J I I I I I I I I I I l l l l l l l l 1 1 - 4 9 9 1 . i . v t I ‘ I l l I C H I G A N S T A T E U N I V E R S I T Y L I B R A I I l l l l l l i l ' n u m m i l 3 1 2 9 3 0 1 0 2 1 8 8 4 4 ! J T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d M A T H E M A T I C S D E P A R T M E N T I N S T R U C T O R S ' C D N C E P ’ I U A L I Z A T I O M O F T H E R O L E S M A T H E M A T I C S C O N T E N T C O U R S E S P L A Y I N E l fl d E Z N T A R Y T E A C H E R E D U C A T I O N P R C X S R A M S p r e s e n t e d b y V i r g i n i a L . K e e n h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . E d u c a t i o n d e g r e e i n M a j o r p r o f e s s o r D a t e j / Z / C i L I I M S U L ! a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 1 2 7 7 1 M i L c U I i l h n B g v R a e A n r s R l S Y t t a y t e P T L o A D C V A E O A I I T I D R F E I E T N D U E R S U N M E B u O m X t o n o D r o r o b m d A T a m E n d a ” t D M o U t o m d o . E f D r o m y o A T u E r r e c o r d D U . E r u s u u m m m w v e w o p p m w W l m 1 M A T H E M A T I C S D E P A R T M E N T I N S T R U C T O R S ' C O N C E P T U A L I Z A T I O N S O F T H E R O L E S M A T H E M A T I C S C O N T E N T C O U R S E S P L A Y I N E L E M E N T A R Y T E A C H E R E D U C A T I O N P R O G R A M S B y V i r g i n i a L . K e e n A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 4 A B S T R A C T M A T H E M A T I C S D E P A R T M E N T I N S T R U C T O R S ' C O N C E P T U A L I Z A T I O N S O F T H E R O L E S M A T H E M A T I C S C O N T E N T C O U R S E S P L A Y I N E L E M E N T A R Y T E A C H E R E D U C A T I O N P R O G R A M S B y V i r g i n i a L . K e e n T h e s u b j e c t o f t h i s s t u d y i s t h e r o l e s t h a t m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t i n s t r u c t o r s s e e t h e i r m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n g i n e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s . T h e s e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a r e t a u g h t w i t h i n o n e d e p a r t m e n t ( M a t h e m a t i c s ) b u t a r e r e q u i r e d a s a p a r t O f a p r o g r a m w i t h i n a d i f f e r e n t d e p a r t m e n t ( T e a c h e r E d u c a t i o n ) . W h i l e d e p a r t m e n t a l p o l i c y f r o m e i t h e r d e p a r t m e n t m a y s u g g e s t c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n , i n s t r u c t o r s ' d e c i s i o n s d e t e r m i n e , i n l a r g e p a r t , t h e c u r r i c u l a o f t h e c o u r s e s . l n s t r u c t o r s ' c o m m i t m e n t s t o p a r t i c u l a r r o l e s f o r t h e c o u r s e s a n d t h e g r o u n d i n g o f t h e i r c o m m i t m e n t s a r e t h e f o c u s o f t h i s s t u d y . T h i s e x p l o r a t o r y s t u d y d e s c r i b e s s i x i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s m a t h e m a t i c s c o u r s e s r e q u i r e d i n e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n s h o u l d p l a y . A n a n a l y t i c f r a m e w o r k w a s d e v e l o p e d a n d u s e d t o c r e a t e p o r t r a i t s o f e a c h i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r ’ s t h i n k i n g . A n a l y s e s a l s o e x a m i n e t h r e e i s s u e s r e l a t e d t o t h e c r i t i c a l r o l e o f s t u d e n t s ' l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a c r o s s a l l o f t h e i n s t r u c t o r s . T h e i s s u e s a r e : i n s t r u c t o r s ’ v i e w s o f s t u d e n t p r e p a r a t i o n w h e n e n t e r i n g t h e c o u r s e s , t h e i n s t r u c t o r s ’ c h o i c e o f s p e c i f i c c o u r s e c o n t e n t , a n d t h e t y p e o f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g s o u g h t b y t h e i n s t r u c t o r s . T h e r o l e s i d e n t i f i e d b y i n s t r u c t o r s w e r e O f t e n i d i o s y n c r a t i c . T h e l a c k O f i n p u t f r o m o u t s i d e O f t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n c o m m u n i t y i s h i g h l i g h t e d . I n s t r u c t o r s “ g o a l s m o v e d b e t w e e n t w o d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g : p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h e p r e d o m i n a n c e o f t h e g o a l o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g r a i s e s c o n c e r n a b o u t t h e a b i l i t y o f t h e c o u r s e s t o s e r v e p r o g r a m m a t i c r o l e s a l i g n e d w i t h t h e c u r r e n t r e f o r m m o v e m e n t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . C o p y r i g h t b y V I R G I N I A L . K E E N 1 9 9 4 T o B e n a n d S h e l l y A C K N O W L E D G M E N T S I m e n t a l l y p r e p a r e d a n " A c k n o w l e d g m e n t s " s e c t i o n m a n y t i m e s t h r o u g h o u t t h e p r o c e s s o f c o m p l e t i n g t h i s w o r k . N o w t h a t I a m i n a p o s i t i o n t o r e c o g n i z e a l l o f t h o s e w h o h a v e b e e n i n s t r u m e n t a l i n m y a b i l i t y t o c o m p l e t e t h i s d i s s e r t a t i o n , I f e e l o v e r w h e l m e d , b u t I w i l l t r y . I w i s h t o t h a n k m y G u i d a n c e C o m m i t t e e a n d D i s s e r t a t i o n C o m m i t t e e m e m b e r s f o r t h e i r e n c o u r a g e m e n t . M a g d a l e n e L a m p e r t , M a r g r e t B u c h m a n n , a n d S h a r o n F e i m a n - N e m s e r a d d e d v e r y s p e c i a l d i m e n s i o n s t o m y C o m m i t t e e s , a n d I t h a n k t h e m w h o l e - h e a r t e d l y f o r t h e i r e n c o u r a g e m e n t . T w o i n d i v i d u a l s w e r e o n b o t h o f m y c o m m i t t e e s , M a r y K e n n e d y a n d G l e n d a L a p p a n . M a r y s h a r e d h e r w e a l t h o f k n o w l e d g e a b o u t r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n i n w a y s t h a t h a v e S h a p e d m y w o r k a n d s e r v e t o p r o v i d e a m o d e l f o r t h e k i n d s o f q u e s t i o n s I w i l l n e e d t o a s k m y s e l f w h e n u n d e r t a k i n g f u t u r e r e s e a r c h . G l e n d a L a p p a n i s a g e m , p r e c i o u s a n d a m a z i n g . S h e t o o k m y w r i t i n g o n p l a n e s , b u s e s , a n d w h o - k n o w s - w h a t - e l s e , a l w a y s r e s p o n d i n g t o c o n c e r n s I h a d a n d g i v i n g f e e d b a c k w i t h r e m a r k a b l e s p e e d . S h e s a t w i t h m e i n t i m e s o f d e s p e r a t i o n , p r o v i d i n g s u p p o r t a n d , w h e n n e c e s s a r y , a k i c k - i n - t h e - p a n t s . H e r p r o f e s s i o n a l i s m a n d p e r s o n a l w a r m t h s e r v e a s w i t n e s s t o h e r k n o w l e d g e , w i s d o m , a n d v i c o m p a s s i o n a n d a s a m o d e l o f t h e c o n s u m m a t e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r . T h e r o a d t o t h e d i s s e r t a t i o n d e f e n s e a n d t h e c o m p l e t i o n O f t h e d o c u m e n t h a s b e e n m u c h l i k e a r o l l e r - c o a s t e r r i d e . T h e i n d i v i d u a l m o s t r e s p o n s i b l e f o r g u i d i n g i t s c o u r s e h a s b e e n m y D i s s e r t a t i o n D i r e c t o r a n d t h e C h a i r o f m y D i s s e r t a t i o n C o m m i t t e e , D a n i e l C h a z a n . D a n p u s h e d w i t h o u t p u s h i n g m e o v e r t h e e d g e , t h o u g h I d i d g e t c l o s e t o g o i n g o v e r a f e w t i m e s . T h i s u s u a l l y h a d v e r y l i t t l e t O d o w i t h D a n ' s n u d g e s , c o m i n g m o r e f r o m s t r e s s e s o u t s i d e t h e a c t u a l d i s s e r t a t i o n w o r k . I h o p e t h a t h e f e e l s a s i m i l a r d e g r e e o f s a t i s f a c t i o n i n i t s c o m p l e t i o n . A l l o f m y C o m m i t t e e m e m b e r s h a v e g i v e n S O m u c h t o m e , a s p r o f e s s i o n a l s a n d a s f r i e n d s . I w i s h t o p u b l i c l y t h a n k t h e m h e r e f o r a l l O f t h e i r s u p p o r t . I l o o k f o r w a r d t o c o n t i n u i n g o u r r e l a t i o n s h i p s a s I m o v e i n t o a n e w r o l e . T h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o t a l l y d e p e n d e n t o n t h e p a r t i c i p a t i o n o f a g r o u p o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s . I c o m m e n d t h e m f o r t h e i r w i l l i n g n e s s t o s h a r e t h e i r t h o u g h t s a n d f o r t h e i r o p e n n e s s i n d e s c r i b i n g t h e c o u r s e s t h e y t e a c h . I c a n n o t t h a n k t h e m e n o u g h f o r t h e i r t i m e a n d e f f o r t s . T o m y f a m i l y - - J i m , B e n , S h e l l y , m y p a r e n t s , J i m ' s p a r e n t s , a n d a l l o f t h e r e s t o f o u r f a m i l y : " T h a n k y o u " s e e m s t o o s i m p l e , b u t , s i n c e w o r d s w i l l n e v e r e x p r e s s t h e g r a t i t u d e t h a t I f e e l f o r a l l o f y o u r s u p p o r t a n d t o l e r a t i o n o f m y O f t e n s e l f i s h a c t i o n s , “ T h a n k y o u " s e e m s a p p r o p r i a t e . T o m y f r i e n d s : Y o u k n o w w h o y o u a r e a n d h o w m u c h I h a v e a p p r e c i a t e d y o u r s m i l e s , e n c o u r a g e m e n t , a n d q u e s t i o n s . S o m e o f y o u d e s e r v e s p e c i a l t h a n k s f o r b e i n g w i l l i n g t o s i t a n d r e a d v i i s e c t i o n s a n d t h e n t a l k w i t h m e a b o u t i s s u e s t h a t w e r e r a i s e d . I r e a l l y e n j o y e d t h o s e c o n v e r s a t i o n s a n d h o p e t h a t w e w i l l c o n t i n u e t o g e t t o g e t h e r t o t a l k a b o u t o t h e r “ i m p o r t a n t " t h i n g s o v e r c o f f e e o r a m e a l - - e s p e c i a l l y i f c h o c o l a t e i s i n v o l v e d . I h a v e b e e n r i c h l y b l e s s e d b y t h o s e a r o u n d m e a n d h o p e t h a t , i n s o m e w a y , I h a v e t o u c h e d y o u r l i v e s i n a s p e c i a l w a y . I h a v e m a d e s a c r i f i c e s i n o r d e r t o c o m p l e t e t h i s w o r k . I n t h o s e s a c r i f i c e s , o t h e r s h a v e b e e n a f f e c t e d . | a s k f o r f o r g i v e n e s s i f t h e s a c r i f i c e s h a v e s e e m e d t o o g r e a t , a n d I p r a y t h a t t h e s a c r i f i c e s a r e s h o w n t o b e w o r t h w h i l e , i n t h e l o n g r u n . v i i i T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i i C H A P T E R 1 : I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 R e s e a r c h Q u e s t i o n a n d t h e R a t i o n a l e f o r S t u d y i n g T h i s Q u e s t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 C H A P T E R 2 : L I T E R A T U R E R E V I E W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 S t u d i e s o f M a t h e m a t i c s T e a c h e r E d u c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 S t u d i e s o f M a t h e m a t i c s E d u c a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 C H A P T E R 3 : A N A L Y T I C F R A M E W O R K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 P o s s i b l e R o l e s a n d R a t i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 L e a r n i n g M a t h e m a t i c a l C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 L e a r n i n g t h e N o r m s o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 L e a r n i n g t o T e a c h M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 G a t e - k e e p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 F e e l i n g G o o d A b o u t M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 E n d n o t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 C H A P T E R 4 : R E S E A R C H M E T H O D O L O G Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 S i t e a n d S u b j e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 P r i m a r y S i t e I n f o r m a t i o n a n d B a c k g r o u n d o f t h e I n s t r u c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 S e c o n d a r y S i t e I n f o r m a t i o n a n d B a c k g r o u n d o f t h e I n s t r u c t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 G e n e r a l O v e r v i e w o f S i t e s a n d S u b j e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 D a t a C o l l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 i x C H A P T E R 5 : A N A L Y S I S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 I n s t r u c t o r s ' C o n c e p t u a l i z a t i o n s O f t h e R o l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 K a r a : M u l t i p l e R o l e s a n d M i x e d M e s s a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 C y n t h i a : D e v e l o p i n g C o m p e t e n c e a n d C h a n g i n g P e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 J e f f : G a t e - k e e p i n g , L e a r n i n g C o n t e n t , a n d D e v e l o p i n g D i s p o s i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 F r a n k : R e v i s i n g t h e C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9 G a i l : R e d u c i n g A n x i e t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8 C r a i g : C o n t e n t , N o r m s , D i s p o s i t i o n s , a n d A t t i t u d e s . . 1 5 5 T h e R o l e o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c a l C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6 W h a t S h o u l d S t u d e n t s K n o w W h e n T h e y E n t e r t h e C o u r s e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 9 W h a t S h o u l d B e t h e M a t h e m a t i c a l C o n t e n t O f t h e C o u r s e s ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 W h a t K i n d o f L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s i s S o u g h t ? . . . . . . 2 1 2 S u m m a r y o f t h e A n a l y s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0 C h a r a c t e r i z a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g f o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 F i n a l T h o u g h t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5 C H A P T E R 6 : C O N C L U S I O N S A N D I M P L I C A T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 I n s t r u c t o r s ' V i e w s o f t h e R o l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 0 I n s t r u c t o r s ' V i e w s a n d t h e A n a l y t i c F r a m e w o r k . . . . . . . . . 2 4 0 I n s t r u c t o r s ' V i e w s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c a l C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 C o n f l i c t i n g V i e w s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 l n t r a - i n s t r u c t o r C o n f l i c t s a n d D i l e m m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 I n t e r - i n s t r u c t o r V a r i a t i o n a n d I s o l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 I m p l i c a t i o n s f o r T e a c h e r E d u c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 N e e d f o r E l e m e n t a r y S c h o o l C o n n e c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 N e e d f o r O n - g o i n g C o n v e r s a t i o n s i n M a n y C o n t e x t s 2 5 4 N e e d f o r t h e G o a l o f C o n c e p t u a l U n d e r s t a n d i n g . . . . . . . . . . . . 2 5 6 F u t u r e R e s e a r c h D i r e c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 A P P E N D I C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 A p p e n d i x A : S y l l a b i f o r M a t h e m a t i c s f o r t h e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r C o u r s e s a t N o r m a l U n i v e r s i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 A p p e n d i x B : I n t e r v i e w I n s t r u m e n t O n e : P h i l o s o p h i c a l I n t e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 0 A p p e n d i x C : I n t e r v i e w I n s t r u m e n t T w o : C o n t e n t I n t e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 5 A p p e n d i x D : I n t e r v i e w I n s t r u m e n t T h r e e : O b s e r v a t i o n I n t e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9 A p p e n d i x E : P r o p o s e d S y l l a b u s ( F r a n k A d a m s ) f o r M a t h e m a t i c s f o r t h e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r F i r s t C o u r s e a t N o r m a l U n i v e r s i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1 L I S T O F R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2 x i F i g u r e 1 . F i g u r e 2 . F i g u r e 3 . L i s t o f F i g u r e s I n s t r u c t o r I n f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P r e d o m i n a n t R o l e s f o r I n s t r u c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . D e v e l o p i n g t h e F o r m u l a f o r t h e A r e a o f a C i r c l e x i i 6 1 1 6 1 C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N A f t e r h a v i n g t a u g h t K - 1 3 m a t h e m a t i c s i n v a r i o u s i n s t i t u t i o n s i n t h e U n i t e d S t a t e s , I s p e n t s e v e r a l y e a r s t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a t a u n i v e r s i t y . C o n v e r s a t i o n s w i t h o t h e r s w h o t a u g h t t h e s e c o u r s e s a n d w i t h m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s w o r k i n g i n s c h o o l s r a i s e d m a j o r q u e s t i o n s a n d c o n c e r n s i n m y m i n d a b o u t w h a t t h e m i s s i o n o f t h e c o u r s e s w a s : W a s i t t o l e a r n m a t h e m a t i c s ? W a s i t t o l e a r n h o w t O t e a c h ? W a s i t t o k e e p i n e p t p e o p l e o u t O f t h e c l a s s r o o m ? W a s i t t o b u i l d p o s i t i v e a t t i t u d e s , a n d , i f s o , t o w a r d w h a t ? T e a c h i n g t h e s e c o u r s e s w a s h a r d ; t h e r e w e r e c o m p e t i n g a g e n d a s a n d c o m p e l l i n g p r o b l e m s t h a t m a d e t h e c o u r s e s d i f f i c u l t t o t e a c h . S t r u g g l e s a r o s e b e c a u s e m a n y s t u d e n t s c a m e t o m a t h e m a t i c s c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w i t h w e a k b a c k g r o u n d s o r o n l y p r o c e d u r a l k n o w l e d g e O f m a t h e m a t i c s . I f a g o a l w a s t o b e s u r e t h a t t h e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s k n e w “ e n o u g h ” m a t h e m a t i c s t o s u c c e s s f u l l y t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s , h o w m u c h w a s e n o u g h a n d h o w w a s I t o t e a c h i t ? W a s c o v e r i n g a l a r g e a m o u n t o f m a t h e m a t i c s m o r e o r l e s s i m p o r t a n t t h a n t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l k n o w l e d g e O f a s u b s e t o f t h e c o n t e n t ? C o u r s e s w e r e o n l y f i f t e e n w e e k s l o n g a n d d i d n o t m e e t d a i l y , m a g n i f y i n g t h e s t r u g g l e s . I t w a s i m p o s s i b l e t o “ c o v e r ” a l l o f t h e m a t h e m a t i c s t a u g h t i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n , l e t a l o n e b e y o n d t h a t l e v e l . I w a n t e d m y s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s b e y o n d w h a t t h e y w o u l d b e t e a c h i n g i n o r d e r t o g i v e t h e m a s e n s e o f 1 2 t h e u s e f u l n e s s a n d c o n n e c t e d n e s s o f t o p i c s i n t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m t o m o r e s o p h i s t i c a t e d m a t h e m a t i c s . T h u s , m y q u e s t i o n s a b o u t t h e a m o u n t a n d d e p t h O f c o n t e n t c o v e r a g e i n c l u d e d c o n c e r n f o r c o n t e n t t h a t w a s n o t n e c e s s a r i l y w h a t s t u d e n t s w o u l d t e a c h . T h e p o p u l a t i o n o f s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s f o r e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r c o u r s e s w a s O f t e n n o t o n l y l a c k i n g i n s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e , b u t t h e y a l s o w e r e n o t a w a r e t h a t t h e y w e r e l a c k i n g . T h e y h a d g e n e r a l l y b e e n s u c c e s s f u l t h r o u g h o u t t h e i r e l e m e n t a r y s c h o o l y e a r s a n d e n j o y e d b e i n g i n s c h o o l . T h e y w e r e c o m f o r t a b l e i n s c h o o l s - - t h e y w a n t e d t o s p e n d t h e i r p r o f e s s i o n a l l i v e s i n s c h o o l s . T h e n o t i o n t h a t w h a t t h e y “ k n e w ” a b o u t m a t h e m a t i c s w a s d e f i c i e n t w a s n o t p a r t o f t h e i r m e n t a l i t y . P a r t o f m y j o b , a s I s a w i t , w a s t o m a k e t h e m a w a r e o f t h i s i n a w a y t h a t d i d n o t d e s t r o y t h e i r s e l f - e s t e e m o r m o t i v a t i o n t o b e c o m e a t e a c h e r . I p a i r e d t h i s w i t h a c o n c e r n t o i m p r o v e t h e i r a t t i t u d e s a b o u t m a t h e m a t i c s . M a n y O f t h e s t u d e n t s s a w m a t h e m a t i c s a s a s u b j e c t t o b e t a u g h t , a n e c e s s a r y e v i l , m u c h l i k e a m e d i c i n e t h a t t a s t e s b a d b u t m u s t b e t a k e n t o g e t w e l l . I w a n t e d t h e m t o f e e l g o o d a b o u t d o i n g m a t h e m a t i c s a n d t o s e e m a t h e m a t i c s a s p e r s o n a l l y r e l e v a n t i n t h e i r w o r l d . T h e s t u d e n t s d i d n o t s e e m t o s e e t h e s e g o a l s a s r e a s o n a b l e o r p o s s i b l e . T h i s i s n o t t o s a y t h a t a l l s t u d e n t s p r e p a r i n g t o b e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w e r e n o t c a p a b l e o f d o i n g o r m o t i v a t e d t o d o m a t h e m a t i c s . T h e r e w e r e m a n y w h o c a m e t o t h e c o u r s e s w i t h c o n s i d e r a b l e k n o w l e d g e a n d i n t e r e s t . T h i s w a s a m i x e d b l e s s i n g . T h i s m e a n t t h a t t h e r e w a s a c o n s i d e r a b l e s p r e a d i n a b i l i t i e s , a s i t u a t i o n t h a t I a t t e m p t e d t o u s e t o m y a d v a n t a g e . H o w e v e r , s o m e c a p a b l e s t u d e n t s a s s u m e d , a s d i d s o m e o f t h e l e s s c a p a b l e , t h a t t h e y 3 a l r e a d y k n e w a l l t h e y n e e d e d t o k n o w a n d t h a t t a k i n g t h e c o u r s e s w a s s i m p l y f u l f i l l i n g a r e q u i r e m e n t t h a t t h e y c o u l d n o t a v o i d . T h e s e s t u d e n t s h a d t a k e n c a l c u l u s i n h i g h s c h o o l o r c o l l e g e i n m o s t c a s e s . O f t e n , t h e y w e r e l o o k i n g f o r s o m e t h i n g d i f f e r e n t i n t h e c o u r s e s ~ - t h e y w a n t e d t o l e a r n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o C h i l d r e n . T h e y f e l t c o n f i d e n t a n d c o m p e t e n t w i t h m a t h e m a t i c s a s t h e y h a d e x p e r i e n c e d i t a n d w e r e r e a d y t o g e t t O t h e t a s k o f t e a c h i n g i t . A t i s s u e f o r t h e m w a s h o w t O t e a c h i t , n o t w h a t m a t h e m a t i c s i _ s f u n d a m e n t a l l y o r h o w t h e y u n d e r s t o o d i t . A c t u a l l y , m a k i n g s e n s e O f m a t h e m a t i c s w a s t h r e a t e n i n g t o m a n y f o r w h o m t h e i s s u e o f u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s w a s d i f f i c u l t t o a p p r e c i a t e b e c a u s e i t w a s r e m o v e d f r o m t h e i r e x p e r i e n c e . T h e y h a d b e e n s u c c e s s f u l i n t r a d i t i o n a l l y t a u g h t a n d a s s e s s e d m a t h e m a t i c s c l a s s e s . T h e i r e x p e r i e n c e d i d n o t i n c l u d e r e a l l y g r a p p l i n g w i t h t h e c o n c e p t s o r u n d e r s t a n d i n g t h e r u l e s a n d p r a c t i c e s o f t h e d i s c i p l i n e . T h e r e s e e m e d t o b e a s h a r e d d e s i r e o n t h e p a r t o f s t u d e n t s , r e g a r d l e s s o f t h e i r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n , f o r t h e c o u r s e s t o p r e p a r e t h e m t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F o r m o s t , t h e n o t i o n o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w i t h m o r e d e p t h a n d u n d e r s t a n d i n g s e e m e d c o n f u s i n g a n d a l i e n , e v e n c o u n t e r - p r o d u c t i v e t o t h e i r a i m s . T h i s u n d e r c u r r e n t o f s k e p t i c i s m c o m p l i c a t e d m y t a s k . I n e e d e d t o c o n v i n c e t h e m o f t h e v a l u e O f k n o w i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s f o r i t s o w n s a k e a s a w a y O f p r e p a r i n g t o b e c o m e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . W i t h a l l o f t h e s e c o n c e r n s , w h a t s h o u l d I t r y t o a c c o m p l i s h i n t h e s e m a t h e m a t i c s c o u r s e s ? W h a t g o a l s s e e m e d e s p e c i a l l y i m p o r t a n t t o a c c o m p l i s h i n c o u r s e s o f t h i s t y p e ? W h a t w o u l d i t m e a n t o t r y t o a c c o m p l i s h t h e s e g o a l s ? W h a t w o u l d c l a s s l o o k l i k e ? 4 H o w w o u l d d e s i r e d r o l e s i n f l u e n c e t h e d e c i s i o n s a n d a c t i o n s O f t h e i n s t r u c t o r ? H o w d i d t h i s t y p e o f c o u r s e f i t i n t o t h e t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m f o r e l e m e n t a r y c e r t i f i c a t i o n ? W h a t r e s p o n s i b i l i t i e s d i d I h a v e a n d w h a t r o l e s w e r e t h e c o u r s e s t o p l a y i n s t u d e n t s ’ t e a c h e r p r e p a r a t i o n ? T h e i r p r o g r a m r e q u i r e d p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o t a k e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a n d a n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e . H o w w e r e t h e s e t o b u i l d o n e a c h o t h e r ? H o w d i d t h e c o u r s e s t a u g h t i n t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t r e l a t e t o o t h e r c o u r s e s i n t h e g e n e r a l e l e m e n t a r y p r o g r a m ? I h a d r a r e c o n t a c t w i t h t h e T e a c h e r E d u c a t i o n D e p a r t m e n t , a n d w h a t c o n t a c t I h a d w a s n o t r e l a t e d t o t h e r o l e o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n s t u d e n t s ’ p r o g r a m s . I n t h i s r e c o u n t i n g o f m y s t r u g g l e s a n d d i l e m m a s , I h a v e n o t e d t h e m o s t p r e s s i n g o f m y c o n c e r n s . T e a c h i n g t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s h e l d t r e m e n d o u s c h a l l e n g e . I k n e w I w a n t e d s t u d e n t s t o h a v e a d i f f e r e n t e x p e r i e n c e , i n m o s t c a s e s , f r o m w h a t t h e y h a d e x p e r i e n c e d i n m u c h o f t h e i r K - 8 1 e d u c a t i o n , p l u s I w a n t e d t h e m t o g o b e y o n d t h a t l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g . W h a t r o l e s d i d I s e e t h e c o u r s e s p l a y i n g i n t h e p r e p a r a t i o n o f p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ? W h a t w a s t h e m i s s i o n o f t h e c o u r s e s - - w h a t w e r e s t u d e n t s t o l e a r n , h o w w e r e t h e y t o l e a r n i t , a n d w h y w e r e t h e y t o l e a r n i t ? W h a t d i d I n e e d t o k n o w a n d b e a b l e t o d o t o m a k e t h a t p o s s i b l e f o r t h e s t u d e n t s ? 1 S o m e i n s t i t u t i o n s c h o o s e t o f o c u s t h e i r c o u r s e s o n K - 6 t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I c h o s e t o u s e K - 8 t h r o u g h o u t t h i s s t u d y . 5 C o n c u r r e n t w i t h m y q u e s t i o n i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n O f t e a c h e r s , t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s O f M a t h e m a t i c s ( N C T M ) w a s p r e p a r i n g a p a i r O f d o c u m e n t s , t h e C u r r i c u l u m A n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s ( N C T M , 1 9 8 9 ) a n d t h e P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ( N C T M , 1 9 9 1 ) , w h i c h s e t o u t a v i s i o n f o r K - 1 2 m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . A m o v e t o w a r d a r e a l i z a t i o n O f t h i s v i s i o n r e q u i r e s p r e p a r i n g t e a c h e r s t o t h i n k a b o u t , d o , a n d t e a c h m a t h e m a t i c s i n d i f f e r e n t w a y s . T h e q u e s t i o n O f w h a t t h i s m e a n s f o r m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s d r e w m y a t t e n t i o n . M a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s t h a t a r e r e q u i r e d a s a p a r t o f e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n a r e d e s i g n e d f o r a p a r t i c u l a r s e t o f s t u d e n t s . T h e s e s t u d e n t s a r e p r e p a r i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s a s p a r t o f t h e i r p r o f e s s i o n a l c a r e e r s . T h e s e c a r e e r s w i l l s p a n t i m e t h a t s h o u l d b e , a c c o r d i n g t o t h e v i s i o n d e s c r i b e d i n t h e N C T M S t a n d a r d s d o c u m e n t s ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) , a t i m e O f t r e m e n d o u s c h a n g e i n i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . W h a t a r e s t u d e n t s l e a r n i n g i n t h e r e q u i r e d m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s t h a t w i l l a s s i s t t h e m i n b e c o m i n g t h e k i n d s o f t e a c h e r s n e e d e d t o s u p p o r t t h e s e c h a n g e s ? H o w a r e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s r e s p o n d i n g t o t h e m u l t i p l e c a l l s f o r c h a n g e i n u n i v e r s i t y t e a c h i n g - - b o t h o f m a t h e m a t i c s c o u r s e s a n d o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s ? W h a t a n d h o w a r e t h e y t e a c h i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e s , a n d w h y i s i t i m p o r t a n t t o b e d o i n g t h i s ? I t w a s w i t h t h e s e a n d o t h e r q u e s t i o n s I b e g a n m y c u r r e n t e x a m i n a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t h r o u g h t h e e y e s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s . 6 R e s e a r c h Q u e s t i o n a n d t h e R a t i o n a l e f o r S t u d y i n g T h i s Q u e s t i o n T h i s e x p l o r a t o r y s t u d y i n v o l v e s l o o k i n g a t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e s t h r o u g h t h e e y e s o f t h e i n s t r u c t o r s O f t h e s e c o u r s e s . T h e r e s e a r c h q u e s t i o n i s “ H o w d o m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t i n s t r u c t o r s o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s c o n c e p t u a l i z e t h e r o l e s p l a y e d b y t h e i r c o u r s e s ? ” T h e s e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a r e t a u g h t w i t h i n o n e d e p a r t m e n t ( M a t h e m a t i c s ) b u t a r e r e q u i r e d a s a p a r t o f a p r o g r a m w i t h i n a d i f f e r e n t d e p a r t m e n t ( T e a c h e r E d u c a t i o n ) . W h i l e d e p a r t m e n t a l p o l i c y f r o m e i t h e r d e p a r t m e n t m a y s u g g e s t c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n , i n s t r u c t o r s ' d e c i s i o n s d e t e r m i n e , i n l a r g e p a r t , t h e c u r r i c u l a o f t h e c o u r s e s . I n s t r u c t o r s ’ c o m m i t m e n t s t o p a r t i c u l a r r o l e s f o r t h e c o u r s e s a n d t h e g r o u n d i n g o f t h e i r c o m m i t m e n t s a r e t h e f o c u s o f t h i s s t u d y . I n s t r u c t o r s ' b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s , a b o u t s t u d e n t s , m a t h e m a t i c s , a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g g r o u n d t h e w a y s i n s t r u c t o r s c o n c e p t u a l i z e t h e c o u r s e s . I t i s t h r o u g h c o n s i d e r a t i o n a n d a n a l y s i s o f t h e s e b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s t h a t I h o p e t o i d e n t i f y a n d d e s c r i b e t h e m o s t c r i t i c a l r o l e s t h a t i n s t r u c t o r s s e e t h e s e c o u r s e s p l a y i n g i n e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s . B y e x a m i n i n g t h e m e a n i n g t h a t a s e t o f i n s t r u c t o r s m a k e O f t h e s e q u e s t i o n s , w e w i l l l e a r n m o r e a b o u t t h e r a n g e o f c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s t h e c o u r s e s p l a y a n d l e a r n m o r e a b o u t t h e f a c t o r s t h a t i n s t r u c t o r s s e e a s i n f l u e n c i n g t h e r o l e s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . A d d i t i o n a l l y , t h i s r e s e a r c h w i l l p r o v i d e a b a s i s u p o n w h i c h q u e s t i o n s f o r d i s c u s s i o n a n d f u r t h e r r e s e a r c h c a n b e b u i l t , 7 p a r t i c u l a r l y w i t h r e s p e c t t o c u r r e n t r e f o r m m o v e m e n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . A n e w s e n s e o f t h e v a r i e t y a n d s t r e n g t h o f t h e b e l i e f s t h a t g u i d e i n s t r u c t o r s c a n r e s u l t f r o m t h i s e x a m i n a t i o n o f t h e i r v i e w s . W i t h o u t t h i s k i n d o f g r o u n d w o r k r e s e a r c h , w e w i l l r e m a i n u n a w a r e o f o r s i m p l y a s s u m e w e k n o w , b a s e d o n o u r o w n p r e - c o n c e i v e d n o t i o n s , w h a t t h e c o n c e r n s a n d n e e d s O f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a r e a t t h i s t i m e o f r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . A t a t i m e o f g r e a t o p t i m i s m f o r C h a n g e i n t h e w a y m a t h e m a t i c s i s e x p e r i e n c e d a s a d i s c i p l i n e i n s c h o o l s K - 8 , w e n e e d t o c o n s i d e r w h a t t h e c u r r e n t s i t u a t i o n i s i n c o u r s e s d e s i g n e d f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . W h a t k i n d s o f s u p p o r t a n d o p p o r t u n i t i e s d o i n s t r u c t o r s n e e d t o f o s t e r c h a n g e ? B a l l ( 1 9 9 2 ) , i n w r i t i n g a b o u t h u r d l e s t o t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e N C T M S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) , a c k n o w l e d g e d t h a t t h e c o n s t r u c t i o n O f w a y s t o t e a c h t h a t s u p p o r t t h e v i s i o n o f t h e S t a n d a r d S w i l l r e q u i r e n e w l e a r n i n g , s u p p o r t a n d r e s o u r c e s o f n e w k i n d s b y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . T h i s s t u d y p r o v i d e s a p i c t u r e o f t h e w a y s i n s t r u c t o r s a t o n e " e x t e n d e d " 2 i n s t i t u t i o n , o n e t h a t s e r v e s a l a r g e n u m b e r o f f u t u r e t e a c h e r s , s e e t h e c o u r s e s t h e y t e a c h a s a p a r t o f e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n . T h e r o l e s t h e y s e e t h e c o u r s e s p l a y i n g a n d t h e i r c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s s e r v e t o i n f o r m r e c o m m e n d a t i o n s m a d e f o r i m p r o v i n g t h e m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o f t h e i r f u t u r e p u p i l s . 2 E x t e n d e d i n s t i t u t i o n i s u s e d t o d e s c r i b e t h e u n i v e r s i t y a n d c o m m u n i t y c o l l e g e ( w h o s e s t u d e n t s o f t e n t r a n s f e r t o t h e u n i v e r s i t y ) i n w h i c h t h e i n s t r u c t o r s t a u g h t . C H A P T E R 2 L I T E R A T U R E R E V I E W M a t h e m a t i c s e d u c a t i o n K - 1 2 i n t h e U n i t e d S t a t e s i s c u r r e n t l y t h e s u b j e c t O f m u c h c o n v e r s a t i o n i n s i d e a n d o u t s i d e t h e e d u c a t i o n e s t a b l i s h m e n t . S o c i e t y h a s d e c l a r e d t h e i m p r o v e m e n t o f t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o f c h i l d r e n t o b e O f p a r a m o u n t c o n c e r n . G r o u p s a n d i n d i v i d u a l s o u t s i d e t h e e d u c a t i o n a l s p h e r e a s p r o m i n e n t a s t h e P r e s i d e n t O f t h e U n i t e d S t a t e s a r e c a l l i n g f o r i m p r o v e m e n t i n t h e p r e p a r a t i o n O f e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s t o f a c i l i t a t e i m p r o v e m e n t i n t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o f c h i l d r e n . W i t h i n t h e p r o f e s s i o n a l r a n k s , d o c u m e n t s s u c h a s t h e N C T M E r o f e s S i Q n a l T e a c h i n g S t a n d a r d s ( 1 9 9 1 ) a n d T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a ( M A A ) A S a i l f o r S h a n g e ( 1 9 9 1 ) d e s c r i b e i n s o m e d e t a i l w h a t ' i d e a l ' m a t h e m a t i c s t e a c h e r s i n t h e C l a s s r o o m s o f t h e 1 9 9 0 ' s a n d b e y o n d m u s t k n o w a n d b e a b l e t o d o . T h e y a l s o m a k e r e c o m m e n d a t i o n s a s t o h o w e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a r e t o b e p r e p a r e d . W h e t h e r a n o u t s i d e r o r i n s i d e r t o s c h o o l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , a l l a g r e e t h a t t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s i s i m p o r t a n t t o e x a m i n e . A c o m m o n a s s u m p t i o n o r m y t h i s t h a t m o r e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i s a l l t h a t s t u d e n t s n e e d e d ( N C R T L , 1 9 9 2 ; C O M A P , 1 9 9 2 ) . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t n o t o n l y s h o u l d p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t a k e m o r e s e c o n d a r y - l e v e l m a t h e m a t i c s , b u t t h e y s h o u l d a l s o t a k e m o r e m a t h e m a t i c s a f t e r h i g h s c h o o l . M a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s o f t e n c r e a t e a n d d e s i g n s p e c i f i c c o u r s e s t o b e p a r t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n , a n d p r o g r a m s r e q u i r e t h e m f o r t e a c h e r 8 9 c e r t i f i c a t i o n . E l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s O f t e n i n v o l v e o n e t o t h r e e c o n t e n t c o u r s e s . T h e s e c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a r e u s u a l l y t h e o n l y m a t h e m a t i c s c o u r s e s s t u d e n t s t a k e i n t h e i r c o l l e g e ( t e a c h e r p r e p a r a t i o n ) p r o g r a m s u n l e s s t h e y w o r k t o w a r d a m a t h e m a t i c s m a j o r o r m i n o r . 3 I t i s i m p o r t a n t t o g e t a s e n s e o f h o w i n s t r u c t o r s i n t e n d f o r m a t h e m a t i c s c o u r s e s t o f i t i n t o s t u d e n t s ’ p r o g r a m s , w h a t s t u d e n t s a r e t o l e a r n , a n d h o w t h e c o u r s e s a r e p r e p a r i n g t h e m . W i t h o u t t h i s s e n s e , r e c o m m e n d a t i o n s f o r a d d i n g m o r e c o u r s e s o n l y “ a d d m o r e c o u r s e s ” a n d d o n o t n e c e s s a r i l y p r e p a r e b e t t e r e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s s o t h a t c h i l d r e n g e t b e t t e r m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . N o r d o e s a d d i n g c o u r s e s a d d r e s s t h e c h a l l e n g e s o f v a r i e d a b i l i t i e s , p o o r a t t i t u d e s o r a n x i e t y , a n d o t h e r s w i t h w h i c h I h a d s t r u g g l e d i n m y t e a c h i n g . I n s t r u c t o r s , g u i d e d b y d e p a r t m e n t a l c o u r s e d e s c r i p t i o n s , d e t e r m i n e w h a t a n d h o w t o t e a c h t h e c o n t e n t i n t h e i r c o u r s e s . T h e i n s t r u c t o r ' s s e n s e o f t h e c o u r s e s ’ f u n c t i o n s s h a p e s w h a t t h e y a t t e m p t a n d h o w t h e y p o r t r a y t h e c o n t e n t t o s t u d e n t s . T h i s r a i s e s s e v e r a l q u e s t i o n s . H o w d o m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s s e e t h e i r c o u r s e s ? W h a t a r e t h e i r c o m m i t m e n t s a n d c o n s t r a i n t s ? H o w a r e t h e y t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s r e f o r m a n d i t s e f f e c t o n t h e c o u r s e s t h e y t e a c h - - i t s e f f e c t o n t h e i r o w n p r a c t i c e ? T o w h a t e x t e n t d o t h e y f e e l m u c h t h e s a m e a n x i e t y t h a t K - 1 2 m a t h e m a t i c s t e a c h e r s f e e l a b o u t b e i n g a s k e d t o r e t h i n k w h a t i t m e a n s t o t e a c h 3 O n e o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t s t u d e n t s t a k e r e m e d i a l c o u r s e s p r i o r t O a t t e m p t i n g t h e m a t h e m a t i c s f o r t h e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r c o u r s e s . 1 0 m a t h e m a t i c s ? W h a t m o d e l s d o t h e y h a v e f o r t h e i r o w n t e a c h i n g ? H o w a r e t h e y s e e k i n g a n d g i v i n g s u p p o r t t o t h e i r c o l l e a g u e s ? E x p o s i n g t h e n e e d s a n d c o n c e r n s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s w i l l p r o v i d e u s w i t h a p l a c e t o b e g i n c l a r i f y i n g a n d a d d r e s s i n g t h e s e n e e d s a n d c o n c e r n s . A s G o o d ( 1 9 9 0 ) s u g g e s t e d , “ A n y a d e q u a t e i m p r o v e m e n t p l a n [ i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ] d e p e n d s p a r t l y o n t h e a b i l i t y t o d e f i n e t h e p r o b l e m C l e a r l y a n d a c c u r a t e l y ” ( p . 2 4 ) . A d d i t i o n a l l y , a t a t i m e w h e n t h e r e i s p r e s s u r e t o i n c r e a s e t h e m a t h e m a t i c s c o u r s e r e q u i r e m e n t s f o r a l l p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s , i t s e e m s i m p o r t a n t t o d o c u m e n t t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f c u r r e n t c o u r s e s b y i n s t r u c t o r s r e s p o n s i b l e f o r d e s i g n i n g a n d / o r t e a c h i n g t h e m . I n t h i s s t u d y , I e x a m i n e h o w m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t i n s t r u c t o r s o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r s c o n c e p t u a l i z e t h e r o l e s p l a y e d b y t h e i r c o u r s e s . T h e e x t e n t t o w h i c h t h e b r o a d e r c o m m u n i t y O f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s r e s p o n s i b l e f o r t h e s e c o u r s e s s h a r e s t h e c o n c e r n s a n d c h a l l e n g e s t h a t I s t r u g g l e d w i t h ( e m b e d d e d i n s o m e t i m e s c o n f l i c t i n g b u t c o n c u r r e n t l y d e s i r e d r o l e s ) p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t s m e . h e m i T c r E i T h e m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a t t h e U n i v e r s i t y l e v e l h a s b e e n t h e f o c u s o f n u m e r o u s a r t i c l e s , c o n f e r e n c e s , a n d r e p o r t s ( R i s i n g , 1 9 6 9 ; W e i s s g l a s s , 1 9 7 7 ; D o s s e y , 1 9 8 1 ; C a r s s , 1 9 8 4 ; U n i v e r s i t y o f C h i c a g o , 1 9 9 2 ; C O M A P , 1 9 9 2 ) . A c o n s i s t e n t a s s e s s m e n t i s t h a t e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n i s d e f i c i e n t i n m a n y w a y s . T h e c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y 1 1 s c h o o l t e a c h e r s a r e u n d e r a t t a c k , y e t w e d o n o t k n o w m u c h a b o u t t h e i r C h a r a c t e r o r q u a l i t y ( L a m p e r t , 1 9 8 8 ) . A f o c u s i s s u e O f t h e J o u r n a l o f R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t i n E d u c a t i o n ( 5 1 M , 1 9 8 2 ) d e a l i n g e x c l u s i v e l y w i t h m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n d e s c r i b e d t h e s t a t u s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n i n t h e e a r l y 1 9 8 0 ' s . T h e e d i t o r s h a d h i g h - m i n d e d g o a l s . F r o m t h e b e g i n n i n g i t w a s o u r p u r p o s e t o c r e a t e o r c a u s e t o b e c r e a t e d a c o l l e c t i o n o f i d e a s r e l a t i v e e x c l u s i v e l y t o m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n t h a t w o u l d p r o v i d e n e w i n s i g h t s i n t o o u r p r o b l e m s , p r o v o k e t h i n k i n g a b o u t t h o s e p r o b l e m s a n d , p e r h a p s w i t h e x c e s s i v e e n t h u s i a s m o n o u r p a r t , g e n e r a t e a n e w d i a l o g u e a m o n g m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s e v e r y w h e r e r e l a t i v e t o a t t e m p t s t o a c h i e v e s o l u t i o n s o r p a r t i a l s o l u t i o n s . ( H o o t e n , 1 9 8 2 , p . i ) I n c l u d e d i n t h i s c o l l e c t i o n w e r e c a s e s t u d i e s o f t w o e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s ( E n g e l h a r d t , 1 9 8 2 ; H o l l i s & H o u s t o n , 1 9 8 2 ) . T h e s e t o o k t h e f o r m o f , i n o n e c a s e , a d e s c r i p t i o n o f a p r o g r a m ' s h i s t o r y a n d a b r i e f c r i t i q u e o f t h e p r o g r a m , a n d , i n t h e o t h e r , a d e s c r i p t i o n O f a p r o g r a m ' s h i s t o r y , t h e p r i n c i p l e s O f C o m p e t e n c y - B a s e d T e a c h e r E d u c a t i o n , 4 v a r i o u s c o m p o n e n t s o f t h e p r o g r a m ( e . g . , t e c h n o l o g y , f i e l d e x p e r i e n c e ) , a n d a c r i t i q u e t h a t h i n t e d a t s t r u g g l e s a r o u n d e n s u r i n g c h i l d r e n ’ s l e a r n i n g a n d t h e l a c k o f t i m e a n d e q u i p m e n t t o d o a d e q u a t e t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n b o t h c a s e s t u d i e s , t h e p r o g r a m c r i t i q u e i m p l i e d t h a t t h e t a s k o f p r e p a r i n g 4 C e r t a i n a s p e c t s o f t h e p r o g r a m w e r e i d e n t i f i e d : e m p h a s i s o n u s i n g i n q u i r y a n d d i s c o v e r y a p p r o a c h e s w h e n t e a c h i n g , t e a c h i n g m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s , t e a c h i n g s t u d e n t s t o c o n s i d e r l e a r n e r s ' d e v e l o p m e n t a l l e v e l s w h e n s e l e c t i n g i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s a n d t a c t i c s . T h e s e w e r e s t a t e d b a l d l y , w i t h n o e x p l a n a t i o n o f h o w t h i s w a s d o n e o r w h a t t h e f o c u s w a s . T h a t i s , w e r e s t u d e n t s b e i n g t a u g h t u s i n g i n q u i r y o r w e r e t h e y b e i n g t a u g h t f l o w t o t e a c h u s i n g i n q u i r y ? T h i s w a s l e f t a s i m p l i c i t a n d , t o m e , u n c l e a r . 1 2 e l e m e n t a r y t e a c h e r s i n t h e s m a l l m a t h e m a t i c s c o m p o n e n t s O f t h e i r p r o g r a m s w a s i m p o s s i b l e . T h i s c r i t i c i s m t h a t t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s r e q u i r e i n s u f f i c i e n t m a t h e m a t i c s c o u r s e w o r k i s a c o m m o n o n e . I n p a s t c r i t i c i s m , t h e f o c u s w a s c h i e f l y o n c o u r s e r e q u i r e m e n t s a n d t o p i c s c o v e r e d i n c o u r s e s , w i t h l i t t l e n o t e m a d e o f h o w o r w h y c o n t e n t w a s d e a l t w i t h i n t h e c o u r s e s ( e . g . , B u r g e r e t a l , 1 9 8 3 ; D o s s e y , 1 9 8 4 ) . A l b e r s ( 1 9 8 1 ) a r g u e d : " W e n o w d e m a n d t h a t e l e m e n t a r y s t u d e n t s k n o w m o r e m a t h e m a t i c s . S h o u l d n o t t h e i r t e a c h e r s a l s o k n o w m o r e ? " ( p . 1 3 5 ) . Z . P . D i e n e s ( 1 9 7 2 ) t o o k e x c e p t i o n w i t h t h e f o c u s o n t h e c o n t e n t w h e n h e s u g g e s t e d t h a t w h a t s t u d e n t s a r e t a u g h t i s l e s s i m p o r t a n t t h a n h o w t h e y a r e t a u g h t b e c a u s e O f t h e r a p i d c h a n g e s i n t h e b o d y o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d t h e u s e o f t e c h n o l o g i e s . T o d a y ' s w o r l d i s i n c r e a s i n g l y b a s e d o n w i e l d i n g m o r e a n d m o r e c o m p l e x s t r u c t u r e s . W e s h a l l n e e d l a r g e n u m b e r s o f p e o p l e w h o a r e a b l e t o f a c e u n u s u a l a n d u n f o r e s e e n s i t u a t i o n s i n t h e e x t r e m e l y c o m p l e x w o r l d w e a r e c o n s t r u c t i n g . I t i s p r o b a b l y q u i t e u s e l e s s t o m a k e u p a f i x e d c u r r i c u l u m o f w h a t c h i l d r e n [ p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ] s h o u l d l e a r n , b e c a u s e w h a t t h e y a r e l e a r n i n g n o w i s p r o b a b l y o f l i t t l e r e l e v a n c e t o t h e p r o b l e m s t h e y w i l l h a v e t o m e e t t w e n t y y e a r s f r o m n o w . W e c a n s e e t h i s b y l o o k i n g b a c k t w e n t y y e a r s a n d s e e i n g a l l t h e c o m p e t e n c i e s r e q u i r e d t o d a y t h a t w e r e n o t e v e n t h o u g h t o f t w e n t y y e a r s a g o , s u c h a s t h e c o m p u t e r s c i e n c e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d e v e l o p m e n t o f c u r r i c u l u m s h o u l d s t i l l r e c e i v e s e r i o u s a t t e n t i o n , s i n c e w e d o h a v e t o t e a c h c h i l d r e n [ p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ] s o m e m a t h e m a t i c s e v e n t h o u g h i t i s n o t p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t w h a t m a t h e m a t i c s w e t e a c h t h e m . I t i s f a r m o r e i m p o r t a n t t o k n o w h o w t o t e a c h w h a t w e w i s h t o t e a c h . T h i s ” h o w ” s h o u l d b e d e t e r m i n e d b y t h e n e e d t o t r a i n c h i l d r e n t o m e e t t h e u n e x p e c t e d . ( p . 6 6 ) 1 3 H e w a s a d d r e s s i n g t h e t e a c h i n g o f c h i l d r e n , b u t t h e i m p l i c a t i o n i s t h a t t e a c h e r s m u s t b e p r e p a r e d t o t e a c h C h i l d r e n t o m e e t a n d c h a l l e n g e t h e u n e x p e c t e d . 5 P r o f e s s i o n a l s h a v e i n r e c e n t y e a r s c o m e t o g e t h e r t o c a l l f o r n e w w a y s o f l o o k i n g a t s u b j e c t - m a t t e r p r e p a r a t i o n i n a n e f f o r t t o f i n d w a y s t o i m p r o v e i t ( U n i v e r s i t y o f C h i c a g o , 1 9 9 2 ; C O M A P , 1 9 9 2 ; N C T M , 1 9 9 1 ; B a l l & M c D i a r m i d , 1 9 8 9 ) . C o n c e r n f o r w h a t c o n t e n t i n s t r u c t o r s c o v e r e d i n e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n i s s e e n a s n e c e s s a r y b u t n o t s u f f i c i e n t f o r i m p r o v i n g p r e p a r a t i o n . T e a c h e r c a n d i d a t e s ' a n d t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( T h o m p s o n , 1 9 8 4 ; K e n n e d y & S c h m i d t , 1 9 9 0 ; C o b b , 1 9 8 3 ) a s w e l l a s o n t e a c h e r c a n d i d a t e s ' a n d t e a c h e r s ’ s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e ( B a l l , 1 9 8 8 ) h a s b e e n t h e f o c u s o f s o m e r e s e a r c h . T h e s u b j e c t s h a v e b e e n , l a r g e l y , p r o s p e c t i v e o r i n s e r v i c e t e a c h e r s , w i t h m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s i n t h e b a c k g r o u n d . B r o w n ( 1 9 8 2 ) s u g g e s t e d a n o t h e r w a y o f l o o k i n g a t s u b j e c t - m a t t e r p r e p a r a t i o n . H e c a l l e d f o r ” h u m a n i s t i c a p p r o a c h e s " i n t h e p r a c t i c e o f t e a c h e r e d u c a t i o n , p a r t i c u l a r l y m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . T h e h u m a n i s t i c p e r s p e c t i v e v i e w s m a t h e m a t i c s a s l e s s c l e a r a n d m o r e a m b i g u o u s a n d c o n t r o v e r s y - l a d e n t h a n i n s t r u c t o r s p o r t r a y i t i n m o s t o f s c h o o l m a t h e m a t i c s . U s i n g p r o b l e m s o l v i n g a s t h e c o n t e n t o f c o n c e r n , B r o w n a r g u e d t h e f o l l o w i n g : I t m a y v e r y w e l l b e t h e c a s e t h a t w h a t i s n e e d e d i s i n s t r u c t i o n i n c a r r y i n g o n g e n u i n e d i a l o g u e , e n c o u r a g i n g c o n t r o v e r s y , a n d t e m p e r i n g i n c l i n a t i o n s a t c l o s u r e [ i t a l i c s i n o r i g i n a l ] w i t h 5 N o t e t h a t D i e n e s m a d e t h e s e c o m m e n t s i n 1 9 7 2 , o v e r t w e n t y y e a r s a g o . 1 4 s t u d e n t s i f w e w i s h t o e n c o u r a g e a v i e w a m o n g t e a c h e r s o f p r o b l e m s o l v i n g a s p r o b l e m a t i c . ( p . 7 ) H e a d m i t t e d t h a t h e h a d n o r e a d y d e s i g n f o r t h e k i n d o f t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m t h i s w o u l d r e q u i r e , n o t i n g t h a t " e v e n t h e m o s t i n t e l l e c t u a l l y c o m p e t e n t [ g r a d u a t e s t u d e n t s ] f e e l u n c o m f o r t a b l e t e a c h i n g a n y t h i n g a s a n u n r e s o l v e d o r u n r e s o l v a b l e p r o b l e m " ( p . 7 ) . H e d i d n o t a r g u e t h a t a l l o f p r o b l e m s o l v i n g n e e d s t o b e v i e w e d a s p r o b l e m a t i c , b u t h e r e c o m m e n d e d t h a t , " t o t h e e x t e n t t h a t e d u c a t i o n b o t h o f y o u n g s t e r s a n d o f t e a c h e r s i s a n e f f o r t t o s h a r e p e r s o n a l , i d i o s y n c r a t i c i n s i g h t s a n d t o u n d e r s t a n d f u n d a m e n t a l u n s o l v a b l e p r o b l e m s , [ s o m e a t t e n t i o n s h o u l d b e p a i d t o t h i s ] c o m p e t i n g w o r l d v i e w " ( p . 7 - 8 ) . B r o w n ( 1 9 8 2 ) a v o w e d t h a t t h e m o s t f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s O f t e a c h e r e d u c a t i o n a r e p r o b l e m a t i c . H e i d e n t i f i e d a p i e c e m i s s i n g f r o m c o n v e r s a t i o n s i n t e a c h e r e d u c a t i o n . W h a t i s m i s s i n g t h e n i n t h e a r e a O f t e a c h e r e d u c a t i o n i s n o t s o m u c h a c o l l e c t i o n O f r e s e a r c h f i n d i n g s u p o n w h i c h w e m i g h t j u s t i f y t h e o r g a n i z a t i o n a n d d e s i g n o f a p a r t i c u l a r p r o g r a m , b u t r a t h e r t h e c o u r a g e a n d i n t e l l i g e n c e t o a l l o w a l l o f u s t o b e c o m e c l e a r e r o n w h a t w e b e l i e v e w i t h r e g a r d t o [ p r o b l e m a t i c ] q u e s t i o n s . ( p . 1 1 ) T h e r e h a v e b e e n a f e w m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a n d r e s e a r c h e r s w h o h a v e a s k e d s o m e O f t h e s e q u e s t i o n s . T h e i r w o r k f o r m s t h e f o u n d a t i o n o f t h i s s t u d y a n d s e r v e s t o l a u n c h i t . f i E r M a n y r e c e n t r e p o r t s o n t e a c h e r p r e p a r a t i o n h i n t a t t h e n o t i o n o f s t u d y i n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a n d t h e i r b e l i e f s a n d a c t i o n s ( U n i v e r s i t y o f C h i c a g o , 1 9 9 2 ; C O M A P , 1 9 9 2 ; T h o m p s o n , 1 5 1 9 9 2 ) . T h o m p s o n ( 1 9 9 2 ) r a i s e d s e v e r a l q u e s t i o n s a b o u t t h e b e l i e f s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s : R e s e a r c h o n t e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d c o n c e p t i o n s h a s s t i m u l a t e d r e f l e c t i o n o n o u r r o l e a s t e a c h e r e d u c a t o r s . W h a t d o w e b e l i e v e a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ? T o w h a t e x t e n t a r e o u r m e t h o d s o f t e a c h i n g a n d e v a l u a t i n g s t u d e n t s ’ w o r k c o n s i s t e n t w i t h o u r p r o f e s s e d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ? W h a t C h a l l e n g e s d o w e f a c e i n c h a n g i n g o u r p r a c t i c e s t o b e t t e r r e f l e c t o u r c o n c e p t i o n s ? ( p . 1 4 1 ) I m p l i c i t i n t h i s l i s t o f q u e s t i o n s , r a i s e d i n a r e v i e w o f t h e r e s e a r c h i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e l a t e d t o t e a c h e r b e l i e f s , i s t h e r e c o m m e n d a t i o n t h a t t h e s e q u e s t i o n s d r i v e r e s e a r c h d e s i g n e d t o i n v e s t i g a t e t h e i r a n s w e r s . M a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s h a v e b e e n p r i m a r i l y i n t h e b a c k g r o u n d i n p a s t r e s e a r c h . E x a m i n a t i o n s o f p r o g r a m m a t i c r o l e s a n d i n s t r u c t o r s ' g o a l s a n d i n t e n t i o n s f o r c o u r s e s h a v e b e e n e m b e d d e d w i t h i n r e p o r t s o f r e s e a r c h o n s t u d e n t b e l i e f s , s t u d e n t a c h i e v e m e n t , o r s t u d e n t a c t i o n s . O n e e x c e p t i o n w a s W e i s s g l a s s ' r e p o r t ( 1 9 7 7 ) O f h i s e x p e r i e n c e w i t h a n d t h i n k i n g a b o u t a m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . H e h a d d e v e l o p e d a n d u s e d c u r r i c u l a r m a t e r i a l s t h a t a l l o w e d h i m t o t e a c h t h e c o u r s e i n a m a t h e m a t i c s l a b o r a t o r y u s i n g a s m a l l - g r o u p a p p r o a c h . I n h i s r e p o r t o f t h i s e x p e r i e n c e , h e d e s c r i b e d h i s o b j e c t i v e s f o r t h e c o u r s e , t h e c h a l l e n g e s t o e f f e c t i v e t e a c h i n g i t o f f e r e d , t h e a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g o n w h i c h h e b a s e d t h e c o u r s e d e s i g n , a n d a d e s c r i p t i o n a n d e v a l u a t i o n o f t h e p r o j e c t . T h i s r a r e g l i m p s e i n t o a m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r ’ s t h o u g h t a n d a c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h i s k i n d o f c o u r s e i n d i c a t e s t h a t s o m e e d u c a t o r s r e c o g n i z e d m a n y O f t h e 1 6 c o n c e r n s a n d h o p e s o f m o r e r e c e n t m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a n d r e s e a r c h e r s s o m e t i m e a g o . W e i s s g l a s s ' ( 1 9 7 7 ) o b j e c t i v e s r e a d m u c h l i k e t h e g o a l s O f t h e N C T M S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) o n r e a s o n i n g , c o m m u n i c a t i o n , c o n n e c t e d n e s s , p r o b l e m s o l v i n g , a n d m o t i v a t i o n . T h e C h a l l e n g e s t o e f f e c t i v e l y t e a c h i n g a c o u r s e f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t h a t h e i d e n t i f i e d w e r e : 1 ) t h e h i g h d e g r e e o f m a t h a n x i e t y o r m a t h d i s i n t e r e s t o f s t u d e n t s , 2 ) t h e w i d e r a n g e o f m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s a n d a b i l i t i e s t h e s t u d e n t s b r i n g t o t h e c o u r s e , 3 ) t h e s t u d e n t d i s s a t i s f a c t i o n w i t h c o n c e n t r a t i o n i n t h e c o u r s e o n c o n t e n t - - n o t s e e i n g t h e r e l e v a n c e t o t e a c h i n g o f c h i l d r e n , 4 ) t h e r e l i a n c e o n t h e l e c t u r e m e t h o d , h i n d e r i n g m e a n i n g f u l s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n , a n d 5 ) m e t h o d s o f e v a l u a t i o n t h a t i n t e r f e r e w i t h s t u d e n t l e a r n i n g . B y a d o p t i n g a s m a l l - g r o u p a p p r o a c h t o i n s t r u c t i o n , W e i s s g l a s s a t t e m p t e d t o m i n i m i z e t h e s e c h a l l e n g e s , s e t t i n g u p a s i t u a t i o n w h e r e s t u d e n t s l e a r n e d f r o m e a c h o t h e r , h a d s o m e c o n t r o l o v e r h o w t h e y s p e n t t h e i r t i m e , u s e d t h e e x p e r i e n c e s t h a t t h e y b r o u g h t t o t h e c l a s s , a n d t a u g h t e a c h o t h e r . T h e p a r t i c u l a r a p p r o a c h u s e d f o r t h e c o u r s e i s n o t t h e i s s u e h e r e . H i s e x a m i n a t i o n o f h i s o b j e c t i v e s a n d a s s u m p t i o n s a n d h i s d e c i s i o n s a b o u t h o w t o d e a l w i t h t h e c h a l l e n g e s f a c i n g h i m i s i n f o r m a t i v e . T h e ” h o w s ” a n d ” w h y s ” o f h i s t h i n k i n g a n d h i s s t u d e n t s ’ l e a r n i n g c o n c e r n e d W e i s s g l a s s . H e b e g a n b y d e f i n i n g ” l e a r n i n g ” : ” L e a r n i n g c o n s i s t s o f e v a l u a t i n g n e w i n f o r m a t i o n i n r e l a t i o n t o i n f o r m a t i o n t h a t i s a l r e a d y u n d e r s t o o d a n d s t o r i n g i t i n a f o r m t h a t i s a v a i l a b l e f o r u s e i n n e w s i t u a t i o n s ” ( p . 3 7 9 ) . F r o m t h i s , h e d e t e r m i n e d h i s a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t h i s s t u d e n t s ' l e a r n i n g 1 7 r e q u i r e d o f h i m . H e a s s u m e d t h a t s t u d e n t s m u s t b e f e e l i n g g o o d i n o r d e r t o l e a r n a n d t h a t s t u d e n t s c a n e v a l u a t e n e w i n f o r m a t i o n o n l y w h e n t h e y u n d e r s t a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o i n f o r m a t i o n a l r e a d y a s s i m i l a t e d . H e b a s e d h i s d e c i s i o n s a b o u t h i s c o u r s e d e s i g n o n t h e s e a s s u m p t i o n s . I t s e e m s i m p o r t a n t t o c o n s i d e r t h e e x t e n t t o w h i c h t h e c h a l l e n g e s t o e f f e c t i v e t e a c h i n g o f t h e s e c o u r s e s r e m a i n t h e s a m e , h o w a s s u m p t i o n s a b o u t l e a r n i n g h a v e c h a n g e d , a n d h o w i n s t r u c t o r s a r e c o n c e p t u a l i z i n g t h e i r c o u r s e s t o d a y . R e c e n t l y , t h e r e s e a r c h O f a g r o u p O f m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y ( W i l c o x , S c h r a m , L a p p a n , L a n i e r , a n d E v e n ) r e p o r t e d o n t h e i n f l u e n c e O f a n i n t e r v e n t i o n p r o g r a m o n b e g i n n i n g t e a c h e r s ' p r a c t i c e . T h e i n t e r v e n t i o n w a s a s e q u e n c e o f t h r e e n o n t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s c o u r s e s , a m e t h o d s c o u r s e , a n d a c u r r i c u l u m s e m i n a r . T h e c o n t e n t c o u r s e s e m p h a s i z e d t h e i n t e g r a t i o n a n d i n t e r c o n n e c t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . A m a j o r g o a l o f t h e p r o j e c t w a s t o c h a l l e n g e t h e b e l i e f s a n d d i s p o s i t i o n s t o w a r d m a t h e m a t i c s t h e s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e s . T h e e d u c a t o r s d e s i g n e d t h e c o u r s e s t o e n c o u r a g e s t u d e n t s ' r e e x a m i n a t i o n o f : [ S t u d e n t s ’ ] f u n d a m e n t a l b e l i e f s a b o u t s u c h q u e s t i o n s a s : W h a t i s m a t h e m a t i c s ? W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w m a t h e m a t i c s ? W h a t m a t h e m a t i c s d o e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n n e e d t o s t u d y ? H o w d o w e m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o i n c l u d e i n t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m ? H o w d o c h i l d r e n l e a r n m a t h e m a t i c s ? W h a t i s t h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m ? ( L a p p a n & E v e n , 1 9 8 9 , p p . 