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D . d e g r e e i n C h e m i 5 t r y { L L L I ’ t a m p m C Q J u I M L u — J M a j o r p r o f e s s o r D a t e A p r i l 1 . 2 L 1 9 9 1 M S U i : a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 r I M i H c U U E R S N r e B t u O r X n o o t n L O A A C V E O I I N D R F E I N T F h n o T . a i i m g v s r a e - n s 3 i w t m m y r r e m e b o f v o e r t h d e i a s t c e h d e u c e k . — o u t f r o m y o u r r e c o r d . , W L = L = _ _ _ I P T E I M S U I s A n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y n s t I a i m t u t e i o n n » : — — _ 7 S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I Q U I D C H R O M A T O G R A P H Y : A N A L T E R N A T I V E T O P R E M I X E D M O B I L E P H A S E S V o l u m e I B Y J o n H e n r y W a h l A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t a t C h e m i s t r y 1 9 9 1 A B S T R A C T S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I Q U I D C H R O M A T O G R A P H Y : A N A L T E R N A T I V E T O P R E M I X E D M O B I L E P H A S E S B y : J o n H e n r y W a h l l n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d b y c o m p o s i t i o n a l m o d i f i c a t i o n o f a p r e m i x e d m o b i l e p h a s e . U n f o r t u n a t e l y , m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e n o t i n d e p e n d e n t o f o n e a n o t h e r w i t h i n a s o l v e n t m i x t u r e . C o n s e q u e n t l y , s o l u t e r e t e n t i o n i s n o t a s i m p l e , p r e d i c t a b l e f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . I n t h i s d i s s e r t a t i o n . a n o v e l s o l v e n t d e l i v e r y m e t h o d . c a l l e d s o l v e n t m o d u l a t i o n . i s d e s c r i b e d a s a n a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s a r e i n t r o d u c e d o n t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i n a r e p e a t i n g s e q u e n c e . C o n s e q u e n t l y , t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n i s a s i m p l e f u n c t i o n o f t h e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s b e c a u s e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y i n e a c h z o n e . T h e g e n e r a l c o n c e p t a n d t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n a r e d e v e l o p e d a n d p o s s i b l e d e v i a t i o n s i r o m i d e a l b e h a v i o r a r e d i s c u s s e d . E x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n i s p e r f o r m e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . T h e s e r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h o s e o b t a i n e d u s i n g c o n v e n t i o n a l p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . S e v e n t e s t s o l u t e s a r e u s e d t o e x a m i n e a r a n g e o f c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s , w h e r e a s y s t e m a t i c d e v i a t i o n i n r e t e n t i o n a s g r e a t a s 4 5 % a n d + 6 0 % o c c u r f o r s o l v e n t s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y c h a n g e s u s i n g p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . H o w e v e r . a r a n d o m e r r o r o f a p p r o x i m a t e l y 1 4 0 % o c c u r s u t i l i z i n g s o l v e n t m o d u l a t i o n f o r e i t h e r s o l v e n t s t r e n g t h o r s e l e c t i v i t y . B e c a u s e o f t h e i n c r e a s e d p r e d i c t a b i l i t y a n d c o n t r o l o f s o l u t e r e t e n t i o n . t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e o t t e r s a n i n n o v a t i v e m e t h o d f o r t h e o p t i m i z a t i o n o t a s e p a r a t i o n . T w o d i f f e r e n t o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s a r e e x p l o r e d . F i r s t . a r e S p o n s e s u r f a c e i s c a l c u l a t e d a n d t h e o p t i m u m i s d e t e r m i n e d b y v i s u a l i n s p e c t i o n . S e c o n d . a n i t e r a t i v e s e a r c h m e t h o d i s u s e d t o l o c a t e t h e o p t i m u m . T h e s e p a r a t i o n o f a c o m p l e x m i x t u r e o f 1 4 s a t u r a t e d a n d u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s i s o p t i m i z e d u t i l i z i n g t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . A n o v e l c o m p u t e r s i m u l a t i o n , w h i c h i s b a s e d o n m o l e c u l a r m o v e m e n t i n t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e , h a s b e e n d e v e l o p e d t o p r o v i d e a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n s f o r b o t h p r e m i x e d a n d s o l v e n t - m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s . T h e s i m u l a t i o n i n v o l v e s a t w o - s t e p m e t h o d o l o g y . F i r s t , a s p h e r i c a l d i f f u s i o n s t e p i s c a l c u l a t e d f r o m t h e E i n s t e i n e q u a t i o n . S e c o n d . a c o n v e c t i v e s t e p i s c a l c u l a t e d a s s u m i n g l a m i n a r f l o w . C o m p u t a t i o n a l t e s t s d e t e r m i n e w h e t h e r a m o l e c u l e i s r e t a i n e d . T h e s i m u l a t i o n p r o v i d e s t h e o p p o r t u n i t y t o p e r f o r m e x p e r i m e n t s n o t p o s s i b l e i n a r e a l c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m , f o r e x a m p l e , e x a m i n a t i o n o f n o n e q u i l i b r i u m e l u t i o n e f f e c t s . C o p y r i g h t b y J o n H e n r y W a h l 1 9 9 1 T h i s d i s s e r t a t i o n i s d e d i c a t e d t o m y m o t h e r a n d f a t h e r a n d t h e r e s t o f m y f a m i l y f o r t h e i r l o v e . e n c o u r a g e m e n t , a n d e m b r a c i n g t h e t r u e m e a n i n g o f a f a m i l y . A C K N O W L E D G M E N T S I w o u l d l i k e t o t h a n k m y t w o a d v i s o r s , D r . V i c t o r i a M c G u f f i n a n d D r . C h r i s E n k e , f o r t h e i r g u i d a n c e a n d s u p p o r t . w h i c h w e r e i n v a l u a b l e d u r i n g t h i s p r o j e c t . I w o u l d f u r t h e r l i k e t o t h a n k t h e o t h e r m e m b e r s o f m y c o m m i t t e e , D r . J a m e s H a r r i s o n a n d D r . C h a r l e s P e t t y , f o r t h e i r t i m e a n d i n p u t a s w e l l a s t h e m a n y o t h e r s b e h i n d t h e s c e n e s w h o m u s t r e m a i n a n o n y m o u s . I w o u l d l i k e t o t h a n k t h e p e o p l e w h o h a v e m a d e m y s t a y h e r e a n e n j o y a b l e a n d m e m o r a b l e o n e b e c a u s e I w o u l d n o t h a v e s u r v i v e d w i t h o u t t h e i r f r i e n d s h i p a n d e n c o u r a g e m e n t : C h r i s E v a n s a n d J o h n J u d g e f o r t h e i r f r i e n d s h i p a n d s u p p o r t t h r o u g h o u t t h i s o r d e a l , K e i j i A s a n o a n d M i k e K r i s t o f o r t h e i r l a s t i n g f r i e n d s h i p a n d s u p p o r t i n t h e e a r l y s t a g e s o f m y g r a d u a t e s c h o o l e x p e r i e n c e , P e t e P a l m e r w h o i s s t i l l l o o k i n g f o r t h a t c a k e , K r i s K u r t z w h o i s s t i l l w a i t i n g t o p l a y h e r c a r d a t t h e b o w l i n g a l l e y , t h e M a c u s e r g r o u p o f E d T o w n s e n d , J a s o n R o u s e , K u r t K n e e n . a n d E r i c H e m e n w a y , a n d m i s t e r B u d L i g h t R o n L o p s h i r e . I a l s o w o u l d l i k e t o t h a n k t h e r e s t o f m y c o m p a t r i o t s i n t h e M c G u f f i n a n d E n k e g r o u p s ( b o t h o l d a n d n e w ) f o r t h e i r c o m p a n i o n s h i p a n d s u p p o r t , a n d I w i s h t h e m t h e b e s t i n t h e i r f u t u r e e n d e a v o r s . F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o t h a n k K a r e n f o r t o l e r a t i n g m e t h r o u g h t h e h a r d t i m e s , l e t t i n g m e b e m y s e l f w h e n a r o u n d h e r , t o b l o w o f f s t e a m t h r o u g h t h e s u n r o o f o f h e r c a r e v e n i f s h e d o e s n ' t w a n t t o p u t a n y l a b e l s o n i t ( a l t h o u g h f r o m o u r e p i s o d e s a t t h e V a r s i t y r e s t a u r a n t I t h i n k w e c a n ) , a n d m o s t i m p o r t a n t l y f o r a l l h e r l o v e , s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t , w h i c h i s m o r e t h a n I e v e r i m a g i n e d p o s s i b l e . L a s t l y , T h a n k G o d i t ' s o v e r . S e e Y a ! ! ! T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S L I S T O F F I G U R E S C H A P T E R 1 S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I Q U I D C H R O M A T O G R A P H Y : G E N E R A L I N T R O D U C T I O N I N T R O D U C T I O N R E F E R E N C E S C H A P T E R 2 G E N E R A L C O N C E P T A N D T H E O R Y I N T R O D U C T I O N T H E O R Y O F S O L U T E R E T E N T I O N P r e m i x e d S o l v e n t S y s t e m s I d e a l S o l u t i o n s — S i n g l e - P h a s e S y s t e m R e a l S o l u t i o n s — S i n g l e - P h a s e S y s t e m R e g u l a r S o l u t i o n s — S i n g l e P h a s e S y s t e m R e g u l a r S o l u t i o n s — T w o - P h a s e S y s t e m S o l v e n t M o d u l a t i o n G e n e r a l C o n c e p t a t S o l u t e R e t e n t i o n T h e o r y a t S o l u t e R e t e n t i o n C o n t r o l o f S o l u t e R e t e n t i o n P r e d i c t i o n o f S o l u t e R e t e n t i o n P r e c i s i o n o f P r e d i c t e d S o l u t e R e t e n t i o n C O N C L U S I O N S A p p e n d i x 2 . 1 D e r i v a t i o n o f S o l u t e R e t e n t i o n E q u a fl o n A p p e n d i x 2 . 2 D e r i v a t i o n o f S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r u n d e r t h e C o n d i t i o n o f S o l v e n t M o d u l a t l o n v i i x i i x i v 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 5 1 7 2 1 2 5 2 5 2 5 2 7 3 0 3 8 4 4 4 6 4 9 A p p e n d i x 2 . 3 D e r i v a t i o n o f a U n i q u e C a p a c i t y F a c t o r t h a t I s I d e n t i c a l R e g a r d l e s s o f S o l v e n t O r d e r a n d R e p e t i t i o n R a t e A p p e n d i x 2 . 4 D e r i v a t i o n o f O v e r a l l S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r a t I n t e g e r R e p e t i t i o n R a t e s A p p e n d i x 2 . 5 D e r i v a t i o n o f L i m i t i n g S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r a s k g A p p r o a c h e s I n f i n i t y R E F E R E N C E S C H A P T E R 3 E X P E R I M E N T A L V E R I F I C A T I O N A N D C O M P A R I S O N W I T H C O N V E N T I O N A L P R E M I X E D M O B I L E P H A S E S I N T R O D U C T I O N T H E O R Y O F S O L U T E R E T E N T I O N P r e m i x e d M o b i l e P h a s e M o d e l S o l v e n t M o d u l a t i o n M o d e l E X P E R I M E N T A L S E C T I O N C h r o m a t o g r a p h i c S y s t e m M a t e r i a l s a n d M e t h o d s R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N S o l v e n t S t r e n g t h S t u d y P r e m i x e d M o b i l e P h a s e s S o l v e n t M o d u l a t i o n S o l v e n t S e l e c t i v i t y S t u d y P r e m i x e d M o b i l e P h a s e s S o l v e n t M o d u l a t i o n C O N C L U S I O N S A p p e n d i x 3 . 1 D e r i v a t i o n o f S o l u t e C a p a c l t y F a c t o r f o r a T e r n a r y M o b i l e - P h a s e M i x t u r e u s i n g t h e D l l l M o d e l A p p e n d i x 3 . 2 D e r i v a t i o n o f Q u a d r a t i c R e l a t i o n s h i p o f t h e S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r f o r t h e S o l u b i l i t y P a r a m e t e r M o d e l A p p e n d i x 3 . 3 C a l c u l a t i o n o f S o l u t e R e t e n t i o n P r o g r a m f o r S o l v e n t M o d u l a t i o n P r o g r a m N a m e : M o d u l a t e _ P u r l t y . f o r ; 1 1 v i i i 5 2 5 4 5 6 5 8 6 0 6 0 6 0 6 0 6 5 6 6 6 6 6 9 6 9 7 0 7 0 7 8 8 4 8 5 9 2 9 5 9 8 1 0 8 1 1 1 A p p e n d i x 3 . 4 C o m p u t e r P r o g r a m t h a t C o n t r o l s t h e S o l v e n t S e l e c t i o n V a l v e P r o g r a m N a m e : H V A L V E 3 . B A S R E F E R E N C E S C H A P T E R 4 T H E O R Y O F S O L V E N T Z O N E D I S P E R S I O N A N D S O L V E N T Z O N E P U R I T Y I N T R O D U C T I O N S O L V E N T Z O N E H E I G H T D e f i n i t i o n a n d T h e o r y L i m i t a t i o n s A d v a n t a g e s S O L V E N T Z O N E V A R I A N C E D e f i n i t i o n a n d T h e o r y L i m i t a t i o n s A d v a n t a g e s S O L V E N T Z O N E L E N G T H D e f i n i t i o n a n d T h e o r y L i m i t a t i o n s A d v a n t a g e s C O N C L U S I O N S A p p e n d i x 4 . 1 C a l c u l a t i o n o f S o l v e n t Z o n e P u r i t y u s i n g t h e S o l v e n t Z o n e H e i g h t M e t h o d P r o g r a m N a m e : S e g p u r e 9 . f o r A p p e n d i x 4 . 2 C a l c u l a t i o n o f S o l v e n t Z o n e P u r i t y u s i n g t h e S o l v e n t Z o n e V a r i a n c e M e t h o d P r o g r a m N a m e : E r f c c . f o r ; 4 0 R E F E R E N C E S C H A P T E R 5 O P T I M I Z A T I O N S T R A T E G Y F O R S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I Q U I D C H R O M A T O G R A P H Y I N T R O D U C T I O N T H E O R Y A N D O P T I M I Z A T I O N S T R A T E G Y E X P E R I M E N T A L S E C T I O N M a t e r i a l s a n d M e t h o d s C h r o m a t o g r a p h i c S y s t e m L a s e r F l u o r e s c e n c e D e t e c t o r U V - A b s o r b a n c e D e t e c t o r i x 1 1 8 1 2 5 1 2 6 1 2 6 1 3 0 1 3 0 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3 6 1 4 5 1 4 5 1 4 7 1 4 7 1 5 9 1 5 9 1 6 0 1 6 1 1 6 5 1 7 0 1 7 1 1 7 1 1 7 2 1 7 4 1 7 4 1 7 4 1 7 7 1 7 7 O p t i m i z a t i o n S t r a t e g i e s T o p o g r a p h i c M e t h o d S i m p l e x S e a r c h M e t h o d R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N A d v a n t a g e s a n d V e r s a t i l i t y o f t h e P r e s e n t O p t i m i z a t i o n P r o g r a m L i m i t a t i o n s o f t h e P r e s e n t O p t i m i z a t i o n P r o g r a m F u t u r e A d d i t i o n s a n d C h a n g e s t o t h e O p t i m i z a t i o n P r o g r a m C O N C L U S I O N S A p p e n d i x 5 . 1 S t r a t e g i e s f o r O p t i m i z i n g S e p a r a t i o n s u s i n g P r e m i x e d M o b i l e P h a s e s A p p e n d i x 5 . 2 S i m p l e x P r o c e d u r e f o r O p t i m i z a t i o n A p p e n d i x 5 . 3 O p t i m i z a t i o n P r o g r a m f o r S o l v e n t M o d u l a t i o n P r o g r a m N a m e : O p t i m i z e 5 . f o r R E F E R E N C E S C H A P T E R 6 A T H R E E - D I M E N S I O N A L R A N D O M - W A L K C O M P U T E R S I M U L A T I O N O F C H R O M A T O G R A P H I C S E P A R A T I O N S I N T R O D U C T I O N G E N E R A L D E S C R I P T I O N E X P E R I M E N T A L V E R I F I C A T I O N M o l e c u l a r D i f f u s i o n C o n v e c t i o n R e t e n t i o n A P P L I C A T I O N S K i n e t i c s E I u t l o n E f f e c t s C o l u m n i n l e t a n d O u t l e t S t u d y C o l u m n I n l e t C a s e C o l u m n O u t l e t C a s e S u m m a r y S t u d y a t C o m p o s i t i o n a l C h a n g e s i n t h e M o b i l e P h a s e S t e p - G r a d i e n t I n c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h C a s e S t e p - G r a d i e n t D e c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h C a s e 1 7 7 1 7 7 1 7 8 1 8 1 1 9 2 1 9 6 1 9 9 2 0 6 2 0 7 2 1 6 2 1 9 2 2 8 2 2 9 2 2 9 2 3 0 2 4 0 2 4 0 2 4 6 2 5 2 2 6 1 2 6 1 2 6 9 2 7 0 2 7 0 2 7 9 2 8 4 2 8 7 2 8 8 2 9 6 C O N C L U S I O N S A p p e n d i x A p p e n d i x A p p e n d i x R E F E R E N C E S S u m m a r y 6 . 1 6 . 2 6 . 3 T h r e e - D i m e n s i o n a l R a n d o m W a l k C o m p u t e r P r o g r a m P r o g r a m N a m e : W o r k s _ m . f o r ; 1 2 V e l o c i t y P r o f i l e f o r L a m i n a r F l o w P h y s i c a l D e s c r i p t i o n o f t h e G o l a y E q u a fl o n C H A P T E R 7 S U M M A R Y A N D F U T U R E W O R K S U M M A R Y F U T U R E W O R K R E F E R E N C E S x i 3 0 4 3 0 4 3 0 6 3 1 6 3 2 2 3 2 5 3 2 8 3 2 8 3 3 0 3 3 7 T a b l e 2 . 1 : T a b l e 2 . 2 : T a b l e 2 . 3 : T a b l e 3 . 1 : T a b l e 4 . 1 T a b l e 4 . 2 T a b l e 4 . 3 T a b l e 4 . 4 T a b l e 4 . 5 T a b l e 4 . 6 T a b l e 5 . 1 : T a b l e 5 . 2 : L I S T O F . T A B L E S E f f e c t o f s o l v e n t z o n e l e n g t h ( X i ) o n t h e o v e r a l l p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n . E f f e c t o f i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s o n t h e o v e r a l l p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n . E f f e c t o f c o l u m n l e n g t h o n t h e o v e r a l l p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n . S o l u b i l i t y P a r a m e t e r s o f C o m m o n S o l v e n t s f o r R e v e r s e d - P h a s e L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y . V e r i f i c a t i o n o f D e c r e a s i n g Z o n e P r o f i l e H e i g h t a s a F u n c t i o n o f R e p e t i t i o n R a t e . C o m p a r i s o n o f M a x i m u m R e p e t i t i o n R a t e a t a S o l v e n t Z o n e P u r i t y o f 9 5 % . S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 2 5 % A — 7 5 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 1 . S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 1 . S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 7 5 % A - 2 5 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 1 . S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 5 . R e t e n t i o n o f f a t t y a c i d s i n t h e i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s o f 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ( A ) a n d 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) . C o m p a r i s o n o f t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e t e n t i o n o f f a t t y a c i d s u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . x i i 4 0 4 2 4 3 6 2 1 4 9 1 5 0 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 8 5 1 9 3 T a b l e 5 . 3 A . 1 T a b l e 6 . 1 T a b l e 6 . 2 T a b l e 6 . 3 T a b l e 6 . 4 C o o r d i n a t e s f o r t h e V e r t i c e s o f t h e I n i t i a l S i m p l e x . C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t . C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e c o l u m n r a d i i . C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n u n d e r v a r i o u s c o n d i t i o n s . E x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s f o r F i g u r e 6 . 8 . x i i i 2 2 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 6 0 F i g u r e 1 . 1 F i g u r e 1 . 2 F i g u r e 2 . 1 F i g u r e 2 . 2 F i g u r e 2 . 3 F i g u r e 2 . 4 L I S T O F F I G U R E S S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . S o l u t e a c t i v i t y a s a f u n c t i o n o f t h e s o l u t e m o l e f r a c t i o n . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e f o r a t w o - s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e . T h e s o l v e n t p r o p o r t i o n ( l e f t ) i s d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e l e n g t h o f e a c h s o l v e n t z o n e t o t h a t o f t h e c o m p l e t e m o d u l a t i o n c y c l e . T h e r e p e t i t i o n r a t e ( r i g h t ) i s d e f i n e d a s t h e n u m b e r o f m o d u l a t i o n c y c l e s t h a t i s e q u i v a l e n t t o t h e l e n g t h o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( L ) . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n t e r d e p e n d e n c e o f p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p t o t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s ( x A a n d x B ) f o r a t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t s y s t e m . T h e c o n d i t i o n s o f d i s c r e t e r e p e t i t i o n r a t e a n d p r o p o r t i o n w i t h c o n s t a n t v a l u e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e s o l i d l i n e s . E f f e c t o f s o l v e n t o r d e r o n t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e . ( A ) s o l v e n t o r d e r A - B ; ( B ) s o l v e n t o r d e r B — A ; k A . . 1 . 0 0 , k g - 1 . 0 1 , s o l v e n t p r o p o r t i o n 5 0 % A - 5 0 % B . T h e p e r i o d i c i t y o f t h e s e f u n c t i o n s a r i s e s b e c a u s e t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o f r a c t i o n a l p o r t i o n s o f i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s . A n o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r o f a p p r o x i m a t e l y 1 . 0 0 5 i s a p p r o a c h e d a s y m p t o t i c a l l y a s r e p e t i t i o n r a t e i n c r e a s e s , r e g a r d l e s s o f s o l v e n t o r d e r . x i v 1 6 2 9 3 1 3 3 F i g u r e 2 . 5 F i g u r e 3 . 1 F i g u r e 3 . 2 F i g u r e 3 . 3 F i g u r e 3 . 4 E f f e c t o f t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s o n t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e . ( A ) k A - 1 . 0 0 0 , k g . . 1 . 0 1 0 ; ( B ) k ) ; . . 1 . 0 0 0 . k g . 1 . 1 0 0 : ( C ) k A - 1 . 0 0 0 , k g - 2 . 0 0 0 ; ( D ) i t ) ; - 1 . 0 0 0 . k g = - 1 0 . 0 0 ; ( E ) k A - 1 . 0 0 0 , k 3 = 1 0 0 . 0 ; s o l v e n t o r d e r A - B w i t h s o l v e n t p r o p o r t i o n s o f 2 5 % A - 7 5 % B , 5 0 % A - 5 0 % B , a n d 7 5 % A - 2 5 % B . T h e n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p o f t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a s s h o w n i n E q u a t i o n s [ 2 . 4 0 ] a n d [ 2 . 4 6 ] . T h u s , a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s i n c r e a s e s , t h e r a n g e o f a c c e s s i b l e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s d e c r e a s e s . S c h e m a t i c d i a g r a m o f e x p e r i m e n t a l s y s t e m . V . s o l v e n t s e l e c t i o n v a l v e ; I - s a m p l e i n j e c t i o n v a l v e ; T - e f f l u e n t s p l i t t e r t e e ; R - r e s t r i c t o r o r m e t e r i n g v a l v e . C h r o m a t o g r a m s o f t h e s e v e n t e s t s o l u t e s i n i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s c h o s e n f o r t h e s o l v e n t s t r e n g t h s t u d i e s . C o l u m n : 2 0 0 u m i d , 2 5 c m l e n g t h , p a c k e d w i t h S p h e r i - S R P - 1 8 ; M o b i l e P h a s e : 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) , 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) , 1 u L / m i n ; D e t e c t i o n : U V - V I S a b s o r b a n c e , 2 5 0 n m , 0 . 0 1 0 A U F S . T h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e r e t e n t i o n f o r p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s v a r y i n g i n s o l v e n t s t r e n g t h . T h e c a p a c i t y f a c t o r i s p r e s e n t e d a s a l o g a r i t h m i c f u n c t i o n o f c o m p o s i t i o n ( t o p ) a n d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 3 . 6 ] ( c e n t e r ) . T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e r e t e n t i o n b a s e d o n t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l i s c a l c u l a t e d a s ( k 5 , , p - k r h e o r y ) / k T h g o ’ y ( b o t t o m ) . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 2 . S o l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( O ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( E l ) , p y r e n e ( O ) . T h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d c o n c e n t r a t i o n s o f f r e e m e t h a n o l ( I ) , f r e e w a t e r ( 0 ) , m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e ( A ) , a n d t h e t o t a l c o n c e n t r a t i o n o f t h e c o m p o n e n t s ( 6 ) a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l m e t h a n o l c o n c e n t r a t i o n ( % v / v ) . S e e r e f e r e n c e 1 9 f o r t h e f o r m a t i o n c o n s t a n t o f t h e m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s . X V 3 6 6 7 7 1 7 3 7 6 F i g u r e 3 . 5 F i g u r e 3 . 6 F i g u r e 3 . 7 F i g u r e 3 . 8 F i g u r e 3 . 9 F i g u r e 3 . 1 0 S o l u t e r e t e n t i o n i n s o l v e n t - m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s f o r v a r y i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e ( R R = - 1 ) . A t t h e t o p o f e a c h f i g u r e , t h e o r d e r a n d r e l a t i v e l e n g t h o f t h e s o l v e n t z o n e s u s e d i n t h e s e p a r a t i o n a r e d e p i c t e d , a n d a t t h e b o t t o m o f e a c h f i g u r e t h e r a n g e a n d s c a l e o f t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r s i s l i s t e d . T h e o p e n c i r c l e s ( O ) r e p r e s e n t t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h e f i l l e d c i r c l e s ( O ) a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 3 . 8 ] . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 2 . T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] f o r r e p e t i t i o n r a t e s n o m i n a l l y e q u a l t o o n e ( t o p ) , t w o ( c e n t e r ) , a n d t h r e e ( b o t t o m ) . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 2 . S o l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( O ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( E l ) , p y r e n e ( c ) . C h r o m a t o g r a m s o f t h e s e v e n t e s t s o l u t e s i n i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s c h o s e n f o r t h e s o l v e n t s e l e c t i v i t y s t u d i e s . C o l u m n : 2 0 0 u m i d , 2 5 c m l e n g t h , p a c k e d w i t h S p h e r i - S R P - 1 8 ; M o b i l e P h a s e : 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) , 5 8 % a c e t o n i t r i l e - 4 2 % w a t e r ( 8 ) , 1 u L / m i n ; D e t e c t i o n : U V - V I S a b s o r b a n c e , 2 5 0 n m , 0 . 0 1 0 A U F S . T h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e r e t e n t i o n f o r p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s v a r y i n g i n s o l v e n t s e l e c t i v i t y ( t o p ) . T h e r e l a t i v e e r r o r i n s o l u t e r e t e n t i o n ( b o t t o m ) i s c a l c u l a t e d a s ( k E x p - k n e w . ) / k m m , b a s e d o n t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l i n E q u a t i o n [ 3 . 6 ] . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 7 . S a l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( O ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( C l ) . p y r e n e ( O ) . T h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d c o n c e n t r a t i o n s o f f r e e m e t h a n o l ( I ) , f r e e a c e t o n i t r i l e ( 0 ) , f r e e w a t e r ( A ) , m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e ( O ) . a c e t o n i t r i l e - w a t e r a g g r e g a t e ( E l ) , m e t h a n o l - a c e t o n i t r i l e a g g r e g a t e ( O ) , a n d t h e t o t a l c o n c e n t r a t i o n o f t h e c o m p o n e n t s ( A ) a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l c o m p o n e n t c o n c e n t r a t i o n ( % v / v ) . S e e r e f e r e n c e 1 9 f o r t h e f o r m a t i o n c o n s t a n t s o f t h e a g g r e g a t e s u s e d I n t h e c a l c u l a t i o n s . S o l u t e r e t e n t i o n i n s o l v e n t - m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s f o r v a r y i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e ( R R = 1 ) . T h e o p e n c i r c l e s ( 0 ) r e p r e s e n t t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h e f i l l e d c i r c l e s ( O ) a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 3 . 8 ] . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 7 . 8 0 8 2 8 6 8 8 9 0 9 3 F i g u r e 3 . 1 1 F i g u r e 4 . 1 F i g u r e 4 . 2 F i g u r e 4 . 3 F i g u r e 4 . 4 F i g u r e 4 . 5 F i g u r e 5 . 1 T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] f o r r e p e t i t i o n r a t e e q u a l l i n g o n e . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 7 . S o l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( O ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( E l ) , p y r e n e ( 0 ) . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m i x i n g p r o c e s s o c c u r i n g w i t h i n a s o l v e n t z o n e . I n i t i a l l y a r e c t a n g u l a r i m p u l s e f u n c t i o n i s u s e d t o m o d e l a s o l v e n t z o n e . D u r i n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s , m i x i n g o c c u r s a t t h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e s . C o n s e q u e n t l y , t h e o r i g i n a l s o l v e n t z o n e i s m o d i f i e d b y t h e m i x i n g p r o c e s s , w h i c h i s a s s u m e d t o b e a G a u s s i a n o p e r a t o r . A s a r e s u l t . t h e f i n a l s o l v e n t z o n e p r o f i l e , w h i c h i s a c o n v o l u t i o n o f a r e c t a n g u l a r i m p u l s e f u n c t i o n a n d a G a u s s i a n f u n c t i o n , i s o b t a i n e d . S o l v e n t z o n e p u r i t y ( C r m I c m » a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r ( A ) a n i n e f f i c i e n t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( d p : - 1 0 u m , L = - 1 0 c m ) a n d ( B ) a h i g h l y e f f i c i e n t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( d p - 3 p m , L - 1 0 0 c m ) ; o p e r a t e d a t o p t i m u m v e l o c i t y ( H - o z c o L / L . 2 d p ) . W i t h i n c r e a s i n g p l a t e h e i g h t , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e a r e r e d u c e d . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f s o l v e n t z o n e p r o f i l e s a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 4 . 1 1 ] . A s t h e s o l v e n t z o n e i s b r o a d e n e d b y c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s , t h e z o n e p u r i t y ( 9 2 / 1 + 9 2 ) d e c r e a s e s a s p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 4 . 7 ] . S o l v e n t z o n e p u r i t y ( 9 2 / 1 + 0 2 ) a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n s o f c o n s t a n t l e n g t h ( L - 2 5 c m ) a n d v a r y i n g p a r t i c l e s i z e . ( A ) d p = 3 p m ; ( 8 ) d p = 5 p m ; ( C ) d p = 1 0 u m ; o p e r a t e d a t o p t i m u m v e l o c i t y ( H = 0 2 0 0 i j . 2 d p ) . W i t h i n c r e a s i n g p a r t i c l e s i z e . t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e a r e r e d u c e d . S o l v e n t z o n e p u r i t y ( H z / 1 + 0 2 ) a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n s o f c o n s t a n t p a r t i c l e s i z e ( d p - 3 p m ) a n d v a r y i n g l e n g t h . ( A ) L - 1 0 0 c m ; ( B ) L - 2 5 c m ; ( C ) L a : 1 0 c m ; o p e r a t e d a t o p t i m u m v e l o c i t y ( H = o Z C O L / L . . 2 d p ) . M i n i n c r e a s i n g c o l u m n l e n g t h , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e a r e i n c r e a s e d . S c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e e x p e r i m e n t a l s y s t e m . ( A ) 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ; ( B ) 1 0 0 % m e t h a n o l ; ( l ) s a m p l e i n j e c t i o n v a l v e ; ( T ) e f f l u e n t s p l i t t e r t e e ; ( R ) r e s t r i c t o r . 9 6 1 2 7 1 3 2 1 3 9 1 4 1 1 4 3 1 7 5 F i g u r e 5 . 2 F i g u r e 5 . 3 F i g u r e 5 . 4 F i g u r e 5 . 5 F i g u r e 5 . 6 F i g u r e 5 . 7 F l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m u s e d t o l o c a t e t h e o p t i m u m s e p a r a t i o n c o n d i t i o n s b y t h e s i m p l e x m e t h o d . C h r o m a t o g r a m s o f s t a n d a r d f a t t y a c i d s i n t h e i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s . C o l u m n : F u s e d - s i l i c a c a p i l l a r y ( 2 0 0 u m i . d . , 1 4 0 c m l e n g t h ) , p a c k e d w i t h 3 p m M i c r o P a k - S P . M o b i l e p h a s e : ( A ) 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ; ( B ) 1 0 0 % m e t h a n o l ; 0 . 7 u L / m i n ; 3 0 ° C . D e t e c t o r : L a s e r f l u o r e s c e n c e , 1 9 x 3 2 5 n m , 1 . . . . 4 2 0 n m , 2 . 0 m A f u l l s c a l e . S a l u t e s : 1 0 - 5 M f a t t y a c i d s t a n d a r d s d e r i v a t i z e d w i t h 4 - b r o m o m e t h y l - 7 - m e t h o x y c o u m a r i n ; 8 . 3 n L i n j e c t i o n v o l u m e . T h e n o m e n c l a t u r e f o r t h e f a t t y a c i d s i s g i v e n a s C N z n , w h e r e C N i s t h e n u m b e r o f c a r b o n a t o m s a n d n i s t h e n u m b e r o f u n s a t u r a t e d s i t e s . T h e s i m u l a t e d r e s p o n s e s u r f a c e , w i t h e x p a n d e d v i e w o f o p t i m u m r e g i o n , f o r t h e s e p a r a t i o n o f t h e 1 4 f a t t y a c i d s . T h e C R S v a l u e i s d i s p l a y e d a s a f u n c t i o n o f t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f s o l v e n t s A a n d B i n t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e . T o p o g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e s p o n s e s u r f a c e i n F i g u r e 6 . T h e o p t i m u m i s l o c a t e d a t f r a c t i o n a l l e n g t h s o f 1 2 . 9 f o r s o l v e n t A a n d 0 . 8 3 f o r s o l v e n t B , w i t h a c o r r e s p o n d i n g C R S v a l u e o f 4 . 3 4 . C h r o m a t o g r a m o f t h e s t a n d a r d f a t t y a c i d s u n d e r t h e p r e d i c t e d o p t i m u m c o n d i t i o n s f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s d e s c r i b e d i n F i g u r e 5 . M o b i l e p h a s e : 9 6 % A - 4 % B p r o p o r t i o n ; 0 . 0 7 r e p e t i t i o n r a t e ; 0 . 7 u L / m i n ; 3 0 ° C . D e t e c t o r s : U V a b s o r b a n c e , l a b s 2 5 4 n m , 0 . 0 1 2 5 A U f u l l s c a l e ; L a s e r f l u o r e s c e n c e , A “ 3 2 5 n m , 1 9 , “ 4 2 0 n m , 0 . 5 m A f u l l s c a l e . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f s o l v e n t z o n e s e q u e n c e s t h a t c a n b e r e p e a t e d d u r i n g a s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t u s i n g a m a x i m u m o f s i x d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s ( A , B , C , D , E , a n d F ) . E a c h s o l v e n t z o n e s e q u e n c e h a s a n u m b e r o f p e n n u t a t i o n s t h a t w i l l c a u s e a d i f f e r e n t o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i n e a c h c a s e . C a s e 1 r e p r e s e n t s a n e x a m p l e w h e r e t h e o p t i m u m m o b i l e p h a s e i s a s i n g l e s o l v e n t s y s t e m . C a s e 6 r e p r e s e n t s a n e x a m p l e w h e r e s i x d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s a r e u s e d a n d w h e r e t h e r e i s 7 2 0 p e r m u t a t i o n s o f t h e s o l v e n t o r d e r . x v i i i 1 7 9 1 8 2 1 8 6 1 8 8 1 9 0 1 9 4 F i g u r e 5 . 8 F i g u r e 5 . 9 F i g u r e 5 . 1 0 F i g u r e 5 . 1 . A . 1 F i g u r e 5 . 1 A . 2 F i g u r e 5 . 2 A . 1 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f s o l v e n t z o n e o r d e r s t h a t a r e e i t h e r r e p e a t i n g ( R ) o r n o n r e p e a t i n g ( N ) , a n d w h e r e t h e f a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s ( x , ) a r e r a n d o m f o r t h e s o l v e n t s y s t e m s ( A , B , a n d C ) . I n e a c h c a s e t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f e a c h s o l v e n t z o n e i s n e v e r r e p e a t e d d u r i n g t h e s e p a r a t i o n ; h o w e v e r , t h e o r d e r o f t h e s o l v e n t z o n e s m a y r e p e a t d u r i n g t h e s e p a r a t i o n . I n a d d i t i o n t o t h e c a s e s s h o w n , a l l p e m i u t a t i o n s o f e a c h c a s e a r e a l s o p o s s i b l e . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f c o n d i t i o n a l l y i n d e p e n d e n t s o l v e n t z o n e s e l e c t i o n . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f r a n d o m s o l v e n t o r d e r s e l e c t i o n . W i n d o w d i a g r a m f o r t h r e e h y p o t h e t i c a l s o l u t e s ( X , Y , Z ) . T h e s e l e c t i v i t y f a c t o r ( a ) i s m a i n t a i n e d g r e a t e r t h a n o n e b y i n v e r t i n g t h e c a l c u l a t i o n o f i t w h e n t h e v a l u e o f a i s l e s s t h a n o n e . T h e s h a d e d r e g i o n s r e p r e s e n t t h e t w o w i n d o w s a r e a s . T h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n i s a t o ' . S i m p l e x l a t t i c e d e s i g n f o r m o b i l e - p h a s e o p t i m i z a t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . A , B , a n d C a r e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s , A B , A C , a n d B C a r e 1 : 1 b i n a r y m i x t u r e s , a n d A B C i s a 1 : 1 : 1 t e r n a r y m i x t u r e . M o v e m e n t s o f a f i x e d s t e p s i z e s i m p l e x o n a h y p o t h e t i c a l C R S r e s p o n s e s u r f a c e . T h e i n i t i a l s i m p l e x h a s v e r t i c e s l a b e l l e d 1 , 2 , a n d 3 . i t ) ; a n d x B a r e h y p o t h e t i c a l f r a c t i o n a l l e n g t h s o f s o l v e n t z o n e s . x i x 1 9 7 2 0 1 2 0 3 2 0 8 2 1 2 2 1 7 F i g u r e 5 . 3 A . 1 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f t h e i n i t i a l s i m p l e x e s e x a m i n e d b y t h e F i g u r e 6 . 1 F i g u r e 6 . 2 O p t i m i z a t i o n p r o g r a m . ( t o p ) S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f i v e o v e r l a y i n g a r e a s ( 1 - 5 ) t h a t a r e a u t o m a t i c a l l y s e a r c h e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . T h e s e a r c h a r e a i s c o n f i n e d w i t h i n t h e m i n i m u m ( M i n ) a n d m a x i m u m ( M a x ) c o n s t r a i n t v a l u e s , w h i c h i s d e f i n e d b y t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s A a n d 8 . ( c e n t e r ) S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t e n s t a r t i n g s i z e s o f t h e i n i t i a l s i m p l e x . E a c h s u c c e s s i v e s i m p l e x i s c o n s t n i c t e d b y s y s t e m a t i c a l l y i n c r e m e n t i n g a l o n g b o t h a x e s w h i l e m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t m i n i m u m v a l u e . T h e d a s h e d l i n e r e p r e s e n t s t h e h y p o t e n u s e o f e a c h t r i a n g l e o f t h e i n i t i a l s i m p l e x . T h e f i l l e d c i r c l e s ( O ) r e p r e s e n t o f t h e v e r t i c e s o f t h e s i m p l e x e s . A l l t e n o f t h e s e i n i t i a l s i m p l e x e s a r e a u t o m a t i c a l l y s e a r c h e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . A g a i n , t h e s e a r c h a r e a i s c o n f i n e d w i t h i n t h e m i n i m u m ( M i n ) a n d m a x i m u m ( M a x . ) c o n s t r a i n t v a l u e s , w h i c h i s d e f i n e d b y t h e f a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s A a n d B . ( b o t t o m ) S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f o u r s i m p l e x e s ( 1 - 4 ) t h a t a r e a u t o m a t i c a l l y s e a r c h e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . E a c h i n i t i a l s i r r p l e x i s o r i g i n a t e d a t e a c h c o m e r o f t h e s e a r c h a r e a . A g a i n , t h e s e a r c h a r e a i s c o n f i n e d w i t h i n t h e m i n i m u m ( M i n ) a n d m a x i m u m ( M a x ) c o n s t r a i n t v a l u e s , w h i c h i s d e f i n e d b y t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s A a n d B . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h r e e m o l e c u l e s u n d e r g o i n g f i v e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n c y c l e s . T h e m o l e c u l e i s a s s u m e d t o b e i n t h e c e n t e r o f e a c h s p h e r e p r i o r t o d i f f u s i o n , a n d t h e t h e d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t t h e c o n v e c t i v e s t e p t a k e n b y t h e m o l e c u l e a f t e r d i f f u s i o n . T h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i s a r r a n g e d s u c h t h a t t h e l e n g t h o f t h e c o l u m n i s a l i g n e d w i t h t h e Z - a x i s , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s t h e c o l u m n w a l l . F l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m u s e d f o r t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n s . X X 2 2 1 2 3 1 2 3 3 F i g u r e 6 . 3 F i g u r e 6 . 4 F i g u r e 6 . 5 F i g u r e 6 . 6 F i g u r e 6 . 7 E x a m p l e s o f a n a c t u a l s o l u t e p o p u l a t i o n ( l o w e r d i a g r a m ) , t h e c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n ( u p p e r d i a g r a m ) , a n d t h e s m o o t h e d f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n ( u p p e r d i a g r a m ) . I n t h e l o w e r d i a g r a m , t h e o p e n c i r c l e s r e p r e s e n t t h e p o s i t i o n o f a n i n d i v i d u a l m o l e c u l e , a n d i n t h e u p p e r d i a g r a m t h e o p e n c i r c l e s r e p r e s e n t t h e v a l u e o f a n i n d i v i d u a l f r e q u e n c y c l a s s . I n t h i s i l l u s t r a t i o n , 1 0 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d t o d i f f u s e f o r a p e r i o d o f t i m e a n d d i v i d e d i n t o 1 0 0 f r e q u e n c y c l a s s e s . N s , N M , a n d N T a r e t h e n u m b e r o f s o l u t e m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , m o b i l e p h a s e , a n d t h e t o t a l n u m b e r o f t h e m o l e c u l e s . D i f f u s i o n p r o c e s s f o r a s i n g l e m o l e c u l e . T h e p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i n e a c h d i m e n s i o n , x , y , a n d z , i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e u p p e r d i a g r a m c o r r e s p o n d s t o a s i m u l a t i o n u s i n g a c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s t a n t , t , e q u a l l i n g 0 . 0 0 5 s , a n d t h e l o w e r d i a g r a m c o r r e s p o n d s t o a s i m u l a t i o n u s i n g a a c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s t a n t , t , e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 5 s . T h e p e r s p e c t i v e t o t h e r i g h t o f e a c h d i a g r a m r e p r e s e n t s a t w o - d i m e n s i o n a l v i e w t a k e n f r o m t h e x - v p l a n e , w h e r e t h e o p e n c i r c l e ( 0 ) r e p r e s e n t s t h e s t a r t i n g p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e a n d t h e f i l l e d c i r c l e ( 0 ) r e p r e s e n t s t h e e n d i n g p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : T o t a l n u m b e r o f m o l e c u l e s ( N 7 ) = - 1 ; P a r t i t i o n c o e f f i c i e n t ( K ) - 0 . 0 ; M o b i l e - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t ( 0 M ) - 1 . 0 1 : 1 0 - 5 c m 2 / s ; M o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y ( u ) - 0 . 0 c m i s ; C o l u m n i n n e r r a d i u s ( R ) = - 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m . C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 5 ] a s a f u n c t i o n o f t i m e . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 7 5 0 ; K - 0 . 0 ; 0 M . 1 . 0 x 1 0 - 4 c r r 1 2 / s ( I ) , 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m 2 / s ( O ) , 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m 2 / s ( A ) ; u = 0 . 0 c m / s ; R a 2 0 x 1 0 ' 4 c m , f - 0 . 0 0 0 5 s e x c e p t f o r D M = - 1 . 0 x 1 0 ‘ 4 c m 2 / s w h e r e t = 0 . 0 0 0 0 5 s . C o m p a r i s o n o f t h e m e a n p o s i t i o n o f t h e s o l u t e z o n e m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a s a f u n c t i o n o f t i m e . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 7 5 0 ; K . 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m z / s ; u - 1 . 0 0 0 c m r s ( I ) , 0 . 1 0 0 c m / s ( o ) , 0 . 0 1 0 c h s ( A ) , 0 . 0 0 1 c h s ( 0 ) ; F l . - 2 0 x 1 0 ’ 4 c m , l = 0 . 0 0 0 5 5 . C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d p l a t e h e i g h t w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 9 ] a s a f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 7 5 0 ; K - 0 . 0 ; 0 M - 1 . 0 x 1 0 ’ 5 c m 2 / s ; R - 8 0 x 1 0 ' 4 c m ( 0 ) , 6 0 x 1 0 ' 4 c m ( A ) , 4 0 x 1 0 ' 4 c m ( O ) , 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m ( I ) , l a - 0 . 0 0 0 5 s . 2 3 8 2 4 1 2 4 4 2 4 7 2 5 0 F i g u r e 6 . 8 F i g u r e 6 . 9 F i g u r e 6 . 1 0 F i g u r e 6 . 1 1 F i g u r e 6 . 1 2 F i g u r e 6 . 1 3 C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d p l a t e h e i g h t w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 8 ] a s a f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 7 5 0 ; i : 0 . 0 0 0 5 8 : s e e T a b l e 6 . 4 f o r o t h e r s p e c i f i c c o n d i t i o n s . D e t e r m i n a t i o n o f t h e r a t e o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n , w h e r e t h e r e l a t i v e m o b i l e - p h a s e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e e r r o r b a r s d e p i c t a n e r r o r o f o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n f r o m t h r e e i n d e p e n d e n t s i m u l a t i o n s , a n d t h e s o l i d l i n e i s d e t e r m i n e d f r o m n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 1 0 0 ; K . 1 . 0 ( I ) , 2 . 0 ( e ) ; D ” . a s - 1 . 0 x 1 0 ' 5 c n 1 2 / s ; u = 0 . 0 c r e r ; 9 = 2 0 x 1 0 ’ 4 c m ; P h a s e R a t i o ( ) 3 ) . 1 . 0 ; l - 0 . 0 0 0 5 s . D e t e r m i n a t i o n o f t h e r a t e o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n , w h e r e t h e r e l a t i v e m o b i l e - p h a s e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e e r r o r b a r s d e p i c t a n e r r o r o f o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n f r o m t h r e e i n d e p e n d e n t s i m u l a t i o n s , a n d t h e s o l i d l i n e i s d e t e r m i n e d f r o m n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 1 0 0 ; K . 1 . 0 ( I ) , 2 . 0 ( o ) , 1 0 . 0 ( A ) ; 0 M : 1 . 0 1 : 1 0 ' 5 c m 2 / s , D s = 1 . 0 x 1 0 ' 6 c m 2 / s ; u - 0 . 0 c h s ; R - 2 0 x 1 0 ’ 4 c m ; ) 3 = 2 . 0 ; i s 0 . 0 0 0 5 s . C o l u m n I n l e t C a s e . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( O ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e i n l e t o f t h e c o l u m n i s a t 0 . 0 c m a s d e p i c t e d i n t h e c o l u m n s c h e m a t i c s h o w n o n t h e t o p o f t h e f i g u r e , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s t h e s t a t i o n a r y p h a s e . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e M i o n , w h e r e t h e i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r i s 0 . 0 a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 , r e s p e c t i v e l y . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 7 : 5 0 0 ; K = 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; 0 5 4 - 1 . 0 x 1 0 ‘ 5 c m 2 / s , D S = 1 . 0 x 1 0 ' 6 c m 2 / s ; u = - 0 . 1 c h s ; R a : 2 0 x 1 0 ' 4 c m ; p = - 2 . 0 ; i s 0 . 0 0 0 5 s . C o l u m n I n l e t C a s e . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a s o l u t e i m m e d i a t e l y u p o n e n t r y t o t h e c o l u m n ( t h i r d s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 1 1 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e a s l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = - d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f c o l u m n i n l e t c a s e . w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o i n c r e a s e g r a d u a l l y c h a n g e f r o m H o ” t o H o n . 2 5 8 2 6 3 2 6 6 2 7 2 2 7 4 2 7 7 F i g u r e 6 . 1 4 F i g u r e 6 4 1 5 F i g u r e 6 . 1 6 F i g u r e 6 . 1 7 F i g u r e 6 . 1 8 F i g u r e 6 . 1 9 C o l u m n O u t l e t C a s e . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( 0 ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e o u t l e t o f t h e c o l u m n i s a t 4 . 0 c m a s d e p i c t e d i n t h e c o l u m n s c h e m a t i c s h o w n o n t h e t o p o f t h e f i g u r e , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s a s t a t i o n a r y p h a s e . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 , r e s p e c t i v e l y , a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r i s 0 . 0 . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 5 0 0 ; K = - 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; 0 M - 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m 2 / s , 0 3 - 1 . 0 x 1 0 - 6 c m 2 / s ; u - 0 . 1 c r n l s ; n - 2 0 x 1 0 - 4 c m ; ) 3 - 2 . 0 ; I s 0 . 0 0 0 5 s . C o l u m n O u t l e t C a s e . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a s o l u t e j u s t a f t e r t h e c o l u m n e x i t ( l a s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 1 4 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e = - l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n - d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f c o l u m n o u t l e t c a s e , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o d e c r e a s e a b r u p t l y f r o m H o n t o H o r r - I n c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( 0 ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o h a v e m i g r a t e d 1 . 0 c m a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e t h e o n l y c o n t r i b u t i o n t o d i s p e r s i o n i s f r o m o n - c o l u m n p r o c e s s e s . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l 1 . 0 t o 0 . 5 , 5 . 0 t o 0 . 5 , a n d 5 . 0 t o 1 . 0 , r e s p e c t i v e l y . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r = 5 0 0 ; K = 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; 0 M : 1 . 0 x 1 0 ' 5 c r n 2 / s , a s = 1 . 0 x 1 0 ‘ 6 c m 2 / s ; u = 0 . 1 c m / s ; R = 2 0 x 1 0 - 4 c m ; ) 3 = 2 . 0 ; t = 0 . 0 0 0 5 s . I n c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s w h e n t h e s o l u t e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m ( l a s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 1 7 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e = l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f i n c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h ( A t o B ) , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o d e c r e a s e g r a d u a l l y c h a n g e f r o m H A t o H 3 . X X i i i 2 8 0 2 8 2 2 8 5 2 8 9 2 9 2 2 9 4 F i g u r e 6 . 2 0 F i g u r e 6 . 2 1 F i g u r e 6 . 2 2 F i g u r e 7 . 1 F i g u r e 7 . 2 D e c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( 0 ) 0 f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o h a v e m i g r a t e d 1 . 0 c m a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e t h e o n l y c o n t r i b u t i o n t o d i s p e r s i o n i s f r o m o n - c o l u m n p r o c e s s e s . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l 0 . 5 t o 1 . 0 , 0 . 5 t o 5 . 0 , a n d 1 . 0 t o 5 . 0 , r e s p e c t i v e l y . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r - 5 0 0 ; K - 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; D ) " - 1 . 0 x 1 0 ' 5 c r n 2 r s . a s . 1 . 0 x 1 0 - 6 c m 2 / s ; u - 0 . 1 c m r s ; n - 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m ; ) 3 . 2 . 0 ; t - 0 . 0 0 0 5 s . D e c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s w h e n t h e s o l u t e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m ( l a s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 2 0 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e - l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a s d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f d e c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h ( B t o A ) , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o i n c r e a s e g r a d u a l l y c h a n g e f r o m H 3 t o H A . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f m u l t i s i t e d e t e c t i o n o n a s i n g l e c o l u m n . S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f m u l t i s i t e d e t e c t i o n o n m u l t i p l e c o l u m n s . x x i v 2 9 7 3 0 0 3 0 2 3 3 1 3 3 3 C H A P T E R 1 S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I Q U I D C H R O M A T O G R A P H Y : G E N E R A L I N T R O D U C T I O N I N T R O D U C T I O N I n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , a s o l u t e m o l e c u l e m a y b e s e p a r a t e d f r o m i t s n e i g h b o r i n g m o l e c u l e s b a s e d u p o n s e v e r a l p h y s i c a l o r c h e m i c a l p r o p e r t i e s . N o r m a l l y , h o w e v e r , t h e s e p a r a t i o n o f s o l u t e m o l e c u l e s i s a c c o m p l i s h e d o n t h e b a s e s o f t h e i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s t h a t e x i s t b e t w e e n t h e s o l u t e a n d i t s n e i g h b o r i n g e n v i r o n m e n t . C o n s i d e r a l i q u i d c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m f o r e x a m p l e , w h e r e t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e d i s t r i b u t e d b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s b e c a u s e o f t h e m o l e c u l a r f o r c e s t h a t e x i s t b e t w e e n t h e s o l u t e m o l e c u l e s a n d t h e t w o p h a s e s . S o l u t e m o l e c u l e s t h a t h a v e s t r o n g i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n w i t h m o l e c u l e s t h a t c o m p r i s e t h e m o b i l e p h a s e a r e r e t a i n e d l e s s t h a n s o l u t e m o l e c u l e s t h a t h a v e s t r o n g i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n w i t h t h e s t a t i o n a r y p h a s e . A s a r e s u l t , s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d b y t h e t y p e o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s t h a t e x i s t i n a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . C o n s e q u e n t l y , a g e n e r a l d i s c u s s i o n i s p r e s e n t e d o f t h e t y p e s o f m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s g e n e r a l l y e n c o u n t e r e d i n c h r o m a t o g r a p h y . F o r t h e s e p a r a t i o n o f n e u t r a l m o l e c u l e s , i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e b a s e d u p o n t h e a t t r a c t i o n a n d r e p u l s i o n b e t w e e n u n l i k e a n d l i k e e l e c t r o s t a t i c f o r c e s , a n d t h e d o m i n a n c e o f t h e s e a t t r a c t i v e a n d r e p u l s i v e f o r c e s v a r y w i t h d i s t a n c e b e t w e e n m o l e c u l e s . I n g e n e r a l , t h e r e p u l s i v e f o r c e s d o m i n a t e o n l y a t v e r y s h o r t d i s t a n c e s , a n d a t t r a c t i v e f o r c e s d o m i n a t e a t l o n g e r s e p a r a t i o n d i s t a n c e s b e t w e e n m o l e c u l e s . T h i s d e p e n d e n c e u p o n t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n m o l e c u l e s , r , i s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s w h e r e t h e a t t r a c t i v e f o r c e , F . . . b e t w e e n m o l e c u l e s i s ( 1 ) : F a = ' k a f - 7 [ 1 . 1 ] a n d t h e r e p u l s i v e f o r c e , F , , i s : F T = F a + F , = - l r a r ' 7 + k , r " 3 [ 1 . 3 ] H = h fl 3 H m w h e r e k a a n d k , a r e t h e a t t r a c t i v e a n d r e p u l s i v e f o r c e c o n s t a n t s . T h e o v e r a l l i n t e r m o l e c u l a r f o r c e b e t w e e n a p a i r o f m o l e c u l e s i s a s i m p l e s u m o f t h e a t t r a c t i v e a n d r e p u l s i v e f o r c e s : A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 1 . 3 ] , a t s h o r t s e p a r a t i o n d i s t a n c e s , t h e o v e r a l l i n t e r m o l e c u l a r f o r c e b e t w e e n t w o m o l e c u l e s i s p r e d o m i n a n t l y a r e p u l s i v e f o r c e , a n d a t l o n g s e p a r a t i o n d i s t a n c e s , t h e o v e r a l l i n t e r m o l e c u l a r f o r c e i s p r e d o m i n a n t l y a n a t t r a c t i v e f o r c e . F u r t h e r m o r e , E q u a t i o n [ 1 . 3 ] c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y , U , b e c a u s e t h e p o t e n t i a l e n e r g y i s d e f i n e d a s d U = - F d r . A s a r e s u l t , b y i n t e g r a t i n g b e t w e e n t h e l i m i t s o f a n a r b i t r a r y v a l u e o f r , w h e r e U = U ( r ) , a n d i n f i n i t y , w h e r e U = U ( o o ) = 0 , i t f o l l o w s t h a t p o t e n t i a l e n e r g y a s a f u n c t i o n o f t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o m o l e c u l e s i s : k r r - I Z R a f - 6 1 2 6 U ( r ) = [ 1 . 4 ] E q u a t i o n [ 1 . 4 ] i s c o m m o n l y c a l l e d t h e L e n n a r d - J o n e s p o t e n t i a l a n d i s u s u a l l y w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m ( 1 , 2 ) : u < ~ = 4 e l t é r t é i l ' w h e r e r : i s t h e m i n i m u m e n e r g y a t a n e q u i l i b r i u m s e p a r a t i o n d i s t a n c e , r g q , a n d t h e 5 i s t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n m o l e c u l e s a t U ( r ) = 0 . A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 1 . 5 ] , t h e m i n i m u m e n e r g y o f i n t e r a c t i o n , U ( r e q ) = s , h a s a n e g a t i v e v a l u e a t t h e e q u i l i b r i u m s e p a r a t i o n d i s t a n c e , r g q . A s a r e s u l t , t h i s n e g a t i v e e n e r g y a t t h e e q u i l i b r i u m s e p a r a t i o n d i s t a n c e s u g g e s t s t h a t t h e n e t e n e r g y o f i n t e r a c t i o n i s p r e d o m i n a n t l y a n a t t r a c t i v e i n t e r a c t i o n . F o r t h e s i m p l e c a s e o f n e u t r a l m o l e c u l e s , t h e a t t r a c t i v e i n t e r a c t i o n s a r e c o m m o n l y c l a s s i f i e d i n t o “ p h y s i c a l ” i n t e r a c t i o n s , s u c h a s d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n s , d i p o l e - i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n s , a n d i n d u c e d d i p o l e - i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n s , a n d ” c h e m i c a l ” i n t e r a c t i o n s s u c h a s h y d r o g e n b o n d i n g ( 3 , 4 ) . A d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n , w h i c h i s a l s o c a l l e d a n o r i e n t a t i o n i n t e r a c t i o n , o c c u r s w h e n t w o m o l e c u l e s b e c o m e o r i e n t e d s o t h a t t h e r e i s a n e t a t t r a c t i o n b e t w e e n p e r m a n e n t d i p o l e s o f 3 t h e m o l e c u l e s , a l t h o u g h t h e m o l e c u l e s a r e i n r a n d o m t h e r m a l m o t i o n . T h e a v e r a g e d i p o l e - d i p o l e e n e V Q Y . U d , i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 2 ) : 2 2 2 ” A p r e [ 1 . 6 ] W ” 2 6 3 ( 4 1 5 8 0 ) k T I ' w h e r e u i s t h e d i p o l e m o m e n t o f t h e m o l e c u l e s A a n d B , 8 o i s t h e v a c u u m p e r m i t t i v i t y , k i s t h e B o l t z m a n n c o n s t a n t , T i s t h e a b s o l u t e t e m p e r a t u r e , a n d r i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n c e n t e r s o f t h e d i p o l e s . A d i p o l e - i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n o c c u r s w h e n a p e r m a n e n t d i p o l e i n d u c e s a d i p o l e i n a n o t h e r m o l e c u l e . T h e a v e r a g e d i p o l e - i n d u c e d d i p o l e e n e r g y , U ) , i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 2 ) : 2 “ A “ a [ 1 . 7 ] w h e r e a i s t h e p o l a r i z a b i l i t y o f t h e i n d i v i d u a l m o l e c u l e s . A n i n d u c e d d i p o l e - i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n , w h i c h i s a l s o c a l l e d a d i s p e r s i o n i n t e r a c t i o n , o c c u r s w h e n a n i n s t a n t a n e o u s d i p o l e i n d u c e s a n o t h e r i n s t a n t a n e o u s d i p o l e b e t w e e n t w o n o n p o l a r m o l e c u l e s . T h e a v e r a g e i n d u c e d d i p o l e - i n d u c e d d i p o l e e n e r g y , U i d . i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 2 ) : I I U i d = - — — — 3 A 8 ( 1 ’ 4 a 8 [ 1 . 8 ] 2 ( I A - i - I 3 ) r 6 w h e r e l i e t h e f i r s t i o n i z a t i o n e n e r g i e s o f t h e m o l e c u l e s . T h e s e t h r e e t y p e s o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e c o n s i d e r e d c h e m i c a l l y n o n s p e c i f i c , a n d a l l t h e i n t e r a c t i o n e n e r g i e s a r e i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e t o t h e s i x t h p o w e r . T h e r e a r e , h o w e v e r , c h e m i c a l l y s p e c i f i c i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s t h a t a r e i m p o r t a n t i n c h r o m a t o g r a p h y , f o r e x a m p l e , h y d r o g e n b o n d i n g i n t e r a c t i o n s . H y d r o g e n b o n d i n g i s l a r g e l y a f u n c t i o n o f e l e c t r o s t a t i c f o r c e s a n d , a s s u c h , c a n b e c o n s i d e r e d a v e r y s t r o n g p o l a r i n t e r a c t i o n . T h e e n e r g y o f t h e h y d r o g e n - b o n d e d d i m e r A — H - - - B i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 5 ) : U A H B [ 1 . 9 ] . K ( P A — H ) A I r w h e r e K i s a n e n e r g y s c a l e f a c t o r , u A — H i s t h e d i p o l e m o m e n t f o r t h e A — H b o n d , A l i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e f i r s t i o n i z a t i o n e n e r g y o f t h e e l e c t r o n d o n o r a t o m a n d t h e n o b l e g a s a t o m i n i t s r o w , a n d r i s t h e e q u i l i b r i u m s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e a t o m s A a n d B . I n g e n e r a l , t h e i n t e r a c t i o n i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g a c i d i t y a n d b a s i c i t y o f t h e m o l e c u l e s . T h e s e i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s , h o w e v e r , a r e a s s u m e d t o o c c u r b e t w e e n t w o i n d i v i d u a l m o l e c u l e s . T h e s i t u a t i o n b e c o m e s m o r e c o m p l e x f o r t h r e e o r m o r e m o l e c u l e s . F o r e x a m p l e , t h e A x i l r o d - T e l l e r f o r m u l a c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e d i s p e r s i o n i n t e r a c t i o n e n e r g y a m o n g t h r e e a t o m s ( 2 ) : C C C C ' U A B c = - 6 - 6 - 6 + R R R 3 [ 1 . 1 0 ] R A B H B O R C A ( A B 3 0 C A ) w h e r e = , 3 ’ i ' r a i a r 2 ( I , ' + I j ) C ' = a ( 3 c o s @ 4 0 0 5 0 3 0 0 5 0 0 1 - 1 ) a n d i a n d 1 r e p r e s e n t t h e p a i r s o f a t o m s A B , B C , a n d C A , a i s a c o n s t a n t t h a t i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 3 0 1 0 / 4 a n d 6 , 4 3 3 a r e t h e i n t e r n a l a n g l e s o f a t r i a n g l e f o r m e d b y t h e t h r e e a t o m s . T h e l a s t t e r m i n E q u a t i o n [ 1 . 1 0 ] r e p r e s e n t s t h e n o n a d d i t i v i t y o f t h e t h r e e d i s p e r s i v e i n t e r a c t i o n s a n d i s n e g a t i v e w h e n t h e m o l e c u l e s a r e a l i g n e d a n d i s p o s i t i v e w h e n t h e m o l e c u l e s a r e i n a t r i a n g l e . M o r e o v e r , t h e d e t e r m i n a t i o n o f a n y o f t h e a b o v e a t t r a c t i v e i n t e r a c t i o n e n e r g i e s b e c o m e s i n c r e a s i n g l y c o m p l e x a s t h e n u m b e r o f m o l e c u l e s i n c r e a s e . F u r t h e r m o r e , f o r a n a c c u r a t e e s t i m a t e o f t h e n e t e n e r g y o f i n t e r a c t i o n , a r e p u l s i v e e n e r g y a l s o m u s t b e c o n s i d e r e d . A s a r e s u l t , t h e a c c u r a t e p r e d i c t i o n o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s i s n o t a l w a y s p o s s i b l e , e s p e c i a l l y i n a t w o - p h a s e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m , w h e r e i n e a c h p h a s e a n y n u m b e r o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s s i m u l t a n e o u s l y e x i s t . C o n s e q u e n t l y , t h e a b o v e e q u a t i o n s t h a t d e p i c t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e n e r g y o f i n t e r a c t i o n a n d t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n m o l e c u l e s a r e u s e d a s a g e n e r a l g u i d e t o u n d e r s t a n d i n g i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s . 5 T h i s d i s c u s s i o n o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s i s e s s e n t i a l t o a n u n d e r s t a n d i n g o f l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y b e c a u s e , n o r m a l l y , a m i x e d s o l v e n t s y s t e m i s u s e d f o r t h e m o b i l e p h a s e , a n d t h e m a t e r i a l u s e d f o r t h e s t a t i o n a r y p h a s e a l s o m a y h a v e a n u m b e r o f d i f f e r i n g i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s . T h e p o s s i b i l i t y f o r h i g h l y i n t e r a c t i n g s p e c i e s i s e s p e c i a l l y t r u e i n a r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m , w h i c h i s u s e d i n t h i s w o r k , w h e r e a n o n p o l a r s t a t i o n a r y p h a s e a n d a p o l a r m o b i l e p h a s e a r e u s e d . F o r e x a m p l e i n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , a l k y l g r o u p s , s u c h a s o c t a d e c y l ( C 1 3 ) , a r e c o m m o n l y u s e d f o r t h e s t a t i o n a r y p h a s e , a n d a q u e o u s m i x t u r e s o f e i t h e r m e t h a n o l o r a c e t o n i t r i l e a r e c o m m o n s o l v e n t s y s t e m s u s e d f o r t h e m o b i l e p h a s e ( 6 , 7 ) . I n t h e a l k y l s t a t i o n a r y p h a s e , d i s p e r s i o n i n t e r a c t i o n s d u e t o t h e a l k y l g r o u p s a r e p r e s u m e d t h e d o m i n a n t i n t e r a c t i o n , a l t h o u g h r e s i d u a l s i l a n o l g r o u p s m a y e x i s t a n d a l t e r t h e s o l u t e i n t e r a c t i o n s w i t h t h e a l k y l s t a t i o n a r y p h a s e ( 6 ) . I n t h e p o l a r m o b i l e p h a s e , a l l t h e i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s d i s c u s s e d a b o v e a r e i m p o r t a n t , a n d , i n g e n e r a l , t h e s e i n t e r a c t i o n s a r e u s e d t o c o n t r o l s o l u t e r e t e n t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . T h i s c o n t r o l o f s o l u t e r e t e n t i o n i s a c c o m p l i s h e d u s i n g a p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m f o r t h e m o b i l e p h a s e . T h i s u s e o f a p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y i s d e p i c t e d i n F i g u r e 1 . 1 , w h e r e t h e f l o w f r o m t w o s o l v e n t r e s e r v o i r s , A a n d B , i s d i r e c t e d t o a m i x i n g t e e w h e r e t h e t w o s o l v e n t s a r e m i x e d a n d t h e n d i r e c t e d t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . H o w e v e r , a s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , t h e a b i l i t y t o p r e d i c t a c c u r a t e l y i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s i s p o o r f o r a m u l t i c o m p o n e n t s y s t e m . C o n s e q u e n t l y , t o i s o l a t e g e n e r a l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s , s o l v e n t m o d u l a t i o n h a s b e e n d e v e l o p e d a s a n a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s a r e i n t r o d u c e d o n t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i n a v a r y i n g o r r e p e a t i n g s e q u e n c e . F i g u r e 1 . 2 i l l u s t r a t e s t h e c o n c e p t o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , w h e r e t h e f l o w f r o m t h e t w o s o l v e n t r e s e r v o i r s , A a n d B , i s d i r e c t e d t o a s w i t c h i n g f e e , w h i c h s w i t c h e s b e t w e e n s o l v e n t A a n d B f o r p r e d e t e r m i n e d t i m e p e r i o d s . B e c a u s e t h e s o l v e n t s y s t e m s a r e i s o l a t e d f r o m a n o t h e r i n t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e , t h e a b i l i t y t o i s o l a t e t h e g e n e r a l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s t h a t a s o l u t e e n c o u n t e r s d u r i n g a s e p a r a t i o n i s i m p r o v e d . A s a r e s u l t , p r e d i c t i o n a n d c o n t r o l o f s o l u t e r e t e n t i o n i s i m p r o v e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n b e c a u s e s o l u t e r e t e n t i o n s h o u l d b e c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y i n e a c h z o n e . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e i s d e s c r i b e d a n d i s s h o w n t o b e a p r a c t i c a l a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . I n C h a p t e r 2 , t h e g e n e r a l c o n c e p t a n d t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n a r e d e v e l o p e d f o r p r e m i x e d a n d s o l v e n t - m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s a n d p o s s i b l e d e v i a t i o n s f r o m i d e a l b e h a v i o r a r e d i s c u s s e d ( 8 . 9 ) . B a s e d 6 o n t h i s d i s c u s s i o n , t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s s u i t a b l e f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n a r e e x a m i n e d . I n C h a p t e r 3 , t h e e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n i s p e r f o r m e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n ( 1 0 ) . T h e s e r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h o s e o b t a i n e d f r o m c o n v e n t i o n a l p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s y s t e m s . S e v e n t e s t s o l u t e s ( p h e n o l , d i p h e n y l a m i n e , n i t r o b e n z e n e , t o l u e n e , n a p h t h a l e n e , a n t h r a c e n e , a n d p y r e n e ) a r e u s e d t o e x a m i n e a r a n g e o f c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s f o r s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y c h a n g e s o f t h e m o b i l e p h a s e . T h e m o b i l e p h a s e s u s e d a r e a q u e o u s m e t h a n o l m i x t u r e s f o r t h e s o l v e n t s t r e n g t h s t u d i e s a n d a q u e o u s m i x t u r e s o f m e t h a n o l a n d a c e t o n i t r i l e f o r t h e s o l v e n t s e l e c t i v i t y s t u d i e s . F r o m t h e s e r e s u l t s o b t a i n e d , i t i s s h o w n t h a t s o l v e n t m o d u l a t i o n o f f e r s a s i m p l e m e a n s t o p r e d i c t a n d c o n t r o l s o l u t e r e t e n t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . H o w e v e r , a p r i m a r y c o n t r i b u t i o n t o t h e i m p r e c i s i o n i n s o l u t e r e t e n t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s d u e t o s o l v e n t z o n e i n t e r r n i x i n g o c c u r i n g w i t h i n t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . C o n s e q u e n t l y , i n C h a p t e r 4 , t h e t h e o r y o f s o l v e n t z o n e d i s p e r s i o n a n d p u r i t y a r e d i s c u s s e d f o r t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e ( 9 ) . T o a c c o m p l i s h t h i s i n v e s t i g a t i o n o f s o l v e n t z o n e p u r i t y , t h r e e m e t h o d s a r e e x a m i n e d . T h e f i r s t m e t h o d i s b a s e d o n t h e i n i t i a l a n d f i n a l h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e , t h e s e c o n d m e t h o d i s b a s e d o n t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l v e n t z o n e v a r i a n c e , a n d t h e t h i r d m e t h o d i s b a s e d o n t h e i n t e r m i x e d r e g i o n l e n g t h a n d t h e t o t a l s o l v e n t z o n e l e n g t h . B a s e d u p o n t h e s e p r e l i m i n a r y r e s u l t s a n d o b s e r v a t i o n s o f t h e i m p r o v e d p r e d i c t a b i l i t y a n d c o n t r o l o f s o l u t e r e t e n t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e o p t i m i z a t i o n o f a s e p a r a t i o n i s i n v e s t i g a t e d i n C h a p t e r 5 ( 1 1 ) . T w o c o m p l e m e n t a r y o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s a r e e x a m i n e d : 1 . ) a c o m p l e t e r e s o l u t i o n r e s p o n s e s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d a n d t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s a r e d e t e r m i n e d b y v i s u a l i n s p e c t i o n , a n d 2 . ) a n i t e r a t i v e s e a r c h m e t h o d i s u s e d t o l o c a t e t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . T o v e r i f y t h a t t h e s e s t r a t e g i e s a c c u r a t e l y d e t e r m i n e t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s , t h e s e p a r a t i o n o f a c o m p l e x m i x t u r e o f 1 4 s a t u r a t e d a n d u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s i s p e r f o r m e d u s i n g t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . I n C h a p t e r 6 , a c o m p u t e r s i m u l a t i o n i s d e s c r i b e d t h a t h a s b e e n d e v e l o p e d t o p r o v i d e a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n s a t a m o l e c u l e l e v e l ( 1 2 ) . T h i s c o m p u t e r s i m u l a t i o n a l l o w s a d e t a i l e d e x a m i n a t i o n o f d i s p e r s i o n a n d r e t e n t i o n p r o c e s s e s a n d p r o v i d e s t h e o p p o r t u n i t y t o p e r f o r m e x p e r i m e n t s t h a t m a y n o t b e p o s s i b l e i n a r e a l c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . F o r e x a m p l e , d e t e r m i n a t i o n o f t h e k i n e t i c r a t e c o n s t a n t s a n d e x a m i n a t i o n o f n o n e q u i l i b r i u m e l u t i o n e f f e c t s t h a t a r e c o m m o n l y e n c o u n t e r e d i n c h r o m a t o g r a p h y a r e e x a m i n e d . F i n a l l y i n C h a p t e r 7 , t h e f u t u r e a n d a s u g g e s t e d d i r e c t i o n o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e i s b r i e f l y d i s c u s s e d . F i g u r e 1 . 1 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . S E S A N e r ” t x ' ' M 8 H P M . U 2 5 L 7 E O C - L I B A % O 5 M 2 D E X I M E R P r e x i I | M ! ! P P M M A B U U P P F i g u r e 1 . 1 F i g u r e 1 . 2 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . = I F — B S L ' G + y 9 3 - 0 4 j W W N W D ' I O O . L # N E A ‘ I O S I d W i I d w ‘ v a fl ’ n d d 1 0 F i g u r e 1 . 2 ” . ° 9 9 9 ‘ 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 1 R E F E R E N C E S M o o r e , W . J . B a s i c P h y s i c a l C h e m i s t r y , P r e n t i c e - H a l l : E n g l e w o o d C l i f f s , 1 9 8 3 . A t k i n s , P . W . P h y s i c a l C h e m i s t r y 3 e d . , F r e e m a n : N e w Y o r k , 1 9 8 6 . K a l i s z a n , R . C h e m . A n a l . 1 9 8 9 , 9 8 , 5 6 3 . K a r g e r , B . L . ; S n y d e r , L . R . ; H o r v a t h , C s . A n I n t r o d u c t i o n t o S e p a r a t i o n S c i e n c e ; W i l e y : N e w Y o r k , 1 9 7 3 . A l l e n , L . C . J . A m . C h e m . S o c . 1 9 7 5 , 9 7 , 6 9 2 1 . S a n d e r , L . C . ; W i s e , S . A . C R C C r i t . R e v . A n a l . C h e m , 1 9 8 7 , 1 8 , 2 9 9 . S n y d e r , L . R . ; K i r k l a n d , J . J . I n t r o d u c t i o n t o M o d e r n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y 2 e d . , W i l e y : N e w Y o r k , 1 9 7 9 . W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . J . H i g h R e s o l u t . C h r o m a t o g r . C h r o m a t o g r . C o m m u n . 1 9 8 8 , 1 1 , 8 5 8 . W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . A n a l . C h e m . 1 9 9 0 , 6 2 , 1 4 1 6 . W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . A n a l . C h e m , i n p r e s s . W a h l , J . H . ; M c G u f f i n , V . L . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 9 , 4 8 5 , 5 4 1 . W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n . C H A P T E R 2 G E N E R A L C O N C E P T A N D T H E O R Y I N T R O D U C T I O N I n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , s o l u t e r e t e n t i o n a n d r e s o l u t i o n a r e c o n t r o l l e d p r i m a r i l y b y m o d i f i c a t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . M a n y m e t h o d s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o o p t i m i z e t h e s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y o f t h e m o b i l e p h a s e , m o s t o f w h i c h a r e b a s e d o n t h e u s e o f a m i x e d s o l v e n t s y s t e m ( 1 ) . I n g e n e r a l , t h e s e m e t h o d s u t i l i z e a p r e l i m i n a r y s e r i e s o f e x p e r i m e n t s t o d e t e r m i n e s o l u t e r e t e n t i o n i n s o l v e n t s o f k n o w n c o m p o s i t i o n , f r o m w h i c h t h e o p t i m u m s o l v e n t m i x t u r e i s p r e d i c t e d . U n f o r t u n a t e l y , m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e n o t c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t o f o n e a n o t h e r w i t h i n a s o l v e n t m i x t u r e , e s p e c i a l l y f o r t h e p o l a r , h i g h l y i n t e r a c t i n g s o l v e n t s o f i n t e r e s t i n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . B e c a u s e o f t h e d e v i a t i o n s f r o m r e g u l a r s o l u t i o n b e h a v i o r , m a n y p h y s i c a l p r o p e r t i e s s u c h a s d e n s i t y , v i s c o s i t y , d i e l e c t r i c c o n s t a n t , c o m p r e s s i b i l i t y , e t c . a r e n o t a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e s o l v e n t c o m p o s i t i o n ( 2 ) . T h e s e p h y s i c a l p r o p e r t i e s d i r e c t l y i n f l u e n c e h y d r o d y n a m i c a n d p h y s i c o c h e m i c a l p r o c e s s e s i n c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n s ; h e n c e , s o l u t e r e t e n t i o n i s g e n e r a l l y n o t a s i m p l e , l i n e a r f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n ( 3 5 ) . V a r i o u s m o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o p r e d i c t t h e e f f e c t o f m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n o n c h r o m a t o g r a p h i c r e t e n t i o n ( 6 ) . T h e o r e t i c a l t r e a t m e n t s s u c h a s t h e H i l d e b r a n d s o l u b i l i t y p a r a m e t e r ( 7 , 8 ) , t h e s o l v o p h o b i c t h e o r y o f H o r v a t h a n d c o - w o r k e r s ( 9 ) , a n d t h e l a t t i c e m o d e l o f M a r t i r e a n d B o e h m ( 1 0 , 1 1 ) h a v e b e e n e m p l o y e d w i t h s o m e s u c c e s s f o r q u a l i t a t i v e p r e d i c t i o n s . I n a d d i t i o n , e m p i r i c a l a n d s e m i e m p i r i c a l t r e a t m e n t s h a v e b e e n s o m e w h a t s u c c e s s f u l , i n c l u d i n g c h r o m a t o g r a p h i c a l l y - b a s e d p a r a m e t r i c m o d e l s s u c h a s t h e p o l a r i t y ( P ' ) a n d s o l v e n t s t r e n g t h ( 5 ‘ ) i n d i c e s d e v e l o p e d b y S n y d e r ( 1 2 - 1 4 ) , s p e c t r o s c o p i c a l l y - b a s e d p a r a m e t r i c m o d e l s s u c h a s t h e s o l v a t o c h r o m i c s c a l e s ( 1 5 - 1 8 ) , a k i n e t i c a l l y - b a s e d p a r a m e t r i c m o d e l ( 1 9 ) , a n d o t h e r s ( 4 2 0 . 2 1 ) . I n e a c h o f t h e s e m o d e l s , h o w e v e r , i t i s a s s u m e d t h a t s o l u t e - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s i n m i x e d m o b i l e p h a s e s a r e i n d e p e n d e n t a n d s i m p l y a d d i t i v e . A s p r e v i o u s l y s t a t e d , t h i s a s s u m p t i o n i s o f t e n n o t t r u e i n p o l a r s o l v e n t s d u e t o n o n i d e a l s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s . I n o r d e r t o e l i m i n a t e s u c h n o n i d e a l i n t e r a c t i o n s , w e h a v e e x p l o r e d s o l v e n t m o d u l a t i o n a s a n a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e 1 2 1 3 i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s o f t h e m o b i l e p h a s e a r e n e v e r p h y s i c a l l y c o m b i n e d ; i n s t e a d , s o l v e n t s e g m e n t s o r z o n e s o f p r e d e t e r m i n e d c o m p o s i t i o n a r e i n t r o d u c e d s e q u e n t i a l l y o n t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . B e c a u s e t h e s o l v e n t s e g m e n t s a r e s p a t i a l l y a n d t e m p o r a l l y s e p a r a t e d f r o m o n e a n o t h e r , s o l u t e r e t e n t i o n s h o u l d b e c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h z o n e . T h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n s h o u l d t h e r e f o r e b e a s i m p l e a n d p r e d i c t a b l e f u n c t i o n o f t h e c a p a c i t y f a c t o r w i t h i n e a c h s o l v e n t a n d t h e f r a c t i o n a l t i m e t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o t h a t s o l v e n t z o n e . I f s o , t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e s h o u l d a l l o w e x i s t i n g o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s , s u c h a s t h e w i n d o w - d i a g r a m m e t h o d ( 2 2 ) , o v e r l a p p i n g r e s o l u t i o n m a p p i n g ( 3 ) , a n d c o m p u t e r s i m u l a t i o n m e t h o d s ( 2 3 ) , t o b e i m p l e m e n t e d w i t h m u c h g r e a t e r a c c u r a c y a n d p r e c i s i o n t h a n w i t h p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . A l t h o u g h t h e c o n c e p t o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s n o v e l , t h e u s e o f i n d i v i d u a l s o l v e n t p u l s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y h a s b e e n d e m o n s t r a t e d p r e v i o u s l y . B y v a r y i n g t h e s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y o f t h e s a m p l e m a t r i x , Y a n g ( 2 4 ) s h o w e d t h a t a s i n g l e s o l v e n t p u l s e c o u l d b e u s e d t o i n f l u e n c e s o l u t e r e t e n t i o n . B e r r y ( 2 5 ) d e v e l o p e d a t e c h n i q u e i n w h i c h o n e o r m o r e p u l s e s o f a w e a k e l u e n t w e r e s t r a t e g i c a l l y t i m e d t o a r r i v e a t a s e t o f u n r e s o l v e d p e a k s a n d a l t e r a b r u p t l y t h e l o c a l m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . T h i s s c h e m e r e s u l t e d i n i m p r o v e d r e s o l u t i o n b e t w e e n t h e p o o r l y s e p a r a t e d s o l u t e p e a k s , b u t h a d l i t t l e o r n o e f f e c t o n n e i g h b o r i n g s o l u t e s . M o r e r e c e n t l y , G l u c k m a n a n d c o - w o r k e r s ( 2 6 ) h a v e a p p l i e d t h i s m e t h o d w i t h a c i d - b a s e , i o n - p a i r i n g , a n d h y d r o p h o b i c i n t e r a c t i o n s t o e l u t e o r g a n i c d y e s s e l e c t i v e l y a c c o r d i n g t o t h e i r c h e m i c a l p r o p e r t i e s . I n a d d i t i o n , t h e u s e o f i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s h a s b e e n e x a m i n e d i n a c o m p u t e r s i m u l a t i o n o f w h o l e - c o l u m n d e t e c t i o n b y G e l d e r l o o s a n d c o - w o r k e r s ( 2 7 ) . F r o m t h e s e r e l a t e d s t u d i e s , t h e e x p e r i m e n t a l f e a s i b i l i t y a n d p o t e n t i a l i m p a c t o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e a r e e v i d e n t . I n t h i s c h a p t e r , t h e c o n c e p t u a l b a s i s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s b r o a d l y d e v e l o p e d a n d t h e t h e o r i e s o f s o l u t e r e t e n t i o n f o r b o t h p r e m i x e d a n d s o l v e n t m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s a r e d e r i v e d . T h e i m p l i c a t i o n s o f t h e s e t h e o r e t i c a l m o d e l s a r e u s e d t o e s t a b l i s h t h e p r a c t i c a l r a n g e o f e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . 1 4 T H E O R Y O F S O L U T E R E T E N T I O N P r e m l x e d S o l v e n t S y s t e m s I d e a l S o l u t i o n s — S i n g l e - P h a s e S y s t e m ' A s a s t a r t i n g p o i n t f o r t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n , t h e t h e r m o d y n a m i c s o f m i x i n g t o f o r m a n i d e a l s o l u t i o n a r e r e v i e w e d . S p e c i f i c a l l y , t h e G i b b s f r e e e n e r g y o f m i x i n g t w o l i q u i d s , i a n d j , t o f o r m a n i d e a l s o l u t i o n i s e x a m i n e d f i r s t . I n a n i d e a l s o l u t i o n t h e a v e r a g e i — j i n t e r a c t i o n i n t h e m i x t u r e i s a s s u m e d t o b e t h e s a m e a s t h e a v e r a g e H a n d j — j i n t e r a c t i o n i n t h e p u r e l i q u i d . M o r e o v e r , a n i d e a l s o l u t i o n i s p r e s u m e d t o o b e y B a o u l t ’ s L a w t h r o u g h o u t t h e c o m p o s i t i o n a l r a n g e f r o m p u r e i t o p u r e j . W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s t h e G i b b s f r e e e n e r g y o f m i x i n g t w o l i q u i d s c a n b e d e t e r m i n e d . F o r a n y s y s t e m , t h e t o t a l G i b b s f r e e e n e r g y , G , i s g i v e n b y : G = n i fl i + n j fl j [ 2 . 1 ] w h e r e n i s t h e n u m b e r o f m o l e s a n d u i s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l ( i . e . , t h e p a r t i a l m o l a r G i b b s f r e e e n e r g y , w h i c h i s d e f i n e d a s , u = ( 3 6 / a n ) p ' T ) o f c o m p o n e n t s i a n d j a t c o n s t a n t p r e s s u r e a n d t e m p e r a t u r e . E q u a t i o n [ 2 . 1 ] i s a v a l i d e x p r e s s i o n f o r t h e i n d i v i d u a l l i q u i d s a n d t h e m i x t u r e f o r m e d f r o m t h e t w o l i q u i d s . A s a r e s u l t , t h e t o t a l G i b b s f r e e e n e r g y f o r t h e s e p a r a t e l i q u i d s y s t e m s i s d e t e r m i n e d b y u s i n g t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l s o f t h e s u b s t a n c e s a t t h e i r s t a n d a r d s t a t e ( i . e . , p u r e l i q u i d s t a t e , u ° ) . F o r a n i d e a l m i x t u r e , h o w e v e r , t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f c o m p o n e n t i o r j i s c a l c u l a t e d f r o m t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : m = # 1 0 + R T l n X i [ 2 . 2 ] w h e r e u , - i s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f c o m p o n e n t i i n t h e m i x t u r e , u , 0 i s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f p u r e l i q u i d i , X ; i s t h e m o l e f r a c t i o n o f c o m p o n e n t i , R i s t h e g a s c o n s t a n t , a n d T i s t e m p e r a t u r e . O b v i o u s l y , a n a n a l o g o u s e q u a t i o n e x i s t s f o r t h e c o m p o n e n t j . B y c o m b i n i n g E q u a t i o n [ 2 . 1 ] w i t h E q u a t i o n [ 2 . 2 ] , t h e G i b b s f r e e e n e r g y o f m i x i n g c a n b e d e t e r m i n e d b y s u b t r a c t i n g t h e i n i t i a l G i b b s f r e e e n e r g y , 6 ) , f r o m t h e f i n a l G i b b s f r e e e n e r g y , 6 ) : : ' N o t e : T h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n o f m i x i n g i s d i r e c t e d t o w a r d s l i q u i d s ; h o w e v e r , a n e q u i v a l e n t d i s c u s s i o n i s p o s s i b l e f o r a n y e n v i r o n m e n t , f o r e x a m p l e g a s e s . ) p , n = - n F i ( X i l n X i + l e n X 1 ) ( i d e a l s o l u t i o n ) [ 2 4 ] 1 5 A m e a G P G , . . n F l T ( X , ' l n x , - + l e n x g ) ( i d e a l s o l u t i o n ) [ 2 . 3 ] w h e r e n - n i + n , - . F r o m t h e u s e o f E q u a t i o n [ 2 . 3 ] , t h e e n t r o p y o f m i x i n g , A m i x s , c a n b e d e t e r m i n e d b e c a u s e ( a s I 8 T ) ” , = - 8 . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t f o r a n i d e a l m i x t u r e t h e e n t r o p y o f m i x i n g i s : B e c a u s e l n X i s n e g a t i v e , A m i x s i s p o s i t i v e . N e x t , t h e e n t h a l p y o f m i x i n g , A m i x H , m a y b e f o u n d f r o m t h e e x p r e s s i o n A G - A H - T A S . B y c o m b i n i n g E q u a t i o n [ 2 . 3 ] a n d [ 2 . 4 ] , t h e e n t h a l p y o f m i x i n g f o r a n i d e a l s o l u t i o n a t c o n s t a n t p r e s s u r e a n d t e m p e r a t u r e i s : A m i x H = 0 ( i d e a l s o l u t i o n ) [ 2 . 5 ] I n a n a n a l o g o u s m a n n e r , t h e v o l u m e c h a n g e o f m i x i n g , A m i x V , c a n a l s o b e d e t e r m i n e d f r o m A m i x G b e c a u s e ( 8 6 / 8 p ) T , n = V . A s a r e s u l t , t h e v o l u m e c h a n g e o f m i x i n g a t c o n s t a n t p r e s s u r e a n d t e m p e r a t u r e i s : A m i x V = 0 ( i d e a l s o l u t i o n ) [ 2 . 6 ] b e c a u s e a n i d e a l s o l u t i o n i s i n d e p e n d e n t o f p r e s s u r e ( ( a A m i x G / 8 p ) ; n = 0 ) . F i n a l l y , t h e e n e r g y o f m i x i n g , A m i x U . c a n b e d e t e r m i n e d . B e c a u s e b o t h t h e e n t h a l p y a n d v o l u m e c h a n g e s o n m i x i n g a r e z e r o , i t f o l l o w s t h a t A m i x U i s a l s o z e r o b e c a u s e A H = A U + p A V . A s a r e s u l t , t h e e n e r g y o f m i x i n g a t c o n s t a n t p r e s s u r e a n d t e m p e r a t u r e i s : A m i x U = O ( i d e a l S O I U t i o n ) [ 2 . 7 ] I n s u m m a r y , f r o m t h e a b o v e e x p r e s s i o n s i t i s d e d u c e d t h a t t h e c a u s e o f m i x i n g f o r a n i d e a l s o l u t i o n i s e n t i r e l y d u e t o t h e i n c r e a s e i n e n t r o p y f o r t h e s y s t e m , a n d t h e e n t r o p y o f t h e s u r r o u n d i n g s r e m a i n s u n c h a n g e d b e c a u s e t h e e n t h a l p y o f m i x i n g i s z e r o , a s e x p e c t e d f o r a s y s t e m i n w h i c h t h e a v e r a g e i — j i n t e r a c t i o n i s e q u i v a l e n t t o H “ a n d H i n t e r a c t i o n s . R e a l S o l u t i o n s — S i n g l e - P h a s e S y s t e m I n p r a c t i c e , m o s t s o l u t i o n s d e p a r t f r o m i d e a l b e h a v i o r . R e a l s o l u t i o n s a r e m a d e o f m o l e c u l e s f o r w h i c h i — i , i — j , a n d j — j i n t e r a c t i o n s a r e a l l d i f f e r e n t . A s a r e s u l t , n o t o n l y m i g h t t h e e n t h a l p y c h a n g e u p o n m i x i n g ( i . e . t h e 1 6 e n t r o p y o f t h e s u r r o u n d i n g s d o c o n t r i b u t e t o m i x i n g ) . b u t a n a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n t o t h e e n t r o p y c h a n g e o f t h e s y s t e m m a y o c c u r d u e t o a s s o c i a t i o n o r o r i e n t a t i o n o f m o l e c u l e s i n a m i x t u r e . H o w e v e r , t o p r e s e r v e t h e f o r m o f E q u a t i o n [ 2 . 