f f e r e n c e i n t h e V ) l a n e s o f t h e j e t s . s t a b i l i t y c a l l 2 . 2 . 3 . 2 T r a j e c T h e n o r m : t w o j e t s p r o v i < e x i t p l a n e . s e p a r a t i n g s t r w P a r a m e t r i ‘ j e c t o r i e s o f t ' P l e n u m s l i t - j 0 f t h e r a t i o 0 P l e n u m t o t h e f u n c t i o n o f - x 1 0 s h o w s t h e B o t h o f t h e p 1 W a l l s m o v e f a l i k e . H e n c e , t h e 1 ° w e l ‘ l i n t h a n ) , a n d d ) 2 ‘ 3 D e t e m i n i T w ° b 0 m m e n t t h i c k n e s l h a s b e e n 1 1 8 e , a t t h e e x i t 0 : i d o m z w l e a n i d s n c t o r c m e a h p a r a a m e n r g i u s i n p f h o r e r o t f e t s h e c s e x o u i m r t t p a l f o l n o g w l a t f t h i h e e e l n d t o s r z a z u j l p e e s c p r l e a a t m o r i e s e o f o f o f t t t h h h e e e T a e r o o f j r o u h m i h o . l l P m e o y h e t p t s l i a n a i m w n w r e r s t o H e a a s s a t e r n p n g m e e o l t o o i i f h v e e c l n d D e t e r m i w h e o i e k c n e x i o e s b n u t t t a : t : u s a 2 . T t b - n r o o r v m i a d . t f o t t i d e n t u s e o s t r e r - h - m y , a j x e e l f o t n d h p s d f i t c h e f 2 e t w / o a i n t r m t a i m o a 6 t t r d o h l e D a s i y w v s t e e a a r a l t r e l y B i P t w a e a e s q e u p h e w t , d 6 a h = o i n t r s . e f c n g e e j h i h r 2 , a o 0 w l f a e y d t e t a o l o f e ( n d 2 s t e s o v ( o , f a t ) e g t j e l o e u h r e t u s a n i o P a i m e o , a r . 2 ) i w f o d w l i ( p t m o o t p a i a s l o o t p n i e s n c g t ( t h n h r r s , x s a o t i s t x e , m u n d i p m a i a l r a y ( 2 5 4 r ) e , a m l o h r r i F f e a c i t e n a n v t o t i f . , e f o t u b i r i o e x r s h i r l 2 t o y ) f f h m e t a y t r . L a y e r r t n i o s p e a b s t r a e t r i a m d m d e e a i t t t t e e e i r r o s o m n i a f m n l o t e l m h d y e n ( 2 h n t o 3 , . 6 e i o p r n o e i d r a a f e w e w j f e r s ( l d / 0 a w i t o o ) r i / g = h n H w h s 1 c , f l s n ) l i a m w e f m , i 1 t ( 2 n h 0 i . e u s i 2 r h ) t n s u i ) r a m e t e e e n t s u e s u T m h p e a e d s h T a a i h m s c w e t e n i a ( 2 7 i t i n t r n f e a e t e t r a t s e w s p c s s s l o . a t k a m f r t n r t t e e n r t e ) e a g i i e a x n s f t l n u p d r o u e f t d u h m b t e n n i c a i s l a e n e t h m p s e s h e l c d j e t t . e v a n i w u o o t t s a t r i i i s u i a i n t n a g f e c n o a t o t - e n e a r m u m a e . m e s t i h n a r e f i f , p b e F i o l e n m n k k j e t s a r e i n e m a - d g r v 0 i n T g a t h t n e e h e n d i s a a s l l c u a p m e l l e e a t 0 c h f e O i - d 9 n 3 6 . 3 . 2 T r a j e c t o r y o f S e p a r a t i n g S t r e a m l i n e . . L i t y c a l c u l a t i o n s . T h e v a l u e o f a d w i l l b e u s e d t o c h e c k w h e t h e r m o m e n t u m t h i c k } i n v i s c i d a n d . a l l t h e v o r t i c a i m a r k e d b y t h e d ; T h e T h w a i i n t e g r a l e q u a t i _ - 9 1 T W _ 6 d ) ; l T h e t e x t . i n t e g r a l m e t h ( 2 0 . 4 5 . a 6 l T h e d i s P l a c e m e 6 d ‘ 9 H 0 W h e r e “ ( ) 0 O f A § o z u i / V . T h e e V a h f t e H U m , e x c e p t f ( t h e v o r t i c a l f l u i d a t t h s e p a r a t i n g l i p o n t h e n o z z l e p l a t e w a s h t a o s d t e a d y , s b a c s o e n d s t n u a p n o t t e h n e s d x t 1 y i c f o l m o w p o n e n t o f m o m e n t u m e i . a a m r x k e l n c i T r h a e l e g T r t g n h a u e l m 2 9 d i s p 5 d = t a _ — l e c 0 T q h u w a a t i i s t o e n f o " V s n i i 0 5 l i d c U h s t t m h e e i x t c 0 — . — 4 — t h k 5 g , o n u - d e s s f e m e n t H ( A ) : d b c y l e W d h i i n t g u i n 7 4 ( t 1 h 9 e ) T h h w a a s i o s u d s e g w F l t i a v i e o l n " b , y e s c r m i e b t e h d a l l o d . t T h h e e t e s e s s 6 d i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f 0 a s 5 5 ) ( ( 5 6 ) 3 7 ' k e d b y t h e d y e o r n o t . = _ 9 2 _ , _ § _ 6 2 _ g _ 5 ' w 6 d x l d x l f O p u l d X Z + U l d x l f o p u l d X Z ( 5 4 ) l 3 H ( A ) i s c a l l e d t h e s h a p e f a c t o r a n d i s e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n 2 I 9 U l / u . T h e e v a l u a t i o n o f 9 a n d 6 d d e p e n d s u p o n t h e k n o w n d i s t r i b u t i o n o f s t r e a m ( p o t e n t i a l ) v e l o c i t y U l ( x B e c a u s e t h e f l o w i n t h e p l e - 1 ) ' e x c e p t f o r t h e t h i n b o u n d a r y l a y e r s o n t h e n o z z l e p l a t e s , r e m a i n s c i d a n d i r r o t a t i o n a l t h e e x p r e s s i o n s d e v e l o p e d i n S e c t i o n 2 . 2 . 2 . 5 h a v e b e e n u s e r o n t h e n o z z l e 1 2 . 2 . 2 . 5 h a v e t h e d e r i v a t i v e t - p l a n e . 2 . 3 . 1 M o m e n t u E q u a t i o n t h e v e l o c i t y U t h e w i d t h o f t ° ° n t r a c t a ; R e V i S c i d S e p a r ‘ , * U l = 1 ; e q u a l W h e r e ' * n a n x 1 d i r e c t i o n c h a n n e l . l i k e i n t h e t P l a n o f t h e V e l o c i T h e r e f O r e , l e t . a t r d t , e i r e n n e l h h e e x . e X t — l c t v e i i : p l o k l o a n e c a n n i d p t e ( i : l y : e n o , m a q r ) , u t e t a h . u e n h t e t e r i h e o n e l s n o i p z e f i ) u p e z ( p c l 5 p o t 0 e r v e t i p l d u a h n e l y . s a t e n s l o e w o T z d h w z h e e l e w r r e h e m a e l n p c x i l t h 2 i t g = e t e r x s a p 0 a r l , i i o n e i f d s u n s 2 e t 5 i t e s n ( h = g c t ) 8 e O r o h a i a r e n t n s d i e o r m e d n v a x i f l n n u = i o a g 1 a t t t d t u h h e d z e e d e . 3 8 a v e b e e n u s e d t o r e p r e s e n t t h e v a r i a t i o n o f t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y n t h e n o z z l e p l a t e s . B e c a u s e t h e e q u a t i o n s f o r v e l o c i t i e s i n S e c t i o n . 2 . 2 . 5 h a v e b e e n d e v e l o p e d i n t h e t — p l a n e , t h e i n t e g r a l i n ( 5 5 ) a n d d U h e d e r i v a t i v e 5 ; ; w i l l b e t r a n s f o r m e d b e f o r e e v a l u a t i o n t o t h e 1 - p l a n e . . 3 . 1 M o m e n t u m T h i c k n e s s 0 E q u a t i o n ( 5 5 ) h a s b e e n u s e d t o e s t i m a t e 0 . N o n - d i m e n s i o n a l i z i n g : h e v e l o c i t y U b y t h e v e l o c i t y U 0 = U 2 ( x 2 » - m ) , a n d t h e l e n g t h x l b y l : h e w i d t h o f t h e j e t w , e q u a t i o n ( 5 5 ) b e c o m e s , * x 2 l 5 { fl } = _ 9 ; é § _ U * d x * ( 5 7 ) w * 6 l l R e O U 1 0 h e r e R e o i s R e y n o l d s n u m b e r b a s e d u p o n t h e v e l o c i t y a t v e n a U w o n t r a c t a : R e o = — 9 — . A t t h e l i p o f t h e j e t ( s e e F i g u r e 1 4 ) , t h e i n - V i s c i d s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e e x p a n d s t o t h e a m b i e n t p r e s s u r e , s o t h a t l = 1 ; e q u a t i o n ( 5 7 ) t h u s b e c o m e s , U : d x * ( 5 8 ) e r e f o r e , u 1 = q a n d , * k - d x l ‘ ‘ 2 a n d w h e n , U S n g t h e s e , T h i s i n t e g r a l t o 0 . 0 5 6 5 . I 0 * 0 . 1 I n t h i s i f “ ) C i t y . S i n C e ( 6 2 ) b e C O m e s 0 ‘ 0 1 3 9 ( 5 9 ) * k - l i t + 1 1 t 1 d x = t + t d t ( 6 0 ) s i n g t h e s e , e l — U * 5 d x * _ E ; l i t + j 1 - ¢ t - 1 5 i t + : : + [ § : : 1 d t ( 6 1 ) * 1 1 " 2 J 2 1 2 ( c + k ) ( t + 1 ) 1 m i s i n t e g r a l h a s b e e n e v a l u a t e d n u m e r i c a l l y a n d w a s f o u n d t o b e e q u a l ) 0 . 0 5 6 5 . T a k i n g t h e s q u a r e r o o t o f ( 5 8 ) * = 0 . 1 5 9 4 5 ( 6 2 ) R e 0 9 t h i s i n v e s t i g a t i o n , < U > h a s b e e n u s e d a s t h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o - t y . S i n c e < U > = C D U O ’ R e = C D R e O . H e n c e , i n t e r m s o f < U > , e q u a t i o n 2 ) b e c o m e s J C * D 0 = . ( 6 3 ) 0 1 5 9 4 5 F - X ‘ — l ' X ‘ — I z N 4 0 2 . 3 . 2 D i s p l a c e m e n t T h i c k n e s s 6 d 2 , I n o r d e r t o e v a l u a t e 6 d , A = 2 - 3 — h a s t o b e f o u n d s o t h a t H ( A ) : a n b e o b t a i n e d f r o m t h e T a b l e 4 - 8 i n t h e t e x t b y W h i t e ( 1 9 7 4 ) . \ g a i n , n o n d i m e n s i o n a l i z i n g t h e l e n g t h b y w a n d t h e v e l o c i t y b y U 0 , d u ' H Q d u l w d x ( 6 4 ) ) n t h e n o z z l e p l a t e x 2 - 0 , u 2 = 0 a n d t h e r e f o r e , ( 6 5 ) I I I I I C . . : q u a t i o n ( 6 4 ) t h u s b e c o m e s 2 2 ( 6 6 ) 1 = H g d l w d l i f f e r e n t i a t i n g ( 4 3 ) w i t h r e s p e c t t o 2 y i e l d s d 2 w = ( J : - 1 + J t + 1 ) ( t + k ) ( t + 1 l l ( 6 7 ) 2 3 / 2 2 d z / 2 ( k - 1 ) t 2 - 1 ( t + i t - 1 ) t ( X 1 , X 2 ) = ( w / 2 , 0 ) , t = l a n d t h e a b o v e e x p r e s s i o n b e c o m e s i n d e t e r - i n a t e . A p p l y i n g L ’ H o s p i t a l ’ s r u l e , 2 L i m i t d — “ Z ’ = 1 1 : + i ( 6 8 ) t 4 1 d z - 4 + l ' [ e r e k = g _ _ _ _ _ . A s m b e c o m e s l a r g e k b e c o m e s l a r g e , t h a t i s , 2 m 4 1 d 2 k + 1 L i m i t — — 2 = L i m i t k _ 1 = 1 ( 6 9 ) k a m d z k + m F o r m = 2 0 , k = 2 0 0 . 0 0 1 2 5 a n d ( k + 1 ) / ( k - l ) = 1 . 0 1 0 0 5 . E q u a t i o n ( 6 6 ) t h u s g i v e s , d u U a — l = — 9 ( 7 0 ) x 1 w T h e p a r a m e t e r A t h e n b e c o m e s , 6 2 U o = ( 7 1 ) v w U s i n g ( 5 5 ) , n o r m a l i z i n g a s b e f o r e a n d s e t t i n g u l ( x l = w / 2 , x 2 , = 0 ) = U 0 ( s e e F i g u r e 1 4 ) , 7 % X U * 5 * A = 0 . 4 5 U d x ( 7 2 ) * 1 1 w i t h t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l f o u n d i n S e c t i o n 2 . 3 . 1 , A = 0 . 0 2 5 4 2 F r o m T a b l e ( 4 - 8 ) i n W h i t e ( 1 9 7 4 ) , H ( A = 0 . 0 2 5 4 2 ) = 2 . 5 1 5 . E q u a t i o n ( 5 6 ) t h u s g i v e s , a ( 7 3 ) 6 d 2 . 5 1 5 6 o r 4 2 6 * = 0 . 4 0 1 d J R e O ( 7 4 ) ( 7 5 ) 2 . 4 S t a b i l i t y C a l c u l a t i o n s o f t h e S l i t - J e t F l o w F i e l d T h e i n v i s c i d s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d w a s s t u d i e d b y i n v e s t i g a t i n g t h e s p a t i a l g r o w t h o f a r b i t r a r y i n f i n i t e s m i a l p e r t u r b a - t i o n s . T h e c o o r d i n a t e s y s t e m t h a t h a s b e e n u s e d i s s h o w n i n F i g u r e 1 5 ; u a n d v a r e t h e v e l o c i t i e s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s , r e s p e c — t i v e l y . T h e s l i t w i d t h , w , a n d t h e c e n t e r l i n e v e l o c i t y , U O ’ h a v e b e e n u s e d a s t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h a n d v e l o c i t y s c a l e s , r e s p e c t i v e l y . T h e v e l o c i t y U i s t h e m a x i m u m a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e j e t w h i c h o c - 0 c u r s a r o u n d x / w z l . T h e t i m e , t , i s n o n d i m e n s i o n a l i z e d b y w / U o a n d t h e p r e s s u r e b y p U 2 T h e n o n d i m e n s i o n a l E u l e r e q u a t i o n 0 . D i = - v ' * p * < 7 6 ) a n d t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n f o r i n c o m p r e s s i b l e f l o w 6 * . 3 " _ o ( 7 7 ) w e r e u s e d t o d e v e l o p t h e m o d e l e q u a t i o n t o i n v e s t i g a t e t h e i n s t a b i l i t y o f t h e j e t . T h e a s t e r i s k s w i l l b e o m i t t e d i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s f o r c o n v e n i e n c e . T h e m e a n f l o w v e l o c i t y E w a s a s s u m e d t o d e p e n d o n l y u i i p n z o n e d , t h e n h e l a t e v d e i l m o e o n r c n a i s l t i d i m e > - u ’ l n a y o n a e s n q i d u o n p a t r i y e o ( p a r a l l e u s n s s r o e f p m ’ o t l d i e o l e f p n o n a , d w d r ) e e b o x u n p e t , t h e p e x e s r a s n e d d y a . s r r T t h u e b l a i t n i e o a n r s - t w e I C i n n d g e n t t h w e a 3 ' = G a < y ) u e s - u l a i l k x p [ i < a s c e a x u m s o - v e o p F i h a o n e r l d y t l e h e h x = i e v t n i p “ a s l i c p ' = p a ( y ) e x p [ i ( a x - d i f f e n t i a l p d a i e n 0 o ; e r f c n t f o d i e m i a r p m G l e l e a d b y n t i e n ( e x s y x i ) p a n o r l o n a e e e r q n d i a n s l d s p n a g i u f m a e r t n e ( i s q o i u y t ) h n o e e m p w s n d n p o t n i o n t h a t t h e p e r t u r b a t i o n s a r e c o m p o s e e n t s , c w . a e c v > 1 t e ) q ] u l p y e . l e a I t n w a n o d c i v F o e n q e o o — r n i t i s u n a u l e y s ( 7 t i 8 o m s b p ( o e a n u ) n r t ’ s i y , t h ( r 8 o 1 a n d a l F . v ’ ) h a = o t u g ) w g u i r r n ) + s ( 8 0 ( n d w t e e t h r r w h t m s r e d 8 2 ) i w i o i f m o l p f u a d i c i i f d e = s s i i t o o t r h t c s u a t r t u o + r c a o b n n a e b i r d ( ( c d i o o f 8 1 > 8 2 ) i a — i e m i s - s n c e 4 3 i n , fl + v , 3 _ u _ i i a t 6 x 6 y _ - 6 x ( 7 8 ) a v ! _ a v ! 2 2 ’ _ — ‘ _ = ‘ 7 9 a t + u 6 x 6 y ( ) a u ' a v ' _ _ _ _ = 8 0 6 X + 6 y 0 ( ) s t r e a m f u n c t i o n ¢ F r o m e q u a t i o n s ( 8 3 ) a n d ( 8 4 ) u a a n d V a c a n b e e x p r e s s e d a s U s i n g t h e s y m b o l D f o r 5 ; , = D ¢ ( 8 1 p e c t i ) v - ¢ D i _ u n ( ‘ u - 9 a ( ) 8 D 1 s e r t i n g i r n e g s = l y , I ( n 8 s e r 6 ) , S i m i l u t P a a ( r 5 ( 8 7 ) a n d e l y , p a ( 8 c 2 a ) n i b n e ( e 7 x 8 p ) r a s n s d e d e r e a p s l a c i n g u a a n d V a b y ( 8 7 ) a n d ¢ ) - , ( 8 2 ) ( D 2 5 ) , ¢ = o ( 8 8 ) ( 8 6 ) , ( 8 7 ) . a n d ( 8 8 ) i n e q u a t i o n ( 7 9 ) < 8 9 ) - f ) ( 0 2 - a 2 > ¢ 4 4 ¢ ( X . y . t ) = ¢ ( y ) e X P [ i ( a x - w t ) ] ( 8 3 ) u , = 3 % ' v ! 1 - S E ' < 8 4 ) _ é s é u a — a y ( 8 5 ) V a = - i a ¢ ( 8 6 ) 6 y i e l d s 4 5 2 - D 2 ¢ - [ — — D i + a ] ¢ = 0 ( 9 0 ) u - w / a T h i s e q u a t i o n c a n b e i n t e g r a t e d w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ¢ ( y » t o o ) = J a y ( 9 1 ) A c o m p u t e r p r o g r a m [ d e v e l o p e d b y K o o c h e s f a h a n i ( 1 9 8 9 ) ] w a s u s e d t o s o l v e e q u a t i o n ( 9 0 ) s u b j e c t t o ( 9 1 ) . T h e p r o g r a m u s e s a " s h o o t i n g " t e c h n i q u e a n d i n t e g r a t e s e q u a t i o n ( 9 0 ) f r o m b o t h s i d e s o f t h e j e t t o - w a r d s y = 0 w h e r e t h e v a l u e s o f ¢ a n d ¢ ' a r e c h e c k e d f r o m t h e t w o s i d e s , r e s p e c t i v e l y . I f t h e v a l u e s m a t c h w i t h i n a t o l e r a n c e ( e . g . , 0 . 0 0 0 1 ) , t h e e i g e n v a l u e s o r a n d - a i a r e a c c e p t e d a s w a v e - n u m b e r a n d s p a t i a l g r o w t h r a t e o f u n s t a b l e d i s t u r b a n c e s f o r a g i v e n f r e q u e n c y w . T h e c a l c u l a t i o n s a r e r e p e a t e d f o r a n o t h e r v a l u e o f w , a n d , i n t h i s w a y o r a n d - a i a r e f o u n d f o r a l l f r e q u e n c i e s w . T h e v a l u e o f w f o r w h i c h - o i h a s t h e m a x i m u m v a l u e p r e d i c t s t h e m o s t u n s t a b l e d i s t u r b a n c e . T h e f r e q u e n c y w a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s o r a n d o i a r e r e l a t e d t o t h e f o l l o w i n g e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n a b l e q u a n t i t i e s [ F r e y m u t h ( 1 9 6 6 ) ] : f I w w = 2 n S t = Z fl — — _ ( 9 2 ) 0 U 0 a = 2 n ! - a t w ( 9 3 ) r A t h e v e i s e w i a l n v e l e n g t h a n d o v c e i s t t y i , g < U > a t i o n , , r h f w a e i - s n o n g t h e C e n t e r l i n e g h . l t d F n c s i s n i e o l u e l m i e c y , w q b t h u e e e e e r r n n m s A I r e a p s e d < U > u o s f n d f I c s w t i t v h e e i l l l b y e a r . c h e a t S r a c o m e h e p r e i c n t c e e r , i d t i h c e s t i c s a e s d p v e a l v t o a i c l a i u l t e y f r o e n a t v i u a n t i f t o e s G w o i w l t l h r b o e f d P e r t e e r m i n e s s u r e C h a p t e r t u a t i o n s 8 A e a i r T 2 2 h e s e M o . . 5 5 . 1 I n c r o a n f s w t s a h i s t n a u s E u u m a r l e t e e h a i t c e a c i o - r h s q l r t d I . s e h e r a t e W r t e n l t t a n a d e u e c q t u u p r o d u c t i o n h e p c n I u a e d n a t s e r o e f t i d s i o s i h f s s a r w t t e i o h o i n v t i n n u v r e e l o l u t u s s h c e a e t c l n S d e f c l a t u o c i t y s e c c o t n i v u a t e t o i n s o g i n m i c o t n u , i 2 a f t l i u o e a n n t a t l . h a e r 4 o c . n t t n s u t h e p r i t o h e m n e q c a u e l s a n a t t e r l w o I c d t a e n i g l r l o u e f r a r w s r b e r e i t e s o t v u f l u c t u a t i l c e l w a q l r a u n e a n l e t s b m e o a h h p a a l t s i o y y s d i a e s s r , i i n l o n v l s e e t y c l h i o a n l c t o l n t h e s o e d w v f e g e o s i t t i t f y o o n g r n l a t e r r l r t f l y a t e o o w c t i h h l a e u r c g a t m o d a e t t y e u t e t w n u s a g 1 c e l f p t l l r e t r t i o w e u t d c h , - e e a o w i t s d n t - y s h c h e e n f o w a t i o n s b u t 4 6 - a i = G r o w t h r a t e a t w ( 9 4 ) C D - - 9 5 w Z R f I W 2 1 r C D S t I ( ) w h e r e C D i s t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e j e t a n d S t I i s t h e p r e - d i c t e d v a l u e o f S t r o u h a l n u m b e r a t t h e m a x i m u m g r o w t h r a t e . S i m i - l a r l y , t h e q u a t i t y w / a r C D y i e l d s t h e p h a s e s p e e d , C I ’ i n t e r m s o f < U > . 4 7 f r e q u e n c y . T h e u s e o f t h i s m o d e l w o u l d b e j u s t i f i e d o n l y i f i t c a n b e s h o w n t h a t t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d r e m a i n s i n v i s c i d i n t h e v i c i n i t y o f t h e e x i t p a l n e . F r o m t h e c o n s i d e r a t i o n s o f S e c t i o n s 2 . 2 a n d 2 . 3 i t i s r e c o g n i z e d t h a t t h e s h e a r e f f e c t s u p s t r e a m o f t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t r e m a i n c o n f i n e d t o t h i n b o u n d a r y l a y e r s o n t h e n o z z l e p l a t e s . S i m i l a r l y , t h e c o r e f l u i d o f t h e j e t i s s u i n g f r o m t h e s l i t s h o u l d r e m a i n i n v i s c i d a n d h a v e a t o p - h a t v e l o c i t y p r o f i l e u n t i l t h e s h e a r e f f e c t s p r o p a g a t e t o t h e c e n t e r l i n e . 2 . 5 . 2 D e r i v a t i o n o f E q u a t i o n f o r P r e s s u r e F l u c t u a t i o n s T h e u n s t e a d y E u l e r e q u a t i o n a l o n g a s t r e a m l i n e , s , i s w r i t t e n a s ( s e e P o t t e r a n d F o s s p 3 5 7 ) 6 p a v a v 1 k _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 6 a t + V a s p ( ) w h e r e V i s t h e c o m p o n e n t o f v e l o c i t y i n t h e 3 d i r e c t i o n a n d p k = p + p g h . I n t e g r a t i n g a l o n g a s t r e a m l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e c e n t e r o f t h e j e t ( s e e F i g u r e 1 5 ) 2 2 p f a — V d s + [ 2 + 3 ] = 0 ( 9 7 ) l a t p I n t h e p l e n u m ( u p s t r e a m o f t h e n o z z l e p l a t e s ) n o o s c i l l a t i o n s a r e e x - p e c t e d t o d e v e l o p , a n d i f t h e l o c a t i o n o f ( n ) i s s u c h t h a t o s c i l l a - t i o n s a r e n e g l i g i b l y s m a l l t h e f i r s t t e r m i n e q u a t i o n ( 9 7 ) w i l l b e z e r o , s o t h a t T h e v e l o c i T h e s a m e m o d e l i y t s p r V o a n d p r p o s e d f e o s r s u r t h e e p k a f l u c r t e d e c o m p o s e d i n t u a t i n g v e l o c i t y o u t i m e a v e r ' ( s , t ) a s a w g e a s 4 8 k = C o n s t a n t ( 9 8 ) T r e a t i n g ( n ) a s t h e t e r m i n a l n o d a l p o i n t ( i . e . , s = 0 ) w h e r e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a t t h e i n s t a b i l i t y f r e q u e n c y b e g i n t o g r o w , e q u a t i o n ( 9 7 ) c a n b e w r i t t e n a s s 2 p f d e s + [ Y + — k ] = C ( 9 9 ) 0 P A s b e f o r e ( S e c t i o n 2 . 4 ) , t o n o n d i m e n s i o n a l i z e ( 9 9 ) w a n d U 0 a r e u s e d a s t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h a n d v e l o c i t y s c a l e s . E q u a t i o n ( 9 9 ) b e - c o m e s * * 2 5 > 2 f Q y - d s * + [ Y + p * ] = c ' ( 1 0 0 ) a k s T h e a s t e r i s k s w i l l b e o m i t t e d i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s f o r c o n v e n i - e n c e . a n d f l u c t u a t i n g q u a n t i t i e s a s V ( s , t ) = fi ( s ) + u ’ ( s , t ) ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) P k ( s , t ) = § k ( 5 ) + p k ' ( s , t ) 4 9 u s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , h o w e v e r , u ' ( s , t ) i s n o w r e s t r i c t e d a l o n g 5 , g i v i n g u ' ( s , t ) = u a e x p [ i ( a s - w t ) ] ( 1 0 3 ) w h e r e , a s b e f o r e , a i s c o m p l e x a n d w i s r e a l . U s i n g e q u a t i o n ( 1 0 3 ) f o r t h e i n t e g r a t i o n o f t h e f i r s t t e r m i n e q u t i o n ( 1 0 0 ) a n d t a k i n g t h e r e a l p a r t o f t h e i n t e g r a l , t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n r e s u l t s u w a . - — — — — — _ _ _ + [ a 2 a 2 ] e x p ( a i s ) [ a r c o s ( a r s w t ) + a i s i n ( a r s w t ) ] r i . _ 1 _ 2 y _ I = I 1 0 4 ( p k + p k ) + 2 [ U + u ] C ( ) T a k i n g t i m e a v e r a g e o f e q u a t i o n ( 1 0 4 ) o v e r a c o m p l e t e c y c l e o f ( w t ) f r o m O t o 2 m r a d i a n s , t h e t i m e a v e r a g e e q u a t i o n i s f o u n d t o b e u z e x p ( - 2 a s ) — l — 2 a i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 0 5 p k + 2 [ U ( s ) + 2 ] C ( ) S u b t r a c t i n g t h i s f r o m e q u a t i o n ( 1 0 4 ) t h e e q u a t i o n f o r p i i s o b t a i n e d : u w P £ ( S . t ) = [ - — § é — — - § ] e x p ( - a i s ) [ a r c o s ( a r s - w t ) + a i s i n ( a r s — w t ) ] a + a . r 1 2 u - fi ( S ) u a e x p ( - a i s ) c o s ( a r s - w t ) - Z a e x p ( - 2 a i s ) 0 0 5 2 ( a r s - w t ) ( 1 0 6 ) 5 0 2 . 5 . 3 D i s c u s s i o n T h e e q u a t i o n f o r t h e f l u c t u a t i n g p r e s s u r e , p fi , i s c o m p r i s e d o f t h r e e t e r m s . T h e g r o w t h r a t e f o r t h e l a s t t e r m i s t w i c e a s l a r g e a s t h e g r o w t h r a t e o f t h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t y ( s e e e q u a t i o n ( 1 0 3 ) ) a n d o f t h e f i r s t t w o t e r m s . A l s o , t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n o f t h e l a s t t e r m i s t w i c e t h e f r e q u e n c y o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a n d o f t h e f i r s t t w o t e r m s . H e n c e , t h e p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s p é h a v e t h e p o t e n t i a l o f n o t o n l y g r o w i n g s p a t i a l l y a t t w i c e t h e r a t e o f u ' , b u t , a l s o o s c i l l a t i n g a t t w i c e t h e f r q u e n c y o f u ' . T h i s w i l l h a p p e n i f ( ~ a i ) i s l a r g e s o t h a t t h e l a s t t e r m b e c o m e s t h e d o m i n a n t t e r m i n e q u a t i o n ( 1 0 6 ) . I n C h a p t e r 8 , p £ ( s , t ) w i l l b e d e t e r m i n e d f o r t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d v a l u e s o f a r , o i , w a n d u a . E X P E R I M E N T A L F A C I L I T Y A N D P R O C E D U R E S 3 . 1 I n t r o d u c t i o n A n o v e l f l o w f a c i l i t y h a s b e e n d e s i g n e d ( s e e A p p e n d i x A f o r d e s i g n d e t a i l s ) a n d f a b r i c a t e d t o s t u d y t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . A s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s g r a v i t y d r i v e n , s t e a d y s t a t e , f i n i t e d u r a t i o n l i q u i d f l o w f a c i l i t y i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 6 . T h e d a t a a c q u i s i t i o n c o m p r i s e d o f f l o w v i s u a l i z a t i o n u s i n g d y e , a n d s i n g l e c h a n n e l l a s e r D o p p l e r a n e m o m e t r y . T h i s c h a p t e r d e s c r i b e s t h e f l o w f a c i l i t y , o p e r a t i n g p r i n c i p l e , m o d e l - l i n g o f f l o W , o p e r a t i n g p r o c e d u r e , c a l i b r a t i o n o f s e n s o r s , f l o w v i s u a l i z a t i o n t e c h n i q u e s a n d d e t a i l s o f d a t a a c q u i s i t i o n . 5 1 3 . 2 E x p e r i m e n t a l F a c i l i t y A s s h o w n i n F i g u r e 1 6 , t h e f l o w f a c i l i t y i s c o m p r i s e d o f t w o m a j o r u n i t s : 1 ) a g l a s s t a n k , a n d i i ) a c l e a r p l a s t i c s t r u c t u r e c a l l e d t h e N o z z l e H o u s i n g ( N H ) . T h e t w o n o z z l e p l a t e s w i t h k n i f e e d g e s a r e s u p p o r t e d a t r i g h t a n g l e s t o t h e j e t - a x i s b y t h e N H , t h u s f o r m i n g t h e t w o - d i m e n s i o n a l s l i t - j e t . T h e s e p l a t e s a r e p r o v i d e d w i t h a n u m b e r o f t a p s w h i c h a r e u s e d t o i n j e c t t h e d y e f o r f l o w v i s u a l i z a - t i o n . T h e t a n k i s f i l l e d w i t h a s u i t a b l e w o r k i n g l i q u i d s u c h t h a t i t s l e v e l i s a b o v e t h e n o z z l e p l a t e s u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s t a t i c e q u i l i b r i u m . T h e N H h a s p a r t i a l l y o p e n s i d e s a n d a n a i r t i g h t c o v e r p l a t e w h i c h s u p p o r t s a b l e e d v a l v e a n d h a s t w o a d d i t i o n a l o p e n i n g s : 1 ) a p r e s s u r e t a p c o n n e c t e d t o a V a l i d y n e D P 1 5 - 2 6 w i t h a n o p e r a t i n g r a n g e o f 3 5 . 6 c m w a t e r c o l u m n , a n d i i ) v a c u u m t a n k c o n n e c t i o n . T h e l a t t e r i s u s e d t o r a i s e t h e l i q u i d h e a d . T h i s e s t a b l i s h e s t h e c o n d i - t i o n t o s t a r t t h e j e t f l o w w h e n t h e c a v i t y i s p r e s s u r i z e d . T h e l i q u i d - f i l l e d S p a c e a b o v e t h e n o z z l e p l a t e s i s d e s i g n a t e d a s " t h e p l e n u m " ; t h e s p a c e b e l o w i s c a l l e d " t h e r e c e i v e r " . T w o a d d i t i o n a l d e v i c e s , w h i c h a r e p a r t o f t h e e x p e r i m e n t a l c o n f i - g u r a t i o n , a r e t h e i ) V o l u m e f l o w s e n s o r , a n d i i ) F i l l i n g d e v i c e . 3 . 2 . 1 V o l u m e F l o w S e n s o r F i g u r e 1 7 i s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o p e r a t i o n a l f e a t u r e s o f t h e f l o w f a c i l i t y . T h e v o l u m e f l o w s e n s o r ( h e r e i n a f t e r r e f e r r e d t o a s V F S ) , d r a w n o n t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e N H , i s c o m p r i s e d o f a n " i n v e r t e d c u p " a n d a p r e s s u r e t r a n s d u c e r ( 1 2 7 c m w a — t e r c o l u m n , V a l i d y n e D P 1 5 - 2 2 p r e s s u r e s e n s o r ) . A s t h e p l e n u m f l u i d d i s c h a r g e s i n t o t h e r e c e i v e r t h e l i q u i d l e v e l r i s e s c a u s i n g a p r e s s u r e r i s e i n t h e c u p . T h i s p r e s s u r e , p I ( t ) , i s r e l a t e d t o t h e v o l u m e f l o w o f t h e j e t a s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s . I n g e n e r a l , t h e p r e s s u r e p I ( t ) c a n b e e x p r e s s e d a s p I ( t ) = p I ( o ) + a t + b t 2 + c t 3 + ( 1 0 7 ) a n d , d P I 2 a ; = a + 2 b t + 3 c t + . . . ( 1 0 8 ) I f t h e p r e s s u r e r i s e s l i n e a r l y w i t h t i m e ( f o r a c o n s t a n t v e l o c i t y d e 5 E = a ( 1 0 9 ) d e T h e r a t e o f r i s e o f p I ( t ) , i . e . , d t ’ i s p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t e o f r i s e o f w a t e r c o l u m n i n t h e r e c e i v e r . T h e r e f o r e , d p V o l u m e f l o w r a t e a _ d % x A r e a o f r e c e i v e r . ( 1 1 0 ) a n d , s i n c e t h i s f l o w i s c o m i n g t h r o u g h t h e j e t o f a r e a A j = B w , w i t h s p a t i a l l y a v e r a g e d v e l o c i t y < U > = i — f V - i d A , J ' d p A j < U > a _ d % X A r e a o f r e c e i v e r ( 1 1 1 ) U s i n g t h e a b o v e , < U > c a n b e d e t e r m i n e d f r o m t h e p I ( t ) d a t a . ( S e c t i o n 3 . 7 . 2 d e s c r i b e s t h e d e t a i l s o f c a l i b r a t i o n o f t h e v o l u m e f l o w s e n s o r t o d e t e r m i n e t h e s p a t i a l l y a v e r a g e d v e l o c i t y o f t h e j e t ) . 3 . 2 . 2 F i l l i n g D e v i c e F i g u r e 1 8 s h o w s a d e v i c e c a l l e d t h e F i l l i n g D e v i c e ( h e r e i n a f t e r r e f e r r e d t o a s F D ) w h i c h i s m a d e f r o m s i x o r m o r e p l a s t i c t u b e s , s u p - p o r t e d b y a b u o y a n t s t y r o f o a m b a s e a n d a p a i r o f s t r i n g s . I t i s u s e d t o p r e v e n t t h e f o r m a t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a l v o r t i c e s ( s e e F i g u r e 1 9 ) d u r i n g t h e f i l l i n g p r o c e s s . T h e u s e o f t h e F D i s s h o w n i n F i g u r e 2 0 . T h e f o r m a t i o n o f s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s w a s v i s u a l i z e d u s i n g t h e s c h l i e r e n m e t h o d ; s e e F i g u r e 2 1 . T h e t w o l a r g e c o u n t e r r o t a t i n g e d d i e s a n d t h e s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s , a s s h o w n i n F i g u r e 1 9 , p o s s e s s t w o - d i m e n s i o n a l c o h e r e n c e , a n d a s r e p o r t e d b y G u t m a r k a n d H o ( 1 9 8 3 ) , s u c h m o t i o n s c a n i n f l u e n c e t h e b e h a v i o r o f t h e j e t . I t i s e x p e c t e d t h a t t h e u s e o f t h e F D w o u l d h e l p r a n d o m i z e t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s . E x p e r i m e n t s h a v e b e e n c o n d u c t e d w i t h a n d w i t h o u t t h e F D t o d e t e r m i n e t h e i n f l u e n c e o f t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e ( i n i t i a l c o n d i t i o n ) o n t h e b e h a v i o r o f t h e j e t . T h e r e s u l t s o f t h e s e e x p e r i m e n t s h a v e b e e n p r e s e n t e d i n S e c t i o n 7 . 5 . 3 . 2 . 3 W o r k i n g L i q u i d A n y N e w t o n i a n l i q u i d , w i t h k n o w n d e n s i t y p a n d k i n e m a t i c v i s c o s - i t y u , c a n b e u s e d t o e x e c u t e t h e e x p e r i m e n t . I n t h i s s t u d y , t h r e e d i f f e r e n t l i q u i d s w e r e u s e d : w a t e r , w a t e r - s u g a r a n d w a t e r - g l y c e r o l m i x t u r e s . W a t e r w a s u s e d f o r t h e r e l a t i v e l y h i g h R e r u n s ( 4 0 0 - 8 0 0 0 ) , w h e r e a s , a w a t e r — s u g a r o r a w a t e r — g l y c e r o l m i x t u r e w a s u s e d f o r l o w e r R e r u n s ( 7 5 - 1 0 0 0 ) . N o t e t h a t t h e l a t t e r m i x t u r e s h a v e r e l a t i v e l y l a r g e k i n e m a t i c v i s c o s i t y v a l u e s w h i c h p e r m i t l o w R e v a l u e s t o b e s t u d i e d w i t h a d e q u a t e l y l a r g e v e l o c i t y v a l u e s . A s u f f i c i e n t l y l a r g e v e l o c i t y ( < U > > 1 c m / s ) i s r e q u i r e d f o r t h e c o n t r o l s y s t e m t o p r o p e r l y f u n c t i o n . 3 . 2 . 4 O p e r a t i n g P r i n c i p l e T h e " s t e a d y s t a t e " o p e r a t i o n o f t h i s f i n i t e d u r a t i o n , g r a v i t y d r i v e n f l o w f a c i l i t y i s a c h i e v e d b y a c o n t r o l l e d p r e s s u r i z a t i o n o f t h e c a v i t y i n t h e N H s u c h t h a t 6 P _ k L _ a t = a t “ ) + p g h ) _ O ( 1 1 2 ) — y . . F o r t h i s c o n d i t i o n , V ( x , y ) i n t h e p l e n u m a n d r e c e i v e r i s c o n s t a n t d u r i n g t h e d u r a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t . 3 . 3 F l o w M o d e l l i n g A c o n t r o l v o l u m e a p p r o a c h [ P o t t e r a n d F o s s ( 1 9 8 2 ) ] h a s b e e n u s e d t o m o d e l t h e t w o f l o w s : i ) l i q u i d f r o m t h e N H t o t h e r e c e i v e r , a n d i i ) a i r f r o m t h e a m b i e n t t o t h e N H t h r o u g h t h e c o m p u t e r c o n t r o l l e d b l e e d v a l v e i n t h e c o v e r p l a t e . T h e o b j e c t i v e o f t h i s a n a l y s i s i s t o d e t e r m i n e t h e r a t e o f o p e n i n g o f t h e b l e e d v a l v e A v ( t ) s u c h t h a t a c o n s t a n t v e l o c i t y l i q u i d j e t i s o b t a i n e d . F o r s i m p l i c i t y , a n d b e c a u s e i t h a s p r o v e n t o b e s a t i s f a c t o r y a p o s t e r i o r i , t h e i n i t i a l t r a n s i e n t c o n d i t i o n ( w h e r e i n 5 ; > 0 ) i s n o t c o n s i d e r e d i n t h i s a n a l y s i s . N o t e t h a t t h i s r e s t r i c t i o n p e r m i t s t h e u s e o f t h e B e r n o u l l i e q u a t i o n f o r t h e d e s c r i p t i o n o f t h e u n s h e a r e d r e - g i o n s o f t h e f l o w . T h e v e l o c i t y U O f o r t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s i s g i v e n i n t e r m s o f t h e d e s i r e d R e y n o l d s n u m b e r ( R e ) a s U = V R e = c o n s t a n t ( 1 1 3 ) C w h e r e u i s k i n e m a t i c v i s c o s i t y o f t h e w o r k i n g l i q u i d , w i s s l i t w i d t h a n d C D i s d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e j e t . F o u r c o n t r o l v o l u m e s C V i ’ i — l , . . . , 4 , a r e u s e d i n t h e m o d e l l i n g ; s e e F i g u r e 2 2 . T h i s f i g u r e a l s o d e s c r i b e s t h e s y m b o l s u s e d . T h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s e q u a t i o n f o r a d e f o r m a b l e c o n t r o l v o l u m e [ P o t t e r a n d F o s s ( 1 9 8 2 ) ] , J h C e a 5 % d V r w i t h + t h J e C S B t o g e t v a — > B - A n e r n o u l l i d e A q u + a t J i C o S n i — > n - A n d a r e a p p l A i = e d o t 4 ) ( 1 i 1 n o C V 1 r e s u l t i n g C o n s i d e r i n g t h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s i n t h e e n t i r e s y s t e m , e q u a t i o n W i t h U 0 = c e q u a t i o n ( 1 1 7 ) s h o w s t h a t p N H ( t ) s h o u l d i n c r e a s e l i n e a r l y 5 7 A . h N H ( t ) = h N H ( 0 ) - K i ; c D U 0 t ( 1 1 5 ) A 2 2 . p N H ( t ) = 0 . 5 p W U 0 [ 1 - { X i c h } ] + p w g [ h r ( t ) - h N H ( t ) ] + p a t m ( 1 1 6 ) ( 1 1 6 ) b e c o m e s A + A N A . 2 r H 2 i { } l = — — — — — — — — 0 . 5 U 1 - — l — c + P N H ( t ) p n g c h U 0 [ A r X A N H ] t + p w 0 A N H D A + A N H r g [ A ] [ h e q - h N H ( 0 ) ] + p a t m ( 1 1 7 ) r p w w i t h t i m e . T h e s p a c e b e t w e e n t h e d e f o r m a b l e c o n t r o l s u r f a c e o f C V l a n d t h e t o p c o v e r p l a t e i s d i v i d e d i n t o t w o c o n t r o l v o l u m e s , C V 2 a n d C V 3 w h i c h a r e s e p a r a t e d b y a f i c t i t i o u s , m a s s l e s s p i s t o n w h i c h m o v e s w i t h v e l o - c i t y fi p ( t ) . T h i s p i s t o n s i m p l i f i e s t h e t h e r m o d y n a m i c d e s c r i p t i o n o f n o t e t h a t t h e p r e s s u r e s a r e t h e a i r i n t h e c a v i t y a s n o t e d b e l o w ; e q u a l w i t h i n t h e t w o c o n t r o l v o l u m e s t o p N H ( t ) . P = d e n s i t y o f a i r a t t h e v e n a c o n t r a c t a o f t h e b l e e d v a l v e = 5 8 T h e c o n s t a n t m a s s o f a i r , M 2 , b e l o w t h e p i s t o n i s a s s u m e d t o u n - d e r g o a n i s e n t r o p i c c o m p r e s s i o n . U n d e r t h i s c o n d i t i o n a n d u s i n g e q u a - t i o n ( 1 1 4 ) , t h e p o s i t i o n o f t h e m a s s l e s s p i s t o n i s f o u n d t o b e - 1 A . = ‘ _ _ _ _ _ _ _ 7 _ l _ h p ( t ) h N H ( 0 ) + A N p ( 0 _ ) C D U O t ( 1 1 8 ) H 2 p N H ( t ) - A N H T h e t i m e d e p e n d e n t v o l u m e ( V 3 ) o f , a n d t h e p r e s s u r e w i t h i n , C V 3 a r e i n t e r m s o f t h e a b o v e i n f o r m a t i o n . T h e p r e s s u r i z a t i o n o f C V 3 i s c a u s e d b y t h e i n f l u x o f a t m o s p h e r i c a i r t h r o u g h t h e b l e e d v a l v e . T h e c o m p r e s s i o n o f a i r i n C V i s a s s u m e d t o u n d e r g o a p o l y t r o p i c p r o c e s s 3 w i t h e x p o n e n t n . W i t h t h i s a s s u m p t i o n , e q u a t i o n ( 1 1 4 ) y i e l d s t h e t i m e d e p e n d e n t a r e a o f t h e b l e e d v a l v e , A v ( t ) , l - n l ' _ _ _ - _ h t K p N H ( p N H ) n V 3 ( t ) n K ( p N H ) n A N H p ( ) A ( t ) = ( 1 1 9 ) v n v a D v I ‘ T v ( t ) w h e r e ; l K = [ p ( P m ) n 1 | t = o C = d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f t h e b l e e d v a l v e p a t m U v ( t ) = t h e u n s t e a d y i n v i s c i d v e l o c i t y a t t h e v e n a c o n t r a c t a o f h T e e c v n e t l r o o c l o i t v y o l U u v m ( e t o t h t ) i s o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e B e r n o u l l i e q u a t i o n C V 4 : h t F n , o r f t d t i t = i o 0 U 0 a s a o h s r e t e p j p S N e H t f t h e t i m e w e n p N ( H i ( t . 0 ' v n e c l t u t h e o ) e . c , i b s e c y p s N t y i o n . o t H a F m e ( t o e m 0 r s a t m o s p h e r i r [ e h t p e i s a ’ t ) h t e h = i v s g n t a o s r c t ( o 0 n h a c w t p r p a n d t h e j e t s t o p i ) t a e h - c n U h 0 N = ( s H i O m t a t h e y a d n e d 0 , a h ) o m ] d o e d ) l e l l s r d . t o r e s A o q t v u a c i t = h r i c 0 a e n s c o . g e n A t - t o t h e 5 9 t h e b l e e d v a l v e . 0 . 5 U v ( t ) = E E E E E E ; ; — E E E £ E Z Z ( 1 2 0 ) a t m T h e e x p r e s s i o n ( 1 1 9 ) f o r t h e o p e n i n g o f t h e b l e e d v a l v e , A v ( t ) , i s v a l i d f o r a n y t i m e t a f t e r t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t . S i n c e t h e e x - p e r i m e n t i s o f f i n i t e d u r a t i o n , t h e m o d e l l i n g o f i t s s t a r t i n g p r o - c e d u r e b e c o m e s i m p o r t a n t a n d w a r r a n t s s o m e d i s c u s s i o n . F i g u r e 2 3 i s t h e s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t i m e h i s t o r i e s o f t h r e e q u a n t i t i e s o f i n t e r e s t : t h e l i q u i d j e t v e l o c i t y a t v e n a c o n t r a c t a U O , t h e p r e s - s u r e o f t h e n o z z l e h o u s i n g p N H ’ a n d t h e a r e a o f t h e b l e e d v a l v e A v . T h e d i s c u s s i o n i s f o c u s e d a t t i m e s t = 0 ' , 0 a n d 0 + ; t ‘ = f i n d i c a t e s 0 . 5 p - , w . P r e s s u r e p N H ( 0 ) t o r i s e b y t h e d y n a m i c h e a d = U 2 , 1 . 6 . , 0 2 p U _ - _ r _ 9 ( 1 2 1 ) S i n i e i r n p h a i m a o i s r o i t f t i s o n C . A t r l ( i 1 e s r i z a s m u o p t r h A i t a t e C a r . c c ) = t h e a i r V C 2 V 3 f , , a . F v n d a o p r r N H e t t h = h e t i e o s p t r d o e p = n l e 0 w c + i o t m n i n , t n a h d n g t o q t i e i d c a u s e d o f t e h a i o o 0 s t , e r f m o m e n s = h e d a e s 0 . l U s b l a A o v ( N i t T H m e l i l d w u e l i o s < h e s t a v n a s m 0 e ) f e l t o u s v h e e a d e = t 0 f e c t t o r p o a o n f b c y o a e o s p d m l s e u n t p l h r e e o w o f o t e i n f l u x i s s a o f n i p l N l H o w t n t i o i n g s a r < e n t n s i e f o 0 t f ) a b e f a t t h m e a g s i q u a t - e s n - = t d p e i c s r t e o a n s e a a t s h e h b N l H e ( e O d - ) v 3 . 4 C o m p u t e r F a c i l i t y n c r a e r a e . e r s e q u i A r s e a r e d t o s m u o l v a b t y t a t h a e m l m a s s l e s s o u n t . D a t a A c q u i s i t i o n a n C o n t r o l 1 1 / t 7 h 3 e c e o x m p c o m p u t p u t i m e e r r r t u h n e r e f s y s t a e n m d l i t y n a t c , i g t u i s i n i a ) n d o d l l M + u h i a r r e a c t p e r a t i a e t r a i . s t n T g h i c s s y s t s o f s t e e h e w i a o s n t A / D c o m p P n N e . a l h t e T c h l / 7 C 3 o h w e i t h l s l y e s a g t e e s t f e r E i s s i y n s e t e e r m i n g e m a e p g a a c b i y t t y n g 4 e c m t o h r a a s g w o e s r t k h i e e d g e d t o o t E G R N m E e T m e a n b t y t e s c I h e r r a y n , d o m p u t t s w a o i o n d h t a a r p g e d e o f 7 0 m i n n e 1 t s n 9 d A i h t ) b e i P D i P t D o e s P W Y e E s O i v e s u d s e e s d c r i T i i d s r f a c i l n d a i m s e k d r i v e T K 5 0 . n u h t e i i U s e a l f v o e r i e u o r 0 ( , l U h 0 e m a t = s i . o m c t n t e d o t u R S a h e n e s o i f X c t n q c g r 6 0 a = 0 c a n b e m i n i m i z e d b y d r a w i n g a r e l a t i v e l y l a r g e h e a d h N H ( 0 - ) : T h i s c a n b e s e e n f r o m t h e e q u a t i o n s ( 1 1 7 ) a n d ( 1 1 9 ) . F o r t h e s a m e v a l u e o f . R e ( i . e . , U 0 ) , t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e r a t i o 0 . 5 p W U g / ( p N H ( 0 - ) - p a t m ) c o n v e r t e r . 6 1 T h e c o m p u t e r h a s t w o A / D c o n v e r t e r s : i ) T S I ’ s 1 2 b i t , 1 0 c h a n n e l A / D c o n v e r t e r ( I F A 2 0 0 ) . I t s i n p u t r a n g e i s l i m i t e d t o 0 - 5 v o l t s w i t h t h e l e a s t s i g n i f i c a n t b i t ( L S B ) = 1 . 2 5 m V . i i ) D E C ' s 1 2 b i t , 8 c h a n n e l A / D c o n v e r t e r ( A X V l l C ) w i t h L S B = 5 m V . I n a d d i t i o n t h e s y s t e m i s e q u i p p e d w i t h a n i n t e r f a c e , t h e D R V l l b o a r d , w h i c h i s u s e d f o r r u n n i n g t h e s t e p p e r m o t o r a n d t o c o n t r o l o t h e r p e r i - p h e r a l d e v i c e s . 3 . 5 S o f t w a r e t o C o n t r o l t h e B l e e d V a l v e T h e b l e e d v a l v e i s a c t i v a t e d b y a s t e p p e r m o t o r w h i c h i n t u r n c a n b e r u n b y s e n d i n g p u l s e s f r o m t h e c o m p u t e r . T h i s p r o v i d e d t h e b a s i s o f r u n n i n g t h e e x p e r i m e n t u n d e r s o f t w a r e c o n t r o l . T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s t h e c o m p u t e r p r o g r a m s w h i c h w e r e d e v e l o p e d t o r u n t h e e x - p e r i m e n t s . T w o F o r t r a n p r o g r a m s w e r e d e v e l o p e d t o r u n o n t h e l a b o r a t o r y ' s P D P 1 1 / 7 3 c o m p u t e r s y s t e m : i ) C L A W S N t o g e n e r a t e a t i m e s e r i e s f o r t h e s t e p p e r m o t o r . T h i s s e r i e s w a s s t o r e d i n t h e c o m p u t e r . ( i i ) Z V A L V E t o r u n t h e s t e p p e r m o t o r i n a c c o r d a n c e w i t h t h e t i m e s e r i e s g e n e r a t e d b y C L A W S N . w h e r e n = 0 , l , 2 , . . . a r e t h e n u m b e r o f m o t o r s t e p s . T h e m i n i m u m 6 2 3 . 5 . 1 P r o g r a m C L A W S N T h e u s e r p r o v i d e s t h e p r o g r a m w i t h t h e v a l u e o f t h e d e s i r e d R e y n o l d s n u m b e r ( R e ) , t h e w i d t h o f t h e j e t ( w ) , t h e k i n e m a t i c v i s c o s - i t y o f t h e w o r k i n g l i q u i d ( u ) , t h e h e a d o f t h e l i q u i d f i l l e d i n t h e t a n k u n d e r e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s ( h e q ) ’ a n d t h e l e v e l t o w h i c h t h e l i q u i d w o u l d b e r a i s e d ( h N H ( O ' ) ) . B a s e d u p o n t h i s i n f o r m a t i o n a n d u s - i n g e q u a t i o n ( 1 1 9 ) t h e p r o g r a m c o m p u t e s t h e a r e a o f t h e b l e e d v a l v e A v ( t k ) ’ w h e r e t k = k 6 t a n d 6 t r a n g e s o v e r 1 0 . 5 S S t S 1 0 . 2 s e c . S i n c e t h e v a l v e o p e n s i n s t e p s o f A A v = 8 . 5 9 3 8 4 x 1 0 . 8 1 1 1 2 / s t e p , t h e r a t i o o f A v ( t k ) a n d A A V y i e l d s t h e n t h s t e p o f t h e m o t o r t o b e t a k e n a t t k t i m e . F o r t h e i n i t i a l p a r t o f t h e e x p e r i m e n t a l r u n t h e v a l v e o p e n s s l o w l y a l l o w i n g l a r g e r v a l u e s o f S t i n t h e c o m p u t a t i o n ; t o w a r d s t h e e n d o f t h e r u n t h e v a l v e o p e n s a t a m u c h f a s t e r r a t e r e q u i r i n g v e r y s m a l l v a l u e s o f S t . T h e p r o g r a m a u t o m a t i c a l l y a d j u s t s t h e v a l u e o f 6 t s o t h a t t h e t i m e r e q u i r e d f o r t h e n t h s t e p c o u l d b e f o u n d . T h e a r e a o f t h e v a l v e a t t i m e t i s g i v e n b y A v ( t ) = A V ( O ) + n ( t ) A A v ( 1 2 2 ) t i m e a l l o w e d b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e s t e p s i s = 1 m s e c . 6 3 3 . 5 . 2 P r o g r a m Z V A L V E T h i s p r o g r a m p e r f o r m s t w o f u n c t i o n s : i ) r u n t h e e x p e r i m e n t u n d e r a t i g h t w a i t l o o p , a n d i i ) a c q u i r e d a t a . ( S e e S e c t i o n 3 . 9 f o r d e t a i l s o f d a t a a c q u i s i t i o n . ) W h e n t h i s p r o g r a m i s s t a r t e d , i t f i r s t r e a d s t h e f i l e s t o r e d b y t h e p r o g r a m C L A W S N . I n a d d i t i o n t o t h e t i m i n g s o f t h e s t e p p e r m o t o r o t h e r d a t a a r e a l s o r e a d . F i g u r e 2 4 p r e s e n t s t h e f l o w c h a r t o f t h e t i g h t w a i t l o o p w h i c h j o g s t h e s t e p p e r m o t o r . T h e t i m e r e q u i r e d t o e x e c u t e a s t e p i s i n d i c a t e d o n t h e r i g h t h a n d s i d e . U s i n g t h e i n t e r r u p t c o n t r o l s y s t e m o f t h e c o m p u t e r a n d t h e r e a l t i m e c l o c k a s i g n a l i s s e n t t o t h e m o t o r t o t a k e a s t e p a t t h e d e s i g n a t e d t i m e . F r o m t h e e s t i m a t e s o f t h e t i m e f o r e a c h O p e r a t i o n i t i s n o t e d t h a t i t t a k e s 3 . 1 u s e c i n t h e w a i t l o o p w h i l e 8 p s e c a r e r e q u i r e d t o s e n d a p u l s e t o t h e m o t o r . I n c a s e o f s o m e d e l a y , o n e o r m o r e p u l s e s a r e s e n t t o t h e m o t o r i n q u i c k s u c c e s s i o n t o c o n f o r m t h e r e s t o f t h e r u n t o t h e t i m e a r r a y t . S i n c e a t a s k r u n n i n g a t a h i g h e r p r i o r i t y c a n i n t e r r u p t t h e s i g n a l s e q u e n c e , i t w a s n e c e s s a r y t o e n s u r e t h a t t h e r e w a s n o o t h e r u s e r o n t h i s m u l t i u s e r s y s t e m w h e n t h e e x p e r i m e n t w a s r u n . 3 . 6 O p e r a t i n g P r o c e d u r e / S t a r t o f E x p e r i m e n t a l R u n T h e g l a s s t a n k w a s f i l l e d w i t h a b o u t 0 . 2 c u b i c m e t e r ( 5 0 - 5 5 g a l - l o n s ) o f a n a p p r o p r i a t e w o r k i n g l i q u i d ( s e e S e c t i o n 3 . 2 . 3 . ) . W i t h t h e c o v e r p l a t e o f t h e N H i n p l a c e , t h e a i r c a v i t y u n d e r n e a t h i t w a s e v a c u a t e d s l o w l y t o f i l l t h e p l e n u m . T w o d i f f e r e n t p r o t o c o l s w e r e u s e d f o r f i l l i n g t h e p l e n u m : i ) f i l l i n g b y i n d u c i n g t h e r e c h a r g e f l o w e t t h o v c h t a e i c t a y v p t r y e . i s s u r e p N H a n d t h e r a t e o f f l o w q b o f t h e a t m o s p h e r i c a i r f r o m t h e r e c e i v e r t o t h e u p p e r p l e n u m t h r o u g h t h e s l i t - j e t o p e n i n g , a n d i i ) b y u s i n g t h e F D a s s h o w n i n F i g u r e 2 0 . T h e l i q u i d s u r f a c e w a s t h u s r a i s e d t o a l e v e l w h i c h w a s s l i g h t l y a b o v e a p r e d e t e r m i n e d l e v e l e q u a l t o h ( 0 ' ) , f o r a g i v e n R e y n o l d s n u m b e r . A f t e r w a i t i n g f o r t h e N H " f i l l i n g d i s t u r b a n c e s " t o d e c a y t o a s u f f i c i e n t l y l o w l e v e l , t h e s u c t i o n - f l o w - w h i c h h a d c o m p e n s a t e d f o r t h e a i r l e a k a g e w a s t u r n e d o f f . T h e c o n t i n u i n g l e a k a g e p e r m i t t e d t h e c a v i t y p r e s s u r e p N H t o i n c r e a s e s l o w l y . D u r i n g t h e t i m e p e r i o d r e q u i r e d f o r t h e d e c a y o f t h e d i s t u r - b a n c e s i n t h e p l e n u m t h e p r o g r a m Z V A L V E ( s e e S e c t i o n 3 . 5 . 