1 - 2 ) T h e o v e r a l l g o a l o f t h e p r o g r a m w a s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o e x p e r i e n c e ” g o o d m a t h e m a t i c s - - t a u g h t w e l l . ” T h e r e s e a r c h e r - e d u c a t o r s c o n c e i v e d o f a n d e n a c t e d t h e i n t e r v e n t i o n t o ” d e m o n s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f d e v e l o p i n g i n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y 1 8 t e a c h e r s a m o r e c o n c e p t u a l l e v e l o f k n o w l e d g e O f m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . " ( W i l c o x e t a l , 1 9 9 2 , p . 2 ) T h e y e m b e d d e d t h e l e a r n i n g O f m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e x t O f l e a r n i n g t o t e a c h s o t h a t d e v e l o p i n g s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e w a s l i n k e d w i t h d e v e l o p i n g p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . T h e y d e s i g n e d i n s t r u c t i o n t o u s e p r o b l e m S i t u a t i o n s , i n v o l v e p e r i o d i c r e f l e c t i o n s , a n d d e v e l o p a c o m m u n i t y O f l e a r n e r s . T h r e e f a c e t s O f " g o o d m a t h e m a t i c s " c o n c e r n e d t h e i n s t r u c t o r o f t h e c o u r s e s : t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t , m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s , a n d s t u d e n t s ' " d o i n g " m a t h e m a t i c s . S h e i n t e r p r e t e d t h e s e f a c e t s f r o m a p e r s p e c t i v e a l i g n e d w i t h t h e N C T M S t a n d a r d S ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) . F o r e x a m p l e , S h e d e a l t w i t h t h e t h e m a t i c a l l y o r g a n i z e d c o n t e n t i n v a r i o u s w a y s a l l o w i n g f o r i n t e g r a t i o n O f i d e a s a n d p r o b l e m s o l v i n g . T h e i n s t r u c t o r o f t h e m a t h e m a t i c s c o u r s e s a t t e m p t e d t o c r e a t e a n e n v i r o n m e n t i n w h i c h s t u d e n t s " c o u l d c o l l e c t i v e l y a n d c o o p e r a t i v e l y l e a r n w a y s t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c s , i n v e n t p r o c e d u r e s t o s o l v e n e w p r o b l e m s , a n d b u i l d m o d e l s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s ” ( S c h r a m e t a l , 1 9 8 8 , p . 8 ) . T h e M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y s t u d y i n c l u d e d t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e b y t h e i n s t r u c t o r a s a b a c k d r o p . A n o t h e r p r o j e c t t h a t i n c l u d e d t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r a s a n i n f o r m a n t , b u t n o t a s t h e p r i m a r y f o c u s , w a s t h e w o r k O f a n o t h e r g r o u p o f e d u c a t o r s : B o r k o , E i s e n h a r t , B r o w n , U n d e r h i l l , B e h m , a n d R o m a g n a n o . T h e m o s t i m p o r t a n t a s p e c t o f t h i s w o r k t o t h e p r o p o s e d s t u d y w a s t h e i n v o l v e m e n t o f t h e m a t h e m a t i c s m e t h o d s i n s t r u c t o r . T h e b r o a d e r s t u d y e x a m i n e d t h e c o m p l e t e t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m o f a n 1 9 i n s t i t u t i o n f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t w o d i f f e r e n t t h e o r i e s O f l e a r n i n g ( E i s e n h a r t e t a l , 1 9 9 1 ) . W i t h i n t h e s t u d y w a s a c o n s i d e r a t i o n o f t h e w a y s t h e m a t h e m a t i c s m e t h o d s i n s t r u c t o r v i e w e d t h e m e t h o d s c o u r s e , h i s t h e o r y o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , t h e c h a l l e n g e s h e s a w t o e f f e c t i v e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a n d t h e r e s e a r c h e r s ’ a n a l y s e s o f t h e m e s s a g e s t h e c o u r s e c o n v e y e d t o t h e s t u d e n t s . W h i l e i t i n v o l v e d t h e t h o u g h t s o f t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r ( U n d e r h i l l , 1 9 9 1 ) , t h e y w e r e s e c o n d a r y t O t h e s t u d y a n d r e p r e s e n t e d t h e r e f l e c t i o n s O f o n l y o n e i n s t r u c t o r . B r o w n , C o o n e y , a n d J o n e s ( 1 9 9 0 ) a s s e s s e d t h a t a g o l d e n o p p o r t u n i t y t o s t u d y m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s w a s , l a r g e l y , i g n o r e d w i t h t h e a d v e n t o f ” N e w M a t h ” a n d t h e a s s o c i a t e d t e a c h e r e n h a n c e m e n t p r o g r a m s . T h e y b e m o a n e d t h e f a c t t h a t l i t t l e r e s e a r c h w a s d o n e a r o u n d " t h e m o s t h i g h l y f u n d e d m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m i n t h e h i s t o r y o f t h e U n i t e d S t a t e s ” ( p . 6 4 1 ) . A s a r e s u l t , w e h a v e v e r y l i t t l e s e n s e o f h o w t h e p r e s e n t c a l l f o r c h a n g e m i g h t b e s u p p o r t e d . T h e N e w M a t h r e f o r m w a s t o p - d o w n a n d c u r r i c u l u m d r i v e n ; i t i n v o l v e d t h e ” w h a t . " T h e c u r r e n t r e f o r m i s m e a n t t o i n v o l v e a l l l e v e l s o f p a r t i c i p a n t s ( e . g . , S t a n d a r d S a u t h o r s i n c l u d e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s , s t a t e m a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r s , a n d c l a s s r o o m t e a c h e r s ) a n d i n c l u d e s c u r r i c u l a r , i n s t r u c t i o n a l , a n d p h i l o s o p h i c a l a s p e c t s - - t h e ” w h a t , h o w , a n d w h y . ” U n c l e a r i s w h a t t h e ” w h a t , h o w , a n d w h y ” o f m a t h e m a t i c s c o u r s e s d e s i g n e d f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a r e . T h e s t u d i e s o f t h e p a s t i n v o l v i n g i n s t r u c t o r s ' t h i n k i n g b e h i n d t h e c o u r s e s t h e y t a u g h t a r e i n f o r m a t i v e , b u t t h e y i n v o l v e d s i n g l e 2 0 i n s t r u c t o r s a n d d i d n o t f o c u s c e n t r a l a t t e n t i o n o n t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . W h a t i f t h e q u e s t i o n s p o s e d a b o u t t h e b e l i e f s a n d f u t u r e a c t i o n s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i t h i n t h e c o u r s e s i n t h e M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y s t u d y w e r e p o s e d t o m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s ? W h a t i s m a t h e m a t i c s ? W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w m a t h e m a t i c s ? W h a t m a t h e m a t i c s d o [ p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ] n e e d t o s t u d y ? H o w d o w e m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o i n c l u d e i n t h e c o u r s e s ? H o w d o [ s t u d e n t s ] l e a r n m a t h e m a t i c s ? W h a t i s t h e r o l e o f t h e t e a c h e r i n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m ? A d d r e s s i n g t h e s e q u e s t i o n s c o u l d s e r v e t o o r i e n t d i s c u s s i o n s a b o u t a n d f u r t h e r r e s e a r c h i n t o p r o b l e m a t i c a r e a s O f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a fi o n . A n e x a m i n a t i o n O f t h e w a y s a s e t o f i n s t r u c t o r s v i e w t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s ( a s t h e c o n t e n t p o r t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t - m e t h o d s s e q u e n c e o f c o u r s e s ) a s a p a r t O f t h e p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s O f f e r s a n o p p o r t u n i t y t o c o n s i d e r t h e d i f f e r e n t w a y s i n s t r u c t o r s d e f i n e c o u r s e c o n t e n t , t h e d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t s , a n d t h e d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t h a t p e r m e a t e t h e e x p e r i e n c e f o r s t u d e n t s i n t h e c o u r s e s . H o w d o i n s t r u c t o r s ’ a s s u m p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s s h a p e c o u r s e d e s i g n ? W h a t r o l e s d o i n s t r u c t o r s s e e t h e i r c o u r s e s p l a y i n g i n s t u d e n t s ’ p r o g r a m s ? T h e s e q u e s t i o n s l e a d b a c k t o t h e c o n c e r n s r a i s e d i n m y o w n t e a c h i n g . I f i n s t r u c t o r s t h i n k t h a t t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a r e t o p l a y p a r t i c u l a r r o l e s , w h a t a r e t h e r o l e s t h a t i n s t r u c t o r s m o s t v a l u e a n d s u p p o r t ? 2 1 T h e r o l e s t h a t i n s t r u c t o r s b e l i e v e t o b e m o s t i m p o r t a n t a n d t h e m e a n i n g t h o s e r o l e s h o l d f o r t h e m w i l l o r i e n t w h a t c o n t e n t g e t s t a u g h t a n d h o w t h e y a t t e m p t t o t e a c h t h e c o n t e n t i n t h e c o u r s e s . W i t h t h e a t m o s p h e r e o f r e f o r m s u r r o u n d i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t o d a y , m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n h a s a c r i t i c a l r o l e t o p l a y ( L e B l a n c , 1 9 7 7 ) . L e B l a n c a s s e r t e d t h a t , " T e a c h e r e d u c a t i o n i s a k e y f a c t o r , i f n o t t h e m o s t i m p o r t a n t f a c t o r i n s c h o o l r e f o r m ” ( p . 2 2 3 ) . I f h e i s c o r r e c t , t h e q u e s t i o n O f t h e s i m i l a r i t y o f t h e r o l e s a n d g o a l s O f t h e m a t h e m a t i c s c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o t h e r e c o m m e n d a t i o n s o f t h e r e f o r m m o v e m e n t n e e d s t o b e a d d r e s s e d . M o r e q u e s t i o n s a r i s e . T o w h a t e x t e n t a r e t h e g o a l o f s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l e m p o w e r m e n t a n d a v i e w o f t h e d i s c i p l i n e o f m a t h e m a t i c s a s p r o b l e m a t i c a p a r t o f t h e e x p e r i e n c e O f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ? W h a t i m a g e o f t e a c h i n g i s a p a r t o f t h i s e x p e r i e n c e ? T h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s a r e b e t w e e n t h e r e f o r m a n d t h e s t u d e n t s , a n d t h e y a r e s e e n a s ” k e y f i g u r e s i n c h a n g i n g t h e w a y s i n w h i c h m a t h e m a t i c s i s t a u g h t a n d l e a r n e d i n s c h o o l s ” ( N C T M , 1 9 9 1 , p . 2 ) . T h e r o l e s m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s s e e a s m o s t i m p o r t a n t f o r t h e i r c o u r s e s t o p l a y g u i d e t h e i r d e c i s i o n - m a k i n g i n t h e c o u r s e s . T h e r o l e s i n s t r u c t o r s e x p e c t c o u r s e s t o p l a y h a v e i m p l i c a t i o n s a s t o w h e t h e r t h e n e e d s o f s t u d e n t s i n t h e i r t e a c h e r p r e p a r a t i o n a r e b e i n g w e l l - s e r v e d a s s e t a g a i n s t t h e m e a s u r e o f t h e r e f o r m r e c o m m e n d a t i o n s p r e s e n t e d i n d o c u m e n t s s u c h a s t h e N C T M m m ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) a n d t h e M A A L L Q Q L I Q L Q D E Q E ( 1 9 9 1 ) . M y s t u d y i n t e n d s t o a d d r e s s s e v e r a l c o n c e r n s r a i s e d i n t h i s e x a m i n a t i o n o f t h e l i t e r a t u r e . B y f o c u s i n g o n t h e b e l i e f s a n d a c t i o n s 2 2 O f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a s t h e y a t t e m p t t o m a t h e m a t i c a l l y p r e p a r e p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s , I h o p e t o c o n t r i b u t e t o t h e d i a l o g u e a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n a n t i c i p a t e d b y t h e e d i t o r s o f t h e f o c u s i s s u e o f J E S S C i t e d e a r l i e r . T h e h o p e s o f t h e e d i t o r s a r e n o t u n l i k e t h e a s p i r a t i o n s I h o l d f o r t h i s s t u d y : t o p r o v i d e n e w i n s i g h t s i n t o t h e w a y s w e v i e w t h e m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s , t o p r o v o k e t h i n k i n g a b o u t t h e r o l e s t h e c o u r s e s c a n a n d s h o u l d p l a y , a n d g e n e r a t e d i a l o g u e a m o n g m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s e v e r y w h e r e r e l a t i v e t o i m p r o v e m e n t O f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n a n d , u l t i m a t e l y , i m p r o v e m e n t o f t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o f a l l e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n . C H A P T E R 3 A N A L Y T I C F R A M E W O R K M a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a r e a r e q u i r e d p a r t o f e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s . T h e s e c o u r s e s a r e t a u g h t a s a s e r v i c e t o t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m w i t h i n m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s b y d e p a r t m e n t a l s t a f f . A s n o t e d , p r o g r a m s g e n e r a l l y r e q u i r e o n e t o t h r e e m a t h e m a t i c s c o u r s e s a l o n g w i t h a m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e . T h e p r o g r a m m a t i c p u r p o s e s f o r t h e c o n t e n t c o u r s e s a n d t h e p r e f e r r e d m e a n s f o r a c h i e v i n g t h o s e p u r p o s e s w e r e O f t e n v e i l e d t o m e a s a n i n s t r u c t o r . I h e l d p a r t i c u l a r g o a l s f o r t h e c o u r s e s w h e n I t a u g h t . T h e s e w e r e i n s t r u c t i o n a l g o a l s t h a t l s e l e c t i v e l y d e v e l o p e d . B u t , m y q u e s t i o n i n t h i s s t u d y a s k s a b o u t t h e p r o g r a m m a t i c r o l e s t h a t t h e c o u r s e s a r e t o p l a y . H o w d o i n s t r u c t o r s s e e t h e c o u r s e s f i t t i n g i n t o t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n o f t h e s t u d e n t s ? W h a t s p e c i a l m a n d a t e s d o t h e s e c o u r s e s s a t i s f y ? H o w d o t h e s e r o l e s a n d t h e g o a l s t h a t i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s s e e a s s e r v i n g t h e s e r o l e s m e s h w i t h t h o s e e n v i s i o n e d i n t h e c u r r e n t r e f o r m m o v e m e n t f o r t h e c l a s s r o o m s i n w h i c h t h e i r s t u d e n t s w i l l e v e n t u a l l y b e t e a c h i n g ? A s a w a y t o b e g i n t h i n k i n g a b o u t t h e r e s e a r c h q u e s t i o n , I d e v e l o p e d d e s c r i p t i o n s o f f i v e r o l e s ( e l a b o r a t e d u p o n b e l o w ) t h a t I a n t i c i p a t e d w o u l d b e m a j o r r o l e s i d e n t i f i e d a n d s t r e s s e d b y t h e i n s t r u c t o r s i n t h e i r r e f l e c t i o n s o n t h e c o u r s e s . A p a r t o f t h i s s t u d y i n v o l v e s t h e e x t e n t t o w h i c h t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s e n c o m p a s s t h e r o l e s i n s t r u c t o r s s e e a s i m p o r t a n t f o r t h e c o u r s e t o p l a y . A d d i t i o n a l l y , I d o c u m e n t t h e e x i s t e n c e o f m a j o r r o l e s t h a t w e r e n o t c o n s i s t e n t w i t h t h e s e p r o - d e s c r i b e d r o l e s . T h e b e l i e f s a n d 2 3 2 4 a s s u m p t i o n s t h a t w e r e e x p r e s s e d b y i n s t r u c t o r s a r e t h e e v i d e n c e f o r t h e e x i s t e n c e o f t h e v a r i o u s r o l e s , a n d t h o s e b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s e x p r e s s e d t h a t d i d n o t f i t w i t h a p a r t i c u l a r r o l e a r e o f S p e c i a l i n t e r e s t , a s e v i d e n c e o f o t h e r c o n s i d e r a t i o n s a n d c o n c e r n s w i t h w h i c h i n s t r u c t o r s w e r e d e a l i n g . I n o r d e r t o C l a r i f y t h e i n s t r u c t o r s ’ b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s , I n e e d e d t o a s k s e v e r a l q u e s t i o n s : W h a t a s s u m p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s , t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s s e r v e d a s t h e b a s i s o n w h i c h c o u r s e s w e r e d e s i g n e d ? H o w d i d i n s t r u c t o r s s e e t h e m s e l v e s s u p p o r t i n g t h e r o l e s t h a t t h e y v a l u e d i n t h e t e x t s e l e c t i o n , i n a s s i g n m e n t s , i n u s e O f c l a s s t i m e , a n d i n a s s e s s m e n t ? H o w w e r e t h e r o l e s s e e n a s c o n n e c t e d t o t e a c h e r p r e p a r a t i o n , i f a t a l l ? I i n v e s t i g a t e t h e a n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s w i t h a t t e n t i o n g i v e n t o t h e a t t r i b u t e s o f t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s . I t i s t o t h o s e r o l e s a n d t h e i r d e s c r i p t i o n s w e n o w t u r n . P o s s i b l e R o l e s a n d R a t i o n a l e s I a s s e r t t h a t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f a c u l t y h a v e d i f f e r e n t i d e a s a b o u t t h e r o l e s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s r e q u i r e d f o r e l e m e n t a r y c e r t i f i c a t i o n p l a y i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . B a s e d o n m y e x p e r i e n c e , I s e e s e v e r a l p o s s i b l e r o l e s a n d r a t i o n a l e s m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s m i g h t c o n c e i v e o f f o r t h e c o u r s e s , e a c h h a v i n g a p o s s i b l e c o n n e c t e d n e s s w i t h t e a c h e r p r e p a r a t i o n . T h e f i v e t h a t I s h a r e h e r e r e p r e s e n t m y b e s t g u e s s a s t o t h e m o s t c o m m o n r o l e s a c c e p t e d a s v a l i d b y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . 2 5 T h e r o l e s o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n a r e : 0 T o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n t h e m a t h e m a t i c s t h e y n e e d t o k n o w a s K - 8 c l a s s r o o m t e a c h e r s ( C o n t e n t ) , 0 T o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n t h e h i s t o r y a n d c o n v e n t i o n s O f m a t h e m a t i c s a n d t h e p r e f e r r e d s t r a t e g i e s o f o p e r a t i o n i n m a t h e m a t i c s t h e y n e e d t o k n o w a s K - 8 m a t h e m a t i c s t e a c h e r s ( N o r m s ) , - T O p r o v i d e s t u d e n t s w i t h t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s K - 8 ( T e a c h i n g ) , 0 T o k e e p i n e p t p e o p l e o u t O f t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c l a s s r o o m ( G a t e - k e e p i n g ) . a n d 0 T o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n e x p e r i e n c e t h a t h e l p s t h e m f e e l g o o d a b o u t t h e m s e l v e s w h e n d e a l i n g w i t h m a t h e m a t i c s ( A t t i t u d e ) . T h e s e a r e t h e m o s t l i k e l y g l o b a l r o l e s t h a t l f o r e s a w . T h e r e a r e o t h e r r o l e s , s u c h a s “ t o l e a r n h o w t o u s e t e c h n o l o g y t o s o l v e m a t h e m a t i c s p r o b l e m s . ” T h e y a r e i m p o r t a n t a n d w e r e O f i n t e r e s t t o t h e s t u d y , b u t t h e y w e r e n o t s e e n a s f o c a l . I a n t i c i p a t e d t h a t t h e r e w e r e r o l e s t h a t i n s t r u c t o r s w o u l d i d e n t i f y t h a t I h a d n o t i d e n t i f i e d , b u t I s e t t h e s e f i v e o u t a s a p l a c e t o s t a r t . W i t h e a c h o f t h e s e r o l e s , t h e r e a r e d i f f e r i n g i n t e r p r e t a t i o n s p o s s i b l e , r e s u l t i n g i n v e r y d i f f e r e n t l o o k i n g c l a s s r o o m s a n d h a v i n g v a r i e d c o u r s e r e q u i r e m e n t s . P a r t o f t h e s t u d y w a s t o i n v e s t i g a t e w h a t d i f f e r e n t i n s t r u c t o r s m e a n t w h e n e m p h a s i z i n g t h e s a m e r o l e o r w h e n u s i n g s i m i l a r t e r m i n o l o g y . A n d , w h i l e m a n y i n s t r u c t o r s m a y b e l i e v e e a c h o f t h e r o l e s i d e n t i f i e d a b o v e a r e v a l i d , t h e y c o u l d d i f f e r i n t h e i r d e t e r m i n a t i o n o f t h e p r i m a r y r o l e a n d t h e r e a s o n s f o r 2 6 v a l u i n g e a c h . T h e s e d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s i n c l u d e t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r ' s r a t i o n a l e s u p p o r t i n g t h e r o l e f o r t h e c o u r s e s i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . T h e s e r a t i o n a l e s c o u l d i n v o l v e a n o r i e n t a t i o n t o w a r d s e r v i n g t h e n e e d s o f t h e s t u d e n t , o r t h e y c o u l d r e f l e c t i n s t i t u t i o n a l c o n c e r n s . I t w a s a l s o i m p o r t a n t t o i d e n t i f y a s s u m p t i o n s m a d e a b o u t w h a t s t u d e n t s k n o w a n d o u g h t t o k n o w t h a t p l a y a p a r t i n v a r i o u s r a t i o n a l e s f o r t h e r o l e s c o u r s e s p l a y i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I u s e d t h e s e t o h e l p d i s t i n g u i s h t h e r o l e s a n d r a t i o n a l e s t h a t s u p p o r t t h e m . L g a r n i n g M a t h e m a t i c a l C o n t e n t W h e n t h e r o l e O f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n i s s e e n a s t o t e a c h f o r t h e l e a r n i n g o f t h e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s n e e d t o k n o w t o b e a b l e t o t e a c h K - 8 m a t h e m a t i c s , o n e i s s u e i s w h a t c o n t e n t i s n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t t o k n o w . T h e c o n t e n t c o u l d b e l i m i t e d t o t h e m a t h e m a t i c s t h a t i s a p a r t o f t h e K - 8 c u r r i c u l u m . I t c o u l d b e e x p a n d e d t o i n c l u d e o t h e r m a t h e m a t i c a l t o p i c s b e y o n d t h e t y p i c a l K - 8 l e v e l . T h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n v o l v e s d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s o f s o p h i s t i c a t i o n , d e p e n d i n g o n h o w t h e c o n t e n t i s d e f i n e d . T w o a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t c o n t e n t s t u d e n t s k n o w u p o n e n t e r i n g t h e c o u r s e s r e s u l t i n d i f f e r e n t s i t u a t i o n s i n c l a s s r o o m s . T h e f i r s t a s s u m p t i o n i s t h a t t h e s t u d e n t s e n t e r t h e c l a s s n _ o _ t M i n g t h e m a t h e m a t i c s t h e y n e e d t o k n o w . T h e c o u r s e i s s e e n a s a p l a c e w h e r e p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i s e m p h a s i z e d b a s e d o n t h e n e e d s i d e n t i f i e d b y t h e i n s t r u c t o r . T h e s e n e e d s m a y b e d e t e r m i n e d o n t h e b a s i s o f t h e i n s t r u c t o r ' s e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h e c o u r s e s , a s s e s s m e n t o f n e e d s a t t h e b e g i n n i n g o f e a c h s e m e s t e r , o r 2 7 t h e i n s t r u c t o r ' s p e r s o n a l r e a d i n g o f t h e s t a t e - o f — a f f a i r s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , w r i t l a r g e . W h e n o p e r a t i n g u n d e r t h i s a s s u m p t i o n , d i f f e r e n t s i t u a t i o n s c a n r e s u l t . W h e n i n s t r u c t o r s a r e c o n c e r n e d w i t h h e l p i n g s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s t h a t t h e y d o n o t k n o w , i n s t r u c t i o n c a n b e o r i e n t e d t o w a r d a d d r e s s i n g a r e a s o f m o s t c o m m o n w e a k n e s s , p r o v i d i n g a v a l u a b l e l e a r n i n g e x p e r i e n c e t h a t r e s u l t s i n s t r e n g t h e n i n g t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n s t r u c t i o n c a n d e a l w i t h c o n t e n t t h a t i s g e n e r a l l y s e e n t o b e a p a r t O f t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c u r r i c u l u m t h a t t h e i n s t r u c t o r h a s a s s e s s e d a s m i s s i n g f r o m s t u d e n t s ' b a c k g r o u n d s . A l t e r n a t i v e l y , i n s t r u c t i o n m a y b e o r i e n t e d t o w a r d a d d r e s s i n g a r e a s t h a t a r e p e r s o n a l ” f a v o r i t e s " O f t h e i n s t r u c t o r o r t o p i c s t h a t t h e i n s t r u c t o r h a s i d e n t i f i e d a s c r i t i c a l b u t m a y b e s e e n a s p e r i p h e r a l t o e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n b y a m a j o r i t y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s . S t u d e n t s e n t e r n o t k n o w i n g t h i s c o n t e n t b e c a u s e i t h a s n o t b e e n a p a r t o f t h e i r p a s t , n o t b e c a u s e t h e y h a v e b e e n u n s u c c e s s f u l i n d e a l i n g w i t h i t . A d i f f e r e n t a s s u m p t i o n m a y p l a y a p a r t i n a m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ' b e l i e f t h a t t h e r o l e o f t h e c o u r s e s i s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n m a t h e m a t i c s . I n s t r u c t o r s m a y b e l i e v e t h a t s t u d e n t s ” k n o w ” K - 8 m a t h e m a t i c s , b u t n o t w i t h t h e k i n d o f u n d e r s t a n d i n g t h e y v a l u e . T h i s a s s u m p t i o n c a n d r i v e v e r y d i f f e r e n t s i t u a t i o n s i n c l a s s r o o m s t h a n t h e f i r s t a s s u m p t i o n . W h e n t h e g o a l i s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s t h a t s t u d e n t s m a y a l r e a d y h a v e ” m a s t e r e d ” o r a t l e a s t b e l i e v e t h a t t h e y h a v e m a s t e r e d , i n s t r u c t i o n r e q u i r e s a d i f f e r e n t o r i e n t a t i o n . M a n y s t u d e n t s r e a l i z e t h a t t h e i r 2 8 u n d e r s t a n d i n g i s s h a k y , a n d t h e y a r e a n x i o u s a b o u t t h i s , a d d i n g c o m p l e x i t y t o t h e s i t u a t i o n . T h e r e a r e d i f f e r e n t c o n c e p t i o n s O f h o w u n d e r s t a n d i n g i s d e v e l o p e d , r e l y i n g o n d i f f e r e n t v i e w s o f t h e n a t u r e O f m a t h e m a t i c s a n d p s y c h o l o g y o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e c o n c e p t i o n s s u g g e s t d i f f e r e n t u s e o f c l a s s t i m e . O n e c o n c e p t i o n h a s t h e u n d e r l y i n g v i e w t h a t m a t h e m a t i c s i s a f i x e d b o d y O f k n o w l e d g e t h a t i s t r a n s m i t t e d t o s t u d e n t s . S h o w i n g s t u d e n t s i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f t o p i c s , c l a r i f y i n g d e f i n i t i o n s , s h o w i n g " w h y y o u d o w h a t y o u d o w h e n y o u d o i t , ” s e t t i n g u p p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n s a n d a c t i v i t i e s t h a t l e a d s t u d e n t s t o d i s c o v e r i e s d e s i r e d b y t h e i n s t r u c t o r , a l l a r e p a r t o f t h i s o r i e n t a t i o n . E r r o r s a r e a v o i d e d b y l a y i n g o u t c o r r e c t p a t h s t o m a t h e m a t i c a l t r u t h s . T h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t t h a t i s e x p e c t e d i s o f a p r o c e d u r a l n a t u r e , i n v o l v i n g s e t s o f s t e p s o r r e a s o n s e x p l a i n i n g t h e c o n t e n t . A n a l t e r n a t i v e c o n c e p t i o n o f h o w u n d e r s t a n d i n g c a n b e d e v e l o p e d r e l i e s o n a " p r o b l e m - s o l v i n g ” v i e w o f m a t h e m a t i c s a n d a s o c i a l c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e o n l e a r n i n g . E r n e s t ( 1 9 8 9 ) d e s c r i b e s a p r o b l e m - s o l v i n g v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a d y n a m i c v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a c o n t i n u a l l y e x p a n d i n g f i e l d O f h u m a n i n q u i r y , u n f i n i s h e d a n d o p e n t o r e v i s i o n . C h a l l e n g i n g s t u d e n t s ' c o n c e p t i o n s , u s i n g e r r o r s a s p a t h s t o d e e p e r u n d e r s t a n d i n g , s t r e n g t h e n i n g a n d e m p o w e r i n g s t u d e n t s a s m a t h e m a t i c i a n s - - d o o r s o f m a t h e m a t i c s , a n d g i v i n g t h e m a s e n s e o f t h e i r o w n a b i l i t y t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c s , a l l a r e p a r t o f t h i s o r i e n t a t i o n . T h e g o a l i s u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s , i n v o l v i n g i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f i d e a s a n d 2 9 m a n y w a y s o f d e a l i n g w i t h a n d c o m m u n i c a t i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c s . T h e s e t w o d i f f e r e n t v i e w s o f m a t h e m a t i c s ( a s a f i x e d s e t O f c o n t e n t t o b e t a u g h t a n d a s a n e v e r c h a n g i n g f i e l d o f i n q u i r y ) a n d t h e d i f f e r i n g c u r r i c u l a r d e m a n d s a t t a c h e d t o e a c h a r e i m p o r t a n t t o k e e p i n m i n d t h r o u g h o u t t h e a n a l y s e s . F o r t h e p u r p o s e s O f m y a n a l y s e s , I f o u n d i t n e c e s s a r y t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e s e t w o v i e w s w i t h r e s p e c t t o t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t i s e x p e c t e d a n d d e v e l o p e d : U n d e r s t a n d i n g i n t h e f i r s t s i t u a t i o n I c a l l " p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g " a n d u n d e r s t a n d i n g i n t h e s e c o n d s i t u a t i o n I c a l l ” c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . ” O c c a s i o n a l l y , i n s t r u c t o r s u s e d t h e t e r m s p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l t o d e s c r i b e t h e u n d e r s t a n d i n g t h e y w e r e e x p e c t i n g a n d d e v e l o p i n g . I n s t r u c t o r s m a y n o t h a v e u s e d t h e t e r m s i n t h e w a y I h a v e i n d i c a t e d h e r e , b u t t h e c o n t e x t o f t h e i r c o m m e n t s i n t h e i n d i v i d u a l a n a l y s e s m a k e s c l e a r h o w e a c h w a s t h i n k i n g a b o u t t h e m . A m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n a n d c o m p a r i s o n o f t h e w a y s i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t l e a r n i n g a n d u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i s a p a r t o f t h e a n a l y s i s w h e n l o o k i n g a c r o s s i n s t r u c t o r s ' r e s p o n s e s . I n d e s c r i b i n g t h i s r o l e , I h a v e a s s u m e d t h a t i n s t r u c t o r s r e l a t e t h e l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t t o t h e p u r p o s e s o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n . H o w e v e r , t h e c o u r s e c o u l d b e s e e n a s p l a y i n g t h e r o l e o f d e v e l o p i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e s e p a r a t e f r o m a n y c o n c e r n f o r f u t u r e t e a c h i n g . I d o c u m e n t t h e e x t e n t t o w h i c h i n s t r u c t o r s c o n n e c t t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o t h e s t u d e n t s ' s t a t u s a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . A r e l a t e d i s s u e i s t h e e x t e n t t o w h i c h i n s t r u c t o r s i n t e r a c t w i t h i n s t r u c t o r s f r o m o t h e r d e p a r t m e n t s r e s p o n s i b l e f o r o t h e r 3 0 c o n t e n t o r g e n e r a l e d u c a t i o n c o u r s e s t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s . I n s t r u c t o r s c o u l d b e o p e r a t i n g i n i s o l a t i o n o r t h e y c o u l d b e c o o p e r a t i v e l y d e v e l o p i n g t h e c o n t e n t c o u r s e a s a p a r t o f a n i n t e g r a t e d a n d c o h e r e n t t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . T h e p r o g r a m m a t i c r o l e p l a y e d b y t h e c o u r s e i n l e a r n i n g t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t c o u l d v a r y , d e p e n d i n g o n t h e l e v e l O f i n t e r - d e p a r t m e n t a l c o l l a b o r a t i o n . L e a r n i n g t h e N o r m s o f M a t h e m a t i c s T h e s e c o n d r o l e i d e n t i f i e d a b o v e i s t O O f f e r s t u d e n t s t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n a b o u t d o i n g t h e m a t h e m a t i c s t h e y n e e d t o k n o w a s a K - 8 m a t h e m a t i c s t e a c h e r . T h e f o c u s i s o n t h e h i s t o r y a n d c o n v e n t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e p r e f e r r e d s t r a t e g i e s O f o p e r a t i o n i n m a t h e m a t i c s . T h i s i n c l u d e s h a v i n g a s e n s e o f w h a t e v i d e n c e i s r e q u i r e d f o r p r o o f a n d k n o w i n g h o w t r u t h i s e s t a b l i s h e d . I f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n c l u d e s l e a r n i n g w h a t a n d w h y , l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s i n c l u d e s l e a r n i n g h o w : h o w t o c o m m u n i c a t e , h o w t o c o n j e c t u r e , h o w t o j u s t i f y a n d p r o v e , h o w t o p r e s e n t a r g u m e n t s , h o w t o c o n n e c t i d e a s . T h e a s s u m p t i o n o f s t u d e n t s ’ p r i o r k n o w l e d g e o f t h i s i n f o r m a t i o n i s p r e d o m i n a n t l y i n t h e f o r m o f c o n v e n t i o n s , t h o u g h s t u d e n t s m a y h a v e h a d e x p e r i e n c e s t h a t i n t r o d u c e d t h e m t o h i s t o r i c a l i n f o r m a t i o n a n d s p e c i f i c s t r a t e g i e s . F o r e x a m p l e , a r e a s o n a b l e e x p e c t a t i o n i s t h a t m o s t s t u d e n t s i n c o l l e g e w o u l d h a v e c o m p l e t e d h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d l e a r n e d a s p e c i f i c s t r a t e g y f o r s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s i n o n e v a r i a b l e t h a t i n v o l v e s s o l v i n g f o r t h e u n k n o w n o n t h e l e f t - h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n f o l l o w i n g ” s t a n d a r d p r o c e d u r e s . ” 3 1 D i f f e r e n t e m p h a s e s o n t h i s r o l e c a n r e s u l t i n v e r y d i f f e r e n t s i t u a t i o n s i n c o u r s e c o n t e n t / e m p h a s i s . T h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s c o u l d b e u s e d t o m o v e t h r o u g h c o u r s e c o n t e n t , c o n n e c t i n g h i s t o r y t o c o n t e n t a n d c o n t e n t t o c o n t e n t . T h e c o u r s e c o u l d ” t e l l t h e s t o r y " o f m a t h e m a t i c s , a c k n o w l e d g i n g t h a t i t i s a n u n f i n i s h e d s t o r y a n d e n c o u r a g i n g s t u d e n t s t o c o n t i n u e i n v e s t i g a t i n g . O r , t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s a s a f o c u s c o u l d p r e s e n t m a t h e m a t i c s a s a s t o r y t h a t w a s a n d i s w r i t t e n b y m a t h e m a t i c i a n s " b a c k t h e n ” a n d " o u t t h e r e , " s e p a r a t e f r o m t h e l i v e s o f t h e s t u d e n t s . C o n n e c t i o n s b e t w e e n t o p i c s a n d w i t h s t u d e n t s c o u l d b e m i n i m a l . L e a r n i n g t h e c o n v e n t i o n s O f m a t h e m a t i c s , w h e t h e r i n n o t a t i o n o r p r o c e d u r e s , i s i m p o r t a n t i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n , b u t i t i s d i f f i c u l t t o c o n c e i v e o f o r g a n i z i n g a c o u r s e a r o u n d t h i s . S t r a t e g i e s o f o p e r a t i o n c o u l d b e e m p h a s i z e d a s a v e h i c l e t o g e t a t c o n t e n t , w h e r e t h e f i r s t a n d s e c o n d r o l e s a r e i n t e r w o v e n , a c k n o w l e d g i n g t h e i m p o r t a n c e o f b o t h . A f o c u s o n t h e s t r a t e g i e s o f O p e r a t i o n i n m a t h e m a t i c s i s m o r e p r o b l e m a t i c t o c o n s i d e r . T h e q u e s t i o n c a n b e r a i s e d , " A r e t h e s t r a t e g i e s O f o p e r a t i o n i n m a t h e m a t i c s a c t u a l l y ' m a t h e m a t i c s ' ? " , m a k i n g t h i s a p a r t o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ? A n e x a m p l e o f u s i n g s t r a t e g i e s o f o p e r a t i o n a s a f o c u s d i f f e r e n t f r o m m a t h e m a t i c s c o n t e n t m i g h t h e l p . I t i s c o m m o n , i n t h i s t i m e o f e m p h a s i s o n p r o b l e m s o l v i n g i n m a t h e m a t i c s , t o i n t r o d u c e s t u d e n t s t o P o l y a ' s f o u r h e u r i s t i c s o f p r o b l e m s o l v i n g . T h e s e h e u r i s t i c s m a y b e a v e h i c l e t o g e t t o m a t h e m a t i c s o r t h e y m a y b e c o m e t h e d e s t i n a t i o n . C o n s i d e r a b l e c l a s s t i m e c a n b e s p e n t l e a r n i n g t o a p p l y t h i s f o u r - s t e p p r o c e d u r e t o 3 2 p r o b l e m s . T h e f o c u s c o u l d b e o n t h e p r o c e d u r e , n o t o n t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t O f t h e t a s k , a n d s t u d e n t s w o u l d b e e x p e c t e d t o l e a r n t h e p r o c e d u r e . A c o u r s e c e n t e r e d a r o u n d l e a r n i n g t h e s t r a t e g i e s O f o p e r a t i n g w i t h i n m a t h e m a t i c s , s u c h a s P o l y a ’ s h e u r i s t i c s o r t w o - c o l u m n p r o o f , m a y s u p p o r t b e l i e f s o f s t u d e n t s t h a t k n o w i n g h o w t o d o s o m e t h i n g i s ” t h e t h i n g . " A d d i t i o n a l l y , q u e s t i o n s O f w h e n a n d w h y o n e c h o o s e s t o u s e p a r t i c u l a r s t r a t e g i e s m i g h t g e t l e s s a t t e n t i o n . L e a r n i n g t h e n o r m s o f t h e d i s c i p l i n e i n c l u d e s l e a r n i n g t h e v a l u e o f c o n j e c t u r e a n d j u s t i f i c a t i o n i n m a t h e m a t i c s . A c o u r s e f o c u s i n g o n t h i s w o u l d , b y n e c e s s i t y , b e t i e d t o t h e c o n t e n t . T h e d i f f e r e n c e i n e m p h a s i s o n l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s a n d l e a r n i n g a b o u t t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s c o u l d v a r y w i d e l y . T h e h i s t o r y a n d n o r m s o f m a t h e m a t i c s a r e i m p o r t a n t k n o w l e d g e f o r a l l s t u d e n t s . I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e i s h o w t h i s p l a y s o u t i n t h e w a y s i n s t r u c t o r s e m p h a s i z e t h e r o l e o f l e a r n i n g t h e n o r m s o f t h e d i s c i p l i n e f o r c o n t e n t c o u r s e s i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . W T h e t h i r d r o l e t h a t i n s t r u c t o r s m i g h t s e e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n g i s t h a t o f o f f e r i n g s t u d e n t s t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n h o w t o t e a c h K - 8 m a t h e m a t i c s . T h e m e r g i n g o f c o n t e n t w i t h m e t h o d s i n c o u r s e s s e e m s n a t u r a l i n t h e c o n t e x t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n a n d , i n f a c t , i s r e c o m m e n d e d i n t h e N C T M S j a _ n _ d a _ r _ d § ( 1 9 9 1 ) . H o w e v e r , t h e r e c a n b e d i f f e r e n c e s i n t h e m o t i v a t i o n f o r a n d e m p h a s i s i n s u c h a m e r g i n g . I n s t r u c t o r s m a y s e e c o n t e n t a n d m e t h o d s a s a p i e c e , n o t t o b e s e p a r a t e d . T h e y m i g h t a p p r o a c h t h e t a s k o f t e a c h i n g c o n t e n t 3 3 e x p l i c i t l y r e l a t i n g d e c i s i o n s t h e y m a k e i n m e t h o d o l o g y t o s t u d e n t s a s a p a r t o f t h e i r i n s t r u c t i o n . I s s u e s O f h o w a n d w h y o n e p r e s e n t s c o n t e n t i n p a r t i c u l a r w a y s a r e t h e n o n a p a r w i t h t h e q u e s t i o n O f w h a t c o n t e n t i s t o b e e m p h a s i z e d . I n s o m e S i t u a t i o n s , t h e r e i s c o n s i d e r a b l e c o n v e r s a t i o n a m o n g d i f f e r e n t i n s t r u c t o r s - - t h o s e o f t h e c o n t e n t c o u r s e s a n d t h o s e O f t h e m e t h o d s c o u r s e s . T h i s i s u s u a l l y f a c i l i t a t e d b y a s h a r e d d e p a r t m e n t a l a s s i g n m e n t , e i t h e r b o t h i n t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t o r b o t h i n t h e D e p a r t m e n t O f T e a c h e r E d u c a t i o n . W h e n c o l l e a g u e s c o o p e r a t i v e l y d e t e r m i n e w h e r e , w h e n , w h a t , a n d h o w m a t h e m a t i c s c o n t e n t a n d m e t h o d s w i l l b e d e v e l o p e d , t h e m e r g i n g O f c o n t e n t a n d m e t h o d s m a y r e s u l t i n a c o h e r e n t p r o g r a m f o r t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n o t h e r s i t u a t i o n s , t h e r e m a y b e l i t t l e c o n v e r s a t i o n b e t w e e n c o n t e n t a n d m e t h o d s i n s t r u c t o r s . T h e r e m a y b e a s e n s e o f d i s t r u s t o r l a c k o f r e s p e c t b e t w e e n t h o s e r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g t h e c o n t e n t c o u r s e s a n d t h o s e r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g t h e m e t h o d s c o u r s e s , e s p e c i a l l y w h e n t h e c o u r s e s a r e o f f e r e d i n d i f f e r e n t d e p a r t m e n t s . I n t h i s s i t u a t i o n , t h e r o l e o f t h e c o n t e n t c o u r s e a s a p l a c e t o l e a r n m e t h o d s h a s a d i f f e r e n t m o t i v a t i o n - - t h a t o f m a k i n g s u r e t h a t t h i n g s g e t d o n e " r i g h t , " u n s u r e t h a t t h e y w i l l b e d o n e r i g h t i f l e f t t o o t h e r s t o d o . T h e r o l e o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n t e a c h i n g s t u d e n t s h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s i s i m p o r t a n t t o e x a m i n e a s t h e c o u r s e f i t s i n t o t h e w h o l e o f t h e s t u d e n t s ' t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . I n s t r u c t o r s m a y b e v e r y a w a r e o f t h e w h o l e p r o g r a m a n d h a v e a c l e a r s e n s e o f t h e c o n t r i b u t i o n s o f c o n t e n t s p e c i f i c c o u r s e s 3 4 t o s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n . O r , i n s t r u c t o r s m a y b e o p e r a t i n g w i t h i n t h e n a r r o w c o n f i n e s o f t h e i r d i r e c t r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e t e a c h i n g o f t h e s p e c i f i c c o u r s e o r c o u r s e s t h e y t e a c h w i t h i n t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t . A n i n s t r u c t o r ’ s d e c i s i o n t o f o c u s o n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n a m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e m i g h t h a v e a l o t t o d o w i t h s t u d e n t e x p e c t a t i o n s . M a n y s t u d e n t s v i e w a n y c o u r s e t h a t i s p a r t O f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n p r o g r a m a s a “ h o w - t o - t e a c h ” c o u r s e . I n s t r u c t o r s w h o r e c o g n i z e t h i s m i g h t c h o o s e t o t r e a t t h e c o u r s e p r i m a r i l y a s a m e t h o d s c o u r s e t o a v o i d s t u d e n t d i s s a t i s f a c t i o n . I t m i g h t b e t h a t t h e i n s t r u c t o r p r e f e r s t e a c h i n g m e t h o d s c o n t e n t o v e r m a t h e m a t i c s c o n t e n t o r f e e l s t h a t t h e r e i s n o t e n o u g h t i m e i n t h e m e t h o d s c o u r s e t o d o a l l t h a t i s i m p o r t a n t , s o t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e b e c o m e s a m e t h o d s c o u r s e . W h a t e v e r t h e m o t i v a t i o n , t h e s t u d e n t s ’ l e v e l o f c o n t e n t k n o w l e d g e c o u l d s u f f e r f r o m a f o c u s o n o t h e r m e t h o d o l o g i c a l i s s u e s , s u c h a s c l a s s r o o m m a n a g e m e n t a n d l e s s o n p l a n n i n g . S t u d e n t s m i g h t b e h a p p i e r f o r t h i s , b u t t h e i r p r e p a r a t i o n a s m a t h e m a t i c s t e a c h e r s m i g h t n o t i n c l u d e t h e d e p t h o f u n d e r s t a n d i n g O f c o n t e n t t h a t t h e y n e e d . T h i s d e p e n d s o n h o w “ m e t h o d s ” a r e d e f i n e d a n d t h e e x t e n t t o w h i c h c o n t e n t a n d m e t h o d s a r e m e r g e d i n b o t h t h e c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s . S a t e - £ 2 2 m T h e f o u r t h p o s s i b l e r o l e f o r a m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n i s t h a t o f g a t e - k e e p i n g . T h i s r o l e h a s m o r e t h a n o n e m o t i v a t i o n , a s w e l l , g r o u n d e d i n d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s . W i t h a p r o - a c t i v e v i e w o f g a t e - k e e p i n g , s t u d e n t s w h o c o m e t o c o n t e n t 3 5 c o u r s e s u n d e r p r e p a r e d a r e g u i d e d t o c o u r s e s t h a t S h o u l d b e t a k e n p r i o r t o t h e c o n t e n t c o u r s e s f o r e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n o r a r e s u p p o r t e d w i t h i n t h e c o u r s e s t o p r o v i d e a d e q u a t e p r e p a r a t i o n . T h e i n t e n t i o n i s t o p r o v i d e a n e n v i r o n m e n t i n w h i c h s t u d e n t s a r e a p p r o p r i a t e l y p r e p a r e d w h i l e r e d u c i n g t h e p o s s i b i l i t y o f a l l o w i n g s t u d e n t s t o s u c c e s s f u l l y e x i t t h e c o u r s e s w i t h o u t h a v i n g t h e m a t h e m a t i c a l e x p e r t i s e r e q u i r e d f o r t e a c h i n g t h e c o n t e n t . I n t h i s s e n s e , g a t e - k e e p i n g k e e p s t h o s e i n d i v i d u a l s w h o h a v e n o t e x h i b i t e d f u n d a m e n t a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d c o n t e n t o u t O f t h e K - 8 C l a s s r o o m . A n o t h e r m o t i v a t i o n f o r a g a t e - k e e p i n g r o l e O f a m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n s t e m s f r o m t w o p e r c e p t i o n s . T h e f i r s t i s t h a t m a t h e m a t i c s c o u r s e s a r e t r a d i t i o n a l l y p e r c e i v e d a s d i f f i c u l t . S e c o n d , m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s h a v e a h i s t o r i c p a t t e r n o f c o n g r a t u l a t i n g t h e m s e l v e s o n h i g h f a i l u r e r a t e s i n t h e i r d e p a r t m e n t s a s a S i g n o f t h e i r h i g h s t a n d a r d s a n d k e e n i n s i g h t i n t o s t u d e n t s : ” I f n o o n e e l s e w i l l t a k e t h e h e a t a n d f l u n k t h e s e s t u d e n t s o u t , w e w i l l ! " T h e m i n d - s e t i s d i f f e r e n t f r o m t h e p r o - a c t i v e a n d m a y i n v o l v e s i t u a t i o n s h a v i n g l i t t l e t o d o w i t h m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . T h i s c o n c e p t i o n o f t h e r o l e o f g a t e - k e e p i n g i s v e r y d i f f e r e n t , c o n c e r n s f i l t e r i n g s t u d e n t s o u t o f t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m , a n d r e s u l t s i n a d i f f e r e n t s e t o f e x p e c t a t i o n s o f i n s t r u c t o r s . E i t h e r c o n c e p t i o n o f t h e r o l e o f t h e c o u r s e a s a g a t e - k e e p e r p l a c e s t h e c o u r s e i n s e r v i c e t o i n s t i t u t i o n s . F i r s t , i t s u g g e s t s t h a t t h e U n i v e r s i t y c a n f e e l c o n f i d e n t t h a t i t s g r a d u a t e s a r e m a t h e m a t i c a l l y p r e p a r e d t o t e a c h . S e c o n d , i t s u g g e s t s t h a t s c h o o l 3 6 s y s t e m s h i r i n g t h e g r a d u a t e s c a n f e e l c o n f i d e n t t h a t t h e n e w e m p l o y e e s a r e m a t h e m a t i c a l l y p r e p a r e d t o t e a c h . F I i n o u t M a t h e m a t i c s A m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e c o u l d h a v e a v e r y d i f f e r e n t r o l e f o r s t u d e n t s . R a t h e r t h a n f i l t e r i n g t h e m o u t a n d a w a y f r o m m a t h e m a t i c s , i t c o u l d s e r v e t h e r o l e O f i m p r o v i n g s t u d e n t s ' s e l f - c o n f i d e n c e w i t h r e s p e c t t O k n o w i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s . T h i s , t h e f i f t h a n d f i n a l r o l e t o b e c o n s i d e r e d h e r e , i s a l s o a t w o - e d g e d s w o r d . P r o v i d i n g s t u d e n t s w i t h a n e x p e r i e n c e t h a t h e l p s t h e m f e e l g o o d a b o u t t h e m s e l v e s w h e n d e a l i n g w i t h m a t h e m a t i c s i s a p o s s i b l e r o l e f o r a c o n t e n t c o u r s e . A m a t h e m a t i c s i n s t r u c t o r o f c o u r s e s r e q u i r e d f o r e l e m e n t a r y c e r t i f i c a t i o n i s O f t e n f a c e d w i t h s t u d e n t s w h o h a v e m a t h e m a t i c s a n x i e t y o r , a t t h e l e a s t , d o n o t l i k e m a t h e m a t i c s . C h a n g i n g s t u d e n t s ’ a f f e c t i v e p e r c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s c a n b e a n i m p o r t a n t r o l e f o r a m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e , p a r t i c u l a r l y s i n c e i t m a y b e t h e l a s t m a t h e m a t i c s c o u r s e s t u d e n t s e v e r t a k e . H o w t h a t r o l e t a k e s f o r m a n d i s e m p h a s i z e d i s i m p o r t a n t t o c o n s i d e r . ” F e e l i n g g o o d ” m a y r e s u l t f r o m b e i n g e m p o w e r e d , g a i n i n g u n d e r s t a n d i n g a n d a s e n s e o f p u r p o s e f o r m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y , a n d s e n s i n g t h e a b i l i t y t o k n o w w h e r e t o g o f o r h e l p w h e n u n s u r e . T h e c o u r s e d e v e l o p e d t o a c h i e v e t h i s w i l l b e d i f f e r e n t f r o m a c o u r s e w h o s e g o a l i s t o h a v e s t u d e n t s d o ” f u n ” a c t i v i t i e s . T h e s e n s e o f ” f e e l i n g g o o d ” i s v e r y d i f f e r e n t . O n e r e f l e c t s a b e l i e f b a s e d o n c o g n i t i o n , t h e o t h e r a b e l i e f b a s e d o n a f f e c t . 3 7 A p p r o a c h i n g t h e i s s u e o f h e l p i n g s t u d e n t s f e e l g o o d a b o u t m a t h e m a t i c s c a n b e t h r o u g h t h e b u i l d i n g u p O f t h e s e n s e o f r e l e v a n c e t h a t m a t h e m a t i c s h a s f o r s t u d e n t s . T h e r a t i o n a l e i s t h a t i f s t u d e n t s s e e m a t h e m a t i c s a s a v a l u a b l e a n d u s e f u l t O O l , t h e y w i l l h a v e a b e t t e r a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s . T h e r e a r e d i f f e r e n t w a y s t o a c c o m p l i s h t h i s . O n e c o u l d c o n c e i v e O f b u i l d i n g r e l e v a n c e t h r o u g h a c t i v i t i e s t h a t f o c u s o n u s i n g p i z z a s a n d b e e r , a s o n e e x t r e m e . A n o t h e r o p t i o n w o u l d b e t o g o o n f i e l d t r i p s t o s e t u p d o i n g m a t h e m a t i c a l t a s k s - - f i g u r i n g h o w m u c h p a i n t i t w o u l d t a k e t O p a i n t a w a t e r t o w e r o r h o w m a n y s t e p s i t w o u l d t a k e t o g e t t o t h e t o p o f a h i l l . I n s t r u c t o r s ’ c o n c e p t i o n s o f “ r e l e v a n c e ” a n d w h a t i t m e a n s t o m a k e m a t h e m a t i c s r e l e v a n t w o u l d o r i e n t t h e i r d e c i s i o n s a b o u t c o n t e n t a n d m e t h o d s . A s s u m i n g t h a t t h e w a y a p e r s o n f e e l s a b o u t a s u b j e c t a f f e c t s t h e a m o u n t O f t i m e t h e y w a n t t o s p e n d o n i t ( a s a c l a s s r o o m t e a c h e r ) , i m p r o v i n g p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ a t t i t u d e s a b o u t m a t h e m a t i c s c a n r e s u l t i n v e r y d i f f e r e n t e x p e r i e n c e s f o r t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n w h o b e c o m e t h e i r s t u d e n t s . A t e a c h e r w h o f e e l s c o m f o r t a b l e a b o u t m a t h e m a t i c s w i l l l o o k f o r w a r d t o t e a c h i n g i t a n d s p e n d i n g t i m e o n i t i n c l a s s . B u t , t h e n a t u r e o f t h e “ f e e l i n g g o o d ” a l s o a f f e c t s t h e n a t u r e o f t h e e x p e r i e n c e s O f t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n . I f “ f u n ” a c t i v i t i e s w i t h l i m i t e d c o n t e n t d e v e l o p m e n t c a p t i v a t e t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r i n t h e i r c o u r s e s , t h e n t h i s i s l i k e l y t h e n a t u r e o f t h e a c t i v i t i e s t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r w i l l b e c o m f o r t a b l e u s i n g . I f c o n t e n t r i c h a c t i v i t i e s a r e u s e d t h a t h e l p b u i l d m a t h e m a t i c a l c a p a b i l i t i e s a n d c o n f i d e n c e w h i l e i m p r o v i n g 3 8 a t t i t u d e , t h e n t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r m a y b e m o r e l i k e l y t o r e l y o n c o n t e n t r i c h t a s k s t h a t a c t t o e m p o w e r c h i l d r e n i n t h e i r t e a c h i n g . E n d n o t e I n t h i s s t u d y , t h e f o c u s i s o n t h e p r o g r a m m a t i c r o l e s i n s t r u c t o r s s e e a s o f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e f o r t h e c o u r s e s t o p l a y . W i t h i n t h e c o u r s e s , i n s t r u c t o r s w o r k t o w a r d g o a l s t h a t s e r v e t h e p r o g r a m m a t i c p u r p o s e s . I s e e t h e r o l e s a s b e i n g r o l e s o f t h e c o u r s e f o r s t u d e n t s i n t h e i r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s a n d g o a l s a s b e i n g g o a l s f o r a p a r t i c u l a r c o u r s e . O c c a s i o n a l l y , l i n t e r m i n g l e t h e w o r d u s a g e . I h a v e p r e s e n t e d f i v e r o l e s t h a t m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s m i g h t s e e a s i m p o r t a n t f o r m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I h a v e i n d i c a t e d p o s s i b l e r a t i o n a l e s f o r e a c h a n d t r i e d t o i n d i c a t e d i f f e r e n t m o t i v a t i o n s t h a t I s e e a t t a c h e d t o e a c h , t h o u g h s o m e t i m e s i m p l i c i t l y , i n m y d e s c r i p t i o n . T h e s e r o l e s a n d r a t i o n a l e s a c t a s t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k t o b e a p p l i e d t o t h e d a t a c o l l e c t e d i n t h e s t u d y . D a t a c o l l e c t i o n w a s d e s i g n e d t o m a k e f u l l u s e o f t h i s f r a m e w o r k . T h e s o u r c e s a n d n a t u r e o f t h e d a t a a n d i t s c o l l e c t i o n f o l l o w . C H A P T E R 4 R E S E A R C H M E T H O D O L O G Y S i t e a n d S u b j e c t s T h i s s t u d y e x a m i n e s c o u r s e s i n m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n t h r o u g h t h e e y e s o f i t s i n s t r u c t o r s . T h e s t r u c t u r e o f t h e s t u d y i s t h a t o f a c a s e s t u d y o f a n “ e x t e n d e d i n s t i t u t i o n . " T h e c a s e s t u d y i n v o l v e s s i x f a c u l t y m e m b e r s , f i v e a t a l a r g e , f o u r - y e a r i n s t i t u t i o n a n d o n e a t a n e a r - b y c o m m u n i t y c o l l e g e . T h e c o u r s e w o r k a t t h e c o m m u n i t y c o l l e g e i s s p e c i f i c a l l y d e s i g n e d t o s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t s o f a n d r e c e i v e t h e s a m e c r e d i t a s c o u r s e s a t t h e u n i v e r s i t y , t o w h i c h i t f e e d s s t u d e n t s . P r i m i e I f r m a t i o n n d B a c k r u n d O f t h e I n r t r T h e p r i m a r y s i t e f o r m y d a t a c o l l e c t i o n w a s o n e o f t h e f i r s t t e a c h e r s ' c o l l e g e s w e s t o f t h e A l l e g h e n y M o u n t a i n s , c a l l e d N o r m a l U n i v e r s i t y 6 ( N U ) i n t h i s s t u d y . I t h a s a h i s t o r y a s a n o r m a l s c h o o l a n d n o w i s a s t a t e - s u p p o r t e d f o u r - y e a r u n i v e r s i t y w i t h g r a d u a t e p r o g r a m s i n m a n y a r e a s . T h i s i n c l u d e s a M a s t e r s d e g r e e p r o g r a m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . N o r m a l U n i v e r s i t y i s a m u l t i p u r p o s e u n i v e r s i t y i n t h e M i d w e s t w i t h a n e n r o l l m e n t o f a p p r o x i m a t e l y 2 5 , 0 0 0 s t u d e n t s . O v e r 2 0 0 0 s t u d e n t s p e r y e a r g r a d u a t e f r o m N U w i t h t e a c h i n g c e r t i f i c a t i o n . W i t h t h i s h u g e o u t p u t i n t o t h e t e a c h i n g m a r k e t , t h e s t u d y o f i t s c o u r s e s h a s m u c h t o o f f e r f o r t h e d e s c r i b i n g o f t h e m a t h e m a t i c s p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . 6 A l l n a m e s o f i n s t i t u t i o n s a n d i n d i v i d u a l s a r e p s e u d o n y m s , a n d c o u r s e n u m b e r s h a v e b e e n a l t e r e d . 3 9 4 0 A t t h e t i m e o f t h i s s t u d y , t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m r e q u i r e d t w o m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s , M a t h 1 1 5 a n d M a t h 1 1 6 . T h e T e a c h e r E d u c a t i o n D e p a r t m e n t o v e r s a w t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m , b u t t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t w a s r e s p o n s i b l e f o r t h e t e a c h i n g O f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s . T h e s a m e b u i l d i n g h o u s e d t h e t w o d e p a r t m e n t s o n t h e N U c a m p u s . T h e r e w e r e d e p a r t m e n t a l s y l l a b i d e v e l o p e d w i t h i n t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t ( s e e A p p e n d i x A ) f o r i n s t r u c t o r s t o f o l l o w t h a t i n d i c a t e t h e c o n t e n t t o b e c o v e r e d , t h e s e c t i o n s o f t h e t e x t ( a l l u s e M u s s e r & B u r g e r , 1 9 9 1 ) a n d c o u r s e s u p p l e m e n t s t h a t p e r t a i n t o t h e c o n t e n t , a n d t h e a p p r o x i m a t e n u m b e r o f d a y s t o b e s p e n t c o v e r i n g t h e c o n t e n t . T h e t w o s y l l a b i w e r e i d e n t i c a l i n t e r m s o f t h e o b j e c t i v e s ( t a k e n f r o m t h e N C T M S t a n d a r d s , 1 9 8 9 , p . 5 - N e w G o a l s f o r S t u d e n t s ) , r e c o m m e n d a t i o n s a b o u t e v a l u a t i o n , a n d a r e c o m m e n d a t i o n f o r a n d d e s c r i p t i o n o f t h e u s e o f j o u r n a l s . T h e o u t l i n e s f o r t h e t w o c o u r s e s ' c o n t e n t , m a t e r i a l , a n d n u m b e r o f d a y s o f i n s t r u c t i o n w e r e s o m e w h a t d i f f e r e n t . T h e f i r s t c o u r s e ’ s o u t l i n e w a s a l i s t o f t o p i c s . T h e c o n t e n t s p e c i f i e d f o r t h e f i r s t c o u r s e i n c l u d e d : p r o b l e m s o l v i n g ( 5 d a y s ) ; s e t s , V e n n d i a g r a m s , C a r t e s i a n p r o d u c t , a p p l i e d p r o b l e m s , f u n c t i o n s ( 3 d a y s ) ; n u m b e r s y s t e m s / p r o p e r t i e s ( 2 d a y s ) ; e s t i m a t i o n ( 3 d a y s ) ; n u m b e r t h e o r y ( 6 d a y s ) ; f r a c t i o n c o n c e p t s , e s t i m a t i o n w i t h f r a c t i o n s ( 4 d a y s ) ; d e c i m a l s , r a t i o , p e r c e n t s ( 5 d a y s ) ; i n t e g e r s ( 3 d a y s ) ; a n d r e a l n u m b e r s , i n t r o d u c t i o n t o a l g e b r a ( 2 d a y s ) . I n a d d i t i o n t o t h e c o n t e n t i n c l u d e d o n t h e s y l l a b u s , t o p i c s c o u l d i n c l u d e o p t i o n a l o n e s , s u c h a s l o g i c a n d w o r k w i t h d i f f e r e n t b a s e s . O p t i o n a l c o n t e n t w a s s e e n a s 4 1 t h e c o n t e n t t h a t i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s w o u l d t e a c h t h a t m a d e t h e c o u r s e m o r e p e r s o n a l l y t h e i r s . T h e c o n t e n t o u t l i n e f o r t h e s e c o n d c o u r s e w a s m o r e e l a b o r a t e t h a n t h a t o f t h e f i r s t c o u r s e . R a t h e r t h a n p r e s e n t i n g t h e w h o l e o u t l i n e h e r e , s o m e p a r t s a r e w r i t t e n o u t c o m p l e t e l y ( i n i t a l i c s ) a n d a n p a r a p h r a s e d v e r s i o n o f t h e r e s t o f t h e l i s t i s g i v e n : c o n s t r u c t i n g a n d i n t e r p r e t i n g s t e m a n d l e a f , b a r , a n d l i n e g r a p h s , w r i t i n g a n a r r a t i v e i n t e r p r e t i n g t h e g r a p h ( 2 d a y s ) ; m e a s u r e s o f c e n t r a l t e n d e n c y a n d a t t r i b u t e s o f d i s t r i b u t i o n s ( 4 d a y s ) ; c o m p a r e a n d c o n t r a s t e x p e r i m e n t a l p r o b a b i l i t i e s w i t h t h e o r e t i c a l p r o b a b i l i t i e s , s a m p l e s p a c e , e v e n t s , s t u d e n t s s h o u l d b e a c t i v e l y i n v o l v e d i n f i n d i n g e x p e r i m e n t a l p r o b a b i l i t i e s ( 2 d a y s ) ; c o u n t i n g p r i n c i p l e s ( 3 d a y s ) ; s i m u l a t i o n s ( 5 d a y s ) ; s a m p l i n g ( 3 d a y s ) ; s c a t t e r p l o t s , f i n d i n g t h e l i n e o f b e s t f i t ( g r a p h i c a l l y a n d a l g e b r a i c a l l y ) , a n e x c e l l e n t o p p o r t u n i t y t o f u r t h e r d i s c u s s t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( 3 d a y s ) ; s y m m e t r y ( 2 d a y s ) ; a n g l e s ( 2 d a y s ) ; m e a s u r e m e n t ( 6 d a y s ) ; a n d c o n s t r u c t i o n s u s i n g r u l e r , c o m p a s s , a n d M i r a ( 4 d a y s ) . T h e o u t l i n e i n d i c a t e d t e s s e l l a t i o n s a s a n o p t i o n a l t o p i c . T h e f i r s t c o u r s e h a d n o p r e r e q u i s i t e r e q u i r e m e n t i n d i c a t e d i n t h e u n i v e r s i t y c o u r s e c a t a l o g a t t h e t i m e o f t h e s t u d y . H o w e v e r , t h e f a c u l t y s y l l a b u s i n d i c a t e d t h a t t h e p r e r e q u i s i t e s f o r t h e c o u r s e w e r e t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d o n e y e a r o f g e o m e t r y . T h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t h a d r e c e n t l y i n s t i t u t e d p r e r e q u i s i t e t e s t i n g i n t h e f i r s t c o u r s e w i t h r e c o m m e n d a t i o n s m a d e f o r c o u r s e c h a n g e s t o d e v e l o p m e n t a l c o u r s e s f o r t h o s e n o t p e r f o r m i n g s a t i s f a c t o r i l y o n t h e t e s t . C o u r s e c h a n g e w a s v o l u n t a r y . T h a t i s , s t u d e n t s c o u l d t e s t a s u n p r e p a r e d f o r t h e c o u r s e , b u t t h e y c o u l d 4 2 r e m a i n i n t h e c o u r s e . I n t h e f u t u r e , t h i s p o l i c y i s e x p e c t e d t o c h a n g e s o t h a t s t u d e n t s w i l l b e r e q u i r e d t o c h a n g e t o a l o w e r l e v e l c o u r s e i f t h e y t e s t u n s a t i s f a c t o r i l y . T h e s e c o n d c o u r s e r e q u i r e d t h a t s t u d e n t s a c h i e v e a ” C " o r b e t t e r i n t h e f i r s t c o u r s e . F o l l o w i n g s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n O f t h e t w o c o n t e n t c o u r s e s , s t u d e n t s m u s t t a k e t h e m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e , M a t h 3 7 4 , i n t h e d e p a r t m e n t t o c o m p l e t e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n r e q u i r e m e n t s . T h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f a c u l t y h e l d a s e t O f m e e t i n g s 7 j u s t p r i o r t o t h e s t u d y t o d i s c u s s w h a t t h e c o n t e n t c o u r s e s s h o u l d ” b e l i k e " a n d w h e t h e r o r n o t t h e y w a n t e d t o C h o o s e a d i f f e r e n t t e x t b o o k . I c a l l t h e s e t o f i n s t r u c t o r s p a r t i c i p a t i n g i n t h e s e m e e t i n g s t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e . I t i s a s t a n d i n g c o m m i t t e e a n d m e e t s a s n e e d e d . F i v e o f t h e f a c u l t y m e m b e r s a t N U p a r t i c i p a t e d i n t h i s s t u d y . T h e p a r t i c i p a t i n g f a c u l t y i n c l u d e d a l e c t u r e r a n d f o u r f a c u l t y m e m b e r s . A l l w e r e f u l l - t i m e e m p l o y e e s . T h e l e c t u r e r , G a i l L a u g h l i n , t a u g h t o n a y e a r - t o - y e a r b a s i s w i t h n o t e n u r e p o s s i b i l i t i e s . S h e h a d w o r k e d i n t h i s w a y f o r o v e r f i f t e e n y e a r s . H e r b a c k g r o u n d w a s s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , b u t s h e h a d n e v e r h e l d a f u l l - t i m e s e c o n d a r y t e a c h i n g p o s i t i o n . S h e h a d d o n e s u b s t i t u t e t e a c h i n g f o r f i v e y e a r s . G a i l t o o k a p o s i t i o n a t N U a n d h a d s t a y e d w i t h t h e U n i v e r s i t y t e a c h i n g a r a n g e O f m a t h e m a t i c s c o u r s e s , u s u a l l y e i t h e r i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o r 7 T h i s i n v o l v e d a l l t e n u r e d a n d n o n - t e n u r e d , f u l l - t i m e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t f a c u l t y t e a c h i n g c o u r s e s i n t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n p r o g r a m w h o c h o s e t o a t t e n d . T h e s e w e r e o p e n m e e t i n g s , b u t o t h e r p o s s i b l y i n t e r e s t e d i n d i v i d u a l s f r o m w i t h i n o r o u t s i d e t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t d i d n o t u s u a l l y a t t e n d u n l e s s s p e c i f i c a l l y i n v n e d . 