2 ] t h e c o n c e p t o f a c t i v i t y . a , i s i n t r o d u c e d ; w h e r e t h e a c t i v i t y c a n b e t h o u g h t o f a s a m e a s u r e o f h o w a r e a l s o l u t i o n b e h a v e s o r a s a n e f f e c t i v e m o l e f r a c t i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l f o r a c o m p o n e n t i s g i v e n a s : W = u P + F l T l n a , - [ 2 . 8 ] w h e r e a i l s t h e a c t i v i t y o f i . O n c o m p a r i s o n w i t h i d e a l s o l u t i o n s t h a t o b e y R a o u l t ' s L a w o v e r t h e e n t i r e c o n c e n t r a t i o n r a n g e , r e a l s o l u t i o n s i n c r e a s i n g l y o b e y R a o u l t ' s L a w a s a c o m p o n e n t a p p r o a c h e s p u r i t y . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a l i q u i d s o l u t i o n w i t h s o l u t e , i , w h e r e t h e s o l u t e a c t i v i t y , 0 , ; i s a s s u m e d t o v a r y w i t h t h e s o l u t e m o l e f r a c t i o n , X ) . T h i s s i t u a t i o n i s i l l u s t r a t e d b y t h e s o l i d c u w e i n F i g u r e 2 . 1 , w h e r e t h e s o l u t e a c t i v i t y , ( 1 ; , i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e s o l u t e m o l e f r a c t i o n , X i / ' - 1 / / Y o = 1 \ / d / / / / / / a = 1 / I ’ / , , ’ / ’ I \ - 1 I ’ 7 - O 1 X F i g u r e 2 . 1 S o l u t e a c t i v i t y a s a f u n c t i o n o f t h e s o l u t e m o l e f r a c t i o n . a . - = x x , - ( 7 i = i ( X i ) [ 2 . 9 1 1 7 F r o m F l g u r e 2 . 1 , t h r e e r e g i o n s a r e i d e n t i f i e d . F i r s t , t h e r e g i o n w h e r e X , - = 0 , a , - i s p r o p o r t i o n a l t o X ) . S e c o n d , t h e r e g i o n w h e r e X ; ~ 1 , a ; i s p r o p o r t i o n a l t o X ) , b u t t h e p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t , w h i c h e q u a l s o n e h e r e , i s d i f f e r e n t f r o m t h a t i n t h e f i r s t r e g i o n . T h e t h i r d r e g i o n i s a t i n t e r m e d i a t e v a l u e s o f X ) , w h e r e a , - i s n o t p r o p o r t i o n a l t o X ) , t h a t i s t h e p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t i s d i f f e r e n t a t e a c h m o l e f r a c t i o n . T h e p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t t h a t i s u s e d b e t w e e n t h e s o l u t e a c t i v i t y a n d m o l e f r a c t i o n i s c o m m o n l y d e f i n e d a s t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t , 7 . T h e r e f o r e , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m o l e f r a c t i o n a n d t h e a c t i v i t y o f a c o m p o n e n t i s a c c o m p l i s h e d b y d e f i n i n g t h e a c t i v i t y a s : T h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f c o m p o n e n t i i s n o w w r i t t e n i n t e r m s o f t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t , ) 7 , b y c o m b i n i n g E q u a t i o n s [ 2 . 8 ] a n d [ 2 . 9 ] : u ; = u P + R T l n ) 7 + R T l n X , ‘ [ 2 , 1 0 ] A n a d v a n t a g e o f i n t r o d u c i n g t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t , 7 , i s t h a t a l l t h e d e v i a t i o n s f r o m i d e a l i t y a r e c a r r i e d b y R T l n y , a n d s o i n v e s t i g a t i o n o f n o n i d e a l i t y c a n c o n c e n t r a t e o n t h i s t e r m . I n t h i s c o n t e x t , a u s e f u l m o d e l s y s t e m i s b a s e d u p o n r e g u l a r s o l u t i o n t h e o r y , i n w h i c h t h e e n t h a l p y o f m i x i n g i s a s s u m e d n o n z e r o , t h e e n t r o p y o f m i x i n g i s a s s u m e d e q u i v a l e n t t o a n i d e a l s o l u t i o n , a n d t h a t n o v o l u m e c h a n g e o c c u r s u p o n m i x i n g . R e g u l a r S o l u t i o n s — S i n g l e P h a s e S y s t e m I n a n i d e a l s o l u t i o n , a l l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e a s s u m e d e q u i v a l e n t , a n d t h e e n t h a l p y o f m i x i n g i s t h e r e f o r e z e r o . T h e t h e o r y o f r e g u l a r s o l u t i o n s f o c u s e s o n t h e s e u n e q u a l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a n d p r e s u m e s t h a t t h e e n t h a l p y o f m i x i n g m a y n o t b e z e r o . T h e t h e o r y o f r e g u l a r s o l u t i o n s , h o w e v e r , d o e s a s s u m e t h a t t h e e n t r o p y o f m i x i n g i s i d e a l a n d t h a t n o v o l u m e c h a n g e o c c u r s o n m i x i n g . I n s h o r t , t h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n a n i d e a l s o l u t i o n a n d a r e g u l a r s o l u t i o n i s t h a t t h e e n t h a l p y o f m i x i n g c a n h a v e a n o n - z e r o v a l u e i n t h e r e g u l a r s o l u t i o n m o d e l . C o n s e q u e n t l y , a l o g i c a l d e d u c t i o n f o r a r e g u l a r s o l u t i o n i s t h a t t h e e n t h a l p y o f m i x i n g i s s o m e h o w r e l a t e d t o t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t b e c a u s e a l l d e v i a t i o n s f r o m i d e a l i t y c a n b e c a r r i e d b y t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t f o r a r e a l s o l u t i o n . B e c a u s e t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t i s s p e c i f i c t o a s i n g l e c o m p o n e n t , p a r t i a l m o l a r q u a n t i t i e s a r e c o m m o n l y u s e d . 1 8 E q u a t i o n [ 2 . 1 0 ] s h o w s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l a n d t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t o f c o m p o n e n t i ; h o w e v e r , t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f c o m p o n e n t i i s a l s o o b t a i n e d f r o m A G - A H - T A S , w h e r e i n t e r m s o f p a r t i a l m o l a r q u a n t i t i e s : H i “ # P = ( h i - ’ 7 ? ) - T ( s , - - S P ) [ 2 - 1 1 ] w h e r e ( h ; - h , ° ) i s t h e p a r t i a l m o l a r e n t h a l p y ( i . e . , t h e e x c e s s e n t h a l p y r e l a t i v e t o a n i d e a l s o l u t i o n ) a n d ( s ; - S P ) i s t h e p a r t i a l m o l a r e n t r o p y . B e c a u s e t h e e n t r o p y o f m i x i n g i s a s s u m e d i d e a l i n t h e r e g u l a r s o l u t i o n m o d e l , t h e p a r t i a l m o l a r e n t r o p y c a n b e d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 2 . 2 ] a n d t h e e q u a l i t y t h a t ( 8 6 / 8 T ) p , , , = - 8 . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t f o r a r e g u l a r s o l u t i o n t h e p a r t i a l m o l a r e n t r o p y f o r c o m p o n e n t i i s : 3 A M ) A s - = - — _ = - F l l n X i [ 8 T p i [ 2 . 1 2 ] N e x t , t h e p a r t i a l m o l a r e n t h a l p y m a y b e f o u n d b y s u b s t i t u t i n g E q u a t i o n [ 2 . 1 2 ] i n t o E q u a t i o n [ 2 . 1 1 ] a n d e q u a t i n g E q u a t i o n s [ 2 . 1 1 ] a n d [ 2 . 1 0 ] . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t f o r a r e g u l a r s o l u t i o n t h e p a r t i a l m o l a r e n t h a l p y f o r c o m p o n e n t i i s : A h i = ( h i - h P ) = R T l n n [ 2 . 1 3 ] N e x t , t h i s p a r t i a l m o l a r e n t h a l p y i s r e l a t e d t o c e r t a i n p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m . T h i s i s c o n s i d e r e d b y s t a r t i n g w i t h t h e w o r k o f v a n L a a r , w h o m a d e t h e f i r s t a t t e m p t t o a c c o u n t f o r c h a n g e s i n e n t r o p y o r e n t h a l p y w h e n t w o l i q u i d s a r e m i x e d ( 2 8 ) . V a n L a a r b a s e d t h i s w o r k u p o n t h e v a n d e r W a a l s e q u a t i o n o f s t a t e : ( p + a n 2 / V 2 ) ( V - n b ) = n R T [ 2 . 1 4 ] w h i c h i s w r i t t e n i n a f o r m t h a t r e s e m b l e s t h e i d e a l g a s l a w p V = n R T , w h e r e v a n d e r W a a l s d e f i n e d t h e c o n s t a n t s a a n d b i n g a s m i x t u r e s a s : a = a i ) ¢ 2 + 2 a i n i n + 8 1 X } ? [ 2 . 1 4 a ] o . . o ; x , - + o , - x , - [ 2 . 1 4 b ] 1 9 w h e r e a i s t h e v a n d e r W a a l s a t t r a c t i o n c o n s t a n t t h a t a c c o u n t s f o r t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n H , H , a n d H , r e s p e c t i v e l y , a n d b i s t h e v a n d e r W a a l s r e p u l s i o n ( v o l u m e ) c o n s t a n t t h a t a c c o u n t s f o r t h e v o l u m e t a k e n u p b y t h e m o l e c u l e s t h e m s e l v e s . T h e e n e r g y o f m i x i n g ( A m i x U ) c a n n o w b e o b t a i n e d b y c o m b i n i n g t h e s e e q u a t i o n s w i t h t h e v a n d e r W a a l s e q u a t i o n f o r e n e r g y , U - - a I V , t o o b t a i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : 3 ] A m u u . u m - x , - u ; - X j U j = - a + ) q - E ’ . + X j — [ 2 . 1 5 1 V m i x V i V j w h e r e U ( m i x , , ; I ) i s t h e e n e r g y o f a m o l e o f l i q u i d m i x t u r e o r p u r e c o m p o n e n t s . r e s p e c t i v e l y . I f t h e r e i s n o v o l u m e c h a n g e u p o n m i x i n g , a n d i f t h e l i q u i d s a r e u n e x p a n d e d ( V . b ) , t h e n t h e t h a l p y o f m i x i n g ( A m i x H ) i s e q u a l t o t h e e n e r g y o f m i x i n g ( A m i x U ) ; c o n s e q u e n t l y , v a n L a a r c o u l d e x p r e s s t h e h e a t o f m i x i n g b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : . _ . _ X 9 9 ( . 2 . 2 ) A m l e - A m l e - W 3 1 b ; ' z a q b i b ] 1 ' a j b j ( A m i x v = o ) [ 2 . 1 6 ] F u r t h e r m o r e , v a n L a a r a l s o a s s u m e d t h a t t h e i n t e r a c t i o n c o n s t a n t a ) ; i s s a t i s f i e d b y t h e B e r t h e l o t r e l a t i o n ( 2 9 ) , w h e r e 3 i ] = ( a ; a , ) " 2 . C o n s e q u e n t l y , E q u a t i o n [ 2 . 1 6 ] c a n b e s i m p l i f i e d t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : 1 / 2 1 / 2 2 x , - x - b i b : 8 , - a o [ 2 . 1 7 ] A m i x H 3 I I ' I X , b , ° + l e j b , ’ D } F r o m E q u a t i o n [ 2 . 1 7 ] , t h e h e a t o f m i x i n g i s n e v e r n e g a t i v e , w h i c h i s a c o n s e q u e n c e o f t h e B e r t h e l o t r e l a t i o n . I n 1 9 1 6 , H i l d e b r a n d p u b l i s h e d t h e f i r s t o f a s e r i e s o f p a p e r s o n s o l u b i l i t y ( 3 0 ) . I n 1 9 1 9 , H i l d e b r a n d g a v e v a r i o u s m e t h o d s f o r d e t e r m i n i n g t h e r e l a t i v e i n t e r n a l p r e s s u r e s ( a / V 2 , w h e r e V i s t h e m o l a r v o l u m e ) a n d t h e e n e r g y o f v a p o r i z a t i o n p e r u n i t v o l u m e ( A v a p U / V ) o r t h e c o h e s i v e e n e r g y d e n s i t y ( 3 1 ) . I n 1 9 3 1 , S c a t c h a r d p u b l i s h e d a n i m p o r t a n t p a p e r t h a t “ m a y b e r e g a r d e d a l s o a s a q u a n t i t a t i v e d e v e l o p m e n t o f t h e t r e a t m e n t o f H i l d e b r a n d , a l t h o u g h i t d i s a g r e e s w i t h h i s i d e a s i n s o m e i m p o r t a n t d e t a i l s , o r a s a m e t h o d o f f r e e i n g t h e v a n L a a r t r e a t m e n t f r o m t h e i n a d e q u a c i e s o f t h e v a n d e r W a a l s e q u a t i o n " ( 3 2 ) . S c a t c h a r d m a d e t h r e e b a s i c a s s u m p t i o n s . F i r s t , t h e i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n b e t w e e n m o l e c u l e s i s d e p e n d e n t u p o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e l m G i U a A m i x U = F u r t h e r m o r e f o r [ 2 . 1 8 1 l / : 2 " ? + fl ‘ U i X 2 i 0 i V i V i X i X i + 0 1 / i X ' : ' U ' ” x w — + o s z j w d i l u t e s o l u t i o n o f i ( s o l u t e ) i n j ( s o l v e n t ) , E q u a t i o n [ 2 . 2 2 ] s i m p l i f i e s t o t h e 2 0 m o l e c u l e s , a n d n o t o n t h e t y p e o f o t h e r m o l e c u l e s b e t w e e n o r a r o u n d t h e m o l e c u l e s o r o n t h e t e m p e r a t u r e . S e c o n d , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e m o l e c u l e s i s r a n d o m i n b o t h p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n . T h r e e , t h e c h a n g e o f v o l u m e o n m i x i n g i s z e r o a t c o n s t a n t p r e s s u r e . W i t h t h e s e t h r e e a s s u m p t i o n s , t h e c o h e s i v e e n e r g y o f m i x i n g a m o l e o f l i q u i d m i x t u r e c a n b e e x p r e s s e d : - U ' m l x X i V i + X j V j w h e r e V i s t h e m o l a r v o l u m e , X i s t h e m o l e f r a c t i o n , a n d c i s t h e c o h e s i v e e n e r g y d e n s i t y , w h e r e f o r p u r e c o m p o n e n t s 0 i s - U / V . A f u r t h e r p r e s u m p t i o n f o r l i q u i d s a t r o o m t e m p e r a t u r e i s t h a t t h e v a p o r i s n e a r l y i d e a l , s o t h a t - U c a n b e r e l a t e d t o t h e e n e r g y o f v a p o r i z a t i o n , A v a p U ; a s a r e s u l t 0 = A v a p U / V . T h e e n e r g y o f m i x i n g o b t a i n e d b y S c a t c h a r d i s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : w o w s ( 0 7 + C i - 2 0 a ) [ 2 . 1 9 ] I f i t i s a s s u m e d t h a t 0 ; , - = ( 0 ; , - 0 1 , ) 1 / 2 , w h i c h i s S c a t c h a r d ' s f o u r t h a s s u m p t i o n , a n d t h a t t h e r e i s n o v o l u m e c h a n g e u p o n m i x i n g , t h e n t h e h e a t o f m i x i n g c a n b e e x p r e s s e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : V ' X ' V ' X ' 2 l I j j ( 0 1 / 2 _ 0 1 / 2 ) . . [ 2 . 2 0 1 T h e s e s q u a r e r o o t s o f t h e c o h e s i v e e n e r g y d e n s i t i e s , c , a r e a n i m p o r t a n t q u a n t i t y i n t h e t h e o r y o f s o l u t i o n s ; c o n s e q u e n t l y , t h e y h a v e b e e n d e f i n e d a s s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s a n d h a v e b e e n g i v e n t h e s y m b o l 6 : A U 5 2 = 4 % v [ 2 . 2 1 ] C o n s e q u e n t l y , E q u a t i o n [ 2 . 2 0 ] c a n b e e x p r e s s e d a s : W & W & 2 A . H = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ 6 . m i x X i V i + v a j ( 5 l 1 ) [ 2 . 2 2 ] f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : ( h i - h ? ) = W - i ) " ’ [ 2 . 2 . ] 2 1 A m i x H = V i X i ( 5 i - < 9 2 [ 2 2 3 1 B y d i v i d i n g b o t h s i d e s o f E q u a t i o n [ 2 . 2 3 ] b y t h e m o l e f r a c t i o n , X ; , t h e p a r t i a l m o l a r e n t h a l p y o f m i x i n g f o r a d i l u t e s o l u t e i i s o b t a i n e d : C o n s e q u e n t l y , f o r a d i l u t e s o l u t i o n o f s o l u t e i i n s o l v e n t j , t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t o f c o m p o n e n t i , y , - c a n b e r e l a t e d t o t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s o f t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s b y c o m b i n i n g E q u a t i o n s [ 2 . 1 3 ] a n d [ 2 . 2 4 ] : R T I n » = V i ( 5 i - 5 ; ) 2 [ 2 . 2 5 ] R e g u l a r S o l u t i o n s — T w o - P h a s e S y s t e m C o n s i d e r a t w o - p h a s e s y s t e m . f o r e x a m p l e a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m , w h e r e a s o l u t e , i , i s d i s t r i b u t e d b e t w e e n t w o i m m i s c i b l e p h a s e s , x a n d y , a t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u r e T : C a O I l x ( _ y W h e n t h i s s o l u t e i s i n e q u i l i b r i u m b e t w e e n t h e t w o p h a s e s , a c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t , K x , c a n b e d e f i n e d , w h i c h i s t h e m o l e f r a c t i o n r a t i o o f s o l u t e , i , b e t w e e n t h e t w o p h a s e s : x x g fl X x [ 2 . 2 6 ] T N o t e : I n t h i s d i s c u s s i o n o n l y t h e s o l u t e i i s c o n s i d e r e d , t h e s u b s c r i p t s x a n d y r e f e r t o t h e r e s p e c t i v e p h a s e s . F ? T I n K ° = ~ A u ° [ 2 . 3 0 ] 2 2 w h e r e X x a n d X , a r e t h e m o l e f r a c t i o n s o f t h e s o l u t e i n p h a s e x a n d y , r e s p e c t i v e l y . * W h e n s o l u t e , i , i s i n e q u i l i b r i u m b e t w e e n t h e t w o p h a s e s , t h e t o t a l c h a n g e i n G i b b s f r e e e n e r g y i s z e r o . C o n s e q u e n t l y , t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l s f o r s o l u t e , i , i n e a c h p h a s e a r e e q u a l . m = w m y ] T h e r e f o r e , a t e q u i l i b r i u m , E q u a t i o n [ 2 . 8 ] c a n b e s u b s t i t u t e d i n t o E q u a t i o n [ 2 . 2 7 ] : u x ° + R T l n a x = u y ° + R T l n a y [ 2 . 2 8 ] t h a t r e a r r a n g e s t o R T I n ( E L ) 3 ‘ 1 : — u ; = - A # 0 [ 2 . 2 9 ] “ X w h e r e u x ° a n d u y ° a r e t h e v a l u e s o f t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l s o f s o l u t e , i , i n e a c h p h a s e a t a d e f i n e d s t a n d a r d s t a t e , a n d a x a n d a , a r e t h e s o l u t e a c t i v i t i e s i n p h a s e s x a n d y . B e c a u s e t h e s t a n d a r d s t a t e i s d e s c r i b e d b y i t s c o m p o s i t i o n , t e m p e r a t u r e , a n d p r e s s u r e , u ° i s c o n s t a n t , a n d a i s e q u a l t o o n e f o r t h e s o l u t e i n i t s s t a n d a r d s t a t e ( i . e . u s # 0 ) . F u r t h e r m o r e , b e c a u s e u x ° a n d u y ° a r e c o n s t a n t , a x a n d a ) , a r e a l s o c o n s t a n t . A s a r e s u l t , t h e a c t i v i t y r a t i o , a , / a x , i s a l s o c o n s t a n t , a n d t h i s a c t i v i t y r a t i o i s d e f i n e d a s t h e t h e r m o d y n a m i c d i s t r i b u t i o n c o n s t a n t , K 0 . C o n s e q u e n t l y , E q u a t i o n [ 2 . 2 9 ] c a n b e r e w r i t t e n a s : 1 ‘ F o r d i l u t e s o l u t i o n s o f s o l u t e , i , i n p h a s e x o r y , E q u a t i o n [ 2 . 2 6 ] c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e m o l a r c o n c e n t r a t i o n , 0 , , a n d 0 , , b e c a u s e C = X / V , w h e r e V i s t h e m o l a r v o l u m e o f t h e c o r r e s p o n d i n g p h a s e . A s a r e s u l t , E q u a t i o n [ 2 . 2 5 ] c a n b e r e a r r a n g e d t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : K C : 9 1 = K x fi C x V y w h e r e V , a n d V y a r e t h e m o l a r v o l u m e s o f t h e p h a s e s x a n d y , r e s p e c t i v e l y . C o n s e q u e n t l y , e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n s c a n b e d e r i v e d i n t e r m s o f K c . 2 3 F r o m t h e a b o v e e x p r e s s i o n s , t h e c h o i c e o f s t a n d a r d s t a t e f o r t h e s o l u t e i n e a c h p h a s e w i l l d e t e r m i n e t h e t h e r m o d y n a m i c d i s t r i b u t i o n c o n s t a n t , K ° , a n d t h e s o l u t e a c t i v i t i e s a x a n d a y . F o r t u n a t e l y , t h e s t a n d a r d s t a t e s m a y b e c h o s e n i n a w a y t h a t r e p r e s e n t s e i t h e r a r e a l o r a h y p o t h e t i c a l s y s t e m . F o r s o l u t e s i n a l i q u i d p h a s e , t w o s t a n d a r d s t a t e s a r e c o m m o n l y u s e d , o n e b a s e d o n p u r e s o l u t e ( R a o u l t ' s L a w ) a n d o n e b a s e d o n i n f i n i t e l y d i l u t e s o l u t i o n s o f t h e s o l u t e ( H e n r y ' s L a w ) . F i r s t , t h e p u r e s o l u t e s t a n d a r d s t a t e i s c o n s i d e r e d a n d i s i l l u s t r a t e d b y t h e l o w e r d a s h e d l i n e i n F i g u r e 2 . 1 . F o r t h i s s t a n d a r d s t a t e , # 0 r e p r e s e n t s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e p u r e s o l u t e ( X = - 1 ) . B e c a u s e t h e s o l u t e a c t i v i t y e q u a l s o n e ( a = 1 ) a t t h e s t a n d a r d s t a t e c o n d i t i o n , t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t m u s t a l s o e q u a l o n e ( 7 : 1 ) i n t h e r e g i o n w h e r e X a 1 . C o n s e q u e n t l y , t h e a c t u a l v a l u e o f t h e s o l u t e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t i s g r e a t e r t h a n t h a t p r e d i c t e d b y t h e l o w e r d a s h e d l i n e i n t h e r e g i o n w h e r e t h e m o l e f r a c t i o n i s l e s s t h a n o n e ( X < 1 , y > 1 ) . N e x t , t h e i n f i n i t e l y d i l u t e s o l u t e s t a n d a r d s t a t e i s c o n s i d e r e d a n d i s i l l u s t r a t e d b y t h e u p p e r d a s h e d l i n e i n F i g u r e 2 . 1 . F o r t h i s s t a n d a r d s t a t e , i 1 ° r e p r e s e n t s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f a h y p o t h e t i c a l p u r e s o l u t e ( X - 1 ) , w h i c h h a s t h e s a m e t h e r m o d y n a m i c p r o p e r t i e s a s a n i n f i n i t e l y d i l u t e s o l u t i o n o f s o l u t e , i ( X = 0 ) . C o m p a r e d t o t h e p r e v i o u s s t a n d a r d s t a t e c a s e , t h e s o l u t e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t e q u a l s o n e ( 7 ' = 1 ) i n t h e r e g i o n w h e r e X - 0 . C o n s e q u e n t l y , t h e a c t u a l v a l u e o f t h e s o l u t e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t i s l e s s t h a n t h a t p r e d i c t e d b y t h e u p p e r d a s h e d l i n e f o r a l l s o l u t e m o l e f r a c t i o n s g r e a t e r t h a n z e r o ( X > O , y < 1 ) . W i t h t h e d e s c r i p t i o n o f t h e t w o s t a n d a r d s t a t e s c o m p l e t e , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t , K " , a n d t h e t h e r m o d y n a m i c c o n s t a n t , K ° , c a n b e e x a m i n e d , r e m e m b e r i n g t h a t K ° i s a f u n c t i o n o f t h e c h o s e n s t a n d a r d s t a t e w h e r e a s K " i s n o t . F r o m i n s p e c t i o n o f E q u a t i o n s [ 2 . 2 9 ] a n d [ 2 . 3 0 ] , t h e t h e r m o d y n a m i c d i s t r i b u t i o n c o n s t a n t , K ° , i s e q u a l 1 0 K 0 3 3 1 “ X t h a t r e a r r a n g e s t o K ° = n y y 2 . 3 1 7 x X x I l K x _ _ _ K 0 ( i n f i n i t e l y d i l u t e s o l u t e s t a n d a r d s t a t e ) [ 2 . 3 3 ] 2 4 b e c a u s e a = 7 X . F i n a l l y , E q u a t i o n [ 2 . 2 6 ] i s s u b s t i t u t e d i n t o E q u a t i o n [ 2 . 2 1 ] , a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n K " a n d K ° i s o b t a i n e d : K " - [ 3 1 ] ! ” [ 2 . 3 2 ] 7 y U p o n c o m p a r i s o n o f t h e t w o s t a n d a r d s t a t e c a s e s , t w o d i f f e r e n t c o n c l u s i o n s c a n b e m a d e r e g a r d i n g E q u a t i o n [ 2 . 3 2 ] . F i r s t , f o r t h e i n f i n i t e l y d i l u t e s o l u t e s t a n d a r d s t a t e , K ° i s d e t e r m i n e d f r o m E q u a t i o n [ 2 . 3 0 ] , w h e r e A u ° r e p r e s e n t s t h e t r a n s f e r o f a m o l e o f s o l u t e f r o m d i l u t e s o l u t i o n i n x t o d i l u t e s o l u t i o n i n y . B e c a u s e 7 , = 7 , , = 1 f o r a n i n f i n i t e l y d i l u t e s o l u t i o n s t a n d a r d s t a t e i n e a c h p h a s e , i t f o l l o w s t h a t S e c o n d , f o r t h e p u r e s o l u t e s t a n d a r d s t a t e . t h e t h e r m o d y n a m i c d i s t r i b u t i o n c o n s t a n t i s e q u a l t o o n e ( K 0 = 1 ) b e c a u s e t h e s a m e s t a n d a r d s t a t e i s u s e d f o r t h e s o l u t e i n e a c h p h a s e . C o n s e q u e n t l y , A u ° m u s t e q u a l z e r o b e c a u s e u x ° = 1 , 5 , 0 . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t K x = — ( p u r e s o l u t e s t a n d a r d s t a t e ) [ 2 . 3 4 ] T h e r e f o r e i f t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t s i n b o t h p h a s e s a r e k n o w n , t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t , K ‘ , c a n b e p r e d i c t e d u s i n g E q u a t i o n [ 2 . 3 4 ] . A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 2 . 2 5 ] c a n b e u s e d t o p r e d i c t t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t o f a s o l u t e a s s u m e d a t i n f i n i t e d i l u t i o n . C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t f o r a s o l u t e , K i " , d i s p e r s e d b e t w e e n t w o p h a s e s c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g f o r m : l K " ” [ 5 0 5 2 5 : 6 2 ] n i = - F - ? — T ( l ' x ) ‘ ( l ' y ) [ 2 . 3 5 ] A s a r e s u l t , t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t f o r s o l u t e i i s a f u n c t i o n o f t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s o f t h e s o l u t e ( 6 i ) a n d b o t h p h a s e s ( 6 , ) a n d ( 6 , ) . F i n a l l y , i n t e r m s o f c h r o m a t o g r a p h i c r e t e n t i o n , t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r , k , - , w h i c h r e p r e s e n t s t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t d i v i d e d b y t h e v o l u m e t r i c r a t i o o f t h e t w o p h a s e s , ) 3 , m a y b e e x p r e s s e d a s f o l l o w s : 2 5 I n k , - a - h ( % ) = - % [ ( 5 j - 5 m ) 2 - ( 6 r 6 s ) 2 ] - I n B [ 2 . 3 6 ] A s a r e s u l t . s o l u t e r e t e n t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s o f t h e s o l u t e ( 6 ; ) , t h e m o b i l e p h a s e ( 6 M ) , t h e s t a t i o n a r y p h a s e ( 6 5 ) , a n d t h e v o l u m e r a t i o o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( fl ) . S o l v e n t M o d u l a t i o n G e n e r a l C o n c e p t o f S o l u t e R e t e n t i o n I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s t h a t c o m p r i s e t h e m o b i l e p h a s e a r e n e v e r p h y s i c a l l y m i x e d . I n s t e a d , i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s o f p r e d e t e r m i n e d c o m p o s i t i o n a r e i n t r o d u c e d i n e i t h e r a r e p e a t i n g o r r a n d o m p a t t e r n a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . T h e s e s o l v e n t z o n e s a r e d e l i v e r e d f o r a s p e c i f i e d t i m e p e r i o d t h a t d e t e r m i n e s t h e f r a c t i o n a l l e n g t h a l o n g t h e c o l u m n a n d m a y b e r e p e a t e d o n c e o r m a n y t i m e s t o a c h i e v e t h e c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n . B e c a u s e t h e s o l v e n t z o n e s a r e s p a t i a l l y a n d t e m p o r a l l y s e p a r a t e d f r o m o n e a n o t h e r , s o l u t e r e t e n t i o n s h o u l d b e c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h s o l v e n t z o n e . T h e o r y o f S o l u t e R e t e n t i o n T h e f u n d a m e n t a l a s s u m p t i o n u n d e r l y i n g t h e t h e o r y o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s t h a t s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h s o l v e n t z o n e . I t i s , t h e r e f o r e , n e c e s s a r y t h a t t h e s o l v e n t s e g m e n t s b e o f k n o w n s e q u e n c e a n d l e n g t h a n d n o t b e i n t e r m i x e d a t t h e b o u n d a r y . A n o t h e r a s s u m p t i o n i m p l i c i t i n t h i s m o d e l i s t h a t r a p i d e q u i l i b r i u m a n d m a s s t r a n s f e r e x i s t a t t h e i n t e r f a c e o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s . T h e r e f o r e , t h e c o l u m n i s a s s u m e d t o a c h i e v e s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s a n d b e h a v i o r v e r y q u i c k l y a f t e r e a c h c h a n g e i n s o l v e n t c o m p o s i t i o n . F i n a l l y , i t i s a s s u m e d t h a t t h e p h a s e r a t i o a n d t h e s e p a r a t i o n m e c h a n i s m , s u c h a s p a r t i t i o n o r a d s o r p t i o n , d o n o t c h a n g e w i t h t h e s o l v e n t c o m p o s i t i o n . T h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) , w h i c h r e p r e s e n t s t h e p a r t i t i o n o r a d s o r p t i o n c o e f f i c i e n t ( K , ) d i v i d e d b y t h e v o l u m e t r i c r a t i o o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( [ 3 ) , m a y b e e x p r e s s e d a s f o l l o w s ( s e e A p p e n d i x 2 . 1 f o r d e v e l o p m e n t o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ) : k l g i n - b = i n 7 6 - 1 [ 2 . 3 7 ] 2 6 w h e r e i n a n d t o a r e t h e e l u t i o n t i m e s o f a r e t a i n e d a n d a n o n r e t a i n e d s o l u t e , r e s p e c t i v e l y . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e s o l u t e r e t e n t i o n t i m e i s t h e s u m m a t i o n o f r e s i d e n c e t i m e s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s e g m e n t s ( i f ) : n [ R . 2 , 1 . [ 2 . 3 8 ] i - o T h e t i m e s p e n t b y t h e s o l u t e i n a s o l v e n t s e g m e n t o f l e n g t h x ; i s g i v e n b y : X ' 1 + k , " l ' = — l I 2 . 3 9 I u [ k 0 , ] [ l w h e r e u i s t h e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e . B y s u b s t i t u t i o n i n t h e a b o v e e q u a t i o n s . t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r ( k ; ) m a y b e e x p r e s s e d a s t h e t i m e - w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s e g m e n t s ( k i j ) : n 1 + k i j 2 ” k m m ] k i s I - o I ] - 1 ' L w h e r e X } i s t h e l e n g t h o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e ( I ) i n a c o l u m n o f l e n g t h L . C o n s e q u e n t l y , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) o b t a i n e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e c a p a c i t y f a c t o r ( k g ) w i t h i n e a c h s o l v e n t w e i g h t e d b y t h e f r a c t i o n a l t i m e t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o t h a t s o l v e n t z o n e . T h e l i m i t o f t h e s u m m a t i o n i n d e x ( n ) , w h i c h r e p r e s e n t s t h e t o t a l n u m b e r o f s o l v e n t s e g m e n t s r e q u i r e d t o e l u t e t h e s o l u t e f r o m a c o l u m n o f l e n g t h L , i s d e t e r m i n e d b y e v a l u a t i n g t h e e x p r e s s i o n : z fl = L R M ] l f t h i s l i m i t h a s a n o n i n t e g e r v a l u e , t h e s u m m a t i o n i n E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] i s p e r f o r m e d i n t h e n o r m a l m a n n e r f o r s o l v e n t s e g m e n t s 0 t o n , a n d t h e r e m a i n d e r i s t r e a t e d a s a f r a c t i o n a l m u l t i p l i e r f o r t h e l a s t ( n + 1 ) s o l v e n t s e g m e n t . F o r a c o m p l e t e d e v e l o p m e n t o f t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o A p p e n d i x 2 . 2 . 2 7 C o n t r o l o f S o l u t e R e t e n t i o n S o l u t e r e t e n t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n m a y b e s y s t e m a t i c a l l y c o n t r o l l e d t h r o u g h f o u r e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s . F i r s t , t h e n u m b e r o f s o l v e n t s s e l e c t e d f o r t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e i s d e t e r m i n e d b y t h e c o m p l e x i t y o f t h e s a m p l e t o b e s e p a r a t e d . F o r i n s t a n c e , a s a m p l e w i t h o n l y a f e w c o m p o n e n t s m a y b e s e p a r a t e d w i t h o n l y t w o s o l v e n t s , a l t h o u g h a h i g h l y c o m p l e x s a m p l e m a y r e q u i r e m a n y m o r e . S e c o n d , t h e c o m p o s i t i o n o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s i s c h o s e n t o a d j u s t t h e s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y o f t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e t o p r o v i d e d i f f e r e n t i a l r e t e n t i o n f o r t h e s o l u t e s o f i n t e r e s t . T h e s e i n d i v i d u a l s o l v e n t s m a y v a r y i n t y p e a n d c o n c e n t r a t i o n o f o r g a n i c c o m p o n e n t , b u f f e r , i o n - p a i r a g e n t , o r o t h e r m o d i f i e r a s w e l l a s i n b u l k p r o p e r t i e s s u c h a s p H , i o n i c s t r e n g t h , e t c . T h e n e x t t w o p a r a m e t e r s d e f i n e t h e p h y s i c a l l e n g t h o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s , X } . T h e t h i r d p a r a m e t e r , t e r m e d s o l v e n t p r o p o r t i o n , r e p r e s e n t s t h e f r a c t i o n o f e a c h i n d i v i d u a l s o l v e n t i n t h e m o d u l a t i o n s e q u e n c e . F o r t w o r e p r e s e n t a t i v e s o l v e n t s , t h e p r o p o r t i o n ( P A ) o f s o l v e n t A i s s p e c i f i e d b y t h e r a t i o o f t h a t s e g m e n t l e n g t h ( x A ) t o t h e t o t a l l e n g t h o f t h e m o d u l a t i o n c y c l e : P ” A A = [ 2 . 4 2 ] x A + x a F o r e x a m p l e , a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 2 5 % A - 7 5 % B i s d e f i n e d w h e n t h e l e n g t h o f s o l v e n t A i s 2 5 % o f t h e m o d u l a t i o n c y c l e w h i l e s o l v e n t B i s 7 5 % . T h i s c o n c e p t i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . 2 ( l e f t ) , w h e r e s o l v e n t s A a n d B a r e m o d u l a t e d i n p r o p o r t i o n s r a n g i n g f r o m 0 % t o 1 0 0 % o f t h e m o d u l a t i o n c y c l e . I t m a y b e n o t e d t h a t t h e p r o p o r t i o n , w h i c h i s a l e n g t h r a t i o , i s a n a l o g o u s t o t h e v o l u m e t r i c r a t i o u s e d i n p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s . T h e f o u r t h p a r a m e t e r , t e r m e d r e p e t i t i o n r a t e , r e p r e s e n t s t h e r e a l o r i n t e g e r n u m b e r o f m o d u l a t i o n c y c l e s t h a t m a y r e s i d e o n a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n o f l e n g t h ( L ) . F o r t w o r e p r e s e n t a t i v e s o l v e n t s , t h e r e p e t i t i o n r a t e ( R F ? ) i s g i v e n b y L R R = x A + X B [ 2 . 4 3 ] F o r e x a m p l e , a r e p e t i t i o n r a t e o f 3 . 0 i s d e f i n e d w h e n e x a c t l y t h r e e c y c l e s o f t h e 2 5 % A - 7 5 % B s e q u e n c e e n c o m p a s s t h e c o l u m n l e n g t h . T h i s c o n c e p t i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . 2 ( r i g h t ) , w h e r e a m o d u l a t i o n s e q u e n c e w i t h a c o n s t a n t s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 2 5 % A - 7 5 % B i s s h o w n a t v a r y i n g i n t e g e r r e p e t i t i o n r a t e s . I t m a y b e n o t e d t h a t a p r e m i x e d m o b i l e p h a s e t h a t a d h e r e s t o r e g u l a r s o l u t i o n t h e o r y i s c o n c e p t u a l l y i d e n t i c a l t o a m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e a t i n f i n i t e r e p e t i t i o n r a t e . F i g u r e 2 . 2 2 8 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e f o r a t w o - s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e . T h e s o l v e n t p r o p o r t i o n ( l e f t ) i s d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e l e n g t h o f e a c h s o l v e n t z o n e t o t h a t o f t h e c o m p l e t e m o d u l a t i o n c y c l e . T h e r e p e t i t i o n r a t e ( r i g h t ) i s d e f i n e d a s t h e n u m b e r o f m o d u l a t i o n c y c l e s t h a t i s e q u i v a l e n t t o t h e l e n g t h o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( L ) . R o R c 1 2 3 1 e E r T u t e B A x A R i M N A 9 ] 8 O . 7 I 5 T 7 3 I e I ] T — A E [ P e A E 2 R 5 2 e ] A A [ A 2 . I . o 5 0 5 o 7 5 2 0 - l — - — 0 - 5 0 5 0 M o 2 5 7 1 ] I 1 B B I N O I T R e O B A P O A R P A A L | I 9 I I . l J f 7 l . f _ 0 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . F i g u r e 2 . 2 I . I . l l l T I . . P d b . c i l - d b T i " C o l u m n L e n g t h C o l u m n L e n g t h 2 9 3 0 F r o m E q u a t i o n s [ 2 . 4 2 ] a n d [ 2 . 4 3 ] i t i s n o t e d t h a t t h e r e p e t i t i o n r a t e i s i n v e r s e l y r e l a t e d t o s o l v e n t z o n e l e n g t h ; h o w e v e r , t h e p r o p o r t i o n i s d i r e c t l y r e l a t e d t o s o l v e n t z o n e l e n g t h . T h e i n t e r d e p e n d e n c e o f t h e s e v a r i a b l e s a n d t h e i r i n f l u e n c e o n t h e i n d i v i d u a l z o n e l e n g t h s a r e s h o w n i n F i g u r e 2 . 3 f o r a t w o - s o l v e n t s y s t e m . F o r a n y g i v e n m o d u l a t i o n c y c l e w i t h z o n e s o f l e n g t h x A a n d x 3 , t h e s e q u e n c e i s d e f i n e d b y a s i n g l e p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . i t i s a p p a r e n t , f r o m t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n , t h a t t h e n u m b e r o f p o s s i b l e m o d u l a t i o n s e q u e n c e s i n c r e a s e s d r a m a t i c a l l y w i t h t h e n u m b e r o f s o l v e n t s . T h e p e r m u t a t i o n s i n s o l v e n t o r d e r i n c r e a s e i n a f a c t o r i a l m a n n e r , s o t h a t a t w o - s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e w i l l h a v e t w o p o s s i b l e p e r m u t a t i o n s ( A — B a n d B — A ) , a t h r e e - s o l v e n t s y s t e m w i l l h a v e s i x p e r m u t a t i o n s ( A — B - C , A - C — B , B — A — C , B - C - A , C - A - B , a n d C - B — A ) , a n d s o o n . F u r t h e r m o r e , t h e p r o p o r t i o n o f e a c h s o l v e n t a n d t h e r e p e t i t i o n r a t e a r e i n d e p e n d e n t l y a n d , w i t h i n e x p e r i m e n t a l c o n s t r a i n t s , i n f i n i t e l y v a r i a b l e . T h e s e l e c t e d s o l v e n t s e q u e n c e m a y b e r e p e a t e d w i t h o u t a l t e r a t i o n , w h i c h i s a n a l o g o u s t o i s o c r a t i c e l u t i o n w i t h p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . A l t e r n a t i v e l y , t h e p r o p o r t i o n o r r e p e t i t i o n r a t e m a y b e c h a n g e d c o n t i n u o u s l y o r d i s c o n t i n u o u s l y d u r i n g t h e a n a l y s i s , c o m p a r a b l e t o l i n e a r o r s t e p w i s e g r a d i e n t e l u t i o n . T h u s , s o l v e n t m o d u l a t i o n o f f e r s a n e x t r e m e l y v e r s a t i l e m e a n s t o c o n t r o l b o t h s o l v e n t s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . B e c a u s e o f t h e m a n y p o s s i b l e v a r i a t i o n s , t h e t h e o r e t i c a l b a s i s o f s o l u t e r e t e n t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n m u s t b e w e l l e s t a b l i s h e d i n o r d e r t o c o n t r o l a n d o p t i m i z e s e p a r a t i o n s . P r e d i c t i o n o f S a l u t e R e t e n t i o n P r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e r e q u i r e s a c c u r a t e k n o w l e d g e o f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i n e a c h s o l v e n t i n o r d e r t o p r e d i c t t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n u s i n g E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] . T h e m a g n i t u d e o f t h e s e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s d e t e r m i n e s t h e t h e o r e t i c a l l i m i t s o f r e t e n t i o n i n s o l v e n t m o d u l a t i o n . W i t h i n t h e s e l i m i t s , a n y s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i s t h e o r e t i c a l l y a c h i e v a b l e b y a d j u s t m e n t o f t h e o r d e r , t h e r e p e t i t i o n r a t e , o r t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n . F o r t h e s i m p l e c a s e o f t w o s o l v e n t s , t h e e f f e c t o f s o l v e n t o r d e r i s s h o w n i n F i g u r e 2 . 4 f o r a s o l u t e w i t h a p p r o x i m a t e l y e q u a l c a p a c i t y f a c t o r s i n e a c h s o l v e n t ( k A = 1 . 0 0 , k g = 1 . 0 1 ) a t a p r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B . I f t h e s o l u t e i s e l u t e d w i t h i n t h e f i r s t s o l v e n t z o n e , i t w i l l r e t a i n a n o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r e q u a l t o t h a t i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t . I n F i g u r e 2 . 4 , t h i s o c c u r s a t r e p e t i t i o n r a t e s l e s s t h a n a p p r o x i m a t e l y 0 . 5 0 0 f o r t h e s o l v e n t o r d e r s o f e i t h e r A — B o r B — A . A t r e p e t i t i o n r a t e s g r e a t e r t h a n t h i s v a l u e , t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s e c o n d a n d f o l l o w i n g s o l v e n t z o n e s , w h i c h w i l l i n c r e a s e o r d e c r e a s e t h e r e t e n t i o n o f t h e s o l u t e a c c o r d i n g l y . T h u s , t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w i l l e x h i b i t a p e r i o d i c d e p e n d e n c e o n t h e r e p e t i t i o n r a t e , a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 4 . T h e a m p l i t u d e a n d f r e q u e n c y o f t h e 3 1 F i g u r e 2 . 3 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n t e r d e p e n d e n c e o f p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p t o t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s ( x A a n d x B ) f o r a t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t s y s t e m . T h e c o n d i t i o n s o f d i s c r e t e r e p e t i t i o n r a t e a n d p r o p o r t i o n w i t h c o n s t a n t v a l u e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e s o l i d l i n e s . 0 | A 6 I A 9 I A l l . A O I I i i - . ~ h . . p b. - - pi . l i p bi . - . - . . A I A L A _ I B L V H A I A l N O l l l L i n I Z - l é A I l A I A L A 0 ‘ N O I l E l O d O E I d i ' D - i - b 6 e I . 3 2 F i g u r e 2 . 3 F i g u r e 2 . 4 3 3 E f f e c t o f s o l v e n t o r d e r o n t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e . ( A ) s o l v e n t o r d e r A — B ; ( B ) s o l v e n t o r d e r B - A ; k A = 1 . 0 0 , k g = 1 . 0 1 , s o l v e n t p r o p o r t i o n 5 0 % A - 5 0 % B . T h e p e r i o d i c i t y o f t h e s e f u n c t i o n s a r i s e s b e c a u s e t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o f r a c t i o n a l p o r t i o n s o f i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s . A n o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r o f a p p r o x i m a t e l y 1 . 0 0 5 i s a p p r o a c h e d a s y m p t o t i c a l l y a s r e p e t i t i o n r a t e i n c r e a s e s , r e g a r d l e s s o f s o l v e n t o r d e r . 0 . 5 2 0 . 0 2 ) fl R R ( 0 . 5 e 1 t o R n o i 0 . t 6 i 1 t e p e R 0 . 5 0 . 0 0 0 0 ° 1 — 1 5 0 5 7 5 2 0 0 0 0 0 0 0 . . . . 1 1 1 1 ( > 1 ) J o t o o j A t l o o d b g 1 . 0 1 0 0 F i g u r e 2 . 4 3 4 3 5 o b s e r v e d w a v e f o r m a r e c o n t r o l l e d b y t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r v a l u e s . W h e n e v e r t h e s o l u t e i s e l u t e d w i t h a c o m p l e t e m o d u l a t i o n c y c l e o r i n t e g e r m u l t i p l e s t h e r e o f , a u n i q u e c a p a c i t y f a c t o r i s a t t a i n e d t h a t i s i d e n t i c a l r e g a r d l e s s o f s o l v e n t o r d e r . T h i s o c c u r s a t r e p e t i t i o n r a t e s e q u a l t o ( s e e A p p e n d i x 2 . 3 f o r d e v e l o p m e n t ) R R = — + — [ 2 . 4 4 ] A c c o r d i n g l y , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r i s e q u a l t o ( s e e A p p e n d i x 2 . 4 f o r d e v e l o p m e n t ) k = 1 _ - k A k B R R P A ( k B - k A ) + k A [ 2 . 4 5 ] I n F i g u r e 2 . 4 , t h i s o c c u r s a t r e p e t i t i o n r a t e s t h a t a r e i n t e g e r m u l t i p l e s o f 1 . 0 0 , w h e r e t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 1 . 0 0 5 . P r o v i d e d t h a t t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o a s t a t i s t i c a l l y l a r g e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s ( R R 2 1 0 ) , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r a s y m p t o t i c a l l y a p p r o a c h e s t h a t i n a n i d e a l p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m . F o r F i g u r e 2 . 4 , t h i s i s a n a l o g o u s t o a p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m c o m p o s e d o f 5 0 % A - 5 0 % B . I t i s a p p a r e n t f r o m E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] , h o w e v e r , t h a t t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r d o e s n o t v a r y l i n e a r l y b e t w e e n t h o s e i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s , b u t r a t h e r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e f a c t o r ( 1 + k i p / k g : S h o w n i n F i g u r e 2 . 5 a r e e x a m p l e s o f t h i s n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p w h e r e k A i s g i v e n a c o n s t a n t v a l u e o f 1 . 0 0 0 w h i l e k 3 i s s y s t e m a t i c a l l y i n c r e a s e d f r o m 1 . 0 1 0 t o 1 0 0 . 0 . E x a m i n i n g t h e c a s e s w h e r e t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n i s 5 0 % A - 5 0 % B , w h e n k A = 1 . 0 0 0 a n d k 3 = 1 . 0 1 0 ( F i g u r e 2 . 5 A ) , t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a t t a i n s a m a x i m u m v a l u e o f a p p r o x i m a t e l y 1 . 0 0 5 a s t h e r e p e t i t i o n r a t e i n c r e a s e s . W h e n k 3 = 1 . 1 0 0 ( F i g u r e 2 . 5 8 ) , a m a x i m u m c a p a c i t y f a c t o r o f 1 . 0 4 8 i s a t t a i n e d , w h e r e a s w h e n k 3 = 2 . 0 0 0 ( F i g u r e 2 . 5 0 ) , t h e m a x i m u m v a l u e i s 1 . 3 3 3 . T h i s n o n l i n e a r b e h a v i o r i n s o l u t e r e t e n t i o n b e c o m e s m o r e d r a m a t i c w h e n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s i s i n c r e a s e d . F o r e x a m p l e , w h e n k 3 = 1 0 . 0 0 ( F i g u r e 2 . 5 D ) , a m a x i m u m c a p a c i t y f a c t o r o f 1 . 8 1 8 i s a t t a i n e d , a n d w h e n k 3 = 1 0 0 . 0 ( F i g u r e 2 . 5 E ) , t h e m a x i m u m v a l u e i s 1 . 9 8 0 . I t m a y t h u s b e d e d u c e d f r o m E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] t h a t , w i t h f u r t h e r i n c r e a s e i n k g , a l i m i t i n g c a p a c i t y f a c t o r o f 2 . 0 0 0 i s a p p r o a c h e d a t a p r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B . F o r t h e m o r e g e n e r a l c a s e , t h e l i m i t i n g c a p a c i t y f a c t o r a s k 3 a p p r o a c h e s i n f i n i t y i s g i v e n b y ( s e e A p p e n d i x 2 . 5 f o r d e v e l o p m e n t ) : F i g u r e 2 . 5 3 6 E f f e c t o f t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s o n t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e . ( A ) k A = 1 . 0 0 0 , k g = 1 . 0 1 0 ; ( B ) k A = 1 . 0 0 0 , k g . 1 . 1 0 0 : ( C ) k A . 1 . 0 0 0 , k g = 2 . 0 0 0 ; ( D ) k A = 1 . 0 0 0 , k g = 1 0 . 0 0 ; ( E ) k A . . 1 . 0 0 0 , k g = 1 0 0 . 0 ; s o l v e n t o r d e r A - B w i t h s o l v e n t p r o p o r t i o n s o f 2 5 % A - 7 5 % B , 5 0 % A — 5 0 % B , a n d 7 5 % A - 2 5 % B . T h e n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p o f t h e o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a s s h o w n i n E q u a t i o n s [ 2 . 4 0 ] a n d [ 2 . 4 6 ] . T h u s , a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s i n c r e a s e s , t h e r a n g e o f a c c e s s i b l e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s d e c r e a s e s . - - E ) I O M - V W “ ) ! 0 r - d o r ! ! f l i a e n O ' m m m 3 3 7 F i g u r e 2 . 5 c a n - W W W J A A A A M 8 8 I 1 R e p e t i t i o n R o t a ( R R ) 3 8 . R A 1 : 2 1 : ‘ 3 ; [ 2 . 4 6 ] H R — n o s o t h a t s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r v a l u e s o f 1 . 3 3 3 , 2 . 0 0 0 , a n d 4 . 0 0 0 a r e a p p r o a c h e d a s y m p t o t i c a l l y f o r t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n s o f 7 5 % A - 2 5 % B , 5 0 % A - 5 0 % B , a n d 2 5 % A - 7 5 % B , r e s p e c t i v e l y , a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 5 . A s a r e s u l t o f t h i s n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p o f s o l u t e r e t e n t i o n , t h e f u l l r a n g e o f s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s b e t w e e n k A a n d k 3 m a y n o t b e r e a d i l y a t t a i n a b l e . F o r e x a m p l e , w h e n t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e o f c o m p a r a b l e v a l u e ( F i g u r e s 2 . 5 A - 2 . 5 C ) , a s m a y b e e x p e c t e d f o r s o l v e n t - s e l e c t i v i t y m o d u l a t i o n , t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i s n e a r l y a l i n e a r c o m b i n a t i o n . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , a l l c a p a c i t y f a c t o r s b e t w e e n k A a n d k 3 c a n b e a t t a i n e d w i t h e q u a l e a s e . A s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s b e c o m e s g r e a t e r ( F i g u r e 2 . 5 0 a n d 2 . 5 E ) , a s m a y b e e x p e c t e d f o r s o l v e n t - s t r e n g t h m o d u l a t i o n , t h e r a n g e o f r e a d i l y a c c e s s i b l e c a p a c i t y f a c t o r s d e c r e a s e s . F o r e x a m p l e , i n F i g u r e 2 . 5 E , w h e r e k A = 1 . 0 0 0 a n d k 3 = 1 0 0 . 0 , o n l y o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e r a n g e f r o m 1 . 0 0 t o 4 . 0 0 c a n b e a t t a i n e d w i t h i n t h e p r o p o r t i o n o f s o l v e n t A f r o m 0 % t o 7 5 % . A t p r o p o r t i o n s g r e a t e r t h a n 7 5 % A , a n y s m a l l c h a n g e i n c o m p o s i t i o n c a u s e s a d r a m a t i c c h a n g e i n r e t e n t i o n , t h e r e b y r e q u i r i n g p r e c i s e c o n t r o l o f t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . T h u s , a c c u r a t e k n o w l e d g e o f t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s , r e p e t i t i o n r a t e , a n d s o l v e n t p r o p o r t i o n i s e s s e n t i a l t o t h e c o n t r o l a n d p r e d i c t i o n o f r e t e n t i o n i n s o l v e n t m o d u l a t i o n . P r e c i s i o n o f P r e d i c t e d S o l u t e R e t e n t i o n T o e v a l u a t e t h e p r a c t i c a l u t i l i t y o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e , i t i s n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e e x p e c t e d p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n p r e d i c t e d u s i n g E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] . T h e u n c e r t a i n t y i n t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r m a y b e r e a d i l y e s t i m a t e d b y a p p l y i n g t h e m e t h o d o f p r o p a g a t i o n o f e r r o r s , a s s u m i n g . t h a t a l l e r r o r s a r e r a n d o m i n n a t u r e . I f a l l v a r i a b l e s a r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t , t h e p r e c i s i o n o f t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r ( a s m e a s u r e d b y t h e v a r i a n c e , 0 2 k ) f o r a t w o - s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e m a y b e e x p r e s s e d a s a s u m o f t h e i n d i v i d u a l c o n t r i b u t i o n s : . 2 , = 0 2 “ , . ) [ £ 7 1 2 . 0 2 , , 3 , [ 5 k ) 2 . 3 ? ; 2 2 2 0 2 1 1 A ) ( : 7 2 ) + 0 2 M B ) [ 3 % ] + 0 2 L ( fl ) [ 2 ' 4 7 ] 3 9 w h e r e 0 2 4 A ) a n d 0 2 , 4 3 ) r e p r e s e n t t h e v a r i a n c e i n t h e l e n g t h o f t h e s o l v e n t s e g m e n t s , 0 2 k m ) a n d 0 2 M B ) e x p r e s s t h e v a r i a n c e i n t h e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s , a n d 0 2 L i s t h e v a r i a n c e i n t h e c o l u m n l e n g t h . I n o r d e r t o s i m p l i f y t h i s c a l c u l a t i o n , i t i s a s s u m e d t h a t t h e i n t e r m i x e d r e g i o n b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s c o n t r i b u t e s o n l y t o t h e u n c e r t a i n t y i n t h e e s t i m a t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h , n o t t o t h e u n c e r t a i n t y i n t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , a p p l i c a t i o n o f t h e e q u a t i o n f o r e r r o r p r o p a g a t i o n t o E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : : 2 " t o i l e t — 6 : 1 2 “ M i a m i ? + L L k B - 2 _ 2 0 2 k A n A - x — A + 0 2 n 3 i s — + ( ) 2 R 1 3 ) 2 L k A L k B _ - _ _ 2 0 2 L m ; g + X A + n 3 3 5 - 8 - + x 3 [ 2 . 4 8 ] L 2 s z A L ? - L 2 k 3 w h e r e n A a n d n 3 a r e t h e n u m b e r o f z o n e s o f s o l v e n t A a n d B , r e s p e c t i v e l y , e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e . B y e x a m i n a t i o n o f E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] , i t i s a p p a r e n t t h a t t h e f i r s t a n d s e c o n d t e r m s a n d t h e t h i r d a n d f o u r t h t e r m s a r e e q u i v a l e n t m a t h e m a t i c a l l y , d i f f e r i n g o n l y i n t h e s o l v e n t t h e y r e p r e s e n t a n d , t h e r e f o r e , h a v e i d e n t i c a l b e h a v i o r . I n g e n e r a l , t h e o v e r a l l i m p o r t a n c e o f e a c h t e r m i n E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] i s c o n t r o l l e d b y a c o e f f i c i e n t r e l a t e d t o t h e i n d i v i d u a l v a r i a b l e s a n d b y t h e m a g n i t u d e o f t h e v a r i a n c e o f e a c h v a r i a b l e . T h e e f f e c t o f e a c h v a r i a b l e a n d i t s c o r r e s p o n d i n g v a r i a n c e i s e x a m i n e d s e q u e n t i a l l y i n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n . S h o w n i n T a b l e 2 . 1 i s t h e e f f e c t o f v a r y i n g t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h ( x ) a n d i t s a s s o c i a t e d v a n ' a n c e ( 0 2 , “ ) u p o n t h e p r e c i s i o n o f t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r , a l l o t h e r p a r a m e t e r s r e m a i n i n g c o n s t a n t . i n p r a c t i c e , t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h i s a d j u s t e d b y m e a n s o f t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n ( E q u a t i o n [ 2 . 4 2 ] ) a n d r e p e t i t i o n r a t e ( E q u a t i o n [ 2 . 4 3 ] ) . T h e v a r i a n c e o f t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h m a y b e i n f l u e n c e d b y f l u c t u a t i o n s i n t h e m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y , w h i c h c a u s e r e l a t i v e e r r o r s i n X } , a n d b y c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s ( b o t h o n - c o l u m n a n d e x t r a - c o l u m n ) , w h i c h c a u s e c o n s t a n t e r r o r s i n x j . F o r t h e p u r p o s e o f t h i s d i s c u s s i o n , r e l a t i v e e r r o r s o f 1 % a r e a s s u m e d f o r a l l v a r i a b l e s u n l e s s o t h e r w i s e s t a t e d , w h i l e c o n s t a n t e r r o r s a r e c a l c u l a t e d b a s e d o n a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A — 5 0 % B a t 1 % r e l a t i v e e r r o r . W h e n t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n i s a l t e r e d a t a 4 4 4 4 " : - - - 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ' ' ' ' ' 5 0 5 0 0 2 0 2 0 0 1 5 1 5 5 . . . . . 7 6 6 7 6 ‘ . n o i t n e t e r e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u l o s f o n o i s i c e r p l l a r e v o e h t n o ) x ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 5 0 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 5 0 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R . . . . . . . . . . R 1 1 1 1 1 1 5 0 5 0 h 1 1 t g n e l e n o z t n e v l o s f o t c e f f E : 1 . 2 e l b a T B o 0 0 5 5 0 0 0 5 0 5 7 2 5 5 5 2 5 5 5 7 / ° A o 0 0 0 0 5 0 5 5 5 0 / ° 2 5 2 5 5 5 5 5 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e 1 v x i n t } n X a n t t i i a l r e o r R r s r n o o r C r e e " A " B L ( c m ) 0 2 k 6 . 6 2 5 ' 1 0 - 4 6 . 5 0 0 ' 1 0 - 4 6 . 6 2 5 ' 1 0 - 4 5 . 4 5 0 . 1 0 - 3 2 . 0 4 5 * 1 0 ’ 2 0 R e l a t i v e e r r o r a s s u m e d f o r a l l v a r i a b l e s e x c e p t x i . “ k l / i = 0 . 0 1 k g , 0 L = 0 . 0 1 L . 1 R e l a t i v e e r r o r i n x i . 6 , 4 , ) = 0 . 0 1 x ] ; 1 C o n s t a n t e r r o r i n x , : 0 4 , ) = 0 . 0 1 ( P l e R R ) w h e r e L = 2 5 c m , R R = 1 . 0 , P ] : 0 . 5 . 4 0 4 1 c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e , a s s h o w n i n T a b l e 2 . 1 , t h e v a r i a n c e i n t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r r e a c h e s a m i n i m u m w h e n t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h s a r e e q u a l . T h i s m i n i m u m i n t h e r e t e n t i o n v a r i a n c e i s o b s e r v e d f o r b o t h r e l a t i v e a n d c o n s t a n t s o u r c e s o f e r r o r i n x ] . A s m a y b e n o t e d i n E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] , t h e o v e r a l l v a r i a n c e i n s o l u t e r e t e n t i o n r e s u l t s f r o m a s u m o f s q u a r e s o f t h e e r r o r i n x A a n d x B ( t e r m s 1 a n d 2 ) , a n d f r o m a s u m o f s q u a r e s o f t h e m a g n i t u d e o f x A a n d x 3 ( t e r m s 3 a n d 4 ) . W h e n a r e l a t i v e s o u r c e o f e r r o r i s a s s u m e d , t h e e r r o r s i n x A a n d x a v a r y i n v e r s e l y w i t h o n e a n o t h e r , a s d o t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e l e n g t h s , X ) : a n d x B . B e c a u s e t h e e f f e c t o f v a r y i n g s o l v e n t z o n e l e n g t h i s c a n c e l l e d i n t e r m 5 , a m i n i m u m i n t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r v a r i a n c e i s e x p e c t e d a s t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n i s a l t e r e d . W h e n t h e r e p e t i t i o n r a t e i s a l t e r e d a t a c o n s t a n t p r o p o r t i o n , t h e p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n i s d e p e n d e n t u p o n t h e p r e d o m i n a n t s o u r c e o f e r r o r i n s o l v e n t z o n e l e n g t h . I f a r e l a t i v e e r r o r i n x ; i s p r e s u m e d , t h e v a r i a n c e o f t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r r e m a i n s c o n s t a n t w i t h i n c r e a s i n g r e p e t i t i o n r a t e ( T a b l e 2 . 1 ) . B e c a u s e t h e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s ( n , ) r e q u i r e d t o e l u t e t h e s o l u t e i n c r e a s e s a s t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h ( x , ) d e c r e a s e s , t h i s c o n s t a n t p r e c i s i o n i s e x p e c t e d f r o m E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] . I n c o n t r a s t , w h e n a c o n s t a n t e r r o r i n x ] i s a s s u m e d , t e r m s 1 a n d 2 i n c r e a s e w i t h n ] , r e s u l t i n g i n a n i n c r e a s e i n t h e v a r i a n c e o f t h e p r e d i c t e d s o l u t e r e t e n t i o n f o r i n c r e a s i n g r e p e t i t i o n r a t e . S h o w n i n T a b l e 2 . 2 i s t h e e f f e c t o f v a r y i n g t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s ( k g ) a n d t h e i r a s s o c i a t e d v a r i a n c e ( 0 2 k m ) u p o n t h e p r e c i s i o n o f t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r , a l l o t h e r p a r a m e t e r s r e m a i n i n g c o n s t a n t . I n g e n e r a l , t h e v a r i a n c e o f t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s i s i n f l u e n c e d b y f l u c t u a t i o n s i n t h e m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y a n d f l u c t u a t i o n s i n t e m p e r a t u r e ( 3 3 ) , b o t h o f w h i c h c a u s e r e l a t i v e e r r o r s i n k 5 , : A s t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r i n c r e a s e s , t h e p r e c i s i o n i n t h e p r e d i c t e d o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r d e c r e a s e s ( T a b l e 2 . 2 ) . T h i s r e s u l t m a y s e e m c o n t r a d i c t o r y t o E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] , b e c a u s e e v e r y t e r m i s i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s , s o t h a t p r e c i s i o n i s e x p e c t e d t o i n c r e a s e a s r e t e n t i o n i n c r e a s e s . H o w e v e r , a s k 3 i n c r e a s e s , a g r e a t e r n u m b e r o f s o l v e n t A z o n e s i s r e q u i r e d t o e l u t e t h e s o l u t e . T h u s , t h e t e r m s c o n t a i n i n g k g i n t h e d e n o m i n a t o r b e c o m e n e g l i g i b l e , a n d t h e i n c r e a s e i n t h e v a r i a n c e o f t h e p r e d i c t e d s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i s a d i r e c t r e s u l t o f t h e i n c r e a s e i n m i . S h o w n i n T a b l e 2 . 3 i s t h e e f f e c t o f v a r y i n g t h e c o l u m n l e n g t h ( L ) a n d i t s a s s o c i a t e d v a r i a n c e ( 0 2 L ) u p o n t h e p r e c i s i o n o f t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r , a l l o t h e r p a r a m e t e r s r e m a i n i n g c o n s t a n t . I t c a n b e s e e n f r o m T a b l e 2 . 3 t h a t t h e v a r i a n c e i n t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r i s c o n s t a n t w i t h i n c r e a s i n g c o l u m n l e n g t h , f o r a r e l a t i v e e r r o r i n t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h . T h i s r e s u l t 4 4 4 3 3 : - - ' ' 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ' ' ' ' ' 5 0 9 2 3 0 3 8 8 4 2 5 7 0 1 . . . . . 4 6 6 1 1 0 5 6 0 5 5 0 4 5 9 5 0 0 4 4 . . . . . 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 . . . . . 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 0 1 9 0 9 0 0 9 9 0 . . . . . 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 1 1 1 1 1 B o / ° A 0 0 0 0 0 % 5 5 5 5 5 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 1 1 1 1 1 T a b l e 2 . 2 : E f f e c t o f i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s o n t h e o v e r a l l p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n . ‘ ' 0 4 M e R R ” A " B L ( c m ) 0 2 k 0 . 1 0 1 . 0 1 1 . 1 0 1 0 . 0 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 . 1 0 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 ' R e l a t i v e e r r o r a s s u m e d f o r a l l v a r i a b l e s : 0 1 1 ( 1 ) = 0 . 0 1 x ] , “ k l / i = 0 . 0 1 k g , i n = 0 . 0 1 L . 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . ) m 0 0 0 . . . 0 . c 0 ( L 5 0 5 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 B o / ° A o / ° 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 5 . 0 = j P , 0 . 1 = R R , m c 5 2 = L e r e h w ) R R / L . . . . . . . . - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . , . 1 1 1 1 1 1 1 1 l P ( 1 0 . 0 = ) , 4 , 0 . i x n i ] } t r e X X v i n n a n o r i i r t t e a s r r l t o o e R r r n r r o e C e n a t s n o C 1 T a b l e 2 . 3 : E f f e c t o f c o l u m n l e n g t h o n t h e o v e r a l l p r e c i s i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n . R R " A " B 0 2 k 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 . 0 1 0 . 0 2 5 . 0 1 0 0 . 0 6 . 5 0 0 r 1 0 ' 4 6 . 5 0 0 ° 1 0 - 4 6 . 5 0 0 ' 1 0 : 4 6 . 5 0 0 ' 1 0 - 4 5 0 5 0 5 0 5 0 S O 5 0 5 0 5 0 5 . 4 5 0 * 1 0 - 3 1 . 7 0 0 ' 1 0 : 3 6 . 5 0 0 * 1 0 - 4 4 . 6 2 5 * 1 0 - 4 0 R e l a t i v e e r r o r a s s u m e d f o r a l l v a r i a b l e s e x c e p t x i . O k l i ) = 0 . 0 1 k g , 0 1 = 0 . 0 1 L . 1 ’ R e l a t i v e e r r o r i n x i . 0 x 0 ) = 0 . 0 1 x ] , 4 3 4 4 m a y s e e m s u r p r i s i n g , b e c a u s e e v e r y t e r m i n E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] i s i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h e c o l u m n l e n g t h . H o w e v e r , t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e c o l u m n l e n g t h f o r a S p e c i f i e d r e p e t i t i o n r a t e a n d s o l v e n t p r o p o r t i o n . C o n s e q u e n t l y , f o r a r e l a t i v e e r r o r i n b o t h s o l v e n t z o n e l e n g t h a n d c o l u m n l e n g t h , a l l t e r m s i n E q u a t i o n [ 2 . 4 8 ] r e m a i n c o n s t a n t . I n c o n t r a s t , t h e v a r i a n c e i n t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r d e c r e a s e s a s t h e c o l u m n l e n g t h i n c r e a s e s , f o r a c o n s t a n t e r r o r i n x , - l n t h i s c a s e , o n l y t h e f i r s t a n d s e c o n d t e r m s c o n t r i b u t e t o t h e d e c r e a s e i n t h e v a r i a n c e o f t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w i t h i n c r e a s i n g c o l u m n l e n g t h . I t i s a p p a r e n t t h a t t h e p r e c i s i o n o f t h e p r e d i c t e d s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i n s o l v e n t m o d u l a t i o n i s d e p e n d e n t o n t h e a b s o l u t e m a g n i t u d e o f t h e e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s a n d t h e e r r o r I n e a c h p a r a m e t e r . A s s u m i n g t h e p r e d o m i n a n t s o u r c e s o f e r r o r a r e r a n d o m i n n a t u r e , s e v e r a l r e c o m m e n d a t i o n s c a n b e m a d e c o n c e r n i n g t h e s e l e c t i o n o f e x p e r i m e n t a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . A s d e r i v e d i n t h e p r o p a g a t i o n o f e r r o r a n a l y s i s , t h e p r e c i s i o n o f t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r w i l l b e m a x i m i z e d w i t h s o l v e n t p r o p o r t i o n s n e a r 5 0 % A - 5 0 % B a n d w i t h l o w r e p e t i t i o n r a t e s . W h e n e v e r p o s s i b l e , t h e m a g n i t u d e o f t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s s h o u l d b e m i n i m i z e d a s w e l l . A l t h o u g h t h e c o l u m n l e n g t h i s o f t e n n o t a n a d j u s t a b l e p a r a m e t e r , i t i s r e c o m m e n d e d t h a t t h e m a x i m u m p r a c t i c a l l e n g t h b e u t i l i z e d . T h u s , i t i s p r e f e r a b l e t o u s e a s t r o n g s o l v e n t w i t h a l o n g c o l u m n u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , r a t h e r t h a n a w e a k s o l v e n t w i t h a s h o r t c o l u m n , a s c o m m o n l y p r a c t i c e d w i t h p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . I n a d d i t i o n t o t h e e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s , t h e e r r o r i n e a c h p a r a m e t e r a l s o c o n t r i b u t e s t o t h e i m p r e c i s i o n i n t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r . I t i s e s s e n t i a l t o i d e n t i f y a n d t o m i n i m i z e t h e l a r g e s t a n d m o s t i n f l u e n t i a l o f t h e s e s o u r c e s o f e r r o r . T h u s , t h e u l t i m a t e g o a l i n s o l v e n t m o d u l a t i o n i s t o c o n t r o l a l l e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s a n d e r r o r s t h a t i n f l u e n c e t h e a c c u r a c y a n d t h e p r e c i s i o n i n t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r . C O N c L U S l O N S I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s a r e i n t r o d u c e d s e q u e n t i a l l y o n t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . B e c a u s e t h e s o l v e n t z o n e s a r e s e p a r a t e d b o t h s p a t i a l l y a n d t e m p o r a l l y , s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h z o n e a n d m a y b e a c c u r a t e l y p r e d i c t e d . B y s i m p l e a d j u s t m e n t o f t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n , t h e r e p e t i t i o n r a t e , a n d t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s , t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r m a y b e r e l i a b l y c o n t r o l l e d . A s a r e s u l t , s o l v e n t m o d u l a t i o n a p p e a r s t o o f f e r a n e x t r e m e l y v e r s a t i l e a n d p o w e r f u l a l t e r n a t i v e t o 4 5 p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . I n l a t e r c h a p t e r s , t h e v a l i d i t y o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l s d e r i v e d h e r e i n ( 3 5 , 3 6 ) , f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n w i t h t h e e q u i v a l e n t p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s ( 3 6 ) i s t e s t e d a n d c o m p a r e d , a n d a n o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y f o r t h e s e p a r a t i o n o f c o m p l e x s a m p l e s i s d e v e l o p e d f o r t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e ( 3 7 ) . 4 6 A p p e n d i x 2 . 1 D e r i v a t i o n o f S o l u t e R e t e n t i o n E q u a t i o n T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t , K ° , w i t h u n i t s o f m o l a r c o n c e n t r a t i o n a n d t h e r e t e n t i o n v o l u m e i s d e r i v e d f r o m t h e p r i n c i p l e o f m a s s c o n s e r v a t i o n ( 3 4 ) . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a s e g m e n t o f a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n w i t h t h i c k n e s s d z t h a t c o n t a i n s a c e r t a i n a m o u n t o f s o l u t e . T h e t o t a l c h a n g e i n c o n c e n t r a t i o n o f t h e s o l u t e a f t e r p a s s i n g t h r o u g h a v o l u m e d V o f t h e m o b i l e p h a s e i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : 8 0 M — d d e 3 2 [ 2 . 1 A . 1 ] w h e r e V i s t h e v o l u m e o f m o b i l e p h a s e p a s s e d t h r o u g h t h e c o l u m n , 2 i s t h e d i s t a n c e t r a v e l e d a l o n g t h e c o l u m n , a n d C M i s t h e c o n c e n t r a t i o n o f t h e s o l u t e i n t h e m o b i l e p h a s e . B e c a u s e t h e s o l u t e i s d i s t r i b u t e d b e t w e e n t w o p h a s e s , t h e d e c r e a s e i n t h e a m o u n t o f s o l u t e i n t h e m o b i l e p h a s e i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : B C M - v d Z — — d V M 3 V [ 2 . 1 A . 2 ] w h e r e m y i s t h e v o l u m e o f t h e m o b i l e p h a s e p e r u n i t l e n g t h o f t h e c o l u m n . T h e a m o u n t o f s o l u t e i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : 8 0 3 - v d z — d V 8 8 V [ 2 . 1 A . 3 ] w h e r e v s i s t h e v o l u m e o f t h e s t a t i o n a r y p h a s e p e r u n i t l e n g t h o f t h e c o l u m n a n d C s i s t h e c o n c e n t r a t i o n o f t h e s o l u t e i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . B e c a u s e m a s s m u s t b e c o n s e r v e d , t h e t o t a l l o s s o f s o l u t e f r o m t h e s e g m e n t m u s t e q u a l t h e l o s s f r o m t h e t w o p h a s e . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t 8 0 M + V B C M 6 0 5 3 2 M a v ” S e — v = 0 [ 2 . 1 / 1 . 4 ] V v = Z n = ( L V M + V s K C ) ( v M + v c h ) [ 2 . 1 A . [ 2 . 1 A . 1 9 0 ] ] 4 7 w h i c h i s c o n s i d e r e d t h e b a s i c m a s s - b a l a n c e e q u a t i o n o f c h r o m a t o g r a p h y a n d i s o f t e n c a l l e d t h e d e V a u l t e q u a t i o n . O n t h e a s s u m p t i o n o f l i n e a r i s o t h e r m f o r K C , E q u a t i o n [ 2 . 1 A . 4 ] c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m : 3 0 M 8 0 M _ + V + V K c _ = 0 8 2 ( M S ) 8 V [ 2 . 1 A . 5 ] w h e r e t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f m o l a r c o n c e n t r a t i o n , K = 0 5 / C M . E q u a t i o n [ 2 . 1 A . 5 ] h a s t h e g e n e r a l s o l u t i o n C M = 6 1 V - Z ( V M + V s K ° ) 1 [ 2 . 1 A . 6 ] w h e r e c i s d e t e r m i n e d b a s e d u p o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f s o l u t e i n t r o d u c t i o n i n t o t h e c o l u m n . I f a n i n f i n i t e l y n a r r o w s a m p l e p l u g i s a s s u m e d , t h e i n i t i a l s a m p l e p r o f i l e c a n b e d e s c r i b e d b y a d e l t a f u n c t i o n : 6 0 1 = 0 M ¢ 0 [ 2 . 1 A . 7 a ] a n d J ‘ 5 M g 1 [ 2 . 1 A . 7 b ] 4 4 » C o n s e q u e n t l y , E q u a t i o n [ 2 . 1 A . 6 ] c a n b e r e w r i t t e n a s : C M - 5 [ V - 2 ( V M + V s K c ) ] [ 2 . 1 A . 8 ] t h a t h a s a n o n z e r o v a l u e o n l y f o r z e r o a r g u m e n t s . A s a r e s u l t T h e s o l u t e w i l l e l u t e f r o m t h e c o l u m n w h e n 2 i s e q u a l t o t h e l e n g t h o f t h e c o l u m n , L , w i t h a t o t a l r e t e n t i o n v o l u m e , V n , e q u a l t o V . T h e r e f o r e 4 8 F i n a l l y , E q u a t i o n [ 2 . 1 A . 1 0 ] c a n b e r e w r i t t e n a s : V n = V M + V s K c [ 2 . 1 A . 1 1 ] w h e r e V M a n d V 5 a r e t h e v o l u m e o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s , r e s p e c t i v e l y . i n t e r m s o f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r , k , w h i c h r e p r e s e n t s t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t d i v i d e d b y v o l u m e r a t i o o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( k = K F V s I V M ) . E q u a t i o n [ 2 . 1 A . 1 1 ] c a n b e r e w r i t t e n a s : W e = V M + V M k [ 2 . 1 A . 1 2 ] B e c a u s e t h e t o t a l r e t e n t i o n v o l u m e a n d t h e v o l u m e o f t h e m o b i l e p h a s e c a n b e d e t e r m i n e d f r o m t h e v o l u m e t r i c f l o w r a t e , F , E q u a t i o n [ 2 . 1 A . 1 2 ] c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t i m e : m F = t o F ( 1 + k ) [ 2 . 1 A . 1 3 ] w h e r e i n a n d t o a r e t h e e l u t i o n t i m e s o f a r e t a i n e d a n d u n r e t a i n e d s o l u t e , r e s p e c t i v e l y . C o n s e q u e n t l y , t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i s e q u a l t o : l k : — t o - 1 [ 2 . 1 A . 1 4 ] ( 0 3 ) i n t i m e t j 0 3 = i U s M ( g - i v 1 — - e 3 n — k j b j y — : ' ] ( 1 ] ) + d 1 [ 2 . 2 A . 2 ] 4 9 A p p e n d i x 2 . 2 D e r i v a t i o n o f S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r u n d e r t h e C o n d i t i o n o f S o l v e n t M o d u l a t i o n I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n i s t h a t s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h s o l v e n t z o n e . C o n s e q u e n t l y , t h e t o t a l r e t e n t i o n t i m e o f a s o l u t e ( i n ) i s t h e s u m m a t i o n o f r e s i d e n c e t i m e s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s e g m e n t s ( f , ) : n f R = Z t , - [ 2 . 2 A . 1 ] l - 0 w h e r e n i s t h e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s . T h e i n d i v i d u a l r e s i d e n t t i m e s p e n t b y t h e s o l u t e i n a s o l v e n t s e g m e n t i s d e t e r m i n e d b y a s k i n g t h e q u e s t i o n : W h e n w i l l t h e s o l u t e p o s i t i o n a n d t h e r e a r p o s i t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e b e e q u a l ? T o a n s w e r t h i s q u e s t i o n , t h e d i s t a n c e t r a v e l l e d b y a s o l u t e w h e r e d 1 i s t h e d i s t a n c e t h a t t h e s o l u t e e n t e r s a s o l v e n t z o n e w i t h c a p a c i t y f a c t o r k g a n d U M i s t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e m o b i l e p h a s e . N o t e , t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e s o l u t e i s g i v e n b y : 1 u M [ 1 + k g ) T h e d i s t a n c e t h a t t h e r e a r o f t h e s o l v e n t s e g m e n t m u s t a l s o t r a v e l i s e v a l u a t e d b y : d 3 = U M t j + 0 2 [ 2 . 2 A . 3 ] w h e r e d 2 i s t h e s t a r t i n g p o s i t i o n o f t h e r e a r o f t h e s o l v e n t s e g m e n t . B y e q u a t i n g E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 2 ] a n d [ 2 . 2 A . 3 ] t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s o b t a i n e d : 1 U M l ' + d 1 = U M i ' + [ 1 + k g ] ’ ’ d 2 [ 2 . 2 A . 4 ] t - = fl U [ M 1 + — 7 ] k k ’ j i [ 2 . 2 A . 5 ] t o 1 , 0 2 i . 2 A . 7 l 5 0 S i m p l e m a t h e m a t i c a l m a n i p u l a t i o n o f E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 4 ] y i e l d s 1 . _ _ 1 _ _ _ _ t h l ( 1 + k i J d 1 d 2 l e t t i n g ( d 1 - ( 1 ; ) e q u a l x ] : k , " u t ' I = x M l [ 1 + k i ] 1 F i n a l l y , t h e t i m e s p e n t b y a s o l u t e i n a s o l v e n t s e g m e n t ( f l ) i s o b t a i n e d : T h e r e f o r e t h e t o t a l s o l u t e r e t e n t i o n t i m e i s s o l v e d b y s u b s t i t u t i n g E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 5 ] i n t o E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 1 ] n . . t R = - L x , - [ 1 + k l ] [ 2 . 2 A . 6 ] 0 i n t e r m s o f a d i m e n s i o n l e s s m e a s u r e o f s o l u t e r e t e n t i o n , t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) , w h i c h r e p r e s e n t s t h e p a r t i t i o n o r a d s o r p t i o n c o e f f i c i e n t ( K ) d i v i d e d b y t h e v o l u m e t r i c r a t i o o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( [ 3 ) , m a y b e e x p r e s s e d a s : k l ' = fl = £ - w h e r e i n a n d t o a r e t h e e l u t i o n t i m e s o f a r e t a i n e d a n d a n o n r e t a i n e d s o l u t e , r e s p e c t i v e l y . B y s u b s t i t u t i o n o f E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 6 ] i n t o E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 7 ] a n d l e t t i n g t o e q u a l L / u M , t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r ( k ) u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s o b t a i n e d : n . . Z x , - [ 1 + k 0 ] [ 2 . 2 A . 8 ] k ] = j = 0 k i j - 1 L 5 1 T h e l i m i t o f t h e s u m m a t i o n i n d e x ( n ) , w h i c h r e p r e s e n t s t h e t o t a l n u m b e r o f s o l v e n t s e g m e n t s r e q u i r e d t o e l u t e t h e s o l u t e f r o m a c o l u m n o f l e n g t h L , i s d e t e r m i n e d b y e v a l u a t i n g t h e e x p r e s s i o n : n 2 fl . . L [ 2 . 2 A . 9 ] [ - 0 “ I f w h e r e t h e d i s t a n c e t r a v e l l e d b y t h e s o l u t e ( d 1 ) w h i l e i n t h e s o l v e n t z o n e i s : x - d j . — . _ l i j a n d i s o b t a i n e d b y d i v i d i n g E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 5 ] b y t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e s o l u t e . I f t h i s l i m i t h a s a n o n i n t e g e r v a l u e , t h e s u m m a t i o n i n E q u a t i o n [ 2 . 2 A . 8 ] i s p e r f o r m e d i n t h e n o r m a l m a n n e r f o r s o l v e n t s e g m e n t s 0 t o n , a n d t h e r e m a i n d e r i s t r e a t e d a s a f r a c t i o n a l m u l t i p l i e r f o r t h e l a s t ( n + 1 ) s o l v e n t s e g m e n t . 5 2 A p p e n d i x 2 . 3 D e r i v a t i o n o f a U n i q u e C a p a c i t y F a c t o r t h a t I s i d e n t i c a l R e g a r d l e s s o f S o l v e n t O r d e r a n d R e p e t i t i o n R a t e T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e p e t i t i o n r a t e a n d t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n r e q u i r e d t o o b t a i n a u n i q u e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r c a n b e d e r i v e d f r o m E q u a t i o n [ 2 . 4 1 ] . L e t n A = t h e n u m b e r o f s o l v e n t A z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e , n 3 = t h e n u m b e r o f s o l v e n t B z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e , k A = t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w h i l e i n s o l v e n t A , k 3 = t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w h i l e i n s o l v e n t B , P A = - t h e s o l v e n t A p r o p o r t i o n , P 3 = t h e s o l v e n t B p r o p o r t i o n , R R = t h e r e p e t i t i o n r a t e , a n d L = t h e c o l u m n l e n g t h . C o n s i d e r t h e c a s e w h e n a s o l u t e i s e l u t e d w i t h a n i n t e g e r n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s , i . e . w h e r e n A = n 3 = 1 , 2 , 3 , a n d [ 2 . 3 A . 1 ] n = n A + n 3 A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 2 . 4 1 ] m a y b e w r i t t e n a s " A X A + " B X B = L 1 0 1 k 8 [ 2 . 3 A . 2 ] L e t t i n g x i = ( P ; L ) / R R , E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 2 ] c a n b e r e w r i t t e n a s P A L P 3 L n — — n — A R R 8 R R [ 2 . 3 A . 3 ] + = L 1 0 1 k 3 S i m p l i f y i n g E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 3 ] y i e l d s n P n P A A + B B = 1 [ 2 . 3 A . 4 ] R R k A R R k 3 E x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e , E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 4 ] h a s t h e g e n e r a l s o l u t i o n 5 3 R R : " A P A + N B P B ’ 0 1 k 8 [ 2 . 3 A . 5 ] C o n s e q u e n t l y , w h e n a s i n g l e m o d u l a t i o n c y c l e e l u t e s a s o l u t e ( i . e . , M = n 3 = 1 ) , t h e c o r r e s p o n d i n g r e p e t i t i o n r a t e i s R R = — + — [ 2 . 3 A . 6 ] 5 4 A p p e n d i x 2 . 4 D e r i v a t i o n o f O v e r a l l S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r a t I n t e g e r R e p e t i t i o n R a t e s L e t n A : - t h e n u m b e r o f s o l v e n t A z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e , 1 7 3 = t h e n u m b e r o f s o l v e n t B z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e , k A = t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w h i l e i n s o l v e n t A , k 3 = t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w h i l e i n s o l v e n t B , P A = t h e s o l v e n t A p r o p o r t i o n , P 3 = t h e s o l v e n t B p r o p o r t i o n , R R - t h e r e p e t i t i o n r a t e , a n d L . t h e c o l u m n l e n g t h . A g a i n , t h e c a s e w h e n a s o l u t e i s e l u t e d w i t h a n i n t e g e r n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s i s c o n s i d e r e d , i . e . w h e r e n A s n 3 = 1 , 2 , 3 , a n d [ 2 . 4 A . 1 ] n = n A + m y A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] m a y b e w r i t t e n a s 1 + [ 1 3 4 1 + [ ( 3 " A X A + " 3 X 3 [ 2 . 4 A . 2 ] k - k A k g _ 1 L L e t t i n g x , - = ( P , - L ) / R R , E q u a t i o n [ 2 . 4 A . 2 ] c a n b e r e w r i t t e n a s P A L 1 + k A P B L 1 + k 3 ” A — + n — . _ R R [ k A J B F I R [ k 3 J 1 [ 2 4 A 3 ] k : L S i m p l i f y i n g E q u a t i o n [ 2 . 4 A . 3 ] y i e l d s P A 1 + k A P 3 1 + k 3 k = n — + n — - 1 A F i F i [ [ 9 4 J B R R [ k 3 ] [ 2 ' 4 A ' 4 ] T h e r e p e t i t i o n r a t e ( R R ) c a n b e s u b s t i t u t e d b y E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 5 ] P A 1 + k A P 3 1 + k 3 k = + - 1 [ 2 . 4 A . 5 ] P A + P B ' 0 4 P A + P 8 k 3 k A k 3 k A k e _ - k P A k ( P A ( k B - k A e ) + + + k A ] ( 1 k A ) [ P A ( ( 1 k ‘ 3 P - A k ) A " ) A + - + k A ] ( 1 [ ( 8 ) 1 5 5 b e c a u s e M a n 3 . S i m p l e m a t h e m a t i c a l m a n i p u l a t i o n f o l l o w s : k = P A k A k B 1 + k A + P B k A k B 1 + k 3 _ 1 k 3 P A 4 » R A P 3 R A k 3 P A + R A P 3 [ ( 3 k _ ( P A k B + P A k A k B + ( 1 ' P A ) k A + ( 1 - P A ) k A k B ] . 1 P A ( k 3 - k A ) + k A k — [ P A K B ' P A k A + k A + k A k 3 ] - 1 P A ( k 3 - M ) + k A k P A k B - P A k A + k A + k A k 3 _ P A ( k 3 - h a ) 4 4 9 ; P A ( k 3 - k A ) + k A P A ( k B - k A ) + k A ' k A k B [ 2 4 A 6 ] P A ( k 3 - k A ) + k A ' ' C o n s e q u e n t l y f r o m E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 6 ] , i t f o l l o w s t h a t k = _ 1 _ R R [ 2 . 4 A . 7 ] o r f r o m E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 5 ] t h a t " A B k = _ ' _ R R [ 2 . 4 A . 8 ] w h e r e n A = 1 7 3 . k = n 1 + A R fl F ? A k k A + n B - l E H 1 R - k k 3 3 - 1 5 6 A p p e n d i x 2 . 5 D e r i v a t i o n o f L i m i t i n g S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r a s k 9 A p p r o a c h e s I n f i n i t y T h e r e l a t i o n s h i p o f t h e l i m i t i n g s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i s d e r i v e d . L e t n A = t h e n u m b e r o f s o l v e n t A z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e , n 3 = t h e n u m b e r o f s o l v e n t B z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e , k A = t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w h i l e i n s o l v e n t A , k 3 = t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r w h i l e i n s o l v e n t B , P A = t h e s o l v e n t A p r o p o r t i o n , P 3 = t h e s o l v e n t B p r o p o r t i o n , R R = t h e r e p e t i t i o n r a t e , a n d L . t h e c o l u m n l e n g t h . A g a i n , t h e c a s e w h e n a s o l u t e i s e l u t e d w i t h a n i n t e g e r n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s i s c o n s i d e r e d , i . e . w h e r e n A = n 3 = 1 , 2 , 3 , a n d n = n A + n B A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] m a y b e w r i t t e n a s + k A = ” B X B 1 + k B k g 1 1 n A x A [ k : k L e t t i n g X ] = ( P , - L ) / R R , E q u a t i o n [ 2 . 5 A . 2 ] c a n b e r e w r i t t e n a s P 1 k P 1 k ” A A L + A + n e e l - + B k _ R R k A R R k g 1 L S i m p l i f y i n g E q u a t i o n [ 2 . 5 A . 3 ] y i e l d s T h e r e p e t i t i o n r a t e ( R R ) c a n b e s u b s t i t u t e d b y E q u a t i o n [ 2 . 3 A . 5 ] y i e l d s k - P A 1 + k A + P 3 1 + k g 1 P A + P B k A P A + P B k 3 k A k e k A k 8 [ 2 . 5 A . 1 ] [ 2 . 5 A . 2 ] [ 2 . 5 A . 3 ] [ 2 . 5 A . 4 ] [ 2 . 5 A . 5 ] 5 7 b e c a u s e m e = n 3 . A s k 3 i n c r e a s e s t o i n f i n i t y , E q u a t i o n [ 2 . 5 A . 5 ] r e d u c e s t o P A 1 + k A 1 - P A k = _ _ _ _ . + ( ) - 1 [ 2 . 5 A . 6 ] P A k A P A k A l ' < A b e c a u s e P 3 = 1 - P A . T h u s , k A k A P A k = 1 + k + — — - 1 A P A P A [ 2 . 5 A . 7 ] A s a r e s u l t , k A k = _ [ 2 . 5 A . 8 ] “ . 9 9 ’ 9 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 5 8 R E F E R E N C E S B a l k e , S . T . Q u a n t i t a t i v e C o l u m n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y : a s u r v e y o f c h e m o m e t r i c m e t h o d s ; J . C h r o m a t o g r . L i b . ( V o l . 2 9 ) ; E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h i n g C o . I n c . : N e w Y o r k , N Y , 1 9 8 4 ; C h a p t e r s 2 , 3 . J a n z , G . J . ; T o m k i n s , R . P . T . N o n a q u e o u s E l e c t r o l y t e H a n d b o o k , V o l u m e 1 ; A c a d e m i c P r e s s : N e w Y o r k , N Y , 1 9 7 2 ; P p . 8 5 - 1 1 8 . G l a j c h , . l . L . ; K i r k l a n d , J . J . ; S q u i r e , K . M . ; M i n o r , J . M . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 , 1 9 9 , 5 7 . C o l i n , H . ; G u i o c h o n , G . : J a n d e r a , P . A n a l . C h e m . 1 9 8 3 , 5 5 , 4 4 2 . D r o u e n , A . C . J . H . ; B i l l i e t , H . A . H . ; d e G a l a n , L . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 6 , 3 5 2 , 1 2 7 . J a n d e r a , P . ; C h u r a c e k , J . G r a d i e n t E l a t i o n i n C o l u m n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y : t h e o r y a n d p r a c t i c e : J . C h r o m a t o g r . L i b . ( V o l . 3 1 ) ; E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h i n g C o . I n c . : N e w Y o r k , N Y , 1 9 8 5 . H i l d e b r a n d , J . H . ; S c o t t , R . L . T h e S o l u b i l i t y o f N o n e l e c t r o l y t e s ; R e i n h o l d : N e w Y o r k , N Y , 1 9 5 0 ; C h a p t e r 2 3 . B a r t o n , A . F . M . C h e m . R e v . 1 9 7 5 , 7 5 , 7 3 1 . H o r v a t h , C s . ; M e l a n d e r , W . ; M o l n a r , l . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 6 , 1 2 5 , 1 2 9 . M a r t i r e , D . E . ; B o e h m , R . E . J . L i q . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 . 3 , 7 5 3 . M a r t i r e , D . E . ; B o e h m , R . E . J . P h y s . C h e m . 1 9 8 3 , 8 7 , 1 0 4 5 . S n y d e r , L . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 4 , 9 2 , 2 2 3 . S n y d e r , L . R . J . C h r o m a t o g r . S c i . 1 9 7 8 , 1 6 , 2 2 3 . S n y d e r , L . R . ; K i r k l a n d , J . J . I n t r o d u c t i o n t o M o d e r n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y 2 9 d ; W i l e y : N e w Y o r k , N Y , 1 9 7 9 ; C h a p t e r 6 . J o h n s o n , B . P . ; K h a l e d i , M . G . ; D o r s e y , J . G . A n a l . C h e m . 1 9 8 6 , 5 8 , 2 3 5 4 . K o p p e l , l . ; K o p p e l , J . O r g . R e a c t . ( T a r t u ) 1 9 8 3 , 2 0 , 5 2 3 . R e i c h a r d t , C . ; D i m r o t h , K . F o r t s c h r . C h e m . F o r s c h . 1 9 6 8 , 1 1 , 1 . S a d e k , P . C . ; C a r r , P . W . ; D o h e r t y , R . M . ; K a m l e t , M . J . ; T a f t , R . W . ; A b r a h a m , M . H . A n a l . C h e m . 1 9 8 5 , 5 7 , 2 9 7 1 . G r u n w a l d , E . ; W i n s t e i n , S . J . A m . C h e m . S o c . 1 9 4 8 , 7 0 , 8 4 6 . J a n d e r a , P . ; C o l i n , H . ; G u i o c h o n , G . A n a l . C h e m . 1 9 8 2 , 5 4 , 4 3 5 . C o l i n , H . ; G u i o c h o n , G . ; J a n d e r a , P . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 3 , 1 7 , 8 3 . L a u b , R . J . ; P u r n e l l , J . H . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 5 , 1 1 2 , 7 1 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 7 . 2 8 . 2 9 . 3 0 . 3 1 . 3 2 . 3 3 . 3 4 . 3 5 . 3 6 . 3 7 . 5 9 D o l a n , J . W . ; S n y d e r , L . R . ; Q u a r r y , M . A . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 7 , 2 4 , 2 6 1 . Y a n g , F . J . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 2 , 2 3 6 , 2 6 5 . B e r r y , V . V . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 5 , 3 2 1 , 3 3 . G l u c k m a n , J . C . ; S l a i s , K . ; B r i n k m a n , U . A . T h . ; F r e i , R . W . A n a l . C h e m . 1 9 8 7 , 5 9 , 7 9 . G e l d e r l o o s , D . G . ; R o w l e n , K . L . ; B i r k s , J . W . ; A v e r y , J . P . ; E n k e , C . G . A n a l . C h e m . 1 9 8 6 , 5 8 , 9 0 0 . v a n L a a r , J . J . S e c h s V o r t r a g e u b e r d a s t h e m o d y n a m i s c h e P o t e n t i a l , B r a u n s c h w e i s , 1 9 0 6 . B e r t h e l o t , D . C o m p t e s r e n d u s 1 8 9 8 , 1 2 6 , 1 7 0 3 , 1 8 5 7 . H i l d e b r a n d , J . H . J . A m . C h e m . S o c . 1 9 1 6 , 3 8 , 1 4 5 2 . H i l d e b r a n d , J . H . J . A m . C h e m . S o c . 1 9 1 9 , 4 1 , 1 0 6 7 . G . S c a t c h a r d , C h e m . R e v . 1 9 3 1 , 8 , 3 2 1 . G r u s h k a , E . ; Z a m i r , l . C h e m . A n a l . 