2 . f o r d e - t a i l ) w a s r u n o n t h e l a b o r a t o r y ' s P D P 1 1 / 7 3 s y s t e m t o i n i t i a t e t h e e x p e r i m e n t a n d a c q u i r e d a t a . U s i n g t h e D E C A / D c o n v e r t e r , t h e p r o g r a m m o n i t o r s t h e r i s e i n t h e c a v i t y p r e s s u r e P N H ' W h e n t h e c a v i t y p r e s s u r e b e c a m e e q u a l t o p N H ( 0 ) t h e c o m p u t e r o p e n e d t h e b l e e d v a l v e a t t h e f a s t e s t r a t e p o s s i b l e ( = 6 6 6 s t e p s p e r s e c o n d ) t o s i m u l a t e a s t e p c h a n g e i n t h e - j e t v e l o c i t y , U 0 . A f t e r o p e n i n g t h e b l e e d v a l v e , t h e D E C A / D c o n v e r t e r a g a i n m o n i - t o r e d t h e c a v i t y p r e s s u r e t o c h e c k w h e t h e r t h e p r e s s u r e h a d r i s e n b y 2 0 . A s t h i s p r e s s u r e w a s r e a c h e d t h e c o m p u t e r b e g a n i ) o p e n i n g 0 . S p W U t h e b l e e d v a l v e s u c h t h a t p N H ( t ) v a r i e d l i n e a r l y , a n d ( i i ) a c q u i r i n g d a t a a t a u s e r s p e c i f i e d r a t e u s i n g t h e T S I I F A Z O O A / D c o n v e r t e r . F i g u r e 2 5 p r o v i d e s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t i m e h i s t o r i e s o f 6 5 3 . 7 C a l i b r a t i o n o f S e n s o r s T w o s e n s o r s w e r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e j e t v e l o c i t i e s : i ) a s i n - g l e c h a n n e l l a s e r D o p p l e r a n e m o m e t e r ( L D A ) , a n d i i ) a v o l u m e f l o w s e n - s o r . T h e L D A w a s u s e d t o o b t a i n p o i n t w i s e m e a s u r e o f t h e l o n g i t u d i n a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y u ( x , y , t ) . T h e v o l u m e f l o w s e n s o r p r o v i d e d a n e s t i m a t e o f t h e s p a t i a l l y a v e r a g e d v e l o c i t y o f t h e j e t < U > ( t ) . T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s t h e p r o c e d u r e s o f : i ) c h e c k i n g t h e o p e r a t i o n o f t h e L D A s y s t e m , a n d i i ) c a l i b r a t i n g t h e v o l u m e f l o w s e n s o r . 3 . 7 . 1 C h e c k i n g O p e r a t i o n o f t h e L D A S y s t e m F i g u r e 2 6 s h o w s t h e c o n f i g u r a t i o n o f t h e s i n g l e c h a n n e l L D A s y s - t e m . I t i n c l u d e s a 3 5 m W S p e c t r a P h y s i c s H e - N e l a s e r , T S I s e n d i n g a n d r e c e i v i n g o p t i c s w i t h f o c a l l e n g t h f = 2 5 0 m m , T S I p h o t o m u l t i p l i e r a n d T S I 1 9 8 0 C o u n t e r . T h e o u t p u t o f t h e c o u n t e r w a s r e a d b y t h e A p p l e I I e c o m p u t e r w h e n t h e c o u n t e r w a s r u n i n t h e A u t o m o d e . F i g u r e 2 7 p r o v i d e s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a r r a n g e m e n t f o r c h e c k i n g t h e o p e r a t i o n o f t h e L D A s y s t e m a g a i n s t a k n o w n i n p u t v e l o c i t y . A c i r c u l a r , c l e a r p l a s t i c d i s k w a s m o u n t e d o n a v a r i a b l e s p e e d U l Z F G T d c g e a r m o t o r w i t h a g e a r r a t i o o f 1 6 : 1 . T h e f r o n t s u r - f a c e o f t h e d i s k w a s m a d e t o i n t e r s e c t t h e m e a s u r e m e n t v o l u m e ( t h e i n - t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e t w o l a s e r b e a m s ; s e e F i g u r e 2 7 ) . T h e v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e d i s k v e l o c i t y a t t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n i s g i v e n b y 6 6 v = 2 n f r s i n 6 m / s ( 1 2 3 ) w h e r e , f i s t h e r a t e o f r o t a t i o n o f t h e d i s k i n h e r t z , r i s t h e r a d i u s o f t h e d i s k i n m a t t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n a n d 6 i s t h e a n g l e a s s h o w n i n F i g u r e 2 7 . A t a c h o m e t e r w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e a n g u l a r f r e q u e n c y o f t h e r o t a t i n g d i s k . T h e v e l o c i t y v w a s c o m p u t e d b y u s i n g e q u a t i o n ( 1 2 3 ) . W h e n t h e m e a s u r e m e n t v o l u m e o f t h e L D A s y s t e m i n t e r s e c t s t h e f r o n t s u r f a c e o f t h e d i s k a D o p p l e r s i g n a l i s g e n e r a t e d . T h e r e c e i v - i n g o p t i c s o f t h e L D A s y s t e m s e n d s t h e s i g n a l t o t h e C o u n t e r w h i c h d e t e r m i n e s t h e D o p p l e r - s h i f t e d f r e q u e n c y d u e t o t h e v e r t i c a l v e l o c i t y c o m p o n e n t o f t h e r o t a t i n g d i s k . T h e A p p l e I I e c o m p u t e r s a m p l e s 4 0 9 6 d a t a p o i n t s a t a u s e r s p e c i f i e d r a t e a n d d e t e r m i n e s t h e v e l o c i t y f o r e a c h d a t a p o i n t . T h e c o m p u t e r g e n e r a t e s a h i s t o g r a m f r o m t h e 4 0 9 6 d a t a p o i n t s a n d a l s o c o m p u t e s t h e m e a n a n d t h e r m s v e l o c i t i e s . T e s t s w e r e c o n d u c t e d b o t h i n t h e f o r w a r d a n d b a c k w a r d s c a t t e r i n g m o d e s . F i g u r e 2 8 i s a p l o t o f t h e a v e r a g e o f t h e d i s k v e l o c i t y f o u n d b y t h e L D A v e r s u s t h e d i s k v e l o c i t y f o u n d b y u s i n g e q u a t i o n ( 1 2 3 ) . F i g u r e 2 9 p r e s e n t s a p l o t o f t h e r a t i o o f t h e r m s o f t h e L D A v e l o c i t y t o i t s m e a n v e l o c i t y v e r s u s t h e v e l o c i t y o f t h e d i s k f o u n d b y u s i n g e q u a t i o n ( 1 2 3 ) . 6 7 3 . 7 . 2 C a l i b r a t i o n o f V o l u m e F l o w S e n s o r T h e p r i n c i p l e o f o p e r a t i o n o f t h e V o l u m e F l o w S e n s o r ( V F S ) i s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 2 . 1 . F i g u r e 3 0 p r e s e n t s t h e e x p e r i m e n t a l a r - r a n g e m e n t f o r i t s c a l i b r a t i o n . I n o r d e r t o s i m u l a t e t h e r i s e o f l i q u i d i n t h e r e c e i v e r ( s e e F i g u r e 1 7 ) t h e V F S i s d r i v e n i n t o t h e s t a - t i o n a r y l i q u i d a t a d e s i r e d v e l o c i t y . T h e v e l o c i t y o f t h e V F S a n d t h e d p . . I . . c o r r e s p o n d i n g r a t e o f r i s e o f p r e s s u r e - — a r e d e t e r m i n e d t o p r o v 1 d e d t t h e i n d e p e n d e n t a n d t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s , r e s p e c t i v e l y . T h e L i n e a r V a r i a b l e D i f f e r e n t i a l T r a n s f o r m e r ( h e r e i n a f t e r r e f e r r e d t o a s L V D T ) , s h o w n i n F i g u r e 3 1 , w a s u s e d t o m o n i t o r t h e p o s i t i o n o f t h e t r a v e r s e . T h e p r e s s u r e p I o f t h e a i r t r a p p e d i n t h e c u p w a s s e n s e d b y t h e V a l i d y n e D P 1 5 - 2 2 p r e s s u r e t r a n s d u c e r . B e f o r e t h e V F S w a s c a l i b r a t e d , t h e p r e s s u r e t r a n s d u c e r a n d t h e L V D T w e r e t e s t e d a n d c a l i b r a t e d ; t h e f o l l o w i n g i s a d e s c r i p t i o n o f t h e i r c a l i b r a t i o n . 3 . 7 . 2 . 1 C a l i b r a t i o n o f P r e s s u r e T r a n s d u c e r T h e p r e s s u r e t r a n s d u c e r w a s c a l i b r a t e d b y c o n n e c t i n g i t i n p a r a l - l e l w i t h a w a t e r m a n o m e t e r . P r e s s u r e w a s a p p l i e d t o b o t h , t o d i s p l a c e t h e w a t e r i n t h e m a n o m e t e r b y 1 2 . 7 c m w h i l e t h e s p a n o f t h e p r e s s u r e t r a n s d u c e r w a s s e t s o t h a t t h e o u t p u t w a s e q u a l t o t h e m a x i m u m i n p u t v o l t a g e o f 5 V , f o r t h e I F A 2 0 0 A / D c o n v e r t e r . A n u m b e r o f r e a d i n g s w e r e t h e n t a k e n a t i n t e r m e d i a t e p r e s s u r e v a l u e s i n o r d e r t o c h e c k t h e l i n e a r i t y o f t h e t r a n s d u c e r . F i g u r e 3 2 i s a p l o t o f t h e o u t p u t v o l - t a g e o f t h e t r a n s d u c e r a s a f u n c t i o n o f t h e i n p u t p r e s s u r e . 6 8 3 . 7 . 2 . 2 C a l i b r a t i o n o f L V D T F i g u r e 3 1 s h o w s t h e L i n e a r V a r i a b l e D i f f e r e n t i a l T r a n s f o r m e r m a n u f a c t u r e d b y S c h a e v i t z E n g i n e e r i n g . I t s c o m p o n e n t p a r t s a r e a n i n - d u c t i v e c o i l a n d a c o r e . T h e c o i l i s e x c i t e d b y a n a c s i g n a l a n d t h e a c o u t p u t o f t h e L V D T d e p e n d s u p o n t h e d i s p l a c e m e n t p f t h e c o r e w i t h r e s p e c t t o t h e p r i m a r y c o i l . T o c a l i b r a t e t h e L V D T , a s i n u s o i d a l s i g - n a l a t 2 . 5 k H z w a s a p p l i e d t o t h e p r i m a r y c o i l a n d , w i t h a k n o w n d i s - p l a c e m e n t o f t h e c o r e , t h e i n p u t a n d t h e o u t p u t s i g n a l s w e r e r e c o r d e d b y t h e c o m p u t e r . U s i n g t h e p o s i t i o n o f t h e c o i l a s i n d e p e n d e n t v a r i - a b l e a n d t h e r a t i o o f r m s o f o u t p u t t o r m s o f i n p u t v o l t a g e a s d e p e n - d e n t v a r i a b l e a l i n e a r r e g r e s s i o n w a s p e r f o r m e d r e s u l t i n g i n 0 R a t i o ( 3 % ) = 0 . 2 8 4 3 7 5 - 0 . 0 4 1 2 2 7 5 z ( 1 2 4 ) i a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n ( r e s i d u a l ) w a s 5 . 6 0 9 9 3 x 1 0 - 4 . H e r e 2 i s t h e p o s i t i o n o f t h e c o r e f r o m t h e o r i g i n . F i g u r e 3 3 i s a p l o t o f t h e R a t i o a s a f u n c t i o n o f p o s i t i o n 2 . 3 . 7 . 2 . 3 D a t a A c q u i s i t i o n a n d P r o c e s s i n g H a v i n g c h e c k e d a n d c a l i b r a t e d t h e c o m p o n e n t p a r t s o f t h e V F S i t s c a l i b r a t i o n w a s c a r r i e d o u t . F i g u r e 3 4 i s a f l o w c h a r t o f t h e p r o g r a m d p u s e d f o r c a l i b r a t i n g t h e V F S . F i g u r e 3 5 i s a p l o t o f E E I a s a f u n c t i o n o f t h e v e l o c i t y o f t h e c u p . L i n e a r r e g r e s s i o n w a s p e r f o r m e d o n t h e d a t a r e s u l t i n g i n 6 9 d p — — I - - 0 . 0 0 0 8 7 9 + 0 . 4 4 7 7 0 6 2 v c u ( 1 2 5 ) d t p w i t h s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e r e s i d u a l = 0 . 3 6 4 3 x 1 0 . 3 . T h e c a l i - b r a t i o n o f t h e V F S w a s p e r f o r m e d i n a w a t e r - g l y c e r o l m i x t u r e o f d e n - s i t y a - 1 1 2 0 3 % . W h e n a n o t h e r l i q u i d o f d e n s i t y p w a s u s e d , t h e m s e c o n d c o e f f i c i e n t i n e q u a t i o n ( 1 2 5 ) i s a d j u s t e d a s s 2 - 3 . 9 9 7 4 x 1 0 ' 4 p ( 1 2 6 ) E q u a t i o n ( 1 2 5 ) t h e n b e c o m e s d p i — 4 E ? = - 0 . 0 0 0 8 7 9 + 3 . 9 9 7 4 x 1 0 p v c u p ( 1 2 7 ) T h e p e r f o r m a n c e o f t h e V F S h a s b e e n t e s t e d f r o m t i m e t o t i m e b y c o m p a r i n g t h e v e l o c i t y e s t i m a t e d b y i t a g a i n s t t h e e s t i m a t e o b t a i n e d b y p h o t o g r a p h i c a l l y r e c o r d i n g t h e f a l l o f l i q u i d i n t h e p l e n u m . 3 . 8 M e t h o d s o f F l o w V i s u a l i z a t i o n T h r e e d i f f e r e n t t e c h n i q u e s h a v e b e e n a t t e m p t e d i n t h i s s t u d y ; t h e s e i n c l u d e : i ) S c h l i e r e n i i ) H y d r o g e n b u b b l e s e m 3 l i g y r y t u e h c a t h i a 6 e e t c b h e d t c e t t i h i r e r t u e o w i e t a e d o o n d s n l i v x n t e w m p d s s a f m h i i e c e t d r t h e h l i a s x a o i h p i h l s c t w n l m e i F g h t ; e h l i f t l r t a F h t a b d e e y e i g r n e u n d j r t W e h t e s u s - w s r i e l r c g e e i n n f c i f a t a s j t j m c o i n a e e h i i r o d m c w n e t t e x d . t e i T h h e s d y e w h y t d e s c b r e i e e b n s f b u r n i d e f m l o y s t t h s e u t t h a r b i r e p r e s e n t e n t z e r a k n h u n t c e m i = t t e n e r i o n . i n , n F x e 1 r p i i g t m . e l t n g u a 4 f e h i u 0 n r t t r e v r e i a 4 u h e e a T c c m i . e n i o e a v t i j r t i s A v o e e h t h w t n 3 7 n g s e c f i e l 3 c w m t r s o . e l o a 7 i o a a e a p e e f s % s t n r d c a a t m i e n h t s i e d k t r t g t r e m i a p h t l y - t x i v l h e y a s h x : e l o n c u u e t e t k e g i u l o d r i h o c i d o r = a n b n r s s n w o r o d r e g r a a s n t d u f a 2 l = u i a i . m s f n c y p g i 9 1 i o d e s h u f n x 2 . a r s i x t 3 m r o c t h e r e a s o n y . a l c t l o i e n o d c 1 u 6 e o i f 0 r 7 d f e r - e t s e 6 w p t h c n o e o a a h e o n f f s r e r u t w m t d s t i t i r 2 t i e t h n h a / o w n o d h e — s - e f o f - i o a f o a e p e v a e h u r v a d a e e i n n d r g e e t e u m i l x d ; a s u i t e u f w f e i f n r t o c f l e f h f i r s a r 3 e t 6 7 0 i i i ) D y e 3 . 8 . 1 S c h l i e r e n t h i s f l o w v i s u a l i z a t i o n t e c h n i q u e . T h i s e x p e r i m e n t a l m e t h o d w o r k e d a s d e s i r e d ; h o w e v e r , 1 ) G i v e n t h e a v a i l a b l e s p h e r i c a l m i r r o r s o f d i a m e t e r 1 8 . 5 c m , t h e l o n g i t u d i n a l e x t e n t o f t h e f l o w f i e l d t h a t c o u l d b e v i s u a l i z e d w a s l i m i t e d t o a b o u t 1 0 c m o r 4 s l i t w i d t h s . 7 1 i i ) T h e d y e m e t h o d o f f l o w v i s u a l i z a t i o n w a s m u c h m o r e e f f i c i e n t i n t e r m s o f e x p e r i m e n t t i m e a n d i t w a s e q u a l l y o r m o r e e f f e c t i v e . i i i ) A s m o r e a n d m o r e w a t e r - s u g a r m i x t u r e w a s a d d e d t o t h e t e s t l i q u i d ( w a t e r - g l y c e r o l ) t h e j e t b o u n d a r y b e c a m e d i f f i c u l t t o d i s c e r n . i v ) T h e r e w a s ' a n u n k n o w n e f f e c t o f t h e s u b s t a n t i a l m i s m a t c h i n t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y b e t w e e n t h e t e s t l i q u i d a n d t h e c o n - t a m i n a n t ( w a t e r - s u g a r m i x t u r e ) w h i c h m a r k e d t h e b o u n d a r i e s o f t h e j e t . 3 . 8 . 2 H y d r o g e n B u b b l e T e c h n i q u e A 0 . 1 2 7 m m d i a m e t e r N i - C r w i r e , s u p p o r t e d h o r i z o n t a l l y a c r o s s t h e j e t a n d c h a r g e d t o a p o t e n t i a l o f a b o u t 3 0 v o l t s a b o v e t h e g r o u n d p o t e n t i a l i n t h e t a n k p r o d u c e d h y d r o g e n b u b b l e s t h a t w e r e u s e d t o v i s u a l i z e t h e f l o w . T h e b u b b l e s i n t h e m i d d l e o f t h e j e t m o v e d d o w n - s t r e a m w h i l e o t h e r s m o v e d u p s t r e a m a n d i t w a s n o t c l e a r w h e t h e r t h o s e m o v i n g u p s t r e a m w e r e f o l l o w i n g t h e r e v e r s e d f l o w a s s o c i a t e d w i t h t h e v o r t e x m o t i o n s o r t h e y w e r e i n f l u e n c e d b y t h e i r b u o y a n c y . I n V i e w o f t h i s i t w a s c o n c l u d e d t h a t t h i s t e c h n i q u e i s m o s t s u i t a b l e i n h o r i z o n - t a l a n d p l a n a r f l o w s w h e r e t h e b u o y a n t e f f e c t s a r e o r t h o g o n a l t o t h e V e l o c i t y f i e l d . 7 2 3 . 8 . 3 D y e I n j e c t i o n F o o d c o l o r d y e w a s u s e d t o p r e p a r e t h e c o l o r e d l i q u i d f o r f l o w v i s u a l i z a t i o n . T h i s l i q u i d h a d n o m i n a l l y t h e s a m e d e n s i t y a s t h a t o f t h e t e s t l i q u i d . F i g u r e 3 8 s h o w s t h e a p p a r a t u s f o r t h e i n j e c t i o n o f t h e d y e d l i q u i d . T h e f o l l o w i n g p r o t o c o l w a s u s e d f o r t h i s v i s u a l i z a — t i o n t e c h n i q u e . A f t e r t h e l i q u i d h e a d w a s r a i s e d i n t h e N H a n d s u f f i — c i e n t t i m e h a d b e e n a l l o w e d f o r t h e d i s t u r b a n c e l e v e l t o d e c r e a s e , t h e s t o p c o c k s i n t h e d y e l i n e s w e r e o p e n e d a n d t h e l e v e l o f t h e b o t t l e c o n t a i n i n g t h e d y e w a s s l o w l y r a i s e d . T h e d y e f i r s t f l o w e d t o a h e a d e r a n d t h r o u g h t y g o n t u b e s i n t o t h e p l e n u m . T h e d y e w a s c a u s e d t o f l o w a t s u c h a s m a l l r a t e t h a t n o d y e j e t s w e r e f o r m e d . U n d e r t h e p r e s s u r e o f t h e l i q u i d h e a d i n t h e N H , t h e d y e s i m p l y f l o w e d o u t i n t h e f o r m o f a h e m i s p h e r e a n d g o t s p r e a d o n t h e n o z z l e p l a t e s . S e e F i g u r e 3 8 . W h e n t h e c i r c u l a r d y e s t a i n g o t b i g e n o u g h t h e f l o w w a s s t o p p e d a n d a f t e r w a i t i n g f o r a b o u t 6 0 - 9 0 s e c o n d s , t h e e x p e r i m e n t w a s r u n a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 6 . I n t h e m i d p l a n e o f t h e j e t , t h e b o u n d a r y l a y e r w h i c h f o r m s o n t h e n o z z l e p l a t e s i s c o m p r i s e d o f d y e d l i q u i d . T h e j e t b o u n d a r y , t h u s , g e t s m a r k e d a s t h e c o l o r e d b o u n d a r y l a y e r s e p a r a t e s a t t h e k n i f e e d g e . D e p e n d i n g u p o n t h e j e t R e y n o l d s n u m b e r t h e j e t b o u n d a r y S h o w s v a r i o u s f e a t u r e s . ( S e e C h a p t e r 4 . ) C o n t i n u a l a d d i t i o n o f d y e i n e a c h e x p e r i m e n t t o a b o u t 0 . 2 c u b i c m e t e r o f l i q u i d i n t h e g l a s s t a n k r e s u l t e d i n a d i s c o l o r a t i o n o f t h e 7 3 t e s t l i q u i d . I n o r d e r t o r e t u r n t h i s l i q u i d t o a c o l o r l e s s s t a t e , a s m a l l a m o u n t ( 3 0 0 - 4 0 0 m l ) o f c h l o r i n e w a s a d d e d t o t h e t a n k . ( T h e c h l o r i n e s e r v e d t o b l e a c h t h e d y e ) . N o a d v e r s e e f f e c t o f t h e a d d i t i o n o f c h l o r i n e w a s d e t e c t e d . U s i n g t h i s t e c h n i q u e , n o m i n a l l y 6 — 8 e x - p e r i m e n t s c o u l d b e p e r f o r m e d b e f o r e i t w a s n e c e s s a r y t o a d d t h e c h l o - r i n e a g a i n . T h e d y e m e t h o d w a s f o u n d t o b e m o s t s u i t a b l e a n d i t w a s u s e d f o r f u r t h e r e x p e r i m e n t s . A w i d e r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r a n d s l i t w i d t h s h a v e b e e n u s e d i n t h e s e e x p e r i m e n t s . E x p e r i m e n t s h a v e b e e n c a r r i e d o u t b o t h w i t h w a t e r a n d w a t e r - s u g a r m i x t u r e o f v a r i o u s c o n c e n t r a t i o n a s w o r k i n g l i q u i d . A l a r g e d a t a b a s e h a s b e e n c r e a t e d f r o m o v e r 1 0 0 0 p h o t o g r a p h i c r e c o r d s o f t h e p o s i t i o n o f v o r t e x p a i r s i n t h e s e e x p e r i - m e n t s . 3 . 9 D a t a A c q u i s i t i o n F i g u r e 3 9 p r o v i d e s a s i d e V i e w o f t h e e x p e r i m e n t a l f a c i l i t y a n d a b l o c k d i a g r a m s h o w i n g t h e i n p u t a n d o u t p u t s . T h e P D P 1 1 / 7 3 c o m p u t e r p r o v i d e d t h e i n p u t i n t h e f o r m o f t i m e d p u l s e s t o t h e s t e p p e r m o t o r . T h e o u t p u t s f r o m t h e e x p e r i m e n t w e r e d i g i t i z e d b y t h e s a m e c o m p u t e r u s i n g t h e I F A 2 0 0 A / D c o n v e r t e r . ( S e e S e c t i o n 3 . 4 f o r d e t a i l s o f t h e c o m p u t e r s y s t e m ) . T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s t h e d e t a i l s o f d a t a a c q u i s i - t i o n i n t h i s s t u d y . T h e n u m b e r o f s i g n a l s t h a t w e r e r e c o r d e d d u r i n g t h e e x p e r i m e n t a l r u n d e p e n d e d u p o n w h e t h e r f l o w v i s u a l i z a t i o n p i c t u r e s w e r e b e i n g t a k e n o r v e l o c i t y d a t a u s i n g t h e L D A w e r e t o b e r e c o r d e d . T w o p r e s s u r e s i g - n a l s w e r e , h o w e v e r , a l w a y s r e c o r d e d : t h e c a v i t y p r e s s u r e p N H ( t ) a n d t h e c u p p r e s s u r e p I ( t ) . W h e r e a s , p I ( t ) g a v e a n e s t i m a t e o f t h e s p a - t i a l a v e r a g e v e l o c i t y < U > o f t h e j e t , t h e c a v i t y p r e s s u r e w a s u s e d t o m o n i t o r t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e o f t h e e x p e r i m e n t . I t c a n a l s o b e u s e d t o g e t a n i n d e p e n d e n t e s t i m a t e o f < U > . T h i s w a s d o n e a n d t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o e s t i m a t e s n e v e r e x c e e d e d 3 % . 3 . 9 . 1 F l o w V i s u a l i z a t i o n B l a c k a n d w h i t e f l o w v i s u a l i z a t i o n p i c t u r e s w e r e t a k e n b y a N i k o n F 3 m o t o r i z e d c a m e r a a t a r a t e o f 4 o r 6 f r a m e s p e r s e c o n d . I n a d d i t i o n t o t h e t w o s i g n a l s p N H ( t ) a n d p I ( t ) , a n o t h e r s i g n a l , r e l a t e d t o t h e c a m e r a s h u t t e r r e l e a s e t i m e , w a s a l s o d i g i t i z e d . A s s h o w n i n F i g u r e 3 9 , t h i s s i g n a l w a s d e r i v e d a s t h e o u t p u t o f a c o m p a r a t o r c i r - c u i t . F i g u r e 4 0 i s a d i a g r a m o f t h e c o m p a r a t o r c i r c u i t . T h e h o t s h o e o f t h e c a m e r a s e r v e d a s a n e l e c t r i c a l s w i t c h f o r t h e c o m p a r a t o r c i r - c u i t . W h e n e v e r , t h e c a m e r a ’ s s h u t t e r w a s r e l e a s e d t h e c o m p a r a t o r g e n e r a t e d a T T L l e v e l v o l t a g e . T h i s v o l t a g e d r o p p e d b a c k t o g r o u n d l e v e l a s s o o n a s t h e s h u t t e r g o t c l o s e d . T h e o u t p u t o f t h e c o m p a r a - t o r , t h u s , p r o v i d e d a s i g n a l C ( t ) w i t h s h a r p s p i k e s w h i c h w e r e l o c a t e d a t t i m e s w h e n t h e p i c t u r e s w e r e t a k e n . T h e r a t e a t w h i c h I F A 2 0 0 d i g i - t i z e d t h e d a t a d e p e n d e d u p o n t h e d e s i r e d s h u t t e r r e l e a s e t i m e w h i c h i n t u r n d e p e n d e d u p o n t h e R e y n o l d s n u m b e r o f t h e e x p e r i m e n t . A t R e = 8 0 0 , t h e d a t a w e r e r e c o r d e d a t 2 0 0 H z , w h e r e a s a t R e = 2 4 0 0 , a d a t a r a t e o f 7 5 5 0 0 H z w a s u s e d s o a s n o t t o m i s s a n y p u l s e . T h i s a r r a n g e m e n t t h u s p r o v i d e d n o t o n l y t h e t i m i n g s b e t w e e n t h e p i c t u r e s b u t a l s o t h e t i m e o f t h e f i r s t p i c t u r e w i t h r e s p e c t t o t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t . 3 . 9 . 2 V e l o c i t y M e a s u r e m e n t u s i n g L D A F i g u r e 2 6 i s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n f i g u r a t i o n u s e d t o a c q u i r e t h e L D A d a t a u s i n g t h e T S I s i n g l e c h a n n e l L D A s y s t e m . T h e T S I 1 9 8 0 C o u n t e r o u t p u t s t h e v o l t a g e c o r r e s p o n d i n g t o t h e D o p p l e r s h i f t f r e q u e n c y u s i n g a 4 0 p i n c o n n e c t o r . B e c a u s e o f t h i s t h e d a t a c o u l d n o t b e r e c o r d e d d i r e c t l y o n t h e P D P 1 1 / 7 3 s y s t e m . A n A p p l e I I e c o m p u t e r w i t h a n i n t e r f a c e c a r d a n d s o f t w a r e d e v e l o p e d b y T S I ( i n A p - p l e s o f t B a s i c ) w a s u s e d f o r a c q u i r i n g t h e d a t a . T h e u s e r s p e c i f i e s t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e L D A s y s t e m w h e n t h e T S I ’ s p r o g r a m i s I c a l l e d . A m a x i m u m o f 4 0 9 6 d a t a p o i n t s c a n b e r e c o r d e d a t t h e u s e r s p e c i f i e d r a t e . I n t h e p r e s e n t s t u d y , 4 0 9 6 d a t a p o i n t s w e r e r e c o r d e d a t a 3 0 8 H z r a t e . A l l d a t a w e r e s t o r e d i n A p p l e s o f t b i n a r y f o r m a t . I n o r d e r t o k n o w t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d t i m e o f t h e d a t a a c - q u i s i t i o n b y t h e A p p l e I I e w i t h r e s p e c t t o t h e v a l v e o p e n i n g t i m e , t h e c o m p a r a t o r c i r c u i t ( s e e S e c t i o n 3 . 9 . 1 ) w a s u s e d a l o n g w i t h a n o t h e r s w i t c h i n g c i r c u i t ( s e e F i g u r e 4 1 ) a n d a s i m p l e e l e c t r i c a l s w i t c h . A l s o , m o d i f i c a t i o n s w e r e m a d e i n t h e T S I p r o g r a m s o t h a t d a t a a c q u i s i - t i o n b e g a n w h e n t r i g g e r e d b y t h e s w i t c h i n g c i r c u i t . S e c t i o n 3 . 6 d e s c r i b e s t h e i n i t i a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l r u n u s i n g t h e P D P 1 1 / 7 3 c o m p u t e r s y s t e m . A f t e r a f e w m i n u t e s f r o m t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t , w h e n t h e t r a n s i e n t s h a d d i e d d o w n , t h e e l e c t r i c a l s w i t c h ( s e e F i g u r e 2 6 ) w a s m a n u a l l y t u r n e d o f f . T h i s c a u s e d a s t e p c h a n g e i n t h e o u t p u t o f t h e c o m p a r a t o r w h i c h w a s d i g i t i z e d b y t h e I F A 2 0 0 ; i t a l s o c a u s e d t h e s w i t c h i n g c i r c u i t t o s e n d a 5 v o l t s i g n a l t o t h e g a m e p o r t o f t h e A p p l e I I e s y s t e m . T h e p r o g r a m r u n n i n g o n t h e A p p l e I I e c o n t i n u o u s l y m o n i t o r e d t h e v o l t a g e l e v e l o f t h i s p o r t a n d t h e d a t a a c - q u i s i t i o n b e g a n a s s o o n a s t h e v o l t a g e l e v e l b e c a m e h i g h . W h e n t h e A p p l e I I e i n d i c a t e d t h e e n d o f t h e d a t a a c q u i s i t i o n , t h e s w i t c h w a s t u r n e d o n . T h i s c a u s e d t h e o u t p u t o f c o m p a r a t o r t o b e c o m e l o w . I n t h i s w a y , t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d t i m i n g s o f t h e L D A d a t a w e r e d e t e r m i n e d . T h e u n c e r t a i n i t y i n t h e m e a s u r e m e n t s c o n d u c t e d b y a t y p i c a l L D A s y s t e m i s q u o t e d t o b e $ 0 . 5 % [ s e e , f o r e x a m p l e , D u r s t , S c h i e r h o l z a n d W u n d e r l i c h ( 1 9 8 7 ) ] . S i n c e t h e T S I s y s t e m u s e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n i s a s t a n d a r d s y s t e m , t h e s a m e l i m i t s o f u n c e r t a i n i t y a r e e x p e c t e d t o b e a p p l i c a b l e . T h e u n c e r t a i n i t y r e l a t e d t o t h e s t a t i s t i c a l c o n s i d e r a - t i o n s w a s c h e c k e d b y c o m p u t i n g t h e r u n n i n g a v e r a g e s o f t h e m e a s u r e d v e l o c i t y u ( t ) . M o r e s p e e c i f i c a l l y , t h e a v e r a g e b a s e d u p o n t h e t o t a l d a t a a c q u i s i t i o n t i m e , T d ’ w a s c o m p a r e d w i t h t h e a v e r a g e b a s e d u p o n a r u n n i n g t i m e d e f i n e d a s T d - £ i § % l i , i = l , 2 , . . , 2 l . H e r e , T i s t h e t i m e p e r i o d o f t h e d o m i n a n t f l u c t u a t i o n i n t h e m e a s u r e d v e l o c i t y t i m e h i s - t o r y . T h e m a x i m u m d e v i a t i o n b e t w e e n t h e r u n n i n g a v e r a g e a n d t h e a v e r - a g e b a s e d u p o n T d d i d n o t e x c e e d i 1 % . H e n c e , g i v e n t h e o s c i l l a t i n g n a t u r e o f t h e f l o w f i e l d , t h e a v e r a g e b a s e d u p o n T d y i e l d s a g o o d e s t i m e t e o f t h e a v e r a g e v e l o c i t y . 3 . 9 . 3 C o m b i n e d F l o w V i s u a l i z a t i o n a n d L D A V e l o c i t y - S e n s i n g T h e t e c h n i q u e s d e s c r i b e d i n S e c t i o n s 3 . 9 . 1 a n d 3 . 9 . 2 w e r e c o m - b i n e d t o a c q u i r e b o t h q u a l i t a t i v e a n d q u a n t i t a t i v e d a t a t o b e t t e r u n - d e r s t a n d t h e i n s t a b i l i t y p h e n o m e n a . A f r o n t s u r f a c e m i r r o r w i t h a n a r r o w s l i t = 5 3 m m x 3 . 5 m m a n d a w h i t e c a r d b o a r d w i t h a s m a l l c i r - c u l a r h o l e w e r e u s e d , a s s h o w n i n F i g u r e 4 2 , t o c o m b i n e t h e t w o m e t h o d s . A f t e r t h e t h e e x p e r i m e n t w a s s t a r t e d b y t h e P D P l l / 7 3 s y s - t e m , t h e c a m e r a w a s f i r e d a t a n a p p r o p r i a t e t i m e . T h i s c a u s e d t h e c o m p a r a t o r c i r c u i t t o g e n e r a t e a T T L l e v e l p u l s e . A s s h o w n i n F i g u r e 4 2 , t h i s p u l s e w a s f e d t o : i ) t h e A p p l e I I e c o m p u t e r t o c a u s e i t t o b e g i n t a k i n g L D A d a t a , a n d i i ) t h e P D P 1 1 / 7 3 c o m p u t e r f o r d i g i t i z a t i o n t o m a r k t h e b e g i n n i n g o f d a t a a c q u i s i t i o n . I n t h i s w a y , t h e L D A v e l o - c i t y d a t a a n d t h e c a m e r a t i m i n g s c o u l d b e r e f e r r e d t o a c o m m o n t i m e b a s e . F L O W V I S U A L I Z A T I O N : Q U A L I T A T I V E R E S U L T S & D I S C U S S I O N 4 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e n e a r - f i e l d o f t h e s l i t j e t f l o w f i e l d w a s v i s u a l i z e d u s i n g f o o d c o l o r d y e ; t h e d e t a i l s o f t h e t e c h n i q u e a n d t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e s h a v e b e e n d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3 . T h e p u r p o s e o f t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n w a s : i ) t o m a k e q u a l i t a t i v e o b s e r v a t i o n s o f t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t o v e r a l a r g e r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r ( i . e . , u p t o 4 0 0 0 ) a n d c o v e r i n g a r e g i o n u p t o 4 - 8 s l i t w i d t h s d o w n s t r e a m ; i i ) t o o b t a i n q u a n t i t a t i v e r e s u l t s r e l a t e d t o t h e p a s s a g e o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l v o r t i c a l m o t i o n s , l i k e p a s s a g e f r e q u e n c y , c o n v e c t i o n s p e e d o f v o r t i c e s , a n d s p a c i n g b e t w e e n v o r t i c e s . A b o u t 5 0 s e t s o f p h o t o g r a p h i c r e c o r d s , w i t h 3 2 - 4 0 p h o t o g r a p h s p e r s e t , w e r e a c q u i r e d o v e r t h e r a n g e 7 5 5 R e 5 3 5 0 0 , a n d f o r f i v e 7 8 t s l a i t i w w l o d e w w d i x o o i f p r r f f e k k f e r i i e r i n n r e m g g e n e t n f n t t l l s u i i q s d u i . i z d e d v F e t a o r h l r i s u m e e s h n 1 R . e = f h w i o g s , e a t r t o 8 t e a y F l i e e d ( 1 9 t i o t m d ; e u h g w a i c o t l r f n i o s c h s 4 v s e : e e t h d e i p f r e f t w o a 0 a o x n d o r w 5 c , l m p c c e o 4 i ) i w u e l e e n . i 1 f c l 3 n n i e n f n s r e d t v e e T s w . e c s r n o . w r E x w p i a a i n f l - d o s l t a s t d r t M m y t w N h e o o o e h e e a b s r d i d c s , o n y o y s b e l . i 6 g d e s c r i b a t i o n . e e , h a t 2 i . x 5 t w 7 u a w , r t e n c e e e o r r e f t h c d p f a c n e f e u n n n o d e f b y r r a t e t s n a a e o e d 1 a e o . t s v r 5 e a e 1 r o l , u - f t s e h . g h 1 u t s e a e 9 o p 9 r f r R , e m R e s n f f h l f f l e e t a u c e d t e k d i h h c a o t ) l v r y u e n T s e h w i s h r e a d s s e e m n o c s , d t o n d i t u r p e r o e t f i t o o o o i n c r b o o w o n c . o Y i e h d s ( 1 9 d c i h e e o o e r e n w i e t s t p b o i h h e l n s n p m d t e r w i n e t r e h o n p e b e s e n t t o t c s r a r t i e s n s t i i n o v S i e s h ) r i a e s e f 5 a q n o l d a t 9 u d p t 3 s t s m u u e n e d e t r d p e n w d a w g s a r e 2 s e o . u p m 6 s u e e 3 e s a t F t t o h h t r e e h c d e y m a d . s a d s e w p i e n a i i x i - - s n - ) s n s t e a e l r - t c c r l h o l b e i e n o l p k s d s e o e e u e e r c t d , d t e d y l d i s e d n a e c n i g n t h n m s o u e d d e i t e i r n e g i e x e l s c w u e t r i e n g u s e t e h d e o x r f p e r f i i m l e l n i t n s g 7 9 d e n t e f f e c t s . t h e p l e n u m : 1 ) f i l l i n g b y i n d u c i n g t h e r e c h a r g e f l o w f r o m t h e r e c i e v e r t o t h e u p p e r p l e n u m t h r o u g h t h e s l i t j e t o p e n i n g ; i i ) b y u s i n g t h e f i l l i n g d e v i c e s h o w n i n F i g u r e 1 8 . i S r a v e e t ) c s i t o c o n t l t p o i e n i d 2 4 t . o i p . e t n p h S t e r e i c e f e t s y s i e t h s m n t o t i n e a 4 l n e 3 a t . o s s e o d v f e a s o l t f u h c r s t y i d m o i m n s b e s a e i y c e p t t o l h r f a e i n t t e c m h o e e m w t o n m e d t h i n s t t p h h a i c t i e r o k t e f n e a m w t h e r s n s s s e d d n y d 6 a l e o a S c s t e a t c t r t i e i t o a h o n e k n w S i e t p h a r 8 0 T h e r a n g e o f R e c o v e r e d f o r t h e e x p e r i m e n t s w a s 7 5 - 1 2 8 0 f o r t h e f i r s t p r o t o c o l a n d 1 0 0 0 - 3 5 0 0 f o r t h e s e c o n d . B a s e d u p o n a c o m p r e h e n - s i v e e x a m i n a t i o n o f t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n r e c o r d s , i t i s i n f e r r e d t h a t , q u a l i t a t i v e l y , t h e p r o c e s s o f f o r m a t i o n o f a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t i n t h e c o m m o n r a n g e o f R e e x h i b i t s s i m i l a r f e a t u r e s . H e n c e , t h e m e t h o d o f r e c h a r g i n g t h e p l e n u m d o e s n o t m a t e r i a l l y i n f l u e n c e t h e f l o w f i e l d , a n d a c o m m o n d e s c r i p t i o n o f t h e p r o c e s s o f f o r m a t i o n o f t h e s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t w i l l b e p r e s e n t e d . T h e o b j e c t i v e s o f t h i s c h a p t e r a r e : i ) t o i d e n t i f y t h e p a t t e r n s w h i c h c o m m o n l y o c c u r i n t h e f l o w f i e l d ; i i ) t o d e t e r m i n e t h e R e y n o l d s n u m b e r d e p e n d e n c e o f t h e s e p a t t e r n s ; i i i ) t o d e s c r i b e t h e p a i r i n g o f , a n d o t h e r i n t e r a c t i o n s b e t w e e n , t h e s y m m e t r i c m o t i o n s ; o f t h e v o r t e x m o t i o n s . 4 R d s . 4 p e e t . s r c e r a r I i m s e n e s n e t c b w i i e d d s t , e h s t a l t o d c i n o E v a h n a l e S t u 4 e i a v . c o t g t d i e e t t v m r a w D e a s c l o y s e s l w e t h s e o i e f o f t o i r t n t t r h i e h b c a e e t e k p w s h u i n r d o w w p t z e T o h z r h d s l e e e e t e c o e p s a l t v r e a s o w s s 6 h d v o / r w t e n t n 4 4 e s s , t P h a e t W T t f t r 4 . 2 l l d t 0 a i y a . t p e l 0 e o s 4 6 w F t t C m p e a n r t e n 4 . 3 h h r u i h e i t e s h a n w g i t s i u c h t . r k a o m m o e k a e w t e r n s o w F i e l d S i v c e n e i v d f e t r h i c f o a i b e s S d e p r e m - o j e r l h r c l n n o i e g m t v e s e a n e o t a f t l e R t o t e e w r s n t f y n o o r d i . d s e r l t d s f n r u s S o m t o m b i m n e r c t o e s e r f e a t s h e e i s u o r f t e e h p s a e a h u s t a r v e a e s r i c u t r r e l b e a o e r b n e s a r i d a e l v e n d w t t a h i y a i - s n t e t r o t n l m e F - o a j t s e h s p t e o m w m f s o l y f f i e e s t y r m i m l c e d t m r b o y a t s i u s o e i n d n p a t o r h n e e a i r . t f h l e u p o o h c u s e n s d i s o t e h i e s v y d d o r , f t o s p t r e e a b r r e o 0 e a u . a t w s 0 k i i 2 n d 5 w g e t w a s h x p s 5 a e t t o r w o f i a r t t e h h n - m v e e - e e 5 . r m n o a o m r n d t k e i h d m e e b n p y a s l i o t t o h n e l d i t y d i l a s i p s c a e p - - e . i w o S t n c t t h h a t h w 3 u o e e n e a w v i p o i m h v t i o o e o o m ’ n f p d r a o 1 R e l i s r n o i o g f n m g , h r c 2 . 6 i t i b i s d m s u i F t t n d l s e 4 e . e e f a w t s g g i o n t o n o u h f o e v e a a n t a h s l e m t r i c o a f a t 5 n i o r i , s o f t h i a e a f j , i p r i e n . t 6 h t e h l i u d a t d f w r i o e t h U f a f l t h e i f u d l s i a t t g t w . o t i f t e t f ; o f a p r h i e o a 4 c g s 0 t h l y . e v e t h h a t a c l r f e t 8 1 f e a t u r e . 4 . 3 . 1 S t a r t i n g V o r t e x P a i r A s t h e f l o w s t a r t s f r o m r e s t , t w o l a r g e , c o u n t e r r o t a t i n g v o r t i c e s a r e f o r m e d a s t h e j e t m a k e s i t s w a y i n t o t h e q u i e s c e n t a m b i e n t . T h i s p a i r o f v o r t i c e s f o r m s a t a l l v a l u e s o f R e a n d i t w i l l b e t e r m e d t h e " S t a r t i n g V o r t e x P a i r ( S V P ) " i n t h i s d i s c u s s i o n . S e e F i g u r e s 4 5 , 4 6 , a n d 4 7 a t t h r e e d i f f e r e n t v a l u e s o f R e . B e h i n d t h e S V P , t h e j e t c o l u m n e x h i b i t s a n o u t w a r d d i s p l a c e m e n t o f t h e d y e s t r e a k . T h i s " s w o l l e n " r e g i o n o f t h e j e t s t r e a m i s c a l l e d a " b u l g e “ a s s h o w n i n F i g u r e s 4 5 , 4 6 , a n d 4 7 . W i t h t h e p a s s a g e o f t i m e , t h e k i n e m a t i c s o f t h e j e t a s s o c i a t e d w i t h t h e b u l g e c a u s e s i t t o d e f o r m , r e s u l t i n g i n t h e a p p e a r a n c e o f a n o t h e r i d e n t i f i a b l e f e a t u r e a t t h e u p s t r e a m e d g e o f t h e c o n v e c t i n g b u l g e . T h i s f e a t u r e w i l l b e i d e n - t i f i e d h e r e i n a s a " k i n k " . E x a m p l e s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 6 ( c ) a n d F i g u r e 4 7 ( b ) . T h e s a m e m e c h a n i s m p r e d o m i n a n t l y l e a d s t o a n o v e r l a p - p i n g o f t h e d y e s t r e a k s a t t h e k i n k , a s s h o w n i n F i g u r e 4 7 ( c ) , w h i c h i s c a l l e d a " f o l d o v e r “ . F r o m t h e s e q u e n c e o f p h o t o g r a p h i c r e c o r d s a t e q u i s p a c e d t i m e s , t h e v e l o c i t i e s o f t h e S V P a n d t h e b u l g e ( o r k i n k o r f o l d o v e r ) h a v e b e e n d e t e r m i n e d . T h e r a t i o o f t h e v e l o c i t y o f t h e b u l g e t o t h e S V P , V b / V s , h a s b e e n f o u n d t o b e s t r o n g l y d e p e n d e n t u p o n R e a s s h o w n i n F i g u r e 4 8 . T h i s f i g u r e a l s o s h o w s t h e v a r i a t i o n o f V b / < U > a n d V s / < U > a s f u n c t i o n s o f R e . T h e f a t e o f t h e f o l d o v e r h a s b e e n f o u n d t o b e d e p e n d e n t u p o n t h e R e y n o l d s n u m b e r . A t v a l u e s o f R e f o r w h i c h V b / V S < l , t h e f e a t u r e ( b u l g e , k i n k o r f o l d o v e r ) b e h i n d t h e S V P c a n n o t " m o v e i n t o " t h e S V P a n d t h e f o l d o v e r a p p e a r s t o k e e p g r o w i n g w i t h s h a r p p o i n t e d e d g e s ; s e e F i g u r e 4 7 ( c ) . H o w e v e r , f o r l < V b / V S < 1 . 2 t h e f o l d o v e r h a s b e e n f o u n d t o " m o v e i n t o " t h e S V P , w h i c h i s r e p l a c e d b y a n o t h e r b u l g e . F i g u r e 4 9 s h o w s t h e p a s s a g e o f a f o l d o v e r i n t h e S V P a n d t h e a p p e a r - a n c e o f a s e c o n d b u l g e . I n t h e c a s e o f a r e l a t i v e l y h i g h R e y n o l d s n u m b e r ( 2 9 8 0 ) , t h e f o l d o v e r s h a v e b e e n f o u n d t o r o l l i n t o t w o d i m e n — s i o n a l v o r t e x m o t i o n s a n d t h i s e v e n t h a s b e e n t e r m e d a s “ r o l l o v e r " . F i g u r e 5 0 s h o w s t h e f o r m a t i o n a n d s u b s e q u e n t e v o l u t i o n o f t h e S V P ( m a r k e d b y 1 ) a n d t h e f o l l o w i n g d i s t i n c t i v e m o t i o n s a r e m a r k e d b y 2 , 3 , 4 , . . . . W h e r e a s t h e f e a t u r e s 2 a n d 3 c o a e l s c e w i t h t h e S V P i n t h e f o r m o f a f o l d o v e r , t h e f e a t u r e s 4 a n d 5 e v o l v e i n t o r o l l o v e r s b e f o r e c o a l e s c i n g . T a b l e 2 p r e s e n t s t h e r a t i o o f s p e e d s , V b / V s , o f b u l g e s 2 - 5 w i t h r e s p e c t t o t h e S V P . T a b l e 2 - V b / V s a t R e = 9 8 0 B u l g e N o . t V b / V s R e m a r k s 2 1 1 . 4 6 2 . 8 1 S h o r t l i f e s p a n F i g u r e 5 0 ( a , b ) 3 1 2 . 5 3 1 . 3 5 F r o m b u l g e t o f o l d o v e r ( b , c ) 1 3 . 5 9 2 . 1 4 M o v i n g i n t o t h e S V P ( c , d ) 4 1 3 . 5 9 1 . 2 3 F r o m b u l g e t o r o l l o v e r ( c , d ) 1 4 . 6 6 2 . 6 4 M o v i n g i n t o t h e S V P ( d , e ) 1 5 . 7 3 1 . 5 4 I n s i d e t h e S V P ( e , f ) 5 1 4 . 6 6 0 . 9 9 F r o m b u l g e t o f o l d o v e r ( d , e ) 1 5 . 7 3 1 . 7 2 F r o m f o l d o v e r t o r o l l o v e r ( e , f ) 1 6 . 8 0 0 . 9 6 P a i r i n g w i t h b u l g e N o . 6 ( f , g ) 1 7 . 8 7 2 . 1 6 M o v i n g i n t o t h e S V P ( g , h ) 1 8 . 9 0 1 0 . 8 I n s i d e t h e S V P ( h , i ) 4 . 3 . 2 B u l g e s w i t h O v e r r i d i n g U n i t V o r t i c e s a t L o w R e F o r v a l u e s o f l < V b / V S < 1 . 2 ( 1 5 7 < R e < 2 1 0 ) , t h e b u l g e s w h i c h f o r m o n t h e j e t c o l u m n a r e m a r k e d b y s y m m e t r i c s m a l l s c a l e v o r t i c e s a s s h o w n i n F i g u r e 5 1 . T h e s e v o r t i c e s a r e c a l l e d u n i t v o r t i c e s . S i n c e V b / V s > 1 , t h e f o l d o v e r s c o a l e s c e w i t h t h e S V P a n d n e w b u l g e s a p p e a r o n t h e j e t c o l u m n ; t h r e e s u c h f e a t u r e s c a n b e i d e n t i f i e d i n F i g u r e 5 1 ( d ) . N o r o t a t i o n o f t h e f o l d o v e r s o r a g g l o m e r a t i o n o f u n i t v o r t i c e s i n t o l a r g e s c a l e m o t i o n s h a s b e e n o b s e r v e d a t t h e s e v a l u e s o f R e . 4 . 3 . 3 B u l g e s o n J e t B o u n d a r y w i t h L a r g e S c a l e V o r t e x F o r m a t i o n s F o r v a l u e s o f R e 2 2 6 8 , t h e j e t c o l u m n h a s b e e n o b s e r v e d t o b e m a r k e d b y t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s a n d t h e i r g r a d u a l e v o l u t i o n i n t o l a r g e s c a l e s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s . F i g u r e 5 2 p r e s e n t s t h e b e h a v i o r o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d s a t R e = 5 1 0 a n d 1 2 0 0 . T h e v o r t e x s t r e e t i s n o m i n a l l y s y m m e t r i c a n d t w o d i m e n s i O n a l i n n a t u r e . - T h e o b s e r v a - t i o n s o f B W w e r e b a s e d o n t h e m o t i o n s o f t h e l a r g e s c a l e s y m m e t r i c v o r t e x p a i r s a s s h o w n i n F i g u r e 5 2 . 4 . 3 . 4 F o r m a t i o n o f U n i t V o r t i c e s a t H i g h R e V a l u e s F o r v a l u e s o f R e 2 2 3 0 0 t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t c o l u m n i s m a r k e d b y s m a l l s p o t s o f a c c u m u l a t e d d y e w h i c h a r e c a l l e d u n i t v o r t i c e s . I n s o m e e x p e r i m e n t a l r u n s , t h e u n i t v o r t i c e s h a v e b e e n c o n - s i s t e n t l y o b s e r v e d a t l o w v a l u e s o f R e , f o r e x a m p l e , R e = 9 0 0 , a s s h o w n i n F i g u r e 5 3 . I n o t h e r c a s e s , a t l o w R e v a l u e s , t h e i r a p p e a r a n c e h a s b e e n f o u n d t o b e i n t e r m i t t e n t . F i g u r e 5 3 e x h i b i t s t h e p r e s e n c e o f u n i t v o r t i c e s o n t h e j e t c o l u m n p r e c e d i n g t h e l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s . T h e p r e s e n c e o f u n i t v o r t i c e s w a s i n f e r r e d b y P R i n c o n n e c t i o n w i t h t h e i r h y p o t h e s i s t h a t " l a r g e s c a l e v o r t i c e s r e s u l t f r o m t h e a g — g l o m e r a t i o n o f u n i t v o r t e x m o t i o n s " . F r o m t h e p h o t o g r a p h i c d a t a i n t h i s s t u d y , i t i s c o n c l u d e d t h a t t h e u n i t v o r t e x m o t i o n s d o n o t p l a y a n a c t i v e r o l e i n t h e f o r m a t i o n s o f l a r g e s c a l e v o r t i c e s i n t h e " l o w " R e r a n g e o f 9 3 0 - 1 7 0 0 . A s s h o w n i n F i g u r e 5 3 ( b ) ( R e = 1 0 4 4 ) , t h e u n i t v o r t i c e s a r e c a r r i e d b y t h e l a r g e s c a l e i n s t a b i l i t y a s a b u l g e r o l l s o v e r i n t o a v o r t e x p a i r . F o r t h e " h i g h " R e r a n g e ( > 2 3 0 0 ) t h e r o l e o f u n i t v o r t i c e s i n t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e m o t i o n s c o u l d n o t b e a s - c e r t a i n e d b e c a u s e o f t h e r e l a t i v e l y s l o w f r a m i n g r a t e o f t h e c a m e r a . 4 . 4 V a r i o u s R e g i m e s B a s e d o n R e y n o l d s N u m b e r B a s e d o n a c o m p r e h e n s i v e e x a m i n a t i o n o f t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n r e c o r d s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d , t h e r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r s o v e r w h i c h t h e e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d c a n b e d i v i d e d i n t o f o u r r e g i m e s . T h e b o u n d a r i e s o f t h e s e r e g i m e s a r e n o t p r e c i s e l y k n o w n b e c a u s e o f r a t h e r l a r g e i n t e r v a l s i n R e a t w h i c h t h e e x p e r i m e n t s w e r e c a r r i e d o u t . 4 . 4 . 1 R e < 1 5 7 N o l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s a r e o b s e r v e d o v e r t h i s r a n g e o f R e e x c e p t f o r t h e s t a r t i n g v o r t e x p a i r . I n a d d i t i o n , t h e j e t c o l u m n e x - h i b i t s t h e f o r m a t i o n o f a b u l g e w h i c h l a t e r e v o l v e s i n t o a k i n k a n d t h e n i n t o a f o l d o v e r . T h i s h a s b e e n s h o w n i n F i g u r e s 4 5 , 4 6 , a n d 4 7 . A s s h o w n i n F i g u r e 4 8 , o v e r t h i s r a n g e o f R e , V b / V S < 1 . F i g u r e 5 4 p r e s e n t s t h e d e v e l o p m e n t o f t h e j e t a t t h r e e d i f f e r e n t v a l u e s o f R e a n d a t a c o m m o n t i m e t * = 1 8 . N o t e t h a t f o r t h e s e c o n d i t i o n s , V b / V S < 1 . 4 . 4 . 2 1 5 7 S R e 5 2 1 0 T h e i n s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d b e g i n s t o a p p e a r i n t h i s r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r . T w o p h e n o m e n a a r e o b s e r v e d : i ) f o r m a t i o n o f u n i t v o r t i c e s o n t h e j e t b o u n d a r y ; i i ) c o a l e s e n c e o f b u l g e s ( o r f o l d o v e r s ) w i t h t h e S V P a n d a n a p - p e a r a n c e o f m o r e b u l g e s o n t h e j e t c o l u m n . W h e r e a s , t h e s e c o n d p h e n o m e n o n i s r e l a t e d t o V b / V s > 1 i n t h i s r a n g e o f R e , t h e a p p e a r a n c e o f u n i t v o r t i c e s m i g h t b e a r e s u l t o f t h e K e l v i n - H e l m h o l t z i n s t a b i l i t y o f t h e s h e a r l a y e r s o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l j e t . N o t e t h a t F i g u r e 5 5 , w h i c h p r e s e n t s t h e c o n - t i n u e d e v o l u t i o n o f t h e j e t f l o w p r e s e n t e d i n F i g u r e 4 9 , e x h i b i t s t h e f e a t u r e s i d e n t i f i e d a s i ) a n d i i ) a b o v e . 8 7 4 . 4 . 3 2 6 8 S R e 5 1 7 0 0 T h i s w i d e r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r i s m a r k e d b y t h e r e p e a t e d f o r - m a t i o n o f s y m m e t r i c , l a r g e s c a l e , t w o - d i m e n s i o n a l v o r t e x m o t i o n s s i m i l a r t o t h o s e o b s e r v e d b y B W ; s e e F i g u r e 5 2 . T h e o b s e r v a t i o n s r e — l a t e d t o t h i s f l o w r e g i m e a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n s 4 . 4 . 3 . 1 a n d 4 . 4 . 3 . 2 . I n S e c t i o n 4 . 4 . 3 . 1 , t h e p r o c e s s o f f o r m a t i o n o f s y m m e t r i c m o t i o n s i s d e s c r i b e d . T h i s d e s c r i p t i o n i s b a s e d u p o n a c o m p r e h e n s i v e o b s e r v a - t i o n o f a l a r g e n u m b e r o f p h o t o g r a p h i c r e c o r d s . S e c t i o n 4 - 4 . 3 . 2 p r e s e n t s s o m e e x a m p l e s o f t h e e x c e p t i o n s t o t h e g e n e r a l o b s e r v a t i o n s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 4 . 3 . 1 . 4 . 4 . 3 . 