4 3 b u s i n e s s m a t h e m a t i c s . S h e h a s a c t i v e l y p a r t i c i p a t e d i n d e p a r t m e n t a l c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s a n d i n t h e p a s t h a s t a k e n r e s p o n s i b i l i t y f o r d e v e l o p i n g t h e c o u r s e p a c k e t a l o n g w i t h o t h e r i n s t r u c t o r s . K a r a S h e f f i e l d h a d t a u g h t h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s f o r f i v e y e a r s b e f o r e b e i n g h i r e d a t N U . S h e b e g a n h e r w o r k a t N U i n t h e s a m e w a y G a i l d i d , a s a t e m p o r a r y i n s t r u c t o r . T h o u g h s h e d o e s n o t h a v e a t e r m i n a l d e g r e e , K a r a w a s g i v e n a t e n u r e - t r a c k p o s i t i o n t h r e e y e a r s a g o . P r i o r t o t h i s , s h e t o o k e i g h t e e n h o u r s o f m a t h e m a t i c s c o u r s e w o r k b e y o n d h e r M a s t e r s d e g r e e . H e r t e a c h i n g l o a d w a s r e g u l a r m a t h e m a t i c s c o u r s e s u n t i l t h e d e p a r t m e n t f o u n d t h a t t h e y n e e d e d m o r e i n s t r u c t o r s f o r t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s i n t h e l a t e 1 9 8 0 ' s . H e r p e r s o n a l i n t e r e s t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s u p p o r t e d h e r s w i t c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s . S h e h a s t a k e n a n a c t i v e r o l e i n d e p a r t m e n t a l m e e t i n g s r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s a n d a n t i c i p a t e d w o r k i n g o n r e v i s i o n o f t h e c o u r s e p a c k e t . C r a i g K e n n e d y w a s a t e n u r e d f a c u l t y m e m b e r w i t h a m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n b a c k g r o u n d . H e t a u g h t h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s f o r t h r e e y e a r s b e f o r e w o r k i n g o n h i s M a s t e r s a n d D o c t o r a l d e g r e e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . H e r e c e i v e d a n E d D f r o m a l a r g e r e s e a r c h - f o c u s e d u n i v e r s i t y b e f o r e m o v i n g t o t h e M i d w e s t t o t e a c h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a t a u n i v e r s i t y i n t h e s a m e s t a t e a s N U . H e c a m e t o N U i n t h e e a r l y 1 9 7 0 s . H e t a u g h t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s a t a l l l e v e l s . J e f f S u l l i v a n w a s a l s o a t e n u r e d f a c u l t y m e m b e r a t N U . H i s b a c k g r o u n d i n c l u d e d s a t i s f y i n g t h e u n d e r g r a d u a t e r e q u i r e m e n t s f o r 4 4 s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r c e r t i f i c a t i o n , b u t h e h a d n e v e r t a u g h t b e l o w t h e u n i v e r s i t y l e v e l . H e c o m p l e t e d h i s d o c t o r a t e i n m a t h e m a t i c s a n d h a d b e e n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o u r s e s a t N U f o r n i n e y e a r s . T h e s e m e s t e r i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g t h e i n t e r v i e w i n g g a v e J e f f h i s f i r s t e x p e r i e n c e w i t h t e a c h i n g a c o u r s e s p e c i f i c a l l y d e s i g n e d a s a p a r t o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e f i f t h i n s t r u c t o r i n t e r v i e w e d a t N U w a s n o t a c t i v e l y t e a c h i n g t h e c o u r s e s , b u t F r a n k A d a m s w a s i n f l u e n t i a l i n t h e d e c i s i o n - m a k i n g a r o u n d t h e c o u r s e s , i n c l u d i n g t h e a s s i g n m e n t o f t h e i n s t r u c t o r s . H e t a u g h t t h e m e t h o d s c o u r s e t h a t f o l l o w e d t h e t w o c o n t e n t c o u r s e s a s t h e k e y c o m p o n e n t s o f t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n f o r e l e m e n t a r y c e r t i f i c a t i o n . H i s c a r e e r i n c l u d e d t e a c h i n g e l e v e n y e a r s i n p u b l i c s c h o o l s , t w o y e a r s i n o v e r s e a s t e a c h i n g , a n d t w e n t y - f i v e y e a r s a t t h e u n i v e r s i t y l e v e l . F r a n k s e r v e d o n s e v e r a l c o m m i t t e e s o v e r t h e y e a r s t h a t h a d s h a p e d t h e p r e s e n t s e q u e n c e o f c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s a t N U . S e e e n d e t y S i t e I n f e r m a t i o n a n d B a c k g r o u n d o f t h e I n s t r u c t o r T h e s e c o n d a r y s i t e w a s a n u r b a n c o m m u n i t y c o l l e g e w i t h a n e n r o l l m e n t o f m o r e t h a n 1 6 , 0 0 0 s t u d e n t s . C o m m u n i t y C o l l e g e ( C C ) s e r v e s a v e r y d i v e r s e p o p u l a t i o n . C o m m u n i t y C o l l e g e o f f e r s t w o c o n t e n t c o u r s e s i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . M a n y o f t h e s t u d e n t s i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n t h a t t r a n s f e r t o N U r e c e i v e c r e d i t f o r c o u r s e s t a k e n a t C C . B u t , N U i s o n l y o n e o f s e v e r a l i n s t i t u t i o n s t h a t s t u d e n t s c h o o s e t o t r a n s f e r i n t o a f t e r t a k i n g c o u r s e s a t C C . O f t h o s e t h a t t r a n s f e r , a b o u t o n e o u t o f e v e r y f o u r s t u d e n t s i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n t r a n s f e r s i n t o N U f r o m C C . S i n c e C C ' s i m p o s i t i o n o f a b e g i n n i n g a l g e b r a p r e r e q u i s i t e t h e t e r m b e f o r e t h e 4 5 s t u d y b e g a n , t h e r e h a d b e e n a s i g n i f i c a n t d r o p i n e n r o l l m e n t f o r t h e f i r s t c o u r s e . A l l i n s t r u c t o r s a t C C u s e t h e s a m e t e x t b o o k ( D e v i n e , O l s o n , & O l s o n , 1 9 9 1 ) . A y e a r e a r l i e r , a c o m m i t t e e o f m a t h e m a t i c i a n s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f a c u l t y 8 a t C C s e l e c t e d a t e x t b o o k a n d s e t o u t t h e c o n t e n t t o b e c o v e r e d i n t h e t w o c o n t e n t c o u r s e s . T h e c a t a l o g d e s c r i p t i o n s o f t h e t w o b e g i n n i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s o f f e r e d a t C C a n d N U a r e v e r y s i m i l a r i n t e r m s o f c o n t e n t . T h e i n s t r u c t o r a t C C , C y n t h i a Y o d e r , h a d t a u g h t f u l l - t i m e a t C C f o r t w o y e a r s a s a t e n u r e - t r a c k f a c u l t y m e m b e r . S h e h a d c o m p l e t e d a B a c h e l o r ' s d e g r e e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d t a u g h t o n e y e a r a t a p r i v a t e h i g h s c h o o l b e f o r e t a k i n g n i n e y e a r s O f f t o r a i s e a f a m i l y . S h e a t t e n d e d n i g h t s c h o o l a n d r e c e i v e d a M a s t e r s d e g r e e i n m a t h e m a t i c s f r o m N U . S h e h a d t a u g h t p a r t - t i m e a t C C a n d a n e a r - b y u n i v e r s i t y t h e t h r e e y e a r s p r i o r t o r e c e i v i n g h e r f u l l - t i m e a p p o i n t m e n t a t C C . n r l v r v i w o f i t e a n d u b ' e t T h e p a r t i c i p a n t s i n c l u d e d b o t h m a l e a n d f e m a l e s u b j e c t s , y o u n g e r a n d m o r e m a t u r e e d u c a t o r s , i n d i v i d u a l s w i t h d i f f e r i n g e d u c a t i o n a l a n d e x p e r i e n t i a l b a s e s . E a c h s u b j e c t w a s u n i q u e , b u t e a c h s h a r e s c h a r a c t e r i s t i c s w i t h m a n y o t h e r m e m b e r s o f t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y h a v i n g s i m i l a r t e a c h i n g r e s p o n s i b i l i t i e s ( s e e F i g u r e 1 ) . T h e o r i e n t a t i o n o f N U t o w a r d t e a c h e r p r e p a r a t i o n a s a p r i m a r y f o c u s a n d i t s p o s i t i o n a s a m a j o r c o n t r i b u t o r t o t h e t e a c h e r j o b m a r k e t r e c o m m e n d s t h e s t u d y o f t h e s e s u b j e c t s . 3 A l l w e r e m e m b e r s o f t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t f a c u l t y . 4 6 N a m e S i t e S t a t u s D e g r e e T e a c h i n g E x p e r i e n c e E l e m . S e c . C o l l e g e G a i l m N o n - M A - 0 5 y r 1 0 y r p a r t - t i m e t e n u r e M a t h ( s u b s t i t u t e ) 6 y r f u l l - t i m e K a r a N J T e n u r e M A - 0 5 y r 5 y r p a r t - t i m e t r a C k M a t h 1 5 y r f u l l - t i m e C r a i g N J T e n u r e d E C D 0 3 W 2 0 Y r M a t h E d J e f f N J T e n u r e d P h D 0 0 9 y r M a t h F r a n k N J T e n u r e d P h D 0 1 1 W 2 5 Y r M a t h E d 2 y r ( o v e r s e a s ) C y n t h i a m T e n u r e M A ' 0 1 Y r 3 Y r p a r t - t i m e h t r a c k M a t h 2 y r f u l l - t i m e F i g u r e 1 I n s t r u c t o r I n f o r m a t i o n T h i s s t u d y o f i n s t r u c t o r s c o n t r i b u t e s t o o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e r n s , b e l i e f s , a n d s t r u g g l e s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a s t h e y a t t e m p t t o p r e p a r e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . I d e t e r m i n e t h e c o l l e c t i v e l y - v a l u e d r o l e s t o b e p l a y e d b y t h e c o u r s e . A d d i t i o n a l l y , I c o n s i d e r t h e r a n g e O f g o a l s t h e s e s u b j e c t - m a t t e r - s p e c i f i c c o u r s e s a r e e x p e c t e d t o a d d r e s s a s a p a r t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n o r d e r t o e x p l o r e t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e c o u r s e s b y a s e t O f i n s t r u c t o r s a d e q u a t e l y , t h e n u m b e r o f p a r t i c i p a n t s w a s s m a l l a n d t h e m e t h o d o l o g y r e l i e d h e a v i l y o n i n - d e p t h i n t e r v i e w i n g . 4 7 D a t a C o l l e c t i o n T h e i d e a s t h a t i n s t r u c t o r s h a v e a b o u t t h e r o l e s t h e i r c o u r s e s s h o u l d p l a y a n d h o w t h e i r b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s m a n i f e s t t h e m s e l v e s i n t h e i r d e s c r i p t i o n O f t h e c o u r s e s a r e t h e f o c u s o f t h i s s t u d y . I n p a r t i c u l a r , I e x a m i n e t h e r o l e s t h a t m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s s e e a s o f p r i m a r y i m p o r t a n c e f o r m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s t o p l a y a s a w a y o f u n d e r s t a n d i n g h o w m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s s e e t h e i r c o u r s e s f i t t i n g i n t o s t u d e n t s ’ t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s . I d e v e l o p e d t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t s u s i n g s e v e r a l r e s o u r c e s . I n s t r u m e n t s p r e v i o u s l y d e v e l o p e d f o r u s e i n s t u d i e s b y t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n ( N C R T E , 1 9 8 8 a , 1 9 8 8 b ) a n d t h e S u r v e y o f M a t h e m a t i c s a n d S c i e n c e O p p o r t u n i t i e s ( S M S O , 1 9 9 2 ) w e r e o f p a r t i c u l a r v a l u e i n d e v e l o p i n g c a r d s o r t t a s k s t h a t w e r e a p a r t o f t w o i n t e r v i e w s . A f t e r i n i t i a l i n s t r u m e n t d e v e l o p m e n t , I r e f e r r e d t o t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k t o d e t e r m i n e i f I s h o u l d i n c l u d e a d d i t i o n a l m a t e r i a l i n o r d e r t o e n s u r e a s e n s e O f a l l r o l e s i n s t r u c t o r s w e r e e m p h a s i z i n g . T h e d a t a c o l l e c t i o n t o o k t h e f o r m o f a s e t o f t h r e e , o n e t o o n e - a n d - o n e - h a l f h o u r i n t e r v i e w s w i t h a s s o c i a t e d o b s e r v a t i o n s i n t h e p a r t i c i p a n t s ' c l a s s r o o m s , w h e n p o s s i b l e . 9 T h e p u r p o s e o f t h e O b s e r v a t i o n s w a s t o b e t t e r u n d e r s t a n d w h a t t h e i n s t r u c t o r s s a i d i n t h e i n t e r v i e w s . I n s o m e c a s e s , t h e i n s t r u c t o r w a s t e a c h i n g o r h a d t a u g h t b o t h m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r 9 K a r a , C r a i g , a n d C y n t h i a w e r e o b s e r v e d d u r i n g t h e i n t e r v i e w c y c l e . G a i l w a s o b s e r v e d p r i o r t o i n t e r v i e w i n g . J e f f a n d F r a n k w e r e n o t o b s e r v e d . 4 8 p r e p a r a t i o n c o m p o n e n t i n t h e i r d e p a r t m e n t . I n t e r v i e w q u e s t i o n s a l l o w e d i n s t r u c t o r s t o r e s p o n d w i t h r e s p e c t t o e i t h e r c o n t e n t c o u r s e . I s t r u c t u r e d t h e i n i t i a l i n t e r v i e w t o i d e n t i f y t h e r o l e s t h e i n s t r u c t o r s a w t h e c o u r s e s p l a y i n g i n t h e s t u d e n t s ' p r o g r a m s a n d f o r t h e U n i v e r s i t y . ( s e e A p p e n d i x B ) A m a j o r c o m p o n e n t o f t h e i n t e r v i e w w a s a c a r d s o r t t a s k . I n t h i s t a s k , I i n d i c a t e d p o s s i b l e p u r p o s e s o f t h e c o u r s e o n c a r d s t h a t w e r e t o b e p l a c e d i n c a t e g o r i e s o f E s s e n t i a l , V e r y I m p o r t a n t , S o m e w h a t I m p o r t a n t , N o t V e r y I m p o r t a n t , a n d N o t I m p o r t a n t a t A l l . I a s k e d i n s t r u c t o r s t o t a l k a l o u d a s t h e y p l a c e d t h e c a r d s , i n d i c a t i n g w h y t h e y w e r e p u t t i n g t h e c a r d s i n t h e s p e c i f i c c a t e g o r i e s . T h e o t h e r c o m p o n e n t o f t h e f i r s t i n t e r v i e w i n v o l v e d g e t t i n g t h e i n s t r u c t o r s ' r e a c t i o n s t o a s e t o f s t r o n g l y w o r d e d s t a t e m e n t s . I a s k e d i n s t r u c t o r s t o i n d i c a t e i f t h e y a g r e e d o r d i s a g r e e d w i t h a l l o r p a r t o f e a c h s t a t e m e n t . T h e s e t o f s t a t e m e n t s a n d p r o b e s s u g g e s t e d p o s s i b l e r o l e s a p e r s o n m i g h t c o n c e i v e a c o u r s e t o s e r v e a n d r a t i o n a l e s f o r t h e r o l e s . M y i n t e n t w a s n o t o n l y t o i d e n t i f y t h e r o l e s t h e i n s t r u c t o r v a l u e d a n d s a w a s p a r t o f t h e c o u r s e s , b u t a l s o t o i d e n t i f y r o l e s t h a t t h e i n s t r u c t o r v a l u e d b u t d i d n o t s e e t h e c o u r s e s p l a y i n g . W i t h t h e s e t w o c o n c e r n s w e n t a t h i r d : t h e e m p h a s i s t h e i n s t r u c t o r p l a c e d o n e a c h r o l e . H o w s t r o n g l y s t a t e d w e r e t h e r o l e s a n d h o w d i d t h e i n s t r u c t o r p r i o r i t i z e t h e r o l e s t h a t h e o r s h e i d e n t i f i e d ? A d d i t i o n a l l y , w h a t c o n s t r a i n t s o r b a r r i e r s w e r e t h e r e m a k i n g r o l e s d i f f i c u l t t o e n a c t ? I a l s o i n v e s t i g a t e d t h e e x t e n t t o w h i c h t h e i n s t r u c t o r s a w h i s o r h e r t a s k o r i e n t e d t o w a r d s e r v i c e t o t h e s t u d e n t o r s e r v i c e t o t h e i n s t i t u t i o n . 4 9 T h e s e c o n d i n t e r v i e w ( s e e A p p e n d i x C ) w a s i n f o r m e d b y m a t e r i a l o b t a i n e d p r i o r t o t h e i n t e r v i e w , w h e n p o s s i b l e . I a s k e d f o r a c o p y o f t h e c o u r s e s y l l a b u s , t h e n a m e O f t h e t e x t b o o k u s e d a n d a l i s t o f a s s i g n m e n t s , a s a m p l e e x a m ( p o s s i b l y f r o m a p r e v i o u s s e m e s t e r ) , a n d a c o p y o f a n y h a n d o u t s g i v e n - - p a r t i c u l a r l y a n y d e s c r i p t i o n O f g r a d i n g p r o c e d u r e s o r h o w p r o j e c t s w e r e t o b e c o m p l e t e d . T h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w , I a t t e m p t e d t o c l a r i f y t h e r o l e s t h e i n s t r u c t o r s a w t h e c o u r s e s p l a y i n g u s i n g q u e s t i o n s t h a t r e f e r r e d t o t h e m a t e r i a l s p r o v i d e d . F o r e x a m p l e , i f a n i n s t r u c t o r s a i d t h a t a m a j o r r o l e o f t h e c o u r s e s w a s t o d e v e l o p k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s , I s o u g h t t o d e t e r m i n e h o w t h i s w a s i n t e r p r e t e d i n t h e m a t e r i a l s u s e d f o r t h e c o u r s e s . I n l o o k i n g a t e x a m s , I s e l e c t e d t a s k s a n d a s k e d t h e i n s t r u c t o r t o d e s c r i b e a g o o d a n s w e r a n d c l a r i f y w h a t c o u n t e d a s t h e " k n o w l e d g e O f m a t h e m a t i c s " t h e i n s t r u c t o r w a s a t t e m p t i n g t o d e v e I O p . I f t h e r e w a s a r o l e e n c o u r a g e d i n t h e m a t e r i a l s t h a t t h e i n s t r u c t o r d i d n o t i n d i c a t e a s v a l u e d p r i o r t o t h i s t i m e , I a s k e d a b o u t i t , j u s t a s , i f a n y r o l e a p p e a r e d t o b e m i s s i n g i n t h e m a t e r i a l s ( o r a t l e a s t v e i l e d t o m e ) , I i n q u i r e d a b o u t i t s a b s e n c e ( t h a t i s , I a s k e d t h e i n s t r u c t o r t o h e l p m e f i n d i t i n t h e m a t e r i a l s ) . I d e s i g n e d s o m e i n t e r v i e w q u e s t i o n s t o e l i c i t a s s u m p t i o n s h e l d b y t h e i n s t r u c t o r a b o u t t h e s t u d e n t s t a k i n g t h e c l a s s : w h a t s t u d e n t s k n o w , w h a t t h e y n e e d t o k n o w , h o w t h e y a r e c h a r a c t e r i z e d a n d h o w t h a t a f f e c t s t h e r o l e s t h e c o u r s e i s e x p e c t e d t o p l a y f o r t h e s t u d e n t s . B e t w e e n t h e s e c o n d a n d t h i r d i n t e r v i e w s , I O b s e r v e d a s e t o f c l a s s e s , w h e n p o s s i b l e . T h e i n s t r u c t o r a n d l m u t u a l l y a g r e e d o n t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s . U s i n g t h e s e o b s e r v a t i o n s , I b u i l t a n i n t e r v i e w ( s e e A p p e n d i x D ) f o r e a c h p a r t i c i p a n t t h a t w a s d i r e c t e d a t 5 0 h a v i n g t h e i n s t r u c t o r h e l p m e p u t t h e p i c t u r e o f t h e c o u r s e s t o g e t h e r a n d h i g h l i g h t i n g t h e w a y s t h e r o l e s o f t h e c o u r s e s a r e b r o u g h t t o l i f e . I a s k e d t h e i n s t r u c t o r t o u s e s p e c i f i c e x a m p l e s f r o m t h e o b s e r v e d c l a s s e s t o d e s c r i b e h o w h e o r s h e s a w o p p o r t u n i t i e s f o r t h e c o u r s e t o p l a y a p a r t i c u l a r r o l e f o r s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , i f t h e i n s t r u c t o r i n d i c a t e d i n t h e f i r s t t w o i n t e r v i e w s t h a t b u i l d i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s w a s a c r i t i c a l r o l e f o r t h e c o u r s e t o p l a y , I d e v e l o p e d q u e s t i o n s f o r h i m o r h e r w h o s e a n s w e r s h e l p e d m e e n h a n c e m y s e n s e o f w h a t " b u i l d i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e " m e a n t t o t h e i n s t r u c t o r . A q u e s t i o n m i g h t b e , " Y o u m e n t i o n e d t h a t b u i l d i n g p o s i t i v e a t t i t u d e i s a n e x t r e m e l y i m p o r t a n t o n e f o r y o u i n t h e c o u r s e . C o u l d y o u g i v e m e a n e x a m p l e f r o m w h a t I O b s e r v e d i n c l a s s t h a t y o u s e e a s a n e x e m p l a r O f h o w t h e c o u r s e p r o v i d e s o p p o r t u n i t i e s f o r d o i n g t h i s ? " I n t h i s w a y , I w a s a b l e t o c o n n e c t w h a t t h e i n s t r u c t o r s a i d w i t h w h a t h e o r s h e d i d a n d e n h a n c e m y u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e i n s t r u c t o r s a w a s e n a c t i n g t h e r o l e s . I f a n i n s t r u c t o r d i d n o t e m p h a s i z e a p a r t i c u l a r r o l e , b u t I o b s e r v e d a c t i o n s i n c l a s s t h a t I r e l a t e d t o t h e r o l e , I a s k e d q u e s t i o n s s u c h a s , ” W h a t d i d y o u h o p e t o a c c o m p l i s h i n d o i n g [ e x a m p l e f r o m O b s e r v a t i o n ] ? " F o r e x a m p l e , i f I t h o u g h t a n a c t i v i t y s e e m e d f o c u s e d o n l e a r n i n g h o w t o t e a c h b u t t h e i n s t r u c t o r h a d n o t e m p h a s i z e d t h i s a s a r o l e f o r t h e c o u r s e , t h e i n s t r u c t o r ‘ s a n s w e r w o u l d h e l p m e u n d e r s t a n d h o w h e o r s h e s a w t h e a c t i v i t y c o n n e c t i n g w i t h t h e r o l e s o f t h e c o u r s e . T h e r e w e r e m a n y q u e s t i o n s c o n s i s t e n t a c r o s s i n t e r v i e w s , b u t s o m e q u e s t i o n s i n t h i s i n t e r v i e w w e r e s p e c i f i c t o t h e i n d i v i d u a l . 5 1 T h e s e i n - d e p t h i n t e r v i e w s p r o v i d e d a c c e s s t o t h e c o n t e x t O f t h e i n s t r u c t o r s ’ b e h a v i o r ( S e i d m a n , 1 9 9 1 , p . 4 ) t h e r e b y p r o v i d i n g a w a y t o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g O f t h e i r b e h a v i o r . B y e m p l o y i n g t h i s s e t o f i n - d e p t h i n t e r v i e w s , I g a i n e d b o t h a r i c h s e n s e O f t h e i n s t r u c t o r ' s c o n t e x t a n d a c l e a r e r s e n s e O f t h e m e a n i n g o f t h e i r w o r d s a n d a c t i o n s . I g a i n e d a s e n s e O f t h e b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s u n d e r g i r d i n g i n s t r u c t o r s ' i n t e n t i o n s a n d a c t i o n s i n a w a y t h a t s e t t h e r o l e s t h e y s a w t h e c o u r s e p l a y i n g a s f o c a l . C H A P T E R 5 A N A L Y S I S T h e a n a l y s i s o f t h e d a t a t a k e s t w o f o r m s : i n d i v i d u a l a n d a c r o s s t h e s e t o f i n s t r u c t o r s . T h i s i n t r o d u c t i o n s e r v e s t o d e s c r i b e t h e f o c u s o f e a c h f o r m o f a n a l y s i s a n d i n c l u d e s a n e x p l a n a t o r y n o t e t o h e l p o r i e n t t h e r e a d e r t o t h e m o r e p r a c t i c a l a s p e c t s o f t h e a n a l y s i s . n s r o r ' n c a l i z a t i o n s o f t h e R o l e T h e f i r s t s e c t i o n i s a n a n a l y s i s o f t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a r e t o p l a y i n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ' p r o g r a m s . T h i s i n c l u d e s s i x i n d i v i d u a l a n a l y s e s t h a t i n t e n d t o c a p t u r e t h e p a r t i c u l a r e m p h a s e s a n d s p e c i a l a s p e c t s o f e a c h i n s t r u c t o r ’ s c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e c o u r s e o r c o u r s e s e a c h t a u g h t . I u s e t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s t o h e l p d e s c r i b e t h e i n s t r u c t o r s ’ c o n c e p t u a l i z a t i o n s . T h e i n d i v i d u a l a n a l y s e s a r e n o t e x h a u s t i v e , b u t r a t h e r a r e i n t e n d e d t o c h a r a c t e r i z e w h a t s e e m t o b e t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g s e a c h i n s t r u c t o r s t r e s s e d . A d d i t i o n a l l y , t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n s g i v e a s e n s e o f t h e d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s b r o u g h t t o t h e t e a c h i n g o f t h e c o u r s e b y t h e i n s t r u c t o r s . T h e o r d e r i n w h i c h t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s a p p e a r i s t o t a l l y s u b j e c t i v e . I p l a c e d t h e m i n s u c h a w a y a s t o O f f e r c o n t r a s t , a l t h o u g h a l m o s t a n y o r d e r i n g o f t h e s e a n a l y s e s w o u l d o f f e r c o n t r a s t . T o d e v e l o p t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n s , I u s e d t h e d a t a i n m a n y d i f f e r e n t w a y s i n a n e f f o r t t o i m m e r s e m y s e l f i n e a c h i n s t r u c t o r ’ s 5 2 5 3 s e n s e o f w h a t t h e c o u r s e s s h o u l d a c c o m p l i s h a n d h o w i n s t r u c t o r s s a w t h e c o u r s e s o f f e r i n g o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o l e a r n t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e s . M y a p p r o a c h e s r a n g e d f r o m a q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s O f c a r d s o r t r e s p o n s e s t o a l o o k a t h o w t h e O b s e r v a t i o n s O f t h e c l a s s r o o m s o f i n s t r u c t o r s i n f o r m e d m y u n d e r s t a n d i n g o f i n s t r u c t o r s ’ c o m m e n t s . I e x a m i n e d a r t i f a c t s , s u c h a s c o u r s e p a c k e t s a n d s a m p l e e x a m s , t o s e e w h a t k i n d s O f m a t e r i a l a n d a c t i v i t i e s i n s t r u c t o r s u s e d t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h O p p o r t u n i t i e s t o l e a r n w h a t t h e y i n t e n d e d a n d t o s e e w h a t e x p e c t a t i o n s i n s t r u c t o r s h a d f o r s t u d e n t l e a r n i n g . I c r a f t e d s h o r t " t h u m b - n a i l s k e t c h e s " f r o m w h i c h t h e p r e s e n t c o n c e p t u a l i z a t i o n s g r e w . I w e n t t h r o u g h t h e i n t e r v i e w t r a n s c r i p t s c a r e f u l l y , p u l l i n g o u t i m p o r t a n t c o m m e n t s t h a t I u s e d a s e v i d e n c e f o r m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e s a n d t h e i n s t r u c t o r s ' v a l u i n g o f t h e r o l e s , b u i l d i n g o n t h e p o i n t s I h a d u s e d a s t h e s k e l e t o n s o f t h e t h u m b - n a i l s k e t c h e s . A f t e r d o i n g t h i s , I r e t u r n e d t o m y a n a l y t i c f r a m e w o r k t o s e e i f i t p r o v e d t o b e s u f f i c i e n t . I s a w i t s g e n e r a l a d e q u a c y , b u t I n o t e d a d e f i c i e n c y . I a c k n o w l e d g e a n d e x p l a i n t h i s d e f i c i e n c y i n t h e c o n t e x t o f t h e i n s t r u c t o r ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n t h a t m o s t s t r o n g l y h i g h l i g h t s t h i s w e a k n e s s . T f r i h e m i c l n t e n I r e s t r i c t e d t h e s e c o n d a n a l y s i s t o a c e n t r a l r o l e . L o o k i n g a c r o s s t h e s e t o f i n s t r u c t o r s , I f o c u s e d o n t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e i n s t r u c t o r s w e r e i n m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s t e a c h i n g c o n t e n t c o u r s e s t h a t w e r e a r e q u i r e d p a r t o f a p r o g r a m o u t s i d e t h e i r d e p a r t m e n t . T h e w a y s i n s t r u c t o r s c o n n e c t e d o r d i d n o t c o n n e c t t h e r o l e o f l e a r n i n g c o n t e n t t o t h e s t a t u s o f t h e 5 4 c o u r s e s a s p a r t o f s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n w e r e i m p o r t a n t t o c o n s i d e r i n d e t e r m i n i n g h o w i n s t r u c t o r s s a w t h e c o u r s e f u n c t i o n i n g w i t h i n t h e s t u d e n t s ' p r o g r a m . T h e a n a l y s i s i n v o l v e s t h r e e i s s u e s r e l a t e d t o t h e r o l e O f s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t : s t u d e n t p r e p a r a t i o n f o r t h e c o u r s e s , t h e s p e c i f i c c o n t e n t o f t h e c o u r s e s , a n d e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . T h e s e i s s u e s a l l o w f o r a b r o a d l o o k a c r o s s t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s , e x a m i n i n g t h e r a n g e a n d v a r i a t i o n o f t h e i r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e a n d a v i e w i n t o t h e w a y s i n s t r u c t o r s s a w t h e c o u r s e s s e r v i n g a p r o g r a m m a t i c r o l e . T h e f i r s t i s s u e f o c u s e s o n t h e k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t o r s a s s u m e d s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e f i r s t c o u r s e i n t h e t w o - c o u r s e s e q u e n c e . S t u d e n t p r e p a r a t i o n , i n p a r t i c u l a r p o o r s t u d e n t p r e p a r a t i o n , w a s s o m e t h i n g a b o u t w h i c h a l l o f t h e i n s t r u c t o r s a c k n o w l e d g e d h a v i n g s o m e c o n c e r n . I r e c o u n t w h a t i n s t r u c t o r s s a w a s p o o r p r e p a r a t i o n , h o w t h e y p e r c e i v e d i t s i m p a c t o n t h e c o n t e n t , a n d w h a t t h e i r r e s p o n s e w a s i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e . I e x a m i n e t h e s e c o n d i s s u e , w h a t t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e s s h o u l d b e , b y l o o k i n g f i r s t a t t h e d e p a r t m e n t a l l y r e c o m m e n d e d c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e s . T h e n , I l o o k f o r v a r i a t i o n i n t h e i n s t r u c t o r s ’ c h o i c e o f c o n t e n t a n d e m p h a s e s o n t h e c o n t e n t i n t h e c o u r s e s . I c o n s i d e r t h e d i s t i n c t i v e a s p e c t s o f t h e c o u r s e s a s p o r t r a y e d b y t h e i n s t r u c t o r s , a n d i d e n t i f y m u l t i p l e i n f l u e n c e s o n t h e c o u r s e s ' c o n t e n t a n d d e s i g n . A d d r e s s i n g t h e t h i r d i s s u e i n v o l v e s l o o k i n g w i t h i n t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t o e x a m i n e t h e i n s t r u c t o r s ' p r i m a r y g o a l : 5 5 u n d e r s t a n d i n g . T h e c o n c e p t O f u n d e r s t a n d i n g i s o n e t h a t i s p r o m i n e n t i n r e c e n t c o n v e r s a t i o n s a b o u t t e a c h i n g . I n p a r t i c u l a r , t h e p h r a s e “ t e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g " h a s b e c o m e n e a r - c l i c h e , w i t h b o o k s a n d a r t i c l e s h a v i n g b e e n w r i t t e n a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ( e . g . , B u r n s , 1 9 8 9 ; H i e b e r t & C a r p e n t e r , 1 9 9 2 ; P r a w a t , 1 9 8 9 ) . T h e m e a n i n g s O f t e r m s u s e d i n d i s c u s s i o n s o f u n d e r s t a n d i n g o f t e n g e t b l u r r e d , s o I c a r e f u l l y d e f i n e t h e w a y s t h a t I c h o s e t o u s e t h e t e r m s n e e d e d t o a n a l y z e t h e i n s t r u c t o r s ' v i e w s . U s i n g t h e l a n g u a g e a s I d e f i n e i t , I l o o k a t t h e w a y s t h a t t h e s e i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t u n d e r s t a n d i n g . A t a t i m e w h e n t h e c o n c e p t ” u n d e r s t a n d i n g ” i s s o w i d e l y u s e d , t h e q u e s t i o n s o f h o w t h e i n s t r u c t o r s u s e d i t a n d w h a t t h e y s a w a s d e v e l o p i n g a n d s u p p o r t i n g i t s e e m i m p o r t a n t t o i n v e s t i g a t e . I n t h e f i n a l p i e c e o f t h e a n a l y s i s , I l o o k f o r p a t t e r n s i n t h e w a y s i n s t r u c t o r s p o r t r a y e d t h e r o l e s . A p a i r O f d i f f e r i n g w a y s o f v i e w i n g m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s e m e r g e a s c r i t i c a l i n f l u e n c e s o n w h a t i n s t r u c t o r s c o u n t e d a s m a t h e m a t i c s a n d s a w a s a p p r o p r i a t e i n s t r u c t i o n a n d a s s e s s m e n t . I p r e s e n t t h e s e a s t w o a l t e r n a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n s t h a t h o l d p r o m i s e a s f o o d f o r t h o u g h t a n d d i s c u s s i o n . 1 0 1 0 T h e t w o c h a r a c t e r i z a t i o n s a r e n o t u n l i k e , e v e n s i m i l a r t o , t h e t w o a l t e r n a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n r e s e a r c h ( a n a l y t i c a n d h u m a n i s t i c ) d e s c r i b e d b y B r o w n , C o o n e y , a n d J o n e s ( 1 9 9 0 ) . I s e e b o t h p a i r s o f c h a r a c t e r i z a t i o n s h o l d i n g t h e p r o m i s e o f c h a l l e n g i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s t o c o n s i d e r a l t e r n a t i v e v i s i o n s ; e x a m i n e i s s u e s , m o t i v a t i o n s , a n d g o a l s ; a n d m a k e h a r d d e c i s i o n s a b o u t h o w t o i m p r o v e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . 5 6 E x p l e n e t o t y N o t e T h e a n a l y s e s u s e d a l l s o u r c e s o f t h e d a t a , f r o m t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s t o s a m p l e e x a m s t o c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s t o i n t e r v i e w s . A g a i n , t h e s e a n a l y s e s d o n o t r e p r e s e n t t h e t o t a l i t y O f a l l t h a t c o u l d b e l e a r n e d f r o m t h e s e d a t a , b u t t h e y s e t o u t w h a t s e e m e d t o b e O f g r e a t e s t i m p o r t a n c e a n d o f g r e a t e s t p o t e n t i a l f o r a c t i n g a s a c a t a l y s t f o r d i s c u s s i o n s i n v o l v i n g t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y a n d t h e t e a c h e r e d u c a t i o n c o m m u n i t y . H i g h l i g h t i n g a f e w c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f o r m a t t i n g u s e d i n t h e a n a l y s e s m a y h e l p t h e r e a d e r . I n t h e i n t e r e s t O f s p e c i f y i n g w h e r e p a r t i c u l a r c i t a t i o n s a p p e a r i n t h e i n t e r v i e w t r a n s c r i p t s , e a c h c i t a t i o n i s f o l l o w e d b y a s e t o f p a r e n t h e s e s i n d i c a t i n g t h e p a g e n u m b e r a n d t h e i n t e r v i e w t y p e . T h e l e t t e r s u s e d t o i n d i c a t e t h e s p e c i f i c i n t e r v i e w t y p e a r e t h e f o l l o w i n g : P = P h i l o s o p h i c a l I n t e r v i e w ( I n t e r v i e w O n e , A p p e n d i x B ) , C = C o n t e n t I n t e r v i e w ( I n t e r v i e w T w o , A p p e n d i x C ) , a n d B = O b s e r v a t i o n I n t e r v i e w ( I n t e r v i e w T h r e e , A p p e n d i x D ) . I f I t o o k a q u o t e f r o m p a g e 2 4 o f P r o f e s s o r S h e f f i e l d ' s C o n t e n t I n t e r v i e w , I i d e n t i f i e d i t a s ( 2 4 C ) i n t h e c o n t e x t o f h e r c o n c e p t u a l i z a t i o n . W h e n i n t h e a c r o s s - i n s t r u c t o r a n a l y s e s o r i n a d i f f e r e n t i n s t r u c t o r ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n , t h e i n s t r u c t o r ' s i n i t i a l s a r e i n c l u d e d , e . g . , ( K S , 2 4 C ) . I u s e d t h r e e e l l i p s i s p o i n t s ( . . . ) t o i n d i c a t e a d e l e t e d p o r t i o n o f t h e t r a n s c r i p t . I i n c l u d e d d e s c r i p t i v e i n f o r m a t i o n i n p a r e n t h e s e s , s u c h a s ( s h o r t p a u s e ) . W h e n d i a l o g u e i n i n c l u d e d , I i d e n t i f i e d t h e i n t e r v i e w e r u s i n g t h e i n i t i a l s , G K . W h e n c o m m u n i c a t i n g a b o u t w o r k i n v o l v i n g t e a c h e r e d u c a t i o n , i t c a n b e u n c l e a r t o w h o m t h e w o r d ” s t u d e n t s ” r e f e r s . E x c e p t i n 5 7 d i r e c t q u o t a t i o n s f r o m i n s t r u c t o r s , t h e w o r d " s t u d e n t s " r e f e r s t O c o l l e g e - l e v e l l e a r n e r s . T h e w o r d s ” p u p i l s " o r " c h i l d r e n " r e f e r t o e l e m e n t a r y - s c h O O l - a g e l e a r n e r s . I n s t r u c t o r s a t N U f r e q u e n t l y u s e d c o u r s e n u m b e r s w h e n t a l k i n g a b o u t t h e c o u r s e s . T h e c o u r s e s n u m b e r e d 1 1 5 a n d 1 1 6 a r e t h e t w o m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s o f p a r t i c u l a r c o n c e r n t o t h i s s t u d y , a n d 3 7 4 i s t h e e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e n u m b e r . I n s t r u c t o r s o c c a s i o n a l l y m e n t i o n e d o t h e r c o u r s e n u m b e r s . I n t h o s e c a s e s w h e n t h e c o u r s e b e i n g r e f e r r e d t o s e e m s u n c l e a r , c o u r s e f o c u s i s i n d i c a t e d i n b r a c k e t s . A s b a c k g r o u n d f o r r e a d i n g t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n s , i t a l s o m a y b e h e l p f u l t o r e m e m b e r t h a t N U h a d j u s t b e g u n a p r e r e q u i s i t e t e s t i n g p r o g r a m . A s n o t e d i n t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s i t e , a n y a c t i o n t a k e n a f t e r t h e t e s t i n g w a s p u r e l y v o l u n t a r y a t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w i n g , s o s t u d e n t s c o u l d t e s t a s n o t r e a d y f o r t h e M a t h 1 1 5 c o u r s e , t h e f i r s t c o n t e n t c o u r s e r e q u i r e d i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m , b u t t h e s t u d e n t s c o u l d c h o o s e t o t a k e t h e c o u r s e , a n y w a y . T h e d e p a r t m e n t w a s m a k i n g d e t e r m i n a t i o n s a b o u t t h e t e s t i n g a n d i t s v o l u n t a r y / r e q u i r e d s t a t u s a t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w i n g . I N S T R U C T O R S ' C O N C E P T U A L I Z A T I O N S O F T H E R O L E S T h e i n d i v i d u a l a n a l y s e s p r e s e n t e a c h i n s t r u c t o r ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t h e c o u r s e s a s a p i c t u r e o f h i s o r h e r c o m m i t m e n t t o t h e r o l e s t h e c o u r s e s p l a y i n s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n a d d i t i o n , u n i q u e p e r s p e c t i v e s o f i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s u n d e r l i n e t h e b r e a d t h O f c o n c e r n s a n d i n f l u e n c e s o n t h e r o l e s t h e c o u r s e i s e x p e c t e d t o p l a y . T h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s a p p e a r i n t h e f o l l o w i n g o r d e r : - P r o f e s s o r K a r a S h e f f i e l d 0 P r o f e s s o r C y n t h i a Y o d e r 0 P r o f e s s o r J e f f S u l l i v a n - P r o f e s s o r F r a n k A d a m s 0 P r o f e s s o r G a i l L a u g h l i n 0 P r o f e s s o r C r a i g K e n n e d y M a n y o f t h e i s s u e s e x a m i n e d i n t h e a c r o s s - i n s t r u c t o r a n a l y s i s a r e f o r e - s h a d o w e d i n t h e i n d i v i d u a l a n a l y s e s . S o m e O f t h e c o n c e r n s a r e u n i q u e t o s p e c i f i c i n d i v i d u a l s . C e r t a i n a s p e c t s a r e h e l p f u l t o r e m e m b e r a s m o s t s t r o n g l y a s s o c i a t e d w i t h a p a r t i c u l a r i n s t r u c t o r , t h o u g h o t h e r i n s t r u c t o r s m a y s h a r e t h e s a m e c o n c e r n . P r o f e s s o r S h e f f i e l d , K a r a t h r o u g h o u t t h e r e m a i n d e r o f t h e s t u d y , h e l d t h a t t h e c o u r s e h a d m a n y r o l e s t o p l a y i n s t u d e n t s ’ p r o g r a m s , b u t s h e f o u n d t h a t c o n f l i c t i n g g o a l s a n d i n f l u e n c e s h a d a n i m p a c t o n w h a t s h e w a s a b l e t o d o i n t h e c o u r s e a n d h o w s h e w a s a b l e t o t e a c h t h e c o u r s e . T h e s e c o n f l i c t i n g g o a l s w e r e a s i g n i f i c a n t p a r t o f K a r a ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n . 5 8 5 9 A t t e m p t i n g t o h a v e t h e c o u r s e p l a y a l l o f t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s a n d m e e t m u l t i p l e g o a l s w a s P r o f e s s o r C y n t h i a Y o d e r ' s c o n s i d e r a b l e c h a r g e . I n C y n t h i a ' s v i e w , t h e n e e d s b r o u g h t t o t h e c o u r s e b y t h e s t u d e n t p o p u l a t i o n t a k i n g t h e c o u r s e s a t C o m m u n i t y C o l l e g e ( C C ) c o m p l i c a t e d h e r s i t u a t i o n . H e r c o n c e p t u a l i z a t i o n r e f l e c t e d t h e h i g h d e m a n d s s h e p l a c e d o n h e r s e l f a n d h e r e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t l e a r n i n g . A s t h e o n l y m a t h e m a t i c i a n / n o n - m a t h e m a t i c s e d u c a t o r 1 1 i n t h e s e t O f i n s t r u c t o r s , P r o f e s s o r J e f f S u l l i v a n h a d a d i f f e r e n t b a c k g r o u n d ( a n d , i t c o u l d b e a r g u e d , m i n d - s e t ) a s h e a p p r o a c h e d t e a c h i n g t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e . J e f f d e s c r i b e d h o w h i s l a c k o f e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h e c o u r s e h a d a f f e c t e d t h e r o l e s t h e c o u r s e p l a y e d i n h i s s t u d e n t s ' p r o g r a m a n d h o w h e w o u l d d o t h i n g s d i f f e r e n t l y a n o t h e r t i m e . J e f f ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n i l l u m i n a t e d a d e f i c i e n c y i n m y a n a l y t i c f r a m e w o r k . H e e m p h a s i z e d t h e d e v e l o p m e n t o f p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s t h a t s u p p o r t e d d e v e l o p m e n t o f c r e a t i v e p r o b l e m s o l v e r s . P r o f e s s o r F r a n k A d a m s w a s u n i q u e i n t h a t h i s c o n c e p t u a l i z a t i o n e m p h a s i z e d t h e r o l e s t h e c o u r s e w a s n o t t o p l a y , r a t h e r t h a n t h e r o l e s i t w a s t o p l a y . W i t h i n t h i s , h e e m p h a s i z e d t h e s e p a r a t i o n o f c o n t e n t c o u r s e c o n t e n t f r o m m e t h o d s c o u r s e c o n t e n t . 1 1 T h i s a s s e s s m e n t a s a " m a t h e m a t i c i a n / n o n - m a t h e m a t i c s e d u c a t o r ” i s J e f f ’ s o w n a n d t h a t o f t h e o t h e r m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s i n t h e d e p a r t m e n t . H o w e v e r , h i s u n d e r g r a d u a t e p r e p a r a t i o n w a s a s a s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r . O t h e r i n s t r u c t o r s , s e e n a s m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s , h a d m i n i m a l ( f i v e y e a r s o r l e s s ) e x p e r i e n c e t e a c h i n g K - 1 2 ; f o r o n e , t h i s w a s i n a s u b s t i t u t e r o l e ( 5 y e a r s ) , f o r a n o t h e r , t h i s w a s i n a p r i v a t e s c h o o l ( 1 y e a r ) . ( S e e F i g u r e 1 , p . 4 6 . ) 6 0 T h e i n s t r u c t o r m o s t o r i e n t e d t o a s i n g l e , p o w e r f u l r o l e f o r t h e c o u r s e t o p l a y w a s P r o f e s s o r G a i l L a u g h l i n . S h e w a s u n i q u e i n h e r a d v o c a c y o f r e d u c i n g a n x i e t y a s t h e p r i m a r y r o l e O f t h e c o u r s e s i n t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a t h e m a t i c s p r o g r a m . M o s t i n s t r u c t o r s i n d i c a t e d b e l i e v i n g t h a t c o m p e t e n c e p r e c e d e d c o n f i d e n c e ; G a i l f e l t t h a t p o s i t i v e a t t i t u d e p r e c e d e d t h e d e v e l o p m e n t o f c o m p e t e n c e . G a i l d i d n o t i g n o r e o t h e r r o l e s , a d d i n g c o m p l e x i t y t o h e r c o n c e p t u a l i z a t i o n , b u t t h e r o l e o f r e d u c i n g a n x i e t y w a s f o r e m o s t i n h e r m i n d . T h e l a s t i n s t r u c t o r , P r o f e s s o r C r a i g K e n n e d y , h e l d m a n y o f t h e s a m e g o a l s a s o t h e r i n s t r u c t o r s . U n l i k e m o s t i n s t r u c t o r s , C r a i g i n t e r p r e t e d t h e s e g o a l s m o s t o f t e n t h r o u g h t h e l e n s o f c o n c e r n f o r s t u d e n t s a s i n d i v i d u a l l e a r n e r s a s o p p o s e d t o s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s . I n a d d i t i o n , C r a i g ' s a w a r e n e s s o f h i s o w n l e a r n i n g i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g t h e c o u r s e s s e t h i s c o n c e p t u a l i z a t i o n a p a r t f r o m o t h e r s . T h e f o l l o w i n g f i g u r e ( F i g u r e 2 ) i n d i c a t e s t h e c e n t r a l c o m m i t m e n t s t o r o l e s f o r t h e c o u r s e s a s i n d i c a t e d b y t h e i n s t r u c t o r s . T h e i t a l i c i z e d r o l e o r r o l e s r e p r e s e n t w h a t I a s s e s s e d a s t h e i n s t r u c t o r ' s p r i m a r y i n t e n t i o n f o r t h e c o u r s e . I n s t r u c t o r s r a r e l y i n d i c a t e d n o v a l u e f o r a n y o f t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s , b u t t h e r o l e s i n d i c a t e d h e r e r e p r e s e n t t h o s e t h a t e a c h i n s t r u c t o r e m p h a s i z e d a s m o s t i m p o r t a n t t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s a n d w e r e i n e v i d e n c e i n t h e i r t e a c h i n g , i f o b s e r v e d . l n e t r u e t e r K a r a S h e f f i e l d C y n t h i a Y o d e r T e a c h i n g , J e f f S u l l i v a n F r a n k A d a m s G a i l L a u g h l i n C r a i g K e n n e d y 6 1 R o l e s C o n t e n t a n d A t t i t u d e C o n t e n t , N o r m s , D i s p o s i t i o n s , a n d A t t i t u d e C o n t e n t , N o r m s , D i s p o s i t i o n s , a n d G a t e - k e e p i n g C o n t e n t , N O T T e a c h i n g , N o t G a t e - k e e p i n g C o n t e n t , T e a c h i n g , G a t e - K e e p i n g a n d A t t i t u d e C o n t e n t , N o r m s , D i s p o s i t i o n s , a n d A t t i t u d e F i g u r e 2 P r e d o m i n a n t R o l e s f o r I n s t r u c t o r s K a r a : M u l t i p l e R o l e s a n d M i x e d M e s s a g e s P r o f e s s o r K a r a S h e f f i e l d C h a r a c t e r i z e d t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s i n p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' p r e p a r a t i o n a s h a v i n g m u l t i p l e r o l e s . S h e w o v e t h e r o l e s t o g e t h e r i n h e r i n t e r v i e w r e s p o n s e s s o t h a t , c o n t e n t a n d m e t h o d , a t t i t u d e a n d g a t e - k e e p i n g , a l l h e l d m e r i t i n h e r e y e s . K a r a O f t e n s e t t h e r o l e s t h e c o u r s e s w e r e t o p l a y i n t h e c o n t e x t o f d i l e m m a s p o s e d b y h a v i n g c o n f l i c t i n g g o a l s o r i n f l u e n c e s o n a t t a i n i n g t h e g o a l s . S t u d e n t s ’ c h o i c e o f t h e p u r s u i t o f t e a c h i n g a s a c a r e e r w a s t h e p r i n c i p a l g u i d e f o r K a r a ’ s e m p h a s e s i n t h e c o u r s e s , b u t c o n c e r n s b e y o n d t h o s e o f a d e p a r t m e n t a l n a t u r e , r e l a t e d t o t h e l a r g e r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m , d i d n o t i n f l u e n c e h e r . K a r a r e l a t e d h e r p r e d o m i n a n t c o n c e r n s t o b o t h s t u d e n t s ’ p r o f e s s i o n a l n e e d s , h a v i n g t h e n e c e s s a r y u n d e r s t a n d i n g O f m a t h e m a t i c s t o t e a c h c o m p e t e n t l y , a n d s t u d e n t s ’ p e r s o n a l s i t u a t i o n s , h a v i n g t h e a p t i t u d e a n d a t t i t u d e n e e d e d . T h e f i r s t t w o s e c t i o n s o f t h i s a n a l y s i s a d d r e s s t h e r o l e s t h a t K a r a e m p h a s i z e d , l e a r n i n g c o n t e n t a n d d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s . T h e f i n a l s e c t i o n i s a n e x a m i n a t i o n c o m p e t i n g g o a l s o r i n f l u e n c e s t h a t a f f e c t e d t h e r o l e s K a r a f e l t t h e c o u r s e s s h o u l d p l a y f o r h e r s t u d e n t s . C o n t e n t : U n d e r s t a n d i n g f o r T e a c h i n g W e K a r a m o s t s t r o n g l y e m p h a s i z e d t h e g o a l o f d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s t h a t s t u d e n t s s t u d i e d i n t h e c o u r s e s . T h i s w a s t o b e a c h i e v e d t h r o u g h a p a r t i c u l a r s t r a t e g y - - 6 2 6 3 a s k i n g s t u d e n t s t o s o l v e p r o b l e m s i n m a n y d i f f e r e n t w a y s . K a r a a s s u m e d t h a t s t u d e n t s e n t e r e d t h e c l a s s k n o w i n g h o w t o o p e r a t e c o m p u t a t i o n a l l y , a n d i n d i c a t e d t h a t t h e p u r p o s e o f t h i s c o u r s e w o r k w a s t o b u i l d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h i s r e q u i r e d m o r e a n d d i f f e r e n t e n e r g y f r o m o t h e r m a t h e m a t i c s c o u r s e s . I t h i n k i t t a k e s m o r e t h i n k i n g , n o t a t a h i g h l e v e l , y o u k n o w , m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g . B u t i t t a k e s m o r e t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g , b e c a u s e t h e y ' v e g o t t o l o o k a t h o w i t g o e s t o g e t h e r . Y e a h , t h e r e a r e t w o o r t h r e e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o t h i s , f o r e x a m p l e , t h e g r e a t e s t c o m m o n f a c t o r . W e d o i t t w o o r t h r e e d i f f e r e n t w a y s , a n d I t h i n k t h e r e ' s e v e n f o u r o r f i v e w a y s t h a t a r e s h o w n . ( 1 3 C ) I f s t u d e n t s w e r e w i l l i n g a n d a b l e t o l e a r n h o w t o l o o k a t p r o b l e m s i n m a n y d i f f e r e n t w a y s , t h e y w o u l d b e m o r e s u c c e s s f u l i n t h e c o u r s e ; K a r a s a w t h i s a b i l i t y a s c r i t i c a l f o r f u t u r e t e a c h i n g , a n d s h e c o n n e c t e d s u c c e s s i n t h e c o u r s e w i t h c o m p e t e n c e f o r f u t u r e t e a c h i n g . D e e p e r u n d e r s t a n d i n g s e e m e d t o b e s y n o n y m o u s w i t h m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s 1 2 i n t h e w a y K a r a a p p l i e d t h e p h r a s e . T h e m o t i v a t i o n f o r h a v i n g t h e d e e p e r u n d e r s t a n d i n g - d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s r e s i d e d i n t h e i m p o r t a n c e o f t h i s i n t h e t e a c h i n g o f t h e c o n t e n t r a t h e r t h a n l e a r n i n g t h e c o n t e n t a s a s t u d e n t . Y o u c a n ' t j u s t s a y ” I k n o w o n e [ s o l u t i o n m e t h o d ] , " y o u k n o w , e s p e c i a l l y i f y o u ' r e g o i n g t o t e a c h . A n d I s e e i t d i f f e r e n t , i f t h e y ' r e g o i n g t o t e a c h a n d i f t h e y ' r e n o t g o i n g t o t e a c h , t h a t y o u n e e d t o k n o w a l l t h e d i f f e r e n t o n e s . Y o u c a n ' t j u s t s a y " I ' l l f i n d o n e t h a t w o r k s f o r m e . ” Y o u h a v e t o f i n d o n e t h a t y o u c a n 1 2 T h e w o r d ” r e p r e s e n t a t i o n s ” i s u s e d t h r o u g h o u t t h e a n a l y s e s t o r e f e r t o c o n c r e t e , p i c t o r i a l , a b s t r a c t , a p p l i e d , a n d v e r b a l d e p i c t i o n s o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o r i d e a s u n l e s s a r e s t r i c t i o n ( e . g . , c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n s ) i s i n d i c a t e d . 6 4 m a k e w o r k f o r a n y k i d t h a t y o u m i g h t h a v e . . . . T h e r e ' s d i f f e r e n t w a y s o f l e a r n i n g . ( 5 - 6 B ) T h e d i f f e r e n t w a y s o f l e a r n i n g t h a t K a r a m e n t i o n e d w e r e n o t r e s t r i c t e d t o u s e o f d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s , t h o u g h d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s m i g h t s u p p o r t d i f f e r e n t w a y s O f l e a r n i n g . S o m e p e o p l e l e a r n b e t t e r v i s u a l l y , w h i c h I d o n o t . P e o p l e l e a r n b e t t e r b y h e a r i n g i t . S o m e p e o p l e l e a r n b e t t e r b y m a k i n g t h e m s e l v e s l i t t l e n o t e c a r d s . S o m e p e o p l e l e a r n b e t t e r b y t a l k i n g w i t h a n o t h e r s t u d e n t . T h e r e ' s j u s t s o m a n y t h i n g s t h a t . A n d I t h i n k t h o - , I r e a l l y t h i n k t h a t t h o s e t h i n g s n e e d t o b e p r e s e n t e d . ( 1 5 P ) S o , d i f f e r e n t s t r a t e g i e s f o r p r e s e n t i n g c o n t e n t a s w e l l a s d i f f e r e n t w a y s o f r e p r e s e n t i n g t h e c o n t e n t w e r e b o t h s e e n a s i m p o r t a n t p a r t s o f w h a t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n i n t h e c o u r s e . F o r K a r a , t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s t o b e u n d e r s t o o d w e r e t y p i c a l K - 8 c o n t e n t w i t h s o m e e x p e c t a t i o n O f s o p h i s t i c a t i o n b e y o n d t h a t l e v e l , a s a l l u d e d t o a b o v e a s ” n o t a t a h i g h l e v e l " : " T h e y ' r e l e a r n i n g a l i t t l e b i t m o r e o r a l i t t l e b i t d e e p e r t h a n t h e y m i g h t w a n t t h e i r s t u d e n t s t o k n o w ” ( 1 C ) . S h e p l a c e d e m p h a s i s o n h a v i n g m a n y w a y s t o l o o k a t c o n c e p t s r a t h e r t h a n h a v i n g d e e p e r i n s i g h t s : ” W e ' d l i k e t h e m t o h a v e a l i t t l e b i t b e t t e r b a c k g r o u n d a n d k n o w a l i t t l e b i t m o r e t h a n t h e i r s t u d e n t s d o a n d h a v e a b e t t e r f e e l i n g f o r t h e m a t h e m a t i c s a n d a b e t t e r f e e l i n g f o r h o w t o p r o b l e m s o l v e t o f i n d o u t t h i n g s " ( 1 4 P ) . K a r a d e s c r i b e d t h i s ” b e t t e r f e e l i n g ” f o r t h e m a t h e m a t i c s d e v e l o p e d i n t h e c o u r s e s b o t h i n t e r m s o f e n j o y i n g t h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s a n d i n t e r m s o f u n d e r s t a n d i n g t h e u n d e r l y i n g r e a s o n a b l e n e s s t h a t p e r m e a t e s m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . S h e e l a b o r a t e d u p o n t h e l a t t e r g o a l a s s p e c i a l t o t h e s e c o u r s e s : “ T h e r e ' s 6 5 d e f i n i t e l y a s p e c i a l r o l e [ f o r t h e s e c o u r s e s ] i n e x p l a i n i n g w h y a n d h o w s o m e o f t h e b a s i c m a t h e m a t i c s a n d d i f f e r e n t a p p r o a c h e s a n d h e l p i n g t o u n d e r s t a n d t h e m a n d n o t j u s t d o t h e p r o c e s s " ( 1 9 C ) . F o r K a r a , u n d e r s t a n d i n g t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d b e i n g c o m p e t e n t w i t h m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s a n d a b l e t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y - - b e i n g a b l e t o " f i g u r e i t o u t " o n y o u r o w n . K a r a s a w t h e c o n t e n t c o u r s e s s h e t e a c h e s a s p r o v i d i n g p l a c e s t o g a i n c o n c e p t u a l k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . S i m p l y l e a r n i n g t o c o m p u t e o r s o l v e p r o b l e m s w a s n o t a l l t h a t s u c c e s s f u l w o r k i n t h e c o u r s e s r e q u i r e d ( i n s t i t u t i o n a l l y d e f i n e d s u c c e s s w a s O b t a i n i n g a g r a d e O f ” C " o r b e t t e r i n t h e c o u r s e ) . T h e s k i l l s w e r e t o b e s u p p o r t e d b y k n o w l e d g e o f t h e u n d e r l y i n g r e a s o n s f o r t h e i r a p p r o p r i a t e n e s s a n d u s e . K a r a g r o u n d e d h e r a r g u m e n t f o r l e a r n i n g t h i s i n a u t i l i t a r i a n p h i l o s o p h y : " W h a t d o y o u l e a r n m a t h f o r e x c e p t t o s o l v e p r o b l e m s , t o u s e i t i n e v e r y d a y l i f e , t o u s e i t i n a j o b , t O u s e i t s o m e p l a c e . A n d y o u k n o w , y o u ' r e n o t l e a r n i n g m a t h j u s t t o , s o y o u c a n s a y , ' I k n o w m a t h e m a t i c s . ’ Y o u ' r e u s i n g i t ” ( 7 B ) . F o r K a r a , s t u d e n t s i n t h e c o u r s e n e e d e d t o b e c o m p e t e n t w i t h m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s a n d a b l e t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y b e c a u s e t h e y n e e d e d t o b e a b l e t o u s e t h i s k n o w l e d g e i n t h e i r f u t u r e t e a c h i n g . H a v i n g a v a r i e t y o f w a y s t o p r e s e n t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w a s t i e d t o t h e a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e t h e c o n t e n t a s w e l l a s t o t h e a b i l i t y t o t a l k a n d w r i t e a b o u t c o n c e p t s i n m e a n i n g f u l w a y s . K a r a i d e n t i f i e d t h e s e s k i l l s a s e s s e n t i a l t o b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s a n d e s s e n t i a l p a r t s o f t h e c o u r s e . 6 6 C o n t e n t f o r T e a c h i m K a r a c o n n e c t e d t h e g o a l s o f h a v i n g s t u d e n t s u n d e r s t a n d t h e c o n t e n t a n d b e i n g a b l e t o c o m m u n i c a t e t h i s t o o t h e r s t o t h e s t a t u s o f t h e s t u d e n t s a s p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . S h e r a r e l y s p o k e o f t h e s e g o a l s a s o f v a l u e t o s t u d e n t s a s i n d i v i d u a l s , b u t r a t h e r a s o f u s e i n t h e p r a c t i c e o f t e a c h i n g . I f t h i s p e r s o n w a n t s t O b e i n a n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m , i t i s i m p o r t a n t t o g e t , t o h e l p t h e m d e v e l o p s k i l l s t o , t o l e a r n t o t e a c h m a t h e m a t i c s a n d t o c o n n e c t t h e c o n c e p t s . I t h i n k i t i s i m p o r t a n t t o k e e p ' e m o u t i f t h e y d o n ' t h a v e i t , b u t I d o n ' t t h i n k , I t h i n k I s e e a s m y f i r s t g o a l , i f y o u w a n t t o b e a , a e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r , y o u d o n e e d t o k n o w t h e s e m a t h c o n c e p t s . Y o u d o M t o l e a r n t h e m t o d o i t . [ v o c a l e m p h a s i s ] ( 1 6 P ) K a r a ' s c o n s i s t e n t c o n n e c t i o n o f g o a l s w i t h t h e s t a t u s o f t h e s t u d e n t s a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s s e r v e d t o e m p h a s i z e t h e d i s t i n c t i v e n e s s o f t h e s e c o u r s e s f r o m o t h e r c o u r s e s i n t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t . W h e n t a l k i n g a b o u t w o r k o n b a s e s d o n e i n t h e c o u r s e , K a r a e m p h a s i z e d w h a t s t u d e n t s w o u l d l e a r n a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t 1 3 r a t h e r t h a n w h a t m a t h e m a t i c a l i n s i g h t s t h e s t u d e n t s t h e m s e l v e s w o u l d d e v e l o p : “ W h e n I t e a c h b a s e s , I t r y t o t e l l t h e m , ' I t ' s n o t t h a t I t h i n k b a s e s a r e r e a l i m p o r t a n t a n d t o m o r r o w w e ’ r e g o i n g t o b e d o i n g e v e r y t h i n g i n b a s e s e v e n f o r t h e r e s t o f o u r l i v e s ” ( 9 P ) . S h e r e a s o n e d t h a t w o r k i n g w i t h b a s e s e v e n h e l p e d s t u d e n t s s e e ” h o w i t f e e l s ” t o w o r k w i t h a n u n f a m i l i a r b a s e t o m i m i c t h e f e e l i n g s o f c h i l d r e n a n d w h y c h i l d r e n m a k e t h e 1 3 T h e f o c u s w a s o n t h e s t u d e n t s ' l e a r n i n g t h e c o n t e n t a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . T h i s i s n o t t o i m p l y t h a t t h e f o c u s w a s o n l e a r n i n g h o w t o t e a c h t h e c o n t e n t . 