1 9 8 9 , 9 8 , 5 2 9 . K a r g e r , B . L . ; S n y d e r , L . R . ; H o r v a t h , C s . A n I n t r o d u c t i o n t o S e p a r a t i o n S c i e n c e ; W i l e y : N e w Y o r k , 1 9 7 3 . W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . J . H i g h R e s o l u t . C h r o m a t o g r . C h r o m a t o g r . C o m m u n . 1 9 8 8 , 1 1 , 8 5 8 . W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . A n a l . C h e m , i n p r e s s . W a h l , J . H . ; M c G u f f i n , V . L . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 9 , 4 8 5 , 5 4 1 . C H A P T E R 3 E X P E R I M E N T A L V E R I F I C A T I O N A N D C O M P A R I S O N W I T H C O N V E N T I O N A L P R E M I X E D M O B I L E P H A S E S I N T R O D U C T I O N A s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 1 , t h e r e t e n t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f a s o l u t e a r e p r i m a r i l y c o n t r o l l e d b y m o d i f y i n g t h e c o m p o s i t i o n o f t h e m o b i l e p h a s e i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . T y p i c a l l y , p r e m i x e d m i x e d m o b i l e p h a s e s a r e u s e d ; h o w e v e r , s o l u t e r e t e n t i o n i s n o t a l w a y s a s i m p l e p r e d i c t a b l e f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . A s d e m o n s t r a t e d i n C h a p t e r 2 , o n e m e t h o d t o p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n w h e n p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s a r e u s e d i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y i n v o l v e s u t i l i z i n g t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s o f t h e s o l u t e , m o b i l e p h a s e , a n d s t a t i o n a r y p h a s e . H o w e v e r , s o l v e n t m o d u l a t i o n i s i n t r o d u c e d a s a p r a c t i c a l a n d v e r s a t i l e a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s ( 1 ) . T h e g o a l o f t h i s c h a p t e r i s t o v e r i f y t h e t h e o r e t i c a l m o d e l o f s o l u t e r e t e n t i o n a n d t o d e m o n s t r a t e t h e v e r s a t i l i t y o f s o l v e n t m o d u l a t i o n c o m p a r e d t o c o n v e n t i o n a l p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y w h e n t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l i s u s e d . T H E O R Y O F S O L U T E R E T E N T I O N P r e m l x e d M o b i l e P h a s e M o d e l M a n y m o d e l s , i n c l u d i n g t h e o r e t i c a l a s w e l l a s e m p i r i c a l a n d s e m i e m p i r i c a l m o d e l s , h a v e b e e n d e v e l o p e d t o d e s c r i b e t h e e f f e c t o f m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n o n s o l u t e r e t e n t i o n ( 2 - 1 9 ) . I n g e n e r a l , t h e s e m o d e l s r e l y o n a n a c c u r a t e d e s c r i p t i o n o r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c h e m i c a l e n v i r o n m e n t o f t h e s o l v e n t s y s t e m , w h i c h i s p a r t i c u l a r l y d i f f i c u l t w h e n a m i x e d s o l v e n t s y s t e m i s u s e d . T h e c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s i n m i x e d s o l v e n t s c a n b e q u a l i t a t i v e l y p r e d i c t e d i f t h e s y s t e m b e h a v e s i n a i d e a l m a n n e r , w h e r e t h e a v e r a g e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t w o d i f f e r i n g s p e c i e s ( A - B ) i s s i m i l a r t o t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s ( A - A a n d B - B ) . A l t e r n a t i v e l y , i d e a l b e h a v i o r i s e x p e c t e d i f o n e c o m p o n e n t o f t h e s o l v e n t s y s t e m i s a t i n f i n i t e d i l u t i o n . H o w e v e r , n e i t h e r o f t h e s e c o n d i t i o n s i s m e t r e g a r d i n g t h e m o b i l e - p h a s e c h e m i c a l e n v i r o n m e n t , e s p e c i a l l y i n 6 0 6 1 r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y w h e r e p o l a r s o l v e n t s y s t e m s a r e u s e d . R e c e n t l y , m o r e r i g o r o u s t r e a t m e n t s o f m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y h a v e b e e n d e v e l o p e d , w h i c h a r e b a s e d o n a l a t t i c e - t y p e m o d e l . T h e s e m o d e l s i n c l u d e t h e s o l v o p h o b i c t h e o r y o f H o r v a t h a n d c o - w o r k e r s ( 3 ) , t h e s t a t i s t i c a l t h e r m o d y n a m i c t h e o r i e s o f M a r t i r e a n d B o e h m ( 4 ) a n d o f D i l l ( 5 , 6 ) ( s e e A p p e n d i x 3 . 1 f o r t h e t e r n a r y m o b i l e p h a s e d e v e l o p m e n t a c c o r d i n g t o D i l l ) , a n d t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t h e o r y ( 7 9 ) a d a p t e d b y T i j s s e n a n d c o - w o r k e r s ( 1 0 - 1 2 ) . E a c h o f t h e s e t h e o r i e s a l l o w s s p e c i f i c c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s t o b e c o n s i d e r e d a n d y i e l d s q u a l i t a t i v e l y s i m i l a r c o n c l u s i o n s . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e a b u n d a n c e o f r e l e v a n t p h y s i c a l c o n s t a n t s a n d s u p p o r t i n g d a t a , t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t h e o r y i s c h o s e n f o r t h i s s t u d y . T h e r e f o r e , a b r i e f d i s c u s s i o n o f t h i s t h e o r y a n d i t s a p p l i c a t i o n t o l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y f o l l o w s . T h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t h e o r y , d e v e l o p e d b y H i l d e b r a n d ( 7 ) , i s a t h e r m o d y n a m i c m o d e l b a s e d o n r e g u l a r s o l u t i o n t h e o r y , a s s h o w n i n C h a p t e r 2 . . T h i s t h e o r y d e f i n e s t h e s q u a r e r o o t o f t h e c o h e s i v e e n e r g y d e n s i t y o f a p u r e l i q u i d a s t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r , 5 , w h i c h i s c h a r a c t e r i s t i c o f i t s p o l a r i t y . I n t h e o r i g i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t h e o r y , o n l y d i s p e r s i v e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n n e i g h b o r i n g m o l e c u l e s f o r n o n p o l a r s o l v e n t s a r e c o n s i d e r e d ( 8 ) . T h i s t h e o r y h a s b e e n e x t e n d e d t o p o l a r s o l v e n t s b y i n c l u d i n g t h e c o n t r i b u t i o n s o f d i s p e r s i o n ( 6 d ) , p e r m a n e n t d i p o l e o r i e n t a t i o n ( 5 , , ) , d i p o l e i n d u c t i o n ( 5 i n d ) . a n d h y d r o g e n - b o n d i n g i n t e r a c t i o n s o f a c i d i c ( 6 3 ) a n d b a s i c ( 6 1 J ) n a t u r e . I n g e n e r a l , t h e s e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s a r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t , a n d t h e o v e r a l l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r i s r e p r e s e n t e d b y t h e f o l l o w i n g s u m m a t i o n ( 1 2 ) : 5 2 = 6 d 2 + 5 p 2 + ( 5 ) 7 2 [ 3 . 1 ] w h e r e t h e p o l a r ( 6 p ) a n d h y d r o g e n b o n d i n g ( 6 h ) c o m p o n e n t s a r e d e f i n e d a s : 5 p 2 = 6 o 2 + 2 5 i n d 5 d 6 h 2 ' 3 2 5 3 5 b I n T a b l e 3 . 1 , t h e t o t a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r a n d t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t v a l u e s a r e l i s t e d f o r t h r e e c o m m o n s o l v e n t s u s e d i n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . T h e t o t a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r ( 6 ) i n c r e a s e s a s t h e p o l a r i t y o f t h e s o l v e n t i n c r e a s e s , b u t t h e v a l u e s o f t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s d i f f e r n o t a b l y . T h e d i s p e r s i v e c o m p o n e n t ( E d ) i s c o m p a r a b l e a m o n g t h e t h r e e s o l v e n t s ; h o w e v e r , a c e t o n i t r i l e h a s t h e g r e a t e s t p o l a r c o m p o n e n t ( 5 p ) d u e t o a s t r o n g p e r m a n e n t d i p o l e . H y d r o g e n - b o n d i n g i n t e r a c t i o n s ( 5 h ) a r e d o m i n a n t i n w a t e r , m o d e r a t e i n m e t h a n o l , a n d 6 2 m i n o r i n a c e t o n i t r i l e . T h u s , i t i s p o s s i b l e t o u s e t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r a s a d i r e c t m e a s u r e o f t h e o v e r a l l p o l a r i t y o r s t r e n g t h o f t h e s o l v e n t . F u r t h e r , b e c a u s e t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r i s a f u n c t i o n o f t h e g e n e r a l t y p e s o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s , t h e m a g n i t u d e s o f t h e i n d i v i d u a l c o n t r i b u t i o n s d e f i n e t h e s e l e c t i v e n a t u r e o f t h e s o l v e n t . T a b l e 3 . 1 : S o l u b i l i t y P a r a m e t e r s o f C o m m o n S o l v e n t s f o r R e v e r s e d - P h a s e L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y ( M P a 1 / 2 ) ( 8 ) . S o l v e n t 6 6 a 6 D 6 ) , A c e t o n i t r i l e 2 4 . 4 1 5 . 3 1 8 . 0 6 . 1 M e t h a n o l 2 9 . 6 1 5 . 1 1 2 . 3 2 2 . 3 W a t e r 4 7 . 8 1 5 . 5 1 6 . 0 4 2 . 3 T h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t h e o r y m a y b e e x t e n d e d t o m i x e d s o l v e n t s y s t e m s i f t h e i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s o f d i f f e r e n t c h e m i c a l s p e c i e s a r e p r e s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t . A s a r e s u l t , t h e t o t a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r o f a m i x e d s o l v e n t i s e q u a l t o t h e a r i t h m e t i c s u m o f t h e i n d i v i d u a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s ( 5 } ) w e i g h t e d a c c o r d i n g t o t h e i r v o l u m e f r a c t i o n s ( 4 ’ 1 ) i n t h e m i x t u r e . 5 = 2 4 8 5 ] [ 3 . 2 ] T h u s , i t i s p o s s i b l e t o c r e a t e t w o m i x e d s o l v e n t s y s t e m s h a v i n g t h e s a m e s o l v e n t s t r e n g t h w h i l e t h e i r p r e d o m i n a n t c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s d i f f e r d r a s t i c a l l y . I n t h i s c h a p t e r , t h e t e r m s o l v e n t s t r e n g t h w i l l r e f e r t o t h e m a g n i t u d e o f t h e t o t a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r a n d t h e t e r m s o l v e n t s e l e c t i v i t y w i l l b e u s e d t o r e f e r t o t h e m a g n i t u d e o f t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s c o n t r i b u t i n g t o t h e t o t a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r . T h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t h e o r y c a n b e u s e d t o p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y f o r e i t h e r a p u r e o r m i x e d s o l v e n t s y s t e m . I n t h i s d e v e l o p m e n t , t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t ( 7 ) f o r s o l u t e ( 1 ) d i s s o l v e d i n s o l v e n t ( 1 ) i s r e l a t e d t o t h e i n d i v i d u a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 9 ) : 6 3 R T I n 7 1 = 1 1 , - ( 5 , - - 5 , ) 2 [ 3 . 3 ] w h e r e V , - i s t h e m o l a r v o l u m e o f t h e s o l u t e a n d i s p r e s u m e d i d e n t i c a l t o t h e s o l v e n t a t i n f i n i t e d i l u t i o n , R i s t h e g a s c o n s t a n t , a n d T i s t h e a b s o l u t e t e m p e r a t u r e . I n t u r n , t h e d i s t r i b u t i o n c o n s t a n t o f t h e s o l u t e ( K ; ) i s m a t h e m a t i c a l l y r e l a t e d t o t h e r a t i o o f i t s a c t i v i t y c o e f f i c i e n t i n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( 9 , 1 2 ) . T h u s , t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r ( k , - ) i s e x p r e s s e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a fi o n : I n k . - = r i g ] = R i g a ; - 5 M ) 2 - ( 6 1 - 6 s ) 2 ] - M B ( 3 . 4 1 A s a r e s u l t , s o l u t e r e t e n t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s o f t h e s o l u t e ( 6 ; ) , t h e m o b i l e p h a s e ( 6 M ) , a n d t h e s t a t i o n a r y p h a s e ( 6 5 ) , a s w e l l a s t h e v o l u m e r a t i o o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( 8 ) . A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 3 . 4 ] , c h a n g e s i n t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r o f e i t h e r p h a s e w i l l i n f l u e n c e s o l u t e r e t e n t i o n . A s t h e p o l a r i t y o f t h e s o l u t e a p p r o a c h e s t h a t o f t h e m o b i l e p h a s e , s o l u t e r e t e n t i o n d e c r e a s e s ; c o n v e r s e l y , a s t h e p o l a r i t y o f t h e s o l u t e a p p r o a c h e s t h a t o f t h e s t a t i o n a r y p h a s e , r e t e n t i o n i n c r e a s e s . T h u s i n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y ( 6 5 < 6 , - < 6 M ) , i f a s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i s t o o s m a l l , i t c a n b e i n c r e a s e d b y i n c r e a s i n g t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r o f e i t h e r t h e m o b i l e o r s t a t i o n a r y p h a s e . S i m i l a r l y , i f r e t e n t i o n t i m e i s t o o l o n g , t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r o f o n e o r b o t h p h a s e s c a n b e d e c r e a s e d . i f t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l c o r r e c t l y a c c o u n t s f o r a l l s o l u t e - s o l v e n t a n d s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s , t h e n a q u a d r a t i c r e l a t i o n s h i p s h o u l d e x i s t b e t w e e n t h e l o g a r i t h m o f t h e c a p a c i t y f a c t o r a n d t h e v o l u m e f r a c t i o n o f o n e c o m p o n e n t i n t h e m o b i l e p h a s e ( s e e A p p e n d i x 3 . 2 f o r d e v e l o p m e n t ) . T h i s q u a d r a t i c r e l a t i o n s h i p i s o b t a i n e d b y c o m b i n i n g E q u a t i o n s [ 3 . 2 ] a n d [ 3 . 4 ] f o r a s i m p l e b i n a r y m o b i l e - p h a s e m i x t u r e o f c o m p o n e n t s A a n d B , a n d e x p r e s s i n g t h e r e s u l t a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e f r a c t i o n ( o 3 ) : I n k ) : a ¢ 3 2 + b ¢ 3 + c [ 3 . 5 ] w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s a r e e q u i v a l e n t t o : V i 2 a = — 6 - 6 R T ( 8 A ) . . = i # g # u ( a i - 6 1 - 6 5 4 3 ) ) - ? ? - - ( ( c 5 p 6 1 ) 2 « S i - 6 6 2 ] - - ( 1 6 . 3 1 - 3 6 7 0 2 ] 6 4 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s r e p o r t e d b y v a r i o u s g r o u p s ( 5 , 6 , 1 2 , 1 5 , 1 6 ) h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t a q u a d r a t i c r e l a t i o n s h i p i n s o l u t e r e t e n t i o n e x i s t s w h e n u s i n g b i n a r y o r t e r n a r y s o l v e n t m i x t u r e s . B e c a u s e t h e r i g o r o u s t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n r e q u i r e s a n a c c u r a t e e s t i m a t e o f f i v e v a r i a b l e s ( 6 , : 6 M , 6 5 , V 1 , a n d 8 ) , E q u a t i o n [ 3 . 5 ] i s c o m m o n l y u s e d i n a s e m i e m p i r i c a l m a n n e r . A s a r e s u l t , a t l e a s t t h r e e p r e l i m i n a r y m e a s u r e m e n t s a r e r e q u i r e d t o e s t i m a t e t h e c o e f f i c i e n t s i n E q u a t i o n [ 3 . 5 ] . H o w e v e r , t h i s e q u a t i o n c a n b e e x p r e s s e d i n a m o r e c o n v e n i e n t l i n e a r f o r m b y s u b t r a c t i n g t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r ( k , - ° ) w h e n t h e v o l u m e f r a c t i o n o f c o m p o n e n t B i s z e r o ( 4 1 3 = - 0 ) . U p o n r e a r r a n g e m e n t , t h e l i n e a r f o r m i s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n ( s e e A p p e n d i x 3 . 2 f o r d e v e l o p m e n t ) : k . _ L I n [ A ] . . 3 0 3 + b [ 3 . 6 ] ¢ B k l ? w h e r e l n k , - ° i s e q u a l t o t h e c o e f f i c i e n t 0 i n E q u a t i o n [ 3 . 5 ] . C o n s e q u e n t l y , a l i n e a r r e l a t i o n s h i p s h o u l d b e o b t a i n e d f r o m E q u a t i o n [ 3 . 6 ] b y p l o t t i n g ( f l o g ) I n ( k i l k ; ° ) a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e o r g a n i c m o d i f i e r ( 4 1 3 ) i n t h e m o b i l e p h a s e . S e v e r a l s h o r t c o m i n g s o f t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r t r e a t m e n t o f s o l u t e r e t e n t i o n m a y l e a d t o d e v i a t i o n s i n a n y o f t h e a b o v e e x p r e s s i o n s . F i r s t , E q u a t i o n [ 3 . 2 ] a s s u m e s t h a t s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s a r e i n d e p e n d e n t ; t h u s , e a c h s o l u t e i s a s s u m e d t o i n t e r a c t i n d e p e n d e n t l y w i t h e a c h m o b i l e - p h a s e c o m p o n e n t . S e c o n d , t h e s o l u t e a n d s o l v e n t s a r e a s s u m e d t o h a v e e q u a l m o l a r v o l u m e s , a n d n o c h a n g e i n v o l u m e o c c u r s u p o n m i x i n g . T h i r d , E q u a t i o n [ 3 . 3 ] p r e s u m e s t h a t b i n a r y i n t e r a c t i o n p a r a m e t e r s m a y b e a p p r o x i m a t e d b y u s i n g t h e g e o m e t r i c m e a n o f t h e i n d i v i d u a l i n t e r a c t i o n p a r a m e t e r s . A s a r e s u l t o f t h e g e o m e t r i c m e a n a p p r o x i m a t i o n , t h e a c t i v i t y c o e f f i c i e n t f o r a s o l u t e i s a l w a y s p o s i t i v e . T h i s i m p l i e s t h a t t h e e n t h a l p y o f m i x i n g ( A m i x H ) i s a l s o p o s i t i v e , s o t h a t i t i s a l w a y s u n f a v o r a b l e f o r m i x i n g t o o c c u r b e t w e e n s o l u t e - s o l v e n t o r s o l v e n t - s o l v e n t . I n a d d i t i o n , i t i s a s s u m e d t h a t t h e s o l u t e a n d t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o n e n t s a r e r a n d o m l y m i x e d . T h i s n e g l e c t s a n y p r e f e r e n t i a l o r i e n t a t i o n o r c l u s t e r i n g d u e t o s t r o n g i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s , s u c h a s p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s . S i m i l a r l y , s o l u t e i n t e r a c t i o n s w i t h t h e s t a t i o n a r y p h a s e a r e p r e s u m e d t o b e i s o t r o p i c a n d i n d e p e n d e n t o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . F i n a l l y , 6 5 t h e v o l u m e r a t i o o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( 8 ) i s c o n s t a n t f o r a n i n d i v i d u a l s o l u t e i n t h e c o m p o s i t i o n a l r a n g e s e x a m i n e d . A s a r e s u l t o f t h e s e a s s u m p t i o n s , t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l m a y n o t a l w a y s a d e q u a t e l y r e p r e s e n t s o l u t e - s o l v e n t a n d s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s i n s o l v e n t m i x t u r e s . S o l v e n t M o d u l a t i o n M o d e l S o l v e n t m o d u l a t i o n h a s b e e n s h o w n i n C h a p t e r 2 t o o f f e r a p r a c t i c a l a l t e r n a t i v e t o c o n v e n t i o n a l p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y ( 1 ) . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , s o l v e n t z o n e s o f d i f f e r i n g c o m p o s i t i o n a n d t i m e d u r a t i o n a r e s e q u e n t i a l l y i n t r o d u c e d t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i n a k n o w n r a n d o m o r r e p e a t i n g p a t t e r n . B e c a u s e t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s a r e n e v e r p h y s i c a l l y m i x e d , a n y n o n i d e a l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s t h a t m a y e x i s t w i t h i n a p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m a r e a v o i d e d . T h u s , s o l u t e r e t e n t i o n m a y b e c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h s o l v e n t z o n e . T h e p h y s i c a l l e n g t h o f a s o l v e n t z o n e i s d e f i n e d i n t e r m s o f t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d t h e r e p e t i t i o n r a t e ( 1 ) . T h e s o l v e n t p r o p o r t i o n r e p r e s e n t s t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f e a c h s o l v e n t z o n e w i t h i n o n e c y c l e o f t h e m o d u l a t i o n s e q u e n c e , a n d i s a n a l o g o u s t o t h e c o m p o s i t i o n a l r a t i o i n a p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m . T h e r e p e t i t i o n r a t e r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f m o d u l a t i o n c y c l e s t h a t c o m p r i s e a s i n g l e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n l e n g t h . T h e t i m e ( ‘ 1 1 a s o l u t e s p e n d s i n a s o l v e n t z o n e o f l e n g t h x ; i s d e t e r m i n e d b y : x : 1 + k - - I U [ k i j ] [ 3 - I w h e r e k i j i s t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r o f s o l u t e ( l ) i n s o l v e n t z o n e ( 1 ) , u i s t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e i n a c o l u m n o f l e n g t h L a n d v o i d t i m e t o . I f t h e s o l u t e u n d e r g o e s i n d e p e n d e n t i n t e r a c t i o n s w i t h i n e a c h s o l v e n t z o n e , t h e n t h e o v e r a l l r e t e n t i o n t i m e i s a s u m o f t h e i n d i v i d u a l r e t e n t i o n t i m e s . A s a r e s u l t , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s g i v e n b y : { 1 + n g 0 , . n " I k - k i : 2 _ l - 1 : 2 _ _ _ y . _ _ - 1 [ 3 . 8 ] j . o b j - o L T h e l i m i t o f t h e s u m m i n g i n d e x ( n ) i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e d u r i n g t h e s e p a r a t i o n . I f t h i s l i m i t h a s a n o n i n t e g e r v a l u e , t h e s u m m a t i o n i n E q u a t i o n [ 3 . 8 ] 6 6 i s p e r f o r m e d i n t h e n o r m a l m a n n e r f o r s o l v e n t s e g m e n t s 0 t o n , a n d t h e r e m a i n d e r i s t r e a t e d a s a f r a c t i o n a l m u l t i p l i e r f o r t h e l a s t ( n + 1 ) s o l v e n t s e g m e n t ( 1 ) . T h e f u n d a m e n t a l a s s u m p t i o n u n d e r l y i n g t h e t h e o r y o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s t h a t s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h s o l v e n t z o n e . I t i s , t h e r e f o r e , n e c e s s a r y t h a t t h e s o l v e n t s e g m e n t s b e o f k n o w n s e q u e n c e a n d l e n g t h a n d n o t b e i n t e r m i x e d a t t h e b o u n d a r y . A n o t h e r a s s u m p t i o n i m p l i c i t i n t h i s m o d e l i s t h a t r a p i d m a s s t r a n s f e r e x i s t s a t t h e i n t e r f a c e o f t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s . T h e r e f o r e , t h e c o l u m n i s a s s u m e d t o a c h i e v e s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s a n d b e h a v i o r v e r y q u i c k l y a f t e r e a c h c h a n g e i n s o l v e n t c o m p o s i t i o n . T h i s a s s u m p t i o n i s r e a s o n a b l e w h e n s o l v e n t s o f s i m i l a r c o m p o s i t i o n a r e m o d u l a t e d , b u t m a y n o t b e v a l i d f o r s o l v e n t s o f s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t s t r e n g t h . F i n a l l y , i t i s a s s u m e d t h a t t h e p h a s e r a t i o a n d t h e s e p a r a t i o n m e c h a n i s m , s u c h a s p a r t i t i o n o r a d s o r p t i o n , d o n o t c h a n g e w i t h t h e s o l v e n t c o m p o s i t i o n . i n t h i s c h a p t e r , t h e r e s u l t s o f a s y s t e m a t i c s t u d y d e s i g n e d t o e x a m i n e t h e v a l i d i t y o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l d e v e l o p e d f o r t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . S o l u t e r e t e n t i o n i s m e a s u r e d u n d e r v a r i o u s m o d u l a t i o n s e q u e n c e s f o r c h a n g e s i n b o t h s o l v e n t s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y . T h e r e t e n t i o n m e a s u r e d f r o m e a c h o f t h e s e e x p e r i m e n t s i s c o m p a r e d w i t h t h a t p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] . F u r t h e r , s o l u t e r e t e n t i o n i s m e a s u r e d u s i n g a n a l o g o u s p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s a n d c o m p a r i s o n s a r e m a d e b e t w e e n t h e a c c u r a c y o f t h e t w o m e t h o d o l o g i e s . E X P E R I M E N T A L S E C T I O N T h e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m u s e d f o r t h i s r e s e a r c h i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 3 . 1 a n d i s d e s c r i b e d i n d e t a i l b e l o w . C h r o m a t o g r a p h i c S y s t e m A s i n g l e - p i s t o n r e c i p r o c a t i n g p u m p ( M o d e l 1 1 4 M , B e c k m a n i n s t r u m e n t s ) i s u s e d i n t h e c o n s t a n t - p r e s s u r e m o d e f o r s o l v e n t d e l i v e r y . S i x s e c t i o n s o f p a s s i v a t e d s t a i n l e s s - s t e e l t u b i n g ( 3 . 1 8 m m o . d . , 2 . 1 6 m m i . d . , 2 . 0 0 m l e n g t h ) c o n t a i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s a n d a r e c o n n e c t e d t o a s i x - p o r t s o l v e n t s e l e c t i o n v a l v e ( M o d e l E C S D 6 P X N 6 , V a l c o I n s t r u m e n t s 0 0 . ) . T h e s o l v e n t s e l e c t i o n v a l v e i s c o n t r o l l e d t h r o u g h s o f t w a r e w r i t t e n i n t h e B A S I C p r o g r a m m i n g l a n g u a g e t h a t i s e x e c u t e d o n a n I B M X T c o m p u t e r ( s e e A p p e n d i x 3 . 4 f o r t h e c o m p u t e r p r o g r a m ) . 6 7 F i g u r e 3 . 1 S c h e m a t i c d i a g r a m o f e x p e r i m e n t a l s y s t e m . V a : s o l v e n t s e l e c t i o n v a l v e ; I = s a m p l e i n j e c t i o n v a l v e ; T = e f f l u e n t s p l i t t e r t e e ; R = - r e s t r i c t o r o r m e t e r i n g v a l v e . 6 8 F i g u r e 3 . 1 P u m p S o l v e n t ‘ - - R e s e r v o k T u b h g C o n u n n e r H P L C C o l u m n R e c o r d e r L M fl — A b s o r b o n c e D e t e c t o r 6 9 S a m p l e i n t r o d u c t i o n i s a c h i e v e d u s i n g a 1 . 0 p L i n j e c t i o n v a l v e ( M o d e l E C I 4 W 1 . , V a l c o I n s t r u m e n t s 0 0 . ) , a f t e r w h i c h t h e e f f l u e n t s t r e a m i s s p l i t ( S . R . 3 0 : 1 ) a n d a p p l i e d t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n p r o d u c i n g a n o m i n a l v o l u m e t r i c f l o w r a t e o f 1 u U m i n . T h e m i c r o c o l u m n u t i l i z e d i n t h i s s t u d y i s p r e p a r e d f r o m f u s e d - s i l i c a c a p i l l a r y t u b i n g ( 2 0 0 p m i . d . , 2 5 c m l e n g t h , H e w l e t t - P a c k a r d ) , w h i c h i s p a c k e d w i t h a n o c t a d e c y l s i l i c a m a t e r i a l ( S p h e r i - S R P - 1 8 , 5 p m , A p p l i e d B i o s y s t e m s ) , a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y ( 2 0 ) . S o l u t e d e t e c t i o n i s a c c o m p l i s h e d u s i n g a v a r i a b l e - w a v e l e n g t h U V - V I S a b s o r b a n c e d e t e c t o r ( l a b s . 2 5 0 n m , 0 . 0 1 0 A U F S . M o d e l U v i d e c 1 0 0 - V , J a p a n S p e c t r o s c o p i c C o . ) w i t h a m o d i f i e d 2 5 n L c a p i l l a r y f l o w c e l l ( 8 0 u m i . d . , 0 . 5 c m l e n g t h ) . T h e s i g n a l f r o m t h e d e t e c t o r i s s h o w n o n a c h a r t r e c o r d e r ( M o d e l 5 8 5 , L i n e a r l n s t m m e n t s ) . T h e c o m p u t e r p r o g r a m u s e d t o c a l c u l a t e t h e p r e d i c t e d s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i s w r i t t e n i n t h e F O R T R A N 7 7 p r o g r a m i n g l a n g u a g e ( s e e A p p e n d i x 3 . 3 f o r c o m p u t e r p r o g r a m ) a n d i s e x e c u t e d o n a V A X s t a t i o n l l c o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ) . M a t e r i a l s a n d M e t h o d s R e a g e n t - o r t e c h n i c a l - g r a d e p h e n o l , d i p h e n y l a m i n e , n i t r o b e n z e n e , t o l u e n e , n a p h t h a l e n e , a n t h r a c e n e , a n d p y r e n e a r e o b t a i n e d f r o m M C B M a n u f a c t u r i n g C h e m i s t s , a n d a r e u s e d w i t h o u t f u r t h e r p u r i f i c a t i o n . O r g a n i c s o l v e n t s a r e h i g h - p u r i t y , d i s t i l l e d - i n - g l a s s g r a d e ( B a x t e r H e a l t h c a r e , B u r d i c k 8 . J a c k s o n D i v i s i o n ) ; w a t e r i s d e i o n i z e d a n d d o u b l y d i s t i l l e d i n g l a s s ( M o d e l M P - 3 A , C o r n i n g G l a s s W o r k s ) . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N S e v e n t e s t s o l u t e s w e r e s e l e c t e d f o r t h e i r d i f f e r i n g c h e m i c a l p r o p e r t i e s . A s e r i e s o f p o l y n u c l e a r a r o m a t i c c o m p o u n d s w a s c h o s e n t o r e p r e s e n t d i s p e r s i o n a n d i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n s : t o l u e n e , n a p h t h a l e n e , a n t h r a c e n e , a n d p y r e n e . P e r m a n e n t d i p o l e i n t e r a c t i o n s w e r e e x a m i n e d w i t h n i t r o b e n z e n e a s t h e t e s t s o l u t e . P r o t o n d o n o r a n d a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s w e r e p r o b e d b y u s i n g p h e n o l a n d d i p h e n y l a m i n e , r e s p e c t i v e l y . T w o c h r o m a t o g r a p h i c s t u d i e s w e r e p e r f o r m e d , t h e f i r s t s t u d y i n v e s t i g a t e d c h a n g e s i n t h e m o b i l e - p h a s e s t r e n g t h , a n d t h e s e c o n d i n v e s t i g a t e d c h a n g e s i n t h e m o b i l e - p h a s e s e l e c t i v i t y . I n e a c h s t u d y , t w o s o l v e n t s y s t e m s w e r e c h o s e n t o e x a m i n e s o l u t e - s o l v e n t a n d s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s i n b o t h p r e m i x e d a n d s o l v e n t - 7 0 m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e r e t e n t i o n o f t h e s e v e n s o l u t e s w a s m e a s u r e d a n d c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e s . S o l v e n t S t r e n g t h S t u d y T h e s t r e n g t h o f t h e m o b i l e p h a s e d e t e r m i n e s t h e s o l u t e m i g r a t i o n r a t e a l o n g a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . I n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , t h e s t r e n g t h o f t h e m o b i l e p h a s e i s c o n t r o l l e d b y a d j u s t i n g t h e a m o u n t o f o r g a n i c m o d i f i e r p r e s e n t i n t h e s o l v e n t s y s t e m ; t h e s t r o n g e r o r l e s s p o l a r t h e s o l v e n t , t h e l e s s t h e s o l u t e i s r e t a i n e d . I n t h i s s t u d y , t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s u t i l i z e d w e r e 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) a n d 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) , h a v i n g s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s e q u a l l i n g 3 4 . 2 a n d 2 9 . 6 M P a I ’ Z , r e s p e c t i v e l y . S h o w n i n F i g u r e 3 . 2 a r e t h e C h r o m a t o g r a m s o b t a i n e d u s i n g t h e s e t w o m o b i l e p h a s e s f o r t h e s e p a r a t i o n o f t h e t e s t s o l u t e s . O n c o m p a r i s o n o f t h e s e s e p a r a t i o n s , t h e d i f f e r e n c e i n s o l v e n t s t r e n g t h i s a p p a r e n t a s t h e a n a l y s i s t i m e s d i f f e r b y a p p r o x i m a t e l y o n e o r d e r o f m a g n i t u d e . H o w e v e r , t h e g e n e r a l e l u t i o n o r d e r o f t h e s o l u t e s d o e s n o t c h a n g e b e c a u s e t h e s e l e c t i v e n a t u r e o f b o t h m o b i l e p h a s e s i s s i m i l a r . P r e m l x e d M o b i l e P h a s e s I n t h e f o r m u l a t i o n o f E q u a t i o n [ 3 . 2 ] , i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t i n a m i x e d s o l v e n t s y s t e m . I f t h i s a s s u m p t i o n i s c o r r e c t , t h e n a q u a d r a t i c r e l a t i o n s h i p i s e x p e c t e d b e t w e e n t h e l o g a r i t h m o f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a n d t h e v o l u m e f r a c t i o n o f e a c h c o m p o n e n t i n t h e m o b i l e p h a s e ( E q u a t i o n [ 3 . 5 ] ) . I f t h e a s s u m p t i o n i s i n c o r r e c t , t h e d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e o f d e v i a t i o n f r o m t h e q u a d r a t i c r e l a t i o n s h i p a r e a n i n d i c a t i o n o f t h e c h e m i c a l e n v i r o n m e n t t h a t e x i s t s d u r i n g t h e s e p a r a t i o n . T o d e t e r m i n e i f t h i s p r e m i s e i s c o r r e c t f o r s i g n i f i c a n t c h a n g e s i n s o l v e n t s t r e n g t h , t h e t w o m e t h a n o l - w a t e r s o l v e n t s s y s t e m s ( A a n d B ) a r e m i x e d i n v a r i o u s r a t i o s a n d t h e c a p a c i t y f a c t o r s o f t h e s e v e n s o l u t e s a r e m e a s u r e d a s a f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . T h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n t h e t o p d i a g r a m o f F i g u r e 3 . 3 , w h e r e t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i s s h o w n o n a l o g a r i t h m i c s c a l e a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e p e r c e n t m e t h a n o l i n t h e m o b i l e p h a s e . E x p e r i m e n t a l l y , a l l s e v e n s o l u t e s s h o w s l i g h t l y n o n l i n e a r r e t e n t i o n w i t h m a x i m u m d e v i a t i o n a t a m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n o f a p p r o x i m a t e l y 8 7 . 5 % m e t h a n o l . I n a d d i t i o n , t h e g e n e r a l s l o p e f o r d i p h e n y l a m i n e i s s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t t h a n f o r t h e o t h e r t e s t s o l u t e s . T h i s d i f f e r e n c e i n s l o p e m a y a r i s e b e c a u s e o f a m i x e d r e t e n t i o n m e c h a n i s m i n v o l v i n g b o t h p a r t i t i o n i n t h e o c t a d e c y l s t a t i o n a r y p h a s e a n d a d s o r p t i o n o n r e s i d u a l a c i d i c s i l a n o l g r o u p s . I f s o , a m i x e d r e t e n t i o n m e c h a n i s m ( p a r t i t i o n a n d a d s o r p t i o n ) m a y b e i n v o l v e d i n t h e s e p a r a t i o n o f d i p h e n y l a m i n e . 7 1 F i g u r e 3 . 2 C h r o m a t o g r a m s o f t h e s e v e n t e s t s o l u t e s i n i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s c h o s e n f o r t h e s o l v e n t s t r e n g t h s t u d i e s . C o l u m n : 2 0 0 p m i . d . , 2 5 c m l e n g t h , p a c k e d w i t h S p h e r i - 5 R P - 1 8 ; M o b i l e P h a s e : 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) , 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) , 1 u L / m i n ; D e t e c t i o n : U V - V I S a b s o r b a n c e , 2 5 0 n m , 0 . 0 1 0 A U F S . E N E C A R H T N A E N E R Y P ' L O N E H P E N I M A L Y N E H P I D E N E L A H T H P A N E N E U L O T E N E E N I M Z A N L E Y B N O E R H T P I I N D E N E L A H T H P L O N E H P A E N N E E R N Y E P C A R H T N A — ‘ - T I M E ( m i n ) 1 0 1 5 2 0 1 0 0 % M E T H A N O L 6 0 9 O % _ N I T R O B E N Z E N E A 7 5 % M E T H A N O L F i g u r e 3 . 2 7 2 F i g u r e 3 . 3 7 3 T h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e r e t e n t i o n f o r p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s v a r y i n g i n s o l v e n t s t r e n g t h . T h e c a p a c i t y f a c t o r i s p r e s e n t e d a s a l o g a r i t h m i c f u n c t i o n o f c o m p o s i t i o n ( t o p ) a n d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 3 . 6 ] ( c e n t e r ) . T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e r e t e n t i o n b a s e d o n t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l i s c a l c u l a t e d a s ( k E x p - k T h o o r y ) / k r h e o y ( b o t t o m ) . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 2 . S o l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( O ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( E l ) , p y r e n e ( O ) . ) k ( r o t c o F y t i c a p a C ) “ l k / s l i m ) . o / 1 ( ) z ( k / k A 7 4 F i g u r e 3 . 3 - 8 . 0 - - 2 0 . 0 - - 3 0 . C 7 ! . 3 . 0 7 5 T h e s e e x p e r i m e n t a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e n e x t c o m p a r e d w i t h t h o s e p r e d i c t e d b y t h e o r y . T o p r e d i c t t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a s a f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n , w h i c h i s b a s e d o n m e a s u r e m e n t s i n t h e t w o s o l v e n t s y s t e m s ( A a n d B ) , a l i n e a r e x p r e s s i o n i s r e q u i r e d . E q u a t i o n [ 3 . 6 ] p r e d i c t s t h a t a l i n e a r r e l a t i o n s h i p i s o b t a i n e d b e t w e e n t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a n d t h e v o l u m e f r a c t i o n o f m e t h a n o l i n t h e m o b i l e p h a s e i t ( 1 / ¢ M e O H ) I n ( k , - / k ; ° ) i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f ¢ M 9 0 H - A c c o r d i n g l y , a n a c c u r a t e e s t i m a t e o f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a t 0 % m e t h a n o l ( k ; ° ) i s r e q u i r e d . B e c a u s e a n e a r l y l i n e a r d e p e n d e n c e o f I n k , - o n t h e v o l u m e f r a c t i o n o f m e t h a n o l I ¢ M e O H I h a s b e e n s h o w n ( F i g u r e 3 . 3 , t o p ) a n d d i s c u s s e d p r e v i o u s l y ( 5 , 6 ) , k , - ° w a s e s t i m a t e d b y l i n e a r e x t r a p o l a t i o n o f t h e l o g a r i t h m o f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s u s i n g t h e t w o m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n s 7 5 % m e t h a n o l — 2 5 % w a t e r ( A ) a n d 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) . T h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s p r e d i c t e d u s i n g E q u a t i o n [ 3 . 6 ] a r e s u m m a r i z e d i n t h e c e n t e r d i a g r a m o f F i g u r e 3 . 3 . A s e x p e c t e d t h e o r e t i c a l l y , a c o n s t a n t v a l u e o f ( 1 / ¢ M 9 0 H ) l n ( k i / k , - ° ) i s o b t a i n e d f o r e a c h s o l u t e b e c a u s e o f t h e m a n n e r i n w h i c h k ; ° w a s d e t e r m i n e d . I n t h e b o t t o m d i a g r a m o f F i g u r e 3 . 3 , t h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r a n d t h a t d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 3 . 4 ] , w h i c h i s c a l c u l a t e d a s ( k 5 , . p - k r h e o w ) / k n e e , ” i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e p e r c e n t o f m e t h a n o l . A l l s o l u t e s e x c e p t p h e n o l a n d d i p h e n y l a m i n e d i s p l a y a s y s t e m a t i c n e g a t i v e d e v i a t i o n i n r e t e n t i o n w i t h d e c r e a s i n g s o l v e n t s t r e n g t h . T h i s n e g a t i v e d e v i a t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e a c t u a l s t r e n g t h o f t h e p r e m i x e d m o b i l e p h a s e i s g r e a t e r ( 6 M i s s m a l l e r ) t h a n p r e d i c t e d b y s i m p l e l i n e a r a d d i t i v i t y u s i n g E q u a t i o n [ 3 . 2 ] . T h i s c o n c l u s i o n i s i n q u a l i t a t i v e a g r e e m e n t w i t h K a t z a n d c o - w o r k e r s ( 1 7 , 1 8 ) , w h o n o t e d t h a t a g g r e g a t i o n i n m e t h a n o l - w a t e r m i x t u r e s m a y l e a d t o a s u b s t a n t i a l i n c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h f o r r e v e r s e d - p h a s e s e p a r a t i o n s . A c c o r d i n g t o t h i s a g g r e g a t i o n m o d e l , t h e m o b i l e p h a s e m a y b e r e p r e s e n t e d a s a t h r e e - c o m p o n e n t m i x t u r e c o n t a i n i n g f r e e m e t h a n o l , f r e e w a t e r , a n d a 1 : 1 m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e . F r o m t h e v o l u m e c h a n g e s t h a t o c c u r i n m e t h a n o l - w a t e r m i x t u r e s , K a t z a n d c o - w o r k e r s w e r e a b l e t o d e t e r m i n e a f o r m a t i o n c o n s t a n t f o r t h e a s s o c i a t i o n o f m e t h a n o l w i t h w a t e r . F r o m t h i s f o r m a t i o n c o n s t a n t , t h e c o n c e n t r a t i o n s o f f r e e w a t e r , f r e e m e t h a n o l , a n d m e t h a n o l — w a t e r a g g r e g a t e c a n b e r e l a t e d t o t h e i n i t i a l s o l v e n t c o m p o s i t i o n . T h e s e a p p a r e n t c o n c e n t r a t i o n s ( % v / v ) o f w a t e r , m e t h a n o l , a n d m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e , a s w e l l a s t h e t o t a l c o m p o n e n t c o n c e n t r a t i o n a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l m e t h a n o l c o n c e n t r a t i o n i n F i g u r e 3 . 4 f o r t h e e n t i r e c o n c e n t r a t i o n r a n g e . F r o m F i g u r e 3 . 4 , t h e c o n c e n t r a t i o n o f e a c h c o m p o n e n t i s s h o w n t o c h a n g e i n a n o n l i n e a r m a n n e r , w h e r e a m a x i m u m c o n c e n t r a t i o n o f m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e o c c u r s a t a n i n i t i a l m e t h a n o l c o n c e n t r a t i o n o f a p p r o x i m a t e l y 6 5 % . A s a r e s u l t o f t h i s a g g r e g a t e , t h e a p p a r e n t a m o u n t s o f f r e e m e t h a n o l a n d 7 6 F i g u r e 3 . 4 T h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d c o n c e n t r a t i o n s o f f r e e m e t h a n o l ( I ) , f r e e w a t e r ( 0 ) , m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e ( A ) , a n d t h e t o t a l c o n c e n t r a t i o n o f t h e c o m p o n e n t s ( 0 ) a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l m e t h a n o l c o n c e n t r a t i o n ( % v / v ) . S e e r e f e r e n c e 1 9 f o r t h e f o r m a t i o n c o n s t a n t o f t h e m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s . 0 . 0 0 1 — _ 0 . 0 9 0 . 0 8 0 . 0 7 0 . 0 6 0 r . 0 5 0 . 0 4 0 . 0 3 0 . 0 . 2 _ _ 0 . 0 1 — - - - - - 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 7 1 4 2 1 6 0 . 0 - 5 0 . 0 - l u e u o d w o g % 3 0 . 0 - 0 . 0 F i g u r e 3 . 4 7 7 7 8 w a t e r d e c r e a s e i n a n o n l i n e a r m a n n e r i n t h e c o m p o s i t i o n a l r a n g e o f i n t e r e s t i n t h i s s t u d y , 7 5 % t o 1 0 0 % m e t h a n o l a n d a r e l o w e r t h a n p r e d i c t e d b y s i m p l e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n 7 5 % a n d 1 0 0 % m e t h a n o l . C o n s e q u e n t l y , t h e n e g a t i v e d e v i a t i o n i n s o l u t e r e t e n t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e i s a l t e r i n g t h e s t r e n g t h o f t h e m o b i l e p h a s e i n a c o m p l e x m a n n e r . T h e s o l u t e s p h e n o l a n d d i p h e n y l a m i n e , w h i c h m a y n o t b e s e p a r a t e d b y a s i m p l e p a r t i t i o n m e c h a n i s m , s h o w p o s i t i v e d e v i a t i o n i n r e t e n t i o n . T h i s d i s p a r i t y m a y r e s u l t f r o m p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s w i t h r e s i d u a l s i l a n o l g r o u p s p r e s e n t i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . T h e c a l c u l a t i o n s o f K a t z a n d c o - w o r k e r s ( 1 7 , 1 8 ) s u g g e s t t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n o f f r e e w a t e r , w h i c h m a y d i s p l a c e t h e a d s o r b e d s o l u t e s f r o m t h e s i l a n o l g r o u p s , i s l e s s t h a n e x p e c t e d d u e t o m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e a s s u m p t i o n o f l i n e a r a d d i t i v i t y g i v e n b y E q u a t i o n [ 3 . 2 ] i s n o t e n t i r e l y c o r r e c t , a n d E q u a t i o n [ 3 . 2 ] m a y b e m o d i f i e d t o i n c o r p o r a t e t h e m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e , a s s h o w n i n E q u a t i o n [ 3 . 9 ] : 5 M “ - ' - ' 5 m e t h a n o l ¢ m e t h a n o l + 5 w a t e r ¢ w a t e r + 5 m e t h a n o I - w a t e r ¢ m e t h a n o I - w a t e r [ 3 . 9 ] w h e r e 5 m e t h a n o i - w a t o r i s a n e q u i v a l e n t s o l u b i l i t y p a r a m e t e r a n d o m e m a n o m a t e fl s v o l u m e f r a c t i o n o f t h e m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e . I n a d d i t i o n , o t h e r a s s u m p t i o n s m a y c o n t r i b u t e t o t h e o b s e r v e d d e v i a t i o n i n r e t e n t i o n f o r a l l s o l u t e s . F o r e x a m p l e , t h e v a l u e o f k j ° i s e s t i m a t e d l i n e a r l y f r o m a r a t h e r l i m i t e d r a n g e o f m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n s . A s a r e s u l t , t h e e s t i m a t e d v a l u e o f k ; 0 i s l a r g e r f o r p h e n o l a n d s m a l l e r f o r t h e r e m a i n i n g s o l u t e s t h a n t h a t o b t a i n e d b y n o n l i n e a r e x t r a p o l a t i o n o f a m o r e e x t e n s i v e d a t a s e t . I n s u m m a r y , s o l u t e s t h a t a r e r e t a i n e d p r i m a r i l y b y a r e v e r s e d - p h a s e p a r t i t i o n p r o c e s s s h o w a s y s t e m a t i c n e g a t i v e d e v i a t i o n i n c a p a c i t y f a c t o r f o r p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s d i f f e r i n g i n s o l v e n t s t r e n g t h . S u c h s o l u t e s e x h i b i t m a x i m u m d e v i a t i o n i n r e t e n t i o n a t 8 7 . 5 % m e t h a n o l - 1 2 . 5 % w a t e r , w h e r e e r r o r s a r e a s g r e a t a s - 1 6 % . F o r s o l u t e s t h a t a r e r e t a i n e d b y a m i x e d p a r t i t i o n - a d s o r p t i o n m e c h a n i s m , t h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l e x : p h e n o l s h o w s a s y s t e m a t i c p o s i t i v e d e v i a t i o n i n c a p a c i t y f a c t o r , w h e r e a s d i p h e n y l a m i n e s h o w s b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e d e v i a t i o n . S o l v e n t M o d u l a t i o n T h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e i s e v a l u a t e d b y c o m p a r i n g t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s w i t h t h o s e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] u s i n g t h e t w o i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s 7 5 % m e t h a n o l — 2 5 % w a t e r ( A ) a n d 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) . T h e e f f e c t o f v a r y i n g t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d t h e r e p e t i t i o n r a t e w i t h i n a s o l v e n t 7 9 m o d u l a t i o n s e q u e n c e a r e e x a m i n e d s e p a r a t e l y . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e s 3 . 5 a n d 3 . 6 , w h e r e t h e c a p a c i t y f a c t o r i s s h o w n a s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e m o d u l a t i o n s e q u e n c e . F i g u r e 3 . 5 i l l u s t r a t e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y v a r y i n g t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n w h i l e m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e o f o n e . F o r a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 2 3 % A — 7 7 % B ( F i g u r e 3 . 5 , t o p ) , a l l s o l u t e s e l u t e f r o m t h e c o l u m n w i t h i n t h e f i r s t t w o s o l v e n t z o n e s w i t h t h e m o s t r e t a i n e d s o l u t e , p y r e n e , h a v i n g a c a p a c i t y f a c t o r j u s t g r e a t e r t h a n o n e . A s t h e p r o p o r t i o n o f t h e w e a k e r m o b i l e p h a s e i s i n c r e a s e d t o 6 1 % A - 3 9 % B ( F i g u r e 3 . 5 , c e n t e r ) , l o n g e r o v e r a l l s o l u t e r e t e n t i o n i s o b s e r v e d . T h i s i n c r e a s e i n s o l u t e r e t e n t i o n i s e s p e c i a l l y n o t i c e a b l e f o r a n t h r a c e n e a n d p y r e n e , w h i c h s h o w a d r a m a t i c i n c r e a s e i n c a p a c i t y f a c t o r r e l a t i v e t o t h e o t h e r f i v e s o l u t e s b e c a u s e o f t h e i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s e n c o u n t e r e d . L i k e w i s e , w i t h t h e f i n a l i n c r e a s e i n t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f t h e w e a k s o l v e n t t o 8 2 % A - 1 8 % B ( F i g u r e 3 . 5 , b o t t o m ) , a c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e o c c u r s i n t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r r a n g e w h e r e p y r e n e , s t i l l t h e m o s t r e t a i n e d s o l u t e , h a s a c a p a c i t y f a c t o r j u s t g r e a t e r t h a n t h r e e . T o f a c i l i t a t e d i r e c t c o m p a r i s o n o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e w i t h p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s , t h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r a n d t h a t d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 3 . 8 ] i s c a l c u l a t e d a s ( k g x p - k n e w . ) / k T h o o r y - A s s h o w n i n t h e t o p d i a g r a m o f F i g u r e 3 . 6 , a l l s e v e n s o l u t e s d i s p l a y a s t a t i s t i c a l l y r a n d o m d e v i a t i o n i n r e t e n t i o n w i t h s o l v e n t s t r e n g t h , c o m p a r e d t o t h e s y s t e m a t i c d e v i a t i o n s o b s e r v e d u s i n g p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s ( F i g u r e 3 . 3 , b o t t o m ) . T h e d e v i a t i o n b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d t h e p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r s h a s a m e a n v a l u e o f + 0 . 5 % w i t h a r a n g e o f 2 1 0 % f o r a l l s o l u t e s . C o n s e q u e n t l y , g o o d a g r e e m e n t i s o b s e r v e d b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r s f o r a l l s o l u t e s , r e g a r d l e s s o f t h e n a t u r e o f c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s . T h e r e s u l t s o b t a i n e d b y i n c r e a s i n g t h e r e p e t i t i o n r a t e o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 3 . 6 , w h e r e t h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r a n d t h a t d e t e r m i n e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f s o l v e n t p r o p o r t i o n . I n t h e c e n t e r a n d b o t t o m d i a g r a m s o f F i g u r e 3 . 6 , t h e r e p e t i t i o n r a t e i s i n c r e a s e d t o v a l u e s o f a p p r o x i m a t e l y t w o a n d t h r e e , r e s p e c t i v e l y . I n a l l c a s e s , t h e r e l a t i v e e r r o r s t i l l f l u c t u a t e s r a n d o m l y a b o u t a m e a n v a l u e o f a p p r o x i m a t e l y z e r o , b u t t h e f l u c t u a t i o n s a p p e a r t o d e c r e a s e a s t h e r e p e t i t i o n r a t e i n c r e a s e s . T h e s e o b s e r v a t i o n s g i v e i n t e r e s t i n g i n s i g h t t o t h e n a t u r e o f m a s s - t r a n s p o r t p r o c e s s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y u s i n g p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s a n d s o l v e n t m o d u l a t i o n . T h e o c t a d e c y l s i l i c a s t a t i o n a r y p h a s e i s c o m m o n l y b e l i e v e d t o c o n s i s t o f a n o n p o l a r s u r f a c e l a y e r t h a t e q u i l i b r a t e s r a p i d l y w i t h t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o n e n t s a n d o t h e r s t r o n g l y i n t e r a c t i n g ( s i l a n o l s a n d F i g u r e 3 . 5 8 0 S o l u t e r e t e n t i o n i n s o l v e n t - m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s f o r v a r y i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e ( R R = 1 ) . A t t h e t o p o f e a c h f i g u r e , t h e o r d e r a n d r e l a t i v e l e n g t h o f t h e s o l v e n t z o n e s u s e d i n t h e s e p a r a t i o n a r e d e p i c t e d , a n d a t t h e b o t t o m o f e a c h f i g u r e t h e r a n g e a n d s c a l e o f t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r s i s l i s t e d . T h e o p e n c i r c l e s ( 0 ) r e p r e s e n t t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h e f i l l e d c i r c l e s ( O ) a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 3 . 8 ] . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 2 . 8 1 F i g u r e 3 . 5 M o d u l a t i o n S e q u e n c e A B ! A P y r e n e . 2 2 1 : : 2 : 2 : 1 1 2 : 1 2 " . 2 2 : 1 2 : 2 2 : 1 1 2 : : 1 ? . . 0 A n t h r a c e n e . 2 : 1 : : : : : ° . : : : : : : : : : : : : : : 3 . o N a p h t h a l e n e : : : : : : : : : : : : : : : 2 , T o l u e n e : : : : : : : : : : : : 3 D i p h e n y t a m i n e : : : : : : : : : : 3 N i t r o b e n z e n e : : : : : : : : : b ’ P h e n o l 1 : 2 2 - 5 ‘ ( 2 3 7 ‘ A " 7 7 3 3 ) 1 l L | l I I I I l 0 . ” 0 . 5 0 1 . 0 0 1 . 5 0 M o d u l a t i o n S w e n c e A B I A B A I P y r e n e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 A n t h r o c e n e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ; , ‘ N a p h t h a l e n e C . ’ . ‘ . ’ . ‘ I . ‘ . ’ . ‘ . ‘ . ’ . ‘ . ‘ . ’ . ‘ . ‘ . o T o l u e n e : : : : : : : : : : : : : : . ° o D i p h e n y t o m i n e : : : : : : : : : : : : Q , N i t r o b e n z e n e : : : : : : : : : : 3 6 1 m 3 9 2 8 P h e n o l : : : : : 3 ( - L i l . I t I . T r l I I l I 0 . 0 0 0 . 5 0 1 . 0 0 1 . 5 0 2 . 0 0 2 2 2 3 2 3 " A B ] A A B A a A l P y r e n e t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 A n t h r o c e n e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : . 1 1 , N a p h t h a l e n e . : : : : : : : : : : : 2 , ' T o l u e n e t : : : : : : . 1 D i p h e n y i o m i n e ‘ : : : : : . 3 N i t r o b e n z e n e , . . . . : 8 ( 8 2 7 . 1 1 _ 1 8 7 . 8 ) P h e n o l ” : 3 L I . I A I t l I l I I I I 0 . 0 0 k m 2 . 0 0 1 0 0 4 . 0 0 C a p a c i t y F a c t o r ( I t ) 8 2 F i g u r e 3 . 6 T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] f o r r e p e t i t i o n r a t e s n o m i n a l l y e q u a l t o o n e ( t o p ) , t w o ( c e n t e r ) , a n d t h r e e ( b o t t o m ) . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 2 . S a l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( l ) , d i p h e n y l a m i n e ( 0 ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( E l ) , p y r e n e ( O ) . 8 3 F i g u r e 3 . 6 1 0 0 . 0 6 6 . 0 0 r 4 0 . 0 S o l v e n t P r o p o r t i o n ( 7 3 A ) 3 0 . 0 2 0 . 0 - - 2 0 . 0 - - 2 0 . O - 1 - 3 0 . 0 0 . 0 - 3 0 . 0 8 4 L e w i s a c i d s ) o r l e s s a c c e s s i b l e s i t e s t h a t e q u i l i b r a t e m o r e s l o w l y . I n a d d i t i o n , t h e p h y s i c a l s t n l c t u r e o r o r i e n t a t i o n o f t h e n o n p o l a r o c t a d e c y l g r o u p s m a y b e i n f l u e n c e d b y t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n ( 2 1 , 2 2 ) . B e c a u s e a l l o f t h e s e e n v i r o n m e n t s m u s t b e c o m p l e t e l y e q u i l i b r a t e d w h e n p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s a r e u s e d , m a n y c o l u m n v o l u m e s o f s o l v e n t a r e n e c e s s a r y a f t e r a c h a n g e i n c o m p o s i t i o n o r u p o n g r a d i e n t e l u t i o n ( 2 , 2 1 - 2 5 ) . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , h o w e v e r , t h e v o l u m e o f e a c h s o l v e n t z o n e i s t y p i c a l l y l e s s t h a n t h e c o l u m n v o l u m e a n d d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g r e p e t i t i o n r a t e . C o n s e q u e n t l y , i t i s u n l i k e l y t h a t t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o n e n t s a r e e x c h a n g e d t o a n y s i g n i f i c a n t e x t e n t a t t h e s l o w l y e q u i l i b r a t i n g s i t e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . M o r e o v e r , i t i s u n l i k e l y t h a t t h e p h y s i c a l s t m c t u r e o f t h e s t a t i o n a r y p h a s e c h a n g e s t o a n a p p r e c i a b l e e x t e n t . l f ' p a r t i a l e x c h a n g e o r r e a r r a n g e m e n t i s a c h i e v e d w i t h i n t h e s o l v e n t z o n e , t h e n s o l u t e r e t e n t i o n w o u l d b e e x p e c t e d t o d e v i a t e f r o m t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s a s r e p e t i t i o n r a t e i s i n c r e a s e d . B e c a u s e t h e d e v i a t i o n i s o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y t o d e c r e a s e w i t h r e p e t i t i o n r a t e ( F i g u r e 3 . 6 ) , i t m a y b e i n f e r r e d t h a t t h e s t a t i o n a r y p h a s e a t t a i n s a s t e a d y - s t a t e ( n o n e q u i l i b r i u m ) c o m p o s i t i o n a n d s t r u c t u r e d u r i n g s o l v e n t m o d u l a t i o n . T h i s c o n c l u s i o n i s s i g n i f i c a n t b e c a u s e i t i m p l i e s t h a t t h e p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e , w h i c h a r e u s e d t o c o n t r o l r e t e n t i o n i n s o l v e n t m o d u l a t i o n , m a y b e a l t e r e d r a p i d l y b e t w e e n s u c c e s s i v e a n a l y s e s , w h e r e a s p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s r e q u i r e m u c h l o n g e r e q u i l i b r a t i o n t i m e s . A n e x c e p t i o n t o t h e g e n e r a l b e h a v i o r d e s c r i b e d a b o v e i s o b s e r v e d f o r t h e s o l u t e d i p h e n y l a m i n e , w h i c h s h o w s a r e l a t i v e l y c o n s t a n t d e v i a t i o n i n c a p a c i t y f a c t o r w i t h i n c r e a s i n g r e p e t i t i o n r a t e . T h i s d i f f e r e n c e m a y r e s u l t f r o m s t r o n g p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s b e t w e e n d i p h e n y l a m i n e a n d r e s i d u a l s i l a n o l g r o u p s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . B e c a u s e o f t h i s s t r o n g p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n , t h e m a s s t r a n s p o r t o f d i p h e n y l a m i n e i s e x p e c t e d t o b e s l o w e r t h a n t h a t o f t h e o t h e r s i x s o l u t e s . N e v e r t h e l e s s , g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a n d e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s f o r a l l s o l u t e s i s o b s e r v e d u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . I n g e n e r a l , t h e s e r e s u l t s a r e v e r y e n c o u r a g i n g b e c a u s e t h e s t r e n g t h o f t h e s o l v e n t s y s t e m s b e i n g m o d u l a t e d i n t h e s e e x p e r i m e n t s a l t e r s s o l u t e r e t e n t i o n b y a p p r o x i m a t e l y o n e o r d e r o f m a g n i t u d e . S o l v e n t S e l e c t i v i t y S t u d y T h e s e l e c t i v i t y o f t h e m o b i l e p h a s e g e n e r a l l y d e t e r m i n e s t h e a b i l i t y t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n s o l u t e s b a s e d o n t h e t y p e o f i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s , f o r e x a m p l e d i s p e r s i o n , d i p o l e i n d u c t i o n o r o r i e n t a t i o n , o r p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s . I n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , t h e s e l e c t i v i t y i s c o n t r o l l e d b y a l t e r i n g t h e t y p e o f o r g a n i c m o d i f i e r p r e s e n t i n t h e 8 5 m o b i l e p h a s e . I n t h i s s t u d y , t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s a r e 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) , r e p r e s e n t a t i v e o f p r o t o n d o n o r — a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s , a n d 5 8 % a c e t o n i t r i l e - 4 2 % w a t e r ( B ) , r e p r e s e n t a t i v e o f d i p o l e - ( i n d u c e d ) d i p o l e i n t e r a c t i o n s . A t t h e s e c o m p o s i t i o n s , t h e s o l v e n t s y s t e m s h a v e a p p r o x i m a t e l y e q u a l s o l v e n t s t r e n g t h a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 3 . 2 ] , w i t h a t o t a l s o l u b i l i t y p a r a m e t e r ( 5 M ) e q u a l l i n g 3 4 . 2 M P a I / z . S h o w n i n F i g u r e 3 . 7 a r e t h e C h r o m a t o g r a m s f o r t h e s e v e n s o l u t e s o b t a i n e d u s i n g t h e s e m o b i l e p h a s e s . A l l s o l u t e s a r e e l u t e d w i t h c a p a c i t y f a c t o r s r a n g i n g f r o m z e r o t o t e n d e s p i t e t h e m o b i l e p h a s e u s e d b e c a u s e t h e s o l v e n t s y s t e m s h a v e e q u a l s o l v e n t s t r e n g t h . H o w e v e r , t h e o r d e r o f e l u t i o n f o r d i p h e n y l a m i n e a n d t o l u e n e i s r e v e r s e d , b e c a u s e t h e s o l v e n t s y s t e m s h a v e d i f f e r e n t s o l v e n t s e l e c t i v i t y . T h i s r e v e r s a l i n e l u t i o n o r d e r a r i s e s b e c a u s e t h e b a s e d i p h e n y l a m i n e h a s g r e a t e r p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n s w i t h t h e m e t h a n o l - w a t e r s y s t e m ( A ) a n d i s l e s s r e t a i n e d t h a n t o l u e n e . C o n v e r s e l y , b e c a u s e t h e p r o t o n d o n o r - a c c e p t o r i n t e r a c t i o n i s r e d u c e d i n t h e a c e t o n i t r i l e - w a t e r s y s t e m ( B ) , d i p h e n y l a m i n e h a s g r e a t e r i n t e r a c t i o n w i t h t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d i s t h u s m o r e r e t a i n e d . P r e m l x e d M o b i l e P h a s e s T h e a s s u m p t i o n o f i n d e p e n d e n t i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n i n a m i x e d s o l v e n t s y s t e m i s e v a l u a t e d b y m e a s u r i n g t h e r e t e n t i o n t i m e o f t h e s e v e n s o l u t e s i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h e s o l v e n t s t r e n g t h s t u d y . H o w e v e r i n t h i s c a s e , a l i n e a r r e l a t i o n s h i p i s e x p e c t e d b e t w e e n t h e l o g a r i t h m o f c a p a c i t y f a c t o r a n d t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n b e c a u s e t h e t w o s o l v e n t s y s t e m s h a v e i d e n t i c a l s o l v e n t s t r e n g t h ( 6 M ) a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 3 . 2 ] . T h e s e d a t a a r e s u m m a r i z e d i n t h e t o p d i a g r a m o f F i g u r e 3 . 8 , w h e r e t h e m e a s u r e d s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s a r e s h o w n a s a l o g a r i t h m i c f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . I n f a c t , d e v i a t i o n o f s o l u t e r e t e n t i o n r e a c h e s a m a x i m u m f o r a l l s o l u t e s a t a m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n o f a p p r o x i m a t e l y 1 8 % m e t h a n o l - 4 4 % a c e t o n i t r i l e - 3 8 % w a t e r , w h e r e c a p a c i t y f a c t o r s a r e + 1 6 % t o + 6 0 % g r e a t e r t h a n p r e d i c t e d b y s i m p l e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n ( F i g u r e 3 . 8 , b o t t o m ) . T h i s p o s i t i v e d e v i a t i o n i n s o l u t e r e t e n t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e a c t u a l s t r e n g t h o f t h e m o b i l e p h a s e i s l e s s ( 6 M i s g r e a t e r ) t h a n t h a t p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 2 ] f o r t e r n a r y m i x t u r e s o f m e t h a n o l , a c e t o n i t r i l e , a n d w a t e r . T h i s c o n c l u s i o n i s i n q u a l i t a t i v e a g r e e m e n t w i t h t h e r e s u l t s o f L o c h m u l l e r a n d c o - w o r k e r s ( 1 9 ) , w h o d e t e r m i n e d t h a t t h e f o r m a t i o n c o n s t a n t s f o r a c e t o n i t r i l e — w a t e r a n d a c e t o n i t r i l e - m e t h a n o l a g g r e g a t e s a r e s u b s t a n t i a l l y l e s s t h a n f o r m e t h a n o l - w a t e r a g g r e g a t e s . C o n s e q u e n t l y , t h e r e p l a c e m e n t o f m e t h a n o l ( a s s o c i a t i n g ) b y a c e t o n i t r i l e ( n o n a s s o c i a t i n g ) r e d u c e s t h e e x t e n t o f a g g r e g a t i o n i n t h e t e r n a r y m i x t u r e s , t h e r e b y i n c r e a s i n g t h e e f f e c t i v e p o l a r i t y . T h i s r e d u c t i o n i n t h e a m o u n t o f a g g r e g a t e p r e s e n t i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . 9 , w h e r e t h e a p p a r e n t c o n c e n t r a t i o n s ( % v / v ) o f m e t h a n o l , a c e t o n i t r i l e , w a t e r , m e t h a n o l — w a t e r a g g r e g a t e , a c e t o n i t r i l e - w a t e r 8 6 F i g u r e 3 . 7 C h r o m a t o g r a m s o f t h e s e v e n t e s t s o l u t e s i n i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s c h o s e n f o r t h e s o l v e n t s e l e c t i v i t y s t u d i e s . C o l u m n : 2 0 0 u m i . d . , 2 5 c m l e n g t h , p a c k e d w i t h S p h e r i - S R P - 1 8 ; M o b i l e P h a s e : 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) , 5 8 % a c e t o n i t r i l e - 4 2 % w a t e r ( B ) , 1 u L / m i n ; D e t e c t i o n : U V - V I S a b s o r b a n c e , 2 5 0 n m , 0 . 0 1 0 A U F S . E N I M A L Y N E H P l D E N E L O N E H P E N E Z N E B O R L T A I H N T H P A N E N E U L O T L E N I O M E N A N E L E H Z P N E B O R T I N Y N E H P E I N D E L A H T E H N P E A U N E N E C A R H T N A > E N E R Y P > E N E C E L N O T E - ‘ j ' l ° A R E R H Y T P N A — # F T I M E ( m i n ) ‘ 1 9 0 I 1 2 0 5 8 % A C E T O N I T R I L E 6 0 9 0 1 2 0 Q E L J L L . A 7 5 % M E T H A N O L F i g u r e 3 . 7 8 7 F i g u r e 3 . 8 8 8 T h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e r e t e n t i o n f o r p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s v a r y i n g i n s o l v e n t s e l e c t i v i t y ( t o p ) . T h e r e l a t i v e e r r o r i n s o l u t e r e t e n t i o n ( b o t t o m ) i s c a l c u l a t e d a s ( k E x p - k n e w . ) / k r h g o m b a s e d o n t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r m o d e l i n E q u a t i o n [ 3 . 6 ] . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 7 . S o l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( O ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( C l ) , p y r e n e ( O ) . 4 8 . 0 3 8 . 6 ' 3 5 ' . 2 3 1 ' . 8 ' 2 8 . 4 2 5 . 0 % H 2 0 8 9 F i g u r e 3 . 8 2 0 . 0 0 ‘ 1 0 . 0 0 " A 6 . 0 0 i x V L - o ‘ 5 2 0 0 : o ' _ E u . - _ 3 : ; 1 . 0 0 - 8 ' 1 Q 0 . 6 0 - O 1 0 l 0 . 2 0 4 0 0 1 0 U I Y Y - 6 0 . 0 t T r y I y j 0 ' 0 1 5 . 0 3 0 . 0 4 5 ' . 0 6 0 . 0 7 5 . 0 7 . M e O H I r v r r fl 5 8 . 0 4 8 . 4 3 1 . 8 2 3 ' . 2 1 1 ' . e 0 . 0 7 . A C N F i g u r e 3 . 9 9 0 T h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d c o n c e n t r a t i o n s o f f r e e m e t h a n o l ( I ) , f r e e a c e t o n i t r i l e ( 0 ) , f r e e w a t e r ( A ) , m e t h a n o l — w a t e r a g g r e g a t e ( O ) , a c e t o n i t r i l e - w a t e r a g g r e g a t e ( E l ) , m e t h a n o l — a c e t o n i t r i l e a g g r e g a t e ( O ) , a n d t h e t o t a l c o n c e n t r a t i o n o f t h e c o m p o n e n t s ( A ) a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l c o m p o n e n t c o n c e n t r a t i o n ( % v / v ) . S e e r e f e r e n c e 1 9 f o r t h e f o r m a t i o n c o n s t a n t s o f t h e a g g r e g a t e s u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s . H O e M o N 0 C 2 A H / % % ° 0 0 , . . I 0 5 5 0 7 2 6 4 . . I 1 8 1 2 ‘ 4 0 . - - - — 0 0 0 0 4 - 0 - — — 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0 . 2 4 t u e u o d u l o c ) % H : ‘ 3 F i g u r e 3 . 9 5 8 . 0 I 1 9 1 9 2 a g g r e g a t e , a n d m e t h a n o l - a c e t o n i t r i l e a g g r e g a t e , a s w e l l a s t h e t o t a l c o n c e n t r a t i o n a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l c o m p o n e n t c o n c e n t r a t i o n i n F i g u r e 3 . 9 f o r t h e c o m p o s i t i o n a l r a n g e s t u d i e d . F r o m F i g u r e 3 . 9 , t h e c o n c e n t r a t i o n o f e a c h c o m p o n e n t i s s h o w n t o c h a n g e i n a n o n l i n e a r m a n n e r , w h e r e t h e m a x i m u m c o n c e n t r a t i o n o f a g g r e g a t e o c c u r s f o r 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r , t h e m i n i m u m c o n c e n t r a t i o n o f a g g r e g a t e o c c u r s f o r 5 8 % a c e t o n i t r i l e - 4 2 % w a t e r , a n d t h e l e a s t f a v o r a b l e a g g r e g a t e t o b e f o r m e d i s t h e m e t h a n o l - a c e t o n i t r i l e . A g a i n , t h e s e r e s u l t s f r o m F i g u r e 3 . 9 i m p l y t h a t t h e a s s u m p t i o n o f l i n e a r a d d i t i v i t y g i v e n b y E q u a t i o n [ 3 . 2 ] i s n o t e n t i r e l y c o r r e c t , a n d E q u a t i o n [ 3 . 2 ] m a y b e m o d i f i e d t o i n c o r p o r a t e a s i x - c o m p o n e n t m i x t u r e , a s s h o w n i n E q u a t i o n [ 3 . 1 0 ] . 5 M ' a m e f h a n o l ¢ m e t h a n o l + 5 a c e t o n i t r i l e ¢ a c e l o n i f r i l e + 5 w a t e r ¢ w a t e r + 5 m e t h a n o I - w a l e r ¢ m e t h a n o I - w a t e r + 5 a c e t o n i f r i l e - w a f e r ¢ a c e f o n i l r i I e - w a f e r + 5 m e f h a n o l - a c e f o n i t r i l e ¢ m e t h a n o I - a c e t o n i t r i l e [ 3 ' 1 0 ] w h e r e 5 m e t h a n o l ~ w a t e n 5 a c e t o n i t r i I e - w a t e r . 5 m e t h a n o I - a c e t o n i l r i l e a r e e q u i v a l e n t S O ' U b i m y p a r a m e t e r ‘ 0 ’ " ‘ 9 a g g r e g a t e s a n d ¢ m e t h a n o I - w a t e r v ¢ a c e t o n i f r i l e ~ w a t e n a n d ¢ m e l h a n o I - a c e t o n i f r i l e a r e t h e v o l u m e f r a c t i o n s o f t h e a g g r e g a t e s . I t i s n o t e w o r t h y t h a t a l l s o l u t e s , r e g a r d l e s s o f t h e n a t u r e o f c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s , d i s p l a y t h e s a m e d i r e c t i o n o f e r r o r a n d t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e d e v i a t i o n i n c r e a s e s w i t h c a p a c i t y f a c t o r . T h e s e r e s u l t s c l e a r l y i l l u s t r a t e t h e d i f f i c u l t y o f p r e d i c t i n g s o l u t e r e t e n t i o n a c c u r a t e l y i n p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s o f a q u e o u s m e t h a n o l a n d a c e t o n i t r i l e . S o l v e n t M o d u l a t i o n S o l u t e r e t e n t i o n i s e x a m i n e d n e x t u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n u s i n g t h e i n d i v i d u a l 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ( A ) a n d 5 8 % a c e t o n i t r i l e - 4 2 % w a t e r ( 8 ) s o l v e n t s y s t e m s . T h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s f o r t h e s e v e n s o l u t e s a r e c o m p a r e d t o t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e s u s i n g E q u a t i o n [ 3 . 8 ] . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 3 . 1 0 , w h e r e t h e c a p a c i t y f a c t o r i s s h o w n a s a l i n e a r f u n c t i o n f o r m o d u l a t i o n s e q u e n c e s w i t h a r e p e t i t i o n r a t e o f a p p r o x i m a t e l y o n e . F o r a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 4 5 % A - 5 5 % B ( F i g u r e 3 . 1 0 , t o p ) , t h e c a p a c i t y f a c t o r s o f a l l s o l u t e s a r e l e s s t h a n t e n a n d s h o w e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e s , r e g a r d l e s s o f t h e n a t u r e o f c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s . A l s o , s o l u t e r e t e n t i o n r e m a i n s r e l a t i v e l y c o n s t a n t w i t h i n c r e a s i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n b e c a u s e t h e s t r e n g t h o f t h e i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s i s t h e s a m e . H o w e v e r , t h e s e l e c t i v i t y v a r i e s w i t h s o l v e n t p r o p o r t i o n , a s s h o w n b y t h e c h a n g i n g e l u t i o n o r d e r o f t h e s o l u t e s t o l u e n e a n d d i p h e n y l a m i n e . I n t h e t o p d i a g r a m o f F i g u r e 3 . 1 0 , d i p h e n y l a m i n e e l u t e s a f t e r t o l u e n e . A s t h e F i g u r e 3 . 1 0 9 3 S o l u t e r e t e n t i o n i n s o l v e n t — m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e s f o r v a r y i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e ( H R . 1 ) . T h e o p e n c i r c l e s ( 0 ) r e p r e s e n t t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h e f i l l e d c i r c l e s ( O ) a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 3 . 8 ] . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 7 . M o d u l a t i o n S e q u e n c e P y r e n e A n t h r a c e n e N a p h t h a l e n e T o l u e n e D i p h e n y l a m i n e N i t r o b e n z e n e P h e n o l M o d u l a t i o n S e q u e n c e P y r e n e A n t h r a c e n e N a p h t h a l e n e T o l u e n e D i p h e n y l o m i n e N i t r o b e n z e n e P h e n o l M o d u l a t i o n S e q u e n c e P y r e n e A n t h r o c e n e N a p h t h a l e n e T o l u e n e D i p h e n y l a m i n e N i t r o b e n z e n e P h e n o l 9 4 F i g u r e 3 . 1 0 C a p a c i t y F a c t o r ( k ) N B A B A B A B A B A B A B A B A B A B . 1 : 1 2 : 2 1 : : ' . ' . ' . ' . ' . ' . ' . ‘ . ’ . ' . ' . ' . ' . ' . ' . 1 ' . 2 1 ' . ' . ' . ' . ' . ‘ . ‘ . ' . ' . ' . ' . ' . ' . ' . 2 : 1 1 2 : 2 2 ? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 : : : : : : : : : : : : . ‘ o ' : : : : : : : : 2 , . 1 1 2 1 : ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ 3 : 2 2 ; . 0 ( 4 5 1 A — 5 5 7 : 8 ) l l 1 I l I l T I T I I I I 0 . ” 2 . 5 0 5 . 0 0 7 . 5 0 1 0 . 0 0 A B A A B A B A A A E A B A B A B A ’ : : . ° : : . - : : : : : : : : : : : r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ; , ' t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 3 0 . : : : : : : : 3 : 2 2 2 1 2 2 3 : 3 3 ( 7 1 m - 2 9 9 : 8 ) 1 l 1 l 1 l 1 l I T I I I T 0 . 0 0 2 . 5 0 1 0 0 7 . 5 0 1 0 . 0 0 A l A fl A I A I A l A fl A | A fl A I A | A A I I I I I I I I I I I I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 ' l - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g p o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o - O : : : : : : : : : ' . 3 . 2 2 2 2 } , ; : : : : : : 3 . 3 0 0 8 ( 9 1 1 A - 9 7 2 8 ) 1 l 1 l 1 l 1 l I I I l I I 0 0 0 2 . 6 0 s e c 7 . 5 0 l 0 . 0 0 9 5 p r o p o r t i o n o f t h e s t r o n g e r p r o t o n d o n o r — a c c e p t o r m o b i l e p h a s e ( 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r ) i s i n c r e a s e d t o 7 1 % A - 2 9 % B ( F i g u r e 3 . 1 0 , c e n t e r ) , d i p h e n y l a m i n e c o e l u t e s w i t h t o l u e n e . Y e t , w i t h t h e f i n a l i n c r e a s e i n t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n t o 9 1 % A - 9 % 8 ( F i g u r e 3 . 1 0 , b o t t o m ) , d i p h e n y l a m i n e e l u t e s p r i o r t o t o l u e n e . T h i s r e v e r s a l i n e l u t i o n o r d e r i l l u s t r a t e s h o w t h e s i m p l e c o n t r o l o f s o l v e n t p r o p o r t i o n c a n b e u s e d t o i n f l u e n c e s p e c i f i c s o l u t e - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s a n d p r o d u c e p r e d i c t a b l e c h a n g e s i n s o l u t e r e t e n t i o n . T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h o s e d e t e r m i n e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f s o l v e n t p r o p o r t i o n i n F i g u r e 3 . 1 1 . A l l s e v e n s o l u t e s d i s p l a y a s t a t i s t i c a l l y r a n d o m e r r o r i n r e t e n t i o n w i t h s o l v e n t s e l e c t i v i t y , c o m p a r e d t o t h e s y s t e m a t i c e r r o r o b s e r v e d w i t h p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s ( F i g u r e 3 . 8 , b o t t o m ) . T h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r s f o r a l l s o l u t e s i s + 2 5 % w i t h a r a n g e o f : 1 1 . 5 % , w h i c h i s w i t h i n t h e c o n f i d e n c e l i m i t s o f t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s ( 1 ) . T h i s a g r e e m e n t i s p a r t i c u l a r l y i m p r e s s i v e c o n s i d e r i n g t h a t t h e m o s t r e t a i n e d s o l u t e ( p y r e n e ) h a s e n c o u n t e r e d a p p r o x i m a t e l y 2 0 s o l v e n t z o n e s . T h i s e x c e l l e n t a g r e e m e n t f u r t h e r s u p p o r t s t h e f u n d a m e n t a l a s s u m p t i o n t h a t s o l u t e - s o l v e n t a n d s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s a r e i n d e p e n d e n t u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . M o r e o v e r , t h e a s s u m p t i o n o f s t e a d y - s t a t e m a s s - t r a n s p o r t p r o c e s s e s b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s , w h i c h w a s p r o p o s e d i n t h e s t r e n g t h s t u d y , a l s o a p p e a r s t o b e v a l i d w h e n s o l v e n t s e l e c t i v i t y i s m o d u l a t e d . C O N C L U S I O N S S o l v e n t m o d u l a t i o n a p p e a r s t o o f f e r a p o w e r f u l a n d v e r s a t i l e s t r a t e g y t o c o n t r o l s o l u t e r e t e n t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . T h e b e n e f i t s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n a r i s e b e c a u s e t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t c o m p o n e n t s a r e s e p a r a t e d s p a t i a l l y a n d t e m p o r a l l y a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n r a t h e r t h a n m i x e d p h y s i c a l l y . S o l u t e r e t e n t i o n m a y b e m o r e a c c u r a t e l y p r e d i c t e d b y u s i n g t h e t i m e - a v e r a g e d b e h a v i o r i n i n d e p e n d e n t s o l v e n t z o n e s t h a n b y e s t i m a t i n g t h e l i k e l y b e h a v i o r i n p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s . F u r t h e r m o r e , s o l v e n t m o d u l a t i o n a l l o w s i n d e p e n d e n t c o n t r o l o f s o l v e n t s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y t o e m u l a t e e i t h e r i s o c r a t i c o r g r a d i e n t e l u t i o n . T h u s , i t i s c o n c l u d e d t h a t s o l v e n t m o d u l a t i o n o f f e r s a s i m p l e , v e r s a t i l e , a n d a c c u r a t e l y m o d e l l e d m e a n s t o c o n t r o l a n d p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . 9 6 F i g u r e 3 . 1 1 T h e r e l a t i v e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d c a p a c i t y f a c t o r s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 3 . 8 ] f o r r e p e t i t i o n r a t e e q u a l l i n g o n e . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s d e s c r i b e d i n F i g u r e 3 . 7 . S o l u t e s : p h e n o l ( V ) , n i t r o b e n z e n e ( I ) , d i p h e n y l a m i n e ( a ) , t o l u e n e ( 0 ) , n a p h t h a l e n e ( V ) , a n t h r a c e n e ( C l ) , p y r e n e ( 0 ) . 0 . 0 0 1 0 . 0 8 0 . 0 2 0 . 0 . 0 0 0 0 — 0 ~ — . 0 3 . . 0 0 1 . . 0 0 1 2 - — ( z ) > 1 / > 1 v 2 0 . 0 - I 1 6 0 . 0 S o l v e n t P r o p o r t i o n ( % A ) l 4 0 . 0 _ o . 9 7 F i g u r e 3 . 1 1 = « i s I n « i s ~ ¢ A I n ( M « b e I n ¢ B ‘ ¢ D I n n o l 3 - 1 A - 2 ] 9 8 A p p e n d i x 3 . 1 D e r l v a t l o n o f S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r f o r a T e r n a r y M o b i l e - P h a s e M i x t u r e u s i n g t h e D l l l M o d e l T h e n o t a t i o n u s e d i n t h i s d e v e l o p m e n t i s i d e n t i c a l t o t h a t u s e d b y D i l l ( 5 ) . F o r a d i s c u s s i o n o f t h e b i n a r y m i x t u r e c a s e a n d t h e l o g i c b e h i n d t h i s a p p r o a c h , t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o t h e a b o v e m e n t i o n e d r e f e r e n c e . I n t h e t h e o r y t h a t f o l l o w s t h e r e i s m i n i m a l d i s c u s s i o n o f t h e t h e o r y i n v o l v e d a n d i s p r e s e n t e d o n l y t o p r e s e r v e t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d . T h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t h e f o l l o w i n g d e v e l o p m e n t i s c o r r e c t , b u t t o t h e b e s t o f m y u n d e r s t a n d i n g i t i s a n a l o g o u s t o t h e m e n t i o n e d r e f e r e n c e . C o n s i d e r a p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t t h a t i s c a l c u l a t e d f r o m t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l s o f a s o l u t e , S , i n a m o b i l e - p h a s e m i x t u r e t h a t i s c o m p o s e d o f c o m p o n e n t s , A a n d B , a n d i n a c h e m i c a l l y b o n d e d , r e v e r s e d - p h a s e s t a t i o n a r y p h a s e , C . I n t h i s m o d e l , i t i s a s s u m e d t h a t t h e r e a r e n x m o l e c u l e s o f t y p e x ( w h e r e x = S , A , B , D ) t h a t a r e r a n d o m l y d i s t r i b u t e d o n a t h r e e - d i m e n s i o n a l l a t t i c e t h a t r e p r e s e n t s t h e v o l u m e o f t h e m o b i l e p h a s e , a n d t h a t e a c h m o l e c u l e o c c u p i e s o n l y o n e s i t e i n t h e l a t t i c e . T h e r e f o r e , a c o m p l e t e l y f i l l e d l a t t i c e p r e s u m e s t h a t : N : n s + n A + n 3 + n D [ 3 . 1 A . 1 ] w h e r e N i s t h e t o t a l n u m b e r o f l a t t i c e s i t e s . T h e e n t r o p y , S m i x , o f t h e s y s t e m i s : S m i x N k w h e r e k i s B o l t z m a n n ’ s c o n s t a n t a n d 4 1 , = n x / N . T h e t o t a l c o n t a c t f r e e e n e r g y , w h i c h i s d u e t o i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s o f t h e m o b i l e p h a s e , i s t h e s u m o f a l l t h e f r e e e n e r g i e s o f c o n t a c t : I : c o n t a c f = m S S W S S ' I ' m A A W A A + m B B W B B + m D D W D D + m S A W S A + m S B W S B 4 ' m S D W S D + m A B W A B + m A D W A D + m e o w a o [ 3 . 1 A . 3 ] 9 9 w h e r e m x y i s t h e n u m b e r o f c o n t a c t s b e t w e e n x a n d y m o l e c u l e s , a n d w x y i s t h e l o c a l f r e e e n e r g y p e r c o n t a c t b e t w e e n x a n d y m o l e c u l e s . T h e n u m b e r o f c o n t a c t s i s r e l a t e d t o t h e n u m b e r o f m o l e c u l e s b y f o u r e q u a t i o n s o f t h e t y p e : z n v = 2 ” I W ' I ' m v x + m v y + m v z [ 3 . 1 A . 4 ] w h e r e z i s t h e n u m b e r o f n e a r e s t n e i g h b o r s a t e a c h l a t t i c e s i t e a n d t h e s u b s c r i p t s i n E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 4 ] a r e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g f o r m : v x y 2 E x p r e s s i o n 1 S A B 0 E x p r e s s i o n 2 A B D 8 E x p r e s s i o n 3 B D S A E x p r e s s i o n 4 D S A B w h i c h i s g e n e r a t e d b y s l i d i n g e a c h r o w b y o n e e l e m e n t t o t h e l e f t . F r o m t h e p r e v i o u s f o r m t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d : z n s = 2 m s s + m S A + m s g + m s o z n A = 2 m A A + m A B + ” M D + ” 7 A 5 a n = 2 m 3 3 + ” ’ 8 0 + ” ’ 8 8 + ” 7 8 A z n o = 2 m m + m o s + m m + m o a [ 3 . 1 A . 5 ] E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 5 ] r e a r r a n g e s t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s : m s s w s s = % ( - m S A - m s e - m s o + z n s ) W 5 3 1 1 1 - E " 7 5 4 w s s - 5 m s a W 5 3 3 m s o w s s + - ; — I n s W S S N l — A m A A W A A ( - m A B ‘ m A D - m A s + z n A ) W M 1 1 = - E m A B W A A - E m A D W A A ' g - m A S W A A + % Z ’ 7 A W A A 1 0 0 1 m B B W B B a E - ( - m B D - m g s - m 3 A + z n 3 ) W 8 8 3 - % m 3 0 w m - % m $ W S S ' g - m B A w A A + - ; — z n 3 w a s 1 m o o w o o = § - ( - m o s - m o A - m o a + z n o ) W o o 1 1 1 1 - E m o s t D - E m m W o o - E m D B W D D + - 2 - 2 n D W D D [ 3 . 1 A . 6 ] C o n s e q u e n t l y f r o m E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 3 ] , i t f o l l o w s t h a t : F o o n r a c r = 1 1 m S A W S A ' E m S A W S S ’ E m S A W A A + 1 1 ” 7 3 8 “ ’ 3 3 ’ E ” 7 3 8 W 3 3 ' ' 2 — m S B “ ’ 3 8 + 1 1 m S D W S D ' E m S D W S S ' E m S D W D D + 1 1 m A D W A D ' g m A D W A A ' - ; — m A D W D D + 1 1 m B D W B D ' E m B D W B B " E m B D W D D + 1 1 1 1 — 2 n w + — z n w + - — z n w + — z n w 2 S S S 2 A A A 2 8 B B 2 D D D [ 3 . 1 1 9 7 ] W i t h f u r t h e r r e a r r a n g e m e n t : [ F c o n t a c f ' T s m i x ] n , q , n g , n o . T [ 3 . 1 A . 1 0 ] 1 0 1 I : c o n t a c t = W W W ( 1 . 5 , . 3 8 * M i j A . [ w - 8 5 + W 8 8 ] m 5 3 . 2 2 W W ( w - 8 8 + w i j D I ' 2 W W W ( w . . - M ; 8 8 ) . . . . [ w , , - M 0 0 ) , " . . . W W ( W a m m j m m . 2 l z n s w s s + 1 2 0 A W A A + 1 e r I B W B B + l z n o w o o [ 3 1 A 8 ] 2 2 2 2 ' ' F i n a l l y , t h e t o t a l f r e e c o n t a c t e n e r g y i s c a l c u l a t e d , w h i c h i s a n e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n c o m p a r e d t o E q u a t i o n [ 7 ] i n r e f e r e n c e 5 : F c o n t a c f _ _ _ k T " S n A Z S A ( n A n B n A n D n g n o + + + “ B [ N ] ” L N ] m £ ~ J Z W s s Z W A A Z W B B z w o o n + — — n + - — - — n + n ( 2 1 1 7 ) 5 ( a n ) A ( Z R T ) B ( 2 1 1 1 ) ” [ 3 ' 1 ” ] T h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e s o l u t e i n t h e s o l v e n t m i x t u r e , A B D , i s : 1 0 2 F r o m e x a m i n a t i o n o f E q u a t i o n s [ 3 . 1 A . 9 ] a n d [ 3 . 1 A . 1 0 ] , t h e f o l l o w i n g g e n e r a l e x p r e s s i o n s c a n b e a p p l i e d t o d e t e r m i n e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f t h e f r e e c o n t a c t e n e r g y w i t h r e s p e c t t o n 3 , w h e r e t h e e x p r e s s i o n o n t h e l e f t s i d e o f t h e s o l i d v e r t i c a l l i n e i s u s e d f o r t h e f i r s t t h r e e t e r m s i n E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 9 ] , t h e e x p r e s s i o n o n t h e r i g h t s i d e o f t h e s o l i d v e r t i c a l l i n e i s u s e d f o r t h e n e x t t h r e e t e r m s i n E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 9 ] , a n d x d e n o t e s t h e s o l u t e S : a l n x n y B Z n y n z _ — Z a n x x y n X - O - n y + n z + n z z a n x y n x + n y + n z + n z z . l e y n y - x x y n x fl y L e t N = fi x + n y + ” 2 + 0 2 2 ( " x + " ’ 4 ' " z + n z z ) 2 n ” x n N = x x y - I v y ' x x y — Z Z i = 1 — ) 8 N = a n x N a n x = X x y ¢ y ' X x y ¢ X 4 ’ ) ’ 3 . = ( Z y z n y n z ) N ' 1 8 N = - ( Z y z n y n z ) N ' 2 = ’ X y z " y " I N 2 C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s f r o m E q u a t i o n s [ 3 . 1 A . 9 ] a n d [ 3 . 1 A . 1 0 ] t h a t : l a F c o n t a c f k T a n s = Z S A ¢ A - Z S / W A I P S + x s a ¢ a - x s a ¢ 8 ¢ s + 7 6 3 0 ¢ D ' 1 5 0 4 ’ 0 « # 5 + - x A B ¢ A ¢ a - 1 . 4 0 8 4 4 5 0 - x a o ¢ 3 ¢ o + [ Z W S S ] 2 k T = 1 3 1 4 ¢ A ( 1 - ¢ s ) + 7 5 5 8 ( I ’ M 1 - ¢ s ) + x s o ¢ o ( 1 - 4 ’ 8 ) + Z W S S ] [ 3 . 1 A . 1 1 ] 1 . 4 3 4 1 4 ¢ B - x A D ¢ A ¢ D ' Z B D ¢ B ¢ D + ( 2 ” 1 0 3 a n d T h e r e f o r e : l i d - 5 % ? - = # a — i s - [ F c o n t a c t ' T S m i x ] n A , n 3 , n o , T a I n ¢ S + ( 2 2 1 8 : ] + I S A ¢ A ( 1 ' ¢ $ ) + 1 3 8 ¢ B ( 1 ' 4 ’ 8 ) + 1 3 0 ¢ D ( 1 : 4 ’ 8 ) + ' X A B ¢ A ¢ 8 ' Z A 0 ¢ A 4 ’ 0 ' X B 0 m y « t o [ 3 . 1 A . 1 3 ] T h e c h e m i c a l p o t e n t i a l f o r t h e s o l u t e a t t h e i n t e r p h a s e b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e i s : w h e r e i . 1 , 2 , . . . L , d e n o t e s t h e p l a n a r l a y e r o f t h e i n t e r p h a s e , n u m b e r e d f r o m t h e i n t e r f a c e , 4 ) , : i s t h e f r a c t i o n o f s i t e s i n t h e l a y e r o c c u p i e d b y s o l u t e m o l e c u l e s , a n d q , - i s a s t a t i s t i c a l w e i g h t w h o s e v a l u e i s b e t w e e n z e r o a n d o n e . A t e q u i l i b r i u m t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l s o f t h e s o l u t e i n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s a r e e q u a l : 1 1 1 ( 5 ) = m e a l s ) [ 3 - I A - 1 5 l C o n s e q u e n t l y , w h e n t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s s m a l l i n b o t h t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t c a n b e d e t e r m i n e d . F o r d i s c u s s i o n o f t h e n e x t t h r e e e x p r e s s i o n s , t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o r e f e r e n c e 5 . 1 0 4 ¢ i Z W S S - _ , 2 9 5 : 1 1 ” ( 6 } d e ‘ ( W ) 1 5 ° “ 4 ’ " * 7 ? * [ 2 2 : 8 7 ? ) + 1 3 1 1 [ I ’ M 1 ' 4 ’ 8 ) + 1 3 3 ¢ B ( ‘ ' 4 ’ 8 ) + 1 3 0 I I I D ( 1 ' 4 ’ 8 ) + ‘ Z A B I P A ¢ B ' X A D ¢ A t i n - 7 5 3 0 m m [ 3 . 1 A . 1 6 ] W i t h r e a r r a n g e m e n t : I " [ 4 " ] = ‘ x $ c + g k " T 1 + Z S A ¢ A + X S B ¢ B + x s o ¢ D + 4 ’ 5 0 1 ' - x A 8 ¢ A ¢ B ‘ X A D ¢ A ¢ D ' Z B D ¢ B ¢ D [ 3 . 1 A . 1 7 ] B e c a u s e [ # 0 = 1 - 4 1 A - 4 1 3 , E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 1 7 ] c a n b e r e w r i t t e n a s : ' " [ ¢ ' ] = ' Z s c + g " 1 + X S A ¢ A + Z S B ¢ B + Z S D ( 1 ' ¢ A ' ¢ 3 ) + ¢ s q i k T - x A 3 ¢ A ¢ B ' Z A D 1 1 M 1 - ¢ A - ¢ B ) - x a o ¢ e ( 1 - A r [ # 8 ) 9 5 1 1 1 7 1 + Z S A ¢ A + x s e ¢ 8 + 7 6 3 0 ' 2 3 0 ” “ 1 8 0 [ # 8 + = 7 6 8 0 + ' Z A B ¢ A ¢ B - o n ¢ A + o n ¢ A ¢ A + x A D ¢ A ¢ a - 1 3 0 « # 8 + 2 5 8 0 ( P B « M + 1 8 0 ¢ B d u e 9 : 5 1 ; ; + “ ( 1 3 . 4 - Z S D - 7 0 4 0 ) + = I S O 7 6 3 0 + « # 8 ( s t - l s o - 1 1 9 0 ) + 2 2 M [ # 3 ( 3 1 1 4 8 + Z A D + Z E D ) + ¢ A Z A D + ¢ B Z B D [ 3 . 1 A . 1 8 ] W i t h r e a r r a n g e m e n t o f [ 3 . 1 A . 1 8 ] , I n K O 2 ( 1 3 0 - 1 5 0 ) [ 3 . 1 A . 2 1 ] 1 0 5 m [ I ” ] ( 1 3 . - 1 . . ) + ( # 5 G I ¢ A ( 1 8 A - 1 5 0 - 1 A 0 ) + 4 ’ 8 ( X S B - l s o ' 1 8 0 ) + 1 M « # 8 ( ' Z A B + X A D + Z E D ) + 4 4 , ? 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C o n s e q u e n t l y , S u b t r a c t i n g E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 2 1 ] f r o m E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 2 0 ] : I n K - I n K o = « P A ( 2 5 8 4 - 1 3 0 - 2 5 . 