1 F o r m a t i o n o f S y m m e t r i c M o t i o n s F i g u r e s 5 6 , 5 7 a n d 5 8 a r e r e p r e s e n t a t i v e s e q u e n c e s o f t h e p h o t o - g r a p h i c r e c o r d s i n t h i s r a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r s . F i g u r e 5 9 i s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n . B e c a u s e o f a s i m i l a r i t y i n t h e f e a t u r e s w h i c h l e a d t o t h e f o r m a t i o n o f a l a r g e s c a l e v o r t e x p a i r , f o r e . g . , G i n F i g u r e 5 9 , a n d t h o s e w h i c h a p p e a r u p s t r e a m o f a S V P , t h e s a m e t e r m s h a v e b e e n u s e d t o d e s c r i b e t h e p r o - c e s s o f f o r m a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l v o r t e x m o t i o n s . T h e v a r i o u s s t a g e s o f e v o l u t i o n o f a f u l l y f o r m e d v o r t e x p a i r , l i k e N o . 8 i n F i g u r e 5 6 ( h ) , c a n b e t r a c e d b a c k t o t h e b u l g e i n F i g u r e 5 6 ( b ) ; t h i s h a s b e e n i d e n t i f i e d a s C i n F i g u r e 5 9 . T h e f o r m a t i o n o f 8 8 a b u l g e i s a s s o c i a t e d w i t h a n o u t w a r d d e f l e c t i o n o f t h e j e t b o u n d a r y w h i c h i m p l i e s t h e p r e s e n c e o f a v - c o m p o n e n t o f v e l o c i t y i n a d d i t i o n t o t h e u - c o m p o n e n t . T h e v - c o m p o n e n t a c t s a s y m m e t r i c a l l y w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t a n d , t h e r e f o r e , r e p r e s e n t s a v a r i c o s e t y p e o f i n s t a b i l i t y . I t i s c o n j e c t u r e d t h a t t h e s y m m e t r i c d e f o r m a t i o n o f t h e j e t b o u n d a r y w h i c h r e s u l t s i n t h e f o r m a t i o n o f a b u l g e i s c a u s e d b y a l o c a l i z e d p r e s s u r e r i s e . I n o t h e r w o r d s , t h e b u l g e s a r e f o r m e d a s a r e s u l t o f a c y c l i c r i s e a n d f a l l o f t h e p r e s s u r e i n t h e j e t . A s ' s h o w n i n F i g u r e 5 9 , a n i n f l e c t i o n p o i n t ( B ) o f t h e d y e s t r e a k i s o b s e r v e d u p s t r e a m o f t h e b u l g e ( C ) . T h e i n f l e c t i o n p o i n t e v o l v e s i n t o a k i n k i n t h e d y e s t r e a k ; s e e F i g u r e 5 6 ( 0 ) a n d f e a t u r e D i n F i g - u r e 5 9 . I n t h e n e x t s t a g e , a s i n t h e c a s e o f t h e f l o w b e h i n d t h e S V P , t h e k i n k e v o l v e s i n t o a f o l d o v e r . T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 5 6 ( d ) a n d b y t h e f e a t u r e E i n F i g u r e 5 9 . T h e e v o l u t i o n a n d g r o w t h o f a f o l d o v e r i m p l i e s t h e p r e s e n c e o f a s h a r p g r a d i e n t i n u ( y ) . T h e s t r a i g h t e d g e s o f t h e f o l d o v e r ( s e e F i g u r e 5 6 ( d ) ) m a r k e d b y ( i ) a n d ( i i ) i n F i g u r e 5 9 , a t s o m e s t a g e s o f t h e i r e v o l u t i o n , s t o p p r o t r u d i n g f u r t h e r a n d b e g i n t o r o l l a s s h o w n i n F i g u r e 5 6 ( f ) a n d f e a t u r e F i n F i g u r e 5 9 . A s b e f o r e ( S e c t i o n 4 . 3 . 1 ) , t h e e v o l u t i o n o f a f o l d o v e r h a s b e e n t e r m e d a s r o l l o v e r . I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e p r o c e s s o f e v o l u t i o n o f f o l d o v e r i n t o r o l l o v e r i s m o r e p r o n o u n c e d a t h i g h e r v a l u e s o f R e t h a n a t l o w e r v a l u e s o f R e . S e e t h e p r o c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n a t t h e s e v a l u e s o f R e i n F i g u r e s 5 6 , 5 7 , a n d 5 8 . T h e r o t a t i o n o f ( i ) a n d ( i i ) ( i n F i g u r e 5 9 ) i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n r e q u i r e s t h e v - c o m p o n e n t o f v e l o c i t y t o p l a y a d o m i n a n t r o l e , w h i c h i s d i f f e r e n t f r o m t h e r o l e o f v d u r i n g t h e e v o l u t i o n a n d g r o w t h o f a f o l d o v e r . C o n t i n u e d r o t a t i o n a n d c o n v e c t i o n o f t h e f l u i d p a r t i c l e s i n a r o l l o v e r r e s u l t s i n a f u l l y f o r m e d v o r t e x p a i r l i k e t h e f e a t u r e G i n F i g u r e 5 9 . 4 . 4 . 3 . 2 S o m e E x c e p t i o n s t o t h e C o m m o n O b s e r v a t i o n s T h e p r o c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n a n d g r o w t h i n a n u n e x c i t e d j e t i s n o t t r u l y p e r i o d i c i n n a t u r e . F o r e x a m p l e , t h e r e a r e v a r i a t i o n s i n t h e l o c a t i o n s o f b u l g e f o r m a t i o n s a n d i n t h e i r g r o w t h p a t t e r n . O n e o f t h e m o r e c o m m o n l y o b s e r v e d p h e n o m e n a i s t h a t n o t a l l t h e b u l g e s e v o l v e i n t o l a r g e s c a l e m o t i o n s . S e e , f o r e x a m p l e , b u l g e n u m b e r 7 i n F i g u r e 5 6 ( a ) . T h i s h a s b e e n f o u n d t o b e e s p e c i a l l y t r u e a t l o w e r v a l u e s o f R e y n o l d s n u m b e r i n t h i s r a n g e ( 2 6 8 - 1 7 0 0 ) . I t h a s b e e n o b s e r v e d t h a t t h e g r o w t h p r o c e s s s t o p s a t s o m e s t a g e o f d e v e l o p m e n t , l e a v i n g b e h i n d a m a r k o f d y e . S e e F i g u r e 6 0 a t R e - 3 6 2 a n d w = 2 . 6 3 c m . I n g e n e r a l , i t c a n b e n o t e d t h a t a s t h e R e i n c r e a s e s , m o r e a n d m o r e b u l g e s e v o l v e i n t o l a r g e s c a l e m o t i o n s . S o m e t i m e s , a n a c c u m u l a t i o n o f d y e i s o b s e r v e d o n t h e j e t b o u n d a r y a l o n g w i t h a k i n k , b u t , w i t h b u t a n a p p a r e n t f o r m a t i o n o f a b u l g e . S e e F i g u r e 6 1 . M o s t o f t h e s e f e a t u r e s d o n o t d e v e l o p i n t o f u l l v o r t e x p a i r s a n d g e t r e d u c e d t o a m a r k o f d y e . S e e F i g u r e 6 2 . A t t h e l o w e r e n d o f t h i s r a n g e o f R e ( i . e . , R e = 3 0 0 ) , t h e p r o - c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n h a s b e e n f o u n d t o e x h i b i t s o m e s i z e d e p e n d e n t e f f e c t s . F i g u r e 6 3 s h o w s t h e f l o w f i e l d a t R e 2 2 8 0 , t * Z 3 0 , a n d i n j e t s w i t h 3 d i f f e r e n t w i d t h s . I n t h e n a r r o w e r j e t s , ( w = 1 . 5 1 c m a n d 1 . 9 9 c m ) a t l e a s t o n e f o l d o v e r h a s f o r m e d w i t h i n x = 4 w , w h e r e a s , i n 9 0 t h e c a s e o f t h e w i d e s t j e t ( w = 2 . 6 3 c m ) o n l y a k i n k h a s f o r m e d w i t h i n x = 4 w . I n a d d i t i o n , i n ( a ) , a n u m b e r o f s p o t s o f d y e c a n b e i d e n t i - f i e d o n t h e j e t c o l u m n ; t h e s e s p o t s o f d y e h a d i n i t i a l l y a p p e a r e d a s b u l g e s . T h i s g e o m e t r y d e p e n d e n t e f f e c t s e e m s t o d e c r e a s e a s R e i n - c r e a s e s a s s h o w n i n F i g u r e 6 4 a t R e = 4 2 0 , t * z 3 0 a n d i n t h e s a m e j e t s . 4 . 4 . 4 R e > 2 3 0 0 T h e r e s u l t s t h a t a r e r e p o r t e d f o r t h i s r a n g e o f R e a r e b a s e d u p o n t h e e x p l o r a t o r y e x p e r i m e n t s w h i c h w e r e c o n d u c t e d t o c h e c k w h e t h e r o r n o t v o r t e x m o t i o n s a r e o b s e r v e d a t R e > 1 6 0 0 . N o e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d b e t W e e n R e = 1 7 0 0 a n d R e = 2 3 0 0 , a n d t h e r e f o r e , t h e b o u n d a r y b e t w e e n t h i s r e g i m e a n d t h e p r e v i o u s r e g i m e ( 2 6 8 S R e 5 1 7 0 0 ) i s n o t p r e c i s e l y k n o w n . T h e l a r g e s t v a l u e o f R e u p t o w h i c h t h e e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d w a s 3 4 6 9 . I n a l l e x p e r i m e n t s i n t h i s r e g i m e , c o n t r a r y t o t h e o b s e r v a t i o n s o f B W a n d F K , v o r t e x m o t i o n s w e r e c o n s i s t e n t l y o b - s e r v e d . T h i s f l o w r e g i m e d i f f e r s f r o m t h e p r e v i o u s r e g i m e w i t h r e s p e c t t o t h e f o r m a t i o n o f u n i t v o r t i c e s i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . A s s h o w n i n F i g u r e 5 3 ( c ) , t h e d y e s t r e a k b r e a k s u p i n t o u n i t v o r t i c e s a s i t s e p a r a t e s f r o m t h e n o z z l e p l a t e s . F a r t h e r d o w n s t r e a m , a s i n t h e c a s e o f t h e p r e v i o u s r e g i m e , l a r g e s c a l e m o t i o n s a r e f o r m e d . H o w e v e r , b o t h t h e u n i t v o r t i c e s a n d t h e l a r g e s c a l e v o r t i c e s a p p e a r d i f f u s e . 9 1 F i g u r e s 6 5 t h r o u g h 6 8 s h o w t h e d e v e l o p m e n t o f t h e j e t f o r f o u r d i f f e r e n t v a l u e s o f R e . T h e s a m e r e c o r d i n g e q u i p m e n t ( N i k o n F 3 m o t o r i z e d c a m e r a ) w a s u s e d f o r d a t a a c q u i s i t i o n i n t h i s h i g h R e r a n g e a s w a s u s e d i n t h e l o w R e r a n g e ( < 1 7 0 0 ) . A s i t i s a p p a r e n t f r o m t h e s e f i g u r e s , t h e 6 H z f r a m i n g r a t e ( A t < U > / w 2 0 . 5 ) o f t h e c a m e r a w a s n o t f a s t e n o u g h t o c a t c h t h e d e t a i l s o f t h e i n s t a b i l i t y p r o c e s s a t t h e s e v a l u e s o f R e . H e n c e t h e p r o c e s s o f f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e m o - t i o n s a n d t h e r o l e o f u n i t v o r t i c e s i n t h e p r o c e s s c a n n o t b e p r e c i s e l y d e s c r i b e d . F r o m t h e l i m i t e d i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e , t h e p r o c e s s o f v o r t e x f o r m a t i o n a p p e a r s t o b e d i f f e r e n t f r o m t h e p r o c e s s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 4 . 3 . I t h a s b e e n o b s e r v e d f r o m t h e p h o t o g r a p h s o f t h i s r e - g i m e t h a t o n l y i n s o m e c a s e s d o t h e l a r g e s c a l e m o t i o n s e v o l v e f r o m a b u l g e a s s h o w n i n F i g u r e s 6 7 a n d 6 8 . B a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i n t h i s r a n g e o f R e , i t i s c o n c l u d e d t h a t t h e f o r m a t i o n o f t h e s e m o t i o n s i s n o t l i m i t e d t o a R e v a l u e = 1 5 0 0 a s r e p o r t e d b y B W . F K u s e d h o t - w i r e m e a s u r e m e n t s i n a n a i r j e t a n d r e p o r t e d t h a t " w e l l d e f i n e d r e s u l t s " c o u l d b e o b t a i n e d o n l y u p t o R e a 1 1 7 0 . T h e y f u r t h e r r e p o r t e d t h a t “ a r e g u l a r v o r t e x s t r e e t w a s n o t o b s e r v e d f o r R e > 1 7 5 0 " . 9 2 4 . 5 I n t e r a c t i o n s B e t w e e n S y m m e t r i c M o t i o n s I t w a s s o m e t i m e s o b s e r v e d t h a t t w o p a i r s o f v o r t e x m o t i o n s ( a t v a r i o u s s t a g e s o f t h e i r d e v e l o p m e n t ) u n d e r g o a n i n t e r a c t i o n w h i c h r e s u l t e d i n a s y m m e t r i c a l l y p l a c e d m e r g e d p a i r . T h e w o r d " p a i r i n g " w a s u s e d t o d e s c r i b e t h i s p r o c e s s b y W i n a n t a n d B r o w a n d ( 1 9 7 4 ) a n d w i l l a l s o b e u s e d h e r e . A s s h o w n i n F i g u r e s 5 8 , 6 1 , 6 2 , 6 7 a n d 6 9 , f o r v a r i o u s v a l u e s o f R e , t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n s y m m e t r i c m o t i o n s n o r m a l l y o c c u r a t d i s t a n c e s b e y o n d o n e t o t w o s l i t w i d t h s f r o m t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t . T h e p r o c e s s o f p a i r i n g o c c u r s i n o n e o f t h e t w o f o l l o w i n g w a y s : i ) T w o p a i r s f u s e t o g e t h e r a s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e a p p r o a c h i n g u p s t r e a m p a i r a n d t h e d o w n s t r e a m p a i r b e c o m e s s m a l l e n o u g h , a s s h o w n i n F i g u r e 6 1 ( c ) . H I H . v T h e u p s t r e a m v o r t e x p a i r a p p r o a c h e s t h e o t h e r p a i r a n d p a s s e s t h r o u g h i t ; t h e t w o p a i r s t h e n r e v o l v e a r o u n d e a c h o t h e r b e f o r e f u s i n g t o g e t h e r . S e e f o r e x a m p l e v o r t e x n u m b e r 8 a n d 9 o f F i g u r e 6 2 ( a ) . A l s o s e e v o r t e x n u m b e r ( 1 0 , 1 1 ) a n d 1 2 i n F i g u r e 6 7 ( c ) . F r e y m u t h ( 1 9 6 6 ) o b s e r v e d t h e p h e n o m e n a o f t h e p a s s a g e o f o n e v o r t e x m o t i o n t h r o u g h t h e o t h e r a n d t h e i r r o t a t i o n a b o u t a c o m m o n a x i s i n a n e x c i t e d a x i s y m - m e t r i c j e t . H e r e f e r r e d t o t h i s a s " s l i p p i n g " o f v o r t i c e s . 9 3 M o s t o f t h e i n t e r a c t i o n s o f t h e l a r g e s c a l e m o t i o n s a r e s y m m e t r i c i n n a t u r e . H o w e v e r , a t t i m e s , s o m e a s y m m e t r y h a s b e e n o b s e r v e d i n t h e l o c a t i o n s o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e i n t e r a c t i n g p a i r s ; s e e F i g u r e 5 8 . T y p i c a l l y , h o w e v e r , s y m m e t r y r e t u r n s a f t e r t h e i n t e r a c t i o n s a r e c o m - p l e t e a s s h o w n i n F i g u r e 7 0 . A n o t h e r a s y m m e t r i c i n t e r a c t i o n , w h i c h h a s o n l y b e e n i n f r e q u e n t l y o b s e r v e d , i s t h e p a i r i n g o n o n l y o n e s i d e o f t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . A n e x a m p l e i s s h o w n i n F i g u r e 7 1 . A s s t a t e d e a r l i e r , m o s t o f t h e i n t e r a c t i o n s i n v o l v e t w o v o r t e x p a i r s . ' H o w e v e r , a t R e v a l u e s o f 1 5 0 0 a n d g r e a t e r , a r a r e e v e n t o f s i m u l t a n e o u s c o a l e s e n c e o f u p t o t h r e e v o r t e x p a i r s h a s b e e n o b s e r v e d . S e e F i g u r e 7 2 . N o t e t h a t ( 1 4 , 1 5 ) , ( 1 6 , 1 7 ) , a n d 1 8 f o r m a d i v e r g e n t s t r a i g h t l i n e a r r a n g e m e n t i n F i g u r e 7 2 ( a ) a n d a m e r g e d c l u s t e r i n F i g — u r e 7 2 ( c ) . S i m i l a r b e h a v i o r w a s o b s e r v e d i n a t l e a s t t h r e e o t h e r e x - p e r i m e n t s . R e g a r d i n g t h e s e q u e n t i a l m e r g e r s b e t w e e n p r e v i o u s l y p a i r e d v o r t e x m o t i o n s , W i n a n t a n d B r o w a n d ( 1 9 7 4 ) h a v e r e p o r t e d u p t o f o u r s e q u e n t i a l p a i r i n g s i n t h e i r t w o s t r e a m s h e a r l a y e r . T h e y h a v e a l s o c o m m e n t e d t h a t m o r e t h a n o n e p a i r i n g h a s n o t b e e n o b s e r v e d i n t h e j e t f l o w s ( a x - i s y m m e t r i c o r p l a n a r ) . H e r e i n t h e c a s e o f t h e s l i t - j e t , u p t o t w o p a i r i n g s a r e c o m m o n a n d a t t i m e s 3 , 4 a n d e v e n 5 p a i r i n g s c a n b e o b - s e r v e d . F i g u r e 7 3 s h o w s t h e p a i r i n g s o f v o r t e x p a i r s 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , a n d 2 8 , 2 9 a n d F i g u r e 7 4 s h o w s t h e p a i r i n g o f c o n g l o m e r a t e s 2 4 - 2 7 a n d ( 2 8 , 2 9 ) r e s u l t i n g i n f i v e p a i r i n g s . m e t r i c v o r t e x m o t i o n s a r e r e p o r t e d b y B W . T h e f i n d i n g s o f t h i s q u i t e B e a v e r s a n d W i l s o n I n m o s t c a s e s , t h e " b r e a k u p o f t h e p a t t e r n " o c c u r s a s a r e s u l t o f " o n e v o r t e x p a i r p a s s i n g i n s i d e a n o t h e r " , i . e . , d u e t o p a i r i n g . . A s R e y n o l d s n u m b e r i n c r e a s e s , t h e n u m b e r o f v o r t e x p a i r s i n t h e r e g u l a r p a t t e r n d e c r e a s e s . A t v e r y h i g h v a l u e s , n o m o r e t h a n o n e p a i r c o u l d b e o b s e r v e d . . N o v o r t e x m o t i o n s a r e o b s e r v e d f o r R e g r e a t e r t h a n 1 5 0 0 . d i f f e r e n t f r o m t h e 4 . 6 L o s s o f S y m m e t r y i n V o r t e x S t r e e t s t u d y r e g a r d i n g t h e b e h a v i o r o f t h e s y m - o b s e r v a t i o n s T h e f i n d i n g s o f t h e t w o s t u d i e s a r e s u m m a r i z e d b e l o w : P r e s e n t T h e p a i r i n g o f l a r g e s c a l e m o t i o n s h a s n o t b e e n f o u n d r e s p o n s i b l e f o r t h e " b r e a k u p " o f t h e p a t t e r n . T h i s p a t t e r n o f l o s s o f c o h e r e n c e h a s n o t b e e n o b s e r v e d . E v e n a t h i g h v a l u e s o f R e , s e v e r a l v o r t e x p a i r s c a n b e i d e n t i f i e d . T h e u p p e r l i m i t o f f o r m a t i o n o f t h e v o r t e x s t r e e t i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d l i e s b e y o n d R e = 1 5 0 0 . T h e s y m m e t r i c m o t i o n s h a v e b e e n o b s e r v e d a t R e v a l u e s a s h i g h a s 3 4 6 9 , a n d t h e i r p r e s e n c e h a v e b e e n i n f e r r e d f r o m t h e p e r i o d i c f l u c t u a t i o n s i n t h e v e l o c i t y u ( x = 2 , y = 0 , t ) a t R e v a l u e s 2 6 2 0 0 . R e g a r d i n g t h e b r e a k u p o f t h e v o r t e x p a t t e r n , i t h a s b e e n o b s e r v e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n t h a t b e f o r e t h i s h a p p e n s , o n e o f t h e f o l l o w i n g t h r e e e v e n t s o c c u r : a ) A s y m m e t r i c p a i r i n g . S e e F i g u r e 7 5 a t R e = 1 0 0 4 . I t i s t o b e n o t e d t h a t e v e n t h o u g h t h e s y m m e t r i c c o h e r e n t p a t t e r n h a s 9 5 b e e n l o s t d u e t o a s y m m e t r i c i n t e r a c t i o n s , t h e n e w l y f o r m i n g v o r t i c e s e x h i b i t a s y m m e t r i c c o h e r e n t p a t t e r n . b ) T h r e e - d i m e n s i o n a l i n s t a b i l i t y o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l v o r t e x c o r e s . S e e F i g u r e 7 6 w h i c h s h o w s t h e l o s s o f s y m m e t r i c p a t - t e r n d u e t o t h e t i l t i n g o f v o r t i c e s i n t h e s t r e a m w i s e d i r e c — t i o n . H o w e v e r , t h e l o s s o f s y m m e t r i c c o h e r e n c e a t a n y g i v e n t i m e d o e s n o t p r o p a g a t e u p s t r e a m o r i n t i m e . A t l a t e r t i m e s , t h e s y m m e t r i c p a t t e r n o f v o r t e x m o t i o n s r e e s t a b l i s h e s i t s e l f . P a r e n t h e t i c a l l y , t h i s s u g g e s t s t h a t t h e i n s t a b i l i t y w h i c h c a u s e s t h e l o s s o f t h e s y m m e t r i c p a t t e r n i s c o n v e c t i v e i n n a t u r e , w h e r e a s t h e s l i t - j e t i n s t a b i l i t y w h i c h c a u s e s s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s i s a b s o l u t e i n n a t u r e . c ) F o r m a t i o n o f t o o m a n y v o r t i c e s , i . e . , r e d u c e d s p a c i n g b e t w e e n s y m m e t r i c a l l y p l a c e d v o r t e x p a i r s . S e e F i g u r e 5 7 . T h e a b o v e m e n t i o n e d e v e n t s c a u s e o n l y a t e m p o r a l d i s r u p t i o n o f t h e s y m m e t r i c v o r t e x p a t t e r n . T h a t i s , a s t h e d i s t u r b a n c e c o n v e c t s d o w n s t r e a m , t h e s y m m e t r i c p a t t e r n a g a i n e m e r g e s . S o m e t i m e s , a p a i r i n g o r t r i p l i n g e v e n t h a s b e e n f o u n d t o r e o r g a n i z e t h e v o r t i c e s - - w h i c h h a d t i l t e d i n t h e s t r e a m w i s e d i r e c t i o n - ~ i n t o t w o - d i m e n s i o n a l s y m m e t r i c v o r t e x p a i r s . S e e F i g u r e 7 7 . T h e s y m m e t r i c v o r t e x p a t t e r n o f t h e s l i t — j e t f l o w f i e l d h a s b e e n f o u n d t o e v o l v e i n t o a s i n u o u s m o d e a t l o w v a l u e s o f R e ( e . g . , R e 2 9 6 3 0 0 ) a n d a t d i s t a n c e s e x c e e d i n g 6 - 8 s l i t w i d t h s f r o m t h e e x i t p l a n e . S e e F i g u r e s 5 6 a n d 6 3 . . l A L G O R I T H M S F O R P R O C E S S I N G T H E P H O T O G R A P H I C D A T A I n t r o d u c t i o n T h i s c h a p t e r d e s c r i b e s i n d e t a i l : i ) t h e a l g o r i t h m s t h a t h a v e b e e n u s e d f o r d a t a r e d u c t i o n a n d c r e a t i o n o f d a t a b a s e f o r f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s ; i i ) t h e a l g o r i t h m s f o r c o m p u t i n g t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r - t i e s a n d t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d f r o m t h e d a t a b a s e ; i i i ) a n e x a m p l e s h o w i n g h o w t h e t e c h n i q u e h a s b e e n a p p l i e d . 9 7 5 . 2 C r e a t i o n o f D a t a B a s e f o r F l o w V i s u a l i z a t i o n E x p e r i m e n t s T h e d a t a r e d u c t i o n p r o c e s s i n t h e s e e x p e r i m e n t s i n v o l v e d : i ) c o n v e r t i n g t h e p r e s s u r e t i m e s e r i e s , p I ( t ) , t o t h e s p a t i a l a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e j e t , < U > ; i i ) f o r f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s d i g i t i z i n g t h e l o c a t i o n o f t h e v o r t i c e s i n e a c h p i c t u r e , d e t e r m i n i n g t h e t i m i n g f o r e a c h p i c t u r e , a n d c o m b i n i n g t h e s e i n f o r m a t i o n i t e m s i n a s i n g l e f i l e t o g e t h e r w i t h o t h e r c o n d i t i o n s o f t h e e x p e r i m e n - t a l r u n ; i i i ) f o r L D A m e a s u r e m e n t s c o n v e r t i n g t h e A p p l e S o f t b i n a r y d a t a t o A S C I I f o r m a t , t r a n s f e r r i n g t h e m t o t h e P D P 1 1 / 7 3 s y s t e m a n d t h e n c o n v e r t i n g t h e m t o v e l o c i t y t i m e h i s t o r y . T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s t h e d a t a r e d u c t i o n p r o c e d u r e s i n d e t a i l . 5 . 2 . 1 C o m p u t a t i o n o f S p a t i a l l y / T e m p o r a l l y A v e r a g e d V e l o c i t y o f J e t T o d e t e r m i n e t h e s p a t i a l / t e m p o r a l a v e r a g e v e l o c i t y < U > o f t h e j e t , t h e r a t e o f r i s e o f l i q u i d i n t h e r e c e i v e r ( c h p ) w a s f i r s t d e t e r m i n e d b y u s i n g e q u a t i o n ( 1 2 7 ) ; s e e S e c t i o n 3 . 7 . 2 . 3 . F o r a l i q u i d o f k n o w n d e n s i t y , c h p i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e : 2 1 . T h i s r a t e o f c h a n g e o f p r e s s u r e w a s f o u n d b y f i t t i n g t h e m e a s u r e d P I ( t ) d a t a u s i n g a l i n e a r m o d e l 9 9 n = 1 3 0 + fi l t ( 1 2 8 ) a n d u s i n g t h e c o e f f i c i e n t 6 1 . ( S e e A p p e n d i x B f o r d e t a i l s o f s e l e c t - i n g a l i n e a r m o d e l . ) N o t e t h a t fl l = E E I w a s u s e d i n e q u a t i o n ( 1 2 7 ) . U s i n g t h e p r i n c i p l e o f c o n s e r v a t i o n o f m a s s , t h e s p a t i a l a v e r a g e v e l o - c i t y o f t h e j e t w a s f o u n d f r o m < U > = # 5 ( 1 2 9 ) J ' I f t h e d a t a f r o m t h e e n t i r e e x p e r i m e n t a l r u n ( e x c e p t f o r t h e t r a n - s i e n t s i n t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d ) a r e u s e d i n d e t e r m i n i n g fi l i n e q u a t i o n ( 1 2 8 ) , t h e r e s u l t i n g v e l o c i t y < U > w i l l b e a n e s t i m a t e o f t h e s p a t i a l / t e m p o r a l a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e j e t . O n t h e o t h e r h a n d , a n e s t i m a t e o f t h e s p a t i a l a v e r a g e v e l o c i t y a t a g i v e n t i m e t c a n b e f o u n d b y u s i n g a l i m i t e d a m o u n t o f d a t a , s p a n n i n g o v e r ( t - A t ) t o ( t + A t ) , t o f i t t h e m o d e l . T h i s s t r a t e g y w a s e m p l o y e d t o d e t e r m i n e t h e v e l o c i t y a t t h e t i m e s p i c t u r e s w e r e t a k e n i n t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t . A v a l u e o f A t e q u a l t o 2 . 5 t i m e s t h e i n t e g r a l t i m e s c a l e ( = 2 % ; ) w a s u s e d t o e s t i m a t e t h e c o e f f i c i e n t s 6 0 a n d B I a t a n y g i v e n t i m e t . T h i s v a l u e w a s c h o s e n b e c a u s e i t w a s f o u n d t h a t f o r m o s t o f t h e e x p e r i m e n t a l r u n s t h e r e s i d u a l d o e s n o t v a r y m u c h f o r v a l u e s o f w A t ) — — 2 < U > ‘ l 1 0 0 5 . 2 . 2 P i c t u r e T i m i n g s o r B e g i n n i n g a n d E n d T i m e f o r L D A D a t a F i g u r e 7 8 i s a p l o t o f t h e c o m p a r a t o r o u t p u t , C ( t ) , a l o n g w i t h p I ( t ) a n d p N H ( t ) s i g n a l s . A s s h o w n i n t h i s f i g u r e , t h e o u t p u t s i g n a l o f t h e c o m p a r a t o r i s m a r k e d b y a s p i k e i n t h e v o l t a g e w h e n e v e r t h e c a m e r a w a s f i r e d . T h e p r o c e s s i n g p r o g r a m d e t e r m i n e d t h e s e s p i k e s b y d i f f e r e n t i a t i n g t h e t i m e s i g n a l a n d c o m p a r i n g i t w i t h t h e T T L v o l t a g e l e v e l . I f t h e T T L l e v e l w a s e x c e e d e d , t h e p r o g r a m r e c o r d e d t h e t i m e t a s t h e t i m e a p i c t u r e w a s t a k e n . F o r e x p e r i m e n t s i n w h i c h t h e l a s e r D o p p l e r v e l o c i t y d a t a w e r e m e a s u r e d u s i n g t h e A p p l e I I e c o m p u t e r , t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d t i m e o f t h e L D A d a t a a c q u i s i t i o n w e r e s i m i l a r l y d e t e r m i n e d f r o m t h e r e c o r d e d o u t p u t o f t h e c o m p a r a t o r . 5 . 2 . 3 D i g i t i z a t i o n o n P R I M E 7 5 0 C o m p u t e r S y s t e m . T h e p i c t u r e s t h a t w e r e t a k e n i n a f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t w e r e d i g i t i z e d o n t h e P R I M E 7 5 0 C o m p u t e r s y s t e m o f t h e C A S E C e n t e r f o r C o m p u t e r - A i d e d E n g i n e e r i n g a n d M a n u f a c t u r i n g . T h e P R I M E c o m p u t e r i s e q u i p p e d w i t h a l a r g e d i g i t i z i n g t a b l e t a n d a l o c a t o r m o u s e . A p i c - t u r e w a s t a p e d t o t h e t a b l e t a n d , a f t e r d e f i n i n g t h e a x e s a n d t h e o r i g i n o f a p i c t u r e , t h e l o c a t i o n o f v o r t i c e s w e r e d i g i t i z e d . F i g u r e 7 9 i s a t y p i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p h o t o g r a p h s t h a t h a v e b e e n d i g i t i z e d . S i n c e t h e m i d p l a n e o f t h e N H w a s i n f o c u s t o t a k e t h e p i c t u r e s , t h e k n i f e e d g e s o f t h e n o z z l e p l a t e s a r e b l u r r e d . 1 0 1 T h u s , t h e y c o u l d n o t b e u s e d f o r m e a s u r i n g t h e s l i t w i d t h w o r f o r r e f e r e n c e p u r p o s e s . H o w e v e r , t h e m e t a l t a p s w h i c h a r e l o c a t e d i n t h e m i d p l a n e w e r e u s e d a s f i d u c i a l p o i n t s . T h e i n t e r s e c t i o n o f o n e o f t a p s w i t h t h e n o z z l e p l a t e s o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f c e n t e r l i n e o f t h e j e t s e r v e d a s o r i g i n , t h e u n d e r s i d e o f t h e n o z z l e p l a t e s w a s u s e d a s o n e o f t h e a x e s a n d t h e t i p o f o n e o f t h e t a p s o n t h e l e f t h a n d s i d e o f c e n t e r l i n e o f t h e j e t w a s u s e d a s a r e f e r e n c e p o i n t . I n a g i v e n s e t o f p h o t o g r a p h s ( a b o u t 3 6 i n n u m b e r ) , a l l t h e v o r t e x p a i r s a r e n u m b e r e d 1 t o n b e g i n n i n g w i t h t h e p a i r f u r t h e s t f r o m t h e e x i t p l a n e i n t h e f i r s t p i c t u r e . I n t h e s e c o n d p i c t u r e , t h e p a i r s o f t h e f i r s t p i c t u r e w e r e t r a c e d a l o n g w i t h a n y n e w o n e s w h i c h g e t a d - d e d a t t h e t o p . T h e v o r t e x p a i r s w h i c h u n d e r g o c o a l e s c e n c e a n d f o r m o n e v o r t e x p a i r h a v e b e e n d e s i g n a t e d b y t h e i n d i c e s o f t h e c o n t r i b u t - i n g v o r t e x p a i r s s e p a r a t e d b y a c o m a . F o r e x a m p l e i n F i g u r e 7 9 , v o r t e x p a i r s 9 a n d 1 0 w h i c h h a d m e r g e d e a r l i e r h a v e b e e n d e s i g n a t e d b y ( 9 , 1 0 ) . I n t h e p r o c e s s o f d i g i t i z i n g , t h e m e r g e d p a i r o f v o r t i c e s w e r e d i g i t i z e d a s m a n y t i m e s a s t h e n u m b e r o f v o r t e x p a i r s t h a t h a d c o a l e s c e d t o g e t h e r . T h i s w a s n e c e s s a r y t o k e e p p r o p e r a c c o u n t i n g o f t h e t h e v o r t i c e s a s e a c h p h o t o g r a p h i c r e c o r d w a s d i g t i z e d . T h i s s t r a - t e g y a l s o a l l o w e d p r o p e r d i g i t i z a t i o n o f t h e v o r t e x p a i r s w h i c h u n - d e r g o " l e a p f r o g g i n g " b e f o r e f u s i n g t o g e t h e r . I f a v o r t e x p a i r w e n t o u t o f t h e f i e l d o f v i e w o r i f t h e d y e g o t d i f f u s e d s o m u c h t h a t t h e p a i r c o u l d n o t b e i d e n t i f i e d , i t w a s c o n s i d e r e d t o b e l o s t a n d i t s e n t r y w a s d r o p p e d . I n t h i s w a y , t h e s a m e n u m b e r o f l o c a t i o n f i l e s h a v e b e e n g e n e r a t e d a s t h e n u m b e r o f p i c t u r e s i n a g i v e n s e t . 1 0 2 5 . 2 . 4 C o m b i n i n g I n f o r m a t i o n : T i m e , < U > a n d P o s i t i o n o f V o r t e x P a i r s T h e d a t a f i l e s c o n t a i n i n g t h e l o c a t i o n o f v o r t e x p a i r s w e r e t r a n s f e r r e d t o t h e P D P 1 1 / 7 3 s y s t e m t o b e c o m b i n e d w i t h t h e t i m i n g a n d v e l o c i t y d a t a f o r e a c h p i c t u r e . U s i n g a p r o g r a m ( P S T P R S ) t h e t i m i n g s o f t h e p i c t u r e s w e r e f o u n d a l o n g w i t h t h e s p a t i a l - a v e r a g e v e l o c i t y < U > ( t ) a t t h e s e t i m e s ( s e e S e c t i o n s 5 . 2 . 1 a n d 5 . 2 . 2 ) . T h e o u t p u t o f P S T P R S w e r e s t o r e d i n a f i l e . A n o t h e r p r o g r a m C S J D l t h e n c o m b i n e s t h e t i m i n g a n d v e l o c i t y d a t a w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g p o s i t i o n d a t a f o r e a c h p h o t o g r a p h . T h e o u t p u t o f C S J D l c o n t a i n e d a l l t h e p e r t i n e n t i n f o r m a - t i o n a b o u t t h e e x p e r i m e n t . I n a d d i t i o n , f o r e a c h p h o t o g r a p h , t h e o u t - p u t c o n t a i n e d t h e n u m b e r o f v o r t e x p a i r s d i g i t i z e d , t h e t i m e o f t h e p h o t o g r a p h a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s p a t i a l a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e j e t < U > . T h i s w a s f o l l o w e d b y t h e s p a t i a l l o c a t i o n s f o r e a c h v o r t e x p a i r . 5 . 3 A l g o r i t h m s f o r P r o c e s s i n g P h o t o g r a p h i c D a t a b a s e S e c t i o n 5 . 2 d e s c r i b e d t h e p r o c e d u r e s f o r e x t r a c t i n g i n f o r m a t i o n f r o m t h e p h o t o g r a p h i c r e c o r d s a n d c o m b i n i n g i t w i t h t h e t i m e a n d v e l o — c i t y i n f o r m a t i o n t o g e n e r a t e a c o m p r e h e n s i v e d a t a b a s e f o r e a c h e x - p e r i m e n t a l r u n ; s u c h a d a t a b a s e w i l l b e r e f e r r e d t o a s a p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e . I n t h i s s e c t i o n , a l g o r i t h m s w i l l b e p r e s e n t e d t o f u r t h e r p r o c e s s t h e p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e . A l g o r i t h m s t o e v a l u a t e t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d s a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 1 a n d t h e a l g o r i t h i m s t o c o m p u t e t h e S t r o u h a l n u m b e r , t h e c o n v e c t i o n s p e e d o f t h e v o r t i c e s , a n d t h e w a v e l e n g t h o f t h e v o r t e x s t r e e t a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 2 . 1 0 3 5 . 3 . 1 A l g o r i t h m s f o r G e o m e t r i c / K i n e m a t i c P r o p e r t i e s o f t h e J e t F l o w F i e l d s * * 5 . 3 . 1 . 1 S p a c e — T i m e ( x - t ) P l o t s o f V o r t i c e s T h e a v e r a g e o f t h e n o n d i m e n s i o n a l d i s t a n c e s x k / w f r o m t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t o f t h e t w o v o r t i c e s o f a g i v e n p a i r c a n b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f t h e n o n d i m e n s i o n a l t i m e t < U > / w ; s e e F i g u r e 8 0 . T h i s f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p c a n b e e x p r e s s e d a s a s p a c e - t i m e p l o t . N a m e l y , f o r t h e k t h v o r t e x i n t h e j t h p h o t o g r a p h ( a t t i m e t * ) x j ( l e f t ) + j ( r i g h t ) { ( 6 ‘ ) = k 2 k a ( 1 3 0 ) T h e s y m b o l s u s e d h e r e h a v e b e e n d e f i n e d i n F i g u r e 8 0 . T h i s e x p r e s s i o n w i l l a l s o b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e l o c a t i o n o f a g i v e n v o r t e x p a i r i n t h e c o m p u t a t i o n o f q u a n t i t i e s l i k e S t r o u h a l n u m b e r , c o n v e c t i o n v e l o - c i t y a n d t h e s p a c i n g b e t w e e n v o r t e x p a i r s . 5 . 3 . 1 . 2 L a t e r a l S p a c i n g B e t w e e n V o r t i c e s o f I n d i v i d u a l P a i r s T h e l a t e r a l s p a c i n g d k / w b e t w e e n t h e v o r t i c e s o f t h e k t h p a i r a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e c a n b e c o m p u t e d , a s s h o w n i n F i g u r e 8 0 , f r o m y j ( l e f t ) - y j ( r i g h t ) d : ( x : , t * ) = k 2 w k ( 1 3 1 ) * w h e r e x k i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 3 0 ) - 1 0 4 5 . 3 . 1 . 3 D i f f e r e n c e i n A x i a l L o c a t i o n o f t h e T W O V o r t i c e s o f a P a i r I n S e c t i o n 5 . 3 . 1 . 1 , t h e a v e r a g e o f t h e a x i a l d i s t a n c e s f r o m t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t w a s u s e d t o p r e p a r e t h e s p a c e - t i m e p l o t o f v o r t i c e s . I n t h i s s e c t i o n a n a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d t o p r e p a r e p l o t s s h o w i n g t h e d i f f e r e n c e i n t h e a x i a l l o c a t i o n b e t w e e n t h e v o r t i c e s o f a p a i r ; t h i s d i f f e r e n c e w i l l s e r v e a s a n e s t i m a t e o f a s y m m e t r y i n t h e l o c a t i o n s o f v o r t e x p a i r s . A s s h o w n i n F i g u r e 8 0 , f o r t h e k t h v o r t e x p a i r , t h e a s y m m e t r y , a k / w , i s c o m p u t e d a s a f u n c t i o n o f t h e d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e a s J J - ( l e f t ) - ( r i g h t ) { w i t h = x k x “ ( 1 3 2 ) W * w h e r e x k i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 3 0 ) . 5 . 3 . 2 A l g o r i t h m s t o C o m p u t e V o r t e x S t r e e t P a r a m e t e r s T h r e e p a r a m e t e r s , S t r o u h a l n u m b e r ( S t F ) , c o n v e c t i o n v e l o c i t y ( u c ) , a n d w a v e l e n g t h ( A ) , a r e c o m p u t e d f r o m t h e p h o t o g r a p h i c o b s e r v a - t i o n s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . B e c a u s e t h e p h o t o g r a p h i c r e c o r d s p r e s e n t t h e w h o l e f l o w f i e l d s a t e q u i s p a c e d t i m e s , e a c h o f t h e s e p a r a m e t e r s c a n b e d e t e r m i n e d i n d e p e n d e n t l y a t a g i v e n d i s t a n c e d o w n - s t r e a m o f t h e e x i t p l a n e . S e c t i o n s 5 . 3 . 2 . 1 t h r o u g h 5 . 3 . 2 . 4 d e s c r i b e t h e p r o c e d u r e f o r c o m p u t i n g t h e s e p a r a m e t e r s . F o r a p e r i o d i c p r o c e s s , t h e p a r a m e t e r s S t u c , a n d A a r e i n t e r - F 7 r e l a t e d a s T h i s d e f i n i t i o n o f S t F p r o v i d e s a n u n b i a s e d e s t i m a t e o f S t r o u h a l 1 0 5 ( 1 3 3 ) w h e r e u : = u c / < U > a n d A * = A / w . T h e o b s e r v a t i o n s o f t h e p h o t o g r a p h i c r e c o r d s o f t h e v o r t i c e s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d , h o w e v e r , i n d i c a t e t h a t t h e p r o c e s s o f f o r m a t i o n , t r a n s l a t i o n , a n d i n t e r a c t i o n o f v o r t e x p a i r s i s q u a s i - p e r i o d i c i n n a t u r e . T h i s m e a n s t h a t , i n g e n e r a l , t h e i n d e p e n d e n t e s t i m a t e s o f t h e s e t h r e e p a r a m e t e r s w i l l n o t s a t i s f y t h e a b o v e r e l a t i o n s h i p . C o n s i d e r i n g t h e r a n d o m n e s s o f a n u n e x c i t e d j e t , a s t a t i s t i c a l m e t h o d ' h a s b e e n f o r m u l a t e d t o c o m p u t e t h e o v e r a l l e s t i - m a t e s o f u : a n d A * f r o m t h e i r r e s p e c t i v e i n d e p e n d e n t e s t i m a t e s a n d t h e e s t i m a t e o f S t F s u c h t h a t e q u a t i o n ( 1 3 3 ) i s s a t i s f i e d . S e c t i o n 5 . 3 . 2 . 5 d e s c r i b e s t h e d e t a i l s o f t h i s m e t h o d . 5 . 3 . 2 . 1 S t r o u h a l N u m b e r S t F ( x / W ) T h e S t r o u h a l n u m b e r o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d b a s e d u p o n t h e o b - s e r v e d v o r t e x m o t i o n s a t a g i v e n d i s t a n c e x / w f r o m t h e e x i t p l a n e i s d e f i n e d a s * f ( x ) w * _ — F — — 1 3 4 ) S t F ( x ) — < U > ( * w h e r e f F ( x * ) i s t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f v o r t e x p a i r s a t x . T h e p a s - * s a g e f r e q u e n c y f F ( x ) i s d e t e r m i n e d f r o m * o . o f v o r t e x p a i r s c r o s s i n g p l a n e a t x ( 1 3 5 ) * N f F ( x ) = T o t a l t i m e n 5 u . m 3 b . p t 8 p f o h 1 a r s e , i o i r m e 2 t t r . T i h t w t ; 2 h o e i i h i ' 1 ) ' 1 ) T t r r x t a a i a a r x r e i e n n k e s t s s a e p l l n n f e p e n m r t e s e e h a d t t o u c l t a x x i k j a n d I I f a r a t i o n e d c k ( S s p p e e b e s h T " e r i e h f i x o r o i t n + c p o l o o v s t e i n x H . + r l e e f o d t i p r h l l f e e i a o r d " " c b l b e a e m o i v n u t x j k + 1 ' i n l l c l o o s e " p r o x i m i t y i i i ) x i a n d x i + 1 B W u s e d t h i s d e f i n i t i o n f o t h e i r r e p o r t e d v a l u e s o f S t f o r a r o x t / h d s s o c w e t f a a d n i e m o v o f t n u r i e r e ) a o a s e e d k f n f o t t c b s f h e t e s r h e a f r o o t r i r h i : l a v V ( e r r o x v e m t t e o : t x - 0 x x p e e l c i a o ; s t e o P a i r s p a i r a i l - t n n x o l e i n o ) . c a i o o t s f f e A d c s p s h e o o t a m b s h t u e o a t r w e v n k d d a t i r o f i n t a o n F m i v n o c g r e t i h s i a u t t n r e x s d e x o 1 | p r o x ' 1 m ' 1 t y t o x 0 . , x 0 ; 1 0 6 g i v e n R e y n o l d s n u m b e r . . j . . . j + 1 1 v ) x k i n " c l o s e " p r o x i m i t y t o x 0 a n d x k " f a r " r e m o v e d . T h e c l o s e n e s s o f a v o r t e x p a i r t o t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n i s d e t e r m i n e d w i t h r e s p e c t t o t h e l o n g i t u d i n a l s p a c i n g , L , b e t w e e n t h e v o r t e x p a i r s a t t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n . H o w e v e r , s i n c e t h e s p a c i n g L i s n o t k n o w n a p r i o r i , t h e c o m p u t a t i o n s a r e c a r r i e d o u t i n t w o s t a g e s , I n t h e f i r s t s t a g e , a r o u g h e s t i m a t e o f L i s o b t a i n e d , a n d i n t h e s e c o n d s t a g e , b a s e d u p o n t h e f o u r p o s s i b i l i t i e s o f t h e l o c a t i o n o f a c a l v c o u r l t a e t x i p a i a r r , e o n s a e n s o c t r h i e b r e d d e b s e t i m a t e i s c o m p u t e d . T h e t w o s t a g e s o f l o w . a p ) l a n r D e e t o e f m o i b n s e e t a h t e i r v o n s p ( e a e t d w x o i f t r h o m c w t h h i e h e e t h t x i k l t a h n p . m r e p " . . . t b ) C o m p u t e t h e a v e r a g e v a l u e o f c o n v e c t i o n v I I - O l l P I Z C ) D e t e r p a i r c o m m e i s n e t h e o v e r a l l p a s s a g e w i t h i n 1 0 % o f L , f o r e q u e n c y o f n e i t h e r s t i p a i r c r o s s e s t h e v o r f t r e o x m o c i t y f r o m t h e i n d i v i - e e ) l h e v o r t i c e s u s i n g e q u a - d e o f t h e p l a n e o f 1 0 7 S t a g e I : j + 1 ( 1 3 6 ) t j + 1 ' d u a l e s t i m a t e s o f c k : N Z C k ( 1 3 7 ) = 1 k t i o n ( 1 3 5 ) . d ) U s i n g t h e r e l a t i o n s h i p f o r a p e r i o d i c p r o c e s s , c o m p u t e t h e f i r s t e s t i m a t e o f t h e s p a c i n g f r o m ( 1 3 8 ) t “ [ I v - h l o l ' 1 1 e ) D e f i n e a w i n d o w a r o u n d t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n w i t h a u s e r s p e c i - f i e d w i d t h , 2 T , e q u a l t o , f o r e x a m p l e , 2 0 % o f L . H e n c e , i f a v o r t e x w o b s e r v a t i a ) R e c o m o p n u , t i t w o u l d b e c o n s i d e r e d t o b e i n c l o s e p r o x i m i t y t o t h e e t h e v e l o c i t y o f e a c h v o r t e x p a i r d e p e n d i n g u p o n i t s 1 0 8 p l a n e . S t a g e I I : " c l o s e n e s s " t o t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n a s X i ? - X E c k ' fi < 1 3 ” m n w h e r e m = j + 1 f o r c a s e s ( i ) , ( i i i ) , a n d ( i v ) o r j + 2 f o r c a s e ( i i ) , r e s p e c t i v e l y , a n d n = j f o r c a s e s ( i ) , ( i i ) , a n d ( i i i ) o r j - l f o r c a s e ( i v ) , r e s p e c t i v e l y . b ) U s i n g e q u a t i o n ( 1 3 7 ) a n a v e r a g e e s t i m a t e o f t h e t r a n s l a t i o n s p e e d o f t h e v o r t i c e s c a n b e d e t e r m i n e d . I n c o m p u t i n g a n e s t i m a t e f o r t h e a v e r a g e s p e e d , c a r e i s t a k e n t o n o t i n c l u d e t h e t r a n s l a t i o n s p e e d o f t h o s e v o r t i c e s w h i c h u n d e r g o p a i r i n g i n t h e v i c i n i t y o f t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n . S i m i l a r l y , a v e r - a g e v a l u e s f o r t h e d i s t a n c e L b e t w e e n t h e v o r t i c e s e x c l u d e t h o s e c o n - d i t i o n s w h e r e t h e v o r t i c e s h a v e p a i r e d n e a r t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n . T h e d e c i s i o n : " h a v e t w o v o r t e x m o t i o n s p a i r e d a t a g i v e n d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e ? " i s b a s e d u p o n t h e a v e r a g e l o n g i t u d i n a l s p a c i n g L b e t w e e n t h e t w o v o r t e x p a i r s . A u s e r s p e c i f i e d p a r a m e t e r , T p , w h i c h i s b a s e d u p o n t h e a v e r a g e s p a c i n g , L , i s u s e d . I f t h e d i s t a n c e b T s s e p p t b a t e a , s w e g e e d e d e o e t n h i u e s o p t n f o h n n c h a h e i e l e t t c t n n c t c u w v e l l i r o u a d s r d t t h e T n ( l o g p c a a s t s e a d e a t v a t i o w h e r e e p v t t m o i h e r m e a t e n m h 6 s e t p v u a T x o = p a k l l a u = t e j p c a i i s f o r n s t s g : o n a s p c ( a S s t e g e - o r f o t v i a i t d e i c t e s m t i h i x 1 l e o e d o f x n o i s f t p n h a t e i t L h r h e t w s e o a a r v v e e i j s e t . o r n r c a o t o g t T e n e y x s k p i e n i p d s a e t o c w a n l t o i p h s a . e T i p f o u n r i e n i d S i s i t d a n i s n c a e d e l t b h i a q e e n l u t v e t l r t s s r e a h f t s n e o o h i r t t i p a o i s t n n t s o l a f T 5 u a e l i r r e s d i m a t e , l p y a t r s , i i e m o o r f o m f t h t e h e o k t e h x v t i r p t l e a x n e ) p c a o s m t p t t h e e d u p f l r a o n m b s e r - f o k c o s a ( i ) , ( i i i e b o d o e c t n t a b w l y 5 e h . e t S a 3 n t h s . r e 2 o t s e ) b w . u , e o 4 h a n d ( i i e n ) a p v l o a o u n r n s d t u e e m d t x b p u l a t h e i e p r o i t ) o a n s o r j - l f o r c a s d i r f d i E e f t f s ; c 2 a e e h 6 w n r r a ( m e i n f s b ) e n c b ; ' e e e c e o t h i n m p e n u N a s o r e p e t e o t d e d i v l o t ) a . t p c h t a h i a o t o s m A n s p o f a u a t g h t n e e e d w i e ( p h e u t 1 0 9 1 0 % o f w o r L . P 5 . 3 . 2 . 3 P a s s a g e T i m e t k m x _ c f ; = ‘ ° x k + t < 1 4 o > P k S t F , r e s p e c t i v e l y . A x e i r r c s s i c n n r . d e g a t t o f i m m i o a p p d t u e t ( e 1 d 3 s a r n a v e r r a c e e u e m c a x y p t a h i e r T s h u m i , v q o f u n e r r e g q t o n e n a w b i e o m t o n i h i p h i e o a e s e s t c i o n e p ( s t r 1 h h o 3 r p g s . o i p v u e v u r i p i b s ) e e s a o s e r i c t n o r t i w f g e e g r A o e o d s d e u f c 8 l n e T ) a s h t b s c e i y a o t t a s h w n c e o d r n , d e v u g e q o s e n u r e a e r i a v e T n o v S h e g o e t i t i h p t i l h h n o ) e o e c a t i o n s i i a l h o b n o g r p e i h x o i n o c p f t n i 5 t u g d r . h i v t w . n o a i a r b t l t a h 2 v . o 2 r s . t c a p F i i T e i n g r h c g s e t u p a i r k k a o i - l 8 n o f l c t u h c o a l e i n a s n g a l t d a t t t 3 e ) f b e g e L ( 8 e o v h c t e n a n t r s 2 . s p a p e i + r e e x r v 1 e . x e a s s l h w = b a e j s r + e e 2 d j c a a s m f o u = r p o n n i ( i n d e t h e - ) a , r j r f p o e r c c a s e s l y t t i i v m e e ( 1 ) H , e t o f n a s i k k ) t i h m i E g h n t d i 3 + f p 1 u l a c n t n e n a s a l y n w l a a y d t c i t w . t r t i m r o i a n n n u a t i e s o l n s p : f r o m a i c ) t i h i n e n t a d h ( t e i 1 t r a a v o 3 n 7 n e o r f a w e e b n y p h i c t y a t L r o e , t b t e l g r c o d p i h a t i o e o g v d r t t h n s i e p c a e o c s p i a o f n f g e d i r i t e r u n e o e a ) o a b a q 5 v c b o d ( i h i ) h e r e o 1 l m t f e 3 s o e f m v e . r n a o t p t d s b t t i b e p y i h d t p i l a s e l i i e x t e ) d o e t o n f d h e i { k o a k t + n n s l e c c u t ( i e e d i e r h ) w m t t t s b i h t v e b e s c o x e d e r r p d u v e a e p a p i t o t r r e n i e r o s n e t o g r a p h i d t ( 1 h o e r t V w e ) e x o g i r h a n h e g s s a a n , l t r d l e t n e a t i i h n c r o e f c d s r a e p o t s e m i c o c t n i o r f b t i e o c n o r d s e g k - o e f b n c s t h o e h j d e . n n f t o o 1 1 0 5 . 3 . 2 . 4 L o n g i t u d i n a l S p a c i n g B e t w e e n V o r t e x P a i r s T h e s p a c i n g L k i s o b t a i n e d a s L k = ( 1 ' ( k H X E - l ‘ x k ) + § k ( x k ' x k + l ) ( 1 4 ) l l l o b s e r v a t i o n . I t i s f o u n d f r o m t 1 3 - t k . ( k - — — — J — t _ t ( 1 4 2 ) j + 1 3 A n a v e r a g e v a l u e o f t h e s p a c i n g L f r o m t h e p o p u l a t i o n L k i s c o m - p u t e d f r o m : i = - l ( 1 4 3 ) N L k 5 . 3 . 2 . 5 A S t a t i s t i c a l M e t h o d t o C o m p u t e E s t i m a t e s o f u c a n d A : A s t a t i s t i c a l a p p r o a c h h a s b e e n d e v e l o p e d t o c o m p u t e a n o v e r a l l e s t i m a t e o f t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y u c a n d t h e w a v e l e n g t h A , u s i n g i ) S t F ( s e e S e c t i o n 5 . 3 . 2 . 1 ) , i i ) c k / < U > ( s e e S e c t i o n 5 . 3 . 2 . 2 ) , a n d i i i ) L k / w ( s e e S e c t i o n 5 . 3 . 2 . 