6 7 m i s t a k e s t h e y d o t h r o u g h t h e e x p e r i e n c e O f m a k i n g t h o s e t y p e s O f m i s t a k e s a s s t u d e n t s . T h e d e e p e r i n s i g h t s e n c o u r a g e d f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a d m o r e t o d o w i t h h a v i n g e m p a t h y f o r t h e i r f u t u r e p u p i l s t h a n h a v i n g a d e e p e r i n s i g h t i n t o t h e m a t h e m a t i c s i t s e l f . A s a r e q u i r e m e n t i n e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n , K a r a s a w t h e c o u r s e w o r k a s i m p o r t a n t b e y o n d t h e i n d i v i d u a l t o t h e p r o f e s s i o n : “ I d o n ' t w a n t s o m e o n e t e a c h i n g m y c h i l d w h o d o e s n ' t u n d e r s t a n d b a s i c c o n c e p t s ” ( 8 P ) . S h e i m p l i e d t h a t t h e c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w e r e t o s u p p o r t , i f n o t e n s u r e , t h i s u n d e r s t a n d i n g . A p t i t u d e a n d A t t i t u d e K a r a f e l t t h a t n o t a l l p e o p l e a r e c u t o u t t o b e t e a c h e r s ; b o t h a p t i t u d e a n d a t t i t u d e a r e i m p o r t a n t . A t a v e r y b a s i c l e v e l , s t u d e n t s n e e d a n a p t i t u d e f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . A n d i f t h e y [ p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ] r e a l l y c a n n o t d o t h i s [ t h e m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e ] , t h i s i s n o t t h e i r t h i n g , i t ’ d b e l i k e m e t r y i n g t o g o i n t o a r t . I c o u l d s t a r t f r o m t h e b o t t o m a n d p r o b a b l y s t a y a t t h e b o t t o m . I f t h i s i s n o t t h e i r t h i n g , I ' d l i k e t h e m t o f i n d s o m e t h i n g e l s e . ( 8 P ) T h e f o r c e i n t e n d e d i n t h i s c o m m e n t i s b e t t e r u n d e r s t o o d k n o w i n g t h a t K a r a h a s p o o r v i s i o n , m a k i n g t h e i d e a o f h e r b e i n g a n a r t i s t n e a r a b s u r d . K a r a s a w a p t i t u d e a s u n c h a n g e a b l e , w h e r e a s a t t i t u d e w a s m a l l e a b l e . S h e i n t e n d e d t h e c o u r s e s p r o v i d e a n o p p o r t u n i t y t o d e v e l o p a n d s u p p o r t t h e k i n d o f a t t i t u d e t h a t a t e a c h e r o f e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s s h o u l d h a v e . S h e s t r e s s e d a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s , a ” c a n d o ” a t t i t u d e : 6 8 A n d , i f y o u s t a r t t O e n j o y i t , t h e y [ c h i l d r e n ] w i l l . A n d i t w i l l m a k e a l l t h e d i f f e r e n c e i n t h e w o r l d . A n d w i t h o u t t h a t c o n f i d e n c e , a n d i f y o u ' r e n o t r e a l c o n f i d e n t , d o n ' t g o i n t h e r e a n d s h o w ' e m t h a t ( l a u g h s ) , y o u k n o w . F i n d s o m e w a y s t o f i n d o u t m o r e a b o u t i t , o r i f y o u d o a l e s s o n t h a t s o m e t h i n g d i d n ' t w o r k o u t g o o d , g o f i n d o u t a b e t t e r w a y . T r y t O b u i l d y o u r c o n f i d e n c e . C u z o n c e y o u d o i t , o n c e a p r o b l e m c o m e s o u t r i g h t , y o u ' r e r e a l h a p p y a n d y o u ' r e r e a l c o n f i d e n t , y o u k n o w . A n d s o I r e a l l y l i k e t o s t r e s s t h a t . ( 4 P ) K a r a s a w c o m p e t e n c e a n d s u c c e s s s u p p o r t i n g c o n f i d e n c e . T h e e m p h a s i s o n c o n f i d e n c e h e r e w a s e c h o e d i n o t h e r c o m m e n t s , a l l r e l a t e d t o t h e i m p o r t a n c e f o r t e a c h i n g . A n d I s a y , " Y o u k n o w , y o u r s t u d e n t s d o n ' t k n o w e v e r y t h i n g y o u k n o w a n d d o n ' t k n o w . Y o u ' v e g o t t o w a l k i n t h e r e a n d y o u ' v e g o t t o b e c o n f i d e n t . Y o u ' v e g o t t o m a k e i t f u n . Y o u ' v e g o t t o S h o w t h e m t h a t y o u l i k e i t . I f y o u d o n ’ t , y o u ' r e g o n n a b e a c r u m m y t e a c h e r , a n d i f y o u c a n r e l a t e b a c k t o w h y y o u m a y b e d o n ’ t l i k e m a t h o r a r e h a v i n g t r o u b l e n o w , I b e t y o u c a n r e l a t e b a c k t o a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . " A n d I r e a l l y e m p h a s i z e , " Y o u d o n ' t w a n t t o d o t o k i d s w h a t s o m e b o d y m a y h a v e d o n e t o y o u . " ( 4 P ) I n t h i s c a s e , c o n f i d e n c e w a s s e e n a s g o i n g h a n d - i n - h a n d w i t h b e i n g a b l e t o m a k e m a t h e m a t i c s f u n a n d a v o i d i n g t h e r e p e t i t i o n o f s t u d e n t s ’ o w n p o s s i b l y b a d p e r s o n a l e x p e r i e n c e w i t h m a t h e m a t i c s . T h e c o u r s e s w e r e t o p l a y t h e r o l e o f p r o v i d i n g p o s i t i v e e x p e r i e n c e s t h a t d e v e l o p e d s t u d e n t s ’ o w n p o s i t i v e a t t i t u d e s a n d c o n f i d e n c e , e x p e r i e n c e s m u c h l i k e t h o s e K a r a h o p e d s t u d e n t s ’ w o u l d d e s i g n i n t o t h e i r o w n t e a c h i n g . T h e m e t h o d s f o r s u c h d e s i g n i n g w e r e n o t a p a r t o f t h e c o u r s e s , h o w e v e r . I n t h i s c o u r s e , w e r e a l l y d o n ’ t g i v e t h e m m e t h o d s , a n d t h i n g s l i k e t h a t . I t ’ s j u s t c o n t e n t , b u t t h e i d e a o f , l i k e “ O h , m a t h I ‘ m g o i n g t o t e a c h i s n ’ t g o i n g t o b e t h a t h a r d . T h i s s h o u l d b e k i n d O f f u n . I h o p e I c a n l e a r n h o w t o d o t h i s . ” A n d t h a t w o u l d b e t h e i r g o a l f o r t h e n e x t c o u r s e , t h e c o n t e n t , t h e m e t h o d s c o u r s e i s l i k e ” I h o p e I g e t s o m e n e a t i d e a s o n h o w t o t e a c h a l l t h i s 6 9 s t u f f . ” A n d t h a t w o u l d b e , y o u k n o w , I m e a n , t h a t ' s t h e g o a l . B u t t h a t ” O h , t h i s s t u f f i s n ' t t h a t h a r d . A n d t h i s s t u f f i s k i n d o f f u n t o d o a n d I c a n m a k e , I h o p e I c a n m a k e t h i s f u n f o r k i d s t o d o . " I t h i n k m a k i n g i t f u n , b u i l d i n g s e l f - c o n f i d e n c e a n d s e l f - e s t e e m , a n d h a v i n g t h e m w a n t t o d o t h a t w i t h t h e i r s t u d e n t s , i s r e a l i m p o r t a n t . ( 1 5 C ) T h o u g h t h e i n t e n t i o n w a s t o e n h a n c e s t u d e n t s ' p e r s o n a l a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s t h r o u g h d e v e l o p m e n t o f c o m p e t e n c e , K a r a d i r e c t l y r e l a t e d t h e d e v e l o p m e n t O f c o m p e t e n c e t o i t s n e e d f o r s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s , n o t a s m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e h u m a n b e i n g s . T h i s “ f e e l i n g g o o d a b o u t b e i n g a b l e t o t e a c h m a t h e m a t i c s ” w a s o n e o f t h e t w o m a i n g o a l s K a r a i d e n t i f i e d f o r t h e c o u r s e s : " I g u e s s I d o s e e t w o m a i n t h i n g s , w h i c h i s t h e m a t h i n t h e m e a n i n g f u l w a y a n d b u i l d i n g c o n f i d e n c e a n d e m p o w e r m e n t a n d f e e l i n g g o o d a b o u t b e i n g a b l e t o t e a c h m a t h " ( 1 B ) . T h e o r d e r i n w h i c h t h e s e g o a l s w e r e m e n t i o n e d w a s i n t e n t i o n a l . H e r f i r s t g o a l w a s c o m p e t e n c y , w i t h t h e p e r s o n a l r e a l i z a t i o n o f t h e c o m p e t e n c e a s s e c o n d a r y : “ M y g o a l s w o u l d a l s o b e t h a t t h e y w o u l d f e e l c o m p e t e n t i n p r o b l e m s o l v i n g a n d t a l k i n g , w o r k i n g w i t h m a t h e m a t i c s . M y m a i n g o a l [ w o u l d b e ] t h a t s t u d e n t s w o u l d b e c o m p e t e n t i n t a l k i n g a b o u t a n d w o r k i n g w i t h a n d d i s c u s s i n g m a t h e m a t i c s ” ( 1 C ) . B e i n g c o m p e t e n t w a s t o b e a c h i e v e d t h r o u g h d e v e l o p i n g a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s . S e n d i n g M i x e d M e s s a g e s t e l - “ v . 0 . o r . . . - . I I ' n n ‘ o v . ' n O n + D a ‘ h ‘ o o S o m e t i m e s , K a r a h e l d c o n f l i c t i n g g o a l s c o n c u r r e n t l y . O n e t e n s i o n K a r a f e l t w a s i n e v i d e n c e i n s t a t e m e n t s s h e m a d e a b o u t w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s i n m e a n i n g f u l w a y s s o a s t o b e a b l e t o t e a c h i t . S h e i d e n t i f i e d d e v e l o p i n g s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o 7 o i n t e r c o n n e c t m a t h e m a t i c a l i d e a s a s a n e s s e n t i a l g o a l f o r t h e c o u r s e a n d i n d i c a t e d t h a t i t w a s i m p o r t a n t t h a t s t u d e n t s s e e t h e c u r r i c u l u m a s a w h o l e . I t h i n k t h a t o n e o f , s o m e O f t h e b i g g e s t p r o b l e m s t h a t s t a - , l i k e h o w t h e i r m a t h , a n d i t ' s , l i k e , t h i s i s t h e f r a c t i o n s , t h i s i s t h e d e c i m a l s , t h i s i s t h e t h i s s t u f f , a n d y o u n e v e r c o n n e c t t h e m a l l . T h e y ' r e t h i s o w n l i t t l e . A n d t h e m o r e c o n n e c t i o n s y o u m a k e , ( p a u s e ) a n d t h o s e c o n n e c t i o n s , I t h i n k , a r e r e a l l y w h a t m a k e s i t , a n d s o I r e a l l y h a v e l i k e d t h e m t o l o o k f o r c o n n e c t i o n s . S o m e t i m e s I t h i n k I n e e d t o d o a b e t t e r j o b i n h e l p i n g t h e m f i n d t h e m ( l a u g h s ) , b u t I t h i n k t h a t ' s r e a l l y a n e s s e n t i a l p a r t o f l e a r n i n g m a t h . O t h e r w i s e , I t h i n k y o u ' r e g e t t i n g t e a c h e r s w h o a r e u p t h e r e d o i n g p a g e 2 a n d p a g e 3 t o d a y , a n d p a g e 4 t o m o r r o w . B e c a u s e i t ' s o n t h e p a g e . ( 5 P ) T h e c o n f l i c t c a m e w h e n t a l k i n g a b o u t s t u d e n t s w h o h a d n o t d o n e w e l l o n t e s t s a n d w e r e c o n c e r n e d a b o u t t h e i r a b i l i t y t o p e r f o r m t h e t a s k s o f t e a c h i n g : I k e e p t e l l i n g s t u d e n t s w h o t e l l m e , ” W e l l , I d o n ' t d o v e r y g o o d o n t e s t s . I p a n i c . " I s a y , " C a n y o u d o g o o d i n f r o n t o f t h e c l a s s r o o m ? Y o u k n o w , y o u ' r e g o i n g t o h a v e y o u r b o o k , y o u ' r e g o n n a h a v e t h e n i g h t b e f o r e t o l o o k o v e r j u s t t h a t d a y ' s l e s s o n . C a n y o u d o t h a t ? ” y o u k n o w , " I f y o u ' v e f o r g o t t e n i t , a r e y o u g o o d a t l o o k i n g i t u p a n d b e i n g a b l e t o d o i t ? T h a t ' s w h a t ' s g o i n g t o m a t t e r i n t h e l o n g r u n . N o o n e ' s g o i n g t o b e s t a n d i n g o v e r t h e r e , g r a d i n g y o u i n t h a t s e n s e . “ ( 9 P ) K a r a r e i t e r a t e d t h i s i n a n o t h e r i n t e r v i e w , s a y i n g : " I s a i d , ' W h e n y o u ' r e t e a c h i n g i t , y o u c a n g o t o a t e x t b o o k . Y o u c a n l o o k a t t h i n g s t h e n i g h t b e f o r e . I f y o u f e e l l i k e y o u ' r e u n d e r s t a n d i n g w h a t ' s g o i n g o n , t h e n y o u s h o u l d b e p r e t t y h a p p y t h a t y o u ' r e l e a r n i n g s o m e t h i n g " ( 3 B ) . K a r a s a w b o t h t h e e s s e n t i a l n a t u r e o f v i e w i n g i n t e r c o n n e c t e d n e s s O f m a t h e m a t i c a l i d e a s i n m e a n i n g f u l w a y s a n d t h e a c c e p t a b i l i t y o f p r e p a r i n g f o r i n s t r u c t i o n i n t h e w a y d e s c r i b e d 7 1 a b o v e o n a d a y - t o - d a y b a s i s . T h e s e t w o s e e m i n g l y c o n t r a d i c t o r y v i e w s r e p r e s e n t e d a t e n s i o n . K a r a f e l t t h a t t h e c o u r s e s h o u l d p l a y t h e r o l e O f d e v e l o p i n g m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e , b u t i t a l s o n e e d e d t o a f f i r m s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o d e a l w i t h t h e t a s k s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . K a r a a c k n o w l e d g e d t h a t i d e a l u n d e r s t a n d i n g O f c o n c e p t s a n d t h e r e a l i t y O f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g d i d n o t a l w a y s m a t c h . F u r t h e r m o r e , s h e a c k n o w l e d g e d t h a t t h e r e w a s n o w a y t o “ c o v e r ” a l l t h e c o n t e n t t h a t s t u d e n t s m i g h t b e c a l l e d u p o n t o t e a c h . K a r a w a s e x p r e s s i n g a c o m m o n c o n f l i c t i n g o a l s f o r t e a c h e r e d u c a t o r s . O n t h e o n e h a n d , t h e g o a l i s d e v e l o p i n g i n s t u d e n t s a ” b i g p i c t u r e ” O f t h e d o m a i n b e i n g s t u d i e d . O n t h e o t h e r h a n d , t h e g o a l i s s e t t i n g s t u d e n t s o n t h e r o a d t o a c a r e e r i n t e a c h i n g . S t u d e n t s d o n o t a l w a y s g a i n a b i g p i c t u r e o f t h e d o m a i n i n t h e p a r t i c u l a r c o u r s e w e t e a c h . W e a n t i c i p a t e t h a t t h e y w i l l d e v e l o p i t t h r o u g h t h e w h o l e O f t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m i n w h i c h t h e y p a r t i c i p a t e . l e e e h i n g a s U s u e l v e . Q h e n g e M a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a r e c u r r e n t l y f a c e d w i t h s e v e r a l r e c o m m e n d a t i o n s f o r c h a n g e i n t h e m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n O f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . T h e s e i m p l y c h a n g e s i n t h e r o l e s t h e c o n t e n t c o u r s e s s h o u l d p l a y i n s t u d e n t s ' p r o g r a m s . K a r a s e n s e d t h a t s h e w a s s e n d i n g m i x e d m e s s a g e s a b o u t w h a t w a s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n a n d h o w t h e y w e r e t o l e a r n . S h e t o l d t h e m t h e y s h o u l d n o t l e c t u r e t o s t u d e n t s , b u t u s e d l e c t u r e s a s t h e p r e d o m i n a n t m e t h o d o f i n s t r u c t i o n ; s h e t a l k e d a b o u t d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o c o m m u n i c a t e , b u t r e l i e d o n w r i t t e n t e s t 7 2 r e s p o n s e s a s t h e m a j o r O p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t O c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s . K a r a w a s a l o n e a m o n g i n s t r u c t o r s i n a i r i n g c o n f l i c t i n g f e e l i n g s a b o u t t h e c u r r e n t r e f o r m a n d i t s i m p a c t o n f a m i l i a r p r a c t i c e . W h i l e s o m e i n s t r u c t o r s n o t e d t h e r e a l i t y o f c h a n g e a n d t h e c a l l f o r r e f o r m , n O o t h e r i n s t r u c t o r e x p r e s s e d t h e c a u t i o n a r y n o t e s t h a t K a r a v o i c e d . S h e v e r b a l i z e d c a u t i o n s a b o u t a r a n g e o f i s s u e s , f r o m a s p e c i f i c c o n c e r n a b o u t t h e s e l e c t i o n o f a n e w t e x t b o o k t o a b r o a d c o n c e r n a b o u t c h a n g e i n g e n e r a l . K a r a ' s p e r s p e c t i v e s h a p e d w h a t s h e s a w a s a p p r o p r i a t e r o l e s f o r t h e c o u r s e s i n s t u d e n t s ' p r o g r a m s . K a r a ' s c a u t i o n s w e r e b o t h i n t e l l e c t u a l l y s o u n d a n d p e r s o n a l l y g r o u n d e d . T h e y w e r e c a l l s f o r d i s c u s s i o n a n d q u e s t i o n i n g . K a r a d i d n o t s a y s h e w a s u n w i l l i n g t o c h a n g e . S h e s a w t h e n e e d f o r r e a s o n e d e x a m i n a t i o n o f t h e t o t a l s i t u a t i o n , i n c l u d i n g t h e n e c e s s i t y t o c h a n g e l e s s o n s d u e t o t h e u s e o f a d i f f e r e n t t e x t b o o k . H a v i n g h a d c o n s i d e r a b l e e x p e r i e n c e u s i n g t h e c u r r e n t t e x t b o o k , s h e w a s u n w i l l i n g t o ” j u m p o n t h e b a n d w a g o n ” t o c h a n g e t e x t s . F o r h e r , a g r e e i n g t o c h a n g e t e x t b o o k s w o u l d b e b a s e d o n c a r e f u l a n a l y s i s o f t e x t b o o k s , c u r r i c u l a r c o n t e n t , d e p a r t m e n t a l c o u r s e d e s i g n , a n d t h e r a m i f i c a t i o n s o f r e p l a c i n g t h e c u r r e n t t e x t b o o k . K a r a c a u t i o n e d a g a i n s t m o v i n g t o o q u i c k l y o n c o m p l e x i s s u e s . S h e r e i t e r a t e d t h i s i n h e r r e s p o n s e t o a q u e s t i o n a b o u t h o w s h e s a w c h a n g e s i n t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r s : O h , I , I r e a l l y l i k e w h a t I , w h a t I ' v e b e e n s e e i n g a s f a r a s m o s t o f t h e s h i f t s . I ' m h o p i n g t h a t w e ’ r e n o t g o i n g t o g o t o o f a s t a n d g o t o o q u i c k l y . Y o u k n o w , w h e n t h e n e w , t h e N e w M a t h c a m e o u t , p e o p l e l i k e w e n t , ' S w e e [ t h r o w i n g h e r a r m s i n t o t h e a i r , 7 3 m a k i n g t h i s s o u n d ] , " a l l e x t r e m e . A n d I t h i n k a l o t , s o m e O f t h e s t u f f i n t h e N e w M a t h i s g o o d a n d w e s t i l l u s e , b u t t h e y l i k e w e n t o v e r b o a r d . ( 9 C ) N o t i c e K a r a ' s l a n g u a g e : " I r e a l l y l i k e w h a t I ' v e b e e n s e e i n g a s f a r a s m o s t o f t h e s h i f t s . " A n i m p o r t a n t a s p e c t i s s u b t l e ; s h e h a s " s e e n " s h i f t s . H e r w o r d s d o n o t i n f e r p e r s o n a l a c t i o n . I n t h i s d i s t a n c i n g l i e s a n o t h e r l a y e r t o t h e c o n f l i c t - - a v e r y p e r s o n a l l a y e r . S e e i n g s h i f t s a n d m a k i n g s h i f t s a r e v e r y d i f f e r e n t . A s n o t e d i n e a r l i e r s e c t i o n s , K a r a h a s b e e n m a k i n g s o m e g r a d u a l C h a n g e s i n h e r p r a c t i c e . B u t w h a t i s l o s t w i t h a s h i f t a w a y f r o m f a m i l i a r p r a c t i c e ? C o n s i d e r w h a t w a s i m p l i c i t i n t h e c o n t i n u a t i o n o f t h e p r e v i o u s c o m m e n t : B u t , I t h i n k i t ' s [ s h i f t s a r e ] g o n n a , i t ' s g o n n a h e l p a l o t i n , ( s h o r t p a u s e ) b e i n g a b l e t o t e a c h , y o u k n o w , h a v i n g s o m e f l e x i b i l i t y t o t a l k a b o u t a n d r e a s o n t h r o u g h p r o b l e m s a s o p p o s e d t o , I r e a l l y h a v e b e e n t r y i n g t o d o l e s s a n d l e s s l e c t u r e . I m e a n t h e w a y I w a s t a u g h t , t h e w a y I w a s t a u g h t t o t e a c h , w a s y o u g e t u p , y o u l e c t u r e , y o u a n s w e r q u e s t i o n s , y o u h o p e f u l l y e x p l a i n w e l l . A n d , I m e a n u s u a l l y , o n e o f t h e t h i n g s I g e t a s g o o d c o m m e n t s f r o m s t u d e n t s i s t h a t I e x p l a i n t h i n g s w e l l , y o u k n o w . S O t h i s i s , I t h o u g h t , “ I ' m d o i n g r e a l l y g o o d . I c a n e x p l a i n t h i n g s w e l l t o [ s t u d e n t s ] . ” A t l e a s t 9 0 % o f t h e s t u d e n t s s a y t h a t , a n d t h a t I ' m s l o w a n d d e t a i l e d , a n d a l l o f t h i s . ( 9 C ) A s h i f t a w a y f r o m d e t a i l e d e x p l a i n i n g i s a s h i f t a w a y f r o m w h a t s h e k n o w s s h e d o e s w e l l a n d h a s a m p l e e n c o u r a g e m e n t f o r c o n t i n u i n g t o d o . W h a t t h e s h i f t i s 1 9 i s n o t c l e a r f r o m h e r c o m m e n t s . U n f o r t u n a t e l y , t h i s s i t u a t i o n i s a c o m m o n o n e . I f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n i s t o m o v e t o w a r d t h e v i s i o n o f t h e W , t h a t v i s i o n n e e d s t o b e e x e m p l i f i e d a n d e n c o u r a g e d s o m e h o w . K a r a s u p p o r t s r e a s o n e d a c t i o n . S h e a l s o a c k n o w l e d g e s t h e c o n s t a n c y o f 7 4 c h a n g e . B u t , t h e s e d o n o t a l w a y s i n t e g r a t e s m o o t h l y . Q u e s t i o n s a r i s e . I t h i n k t h i n g s a r e C h a n g i n g c o n s t a n t l y . A n d y o u e l w a y s w a n t C h a n g e a n d y o u a l w a y s w a n t t o l i s t e n t o w h a t ' s g o i n g o n . [ v o c a l e m p h a s i s ] A n d s o m e t i m e s i t m a y n o t e v e n s o u n d r e a l g o o d . A n d I t h i n k y o u w a n t t o g i v e i t a c h a n c e . I d o n ' t k n o w t h a t y o u w a n t t o j u m p i n , y o u k n o w , u n l e s s , d e p e n d i n g o n h o w y o u f e e l a b o u t i t , b u t t h e r e ' s j u s t , y o u k n o w w i t h a l l t h e s t u f f w i t h t h e S t a n d e r d s n o w , j u s t r e c e n t l y e v e n , a n d e v e n s o m e o f t h a t , I t h i n k , n e e d s t o b e w e i g h e d a n d t h o u g h t a b o u t . A n d t h e n h o w d o y o u i m p l e m e n t t h e m ? A n d h o w d o y o u a s s e s s t h e m ? A n d y o u k n o w , a l l t h e s e t h i n g s t h a t a r e g o i n g o n . I j u s t t h i n k t h i s , t h i s i s a n e x c i t i n g t i m e t o b e i n m a t h e m a t i c s . A n d w e ' v e s e e n t h e , y o u k n o w , b a c k - t o - b a s i c s a n d N e w M a t h a n d a l l t h e s e t r e n d s . ( 1 8 P ) T h i s t i m e o f r e f o r m m a y b e a n e x c i t i n g t i m e t o b e i n m a t h e m a t i c s , b u t i t i s a l s o a c o m p l i c a t e d t i m e . K a r a r a i s e d s o m e i m p o r t a n t q u e s fi o n s . T h o u g h K a r a w a s a l o n e i n h e r e x p r e s s i o n s o f c a u t i o n a b o u t r e f o r m a n d c h a n g e , s h e w a s p r o b a b l y n o t t h e o n l y i n s t r u c t o r t h i n k i n g a b o u t t h i s . P e r h a p s h e r o w n s e n s e O f c o n f i d e n c e a b o u t w h a t , h o w , a n d w h y s h e t e a c h e s t h e c o u r s e s l e d h e r t o b e f o r w a r d a b o u t h e r c o n c e r n s . A l t e r n a t i v e l y , s h e m a y h a v e s i m p l y f e l t m o r e o p e n a b o u t t h e i n t e r v i e w i n g p r o c e s s . W h a t e v e r t h e e x p l a n a t i o n , i t s e e m s r e a s o n a b l e t o s p e c u l a t e t h a t o t h e r s s h a r e s o m e o f h e r c o n c e r n . I t i s f o r t h i s r e a s o n I s e e t h i s c o n f l i c t a s i m p o r t a n t i n t h e c o n t e x t o f d e s c r i b i n g t h e r o l e s t h a t m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a r e n o t s u r e a b o u t t h e v i s i o n s e t f o r t h i n t h e N C T M S t e n d fl d e a s c o m p a r e d w i t h t h e i r o w n b e l i e f s , h o w c a n t h e y b e e x p e c t e d t o p r e p a r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o t e a c h w i t h " t h e v i s i o n o f t h e W ” ? W h a t r o l e s 7 5 s h o u l d t h e c o u r s e s p l a y a n d t o w h a t e x t e n t d o t h e o r i e n t a t i o n s o f t h o s e r o l e s d e p e n d o n a c c e p t a n c e o f t h e N C T M S t a n d a r d s a s a g u i d e t o t h e e n a c t m e n t O f t h o s e r o l e s i n s t u d e n t s ’ p r o g r a m s ? W h a t w o u l d a c c e p t a n c e m e a n f o r t h e i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e O f i n s t r u c t o r s l i k e K a r a ? H o w c a n K a r a ' s c a u t i o n b e u s e d i n p r o d u c t i v e w a y s t o h e l p h e r a n d h e r s t u d e n t s c o n s i d e r t h e b a s e s f o r d e c i s i o n - m a k i n g i n t h e i r t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s ? C a u t i o n i s n o t a n e g a t i v e i n a n d o f i t s e l f . B u t , w h e n c a u t i o n s e r v e s a s a w a l l a r o u n d s a c r e d p r a c t i c e s , i t c a n b e d e s t r u c t i v e . K a r a g a v e n o i n d i c a t i o n t h a t h e r c a u t i o n s w e r e s e r v i n g a s w a l l s t o k e e p i d e a s o u t , b u t t h e y d i d a p p e a r t o b e p r o t e c t i v e . S h e i s a t t e m p t i n g t o m a k e g r a d u a l c h a n g e s i n h e r p r a c t i c e , i n t h i s w a y m a k i n g c h a n g e l e s s s t r e s s f u l a n d r i s k y . I ' d l i k e t o s e e a l o t m o r e t h a n j u s t l e c t u r e . I ' v e b e e n g r a d u a l l y w o r k i n g i n m o r e t h i n g s t h a t I l i k e t o h a v e t h e m d o i n a g r o u p . ( p a u s e ) I ' m t r y i n g t o w o r k m o r e a n d m o r e o f t h a t i n , a n d t h e r e a r e s o m a n y t i m e s , ( p a u s e ) A n d I w i s h I h a d m o r e , y o u k n o w , I w a n t t o w o r k m o r e t i m e i n m y c l a s s t o d o t h a t k i n d o f t h i n g . A n d I s e e t h i s m o v e m e n t a s g i v i n g m e a c h a n c e t o d o t h a t . C u t t i n g b a c k o n t h e l e c t u r e . C u t t i n g b a c k o n t h e , y o u k n o w , h a v i n g t o h a v e t h e s e f o r m a l d e f i n i t i o n s o f e v e r y t h i n g . ( p a u s e ) A n d I t h i n k w e ' r e w o r k i n g a w a y f r o m s o m e o f t h a t . A n d I l i k e t h a t . ( 9 C ) A s K a r a t r i e d t e a c h i n g a s s h e i n t e r p r e t e d t h e S t e n d a r d e , s h e w a s p l e a s a n t l y s u r p r i s e d a t w h a t s h e s a w , e . g . , w h e n t a l k i n g a b o u t w o r k i n g i n g r o u p s - - “ A n d i t i s a m a z i n g w h a t s t u d e n t s c a n l e a r n f r o m e a c h o t h e r a n d w h a t t h e y c a n t e l l e a c h o t h e r . ” ( 8 P ) S u m m a r y O f a l l t h e p a r t i c i p a n t s i n t h i s s t u d y , K a r a ' s c h a r a c t e r i z a t i o n O f t h e r o l e s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n p r o s p e c t i v e 7 6 e l e m e n t a r y t e a c h e r s ' p r e p a r a t i o n m o s t c l o s e l y r e f l e c t e d w h a t I a n t i c i p a t e d b e f o r e b e g i n n i n g d a t a c o l l e c t i o n . N o s i n g l e p r e - d e f i n e d r o l e o v e r s h a d o w e d a n y o t h e r t o t h e e x t e n t t h a t s h e d i s c o u n t e d a n y o f t h e o t h e r s . K a r a ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n h i g h l i g h t e d t h e c o m p l e x i t y o f i s s u e s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t h e c o u r s e i n m a n y a n d i n t e r e s t i n g w a y s . W h i l e t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y i n t h e f o r m o f d e p a r t m e n t a l c o l l e a g u e s a n d t h e N C T M S t a n d a r d s i n f l u e n c e d h e r c o n c e p t u a l i z a t i o n , K a r a d i d n o t m e n t i o n c o l l a b o r a t i o n o r a n y a c t i v e i n v o l v e m e n t i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s 1 4 o r w i t h f a c u l t y i n o t h e r d e p a r t m e n t s . K a r a h a d a s e l f - p r o c l a i m e d n u m b e r o n e g o a l ; s h e w a n t e d s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s t h e y w e r e e x p e c t e d t o t e a c h a s e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . T h e s i m p l i c i t y o f t h a t s t a t e m e n t c o n c e a l e d t h e q u e s t i o n o f w h a t u n d e r s t a n d i n g i s , t h e i s s u e o f w h a t t h e n a t u r e a n d c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s f o r e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s s h o u l d b e , a n d t h e a c k n o w l e d g m e n t o f t h e s t u d e n t s ’ s t a t u s a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a s a c r i t i c a l i n f l u e n c e o n t h e c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n o f t h e c o u r s e . A d d i t i o n a l l y , s e v e r a l o t h e r s t a t e m e n t s m a d e b y K a r a i m p l i e d t h a t g a t e - k e e p i n g w a s a n i m p o r t a n t r o l e f o r t h e c o u r s e a s a w a y o f e n s u r i n g t h a t s t u d e n t s a r e p r o p e r l y p l a c e d a n d s u p p o r t e d i n t h e i r a t t e m p t t o b e c o m e t e a c h e r s o r g u i d e d a w a y f r o m t e a c h i n g a s a c a r e e r . T h e r o l e o f d e v e l o p i n g a n d s u p p o r t i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s p e r m e a t e d m u c h o f h e r d e s c r i p t i o n o f t h e c o n t e n t a n d i t s f o c u s . T h e p r e - d e f i n e d r o l e s a p p e a r e d t o f i t w i t h K a r a ' s c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e r o l e s o f t h e c o u r s e . N o o t h e r r o l e s e e m e d t o a p p l y . 1 4 E x c e p t a s a p a r e n t . 7 7 I d i s c u s s e d t h e m i x e d m e s s a g e s t h a t w e r e s e n t t o e m p h a s i z e t h e c o m p l e x i t y O f t h e i s s u e s c o n n e c t e d w i t h d e t e r m i n i n g t h e g o a l s f o r t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g O f m a t h e m a t i c s i n t h e s e c o u r s e s a n d i n t e a c h i n g , i n g e n e r a l . T h e d i l e m m a s r e p r e s e n t t h e m a n y a n d v a r i e d s t r u g g l e s t h a t a l l m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s m u s t d e a l w i t h a s t h e y a t t e m p t t o p r e p a r e f u t u r e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . I n s o m e c a s e s , K a r a e x p l i c i t l y i d e n t i f i e d t h e t e n s i o n a n d a c k n o w l e d g e d h e r s t r u g g l e . I n o t h e r c a s e s , s h e d i d n o t a c k n o w l e d g e t h e c o n f l i c t s e m b e d d e d i n h e r r e s p o n s e s . T h i s s i l e n c e d o e s n o t m e a n t h a t S h e d i d n o t r e c o g n i z e t h e m o r t h a t s h e w a s u n a w a r e O f t h e m . A c k n o w l e d g e d o r n o t , t h e t e n s i o n s h a d a n i m p a c t o n w h a t r o l e s s h e s a w a s a t t a i n a b l e a n d r e a s o n a b l e . C y n t h i a : D e v e l o p i n g C o m p e t e n c e a n d C h a n g i n g P e r s p e c t i v e s P r o f e s s o r C y n t h i a Y o d e r e x p l i c i t l y a n d s t r o n g l y h e l d l e a r n i n g t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s , a n d d e v e l o p i n g c o n f i d e n c e a b o u t d o i n g m a t h e m a t i c s a s r o l e s f o r t h e c o u r s e . S h e a l s o s a w h e r s e l f d e a l i n g w i t h l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i m p l i c i t l y , t h r o u g h m o d e l i n g . T h o u g h C y n t h i a d i d n o t e m p h a s i z e g a t e - k e e p i n g , i t w a s t h e r e b y d e s i g n i n t h e f o r m o f c o u r s e r e q u i r e m e n t s . C y n t h i a ' s p e r c e p t i o n s o f w h a t t h e s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e s h e t a u g h t a t C C g u i d e d h e r i n e s t a b l i s h i n g c o u r s e r e q u i r e m e n t s a n d i n s e t t i n g t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t . H e r b e l i e f s a b o u t w h a t t h e s t u d e n t s s h o u l d k n o w a n d c a r e a b o u t a f t e r t a k i n g t h e c o u r s e a l s o g u i d e d t h e s e d e c i s i o n s , m o r e s o t h a n d e p a r t m e n t a l p o l i c y . I u s e p o o r p r e p a r a t i o n a n d t r a d i t i o n a l v i e w s , t h e t w o p e r c e p t i o n s o f w h a t s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e t h a t C y n t h i a s t r e s s e d , t o o r g a n i z e m y a n a l y s i s . I b e g i n b y c o n s i d e r i n g h o w d i f f e r e n t a s p e c t s o f s t u d e n t s ' p o o r p r e p a r a t i o n f o r t h e c o u r s e h a d a n i m p a c t o n c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n . C o n t e n t , N o r m s , a n d T e a c h i n g : P o o r P r e p a r a t i o n a n d C u r r i c u l a r R e s p o n s e C y n t h i a p e r c e i v e d t h a t s t u d e n t s c a m e i n t o t h e c o u r s e p o o r l y p r e p a r e d i n m a n y a r e a s . S h e s a w a r o l e o f t h e c o u r s e t o b e t o c h a n g e t h i s s i t u a t i o n , a n d s h e r e s p o n d e d b y d e s i g n i n g t h e c o u r s e t o a d d r e s s s t u d e n t n e e d s . T h e t h r e e a r e a s o f w e a k n e s s t h a t h a d t h e g r e a t e s t i m p a c t o n t h e c o u r s e c o n t e n t a n d h e r i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e w e r e 7 8 A r i l h f 6 C O I m o s k i l l b u t c o m 7 9 c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y , c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , a n d t h e a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y . T h e f i r s t t w o a r e a s i n v o l v e l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e t h i r d i n v o l v e s t h e r o l e s o f b o t h n o r m s a n d t e a c h i n g . P r P r a r t i o n i n t e r m s o f c m u t a t i o n a l k i l l C y n t h i a a c k n o w l e d g e d t h a t t h e s e t t i n g O f t h e c o u r s e i n a l a r g e u r b a n c o m m u n i t y c o l l e g e w i t h m i n i m a l e n t r a n c e r e q u i r e m e n t s a f f e c t e d t h e d i v e r s i t y a n d c a l i b e r o f s t u d e n t s w h o w e r e i n t h e c o u r s e . T h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e i n t h i s s e t t i n g h a d t o i n c l u d e m a t e r i a l t h a t C y n t h i a a s s u m e d w o u l d n o t b e n e c e s s a r y a t t h e f o u r - y e a r i n s t i t u t i o n s t o w h i c h t h e s t u d e n t s w o u l d t r a n s f e r : " W e a r e n o t o n l y d e a l i n g w i t h t r y i n g t o t e a c h t h e m t h e c o n c e p t s o r w h e r e t h e s e c o n c e p t s c a m e f r o m o r p r o b l e m s o l v i n g , b u t w e a l s o h a v e t o r e m e d i a t e " ( 3 P ) . T O e n s u r e b a s i c c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y , a r e q u i r e m e n t o f t h e c o u r s e w a s t h e c o m p l e t i o n , o u t s i d e c l a s s , o f I n t e r a c t i v e M a t h m o d u l e s o r t e s t i n g o u t o f t h e I n t e r a c t i v e M a t h p r o g r a m , a s e l f - p a c e d s k i l l s p r o g r a m u s i n g v i d e o t a p e s . T h i s w a s p a r t o f C y n t h i a ’ s s y l l a b u s b u t w a s n o t a D i v i s i o n r e q u i r e m e n t . C y n t h i a e m p h a s i z e d t h e v a l u e o f c o m p u t a t i o n a l a b i l i t y i n t h e c o n t e x t o f t w o c o u r s e s s h e t e a c h e s : A r i t h m e t i c a n d M a t h e m a t i c s f o r E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s . I t h i n k i t ' s j u s t , a f t e r w e l e a r n t o w a l k , w e s h o u l d b e a b l e t o a d d , s u b t r a c t , m u l t i p l y a n d d i v i d e . ( l a u g h s ) O k a y , i t ' s j u s t a n i n h e r e n t t h i n g t h a t w e a l l s h o u l d h a v e . O b v i o u s l y o n e o f t h e g o a l s a s w r i t t e n b y t h e D i v i s i o n o f t h i s i s t h a t w e h a v e , f o r t h e A r i t h m e t i c c l a s s , o n e o f t h e g o a l s i s t h a t t h e y c a n a d d , s u b t r a c t , m u l t i p l y a n d d i v i d e r a t i o n a l n u m b e r s . I n t h e M a t h f o r E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s , t h a t ' s r e a l l y n o t o n e o f t h e s p e c i f i c g o a l s . I t h a s b e c o m e o n e o f m y g o a l s b e c a u s e I h a v e s e e n s t u d e n t s w h o c a n ’ t d o i t , a n d , c e r t a i n l y , w e c a n ' t s e n d b e i s c a i m i p a r C y n t h I n t h e l n S fi l u t b a c k g n 8 0 t h e m i n t o t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c l a s s r o o m i f t h e y c a n ' t d o t h a t . [ v o c a l e m p h a s i s ] ( 1 3 B ) B y r e q u i r i n g t h e c o m p l e t i o n o f t h e I n t e r a c t i v e M a t h p r o g r a m , C y n t h i a w a s d e a l i n g w i t h h e r c o n c e r n a b o u t t h e s t u d e n t s ' a b i l i t y l e v e l s w h i l e p u r s u i n g t h e g o a l o f p r e p a r i n g s t u d e n t s t o m o v e o n i n t h e i r p r o g r a m w i t h a d e q u a t e c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . P o o r P r e p a r a t i o n i n t e r m s o f C o n c e p t u a l U n d e r s t a n d i n g a n d i t s V a l u e C y n t h i a s p o k e o f t w o a s p e c t s o f p o o r p r e p a r a t i o n w i t h r e s p e c t t o c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ; o n e w a s v a l u i n g i t , a n d t h e o t h e r w a s d e v e l o p i n g i t . S h e a l s o e m p h a s i z e d t h e v a l u e o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g t o s t u d e n t s a s i n d i v i d u a l s a n d a s f u t u r e t e a c h e r s . V a l u i n g C o n c e p t u a l U n d e r s t a n d i n g C y n t h i a b e m o a n e d t h e s t u d e n t s ' l a c k o f c o n c e r n f o r g o i n g b e y o n d a p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . S h e f e l t t h e i r v i e w t h a t " W e d o n ’ t n e e d t o u n d e r s t a n d w h y , a s l o n g a s w e c a n d o t h e a l g o r i t h m , ” ( 2 0 ) w a s s h a l l o w a n d a r e f l e c t i o n O f t h e i r i m m a t u r i t y . T h i s s a t i s f a c t i o n w i t h p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g p a r t i c u l a r l y d i s t u r b e d h e r i n t h e c o n t e x t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n : W h e n I h a v e t h i s a t t i t u d e [ j u s t - g i v e - m e - t h e - r u l e s ] i n a M a t h f o r E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s , i t d i s t u r b s m e t r e m e n d o u s l y b e c a u s e I j u s t s e e t h i s a t t i t u d e b e i n g p a s s e d o n t o a n o t h e r g e n e r a t i o n o f c h i l d r e n , a n d t h a t j u s t r e a l l y b o t h e r s m e . A n d , m a y b e I h a v e n ' t b e e n i n t h e p r o f e s s i o n l o n g e n o u g h t o d i s t a n c e m y s e l f , b u t i t b e c o m e s a v e r y e m o t i o n a l a n d v e r y s t r e s s f u l t h i n g . ( 4 B ) C y n t h i a d i s c e r n e d o n e p o t e n t i a l b a s i s f o r C h a n g e i n s t u d e n t a t t i t u d e s i n t h e n e w p r e - r e q u i s i t e r e q u i r e m e n t t h a t t h e d e p a r t m e n t h a d i n s t i t u t e d f o r t h e c o u r s e . S h e f e l t t h a t , w i t h s t r o n g e r m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s , s t u d e n t s w o u l d c o m e t o t h e c o u r s e a p p r e c i a t i n g t h e 8 1 v a l u e o f u n d e r s t a n d i n g w h y m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s a r e r e a s o n a b l e . A s i t s t o o d , h o w e v e r , s h e f e l t t h a t t h e c o u r s e h a d t o p l a y t h e r o l e o f d e v e l o p i n g t h i s a p p r e c i a t i o n i n t h e s t u d e n t s . D e v e l o p i n g C o n c e p t u a l U n d e r s t a n d i n g C y n t h i a p e r c e i v e d t h a t s t u d e n t s w e r e p o o r l y p r e p a r e d i n t e r m s O f t h e i r a c t u a l c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . S h e d e s c r i b e d a n e x e m p l a r o f h e r d e f i n i t i o n o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g f o l l o w i n g t h e i n t e r v i e w e r ' s O b s e r v a t i o n o f a n A r i t h m e t i c c l a s s 1 5 l e s s o n o n p e r i m e t e r a n d a r e a t h a t i n c l u d e d a d e m o n s t r a t i o n i n v o l v i n g c u t t i n g o u t s h a p e s . T o d a y , I c o u l d h a v e j u s t g i v e n t h e m t h e f o r m u l a s a n d g i v e n t h e m s o m e w o r k s h e e t s w i t h s o m e n u m b e r s o n i t a n d s a i d , " G O t o i t . " T h a t ’ s j u s t n o t m e . I c a n ’ t g e t i t o u t o f m y h e a d t h a t i f y o u u n d e r s t a n d s o m e t h i n g , y o u w i l l r e t a i n i t b e t t e r . Y o u ' l l l e a r n i t b e t t e r . A n d s o , o b v i o u s l y , I w e n t t h r o u g h t h e c u t t i n g o u t O f t h e f o r m s a n d t r y i n g t o d e v e l o p t h e c o n c e p t s . ( 1 2 B ) W h e n a s k e d h o w t h i s l e s s o n w o u l d b e d i f f e r e n t i n a M a t h e m a t i c s f o r E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s C l a s s , C y n t h i a n o t e d t h a t t h e s t u d e n t s w o u l d h a v e d o n e t h e a c t i v i t y i n s m a l l g r o u p s , e a c h g r o u p c u t t i n g o u t s h a p e s a n d c o n s i d e r i n g q u e s t i o n s a b o u t p e r i m e t e r a n d a r e a . S h e e m p h a s i z e d t h e i m p o r t a n c e o f t h e s t u d e n t s d e v e l o p i n g a s e n s e o f w h a t c o n c e p t s m e a n a n d h a v i n g a s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c a l r e a s o n a b l e n e s s o f s o l u t i o n s . C y n t h i a s t a t e d t h a t “ y o u ' r e s e a r c h i n g f o r w h y s ” ( 1 1 C ) t h r o u g h o u t t h e c o u r s e . W h e n a s k e d i f t h e “ y o u ” w a s i n t e n d e d a s s i n g u l a r o r p l u r a l , s h e r e s p o n d e d , ” M o s t o f t e n , i t ' s m e , " ( 1 1 C ) a n d 1 5 C y n t h i a w a s n o t t e a c h i n g t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a t t h e t i m e o f t h e s t u d y . S h e w a s o b s e r v e d t e a c h i n g t h e A r i t h m e t i c c o u r s e . 8 2 l a u g h e d , b e f o r e s a y i n g t h a t s h e w o u l d w a n t i t t o b e p l u r a l . I n o t h e r w o r d s , s h e w a n t s t h e s t u d e n t s t o j o i n h e r i n t h e s e a r c h a n d , u l t i m a t e l y , t o m a k e t h e s e a r c h t h e i r o w n . S h e s u g g e s t e d t h a t t h e d i f f i c u l t y a r o s e b e c a u s e s t u d e n t s a r e l o w a b i l i t y : " T h e y ' r e n o t r e a l l y w a n t i n g t o k n o w t h e w h y s a n d t h e w h e r e f o r e s a n d l e a r n t h e c o n c e p t s a n d u n d e r s t a n d i n g . I t ' s j u s t g e t - m e - t h r o u g h - t h i s - c l a s s k i n d o f a t t i t u d e ” ( 4 B ) . S h e a l s o b l a m e d t h e d i v e r s i t y O f h e r s t u d e n t s f o r t h e d i f f i c u l t y i n g e t t i n g s t u d e n t s t o s e a r c h f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , r e c o u n t i n g a s t o r y o f t h e u n e a s i n e s s c a u s e d w h e n a 5 0 - y e a r - o l d s t u d e n t w a s u n a b l e t O c o n t r o l h i s e n t h u s i a s m a b o u t c o m i n g t o r e a l l y u n d e r s t a n d a c o n c e p t . T h e y o u n g e r s t u d e n t s w e r e ” t u r n e d o f f ” b y h i s e x c i t e m e n t . P e r s o n a l a n d P r o f e s s i o n a l V a l u e o f C o n c e p t u a l U n d e r s t a n d i n g C y n t h i a s a w a r o l e f o r t h e c o u r s e i n d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o t e a c h f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s w e l l a s i n d e v e l o p i n g t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g . H e r a r g u m e n t m e l d e d t h e n e e d f o r i n d i v i d u a l i n s i g h t i n t o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w i t h b e i n g a b l e t o t e a c h w e l l . K n o w i n g r e c i p e s w a s n o t s u f f i c i e n t . B e i n g a b l e t o e x a m i n e c o n c e p t s f r o m d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s , a q u a l i t y s h e s a w a s n e e d e d i n g o o d t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s , r e q u i r e d h a v i n g d e e p e r p e r s o n a l i n s i g h t i n t o c o n c e p t s . C y n t h i a i n d i c a t e d t h a t s h e s a w w h a t s h e a t t e m p t e d t o d o i n t h e M a t h f o r E l e m e n t a r y T e a c h e r s a s d i f f e r e n t i n n a t u r e f r o m w h a t s t u d e n t s h a d e x p e r i e n c e d i n t h e p a s t . N o t i c e i n t h e f o l l o w i n g h e r u s e o f t h e p r o n o u n s " l " a n d “ w e . ” I ' m a s s u m i n g , f r o m w h a t I ' v e b e e n t o l d , t h a t t h e y [ s t u d e n t s ] h a v e b e e n t o l d , t h e y h a v e b e e n t a u g h t t h e m e c h a n i c s . A n d I ' m 8 3 g e t t i n g a w a y f r o m t h e m e c h a n i c s a n d g o i n g i n t o c o n c e p t s . I ' m d e v e l o p i n g v o c a b u l a r y , b e c a u s e w e ' r e o f t e n t a l k i n g a b o u t " t o p n u m b e r s ” a n d ” b o t t o m n u m b e r s ” a n d " f l i p p i n g " a n d w e ' r e " c r o s s - m u l t i p l y i n g " t o d i v i d e f r a c t i o n s , . . . b u t I ' m s e a r c h i n g f o r t h e v o c a b u l a r y . I ' m s e a r c h i n g f o r t h e m a t h e m a t i c a l l y s o u n d w h y s , t h e w h e r e f o r e s , t h e u n d e r s t a n d i n g , O k a y ? B e c a u s e , w h a t h a p p e n s w h e n f i f t h - g r a d e J o h n n y o r S u z i c o m e s a n d s a y s , " W h y d o e s t h i s w o r k ? " D o y o u s e n d t h e m b a c k t o t h e i r s e a t , ” B e c a u s e i t d o e s ? " T o m e , t h a t ' s t o t a l l y i n a d e q u a t e , e s p e c i a l l y , w h e n f i f t h - g r a d e J o h n n y o r S u z i a r e p o t e n t i a l m a t h e m a t i c i a n s . Y o u k n o w , y o u d o n ' t w a n t t o t u r n O f f t h o s e w h y s . Y o u k n o w , y o u d o n ' t w a n t t h e m t o g o b a c k t o t h e i r s e a t a n d j u s t d o t h e i r w o r k s h e e t a n d d o t h e a l g o r i t h m . Y o u w a n t t o n u r t u r e . ( 1 2 C ) I n t h i s s t a t e m e n t , C y n t h i a ' s u s e o f p r o n o u n s p o i n t e d t o h e r s e n s e O f o p p o s i t e a c t i o n s o n t h e p a r t o f t h e s t u d e n t s a n d h e r s e l f : " I " a m d e v e l o p i n g a n d s e a r c h i n g ; " w e " a r e f l i p p i n g a n d c r o s s - m u l t i p l y i n g . C y n t h i a ’ s c o m m e n t s a b o u t m o v i n g f r o m a s i n g u l a r t o a p l u r a l ” y o u ' r e s e a r c h i n g f o r w h y s " e n h a n c e d t h e s e n s e t h a t s h e w a s t r y i n g t o m o t i v a t e s t u d e n t s t o a c c e p t h e r v i s i o n o f a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l a c fi o n . S o m e b o d y s a i d [ i n s o l v i n g a n a l g e b r a i c e q u a t i o n ] ” W e ’ r e g o i n g t o m o v e a n u m b e r , ” a n d I j u s t , " W e d o n ’ t ' m o v e ’ i n t h i s c l a s s . W e d o n ' t ’ f l i p ' i n t h i s c l a s s . W e d o n ' t d o a n y k i n d o f m a g i c i n t h i s c l a s s . W e d o i t b y m e t h e m e t i c a l l y e e t r e e t e p e r e t i e n e . “ [ v o c a l e m p h a s i s ] ( 1 7 B ) S h e s t r e s s e d t h e i m p o r t a n c e o f r e a s o n i n g a n d s o u n d a c t i o n f o r h e r s t u d e n t s , b o t h i n h e r c l a s s a n d i n t h e s t u d e n t s ' f u t u r e c l a s s r o o m s . C y n t h i a ’ s r e n d e r i n g o f s t u d e n t s ' p o o r p r e p a r a t i o n w i t h r e s p e c t t o c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w a s c o m p l e x . T h e y d i d n o t v a l u e o r p o s s e s s c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s s h e i n t e n d e d a n d t h e s o m e t i m e s n o n s e n s i c a l v i e w s s t u d e n t s d i d p o s s e s s w e r e a n t i t h e t i c a l t o 8 4 C y n t h i a ' s g o a l s . S h e i n t e n d e d f o r h e r c u r r i c u l a r r e s p o n s e s t o d e a l w i t h t h e s e s i t u a t i o n s . P o o r P r e p a r a t i o n i n t e r m s O f C o m m u n i c a t i o n O f M a t h e m a t i c a l I d e a s W h e n c o n n e c t i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g t o t e a c h i n g , C y n t h i a O f t e n p r o m o t e d t h e i m p o r t a n c e o f c o m m u n i c a t i o n . F o r e x a m p l e , w h e n d e s c r i b i n g t h e i m p o r t a n c e o f b e i n g a n e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r , s h e c o n n e c t e d t h e a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e p r o b l e m s o l u t i o n s t o m o d e l i n g o f t h i s t h a t s h e d i d i n t h e c l a s s r o o m . S h e n o t e d t h a t s o l u t i o n s n e e d e d r e a s o n s o r j u s t i f i c a t i o n s a n d t h a t t h e a b i l i t y t o a r t i c u l a t e r e a s o n i n g w a s i m p o r t a n t t o t e a c h i n g . C y n t h i a a c k n o w l e d g e d t h e r e a l i t i e s o f t e a c h i n g a n d t h e i m p o r t a n c e o f a c c u r a c y i n c o m m u n i c a t i o n . S h e p o i n t e d o u t t h e n e e d t o w r i t e u n d e r s t a n d a b l e t e s t s , l e s s o n p l a n s , w o r k s h e e t s , a n d o t h e r m a t e r i a l s t o b e u s e d i n t e a c h i n g : " T h e v o c a b u l a r y h a s t o b e c o r r e c t a n d t h a t t h e c o m m u n i c a t i o n o f i d e a s h a s t o b e c o r r e c t " ( 1 1 - 1 2 B ) . I n h e r r e l a t i n g o f c o m m u n i c a t i o n t o t e a c h i n g t a s k s , C y n t h i a g a v e a s e n s e o f w h a t c o u n t s a s c o m m u n i c a t i o n t o h e r . T h e c o m m u n i c a t i o n i n v o l v e d i n ” w r i t i n g a t e s t " w a s n o t s i m p l y i n t h e p h y s i c a l w r i t i n g : ” J u s t t h e i n s t r u c t i o n s o n a t e s t , j u s t t h e l a y o u t o f t h e t e s t . I f t h e y w o u l d b e c r e a t i n g a w o r d p r o b l e m , t o m a k e s u r e t h a t w h a t ’ s g o i n g i n t o t h e w o r d p r o b l e m i s c o r r e c t " ( 1 2 B ) . S h e s p o k e o f t h e n e e d t o b e c l e a r i n t h e w a y v o c a b u l a r y w a s u s e d a n d s o l u t i o n s w e r e w r i t t e n . C y n t h i a s u p p o r t e d t h e d e v e l o p m e n t o f s o m e o f t h e s e e x p l i c i t l y i n t h e c l a s s , h a v i n g s t u d e n t s p r e s e n t w o r k a t t h e b o a r d o r o n t h e o v e r h e a d p r o j e c t o r a n d r e q u i r i n g t h e c r e a t i o n o f p r o b l e m s r e l a t e d t o c o u r s e c o n t e n t a s a p a r t o f s t u d e n t s ' w e e k l y p o r t f o l i o w o r k . C p o r t f o l i c d e v e l o p o f t h e “ v a l u e , t o a Q I f o r s t u a l r e a d y l C l I I I I 8 5 C y n t h i a w a s t h e l o n e i n s t r u c t o r i n t e r v i e w e d w h o u s e d p o r t f o l i o w o r k a s a n y p a r t O f s t u d e n t s ' c o u r s e w o r k . C y n t h i a d e v e l o p e d h e r o w n s y s t e m f o r p o r t f o l i o u s e i n h e r c o u r s e . B e c a u s e O f t h e i r u n i q u e s t r u c t u r e a n d C y n t h i a ' s r e a s o n e d a r g u m e n t f o r t h e i r v a l u e , I p r e s e n t h e r d e s c r i p t i o n h e r e a s a p i e c e . S h e w a s r e s p o n d i n g t o a q u e s t i o n a b o u t w h e t h e r t h e c o u r s e s h o u l d p r o v i d e a n o p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t h o w t h e m a t h e m a t i c s t h a t t h e y h a d a l r e a d y l e a r n e d w a s t a u g h t . E v e r y w e e k , m y s t u d e n t s h a v e a p o r t f o l i o . A n d t h a t p o r t f o l i o c o n s i s t s o f f i v e q u e s t i o n s . T h e f i r s t q u e s t i o n i s a r e a d i n g f r o m t h e R e s e a r c h W i t h i n R e a c h a n d t h e n t h e y h a v e s u b - q u e s t i o n s o n t h a t r e a d i n g . S O , t h e y a r e t h i n k i n g a b o u t r e m e d i a t i o n . T h e y ' r e t h i n k i n g a b o u t d i a g n o s t i c t o o l s . T h e y ' r e t h i n k i n g a b o u t a s s e s s m e n t . Y o u k n o w , w e d o f i f t e e n r e a d i n g s o u t o f t h a t b o o k . T h e r e , a n d a l s o , I s t a r t t h e m w i t h S h e i l a T o b i a s ' H e w t o b e S u c c e s s f u l i n M a t h , j u s t t o b r e a k s o m e a n x i e t y . T h e y r e a d t h e c h a p t e r ” H o w t o b e S u c c e s s f u l i n M a t h " a n d " H o w t o R e a d a M a t h T e x t b o o k , " b e c a u s e t h e y d o n ' t k n o w h o w t o r e a d a m a t h t e x t b o o k . A n d , a s t e a c h e r s , t h e y h a v e t o k n o w , t o b e a b l e t o e x p l a i n . S o e v e n t h o u g h i t i s n ' t u n d e r o u r d e p a r t m e n t ’ s l i s t o f O b j e c t i v e s , I f e e l t h a t i t i s p a r t , i t i s r _ n _ y O b j e c t i v e f o r t h e m t o r e f l e c t o n t h i s , a n d t o s t a r t t o f o r m i d e a s o f h o w a r e t h e y g o i n g t o b e a t e a c h e r . A l s o i n t h e i r p o r t f o l i o s , t h e y h a v e w r i t i n g e x e r c i s e s w h e r e , n u m b e r t w o i s a w r i t i n g e x e r c i s e , w h e r e s o m e c o n c e p t t h a t w e ' v e d e v e l o p e d , t h e y h a v e t o e x p l a i n a s i f t h e y w e r e t u t o r i n g a p e e r i n t h i s c o n c e p t . S O t h a t I ’ m t e a c h i n g t h e m t h e w r i t i n g s k i l l . A n d t h e n w e h a v e , g e n e r a l l y , s o m e w o r d p r o b l e m s o r p r o b l e m s o l v i n g t h a t i s o u t o f t h e o r d i n a r y t h a t a p p l i e s t o w h a t t h e y ’ v e , w e ’ v e d o n e t h a t w e e k . A n d t h e n t h e f i f t h p r o b l e m i s g e n e r a l l y w r i t e t w o p r o b l e m s a n d s o l v e t h e m a n d e x p l a i n , a n d a g a i n a s y o u w o u l d b e t e a c h i n g a p e e r , h o w y o u w o u l d c o m e u p w i t h y o u r s o l u t i o n . S O , t h e s e p o r t f o l i o s a r e a l o t o f w o r k f o r t h e m . B u t , I t m m t t h e y r e a l l y l e a r n f r o m t h e m . [ v o c a l e m p h a s i s ] E v e n t h o u g h , a g a i n , i t ' s n o t a d e p a r t m e n t o b j e c t i v e , I w a n t t h e m t o s t a r t t h i n k i n g a b o u t h o w t h e y l e a r n . ( 4 P ) 8 6 T h e r e i s a s t a g g e r i n g a m o u n t o f i n f o r m a t i o n a b o u t C y n t h i a ' s h o p e s f o r t h e c o u r s e e m b e d d e d i n t h i s d e s c r i p t i o n o f t h e p o r t f o l i o a s s i g n m e n t s . S h e r e l a t e d m a n y o f h e r i n t e n t i o n s f o r t h e p o r t f o l i o w o r k t o d e v e l o p i n g c o m m u n i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . A p a r t i a l l i s t i s : t o l e a r n a b o u t h o w r e s e a r c h c a n b e i n t e r p r e t e d a n d u s e d , t o l e a r n h o w t o r e a d a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , t o u s e c o m m u n i c a t i o n t o r e d u c e m a t h e m a t i c s a n x i e t y - - l e a r n i n g t h a t s t u d e n t s a r e n o t a l o n e o r h e l p l e s s , t o l e a r n t o g i v e t h o r o u g h m a t h e m a t i c a l e x p l a n a t i o n s , t o l e a r n t o w r i t e c o h e r e n t l y , a n d t o l e a r n h o w t o a s k g o o d q u e s t i o n s . A s i m p l i e d i n t h e l i s t o f p o r t f o l i o a i m s , t e a c h i n g w a s n o t t h e o n l y a r e n a i n w h i c h C y n t h i a s a w t h e v a l u e o f l e a r n i n g t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y . H e r a s s i g n m e n t o f t h e c r e a t i o n o f p r o b l e m s a s p a r t o f s t u d e n t s ' p o r t f o l i o w o r k h i n t e d a t h e r s e n s e o f t h e v a l u e o f c o m m u n i c a t i o n t o u n d e r s t a n d i n g : " I t h i n k , w h e n y o u w r i t e a p r o b l e m , y o u ' r e g o i n g b e y o n d d o i n g a p r o b l e m " ( 1 9 C ) . T h r o u g h t a l k i n g a n d w r i t i n g a b o u t p r o b l e m s , s h e f e l t t h a t s t u d e n t s g a i n e d a d e e p e r i n s i g h t i n t o t h e m a t h e m a t i c s u s e d t o s o l v e t h e p r o b l e m s . C y n t h i a d e s i g n e d t h e w r i t i n g t a s k s t o i m p r o v e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g a n d t h e i r a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e t h a t u n d e r s t a n d i n g a n d h a d o n l y i n d i r e c t c o n n e c t i o n t o i s s u e s o f g r a d i n g . T h i s d i s c o n n e c t i o n f r o m g r a d i n g m e s h e d w i t h h e r s t a t e d l a c k o f c o n c e r n a b o u t a g a t e - k e e p i n g r o l e f o r t h e c o u r s e : " I ' m n o t r e a l l y c o n c e r n e d a b o u t b e i n g a b a r r i e r t o a n y o n e . I t h i n k t h a t ' s g o i n g t o h a p p e n . I f t h e s t u d e n t ' s n o t g o i n g t o b e a t e a c h e r , t h e y ' r e n o t g o i n g t o b e a t e a c h e r ” ( 4 P ) . C y n t h i a s e t s t a n d a r d s t h a t s t u d e n t s w e r e t o m e e t i n o r d e r t o s u c c e e d i n t h e c o u r s e . I f s t u d e n t s f i n i s h e d t h e c o u r s e a b l e t o 8 7 c o m p u t e w i t h f a c i l i t y , h a d d e m o n s t r a t e d t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s i n t h e i r p o r t f o l i o s a n d o n e x a m s , c o m m u n i c a t i n g t h a t u n d e r s t a n d i n g o r a l l y a n d i n w r i t i n g , t h e s t u d e n t s w o u l d l i k e l y c o m p l e t e t h e c o u r s e s a t i s f a c t o r i l y . I f t h e y d i d n o t a c h i e v e s o m e p a r t o f t h i s , s t u d e n t s w o u l d n e e d t o r e t a k e t h e c o u r s e o r s e l f - s e l e c t o u t o f t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . A t t i t u d e s a n d T e a c h i n g : T r a d i t i o n a l V i e w s a n d C u r r i c u l a r R e s p o n s e D e a l i n g w i t h p o o r s t u d e n t p r e p a r a t i o n w a s o n l y p a r t o f w h a t C y n t h i a w a n t e d t o a c c o m p l i s h i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e . T h e w a y s t u d e n t s v i e w e d m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a l s o c o n c e r n e d h e r . S h e s a w a r o l e o f t h e c o u r s e t o b e c h a n g i n g t h e s e p e r s p e c t i v e s . S h e p e r c e i v e d t h a t s t u d e n t s e n t e r e d t h e c l a s s w i t h a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s i r r e l e v a n t , m e c h a n i c a l , a n d b o r i n g . T h e i r v i e w o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w a s s i m p l i s t i c a n d b a s e d o n t h e i r y e a r s o f e x p e r i e n c e a s s t u d e n t s . T h i s v i e w w a s s t e r e o t y p i c a l , t r a d i t i o n a l , a n d n o t d e s i r a b l e i n C y n t h i a ' s e y e s . A s w i t h p o o r p r e p a r a t i o n , s h e r e s p o n d e d b y d e s i g n i n g t h e c o u r s e t o a d d r e s s i t . m i I n I v n S t u d e n t s e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h a v i e w t h a t m a t h e m a t i c s w a s l a c k i n g i n m e a n i n g a n d p u r p o s e f o r t h e m . C y n t h i a w a n t e d s t u d e n t s t o s e e m a t h e m a t i c s a s a m e a n i n g f u l p a r t o f t h e i r p e r s o n a l a n d p r o f e s s i o n a l l i v e s , a p a r t t h a t h a d u n d e r l y i n g s t r u c t u r e a n d p e r t i n e n c e , n o t m e r e u t i l i t y . H e r u s e o f t h e w o r d r e l e v a n c e s e t o u t f o U r e m p h a s e s : d e - m y s t i f i c a t i o n , u t i l i t y , u n d e r s t a n d i n g , a n d v i s u a l i z a t i o n . l 5 m a t h e r w m h n s h o w i r t h a t t l c u b e c m y s t l p m b r n a H i m p E V E ( E M ‘ 8 8 8 A t a v e r y b a s i c l e v e l , C y n t h i a t r i e d t o d e - m y s t i f y e l e m e n t s o f m a t h e m a t i c s t h a t s e e m e d " u n r e a l " t o s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , w o r k i n g o n v o l u m e , s h e c l a r i f i e d w h a t a c u b i c c e n t i m e t e r ( c c ) i s b y s h o w i n g t h e m a b l o c k , o n e c e n t i m e t e r o n e a c h s i d e . S h e p o i n t e d o u t t h a t t h e v o l u m e w a s f o u n d b y t a k i n g o n e t i m e s o n e t i m e s o n e , o n e c u b e d . I n t h i s w a y , a s y m b o l h o l d i n g l i t t l e s i g n i f i c a n c e a n d s o m e m y s t e r y , " c c , " g a i n e d m e a n i n g . O n a s e c o n d l e v e l , C y n t h i a u s e d e v e r y d a y e x p e r i e n c e s i n w o r d p r o b l e m s o r w o r k o n l o g i c t o h e l p s t u d e n t s s e e t h e u s e f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . O n e e x a m p l e s h e g a v e i n v o l v e d u s i n g l o g i c a n d i m p l i c a t i o n s t o d e t e r m i n e i f a s t u d e n t w o u l d g e t t h e c a r f o r t h e e v e n i n g b a s e d o n c e r t a i n i n f o r m a t i o n . T h e f o c u s w a s s p e c i f i c a l l y o n r e l e v a n c e f o r t h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s i n t h e s e f i r s t t w o c a s e s . F o r C y n t h i a ' s t h i r d e m p h a s i s , t h e c o n t e n t w a s t o b e m a d e r e l e v a n t t o t h e s t u d e n t s b y h e l p i n g t h e m p u t t h e ' b i g p i c t u r e ' o f m a t h e m a t i c a l i d e a s t o g e t h e r . T h i s c o n n e c t e d r e l e v a n c e t o u n d e r s t a n d i n g . T h e r e l e v a n c e o f l e a r n i n g c o n c e p t s i n o n e c o n t e x t s o t h a t l a t e r w o r k w o u l d b e m e a n i n g f u l w a s e x p l i c i t l y a p a r t o f t h e c o u r s e . T h e l a t e r w o r k c o u l d b e i n f u r t h e r s t u d y o f a c o n c e p t a s a s t u d e n t o r i n a c t u a l t e a c h i n g o f a c o n c e p t a s a t e a c h e r . T h e " s e e i n g " o f r e a s o n a b l e n e s s i n t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s w a s t h e f o u r t h e m p h a s i s C y n t h i a h i g h l i g h t e d w i t h i n t h e a s p e c t o f m a k i n g m a t h e m a t i c s r e l e v a n t i n t h e c o u r s e f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . S h e u s e d m a n i p u l a t i v e s a n d e n c o u r a g e d v i s u a l i z a t i o n a n d t h e u s e o f p i c t u r e s . I f s t u d e n t s c o u l d s e e , p h y s i c a l l y , t h a t c e r t a i n p r o p e r t i e s a r e t r u e a n d c a n b e u s e f u l i n b u i l d i n g u n d e r s t a n d i n g , C y n t h i a w a s U T t i l i t y O I G , 0 c o n v i n t u n d e r s l v i s u a l F e e l i n g W i t h 1 e m b e r : m a d r e a d i n t h e C o u l d t h r o u S m a t h s ” l a t h e f a b u l c 8 9 c o n v i n c e d s t u d e n t s w e r e i n a b e t t e r p o s i t i o n t o b u i l d u p o n t h a t u n d e r s t a n d i n g i n v a l u a b l e w a y s . C y n t h i a h a d p e r s o n a l g r o u n d i n g f o r h e r e m p h a s i s o n v i s u a l i z a t i o n . T o m e , m a t h i s a v e r y v i s u a l t h i n g . . . . A n d o n e t i m e [ i n a g r a d u a t e c l a s s ] , w e w e r e d o i n g s o m e t h i n g i n s e c o n d s e m e s t e r R e a l A n a l y s i s , a n d I j u s t t r i e d t o d r a w a p i c t u r e . A n d h e [ t h e p r o f e s s o r ] g o e s , " S e e i t i n y o u r m i n d . I w a n t y o u t o s e e i t i n y o u r m i n d . " A n d t h a t ' s w h a t h e w o u l d a l w a y s s a y t o u s . " S e e i t a n d c l o s e y o u r e y e s a n d s e e i t a n d f e e l i t . " A n d t h a t ' s k i n d o f w h a t I t r y t o , s e e i t , g e t a s e n s e o f i t , f e e l i t i n t o y o u r s o u l . A n d , i t ' s j u s t s o m e t h i n g t h a t e v e n w i t h m y A r i t h m e t i c s t u d e n t s , I t r y t o t e a c h t h e m t h a t a p p r o a c h . ( 1 7 B ) F e e l i n g t h e c o n c e p t i n t h e s o u l w a s w h a t C y n t h i a w a s h o p i n g f o r . W i t h t h i s f e e l i n g , t h e r e l e v a n c e o f t h e c o n c e p t w o u l d b e d e e p l y e m b e d d e d i n t h e i n d i v i d u a l . C y n t h i a r e l a t e d a l l o f t h e s e e m p h a s e s , d e - m y s t i f i c a t i o n , u t i l i t y , u n d e r s t a n d i n g , a n d v i s u a l i z a t i o n , t o h e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e o f m a k i n g m a t h e m a t i c s r e l e v a n t f o r t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e f o r e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . S t u d e n t s e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h a d r e a d o f m a t h e m a t i c s a n d a d r e a d o f d o i n g m a t h e m a t i c s . T h e y p e r c e i v e d t h e m s e l v e s a s s t y m i e d i n t h e i r a t t e m p t s t o d o m a t h e m a t i c s , a n d t h e y w e r e u n s u r e t h a t t h i s c o u l d e v e r c h a n g e . C y n t h i a i n t e n d e d t o c h a n g e t h i s p e r c e p t i o n t h r o u g h t h e n u r t u r a n c e o f a d i f f e r e n t a t t i t u d e t o w a r d d o i n g m a t h e m a t i c s t o b e a c c o m p l i s h e d t h r o u g h e x p e r i e n c e s i n t h e c o u r s e . C y n t h i a s a w s u p p o r t i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a s a m i n o r c o m p o n e n t i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n : " I h a v e a f a b u l o u s a t t i t u d e t o w a r d s f i g u r e - s k a t i n g , b u t , s w o o , a s i d e f r o m p u d d h n g w o u k l e V a h fl n g r e q u h e c n e c e s s : [ h n u r e e m o y n t F a b o u t D O Q U V G g g fl u ; S l u d e n c o u r s e e X p e r l t S t u d e n D a h e d ' l t h h fl h e a r d S t U d e l S e h s e f e e l i n g C l a s s r 9 0 p u d d l i n g a l o n g f o r w a r d , I c a n ' t d o a n y t h i n g , a n d t h e r e ' s n o w a y t h a t I w o u l d e v e r g o o n t h e p r e t e n s e o f b e i n g a s k a t i n g c o a c h " ( 9 P ) . V a l u i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s a s a s u b j e c t i s n o t r e q u i r e d f o r t e a c h i n g , b u t i t i s b e n e f i c i a l : " l s i t [ p o s i t i v e a t t i t u d e ] n e c e s s a r y t o g e t c h i l d r e n t o c o m p u t e ? N o . [ B u t ] I d o n ' t t h i n k t h e y ' r e [ f u t u r e t e a c h e r s ] g o i n g t o t r a n s m i t a , a n a p p r e c i a t i o n o f m a t h o r e n j o y m e n t o f m a t h o r w i l l n u r t u r e s t u d e n t s t o g o o n i n m a t h " ( 1 0 P ) . F o r C y n t h i a , t h e r e q u i r e m e n t w a s n o t f o r p a r t i c u l a r f e e l i n g s _ a _ b _ o _ u t t h e d i s c i p l i n e , b u t r a t h e r c a p a b i l i t y w i t