4 0 ) + ¢ 8 ( Z S B - 7 6 5 0 - 7 6 8 0 ) + 2 2 4 m « # 8 ( u n w r a p - x 4 8 ) + 8 4 1 4 0 + ( 9 8 1 8 0 [ 3 . 1 / 4 . 2 2 1 T h e r e f o r e , i t f o l l o w s t h a t : 1 0 6 “ K i = k 1 = ¢ A [ ( x S A - x $ o - Z A D ) + ¢ A X A D ] + O O ¢ B [ ( Z S B - x s o - 1 8 0 ) + ¢ B X B D ] + « M 4 8 ( Z A D ‘ I ’ Z B D ' Z A B ) [ 3 . 1 A . 2 3 } E x p r e s s i n g E q u a t i o n [ 3 . 1 A . 2 3 } i n a l i n e a r f o r m : 1 1 k 1 1 5 5 ' " ; . 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( 6 5 Z 5 8 S 4 - 1 ( B ' m Z 5 S + 0 D - 1 1 3 . 0 ' Z B 0 4 D ' 2 ) m 0 - ) 4 ) 0 + + 8 ) 4 0 + 7 3 + 1 5 Z 7 2 2 A ( ( D 2 0 + ‘ 0 - x ' 5 7 8 7 ) ( 0 7 7 5 . 2 0 7 6 3 0 - 1 8 5 8 ) 1 3 + ) ] 0 0 ] ] + + 2 6 8 0 [ 3 - I A - 2 7 l 1 0 7 R ” T - T I _ V 1 T ' . I m n K ; m = = ( 1 5 , - 2 5 - , - 5 M ) - 5 M E V ; I n K ; = - 2 5 , ' ( 5 A 2 ¢ - ( 1 5 , - - + 6 f , + 2 5 a 1 s ) ? 6 3 - 1 5 g [ [ 3 3 . . 2 2 A A . 1 ] . 2 1 A + 5 3 ‘ 7 8 ) + ( 5 A ¢ A 4 ' 5 B ¢ B ) 2 + 2 5 1 ' 5 8 ' 5 : [ 3 . 2 A . 4 ] 1 0 8 A p p e n d i x 3 . 2 D e r i v a t i o n o f Q u a d r a t i c R e l a t i o n s h i p o f t h e S o l u t e C a p a c i t y F a c t o r f o r t h e S o l u b i l i t y P a r a m e t e r M o d e l I n t h i s a p p e n d i x , E q u a t i o n s [ 3 . 5 ] a n d [ 3 . 6 ] a r e d e v e l o p e d i n a r i g o r o u s m a t h e m a t i c a l m a n n e r . P r e v i o u s l y i n C h a p t e r 2 , t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t f o r a d i l u t e s o l u t e d i s t r i b u t e d b e t w e e n t w o p h a s e s w a s s h o w n t o b e a f u n c t i o n o f t h e m o l a r v o l u m e o f t h e s o l u t e , V i , a n d t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s o f t h e s o l u t e ( 5 ; ) , t h e m o b i l e p h a s e ( 6 M ) , a n d t h e s t a t i o n a r y p h a s e ( 6 5 ) : w h e r e R i s t h e g a s c o n s t a n t , a n d T i s t h e a b s o l u t e t e m p e r a t u r e . U p o n s q u a r i n g E q u a t i o n [ 3 . 2 A . 1 ] : a n d n o t i n g f o r a b i n a r y m i x t u r e t h a t : 5 M = 5 A ¢ A + 5 3 4 ’ 3 [ 3 . 2 A . 3 ] w h e r e 5 A a n d 5 3 a r e t h e s o l u b i l i t y p a r a m e t e r s a n d 0 A a n d 4 1 3 a r e t h e v o l u m e f r a c t i o n s o f t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s o f t h e m o b i l e p h a s e , i t f o l l o w s t h a t : l w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : 5 : I n K i = - 2 6 1 ' 5 A ¢ A - 2 5 i 5 8 « # 8 + ( 5 A 4 1 0 1 ) 2 + 2 5 A 5 8 M « i s + V i ( 5 8 4 ’ 8 ) 2 + 2 5 1 ' 5 8 ' 5 5 [ 3 . 2 A . 5 ] I n K ; = - 2 6 1 ° 5 A ( 1 - 4 ’ 8 ) 2 5 1 6 3 4 1 3 4 8 4 0 ' ¢ B ) ) 2 + 2 5 A 5 8 ( 1 _ 4 ’ 8 ) ¢ 8 + E V ; l % i n K j ? = ( 6 , - - 8 , 9 2 - ( 5 1 - 5 3 ) ? [ 3 . 2 A . 8 ] 1 0 9 N e x t , b e c a u s e [ M + 0 3 = 1 , E q u a t i o n [ 3 . 2 A . 5 ] c a n b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e f r a c t i o n o f 8 : ( 5 3 ” ) 2 + 2 6 , : 6 s - 6 g 2 2 2 = 5 8 4 8 2 5 3 5 A ¢ B + 6 i ¢ 8 + - 2 5 i 5 8 ¢ 8 + 2 5 i 5 A ¢ 8 + 2 6 8 5 A ¢ 8 - 2 5 i ¢ 8 + ' 2 5 1 ' 5 “ ( 5 . 2 4 + 2 @ 5 8 5 5 [ 3 . 2 A . 6 ] E q u a t i o n [ 3 . 2 A . 6 ] r e a r r a n g e s t o : i v ] : I n K , ‘ = 0 2 ( 6 3 - 2 5 8 5 A + 0 1 2 4 ) + ¢ 3 ( - 2 5 , : 5 3 + 2 6 , 0 2 1 + 2 6 3 6 , 4 2 b i ) + [ 3 . 2 A . 7 ] - 2 5 , 5 A + 6 i + 2 5 , - 6 3 - 6 2 5 C o n s e q u e n t l y , t h e n a t u r a l l o g a r i t h m o f c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t i s q u a d r a t i c a l l y r e l a t e d t o t h e v o l u m e f r a c t i o n o f B . I n a d d i t i o n , t h e c o e f f i c i e n t s i n E q u a t i o n [ 3 . 2 A . 7 ] a r e e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s : ( 5 3 - 5 , 4 ) 2 = o f , - 2 5 3 5 A “ s f ; ( 5 r 5 3 ) 2 - ( 6 ; - 5 A ) 2 - ( 6 3 - 6 , 1 0 2 = - 2 5 1 6 3 + 2 6 , 0 4 4 - 2 6 3 6 , 4 2 0 , 2 4 ( 5 1 - 5 , 1 0 2 - ( 5 r 5 5 ) 2 = - 2 5 i 5 A + 0 3 : 4 - 2 5 , 0 3 6 : F u r t h e r m o r e , t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t a t 4 1 3 = 0 ( ¢ A = 1 ) , K , ° , i s e a s i l y s h o w n t o b e e q u a l t o : I 5 ‘ 7 7 r 1 1 ] ; k ’ , = ¢ § ( 5 3 - 1 5 , 1 ) 2 + ¢ 3 [ ( 5 , - - 1 5 1 ; ) 2 - ( 1 5 , - - 1 5 , 1 ) 2 - ( 6 3 - 6 1 0 2 ] [ 3 . 2 A . 1 0 ] 1 1 0 F o r r e v e r s e d - p h a s e c h r o m a t o g r a p h y , t h i s c a s e i s e q u i v a l e n t t o d e t e r m i n i n g t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t i n 1 0 0 % w a t e r . I f t h e p h a s e r a t i o , 8 , i s a s s u m e d c o n s t a n t , t h e r a t i o o f c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t s i s e q u i v a l e n t t o t h e r a t i o o f s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s : V i V 1 V i K 1 9 V i “ 1 9 K - k - E I h l ( , - - R _ T i n i r O = 5 1 h [ — ’ ] = fl I h [ — ' — ] [ 3 . 2 A . 9 ] C o n s e q u e n t l y , E q u a t i o n [ 3 . 2 A . 7 ] c a n b e e x p r e s s e d i n a l i n e a r f o r m b y s u b t r a c t i n g E q u a t i o n [ 3 . 2 A . 8 ] a n d i t f o l l o w s t h a t : w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g l i n e a r f o r m : ¢ B k 9 k . i . - 1 - “ [ 4 ] - 4 3 8 7 : ; ( 5 8 - 5 A ) 2 + % [ ( 5 i - 5 B ) 2 - ( 5 r 5 A ) 2 - ( 5 8 - 5 A ) 2 ] [ 3 . 2 . 4 . 1 1 ] I C o n s e q u e n t l y , a l i n e a r r e l a t i o n s h i p i s o b t a i n e d b y p l o t t i n g ( 1 / ¢ 3 ) I n ( k ; / k ; 0 ) a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e o r g a n i c m o d i f i e r ( 4 1 3 ) i n t h e m o b i l e p h a s e . 1 1 1 A p p e n d i x 3 . 3 C a l c u l a t i o n o f S o l u t e R e t e n t i o n P r o g r a m f o r S o l v e n t M o d u l a t i o n P r o g r a m N a m e : M o d u l a t e _ P u r l t y . f o r ; 1 1 W r i t t e n b y : J o n l - l . W a h l D I S C L A I M E R T h e a u t h o r m a k e s n o w a r r a n t i e s , e x p r e s s o r i m p l i e d , t h a t t h e p r o g r a m s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r a r e f r e e o f e r r o r , o r a r e c o n s i s t e n t w i t h a n y p a r t i c u l a r s t a n d a r d o f m e r c h a n t a b i l i t y , o r t h a t t h e y w i l l m e e t y o u r r e q u i r e m e n t s f o r a n y p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h e y s h o u l d n o t b e r e l i e d o n f o r s o l v i n g a p r o b l e m w h o s e i n c o r r e c t s o l u t i o n c o u l d r e s u l t i n i n j u r y t o a p e r s o n o r l o s s o f p r o p e r t y . I f y o u d o u s e t h e p r o g r a m s i n s u c h a m a n n e r , i t i s a t y o u r o w n r i s k . T h e a u t h o r d i s c l a i m s a l l l i a b i l i t y f o r d i r e c t o r c o n s e q u e n t i a l d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m y o u r u s e o f t h e p r o g r a m s . T h e a u t h o r p r e s u m e s t h a t t h e u s e r i s a b l e t o r e a d c o m p u t e r p r o g r a m s w r i t t e n i n F O R T R A N a n d h a s a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e F O R T R A N p r o g r a m m i n g l a n g u a g e ' . T h e s e p r o v i s i o n s a r e a p r e r e q u i s i t e t o u s e o r m o d i f y t h i s p r o g r a m ; h o w e v e r , i f p r o b l e m s d o a r i s e t h e n e i t h e r e x a m i n e t h e s o u r c e c o d e o r r e w r i t e t h e p r o g r a m , d o n o t c o n t a c t t h e a u t h o r . P r o g r a m D e s c r i p t i o n T h e p r o g r a m t o c a l c u l a t e s o l u t e r e t e n t i o n i s w r i t t e n i n t h e F O R T R A N 7 7 l a n g u a g e a n d e x e c u t e d o n a V A X s t a t i o n l l c o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ) . B e c a u s e t h e p r o g r a m i s r e l a t i v e l y s i m p l e t o u n d e r s t a n d a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e p r o g r a m i s n o t i n c l u d e d . i n g e n e r a l , t h e u s e r i s r e q u i r e d t o e n t e r t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s f o r t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s a n d t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e s b e i n g i n v e s t i g a t e d . U n d e r t h e g e n e r a l o p e r a t i n g ' N o t e : T h e l i n e n u m b e r s l i s t e d a l o n g t h e l e f t m a r g i n a r e n o t p a r t o f t h e a c t u a l p r o g r a m a n d a r e o n l y l i s t e d a s a r e f e r e n c e t o i n d i v i d u a l l i n e s o f c o d e . A l l c o m m e n t l i n e s a r e d e n o t e d b y a n a s t e r i s k s y m b o l H i n c o l u m n o n e a n d a l l c o n t i n u a t i o n m a r k e r s a r e d e n o t e d b y a n a m p e r s a n d s y m b o l ( 8 . ) i n c o l u m n s i x , i n t e r m s o f t h e F O R T R A N l a n g u a g e . 1 1 2 c o n d i t i o n s o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e , t h e r e s h o u l d b e n o r e s t r i c t i o n s o n t h e v a l u e s o f t h e d a t a e n t e r e d i n t o t h i s p r o g r a m . B a s e d u p o n t h e s e d a t a , t h e p r o g r a m d e t e r m i n e s t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r u n d e r t h e s p e c i f i e d c o n d i t i o n s , a n d d e t e r m i n e s t h e p e r c e n t a g e o f t h e f i n a l s o l v e n t z o n e . I n a d d i t i o n , t h e c o n s e c u t i v e s o l v e n t z o n e p u r i t i e s a r e a l s o d e t e r m i n e d f o r e a c h s o l u t e , w h i c h a r e b a s e d u p o n t h e t h i r d m e t h o d d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 . 1 1 3 M o d u l a t e _ P u r l t y . f o r ; 1 1 * i * T h i s p r o g r a m c a l c u l a t e s t h e c a p a c i t y f a c t o r o f s o l u t e * b a s e d u p o n t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . 1 k t I N T E G E R P L U G S , S O L U T E , M O B I L E , I , J , C O U N T , T T S C R N , T T F I L E , & P N D E X , P R D E X * R E A L S E Q , S O L C A P , S U M , P E R C E T , F R A C , K , T E M P , H , L E N G T H , & P U R I T Y , D I S T M P , D I S T 1 * C H A R A C T E R F I L E N M * 2 0 , A N S W * 1 , Q U E S T * 1 ' k D I M E N S I O N S E Q ( 1 0 0 , 2 ) , S O L C A P I 1 6 , 6 ) , R E P ( 6 ) . & D I S T ( 1 0 0 ) , P U R I T Y t h O ) * P A R A M E T E R ( T T S C R N = 5 ) P A R A M E T E R ( T T F I L E = 2 ) I C A L L O P E N I O ( T T F I L E , T T S C R N , F I L E N M ) * L E N = 1 T Y P E = 2 t * W R I T E ( T T S C R N . * ) ' E N T E R C O L U M N L E N G T H - - C M ' R E A D ( T T S C R N , * ) L E N G T H * W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R P L A T E H E I G H T - - C M ' R E A D ( T T S C R N , * ) H * W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R N O . O F S O L U T E S ' R E A D ( T T S C R N , * ) S O L U T E i W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R N O . O F M O B I L E P H A S E S U S E D ' R E A D ( T T S C R N , * ) M O B I L E * D O 2 0 0 I = 1 , S O L U T E D O 3 0 0 J = 1 , M O B I L E W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R C A P A C I T Y F A C T O R F O R S O L U T E ' , I , & ' M O B I L E P H A S E ' , J R E A D ( T T S C R N . * ) S O L C A P I I , J ) 3 0 0 C O N T I N U E 2 0 0 C O N T I N U E * 2 5 D O 5 0 I = 1 , P L U G S S E Q ( I , L E N ) = 0 S E Q ( I , T Y P E ) = 0 S O C O N T I N U E * D O 5 0 2 I = 1 , 1 0 0 D I S T ( I ) = O P U R I T Y ( I ) = O 5 0 2 C O N T I N U E I 0 O I O I I G 1 1 4 i 5 0 0 0 W R I T E ( T T S C R N , * ) ' D O Y O U W H I C H T O S T A N D A R D I Z E T H E R E P . R A T E ? 6 0 s - - Y O R N ' R E A D ( T T S C R N , 5 0 0 1 ) A N S W I F ( A N S W . E Q . ' N ' ) T H E N W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R N O . O F P L U G S T O B E L O O K E D A T ' R E A D ( T T S C R N , * ) P L U G S D O 1 0 0 I = 1 , P L U G S ' 7 0 W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R F R A C T I O N O F P L U G ' , I R E A D ( T T S C R N , 1 " ) S E Q ( I , L E N ) W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R T Y P E O F M O B I L E P H A S E ; 1 = A , 2 = B , 3 = C ' R E A D ( T T S C R N , * ) S E Q I I , T Y P E ) 1 0 0 C O N T I N U E E L S E I F ( A N S W . E Q . ' Y ' ) T H E N W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R N O . O F P L U G S T O B E L O O K E D A T ' R E A D ( T T S C R N , * ) P L U G S 8 0 W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R F R A C T I O N O F P L U G 1 ' , R E A D ( T T S C R N , * ) S E Q ( 1 , L E N ) W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R T Y P E O F M O B I L E P H A S E ; 1 = A , 2 = B , 3 = C ' R E A D ( T T S C R N , * ) S E Q ( l , T Y P E ) W R I T E ( T T S C R N , . , - ' W R I T E ( T T S C R N , * ) ' ' W R I T E ( T T S C R N , * ) ' N E X T , T H E R E P E A T I N G S E Q . W I L L B E E N T E R E D ' W R I T E ( T T S C R N , * ) ' - W R I T E ( T T S C R N , * ) ' ' 9 0 D O 5 5 0 0 J = 1 , M O B I L E W R I T E ( T T S C R N , * ) ' E N T E R F R A C T I O N O E S O L V E N T ' , J , s ' 1 = A , 2 = B , 3 = C , . . . ' R E A D ( T T S C R N , * ) R E P ( J ) 5 5 0 0 C O N T I N U E T E S T = S E Q I l . T Y P E ) + 1 . D O 5 6 0 0 K = 2 , P L U G S I F ( T E S T . G T . M O B I L E ) T E S T = l 1 0 0 S E Q I K , L E N ) = R E P ( T E S T ) S E O I K , T Y P E ) = T E S T T E S T = T E S T + 1 5 6 0 0 C O N T I N U E E L S E G O T O 5 0 0 0 E N D I P D O 1 0 0 0 I = 1 , S O L U T E 1 1 0 * C O U N T — S U M = K = O T E M P = 0 P E R C E T — D I S T M P 4 0 0 C O U N T = C O U N T + 1 S U M = T E M P 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 2 0 0 2 1 0 0 2 2 0 0 2 8 0 2 8 5 t 1 0 0 0 & 1 1 5 T E M P = T E M P + ( S E Q ( C O U N T , L E N ) / S O L C A P ( I , S E Q ( C O U N T , T Y P E ) ) ) D I S T M P = D I S T M P + ( ( S E Q ( C O U N T , L E N ) * L E N G T H ) / S O L C A P ( I , S E Q ( C O U N T , T Y P E ) ) ) D I S T ( C O U N T ) = D I S T M P I F ( T E M P . L T . 1 . 0 ) G O T O 4 0 0 P E R C E T = ( 1 . 0 - S U M ) * ( S O L C A P ( I , S E Q ( C O U N T , T Y P E ) ) / S E Q ( C O U N T , L E N ) ) D O 1 2 0 0 J = 1 , C O U N T I F ( J . E Q . C O U N T ) T H E N F R A C = P E R C E T E L S E F R A C = 1 E N D I F K = K + ( S E Q ( J , L E N ) * ( ( 1 . 0 + S O L C A P ( I , S E Q ( J , T Y P E ) ) ) / S O L C A P ( I , S E Q ( J , T Y P E ) ) ) * F R A C ) C O N T I N U E D O 2 1 0 0 P N D E X = 1 , C O U N T I F ( P N D E X . E 0 . 1 ) T H E N P U R I T Y ( P N D E X ) = ( 3 . 0 * S Q R T ( H ) * S Q R T ( D I S T ( P N D E X ) ) ) / ( S E Q ( P N D E X , L E N ) * L E N G T H ) E L S E I F ( P N D E X . E Q . C O U N T ) T H E N P U R I T Y ( P N D E X ) = ( 3 . 0 * S Q R T ( H ) ' S Q R T ( D I S T ( P N D E X - 1 ) ) ) / ( S E Q ( P N D E X , L E N ) * L E N G T H * P E R C E T ) E L S E P U R I T Y ( P N D E X ) = ( 3 . 0 * S Q R T ( H ) * ( S Q R T ( D I S T ( P N D E X - 1 ) ) + S Q R T ( D I S T ( P N D E X ) ) ) ) / ( S E Q ( P N D E X , L E N ) * L E N G T H ) E N D I F C O N T I N U E W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) W R I T E ( T T S C R N , 2 8 0 ) ' C A P A C I T Y F A C T O R F O R S O L U T E ' , I , ' I S ' , K - 1 . 0 W R I T E ( T T S C R N , 2 8 5 ) ' S O L U T E ' , I , ' C O M E S O U T I N ' , P E R C E T ' 1 0 0 . , ' P E R C E N T O F P L U G ' , C O U N T W R I T E ( T T F I L E , 2 8 0 ) ' C A P A C I T Y F A C T O R F O R S O L U T E ' , I , ' I S ' , K - 1 . 0 W R I T E ( T T F I L E , 2 8 5 ) ' S O L U T E ' , I , ' C O M E S O U T I N ' , & P E R C E T * 1 0 0 . , ' P E R C E N T O F P L U G ' , C O U N T W R I T E ( T T S C R N , * ) ' - - T H E P U R I T Y S E Q U E N C E I S - - ' W R I T E ( T T F I L E , * ) ' - - T H E P U R I T Y S E Q U E N C E I S - - ' W R I T E ( T T S C R N , * ) ' P L U G N O . ' , ' P U R I T Y ' W R I T E ( T T F I L E , * ) ' P L U G N O . ' , ' P U R I T Y ' D O 2 2 0 0 P R D E X = 1 , C O U N T W R I T E ( T T S C R N , * ) P R D E X , ' ' , ( l . - P U R I T Y ( P R D E X ) ) * 1 0 0 . , ' % ' W R I T E ( T T F I L E , * ) P R D E X , ' ' , ( 1 . - P U R I T Y ( P R D E X ) ) * 1 0 0 . , ' % ' C O N T I N U E F O R M A T ( 1 X , A 2 8 , I 3 , A 4 , F 8 . 5 ) F O R M A T ( 1 X , A 8 , I 3 , A 1 4 , F 6 . 2 , A 1 6 , I 4 ) C O N T I N U E ‘ 1 1 6 L i n e i W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) i t I F ( M O B I L E . E 0 . 2 ) T H E N 1 9 0 W R I T E ( T T S C R N , 2 5 0 ) ' S O L U T E N O . ' , ' K l ' , ' K Z ' W R I T E ( T T F I L E , 2 5 0 ) ‘ S O L U T E N O . ' , ' K l ' , ' K 2 ' 2 5 0 F O R M A T ( 1 x , A 1 0 , A 1 0 , A 1 7 ) E N D I F * I F ( M O B I L E . E 0 . 3 ) T H E N W R I T E ( T T S C R N , 2 5 5 ) ' S O L U T E N O . ' , ' K l ' , ' K 2 ' , ' K 3 ' W R I T E ( T T F I L E , 2 5 5 ) ' S O L U T E N O . ' , ' K l ' , ' K 2 ' , ' K 3 ' 2 5 5 F O R M A T ( 1 x , A 1 0 , A 1 0 , A 1 7 , A 1 7 ) E N D I F 2 0 C ) . D O 2 0 0 0 I N D E x = 1 , S O L U T E W R I T E ( T T S C R N , 2 6 0 ) I N D E X , ( S O L C A P ( I N D E x , J N D E X ) , & J N D E X = 1 , M O B I L E ) W R I T E ( T T F I L E , 2 6 0 ) I N D E X , ( S O L C A P ( I N D E x , J N D E X ) , a J N D E x = 1 , M O B I L E ) 2 6 0 F O R M A T ( 1 x , I 4 , 4 F 1 7 . 3 ) 2 0 0 0 C O N T I N U E * W R I T E ( T T S C R N , * ) 2 1 0 W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) W R I T E ( T T S C R N , * ) ' C O L U M N P L U G S E Q U E N C E I S T H E F O L L O W I N G : 8 1 . 0 = A , 2 . 0 = B , 3 . 0 = C ' W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) ' C O L U M N P L U G S E Q U E N C E I S T H E F O L L O W I N G : 8 1 . 0 = A , 2 . 0 = B , 3 . 0 = C ' W R I T E ( T T F I L E , * ) 2 2 C ) I F ( P L U G S . L E . 8 ) T H E N W R I T E ( T T S C R N , 2 6 5 ) ( ( S E Q ( R O W , C O L ) , C O L = L E N , T Y P E ) , & R O W = 1 , P L U G S ) W R I T E ( T T F I L E , 2 6 5 ) ( ( S E O ( R O W , C O L ) , C O L = L E N , T Y P E ) , I R O W = 1 , P L U G S ) 2 6 5 F O R M A T ( 1 x , 1 0 0 ( F 8 . 3 , F 4 . 1 ) ) E L S E D O 1 0 1 0 R O W = 1 , L U G S 2 3 0 W R I T E ( T T S C R N , 2 6 6 ) ( S E Q ( R O W , C O L ) , C O L = L E N , T Y P E ) W R I T E ( T T F I L E , 2 6 6 ) ( S E O ( R O W , C O L ) , C O L = L E N , T Y P E ) 2 6 6 F O R M A T ( 1 x , 2 ( F 8 . 3 , F 4 . 1 ) ) 1 0 1 0 C O N T I N U E E N D I F W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T S C R N , * ) W R I T E ( T T F I L E , * ) 2 4 0 W R I T E ( T T F I L E , * ) W R I T E ( T T S C R N , * ) ' A N O T H E R R U N W / S A M E S O L U T E S A N D M O B I L E & P H A S E S ? - - Y O R N ' ‘ 1 1 7 R E A D ( T T S C R N , 5 0 0 1 ) Q U E S T I F ( Q U E S T . E Q . ' Y ' ) G O T O 2 5 5 0 0 1 F O R M A T ( A ) 2 5 0 E N D S U B R O U T I N E O P E N I O ( O U T P U T , T T S C R N , T T F I L E ) 2 6 H ) * I N T E G E R O U T P U T , T T S C R N , S T A T C H A R A C T E R F I L E N M * 2 0 2 0 0 W R I T E ( T T S C R N , 1 ) ' E N T E R O U T P U T F I L E N A M E ' 1 F O R M A T ( 5 X , A ) R E A D ( T T S C R N , 2 ) F I L E N M F O R M A T ( A ) 2 7 0 O P E N ( U N I T = O U T P U T , F I L E = F I L E N M , S T A T U S = 8 ' N E W ' ) I F ( S T A T . N E . 0 ) T H E N W R I T E ( T T S C R N , 3 ) S T A T , F I L E N M 3 F O R M A T ( 5 X , ' E R R O R N U M B E R ' I S , 1 X , 8 ' O P E N I N G F I L E ' , 1 X , A , 1 X , 6 ' P L E A S E T R Y A G A I N . ' ) G O T O 2 0 0 E N D I F 1 2 8 0 * E N D 1 1 8 A p p e n d i x 3 . 4 C o m p u t e r P r o g r a m t h a t C o n t r o l s t h e S o l v e n t S e l e c t i o n V a l v e P r o g r a m N a m e : H V A L V E 3 . B A S e r t t e n b y : J o n H . W a h l D I S C L A I M E R T h e a u t h o r m a k e s n o w a r r a n t i e s . e x p r e s s o r i m p l i e d . t h a t t h e p r o g r a m s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r a r e f r e e o f e r r o r , o r a r e c o n s i s t e n t w i t h a n y p a r t i c u l a r s t a n d a r d o f m e r c h a n t a b i l i t y , o r t h a t t h e y w i l l m e e t y o u r r e q u i r e m e n t s f o r a n y p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h e y s h o u l d n o t b e r e l i e d o n f o r s o l v i n g a p r o b l e m w h o s e i n c o r r e c t s o l u t i o n c o u l d r e s u l t i n i n j u r y t o a p e r s o n o r l o s s o f p r o p e r t y . I t y o u d o u s e t h e p r o g r a m s i n s u c h a m a n n e r , i t i s a t y o u r o w n r i s k . T h e a u t h o r d i s c l a i m s a l l l i a b i l i t y f o r d i r e c t o r c o n s e q u e n t i a l d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m y o u r u s e o f t h e p r o g r a m s . T h e a u t h o r p r e s u m e s t h a t t h e u s e r i s a b l e t o r e a d c o m p u t e r p r o g r a m s w r i t t e n i n B A S I C a n d h a s a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e B A S I C p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . T h e s e p r o v i s i o n s a r e a p r e r e q u i s i t e t o u s e o r m o d i f y t h i s p r o g r a m ; h o w e v e r , i t p r o b l e m s d o a r i s e t h e n e i t h e r e x a m i n e t h e s o u r c e c o d e o r r e w r i t e t h e p r o g r a m , d o n o t c o n t a c t t h e a u t h o r . P r o g r a m D e s c r i p t l o n T h e p r o g r a m t o c o n t r o l t h e s o l v e n t s e l e c t i o n v a l v e ( M o d e l E C S D 6 P X N 6 , V a l c o I n s t r u m e n t s C o . ) i s w r i t t e n i n t h e B A S I C p r o g r a m m i n g l a n g u a g e a n d e x e c u t e d o n a I B M X T c o m p u t e r . B e c a u s e t h e p r o g r a m i s r e l a t i v e l y s i m p l e t o u n d e r s t a n d a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e p r o g r a m i s n o t i n c l u d e d . I n g e n e r a l , t h e u s e r i s r e q u i r e d t o e n t e r t h e p e r c e n t a g e o f t i m e t h a t a i n d i v i d u a l s o l v e n t w i l l b e u s e d . T h i s i s p e r t o r m e d t o r e a c h s o l v e n t s y s t e m t h a t i s u s e d . N e x t , t h e p r o g r a m d e t e r m i n e s t h e a p p r o p r i a t e t i m e t o s p e n d a t e a c h s o l v e n t p o r t i n o r d e r t o p r o d u c e t h e c o r r e c t s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . I n a d d i t i o n , a m a n u a l o v e r r i d e o p t i o n i s a v a i l a b l e . w h i c h a l l o w s t h e u s e r t h e m a n u a l l y e n t e r t h e d e s i r e d t i m e s t o s p e n d a t e a c h s o l v e n t p o r t . U n d e r t h e g e n e r a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n s o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e , t h e r e s h o u l d b e n o 1 1 9 r e s t r i c t i o n s o n t h e v a l u e s o f t h e e n t i r e d d a t a i n t o t h i s p r o g r a m , a n d t h e c o l o r s m e n t i o n e d w h e n t h e p r o g r a m i s e x e c u t e d r e f e r s t o t h e c o l o r w i r e s o n t h e v a l v e p o r t s . H N U O W 1 2 0 H V A L V E 3 . B A S 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0 5 5 0 6 0 0 6 5 0 7 0 0 7 5 0 8 0 0 8 5 0 9 0 0 9 5 0 1 0 0 0 1 0 5 0 1 1 0 0 1 1 5 0 1 2 0 0 1 2 5 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 4 0 0 1 4 5 0 1 5 0 0 1 5 5 0 1 6 0 0 1 6 5 0 1 7 0 0 1 7 5 0 1 8 0 0 1 8 5 0 1 9 0 0 1 9 5 0 2 0 0 0 2 0 5 0 2 1 0 0 2 1 5 0 2 2 0 0 2 2 5 0 2 3 0 0 2 3 5 0 2 4 0 0 2 4 5 0 2 5 0 0 2 5 5 0 2 6 0 0 2 6 5 0 2 7 0 0 2 7 5 0 2 8 0 0 2 8 5 0 2 9 0 0 2 9 5 0 C L S P R I N T D I M P O R T ( 6 , 2 ) O U T G H 3 B C , 2 5 5 - O P R I N T " S W I T C H I N G S E Q U E N C E " P R I N T " " P R I N T " D O Y O U A S = I N K E Y S I F A S = " Y " I F A S = " N " I F A S < > " N " I F A $ < > " Y " P R I N T " " T H E N G O T O 7 4 0 0 T H E N G O T O 7 5 0 T H E N G O T O 4 5 0 T H E N G O T O 4 5 0 C L S : P R I N T " Y o u h a v e n o w e n t e r e d - - - t h e f r e q u e n c y c y c l e . 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B A S " W I S H M A N U A L O V E R R I D E - - Y " R E T E N T I O N T I M E O F S O L U T E - - M I N . " ; " N U M B E R O F S O L V E N T S - - 1 , " S E Q U E N C E O F S O L V E N T S I N L I N E S - - 1 ( A ) , " P E R C E N T O F T I M E I N A " ; " P E R C E N T O F " P E R C E N T O F " F R E Q U E N C Y O F S O L V E N T S e g . T H E N G O T O 2 5 5 0 T H E N G O T O 2 3 0 0 T H E N G O T O 2 3 0 0 ' D I M E N S I O N P O R T ( S O V . T Y P E , T I M E ) ' S E T P A R A L L E L P O R T & H 3 B C O U T L O O R N " P R I N T " " R E T T 2 , 3 " ; N S O L % 2 ( 8 ) . 3 ( C ) " " b r o w n " " b l u e " " w h i t e " " y e l l o w " " o r a n g e " " r e d " C o l o r i s " ; C O L O U R $ I N P U T P O R T ( I , 1 ) P C T M A T I M E I N B " ; T I M E I N C " ; P C T M B P C T M C 1 , 2 , . . . " ; F % " D O Y O U W I S H T O R E - E N T E R T H E I N P U T D A T A - - Y O R N " / F % / F % / F % ' D E T E R . T I M E I N S O L V . A P E R P O R T ' D E T E R . T I M E I N S O L V . B P E R P O R T ' D E T E R . T I M E I N S O L V . C P E R P O R T Y O U R F R E Q . S E Q U E N C E - - Y O R N " 3 0 0 0 3 0 5 0 3 1 0 0 3 1 5 0 3 2 0 0 3 2 5 0 3 3 0 0 3 3 5 0 3 4 0 0 3 4 5 0 3 5 0 0 3 5 5 0 3 6 0 0 3 6 5 0 3 7 0 0 3 7 5 0 3 8 0 0 3 8 5 0 3 9 0 0 3 9 5 0 4 0 0 0 4 0 5 0 4 1 0 0 4 1 5 0 4 2 0 0 4 2 5 0 4 3 0 0 4 3 5 0 4 4 0 0 4 4 5 0 4 5 0 0 4 5 5 0 4 6 0 0 4 6 5 0 4 7 0 0 4 7 5 0 4 8 0 0 4 8 5 0 4 9 0 0 4 9 5 0 5 0 0 0 5 0 5 0 5 1 0 0 5 1 5 0 5 2 0 0 5 2 5 0 5 3 0 0 5 3 5 0 5 4 0 0 5 4 5 0 5 5 0 0 5 5 5 0 5 6 0 0 5 6 5 0 5 7 0 0 5 7 5 0 5 8 0 0 5 8 5 0 5 9 0 0 5 9 5 0 6 0 0 0 6 0 5 0 6 1 0 0 6 1 5 0 1 2 1 I F A S a " Y " T H E N 6 0 5 0 8 1 1 1 0 0 I F A S - " N " T H E N G O T O 3 3 0 0 I F A S < > " Y " T H E N G O T O 2 9 5 0 I F A S < > " N " T H E N G O T O 2 9 5 0 R E M R E M R E M T H E N E X T L I N E S D E T E R M I N E T H E T I M E S S P E N T A T E A C H P O R T - - P O R T / S O L V E N T R E M I N D E P E N D E N T . J X = 1 : C T = 0 : P A S = 0 I F P O R T ( J X , 1 ) < > P O R T ( J X + 1 , 1 ) T H E N G O T O 3 6 0 0 ' D E T E R . l s T . P O R T S W H I C H J X - J X + 1 : I F J x > 6 T H E N G O T O 3 6 0 0 ' D I F F E R I N S O L V E N T S G O T O 3 4 5 0 I - J X : C N T = 1 P R I N T J X I = I + 1 I F I = > 7 T H E N I = 1 C T = C T + 1 I F C N T = > 2 T H E N G O T O 4 8 0 0 T M F R - 1 : J = 0 : C N T = 1 J = J + 1 I X = I I F I X = 6 T H E N I X = 0 J I X a J + I X P R I N T " I " ; I ; " J " : J ; " I X " ; I X ; " J I X " ; J I X ; " T M F R " ; T M F R I F J I X > 6 T H E N G O T O 4 3 0 0 G O T O 4 5 0 0 P A S = P A S + 1 I F P A S > 6 T H E N P A S = 0 J I X s P A S P R I N T " J I X " ; J I X ; " P A S " : P A S P R I N T " P O R T ( I , 1 ) " ; P O R T ( I , 1 ) ; " P O R T ( J I X , 1 ) " : P O R T ( J I X , 1 ) I F P O R T ( I , 1 ) < > P O R T ( J I X , 1 ) T H E N G O T O 4 8 5 0 I F P O R T ( I , 1 ) = P O R T ( J I X , 1 ) T H E N T M F R = T M F R + 1 C N T = C N T + 1 I F T M F R = ( 7 - N S O L % ) T H E N G O T O 4 8 5 0 G O T O 3 9 5 0 C N T - C N T - 1 I F P O R T ( I , 1 ) = 1 T H E N P O R T ( I , 2 ) = T I M E A / T M F R I F P O R T ( I , 1 ) = 2 T H E N P O R T ( I , 2 ) = T I M E B / T M F R I F P O R T ( I , 1 ) = 3 T H E N P O R T ( I , 2 ) = T I M E C / T M F R I F C T = > 6 T H E N G O T O 5 2 0 0 G O T O 3 7 0 0 R E M R E M P R I N T " D O Y O U W I S H T O S E E Y O U R E V E N T S E Q U E N C E - - Y O R N " A 5 = I N K E Y S I F A S = " Y " T H E N 6 0 8 0 8 9 9 0 0 I F A $ - " N " T H E N G O T O 5 6 0 0 I F A $ < > " Y " T H E N G O T O 5 2 5 0 I F A S < > " N " T H E N G O T O 5 2 5 0 R E M R E M P R I N T " " P R I N T " D O Y O U W I S H T O R E - E N T E R T H E I N P U T D A T A - - Y O R N " C 5 = I N K E Y S I F G S = " Y " T H E N G O T O 2 5 0 I F C S 8 " N " T H E N G O T O 5 9 5 0 I F C 3 < > " N " T H E N G O T O 5 7 0 0 I F C 5 < > " Y " T H E N G O T O 5 7 0 0 R E M P R I N T " " P R I N T " H I T S ( S T A R T ) T O S T A R T Y O U R S E Q U E N C E " V S a I N K E Y S I F V S 8 " 8 " T H E N G O T O 6 2 5 0 6 2 0 0 6 2 5 0 6 3 0 0 6 3 5 0 6 4 0 0 6 4 5 0 6 5 0 0 6 5 5 0 6 6 0 0 6 6 5 0 6 7 0 0 6 7 5 0 6 8 0 0 6 8 5 0 6 9 0 0 6 9 5 0 7 0 0 0 7 0 5 0 7 1 0 0 7 1 5 0 7 2 0 0 7 2 5 0 7 3 0 0 7 3 5 0 7 4 0 0 7 4 5 0 7 5 0 0 7 5 5 0 7 6 0 0 7 6 5 0 7 7 0 0 7 7 5 0 7 8 0 0 7 8 5 0 7 9 0 0 7 9 5 0 8 0 0 0 8 0 5 0 8 1 0 0 8 1 5 0 8 2 0 0 8 2 5 0 8 3 0 0 8 3 5 0 8 4 0 0 8 4 5 0 8 5 0 0 8 5 5 0 8 6 0 0 8 6 5 0 8 7 0 0 8 7 5 0 8 8 0 0 8 8 5 0 8 9 0 0 8 9 5 0 9 0 0 0 9 0 5 0 9 1 0 0 9 1 5 0 9 2 0 0 9 2 5 0 1 2 2 I F V 5 < > " 5 " T H E N G O T O 6 1 0 0 R E M O U T 6 H 3 B C , 2 5 5 - 6 4 F O R I I 1 T O 1 0 : N E X T I O U T S H 3 B C , 2 5 5 - 0 R E M R E M Y = I N T ( T I M E R ) F O R I = 1 T O 6 X I Y Y - I N T ( T I M E R ) ' U S E S I N T E R N A L T I M E R O F I B M P R I N T X , Y , S E C % , I , P O R T ( I , 2 ) , C O U N T I F Y < X O R Y - X = 1 T H E N S E C % = S E C % + 1 ' S E E I F O N E S E C . P A S S E D I F S E C i = I N T ( P O R T ( I , 2 ) + . 5 ) T H E N G O T O 6 9 5 0 ' S E E I F P O R T T I M E P A S S E D G O T O 6 6 5 0 S E C } - 0 O U T 8 H 3 8 C , 2 5 5 - 1 2 8 ' S E T L I N E 7 L 0 T O S T E P V A L V E F O R J * 1 T O 1 0 : N E X T J ' D E L A Y F O R V A L V E T O R E A D L I N E O U T 8 H 3 B C , 2 5 5 - 0 ' S E T O U T P U T P O R T L O N E X T I G O T O 6 5 5 0 R E M R E M R E M T H I S M A N U A L O V E R R I D E . D I M M A N O V ( 1 2 0 , 2 ) C L S : P R I N T " T h i s i s m a n u a l o v e r r i d e " : P R I N T " " F O R I N D E X = 1 0 0 0 T O 4 4 0 S T E P - 2 0 S O U N D I N D E X , . 5 N E X T I N D E X R E M M A R Y S - " G F E - F G G G " R E M P L A Y " M B T 1 0 0 0 3 L 8 ; X M A R Y S ; P 8 F F F 4 " R E M P L A Y " G B - B - 4 ; X M A R Y S ; C F F G F E - . . . . " I N P U T " N U M B E R O F P O S I T I O N S T O B E U S E D - - M A X . 1 2 0 " , N U M C % F O R I = 1 T O N U M C % I N P U T " P O R T N U M B E R " , M A N O V ( I , 1 ) I N P U T " T I M E A T P O R T - - M I N . " , T M M I N M A N O V ( I , 2 ) = T M M I N * 6 0 N E X T I P R I N T " " R E M P R I N T " Y O U R S E T U P I S A S F O L L O W S " P R I N T " " F O R I = 1 T O N U M C % P R I N T " P O R T " ; M A N O V ( I , 1 ) ; " F O R A T I M E O F " : M A N O V ( I , 2 ) / 6 0 ; " M I N . " N E X T I P R I N T " D O Y O U W I S H T O R E - E N T E R T H E I N P U T D A T A - - Y O R N " C $ 3 I N K E Y S I F C 5 = " Y " T H E N G O T O 7 8 0 0 I F C 5 * " N " T H E N G O T O 8 7 5 0 I F C 5 < > " N " T H E N G O T O 8 5 0 0 I F C 5 < > " Y " T H E N G O T O 8 5 0 0 R E M P R I N T " " P R I N T " T Y P E A N Y K E Y T O S T A R T S E Q U E N C E " B S ' I N K E Y S I F B S = " " T H E N G O T O 8 9 0 0 R E M O U T £ H 3 B C , 2 5 5 - 6 4 : F O R P = 1 T O 1 0 : N E X T P O U T £ H 3 B C , 2 5 5 - 0 Y ' I N T ( T I M E R ) ' U S E S I N T E R N A L T I M E R O F I B M F O R J = 1 T O N U M C % O U T 8 H 3 B C , 2 5 5 - ( 1 6 + I N T ( M A N O V ( J , 1 ) ) ) ' S E T S P O R T T O N E W P O S I T I O N , 1 6 + I N P U T E N A B L E 9 3 0 0 X = Y I S F O R 1 2 3 9 3 5 0 Y - I N T ( T I M E R ) 9 4 0 0 P R I N T S E C } , I N T ( M A N O V ( J , 2 ) ) 9 4 5 0 I F Y < X O R Y - X = 1 T H E N S E C t = S E C % + 1 ' S E E I F O N E S E C . H A S P A S S E D 9 5 0 0 I F S E C t - I N T ( M A N O V ( J , 2 ) + . 5 ) T H E N G O T O 9 6 0 0 ' I F S O G O T O V A L V E M O V E M E N T 9 5 5 0 G O T O 9 3 0 0 9 6 0 0 S E C % 8 0 9 6 5 0 F O R I - 1 T O 1 0 : N E X T I ' D E L A Y 9 7 0 0 O U T £ H 3 B C , 2 5 5 - 0 ' S E T S V A L V E L 0 9 7 5 0 N E X T J 9 8 0 0 R E M 9 8 5 0 G O T O 9 2 0 0 9 9 0 0 R E M T H I S S U B R O U T I N E I S F O R T H E G R A P H I C S 9 9 5 0 R E M 1 0 0 0 0 C L S ' C L E A R S C R E E N 1 0 0 5 0 S C R E E N 2 ' S E T S C R E E N F O R H I G H R E S O L U T I O N 1 0 1 0 0 C I R C L E ( 2 7 5 , 1 5 0 ) , 1 0 0 , , , , 2 / 3 1 0 1 5 0 F O R D = 0 T O 3 6 0 S T E P 6 0 ' D R A W S P O K E S 1 0 2 0 0 R D - I N T ( R N D ( 1 0 ) * 1 0 0 0 ) : I F R D < 4 0 T H E N R D = R D + 4 0 1 0 2 5 0 S O U N D R D , 1 1 0 3 0 0 D R A W " T A = D ; B U 6 0 ; 0 1 5 ; B U 1 5 " 1 0 3 5 0 X ‘ - ( P O I N T ( 1 ) ) / 1 2 1 0 4 0 0 Y 0 - ( P O I N T ( 0 ) ) / 9 1 0 4 5 0 D R A W " B D 9 0 " 1 0 5 0 0 L O C A T E X % , Y % ' L O C A T E T E X T C U R S O R 1 0 5 5 0 T E M P ' ( D / 6 0 ) - 1 1 0 6 0 0 I F ( D / 6 0 ) = 1 T H E N T E M P = 6 1 0 6 5 0 I F D ' 0 T H E N T E M P = 5 1 0 7 0 0 P R I N T " P O R T " ; T E M P ; " , S O L V . " ; P O R T ( T E M P , 1 ) ; " , " : I N T ( P O R T ( T E M P , 2 ) + . 5 ) ; " S E C . " 1 0 7 5 0 N E X T D 1 0 8 0 0 K E Y O F F 1 0 8 5 0 L O C A T E 1 , 1 1 0 9 0 0 P R I N T " H I T A K E Y T O R E T U R N " 1 0 9 5 0 A $ = I N K E Y S : I F A S = " “ T H E N G O T O 1 0 9 5 0 1 1 0 0 0 C L S : S C R E E N 0 , 0 : K E Y O N 1 1 0 5 0 R E T U R N 5 6 0 0 1 1 1 0 0 R E M 1 1 1 5 0 R E M 1 1 2 0 0 R E M T H I S I S T H E G R A P H I C S F O R T H E F R E Q . T A B L E 1 1 2 5 0 R E M 1 1 3 0 0 C L S 1 1 3 5 0 S C R E E N 2 1 1 4 0 0 P S E T ( 1 0 , 1 0 0 ) : C N T G = P O R T ( I , 1 ) : S C A = 8 1 1 4 5 0 X % = ( P O I N T ( 1 I ‘ I S ) / 9 1 1 5 0 0 Y % ' ( P O I N T ( O ) ) / 9 1 1 5 5 0 L O C A T E X % , Y % : P R I N T " 0 M I N . " 1 1 6 0 0 F S O L % = F ! * N S O L % 1 1 6 5 0 S C - I N T ( ( ( ( T I M E A + T I M E B + T I M E C + ( F S O L % * 2 ) ) / R E T ) * 6 5 0 ) + 1 0 ) 1 1 7 0 0 E T - 1 : S C C = S C 1 1 7 5 0 F O R E - 1 T O 1 0 0 1 1 8 0 0 E T ' E T + . 0 2 5 1 1 8 5 0 S C C = S C C / E T 1 1 9 0 0 I F ( S C C * F % ) < ( 6 5 0 - F S O L % * 2 ) T H E N G O T O 1 2 0 5 0 1 1 9 5 0 S C C = S C 1 2 0 0 0 N E X T E 1 2 0 5 0 F O R I ‘ 1 T O F S O L % 1 2 1 0 0 R D - I N T ( R N D ( 1 0 ) * 1 0 0 0 ) : I F R D < 4 0 T H E N R D = 4 0 + R D 1 2 1 5 0 S O U N D R D , 1 1 2 2 0 0 I F C N T G > N S O L % T H E N C N T G = 1 1 2 2 5 0 I F C N T G = 1 T H E N T = T I M E A 1 2 3 0 0 I F C N T G - 2 T H E N T = T I M E B 1 2 3 5 0 I F C N T G = 3 T H E N T = T I M E C 1 2 4 0 0 S C - I N T ( ( ( ( T / R E T ) ' 6 5 0 ) + 1 0 ) / E T ) 1 2 4 5 0 L I N E - ( S C A + 2 , 1 0 0 ) 1 2 5 0 0 1 2 5 5 0 1 2 6 0 0 1 2 6 5 0 1 2 7 0 0 1 2 7 5 0 1 2 8 0 0 1 2 8 5 0 1 2 9 0 0 1 2 9 5 0 1 3 0 0 0 1 3 0 5 0 1 3 1 0 0 1 3 1 5 0 1 3 2 0 0 1 3 2 5 0 1 3 3 0 0 1 3 3 5 0 1 3 4 0 0 1 3 4 5 0 1 3 5 0 0 1 3 5 5 0 1 3 6 0 0 1 3 6 5 0 1 3 7 0 0 1 3 7 5 0 1 3 8 0 0 1 3 8 5 0 1 3 9 0 0 1 3 9 5 0 1 4 0 0 0 1 4 0 5 0 1 4 1 0 0 1 4 1 5 0 1 4 2 0 0 1 4 2 5 0 1 4 3 0 0 1 2 4 L I N E - ( S C A + 2 , 5 0 ) S C A = S C A + S C L I N E - ( S C A , 5 0 ) L I N E - ( S C A , 1 0 0 ) R E M C N T G a C N T G + 1 N E X T I X % 8 ( ( P O I N T ( 1 ) ) - 1 5 ) / 9 Y % = ( ( P O I N T ( O ) ) - 1 5 ) / 9 L O C A T E X % , Y % : P R I N T ( R E T / 6 0 ) ; " M I N . " R E M R E M S C A = 3 0 P S E T ( 3 0 , 2 7 5 ) F O R J = 1 T O N S O L % I F J = 1 T H E N T = T I M E A I F J = 2 T H E N T T I M E B I F J = 3 T H E N T = T I M E C S C - I N T ( ( ( ( T / R E T ) * 6 5 0 ) + 1 0 ) / E T ) S C A = J * 6 5 + S C A L I N E - ( S C A , 2 7 5 ) L I N E - ( S C A , 2 2 5 ) S C A = S C A + S C L I N E - ( S C A , 2 2 5 ) L I N E - ( S C A , 2 7 5 ) X % = ( P O I N T ( 1 ) - 1 5 ) / 1 2 Y % - ( P O I N T ( 0 ) + 5 ) / 1 2 L O C A T E X % , Y % : P R I N T J ; " , " ; I N T ( T + . 5 ) ; " S E C . " N E X T J L O C A T E 1 4 , 1 P R I N T " L E G E N D " K E Y O F F L O C A T E 2 4 , 1 P R I N T " H I T A K E Y T O R E T U R N " A $ = I N K E Y S : I F A S = " " T H E N G O T O 1 4 2 0 0 C L S : S C R E E N 0 , 0 : K E Y O N R E T U R N 3 2 5 0 “ . 9 1 0 . 9 $ 9 ° 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 1 2 5 R E F E R E N C E S W a h l , J . H . ; E n k e , C . G . ; M c G u f f i n , V . L . A n a l . C h e m . 1 9 9 0 , 6 2 , 1 4 1 6 . J a n d e r a , P . ; C h u r a c e k , J . G r a d i e n t E l u t i o n i n C o l u m n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y : T h e o r y a n d P r a c t i c e . J . C h r o m a t o g r . L i b . , E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h i n g , N e w Y o r k , 1 9 8 5 , V o l . 3 1 . H o r v a t h , C s . ; M e l a n d e r , W . ; M o l n a r , I . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 6 , 1 2 5 , 1 2 9 . M a r t i r e , D . E . ; B o e h m , H E . J . P h y s . C h e m . 1 9 8 3 , 8 7 , 1 0 4 5 . D i l l , K . A . J . P h y s . C h e m . 1 9 8 7 , 9 1 , 1 9 8 0 . Y i n g , P . T . ; D o r s e y , J . G . ; D i l l , K . A . A n a l . C h e m . 1 9 8 9 , 6 1 , 2 5 4 0 . H i l d e b r a n d , J . H . ; S c o t t , R . L . T h e S o l u b i l i t y o f N o n e l e c t r o l y t e s ; R e i n h o l d : N e w Y o r k , 1 9 5 0 . B a r t o n , A . F . M . C h e m . R e v . 1 9 7 5 , 7 5 , 7 3 1 . K a r g e r , B . L . ; S n y d e r , L . R . ; H o r v a t h , C s . A n I n t r o d u c t i o n t o S e p a r a t i o n S c i e n c e ; W i l e y : N e w Y o r k , 1 9 7 3 . T i j s s e n , H . ; B i l l i e t , H . A . H . ; S c h o e n m a k e r s , P . J . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 6 , 1 2 2 , 1 8 5 . S c h o e n m a k e r s , F . J . ; B i l l i e t , H . A . H . ; d e G a l a n , L . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 1 , 2 1 8 , 2 6 1 . S c h o e n m a k e r s , F . J . ; B i l l i e t , H . A . H . ; d e G a l a n , L . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 2 , 1 5 , 2 0 5 . L o c k e , D . C . J . C h r o m a t o g r . S c i . , 1 9 7 7 , 1 5 , 3 9 3 . S n y d e r , L . R . ; K i r k l a n d , J . J . I n t r o d u c t i o n t o M o d e r n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y , 2 n d e d . ; W i l e y : N e w Y o r k , 1 9 7 9 . K o w a l s k a , T . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 9 , 2 7 , 6 2 8 . K o w a l s k a , T . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 9 , 2 8 , 3 5 4 . K a t z , E . D . ; O g a n , K . ; S c o t t , R . P . W . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 6 , 3 5 2 , 6 7 . K a t z , E . D . ; L o c h m u l l e r , C . H . ; S c o t t , R . P . W . A n a l . C h e m . 1 9 8 9 , 6 1 , 3 4 9 . L o c h m u l l e r , C . H . ; H a m z a v i - A b e d i , M . A . ; O u , C . - X . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 7 , 3 8 7 , 1 0 5 . G l u c k m a n , J . C . ; H i r o s e , A . ; M c G u f f i n , V . L . ; N o v o t n y , M . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 3 , 1 7 , 3 0 3 . G i l p i n , F I . K . J . C h r o m a t o g r . S c i . 1 9 8 4 , 2 2 , 3 7 1 . G i l p i n , R . K . A n a l . C h e m . 1 9 8 5 , 5 7 , 1 4 6 5 A . S c o t t , R . P . W . ; S i m p s o n , C . F . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 , 1 9 7 , 1 1 . C a r r , J . W . ; H a r r i s , J . M . A n a l . C h e m . 1 9 8 7 , 5 9 , 2 5 4 6 . C o l e , L . A . ; D o r s e y , J . G . A n a l . C h e m . 1 9 9 0 , 6 2 , 1 6 . C H A P T E R 4 T H E O R Y O F S O L V E N T Z O N E D I S P E R S I O N A N D S O L V E N T Z O N E P U R I T Y I N T R O D U C T I O N I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , e a c h s o l v e n t z o n e i s a s s u m e d t o b e o f k n o w n d u r a t i o n a n d c o m p o s i t i o n a n d t o h a v e m i n i m a l i n t e r m i x i n g o c c u r i n g b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s . H o w e v e r , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s i n h e r e n t i n a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m w i l l u l t i m a t e l y l i m i t t h e p u r i t y o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e , e v e n w h e n s o l v e n t z o n e s a r e i n t r o d u c e d o n t o t h e c o l u m n u n d e r o p t i m a l e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s . T h i s s o l v e n t z o n e i n t e r m i x i n g i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 . 1 , w h e r e a n i n i t i a l c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f t h e s o l v e n t z o n e i s e x p r e s s e d b y a s i m p l e r e c t a n g u l a r i m p u l s e f u n c t i o n o f f i n i t e w i d t h . B e c a u s e o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c b r o a d e n i n g p r o c e s s , s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r m i x i n g o c c u r s a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s . A s a r e s u l t o f t h i s s o l v e n t z o n e i n t e r m i x i n g , d e v i a t i o n s c a n o c c u r b e t w e e n t h e r e t e n t i o n p r e d i c t e d t h e o r e t i c a l l y a n d t h a t m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y u s i n g E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] . T h e s e d e v i a t i o n s a r e t h o u g h t t o a r i s e f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , i n t h e m i x e d s o l v e n t r e g i o n b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s , n o n i d e a l s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s c a n c a u s e n o n i d e a l s o l u t e - s o l v e n t i n t e r a c t i o n s . C o n s e q u e n t l y , t h i s n o n i d e a l s o l u t e b e h a v i o r c a n r e s u l t i n s o l u t e r e t e n t i o n d e v i a t i n g f r o m t h a t p r e d i c t e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . S e c o n d , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s p r e s e n t i n c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m s w i l l e v e n t u a l l y l i m i t t h e e r r o r i n s o l v e n t z o n e l e n g t h . T h i s i s s e e n i n T a b l e 2 . 1 , w h e r e t h e u n c e r t a i n t y i n t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h ( o x m ) s u b s t a n t i a l l y a f f e c t s t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y ( a c t o r . M o r e o v e r , t h e d e v i a t i o n s i n s o l u t e r e t e n t i o n w i l l b e c o m e p r o g r e s s i v e l y w o r s e a s t h e s o l v e n t z o n e s d e c r e a s e i n l e n g t h ( i n c r e a s i n g r e p e t i t i o n r a t e ) b e c a u s e : 1 . T h e n u m b e r o f i n d i v i d u a l s o l v e n t — s o l v e n t i n t e r f a c e s t h a t a s o l u t e e n c o u n t e r s d u r i n g a s e p a r a t i o n i n c r e a s e s . 1 2 6 F i g u r e 4 . 1 1 2 7 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m i x i n g p r o c e s s o c c u r i n g w i t h i n a s o l v e n t z o n e . I n i t i a l l y a r e c t a n g u l a r i m p u l s e f u n c t i o n i s u s e d t o m o d e l a s o l v e n t z o n e . D u r i n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s , m i x i n g o c c u r s a t t h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e s . C o n s e q u e n t l y , t h e o r i g i n a l s o l v e n t z o n e i s m o d i f i e d b y t h e m i x i n g p r o c e s s , w h i c h i s a s s u m e d t o b e a G a u s s i a n o p e r a t o r . A s a r e s u l t , t h e f i n a l s o l v e n t z o n e p r o f i l e , w h i c h i s a c o n v o l u t i o n o f a r e c t a n g u l a r i m p u l s e f u n c t i o n a n d a G a u s s i a n f u n c t i o n , i s o b t a i n e d . 1 2 8 F i g u r e 4 . 1 T fi fi — ‘ v i ‘ v r r v v ' v v " T Y f ' v v v ' v I r w a j 1 q - - l - - q ‘ v r v ' v v a v v a v v v ' v a f V D i s t a n c e 1 2 9 2 . T h e f r a c t i o n o f “ p u r e ” s o l v e n t w i t h i n a s o l v e n t z o n e d e c r e a s e s ( i . e . t h e m i x e d r e g i o n i n c o r p o r a t e s a l a r g e r f r a c t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e ) w i t h s m a l l e r s o l v e n t z o n e s . 3 . T h e l a t e r e l u t i n g s o l u t e s a r e e x p o s e d t o a g r e a t e r n u m b e r o f l a r g e r i n t e r m i x e d r e g i o n s t h a n e a r l i e r e l u t i n g s o l u t e s b e c a u s e t h e a m o u n t o f i n t e r m i x e d r e g i o n b e t w e e n s o l v e n t z o n e s i s g r e a t e r f u r t h e r a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . A s a r e s u l t o f s o l v e n t z o n e i n t e r m i x i n g , p r e c i s e p r e d i c t i o n o f t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r r e q u i r e s a d e t a i l e d u n d e r s t a n d i n g a n d d e s c r i p t i o n o f t h e d i s p e r s i o n o f s o l v e n t z o n e s o n a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . B y e s t i m a t i n g t h e e x t e n t o f i n t e r m i x i n g b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t m o d u l a t e d z o n e s , p r a c t i c a l l i m i t s a n d o p e r a t i n g c o n d i t i o n s m a y b e d e t e r m i n e d f o r t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . T o a c c o m p l i s h t h i s g o a l , t h r e e m e t h o d s h a v e b e e n e x a m i n e d t o e s t i m a t e t h e e x t e n t o f s o l v e n t z o n e d i s p e r s i o n a n d t o d e f i n e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y ( Z P ) . T h e f i r s t m e t h o d i s b a s e d o n t h e r a t i o b e t w e e n t h e i n i t i a l a n d f i n a l h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e . T h e s e c o n d m e t h o d i s b a s e d o n t h e r a t i o b e t w e e n t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l v e n t z o n e v a r i a n c e . T h e t h i r d m e t h o d i s b a s e d o n t h e r a t i o b e t w e e n t h e i n t e r m i x e d r e g i o n l e n g t h a n d t h e t o t a l s o l v e n t z o n e l e n g t h . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , e a c h m e t h o d i s t h e o r e t i c a l l y d e v e l o p e d , a n d t h e l i m i t a t i o n s a n d a d v a n t a g e s o f e a c h m e t h o d a r e a d d r e s s e d . 1 3 0 S O L V E N T Z O N E H E I G H T D e f l n l t l o n a n d T h e o r y B e c a u s e a s o l v e n t z o n e m i g r a t e s a l o n g a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s i n h e r e n t i n c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m s c a u s e i n t e r m i x i n g t o o c c u r b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s . A s t h e q u a n t i t y o f i n t e r m i x e d r e g i o n b e t w e e n s o l v e n t s i n c r e a s e s , t h e m a x i m u m h e i g h t o f t h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s w i l l e v e n t u a l l y b e g i n t o d e c r e a s e . T h i s d e c r e a s e i n s o l v e n t z o n e h e i g h t c a n b e u s e d a s a m e a s u r e o f t h e p u r i t y o f t h e s o l v e n t z o n e . C o n s e q u e n t l y . t h e z o n e p u r i t y ( Z P ) c a n b e d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e f i n a l h e i g h t ( 0 1 ( 0 ) t o t h e i n i t i a l h e i g h t ( C i m ) o f t h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f t h e s o l v e n t z o n e a s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : P g c w ) T 0 ) [ 4 . 1 ] F r o m E q u a t i o n 4 . 1 , i t i s s e e n t h a t t h e z o n e p u r i t y r a n g e s f r o m a v a l u e o f o n e f o r a n u n p e r t u r b e d s o l v e n t z o n e , t o a v a l u e o f z e r o f o r a c o m p l e t e l y m i x e d s o l v e n t z o n e . A t h e o r e t i c a l m o d e l o f t h i s d e f i n i t i o n o f z o n e p u r i t y r e q u i r e s a n e x p l i c i t m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f a s e r i e s o f s o l v e n t z o n e s a s t h e y p r o p a g a t e a l o n g a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . A p e r i o d i c s q u a r e w a v e f u n c t i o n i s c h o s e n t o m o d e l a s e r i e s o f r e c t a n g u l a r s o l v e n t z o n e s a t a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B . B y F o u r i e r a n a l y s i s , t h i s s q u a r e w a v e c a n b e r e p r e s e n t e d b y a f u n d a m e n t a l s i n e w a v e o f f r e q u e n c y e q u a l t o t h a t o f t h e p e r i o d i c f r e q u e n c y o f t h e s q u a r e w a v e p l u s i n - p h a s e s i n e w a v e s o f h i g h e r o d d h a r m o n i c s . T h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e a t a n y g i v e n t i m e a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( C ( t ) ) i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 1 ) : _ . . 4 H ) _ 2 2 0 ( 1 ) — 0 0 2 , 2 0 — r r ( 2 n + 1 ) e x p [ 2 ( 2 n + 1 ) ( r r f d o o L ) I x s i n [ ( 2 n + 1 ) ( 2 n l ) ( t - ( 3 ) ] [ 4 . 2 ] w h e r e C o i s t h e i n i t i a l b a s e l i n e r e s p o n s e , H / i s t h e i n i t i a l r e s p o n s e h e i g h t , f i s t h e f r e q u e n c y o f t h e s q u a r e w a v e . O ' C O L i s t h e s q u a r e r o o t o f t h e c o l u m n v a r i a n c e i n u n i t s o f t i m e , t , t n i s t h e r e t e n t i o n t i m e , a n d n i s a s u m m i n g i n d e x f o r t h e s i n e w a v e s o f h i g h e r o d d h a r m o n i c s . ( N o t e : I n 1 3 1 t h e r e f e r e n c e c i t e d f o r E q u a t i o n [ 4 . 2 ] , A t y p o g r a p h i c a l e r r o r o c c u r s i n t h e e q u i v a l e n t e q u a t i o n w i t h i n t h e j o u r n a l a r t i c l e ) F o r s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e f i n a l z o n e h e i g h t i s c a l c u l a t e d a t t h e c e n t e r p o s i t i o n o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e . T h i s p o s i t i o n i s d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 2 ] w h e r e t i s e q u a l t o 1 / 4 o f t h e p e r i o d o f t h e s q u a r e w a v e , t 3 i s e q u a l t o z e r o , 1 i s e q u a l t o R R I t ) ” , a n d H ) i s e q u a l t o o n e . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t t h e f i n a l h e i g h t a t t h e c e n t e r o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e p r o f i l e i s : G I G ? ) = 2 I t — ( Z — I I T I — I e x p [ - 2 ( 2 n + 1 ) 2 [ fi g — c o i r ] x s i r 1 [ g - ( 2 n + 1 ) ] [ 4 3 ] n - O A s a r e s u l t , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s c a l c u l a t e d b y u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 3 ] t o d e t e r m i n e t h e h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e f o r b o t h a p e r t u r b e d a n d u n p e r t u r b e d s o l v e n t z o n e ( s e e A p p e n d i x 4 . 1 f o r c o m p u t e r p r o g r a m ) . I f t h e m i n i m u m p e r m i s s i b l e z o n e p u r i t y i s a r b i t r a r i l y d e f i n e d a s 9 5 % , t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s n e c e s s a r y t o f u l f i l l t h i s r e q u i r e m e n t c a n b e d e t e r m i n e d . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y s e l e c t i n g r e p r e s e n t a t i v e c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a n d s u b s e q u e n t l y d e t e r m i n i n g t h e c o r r e s p o n d i n g r a n g e o f p e r m i s s i b l e s o l v e n t m o d u l a t i o n c o n d i t i o n s . T h e d i s p e r s i o n c o n t r i b u t e d b y t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i s u s u a l l y e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p l a t e h e i g h t ( H ) , w h i c h i s t h e c o l u m n v a r i a n c e ( 0 2 0 0 ) ) p e r u n i t l e n g t h ( L ) . A l t h o u g h m a n y t h e o r e t i c a l e q u a t i o n s f o r t h e p l a t e h e i g h t c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e , m o s t r e p r e s e n t a s u m o f t h e c o n t r i b u t i o n s r e s u l t i n g f r o m m u l t i p l e p a t h s ( A ) , l o n g i t u d i n a l d i f f u s i o n ( B ) , a n d m a s s t r a n s f e r p r o c e s s e s ( C ) . 2 0 ' H : - ( I I a A + § + C u u [ 4 . 4 ] A n e q u a t i o n o f t h i s f o r m p r e d i c t s a m i n i m u m i n t h e p l a t e h e i g h t a s a f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y ( u ) . A t t h e o p t i m u m v e l o c i t y , t h e c o l u m n v a r i a n c e i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 2 d p L . T h u s , t h e s o l v e n t z o n e h e i g h t i s a f u n c t i o n o f b o t h t h e p a r t i c l e d i a m e t e r ( d p ) a n d c o l u m n l e n g t h ( L ) . F o r a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n o f s p e c i f i e d p a r t i c l e d i a m e t e r a n d c o l u m n l e n g t h , t h e z o n e p u r i t y d e c r e a s e s n o n l i n e a r l y w i t h r e p e t i t i o n r a t e . F i g u r e 4 . 2 i l l u s t r a t e s t h i s d e c r e a s e i n z o n e p u r i t y f o r a n i n e f f i c i e n t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( d p = 1 0 u m , L = 1 0 c m ) a n d a h i g h l y e f f i c i e n t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( ( 1 , , = 3 p m , L = 1 0 0 c m ) . A s t h e r e p e t i t i o n r a t e i n c r e a s e s , a n i n d i v i d u a l F i g u r e 4 . 2 1 3 2 S o l v e n t z o n e p u r i t y ( C f U ) / C ; ( t ) ) a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r ( A ) a n i n e f f i c i e n t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( 6 1 , , = 1 0 u m , L = 1 0 c m ) a n d ( B ) a h i g h l y e f f i c i e n t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n ( d p = 3 p m , L = 1 0 0 c m ) ; o p e r a t e d a t o p t i m u m v e l o c i t y ( H = O Z C O L / L = 2 d , , ) . W i t h i n c r e a s i n g p l a t e h e i g h t , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e a r e r e d u c e d . b p — - ~ h ~ E E 2 6 m 8 3 3 $ I c o ; 1 3 3 F i g u r e 4 . 2 o o o _ . r u b ? P ( r c o r — p t h r - , o r b L ' _ . O 0 0 0 0 0 0 0 0 o “ I o o ‘ 9 . o O O l \ . t o O O ( I ) ! O / ( 1 ) ‘ O M u n d e u o z m e m o s 0 0 ° . 0 O O ) O r T I I l I T T U l U I I U l r I T T l T T V T I T I I I ' I T T I ' I I I I I I I I T r T T U 1 3 4 s o l v e n t z o n e b e c o m e s a s m a l l e r f r a c t i o n o f t h e e n t i r e c o l u m n l e n g t h . C o n s e q u e n t l y , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s r e d u c e d b e l o w t h e a l l o w a b l e 9 5 % p u r i t y l e v e l , w h i c h a r b i t r a r i l y d e f i n e s t h e m a x i m u m p r a c t i c a l r e p e t i t i o n r a t e f o r t h a t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n a t o p t i m u m l i n e a r v e l o c i t y . A t v e l o c i t i e s a b o v e o r b e l o w t h e o p t i m u m v a l u e , t h e c o l u m n v a r i a n c e i n c r e a s e s a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 4 . 4 ] , a n d t h e m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e i s c o n c u r r e n t l y r e d u c e d . l e l t a t l o n s S e v e r a l l i m i t a t i o n s o f t h e s o l v e n t z o n e h e i g h t m e t h o d r e s t r i c t i t s u t i l i t y f o r d e t e r m i n i n g t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y . F i r s t , t h e p u r i t y o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e r e p e t i t i o n r a t e . I n s t e a d , a s i m p l e , d i r e c t , a n d l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n z o n e p u r i t y a n d r e p e t i t i o n r a t e i s p r e f e r a b l e , a l t h o u g h a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n d o e s e x i s t ( E q u a t i o n [ 4 . 3 ] ) . S e c o n d , i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h i s m e t h o d , i t i s a s s u m e d t h a t a G a u s s i a n p r o c e s s d e s c r i b e s t h e c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s . C o m m o n l y , o n - c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s a r e a s s u m e d t o b e h a v e a s G a u s s i a n o p e r a t o r s ; h o w e v e r , e x t r a - c o l u m n p r o c e s s e s m a y b e G a u s s i a n , e x p o n e n t i a l , o r o t h e r f u n c t i o n s ( 2 . 3 ) . T h i r d , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y c a n b e d e t e r m i n e d o n l y a t a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B b e c a u s e t h e m o d e l a s s u m e s a p e r i o d i c s q u a r e w a v e o f f r e q u e n c y f r e p r e s e n t i n g t h e m o d u l a t i n g s o l v e n t z o n e s . T h e s e v e r i t y o f t h i s l i m i t a t i o n , h o w e v e r , c a n b e d e c r e a s e d b y a l l o w i n g t h e s m a l l e s t i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e t o d i c t a t e t h e f r e q u e n c y , I , b e c a u s e t h e o t h e r l a r g e r s o l v e n t z o n e s w i l l a l w a y s h a v e a z o n e p u r i t y g r e a t e r t h a n t h a t o f t h e s m a l l e s t s o l v e n t z o n e . F o u r t h , t h e m o d e l d e t e r m i n e s t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a t t h e e n d o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n , n o t t h e z o n e p u r i t y t h a t a n i n d i v i d u a l s o l u t e e n c o u n t e r s d u r i n g t h e s e p a r a t i o n p r o c e s s . A g a i n t h i s l i m i t a t i o n c a n b e l e s s e n e d b y d e t e r m i n i n g t h e z o n e p u r i t y a t d i f f e r e n t d i s t a n c e s a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . F i n a l l y , t h e m a j o r d i f f i c u l t y w i t h t h i s m e t h o d a r i s e s f r o m u s i n g t h e h e i g h t o f t h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e a s a m e a s u r e o f z o n e p u r i t y . I t w i l l b e s h o w n l a t e r i n t h i s c h a p t e r t h a t a t r e p e t i t i o n r a t e s w h e r e t h e h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e b e g i n s t o d e c r e a s e s m e a s u r a b l y , t h e e n t i r e s o l v e n t z o n e i s m i x e d t o v a r y i n g d e g r e e s b y t h e a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s . A s a r e s u l t , a s o l v e n t z o n e p u r i t y o f o n e g i v e s n o p h y s i c a l p i c t u r e a s t o t h e q u a n t i t y o f t h e z o n e t h a t r e m a i n s p u r e ; h o w e v e r , a s o l v e n t z o n e p u r i t y o f z e r o h a s t h e p h y s i c a l m e a n i n g t h a t t h e e n t i r e s o l v e n t z o n e i s c o m p l e t e l y a n d e q u a l l y m i x e d . 1 3 5 A d v a n t a g e s A l t h o u g h t h e l i m i t a t i o n s o f t h i s m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a r e s e v e r e , a n i n t e r e s t i n g a d v a n t a g e w a r r a n t s i n v e s t i g a t i o n o f t h e h e i g h t o f t h e z o n e p r o f i l e . F i r s t , t h e h e i g h t o f a s o l v e n t z o n e i s s i m p l y m e a s u r e d a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e b y a s i m p l e s e r i e s o f e x p e r i m e n t s . F r o m t h i s s e r i e s o f d a t a , t h e c o l u m n v a r i a n c e ( 0 2 0 0 0 a n d i n t u r n t h e c h r o m a t o g r a p h i c p l a t e h e i g h t ( H ) c a n b e d e t e r m i n e d f r o m a n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s i n a n i n d i r e c t m a n n e r u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 3 ] . T h e a d v a n t a g e o f d e t e r m i n i n g t h e p l a t e h e i g h t i n t h i s m a n n e r i s t h a t i t r e q u i r e s n o s o l u t e , a n d t h e v a r i a n c e d e t e r m i n e d I s r e p r e s e n t a t i v e o f t h e e n t i r e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . F u r t h e r , d e p e n d i n g u p o n t h e t h e g o o d n e s s o f f i t f r o m t h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s , i t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e w h e t h e r e x t r a - c o l u m n e f f e c t s a r e d o m i n a n t i n t h e s e p a r a t i o n . F i n a l l y , a p h y s i c a l p i c t u r e o f t h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e s o f e a c h s o l v e n t z o n e a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n c a n b e o b t a i n e d o n c e t h e c o l u m n v a r i a n c e i s k n o w n . 1 3 6 S O L V E N T Z O N E V A R I A N C E D e f l n l t l o n a n d T h e o r y I n t h i s m e t h o d , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s d e f i n e d b a s e d o n i n i t i a l a n d f i n a l s o l v e n t z o n e v a r i a n c e , w h e r e t h e l e n g t h o f t h e i n i t i a l s o l v e n t z o n e i s m a x i m i z e d r e l a t i v e t o t h e b r o a d e n i n g i n t r o d u c e d b y t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . T h i s p r o b l e m i s t h e e x a c t r e v e r s e o f t h a t u s u a l l y e n c o u n t e r e d i n t h e e v a l u a t i o n o f e x t r a - c o l u m n d i s p e r s i o n , w h e r e t h e g o a l i s t o m i n i m i z e e x t e r n a l s o u r c e s o f v a r i a n c e r e l a t i v e t o t h e c o l u m n v a r i a n c e . S t i l l , t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h d e v e l o p e d b y M a r t i n , E o n , a n d G u i o c h o n ( 4 ) i s d i r e c t l y a p p l i c a b l e . I n t h e c a s e o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , h o w e v e r , t h e i n i t i a l s o l v e n t z o n e v a r i a n c e ( 0 ) 2 ) m u s t b e e x p r e s s e d a s a m u l t i p l e ( 9 ? ) , r a t h e r t h a n a f r a c t i o n , o f t h e c o l u m n v a r i a n c e ( 0 2 0 0 ) ) : a ) ? = 9 ? 0 2 0 a [ 4 . 5 1 I f t h e r e a r e n o a d d i t i o n a l s o u r c e s o f d i s p e r s i o n , a n d i f t h e v a r i a n c e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e i n i t i a l s o l v e n t z o n e a n d t h e c o l u m n a r e i n d e p e n d e n t , t h e n t h e f i n a l z o n e v a r i a n c e ( o r ? ) i s e x p r e s s e d a s : 0 1 2 = 0 2 0 0 L + 0 i 2 = 0 2 0 0 1 ( 1 + 9 2 ) [ 4 . 6 ] T h u s , w e c a n e v a l u a t e t h e e x t e n t o f m i x i n g i n t r o d u c e d b y t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i n t e r m s o f t h e i n i t i a l a n d f i n a l z o n e v a r i a n c e s . T h i s m e a s u r e o f t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y ( 2 P ) i s d e f i n e d b y t h e f o l l o w i n g r a t i o : 2 2 = 1 : 9 2 [ 4 . 7 ] w h i c h h a s a v a l u e o f u n i t y w h e n t h e i n i t i a l z o n e i s u n a l t e r e d b y c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s . D e t e r m i n a t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 7 ] r e q u i r e s e x p l i c i t m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s f o r t h e i n i t i a l a n d f i n a l z o n e v a r i a n c e s . F o r a s i n g l e r e c t a n g u l a r z o n e a t a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A — 5 0 % B , t h e i n i t i a l c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e C , ( x ) i s d e s c r i b e d b y a n o r m a l i z e d i m p u l s e f u n c t i o n o f f i n i t e l e n g t h U Z R R : 2 R R C i ( X ) = T [ 4 3 ] 1 3 7 w h e r e - L / 4 8 3 s x s L I 4 B R . T h e v a r i a n c e o f t h e i n i t i a l z o n e , d e t e r m i n e d b y c a l c u l a t i o n o f t h e s e c o n d s t a t i s t i c a l m o m e n t ( 2 ) , i s g i v e n b y : x ? 2 1 2 1 2 2 B R A m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e f i n a l c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f t h e s o l v e n t z o n e i s d e r i v e d b y t h e m e t h o d o f c o n v o l u t i o n o f i n t e g r a l s ( 2 ) . I n t h i s t e c h n i q u e , t h e i n i t i a l c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e ( E q u a t i o n [ 4 . 8 1 ) i s c o n v o l u t e d w i t h a n o r m a l i z e d G a u s s i a n o p e r a t o r t h a t i s d e s c r i p t i v e o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s : L w : _ 1 . - 1 x - u 2 [ 4 . 1 0 ] _ _ c _ d x 0 1 l e ( 2 7 6 6 0 1 f " ” e p r 2 ( a c o ) ) I _ " - _ m e w h e r e O Z C O L i s t h e c o l u m n v a r i a n c e i n l e n g t h u n i t s . T h e f i n a l p r o f i l e ( C f ( x ) ) r e s u l t i n g f r o m t h e c o n v o l u t i o n o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e w i t h t h e G a u s s i a n f u n c t i o n i s : x , _ L _ x - _ L _ R R e r f 4 B R - e r f 4 B R O f “ ) a T { f o a m E r m a [ 4 . 1 1 ] T h e v a r i a n c e o f t h i s f i n a l s o l v e n t z o n e ( 0 , 2 ) i s d e t e r m i n e d b y c a l c u l a t i o n o f t h e s e c o n d s t a t i s t i c a l m o m e n t t o b e : L 2 m X - l - L x - L a , - x z fi e n _ _ _ 4 ’ fl - e n _ A I E B . d x [ 4 . 1 2 ] L ( 5 0 0 0 1 . ( 3 0 0 0 ) . i 2 3 9 B y s u b s t i t u t i n g E q u a t i o n s [ 4 . 9 ] a n d [ 4 . 1 2 ] i n t o E q u a t i o n [ 4 . 7 ] , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s c a l c u l a t e d ( s e e A p p e n d i x 4 . 2 f o r p r o g r a m ) . T h e c o r r e s p o n d i n g f i n a l c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e , 1 3 8 e v a l u a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 1 ] , i s s c h e m a t i c a l l y r e p r e s e n t e d a s a f u n c t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i n F i g u r e 4 . 3 . A s t h e p u r i t y i s v a r i e d f r o m a n u n p e r t u r b e d z o n e ( H z / 1 + 0 2 = 1 . 0 0 ) t o a G a u s s i a n - m o d i f i e d z o n e ( O z / 1 + 9 2 a 0 . 7 0 ) , t h e d e t r i m e n t a l e f f e c t o f t h e c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s b e c o m e s a p p a r e n t . I f t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e c o l u m n v a r i a n c e i s a r b i t r a r i l y d e f i n e d a s 5 % o f t h e i n i t i a l z o n e v a r i a n c e ( 9 2 , 1 + 9 2 ~ 0 . 9 5 ) , t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s n e c e s s a r y t o f u l f i l l t h i s r e q u i r e m e n t c a n b e d e t e r m i n e d . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y s e l e c t i n g r e p r e s e n t a t i v e c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a n d s u b s e q u e n t l y d e t e r m i n i n g t h e c o r r e s p o n d i n g r a n g e o f p e r m i s s i b l e s o l v e n t m o d u l a t i o n c o n d i t i o n s . F o r a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n o f s p e c i f i e d p a r t i c l e d i a m e t e r a n d c o l u m n l e n g t h , t h e z o n e p u r i t y d e c r e a s e s n o n l i n e a r l y w i t h r e p e t i t i o n r a t e a s s h o w n i n F i g u r e s 4 . 4 a n d 4 . 5 . A s t h e r e p e t i t i o n r a t e i n c r e a s e s , t h e i n i t i a l s o l v e n t z o n e v a r i a n c e b e c o m e s a s u c c e s s i v e l y s m a l l e r f r a c t i o n o f t h e f i n a l z o n e v a r i a n c e . E v e n t u a l l y , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s r e d u c e d b e l o w t h e p e r m i s s i b l e l e v e l ( 0 . 9 5 ) , w h i c h d e f i n e s t h e m a x i m u m p r a c t i c a l r e p e t i t i o n r a t e f o r t h a t c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n a t o p t i m u m l i n e a r v e l o c i t y . A t v e l o c i t i e s a b o v e o r b e l o w t h e o p t i m u m v a l u e , t h e c o l u m n v a r i a n c e i n c r e a s e s a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 4 . 4 ] a n d t h e m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e i s c o n c u r r e n t l y r e d u c e d . T h e e f f e c t o f p a r t i c l e d i a m e t e r o n t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 . 4 . A n i n c r e a s e i n p a r t i c l e s i z e i n c r e a s e s t h e c o l u m n v a r i a n c e , h e n c e d e c r e a s i n g t h e m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e . C o n v e r s e l y , a t a c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e , a n i n c r e a s e i n p a r t i c l e s i z e r e d u c e s t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y . T h u s , s m a l l p a r t i c l e d i a m e t e r s a r e r e c o m m e n d e d b e c a u s e t h e s m a l l c o l u m n v a r i a n c e w i l l m a i n t a i n t h e s o l v e n t z o n e i n t e g r i t y a n d , s i m u l t a n e o u s l y , w i l l i m p r o v e t h e c h r o m a t o g r a p h i c e f f i c i e n c y . T h e e f f e c t o f c o l u m n l e n g t h o n t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 . 5 . B e c a u s e c o l u m n v a r i a n c e i n c r e a s e s w i t h l e n g t h , i t i s s o m e w h a t s u r p r i s i n g t h a t t h e m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e a n d s o l v e n t z o n e p u r i t y i n c r e a s e a s w e l l . T h e s e u n e x p e c t e d r e s u l t s a r i s e b e c a u s e t h e c o l u m n v a r i a n c e i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h c o l u m n l e n g t h , w h i l e t h e i n i t i a l s o l v e n t z o n e v a r i a n c e i n c r e a s e s w i t h t h e s q u a r e o f c o l u m n l e n g t h a t c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e . C o n s e q u e n t l y , t h e r e s u l t a n t s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e a r e i m p r o v e d b y u s i n g t h e l o n g e s t p o s s i b l e c o l u m n l e n g t h c o n s i s t e n t w i t h r e a s o n a b l e a n a l y s i s t i m e . B a s e d o n t h i s t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , t h e r a n g e o f p r a c t i c a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n s t h a t m e e t s t h e s p e c i f i e d r e q u i r e m e n t s f o r s o l v e n t z o n e p u r i t y c a n b e e s t a b l i s h e d f o r a n y c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . F o r e x a m p l e , b o t h a n i n e f f i c i e n t c o l u m n ( d p = 1 0 u m , L = 1 0 c m ) a n d a h i g h l y e f f i c i e n t c o l u m n ( d p - 3 p m , L = 1 0 0 c m ) m a y b e u s e d e f f e c t i v e l y u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t 1 3 9 F i g u r e 4 . 3 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f s o l v e n t z o n e p r o f i l e s a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 4 . 1 1 ] . A s t h e s o l v e n t z o n e i s b r o a d e n e d b y c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s , t h e z o n e p u r i t y ( O Z / 1 + 9 ? ) d e c r e a s e s a s p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 4 . 7 ] . 1 4 0 F i g u r e 4 . 3 0 1 + 6 ’ 1 . 0 0 0 9 5 0 . 9 0 0 . 8 0 0 . 7 0 1 4 1 F i g u r e 4 . 4 S o l v e n t z o n e p u r i t y ( O Z / 1 + 0 ? ) a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n s o f c o n s t a n t l e n g t h ( L = 2 5 c m ) a n d v a r y i n g p a r t i c l e s i z e . ( A ) ( 1 , , . . 3 m m ( B ) d p = 5 p m ; ( 0 ) d p = 1 0 u m ; o p e r a t e d a t o p t i m u m v e l o c i t y ( H = ( 7 s z / L . 2 d , ) . W i t h i n c r e a s i n g p a r t i c l e s i z e , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e a r e r e d u c e d . 0 0 . 0 1 0 0 . 8 ) R R ( 0 0 . e 6 t a R n o i t i t e p e R - — - 5 5 0 0 9 8 7 8 . . . . 0 0 0 0 ( : 9 + L ) / z 9 A w n d e q u 1 U 8 A | O S 1 . 0 0 — 0 . 9 0 4 0 . 7 5 - F i g u r e 4 4 m T l 0 . 0 0 2 . 0 0 4 . 0 0 T I r 1 4 2 1 4 3 F i g u r e 4 . 5 S o l v e n t z o n e p u r i t y ( O Z / 1 + 0 ? ) a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n s o f c o n s t a n t p a r t i c l e s i z e ( ( 1 , , = 3 p m ) a n d v a r y i n g l e n g t h . ( A ) L = 1 0 0 c m ; ( B ) L = 2 5 c m ; ( C ) L = 1 0 c m ; o p e r a t e d a t o p t i m u m v e l o c i t y ( H = G Z C O L I L . z a p ) . W i t h i n c r e a s i n g c o l u m n l e n g t h , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a n d t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e a r e i n c r e a s e d . 0 0 . 0 1 ' 0 l 0 . 8 ' 0 l 0 . 6 0 I 0 . 4 0 0 . 2 ' 0 0 . 0 ( , 9 + L ) / , , 9 M i m e e u o z I U S A I O S R e p e t i t i o n R c t e ( R R ) F i g u r e 4 . 5 1 4 4 1 4 5 m o d u l a t i o n . S t i l l , t o a c h i e v e t h e s a m e l e v e l o f a c c u r a c y a n d p r e c i s i o n i n p r e d i c t i n g s o l u t e r e t e n t i o n , t h e f o r m e r c o l u m n r e q u i r e s t h a t t h e r e p e t i t i o n r a t e b e l e s s t h a n 2 . 3 , w h e r e a s t h e l a t t e r a l l o w s r e p e t i t i o n r a t e s a s h i g h a s 1 3 . 5 . T h u s , t h e m o r e e f f i c i e n t c o l u m n m a k e s p o s s i b l e a w i d e r r a n g e o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s i n s o l v e n t m o d u l a t i o n f o r g r e a t e r v e r s a t i l i t y i n o p t i m i z i n g s e p a r a t i o n s . L i m i t a t i o n s A g a i n , a n u m b e r o f r e s t r i c t i o n s l i m i t t h e u t i l i t y o f d e t e r m i n i n g t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y b y t h e s o l v e n t z o n e v a r i a n c e m e t h o d . F i r s t , a s i n t h e p r e v i o u s m e t h o d , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e r e p e t i t i o n r a t e ( F i g u r e s 4 . 4 a n d 4 . 5 ) . S e c o n d , i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h i s m e t h o d i t i s a s s u m e d , a g a i n , t h a t a G a u s s i a n p r o c e s s a c c u r a t e l y d e s c r i b e s t h e c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s . T h i r d , z o n e p u r i t y c a n o n l y b e d e t e r m i n e d a t a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A — 5 0 % B . T h i s r e s t r i c t i o n , h o w e v e r , c a n b e r e d u c e d b y c h a n g i n g t h e l i m i t s o f E q u a t i o n [ 4 . 8 ] t o r e f l e c t t h e d e s i r e d s o l v e n t p r o p o r t i o n . F o u r t h , t h e m o d e l d e t e r m i n e s a s i n g l e s o l v e n t z o n e p u r i t y t h a t o c c u r s a t t h e e n d o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n , n o t t h e z o n e p u r i t y t h a t a n i n d i v i d u a l s o l u t e e n c o u n t e r s i n a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e d u r i n g t h e s e p a r a t i o n p r o c e s s . A g a i n t h i s l i m i t a t i o n c a n b e l e s s e n e d b y d e t e r m i n i n g t h e z o n e p u r i t y a t d i f f e r e n t d i s t a n c e s a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . F i n a l l y , t h e a c t u a l n u m e r i c a l v a l u e o f t h e z o n e p u r i t y c a l c u l a t e d b y t h i s m e t h o d i s n o t a t m e i n d i c t o r o f t h e p h y s i c a l p u r i t y o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e . F o r e x a m p l e , a t t h e z o n e p u r i t y e q u a l t o 0 . 7 0 s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 , t h e p h y s i c a l a m o u n t o f p u r e s o l v e n t p r e s e n t a t t h a t p o i n t i s a c t u a l l y z e r o , t h a t i s , t h e e n t i r e s o l v e n t z o n e h a s b e e n c o n t a m i n a t e d t o c e r t a i n d e g r e e b y t h e a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s . T h u s , t h e n u m e r i c a l v a l u e o b t a i n e d f r o m t h i s m e t h o d i s n o t a n a c c u r a t e i n d i c a t i o n o f t h e a c t u a l p u r i t y o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e e n c o u n t e r e d b y a n i n d i v i d u a l s o l u t e d u r i n g t h e s e p a r a t i o n . A d v a n t a g e s A l t h o u g h l i m i t a t i o n s d o e x i s t w h e n u s i n g t h i s m e t h o d f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y , t h e r e a r e a d v a n t a g e s c o m p a r e d t o t h e p r e v i o u s m e t h o d d e s c r i b e d . F i r s t , t h e v a r i a n c e o f a s o l v e n t z o n e i s a m e a s u r e o f t h e w i d t h o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e , a n d t h u s i s m o r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e a m e a s u r e o f z o n e p u r i t y . S e c o n d , t h e v a r i a n c e o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e i s a m e a s u r a b l e q u a n t i t y , a n d t h u s t h e z o n e p u r i t y c a n b e d e t e r m i n e d b y t h i s m e t h o d . 1 4 6 F i n a l l y , t h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t o f t h i s m e t h o d i s b a s e d o n a k n o w n a n d e x c e p t e d t h e o r y o f c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n . z p w s a t b d r e h e o h i e x e e r n v a l e s g u t m n e e o p i e i u d n r n t o e x s a d 5 e r i s i v z t f i s i a e n t 3 h o f d D y o s e t e e r n p h 0 h r r a i c t r e ’ = e a i n o m o C f v w m e n o l d = o u c e e s ] t t X a l r a h n a y s e t e n i e f x e i o i r L i n 1 o a o t n s m o s t § v t d - e n o f f o o a e n e l b n a e n f h t c i s o s t a i c l i O w i i e n x t r w w e m e n e c t t b h h e , h s e e e i s o m a v a n . e e c d s e o z d e t i s o l e n n h d o l n v s e l i t e d r i n o n j v n f n a e i t z h e T b a a n m t a i z d o c c n c e o s l n i b e u i e n m t y r t h e s z y e a i l v r o t v s e d G n i m f b n u f t y a e o n e x u r f g t i z 9 n c o e s z n n i o i o . s a i e s t 9 l e n g u q d x i s , s i c E e % o g a n o n 7 c m n n e t r e u i h s a b d d s a o r ” b t d i i 1 h r t ‘ o b y e , p e . e n t t y c r n r u m a t T e o i t [ i g l 4 a h o o s n n t u u . i u e . a p i n a t x a c u s o e h r o l s 1 n m d 3 , i m l , t h e s o l n ] r d y h h g i i e a e x s q a p u s t t e e r i t s m a a h d r h u t t b T n m [ . 4 i s s o e e v m r e n t i s o i n a n n g c h r u t e n g h t e i p o e r t o z o m n o o m h f i n c s t a a x i e e i e t t i s s a p g e t 6 r i r r e t r u d 0 s m a d o n i o s m e a 9 . t i g 0 t p 1 y a n i h x i ) s f t 3 n ] d i o c n i e o c d n , 1 4 7 S O L V E N T Z O N E L E N G T H D e f l n l t l o n a n d T h e o r y I n t h i s m e t h o d , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s d e t e r m i n e d f r o m t h e r a t i o b e t w e e n t h e l e n g t h o f t h e u n m i x e d p o r t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e t o t h e t o t a l l e n g t h o f t h e o r i g i n a l s o l v e n t z o n e . T h i s m e a s u r e o f s o l v e n t z o n e p u r i t y ( 2 P ) i s d e f i n e d i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : C o n s e q u e n t l y , t h e f r a c t i o n o f m i x e d s o l v e n t i s d e f i n e d a s : 6 0 5 : C O L W N J “ w h e r e O ' C O L i s t h e s q u a r e r o o t o f t h e c o l u m n v a r i a n c e . A g a i n , f o r a r e c t a n g u l a r z o n e a t a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B t h e d e g r e e o f m i x i n g c a n b e d e f i n e d i n t e r m s o f t h e r e p e t i t i o n r a t e ( H R ) a s : g = I Z R R O C O L = 1 2 I T R I H L L L [ 4 . 1 5 ] w h e r e H i s t h e p l a t e h e i g h t o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n a n d L i s t h e c o l u m n l e n g t h . B y s u b s t i t u t i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 5 ] i n t o E q u a t i o n [ 4 . 1 3 ] , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s c a l c u l a t e d . A l t h o u g h t h i s i s n o t t h e f i n a l e x p r e s s i o n t o d e f i n e t h e z o n e p u r i t y , a c o m p a r i s o n o f t h e d e v e l o p m e n t p r e s e n t e d s o f a r w i t h t h e p r e v i o u s t w o m e t h o d s r e v e a l s s e v e r a l i n t e r e s t i n g r e s u l t s . F i r s t , a s 1 4 8 p r e v i o u s l y s t a t e d , a l i m i t a t i o n o f m e t h o d o n e i s t h a t t h e h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e b e g i n s t o d e c r e a s e o n l y w h e n t h e e n t i r e s o l v e n t z o n e h a s a l r e a d y b e e n c o n t a m i n a t e d b y i t s n e i g h b o r s . B y u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 5 ] , a s p e c i f i c r e p e t i t i o n r a t e ( 3 3 ' ) c a n b e d e t e r m i n e d t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e s t a r t o f t h i s d e c r e a s e i n t h e h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y s e t t i n g § t o e q u a l o n e . A s a r e s u l t . i t f o l l o w s t h a t : F I R . a L a L 1 2 0 0 0 1 ( a m [ “ 6 1 A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e i n e f f i c i e n t a n d h i g h l y e f f i c i e n t c o l u m n s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y ( d p . 1 0 u m , L = 1 0 c m a n d d p : - 3 p m , L . 1 0 0 c m ) . B y u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 6 ] , t h e s p e c i f i c r e p e t i t i o n r a t e s ( R R ‘ ) c a l c u l a t e d f o r t h e s e c o l u m n s a r e 5 . 9 a n d 3 4 . 0 , r e s p e c t i v e l y . T h e s e r e p e t i t i o n r a t e s a r e c o n f i r m e d , a n d t h e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 4 . 1 . I n T a b l e 4 . 1 , t h e r e l a t i v e s o l v e n t z o n e h e i g h t , w h i c h i s d e t e r m i n e d f r o m E q u a t i o n 4 . 3 , i s l i s t e d a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e f o r t h e t w o c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n s . I n e a c h c a s e , t h e r e l a t i v e z o n e h e i g h t b e g i n s t o d e c r e a s e w i t h i n t h e a p p r o p r i a t e r e p e t i t i o n r a t e r a n g e . C o n s e q u e n t l y , t h e s e r e s u l t s c o n f i r m t h a t t h e e n t i r e s o l v e n t z o n e m u s t b e c o n t a m i n a t e d b e f o r e a n y c h a n g e i n t h e h e i g h t o f t h e s o l v e n t z o n e i s o b s e r v e d . T h u s , t h i s v e r i f i e s o n e o f t h e l i m i t a t i o n s o f t h e h e i g h t - b a s e d p u r i t y m e t h o d . 1 4 9 T a b l e 4 . 1 V e r i f i c a t i o n o f D e c r e a s i n g Z o n e P r o f i l e H e i g h t a s a F u n c t i o n o f R e p e t i t i o n R a t e n n t I c , ( t ) / c , - ( t ) R n : [ c m / 0 , 0 ) 0 . 5 0 1 . 0 0 0 . 5 0 1 . 0 0 0 . 8 8 1 . 0 0 2 . 2 8 1 . 0 0 1 . 2 6 1 . 0 0 4 . 0 6 1 . 0 0 1 . 6 4 1 . 0 0 5 . 8 4 1 . 0 0 2 . 0 2 1 . 0 0 7 . 6 2 1 . 0 0 2 . 4 0 1 . 0 0 9 . 4 0 1 . 0 0 2 . 7 8 1 . 0 0 1 1 . 1 8 1 . 0 0 3 . 1 6 1 . 0 0 1 2 . 9 6 1 . 0 0 3 . 5 4 1 . 0 0 1 4 . 7 4 1 . 0 0 3 . 9 2 1 . 0 0 1 6 . 5 2 1 . 0 0 4 . 3 0 1 . 0 0 1 8 . 3 0 1 . 0 0 4 . 6 8 1 . 0 0 2 0 . 0 8 1 . 0 0 5 . 0 6 1 . 0 0 2 1 . 8 6 1 . 0 0 5 . 4 4 1 . 0 0 2 3 . 6 4 1 . 0 0 [ 5 . 8 2 1 . 0 0 I 2 5 . 4 2 1 . 0 0 6 . 2 0 0 . 9 9 2 7 . 2 0 1 . 0 0 6 . 5 8 0 . 9 9 2 8 . 9 8 1 . 0 0 6 . 9 6 0 . 9 8 . 3 0 . 7 6 1 . 0 0 7 . 3 4 0 . 9 7 l 3 2 . 5 4 1 . 0 0 7 . 7 2 0 . 9 6 g 3 4 . 3 2 0 . 9 9 8 . 1 0 0 . 9 4 3 6 . 1 0 0 . 9 9 8 . 4 8 0 . 9 3 3 7 . 8 8 0 . 9 9 8 . 8 6 0 . 9 1 3 9 . 6 6 0 . 9 8 9 . 2 4 0 . 8 9 4 1 . 4 4 0 . 9 7 9 . 6 2 0 . 8 7 4 3 . 2 2 0 . 9 6 1 0 . 0 0 0 . 8 5 4 5 . 0 0 0 . 9 5 T d p - 1 0 u m , L = 1 0 c m , a n d H = 2 0 u m t d p - S u m , L = 1 0 0 c m , a n d H - 6 u m 1 5 0 M o r e o v e r f o r t h e s a m e c o l u m n s , i t i s i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h e m a x i m u m p e r m i s s i b l e r e p e t i t i o n r a t e s d e t e r m i n e d b y t h e t h r e e m e t h o d s p r e s e n t e d . s o f a r , w h e n a m a x i m u m s o l v e n t z o n e p u r i t y o f 0 . 9 5 i s a s s u m e d f o r e a c h m e t h o d . T a b l e 4 . 2 s u m m a r i z e s t h e s e r e s u l t s . T a b l e 4 . 2 C o m p a r i s o n o f M a x i m u m R e p e t i t i o n R a t e a t a S o l v e n t Z o n e P u r i t y o f 9 5 % M e t h o d E q u a t i o n F I R T 3 3 * S o l v e n t Z o n e H e i g h t [ 4 . 1 ] 7 . 9 4 5 . 0 S o l v e n t Z o n e V a r i a n c e [ 4 . 7 ] 2 . 3 1 3 . 5 S o l v e n t Z o n e L e n g t h [ 4 . 1 3 ] 0 . 3 1 . 7 1 ’ d p = 1 0 p m , L = 1 0 c m , a n d H = 2 0 u m t d p = 3 u m , L = 1 0 0 0 m , a n d H = 6 u m F r o m T a b l e 4 . 2 , a l a r g e d i f f e r e n c e i n t h e m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e i s s e e n a m o n g t h e t h r e e m e t h o d s , w h e r e t h e h e i g h t m e t h o d p r e d i c t s t h e h i g h e s t r e p e t i t i o n r a t e l i m i t , t h e v a r i a n c e m e t h o d h a s a i n t e r m e d i a t e l i m i t , a n d t h e l e n g t h m e t h o d h a s t h e s m a l l e s t r e p e t i t i o n r a t e l i m i t . M o r e o v e r , f o r t h e r e p e t i t i o n r a t e s l i s t e d f o r t h e v a r i a n c e m e t h o d ( 2 . 3 a n d 1 3 . 5 ) , i t i s w o r t h n o t i n g t h a t t h e s o l v e n t z o n e i n e a c h c a s e i s f o u n d t o b e o n l y 6 0 % p u r e b y u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 5 ] , a n d t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y e q u a l l i n g 7 0 % s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 i s 0 % p u r e a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 4 . 1 5 ] . T h u s , t h e s e r e s u l t s d e m o n s t r a t e t h e n e e d f o r a m o r e a c c u r a t e p h y s i c a l d e s c r i p t o r o f s o l v e n t z o n e i n t e r m i x i n g d u r i n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s . T h e l e n g t h m e t h o d ( E q u a t i o n [ 4 . 1 3 ] ) c a n b e e x t e n d e d t o a l l o w t h e z o n e p u r i t y f o r a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e t h a t a p a r t i c u l a r s o l u t e i s e x p o s e d t o d u r i n g a s e p a r a t i o n . A s b e f o r e , t h e l e n g t h o f t h e m i x e d r e g i o n o f a s o l v e n t z o n e i s a s s u m e d t o e x t e n d 3 O C O L i n t o e i t h e r s i d e o f a 1 5 1 s o l v e n t z o n e . H o w e v e r , i n t h i s c a s e t h e t o t a l l e n g t h o f t h e m i x e d r e g i o n i s d e t e r m i n e d f o r a s i n g l e s o l v e n t z o n e a t t h e p o i n t w h e r e i t i s e n c o u n t e r e d b y t h e s o l u t e . T h e t o t a l a m o u n t o f t h i s m i x e d r e g i o n i s a s s u m e d t o e q u a l t h e a m o u n t o f m i x e d r e g i o n a t t h e f r o n t o f a s o l v e n t z o n e a s t h e s o l u t e e n t e r s p l u s t h e a m o u n t o f m i x e d r e g i o n a t t h e r e a r o f t h e s o l v e n t z o n e a s t h e s o l u t e e x i t s . C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s t h a t t h e t o t a l a m o u n t o f t h e m i x e d r e g i o n e n c o u n t e r e d i s : 2 1 9 - = 3 l e + 3 V H d 3 ( 4 . 1 7 ] w h e r e H i s t h e p l a t e h e i g h t f o r t h e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m a n d i s a s s u m e d t o b e r e l a t i v e l y c o n s t a n t f o r e i t h e r s o l v e n t s y s t e m , d 1 i s t h e d i s t a n c e t r a v e l l e d b y t h e s o l u t e w h e n i t e n t e r s t h e s o l v e n t z o n e , a n d d 3 i s t h e d i s t a n c e t r a v e l l e d b y t h e s o l u t e w h e n i t e x i t s t h e s o l v e n t z o n e a n d i s e q u a l t o ( x i / k l ) + d 1 . T h u s , a n i n d i v i d u a l z o n e p u r i t y i s d e f i n e d b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : - 3 V — I - 7 ( d 1 + d 3 ) X 1 Z P = 1 - § = 1 [ 4 . 1 8 ] ( s e e A p p e n d i x 3 . 3 f o r c o m p u t e r p r o g r a m ) . F r o m E q u a t i o n [ 4 . 1 8 ] , i t i s c o n c l u d e d t h a t a v a l u e o f o n e d e f i n e s a s o l v e n t z o n e t h a t i s u n p e r t u r b e d w h i l e t h e s o l u t e i s e x p o s e d t o i t , a v a l u e o f z e r o d e f i n e s a s o l v e n t z o n e t h a t i s e n t i r e l y m i x e d t o a c e r t a i n e x t e n t , a n d a v a l u e l e s s t h a n z e r o d e f i n e s f u r t h e r m i x i n g o c c u r i n g i n a s o l v e n t z o n e ( i . e . , t h e p o i n t w h e r e t h e h e i g h t o f t h e z o n e p r o f i l e b e g i n s t o d e c r e a s e s ) . N o r m a l l y i n s o l v e n t m o d u l a t i o n , a s o l u t e i s i n j e c t e d i n t o a s o l v e n t z o n e , n o t a t a s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e , a n d a s o l u t e i s e l u t e d i n a s o l v e n t z o n e , n o t a t a s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e . U n d e r t h e s e t w o c o n d i t i o n s . t h e z o n e p u r i t y i s d e t e r m i n e d b y s e t t i n g e i t h e r d 1 o r d 3 e q u a l t o z e r o f o r t h e a p p r o p r i a t e c a s e . A n a d v a n t a g e o f u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 8 ] c o m p a r e d t o t h e p r e v i o u s m e t h o d s , i s t h a t t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s a f u n c t i o n o f a n i n d i v i d u a l s o l u t e a n d i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s e n c o u n t e r e d . B e c a u s e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s d e f i n e d i n t h i s m a n n e r , i t i s i n d e p e n d e n t o f a s p e c i f i c s o l v e n t p r o p o r t i o n o r r e p e t i t i o n r a t e . T h i s i n d e p e n d e n c e o f s o l v e n t z o n e p u r i t y i s i l l u s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g T a b l e s , w h e r e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s d e t e r m i n e d f o r f i v e h y p o t h e t i c a l s o l u t e s . T h e c a p a c i t y f a c t o r s f o r t h e h y p o t h e t i c a l s o l u t e s i n a t w o - s o l v e n t m o d u l a t i o n s y s t e m a r e : 1 5 2 M o b i l e P h a s e S o l u t e l A I B 1 1 . 0 1 1 . 0 0 2 1 . 1 0 1 . 0 0 3 2 . 0 0 1 . 0 0 4 1 0 . 0 0 1 . 0 0 5 1 0 0 . 0 0 1 . 0 0 a n d t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a s s u m e d a r e , o n c e a g a i n , t h e i n e f f i c i e n t a n d e f f i c i e n t c o l u m n s m e n t i o n e d e a r l i e r ( ( 1 , , = 1 0 u m , L a 1 0 c m H - 2 0 u m a n d d p = 3 u m , L . 1 0 0 c m , H : 6 p m ) . T h e e f f e c t o f v a r y i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n , w i t h a c o n s t a n t r e p e t i t i o n r a t e o f o n e , i s e x a m i n e d f i r s t . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e s 4 . 3 - 4 . 5 , w h e r e t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] , t h e f r a c t i o n o f t h e f i n a l s o l v e n t z o n e t h a t t h e s o l u t e e n c o u n t e r e d , a n d t h e p u r i t y o f e a c h z o n e a r e l i s t e d f o r e a c h s o l u t e . I n e a c h o f t h e s e e x a m p l e s , t h e s o l u t e i s a s s u m e d t o b e i n j e c t e d i n t o t h e m i d d l e o f t h e f i r s t s o l v e n t z o n e A ; t h u s , t h e f r a c t i o n o f t h e f i r s t s o l v e n t z o n e t h a t t h e s o l u t e e n c o u n t e r s i s 5 0 % . I n T a b l e 4 . 