4 ) . F i g u r e 8 3 s h o w s a s c h e m a t i c p l o t o f C k / < U > v e r s u s L k / w a t a g i v e n p l a n e o f o b s e r v a t i o n . T h e s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n o f t h e p l o t r e p r e s e n t s S t F a t t h i s p l a n e . T h e c l u s t e r o f p o i n t s r e p r e s e n t s t h e b e h a v i o r o f i n d i v i d u a l v o r t e x p a i r s i n t h e g i v e n e x p e r i m e n t . T h e d e s i r e d s t a t i s t i c a l e s t i m a t e s : u C a n d A , a r e a s s u m e d t o s a t i s f y ( 1 4 4 ) o r 1 1 2 u c = C A ( 1 4 5 ) w h e r e C i s a c o n s t a n t . L e t t h e m a r k * o n t h e s t r a i g h t l i n e D C i n F i g - * * u r e 8 3 d e n o t e o n e o f t h e p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f ( u C , A ) . T h e d i s - * * t a n c e , 6 k , o f * f r o m o n e o f t h e e n t r i e s ( L k ’ c k ) i s e x p r e s s e d a s 5 2 * * 2 * * 2 ( 1 4 6 ) C T h e d i s t a n c e 6 k r e p r e s e n t s t h e d e v i a t i o n i n t h e n o n d i m e n s i o n a l p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e k t h v o r t e x f r o m t h e o v e r a l l n o n d i m e n s i o n a l p a s s a g e f r e q u e n c y S t F . T h e s u m o f t h e s q u a r e s , S , o f t h e 6 k v a l u e s , p r o v i d e s a m e a s u r e o f t h e d e v i a t i o n b e t w e e n t h e s e l e c t e d p o i n t , * , a n d t h e , * * p o p u l a t i o n o f [ C k ’ L k ] v a l u e s . N s = E : [ ( u : - c : ) 2 + ( A * — L : ) 2 ] ( 1 4 7 ) k = 1 U s i n g e q u a t i o n ( 1 4 5 ) N s = E : [ ( c 1 * - c : ) 2 + ( 1 * — L : ) 2 ] ( 1 4 8 ) k = l * E q u a t i o n ( 1 4 8 ) s h o w s t h a t S i s a f u n c t i o n o f a s i n g l e p a r a m e t e r A . S * a I * o 0 c a n b e m i n i m i z e d w i t h r e s p e c t t o A b y f i n d i n g 8 5 / 6 A a n d s e t t i n g i t e q u a l t o z e r o , i . e . , N Q E — = E : 2 [ c < c 1 * - C E ) + ( 1 * — L : ) ] = o ( 1 4 9 ) _ ‘ a l < N s - 2 > ( 1 5 3 ) 1 1 3 o r N 2 * * * E : [ ( C + 1 ) A - ( L k + C c k ) ] = O ( 1 5 0 ) k = 1 w h i c h y i e l d s , N A * = l — ( L : + c 3 ] ( 1 5 1 ) N ( C 2 + 1 ) k k = 1 o r , A * = i [ L * + 0 3 * ] ( 1 5 2 ) ( C + 1 ) _ _ * * , * w h e r e L * a n d c * a r e t h e a v e r a g e v a l u e s o f L k a n d c k . H a V i n g f o u n d A f r o m e q u a t i o n ( 1 5 2 ) , u : c a n b e f o u n d f r o m e q u a t i o n ( 1 4 5 ) . T h e r e s i - d u a l o f t h e f i t i s o b t a i n e d f r o m w h e r e S i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 4 8 ) a n d N i s t h e t o t a l n u m b e r o f e n - t r i e s o f c k a n d L k ' 1 1 4 5 . 4 E x a m p l e C a l c u l a t i o n s I n t h i s s e c t i o n t h e p r o c e s s e d r e s u l t s o f o n e o f t h e e x p e r i m e n t a l r u n s a r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e f u n c t i o n i n g o f t h e a l g o r i t h m s p r e s e n t e d i n S e c t i o n s 5 . 3 . 1 a n d 5 . 3 . 2 . T h e d a t a s e t u s e d h e r e w a s a c - q u i r e d w i t h o u t t h e u s e o f t h e f i l l i n g d e v i c e . T h e w i d t h o f t h e j e t w a s 2 . 6 3 c m a n d a w a t e r - s u g a r m i x t u r e w a s u s e d a s t h e w o r k i n g l i q u i d . T h e R e y n o l d s n u m b e r w a s 9 8 0 . F i g u r e 5 0 p r e s e n t s a p a r t o f t h e s e - q u e n c e o f p h o t o g r a p h i c r e c o r d s f r o m t h e s t a r t o f t h i s e x p e r i m e n t . S e c t i o n 5 . 4 . 1 p r e s e n t s t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s o f t h i s f l o w f i e l d a n d S e c t i o n 5 . 4 . 2 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e v o r t e x s t r e e t . 5 . 4 . 1 G e o m e t r i c / K i n e m a t i c P r o p e r t i e s T h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s o f t h e v o r t i c e s i n t h e f l o w f i e l d a r e p r e s e n t e d i n t h e s p a c e - t i m e p l o t s h o w n i n F i g u r e 8 4 . I n . t h e p l o t , t h e a v e r a g e l o c a t i o n o f t h e t w o v o r t i c e s o f a p a i r h a v e b e e n c o n n e c t e d b y s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s ( s e e S e c t i o n 5 . 3 . 1 . 1 ) . T h e p l o t s h o w s t h e d i s t a n c e s f r o m t h e e x i t p l a n e a t w h i c h v o r t i c e s b e g i n t o f o r m ; a c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n i s o b s e r v e d i n t h e s e d i s t a n c e s . F o r t h i s d a t a s e t , t h e f o r m a t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a l s y m m e t r i c m o t i o n s o c - c u r s o v e r a r a n g e 0 . 7 5 s x / w s 2 . 0 . T h e p l o t a l s o s h o w s t h e l o c a t i o n o f v o r t e x p a i r i n g s w h i c h m o s t l y o c c u r b e y o n d x / w = 3 . A s s h o w n i n F i g - u r e 5 0 , a n u m b e r o f v o r t i c e s c o a l e s c e w i t h t h e s t a r t i n g v o r t e x p a i r . * F i g u r e 8 4 s h o w s t h i s i n t e r a c t i o n d u r i n g t h e t i m e s 1 0 S t < 1 8 . 1 1 5 T h e p l o t s s h o w i n g t h e l a t e r a l s p r e a d , d k / w , b e t w e e n t h e v o r t e x c e n t e r s a n d t h e d i f f e r e n c e i n t h e a x i a l l o c a t i o n , a k / w , h a v e b e e n i n - c l u d e d i n w i t h o t h e r d a t a s e t s a n d a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 6 . 5 . 4 . 2 P a r a m e t e r s o f t h e V o r t e x S t r e e t A c o m p u t e r p r o g r a m ( P W T P 7 E ) h a s b e e n d e v e l o p e d t o c o m p u t e t h e t h r e e p a r a m e t e r s S t u C , a n d A a t a d e s i r e d p l a n e f r o m t h e e x i t p l a n e F ’ o f t h e j e t . A s m e n t i o n e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 2 , t w o u s e r - s p e c i f i e d p a r a m e - t e r s , T p a n d T w ’ a r e u s e d i n t h e p r o c e s s i n g o f t h e d i g i t i z e d p h o t o — g r a p h i c d a t a . T h e i n f l u e n c e o f t h e s e p a r a m e t e r s o n t h e c a l c u l a t i o n s o f S t F , u c , a n d A i s f i r s t p r e s e n t e d i n S e c t i o n 5 . 4 . 2 . 1 a n d t h e d i s - c u s s i o n o f t h e r e s u l t s i s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 5 . 4 . 2 . 2 . T h e d a t a s e t w h i c h w a s u s e d i n S e c t i o n 5 . 4 . 1 i s a g a i n u s e d i n t h i s s e c t i o n . 5 . 4 . 2 . 1 C h o i c e o f C o n t r o l P a r a m e t e r s T p a n d T w F i v e d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s o f t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s ( T p ' T w ) h a v e b e e n u s e d : ( 0 . 0 5 , 0 . 0 5 ) , ( 0 . 0 5 , 0 . 1 ) , ( 0 . 1 , 0 . 0 5 ) , ( 0 . 1 , 0 . l ) , a n d ( 0 . 1 , 0 . 2 ) . T h e s e n u m b e r s i n d i c a t e t h e f r a c t i o n s o f f i r s t e s t i m a t e s o f L / w . T a b l e 3 a n d F i g u r e s 8 5 t h r o u g h 9 1 p r e s e n t t h e r e s u l t s o f t h e s e c o m p u t a t i o n s . 1 1 6 T a b l e 3 - I n f l u e n c e o f T , T o n S t , u a n d A p w F c T , T = . 0 5 , . 0 5 p w * * * * * x / w S t F c ( A v R ) L L ( A v R ) A u c 0 F r e d . 2 . 0 0 0 . 7 8 2 0 . 7 5 1 0 . 2 5 7 0 . 9 6 0 0 . 8 5 6 0 . 2 0 9 0 . 9 0 3 0 . 7 0 6 0 . 3 5 1 1 2 . 2 5 0 . 7 8 9 0 . 7 6 1 0 . 2 6 1 0 . 9 6 5 0 . 8 9 5 0 . 2 3 2 0 . 9 2 2 0 . 7 2 8 0 . 3 5 9 1 2 . 5 0 0 . 7 9 4 0 . 7 8 7 0 . 2 4 3 0 . 9 9 0 1 . 0 0 9 0 . 2 8 3 1 . 0 0 2 0 . 7 9 6 0 . 3 8 2 1 2 . 7 5 0 . 7 9 7 0 . 8 1 7 0 . 2 7 0 1 . 0 2 5 0 . 9 8 4 0 . 2 6 9 1 . 0 0 0 0 . 7 9 7 0 . 3 9 0 1 3 . 0 0 0 . 7 8 2 0 . 8 3 3 0 . 2 9 8 1 . 0 6 6 1 . 0 4 2 0 . 5 8 4 1 . 0 5 1 0 . 8 2 2 0 . 6 7 1 2 3 . 2 5 0 . 7 4 9 0 . 8 7 3 0 . 2 8 3 1 . 1 6 6 1 . 1 6 1 0 . 4 6 0 1 . 1 6 3 0 . 8 7 0 0 . 5 5 3 3 3 . 5 0 0 . 7 1 8 0 . 8 9 2 0 . 2 5 7 1 . 2 4 2 1 . 1 8 6 0 . 2 6 2 1 . 2 0 5 0 . 8 6 5 0 . 3 7 8 4 3 . 7 5 0 . 7 2 4 0 . 8 8 0 0 . 2 7 3 1 . 2 1 6 1 . 1 8 3 0 . 3 8 5 1 . 2 0 2 0 . 8 7 0 0 . 4 8 4 4 4 . 0 0 0 . 6 9 9 0 . 8 9 1 0 . 3 0 2 1 . 2 7 6 1 . 3 4 2 0 . 5 9 9 1 . 3 4 1 0 . 9 3 7 0 . 6 8 5 5 4 . 2 5 0 . 6 3 3 0 . 9 4 2 0 . 3 3 9 1 . 4 8 8 1 . 3 4 1 0 . 5 5 7 1 . 4 0 8 0 . 8 9 1 0 . 6 7 7 7 4 . 5 0 0 . 5 9 9 0 . 9 6 2 0 . 3 5 3 1 . 6 0 4 1 . 3 1 0 0 . 4 2 8 1 . 4 2 6 0 . 8 5 5 0 . 6 1 1 8 4 . 7 5 0 . 5 8 1 0 . 9 7 2 0 . 4 0 8 1 . 6 7 3 1 . 2 8 3 0 . 4 1 7 1 . 4 5 1 0 . 8 4 3 0 . 7 0 9 8 5 . 0 0 0 . 5 8 4 0 . 9 9 1 0 . 3 9 7 1 . 6 9 6 1 . 3 6 0 0 . 6 0 6 1 . 5 3 7 0 . 8 9 8 0 . 8 4 5 8 T , T = . 0 5 , 1 p w k * * * * x / w S t F c ( A v R ) L L ( A v R ) A u c 0 F r e d . 2 . 0 0 0 . 7 8 6 0 . 7 5 5 0 . 2 5 7 0 . 9 6 0 0 . 8 7 2 0 . 2 2 9 0 . 9 1 2 0 . 7 1 7 0 . 3 5 7 0 2 . 2 5 0 . 7 8 9 0 . 7 5 4 0 . 2 5 8 0 . 9 5 6 0 . 9 2 6 0 . 2 3 1 0 . 9 3 7 0 . 7 4 0 0 . 3 5 4 1 2 . 5 0 0 . 7 9 4 0 . 7 8 6 0 . 2 4 4 0 . 9 8 9 1 . 0 1 2 0 . 2 8 6 1 . 0 0 3 0 . 7 9 7 0 . 3 8 5 1 2 . 7 5 0 . 7 9 7 0 . 8 1 9 0 . 2 6 2 1 . 0 2 8 1 . 0 0 5 0 . 2 7 0 1 . 0 1 4 0 . 8 0 8 0 . 3 8 5 1 3 . 0 0 0 . 7 8 2 0 . 8 5 4 0 . 2 8 8 1 . 0 9 3 1 . 0 7 9 0 . 5 6 6 1 . 0 8 4 0 . 8 4 8 0 . 6 5 0 2 3 . 2 5 0 . 7 4 9 0 . 8 7 0 0 . 2 8 5 1 . 1 6 3 1 . 1 5 3 0 . 4 5 5 1 . 1 5 7 0 . 8 6 6 0 . 5 5 0 3 3 . 5 0 0 . 7 2 4 0 . 8 8 3 0 . 2 5 0 1 . 2 1 9 1 . 1 8 7 0 . 2 6 6 1 . 1 9 8 0 . 8 6 8 0 . 3 7 5 4 3 . 7 5 0 . 7 2 9 0 . 8 7 7 0 . 2 6 6 1 . 2 0 2 1 . 2 2 1 0 . 3 7 7 1 . 2 2 2 0 . 8 9 1 0 . 4 7 2 4 4 . 0 0 0 . 7 2 6 0 . 9 0 1 0 . 2 8 7 1 . 2 4 0 1 . 1 8 0 0 . 5 3 5 1 . 2 2 1 0 . 8 8 7 0 . 6 2 0 4 4 . 2 5 0 . 6 6 1 0 . 9 4 7 0 . 3 4 1 1 . 4 3 3 1 . 2 6 5 0 . 4 6 6 1 . 3 4 0 0 . 8 8 6 0 . 6 0 2 6 4 . 5 0 0 . 5 8 5 0 . 9 2 4 0 . 3 3 8 1 . 5 7 8 1 . 3 4 7 0 . 4 2 2 1 . 4 5 3 0 . 8 5 1 0 . 6 0 1 8 4 . 7 5 0 . 5 8 1 0 . 9 7 6 0 . 4 0 4 1 . 6 7 9 1 . 2 7 9 0 . 4 4 0 1 . 4 6 5 0 . 8 5 2 0 . 7 4 9 8 5 . 0 0 0 . 5 4 8 0 . 9 8 6 0 . 4 1 1 1 . 8 0 0 1 . 3 0 2 0 . 6 1 2 1 . 5 1 3 0 . 8 2 9 0 . 9 1 9 8 T , T = . 1 0 , . 0 5 p w * * k * * x / w S t F c ( A v R ) L L ( A v R ) A u c 0 F r e d . 2 . 0 0 0 . 7 8 2 0 . 7 5 1 0 . 2 5 7 0 . 9 6 0 0 . 8 5 6 0 . 2 0 9 0 . 9 0 3 0 . 7 0 6 0 . 3 5 1 1 2 . 2 5 0 . 7 8 9 0 . 7 6 1 0 . 2 6 1 0 . 9 6 5 0 . 8 9 5 0 . 2 3 2 0 . 9 2 2 0 . 7 2 8 0 . 3 5 9 1 2 5 0 0 . 7 9 4 0 . 7 8 7 0 . 2 4 3 0 . 9 9 0 1 . 0 0 9 0 . 2 8 3 1 . 0 0 2 0 . 7 9 6 0 . 3 8 2 1 2 . 7 5 0 . 7 6 5 0 . 8 1 2 0 . 2 7 4 1 . 0 6 1 1 . 0 2 0 0 . 2 4 8 1 . 0 3 5 0 . 7 9 2 0 . 3 7 9 2 3 . 0 0 0 . 7 8 2 0 . 8 3 3 0 . 2 9 8 1 . 0 6 6 1 . 0 4 2 0 . 5 8 4 1 . 0 5 1 0 . 8 2 2 0 . 6 7 1 2 3 2 5 0 . 7 4 9 0 . 8 7 3 0 . 2 8 3 1 . 1 6 6 1 . 1 6 1 0 . 4 6 0 1 . 1 6 3 0 . 8 7 0 0 . 5 5 3 3 3 . 5 0 0 . 7 1 8 0 . 8 9 2 0 . 2 5 7 1 . 2 4 2 1 . 1 8 6 0 . 2 6 2 1 . 2 0 5 0 . 8 6 5 0 . 3 7 8 4 3 . 7 5 0 . 6 6 1 0 . 8 8 4 0 . 2 7 6 1 . 3 3 7 1 . 2 5 4 0 . 3 5 6 1 . 2 8 8 0 . 8 5 1 0 . 4 6 6 6 4 . 0 0 0 . 6 6 6 0 . 9 0 6 0 . 3 0 3 1 . 3 6 2 1 . 3 3 0 0 . 6 1 5 1 . 3 6 2 0 . 9 0 6 0 . 7 0 2 6 4 . 2 5 0 . 5 9 8 0 . 8 9 9 0 . 2 9 5 1 . 5 0 3 1 . 4 1 7 0 . 5 2 5 1 . 4 6 3 0 . 8 7 5 0 . 6 2 0 8 1 1 7 4 T a b l e 3 ( c o n t ' d . ) . 4 . 5 0 0 . 5 9 9 0 . 9 6 2 0 . 3 5 3 1 . 6 0 4 1 . 3 1 0 0 . 4 2 8 1 . 4 2 6 0 . 8 5 5 0 . 6 1 1 8 4 . 7 5 0 . 5 8 1 0 . 9 7 2 0 . 4 0 8 1 . 6 7 3 1 . 2 8 3 0 . 4 1 7 1 . 4 5 1 0 . 8 4 3 0 . 7 0 9 8 5 . 0 0 0 . 5 4 8 1 . 0 0 3 0 . 4 0 8 1 . 8 3 2 1 . 4 7 9 0 . 5 0 4 1 . 6 6 2 0 . 9 1 0 0 . 7 8 8 9 T , T = . 1 0 , . 1 0 p w * * * * * x / w S t F c ( A v R ) L L ( A v R ) A u C 0 F r e d . 2 . 0 0 0 . 7 8 6 0 . 7 5 5 0 . 2 5 7 0 . 9 6 0 0 . 8 7 2 0 2 2 9 0 . 9 1 2 0 . 7 1 7 0 . 3 5 7 0 2 . 2 5 0 . 7 8 9 0 . 7 5 4 0 . 2 5 8 0 . 9 5 6 0 . 9 2 6 0 . 2 3 1 0 . 9 3 7 0 . 7 4 0 0 . 3 5 4 1 2 . 5 0 0 . 7 9 4 0 . 7 8 6 0 . 2 4 4 0 . 9 8 9 1 . 0 1 2 0 . 2 8 6 1 . 0 0 3 0 . 7 9 7 0 . 3 8 5 1 2 . 7 5 0 . 7 6 5 0 . 8 1 4 0 . 2 6 6 1 . 0 6 4 1 . 0 4 2 0 . 2 4 5 1 . 0 5 0 0 . 8 0 4 0 . 3 7 1 2 3 . 0 0 0 . 7 8 2 0 . 8 5 4 0 . 2 8 8 1 . 0 9 3 1 . 0 7 9 0 . 5 6 6 1 . 0 8 4 0 . 8 4 8 0 . 6 5 0 2 3 . 2 5 0 . 7 4 9 0 . 8 7 0 0 . 2 8 5 1 . 1 6 3 1 . 1 5 3 0 . 4 5 5 1 . 1 5 7 0 . 8 6 6 0 . 5 5 0 3 3 . 5 0 0 . 7 2 4 0 . 8 8 3 0 . 2 5 0 1 . 2 1 9 1 . 1 8 7 0 . 2 6 6 1 . 1 9 8 0 . 8 6 8 0 . 3 7 5 4 3 . 7 5 0 . 6 9 6 0 . 8 9 0 0 . 2 6 5 1 . 2 8 0 1 . 2 3 6 0 . 3 8 0 1 . 2 5 8 0 . 8 7 6 0 . 4 7 6 5 4 . 0 0 0 . 6 9 7 0 . 9 1 1 0 . 2 9 1 1 . 3 0 7 1 . 2 5 5 0 . 5 5 0 1 . 2 9 3 0 . 9 0 1 0 . 6 3 5 5 4 . 2 5 0 . 5 9 5 0 . 9 1 7 0 . 3 0 6 1 . 5 4 3 1 . 3 5 9 0 . 4 3 7 1 . 4 3 1 0 . 8 5 1 0 . 5 6 0 8 4 . 5 0 0 . 5 8 5 0 . 9 2 4 0 . 3 3 8 1 . 5 7 8 1 . 3 4 7 0 . 4 2 2 1 . 4 5 3 0 . 8 5 1 0 . 6 0 1 8 4 . 7 5 0 . 5 8 1 0 . 9 7 6 0 . 4 0 4 1 . 6 7 9 1 . 2 7 9 0 . 4 4 0 1 . 4 6 5 0 . 8 5 2 0 . 7 4 9 8 5 . 0 0 0 . 5 4 8 0 . 9 8 6 0 . 4 1 1 1 . 8 0 0 1 . 3 0 2 0 . 6 1 2 1 . 5 1 3 0 . 8 2 9 0 . 9 1 9 8 T , T = . 1 0 , . 2 0 p w * * * * * x / w S t F c ( A v R ) L L ( A v R ) A u c 0 F r e d . 2 . 0 0 0 . 7 8 3 0 . 7 4 0 0 . 2 0 0 0 . 9 4 4 0 . 8 9 8 0 . 2 3 9 0 . 9 1 6 0 . 7 1 7 0 . 3 2 0 0 2 . 2 5 0 . 7 8 5 0 . 7 6 4 0 . 2 4 5 0 . 9 7 2 0 . 9 5 3 0 . 2 6 4 0 . 9 6 0 0 . 7 5 4 0 . 3 6 8 1 2 . 5 0 0 . 7 9 0 0 . 7 8 0 0 . 2 5 3 0 . 9 8 7 1 . 0 0 1 0 . 2 3 8 0 . 9 9 6 0 . 7 8 7 0 . 3 5 5 1 2 . 7 5 0 . 8 1 6 0 . 8 0 4 0 . 2 4 1 0 . 9 8 6 1 . 0 1 6 0 . 4 3 3 1 . 0 0 4 0 . 8 1 9 0 . 5 0 7 1 3 . 0 0 0 . 8 1 6 0 . 8 4 1 0 . 2 7 9 1 . 0 3 1 1 . 0 2 2 0 . 3 7 4 1 . 0 2 6 0 . 8 3 7 0 . 4 7 7 1 3 . 2 5 0 . 7 5 7 0 . 8 4 7 0 . 2 4 6 1 . 1 2 0 1 . 1 5 8 0 . 3 8 1 1 . 1 4 4 0 . 8 6 6 0 . 4 6 6 3 3 . 5 0 0 . 7 3 0 0 . 8 8 7 0 . 2 6 3 1 . 2 1 6 1 . 2 4 9 0 . 4 1 0 1 . 2 4 6 0 . 9 0 9 0 . 4 9 8 4 3 . 7 5 0 . 6 9 6 0 . 9 0 1 0 . 2 7 1 1 . 2 9 4 1 . 2 0 3 0 . 4 4 7 1 . 2 5 3 0 . 8 7 2 0 . 5 3 6 5 4 . 0 0 0 . 6 9 7 0 . 8 9 5 0 . 2 7 1 1 . 2 8 4 1 . 2 0 7 0 . 4 3 8 1 . 2 5 2 0 . 8 7 3 0 . 5 2 7 5 4 . 2 5 0 . 5 9 5 0 . 9 2 8 0 . 3 1 9 1 . 5 6 1 1 . 3 8 9 0 . 4 1 2 1 . 4 7 1 0 . 8 7 5 0 . 5 5 0 8 4 . 5 0 0 . 5 8 5 0 . 9 3 2 0 . 3 3 5 1 . 5 9 1 1 . 3 7 1 0 . 4 8 8 1 . 4 8 8 0 . 8 7 1 0 . 6 5 9 8 4 . 7 5 0 . 5 8 6 0 . 9 5 2 0 . 3 6 2 1 . 6 2 4 1 . 3 1 4 0 . 6 3 4 1 . 4 7 7 0 . 8 6 6 0 . 8 3 5 8 5 . 0 0 0 . 5 6 9 1 . 0 2 9 0 . 4 0 9 1 . 8 0 9 1 . 1 9 3 0 . 5 8 4 1 . 4 1 9 0 . 8 0 7 0 . 9 1 9 8 F o r t h i s d a t a s e t , t h e f i r s t p l a n e o f o b s e r v a t i o n i s l o c a t e d a t x = 2 w . T h i s l o c a t i o n w a s d e c i d e d b y t h e p r o g r a m P W T P 7 E b a s e d u p o n t h e * l a r g e s t d i s t a n c e x o f v o r t e x f o r m a t i o n ; i e . , t h e l a r g e s t d i s t a n c e a t w h i c h a b u l g e , w h i c h l e d t o a v o r t e x m o t i o n w a s o b s e r v e d . S e e 1 1 8 F i g u r e 8 4 . I n t h i s c a s e , t h i s d i s t a n c e w a s x = 1 . 9 2 w a n d t h e c o m p u t a - t i o n s b e g a n a t x - 2 w . I n a d d i t i o n t o s p e c i f y i n g ( T P , T W ) t h e u s e r a l s o s p e c i f i e s t h e s i z e o f t h e i n c r e m e n t s i n x f o r c o m p u t a t i o n a n d f o r r e p o r t i n g t h e r e s u l t s . F o r t h i s c a s e , t h e c o m p u t a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t a t d i s t a n c e s 0 . 0 5 w a p a r t , w h e r e a s t h e r e s u l t s h a v e b e e n r e p o r t e d a t i n c r e m e n t s o f 0 . 2 5 w . T h e r e s u l t s o f t h e c a l c u l a t i o n s s h o w t h a t , w h e r e a s s o m e o f t h e q u a n i t i t i e s e x h i b i t n e g l i g i b l e d e p e n d e n c e o n t h e c o m b i n a t i o n o f c o n - t r o l p a r a m e t e r s , ( T p , T w ) , o t h e r s s h o w c o n s i d e r a b l e d e p e n d e n c e . F o r e x a m p l e , t h e q u a n t i t i e s w h i c h s h o w n e g l i g i b l e d e p e n d e n c e a r e : i ) t h e d i s t r i b u t i o n o f S t F a s s h o w n i n F i g u r e 8 5 a n d p r e s e n t e d i n c o l u m n 2 o f T a b l e 3 ; * i i ) t h e d i s t r i b u t i o n o f m e a n a n d r m s o f c k s h o w n i n F i g u r e 8 6 a n d t a b u l a t e d i n c o l u m n s 3 a n d 4 o f t h e T a b l e 3 ; * i i i ) t h e d i s t r i b u t i o n o f u c ( x ) s h o w n i n F i g u r e 8 7 a n d p r e s e n t e d i n c o l u m n 9 o f t h e T a b l e 3 . T h e q u a n t i t i e s t h a t s h o w s i g n i f i c a n t d e p e n d e n c e o n t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s ( T p ’ T w ) a r e : * _ * i ) t h e d i s t r i b u t i o n o f L ( c o m p u t e d f r o m S t a n d c ) s h o w n i n F F i g u r e 8 8 a n d p r e s e n t e d i n c o l u m n 5 o f t h e T a b l e 3 ; 1 1 9 * i i ) t h e d i s t r i b u t i o n o f m e a n a n d r m s o f L k a s s h o w n i n F i g u r e 8 9 a n d p r e s e n t e d i n c o l u m n s 6 a n d 7 o f t h e T a b l e 3 ; * i i i ) t h e d i s t r i b u t i o n o f A a s s h o w n i n F i g u r e 9 0 a n d p r e s e n t e d i n c o l u m n 8 o f t h e T a b l e 3 ; i v ) t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r e s i d u a l o f t h e f i t ( o f S t F t h r o u g h * * c a n d L k ) a s s h o w n i n F i g u r e 9 1 a n d p r e s e n t e d i n c o l u m n 1 0 k o f t h e T a b l e 3 ; v ) t h e n u m b e r o f p a i r e d v o r t i c e s a t a g i v e n p l a n e o f o b s e r v a - t i o n a s p r e s e n t e d i n t h e l a s t c o l u m n o f T a b l e 3 . I t i s t o b e n o t e d t h a t m o s t o f t h e s c a t t e r i n t h e p l o t s ( F i g u r e s 8 9 , 9 0 , a n d 9 1 ) o c c u r i n t h e v i c i n i t y o f l o c a t i o n s w h e r e p a i r i n g s t a k e p l a c e . B a s e d u p o n t h e o b s e r v a t i o n s p r e s e n t e d a b o v e , s p e c i f i c a l l y F i g - u r e s 8 8 , 9 0 , a n d 9 1 , t h e a p p r o p r i a t e c h o i c e o f t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s T p a n d T w a p p e a r t o b e 0 . 1 a n d 0 . 0 5 o f t h e l o n g i t u d i n a l v o r t e x s p a c i n g a t e a c h x s t a t i o n . T h i s c h o i c e o f T p w i l l a l l o w t w o v o r t i c e s t o b e c o n s i d e r e d p a i r e d i f t h e i r c e n t e r s a r e l o c a t e d w i t h i n 1 0 % o f t h e w a v e l e n g t h a t t h e g i v e n p l a n e o f o b s e r v a t i o n . T h e c h o i c e o f T w = 0 . 0 5 L * w i l l c r e a t e a " w i n d o w “ a r o u n d t h e p l a n e o f o b s e r v a t i o n w i t h a w i d t h w h i c h i s 1 0 % o f t h e w a v e l e n g t h a t t h a t l o c a t i o n . T h e f o l l o w i n g c a l c u - l a t i o n s o f S t F , u c , a n d A h a v e b e e n e x e c u t e d w i t h T p = 0 . 1 L / w a n d T w = 0 . 0 5 L / w . T h e r e s u l t s o f c a l c u l a t i o n s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 6 a r e a l s o b a s e d u p o n t h e s a m e v a l u e s o f T p a n d T w ' 5 . 4 . 2 . F 2 i S t F f a h l o u u e l d o . n f t f f s r t i e r r 5 o s e o % n s s p s s e o o v s t n p d 2 g r o b u e f e a o h m e c 8 n t D i s e a i o i S n w u l a i e n i p n H n a r m e F i d a b o g S o f u t u r F t o a a r r p l e a o u n n e a t t o e b s C d i c o i t t l p a r e a t a o c n a t c m . i o g i n s i s s s s p o t i e i T o h n e t x ) o i n h n i v b e 3 e c t h i d S e p c e s r e a e d s b e e t s s t s e t t a t s e t y a s h d t s e , b e a 0 e r u l e c e i t c n o h s . i 8 o n r g f e n o r e a a n m t h h s t S v o e e e e t x . p F * r u s s i o n o f R s l t i l o c a e c l u u t r y m t l o n n n s e d t c j e e n w * t s h t a d e e 5 e F s d t p b e r n e p e o g s s m i n e i i x e e r i r , c a o c i r x a t l i t e y m e b d a d 2 e p v s h a c h a a i t r i , o o x n o f F h i e t a w w t r i h t r o p t h e e r r e a a i d l t l a d e n v p d 9 n h m e r , o g t b t h c d e a i t f i o s n e r d i f s c o m e u t r i r w e n e o n c s d r a t s r e t n h e _ c d e 6 t u s i p i 8 s e a * i e s n n c d w p l i o r a s v T o r a e e h c g r r e e e e x 2 i T t i * c i p n ) e o ’ t o s T n t r ( s e c o f s ( = t u , 7 l 8 s t r d i 2 d r s d s n s i 0 h t o s e t t . a 6 v p f p r e t o l c s o o . t , t t i a b t p u a h a 1 i e r , n u t , m i m i a n h i a r 0 g . l 0 r l i n o e . r o f w h e e s = i u e o i o n . t c v e f o w c e n p t o t e , n s e = t * s 4 a n i t u s h e t e g a f a m t a t t e s g o c r f n m i o c a b r e l n d t o n o o e d t n f s i x , i s i x o t i b / i p s u w n a i t i s S i z r e n 3 n F i . g n o f w i a x a p p a r e n B t t T S e h a a h i t y s n n e n F p o i d d d . n n e d c c t v i a c l a h i m a e o e r n n s g : e , t w 6 E o t v t x i p i * r o o = e p . i 0 v 5 . a i n 4 d u l n t . . . l , e r i 5 t a a . , c , t W i l d t t n d 9 o c _ r f * e , a i n c a s e b . e p u t * l h c a a n t n o t s n l 3 s a i n h e p e e e a x c t r h e e c a o s e f a r e e e * - 5 F - t u h x s e f r i h F k a t T x e h = a f e i u t i g e i e 3 s c u r n g w i a r o n l , e f n v a l t g o d t c o h S a 8 t m a ; v , l h a f g e t 2 o % r a ( t t f i ) c t u e s ; ’ e h o e n . i h d i ' B n e n e s T a y o b u t l * c h n t e e , d o j e t _ _ _ _ E _ _ _ _ 6 t k < U ( t ) > 1 2 1 T h e d i s t r i b u t i o n o f l o n g i t u d i n a l s p a c i n g b e t w e e n v o r t i c e s a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 8 8 , 8 9 , a n d 9 0 . A s s h o w n i n F i g u r e 8 8 , t h e s p a c — i n g L * , b a s e d u p o n S t F a n d 3 * , s h o w s a n o n l i n e a r r i s e w i t h x * . H o w e v e r , t h e a v e r a g e o f L : ( s e e F i g u r e 8 9 ) a n d A * ( s e e F i g u r e 9 0 ) s h o w a n o m i n a l l y l i n e a r i n c r e a s e i n t h e l o n g i t u d i n a l s p a c i n g w i t h x * . T h e l a s t o f t h e s e e s t i m a t e s , A * , i s b a s e d u p o n t h e s t a t i s t i c a l m o d e l , ( s e e S e c t i o n 5 . 3 . 2 . 5 ) a n d i t i s c o n s i d e r e d t o p r e s e n t t h e t r u e b e h a v i o r o f t h e l o n g i t u d i n a l s p a c i n g b e t w e e n t h e v o r t i c e s . A c c o r d i n g t o t h i s d i s - * * t r i b u t i o n , t h e w a v e l e n g t h i n c r e a s e s f r o m 0 . 9 w a t x = 2 t o 1 . 6 w a t x = 5 . A l i n e a r f i t t h r o u g h t h e d a t a y i e l d s * * A = 0 . 3 8 5 + 0 . 2 4 0 x ( 1 5 4 ) w i t h r e s i d u a l e q u a l t o 0 . 0 4 4 a n d t h e c o e f f i c i e n t o f d e t e r m i n a t i o n r = 0 . 9 8 . F i g u r e 9 1 p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r e s i d u a l o f t h e f i t o f * k t h e v a l u e s o f t h e r e s i d u a l . T h i s i s r e l a t e d t o t w o f a c t o r s : ( 1 ) t h e * * S t F t h r o u g h c a n d L k ' B e y o n d x = 2 . 7 5 , t h e r e i s a s h a r p i n c r e a s e i n o c c u r r e n c e o f p a i r i n g a t l a r g e d i s t a n c e s f r o m t h e e x i t p l a n e , a n d ( i i ) d e c r e a s e d n u m b e r o f d a t a p o i n t s . Q U A N T I T A T I V E R E S U L T S U S I N G P R O C E S S E D D I G I T I Z E D D A T A 6 . 1 S y n o p s i s T h e p h o t o g r a p h i c r e c o r d s ( 3 2 - 4 0 i n n u m b e r ) f r o m e a c h e x p e r i m e n - t a l r u n a r e q u i t e r i c h i n i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o t h e s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . T h e q u a l i t a t i v e a s p e c t s o f t h e s t a b i l i t y p h e n o m e n a h a v e b e e n s u m m a r i z e d i n C h a p t e r 4 . T h e d e t a i l s o f c r e a t i n g a d a t a b a s e f r o m t h e s e e x p e r i m e n t s h a v e b e e n d e s c r i b e d i n C h a p t e r 5 w h i c h a l s o o u t l i n e s t h e a l g o r i t h m s f o r f u r t h e r p r o c e s s i n g t h e s e d a t a . A s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 5 , t w o a s p e c t s o f t h e f l o w f i e l d a r e t o b e i n v e s t i g a t e d : i ) t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s , a n d i i ) t h e s t a - b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s . T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o p r e s e n t t h e q u a n t i t a t i v e r e s u l t s e x t r a c t e d f r o m t h e p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e , w h i c h d e s c r i b e t h e s e t w o a s p e c t s o f t h e f l o w f i e l d . T h e s e r e s u l t s h a v e b e e n g r o u p e d o v e r s m a l l r a n g e s o f R e . S e v e n s u c h g r o u p s c o v e r t h e R e r a n g e 2 6 0 s R e 5 3 5 0 0 . F o r v a l u e s o f R e 5 1 0 0 0 , t h e e x p e r i m e n t s i n e a c h g r o u p w e r e c o n d u c t e d w i t h s l i t s o f v a r i o u s s i z e s a n d t w o d i f f e r e n t 1 2 2 1 2 3 w o r k i n g l i q u i d s . A p p e n d i x C p r o v i d e s t h e d e t a i l s o f e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s . T h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s o f t h e v o r t i c e s i n t h e f l o w f i e l d h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d o v e r e a c h r a n g e o f R e b y u s i n g t w o m e a s - u r e s o f t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e v o r t i c e s o f a p a i r . T h e f i r s t o f t h e s e p r o p e r t i e s , t h e l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n t h e t w o v o r t i c e s o f a p a i r , s h o w s t h a t t h e a v e r a g e v a l u e o f t h i s q u a n t i t y n o m i n a l l y r e m a i n s c o n s t a n t w i t h i n c r e a s i n g x f o r R e < 7 0 0 , h o w e v e r , f o r h i g h e r v a l u e s o f R e , t h e a v e r a g e s p a c i n g i n c r e a s e s w i t h x . T h e r m s v a l u e o f t h e l a t e r a l s p a c i n g s h o w s a s i m i l a r t r e n d . T h e s e c o n d o f t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s , t h e d i f f e r e n c e i n t h e a x i a l p o s i t i o n s o f t h e t w o v o r t i c e s o f a p a i r , s h o w s t h a t t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e d i f f e r e n c e , f o r R e < 7 0 0 , n o m i n a l l y r e m a i n s z e r o o v e r t h e r a n g e x / w = 6 . A t t h e h i g h e r v a l u e s o f R e s o m e x d e p e n d e n c e h a s b e e n o b s e r v e d f o r x / w > 3 . T h e t h r e e i n t e r r e l a t e d i n s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s S t F , u : a n d A * o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d h a v e a l s o b e e n c o m p u t e d o v e r s m a l l r a n g e s o f R e . W h e r e a s , t h e s t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f u : s h o w s a g o o d c o l - l a p s e o f t h e d a t a o v e r e a c h r a n g e o f R e , t h e d i s t r i b u t i o n s o f S t F a n d A * e x h i b i t c o n s i d e r a b l e s c a t t e r . E i t h e r t h e r e i s s o m e u n k n o w n p a r a m e - t e r w h i c h i s r e s p o n s i b l e f o r t h i s s c a t t e r o r a s d e s c r i b e d b y F K , " t h e p h y s i c a l p r o c e s s t h a t c o n t r o l s t h e s p a c i n g o f t h e v o r t e x m o t i o n s i s n o t r i g i d l y d e t e r m i n e d b y t h e k i n e m a t i c s c a l e s U 0 a n d w , a l t h o u g h t h i s 1 2 4 s p a c i n g i s w e l l - d e f i n e d f o r a g i v e n e x p e r i m e n t , a s s h o w n b y f i g u r e 4 " ( o f t h e i r p a p e r ) . T h i s c h a p t e r h a s b e e n d i v i d e d i n t o t h r e e a d d i t i o n a l s e c t i o n s : S e c t i o n 6 . 2 p r e s e n t s t h e d e t a i l s o f t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s o f t h e f l o w f i e l d , S e c t i o n 6 . 3 d e a l s w i t h t h e i n s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s - t i c s , a n d S e c t i o n 6 . 4 p r e s e n t s t h e c o n c l u s i o n s . 6 . 2 G e o m e t r i c / K i n e m a t i c P r o p e r t i e s o f t h e J e t F l o w F i e l d s T h r e e q u a n t i t i e s h a v e b e e n e v a l u a t e d f r o m t h e p h o t o g r a p h i c d a t a - b a s e t o d e s c r i b e t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e j e t f l o w f i e l d s . T h e s e q u a n t i t i e s a r e b a s e d u p o n t h e i d e n t i f i c a t i o n o f a d i s t i n c t i v e p a i r o f f e a t u r e s i n t h e d y e s t r e a k s t h a t m a r k t h e t w o s i d e s o f t h e j e t . T h e f o l l o w i n g i t e m s ( 1 - i i i ) i d e n t i f y t h e s p e c i f i c d a t a p r o c e s s i n g t h a t w a s b a s e d u p o n t h e d i g i t i z e d r e c o r d s o f t h e s e f e a t u r e s : i ) s p a c e ( x ) - t i m e p l o t s w h e r e x i s t h e a v e r a g e s t r e a m w i s e p o s i t i o n o f t h e c e n t e r o f t h e s y m m e t r i c f e a t u r e s , i i ) t h e l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n t h e c e n t e r s o f t h e v o r t i c e s o f a g i v e n p a i r , a n d i i i ) t h e d i f f e r e n c e i n t h e a x i a l l o c a t i o n s b e t w e e n t h e c e n t e r s o f t h e v o r t i c e s o f a g i v e n p a i r . 1 2 5 * * 6 . 2 . 1 S p a c e - T i m e ( x , t ) P l o t s o f V o r t i c e s F i g u r e s 9 3 t h r o u g h 9 7 a r e r e p r e s e n t a t i v e s p a c e - t i m e p l o t s o f v o r t i c e s a t f i v e d i f f e r e n t v a l u e s o f R e o v e r t h e r a n g e 2 6 0 - 3 5 0 0 . T h e b a l a n c e o f t h e s p a c e - t i m e d a t a p l o t s a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x C i n - c l u d i n g a t a b u l a r d e s c r i p t i o n o f t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e e x — p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d . T h e s p a c e - t i m e p l o t s p r e s e n t t h e g e n e r a l b e h a v i o r o f t h e v o r t e x p a i r s . O b s e r a v t i o n s m a d e f r o m t h e p l o t s a r e : i ) T h e n o n d i m e n s i o n a l d i s t a n c e d o w n s t r e a m o f t h e e x i t p l a n e a n d t h e t i m e s a t w h i c h s y m m e t r i c m o t i o n s f i r s t a p p e a r o n t h e j e t b o u n d a r y c a n b e o b s e r v e d . I n s o m e c a s e s t h e r e a p p e a r s t o b e c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n i n t h e d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e a t w h i c h t h e d i s t i n c t i v e f e a t u r e s ( i . e . , t h e b u l g e s ) f i r s t a p p e a r ; s e e F i g u r e 9 5 a n d F i g u r e 9 7 . I n o t h e r c a s e s , t h e r e i s l i t t l e v a r i a t i o n a n d m o s t b u l g e s f o r m w i t h i n x / w = 1 . S e e F i g u r e s F i g u r e 9 3 , F i g u r e 9 4 a n d F i g u r e 9 6 . i i ) I n t e r a c t i o n s a m o n g t h e s y m m e t r i c a l l y p l a c e d m o t i o n s c a n b e o b s e r v e d . I n t h e c a s e o f p a i r i n g s b e t w e e n t w o v o r t e x p a i r s , t h e u p s t r e a m p a i r a c c e l e r a t e s a n d o v e r t a k e s t h e d o w n s t r e a m p a i r . I n s o m e c a s e s , h o w e v e r , t h e u p s t r e a m p a i r p a s s e s b y t h e d o w n s t r e a m w i t h o u t p a i r i n g o n t h e f i r s t i n t e r a c t i o n . I n t h e s e c a s e s , t h e p a i r i n g e v e n t i s s u b s e q u e n t l y o b s e r v e d . T h i s i s s h o w n b y t h e c r o s s i n g o f t r a j e c t o r i e s o f t h e i n t e r - 1 2 6 a c t i n g v o r t i c e s i n t h e s p a c e - t i m e p l o t a s s h o w n i n F i g u r e 9 4 a n d F i g u r e 9 5 . i i i ) F i g u r e 9 7 a t R e = 3 4 0 1 , e x h i b i t s f i v e s e q u e n t i a l p a i r i n g s * b e t w e e n v o r t e x p a i r s a t t = 1 5 . F i g u r e 7 3 a n d F i g u r e 7 4 p r e s e n t t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n p i c t u r e s o f t h e e v e n t . i v ) T h e s p a c e - t i m e p l o t s s h o w t h a t t h e c o n v e c t i o n s p e e d o f m o s t o f t h e v o r t i c e s i n c r e a s e w i t h t h e d o w n s t r e a m d i s t a n c e . 6 . 2 . 2 L a t e r a l S p a c i n g B e t w e e n V o r t i c e s o f I n d i v i d u a l P a i r s P l o t s o f l a t e r a l s p a c i n g , d k / w , o f t h e k t h v o r t e x p a i r a s a f u n c - t i o n o f i t s s t r e a m w i s e l o c a t i o n , x k / w , h a v e b e e n p r e p a r e d b y u s i n g t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 1 . 2 . F i g u r e s 9 8 t h r o u g h 1 0 4 p r e s e n t t h e p l o t s o f l a t e r a l s p a c i n g f o r v a r i o u s r a n g e s o f R e . T h e a v e r a g e a n d t h e r m s v a l u e s o f t h e l a t e r a l s p a c i n g s a t s e l e c t i v e x * h a v e a l s o b e e n p l o t t e d i n t h e s e f i g u r e s . T h e s e s t a t i s t i c s w e r e c o l - l e c e t e d i n " w i n d o w s " w h i c h w e r e d e f i n e d a r o u n d e a c h o f t h e s e l o c a t i o n s * w i t h a w i d t h w h i c h w a s 1 0 % o f t h e r e s p e c t i v e x l o c a t i o n . T h e s c a t t e r i n t h e p l o t s o f l a t e r a l s p a c i n g , f o r R e > 3 0 0 a n d x * > 3 , i s c a u s e d b y t h e m o t i o n o f t h e v o r t i c e s o f a p a i r t o w a r d s e a c h o t h e r o r a w a y f r o m o n e a n o t h e r . T h i s h a p p e n s e s p e c i a l l y w h e n t h e t w o v o r t i c e s a r e a b o u t t o u n d e r g o p a i r i n g a s s h o w n i n F i g u r e 7 0 . I n t h i s f i g u r e , a s t h e v o r t e x p a i r n u m b e r 1 4 a p p r o a c h e s t h e p a i r n u m b e r 1 3 , t h e t w o v o r t i c e s o f t h e f o r m e r p a i r m o v e c l o s e r t o o n e a n o t h e r a n d 1 2 7 t h a t o f t h e l a t t e r m o v e a w a y . H o w e v e r , i n g e n e r a l , t h e a v e r a g e s p a c - i n g b e t w e e n t h e v o r t i c e s i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e . T h e r m s o f t h e s p a c i n g a l s o i n c r e a s e s w i t h t h e d o w n s t r e a m d i s t a n c e . F r o m t h e p l o t s p r e s e n t e d i n F i g u r e s 9 8 t h r o u g h 1 0 4 i t i s n o t c l e a r w h e t h e r t h e l a t e r a l s p a c i n g , d * ( x * , R e ) , o f a g i v e n v o r t e x p a i r o v e r 0 . 5 s x / w < 6 e x h i b i t s s m a l l o r l a r g e v a r i a t i o n s a b o u t i t s m e a n v a l u e o f s p a c i n g . I n o r d e r t o a s s e s s t h i s v a r i a t i o n , t h e m e a s u r e d d : ( x / w ) v a l u e s o f o f t h e k t h v o r t e x p a i r w e r e f i t b y a s e c o n d o r d e r p o y n o m i a l u s i n g t h e o r d i n a r y l e a s t s q u a r e s t e c h n i q u e . T h e s e v a l u e s a r e d e s i g n a t e d b y d : . T h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e r e s i d u a l s b e t w e e n t h e m e a s u r e d ( d : ) a n d t h e f i t t e d ( d : ) v a l u e s w a s d e t e r m i n e d a t e a c h o f t h e x * l o c a t i o n s w h e r e t h e m e a n a n d t h e r m s o f l a t e r a l s p a c i n g w e r e c o m p u t e d ( F i g u r e s 9 8 t h r o u g h 1 0 4 ) . F i g u r e s 1 0 5 t h r o u g h 1 1 1 p r e s e n t a t e a c h o f t h e x * l o c a t i o n s t h e r a t i o o f t h e r e s i d u a l o f t h e f i t t e d d a t a a n d t h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n . T h e s e p l o t s a l s o i n c l u d e t h e v a l u e s o f r m s o f t h e l a t e r a l s p a c i n g a t t h e s e l o c a t i o n s . F r o m t h e p l o t s , f o r R e > 3 0 0 , i t i s o b s e r v e d t h a t i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t s ( x / w S 2 ) t h e r e s i d u a l o f t h e f i t s i s o f t h e s a m e o r d e r o f m a g n i t u d e a s t h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n i n t h e v i c i n i t y o f t h e r e s p e c t i v e x / w l o c a t i o n s . H o w e v e r , f o r x / w > 2 , t h e r e s i d u a l o f t h e f i t s i s a b o u t 6 0 % o f t h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n a n d i n s o m e c a s e s t h e r a t i o k e e p s d e c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g x / w . T h i s i n d i c a t e s t h a t b e y o n d x / w > 2 , d : ( x / w ) e x h i b i t s s m a l l v a r i a t i o n s a b o u t t h e i r r e s p e c t i v e m e a n v a l u e s . I n o t h e r w o r d s , 1 2 8 t h e v o r t e x p a i r s n o m i n a l l y m a i n t a i n t h e i r l a t e r a l s p a c i n g a s t h e y c o n v e c t d o w n s t r e a m . 6 . 2 . 3 D i f f e r e n c e i n A x i a l L o c a t i o n s o f t h e V o r t i c e s o f a P a i r T h e v o r t e x s t r e e t o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d h a s b e e n o b s e r v e d t o b e s y m m e t r i c i . e . , t h e t w o v o r t i c e s o f a p a i r , a t a g i v e n t i m e , a r e n o m i n a l l y a t t h e s a m e d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t . T h e p h o t o g r a p h i c r e c o r d s o f t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 4 s h o w t h a t t h e g r o w t h , t r a n s l a t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l v o r t e x m o t i o n s a r e n o t a l w a y s s y m m e t r i c i n n a t u r e . T h e e s t i m a t e o f t h e p r e s e n c e o f a s y m m e t r y , a k / w , i n t h e k t h v o r t e x p a i r h a s b e e n c o m p u t e d b y u s i n g t h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 1 . 3 a n d t h e p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e . T h e r e s u l t s a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 1 2 t h r o u g h 1 1 8 f o r e a c h o f s e v e n R e r a n g e s . T h e m e a n s a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e p o p u l a t i o n s h o w n i n F i g u r e s 1 1 2 t h r o u g h 1 1 8 , a t s e l e c t i v e x * l o c a t i o n s h a v e b e e n c o m p u t e d a s d e s c r i b e d i n S e c - t i o n 6 . 2 . 2 . T h e p l o t s s h o w t h a t f o r R e 5 7 0 0 , t h e a v e r a g e v a l u e o f a : n o m i n a l l y r e m a i n s z e r o . A t h i g h e r v a l u e s o f R e s o m e a s y m m e t r y i s o b - s e r v e d f o r x / w > 3 ; s e e F i g u r e s 1 1 5 a n d 1 1 7 . F i g u r e 1 1 6 s h o w s a n u n - u s u a l l y l a r g e v a l u e o f a : o f 0 . 0 5 o v e r t h e e n t i r e r a n g e 0 . 5 s x / w < 6 . H o w e v e r , a t t h e l a r g e s t R e v a l u e s ( = 3 0 0 0 ) a s s h o w n i n F i g u r e 1 1 8 , t h e a v e r a g e v a l u e o f a : r e m a i n s z e r o o v e r t h e o b s e r v e d x d o m a i n . T h e r m s v a l u e o f a : r e m a i n s s m a l l i n t h e n e a r - f i e l d a n d t h e n i n c r e a s e s a s x / w o * o o . i n c r e a s e s . I n g e n e r a l , t h e r m s v a l u e o f a k r e m a i n s W i t h i n 0 . 2 5 . 1 2 9 T h e d i f f e r e n c e i n t h e a x i a l l o c a t i o n s o f a g i v e n v o r t e x p a i r , a s a f u n c t i o n o f x * , w e r e a l s o f i t b y a s e c o n d o r d e r p o l y n o m i a l t o c o m - p a r e t h e r e s i d u a l o f t h e f i t w i t h t h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n a t e a c h o f t h e s e l e c t i v e x * l o c a t i o n s . T h e r e s u l t s a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 1 9 t h r o u g h 1 2 5 f o r v a r i o u s r a n g e s o f R e . E x c e p t f o r t h e c a s e o v e r t h e R e r a n g e 1 2 5 7 - 1 2 7 2 ( F i g u r e 1 2 3 ) , i t i s o b s e r v e d t h a t f o r x / w > 3 , t h e r e s i d u a l , o f t h e f i t d e c r e a s e s t o a p p r o x i m a t e l y 5 0 % o f t h e r m s o f t h e p o p u l a t i o n . T h i s i n d i c a t e s t h a t f o r x / w > 3 , t h e d i f f e r e n c e s i n t h e a x i a l s p a c i n g s e x h i b i t r e l a t i v e l y s m a l l v a r i a t i o n s a b o u t t h e i r m e a n v a l u e s . F r o m t h e g e o m e t r i c / k i n e m a t i c p r o p e r t i e s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d s i t i s c o n c l u d e d t h a t : i ) T h e a v e r a g e l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n t h e v o r t i c e s o f a p a i r , o v e r a g i v e n s m a l l r a n g e o f R e , i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g d o w n s t r e a m d i s t a n c e . A l s o , a t a g i v e n x / w l o c a t i o n , t h e a v e r a g e s p a c i n g i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g R e v a l u e . i i ) T h e j e t w i t h h i g h e r v a l u e s o f R e e x h i b i t s s o m e a s y m m e t r y i n t h e l o c a t i o n o f t h e t w o v o r t i c e s o f a p a i r f o r x / w > 2 . 5 . i i i ) T h e l a r g e s c a t t e r i n t h e p l o t s o f l a t e r a l s p a c i n g ( F i g u r e s 9 9 t h r o u g h 1 0 4 ) a n d t h e a s y m m e t r y ( F i g u r e s 1 1 2 t h r o u g h 1 1 8 ) i s n o t c a u s e d b y a l a r g e s c a t t e r i n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s e q u a n t i t i e s a b o u t t h e i r m e a n v a l u e s ; b u t , r a t h e r b y a p 1 3 0 l a r g e s c a t t e r i n t h e d i s t r i b u t i o n o f m e a n v a l u e s o f e a c h v o r t e x p a i r . 6 . 3 S t a b i l i t y C h a r a c t e r i s t i c s o f t h e S l i t - J e t F l o w f i e l d T h e t h r e e i n t e r r e l a t e d s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s : S t r o u h a l n u m b e r ( S t F ) , t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y ( u : ) a n d t h e w a v e l e n g t h ( A * ) , h a v e b e e n c o m p u t e d f r o m t h e p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e b y u s i n g t h e a l - g o r i t h m s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 2 . R e s u l t s h a v e b e e n c o m p i l e d o v e r s m a l l r a n g e s o f R e f o r j e t s o f a l l s i z e s . A c o m p a r i s o n o f t h e e s t i - m a t e s o f S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n d a t a ( S t F ) a n d t h e m e a s u r e d L D A v e l o c i t y d a t a ( S t V ) w i l l b e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 7 . * 6 . 3 . 1 D i s t r i b u t i o n o f S t r o u h a l N o . S t F ( x ) F i g u r e s 1 2 6 t h r o u g h 1 3 3 p r e s e n t t h e d i s t r i b u t i o n o f S t r o u h a l n u m b e r i n e i g h t d i f f e r e n t r a n g e s o f R e . F i g u r e s 1 2 6 , 1 2 7 , 1 2 9 a n d 1 3 0 S h o w r e s u l t s f r o m j e t s o f v a r i o u s w i d t h s . A n o b s e r v a t i o n o f t h e s e p l o t s s h o w s t h a t t h e r e i s c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n i n S t F v a l u e s f o r j e t s o f v a r i o u s s i z e s . F o r e x a m p l e i n F i g u r e 1 2 6 t h e s m a l l e s t v a l u e o f S t F = 0 . 3 9 f o r w = 1 . 5 1 c m , a n d , t h e l a r g e s t v a l u e o f S t = 1 f o r w F = 2 . 6 3 c m . A s i m i l a r t r e n d i s o b s e r v e d i n o t h e r p l o t s a s w e l l . F i g - * u r e s 1 2 8 , 1 3 1 , 1 3 2 a n d 1 3 3 p r e s e n t S t F ( x ) r e s u l t s f r o m o n e s i z e j e t o n l y . T h e p l o t s s h o w c o n s i d e r a b l y l e s s v a r i a t i o n i n S t a n d i n d i c a t e F t h e r e p r o d u c i b i l i t y o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . 1 3 1 S e v e r a l r e a s o n s a r e p o s s i b l e f o r t h e o b s e r v e d v a r i a t i o n o f * S t F ( x ) . T h e p o s s i b i l i t i e s i n c l u d e : i ) p r e s e n c e o f g e o m e t r y d e p e n d e n t e f f e c t s , l i k e t h e i n f l u e n c e o f f i n i t e a s p e c t r a t i o B / w , f i n i t e n o n d i m e n s i o n a l w i d t h H / w o f t h e c h a n n e l - l i k e p l e n u m , f i n i t e n o n d i m e n s i o n a l h e i g h t h / w o f t h e n o z z l e p l a t e a b o v e t h e f l o o r , a n d t h e n o n d i m e n s i o n a l t h i c k n e s s t N / w o f t h e n o z z l e p l a t e s ; i i ) p r e s e n c e o f a s o u r c e o f d i s t u r b a n c e , l i k e t h e f r e q u e n c y o f t h e s t e p p e r m o t o r w h i c h w a s u s e d t o d r i v e t h e b l e e d v a l v e ; i i i ) p r e s e n c e o f d i s t u r b a n c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e f i l l i n g p r o c e s s ; i v ) v i b r a t i o n o f t h e n o z z l e h o u s i n g ( N H ) a t i t s n a t u r a l f r e - q u e n c y . * 6 . 3 . 1 . 1 E x a m i n a t i o n o f t h e P o s s i b l e S o u r c e s o f v a r i a t i o n i n S t F ( x ) I n t h i s s e c t i o n t h e p o s s i b i l i t y o f t h e e x i s t e n c e o f e a c h o f t h e a b o v e m e n t i o n e d s o u r c e s o f d i s t u r b a n c e w i l l b e e x a m i n e d . i ) V a r i a t i o n s i n t h e f o u r g e o m e t r i c a l p a r a m e t e r s , B / w , H / w , h / w , a n d t N / w w e r e p r o d u c e d a s a r e s u l t o f v a r i a t i o n s i n w . N o a t t e m p t s w e r e m a d e t o c h a n g e t h e p a r a m e t e r s i n d e p e n d e n t l y . G i v e n t h i s c o n d i — t i o n , o n l y t h e i n f l u e n c e o f B / w o n S t F w i l l b e a n a l y z e d . F i g u r e 1 3 4 p r e s e n t s t h e v a r i a t i o n o f S t F a s a f u n c t i o n o f R e w i t h B / w a s a 1 3 2 p a r a m e t e r . T h e v a l u e s o f S t F p r e s e n t e d h e r e r e l a t e t o t h e r a t e o f f o r m a t i o n o f b u l g e s . T h i s i n f o r m a t i o n i s c o n s i d e r e d t o b e o f p r i m a r y i n t e r e s t g i v e n t h e f o c u s o f t h i s s t u d y , i . e . , t o i n v e s t i g a t e t h e i n - s t a b i l i t y p h e n o m e n a i n t h e s l i t — j e t f l o w f i e l d . A g a i n , a s n o t e d b e - f o r e , f o r s i m i l a r v a l u e s o f R e l a r g e s c a t t e r i s o b s e r v e d n o t o n l y f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f B / w , b u t , a l s o f o r t h e s a m e _ v a l u e s o f B / w ; n o s y s t e m a t i c v a r i a t i o n w i t h B / w i s , h o w e v e r , d i s c e r n e d . I n a d d i t i o n , t h e p l o t s o f l a t e r a l s p a c i n g b e t w e e n t h e t w o v o r t i c e s o f a g i v e n p a i r ( F i g u r e s 9 8 t h r o u g h 1 0 4 ) d o n o t i n d i c a t e t h e p r e s e n c e o f g e o m e t r y d e p e n d e n t e f f e c t s . N o t e t h a t t h e r a n g e s o f B / w a n d H / w i n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n a r e c o n s i d e r a b l y l a r g e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g r a n g e s o f t h e p a r a m e t e r s i n t h e B W e x p e r i m e n t s . S a t o ( 1 9 6 0 ) s h o w e d t h a t t h e S t r o u h a l n u m b e r b a s e d u p o n t h e e x i t m o m e n t u m t h i c k n e s s a n d t h e m a x i m u m j e t e x i t v e l o c i t y w a s n o m i n a l l y i n - d e p e n d e n t o f R e g . H o w e v e r , t h e u s e o f 9 0 a n d U 0 t o n o n d i m e n s i o n a l i z e t h e f r e q u e n c y o f f o r m a t i o n o f b u l g e s i n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n d i d n o t r e d u c e t h e a m o u n t o f s c a t t e r . F i g u r e 1 3 5 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f S t 6 = f F € O / U O a s a f u n c t i o n o f R e . ( N o t e t h a t 0 0 w a s e s t i m a t e d b y u s i n g t h e T h w a i t e s m e t h o d a s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 2 . ) A g a i n , n o s y s - t e m a t i c i n f l u e n c e o f B / w i s a p p a r e n t . F i g u r e s 1 3 6 a n d 1 3 7 p r e s e n t t h e p l o t s o f S t F a t t w o x / w l o c a t i o n s a s a f u n c t i o n o f R e w i t h B / w a s a p a r a m e t e r . T h e s e p l o t s s h o w a c o n - s i d e r a b l e d e c r e a s e i n t h e v a r i a t i o n i n S t F v a l u e s a s c o m p a r e d t o t h e d i s t r i b u t i o n s h o w n i n F i g u r e 1 3 4 . F i g u r e 1 3 8 p r e s e n t s t h e 1 3 3 d i s t r i b u t i o n o f S t F a s a f u n c t i o n o f R e w i t h B / w a s a p a r a m e t e r a s r e p o r t e d b y B W . E v e n t h o u g h t h e s c a t t e r i n F i g u r e 1 3 8 i s q u i t e s m a l l , i t i s n o t c l e a r w h e t h e r o r n o t t h i s p l o t c a n b e c o m p a r e d w i t h F i g u r e s 1 3 6 a n d 1 3 7 o f t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n . T h e i r m e t h o d o f a c q u i r i n g t h e d a t a ( p a s s a g e f r e q u e n c y o f v o r t i c e s a n d v e l o c i t y o f j e t ) w a s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e m e t h o d u s e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . B W r e p o r t e d t h a t t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f v o r t e x m o t i o n s w a s d e t e r m i n e d b y c o u n t - i n g t h e v o r t i c e s a t s o m e l o c a t i o n d o w n s t r e a m o f t h e e x i t o f t h e j e t . I t i s n o t c l e a r w h e t h e r o n e s i n g l e x / w l o c a t i o n w a s u s e d f o r c o u n t i n g o r d i f f e r e n t x / w l o c a t i o n s w e r e u s e d f o r d i f f e r e n t s i z e j e t s . I t i s i n f e r r e d f r o m t h e t e x t t h a t t h e l a t t e r w a s t r u e . F u r t h e r , i t i s a l s o i n f e r r e d t h a t o n l y t h o s e m o t i o n s w e r e c o u n t e d w h i c h h a d , i n t h e p r e s e n t n o m e n c l a t u r e " r o l l e d u p " . T h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n r e v e a l s t h a t n o t a l l t h e b u l g e s d e v e l o p i n t o f u l l y f o r m e d v o r t e x p a i r s . I n o t h e r w o r d s , t h e c o u n t i n g b a s e d u p o n b u l g e s w i l l r e s u l t i n a h i g h e r f r e q u e n c y t h a n t h e c o u n t i n g b a s e d u p o n t h e " r o l l e d u p " m o t i o n s . i i ) T h e s t e p p e r m o t o r i s n o t c o n s i d e r e d a s a p o s s i b l e s o u r c e o f d i s t u r b a n c e b e c a u s e t h e s p e e d o f t h e m o t o r v a r i e d c o n s i d e r a b l y f r o m t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t t o t h e e n d . F o r e x a m p l e , a t R e = 1 0 0 0 , f o r w = 2 5 7 c m a n d w a t e r a s t h e w o r k i n g f l u i d , t h e s p e e d o f t h e m o t o r a t t h e s t a r t o f t h e e x p e r i m e n t w a s = 0 . 