h t h e c o n t e n t . T h e p o s i t i v e a t t i t u d e s t h a t C y n t h i a w a n t e d m o s t t o n u r t u r e w e r e t o w a r d 1 9 m m a t h e m a t i c s a n d f e e l i n g j u s t i f i a b l y c o m p e t e n t i n d o i n g i t . S t u d e n t s w e r e t o g a i n t h e s e f e e l i n g s t h r o u g h e x p e r i e n c e s i n t h e c o u r s e t h a t b u i l t u p c o n t e n t k n o w l e d g e a n d t h a t r e l i e d o n e x p e r i e n c e s t h a t w e r e f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f r o m t h a t o f m o s t s t u d e n t s u p t o t h i s p o i n t i n t h e i r m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . C y n t h i a p a i r e d “ f e e l i n g g o o d " w i t h e m p o w e r m e n t g a i n e d t h r o u g h c o m p e t e n c e : " I t h i n k t h e y h a v e t o f e e l g o o d , t h a t , ' Y e a h , I c a n d o t h a t ! ” ( 4 P ) . I h e a r d t h i s r e f r a i n t h r o u g h o u t h e r r e s p o n s e s . Y o u c e r t a i n l y d o n ' t w a n t a s t u d e n t g e t t i n g i n f r o n t o f a c l a s s r o o m t h i n k i n g , " C a n I d o t h i s ? W h a t a m I g o n n a d o ? W h a t h a p p e n s i f I m a k e a m i s t a k e ? " Y o u k n o w , j u s t t h a t w h o l e l a c k o f s e l f - c o n f i d e n c e i s g o i n g t o u n d e r m i n e t h e i r a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m . I t ' s g o i n g t o , I j u s t s e e a l l s o r t s o f p r o b l e m s ‘ c o m i n g u p w i t h n o t f e e l i n g g o o d a b o u t t h e i r o w n k n o w l e d g e o f a s u b j e c t . ( 1 4 B ) S t u d e n t s n e e d e d t o f e e l t h a t t h e y c o u l d t r y p r o b l e m s a n d h a v e a s e n s e t h a t t h e y c o u l d f i n d a s o l u t i o n . B u t , f e e l i n g c a p a b l e a n d f e e l i n g t h a t y o u h a v e " t h e k n o w l e d g e “ t o b e t h e a u t h o r i t y i n t h e c l a s s r o o m a r e n o t t h e s a m e m e a n i n g s o f e m p o w e r m e n t . C y n t h i a s e n t c a o n a w m h r a n e a o e n n m c s u h d n H t w m d u T u e y n o e u n d b e t b s C o w n u ] C Y n t h i E n h a n i d e a s W h i c h w n h t a t t i t u W ° n t n . C I a S S r 9 1 c o n f l i c t i n g m e s s a g e s a s t o h e r i n t e n t i o n s f o r s t u d e n t s a s l e a r n e r s a n d s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s . T h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s b r o u g h t a m i x e d b a g o f a b i l i t i e s a n d a t t i t u d e s . C y n t h i a a t t e m p t e d t o e n s u r e t h a t s h e p r e p a r e d s t u d e n t s w e l l b y o f f e r i n g t h e m t h e o p p o r t u n i t y t o l e a r n m u c h m o r e t h a n p u r e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . S h e f e l t t h a t s h e n e e d e d t o h e l p t h e m l e a r n h o w t o l e a r n , h o w t o r e a d a t e x t , h o w t o s t u d y f o r a t e s t , a n d h o w t o r e s t b e f o r e a t e s t . S h e s u p p o r t e d t h i s l e a r n i n g t h r o u g h a s s i g n m e n t s a n d s u g g e s fi o n s . G o i n g b e y o n d " c o n t e n t " t o d e v e l o p t h e a b i l i t y t o r e l y o n t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g a n d j u s t i f i c a t i o n w a s a l s o a g o a l f o r t h e c o u r s e . [ I w a n t t h e m t o l e a r n ] t h a t t h e y c a n l o o k a t d i f f e r e n t e x a m p l e s f o r d i f f e r e n t t h i n g s a n d d r a w c o n c l u s i o n s o r c o n j e c t u r e s . T h a t t h e y d o n ' t h a v e t o b e t o l d a l l t h e t i m e w h a t ' s g o i n g o n . T h a t w h e n t h e y t h i n k a b o u t t h i n g s , t h a t t h e y c a n c o m e t o c o n c l u s i o n s a n d d e v e l o p m a t h e m a t i c a l i d e a s o n t h e i r o w n . . . . I t ' s n o t a w r i t t e n o b j e c t i v e o f t h e c o u r s e , o r , b u t i t ' s , i t ' s s o m e t h i n g t h a t h e l p s b u i l d s e l f - e s t e e m . I t h e l p s b u i l d u p t h e i r s e l f - c o n f i d e n c e . l t r e l i e v e s s o m e m a t h a n x i e t y . ( 1 8 C ) C y n t h i a i n t e n d e d t h a t e x p e r i e n c e s i n t h e c o u r s e e i t h e r d e v e l o p o r e n h a n c e s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o c o n j e c t u r e , t o d e v e l o p m a t h e m a t i c a l i d e a s o n t h e i r o w n , a n d t o f e e l c o n f i d e n t i n t h e i r a b i l i t y , n o n e o f w h i c h w a s v i e w e d a s “ m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . " T h e s e g o a l s a l i g n w i t h t h e r o l e s o f l e a r n i n g t h e n o r m s a n d d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s . U t l ‘ l l t | ‘ - " t o n r i n - - P i ‘ 0 1 S t u d e n t s e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h c e r t a i n e x p e c t a t i o n s b a s e d o n t h e i r ” t r a d i t i o n a l " e x p e r i e n c e . T h e y h a d s p e n t m a n y y e a r s i n c l a s s r o o m s f o r w h i c h m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t o o k t h e f o r m o f I ' T ' ) 0 # r — ~ . — - q t e a c h e r p n fl fl e n ' e x p e c t s e x p e r i e c h a H e n m a t h e r S h e l c o m n u Y O U c a W o u k j C O m m e X D E c r e S D E < 9 2 t e a c h e r l e c t u r e / d e m o n s t r a t i o n f o l l o w e d b y s e a t w o r k o f p r a c t i c e p r o b l e m s . C y n t h i a p e r c e i v e d t h e n e e d t o c h a n g e s t u d e n t e x p e c t a t i o n s a n d a t t e m p t e d t o a c c o m p l i s h t h i s t h r o u g h t h e e x p e r i e n c e s s h e s e t u p i n t h e c o u r s e . S h e a l s o p o i n t e d t o t h e n e e d t o c h a l l e n g e s t u d e n t s ' p e r c e p t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F r e q u e n t l y I ' v e h a d s t u d e n t s v e r b a l i z e t o m e t h a t a l l y o u d o i n a m a t h c l a s s i s h a n d o u t m a t h d i t t o s , o r " W h y d o w e n e e d t o d o t h i s b e c a u s e w e ' l l h a v e , o r k n o w h o w t o d o i t , b e c a u s e w e ' l l h a v e t h e T e a c h e r ' s A n s w e r B o o k ? " A n d t h e s e a t t i t u d e s f r i g h t e n m e . W e n e e d t o c h a n g e s t u d e n t a t t i t u d e s a b o u t w h a t a m a t h c l a s s r o o m s h o u l d b e a l l a b o u t . ( 3 P ) S h e d i s c o u r a g e d " s u r v i v a l i s t r e s p o n s e s , " u n l i k e K a r a , w h o c o m m e n t e d t h a t " W h e n y o u ' r e t e a c h i n g i t , y o u c a n g o t o a t e x t b o o k . Y o u c a n l o o k a t t h i n g s t h e n i g h t b e f o r e " ( K S , 3 B ) . T h i s c o m m e n t w o u l d “ f r i g h t e n " C y n t h i a a s m u c h o r m o r e t h a n t h e a b o v e s t u d e n t ' s c o m m e n t . C y n t h i a f o u n d t h a t t h e t e a c h i n g t o s u p p o r t a c h a n g e i n s t u d e n t e x p e c t a t i o n s w a s d i f f i c u l t . S h e s p o k e o f t h i s d i f f i c u l t y w i t h r e s p e c t t o t h e u s e o f d i s c o v e r y l e s s o n s . I ' m a v e r y d i s c o v e r y - o r i e n t e d , a n d , g r o u p w o r k a n d c o n j e c t u r e k i n d o f p e r s o n . S o m e t i m e s t h e s t u f f i s m o r e d i f f i c u l t t o m o t i v a t e t h e d i s c o v e r y , t h e f a l s e d i s c o v e r y m a y b e , ( s h o r t p a u s e ) o f t h e t h i n g s t h e y a l r e a d y k n o w . “ W e a l r e a d y k n o w t h i s . W h y a r e w e d o i n g t h i s ? “ “ W e l l , y o u a l r e a d y k n o w t h e a l g o r i t h m , b u t d o y o u u n d e r s t a n d w h y ? L e t ' s s e e i f u s i n g t h e s e p a t t e r n p i e c e s o r t h e s e C u i s e n a i r e r o d s w e c a n u n d e r s t a n d w h y w e ' r e d o i n g i t . ” A n d s o , l i k e , t h e n u r t u r i n g o f a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n w h y . ( 1 3 C ) B e c a u s e C y n t h i a w a n t e d s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d w h y , s h e t h o u g h t t h a t t h e w o r k t o a c h i e v e t h i s u n d e r s t a n d i n g w a s j u s t i f i e d . s h e c l t e a c h e W h e n n e e d a n d t b o u t C o u r s 9 3 S o m e o f C y n t h i a ' s m o t i v a t i o n f o r t h e i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s s h e c h o s e s t e m m e d f r o m t h e s t a t u s o f t h e c o u r s e a s a p a r t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I s e e m y c l a s s r o o m a s b e i n g a m o d e l o f w h a t a m a t h c l a s s r o o m s h o u l d b e . W e d o a l o t o f g r o u p w o r k , w e d o a l o t o f i n t e r a c t i v e t h i n k i n g , t h e y d o a l o t o f b o a r d w o r k , t h e y d o t h e i r p o r t f o l i o s , s o m a t h i s n ' t j u s t p u t t i n g a n u m b e r u n d e r s o m e k i n d o f p r o b l e m . A n d I t h i n k t h a t ' s c r i t i c a l f o r u s t o c h a n g e w h a t ' s g o i n g o n i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . [ H e r D i v i s i o n H e a d ] h a s s a i d t o m e , " Y o u t e a c h a s y o u h a v e b e e n t a u g h t . " S o , I f e e l I ' m t h e b e g i n n i n g o f c h a n g i n g t h a t . ( 3 P ) W h e n a s k e d h o w s h e w o u l d r e s p o n d t o s t u d e n t s w h o a r g u e d f o r n o n e e d t o c h a n g e s i n c e t h e i r e x p e r i e n c e w a s i n t r a d i t i o n a l c l a s s r o o m s a n d t h e y f e l t p r e p a r e d , C y n t h i a r e p l i e d : “ A l o t o f p e o p l e h a v e b e e n s t u d y i n g t h e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c s , a n d w e ' r e f i n d i n g t h a t i t i s m u c h b e t t e r t o n u r t u r e t h e u n d e r s t a n d i n g , r a t h e r t h a n j u s t t o l e a r n t h e r u l e s . A n d s o , y o u d o n ' t , a r e y o u g o i n g t o d r i v e t h e s a m e M o d e l - T t h a t y o u r g r e a t - g r a n d f a t h e r d r o v e , o r a r e y o u g o i n g t o t r y t h e n e w P r o b e t h a t i s c o m i n g s o o n ? " W e d o n ' t a l w a y s d o t h i n g s t h e s a m e w a y , e v e n . . . . I f y o u f i n d o u t t h a t s o m e t h i n g ' s b e t t e r , t h e n y o u t r y t o d o i t t h e b e t t e r w a y . ( 1 2 C ) C y n t h i a ' s " t r y i n g t o d o i t a b e t t e r w a y " h a s m e a n t c h a n g e s i n b o t h c o n t e n t a n d m e t h o d s f r o m t h e t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . I ' m s e n s i n g , t h a t p r e v i o u s l y , t e a c h i n g t h e c o n t e n t w a s a n o k a y t h i n g , a n d I d o n ' t t h i n k i t ' s j u s t o k a y a n y m o r e . I t h i n k b r i n g i n g i n t h e m a n i p u l a t i v e s , b r i n g i n g i n t h i n k i n g , b r i n g i n g i n p r o b l e m s o l v i n g , y o u k n o w . P r o b l e m s o l v i n g , a g a i n , i s a b i g t h i n g , a n d , i n d o i n g p r o b l e m s o l v i n g , t o h a v e t h e t e a c h e r s t a n d a t t h e b o a r d a n d d o s e v e r a l p r o b l e m s , ( l a u g h s ) y o u ' r e n o t t e a c h i n g p r o b l e m s o l v i n g . D o y o u k n o w w h a t I m e a n ? . . . S o , I j u s t g e t t h e f e e l i n g t h a t g r o u p w o r k i s n o w e s s e n t i a l . M a y b e b e f o r e , a t e a c h e r c o u l d l e c t u r e , I t h i n k g r o u p w o r k i s e s s e n t i a l . I t h i n k t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i s e s s e n t i a l . ( s h o r t p a u s e ) S o m u c h ' Y o u h d e v e l o l C y n t h i a t e a c h e f o r u s i | l C y n t h i a s a l t h E m S p r O f e s t h e C l 9 4 m o r e n o w i s e s s e n t i a l b e c a u s e w e s e e t h a t o u r t e a c h e r s h a v e t o b e t h i n k , t e a c h i n g t h i n k i n g s k i l l s . W h e n y o u ' r e t e a c h i n g t h i n k i n g s k i l l s , w e f i r s t h a v e t o t e a c h t h e m h o w t o t h i n k . ( 1 2 P ) " Y o u h a v e t o k n o w i t t o t e a c h i t " w a s a f r e q u e n t r e f r a i n , b u t i t w a s d e v e l o p i n g p e r s o n a l k n o w l e d g e o f t h e c o n t e n t t h a t o v e r r o d e C y n t h i a ' s d e c i s i o n - m a k i n g , n o t t h e s t a t u s o f t h e s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s . V i e w i n g s t u d e n t s a s l e a r n e r s w a s t h e p r i m a r y m o t i v a t o r f o r u s i n g a v a r i e t y o f t e a c h i n g s t r a t e g i e s i n t h e c o u r s e . I t h i n k t h a t f o r t h e m s e l v e s , t h e y n e e d v a r i e t y . I n g e n e r a l , t h e y ' r e n o t t h e s t r o n g e s t m a t h s t u d e n t s , a n d j u s t t o c o m e a n d s i t a n d l i s t e n t o s o m e o n e t a l k a t t h e m , j u s t i s n ' t a r e a l e n j o y a b l e t h i n g . D o i n g t h e d i f f e r e n t t h i n g s ( s h o r t p a u s e ) g i v e s t h e m a s m u c h , y o u k n o w , m a k e s t h i s a s p l e a s a n t a n d a s e n j o y a b l e s i t u a t i o n a s i t c a n b e . I t h i n k i t h e l p s t h e m r e l a x a l i t t l e b i t . R e l i e v e s t h a t a n x i e t y . I t j u s t , s o m e t i m e s , y o u l e a r n b e t t e r d o i n g s o m e t h i n g a d i f f e r e n t w a y . ( 1 7 - 1 8 C ) C y n t h i a a l s o s a w h e r t e a c h i n g a s a w a y t o m o d e l g o o d p r a c t i c e a n d a s a w a y t o e n c o u r a g e s t u d e n t s t o l e a r n t h e n e c e s s a r y c o n t e n t f o r t h e m s e l v e s a s l e a r n e r s a n d f u t u r e t e a c h e r s . C y n t h i a f o u n d j u s t i f i c a t i o n f o r t h e c h a n g e s i n t h e t e a c h i n g a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e i n p o l i c y d o c u m e n t s a n d i n c o n v e r s a t i o n s a t p r o f e s s i o n a l c o n f e r e n c e s . W h e n a s k e d a b o u t t h e i m p a c t o f t h e s e o n t h e c o u r s e , C y n t h i a r e p l i e d : T h e y ' r e c r i t i c a l t o t h e w a y w e a r e , t o t h e w a y I d e s i g n m y c o u r s e , o k a y . B y t h e i n c o r p o r a t i o n o f m o r e p e e r - l e a r n i n g a n d g r o u p w o r k . C o o p e r a - , e r , t h e i n c l u s i o n o f m a n i p u l a t i v e s , o k a y , w e u s e C u i s e n a i r e r o d s a n d t h e p a t t e r n p i e c e s f o r f r a c t i o n s . W e u s e t h e b a s e 1 0 b l o c k s f o r d e c i m a l s . A n d t h i s i s a l l p a r t o f t h e S l u m . I t ' s a l l p a r t o f , I w e n t t o t h e c o n f e r e n c e o n T e a c h e r P r e p a r a t i o n , p r e v i o u s o n e a t [ a n o t h e r c o m m u n i t y c o l l e g e ] . A n d s o , o b v i o u s l y , y o u k n o w , s o m e o n e n e w , I ' m s e e i n g a l l o f t h i s , t r y i n g t o i n c o r p o r a t e a l l o f t h i s i n t o o u r c o u r s e . N o t j u s t s o t h a t w e h a v e a “ w i t h - i t “ c o u r s e , b u t t h a t o u r t h e l c l a a s 9 5 s t u d e n t s a r e e x p o s e d t o t h i s s o t h a t w h e n t h e y t e a c h , w h e n t h e y g o o u t t o t e a c h , t h i s i s p a r t o f t h e m . ( 6 C ) S o , C y n t h i a f o u n d a d d i t i o n a l s u p p o r t f o r h e r c h o i c e o f c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e t h r o u g h o u t s i d e i n f o r m a n t s i n t h e s h a p e o f p o l i c y d o c u m e n t s a n d c o n f e r e n c e s . A t C C , t h e c o l l e g e c a t a l o g i n c l u d e d a n " E d u c a t i o n S t u d i e s P r o g r a m " f o r s t u d e n t s t o u s e a s a g u i d e f o r c o u r s e - t a k i n g . H o w e v e r , C C , w h i l e o f f e r i n g c o n t e n t c o u r s e s t h a t c o u l d b e t r a n s f e r r e d t o o t h e r u n i v e r s i t y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s , h a d n o D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . D e s p i t e t h i s , C y n t h i a c o n t a c t e d o t h e r i n s t r u c t o r s o f t h e c o u r s e s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s o f f c a m p u s t o d i s c u s s i s s u e s a r o u n d t h e c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . 1 6 I n t h e s e m a n y a n d v a r i o u s w a y s , C y n t h i a j u s t i f i e d a n d i m p l e m e n t e d c h a n g e s i n h e r o w n t e a c h i n g a s a v e h i c l e f o r c h a n g i n g s t u d e n t s ' t r a d i t i o n a l v i e w s o f w h a t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g l o o k l i k e . S t u d e n t e x p e c t a t i o n s u p o n e n t e r i n g t h e c o u r s e d i d n o t m a t c h w h a t C y n t h i a w a n t e d t h e s t u d e n t s t o a n t i c i p a t e . S h e c h o s e c o n t e n t a n d m e t h o d s f o r t e a c h i n g t h e c o u r s e i n t e n d e d t o a l t e r s t u d e n t s ' f u t u r e a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t g o e s o n i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . S h e m a d e t h e s e c h o i c e s t o b e t t e r p r e p a r e h e r s t u d e n t s a s s h e s a w t h e i r n e e d s , n o t b e c a u s e t h e s t u d e n t s ' p r o g r a m e x p e c t e d t h e m t o h a v e a n a l t e r e d v i s i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . 1 6 C y n t h i a w a s n o t i n v o l v e d i n e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s e x c e p t a s a p a r e n t . 9 6 S u m m a r y C y n t h i a b a s e d h e r d e c i s i o n s a b o u t t h e c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n i n t h e c o u r s e o n h e r p e r c e p t i o n s o f w h a t s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e , h e r b e l i e f s a b o u t w h a t s t u d e n t s s h o u l d k n o w a n d c a r e a b o u t w h e n t h e c o u r s e w a s c o m p l e t e , a n d t h e D i v i s i o n p o l i c y f o r t h e c o u r s e . T h e s e a l l h a v e b e e n a n d a r e a f f e c t e d b y m a n y d i f f e r e n t i n f l u e n c e s , r a n g i n g f r o m i n d i v i d u a l s t u d e n t s t o n a t i o n a l p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s t o o t h e r i n s t i t u t i o n s . T h e r e s u l t w a s t h a t C y n t h i a s e t n e a r - i m p o s s i b l e g o a l s f o r h e r s e l f a n d t h e c o u r s e : " I h a v e s u c h h i g h e x p e c t a t i o n s o f m y s e l f a s a n i n s t r u c t o r a n d I t r y t o d o s o m u c h i n t h e c o u r s e " ( 2 6 B ) . C y n t h i a s a w h e r f o c u s o n d e v e l o p i n g c o m p u t a t i o n a l a b i l i t y , c o n c e p t u a l k n o w l e d g e , a n d c o m m u n i c a t i o n s k i l l s a s n e c e s s a r y f o r t h e g o o d o f t h e s t u d e n t s . T h e s t u d e n t s n e e d e d a s t r o n g c o n t e n t k n o w l e d g e b a s e f r o m w h i c h t o c o n t i n u e t h e i r w o r k i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . C y n t h i a s a w , i n h e r t e a c h i n g o f t h e c o n t e n t , " m a n y w o n d e r f u l b y - p r o d u c t s t h a t a r e v e r y i m p o r t a n t t o t h e s e s t u d e n t s c a n b e a t t a i n e d " ( 4 P ) . T h o s e " w o n d e r f u l b y - p r o d u c t s " w e r e j u s t a s i m p o r t a n t t o C y n t h i a a s t h e d e v e l o p m e n t o f c o n t e n t k n o w l e d g e . T h e b y - p r o d u c t m o s t v a l u e d b y C y n t h i a i n v o l v e d c h a l l e n g i n g s t u d e n t s ' p e r c e p t i o n s : p e r c e p t i o n s o f t h e r e l e v a n c e o f m a t h e m a t i c s , p e r c e p t i o n s o f t h e i r a b i l i t y t o d o m a t h e m a t i c s , a n d p e r c e p t i o n s o f w h a t a m a t h e m a t i c s c l a s s s h o u l d l o o k l i k e . S h e h o p e d t o c h a n g e s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a s a n e n d e a v o r a n d t o c h a n g e s t u d e n t e x p e c t a t i o n s f o r t h e i r o w n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . J e f f : G a t e - k e e p i n g , L e a r n i n g C o n t e n t , a n d D e v e l o p i n g D i s p o s i t i o n s P r o f e s s o r J e f f S u l l i v a n w a s n e w t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s . T h o u g h h e h a d s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g c e r t i f i c a t i o n , h e h a d n e v e r u s e d t h e i t , c h o o s i n g t o p r o c e e d t h r o u g h a d o c t o r a l p r o g r a m i n m a t h e m a t i c s a n d t e a c h a t t h e u n i v e r s i t y l e v e l . H i s r e s p o n s e s i n d i c a t e d t h e r o l e s h e t h o u g h t t h e c o u r s e w o r k s h o u l d p l a y , b u t t h e s e r o l e s w e r e n o t n e c e s s a r i l y t h e o n e s h e f e l t t h e c o u r s e p l a y e d i n t h e p r o g r a m s o f t h e s t u d e n t s w h o h a d b e e n a p a r t o f s e c t i o n o f t h e c o u r s e h e h a d t a u g h t . T h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s J e f f a r t i c u l a t e d w e r e g a t e - k e e p i n g a n d l e a r n i n g c o n t e n t . A s p e c t s o f J e f f ' s r e s p o n s e s w e n t b e y o n d t h e d e s c r i p t i o n s i n t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k t o i n c l u d e d e v e l o p i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n a l a t t r i b u t e s . W h i l e o t h e r i n s t r u c t o r s a l l u d e d t o d e v e l o p i n g t h e s e a t t r i b u t e s , J e f f d i d s o m o r e f r e q u e n t l y a n d w i t h g r e a t e r a r d o r . G a t e - k e e p i n g : T h e T e a c h e r s ' R e s p o n s i b i l i t y i n t h e F a c e o f P o o r P r e p a r a t i o n W h i l e m a n y o f J e f f ' s c o n c e r n s e c h o e d C y n t h i a ' s , t h e r e w e r e d i f f e r e n c e s . B o t h p r o f e s s o r s w e r e c o n c e r n e d a b o u t p o o r s t u d e n t p r e p a r a t i o n f o r t h e c o u r s e i n t e r m s o f t h e " k n o w l e d g e o f t h e m e c h a n i c s " - - a l g o r i t h m i c a n d c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y . C y n t h i a h a d t h e I n t e r a c t i v e M a t h c o m p o n e n t o f h e r c o u r s e t o d e a l w i t h t h i s . J e f f 9 7 9 8 h a d n o t a n t i c i p a t e d a n e e d . 1 7 H e h a d l i t t l e s e n s e o f s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s g o i n g i n t o t h e c o u r s e : " O n e o f t h e t h i n g s t h a t r e a l l y w o u l d h a v e b e e n h e l p f u l i s t o h a v e s o m e f e e l i n g f o r w h e r e t h e s e p e o p l e [ s t u d e n t s i n c o u r s e ] a r e a t , y o u k n o w , m a t h e m a t i c a l l y . I d i d n ' t h a v e t h e v a g u e s t i d e a o f w h a t t o e x p e c t o u t o f t h e m " ( 2 4 P ) . g a t e - k e e p i n g a t t h e B e g i n n i n g o f t h e C o u r s e J e f f t h o u g h t h a v i n g i n f o r m a t i o n f r o m p r e - t e s t s w o u l d h a v e b e e n h e l p f u l , b u t h e c h o s e n o t t o g i v e h i s s t u d e n t s t h e d e p a r t m e n t a l l y r e c o m m e n d e d v o l u n t a r y p l a c e m e n t t e s t . N o t g i v i n g t h e t e s t w a s u n d e r s t a n d a b l e s i n c e h e h a d n o t a n t i c i p a t e d p o o r p r e p a r a t i o n . H o w e v e r , e v e n i f h e g a v e t h e p l a c e m e n t t e s t t o a s u b s e q u e n t c l a s s , h e i n d i c a t e d t h a t w o u l d n o t t r u s t t h e r e s u l t s . H e h a r b o r e d d i s t r u s t f o r t h e d e p a r t m e n t a l t e s t o n t h e b a s i s o f t h e e x p e r i e n c e o f o n e o f h i s s t u d e n t s w i t h t h e s t a t e c e r t i f i c a t i o n t e s t . A s t u d e n t t h a t J e f f t h o u g h t d i d n o t h a v e t h e f u n d a m e n t a l s k i l l s n e e d e d f o r t e a c h i n g e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s p a s s e d t h e s t a t e c e r t i f i c a t i o n t e s t . T h e t e s t r e p r e s e n t e d a n " i n s t i t u t i o n a l " l e v e l o f m o n i t o r i n g . I f t h e s t a t e t e s t " d o e s n ' t c a t c h t h e m , " h o w w o u l d a d e p a r t m e n t a l t e s t ? A s a r e s u l t , J e f f s a w m o n i t o r i n g a s t h e c o u r s e ' s r e s p o n s i b i l i t y . J e f f d i d n ' t s e e h i s c o n c e r n f o r s t u d e n t s ' k n o w i n g " t h e m e c h a n i c s " a s a b a r r i e r . T h e m o n i t o r i n g r o l e t h a t h e s a w f o r h i m s e l f a n d t h e c o u r s e w a s m e a n t t o e n s u r e t h a t s t u d e n t s w e r e c o m p e t e n t . 1 7 R e c a l l t h a t J e f f w a s g i v e n a s y l l a b u s t h a t i n d i c a t e d s t u d e n t s w o u l d e n t e r t h e c o u r s e w i t h t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d o n e y e a r o f g e o m e t r y i n t h e i r b a c k g r o u n d s . 9 9 J e f f i n d i c a t e d t h a t i n t h e f u t u r e h e w o u l d d e v e l o p a n d e m p l o y a s e l f - d e s i g n e d t e s t . H i s t e s t - p l a n w a s n o t w e l l - t h o u g h t - o u t y e t , b u t h e h a d a s e n s e o f w h a t t o e m p h a s i z e : " A l a r g e p a r t w o u l d b e f r a c t i o n s . . . . l h a v e t h i s , t h i s v a g u e f e e l i n g t h a t i t ' s w h e n w e b u m p i n t o f r a c t i o n s i n e l e m e n t a r y s c h o o l i s w h e r e a l o t o f p e o p l e b e g i n t o l o s e i t " ( 8 P ) . H e a l s o s e n s e d w h a t m i g h t b e i n v o l v e d i n s u p p o r t i n g t h e t e s t i n g a n d t h e t e s t ' s p a s s a g e b y s t u d e n t s i n s o m e f u t u r e c l a s s . H e e n v i s i o n e d h a v i n g a m i n i m u m p a s s i n g l e v e l , m u l t i p l e v e r s i o n s o f t h e t e s t , a n d s u p p o r t m a t e r i a l s f o r t h o s e n o t p a s s i n g b u t w a n t i n g t o r e - t r y . T h e p r o c e d u r e J e f f e n v i s i o n e d w a s e s s e n t i a l l y w h a t C y n t h i a d e s c r i b e d a s t h e I n t e r a c t i v e M a t h c o m p o n e n t o f C C . S t u d e n t s c o u l d a l s o t a k e p r e p a r a t o r y c o u r s e s b e f o r e t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e i n o r d e r t o b e m o r e s u c c e s s f u l i n t h e c o u r s e a n d a s a t e a c h e r . J e f f s a w t h e s t u d e n t s ' l a c k o f p r e p a r a t i o n a s a h i n d r a n c e a f f e c t i n g w h a t h e w a s a b l e t o a c c o m p l i s h w i t h t h e c l a s s : " I t j u s t m a k e s i t d i f f i c u l t t o . . . a t t a i n g o a l s " ( 6 C ) . J e f f f e l t t h a t r e g u l a r c o u r s e w o r k o n p r o b l e m s o l v i n g , a m a j o r f o c u s f o r t h e c o u r s e , d i d n o t h e l p w i t h s t u d e n t s ' w e a k n e s s . H e f o u n d t h a t s t u d e n t s s o m e t i m e s w e r e n o t a b l e t o u s e t h e p r o b l e m s o l v i n g a s a n o p p o r t u n i t y t o i m p r o v e t h e i r " b a s i c s " b e c a u s e t h e p r o b l e m s f r u s t r a t e d t h e m . " S o m e p e o p l e d i d n o t d o w e l l a t p r o b l e m s o l v i n g . S o m e p e o p l e t h o u g h t i t v e r y f r u s t r a t i n g b e c a u s e t h e y d i d n ' t h a v e e n o u g h m a n i p u l a t i v e s k i l l s t o c a r r y t h e m t h r o u g h " ( 2 9 C ) . H a v i n g t h o s e f u n d a m e n t a l m a n i p u l a t i v e s k i l l s w a s a c r i t i c a l p r e - r e q u i s i t e t o b e i n g a b l e t o a c c o m p l i s h t h e g o a l s f o r t h e c o u r s e t h a t J e f f i n t e n d e d . S t u d e n t l i m i t a t i o n s d i s a p p o i n t e d J e f f b e c a u s e h e s a w m u c h p o t e n t i a l i n t h e t e x t b o o k a n d s u p p l e m e n t a r y p r o b l e m s f o r d e v e l o p i n g 1 0 0 p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s . T h e r e w e r e m a n y a n d v a r i e d p r o b l e m s t o a s s i g n . H e s a w t h e s e p r o b l e m s s e t t i n g a c o n t e x t f o r i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s t h a t w o u l d p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o t a l k a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . B u t , s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o a p p r o a c h s o m e o f t h e p r o b l e m s i n m e a n i n g f u l w a y s d u e t o t h e i r w e a k m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s . G a t e - k e e p i n g a t t h e E n d o f t h e C o u r s e T h e n e e d f o r a g a t e - k e e p i n g r o l e f o r t h e c o u r s e b e c a m e i m p o r t a n t t o J e f f o n l y a f t e r w h a t h e p e r c e i v e d a s a d i s a s t r o u s o u t c o m e f r o m t h e c o u r s e : S t u d e n t s s u c c e s s f u l l y m e t h i s r e q u i r e m e n t s w i t h o u t s h o w i n g t h e a b i l i t y t o d e a l w i t h t h e f u n d a m e n t a l s o f m a t h e m a t i c s . I d o n ' t w a n t t o e v e r h a v e t h a t h a p p e n a g a i n , w h e r e l h a v e s t u d e n t s t h a t I k n o w d o n o t k n o w w h a t a f r a c t i o n i s . . . h a v e t h e s t a m p o f a p p r o v a l . I d o n ' t w a n t t h a t t o h a p p e n . I d o n ' t w a n t t o s o u n d l i k e s o m e m e a n o l d c u r m u d g e o n , h i d i n g u n d e r t h e b r i d g e . S o m e t r o l l w a i t i n g t o j u m p a n d g r a b t h e s t u d e n t s . I m e a n t h a t ’ s , ( p a u s e ) b u t o n t h e o t h e r h a n d , w e d o n ' t w a n t t o c e r t i f y t e a c h e r s t h a t a r e n ' t r e a d y . ( 2 6 P ) G i v i n g h i s " s t a m p o f a p p r o v a l " c o u l d h a v e r a m i f i c a t i o n s d o w n t h e r o a d , a s h e r e l a t e d i n a s t o r y t o l d t o h i m b y F r a n k A d a m s ( a n o t h e r s t u d y p a r t i c i p a n t ) . F r a n k h a d p a s s e d a w e a k s t u d e n t w h o c l a i m e d s h e w o u l d a l w a y s b e a K i n d e r g a r t e n t e a c h e r . A f e w y e a r s l a t e r , F r a n k h a d l e d a n i n s e r v i c e f o r s i x t h - g r a d e t e a c h e r s i n w h i c h t h i s s t u d e n t ( t h e n a t e a c h e r ) h a d p a r t i c i p a t e d . W h i l e n o t w a n t i n g t o b e a " c u r m u d g e o n , " J e f f d i d n o t w a n t t o a s s i g n a n y s i g n o f a p p r o v a l t o a s t u d e n t n o t s h o w i n g t h e d e s i r e d c o n t e n t k n o w l e d g e . O t h e r w i s e , F r a n k ' s e x p e r i e n c e c o u l d b e r e p e a t e d . 1 0 1 J e f f b l a m e d h i s " w e l l - d e f i n e d , r i g i d g r a d i n g s c h e m e " f o r a l l o w i n g s t u d e n t s t o c o m p l e t e t h e c o u r s e s u c c e s s f u l l y w i t h o u t h a v i n g f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l t o o l s : " I w a s o b l i g a t e d t o f o l l o w t h a t g r a d i n g s c h e m e . S t u d e n t s d i d c e r t a i n p r o j e c t s a n d c e r t a i n h o m e w o r k a s s i g n m e n t s a n d s o o n a n d g o t a r e a s o n a b l e g r a d e i n t h e c o u r s e , b u t I k n e w t h a t t h e y w e r e r e a l l y l a c k i n g i n s o m e v e r y f u n d a m e n t a l s k i l l s " ( 7 P ) . S t u d e n t s w o u l d n e v e r b e a b l e t o d o t h a t a g a i n , i f J e f f c o u l d h e l p i t : " I t h i n k i t ' s o u r r e s p o n s i b i l i t y t o m a k e s u r e t h a t u n p r e p a r e d p e o p l e a r e n o t o u t t h e r e r u i n i n g a t h o u s a n d m o r e s t u d e n t s " ( 3 P ) . J e f f ' s s e n s e o f f a i l u r e w a s b a s e d o n a m o r e g e n e r a l s e n s e o f t h e i m p o r t a n c e o f t h e t a s k h e w a s u n d e r t a k i n g - - p r e p a r i n g f u t u r e t e a c h e r s o f m a t h e m a t i c s . J S : T h e w h o l e t h i n g m a d e m e n e r v o u s . I m e a n , I , I j u s t f e l t t e n s e a b o u t i t . I ' m n o t s a y i n g I w e n t i n t h e r e , p e t r i f i e d e v e r y d a y , b u t t h e w h o l e i d e a m a d e m e n e r v o u s . A n d i t w a s j u s t b e c a u s e t h e s e p e o p l e a r e g o i n g t o b e t e a c h e r s ! G K : D i d y o u f e e l a h e a v y w e i g h t o n y o u r s h o u l d e r s ? J S : l d _ i d ! [ v o c a l e m p h a s i s ] I d i d , I m e a n , I ( p a u s e ) i f a s t u d e n t d o e s n ' t d o w e l l i n a n o t h e r c o u r s e , l i k e a b u s i n e s s m a t h c o u r s e , w e l l , y o u k n o w , I f e e l t h a t e i t h e r I o r t h e s t u d e n t t h e m s e l v e s f a i l e d t h e m . S o m e b o d y d i d n ' t m a k e t h i s w o r k . I d o n ' t k n o w i f i t ' s m y f a u l t o r t h e i r f a u l t . S o w h a t a r e t h e c o n s e q u e n c e s ? W e l l , i f t h e y d o n ' t k n o w t h e m a t h t h e y n e e d t o d o b u s i n e s s , s o w h a t ( l a u g h s ) ? . . . A s c o m p a r e d t o a t e a c h e r o u t t h e r e t h a t d o e s n ' t k n o w m a t h e m a t i c s , t h a t ' s , t h e r e ' s a b i g d i f f e r e n c e . S o , y e a h , I , l w a s i n t i m i d a t e d b y i t . ( 1 0 C ) J e f f c o n s i s t e n t l y s t r e s s e d t h e r o l e s o f t h e c o u r s e a s p r e p a r i n g f u t u r e t e a c h e r s w i t h c o n t e n t k n o w l e d g e a n d p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s . B u t , t h e t a s k o f p r e p a r i n g t h e s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s d i d n o t i n c l u d e t e a c h i n g t h e m W e l l i n J e f f ' s v i e w . 1 0 2 T h e b o t t o m l i n e w a s t h a t m u c h m o r e r o d e o n s u c c e s s f u l w o r k b y t e a c h e r a n d s t u d e n t s i n t h e M a t h e m a t i c s f o r E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s c o u r s e : " E v e r y t h i n g i s m o r e i m p o r t a n t i n t h i s c o u r s e . I w a s t e r r i f i e d o f t h i s c o u r s e . E v e r y t h i n g w a s i m p o r t a n t b e c a u s e , i f , i f I f a i l e d a n d d i d a b a d j o b t h e n t h e c o n s e q u e n c e s w e r e d i r e " ( 6 P ) . A s a r e s u l t o f t h i s b o t t o m l i n e , J e f f s a w t h e n e e d f o r t h e c o u r s e t o p l a y t h e r o l e o f m o n i t o r . C o n t e n t a n d D i s p o s i t i o n s : C o u r s e G o a l s J e f f e m p h a s i z e d t w o o t h e r g o a l s f o r t h e c o u r s e : s t u d e n t s w e r e t o g a i n a c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a n d s t u d e n t s w e r e t o b e c o m e c r e a t i v e a n d e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r s . T h e p h r a s e " c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g " w a s n o t p a r t o f J e f f ' s w o r k i n g v o c a b u l a r y , b u t h i s d e s c r i p t i o n o f h i s p r i m a r y g o a l f o r t h e c o u r s e m a d e i t e v i d e n t t h a t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w a s w h a t h e w a s w o r k i n g t o w a r d . T h e s e c o n d g o a l w a s v e r y c o m p l e x a n d w e n t f a r b e y o n d s i m p l e l e a r n i n g a n d a p p l i c a t i o n o f h e u r i s t i c s . I n f a c t , t h e g o a l h e l d w i t h i n i t , i m p l i c i t l y , d i s p o s i t i o n a l g o a l s f o r t h e s t u d e n t . T h e a n a l y s i s o f J e f f ' s c o u r s e g o a l s i s i n t w o s e c t i o n s , r e l a t e d t o t h e r o l e s o f d e v e l o p i n g c o n t e n t k n o w l e d g e ( b o t h c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g ) a n d d e v e l o p i n g d i s p o s i t i o n a l a t t r i b u t e s . - ‘ 1 0 - I e n . T ' r i l i t - - 9 - f T ‘ - h r ' l “ ! - . : 0 1 M o t i v a t i o n f o r U n d e r s t a n d i n g t h e C o n t e n t J e f f ' s p r i m a r y c o n t e n t g o a l f o r t h e c o u r s e w a s t o h e l p s t u d e n t s " u n d e r s t a n d w h a t ' s h a p p e n i n g u n d e r n e a t h " ( 1 2 P ) t h e a l g o r i t h m s a n d p r o c e d u r e s h e a s s u m e d t h e y a l r e a d y k n e w . A s f u t u r e t e a c h e r s , t h e s t u d e n t s n e e d e d t h i s u n d e r s t a n d i n g . 1 0 3 I f I c o u l d h a v e w h a t I w a n t e d , I w o u l d w a n t s t u d e n t s t o c o m e o u t w i t h t h e a b i l i t y t o a n s w e r t h e i r s t u d e n t s ' q u e s t i o n s . Y o u k n o w , ' w h e n t h e i r l i t t l e k i d s s a y , " L o o k a t t h i s n e a t t h i n g I h a v e . L o o k ! I g o t t h e r i g h t a n s w e r . " A n d I w o u l d w a n t t h e t e a c h e r t o b e a b l e t o s a y , " W o w ! T h a t ' s a w o n d e r f u l m e t h o d . L o o k w h a t y o u ' v e d o n e . " A n d b e a b l e t o t a l k w i t h t h e m i n t e l l i g e n t l y a b o u t i t . A s o p p o s e d t o s a y i n g , " T h a t ' s n o t w h a t t h e b o o k s a y s . W e d o n ' t d o i t t h a t w a y . " I w o u l d w a n t t h e m t o k n o w w h a t ' s r i g h t a n d w h a t ' s w r o n g . [ v o c a l e m p h a s i s ] ( 1 0 C ) J e f f d i d n o t s t r e s s t h e v a l u e o f t h i s k n o w l e d g e f o r t h e s t u d e n t s a s i n d i v i d u a l l e a r n e r s . H e a l s o d i d n o t c o n n e c t i t t o q u e s t i o n s o f h o w t o t e a c h , e x c e p t a s s u p p o r t i n g a p p r o p r i a t e r e s p o n s e s t o c h i l d r e n . W h e n t h e i r s t u d e n t s a y s , " H e y , c a n I d o i t t h i s w a y ? " t h a t t h e y h a v e t h e u n d e r s t a n d i n g t o a n s w e r t h a t q u e s t i o n , i n s t e a d o f j u s t s a y i n g , " N o ! Y o u h a v e t o d o i t m y w a y . " [ s p o k e n q u i c k l y , f o l l o w e d b y l a u g h ] W e ' v e a l l h a d t e a c h e r s t h a t s a i d , w e r e v e r y r i g i d l i k e t h a t a n d s o r t o f d i s c o u r a g e d s t u d e n t s f r o m t h i n k i n g a n d , a n d i t ' s p r o b a b l y b e c a u s e t h e y d o n ' t k n o w t h e m s e l v e s w h e t h e r t h a t p r o c e s s i s c o r r e c t . ( 9 P ) I n t h e c o u r s e , s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s w e r e t o g a i n t h e c o n t e n t k n o w l e d g e n e e d e d t o b e a b l e t o a v o i d r e s p o n d i n g w i t h t h e q u i c k " N o ! " D e v e l o p i n g i n s t u d e n t s a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e a l g o r i t h m s u s e d a t t h e e l e m e n t a r y s c h o o l l e v e l w a s t h e " b a r e b o n e s m i n i m u m " t h e c o u r s e w a s t o a c c o m p l i s h . J e f f i d e n t i f i e d " c o m p u t a t i o n a l s k i l l s a n d t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t g o e s b e h i n d t h o s e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m s " a s t h e f o u n d a t i o n , t h e b a s i c s : " S o t h o s e , t h a t I s e e a s j u s t a b s o l u t e l y a m u s t f o r e v e r y b o d y . N o w a p e r s o n c o u l d g o o u t a n d b e a r e a s o n a b l e m a t h t e a c h e r w i t h t h a t . I m e a n t h e y a t l e a s t w o u l d n o t d e s t r o y t h e i r s t u d e n t s " ( 1 9 P ) . T h i s u n d e r s t a n d i n g w a s n e c e s s a r y , a n d i t r e q u i r e d e n o u g h d e p t h t o a l l o w f l e x i b i l i t y . I w o u l d w a n t i t t o b e c l e a r i n t h e i r m i n d s t h a t , s i m p l y u n d e r s t a n d i n g t h e a l g o r i t h m s t h a t y o u e x p e c t t h e e l e m e n t a r y 1 0 4 k i d s t o l e a r n i s n o t s u f f i c i e n t . I w o u l d w a n t t h e m t o b e a w a r e o f t h a t , t h a t i t t a k e s a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g . S o y o u h a v e t h i r t y k i d s i n y o u r c l a s s r o o m , a n d t h e y a l l w a n t t o d o t h i s a d i f f e r e n t w a y . S o , w h a t a r e y o u g o i n g t o , j u s t s a y , " N o . Y o u h a v e t o d o i t m y w a y , " b e c a u s e y o u d o n ' t u n d e r s t a n d a n y t h i n g e l s e ? Y o u h a v e t o u n d e r s t a n d t h e f u n d a m e n t a l s u n d e r n e a t h t h e r e . S o I t h i n k , y e a h , t o t e a c h m a t h e m a t i c s r e q u i r e s a l o t m o r e t h a n j u s t k n o w i n g h o w t o d o a n a l g o r i t h m . . . . A l o t o f t h e m s a y t o m e , " W e l l , w h y d o w e n e e d t o k n o w t h i s s i l l y s t u f f f o r ? W e ' r e n o t g o i n g t o t e a c h t h i s . " W e l l , y e s a n d n o . Y o u ' r e g o i n g t o t e a c h m a y b e e l e m e n t a r y t h i n g s , b u t y o u n e e d t o h a v e a d e e p e r u n d e r s t a n d o f t h o s e t h i n g s . ( 4 P ) T h e r e c u r r i n g m e s s a g e t h r o u g h o u t t h e s e c o m m e n t s w a s t h e n e c e s s i t y f o r s t u d e n t s a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s t h e y w o u l d b e e x p e c t e d t o t e a c h w e l l e n o u g h t o d e a l w i t h c h i l d r e n ' s q u e s t i o n s a n d u n d e r s t a n d i n g s . C o n t e n t a s U n i f y i n g T h e m e s a n d F i r s t P r i n c i p l e s J e f f s p o k e o f u n d e r s t a n d i n g t h e f u n d a m e n t a l s a s b e i n g " a r o a d t o b e t t e r t h i n g s , " n o t a n e n d i n i t s e l f . H e u s e d t h e a n a l o g y o f a w r i t e r t h a t n e e d s t o k n o w g r a m m a r . G r a m m a r a n d m a t h e m a t i c a l f u n d a m e n t a l s a r e n e c e s s a r y , b u t n o t s u f f i c i e n t f o r t h e i r r e s p e c t i v e e n d - p r o d u c t s . J e f f s p o k e f r e q u e n t l y a b o u t t r y i n g t o d e v e l o p u n i f y i n g t h e m e s t h r o u g h o u t t h e c o u r s e w o r k o n t h e f u n d a m e n t a l s o f a l g o r i t h m s a n d p r o p e r t i e s . T h e s e t h e m e s i n c l u d e d s e e i n g p r o p e r t i e s o f a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a s s i m i l a r , e s p e c i a l l y i n w o r k w i t h i d e n t i t i e s a n d i n v e r s e s . T h i s b u s i n e s s o f s o r t o f s e e i n g a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a s s o r t o f t h e s a m e i n t h e s e n s e t h a t , t h a t t h e r e i s t h i s s p e c i a l e l e m e n t , t h e i d e n t i t y , t h a t d o e s n o t h i n g w h e n y o u a d d i t . T h e r e i s a s p e c i a l e l e m e n t t h a t d o e s n o t h i n g w h e n y o u m u l t i p l y b y i t . A n d t h e n , t h e s e n u m b e r s s e e m t o c o m e i n p a i r s , t h e s e i n v e r s e s . Y o u c a n a d d t w o n u m b e r s t o g e t b a c k t h e i d e n t i t y o r y o u c a n 1 0 5 m u l t i p l y t w o n u m b e r s t o g e t b a c k t h e i d e n t i t y . I m e a n , t h a t ' s a m o r e , I g u e s s , m a t u r e w a y o f l o o k i n g a t o u r a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s t h a n , t h a n m a y b e t h e y w o u l d h a v e h a d b e f o r e . ( 2 4 P ) J e f f i n t e n d e d w o r k i n t h e c o u r s e t o d e v e l o p t h i s m o r e m a t u r e v i s i o n o f c o m p u t a t i o n i n t h e s t u d e n t s . J e f f i d e n t i f i e d t h e n e e d t o e x p a n d t h e s e t o f n u m b e r s u s e d w h e n a s m a l l e r s e t i s s h o w n t o b e d e f i c i e n t i n s o m e w a y . F o r e x a m p l e , w h e n t h e s e t o f w h o l e n u m b e r s i s s h o w n t o b e d e f i c i e n t f o r s u b t r a c t i o n - - t h e r e i s n o m e m b e r o f t h e s e t t h a t s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n 4 - x = 7 , t h e s e t i s e x p a n d e d t o w h o l e n u m b e r s a n d t h e i r o p p o s i t e s , t h e s e t o f i n t e g e r s . J e f f s a w t h e w o r k w i t h u n i f y i n g t h e m e s a s c r i t i c a l f o r s t u d e n t s i n t h e i r p r e p a r a t i o n t o b e c o m e t e a c h e r s : " A s t e a c h e r s , t h e y n e e d t o s e e a b i g g e r p i c t u r e " ( 5 P ) . J e f f s a w t h e u s e o f d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s a s v a l u a b l e f o r d e v e l o p i n g a n i n t u i t i v e s e n s e o f t h e m e a n i n g s o f c o n c e p t s . H e c a l l e d t h i s s t a r t i n g f r o m f i r s t p r i n c i p l e s . I w o u l d s t a r t f r o m f i r s t p r i n c i p l e s a n d ( s h o r t p a u s e ) t r y t o d e v e l o p i t [ a c o n c e p t ] i n a n a t u r a l w a y . I d i d t h a t w i t h f r a c t i o n s w h e n I d i s c o v e r e d t h a t l w a s i n t r o u b l e w i t h t h a t . W e t a l k e d a b o u t w h a t d o e s i t m e a n t o t a k e o n e h a l f o f t h r e e f i f t h s . W h a t ' s o n e h a l f t i m e s t h r e e f i f t h s ? A n d t h e n I ' d d r a w p i c t u r e s a n d d i - , " W e l l , h e r e ' s t h r e e f i f t h s , n o w l e t ' s c u t t h a t i n h a l f , " a n d , y e a h , s o w h e n , w h e n I d i s c o v e r e d t h a t , y o u k n o w , t h a t t h e y r e a l l y d i d n ' t k n o w t h i s s t u f f , t h e n I w e n t b a c k t o a s o r t o f a v e r y i n t u i t i v e l e v e l . ( 7 C ) T h e i m p e t u s f o r t h i s w a s h i s p e r c e p t i o n t h a t s t u d e n t s d i d n o t k n o w f i r s t p r i n c i p l e s . W i t h f r a c t i o n s , ( p a u s e ) I f o u n d o u t v e r y e a r l y o n t h a t l w a s w r o n g , t h a t t h e y d i d n ' t k n o w h o w t o d e a l w i t h f r a c t i o n s , t h a t I r e a l l y n e e d e d t o j u s t s t a r t w i t h , y o u k n o w , d r a w i n g t h e p i e a n d c u t t i n g i t i n h a l f . . . . I w o u n d u p g o i n g b a c k a n d d o i n g t h a t . D r a w i n g b a r s a n d s l i c i n g i t i n t o f i v e e q u a l p i e c e s . ( p a u s e ) A n d 1 0 6 I g u e s s I d o n ' t , I d o n ' t r e c a l l t h a t I h a d p r o b l e m a s s i g n m e n t s w h e r e I a s k e d t h e m t o d r a w t h e p i e a n d s l i c e i t u p . I , t h e p r o b l e m s t h a t I h a d , e v e n t u a l l y , t h e n , h a v e t h e m w o r k w e r e , w e r e m o r e c o m p l i c a t e d . A n d t h e y c o u l d n ' t d o ' e m . ( 6 C ) I n t e a c h i n g t h e c o n t e n t f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , J e f f f o u n d t h a t , i n s o m e c a s e s , h e n e e d e d t o a p p r o a c h t h e c o n c e p t s i n v e r y d i f f e r e n t w a y s t h a n h e h a d e x p e c t e d , a n d s o m e t i m e s i n w a y s t h a t h e f e l t i l l - p r e p a r e d . G o i n g b e y o n d f i r s t p r i n c i p l e s l m p l i c i t l y , t h e r e t u r n t o f i r s t p r i n c i p l e s a n d d e v e l o p m e n t o f u n i f y i n g t h e m e s t h a t J e f f d e s i r e d w a s i m p o r t a n t f o r t h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s . J e f f e x p l i c i t l y v a l u e d t h i s k i n d o f k n o w l e d g e b e c a u s e i t p u t s s t u d e n t s i n a b e t t e r p o s i t i o n t o r e s p o n d t o q u e s t i o n s t h a t f u t u r e p u p i l s m i g h t r a i s e . H e s a w t h e a b i l i t y t o r e s p o n d t o q u e s t i o n s a s e s s e n t i a l t o t h e f u t u r e t e a c h i n g t h a t t h e s t u d e n t s w o u l d b e e x p e c t e d t o d o a n d a n e s s e n t i a l r o l e o f t h e c o u r s e . U n d e r s t a n d i n g t h e f u n d a m e n t a l s w a s n o t t h e e x t e n t o f J e f f ' s c o n t e n t g o a l s f o r t h e c o u r s e , b u t i t d o e s r e p r e s e n t w h a t h e s a w a s t h e m o s t c r i t i c a l g o a l : " I d e a l l y , w e w a n t o u r t e a c h e r s t o b e m o r e c r e a t i v e , t o b e a b l e t o d o p a t t e r n g u e s s i n g a n d b e c r e a t i v e p r o b l e m s o l v e r s . T h a t a l s o i s v e r y i m p o r t a n t , b u t I t h i n k i t ' s s e c o n d a r y t o u n d e r s t a n d i n g t h e f u n d a m e n t a l s " ( 2 0 P ) . T h e p r i m a r y g o a l f o r t h e c o u r s e w a s t h a t s t u d e n t s i n t h e c o u r s e w e r e t o u n d e r s t a n d t h e a l g o r i t h m s a n d p r o c e d u r e s . I n a d d i t i o n , " o u r t e a c h e r s " w e r e t o b e c o m e c r e a t i v e a n d e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r s . T h e r e w a s a c l e a r o r d e r i n J e f f ' s m i n d , a n d h e f e l t s o m e o f h i s s t u d e n t s h a d n o t g o t t e n t o t h e p o i n t o f m o v i n g t o t h e s e c o n d a r y g o a l . 1 0 7 A n d s o t h e y [ s o m e s t u d e n t s ] w e r e n e v e r a b l e t o g e t t o t h e p o i n t w h e r e t h e y c o u l d d o s o m e t h i n g f u n . A n d ( p a u s e ) u n f o r t u n a t e l y w i t h a l m o s t a l l s k i l l s , s p o r t s , m a t h e m a t i c s , c o o k i n g , y o u k n o w , t h e r e a r e c e r t a i n b a s i c s t h a t y o u h a v e t o s o m e h o w g e t a g r i p o n b e f o r e y o u c a n d o t h e r e a l l y c r e a t i v e s t u f f . ( 2 9 C ) T h e f u n p a r t w a s b e i n g a b l e t o s o l v e i n t e r e s t i n g p r o b l e m s , a n d s o l v i n g i n t e r e s t i n g p r o b l e m s c a m e o n l y a f t e r g a i n i n g t h e u n d e r g i r d i n g f u n d a m e n t a l s . T h e r e w a s l i t t l e d o u b t t h a t t h e f i r s t g o a l w a s p r e e m i n e n t : " Y o u c o u l d h a v e a t e a c h e r o u t t h e r e t h a t m i g h t n o t b e t h e g r e a t e s t m o s t c r e a t i v e p r o b l e m s o l v e r , b u t i f t h e y , I m e a n w h e n i t c o m e s t o t h e f o u r t h g r a d e a n d t h e y ' r e s u p p o s e d t o b e t e a c h i n g f r a c t i o n s , t h e y ' d b e t t e r k n o w w h a t a f r a c t i o n i s " ( 2 6 P ) . W h e n a s k e d i f d i s c u s s i o n s o f p r o b l e m s c o u l d b e t h e s e t t i n g f o r d e v e l o p i n g t h e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g t h a t h e s a w a s p r i m a r y f o r t h i s c o u r s e , J e f f a s s e r t e d t h e b e l i e f t h a t i t w a s p o s s i b l e , b u t d i f f i c u l t . Y o u p r o b a b l y c o u l d . I t w o u l d t a k e s o m e w o r k , b u t y o u p r o b a b l y c o u l d . M o s t o f t h e p r o b l e m s w e d i d , w e r e n o t t h o u g h t o u t w e l l e n o u g h t o d o t h a t . T h e y d i d n ' t r e a l l y , w e d i d s o m e t h i n g s , w e d i d s o m e t h i n g s . I ' v e m e n t i o n e d w h e r e y o u k n o w , h e r e ' s , h e r e ' s a l o n g c o m p u t a t i o n , s i m p l e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m . W e l l , i f w e c h a n g e d t h i s o n e n u m b e r , w h a t ' s g o i n g t o h a p p e n o v e r h e r e i n t h e a n s w e r . S o , i t f o r c e s y o u t o t h i n k a b o u t t h e a l g o r i t h m a l i t t l e b i t . B u t , w e d i d s o m e s t u f f l i k e t h a t , b u t n o t e n o u g h . S o , i t p r o b a b l y c o u l d b e d o n e , i t w o u l d t a k e a l o t o f w o r k t o c o m e u p w i t h t h e r i g h t t y p e s o f p r o b l e m s . ( 2 1 P ) A s w i t h m a n y q u e s t i o n s a b o u t h i s p e d a g o g i c a l s t r a t e g i e s , J e f f i n d i c a t e d p o s i t i v e f e e l i n g s t o w a r d i n t e g r a t i n g d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w i t h t h e w o r k o n p r o b l e m s o l v i n g , b u t h e a c k n o w l e d g e d l i t t l e a t t e m p t t o d o s o . I n m a n y c a s e s , h e a t t r i b u t e d h i s h e s i t a n c e t o a s e n s e o f h i s o w n l a c k o f k n o w l e d g e w i t h r e s p e c t t o p e d a g o g i c a l d e c i s i o n - m a k i n g . H e w o u l d t r y s t r a t e g i e s o n l y i f h e 1 0 8 f e l t c a p a b l e o f d o i n g t h e m i n r e a s o n e d w a y s . F o r e x a m p l e , h e u s e d m a n i p u l a t i v e s o n l y a s h e k n e w a n d u n d e r s t o o d t h e i r u s e f r o m h i s e x p e fl e n c e . J e f f a r t i c u l a t e d d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s i n s t u d e n t s a s g o a l s f o r t h e l e a r n i n g o f c o n t e n t i n t h e c o u r s e . B u t , h e i n t e n d e d f o r w o r k t o w a r d t h e s e g o a l s t o s u p p o r t t h e s t u d e n t s ' m e t a m o r p h o s e s i n t o c r e a t i v e a n d e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r s , n o t o n l y t o b e a b l e t o s h o w t h e s k i l l s r e q u i r e d f o r s u c c e s s f u l p r o b l e m s o l v i n g b u t t o e x h i b i t t h e d i s p o s i t i o n s o f a s u c c e s s f u l p r o b l e m s o l v e r . i s i t i o n a l o I s a n d T h e i r R o l i n T e a h e r P r e a r i o n T e a s i n g o u t t h e d i s p o s i t i o n a l g o a l s J e f f h e l d f o r t h e c o u r s e i n v o l v e d c a r e f u l e x a m i n a t i o n o f t h e w a y h e s p o k e a b o u t t h e " d o i n g " o f t h e m a t h e m a t i c s w i t h w h i c h h e h o p e d s t u d e n t s w o u l d g a i n f a c i l i t y . H i s c o m m e n t s i m p l i e d t h a t a t t r i b u t e s o f f l e x i b i l i t y ( d e s c r i b e d a b o v e ) , o p e n - m i n d e d n e s s , t e n a c i t y a n d r i s k - t a k i n g , a n d c o n f i d e n c e w e r e t o b e d e v e l o p e d t h r o u g h w o r k i n t h e c o u r s e . H e d i d n o t e x p l i c i t l y l a y t h e s e m a t h e m a t i c a l h a b i t s o f m i n d o u t a s v a l u e d , b u t t h i s w a s e v i d e n t i n t h e b o d y o f h i s c o m m e n t s . O p e n - m i n d e d n e s s T h r e e a s p e c t s o f o p e n - m i n d e d n e s s s e e m e d m o s t s i g n i f i c a n t t o J e f f . S t u d e n t s w e r e t o b e o p e n t o o t h e r p e o p l e ' s w a y s o f d o i n g p r o b l e m s a n d a n e x p a n d e d v i e w o f m a t h e m a t i c s - - i t s c o n t e n t . A n d , s t u d e n t s w e r e t o b e o p e n t o a v i e w o f m a t h e m a t i c s a s a t o o l . T h e f i r s t a s p e c t o f o p e n - m i n d e d n e s s i n v o l v e d t o l e r a n c e o f o t h e r p e o p l e ' s i d e a s . J e f f w a n t e d s t u d e n t s t o s e e t h e v a l u e o f a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n s a n d b e o p e n t o m u l t i p l e w a y s o f d o i n g 1 0 9 p r o b l e m s . H e d e s c r i b e d o n e p a r t i c u l a r l y v a l u a b l e d i s c u s s i o n i n w h i c h h e f e l t s t u d e n t s h a d n o t o n l y s h a r e d i n i m p o r t a n t w a y s , b u t t h e y h a d a l s o s e e n v a l u e i n o t h e r p e o p l e ' s e x p l a n a t i o n s . H e e x p l i c i t l y c o n n e c t e d t h i s w i t h t h e i r f u t u r e t e a c h i n g . J S : T h e r e w a s o n e e x e r c i s e t h a t r e a l l y s u r p r i s e d m e . I t w a s o n m e n t a l a r i t h m e t i c . J u s t l i k e l i t t l e t r i c k s t h a t y o u c a n d o f o r d o i n g m e n t a l a r i t h m e t i c . S o , t h e w a y i t w a s p r e s e n t e d i n t h e t e x t b o o k w a s i t w a s a c h a p t e r o n h o w t o d o m e n t a l a r i t h m e t i c . S o , I t h o u g h t , " A l r i g h t , w e ' l l d i s c u s s t h e s e l i t t l e t r i c k s . " S o , I w o u l d d i s c u s s t h e m , a n d w h a t w a s r e a l l y n e a t w a s I w o u l d s a y , " W e l l , o k a y . N o w , l e t ' s t r y i t t h i s w a y . " A n d t h e y w o u l d s a y , " W e l l , t h a t ' s n o t t h e w a y I w o u l d d o i t . I w o u l d d o t h i s . " A n d t h e w h o l e d i s c u s s i o n w a s e x a c t l y w h a t I w a s j u s t t a l k i n g a b o u t - - t h e s t u d e n t s s a y i n g , " W e l l , I w o u l d n ' t d o i t t h a t w a y . I ' d l i k e t o d o i t t h i s w a y . " A n d t h e n w h a t d o I s a y , " W e l l , t h a t ' s n o t w h a t t h e b o o k s a i d , " o r d o y o u s a y , " W e l l , y e a h , t h a t ' s g r e a t ! T h a t ' s a n o t h e r w a y y o u c o u l d d o i t . " A n d t h a t , w h e n w e w e r e h a v i n g t h a t d i s c u s s i o n , I s t a r t e d t a l k i n g t o t h e m a b o u t , h o w t h e y i d e a l l y s h o u l d r e s p o n d t o t h e i r k i d s . G K : S o t h a t i t b e c a m e e x p l i c i t l y a p a r t o f t h e c l a s s r o o m e x p e n e n c e ? J S : Y e a h , i t t u r n e d i n t o , i t t u r n e d i n t o a m o d e l o f , t h e d i s c u s s i o n w e w e r e h a v i n g t u r n e d i n t o a m o d e l o f h o w I w o u l d h o p e t h a t t h e y w o u l d r e s p o n d t o t h e i r k i d s . A n d w e s p e c i f i c a l l y t a l k e d a b o u t t h a t . T h a t y o u n e e d t o b e t o l e r a n t o f o t h e r p e o p l e ' s i d e a s . ( 1 1 C ) J e f f r e m a r k e d t h a t s t u d e n t s h a d " r e a l l y l i s t e n e d " t o t h e d i s c u s s i o n . N o t o n l y t h a t , i t s e e m e d t h a t J e f f h a d l i s t e n e d t o i t . H e w a s " s u r p r i s e d " b y t h e d i s c u s s i o n . I t s o u n d e d a s i f t h i s k i n d o f d i s c u s s i o n w a s w h a t h e w a n t e d i n t h e c l a s s b u t t h a t h e w a s n o t o f t e n a b l e t o o r c h e s t r a t e i t . J e f f s t r u g g l e d w i t h t h e v a l u e o f t h i s d i s c u s s i o n a n d o t h e r s f o r l e a r n i n g c o n t e n t : " T h o s e w e r e f u n d i s c u s s i o n s . I m e a n , t h e y [ s t u d e n t s ] w e r e a w a k e . T h e y p a r t i c i p a t e d ( l a u g h ) . T h e y w e r e v e r y v o c a l , b u t I ' m n o t s u r e t h a t t h e y c a m e a w a y r e a l l y t h a t m u c h m o r e 1 1 0 e n l i g h t e n e d " ( 1 3 - 1 4 C ) . S o , w h i l e h e w a n t e d t o o f f e r o p p o r t u n i t i e s i n t h e c l a s s t h a t e n c o u r a g e d t o l e r a n c e o f o t h e r p e o p l e ' s i d e a s , h e d i d n o t w a n t p r o v i d i n g t h e s e o p p o r t u n i t i e s t o l i m i t a t t a i n m e n t o f c o n t e n t g o a l s . T o l e r a n c e o f a l t e r n a t i v e s o l u t i o n s w a s n o t t o b e a b l a n k e t a f f a i r . J e f f s a w t h e v a l u e o f d e v e l o p i n g a s e n s e o f t h e m o s t e l e g a n t w a y t o s o l v e a p r o b l e m , d e p e n d i n g o n t h e c o n s t r a i n t s . I g u e s s e v e r y s i t u a t i o n m i g h t r e q u i r e d i f f e r e n t t y p e s o f r e a s o n i n g , s o i t m i g h t b e f i n d i n g o u t t h e r i g h t w a y t o l o o k a t a s i t u a t i o n , t h e r i g h t w a y t o t h i n k a b o u t i t , i s w h a t ' s r e a l l y i m p o r t a n t . . . . T h e m o s t e n l i g h t e n i n g w a y . . . . F o r w h a t e v e r m y p u r p o s e s a r e a t t h i s t i m e b e i n g , h e r e a r e t h e s e d i f f e r e n t w a y s t h a t w e c o u l d v i e w i t , b u t t h i s i s t h e o n e t h a t s u i t s m y p u r p o s e s i n t h i s s i t u a t i o n . ( s h o r t p a u s e ) Y e a h , y e a h , b e i n g a b l e t o , I m e a n , w h a t e v e r y o u r s i t u a t i o n i s , p i c k o u t t h e r i g h t p o i n t o f v i e w t h a t t h i n g s s u d d e n l y b e c o m e c l e a r e r . ( 2 2 C ) H e c o n n e c t e d h i s i n t e n t i o n o f m a k i n g t h i n g s c l e a r e r w i t h t h e s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s . T h e c l e a r e s t w a y t o e x p l a i n w a s t h e o n e t o b e p r i z e d . T h e s e c o n d a s p e c t o f o p e n - m i n d e d n e s s t h a t J e f f w a n t e d t o e n c o u r a g e w a s a n o p e n - m i n d e d n e s s t o w h a t c o u n t s a s m a t h e m a t i c s o r a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m . H e f o u n d t h a t s t u d e n t s o f t e n d i d n o t s e e t h e p r o b l e m s h e a s s i g n e d a s " m a t h p r o b l e m s . " T h e o l d d e f i n i t i o n o f m a t h e m a t i c s g a v e t h e m s o m e t h i n g t o " l o v e t o h a t e . " T h e y w e r e n ' t s u r e h o w t o r e s p o n d t o t h i s n e w s i t u a t i o n , a n d , i n s o m e c a s e s , t h e y c h o s e n o t t o r e s p o n d . T h e r e w e r e p e o p l e w h o w e n t t h r o u g h t h a t w h o l e c o u r s e w i t h t h a t , w i t h t h a t m i n d - s e t . Y o u k n o w , " J u s t t e l l m e t h e w a y t o d o i t . D o n ' t , d o n ' t c o n f u s e m e . " A n d , a n d I d i d n ' t r e a c h t h o s e p e o p l e . T h e y c a m e o u t o f t h e c o u r s e w i t h t h a t s a m e m i n d - s e t . 1 1 1 M y i m p r e s s i o n w a s t h a t ( s h o r t p a u s e ) t h e r e w e r e p r o b a b l y s o m e p e o p l e w h o , w h o d i d n ' t o p e n u p . ( 1 1 C ) F o r t h e s t u d e n t s , i t w a s h a r d t o b e l i e v e d i f f e r e n t l y , i n p a r t , b e c a u s e i f m a t h e m a t i c s i s n o t t h e m e c h a n i c a l s u b j e c t o f t h e i r b e l i e f s a n d d o e s a l l o w , e v e n i n v i t e c r e a t i v i t y , t h e n a l l o f t h o s e y e a r s o f m e m o r i z a t i o n w e r e " w a s t e d . " S t u d e n t s h a d t o o m u c h i n v e s t e d i n m a i n t a i n i n g t h e o l d v i e w . A l o n g w i t h s e e i n g t h e c o n t e n t o f m a t h e m a t i c s i n a n e x p a n d e d w a y , J e f f w a n t e d s t u d e n t s t o d e v e l o p a s e n s e o f m a t h e m a t i c s a s a t o o l . Y o u w a n t p e o p l e t o f e e l l i k e t h i s i s a g r e a t t o o l . " I c a n d o s o m e t h i n g w i t h t h i s . " A n d , t h a t ' s c e r t a i n l y s o m e t h i n g t h a t I w o u l d w a n t t o g e t e v e r y o n e t h a t t e a c h e s m a t h e m a t i c s t o h a v e . T h a t ' s s o r t o f a n i m p l i c i t o b j e c t i v e . I t ' s n o t s o m e t h i n g t h a t I w o u l d w r i t e a l e s s o n p l a n f o r . . . . I t ' s i m p o r t a n t , b u t I ' m n o t e x a c t l y s u r e h o w I w o u l d i n c o r p o r a t e t h a t i n t o . . . . I t ' s a v e r y s l i p p e r y o b j e c t i v e . I t ' s , I d o n ' t k n o w h o w I w o u l d s p e c i f i c a l l y p l a n f o r t h a t o t h e r t h a n t r y t o b e e n t h u s i a s t i c . T r y t o , t r y t o c o m e u p w i t h g o o d p r o b l e m s i n g e n e r a l , s o t h a t t h e s t u d e n t s c o m e a w a y f r o m t h e c l a s s w i t h a g o o d f e e l i n g o f , " H e y t h i s w a s i n t e r e s t i n g . I c o u l d d o s o m e t h i n g w i t h t h i s . " Y e a h , I s u p p o s e t h a t ' s s o r t o f i m p l i c i t l y s o r t o f t h e , b u i l t i n t o e v e r y t h i n g t h a t w e d o i s t o m a k e t h e m t h i n k t h a t m a t h i s a g o o d t o o l . ( 3 P ) A s a t o o l , h e s a w m a t h e m a t i c s a s v a l u a b l e b e y o n d m e r e u t i l i t y , s i m i l a r t o C y n t h i a . I g u e s s I w o u l d w a n t s t u d e n t s t o k n o w t h a t m a t h e m a t i c s i s r e l e v a n t i n t h e i r d a i l y l i v e s b u t I w o u l d a l s o w a n t t h e m t o b e a b l e t o g o b e y o n d t h a t . T o s e e t h e b e a u t y a n d t h e p o w e r i n b e i n g a b l e t o s o l v e p r o b l e m s t h a t m a y n o t b e s o m e t h i n g t h e y w o u l d d o i n t h e i r e v e r y d a y l i f e . I d o n ' t r e a l l y s e e i n o u r s o c i e t y t o d a y t h a t w e ' r e . W e ' r e t r a i n i n g p e o p l e t o b e a b l e t o g o t o t h e g r o c e r y s t o r e , t o b e h o n e s t . I t r e q u i r e s m o r e t h a n t h a t , y o u h a v e t o b e a b l e t o t h i n k b e y o n d t h a t l e v e l . A n d s o y e a h , 1 1 2 m a t h e m a t i c s i s r e l e v a n t , I w o u l d w a n t t h e m t o k n o w t h a t , b u t I w o u l d a l s o w a n t t h e m t o b e a b l e t o g o p a s t t h a t . ( 5 P ) S t u d e n t s w e r e t o b e o p e n t o t h e n o t i o n t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s m a y i n v o l v e u s i n g i t a s a p o w e r f u l t o o l t o u n d e r s t a n d o r m o d e l s i t u a t i o n s b e y o n d t h e r o u t i n e o f b a l a n c i n g c h e c k b o o k s . O n e f o r m o f o p e n - m i n d e d n e s s t o w a r d d o i n g m a t h e m a t i c s l e a d s t o t h e t h i r d d i s p o s i t i o n a l g o a l f o r t h e c o u r s e , t e n a c i t y a n d r i s k - t a k i n g . J e f f s a w o p e n n e s s t o d o i n g p r o b l e m s t h a t d i d n o t l o o k f a m i l i a r a s e s s e n t i a l f o r s t u d e n t s . O p e n n e s s t o a t t e m p t i n g p r o b l e m s . N o w , t h e r e , t h e r e ' s s o m e t h i n g t h a t ' s i m p o r t a n t ! T h e y ' l l s a y , " I h a v e n ' t s e e n o n e l i k e t h i s b e f o r e . Y o u d i d n ' t w o r k o n e l i k e t h i s i n c l a s s , s o t h e r e f o r e I s h o u l d n ' t h a v e t o d o i t . " . . . I f e e l p r e t t y s t r o n g l y a b o u t t h a t . T h a t p e o p l e , I d o n ' t k n o w , j u s t , h a v e , a r e o p e n e n o u g h t h a t t h e y a r e w i l l i n g t o s a y , " W e l l , I , y o u k n o w , I ' v e n e v e r s e e n s o m e t h i n g l i k e t h i s b e f o r e , b u t l e t m e t h i n k a b o u t t h i s f o r a m i n u t e , " i n s t e a d o f j u s t s a y i n g , " I c a n ' t d o t h a t . " I t h i n k t h a t ' s r e a l i m p o r t a n t . " H e d i d n ' t d o o n e l i k e t h a t s o w h y s h o u l d I h a v e t o d o o n e . " ( 2 0 C ) T h i s o p e n n e s s i s n o t t h e s a m e a s o p e n - m i n d e d n e s s , b u t b e i n g o p e n - m i n d e d a b o u t w h a t p r o b l e m s l o o k l i k e a n d w h a t t h e y r e q u i r e s e e m e d a f i r s t s t e p t o J e f f ' s d i s p o s i t i o n a l g o a l o f t e n a c i t y a n d r i s k - t a k i n g . T e n a c i t y a n d r i s k - t a k i n g P a r t o f w h a t J e f f h o p e d t h e c o u r s e a n d i t s f o c u s o n p r o b l e m s o l v i n g w o u l d d e v e l o p i n s t u d e n t s w a s t h e r e c o g n i t i o n t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s m a y r e q u i r e a t t e m p t i n g p r o b l e m s t h a t s e e m d i f f i c u l t o r u n u s u a l , s t a y i n g w i t h p r o b l e m s t h a t s e e m d i f f i c u l t , a n d a c c e p t i n g t h a t l e a r n i n g c a n b e p a i n f u l b u t r e w a r d i n g . L i k e C y n t h i a , h e s u p p o r t e d t h e d e v e l o p m e n t o f t e n a c i t y i n c l a s s d i s c u s s i o n s a b o u t a p p r o p r i a t e s t u d y h a b i t s . 