3 , a l l t h e s o l u t e s a r e s e e n t o e l u t e w i t h i n e i t h e r t h e t h i r d o r f o u r t h s o l v e n t z o n e , w i t h s u c c e s s i v e s o l u t e s b e i n g e x p o s e d t o a l a r g e r f r a c t i o n o f t h e f i n a l s o l v e n t z o n e . I n g e n e r a l , f o r e i t h e r c o l u m n , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y f o r a s i n g l e s o l u t e d e c r e a s e s w i t h c o n s e c u t i v e s o l v e n t z o n e s . T h i s d e c r e a s e i n z o n e p u r i t y a r i s e s b e c a u s e t h e l a t e r s o l v e n t z o n e s a r e e n c o u n t e r e d f u r t h e r d o w n t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n a n d , t h u s , h a v e u n d e r g o n e a g r e a t e r a m o u n t o f d i s p e r s i o n t h a n e a r l i e r s o l v e n t z o n e s . C o n v e r s e l y , t h e z o n e p u r i t y f o r a s p e c i f i c s o l v e n t z o n e i n c r e a s e s w i t h s u c c e s s i v e s o l u t e s . F o r e x a m p l e i n c a s e 1 , z o n e n u m b e r t w o ( s o l v e n t 8 ) i n c r e a s e s i n p u r i t y , w h e r e t h e z o n e p u r i t y i s e q u a l t o 9 2 . 7 2 % f o r s o l u t e o n e a n d i n c r e a s e s t o a v a l u e o f 9 4 . 8 9 % f o r s o l u t e l i v e . T h i s i n c r e a s e i n z o n e p u r i t y o c c u r s b e c a u s e e a c h s o l u t e e n c o u n t e r s t h i s s o l v e n t z o n e a t d i f f e r e n t d i s t a n c e s a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e s o l u t e f i v e w i l l e n c o u n t e r t h e s e c o n d s o l v e n t z o n e ( B ) b e f o r e s o l u t e o n e b e c a u s e s o l u t e f i v e h a s a l a r g e r c a p a c i t y f a c t o r i n t h e f i r s t s o l v e n t z o n e ( A ) . T h i s s a m e i n c r e a s e i n z o n e p u r i t y i s s e e n i n t h e t h i r d s o l v e n t z o n e ( A ) f o r s o l u t e s t h r e e , f o u r , a n d f i v e . F o r t h e s e t h r e e s o l u t e s , z o n e n u m b e r t h r e e i s e n c o u n t e r e d e a r l i e r i n t h e s e p a r a t i o n b y e a c h s o l u t e , a n d t h e s o l u t e s w i t h l a r g e r c a p a c i t y f a c t o r s w i l l t r a v e l a s h o r t e r d i s t a n c e i n a z o n e o f s o l v e n t A . A s a r e s u l t , a s o l u t e w i t h a l a r g e r c a p a c i t y f a c t o r w i l l e n t e r a n d e x i t e a r l i e r f r o m t h i s s o l v e n t z o n e ( A ) . . C o n s e q u e n t l y , t h e s o l v e n t z o n e w i l l n o t b e d i s p e r s e d t o a l a r g e e x t e n t i n t h a t s h o r t t i m e p e r i o d . F i n a l l y , i n c o m p a r i s o n o f t h e t w o c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s , t h e z o n e p u r i t y , u n s u r p r i s i n g l y , i s a l w a y s b e t t e r w h e n t h e e f f i c i e n t 1 5 3 c o l u m n i s u s e d . F o r e x a m p l e . t h e f i n a l s o l v e n t z o n e t h a t s o l u t e t h r e e e n c o u n t e r s d i f f e r s i n z o n e p u r i t y b y 5 0 % b e t w e e n t h e i n e f f i c i e n t a n d e f f i c i e n t c o l u m n s . T h e e f f e c t o n z o n e p u r i t y f r o m c h a n g i n g t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n t o 5 0 % A - 5 0 % B i s s h o w n i n T a b l e 4 . 4 a n d t o a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 7 5 % A - 2 5 % B i s s h o w n i n T a b l e 4 . 5 . I n g e n e r a l , t h e s a m e t r e n d s a r e s e e n a t t h e s e p r o p o r t i o n s a s a t t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 2 5 % A - 7 5 % B . F r o m t h e s e t h r e e t a b l e s , t h e e f f i c i e n t c o l u m n i s s h o w n t o h a v e a z o n e p u r i t y o f b e t t e r t h a n 9 5 % f o r m o s t s o l v e n t z o n e s r e g a r d l e s s o f s o l v e n t p r o p o r t i o n , a n d t h e i n e f f i c i e n t c o l u m n i s s h o w n , i n g e n e r a l , t o h a v e t h e b e s t z o n e p u r i t y a t a s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A — 5 0 % B . T h e e f f e c t o n s o l v e n t z o n e p u r i t y f r o m c h a n g i n g t h e r e p e t i t i o n r a t e t o f i v e a n d m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t s o l v e n t p r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B i s e x a m i n e d n e x t . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 4 . 6 w h e r e b o t h t h e i n e f f i c i e n t a n d e f f i c i e n t c o l u m n s a r e e x a m i n e d . I n a d d i t i o n , f o r e a c h c o l u m n , t h e e f f e c t o f i n j e c t i n g i n t o a z o n e o f s o l v e n t A a n d s o l v e n t B i s e x a m i n e d . T h e m o s t o b v i o u s r e s u l t s h o w n i n T a b l e 4 . 6 i s t h e d r a m a t i c i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s r e q u i r e d t o e l u t e a s o l u t e . A c c o r d i n g l y , w i t h t h i s i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e s , t h e l a t e r s o l v e n t z o n e s h a v e a l o w e r z o n e p u r i t y . T h i s d e c r e a s e i n z o n e p u r i t y o c c u r s b e c a u s e t h e s o l v e n t z o n e s a r e o f s h o r t e r l e n g t h w h i l e t h e a m o u n t o f m i x i n g r e m a i n s i d e n t i c a l t o t h a t a t a r e p e t i t i o n r a t e o f o n e . T h e z o n e p u r i t i e s w i t h n e g a t i v e v a l u e s i n d i c a t e t h a t t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e i s a p p r o a c h i n g a h o m o g e n e o u s m i x t u r e w i t h i t s n e i g h b o r i n g z o n e s , a n d t h e h e i g h t o f t h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e o f t h e s o l v e n t z o n e i s d e c r e a s i n g . T h e e f f e c t o f t h e s o l v e n t z o n e i n j e c t e d i n t o i s e x a m i n e d f o r s o l u t e s o n e a n d f i v e . I n t e r e s t i n g l y , f o r s o l u t e o n e , t h e z o n e p u r i t i e s f o r i n j e c t i n g i n t o s o l v e n t A a r e , i n g e n e r a l , i d e n t i c a l t o t h o s e f o r i n j e c t i o n i n t o s o l v e n t B . F o r s o l u t e f i v e , h o w e v e r , a l a r g e r d i f f e r e n c e i n z o n e p u r i t y i s s e e n b e t w e e n i n j e c t i o n s o l v e n t s . T h i s d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e s o l v e n t z o n e p u r i t i e s b e t w e e n t h e t w o s o l u t e s o c c u r s b e c a u s e o f t h e d i f f e r i n g s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e s o l v e n t . B e c a u s e s o l u t e o n e h a s c a p a c i t y f a c t o r s t h a t a r e n e a r l y i d e n t i c a l i n b o t h s o l v e n t s y s t e m s , t h e s o l u t e w i l l t r a v e l n e a r l y i d e n t i c a l d i s t a n c e s i n e i t h e r s o l v e n t . T h u s , t h e z o n e p u r i t y w i l l b e n e a r l y i d e n t i c a l r e g a r d l e s s o f t h e s o l v e n t z o n e . C o n v e r s e l y , s o l u t e f i v e h a s c a p a c i t y f a c t o r s t h a t d i f f e r b y t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e . A s a r e s u l t , t h e z o n e p u r i t y s h o w s a g r e a t e r d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n j e c t i o n s o l v e n t s . 1 5 4 T a b l e 4 . 3 S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 2 5 % A - 7 5 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 1 ' S o l v e n t Z o n e P u r i t y ( % ) C a s e S o l u t e O v e r a l l k F r a c t i o n o f S o l v e n t Z o n e 1 1 2 1 F i n a l Z o n e ( % ) N u m b e r 1 1 . 0 0 2 5 5 1 . 0 0 1 8 8 . 0 5 9 7 . 9 3 2 9 2 . 7 2 9 8 . 7 3 3 6 8 . 8 9 9 4 . 6 1 2 1 . 0 2 5 0 6 0 . 0 0 1 8 8 . 5 5 9 8 . 0 1 2 9 2 . 8 3 9 8 . 7 5 3 7 3 . 7 1 9 5 . 4 4 3 1 . 1 8 7 5 8 . 3 3 1 9 1 . 5 1 9 8 . 5 3 2 9 3 . 4 8 9 8 . 8 7 3 6 8 . 2 7 9 4 . 5 0 4 3 4 . 2 7 8 8 . 6 1 4 1 . 3 3 7 5 2 8 . 3 3 1 9 6 . 2 0 9 9 . 3 4 2 9 4 . 2 7 9 9 . 0 3 3 7 0 . 1 2 9 4 . 8 2 4 8 2 . 2 8 9 6 . 9 3 5 1 . 3 7 1 2 3 2 . 8 3 1 9 8 . 8 0 9 9 . 7 9 2 9 4 . 8 9 9 9 . 1 2 3 7 0 . 5 5 9 4 . 9 0 4 8 5 . 0 4 9 7 . 4 1 ' I n j e c t i o n i n m i d d l e o f s o l v e n t z o n e A t d p = 1 0 p m , L = 1 0 c m , a n d H = 2 0 p m t d p s s t u n , L = 1 0 0 0 m , a n d H = 6 u m 1 5 5 T a b l e 4 . 4 S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 1 ' S o l v e n t Z o n e P u r i t y ( % ) C a s e S o l u t e O v e r a l l k F r a c t i o n o f S o l v e n t Z o n e 1 1 2 1 F i n a l Z o n e 9 % ) N u m b e r 1 1 . 0 0 5 0 5 1 . 0 0 1 9 1 . 5 5 9 8 . 5 3 2 8 8 . 4 4 9 7 . 9 9 3 8 5 . 6 1 9 7 . 5 0 2 1 . 0 5 0 0 6 0 . 0 0 1 9 1 . 9 0 9 8 . 5 9 2 8 8 . 7 1 9 8 . 0 4 3 8 7 . 9 3 9 7 . 9 1 3 1 . 3 7 5 0 2 5 . 0 0 1 9 4 . 0 0 9 8 . 9 6 2 9 0 . 2 9 9 8 . 3 1 3 8 5 . 3 5 9 7 . 4 6 4 6 8 . 2 5 9 4 . 5 0 4 1 . 6 7 5 0 8 5 . 0 0 1 9 7 . 3 1 9 9 . 5 3 2 9 2 . 5 1 9 8 . 7 0 3 8 7 . 4 1 9 7 . 8 2 4 9 2 . 4 3 9 8 . 6 8 5 1 . 7 4 2 5 9 8 . 5 0 1 9 9 . 1 5 9 9 . 8 5 2 9 3 . 5 6 9 8 . 8 8 3 8 7 . 9 4 9 7 . 9 1 4 9 3 . 8 6 9 8 . 9 3 ' I n j e c t i o n i n m i d d l e o f s o l v e n t z o n e A 1 ’ d p = 1 0 j . t m , L = 1 0 c m , a n d H = 2 0 1 u n : t d p = 3 u m , L = 1 0 0 c m , a n d H = 6 u m T a b l e 4 . 5 S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 7 5 % A — 2 5 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 1 ' S o l v e n t Z o n e P u r i t y ( % ) C a s e S o l u t e O v e r a l l k F r a c t i o n o f S o l v e n t Z o n e 1 1 2 * F i n a l Z o n e ( % ) N u m b e r 1 1 . 0 0 7 5 5 1 . 0 0 1 9 3 . 1 0 9 8 . 8 0 2 7 6 . 2 8 9 5 . 8 9 3 9 1 . 2 5 9 8 . 4 8 2 1 . 0 7 5 0 6 0 . 0 0 1 9 3 . 3 9 9 8 . 8 5 2 7 7 . 0 4 9 6 . 0 2 3 9 2 . 7 5 9 8 . 7 4 3 1 . 5 6 2 5 7 5 . 0 0 1 9 5 . 1 0 9 9 . 1 5 2 8 1 . 4 2 9 6 . 7 8 3 9 1 . 1 5 9 8 . 4 6 4 7 9 . 6 0 9 6 . 4 6 4 3 . 2 5 0 0 8 3 . 3 3 1 9 7 . 8 0 9 9 . 6 2 2 8 7 . 6 1 9 7 . 8 5 3 9 3 . 5 6 9 8 . 8 8 4 7 6 . 5 0 9 5 . 9 2 5 9 0 . 8 8 9 8 . 4 2 6 6 9 . 4 9 9 4 . 7 1 7 9 3 . 4 2 9 8 . 8 6 5 3 . 5 9 8 7 8 9 . 5 0 1 9 9 . 3 0 9 9 . 8 8 2 9 0 . 4 1 9 8 . 3 3 3 9 4 . 2 5 9 9 . 0 0 4 7 9 . 1 9 9 6 . 3 9 5 9 1 . 8 8 9 8 . 5 9 6 7 2 . 8 9 9 5 . 3 0 7 9 0 . 0 5 9 8 . 2 7 8 8 3 . 2 9 9 7 . 1 0 ' I n j e c t i o n i n m i d d l e o f s o l v e n t z o n e A t d p = 1 0 w n , L = 1 0 0 m , a n d H = 2 0 u m t d p = 3 p m , L = 1 0 0 c m , a n d H = 6 u m 1 5 7 T a b l e 4 . 6 S o l v e n t Z o n e P u r i t y a t a S o l v e n t P r o p o r t i o n o f 5 0 % A - 5 0 % B a n d R e p e t i t i o n R a t e o f 5 S o l v e n t Z o n e P u r i t y ( % ) C a s e I T C a s e 2 * S o l u t e A ' B ' A ' 8 ' 1 8 1 . 1 2 8 1 . 0 2 9 6 . 7 2 9 6 . 7 1 7 4 . 1 5 7 4 . 1 3 9 5 . 5 2 9 5 . 5 2 6 2 . 4 4 6 2 . 4 5 9 3 . 4 9 9 3 . 4 9 5 3 . 8 0 5 3 . 8 0 9 1 . 9 9 9 1 . 9 9 4 6 . 5 7 4 6 . 5 7 9 0 . 7 4 9 0 . 7 4 4 0 . 2 2 4 0 . 2 2 8 9 . 6 4 8 9 . 6 4 3 4 . 4 9 3 4 . 4 9 8 8 . 6 5 8 8 . 6 5 2 9 . 2 2 2 9 . 2 2 8 7 . 7 4 8 7 . 7 4 2 4 . 3 3 2 4 . 3 3 8 6 . 8 9 8 6 . 8 9 1 9 . 7 3 1 9 . 7 3 8 6 . 0 9 8 6 . 0 9 2 4 . 9 9 2 4 . 9 4 8 7 . 0 0 8 6 . 9 9 2 8 1 . 9 0 8 1 . 0 2 9 6 . 8 6 9 6 . 7 1 7 4 . 7 7 7 4 . 5 8 9 5 . 6 3 9 5 . 5 9 6 3 . 1 9 6 3 . 2 5 9 3 . 6 2 9 3 . 6 3 5 4 . 7 6 5 4 . 7 3 9 2 . 1 6 9 2 . 1 6 4 7 . 6 6 4 7 . 6 8 9 0 . 9 3 9 0 . 9 3 4 1 . 4 6 4 1 . 4 4 8 9 . 8 6 8 9 . 8 5 3 5 . 8 3 3 5 . 8 4 8 8 . 8 8 8 8 . 8 8 3 0 . 6 8 3 0 . 6 7 8 7 . 9 9 8 7 . 9 9 2 5 . 8 8 2 5 . 8 9 8 7 . 1 6 8 7 . 1 6 2 1 . 3 8 2 1 . 3 7 8 6 . 3 8 8 6 . 3 8 5 9 . 5 4 5 7 . 7 2 9 2 . 9 9 9 2 . 6 7 3 8 6 . 5 8 8 1 . 0 2 9 7 . 6 7 9 6 . 7 1 7 8 . 2 9 7 7 . 0 9 9 6 . 2 4 9 6 . 0 3 6 7 . 2 5 6 7 . 6 0 9 4 . 3 2 9 4 . 3 8 6 0 . 0 0 5 9 . 8 1 9 3 . 0 7 9 3 . 0 3 5 3 . 5 6 5 3 . 6 8 9 1 . 9 5 9 1 . 9 7 4 8 . 1 5 4 8 . 0 6 9 1 . 0 2 9 1 . 0 0 4 3 . 1 0 4 3 . 1 6 9 0 . 1 4 9 0 . 1 5 3 8 . 5 8 3 8 . 5 3 8 9 . 3 6 8 9 . 3 5 3 4 . 2 8 3 4 . 3 3 8 8 . 6 1 8 8 . 6 2 3 0 . 3 3 3 0 . 2 9 8 7 . 9 3 8 7 . 9 2 2 6 . 5 2 2 6 . 5 5 8 7 . 2 7 8 7 . 2 7 2 2 . 9 6 2 2 . 9 3 8 6 . 6 5 8 6 . 6 5 1 9 . 5 0 1 9 . 5 3 8 6 . 0 5 8 6 . 0 6 4 5 . 5 9 5 8 . 6 4 9 0 . 5 7 9 2 . 8 3 1 5 8 T a b l e 4 . 6 ( c o n t ’ d . ) 9 4 . 0 0 8 1 . 0 2 9 8 . 9 6 9 6 . 7 1 8 3 . 2 5 8 0 . 1 2 9 7 . 0 9 9 6 . 5 5 7 1 . 8 6 7 2 . 6 3 9 5 . 1 2 9 5 . 2 6 6 5 . 9 4 6 5 . 5 3 9 4 . 1 0 9 4 . 0 3 6 0 . 2 0 6 0 . 4 6 9 3 . 1 0 9 3 . 1 5 5 5 . 6 8 5 5 . 5 0 9 2 . 3 2 9 2 . 2 9 5 1 . 2 5 5 1 . 3 9 9 1 . 5 5 9 1 . 5 8 4 7 . 4 6 4 7 . 3 5 9 0 . 9 0 9 0 . 8 8 4 3 . 7 1 4 3 . 8 0 9 0 . 2 5 9 0 . 2 6 4 0 . 3 7 4 0 . 3 0 8 9 . 6 7 8 9 . 6 5 3 7 . 0 7 3 7 . 1 3 8 9 . 1 0 8 9 . 1 1 3 4 . 0 5 3 4 . 0 0 8 8 . 5 7 8 8 . 5 6 3 1 . 0 6 3 1 . 1 1 8 8 . 0 6 8 8 . 0 6 2 8 . 2 9 2 8 . 2 5 8 7 . 5 8 8 7 . 5 7 2 5 . 5 4 2 5 . 5 8 8 7 . 1 0 8 7 . 1 1 2 2 . 9 6 2 2 . 9 2 8 6 . 6 5 8 6 . 6 5 2 0 . 4 0 2 0 . 4 3 8 6 . 2 1 8 6 . 2 1 1 7 . 9 8 1 7 . 9 5 8 5 . 7 9 8 5 . 7 8 1 5 . 5 7 3 1 . 4 4 8 5 . 3 7 8 8 . 1 2 - 7 4 6 . 4 - 4 6 . 6 9 8 . 1 0 8 1 . 0 2 9 9 . 6 7 9 6 . 7 1 8 5 . 6 0 8 0 . 9 3 9 7 . 5 0 9 6 . 6 9 7 3 . 0 3 7 3 . 9 3 9 5 . 3 2 9 5 . 4 8 6 7 . 4 3 6 6 . 9 7 9 4 . 3 6 9 4 . 2 7 6 1 . 8 6 6 2 . 1 6 9 3 . 3 9 9 3 . 4 4 5 7 . 5 7 5 7 . 3 6 9 2 . 6 5 9 2 . 6 1 5 3 . 2 9 5 3 . 4 5 9 1 . 9 1 9 1 . 9 3 4 9 . 6 7 4 9 . 5 5 9 1 . 2 8 9 1 . 2 6 4 6 . 0 6 4 6 . 1 7 9 0 . 6 5 9 0 . 6 7 4 2 . 8 8 4 2 . 7 9 9 0 . 1 0 9 0 . 0 9 3 9 . 7 0 3 9 . 7 7 8 9 . 5 5 8 9 . 5 6 3 6 . 8 2 3 6 . 7 5 8 9 . 0 5 8 9 . 0 4 3 3 . 9 4 3 4 . 0 0 8 8 . 5 5 8 8 . 5 6 3 1 . 2 9 3 1 . 2 4 8 8 . 1 0 8 8 . 0 9 2 8 . 6 5 2 8 . 6 9 8 7 . 6 4 8 7 . 6 5 2 6 . 1 8 2 6 . 1 4 8 7 . 2 1 8 7 . 2 0 2 3 . 7 2 2 3 . 7 6 8 6 . 7 8 8 6 . 7 9 2 1 . 4 1 2 1 . 3 7 8 6 . 3 8 8 6 . 3 8 1 9 . 1 0 1 9 . 1 3 8 5 . 9 8 8 5 . 9 9 5 5 . 2 9 1 6 . 8 8 9 2 . 2 5 8 5 . 6 0 - 3 . 9 2 8 2 . 0 0 ' I n j e c t i o n i n m i d d l e o f s o l v e n t z o n e I d p = 1 0 u m , L = 1 0 0 m , a n d H = 2 0 u m 1 : d p = 3 p m , L = 1 0 0 0 m , a n d H = 6 u m 1 5 9 l e l t a t l o n s T h e l i m i t a t i o n s o f t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g z o n e p u r i t y a r e d i s c u s s e d n e x t . F i r s t , a s i n t h e p r e v i o u s t w o m e t h o d s , t h e c h r o m a t o g r a p h i c d i s p e r s i o n p r o c e s s e s a r e a s s u m e d t o b e d e s c r i b e d b y a G a u s s i a n o p e r a t o r ; h o w e v e r , t h i s a s s u m p t i o n i s n o t a r e q u i r e m e n t o f t h i s m e t h o d , a n d c o u l d b e m o d i f i e d i n a n i d e n t i c a l m a n n e r a s t h e o t h e r t w o m e t h o d s . S e c o n d , t h i s m e t h o d a s s u m e s t h a t t h e p l a t e h e i g h t i s c o n s t a n t b e t w e e n s o l v e n t s y s t e m s ; h o w e v e r , t h i s a s s u m p t i o n c a n b e o v e r c o m e b y u s i n g E q u a t i o n [ 4 . 1 7 ] i n a n e x p l i c i t m a n n e r . F i n a l l y , t h i s m e t h o d d e t e r m i n e s t h e t o t a l z o n e p u r i t y f r o m t w o i n s t a n t a n e o u s t i m e p e r i o d s : t h e p o i n t w h e n t h e s o l u t e e n t e r s t h e s o l v e n t z o n e a n d t h e p o i n t w h e n t h e s o l u t e e x i t s t h e s o l v e n t z o n e . I n s t e a d , t h i s m e t h o d c o u l d d e t e r m i n e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y f o r a c o n t i n u a l l y m o v i n g s o l v e n t z o n e . T h a t i s , a s a s o l u t e e n t e r s o r e x i t s a s o l v e n t z o n e , t h e m i x e d r e g i o n o f t h e s o l v e n t z o n e i s c o n t i n u a l l y i n c r e a s i n g . A s a r e s u l t , t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y i s c o n t i n u a l l y b e i n g m o d i f i e d a s t h e s o l u t e i s e n t e r i n g o r e x i t i n g a s o l v e n t z o n e . A l t h o u g h t h i s d i s c u s s i o n i m p l i e s t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s d e t e r m i n a t i o n o f z o n e p u r i t y i s d e t r i m e n t a l t o t h i s m e t h o d , t h e a c t u a l m a g n i t u d e o f e r r o r m a y n o t b e v e r y l a r g e . T h i s i s b e c a u s e t h e z o n e p u r i t y w i l l b e u n d e r e s t i m a t e d a s a s o l u t e e n t e r s a s o l v e n t z o n e , a n d t h e z o n e p u r i t y w i l l b e o v e r e s t i m a t e d a s t h e s o l u t e e x i t s t h e s o l v e n t z o n e . A s a r e s u l t , t h e c a l c u l a t e d z o n e p u r i t y i s a c c u r a t e i f t h e o v e r e s t i m a t e d a n d u n d e r e s t i m a t e d v a l u e s a v e r a g e o u t . A d v a n t a g e s T h e r e a r e a n u m b e r o f i m p o r t a n t a d v a n t a g e s t h a t s u p p o r t t h e u s e o f t h i s s o l v e n t l e n g t h m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y f o r a s o l v e n t m o d u l a t i o n . F i r s t , t h i s m e t h o d d o e s d e t e r m i n e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y p e r s o l u t e p e r i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e , w h e r e n e i t h e r o f t h e t w o p r e v i o u s m e t h o d s e s t i m a t e d z o n e p u r i t y i n t h i s m a n n e r . S e c o n d , t h i s m e t h o d d o e s d e t e r m i n e t h e z o n e p u r i t y f o r b o t h e a r l y a n d l a t e e l u t i n g s o l v e n t z o n e s , t h e i n j e c t i o n s o l v e n t z o n e , a n d t h e e x i t i n g s o l v e n t z o n e . F i n a l l y , t h i s m e t h o d g i v e s a m o r e a c c u r a t e p h y s i c a l p i c t u r e o f t h e m i x e d r e g i o n t h a t a s o l u t e e n c o u n t e r s d u r i n g a s o l v e n t m o d u l a t i o n s e p a r a t i o n . 1 6 0 C O N C L U S I O N S B a s e d u p o n t h e a b o v e d i s c u s s i o n s a n d t h e l i s t e d l i m i t a t i o n s a n d a d v a n t a g e s , e a c h m e t h o d h a s i t s o w n m e r i t s a s a u s e f u l p r o c e d u r e t o d e t e r m i n e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y . H o w e v e r , n e i t h e r t h e s o l v e n t z o n e h e i g h t n o r t h e s o l v e n t z o n e v a r i a n c e m e t h o d g i v e s a n a c c u r a t e p h y s i c a l p i c t u r e a n d i n t u r n a m e a n i n g f u l e s t i m a t e o f t h e z o n e p u r i t y , a l t h o u g h b o t h a r e d e r i v e d i n a r i g o r o u s m a t h e m a t i c a l m a n n e r . T h e s o l v e n t z o n e l e n g t h m e t h o d , h o w e v e r , a p p e a r s t o o f f e r a n e x t r e m e l y s i m p l e , v e r s a t i l e , a n d p o w e r f u l a l t e r n a t i v e t o t h e p r e v i o u s t w o m e t h o d s . T h e a d v a n t a g e o f u s i n g t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h m e t h o d o r s o m e v e r s i o n o f t h i s m e t h o d i s t h a t i t e s t i m a t e s t h e p h y s i c a l a m o u n t o f m i x i n g t h a t a s o l u t e e n c o u n t e r s d u r i n g a s e p a r a t i o n . H o w e v e r f o r c o m p l e x s a m p l e s , t h e c u m b e r s o m e a s p e c t o f t h i s m e t h o d i s t h e n e e d t o a n a l y z e a p o t e n t i a l l y l a r g e n u m b e r o f s o l v e n t z o n e p u r i t y v a l u e s . C o n s e q u e n t l y , a f u t u r e g o a l f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n i s t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e c o n c e p t o f s o l v e n t z o n e p u r i t y i n t o t h e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y . 1 6 1 A p p e n d l x 4 . 1 C a l c u l a t i o n o f S o l v e n t Z o n e P u r i t y u s i n g t h e S o l v e n t Z o n e H e l g h t M e t h o d P r o g r a m N a m e : S e g p u r e 9 . f o r W r i t t e n b y : J o n H . W a h l D I S C L A I M E R T h e a u t h o r m a k e s n o w a r r a n t i e s , e x p r e s s o r i m p l i e d , t h a t t h e p r o g r a m s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r a r e f r e e o f e r r o r , o r a r e c o n s i s t e n t w i t h a n y p a r t i c u l a r s t a n d a r d o f m e r c h a n t a b i l i t y , o r t h a t t h e y w i l l m e e t y o u r r e q u i r e m e n t s f o r a n y p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h e y s h o u l d n o t b e r e l i e d o n f o r s o l v i n g a p r o b l e m w h o s e i n c o r r e c t s o l u t i o n c o u l d r e s u l t i n i n j u r y t o a p e r s o n o r l o s s o f p r o p e r t y . I f y o u d o u s e t h e p r o g r a m s i n s u c h a m a n n e r , i t i s a t y o u r o w n r i s k . T h e a u t h o r d i s c l a i m s a l l l i a b i l i t y f o r d i r e c t o r c o n s e q u e n t i a l d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m y o u r u s e o f t h e p r o g r a m s . T h e a u t h o r p r e s u m e s t h a t t h e u s e r i s a b l e t o r e a d c o m p u t e r p r o g r a m s w r i t t e n i n F O R T R A N a n d h a s a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e F O R T R A N p r o g r a m m i n g I a n g u a g e ' . T h e s e p r o v i s i o n s a r e a p r e r e q u i s i t e t o u s e o r m o d i f y t h i s p r o g r a m ; h o w e v e r , i f p r o b l e m s d o a r i s e t h e n e i t h e r e x a m i n e t h e s o u r c e c o d e o r r e w r i t e t h e p r o g r a m , d o n o t c o n t a c t t h e a u t h o r . P R O G R A M D E S C R I P T I O N T h e p r o g r a m t o c a l c u l a t e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y b y t h e s o l v e n t z o n e h e i g h t m e t h o d i s w r i t t e n i n t h e F O R T R A N 7 7 l a n g u a g e a n d e x e c u t e d o n a V A X s t a t i o n I I c o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ) . B e c a u s e t h e p r o g r a m i s r e l a t i v e l y s i m p l e t o u n d e r s t a n d a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e p r o g r a m i s n o t i n c l u d e d . I n g e n e r a l , t h e u s e r i s r e q u i r e d t o e n t e r t h e c o l u m n v a r i a n c e , t h e v o i d t i m e o f t h e c o l u m n , a n d t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e s . B a s e d ' N o t e : T h e l i n e n u m b e r s l i s t e d a l o n g t h e l e f t m a r g i n a r e n o t p a r t o f t h e a c t u a l p r o g r a m a n d a r e o n l y l i s t e d a s a r e f e r e n c e t o i n d i v i d u a l l i n e s o f c o d e . A l l c o m m e n t l i n e s a r e d e n o t e d b y a n a s t e r i s k s y m b o l ( . ) i n c o l u m n o n e a n d a l l c o n t i n u a t i o n m a r k e r s a r e d e n o t e d b y a n a m p e r s a n d s y m b o l ( 8 . ) i n c o l u m n s i x , i n t e r m s o f t h e F O R T R A N l a n g u a g e . 1 6 2 u p o n t h e s e d a t a , t h e p r o g r a m d e t e r m i n e s t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a t e q u a l l y s p a c e d i n t e r v a l b e t w e e n t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m r e p e t i t i o n r a t e s . i I . I . . b \ 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 1 6 3 S e g p u r e 9 . f o r * * * i ' i i 1 0 I N T E G E R P L U G S , S O L U T E , M O B I L E , I , J , C O U N T , T T R E A D , T T F I L E R E A L P E R C E T , F R A C , K , T E M P , H E I G H T , S E G , V O I D , R E P , S I G M A , F R E Q , T , T R , P I , T I M E , T I M S L C , S T E P C H A R A C T E R F I L E N M * 2 0 , A N S W * 1 , Q U E S T * 1 P A R A M E T E R ( T T R E A D = 5 ) P A R A M E T E R ( T T W R I T = 6 ) P A R A M E T E R ( T T F I L E = 2 ) P A R A M E T E R ( P I = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 ) C A L L O P E N I O ( T T F I L E , T T R E A D , T T W R I T , F I L E N M ) W R I T E ( T T W R I T , * ) ' S I G M A E Q U A L S ? ( S E C ) ' R E A D ( T T R E A D , 1 0 ) S I G M A W R I T E ( T T W R I T , * ) ' E N T E R V O I D T I M E O F C O L U M N ( S E C ) ' R E A D ( T T R E A D , 1 0 ) V O I D C O N T I N U E W R I T E ( T T W R I T , * ) ' E N T E R T H E M I N . R E P T I T I O N R A T E ' R E A D ( T T R E A D , 1 0 ) R E P l W R I T E ( T T W R I T , * ) ' E N T E R T H E M A X . R E P T I T I O N R A T E ' R E A D ( T T R E A D , 1 0 ) R E P 2 W R I T E ( T T W R I T , * ) ' S E G . P U R I T Y D I V I D E D B Y 2 E Q U A L S ? ‘ R E A D ( T T R E A D , 1 0 ) S E G F O R M A T ( F 2 0 . 8 ) S T E P ( R E P 2 - R E P 1 ) / 2 0 0 . D O 5 0 0 R E P R E P l , R E P 2 , S T E P I 1 7 [ " 1 ' U \ F R E Q - T I M E V O I D ( F R E Q * 4 . 0 ) H E I G H T = 0 . 0 D O 1 0 0 0 N = 0 , 1 0 0 0 T E M P = ( ( 4 . ‘ . 5 ) / ( P I * ( 2 . * N + 1 . ) ) ) * ( E X P ( ( - 2 . ) * ( 2 . * N + 1 . ) * * 2 * ( P I * F R E Q * S I G M A ) * * 2 ) ) * S I N ( ( 2 . * N + 1 . ) * ( 2 . * P I * F R E Q ) * ( T I M E - T R ) ) H E I G H T = H E I G H T + T E M P C O N T I N U E H E I G H T = H E I G H T * 2 . 0 1 6 4 » i t t 6 0 * W R I T E ( T T R E A D , * ) * W R I T E ( T T R E A D , * ) t W R I T E ( T T R E A D , . ) ' R E P ' , R E P , ' H E I G H T ' , H E I G H T W R I T E ( T T F I L E , . , R E P , ' , ' , H E I G H T * 5 0 0 C O N T I N U E 1 ‘ * W R I T E ( T T R E A D , * ) ' 7 0 W R I T E ( T T R E A D , * ) * W R I T E ( T T R E A D , * ) ' D O Y O U W I S H A N O T H E R T E S T ? ‘ R E A D ( T T R E A D , 2 5 0 ) Q U E S T 2 5 0 F O R M A T ( A ) I F ( Q U E S T . E Q . ' Y ' ) G O T O 2 5 0 0 * E N D * 8 C ) * f l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ * t S U B R O U T I N E O P E N I O ( O U T P U T , T T R E A D , T T W R I T , F I L E N M ) * I N T E G E R O U T P U T , T T R E A D , S T A T C H A R A C T E R F I L E N M ‘ Z O i 2 0 0 W R I T E ( T T R E A D , 1 ) ' E N T E R O U T P U T F I L E N A M E ' 9 0 1 F O R M A T ( 5 x , A ) R E A D ( T T R E A D , 2 ) F I L E N M 2 F O R M A T ( A ) i * O P E N ( U N I T = O U T P U T , F I L E = F I L E N M , S T A T U S = s ' N E W ' ) * I F ( S T A T . N E . 0 ) T H E N W R I T E ( T T R E A D , 3 ) S T A T , F I L E N M 1 0 0 3 F O R M A T ( 5 x , ' E R R O R N U M B E R ' 1 5 , 1 x , 5 ' O P E N I N G F I L E ' , 1 x , A , 1 x , 8 ' P L E A S E T R Y A G A I N . ' ) G O T O 2 0 0 E N D I F E N D 1 6 5 A p p e n d l x 4 . 2 C a l c u l a t i o n o f S o l v e n t Z o n e P u r l t y u s i n g t h e S o l v e n t Z o n e V a r l a n c e M e t h o d P r o g r a m N a m e : E r f c c . f o r ; 4 0 W r i t t e n b y : J o n H . W a h l D I S C L A I M E R T h e a u t h o r m a k e s n o w a r r a n t i e s , e x p r e s s o r i m p l i e d , t h a t t h e p r o g r a m s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r a r e f r e e o f e r r o r , o r a r e c o n s i s t e n t w i t h a n y p a r t i c u l a r s t a n d a r d o f m e r c h a n t a b i l i t y , o r t h a t t h e y w i l l m e e t y o u r r e q u i r e m e n t s f o r a n y p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h e y s h o u l d n o t b e r e l i e d o n f o r s o l v i n g a p r o b l e m w h o s e i n c o r r e c t s o l u t i o n c o u l d r e s u l t i n i n j u r y t o a p e r s o n o r l o s s o f p r o p e r t y . I f y o u d o u s e t h e p r o g r a m s i n s u c h a m a n n e r , i t i s a t y o u r o w n r i s k . T h e a u t h o r d i s c l a i m s a l l l i a b i l i t y f o r d i r e c t o r c o n s e q u e n t i a l d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m y o u r u s e o f t h e p r o g r a m s . T h e a u t h o r p r e s u m e s t h a t t h e u s e r i s a b l e t o r e a d c o m p u t e r p r o g r a m s w r i t t e n i n F O R T R A N a n d h a s a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e F O R T R A N p r o g r a m m i n g l a n g u a g e * . T h e s e p r o v i s i o n s a r e a p r e r e q u i s i t e t o u s e o r m o d i f y t h i s p r o g r a m ; h o w e v e r , i f p r o b l e m s d o a r i s e t h e n e i t h e r e x a m i n e t h e s o u r c e c o d e o r r e w r i t e t h e p r o g r a m , d o n o t c o n t a c t t h e a u t h o r . P R O G R A M D E S C R I P T I O N T h e p r o g r a m t o c a l c u l a t e t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y b y t h e s o l v e n t z o n e v a r i a n c e m e t h o d i s w r i t t e n i n t h e F O R T R A N 7 7 l a n g u a g e a n d e x e c u t e d o n a V A X s t a t i o n I I c o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ) . B e c a u s e t h e p r o g r a m i s r e l a t i v e l y s i m p l e t o u n d e r s t a n d a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e p r o g r a m i s n o t i n c l u d e d . I n g e n e r a l , t h e u s e r i s r e q u i r e d t o e n t e r t h e c o l u m n * N o t e : T h e l i n e n u m b e r s l i s t e d a l o n g t h e l e f t m a r g i n a r e n o t p a r t o f t h e a c t u a l p r o g r a m a n d a r e o n l y l i s t e d a s a r e f e r e n c e t o i n d i v i d u a l l i n e s o f c o d e . A l l c o m m e n t l i n e s a r e d e n o t e d b y a n a s t e r i s k s y m b o l ( - ) i n c o l u m n o n e a n d a l l c o n t i n u a t i o n m a r k e r s a r e d e n o t e d b y a n a m p e r s a n d s y m b o l ( 8 ) i n c o l u m n s i x , i n t e r m s o f t h e F O R T R A N l a n g u a g e . 1 6 6 v a r i a n c e a n d t h e c o l u m n l e n g t h . B a s e d u p o n t h i s d a t a , t h e p r o g r a m d e t e r m i n e s t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a s a f u n c t i o n o f r e p e t i t i o n r a t e . 1 0 2 0 3 C ) 1 4 0 5 C ) 1 6 7 E r f c c . f o r ; 4 0 T h i s p r o g r a m c a l c u l a t e s t h e s e g m e n t p u r i t y f o r t h e f i n a l f u c k i n g t i m e ! ! ! ! ! ! I N T E G E R P L U G S , S O L U T E , M O B I L E , I , J , C O U N T , T T R E A D , T T F I L E R E A L P E R C E T , F R A C , L E N G T H , K , T E M P , H E I G H T , S E G , V O I D , 8 R R , S I G M A , F R E Q , T , T R , P I , T I M E , T I M S L C , S T E P , & L I M I T C H A R A C T E R F I L E N M ‘ Z O , A N S W ‘ l , Q U E S T ‘ l P A R A M E T E R ( T T R E A D = 5 ) P A R A M E T E R ( T T W R I T = 6 ) P A R A M E T E R ( T T F I L E = 2 ) P A R A M E T E R ( P I = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 ) P A R A M E T E R ( E P S = 1 . E - 5 , J M A X = 2 0 ) 2 5 0 0 C O N T I N U E C A L L O P E N I O ( T T F I L E , T T R E A D , T T W R I T , F I L E N M ) W R I T E ( T T W R I T , 1 " ) ' C O L U M N S I G M A E Q U A L S ? ( C M ) ' R E A D ( T T R E A D , 1 ' ) S I G M A W R I T E ( T T W R I T , * ) ' E N T E R C O L U M N L E N G T H ( C M ) ' R E A D ( T T R E A D , * ) L E N G T H D O 1 0 0 0 R R = . 0 5 , 2 5 . 0 5 , . 0 5 L I M I T = L E N G T H / ( 2 . * R R ) A B - L I M I T L I M I T O L D S = - 1 . E 3 0 D O 1 5 N = 1 , J M A X I F ( N . E Q . 1 ) T H E N S = 0 . 5 * ( B - A ) * ( C O N V O L ( A , L E N G T H , R R , S I G M A ) + s C O N v 0 L ( B , L E N G T H , R R , S I G M A ) ) I T = 1 E L S E 1 . T N M = I T D E L = ( B - A I / T N M X = A + 0 . 5 * D E L S U M = 0 . D O 1 1 J = 1 , I T ‘ h 6 8 S U M - S U M + C O N V O L ( x , L E N G T H , R R , S I G M A ) X = X + D E L 1 1 C O N T I N U E 6 0 s - 0 . 5 * ( 5 + ( B - A ) * S U M / T N M ) I T - 2 * I T E N D I F * * I F ( A B S ( S - O L D S ) . L T . E P S * A B S ( O L D S ) ) G O T O 3 5 O L D S = S * 1 5 C O N T I N U E P A U S E ' T o o m a n y s t e p s . ’ ‘ 7 0 * i 3 5 P U R I T Y - ( ( L E N G T H / ( 2 . * R R ) ) * * 2 / 1 2 . ) & / s * W R I T E ( T T R E A D , . , R R , ' , ' , P U R I T Y W R I T E ( T T F I L E , * ) R R , ' , ' , P U R I T Y * 1 0 0 0 C O N T I N U E 8 C ) * i * W R I T E ( T T R E A D , * ) W R I T E ( T T R E A D , * ) * W R I T E ( T T R E A D , * ) ' D O Y O U W I S H A N O T H E R F R E Q ? ‘ R E A D ( T T R E A D , 2 5 0 ) Q U E S T 2 5 0 F O R M A T ( A ) I F ( Q U E S T . E Q . ' Y ' ) G O T O 2 5 0 0 9 ( ) . E N D ‘ A ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S U B R O U T I N E O P E N I O ( O U T P U T , T T R E A D , T T W R I T , F I L E N M ) * ' 1 0 0 I N T E G E R O U T P U T , T T R E A D , S T A T C H A R A C T E R F I L E N M * 2 0 t 2 0 0 W R I T E ( T T R E A D , 1 ) ' E N T E R O U T P U T F I L E N A M E ' 1 F O R M A T ( 5 x , A ) R E A D ( T T R E A D , 2 ) F I L E N M 2 F O R M A T ( A ) * O P E N ( U N I T = O U T P U T , F I L E = F I L E N M , S T A T U S = 1 1 0 a ' N E W ' ) I F ( S T A T . N E . 0 ) T H E N W R I T E ( T T R E A D , 3 ) S T A T , F I L E N M 3 F O R M A T ( 5 X , ' E R R O R N U M B E R ' I 5 , 1 X , & ' O P E N I N G F I L E ' , 1 X , A , 1 X , 8 ' P L E A S E T R Y A G A I N . ' ) G O T O 2 0 0 E N D I F 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 6 9 E N D F U N C T I O N E R F C C ( X ) Z = A B S ( X ) T 8 1 . / ( 1 . + 0 . 5 * Z ) E R F C C = T * E X P ( - Z * Z - 1 . 2 6 5 5 1 2 2 3 + T * ( 1 . 0 0 0 0 2 3 6 8 + T * ( . 3 7 4 0 9 1 9 6 + 8 T ‘ i . 0 9 6 7 8 4 1 8 + T * ( - . 1 8 6 2 8 8 0 6 + T * ( . 2 7 8 8 6 8 0 7 + T * ( ‘ 1 . 1 3 5 2 0 3 9 8 + & T * ( 1 . 4 8 8 5 1 5 8 7 + T * ( - . 8 2 2 1 5 2 2 3 + T * . 1 7 0 8 7 2 7 7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) I F ( X . L T . 0 . ) E R F C C = 2 . - E R F C C R E T U R N E N D l i i l F U N C T I O N C O N V O L ( Y , L E N G T H , R R , S I G M A ) R E A L L E N G T H T E M P = L E N G T H / ( 4 . * R R ) T R A N S = ( R R / L E N G T H ) * ( ( 1 . - E R F C C ( ( Y + T E M P ) / ( S Q R T ( 2 . ) * S I G M A ) ) ) 8 - ( l . - E R F C C ( ( Y - T E M P ) / ( S Q R T ( 2 . ) * S I G M A ) ) ) ) C O N V O L = T R A N S * Y * * 2 R E T U R N E N D : “ 9 ’ 9 ’ 1 7 0 R E F E R E N C E S R e i l l e y , C . N . ; H i l d e b r a n d , G . P . ; A s h l e y , J . W . J r . A n a l . C h e m . 1 9 6 2 , 3 4 , 1 1 9 8 . S t e r n b e r g , J . C . A d v . C h r o m a t o g r . 1 9 6 6 , 2 , 2 0 5 . K a r o l , P . J . A n a l . C h e m . 1 9 8 9 , 6 1 , 1 9 3 7 . M a r t i n , M . ; E o n , C . ; G u i o c h o n , G . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 5 , 1 0 8 , 2 2 9 . " I I I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I l a ~ . ' n 1 4 ‘ ' l 1 . ' ‘ . ' m r . . . I o a x r . . . I I fl r I I I I I I . I I I I I I U I I I I I 1 ! I A r . . . r 1 . 4 I » n . . x . . r . . I . r . . V N I L W M W r / I M I W L N K I I H N Q N W r . . r . 7 4 . . . . . . . . . . . 4 . . . . 1 . . p 7 . 4 ! 4 r . . « 1 W » I . _ . . . . u I . . I . I . , - . - A . . . I 2 4 . . . . . . . . . ‘ . 1 . \ : 4 A , z . I . . - _ I t . . . . I I I I I I I I I I r A . . . l u I 1 J I J K I k . . £ . r u . . E . I 4 H I . I I . ) £ 4 . . . . r u . r u b — H . « C u r r : l fl l I I I I . . . I ; I I I I . " I I I . q . 4 . . I . n . 2 . y r ” 4 . . 4 . - . fi L M r I u n v w r r t . I t fi l r r l . ’ T H 1 . ( W I . I I I J I . N n h n fl I I V I V I y — A ! . . fi l o " A } : t I : s . K . : fl n ~ t . . . I . . . . 4 1 % 4 . . m . . 1 h I T : . . . x . I . H . 4 I I I . I i n . . . $ . L . n u . 4 t r y . 4 . u . . . . . . . p . 7 L ‘ s r v n l I l l u n . - . . . I 5 . 4 4 1 . 4 3 3 . L a v . 4 . 4 ; ' } . . ” 4 . 2 : . . u u ~ + 1 I J A M . « A 5 ' ‘ 4 5 . n g L . I . 4 . a . . . - a I A E h . 7 . . . 4 u n . 4 u . 1 3 . I - 4 . . . . . 4 . . . . . . L . . ‘ 4 3 . . . . \ 1 ‘ . l a ' k . w . ‘ . “ " 4 5 4 " { 1 3 " I . ” . 4 a 1 ' 1 ' 1 . 5 4 . . ~ 4 : 4 . . 4 . . 4 . 4 4 4 . . . 4 4 i x 4 . . 4 . 1 . 4 . 1 I 4 . . . ‘ a 4 . 4 . . . . 2 . . . . y . . I . . . . . . . . . ‘ . n . . . § . . \ . . 4 . . 4 . 4 . 4 . 1 4 ‘ 1 4 . . . . . . . . . . . V 4 : . . D u n n ” . . . . . v 5 . 4 . . 4 . I P . « . . r . . . . . . I . . 4 A . 1 . . . : . v ~ . . u . x . . . . I 4 I . : . . . . . . . a 4 9 4 . i , . I . I . . v I I N . . . . . . » . 1 4 4 1 . 4 4 . 1 1 $ 4 . . . . . . . 1 u H . I . u u ¢ . l H 1 - . I I I 4 h i I n . . . » . 4 4 I n n ‘ s ) . 4 . . . . N H I C M U . . H ‘ o w k fl . I “ I " w ‘ a . . . “ 1 . 1 . . I t . » I 7 N ! M i L c U I i i h n B g v R a e A n r s R i 3 Y 3 t 3 y 2 9 ‘1 I ' m a m ? " i I P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e t o r e d a t e d u e . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E M S U I s A n A f f i r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n e m u n G - n t S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I O U I D C H R O M A T O G R A P H Y : A N A L T E R N A T I V E T O P R E M I X E D M O B I L E P H A S E S V o l u m e I I B Y J o n H e n r y W a h l A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t a t C h e m i s t r y 1 9 9 1 C H A P T E R 5 O P T I M I Z A T I O N S T R A T E G Y F O R S O L V E N T M O D U L A T I O N I N L I Q U I D C H R O M A T O G R A P H Y I N T R O D U C T I O N I n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , v a r i o u s c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s a r e u t i l i z e d t o p r e d i c t t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s f o r a s e p a r a t i o n ( 1 , 2 ) . G e n e r a l l y , t w o d i f f e r e n t t y p e s o f o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s c a n b e d i s t i n g u i s h e d . I n t h e f i r s t t y p e , a l l e x p e r i m e n t a l r e t e n t i o n o r r e s o l u t i o n d a t a a r e a c q u i r e d p r i o r t o t h e e v a l u a t i o n . T h e s e d a t a a r e f i t t o a p r e d e f i n e d f u n c t i o n b y e i t h e r a l i n e a r o r n o n l i n e a r r e g r e s s i o n t e c h n i q u e . T h e o p t i m u m c o n d i t i o n s a r e t h e n d e d u c e d b y e i t h e r i n t e r p o l a t i o n o r e x t r a p o l a t i o n o f t h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s ( 3 - 9 ) . F o r a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t w o p o p u l a r m e t h o d s , t h e w i n d o w d i a g r a m a n d t h e m i x t u r e d e s i g n s t a t i s t i c a l m e t h o d , t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o A p p e n d i x 5 . 1 . T h e s e c o n d t y p e o f o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y i s a d i r e c t e d s e a r c h , s u c h a s t h e s i m p l e x m e t h o d , i n w h i c h t h e r e s u l t s o f o n e e x p e r i m e n t a r e u s e d t o p r e d i c t t h e c o n d i t i o n s f o r t h e n e x t e x p e r i m e n t . T h i s s u c c e s s i v e p r o c e s s i s r e p e a t e d , d i r e c t i n g t h e s e a r c h u n t i l t h e o p t i m u m r e s p o n s e i s d e t e r m i n e d ( 1 0 - 1 3 ) . F o r a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e s i m p l e x p r o c e d u r e f o r o p t i m i z a t i o n , t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o A p p e n d i x 5 . 2 . A n a d v a n t a g e o f t h e d i r e c t e d s e a r c h m e t h o d s c o m p a r e d t o r e g r e s s i o n t e c h n i q u e s , i s t h a t n o a s s u m p t i o n s a r e n e c e s s a r y c o n c e r n i n g t h e m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n u s e d t o d e s c r i b e t h e r e t e n t i o n d a t a . I n a d d i t i o n , f e w e r e x p e r i m e n t s m a y b e r e q u i r e d t o l o c a t e t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s b e c a u s e o n l y t h e m o s t p r o m i s i n g r e g i o n s o f t h e r e s p o n s e s u r f a c e a r e e x a m i n e d . I n t h e s e o p t i m i z a t i o n m e t h o d s f o r l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , s o l u t e r e t e n t i o n i s m o s t c o m m o n l y c o n t r o l l e d b y m o d i f i c a t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . I n g e n e r a l , s o l u t e r e t e n t i o n i s a s s u m e d t o b e a p r e d i c t a b l e f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n i n p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s ( 6 . 9 . , s e e A p p e n d i x 5 . 1 ) . N e v e r t h e l e s s . d e v i a t i o n s b e t w e e n p r e d i c t e d a n d m e a s u r e d s o l u t e r e t e n t i o n a r e o f t e n o b s e r v e d f o r p o l a r , h i g h l y i n t e r a c t i n g s o l v e n t s s u c h a s t h o s e u s e d i n r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . C o n s e q u e n t l y , a c c u r a t e m o d e l l i n g o f s o l u t e r e t e n t i o n , w h i c h i s n e c e s s a r y t o p r e d i c t O p t i m u m s e p a r a t i o n c o n d i t i o n s , m a y n o t b e p o s s i b l e i n p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s . 1 7 1 1 7 2 I n p r e v i o u s c h a p t e r s , t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e w a s i n t r o d u c e d a n d w a s d e m o n s t r a t e d t o b e a p r a c t i c a l a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s a r e i n t r o d u c e d o n t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i n a r e p e a t i n g o r r a n d o m p a t t e r n . B e c a u s e t h e s o l v e n t z o n e s a r e s e p a r a t e d p h y s i c a l l y a n d t e m p o r a l l y f r o m o n e a n o t h e r , s o l u t e r e t e n t i o n i s c o n t r o l l e d i n d e p e n d e n t l y w i t h i n e a c h z o n e . T h e r e f o r e , s o l u t e r e t e n t i o n i s a s i m p l e p r e d i c t a b l e f u n c t i o n o f t h a t i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s , w h i c h c a n b e u s e d t o a d v a n t a g e i n o p t i m i z i n g c o m p l e x s e p a r a t i o n s . T H E O R Y A N D O P T I M I Z A T I O N S T R A T E G Y I n C h a p t e r 2 , t h e t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i s d e v e l o p e d , w h e r e t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) f o r s o l u t e i w a s g i v e n b y : " " I k - k , - . . 2 _ _ _ ' I - 1 [ 5 . 1 1 F r o m E q u a t i o n [ 5 . 1 ] , i t i s s e e n t h a t t w o b a s i c v a r i a b l e s a r e u s e d t o c o n t r o l t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r : 1 . ) t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s , k g , w h i c h a r e d e t e r m i n e d b y t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s ( 1 ) , a n d 2 . ) t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h , x ; T h e m a g n i t u d e o f t h e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s m a y b e v a r i e d b y c o m p o s i t i o n a l m o d i f i c a t i o n o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s a n d , a s a g e n e r a l g u i d e , s h o u l d l i e r o u g h l y i n t h e r a n g e o f 2 0 > k , - j > 0 , w i t h a n o p t i m u m c a p a c i t y f a c t o r b e t w e e n t w o a n d f i v e ( 1 4 ) . T y p i c a l l y , t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s a r e c h o s e n t o p r o v i d e a d i f f e r e n c e i n e i t h e r s o l v e n t s t r e n g t h o r s o l v e n t s e l e c t i v i t y a n d a r e c h o s e n p r i o r t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e . B e c a u s e t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s a r e r e q u i r e d b e f o r e E q u a t i o n [ 5 . 1 ] c a n b e u t i l i z e d , t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s c h o s e n t o o p t i m i z e t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s . T h e s t r a t e g y f o r o p t i m i z i n g a s e p a r a t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n u s e s E q u a t i o n [ 5 . 1 ] t o p r e d i c t a c c u r a t e l y t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) f o r e a c h s o l u t e a t a s p e c i f i c s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . T o a c c o m p l i s h t h i s , t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s a r e c h o s e n , a n d t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n e a c h s o l v e n t s y s t e m ( k g ) a r e m e a s u r e d p r i o r t o i m p l e m e n t i n g t h e O p t i m i z a t i o n s c h e m e . O n c e t h e c a p a c i t y f a c t o r s a r e k n o w n , t h e i n d i v i d u a l 1 7 3 s o l v e n t z o n e l e n g t h s ( x ) , w h i c h d e t e r m i n e t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e , a r e s e l e c t e d a n d t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r f o r e a c h s o l u t e i s c a l c u l a t e d . T h e q u a l i t y o f t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n a d j a c e n t p a i r s o f s o l u t e s i s e v a l u a t e d b y t h e r e s o l u t i o n ( F l ) , , 4 1 ) : [ 5 . 2 ] H U I - 1 ' fl k i i + 1 ' k i 2 2 + k g i + 1 + k i w h e r e k i a n d k ; + 1 a r e t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r s f o r a d j a c e n t s o l u t e s c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 1 ] . T h e r e s o l u t i o n i s e s t i m a t e d b y a s s u m i n g t h a t t h e n u m b e r o f t h e o r e t i c a l p l a t e s ( N ) i s r e l a t i v e l y c o n s t a n t f o r t h e c o l u m n u n d e r s p e c i f i e d c o n d i t i o n s o f s o l v e n t c o m p o s i t i o n a n d t e m p e r a t u r e . T h e q u a l i t y o f t h e e n t i r e s e p a r a t i o n i s a s s e s s e d u s i n g t h e m u l t i v a r i a t e f u n c t i o n d e v e l o p e d b y S c h l a b a c h a n d E x c o f f i e r ( 1 5 ) , t e r m e d t h e C h r o m a t o g r a p h i c R e s o l u t i o n S t a t i s t i c ( O H S ) : m - 1 . . 2 m " . 2 . C R 3 . [ R ' - ' + " R ° P ‘ ] 1 + L E [ 5 . 3 ] , - _ 1 R i i + 1 ‘ R m h R i , i + 1 , - _ 1 ( m _ 1 ) ' § 2 m w h e r e R ) , , - + 1 i s t h e i n d i v i d u a l r e s o l u t i o n e l e m e n t , R a p ; i s t h e o p t i m u m d e s i r e d r e s o l u t i o n , R m ) ” i s t h e m i n i m u m a c c e p t a b l e r e s o l u t i o n , [ 3 i s t h e a v e r a g e r e s o l u t i o n , T ; i s t h e t o t a l s e p a r a t i o n t i m e , a n d m i s t h e n u m b e r o f s o l u t e s . T h e f i r s t t e r m i n E q u a t i o n [ 5 . 3 ] i s r e l a t e d i n v e r s e l y t o t h e i n d i v i d u a l r e s o l u t i o n e l e m e n t , w e i g h t e d b y t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h a t r e s o l u t i o n e l e m e n t a n d t h e d e f i n e d o p t i m u m a n d m i n i m u m c o n d i t i o n s . W h e n e a c h r e s o l u t i o n e l e m e n t i s e q u a l t o t h e o p t i m u m v a l u e , t h e n u m e r a t o r i n t h e f i r s t t e r m w i l l b e z e r o . T h e d e n o m i n a t o r o f t h i s t e r m c a u s e s t h e 6 8 8 v a l u e t o i n c r e a s e r a p i d l y a s t h e r e s o l u t i o n a p p r o a c h e s t h e m i n i m u m a c c e p t a b l e v a l u e . W h e n e a c h r e s o l u t i o n e l e m e n t i s e q u a l t o t h e a v e r a g e r e s o l u t i o n ( r e g a r d l e s s o f i t s v a l u e ) , t h e s e c o n d t e r m i n E q u a t i o n [ 5 . 3 ] w i l l r e a c h a m i n i m u m v a l u e o f o n e , w h i c h r e s u l t s i n u n i f o r m s p a c i n g b e t w e e n s o l u t e s . T h e t h i r d t e r m ( T i / m ) i s i n t e n d e d t o m i n i m i z e t h e o v e r a l l a n a l y s i s t i m e . F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s t u d y , t h e t h i r d t e r m d e f i n e d b y S c h l a b a c h a n d E x c o f f i e r w a s n o t c o n s i d e r e d , t h u s a n o p t i m u m s e p a r a t i o n w i l l h a v e a m i n i m u m C R S v a l u e o f 1 . 0 . T h u s , a n y s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t c a n b e s i m u l a t e d a n d t h e o v e r a l l q u a l i t y o f t h a t s e p a r a t i o n c a n b e d e t e r m i n e d b y a s i m p l e t h r e e - s t e p p r o c e d u r e . F i r s t , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r f o r e a c h s o l u t e i s c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 1 ] f o r a d e f i n e d s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n 1 7 4 r a t e . S e c o n d . t h e r e s o l u t i o n b e t w e e n a d j a c e n t s o l u t e p a i r s i s c a l c u l a t e d f r o m E q u a t i o n [ 5 . 2 ] . T h i r d , t h e C R S v a l u e i s c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 3 ] t o e v a l u a t e t h e o v e r a l l q u a l i t y o f t h e s e p a r a t i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s f o r a s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t c a n b e d e t e r m i n e d s y s t e m a t i c a l l y b y l o c a t i n g t h e m i n i m u m C R S v a l u e . T h e m i n i m u m C F i S v a l u e m a y b e f o u n d b y a n y a p p r o p r i a t e m e t h o d ; h o w e v e r , t h e f o l l o w i n g t w o m e t h o d s a r e e x a m i n e d i n t h i s s t u d y : 1 . ) t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s z o n e s a r e s y s t e m a t i c a l l y v a r i e d t o p r o d u c e l a t t i c e o f C R 8 v a l u e s , f r o m w h i c h a c o m p l e t e C B S r e s p o n s e s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d a n d t h e o p t i m u m i s d e t e r m i n e d b y v i s u a l i n s p e c t i o n , o r 2 . ) a d i r e c t e d s e a r c h r o u t i n e s u c h a s t h e s i m p l e x m e t h o d i s u s e d t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m . T h e s e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s a r e d e m o n s t r a t e d b y a p p l i c a t i o n o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e t o t h e s e p a r a t i o n o f a c o m p l e x m i x t u r e o f 1 4 s a t u r a t e d a n d u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s b y r e v e r s e d - p h a s e l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . E X P E R I M E N T A L S E C T I O N M a t e r i a l s a n d M e t h o d s S a t u r a t e d f a t t y a c i d s t a n d a r d s a r e o b t a i n e d f r o m S i g m a , w h e r e a s u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s a r e f r o m N u C h e k P r e p o r C a y m a n C h e m i c a l . A 1 0 ' 3 M s t o c k s o l u t i o n o f 5 s a t u r a t e d a n d 9 u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s i s p r e p a r e d i n d r y a c e t o n e . A n a l i q u o t o f t h i s s o l u t i o n i s e v a p o r a t e d t o d r y n e s s w i t h n i t r o g e n , a n d r e c o n s t i t u t e d i n 6 0 0 [ u L o f d r y a c e t o n e . A p o w d e r e d , a n h y d r o u s m i x t u r e ( 1 : 1 ) o f s o d i u m s u l f a t e a n d p o t a s s i u m b i c a r b o n a t e ( 5 m g ) i s a d d e d , t o g e t h e r w i t h t h e c o m p l e x i n g a g e n t , d i b e n z o - 1 8 - c r o w n - 6 ( 3 . 6 m g , 1 0 ‘ 5 m o l e ) . T h e f l u o r e s c e n t r e a g e n t , 4 - b r o m o m e t h y l - 7 - m e t h o x y c o u m a r i n ( 2 . 7 m g , 1 0 ' 5 m o l e ) i s a d d e d , a n d t h e d e r i v a t i z a t i o n i s a l l o w e d t o p r o c e e d i n t h e d a r k a t 3 7 ° C f o r f i v e h o u r s w i t h p e r i o d i c s t i r r i n g ( 1 6 , 1 7 ) . O r g a n i c s o l v e n t s a r e h i g h - p u r i t y , d i s t i l l e d - i n - g l a s s g r a d e ( B u r d i c k - a n d J a c k s o n ) ; w a t e r i s d e i o n i z e d a n d d o u b l y d i s t i l l e d i n g l a s s ( M e g a - P u r e S y s t e m , C o r n i n g G l a s s W o r k s ) . C h r o m a t o g r a p h l c S y s t e m T h e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m u t i l i z e d f o r t h i s r e s e a r c h i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 5 . 1 . A d u a l s y r i n g e p u m p ( M o d e l M P L C - M G , A p p l i e d B i o s y s t e m s ) , u s e d i n t h e c o n s t a n t - f l o w m o d e , i s p r o g r a m m e d t o d e l i v e r t h e s o l v e n t s ( A o r B ) f o r s p e c i f i e d t i m e d u r a t i o n s . S a m p l e i n t r o d u c t i o n i s a c h i e v e d u s i n g a 1 . 0 u L i n j e c t i o n v a l v e ( M o d e l E C I 4 W 1 . , V a l c o I n s t r u m e n t s C o . ) , 1 7 5 F i g u r e 5 . 1 S c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e e x p e r i m e n t a l s y s t e m . ( A ) 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ; ( B ) 1 0 0 % m e t h a n o l ; ( I ) s a m p l e i n j e c t i o n v a l v e ; ( T ) e f f l u e n t s p l i t t e r t e e ; ( R ) r e s t r i c t o r . 1 7 6 F i g u r e 5 . 1 H P L C « — C a p i l l a r y C d u m n F l u o r e s c e n c e I . D e t e c t o r | l I R e c o r d e r I U V — A b s o r b o n c e I _ J D e t e c t o r J 1 7 7 a f t e r w h i c h t h e e f f l u e n t s t r e a m i s s p l i t ( 1 2 0 : 1 ) a n d a p p l i e d t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . T h e m i c r o c o l u m n u t i l i z e d i n t h i s s t u d y i s p r e p a r e d f r o m f u s e d - s i l i c a c a p i l l a r y t u b i n g ( 2 0 0 u m i . d . , 1 4 0 c m l e n g t h , H e w l e t t - P a c k a r d ) , w h i c h i s p a c k e d w i t h a n o c t a d e c y l s i l i c a m a t e r i a l ( M i c r o P a k - S P , 3 p m , V a r i a n A s s o c i a t e s ) , a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y ( 1 8 ) . L a s e r F l u o r e s c e n c e D e t e c t o r A h e l i u m - c a d m i u m l a s e r ( M o d e l 3 1 1 2 - 1 0 8 , O m n i c h r o r n e ) , w i t h c o n t i n u o u s - w a v e o u t p u t a t 3 2 5 n m a n d a p p r o x i m a t e l y 1 0 m w p o w e r , i s u s e d a s t h e e x c i t a t i o n s o u r c e . T h e l a s e r r a d i a t i o n i s f o c u s e d u s i n g a f u s e d - s i l i c a l e n s ( 2 . 8 c m d i a m e t e r , 1 0 . 0 c m f o c a l l e n g t h , A 6 1 2 8 1 0 , E s c o P r o d u c t s ) d i r e c t l y u p o n a p o r t i o n o f t h e f u s e d - s i l i c a m i c r o c o l u m n f r o m w h i c h t h e p r o t e c t i v e p o l y i m i d e c o a t i n g h a s b e e n r e m o v e d . T h e f l u o r e s c e n c e i s c o l l e c t e d p e r p e n d i c u l a r a n d c o p l a n a r t o t h e e x c i t a t i o n b e a m w i t h a n o t h e r f u s e d - s i l i c a l e n s ( 2 . 5 4 c m d i a m e t e r , 2 . 5 4 c m f o c a l l e n g t h . A 1 1 0 0 1 0 ) , s p e c t r a l l y i s o l a t e d a t 4 2 0 n m b y u s i n g b a n d p a s s i n t e r f e r e n c e f i l t e r s ( F S - 2 0 4 - F , C o r i c n ) , a n d f o c u s e d o n t o a p h o t o m u l t i p l i e r t u b e ( M o d e l 0 4 2 4 9 8 , C e n t r o n i c , B a i l e y I n s t r u m e n t s ) . T h e p h o t o c u r r e n t i s a m p l i f i e d a n d c o n v e r t e d t o v o l t a g e b y a p i c o a m m e t e r ( M o d e l 4 8 0 , K e i t h l e y I n s t r u m e n t s ) a n d f i n a l l y i s d i s p l a y e d o n a c h a r t r e c o r d e r ( M o d e l 5 8 5 , L i n e a r l n s t m m e n t s ) . U V - A b s o r b a n c e D e t e c t o r A c o m m e r c i a l v a r i a b l e - w a v e l e n g t h U V - a b s o r b a n c e d e t e c t o r ( M o d e l U v i d e c 1 0 0 - V , J a p a n S p e c t r o s c o p i c C o . ) i s m o d i f i e d t o c o n t a i n a 1 0 n L f u s e d - s i l i c a f l o w c e l l . T h e l i g h t t h r o u g h p u t f r o m t h e d e u t e r i u m l a m p s o u r c e i s c o n t r o l l e d b y m e a n s o f r a z o r - b l a d e s l i t s m o u n t e d p a r a l l e l t o t h e f l o w c e l l . O p t l m l z a t l o n S t r a t e g l e s T o p o g r a p h l c M e t h o d T h e r e s p o n s e s u r f a c e i s c r e a t e d b y f i r s t s y s t e m a t i c a l l y i n c r e m e n t i n g t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e t w o s o l v e n t z o n e s a n d c a l c u l a t i n g t h e c a p a c i t y f a c t o r f o r e a c h s o l u t e u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 1 ] . F r o m t h e s e v a l u e s , t h e r e s o l u t i o n o f e a c h s o l u t e p a i r a n d t h e o v e r a l l q u a l i t y o f t h e s e p a r a t i o n i s d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n s [ 5 . 2 ] a n d [ 5 . 3 ] , r e s p e c t i v e l y . B y p l o t t i n g t h e C R S v a l u e s a s a f u n c t i o n o f t h e s o l v e n t z o n e l e n g t h s , a c o m p l e t e t h r e e - d i m e n s i o n a l r e s p o n s e s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d . T h e m i n i m u m C R S v a l u e i s l o c a t e d b y v i s u a l i n s p e c t i o n o f t h i s r e s p o n s e s u r f a c e . G r a p h i c a l d e t e r m i n a t i o n o f t h e o p t i m u m C R 8 i s r e s t r i c t e d t o a t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t s y s t e m , d u e t o t h e d i f f i c u l t y i n r e p r e s e n t i n g a n d i n t e r p r e t i n g s y s t e m s o f h i g h e r 1 7 8 d i m e n s i o n a l i t y . I n a d d i t i o n , t h e o p t i m u m C B S v a l u e d e t e r m i n e d f r o m a g r a p h i c a l m e t h o d s h o u l d b e v e r i f i e d b y a n u m e r i c a l m e t h o d b e c a u s e t h e s u r f a c e t h a t i s v i s u a l l y s e e n m a y n o t a c c u r a t e l y r e p r e s e n t t h e a c t u a l s u r f a c e . T h i s i n a c c u r a c y i n t h e r e s p o n s e s u r f a c e m a y r e s u l t f r o m e i t h e r t h e s m o o t h i n g r o u t i n e i n v o l v e d i n c r e a t i n g t h e s u r f a c e o r f r o m t h e n u m b e r o f s a m p l e p o i n t s u s e d t o c o n s t r u c t t h e s u r f a c e , w h i c h d e t e r m i n e s t h e r e s o l u t i o n o f t h e r e s p o n s e s u r f a c e . W h e n a l a r g e n u m b e r o f s a m p l e p o i n t s a r e u s e d , g o o d r e s o l u t i o n i s o b t a i n e d , b u t t h e s e a r c h i n g r a n g e i s m o r e l i m i t e d . S i m p l e x S e a r c h M e t h o d T h e c o m p u t e r o p t i m i z a t i o n p r o g r a m i s w r i t t e n i n F O R T R A N 7 7 a n d e x e c u t e d o n a V A X s t a t i o n l l c o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ) . A b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e p r o g r a m f o l l o w s , b u t f o r m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n a n d t h e s o u r c e c o d e o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o A p p e n d i x 5 . 3 . T h e m o d i f i e d s i m p l e x r o u t i n e d e v e l o p e d b y N e l d e r a n d M e a d ( 1 9 ) i s u t i l i z e d f o r t h e s y s t e m a t i c d e t e r m i n a t i o n o f t h e m i n i m u m C B S v a l u e f o r m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t s y s t e m s . T h i s p r o c e d u r e a l l o w s f o r t h e e x p a n s i o n a n d c o n t r a c t i o n o f t h e s i m p l e x d u r i n g t h e d e t e r m i n a t i o n a n d w i l l c o n v e r g e a t t h e o p t i m u m p o s i t i o n . T h i s s e a r c h i n g m e t h o d h a s t h e a d v a n t a g e t h a t n o a s s u m p t i o n s a r e m a d e c o n c e r n i n g t h e m a t h e m a t i c a l f o r m a n d f u n c t i o n o f t h e r e s p o n s e s u r f a c e t h a t i s b e i n g e v a l u a t e d . A f l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 2 . T h i s p r o g r a m r e q u i r e s a s i n p u t p a r a m e t e r s t h e n u m b e r a n d s e q u e n c e o f s o l v e n t s a n d t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n e a c h s o l v e n t . T h e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m s a r e d i v i d e d i n t w o s u b r o u t i n e s . I n t h e f i r s t s u b r o u t i n e , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r s a r e c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 1 ] , f r o m w h i c h t h e r e s o l u t i o n s a r e c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 2 ] . F i n a l l y t h i s s i m u l a t e d s e p a r a t i o n i s e v a l u a t e d b y c a l c u l a t i n g t h e C B S v a l u e f r o m E q u a t i o n [ 5 . 3 ] . T h i s C B S v a l u e i s t h e n t r a n s f e r r e d t o t h e s i m p l e x s u b r o u t i n e ( 2 0 ) , w h e r e i t i s e v a l u a t e d a n d u s e d t o p r e d i c t a n e w s e t o f f r a c t i o n a l l e n g t h s . T h i s p r o c e s s i s r e p e a t e d u n t i l t h e s i m p l e x r o u t i n e c o n v e r g e s o n a s i n g l e , m i n i m u m C B S v a l u e . T o i n c r e a s e t h e p r o b a b i l i t y o f l o c a t i n g t h e g l o b a l , r a t h e r t h a n t h e l o c a l , C B S o p t i m u m , b o t h t h e s t a r t i n g s i z e a n d p o s i t i o n o f t h e i n i t i a l s i m p l e x a n d t h e l i m i t s o f t h e s e a r c h i n g a r e a a r e v a r i e d s y s t e m a t i c a l l y . F o r a t y p i c a l t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n s y s t e m , 2 0 0 d i f f e r e n t i n i t i a l s i m p l e x c o n d i t i o n s a r e e x a m i n e d a u t o m a t i c a l l y w i t h o v e r 1 0 , 0 0 0 s i m u l a t e d s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t s f o r a s i n g l e s e t o f s o l u t e s . 1 7 9 F i g u r e 5 . 2 F l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m u s e d t o l o c a t e t h e o p t i m u m s e p a r a t i o n c o n d i t i o n s b y t h e s i m p l e x m e t h o d . s e Y — t n n e o m i i - r e p x s p u l a E n fi n I l a n i F n o i t a l u m i S r e t u p m o C 1 J . ) ‘ o s n r o o l d t a e f n y l t m l s r e c t t e n o m d c e l e m t o i n t u r e d m s e i l p r a e u x p d E x l E v l d a l i h t l i n I o [ [ c u r r e n t c e r i u m u s e d F i g u r e 5 . 2 1 8 0 1 8 1 D u r i n g t h e c o m p u t e r e x p e r i m e n t s , t h e t h r e e b e s t C B S v a l u e s a r e u p d a t e d a n d s t o r e d c o n t i n u o u s l y i n a f i l e . T h i s f i l e c o n t a i n s t h e p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e , s o l u t e e l u t i o n o r d e r , p r e d i c t e d c a p a c i t y f a c t o r s , p r e d i c t e d r e s o l u t i o n s , a n d t h e C B S v a l u e f o r t h e s e p a r a t i o n . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N I n p r e v i o u s s t u d i e s i n o u r l a b o r a t o r y ( 2 1 ) , t h e s e p a r a t i o n o f t h e 1 4 f a t t y a c i d d e r i v a t i v e s w a s o p t i m i z e d o n a r e v e r s e d - p h a s e c a p i l l a r y c o l u m n u t i l i z i n g c o n v e n t i o n a l p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . T h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s w e r e m e a s u r e d i n a q u e o u s m i x t u r e s o f m e t h a n o l a n d a c e t o n i t r i l e , r a n g i n g f r o m 8 5 % t o 1 0 0 % o f t h e o r g a n i c c o m p o n e n t . B y l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s o f t h e s e r e t e n t i o n d a t a , t h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n w a s p r e d i c t e d t o b e 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r . H o w e v e r , d u e t o d e v i a t i o n f r o m l i n e a r r e t e n t i o n b e h a v i o r c o m p l e t e r e s o l u t i o n o f a l l s o l u t e s w a s n o t a c h i e v e d w i t h t h e p r e d i c t e d m o b i l e p h a s e . C o n s e q u e n t l y , t h e c o m p o s i t i o n w a s a d j u s t e d e m p i r i c a l l y u n t i l t h e d e s i r e d r e s o l u t i o n w a s o b t a i n e d w i t h 9 0 % m e t h a n o l , 7 % a c e t o n i t r i l e , a n d 3 % w a t e r . U n d e r t h e s e o p t i m u m c o n d i t i o n s , 2 7 5 , 0 0 0 t h e o r e t i c a l p l a t e s w e r e r e q u i r e d t o a c h i e v e b a s e l i n e r e s o l u t i o n ( B 5 = 1 . 5 ) o f a l l f a t t y a c i d d e r i v a t i v e s . B a s e d u p o n t h i s p r e v i o u s w o r k , a p r e l i m i n a r y s e r i e s o f c o m p u t e r e x p e r i m e n t s w a s p e r f o r m e d t o d e t e r m i n e w h e t h e r a d e q u a t e r e s o l u t i o n c o u l d b e a c h i e v e d b y t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . T w o w e a k s o l v e n t s ( A ) , 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r a n d 8 5 % a c e t o n i t r i l e - 1 5 % w a t e r , a n d t w o s t r o n g s o l v e n t s ( B ) , 1 0 0 % m e t h a n o l a n d 1 0 0 % a c e t o n i t r i l e , w e r e s e l e c t e d f o r e v a l u a t i o n . T h e c o m p u t e r e x p e r i m e n t s e x a m i n e d a l l p o s s i b l e p e r m u t a t i o n s f o r a t w o - s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e u t i l i z i n g t h e s e f o u r s o l v e n t s y s t e m s . F r o m t h e s e p r e l i m i n a r y c o m p u t e r e x p e r i m e n t s , i t w a s d e t e r m i n e d t h a t a t w o - s o l v e n t s y s t e m c o n s i s t i n g o f 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ( A ) a n d 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) a c h i e v e s t h e b e s t s e p a r a t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . S h o w n i n F i g u r e 5 . 3 a r e c h r o m a t o g r a m s o f t h e s t a n d a r d f a t t y a c i d d e r i v a t i v e s o b t a i n e d u t i l i z i n g t h e s e t w o s o l v e n t s y s t e m s . W i t h t h e w e a k m o b i l e p h a s e ( A ) , a l l s o l u t e s e x c e p t ( 1 4 : 0 ) a n d ( 2 2 : 6 ) a r e c o m p l e t e l y r e s o l v e d a n d t h e t o t a l a n a l y s i s t i m e i s a p p r o x i m a t e l y t e n h o u r s . W i t h t h e s t r o n g m o b i l e p h a s e ( B ) , t h e a n a l y s i s t i m e i s r e d u c e d t o a p p r o x i m a t e l y 1 . 5 h o u r s , b u t m a n y m o r e s o l u t e s a r e u n r e s o l v e d . I n g e n e r a l , r e t e n t i o n o f t h e s a t u r a t e d f a t t y a c i d s i n c r e a s e s l o g a r i t h m i c a l l y w i t h c a r b o n n u m b e r f o r b o t h s o l v e n t s y s t e m s . B e c a u s e o f s e l e c t i v e i n t e r a c t i o n o f t h e d o u b l e b o n d s w i t h m e t h a n o l , t h e r e l a t i v e r e t e n t i o n o f t h e u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s d e c r e a s e s i n t h e s t r o n g F i g u r e 5 . 3 1 8 2 C h r o m a t o g r a m s o f s t a n d a r d f a t t y a c i d s i n t h e i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s . C o l u m n : F u s e d - s i l i c a c a p i l l a r y ( 2 0 0 u m i . d . , 1 4 0 c m l e n g t h ) , p a c k e d w i t h 3 p m M i c r o P a k - S P . M o b i l e p h a s e : ( A ) 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ; ( B ) 1 0 0 % m e t h a n o l ; 0 . 7 u U m i n ; 3 0 ° C . D e t e c t o r : L a s e r f l u o r e s c e n c e , A e x 3 2 5 n m , i t e m 4 2 0 n m , 2 . 0 m A f u l l s c a l e . S o l u t e s : 1 0 ' 5 M f a t t y a c i d s t a n d a r d s d e r i v a t i z e d w i t h 4 - b r o m o m e t h y l - 7 - m e t h o x y c o u m a r i n ; 8 . 3 n L i n j e c t i o n v o l u m e . T h e n o m e n c l a t u r e f o r t h e f a t t y a c i d s i s g i v e n a s C N z n , w h e r e C N i s t h e n u m b e r o f c a r b o n a t o m s a n d n i s t h e n u m b e r o f u n s a t u r a t e d s i t e s . o 2 f o f s 1 8 3 F i g u r e 5 . 3 E O . " $ 2 l u s t ) _ g 5 e : ( d 5 ( 0 9 L ) j 5 < § m i O 3 2 a E 0 . . 0 0 5 ( 1 : 0 2 ) < . c ‘ 0 . ( c a r ) ( m ) . — . 4 1 ( 0 . 9 1 ) ( 2 2 8 ” ( 0 3 “ ) 4 J \ ( c o a l _ q ( 6 8 1 ) . ‘ 0 ( t r s t l l t i v t ) - - = : ( v . 0 3 ) l u s t ) ( 9 : 2 2 ) ( 0 2 : ; L ) ‘ ( 9 ' 2 ? ) ( 8 1 8 1 1 1 6 8 1 ) ( c r e t ) ( t - r t l m " 4 - 2 - — , . ( 9 : 0 2 ) ( g m ) : — , 5 ? J v ( t z r t ) L . fl j ( 0 2 1 ) _ r 1 8 4 s o l v e n t . C o n s e q u e n t l y , i n v e r s i o n s i n r e t e n t i o n o r d e r a r e p r e v a l e n t , e s p e c i a l l y f o r p o l y u n s a t u r a t e d f a t s . T h e c a p a c i t y f a c t o r s f o r a l l 1 4 f a t t y a c i d d e r i v a t i v e s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 5 . 1 . T h e s e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r s ( k g ) a r e u s e d i n E q u a t i o n [ 5 . 1 ] t o p r e d i c t t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . U t i l i z i n g t h e p r e d i c t e d s o l u t e r e t e n t i o n , a s e r i e s o f s e p a r a t i o n s a r e s i m u l a t e d b y c o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y . T h e s e c o m p u t e r e x p e r i m e n t s e x a m i n e t h e p o s s i b l e m o d u l a t i o n s e q u e n c e s , b o t h r a n d o m a n d r e p e a t i n g , w i t h s a m p l e i n j e c t i o n i n b o t h s o l v e n t A a n d s o l v e n t B . T h e o v e r a l l q u a l i t y o f t h e s e p a r a t i o n , r e p r e s e n t e d b y t h e C B S v a l u e , i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 4 a s a f u n c t i o n o f t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f s o l v e n t A a n d s o l v e n t B . I n t h i s r e s p o n s e s u r f a c e , a l a r g e p l a t e a u r e g i o n ( C B S - 3 3 , 0 0 0 ) i s o b s e r v e d a t f r a c t i o n a l l e n g t h s o f s o l v e n t B g r e a t e r t h a n a p p r o x i m a t e l y 2 . 0 . T h i s l a r g e C B S v a l u e i n d i c a t e s t h a t m a n y s o l u t e s a r e n o t a d e q u a t e l y r e s o l v e d i n t h i s r e g i o n . A n e x p a n s i o n o f t h e r e s p o n s e s u r f a c e i n t h e r e g i o n w i t h l o w e r C B S v a l u e s , w h e r e t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f s o l v e n t A i s b e t w e e n 1 2 . 0 a n d 1 4 . 0 a n d s o l v e n t B i s b e t w e e n 0 . 0 a n d 2 . 0 , i s a l s o s h o w n . I t i s a p p a r e n t t h a t t h e r e a r e t w o v a l l e y s , p a r a l l e l t o t h e a x i s f o r s o l v e n t A , i n w h i c h t h e m i n i m u m C B S v a l u e m a y b e l o c a t e d . B y e x a m i n i n g t h e t o p o g r a p h i c m a p o f t h i s r e g i o n , s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 , t h e m i n i m u m C B S v a l u e ( 4 . 3 4 ) i s d e t e r m i n e d t o b e a t f r a c t i o n a l l e n g t h s o f 1 2 . 9 f o r s o l v e n t A a n d 0 . 8 3 f o r s o l v e n t B . T h u s , t h e s i m u l a t i o n p r e d i c t s t h a t t h e o p t i m u m s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e i s a t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t s y s t e m w i t h a p r o p o r t i o n o f 9 6 % A - 4 % B a n d a r e p e t i t i o n r a t e o f a p p r o x i m a t e l y 0 . 0 7 . S a m p l e i n j e c t i o n i s t o b e p e r f o r m e d i n t o t h e z o n e o f s o l v e n t B , a n d a l l s t a n d a r d f a t t y a c i d s w i l l b e e l u t e d w i t h i n t h e s e c o n d z o n e ( s o l v e n t A ) . A m i n i m u m r e s o l u t i o n o f 1 . 3 w i l l b e a c h i e v e d b e t w e e n t h e s o l u t e s ( 1 4 : 0 ) , ( 2 0 : 4 ) , a n d ( 1 6 : 1 ) , w h i c h a r e t h e m o s t d i f f i c u l t t o r e s o l v e . T h e s a m e o p t i m u m c o n d i t i o n s a r e p r e d i c t e d b y u s i n g t h e s i m p l e x m e t h o d , i n d i c a t i n g t h a t t h e s e a r c h a l g o r i t h m d e v e l o p e d f o r t h e s e s t u d i e s i s a b l e t o c o r r e c t l y i d e n t i f y t h e g l o b a l o p t i m u m . T h e s i m p l e x m e t h o d w i l l b e f a v o r e d f o r s o l v e n t s y s t e m s o f h i g h e r d i m e n s i o n a l i t y , w h i c h a r e n o t a m e n a b l e t o v i s u a l i n s p e c t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l s e p a r a t i o n o f t h e f a t t y a c i d d e r i v a t i v e s o b t a i n e d u n d e r t h e s e p r e d i c t e d o p t i m u m c o n d i t i o n s i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 6 . T h e u p p e r c h r o m a t o g r a m i s o b t a i n e d w i t h t h e U V - a b s o r b a n c e d e t e c t o r , w h i c h p e r m i t s d i r e c t o b s e r v a t i o n o f t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n s e q u e n c e . T h e l o w e r p l a t e a u o f t h i s s i g n a l i s d u e t o t h e z o n e o f s o l v e n t B ( 1 0 0 % m e t h a n o l ) , w h e r e s a m p l e i n j e c t i o n o c c u r s , w h i l e t h e u p p e r p l a t e a u i s d u e t o t h e z o n e o f s o l v e n t A ( 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ) . T h e l o w e r c h r o m a t o g r a m i s o b t a i n e d f r o m t h e l a s e r f l u o r e s c e n c e d e t e c t o r , w h i c h i s s e n s i t i v e t o t h e f a t t y a c i d d e r i v a t i v e s b u t u n r e s p o n s i v e t o t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e . I n t h i s 1 8 5 T a b l e 5 . 1 : R e t e n t i o n o f f a t t y a c i d s i n t h e i n d i v i d u a l m o b i l e p h a s e s o f 9 0 % m e t h a n o l - 1 0 % w a t e r ( A ) a n d 1 0 0 % m e t h a n o l ( B ) . S O L U T E C A P A C I T Y F A C T O R ( k g ) S o l v e n t ( A ) S o l v e n t ( B ) ( 1 2 : 0 ) 5 . 1 7 1 . 2 9 ( 1 3 : 0 ) 6 . 9 2 1 . 5 1 ( 1 4 : 0 ) 9 . 2 8 1 . 7 7 ( 1 4 : 1 ) 5 . 7 1 1 . 3 0 ( 1 5 : 0 ) 1 2 . 5 6 2 . 0 9 ( 1 6 : 0 ) 1 6 . 9 9 2 . 4 7 ( 1 6 : 1 ) 9 . 9 1 1 . 7 6 ( 1 8 : 1 ) 1 7 . 6 4 2 . 4 3 ( 1 8 : 2 ) 1 . 7 4 1 . 8 7 ( 1 8 : 3 ) 8 . 4 3 1 . 5 3 ( 2 0 : 3 ) 1 4 . 0 1 2 . 0 1 ( 2 0 : 4 ) 1 0 . 2 3 1 . 6 5 ( 2 0 : 5 ) 7 . 4 2 1 . 3 6 ( 2 2 : 6 ) 9 . 4 5 1 . 5 1 1 8 6 F i g u r e 5 . 4 T h e s i m u l a t e d r e s p o n s e s u r f a c e , w i t h e x p a n d e d v i e w o f o p t i m u m r e g i o n , f o r t h e s e p a r a t i o n o f t h e 1 4 f a t t y a c i d s . T h e C B S v a l u e i s d i s p l a y e d a s a f u n c t i o n o f t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f s o l v e n t s A a n d B i n t h e m o d u l a t e d m o b i l e p h a s e . 'Iiiii n o I ; / I I 0 r 0 f ? / — J ' r I l 0 I 0 " / I I * 5 I 0 2 0 / / 2 9 t o ‘ 0 0 o m . ‘ t 0 ‘ o 0 o 0 ‘ . M o t , . o o o 0 o ‘ ‘ n 0 . ‘ ' . t o o o m 0 u 0 w O ‘ o ' 0 ’ u o r o 0 u . 0 0 ’ u o o . 0 O . m . 0 O ’ . ' . o . n n u O 0 0 . . u u m . 1 u u o . 6 n 0 0 m n u u . O n 0 . ” u ° r n o 0 r . 3 u u 0 t o . t 1 O 0 u o O ” . . ’ N ‘ M u 3 u 0 o u 9 . o 0 u O 0 o m o u ' o r t O o o . . u r 0 o ’ m o . u n 0 n . . 0 ‘ O . u m 0 n 0 0 ’ r ” i o 0 . u o o . 8 u n u m . ” n ° . O 0 o u 0 o 1 O u 0 u m u . o ' . 0 o . n 0 u . 0 o . 0 u . . o 0 H 0 n . 0 0 u o o o O u O 0 u ' 0 o 0 n . u 5 ’ u 0 n O . u 0 1 0 n o 0 1 O . . . t u 0 " 0 . I 0 0 r n « o u . u u O u 0 . 1 0 o . 1 : » 6 c o . O n " n u u 4 0 u u . " . 0 o ’ “ . 0 0 u 6 ' ' o n . " o o ” u u 0 n . m . . u 0 1 ° 0 u O 1 . o n r c u 9 r 0 u u 0 O u . 0 I 3 o ' . o 6 u 4 " n 0 o o n r 0 0 . O o 0 0 ' H “ . . 0 r o o 0 n 1 0 0 o u . u 0 u u o 0 0 n n “ t o . u c 0 n o o N 0 O r . n t t 1 0 r . c 0 . 0 ? . ' u u 1 ' 1 0 . ' u a 0 ' . . ’ o M 0 : Q ' u O u 0 0 u ” o n . 0 ' o u u n . . o 0 “ u n o 1 o : ” 5 o 6 0 " 0 M fi o 0 ° 1 ' . u ' o u 0 n 3 0 3 0 1 “ u n r n u - u e 8 p ‘ O A ' . u 0 n « ’ t 0 ' 0 o 0 0 m 0 o 0 u 3 ” o 0 0 u 1 M u n 0 4 1 u n ' m . J t u c 6 V n " . 0 M u \ u 0 ’ Q o 6 n . . A 5 u 0 n 0 0 0 0 o n 1 0 t u u 0 5 . 0 o o ' § \ O r 0 o o u 0 . 0 u 1 r o u \ ‘ u ' n 3 . 0 o o . t 0 " ’ n r t o 0 1 Q . 3 0 ” o o 0 3 . 0 . 0 Q u < 0 ¢ . n u r 0 o \ u 0 A o 0 ~ ‘ n . ’ Q . 1 o u ‘ 0 o " 0 A n 0 1 e ‘ . . 0 n n e . . 0 0 ‘ t . n A . u 0 ' n » s . 0 l " . 3 u . t u . — r 0 . 0 0 ” u — 1 1 » u n . . — 0 » ‘ . ’ . _ o o u o . 0 1 0 0 l m c o ' . - 0 . 0 0 M - 0 n _ - u 0 “ ' . n ‘ 0 “ 0 . - _ . 0 3 o - 1 9 . ” 3 - _ . _ u ’ 0 ‘ ” 0 f 1 — _ 0 — ' - — “ 0 . 1 8 7 F i g u r e 5 . 4 I a 3 } 5 } I I I I I 0 ‘ o . o o - 0 . . . I I I I I ’ I o o ’ o 1 l o o . I I o o ' 9 o o : 0 o ‘ ~ \ ~ ' 0 o . o o o 0 . . . ° . . 1 . . 0 . o 9 o - . I . . : . I I . 0 T - O . O . o ' o s o o o . 0 “ e 0 ~ I I " 0 0 0 0 O 1 8 8 F i g u r e 5 . 5 T o p o g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e s p o n s e s u r f a c e i n F i g u r e 6 . T h e o p t i m u m i s l o c a t e d a t f r a c t i o n a l l e n g t h s o f 1 2 . 9 f o r s o l v e n t A a n d 0 . 8 3 f o r s o l v e n t B , w i t h a c o r r e s p o n d i n g C B S v a l u e o f 4 . 3 4 . ) A ( l o n a h t e M % 0 9 H — — — ~ ° a C R 8 - O P T I M U M I 1 0 0 % M e t h a n o l ( B ) F i g u r e 5 . 6 1 9 0 C h r o m a t o g r a m o f t h e s t a n d a r d f a t t y a c i d s u n d e r t h e p r e d i c t e d o p t i m u m c o n d i t i o n s f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n . C h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s d e s c r i b e d i n F i g u r e 5 . M o b i l e p h a s e : 9 6 % A - 4 % B p r o p o r t i o n ; 0 . 0 7 r e p e t i t i o n r a t e ; 0 . 7 u U m i n ; 3 0 ° C . D e t e c t o r s : U V a b s o r b a n c e , l a b s 2 5 4 n m , 0 . 0 1 2 5 A U f u l l s c a l e ; L a s e r f l u o r e s c e n c e , A e x 3 2 5 n m , 1 9 m 4 2 0 n m , 0 . 5 m A f u l l s c a l e . 1 9 1 F i g u r e 5 . 6 E L I J . . 2 i " - o “ J m z E 0 E E < r : U ) c c . g a E 8 8 ( L O U : — O N 8 C O V ( 0 3 9 ” : — ( g 1 1 _ ’ I I I I < t o E L 5 g 5 “ i t “ 7 S . 0 . t o ( 8 : 0 2 ) ( 0 : 5 0 1 ( 3 1 8 1 ) 1 . “ 3 0 ¢ ' 0 ' ( 0 , ” ) ( 1 . 0 8 ) v ( 9 : 3 2 ) ( 8 : 9 1 ) ( 0 : 1 3 ) — * ( e t o z l g j ( m ) — — ( 0 2 2 0 j ’ 0 ' o r - v o 1 9 2 c h r o m a t o g r a m , a l l 1 4 f a t t y a c i d s a r e s e p a r a t e d i n l e s s t h a n e i g h t h o u r s w i t h a m i n i m u m r e s o l u t i o n o f 1 . 2 4 . T h e r e t e n t i o n c h a r a c t e r i s t i c s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 5 . 2 , w h e r e e x c e l l e n t a g r e e m e n t i s o b s e r v e d b e t w e e n t h e c a p a c i t y f a c t o r s p r e d i c t e d b y t h e s i m u l a t i o n m o d e l a n d t h o s e m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y . F o r a l l s o l u t e s , t h e r e l a t i v e e r r o r i n c a p a c i t y f a c t o r i s n o g r e a t e r t h a n : 4 . 5 % , w e l l w i t h i n t h e a c c u r a c y o f t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s . B y e x a m i n i n g t h e r e t e n t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m o s t d i f f i c u l t s o l u t e s ( 1 4 : 0 ) , ( 2 0 : 4 ) , a n d ( 1 6 : 1 ) , a n u n d e r s t a n d i n g m a y b e g a i n e d o f t h e s e p a r a t i o n m e c h a n i s m u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . A s s h o w n i n T a b l e 5 . 1 , t h e s o l u t e s ( 1 4 : 0 ) a n d ( 1 6 : 1 ) h a v e a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e s t r o n g s o l v e n t B , w h e r e a s t h a t f o r ( 2 0 : 4 ) i s n o t a b l y s m a l l e r . I I n t h e w e a k s o l v e n t A , t h e e l u t i o n o r d e r i s i n v e r t e d , w h e r e ( 2 0 : 4 ) i s t h e m o s t r e t a i n e d , t h e n ( 1 6 : 1 ) , a n d t h e n ( 1 4 : 0 ) b e i n g t h e l e a s t r e t a i n e d . D u r i n g s o l v e n t m o d u l a t i o n , t h e s o l u t e s a r e e x p o s e d t o t h e s e s o l v e n t s y s t e m s s e q u e n t i a l l y . I n t h e i n i t i a l z o n e o f s o l v e n t B , ( 2 0 : 4 ) c a n b e e a s i l y s e p a r a t e d f r o m ( 1 4 : 0 ) a n d ( 1 6 : 1 ) , w h i c h m i g r a t e a t s l o w e r a n d a p p r o x i m a t e l y e q u a l r a t e s . W h e n t h e s o l u t e s a r e s u b s e q u e n t l y e x p o s e d t o s o l v e n t A , ( 1 4 : 0 ) a n d ( 1 6 : 1 ) c a n b e s e p a r a t e d f r o m o n e a n o t h e r b u t n o w m i g r a t e f a s t e r t h a n ( 2 0 : 4 ) . B e c a u s e o f t h e d i f f e r e n t i a l r a t e o f m i g r a t i o n , t h e s o l u t e z o n e s w i l l e v e n t u a l l y m e r g e a n d b e r e c o m b i n e d . I n o r d e r t o a c h i e v e t h e o p t i m u m s e p a r a t i o n , t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f s o l v e n t s A a n d B , a n d t h u s t h e f r a c t i o n a l d i s t a n c e s t r a v e l e d b y t h e s o l u t e s , m u s t b e a d j u s t e d s u c h t h a t t h e s e s o l u t e s a r e e q u a l l y s p a c e d a t t h e e n d o f t h e s e p a r a t i o n . T h i s g o a l i s e a s i l y a c h i e v e d b y m e a n s o f E q u a t i o n s [ 5 . 1 ] t o [ 5 . 3 ] , t o g e t h e r w i t h c o m p u t e r o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s s u c h a s t o p o g r a p h i c m a p p i n g o r s i m p l e x s e a r c h i n g m e t h o d s . A d v a n t a g e s a n d V e r s a t i l i t y o f t h e P r e s e n t O p t l m l z a t l o n P r o g r a m I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , a n u m b e r o f d i f f e r e n t p a r a m e t e r s c a n b e u s e d a s o p t i m i z a t i o n v a r i a b l e s , f o r e x a m p l e , t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s , t h e s o l v e n t p u r i t y o f t h e i n d i v i d u a l z o n e s , t h e o r d e r o f t h e s o l v e n t z o n e s i n a s o l v e n t s e q u e n c e , a s w e l l a s t h e o r d e r o f c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n s i f m u l t i p l e c o l u m n s a r e u t i l i z e d i n a s e p a r a t i o n . C u r r e n t l y , t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m d e t e r m i n e s b e s t f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e s ( x 1 ) f o r a s e p a r a t i o n w h e r e b o t h t h e s o l v e n t z o n e s e q u e n c e a n d t h e v a l u e s o f t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e s a r e r e p e a t e d . T h e s e v a l u e s o f t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e s a r e u s e d t o e x p r e s s t h e s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d t h e r e p e t i t i o n r a t e E x a m p l e s o f t h i s o p t i m i z a t i o n s c h e m e a r e s c h e m a t i c a l l y i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5 . 7 f o r a m a x i m u m o f s i x s o l v e n t s y s t e m s ( A , B , C , D , E , a n d F ) . I n t h e s e e x a m p l e s , t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m w i l l d e t e r m i n e t h e b e s t f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e 1 9 3 T a b l e 5 . 2 : C o m p a r i s o n o f t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e t e n t i o n o f f a t t y a c i d s u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . S O L U T E S O L V E N T M O D U L A T I O N C A P A C I T Y F A C T O R ( k , ) T h e o r e t i c a l E x p e r i m e n t a l R e l a t i v e E r r o r ( % ) ( 1 2 : 0 ) 2 . 6 7 2 . 5 5 - 4 . 4 9 ( 1 3 : 0 ) 3 . 9 5 3 . 8 9 - 1 . 5 2 ( 1 4 : 0 ) 5 . 6 7 5 . 6 7 0 . 0 0 ( 1 4 : 1 ) 2 . 9 0 2 . 8 0 - 3 . 4 5 ( 1 5 : 0 ) 8 . 4 0 8 . 3 6 - 0 . 4 8 ( 1 6 : 0 ) 1 2 . 1 1 1 2 . 0 3 - 0 . 6 6 ( 1 6 : 1 ) 6 . 0 7 6 . 0 7 0 . 0 0 ( 1 8 : 1 ) 1 2 . 4 5 1 2 . 4 4 0 . 0 0 ( 1 8 : 2 ) 7 . 3 6 7 . 3 9 0 . 4 1 ( 1 8 : 3 ) 4 . 6 9 4 . 5 9 - 1 . 9 2 ( 2 0 : 3 ) 9 . 0 6 9 . 0 7 0 . 1 1 ( 2 0 : 4 ) 5 . 9 2 5 . 8 9 - 0 . 5 1 ( 2 0 : 5 ) 3 . 7 2 3 . 5 6 - 3 . 7 6 ( 2 2 : 6 ) 5 . 0 9 4 . 8 8 - 4 . 1 3 F i g u r e 5 . 7 1 9 4 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n a l s o l v e n t z o n e s e q u e n c e s t h a t c a n b e r e p e a t e d d u r i n g a s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t u s i n g a m a x i m u m o f s i x d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s ( A , B , C , D , E , a n d F ) . E a c h s o l v e n t z o n e s e q u e n c e h a s a n u m b e r o f p e r m u t a t i o n s t h a t w i l l c a u s e a d i f f e r e n t o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i n e a c h c a s e . C a s e 1 r e p r e s e n t s a n e x a m p l e w h e r e t h e o p t i m u m m o b i l e p h a s e i s a s i n g l e s o l v e n t s y s t e m . C a s e 6 r e p r e s e n t s a n e x a m p l e w h e r e s i x d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s a r e u s e d a n d w h e r e t h e r e i s 7 2 0 p e r m u t a t i o n s o f t h e s o l v e n t o r d e r . ‘ 0 1 9 5 - I U G C a s e O f A A A A A 1 9 5 F i g u r e 5 . 7 R e p e a t e d S o l v e n t Z o n e S e q u e n c e w P e r m u t a t i o n s o f S o l v e n t O r d e r 1 2 6 2 4 1 2 0 7 2 0 1 9 6 i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s ( x A , x 3 , x c , x 0 , X E , o r X F ) f o r e a c h i n d i v i d u a l s o l v e n t s e q u e n c e . H o w e v e r , e a c h p e r m u t a t i o n o f t h e s o l v e n t o r d e r r e s u l t s i n a d i f f e r e n t o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r . a n d e a c h p e r m u t a t i o n m u s t b e e x a m i n e d i n d i v i d u a l l y u s i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . C o n s e q u e n t l y , i f s i x s o l v e n t s y s t e m s a r e u s e d , i t i s p o s s i b l e f o r a u s e r t o e x a m i n e , i f t i m e p e r m i t s , 7 2 0 d i f f e r e n t s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t s . O b v i o u s l y , m a n u a l e x a m i n a t i o n o f 7 2 0 s o l v e n t o r d e r s i s n o t v e r y r e a l i s t i c . T h e r e f o r e , i f a r e p e a t i n g s o l v e n t s e q u e n c e i s t o b e u s e d f o r a s e p a r a t i o n , t h e a u t h o r s u g g e s t s t h a t a m a x i m u m o f f o u r d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s b e u s e d . T h i s l i m i t i s s u g g e s t e d b e c a u s e i t g u a r a n t e e s t h a t e a c h s o l u t e w i l l h a v e 2 4 d i f f e r e n t o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r s f o r a s p e c i f i c s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . W i t h 2 4 p o s s i b l e c a p a c i t y f a c t o r s p e r s o l u t e f o r a g i v e n s o l v e m p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . t h e p r o b a b i l i t y o f n o t d e t e r m i n i n g a n o p t i m u m s e p a r a t i o n i s s t a t i s t i c a l l y s m a l l . T h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n h a s f o c u s e d o n h o w t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e s i n a r e p e a t i n g s o l v e n t s e q u e n c e ; h o w e v e r , t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m c a n a l s o b e u s e d f o r s o l v e n t z o n e s t h a t a r e r a n d o m i n f r a c t i o n a l l e n g t h s , b u t e i t h e r r e p e a t i n g o r n o n r e p e a t i n g i n o r d e r . F o r e x a m p l e , F i g u r e 5 . 8 i l l u s t r a t e s s o l v e n t z o n e s w i t h r a n d o m f r a c t i o n a l l e n g t h s w i t h b o t h r e p e a t i n g ( R ) a n d n o n r e p e a t i n g ( N ) s o l v e n t o r d e r s . I n a d d i t i o n t o t h e i l l u s t r a t e d s o l v e n t s e q u e n c e s , a l l p e m t u t a t i o n s o f t h e s o l v e n t o r d e r , s h o w n i n F i g u r e 5 . 7 , a l s o e x i s t . T h e s e t y p e s o f s i m u l a t i o n s a r e p e r f o r m e d b y s p e c i f y i n g i n t h e p r o g r a m t h a t a l a r g e n u m b e r o f d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s a r e t o e x a m i n e d , w h e r e o n l y t w o o r t h r e e d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s a c t u a l l y e x i s t , a n d e n t e r i n g i d e n t i c a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n t o a l t e r n a t e s o l v e n t s y s t e m s . C o n s i d e r c a s e 5 f o r e x a m p l e , a s i x - s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t i s p r e s u m e d f o r t h i s s o l v e n t z o n e o p t i m i z a t i o n , w h e r e i n r e a l i t y o n l y t w o d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s a c t u a l l y e x i s t , a n d a l t e r n a t e s o l v e n t z o n e s a r e p r e s u m e d t o h a v e i d e n t i c a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s . C o n s e q u e n t l y , w h e n t h e o p t i m i z a t i o n s i m u l a t i o n i s p e r f o r m e d , t h e s i m u l a t e d s e p a r a t i o n m e e t s t h e c o n d i t i o n o f r a n d o m f r a c t i o n a l l e n g t h s i f t h e l a s t s o l u t e i s e l u t e d w i t h i n t h e s i x t h s o l v e n t z o n e l e l t a t l o n s o f t h e P r e s e n t O p t l m l z a t l o n P r o g r a m I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , i n t e r m i x i n g b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s i s a n a l w a y s - p r e s e n t p r o b l e m , a n d t h u s i t s h o u l d b e a p a r a m e t e r t o o p t i m i z e u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . P r e s e n t l y , t h e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y d o e s n o t a t t e m p t t o m i n i m i z e i n t e r m i x i n g b e t w e e n s o l v e n t z o n e s i n a s t r i c t m a t h e m a t i c a l m a n n e r . I n s t e a d , t h e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y u s e s t h e c o n v e n t i o n t h a t F i g u r e 5 . 