0 2 r e v / s e c a n d a t t h e t i m e t h e d a t a w e r e a c q u i r e d t h e s t e p p e r m o t o r r a n a t 0 . 0 5 r e v / s e c . B y t h e e n d o f r u n ( l o n g a f t e r t h e d a t a w e r e a c q u i r e d ) t h e s p e e d i n c r e a s e d t o o v e r 2 r e v / s e c . i i i ) R e g a r d i n g t h e d i s t u r b a n c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e f i l l i n g p r o - c e s s i t w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 7 , b a s e d u p o n a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s 1 3 4 u s i n g l a s e r D o p p l e r a n e m o m e t r y , t h a t n o i n f l u e n c e o f t h e f i l l i n g p r o — c e s s e x i s t s i n t h r e e d i f f e r e n t m e a s u r e s o f t h e f l o w f i e l d . i v ) N o t e s t s w e r e c o n d u c t e d t o c h e c k t h e r e s o n a n c e o f t h e N H a t i t s n a t u r a l f r e q u e n c y . 6 . 3 . 1 . 2 C o n c l u s i o n B a s e d u p o n t h e d i s c u s s i o n o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e f o l l o w i n g p o s s i b i l i t i e s c o u l d e x i s t : i i ) i i i ) T h e N H m a y h a v e v i b r a t e d a t i t s n a t u r a l f r e q u e n c y w i t h t h e l i q u i d i n t h e s y s t e m r e s p o n d i n g t o t h e v i b r a t i o n . T h i s m a y h a v e r e s u l t e d i n a m o d i f i c a t i o n o f t h e g r o w t h p r o c e s s o f t h e m o s t u n s t a b l e d i s t u r b a n c e . T h e p r o c e s s o f f o r m a t i o n a n d g r o w t h p r o c e s s o f v o r t e x m o - t i o n s i s n o t a w e l l r e g u l a t e d p r o c e s s ( s e e t h e c o m m e n t s b y P R r e g a r d i n g t h e v a r i a t i o n s i n t h e r e s u l t s f r o m o n e r u n t o t h e o t h e r ) , s p e c i f i c a l l y a t l o w v a l u e s o f R e ( 5 1 0 0 0 ) . T h e r e e x i s t s a n u n k n o w n p a r a m e t e r w h i c h i n f l u e n c e s t h e i n - s t a b i l i t y p r o c e s s . R e g a r d i n g t h e i n f l u e n c e o f R e , i t i s o b s e r v e d t h a t f o r v a l u e s o f R e > 1 0 0 0 , t h e v a l u e s o f S t F 1 3 4 ) i n d e p e n d e n c e o n R e . r e l a t e d t o t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s ( F i g u r e t h e j e t w i t h B / w = 1 0 . 7 , s h o w c o n s i d e r a b l e s c a t t e r b u t l i t t l e T h e m e a n a n d t h e r m s v a l u e s o f S t F a r e f o u n d t o b e 1 3 5 1 . 6 4 a n d 0 . 2 2 , r e s p e c t i v e l y . A t x / w = 2 . 2 ( F i g u r e 1 3 6 ) t h e m e a n v a l u e o f S t F r e d u c e s t o 0 . 9 8 w i t h r m s e q u a l t o 0 . 1 8 . T h e s e v a l u e s w i l l b e c o m p a r e d i n C h a p t e r 7 w i t h t h e v a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r S t V d e t e r - m i n e d f r o m t h e m e a s u r e d v e l o c i t y d a t a i n t h e j e t s w i t h B / w = 1 0 . 7 a n d 2 1 . 7 . * 6 . 3 . 2 C o n v e c t i o n V e l o c i t i e s u C o f t h e V o r t e x M o t i o n s T h e n o n d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o n v e l o c i t y , u c ( x / w ) / < U > , o f t h e v o r t i c e s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d h a v e b e e n c o m p u t e d f r o m t h e p h o t o - g r a p h i c d a t a b a s e u s i n g t h e a l g o r i t h m s p r e s e n t e d i n S e c t i o n s 5 . 3 . 2 . 2 a n d 5 . 3 . 2 . 5 . F i g u r e s 1 3 9 t h r o u g h 1 4 6 p r e s e n t t h e s t r e a m w i s e v a r i a t i o n o f u : . T h e s e d a t a a r e o r g a n i s e d i n t h e s a m e R e y n o l d s n u m b e r g r o u p i n g s a s w e r e u s e d t o p r e s e n t t h e s t r e a m w i s e v a r i a t i o n o f S t F . C o m p a r e d w i t h t h e s t r o n g d e p e n d e n c e o f S t F ( x * ) o n t h e w i d t h o f t h e j e t , t h e u : ( x * ) d a t a e x h i b i t n e g l i g i b l e d e p e n d e n c e o n w . A l t h o u g h t h e s c a t t e r i n t h e d a t a i s s u f f i c i e n t l y l a r g e t h a t a d e f i n i t i v e i n t e r p r e t a t i o n * * c a n n o t b e i n f e r r e d , i t a p p e a r s t h a t u c ( x ) e x h i b i t s a w e a k d e p e n d e n c e o n R e y n o l d s n u m b e r . T h e p l o t s o f d i s t r i b u t i o n o f u : ( x * ) s h o w t h a t t h e v o r t e x m o t i o n s i n t h e f o r m o f b u l g e s b e g i n t o c o n v e C t w i t h s p e e d s o f t h e o r d e r o f 0 . 6 < U > a n d a c c e l e r a t e b e f o r e a c h i e v i n g a c o n s t a n t s p e e d . T h e m a g n i - t u d e o f t h e a c c e l e r a t i o n a p p e a r s t o d e p e n d u p o n t h e R e v a l u e a n d t h e d i s t a n c e o f t h e v o r t i c e s f r o m t h e e x i t p l a n e . T h e c o n v e c t i o n s p e e d t e n d s t o l e v e l o f f a r o u n d x / w = 3 . T h e s c a t t e r i n t h e d a t a a t l a r g e r 1 3 6 x l o c a t i o n s ( > 3 w ) p r e v e n t s a d e f i n i t i v e c o n c l u s i o n t o b e d r a w n ; h o w e v e r , i n s o m e c a s e s t h e v o r t i c e s e x h i b i t a d e c e l e r a t i n g t r e n d . F K r e p o r t e d u c / U 0 = 0 . 5 1 i n t h e R e r a n g e 8 4 7 - 1 1 6 8 a n d w = 1 . 6 c m . T h i s r e s u l t w a s c o m p u t e d f r o m t h e m e a s u r e m a n t s o v e r 1 S x / w S 2 . U s - i n g C D = 0 . 7 0 5 ( t h i s e s t i m a t e i s b a s e d u p o n t h e r e s u l t s o f t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n ) , t h e i r r e s u l t b e c o m e s u c / < U > = 0 . 7 2 w h i c h i s s l i g h t l y l a r g e r t h a n t h e v a l u e o f u : i n t h e p r e s e n t c a s e a t x / w - 1 . 5 , a n d i n t h e s a m e r a n g e o f R e ; s e e F i g u r e 1 4 3 . * 6 . 3 . 3 D i s t r i b u t i o n o f W a v e l e n g t h A * ( x ) T h e a l g o r i t h m s o f S e c t i o n s 5 . 3 . 2 . 4 a n d 5 . 3 . 2 . 5 h a v e b e e n u s e d t o p r o c e s s t h e p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e t o c o m p u t e t h e n o n d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h A ( x * ) / w . T h e r e s u l t s o f t h e s e c a l c u l a t i o n s a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 4 7 t h r o u g h 1 5 4 . E a c h p l o t c o v e r s t h e s a m e R e r a n g e a s w a s u s e d f o r t h e S t F ( x * ) p l o t s p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 2 6 t h r o u g h 1 3 3 . T h e s e p l o t s , l i k e t h e S t F ( x * ) p l o t s , e x h i b i t c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n s , e s p e c i a l l y f o r R e v a l u e s u p t o 7 0 0 . A t v a l u e s o f R e > 9 0 0 , t h i s v a r i a t i o n i s d e c r e a s e d . S i m i l a r t r e n d i s a l s o e v i d e n t i n t h e p h o t o - g r a p h i c r e c o r d s o f B W . A c o m m o n f e a t u r e o f t h e d i s t r i b u t i o n o f A * ( x * ) o v e r t h e e n t i r e r a n g e i s t h e o b s e r v a t i o n t h a t A * i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e . H O W e v e r , f o r R e y n o l d s n u m b e r 5 7 0 0 a c o n s i s t e n t t r e n d c a n n o t b e e s t a b l i s h e d ; s e e F i g u r e s 1 4 7 t h r o u g h 1 5 4 . B u t , a t * * . . . . v a l u e s o f R e > 9 0 0 , t h e A ( x ) d i s t r i b u t i o n e x h i b i t s a l i n e a r i n c r e a s e 1 3 7 * * w i t h x / w ; s e e F i g u r e s 1 5 1 t h r o u g h 1 5 4 . E v e n t h o u g h , t h e A ( x ) d a t a a t l o w R e v a l u e s d o n o t e x h i b i t a l i n e a r r i s e , a l i n e a r m o d e l : A A = A x * + B ( 1 5 5 ) w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e s l o p e , A , a n d t h e i n t e r c e p t , B , o f A * ( x * ) d i s t r i b u t i o n f o r e a c h o f t h e e x p e r i m e n t a l r u n . T h e o r d i n a r y l e a s t s q u a r e t e c h n i q u e w a s u s e d t o p e r f o r m t h e r e g r e s s i o n . F i g u r e 1 5 5 p r e s e n t s t h e s l o p e , A , o f t h e l i n e a r f i t f o r e a c h c a s e a s a f u n c t i o n o f R e . T h e s a m e s y m b o l s h a v e b e e n u s e d o v e r s m a l l r a n g e s o f R e . S i m i l a r l y , F i g u r e 1 5 6 p r e s e n t s t h e i n t e r c e p t , B , o f t h e l i n e a r r e g r e s - s i o n f o r e a c h d a t a s e t . T h e f i g u r e s s h o w a s y s t e m a t i c v a r i a t i o n i n t h e s l o p e s a n d t h e i n t e r c e p t s o f A w i t h i n c r e a s i n g v a l u e s o f R e . T h e s l o p e f i r s t i n c r e a s e s w i t h R e a n d a p p r o a c h e s a p l a t e a u a r o u n d R e = 1 5 0 0 . T h e i n t e r c e p t e x h i b i t s a g r a d u a l d e c r e a s e i n v a l u e w i t h i n - c r e a s i n g R e . N o t e t h e d e c r e a s i n g s c a t t e r i n t h e v a l u e o f i n t e r c e p t s i n a g i v e n r a n g e a s R e i n c r e a s e s . T h e s e p l o t s s h o w t h a t e v e n t h o u g h t h e s t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f A * e x h i b i t s l a r g e v a r i a t i o n s a n d l i t t l e c o n s i s t e n t t r e n d , e s p e c i a l l y a t R e v a l u e s < 7 0 0 , t h e s l o p e a n d i n t e r - c e p t p l o t s e x h i b i t a c o n s i s t e n t t r e n d a s a f u n c t i o n o f R e . * * . F K i n f e r r e d A ( x = 1 . 5 ) = 1 . 2 f r o m t h e s a m e d a t a w h i c h w e r e u s e d * , * t o d e t e r m i n e S t a n d u c . T h i s v a l u e i s a l m o s t t w 1 c e t h e v a l u e o f A f o u n d i n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n i n t h e s i m i l a r r a n g e o f R e ; s e e F i g u r e 1 5 1 . 1 3 8 6 . 4 C o n c l u s i o n s F r o m t h e r e s u l t s o f t h i s c h a p t e r a n d t h e d i s c u s s i o n s r e l a t e d t o t h e q u a l i t a t i v e a s p e c t s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i n C h a p t e r 4 , i t i s c o n c l u d e d t h a t t h e s t a b i l i t y a n d t h e r e s u l t i n g p r o c e s s e s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d t h a t r e s u l t i n t h e s y m m e t r i c v o r t e x f o r m a t i o n s a r e m o r e c o m p l e x t h a n t h o s e i d e n t i f i e d b y B W a n d F K . T h e f i r s t t w o o f t h e t h r e e i n s t a b i l i t i e s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d t h a t w e r e i d e n t i f i e d b y F K ( s e e S e c t i o n 1 . 3 . 1 ) h a v e b e e n c o n f i r m e d b y t h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t a l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n h a s n o t b e e n o b s e r v e d t o r e s u l t f r o m a n a g g l o m e r a t i o n o f a n u m b e r o f u n i t v o r t i c e s a s c o n j e c t u r e d b y F K . A l s o , t h e p r o p o s e d ( F K ) t h i r d i n s t a b i l i t y w h i c h p r e v e n t s t h e f o r m a t i o n o f s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t f o r R e > l 6 0 0 h a s n o t b e e n o b s e r v e d . L a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s h a v e b e e n o b s e r v e d e v e n u p t o R e = 3 5 0 0 . T h e q u e s t i o n o f w h e t h e r o r n o t w h a t h a s b e e n d e s c r i b e d h e r e - a s t h e l a r g e s c a l e i n s t a b i l i t y - i s a c t u a l l y a m a n i f e s t a t i o n o f t h e s h e a r l a y e r i n s t a b i l i t y w a s i n v e s t i g a t e d . T h e m o m e n t u m t h i c k n e s s , 6 , o f t h e f r e e b o u n d a r y l a y e r g o v e r n s t h e s h e a r l a y e r i n s t a b i l i t y [ M i c h a l k e ( 1 9 6 5 ) a n d F r e y m u t h ( 1 9 6 6 ) ] . F o r a s t e a d y d i s c h a r g e f r o m t h e n o z z l e , 6 0 a t t h e s e p a r a t i o n l i p s h o u l d n o t v a r y w i t h t i m e . I n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d , t h e a p p e a r a n c e o f a b u l g e i n t h e d y e s t r e a k h a s b e e n s h O W n ( C h a p t e r 4 ) a s t h e f i r s t m a n i f e s t a t i o n o f t h e i n s t a b i l i t y . T h i s l e a d s t o t h e f o r m a t i o n o f a l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n . I f t h e i n s t a b i l i t y i s g o v e r n e d b y a s t e a d y p a r a m e t e r l i k e 9 0 , t h e b u l g e s h o u l d n o m i n a l l y 1 3 9 a p p e a r a t t h e s a m e n o n d i m e n s i o n a l d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e f o r a g i v e n v a l u e o f R e . U s i n g t h e p r e s e n t p h o t o g r a p h i c d a t a , t h e m e a n , X b ’ a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n , 0 o f t h e l o c a t i o n o f t h e a p p e a r a n c e o f b ’ b u l g e s w e r e d e t e r m i n e d f o r e a c h e x p e r i m e n t a l r u n . I n g e n e r a l , X b w o u l d b e g r e a t e r t h a n t h e t r u e v a l u e , b e c a u s e o f r e l a t i v e l y l o w s a m - p l i n g r a t e o f t h e c a m e r a . B e c a u s e t h e s c a t t e r i n t h e d a t a i s c a u s e d i n p a r t b y t h e i n a b i l i t y o f t h e r e c o r d i n g m e c h a n i s m t o r e g i s t e r t h e e v e n t a t i t s i n c e p t i o n t h e a v e r a g e e s t i m a t e o f t h e l o c a t i o n o f b u l g e f o r m a t i o n , X b ’ w a s a d j u s t e d b y s u b t r a c t i n g 1 . 5 t i m e s t h e e s t i m a t e o f a b . F i g u r e 1 5 7 p r e s e n t s t h e a d j u s t e d l o c a t i o n o f b u l g e f o r m a t i o n , ( K b - 1 . 5 0 b ) , a s a f u n c t i o n R e . T h e r e i s c o n s i d e r a b l e s c a t t e r i n t h e t h e d a t a s p e c i a l l y f o r R e < 1 5 0 0 . F r o m t h i s f i g u r e i t i s c o n c l u d e d t h a t t h e f o r m a t i o n o f a b u l g e i s n o t c o n t r o l l e d b y a s t e a d y p a r a m e t e r l i k e 0 0 . H e n c e , t h e i n s t a b i l i t y w h i c h r e s u l t s i n t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e m o t i o n s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i s n o t c o n s i d e r e d t o b e r e - l a t e d t o t h e s h e a r l a y e r i n s t a b i l i t y . T h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y s h o w c o n s i d e r a b l e s c a t t e r i n t h e v a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r , S t F ( x * ) , f o r s i m i l a r v a l u e s o f R e . ( S e e F i g u r e s 1 3 4 , 1 3 6 , a n d 1 3 7 ) . A s i m i l a r s c a t t e r w a s o b s e r v e d b y F K i n t h e i r a i r j e t w i t h B / w = 2 6 . 2 5 . I n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n , n o n e o f t h e f a c t o r s w h i c h w e r e e x a m i n e d t o d e t e r m i n e t h e c a u s e o f t h e s c a t t e r i n t h e S t F ( x * ) d i s t r i b u t i o n s c o u l d b e l i n k e d t o t h e o b s e r v e d b e h a v i o r . E i - t h e r t h e r e i s a n u n k n o w n p a r a m e t e r w h i c h i s r e s p o n s i b l e f o r t h e o b - s e r v e d l a r g e v a r i a t i o n s i n S t F o r t h e i n s t a b i l i t y p r o c e s s o f a n a t u r a l l y e x c i t e d s l i t - j e t i s n o t a w e l l r e g u l a t e d p r o c e s s ; F R 1 4 0 r e p o r t e d a s i m i l a r b e h a v i o r i n t h e i r e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d o v e r a s m a l l r a n g e o f R e , 8 4 7 - 1 1 4 8 . T h e r e s u l t s o f B W ( s e e F i g u r e 1 3 8 ) s h o w c o n s i d e r a b l y l e s s s c a t t e r i n t h e d i s t r i b u t i o n o f S t F a s a f u n c t i o n o f R e . S i g n i f i c a n t d i f f e r - e n c e s i n t h e e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s m a y a c c o u n t f o r t h e d i f f e r e n c e s i n t h e o b s e r v a t i o n s . S p e c i f i c a l l y , t h e B W v a l u e s f o r t h e p a s s a g e f r e - q u e n c y w e r e o b t a i n e d b y v i s u a l l y o b s e r v i n g t h e f l o w a n d c o u n t i n g t h e p a s s a g e o f t h e o b s e r v e d v o r t e x m o t i o n s . S i n c e t h e y d i d n o t s p e c i f y t h e x / w v a l u e u s e d f o r t h e p a s s a g e l o c a t i o n a n d s i n c e t h e s e m i g h t h a v e b e e n p a i r e d m o t i o n s , t h e r e l a t i o n s h i p s o f t h e i r S t r o u h a l n u m b e r s t o t h o s e o f t h e p r e s e n t s t u d y a r e u n c e r t a i n . T h e s t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y o f t h e v o r t e x p a i r s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d e x h i b i t t h e m o s t c o h e r e n t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t h r e e i n s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s . T h e v o r t e x m o t i o n s u n d e r g o a c c e l e r a t i o n f o r x / w S 3 , a n d t h e n t h e v e l o c i t y l e v e l s o f f . I n s o m e c a s e s , t h e v o r t i c e s a p p e a r t o u n d e r g o d e c e l e a r t i o n f o r x / w > 3 . T h e a c c e l e r a t i o n o f v o r t e x p a i r s r e s u l t s i n t h e i n c r e a s e i n t h e s p a c i n g , A , b e t w e e n v o r t e x m o t i o n s w h i l e S t r e m a i n s n o m i n a l l y c o n - s t a n t . H o w e v e r , t h e g r e a t e s t i n c r e a s e i n A i s c a u s e d b y t h e p a i r i n g o f t w o o r m o r e v o r t e x p a i r s w h i c h a l s o r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n S t . * E v e n t h o u g h t h e p l o t s o f s t r e a m w i s e d i s t r i b u t i o n o f A d o n o t p r e s e n t a c o h e r e n t p i c t u r e a t l o w v a l u e s o f R e ( u p t o R e = 7 0 0 ) , t h e * * s l o p e s ( d A / d x * ) a n d t h e i n t e r c e p t s ( A ( 0 ) ) o f t h e l i n e a r f i t t h r o u g h 1 4 1 t h e d a t a d o e x h i b i t a c o n s i s t e n t b e h a v i o r o v e r t h e e n t i r e r a n g e . F i g u r e s 1 5 5 a n d 1 5 6 . S e e V E L O C I T Y M E A S U R E M E N T S U S I N G L A S E R D O P P L E R A N E M O M E T R Y 7 . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s c h a p t e r p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f m e a s u r e m e n t s o f t h e l o n g i - t u d i n a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y , u ( x , y , t ) , i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . T h e d a t a w e r e a c q u i r e d u s i n g a s i n g l e c h a n n e l l a s e r D o p p l e r a n e m o m e - t e r . T h e d e t a i l s o f t h e e x p e r i m e n t a l c o n f i g u r a t i o n a n d d a t a a c q u i s i - t i o n h a v e b e e n p r e s e n t e d i n C h a p t e r 3 . S e c t i o n 7 . 2 p r e s e n t s d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t v a l u e s o f t h e s l i t - j e t a s a f u n c t i o n o f R e . V e l o c i t y f i e l d i n f o r m a t i o n , s p e c i f i c a l l y , t h e t i m e s e r i e s f r o m t h e l a t e r a l a n d l o n g i t u d i n a l s u r v e y s o f u ( x , y , t ) a n d t h e m e a n a n d r m s v e l o c i t y p r o f i l e s c o m p u t e d f r o m u ( x , y , t ) , i s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 7 . 3 . I n a d d i t i o n , t h e c b m p u t e d d i s t r i b u t i o n o f 3 * ( X * , y * = 0 ) a n d t h e a n a l y t i c a l m o d e l s o f 3 * ( x * = c , y * ) a r e a l s o p r e s e n t e d i n t h i s s e c t i o n . S e c t i o n 7 . 4 p r e s e n t s t h e t e c h n i q u e o f c o m - p u t i n g t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n f o r t h e m e a s u r e d u ( x , y , t ) d a t a . S e c t i o n 7 . 5 d e a l s w i t h t h e i d e n t i f i c a t i o n o f b a c k g r o u n d 1 4 2 d i s t u r b a n c e s i n t h e p l e n u m u s i n g t h e p o w e r s p e c t r u m o f u ( x , y = 0 , t ) . S e c t i o n 7 . 6 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f c o m p u t a t i o n s o f S t r o u h a l n u m b e r f r o m t h e p o w e r s p e c t r u m o f u ( x , y , t ) . 7 . 2 D i s c h a r g e C o e f f i c i e n t C D o f t h e S l i t - J e t T h e ' d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t o f a n o z z l e o r o t h e r c o n s t r i c t i o n i s a c h a r a c t e r i s t i c o f p r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e . F o r a s l i t — j e t i t i s d e - f i n e d a s f A V ( 0 , y , z ) v fi d A D = U A . ( 1 5 6 ) 0 J w h e r e V ( 0 , y , z ) i s t h e v e l o c i t y v e c t o r a t t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t , n i s a u n i t v e c t o r i n t h e o u t w a r d n o r m a l d i r e c t i o n ( a l o n g x a x i s h e r e ) . U 0 i s t h e m a x i m u m v e l o c i t y w h i c h t h e j e t a c h i e v e s a t a p p r o x i m a t e l y x / w - l , a n d , A j i s t h e a r e a o f t h e j e t g i v e n b y w a . I n t e r m s o f t h e s p a t i a l a v e r a g e v e l o c i t y , < U > , d e f i n e d a s < U > = 1 — f M d A ( 1 5 7 ) A . A J t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t b e c o m e s C D = — U — ( 1 5 8 ) T h e t w o v e l o c i t i e s , < U > a n d U 0 , w e r e s i m u l t a n e o u s l y m e a s u r e d o v e r a w i d e r a n g e o f R e ( 1 0 0 - 6 5 0 0 ) . T h e s p a t i a l a v e r a g e v e l o c i t y , < U > , w a s i n f e r r e d f r o m t h e o u t p u t o f t h e V o l u m e F l o w S e n s o r ( V F S ) a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 2 . 1 . T h e c a l i b r a t i o n , d a t a a c q u i s i t i o n a n d p r o c e s s i n g d e t a i l s h a v e b e e n p r e s e n t e d i n S e c t i o n s 3 . 7 . 2 , 3 . 9 , a n d 5 . 2 . 1 , r e s p e c - t i v e l y . T h e m a x i m u m v e l o c i t y U O o f t h e j e t a l o n g t h e c e n t e r l i n e w a s m e a s u r e d n o m i n a l l y a t x / w z 2 . 2 u s i n g t h e s i n g l e c h a n n e l L D A s y s t e m . ( S e c t i o n 3 . 9 . 2 . d e s c r i b e s t h e d e t a i l s o f t h e d a t a a c q u i s i t i o n ) . A t l o w v a l u e s o f R e , t h e m e a s u r e m e n t s w e r e c o n d u c t e d i n a w a t e r - s u g a r m i x t u r e . ' ( S e e S e c t i o n 3 . 2 . 3 . ) F i g u r e 1 5 8 p r e s e n t s t h e v a l u e s o f d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t , C a s a D ! f u n c t i o n o f R e . A t l o w v a l u e s o f R e ( < 8 0 0 ) , C D s h o w s a s t r o n g R e d e p e n d e n c e w h i c h b e c o m e s w e a k e r a s R e i n c r e a s e s . F o r s u f f i c i e n t l y l a r g e v a l u e s o f R e ( > 3 0 0 0 ) C D a c h i e v e s a n a s y m p t o t i c v a l u e e q u a l t o 0 . 6 8 . T h i s v a l u e i s a b o u t 1 1 % l a r g e r t h a n t h e v a l u e ( 0 . 6 1 1 ) p r e d i c t e d b y t h e i n v i s c i d f l o w a n a l y s i s . ( S e e S e c t i o n 2 . 2 . 3 ) T h e d e c r e a s e i n t h e v a l u e o f C D w i t h i n c r e a s i n g R e i n d i c a t e s t h e d e c r e a s i n g i n f l u e n c e o f v i s c o u s e f f e c t s o n t h e f l o w o v e r t h e n o z z l e p l a t e s . T h e l o s s o f m o m e n t u m i n t h e b o u n d a r y l a y e r f l u i d p e r m i t s t h e f l u i d n e a r x z 0 a n d y z i w / 2 t o f o l l o w a t r a j e c t o r y w h i c h h a s a r a d i u s o f c u r v a t u r e t h a t i s s m a l l e r t h a n t h a t o f a n i n v i s c i d f l u i d . A s t h e R e y n o l d s n u m b e r i n c r e a s e s , t h e b o u n d a r y l a y e r b e c o m e s t h i n n e r a n d t h e t r a j e c t o r y o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e e x h i b i t s a l a r g e r r a d i u s o f c u r v a t u r e ; t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t s h o w s a c o r r e s p o n d i n g d e c r e a s e . I n t h e l i m i t a s R e b e c o m e s l a r g e , t h e v a l u e o f C D w o u l d b e e x p e c t e d t o a p p r o a c h 0 . 6 1 1 , t h e v a l u e o f C D f o r a n i n v i s c i d j e t . T h e a p p a r e n t a s y m p t o t i c a p p r o a c h t o 0 . 6 8 i n F i g u r e 1 5 8 s u g g e s t s t h e p r e s e n c e o f a g e o m e t r y d e p e n d e n t e f f e c t o n t h e C D v a l u e s . S p e c i - f i c a l l y , i t i s i n f e r r e d t h a t t h e V ( O , y z i w / 2 , z ) v a l u e s a r e i n f l u e n c e d b y t h e t h i c k n e s s t N o f t h e n o z z l e p l a t e a n d p o s s i b l y b y t h e w e d g e a n - g l e . S u p p o r t f o r t h i s i n f e r e n c e i s p r o v i d e d b y t h e C D d a t a i n w h i c h t w o d i f f e r e n t s l i t - w i d t h s w e r e u s e d . S p e c i f i c a l l y , i n t h e j e t w i t h w = l . 2 7 c m , t h e C D v a l u e s a s y m p t o t e t o 0 . 7 1 w h e r e a s t h o s e f o r t h e j e t w i t h w = 2 . 5 7 c m c o n t i n u e t o d e c r e a s e a n d a s s u m e a n a s y m p t o t i c v a l u e o f 0 . 6 8 . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e c o n t r a c t i o n o f t h e j e t i s g r e a t e r f o r t N / w = 0 . 5 t h a n i n c a s e o f t N / w z l . T h e i n f l u e n c e o f t h e g e o m e t r y o f t h e n o z z l e p l a t e o n V ( 0 , y z i w / 2 , z ) i s s u s p e c t e d t o b e c a u s e d b y a n a l t e r a t i o n o f t h e e n - t r a i n m e n t p a t h i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t . I n t h e c a s e o f t h e s m a l l e r j e t ( t N / w = l ) , t h e r e w i l l b e m o r e o b s t r u c t i o n t o t h e e n t r a i n - m e n t f l o w t h a n i n t h e c a s e o f t h e w i d e r j e t ( t N / w = 0 . 5 ) . V a r i a t i o n s i n t h e e n t r a i n m e n t f l o w c a n a l t e r t h e p r e s s u r e f i e l d i n t h e v i c i n i t y o f t h e j e t e x i t , t h u s , a l l o w i n g t h e s m a l l e r w i d t h j e t t o c o n t r a c t l e s s a t t h e " v e n a c o n t r a c t a " a s c o m p a r e d t o t h e c o n t r a c t i o n o f t h e w i d e r j e t . T h e o v e r l a p p i n g o f t h e C v a l u e s , f o r t h e t w o j e t s , b e l o w R e 2 1 5 0 0 s u g - D g e s t s t h a t f o r t h e s e v a l u e s o f R e t h e n e a r - f i e l d i s l e s s s e n s i t i v e t o t h e g e o m e t r y o f t h e n o z z l e . I t i s k n o w n f r o m t h e p r e v i o u s s t u d i e s a n d t h e r e s u l t s o f C h a p t e r 4 t h a t t h e j e t b e c o m e s u n s t a b l e a n d d e v e l o p s v o r t e x m o t i o n s f o r R e v a l u e s g r e a t e r t h a n 2 5 0 . F i g u r e 1 5 8 , h o w e v e r , s h O W S a c o n t i n u o u s 1 4 6 d e c r e a s e i n t h e C D v a l u e s w i t h i n c r e a s i n g R e w i t h o u t a n y m a r k e d v a r i a - t i o n a r o u n d R e z 2 5 0 . I t i s i n f e r r e d t h a t t h e f o r m a t i o n o f t h e v e n a c o n t r a c t a i s i n f l u e n c e d o n l y b y t h e d e v e l o p m e n t o f t h e b o u n d a r y l a y e r s o n t h e n o z z l e p l a t e s a n d n o t b y t h e f o r m a t i o n o f v o r t i c e s d o w n s t r e a m o f t h e e x i t p l a n e . 7 . 3 V e l o c i t y F i e l d I n f o r m a t i o n T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s i n d e t a i l t h e r e s u l t s o f l o n g i t u d i n a l a n d l a t e r a l s u r v e y s o f t h e s t r e a m w i s e c o m p o n e n t o f v e l o c i t y u ( x , y , t ) . T h e r e s u l t s i n c l u d e t h e m e a n a n d t h e f l u c t u a t i n g f i e l d s o f u ( x , y , t ) i n t h e s t r e a m w i s e a n d l a t e r a l d i r e c t i o n . T h e r e s u l t s r e l a t e d t o t h e s p e c t r a l c o n t e n t s o f u ( t ) ( f r e q u e n c y d o m a i n i n f o r m a t i o n ) a r e p r e s e n t e d i n S e c - t i o n 7 . 5 . 7 . 3 . 1 L o n g i t u d i n a l S u r v e y s 7 . 3 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n V e l o c i t y s u r v e y s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t e x t e n d e d o v e r - l s x / w s 2 . 4 , e x c e p t f o r o n e c a s e i n w h i c h t h e m e a s u r e m e t s w e r e m a d e u p t o x = 4 . 6 w . T h e s e m e a s u r e m e n t s c o v e r e d R e y n o l d s n u m b e r v a l u e s f r o m 5 0 0 t o 2 9 0 0 . I n a l l c a s e s w a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d . T h e o b j e c t i v e s o f t h e l o n g i t u d i n a l s u r v e y w e r e : ' 1 ) C o m p a r e t h e m e a s u r e d l o n g i t u d i n a l m e a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n w i t h t h e i n v i s c i d d i s t r i b u t i o n d e t e r m i n e d i n C h a p t e r 2 . 1 4 7 i i ) D e t e r m i n e t h e g r o w t h o f v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a l o n g t h e c e n - t e r l i n e o f t h e j e t a n d t o c o m p a r e t h i s g r o w t h w i t h t h e v a l u e p r e d i c t e d b y t h e i n v i s c i d , l i n e a r i z e d , s p a t i a l s t a b i l i t y t h e o r y . ' i i ) D e t e r m i n e t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e v o r t e x m o t i o n s a s a f u n c t i o n o f t h e d o w n s t r e a m d i s t a n c e , x / w , u s i n g s p e c t r a l m e t h o d s . i v ) D e t e r m i n e t h e r e g i o n o f t h e f l o w w h e r e t h e g r o w t h o f d i s t u r - b a n c e s b e g i n . F i g u r e 1 5 9 i s a s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n f i g u r a t i o n u s e d f o r v e l o c i t y t r a v e r s a l s . F o r t h e l o n g i t u d i n a l s u r v e y , t h e L D A m e a s u r i n g v o l u m e ( m v ) w a s t r a v e r s e d a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t b y r a s i n g o r l o w e r i n g t h e s u p p o r t i n g b a s e o f t h e L D A s y s t e m . B e f o r e t h e e x p e r i m e n t s w e r e r u n t h e l o c a t i o n o f t h e m v w a s d e t e r m i n e d a c c u r a t e l y w i t h r e s p e c t t o t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t a n d a n o t h e r r e f e r e n c e m a r k o u t s i d e t h e g l a s s t a n k . A f t e r t h e b a s e w a s r a i s e d o r l o w e r e d t h e n e w h e i g h t o f t h e m y w a s d e t e r m i n e d w i t h r e s p e c t t o t h e k n o w n r e f e r e n c e m a r k . H e n c e , t h e l o c a t i o n o f t h e m v c o u l d b e d e t e r m i n e d w i t h r e s p e c t t o t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t . T h e p o s i t i o n o f t h e m e a s u r e m e n t s w a s a c c u r a t e w i t h i n £ 0 . 2 5 m m . 1 4 8 7 . 3 . 1 . 2 V e l o c i t y T i m e H i s t o r i e s a t S e l e c t e d L o c a t i o n s F i g u r e s 1 6 0 t h r o u g h 1 6 7 p r e s e n t t h e m e a s u r e d t i m e h i s t o r i e s o f * * * u ( x , y = 0 , t ) / < U > a t v a r i o u s v a l u e s o f R e . A t o t a l o f 4 0 9 6 d a t a p o i n t s w e r e r e c o r d e d a t a s a m p l i n g r a t e o f 3 0 8 H z . T h e p l o t s p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 6 0 t h r o u g h 1 6 7 h a v e b e e n p r e p a r e d b y p l o t t i n g e v e r y t h i r d p o i n t ( e f f e c t i v e s a m p l i n g r a t e — 7 7 H z ; t h i s p l o t t i n g p r o t o c o l w a s r e q u i r e d t o p r e v e n t t h e c o m p o s i t e p l o t t i n g f i l e s f r o m b e c o m i n g e x c e s s i v e l y l a r g e ) . A n e x a m i n a t i o n o f t h e t r a c e s p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 6 0 t h r o u g h 1 6 7 s h o w s t h a t i n s o m e c a s e s , e s p e c i a l l y i n t h e n e i g h b o r h o o d o f x / w — l , t h e b e g i n n i n g p o r t i o n o f t h e v e l o c i t y s i g n a l s h o w s l a r g e v e l o c i t y f l u c t u a - t i o n s . S e e F i g u r e 1 6 1 . T h e f l u c t u a t i o n s a r e o b s e r v e d t o d i m i n i s h a s t i m e p r o c e e d s . I t i s c o n j e c t u r e d t h a t t h e s e f l u c t u a t i o n s a r e s i g n a - t u r e s o f t h e s t r a t i n g v o r t e x p a i r . T h e s e p o r t i o n s o f t h e t i m e s e r i e s s h o w i n g t h e s p u r i o u s f l u c t u a t i o n s h a v e n o t b e e n i n c l u d e d i n d e t e r m i n - i n g t h e v a r i o u s q u a n t i t i e s o f i n t e r e s t . A p a r t f r o m t h i s a m b i g u i t y , t h e t i m e t r a c e s o f F i g u r e s 1 6 0 t h r o u g h 1 6 7 r e v e a l t h e d e v e l o p m e n t o f t h e j e t a n d t h e g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s . N o t e t h a t t h e t i m e t r a c e s , o v e r a s i x - f o l d r a n g e o f R e , e x h i b i t t h e s a m e t r e n d f o r t h e g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s . 1 4 9 7 . 3 . 1 . 3 M e a n a n d R m s V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s T h e m e a n a n d r o o t m e a n s q u a r e v a l u e s o f t h e c e n t e r l i n e v e l o c i t y d a t a w e r e d e t e r m i n e d f r o m t h e t i m e t r a c e s s h o w n i n F i g u r e s 1 6 0 t h r o u g h 1 6 7 . S i n c e e a c h t i m e t r a c e w a s t h e o u t p u t o f a n i n d e p e n d e n t e x - p e r i m e n t a l r u n , t h e u ( t ) v a l u e s o f a g i v e n r u n w e r e n o r m a l i z e d b y t h e s p a t i a l l y a n d t e m p o r a l l y a v e r a g e d v e l o c i t y , < U > , o f t h e s a m e r u n . I n g e n e r a l , t h e v a l u e o f < U > v a r i e d f r o m r u n t o r u n . T h e t o t a l v a r i a t i o n w a s s m a l l ; t h e v a l u e s w e r e n o m i n a l l y c o n t a t i n e d w i t h i n i 2 % o f t h e m e a n w i t h a m a x i m u m d e v i a t i o n o f 5 % . T h e t i m e m e a n v a l u e s o f t h e n o r - m a l i z e d v e l o c i t i e s u ( x , 0 ) / < U > , f o r a g i v e n R e , w e r e i n t e r r o g a t e d t o d e t e r m i n e t h e m a x i m u m n o r m a l i z e d v e l o c i t y C ( x m , 0 ) / < U > . T h e m a x i m u m v a l u e o c c u r r e d o v e r t h e r a n g e l s x / w 5 2 . 4 . T h e r a t i o , u ( x m , 0 ) / < U > , w a s u s e d t o n o r m a l i z e a l l t h e p r e v i o u s l y n o r m a l i z e d v e l o c i t i e s a s * * * — * * 0 < U 3 ( x ’ y = 0 ) = l § _ x _ r y _ ’ _ l L > J _ _ * * ( 1 5 9 ) [ u ( X m . y = 0 ) / < U > 1 T h e r m s v a l u e s w e r e n o r m a l i z e d a s . . . ~ k * $ 0 5 3 * : 0 ) _ , W ( 1 6 0 ) [ u ( x m , y = 0 ) / < U > l . _ * * * F i g u r e 1 6 8 i s a p l o t o f t h e m e a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n u ( x , y = 0 ) . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n b a s e d u p o n t h e p o t e n t i a l f l o w c a l c u l a t i o n s ( s e e S e c t i o n 2 . 2 ) . T h e f i g u r e s h o w s t h a t t h e j e t i s s u e s f r o m t h e s l o t w i t h a v e l o c i t y w h i c h i s a b o u t 0 . 6 5 o f U 0 . T h e v e l o c i t y a p p r o a c h e s a m a x i m u m v a l u e ( U 0 ) a t n o m i n a l l y x / w = l . B e y o n d w h e r e , i s t h e a m b i e n t p r e s s u r e i n t h e r e c e i v e r a n d n i s t h e 1 5 0 x = 3 w t h e c e n t e r l i n e v e l o c i t y b e g i n s t o d e c r e a s e , a p p a r e n t l y b e c a u s e t h e p r o p a g a t i o n o f s h e a r e f f e c t s h a s r e a c h e d t h e c e n t e r l i n e . F i g u r e 1 6 8 s h o w s e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d a n d t h e m e a s u r e d ( o v e r a s i x - f o l d r a n g e o f R e ) v a l u e s o f U ( x * ) / U o . T h i s a g r e e m e n t s u p p o r t s t h e e a r l i e r c o n j e c t u r e r e g a r d i n g t h e a b s e n c e o f s h e a r e f f e c t s i n t h e c o r e r e g i o n o f t h e j e t u p t o x = 3 w . T h e m e a n c e n - t e r l i n e v e l o c i t y , u ( x * , y * - 0 ) , i s t h u s g o v e r n e d b y t h e m e a n E u l e r - s e q u a t i o n ( s e e S e c t i o n 2 . 5 . 2 ) . N e g l e c t i n g t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e . 2 . . f l u c t u a t i n g c o m p o n e n t o f v e l o c 1 t y , u ' , t h e e q u a t i o n i s e x p r e s s e d a s p . ; k + % U 2 ( x , 0 ) = c ( 1 5 1 ) C o n s i d e r i n g t h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d a n d t h e m e a s u r e d 3 * ( x * , y * = 0 ) o v e r t h e R e r a n g e 5 0 0 - 2 9 0 0 , t h e s t r o n g d e p e n - d e n c e o f C D o n R e ( s e e S e c t i o n 7 . 2 ) o v e r t h e s a m e R e r a n g e s h o w s t h a t t h e i n f l u e n c e o f s h e a r e f f e c t s ( d e v e l o p m e n t o f b o u n d a r y l a y e r s ) o n t h e n o z z l e p l a t e s i s o f f s e t b y s o m e o t h e r p h y s i c a l e f f e c t . T h e E u l e r - n e q u a t i o n r e l a t e s t h e c e n t e r l i n e p r e s s u r e , p k ( x , y = 0 ) , t o t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e , R , a n d t h e v e l o c i t y , V , a l o n g a c u r v e d s t r e a m l i n e ( s e e F i g - u r e 1 6 9 ) , i . e . , + f 2 2 " — d n ( 1 6 2 ) p k ( x , y = 0 ) = p a m b p a m b 1 5 1 d i r e c t i o n n o r m a l t o t h e s t r e a m l i n e . I t h a s b e e n a r g u e d i n S e c t i o n 7 . 2 , b a s e d u p o n t h e d i s t r i b u t i o n o f C D w i t h R e ( u p t o R e z 3 5 0 0 ) , t h a t t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g v a l u e o f R e . H e n c e , t h e i n t e g r a t i o n p a t h 1 - 2 s h o w n i n F i g - u r e 1 6 9 w i l l a l s o c h a n g e w i t h R e s o t h a t t h e n o n d i m e n s i o n a l p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n r e m a i n s t h e s a m e a l o n g t h e c e n t e r l i n e . I n o t h e r w o r d s , a n a d j u s t m e n t i n t h e c u r v a t u r e o f t h e s t r e a m l i n e s i n t h e v i c i n i t y o f t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t i s b e l i e v e d t o b e r e s p o n s i b l e f o r p k ( x , y = 0 ) t o f o l l o w t h e i n v i s c i d b e h a v i o r . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e l o g o f t h e n o r m a l i z e d r m s o f t h e c e n t e r — l i n e v e l o c i t y , u * ( x * ) , i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 7 0 . T h e p l o t s h o w s t h a t t h e t o t a l d i s t u r b a n c e g r o w s e x p o n e n t i a l l y o v e r t h e r e g i o n - l e / w 5 2 . 4 . I n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e g r o w t h r a t e d e p e n d s u p o n t h e f l o w R e y n o l d s n u m b e r , t h e s l o p e o f t h e n o r m a l i z e d d i s t r i b u - t i o n a t e a c h R e v a l u e w a s c a l c u l a t e d . T h e r e s u l t , p l o t t e d i n F i g u r e 1 7 1 , d o e s n o t i n d i c a t e a n y s y s t e m a t i c d e p e n d e n c e o f t h e g r o w t h r a t e o n R e y n o l d s n u m b e r . T h e s t r a i g h t l i n e p r e s e n t s t h e b e s t f i t t h r o u g h t h e d a t a . T h e l i n e i s e x p r e s s e d a s G r o w t h r a t e = 0 . 5 3 8 + 5 . 1 8 x 1 0 ' 6 R e ( 1 6 3 ) T h e s t a n d a r d e r r o r i n t h e t w o c o e f f i c i e n t s a r e 2 . 9 4 X 1 0 - 2 a n d 1 . 7 9 x 1 0 - 5 , r e s p e c t i v e l y . T h e s l o p e o f t h e s t r a i g h t l i n e b a s e d u p o n n a t u r a l l o g i s e q u a l t o 1 . 2 4 . 1 5 2 7 . 3 . 2 L a t e r a l S u r v e y s 7 . 3 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n A 2 . 5 7 c m w i d e j e t w a s u s e d t o c o n d u c t t h e l a t e r a l s u r v e y o f u ( x = c , y , t ) a t t w o x / w l o c a t i o n s a n d t w o v a l u e s o f R e , 1 6 0 0 a n d 3 0 0 0 . T h e t w o l a o c a t i o n s , x / w = l a n d x / w = 2 . 4 , a t w h i c h t h e s e s u r v e y s w e r e c o n d u c t e d , w e r e c h o s e n f r o m t h e 5 * ( x * , y * = 0 ) d i s t r i b u t i o n ( s e e F i g u r e 1 6 8 ) . S i n c e t h e m e a n v e l o c i t y u * ( x * , y * - O ) n o m i n a l l y b e c a m e e q u a l t o t h e m a x i m u m v e l o c i t y U 0 a t x / w = l , i t w a s e x p e c t e d t h a t t h e d i s t r i b u - t i o n 5 * ( x * = 1 , y * ) w o u l d r e p r e s e n t t h e b a s i c f l o w s t a t e t o b e u s e d i n t h e i n v i s c i d s t a b i l i t y a n a l y s i s . T h e l o c a t i o n x / w = 2 . 4 w a s c h o s e n b e - c a u s e b e y o n d t h i s l o c a t i o n t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s c e a s e d t o g r o w e x p o n e n t i a l l y . T h e o b j e c t i v e s o f t h e l a t e r a l s u r v e y w e r e : - * * i ) D e t e r m i n e t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s u ( y ) a t t h e t w o l o c a - t i o n s . _ * * i i ) U s e t h e m e a s u r e d u ( y ) d a t a t o e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s i n t h e a n a l y t i c a l m o d e l s o f t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s . T h e f i t t e d p r o f i l e s h a v e b e e n u s e d i n t h e i n v i s c i d i n s t a b i l i t y e q u a t i o n s . i i i ) O b s e r v e t h e p r o p a g a t i o n o f s h e a r e f f e c t s t o w a r d s t h e c e n t e r o f t h e j e t . 1 5 3 i v ) E s t i m a t e t h e h a l f w i d t h o f t h e j e t . F i g u r e 1 5 9 s h o w s t h e t r a v e r s i n g m e c h a n i s m w h i c h w a s u s e d t o m o v e t h e j e t f a c i l i t y w i t h r e s p e c t t o t h e s t a t i o n a r y L D A s y s t e m . T h e t r a v e r s e c o u l d b e p o s i t i o n e d w i t h a n a c c u r a c y o f i 0 . 2 5 m m . S i n c e n o f r e q u e n c y s h i f t i n g w a s i n c o r p o r a t e d i n t h e L D A s y s t e m t h e v e l o c i t y d a t a n e a r t h e e d g e s o f t h e j e t w e r e i n e r r o r b e c a u s e o f v e l o c i t y r e v e r s a l s . 7 . 3 . 2 . 2 V e l o c i t y T i m e H i s t o r i e s a t S e l e c t e d L o c a t i o n s F i g u r e s 1 7 2 a n d 1 7 3 p r e s e n t t h e n o r m a l i z e d t i m e t r a c e s o f t h e v e l o c i t y a t x / w = 1 a n d 2 . 4 a t R e = l 6 0 0 . F i g u r e s 1 7 4 a n d 1 7 5 a r e t h e t i m e t r a c e s a t R e = 3 0 0 0 a n d t h e s a m e x / w l o c a t i o n s . A s i n t h e c a s e o f l o n g i t u d i n a l s u r v e y s , 4 0 9 6 d a t a p o i n t s w e r e s a m p l e d a t 3 0 8 H z . H o w e v e r , a s b e f o r e , i n p r e p a r i n g t h e s e p l o t s ( F i g u r e s 1 7 2 t h r o u g h 1 7 5 ) o n l y a f o u r t h o f t h e t o t a l n u m b e r o f d a t a p o i n t s h a v e b e e n u s e d . I n t h e s e p l o t s ( F i g u r e s 1 7 2 t h r o u g h 1 7 5 ) t h e t i m e s e r i e s f r o m t h o s e r e - g i o n s h a v e n o t b e e n i n c l u d e d w h i c h s h o w e d v e l o c i t y r e v e r s a l s . A s a n e x a m p l e , F i g u r e 1 7 6 p r e s e n t s t i m e s e r i e s f r o m t w o y l o c a t i o n s a t R e = 1 6 0 0 , a t w h i c h f l o w r e v e r s a l s a r e i n f e r r e d t o h a v e t a k e n p l a c e . * * * T h e p l o t s o f u ( y , t ) a t x / w = 1 , a n d b o t h v a l u e s o f R e ( F i g u r e s 1 7 2 a n d 1 7 4 ) s h o w q u a l i t a i v e d i f f e r e n c e s i n t h e v e l o c i t y t i m e h i s - t o r i e s a t t h e c o r r e s p o n d i n g y l o c a t i o n s a c r o s s t h e j e t . T h e s e d i f f e r - e n c e s c a n b e d e s c r i b e d a s a n a p p r e n t i n c r e a s e i n t h e m a g n i t u d e o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a s | y / w | i n c r e a s e s ; a l s o , f o r t h e s a m e y / w 1 5 4 v a l u e s , t h e m a g n i t u d e o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s f o r R e = 1 6 0 0 a r e s o m e w h a t l a r g e r t h a n t h o s e f o r t h e h i g h e r R e c a s e . N o t e t h e v e l o c i t y t i m e t r a c e s a t y / w = i 0 . 3 5 a t R e = 1 6 0 0 a n d y / w = i O . 3 l a t R e = 3 0 0 0 ; t h e s e y / w l o c a t i o n s a r e q u i t e c l o s e t o t h e l o c a t i o n s w h e r e t h e v a l u e o f t h e m e a n v e l o c i t y u ( y ) i s h a l f t h e v a l u e o f t h e m a x i m u m v e l o c i t y U 0 o n t h e c e n t e r l i n e . * * T h e p l o t s o f u ( y , t ) / < U > a t x / w - 2 . 4 a n d b o t h v a l u e s o f R e ( F i g - u r e 1 7 3 a n d F i g u r e 1 7 5 ) , q u a l i t a t i v e l y s h o w s i m i l a r t r e n d s i n t h e v e l o c i t y t i m e h i s t o r i e s . I t i s s u s p e c t e d t h a t a t R e = 1 6 0 0 a n d y - - 0 . 5 1 w ( s e e F i g u r e 1 7 3 ) s o m e v e l o c i t y r e v e r s a l s t o o k p l a c e . 7 . 3 . 2 . 3 M e a n a n d R m s V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s A c r o s s t h e J e t T h e m e a n a n d r o o t m e a n s q u a r e v a l u e s o f t h e l o n g i t u d i n a l v e l o c i t y d a t a w e r e d e t e r m i n e d f r o m t h e t i m e t r a c e s s h o w n i n F i g u r e s 1 7 2 t h r o u g h 1 7 5 . T h e s a m e p r o c e d u r e w a s u s e d i n n o r m a l i z i n g t h e u ( x = c , y ) a n d u ( x = c , y ) d a t a a s w a s u s e d i n t h e c a s e o f l o n g i t u d i n a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e m e a n , U ( x , y = 0 ) , a n d t h e r m s , u ( x , y = 0 ) , v e l o c i t i e s . S e e e q u a t i o n s ( 1 5 9 ) a n d ( 1 6 0 ) . l 1 5 5 7 . 3 . 2 . 3 . 1 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s a t x / w = 1 F i g u r e 1 7 7 a n d F i g u r e 1 7 8 a r e t h e d i s t r i b u t i o n s o f u * ( y * ) a n d u * ( y * ) , r e s p e c t i v e l y , a t t w o v a l u e s o f R e . N o d a t a h a v e b e e n i n c l u d e d f r o m t h e r e g i o n s w h e r e v e l o c i t y r e v e r s a l s t o o k p l a c e . T h e m e a n v e l o - c i t y p r o f i l e s ( F i g u r e l 7 7 ) a t b o t h v a l u e s o f R e h a v e a t o p - h a t d i s t r i - b u t i o n . T h e c o r r e s p o n d i n g r m s v e l o c i t y p r o f i l e s ( F i g u r e 1 7 8 ) s h o w ~ * s m a l l v a l u e s o f u ( = 5 % ) i n t h e c o r e r e g i o n o f t h e j e t a n d c o n s i d e r - a b l y l a r g e r v a l u e s ' ( = 1 7 % ) n e a r t h e h a l f w i d t h o f t h e j e t . W h e r e a s t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s d o n o t s h o w a s y s t e m a t i c d e p e n d e n c e o n R e , t h e r m s v e l o c i t y p r o f i l e s d o s h o w c o n s i d e r a b l e d i f f e r e n c e s . 7 . 3 . 2 3 . 2 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n s a t x / w = 2 . 4 T h e m e a n a n d r m s v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s a t b o t h v a l u e s o f R e a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 7 9 a n d F i g u r e 1 8 0 , r e s p e c t i v e l y . A g a i n , o n l y t h e d a t a f r o m t h o s e l o c a t i o n s h a v e b e e n i n c l u d e d a t w h i c h n o v e l o c i t y r e v e r s a l s t o o k p l a c e . T h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s ( F i g u r e 1 7 9 ) d o n o t e x h i b i t a f l a t r e g i o n a n d t h e v e l o c i t y f i e l d i s c o n s i d e r a b l y w i d e r t h a n a t x = 1 w . A g a i n , n o s y s t e m a t i c d e p e n d e n c e o f t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s o n R e i s o b s e r v e d . T h e r m s v e l o c i t y p r o f i l e s a s s h o w n i n F i g u r e 1 8 0 , a t b o t h v a l u e s o f R e , h a v e a n o m i n a l l y u n i f o r m d i s t r i b u — t i o n a c r o s s t h e j e t . 7 . 3 . 2 . 4 A n a l y t i c a l M o d e l s o f t h e M e a n V e l o c i t y P r o f i l e E q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) ( B i c k l e y a n d M o n t g o m e r y p r o f i l e s , r e s p e c t i v e l y ; s e e S e c t i o n 1 . 2 . 3 . 