1 1 3 I t a l k t o s t u d e n t s n o t o n l y i n a n e l e m e n t a r y c o n t e n t c o u r s e b u t a l l m y c l a s s e s a b o u t , w h a t d o y o u d o t o l e a r n ? H o w d o y o u r e a d a m a t h b o o k ? W h a t s h o u l d y o u d o t o s t u d y ? H e r e ’ s a p r o b l e m . Y o u h a v e n o i d e a h o w t o d o . W h a t s h o u l d w e d o ? D o w e j u s t t h r o w u p o u r h a n d s a n d q u i t ? N o , w e b a c k u p a n d w e l o o k a t a n e x a m p l e . S o , y e a h , I s p e n d a l o t o f t i m e i n a l l m y c l a s s e s t a l k i n g a b o u t , y o u k n o w , t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I m e a n , h o w d o y o u r e a d a m a t h b o o k ? I s t h i s a n E v e l y n W o o d s p e e d - r e a d i n g c o u r s e ? ( 6 P ) A s h i n t e d a t i n t h i s c o m m e n t , h e s u g g e s t e d s t r a t e g i e s f o r a p p r o a c h i n g p r o b l e m s a s a w a y o f e n c o u r a g i n g s t u d e n t s t o a t t e m p t p r o b l e m s . T h e p r o b l e m s o u n d s h a r d b u t , s o w h a t s h o u l d y o u d o ? W e l l , y o u d o n ' t j u s t q u i t . Y o u d o s o m e t h i n g . T r y t o l o o k f o r a s i m p l e r p r o b l e m . W o r k s o m e e x a m p l e s . L o o k f o r p a t t e r n s . S o I g u e s s , I m e a n t h a t , t h a t ' s p a r t o f t h e p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s t h a t w e w e n t t h r o u g h . I , I g u e s s r e a l l y w a s l e a r n i n g h o w t o l e a r n . H o w d o y o u , w h e n y o u ' r e g i v e n a p r o b l e m t h a t ' s j u s t c o m p l e t e l y d i f f e r e n t t h a n a n y t h i n g y o u ' v e s e e n b e f o r e , w h a t d o y o u d o ? Y o u d o n ' t j u s t g i v e u p . A n d , s o w e t a l k e d a l o t a b o u t , a b o u t h o w t o d o t h a t . ( 2 5 P ) A t t e m p t i n g p r o b l e m s , t a k i n g r i s k s , t h e s e w e r e t o b e p a r t o f s t u d e n t s ' s o l u t i o n s t r a t e g i e s : " I t r i e d t o g e t t h e m t o b e m o r e w i l l i n g t o t a k e r i s k s , l i k e i n p r o b l e m s o l v i n g . ' B o y , t h i s i s a h a r d p r o b l e m . ’ W e l l , i n s t e a d o f j u s t t h r o w i n g o u r h a n d s u p , l e t ' s t r y s o m e t h i n g . L e t ' s t h i n k a b o u t t h i s . L e t ' s l o o k f o r p a t t e r n s , w o r k e x a m p l e s , a n d s o o n " ( 1 - 2 C ) . W h e n a s k e d h o w i m p o r t a n t b e i n g a b l e t o s o l v e p r o b l e m s w a s t o b e i n g g o o d a t m a t h , h e s h i f t e d t h e f o c u s t o a t t e m p t i n g p r o b l e m s a n d n o t g i v i n g u p . B e i n g a b l e t o a t t e m p t m a n y d i f f e r e n t k i n d s o f p r o b l e m s , ( s h o r t p a u s e ) g o s h , t h e r e a r e s o m a n y p r o b l e m s o u t t h e r e t h a t w e c o u l d t h i n k a b o u t b u t w e w o u l d n ' t b e a b l e t o s o l v e , s o I d o n ' t k n o w i f i t ' s a l l t h a t i m p o r t a n t t h a t w e a c t u a l l y s o l v e t h e m 1 1 4 [ v o c a l e m p h a s i s ] . B u t m a y b e a t t e m p t i n g t o s o l v e t h e m i s i m p o r t a n t . I t ' s n o t l i k e , i f y o u d o n ' t s o l v e t h e p r o b l e m , t h e n y o u ' r e a f a i l u r e . ( 2 0 C ) H e e m p h a s i z e d t h i s b y r e f e r r i n g t o t h e c e n t u r i e s - l o n g w o r k m a t h e m a t i c i a n s g a v e t o F e r m a t ' s L a s t T h e o r e m : " I t ' s n i c e t o b e s u c c e s s f u l , b u t , y o u k n o w , p e o p l e w o r k e d o n F e r m a t ' s L a s t T h e o r e m f o r h u n d r e d s o f y e a r s a n d f a i l e d . B u t , i t ( l a u g h ) w a s s t i l l a g o o d e x e r c i s e " ( 2 0 - 2 1 C ) . T h e r e w a r d w a s t h e e x e r c i s e , i t s e l f , a n d i t r e l i e d o n s t a y i n g w i t h t h e t a s k , e v e n w h e n i t d o e s n o t s e e m p l e a s a n t . I g u e s s I ' m a l i t t l e b i t b i a s e d . S o m e p e o p l e h a v e t h i s , w e t a l k e d a b o u t t h i s o n c e b e f o r e t o o , t h a t m a t h e m a t i c s h a s t o b e f u n . W e l l , ( s h o r t p a u s e ) i t d o e s n ' t . A n d s o m e t i m e s i t ' s n o t . S o m e t i m e s i t ' s h a r d w o r k . A n d y o u h a v e t o b e w i l l i n g t o a c c e p t t h e f a c t t h a t s o m e t i m e s i t ' s h a r d w o r k . ( l a u g h ) A n y w a y , ( s h o r t p a u s e ) s o m e t i m e s h a r d w o r k i s p l e a s a n t , a n d I m e a n , i s r e w a r d i n g i n t h e e n d . B u t w h i l e y o u ' r e d o i n g i t , i t s o m e t i m e s i s d i f f i c u l t . ( 2 0 C ) J e f f n o t e d t h a t i t c o u l d e v e n b e p a i n f u l . I t h i n k i n a l m o s t a n y s u b j e c t , n o t j u s t m a t h e m a t i c s , s o o n e r o r l a t e r , t o c h a n g e t h e w a y y o u t h i n k i s p h y s i c a l l y a n d m e n t a l l y p a i n f u l s o m e t i m e s . I m e a n , ( s h o r t p a u s e ) y e a h , y o u s h o u l d h a v e f u n b u t n o t t o t h e p o i n t w h e r e y o u s a y , " O h , t h i s i s n ' t f u n a n y m o r e , s o I ' m n o t d o i n g i t . " I t d o e s n ' t h a v e t o b e f u n . S o m e t i m e s i t ' s h a r d a n d , a n d p e o p l e h a v e t o b e w i l l i n g t o a c c e p t t h a t a n d d e a l w i t h i t . ( 6 P ) H i s b a s i c p r e m i s e w a s : " I f i t ' s f u n , f i n e ; i f i t ' s n o t , t i g h t e n y o u r b e l t a n d d e a l w i t h i t " ( 6 P ) . O n e o f t h e a s p e c t s o f b e i n g a n e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r t h a t J e f f f e l t h e h a d m i x e d s u c c e s s i n a c h i e v i n g i n t h e c o u r s e w a s t h e w i l l i n g n e s s t o r i s k a n d f e e l i n g c o m f o r t a b l e w i t h m a k i n g 1 1 5 c o n j e c t u r e s . H e s p o k e o f s u g g e s t i n g s t r a t e g i e s t o s t u d e n t s a s a w a y o f e n c o u r a g i n g t h i s d i s p o s i t i o n . W e s p e n d a l o t o f t i m e d o i n g t h a t [ c o n j e c t u r i n g ] w i t h p r o b l e m s o l v i n g . " W e l l , I d o n ' t k n o w , t h i s i s a h a r d p r o b l e m . C o u l d w e l o o k a t a s i m p l e r p r o b l e m ? L e t ' s l o o k a t a b u n c h o f e x a m p l e s . D o w e s e e a n y t h i n g , a n y p a t t e r n i n t h e s e e x a m p l e s ? " I t h i n k c o n j e c t u r e , p a t t e r n g u e s s i n g , p r o b l e m s o l v i n g , t h o s e a r e r e a l i m p o r t a n t s k i l l s . P e o p l e a r e a f r a i d t o g u e s s . B u t t h a t , I m e a n t h a t ' s w h a t m a t h e m a t i c s i s . ( 6 P ) H e r e w e s e e t h e i s s u e o f w h a t m a t h e m a t i c s i _ s _ i n t e r w o v e n w i t h t h e i s s u e o f r i s k - t a k i n g . A t t h e s a m e t i m e , J e f f s a w a l l o f t h e s e t i e d t o t h e f o u r t h d i s p o s i t i o n a l g o a l , c o n f i d e n c e w i t h d o i n g m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . C o n f i d e n c e W h e n a s k e d w h a t t o g i v e a o n e s e n t e n c e d e s c r i p t i o n o f t h e c o u r s e g o a l s , J e f f s a i d : T h e g o a l s o f 1 1 5 , I g u e s s , i s t o p r e p a r e p e o p l e t o b e c o m p e t e n t m a t h t e a c h e r s , s o t h a t t h e y ( s h o r t p a u s e ) , t h e y h a v e t h e c o n f i d e n c e , t o t e a c h m a t h e m a t i c s t o y o u n g k i d s . . . . Y o u n e e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n t e n t y o u r s e l f b e f o r e y o u h a v e a c h a n c e o f c o m m u n i c a t i n g i t t o s o m e o n e e l s e , s o , t h e g o a l o f t h i s c o u r s e t h e n i s t o g e t t h e m t o b e c o m f o r t a b l e w i t h t h e c o n t e n t . ( 1 C ) T h e g o a l i s f o r s t u d e n t c o m p e t e n c e s o t h a t t h e y w i l l b e c o n f i d e n t t e a c h e r s . J e f f s a w a l i n e a r r e l a t i o n s h i p : c o m p e t e n c e y i e l d i n g c o n f i d e n c e . " D e v e l o p i n g e m p o w e r m e n t a n d c o n f i d e n c e w i t h t e a c h i n g m a t h I t h i n k w o u l d c o m e n a t u r a l l y w i t h a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t e r i a l " ( 1 5 P ) . T h i s r e l a t i o n s h i p s e t s t h e d i s p o s i t i o n a l g o a l o f c o n f i d e n c e u p a s b o t h d e p e n d e n t u p o n c o m p e t e n c e a n d n e c e s s a r y t o a c h i e v e t h e u l t i m a t e g o a l o f b e i n g c a p a b l e o f s h a r i n g t h a t c o m p e t e n c e w i t h c h i l d r e n i n t h e w a y s t h a t J e f f i n t e n d e d . 1 1 6 A c h i e v i n g t h e g o a l o f c o n f i d e n c e w a s n o t s e e n a s t r i v i a l . J e f f s e n s e d t h a t t h e s t u d e n t s i n t h e c o u r s e w e r e m o r e " f r a g i l e " t h a n s t u d e n t s i n o t h e r m a t h e m a t i c s c o u r s e s : " I j u s t h a d t h e i m p r e s s i o n t h a t t h e s e s t u d e n t s w e r e m a y b e a l i t t l e m o r e f r a g i l e . . . . W e l l , i n t e r m s o f t h e i r c o n f i d e n c e w i t h m a t h e m a t i c s . T h a t m i g h t n o t b e , t h a t m i g h t n o t b e t r u e . B u t , I j u s t s o r t o f h a d t h a t f e e l i n g " ( 1 0 C ) . H e s a w t h i s w e a k n e s s a f f e c t i n g t h e p o o l o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s : " I m i g h t b e w r o n g a b o u t t h i s , b u t I w o u l d g u e s s t h a t t h e r e a r e s o m e p e o p l e t h a t g o i n t o e l e m e n t a r y e d . , t h e y m a k e t h a t c a r e e r c h o i c e t o a v o i d m a t h a n d s c i e n c e s . S o , y o u h a v e p e o p l e i n t h e r e t h a t a r e r e a l l y s c a r e d " ( 2 5 P ) . J e f f a s s e s s e d t h a t s t u d e n t s w h o c a m e t o t h e c l a s s p r e p a r e d w o u l d l e a v e t h e c o u r s e w i t h t h e c o n t e n t g o a l s a t t a i n e d . T h i s p r e p a r a t i o n i n c l u d e d a r r i v i n g w i t h a c e r t a i n l e v e l o f c o n f i d e n c e . I s u p p o s e t h i s i s f a i r l y o b v i o u s , b u t i t w a s t h o s e s t r o n g e r s t u d e n t s t h a t ( p a u s e ) t h a t c a m e i n w i t h t h e m e c h a n i c a l s k i l l s t h a t t h e y n e e d e d a n d a c e r t a i n a m o u n t o f c o n f i d e n c e t h a t c a m e a w a y , g e t t i n g o u t o f t h e c o u r s e w h a t I h a d h o p e d t h a t t h e y w o u l d . T h a t i s , t o s e e a b i g g e r p i c t u r e a n d t o d e a l w i t h t o u g h e r p r o b l e m s . ( 4 C ) I n t h i s c o u r s e , s t u d e n t s w e r e t o s e e t h e b i g g e r p i c t u r e a n d b e c o m e c r e a t i v e a n d e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r s . T h e s e c a p a b i l i t i e s r e p r e s e n t e d t h e c o m p e t e n c e J e f f s a w a s n e c e s s a r y f o r f e e l i n g c o n f i d e n t w i t h m a t h e m a t i c s a n d w i t h t e a c h i n g . J e f f h a d t h e i n t e n t i o n o f r e d u c i n g s t u d e n t a n x i e t y t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d d o i n g m a t h e m a t i c s : " I w e n t i n t o t h i s w i t h t h e i d e a t h a t I w a n t t o m a k e i t a s n a t u r a l a n d c o m f o r t a b l e a s p o s s i b l e " ( 1 1 P ) . B u t , h e d i d n o t i n t e n d t o w o r k t o w a r d r e d u c i n g t h e a n x i e t y s t u d e n t s m i g h t h a v e t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . 1 1 7 R e d u c e t h e a n x i e t y s t u d e n t s m i g h t h a v e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . ( l o n g p a u s e ) I d o n ' t k n o w . S o m e t i m e s a n x i e t y c a n h a v e p o s i t i v e e f f e c t s . I f y o u ' r e s c a r e d o f s o m e t h i n g , s o m e t i m e s y o u m a k e t h e e f f o r t t o , t o s t r u g g l e t h r o u g h t h i s . Y o u w o r k h a r d e r s o m e t i m e s . S o , I d o n ' t k n o w , r e d u c e t h e a n x i e t y s t u d e n t s m i g h t h a v e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I g u e s s t h a t , n o . I w o u l d w a n t t h e m t o b e s o m e w h a t a n x i o u s a b o u t i t . I m e a n n o t s c a r e d t o d e a t h , b u t I ' m a n x i o u s a b o u t i t . T h a t ' s p a r t o f t h e , I d o n ' t k n o w , t h a t ' s p a r t o f w h a t m a k e s i t m a y b e a l i t t l e b i t o f f u n , p a r t o f w h a t m a k e s i t , c h a l l e n g i n g . I m e a n , I s t i l l g e t a n x i o u s o n t h e f i r s t d a y o f c l a s s a b o u t m y t e a c h i n g ( l a u g h s ) s o . I d o n ' t k n o w t h a t ' s n o t s o m e t h i n g I w o u l d p r o b a b l y d o . ( 1 1 P ) J e f f s p o k e o f t h e a n x i e t y a s h a v i n g p o s i t i v e e f f e c t s . S i n c e J e f f ' s g o a l w a s d e v e l o p i n g c o n f i d e n c e t o t e a c h m a t h e m a t i c s r a t h e r t h a n s i m p l y c o n f i d e n c e w i t h d o i n g m a t h e m a t i c s , e q u a t i n g p o s i t i v e a t t r i b u t e s t o a n x i e t y a n d n o t a t t e m p t i n g t o r e d u c e a n x i e t y a b o u t t e a c h i n g w a s r e a s o n a b l e . I n t e r e s t i n g l y , h e d i d n o t a p p l y t h i s l o g i c t o h i s t r e a t m e n t o f a n x i e t y t o w a r d t h e s u b j e c t ; t h a t i s , i f s t u d e n t s a r e s c a r e d o f t h e s u b j e c t , t h e y m a y m a k e t h e e f f o r t t o s t r u g g l e t h r o u g h i t . H e t a u g h t t h e s u b j e c t w i t h t h e i n t e n t i o n o f m a k i n g i t l e s s " s c a r y . " S u m m a r y A c c o r d i n g t o J e f f , t h e d i s t i n c t i v e n a t u r e o f t h i s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e a s a p a r t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n , p a r t i c u l a r l y w i t h r e s p e c t t o a f f e c t i n g c e r t i f i c a t i o n , p l a c e d s p e c i a l r e s p o n s i b i l i t i e s o n t h e c o u r s e a n d i t s i n s t r u c t o r a s J e f f e x p e r i e n c e d i t . A s a n o v i c e t o t h e t a s k o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s , h e g a i n e d a s e n s e o f t h e r o l e s t h e c o u r s e s h o u l d p l a y i n s t u d e n t s ' p r o g r a m s t h r o u g h t h e a c t o f t e a c h i n g t h e c o u r s e . H e h a d l i t t l e i n t e r a c t i o n w i t h o t h e r s t e a c h i n g t h e c o u r s e , n o t b e i n g a p a r t o f t h e g r o u p o f 1 1 8 m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s w h o m e t o c c a s i o n a l l y t o d i s c u s s t h e c o u r s e . L i k e m a n y o t h e r i n s t r u c t o r s , h e a l l u d e d t o o c c a s i o n a l i n s i g h t s t h a t c a m e f r o m h i s e x p e r i e n c e s c o n n e c t e d w i t h p a r e n t i n g e l e m e n t a r y - s c h o o l - a g e d c h i l d r e n . J e f f s u g g e s t e d t h a t h a v i n g a s e n s e o f t h e w h o l e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s t u d e n t s w e r e t o c o m p l e t e f o r c e r t i f i c a t i o n w o u l d b e h e l p f u l i n d e c i d i n g w h a t r o l e s m a t h e m a t i c s c o u r s e s s h o u l d p l a y . I n t h i s , h e w a s u n i q u e . J e f f s a w t h e t a s k o f p r e p a r i n g t e a c h e r s a s e x t r e m e l y i m p o r t a n t . H e v i e w e d t h e r o l e s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d g a t e - k e e p i n g a s i m p o r t a n t . I n a d d i t i o n , h e s t r e s s e d t h e d e v e l o p m e n t o f p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n a l a t t r i b u t e s : f l e x i b i l i t y , o p e n - m i n d e d n e s s , t e n a c i t y a n d r i s k - t a k i n g , a n d c o n f i d e n c e . 1 8 B u t , h e l i m i t e d h i s f o c u s t o a c h i e v i n g c o n t e n t g o a l s a n d d e v e l o p i n g d i s p o s i t i o n a l a t t r i b u t e s . P e d a g o g i c a l i s s u e s w e r e o n l y o f m i n i m a l c o n c e r n . T h i s l i m i t a t i o n w a s p r o b a b l y a r e f l e c t i o n o f J e f f ’ s s e l f - d e s c r i b e d s t a t u s a s “ i l l - e q u i p p e d ” t o t e a c h t h e c o u r s e . H e h a d g i v e n p e d a g o g i c a l i s s u e s s o m e a t t e n t i o n , b u t h i s o w n u n d e r s t a n d i n g o f w h a t i t m e a n s t o t e a c h m a t h e m a t i c s c o n s t r a i n e d h i s v i s i o n o f w h a t h i s i n s t r u c t i o n a l o p t i o n s w e r e . 1 3 T h r o u g h o u t t h e r e m a i n d e r o f t h i s d o c u m e n t , t h e " r o l e o f d e v e l o p i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s " w i l l i n c l u d e t h e s e a n d o t h e r r e l a t e d a s p e c t s . F r a n k : R e v i s i n g t h e C o n t e n t A s s o m e o n e i n v o l v e d i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f o r m a n y y e a r s , P r o f e s s o r F r a n k A d a m s b r o u g h t a p e r s p e c t i v e t h a t p r e - d a t e d t h a t o f t h e r e s t o f t h e p a r t i c i p a n t s . H i s c a r e e r s p a n n e d f r o m t h e m i d - f i f t i e s t o t h e p r e s e n t . H e w a s r e s p o n s i b l e f o r a s s i g n i n g i n s t r u c t o r s t o t e a c h t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s a t N U a n d h a d i n p u t o n t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s f o r t h e c o u r s e s , b u t h e d i d n o t u s u a l l y t e a c h t h e c o u r s e s h i m s e l f . H e t a u g h t t h e m e t h o d s c o u r s e a n d s p e c i a l c o n t e n t c o u r s e s , s u c h a s P r o b l e m S o l v i n g . F r a n k d i d m o r e o u t r e a c h t e a c h i n g t h a n a n y o t h e r i n s t r u c t o r i n t e r v i e w e d , l e a d i n g w o r k s h o p s f o r i n s e r v i c e t e a c h e r s a n d p a r e n t s . H e o f t e n h a d c h i l d r e n p a r t i c i p a t e i n t h e w o r k s h o p s s o t h a t h e c o u l d m o d e l t h e i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s h e w a s s u g g e s t i n g . M o s t o f h i s r e s p o n s e s r e l a t e d t o t h e f i r s t c o n t e n t c o u r s e , M a t h 1 1 5 . W h a t s e e m e d m o s t o b v i o u s a b o u t t h e w a y F r a n k s a w t h e r o l e s f o r t h e c o u r s e t o p l a y w a s w h a t F r a n k d i d m t s e e a s r o l e s f o r t h e c o u r s e . 1 9 F r a n k t h o u g h t t h e c o u r s e s h o u l d n o t i n v o l v e l e a r n i n g h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s a n d i t s h o u l d n o t b e a g a t e - k e e p e r . W h i l e h e e m p h a s i z e d t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , t h e c o n t e n t h e d e s c r i b e d w a s n o t a p a r t o f t h e c o n t e n t p r e s c r i b e d i n t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s , e x c e p t a s o p t i o n a l m a t e r i a l . 1 9 I s t r u g g l e d t o d e t e r m i n e w h a t r o l e F r a n k w a s c o m m i t t e d t o f o r t h e c o u r s e . I w a s n o t a s s u c c e s s f u l a s I w o u l d h a v e l i k e d . 1 1 9 1 2 0 C o n t e n t a n d N O T G a t e - k e e p i n g I n c r n s T h o u g h F r a n k h a d i n p u t o n t h e s y l l a b u s , t h e c o n t e n t s p e c i f i e d f o r t h e c o u r s e d i d n o t r e f l e c t h i s p r e f e r e n c e s , i n g e n e r a l . T h e r e w e r e s e v e r a l r e a s o n s h e s a w i t n e e d i n g r e v i s i o n . H e s a w t h e r e c e n t i m p o s i t i o n o f p r e - r e q u i s i t e s a s a s s u r i n g s t r o n g e r s t u d e n t p r e p a r a t i o n f o r t h e c o u r s e , m a k i n g s o m e p r e s e n t c o n t e n t , s u c h a s w o r k w i t h f r a c t i o n s , u n n e c e s s a r y . W i t h i n t h e l a s t t w o o r t h r e e y e a r s w e ' v e c h a n g e d a l o t i n t e r m s o f r e q u i r e m e n t s . W e u s e d t o p r e t t y m u c h t a k e a n y b o d y a n d t r y t o a d a p t 1 1 5 , a t t h a t t i m e , t o t h a t p a r t i c u l a r s t u d e n t . N o w w e ' r e r e q u i r i n g t h a t t h e y h a v e a t l e a s t a y e a r a n d a h a l f o f a l g e b r a a n d a y e a r o f g e o m e t r y b e f o r e t h e y g e t i n t o 1 1 5 , a n d w e ' r e a s s u m i n g t h a t b a c k g r o u n d . ( 2 2 - 2 3 P ) W i t h p r e - r e q u i s i t e s , h e s a w t h a t b e t t e r s t u d e n t s w o u l d b e i n t h e c o u r s e s , " t h e r e f o r e w e o u g h t t o b e l o o k i n g a t d o i n g o t h e r t h i n g s i n t h a t c o u r s e t h a n w h a t w e ' v e d o n e i n t h e p a s t " ( 5 C ) . A n o t h e r r e a s o n F r a n k t h o u g h t t h e s y l l a b u s o u g h t t o b e r e v i s e d w a s t h a t t h e c o n t e n t w a s n o l o n g e r r i g o r o u s e n o u g h . H e f e l t a r e t u r n t o w o r k o n g r o u p s a n d t h e i r p r o p e r t i e s a n d l o g i c w a s n e e d e d t o s u p p o r t t h e w o r k o n p r o b l e m s o l v i n g , t h e m a j o r f o c u s o f t h e f i r s t c o n t e n t c o u r s e . T h e s e t o p i c s h a d , h i s t o r i c a l l y , b e e n a p a r t o f t h e C O U F S G . F A : [ T w e n t y y e a r s a g o ] w e w e r e m o r e i n t e r e s t e d i n ( s h o r t p a u s e ) c h a n g e i n t h e s t u d e n t t o u n d e r s t a n d s o m e m o d e r n m a t h e m a t i c s , s o m e s e t s , s o m e o f t h e m o r e m o d e r n l a n g u a g e s a n d s o o n . G K : F o r m a l s t r u c t u r e s a s o p p o s e d t o ? F A : R i g h t . A s o p p o s e d t o m , t h e e m p h a s i s i s m u c h m o r e o n p r o b l e m s o l v i n g , t h i n k i n g s k i l l s , i n t r o d u c i n g t h e m t o s o m e o f t h e m a n i p u l a t i v e s a n d s o o n . ( s h o r t p a u s e ) I f I h a d a n y ( s h o r t 1 2 1 p a u s e ) w a y , I w o u l d p r o b a b l y h a v e t h e m r e l o o k a t t h a t w h o l e p r o g r a m a n d s a y t h e c o u r s e t h a t w e ' r e n o w t e a c h i n g d o e s n ' t r e a l l y m e e t t h e n e e d s o f t h e s t u d e n t a n d i t s h o u l d b e b e e f i t u p a l i t t l e b i t . ( 3 - 4 C ) F r a n k s a w b e e f i n g t h e c o u r s e u p ( s p e n d i n g t i m e o n f o r m a l l o g i c , t r u t h t a b l e s , a n d f o r m a l s e t s ) a s a w a y t o p r e p a r e s t u d e n t s t o t e a c h i n p r e s e n t - d a y c l a s s r o o m s , c l a s s r o o m s i n w h i c h t h e c u r r i c u l u m i s c h a n g i n g , r e q u i r i n g a d i f f e r e n t s e t o f s k i l l s . 2 0 S e e m y e m p h a s i s w o u l d b e o n , w e w o u l d t a l k a b o u t w h a t f o r m s a g r o u p . T h e n , o f c o u r s e , w e ' d t a l k a b o u t c l o s u r e a n d i n v e r s e s a n d i d e n t i t i e s , c o m m u t a t i v e , a n d a s s o c i a t i v e . A n d t h e n w e w o u l d t a l k a b o u t d i f f e r e n t s y s t e m s t h a t w o u l d s a t i s f y t h a t , a n d b y , t h a t w a y r e v i e w i n g t h e w h o l e n u m b e r s a n d f r a c t i o n s . O k a y . A n d t h e n w e w o u l d g o i n t o a , a f i e l d p r o p e r t i e s , t a l k a b o u t f i e l d p r o p e r t i e s . N o t n e c e s s a r i l y d o i n g t h e t h i n g s t h a t y o u d o i n a b s t r a c t a l g e b r a , b u t a t l e a s t l o o k i n g a t t h o s e p r o p e r t i e s a n d s a y i n g , o k a y w h i c h p r o p e r t i e s a r e r e l e v a n t t o a n e l e m e n t a r y s c h o o l a n d s o o n , a n d w h a t t o e m p h a s i z e . A n d t h e n l o o k a t t h e d i f f e r e n t n u m e r a t i o n s y s t e m s t h a t w o u l d a p p l y f o r t h o s e . I ' d l i k e t o s e e l o g i c b e i n g t h e r e , a l o n g w i t h p r o b l e m s o l v i n g t h r o u g h o u t t h e w h o l e c o u r s e . U s e o f c a l c u l a t o r s t h r o u g h o u t t h e w h o l e c o u r s e . I ' d l i k e t o t i e i n l o g i c w i t h s e t s a n d , m a y b e e v e n s p e n d s o m e t i m e w i t h g o i n g t h r o u g h s o m e a t t r i b u t e s w i t h s e t s a n d e l e c t r i c a l n e t w o r k s . T i e , s h o w t h e m t h a t t i e - i n t h r o u g h t h e w h o l e t h i n g . E v e r y b o d y d o e s n ' t a g r e e w i t h m e . ( 5 C ) F r a n k s a w g r e a t v a l u e i n m a k i n g t h e s e c h a n g e s i n c o n t e n t . H e g a v e n u m e r o u s r e s p o n s e s r e l a t e d t o t h e s e t o p i c s ( n o t c u r r e n t l y o n t h e s y l l a b u s ) t o i n t e r v i e w q u e s t i o n s , e v e n w h e n I r e q u e s t e d a n e x a m p l e u s i n g c o n t e n t f r o m t h e p r e s e n t v e r s i o n o f t h e c o u r s e . 2 1 2 0 T h e v i e w o f t h e i m p o r t a n c e o f t h e s t u d y o f l o g i c i s h e l d b y o t h e r s ( C h a p m a n , 1 9 7 2 ; S t o n e , 1 9 7 2 ) a n d , h i s t o r i c a l l y , w a s m o r e s t r o n g l y h e l d 2 0 y e a r s a g o . 2 1 I p o i n t o u t i n s t a n c e s o f F r a n k ' s e x a m p l e s u n r e l a t e d t o s y l l a b u s c o n t e n t i n t h i s a n a l y s i s . 1 2 2 S t u d y o f l o g i c a n d g r o u p t h e o r y w e r e f o u n d a t i o n a l t o v e r s i o n s o f t h e c o u r s e i n t h e p a s t , b u t i t h a d b e e n l a r g e l y d e l e t e d o v e r t h e y e a r s . D u r i n g t h e s e t o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s h e l d j u s t p r i o r t o t h e i n t e r v i e w i n g , i n s t r u c t o r s h a d d i s c u s s e d t h e c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n a t l e n g t h . T h e y d i s c u s s e d a n e w s y l l a b u s , s u p p o r t e d b y F r a n k . H e s a w t h e n e w s y l l a b u s a s h o l d i n g p r o m i s e f o r a c h i e v i n g h i s r e c o m m e n d a t i o n s f o r i n c r e a s e d r i g o r a n d s u b s t a n c e ( s e e A p p e n d i x E ) . L o g i c a n d g r o u p t h e o r y w e r e p r o m i n e n t o n t h i s s y H a b u s . F r o m F r a n k ' s p e r s p e c t i v e a s a m a t h e m a t i c s e d u c a t o r f a m i l i a r w i t h t h e l o n g h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n e m p h a s e s a n d a s a m e t h o d s c o u r s e i n s t r u c t o r , t h e r e w e r e o t h e r r e a s o n s f o r f o c u s i n g a t t e n t i o n o n c o n t e n t d i f f e r e n t f r o m t h e c u r r e n t f o c u s o n c o n t e n t s i m i l a r t o t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c u r r i c u l u m . F r a n k w a n t e d s t u d e n t s t o h a v e a s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c s b e y o n d t h e l e v e l a t w h i c h t h e y w o u l d b e t e a c h i n g . M o r e i m p o r t a n t l y , h e w a n t e d s t u d e n t s t o l e a r n m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o t h e r t h a n w h a t w a s a p a r t o f t h e m e t h o d s c o u r s e . H e f r e q u e n t l y h e a r d t h e c o m p l a i n t f r o m s t u d e n t s t h a t t h e y h a d s e e n a n d d o n e t h e s a m e a c t i v i t i e s h e e x p e c t e d t h e m t o d o i n t h e m e t h o d s c o u r s e i n a p r e v i o u s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e . O n e o f t h e b i g g e s t c o m p l a i n t s , I t h i n k I ' v e m e n t i o n e d t h i s b e f o r e , i s t h a t a l o t o f s t u d e n t s g o t h r o u g h o u r 1 1 5 [ c o n t e n t c o u r s e ] w i t h c e r t a i n i n s t r u c t o r s a n d f e e l t h a t , t h e n t h e y g e t i n t o t h e 3 7 4 , t h e m e t h o d s c o u r s e , a n d t h e y s a y , " W e l l , w e ' v e h a d a l l t h i s . " S o , t h e y e n d u p n o t h a v i n g t h e e m p h a s i s , i n 1 1 5 a n d 1 1 6 s h o u l d b e i n t h e c o n t e n t , w h e r e a s t h e e m p h a s i s i n 3 7 4 s h o u l d b e t o k n o w m a t e r i a l s t o t e a c h b o y s a n d g i r l s , t h e i d e a i s t h e r e . S o , e i t h e r w e ' r e d o i n g t h e w r o n g t h i n g , o r g i v i n g t h e m t h e w r o n g i d e a , i f t h e y t h i n k t h e y a l r e a d y k n o w t h a t m a t e r i a l . I t s h o u l d n o t b e i n t h e 1 1 5 a n d 1 1 6 p a r t . ( 6 C ) 1 2 3 T h i s p r o b l e m w a s o f m a j o r c o n c e r n t o F r a n k , a s i n d i c a t e d b y t h e f r e q u e n c y w i t h w h i c h h e m e n t i o n e d i t . B y s h i f t i n g t h e c o n t e n t o f t h e c o n t e n t c o u r s e s t o c o n t e n t s u c h a s g r o u p t h e o r y a n d l o g i c , F r a n k c o u l d b e m o r e c e r t a i n t h a t s t u d e n t s w o u l d n o t b e c o m p l a i n i n g a b o u t r e d u n d a n c y . I t w a s n o t c l e a r h o w F r a n k s a w h i s c o n t e n t r e c o m m e n d a t i o n s i m p r o v i n g t h e w a y t h e c o u r s e s u p p o r t e d s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n . B u t , h e s a w l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e c o u r s e . U n d e r s t a n d i n g W h i l e F r a n k s p o k e o f s t u d e n t s " g a i n i n g u n d e r s t a n d i n g " i n t h e c o u r s e , i t w a s o n l y s o m e w h a t i m p o r t a n t t h a t t h e y u n d e r s t a n d i t i n w a y s t o h e l p t h e m t e a c h i t , n o t e s s e n t i a l o r e v e n v e r y i m p o r t a n t a s a l l o t h e r i n s t r u c t o r s i n d i c a t e d . A l s o , w h a t h e m e a n t b y t h i s p h r a s e s e e m e d t o b e v e r y f u z z y . T h e f o l l o w i n g e x c h a n g e c e n t e r e d o n g i v i n g a n e x a m p l e o f w o r k f o r t h e m e t h o d s c o u r s e t h a t r e l i e d o n s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g g a i n e d i n t h e c o n t e n t c o u r s e . F A : T h e w a y t h a t I u n d e r s t a n d t h i s [ c a r d s o r t - u n d e r s t a n d i n g c o n t e n t i n m e a n i n g f u l w a y s ] i s t h a t t h e y u n d e r s t a n d t h e m a t h . A n d s o t h e n I c o u l d t h e n [ i n t h e m e t h o d s c o u r s e ] t a k e , " O k a y , y o u u n d e r s t a n d t h e m a t h . N o w , h o w a r e y o u g o i n g t o g e t t h a t a c r o s s t o b o y s a n d g i r l s ? " S o t h e n I w o u l d b u i l d o n t h a t , I a s s u m e t h e y a l r e a d y k n o w t h e m a t h a n d I d o n ' t h a v e t o w o r k a b o u t i t G K : W h e n y o u s a y " t h e m a t h " , d o y o u m e a n t h e ? F A : T h e b a s i c c o n t e n t . . . . L e t ' s s a y f o r e x a m p l e , i f I g a v e t h e m t h e t h r e e d i f f e r e n t p e r c e n t a g e - t y p e p r o b l e m s , 3 0 % o f 8 0 i s w h a t ? [ T h e t h r e e t y p e s h e i s r e f e r r i n g t o a l l i n v o l v e " a % o f b i s c " w h e r e t w o o f t h e t h r e e v a l u e s , a , b , a n d c , a r e k n o w n ] T h e y w o u l d b e a b l e t o d o t h o s e p r o b l e m s , a n d t h e y m i g h t d o i t b a s i c a l l y f r o m a r o t e l e a r n i n g s t a n d p o i n t , s o m y j o b w o u l d b e , o k a y t h e y n o w k n o w h o w t o d o t h a t . A r e t h e r e w a y s t h a t n o w 1 2 4 t h e y c a n u s e t o t e a c h b o y s a n d g i r l s t h o s e t h r e e p e r c e n t a g e p r o b l e m s ? U s e t h e p r o p o r t i o n m e t h o d , u s e t h e t r i a n g u l a r m e t h o d , t h i n g s l i k e t h a t . G K : W o u l d y o u t h i n k t h e y w o u l d u n d e r s t a n d t h o s e m e t h o d s w h e n t h e y c a m e i n ? F A : T h e y w o u l d p r o b a b l y h a v e , m a y b e , o n e o f e a c h o n e o f t h o s e m e t h o d s t h a t t h e y p r o b a b l y u n d e r s t a n d s o t h e y c o u l d d o t h e p r o b l e m . T h e y ' r e p r o b a b l y n o t l o o k i n g a t a n y o t h e r m e t h o d s . S o t h e y u n d e r s t o o d i t . G K : T h o s e d i f f e r e n t m e t h o d s , o r d i f f e r e n t w a y s o f t h i n k i n g a b o u t t h a t , y o u w o u l d n ' t n e c e s s a r i l y s e e a s p a r t o f 1 1 5 o r 1 1 6 [ t h e c o n t e n t c o u r s e s ] ? F A : N o . ( 1 0 P ) T h e s e c o m m e n t s s u g g e s t t h a t , w h e n s t u d e n t s e n t e r e d t h e m e t h o d s c l a s s , h e a s s u m e d n o t h i n g b e y o n d a " r o t e l e a r n i n g s t a n d p o i n t . " H e s a w h i s j o b i n t h e m e t h o d s c l a s s a s o n e o f s h o w i n g t h e m m a n y w a y s t o t e a c h t h e c o n c e p t t o c h i l d r e n . H e d i d n o t e x p e c t t h a t s t u d e n t s w o u l d s e e k o t h e r w a y s o f d o i n g p r o b l e m s p r i o r t o t h e m e t h o d s c o u r s e . H o w t h i s t r a n s l a t e d i n t o u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s i n t h e c o u r s e s p r i o r t o t h e m e t h o d s c o u r s e w a s d i f f i c u l t t o f o l l o w . W h e n a s k e d a b o u t t h e v a l u e o f d e v e l o p i n g a d u l t - l e v e l i n s i g h t s i n t o t h e m a t h e m a t i c s t h a t s t u d e n t s w o u l d b e e x p e c t e d t o t e a c h , F r a n k a g a i n e x p r e s s e d c o n c e r n a b o u t d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f g r o u p p r o p e r t i e s ( n o t c u r r e n t l y o n t h e 1 1 5 s y H a b u s ) F A : S e e o n e o f t h e t h i n g s t h a t , a n d n o t e v e r y b o d y a g r e e s w i t h m e , i s t h a t I f e e l t h a t t h e s t u d e n t s , o n c e t h e y g e t f i n i s h e d w i t h 1 1 5 o r 1 1 6 , s h o u l d u n d e r s t a n d t h e p r o p e r t i e s o f a g r o u p . O k a y ? A n d h o w t h e y a r e u s e d i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l . O k a y ? A n d t h e s a m e w i t h t h e p r o p e r t i e s o f f i e l d . O k a y ? T h e y d o c o v e r t h o s e p r o p e r t i e s n o w , i n s o m e r e s p e c t , b u t a l o t o f t i m e s , i t ' s j u s t h o d g e - p o d g e t y p e t h i n g , i n t h e t e x t b o o k . N o t e v e r y b o d y a g r e e s w i t h m e , b u t t h a t w o u l d b e , w o u l d s o , t o m e I g u e s s t h a t w o u l d b e a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g , i n s i g h t i n t o m a t h e m a t i c s t h a n w e n o w a r e c u r r e n t l y d o i n g . 1 2 5 G K : N o w w o u l d t h a t b e i n k n o w i n g w h a t t h o s e p r o p e r t i e s a r e , o r w o u l d i t b e i n b e i n g a b l e t o l o o k a t a s e t a n d d e t e r m i n e i f i t w a s a g r o u p o r i f i t w a s a f i e l d o r F A : I t h i n k t h e r e o u g h t t o b e , w e o u g h t t o , f o r e x a m p l e , l o o k a t , o n c e w e t a l k a b o u t t h e p r o p e r t i e s o f t h e g r o u p , a n d t h e n w e c a n s a y o k a y , l e t ' s t a k e t h e o p e r a t i o n i n t e r s e c t i o n , l e t ' s t a k e s e t s , d o t h e y s a t i s f y t h e p r o p e r t i e s o f a g r o u p ? I f s o , y e s ; i f n o t , w h y n o t . W e c o u l d u s e l o g i c t h e s a m e w a y . ( 1 6 P ) T h o u g h l e f t u n s t a t e d , i t s e e m e d t h a t F r a n k w a s v i e w i n g w o r k w i t h g r o u p p r o p e r t i e s a s a c o n n e c t i n g t h e m e i n a w a y s i m i l a r t o t h e w a y J e f f S u l l i v a n s p o k e o f t h e m . A v o i d i n g " h o d g e - p o d g e " a n d s y s t e m a t i c a l l y l o o k i n g a t s e t s a n d t h e i r p r o p e r t i e s w a s s e e n a s a w a y t o m a k e m a t h e m a t i c s m o r e m e a n i n g f u l . M a k i n g m a t h e m a t i c s m o r e m e a n i n g f u l w o u l d s e e m t o s u p p o r t d e v e l o p i n g a d u l t - l e v e l i n s i g h t s . H o w e v e r , w h e n a s k e d w h a t i n s i g h t s h e w o u l d w a n t s t u d e n t s t o g a i n f r o m t h i s w o r k , h i s r e s p o n s e w a s c o n f o u n d i n g : " T h a t m a t h i s n o t j u s t a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , b u t t h a t t h e s e c o n c e p t s a r e t h r o u g h o u t t h e i r e v e r y d a y l i f e " ( 1 6 P ) . P a r t o f t h i s f i n a l c o m m e n t , t h a t t h e i n s i g h t g a i n e d f r o m t h e w o r k o n t h e p r o p e r t i e s o f a g r o u p w o u l d b e t h a t m a t h e m a t i c s i s n o t j u s t c o m p u t a t i o n , s e e m e d r e a s o n a b l e . l n s i n u a t i n g t h a t p a r t o f t h e i n s i g h t w o u l d b e t h a t g r o u p p r o p e r t i e s a r e p a r t o f e v e r y d a y l i f e w a s p u z z l i n g , g i v e n h i s d e s c r i p t i o n o f t h e w o r k w i t h g r o u p s . W F r a n k i n d i c a t e d t h a t h a v i n g d i f f e r e n t w a y s o f t h i n k i n g a b o u t p e r c e n t o r o t h e r c o n c e p t s w a s n o t a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e c o n t e n t c o u r s e e x p e r i e n c e . R a t h e r , " t h e m a t h " w a s w h a t s t u d e n t s w e r e t o l e a v e t h e c o n t e n t c o u r s e k n o w i n g . H e a l s o i n d i c a t e d t h a t " t h e m a t h " w a s w h a t w a s t o b e p a r t o f t h e p r e - r e q u i s i t e s . T h e j u x t a p o s i t i o n o f 1 2 6 t h e s e c o m m e n t s l e a v e s o n e t o w o n d e r w h a t c o n t e n t F r a n k t h o u g h t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n i n t h e c o u r s e . F r a n k s k i r t e d t h e q u e s t i o n o f c o n t e n t c o v e r a g e i n a l e n g t h y e x c h a n g e i n w h i c h I a t t e m p t e d t o c l a r i f y w h a t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n i n t h e c o u r s e . I a s k e d F r a n k h o w i m p o r t a n t i t w a s f o r t h e c o u r s e t o a c t a s a b a r r i e r f o r u n p r e p a r e d s t u d e n t s . F A : N o , a c t u a l l y t h a t [ b e i n g u n p r e p a r e d ] s h o u l d , t h e w a y o u r s e t u p i s i n h e r e , i t w o u l d b e n o t v e r y i m p o r t a n t , b e c a u s e t h a t s h o u l d b e t a k e n c a r e o f w i t h t h e d e v e l o p m e n t a l a r e a . . . . T h e d e v e l o p m e n t a l m a t h i s b a s i c a l l y t o t a k e c a r e o f a n y d e f i c i e n c i e s t h e y h a v e i n m a t h b e f o r e t h e y t a k e 1 1 5 , a t l e a s t t h a t w o u l d b e m y o p i n i o n . ( p a u s e ) S o i n s o m e r e s p e c t s , 1 1 5 s h o u l d n ' t e v e n h a v e t o d e a l w i t h a s t u d e n t t h a t ' s u n p r e p a r e d . G K : S o i s t h e r e , w h a t w o u l d y o u t h i n k t h e y w o u l d b e p r e p a r e d f o r i n 1 1 5 . I s t h e r e s o m e t h i n g t h a t t h e y ' r e p r e p a r e d f o r i n 1 1 5 t h a t t h e y n e e d t o h a v e w h e n t h e y g e t o u t ? F A : O k a y , y o u ' r e t a l k i n g a b o u t a f t e r t h e y g e t o u t i n t e r m s o f w o r k i n g w i t h o t h e r , w i t h s t u d e n t s t h a t t h e y ' r e t e a c h i n g t h a t a r e u n p r e p a r e d ? G K : W e l l , I g u e s s i f e v e r y t h i n g t h e y w o u l d n e e d t o k n o w m a t h e m a t i c a l l y t h e y w o u l d k n o w w h e n t h e y c o m e i n t o 1 1 5 , t h e n w h a t i s i t t h e y w o u l d l e a r n i n 1 1 5 t h a t t h e y w o u l d n e e d t o b e p r e p a r e d t o d o ? F A : I d o n ' t t h i n k , 1 1 5 b a s i c a l l y w o u l d b e t o t a k e c a r e o f a n y o f t h e d e f i c i e n c i e s t h e y w o u l d h a v e u p u n t i l 1 1 5 . 1 1 5 i s a v a s t , d i f f e r e n t t y p e o f c o u r s e i n m y e s t i m a t i o n , t h a t a l o t o f t h e t o p i c s t h e y p r o b a b l y w o u l d n o t h a v e h a d i n a s t a n d a r d h i g h s c h o o l c o u r s e i n m a t h e m a t i c s , o r s t a n d a r d c o l l e g e , c o l l e g e a l g e b r a c o u r s e o r i n t e r m e d i a t e a l g e b r a . S o ( s h o r t p a u s e ) I g u e s s m y w h o l e c o m m e n t w o u l d b e t h e a c t o f , a s a b a r r i e r f o r u n p r e p a r e d s t u d e n t s , ( s h o r t p a u s e ) I d o n ' t t h i n k 1 1 5 s h o u l d h a v e t o d e a l w i t h s t u d e n t s , a t l e a s t t h e w a y i t ' s s e t u p n o w , t h a t a r e n o t r e a d y f o r 1 1 5 . I a s s u m e t h i s m e a n s s t u d e n t s a r e n o t r e a d y f o r a n o r m a l 1 1 5 c u r r i c u l u m . G K : O k a y , w h a t a b o u t s t u d e n t s w h o w o u l d n ' t b e r e a d y f o r t h e n o r m a l m e t h o d s c l a s s ? F A : I n s o m e r e s p e c t s , I a m p r e p a r i n g t h e m , t h e y a r e p r e p a r i n g t h e m t o w o r k w i t h t h e c o n t e n t , t o w o r k w i t h a t l e a s t t h e c o n t e n t t h a t t h e y ' r e w o r k i n g w i t h i n , i n 3 7 4 , w h i c h i s a 1 2 7 m e t h o d s c o u r s e . . . . I d o n ' t t h i n k t h a t ' s a p r o b l e m . O n c e t h e y g o t h r o u g h 1 1 5 a n d 1 1 6 , e v e n i f t h e y d o n ' t e n t e r , t h e y d o n ' t u n d e r s t a n d a l l t h e c o n t e n t i n b o t h o f t h o s e c o u r s e s , I ' m n o t s u r e i t ' s t h a t c r i t i c a l . ( 2 - 3 P ) H e s t r e s s e d t h a t s t u d e n t s w h o w e r e u n p r e p a r e d f o r M a t h 1 1 5 a n d 1 1 6 w e r e p l a c e d i n t o a l o w e r l e v e l c o u r s e . W h e n p r e s s e d t o f o c u s a t t e n t i o n a w a y f r o m e n t r y - l e v e l p r e p a r a t i o n t o e n d - o f - c o u r s e p r e p a r a t i o n , F r a n k t h o u g h t t h a t t h e q u e s t i o n r e f e r r e d t o s t u d e n t s ' f u t u r e p u p i l s w h o w e r e u n p r e p a r e d . H e s e e m e d u n a b l e t o c o n c e i v e t h a t s t u d e n t s i n t h e c o u r s e m i g h t b e u n p r e p a r e d t o g o o n i n t h e i r t e a c h e r p r e p a r a t i o n . F r a n k i n d i c a t e d b o t h t h a t d e v e l o p m e n t a l m a t h t o o k c a r e o f e n t e r i n g d e f i c i e n c i e s a n d t h a t 1 1 5 w a s t o t a k e c a r e o f d e f i c i e n c i e s . F r a n k a l l u d e d t o w h a t h e s a w a s t h e d i f f e r e n c e i n t h e d e f i c i e n c i e s d e a l t w i t h i n e a c h c o n t e x t . T h e d e f i c i e n c i e s d e a l t w i t h i n t h e d e v e l o p m e n t a l m a t h c o u r s e w e r e c o m p u t a t i o n a l ; w h e r e a s , t h e d e f i c i e n c i e s d e a l t w i t h i n 1 1 5 w e r e i n t e r m s o f s t u d e n t s ‘ l a c k o f e x p o s u r e t o d i f f e r e n t t o p i c s , t o p i c s n o t n o r m a l l y a p a r t o f t h e s t a n d a r d K - 1 2 c u r r i c u l u m , s u c h a s p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s . B u t , F r a n k d i d n o t i n s i n u a t e t h e n e e d t o a t t a i n a n y l e v e l o f p r o f i c i e n c y w i t h t h e t o p i c s i n 1 1 5 . I t a p p e a r e d t h a t t h e c o u r s e w a s t o g i v e a w a r e n e s s o f c o n t e n t , s o t h a t t h e m e t h o d s i n s t r u c t o r c o u l d f o c u s o n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F r a n k d i d n o t e m p h a s i z e t h e r o l e o f d e v e l o p i n g a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t w i t h i n t h e w h o l e o f t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . T h i s i s n o t t o s a y d e e p e r u n d e r s t a n d i n g w a s i g n o r e d , o n l y n o t e m p h a s i z e d . T h i s l a c k o f e m p h a s i s w a s a r e f l e c t i o n o f h i s f e e l i n g t h a t p e o p l e w i t h l e s s 1 2 8 c o n t e n t k n o w l e d g e s o m e t i m e s d o a b e t t e r j o b o f t e a c h i n g t h a n t h o s e w i t h m o r e c o n t e n t k n o w l e d g e . E n s u r e t h a t o n l y t h o s e s t u d e n t s ' w h o h a v e a d e e p u n d e r s t a n d i n g o f m a t h a r e a b l e t o c o n t i n u e i n t h e m a t h e m a t i c s p r e p a r a t i o n p r o g r a m . ( s h o r t p a u s e ) T h i s i s a l w a y s a ( l a u g h ) a c o n t r o v e r s i a l t h i n g . I f e e l t h a t p r o b a b l y s o m e o f t h e p e o p l e w h o a r e h a v i n g t h e m o s t d i f f i c u l t t i m e i n m a t h e m a t i c s p r o b a b l y d o a s g o o d a j o b , i f n o t a b e t t e r j o b , w i t h t h e i r s t u d e n t s i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l t h a n s o m e o f t h e o n e s w h o r e a l l y h a v e d o n e a b a n g - u p j o b . ( 5 P ) I n f a c t , F r a n k w e n t s o f a r a s t o s a y t h a t c o m p e t e n c e w a s n o t r e q u i r e d : " I s t i l l t h i n k t h e y c o u l d b e , d o a g o o d j o b a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w i t h o u t n e c e s s a r i l y b e t h a t c o m p e t e n t i n t h a t a r e a " ( 4 P ) . T h e i n d i v i d u a l ' s a t t i t u d e t o w a r d t e a c h i n g a n d m a t h e m a t i c s w a s o f g r e a t e r i m p o r t a n c e t h a n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . G i v e n a c h o i c e b e t w e e n a p e r s o n w i t h w e a k c o n t e n t k n o w l e d g e a n d a p o s i t i v e a t t i t u d e a n d a p e r s o n w i t h s t r o n g c o n t e n t k n o w l e d g e a n d w e a k p e r s o n a l s k i l l s ( a p p a r e n t l y e q u a t i n g w i t h n o n - p o s i t i v e a t t i t u d e ) , F r a n k w o u l d r a t h e r h a v e t h e p e r s o n w i t h a p o s i t i v e a t t i t u d e t e a c h i n g c h i l d r e n . T h u s , h e w a s n o t p r o n e t o d e m a n d t h a t s t u d e n t s h a v e a d e e p u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . F r a n k a l s o i n d i c a t e d t h a t i t w a s h i s f e e l i n g t h a t s c h o o l d i s t r i c t s o f t e n o v e r l o o k e d s t u d e n t s w h o h a d s u p e r i o r c o n t e n t k n o w l e d g e , e v e n p a i r e d w i t h p o s i t i v e p e r s o n a l s k i l l s a n d a t t i t u d e s , w h e n t h e y w e r e h i r i n g . H i s c y n i c i s m g r e w o u t o f e x p e r i e n c e s w i t h s t r o n g t e a c h e r c a n d i d a t e s w h o w e r e n o t h i r e d b y d i s t r i c t s i f o t h e r , l e s s c a p a b l e , c a n d i d a t e s h a d p e r s o n a l c o n t a c t s i n t h e d i s t r i c t . F r a n k 1 2 9 a r g u e d t h a t s c h o o l d i s t r i c t s w e r e n o t c o n c e r n e d a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n o f t h e s t u d e n t s i n m a n y c a s e s . C o n n e c t i n g C o n t e n t t o E v e t y d a y L i f e C o n n e c t i o n o f t h e c o n t e n t t o e v e r y d a y u s e w a s a s i g n i f i c a n t p a r t o f F r a n k ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t h e c o u r s e . H e a c k n o w l e d g e d t h a t t h i s r e f l e c t e d h i s c u r r e n t p e r s o n a l i n t e r e s t , y e t , w h e n a s k e d f o r a n e x a m p l e o f t h e k i n d o f i n t e r c o n n e c t i o n o f i d e a s h e w o u l d l i k e t o s e e , h e h a d d i f f i c u l t y . F A : I n t e r c o n n e c t i o n o f m a t h e m a t i c s a n d , I h a p p e n t o b e p u s h i n g a t t h i s s t a g e , a n d o f c o u r s e i s m y ( l a u g h s ) , y o u k n o w , y o u g e t i n t o d i f f e r e n t e m p h a s e s . A n d n o w m y b i g e m p h a s i s i s t h a t I f e e l w e o u g h t t o b e c o n n e c t i n g m a t h a n d s c i e n c e i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l . [ i n a u d i b l e ] G K : W h e r e d o y o u s e e p l a c e s i n l i k e 1 1 5 o r 1 1 6 w h e r e t h a t c o u l d b e d o n e ? C o u l d y o u g i v e m e a n e x a m p l e o f t h e k i n d o f t h i n g y o u ' d l i k e t o s e e ? F A : ( s h o r t p a u s e ) T h e b i g p r o b l e m w e h a v e i n a l o t o f m a t h c o u r s e s i s t h a t w e d o p r o b l e m s a n d t h e y ' r e n o t a s s o c i a t e d w i t h a n y t h i n g o u t i n e v e r y d a y l i f e ( l a u g h ) . A n d s o I w o u l d l i k e t o s e e u s c o n n e c t i n g m a t h a n d s c i e n c e , l e t ' s s a y , i n t e r m s o f a p r a c t i c a l t y p e t h i n g . ( s h o r t p a u s e ) I g u e s s , y o u k n o w , y o u c o u l d d o t h i n g s t h a t w o u l d b e , l e t ' s s e e , i n s c i e n c e w h e r e ( s h o r t p a u s e ) y o u ' r e g e t t i n g t h e s c i e n c e c o n c e p t a c r o s s a n d y o u ' r e a l s o g e t t i n g t h e m a t h . L e t m e s e e i f I c a n c o m e u p w i t h a n e x a m p l e . M y f i r s t e x a m p l e i s M & M s , b u t t h a t ' s m o r e s t a t i s t i c s i n m a t h , o r p r o b a b i l i t y i n m a t h . ( p a u s e ) L e t ' s s e e w h a t w o u l d b e a ? ( p a u s e ) W e l l , l e t ' s t a k e a t y p i c a l d i s c u s s i o n , l e t ' s s a y o f a , o f a p a r a b o l i c c u r v e . N o w y o u c o u l d t a l k a b o u t i t i n s c i e n c e i n t e r m s o f a p a r a b o l i c t e l e s c o p e . Y o u c o u l d t a l k a b o u t i t i n l e n s e s . Y o u c o u l d t a l k a b o u t i t w i t h j u s t t h r o w i n g a n o b j e c t . O k a y ? N o w , y o u c o u l d t h e n t i e t h a t i n t o m a t h e m a t i c s i f y o u w a n t e d t o , d e p e n d i n g o n h o w f a r y o u w a n t e d t o g o i n t e r m s o f t h e a l g e b r a o f i t , o r y o u c o u l d t i e i t i n t e r m s o f , l e t ' s s a y ( p a u s e ) p a p e r f o l d i n g w i t h t h e p a r a b o l a , o r y o u c o u l d t i e i t i n w i t h s t r i n g d e s i g n s . B a s i c a l l y t h e w h o l e t y p e o f t h i n g , t h a t c o u l d b e a w h o l e , o r i f y o u w a n t e d t o , y o u c o u l d e v e n t u a l l y t i e i t i n , i n s c i e n c e , y o u c o u l d t i e i t i n w i t h , ( s h o r t p a u s e ) w a v e , i f y o u h a d a , a r i p p l e t a n k , a n d w a v e 1 3 0 m o t i o n . T h e y c o u l d m a k e t h e i r o w n , i f t h e y w a n t e d t o , t o s h o w t h e p a r a b o l a i n t h e r e w h e r e t h e w a v e s w o u l d e v e n t u a l l y c o n g r e g a t e . Y o u c o u l d d o t h e s a m e t h i n g w i t h ( s h o r t p a u s e ) t h e h y p e r b o l a a n d e l l i p s e , i f y o u w a n t e d t o d o t h i n g s l i k e t h a t , t y i n g i n b o t h t h e , t h e o r b i t o f t h e m o o n o r t h e e a r t h a r o u n d t h e s u n , o r t h e m o o n a r o u n d t h e e a r t h w i t h t h e , o r t h e s a t e l l i t e s w i t h a n e l l i p s e i n m a t h e m a t i c s a n d s o o n . Y o u c o u l d d o s o m e s t r i n g d e s i g n s , t h i n g s l i k e t h a t , i f y o u w a n t t o . ( 1 1 - 1 2 P ) W h e n a s k e d i f t h i s c o n t e n t w a s p a r t o f t h e c o u r s e , F r a n k n o t e d t h a t i t w a s n o t c u r r e n t l y i n t h e c o u r s e , a n d t h a t i t w a s h a r d t o c o m e u p w i t h g o o d e x a m p l e s . I f e l t t h a t h i s i n a b i l i t y t o p r o v i d e e x a m p l e s w a s o d d , g i v e n t h a t c o n n e c t i o n s t o e v e r y d a y l i f e w e r e o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t t o h i m . H e s t r e s s e d t h e i m p o r t a n c e o f s t u d e n t s s e e i n g p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . I ' d l i k e t o s e e a l o t o f p r a c t i c a l , a n d t h e r e a s o n I m e n t i o n s c i e n c e i s t h a t a l o t o f t i m e s y o u c a n u s e s c i e n c e i d e a s t h a t w o u l d m a k e i t p r a c t i c a l o n t h a t . I ' d l i k e t o s e e m o r e a n d m o r e , t o o m a n y t i m e s m a t h i s t a u g h t i n a v a c u u m a n d a l l y o u ' r e d o i n g i s m a n i p u l a t i n g e i t h e r t h e l e t t e r s o r n u m b e r s , a n d t h e n t h e y f e e l t h a t ' s t h e i m p o r t a n t t h i n g , a n d i t ' s n o t . O k a y , y o u h a v e t o b e a b l e t o u s e t h i s i n o t h e r f i e l d s . S o , I d o n ' t t h i n k w e d o e n o u g h o f t h a t , a n d I d o n ' t t h i n k w e d o e n o u g h o f t h a t i n p r o b a b l y 1 1 5 o r 1 1 6 . W e p r o b a b l y d o n ' t d o e n o u g h o f t h a t i n a l l t h e b a s i c l e v e l c o u r s e s . ( 1 3 - 1 4 P ) S e e i n g m a t h e m a t i c s a s o t h e r t h a n m a n i p u l a t i n g s y m b o l s w a s a r e a s o n f o r t h i s e m p h a s i s o n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . F r a n k g a v e f e w e x a m p l e s o f h o w t h i s c o u l d b e d o n e w i t h t h e c o n c e p t s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s . N O T T e a c h i n g : C o n t e n t a n d M e t h o d s R e l a t i o n s h i p A s a l l u d e d t o a b o v e , F r a n k h a d s o m e c o n c e r n s a b o u t t h e c o n t e n t c o u r s e s a s t h e i r c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n a f f e c t e d t h e w o r k t o b e d o n e i n t h e m e t h o d s c o u r s e . H e w a n t e d t o a v o i d r e p e t i t i o n o f c o n t e n t c o v e r a g e i n t h e t w o s e t t i n g s . F u r t h e r m o r e , h e d i d n o t w a n t 1 3 1 s t u d e n t s t o f o c u s o n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s , b u t h e s t r e s s e d t h a t s t u d e n t s w e r e t o s e e m o d e l s o f g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e c o u r s e s . U a a Q f M a n i p u l a t i v e s I n F r a n k ' s m i n d , t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i n 1 1 5 w a s d i f f e r e n t f r o m t h e i r u s e i n t h e m e t h o d s c o u r s e . F r a n k s a w 1 1 5 a s a s i t e f o r s t u d e n t s t o b e c o m e a w a r e o f h o w m a t e r i a l s c a n b e u s e d t o l e a r n m a t h e m a t i c s . T h e l e a r n e r s w e r e t h e s t u d e n t s , t h e m s e l v e s , i n t h e 1 1 5 c o u r s e . 2 2 I w o u l d a s s u m e t h a t w e w o u l d u s e [ i n 1 1 5 ] a l o t o f t h e m a t e r i a l s t h a t w o u l d b e u s e d i n t h e [ e l e m e n t a r y ] c l a s s r o o m . T h e o n l y d i f f e r e n c e i s t h a t y o u w o u l d b e u s i n g t h e m o n a m o r e a d v a n c e d m a t h . F o r e x a m p l e , l e t ' s s a y , C u i s e n a i r e r o d s , o r c o l o r e d r o d s c o u l d b e u s e d t o s h o w m o d u l a r a r i t h m e t i c . ( 7 P ) F r a n k w a n t e d t h e c o n t e n t c o u r s e s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h e n o u g h e x p e r i e n c e u s i n g m a n i p u l a t i v e s s o t h a t s t u d e n t s i n t h e m e t h o d s c o u r s e w o u l d f o c u s o n h o w t o t e a c h u s i n g t h e m a t e r i a l s r a t h e r t h a n o n h o w t o u s e m a t e r i a l s t h e m s e l v e s . 2 3 2 2 W i t h i n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t w e h a v e a n o t h e r e x a m p l e o f " e x a m p l e s " F r a n k g a v e i n v o l v i n g c o n t e n t i n t h e c o u r s e t h a t w a s c o n t e n t 1 1 a f e l t s h o u l d b e a p a r t o f t h e c o u r s e , b u t w h i c h w a s n o t a g r e e d u p o n b y a l l i n s t r u c t o r s a s i m p o r t a n t t o i n v e s t i g a t e i n t h e c o u r s e . M o d u l a r a r i t h m e t i c w a s n o t c o n s i s t e n t l y i n c l u d e d . 2 3 W h e n a s k e d i f o t h e r c o u r s e s i n t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t n o t r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n m a d e u s e o f m a n i p u l a t i v e s t o t e a c h r e l a t e d c o n t e n t , F r a n k i n i t i a l l y i n d i c a t e d t h a t t h e y s h o u l d n o t u s e m a n i p u l a t i v e s . U s e o f m a n i p u l a t i v e s i n r e g u l a r m a t h e m a t i c s c l a s s e s w o u l d " i n f r i n g e " o n t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w o r k . A f t e r t a l k i n g m o r e a b o u t t h i s i n t h e c o n t e x t o f t h e i n t e r v i e w , h e t u r n e d a r o u n d 1 8 0 ° , s a y i n g t h a t h e w o u l d n o t a n t i c j p a t a t h a t o t h e r s w o u l d u s e t h e m , b u t t h a t i n s t r u c t o r s c e r t a i n l y c o u l d , e v e n s h o u l d , u s e m a n i p u l a t i v e s a n d m o d e l i n g m a t e r i a l s i n r e g u l a r m a t h e m a t i c s 1 3 2 W h i l e F r a n k w a s q u i t e v o c a l a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s i n t h e i n t e r v i e w s , o t h e r i n s t r u c t o r s h a d t h e s e n s e t h a t t h e m e t h o d s i n s t r u c t o r s d i d n o t w a n t m a n i p u l a t i v e s u s e d i n t h e c o n t e n t c o u r s e s . G a i l L a u g h l i n ( a n o t h e r i n s t r u c t o r i n t h i s s t u d y ) m a d e t h i s c o m m e n t i n a n i n t e r v i e w . W e ' r e s u p p o s e d t o s t a y a w a y f r o m m a n i p u l a t i v e s i n t h e r e , s a v e t h e m f o r 3 7 4 , I m e a n , w e ' r e s u p p o s e d t o . W e s t i l l d o s o m e . I m e a n w e s t i l l b r i n g i n b a s e t e n b l o c k s s o t h e y c a n , t h e y ' v e s e e n ' e m , a n d I s t i l l d o t h e c u p a n d c h i p m o d e l , c h i p s f o r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n t e g e r s . A n d t h e n I b r i n g i n t h e c u p s f o r b a l a n c i n g w i t h e q u a t i o n s , b u t w e j u s t h a d , w e m e t i n M a y , f o u r w e e k s i n a r o w , a c o u p l e h o u r s i n t h e m o r n i n g , t a l k i n g a b o u t w h a t ' s t h e r o l e o f t h e c o u r s e . A n d t h e r e , y o u k n o w , w h e n I s a y " t h e y " , D o n n a S t e r l i n g [ a n o t h e r m e t h o d s i n s t r u c t o r ] a n d F r a n k A d a m s a n d , w e ' r e t r y i n g t o k e e p m a n i p u l a t i v e s i n 3 7 4 , s o t h a t ' s w h y I d i d n ' t e v e n t h i n k a b o u t i t , y o u k n o w . ( G L , 1 6 P ) G a i l i n s i n u a t e d t h a t F r a n k h a d g i v e n h e r t h e i m p r e s s i o n i n t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s t h a t h e d i d n o t w a n t m a n i p u l a t i v e s t o b e u s e d i n t h e c o u r s e . A s a r e s u l t , s h e l i m i t e d h e r u s e o f m a n i p u l a t i v e s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s e c t i o n s t h a t s h e t a u g h t . G a i l ' s m i s u n d e r s t a n d i n g o f F r a n k ' s p e r s p e c t i v e o n t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s h i g h l i g h t e d t h e i m p o r t a n c e o f h a v i n g a c l e a r s e n s e o f w h a t r o l e t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s w a s t o p l a y i n e a c h c o n t e x t , c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e . F r a n k w a s c o n c e r n e d a b o u t t h i s a n d o t h e r i s s u e s t h a t h e s a w b l u r r i n g t h e l i n e s b e t w e e n t h e t w o t y p e s o f c o u r s e s . W W T h r o u g h o u t h i s i n t e r v i e w s , F r a n k s t r e s s e d t h e s e p a r a t i o n o f c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s . A s n o t e d a b o v e , h e i n d i c a t e d t h a t t h e c o u r s e s . T h i s a p p e a r e d t o b e a n i n s t a n c e o f b r i n g i n g u p a n i s s u e i n t h e i n t e r v i e w i n g t h a t h a d n o t b e e n r a i s e d e l s e w h e r e b e f o r e . 