8 1 9 7 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f s o l v e n t z o n e o r d e r s t h a t a r e e i t h e r r e p e a t i n g ( R ) o r n o n r e p e a t i n g ( N ) , a n d w h e r e t h e f a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s ( x ! ) a r e r a n d o m f o r t h e s o l v e n t s y s t e m s ( A , B , a n d C ) . I n e a c h c a s e t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f e a c h s o l v e n t z o n e i s n e v e r r e p e a t e d d u r i n g t h e s e p a r a t i o n ; h o w e v e r , t h e o r d e r o f t h e s o l v e n t z o n e s m a y r e p e a t d u r i n g t h e s e p a r t i o n . I n a d d i t i o n t o t h e c a s e s s h o w n , a l l p e r m u t a t i o n s o f e a c h c a s e a r e a l s o p o s s i b l e . F N O ‘ J V I D C O N Q O , Z Z C I Z I I Z Z Z E 1 9 8 T y p e o f S o l v e n t O r d e r S o l v e n t Z o n e S e q u e n c e C a s e 1 9 9 i f t h e q u a l i t y o f t w o s e p a r a t i o n s i s i d e n t i c a l , t h e n t h e s e p a r a t i o n t h a t u s e s t h e l a r g e r f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e s ( i . e . , t h e s m a l l e r r e p e t i t i o n r a t e ) h a s t h e g r e a t e r p r i o r i t y . A n o t h e r c o n d i t i o n , w h i c h i s n o t a d d r e s s e d i n t h e p r e s e n t o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y , c o n c e r n s s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n a n d e x p a n s i o n , w h i c h o c c u r s d u r i n g t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n p r o c e s s . B r i e f l y e x p l a i n e d , w h e n a s o l u t e z o n e e n t e r s a ‘ s t r o n g e r " s o l v e n t z o n e , i t w i l l b e c o m p r e s s e d ; c o n v e r s e l y , w h e n i t e n t e r s a ' w e a k e r " s o l v e n t z o n e , t h e s o l u t e z o n e w i l l b e e x p a n d e d . T h i s c o m p r e s s i o n - e x p a n s i o n p h e n o m e n o n o c c u r s i n a d d i t i o n t o t h e n o r m a l b r o a d e n i n g p r o c e s s e s p r e s e n t i n a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m , a n d i t w i l l b e s h o w n a n d d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n C h a p t e r 6 . C u r r e n t l y , t h e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y d o e s a c c o u n t f o r t h i s s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n a n d e x p a n s i o n p h e n o m e n o n i n a s t r i c t m a t h e m a t i c a l m a n n e r . H o w e v e r , i f a c o m p r e s s e d s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o b e b e t t e r t h a n a n e x p a n d e d s o l u t e z o n e , i t i s p o s s i b l e t o o p t i m i z e a s e p a r a t i o n w i t h t h e g o a l o f e l u t i n g a s o l u t e w i t h i n a s t r o n g s o l v e n t z o n e . T h i s t y p e o f s e p a r a t i o n c o u l d b e a c h i e v e d b y u s i n g r a n d o m f r a c t i o n a l l e n g t h s o f s o l v e n t z o n e s f o r e i t h e r r e p e a t i n g o r n o n r e p e a t i n g s o l v e n t z o n e o r d e r s a n d b y r e q u i r i n g t h a t t h e a s t r o n g s o l v e n t z o n e t e r m i n a t e t h e s o l v e n t s e q u e n c e . F o r e x a m p l e , t h e s o l v e n t s e q u e n c e s o f e i t h e r B - A - B o r A - B - A - B , w h e r e A i s t h e w e a k s o l v e n t a n d B i s t h e s t r o n g s o l v e n t , w o u l d f u l f i l l t h e s e r e q u i r e m e n t s b e c a u s e t h e s t r o n g s o l v e n t ( B ) i s t h e t e r m i n a t i n g s o l v e n t s y s t e m . F u t u r e A d d l t l o n s a n d C h a n g e s t o t h e O p t l m l z a t l o n P r o g r a m C u r r e n t l y , t h e o r d e r o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s i n a s e q u e n c e i s n o t a c r i t e r i o n t h a t i s o p t i m i z e d i n a n a u t o m a t i c m a n n e r . T o d e t e r m i n e t h e a p p r o p r i a t e s o l v e n t o r d e r , t h e u s e r m a n u a l l y r e s e t s t h e o p t i m i z a t i o n r o u t i n e f o r e a c h d i f f e r e n t s o l v e n t - z o n e o r d e r . T h i s m a n u a l p r o c e s s c a n b e v e r y t i m e c o n s u m i n g a n d t e d i o u s ; f o r e x a m p l e , 7 2 0 p e r m u t a t i o n s o f t h e s o l v e n t - z o n e o r d e r a r e p o s s i b l e f o r a s i x - s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t . C o n s e q u e n t l y , t w o d i f f e r e n t s o l u t i o n s c a n b e r e c o m m e n d e d t o i m p l e m e n t s o l v e n t - o r d e r s e l e c t i o n i n t o t h e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y . F i r s t , t h e o b v i o u s s o l u t i o n , a n a r r a y i s g e n e r a t e d t h a t c o n t a i n s a l l p e r m u t a t i o n s o f t h e s o l v e n t - z o n e o r d e r . E a c h e l e m e n t i n t h i s s o l v e n t - o r d e r a r r a y , w h i c h r e p r e s e n t s a s p e c i f i c s o l v e n t s e q u e n c e , i s s e l e c t e d i n a c o n s e c u t i v e m a n n e r , a n d t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s i s p e r f o r m e d u s i n g e a c h e l e m e n t . T h e a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h i s t h a t a l l p o s s i b l e p e r m u t a t i o n s a r e t e s t e d ; c o n v e r s e l y , t h e d i s a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h i s t h a t i t i s v e r y t i m e c o n s u m i n g b e c a u s e e v e r y p e r m u t a t i o n i s t e s t e d w h e t h e r o r n o t i t s e e m s p r o m i s i n g . A s i d e f r o m t h i s c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s t r a i n t , t h e m o r e d i f f i c u l t t a s k i s t o d e v i s e a r o u t i n e t h a t w i l l g e n e r a t e e a c h s o l v e n t - o r d e r p e r m u t a t i o n , n o t t h e 2 0 0 n u m b e r o f t h e p e r m u t a t i o n s p o s s i b l e . T h i s r o u t i n e m a y b e m o r e d i f f i c u l t t o d e v e l o p t h a n f i r s t p e r c e i v e d b e c a u s e i t m a y i n v o l v e u s i n g a r e c u r s i v e r o u t i n e t h a t i s n o t s p e c i f i c a l l y a l l o w e d i n t h e F O R T R A N p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . I n t h e s e c o n d s o l u t i o n , e a c h i n d i v i d u a l z o n e o f s o l v e n t i n a s e q u e n c e i s a s s u m e d t o b e a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h a t c a n b e o p t i m i z e d u s i n g t h e s i m p l e x p r o c e d u r e . A g a i n , t h i s s o l u t i o n m a y n o t b e a s s i m p l e a s f i r s t p e r c e i v e d b e c a u s e t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s a r e c o n d i t i o n a l l y i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . F o r e x a m p l e , o n c e t h e f i r s t s o l v e n t z o n e i n a s e q u e n c e h a s b e e n a s s i g n e d t o a p a r t i c u l a r s o l v e n t s y s t e m , t h a t s p e c i f i c s o l v e n t s y s t e m c a n n o t o c c u r i n s u b s e q u e n t z o n e s i n t h e s o l v e n t s e q u e n c e . T h i s c o n d i t i o n a l i n d e p e n d e n c e o f s o l v e n t z o n e s i s i l l u s t r a t e d s c h e m a t i c a l l y f o r a h y p o t h e t i c a l s i x - s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t i n F i g u r e 5 . 9 . F o r t h e f i r s t s o l v e n t z o n e s h o w n i n F i g u r e 5 . 9 , s i x d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s ( A t h r o u g h F ) a r e p o s s i b l e c h o i c e s t h a t c a n b e s e l e c t e d , w h e r e f o r t h i s e x a m p l e , s o l v e n t A i s c h o s e n . A s a r e s u l t , f o r t h e s e c o n d s o l v e n t z o n e , f i v e d i f f e r e n t s o l v e n t s y s t e m s ( B t h r o u g h F ) a r e p o s s i b l e c h o i c e s t h a t c a n b e s e l e c t e d , a n d s o f o r t h f o r t h e r e m a i n i n g s o l v e n t z o n e s . F i n a l l y , f o r t h e s i x t h s o l v e n t z o n e , s o l v e n t F i s t h e o n l y p o s s i b l e c h o i c e . C o n s e q u e n t l y , i f t h i s s e c o n d s o l u t i o n t o s o l v e n t - o r d e r s e l e c t i o n i s u s e d , s p e c i f i c c o n d i t i o n a l s t a t e m e n t s t h a t r e s t r i c t t h e s o l v e n t c h o i c e s f o r a p a r t i c u l a r s o l v e n t z o n e a r e r e q u i r e d . T h i s a p p r o a c h t o s o l v e n t - o r d e r o p t i m i z a t i o n , h o w e v e r , d o e s g i v e i n s i g h t t o t h e m a n n e r i n w h i c h “ r a n d o m ” s o l v e n t - o r d e r s e l e c t i o n c a n b e i m p l e m e n t e d . A “ r a n d o m " s o l v e n t o r d e r i s d e f i n e d a s a s o l v e n t o r d e r t h a t m a y n o t c o n t a i n a l l t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s t h a t a r e i n i t i a l l y p r e s c r i b e d . T w o e x a m p l e s ( 1 a n d 2 ) o f a s o l v e n t o r d e r t h a t i s d e t e r m i n e d i n r a n d o m m a n n e r a r e s h o w n F i g u r e 5 . 1 0 f o r a s i x - s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t . I n F i g u r e 5 . 1 0 , e a c h o f t h e s i x s o l v e n t s y s t e m s i s a s s u m e d t o b e a p o s s i b l e c h o i c e f o r e a c h o f t h e s i x s o l v e n t z o n e s , r e g a r d l e s s o f t h e s o l v e n t c h o i c e o f t h e p r e v i o u s z o n e s . N e v e r t h e l e s s , t h e i m p o r t a n t p o i n t o f t h e s e s o l u t i o n s f o r d e t e r m i n i n g t h e a p p r o p r i a t e s o l v e n t - z o n e o r d e r i s t h a t t h e y a r e p e r f o r m e d a u t o m a t i c a l l y t h o u g h c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e s i m p l e m e n t e d i n t o t h e c o m p u t e r p r o g r a m f o r o p t i m i z a t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n . F u r t h e r , t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m s h o u l d b e m o d i f i e d s o t h a t a o p t i o n i s i n c l u d e d t h a t u t i l i z e s t h e s o l v e n t z o n e p u r i t y a s a n a d d i t i o n a l o p t i m i z a t i o n c r i t e r i o n . T h i s z o n e p u r i t y c r i t e r i o n c o u l d b e i m p l e m e n t e d b y d e s i g n a t i n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c r e s p o n s e u n a c c e p t a b l e i n r e g i o n s w h e r e t h e z o n e p u r i t y i s p o o r . T h e t h e o r y o f s o l v e n t z o n e p u r i t y i s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 a n d i s n o t e l a b o r a t e d o n f u r t h e r . H o w e v e r , t h e t h i r d m e t h o d d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 i s r e c o m m e n d e d f o r i m p l e m e n t a t i o n i n t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . T h i s m e t h o d i s r e c o m m e n d e d b e c a u s e o f t h e s i m p l e m o d i f i c a t i o n r e q u i r e d t o t h e c u r r e n t o p t i m i z a t i o n p r o g r a m , a n d t h e m e t h o d g i v e s a 2 0 1 F i g u r e 5 . 9 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f c o n d i t i o n a l l y i n d e p e n d e n t s o l v e n t z o n e s e l e c t i o n . 1 , 0 0 1 1 1 ' I [ 7 — I T ' I I T 2 0 2 S o l v e n t S e q u e n c e Z o n e N u m b e r 1 S e l e c t e d S o l v e n t O r d e r 2 I A I 3 4 L C J I D D E 2 B B D E F P o s s i b l e S o l v e n t C h o i c e s 2 t a . a . c . . Q a . 2 0 3 F i g u r e 5 . 1 0 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f r a n d o m s o l v e n t o r d e r s e l e c t i o n . ‘ - > l ' l ' : c n ' l o > 7 0 O l ' l ' l I ' 1 ~ Z o n e N u m b e r R a n d o m S o l v e n t O r d e r ( 1 ) - ' ( 2 ) " P o s s i b l e S o l v e m C h o i c e s _ 5 A F | F l E | I ' — I E I E | A | B I 2 0 4 S o l v e n t S e q u e n c e 2 3 4 2 0 5 r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e p u r i t y o f a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e t h a t a s o l u t e e n c o u n t e r e d d u r i n g t h e s e p a r a t i o n . A f i n a l m o d i f i c a t i o n t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m s h o u l d i n c o r p o r a t e t h e c o n c e p t o f s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n a n d e x p a n s i o n d u r i n g t h e c a l c u l a t i o n o f r e s o l u t i o n . C u r r e n t l y , t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m c a l c u l a t e s t h e r e s o l u t i o n f o r a p a i r o f s o l u t e s u s i n g t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r f o r e a c h s o l u t e o b t a i n e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , w h e r e n o s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n o r e x p a n s i o n i s a s s u m e d t o o c c u r . H o w e v e r , a s w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 6 , s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n a n d e x p a n s i o n o c c u r c o n s t a n t l y d u r i n g a s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t a n d u l t i m a t e l y a f f e c t s t h e r e s o l u t i o n b e t w e e n a s o l u t e p a i r . T h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s s o l u t e z o n e c o r r p r e s s i o n a n d e x p a n s i o n c o n c e p t c a n b e d o n e i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n o f t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 . F o r e x a m p l e , a h y p o t h e t i c a l s o l u t e z o n e i s d i v i d e d i n t o n i n t e r v a l s a n d e a c h i n t e r v a l i s a l l o w e d t o t r a v e r s e t h e c o l u m n a n d u n d e r g o a n a p p r O p r i a t e a m o u n t o f d i s p e r s i o n , c o m p r e s s i o n , a n d e x p a n s i o n t h a t i s e n c o u n t e r e d i n e a c h s o l v e n t z o n e . T h i s c a l c u l a t i o n o f d i s p e r s i o n , c o m p r e s s i o n , a n d e x p a n s i o n c a n b e p e r f o r m e d i n c o n j u n c t i o n w i t h c a l c u l a t i o n t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i n t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m b e c a u s e t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e l e n g t h s a n d t h e t i m e a s o l u t e i s e x p o s e d t o a n i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e a r e r e q u i r e d f o r b o t h t h e d e t e r m i n a t i o n o f r e s o l u t i o n a n d c a p a c i t y f a c t o r . I n a d d i t i o n , a c o n t i n g e n c y c o u l d b e a d d e d t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m s u c h t h a t , t h e s o l u t e i s e l u t e d w i t h i n a s o l v e n t z o n e t h a t i s s t r o n g r e l a t i v e t o t h e n e i g h b o r i n g s o l v e n t z o n e s w h e n e v e r p o s s i b l e . T h e a d d i t i o n o f t h i s o p t i o n t o t h e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y h a s a t w o - f o l d a d v a n t a g e ; f i r s t , t h e s o l u t e z o n e i s c o m p r e s s e d j u s t p r i o r t o t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n , a n d s e c o n d , t h e e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e z o n e a s t h e s o l u t e e l u t e s f r o m t h e c o l u m n o u t l e t i s m i n i m i z e d . S t i l l , a f u t u r e a d d i t i o n t o t h e c a l c u l a t i o n o f s o l u t e r e s o l u t i o n s h o u l d a c c o u n t f o r t h e m i x e d r e g i o n a t t h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e . A s a r e s u l t o f t h i s m i x e d r e g i o n a t t h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e , a s o l u t e i s e x p o s e d t o a c o n c e n t r a t i o n g r a d i e n t t h a t i s a f u n c t i o n o f t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s , t h e t i m e r e q u i r e d b y t h e s o l u t e t o e l u t e t h r o u g h t h i s m i x e d r e g i o n , a n d t h e o n — c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s . T h e c o n c e n t r a t i o n o f t h i s m i x e d r e g i o n c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g a n y o f t h e m e t h o d s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 4 t h a t t h e u s e r d e e m s a p p r o p r i a t e . 2 0 6 C O N C L U S I O N S T h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e i s a n o v e l a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s f o r l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y t h a t e n a b l e s t h e r a p i d o p t i m i z a t i o n o f s e p a r a t i o n s w i t h a m i n i m u m n u m b e r o f p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t s . O p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s b a s e d o n t h e t o p o g r a p h i c m a p p i n g a n d s i m p l e x s e a r c h m e t h o d s a r e s u c c e s s f u l l y d e m o n s t r a t e d f o r t h e s e p a r a t i o n o f b i o l o g i c a l l y i m p o r t a n t f a t t y a c i d s . T h e s e s t r a t e g i e s w e r e s e l e c t e d t o f a c i l i t a t e r a p i d d e t e r m i n a t i o n o f t h e o p t i m u m c o n d i t i o n s , b u t a r e n o t n e c e s s a r i l y t h e b e s t f o r a l l a p p l i c a t i o n s . T h e o p t i m i z a t i o n c r i t e r i a a n d s e a r c h i n g m e t h o d o l o g y c a n b e r e a d i l y m o d i f i e d t o s u i t t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n y s e p a r a t i o n o f i n t e r e s t . T h u s , t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e p r o v i d e s a s i m p l e a n d v e r s a t i l e m e a n s t o o p t i m i z e t h e s e p a r a t i o n o f c o m p l e x m i x t u r e s b y l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . 2 0 7 A p p e n d i x 5 . 1 S t r a t e g i e s f o r O p t l m l z l n g S e p a r a t i o n s u s i n g P r e m l x e d M o b i l e P h a s e s B e c a u s e o f t h e l a r g e n u m b e r o f o p t i m i z a t i o n m e t h o d s a v a i l a b l e f o r c h r o m a t o g r a p h y , o n l y t h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d a n d t h e m i x t u r e d e s i g n s t a t i s t i c a l m e t h o d , w h i c h a r e t w o w e l l k n o w n a p p r o a c h e s , w i l l b e d i s c u s s e d b r i e f l y . F o r a g e n e r a l o v e r v i e w o f t h e d i f f e r e n t t y p e s o f o p t i m i z a t i o n m e t h o d s a v a i l a b l e , r e f e r e n c e s 1 a n d 2 a r e v e r y g o o d s o u r c e s . W l n d o w D i a g r a m M e t h o d T h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d w a s f i r s t i n t r o d u c e d i n c h r o m a t o g r a p h y b y L a u b a n d P u m e l l ( 6 ) . I n t h i s m e t h o d , t h e s e l e c t i v i t y f a c t o r ( a ) , w h i c h i s t h e r a t i o o f s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s ( a - k i + 1 I I n ) . i s c a l c u l a t e d f o r a l l s o l u t e p a i r s . I n t h e w i n d o w d i a g r a m a p p r o a c h , t h e s e l e c t i v i t y f a c t o r i s m a i n t a i n e d g r e a t e r t h a n o n e b y i n v e r t i n g t h e c a l c u l a t i o n o f i t w h e n t h e v a l u e i s l e s s t h a n o n e . T h e n i n a s i n g l e d i a g r a m , t h e s e s e l e c t i v i t y f a c t o r s a r e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e o r g a n i c m o d i f i e r ( 0 3 ) i n t h e m o b i l e p h a s e . F r o m s u c h a d i a g r a m , a w i n d o w i s d e f i n e d a s t h e t r i a n g u l a r a r e a u n d e r t h e i n t e r s e c t i o n o f s e l e c t i v i t y f a c t o r l i n e s d o w n t o t h e c o n c e n t r a t i o n a x i s , w h e r e s o l u t e o v e r l a p o c c u r s a t t h e p o i n t s o f a t r i a n g l e t h a t m e e t t h e c o n c e n t r a t i o n a x i s . T h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n i s d e t e r m i n e d f r o m t h e p o i n t o n t h e c o n c e n t r a t i o n a x i s t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e h i g h e s t p o i n t i n t h e h i g h e s t w i n d o w , w h i c h i s t h e m a x i m u m s e l e c t i v i t y f a c t o r f o r a l l s o l u t e s . F o r e x a m p l e , f o r t h e s e p a r a t i o n o f t h r e e h y p o t h e t i c a l s o l u t e s ( X , Y , 2 ) , t h r e e s o l u t e p a i r s e x i s t , X Y , X 2 , a n d Y 2 . S h o w n i n F i g u r e 5 . 1 A . 1 i s t h e c o r r e s p o n d i n g w i n d o w d i a g r a m f o r t h e s e h y p o t h e t i c a l s o l u t e s . F r o m F i g u r e 5 . 1 A . 1 , t w o w i n d o w s c a n b e s e e n ( t h e s h a d e d r e g i o n s ) , a n d t h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o n c e n t r a t i o n i s s h o w n a t 4 5 ' , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s e l e c t i v i t y f a c t o r l i n e s a x z a n d a x y . T h i s e x a m p l e i l l u s t r a t e s h o w s i m p l y t h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n c a n b e d e t e r m i n e d u s i n g t h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d . H o w e v e r , t o o b t a i n s u c h a d i a g r a m , a c c u r a t e e s t i m a t e s f o r a l l t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s a r e n e c e s s a r y w i t h i n t h e d e s i r e d m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n a l r a n g e . T h e r e f o r e , e i t h e r a l a r g e n u m b e r o f p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f c a p a c i t y f a c t o r o r a m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n r e l a t i n g t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r t o t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e o r g a n i c m o d i f i e r i s r e q u i r e d . C o m m o n l y , t h e l a t t e r a p p r o a c h i s u s e d b e c a u s e i t 2 0 8 F i g u r e 5 . 1 . A . 1 I M n d o w d i a g r a m f o r t h r e e h y p o t h e t i c a l s o l u t e s ( X , Y , Z ) . T h e s e l e c t i v i t y f a c t o r ( a ) i s m a i n t a i n e d g r e a t e r t h a n o n e b y i n v e r t i n g t h e c a l c u l a t i o n o f i t w h e n t h e v a l u e o f a i s l e s s t h a n o n e . T h e s h a d e d r e g i o n s r e p r e s e n t t h e t w o w i n d o w s a r e a s . T h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n i s a t ( 1 1 ' . 2 0 9 F i g u r e 5 . 1 . A . 1 a X Z a Y Z 2 1 0 r e q u i r e s o n l y a s e m i - e m p i r i c a l e x p r e s s i o n . F o r t h e e x a m p l e o f a b i n a r y m o b i l e - p h a s e m i x t u r e , e i t h e r a l i n e a r e x p r e s s i o n o f t h e f o r m : l n k = a + b ¢ 3 [ 5 . 1 A . 1 ] o r q u a d r a t i c e x p r e s s i o n o f t h e f o r m : | n k = a ¢ 2 3 + b ¢ 3 + c [ 5 . 1 A . 2 ] c a n b e u s e d , w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s ( a , b , a n d c ) a r e d e t e r m i n e d b y r e g r e s s i o n a n a l y s i s . T h e l i n e a r e x p r e s s i o n , E q u a t i o n [ 5 . 1 A . 1 ] , h a s t h e a d v a n t a g e o f r e q u i r i n g o n l y t w o p r e l i m i n a r y m e a s u r e m e n t s t o e s t i m a t e t h e v a l u e s o f a a n d b ; w h e r e a s , t h e q u a d r a t i c e x p r e s s i o n , E q u a t i o n [ 5 . 1 A . 2 ] , r e q u i r e s t h r e e p r e l i m i n a r y m e a s u r e m e n t s t o e s t i m a t e a , b a n d 0 . H o w e v e r , e v e n t h i s q u a d r a t i c e x p r e s s i o n m a y b e i n a d e q u a t e f o r s o m e b i n a r y s o l v e n t s y s t e m s . T h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d i s n o t l i m i t e d t o a s i n g l e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , b u t m u l t i - d i m e n s i o n a l d a t a a r e d i f f i c u l t t o v i s u a l i z e i n t h r e e d i m e n s i o n s . M o r e o v e r , t h e a d d i t i o n o f m u l t i - s o l v e n t s y s t e m s t o t h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d r e q u i r e s a p p r o p r i a t e m o d e l s t o p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n a c c u r a t e l y . B e c a u s e n o s i m p l e m o d e l e x i s t s f o r t e r n a r y m i x t u r e s , a s i m p l e a p p r o x i m a t i o n s i m i l a r t o E q u a t i o n [ 5 . 1 A . 1 ] m a y b e u s e d : I n k = a + b 3 ¢ 3 + D o d o [ 5 . 1 A . 3 ] w h e r e ¢ c r e f e r s t o t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e s e c o n d m o d i f i e r . A g a i n , t h r e e p r e l i m i n a r y m e a s u r e m e n t s a r e r e q u i r e d t o e s t i m a t e t h e v a l u e s o f a , b y , a n d b e ; h o w e v e r , t h i s s i m p l e a p p r o a c h w i l l l i k e l y f a i l a s a r e s u l t o f n o n i d e a l i n t e r m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s . C o n s e q u e n t l y , a m o r e c o m p l e x m o d e l i s r e q u i r e d t o p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n i n t e r n a r y s o l v e n t m i x t u r e s . F o r e x a m p l e , t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n c a n b e u s e d f o r t e r n a r y s o l v e n t s y s t e m s : I n k = b A ( P M h e ¢ 8 + b c ¢ c + D A B ¢ A ¢ B + b A c ¢ A ¢ c + [ 5 - 1 A - 4 l b a c 4 8 3 9 0 + b A B C ¢ A ¢ 8 ¢ c 2 1 1 w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s , b A , b e , c c , D A B , b A c , D e c , a n d m a c , a r e d e t e r m i n e d b y r e g r e s s i o n a n a l y s i s . H o w e v e r , a t l e a s t s e v e n p r e l i m i n a r y m e a s u r e m e n t s m u s t b e m a d e t o u s e E q u a t i o n [ 5 . 1 A . 4 ] t o p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n . I n s u m m a r y , t h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d c a n o f f e r a v e r y s i m p l e a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e c o n d i t i o n s f o r a n o p t i m u m s e p a r a t i o n . H o w e v e r , a l a r g e n u m b e r o f p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t s m a y b e r e q u i r e d b e f o r e t h e o p t i m i z a t i o n s c h e m e c a n b e u s e d , e s p e c i a l l y f o r m u l t i - s o l v e n t s y s t e m s . M i x t u r e D e s i g n S t a t l s t l c a l M e t h o d T h e m o s t w e l l k n o w n m i x t u r e d e s i g n s t a t i s t i c a l m e t h o d f o r s o l v e n t o p t i m i z a t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y w a s i n t r o d u c e d b y G l a j c h a n d c o - w o r k e r s ( 3 ) . T h i s m e t h o d i n v o l v e s d e t e r m i n i n g t h e c o m p o s i t i o n o f a t e r n a r y s o l v e n t m i x t u r e o f c o m p o n e n t s A , B , a n d C t h a t p r o d u c e s t h e o p t i m u m s e p a r a t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l d e s i g n c o m m o n l y u s e d t o d e t e r m i n e t h i s c o m p o s i t i o n i s a s i m p l e x l a t t i c e d e s i g n . I n t h e s i m p l e x l a t t i c e d e s i g n , a m i n i m u m o f s e v e n p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t s i s p e r f o r m e d i n o r d e r t o l o c a t e t h e o p t i m u m t e r n a r y m o b i l e p h a s e . T h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n s , w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e s e s e v e n e x p e r i m e n t s , a r e r e p r e s e n t b y t h e f i l l e d c i r c l e s ( O ) i n F i g u r e 5 . 1 A . 2 . F o r e a c h o f t h e s e s e v e n e x p e r i m e n t s , t h e q u a l i t y o f t h e s e p a r a t i o n i s e s t i m a t e d u s i n g a c h r o m a t o g r a p h i c r e s p o n s e f u n c t i o n ( Y ) . B a s e d o n t h e s e s e v e n r e s p o n s e v a l u e s , a r e s p o n s e s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d u s i n g a n e x p r e s s i o n t h a t i s s i m i l a r t o E q u a t i o n [ 5 . 1 A . 4 ] : Y = D A ¢ A + b 8 ¢ 8 + D c ¢ c + D A B ¢ A ¢ B + b A c ¢ A ¢ c + [ 5 - 1 A - 5 ] D e c ( # 8 4 5 0 + b A B C ¢ A ¢ B ¢ c w h e r e t h e v a l u e s o f p a r e t h e v o l u m e f r a c t i o n s f o r e a c h c o m p o n e n t , A , B , a n d C , a n d t h e b c o e f f i c i e n t s a r e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d . 2 1 2 F i g u r e 5 . 1 A . 2 S i m p l e x l a t t i c e d e s i g n f o r m o b i l e - p h a s e o p t i m i z a t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . A , B , a n d C a r e i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m s , A B , A C , a n d B C a r e 1 : 1 b i n a r y m i x t u r e s , a n d A B C i s a 1 : 1 : 1 t e r n a r y m i x t u r e . 2 1 3 F i g u r e 5 . 1 A . 2 ( A ) ( C ) 2 1 4 T h e c a l c u l a t i o n o f t h e b c o e f f i c i e n t s a r e s h o w n i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : 0 4 - Y A [ 5 . 1 A . 6 ] b 3 : Y 3 [ 5 . 1 A . 7 ] b o a Y o [ 5 . 1 A . 8 ] D A B = 4 Y A B - 2 ( Y A + Y 8 ) [ 5 . 1 A . 9 ] b A c = 4 Y A c - 2 ( Y A + Y c ) [ 5 . 1 A . 1 0 ] b e c = 4 Y 8 0 - 2 ( Y 8 + Y o ) [ 5 . 1 A . 1 1 ] b A B C " 2 7 Y A B c - 1 2 l Y A B + Y A c + Y a c ) - 3 ( Y A + Y 8 + Y c ) [ 5 . 1 A . 1 2 ] I n t h e o r i g i n a l r e p o r t , t w o c h r o m a t o g r a p h i c r e s p o n s e f u n c t i o n s w e r e e x a m i n e d , t h e r e s o l u t i o n ( B i ) b e t w e e n s o l u t e p a i r s a n d t h e c h r o m a t o g r a p h i c o p t i m i z a t i o n f u n c t i o n ( C O F ) . E a c h o f t h e s e a p p r o a c h e s i s b r i e f l y d i s c u s s e d n e x t . T h e f i r s t a p p r o a c h u t i l i z i e s t h e r e s o l u t i o n b e t w e e n i n d i v i d u a l s o l u t e s t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m s o l v e n t c o m p o s i t i o n . I n t h i s a p p r o a c h , t h e r e s o l u t i o n b e t w e e n s o l u t e s i s d e t e r m i n e d a t t h e s e v e n m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n s , a n d a r e s o l u t i o n r e s p o n s e s u r f a c e f o r e a c h p a i r o f s o l u t e s i s c o n s t r u c t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 1 A . 5 ] . N e x t , a r e s o l u t i o n m a p i s c o n s t r u c t e d , w h e r e a v a l u e o f m i n i m u m r e s o l u t i o n ( B ) s 1 . 5 ) i s d e f i n e d w i t h i n e a c h r e s p o n s e s u r f a c e , b e l o w t h i s v a l u e t h e a r e a i s s h a d e d a n d a b o v e t h i s v a l u e t h e a r e a i s u n s h a d e d . B y s u p e r i m p o s i n g a l l t h e r e s o l u t i o n m a p s , a c o m p o s i t e d i a g r a m i s c o n s t r u c e d . F r o m t h i s c o m p o s i t e d i a g r a m , a n y u n s h a d e d a r e a ( s ) c o r r e s p o n d t o w h e r e a d e q u a t e r e s o l u t i o n i s a t t a i n a b l e b e t w e e n a l l s o l u t e p a i r s . I n t h e c h r o m a t o g r a p h i c o p t i m i z a t i o n f u n c t i o n a p p r o a c h , t h e C O F i s d e f i n e d a s : R . C O F = Y = . - 2 A , - “ ' 1 7 — ; + 8 ( t M - I L ) ( 5 . 1 / 1 . 1 3 ] w h e r e B ; i s t h e r e s o l u t i o n o f t h e i " 1 s o l u t e p a i r , R d i s t h e d e s i r e d r e s o l u t i o n , 1 M a n d f L a r e d e s i r e d a n d a c t u a l r e t e n t i o n t i m e f o r t h e l a s t e l u t e d s o l u t e , a n d A , ' a n d B a r e w e i g h t i n g f a c t o r s . C o n s e q u e n t l y , t h e C O F w i l l a p p r o a c h a m a x i m u m a s t h e q u a l i t y o f t h e s e p a r a t i o n i m p r o v e s , i f A ) , B a n d W a r e s e l e c t e d a p p r o p r i a t e l y . I n t h i s a p p r o a c h t h e C O F i s c a l c u l a t e d a t t h e s e v e n m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n s , a n d a r e s p o n s e s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d s u b s e q u e n t l y u s i n g E q u a t i o n 2 1 5 [ 5 . 1 A . 5 ] . O n c e t h e r e s p o n s e s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d , t h e o p t i m u m m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n i s d e t e r m i n e d b y v i s u a l i n s p e c t i o n . O b v i o u s l y , t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n s o f t h e w i n d o w d i a g r a m m e t h o d a n d t h e m i x t u r e d e s i g n s t a t i s t i c a l m e t h o d a r e n o t e x h a u s t i v e . T h e y a r e i n t e n d e d t o g i v e t h e r e a d e r a g e n e r a l o v e r v i e w o f t h e t h e s e a p p r o a c h e s a n d t o d e m o n s t r a t e t h a t a l a r g e n u m b e r o f p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t s a r e r e q u i r e d f o r t h e s e c o m m o n o p t i m i z a t i o n a p p r o a c h e s . A g a i n , f o r a r e v i e w o f t h e d i f f e r e n t t y p e s o f o p t i m i z a t i o n m e t h o d s a v a i l a b l e , r e f e r e n c e s 1 a n d 2 a r e v e r y g o o d s o u r c e s . 2 1 6 A p p e n d i x 5 . 2 S i m p l e x P r o c e d u r e f o r O p t l m l z a t l o n S p e c i f i c a l l y , a s i n p l e x i s a g e o m e t r i c a l f i g u r e i n N d i m e n s i o n a l s p a c e t h a t c o n s i s t s o f N + 1 v e r t i c e s ( o r p o i n t s ) a n d t h e i r i n t e r c o n n e c t i n g l i n e s e g m e n t s a n d p o l y g o n a l f a c e s . F o r e x a m p l e , i n t w o d i m e n s i o n s ( N . 2 ) , t h e s i m p l e x i s a t r i a n g l e ; i n t h r e e d i m e n s i o n s ( N a : 3 ) , t h e s i m p l e x i s a t e t r a h e d r o n , a n d s o f o r t h . I n t h e s i m p l e x p r o c e d u r e , N i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e s e l e c t e d t h a t d e f i n e t h e d i m e n s i o n a l i t y o f t h e o p t i m i z a t i o n s p a c e t o b e e x a m i n e d . F o r e x a m p l e , i n s o l v e n t m o d u l a t i o n , e a c h s o l v e n t s y s t e m r e p r e s e n t s a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . N e x t , a s i m p l e x o f N + 1 v e r t i c e s i s d e f i n e d a n d t h e r e s p o n s e i s m e a s u r e d a t e a c h v e r t e x . T h i s r e s p o n s e ( t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ) i s a f u n c t i o n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a n d i s u s e d t o p r o d u c e a s i n g l e v a l u e t h a t d e s c r i b e s t h e o v e r a l l i n f l u e n c e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . B a s e d u p o n t h e s e r e s p o n s e v a l u e s . t h e w o r s t r e s p o n s e i s i d e n t i f i e d b a s e d u p o n c r i t e r i a s p e c i f i e d b y t h e u s e r , a n d a n e w s i m p l e x i s c o n s t r u c t e d i n w h i c h t h i s v e r t e x i s r e p l a c e d b y n e w v e r t e x t h a t i s d e t e r m i n e b y t h e s i m p l e x r o u t i n e . T h e o b j e c t i v e o f t h e s i m p l e x p r o c e d u r e f o r o p t i m i z a t i o n i s t o d i r e c t s u c c e s s i v e s i m p l e x e s a w a y f r o m r e g i o n s o f p o o r r e s p o n s e t o w a r d r e g i o n s o f o p t i m u m r e s p o n s e . T h i s p r o c e d u r e i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5 . 2 A . 1 f o r a t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m w h e r e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , X A a n d X 3 , a r e u s e d t o d e s c r i b e a h y p o t h e t i c a l r e s p o n s e s u r f a c e . T h e p o i n t s l a b e l l e d 1 , 2 , a n d 3 d e f i n e t h e i n i t i a l s i m p l e x , w h i c h i s s u p e r i m p o s e d o n t h e r e s p o n s e s u r f a c e . I n t h e f i r s t s e t O f e x p e r i m e n t s t h e r e s p o n s e i s m e a s u r e d a t e a c h v e r t e x o f t h e i n i t i a l s i m p l e x u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s p r e s c r i b e d b y t h e c o o r d i n a t e s o f t h e t h r e e v e r t i c e s . I n t h i s e x a m p l e , p o i n t 3 h a s t h e w o r s t r e s p o n s e c o m p a r e d t o t h e o t h e r t w o p o i n t s . C o n s e q u e n t l y , t h e s i m p l e x r o u t i n e r e p l a c e s t h i s w o r s t r e s p o n s e p o i n t w i t h o n e o b t a i n e d b y r e f l e c t i o n t h r o u g h t h e l i n e s e g m e n t f o r m e d b y p o i n t s 1 a n d 2 . T h i s n e w v e r t e x i s p o i n t 4 i n F i g u r e 5 . 2 A . 1 . T h e r e f o r e , p o i n t s 1 , 2 , a n d 4 f o r m t h e n e x t s u c c e s s i v e s i m p l e x i n t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e . I n t h e n e x t e x p e r i m e n t t h e r e s p o n s e i s m e a s u r e u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s p r e s c r i b e d b y p o i n t 4 . O n c o m p a r i s o n o f t h e r e s p o n s e s f o r t h e p o i n t s 1 , 2 , a n d 4 , p o i n t 1 n o w h a s t h e w o r s t r e s p o n s e . T h e r e f l e c t i o n p r o c e d u r e i s r e p e a t e d a n d a n e w s i m p l e x i s d e f i n e d b y p o i n t s 2 , 4 , a n d 5 . T h i s g e n e r a l p r o c e s s i s c o n t i n u e d u n t i l t h e O p t i m u m r e s p o n s e i s l o c a t e d . 2 1 7 F i g u r e 5 . 2 A . 1 M o v e m e n t s o f a f i x e d s t e p s i z e s i m p l e x o n a h y p o t h e t i c a l C B S r e s p o n s e s u r f a c e . T h e i n i t i a l s i m p l e x h a s v e r t i c e s l a b e l l e d 1 , 2 , a n d 3 . x A a n d x B a r e h y p o t h e t i c a l f r a c t i o n a l l e n g t h s o f s o l v e n t z o n e s . 2 1 9 A p p e n d i x 5 . 3 O p t i m i z a t i o n P r o g r a m f o r S o l v e n t M o d u l a t i o n P r o g r a m N a m e : O p t l m l z e $ . f o r W r i t t e n b y : J o n I - i . W a h l D I S C L A I M E R T h e a u t h o r m a k e s n o w a n a n t i e s , e x p r e s s o r i m p l i e d , t h a t t h e p r o g r a m s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r a r e f r e e o f e r r o r , o r a r e c o n s i s t e n t w i t h a n y p a r t i c u l a r s t a n d a r d o f m e r c h a n t a b i l i t y , o r t h a t t h e y w i l l m e e t y o u r r e q u i r e m e n t s f o r a n y p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h e y s h o u l d n o t b e r e l i e d o n f o r s o l v i n g a p r o b l e m w h o s e i n c o r r e c t s o l u t i o n c o u l d r e s u l t i n i n j u r y t o a p e r s o n o r l o s s o f p r o p e r t y . I f y o u d o u s e t h e p r o g r a m s i n s u c h a m a n n e r , i t i s a t y o u r o w n r i s k . T h e a u t h o r d i s c l a i m s a l l l i a b i l i t y f o r d i r e c t o r c o n s e q u e n t i a l d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m y o u r u s e o f t h e p r o g r a m s . T h e a u t h o r p r e s u m e s t h a t t h e u s e r i s a b l e t o r e a d c o m p u t e r p r o g r a m s w r i t t e n i n F O R T R A N a n d h a s a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e F O R T R A N p r o g r a m m i n g l a n g u a g e . T h e s e p r o v i s i o n s a r e a p r e r e q u i s i t e t o u s e o r m o d i f y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m ; h o w e v e r , i f p r o b l e m s d o a r i s e t h e n e i t h e r e x a m i n e t h e s o u r c e c o d e o r r e w r i t e t h e p r o g r a m , d o n o t c o n t a c t t h e a u t h o r . P r o g r a m D e s c r i p t i o n T h e c o m p u t e r o p t i m i z a t i o n p r o g r a m i s w r i t t e n i n t h e F O R T R A N 7 7 l a n g u a g e . A g e n e r a l d e s c r i p t i o n o f t h e o r g a n i z a t i o n o f t h e p r o g r a m i s g i v e n b e l o w , a n d a c o p y o f t h e p r o g r a m i s g i v e n f o l l o w i n g t h e s e d i s c u s s i o n s . I n g e n e r a l , t h e O p t i m i z a t i o n p r o g r a m i s d i v i d e d i n t o n i n e p a r t s : t h e m a i n p r o g r a m , f o u r u s e r - d e f i n e d s u b r o u t i n e s , a n d f o u r u s e r - d e f i n e d f u n c t i o n s u b p r o g r a m s . E a c h o f t h e s e p a r t s i s d i s c u s s e d b e l o w a n d r e f e r e n c e d t o t h e e n c l o s e d c o p y o f t h e p r o g r a m u s i n g l i n e n u m b e r s ' . ' N o t e : T h e l i n e n u m b e r s l i s t e d a l o n g t h e l e f t m a r g i n a r e n o t p a r t O f t h e a c t u a l p r o g r a m a n d a r e o n l y l i s t e d a s a r e f e r e n c e t o i n d i v i d u a l l i n e s o f c o d e . A l l c o m m e n t l i n e s a r e d e n o t e d b y a n 2 2 0 M A I N P R O G R A M ( L i n e s 1 - 3 0 2 ) I n g e n e r a l t h e m a i n p r o g r a m c o n t r o l s d a t a e n t r y i n t o t h e p r o g r a m , c a l c u l a t e s t h e i n i t i a l s t a r t i n g c o n d i t i o n s , a n d m a i n t a i n s t h e r u n n i n g r e c o r d o f t h e b e s t t h r e e C B S v a l u e s . L i n e s 9 - 4 9 a r e s i n p l e d e c l a r a t i o n s t a t e m e n t s t h a t s p e c i f y w h e t h e r t h e v a r i a b l e i s a r e a l o r i n t e g e r n u m b e r , o r a n a r r a y . L i n e s 5 8 - 1 0 8 c o n t a i n t h e i n p u t s t a t e m e n t l i n e s f o r t h e n u m b e r o f s o l u t e s ( n u m b e r < 1 6 ) , n u m b e r o f s o l v e n t s y s t e m s , t h e i n d i v i d u a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r i n e a c h s o l v e n t s y s t e m , t h e a v e r a g e n u m b e r o f t h e o r e t i c a l p l a t e s e x p e c t e d f o r a n i n d i v i d u a l s o l v e n t s y s t e m , t h e s o l v e n t s y s t e m o r d e r , t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m r a n g e o f t h e s e a r c h a r e a t h a t t h e s i m p l e x w i l l e x a m i n e , n o r m a l l y z e r o t o k m a x + 1 , a n d t h e m i n i m u m t o l e r a n c e v a l u e f o r c o n v e r g e n c e o f t h e s i m p l e x . W i t h t h i s i n f o r m a t i o n , t h e i n i t i a l s t a r t i n g c o o r d i n a t e s o f t h e s i m p l e x a r e c a l c u l a t e d . T o i n c r e a s e t h e p r o b a b i l i t y o f l o c a t i n g t h e g l o b a l , r a t h e r t h a n a l o c a l , o p t i m u m , n u m e r o u s s i m p l e x e s a r e s t a r t e d a t d i f f e r e n t l o c a t i o n s o n t h e s e a r c h a r e a i n a s e q u e n t i a l m a n n e r . T h e s e s i m p l e x e s a r e p e r f o r m e d a u t o m a t i c a l l y a n d a r e d e t e r m i n e d b y v a r y i n g t h e l i m i t s o f t h e s e a r c h a r e a a s w e l l a s t h e s t a r t i n g s i z e a n d p o s i t i o n o f t h e i n i t i a l s i m p l e x i n a s y s t e m a t i c m a n n e r . T h e s e t h r e e s t e p s a r e d e s c r i b e d b e l o w i n t h e o r d e r t h a t t h e y a p p e a r i n t h e p r o g r a m a n d a r e i l l u s t r a t e d s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 5 . 3 A . 1 . F i r s t , t h e l i m i t s o f t h e s e a r c h a r e a a r e v a r i e d f i v e t i m e s . I n i t i a l l y , t h e s e a r c h a r e a i s c o m p r e s s e d b y d e c r e a s i n g t h e m a x i m u m c o n s t r a i n t v a l u e b y 2 0 % w h i l e m a i n t a i n i n g t h e s a m e m i n i m u m c o n s t r a i n t v a l u e . T h e s e a r c h a r e a i s t h e n s y s t e m a t i c a l l y i n c r e a s e d f i v e s e p a r a t e t i m e s u n t i l t h e m a x i m u m c o n s t r a i n t v a l u e i s a t t a i n e d , w h i l e s t i l l m a i n t a i n i n g t h e s a m e m i n i m u m v a l u e . F o r e x a m p l e , f o r a t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t , l i v e s e a r c h a r e a s a r e e x a m i n e d i n a s e q u e n t i a l m a n n e r . T h e s e f i v e a r e a s ( l a b e l l e d 1 - 5 ) o v e r l a y e a c h o t h e r a n d a r e i l l u s t r a t e d i n t h e t o p d i a g r a m o f F i g u r e 5 . 3 A . 1 . T h e a l g o r i t h m t h a t c a l c u l a t e s t h e c o o r d i n a t e s f o r t h e s e l i v e s e a r c h a r e a s i s c o n t a i n e d i n t h e D O s t a t e m e n t w i t h l a b e l 4 4 2 . S e c o n d , t h e s t a r t i n g s i z e o f t h e i n i t i a l s i m p l e x i s v a r i e d t e n t i m e s . I n i t i a l l y , t h e s t a r t i n g s i m p l e x i s c o m p r e s s e d b y d e c r e a s i n g t h e i n i t i a l s t e p l e n g t h b y 1 0 % , w h e r e t h e i n i t a l s t e p l e n g t h i s e q u a l t o t h e m a x i m u m c o n s t r a i n t f o r t h a t p a r t i c u l a r s e a r c h a r e a ( F i g u r e 5 . 3 A . 1 . t o p ) . T h e n t h e s t e p a s t e r i s k s y m b o l ( - ) i n c o l u m n o n e a n d a l l c o n t i n u a t i o n m a r k e r s a r e d e n o t e d b y a n a m p e r s a n d s y m b o l ( 8 ) i n c o l u m n s i x , i n t e r m s o f t h e F O R T R A N l a n g u a g e . 2 2 1 F i g u r e 5 . 3 A . 1 S c h e m a t i c I l l u s t r a t i o n o f t h e i n i t i a l s i m p l e x e s e x a m i n e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . ( t o p ) S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f i v e o v e r l a y i n g a r e a s ( 1 - 5 ) t h a t a r e a u t o m a t i c a l l y s e a r c h e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . T h e s e a r c h a r e a i s c o n f i n e d w i t h i n t h e m i n i m u m ( M i n . ) a n d m a x i m u m ( M a x . ) c o n s t r a i n t v a l u e s , w h i c h i s d e f i n e d b y t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s A a n d B . ( c e n t e r ) S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t e n s t a r t i n g s i z e s o f t h e i n i t i a l s i m p l e x . E a c h s u c c e s s i v e s i m p l e x i s c o n s t r u c t e d b y s y s t e m a t i c a l l y i n c r e m e n t i n g a l o n g b o t h a x e s w h i l e m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t m i n i m u m v a l u e . T h e d a s h e d l i n e r e p r e s e n t s t h e h y p o t e n u s e o f e a c h t r i a n g l e o f t h e i n i t i a l s i m p l e x . T h e f i l l e d c i r c l e s ( 0 ) r e p r e s e n t o f t h e v e r t i c e s o f t h e s i m p l e x e s . A l l t e n o f t h e s e i n i t i a l s i m p l e x e s a r e a u t o m a t i c a l l y s e a r c h e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . A g a i n , t h e s e a r c h a r e a i s c o n f i n e d w i t h i n t h e m i n i m u m ( M i n . ) a n d m a x i m u m ( M a x ) c o n s t r a i n t v a l u e s , w h i c h i s d e f i n e d b y t h e f a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s A a n d B . ( b o t t o m ) S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f o u r s i m p l e x e s ( 1 - 4 ) t h a t a r e a u t o m a t i c a l l y s e a r c h e d b y t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . E a c h i n i t i a l s i m p l e x i s o r g i n a t e d a t e a c h c o r n e r o f t h e s e a r c h a r e a . A g a i n , t h e s e a r c h a r e a i s c o n f i n e d w i t h i n t h e m i n i m u m ( M i n . ) a n d m a x i m u m ( M a x ) c o n s t r a i n t v a l u e s , w h i c h i s d e f i n e d b y t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t s A a n d B . F i g u r e 5 . 3 A . 1 M a x . M i n . M a x . M i n . M a x . M i n . 2 2 2 S e a r c h A r e a S e a r c h A r e a \ s s s s ‘ ‘ ‘ \ ‘ \ s ‘ ‘ ‘ \ s ‘ s \ ‘ \ ‘ s ‘ s ‘ s \ ‘ s “ s \ s s ‘ \ ‘ s \ ‘ \ ‘ s \ s \ 9 s ‘ s ‘ s s ‘ \ ‘ s ‘ s ‘ s ‘ \ ‘ ‘ s \ ‘ s ‘ \ ‘ s s ‘ s ‘ s ‘ s ‘ \ ‘ \ ‘ \ s ‘ s ‘ \ ‘ s ‘ s ‘ ‘ s ‘ ‘ s ‘ s ‘ s ‘ s ‘ s ‘ \ s “ s ‘ \ ‘ \ ‘ \ ‘ \ \ v f V v v v v v = - I “ I s I I X 3 ’ s ’ s ’ s ’ s ’ s s s s ‘ I ’ 0 I o a s , ’ ‘ I ‘ o ‘ I ‘ « I \ o 2 I ‘ I ‘ . A v ' A M a x . 2 2 3 l e n g t h o f e a c h s u c c e s s i v e s i m p l e x i s s y s t e m a t i c a l l y i n c r e a s e d b y a f a c t o r o f t e n r e l a t i v e t o t h e p r e v i o u s s t e p l e n g t h . F o r t h e s a m e t w o - d i m e n s i o n a l a r e a , t e n s u c c e s s i v e i n i t i a l s i m p l e x s t a r t i n g p o s i t i o n s ( 3 0 v e r t i c e s c o r r e s p o n d i n g t o 1 0 t r i a n g l e s ) a r e e x a m i n e d i n a s e q u e n t i a l m a n n e r . T h e s e t e n s i m p l e x e s a r e i l l u s t r a t e d i n t h e c e n t e r d i a g r a m o f F i g u r e 5 . 3 A . 1 . T h e a l g o r i t h m t h a t c a l c u l a t e s t h e s e t e n s t a r t i n g s i m p l e x i s c o n t a i n e d i n a n o t h e r D O s t a t e m e n t ( l a b e l 4 4 4 ) , w h i c h i s n e s t e d w i t h i n t h e p r e v i o u s D O s t a t e m e n t c o n t r o l l i n g t h e s e a r c h a r e a . F i n a l l y , t h e p o s i t i o n O f t h e s t a r t i n g s i m p l e x i s v a r i e d . I n t h i s p r o c e s s , i n i t i a l s i m p l e x e s a r e c a l c u l a t e d s o t h a t o n e v e r t e x o f e a c h s i m p l e x o r i g i n a t e s a t e a c h c o m e r i n t h e c o n s t r a i n e d a r e a . T h i s p r o c e s s o c c u r s f o r e a c h s i m p l e x s t a r t i n g s i z e a n d c o n s t r a i n e d a r e a . F o r e x a m p l e , f o r t h e p r e v i o u s t w o - d i m e n s i o n a l a r e a , i n d i v i d u a l s t a r t i n g s i m p l e x e s a r e o r i g i n a t e d a t e a c h c o r n e r i n t h e c o n s t r a i n e d a r e a . T h e b o t t o m F i g u r e 5 . 3 A . 1 i l l u s t r a t e s t h e s e s t a r t i n g s i m p l e x e s ( l a b e l l e d 1 - 4 ) , w h e r e e a c h s i m p l e x r e p r e s e n t s t h e f o u r t h i t e r a t i o n o f i n c r e a s e i n t h e s t a r t i n g s i z e s h o w n i n t h e p r e v i o u s f i g u r e . T h i s p o s i t i o n i n g p r o c e s s i s c a l c u l a t e d w i t h a n o t h e r D O s t a t e m e n t ( l a b e l 4 4 6 ) t h a t i s n e s t e d w i t h i n t h e D O l o o p c o n t r o l l i n g t h e s i m p l e x s i z e . T h e c o o r d i n a t e s o f t h e i n i t i a l s i m p l e x a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e p r o c e d u r e o u t l i n e d i n t h e T a b l e 5 . 3 A . 1 ( 1 ) : T a b l e 5 . 3 A . 1 C o o r d i n a t e s f o r t h e V e r t i c e s o f t h e I n i t i a l S i m p l e x . D i m e n s i o n s V e r t e x 1 2 3 N - 1 N 1 0 0 0 0 0 2 a b b b b 3 b a b b b 4 b b a b b N b b b a b N 4 » 1 b b b b a a p = . fi ~ j 3 — E 7 : [ fi ( m N + 1 1 ) ) 1 " ’ 2 2 + - ( N - 1 ) ] 1 ] [ [ 5 5 . 3 A . 1 . 3 / 1 . 2 ] ] 2 2 4 w h e r e a a n d b a r e t h e c o o r d i n a t e s o f a v e r t e x o f t h e s i m p l e x a n d a r e e q u a l t o : w h e r e S i s t h e s t e p l e n g t h o f t h e s i m p l e x . O n c e t h e s t a r t i n g p o s i t i o n i s d e t e r m i n e d f o r t h e s i m p l e x , t h e f l o w o f t h e p r o g r a m i s d i r e c t e d b e t w e e n t h e s u b r o u t i n e A M O E B A a n d t h e s u b p r o g r a m F U N K u n t i l a n o p t i m u m C B S v a l u e i s d e t e r m i n e d . T h u s , f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t , 2 0 0 d i f f e r e n t s t a r t i n g s i m p l e x e s a r e d e t e r m i n e d a u t o m a t i c a l l y w i t h i n t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . C o n s e q u e n t l y , i f e a c h s t a r t i n g s i m p l e x i s a s s u m e d t o r e q u i r e 5 0 i t e r a t i o n s t o l o c a t e a n o p t i m u m , t h e n o v e r 1 0 , 0 0 0 s i m u l a t e d s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t s a r e p e r f o r m e d f o r a s i n g l e s e t o f s o l u t e s a n d p a r t i c u l a r s o l v e n t o r d e r . T h e r e m a i n d e r o f t h e m a i n p r o g r a m m a i n t a i n s a c o n s t a n t r e c o r d o f t h e b e s t t h r e e C B S v a l u e s , t h e c o r r e s p o n d i n g f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r e s o l u t i o n s b e t w e e n a d j a c e n t s o l u t e s o b t a i n e d f r o m t h e s i m u l a t i o n s . F U N K F U N C T I O N ( L i n e s 3 0 3 - 4 4 1 ) T h e F U N K F U N C T I O N c a l c u l a t e s t h e C B S v a l u e f o r a s p e c i f i e d s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e , w h e r e a m a x i m u m o f 5 0 0 0 s o l v e n t z o n e s i s d e f i n e d a s a m a x i m u m d e f a u l t f o r a n y s o l u t e . T h i s i s d e t e r m i n e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . F i r s t , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r i s c a l c u l a t e d f o r e a c h s o l u t e u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 1 ] ( D C s t a t e m e n t 1 0 0 0 ) . S e c o n d , t h e r e s o l u t i o n b e t w e e n a d j a c e n t s o l u t e s i s c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 2 ] ( 0 0 s t a t e m e n t 2 0 0 0 ) . F i n a l l y , t h e C B S v a l u e i s c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 5 . 3 ] , a n d t h e v a l u e i s p a s s e d t o t h e s u b r o u t i n e A M O E B A . F I N F U N C T I O N ( L i n e s 4 4 2 - 4 6 0 ) T h e F I N F U N C T I O N t r a n s f o r m s t h e v a l u e o f a n u n c o n s t r a i n e d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a n c o n s t r a i n e d v a l u e . T h i s r o u t i n e i s u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e S T A R T F U N C T I O N . T h e f o l l o w i n g t r a n s f o r m a t i o n a l g o r i t h m i s u s e d . 2 2 5 T h e s i n ' p l e x s e a r c h d e t e r m i n e s t h e v a l u e , X X X , o f a p a r a m e t e r ( i . e . t h e f r a c t i o n a l l e n g t h o f a s o l v e n t z o n e ) i n t h e r a n g e - ° ° a n d 0 0 . T h i s p a r a m e t e r i s t h e n t r a n s f o r m e d t o a v a l u e , Y Y Y , i n t h e r a n g e 0 t o 1 u s i n g : e x x x Y Y Y - I O X X X + e - X X X [ 5 . 3 A . 3 ] T h e n , t h e v a l u e Y Y Y i s t r a n s f o r m e d t o a v a l u e i n t h e d e s i r e d r a n g e X X X M I N t o X X X M A X u s i n g : F I N - W m “ W W W - W W ) [ 5 . 3 A . 4 ] F I N O U T F U N C T I O N ( L i n e s 4 6 1 - 4 8 0 ) T h i s f u n c t i o n i s i d e n t i c a l t o t h e F I N F U N C T I O N , b u t i s u s e d o n l y i n t h e R E S U L T S U B R O U T I N E . S T A R T F U N C T I O N ( L i n e s 4 8 1 - 4 9 3 ) T h e S T A R T F U N C T I O N t r a n s f o r m s t h e v a l u e o f a c o n s t r a i n e d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t o a n u n c o n s t r a i n e d v a l u e . T h i s r o u t i n e i s u s e d t o c o n s t r a i n t h e s i m p l e x t o s e a r c h o n l y i n t h e u s e r d e f i n e d a r e a . T h e f o l l o w i n g t r a n s f o r m a t i o n a l g o r i t h m i s u s e d . F i r s t , a v a l u e X X X i n t h e r a n g e X X X M I N t o X X X M A X i s t r a n s f o r m e d t o a v a l u e Y Y Y i n t h e r a n g e 0 t o 1 u s i n g : ( ) o o r - W M " ) ( m m x - m u m ) Y Y Y : [ 5 . 3 A . 5 ] T h e n , t h e v a l u e Y Y Y i s t r a n s f o r m e d t o a v a l u e b e t w e e n - 0 0 a n d 0 0 ( i . e . , u n c o n s t r a i n e d s e a r c h ) u s i n g : S T A R T = I n “ m y ] [ 5 . 3 A . 6 ] I N D E X X S U B R O U T I N E ( L i n e s 4 9 4 - 5 4 9 ) T h i s s u b r o u t i n e i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 2 0 . T h e I N D E X X S U B R O U T I N E c o n s t m c t s a n i n d e x t a b l e o f t h e e l u t i o n o r d e r o f t h e s o l u t e s f o r a s p e c i f i c s e t o f s o l v e n t m o d u l a t i o n c o n d i t i o n s t h a t a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e s i m p l e x r o u t i n e . T h i s i n d e x t a b l e i s u s e d w h e n t h e r e s o l u t i o n 2 2 6 b e t w e e n a d j a c e n t s o l u t e s i s c a l c u l a t e d . T h e a d v a n t a g e o f t h e u s i n g a i n d e x i n g r o u t i n e , o v e r a s o r t i n g r o u t i n e , i s t h a t t h e o r i g i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a r r a y r e m a i n s u n a l t e r e d . A M O E B A S U B R O U T I N E ( L i n e s 5 5 0 - 6 8 4 ) T h i s s u b r o u t i n e i s a d o w n h i l l s i m p l e x m e t h o d , w h i c h w a s o r i g i n a l l y d e v e l o p e d b y N e l d e r a n d M e a d ( 1 9 ) , a n d i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 2 0 . F o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s s u b r o u t i n e s e e r e f e r e n c e 2 0 . O P E N I O S U B R O U T I N E ( L i n e s 6 8 5 - 7 1 1 ) T h i s i s s i m p l e r o u t i n e t h a t o p e n s a f i l e f o r t h e o u t p u t f r o m t h e o p t i m i z a t i o n p r o g r a m . R E S U L T S U B R O U T I N E ( L i n e s 7 1 2 - 9 4 7 ) T h i s r o u t i n e r e c o r d s t h e r e s u l t s o f t h e b e s t t h r e e C B S v a l u e s f o u n d . W i t h i n e a c h o f t h e s e r e c o r d s a r e l i s t e d t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r f o r e a c h s o l u t e , t h e c o r r e s p o n d i n g r e s o l u t i o n b e t w e e n a d j a c e n t s o l u t e s , t h e f r a c t i o n a l l e n g t h s o f t h e s o l v e n t z o n e a s w e l l a s t h e c o r r e s p o n d i n g s o l v e n t p r o p o r t i o n a n d r e p e t i t i o n r a t e . T h e s e c o n d i t i o n s a r e l i s t e d f o r e a c h p o i n t o f t h e s i m p l e x a n d s h o u l d b e a p p r o x i m a t e l y i d e n t i c a l b e c a u s e t h e s i m p l e x c o n t r a c t s a t t h e o p t i m u m v a l u e . 2 2 7 N O T E T h e s o u r c e c o d e f o r t h e p r o g r a m n a m e d O p t l m l z e S J o r h a s b e e n d e l e t e d f r o m t h i s v e r s i o n o f t h e d i s s e r t a t i o n . F o r a c o p y o f t h e s o u r c e c o d e , t h e r e a d e r s h o u l d c o n t a c t e i t h e r t h e a u t h o r o r D r . V i c t o r i a M c G u f f i n . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 8 R E F E R E N C E S B e r r i d g e , J . C . T e c h n i q u e s f o r t h e A u t o m a t e d O p t i m i z a t i o n o f H P L C S e p a r a t i o n s , J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k , 1 9 8 5 . B a l k e , S . T . Q u a n t i t a t i v e C o l u m n L i q u i d C h r o m a t o g r a p h y : a s u r v e y o f c h e m o m e f r i c m e t h o d s , J . C h r o m a t o g r . L i b . ; E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h i n g , N e w Y o r k , 1 9 8 4 ; V o l . 2 9 . G l a j c h , J . L . ; K i r k l a n d , J . J . ; S q u i r e , K . M . ; M i n o r , J . M . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 , 1 9 9 , 5 7 . A n t l e , P . E . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 2 , 1 5 , 2 7 7 . D ' A g o s t i n o , 6 . ; M i t c h e l l , F . ; C a s t a g n e t t a , L . ; O ’ H a r e , M . J . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 4 , 3 0 5 , 1 3 . L a u b , R . J . ; P u r n e l l , J . H . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 5 , 1 1 2 , 7 1 . S a c h o k , B . ; K o n g , R . C . ; D e m i n g , S . N . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 , 1 9 9 , 3 1 7 . l s s a q , H . J . ; M u s c h i k , G . M . ; Y a m a g u c h i , H . J . C h r o r n a t c g r . 1 9 8 2 , 2 3 9 , 6 8 7 . K o n g , R . C . ; S a c h o k , B . ; D e m i n g , S . N . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 , 1 9 9 , 3 0 7 . S v o b o d a , V . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 0 , 2 0 1 , 2 4 1 . B e r r i d g e , J . C . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 2 , 2 4 4 , 1 . B e r r i d g e , J . C . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 2 , 1 6 , 1 7 3 . B e r r i d g e , J . C . A n a l y s t ( L o n d o n ) 1 9 8 4 , 1 0 9 , 2 9 1 . K a r g e r , B . L . ; S n y d e r , L . R . ; H o r v a t h , C s . A n i n t r o d u c t i o n t o S e p a r a t i o n S c i e n c e ; J o h n I M l e y & S o n s , N e w Y o r k , 1 9 7 3 . S c h l a b a c h , T . D . ; E x c o f f i e r , J . L . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 3 9 , 1 7 3 . M c G u f f i n , V . L . ; Z a r e , R . N . A p p l i e d S p e c t r o s c o p y 1 9 8 5 , 3 9 , 8 4 7 . D u n g e s , W . ; S e l l e r , N . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 8 , 1 4 5 , 4 8 3 . G l u c k m a n , J . C . ; H i r o s e , A . ; M c G u f f i n , V . L . ; N o v o t n y , M . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 3 , 1 7 , 3 0 3 . N e l d e r , J . A . ; M e a d , R . C o m p u t . J . 1 9 6 5 , 7 , 3 0 8 . P r e s s , W . H . ; F l a n n e r y , B . P . ; T e u k o l s k y , S . A . ; V e t t e r l i n g , W . T . N u m e r i c a l B e c i p e s : T h e A r t o f S c i e n t i f i c C o m p u t i n g , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y , N e w Y o r k , 1 9 8 6 . Y o o , J . S . ; M c G u f f i n , V . L . m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n . C H A P T E R 6 A T H R E E - D I M E N S I O N A L R A N D O M - W A L K C O M P U T E R S I M U L A T I O N O F C H R O M A T O G R A P H I C S E P A R A T I O N S I N T R O D U C T I O N I n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , t h e s o l u t e z o n e i s c o m m o n l y m o d e l l e d a s s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n o f m o l e c u l e s , f r o m w h i c h p r e d i c t i o n o f s o l u t e z o n e d i s p e r s i o n a n d r e t e n t i o n t i m e s i s m a d e . N u m e r o u s s i m u l a t i o n s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o m o d e l , p r e d i c t , a n d i n v e s t i g a t e c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n s ( 1 - 5 4 ) . S o m e o f t h e m o r e r i g o r o u s a p p r o a c h e s s o l v e a s e r i e s o f m a s s - t r a n s p o r t e q u a t i o n s ( 1 - 1 8 ) , s o m e u s e a t h e r m o d y n a m i c m o d e l ( 1 9 - 2 2 ) , o t h e r s u s e a C r a i g - t y p e m o d e l ( 2 3 - 2 8 ) , w h i l e s t i l l o t h e r s u s e m a t h e m a t i c a l o r s e m i - e m p i r i c a l e q u a t i o n s ( 2 9 - 4 2 ) , a s w e l l a s m a n y o t h e r a p p r o a c h e s ( 4 3 - 5 4 ) . N e v e r t h e l e s s , o n l y a f e w a n a l y t i c a l m e t h o d s h a v e t a k e n a d v a n t a g e o f t h e c o m p u t a t i o n a l p o w e r o f p r e s e n t d a y c o m p u t e r s t o s i m u l a t e s e p a r a t i o n p r o c e s s e s a t i a d i s c r e e t m o l e c u l a r l e v e l ( 5 5 - 5 7 ) . T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o d e s c r i b e a n d d e m o n s t r a t e t h e u t i l i t y a n d p r o m i s e o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l c o m p u t e r s i m u l a t i o n f o r c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s e s . T h i s t y p e o f c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n h a s s e v e r a l a d v a n t a g e s t h a t m a k e i t a n a t t r a c t i v e m e t h o d t o m o d e l c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n s . F i r s t , i n d i v i d u a l m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d a n d a r e m o n i t o r e d i n t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e d u r i n g t h e e n t i r e s e p a r a t i o n p r o c e s s . S e c o n d , b e c a u s e t h e s i m u l a t i o n i s b a s e d u p o n a r a n d o m - w a l k m o d e l , t h e c o m p u t a t i o n a l c o d e i s o f t e n m u c h s i m p l e r t h a n r e q u i r e d f o r o t h e r n u m e r i c a l m e t h o d s , a l t h o u g h c o m p u t a t i o n a l l y m o r e i n t e n s i v e . I n a d d i t i o n , f e w e r a n d s i m p l e r p r e l i m i n a r y a s s u n ' p t i o n s a r e n o r m a l l y r e q u i r e d t o m o d e l t h e s y s t e m . C o n s e q u e n t l y , t h e c o m p u t e r p r o g r a m i s r e l a t i v e l y s i m p l e t o m o d i f y f o r f u t u r e v e r s i o n s . A s a r e s u l t , a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g i s o b t a i n e d o f c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s e s a t t h e m o l e c u l a r l e v e l . T h i s i m p r o v e d u n d e r s t a n d i n g w i l l l e a d t o b e t t e r e x p e r i m e n t a l d e s i g n o f p h y s i c a l c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m s I n t h i s c h a p t e r , t h e i n d i v i d u a l p r o c e s s e s o f m o l e c u l a r d i f f u s i o n , c o n v e c t i o n , a n d r e t e n t i o n a r e s i m u l a t e d a n d c o m p a r i s o n s a r e m a d e b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m t h e c o m p u t e r s i m u l a t i o n a n d t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s . F u r t h e r , e x p e r i m e n t s a r e p e r f o r m e d t h a t a r e n o t p o s s i b l e i n a p h y s i c a l 2 2 9 2 3 0 c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m f o r t h e d i r e c t d e t e r m i n a t i o n o f t h e k i n e t i c r a t e c o n s t a n t s a n d d i r e c t e x a m i n a t i o n o f e l u t i o n n o n e q u i l i b r i u m e f f e c t s . G E N E R A L D E S C R I P T I O N T h i s c o m p u t e r p r o g r a m s i m u l a t e s t h e m o v e m e n t o f i n d i v i d u a l s o l u t e m o l e c u l e s i n t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e f o r a n o p e n - t u b u l a r c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . I n g e n e r a l , m o l e c u l a r m o v e m e n t i s s i m u l a t e d b y a l l o w i n g i n d i v i d u a l m o l e c u l e s t o t a k e s m a l l i n c r e m e n t a l s t e p s i n d i s t a n c e a s a f u n c t i o n o f t i m e a n d i s o l a t i n g t h e m o l e c u l a r d i f f u s i o n p r o c e s s f r o m t h e c o n v e c t i o n p r o c e s s . T h e m o b i l e p h a s e i s a s s u m e d t o b e u n d e r f u l l y d e v e l o p e d l a m i n a r f l o w . T h e s t a t i o n a r y p h a s e i s a s s u m e d t o b e h a v e a s a l i q u i d i m m i s c i b l e w i t h m o b i l e p h a s e ; a s a r e s u l t , t h e s o l u t e i s a s s u m e d t o b e r e t a i n e d b y a p a r t i t i o n m e c h a n i s m . C o n s e q u e n t l y , s i m u l a t i o n o f g a s o r l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y i s p o s s i b l e w i t h t h i s c o m p u t e r p r o g r a m ; h o w e v e r , l i q u i d c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a r e c o m m o n l y u s e d i n t h i s c h a p t e r . T h e s t r a t e g y u s e d i n t h e c o m p u t e r p r o g r a m i n v o l v e s m o n i t o r i n g t h e p o s i t i o n o f e a c h s o l u t e m o l e c u l e i n a n e n s e m b l e o f m o l e c u l e s a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e s i m u l a t i o n p r o c e s s i n v o l v e s t w o b a s i c s t e p s . F i r s t , a m o l e c u l e i s a l l o w e d t o d i f f u s e r a n d o m l y i n t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e w h e t h e r i t i s i n t h e m o b i l e o r s t a t i o n a r y p h a s e s f o r a n i n c r e m e n t a l t i m e t . D e p e n d i n g u p o n t h e p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e a n d d i r e c t i o n o f t h i s d i f f u s i o n s t e p , t h e m o l e c u l e m a y d i f f u s e i n t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d b e r e t a i n e d . S e c o n d , i f t h e m o l e c u l e r e s i d e s i n t h e m o b i l e p h a s e , t h e m o l e c u l e i s c o n v e c t e d u s i n g a l i n e a r v e l o c i t y t h a t i s a f u n c t i o n o f t h e l a m i n a r f l o w p r o f i l e a n d t i m e t . T h i s d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n c y c l e i s p e r f o r m e d f o r e v e r y m o l e c u l e a n d i s r e p e a t e d n u m e r o u s t i m e s u n t i l a f i n a l s i m u l a t i o n t i m e , T , i s r e a c h e d . T h i s d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n c y c l e i s s c h e m a t i c a l l y i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 6 . 1 , w h e r e d i f f u s i o n ( s p h e r e ) a n d c o n v e c t i o n ( d a s h e d l i n e ) o f i n d i v i d u a l m o l e c u l e s a r e s c h e m a t i c a l l y i l l u s t r a t e d . T h e c o m p u t e r p r o g r a m i s w r i t t e n t h e F O R T R A N 7 7 p r o g r a m i n g l a n g u a g e . T h e s i m u l a t i o n s a r e e x e c u t e d o n a V A X s t a t i o n l l c o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ) . A b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e p r o g r a m f o l l o w s , b u t f o r m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n a n d t h e s o u r c e c o d e o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m , t h e r e a d e r i s d i r e c t e d t o A p p e n d i x 6 . 1 . A f l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m i s s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 , w h e r e t h e p r o g r a m i s d i v i d e d i n t o f o u r g e n e r a l r o u t i n e s , w h i c h a r e d i s c u s s e d n e x t . F i g u r e 6 . 1 2 3 1 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h r e e m o l e c u l e s u n d e r g o i n g f i v e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n c y c l e s . T h e m o l e c u l e i s a s s u m e d t o b e i n t h e c e n t e r o f e a c h s p h e r e p r i o r t o d i f f u s i o n , a n d t h e t h e d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t t h e c o n v e c t i v e s t e p t a k e n b y t h e m o l e c u l e a f t e r d i f f u s i o n . T h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i s a r r a n g e d s u c h t h a t t h e l e n g t h o f t h e c o l u m n i s a l i g n e d w i t h t h e Z - a x i s , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s t h e c o l u m n w a l l . 2 3 2 F i g u r e 6 . 1 2 3 3 F i g u r e 6 . 2 F l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m u s e d f o r t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n s . o 2 3 4 F i g u r e 6 . 2 I n p u t C o n t r o l C A L C U L A T D N O F I N I T I A L S T A R T I N G C O N D I T I O N S 0 T - 0 I N C R E M E N T C I D - — T I M E T I T O I I S M O L E C U L E I N M O B I L E P H A S E ? O u t p u t C o n t r o l I S N M O L E C U L E Q U A L - T O T H E T O T A L U M B E R T O B E R U N O N _ M O L E C U L E - N _ _ M O L E C U L E + 1 I S T I M E E O U A L T O A N I N T E R V A L F O R M O M E N T S 1 . 0 . . M E A N . O U T P U T ? V A R I E T C . ) I S T I M E E O U A L T O T H E T O T A L T I M E T O B E R U N ? E N D S I M U L A T D N D E T E R M I N E S T A T I S T I C A L I 2 3 5 F i g u r e 6 . 2 ( c o n t ' d . ) M o b i l e P h a s e C o n t r o l M O L E C U L A R D I F F U S I O N I N i t , y . z B A S E D O N D u D 0 ' S M O L E C U L I N T E R S E C T T H E M . P . I S . P . T E R F A C E ’ W I L L T H E M O L E C U L E B E R E T A I N E D ? A C C E P T N E W C O O R D I N A T E S F O R M O L E C U L E D I F F U S E M O L E C U L E B A C K I N T O M O B I L E P H A S E U P D A T E F L O W S T E P I N T H E Z - D I R E C T D N S t a t i o n a r y P h a s e C o n t r o l M O L E C U L A R D I F F U S I O N W m » : B A S E D O N C ; A B L E O R T H E M O L E C U L T O D I F F U S E T O O B I L E P H A S E I F F U S E M O L E C U L E B A C K I N T O ~ ‘ T A T D N A R Y P H A S E I N O U T E R W A L L ? D I F F U S E M O L E C U L E I N S T A T D N A R Y P H A S E Y E S D I F F U S E M O L E C U L E I N T O E A T D N A R Y P H A S E D I F F U S E M O L E C U L E I N T O M O B I L E P H A S E 2 3 6 I n t h e f i r s t r o u t i n e , t h e p a r a m e t e r s a r e i n p u t , a n d t h e c a l c u l a t i o n o f t h e i n i t i a l s t a r t i n g c o n d i t i o n s i s e x e c u t e d . T h e i n p u t p a r a m e t e r s r e q u i r e d b y t h e c o m p u t e r p r o g r a m a r e d i v i d e d i n t o t h r e e g e n e r a l c a t e g o r i e s : p h y s i c a l , c h e m i c a l a n d c o m p u t a t i o n a l . T h e p h y s i c a l p a r a m e t e r s d e s c r i b e t h e p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s i m u l a t e d c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . F o r e x a m p l e , t h e c o l u m n l e n g t h , L , c o l u m n r a d i u s , R , s t a t i o n a r y p h a s e f i l m t h i c k n e s s , d f , i n j e c t i o n v o l u m e , a n d s p l i t r a t i o f o r i n j e c t i o n a r e a l l r e q u i r e d p a r a m e t e r s f o r t h e s i m u l a t i o n . T h e c h e m i c a l p a r a m e t e r s d e s c r i b e c e r t a i n c h e m i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s i m u l a t e d s y s t e m . F o r e x a m p l e , t h e n u m b e r o f m o l e c u l e s t o b e s i m u l a t e d i n a s e p a r a t i o n ( c o n c e n t r a t i o n ) , t h e s o l u t e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e , K , a n d t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s f o r t h e s o l u t e i n b o t h t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e , D M , 0 3 , a r e p a r a m e t e r s r e q u i r e d f o r t h e s i m u l a t i o n . T h e c o m p u t a t i o n a l p a r a m e t e r s d e s c r i b e c e r t a i n a r t i f i c i a l c o n s t r a i n t s t h a t a r e r e q u i r e d t o m o d e l t h e s e p a r a t i o n . F o r e x a m p l e , t h e t i m e c o n s t a n t , t , w h i c h d e t e r m i n e s t h e t e m p o r a l i n t e r v a l b e t w e e n c o m p u t a t i o n a l u p d a t e s , a n d t h e t o t a l s i m u l a t e d t i m e , T a r e c o m p u t a t i o n a l c o n s t r a i n t s . B a s e d u p o n t h e s e p a r a m e t e r s t h e i n i t i a l s t a r t i n g c o n d i t i o n s f o r t h e s i m u l a t i o n a r e c a l c u l a t e d , a n d t h e s i m u l a t i o n i s s t a r t e d . I n t h e s e c o n d r o u t i n e , i f a n i n d i v i d u a l m o l e c u l e r e s i d e s i n t h e m o b i l e p h a s e , t h e m o l e c u l e i s a l l o w e d t o d i f f u s e i n t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e w i t h a d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t D M . C o m p u t a t i o n a l t e s t s a r e p e r f o r m e d t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e m o l e c u l e h a s e n c o u n t e r e d t h e s t a t i o n a r y p h a s e d u r i n g t h e d i f f u s i o n s t e p . W h e n a m o l e c u l e e n c o u n t e r s t h e s t a t i o n a r y p h a s e , a p r o b a b i l i t y i s c a l c u l a t e d t h a t d e t e r m i n e s w h e t h e r t h e m o l e c u l e d i f f u s e s i n t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e . I f i t i s d e t e r m i n e d t h a t t h e m o l e c u l e a d v a n c e s i n t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e , t h e n t h e n e w p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s d e t e r m i n e d u s i n g t h e s t a t i o n a r y - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t , 0 3 . C o n v e r s e l y , i f i t i s d e t e r m i n e d t h a t t h e m o l e c u l e r e m a i n s i n t h e m o b i l e p h a s e , t h e n t h e p o s i t i o n o f t h e m O l e c u l e i s d e t e r m i n e d a s s u m i n g t h a t t h e m o l e c u l e e n c o u n t e r e d t h e s t a t i o n a r y p h a s e a s a n e l a s t i c c o l l i s i o n . A f t e r t h i s c o l l i s i o n , c o n v e c t i o n o f t h e m o l e c u l e i s a l l o w e d , a n d t h e n e w p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s d e t e r m i n e d a n d r e v i s e d . I n t h i r d r o u t i n e , i f a n i n d i v i d u a l m o l e c u l e r e s i d e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , t h e m o l e c u l e i s s t i l l a l l o w e d t o d i f f u s e i n t h r e e d i m e n s i o n s , b u t w i t h a d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t 0 5 . A g a i n , t h e p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s c a l c u l a t e d a n d c o m p u t a t i o n a l t e s t s d e t e r m i n e w h e t h e r t h e m o l e c u l e h a s e n c o u n t e r e d e i t h e r t h e m o b i l e - s t a t i o n a r y p h a s e i n t e r f a c e o r t h e o u t e r w a l l o f t h e c o l u m n . I f t h e m o l e c u l e e n c o u n t e r s t h e m o b i l e - s t a t i o n a r y p h a s e i n t e r f a c e , a p r o b a b i l i t y i s c a l c u l a t e d t h a t d e t e r m i n e s w h e t h e r t h e m o l e c u l e d i f f u s e s i n t o t h e m o b i l e p h a s e . i t i t i s d e t e r m i n e d t h a t t h e m o l e c u l e m o v e s i n t o t h e m o b i l e p h a s e , t h e n t h e p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s r e v i s e d , a n d t h e 2 3 7 m o l e c u l e i s a l l o w e d t o u n d e r g o a c o n v e c t i v e s t e p . C o n v e r s e l y , i f i t i s d e t e r m i n e d t h a t t h e m o l e c u l e r e m a i n s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , t h e n e w p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s d e t e r m i n e d a s s u m i n g t h a t t h e m o l e c u l e e n c o u n t e r s t h i s i n t e r f a c e a s a n e l a s t i c c o l l i s i o n . L i k e w i s e , w h e n t h e m o l e c u l e i n t e r s e c t s t h e o u t e r w a l l o f t h e c o l u m n , t h e m o l e c u l e i s a s s u m e d t o u n d e r g o a n e l a s t i c c o l l i s i o n a t t h i s i n t e r f a c e . . F i n a l l y i n t h e f a u r t h r o u t i n e , a f t e r a s p e c i f i e d p e r i o d o f s i m u l a t e d t i m e , T , t h e m e a n p o s i t i o n , 2 , a n d v a r i a n c e , 0 2 , o f t h e s o l u t e z o n e a r e d e t e r m i n e d u s i n g s t a t i s t i c a l m o m e n t a n a l y s i s . F o r t u n a t e l y , b e c a u s e t h e p o s i t i o n o f e v e r y m o l e c u l e i s m o n i t o r e d d u r i n g t h e s i m u l a t i o n , s t a t i s t i c a l m o m e n t s a r e c a l c u l a t e d d i r e c t l y f r o m t h e a c t u a l d i s t r i b u t i o n o f m o l e c u l e s . A s a r e s u l t , t h e m e a n z o n e p o s i t i o n , 2 , i s d e t e r m i n e d f r o m : 2 - _ _ 1 1 1 1 7 . 2 2 , - [ 6 . 1 ] a n d t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e m o l e c u l a r z o n e , 0 2 , f r o m : “ 0 2 [ 6 - 2 ] a N r - l j w h e r e Z j i s t h e p o s i t i o n o f i n d i v i d u a l m o l e c u l e , a n d N r i s t h e t o t a l n u m b e r o f m o l e c u l e s . I n a d d i t i o n , a f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n i s a l s o c o n s t r u c t e d b y d i v i d i n g t h e e n t i r e p o p u l a t i o n o f m o l e c u l e s i n t o a n u m b e r o f c l a s s e s , t y p i c a l l y 1 0 0 , t h a t a r e e q u a l l y s p a c e d . E a c h c l a s s r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f m o l e c u l e s f o r t h a t i n t e r v a l . F r o m t h i s f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n , a s m o o t h e d d i s t r i b u t i o n i s a l s o c o n s t r u c t e d u s i n g a p r e d e f i n e d r o u t i n e ( 5 8 ) . E x a m p l e s o f a n a c t u a l m o l e c u l a r p o p u l a t i o n v i e w e d a l o n g t h e Z - a x i s o f t h e c o l u m n , t h e c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n , a n d t h e s m o o t h e d f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 . I n t h i s e x a m p l e , 1 0 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d t o d i f f u s e f o r a p e r i o d o f t i m e ( T : 1 5 s ) . I n t h e l o w e r d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 3 t h e o p e n c i r c l e s r e p r e s e n t t h e a c t u a l p o s i t i o n s o f a n i n d i v i d u a l m o l e c u l e s . I n t h e u p p e r d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 3 , t h e o p e n c i r c l e s r e p r e s e n t t h e p o p u l a t i o n o f e a c h o f t h e i n d i v i d u a l c l a s s , a n d t h e s o l i d l i n e i s t h e s m o o t h e d f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n . F o r c l a r i t y , a l l s o l u t e z o n e p r o f i l e s s h o w n i n t h i s c h a p t e r c o r r e s p o n d t o s m o o t h e d f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n s ; h o w e v e r , t h e m e a n z o n e p o s i t i o n a n d t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e a c t u a l p o p u l a t i o n . F i g u r e 6 . 3 2 3 8 E x a m p l e s o f a n a c t u a l s o l u t e p o p u l a t i o n ( l o w e r d i a g r a m ) , t h e c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n ( u p p e r d i a g r a m ) , a n d t h e s m o o t h e d f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n ( u p p e r d i a g r a m ) . I n t h e l o w e r d i a g r a m , t h e o p e n c i r c l e s r e p r e s e n t t h e p o s i t i o n o f a n i n d i v i d u a l m o l e c u l e , a n d i n t h e u p p e r d i a g r a m t h e o p e n c i r c l e s r e p r e s e n t t h e v a l u e o f a n i n d i v i d u a l f r e q u e n c y c l a s s . I n t h i s i l l u s t r a t i o n , 1 0 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d t o d i f f u s e f o r a p e r i o d o f t i m e a n d d i v i d e d i n t o 1 0 0 f r e q u e n c y c l a s s e s . N s , N M , a n d N 7 - a r e t h e n u m b e r o f s o l u t e m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , m o b i l e p h a s e , a n d t h e t o t a l n u m b e r o f t h e m o l e c u l e s . l . . r . l . . . t l . . T N = M . . N + S N l . . . . . . l 1 I . . r . I . . 0 ) O 2 5 2 0 _ L O 0 O - 0 . 0 6 2 3 9 F i g u r e 6 . 3 I r I I ' l ' l l - 0 . 0 2 0 . 0 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 D i s t a n c e ( c m ) I . - 0 . 0 4 2 4 0 E X P E R I M E N T A L V E R I F I C A T I O N M o l e c u l a r l e f u s l o n I n t h i s c o m p u t e r p r o g r a m , m o l e c u l a r d i f f u s i o n i s s i m u l a t e d u s i n g a r a n d o m - w a l k m o d e l ( 5 9 ) . I n a o n e - d i m e n s i o n a l r a n d o m w a l k m o d e l , a m o l e c u l e i s a s s u m e d t o a d v a n c e t h r o u g h a f i x e d d i s t a n c e . d . i n t i m e . t . o n a m i c r o s c o p i c t i m e s c a l e . A c c o r d i n g t o t h i s m o d e l , a m o l e c u l e c a n s t e p a d i s t a n c e . d , e i t h e r f o r w a r d o r b a c k w a r d w i t h e q u a l p r o b a b i l i t y a l o n g a s i n g l e d i m e n s i o n . T h i s d i s t a n c e i s d e s c r i b e d b y t h e E i n s t e i n - S m o l u c h o w s k i r e l a t i o n s h i p ( 6 0 ) : d 2 - 2 o r - [ 6 . 3 ] w h e r e D i s t h e m o l e c u l a r d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t . A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 3 ] . t h e d i s t a n c e t h a t a m o l e c u l e c a n t r a v e l h a s a q u a d r a t i c d e p e n d e n c e o n t i m e , t . T h e e x t e n s i o n o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l r a n d o m w a l k m o d e l t o t h r e e d i m e n s i o n s i s a s i m p l e m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e . A m o l e c u l e i s s t i l l a s s u m e d t o a d v a n c e t h r o u g h a f i x e d d i s t a n c e ; h o w e v e r , i n t h r e e d i m e n s i o n s , a n i n d i v i d u a l d i f f u s i o n s t e p i s n o w r e p r e s e n t e d b y a s p h e r e . T h e r a d i u s . p , o f t h i s d i f f u s i o n s p h e r e i s d e t e r m i n e d b y s u m m i n g t h e s q u a r e s o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l d i s t a n c e s f o r t h e t h r e e o r t h o g o n a l d i m e n s i o n s , x , y , 2 . A s a r e s u l t , i t f o l l o w s t h a t : p 2 , d x 2 + d y e + d 2 2 - 2 0 f + 2 0 t + 2 0 l 8 S D ! [ 6 . 4 ] C o n s e q u e n t l y i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l r a n d o m w a l k m o d e l , a m o l e c u l e c a n a d v a n c e t o a n y p o s i t i o n o n t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e i n t i m e , t , o n a m i c r o s c o p i c t i m e s c a l e . O n c e t h e n e w p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s d e t e r m i n e d , s i m u l a t i o n t i m e i s i n c r e m e n t e d , a n d t h e p r o c e s s n e w d i f f u s i o n i s r e p e a t e d . T h e n e w p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s r a n d o m l y s e l e c t e d o n t h e d i f f u s i o n s p h e r e ; h o w e v e r , t o d e c r e a s e c o m p u t a t i o n t i m e , 5 0 0 0 e q u a l l y s p a c e d p o s i t i o n s o n t h e s u r f a c e o f t h e d i f f u s i o n s p h e r e a r e p r e d e t e r m i n e d a n d a r e s t o r e d i n a n a r r a y . C o m p u t a t i o n a l l y , t h e n e w p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i s r a n d o m l y s e l e c t e d f r o m o n e o f t h e s e 5 0 0 0 p o i n t s . T h i s d i f f u s i o n p r o c e s s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 6 . 4 , w h e r e t h e p o s i t i o n o f a s i n g l e m o l e c u l e i s s h o w n a l o n g t h e t h r e e o r t h o g o n a l d i m e n s i o n s a s a f u n c t i o n o f t i m e ; i n a d d i t i o n , a c o r r e s p o n d i n g t w o - d i m e n s i o n a l v i e w , w h i c h i s t a k e n f r o m t h e X - Y p l a n e , i s a l s o s h o w n . w h e r e t h e F i g u r e 6 . 4 2 4 1 D i f f u s i o n p r o c e s s f o r a s i n g l e m o l e c u l e . T h e p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e i n e a c h d i m e n s i o n , x , y , a n d z , i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e u p p e r d i a g r a m c o r r e s p o n d s t o a s i m u l a t i o n u s i n g a c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s t a n t , I , e q u a l l i n g 0 . 0 0 5 s , a n d t h e l o w e r d i a g r a m c o r r e s p o n d s t o a s i m u l a t i o n u s i n g a a c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s t a n t , t , e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 5 s . T h e p e r s p e c t i v e t o t h e r i g h t o f e a c h d i a g r a m r e p r e s e n t s a t w o - d i m e n s i o n a l v i e w t a k e n f r o m t h e X - Y p l a n e , w h e r e t h e o p e n c i r c l e ( 0 ) r e p r e s e n t s t h e s t a r t i n g p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e a n d t h e f i l l e d c i r c l e ( 0 ) r e p r e s e n t s t h e e n d i n g p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : T o t a l n u m b e r o f m o l e c u l e s ( N T ) 2 1 ; P a r t i t i o n c o e f f i c i e n t ( K ) = 0 . 0 ; M o b i l e - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t ( D M ) = 1 . 0 x 1 0 ’ 5 c m Z / s ; M o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y ( u ) = 0 . 0 c h s ; C o l u m n i n n e r r a d i u s ( R ) = 2 0 x 1 0 ' 4 c m . 5 2 . 0 5 1 . 0 0 1 . 0 0 . z - - - - 3 3 3 3 3 3 3 3 0 ' ' ‘ ' ‘ ' ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . 3 3 1 1 1 3 1 3 - - - - ( m o ) e o u e t s i a ( w o ) e o u e t S I Q T i m e ( s ) F i g u r e 6 . 4 2 4 2 2 4 3 o p e n c i r c l e r e p r e s e n t s t h e s t a r t i n g p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e , a n d t h e f i l l e d c i r c l e r e p r e s e n t s t h e e n d i n g p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e . I n t h e t o p d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 4 t h e t i m e c o n s t a n t , t , b e t w e e n c o m p u t a t i o n a l u p d a t e s i s 0 . 0 0 5 s , a n d i n t h e b o t t o m d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 4 t h e t i m e c o n s t a n t i s 0 . 0 0 0 5 s . B e c a u s e t h e t i m e c o n s t a n t u s e d i n t h e b o t t o m d i a g r a m i s s m a l l e r t h a n t h e t o p d i a g r a m , t h e d i f f u s i o n a l s t e p l e n g t h i s a l s o s m a l l e r a s i s e a s i l y s e e n u p o n c o m p a r i s o n o f t h e t w o d i a g r a m s i n F i g u r e 6 . 4 . F u r t h e r m o r e , b e c a u s e t h e d i f f u s i o n a l s t e p l e n g t h i s r e l a t e d t o t h e s i m u l a t i o n t i m e c o n s t a n t i n a q u a d r a t i c m a n n e r a n d t h e t o t a l n u m b e r o f s t e p s t h a t a m o l e c u l e t a k e s i n a c e r t a i n t i m e i n t e r v a l i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e s i m u l a t i o n t i m e c o n s t a n t , a m o l e c u l e w i t h a s m a l l e r t i m e c o n s t a n t t r a v e l s a g r e a t e r t o t a l d i s t a n c e i n t h a t t i m e p e r i o d . O b v i o u s l y , a s m a l l e r t i m e c o n s t a n t i s a l w a y s a d v a n t a g e o u s i n s i m u l a t i n g m o l e c u l a r d i f f u s i o n i n a m o r e r e a l i s t i c m a n n e r ; h o w e v e r , b e c a u s e o f c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s i d e r a t i o n s a t i m e c o n s t a n t e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 5 s i s u s e d u n l e s s o t h e n l v i s e s t a t e d . N e x t , a n e n s e m b l e o f m o l e c u l e s i s a l l o w e d t o d i f f u s e , a n d t h e z o n e b r o a d e n i n g i s m o n i t o r e d a s a f u n c t i o n o f s i m u l a t i o n t i m e . T o m o d e l m o l e c u l a r d i f f u s i o n o n a m a c r o s c o p i c t i m e s c a l e . t h e m o l e c u l a r a d v a n c e m e n t p r o c e s s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y i s r e p e a t e d n u m e r o u s t i m e s f o r n u m e r o u s m o l e c u l e s u n t i l a p r e s c r i b e d s i m u l a t i o n t i m e , T , i s o b t a i n e d . T h e b r o a d e n i n g o f t h i s d i f f u s i n g z o n e o f m o l e c u l e s i s m e a s u r e d f r o m t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e z o n e a n d c o m p a r e d w i t h t h a t p r e d i c t e d f r o m t h e E i n s t e i n - S m o l u c h o w s k i r e l a t i o n s h i p : o 2 = 2 0 T [ a m w h e r e 0 2 i s t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e z o n e t h a t r e s u l t s f r o m d i f f u s i o n . F o r t h i s v e r i f i c a t i o n s t u d y , d i f f u s i o n o f 7 5 0 m o l e c u l e s i s s i m u l a t e d i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n w i t h a r a d i u s e q u a l l i n g 2 0 x 1 0 ' 4 c m f o r 3 0 s i m u l a t i o n s e c o n d s , i n w h i c h t h e v a r i a n c e o f t h e z o n e i s d e t e r m i n e d e v e r y f i v e s e c o n d s . T h r e e d i f f e r e n t m o l e c u l a r d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g 1 x 1 0 ' 4 , 1 x 1 0 ' 5 , a n d 1 x 1 0 - 6 c m z l s a r e e x a m i n e d . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 5 , w h e r e t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e z o n e o f m o l e c u l e s i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e , T . I n F i g u r e 6 . 5 , t h e f i l l e d s y m b o l s r e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s , a n d t h e l i n e s a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 5 ] . E x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s a n d t h a t p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 5 ] i s s e e n f o r a l l c a s e s , r e g a r d l e s s o f t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t . C o n s e q u e n t l y , t h e a l g o r i t h m u s e d t o s i m u l a t e m o l e c u l a r d i f f u s i o n i s c o n c l u d e d t o m o d e l a c c u r a t e l y t h e m o l e c u l a r d i f f u s i o n p r o c e s s . 2 4 4 F i g u r e 6 . 5 C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 5 ] a s a f u n c t i o n o f t i m e . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 7 : 7 5 0 ; K : 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 - 4 c m 2 / s ( I ) , 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m 2 / s ( o ) , 1 . 0 x 1 0 - 6 c m 2 / s ( A ) ; u = 0 . 0 c r n / s ; n = 2 0 x 1 0 - 4 c m , t = 0 . 0 0 0 5 s e x c e p t f o r D M = 1 . 0 x 1 0 ’ 4 c m 2 / s w h e r e t = 0 . 0 0 0 0 5 s . ) s ( e m i T 0 0 n , . . 0 o 1 i . t . . a l u m i . S . . . ‘ 1 3 : . 0 0 0 0 5 1 0 0 0 1 0 . . . 1 . . 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 U I I I I I ( 3 1 1 1 0 ) 0 O . o F l [ F U I F I I I a , . . . . . . f r o " x e o u e l J e A I F i g u r e 6 . 5 2 4 5 2 4 6 C o n v e c t i o n I n t h i s c o m p u t e r p r o g r a m , t h e c o n v e c t i v e f l o w o f t h e m o b i l e p h a s e i s a s s u m e d t o o c c u r i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n u n d e r a p r e s s u r e d r o p . T h e f l o w p r o f i l e i s s i m u l a t e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f l a m i n a r f l o w , w h i c h i s a s s u m e d t o b e f u l l y d e v e l o p e d ( s e e A p p e n d i x 6 . 2 f o r t h e t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f l a m i n a r f l o w ) . A c c o r d i n g l y , t h e l i n e a r v e l o c i t y , u , i s c o n s t a n t a l o n g t h e l e n g t h o f t h e c o l u m n , b u t v a r i e s r a d i a l l y f r o m t h e c e n t e r o f t h e c o l u m n . T h i s r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e l i n e a r v e l o c i t y u ( r ) i s d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 6 1 ) : u ( r ) = - 2 u [ 1 ( é ] 2 ] [ 6 . 6 ] w h e r e u i s t h e m e a n l i n e a r v e l o c i t y , r i s a n a r b i t r a r y r a d i u s f r o m t h e c e n t e r o f t h e c o l u m n , a n d R i s t h e i n n e r r a d i u s o f t h e c o l u m n . A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 6 ] , t h e f l o w p r o f i l e h a s a q u a d r a t i c d e p e n d e n c e o n r a d i a l p o s i t i o n . T h e d i s t a n c e , d z ( r ) , t h a t a m o l e c u l e t r a v e l s i n t i m e , t , d u e o n l y t o l a m i n a r f l o w i s d e t e r m i n e d b y m u l t i p l y i n g E q u a t i o n [ 6 . 