1 ) a r e t w o o f t h e a n a l y t i c a l m o d e l s o f t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s w h i c h h a v e b e e n u s e d b y p r i o r i n v e s t i g a - t o r s t o s t u d y t h e s t a b i l i t y o f t w o — d i m e n s i o n a l j e t s . I n t h i s i n - v e s t i g a t i o n , t h e m e a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a t x / w = 1 w a s m o d e l l e d b y t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e 1 I Y I S Y O u ( y ) = ( 1 6 4 ) l y I - y 0 l y I - y o 2 c o s h - - E — — e x p - 0 . 5 fl | y | 2 y o w h e r e y 0 a n d 3 a r e t h e t w o p a r a m e t e r s . T h e f o r m e r c o n t r o l s t h e e x t e n t o f t h e f l a t r e g i o n r e g i o n o f t h e j e t a n d t h e l a t t e r t h e s l o p e . A t x / w = 2 . 4 , b o t h t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e a n d t h e B i c k l e y p r o f i l e w e r e u s e d t o m o d e l t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n . T h e B i c k l e y p r o f i l e i s e x p r e s s e d a s u ( y ) = s e c h 2 ( y / a ) ‘ ( 1 6 5 ) w h e r e a i s t h e p a r a m e t e r t o b e d e t e r m i n e d f r o m t h e d a t a . A n o n l i n e a r p a r a m e t e r e s t i m a t i o n p r o g r a m ( d e v e l o p e d b y B e c k ( 1 9 8 9 ) ) w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e p a r a m e t e r s y 0 a n d B i n e q u a t i o n ( 1 6 4 ) a n d t h e p a r a m e t e r a i n e q u a t i o n ( 1 6 5 ) . T h e t w o p a r a m e t e r s w e r e 1 5 7 d e t e r m i n e d s e q u e n t i a l l y u s i n g t h e M o d i f i e d B o x K a n e m e s u m e t h o d [ B e c k a n d A r n o l d ( 1 9 7 7 ) ] . 7 . 3 . 2 . 4 . 1 V e l o c i t y P r o f i l e a t x / w = 1 U s i n g t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e 1 7 7 ( c o m b i n e d d a t a f o r R e = 1 6 0 0 a n d 3 0 0 0 ) , t h e t w o p a r a m e t e r s w e r e d e t e r m i n e d b y u s i n g t h e o r d i n a r y l e a s t s q u a r e s m e t h o d t o m i n i m i z e t h e s u m o f s q u a r e s o f t h e r e s i d u a l s . T h e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s a r e y 0 = 0 . 2 0 1 9 i 0 . 0 7 9 4 f o r 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l 6 = 0 . 0 6 8 5 1 0 . 0 3 7 9 f o r 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l F i g u r e 1 8 1 s h o w s t h e e x p e r i m e n t a l d a t a a n d t h e f i t t e d c u r v e . T h e d a t a i n c l o s e d s y m b o l s i n d i c a t e t h e l o c a t i o n s w h e r e s o m e f l o w r e v e r s a l s m a y h a v e t a k e n p l a c e ; t h e s e p o i n t s w e r e n o t i n c l u d e d i n t h e l e a s t s q u a r e s f i t . A s s h o w n i n F i g u r e 1 8 1 , t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e m o d e l s t h e m e a s - u r e d m e a n v e l o c i t y p r o f i l e v e r y w e l l . T h e f l a t r e g i o n o f t h e j e t e x - t e n d s o v e r - 0 . 2 $ y / w 5 0 . 2 . T h e h a l f w i d t h b o f t h e j e t , d e f i n e d a s t h e v a l u e o f y a t w h i c h 3 ( x , y ) — 0 . 5 U 0 , w a s d e t e r m i n e d f r o m t h e f i t t e d p r o - f i l e . A t x / w = 1 , b = 0 . 3 3 8 w . T h e a n a l y t i c a l m o d e l e x p r e s s e d b y t h e e q u a t i o n ( 1 6 4 ) h a s b e e n u s e d t o i n v e s t i g a t e t h e s t a b i l i t y o f t h e f l o w . S e e S e c t i o n 8 . 3 . 7 . 3 . 2 . 4 . 2 V e l o c i t y P r o f i l e a t x / w — 2 . 4 _ * * F i g u r e 1 7 9 s h o w s t h e m e a s u r e d u ( y ) d i s t r i b u t i o n a t x / w = 2 . 4 . A s i m i l a r a t t e m p t t o f i t e q u a t i o n ( 1 6 4 ) w i t h t w o p a r a m e t e r s y 0 a n d 6 d i d n o t s u c c e e d . H o w e v e r , w i t h y O s e t e q u a l t o z e r o ( i . e . . n o f l a t r e - g i o n ) , t h e p r o g r a m w a s u s e d t o d e t e r m i n e 6 w h i c h w a s f o u n d t o b e 5 = 0 . 2 1 6 t 0 . 0 4 3 f o r 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l . T h e m e a s u r e d d a t a a n d t h e f i t t e d c u r v e a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 8 2 . T h e d a t a i n c l o s e d s y m b o l s w e r e n o t i n c l u d e d i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f B . T h e f i t i n t h i s c a s e i s n o t s o g o o d a s i n t h e c a s e o f t h e d a t a a t x / w = l . T h e t r e n d , h o w e v e r , i s c l e a r : i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t , t h e t o p — h a t m e a n v e l o c i t y p r o f i l e o f t h e j e t ( F i g u r e 1 8 1 ) e v o l v e s i n t o a r o u n d e d v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ( F i g u r e 1 8 2 ) a s t h e d i s t a n c e f r o m t h e e x i t p l a n e i n c r e a s e s . E q u a t i o n ( 1 6 5 ) e x p r e s s e s t h e n o r m a l i z e d v e l o - c i t y p r o f i l e f o r t h e B i c k l e y J e t w h i c h h a s a r o u n d e d v e l o c i t y d i s t r i - b u t i o n . U s i n g t h e s a m e d a t a w h i c h w e r e u s e d f o r t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e , t h e n o n l i n e a r p a r a m e t e r e s t i m a t i o n p r o g r a m y i e l d e d a = 0 . 5 2 9 i 0 . 1 2 2 f o r 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l . F i g u r e 1 8 3 s h o w s t h a t t h e f i t t e d c u r v e a n d t h e e x p e r i m e n t a l d a t a a g r e e q u i t e w e l l i n t h e h i g h s p e e d r e g i o n o f t h e j e t . I n t h e l o w s p e e d r e - g i o n , h o w e v e r , t h i s p r o f i l e p r e d i c t s h i g h e r v a l u e s o f v e l o c i t i e s . A s f a r a s t h e o v e r a l l f i t i s c o n c e r n e d , t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e s e e m s t o b e t t e r r e p r e s e n t t h e m e a s u r e d d a t a ; t h i s i s i n f e r r e d f r o m t h e d a t a w h i c h w e r e n o t i n c l u d e d i n d e t e r m i n i n g t h e p a r a m e t e r s o f t h e v e l o c i t y p r o f i l e f u n c t i o n . T h e s e d a t a , f r o m t h e l o c a t i o n s w h e r e s o m e f l o w r e v e r s a l t o o k p l a c e , g i v e a h i g h e r e s t i m a t e o f t h e m e a n v e l o c i t y , i . e . , t h e i r t r u e l o c a t i o n s s h o u l d b e s o m e w h a t l o w e r t h a n s h o w n i n F i g - u r e 1 8 2 a n d F i g u r e 1 8 3 . T h e M o n t g o m e r y p r o f i l e a p p e a r s t o p r e d i c t t h i s b e h a v i o r b e t t e r t h a n t h e B i c k l e y p r o f i l e . T h e h a l f w i d t h , b , o f t h e j e t a t x / w = 2 . 4 w a s d e t e r m i n e d b o t h f o r t h e M o n t g o m e r y a n d a n d B i c k l e y p r o f i l e s . F o r t h e f o r m e r , b = 0 . 4 3 7 a n d f o r t h e l a t t e r , b = 0 . 4 6 7 . A c o m p a r i s o n o f t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s a t x / w = l a n d x / w = 2 . 4 , s h o w s t h e e r o s i o n o f t h e f l a t r e g i o n o f t h e j e t w i t h i n a s t r e a m w i s e d i s t a n c e o f 1 . 4 w . T h e n a t u r e o f t h e v e l o c i t y p r o f i l e r a p i d l y c h a n g e s o v e r t h i s d i s t a n c e . B e t w e e n t h e s e t w o l o c a t i o n s , t h e r a t e o f d e c a y o f t h e f l a t r e g i o n o f t h e j e t i s a b o u t t w i c e t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e h a l f w i d t h o f t h e j e t . . 4 . fi — v a 7 . 4 A u t o s p e c t r u m - D e f i n i t i o n , E x a m p l e s a n d U s e s S e c t i o n 7 . 4 . 1 p r e s e n t s t h e d e f i n i t i o n o f p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c i o n , o r a u t o s p e c t r u m , o f a d i s c r e t e t i m e s e r i e s l i k e t h e m e a s u r e d v e l o c t i y d a t a , u ( t ) , i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . S e c t i o n 7 . 4 . 2 p r e s e n t s e x a m p l e s o f t h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) a n d t h e u s e s o f t h i s f u n c t i o n i n t h i s s t u d y . 7 . 4 . 1 P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y F u n c t i o n T h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o r a u t o s p e c t r u m 0 ( f k ) o f a d i s c r e t e v a r i a b l e x n i s d e f i n e d a s [ B e n d a t a n d P i e r s o l ( 1 9 7 1 ) ] C ( f k ) = Z — E l x k l z ( 1 6 6 ) w h e r e N - l . k X k = X x n e p r - J Z " N H J ( 1 6 7 ) n = 0 i s t h e d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e d i s c r e t e t i m e s e r i e s X “ . N i s t h e n u m b e r o f p o i n t s i n t h e m e a s u r e d d a t a a r r a y a n d h i s t h e s a m - p l i n g t i m e i n t e r v a l . T h e d i s c r e t e f r e q u e n c y f k i s e x p r e s s e d a s k = 0 , l , . . . , N - 1 . ( 1 6 8 ) I f t h e v a r i a b l e x n i s r e p l a c e d b y t h e m e a s u r e d , d i s c r e t i z e d v e l o c i t y s a m p l e s o f u ' ( t ) [ = u ( t ) - E ] , t h e G ( f k ) r e p r e s e n t s t h e a u t o s p e c t r u m o f 1 6 1 t h e v e l o c i t y f i e l d . M e t h o d s o f F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) w e r e u s e d t o e s t i m a t e X k ' A t o t a l o f 4 0 9 6 d a t a p o i n t s w e r e u s e d i n t h e F F T c o m - p u t a t i o n s , a n d , a p a r t i a l H a n n i n g w i n d o w w a s u s e d t o d e c r e a s e t h e p o w e r l e a k a g e t o t h e s i d e l o b e s . V a r i a n c e o f u ( t ) w a s u s e d t o n o r m a l - i z e t h e e s t i m a t e s o f t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n . 7 . 4 . 2 E x a m p l e s a n d U s e s . F i g u r e 1 8 4 a n d F i g u r e 1 8 5 p r e s e n t t h e n o r m a l i z e d a u t o s p e c t r a a t t w o d i f f e r e n t v a l u e s o f R e i n a j e t a t x / w z l . W h e r e a s , t h e a u t o s p e c — t r u m i n F i g u r e 1 8 4 s h o w s t h e p r e s e n c e o f a d o m i n a n t d i s t u r b a n c e a t a f r e q u e n c y f k = 1 ‘ 3 2 H z , t h e a u t o s p e c t r u m o f F i g u r e 1 8 4 h a s t w o e q u a l l y d o m i n a n t d i s t u r b a n c e s a t f k = 1 . 3 6 a n d 2 . 6 7 H z , r e s p e c t i v e l y . I n t h e c a s e o f t h e f o r m e r , t h e f r e q u e n c y o f t h e d o m i n a n t d i s t u r b a n c e i n t h e v e l o c i t y f i e l d c a n b e t a k e n t o r e p r e s e n t t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e v o r t e x m o t i o n s . I n t h e c a s e o f t h e l a t t e r , s u c h a p a s s a g e f r e q u e n c y c a n n o t b e d e f i n e d . T h e a u t o s p e c t r a o f t h e v e l o c i t y f i e l d h a s b e e n u s e d i n S e c t i o n 7 . 5 t o i d e n t i f y t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s , a n d i n S e c t i o n 7 . 6 t o d e t e r m i n e t h e n o n d i m e n s i o n a l p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e v o r t e x m o t i o n s o r S t r o u h a l n u m b e r S t v . 1 6 2 7 . 5 I d e n t i f i c a t i o n o f B a c k g r o u n d D i s t u r b a n c e s U s i n g t h e A u t o s p e c t r a T h e n o r m a l i z e d p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n , C ( f p r o v i d e s a k ) . u s e f u l t o o l t o i d e n t i f y f r e q u e n c i e s a t w h i c h s u b s t a n t i a l d i s t u r b a n c e s m a y b e p r e s e n t . I d e a l l y , i n a n i n v e s t i g a t i o n d e s i g n e d t o s t u d y t h e i n s t a b i l i t y o f a j e t , t h e m a g n i t u d e o f t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s i n t h e p l e n u m s h o u l d b e q u i t e s m a l l w h e n c o m p a r e d w i t h t h e i n t e n s i t y o f f l u c t u a t i o n s i n t h e a c t i v e r e g i o n s o f t h e j e t . I n a d d i t i o n , t h e b a c k - g r o u n d d i s t u r b a n c e s s h o u l d b e l i k e " w h i t e n o i s e " , i . e . , t h e i r s p e c t r u m s h o u l d b e f l a t . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , t h e s p e c t r u m o f t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s i s n o t f l a t , a n d , p e r t u r b a t i o n s a t s o m e f r e q u e n c i e s c a n b e i d e n t i f i e d . T h e d i s t u r b a n c e s a t t h e s e f r e q u e n c i e s m a y o r m a y n o t i n f l u e n c e t h e n a t u r a l g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s c a u s e d b y t h e i n s t a b i l i t y o f t h e j e t . F o r t h e f l o w f a c i l i t y u s e d i n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n , t w o p o s s i b l e s o u r c e s o f g e n e r a t i o n o f b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s a r e : i ) t h e p r o c e s s o f f i l l i n g t h e p l e n u m ; i i ) d u r i n g t h e e x e c u t i o n o f t h e e x p e r i m e n t . T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o e x a m i n e t h e a u t o s p e c t r a o f t h e v e l o c i t y d a t a t o i d e n t i f y t h e i n f l u e n c e o f t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s o v e r a w i d e r a n g e o f R e : i ) a t x / w = 2 . 0 f o r t w o d i f f e r e n t p r o t o c o l s o f f i l l i n g t h e p l e - n u m , v i z , w i t h a n d w i t h o u t t h e u s e o f t h e f i l l i n g d e v i c e ; 1 6 3 i i ) ' a t x / w = - 1 , i n j e t s w i t h t w o d i f f e r e n t w i d t h s a n d w i t h t h e u s e o f t h e f i l l i n g d e v i c e . 7 . 5 . 1 I n f l u e n c e o f D i s t u r b a n c e s I n d u c e d b y T w o D i f f e r e n t F i l l i n g P r o c e s s e s E x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d o v e r a w i d e r a n g e o f R e ( 3 0 0 - 6 5 0 0 ) i n a j e t w i t h w = 2 . 5 5 c m i n o r d e r t o s t u d y t h e i n f l u e n c e o f t h e n a t u r e o f b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s o n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e j e t . T w o d i f f e r e n t t y p e s o f d i s t u r b a n c e s w e r e n a t u r a l l y g e n e r a t e d i n t h e p l e n u m d u r i n g t h e f i l l i n g p r o c e s s d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r o r n o t t h e f i l l i n g d e v i c e w a s u s e d . ( S e e S e c t i o n 3 . 2 . 2 . ) F i g u r e 1 8 6 i l l u s t r a t e s t h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) a t R e = 9 5 0 f o r t w o d i f f e r e n t p r o t o c o l s o f o f f i l l i n g t h e p l e n u m . T h e c u r v e m a r k e d w i t h N F i n d i c a t e s t h a t t h e f i l l i n g d e v i c e w a s n o t u s e d , w h e r e a s t h e c u r v e m a r k e d w i t h F i n d i c a t e s t h a t t h e f i l l i n g d e v i c e w a s u s e d . S i m i l a r l y , F i g u r e 1 8 7 p r e s e n t s t h e a u t o s p e c t r a f o r t h e t w o c a s e s a t R e = 2 0 0 0 . W h e r e a s , a t R e = 9 5 0 , t h e f r e q u e n c y o f t h e d o m i n a n t m o d e i s e q u a l t o 0 . 5 2 7 i 0 . 0 3 7 5 H z f o r b o t h c a s e s , a t R e = 2 0 0 0 , t h e f r e q u e n c y o f t h e d o m i n a n t p e r t u r b a t i o n f o r t h e N F c a s e i s l . 2 8 0 : 0 . 0 3 7 5 H z a n d f o r t h e F c a s e i t i s l . 6 5 6 i 0 . 0 3 7 5 H z . T h i s d i f f e r e n c e a t R e = 2 0 0 0 i s a t t r i b u t e d t o t h e r e p r o d u c i b i l i t y o f t h e e x p e r i m e n t r a t h e r t h a n t o t h e i n f l u e n c e o f t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s . I n s o m e c a s e s , a s s h o w n i n F i g u r e 1 8 5 t w 0 o r m o r e p e a k s o f c o m p a r a b l e s t r e n g t h o c c u r i n t h e a u t o s p e c t r a . F i g u r e 1 8 8 i s a c o m p o s i t e p l o t o f t h e f r e q u e n c y , f k ’ o f t h e d o m i n a n t f l u c t u a t i o n a s a f u n c t i o n o f R e f o r t h e t w o c a s e s ; t h e o p e n s y m b o l s 1 6 4 r e p r e s e n t t h e N F c a s e w h e r e a s t h e c l o s e d s y m b o l t h e F c a s e . T h i s p l o t i n c l u d e s i n f o r m a t i o n f r o m t h e a u t o s p e c t r a i n w h i c h m u l t i p l e p e a k s w e r e o b s e r v e d ; s u c h c a s e s o c c u r r e d b o t h f o r F a n d N F c o n d i t i o n s . T h e p l o t c l e a r l y s h o w s t h a t n o s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s e x i s t b e t w e e n t h e F a n d N F c a s e s . T h e l i n e a r r i s e o f f r e q u e n c y w i t h R e c o n f i r m s t h e o b s e r v a - t i o n o f B W . ( S e e F i g u r e 8 o f t h e i r p a p e r . ) T h e v e l o c i t y d a t a t h a t w e r e u s e d t o c o m p u t e t h e a u t o s p e c t r a a n d g e n e r a t e F i g u r e 1 8 8 w e r e a l s o u s e d t o d e t e r m i n e t w o a d d i t i o n a l m e a s - u r e s o f t h e f l o w f i e l d : t h e d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t C D , a n d t h e n o r m a l - i z e d r m s o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s u / U O , a s a f u n c t i o n o f R e . F i g u r e 1 8 9 p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n o f C D w i t h r e s p e c t t o R e . A g a i n t h e o p e n s y m b o l s r e p r e s e n t t h e N F c o n d i t i o n a n d t h e c l o s e d s y m b o l s t h e F c o n d i t i o n . S i m i l a r l y , F i g u r e 1 9 0 p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n o f u / U O a s a f u n c t i o n o f R e . F o r R e > 3 5 0 0 , t h e v a l u e s o f r m s , u / U O , f o r F c a s e s a r e o b s e r v e d t o b e s m a l l e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s f o r N F c a s e s ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e R e z 4 2 0 0 c o n d i t i o n ) . T h e r e a s o n f o r t h i s i s n o t c l e a r ; h o w e v e r , i t c a n b e a r g u e d t h a t s i n c e n o c o n s i s t e n t . t r e n d i s o b s e r v e d i n t h e f a n d C D d i s t r i b u t i o n s ( F i g u r e 1 8 8 a n d F i g u r e 1 8 9 ) , t h e o b s e r v e d t r e n d i n u / U O d i s t r i b u t i o n i s n o t r e l a t e d t o t h e n a t u r e o f d i s t u r b a n c e s . I t i s t h e r e f o r e c o n c l u d e d , b a s e d u p o n t w o d i f f e r e n t m e a s u r e s o f t h e f l o w f i e l d a t x / w = 2 , t h a t t h e t w o d i f f e r e n t r e s i d u a l d i s t u r b a n c e s i n t h e p l e n u m d o n o t i n f l u e n c e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e j e t . A s n o t e d i n S e c t i o n 3 . 6 , a c c o r d i n g t o t h e p r o t o c o l o f e x e c u t i n g t h e e x p e r i m e n t s , a t i m e p e r i o d o f f i v e m i n u t e s o r m o r e w a s a l l o w e d t o e l a p s e b e t w e e n t h e f i l l i n g o f t h e p l e n u m a n d t h e e x e c u t i o n o f t h e e x - p e r i m e n t . I t i s b e l i e v e d , b a s e d u p o n s o m e e x p l o r a t o r y e x p e r i m e n t s ( r e s u l t s n o t i n c l u d e d h e r e ) , t h a t t h e w a i t i n g p e r i o d h e l p e d m i n i m i z e t h e r e s i d u a l d i s t u r b a n c e s t o a l e v e l t h a t t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s d i d n o t i n f l u e n c e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e j e t . T h i s s h o w s t h a t i n a g r a v i t y d r i v e n f l o w f a c i l i t y l i k e t h e p r e s e n t o n e , i f t h e g e n e r a t i o n o f d i s t u r b a n c e s c a n b e c o n t r o l l e d d u r i n g t h e e x e c u t i o n o f t h e e x p e r i - m e n t , t h e r e s u l t i n g f l o w f i e l d w o u l d b e f r e e f r o m e x t r a n e o u s d i s t u r - b a n c e s s i n c e t h e d i s t u r b a n c e s i n d u c e d d u r i n g t h e c h a r g i n g o f t h e p l e n u m c a n b e e f f e c t i v e l y m i n i m i z e d b y a l l o w i n g a l o n g e r w a i t i n g t i m e . 7 . 5 . 2 B a c k g r o u n d D i s t u r b a n c e s i n t h e P l e n u m T h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) d a t a f r o m t h e p l e n u m , a b o u t o n e s l i t w i d t h u p s t r e a m o f t h e n o z z l e p l a t e s , w e r e e x a m i n e d o v e r a w i d e r a n g e o f R e ( 5 0 0 - 2 9 0 0 ) i n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s c o u l d b e t r e a t e d a s w h i t e n o i s e . W a t e r w a s u s e d a s t h e w o r k i n g f l u i d a n d t h e f i l l i n g d e v i c e w a s u s e d f o r c h a r g i n g t h e p l e n u m . F i g u r e 1 9 1 i s a p l o t o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e n s i t y o f v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a s a f r a c t i o n o f t h e t o t a l r m s o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a - t i o n , fi ( f ) / E , a t x / w = - l . T h e s e p l o t s s h o w t h a t t h e r e s i d u a l d i s t u r - b a n c e s a r e n o t l i k e w h i t e n o i s e ; n o t e t h e p r e s e n c e o f s o m e d i s t u r b a n c e s i n t h e a u t o s p e c t r a i n t h e f r e q u e n c y r a n g e o f 2 — 3 H z . F o r s o m e r e a s o n i n t h e R e r a n g e z I O O O , ( R e = 9 8 8 a n d 1 0 1 1 ) , t h e p e a k c o n t r i - b u t i o n o f t h i s d i s t u r b a n c e t o t h e t o t a l r m s i s o f t h e o r d e r o f 1 5 % ; i n a l l o t h e r c a s e s i t i s l e s s t h a n 1 0 % . I t i s b e l i e v e d t h a t t h e 1 6 6 p r e s e n c e o f t h i s d i s t u r b a n c e i n t h e f r e q u e n c y r a n g e o f 2 - 3 H z i s n o t a w i d t h d e p e n d e n t p h e n o m e n a : t w o o f t h e c a s e s p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 9 1 ( R e = 5 0 9 a n d 1 2 3 1 ) a r e f o r a j e t w i t h w = l . 2 7 c m , w h e r e a s t h e r e s t a r e f o r a j e t w i t h w = 2 . 5 7 c m . T h e o r i g i n o f t h e d i s t u r b a n c e s h o w n i n F i g - u r e 1 9 1 i s n o t k n o w n . I t c o u l d b e t h e r e s i d u a l e f f e c t o f t h e u s e o f t h e f i l l i n g d e v i c e i n t h e p l e n u m w h i c h n e e d s a l o n g e r t i m e t o d e c a y , o r , i t c o u l d b e i n t r o d u c e d d u r i n g t h e e x e c u t i o n o f t h e e x p e r i m e n t . I t w i l l b e s h o w n i n a l a t e r s e c t i o n , b y c o m p a r i n g t h e r e s u l t s o f e x p e r i m e n t s f r o m j e t s o f t w o d i f f e r e n t s l i t w i d t h s , t h a t t h e p r e s e n c e o f t h i s d i s t u r b a n c e d o e s n o t a l t e r t h e p r o c e s s o f t h e n a t u r a l g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s . I n o t h e r w o r d s , e v e n t h o u g h t h e d i s t u r b a n c e f i e l d i s n o t l i k e w h i t e n o i s e t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i s r o b u s t e n o u g h t o s e l e c t t h e d i s t u r b a n c e a t a s p e c i f i c f r e q u e n c y w h i c h r e p r e s e n t s t h e s t a b i l i t y f r e q u e n c y o f t h e f l o w f i e l d 7 . 6 D e t e r m i n a t i o n o f S t r o u h a l N u m b e r S t v f r o m t h e A u t o s p e c t r a T h e n o n d i m e n s i o n a l p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e v o r t e x m o t i o n s ( o r S t r o u h a l n u m b e r ) w a s d e t e r m i n e d f r o m t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n d a t a ( S t F ) . T h e s e r e s u l t s w e r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 3 . 1 . I n p r i n c i p l e , t h e s a m e i n f o r m a t i o n c a n b e d e r i v e d f r o m t h e t i m e t r a c e s o f t h e m e a s - u r e d v e l o c i t y ( F i g u r e s 1 6 0 t h r o u g h 1 6 7 ) . T h e S t r o u h a l n u m b e r , S t v , f r o m t h e v e l o c i t y d a t a h a s b e e n d e t e r m i n e d f r o m f w V S t y = a ( 1 6 9 ) 1 6 7 w h e r e f v i s t h e f r e q u e n c y o f t h e d o m i n a n t f l u c t u a t i o n i n t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n , 5 ( f k ) , o f t h e m e a s u r e d v e l o c i t y , u ( t ) . S e e S e c t i o n 7 . 4 . f V i s t a k e n t o r e p r e s e n t t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f t h e v o r t e x m o t i o n s . I t w a s a r g u e d i n S e c t i o n 7 . 4 t h a t , w h e r e a s , a p o w e r s p e c t r u m w i t h a s i n g l e d o m i n a n t p e a k ( s e e F i g u r e 1 8 4 ) c a n b e u s e d t o e s t i m a t e t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f v o r t e x m o t i o n , n o _ s u c h u n a m b i g u o u s i n f o r m a t i o n c a n b e d e r i v e d f r o m a p o w e r s p e c t r u m w h i c h e x h i b i t s m u l t i - p l e p e a k s o f n o m i n a l l y e q u a l s t r e n g t h . S e e F i g u r e 1 8 5 . H e n c e , f o r c o n s i s t e n c y , o n l y t h o s e a u t o s p e c t r a h a v e b e e n u s e d t o e s t i m a t e t h e S t r o u h a l n u m b e r , S t v , i n w h i c h t h e r a t i o o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s e c o n d d o m i n a n t p e a k t o t h e m a g n i t u d e o f t h e d o m i n a n t p e a k d o e s n o t e x c e e d 0 . 3 5 . F o r e x a m p l e , t h e a u t o s p e c t r u m o f F i g u r e 1 8 4 s a t i s f i e s t h i s c r i t e r i o n , b u t , t h e a u t o s p e c t r u m o f F i g u r e 1 8 5 d o e s n o t . S e c t i o n 7 . 6 . 1 p r e s e n t s t h e e s t i m a t e s o f S t V a s a f u n c t i o n o f R e a t t w o x / w l o c a t i o n s . I n S e c t i o n 7 . 6 . 2 t h e s p a t i a l b e h a v i o r o f t h e g r o w t h / d e c a y o f t h e d i s t u r b a n c e s a t s p e c i f i c v a l u e s o f S t V i s i l — l u s t r a t e d u s i n g t h e p l o t s o f u ( S t V , R e , x * ) / E ( R e , x * ) . S e c t i o n 7 . 6 . 3 p r e s e n t s t h e r e s u l t s f r o m t h e c o m b i n e d L D A - f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i - m e n t s . 1 6 8 * 7 . 6 . 1 D i s t r i b u t i o n o f S t V ( x , R e ) F i g u r e 1 9 2 p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n o f S t V a s a f u n c t i o n o f R e a t x / w = 1 . E a c h d a t a p o i n t i n t h i s p l o t r e p r e s e n t s t h e n o n d i m e n s i o n a l f r e q u e n c y o f a d o m i n a n t f l u c t u a t i o n w h i c h s a t i s f i e s t h e c r i t e r i o n e s t a b l i s h e d i n t h e i n t r o d u c t o r y r e m a r k s o f S e c t i o n 7 . 6 . G i v e n t h e s c a t t e r i n t h e d a t a n o s y s t e m a t i c d e p e n d e n c e o n R e c a n b e d i s c e r n e d . T h e a v e r a g e a n d t h e r m s v a l u e s o f S t V a r e 0 . 7 0 a n d 0 . 0 7 , r e s p e c t i v e l y . F i g u r e 1 9 3 p r e s e n t s t h e d i s t r i b u t i o n o f S t V ( R e ) a t x / w - 2 . 2 ; d a t a f r o m t w o d i f f e r e n t j e t s a r e i n c l u d e d . A t t h i s l o c a t i o n , u s i n g t h e d a t a f r o m b o t h j e t s , t h e a v e r a g e a n d t h e r m s v a l u e s o f S t V a r e 0 . 5 2 a n d 0 . 0 7 , r e s p e c t i v e l y . I n S e c t i o n 7 . 5 . 2 i t w a s s h o w n t h a t t h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) i n t h e p l e n u m o v e r a w i d e r a n g e o f R e w a s n o t l i k e w h i t e n o i s e b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f a d i s t u r b a n c e a r o u n d s z 2 . 5 H z . ( S e e F i g u r e 1 9 1 . ) T h e r o b u s t n e s s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i n t h e p r e s e n c e o f t h i s d i s t u r - b a n c e w i l l b e s h o w n h e r e . F i g u r e 1 9 3 s h o w s g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e s t i m a t e s o f S t v f o r t w o d i f f e r e n t s i z e j e t s . T h e r a t i o o f t h e i r w i d t h s i s 2 . 0 2 : 1 . N o t e t h a t w h e n t h e s l i t w i d t h w i s r e d u c e d b y a f a c t o r r , t h e f r e q u e n c y f v m u s t i n c r e a s e b y r 2 t o y i e l d t h e s a m e S t r o u h a l n u m b e r f o r t h e s a m e v a l u e o f R e . T h i s i s s h o w n b e l o w . T h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y < U > c a n b e e x p r e s s e d a s < U > = & , ( 1 7 0 ) 1 6 9 S u b s t i t u t i n g t h i s i n e q u a t i o n ( 1 6 9 ) S t v b e c o m e s 2 f v w f v w S t v = a = . . 1 » . . . < 1 ” ) I n t h e p r e s e n t c a s e r = 2 . 0 2 . H e n c e , f o r t h e s m a l l e r s i z e j e t ( w = l . 2 7 c m ) t h e f r e q u e n c y o f t h e d o m i n a n t m o d e s h o u l d b e 4 . 1 t i m e s t h e f r e - q u e n c y i n t h e w i d e r j e t ( w - 2 . 5 7 c m ) . F i g u r e 1 9 4 p r e s e n t s t h e f r e - q u e n c y o f t h e d o m i n a n t m o d e i n t h e t w o j e t s a s a f u n c t i o n o f R e . ( S a m e d a t a w e r e u s e d t o p r e p a r e t h e p l o t s h o w n i n F i g u r e 1 9 3 . ) T h e s o l i d l i n e s i n F i g u r e 1 9 4 a r e t h e b e s t s t r a i g h t l i n e f i t s t h r o u g h t h e d a t a . B o t h l i n e s w e r e f o r c e d t o p a s s t h r o u g h t h e o r i g i n . T h e r a t i o o f t h e i r s l o p e s i s 4 . 7 2 w h i c h i s a b o u t 1 5 % l a r g e r t h a n t h e e x p e c t e d v a l u e o f 4 . 1 . T h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e c t e d a n d t h e m e a s - u r e d v a l u e s o f t h e f r e q u e n c y r a t i o , a t a g i v e n v a l u e o f R e , s h o w s t h a t t h e i n s t a b i l i t y p r o c e s s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i s i n s e n s i t i v e t o t h e p r e s e n c e o f l o w l e v e l e x t r a n e o u s d i s t u r b a n c e s i n t h e p l e n u m , i . e . , t h e d i s t u r b a n c e a t t h e i n s t a b i l i t y f r e q u e n c y c a n g r o w e v e n i n t h e p r e s e n c e o f v e r y l o w l e v e l b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s . ~ * ~ * 7 . 6 . 2 D i s t r i b u t i o n o f u ( S t V , R e , x ) / u ( R e , x ) T h e p l o t s o f S t V ( R e ) p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h o w a n o v e r a l l b e h a v i o r o f t h e d o m i n a n t d i s t u r b a n c e i n t h e f l o w f i e l d a t s p e c i f i c x / w l o c a t i o n s . H o w e v e r , t h e d i s t u r b a n c e s a t s p e c i f i c S t v g r o w i n t h e d o w n s t r e a m d i r e c t i o n , r e a c h a m a x i m u m v a l u e a n d t h e n d e c a y . T h i s a s p e c t o f t h e g r o w t h a n d d e c a y o f d i s t u r b a n c e s i s ~ * ~ * e x a m i n e d f r o m t h e p l o t s o f u ( S t V , R e , x ) / u ( R e , x ) . T h i s q u a n t i t y i s 1 7 0 c a l c u l a t e d f r o m t h e n o r m a l i z e d p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n , 5 ( S t v ) ; t h e s q u a r e r o o t o f t h e p r o d u c t o f 5 ( S t v ) a n d A S t v y i e l d s t h e d e s i r e d r a t i o . I t a l s o e x p r e s s e s t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a t a c e r t a i n x / w l o c a t i o n f o r a g i v e n S t v t o t h e t o t a l v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s . A n e x a m i n a t i o n o f t h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) f o r a g i v e n v a l u e o f R e a n d a t v a r i o u s x / w l o c a t i o n s s h o w s t h a t t h e i n t e n s i t y o f d i s t u r b a n c e s a t c e r t a i n f r e q u e n c i e s a t t a i n s i g n i f i c a n t l y h i g h e r v a l u e s t h a n t h e d i s t u r b a n c e s a t o t h e r f r e q u e n c i e s . T h e s e f r e q u e n c i e s w e r e i d e n t i f i e d a n d t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g d i s t u r b a n c e s t o t h e t o t a l d i s t u r b a n c e , 5 ( S t V , R e , x * ) / G ( R e , x * ) , w a s d e t e r m i n e d . F o r e x a m p l e , F i g - u r e 1 9 5 i s a p l o t o f t h e r a t i o u ( S t v , R e , x * ) / E ( R e , x * ) a s a f u n c t i o n o f x / w a t R e = 1 0 0 0 . I t i l l u s t r a t e s t h e g r o w t h a n d d e c a y o f d i s t u r b a n c e s a t t h r e e v a l u e s o f S t v , n a m e l y , 1 . 7 , 1 . 2 , a n d 0 . 5 5 . N o t e t h a t t h e f l u c t u a t i o n a t S t V - 1 . 7 i n F i g u r e 1 9 5 c o r r e s p o n d s t o t h e u b i q u i t o u s d i s t u r b a n c e a r o u n d 2 . 5 H z . I t i s o b s e r v e d t h a t a t t h i s v a l u e o f R e t h e d i s t u r b a n c e a t S t V - 1 . 7 g r o w s v e r y l i t t l e ( < 1 0 % ) a n d t h e n i s a t - t e n u a t e d . T h e p e r t u r b a t i o n a t S t V - l . 2 a n d 0 . 5 5 b o t h g r o w u p t o x / w - l . B e y o n d t h i s l o c a t i o n t h e p e r t u r b a t i o n s a t S t V = 1 . 2 d e c a y w h e r e a s t h o s e a t S t V = 0 . 5 5 c o n t i n u e t o g r o w . F i g u r e 1 9 6 i s a n o t h e r e x a m p l e o f g r o w t h / d e c a y p a t t e r n a t R e z 1 3 0 0 . H e r e , t h e d i s t u r b a n c e a t S t V - 1 . 3 r e p r e s e n t s t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e a t 2 . 5 H z . A s b e f o r e , t h i s d i s t u r b a n c e e x h i b i t s s o m e g r o w t h i n t h e r a n g e O S x / w s l b e f o r e i t d e c a y s . T h e p e r t u r b a t i o n a t S = 0 . 7 s h o w s 1 7 1 c o n s i d e r a b l e g r o w t h b e t w e e n x / w e q u a l t o 0 a n d 1 f o l l o w e d b y a d e c a y f o r x / w > l . S i m i l a r l y , t h e p e r t u r b a t i o n s a t S t V - 0 . 3 g r o w s c o n s i d e r a b l y b e t w e e n x / w = 0 . 5 a n d 2 . 2 . T h e s p a t i a l l a g i n t h e g r o w t h o f t h e s e p e r - t u r b a t i o n s a n d a r e d u c t i o n i n t h e v a l u e s o f t h e i r f r e q u e n c y n o m i n a l l y b y a f a c t o r o f 2 s u g g e s t t h e o c c u r r e n c e o f p a i r i n g b e t w e e n v o r t i c e s w h i c h r e s u l t s i n f r e q u e n c y h a l v i n g . H o w e v e r , i t i s n o t c l e a r w h e t h e r o r n o t t h e p e r t u r b a t i o n a t S t v = 0 . 7 r e p r e s e n t s t h e f i r s t s u b h a r m o n i c o f t h e b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e a t S t V - 1 . 3 . O n t h e o t h e r h a n d , t h e p e r t u r - b a t i o n a t S t v = 0 . 3 i s c o n s i d e r e d t o r e p r e s e n t t h e f i r s t s u b h a r m o n i c o f t h e d i s t u r b a n c e a t S t v = 0 . 7 . T h i s c o n j e c t u r e i s b a s e d u p o n t h e m a g n i - t u d e o f t h e r a t i o u ( S t V , R e , x * ) / G ( R e , x * ) . N o t e t h a t , w h e r e a s t h e p e r - t u r b a t i o n s a t S t v = 0 . 7 a n d 0 . 3 b e c o m e a s l a r g e a s 3 0 % o f G , t h e d i s t u r b a n c e a t S t v = 1 . 3 r e m a i n s l e s s t h a n 1 5 % o f E . F i g u r e 1 9 7 p r e s e n t s t h e f l u c t u a t i o n i n t e n s i t i e s a t s e l e c t e d S t r o u h a l n u m b e r s f o r R e = 2 3 0 0 . H e r e t h e d i s t u r b a n c e a t S t V = 0 . 8 0 c o r - r e s p o n d s t o t h e d i s t u r b a n c e a t 2 . 5 H z . I n t h i s c a s e , u n l i k e t h e f i r s t t w o e x a m p l e s ( F i g u r e 1 9 5 a n d F i g u r e 1 9 6 ) t h e f r e q u e n c y o f d i s t u r b a n c e i n t h e p l e n u m a p p e a r s t o c o r r e s p o n d t o a n i n s t a b i l i t y f r e q u e n c y o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . A g a i n , a s i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e , t h e g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s a t S t V — 0 . 4 a n d S t V = 0 . 2 s u g g e s t t h e o c c u r r e n c e o f p a i r i n g b e t w e e n v o r t e x m o t i o n s . T h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s a r e b a s e d o n t h e d a t a o f F i g u r e s 1 9 5 , 1 9 6 a n d 1 9 7 : 1 7 2 i ) T h e d i s t u r b a n c e s a t s p e c i f i c f r e q u e n c i e s b e g i n t o g r o w a t a c r i t i c a l s t r e a m w i s e l o c a t i o n x c / w . F r o m t h e l i m i t e d a v a i l - a b l e d a t a x c / w i s e s t i m a t e d t o b e 0 . 2 5 . N o t e t h a t , a s s h o w n i n F i g u r e 1 7 0 , t h e t o t a l r m s g r o w s e x p o n e n t i a l l y o v e r t h e r a n g e - 1 5 x / w 5 2 . 4 . T h i s s h o w s t h a t , t h e d i s t u r b a n c e s a t a l l f r e q u e n c i e s g r o w e q u a l l y u p t o x c / w a n d ~ t h e n t h e d i s t u r - b a n c e s a t s p e c i f i c f r e q u e n c i e s a r e a m p l i f i e d a t a h i g h e r r a t e 0 i i ) T h e d i s t u r b a n c e s a t s p e c i f i c f r e q u e n c i e s g r o w t o a m a x i m u m v a l u e o f 3 0 % o f t h e r m s b e f o r e b e g i n n i n g t o d e c a y . i i i ) T h e r e a p p e a r s t o b e a n a t t e n u a t i o n o f f l u c t u a t i o n s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f x / s z . 7 . 6 . 3 S t r o u h a l N o . f r o m t h e C o m b i n e d L D A - F l o w V i s u a l i z a t i o n E x p e r i m e n t s A n u m b e r o f e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d w i t h s i m u l t a n e o u s f l o w v i s u a l i z a t i o n a n d m e a s u r e m e n t o f j e t v e l o c i t y o n t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . T h e d e t a i l s o f t h e t e c h n i q u e h a v e b e e n p r e s e n t e d i n S e c t i o n 3 . 9 . 3 . T h e e x p e r i m e n t s w e r e r u n i n a j e t w i t h w = 2 . 5 7 c m a n d w i t h w a - t e r a s w o r k i n g f l u i d . T h e R e r a n g e w a s 1 0 0 0 - 3 5 0 0 . L D A v e l o c i t y m e a s - u r e m e n t s w e r e m a d e a t o n e o f t h r e e l o c a t i o n s x / w = 0 . 7 8 , 0 . 8 6 , a n d 1 . 9 1 . T h e v a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r , S t F , w e r e c o m p u t e d f r o m t h e p h o t o - g r a p h i c r e c o r d s o f t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s a s d e s c r i b e d i n T t s . a v b o l f e f 9 1 , e r 4 h R o t e s a h n a x o d v / w e w s a < r t a 1 t , g h e e a a t c i a h s n h x t d e / 2 r v 5 s w m . l a 0 o l v c u a e a w l s t u i o h o s i e t f n . o v S x a / t l w F u = / e 1 S t n S a f F T t h h a r e e n m d a r s S e t v t r a i V a l o v a g u e e d S o t v e F n a q / o l u S u t a t e l V a g o t a r f r o e e e t 0 e 5 f . o 1 4 r r 0 . h . 2 a a t a i l A n l o t d 1 7 3 C h a p t e r s 5 a n d 6 . T h e t e c h n i q u e s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r ( S e c t i o n s 7 . 4 a n d 7 . 6 ) w e r e u s e d t o c o m p u t e S t v . T a b l e 4 p r e s e n t s t h e v a l u e s o f S t V a n d S t F a n d t h e r a t i o o f t h e t w o . A h y p h e n i n t h e S t V c o l u m n i n T a b l e 4 i n d i c a t e s t h a t t h e a u t o s p e c t r u m f o r t h a t p a r t i c u l a r c a s e d i d n o t e x h i b i t a d o m i n a t i n g p e a k . ( S e e S e c t i o n 7 . 6 f o r t h e c r i t e r i o n o f a c c e p t i n g t h e f r e q u e n c y o f a p e a k i n t h e a u t o s p e c t r u m a s t h e p a s s a g e f r e q u e n c y o f v o r t e x m o t i o n s . ) T a b l e 4 - S t F a n d S t V f r o m t h e C o m b i n e d L D A - F l o w V i s u a l i z a t i o n E x p e r i - m e n t s * F N o . x R e S t V S t F S ; — V 1 0 . 7 8 2 2 9 9 0 . 7 9 2 . 1 1 2 . 6 8 2 2 9 4 9 0 . 6 5 1 . 9 7 3 . 0 4 3 2 9 6 4 0 . 6 4 1 . 8 9 2 . 9 4 4 0 . 8 6 1 0 2 7 0 . 8 1 1 . 5 0 1 . 8 4 5 1 0 6 3 - 1 . 4 3 - 6 1 0 7 4 0 . 7 3 . 1 . 4 8 2 . 0 2 7 1 6 8 5 - 1 . 3 9 - 8 1 6 9 7 - 1 . 3 8 - ‘ 9 1 . 9 1 1 0 0 1 0 . 4 7 0 . 9 8 2 . 0 7 1 0 1 0 0 4 - 1 . 3 8 - 1 1 1 5 7 1 0 . 5 4 0 . 9 3 1 . 7 3 1 2 1 5 8 0 0 . 5 5 ‘ 1 . 0 5 1 . 9 1 1 3 3 3 8 9 - 1 . 2 4 - 1 4 3 4 0 1 - 1 . 4 5 - 1 5 3 4 6 9 0 . 5 0 1 . 3 4 2 . 6 7 0 . 4 1 , r e s p e c t i v e l y . 1 7 4 T h e n o m i a n l f a c t o r o f 2 i n t h e v a l u e s o f S t F a n d S t v s u g g e s t t h a t t h e i d e n t i f i a b l e m o t i o n s f o r m a t a p p r o x i m a t e l y t w i c e t h e r a t e o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s o n t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . I t w a s s h o w n i n i n C h a p t e r 4 t h a t t h e f o r a m t i o n o f a b u l g e m a r k s t h e b e g i n n i n g o f t h e p r o c e s s o f t h e f o r m a t i o n o f a l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n . R e g a r d i n g t h e f o r m a t i o n o f t h e b u l g e s i t w a s c o n j e c t u r e d t h a t a l o c a l i z e d r i s e o f p r e s s u r e i n t h e j e t c a u s e d a b u l g e t o f o r m . B a s e d u p o n t h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n , i . e . , S t F a 2 S t V , a n d t h e c o n j e c t u r e r e l a t e d t o t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s , i t m i g h t b e a r g u e d t h a t t h e p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s o c c u r a t t w i c e t h e f r e q u e n c y o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s . T h e v a l i d i t y o f t h i s h y p o t h e s i s w i l l b e t e s t e d i n S e c t i o n 8 . 4 u s i n g t h e m o d e l f o r t h e p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s o n t h e j e t c e n t e r l i n e w h i c h w a s d e v e l o p e d i n S e c t i o n 2 . 5 ; t h e m e a s u r e d d a t a w i l l b e u s e d t o e v a l u a t e t h e p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l . 1 . M v v - N U l l u l ‘ D “ V Q O I 1 ! O I > _ I . ‘ Q \ ‘ . 9 o v c y u q - x - } ” 9 1 1 1 - r g M V ’ H J ' I ‘ t ‘ Q l t l l l t ! § . | [ ! ! g t l x \ . x ! ‘ 1 y \ : ! g - g x g - v \ g g { H { . ‘ } ; ' t . 4 . - , . z . 1 i Z 2 . , H - L l . 1 , . ’ a . s c : . ' . . l ‘ I I I I l } l c n I . \ . § \ 3 I . . § \ . \ . ) ‘ “ - ’ ¢ . a v — ‘ a t _ { k l . V L I B R A R Y - M i c h i g a n S t a t e ‘ U n i v e r s i t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E M S U I s A n A f f i r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n c : \ c l r c \ d a t e d u e . p fl 1 3 — p . t O C D n t T o O f R M O e F c P H I L O S O h a n i c a l P E H n Y g i n e e r i n g D e p a r t m e I N S T A B I L I T Y P H E N O M E N A I N A T W O - D I M E N S I O N A L S L I T - J E T F L O W F I E L D V o l u m e I I B Y S y e d K h u r s n e d A l i A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e c f 1 9 9 1 S T A B I L I T Y O F T H E S L I T - J E T S — I N F E R E N C E S , R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N 8 . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s c h a p t e r p r e s e n t s c o n s i d e r a t i o n s o f t h e t h e s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d u s i n g t h e m e a s u r e d v e l o c i t y d a t a . T h e d e t a i l s o f t h e v e l o c i t y d a t a h a v e b e e n p r e s e n t e d i n C h a p t e r 7 . T h i s c h a p t e r i s d i v i d e d i n t o f o u r s e c t i o n s . S e c t i o n 8 . 2 p r e s e n t s i n f e r e n c e s o n t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d b a s e d u p o n t h e p o w e r s p e c t r u m o f u ( t ) d a t a w h i c h h a v e b e e n p r e s e n t e d i n S e c t i o n 7 . 6 . T h e r e s u l t s o f t h e l i n e a r i z e d s t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s u s i n g t h e m e a n . _ * * . v e l o c 1 t y p r o f i l e u ( y ) a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 8 . 3 . S e c t i o n 8 . 4 d e t e r m i n e s t h e g r o w t h o f p r e s s u r e a n d v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t t o t e s t t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s i s c a u s e d a s a r e s u l t o f a c y c l i c r i s e a n d f a l l o f t h e p r e s s u r e i n t h e j e t . 1 7 5 1 7 6 8 . 2 I n f e r e n c e s f r o m t h e A u t o s p e c t r a o f u ( x , y = 0 , t ) T h i s s e c t i o n p r e s e n t s i n f e r e n c e s r e l a t e d t o t h e g r o w t h o f d i s t u r - b a n c e s a n d f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . T h e a u t o s p e c t r a o f t h e v e l o c i t y d a t a h a v e b e e n u s e d i n d r a w i n g t h e s e i n f e r e n c e s . 8 . 2 . 1 R e g i o n o f " N o n - S e l e c t i v e " G r o w t h o f D i s t u r b a n c e s T h e r e g i o n e x t e n d i n g o v e r ~ 1 5 x / w s x : ( w h e r e x : i s a c r i t i c a l l o c a - t i o n ) i s c o n s i d e r e d t o b e a r e g i o n o f n o n s e l e c t i v e g r o w t h o f d i s t u r - b a n c e s . T h i s c o n s i d e r a t i o n i s b a s e d u p o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t , w h e r e a s , u / U 0 g r o w s e x p o n e n t i a l l y o v e r - l e / w 5 2 . 4 ( s e e F i g u r e 1 7 0 ) , t h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) o v e r t h e r a n g e — l e / w S O . 5 s u g g e s t t h a t t h e d i s t u r b a n c e s a t a l l f r e q u e n c i e s g r o w e q u a l l y , i . e . , n o s e l e c t i v e g r o w t h o f a p a r t i c u l a r f r e q u e n c y o c c u r s i n t h i s r a n g e . S e e F i g u r e s 1 9 5 , 1 9 6 , a n d 1 9 7 . F r o m t h e l i m i t e d i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e a t d i s c r e t e x / w l o c a t i o n s , i t i s c o n j e c t u r e d t h a t t h e c r i t i c a l l o c a t i o n x : a t w h i c h d i s t u r b a n c e s a t s p e c i f i c f r e q u e n c i e s b e g i n t o g r o w e x p o n e n t i a l l y o c c u r s b e t w e e n x / w = 0 . 2 5 a n d 0 . 5 . 1 7 7 8 . 2 . 2 R e g i o n o f " S e l e c t i v e " G r o w t h o f D i s t u r b a n c e s B e y o n d x c / w ( t h e c r i t c a l l o c a t i o n ; s e e S e c t i o n 8 . 2 . 1 ) t h e a u - t o s p e c t r a o f u ( t ) s u g g e s t t h a t t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d b e g i n s t o a c t a s a " f i n e - t u n e d " a m p l i f i e r ; i . e . , t h e i n s t a b i l i t y m e c h a n i s m o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d a l l o w s o n l y t h e d i s t u r b a n c e a t a p a r t i c u l a r f r e - q u e n c y t o g r o w . H e n c e , t h e r e g i o n b e y o n d x c / w i s c o n s i d e r e d a s t h e r e g i o n o f s e l e c t i v e g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s . * 8 . 2 . 3 I n f l u e n c e o f P a i r i n g o f V o r t i c e s o n S t v ( x ) I t i s k n o w n f r o m t h e r e s u l t s o f f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s t h a t v o r t e x m o t i o n s u n d e r g o m u t u a l i n t e r a c t i o n s l e a d i n g t o p a i r i n g w h i c h r e s u l t s i n f r e q u e n c y h a l v i n g . T h i s p r o c e s s o c c u r s o v e r s o m e f i n i t e s p a t i a l d o m a i n o f t h e f l o w f i e l d w h i c h m a y b e d e s c r i b e d a s a " r e g i o n o f m u t u a l i n t e r a c t i o n " . T h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) i n t h i s r e - g i o n w o u l d e x h i b i t a t l e a s t t w o d o m i n a n t p e a k s . F i g u r e 1 9 8 i l - l u s t r a t e s t h e t r a n s i t i o n o f f l o w f i e l d ( t h r o u g h p a i r i n g ) , a t R e = 5 1 0 , f r o m S t v = 0 . 7 l a t x / w = 0 . 9 t o S t V = 0 . 3 7 a t x / w = 2 . 1 2 . I t i s b e l i e v e d t h a t t h e a u t o s p e c t r a o f u ( t ) a t x / w = l . 3 4 l i e s i n t h e r e g i o n o f m u t u a l i n - t e r a c t i o n . N o t e t h a t t h e a u t o s p e c t r u m a t x / w = l . 3 4 s h o w s f l u c t u a t i o n s a t S t v = 0 . 3 7 , 0 . 7 6 a n d a l s o a t 0 . 5 6 w h i c h i s t h e a v e r a g e v a l u e o f 0 . 3 7 a n d 0 . 7 6 . 1 7 8 8 . 2 . 4 Q u a s i p e r i o d i c i t y i n a n U n e x c i t e d j e t A c o m p r e h e n s i v e e x a m i a t i o n o f t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n r e s u l t s ( C h a p t e r s 4 a n d 6 ) a n d t h e r e s u l t s o f m e a s u r e d v e l o c i t y ( C h a p t e r 7 ) i n d i c a t e t h e p r e s e n c e o f q u a s i p e r i o d i c i t y i n t h e n a t u r a l l y e x c i t e d j e t s . T h i s r e s u l t s i n v a r i a t i o n s i n t h e e s t i m a t e s o f q u a n t i t i e s l i k e S t r o u h a l n u m b e r a n d w a v e l e n g t h . B e t t e r e s t i m a t e s o f t h e i n s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s w o u l d s e e m t o r e q u i r e l o n g e r d u r a t i o n d a t a r e c o r d s . 8 . 3 S t a b i l i t y C a l c u l a t i o n s U s i n g t h e L a t e r a l M e a n V e l o c i t y P r o f i l e s I n S e c t i o n 2 . 4 f o r m u l a t i o n s w e r e d e v e l o p e d a n d a p r o c e d u r e w a s o u t l i n e d t o s o l v e t h e l i n e a r i z e d E u l e r e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a g i v e n m e a n v e l o c i t y p r o f i l e , 5 * ( y * ) , a s t h e b a s i c f l o w s t a t e . T h e a n a l y t i - c a l m o d e l s o f t h e m e a s u r e d m e a n v e l o c i t y p r o f i l e d e t e r m i n e d i n S e c t i o n 7 . 