1 3 3 u s e o f m a n i p u l a t i v e s h a d a d i f f e r e n t p u r p o s e i n t h e c o n t e n t a n d m e t h o d s c l a s s e s , r e s u l t i n g i n d i f f e r e n t t y p e s o f i n s t r u c t i o n a n d c o n v e r s a t i o n a r o u n d t h e i r u s e . O c c a s i o n a l l y , F r a n k p o i n t e d o u t s p e c i f i c e x a m p l e s o f p r o b l e m s t h a t a r o s e w h e n c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s w e r e n o t s e p a r a t e d e n o u g h . A s n o t e d a b o v e , s t u d e n t s w e r e c o m i n g i n t o t h e m e t h o d s c o u r s e s a y i n g t h a t t h e y h a v e a l r e a d y d o n e t h e a c t i v i t i e s t h a t h e w a n t e d t h e m t o d o i n t h e m e t h o d s c o u r s e . W e h a v e s t u d e n t s w h o g o t h r o u g h 1 1 5 a n d 1 1 6 a n d t h e n t a k e t h i s m e t h o d s c o u r s e a n d s a y , " O h , w e ' v e h a d a l l t h i s . " O k a y ? T o m e , 1 1 5 a n d 1 1 6 , t h e e m p h a s i s s h o u l d b e o n t h e c o n t e n t , u s i n g s o m e o f t h e m a t e r i a l s t h a t y o u w o u l d u s e i n t h e c l a s s r o o m , b u t a g a i n , t h e f i n a l o u t c o m e i s o n t h e c o n t e n t , w h e r e a s i n 3 7 4 , I a s s u m e t h a t t h e s t u d e n t s k n o w t h e c o n t e n t , t h e y ' v e u s e d s o m e o f t h e m a t e r i a l s , b u t t h e e m p h a s i s s h o u l d b e o n h o w d o y o u g e t t h a t c o n t e n t a c r o s s t o t h e b o y s a n d g i r l s , a n d d i f f e r e n t w a y s o f a p p r o a c h i n g i t u s i n g s o m e o f t h e m a n i p u l a t i v e s a n d o t h e r s t r a t e g i e s . ( 2 2 P ) F o r F r a n k , t h e m e t h o d s c o u r s e , n o t t h e c o n t e n t c o u r s e , i n c l u d e d l e a r n i n g d i f f e r e n t w a y s o f a p p r o a c h i n g c o n t e n t . H i s p o s i t i o n w a s d i f f e r e n t f r o m t h e w a y o t h e r i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f l e a r n i n g m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e c o n t e n t c o u r s e . F r a n k v o i c e d a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e , t h a t o f h o p i n g t h a t s t u d e n t s l e a r n t h a t t h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s t o l o o k a t p r o b l e m s , w h e n I a s k e d w h a t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n h o w t o l e a r n i n t h e c o n t e n t c o u r s e . T h i s i s a s u b t l e d i f f e r e n c e : d i f f e r e n t w a y s o f l o o k i n g a t p r o b l e m s a s o p p o s e d t o d i f f e r e n t w a y s o f r e p r e s e n t i n g p r o b l e m s . F r a n k i d e n t i f i e d " l e a r n i n g t o l e a r n " a s a n e s s e n t i a l 1 3 4 p u r p o s e o f t h e c o u r s e , s o I a s k e d h i m t o g i v e a s e n s e o f w h a t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n t o l e a r n i n t h e c o u r s e . I w o u l d h o p e t h a t t h e y w o u l d l e a r n t h a t t h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s t o l o o k a t p r o b l e m s a n d b e a b l e t o , d i f f e r e n t w a y s o f t r y i n g t o s o l v e p r o b l e m s . ( s h o r t p a u s e ) T h a t , t h a t y o u c a n ' t t e a c h m a t h j u s t a s a h e a r i n g p r o b l e m , w h e r e i f t h e y d o n ' t u n d e r s t a n d i t , t h e i n s t r u c t o r s a y s t h e s a m e t h i n g a g a i n , b u t a l i t t l e l o u d e r . O k a y , t h a t t h e y w o u l d h a v e t o c o m e u p w i t h d i f f e r e n t i d e a s t o t r y t o p r e s e n t t h a t , t o t r y t o g e t t h e s t u d e n t t o u n d e r s t a n d i t . N o t o n l y d o e s t h e i n s t r u c t o r i n 1 1 5 h a v e t o d o t h a t , b u t h o p e f u l l y t h a t w o u l d t h e n m i r r o r t h a t f o r t h e s t u d e n t , t h a t w h e n t h e y e v e n t u a l l y t e a c h t h a t t h e y w o u l d t r y t o d o t h e s a m e t h i n g . ( 1 8 P ) T h e d i f f e r e n t w a y s t o l o o k a t p r o b l e m s , d i f f e r e n t w a y s t o s o l v e p r o b l e m s , d i f f e r e n t i d e a s t o p r e s e n t , a r e p a r t o f t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t h e c o u r s e . S o , a l t h o u g h F r a n k s t a t e d t h a t h e d i d n o t e x p e c t s t u d e n t s t o k n o w d i f f e r e n t w a y s t o s o l v e p r o b l e m s a s a r e s u l t o f t h e i r e x p e r i e n c e i n t h e 1 1 5 c o u r s e , h e v a l u e d t h i s k n o w l e d g e f o r t h e s t u d e n t s . R g l a 9 f " M o d e l i n g " F r a n k d i d n o t w a n t s t u d e n t s t o l e a r n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s , a s s u c h , i n t h e c o n t e n t c o u r s e s , b u t h e i n d i c a t e d t h a t i t w a s e s s e n t i a l f o r t h e c o u r s e t o p r o v i d e a m o d e l o f g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . S t u d e n t s w e r e t o s e e a p p r o p r i a t e t e a c h e r d e c i s i o n - m a k i n g a s a s u p p o r t f o r t h e c o u r s e s ' p o s i t i o n i n t e a c h e r p r e p a r a t i o n . S t u d e n t s w e r e n o t t o b e t a u g h t e x p l i c i t l y h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s , b u t t h e y w e r e t o s e e m o d e l e d t h e k i n d o f t e a c h i n g t h a t t h e y s h o u l d d o i n t h e i r f u t u r e c l a s s r o o m s . F r a n k ' s v i e w i n d i c a t e d a n i m m e n s e r e l i a n c e o n s t u d e n t m i r r o r i n g o f t e a c h e r a c fi o n s . 1 3 5 I w o u l d h o p e t h a t p e o p l e w h o t e a c h 1 1 5 w o u l d a l s o m i r r o r , s i n c e m o s t t e a c h e r s t e a c h t h e w a y t h e y w e r e t a u g h t , m i r r o r w h a t ' s g o i n g o n , w h a t w e h o p e t h a t w o u l d b e g o i n g o n t h e r e i n t h e e l e m e n t a r y c l a s s r o o m , o r i n t h e c l a s s . S o I w o u l d h o p e , f o r e x a m p l e , t h a t o n e , m a n i p u l a t i v e s b e u s e d , e m p h a s i z i n g p r o b l e m s o l v i n g , t h i n k i n g s k i l l . T h e r e w o u l d b e a , a c o u r s e o f a c o o p e r a t i v e t y p e s i t u a t i o n w h e r e s t u d e n t s m i g h t b e s i t t i n g d o w n w o r k i n g t o g e t h e r . T h e y w o u l d ( p a u s e ) d o , l e t ' s s a y , a n a c t i v i t y t o g e t h e r u s i n g c o n c r e t e m a t e r i a l s t h a t w o u l d e m p h a s i z e p r o b l e m s o l v i n g a n d w o r k t o g e t h e r o n i t . ( 9 - 1 0 C ) T h i s m o d e l o f t e a c h i n g i s w h a t h e h o p e d f o r , b u t h e d i d n o t t h i n k i t w a s t h e r e a l i t y i n t h e c o u r s e : " O f t h e s e c t i o n s t h a t w e h a v e , m y g u e s s w o u l d b e t h a t , p r o b a b l y d u r i n g t h e s e m e s t e r , a l l h a v e s o m e o f t h a t i n i t , b u t p r o b a b l y m o s t o f t h e m a r e , 8 0 % o f i t i s p r o b a b l y d o n e b y a l e c t u r e m e t h o d " ( 1 0 C ) . T h e " r o l e o f m o d e l i n g " i n t h i s c o n t e x t w a s a r o l e f o r t h e i n s t r u c t o r t o p l a y , n o t f o r t h e c o u r s e t o p l a y . T h e r o l e o f t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f c o n t e n t o v e r r o d e m o d e l i n g w h e n t h e t w o r o l e s s e e m e d t o c o m e i n t o c o n f l i c t . H e s t a t e d t h e f o l l o w i n g : M o s t p e o p l e a g r e e t h a t t h e y w o u l d l i k e t o d o e v e r y t h i n g t h a t w e t a l k e d a b o u t , o k a y ( l a u g h ) . I n r e a l i t y , I ' m n o t s u r e t h a t t h e y r e a l l y d o i t . O k a y ? ( s h o r t p a u s e ) A n d t h e r e c o u l d b e m a n y d i f f e r e n t r e a s o n s f o r t h a t . O b v i o u s l y , d o i n g t h a t t a k e s a g r e a t d e a l m o r e t i m e t h a n j u s t t o l e c t u r e d o e s . A n d a l s o , e v e n t h o u g h o u r , I t h i n k o u r c u r r i c u l u m i s s e t u p t o g i v e t h e m e n o u g h t i m e a n d l e e w a y f o r e n r i c h m e n t a c t i v i t i e s a n d s o o n , o t h e r s f e e l t h e y , p r e s s e d t h a t t h e y h a v e t o g e t t h i s m a t e r i a l a c r o s s t o b e a b l e t o c o m p l e t e t h i s w h o l e m a t e r i a l i n a g i v e n l e n g t h o f t i m e , b y t h e e n d o f t h i s c o u r s e f o r 1 1 5 , s o t h e y h a v e t h a t b a c k g r o u n d f o r 1 1 6 . ( 1 0 C ) F r a n k a s s e s s e d t h a t i n s t r u c t o r s r e c o g n i z e d t h a t s t u d e n t s w e r e p a r t o f a " p r o g r a m , " t a k i n g a s e q u e n c e o f c o u r s e s t h a t , t o g e t h e r , f o r m e d s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n . F r a n k s a w t h a t r e a l i t y a n d t h e c o n s t r a i n t s e m b e d d e d i n t h e " r e a l , " w h e t h e r o n l y p e r c e i v e d 1 3 6 o r a c t u a l , a f f e c t e d w h a t i n s t r u c t o r s a t t e m p t e d . I n o r d e r t o c o v e r t h e m a t e r i a l , c h o i c e s w e r e m a d e t h a t m o v e d a w a y f r o m t h e u s e o f i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s o t h e r t h a n l e c t u r i n g . I n t h i s w a y , t h e c o u r s e ' s r o l e f o r s t u d e n t l e a r n i n g o f c o n t e n t t o o k p r i o r i t y o v e r t h e i n s t r u c t o r ' s r o l e o f m o d e l i n g g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g m e t h o d s . S u m m a r y F r a n k d i d n o t c o m e o u t s t r o n g l y f o r a p a r t i c u l a r r o l e f o r t h e c o u r s e t o p l a y , b u t h e d i d c o m e o u t a g a i n s t t h e c o u r s e a s a p l a c e t o l e a r n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s a n d a s a g a t e - k e e p e r . L e a r n i n g h o w t o t e a c h c a m e i n t h e m e t h o d s c o u r s e h e t a u g h t . G a t e - k e e p i n g w a s n o t n e c e s s a r y s i n c e c o m p e t e n c e i n m a t h e m a t i c s w a s n o t e s s e n t i a l f o r g o o d t e a c h i n g . B u t t h i s d e s c r i p t i o n i s t o o s i m p l e b e c a u s e , a s i n d i c a t e d , s t u d e n t s w _ e & t o s e e h o w t o t e a c h i n t h e c o u r s e a n d F r a n k d e s i r e d a m o r e r i g o r o u s t r e a t m e n t o f t h e s u b j e c t . T h e r o l e o f 1 1 5 t h a t F r a n k e m p h a s i z e d t h e m o s t w a s p r o v i d i n g a b a c k g r o u n d e x p e r i e n c e i n t h e c o n t e n t u s i n g m a n i p u l a t i v e s s o t h a t s t u d e n t s w o u l d b e i n a g o o d p o s i t i o n t o l e a r n h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n t h e m e t h o d s c o u r s e . A s a m e t h o d s c o u r s e i n s t r u c t o r , F r a n k w a n t e d s t u d e n t s t o h a v e a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n a b o u t t o p i c s i n t h e c o n t e n t c o u r s e t h a t t h e y m a y n o t h a v e h a d i n t h e i r K - 1 2 e d u c a t i o n . T h i s o p p o r t u n i t y w a s p r e p a r a t o r y t o l e a r n i n g t o t e a c h c o n t e n t t h a t m a y o r m a y n o t h a v e b e e n i n t h e c u r r i c u l u m w h e n t h e s t u d e n t s w e r e c h i l d r e n . F r a n k a l s o f e l t t h a t s t u d e n t s w e r e n o t b e i n g g i v e n a r i g o r o u s e n o u g h b a c k g r o u n d i n l o g i c a n d g r o u p p r o p e r t i e s . T h e s e w e r e t w o o f s e v e r a l c o n t e n t t o p i c s t h a t h e w a n t e d s t u d e n t s t o s t u d y i n t h e c o u r s e s , b u t w h i c h w e r e n o t a p a r t o f t h e c o u r s e s a s t h e y w e r e 1 3 7 d e s i g n e d . A d d i t i o n a l l y , h e w a n t e d t h e c o n c e p t s t a u g h t i n t h e s e t t i n g o f e v e r y d a y u s e . B u t , h e f o u n d i t d i f f i c u l t t o g i v e e x a m p l e s o f w h a t t h i s k i n d o f t e a c h i n g w o u l d l o o k l i k e . F r a n k s a i d t h a t t h e c o u r s e w a s n o t t o p l a y a r o l e i n t e a c h i n g s t u d e n t s h o w t o t e a c h , b u t h e e m p h a s i z e d t h a t s t u d e n t s s h o u l d s e e a m o d e l o f g o o d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e i r c o u r s e s . I n t h i s a d d i t i o n a l w a y , t h e c o u r s e s w o u l d b e a s u p p o r t i v e p a r t o f e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n . F r a n k s p o k e f r e q u e n t l y a b o u t w h a t h e w i s h e d w a s t a u g h t a n d h o w h e w i s h e d i t w a s t a u g h t . A s a f a c u l t y m e m b e r w i t h a n a d m i n i s t r a t i v e r o l e t o p l a y , i t w a s r e a s o n a b l e f o r h i m h a v e w i t h t h i s f o c u s . L e a d e r s h i p o f t e n d e m a n d s l o o k i n g b e y o n d w h a t i s t o w h a t s h o u l d b e . F r a n k d i d n o t i n d i c a t e i n v o l v e m e n t i n c o n v e r s a t i o n s w i t h i n s t r u c t o r s o r a d m i n i s t r a t o r s o u t s i d e t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t , h o w e v e r . I n t h i s w a y , h e f o c u s e d h i s v i s i o n o f " w h a t s h o u l d b e " w i t h i n t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t . G a i l : R e d u c i n g A n x i e t y P r o f e s s o r G a i l L a u g h l i n ' s c o n c e p t u a l i z a t i o n o f t h e r o l e s t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s w e r e t o p l a y i n s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n w a s a t o n c e v e r y s i m p l e a n d v e r y c o m p l e x . H e r p r i m a r y g o a l w a s t h a t o f r e d u c i n g a n x i e t y , d i r e c t l y s t a t e d a n d r e - i t e r a t e d t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s . T h i s s o u n d s s i m p l e , b u t t h e c o m p l e x i t y o f t h i s r o l e m a n i f e s t e d i t s e l f i n t h e m a n y d i f f e r e n t a s p e c t s o f a n x i e t y t h a t w e r e o f c o n c e r n . R e d u c i n g A n x i e t y : E n a b l i n g C o n t e n t L e a r n i n g G a i l e q u a t e d r e d u c i n g a n x i e t y w i t h b u i l d i n g s t u d e n t s ' c o n f i d e n c e , h e l p i n g s t u d e n t s f e e l g o o d a n d h a v e f u n i n t h e c o u r s e s , d e v e l o p i n g g o o d a t t i t u d e s , a n d p r o v i d i n g a n o n - t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t . I e x a m i n e t o w a r d w _ h a _ t _ G a i l w a n t e d t o r e d u c e a n x i e t y : m a t h e m a t i c s , d o i n g m a t h e m a t i c s , b e i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m , t h e t e a c h e r , t e a c h i n g . I c o n s i d e r h o w G a i l s a w l e a r n i n g c o n t e n t f i t t i n g w i t h r e d u c i n g a n x i e t y f i r s t i n o r d e r t o s e t r e d u c i n g a n x i e t y i n t o t h e c o n t e x t o f t h e c o n t e n t c o u r s e s . ' n x ' e n L r n i n n n W h i l e m o s t i n s t r u c t o r s i n t e n d e d t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o b e c o u r s e s i n w h i c h s t u d e n t s l e a r n e d c o n t e n t , G a i l b e l i e v e d t h e c e n t r a l r o l e t h e c o u r s e s h o u l d p l a y w a s n o t c o n t e n t - s p e c i f i c . S h e f e l t t h a t , i f t h e c l a s s e s w e r e f u n a n d s t u d e n t s w e r e t u r n e d o n t o t h e m a t h e m a t i c s , t h e i s s u e o f l e a r n i n g c o n t e n t w o u l d b e t r i v i a l . 1 3 8 1 3 9 S e e , I b e l i e v e o n c e y o u g e t a s t u d e n t p a s t t h e a n x i e t y , t h e y s e e t h a t m a t h e m a t i c s i s f u n , y o u t u r n t h e m o n t o m a t h e m a t i c s , a l l t h e s e t h i n g s t h a t w e t a l k e d a b o u t , t h e c o n t e n t i s e a s y ! B e c a u s e t h e y a r e t u r n e d o n t o i t ! I ' v e s e e n i t ! T h e y ' l l g o r e s e a r c h i t . T h e y ' l l l o o k u p s o m e t h i n g . T h e y ' l l s t u d y s o m e t h i n g . T h e c o n t e n t i s e a s y f o r t h e m . I m e a n w e ' r e t a l k i n g , y o u k n o w , a r i t h m e t i c a n d j u n i o r h i g h a n d g r a d e l e v e l s t u f f . T h a t ' s n o t , t o m e , n o t t h a t i t ' s n o t i m p o r t a n t . I t ' s e s s e n t i a l , b u t t h e y w i l l g e t t h a t o n c e y o u g e t ' e m p a s t t h i s o t h e r s t u f f . S o , t h a t ' s w h y I p r o b a b l y s o u n d m o r e l i k e I ' m i n t o t h e p h i l o s o p h y a n d t h e m a t h e d a n d a l l t h a t . B u t , I , I , y o u k n o w , I f i n d y o u c a n t e a c h t h e m t h e c o n t e n t o n c e t h e y g e t o v e r t h a t f e a r , a n x i e t y , h a t r e d , a l l t h e b a d t h i n g s t h a t t h e y c o m e i n t o t h e c o u r s e w i t h . ( 2 1 P ) I n G a i l ' s m i n d , l e a r n i n g t h e c o n t e n t w a s t r i v i a l , i n p a r t , b e c a u s e t h e c o n t e n t i t s e l f w a s l o w e r l e v e l , n o t r e q u i r i n g a g r e a t d e a l o f s o p h i s t i c a t i o n . I f s t u d e n t s w e r e a b l e t o f o c u s o n t h e c o n t e n t , g e t t i n g p a s t t h e q u e s t i o n o f d i f f i c u l t y o r t h e i r f e e l i n g s o f f r u s t r a t i o n , t h e y c o u l d e a s i l y l e a r n i t . W i t h a p o s i t i v e a t t i t u d e , l e a r n i n g w o u l d o c c u r . D e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s a n d r e d u c i n g a n x i e t y t o w a r d m a t h e m a t i c s w a s t h e f u n d a m e n t a l g o a l o f t h e c o u r s e i n G a i l ' s m i n d . Y o u c a n a l w a y s g e t t h e m a t e r i a l , o n c e y o u h a v e a g o o d a t t i t u d e . I f y o u r e a l l y l i k e i t a n d y o u ' r e t u r n e d o n t o i t , y o u ' l l . e m o r n i n g , w h e t h e r y o u ' r e t h e t e a c h e r p r e p a r i n g f o r i t o r a s t u d e n t s t u d y i n g f o r a n e x a m . S o , I g u e s s t h a t ' s m y n u m b e r o n e t h i n g . I w a n t t h e m t o w a l k a w a y w i t h a g o o d a t t i t u d e . ( 1 1 C ) I n t h i s s t a t e m e n t , a s i n s e v e r a l o t h e r s , t h e r e w a s n o c o n f o u n d i n g G a i l ' s m e a n i n g . G a i l s a w p o s i t i v e a t t i t u d e s p r e c e d i n g c o n t e n t l e a r n i n g . S o , r e d u c i n g a n x i e t y i n i t s m a n y f o r m s w a s t h e m o s t c r i t i c a l r o l e f o r t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o p l a y . 1 4 0 B a i l d i n g C o n f i d e n c e W h e n G a i l e q u a t e d r e d u c i n g a n x i e t y w i t h b u i l d i n g c o n f i d e n c e , r e d u c i n g a n x i e t y h a d s e v e r a l o b j e c t s , e . g . , t o w a r d m a t h e m a t i c s , t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t o w a r d b e i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . S h e h a n d l e d r e d u c i n g a n x i e t y t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d b u i l d i n g c o n f i d e n c e i n d o i n g m a t h e m a t i c s t h r o u g h s t r e n g t h e n i n g a s p e c t s o f s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . O n a s u p e r f i c i a l l e v e l , G a i l s a w h e r p r a c t i c e o f g i v i n g e x t r a c r e d i t f o r a n d e n c o u r a g i n g s t u d e n t s t o u s e s y m b o l s f o r f r e q u e n t l y u s e d t e r m s i n m a t h e m a t i c s s u c h a s " f o r a l l " ( V ) a n d " t h e r e e x i s t s " ( E l ) s u p p o r t i n g c o n f i d e n c e - b u i l d i n g . S h e n o t e d t h a t s t u d e n t s g o t e x c i t e d a b o u t u s i n g t h e s y m b o l s . G a i l l e a r n e d , t h r o u g h e x p e r i e n c e , t h a t s h e n e e d e d t o s t a r t p r o b l e m s o l v i n g c o n t e n t w i t h l e s s d i f f i c u l t p r o b l e m s a n d m o v e t o t h e m o r e d i f f i c u l t p r o b l e m s g r a d u a l l y i n o r d e r t o a c h i e v e t h e g o a l o f r e d u c i n g a n x i e t y t o w a r d m a t h e m a t i c s t h r o u g h c o n f i d e n c e - b u i l d i n g . O n e o f t h e b i g g e s t m i s t a k e s I m a d e w h e n w e f i r s t b r o u g h t i n t h e p r o b l e m s o l v i n g a f e w y e a r s a g o , I w a s s o e x c i t e d . I m a d e u p t h e s e p r o b l e m s o l v i n g c a r d s a n d I c o u l d n ' t w a i t t o g e t i n t h e r e a n d d o t h a t g r o u p w o r k a n d I t h r e w i t a t t h e m t h e f i r s t d a y , a n d t h e y w e r e s o l o s t . A n d , I m e a n , t h e y w e r e s o s c a r e d . A n d i t w a s ( s h o r t p a u s e ) b a d . I m e a n , I l e a r n e d f r o m i t . A n d n o w , e v e r y t i m e I t e a c h i t , m o r e a n d m o r e , I l o o k f o r s i m p l e r p r o b l e m s t h a t ' l l g i v e t h e m t h e c o n f i d e n c e , y o u k n o w , c o n f i d e n c e - b u i l d i n g t h a t , t h a t a l m o s t a n y b o d y c o u l d g e t . A n d t h e y c o m e , " O h , I g o t t h a t ! " a n d t h e y f e e l r e a l l y e x c i t e d a n d g o o d a n d t h e n , l i k e , t h e y a r e w i l l i n g t o t r y , t h e y ' r e r e a d y t o d o s o m e t h i n g a l i t t l e b i t h a r d e r . ( 1 2 P ) G a i l ' s c h o i c e o f f e e l i n g w o r d s l i k e " l o s t " a n d " s c a r e d " a n d h e r d e s c r i p t i o n o f t h e s i t u a t i o n a s " b a d " g a v e a s t r o n g s e n s e o f t h e n e g a t i v e e f f e c t s s h e s a w f r o m t h i s t y p e o f e n c o u n t e r i n s t u d e n t s ' 1 4 1 e x p e r i e n c e . T h e p r o b l e m s w e r e t o o h a r d . T h e s i t u a t i o n i t s e l f w a s t h r e a t e n i n g . I n d u c i n g n e g a t i v e f e e l i n g s w e n t a g a i n s t h e r p r i m a r y g o a l o f r e d u c i n g a n x i e t y . S h e l e a r n e d t o s t a r t w i t h s i m p l e r p r o b l e m s , a n d b u i l d c o n f i d e n c e t o w a r d d o i n g p r o b l e m s o l v i n g . R e d u c i n g a n x i e t y a n d b u i l d i n g c o n f i d e n c e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s c o n c e r n e d G a i l b e c a u s e s h e s a w r e d u c i n g a n x i e t y a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a s i n t i m a t e l y c o n n e c t e d w i t h , i n f a c t s y n o n y m o u s w i t h , r e d u c i n g a n x i e t y a b o u t m a t h e m a t i c s , i t s e l f . G L : R e d u c e a n x i e t y s t u d e n t s m i g h t h a v e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . ( s h o r t p a u s e ) I s n ' t r e d u c e t h e a n x i e t y s t u d e n t s h a v e , o h , w e l l , y e a h . T h e t w o a r e o n e a n d t h e s a m e , a r e n ' t t h e y ? G K : W e l l , a r e t h e y ? G L : Y e a h . I f y o u h a v e a n x i e t y a b o u t m a t h e m a t i c s , h o w c o u l d y o u e v e r t e a c h i t ? G K : I s i t p o s s i b l e t o n o t h a v e a n x i e t y a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b u t t o h a v e a n x i e t y a b o u t m a t h e m a t i c s ? G L : N o t i f y o u ' r e h o n e s t w i t h y o u r s e l f , I d o n ' t t h i n k . A n d t h a t ' s w h a t I t e l l t h e m . Y o u k n o w , I m e a n , I ' v e h a d p e o p l e s a y , " W e l l , I c a n r e m e m b e r b e i n g i n e l e m e n t a r y s c h o o l a n d w e j u s t h a d m a t h o n c e a w e e k . " O n c e a w e e k ? W h a t ? G K : S o t h e y a r e n ' t a n x i o u s a b o u t t e a c h i n g m a t h i n e l e m e n t a r y s c h o o l ? G L : U n t i l t h e y c o m e i n t o m y c o u r s e . ( l a u g h s ) Y o u m e a n , t h e y ' r e n o t a n x i o u s b e c a u s e t h e y t h i n k t h e y o n l y g o t t o d o i t o n c e a w e e k ? S o , m y g o a l i s t o g i v e t h e m a n x i e t y , r i g h t ? ( L a u g h s ) I l o o k i t a s , i f y o u ' r e a n x i o u s a b o u t m a t h e m a t i c s , y o u ' r e g o i n g t o s t e e r a w a y f r o m i t , a n d y o u ' r e n o t g o i n g t o d o a g o o d j o b t e a c h i n g i t . ( 9 P ) I n t h i s e x c h a n g e , G a i l n o t e d t h a t s o m e s t u d e n t s w e r e n o t a n x i o u s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s b e c a u s e t h e y t h o u g h t t h e y w o u l d n o t n e e d t o d o i t v e r y o f t e n , a s w a s t h e i r m e m o r y o f e l e m e n t a r y s c h o o l . W h e n a s k e d t o i n d i c a t e h o w s h e r e s p o n d e d t o t h i s s t u d e n t p e r c e p t i o n , s h e l a u g h i n g l y a s k e d , " S o , m y g o a l i s t o g i v e t h e m 1 4 2 a n x i e t y , r i g h t ? " I n c r e a s i n g s t u d e n t a n x i e t y a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , w h i c h w o u l d m e a n i n c r e a s i n g a n x i e t y a b o u t m a t h e m a t i c s , d i d n o t f i t w i t h h e r g o a l o f m a k i n g s t u d e n t s f e e l g o o d a b o u t m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , o r b e i n g i n t h e c l a s s . I n s t e a d o f c h a l l e n g i n g t h e n o t i o n s t h a t s o m e s t u d e n t s h a d a b o u t t h e t i m e o r c o n t e n t k n o w l e d g e r e q u i r e d f o r t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a n d , c o n s e q u e n t l y , i n t r o d u c i n g a n x i e t y t o w a r d t e a c h i n g i n t o s t u d e n t s ' m i n d s , G a i l p r e f e r r e d r e d u c i n g s t u d e n t s ' a n x i e t y t o w a r d m a t h e m a t i c s w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t t h i s a l s o r e d u c e d a n x i e t y t o w a r d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . U n l i k e J e f f , w h o s a w h a v i n g s o m e a n x i e t y a b o u t t e a c h i n g a s a n i m p o r t a n t s p u r t o b e t t e r t e a c h i n g , G a i l a t t e m p t e d t o a v o i d a n x i e t y a b o u t t e a c h i n g t o m i n i m i z e a n x i e t y a b o u t m a t h e m a t i c s . I n t h i s r e g a r d , G a i l w a s c o n s i s t e n t . A n o t h e r a s p e c t o f r e d u c i n g a n x i e t y a n d b u i l d i n g c o n f i d e n c e c e n t e r e d o n t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t a n d t h e t e a c h e r ' s r o l e i n f a c i l i t a t i n g b o t h i n t h e c l a s s r o o m . P r o v i d i n g a n o n - t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t w a s c r i t i c a l t o G a i l . G a i l w a n t e d s t u d e n t s t o h a v e r e d u c e d a n x i e t y t o w a r d b e i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s , a n d h e r c l a s s , i n p a r t i c u l a r . S h e s a w t h e e n v i r o n m e n t s e t b y t h e t e a c h e r . A d e s i r a b l e e n v i r o n m e n t a n d a g o o d t e a c h e r w e r e n o n - t h r e a t e n i n g . S h e a t t e m p t e d t o p r o v i d e s u c h a n e n v i r o n m e n t f o r h e r s t u d e n t s , m u c h a s h e r b e s t t e a c h e r s h a d d o n e . W h a t y o u r s t u d e n t s r e m e m b e r t e n y e a r s l a t e r i s n ' t t h e m a t e r i a l . I t ' s h o w y o u t a u g h t . S o , I a m t h e m i r r o r t h a t t h e y a r e s e e i n g . I m e a n , I s t i l l r e m e m b e r o n e o f m y f a v o r i t e t e a c h e r s d o i n g t h i s w h e n s h e s t o o d a n d t a u g h t , a n d t h e r e a r e s o m a n y t h i n g s t h a t d i f f e r e n t t e a c h e r s I ' v e p i c k e d u p t h a t h a d s u c h a i m p a c t o n t h e w a y I t e a c h . . . . I c a n s t i l l r e m e m b e r s h e w a s a n e x c e l l e n t t e a c h e r , s h e w a s j u s t e x c e l l e n t . A n d , I m e a n , 1 4 3 l , I l i k e t o t h i n k t h a t I p i c k e d u p a l o t o f h e r w a y s o f t e a c h i n g . S h e w a s v e r y p e r s o n a b l e , s h e w a s n ' t t h r e a t e n i n g . . . . S h e w a s j u s t s o n e a t , a n d I ' m t r y i n g t o t h i n k o f w a y s s h e t a u g h t . I g u e s s i t w a s m a i n l y t h e n o n - t h r e a t e n i n g . I m e a n , s h e w a s a l w a y s w e l l - p r e p a r e d , y o u k n o w , p r e s e n t e d t h e s t u f f . B u t t h e b i g g e s t t h i n g i s t h a t s h e w a s n o n - t h r e a t e n i n g . ( 1 1 - 1 2 P ) G a i l s t r e s s e d t h e s e n s e o f g o o d t e a c h i n g a s n o n - t h r e a t e n i n g a n d t h e g o o d t e a c h e r a s n o n - t h r e a t e n i n g a s m o r e n o t e w o r t h y t h a n b e i n g w e l l - p r e p a r e d . T h i s r a n k i n g c o u l d r e f l e c t h e r b e l i e f t h a t m o s t o f h e r t e a c h e r s h a d h a d c o n t e n t k n o w l e d g e , b u t t h a t , i n o r d e r t o b e a g o o d t e a c h e r , y o u n e e d e d m o r e . T h a t " m o r e " i n v o l v e d e m p a t h y . E m p a t h y . T h a t ' s t h e b i g g e s t t h i n g . I m e a n , a l o t o f y o u r , y o u k n o w , c o l l e g e p r o f e s s o r s t h i n k . ( s i g h ) I d o n ' t k n o w , t h e y j u s t d o n ' t h a v e a n u n d e r s t a n d i n g f o r t h e a v e r a g e , y o u r t y p i c a l s t u d e n t , l i k e , w h a t e v e r y o u r t y p i c a l s t u d e n t i s . A n d t h e y h a v e n o e m p a t h y f o r ' e m a n d t h e y j u s t f l u n k ' e m . T h e y w o n ' t w o r k w i t h ' e m , t h e y d o n ' t c a r e , t h e y c u t ' e m d o w n , t h e y i n t i m i d a t e ' e m . I m e a n , t h e s e k i d s a r e c o m i n g i n w i t h e n o u g h a n x i e t y , t h e y d o n ' t n e e d s o m e b o d y s t a n d i n g u p t h e r e t e l l i n g t h e m h o w s t u p i d t h e y a r e . ( 2 1 - 2 2 P ) T h e i n s t r u c t o r s e t s t h e e n v i r o n m e n t t h r o u g h h i s o r h e r o w n e m p a t h y o r l a c k o f e m p a t h y f o r t h e s t u d e n t s . T h e e n v i r o n m e n t t h a t G a i l w a n t e d t o p r e v a i l i n h e r c l a s s r o o m w a s o n e i n w h i c h s t u d e n t s c o u l d a s k q u e s t i o n s w i t h o u t f e a r o f b e i n g t r e a t e d a s i f t h e y o r t h e i r q u e s t i o n s w e r e " s t u p i d . " H e r c o m m e n t s i m p l i e d t h a t s h e w a s s o e f f e c t i v e i n t h i s t h a t s h e w a s w o r k i n g a g a i n s t h e r g o a l o f c o n f i d e n c e - b u i l d i n g : T h a t ' s o n e o f t h e t h i n g s I t a l k a b o u t t h e f i r s t f e w w e e k s , y o u k n o w , a t f i r s t , w h e n t h e y a s k a q u e s t i o n , t h e y ' r e k i n d o f s h y . A n d i t ' s l i k e , " W e l l , I k n o w t h i s i s a s t u p i d q u e s t i o n , b u t , " y o u k n o w , a n d I ' m a l w a y s s a y i n g , " N o q u e s t i o n i s s t u p i d , i f y o u w a n t t o k n o w w h y , y o u k n o w , i f y o u ' r e n o t f o l l o w i n g o n t h e b o a r d , s t o p . I t m i g h t b e b e c a u s e y o u d o n ' t s e e t h a t t w o a n d t h r e e i s f i v e . A s k . " A n d I n e v e r , I s h o u l d n ' t s a y n e v e r , I ' m s u r e 1 4 4 I ' v e h a d m y b a d d a y s , b u t I r a r e l y , a n d I r e a l l y t r y n o t t o m a k e t h e m f e e l s t u p i d . I s t i l l g e t t h i n g s i n e v a l u a t i o n s , " S h e a l w a y s t h i n k s y o u ' r e s o s m a r t , s h e m a k e s y o u s t r e s s e d . S h e t h i n k s w e ' r e s o s m a r t , s h e t h i n k s w e k n o w e v e r y t h i n g . " A n d i t m a k e s t h e m f e e l s t u p i d b e c a u s e t h e y d o n ' t . ( 7 B ) T h e c r e d i t t h a t s h e g a v e t o h e r s t u d e n t s , w h e n t h e y f e l t i t u n w a r r a n t e d , w o r k e d a g a i n s t h e r a i m o f h a v i n g s t u d e n t s f e e l i n g c o n f i d e n t a b o u t t h e i r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s . T h e s t u d e n t s s e n s e d t h a t t h e y w e r e , i n f a c t , s t u p i d , b e c a u s e G a i l i m p l i e d t h a t t h e y m e t h e r h i g h e x p e c t a t i o n s o f t h e m , a n d t h e y k n e w d i f f e r e n t l y . A s G a i l d e s c r i b e d i t , a m a t h e m a t i c s c l a s s s h o u l d l o o k a n d f e e l l i k e a p l a c e w h e r e a s t u d e n t c o u l d c o m f o r t a b l y a s k q u e s t i o n s a n d n o t f e e l i n t i m i d a t e d b y t h e t e a c h e r o r t h e s u b j e c t . S h e l a u g h e d w i t h s t u d e n t s a b o u t t h e w a y t h e y h a d " l e a r n e d " c o n c e p t s b e f o r e a n d h o w s h e e x p e c t e d t h e m t o u n d e r s t a n d c o n c e p t s d i f f e r e n t l y i n t h e c o u r s e s . [ I n c l a s s , w e ] t a l k a b o u t w h y y o u d o w h a t y o u d o w h e n y o u d o i t - t h a t ' s w h a t t h e y g e t s o e x c i t e d a b o u t . T h e y c o m e a n d s a y , " G o d , i t ' s s o n e a t . I n e v e r k n e w w h y I d i d t h a t . I j u s t d i d i t . I n e v e r u n d e r s t o o d w h y I d i d t h a t . " Y o u k n o w , e v e n s o m e t h i n g s i m p l e l i k e i n v e r t i n g a n d m u l t i p l y i n g w i t h d i v i s i o n , t h e y d i d n ' t k n o w . " I t s a i d i n v e r t a n d m u l t i p l y , o k a y , I ' l l i n v e r t a n d m u l t i p l y . " W e a l w a y s g e t l a u g h i n g i n c l a s s , y o u k n o w , o r f i n d i n g c o m m o n d e n o m i n a t o r s o r w h a t e v e r . T h e y n e v e r u n d e r s t o o d w h y t h e y h a d t o d o i t . ( 1 7 P ) B y l a u g h i n g a b o u t p a s t s i t u a t i o n s a n d p o i n t i n g s t u d e n t s t o w a r d t h e g o a l o f u n d e r s t a n d i n g w h y t h e y d i d t h i n g s i n s o l v i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , G a i l f e l t t h a t t h e s t u d e n t s m o v e d t o w a r d t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t s a s s h e i n t e n d e d . G a i l e x p r e s s e d c o n f l i c t i n g f e e l i n g s a b o u t w h e t h e r t h e c o u r s e s h o u l d b e p o r t r a y e d a s d i f f i c u l t . W h i l e w a n t i n g s t u d e n t s t o f e e l c o n f i d e n t t h a t t h e y c o u l d d o t h e w o r k i n t h e c o u r s e , s h e e x p l i c i t l y 1 4 5 d e s c r i b e d t h e c o u r s e a s " n o t a n e a s y c o u r s e " i n t h e c o u r s e d e s c r i p t i o n s h e h a n d e d o u t a t t h e b e g i n n i n g o f c l a s s : " [ M a t h 1 1 5 ] i s a p t a c o u r s e i n a r i t h m e t i c . I t i s n o t a n e a s y c o u r s e . I t i _ s a c o u r s e t h a t i s d e s i g n e d t o c h a l l e n g e y o u t o t h i n k " ( e m p h a s i s i n o r i g i n a l - G L C o u r s e D e s c r i p t i o n ) . [ N o t e t h a t t h i s c o n f l i c t s w i t h h e r s t a t e d v i e w t h a t s t u d e n t s c o u l d e a s i l y l e a r n t h e c o n t e n t b e c a u s e " T h e c o n t e n t i s e a s y f o r t h e m . I m e a n w e ' r e t a l k i n g , y o u k n o w , a r i t h m e t i c a n d j u n i o r h i g h a n d g r a d e l e v e l s t u f f " ( 2 1 P ) . ] W h e n a s k e d i f s h e w a n t e d t o m a i n t a i n t h e p e r c e p t i o n t h a t t h e c o u r s e w a s d i f f i c u l t , s h e s a i d t h a t s h e r e a d t h i s n o t i o n t w o w a y s . O n e r e a d i n g l e f t h e r f e e l i n g t h a t s h e d i d n o t w a n t t o p e r p e t u a t e t h a t s e n t i m e n t ; s h e w a n t e d s t u d e n t s t o f e e l c o n f i d e n t a b o u t t h e i r a b i l i t y t o c o m p l e t e t h e c o u r s e s u c c e s s f u l l y . T h e s e c o n d r e a d i n g l e d h e r t o s a y t h a t t h e c o u r s e w a s d i f f i c u l t , m i s u n d e r s t o o d b y t h o s e o u t s i d e t h e r e a l m o f e d u c a t i o n w h o w o u l d h a v e t h e s t u d e n t s b e l i e v e t h a t t h e c o u r s e w a s v o i d o f a n y t h i n g o f v a l u e . F e fi n o o d G a i l a l s o p a i r e d r e d u c i n g a n x i e t y w i t h d e v e l o p i n g p o s i t i v e f e e l i n g s . G a i l n o t e d t h a t , w i t h c o n f i d e n c e , c a m e f e e l i n g g o o d . W h a t s t u d e n t s w e r e t o f e e l g o o d a b o u t ( e . g . , a b o u t m a t h e m a t i c s o r a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ) w a s n o t a l w a y s c l e a r . H a v i n g s t u d e n t s f e e l g o o d o c c a s i o n a l l y c o n f l i c t e d w i t h G a i l ' s p l a n s f o r g r o u p w o r k a s a n i n s t r u c t i o n a l d e s i g n . S o m e t i m e s , " f e e l i n g g o o d " t o o k p r i o r i t y ; o t h e r t i m e s , h a v i n g s t u d e n t s w o r k i n p a r t i c u l a r g r o u p s t o o k p r i o r i t y . I c o u l d s e e t h a t t h e y [ s t u d e n t s ] w e r e a l w a y s g e t t i n g i n t h e s a m e g r o u p s , a n d s o I c a m e i n w i t h n u m b e r s a n d c h a n g e d t h e i r 1 4 6 g r o u p i n g , a n d t h e y w e r e r e a l l y u p s e t a b o u t i t a t f i r s t . B u t t h e n t h e y l i k e d i t b e c a u s e t h e y g o t t o m e e t n e w p e o p l e . S o , I ' m k i n d o f , t h a t ' s a t o u g h o n e . I t ' s l i k e i f y o u f o r c e s o m e b o d y i n a g r o u p t h a t t h e y d o n ' t w a n t t o b e i n , t h e y ' r e n o t g o i n g t o d o w e l l ; t h e y ' r e n o t g o i n g t o l i k e i t . B u t o n t h e o t h e r h a n d , t h e y g e t i n t o t h e s e , w h e r e t h e y ' r e a l w a y s i n t h e s a m e g r o u p , t h e y d o n ' t g e t t o k n o w o t h e r p e o p l e , t h e y r e l y o n t h e t o p s t u d e n t i n t h a t g r o u p t o d o a l l t h e t h i n k i n g f o r ' e m . ( 1 3 C ) B e c a u s e G a i l w a s s e n s i t i v e t o s t u d e n t s ' f e e l i n g g o o d a b o u t b e i n g i n t h e c l a s s , s h e w a s h e s i t a n t t o f o r m g r o u p s i n w a y s t h a t s h e f e l t m i g h t b r e a k u p c l i q u e s o f s t u d e n t s , t h o u g h s h e s e n s e d t h a t c l i q u e s w e r e n o t a p r o d u c t i v e w a y f o r t h e g r o u p s t o b e f o r m e d . T h e i s s u e o f w h a t s t u d e n t s w e r e t o f e e l g o o d a b a t t t s e e m e d i m p o r t a n t h e r e . T h e f o c u s w a s f e e l i n g g o o d a b o u t b e i n g i n t h e c l a s s o r n o t b e i n g u p s e t w i t h t h e t e a c h e r . A n o t h e r i n s t a n c e o f t h i s f o c u s o n f e e l i n g g o o d c a m e w h e n G a i l t a l k e d a b o u t c o r r e c t i n g s t u d e n t e r r o r s . S h e d e s c r i b e d a n e x a m q u e s t i o n w h i c h a s k e d s t u d e n t s t o d e t e r m i n e i f a c h i l d h a d u s e d a r e a s o n a b l e s t r a t e g y t o d o a c o m p u t a t i o n . T h e c h i l d ' s w o r k i n c l u d e d a g r o s s e r r o r . I t ' s a m a z i n g . T h e y ' l l [ s t u d e n t s ] s a y , " Y e a h , t h a t ' s o k a y . " I m e a n , t h e y c o u l d c h e c k i t o n t h e i r c a l c u l a t o r t h a t i t ' s w r o n g . T h e y ' l l s a y t h i s , " O h , y e a h . T h a t s t u d e n t ' s f i n e . " T h e y ' l l t e l l m e i t ' s r i g h t . . . . I t b l o w s m y m i n d . ( l a u g h s ) A n d I p o i n t o u t t o t h e m , i n a n i c e w a y , I s a y , " Y o u g u y s , y o u ' r e , y o u ' r e , y o u ' r e f o r g e t t i n g t h a t y o u c a n a l w a y s u s e y o u r c a l c u l a t o r . M u l t i p l y 3 7 t i m e s 5 6 a n d y o u c a n s e e t h a t i t ' s w r o n g . I m e a n , y o u s h o u l d a t l e a s t b e a b l e . " T h a t ' s w h a t w o r r i e s m e . A r e t h e y g o n n a g e t o u t i n t h e c l a s s r o o m a n d s a y t o t h a t s t u d e n t , " O h , y e a h . T h a t ' s a n i c e s h o r t - c u t . Y o u c a n d o t h a t . " I c a n ' t b e l i e v e t h e y w o u l d d o t h a t . ( L a u g h s ) ( 1 9 C ) I n t h i s s i t u a t i o n , s t u d e n t s ' e x a m a n s w e r s i n d i c a t e d t h a t t h e y l a c k e d u n d e r s t a n d i n g o f m u l t i - d i g i t m u l t i p l i c a t i o n a n d d i s r e g a r d e d t h e 1 4 7 a v a i l a b i l i t y o f c a l c u l a t o r s a s a s u p p o r t . G a i l p o i n t e d o u t t o t h e m , " i n a n i c e w a y " , t h a t t h e y h a d m a d e a s e r i o u s m i s t a k e . W h i l e t h e s t u d e n t s ' s e e m i n g l a c k o f s e n s e - m a k i n g t r o u b l e d h e r , h a v i n g t h e m f e e l g o o d a b o u t t h e s i t u a t i o n c o n c e r n e d h e r m o r e . T o s o m e e x t e n t , G a i l ' s c o n c e r n r e s i d e d i n h a v i n g t h e s t u d e n t s l i k e h e r , a s t h e t e a c h e r , a n d p u t t i n g t h e m a t e a s e w i t h h e r . S h e s a w h a v i n g p u p i l s l i k e t h e t e a c h e r a n d f e e l c o m f o r t a b l e i n t h e c l a s s a s t h i n g s t h a t s h e w a n t e d s t u d e n t s t o v a l u e f o r t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s , t o o . A s a r e s u l t , s h e a c t i v e l y a t t e m p t e d t o s u p p o r t d e v e l o p i n g t h i s r e l a x e d f e e l i n g t o w a r d t h e t e a c h e r a n d t h e c l a s s . W h e n t h e y d o s o m e t h i n g w r o n g , g i v e t h e m a p a t o n t h e b a c k , p o i n t o u t t h e g o o d t h i n g s . W h e n I g r a d e t h e i r q u i z z e s a n d t e s t s , I ' m a l w a y s w r i t i n g p e r s o n a l n o t e s o n i t . I p u t a s m i l e y f a c e i f t h e y d o w e l l . T a l k i n g w i t h t h e m , t e l l i n g t h e m a l i t t l e b i t a b o u t m y p e r s o n a l l i f e , j u s t b e i n g p e r s o n a b l e w i t h t h e m . I t h i n k t h a t ' s m o r e t h a n a n y t h i n g , i s n o t b e i n g i n t i m i d a t e d b y t h e t e a c h e r , t h e n t h e y ' r e n o t i n t i m i d a t e d b y t h e c o u r s e a s m u c h . G e t t i n g t o k n o w r _ n a . [ v o c a l e m p h a s i s ] ( 4 B ) A g a i n , s h e e x p r e s s e d c o n c e r n f o r n o t i n t i m i d a t i n g o r t h r e a t e n i n g s t u d e n t s . I n t h i s c a s e , t h e i n t e n t i o n w a s t o s u p p o r t s t u d e n t s ' 1 p o s i t i v e f e e l i n g s t o w a r d t h e t e a c h e r , w h i c h s u p p o r t e d f e e l i n g g o o d a b o u t b e i n g i n t h e c o u r s e . T h e i s s u e o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t l e a r n i n g w a s i m p l i c i t l y a p a r t o f t h e e q u a t i o n , a s i n d i c a t e d a b o v e . T h a t i s , i f s t u d e n t s d i d n o t f e e l i n t i m i d a t e d o r t h r e a t e n e d b y t h e t e a c h e r , t h e y w o u l d b e i n c l i n e d t o w o r k h a r d e r a n d l e a r n t h e c o n t e n t . T h e c l o s e s t t h i n g t o e x p l i c i t l y t a l k i n g a b o u t f e e l i n g g o o d a b o u t m a t h e m a t i c s i t s e l f c a m e w h e n G a i l s p o k e o f u s i n g m a n i p u l a t i v e s . G a i l d e s c r i b e d u s i n g c u p s a n d c h i p s i n a n a c t i v i t y t h a t m o d e l e d b a l a n c i n g e q u a t i o n s . I n h e r r e c o u n t i n g o f t h e l e s s o n , s h e e x p r e s s e d 1 4 8 s u r p r i s e t h a t s t u d e n t s l i k e d t h e a c t i v i t y a n d h a d g a i n e d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o c e s s o f s o l v i n g e q u a t i o n s . I w a s a m a z e d h o w m u c h t h e y l i k e d i t . I t c l i c k e d f o r s o m e o f t h e m , t h a t , " O h , w h a t e v e r w e d o t o t h e o n e s i d e o f t h e e q u a t i o n , w e h a v e t o d o t o t h e o t h e r . " T h a t ' s m y m a i n r e a s o n f o r d o i n g t h a t i s t o s h o w ' e m t h a t y o u g o t t o d o t h e s a m e t h i n g t o b o t h s i d e s , w h e t h e r y o u ' r e a d d i n g , s u b t r a c t i n g , m u l t i p l y i n g o r d i v i d i n g . ( 4 B ) T h e f a c t t h a t t h e s t u d e n t s l i k e d d o i n g t h e a c t i v i t y w a s i m p o r t a n t t o G a i l . T h e r e l i a n c e o n a c t i v i t i e s a n d t h e d e s i r e f o r t h e m t o b e e n j o y a b l e w a s a c o n s i s t e n t p a r t o f G a i l ' s i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . T h i s d e s i r e w a s e s p e c i a l l y c l e a r w h e n s h e t a l k e d a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f p r o v i d i n g o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o h a v e f u n i n t h e c o u r s e . H a v i n g a n G a i l p r o v i d e d o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o h a v e f u n w i t h t h e m a t h e m a t i c s a s a w a y t o r e d u c e a n x i e t y . W h e n a s k e d h o w s h e p l a n n e d f o r h a v i n g f u n i n t h e c o u r s e , G a i l u s e d t h e e x a m p l e o f w o r k w i t h M i r a s . A M i r a i s a r e f l e c t i v e p i e c e o f P l e x i g l a s w i t h a b e v e l e d e d g e a n d e n d b r a c e s t o s e t t h e M i r a u p r i g h t o n . A M i r a c a n b e o r i e n t e d o n o r n e a r a d r a w i n g a n d u s e d t o r e f l e c t t h e d r a w i n g i n d i f f e r e n t p o s i t i o n s , d e p e n d i n g o n t h e p l a c e m e n t o f t h e M i r a . G a i l h a d s e v e r a l s h e e t s i n t h e c o u r s e p a c k e t t h a t s h e f e l t a d d e d a n e l e m e n t o f e n j o y m e n t t o t h e t a s k o f l e a r n i n g h o w t o u s e t h e M i r a . W e l l , d i d y o u s e e t h e c o u r s e p a c k s a n d t h e s t u f f t h a t w e d i d ? T h a t w a s s o c u t e . A n d s e e , w e , y o u k n o w , t h i s i s f o r e l e m e n t a r y s c h o o l , s o i t ' s p r e t t y , s o m e o f t h e s t u f f i s p r e t t y s i m p l e . [ l o o k i n g t h r o u g h c o u r s e p a c k e t a n d p i c k i n g o u t s h e e t s , . . . ] W e t h o u g h t t h i s w a s s o c u t e . Y o u m o v e i t a r o u n d a n d y o u c a n p u t t h e w i g s o n h e r . I t c h a n g e s h e r h a i r s t y l e . T h i s o n e y o u c a n p u t t h e c a r i n t h e g a r a g e o r y o u c a n b r i n g t h e g a r a g e t o 1 4 9 t h e c a r . J u s t t h i n g s l i k e t h a t . I t h i n k , k i d s l o v e t h i s . A n d e v e n t h e c o l l e g e k i d s g o t a k i c k o u t o f i t . I m e a n i t r e a l l y w a s t o s h o w t h e m w h a t t h e y c a n d o i n e l e m e n t a r y s c h o o l . ( 8 B ) T h e c u t e a c t i v i t i e s w e r e a p p r o p r i a t e f o r e l e m e n t a r y s c h o o l c h i l d r e n a n d g a v e t h e s t u d e n t s a c h a n c e t o l e a r n h o w t o u s e t h e M i r a . T h e m o t i v a t i o n f o r d o i n g t h e s e a c t i v i t i e s w a s t o g e t s t u d e n t s c o m f o r t a b l e w i t h u s i n g t h e M i r a . B e c a u s e G a i l d i d n o t a s s u m e t h a t s t u d e n t s h a d t a k e n h i g h s c h o o l g e o m e t r y , t h e r e w a s l i t t l e d i s c u s s i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s a t w o r k i n t h e a c t i v i t i e s . S h e f e l t t h a t t h i s w o u l d d i s a d v a n t a g e s t u d e n t s w h o h a d n o t s t u d i e d f o r m a l g e o m e t r y . P r o v i d i n g a c t i v i t i e s t h a t w e r e f u n a n d c o u l d b e u s e d i n s t u d e n t s ' f u t u r e t e a c h i n g w a s a n i m p o r t a n t p a r t o f G a i l ' s p l a n n i n g a n d s u p p o r t e d h a v i n g s t u d e n t s b o t h e n j o y t h e c l a s s a n d f i n d t h e c l a s s i n t e r e s t i n g . F o r o t h e r i n s t r u c t o r s , s e l e c t i n g c o n t e n t t h a t w a s i n t e r e s t i n g t o t h e s t u d e n t s o r m o t i v a t i n g i n t e r e s t o n t h e p a r t o f s t u d e n t s w a s i m p o r t a n t . G a i l h a d a s l i g h t l y d i f f e r e n t a p p r o a c h t o t h e i s s u e o f i n t e r e s t . H e r f o c u s w a s l e s s o n t h e s e l e c t i o n o f i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d m o r e o n c o n n e c t i n g t h e c o n t e n t t o t h e s t u d e n t s ' f u t u r e t e a c h i n g t o m a i n t a i n i n t e r e s t . M y s t u d e n t s i n m y 1 1 5 c o u r s e a r e g o n n a l o s e i n t e r e s t i f I g e t ( s h o r t p a u s e ) f a r a w a y f r o m w h a t t h e y ' r e g o n n a e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m . T o m e , y o u g o t t a b r i n g i t i n , y o u k n o w , " W h e n y o u g e t o u t t h e r e , t h i s i s g o n n a h a p p e n , o r t h a t ' s g o n n a h a p p e n o r w h e n y o u ' r e i n t h e c l a s s r o o m , " b e c a u s e t h e n t h e y c a n r e l a t e t o i t . I t ' s l i k e , t h a t ' s , t h a t ' s o n e o f t h e t h i n g s t h a t t h e y d o p o s i t i v e l y c o m m e n t o n . Y o u k n o w , " I t ' s n e a t b e c a u s e s h e , s h e b r i n g s i n , w e c a n r e a l l y s e e w h e r e w e ' r e g o n n a u s e t h i s . W e c a n s e e w h e r e w e r e a l l y n e e d t h i s . W e ' r e g o n n a b e u s i n g t h i s i n t h e c l a s s r o o m . " ( 2 5 P ) 1 5 0 T h e i n t e r e s t t h a t s h e c a p i t a l i z e d o n w a s i n t e r e s t i n t e a c h i n g m o r e s o t h a n m a t h e m a t i c s . S h e c a p i t a l i z e d o n t h i s i n t e r e s t i n t h e c o u r s e , i n p a r t , t h r o u g h h e r p r a c t i c e o f h a v i n g s t u d e n t s d o a c t i v i t i e s t h a t t h e y c o u l d u s e i n t h e i r t e a c h i n g . G i v e s t u d e n t s i d e a s f o r a c t i v i t i e s t h a t t h e y c a n d o i n t h e i r f u t u r e c l a s s r o o m s . O h , y e a h . I t ' s n o t a n e s s e n t i a l p a r t o f t h e c o u r s e a s f a r a s t h e m a t h d e p a r t m e n t , b u t w e ' r e l o o k i n g a t e s s e n t i a l a s m y s t a n d a r d s , r i g h t ? . . . C u z I b r i n g i n e x t r a s t u f f a n d t e l l t h e m t o s t a r t b u i l d i n g a n o t e b o o k a n d s a v i n g i t f o r w h e n t h e y g e t o u t . S o , i t ' s e s s e n t i a l i n m y c o u r s e . ( 7 P ) E x a m p l e s o f t h e " e x t r a s t u f f " t h a t s h e b r o u g h t i n w e r e p o e m s , r i d d l e s , a n d a r t i c l e s f r o m v a r i o u s s o u r c e s . S h e s a w t h e s e a d d i n g t o t h e s t u d e n t s ' p r o f e s s i o n a l l i b r a r y o f r e f e r e n c e s a s w e l l a s s u p p o r t i n g h e r g o a l o f b u i l d i n g o n t h e i r i n t e r e s t a s f u t u r e t e a c h e r s . i n A n x i e t n L e a r n i n o n t n : R e v i i t W h i l e G a i l s a w r e d u c i n g a n x i e t y a s t h e p r i m a r y r o l e o f t h e c o u r s e , s h e d i d n o t w a n t t h i s e m p h a s i z e d a t t h e e x p e n s e o f c o n t e n t . W e l l , i t ' s e a s y t o s a y y o u w a n t a g o o d a t t i t u d e . I d e a l l y , y o u w a n t t o t u r n t h e m o n t o m a t h a n d h a v e a g o o d a t t i t u d e , b u t y o u r j o b a l s o i s t o t e a c h ' e m c o n t e n t . W h e n t h e y g o i n t o 3 7 4 [ m e t h o d s c o u r s e ] , t h e y n e e d t o k n o w t h i s c o n t e n t . T o m e , t h i s i s a r i t h m e t i c s t u f f , a n d s o y o u c a n t a l k a l l y o u w a n t a b o u t , " O h , y e a h , a l l I w a n t t o d o i s h a v e g o o d a t t i t u d e . " I m e a n , t h a t ' s n o t a l l I w a n t t o d o . [ v o c a l e m p h a s i s ] I w a n t t h e m t o k n o w t h i s m a t e r i a l , t o o . . . . Y o u a s k e d m e t o s u m m a r i z e ( l a u g h s ) w h a t w a s , i f I h a d o n e g o a l , w h a t w o u l d i t b e , a n d t h a t w o u l d b e t o t u r n ' e m o n t o m a t h a n d h a v e a g o o d a t t i t u d e . B u t t h e r e ' s a l o t o f g o a l s . T h e y n e e d t o k n o w t h a t c o n t e n t . T h e y c a n ' t g o o u t t h e r e a n d t e a c h w i t h o u t k n o w i n g i t . ( 1 9 , 2 0 C ) T h e b o t t o m l i n e w a s t h a t s t u d e n t s h a d t o k n o w t h e c o n t e n t w h e n t h e y f i n i s h e d t h e c o u r s e . T h e c o u r s e p r o v i d e d a s e t o f o p p o r t u n i t i e s f o r l e a r n i n g t h e c o n t e n t i n t e n d e d t o b e n o n - t h r e a t e n i n g , s u p p o r t i v e 1 5 1 o f c o n f i d e n c e - b u i l d i n g , a n d e n j o y a b l e . S h e d e s i g n e d t h e a c t i v i t i e s t o a c c o m p l i s h t h i s w h i l e g i v i n g s t u d e n t s a c t i v i t i e s t h a t t h e y m i g h t b e a b l e t o r e f i n e a n d u s e i n t h e i r o w n t e a c h i n g . I n t a k i n g G a i l ' s c o m m e n t s a s a w h o l e , t h e r e w a s n o i n c o n s i s t e n c y b e t w e e n h e r a v o w e d p r i m a r y g o a l a n d t h e l e a r n i n g o f c o n t e n t . S h e d i d n o t i g n o r e c o n t e n t w i t h h e r e m p h a s i s o n a t t i t u d e s . 2 4 R a t h e r , G a i l ' s p r e m i s e w a s t h a t , b y d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e , c o n t e n t " w o u l d c o m e " - - e s p e c i a l l y t h e r e l a t i v e l y e a s y c o n t e n t o f a r i t h m e t i c t h a t G a i l s a w t h e s t u d e n t s n e e d i n g t o k n o w . W h i l e G a i l f e l t s t r o n g l y a b o u t r e d u c i n g s t u d e n t s ' a n x i e t y a b o u t m a t h e m a t i c s , d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d b e i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m , s h e s a w t h e l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t , a s e a s y a s i t w a s , a s a n e c e s s i t y . S h e d i d n o t f e e l c o m p e l l e d t o p a s s s t u d e n t s w h o d i d n o t s a t i s f y h e r c o u r s e r e q u i r e m e n t s . S h e s p o k e o f w e e d i n g o u t u n d e r p r e p a r e d s t u d e n t s t h e f i r s t f e w w e e k s o f t h e s e m e s t e r . S h e a l s o a c k n o w l e d g e d t h a t u p t o o n e t h i r d o f t h e s t u d e n t s i n h e r c l a s s e s w e r e s t u d e n t s r e t a k i n g t h e c o u r s e . G a t e - k e e p i n g w a s a r o l e t h e c o u r s e w a s t o p l a y . W i t h o u t a p r e - r e q u i s i t e r e q u i r e m e n t , s t u d e n t s t o o k t h e c o u r s e w i t h o u t h a v i n g a n a d e q u a t e b a s e o f c o n t e n t k n o w l e d g e . W h e n I a s k e d 2 4 A t o n e p o i n t i n t h e i n t e r v i e w i n g , G a i l s u g g e s t e d t h a t p e r h a p s t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t o f t h e c o u r s e w a s n o t i m p o r t a n t , a n d t h a t s h e s h o u l d g i v e t h o u g h t t o s e l e c t i n g c o n t e n t t h a t s t u d e n t s c o u l d b u i l d p o s i t i v e a t t i t u d e s a r o u n d . S e e i n g t h e g o a l a s r e d u c i n g a n x i e t y t h r o u g h t h e c h o i c e o f c o n t e n t i s a v e r y d i f f e r e n t r e a s o n f o r n o t b e i n g c o n c e r n e d a b o u t t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t t o b e l e a r n e d t h a n w a s s u g g e s t e d b y D i e n e s ( 1 9 7 2 ) . R e c a l l D i e n e s s a w t h e p a r t i c u l a r c o n t e n t o f l e s s c o n c e r n b e c a u s e t h e c o n t e n t i s c h a n g i n g s o f a s t . I t i s m o r e i m p o r t a n t , i n h i s v i e w , t o b e c o n c e r n e d t h a t s t u d e n t s l e a r n t o " m e e t t h e u n e x p e c t e d " ( p . 6 6 ) . 1 5 2 G a i l i f t h i s a f f e c t e d w h a t c o n t e n t s h e t a u g h t i n t h e c o u r s e , s h e r e p H e d : N o . I t j u s t m e a n s t h e y d o n ' t m a k e i t . ( l a u g h s ) N o , I d o n ' t l o w e r m y s t a n d a r d s a t a l l . T h e y , y o u k n o w , I e x p l a i n t o t h e m a n d I , I w i l l w o r k w i t h t h e m o n t h e s i d e , b e c a u s e I f e e l b a d t h a t t h e r e w a s n ' t a p r e r e q u e [ p r e - r e q u i s i t e ] i n t h e b o o k . I t ' s n o t t h e i r f a u l t , b u t , ( p a u s e ) y o u k n o w , t h e y h a v e t o , y o u h a v e c e r t a i n g o a l s a n d t h e y g o t t o m e e t ' e m , i f t h e y d o n ' t , t h e y ' r e o u t o f t h e r e , t h a t ' s t h e w a y i t i s . ( 6 C ) T h e r e s u l t w a s t h a t m a n y s t u d e n t s d i d n o t p a s s a n d c h o s e t o r e t a k e t h e c o u r s e r a t h e r t h a n c h a n g e t h e i r c a r e e r g o a l . G a i l i n d i c a t e d t h a t t h e s t u d e n t s o f t e n r e a l i z e d t h e v a l u e i n r e t a k i n g t h e c o u r s e . I n t h i s w a y , s h e s a w r e t a k i n g t h e c o u r s e e n h a n c i n g s t u d e n t s ' a t t i t u d e s . S h e a l s o n o t e d t h a t , i n t h e f u t u r e , a d e v e l o p m e n t a l m a t h e m a t i c s c o m p o n e n t t a k e n p r i o r t o t h e c o u r s e m i g h t r e d u c e t h i s p r o b l e m . T h e t h r e e s t r a t e g i e s f o r r e d u c i n g a n x i e t y t h a t G a i l e m p h a s i z e d w e r e t h r e e o f m a n y d i f f e r e n t w a y s t h a t a n i n s t r u c t o r c o u l d o r g a n i z e i n s t r u c t i o n t o m a x i m i z e t h i s r o l e i n t h e c o u r s e s . B u i l d i n g c o n f i d e n c e a n d p r o v i d i n g o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o f e e l g o o d a n d t o h a v e f u n w i t h m a t h e m a t i c s a n d i n m a t h e m a t i c s c l a s s w e r e i m p o r t a n t a s p e c t s o f t h e c o u r s e s f o r G a i l . T h e r e w e r e o t h e r g o a l s f o r t h e c o u r s e b e y o n d r e d u c i n g a n x i e t y . I n s o m e c a s e s , s h e a c t i v e l y p u r s u e d t h e g o a l s ( e . g . , g a t e - k e e p i n g ) i n t h e c o u r s e s ; i n o t h e r c a s e s , s h e s p e c i f i e d t h e g o a l s ( e . g . , l e a r n i n g t h e n o r m s ) b u t m a d e l i t t l e a t t e m p t t o m e e t t h e m . S u m m a r y G a i l h a d a s i n g u l a r f o c u s o n r e d u c i n g a n x i e t y t o f a c i l i t a t e m a t h e m a t i c s l e a r n i n g , a n d s h e d i d n o t l o o k b e y o n d t h i s t o c o n s i d e r w h a t o t h e r c o u r s e s o u t s i d e t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t c o n t r i b u t e d 1 5 3 t o s t u d e n t s ' p r o g r a m s . S h e c r a f t e d h e r v e r s i o n o f t h e c o u r s e u s i n g h e r o w n p r e f e r e n c e s a n d e x p e r i e n c e s a s i n f o r m a n t s , s o m e t i m e s c h o o s i n g t o i n c l u d e c o n t e n t t h a t o t h e r s r e c o m m e n d e d a g a i n s t . S h e s a w h e r e x p e r i e n c e s w o r k i n g w i t h h e r s o n ' s t e a c h e r s a s i m p o r t a n t c o n t r i b u t o r s t o h e r t e a c h i n g a n d d e c i s i o n - m a k i n g . G a i l s a w t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a s e s s e n t i a l t o t h e p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . I n l a r g e p a r t , t h i s w a s b e c a u s e t h e c o u r s e s o f f e r e d a n o p p o r t u n i t y t o r e d u c e t h e a n x i e t y s t u d e n t s h a d t o w a r d m a t h e m a t i c s , d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d b e i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . G a i l s a w t h i s a s c r i t i c a l f o r t h e i r f u t u r e p e r f o r m a n c e o f t e a c h i n g d u t i e s w i t h r e s p e c t t o m a t h e m a t i c s . S h e m a d e t h i s p o i n t r e p e a t e d l y t h r o u g h o u t h e r i n t e r v i e w s . A n d , s h e d e s c r i b e d s e v e r a l a s p e c t s o f r e d u c i n g a n x i e t y t h a t o r i e n t e d h e r a c t i o n s i n t h e c l a s s . T h e t h r e e a s p e c t s o f r e d u c i n g a n x i e t y e l a b o r a t e d u p o n i n t h i s a n a l y s i s w e r e b u i l d i n g c o n f i d e n c e , f e e l i n g g o o d , a n d h a v i n g f u n . L i k e J e f f , G a i l f e l t a h e a v y r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e p r e p a r a t i o n o f t h e f u t u r e t e a c h e r s i n h e r c o u r s e s a n d b e l i e v e d t h a t t e a c h i n g t h e c o u r s e s h e l d g r e a t e r d e m a n d s t h a n o t h e r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . H e r r e a s o n i n g t o o k a d i f f e r e n t t a c k f r o m J e f f ' s , h o w e v e r . W h e n y o u ' r e o f f e r i n g a c o u r s e t o s t u d e n t s t h a t w a n t t o b e t e a c h e r s , y o u n e e d a g o o d t e a c h e r i n t h a t c l a s s r o o m t e a c h i n g i t . B e c a u s e a g a i n , n o t o n l y a r e y o u t e a c h i n g t h e m t h e c o n t e n t , y o u ' r e t e a c h i n g ' e m h o w t o t e a c h , w h e t h e r y o u w a n t t o o r n o t . T h e y ' r e w a t c h i n g y o u a n d t h e y ' r e p i c k i n g i t u p . A n d t h e y ' r e o n y o u r c a s e a l l t h e t i m e . I m e a n , i f y o u b r e a t h e w r o n g , ( l a u g h s ) t h e y ' r e o n t o y o u r c a s e . Y o u c a n ' t g e t a w a y w i t h a n y t h i n g . W e l l , y o u c a n ' t g e t a w a y w i t h a n y t h i n g i n t h e r e . I m e a n , i t ' s m u c h e a s i e r f o r m e t o t e a c h t h e a l g e b r a a n d t h e b u s i n e s s a n a l y s i s a n d t h e b u s i n e s s c a l c u l u s c o u r s e s . T h e y k i n d o f l o o k u p t o y o u 1 5 4 a n d ( s h o r t p a u s e ) t h e y , t h e y d o n ' t a r g u e w i t h y o u , y o u c a n , y o u p r e t t y m u c h h a v e f r e e r e i n t o d o w h a t y o u w a n t . B u t , i n t h o s e m a t h e d c o u r s e s , t h e y a r e s t u d y i n g t o b e t e a c h e r s , a n d a l o t o f t h e m a r e v e r y o p i n i o n a t e d , a n d I ' m n o t s a y i n g t h a t ' s b a d . B u t , y o u b e t t e r b e o n y o u r t o e s . Y o u ' d b e t t e r b e r e a d y , a n d y o u ' d b e t t e r k n o w w h a t y o u ' r e d o i n g , a n d y o u b e t t e r k n o w h o w t o a n s w e r t h e w h y s a n d h o w s a n d , o f e v e r y t h i n g y o u ' r e d o i n g . I t ' s h a r d e r . I t ' s j u s t m o r e d i f f i c u l t . ( 2 1 C ) W h e r e J e f f ' s r e a s o n i n g c e n t e r e d o n t h e s t u d e n t s ' f u t u r e p u p i l s , G a i l ' s p e r s p e c t i v e f o c u s e d o n h e r a s t h e m o d e l o f t e a c h i n g . T h i s p e r s p e c t i v e w a s c o n s i s t e n t w i t h t h e w a y G a i l s a w t h e d e m a n d s o n b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s v e r s u s t h e d e m a n d s o n b e i n g g o o d a t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S h e s a w t h e l a t t e r a s h o l d i n g g r e a t e r d e m a n d s - - f o r s u c h t h i n g s a s f l e x i b i l i t y o f t h i n k i n g , a b i l i t y t o m o d e l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s , a n d b e i n g a b l e t o a s k g o o d q u e s t i o n s . G a i l f o c u s e d h e r c o m m e n t s p o w e r f u l l y o n r e d u c i n g a n x i e t y a n d , a s a r e s u l t , s e e m e d t o b e o n l y s e c o n d a r i l y c o n c e r n e d a b o u t i s s u e s o f h o w t o t e a c h . T h i s m a y b e m i s l e a d i n g , b e c a u s e s h e , m o r e t h a n m a n y o t h e r i n s t r u c t o r s , v o i c e d t h e n e e d t o d e a l w i t h m e t h o d s i s s u e s i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e . T h e e n d - r e s u l t w a s a s e n s e t h a t G a i l s a w a l l o f t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s a s b e i n g v a l i d f o r t h e c o u r s e . B u t , r e d u c i n g a n x i e t y h a d t o p p r i o r i t y . C r a i g : C o n t e n t , N o r m s , D i s p o s i t i o n s , a n d A t t i t u d e s F o r P r o f e s s o r C r a i g K e n n e d y , t h e r o l e s t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n c o m p l e m e n t e d t h e f u r t h e r w o r k i n t h e d e p a r t m e n t ' s m e t h o d s c o u r s e . H e w a s p e r h a p s i n t h e b e s t p o s i t i o n t o h a v e t h i s p e r s p e c t i v e s o w e l l - e s t a b l i s h e d i n h i s m i n d , a s a n i n s t r u c t o r o f b o t h c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s a t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w i n g . H e d i d n o t i n d i c a t e t h a t h e w o r k s w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s o r f a c u l t y f r o m o t h e r d e p a r t m e n t s , b u t h e t o o k a n a c t i v e r o l e i n p u b l i c e d u c a t i o n a s a s c h o o l b o a r d m e m b e r i n t h e r u r a l c o m m u n i t y i n w h i c h h e l i v e d . C r a i g c h a r a c t e r i z e d t h e c o u r s e s a n d t h e i r i n s t r u c t i o n a s d y n a m i c , i n t h e p r o c e s s o f c h a n g e a n d i m p r o v e m e n t . H e d e s c r i b e d t h e r o l e s t h e y w e r e t o p l a y a s e v o l v i n g , a s w e l l . T h e c u r r e n t e m p h a s i s w a s o n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t w i t h s u p p o r t i n g r o l e s i n t h e l e a r n i n g o f n o r m s a n d t h e d e v e l o p m e n t o f p o s i t i v e a t t i t u d e s a n d p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s . C o n t e n t K n o w l e d g e C r a i g f o l l o w e d t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s i n t e r m s o f t h e c o n t e n t c o v e r a g e a n d i t s p r o b l e m s o l v i n g f o c u s . H e m o n i t o r e d i n p u t f r o m o u t s i d e a n d i n s i d e t h e c o u r s e s t o d e t e r m i n e t h e c o u r s e o r i e n t a t i o n . T h e s e r e s o u r c e s i n c l u d e d t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s , p r o f e s s i o n a l r e s o u r c e s , a n d t h e s t u d e n t s i n t h e c o u r s e s , t h e m s e l v e s . C r a i g p r o v i d e d s t u d e n t s w i t h f r a m e s o f r e f e r e n c e t h a t w e r e t o s u p p o r t t h e i r l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . I n t h e i n t e r v i e w i n g , C r a i g c l a r i f i e d h i s v i e w s o n u n d e r s t a n d i n g a n d t h e 1 5 5 1 5 6 i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f m a t h e m a t i c a l t o p i c s . H e a l s o d e s c r i b e d t h e i m p a c t o f r e f o r m o n c o n t e n t i s s u e s f a c i n g t h e i n s t r u c t o r s o f t h e c o u r s e s . T h h a n i n o n t e n t C r a i g s a w t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e s g o i n g t h r o u g h a c h a n g e , d u e i n p a r t t o t h e i n i t i a t i o n o f p l a c e m e n t t e s t i n g a n d a v a i l a b i l i t y o f c o u r s e s a t t h e r e m e d i a l l e v e l . I n t h e f u t u r e , c o n t e n t c o v e r a g e w i t h w h o l e n u m b e r s a n d f r a c t i o n s i n t h e p r o g r a m w o u l d t a k e t h e f o r m o f w o r k i n t h e m e t h o d s c o u r s e i n v o l v i n g h o w t o t e a c h t h e c o n t e n t t o c h i l d r e n a n d w o u l d n o l o n g e r b e a f o c u s o f c o n c e n t r a t i o n i n t h e c o n t e n t c o u r s e s , M a t h 1 1 5 a n d 1 1 6 . W e ' r e c o n s t a n t l y t r y i n g t o u p g r a d e . N o w , a t N U , w e h a v e a c o u r s e 1 0 7 a n d 1 0 8 [ r e m e d i a l ] w h e r e t h e y r e a l l y w o u l d b e c h a n n e l e d i f t h e y d o n ' t h a v e t h e m a t h b a c k g r o u n d l i k e w e ' d l i k e t o t a k e 1 1 5 o r 1 1 6 . S o , w e ' r e w o r k i n g o n t h a t . A n d i n r e c e n t c u r r i c u l u m r e v i s i o n s w e ' v e m a d e f o r o u r 1 1 5 a n d f o r o u r 1 1 6 , w e ' r e c u t t i n g o u t w o r k w i t h w h o l e n u m b e r s a n d q u i t e a b i t o f w o r k w i t h f r a c t i o n s a n d t h e s e k i n d s o f t h i n g s i n t h e s e c o u r s e s , h o p i n g e i t h e r t h e y ' v e h a d t h a t b e f o r e , o r w i l l g e t m o r e w i t h t h a t i n t h e m e t h o d s c o u r s e , l a t e r , w h e r e y o u g e t h a n d s - o n a n d g o i n - d e p t h w i t h h o w t o t e a c h t h i s t o k i d s . A n d w e ' d l i k e t o f o c u s m o r e o n t h e s e c o u r s e s , u s i n g t h e c a l c u l a t o r , d o i n g p r o b l e m s w i t h o t h e r p a r t s o f t h e r e a l n u m b e r s y s t e m , i n s t e a d o f f o c u s i n g s o m u c h o n t h e w h o l e n u m b e r s a n d n u m b e r s l i k e t h a t . ( 3 C ) T h e s h i f t w o u l d a l l o w m o r e c o n c e n t r a t i o n o n p r o b l e m s o l v i n g a n d u s e o f t e c h n o l o g y , t w o e l e m e n t s t h a t C r a i g i d e n t i f i e d a s e s s e n t i a l f o r s t u d e n t s t o h a v e e x p e r i e n c e w i t h i n t h e c o u r s e s . C r a i g t a l k e d a b o u t t h i s s h i f t a s b e i n g s u p p o r t e d i n t h e d i s c u s s i o n s o f t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e t h a t f o c u s e d o n t h e M a t h 1 1 5 a n d M a t h 1 1 6 c o u r s e s . U n l i k e t h e o t h e r i n s t r u c t o r s , h e t h o u g h t t h e 1 5 7 M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s m i g h t r e s u l t i n s o m e c h a n g e i n t h e c o n t e n t f o c u s o f t h e c o u r s e s . I n t h e c u r r e n t d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s , p r o b l e m s o l v i n g w a s a m a j o r f o c u s , b u t t h e u s e o f t e c h n o l o g y w a s r e s t r i c t e d t o t h e u s e o f f o u r - f u n c t i o n c a l c u l a t o r s . C r a i g w a n t e d w o r k w i t h c o m p u t e r s a n d g r a p h i n g c a l c u l a t o r s t o s u p p o r t t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s w i t h i n t h e c o u r s e s , b u t t h e l a c k o f e q u i p m e n t a n d k n o w l e d g e ( o n t h e p a r t o f f a c u l t y ) w a s h o l d i n g h i m b a c k . H e h o p e d t o s p e n d t i m e l e a r n i n g a b o u t u s i n g c a l c u l a t o r s . T h a t ' s o n e t h i n g I w o u l d , t h i n g I w o u l d l i k e t o d o t h i s s u m m e r i s e x p l o r e t h e g r a p h i c s c a l c u l a t o r m o r e f o r i t s u s e i n a c o u r s e l i k e t h i s . B e c a u s e I t h i n k , f o r e x a m p l e , w h e n y o u ' r e d o i n g l i n e o f b e s t f i t a n d t h a t k i n d o f t h i n g , i t w o u l d b e v e r y n i c e t o h a v e t h a t . A n d t o h a v e t h e m o r a t l e a s t h a v e o n e t o s h o w h o w , h o w y o u c o u l d d o s o m e o f t h i s w i t h a g r a p h i c s c a l c u l a t o r a n d f o r c e r t a i n f u n c t i o n s . B u t w e d o n ' t , I d o n ' t c u r r e n t l y u s e a c a l c u l a t o r , a g r a p h i c s c a l c u l a t o r i n t h i s c o u r s e . ( 5 B ) C r a i g c o u l d s e e t h a t t h e r e w e r e p l a c e s t h a t t h e u s e o f t e c h n o l o g y w o u l d m a k e s e n s e a n d a d d t o t h e c o n t e n t c o v e r a g e . H e a n t i c i p a t e d w o r k i n g t o w a r d u s i n g t e c h n o l o g y m o r e a s i t b e c a m e a v a i l a b l e t o u s e . C r a i g a l s o s t r e s s e d t h e i m p a c t o f o u t s i d e i n f l u e n c e s l i k e t h e N C T M S t a n d a r d a , M E A P ( M i c h i g a n E d u c a t i o n a l A s s e s s m e n t P r o g r a m ) t e s t i n g , a n d p r o f e s s i o n a l r e a d i n g o n h i s v e r s i o n o f t h e c o u r s e . I n t h i s w a y , h e w a s q u i t e u n i q u e - - n o t i n g a t s e v e r a l p o i n t s t h e i m p a c t o f t h e s e i n f l u e n c e s o n t h e c o u r s e s a n d h i s o w n t h i n k i n g a n d a c t i n g . G K : W h a t ' s b e e n t h e i m p e t u s f o r a l l t h e c h a n g e s ? C K : W e l l , t h i s i s , t h e S t a n d a r d s , t h e n a t i o n a l S t a n d a r d s “ c e r t a i n l y , a n d w h a t w e s e e o n t h e M E A P , y o u k n o w , t h e n e w M E A P . ( s h o r t p a u s e ) I t h i n k a l s o j u s t i n g e n e r a l , w h e r e w e a r e i n o u r r e a d i n g a n d t h i n k i n g a s p r o f e s s i o n a l s , p r o b a b l y w e ' v e h a d s o m e o f t h e s e b e l i e f s f o r y e a r s , b u t ( l a u g h - s h o r t p a u s e ) n o w , w i t h t h e e m p h a s i s a t t h e n a t i o n a l a n d s t a t e l e v e l o n s o m e 1 5 8 c h a n g e , i t ' s e a s i e r i n a s e n s e t o ( s h o r t p a u s e ) . . . . O f c o u r s e , I t h i n k t h e n a t i o n a l S t a n d a r d s a n d o t h e r t h i n g s j u s t c a m e f r o m p e o p l e l i k e u s , a n y w a y , t h a t , s o . ( s h o r t p a u s e ) D i d n ' t j u s t s t a r t t h r e e y e a r s a g o , o u t o f t h e b l u e . I t ' s b e e n s m o l d e r i n g f o r m a n y y e a r s . ( 4 - 5 C ) C r a i g f o u n d s u p p o r t f o r w h a t h e w a n t e d t o b e d o i n g i n t h e c l a s s r o o m i n t h e s e o u t s i d e s o u r c e s t h a t r e i n f o r c e d t h i n g s h e h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t f o r y e a r s . T h i s s u p p o r t e x t e n d e d t o b o t h c o n t e n t c o n c e r n s a n d c o n c e r n s a b o u t h o w t o t e a c h t h e c o n t e n t . C r a i g r e s p o n d e d t o w h a t h e s a w a s s t u d e n t s ' p r i o r k n o w l e d g e a n d s u s p e c t e d n e e d s t h r o u g h h i s i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s . H o w t o t e a c h t h e m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s w a s c o n n e c t e d i n t i m a t e l y w i t h t h e w h y . 