6 ] b y f : d ( r ) = 2 u f [ 1 ( 7 ; — ) 2 ] [ 6 7 ] C o n s e q u e n t l y t o s i m u l a t e c o n v e c t i v e f l o w , a m o l e c u l e i s a l l o w e d t o t a k e a d i f f u s i o n s t e p , t h e n b a s e d u p o n t h e n e w r a d i a l p o s i t i o n o f t h e m o l e c u l e a c o n v e c t i v e f l o w s t e p i s t a k e n a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 7 ] . A s i n t h e m o l e c u l a r d i f f u s i o n c a s e , e a c h m o l e c u l e i n a n e n s e m b l e p e r f o r m s t h i s d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n c y c l e n u m e r o u s t i m e s d u r i n g a s i m u l a t i o n . T h e a c c u r a c y o f t h e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n p r o c e s s i s v e r i f i e d b y c o m p a r i n g t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m e a n p o s i t i o n a n d v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e w i t h t h a t p r e d i c t e d b y t h e o r y . F o r t h i s v e r i f i c a t i o n , t h e c o n v e c t i o n o f 7 5 0 m o l e c u l e s w i t h d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i n t h e m o b i l e p h a s e e q u a l l i n g 1 0 ' 5 c m 2 / s i s s i m u l a t e d i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n w i t h a r a d i u s e q u a l l i n g 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m f o r 3 0 s i m u l a t i o n s e c o n d s , i n w h i c h t h e m e a n z o n e p o s i t i o n i s d e t e r m i n e d e v e r y f i v e s e c o n d s . F o u r d i f f e r e n t l i n e a r v e l o c i t i e s a r e e x a m i n e d : 0 . 0 0 1 , 0 . 0 1 0 , 0 . 1 0 0 , a n d 1 . 0 0 0 c h s . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 6 , w h e r e t h e m e a n z o n e p o s i t i o n i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e f i l l e d s y m b o l s a r e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 ] a n d t h e s o l i d l i n e s a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d . E x c e l l e n t a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d p r e d i c t e d m e a n z o n e p o s i t i o n s f o r a l l c a s e s , r e g a r d l e s s o f t h e l i n e a r v e l o c i t y u s e d f o r t h e s t u d y . 2 4 7 F i g u r e 6 . 6 C o m p a r i s o n o f t h e m e a n p o s i t i o n o f t h e s o l u t e z o n e m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a s a f u n c t i o n o f t i m e . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 7 : 7 5 0 ; K : 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m Z / s ; u = 1 . 0 0 0 c r n / s ( l l ) , 0 . 1 0 0 c m / s ( O ) , 0 . 0 1 0 c r n / s ( A ) , 0 . 0 0 1 c m / s ( o ) ; n = 2 0 x 1 0 - 4 c m , t = 0 . 0 0 0 5 s . ) s ( e m i T 0 0 n 0 o 1 i 1 t I T a l u m i S 0 0 . 1 5 0 0 . 0 0 0 0 . 0 5 ( w o ) e o u e t s l g 0 o ' 0 . o F i g u r e 6 . 6 2 4 8 ( 3 s z . 2 0 M + 2 0 5 k + ( 1 1 k 2 + 6 k + 1 ) R z u + k 2 0 ' f o [ 6 . 8 ] 2 4 9 N e x t , t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f l i n e a r v e l o c i t y . A g a i n , t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e i s m e a s u r e d i n t e r m s o f t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e z o n e . T h e v a r i a n c e o f a s o l u t e z o n e , O Z C O L . p e r u n i t l e n g t h , L , f o r a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n i s t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m t h e G o l a y e q u a t i o n ( 6 2 ) : H : w h e r e H i s t h e p l a t e h e i g h t , D M i s t h e m o b i l e - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t , 0 5 i s t h e s t a t i o n a r y - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t , d , i s t h e s t a t i o n a r y - p h a s e f i l m t h i c k n e s s , a n d k i s t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r , w h i c h i s e q u a l t o t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t , K , d i v i d e d b y t h e p h a s e r a t i o , , 8 ( s e e A p p e n d i x 6 . 3 f o r a g e n e r a l d i s c u s s i o n o f t h e G o l a y e q u a t i o n ) . F o r a n o n r e t a i n e d s o l u t e ( k - 0 ) , E q u a t i o n [ 6 . 8 ] c a n b e w r i t t e n a s : 2 H . 0 2 0 0 L . 2 0 M + R u [ 6 . 9 ] L u 2 4 D M A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 9 ] , b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e i s c a u s e d b y t w o p r o c e s s e s : m o l e c u l a r d i f f u s i o n , t h e f i r s t t e r m i n E q u a t i o n [ 6 . 9 ] , a n d t h e r a t e o f m a s s t r a n s f e r i n t h e m o b i l e p h a s e , t h e s e c o n d t e r m i n E q u a t i o n [ 6 . 9 ] . C o n s e q u e n t l y a t l o w l i n e a r v e l o c i t i e s , m o l e c u l a r d i f f u s i o n i s t h e d o m i n a n t b r o a d e n i n g p r o c e s s ; c o n v e r s e l y , a t h i g h l i n e a r v e l o c i t i e s m o b i l e - p h a s e m a s s t r a n s f e r i s t h e d o m i n a n t b r o a d e n i n g p r o c e s s . F o r t h i s v e r i f i c a t i o n o f t h e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n p r o c e s s , 7 5 0 m o l e c u l e s w i t h a d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t o f 1 0 ' 5 c m 2 / s a r e s i m u l a t e d i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n a t f o u r d i f f e r e n t l i n e a r v e l o c i t i e s , w h i c h r a n g e f r o m 0 . 0 0 1 t o 1 . 0 0 0 c m / s . T h e s e c o n d i t i o n s a r e e x a m i n e d f o r d i f f e r e n t c o l u m n r a d i i , w h i c h r a n g e f r o m 2 0 x 1 0 ‘ 4 t o 8 0 x 1 0 ' 4 c m . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 7 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t i s s h o w n a s f u n c t i o n o f l i n e a r v e l o c i t y , t h e f i l l e d s y m b o l s a r e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d , a n d t h e s o l i d l i n e s a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 9 ] . A g a i n , e x c e l l e n t a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e s f o r a l l c o l u m n r a d i i e x a m i n e d i n t h i s s t u d y . I n a d d i t i o n , a s p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 9 ] , t h e p l a t e h e i g h t i s s e e n t o i n c r e a s e a s t h e c o l u m n r a d i u s i s i n c r e a s e d a n d a s t h e l i n e a r v e l o c i t y i s i n c r e a s e d . C o n s e q u e n t l y , i t i s c o n c l u d e d t h a t t h e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n p r o c e s s i s a c c u r a t e l y m o d e l l e d b y t h e c o m p u t a t i o n a l r o u t i n e s t h a t a l l o w d i s c r e t e d i f f u s i o n a n d c o n v e c t i o n p r o c e s s e s . 2 5 0 F i g u r e 6 . 7 C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d p l a t e h e i g h t w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 9 ] a s a f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N T = 7 5 0 ; K = 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 - 5 c m Z / s ; F ? = 8 0 x 1 0 ' 4 c m ( 9 ) . 6 0 x 1 0 ‘ 4 c m ( A ) , 4 0 x 1 0 ‘ 4 c m ( : ) , 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m ( I ) , 1 : 0 . 0 0 0 5 s . 0 0 0 . 1 ' ' ' 0 0 1 I . ) 0 I s I U I / m c ( y I t i 0 0 l e V r a e n 0 i 1 L 0 1 0 ' I 1 0 0 . 1 0 0 0 . 0 1 : 0 0 0 0 . 1 0 1 . 0 A E a , a 0 m a ) l u fi l e H e i e l d I r I F i g u r e 6 . 7 2 5 1 2 5 2 R e t e n t i o n C u r r e m l y i n t h i s c o m p u t e r p r o g r a m , t h e r e t e n t i o n p r o c e s s i s a s s u m e d t o o c c u r u n d e r a p a r t i t i o n m e c h a n i s m a n d t o b e a d i f f u s i o n - l i m i t e d p r o c e s s . F u r t h e r m o r e , t h e s o l u t e i s p r e s u m e d t o b e a t i n f i n i t e d i l u t i o n , w h i c h i m p l i e s t h a t a m o l e c u l e i s a w a r e o n l y o f i t s i m m e d i a t e s u r r o u n d i n g s . T o u n d e r s t a n d t h e r e t e n t i o n p r o c e s s b e t t e r , c o n s i d e r a n u m b e r o f m o l e c u l e e q u i l i b r a t e d b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s . A t e q u i l i b r i u m , t h e r a t e o f m o l e c u l a r t r a n s p o r t i n t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e f r o m t h e m o b i l e p h a s e ( R a f e m s ) i s e q u a l t o t h e r a t e o f m o l e c u l a r t r a n s p o r t i n t o t h e m o b i l e p h a s e f r o m t h e s t a t i o n a r y p h a s e ( R a t e q u ) . R a t e ” a R a f e s _ , M [ 6 . 1 0 ] I n d i v i d u a l l y , t h e s e r a t e s e q u a l t h e p r o d u c t o f t h e c o n c e n t r a t i o n i n t h e o r i g i n a l p h a s e , t h e f r e q u e n c y o f e n c o u n t e r i n g t h e m o b i l e p h a s e - s t a t i o n a r y p h a s e b o u n d a r y , w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e d i f f u s i o n s t e p l e n g t h , a n d a p r o b a b i l i t y o f c r o s s i n g t h i s b o u n d a r y . T h i s c o n c e p t i s e x p r e s s e d m a t h e m a t i c a l l y a s : [ x h d v D — M P M - O S = [ x $ ] { D — S P S — > M I [ 6 . 1 1 ] w h e r e [ m y ] a n d [ x s ] a r e t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n s i n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s , a n d P M _ , s i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e m o l e c u l e d i f f u s e s f r o m t h e m o b i l e p h a s e t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e . a n d P S — D M i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e m o l e c u l e d i f f u s e s f r o m t h e s t a t i o n a r y p h a s e t o t h e m o b i l e p h a s e . A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 6 . 1 1 ] c a n b e r e a r r a n g e d t o e x p r e s s a p r o b a b i l i t y o f c r o s s i n g a b o u n d a r y a s : 0 5 P M - b s = K ’ V 3 A ; P s — i M [ 6 1 2 ] w h e r e K i s t h e s o l u t e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t a n d i s e q u a l t o t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n r a t i o b e t w e e n t h e s t a t i o n a r y a n d m o b i l e p h a s e s . H o w e v e r , b e c a u s e t h e p r o b a b i l i t y o f a n e v e n t c a n n o t b e g r e a t e r t h a n o n e , t h e p r o b a b i l i t i e s d e t e r m i n e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 1 2 ] a r e n o r m a l i z e d . F o r e x a m p l e , a s o l u t e w i t h a p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l t o t w o a n d e q u a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s f o r t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e , t h e n P M _ , s e q u a l s o n e a n d P s _ _ , M e q u a l s 0 . 5 . C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s t h a t i f K ( 0 3 / O M ) " 2 i s l e s s t h a n o n e , t h e n : 0 M a n d P S — - ) M = 1 [ 6 - 1 3 ] 2 5 3 0 3 P M — i S ’ K — o t h e r w i s e K ( 0 5 / D M ) 1 ’ 2 i s g r e a t e r t h a n o n e , t h e n : / D M I ’ M — ) 5 ' 1 a n d P S — e M ' K 1 " D _ s [ 6 . 1 4 ] T h e a c c u r a c y o f t h e s e p r o b a b i l i t i e s f o r m o d e l l i n g t h e r e t e n t i o n p r o c e s s i s t e s t e d b y c o m p a r i n g t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d f r o m s i m u l a t i o n w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n s b e t w e e n t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d t h e m o b i l e p h a s e a n d t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e a s a f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y . F o r v e r i f i c a t i o n o f t h e r e t e n t i o n p r o c e s s , 1 0 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d t o p a r t i t i o n b e t w e e n t h e t w o p h a s e s w i t h t h e l i n e a r v e l o c i t y e q u a l l i n g z e r o . A g a i n , t h e s i m u l a t i o n i s p e r f o r m e d f o r 3 0 s e c o n d s a n d t h e d i s t r i b u t i o n i s d e t e r m i n e d e v e r y f i v e s e c o n d s , f o r a t o t a l o f f i v e d i s t r i b u t i o n v a l u e s . T h i s p r o c e s s i s p e r f o r m e d f o r t w o s i m u l a t i o n s , f o r a t o t a l o f t e n d i s t r i b u t i o n v a l u e s p e r c a s e . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e s 6 . 1 , 6 . 2 , a n d 6 . 3 , w h e r e t h e m o l e c u l a r r a t i o b e t w e e n t h e s t a t i o n a r y a n d m o b i l e p h a s e i s s h o w n f o r a v a r i e t y o f c o n d i t i o n s . I n T a b l e 6 . 1 , t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t i s v a r i e d b e t w e e n v a l u e s o f 0 . 1 0 a n d 1 0 . 0 0 w h i l e a l l o t h e r p a r a m e t e r s a r e h e l d c o n s t a n t . I n a l l f i v e c a s e s , e x c e l l e n t a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e t h e o r e t i c a l m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n , w h e r e t h e r e l a t i v e s t a n d a r d d e v i a t i o n ( R 8 0 ) i s o n a v e r a g e 0 . 0 1 . T h i s s m a l l d e v i a t i o n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e t h e o r e t i c a l m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n s r e p r e s e n t s a o n e t o t w o m o l e c u l e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e t w o p h a s e s , w h i c h i s w e l l w i t h i n t h e a c c u r a c y o f t h e e x p e r i m e n t s . I n T a b l e 6 . 2 , f o r t h e f i r s t t w o c a s e s t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t o f t h e s o l u t e i n t h e t w o p h a s e s i s a l t e r n a t e d b e t w e e n v a l u e s o f 1 x 1 0 ' 5 a n d 1 x 1 0 ‘ 5 c m 2 / s w h i l e a l l o t h e r p a r a m e t e r s a r e h e l d c o n s t a n t . F o r t h e n e x t f o u r c a s e s , t h e r a d i u s o f t h e c o l u m n i n v a r i e d b e t w e e n v a l u e s o f 2 0 x 1 0 ' 4 c m t o 8 0 x 1 0 ‘ 4 c m w h i l e m a i n t a i n i n g o t h e r p a r a m e t e r s c o n s t a n t . A g a i n , e x c e l l e n t a g r e e m e n t i s s e e n f o r a l l c a s e s , e v e n t h o u g h t h e f i l m t h i c k n e s s o f t h e s t a t i o n a r y i s i n c r e a s i n g s i m u l t a n e o u s l y a s t h e c o l u m n r a d i u s i n c r e a s e s b e c a u s e t h e p h a s e r a t i o ( 0 ) i s h e l d c o n s t a n t . T h e s l i g h t i n c r e a s e i n t h e B S D s e e n i n t h e l a s t t h r e e c a s e s p r o b a b l y a r i s e s b e c a u s e o f t h e l a r g e s t a t i o n a r y - p h a s e v o l u m e t h a t t h e m o l e c u l e s m u s t d i f f u s e i n t o t o a c h i e v e e q u i l i b r i u m . S t i l l , t h i s i n c r e a s e i n t h e B S D r e p r e s e n t s a f o u r t o e i g h t m o l e c u l e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e t w o p h a s e s . I n T a b l e 6 . 3 . a n u m b e r o f p a r a m e t e r s a r e c h a n g e d i n e a c h c a s e ; n e v e r t h e l e s s , e x c e l l e n t n o i t i t r a p D 1 1 1 1 2 0 e S 0 0 0 0 . . . . . h t f o n o i t c n R 0 0 0 0 0 M ) N p x u / f E s ( a N s a n o i t u b i r t s i d M N / s r N a l u c e l o m ) 5 5 5 5 5 s ' ‘ ‘ ' - d l 0 0 0 0 0 e r z 1 1 1 1 1 m x x x : : : : u 0 0 c 0 0 0 l s D 0 0 0 0 0 . . . . . 1 1 1 1 1 s a e m y l l a t . ’ 0 1 1 1 n t 2 0 0 0 0 ) 8 / 5 5 5 5 5 ' ' ' ' e m i r e n 1 1 1 1 1 e 0 0 x x x x i c i f ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 . . . . . p 1 f x e e o c e h t d 0 1 1 1 1 1 ) K ( n n o t a d e t c i d e r p y l i n t e i i t c r i a f P f e o C ) 0 l ( a c o i i . t t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 1 1 1 1 1 a R e s a h P 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 e r o e h t e h t f o n o s i r a p m o C 1 . 6 e l b a T ( T h e o r y ) C a s e R a d i u s ( u m ) F N M V ’ I D 0 . 1 0 0 . 5 0 1 . 0 0 5 . 0 0 1 0 . 0 0 0 . 1 0 0 . 5 0 1 . 0 0 5 . 0 0 1 0 . 0 0 0 . 1 0 0 . 4 9 0 . 9 9 5 . 0 3 9 . 9 8 2 5 4 D 1 1 1 4 6 3 S R 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 0 0 0 9 0 0 6 8 1 9 0 0 9 9 0 . . . . . . 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 1 1 1 1 1 1 ) 6 5 6 5 6 6 s ' ‘ ' ' ’ ' / 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 m x x x x x x c 0 0 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 0 0 s . . . . . . D 1 1 1 1 1 1 ) s / 2 m c 5 6 5 5 5 5 ' ' ' ’ ' ' 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 x x x x x x ( 0 0 0 0 0 0 M . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 1 1 1 1 1 1 ) K ( n o t i n t e i i t c r i a f P f e o C ) 5 ( o i t a R e s a h P ) m u ( s 0 0 0 0 0 0 u 2 2 2 4 6 8 i d a R e s a C 2 . 6 e l b a T C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e c o l u m n r a d i i . N s / N M ( T h e o r y ) N s / N M ( E x p ) v - N O V L O C D 2 5 5 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 . . . . . 0 0 0 0 0 7 0 0 9 7 9 1 0 5 9 . . . . . 4 5 0 0 0 ) s l z m c d D 5 6 6 6 6 ' - ' - - 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 x x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 ' ‘ ' ' ' 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 x x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 . . . . . 1 1 2 2 5 ) K ( t n e i c i f f e o C ) 3 1 ( o i t a R e s a h P ) n r u ( s 0 0 0 0 0 u 2 2 2 2 4 i d a R e s a C T a b l e 6 . 3 C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a n d t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n u n d e r v a r i o u s c o n d i t i o n s . P a r t i t i o n D M ( c m z l s ) N s / N M ( T h e o r y ) N s / N M ( E x p ) R S D F N C O V W 0 . 2 0 1 0 . 0 0 . 5 0 5 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 0 . 1 0 5 . 0 0 0 . 5 0 1 . 0 0 2 5 6 2 5 7 a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n , w h e r e t h e r e l a t i v e s t a n d a r d d e v i a t i o n ( R 8 0 ) i s n o g r e a t e r t h a n 0 . 0 2 o n a v e r a g e . N e x t , t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y . I n t h i s s t u d y , a s i n t h e c o n v e c t i o n s t u d y , t h e v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e p e r u n i t l e n g t h i s m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m s i m u l a t i o n a n d i s c o m p a r e d w i t h t h a t p r e d i c t e d f r o m t h e G o l a y e q u a t i o n ( E q u a t i o n [ 6 . 8 ] ) . F o r t h i s v e r i f i c a t i o n o f t h e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n - r e t e n t i o n p r o c e s s , 7 5 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d a t f o u r d i f f e r e n t l i n e a r v e l o c i t i e s , w h i c h r a n g e f r o m 0 . 0 0 1 t o 1 . 0 0 0 c m l s a n d u n d e r a v a r i e t y o f c o n d i t i o n s . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 8 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y , a n d t h e p a r a m e t e r s a r e l i s t e d i n T a b l e 6 . 4 . I n F i g u r e 6 . 8 t h e f i l l e d s y m b o l s r e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s , a n d t h e l i n e s a r e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 8 ] . I n g e n e r a l , e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d v a l u e s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 8 ] i s s e e n f o r a l l c a s e s . U p o n c l o s e r e x a m i n a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s , i n c a s e 1 a n d c a s e 2 , t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s d i f f e r b y a f a c t o r o f f o u r . T h i s d i f f e r e n c e i n t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s i s p r e d i c t e d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 8 ] t o c a u s e a g r e a t e r i n c r e a s e i n t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e p e r u n i t l e n g t h f o r c a s e 2 t h a n f o r c a s e 1 . T h i s i n c r e a s e i s s h o w n i n F i g u r e 6 . 8 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t f o r c a s e 2 p r o g r e s s i v e l y i n c r e a s e s a b o v e c a s e 1 a s t h e l i n e a r v e l o c i t y i n c r e a s e s . U p o n c o m p a r i s o n o f c a s e 2 a n d c a s e 3 . t h e i n n e r r a d i u s o f t h e c o l u m n i s s e e n t o d i f f e r b y a f a c t o r o f t w o . A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 8 ] , t h e p l a t e h e i g h t h a s a s q u a r e d d e p e n d e n c e w i t h t h e c o l u m n r a d i u s ; a s a r e s u l t , c a s e 2 i s p r e d i c t e d t o h a v e a g r e a t e r p l a t e h e i g h t w i t h i n c r e a s i n g l i n e a r v e l o c i t y . T h i s c o n c l u s i o n i s a l s o v e r i f i e d i n F i g u r e 6 . 8 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t f o r c a s e 2 i s g r e a t e r t h a n t h a t f o r c a s e 3 a s t h e l i n e a r v e l o c i t y i n c r e a s e s . F i n a l l y , i n c a s e 4 t h e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s a r e c h o s e n r a n d o m l y ; h o w e v e r , c a s e 4 d o e s h a v e t h e l a r g e s t p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t a n d m o b i l e - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t , b u t t h e s m a l l e s t s t a t i o n a r y - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t . C o n s e q u e n t l y , u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f c a s e 4 t h e v a l u e o f t h e p l a t e h e i g h t i s p r e d i c t e d t o b e g r e a t e r c o m p a r e d t o t h e o t h e r t h r e e c a s e s a t b o t h l o w a n d h i g h l i n e a r v e l o c i t i e s , w h e r e t h i s c o n c l u s i o n i s a l s o v e r i f i e d i n F i g u r e 6 . 8 . B a s e d o n t h e s e r e s u l t s , t h e c o m p u t e r s i m u l a t i o n i s c o n c l u d e d t o m o d e l a c c u r a t e l y t h e d i f f u s i o n , c o n v e c t i o n , a n d r e t e n t i o n p r o c e s s e s t h a t o c c u r d u r i n g a c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e s i m u l a t i o n o f f e r s t h e o p p o r t u n i t y t o p e r f o r m e x p e r i m e n t s a n d t o m a k e o b s e r v a t i o n s t h a t m a y n o t b e p o s s i b l e i n a r e a l c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . E x a m p l e s o f t h e s e t y p e s o f e x p e r i m e n t s a r e d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w h e r e d i r e c t d e t e r m i n a t i o n o f k i n e t i c r a t e 2 5 8 F i g u r e 6 . 8 C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d p l a t e h e i g h t w i t h t h a t t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 8 ] a s a f u n c t i o n o f m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 7 : 7 5 0 ; t = 0 . 0 0 0 5 5 ; s e e T a b l e 6 . 4 f o r o t h e r s p e c i f i c c o n d i t i o n s . 0 0 ) 1 s 0 / ' m c ' ( ' y t i c o l e ' V r a e o t n d i I L o ' ' . o : 0 0 0 0 . 1 0 1 . 0 1 0 0 . 1 0 0 0 . 0 l 5 O ( l u v ) l u fi l e H e i e l d F i g u r e 6 . 8 2 5 9 ) S / 6 6 6 6 - - ' - 0 0 0 0 Z 1 1 1 1 m x x x x O 0 0 0 0 I 0 0 S . . 0 . D 1 1 1 5 . 9 ) 8 5 5 5 5 / ‘ - ’ - 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 x x x x ( 0 0 5 0 M . . . . 0 0 3 0 0 1 1 1 2 ) K ( n o t i n 0 5 0 e 0 7 0 0 t i i 5 t c . r i 2 . . . 0 6 0 1 1 1 a f P f e o C 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . 5 5 5 5 0 0 0 0 2 2 2 1 ) fl ( o i t a R e s a h P ) n u t ( s u i d a R l o b m y S e s a C T a b l e 6 . 4 E x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s f o r F i g u r e 6 . 8 . I 0 0 4 F N C ‘ O V 2 6 0 2 6 1 c o n s t a n t s a n d d i r e c t e x a m i n a t i o n o f e l u t i o n n o n e q u i l i b r i u m e f f e c t s a r e e x a m i n e d f o r l i q u i d c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m s . A P P L I C A T I O N S K i n e t i c s A s s t a t e d p r e v i o u s l y , t h e r e t e n t i o n m e c h a n i s m f o r t h i s c o m p u t e r s i m u l a t i o n i s a s s u m e d t o b e a p a r t i t i o n p r o c e s s , w h i c h i s m o d e l l e d i n a t h e o r e t i c a l m a n n e r b y c o n s i d e r i n g a s o l u t e , x , t h a t i s d i s t r i b u t e d b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s : k f _ ) ( — k r X M X S w h e r e k ; a n d k , a r e t h e r a t e c o n s t a n t s f o r t h e f o n l v a r d a n d r e v e r s e r e a c t i o n s f o r a s y s t e m a t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u r e , w h e r e f o r w a r d r e a c t i o n i s r e p r e s e n t s t h e m o l e c u l a r t r a n s p o r t i n t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e f r o m t h e m o b i l e p h a s e a n d t h e r e v e r s e r e a c t i o n i s r e p r e s e n t s t h e m o l e c u l a r t r a n s p o r t i n t o t h e m o b i l e p h a s e f r o m t h e s t a t i o n a r y p h a s e . W h e n s o l u t e x i s e q u i l i b r a t e d b e t w e e n t h e s e t w o p h a s e s , t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n r a t i o b e t w e e n t h e s t a t i o n a r y a n d m o b i l e p h a s e s i s d e f i n e d b y t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t : “ @ 4 1 1 [ x u ] k , [ 6 . 1 5 ] P r i o r t o e q u i l i b r i u m , h o w e v e r , t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i n e i t h e r p h a s e i s d e t e r m i n e d u s i n g a k i n e t i c m o d e l . I n t h e k i n e t i c m o d e l , t h e d i s t r i b u t i o n p r o c e s s o f t h e s o l u t e i s a s s u m e d t o b e h a v e a s a r e v e r s i b l e r e a c t i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e n o t r a t e o f c h a n g e o f X ) ; w i t h r e s p e c t t o t i m e , T , i s d e t e r m i n e d f r o m t h e r a t e o f t h e f o n l v a r d r e a c t i o n , k f [ X M ] , a n d t h e r a t e o f t h e r e v e r s e r e a c t i o n , k , [ x s ] . A s a r e s u l t , t h e o v e r a l l n e t r a t e o f c h a n g e o f x M i s : d [ x M ] ‘ d — f — ‘ 3 ' k f [ X M ] ' 1 ' k l ’ [ X S ] [ 6 . 1 6 ] 2 6 2 W h e n t h e i n i t i a l s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e i s a s s u m e d t o e q u a l z e r o , t h e s o l u t i o n o f E q u a t i o n [ 6 . 1 6 ] i s : [ X M ] T . k , + k f e x p [ - T ( k , + k 0 ] [ X M J O k , + k f [ 6 . 1 7 ] w h e r e [ x m r a n d [ x u l o a r e t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n s a t t i m e T a n d t i m e z e r o i n t h e m o b i l e p h a s e . A c c o r d i n g l y , t h e r e l a t i v e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i n e i t h e r p h a s e c a n b e p r e d i c t e d a t a n y t i m e u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] i f t h e r a t e c o n s t a n t s a r e k n o w n . C o n v e r s e l y , t h e r a t e c o n s t a n t s c a n b e p r e d i c t e d i f t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s k n o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . N e i t h e r o f t h e s e c a s e s a r e r e a d i l y d e t e r m i n e d b y p h y s i c a l e x p e r i m e n t s i n a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m ; h o w e v e r , e s t i m a t e s o f t h e r a t e c o n s t a n t s a r e o b t a i n a b l e w h e n a c o m p u t e r s i m u l a t i o n i s u s e d b e c a u s e t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s r e a d i l y d e t e r m i n e d a s a f u n c t i o n o f t i m e . C o n s i d e r f o r e x a m p l e , a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m w h e r e 1 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n w i t h i n n e r r a d i u s e q u a l l i n g 2 0 x 1 0 ' 4 c m , a p h a s e r a t i o e q u a l l i n g o n e , p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l l i n g o n e , l i n e a r v e l o c i t y e q u a l l i n g z e r o , i d e n t i c a l m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g 1 x 1 0 ' 5 c m z l s , a n d a s i m u l a t i o n t i m e c o n s t a n t ' e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 5 s . I n t h i s s i m u l a t i o n , t h e m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f t i m e , w h e r e t h e i n i t i a l s o l u t e s t a t i o n a r y - p h a s e c o n c e n t r a t i o n i s e q u a l t o z e r o . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 9 , w h e r e t h e r e l a t i v e s o l u t e m o b i l e - p h a s e c o n c e n t r a t i o n i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e f i l l e d s y m b o l s r e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d v a l u e s , a n d t h e s o l i d l i n e i s d e t e r m i n e d f r o m a n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . I n g e n e r a l , g o o d a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s f r o m s i m u l a t i o n a n d t h e r e g r e s s i o n l i n e d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . B a s e d u p o n t h e n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s , t h e f o r w a r d a n d r e v e r s e r a t e c o n s t a n t s a r e 1 5 . 7 8 a n d 1 6 . 7 4 s " , t h e r a t i o o f w h i c h i s 0 . 9 4 , w h i c h a g r e e s w e l l w i t h t h e t h e o r e t i c a l p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t . A l t h o u g h t h e r a t e c o n s t a n t s d i f f e r b y 1 s 4 , t h i s d i f f e r e n c e i s w e l l w i t h i n t h e p r e c i s i o n o f t h e m e a s u r e m e n t s a n d t h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s . N e x t , t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t i s i n c r e a s e d t o a v a l u e e q u a l l i n g t w o , a n d r a t e c o n s t a n t s e q u a l l i n g 1 6 . 8 8 a n d 8 . 2 8 5 ' 1 a r e d e t e r m i n e d f o r t h e f o r w a r d a n d r e v e r s e r e a c t i o n s u n d e r t h e s a m e c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s ( F i g u r e 6 . 9 ) . A g a i n , g o o d a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t a n d t h a t p r e d i c t e d f r o m t h e r a t i o o f t h e f o r w a r d a n d r e v e r s e r a t e c o n s t a n t s . M o r e o v e r , i t i s i n t e r e s t i n g t h a t t h e f o r w a r d r a t e c o n s t a n t ( 1 6 . 8 8 s " ) i s e s s e n t i a l l y i d e n t i c a l t o t h e t o w a r d a n d r e v e r s e r a t e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d p r e v i o u s l y f o r t h e c a s e F i g u r e 6 . 9 2 6 3 D e t e r m i n a t i o n o f t h e r a t e o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n , w h e r e t h e r e l a t i v e m o b i l e - p h a s e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e e r r o r b a r s d e p i c t a n e r r o r o f o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n f r o m t h r e e i n d e p e n d e n t s i m u l a t i o n s , a n d t h e s o l i d l i n e i s d e t e r m i n e d f r o m n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : ~ T = 1 0 0 ; K = 1 . 0 ( I ) , 2 . 0 ( 0 ) ; 0 M : 0 5 = 1 . 0 x 1 0 - 5 c m Z / s ; u = 0 . 0 c h s ; R = 2 0 x 1 0 ' 4 c m ; P h a s e R a t i o ( [ 3 ) = 1 . 0 ; t = 0 . 0 0 0 5 s . 0 . 1 I I F V 9 . 0 8 . 0 7 . 0 4 . 0 3 . 0 2 . 0 1 . 0 ) s ( e m i T 2 6 4 F i g u r e 6 . 9 0 . 6 U U I U ' I U I I ' j I I I ' I I I I I ! I I I I U I I U I I I I I T I F I I I U I I I ' 0 . 0 I U U F I I I j I I ' U I U r ' I U I U ' I I U I l T — T ‘ I U N ‘ Q Q V Z Q N fi Q o o o o o o o o 2 6 5 o f t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l s o n e ( 1 5 . 7 8 s " ) . i n a n i n t u i t i v e m a n n e r , t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e f o r w a r d r a t e c o n s t a n t s a r i s e s b e c a u s e t h e m o b i l e - p h a s e c o n d i t i o n s a r e i d e n t i c a l i n e a c h c a s e . C o n s e q u e n t l y , t h e t i m e s p e n t i n t h e m o b i l e p h a s e b y a n i n d i v i d u a l m o l e c u l e i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e ; h o w e v e r , t h e n e t r a t e o f c h a n g e o f t h e f o r w a r d r e a c t i o n s i s d i f f e r e n t b e c a u s e t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n s i n t h e m o b i l e p h a s e a r e d i f f e r e n t f o r p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g o n e a n d t w o . F o r e x a m p l e , a p p r o x i m a t e l y e i g h t p h a s e t r a n s i t i o n s o c c u r p e r s e c o n d p e r m o l e c u l e w h e n t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l s o n e , a n d a p p r o x i m a t e l y s i x p h a s e t r a n s i t i o n s o c c u r p e r s e c o n d p e r m o l e c u l e w h e n t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l s t w o . T h i s d i f f e r e n c e i n t h e f o r w a r d r a t e o f c h a n g e i s r e l a t e d d i r e c t l y t o d i f f e r e n c e i n s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i n t h e m o b i l e p h a s e . A s a r e s u l t , t h e f o m a r d r a t e o f c h a n g e i s c a l c u l a t e d t o b e a p p r o x i m a t e l y 1 . 3 3 t i m e s g r e a t e r w h e n t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l s o n e c o m p a r e d t o a t h e o r e t i c a l v a l u e o f 1 . 5 0 , w h e r e t h e d i s c r e p a n c y i s w i t h i n e x p e r i m e n t a l e r r o r . N e x t , t h e d e t e r m i n e d r a t e c o n s t a n t s a r e e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f t h e t i m e c o n s t a n t o f t h e s i m u l a t i o n . I n t u i t i v e l y , t h e t i m e c o n s t a n t o f t h e s i m u l a t i o n s h o u l d h a v e n o e f f e c t o n t h e r a t e o f e q u i l i b r a t i o n i f t h e c o m p u t e r s i m u l a t i o n a c c u r a t e l y m o d e l s c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s e s . F o r t h i s s t u d y , i d e n t i c a l c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s a r e u s e d a s i n t h e p r e v i o u s c a s e , w h e r e t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l l e d t w o . A s i n t h e p r e v i o u s c a s e s , t h e m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f t i m e , a n d t h e f o r w a r d a n d r e v e r s e r a t e c o n s t a n t s a r e d e t e r m i n e d b y n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s f o r s i m u l a t i o n t i m e s c o n s t a n t s e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 1 . 0 . 0 0 0 5 , 0 . 0 0 1 , 0 . 0 0 5 s . F r o m t h e s e s i m u l a t i o n s , t h e a v e r a g e f o n t v a r d r a t e c o n s t a n t i s 1 8 . 3 7 S ' 1 w i t h a n a v e r a g e d e v i a t i o n o f 1 . 4 1 s " , a n d t h e a v e r a g e r e v e r s e r a t e c o n s t a n t i s 9 . 5 7 s ‘ 1 w i t h a n a v e r a g e d e v i a t i o n o f 0 . 9 1 s " . C o n s e q u e n t l y , t h e r a t e o f e q u i l i b r a t i o n i s c o n c l u d e d t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e s i m u l a t i o n t i m e c o n s t a n t , w h i c h i m p l i e s t h a t r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h i s c o m p u t e r s i m u l a t i o n a r e a l s o i n d e p e n d e n t o f t h i s c o m p u t a t i o n a l c o n s t r a i n t . F i n a l l y , f o r m o r e t y p i c a l l i q u i d c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s , t h e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i n t h e m o b i l e p h a s e i s e x a m i n e d a s f u n c t i o n o f t i m e f o r p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g o n e , t w o , a n d t e n . F o r e a c h o f t h e s e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s , 1 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n , w h e r e t h e i n n e r r a d i u s e q u a l s 2 0 x 1 0 ’ 4 c m , p h a s e r a t i o e q u a l s t w o , l i n e a r v e l o c i t y e q u a l l i n g z e r o , m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g 1 x 1 0 ' 5 a n d 1 x 1 0 ' 6 c m 2 / s , a n d a s i m u l a t i o n t i m e c o n s t a n t e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 5 5 . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 1 0 , w h e r e t h e r e l a t i v e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i n t h e m o b i l e p h a s e i s e x a m i n e d a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e f i l l e d s y m b o l s r e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d v a l u e s , a n d t h e s o l i d l i n e s a r e d e t e r m i n e d f r o m a F i g u r e 6 . 1 0 2 6 6 D e t e r m i n a t i o n o f t h e r a t e o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n , w h e r e t h e r e l a t i v e m o b i l e - p h a s e s o l u t e c o n c e n t r a t i o n i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e e r r o r b a r s d e p i c t a n e r r o r o f o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n f r o m t h r e e i n d e p e n d e n t s i m u l a t i o n s , a n d t h e s o l i d l i n e i s d e t e r m i n e d f r o m n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 7 : 1 0 0 ; K = 1 . 0 ( I ) , 2 . 0 ( o ) , 1 0 . 0 ( A ) ; D M = 1 . 0 x 1 0 - 5 c m z / s , 0 5 - 1 . 0 x 1 0 ' 5 c m 2 / s ; u = 0 . 0 c r e r ; R . 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m ; ) 3 . 2 . 0 ; i s 0 . 0 0 0 5 s . ) s ( e m i T 0 2 6 7 F i g u r e 6 . 1 0 = I — I — h fi f , 2 1 r 1 - i l - 0 4 n _ g v - I - t r - O - c J i g ’ I \ I - I - t — . — t - d i - — . - — o r — — . — — 1 i - { d - g l - - . — I l — ‘ — l ) - I 0 1 - < - l " - c O i ’ 0 ' ) l — O M _ o L “ ! . O L " . . O O . 5 2 6 8 n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . B a s e d u p o n t h e n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s , t h e f o n l v a r d a n d r e v e r s e r a t e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d a r e 5 . 9 9 a n d 1 3 . 3 3 s ' 1 f o r t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l l i n g o n e , 1 2 . 1 4 a n d 1 1 . 8 7 s ‘ 1 f o r t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l l i n g t w o , a n d 1 7 . 3 6 a n d 3 . 7 5 s ' 1 f o r t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l l i n g t e n . B a s e d u p o n t h e s e r a t e c o n s t a n t s , i t i s i n t e r e s t i n g t h a t a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 1 4 ] h a l f a s m a n y s t a t i o n a r y - p h a s e c o l l i s i o n s a r e e f f e c t i v e c o l l i s i o n s , w h i c h a l l o w a m o l e c u l e t o d i f f u s e i n t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e , f o r p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g o n e a n d t w o . C o n s e q u e n t l y , t h e r a t e o f e q u i l i b r a t i o n f o r t h e f o r w a r d r e a c t i o n i s p r e d i c t e d t o b e t w i c e a s f a s t . T h i s c o n c l u s i o n i s v e r i f i e d u p o n c o m p a r i s o n o f t h e r a t i o o f t h e f o r w a r d r a t e c o n s t a n t s f o r p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g o n e a n d t w o , w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 0 . 5 . i n a d d i t i o n , t h e f o r w a r d r a t e c o n s t a n t , w h e n t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t e q u a l s t e n ( 1 7 . 3 6 s “ ) , i s e s s e n t i a l l y i d e n t i c a l w i t h t h e p r e v i o u s s t u d i e s b e c a u s e t h e m o b i l e - p h a s e c o n d i t i o n s a r e i d e n t i c a l . I n g e n e r a l , g o o d a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s a n d t h e r e g r e s s i o n l i n e d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 1 7 ] . I n a d d i t i o n , F i g u r e 6 . 1 0 s h o w s t h a t s o l u t e e q u i l i b r a t i o n i s h a l f c o m p l e t e a f t e r a p p r o x i m a t e l y 0 . 0 4 s a n d t h a t c o m p l e t e e q u i l i b r a t i o n i s a c h i e v e d a f t e r a p p r o x i m a t e l y 0 . 2 5 s i n e a c h c a s e . A g a i n i n a n i n t u i t i v e m a n n e r , t h e s i m i l a r i t y o f t h e e q u i l i b r a t i o n t i m e s a m o n g t h e s e t h r e e c a s e s o c c u r s b e c a u s e a l l t h e m o l e c u l e s o r i g i n a l l y r e s i d e i n t h e m o b i l e p h a s e a n d d i f f u s e a t t h e s a m e r a t e t o t h e s t a t i o n a r y p h a s e . O n c e i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , t h e m o l e c u l e s a g a i n d i f f u s e a t t h e s a m e r a t e . C o n s e q u e n t l y , t h e d i f f e r e n c e a m o n g t h e s e c a s e s i s t h e p r o b a b i l i t y o f p a s s i n g i n t o t h e a d j a c e n t p h a s e , w h i c h d o e s n o t c o n t r o l t h e r a t e o f m o l e c u l a r d i f f u s i o n . F r o m t h e s e t y p e s o f e x p e r i m e n t s a g r e a t l y i m p r o v e d u n d e r s t a n d i n g o f t h e k i n e t i c p r o c e s s e s i n v o l v e d i n a c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n i s g a i n e d . T h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e p r o c e s s e s i s v i t a l s u c h i f b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e t o b e m i n i m i z e d . F o r e x a m p l e , t h e r a t e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d f r o m s u c h e x p e r i m e n t s g i v e a d i r e c t i n d i c a t i o n o f t h e m a g n i t u d e a n d i m p o r t a n c e o f t h e m a s s t r a n s f e r t e r m s i n t h e G o l a y e q u a t i o n ( E q u a t i o n [ 6 . 8 1 ) . A s t h e r a t e c o n s t a n t f o r t h e r e v e r s e r e a c t i o n ( d i f f u s i o n f r o m t h e s t a t i o n a r y p h a s e t o t h e m o b i l e p h a s e ) i n c r e a s e s , t h e i m p o r t a n c e o f t h e f o u r t h t e r m i n E q u a t i o n [ 6 . 8 ] d e c r e a s e s . T h i s r a t e c o n s t a n t c a n b e i n c r e a s e d b y e i t h e r i n c r e a s i n g t h e s t a t i o n a r y - p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t o r d e c r e a s i n g t h e s t a t i o n a r y - p h a s e f i l m t h i c k n e s s . F i n a l l y , a n a c c u r a t e u n d e r s t a n d i n g t h e s e k i n e t i c p r o c e s s e s i s n e e d e d w h e n a s o l u t e u n d e r g o e s r e e q u i l l b r a t i o n f o l l o w i n g a n a b r u p t c h a n g e i n t h e c h r o m a t o g r a p h i c e n v i r o n m e n t , a s w i l l b e e x a m i n e d i n t h e n e x t s e c t i o n f o r e l u t i o n e f f e c t s . 2 6 9 E l u t l o n E f f e c t s F r o m t h e s e c o m p u t e r s i m u l a t i o n s , b y w h i c h t h e k i n e t i c a s p e c t s o f a s e p a r a t i o n c a n b e i n v e s t i g a t e d , u s e f u l i n s i g h t i s g a i n e d i n u n d e r s t a n d i n g s o l u t e e q u i l i b r a t i o n b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s . T h e i m p o r t a n c e o f t h e s e t y p e s o f e x p e r i m e n t s i s e v i d e n t w h e n e v e r a s o l u t e u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n . T h i s a b n l p t c h a n g e i n r e t e n t i o n c a u s e s a n a b n l p t c h a n g e i n t h e s o l u t e z o n e p r o f i l e , w h i c h m a y b e a d v a n t a g e o u s s u c h a s a c o m p r e s s i o n o f t h e s o l u t e z o n e o r d i s a d v a n t a g e o u s s u c h a s a n e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e z o n e . F o r e x a m p l e , a s a s o l u t e z o n e e n t e r s t h e i n l e t o f t h e c o l u m n , t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e t r a n s f e r r e d f r o m a n o n r e t a i n e d r e g i o n t o a r e t a i n e d r e g i o n , a n d a s a r e s u l t , t h e s o l u t e z o n e i s c o m p r e s s e d . C o n v e r s e l y , a s t h e s o l u t e z o n e e x i t s t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n , t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e t r a n s f e r r e d f r o m a r e t a i n e d t o a n o n r e t a i n e d r e g i o n i n a n a b r u p t m a n n e r , a n d a s a r e s u l t , t h e s o l u t e z o n e i s e x p a n d e d . F u r t h e r m o r e , a n a l o g o u s s i t u a t i o n s o c c u r w h e n a s o l u t e z o n e i s e x p o s e d t o a n a b r u p t c h a n g e i n t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . F o r e x a m p l e , i n s t e p w i s e g r a d i e n t e l u t i o n a s o l u t e z o n e m a y e n c o u n t e r n u m e r o u s a b r u p t c h a n g e s i n m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . N e v e r t h e l e s s , t h e o n l y f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e t y p e s o f s i t u a t i o n s i s t h a t t h e a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n o c c u r s a t a f i x e d i n t e r f a c e f o r t h e i n l e t - o u t l e t c a s e s , a n d t h e a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n o c c u r s f o r a c o n t i n u a l l y m o v i n g i n t e r f a c e i n t h e g r a d i e n t c a s e . A c c o r d i n g l y , t h e i n l e t c a s e i s a n a l o g o u s t o t h e g r a d i e n t c a s e w h e r e a s o l u t e z o n e m i g r a t e s f r o m a m o r e r e t a i n e d t o a l e s s r e t a i n e d r e g i o n , a n d t h e o u t l e t c a s e i s a n a l o g o u s t o t h e g r a d i e n t c a s e w h e r e a s o l u t e z o n e m i g r a t e s f r o m a l e s s r e t a i n e d t o a m o r e r e t a i n e d r e g i o n . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , e a c h o f t h e s e s i t u a t i o n s i s i n v e s t i g a t e d b y e x a m i n i n g t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f a s o l u t e z o n e a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e t r a v e l l e d a l o n g t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . T h e c h r o m a t o g r a p h i c c o n d i t i o n s u s e d a r e s i m i l a r t o t h o s e u s e d i n t h e l a s t k i n e t i c s t u d y , w h e r e 5 0 0 m o l e c u l e s a r e s i m u l a t e d i n a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n , t h e i n n e r r a d i u s e q u a l l i n g 2 0 x 1 0 ' 4 c m , p h a s e r a t i o e q u a l l i n g t w o , t h e m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y e q u a l l i n g 0 . 1 c m / s , m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g 1 x 1 0 ' 5 a n d 1 x 1 0 ’ 6 c m 2 / s , a n d a s i m u l a t i o n t i m e c o n s t a n t e q u a l l i n g 0 . 0 0 0 5 s . T h e i n n e r d i m e n s i o n s o f t h e c o l u m n a r e a d j u s t e d s o t h e i n n e r r a d i u s i s c o n s t a n t r e g a r d l e s s o f w h e t h e r t h e r e g i o n c o n t a i n s a s t a t i o n a r y p h a s e . T h r e e s o l u t e s a r e e x a m i n e d i n e a c h c a s e w i t h p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t s e q u a l l i n g o n e , t w o , a n d t e n , w h i c h c o r r e s p o n d t o c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 . T h e f i r s t s t u d y i n v e s t i g a t e s t h e c o l u m n i n l e t a n d o u t l e t c a s e s , a n d t h e s e c o n d s t u d y i n v e s t i g a t e s t h e s t e p w i s e g r a d i e n t c a s e s w h e r e a n a b r u p t i n c r e a s e a n d d e c r e a s e i n t h e s t r e n g t h o f t h e m o b i l e p h a s e o c c u r s . 2 7 0 C o l u m n I n l e t a n d O u t l e t S t u d y C o m m o n l y i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , a s o l u t e z o n e e n c o u n t e r s t w o r e g i o n s d u r i n g a s e p a r a t i o n w h e r e a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n o c c u r s a t a f i x e d s p a t i a l l o c a t i o n . T w o c a s e s o f t h i s f i x e d l o c a t i o n c h a n g e a r e t h e i n l e t o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n , w h e r e t h e s o l u t e m o l e c u l e s m i g r a t e f r o m a n o n r e t a i n e d t o a r e t a i n e d r e g i o n a n d t h e o u t l e t r e g i o n o f t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n , w h e r e t h e s o l u t e m o l e c u l e s m i g r a t e f r o m a r e t a i n e d t o a n o n r e t a i n e d r e g i o n . I n e a c h o f t h e s e c a s e s , t h e s o l u t e m o l e c u l e s u n d e r g o a n i m m e d i a t e c h a n g e i n t h e i r p r o b a b i l i t y f o r r e t e n t i o n . F o r e x a r r p l e a s t h e s o l u t e m o l e c u l e s m i g r a t e t h r o u g h t h e i n l e t o f t h e c o l u m n , t h e m o l e c u l e s a t t h e f r o n t o f t h e z o n e h a v e a p r o b a b i l i t y o f p a r t i t i o n i n g b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s w h i l e t h o s e a t t h e r e a r t r a v e l u n i m p e d e d a t t h e m o b i l e - p h a s e v e l o c i t y . A s a r e s u l t , t h e s o l u t e z o n e c o m p r e s s e s d u r i n g t h e i n l e t t r a n s i t i o n . C o n v e r s e l y , a s t h e s o l u t e z o n e m i g r a t e s t h r o u g h t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n , t h e m o l e c u l e s a t t h e f r o n t o f t h e z o n e b e c o m e n o n r e t a i n e d w h i l e t h o s e a t t h e r e a r t r a v e l a t a n a v e r a g e v e l o c i t y d e p e n d e n t u p o n t h e i r c a p a c i t y f a c t o r s . A s a r e s u l t , t h e s o l u t e z o n e e x p a n d s d u r i n g t h e o u t l e t t r a n s i t i o n . I n a d d i t i o n t o t h e s e c o m p r e s s i o n o r e x p a n s i o n e f f e c t s , t h e s o l u t e z o n e i s c o n t i n u a l l y u n d e r g o i n g t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s i n h e r e n t i n t h e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . I n t h i s s t u d y , c o m p u t e r s i m u l a t i o n s a r e p e r f o r m e d a n d t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e i s m e a s u r e d f o r e a c h o f t h e s e c a s e s . T h e s e m e a s u r e d v a r i a n c e s a r e c o m p a r e d t o v a l u e s t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d . E v a n s a n d M c G u f f i n d e m o n s t r a t e d t h a t t h e t h e o r e t i c a l a m o u n t o f c o m p r e s s i o n o r e x p a n s i o n t h a t a s o l u t e z o n e u n d e r g o e s d u r i n g a n a b n i p t r e t e n t i o n t r a n s i t i o n t h a t i s f i x e d i n s p a c e i s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r ( k , - a n d k n o t t h e s o l u t e ( 6 3 ) : 2 ( 0 2 ) , H ; 8 ‘ " [ 1 + k i ] 2 ( 0 , 2 ) . L ‘ L I [ 6 . 1 8 ] R ? 8 ] 1 + k f w h e r e ( o z o i a n d ( o z m a r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s b e f o r e a n d a f t e r t h e t r a n s i t i o n i n u n i t s o f l e n g t h , s t a n d 8 , a r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l t o t a l p o r o s i t y o f t h e c o l u m n s , w h e r e 8 e q u a l s o n e f o r a n o p e n - t u b u l a r c o l u m n , a n d R , - a n d R f a r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l c o l u m n r a d i i , w h i c h a r e i d e n t i c a l f o r t h e s e s i m u l a t i o n s . C o l u m n I n l e t C a s e F o r t h e s e s i m u l a t i o n s o f t h e c o l u m n i n l e t r e g i o n , t h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d f o r a l l e x a m p l e s t o b e i n j e c t e d a s n a r r o w p l u g s t a r t i n g a t a d i s t a n c e - 1 . 0 c m f r o m t h e i n l e t o f t h e c o l u m n , a n d t h e i n l e t o f t h e c o l u m n i s a s s u m e d t o b e a t 0 . 0 c m . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 1 1 , w h e r e t h e s o l u t e z o n e p r o f i l e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l 2 7 1 v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . I n F i g u r e 6 . 1 1 , t h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b m p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r i s 0 . 0 a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 , a n d t h e c o l u m n i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y a t t h e t o p o f t h e f i g u r e , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s t h e s t a t i o n a r y p h a s e . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s , w h e r e t h e f i r s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d a t 0 . 5 c m b e f o r e t h e i n l e t o f t h e c o l u m n , a n d t h e t h i r d s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d w h e n a p p r o x i m a t e l y a l l t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e w i t h i n t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . I n e a c h o f t h e e x a m p l e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 1 , a n o b v i o u s d e c r e a s e i n t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s s e e n o n c e a l l t h e s o l u t e m o l e c u l e s r e s i d e i n t h e c o l u m n , w h e r e t h e g r e a t e s t s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n o c c u r s f o r t h e s o l u t e w i t h a c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g 5 . 0 . A f t e r a l l t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e o n - c o l u m n , t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s s e e n t o i n c r e a s e i n a l i n e a r m a n n e r , w h i c h i s p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 8 ] . T h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e m e a s u r e d i m m e d i a t e l y u p o n e n t r y t o t h e c o l u m n ( t h e t h i r d s o l u t e z o n e p r o f i l e ) i s c o m p a r e d w i t h t h a t p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 1 8 ] f o r t h e s e e x a m p l e s . T h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 1 8 ] i s c a l c u l a t e d i n t w o d i f f e r e n t m a n n e r s f o r c o m p a r i s o n . I n t h e f i r s t m e t h o d , t h e v a r i a n c e o f a n o n r e t a i n e d s o l u t e z o n e i s c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 8 ] a s s u m i n g t h a t t h e s o l u t e z o n e t r a v e l l e d 1 . 0 c m . T h e c o m p r e s s i o n o f t h e s o l u t e z o n e o c c u r i n g a t t h e c o l u m n i n l e t i s c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 1 8 ] . T h e n t o t h i s v a l u e f o r t h e c o m p r e s s e d z o n e v a r i a n c e i s a d d e d a n o n - c o l u m n c o n t r i b u t i o n o f v a r i a n c e d e t e r m i n e d f r o m t h e m e a n o n - c o l u m n p o s i t i o n o f t h e s o l u t e z o n e u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 8 ] . I n t h e s e c o n d m e t h o d , t h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o b e j u s t a t t h e i n l e t o f t h e c o l u m n . T h e s o l u t e z o n e i s t h e n d i v i d e d i n t o 5 0 e q u a l l y s p a c e i n t e r v a l s . E a c h i n t e r v a l h a s a n i n i t i a l v a r i a n c e t h a t i s a f u n c t i o n o f t h e t o t a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e a n d t h e f r e q u e n c y o f t h e i n t e r v a l . T o e a c h o f t h e s e 5 0 i n t e r v a l s , a n a d d i t i o n a l a m o u n t o f v a r i a n c e i s a d d e d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 8 ] , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e d i s t a n c e r e q u i r e d f o r t h e s o l u t e z o n e t o r e a c h t h e i n l e t o f t h e c o l u m n . T h e n t h e c o m p r e s s i o n o c c u r i n g a t t h e i n l e t i s c a l c u l a t e d f o r e a c h i n t e r v a l a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 1 8 ] . T h e n a n o n - c o i u m n c o n t r i b u t i o n o f v a r i a n c e i s a d d e d t o t h e e a c h o f t h e s e c o m p r e s s e d v a r i a n c e v a l u e s t h a t i s d e t e r m i n e d f r o m t h e o n - c o l u m n p o s i t i o n o f a n i n d i v i d u a l i n t e r v a l a n d E q u a t i o n [ 6 . 8 ] . F i n a l l y , t h e t o t a l v a r i a n c e i s d e t e r m i n e d b y s u m m i n g t h e 5 0 i n d i v i d u a l v a l u e s o f v a r i a n c e . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 1 2 , w h e r e t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s . I n g e n e r a l , t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s i s w i t h i n t h e a c c u r a c y o f t h e m e a s u r e m e n t s , w h e r e t h e l e a s t 2 7 2 F i g u r e 6 . 1 1 C o l u m n I n l e t C a s e . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( e ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e i n l e t o f t h e c o l u m n i s a t 0 . 0 c m a s d e p i c t e d i n t h e c o l u m n s c h e m a t i c s h o w n o n t h e t o p o f t h e f i g u r e , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s t h e s t a t i o n a r y p h a s e . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r i s 0 . 0 a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 , r e s p e c t i v e l y . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N r = 5 0 0 ; K = - 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 : 0 M . 1 . 0 x 1 0 - 5 c m 2 / s , 0 5 = 1 . 0 x 1 0 - 6 c m 2 / s ; u = 0 . 1 c r e r ; F l . . 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m ; [ 3 = - 2 . 0 ; i = - 0 . 0 0 0 5 s . T [ T F ) 2 m c ( e c n a i r a V 2 7 3 F i g u r e 6 . 1 1 0 . 0 0 6 0 . 0 0 5 ~ 0 . 0 0 4 m 0 . 0 0 3 - 0 . 0 0 2 - 0 . 0 0 1 - 0 . 0 0 0 R = 0 . 0 - > 0 . 5 0 . 0 0 6 0 . 0 0 5 - 0 . 0 0 4 - < 0 . 0 0 3 - 0 . 0 0 2 - 0 . 0 0 1 - k = 0 . 0 — > 1 . 0 0 . 0 0 0 k = 0 . 0 - > 5 . 0 0 . 4 0 . 6 0 . 8 D i s t a n c e ( c m ) F i g u r e 6 . 1 2 2 7 4 C o l u m n I n l e t C a s e . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a s o l u t e i m m e d i a t e l y u p o n e n t r y t o t h e c o l u m n ( t h i r d s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 1 1 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e - l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . 8 0 0 0 I O ? | 1 a u l o ) e o u e u c A 9 ' 0 ( — 0 ' 0 = > | 2 7 5 F i g u r e 6 . 1 2 0 ( I 0 0 0 0 ' 9 ( — 0 ' 0 = ) l 0 ' L ( — 0 ' 0 = ) l 2 7 6 a m o u n t o f s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n i s s e e n f o r a s o l u t e w i t h c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g 0 . 5 , a n d t h e g r e a t e s t a m o u n t o f c o m p r e s s i o n i s s e e n f o r a s o l u t e w i t h a c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g 5 . 0 , a s p r e d i c t e d b y t h e o r y . T h e s m a l l d i s c r e p a n c i e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 2 b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e s a r e l i k e l y d u e t o s o l u t e m o l e c u l e s n o t e q u i l i b r a t i n g b e t w e e n t h e t w o p h a s e s i n a n i n s t a n t a n e o u s m a n n e r . C o n s i d e r f o r e x a m p l e , a n a r r o w s l i c e o f s o l u t e m o l e c u l e s t h a t r e s i d e i n t h e m o b i l e p h a s e a n d a r e n e a r l y a t t h e i n l e t o f t h e c o l u m n , a s s h o w n i n t h e f i r s t d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 1 3 . A t t h e t i m e p e r i o d b e f o r e t h e i n l e t o f t h e c o l u m n ( T i m e 1 ) a n d a l l p r e c e d i n g t i m e p e r i o d s , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e i n d i c a t i v e o f a n o n r e t a i n e d s o l u t e , w h e r e t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s o f f - c o l u m n a r e l e s s t h a n t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s o n - c o l u m n ( H a H o ” ) . A s t i m e i n c r e a s e s . t h e s o l u t e m o l e c u l e s e n t e r t h e i n l e t o f t h e c o l u m n a n d g r a d u a l l y e q u i l i b r a t e b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s ( T i m e 2 ) . D u r i n g t h i s r e e q u i l i b r a t i o n , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e g r a d u a l l y c h a n g i n g f r o m a n o f f - c o l u m n s i t u a t i o n t o a n o n - c o l u m n s i t u a t i o n . T h i s g r a d u a l c h a n g e i s i l l u s t r a t e d i n t h e l o w e r d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 1 3 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n t o g r a d u a l l y i n c r e a s e c h a n g e f r o m H o f f t o H o n . F i n a l l y , a f t e r r e e q u i l i b r a t i o n i s a c h i e v e d ( T i m e 3 ) . t h e d i s t r i b u t i o n o f s o l u t e m o l e c u l e s a n d t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e a r e i n d i c a t i v e o f a r e t a i n e d s o l u t e ( H 2 H o n ) . T h i s n o n e q u i l i b r a t i o n o f t h e s o l u t e m o l e c u l e s c a u s e s m o l e c u l e s a s t h e y e n t e r t h e i n l e t o f t h e c o l u m n t o m i g r a t e “ i n a n i n c r e a s i n g l y r e t a i n e d m a n n e r " w h i l e e q u i l i b r i u m i s b e i n g a c h i e v e d . C o n s e q u e n t l y , t h e o n - c o l u m n m a s s t r a n s f e r i s n o t p r e c i s e l y d e t e r m i n e d b y E q u a t i o n [ 6 . 8 ] b e c a u s e e q u i l i b r i u m i s n o t a c h i e v e d i n a n i n s t a n t a n e o u s m a n n e r , b u t i s a c o n v o l u t e d f u n c t i o n o f a n o n r e t a i n e d a n d r e t a i n e d s o l u t e a n d t h e e q u i l i b r a t i o n r a t e . N e v e r t h e l e s s t h e g e n e r a l a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s i s g o o d . 2 7 7 F i g u r e 6 . 1 3 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f c o l u m n i n l e t c a s e , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o i n c r e a s e g r a d u a l l y c h a n g e f r o m H o f f t o H o n . e s a h P ° O o o y r e 0 a n 0 o i e . t a t S e s a h P e l i b o M e s a h P y r a e c a f r e t n I t e l n I n m u l o C e c a f n r o e i o O t t a l E 0 o n i t e J l e . e 0 e s a h P y r a n o i t a l b n I n m H u l o C e c a f r n o e t n I t e l n I n m u l o C T l m e 1 T i m e 2 T i m e 3 o . . M o b i l e P h a s e 0 0 ! ! ‘ 4 1 m H O ” ‘ H o n H O ” < H 2 7 8 F i g u r e 6 . 1 3 0 E . — 2 7 9 C o l u m n O u t l e t C a s e F o r t h e s e s i m u l a t i o n s o f t h e c o l u m n o u t l e t r e g i o n , t h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d f o r a l l e x a m p l e s t o h a v e m i g r a t e d 2 . 0 c m a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e t h e o n l y c o n t r i b u t i o n t o t h e d i s p e r s i o n i s f r o m o n - c o l u m n p r o c e s s e s , a n d t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n i s a s s u m e d t o b e a t 4 . 0 c m . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 1 4 , w h e r e t h e s o l u t e z o n e p r o f i l e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . I n F i g u r e 6 . 1 4 , t h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e z o n e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t t r a n s i t i o n i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r i s 0 . 0 , a n d t h e c o l u m n i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n a t t h e t o p o f t h e f i g u r e , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s t h e s t a t i o n a r y p h a s e . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s , w h e r e t h e f i r s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d a t 2 . 0 c m b e f o r e t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n , a n d t h e f i n a l s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d w h e n a p p r o x i m a t e l y a l l t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e e l u t e d f r o m t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . I n e a c h e x a m p l e , a n a b r u p t i n c r e a s e i n t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s s e e n , a s p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 1 8 ] , w h e r e t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e i l l u s t r a t e d i n t h e b o t t o m d i a g r a m s h o w s a d r a m a t i c i n c r e a s e i n v a r i a n c e a s t h e s o l u t e e l u t e s f r o m t h e c o l u m n . I n a d d i t i o n f o r e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e s s h o w a h i g h d e g r e e o f a s y m m e t r y a s t h e s o l u t e z o n e m i g r a t e s t h r o u g h t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n . T h i s a s y m m e t r y o c c u r s b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s t h a t a r e o n - c o l u m n h a v e a p r o b a b i l i t y o f b e i n g r e t a i n e d a n d h a v e a n a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y t h a t i s l e s s t h a n t h a t o f t h e m o b i l e p h a s e , w h i l e t h e s o l u t e m o l e c u l e s t h a t a r e o f f - c o l u m n , h o w e v e r , h a v e a n a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y e q u a l t o t h a t o f t h e m o b i l e p h a s e . C o n s e q u e n t l y , t h e s o l u t e z o n e b e c o m e s d i s t o r t e d a s t h e f r o n t p o r t i o n o f t h e s o l u t e z o n e t r a v e l s n o n r e t a i n e d w h i l e t h e r e a r p o r t i o n l a g s b e h i n d d u r i n g t h i s o u t l e t t r a n s i t i o n p r o c e s s . I n F i g u r e 6 . 1 5 , t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e s m e a s u r e d j u s t a f t e r t h e c o l u m n e x i t ( t h e f i n a l s o l u t e z o n e p r o f i l e ) a r e c o m p a r e d w i t h t h o s e p r e d i c t e d b y t h e o r y . T h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d o f f - c o l u m n v a r i a n c e s a r e d e t e r m i n e d i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o t h e c o l u m n i n l e t s t u d y . I n t h e f i r s t m e t h o d , t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s c a l c u l a t e d a s s u m i n g t h a t t h e s o l u t e z o n e m i g r a t e d 4 . 0 c m . T h e e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e z o n e o c c u r i n g a t t h e c o l u m n o u t l e t i s c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 1 8 ] . T h e n a n o f f — c o l u m n c o n t r i b u t i o n o f v a r i a n c e i s a d d e d t o t h i s e x p a n d e d v a r i a n c e v a l u e t h a t i s d e t e r m i n e d f r o m t h e f i n a l o f f - c o l u m n p o s i t i o n o f t h e s o l u t e z o n e a n d E q u a t i o n [ 6 . 8 ] . I n t h e s e c o n d m e t h o d , t h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o b e j u s t a t t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n . T h e s o l u t e z o n e i s a g a i n d i v i d e d i n t o 5 0 e q u a l l y s p a c e d i n t e r v a l s , a n d e a c h p o r t i o n i s a s s u m e d t o u n d e r g o a n a p p r o p r i a t e a m o u n t o f b r o a d e n i n g a s t h e i n d i v i d u a l i n t e r v a l s e l u t e f r o m t h e c o l u m n . F i g u r e 6 . 1 4 2 8 0 C o l u m n O u t l e t C a s e . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( 0 ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e o u t l e t o f t h e c o l u m n i s a t 4 . 0 c m a s d e p i c t e d i n t h e c o l u m n s c h e m a t i c s h o w n o n t h e t o p o f t h e f i g u r e , w h e r e t h e s h a d e d r e g i o n r e p r e s e n t s a s t a t i o n a r y p h a s e . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r s a r e 0 . 5 , 1 . 0 , a n d 5 . 0 , r e s p e c t i v e l y , a n d t h e f i n a l c a p a c i t y f a c t o r i s 0 . 0 . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 7 : 5 0 0 ; K = 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 - 5 c m 2 / s , 0 5 = 1 . 0 x 1 0 ’ 6 c m 2 / s ; u = 0 . 1 c r e r ; 3 = 2 0 x 1 0 ' 4 c m ; ) 8 - 2 . 0 ; t = 0 . 0 0 0 5 s . ) 2 m c ( e c n a i r a V 2 8 1 F i g u r e 6 . 1 4 _ J r _ g 2 ' 5 k = 0 . 5 - > 0 . 0 2 . . . . j , ' l 1 5 I ' i t . - ‘ I . “ ’ \ I | I r . 1 l 1 . 0 - : I I ” A l 0 . 5 - ' I " ‘ 1 " I " I 1 L ‘ I \ 0 - 0 ‘ l i i r 2 ' 5 k = 1 . 0 - — > 0 . 0 r l l 2 . 5 k = 5 . 0 - > ~ 0 . 0 2 . 0 ‘ 1 . 5 - f t 1 . 0 — " " " “ I I I \ 1 i 0 . 5 - l " / \ \ - 0 . 0 - — — ‘ ' - — 4 , : - - , , 0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0 1 4 . 0 D i s t a n c e ( c m ) F i g u r e 6 . 1 5 2 8 2 C o l u m n O u t l e t C a s e . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a s o l u t e j u s t a f t e r t h e c o l u m n e x i t ( l a s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 1 4 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e 2 l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = - d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a s m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . ) 2 m c ( e c n a i r a V 0 . 0 ) — 0 . 0 ) — 0 . 0 ) — - 5 0 0 . 0 : k . 1 = k . 5 = k m a m 3 0 : 3 M y ; 2 8 4 T h e t o t a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s d e t e r m i n e d b y s u m m i n g a l l 5 0 i n t e r v a l s . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 1 5 , w h e r e t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s c o r r p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s . I n g e n e r a l , t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s i s v e r y . g o o d , w h e r e t h e l e a s t a m o u n t o f s o l u t e z o n e e x p a n s i o n i s s e e n f o r a s o l u t e w i t h c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g 0 . 5 , a n d t h e g r e a t e s t a m o u n t o f e x p a n s i o n i s s e e n f o r a s o l u t e w i t h a c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g 5 . 0 , a s p r e d i c t e d b y t h e o r y . I n a d d i t i o n t h e a c c u r a c y b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l v a l u e s f o r t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e s h o w s b e t t e r a g r e e m e n t t h a n f o r t h e c o l u m n i n l e t s t u d y . T h i s i m p r o v e m e n t i n t h e a c c u r a c y b e t w e e n t h e v a r i a n c e v a l u e s a r i s e s b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e b e i n g t r a n s f e r r e d f r o m a t w o - p h a s e o n - c o l u m n s i t u a t i o n w h e r e e q u i l i b r i u m i s m a i n t a i n e d t o a s i n g l e - p h a s e o f f - c o l u m n s i t u a t i o n w h e r e t h e r e i s n o e q u i l i b r i u m t o m a i n t a i n . C o n s i d e r f o r e x a m p l e , a n a r r o w s l i c e o f s o l u t e m o l e c u l e s t h a t a r e i n e q u i l i b r i u m b e t w e e n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s a n d a r e n e a r l y a t t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n , a s s h o w n i n t h e f i r s t d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 1 6 . A t t h e t i m e p e r i o d b e f o r e t h e o u t l e t o f t h e c o l u m n ( T i m e 1 ) a n d a l l p r e c e d i n g t i m e p e r i o d s , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e i n d i c a t i v e o f a r e t a i n e d s o l u t e , w h e r e t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s o n - c o l u m n a r e g r e a t e r t h a n t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s o f f - c o l u m n ( H = H o n ) . A s t i m e i s i n c r e m e n t e d ( T i m e 2 ) , < t h e s o l u t e m o l e c u l e s i n t h e m o b i l e p h a s e e x i t t h e c o l u m n a n d t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e i m m e d i a t e l y i n d i c a t i v e o f a n o n r e t a i n e d s o l u t e ( H . H o f f ) . T h i s c h a n g e i s i l l u s t r a t e d i n t h e l o w e r d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 1 6 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n t o a b r u p t l y d e c r e a s e f r o m H o n t o H o f f . C o n s e q u e n t l y , b e t t e r g e n e r a l a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s i s e x p e c t e d . S u m m a r y I n t h i s s t u d y , t w o r e g i o n s a r e e x a m i n e d w h e r e a n a b r u p t c h a n g e i n s o l u t e r e t e n t i o n o c c u r s a t a f i x e d s p a t i a l l o c a t i o n . T h e s e t w o c a s e s a r e t h e i n l e t a n d o u t l e t o f a c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . I n e a c h o f t h e s e c a s e s , t h e s o l u t e m o l e c u l e s u n d e r g o a n i m m e d i a t e c h a n g e i n t h e i r p r o b a b i l i t y f o r r e t e n t i o n . F o r t h e c o l u m n i n l e t c a s e , a s i g n i f i c a n t c o m p r e s s i o n o f t h e s o l u t e z o n e o c c u r s b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e t r a n s f e r r e d f r o m a n o n r e t a i n e d r e g i o n t o a r e t a i n e d r e g i o n . I n g e n e r a l , g o o d a g r e e m e n t i s s h o w n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d f r o m s i m u l a t i o n a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a l l t h e t h r e e e x a m p l e s , r e g a r d l e s s o f t h e m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . H o w e v e r , t h e e f f e c t o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n i s a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n i f a n a c c u r a t e e s t i m a t e a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s i s r e q u i r e d . T h e s e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h e o r y a r e n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e o v e r a l l b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e . F o r t h e c o l u m n o u t l e t c a s e , a s i g n i f i c a n t e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e 2 8 5 F i g u r e 6 . 1 6 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f c o l u m n o u t l e t c a s e , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n . t o d e c r e a s e a b r u p t l y f r o m H o n t o H o f f . e c a f r f e f t o n i t e l H ’ n n I o n " m u l o C e c a f r e ! t f n o i ” t e l ’ m I " n I n m u l o C e s a h P e l i b o M 1 e m i T e 0 e s a h P y r e n o i t a t S — — l l a o n fi m e z O M o b i l e P h a s e . 1 T i m e F i g u r e 6 . 1 6 2 8 6 ( c a t f fl f e i ) . [ 6 . 9 . 2 8 7 z o n e o c c u r s b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e t r a n s f e r r e d f r o m a r e t a i n e d t o a n o n r e t a i n e d r e g i o n . A g a i n , g o o d a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d f r o m s i m u l a t i o n a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a l l t h e t h r e e e x a m p l e s , r e g a r d l e s s o f t h e m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . T h e e f f e c t o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n , h o w e v e r , d o e s n o t a r i s e i n t h i s c a s e b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s a r e b e i n g t r a n s f e r r e d f r o m a t w o - p h a s e o n - c o l u m n s i t u a t i o n w h e r e e q u i l i b r i u m i s m a i n t a i n e d t o a s i n g l e - p h a s e o f f - c o l u m n s i t u a t i o n w h e r e t h e r e i s n o e q u i l i b r i u m t o m a i n t a i n . H o w e v e r , t h i s i n c r e a s e i n a z o n e d u e t o t h e c o l u m n o u t l e t i s a v e r y i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n f o r o f f - c o l u m n d e t e c t i o n b e c a u s e t h i s e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e z o n e e f f e c t i v e l y i n c r e a s e s t h e o n - c o l u m n b r o a d e n i n g t h a t t h e a s o l u t e e n c o u n t e r s d u r i n g a s e p a r a t i o n . C o n s e q u e n t l y , s o l u t e d e t e c t i o n o f f - c o l u m n s h o u l d b e a v o i d e d i f p o s s i b l e . S t u d y o f C o m p o s l t l o n a l C h a n g e s I n t h e M o b i l e P h a s e I n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n i s c o m m o n l y c h a n g e d t o a l t e r s o l u t e r e t e n t i o n . T h i s c h a n g e i n c o m p o s i t i o n c a n b e a b r u p t , w h i c h c a u s e s a n a b r u p t c h a n g e i n s o l u t e r e t e n t i o n . F o r e x a m p l e , t h e s e t y p e s o f c h a n g e s i n m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n c a n b e i n t e n t i o n a l , s u c h a s i n s t e p w i s e g r a d i e n t e l u t i o n o r s o l v e n t m o d u l a t i o n , o r u n i n t e n t i o n a l , s u c h a s w h e n t h e i n j e c t i o n s o l v e n t d i f f e r s f r o m t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . R e g a r d l e s s , t h i s c h a n g e i n t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n c a u s e s a c h a n g e i n s o l u t e r e t e n t i o n a n d i n t h e v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e . F o r e x a m p l e , t h e v a r i a n c e o f a s o l u t e z o n e w i l l d e c r e a s e w h e n a s o l u t e z o n e m i g r a t e s f r o m a m o r e r e t a i n e d e n v i r o n m e n t t o a l e s s r e t a i n e d e n v i r o n m e n t ( s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n ) ( 6 4 - 6 8 ) ; c o n v e r s e l y , t h e v a r i a n c e o f a s o l u t e z o n e w i l l i n c r e a s e w h e n a s o l u t e z o n e m i g r a t e s f r o m a l e s s r e t a i n e d e n v i r o n m e n t t o a m o r e r e t a i n e d e n v i r o n m e n t ( s o l u t e z o n e e x p a n s i o n ) . I n a d d i t i o n t o t h e s o l u t e z o n e c o m p r e s s i o n o r e x p a n s i o n e f f e c t s , t h e s o l u t e z o n e i s c o n t i n u a l l y u n d e r g o i n g b r o a d e n i n g a n d r e e q u i l i b r a t i o n p r o c e s s e s i n h e r e n t i n t h e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . I n t h i s s t u d y , c o m p u t e r s i m u l a t i o n s a r e p e r f o r m e d a n d t h e s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e i s m e a s u r e d f o r e a c h o f t h e s e c a s e s . T h e s e m e a s u r e d v a r i a n c e s a r e c o m p a r e d t o v a l u e s t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d . T h e t h e o r e t i c a l a m o u n t o f c o m p r e s s i o n o r e x p a n s i o n t h a t a s o l u t e z o n e u n d e r g o e s d u r i n g a n a b r u p t r e t e n t i o n t r a n s i t i o n , w h i c h i s m o v i n g w i t h i n a c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n , h a s b e e n e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l a n d f i n a l c a p a c i t y f a c t o r ( k , - a n d k n o f t h e s o l u t e ( 6 9 , 7 0 ) : 2 8 8 w h e r e ( O Z U j a n d ( a z u f a r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s b e f o r e a n d a f t e r t h e t r a n s i t i o n i n u n i t s o f l e n g t h . I n t h e d e v e l o p m e n t o f E q u a t i o n [ 6 . 1 9 ] , h o w e v e r , o n - c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s a r e a s s u m e d n e g l i g i b l e w h i l e t h e s o l v e n t f r o n t p a s s e s t h r o u g h t h e s o l u t e z o n e . A s a r e s u l t , E q u a t i o n [ 6 . 1 9 ] p r e d i c t s a l i n e a r c o m p r e s s i o n o r e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e z o n e d u r i n g t h i s t r a n s i t i o n a n d n e g l e c t s a n y a d d i t i o n a l b r o a d e n i n g t h a t m a y o c c u r . F o r b o t h t h e c o m p r e s s i o n a n d e x p a n s i o n c a s e s , t h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o h a v e m i g r a t e d 1 . 0 c m a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e t h e o n l y c o n t r i b u t i o n t o d i s p e r s i o n i s f r o m o n - c o l u m n p r o c e s s e s . T h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e i s a s s u m e d t o b e h a v e a s a d i s t i n c t b o u n d a r y w i t h n o i n t e r m i x i n g , a n d t h i s i n t e r f a c e i s d i r e c t l y b e h i n d t h e s o l u t e z o n e a t t h e s t a r t o f t h e s i m u l a t i o n . T h e s i m u l a t i o n i s t e r m i n a t e d w h e n t h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e i s i m m e d i a t e l y i n f r o n t o f t h e s o l u t e z o n e . S t e p - G r a d i e n t I n c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h C a s e I n t h e s e s i m u l a t i o n s , t h e s o l u t e i s a s s u m e d t o s t a r t w i t h a n i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g e i t h e r 1 . 0 o r 0 . 5 , a n d a f i n a l c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g e i t h e r 1 . 0 o r 5 . 0 . F i g u r e 6 . 1 7 s u m m a r i z e s t h e s e r e s u l t s , w h e r e t h e s o l u t e z o n e p r o f i l e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . I n F i g u r e 6 . 1 7 , t h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n d u e t o a c h a n g e i n t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r e q u a l s 1 . 0 t o 0 . 5 , 5 . 0 1 0 0 . 5 , a n d 5 . 0 t o 1 . 0 , a n d t h e c o l u m n i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n o n t h e t o p o f t h e f i g u r e . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s , w h e r e t h e f i r s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d b e f o r e t h e z o n e h a s e n c o u n t e r e d t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m , a n d t h e f i n a l s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d w h e n t h e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m . I n e a c h o f t h e e x a m p l e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 7 , t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e s h o w s a n i n i t i a l d e c r e a s e a s t h e s o l v e n t f r o n t m i g r a t e s t h r o u g h t h e s o l u t e z o n e . T h e m o v e m e n t o f t h i s s o l v e n t f r o n t i s s e e n e a s i l y i n t h e c e n t e r d i a g r a m , w h e r e t h e s e c o n d a n d t h i r d s o l u t e z o n e p r o f i l e s S h o w a h i g h a m o u n t o f a s y m m e t r y . A s s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 7 , h o w e v e r , t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e h a s a n o n l i n e a r d e p e n d e n c e w i t h d i s t a n c e , c o n t r a r y w i t h t h a t p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 1 9 ] , w h e r e t h e v a r i a n c e i s o b s e r v e d t o i n c r e a s e n e a r t h e e n d o f t h e t r a n s i t i o n . T h i s i n c r e a s e i n v a r i a n c e a r i s e s b e c a u s e o n - c o l u m n b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e c o n t i n u o u s l y e f f e c t i n g t h e s o l u t e z o n e w h i l e t h e s o l v e n t f r o n t i s c o m p r e s s i n g t h e s o l u t e z o n e . C o n s e q u e n t l y , t h e o n s c o i u m n b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e c o u n t e r a c t i n g t h e c o m p r e s s i o n e f f e c t o f t h e s o l v e n t z o n e . F i g u r e 6 . 1 7 2 8 9 I n c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( 0 ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o h a v e m i g r a t e d 1 . 0 c m a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e t h e o n l y c o n t r i b u t i o n t o d i s p e r s i o n i s f r o m o n - c o l u m n p r o c e s s e s . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b m p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l 1 . 0 t o 0 . 5 , 5 . 0 t o 0 . 5 , a n d 5 . 0 t o 1 . 0 , r e s p e c t i v e l y . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N T : 5 0 0 ; K a 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 ' 5 c r r 1 2 / s , a s = 1 . 0 x 1 0 ‘ 5 c m 2 / s ; u = 0 . 1 c h s ; n = 2 0 x 1 0 ‘ 4 c m ; ) 3 . 2 . 0 ; t = 0 . 0 0 0 5 s . — — ) 2 m c ( e c n a i r a V ' 0 . 0 1 0 - 2 9 0 F i g u r e 6 . 1 7 0 . 0 2 0 0 . 0 1 5 - 0 . 0 0 5 ~ 0 . 0 0 0 k = 1 . 0 - > 0 . 5 0 . 0 2 0 0 . 0 1 5 - 0 . 0 1 0 - 0 . 0 0 5 ~ 0 . 0 0 0 0 . 0 2 0 0 . 0 1 5 - 1 0 . 0 1 0 - 0 0 0 5 ‘ k = 5 . 0 - > 1 . 0 0 . 0 0 0 D i s t a n c e ( c m ) 1 . 8 2 . 0 2 . 2 2 9 1 I n F i g u r e 6 . 1 8 , t h e f i n a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s m e a s u r e d , w h e n t h e s o l u t e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m ( t h e f i n a l s o l u t e z o n e p r o f i l e ) , a r e c o m p a r e d w i t h t h o s e p r e d i c t e d b y t h e o r y . T h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s a r e d e t e r m i n e d i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o t h e p r e v i o u s s t u d i e s . I n t h e f i r s t m e t h o d , t h e t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e i n i t i a l v a r i a n c e a n d E q u a t i o n [ 6 . 1 9 ] , w h i c h a s s u m e s t h a t o n - c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s a r e n e g l i g i b l e w h i l e t h e s o l v e n t f r o n t p a s s e s t h r o u g h t h e s o l u t e z o n e . I n t h e s e c o n d m e t h o d , t h e s o l u t e z o n e i s a g a i n d i v i d e d i n t o 5 0 e q u a l l y s p a c e d i n t e r v a l s a n d e a c h p o r t i o n i s a s s u m e d t o u n d e r g o a n a p p r o p r i a t e a m o u n t o f d i s p e r s i o n a n d c o m p r e s s i o n a s t h e s o l v e n t f r o n t e n c o u n t e r s t h e i n d i v i d u a l s o l u t e i n t e r v a l s . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 1 8 , w h e r e t h e e x p e r i m e n t a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e f r o m s i m u l a t i o n i s c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l v a r i a n c e s . i n g e n e r a l , t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e b a s e d o n t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n i s m o r e a c c u r a t e t h a n t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e b a s e d o n t h e f i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . T h i s b e t t e r a g r e e m e n t b e t w e e n t h e v a r i a n c e s a r i s e s b e c a u s e t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n c o n s i d e r s t h e z o n e b r o a d e n i n g d u e t o o n — c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s w h i l e t h e s o l u t e i s s t i l l u n d e r g o i n g t h e t r a n s i t i o n . H o w e v e r , t h e e x p e r i m e n t a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s i n g e n e r a l g r e a t e r t h a n t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b a s e d o n t h e s e c o n d m e t h o d . T h i s d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e v a r i a n c e s i s l i k e l y d u e t o s o l u t e r e e q u i l i b r a t i o n e f f e c t s o c c u r i n g d u r i n g t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e t w o s o l v e n t s y s t e m s . C o n s i d e r f o r e x a m p l e , a n a r r o w s l i c e o f s o l u t e m o l e c u l e s t h a t r e s i d e i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d t h e n e x t s o l v e n t z o n e ( B ) i s I m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s e s o l u t e m o l e c u l e s , a s s h o w n i n t h e f i r s t d i a g r a m i n F i g u r e 6 . 1 9 . A t t h e t i m e p e r i o d w h e n t h e n e x t s o l v e n t z o n e i s i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s e s o l u t e m o l e c u l e s a n d a l l p r e c e d i n g t i m e p e r i o d s , t h e d i s t r i b u t i o n o f s o l u t e m o l e c u l e s a n d t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e a r e d i c t a t e d b y s o l v e n t A , w h e r e t h e n u m b e r o f m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e g r e a t e r t h a n i n s o l v e n t B ( H 3 < H A ) . I n t h e n e x t d i a g r a m i n F i g u r e 6 . 1 9 , t i m e i s i n c r e m e n t e d ( T i m e 2 ) , a n d a l l t h e m o l e c u l e s s t i l l r e s i d e i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , b u t s o l v e n t B i s n o w t h e m o b i l e - p h a s e s o l v e n t . H o w e v e r , a c c o r d i n g t o t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t f o r s o l v e n t B , t h e r e i s a n e x c e s s o f s o l u t e m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . C o n s e q u e n t l y , t o r e e q u i l i b r a t e t o t h e n e w s o l v e n t s y s t e m ( B ) , e a c h m o l e c u l e m u s t d i f f u s e t o t h e m o b i l e p h a s e - s t a t i o n a r y - p h a s e i n t e r f a c e . D u r i n g t h i s r e e q u i l i b r a t i o n t i m e , h o w e v e r , t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e g r a d u a l l y c h a n g i n g f r o m b e i n g d i c t a t e d b y s o l v e n t A t o b e i n g d i c t a t e d b y s o l v e n t B . T h i s g r a d u a l c h a n g e i s i l l u s t r a t e d i n t h e l o w e r d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 1 9 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n t o g r a d u a l l y d e c r e a s e c h a n g e f r o m H A t o H 3 . F i n a l l y , a f t e r r e e q u i l i b r a t i o n i s a c h i e v e d ( T i m e 4 ) t h e F i g u r e 6 . 1 8 2 9 2 I n c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s w h e n t h e s o l u t e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m ( l a s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 1 7 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e = l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n = m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . m c ( e c n a i r a V 5 . 5 . 0 0 > — 0 . 1 = k ) — 0 . 5 : k 0 . 1 ) - — 0 . 5 = k 0 0 0 4 2 ) 0 0 0 8 r 0 . 0 1 2 F i g u r e 6 . 1 8 2 9 3 2 9 4 F i g u r e 6 . 1 9 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f i n c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h ( A t o B ) , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o d e c r e a s e g r a d u a l l y c h a n g e f r o m H A t o H 3 . I . . . . I l . . . . “ M P p . m a u S “ I . . 0 . ' ' I u e h . P m y u p n o o a i n I S c a M e l b o N o - t i P e i b o M e m i T e c a n e m A " < m e v l o 3 S H - m e v l o S 2 9 5 F i g u r e 6 . 