3 . 2 . 4 w e r e u s e d t o p e r f o r m t h e s t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s a t t w o x / w l o - c a t i o n s . T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h e s e c a l c u l a t i o n s . I t w a s s h o w n i n S e c t i o n 7 . 3 . 1 . 3 t h a t t h e m e a n c e n t e r l i n e v e l o - c i t y , u ( x , y = 0 ) , r e a c h e s i t s m a x i m u m v a l u e U o n o m i n a l l y a t x / w z l , r e m a i n s c o n s t a n t u n t i l x / w = 2 . 4 w h e r e i t b e g i n s t o d e c a y . I n o t h e r w r d s , o v e r t h e d o m a i n l s x / w 5 2 . 4 , g g ( x , y - 0 ) = 0 . H o w e v e r , t h e m e a s - r e d m e a n v e l o c i t y p r o f i l e s , u ( x = c , y ) , a t x / w = l a n d 2 . 4 s h o w t h a t t r o n g c h a n g e s o c c u r i n t h e f l o w f i e l d o v e r t h i s s t r e a m w i s e d i s t a n c e 3 1 . 4 w . S t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s h a v e b e e n c a r r i e d o u t a t b o t h x / w l o — t i o n s a s s u m i n g t h a t t h e l o c a l v e l o c i t y p r o f i l e r e p r e s e n t s a p a r a l l e l n d n o n d e v e l o p i n g ) v e l o c i t y f i e l d . 1 7 9 8 . 3 . 1 C O m p u t a t i o n s a t x / w = 1 . F i g u r e 1 9 9 p r e s e n t s t h e p l o t o f e i g e n v a l u e s f o r M o n t g o m e r y v e l o - c i t y p r o f i l e e x p r e s s e d b y t h e e w u a t i o n ( 1 6 4 ) w i t h y 0 = 0 . 2 0 2 a n d fl = 0 . 0 6 8 . T h e r e a r e t w o s o l u t i o n s [ M a t t i n g l y a n d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) ] f o r a s y m m e t r i c v e l o c i t y p r o f i l e . O n e o f t h e s e r e s u l t s i n s y m m e t r i c ( v a r - i c o s e ) v o r t e x m o t i o n s a n d t h e o t h e r i n a s y m m e t r i c ( s i n u o u s ) v o r t e x m o - t i o n s . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n , t h e f o r m e r ( s y m m e t r i c ) s o l u t i o n i s d e s i g n a t e d b y t h e l e t t e r ' A ’ a n d t h e l a t t e r ( a s y m m e t r i c ) b y t h e l e t t e r ' 3 ' . F i g u r e 1 9 9 s h o w s b o t h t h e s o l u t i o n s . F o r t h e s o l u t i o n A t h e m a x i m u m g r o w t h r a t e , - a i = 3 . 5 3 5 , o c c u r s a t w = 2 . 8 8 0 ( S t I = 0 . 6 6 4 ) w i t h a r - 5 . 0 8 l ( A / w - l . 2 3 7 ) a n d p h a s e s p e e d c I = 0 . 8 2 2 . F o r t h e s o l u t i o n B , t h e q u a n t i t i e s a r e - a i = 3 . 2 4 , w = 3 . 2 4 0 ( S t I = O . 7 4 7 ) , a r = 6 ' 2 5 3 ( A / w = l . 0 0 5 ) a n d c I = O . 7 5 1 . N o t e t h a t C D = 0 . 6 9 h a s b e e n u s e d t o c o m p u t e S t I a n d c I ; s e e S e c t i o n 2 . 4 . A c o m p a r i s o n o f t h e g r o w t h r a t e s o f t h e t w o s o l u t i o n s A a n d B , s h o w s t h a t t h e s y m m e t r i c s o l u t i o n h a s a h i g h e r g r o w t h r a t e t h a n t h e a s y m m e t r i c s o l u t i o n . I n o t h e r w o r d s , t h e r e s u l t s o f t h e c a l c u l a t i o n s p r e d i c t a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t w h i c h i s o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y ) v e r t h e r a n g e 2 7 0 < R e < 3 5 0 0 . C o m p a r i n g t h e c a l c u l a t e d e i g e n v a l u e s w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y a t e r m i n e d v a l u e s , i t i s c o n j e c t u r e d t h a t t h e c a l c u l a t e d g r o w t h r a t e z i = 3 . 5 4 c a n n o t b e c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d g r o w t h t e d [ l n ( fi / U O ) ] / d x * = l . 2 4 , b e c a u s e t h e l a t t e r i s b a s e d u p o n t h e g r o w t h 1 8 0 o f p e r t u r b a t i o n s a t a l l f r e q u e n c i e s . T h e p r e d i c t e d S t I f r o m b o t h s o l u t i o n s ( A a n d B ) f a l l w i t h i n t h e s c a t t e r o f S t v ( l e ) . C o m p a r i n g w i t h t h e r e s u l t s o f f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s , t h e m e a s u r e d a n d t h e p r e d i c t e d v a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r a n d w a v e l e n g t h d o n o t a g r e e ; h o w e v e r , t h e p r e d i c t e d v a l u e o f t h e p h a s e s p e e d i s o f t h e s a m e o r d e r o f m a g n i t u d e a s t h e m e a s u r e d c o n v e c t i o n v e l o c i t y . R e t u r n i n g t o t h e p l o t o f t h e e i g e n v a l u e s i n F i g u r e 1 9 9 , i t i s n o t e d t a t t h e t w o s o l u t i o n s A a n d B b e g i n t o c o n v e r g e a t l a r g e f r e - q u e n c i e s , a n d , b e y o n d w = 5 ( S t I = l . 2 ) t h e y b e c o m e i d e n t i c a l . T h i s b e h a v i o r i s a t t r i b u t e d t o a r a t h e r l a r g e s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e t w o s h e a r l a y e r s ( 2 y 0 = 0 . 4 w ) [ K o o c h e s f a h a n i ( 1 9 8 9 ) ] ; a t l a r g e v a l u e s o f t h e d i s t u r b a n c e f r e q u e n c y , w , t h e t w o s h e a r l a y e r s b e h a v e i n d e p e n - d e n t l y a n d t h e t w o s o l u t i o n s , A a n d B , c o n v e r g e t o t h e s o l u t i o n o f a s i n g l e s h e a r l a y e r . 8 . 3 . 2 C o m p u t a t i o n s a t x / w = 2 . 4 F i g u r e s 2 0 0 a n d 2 0 1 e x h i b i t t h e p l o t s o f e i g e n v a l u e s f o r t o n t g o m e r y a n d B i c k l e y v e l o c i t y p r o f i l e s , r e s p e c t i v e l y . T h e s a m e d a t a m r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e p a r a m e t e r s o f t h e t w o p r o f i l e s ( s e e S e c t i o n 3 3 . 2 . 4 . 2 ) . T a b l e 5 p r e s e n t s t h e v a l u e s o f S t a n d A I / w , c o m p u t e d I r o m w a n d a r , r e s p e c t i v e l y , f o r t h e m a x i m u m g r o w t h r a t e - a i . 1 8 1 T a b l e 5 - E i g e n v a l u e s a t m a x i m u m g r o w t h r a t e T y p e o f S o l u t i o n A S o l u t i o n B P r o f i l e S t : I A I / w - a i c I S t I A I / w - a i c I M o n t g o m e r y 0 . 2 7 3 . 1 9 0 . 8 8 0 . 8 7 0 . 2 2 3 . 0 1 1 . 0 3 0 . 6 5 B i c k l e y 0 . 1 7 6 . 2 3 0 . 1 5 1 . 0 3 0 . 1 1 5 . 2 2 0 . 5 2 0 . 5 7 B o t h s o l u t i o n s ( A a n d B ) o f e a c h p r o f i l e p r e d i c t v e r y s m a l l v a l u e s o f S t a n d l a r g e v a l u e s o f A I / w a s c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n - I t a l l y d e t e r m i n e d v a l u e s . T h e p r e d i c t e d p h a s e s p e e d f o r s o l u t i o n A f o r b o t h p r o f i l e s f a l l s w i t h i n t h e s c a t t e r o f t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r - m i n e d c o n v e c t i o n s p e e d s a t x / w = 2 . 4 . C o m p a r i n g t h e p r e d i c t e d g r o w t h r a t e s , - a i , f o r s o l u t i o n s A a n d B o f e a c h p r o f i l e , t h e s o l u t i o n B ( a s y m m e t r i c m o d e ) h a s a h i g h e r g r o w t h r a t e f o r b o t h p r o f i l e s , T h i s s u g g e s t s t h a t a s t h e f l a t p a r t o f t h e j e t i s e r o d e d , t h e a s y m m e t r i c m o d e t e n d s t o b e c o m e s t r o n g e r . E v e n t h o u g h t h e o b s e r v e d v o r t e x m o - t i o n s a t x / w = 2 . 4 r e m a i n s y m m e t r i c i n n a t u r e , t h e p r e d i c t i o n i n d i c a t e s t h a t t h i s t y p e o f v e l o c i t y p r o f i l e ( o n e w i t h o u t f l a t r e g i o n i n t h e c e n t e r ) w o u l d i n d u c e a n a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t . T h e f l o w v i s u a l i z a - t i o n e x p e r i m e n t s s h o w t h a t a t l o w v a l u e s o f R e ( 5 4 0 0 ) , t h e j e t d e v e l o p s a s i n u o u s m o d e b e y o n d x z 6 w . S e e F i g u r e s 5 6 a n d 6 3 . E v e n t h o u g h t h i s o b s e r v a t i o n i s c o m p a t i b l e w i t h t h e l i n e a r t h e o r y p r e d i c — : i o n , t h e b a s i c a s p e c t s o f t h e t h e o r e t i c a l f o r m u l a t i o n a r e v i o l a t e d b y h e m e a s u r e d v e l o c i t y f i e l d d a t a . 1 8 2 T h e v e l o c i t y p r o f i l e a t x / w = 2 . 4 s h o u l d n o t b e e x p e c t e d t o r e p r e s e n t t h e b a s i c f l o w s t a t e f o r t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d , b e c a u s e , t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w t h a t t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h o f d i s t u r - b a n c e s c o n t i n u e o n l y u p t o x / w = 2 . 4 a n d t h e m e a n v e l o c i t y o n t h e c e n - t e r l i n e b e g i n s t o d e c r e a s e d o w n s t r e a m o f t h i s x l o c a t i o n . H o w e v e r , t h e i m p o r t a n t c o n c l u s i o n t h a t i s d r a w n f r o m t h e c a l c u l a t i o n s a t x / w = 1 a n d 2 . 4 i s r e l a t e d t o t h e n a t u r e o f t h e v o r t e x s t r e e t : f o r a t o p - h a t v e l o c i t y p r o f i l e ( a d e v e l o p i n g j e t f l o w ) t h e v o r t e x m o t i o n s a r e s y m - m e t r i c a l l y p l a c e d a b o u t t h e c e n t e r l i n e , w h e r e a s , f o r a p r o f i l e w i t h n o f l a t p a r t ( l i k e a f u l l y d e v e l o p e d B i c k l e y p r o f i l e ) t h e v o r t e x m o t i o n s a r e a r r a n g e d a s y m m e t r i c a l l y a b o u t t h e c e n t e r l i n e . T h e r e s u l t s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n t h u s c o n f i r m t h e o b s e r v a t i o n s m a d e b y H u s a i n , e t . a 1 . ( 1 9 8 3 ) a n d C h a m b e r s , e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) t h a t f o r a t o p - h a t v e l o c i t y p r o - f i l e t h e s y m m e t r i c m o d e h a s a h i g h e r g r o w t h r a t e t h a n t h e a s y m m e t r i c m o d e . 8 . 4 G r o w t h o f P r e s s u r e F l u c t u a t i o n s A l o n g t h e J e t C e n t e r l i n e A m o d e l w a s d e v e l o p e d i n S e c t i o n 2 . 5 f o r t h e s p a t i a l g r o w t h o f p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s a l o n g t h e c e t e r l i n e o f t h e j e t u s i n g t h e u n - s t e a d y E u l e r - s e q u a t i o n . T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e p r e d i c t i o n s o f t h e m o d e l u s i n g t h e r e s u l t s o f m e a s u r e d v e l o c i t y d a t a ( C h a p t e r 7 ) a n d s o m e o f t h e q u a n t i t a t i v e r e s u l t s f r o m t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n d a t a ( C h a p t e r 6 ) . T h e j u s t i f i c a t i o n f o r t h e u s e o f a n i n v i s c i d m o d e l i s b a s e d u p o n : i ) i i ) i i i ) 1 8 3 T h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e a l o n g t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t ( F i g u r e 1 6 8 ) s u g g e s t s t h a t t h e s h e a r e f f e c t s b e c o m e i m p o r - t a n t o n l y b e y o n d x / w = 2 . 4 . H e n c e t h e u n s t e a d y i n v i s c i d e q u a - t i o n o f m o t i o n c a n b e a p p l i e d n e a r t h e c e n t e r l i n e i n t h e n e a r - f i e l d o f t h e j e t e x i t ( i . e . , x / w 5 2 . 4 ) . T h e a u t o s p e c t r a o f u ( x , y - O , t ) s h o w t h a t t h e g r o w t h o f d i s - * t u r b a n c e s b e g i n s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f x / w z x c . I n o t h e r w o r d s , t h i s l o c a t i o n c a n b e m o d e l l e d a s t h e t e r m i n a l n o d e o f t h e p r e s s u r e a n d v e l o c i t y f l u c t u a t i o n w a v e s . I n C h a p t e r 4 i t w a s s h o w n t h a t t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e m o t i o n s b e g i n s w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f b u l g e s o v e r t h e r a n g e 0 . 5 5 x / w s l . 5 . I t h a s b e e n c o n j e c t u r e d t h a t t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s i s c a u s e d b y a l o c a l i z e d r i s e i n p r e s s u r e . H e n c e , t h e c o n t i n u a l f o r m a t i o n o f b u l g e s a t a n e a r c o n s t a n t r a t e o v e r s o m e s p a t i a l d o m a i n s u g g e s t s t h a t t h e p r e s s u r e r i s e s a n d f a l l s i n a q u a s i p e r i o d i c w a y o v e r s p a c e a n d t i m e . T h i s j u s t i f i e s t h e n e e d t o d e v e l o p a m o d e l f o r p r e s s u r e f l u c t u a - t i o n s . 1 8 4 8 . 4 . 1 C h o i c e o f P a r a m e t e r s a n d R e s u l t s E q u a t i o n ( 1 0 6 ) , w h i c h d e s c r i b e s t h e s p a t i a l a n d t e m p o r a l v a r i a - t i o n s i n p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s p é i s r e p r o d u c e d a s u w r = _ _ _ £ L _ _ _ _ _ _ - _ p k ( s , t ) [ 2 + a 2 ] e x p ( a i s ) [ a r c o s ( a r s w t ) + a 1 5 1 n ( a r s w t ) ] a r 1 2 - U ( s ) u a e x p ( - a i s ) c o s ( a r s - w t ) - Z e x p ( - 2 a i s ) c 0 5 2 ( a r s - w t ) ( 1 7 2 ) T h e r e a r e f o u r p a r a m e t e r s , o r , a i , w a n d u a i n t h i s e q u a t i o n . T w o o f t h e p a r a m e t e r s , o r a n d w , c a n b e r e a d i l y s p e c i f i e d f r o m t h e m e a s u r e d d a t a . F r o m t h e v a l u e s o f S t V a t x / w z l a n d 5 0 0 < R e < 3 0 0 0 ( F i g u r e 1 9 2 ) , w = 4 . 4 . T h e s p a c i n g s A / w b e t w e e n t h e v o r t i c e s w e r e e v a l u a t e d f r o m t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n o b s e r v a t i o n s . A s s h o w n i n F i g u r e s 1 4 7 t h r o u g h 1 5 4 , ‘ A / w v a r i e s w i t h R e . U s i n g A / w a t x / w z l a n d f o r t w o v a l u e s o f R e , 1 0 0 0 a n d 3 0 0 0 , t h e o r v a l u e s a r e e q u a l t o 1 0 . 4 a n d 1 8 . 3 , r e s p e c t i v e l y . T h e m a g n i t u d e o f t h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t y u a a t o r i g i n ( s = 0 ; i . e . , t h e l o c a t i o n o f t h e t e r m i n a l n o d e o f v e l o c i t y a n d p r e s s u r e f l u c t u a t i o n ) w a s e s t i m a t e d f r o m t h e a v e r a g e o f u ( S t V = 0 . 7 ) / U 0 a t x / w = 0 . 5 a n d o v e r a w i d e r a n g e o f R e , 5 0 0 - 2 9 0 0 . T h i s v a l u e w a s f o u n d t o b e 6 . 2 4 x 1 0 - 4 . T h e r e s u l t s o f t h e l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s ( s e e S e c t i o n 8 . 3 ) , b a s e d u p o n t h e v e l o c i t y p r o f i l e u ( y ) / U O a t x / w = l , p r e d i c t t h e m o s t u n s t a b l e o d e t o h a v e a g r o w t h r a t e - a i = 3 . 5 4 a t a S t r o u h a l n u m b e r S t I = 0 . 6 6 . i n c e t h e p r e d i c t e d a n d t h e m e a s u r e d v a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r a g r e e u i t e w e l l ( S t v = 0 . 7 ; s e e F i g u r e 1 9 2 ) , - a i = 3 . 5 h a s b e e n u s e d i n t h e a l c u l a t i o n o f p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s . N o t e t h a t b a s e d u p o n t h e 1 8 5 d i s t r i b u t i o n o f t h e r o o t m e a n s q u a r e v a l u e s o f t h e m e a s u r e d v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e g r o w t h r a t e w a s f o u n d t o b e 1 . 2 4 . ( S e e F i g u r e 1 7 0 . ) C a l c u l a t i o n s f o r p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s h a v e b e e n p e r f o r m e d a t 1 0 — c a t i o n s w h i c h c o v e r t h e x / w r a n g e o v e r w h i c h t h e b u l g e f o r m a t i o n s h a v e b e e n o b s e r v e d . ( S e e t h e s p a c e — t i m e p l o t s o f v o r t i c e s i n F i g u r e s 9 3 t h r o u g h 9 7 a n d i n A p p e n d i x C . ) T h r e e l o c a t i o n s t h a t h a v e b e e n u s e d a r e s - 0 . 5 , 1 . 0 a n d 1 . 5 . ( N o t e t h a t s i s r e f e r e n c e d f r o m t h e c r i t i c a l l o - c a t i o n , ( x c , 0 ) , w h i c h i s b a s e d u p o n t h e p l o t s o f p o w e r s p e c t r a o f u ( x , y = 0 , t ) i n t h e n e a r - f i e l d . S p e c i f i c a l l y , x c f o r m o s t d a t a a p p e a r s t o b e 0 . 2 5 w d o w n s t r e a m o f t h e e x i t p l a n e . ) F i g u r e 2 0 2 p r e s e n t s p £ ( t ) a n d v ' ( t ) f o r - a i = 3 . 5 , a r = 1 0 . 4 , w = 4 . 4 a n d u a = 6 . 2 4 x 1 0 — 4 a t t h e t h r e e s t r e a m w i s e l o c a t i o n s . A t a l l t h e s e l o c a t i o n s t h e p r e s s u r e a n d t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a r e n o m i n a l l y n r a d i a n s o u t o f p h a s e a n d n o f r e - q u e n c y d o u b l i n g i s o b s e r v e d i n p é ( t ) . T h i s s h o w s t h a t t h e f i r s t a n d t h e s e c o n d t e r m s o f e q u a t i o n ( 1 7 2 ) n o m i n a l l y b a l a n c e o n e a n o t h e r . N o t e t h a t a d o u b l i n g i n t h e f r e q u e n c y o f p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s w i l l o c c u r a t l a r g e r v a l u e s o f s f o r t h e s a m e v a l u e o f - a i . H o w e v e r , a t v a l u e s o f s > 2 ( x / w > 2 . 2 5 ) , t h i s r e s u l t w i l l n o t s u p p o r t t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e b u l g e f o r m a t i o n s a r e c a u s e d b y a l o c a l i z e d r i s e o f p r e s s u r e i n t h e j e t , b e c a u s e , t h e f o r m a t i o n o f t h e b u l g e s o c c u r o v e r 0 . 5 < x / w S 2 . I n a d d i t i o n , f o r t h e s e d i s t a n c e s f r o m t h e e x i t p l a n e , t h e i n v i s c i d E u l e r - s e q u a t i o n w i l l n o t b e a p p l i c a b l e b e c a u s e o f t h e p e n e t r a t i o n o f h e s h e a r e f f e c t s t o w a r d s t h e c e n t e r l i n e o f t h e j e t . O n t h e o t h e r a n d , i t i s a l s o t o b e n o t e d t h a t a d o u b l i n g i n t h e f r e q u e n c y i n t h e 1 8 6 p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s c a n o c c u r a t s m a l l e r v a l u e s o f s ( 5 1 . 5 ) f o r a l a r g e r v a l u e o f t h e g r o w t h r a t e . H o w e v e r , i n t h i s c a s e , t h e r e s u l t s p r e d i c t t h e i n t e n s i t y o f v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s t o b e c o m e e x c e s s i v e l y l a r g e . F o r e x a m p l e , a v a l u e o f - a i = 7 l e a d s t o a p fi f r e q u e n c y o f n o m i n a l l y t w i c e t h a t o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n b u t t h e c o r r e s p o n d i n g v e l o c i t y m a g n i t u d e i s m o r e t h a n s e v e n t y t i m e s t h e m e a s u r e d i n t e n s i t y a t x / w z 2 . 4 . H e n c e , i t i s a p p a r e n t t h a t t h i s a n a l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s d o e s n o t p r o v i d e a n e x p l a n a t i o n f o r t h e o b s e r v e d r e s u l t p r e s e n t e d i n S e c t i o n 7 . 6 . 3 , n a m e l y , S t F z 2 S t V . 8 . 4 . 2 D i s c u s s i o n T h e s i m p l e i n v i s c i d m o d e l f o r p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s b a s e d u p o n t h e u n s t e a d y E u l e r - s e q u a t i o n w a s e v a l u a t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n u s i n g t h e m e a s u r e d d a t a . T h e r e s u l t s s h o w t h a t i n t h e n e a r - f i e l d , w h e r e t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s a r e o b s e r v e d , t h e p r e s s u r e a n d v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s o c c u r a t t h e s a m e f r e q u e n c y . S i n c e , t h e o b s e r v e d v a l u e s o f S t F a n d S t V p r e s e n t e d i n S e c t i o n 7 . 6 . 3 S h o w t h a t S t F i s n o m i n a l l y e q u a l t o Z S t V , t h e s e i n v i s c i d f l o w r e s u l t s d o n o t s u p p o r t t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e b u l g e s f o r m a s a r e s u l t o f a l o c a l i z e d r i s e o f t h e p r e s s u r e i n t h e v i c i n i t y o f t h e e x i t p l a n e o f t h e j e t . 9 . 1 I i f o r f u ‘ t h e c m 9 . 2 c , F ‘ P o n e n t P h e n o m . P o r t t ] t w o S u i S l i t ] , b i l i t y C O N C L U S I O N S A N D R E C O M M E N D A T I O N S 9 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e c o n c l u s i o n s f r o m t h i s i n v e s t i g a t i o n a n d t h e r e c o m m e n d a t i o n s f o r f u t u r e w o r k a r e p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . S e c t i o n 9 . 2 p r e s e n t s t h e c o n c l u s i o n s a n d S e c t i o n 9 . 3 o u t l i n e s t h e r e c o m m e n d a t i o n s . i 9 . 2 C o n c l u s i o n s F l o w v i s u a l i z a t i o n a n d t h e m e a s u r e m e n t o f t h e l o n g i t u d i n a l c o m — D o n e n t o f v e l o c i t y u ( x , y , t ) w e r e u s e d t o i n v e s t i g a t e t h e i n s t a b i l i t y J h e n o m e n a o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . T h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y s u p - ) o r t t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s . T h e c o n c l u s i o n s h a v e b e e n a r r a n g e d i n : w o s u b s e c t i o n s . S e c t i o n 9 . 2 . 1 p r e s e n t s t h e g e n e r a l p r o p e r t i e s o f t h e l i t - j e t f l o w f i e l d a n d S e c t i o n 9 . 2 . 2 p r e s e n t s t h e d e t a i l s o f i t s s t a ~ i l i t y c h a r a c t e r s i t i c s . 1 8 7 r t p o t t h e v e I f e : 1 8 8 9 . 2 . 1 G e n e r a l P r o p e r t i e s o f t h e S l i t — J e t 1 ) T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e m e a n o f t h e l o n g i t u d i n a l v e l o c i t y , _ * u ( x , O ) / U 0 , o v e r ~ l e / w s 4 . 6 5 a n d o v e r t h e R e r a n g e , 5 1 0 $ R e $ 2 8 5 4 , s h o w s e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n b a s e d u p o n t h e p o t e n t i a l f l o w s o l u t i o n . ( S e e F i g u r e 1 6 8 . ) T h e m e a s u r e m e n t s h o w s t h a t t h e j e t a c h i e v e s i t s m a x i m u m v e l o c i t y a t a p p r o x i m a t e l y x / w - l . T h e j e t v e l o c i t y b e g i n s t o d e c r e a s e f o r x / w 2 3 w h i c h i n d i c a t e s t h a t s h e a r e f - f e c t s h a v e p e n e t r a t e d t o t h e c e n t e r l i n e b y t h i s n o m i n a l x l o c a t i o n . ( S e e F i g u r e 1 6 8 . ) 2 ) M e a s u r e m e n t s s h o w t h a t t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e , E ( x * = c , y * ) / < U > , c h a n g e s c o n s i d e r a b l y b e t w e e n x / w = l a n d 2 . 4 . 2 a ) A t x / w = l . 0 , t h e l a t e r a l d i s t r i b u t i o n o f t h e m e a n v e l o c i t y s h o w s a " t o p - h a t " p r o f i l e w i t h a f l a t r e g i o n o v e r - 0 . 2 5 y / w $ 0 . 2 . A n ‘ a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s u g g e s t e d b y M o n t g o m e r y w a s u s e d t o f i t t h e m e a s u r e d p r o f i l e . F r o m t h e f i t t e d c u r v e , t h e h a l f w i d t h o f t h e j e t , b / w , w a s f o u n d t o b e 0 . 3 3 8 . ( S e e F i g u r e 1 8 1 . ) 2 b ) A t x / w = 2 . 4 , t h e l a t e r a l d i s t r i b u t i o n o f t h e m e a n v e l o c i t y d o e s n o t e x h i b i t a f l a t r e g i o n . T h e m e a s u r e d p r o f i l e w a s f i t t e d w i t h t h e M o n t g o m e r y p r o f i l e a n d a l s o w i t h t h e B i c k l e y p r o f i l e . T h e f o r m e r p p e a r s t o f i t t h e d a t a b e t t e r n e a r t h e e d g e s , w h e r e a s t h e l a t t e r i s a e t t e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d a t a i n t h e c e n t e r o f t h e j e t . B a s e d p o n t h e f i t t e d M o n t g o m e r y p r o f i l e , b / w = 0 . 4 3 7 , w h e r e a s b a s e d u p o n i c k e l y p r o f i l e , b / w = 0 . 4 6 7 . ( S e e F i g u r e 1 8 2 a n d F i g u r e 1 8 3 . ) d i s p r o g r o d e c d e c p a r 1 1 ! ( S e t h e E l l i c a t r a t t h e " i t V a ] V a ] d e l d i i Q 0 ! 1 8 9 3 ) T h e e r o s i o n o f t h e f l a t r e g i o n o f t h e j e t w i t h i n a s t r e a m w i s e d i s t a n c e o f 1 . 4 w s h o w s t h e r a p i d l y c h a n g i n g n a t u r e o f t h e v e l o c i t y p r o f i l e i n t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d . B e t w e e n x - l w a n d 2 . 4 w , t h e r a t e o f d e c a y o f t h e f l a t r e g i o n o f t h e j e t i s a b o u t t w i c e t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e h a l f - w i d t h o f t h e j e t . 4 ) T h e d i s c h a r g e c o e f f i e c i e n t , C D , o f t h e s l i t - j e t s h a r p l y d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g R e , u p t o R e = 8 0 0 . ( S e e F i g u r e 1 5 8 . ) T h e d e c r e a s e i n C D b e c o m e s g r a d u a l b e y o n d t h i s v a l u e ; f o r R e 2 3 0 0 0 C D a p - p a r e n t l y a c h i e v e s a n a s y m p t o t i c v a l u e o f 0 . 6 8 . T h i s v a l u e i s a b o u t 1 1 % l a r g e r t h a n t h e v a l u e ( 0 . 6 1 1 ) p r e d i c t e d b y t h e i n v i s c i d a n y a l i s i s . ( S e e S e c t i o n 2 . 2 . 2 . 3 . ) F r o m t h e s e o b s e r v a t i o n s , i t i s i n f e r r e d t h a t t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s a t R e = 2 5 0 d o e s n o t i n f l u - e n c e t h e d i s t r i b u t i o n o f C D ( R e ) . T h e d e v e l o p m e n t o f t h e b o u n d a r y l a y e r s o n t h e n o z z l e p l a t e s a u s e s t h e s p e e d o f t h e f l u i d p a r t i c l e s a l o n g t h e s e p a r a t i n g s t r e a m — i n e s t o b e s m a l l e r t h a n t h e i n v i s c i d s p e e d U 0 . T h e s e p a r t i c l e s w i t h e d u c e d s p e e d c a n f o l l o w a p a t h w i t h a s m a l l e r r a d i u s o f c u r v a t u r e h a n t h a t w h i c h i s c o m p u t e d f o r a n i n v i s c i d f l u i d . T h i s r e s u l t s i n a i d e r j e t w i t h C D > 0 . 6 l l . T h i s e f f e c t i s m o r e p r o n o u n c e d a t l o w e r a l u e s o f R e y n o l d s n u m b e r s . T h e a p p a r e n t a s y m p t o t i c a p p r o a c h o f C D t o l u e s l a r g e r t h a n 0 . 6 1 1 ( s e e F i g u r e 1 5 8 ) i s a t t r i b u t e d t o g e o m e t r y p e n d e n t e f f e c t s . S p e c i f i c a l l y , t h e d a t a f r o m j e t s w i t h w i t h t w o f f e r e n t s l i t s i z e s e x h i b i t s t h i s i n f l u e n c e f o r R e > 1 5 0 0 . I t i s n j e c t u r e d t h a t t h e f i n i t e t h i c k n e s s t N o f t h e n o z z l e p l a t e s a l t e r s h m ial [ i i i ( S I i n ! E l “ t h e p a t h o f t h e e n t r a i n m e n t f l o w i n t h e v i c i n i t y o f t h e j e t e x i t . T h i s w o u l d m o d i f y t h e p r e s s u r e f i e l d w h i c h i n t u r n , w o u l d c h a n g e t h e c o n t r a c t i o n o f t h e j e t . T h e r e l e v a n t p a r a m e t e r i s t N / w f o r t h e c h r a c — t e r i z a t i o n o f t h i s p h y s i c a l e f f e c t . F o r R e < 1 5 0 0 , b a s e d u p o n t h e t w o o b s e r v e d c a s e s w i t h t N / w = 0 . 5 a n d 1 , t h e n e a r - f i e l d a p p e a r s t o b e l e s s s e n s i t i v e t o t h i s g e o m e t r y d e p e n d e n t e f f e c t . I t i s n o t c l e a r w h e t h e r o r n o t t h e o b s e r v e d b e h a v i o r i s u n i v e r s a l , i . e . , w h e t h e r t h e b e h a v i o r w o u l d b e t h e s a m e f o r t N / w + 0 . 5 ) L i k e t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e , t h e r m s v e l o c i t y p r o f i l e , ( x * = c , y * ) / < U > , a l s o c h a n g e s c o n s i d e r a b l y b e t w e e n x / w = 1 a n d 2 . 4 . 5 3 ) A t x / w = 1 . 0 , t h e r m s v e l o c i t y p r o f i l e E ( Y * ) / U 0 g o e s t h r o u g h a n i n i m u m i n t h e c e n t r a l p a r t o f t h e j e t a n d m a x i m a n e a r t h e h a l f - w i d t h s 3 f t h e j e t . A l s o , t h e u ( y * ) / U o p r o f i l e s h o w s s o m e d e p e n d e n c e o n R e . : S e e F i g u r e 1 7 8 . ) 5 b ) A t x / w = 2 . 4 , t h e r m s v e l o c i t y E ( y * ) / U O i s u n i f o r m l y d i s t r i - u t e d a c r o s s t h e j e t a n d t h e p r o f i l e s h o w s n o s y s t e m a t i c d e p e n d e n c e o n e . ( S e e F i g u r e 1 8 0 . ) . 2 . 2 S t a b i l i t y C h a r a c t e r i s t i c s 1 ) B a s e d u p o n t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n e x p e r i m e n t s , t h e r a n g e o f R e 3 - 3 5 0 0 i s s u b d i v i d e d i n t o f o u r r e g i m e s : 1 a ) R e 5 1 5 7 . N o v o r t e x m o t i o n s a r e o b s e r v e d e x c e p t f o r t h e s t a r t - g v o r t e x p a i r ( S V P ) w h i c h i s f o l l o w e d b y a b u l g e o r o n e o f i t s p l v e d f o r m s , a k i n k o r a f o l d o v e r . ( S e e F i g u r e s 4 5 , 4 6 a n d 4 7 . ) T h e t i o o f t h e s p e e d s o f t h e b u l g e t o t h e S V P , V b / V S , r e m a i n s l e s s t h a n a n d j e t w i t b o w V 0 1 t h e 1 ' 8 ! i o l C a n E t a t h e 1 . ( S e e F i g u r e 4 8 . ) l b ) 1 5 7 5 R e 5 2 1 0 . V b / V s e x c e e d s 1 i n t h i s r a n g e ( s e e F i g u r e 4 8 ) a n d t h i s a l l o w s t h e f o l d o v e r s t o p a s s " i n t o " t h e S V P . ( S e e F i g u r e 4 9 . ) A s o n e f o l d o v e r m e r g e s w i t h t h e S V P , a n o t h e r b u l g e f o r m s o n t h e j e t c o l u m n , i . e . , a c y c l i c p r o c e s s o f b u l g e f o r m a t i o n a n d i t s m e r g e r w i t h t h e S V P i s e s t a b l i s h e d . S m a l l a c c u m u l a t i o n s o f d y e a l o n g t h e j e t b o u n d a r y a r e o b s e r v e d f o r t h e s e c o n d i t i o n s . T h e s e a r e t e r m e d : " u n i t o r t i c e s " . ( S e e F i g u r e 4 9 . ) T h e r e i s n o a p p a r e n t i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e u n i t v o r t i c e s . N o l a r g e s c a l e v o r t i c e s w e r e o b s e r v e d i n t h i s a n g e o f R e y n o l d s n u m b e r . 1 c ) 2 6 8 5 R e s l 7 0 0 . T h i s l a r g e r a n g e i s m a r k e d b y t h e r e p e a t e d f o r - n a t i o n o f l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s . ( S e e F i g u r e s 5 6 , 5 7 , a n d 5 8 . ) T h e s e o b s e r v a n c e s g e n e r a l l y c o n f i r m t h e o b s e r v a t i o n s r e p o r t e d b y B W 1 n d F K . F o r R e > 9 3 0 , i n s o m e c a s e s u n i t v o r t i c e s w e r e o b s e r v e d o n t h e a t c o l u m n p r e c e d i n g t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s . h e s e u n i t v o r t i c e s h a v e n o t b e e n f o u n d t o p l a y a n y r o l e i n t h e f o r m a - i o n o f t h e l a r g e s c a l e v o r t i c e s . T h i s i s c o n t r a r y t o t h e h y p o t h e s i s f F K t h a t t h e l a r g e s c a l e v o r t i c e s a r e f o r m e d a s a r e s u l t o f a n a g - l o m e r a t i o n o f t h e u n i t v o r t i c e s . 1 d ) 2 3 0 0 < R e < 3 5 0 0 . O v e r t h i s r a n g e b o t h t h e u n i t v o r t i c e s a n d t h e r g e s c a l e v o r t i c e s a r e c o n s i s t e n t l y f o r m e d . ( S e e F i g u r e s 6 5 t h r o u g h . ) B e c a u s e o f t h e l i m i t a t i o n s o f t h e r e c o r d i n g e q u i p m e n t , b o t h t h e l e o f t h e u n i t v o r t i c e s a n d t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e v o r t i c e s n n o t b e f u l l y d e s c r i b e d . H o w e v e r , i t i s a p p a r e n t f r o m t h e p h o t o - a p h i c r e c o r d s ( s e e F i g u r e s 6 5 t h r o u g h 6 8 a n d F i g u r e s 7 2 t h r o u g h 7 4 ) , a t t h e l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s a r e q u i t e d i f f u s e d a l m o s t f r o m C m h m t h t t i l 0 V 1 0 C ( I 8 1 1 ‘ 6 1 h a v P i t t m v 1 9 2 t h e i r i n c e p t i o n ; p r o b a b l y , t h e u n i t v o r t i c e s b e c o m e t u r b u l e n t b y t h e t i m e t h e y b e c o m e p a r t o f a l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n . T h r e e m o d e s o f i n s t a b i l i t y a r e r e c o g n i z e d i n t h e s l i t j e t f l o w f i e l d [ F K ] . T h e a p p e a r a n c e o f u n i t v o r t i c e s o v e r t h e l o w R e r a n g e , 1 5 7 - 2 1 0 , a n d o v e r t h e r a n g e 2 3 0 0 — 3 5 0 0 i s c a u s e d b y t h e h y d o r d y n a m i c i n s t a b i l i t y o f t h e f r e e s h e a r l a y e r s . T h e a p p e a r a n c e o f b u l g e s a t l o w R e v a l u e s o f 8 7 - 2 1 0 a n d t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s o v e r t h e r a n g e 2 7 0 - 1 7 0 0 a n d 2 3 0 0 - 3 5 0 0 a r e t h e r e s u l t o f p r o c e s s e s t h a t o c c u r a t a l a r g e s c a l e d u e t o t h e s e c o n d m o d e o f i n s t a b i l i t y . T h e r e a s o n f o r t h e a b s e n c e o f u n i t v o r t i c e s i n m o s t o f t h e c a s e s i n t h e r a n g e 2 7 0 - 1 7 0 0 i s n o t c l e a r . I t i s n o t e w o r t h y b u t i t h a s n o t b e e n i n - c o r p o r a t e d i n t o a c o m p r e h e n s i v e t h e o r y , t h a t t h e f i r s t o b s e r v a t i o n o f u n i t v o r t i c e s c o i n c i d e s w i t h t h e r a t i o V b / V S b e c o m i n g l a t R e = 1 5 0 . C o n t r a r y t o t h e r e s u l t s o f B W a n d F K , t h e l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s h a v e b e e n c o n s i s t e n t l y o b s e r v e d i n t h i s s t u d y u p t o R e = 3 5 0 0 a n d t h e i r p r e s e n c e h a s b e e n i n f e r r e d f r o m t h e m e a s u r e d v e l o c i t y d a t a u p t o t e = 6 5 0 0 . ( S e e F i g u r e 1 8 8 . ) I n o t h e r w o r d s , t h e s u g g e s t e d t h i r d m o d e I f i n s t a b i l i t y ( F K ) h a s n o t b e e n c o n f i r m e d b y t h e r e s u l t s o f t h i s I t u d y a t l e a s t u p t o a v a l u e o f R e w h i c h i s f o u r t i m e s t h e v a l u e e p o r t e d b y B W a n d F K . 2 ) T h e s e q u e n c e o f e v e n t s l e a d i n g t o t h e f o r m a t i o n o f l a r g e s c a l e t r t e x m o t i o n s f o r t h e r a n g e 2 7 0 5 R e 5 1 7 0 0 h a v e b e e n i d e n t i f i e d . T h e r m a t i o n o f a b u l g e , w h i c h c a u s e s a n i n f l e c t i o n p o i n t i n t h e j e t i n d a r y h a s b e e n i d e n t i f i e d a s t h e f i r s t v i s u a l m a n i f e s t a t i o n o f t h e v a r i l o c a b u l g t h e E u l e a n d t i m e c a u s e v e n 0 f V 1 S c a l t V e l m w i t h v a r i c o s e t y p e j e t i n s t a b i l i t y . I t w a s c o n j e c t u r e d t h a t t h e f o r m a t i o n o f a b u l g e r e s u l t e d f r o m a l o c a l i z e d r i s e i n p r e s s u r e i n t h e j e t . H e n c e , t h e c y c l i c f o r m a t i o n o f u l g e s a t a c e r t a i n r a t e w o u l d i m p l y t h a t t h e p r e s s u r e i n t h e j e t i n t h e v i c i n i t y o f t h e e x i t p l a n e f l u c t u a t e d a t t h e s a m e r a t e . H o w e v e r , m o d e l f o r p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s i n t h e j e t w h i c h i s b a s e d u p o n t h e u l e r - s e q u a t i o n d i d n o t s u p p o r t t h i s c o n j e c t u r e . ( S e e S e c t i o n s 2 . 5 n d 8 . 4 . ) 3 ) T h e r e g u l a r s y m m e t r i c p a t t e r n o f t h e v o r t e x s t r e e t i s s o m e - i m e s d i s r u p t e d . T h r e e d i f f e r e n t e v e n t s h a v e b e e n i d e n t i f i e d a s t h e a u s e o f d i s r u p t i o n . H o w e v e r , t h e p e r t u r b a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e v e n t s h a v e b e e n f o u n d t o c o n v e c t d o w n s t r e a m a n d t h e s y m m e t r i c p a t t e r n f v o r t e x m o t i o n s r e e s t a b l i s h e s i t s e l f . T h e s e o b s e r v a t i o n s ( 2 - 3 ) p a r e n t h e t i c a l l y s u g g e s t t h a t t h e l a r g e a l e i n s t a b i l i t y o f t h e s l i t - j e t f l o w f i e l d i s a b s o l u t e i n n a t u r e , 3 . , o n c e s t a r t e d i t s u s t a i n s i t s e l f a n d i s n o t c o n v e c t e d a w a y . 4 ) T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r m s o f t h e l o n g i t u d i n a l c o m p o n e n t o f - * * a c i t y u ( x , y - 0 ) / U b e x h i b i t s a n e x p o n e n t i a l g r o w t h o v e r - l s x * s 2 . 4 a g r o w t h r a t e e q u a l t o 1 . 2 4 . N o s y s t e m a t i c i n f l u e n c e 0 f R e h a s f o u n d o n t h e g r o w t h r a t e o v e r t h e r a n g e 5 0 0 - 2 9 0 0 . 5 ) T h e a n a l y t i c a l m o d e l s o f t h e m e a n v e l o c i t y p r o f i l e a t x / w = 1 a n d 5 1 1 ‘ t h e v e l c ( v a l m o t i p e r i ( 1 9 $ p r o f t e r ] M o n t p r e d t h e H a u l a n d J e t . b a l l e t i t a v e j 1 9 4 a n d 2 . 4 w e r e u s e d t o i n v e s t i g a t e t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s l i t — j e t f l o w f i e l d . T h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s h a v e b e e n c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a s d e s c r i b e d b e l o w . N o t e t h a t o v e r t h e r a n g e l s x / w s 2 . 4 , e v e n t h o u g h 3 % ( x , 0 ) — 0 t h e v e l o c i t y p r o f i l e 5 ( y ) u n d e r g o e s a s u b s t a n t i a l c h a n g e : t h e f l a t p a r t o f t h e j e t c o r e i s r o u n d e d a n d t h e j e t b e c o m e s w i d e r . ( S e e F i g u r e s 1 8 1 , 1 8 2 , a n d 1 8 3 . ) 5 a ) T h e r e s u l t s o f c a l c u l a t i o n s a t x / w = 1 , s h o w t h a t f o r a t o p - h a t v e l o c i t y p r o f i l e t h e g r o w t h r a t e f o r t h e s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s ( v a r i c o s e t y p e i n s t a b i l i t y ) i s h i g h e r t h a n f o r t h e a s y m m e t r i c v o r t e x m o t i o n s ( s i n u o u s t y p e i n s t a b i l i t y ) . T h i s r e s u l t s u p p o r t s t h e e x — p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s [ H u s a i n , e t . a 1 . ( 1 9 8 3 ) , C h a m b e r s , e t . a 1 . ( 1 9 8 5 ) a n d p r e s e n t ] t h a t f o r a t o p — h a t ( d e v e l o p i n g ) t y p e o f v e l o c i t y p r o f i l e t h e v o r t e x m o t i o n s a r e s y m m e t r i c a l l y p l a c e d a b o u t t h e j e t c e n - t e r l i n e . 5 b ) A t x / w = 2 . 4 , t h e s t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s w e r e e x e c u t e d b o t h f o r M o n t g o m e r y p r o f i l e a n d B i c k l e y p r o f i l e . T h e r e s u l t s f o r b o t h p r o f i l e s p r e d i c t t h a t f o r a v e l o c i t y p r o f i l e w i t h o u t a s i g n i f i c a n t f l a t r e g i o n t h e a s y m m e t r i c d i s t u r b a n c e s g r o w f a s t e r t h a n t h e s y m m e t r i c o n e s . T h i s w o u l d r e s u l t i n a n a s y m m e t r i c v o r t e x s t r e e t [ S a v i c ( l 9 4 1 ) a n d M a t t i n g l y n d C r i m i n a l e ( 1 9 7 1 ) ] a s h a s b e e n s h o w n e x p e r i m n t a l l y b y H u s a i n , e t . 1 . ( 1 9 8 3 ) f o r a f u l l y d e v e l o p e d , l a m i n a r v e l o c i t y p r o f i l e i n a p l a n e ‘ e t . 5 c ) F o r t h e t o p - h a t v e l o c i t y p r o f i l e , t h e m o s t u n s t a b l e d i s t u r - a n c e h a s a g r o w t h r a t e - a i = 3 . 5 4 , t h e S t r o u h a l n u m b e r S t I = 0 . 6 6 , t h e a v e l e n g t h A I / w = l . 2 4 a n d t h e c o r r e s p o n d i n g p h a s e s p e e d c I = 0 . 8 2 . d a t a t h e t o a t o r s b y t e x a m e n c e v i b r t h e 6 ) T h e S t r o u h a l n u m b e r h a s b e e n e s t i m a t e d f r o m t h e p h o t o g r a p h i c d a t a b a s e ( S t F ) a n d a l s o f r o m t h e m e a s u r e d v e l o c i t y d a t a ( S t v ) . 6 a ) L a r g e v a r i a t i o n s i n t h e S t F ( x * ) v a l u e s h a v e b e e n o b s e r v e d i n t h e n e a r f i e l d ( 0 . 5 w < x < 2 w ) . B e y o n d x = 4 w , t h e S t F ( x * ) c u r v e s c o n v e r g e t o a n a v e r a g e v a l u e = 0 . 5 . ( S e e F i g u r e s 1 2 6 t h r o u g h 1 3 3 . ) S e v e r a l f a c - t o r s , i n c l u d i n g t h e i n f l u e n c e o f a s p e c t r a t i o , B / w , v i b r a t i o n c a u s e d y t h e s t e p p e r m o t o r a n d t h e i n f l u e n c e o f b a c k g r o u n d d i s t u r b a n c e s w e r e x a m i n e d . T h e s e f a c t o r s d o n o t a p p e a r t o b e r e s p o n s i b l e f o r t h e p r e s - n c e o f t h e o b s e r v e d s c a t t e r . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t h a t e i t h e r t h e i b r a t i o n o f t h e n o z z l e h o u s i n g a t i t s n a t u r a l f r e q u e n c y t r i g g e r e d b y h e r u n n i n g o f t h e s t e p p e r m o t o r o r t h e p r e s e n c e o f s o m e u n k n o w n f a c - o r w a s r e s p o n s i b l e f o r l a r g e v a r i a t i o n s i n t h e v a l u e s o f S t A l s o , F ' h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e d e v e l o p m e n t a n d g r o w t h o f l a r g e s c a l e m o t i o n s s n o t a w e l l r e g u l a t e d p r o c e s s c a n n o t b e r u l e d o u t . R e g a r d i n g t h i s n c e r t a i n i t y F K m a d e t h i s c o m m e n t : " A p p a r e n t l y , t h e p h y s i c a l p r o c e s s l a t c o n t r o l s t h e s p a c i n g o f t h e v o r t e x m o t i o n s i s n o t ' r i g i d l y ' I t e r m i n e d b y t h e k i n e m a t i c s c a l e s U 0 a n d w , a l t h o u g h t h i s s p a c i n g i s l l - d e f i n e d f o r a g i v e n e x p e r i m e n t , a s s h o w n b y f i g u r e 4 . " o f t h e i r p e r . F o r t h e u n p a i r e d l a r g e s c a l e m o t i o n s t h e v a r i a t i o n o f S t F w i t h R e s t s o m e s c a t t e r b u t n o s y s t e m a t i c d e p e n d e n c e o n R e . T h e a v e r a g e t h e r m s v a l u e s o f S t F o v e r 1 0 0 0 < R e < 3 5 0 0 , i n a j e t w i t h B / w = 1 0 . 7 , e q u a l t o 1 . 6 4 a n d 0 . 2 2 . ( S e e F i g u r e 1 3 4 . ) A t x / w = 2 . 2 , t h e t w o 1 e s a r e 0 . 9 8 a n d 0 . 1 8 . ( S e e F i g u r e 1 3 6 . ) 6 b ) T h e v a r i a t i o n o f S t r o u h a l n u m b e r S t V w i t h R e , l i k e t h e R e ) d a t a , s h o w s c o n s i d e r a b l e s c a t t e r w i t h l i t t l e s y s t e m a t i c d e p e e q u a t h e d a t a T h e i ‘ f a i l i f r o m c o u l . t h e . C i d I x / w = j a s ( 1 ( d e c e ] T h e f m o S t £ i n d e p e n d e n c e o n R e . T h e a v e r a g e a n d t h e r m s v a l u e s o f S t V a t x / w = l a r e e q u a l t o 0 . 7 0 a n d 0 . 0 7 , r e s p e c t i v e l y . ( S e e F i g u r e 1 9 2 . ) A t x / w = 2 . 2 t h e r e s p e c t i v e v a l u e s a r e 0 . 5 2 a n d 0 . 0 7 . ( S e e F i g u r e 1 9 3 . ) 6 c ) V a l u e s o f S t r o u h a l n u m b e r s b a s e d u p o n t h e f l o w v i s u a l i z a t i o n a t a S t F , a n d t h e m e a s u r e d v e l o c i t y d a t a S t v , a r e o b v i o u s l y n o t e q u a l . e i r r a t i o , S t F / S t v , h a s b e e n f o u n d t o b e n o m i n a l l y 2 . T h e a t t e m p t o e x p l a i n t h i s r e s u l t . u s i n g t h e m o d e l f o r p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s a i l e d . ( S e e S e c t i o n 8 . 4 . ) T h e p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l w e r e e v a l u a t e d r o m t h e m e a s u r e d v e l o c i t y r e s u l t s . B a s e d u p o n t h e s e p a r a m e t e r s , i t o u l d n o t b e s h o w n t h a t t h e p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s o c c u r r e d a t t w i c e h e f r e q u e n c y o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s . 6 d ) T h e S t r o u h a l n u m b e r S t I c o m p u t e d f r o m t h e l i n e a r i z e d , i n v i s - i d e q u a t i o n o f m o t i o n c o m p a r e s q u i t e w e l l w i t h t h e S t V v a l u e s a t / w = l . * 7 ) T h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y u c d i s t r i b u t i o n s s h o w a s m a l l s c a t t e r * c o m p a r e d w i t h t h e S t F ( x ) d i s t r i b u t i o n s a n d v e r y l i t t l e d e p e n d e n c e R e . T h e v o r t i c e s a p p e a r t o a c c e l e r a t e i n i t i a l l y a n d t h e n e l e r a t e . ( S e e F i g u r e s 1 3 9 t h r o u g h 1 4 6 . ) T h e r e a s o n s f o r t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e v o r t i c e s a r e n o t c l e a r . f o r m a t i o n o f a v e n a c o n t r a c t a c o u l d n o t b e a r g u e d t o b e r e s p o n s i - f o r t h i s e f f e c t , b e c a u s e , a s s h o w n i n F i g u r e s 1 3 9 t h r o u g h 1 4 6 , i n c a s e s t h e v o r t i c e s a c c e l e r a t e u p t o x / w = 3 . ( N o t e t h a t t h e = 0 ) a p p r o a c h e s U 0 a r o u n d x / w z l . ) T h e c o m p a r e s e x e c u t e d 8 ) l a r g e s c a U p t o R e b e c o m e s 1 1 T h e f a c t o r s : m o r e v o r t I n 1 t h e R e r a t S t a b i l i t y 9 - 3 R e c o n T h e S t u d y h a s a r e t o g s a t i s f y S o t h e d i s c h a l 3 5 W e l l ) S } * T h e m e a s u r e d v a l u e o f u c a t x / w = 1 a n d o v e r t h e r a n g e 1 5 0 0 < R e < 3 0 0 0 c o m p a r e s w e l l w i t h t h e e s t i m a t e b a s e d u p o n t h e s t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s e x e c u t e d f o r t h e v e l o c i t y p r o f i l e a t x / w = 1 . * * * 8 ) L i k e S t F ( x ) , t h e A ( x ) d i s t r i b u t i o n s e x h i b i t a r e l a t i v e l y l a r g e s c a t t e r . T h i s i s e s p e c i a l l y e v i d e n t a t l o w v a l u e s o f R e ( e . g . , * * u p t o R e = 7 0 0 ) . A t h i g h e r v a l u e s o f R e t h e d i s t r i b u t i o n o f A w i t h x b e c o m e s n o m i n a l l y l i n e a r . * * * , ' T h e i n c r e a s e i n A ( x ) w i t h i n c r e a s i n g x i s c a u s e d b y t w o f a c t o r s : t h e a c c e e l r a t i o n o f t h e v o r t i c e s a n d t h e p a i r i n g o f t w o o r m o r e v o r t i c e s . ' * * I n c o n t r a s t t o t h e u c v a l u e s , t h e v a l u e s o f A a t x / w = l a n d o v e r t h e R e r a n g e 1 5 0 0 - 3 0 0 0 d o n o t a g r e e w i t h t h e e s t i m a t e s b a s e d u p o n t h e s t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s . . 3 R e c o m m e n d a t i o n s T h e l i s t o f c o n c l u s i o n s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 9 . 2 s h o w s t h a t t h i s u d y h a s r a i s e d a n u m b e r o f q u e s t i o n s . T h e f o l l o w i n g r e c o m m e n d a t i o n s 3 t o g a i n a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e i n s t a b i l i t y p h e n o m e n a a n d i s f y s o m e c o n c e r n s r e l a t e d t o t h e e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s . I ) T h e i n f l u e n c e o f t h e f i n i t e t h i c k n e s s o f t h e n o z z l e p l a t e s o n d i s c h a r g e c o e f f i c i e n t ( a n d p o s s i b l y o n t h e s t a b i l i t y o f t h e j e t s a l l ) s h o u l d b e i n v e s t i g a t e d . b e l i e v e d t o i n d i c a t e 4 ) C o m b i n e d p : t h e j e t w i l l r e v e a l : i ) i i ) t p h e e a k r i e n l a t t h t f h l e p h a s u c t u a t e i i e I o n o t f h i i i ) t t h h e o r a s e t o e f 5 ) L a t e r a l s u r l fl 2 ) T h e b o u n d s c h e c k e d u s i n g a h i g h t h e n o n a p p e a r a n c e s h o u l d b e i n v e s t i g a t 3 ) T h e c o r r e l l i b / V S b e c o m i n g l f o r m a r k s t h e i n s t a b i l i e r ‘ m e n t a l t e c h n i q u e S i n t h e A s y s t e m 2 ) T h e b o u n d a r i e s o f t h e s u g g e s t e d r e g i m e s o f R e n e e d t o b e c h e c k e d u s i n g a h i g h s p e e d r e c o r d i n g e q u i p m e n t . A l s o , t h e r e a s o n s f o r t h e n o n a p p e a r a n c e o f u n i t v o r t e x m o t i o n s i n t h e R e r a n g e 2 6 8 - 1 7 0 0 s h o u l d b e i n v e s t i g a t e d . 3 ) T h e c o r r e l a t i o n i n t h e f i r s t a p p e a r a n c e o f u n i t v o r t i c e s a n d L i b / V S b e c o m i n g 1 f o r R e u l S O n e e d t o b e i n v e s t i g a t e d . T h e f o r m e r e v e n t a r k s t h e i n s t a b i l i t y o f t h e f r e e s h e a r l a y e r , w h e r e a s , t h e l a t t e r i s e l i e v e d t o i n d i c a t e t h e a c t i v a t i o n o f t h e l a r g e s c a l e i n s t a b i l i t y . 4 ) C o m b i n e d p r e s s u r e - v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s i n t h e n e a r - f i e l d o f h e j e t w i l l r e v e a l : i ) t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e f o r m a t i o n o f b u l g e s a n d t h e p e a k i n t h e p r e s s u r e c y c l e ; i i ) t h e p h a s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p r e s s u r e a n d t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s ; i i i ) t h e r a t e o f g r o w t h o f p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s a s c o m p a r e d w i t h t h o s e o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s . 5 ) L a t e r a l s u r v e y s o f u ( t ) s h o u l d b e c o n d u c t e d w i t h i m p r o v e d e x - e n t a l t e c h n i q u e s , f o r e x a m p l e , u s i n g a f r e q u e n c y s h i f t i n g m o d u l e 1 e L D A s y s t e m t o a c c o m o d a t e s m a l l f l o w v e l o c i t i e s a n d f l o w w i t h p r o p e r m e a n v e l m u t u a l i n t e r a c t i o n 1: 9) F l o w v i s u a tended t o v a l u e s o f W h e t h e r a n u p p e r l 1 0 ) I n v e s t i g a t e r e v e r s a l s n e a r t h e 4 s h o u l d b e c o n d u c t e d l l t o i n v e s t i g a t e t h e v e l o c i t y p r o f i l e t o 6 ) T h e o r e t i c a l 7 ) V e l o c i t y s t h e n e a r f i e l d t o d e t i o n ) b e t w e e n t h e g r o w t h o f d i s t u r b a n c b o u n d a r y d e p e n d s u p c 3 ) D e t e r m i n e d e p e n d e n c e . a D i t e m s a r e O b s e e r V e n i c e . S I n t h e f 0 1 1 1 ] " E a k a l i d s t “ “ 8 f o r e r s e h 4 v e l v o t e u o o r l s d i a n l b v s e e c i t y t c h t n c t r e o i o a n g f r d a i s p u t l e e e e t t d h o e e d a a g t t e r s a a r o n u o n s n f u f d m o e t h e m b r d e r a o j o i e f o e . t n . x t n s f o I t n a t t h a i e d o d n j i s e t t i o o v n e f t t h h e e l r a a s u t e r n t g o e p a - l 0 h s t a r x v / m e w e y a s S n a . e r r , i u h t o o m l i t y e d . i c a s l a i h u ( e c c h t e o n r i e e r o h e n o e o f r m n t l i s f h e o f t h e s l i t - j e t b e , n C c o x d d / s u w e c l t e e l c a n w h e t h e r d o t t c i h i n a v i - e s d . e v k o t f h t h e e r e r i c o d e e s g i n o a o R f e b e v e r o e x i t n e - e x n i t m r u t f 6 p 7 ) r ) a T e h r e o m r e o p V f t e i w d l e e i o l e s c d n t r b o e f r y d e p e n e a i t n t t u d r s i t h h i r o e o o u n t d n ) w n e a h t r e a r c m t i i n o i n o c i v t e y s t p l l s e c v d e n p h a u y o t b i e n u t r e p v r r e m o y i p s n o ( c o e n t s h e t . R e w e e . e e n i r a g o l t e e d e t v e o n r o h a f t t w : : g r u ! e t 3 r t t t k 8 ) t u a l i n ) 9 d t o n d e h e i e r c r n e s s e e e D t F l v n r n a a i a e b d t i i l o e n g c r r e e c g t o f e i c t h a s d g x u g i l e e S f n e n t , s i i e s n h i e e t o o h t s s c o e f d c c s i n n a a n n d d a 8 e , n l t o . 2 c h t t h o e i n b e s e t x a e b c s t i n o n d n A l l e a - s o r s y e o c , a k w h e t ) h e . t e b f j s r o e p d r l u n t e e c e t e s S n x s f o a w l t a l v i s o u f e e f r o r v r e m s p s u u O h e p b e i e m z > i a 3 t l R i . a t i o t 5 T n i 0 i h o 0 n i o o i w a o r u R s e l l i t - s i a a g b l l h e s e o n y o v o r l o w c c h f d h e i a e w v e x l m o t i o u l d r i t e s t o e l l d y m r m o . 1 a 0 n ) d I s n t v r e o s n t g i g f a o t r e c t n h g i e i n t o s d t e a t b e i r l m i i t n y e o t f h e t h s e e n j s e i t t i u v n i d t e y t h e c h t o n d i s t l i i o t n - j 0 e f t 1 9 9 e p e n d e n c e . f l o w f i e l d t o e x t r a ! 2 0 0 f l o w f i e l d t o e x t r a n e o u s d i s t u r b a n c e s . F I G U R E S S e c t F i g u r e 1 _ S C h e m a t j “ i i i W S e c t i o n A - A _ L — [ S e c t i o n A - A u r e 1 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l s l i t - j e t . e g r a h c s i D t a o r h t g n i x i M W / H i g h p r e s s u r e p r i m a r y l i q u i d [ / W e g r a h c s i D W / / y ) r e v o c e r e r r e u s s u s f e f r i p D ( / / / / / / / / / / % / / . p m u P t e J A . 2 e r u g i F d i u q e i r l u s y s r e a r d p n t a o r h t g n i x i M / / — / _ / / / _ ’ — / / ~ / / _ / / / / / / / / d ' / / _ / \ _ 7 e i r u u q s i s l e r y p r a h m g i i r H p 1 7 w c o e 4 L s 7 7 o 2 0 2 F i g u r e 3 . S c h e m a t f i n i t e . c h a n n e 1 . 1 t r a j “ - ¢ l : o l ‘ l . < - 1 s o f t ' . 2 " ( x 1 + 1 x 2 ) . F i i n g f u i r n e i . 4 e t S l c e h n e u m m a . p t i c r e p r e s e n t a t i o n o f a s l i t - j e t i s s u i n g f r o m a n 2 0 3 Z p I o n e I I X 2 X I H 8 ' 0 1 B A q o I F i g u r e 3 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f a s l i t - j e t i s s u i n g f r o m a f i n i t e , c h a n n e l - l i k e p l e n u m . T h e b o u n d a r i e s o f t h e p l e n u m a n d t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e d e f i n e t h e c o m p l e x p l a n e : 2 = ( x 1 + i x 2 ) . > T { ' p 1 8 . ) F 1 , 2 0 4 g p l a n e I ; D 4 + A / A , I % . 1 . A F i g u r e 5 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f § p l a n e . g ' p l a n e F i g u r e 6 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f g ' p l a n e . F i g u r e 7 . F i g u r e F i g u r e 8 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f w p l a n e . 2 0 5 t - p l o n e F i g u r e 7 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t p l a n e . w - p l o n e . _ — _ _ _ . _ _ _ _ — . . _ _ — i \ t o I f ) V " m u n e l . m p u W / n e e l l t p X i n m e o t i r i f n I ) f n i g f n n i i u s n b s a i ) t b e j d - n t a i l , s 0 a 2 = f o m m h a t e i r w t s m p u u n e n l r p e t e t k a i p l ‘ e l n e i n l n m u n e m a l W p / l e X t a h e c r t S , e t . i 9 n i i n i e f r u a F g i ) F a ) a A l l / 8 X 2 0 6 0 . 5 1 e h t d n a m w / w s h t d i w t i l s f o o i t a r e h t n o m f o e . c w n / e H u l o f i n t I a r . 0 y 1 t i e m r i u x g o i r F p O O j u t / M 0 . 8 0 2 0 . 0 0 . 0 2 0 7 7 - 2 i f 0 . 8 m u n m 0 u . I e n 8 ‘ l e — e t p a l f p e t i e n t I 0 i i . f n 7 n i I F ' 0 — 0 H I 0 . 6 I 0 I . 5 I W l p e l z z o n e h t n o n . o m i u t n u e b l i p r t e s t 0 I / i i . 4 l I X 0 I . 3 d n i e f r n u i s s n e a r p d n I d a 0 I . 2 e z ) i 0 l 2 a = m m r ( I o N e t . i 1 n 1 i f e r a u g r i o F f 0 I . 1 0 . 0 — 8 . 0 — — 6 4 . . 0 0 d v 2 0 8 m u n m 0 u . e l 8 n l e — p l j p e t i e n l t i i 0 . f n 7 n i . s i x a e r u s s e r I F p l e — d e G H I . n 0 d 6 a I 0 l . p x e n a 5 n I W 0 l / . o n o i t u 4 l b X I i r t s i 0 d l . 3 I 0 I . 2 I 0 I . 1 l 0 . 0 9 e r u s s e r p d e z i l a m r o N . 2 1 e r u . g 0 i F 2 0 9 1 . 0 4 - A N V A V 0 0 s < r \ fi m v m v x < r 1 . 0 2 - 1 . 0 5 7 I 0 3 - / 2 A \ o o I I / / g “ \ ' 2 1 0 1 . 0 5 — 0 I n = 4 E 1 m = 1 0 A I n = 2 0 7 0 m = 5 0 1 . 0 4 — O 1 . 0 3 — O O 1 . 0 2 — O O 1 . 0 1 - O - D o a [ J 3 D g u n A A A A 1 - 0 0 A 1 a l a I l I ' 0 I I I l 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 _ X 2 / W o o F i g u r e 1 3 . C o m p a r i s o n o f t h e w i d t h s o f t h e j e t s i s s u i n g f r o m a f i n i t e ( m - 2 0 ) a n d a n i n f i n i t e p l e n u m . I I I F i S U r e 1 1 , . S c W i t h v e l O C i t ) h o m e P l a t e . 2 1 1 X z ‘ l L ; P ‘ r s e p e r O t I n q s t r e o n l l n e [ — w / 2 — d I H / 2 = m n / 2 F i S u r e l 4 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s e p a r a t i n g s t r e a m l i n e w i t h v e l o c i t y U a n d t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n f o r f l o w o n t h e n o z z l e p l a c e _ F i S u r e 1 5 . D e f 0 " a 1 ° n g t h F f m i l o g o d u w e r l e l a l e 5 n 1 o d . g a s i D t e h s f e t i e n t a i h d t e y o c f n e l s t k e w . n o t e r c s h t f e o a r m l r t i h n e e s b t e a t b w i e l e i n t y a n 0 s i a a l n y d ; S n : e ? l 2 1 2 P R E S S U R E I R A N / ’ § \ I m a m : m o m ” “ 5 0 t o m V A R I A I L E M O T H S L I T J E T F i g a r o . 1 5 _ S c h e s t a t e , f i n i t e C 2 1 3 P n e s s u n e T R A N S D U C E R S L I D E " w e c o v e n a n : A Q U A R I U M a r e m o m L E E D w o n - r u n m e t : m o m L s u r . 1 N O Z Z L E P A T E ' ' i v e n , s t e a d y F i g u r e 1 6 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f . t h e g r a V i t y d r s t a t e , f i n i t e d u r a t i o n l i q u i d f l o w f a c 1 l i t y . k n a t y r r t e o i c s v u s d n a s g s e c a s n n . k n l g i a e a w s r t r e o t u u v n o l s l m o h f s a e r u l e v r e u l e e r u c v a m l d p s i a g u z e s e v l z w e e c 0 o o l o r e o 8 V L B N P R T V f o s e r u t a e f l a n o i t a r e p o e h t f o n o i t a t n e s e r p e r c i t . a y m t e i h l c i S c a f . 7 1 w o e l r f u g e i h F t — . “ I x . I fl l — — — — i < m l E E N H “ ) ¢ \ \ \ \ \ \ l > \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ‘ \ § § C \ \ \ d \ . < m S i n m m o m D \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ~ \ \ \ 2 1 4 F A E i g : : u P H r l a e a n . c 1 t l 3 i e s d c u S t o t h b m e e a m n , g i : . u P H r l a e n a . c 1 t l 0 i e s d S t o t c u h b m e a e m n , a e t B u : i v c e R r r u e r b e t p b h r e e s d e g e n a v t s i a k c t e e i t . n o , f o : C t t h y e r S F f i o l a l m o i n b g a s D e e , v e i D c : ( t F r D i ) n ' g S , * I 2 1 5 F 1 S u r e 1 9 . : d i m e n s i o n a l C I T w o . d i m e 1 F i g u r e 2 0 ‘ t h e f 0 “ n o t : b o l l s i n g o C I F d C i i : g m u e T r n w e 5 o 1 o d 9 n i . a m 1 e 1 - S n c v s h o i e r o m t n a i a t c l i e s c v p r i e n r t e h s e e n p o r t i c e s , t l D a e : t n i u R o m e n . c e o A i f : v t G h l e a e r , f s : s E o r t T m a o a n t k v , i a o c n B u : u f P o m t e a w n n o u k - m . , l t 2 1 6 / l \ F i g u r e 2 0 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u s e o f F D t o p r e y e n t t h e f o r m a t i o n o f v o r t i c e s i n t h e p l e n u m . A : S t r i n g ’ B : N 0 2 ? e t h o u s i n g , 0 : F i l l i n g d e v i c e ( F D ) , D : F D p a r k e d d u r i n g e x p e r i m e n . F i g u r e 2 1 _ S c t h e f i l l i n g p 2 1 7 F i g u r e 2 1 . S c h l i e r e n v i s u a l i z a t i o n o f v o r t e x f o r m a t i o n d u r i n g t h e f i l l i n g p r o c e s s . F i g u r e 2 2 . S C h e C V 1 u s e d i n f l u F C i V g i u r u e s e 2 2 d . i n S c f h l e o m w a t m i o c d e r l e l p i r n e s e n t a t i o n g . o f t h e f o u r c o n t r o l v o l u m e s 2 1 8 F l o w r a t e p v a p a t m “ 8 1 1 1 ‘ s 2 3 . q u a t { . 0 i s O — > m 2 1 9 F l o w r a t e p m ! 0 I h m . » F i g u r e 2 3 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t i m e h i s t o r i e s o f q ( - C D U o A j ) : p N H a n d A v . A s t e p c h a n g e i n t h e j e t v e l o c i t y a t t = 0 i s a s s u m e d i n t h e a n a l y s i s . 5 : : e 2 4 . F l o w c h a r t o f t h e " t i g h t w a i t l o o p " t o j o g t h e s t e p p e r 2 2 0 B U I L D T I M E A R R A Y ( t , ) 0 . 9 m I c r o s e c . 2 . 2 m l C r o s e c . 0 . 9 m l c r o s e c . 2 . 0 m i c r o s e c . 2 . 0 m I C r o s e c . F i s u r e 2 5 . S c h e 1): h : I E : l : S A c T F w e d o r t j n a t u v n l s e s i t r i n m t e a i t r h m t g e e n o a n r t f s t t i b p t t m p e e h h a n o l t r c o n d U n c o n t r o n e d t h e c a v i t y p r e a t h m u g h t h e b l e F t t k i E : : : h i h e g r u o r c u e a g v h l s e s o S A c T P e d o r e w c U i o n t j n t u v a r t n c n i h t o r n 2 i o t 5 t t . y h n m t e i t r i d t l r n o a o e g e e n r t f s a l h e l i S p c r b t t e a e m s e a s d m p e e e g r i b p t t n l d e e h h d r e e t i h e t u f i r i v o o c e a r d n e o b e n s x l d d p e T : i , e + i r e p e t h n ; i n m v a p , l m v p o a 5 e e 5 n r d 1 g p r t fl e a / e n l d r d p o . c H i , e q s b e N r 0 t v : e . c a e a n n t d n t t i h o e o a f t e r t h o e f a y O g p i n ' N s v ( n o o t . f h o r ) H e e v p t f T i h c l e a l v i D i n E t a e e r n r i e e d a s c u q n u g C y l i d i d a p n i / r e e r r e t f s s d e a i o d . i l m o e w s h o i f t a o i r r i e s o f t u r b a n c e s . s r s s l o d u y f r t e w . a a t a . r e 2 2 1 r o . s m s e m e h c t 0 o 5 r g 2 D p r n r = e i e f r r t t s r e o u r t . t i h i u c u c t a f ; e t p o c r i l r i n s m p . r i w e n l u y o p e i c s n e p o t e l c u p c o N i p C s t l o m i r l - i t p c e e t g o a e l g l u 0 I s r t c n t c H p n u s 8 I o o s e i a i s i m 9 f l y s h r r W s o 1 r s l e c a t m m u t e i l e t p c t a c o w c p 1 i s A s m e 5 e o h o p 8 s a D w e o l 3 B F P P A T O B L S T C E ” . m e t s y s A D L l e n n a h c e l g n i s e h t f o n o i t a r u g i f n o C . 6 2 e r u g i F é é a d d é i é i u l c ’ a ’ é i fi 2 2 2 r d d o e n n d s a a r k c e h a l e d c r s s i e e n n l e e t e e p p l . e s e e N t l l i s r h e o t - i t o w r t e l g g l e t g n H p n n u l o c e e s i i m b m d i m w s s o a t e m m u u t i r s g 4 a c c o r a a n . 5 e o o h a e l 5 a 3 B f F p g V P 2 r : : : : C D E r a e h t f o n o . i m t e a t t s n y e s s e A r D p L E e f o w e i V d n E r e h ; c t < i 0 A t f a o m e e h c c n S a m . r 7 o 2 f r e e r p u g e i h F t $ 6 8 5 2 2 3 0 . 1 fl 8 I . s 0 / e h t y b d e r u s a e m l m y ) t i c o 6 l h I . 0 c e e t l ( y v k s i d f 4 t I o . 0 i c n . r e o o t l l e s e i m r o v a h 2 . 0 p c m a k o t s i C e . h l 8 D t 2 d e n r a * 0 . u — - 8 . 0 — — - 0 g A - - 4 6 2 0 . . - . i D F L 0 0 O 0 S / b U ( v 0 7 ) K I I O O I S A > 1 3 ! 0 0 . 1 fi fi 8 . y t i c . s o 0 l I / e * m ' ) 6 h I v k s i d . 0 c e e h t ' t ( f o I y s 4 t . 0 i m r ' c d o e l I e v z i l a m 2 ' r . 0 k o s N — — — O i D O 0 . 0 - - - ' 6 4 0 0 . . 2 0 0 0 O O . 9 2 e r u g i F 0 1 . 0 — - 8 0 . 0 ( v 0 1 ) K I I G O I e A / V m o 2 2 5 x 5 0 6 x F c l c t i a i o r g u r e l q n a i u i t n d b r s r , o f 3 0 _ t l r i B : e m n d e a l o g r S V S c t F t ( h h e L ’ e e p V m p D i t o : r ) . i l c u V m I s m e F o . l q n a g u r e i u t n b i r s d r o f , a l o 3 t l r 0 i B e m . n : d e g r S V s c t ( F t h h L S e e e p V , m p D a V C e T r e t o e r t : p F r l r i T , c r e o a i s w E l p e : o n S t d n s r t e r L a n a i w t s v n i i o e e t o r r a h o V v n u ( i s f F a g p t h e a r S r p m ) i o . e a r c b t A h l : a e a n r r G d i m a l i s . n a f m g s f , e s e m D r a e t : e l } k o i n a n t n C t I F r i u f m a o w p l t t h e r 2 2 6 r ) e 3 t 7 u / p 1 m 1 o c P D o P r T ( e t e m t l o V r o t l a e l b a i r a V r a e n i L e h t f o n o i t a r . n e ) a g n i e S g T D V L o t t u p n I t T n D e V s L e ( r p r e e r m r c o i f t s a n m a e r h T c S l a . i h 1 t c 3 n % i r e t e w r e S u f 6 g f i i F D 2 2 7 5 1 r e c u d s n a fl r I 0 r 1 e t e r t u l a s s w e r p I 5 f o e h t m r o c f I I O a n t l i a d e n I o 5 — i r u t s a | r s b . e i S O F l l r a V 1 — P C e . h 2 t 3 n 5 e i 1 r ~ u d g e i s F u | 6 — 9 6 0 m m l fl d l fl O 2 2 8 O 7 l a e t h n t e m n i i r e d p e x s e u e T h D t m V c n i e L r o e f h t 0 3 r o e f r r u o a g t i c a F d e f n e o o S i t . n S a o r F b V i i t l f a o . i n s C o n i o o . t P 3 i a 3 t r a u e g r r i b u f i g n l i o a F c c x — — 2 . 0 — - 3 . 0 ” I D / i n c h ) 0 . 0 I 2 2 9 F i g - ! : 0 2 3 0 P R O G R A M C A L V F S R e a d D i s t o n o T r o v e r s e : D | ? § ‘ R e a d D e s i r e d V e l o c i t y o f c u p C o n p u t e t h e r o t a t i o n a l s p e e d o f t h e n o t o r : . n d t h e t i n g t r a v e r s e T M T e b e f o r e s t e p p e r " 3 p c e p e r T s e c o n d s U D e r n i n e t h e o l t i n e o f v e v r s e : T F l N C o n p u t e l i t i n e d e r i v a t i v e o f m . P O S F - P O S I 2 ) V T F l N - T I N I F i g u r e 3 4 . F l o w c h a r t f o r c a l i b r a t i n g t h e V F S . M C C C “ N I O . y t i c o l e v s t i f o n o i t c n u f a s a p u c e h t n i s / m c e p h c s i r e r u s s e r p f o e t a R . 5 3 e r u g i F i p / l d p l 0 3 0 0 2 5 0 5 0 0 7 5 2 3 1 S e c t i o n A A = 2 - D F l o w f i e l d F i g u r e 3 6 . s s c h l i e r e n f ] : : F F r r o o m n t A r s u i r o f n a c l e a s e r F s i c g h u l r i e e . 3 e 6 n r S l c o h w f e m v a i t s i u c a r e p r e s e n t a t i o n l i z a t i o n . o f t h e r a y d i a g r a m f o r t h e 2 3 2 S e c t i o n A A D A B C 2 - D 0 F l o w f i e l d 5 D E F G H E A A p l a n a r m i r r o r 1 0 X m i c r o s c o p e o b j e c t i v e : S p h e r i c a l m i r r o r f - 1 . 5 m e t e r : T e s t f i e l d : 3 5 m m m o t o r i z e d c a m e r a : G r o u n d g l a s s s c r e e n : K n i f e e d g e w i t h f i n e p o s i t i o n a d j u s t m e n t s . d l e i f w o l f t . e m j c - t 3 i 6 l . s 2 e = h t w f d o n a s h 0 p 0 a 4 r 1 g o = t o e h R p : n e o u i q t i a n z h i c l e a t u s n i e v r e w i o l l h F c s 7 e 3 h t e r g u n g i i s F u . 2 3 3 } i 4 4 2 1 0 f d y e s p r e a d i n g o n t h e n o z z l e p l a t e s . F i g u r e 3 8 . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a r r a n g e m e n t f o r I n j e c t i n g d y e o n t h e n o z z l e p l a t e s . A : S t a n d , B : B o t t l e w i t h d y e , C : P l a s t i c t u b i n g , D : H e a d e r , E : N o z z l e p l a t e , F : J e t J d i e u r c q a e r i f t e l r a c " l p — t n a u w u t s " d h t m s m i d c n a w i a u 5 : r I k q . t n i 2 : ' a l 1 a t v e r g : u . s n s . e s i s g a s e n . . . l i 1 a r . G 2 R P r . : : : : A C D 3 e 7 I / I 1 1 ? D P e l p p A 5 > € » — _ — ) _ c ) ( 9 t H ( 0 N E 0 y t i l i c a F w o l F s e s l u P 3 7 / 1 1 ? 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N o r m a l i z e d p r e s s u r e a n d . v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s a t t h r e e s t r e a m w i s e l o c a t i o n s : s - O . S , 1 . 0 a n d 1 . 5 w i t h - a - 3 . 5 , a r - 1 0 . 4 , w - 4 . 4 a n d u a - 6 . 2 x 1 0 ' 4 . i A P P E N D I C E S A P P E N D I X A D E S I G N O F F L O W F A C I L I T Y A . l G e n e r a l R e q u i r e m e n t s a n d C o n s t r a i n t s A n i d e a l i z e d c o n f i g u r a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t t o s t u d y t h e s t a b i l - i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f a s l i t - j e t w o u l d i n v o l v e a n i n f i n i t e l y l a r g e p l e n u m a n d a c o n s t a n t p r e s s u r e d i f f e r e n t i a l A p b e t w e e n t h e p l e n u m a n d t h e r e c e i v e r . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , a f i n i t e s i z e p l e n u m i s e i t h e r c o n t i n u o u s l y s u p p l i e d w i t h t h e w o r k i n g f l u i d o r s o m e o t h e r a r r a n g e - m e n t s a r e m a d e t o s u s t a i n a c o n s t a n t f l o w r a t e . T h e r e s u l t i n g p r e s - s u r e d i f f e r e n t i a l A p w i l l , i n g e n e r a l , i n v o l v e a f i n i t e l e v e l o f f l u c t u a t i o n s . T h e p l e n u m p r e s s u r e r i s e A p c a n b e d e s c r i b e d a s a I s u m o f F o u r i e r m o d e s a s A p = A p o + Z [ a n c o s ( w n t ) + b n s i n ( w n t ) ] ( A 1 ) T h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s a n a n d b n ’ w o u l d b e z e r o f o r t h e i d e a l c a s e . 3 9 9 i i i i ) i ) i v i ) ) L r V c P P e e a a o r r x p r r v o o p o g i e v v e r e a r i i r a d e o o e s w n n n p b i t t b e s s i e l d i i m s e y t s c t l h f o F i o f a o t r o t s s v r e e l a w r c s o t i o , ( 1 d a r a i l a t w t p 9 r b R 8 h p y l e / w . u R s o B g g h a i l n u 0 ) ] i i i n n s v e t u d v h t s e o g e s . v 4 a o e . w B 2 t l e . a 9 u e s f l y e r a a v r < w s i d B v s m a l e / i l a w s r n u d < a a . i e W g 8 z n l l s o i a t f l o w r a o f o t n e c 9 i a o t s e d e g c o u n ( 1 7 0 ) [ l d b R e w o t u h t o e x e 4 0 0 I n t h e c a s e o f a f a c i l i t y u s i n g l i q u i d , l i k e w a t e r , t h e u s e o f a p u m p t o m a i n t a i n a c o n s t a n t h e a d i n t h e s e t t l i n g c h a m b e r w o u l d i n d u c e f l u c t u a t i o n s i n t h e f l o w ; i . e . , s u c h a p r i m e m o v e r c o u l d i n t r o d u c e d i s t u r b a n c e s ( a n , b n ) , t h a t c o u l d h a v e s i g n i f i c a n t m a g n i t u d e s a t t h e f r e q u e n c i e s o f i n t e r e s t i n t h e e x p e r i m e n t i t s e l f . B e a v e r s a n d W i l s o n ( 1 9 7 0 ) r e p o r t o f s u c h d i s t u r b a n c e s w h i c h p r e v e n t e d t h e m f r o m u s i n g t h e p u m p . A l o w d i s t u r b a n c e l e v e l f l o w i s t h u s t h e c h i e f r e q u i r e m e n t f o r a f l o w w h i c h i s t o b e i n v e s t i g a t e d f o r s t a b i l i t y c o n s i d e r a t i o n s . O t h e r r e q u i r e m e n t s a r e : r e s o l u t i o n . A w b p f c t i c o c a ( v w . 2 h u l l o i o t o a a s i h d r t r n r h e u v e o m i i a v h o m s s l t c l w p s e a e c p p e v h P S f i i l e t c a . v v r i a a f u m c s s p c e t o n c o o s a u o e l r p s i s a c e i p r t a m o m n e s l i e t T c r t e ) i ) e i n c s s c o a h a e C S t i l o e e o l t . i h n e t d n o u i i d f r n r t f y l n i d n f e , . g o t q t n e t r l r e f F u T e p t o h o s ) o p i b a i g a c h l c r a : e w e c l o i c d e A a e t e p l s i n l 0 i s e e l s o e n o n i t d e t d z c r w r i b l p n q v e s w a l e . l a s c o n e r l i d r c e o i s r 2 n g n e i q a f n t m n u o e u t p r o p l t h e o p e h a 6 e t d v t d t u t t a t t l 8 y e a - i e s e , s h m " f h r d v j t t p f s a c N i p e a o e i e a e r l e w a l l g h t i c e u r e e p a r i t e y t o A r c t l o o v o r d r t u a f d o k o e e i f s n r s r ) a t e d i m i t f l m i , e t i t , e s t i n e H t y i m s s e o h t t x g t o o d u h o b n e p c o i z a m a e e a ( f s r o o c m e r s p i o n u e r a i o n m i o r . a t d v f ( r n g e s a t i a 7 l e i g t c h s a n o t i p u b a s e d r l t e h d e n t k , f C i y ( h a a o u m t 1 c t v h m s e s e w ; s b e , o l l g a N e c n v N i b u c e e n o d i a H u i e o l r a n . n s i s a s d s i o t v t g i s w r t l p u s d a ) b t e i v e t t i l y " . l r m m e e z i s t r v v o e e b d j i t t h i l f a i w e n e s y e n y a e n s u , ) T r h u n a t o e a t s a h s h c t v r e a l f x r i l d f h g e a e e a h . s t v i g c n w z a N i c s i e i o l l v a , e n e t h h e d t e a i i n s H e F t n c o t c e p h s d a d i n e r v s t . y t u F n n e m a b s o i r i k o h g o r e o f . t d t s i a u r p h a i e e h i t g a a e e v u N o d n t u n h t w a H n s i . l / n w e . n a g a N a i A u t r 1 b h a e i n t h s S h s o d e t h e l e t o a e g a a i 1 o n r b e f i n a w a p e d a n m e t . i t s b w c i a n h a i c n l 6 r e d o t l a j e t u s H n . a W d t a n e t t q l l i e d l i e s d t t t i a u e g d e n d h d i a I h h n i t a h t t e N e m n i i d d t y r t e s d e d h H e d - - b l e . , l 4 0 1 t i o n a l r e q u i r e m e n t s a r i s e b e c a u s e o f t h i s p r o p o s e d c o n f i g u r a t i o n . v i i ) N s t B p o h e e e a c v i i e n s f r f l i s l u e n c c i y e a t a l - l j n d , t e W , i o u d l s f i e o . n t t e . h o s e t , c h l t u d h e a y a r n p g n r e [ a e o s l x H - i r / l m e w i i p . k t o e y r p o h e l f e d T t e t n r b u h a y m e n g o l e F n a o t e f t o s s h r e a t f 1 i l o w 8 s 9 l h ( a w r l a f l t i s i e o l d , t i o n 0 ) ] w a s 6 . 7 < H / w < 1 8 . 0 . A . 3 D e s i g n S t r a t e g i e s t o M e e t t h e R e q u i r e m e n t s A . 3 . l D i m e n s i o n s a n d R a n g e o f P a r a m e t e r s T h e g l a s s t a n k i s 1 2 0 c m X 3 0 . 5 c m i n c r o s s s e c t i o n a n d 7 3 . 2 c m i n h e i g h t . T h e N H i s 4 5 . 8 c m X 2 7 . 5 c m i n c r o s s s e c t i o n a n d 8 9 . 3 c m h i g h . T h e s i d e s o f t h e N H a r e p a r t i a l l y o p e n t o a l l o w w o r k i n g l i q u i d d i s c h a r g e d b y t h e j e t t o r e d i s t r i b u t e i n t h e r e c e i v e r . T h e t w o n o z z l e p l a t e s a r e 2 7 . 5 c m X 2 1 . 5 c m e a c h . T h e w i d t h = 2 1 . 5 c m a l l o w s a m a x i m u m j e t w i d t h w = 2 . 6 3 c m . H e n c e . t h e s m a l l e s t v a l u e o f t h r e e g e o m e t r i c a l r a t i o s a r e : a ) A s p e c t R a t i o , B / w = 1 0 . 5 b ) P r o x i m i t y R a t i o , H / w = 1 7 . 7 c ) H e i g h t R a t i o , h / w = 1 4 . 5 F r o m t h e r e s u l t s o f B e a v e r s a n d W i l s o n ( 1 9 7 0 ) i t i s e x p e c t e d t h a t t h e s m a l l e s t B / w = 1 0 . 4 w o u l d b e a d e q u a t e . T h e i n f l u e n c e o f t h e l t v p m R p a e r h e e o t s e a n g s e t s t t a t r i e r e a g n t d r a t h o l i i w d l i a a t l b i t h t l e n y e h c s r e h t e e f n o e d g r n n t n w t a g i f o i c i e k t l o l s h t i l n u h e h s f n o f t . w e s e 2 c w u S a e s e l j c l p h 2 i o o . l e w o l t n e p f o i s s B n h r t a o a a i v x s c d u e a e i l v l i d m o e n a s i r g u f t e s l p m y n e f o o i e r w r e n n s o i a s f m t m t m f a e t l o , o c h s f t h e a e i n u s e , c i o e s h d s n H a r f t o / ; w n e l h n s l e e o e e u l n l t i t h t h s - c b e i k e r o r e t i e n e v o s t m a e , t g d p u t l w v n e n t l l w e o e t a h r w p s s a n e m u e l t l c h m h n o d a a t , a e c v o s e l f 1 a b l u 2 n e d o . i t n e e h p 3 - n d - . a e 4 0 3 j e t . A . 3 . 2 C o n t r o l o f F l o w R a t e A c o n s t a n t f l o w r a t e , i . e . , a t i m e i n d e p e n d e n t j e t v e l o c i t y i s e s t a b l i s h e d b y p r e s s u r i z i n g t h e a i r c a v i t y i n t h e N H a t a c o n t r o l l e d r a t e s u c h t h a t A p k ( t ) r e m a i n s c o n s t a n t . T h e b l e e d v a l v e i n t h e c o v e r p l a t e i s o p e n e d u n d e r c o m p u t e r c o n t r o l t o a l l o w t h e a m b i e n t a i r t o e n t e r t h e c a v i t y a n d t h u s c a u s e t h e d e s i r e d p r e s s u r i z a t i o n . T h i s a r - r a n g e m e n t h a s p r o d u c e d s a t i s f a c t o r y r e s u l t s . T h e m o d e l l i n g o f t h e f l o w t h r o u g h t h e b l e e d v a l v e i s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 3 . 3 . A . 3 . 3 C o n t r o l o f D i s t u r b a n c e L e v e l F o r t h e p r e s e n t c o n f i g u r a t i o n t h e d i s t u r b a n c e s c a n b e i n d u c e d i n t h e f l o w f r o m t w o s o u r c e s : i ) D u r i n g t h e f i l l i n g p r o c e s s w h e n t h e l i q u i d h e a d i s r a i s e d i n t h e c a v i t y . i i ) D u r i n g t h e e x e c u t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a s t h e b l e e d v a l v e i s 4 0 4 a c t u a t e d b y t h e s t e p p e r m o t o r . T h e d i s t u r b a n c e d u e t o t h e f i r s t s o u r c e c a n b e e f f e c t i v e l y c o n - t r o l l e d b y a l l o w i n g e n o u g h s e t t l i n g t i m e a f t e r t h e f i l l i n g o f t h e N H . I n t h e l i m i t , t h e d i s t u r b a n c e l e v e l w o u l d a p p r o a c h z e r o a s t h e s e t - t l i n g t i m e b e c o m e s i n f i n i t e l y l a r g e . R e g a r d i n g t h e s e c o n d s o u r c e o f d i s t u r b a n c e , i . e . , t h e s t e p p e r m o t o r w h i c h i s m o u n t e d o n t h e u n d e r s i d e o f t h e c o v e r p l a t e , n o a d v e r s e e f f e c t o f t h e c o n t i n u a l l y i n c r e a s i n g s p e e d o f t h e s t e p p e r h a s b e e n f o u n d . I n t h e c a s e o f a p r o b l e m , a s e p a r a t e s t r u c t u r e f o r s u p p o r t i n g t h e s t e p p e r m o t o r w o u l d h a v e a l - l e v i a t e d t h e p r o b l e m . - ' 5 9 ( E 1 - 7 7 ‘ ) ( 3 . 2 ) A P P E N D I X B S E L E C T I O N O F A R E G R E S S I O N M O D E L F O R E I ( T ) D A T A 3 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e v o l t a g e , E I ( t ) , c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n v e r t e d c u p p r e s s u r e t i m e h i s t o r y , p I ( t ) , o f t h e v o l u m e f l o w s e n s o r ( V F S ) i s e x p e c t e d t o e x h i b i t a l i n e a r t i m e d e p e n d e n c e . S e e S e c t i o n 3 . 2 . 1 f o r t h e d e t a i l s o f t h e V F S . T h e p u r p o s e o f t h i s a p p e n d i x i s t o s h o w t h a t a l i n e a r m o d e l i s a d e q u a t e t o d e s c r i b e t h e v a r i a t i o n o f p I ( t ) i n t h e N H . A c o m p u t e r p r o g r a m w a s d e v e l o p e d t o c h e c k w h i c h o r d e r p o l y n o m i a l w o u l d b e s t d e s c r i b e t h e E I ( t ) d a t a i n t h e l e a s t s q u a r e s e n s e . I n o t h e r w o r d s , f o r t h e p t h o r d e r m o d e l P n = 3 0 + i § l fl i t i ( 3 . 1 ) d e t e r m i n e t h e v a l u e o f p t h a t w i l l m i n i m i z e t h e e r r o r 4 0 5 E r h l e m a t m e t e c ) B _ w c c f a 6 h o a o n . e l t l d 2 r u e l . e m s o 4 n ( T w a t e h p o _ L e f r w a d i . h r n r . a e e = y q - R I t ( u n E a d e - f : l 1 p p ( i t r i i r t t s a r h h p k t h i n o e a x s d r a p p a n e o o d a m d f s e r e e s a t A c o t m l h o u e f c r i b m e r e r n t o s e l a s h s d o n e t e f r d r t e r ( m m m n p 9 a a a a = 7 i i 3 1 t t S n e r e d 2 7 , ) x o x t t o ( o e , . f E E n t f i h F 4 t I ( I r 6 e h - t . s e ) , 2 i . . e s t m o ) u r s f . a e H i d a i c 3 u , e b i , m d e t u e a a n s d r t e h d e E s I u ( p t e i s i t d h i n ) n r u . p h e r s n a d c o t r p r c a k 5 T 9 , a t h x ( 1 R g t e e t a p i a r l t i d e s , U h s e , t n s a m a o t r f i o w e - s p m 7 T t 7 i f h ) s o e ( e e p r r s e r o B t s d w r a e i c : . a a s 3 n t e o d ) a d r B c e e s a r c u l f k m c o l p r g a o l m n f a e d , t d s e d q A o t e h n T i l o g h c e t h u r w t B . i i s s t h e t T . h h e e 3 ) ( B r g p e s i d t r c e h o e e m s p u o i a a f s r l e s e w r o f t d h d i e y s ) t o ) n q e i u i a n s m , t o e F f s l o h n t - e a s b d ( e fl s : t h e 0 . = ) 1 ’ d ' f ' h e t h e r n o t t h e h y p o t h e s i s c a n b e a c c e p t e d a t a % l e v e l o f s i g n i f i c a n c e . B . 2 E x a m p l e T h e t e c h n i q u e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 1 i s a p p l i e d t o t h e E I ( t ) d a t a f r o m a n e x p e r i m e n t a l r u n a t R e = 1 0 8 4 . F i g u r e B . 1 p r e s e n t s a p l o t o f t h e t h r e e s i g n a l s r e c o r d e d d u r i n g t h e e x p e r i m e n t ; t h e s a m p l i n g r a t e w a s 5 0 w o r d s / s e c . T h e c u r v e m a r k e d V A L 1 4 r e p r e s e n t s t h e v o l t a g e E N H ( t ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r e s s u r e p N H ( t ) a n d t h e c u r v e m a r k e d V A L 5 r e p r e s e n t s t h e v o l t a g e E I ( t ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r e s s u r e p I ( t ) . T h e c u r v e m a r k e d L D V r e p r e s e n t s t h e o u t p u t o f t h e c o m p a r a t o r c i r c u i t , C ( t ) , ( s e e S e c t i o n 3 . 9 ) w h i c h m a r k s t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f t h e w i j > 3 h n e . i w t 1 T R 2 . . . . ( . 4 4 4 4 o t e s h t r h r B i ( e g . o U l e g 2 4 4 4 4 o f e c e o s r r v e . t i m > t b d < c e U e u p 1 2 3 4 5 n o m < d i n s f i u s i T t r t n a i e h g b n n e l g t < e . ) d n 7 6 6 6 6 . — 0 9 9 9 9 f p 0 9 8 7 6 t i a o u a m i n l f r i V T h v s i a a n i v t e n m % t e a a e s t e l c o u 5 e f d i s e h r e t e d u d t b r r . u ) c l e o . n f e v r e F s e o t h e d u t , r m s a F m l i t H g r 8 e t ) t t - M ( h t w e s 3 6 6 6 6 v a a i h S e l t t e u o l h m a 2 . . = n 1 3 3 3 3 w h p a e a s t i l n A 1 c c d R - o n i r e c t e o l i t c i t y , w r u o s i t t l s t i h t q h o e s u a r e g p n e o q d f u . E E E E E - - - - f - l . 2 5 S 5 S a > s a n g r e a h d t g r r t a ; a t r a n i t e g i n h s e f s e S / 9 5 4 8 9 h R 4 9 7 8 8 t c d e d v e i d h i o c s n ( t o h o t v f u n a r - - ) , e f e R s . . . . e n t r e o 1 7 0 3 u h 4 7 4 2 m a r c p r d s g b i l t a a _ - p , i n l ( v i l t a i r e 3 1 5 6 s t f 3 7 1 8 n n t t c o t e g h a p i i o c o c e N r t t w o n a n H h h e r d n t 3 i s i . 9 n n l s r c d e o i n m n i a e h t t u e n n e h 2 e s t a m h t s > 2 7 8 8 R E E E E o 3 f p - - - - f . o T a 9 r h m i o i e 2 y d n f t p i p g u b h b i = o n t a e e l n 3 t t e d , t h o l . h g e i m h t o r t o e e n e t s w r d s h s u r e d . r a a o a d v a n e s n s . s y i ) o s t a u m a I a t e l ( r a l l i t a i E l l F e t ( t i o - - g w f F / d l s e o e I e e n d r o v h r e u e e t r c d C t t i y o n t ) i ( s 4 i 2 ) E E E - - - s g a s e I a 0 e l l ( n q 3 4 4 c t a u r t u A d o h c i e e ) / i m a c s s D e r p a t e o d i n f p d a c d e m e r t t n u t o e h e o a o a n n d e F d t l f , - t A - 7 1 4 3 R . 8 6 3 . a h i h F 1 t e s m e T A 4 6 4 9 i o h 2 g n v i d p e 0 r 4 2 8 9 i e h 9 . . . B c t s e t I n o n d i e n l c u , h h s i p t n o h e h g n s i c r e t l s e l f e B j ( l t l u y e n . a b l e L 4 0 1 9 6 S 5 3 5 4 7 fi 0 7 5 4 4 F ) = 2 d n i h e 6 t p m h i i = o a f s n r a d t n l 2 r p a E E E E - - - - e c o 2 2 2 2 9 l 3 a a w f e , n h c e a e h h N H ( t ) A 2 ’ s w i t h F O 9 5 ( 1 , 7 7 - p ) w h i c h i s b e t w e e n 3 . 9 2 a n d 3 . 8 4 f o r ( n - p ) = 7 0 0 . T h e ( S e c t i o n 3 . 3 ) a n d f a l l s l i n e a r l y y i e l d i n g a c o n s t a n t v e l o c i t y j e t . A P P E N D I X C ' D E T A I L S O F E X P E R I M E N T A L R U N S A N D S P A C E - T I M E P L O T S . C . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s a p p e n d i x p r e s e n t s i n t a b u l a r f o r m t h e d e t a i l s o f a l l t h e f l o w v i s u a l i s a t i o n e x p e r i m e n t s t h a t w e r e c o n d u c t e d d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s i n v e s t i g a t i o n . I n a d d i t i o n i t a l s o p r e s e n t s t h e r e m a i n d e r o f t h e s p a c e - t i m e p l o t s . T h e n a m e u n d e r w h i c h t h e d a t a f i l e f o r a g i v e n r u n i s s t o r e d i s i n c l u d e d i n t h e t a b l e a n d i s a l s o i n d i c a t e d o n t h e c o r r e s p o n d i n g s p a c e - t i m e p l o t . C . 2 D e t a i l s o f E x p e r i m e n t a l R u n s T h e d e t a i l s o f e x p e r i m e n t a l r u n s a r e p r e s e n t e d i n T a b l e C . 1 . T h e i n f o r m a t i o n i n c l u d e s : f i l e n a m e , t h e R e y n o l d s n u m b e r o f t h e j e t , t h e w i d t h , w , o f t h e j e t i n c m . , t h e w i d t h , w , o f t h e s i d e b l e e d p o r t s , t h e w o r k i n g l i q u i d a n d w h e t h e r o r n o t t h e f i l l i n g d e v i c e w a s u s e d . T h e R e y n o l d s n u m b e r i s b a s e d u p o n t h e t i m e m e a n o f t h e s p a t i a l l y a v e r a g e d v e l o c i t y , < U > , o f t h e j e t . I n a l l t h e e x p e r i m e n t s i n w h i c h 4 0 8 N o . 3 5 6 8 7 9 1 2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 2 3 5 7 6 4 8 9 0 1 2 3 5 6 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 F R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R U R R R R U U U U i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l 0 0 l l 1 1 0 1 0 0 0 0 l 1 2 1 2 2 4 4 4 4 4 6 4 6 9 6 6 6 6 6 9 6 9 9 9 9 O O O 8 0 9 8 9 9 9 9 e 2 0 0 5 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A 0 D B B C 1 1 A F A H ? E G B D A R F V U H 3 C A C T G D E A D C C N a m e R e w 0 2 8 5 6 0 6 7 7 7 8 6 9 7 0 0 1 2 2 2 0 2 9 9 4 4 4 7 3 8 0 4 6 0 2 7 4 8 6 6 8 8 9 5 6 9 5 1 2 5 6 7 1 1 2 5 5 9 0 0 0 8 0 1 6 7 0 3 3 4 6 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 7 7 4 8 7 0 8 9 4 1 6 5 8 7 7 8 2 6 4 5 7 2 3 7 7 0 0 0 1 2 5 3 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 3 3 3 5 5 6 6 6 6 6 6 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 9 6 9 9 9 c 5 5 6 6 6 4 5 6 5 5 4 9 9 4 4 4 4 6 9 9 6 5 5 5 4 4 5 5 m 9 9 9 9 3 9 9 9 1 1 3 3 3 3 0 1 9 9 1 1 0 0 0 0 0 9 3 9 3 7 7 7 0 0 7 7 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ) w b ( c m ) 2 2 2 2 2 5 2 6 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 0 0 0 3 0 2 0 0 0 6 5 0 0 2 3 0 6 6 6 6 6 0 0 3 6 0 0 0 0 6 0 0 W W o a r t k e . r - L S i u q g . a r v . F N i o l t l . 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T a b l e C . 1 - D e t a i l s o f E x p e r i m e n t a l R u n s 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 8 9 0 1 4 2 3 5 6 7 8 9 R R R U 0 U 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 8 8 8 5 5 5 5 2 0 0 0 0 0 0 0 A 3 C K K L L 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 5 5 6 6 2 9 9 3 4 4 6 5 7 7 7 8 9 9 4 8 6 0 6 8 6 2 1 9 5 7 8 9 9 4 0 9 . . . . . . . . . . . . . 4 8 0 8 7 3 2 8 2 7 1 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 . 0 0 0 . 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 " n " " u n n n n n n v n U s e d t e n n d N U o s u n u n n n n n n 4 1 0 T a b l e C . 1 ( c o n t ' d . ) . 0 . 3 S p a c e - T i m e P l o t s S i x o f t h e s p a c e - t i m e p l o t s h a v e b e e n p r e s e n t e d i n t h e m a i n b o d y o f t h e t h e s i s a n d t h e r e m a i n d e r a r e p r e s e n t e d h e r e . N o t e t h a t f o r t h e f i r s t f o u r c a s e s ( R e < 2 6 8 ) n o s p a c e - t i m e p l o t s h a v e b e e n p r e p a r e d , b e c a u s e , n o l a r g e s c a l e v o r t e x m o t i o n s w e r e o b s e r v e d a t t h e s e R e v a l u e s . V a l v e S l i d e t o V a c u u m l i n k 3 : " : m x “ ) . — [ J _ L f I , , . _ C o m p u t e r — - r 1 - : . - ' _ - C o n t r o l l e d , _ _ S t e p p e r " M o t o r - * - ‘ - ' = C l e a r P l a d i c T a n k F i g u r e A . 1 . D e t a i l s o f t h e m e c h a n i s m f o r a c t u a t i n g t h e b l e e d v a l v e . ” ' V n — I I : v “ u r 1 L . t n e m i r e p x e n a g n i r u d d e d r o c e r ) s s d e n g o a c t e s ( l o v e e n h T 0 . 0 h t f o s e i r o t s i h e m i T . 1 . 3 e r u g i F a b o n o A 4 . 0 2 . 0 0 . 0 4 1 2 2 . 1 . 1 . 0 2 . 0 , ) 0 0 — — t _ - — _ - — 0 . 5 2 ( I E , e g a t l o v d e 0 r . 0 2 u s a e m e h t f o 0 n . o 5 1 e n h T i s s e r g e r e h t 0 . f . l 0 o 1 a u n d o i i s t e a r r t g s n u i l d l n i o 0 . p 5 - — — — 0 . 4 0 . 3 — — 0 . 0 0 0 . . 1 0 n s A e r r . 2 o . c B e e h r t u g d i n F a R e s i d u a l ( V o l t a g e ) 0 O l l l l O N e B o n o A 4 1 3 ‘ — ~ — _ - _ — _ - d c - ‘ — ‘ - _ — d b . 0 — _ — _ - — ‘ - — - _ . 1 - ‘ - - — _ — - b _ — - — 0 0 . 0 6 0 0 . 0 5 0 0 . 0 4 0 0 . 0 3 0 0 . 0 2 9 9 . l = w d n a 9 6 2 - = e R t w / > a U < ) t F 0 4 0 R ( s e c i t r o v f o t o l p e m i t - e c a p S . 1 . 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D u e i , , , q z d n , 3 4 A i B d , m S e C o o m n 9 p n i J . o d w l s 7 g . g d 1 v r p a e t i , n i . 0 i t a W e o , r T 1 W D J " a f 6 n . , h t 9 a 9 . . . e 3 T 7 , . V h a l d o T p R u i v p b E u . 2 , . r " l , A 1 9 2 B t . - , : . 1 u F o 4 . , , n i P o , . 6 . , o . 5 n 9 1 L E - s l p " s p e e j e l " l g n M u V o P 7 t o e t o c l 8 i r p c a i 4 p o t a h t n n - a e l . y e 7 l x a , D i s 9 n n 3 , J a g e v e . o n r " . e . t S j d o l , t w t " , b h t P a r 1 r r n i e 0 o a i d J n 9 b . c . k , u C d j t h o p e i a w p t o P F m n . s e y u o r s i f 4 n h l b " , s i d 3 J c a 5 , . i a n l A M v - 4 a - x d S o . . , , e i . e o 6 F h . J u t c 3 r l 4 5 2 L i s t o f R e f e r e n c e s B e c k e r , H . A . a n d M a s s a r o , T . A . , " V o r t e x e v o l u t i o n i n a r o u n d j e t " , J . F l u i d M e c h . , v o l 8 0 , 1 9 7 7 , p p . 4 0 1 - 4 2 1 . B e c k , J . V . a n d A r n o l d , K . J . , " P a r a m e t e r E s t i m a t i o n i n E n g i n e e r i n g a n d S c i e n c e " , J o h n W i l e y a n d S o n s , 1 9 7 7 . B e n d a t , J . S . a n d P i e r s o l , A . G . , " R a n d o m D a t a : A n a l y s i s a n d M e a s - u r e m e n t P r o c e d u r e s " , W i l e y - I n t e r s c i e n c e , 1 9 7 1 . B i c k l e y , W . G . , " T h e P l a n e J e t " , L o n d o n , E d i n b u r g h a n d D u b l i n P h i l o - s o p h i c a l M a g a z i n e a n d J o u r n a l o f S c i e n c e , 7 t h S e r i e s , v o l . 2 3 , 1 9 3 7 , p p . 7 2 7 - 7 3 1 . C h a m b e r s , A . J . , A n t o n i a , R . A . a n d B r o w n e , L . W . B . , " E f f e c t o f s y m - m e t r y a n d a s y m m e t r y o f t u r b u l e n t s t r u c t u r e s o n t h e i n t e r a c t i o n r e g i o n o f a p l a n e j e t " , E x p e r i m e n t s i n F l u i d s , v o l . 3 , 1 9 8 5 , p p . 3 4 3 - 3 4 8 . C h a m b e r s , F . W . a n d G o l d s c h m i d t , V . W . , " A c o u s t i c I n t e r a c t i o n w i t h a T u r b u l e n t P l a n e J e t : E f f e c t s o n M e a n F l o w " , v o l . 2 0 , 1 9 8 2 , p p . 7 9 7 - 8 0 4 . C l a r k , J . A . a n d K i t L . , " S h e a r L a y e r T r a n s i t i o n a n d t h e S h a r p - E d g e d O r i f i c e " , A S M E J o u r n a l o f F l u i d s E n g i n e e r i n g , v o l . 1 0 2 , 1 9 8 0 , p p . 2 1 9 - 2 2 5 . ( D i s c u s s i o n b y F o s s ( 1 9 8 0 ) . ) C u r l e , N . , " O n H y d r o d y n a m i c S t a b i l i t y i n U n l i m i t e d F i e l d s o f V i s c o u s F l o w " , P r o c . R o y a l S o c . o f L o n d o n S e r A , v o l . 2 3 8 , 1 9 5 6 - 5 7 , p p . 4 8 9 - 5 0 1 . D u r s t , F . , S c h i e r h o l z , W . F . a n d W u n d e r l i c h , A . M . , " E x p e r i m e n t a l a n d N u m e r i c a l I n v e s t i g a t i o n s o f P l a n e D u c t F l o w s W i t h S u d d e n C o n t r a c t i o n " , A S M E J o u r n a l o f F l u i d s E n g i n e e r i n g , v o l . 1 0 9 , 1 9 8 7 , p p . 3 7 6 - 3 8 3 . f F F M H G o C F i 5 e u i o r u f o l 1 z c s s e e t 0 h o a s h a l y m t - j e w , . i d m a i 5 e r J . v t s h " , , . , t k s , n 3 n i u t , n " r o 1 e V , , J o H u . l . a F E S S . . . P P t l e " a u a 5 t t l 2 s . c a O n i n , u i 6 n d d d a r o - F , y . u z . i h S r p . 1 F n n e 9 t M 9 l d K e 6 H u r I I e . a v v c r 6 c o i o I a n 1 n h d , . r H I t 9 . s , s u 8 s e h . s t p a P , , c s i C p r 3 , l o t l i o n M t o o i l c n . i U , . , . , . o n i 8 6 A s v n i D n 3 " . - 1 P 2 . o , 7 6 3 f a r i 2 0 , e K n , 4 . s f t . " e e t 1 h o n 9 a r 8 e . I 1 p r 9 f h M e s 8 t 3 , 3 r e 3 , a d F r N M a t e d . i b e m p a , c p i d o r p h I l p d n . i . i b e t o s " F t g F i . a i u 2 l e 7 e n a 9 o l n , s 9 d n 3 d w S - a 2 d y i 8 - V m r A 6 p n t y 2 o i n . . h 9 s f n t l 3 e u h a . 8 a e y l A s a o s r z b e r p i r n " l e P F a o , i a l l t r t d i a o - J i o w n . j n n e M t i o F r f J s e g V I , f l a e u l u t t p t a o i h e " l p w d s e , - . . g P 1 R J 7 o 9 o e 2 t 8 0 c t t 2 k - s e w 7 . " r e 3 , , l 0 l . A M S , . M C . . J D E a n O o . u r n a l d a n F d o o f s s , N B i a c s J c i . o c , , F E . n s l l u 0 " F l W n . e i e r i d M e " . i , n g , c v N h o a a n i c s " t l u . r a l 9 4 , , t d o G S r r e e a k e a r . B L w D a n , k e o 1 s f 9 P P r l e a 7 2 , s n p s a p , . r 4 5 3 H u s s a i n , A . K . M . F . a n d C l a r k , A . R . , " U p s t r e a m i n f l u e n c e o n t h e n e a r f i e l d o f a p l a n e t u r b u l e n t j e t " , P h y s . F l u i d s , v o l . 2 0 , 1 9 7 7 , p p . 1 4 1 6 - 1 4 2 7 . I k e d a , M . , " F i n i t e d i s t u r b a n c e s a n d g r o w i n g v o r t i c e s i n a t w o - d i m e n s i o n a l j e t " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 8 0 , 1 9 7 7 , p p . 4 0 1 - 4 2 1 . K o o c h e s f a h a n i , M . M . , P r i v a t e C o m m u n i c a t i o n , 1 9 8 9 . M a r o n e y , R . N . , " I n v i s c i d S h e a r F l o w A n a l y s i s o f C o r n e r E d d i e s A h e a d o f a C h a n n e l F l o w C o n t r a c t i o n " , A S M E J o u r n a l o f F l u i d s E n g i n e e r i n g , v o l . 1 0 7 , 1 9 8 5 , p p . 2 1 2 - 2 1 7 . M a t t i n g l y , G . E . a n d C r i m i n a l e , W . 0 . J r . , " D i s t u r b a n c e C h a r a c t e r i s - t i c s i n a P l a n e J e t " , P h y s . F l u i d s , v o l . 1 4 , 1 9 7 1 , p p . 2 2 5 8 - 2 2 6 4 . M i c h a l k e , A . , " O n s p a t i a l l y g r o w i n g d i s t u r b a n c e s i n a n i n v i s c i d s h e a r l a y e r " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 2 3 , 1 9 6 5 , p p . 5 2 1 - 5 4 4 . M o n t g o m e r y , M . T . , " A n A n a l y t i c a l I n v e s t i g a t i o n o f t h e T r a n s i t i o n F l o w f r o m a S h a r p - E d g e O r i f i c e J e t " , M . S . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f W a s h i n g - t o n , 1 9 8 5 . N a m e r , I . a n d O t u g e n , M . V . , " V e l o c i t y m e a s u r e m e n t s i n a p l a n e t u r - b u l e n t a i r j e t a t m o d e r a t e R e y n o l d s n u m b e r s " , E x p e r i m e n t s i n F l u i d s , v o l . 6 , 1 9 8 8 , p p . 3 8 7 - 3 9 9 P a g e , W . M . , " T w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s i n e l e c t r o s t a t i c s a n d h y d r o - d y n a m i c s " , P r o c . L o n d o n M a t h . S o c . S e r I I , v o l . 1 1 , 1 9 1 2 , p a g e 3 2 1 . 4 5 4 S a t o , H . , " T h e s t a b i l i t y a n d t r a n s i t i o n o f a t w o - d i m e n s i o n a l j e t " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 7 , 1 9 6 0 , p p . 5 3 - 8 0 . S a t o , H . a n d S a k a o , F . , " A n e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e i n s t a - b i l i t y o f a t w o - d i m e n s i o n a l j e t a t l o w R e y n o l d s n u m b e r s " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 2 0 , 1 9 6 4 , p p . 3 3 7 - 3 5 2 . S a v i c , P . , " O n A c o u s t i c a l l y E f f e c t i v e V o r t e x M o t i o n i n G a s e o u s J e t s " , P h i l . M a g . ( 7 ) 3 2 , 1 9 4 1 . P P . 2 4 5 - 2 5 2 . S a v i c , P . a n d M u r p h y , J . W . , " T h e S y m m e t r i c a l V o r t e x S t r e e t i n S o u n d S e n s i t i v e P l a n e J e t s " , P h i l . M a g . ( 7 ) , 3 4 , 1 9 4 3 , p p . 1 3 9 - 1 4 4 . S c h w e i g e r , G . , " R e g u l a r S t r u c t u r e s i n a P l a n e T r i p l e J e t " , A S M E J o u r - n a l o f F l u i d s E n g i n e e r i n g , v o l . 1 0 5 , 1 9 8 3 , p p . 4 2 - 4 6 . S h i m i z u , A . a n d W a d a , T . , " A N u m e r i c a l A n a l y s i s o f V o r t e x G r o w t h i n a T w o - D i m e n s i o n a l J e t " , C o m p u t e r s i n F l u i d s , v o l . 1 3 , 1 9 8 5 , p p . 8 3 — 9 7 . T a t s u m i , T . a n d K a k u t a n i , T . , " T h e s t a b i l i t y o f a t w o - d i m e n s i o n a l l a m i n a r j e t " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 4 , 1 9 5 8 , p p . 2 6 1 - 2 7 5 . T h o m a s , F . O . a n d G o l d s c h m i d t , V . W . , " S t r u c t u r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f a d e v e l o p i n g t u r b u l e n t p l a n a r j e t " , J . F l u i d M e c h . v o l . 1 6 3 , p p . 2 2 7 - 2 5 6 V a l l e n t i n e , H . R . , " A p p l i e d H y d r o d y n a m i c s " , S e c o n d E d i t i o n , P l e n u m P r e s s , 1 9 6 7 . W h i t e , F . M . , " V i s c o u s F l u i d F l o w " , M c G r a w H i l l I n c , 1 9 7 4 . W i n a n t , C . D . a n d B r o w a n d , F . K . , " V o r t e x P a i r i n g : t h e m e c h a n i s m o f t u r b u l e n t m i x i n g l a y e r g r o w t h a t m o d e r a t e R e y n o l d s n u m b e r " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 6 3 , 1 9 7 4 , p p . 2 3 7 - 2 5 5 . Y i h , C . 3 . , " T w o s o l u t i o n s f o r i n v i s c i d r o t a t i o n a l f l o w w i t h c o r n e r e d d i e s " , J . F l u i d M e c h . , v o l . 5 , 1 9 5 9 , p p . 3 6 - 3 9 . w - m m w e a m m m m m w w . . . . . I . . . « . . . . . . . . 1 . . . : : - . . e . . . . . . . . I . . I . . . . . . . 1 : . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . 1 v : 5 . 5 . 2 : . 1 . 1 , . I . I . . . . . . . . . . 1 . . . . . 2 . . . . I U I I I ? I I V » ! . ;