1 9 . . q — 2 9 6 d i s t r i b u t i o n o f s o l u t e m o l e c u l e s a n d t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e a r e d i c t a t e d b y s o l v e n t B . I n a d d i t i o n , t h i s d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e v a r i a n c e s i s e x p e c t e d t o h a v e a l a r g e r r e l a t i v e m a g n i t u d e a s t h e t r a n s i t i o n t h r o u g h t h e e n t i r e s o l u t e z o n e t a k e s a l o n g e r t i m e p e r i o d t o c o m p l e t e . F o r e x a m p l e , i f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s i n e i t h e r s o l v e n t s y s t e m a r e n e a r l y i d e n t i c a l , t h e n a l o n g e r t i m e p e r i o d i s r e q u i r e d f o r t h e n e x t s o l v e n t z o n e t o o v e r t a k e t h e s o l u t e z o n e ; c o n s e q u e n t l y , t h e s o l u t e z o n e w i l l g r a d u a l l y r e e q u i l i b r a t e t o t h e n e w s o l v e n t s y s t e m . C o n v e r s e l y , i f t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s d i f f e r s i g n i f i c a n t l y t h e n t h e e n t i r e s o l u t e z o n e i s o v e r t a k e n v e r y r a p i d l y ; c o n s e q u e n t l y , t h e e n t i r e s o l u t e z o n e w i l l , i n g e n e r a l , r a p i d l y r e e q u i l i b r a t e c o m p a r e d t o t h e p r e v i o u s c a s e , i n a d d i t i o n t o b e i n g c o m p r e s s e d s i g n i f i c a n t l y . T h e d i s c r e p a n c i e s s e e n i n F i g u r e 1 6 b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e t h e o r e t i c a l v a r i a n c e s f r o m t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n s h o w g o o d a g r e e m e n t w i t h t h i s h y p o t h e s i s , w h e r e t h e l a r g e s t d e v i a t i o n i s s e e n f o r t h e s o l u t e w h e r e t h e c a p a c i t y f a c t o r s d o n o t d i f f e r s i g n i f i c a m l y b e t w e e n t h e t w o s o l v e n t s y s t e m s ( k = 1 . 0 1 0 k . 0 . 5 ) , a n d t h e s m a l l e s t d e v i a t i o n i s s e e n f o r t h e s o l u t e w h e r e t h e c a p a c i t y f a c t o r s d i f f e r s i g n i f i c a n t l y ( k a 5 . 0 1 0 k = 0 . 5 ) . N e v e r t h e l e s s , t h e g e n e r a l a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s i s g o o d , w h e r e a m i n o r d e c r e a s e i n s o l u t e z o n e v a r i a n c e o c c u r s f o r i n i t i a l a n d f i n a l c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 1 . 0 a n d 0 . 5 , a m o d e r a t e d e c r e a s e f o r c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 5 . 0 a n d 1 . 0 , a n d t h e m a j o r d e c r e a s e i n s o l u t e z o n e v a r i a n c e f o r c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 5 . 0 a n d 0 . 5 , a s p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 1 9 ] . S t e p - G r a d i e n t D e c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h C a s e I n t h e s e s i m u l a t i o n s , t h e s o l u t e i s a s s u m e d t o s t a r t w i t h a n i n i t i a l c a p a c i t y f a c t o r e q u a l l i n g e i t h e r 0 . 5 o r 1 . 0 a n d a f i n a l c a p a c i t y f a c t o r o f e i t h e r 5 . 0 o r 1 . 0 . F i g u r e 6 . 2 0 s u m m a r i z e s t h e s e r e s u l t s , w h e r e t h e s o l v e n t z o n e p r o f i l e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f m e a n p o s i t i o n . I n F i g u r e 6 . 2 0 , t h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n d u e t o a c h a n g e i n t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r e q u a l s 0 . 5 t o 1 . 0 , 0 . 5 t o 5 . 0 , a n d 1 . 0 t o 5 . 0 , a n d t h e c o l u m n i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n o n t h e t o p o f t h e f i g u r e . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s , w h e r e t h e f i r s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d b e f o r e t h e z o n e h a s e n c o u n t e r e d t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m , a n d t h e f i n a l s o l u t e z o n e p r o f i l e i s s a m p l e d w h e n t h e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m . I n e a c h o f t h e e x a m p l e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 0 , t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e s h o w s a n o n l i n e a r i n c r e a s e a s t h e s o l v e n t f r o n t m i g r a t e s t h r o u g h t h e s o l u t e z o n e . A g a i n , t h e m o v e m e n t o f t h i s s o l v e n t f r o n t i s s e e n e a s i l y i n t h e c e n t e r d i a g r a m , w h e r e v e r y a n o m a l o u s p r o f i l e s a r e s h o w n f o r t h e t h i r d a n d f o u r t h s o l u t e z o n e s . A g a i n , t h i s n o n l i n e a r i n c r e a s e F i g u r e 6 . 2 0 2 9 7 D e c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . S o l u t e z o n e p r o f i l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i s t i c a l v a r i a n c e ( e ) o f t h e s o l u t e z o n e a r e s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e m e a n p o s i t i o n . T h e s o l u t e z o n e i s a s s u m e d t o h a v e m i g r a t e d 1 . 0 c m a l o n g t h e c o l u m n , w h e r e t h e o n l y c o n t r i b u t i o n t o d i s p e r s i o n i s f r o m o n - c o l u m n p r o c e s s e s . T h e t o p , c e n t e r , a n d b o t t o m d i a g r a m s d e p i c t a s o l u t e t h a t u n d e r g o e s a n a b r u p t c h a n g e i n r e t e n t i o n , w h e r e t h e i n i t i a l a n d f i n a l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l 0 . 5 t o 1 . 0 , 0 . 5 t o 5 . 0 , a n d 1 . 0 t o 5 . 0 , r e s p e c t i v e l y . I n e a c h e x a m p l e , t h e s o l u t e z o n e i s e x a m i n e d a t p e r i o d i c t i m e i n t e r v a l s . S i m u l a t i o n c o n d i t i o n s : N 1 : 5 0 0 ; K = 1 . 0 , 2 . 0 , 1 0 . 0 ; D M = 1 . 0 x 1 0 ' 5 c r r 1 2 / s , D s = 1 . 0 x 1 0 - 6 c m Z / s ; u = 0 . 1 c h s ; n = 2 0 x 1 0 ' 4 c m ; ) 3 . 2 . 0 ; t = 0 . 0 0 0 5 s . — h ) 2 m c ( e c n a i r a V 2 9 8 F i g u r e 6 . 2 0 0 . 1 0 0 . 0 8 - 1 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 - 0 . 0 0 k = 0 . 5 — > 1 . 0 0 . 1 0 0 . 0 8 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 — 0 . 0 0 - 0 . 1 0 k = 0 . 5 + 5 . 0 0 . 0 8 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 - k = 1 . 0 - > 0 . 5 0 . 0 0 0 . 6 l 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 . 0 2 . 2 2 . 4 2 . 6 D i s t a n c e ( c m ) 2 . 8 2 9 9 i n t h e s o l u t e z o n e v a r i a n c e o c c u r s b e c a u s e o n - c o l u m n d i s p e r s i o n p r o c e s s e s a r e c o n t i n u o u s l y b r o a d e n i n g t h e s o l u t e z o n e w h i l e t h e s o l v e n t f r o n t i s f u r t h e r e x p a n d i n g t h e s o l u t e z o n e . I n F i g u r e 6 . 2 1 , t h e f i n a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e s m e a s u r e d , w h e n t h e s o l u t e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m ( t h e f i n a l s o l u t e z o n e p r o f i l e ) , a r e c o m p a r e d w i t h t h o s e p r e d i c t e d b y t h e o r y . A g a i n , t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s a r e d e t e r m i n e d i n t h e t w o m a n n e r s p r e v i o u s l y d e s c r i b e d . T h e s e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n F i g u r e 6 . 2 1 , w h e r e t h e e x p e r i m e n t a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l v a r i a n c e s . I n g e n e r a l , b e t t e r a g r e e m e n t i s s e e n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e b a s e d o n t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n t h a n t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e b a s e d o n t h e f i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . I n g e n e r a l , t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l v a r i a n c e s a r e w i t h i n e x p e r i m e n t a l e r r o r . H o w e v e r , c o m p a r e d t o t h e i n c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h s t u d y , t h e e x p e r i m e n t a l s o l u t e z o n e v a r i a n c e i s e x p e c t e d t o b e s l i g h t l y l e s s t h a n t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d b a s e d o n t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . A g a i n , t h i s d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e v a r i a n c e s i s l i k e l y d u e t o s o l u t e r e e q u i l i b r a t i o n e f f e c t s o c c u r i n g d u r i n g t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e t w o s o l v e n t s y s t e m s . C o n s i d e r f o r e x a m p l e , a n a r r o w s l i c e o f s o l u t e m o l e c u l e s t h a t r e s i d e i n t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e s a n d t h e n e x t s o l v e n t z o n e ( A ) i s i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s e s o l u t e m o l e c u l e s , a s s h o w n i n t h e f i r s t d i a g r a m i n F i g u r e 6 . 2 2 . A t t h e t i m e p e r i o d w h e n t h e n e x t s o l v e n t z o n e i s i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s e s o l u t e m o l e c u l e s a n d a l l p r e c e d i n g t i m e p e r i o d s , t h e d i s t r i b u t i o n o f s o l u t e m o l e c u l e s a n d t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e a r e d i c t a t e d b y s o l v e n t B , w h e r e t h e n u m b e r o f m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e s m a l l e r c o m p a r e d t o t h o s e i n s o l v e n t A ( H A > H 3 ) . I n t h e n e x t d i a g r a m i n F i g u r e 6 . 2 2 , t i m e i s i n c r e m e n t e d ( T i m e 2 ) , a n d a l l t h e m o l e c u l e s s t i l l r e s i d e i n t h e i r s a m e g e n e r a l l o c a t i o n , b u t s o l v e n t A i s n o w t h e m o b i l e - p h a s e s o l v e n t . A c c o r d i n g t o t h e p a r t i t i o n c o e f f i c i e n t f o r s o l v e n t A , t h e r e i s a d e f i c i e n c y o f s o l u t e m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . C o n s e q u e n t l y , t h e s y s t e m w i l l r e e q u i l i b r a t e t o t h e n e w s o l v e n t s y s t e m ( A ) , a n d d u r i n g t h i s r e e q u i l i b r a t i o n t i m e t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s a r e g r a d u a l l y c h a n g i n g f r o m b e i n g d i c t a t e d b y s o l v e n t B t o b e i n g d i c t a t e d b y s o l v e n t A . T h i s g r a d u a l c h a n g e i s i l l u s t r a t e d i n t h e l o w e r d i a g r a m o f F i g u r e 6 . 2 2 , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n t o g r a d u a l l y i n c r e a s e f r o m H A t o H 3 . F i n a l l y , a f t e r r e e q u i l i b r a t i o n i s a c h i e v e d ( T i m e 4 ) t h e d i s t r i b u t i o n o f s o l u t e m o l e c u l e s a n d t h e b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e a r e d i c t a t e d b y s o l v e n t A . T h e d e v i a t i o n s s e e n i n F i g u r e 6 . 2 1 b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e t h e o r e t i c a l v a r i a n c e s f r o m t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a g a i n s h o w g o o d a g r e e m e n t w i t h t h i s h y p o t h e s i s . N e v e r t h e l e s s , t h e g e n e r a l a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t e z o n e F i g u r e 6 . 2 1 3 0 0 D e c r e a s e i n S o l v e n t S t r e n g t h . C o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d s o l u t e z o n e v a r i a n c e w i t h t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s w h e n t h e s o l u t e z o n e i s e n t i r e l y w i t h i n t h e n e x t s o l v e n t s y s t e m ( l a s t s o l u t e z o n e p r o f i l e i n F i g u r e 6 . 2 0 ) . E x p e r i m e n t a l v a r i a n c e = l i g h t g r a y , F i r s t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a d a r k g r a y , S e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n . m e d i u m g r a y . S e e t e x t f o r e x p l a n a t i o n s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d m e t h o d s o f c a l c u l a t i o n . 9 0 . 0 ) 2 m c ( e c n a i r a V 0 . 1 0 0 . . 5 5 ) ) — 5 . 0 = k — 5 . 0 ) — 0 . 1 : = k k F i g u r e 6 . 2 1 3 0 1 3 0 2 F i g u r e 6 . 2 2 S c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f d e c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h ( B t o A ) , w h e r e t h e p l a t e h e i g h t ( H ) i s s h o w n t o i n c r e a s e g r a d u a l l y c h a n g e f r o m H 3 t o H A . 3 ” W O “ I U I 9 H m < o V s H w w s m m V " 0 4 1 0 s I i e 0 . g . . . . . . I I m e m m e W ” W a l u ” I l l - r i u l 9 l o s l H M u < l e ' s H - m I I e . . i . e . . . . I l . c s W " N v M d c I m " n s a p . o n i s 3 0 3 F i g u r e 6 . 2 2 3 0 4 v a r i a n c e s i s e x c e l l e n t , w h e r e a m i n o r i n c r e a s e i n s o l u t e z o n e v a r i a n c e o c c u r s f o r i n i t i a l a n d f i n a l c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 0 . 5 a n d 1 . 0 , a m o d e r a t e i n c r e a s e f o r c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 1 . 0 a n d 5 . 0 , a n d t h e m a j o r i n c r e a s e i n s o l u t e z o n e v a r i a n c e f o r c a p a c i t y f a c t o r s e q u a l l i n g 0 . 5 a n d 5 . 0 , a s p r e d i c t e d b y E q u a t i o n [ 6 . 1 9 ] . S u m m a r y I n t h i s s t u d y , t w o s i t u a t i o n s a r e e x a m i n e d w h e r e a n a b r u p t c h a n g e i n s o l u t e r e t e n t i o n o c c u r s f o r a c o n t i n u a l l y m o v i n g i n t e r f a c e . T h e s e t w o c a s e s a r e a s t e p - i n c r e a s e a n d a s t e p - d e c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h d u r i n g a s e p a r a t i o n . F o r t h e s t e p - i n c r e a s e i n s o l v e n t s t r e n g t h c a s e , a s i g n i f i c a n t c o m p r e s s i o n o f t h e s o l u t e z o n e o c c u r s b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s m i g r a t e f r o m a m o r e r e t a i n e d e n v i r o n m e n t t o a l e s s r e t a i n e d e n v i r o n m e n t . I n g e n e r a l , g o o d a g r e e m e n t i s s h o w n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a l l t h r e e e x a m p l e s , a l t h o u g h b e t t e r a g r e e m e n t i s s e e n w h e n u s i n g t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n f o r t h e z o n e v a r i a n c e . H o w e v e r , t h e e f f e c t o f s o l u t e e q u i l i b r a t i o n i s s t i l l s e e n t o a f f e c t t h e o v e r a l l b r o a d e n i n g o f a s o l u t e z o n e , w h e r e t h e e x p e r i m e n t a l v a r i a n c e s f r o m s i m u l a t i o n a r e s l i g h t l y g r e a t e r t h a n p r e d i c t e d b y t h e o r y . F o r t h e s t e p - d e c r e a s e , a s i g n i f i c a n t e x p a n s i o n o f t h e s o l u t e z o n e o c c u r s b e c a u s e t h e s o l u t e m o l e c u l e s m i g r a t e f r o m a l e s s r e t a i n e d e n v i r o n m e n t t o a m o r e r e t a i n e d e n v i r o n m e n t . A g a i n , g o o d a g r e e m e n t i s s h o w n b e t W e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d a n d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a r i a n c e s f o r a l l t h e t h r e e e x a m p l e s , w h e r e b e t t e r a g r e e m e n t i s s t i l l s e e n w h e n u s i n g t h e s e c o n d m e t h o d o f c a l c u l a t i o n f o r t h e z o n e v a r i a n c e . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t e i t h e r o f t h e s e t w o c a s e s w o u l d b e e x t r e m e l y d i f f i c u l t t o e x a m i n e i n a p h y s i c a l s y s t e m b e c a u s e t h e s o l v e n t - s o l v e n t i n t e r f a c e i s c o n t i n u a l l y m o v i n g t h r o u g h t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n . C o n s e q u e n t l y , t h i s s t u d y d e m o n s t r a t e s o n e o f t h e i m p o r t a n t b e n e f i t s o f p e r f o r m i n g c o m p u t e r s i m u l a t i o n s , t h a t i s t o p e r f o r m e x p e r i m e n t s t h a t a r e n o t a l w a y s p o s s i b l e o n a p h y s i c a l s y s t e m . C O N C L U S I O N S T h i s c o m p u t e r s i m u l a t i o n o f c h r o m a t o g r a p h i c p r o c e s s e s p r o v i d e s u s e f u l i n s i g h t i n t o t h e m o l e c u l a r d y n a m i c s d u r i n g a s e p a r a t i o n t h a t w o u l d o t h e r w i s e b e v e r y d i f f i c u l t t o o b t a i n f r o m p h y s i c a l e x p e r i m e n t s . A s a r e s u l t , t h i s c o m p u t e r p r o g r a m a l l o w s a d e t a i l e d s t u d y o f t h e v a r i o u s p a r a m e t e r s t h a t i n f l u e n c e s o l u t e z o n e b r o a d e n i n g . F u r t h e r , b e c a u s e t h e p r o g r a m i s e a s i l y m o d i f i e d , a n u m b e r o f c h r o m a t o g r a p h i c s i t u a t i o n s a r e e a s i l y m o d e l l e d . C o n s e q u e n t l y , t h e p o w e r o f t h i s t y p e o f c o m p u t e r s i m u l a t i o n l i e s i n t h e a b i l i t y t o m o n i t o r i n d i v i d u a l m o l e c u l e s a n d m o d e l t h e 3 0 5 d i f f u s i o n , c o n v e c t i o n , a n d r e t e n t i o n p r o c e s s e s d i s c r e t e l y f o r e a c h i n d i v i d u a l m o l e c u l e d u r i n g a s e p a r a t i o n . C u r r e n t l y , t h e m a j o r l i m i t a t i o n f o r p e r f o r m i n g s i m u l a t i o n s i s a h a r d w a r e c o n s t r a i n t . T h e s i m u l a t i o n s n e e d t o b e p e r f o r m e d u s i n g a c o m p u t e r w i t h g r e a t e r c o m p u t a t i o n a l p o w e r . T h i s i n c r e a s e i n c o m p u t a t i o n a l p o w e r w i l l a l l o w a n u m b e r o f o b j e c t i v e s t o b e m e t . F i r s t , a s o l u t e c a n b e s i m u l a t e d t o m i g r a t e a l o n g t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e c o l u m n . S e c o n d , a g r e a t e r n u m b e r o f s o l u t e m o l e c u l e s c o u l d b e s i m u l a t e d , w h i c h w i l l p r o d u c e b e t t e r p r e c i s i o n i n t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s . T h i r d , s m a l l e r c o m p u t a t i o n a l t i m e c o n s t a n t s c a n b e u s e d , w h i c h w i l l p r o d u c e a m o r e r e a l i s t i c p i c t u r e o f m o l e c u l e d i f f u s i o n , c o n v e c t i o n , a n d r e t e n t i o n . I n t e r m s o f c h a n g e s t o t h e a c t u a l c o m p u t e r c o d e , t h e p r o g r a m c o u l d b e r e w r i t t e n u s i n g r e d u c e d v a r i a b l e s w h e r e v e r p o s s i b l e . T h e u s e o f r e d u c e d v a r i a b l e s , w h i c h a r e d i m e n s i o n l e s s v a r i a b l e s , w o u l d a l l o w a m o r e i n t u i t i v e c o n n e c t i o n b e t w e e n m o d e l l i n g g a s a n d l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . F u r t h e r , a d d i t i o n a l m o b i l e - p h a s e f l o w p r o f i l e s c o u l d b e a d d e d a s a n o p t i o n , f o r e x a r m l e , f l o w t h r o u g h a c o i l e d t u b e ( 7 1 ) o r i n g a s - s e g m e n t e d f l o w ( 7 2 ) . T h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s e o f f l o w p r o f i l e s w o u l d l e a d t o a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a s s t r a n s p o r t d y n a m i c s t h a t o c c u r i n s u c h a s y s t e m , a n d t h i s i m p r o v e d u n d e r s t a n d i n g m a y l e a d t o t h e d e s i g n o f c o l u m n s w i t h g r e a t e r s e p a r a t i o n e f f i c i e n c y . I n a d d i t i o n , a r o u t i n e c o u l d b e d e v i s e d t h a t w o u l d m o d e l a s t a t i o n a r y d e t e c t o r . K a r o l h a s s u g g e s t e d t h e s o l u t e z o n e p r o f i l e o b t a i n e d f r o m a s t a t i o n a r y d e t e c t o r c a n b e m o d e l l e d a s a g a m m a d i s t r i b u t i o n ( 7 3 ) . C o n s e q u e n t l y , t h i s c o m p u t e r p r o g r a m a f f o r d s a u n i q u e o p p o r t u n i t y t o t e s t t h i s h y p o t h e s i s . M o r e o v e r , a c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n o f a d s o r p t i o n r e t e n t i o n m e c h a n i s m s c o u l d b e p e r f o r m e d b y p r e s u m i n g t h a t t h e s t a t i o n a r y p h a s e b e h a v e s a s a s o l i d s u r f a c e , w h e r e t h e p r o b a b i l i t y o f r e t e n t i o n i s a f u n c t i o n o f a n e n e r g y o f a d s o r p t i o n / d e s o r p t i o n . F i n a l l y , m o d i f i c a t i o n s c o u l d b e m a d e t o t h e c o m p u t e r p r o g r a m t o m o d e l m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n ( C h a p t e r 7 ) a n d t o m o d e l a n d s i m u l a t e a m i x e d r e g i o n b e t w e e n a d j a c e n t s o l v e n t z o n e s . T h e s e t y p e s o f e x p e r i m e n t s a l l o w a g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g t h e p r o c e s s e s i n v o l v e d d u r i n g a s e p a r a t i o n . C o n s e q u e n t l y , b e t t e r p h y s i c a l e x p e r i m e n t a l d e s i g n m a y r e s u l t b e c a u s e t h e t r i a l - a n d - e r r o r a p p r o a c h f o r e x p e r i m e n t a l r e d e s i g n c o u l d b e p e r f o r m e d u s i n g a c o m p u t e r s i m u l a t i o n . 3 0 6 A p p e n d i x 6 . 1 T h r e e - D i m e n s i o n a l R a n d o m W a l k C o m p u t e r P r o g r a m P r o g r a m N a m e : W o r k s _ m . f o r ; 1 2 W r i t t e n b y : J o n H . W a h l D I S C L A I M E R T h e a u t h o r m a k e s n o w a r r a n t i e s , e x p r e s s o r i m p l i e d , t h a t t h e p r o g r a m s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r a r e f r e e o f e r r o r , o r a r e c o n s i s t e n t w i t h a n y p a r t i c u l a r s t a n d a r d o f m e r c h a n t a b i l i t y , o r t h a t t h e y w i l l m e e t y o u r r e q u i r e m e n t s f o r a n y p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h e y s h o u l d n o t b e r e l i e d o n f o r s o l v i n g a p r o b l e m w h o s e i n c o r r e c t s o l u t i o n c o u l d r e s u l t i n i n j u r y t o a p e r s o n o r l o s s o f p r o p e r t y . I f y o u d o u s e t h e p r o g r a m s i n s u c h a m a n n e r , i t i s a t y o u r o w n r i s k . T h e a u t h o r d i s c l a i m s a l l l i a b i l i t y f o r d i r e c t o r c o n s e q u e n t i a l d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m y o u r u s e o f t h e p r o g r a m s . T h e a u t h o r p r e s u m e s t h a t t h e u s e r i s a b l e t o r e a d c o m p u t e r p r o g r a m s w r i t t e n i n F O R T R A N a n d h a s a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e F O R T R A N p r o g r a m m i n g l a n g u a g e ' . T h e s e p r o v i s i o n s a r e a p r e r e q u i s i t e t o u s e o r m o d i f y t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n p r o g r a m ; h o w e v e r , i f p r o b l e m s d o a r i s e t h e n e i t h e r e x a m i n e t h e s o u r c e c o d e o r r e w r i t e t h e p r o g r a m , d o n o t c o n t a c t t h e a u t h o r . P r o g r a m D e s c r i p t i o n T h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n p r o g r a m i s w r i t t e n i n t h e F O R T R A N 7 7 l a n g u a g e . A g e n e r a l d e s c r i p t i o n o f t h e o r g a n i z a t i o n o f t h e p r o g r a m i s g i v e n b e l o w , a n d a c o p y o f t h e p r o g r a m i s g i v e n f o l l o w i n g t h e s e d i s c u s s i o n s . I n g e n e r a l , t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n p r o g r a m i s d i v i d e d ' N o t e : T h e l i n e n u m b e r s l i s t e d a l o n g t h e l e f t m a r g i n a r e n o t p a r t o f t h e a c t u a l p r o g r a m a n d a r e o n l y l i s t e d a s a r e f e r e n c e t o i n d i v i d u a l l i n e s o f c o d e . A l l c o m m e n t l i n e s a r e d e n o t e d b y a n a s t e r i s k s y m b o l ( 1 ) i n c o l u m n o n e a n d a l l c o n t i n u a t i o n m a r k e r s a r e d e n o t e d b y a n a m p e r s a n d s y m b o l ( 8 . ) i n c o l u m n s i x , i n t e m i s o f t h e F O R T R A N l a n g u a g e . 3 0 7 i n t o n i n e p a r t s : t h e m a i n p r o g r a m , t w e l v e u s e r - d e f i n e d s u b r o u t i n e s , a n d t w o u s e r - d e f i n e d f u n c t i o n s u b p r o g r a m s . E a c h o f t h e s e p a r t s i s b r i e f l y d i s c u s s e d b e l o w a n d r e f e r e n c e d t o t h e e n c l o s e d c o p y o f t h e p r o g r a m u s i n g l i n e n u m b e r s . M A I N P R O G R A M ( L i n e s 1 - 9 2 8 ) I n g e n e r a l t h e m a i n p r o g r a m c o n t r o l s d a t a e n t r y i n t o t h e p r o g r a m , c a l c u l a t e s t h e i n i t i a l s t a r t i n g c o n d i t i o n s , a n d m a i n t a i n s t h e r u n n i n g r e c o r d o f t h e m o l e c u l e s . T w o e x a m p l e s o f t h e d a t a e n t r y s t y l e a r e s h o w n b e l o w , w h e r e t h e f i r s t e x a m p l e i l l u s t r a t e s a o n e - s o l v e n t , o n e - s o l u t e p r o b l e m a n d t h e s e c o n d e x a r r p l e i l l u s t r a t e s a t w o - s o l v e n t , o n e - s o l u t e p r o b l e m . E x a m p l e 1 S R U N W O R K S _ M E N T E R O U T P U T F I L E N A M E T E S T E N T E R O U T P U T F I L E N A M E T E S T S T E A L T H T O D A Y ' S D A T E I S 3 - M A R - 9 1 N O . O F S O L V E N T S - - 3 M A X . , I N T E G E R 1 N O . O F S O L U T E S - - 1 0 M A X . , I N T E G E R 1 N O . O F M O L E C U L E S F O R S O L U T E 1 , I N T E G E R 1 0 0 T Y P E I N P A R T I T I O N C O E F . K A - - E . G . 3 . 0 , R E A L 1 . T Y P E I N D I F F . C O E F . - - E . G . 1 . E - 5 C M 2 / S E C , R E A L 1 . E - 5 E N T E R A N O V E R A L L S T A T . P H A S E D I F F . C O E F . , R E A L 1 . E - 6 T U B E O U T E R R A D I U S , C M ( E . G . 0 . 0 4 ) , R E A L 2 0 . E - 4 E N T E R T H E S . P . F I L M T H I C K N E S S - - C M . , R E A L 1 . E - 4 E N T E R S A M P L E S I Z E , U L ( M I C R O L I T E R ) , R E A L . 0 0 1 E N T E R S P L I T R A T I O - - S A Y 6 5 . 0 0 , R E A L 2 7 0 0 0 . D O Y O U W I S H H Y P E R - S P E E D ? 1 = N O , 2 = Y E S , I N T E G E R I M E A N L I N E A R V E L O C I T Y , C M / S E C , E G . 1 . 0 0 , R E A L . 0 1 E N T E R C O L U M N L E N G T H - - M E T E R , R E A L 1 . T I M E C O N S T A N T ? - - 1 . 0 S E C , R E A L . 0 0 0 5 N O . O F C Y C L E S - - S T A N D A R D 3 0 , I N T E G E R 1 0 0 0 N U M B E R O F B I N S F O R P E A K - S A M P L I N G F R E Q U E N C Y * 1 0 - - M A X . 5 0 . 0 , R E A L E x a m p l e 2 3 0 8 5 . N U M B E R O F R I N G S - - M A X . 1 0 . 0 , R E A L 5 . H O W O F T E N W I L L D A T A B E P R I N T E D ? 1 0 . 0 , R E A L 1 0 0 0 . D O Y O U W I S H T O S W I T C H S T A T I O N A R Y D E T E C T O R O N ? 1 = O F F , 2 = O N , I N T E G E R 1 5 r u n W O R K S _ M E N T E R O U T P U T F I L E N A M E C o m p r e s s _ k 5 _ 1 _ u 0 1 _ e x E N T E R O U T P U T F I L E N A M E C o m p r e s s _ k 5 _ 1 _ u 0 1 _ e x S T E A L T H T O D A Y ' S D A T E I S 2 5 - F E B - 9 0 N O . O F S O L V E N T S - - 3 M A X . , I N T E G E R 2 N O . O F S O L U T E S - - 1 0 M A X . , I N T E G E R 1 N O . O F M O L E C U L E S F O R S O L U T E 1 , I N T E G E R 5 0 0 T Y P E I N P A R T I T I O N C O E F . S K A A N D K B F O R S O L U T E 1 1 0 . , 2 . T Y P E D I F F . C O E F . S F O R S O L U T E - - C M Z / S E C 1 1 . E - 5 , l . E - 5 D O Y O U W I S H S O L V E N T M O D U L A T I O N O V E R R I D E ? l = N O , 2 = Y E S 2 E N T E R T H E F R O N T S B A C K O F 4 S O L V E N T Z O N E S E N T E R S O L V E N T A Z O N E N O . 1 5 . 5 , - . 3 8 4 E N T E R S O L V E N T B Z O N E N O . 1 - . 3 8 4 , - 1 6 . E N T E R S O L V E N T A Z O N E N O . 2 - 1 6 . , - 1 6 . 1 E N T E R S O L V E N T B Z O N E N O . 2 - 1 6 . 1 , - 1 6 . 2 E N T E R A N O V E R A L L S T A T . P H A S E D I F F . C O E F . , R E A L 1 . E - 6 T U B E O U T E R R A D I U S , C M ( E . G . 0 . 0 4 ) , R E A L 2 4 . 4 9 4 9 E - 4 E N T E R T H E S . P . F I L M T H I C K N E S S - - C M . , R E A L 4 . 4 9 4 9 E - 4 E N T E R S A M P L E S I Z E , U L ( M I C R O L I T E R ) , R E A L . 0 0 1 E N T E R S P L I T R A T I O - - S A Y 6 5 . 0 0 , R E A L 2 7 0 0 0 . D O Y O U W I S H H Y P E R - S P E E D ? 1 = N O , 2 = Y E S , I N T E G E R 2 * ‘ k i ‘ i ’ i ‘ i i ’ W A R N I N G ! ! ! * * * * * * * * * E N T E R I N G S G M W O R L D , S O L U T E A L W A Y S A T Z E R O E N T E R H Y P O T H E T I C A L H Y P E R - D I S T A N C E ( C M ) , R E A L 1 . E N T E R H Y P O T H E T I C A L H Y P E R - P L A T E H E I G H T ( C M ) , R E A L 1 . 6 3 4 E - 2 M E A N L I N E A R V E L O C I T Y , C M / S E C , E G . 1 . 0 0 , R E A L 0 . 1 E N T E R C O L U M N L E N G T H - - M E T E R , R E A L 3 0 9 1 . T I M E C O N S T A N T ? - - 1 . 0 S E C , R E A L . 0 0 0 5 N O . O F C Y C L E S - - S T A N D A R D 3 0 , I N T E G E R 1 8 4 0 6 N U M B E R O F B I N S F O R P E A K - S A M P L I N G F R E Q U E N C Y * 1 0 - - M A X . 5 0 . 0 , R E A L 1 0 . N U M B E R O F R I N G S - - M A X . 1 0 . 0 , R E A L 2 . H O W O F T E N W I L L D A T A B E P R I N T E D ? 1 0 . 0 , R E A L 1 8 4 0 6 . M O B P H S U B R O U T I N E ( L l n e s 9 2 9 - 1 0 7 7 ) T h i s s u b r o u t i n e c a l c u l a t e s t h e d i f f u s i o n - c o n v e c t i o n s t e p f o r m o l e c u l e s i n t h e m o b i l e p h a s e . T h e m o l e c u l e i s a s s u m e d t o u n d e r g o a n “ e l a s t i c b o u n c e ” w h e n t h e m o l e c u l e i n t e r s e c t s a b o u n d a r y . S T A T P H S U B R O U T I N E ( L i n e s 1 0 7 8 - 1 2 8 7 ) T h i s s u b r o u t i n e c a l c u l a t e s t h e d i f f u s i o n s t e p f o r m o l e c u l e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . T h e m o l e c u l e i s a s s u m e d t o u n d e r g o a n “ e l a s t i c b o u n c e ” w h e n t h e m o l e c u l e i n t e r s e c t s a b o u n d a r y . S O L V E T S U B R O U T I N E ( L i n e s 1 2 8 8 - 1 3 6 1 ) T h i s s u b r o u t i n e c a l c u l a t e s t h e f r o n t a n d b a c k p o s i t i o n o f a s e r i e s o f s o l v e n t z o n e s , w h e n a m u m - s o l v e n t e x p e r i m e n t i s p e r f o r m e d . O U A D S U B R O U T I N E ( L i n e s 1 3 6 2 - 1 4 6 0 ) T h i s s u b r o u t i n e c a l c u l a t e s t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n ( X , Y , Z ) b e t w e e n a d i f f u s i o n s t e p ( a s t r a i g h t l i n e ) a n d a m o b i l e - p h a s e o r s t a t i o n a r y - p h a s e b o u n d a r y ( a c i r c l e ) . T o d e t e r m i n e t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n , t h e e q u a t i o n o f a l i n e i s : x - o w x = Y - O L D Y g Z - O L D Z ( N E W X - O L D X ) ( N E W Y - O L D Y ) ( N E W Z - 0 1 . 0 2 ) l 6 - 1 A . 1 l w h e r e i n t e r m s o f X : X - O L D X . ( N _ a u x ) ( N E W Y - O L D Y ) + O L D Y [ 6 , 1 / 5 . 2 1 3 1 0 X - a D X . . ( N - O L D X ) ( N E W Z - O L D Z ) + O L D Z [ 6 . 1 A . 3 ] a n d t h e e m a t i o n o f a c i r c l e i s : H Z = - x 2 + Y 2 [ 6 . 1 A . 4 ] U p o n s u b s t i t u t i o n o f E q u a t i o n [ 6 . 1 A . 2 ] i n t o E q u a t i o n [ 6 . 1 A . 4 ] , i t f o l l o w s t h a t : X 2 [ 1 + A Y Z ] + A X 2 2 2 ( fl j o w Y - 2 A l ’ — O L D X + A X A X 2 2 o r . o n L - 2 0 L 0 x ( é X ) o w n G u a v a - n ? . . o [ 6 . 1 A . 5 ] M 2 A X w h e r e A ? r e p r e s e n t s ( N E W ? - O L D ? ) . C o n s e q u e n t l y , X i s s o l v e d u s i n g t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n a n d Y a n d Z a r e s o l v e d f r o m E q u a t i o n s [ 6 . 1 A . 2 ] a n d [ 6 . 1 A . 3 ] . R A N D O M F U N C T I O N ( L l n e s 1 4 6 1 - 1 5 0 0 ) T h e R A N D O M F U N C T I O N i s a r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r , w h i c h r e t u r n s a r a n d o m d e v i a t e b e t w e e n 0 . 0 a n d 1 . 0 , a n d i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 . F o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s f u n c t i o n s e e r e f e r e n c e 5 8 , R A N 8 . G A S D E V F U N C T I O N ( L l n e s 1 5 0 1 - 1 5 2 2 ) T h e G A S D E V F U N C T I O N i s a r a n d o m G a u s s i a n n u m b e r g e n e r a t o r , w h i c h r e t u r n s a n o r m a l l y d i s t r i b u t e d d e v i a t e w i t h z e r o m e a n a n d u n i t v a r i a n c e a n d u s e s R A N D O M a s t h e s o u r c e o f u n i f o r m d e v i a t e s , a n d i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 . F o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s f u n c t i o n s e e r e f e r e n c e 5 8 . O P E N I O S U B R O U T I N E ( L l n e s 1 5 2 3 - 1 5 4 9 ) T h i s i s s i m p l e r o u t i n e t h a t o p e n s a f i l e f o r t h e o u t p u t f r o m t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n p r o g r a m . 3 1 1 M U L S U B R O U T I N E ( L i n e s 1 5 5 0 - 1 5 6 5 ) T h i s i s s i m p l e r o u t i n e t h a t o p e n s a f i l e f o r t h e o u t p u t f r o m t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n p r o g r a m . D A T A S U B R O U T I N E ( L l n e s 1 5 6 6 - 1 9 0 9 ) T h i s r o u t i n e r e c o r d s t h e r e s u l t s o b t a i n e d d u r i n g t h e s i m u l a t i o n . T w o e x a m p l e s o f t h e d a t a o u t p u t s t y l e a r e s h o w n b e l o w , w h e r e t h e f i r s t e x a m p l e c o r r e s p o n d s t o E x a m p l e 1 s h o w n p r e v i o u s l y , a n d t h e s e c o n d e x a m p l e c o r r e s p o n d s t o E x a m p l e 2 s h o w n p r e v i o u s l y . E x a m p l e 1 N U M B E R O F M O L E C U L E S : 1 0 0 N U M B E R O F C Y C L E S : 1 0 0 0 T I M E C O N S T A N T : T I M E / C Y C L E : 0 . 5 0 0 0 E - O 3 L I N E A R V E L O C I T Y : 0 . 1 0 0 0 E - 0 1 C M / S E C S A M P L E S I Z E : 0 . 3 7 0 4 E - 1 0 M L T U B E O U T E R R A D I U S : 0 . 2 0 0 0 E - 0 2 C M T U B E I N N E R R A D I U S : 0 . 1 9 0 0 E - 0 2 C M F I L M T H I C K N E S S : 0 . 1 0 0 0 E - 0 3 C M C O R R . P H A S E R A T I O : 0 . 9 2 5 6 E + 0 1 t ' k t t t t i i i t i ’ t t t i i t * t t t i ‘ t fi ' i i * i i t t t i t t i i i i t t t t i A F T E R 0 . 0 0 0 S I M S E C S S A M P L E I S B E T W E E N 0 . 0 0 0 C M A N D 0 . 0 0 0 C M T H E X - Z D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R S E G M E N T 1 . 0 0 2 3 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 2 . 0 0 2 1 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 3 . 0 0 1 3 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 4 . 0 0 1 8 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 5 . 0 0 2 5 M O L E C U L E S T H E X - Y D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R R I N G 1 . 0 0 2 4 M O L E C U L E S F O R R I N G 2 . 0 0 8 M O L E C U L E S F O R R I N G 3 . 0 0 2 6 M O L E C U L E S F O R R I N G 4 . 0 0 3 0 M O L E C U L E S F O R R I N G 5 . 0 0 1 2 M O L E C U L E S 0 S T A T I O N A R Y P H A S E M O L E C U L E S 1 0 0 M O B I L E P H A S E M O L E C U L E S . 0 0 0 0 E + 0 0 R A T I O O F S / M M O L E C U L E S T H E A R E A I S 0 . 6 4 7 2 7 E ’ 0 5 S Q . C M . T H E R E T E N T I O N D I S T A N C E I S 0 . 1 6 3 0 4 E - 0 5 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 1 0 2 4 4 E - 1 1 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S 0 . 1 6 5 8 9 E - 1 9 T H E E X C E S S I S 0 . 1 6 6 4 5 E - 2 3 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 6 2 8 2 8 E - 0 6 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S - 0 . 1 0 0 0 0 E + 0 1 T H E M E D I A N I S 0 . 1 6 6 7 9 E - 0 5 C M . T H E A V E R A G E D I S T A N C E I S 0 . 1 6 3 0 4 E - 0 5 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 1 0 3 8 0 E - 1 1 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S 0 . 1 8 7 9 2 E - 0 1 T H E K U R T O S I S I S ~ 0 . 1 4 3 6 2 E + 0 1 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 6 3 6 6 5 E - 0 6 E x a m p l e 2 3 1 2 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , 1 5 - 0 . 1 0 0 0 0 E + 0 1 t i t t i i i ‘ t i t t t i t i t t t t t t t i i i t i i ' k i i i i t t t i i t i ' t i i i A F T E R 0 . 5 0 0 S I M S E C S S A M P L E I S B E T W E E N - 0 . 0 0 3 C M A N D 0 . 0 1 3 C M T H E X - Z D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R S E G M E N T 1 . 0 0 6 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 2 . 0 0 , 3 0 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 3 . 0 0 3 6 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 4 . 0 0 2 3 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 5 . 0 0 5 M O L E C U L E S T H E X - Y D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R R I N G 1 . 0 0 2 2 M O L E C U L E S F O R R I N G 2 . 0 0 1 1 M O L E C U L E S F O R R I N G 3 . 0 0 2 1 M O L E C U L E S F O R R I N G 4 . 0 0 1 7 M O L E C U L E S F O R R I N G 5 . 0 0 1 7 M O L E C U L E S 1 2 S T A T I O N A R Y P H A S E M O L E C U L E S 8 8 M O B I L E P H A S E M O L E C U L E S . 1 3 6 4 E + 0 0 R A T I O O F S / M M O L E C U L E S T H E A R E A I S 0 . 3 2 3 6 7 E - 0 1 S Q . C M . T H E R E T E N T I O N D I S T A N C E I S 0 . 5 0 5 6 1 E - 0 2 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 1 0 5 6 7 E - 0 4 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S 0 . 7 9 1 2 7 E - 0 8 T H E E X C E S S I S 0 . 3 1 0 9 5 E - 0 9 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 2 0 9 0 0 E - 0 2 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S - 0 . 1 1 0 9 1 E - 0 1 T H E M E D I A N I S 0 . 4 6 6 5 2 E - 0 2 C M . T H E A V E R A G E D I S T A N C E I S 0 . 5 0 5 6 1 E - 0 2 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 1 0 8 0 8 E - 0 4 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S 0 . 2 1 5 8 2 8 + 0 0 T H E K U R T O S I S I S - 0 . 2 7 1 2 7 E + 0 0 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 2 1 3 7 7 E - 0 2 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S - 0 . 1 1 1 0 0 E - 0 1 C U M L A T I V E S T A T . P H . M O L E C U L E S 9 . 3 9 5 0 0 0 C U M L A T I V E M O B . P H . M O L E C U L E S 9 0 . 6 0 5 0 0 R A T I O O F S / M M O L E C U L E S 0 . 1 0 3 6 9 1 9 C U M L A T I V E P L A T E H E I G H T 1 . 9 8 9 2 7 9 7 5 5 8 2 7 7 3 8 0 E - 0 3 T H E O U T P U T F I L E N A M E I S T E S T N U M B E R O F M O L E C U L E S : 5 0 0 N U M B E R O F C Y C L E S : 1 8 4 0 6 T I M E C O N S T A N T : T I M E / C Y C L E : 0 . 5 0 0 0 E - 0 3 L I N E A R V E L O C I T Y : 0 . 1 0 0 0 E + 0 0 C M / S E C S A M P L E S I Z E : 0 . 3 7 0 4 E - 1 0 M L T U B E O U T E R R A D I U S : 0 . 2 4 4 9 E - 0 2 C M ' T U B E I N N E R R A D I U S : 0 . 2 0 0 0 E - 0 2 C M F I L M T H I C K N E S S : 0 . 4 4 9 5 E - 0 3 C M C O R R . P H A S E R A T I O : 0 . 2 0 0 0 E + 0 1 * ‘ k * i i t t t t t t ‘ k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A F T E R 0 . 0 0 0 S I M S E C S S A M P L E I S B E T W E E N - 0 . 3 3 8 C M A N D 0 . 3 8 5 C M T H E X - Z D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R S E G M E N T 1 . 0 0 7 M O L E C U L E S 3 1 3 F O R S E G M E N T 2 . 0 0 2 2 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 3 . 0 0 4 7 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 4 . 0 0 9 4 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 5 . 0 0 1 0 1 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 6 . 0 0 9 6 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 7 . 0 0 7 1 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 8 . 0 0 4 4 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 9 . 0 0 1 5 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 1 0 . 0 0 3 M O L E C U L E S T H E X - Y D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R R I N G 1 . 0 0 4 7 M O L E C U L E S F O R R I N G 2 . 0 0 3 7 M O L E C U L E S 4 1 6 S T A T I O N A R Y P H A S E M O L E C U L E S 8 4 M O B I L E P H A S E M O L E C U L E S . 4 9 5 2 E + 0 1 R A T I O O F S / M M O L E C U L E S T H E A R E A I S 0 . 3 6 1 7 1 E + 0 1 S Q . C M . T H E R E T E N T I O N D I S T A N C E I S 0 . 9 6 5 0 4 E - 0 2 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 1 6 7 1 1 E - 0 1 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S 0 . 5 8 8 0 9 E - 0 5 T H E E X C E S S I S 0 . 7 6 3 1 0 E - 0 3 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 1 7 3 1 7 E + 0 1 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S - 0 . 1 0 0 0 0 E + 0 1 T H E M E D I A N I S 0 . 1 3 3 8 5 E - 0 1 C M . T H E A V E R A G E D I S T A N C E I S 0 . 9 6 5 0 2 E - 0 2 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 1 6 7 2 7 E - 0 1 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S 0 . 3 3 4 2 9 E - 0 2 T H E K U R T O S I S I S - 0 . 2 7 0 3 3 E + 0 0 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 1 7 3 3 3 E + 0 1 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S - 0 . 1 0 0 0 0 E + 0 1 i t i t i i t i i * t i ‘ k t t i t t i t i t t t i i i ’ i fi i t i ‘ k i t i t i t i t t t i A F T E R 9 . 2 0 3 S I M S E C S S A M P L E I S B E T W E E N 0 . 0 2 2 C M A N D 0 . 5 5 6 C M T H E X - Z D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R S E G M E N T 1 . 0 0 8 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 2 . 0 0 1 3 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 3 . 0 0 2 5 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 4 . 0 0 6 1 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 5 . 0 0 9 2 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 6 . 0 0 1 3 0 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 7 . 0 0 7 3 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 8 . 0 0 6 6 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 9 . 0 0 2 6 M O L E C U L E S F O R S E G M E N T 1 0 . 0 0 6 M O L E C U L E S T H E X - Y D I S T R I B U T I O N W A S F O U N D T O B E : F O R R I N G 1 . 0 0 1 3 1 M O L E C U L E S F O R R I N G 2 . 0 0 1 2 5 M O L E C U L E S 2 4 4 S T A T I O N A R Y P H A S E M O L E C U L E S 2 5 6 M O B I L E P H A S E M O L E C U L E S . 9 5 3 1 E + 0 0 R A T I O O F S / M M O L E C U L E S T H E A R E A I S 0 . 2 6 6 9 7 E + 0 1 S Q . C M . T H E R E T E N T I O N D I S T A N C E I S 0 . 3 0 7 9 0 E + O O C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 9 2 4 5 9 E - 0 2 S Q . C M . T H E S K E W N E S S I S - 0 . 1 9 4 3 8 E - 0 3 T H E E X C E S S I S 0 . 2 4 9 2 4 E - 0 3 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 3 0 0 2 9 E - 0 1 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S 0 . 1 9 8 9 O E + 0 1 T H E M E D I A N I S 0 . 3 0 9 3 6 E + 0 0 C M . T H E A V E R A G E D I S T A N C E I S 0 . 3 0 7 9 3 E + 0 0 C M . T H E V A R I A N C E I S 0 . 9 2 8 0 2 E - 0 2 S Q . C M . 3 1 4 T H E S K E W N E S S I S - 0 . 2 1 5 4 2 E + 0 0 T H E K U R T O S I S I S - 0 . 9 8 3 0 3 E - 0 1 T H E P L A T E H E I G H T , H , I S 0 . 3 0 1 3 8 E - 0 1 T H E C A P A C I T Y F A C T O R , k , I S 0 . 1 9 8 8 7 E + 0 1 C U M L A T I V E S T A T . P H . M O L E C U L E S 3 3 7 . 9 2 1 0 C U M L A T I V E M O B . P H . M O L E C U L E S 1 6 2 . 0 7 9 0 R A T I O O F S / M M O L E C U L E S 2 . 0 8 4 9 1 5 T H E O U T P U T F I L E N A M E I S C o m p r e s s _ k 5 _ 1 _ u 0 1 _ e x M O M E N T S U B R O U T I N E ( L l n e s 1 9 1 0 - 1 9 4 9 ) T h i s s u b r o u t i n e c a l c u l a t e s t h e s t a t i s t i c a l m o m e n t s f r o m t h e a c t u a l m o l e c u l a r p o p u l a t i o n . T h i s r o u t i n e i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 a n d f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s s u b r o u t i n e s e e r e f e r e n c e 5 8 . M D I A N 2 S U B R O U T I N E ( L l n e s 1 9 5 0 - 2 0 1 1 ) T h i s s u b r o u t i n e c a l c u l a t e s t h e m e d i a n f r o m t h e a c t u a l m o l e c u l a r p o p u l a t i o n . T h i s r o u t i n e i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 a n d f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s s u b r o u t i n e s e e r e f e r e n c e 5 8 . S M O O F T S U B R O U T I N E ( L l n e s 2 0 1 2 - 2 0 5 9 ) T h i s s u b r o u t i n e g e n e r a t e s a ‘ s m o o t h e d " f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f t h e m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n . T h i s r o u t i n e i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 a n d f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h i s s u b r o u t i n e s e e r e f e r e n c e 5 8 . R E A L F T S U B R O U T I N E ( L l n e s 2 0 6 0 - 2 1 1 1 ) T h i s s u b r o u t i n e i s r e q u i r e d b y t h e S M O O F T S U B R O U T I N E a n d i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 . F O U R 1 S U B R O U T I N E ( L l n e s 2 1 1 2 - 2 1 6 1 ) T h i s s u b r o u t i n e i s r e q u i r e d b y t h e S M O O F T S U B R O U T I N E a n d i s a d a p t e d f r o m r e f e r e n c e 5 8 . 3 1 5 N O T E T h e s o u r c e c o d e f o r t h e p r o g r a m n a m e d W o r k s _ m . f o r ; 1 2 h a s b e e n d e l e t e d f r o m t h i s v e r s i o n o f t h e d i s s e r t a t i o n . F o r a c o p y o f t h e s o u r c e c o d e , t h e r e a d e r s h o u l d c o n t a c t e i t h e r t h e a u t h o r o r D r . V i c t o r i a M c G u f f i n . . 3 s z = ( p o - p L ) A A , [ 6 . 2 A . 3 ] 3 1 6 A p p e n d l x 6 . 2 V e l o c l t y P r o f i l e f o r L a m i n a r F l o w I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , t h e v e l o c i t y p r o f i l e i n t u b e f l o w i s d e v e l o p e d i n a s p e c i f i c m a n n e r u s i n g a f o r c e - m o m e n t u m b a l a n c e a p p r o a c h a n d i n a g e n e r a l m a n n e r u s i n g t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 7 4 ) . T h e v a r i a b l e s u s e d i n t h i s d i s c u s s i o n a r e i d e n t i c a l t o t h o s e u s e d i n r e f e r e n c e 7 4 a n d a r e m a i n t a i n e d f o r c l a r i t y w i t h r e f e r e n c e 7 4 . T h e v e l o c i t y p r o f i l e o b t a i n e d i s i d e n t i c a l f r o m e i t h e r a p p r o a c h , a n d t h e t w o a p p r o a c h e s a r e g i v e n o n l y f o r c o m p l e t e n e s s . F r o m t h e v e l o c i t y p r o f i l e o b t a i n e d , t h e a v e r a g e v e l o c i t y i s d e t e r m i n e d , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e H a g e n - P o i s e u i l l e e q u a fi o n . F i r s t , a t u b e o f l e n g t h , L . a n d r a d i u s , R , i s c o n s i d e r e d . T h e f l u i d f l o w i s i n t h e z d i r e c t i o n a n d t h e r e i s n o n e t a c c e l e r a t i o n o f t h e f l u i d ; c o n s e q u e n t l y , t h e s u m o f t h e f o r c e s a c t i n g i n t h e z d i r e c t i o n i s z e r o . T h e s e f o r c e s a r e c l a s s i f i e d a s v i s c o u s f o r c e s ( A F V Z ) , p r e s s u r e f o r c e s ( A s z ) , a n d b o d y f o r c e s ( A s z ) . s u c h a s g r a v i t a t i o n a l f o r c e s , t h a t a c t t h r o u g h o u t t h e f l u i d . A s a r e s u l t , a f o r c e b a l a n c e i n t h e z d i r e c t i o n i s w r i t t e n a s : A ” - v z 4 ' A " - p 2 1 ' A " - " b z ' - ‘ 0 [ 6 . 2 A . 1 ] F o r a n i n c r e m e n t a l e l e m e n t o f v o l u m e 2 1 : r A r L , t h e s e i n d i v i d u a l f o r c e s a c t i n g u p o n t h i s v o l u m e e l e m e n t a r e e q u a l t o : A F 1 7 2 = O ' r z A r r ' ‘ 7 e r r “ y [ 6 . 2 A . 2 l - p ( 2 1 : M r L ) 9 1 g o A s z [ 6 . 2 A . 4 ] w h e r e r i s a r a d i u s , 0 , ; i s t h e s h e a r s t r e s s , o r ; A , i s t h e t a n g e n t i a l v i s c o u s f o r c e a t r , A , - 2 1 r r L , A A , . 2 1 r r A r , p 0 a n d p L a r e t h e p r e s s u r e s a t z = 0 a n d L , p i s t h e d e n s i t y , 9 2 i s t h e z c o m p o n e n t o f t h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y , a n d y e s i m p l y a u n i t c o n v e r s i o n f a c t o r . C o n s e q u e n t l y , b y s u b s t i t u t i n g E q u a t i o n s [ 6 . 2 A . 2 ] , [ 6 . 2 A . 3 ] , a n d [ 6 . 2 A . 4 ] i n t o E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 ] , i t f o l l o w s t h a t : t a r l r - T r z r l r + A r + g ¢ ( p o - P L ) + s z = 0 3 1 7 0 , 2 ( 2 1 r r L ) I , - d a m n ) I ” A , + ) + p g z ( 2 7 r r A r L ) = 0 ( 0 0 - P L ) ( Z M A I 9 c [ 6 . 2 A . 5 ] E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 5 ] c a n b e c o n v e r t e d t o a m o m e n t u m - b a l a n c e e q u a t i o n b y m u l t i p l i n g b y g c , w h e r e t h e m o m e n t u m f l u x i s 1 , ; - o n y a : 1 , 2 ( 2 1 r r L ) I r ' T a ( 2 1 f f L ) | r + A r + Q c ( P 0 ' P L ) ( 2 ’ ” N ) + M : ( 2 1 m m ) = 0 B y d i v i d i n g E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 6 ] b y 2 1 : r A r L a n d l e t t i n g A r — > 0 : A , _ , o r A , L i t f o l l o w s t h a t t h e f l u x d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s o b t a i n e d : - d ( r r z r ) + g c ( p o - p L ) + p g z L g 0 r d r L b e c a u s e i f _ I i m f ( x + A x ) - f ( x ) d X A X - Q O A X { ( X ) “ " 0 0 = I i m “ x : I i r n A ’ . A x — > O A X A x — ) 0 A x N e x t , E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 8 ] i s r e a r r a n g e d t o : d ( T r z f ) r d ( I ’ M w h e r e t h e q u a n t i t y , ( D M , i s d e f i n e d a s : [ 6 . 2 A . 6 ] [ 6 . 2 A . 7 ] [ 6 . 2 A . 8 ] [ 6 . 2 A . 9 ] 3 1 8 Q c ( P 0 - m ) + p g z L ' L [ 6 . 2 A . 1 0 ] 4 % E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 9 ] h a s t h e p h y s i c a l m e a n i n g t h a t t h e r a t e a t w h i c h m o m e n t u m f l o w s i n t o t h e c o n t r o l v o l u m n i s e q u a l t o t h e r a t e a t w h i c h m o m e n t u m f l o w s o u t o f t h e c o n t r o l v o l u m e . N e x t , b e c a u s e t h e m o m e n t u m f l u x i s o f f i n i t e v a l u e b e t w e e n t h e l i m i t s o f r : 0 a n d a n a r b i t r a r y v a l u e o f r , i t f o l l o w s t h a t a s o l u t i o n f o r E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 9 ] i s : T e r ' r J . d ( r , z r ) 2 W I r d r 0 0 m ? s z f - ‘ a " [ 6 . 2 A . 1 1 ] A c c o r d i n g l y , f r o m E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 1 ] , t h e m o m e n t u m f l u x v a r i e s i n a l i n e a r m a n n e r w i t h t h e r a d i u s o f t h e t u b e . E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 1 ] i s r e l a t e d t o t h e v i s c o s i t y o f a f l u i d t h r o u g h N e w t o n ’ s l a w o f v i s c o s i t y i n o n e d i m e n s i o n : 7 ' 2 " 1 ‘ 7 1 , — “ 2 [ 6 . 2 A . 1 2 ] w h e r e u i s d e f i n e d a s t h e v i s c o s i t y o f t h e f l u i d , a n d d v z / d r i s t h e v e l o c i t y g r a d i e n t . F i n a l l y , E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 2 ] i s i n t e g r a t e d b e t w e e n t h e l i m i t s o f a n a r b i t r a r y r t o r = R t o o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r t h e v e l o c i t y p r o f i l e : 0 H J . d e 8 — . m J ‘ I ' d f V z 2 " f . ‘ Z f ‘ l ’ i ’ z J V 2 2 . . T 7 : [ 1 % ] [ 6 . 2 A . 1 3 ] 3 1 9 N e x t , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p r e s s u r e d r o p i n t h e t u b e a n d t h e a v e r a g e v e l o c i t y i s d e t e r m i n e d . T h e a v e r a g e v e l o c i t y o f a f l u i d , V 3 , w i t h v i s c o s i t y , u , i n a t u b e o f l e n g t h , L , a n d r a d i u s , R , i s d e t e r m i n e d u s i n g E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 4 ] : F l y a = _ 1 _ J ‘ y z m 2 7 r r d r [ 6 . 2 A . 1 4 ] A c s o w h e r e A c s i s t h e c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f t h e t u b e . A s a r e s u l t , E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 4 ] c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m : H s z Z fl f d r 2 " . V z r d r 0 V a 8 I [ 6 . . 2 A 1 5 ] R R 2 J - 2 7 : r d r 0 N e x t , v 2 , w h i c h i s d e t e r m i n e d i n E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 3 ] , i s s u b s t i t u t e d i n E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 5 ] a n d e v a l u a t e d b e t w e e n t h e l i m i t s r s 0 a n d r - R . R 2 ( D M R z r - ¢ M r 3 d r R 2 o 4 n 4 ; : 2 ¢ M R 4 _ W I T H ] 1 6 ; : 1 6 p ] . 3 . 3 2 2 [ O M 3 4 ] _ ( D M R Z — 1 6 p 8 ; : 6 . 2 A . 1 6 n ? l 1 F u r t h e r m o r e , t h e a v e r a g e v e l o c i t y c a n a l s o b e r e l a t e d t o t h e q u a n t i t y , ( D M ( E q u a t i o n 6 . 2 A . 1 0 ] ) : W 3 2 . g c ( P O ' P L ) + P Q Z L R 2 B u 8 u L v a . . [ 6 . 2 A . 1 7 ] 3 2 0 N e x t , t h e d y n a m i c p r e s s u r e i s d e f i n e d a s : P 9 2 2 P 5 P ' - — [ 6 . 2 A . 1 8 ] 9 c C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s f r o m E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 8 ] t h a t P 0 = p 0 , P L = p L - g z L / y a , a n d p g L P 0 : P L 5 ( P O ' P L ) + z [ 6 . 2 A . 1 9 ] 0 F i n a l l y , s u b s t i t u t i o n o f E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 9 ] i n t o E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 7 ] g i v e s t h e H a g e n - P o i s e u i l l e e q u a fi o n : 8 u L v a R 9 c ( P o - P L ) = [ 6 . 2 A . 2 0 ] w h e r e ( P o - P L ) , t e r m e d t h e d y n a m i c p r e s s u r e d i f f e r e n c e , i s t h e a c t u a l d r i v i n g f o r c e c a u s i n g f l o w . F r o m E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 2 0 ] , t h e a v e r a g e v e l o c i t y i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e d y n a m i c p r e s s u r e d i f f e r e n c e . ' I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e a p p l i e d t o o b t a i n a n e q u i v a l e n t s o l u t i o n f o r t h e v e l o c i t y p r o f i l e f o r l a m i n a r f l o w i n a t u b e . A g e n e r a l f o r m o f t h e N a v i e r — S t o k e s e q u a t i o n i s s h o w n i n E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 2 1 ] : l o g — ‘ 1 ” W ) = 4 1 m p h + u V 2 v [ 6 . 2 A . 2 1 ] w h e r e t h e t w o t e r m s o n t h e l e f t - h a n d s i d e r e p r e s e n t t h e l o c a l a c c e l e r a t i o n a n d t h e c o n v e c t i v e a c c e l e r a t i o n , a n d t h e t h r e e t e r m s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e r e p r e s e n t t h e p r e s s u r e f o r c e , b o d y f o r c e , a n d v i s c o u s f o r c e , a n d v i s t h e v e l o c i t y v e c t o r . A g a i n , t h e f l u i d f l o w i s i n t h e z d i r e c t i o n a n d t h e r e i s n o n e t a c c e l e r a t i o n o f t h e i n c o m p r e s s i b l e N e w t o n i a n f l u i d . C o n s e q u e n t l y , a t s t e a d y s t a t e a l l t i m e - d e p e n d e n t t e r m s a r e e q u a l t o z e r o ( a / a t = 0 ) , f r o m s y m m e t r y i n a c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m t h e r a d i a l v e l o c i t y i s e q u a l t o z e r o ( a v e / 8 9 = 0 a n d V 9 = 0 ) , a n d t h e v e l o c i t y c h a n g e w i t h d i s t a n c e i s e q u a l t o z e r o ( a v z / a z = 0 ) f o r f u l l y d e v e l o p e d l a m i n a r f l o w . A s a r e s u l t , t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s b e c o m e f o r t h e z d i r e c t i o n : 1 3 “ E B . - _ _ [ 2 2 . ) ] = 0 8 2 + p g z ” [ r a r ( a r [ 6 . 2 A . 2 2 ] - . a _ E + p g z I - g + p g z = 0 0 0 5 1 5 g Z 3 2 1 B e c a u s e i n t h e 8 d i r e c t i o n a l l t e r m s a r e z e r o , t h e r a t e o f m o m e n t u m f l o w i s e q u a t e d a s f o l l o w s : P O ' P L E 3 2 “ ’ M [ 6 . 2 A . 2 3 ] w h e r e P i s t h e d y n a m i c p r e s s u r e a n d ( D M i s t h e m o m e n t u m g e n e r a t i o n p e r u n i t v o l u m e . B y e q u a t i n g E q u a t i o n s [ 6 . 2 A . 2 2 ] a n d [ 6 . 2 A . 2 3 ] , i t f o l l o w s t h a t : d v 1 4 1 7 5 ; ( ’ 7 e r } ' “ ’ M [ 6 . 2 A . 2 4 ] F i n a l l y , E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 2 4 ] i s s o l v e d b y d o u b l e i n t e g r a t i o n , w h e r e t h e v e l o c i t y g r a d i e n t i s e q u a l t o z e r o a t r - 0 , a n d t h e n v , i s e q u a l t o z e r o a t r - R . d e r — r - u d ' d 0 % ] a O M r d r o d ’ o d v z . r i m / 2 d r 2 - u r - d e I m r d 2 n 0 R ' J d e 8 L M J r d V z 2 “ f 2 v 2 - 1 M ( 8 2 ' ? ) = W R [ I - i ] [ 6 . 2 A . 2 5 ] 2 p 2 4 1 1 H 2 A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 1 3 ] a n d E q u a t i o n [ 6 . 2 A . 2 5 ] a r e e q u i v a l e n t . 3 2 2 A p p e n d l x 6 . 3 P h y s l c a l D e s c r i p t i o n o f t h e G o l a y E q u a t l o n . 2 0 M + 2 0 3 k + ( 1 1 k 2 + 6 k + 1 ) F f z u + k 2 0 % “ U U ( 1 + k ) 2 2 4 0 M ( 1 + k ) 2 3 0 $ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1 4 . 2 2 . L I n g e n e r a l , t h e G o l a y e q u a t i o n d e s c r i b e s t h e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s e n c o u n t e r e d b y a s o l u t e z o n e t h a t o c c u r i n a n o p e n c y l i n d r i c a l t u b e w i t h a u n i f o r m f i l m o f s t a t i o n a r y p h a s e . T h e s e b r o a d e n i n g p r o c e s s e s c a n b e c l a s s i f i e d i n t o t w o c a t e g o r i e s : b r o a d e n i n g d u e t o m o l e c u l a r d i f f u s i o n a n d b r o a d e n i n g d u e t o m a s s t r a n s f e r p r o c e s s e s . B e c a u s e t h e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m c o n s i s t s o f t w o p h a s e ( m o b i l e a n d s t a t i o n a r y ) , m o l e c u l a r d i f f u s i o n a n d m a s s t r a n s f e r e x i s t i n b o t h p h a s e s a n d c o n t r i b u t e t o s o l u t e z o n e b r o a d e n i n g . M o l e c u l a r l e f u s l o n I n t h e M o b l l e P h a s e 2 0 M u T h e f i r s t t e r m r e p r e s e n t s t h e l o n g i t u d i n a l b r o a d e n i n g o f a s o l u t e z o n e d u e t o m o l e c u l a r d i f f u s i o n i n t h e m o b i l e p h a s e a n d i s d e t e r m i n e d f r o m E q u a t i o n [ 6 . 5 ] . T h e t o t a l t i m e t h a t a s o l u t e m o l e c u l e s p e n d s i n t h e m o b i l e p h a s e , m , i s d e t e r m i n e d f r o m t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e m o b i l e p h a s e , u , a n d t h e l e n g t h o f t h e c o l u m n , L . C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s f r o m E q u a t i o n [ 6 . 5 ] t h a t : 0 2 = 2 0 M 1 M w h e r e m . U u 0 ' 2 = Z D M L / u 0 2 2 0 M L u [ 6 . 3 A . 1 ] 3 2 3 M o l e c u l a r D i f f u s i o n I n t h e S t a t l o n a r y P h a s e 2 0 5 k U T h e s e c o n d t e r m r e p r e s e n t s t h e l o n g i t u d i n a l b r o a d e n i n g o f a s o l u t e z o n e d u e t o m o l e c u l a r d i f f u s i o n i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d i s d e t e r m i n e d i n a n a n a l o g o u s m a n n e r f r o m E q u a t i o n [ 6 . 5 ] . I n t h e o r i g i n a l d e r i v a t i o n o f t h e G o l a y e q u a t i o n , t h i s t e r m w a s e x c l u d e d ; h o w e v e r , b e c a u s e i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y t h e m o b i l e a n d s t a t i o n a r y p h a s e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s a r e o f a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e o r d e r o f m a g n i t u d e , i t h a s b e e n i n c l u d e d f o r a c c u r a c y . T h e t o t a l t i m e t h a t a s o l u t e s p e n d s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e . I s , i s r e l a t e d t o t h e s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r , k , a n d m . C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s f r o m E q u a t i o n [ 6 . 5 ] t h a t : 0 2 = 2 0 3 ( 3 w h e r e f s - I M k 0 2 = Z D s k a 0 2 2 0 5 k L u [ 6 . 3 A . 2 ] A c c o r d i n g l y , a s t h e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e m o b i l e p h a s e i n c r e a s e s , t h e t i m e t h a t a s o l u t e s p e n d s i n t h e c o l u m n d e c r e a s e s ; a s a r e s u l t , t h e c o n t r i b u t i o n t o z o n e b r o a d e n i n g f r o m l o n g i t u d i n a l m o l e c u l a r d i f f u s i o n d e c r e a s e s a s p r e d i c t e d f r o m E q u a t i o n s [ 6 . 3 A . 1 ] a n d [ 6 . 3 A . 2 ] . M a s s T r a n s f e r I n t h e M o b l l e P h a s e ( 1 1 k 2 + 6 k + t ) R z u ( 1 + k ) 2 2 4 0 M T h e t h i r d t e r m d e s c r i b e s h o w t h e r a t e o f m a s s t r a n s f e r i n t h e m o b i l e p h a s e c o n t r i b u t e s t o s o l u t e z o n e b r o a d e n i n g . A c c o r d i n g t o E q u a t i o n [ 6 . 6 ] , t h e v e l o c i t y p r o f i l e o f t h e m o b i l e p h a s e i s a f u n c t i o n o f t h e c o l u m n r a d i u s w h e r e , u n d e r f u l l y d e v e l o p e d l a m i n a r f l o w , a p a r a b o l i c v e l o c i t y p r o f i l e i s p r e d i c t e d . C o n s e q u e n t l y , s o l u t e m o l e c u l e s a t d i f f e r e n t r a d i a l p o s i t i o n s i n t h e c o l u m n m o v e w i t h d i f f e r e n t r e l a t i v e v e l o c i t i e s , c a u s i n g a b r o a d e n i n g o f t h e s o l u t e z o n e . T o m i n i m i z e t h e c o n t r i b u t i o n t o s o l u t e z o n e b r o a d e n i n g f r o m m a s s t r a n s f e r i n t h e m o b i l e p h a s e , t h e s o l u t e 3 2 4 m o l e c u l e s h o u l d h a v e a h i g h d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i n t h e m o b i l e p h a s e o r t h e c o l u m n s h o u l d h a v e a s m a l l r a d i u s s o t h a t t h e s o l u t e m o l e c u l e p r o b e s t h e d i f f e r e n t v e l o c i t i e s i n a r a p i d m a n n e r . M a s s T r a n s f e r I n t h e S t a t l o n a r y P h a s e k 2 0 ? " ( 1 + k ) 2 3 0 $ T h e f o u r t h t e r m d e s c r i b e s h o w t h e r a t e o f m a s s t r a n s f e r i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e a f f e c t s t h e o v e r a l l b r o a d e n i n g o f a s o l u t e z o n e . F o r e x a m p l e , a s a s o l u t e m o l e c u l e r e s i d e s i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , t h e f o r w a r d p r o g r e s s o f t h e m o l e c u l e i s z e r o r e l a t i v e t o t h e m o l e c u l e s i n t h e m o b i l e p h a s e . T o m i n i m i z e t h e c o n t r i b u t i o n t o s o l u t e z o n e b r o a d e n i n g f r o m m a s s t r a n s f e r i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , t h e s o l u t e s h o u l d s p e n d l e s s t i m e p e r v i s i t i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e , w h i c h i s a c c o m p l i s h e d b y e i t h e r i n c r e a s i n g t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i n t h e s t a t i o n a r y p h a s e o r d e c r e a s i n g t h e f i l m t h i c k n e s s , d f . o f t h e s t a t i o n a r y p h a s e . d o i i - s - i n s n s i r o p o s d u b - A d “ 9 ‘ 9 5 ” ? ? ? 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 7 . 2 8 . 3 2 5 R E F E R E N C E S B r o w n I I I , B . B . ; Z i m m e r m a n , J . J . B i o p h y s . C h e m . 1 9 7 6 , 5 , 3 5 1 . C z o k , M . ; G u i o c h o n , G . A n a l . C h e m . 1 9 9 0 , 6 2 , 1 8 9 . G u i o c h o n , G . ; G o l s h a n - S h i r a z i , S . ; J a u l m e s , A . A n a l . C h e m . 1 9 8 8 , 6 0 , 1 8 5 6 . G u i o c h o n , G ; G h o d b a n e , S . J . P h y s . C h e m . 1 9 8 8 , 9 2 , 3 6 8 2 . H a , H . Y . ; R o w , K . H . ; L e e , W . K . S e p a r . S c i . 1 9 8 7 , 2 2 , 1 4 1 . H a t t a m , P . ; M u n k , P . M a c r o m o l e c u l e s 1 9 8 8 , 2 1 , 2 0 8 3 . ' L e n h a r t , w . ; Z i n n , P . M i k r o c h i m . A c t a . 1 9 8 6 , 2 , 5 3 . M a , 2 . ; G u i o c h o n , G . A n a l . C h e m . 1 9 9 0 , 6 2 , 2 3 3 0 . M a n s o u r , A . R . S e p a r . S c i . 1 9 8 7 , 2 2 , 1 2 1 9 . M a n s o u r , A . R . S e p a r . S c i . 1 9 8 9 , 2 4 , 1 0 4 7 . N o w a k o w s k i , R . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 9 , 2 8 , 2 9 3 . O u a n o , A . C . ; B a r k e r , J . A . S e p a r . S c i . 1 9 7 3 , 8 , 6 7 3 . P l i c k a , J . ; S v o b o d a , V . ; K l e i n m a n n , I . ; U h l i r o v a , A . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 9 , 4 6 9 , 2 9 . R o u c h o n , P . ; S c h o n a u e r , M . ; V a l e n t i n , P . ; G u i o c h o n , G . S e p a r . S c i . 1 9 8 7 , 2 2 , 1 7 9 3 . S c h e e r e n , P . J . H . ; K l o u s , 2 . ; S m i t , H . C . ; D o o m b o s , D . A . A n a l . C h i m . A c f a . 1 9 8 5 , 1 7 1 , 4 5 . S m i t , J . C . ; S m i t , H . C . ; D e J a g e r , E . M . A n a l . C h i m . A c t a . 1 9 8 0 , 1 2 2 , 1 . S m i t , J . C . ; S m i t , H . C . ; D e J a g e r , E M . A n a l . C h i m . A c t a . 1 9 8 0 , 1 2 2 , 1 5 1 . Z i m m e r m a n , J . K . B i o p h y s . C h e m . 1 9 8 0 , 1 1 , 1 7 3 . A n d e r s o n , D . J . ; W a l t e r s , R . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 6 , 3 7 6 , 6 9 . G o r b u n o v , A . A . ; L u k y a n o v , A . Y e . ; P a s e c h n i k , V . A . ; V a k h m s h e v , A . V . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 6 . 3 6 5 , 2 0 5 . H a g e , D . S . ; W a l t e r s , R . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 3 6 , 1 1 1 . R o j a s , J . ; B a l l e s t e r o s , L . ; V a l c a r c e l , M . M i c r o c h e m . J . 1 9 8 6 , 3 4 , 9 2 . C o x , G . B . ; A n t l e , P . E . ; S n y d e r , L . R J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 4 4 , 3 2 5 . E b l e , J . E . ; G r o b , B . L . ; A n t l e , P . E . ; S n y d e r L R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 7 , 3 8 4 , 2 5 . E b l e , J . E . ; G r o b , R . L . ; A n t l e , P . E . : S n y d e r L . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 7 , 3 8 4 , 4 5 . E b l e , J . E . ; G r o b , B . L . ; A n t l e , P . E . ; S n y d e r L . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 7 , 4 0 5 , 1 . S t r a n a h a n , J . J . ; D e m i n g , S . N . A n a l . C h e m . 1 9 8 2 , 5 4 , 1 5 4 0 . S e s h a d r i , S . ; D e m i n g , S . N . A n a l . C h e m . 1 9 8 4 , 5 6 , 1 5 6 7 . 2 9 . 3 0 . 3 1 . 3 2 . 3 3 . 3 4 . 3 5 . 3 6 . 3 7 . 3 8 . 3 9 . 4 0 . 4 1 . 4 2 . 4 3 . 4 4 . 4 5 . 4 6 . 4 7 . 4 8 . 4 9 . 5 0 . 5 1 . 5 2 . 5 3 . 5 4 . 5 5 . 5 6 . 5 7 . 5 8 . 3 2 6 S n y d e r , L . R . ; C o x , G . B . ; A n t l e , P . E . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 4 4 , 3 0 3 . D o l a n , J . W . ; S n y d e r , L . R . L C - G C 1 9 8 7 , 5 , 9 7 0 . D o l a n , J . W . ; S n y d e r , L . R . ; Q u a r r y , M A C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 7 , 2 4 , 2 6 1 . G h r i s t , B . F . D . ; C o o p e n n a n , B . S . ; S n y d e r , L . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 5 9 , 1 . G h r i s t , B . F . D . ; S n y d e r , L . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 5 9 , 2 5 . G h r i s t , B . F . D . ; S n y d e r , L . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 5 9 , 4 3 . G o l a y , M . J . E . ; A t w o o d , J . G . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 9 , 1 8 6 , 3 5 3 . H o f f m a n , N . E . ; R a h m a n , A . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 9 , 4 7 3 , 2 6 0 . H o f f m a n , N . E . ; R a h m a n , A J . L i q . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 1 1 , 2 6 8 5 . J o n s s o n , J A C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 0 , 1 3 , 2 7 3 . J u p i l l e , T . J . ; D o l a n , J . W . ; S n y d e r , L . R . A m . L a b . 1 9 8 8 , 2 0 , 2 0 . L a r i n , A . V . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 9 , 2 7 , 3 2 1 . N g T . - L . ; N g , S . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 5 , 3 2 9 , 1 3 . S n y d e r , L . R . ; O u a n y , M A J . L i q . C h r o m a t o g r . 1 9 8 7 , 1 0 , 1 7 8 9 . B u s l g i n , A . ; S e p a . T . R . ; S o o d , S . K . S e p a r . S c i . 1 9 8 7 , 2 2 , 5 5 7 . C o t t o n , M . L . ; D o w n , G . R . B . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 3 . 2 5 9 , 1 7 . D ' A g o s t i n o , G . : C a s t a g n e t t a , L . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 5 , 3 3 8 , 1 . D a v i s , J . M . A n a l . C h e m . 1 9 8 9 , 6 1 , 2 4 5 5 . G e l d e r l o o s , D . G . ; R o w l e n , K . L . ; B i r k s , J . W . ; A v e r y , J . P . ; E n k e , C . G . A n a l . C h e m . 1 9 8 6 , 5 8 , 9 0 0 . H o d g e s , R . S . ; P a r k e r , R . ; M a n t , C . R . ; S h a r m a , R . R . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 4 5 8 , 1 4 7 . J o h n s o n , E . K . ; N u r o k , D . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 4 , 3 0 2 , 1 3 5 . L e o n a r d , R . A . S e p a r . S c i . 1 9 8 7 , 2 2 , 5 3 5 . M a r k o w s k l , W . ; S o c z e w i n s k i , E . ; C z a p i n s k a , K . L . C h r o m a t o g r a p h i a 1 9 8 9 , 2 7 , 1 2 3 . S o c z e w i n s k i , E . ; M a r k o w s k i , W . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 6 , 3 7 0 , 6 3 . W e b e r , S . G . A n a l . C h e m . 1 9 8 4 , 5 6 , 2 1 0 4 . Y a m o k a , K . ; N a k a g a w a , T . J . C h r o m a t o g r . 1 9 7 5 , 1 0 3 , 2 2 1 . B e t t e r i d g e , D . ; M a r c z e w s k i , C . Z . ; W a d e , A . P . A n a l . C h i m . A c t a . 1 9 8 4 , 1 6 5 , 2 2 7 . G u e l l , O . A . ; H o l c o m b e , J . A . A n a l . C h e m . 1 9 9 0 , 6 2 , 5 2 9 A . S c h u r e , M . R . A n a l . C h e m . 1 9 8 8 , 6 0 , 1 1 0 9 . P r e s s , W . H . ; F l a n n e r y , B . P . ; T e u k o l s k y , S . A . ; V e t t e r l i n g , W . T . N u m e r i c a l R e c i p e s : T h e A r t o f S c i e n t i fi c C o m p u t i n g , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y , N e w Y o r k , 1 9 8 6 . 5 9 . 6 0 . 6 1 . 6 2 . 6 3 . 6 4 . 6 5 . 6 6 . 6 7 . 6 8 . 6 9 . 7 0 . 7 1 . 7 2 . 7 3 . 7 4 . 3 2 7 F e l l e r , W . P r o b a b i l i t y T h e o r y a n d i t s A p p l i c a t i o n , W i l e y , N e w Y o r k , 1 9 5 0 ; C h a p . 1 4 . A t k i n s , P . W . P h y s i c a l C h e m i s t r y , 3 r d e d . ; O x f o r d : G r e a t B r i t i a n , 1 9 8 6 . K a r g e r , B . L . ; S n y d e r , L . R . ; H o r v a t h , C s . A n I n t r o d u c t i o n t o S e p a r a t i o n S c i e n c e ; W i l e y : N e w Y o r k , 1 9 7 3 . G o l a y , M . J . E . G a s C h r o m a t o g r a p h y 1 9 5 8 , D . H . D e s t y , E d . : B u t t e n i v o r t h s , L o n d o n , 1 9 5 8 . E v a n s , C . E . ; M c G u f f i n , V . L . J . L i q . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 1 1 , 1 9 0 7 . F o m s t e d t , T . ; W e s t e r l u n d , D . ; S o k o l o w s k i , A . J . C h r o m a t o g r . 1 9 9 0 , 5 0 6 , 6 1 . N i l s s o n , L . B . J . C h r o m a t o g r . 1 9 9 0 , 5 0 6 , 2 5 3 . F o m s t e d t , T . ; W e s t e r l u n d , D . ; S o k o l o w s k i , A . J . L i q . C h r o m a t o g r . 1 9 8 8 , 1 1 , 2 6 4 5 . S o k o l o w s k i , A . ; F o m s t e d t , T . ; W e s t e r l u n d , D . J . L i q . C h r o m a t o g r . 1 9 8 7 , 1 0 , 1 6 2 9 . N i l s s o n , L . B . ; W e s t e r l u n d , 0 . A n a l . C h e m . 1 9 8 5 , 5 7 , 1 8 3 5 . S n y d e r , L . R . ; S a u n d e r s , D . L . J . C h r o m t o g r . S c i . 1 9 6 9 , 7 , 1 9 5 . P o p p e , H . ; P a a n a k k e r , J . ; B r o n c k h o r s t , M . J . C h r o m a t o g r . 1 9 8 1 , 2 0 4 , 7 7 . S o e b e r g , H . C h e m . E n g . S c i . 1 9 8 8 , 4 3 , 8 5 5 . D u d a , J . L . ; V r e n t a s , J . S . J . F l u i d M e c h . 1 9 7 1 , 4 5 ( 2 ) , 2 4 7 . K a r o l , P . J . A n a l . C h e m . 1 9 8 9 , 6 1 , 1 9 3 7 . F a h i e n , R . W . F u n d a m e n t a l s o f T r a n s p o r t P h e n o m e n a ; M c G r a w - H i l l : N e w Y o r k , 1 9 8 3 . C H A P T E R 7 S U M M A R Y A N D F U T U R E W O R K S U M M A R Y I n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y , s o l u t e r e t e n t i o n i s c o m m o n l y c o n t r o l l e d b y t h e c o m p o s i t i o n a l m o d i f i c a t i o n o f a p r e m i x e d m o b i l e p h a s e . U n f o r t u n a t e l y , m o l e c u l a r i n t e r a c t i o n s a r e n o t i n d e p e n d e n t o f o n e a n o t h e r w i t h i n a s o l v e n t m i x t u r e . C o n s e q u e n t l y , s o l u t e r e t e n t i o n i s n o t a s i m p l e , p r e d i c t a b l e f u n c t i o n o f t h e m o b i l e - p h a s e c o m p o s i t i o n . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , a n o v e l s o l v e n t d e l i v e r y m e t h o d , c a l l e d s o l v e n t m o d u l a t i o n , i s d e s c r i b e d a s a n a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . I n s o l v e n t m o d u l a t i o n , i n d i v i d u a l s o l v e n t z o n e s a r e i n t r o d u c e d o n t o t h e c h r o m a t o g r a p h i c c o l u m n i n a v a r y i n g o r r e p e a t i n g s e q u e n c e . B e c a u s e t h e s o l v e n t s a r e o f c o n s t a n t c o m p o s i t i o n a n d t h e z o n e s a r e s p a t i a l l y s e p a r a t e d f r o m o n e a n o t h e r , s o l u t e r e t e n t i o n i s r e a d i l y p r e d i c t e d f o r a n y m o d u l a t i o n s e q u e n c e b a s e d o n k n o w l e d g e o f t h e c a p a c i t y f a c t o r s i n t h e i n d i v i d u a l s o l v e n t s . H e n c e , t h e n u m b e r o f c h a r a c t e r i z i n g e x p e r i m e n t s n e c e s s a r y t o o p t i m i z e t h e s e p a r a t i o n o f c o m p l e x m i x t u r e s i s d r a s t i c a l l y r e d u c e d . A l t h o u g h t h i s a d v a n t a g e i s i m p o r t a n t f o r i s o c r a t i c s e p a r a t i o n s , i t b e c o m e s e s s e n t i a l f o r t h e o p t i m i z a t i o n o f g r a d i e n t e l u t i o n a n d m u l t i d i m e n s i o n a l s e p a r a t i o n s . I n C h a p t e r 2 , t h e g e n e r a l c o n c e p t a n d t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n a r e d e v e l o p e d a n d p o s s i b l e d e v i a t i o n s f r o m i d e a l b e h a v i o r a r e d i s c u s s e d . B a s e d o n t h e s e l i m i t a t i o n s o f t h e t e c h n i q u e , t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s s u i t a b l e f o r s o l v e n t m o d u l a t i o n a r e e x a m i n e d . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , s o l v e n t m o d u l a t i o n i s s h o w n t o o f f e r a s i m p l e , v e r s a t i l e , a n d a c c u r a t e l y m o d e l l e d m e a n s t o c o n t r o l a n d p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n . E x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e t h e o r y o f s o l u t e r e t e n t i o n i s p e r f o r m e d u n d e r t h e c o n d i t i o n o f s o l v e n t m o d u l a t i o n i n C h a p t e r 3 . T h e s e r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h o s e o b t a i n e d f r o m c o n v e n t i o n a l p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s y s t e m s . S e v e n t e s t s o l u t e s a r e u s e d t o e x a m i n e a r a n g e o f c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s f o r s o l v e n t s t r e n g t h a n d s e l e c t i v i t y c h a n g e s o f t h e m o b i l e p h a s e : p h e n o l , d i p h e n y l a m i n e , n i t r o b e n z e n e , t o l u e n e , n a p h t h a l e n e , a n t h r a c e n e , a n d p y r e n e . T h e m o b i l e p h a s e s u s e d a r e 1 0 0 % m e t h a n o l a n d 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r f o r t h e s o l v e n t s t r e n g t h s t u d i e s a n d 7 5 % m e t h a n o l - 2 5 % w a t e r a n d 5 8 % a c e t o n i t r i l e - 4 2 % w a t e r f o r t h e s o l v e n t s e l e c t i v i t y s t u d i e s . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s u t i l i z i n g p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s s h o w a s y s t e m a t i c d e v i a t i o n a s 3 2 8 3 2 9 g r e a t a s - 1 5 % f o r t h e s o l v e n t s t r e n g t h s t u d i e s a n d + 6 0 % f o r t h e s o l v e n t s e l e c t i v i t y s t u d i e s f r o m t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d s o l u t e r e t e n t i o n . H o w e v e r , a r a n d o m e r r o r o f a p p r o x i m a t e l y : 1 0 % o c c u r s u t i l i z i n g s o l v e n t m o d u l a t i o n f o r e i t h e r s o l v e n t s t r e n g t h o r s e l e c t i v i t y . F r o m t h e s e r e s u l t s a n d o b s e r v a t i o n s p r e s e n t e d , i t i s c o n c l u d e d t h a t s o l v e n t m o d u l a t i o n o f f e r s a s i m p l e a n d f l e x i b l e m e a n s t o c o n t r o l a n d p r e d i c t s o l u t e r e t e n t i o n i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . M a n y o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s u t i l i z e d i n l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y a r e b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n o f l i n e a r a d d i t i v i t y o f s o l u t e r e t e n t i o n . B e c a u s e t h i s p r e s u m p t i o n i s r i g o r o u s l y c o r r e c t u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f s o l v e n t m o d u l a t i o n , o p t i m i z a t i o n m e t h o d o l o g y c a n b e i m p l e m e n t e d m o r e a c c u r a t e l y a n d p r e c i s e l y t h a n w i t h p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s . C o n s e q u e n t l y , t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e p r o v i d e s a n i n n o v a t i v e a l t e r n a t i v e t o p r e m i x e d m o b i l e p h a s e s f o r t h e r a p i d o p t i m i z a t i o n o f s e p a r a t i o n s w i t h a m i n i m u m n u m b e r o f p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t s . I n C h a p t e r 5 , t h e s e p a r a t i o n o f a c o n ’ p l e x m i x t u r e o f 1 4 s a t u r a t e d a n d u n s a t u r a t e d f a t t y a c i d s i s o p t i m i z e d u t i l i z i n g t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e . T w o d i f f e r e n t o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s a r e e x p l o r e d : 1 . ) t h e c o m p l e t e r e s o l u t i o n r e s p o n s e s u r f a c e i s s y s t e m a t i c a l l y c a l c u l a t e d f o r a t w o - d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n s y s t e m a n d t h e o p t i m u m i s d e t e r m i n e d b y v i s u a l i n s p e c t i o n a n d 2 . ) a n i t e r a t i v e s e a r c h m e t h o d ( s i m p l e x ) i s u s e d t o l o c a t e r a p i d l y t h e o p t i m u m r e s p o n s e f o r a t w o - d i m e n s i o n a l o r h i g h e r o r d e r r e s o l u t i o n r e s p o n s e s u r f a c e . E x c e l l e n t a g r e e m e n t i s o b s e r v e d b e t w e e n t h e p r e d i c t e d r e t e n t i o n a n d t h a t m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y , w i t h a r e l a t i v e e r r o r l e s s t h a n i 4 . 5 % f o r a l l f a t t y a c i d s t a n d a r d s T h e o p t i m u m s e p a r a t i o n u s i n g s o l v e n t m o d u l a t i o n i s c o n ' p a r a b l e t o t h a t o b t a i n e d u s i n g p r e m i x e d s o l v e n t s y s t e m s , y e t i s a c h i e v e d w i t h o n l y t w o i n i t i a l e x p e r i m e n t s . F i n a l l y , t o p r o v i d e a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f c h r o m a t o g r a p h i c s e p a r a t i o n s a t t h e m o l e c u l a r l e v e l , a n o v e l c o m p u t e r s i m u l a t i o n h a s b e e n d e v e l o p e d a n d i s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 6 . T h i s c o m p u t e r s i m u l a t i o n a l l o w s a d e t a i l e d e x a m i n a t i o n o f d i s p e r s i o n a n d r e t e n t i o n p r o c e s s e s . T h e s i m u l a t i o n i s b a s e d o n a t h r e e - d i m e n s i o n a l r a n d o m - w a l k m o d e l , i n w h i c h a n u m b e r o f m o l e c u l e s i s m o n i t o r e d i n d i v i d u a l l y r a t h e r t h a n c o l l e c t i v e l y a s a s t a t i s t i c a l e n s e m b l e . A s i m u l a t e d c h r o m a t o g r a p h i c e x p e r i m e n t i n v o l v e s a t w o - s t e p m e t h o d o l o g y t h a t i s r e p e a t e d c o n t i n u o u s l y f o r e a c h m o l e c u l e a s i t t r a v e r s e s t h e c o l u m n . F i r s t , a s p h e r i c a l d i f f u s i o n s t e p i s c a l c u l a t e d f r o m t h e E i n s t e i n e q u a t i o n . S e c o n d , a c o n v e c t i v e s t e p i s c a l c u l a t e d b a s e d o n a f u l l y d e v e l o p e d l a m i n a r f l o w p r o f i l e . N e x t , c o m p u t a t i o n a l t e s t s d e t e r m i n e w h e t h e r a m o l e c u l e h a s i n t e r s e c t e d t h e s t a t i o n a r y p h a s e a n d , i f s o , w h e t h e r t h a t m o l e c u l e i s t o b e r e t a i n e d . I n f o r m a t i o n f r o m t h e c h r o m a t o g r a p h i c s i m u l a t i o n i s o b t a i n e d b y c a l c u l a t i o n o f t h e s t a t i s t i c a l m o m e n t s o f t h e m o l e c u l a r d i s t r i b u t i o n , f r o m w h i c h c o m p a r i s o n s a r e m a d e w i t h t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s a n d e x p e r i m e n t a l 3 3 0 r e s u l t s . F u r t h e r , t h e s i m u l a t i o n p r o v i d e s t h e o p p o r t u n i t y t o p e r f o r m e x p e r i m e n t s a n d t o m a k e o b s e r v a t i o n s t h a t m a y n o t b e p o s s i b l e i n a r e a l c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m . T h e s e t y p e s o f e x p e r i m e n t s a l l o w a g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g t h e p r o c e s s e s i n v o l v e d d u r i n g a s e p a r a t i o n . F o r e x a m p l e , d i r e c t d e t e r m i n a t i o n o f t h e k i n e t i c r a t e c o n s t a n t s a n d d i r e c t e x a m i n a t i o n o f n o n e q u i l i b r i u m e l u t i o n e f f e c t s t h a t a r e c o m m o n l y e n c o u n t e r e d i n c h r o m a t o g r a p h y w e r e e x a m i n e d . C o n s e q u e n t l y , i m p r o v e d e x p e r i m e n t a l d e s i g n f o r a n a c t u a l p h y s i c a l s y s t e m m a y r e s u l t f r o m t h e u s e o f c o m p u t e r s i m u l a t i o n s . F U T U R E W O R K A n e x c i t i n g a r e a f o r f u t u r e r e s e a r c h u s i n g t h e s o l v e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e i n v o l v e s a m u l t i s i t e o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y . T h i s s t r a t e g y i s i l l u s t r a t e d i n a s c h e m a t i c a l f o r m i n F i g u r e s 7 . 1 a n d 7 . 2 . i n e a c h f i g u r e , a s i x - s o l v e n t m o d u l a t i o n e x p e r i m e n t i s i l l u s t r a t e d w h e r e t h r e e d e t e c t i o n s i t e s a r e p o s i t i o n e d a t s p e c i f i c i n t e r v a l s a l o n g a s i n g l e c o l u m n ( F i g u r e 7 . 1 ) o r a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n c o l u m n s t h a t d i f f e r i n t h e i r r e t e n t i o n m e c h a n i s m ( F i g u r e 7 . 2 ) ( 1 - 5 ) . F o r s i m p l i c i t y , t h i s t y p e o f t e c h n i q u e i s t e r m e d m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n . T h e a d v a n t a g e o f t h i s t y p e o f m u l t i s i t e d e t e c t i o n i s t h a t o p t i m i z a t i o n i s p o s s i b l e f o r t h e s e p a r a t i o n o f s o l u t e s a t n - i n d e p e n d e n t s i t e s a l o n g t h e c o l u m n ( s ) . i n a d d i t i o n , w h e n a s e r i e s o f c o l u m n s i s u s e d , t h e n u m b e r o f i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s f o r o p t i m i z a t i o n i n c r e a s e s b y a f a c t o r e q u a l t o t h e n u m b e r o f c o l u m n s e m p l o y e d . F o r e x a m p l e c o n s i d e r F i g u r e 7 . 2 , b e c a u s e a s i x - s o l v e n t s y s t e m i s u s e d , 7 2 0 d i f f e r e n t s o l v e n t z o n e o r d e r s a r e p o s s i b l e , a n d b e c a u s e t h r e e c o l u m n s a r e u s e d , s i x d i f f e r e n t p e r m u t a t i o n s a r e p o s s i b l e f o r t h e o r d e r o f t h e c o l u m n s . C o n s e q u e n t l y , a n i n d i v i d u a l s o l u t e h a s 4 3 2 0 c a p a c i t y f a c t o r s p o s s i b l e f o r a s p e c i f i c s o l v e n t c o m p o s i t i o n , p r o p o r t i o n , a n d r e p e t i t i o n r a t e . T h e t h e o r y t o f s o l u t e r e t e n t i o n u n d e r t h e c o n d i t i o n o f m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n i s d e r i v e d i n a m a n n e r s i m i l a r t o E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] . I n a m u l t i s i t e s y s t e m w i t h a s i n g l e s o l v e n t s y s t e m , t h e t o t a l r e t e n t i o n t i m e o f a n i n d i v i d u a l s o l u t e ( T R ) a n d t h a t o f a n o n r e t a i n e d s o l u t e ( T 0 ) a r e e x p r e s s e d a s t h e s u m m a t i o n o f t h e i n d i v i d u a l r e s i d e n c e t i m e s , t n ( p ) a n d t o ( p ) , i n m c o l u m n s e c t i o n s : I n P - t m T o - 2 ‘ , t o l p ) [ 7 . 1 m p - l 3 3 1 F i g u r e 7 . 1 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f m u l t i s i t e d e t e c t i o n o n a s i n g l e c o l u m n . r t i g n o n e v i v r b l e u o s S e T R F i g u r e 7 . 1 3 3 2 3 3 3 F i g u r e 7 . 2 S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f m u l t i s i t e d e t e c t i o n o n m u l t i p l e c o l u m n s . — : 7 T0 4 \ s r o | t c e t e D / / r . r t o n e v v r l e o s S e R p m u P \ / / / T U b i n Q < — — I x — > < — — I y — — — > < — — A ] a [ c D [ E ] F A [ I 2 \ \ l F i g u r e 7 . 2 3 3 4 k r - m 2 p - 1 2 j ' 0 1 4 ° — 1 ; k i j P ] ” p - 1 X p [ _ r p [ 7 . 6 ] 3 3 5 I n t e r m s o f a d i m e n s i o n l e s s m e a s u r e o f s o l u t e r e t e n t i o n , t h e o v e r a l l c a p a c i t y f a c t o r ( k g ) f o r s o l u t e i u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s m a y b e e x p r e s s e d a s : T R ' T o k ' I T o [ 7 . 2 ] B y s u b s t i t u t i o n o f E q u a t i o n [ 7 . 1 a ] a n d [ 7 . 1 b ] i n t o E q u a t i o n [ 7 . 2 ] t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r ( k , ) i s e x p r e s s e d a s : m 2 t n l p l - r o l p ) k i . P ' 1 T o [ 7 . 3 ] w h i c h c a n b e r e a r r a n g e d t o : m m , 3 M P ) ( t n ( P ) - l o ( P ) ) _ l o ( P ) , [ 7 , 4 ] k l P 2 1 [ T O ] ( 0 0 ’ ) P 2 1 T 0 k p w h e r e k i p i s t h e c a p a c i t y f a c t o r f o r s o l u t e i w h i l e e x p o s e d t o c o l u m n s e c t i o n p u s i n g a s i n g l e s o l v e n t s y s t e m . F u r t h e r m o r e , E q u a t i o n [ 7 . 4 ] c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e l e n g t h o f a n i n d i v i d u a l c o l u m n s e c t i o n ( I p ) a n d t h e s u m o f t h e i n d i v i d u a l c o l u m n s e c t i o n s ( L ) b y u s i n g t h e m o b i l e - p h a s e l i n e a r v e l o c i t y ( u ) , w h i c h i s a s s u m e d c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e e n t i r e s y s t e m . C o n s e q u e n t l y , b e c a u s e 1 , , = u t o ( p ) a n d L = u T o , i t f o l l o w s t h a t : m . 3 ( g . [ 7 . 5 ] k . 2 L k . . . p - 1 C o n s e q u e n t l y , t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r u n d e r t h e c o n d i t i o n o f m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n i s d e t e r m i n e d b y s u b s t i t u t i n g E q u a t i o n [ 2 . 4 0 ] , r e s p e c t i v e t o t h e i n d i v i d u a l c o l u m n s e c t i o n s p , f o r k i p i n E q u a t i o n [ 7 . 5 ] : n 3 3 6 w h e r e k i j p i s t h e i n d i v i d u a l c a p a c i t y f a c t o r f o r s o l u t e i i n s o l v e n t z o n e [ i n c o l u m n s e c t i o n p , a n d i j i s t h e l e n g t h o f s o l v e n t z o n e j i n c o l u m n s e c t i o n p . T h e l i m i t o f t h e s u m m a t i o n i n d e x n , w h i c h r e p r e s e n t s t h e t o t a l n u m b e r o f s o l v e n t s e g m e n t s r e q u i r e d t o e l u t e t h e s o l u t e t h e l e n g t h o f a n i n d i v i d u a l c o l u m n s e c t i o n ( I p ) , i s d e t e r m i n e d b y e v a l u a t i n g t h e e x p r e s s i o n : I t . . 2 3 2 . , p [ 7 . 7 ] r - o u p A g a i n , i f t h i s l i m i t h a s a n o n i n t e g e r v a l u e , t h e s u m m a t i o n i n E q u a t i o n [ 7 . 6 ] i s p e r f o r m e d i n t h e n o r m a l m a n n e r f o r s o l v e n t s e g m e n t s 0 t o n , a n d t h e r e m a i n d e r i s t r e a t e d a s a f r a c t i o n a l m u l t i p l i e r f o r t h e l a s t ( n + 1 ) s o l v e n t s e g m e n t . A c c o r d i n g l y , E q u a t i o n [ 7 . 6 ] c a n b e u s e d t o p r e d i c t t h e o v e r a l l s o l u t e c a p a c i t y f a c t o r a t s p e c i f i c d e t e c t o r p o s i t i o n s b y a l l o w i n g m t o e q u a l o n e , t w o , m f o r d e t e c t o r p o s i t i o n s o n e , t w o , m . I n a d d i t i o n , t h i s m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n s c h e m e s h o u l d a l l o w a u s e r p e r f o r m a s e p a r a t i o n i n a n i n t e r a c t i v e m o d e w h e r e t h e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e f i r s t d e t e c t o r a r e u s e d t o p r e d i c t t h e s o l v e n t c o n d i t i o n s r e q u i r e d t o a c h i e v e o p t i m u m s e p a r a t i o n s a t d e t e c t o r p o s i t i o n s t w o , t h r e e , m . F u r t h e r , t h e i n c o r p o r a t i o n o f a n a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n t e n g i n e i n t o t h i s s c h e m e c a n b e e n v i s i o n e d t o p r e d i c t e d a n d d e t e r m i n e d t h e s e s o l v e n t c o n d i t i o n s a n d t o c o n t r o l t h e e n t i r e c h r o m a t o g r a p h i c s y s t e m i n t h i s i n t e r a c t i v e m o d e . C o n s e q u e n t l y , i f m u l t i d i m e n s i o n a l s o l v e n t m o d u l a t i o n a n d t h e a b o v e m e n t i o n e d i n t e r a c t i v e s c h e m e s a r e i m p l e m e n t e d i n t o a n o p t i m i z a t i o n s t r a t e g y a n d p r o g r a m , t h e r e s u l t i n g t e c h n i q u e s h o u l d o f f e r a n e x t r e m e l y p o w e r f u l m e t h o d f o r l i q u i d c h r o m a t o g r a p h y . d C ” . ’ 9 9 9 3 3 7 R E F E R E N C E S E v a n s , C . P h D . T h e s i s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , D e c . 1 9 9 0 . M a j o r s , H E . J . C h r o m a t o g r a . S c i . 1 9 8 0 , 1 8 , 5 7 1 . H i r s c h f e l d , T . A n a l . C h e m . 1 9 8 0 , 5 2 , 2 9 7 A . F r e e m a n , D . H . A n a l . C h e m . 1 9 8 1 , 5 2 , 2 . R o w l e n , K . L . ; D u e l l , K . A . ; A v e r y , J . P . ; B i r k s , J . W . A n a l . C h e m . 1 9 8 9 , 6 1 , 2 6 2 4 . "Illillllllillllllllllllllllfllfl