2 5 C r a i g s a w t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n t e n t p e r s o n a l l y a t a l e v e l t h a t w a s r i c h i n i n t e r c o n n e c t i o n s i n o r d e r t o m o v e t o w a r d l e a r n i n g h o w t o t e a c h i t : " W e d o n ' t f o c u s o n t h e m t e a c h i n g i t , b u t f o r t h e m u n d e r s t a n d i n g i t , h o p e f u l l y i t w i l l h e l p t h e m t e a c h i t " ( 6 P ) . T h e c o n t e n t a n d d e p t h o f u n d e r s t a n d i n g w a s g e a r e d t o t h e i r c h o s e n c a r e e r p a t h : " A n d , b y d e e p , w e m e a n , d e e p i n t h e s e n s e t h a t w e k n o w t h e y ' r e g o i n g t o b e e l e m e n t a r y t e a c h e r s , f o r e x a m p l e . N o t d e e p i n t h e s e n s e t h a t a P h D w o u l d n e e d " ( 6 P ) . F o r c o n c e p t s t h a t s t u d e n t s w o u l d h a v e e n c o u n t e r e d p r i o r t o t h e c o u r s e s , t h e g o a l w a s t o b u i l d o n t h e s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g . T h i s b u i l d i n g c o u l d t a k e t h e f o r m o f s e t t i n g t h e c o n t e n t i n c o n t e x t . 2 5 N o t i c e t h a t t h i s " h o w t o t e a c h " d o e s n o t i n v o l v e t h e r o l e o f t h e s t u d e n t s l e a r n i n g h o w t o t e a c h . R a t h e r , i t i n v o l v e s t h e d e c i s i o n s o f t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r f o r t h e t e a c h i n g o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s . 1 5 9 L i k e o n f r a c t i o n s , f o r e x a m p l e , [ m y d e s i g n ] i s h a v e i t c o m e u p k i n d o f i n c i d e n t a l l y , n o t a s a t o p i c t o b e , y o u k n o w , g o b a c k t o s q u a r e o n e a n d g o t h r o u g h u n i t f r a c t i o n s a n d s o f o r t h , s o m u c h a s h a v i n g t h e m b e a b l e t o u s e t h o s e i d e a s a n d c o n c e p t s i n p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n s . Y o u k n o w , m e a s u r e m e n t s i t u a t i o n s , t h a t k i n d o f t h i n g . ( 7 — 8 C ) I n t h i s w a y , C r a i g a n t i c i p a t e d t h a t t h e s t u d e n t s w e r e r e i n f o r c i n g s k i l l s a n d g a i n i n g a s e n s e o f c o n f i d e n c e i n t h e i r a b i l i t y t o u s e t h e m . T h e b u i l d i n g o f u n d e r s t a n d i n g c o u l d a l s o t a k e t h e f o r m o f i n v e s t i g a t i n g c o n c e p t s a n d r e l a t i o n s h i p s u s i n g m a n i p u l a t i v e s . I n 1 1 5 , I ' v e u s e d b a s e t e n m a t e r i a l s a n d C u i s e n a i r e r o d s c o n n e c t e d w i t h f r a c t i o n s a n d d e c i m a l c o n c e p t s . G r i d s , f r o m t h e c o n c r e t e t o t h e , t o t h e s e m i - c o n c r e t e , o r , p i c t o r i a l . ( p a u s e ) T h r e e d i f f e r e n t k i n d s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f f r a c t i o n s , i n t e r m s o f t h e a r e a , l e n g t h , a n d d i s c r e t e o b j e c t k i n d o f t h i n g . ( s h o r t p a u s e ) M a n y t i m e s t h e y ' v e h a d t h a t i n s - , a l o t o f t h a t , b u t t h e y h a d n ' t h a d a c h a n c e t o s i t b a c k n o w , a n d , i n a s h o r t p e r i o d o f t i m e , t a k e a g l a n c e b a c k a t a l l o f i t , y o u k n o w , f o r a s e c o n d t i m e . A n d , " O h , t h a t ' s w h a t f r a c t i o n s a r e a l l a b o u t ! " ( 9 C ) T h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s w a s b e c o m i n g a n i m p o r t a n t a s p e c t o f t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t h e c o u r s e s f o r C r a i g . H e s e n s e d t h a t t h e s t u d e n t s w e r e a b l e t o c o n s i d e r t h i n g s o n a m e t a c o g n i t i v e l e v e l a s a r e s u l t o f t h i s a p p r o a c h t o t h e c o n t e n t i n t h e c o u r s e s . F R r n i M h ' E a r l y e a c h t e r m , C r a i g p r e s e n t e d a f r a m e w o r k t h a t h e a n d t h e s t u d e n t s u s e d t h r o u g h o u t t h e c l a s s t o h e l p t a l k a b o u t l e a r n i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s . I w i l l d o t h i n g s l i k e g o t h r o u g h a n d h a v e t h e m t h i n k a b o u t t h e k i n d s o f t h i n g s y o u d o i n m a t h e m a t i c s , l i k e s k i l l s t h a t y o u g e t d e v e l o p e d , k n o w l e d g e , u n d e r s t a n d i n g s , g e n e r a l i z a t i o n s , a t t i t u d e , c o n c e p t s . W e ' l l d i s c u s s . ( p a u s e ) Y o u k n o w t h e k i n d s o f t h i n g s t h a t y o u t r y t o , t h a t y o u g e t i n v o l v e d w i t h w h e n y o u d o m a t h e m a t i c s o r l e a r n m a t h e m a t i c s . A n d t h e n , a s w e g o 1 6 0 t h r o u g h t h e c o u r s e , w e ' l l , t h e s e w o r d s w i l l b e c o m e p a r t o f o u r v o c a b u l a r y , y o u k n o w . ( 2 2 C ) I n a d d i t i o n t o t h i s s e t o f s i x a s p e c t s i n v o l v e d i n l e a r n i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s ( s k i l l s , k n o w l e d g e , u n d e r s t a n d i n g s , g e n e r a l i z a t i o n s , a t t i t u d e , c o n c e p t s ) , C r a i g a l s o e x p l i c i t l y d r e w s t u d e n t s ' a t t e n t i o n t o t h e d i f f e r e n t w a y s o f r e p r e s e n t i n g c o n c e p t s , e x t e n d i n g B r u n e r ' s s e t o f t h r e e - - i n a c t i v e , i c o n i c , a n d s y m b o l i c - - t o i n c l u d e t w o c a t e g o r i e s a d d e d b y L e s h - - a p p l i c a t i o n s a n d v e r b a l i z a t i o n s . I n t e r m s u s e d m o r e f r e q u e n t l y b y C r a i g , t h e c a t e g o r i e s w e r e c o n c r e t e , p i c t o r i a l , s y m b o l i c , a p p l i e d , a n d v e r b a l a s w a y s o f r e p r e s e n t i n g c o n c e p t s . W e d i s c u s s b o t h o f t h e s e t h i n g s [ s i x t h i n g s i n v o l v e d i n d o i n g m a t h e m a t i c s a n d f i v e w a y s o f r e p r e s e n t i n g c o n c e p t s ] , b u t w e d o n ' t t a k e a w h o l e l o t o f t i m e o n i t , f a i r l y e a r l y i n t h e c o u r s e , a n d t h e n i t ' s , t h e s e a r e t h i n g s w e c a n r e f e r b a c k t o a s k i n d o f a c o m m o n , f o r m a n y o f t h e t h i n g s t h a t w e d o , s e e h o w t h i s f i t s i n t o t h e s e . ( 2 5 C ) B o t h s e t s o f i d e a s w e r e f o u n d a t i o n a l i n s e t t i n g t h e t o n e f o r t h e c o u r s e s . S t u d e n t s w e r e t o l e a r n m a t h e m a t i c s i n v a r i o u s f o r m s , a n d t h e r e w e r e w a y s t o l e a r n m a t h e m a t i c s t h a t s t r e n g t h e n e d i t s m e a n i n g . H a v i n g t h i s c o m m o n f o u n d a t i o n h e l p e d a c h i e v e t h e g o a l o f g r e a t e r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . I t y o u f e e l g o o d a b o u t y o u r s e l f a n d y o u u n d e r s t a n d m o r e o f w h a t t h i s i s a l l a b o u t b y t y i n g i n t h e c o n c r e t e t o t h e p i c t u r e s t o t h e s y m b o l s t h e n I , f r o m w h a t r e s e a r c h h a s s h o w n u s , t o o , I m e a n y o u ' r e g o i n g t o r e m e m b e r m o r e . T h e m o r e y o u r e a l l y u n d e r s t a n d w h a t y o u ' r e d o i n g , n o t o n l y a r e y o u g o i n g t o b e l e s s a f r a i d t o t r y a n e w p r o b l e m o r w h a t e v e r , b u t y o u ' r e g o i n g t o r e m e m b e r i t b e t t e r i f y o u ' v e h e l p e d d e v e l o p i t i n s t e a d o f j u s t b e i n g l e c t u r e d t o i t a n d a l l t h i s s t u f f . ( 2 0 B ) 1 6 1 T h i s f i n a l s t a t e m e n t g i v e s a c l u e a s t o h o w C r a i g a n t i c i p a t e d a c c o m p l i s h m e n t o f t h i s g o a l . L e c t u r i n g w a s n o t h i s i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g y o f c h o i c e . R a t h e r , C r a i g t r i e d t o i n v o l v e s t u d e n t s i n a c t i v i t i e s t h a t r e q u i r e d t h e m t o m o v e f r o m t h e c o n c r e t e t o t h e a b s t r a c t , o f t e n i n t h e c o n t e x t o f a p p l i c a t i o n s r e q u i r i n g w r i t t e n o r o r a l e x p l a n a t i o n . T h e m o t i v a t i o n f o r t h i s d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t s f r o m c o n c r e t e t o a b s t r a c t w i t h a p p l i c a t i o n s a n d v e r b a l i z a t i o n r e s t e d i n t h e v a l u e o f t h i s t o t h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s . I n t a l k i n g a b o u t d e v e l o p i n g t h e f o r m u l a f o r t h e a r e a o f a c i r c l e t h r o u g h a p r o g r e s s i o n o f a c t i v i t i e s , s t a r t i n g w i t h a p a p e r p a r a l l e l o g r a m a n d m o v i n g t o a r e g u l a r p o l y g o n w i t h m a n y s i d e s a l l c u t i n t o t r i a n g l e s , d r a w i n g p i c t u r e s ( s e e F i g u r e 2 ) , a n d e v e n t u a l l y w r i t i n g t h e f o r m u l a f o r t h e a r e a o f a c i r c l e , C r a i g s t a t e d t h e m o t i v a t i o n : " T h e r e a s o n f o r d o i n g t h i s i s t o h e l p t h e m . P e r h a p s , g i v e t h e m s o m e i d e a s o f w h a t t h e y c a n d o w i t h k i d s . B u t , h e l p t h e m t o u n d e r s t a n d b e t t e r w h e r e t h e f o r m u l a c o m e s f r o m a n d , a n d a g a i n t o c u t t h e i r a n x i e t y " ( 9 B ) . H e u s e d t h i s a s a n o p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t o i n v e s t i g a t e t h e c o n c e p t o f a r e a , c o n n e c t i n g c o n c e p t s 1 / 2 1 t r A h I l = x 7 “ . ' j m 2 e h / 2 Z fi r F I G U R E 2 D e v e l o p i n g t h e F o r m u l a f o r t h e A r e a o f a C i r c l e 1 6 2 t o s u p p o r t l e a r n i n g , i n p a r t i c u l a r s e e i n g t h a t t h e a r e a f o r m u l a f o r r e c t a n g l e s c o u l d b e u s e d t o u n d e r s t a n d t h e a r e a f o r m u l a f o r a c i r c l e . T h i s e x e m p l i f i e s h o w a t a s k c o u l d i n v o l v e i n t e r c o n n e c t i n g a c r o s s c o n c e p t s ( a r e a o f r e c t a n g l e / a r e a o f c i r c l e ) a n d i n t e r c o n n e c t i n g m e a n i n g a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s ( c o n c r e t e , p i c t o r i a l , a n d a b s t r a c t ) . I a r i f i n I e a s a n d D e f i n i t i o n s i n T h i n k i n a b u n t e n t C r a i g w o r k e d t o c l a r i f y t e r m s a s h e s p o k e , o f t e n p o i n t i n g o u t t h a t a t e r m w a s c o m p l e x , e . g . , " u n d e r s t a n d i n g . " W h e n a s k e d i f p e o p l e n o t h a v i n g a d e e p u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s s h o u l d b e k e p t o u t o f t e a c h i n g , h e p o i n t e d t h i s o u t . I t d e p e n d s h o w m u c h t h e y d o n ' t u n d e r s t a n d , I s u p p o s e . I f t h e y d o n ' t u n d e r s t a n d a f e w c o n c e p t s , u n d e r s t a n d i n g ' s a s p e c t r u m a n y w a y , r i g h t ? ( l a u g h ) W h a t d o e s i t m e a n " t o u n d e r s t a n d " ? T h e r e a r e l e v e l s o f t h a t , a s D a v i s , I t h i n k , h a d a n a r t i c l e o n e t i m e i n A r i t h m e t i c T e a c h e r J o u r n a l . U n d e r s t a n d g e n e r a l i z a t i o n s , u n d e r s t a n d ( s h o r t p a u s e ) v a r i o u s t h i n g s , t h e r e a r e l e v e l s o f t h a t . ( 1 3 P ) A b i t l a t e r , h e a c k n o w l e d g e d t h a t a c e r t a i n l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g h a d t o b e a p a r t o f a n i n d i v i d u a l ' s u n d e r s t a n d i n g o r h e o r s h e d i d n o t b e l o n g i n t e a c h i n g , a n d h e s a w t h e c o u r s e s a s h a v i n g t h e r o l e o f d e v e l o p i n g a n d e n h a n c i n g t h a t l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g . T h e n o t i o n o f c o m p e t e n c e w a s o n e o f s e v e r a l t h a t s e e m e d t o d e f y d e f i n i t i o n a n d s p e c i f i c i t y f o r C r a i g . T h o u g h h e h a d d i f f i c u l t y s p e c i f y i n g w h a t c o m p e t e n c e w a s , C r a i g s a w t h e w h o l e m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m d e v e l o p i n g c o m p e t e n t m a t h e m a t i c a l t h i n k e r s r a t h e r t h a n r e l y i n g o n s t u d e n t s g a i n i n g c o m p e t e n c e i n a s i n g l e c o u r s e : I f y o u t h i n k o f a l l t h e c o n t e n t c o u r s e s , 1 1 5 , 1 1 6 , a n d w h a t e v e r w o u l d g o a f t e r t h a t , w h e n d o t h e y b e c o m e c o m p e t e n t ? I ' m n o t 1 6 3 s u r e t h e y a r e c o m p e t e n t l i k e i n 1 1 5 , s o I n e e d t o t h i n k o f , e v e n t u a l l y , a t l e a s t ? N o t n e c e s s a r i l y a f t e r 1 1 5 , m a y b e 1 1 6 , w h e n d o e s a p e r s o n f e e l c o m p e t e n t ? ( 5 P ) C o m p e t e n c e , t h o u g h a n e b u l o u s n o t i o n , w a s s o m e t h i n g t o b e w o r k i n g t o w a r d , n o t n e c e s s a r i l y s o m e t h i n g t o b e d e m a n d e d i n a s i n g l e c o u r s e . C r a i g s e e m e d t o u s e t h e i n t e r v i e w i n g a c t i v e l y , a s a s i t e f o r p r o f e s s i o n a l g r o w t h , s t i m u l a t i n g h i s t h i n k i n g a b o u t i d e a s a n d t e r m s t h a t h a d o c c u p i e d h i s a t t e n t i o n p r e v i o u s l y . I n a n s w e r i n g q u e s t i o n s , h e n o t e d , " I ' m t r y i n g t o t h i n k d e e p e r o n w h a t t h e q u e s t i o n m e a n s , m a y b e I ' m n o t s u r e w h a t a l l i t m e a n s " ( 2 P ) . N o t b e i n g s u r e w h a t i t a l l m e a n t d i d n o t m e a n t h a t h e s h i e d a w a y f r o m t h e q u e s t i o n s , o n l y t h a t h e r e c o g n i z e d t h a t t h e i s s u e s w e r e n o t b l a c k a n d w h i t e . H e s t r u g g l e d w i t h m u l t i p l e m e a n i n g s o f t e r m s , t r y i n g t o d e t e r m i n e w h i c h m e a n i n g h e w a s a p p l y i n g w h e n r e s p o n d i n g t o q u e s t i o n s . T h e m o s t e x t e n s i v e e x a m p l e o f t h i s w a s w h e n t a l k i n g a b o u t t h e i m p o r t a n c e o n i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . H e s a w s e v e r a l m e a n i n g s a s v i a b l e , e a c h b e i n g s o m e t h i n g h e w o r k e d t o w a r d i n t h e c l a s s . R e c a l l t h e e m p h a s i s C r a i g g a v e t o l a y i n g t h e f r a m e w o r k o f s i x k i n d s o f t h i n g s i n v o l v e d i n m a t h e m a t i c s : s k i l l s , k n o w l e d g e , u n d e r s t a n d i n g s , g e n e r a l i z a t i o n s , a t t i t u d e , a n d c o n c e p t s . H e s a w t h e s e a s i n t e r c o n n e c t e d a n d w a n t e d s t u d e n t s t o , a s w e l l . B u t , h e s a w i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s a s i n v o l v i n g m o r e . G K : S o , w h e n y o u s a y i n t e r c o n n e c t e d n e s s , y o u ' r e t h i n k i n g o f h o w a l l o f t h e s e a r e i n t e r c o n n e c t e d ? T h e s e s i x k i n d s o f t h i n g s ? C K : Y e a h , a n d h o w t o g e t h e r t h e y g i v e u s , m a y b e , w h a t w e c a l l m a t h e m a t i c s . B u t a l s o t h i n g s l i k e , ( s h o r t p a u s e ) a l s o , t h i n g s l i k e , c o n c r e t e m a t e r i a l , p i c t o r i a l l e v e l , a n d ( s h o r t p a u s e ) t h e a b s t r a c t , s a y , a p p l i c a t i o n s , - - b a c k t o L e s h ' s m o d e l , a n d 1 6 4 v e r b a l i z a t i o n , h o w t h a t ' s a l l c o n n e c t e d , a s w e l l a s c o n c e p t s a n d i d e a s a r e a l l c o n n e c t e d . . . . T h i s i s m o r e g l o b a l [ p o i n t i n g t o l i s t o f s i x k i n d s o f t h i n g s d o n e i n m a t h ] , I g u e s s , a l o t o f t h i s i s . A n d w h e n y o u g e t d o w n t o t h e n i t t y - g r i t t y o f h o w r e g r o u p i n g , s a y , w i t h d e c i m a l s i s s i m i l a r t o r e g r o u p i n g b e f o r e y o u u s e d e c i m a l s , i s , a n d t o h e l p s h o w t h a t , I w o u l d u s e c o n c r e t e m a t e r i a l s , a n d t h e p i c t o r i a l , a n d o n t o t h i s s y m b o l i c . ( 2 2 - 2 3 C ) S o , C r a i g v i e w e d t h e s i x c o m p o n e n t s o f m a t h e m a t i c s a s i n t e r c o n n e c t e d a s w e l l a s t h e f i v e w a y s o f r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a s i n t e r c o n n e c t e d , b u t o n d i f f e r e n t l e v e l s a n d i n d i f f e r e n t w a y s . H e w a n t e d s t u d e n t s t o b e a w a r e o f a n d s e e t h e s e i n t e r c o n n e c t i o n s , t o o . F o r t h i s r e a s o n , h e e x p l i c i t l y u s e d t h e t e r m s i n c l a s s a n d r e f e r r e d t o t h e m t h r o u g h o u t t h e c o u r s e s . C r a i g a l s o n o t e d t h a t h e e m p h a s i z e d o t h e r c o n n e c t i o n s . H e s a w c o n n e c t i n g a l g e b r a t o g e o m e t r y a n d c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s w e r e s t u d y i n g a n d t h e u s e o f i t i n t h e r e a l w o r l d a s i m p o r t a n t . W i t h a l l o f t h e s e d i f f e r e n t m e a n i n g s o f c o n n e c t i o n a n d i n t e r c o n n e c t i o n , C r a i g s p e c u l a t e d t h a t " m a y b e I d o n ' t h a v e a w e l l - d e f i n e d , i n m y h e a d , w h a t I m e a n b y c o n n e c t i n g . I g u e s s I u s e i t i n a l o t o f d i f f e r e n t c o n t e x t s " ( 2 4 C ) . W h e n a s k e d i f t h e r e w a s a s p e c i f i c s e n s e o f i n t e r c o n n e c t e d n e s s t h a t h e w a n t e d s t u d e n t s t o l e a v e t h e c o u r s e w i t h , h i s r e p l y w a s , " I t h i n k I m e a n a l l o f t h e s e t h i n g s " ( 2 4 C ) . A n o t h e r w o r d t h a t r a i s e d t h e q u e s t i o n o f m e a n i n g w a s " u n p r e p a r e d . " W e r e t h e c o u r s e s t o a c t a s a b a r r i e r t o t h o s e s t u d e n t s w h o w e r e u n p r e p a r e d ? I t d e p e n d s w h a t u n p r e p a r e d m e a n s . . . . I t r y t o h e l p , i f a t a l l p o s s i b l e , t o g e t t h r o u g h t h e c o u r s e . I t h i n k i t ' s a l w a y s h a z y w h e t h e r t h e y a r e p r e p a r e d o r n o t . W h a t d o e s t h a t m e a n 1 6 5 ( l a u g h ) ? I ' d p r o b a b l y t e n d t o t h i n k t h e r e m i g h t b e a n u m b e r o f r e a s o n s a n d I c a n ' t e x a c t l y t e l l i f t h e y a r e u n p r e p a r e d a n y w a y , a t l e a s t i n t h e c u r r e n t s e t - u p t h a t w e h a v e . . . . T h e r e ' s s o m e t e s t i n g w e d o n o w t h a t , y o u k n o w , t h a t ' s , w i t h i n t h e p a s t y e a r t h a t ' s h e l p i n g s o m e . I t h i n k a l i t t l e i n t e r v i e w c o u l d , w o u l d b e i m p o r t a n t , t o o , t h o u g h . ( 3 P ) T h a t i s , o n t h e f r o n t - e n d , i t w a s h a r d t o k n o w w h a t s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e a n d j u s t w h a t b e i n g p r e p a r e d w o u l d i n c l u d e . T h e i s s u e o f w h a t u n p r e p a r e d o n t h e o u t - e n d m e a n t w a s l e s s b l u r r e d : " I f t h e y c a n d o t h e m a t h e m a t i c s i n a c o n t e n t c o u r s e , t h a t ' s , I g u e s s , t h a t ' s w h a t I n e e d t o t r y t o f i n d o u t " ( 4 P ) . 2 5 T h e i s s u e o f b e i n g p r e p a r e d t o t e a c h w a s n o t a p a r t o f t h i s . N o r d i d C r a i g s e e t h e r o l e o f t h e c o u r s e s t o i n c l u d e s o r t i n g a n d s c r e e n i n g t h e s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s . T h a t w a s t h e j o b o f t h e m e t h o d s c o u r s e o r c o u r s e s i n t h e S c h o o l o f E d u c a t i o n . W h i l e C r a i g d i d n o t i g n o r e t e a c h i n g i s s u e s i n t h e c o u r s e s , t h e s t u d e n t s ' f u t u r e t e a c h i n g w a s a r e a s o n f o r l e a r n i n g t h e m a t h a m a t i g s i n t h e c o u r s e s . T h e s t u d e n t s ' c h o s e n c a r e e r p a t h a n d t h e c o u r s e s a s d e s i g n e d s p e c i f i c a l l y f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a f f e c t e d t h e s p e c i f i c c o n t e n t a n d t e a c h i n g o f t h e m a t h e m a t i c s , b u t t h e f o c u s w a s o n t h e i r m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a n d t h e r e s u l t i n g u n d e r s t a n d i n g : " U n d e r s t a n d m a t h i n w a y s t h a t h e l p t h e m t e a c h i t , s u r e , I w o u l d h o p e t h a t ' s w h a t w e d o . W e l l , w e d o n ' t f o c u s o n t h e m t e a c h i n g i t , b u t f o r t h e m u n d e r s t a n d i n g i t , h o p e f u l l y i t w i l l h e l p t h e m t e a c h i t " ( 5 - 6 P ) . A n d , w h e n t h i n k i n g o f c h a l l e n g i n g s t u d e n t s ' n o t i o n s o f h o w t o t e a c h , t h i s w a s s e e n a s a c c o m p l i s h e d " b y h a v i n g 2 5 R e c a l l t h e m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e n t c o u r s e w a s s p e c i f i e d i n t h e s y l l a b u s f o r C r a i g . 1 6 6 t h e m d o t h e t h i n g s I d o , w h i c h a r e f o c u s e d o n t h e m , n o t t h e k i d s , i n t h e s e c o n t e n t c o u r s e s " ( 5 P ) . V i i n o f R e f o r m a s T h i s A f f e c t e d D e c i s i o n s A b o u t t h e o n e n C r a i g s a w t h a t r e o r i e n t a t i o n t o t h e v i s i o n o f t h e r e f o r m m o v e m e n t w a s n o t y e t o c c u r r i n g . A s a r e s u l t , h i s r e s p o n s i b i l i t y f o r o f f e r i n g o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o l e a r n m a t h e m a t i c s i n w a y s t h a t w e r e m o r e i n l i n e w i t h t h e v i s i o n f o r f u t u r e e l e m e n t a r y c l a s s r o o m s w a s r e a l . I s t i l l h a v e p l e n t y o f s t u d e n t s t h a t s a y , w h e n w e d o w o r k w i t h s a y c o n c r e t e m a t e r i a l s a n d t r y t o t i e i t i n t o s h o w t h e m e a n i n g f o r d i f f e r e n t s t e p s i n a n a l g o r i t h m , t h a t k i n d o f t h i n g , s t i l l a l o t o f t h e m s a y t h e y ' v e n e v e r s e e n o r d o n e t h a t b e f o r e . I k n o w i t ' s t r u e f o r m e . I c a n r e m e m b e r m a n i p u l a t i n g s t i c k s a n d s t u f f l i k e t h a t t o m a k e b u n d l e s o f t e n , y e a r s a g o , b u t I t h i n k a l o t o f c l a s s r o o m s , l e a s t t h e k i n d o f s t u d e n t s I ' m c u r r e n t l y d e a l i n g w i t h , t h e y s t i l l , t h e y ' r e s t i l l c o m i n g t h r o u g h w i t h n o t m u c h o f t h a t i n t h e i r b a c k g r o u n d . S o , i n t h a t s e n s e , t h i n g s h a v e n ' t c h a n g e d . T h e r e ' s s t i l l a n e e d t o d o a l o t o f t h a t w i t h t h e m b e f o r e w e g e t t o t h i n k i n g a b o u t h o w t h e y c a n ( l a u g h ) u s e m a t e r i a l s a n d t h i n g s w i t h k i d s . ( 1 5 P ) C r a i g ' s p e r c e i v e d n e e d t o d o w o r k w i t h m a n i p u l a t i v e s a n d p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s d r o v e m a n y o f t h e c h a n g e s i n h i s o w n t e a c h i n g , p u s h i n g h i m t o r e - t h i n k t h e w i s d o m o f w a i t i n g t o u s e m a n i p u l a t i v e s i n t h e m e t h o d s c o u r s e , a r e c o m m e n d a t i o n s u p p o r t e d b y s o m e i n t h e d e p a r t m e n t . W i t h t h e r e v i s i o n s h e e x p e c t e d a s a r e s u l t o f t h e r e c e n t M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s , h e s a w t h e o p p o r t u n i t y t o d e v e l o p t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I s e e a s t h e y e a r s g o b y , m o r e o f a m o r e o f a n e m p h a s i s o n h a v i n g s t u d e n t s i n t h a t c o u r s e , e v e n , h a n d s - o n , i n s t e a d o f w a i t i n g t o a m e t h o d s c o u r s e w h e r e w e ' r e l o o k i n g a t h o w t o d o h a n d s - o n s t u f f t h e w a y k i d s m i g h t d o i t . I f e e l m o r e a n d m o r e 1 6 7 t h a t , w e ' r e s p e n d i n g m o r e , w e ' r e c u t t i n g c e r t a i n t o p i c s o u t , o f c o u r s e s l i k e 1 1 5 a n d 1 1 6 , s o t h a t w e c a n b r i n g i n a f e w n e w t o p i c s a n d e m p h a s i z e c a l c u l a t o r m o r e a n d s o f o r t h , b u t g e t m o r e h a n d s - o n , a s w e l l . ( 4 C ) H e s a w t h e r e m o v a l o f w o r k w i t h w h o l e n u m b e r s a n d t h e b a s i c s o f f r a c t i o n s a s o f f e r i n g a n o c c a s i o n f o r a l t e r i n g t h e w a y i n s t r u c t o r s t a u g h t t h e c o n t e n t . I n c r e a s i n g t h e a m o u n t o f h a n d s - o n a c t i v i t i e s a n d d e v e l o p i n g w a y s d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s s u p p o r t i n g t h e l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t w e r e i m p o r t a n t t o h i m . C r a i g a l s o s e e m e d t o l o o k f o r w a r d t o t h e s h i f t s , c h a n g e s , a n d o p p o r t u n i t i e s h e a n t i c i p a t e d a s a r e s u l t o f d e p a r t m e n t a l , s t a t e , a n d n a t i o n a l i n i t i a t i v e s . P a r t o f h i s e x p e c t a n c y g r e w o u t o f h i s s e n s e t h a t t h e p r o f e s s i o n a l s h e w o r k e d w i t h w o u l d c o m e t o g e t h e r t o w o r k i n w a y s t h a t s u p p o r t e d t h e s e c h a n g e s . A s w e [ f a c u l t y t e a c h i n g t h e m a t h e d c o u r s e s ] g e t t o k n o w e a c h o t h e r b e t t e r a n d t a l k a b o u t c u r r i c u l u m i s s u e s , a n d w e a r e d o i n g t h a t m o r e a n d m o r e , I t h i n k , a s , p a r t l y s t i m u l a t e d b y t h e n a t i o n a l a n d s t a t e i n i t i a t i v e s , b u t , i n s h a r i n g g o o d i d e a s t h a t w o r k a n d t h i n g s , y o u g e t m o r e t r u s t i n e a c h o t h e r , I t h i n k i n a s e n s e , a n d m o r e s h a r i n g m i g h t f i n d m e b e c o m i n g m o r e l i k e a n o t h e r p e r s o n ( l a u g h ) i n t e r m s o f m y 3 7 4 . P a r t l y b e c a u s e I ' m l e a r n i n g t h i n g s t h e y d o t h a t w o r k w e l l a n d t h a t I h a d n ' t e v e n t h o u g h t o f o r h a d b e e n a f r a i d t o t r y , o r s o m e t h i n g . A n d I t h i n k a s o u r e x p e r t i s e i n t e c h n o l o g y i m p r o v e s , t o o , e a c h o f u s , y o u k n o w , w e s h a r e t h i n g s t h a t w e ' r e e a c h t r y i n g t h a t s o u n d i n t e r e s t i n g t o t r y . ( 1 0 C ) C r a i g s e n s e d t h a t b u i l d i n g t r u s t w i t h i n t h e g r o u p o f p e o p l e r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g t h e c o u r s e s , c o n t e n t a n d m e t h o d s , w o u l d s u p p o r t r i s k - t a k i n g a n d o p e n n e s s i n t h e t e a c h i n g p r o c e s s . S u c h t r u s t - b u i l d i n g p a r a l l e l s t h e S t a n d _ a _ r d _ s r e c o m m e n d a t i o n f o r b u i l d i n g c o m m u n i t i e s o f l e a r n e r s i n c l a s s r o o m s . I n t h i s c a s e , t h e l e a r n e r s a r e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s . 1 6 8 C r a i g s a w t h e c o n t e n t c o u r s e s d e s i g n e d f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s a s u n i q u e a n d i m p o r t a n t c o u r s e s , n e c e s s a r y f o r t h e p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s a s m u c h a s t h e m e t h o d s c o u r s e s a n d p l a y i n g a v e r y d i s t i n c t r o l e i n t h i s p r e p a r a t i o n . H i s a s s e s s m e n t w a s t h a t t h e c o n t e n t a n d m e t h o d s o f t h e c o u r s e s w e r e d i f f e r e n t i n s o m e w a y s f r o m a n y o t h e r m a t h e m a t i c s c o u r s e o f f e r e d a t N U . T h e d i f f e r e n c e s a r o s e f r o m t h e a d d e d d e m a n d s o f t h e c o u r s e s d u e t o t h e i r v e r y s p e c i a l s t u d e n t p o p u l a t i o n . I t h i n k m a n y o f t h e o t h e r c o u r s e s a r e n o t i c i n g t h e n e e d t o h a v e l i k e s m a l l g r o u p d i s c u s s i o n s , ( s h o r t p a u s e ) u s e c a l c u l a t o r s , d o e s t i m a t i n g , c o o p e r a t i v e l e a r n i n g , ( s h o r t p a u s e ) t a l k a b o u t t h e c o n c e p t s a n d i d e a s , d i s c u s s t h e s e , ( p a u s e ) b u t , s o I t h i n k t h a t ' s a g o o d s i g n . I n g e n e r a l , i n o u r m a t h d e p a r t m e n t a t l e a s t , t h e r e a r e m a n y m o r e p e o p l e t h a n s a y f i v e y e a r s a g o t h a t a r e d o i n g , t r y i n g a l o t o f t h e s e k i n d s o f t h i n g s , s a y , i n a C a l c [ u l u s ] 1 c l a s s e v e n . G e t t i n g a w a y f r o m t h e p u r e l e c t u r e , a s s i g n p r o b l e m - , g i v e a f e w e x a m p l e s a n d a s s i g n p r o b l e m s s t r a t e g y , b u t ( s h o r t p a u s e ) i n t e r m s o f c o n c r e t e m a - , s p e n d i n g t i m e w i t h c o n c r e t e m a t e r i a l s a n d r e a l l y t r y i n g t o g o ( p a u s e ) t o ( l a u g h ) a t l e a s t t o h e l p p e o p l e r e a l l y ( s h o r t p a u s e ) r e c o v e r f r o m m a t h a n x i e t y a n d g e t a g o o d p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h a n d t h e w a y i t ' s u s e d i n t h e w o r l d , a n d ( s h o r t p a u s e ) g e t a g o o d g r a s p o f v a r i o u s a p p r o a c h e s f o r f u n d a m e n t a l c o n c e p t s a n d i d e a s t h a t y o u n e e d w h e n y o u a r e t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l , t h a t w o u l d b e d i f f e r e n t i n t h e 1 1 5 / 1 1 6 . ( s h o r t p a u s e ) I w o u l d n ' t c a r e i f t h e a v e r a g e p e r s o n k n e w f o u r d i f f e r e n t a l g o r i t h m s f o r m u l t i p l i c a t i o n o r n o t . M a y b e i f t h e y k n o w o n e a n d d o i t w e l l , t h a t ' s f i n e . B u t i f y o u ' r e g o i n g t o b e a t e a c h e r , ( l a u g h ) [ t h a t i s n ' t e n o u g h ] . ( 1 3 C ) C r a i g s a w t h e s e c o u r s e s a s c r i t i c a l l y i m p o r t a n t s i t e s f o r s t u d e n t l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t n e c e s s a r y f o r t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l . T h e c o n t e n t w a s d i f f e r e n t f r o m t h a t o f o t h e r c o u r s e s a n d f o c u s e d o n u n d e r s t a n d i n g t h e c o n c e p t s i n a r i c h e r s e n s e t h a n s t u d e n t s h a d w h e n t h e y e n t e r e d t h e c o u r s e s . C r a i g f e l t t h a t t h e c o u r s e s ' d e s i g n a t i o n a s 1 6 9 a p a r t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n a l l o w e d h i m t o a p p r o a c h t h e t a s k o f t e a c h i n g t h e c o n t e n t m o r e a p p r o p r i a t e l y . I t h i n k t h e y n e e d a c o u r s e l i k e t h i s w h e r e t h e y c a n , j u s t g e a r e d f o r t e a c h e r s . W h e r e y o u a r e f r e e a s a , w h e r e 1 a m f r e e a s a t e a c h e r t o i n t e r j e c t c o m m e n t s a n d a s k q u e s t i o n s r e l a t e d t o t e a c h i n g i n g e n e r a l , a n d w h e r e I k n o w I c a n f o c u s o n t h i n g s t h a t a r e g o i n g t o h e l p t h e m g e t g r o u n d e d i n t h e k i n d o f m a t h t h e y n e e d t o h e l p t e a c h e l e m e n t a r y s c h o o l . . . . I t ' s a u n i q u e c o u r s e . I t h i n k i t ' s a n i m p o r t a n t , u n i q u e c o u r s e . ( 1 2 - 1 3 C ) T h e p r e d o m i n a n t g o a l w a s g e t t i n g s t u d e n t s g r o u n d e d i n t h e m a t h e m a t i c s . N o r m s , A t t i t u d e s , D i s p o s i t i o n s : I n t e r w o v e n t o S u p p o r t C o n t e n t L e a r n i n g L i k e J e f f , C r a i g s a w t h e n e e d t o d e v e l o p d i s p o s i t i o n s i n s t u d e n t s . C r a i g a l s o w a n t e d t o d e v e l o p c o n f i d e n c e a n d n o r m s , p a r t i c u l a r l y o f c o m m u n i c a t i o n . U n l i k e J e f f , t h e s e d i s p o s i t i o n s w e r e t o b e d e v e l o p e d s p e c i f i c a l l y i n s u p p o r t o f s t u d e n t l e a r n i n g , w i t h a s e n s e o f C r a i g ' s a n d J e f f ' s s h a r e d u l t i m a t e c o n c e r n , h a v i n g a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t t h a t w o u l d s u p p o r t g o o d t e a c h i n g . A s n o t e d e a r l i e r , C r a i g w a n t e d s t u d e n t s t o b e i n c l i n e d t o t h i n k a b o u t t h e c o m p o n e n t s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e d i f f e r e n t w a y s o n e c o u l d r e p r e s e n t i d e a s , a n d t o u s e t h e s e a s p e c t s t o d e e p e n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s . H e a l s o w a n t e d t h e m t o l e a r n h o w t o l e a r n m a t h e m a t i c s t h r o u g h t h i s p r o c e s s o f t h i n k i n g t h r o u g h c o n c e p t s - - e x p e r i e n c i n g t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n a d y n a m i c w a y . " W h a t w a y o f l o o k i n g a t t h e c o n c e p t m a k e s i t m o r e u n d e r s t a n d a b l e t o m e ? " w a s a q u e s t i o n C r a i g h o p e d s t u d e n t s w o u l d a s k t h e m s e l v e s w h e n a p p r o a c h i n g a c o n c e p t . 1 7 0 C r a i g ' s s e n s e o f t h e n e e d f o r t h e s t u d e n t s t o c o n s t r u c t t h e m e a n i n g o f t h e m a t h e m a t i c s f o r t h e m s e l v e s c a m e t h r o u g h w h e n t a l k i n g a b o u t h i s c o n s i d e r a t i o n o f s t u d e n t s ' i n t e r e s t s i n s e l e c t i n g p r o b l e m s t o a s s i g n . I f e e l i f y o u c a n ' t m o t i v a t e a n d s p a r k t h e i r i n t e r e s t s o m e h o w , k i n d o f d r a w t h e m i n t o t h e t o p i c , y o u ' r e n o t g o i n g t o a c c o m p l i s h m u c h ( l a u g h ) , c a u s e t h e y ' r e t h e o n e s t h a t h a v e t o l e a r n i t . W e a s s u m e w e k n o w t h e m a t e r i a l , ( s h o r t p a u s e ) a n d s o I t r y t o d o , w h a t I c o u l d t o , i f i t ' s a t o p i c , a m a t h e m a t i c a l t o p i c , o r a n a p p l i c a t i o n t h a t t h e y d o n ' t k n o w m u c h a b o u t , m a y b e i t ' s s o m e t h i n g I ' m i n t e r e s t e d i n , b u t I w o u l d l i k e t h e m t o b e i n t e r e s t e d ( l a u g h ) i n . | f e e l i t i s i m p o r t a n t ( s h o r t p a u s e ) f o r t h e m t o t u n e i n a n d c o n n e c t a n d l e a r n w h a t e v e r m a t h i s w i t h i n t h a t p r o b l e m o r s i t u a t i o n t o b e l e a r n e d , t h e y ' v e g o t t o h a v e s o m e , g o t t a k n o w e n o u g h a b o u t i t t o h a v e a n i n t e r e s t , I g u e s s . ( 1 0 - 1 1 P ) ’ H e t r i e d t o s e t u p o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o l e a r n w h a t t h e y n e e d e d t o k n o w t o d e v e l o p i n t e r e s t i n t h e p r o b l e m s . I f t h a t m e a n t e x p l a i n i n g a b i t a b o u t b a s e b a l l i n o r d e r t o w o r k p r o b l e m s o n b a t t i n g a v e r a g e s , t h e n h e d i d t h a t . C r a i g r e q u i r e d s t u d e n t s t o c o m p l e t e a t h r e e - t o - f i v e p a g e p a p e r o n s o m e a s p e c t o f m a t h e m a t i c s t h a t t h e y u s e d i n a j o b , s p o r t , o r h o b b y . H e w a n t e d t o c a p i t a l i z e o n s t u d e n t i n t e r e s t a n d b u i l d t h e s t u d e n t s ' a w a r e n e s s o f t h e i m p o r t a n c e o f m a t h e m a t i c s . H e s a w t h i s a s s i g n m e n t , a l o n g w i t h o t h e r a c t i v i t i e s i n t h e c o u r s e s , d e v e l o p i n g i n s t u d e n t s p o s i t i v e a t t i t u d e s t o w a r d d o i n g m a t h e m a t i c s a n d a b e t t e r s e n s e o f w h a t m a t h e m a t i c s i s . T h r o u g h t h e p a p e r s t h a t t h e y w r i t e , w h e t h e r t h e y s a y i t i n h e r e o r n o t , a n d m a n y o f t h e m d o , a t t h e b e g i n n i n g o r t h e e n d o f t h e i r p a p e r , u s u a l l y , h o w t h e i r a t t i t u d e r e a l l y h a s c h a n g e d , t h r o u g h w r i t i n g t h a t p a p e r o r w h a t w e ' v e d o n e i n t h e c o u r s e , 1 7 1 t o w a r d w h a t m a t h i s - w h a t i s m a t h - o r h o w o f t - , h o w m u c h i t ' s i m p o r t a n t i n t h e i r l i v e s , k i n d o f t h i n g . ( 2 2 C ) C r a i g s a w t h e c h a n g e s i n a t t i t u d e f o s t e r e d b y p r e p a r i n g t h e p a p e r s a s i m p o r t a n t n o t j u s t f o r r e d u c i n g s t u d e n t s ' a n x i e t y , b u t a l s o f o r i n c r e a s i n g s t u d e n t s ' w i l l i n g n e s s t o a t t e m p t p r o b l e m s a n d s e e m a t h e m a t i c s a s a m e a n i n g f u l a n d a p p r o a c h a b l e e n d e a v o r . H a v i n g t h e d i s p o s i t i o n t o a t t e m p t p r o b l e m s t h a t a p p e a r e d t o b e d i f f i c u l t w a s a q u a l i t y h e w a n t e d t o e n c o u r a g e . W i t h r i s k - t a k i n g , s t u d e n t s l e a r n e d t o d o m o r e c o n j e c t u r i n g a n d l e a r n e d t o v e r b a l i z e t h e i r m a t h e m a t i c a l i d e a s i n g r o u p w o r k , i n c l a s s d i s c u s s i o n s , a n d o n p a p e r . I e n c o u r a g e t h e m t o , a s I s a i d e a r l i e r , c o m e u p w i t h c o n j e c t u r e s , v e r b a l i z e w h a t t h e y s e e . T r y t o h o l d b a c k , t h o u g h a l i t t l e b i t , a n d n o t t h e f i r s t p e r s o n t h a t s e e s s o m e t h i n g y e l l i t o u t . B u t , m a k e o b s e r v a t i o n s a n d e v e n t u a l l y v e r b a l i z e t h e m a n d t a l k t o e a c h o t h e r . E v e n i n g r o u p p r o b l e m s o l v i n g , t h e y ' r e d i s c u s s i n g t h e m a t e r i a l , t h e y ' r e v e r b a l i z i n g , h o p e f u l l y g o i n g d e e p e r i n t o t h e i d e a . ( 6 B ) B e c a u s e a m a j o r g o a l w a s t o g o d e e p e r i n t o i d e a s , C r a i g e n c o u r a g e d c o n j e c t u r i n g a n d v e r b a l i z i n g . G o i n g d e e p e r i n t o t h e i d e a s w a s o n e o f t h e m o t i v a t i o n s f o r t h e a s s i g n m e n t o f t h e m a j o r p a p e r d e s c r i b e d a b o v e . A l o t o f t h e m h a v e n e v e r b e e n a s k e d t o k i n d o f p u t d o w n o n p a p e r a n d r e a l l y t h i n k t h r o u g h h o w m a t h i s i n v o l v e d i n s o m e t h i n g t h e y ' v e d o n e m a y b e f o r y e a r s . . . . S o t h e y ' r e w r i t i n g a b o u t i t a n d t h e y ' r e t h i n k i n g a b o u t i t a n d t h e n w e s h a r e t h e s e i n s m a l l g r o u p s , t o o , w h e n t h e y b r i n g t h e s e p a p e r s i n . A n d s o t h e y e a c h h a v e t o v e r b a l i z e a n d , a n d t a l k a b o u t w h a t ' s i n t h e p a p e r . A n d s o t h e y l e a r n f r o m e a c h o t h e r t o o , n o t o n l y w h a t t h e y j u s t w r o t e b u t w h a t , w h a t o t h e r p e o p l e w r o t e . T h e y h a v e t o c o m m u n i c a t e t h i s . ( 7 B ) 1 7 2 C r a i g s a w t h i s a c t o f c o m m u n i c a t i n g a s s u p p o r t i v e o f h i s g o a l s f o r t h e c o u r s e s . A s a r e s u l t , h e w a s g i v i n g c o n s i d e r a b l e t h o u g h t t o i n c r e a s i n g t h e a m o u n t o f w r i t i n g d o n e i n t h e c o u r s e s f o r t h e f u t u r e . A n d I t h i n k t h e r e i s m o r e w r i t i n g w e , w e c o u l d , a n d p r o b a b l y w i l l s t a r t d o i n g i n e v e n a c o u r s e l i k e t h i s . Y e a h , w r i t i n g a b o u t w h a t y o u t h o u g h t a b o u t a s y o u s o l v e d t h e p r o b l e m . W h a t w e r e y o u r b i g g e s t h u r d l e s ? I t h i n k t h a t w o u l d b e , i t ' s a g o o d i d e a t h a t I ' d l i k e t o h e a d i n t o , s o t h a t I d o h a v e w r i t i n g f r o m t h e m b e s i d e s t h e s o l u t i o n s t o p r o b l e m s a n d a t t e m p t s . ( 8 B ) B y e n c o u r a g i n g s t u d e n t s t o w r i t e , v e r b a l i z e , c o m m u n i c a t e t h e i r i d e a s m o r e f r e q u e n t l y , C r a i g h o p e d t h a t s t u d e n t s w o u l d a c h i e v e g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g a n d b e m o r e c o m f o r t a b l e s h a r i n g t h e i r i d e a s w i t h o t h e r s . C r a i g f e l t t h a t t h e k i n d s o f d i s c o v e r y a c t i v i t i e s d o n e i n t h e c l a s s e n h a n c e d s t u d e n t s ' c o m f o r t i n d o i n g t h e m a t h e m a t i c s a n d s h a r i n g i d e a s . T h e c o m f o r t c a m e f r o m f e e l i n g c a p a b l e o f a p p r o a c h i n g d i f f i c u l t p r o b l e m s . F r o m w h a t l o o k s l i k e a v e r y h a r d p r o b l e m a n d n o b o d y h a d s o l v e d t h e p r o b l e m , i n s t e a d o f m e p u t t i n g t h e s o l u t i o n o n t h e b o a r d , a n d t h e m m a y b e o r m a y b e n o t f o l l o w i n g i t a n d p e r h a p s n o t b e i n g a b l e t o r e p e a t i t o n t h e i r o w n o r s o l v e a n o t h e r s i m i l a r p r o b l e m , I r e a l l y l e t t h e m , g a v e a c o u p l e h i n t s t h e n h a d t h e m . A n d I s a w i n t h e i r , i n t h e i r e y e s a n d i n t h e i r r e a c t i o n s , k i n d o f l i k e , " H e y , t h i s i s n o t b a d . " " A h - h a ! " a n d k i n d o f f i n i s h e d i t u p . ( 3 - 4 B ) C r a i g i n t e n d e d t h a t t h e a c t i v i t i e s b u i l d c o n f i d e n c e a n d o p e n n e s s t o a t t e m p t i n g p r o b l e m s . A s t r a t e g y C r a i g u s e d i n v o l v e d g i v i n g h i n t s a n d h a v i n g s t u d e n t s w o r k o n t h e t a s k s i n d i v i d u a l l y o r i n s m a l l g r o u p s . H e i n d i c a t e d t h a t , w i t h m o r e t i m e a v a i l a b l e , h e w o u l d n o t r e l y o n h i n t s a s m u c h , b u t t h a t w i t h t h e t i m e c o n s t r a i n t s , h e u s e d h i n t s a s a w a y t o r e d u c e a n x i e t y . 1 7 3 I f I h a v e t o g i v e a h i n t o r s u g g e s t i o n o f w h e r e w e m i g h t s t a r t o r a s k s o m e q u e s t i o n s , " W h e r e d o y o u t h i n k m a k e s a r e a s o n a b l e p l a c e t o e v e n s t a r t t h i s p r o b l e m ? " B u t , g i v e m i n i m a l y o u k n o w g u i d a n c e a t f i r s t , b u t , a n d l e t t h e m k i n d o f c o o p e r a t i v e l y g o f r o m t h e r e a n d f i n i s h t h e p r o b l e m . S o , I t h i n k t h a t h e l p s r e d u c e t h e a n x i e t y b e c a u s e i t ' s l i k e s o m e b o d y , y o u k n o w , w h o d o e s n ' t t e l l y o u h o w t o d o e v e r y t h i n g b u t , y o u ' r e l e a r n i n g h o w t o s o l v e a p r o b l e m . ( 4 B ) B y l e a r n i n g h o w t o s o l v e t h e p r o b l e m , t h e s t u d e n t s w e r e g a i n i n g c o m p e t e n c e a n d c o n f i d e n c e , a r e c u r r i n g t h e m e t h r o u g h o u t C r a i g ' s c o m m e n t s o n t h e r o l e s t h e c o u r s e s w e r e t o p l a y i n t h e s t u d e n t s ' p r o g r a m o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n . H e a t t e m p t e d t o b u i l d c o n f i d e n c e w i t h i n t h e c o n s t r a i n t s h e f o u n d h i m s e l f p l a c e d . B u t , w i t h o u t t h e c o n t e n t k n o w l e d g e b a s e , t h e p r o g r a m d i d n o t h o l d t o g e t h e r , i n C r a i g ' s e y e s . H a v i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e w i t h o u t t h e c o n t e n t k n o w l e d g e s u p p o r t a s a p r e p a r a t i o n t o t e a c h w a s d i f f i c u l t f o r C r a i g t o f i n d s e n s i b l e . W h e n a s k e d t o r e a c t t o t h e s t a t e m e n t c o n c e r n i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e o v e r c o m i n g m u c h w e a k n e s s i n c o n t e n t k n o w l e d g e , C r a i g s t r u g g l e d . I t h i n k i t ' s i m p o r t a n t t o h a v e a p o s i t i v e a t t i t u d e , v e r y i m p o r t a n t , b u t , c a n o v e r - , t h a t a t t i t u d e c a n o v e r c o m e , h o w i s i t g o i n g t o o v e r c o m e m u c h w e a k n e s s ? ( p a u s e ) I ' m n o t s u r e i f t h i s m e a n s t h r o u g h h a v i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e , y o u , i t w i l l h e l p y o u ( s h o r t p a u s e ) u n d e r s t a n d m o r e ? O r i f y o u r g l o w i n g , g l o w i n g p e r s o n a l i t y o r w h a t e v e r w i l l m a k e u p f o r y o u r w e a k n e s s , b e c a u s e y o u ' l l m o t i v a t e t h e k i d s a n y w a y , e v e n i f y o u d o n ' t k n o w t h e c o n t e n t ( l a u g h ) . ( 1 4 P ) O v e r c o m i n g w e a k n e s s i n c o n t e n t k n o w l e d g e w i t h a p o s i t i v e a t t i t u d e w a s , l i t e r a l l y , l a u g h a b l e t o C r a i g . C o n t e n t k n o w l e d g e w a s t h e b a s e . F o r C r a i g , d e v e l o p m e n t o f t h i s c o n t e n t k n o w l e d g e w a s t h e f o c a l r o l e o f t h e c o n t e n t c o u r s e s w i t h t h e m e t h o d s c o u r s e w o r k i n g i n t a n d e m f o r t e a c h e r p r e p a r a t i o n . 1 7 4 T h e w a y I s e e a c o n t e n t c o u r s e i s m o r e h e l p i n g t h e c o l l e g e s t u d e n t s u n d e r s t a n d b e t t e r , f e e l b e t t e r a b o u t t h e c o n t e n t . A n d a l o t t e c h n i q u e s w e u s e , t h e m a n i p u l a t i v e s a n d s o f o r t h , m i g h t b e s o m e w h a t s i m i l a r t o w h a t t h e y w o u l d d o w i t h k i d s , b u t , m o r e i n t h e m e t h o d s c o u r s e , w e ' d f o c u s o n , h o p e f u l l y , " N o w y o u , y o u r s e l f a r e p r e t t y c o m p e t e n t a n d h o w a r e w e g o i n g t o g e t t h i s a c r o s s t o k i d s , n o w , a t v a r i o u s g r a d e l e v e l s ? " ( 1 4 P ) S o , w h i l e c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s h a d d i f f e r e n t e m p h a s e s , t h e y s h a r e d t h e u l t i m a t e g o a l o f p r e p a r i n g e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . C r a i g w a s w o r k i n g t h r o u g h w h a t t r y i n g t o t e a c h t h e c o n t e n t i n w a y s t h a t s u p p o r t e d t h e d e v e l o p m e n t o f t e a c h e r s f o r c h a n g i n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r e x p e c t a t i o n s m e a n t f o r h i m a s a n i n s t r u c t o r . S u m m a r y G e t t i n g s t u d e n t s p e r s o n a l l y g r o u n d e d i n t h e m a t h e m a t i c s o f t h e c o u r s e w a s t h e e s s e n t i a l g o a l C r a i g s t a t e d o v e r a n d o v e r a g a i n . T h i s g r o u n d i n g t o o k a s p e c i a l f o r m f o r t h e s t u d e n t s a s p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . I t i n c l u d e d u n d e r s t a n d i n g t h e c o n c e p t s , b e i n g a b l e t o c o n s i d e r t h e c o n c e p t s i n v a r i o u s w a y s - - u s i n g d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s , h a v i n g a s e n s e o f w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d h o w t h e c o n c e p t s a r e i n t e r c o n n e c t e d , a n d g a i n i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d a n d p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s t o w a r d d o i n g m a t h e m a t i c s . H i s v i e w t o o k i n t h r e e o f t h e p r e - d e s c r i b e d r o l e s ( l e a r n i n g c o n t e n t , l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s , a n d d e v e l o p i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e ) a s w e l l a s t h e r o l e o f d e v e l o p i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s . T h e f o c u s w a s o n t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n t h e c o u r s e s , b u t t h e i m p e t u s w a s t h e a d e q u a t e p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t h r o u g h t h e w h o l e p r o g r a m i n w h i c h s t u d e n t s t o o k p a r t . 1 7 5 A f t e r a s e r i e s o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s w i t h h i s c o l l e a g u e s , C r a i g t o o k a w a y d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s f o r t h e w a y s t h e c o u r s e s w o u l d b e c h a n g i n g i n c o n t e n t a n d d e s i g n . H e a n t i c i p a t e d b e i n g a b l e t o g o d e e p e r i n t o c o n c e p t s b y r e d u c i n g t h e b r e a d t h o f c o n t e n t t o b e c o v e r e d . H e e x p e c t e d t h e d e e p e n i n g t o i n v o l v e g r e a t e r u s e o f t e c h n o l o g y , m a n i p u l a t i v e s , a n d a l t e r n a t i v e i n s t r u c t i o n a l a n d a s s e s s m e n t d e s i g n s . W h i l e a t e a c h e r , C r a i g w a s a l s o a l e a r n e r - - a s t u d e n t o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . A s s u c h , h e u s e d o p p o r t u n i t i e s w i t h i n t h e c o u r s e s a n d t h e i n t e r v i e w s t o l e a r n m o r e a b o u t h i s s t u d e n t s , h i s m o t i v a t i o n s , a n d h i s d e c i s i o n - m a k i n g a r o u n d t h e c o u r s e s . I n t h i s w a y , C r a i g s a w a p e r s o n a l p r o f e s s i o n a l r o l e f o r t h e c o u r s e s : t h e r o l e o f d e v e l o p i n g d e e p e r i n s i g h t s i n t o m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . T H E R O L E O F L E A R N I N G M A T H E M A T I C A L C O N T E N T T h e f i r s t s e c t i o n o f m y a n a l y s i s i n t r o d u c e d t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s b y i n d i c a t i n g w h i c h o f t h e r o l e s m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n s t u d e n t s ' t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s w e r e m o s t c e n t r a l t o t h e i r t h i n k i n g . I n t h i s s e c o n d p a r t o f t h e a n a l y s i s , I e x a m i n e t h e w a y s a l l o f t h e i n s t r u c t o r s v i e w e d o n e o f t h e r o l e s , t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . 2 7 W h e n t h e " p u r p o s e " c a r d s i n t h e f i r s t c a r d s o r t t a s k w e r e c l u s t e r e d a c c o r d i n g t o t h e r o l e s w i t h w h i c h t h e y m o s t c o n n e c t e d a n d a n u m e r i c a l v a l u e w a s a s s i g n e d t o t h e r a n k i n g o f t h e s o r t , t h e i n s t r u c t o r s a s a g r o u p s c o r e d t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t h i g h e r t h a n a l l o t h e r r o l e s . A l l b u t o n e i n s t r u c t o r s c o r e d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t h e h i g h e s t o f a l l t h e r o l e s . T h e o u t l i e r w a s G a i l L a u g h l i n , f o r w h o m d e v e l o p i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o o k a s l i g h t a d v a n t a g e . R a t h e r t h a n a t t e m p t t o e x a m i n e a l l o f t h e a s p e c t s t h a t w e r e a p a r t o f t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e r n s a b o u t t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s , t h i s a n a l y s i s e x p l o r e s t h r e e q u e s t i o n s r e l a t e d t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s . T h e q u e s t i o n s a r e 2 7 I s t r u g g l e d w i t h h o w t o i d e n t i f y t h e r o l e a s l a i d o u t o n t h e l i s t o f r o l e s ( p . 2 5 ) - - t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h t h e O p p o r t u n i t y t o l e a r n t h e m a t h e m a t i c s t h e y n e e d t o k n o w a s K - 8 c l a s s r o o m t e a c h e r s . P e o p l e t a l k e d a b o u t t h i s r o l e d i f f e r e n t l y ; s o m e t i m e s i t w a s " t o t e a c h m a t h e m a t i c s , " o t h e r t i m e s i t w a s " t o p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o l e a r n ( c o n s t r u c t p e r s o n a l m e a n i n g f o r ) m a t h e m a t i c s . " T h e f o r m I u s e i s b a s e d o n t h e e a r l i e r e l a b o r a t i o n o f r o l e s s u b - t i t l e - - l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t ( p . 2 6 ) . 1 7 6 1 7 7 p h r a s e d a s i f d i r e c t e d t o t h e i n s t r u c t o r s , a n d I a d d r e s s t h e m t h r o u g h m y a n a l y s i s o f t h e d a t a . T h e y a r e : - W h a t m a t h e m a t i c s s h o u l d s t u d e n t s k n o w w h e n t h e y e n t e r t h e c o u r s e ? - W h a t s h o u l d b e t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f t h e c o u r s e s ? 0 W h a t k i n d o f l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i s s o u g h t ? I n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s a n d s e t s o f i n s t r u c t o r s s u g g e s t e d a l t e r n a t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f a n d r e s p o n s e s t o t h e s e q u e s t i o n s . I n o t e d t h e r a n g e a n d v a r i a t i o n o f i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e t h a t i n s t r u c t o r s a s c r i b e d t o t h e c o u r s e s a s e m b o d i e d i n t h e s e q u e s t i o n s . T h e a n a l y s i s o f t h e f i r s t q u e s t i o n e x p l o r e s t h e i n f l u e n c e o f t h e s t u d e n t s ' p r i o r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s o n t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t o f t h e c o u r s e s . I n p a r t i c u l a r , I f o c u s o n s o m e i n s t r u c t o r s ' c o n c e r n s a b o u t t h e p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n w i t h w h i c h m a n y s t u d e n t s e n t e r e d t h e f i r s t c o u r s e . I e x a m i n e t h e e x t e n t t o w h i c h i n s t r u c t o r s c o n s i d e r e d t h e p r i o r k n o w l e d g e o r p r e p a r a t i o n s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e w h e n s e l e c t i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o b e i n c l u d e d a n d d e t e r m i n i n g c o u r s e d e s i g n . S e c o n d , I e x a m i n e t h e s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t i n s t r u c t o r s t h o u g h t s h o u l d b e i n t h e s e c o n t e n t c o u r s e s . I i n d i c a t e t h e c u r r i c u l u m i n t e n d e d b y t h e d e p a r t m e n t o r d i v i s i o n i n w h i c h e a c h i n s t r u c t o r t a u g h t . N e x t , I d e s c r i b e t h e d i f f e r e n c e s i n c o n t e n t e m p h a s i s b e t w e e n i n s t r u c t o r s a n d e x a m i n e i n f l u e n c e s o n t h e i n s t r u c t o r s ' c h o i c e o f c o n t e n t , d e s i g n , a n d e m p h a s e s o f i n s t r u c t i o n . I c l o s e t h e s e c t i o n b y g i v i n g a n e x a m p l e o f h o w a s i m i l a r i n f l u e n c e h a d d i f f e r e n t e f f e c t s o n t h e w a y s i n s t r u c t o r s s a w t h e r o l e o f l e a r n i n g c o n t e n t f o r t h e c o u r s e . 1 7 8 W i t h t h e t h i r d q u e s t i o n , I l o o k w i t h i n t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t o i t s c e n t r a l g o a l . W h i l e i n s t r u c t o r s i d e n t i f i e d m a n y g o a l s , a l l o f t h e i n s t r u c t o r s i d e n t i f i e d " u n d e r s t a n d i n g " a s a c r i t i c a l g o a l f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , i . e . , s t u d e n t s s h o u l d u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s l e a r n e d i n t h e c o u r s e . I n s t r u c t o r s h a d d i f f e r i n g i n t e r p r e t a t i o n s a n d e x p e c t a t i o n s o f u n d e r s t a n d i n g t h a t r e s u l t e d i n d i f f e r i n g c o n t e n t a n d d e s i g n . I n e e d e d t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e w a y s t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s w e r e u s i n g t h e t e r m u n d e r s t a n d i n g i n t h e c o n t e x t o f t h e g o a l o f u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s . I n t h e s u m m a r y t h a t c o n c l u d e s t h e a n a l y s i s , I t a k e a s t e p b a c k a n d l o o k a t t h e p a t t e r n s o f t h o u g h t a n d a c t i o n o n t h e p a r t o f t h e i n s t r u c t o r s t h a t s e e m e d t o o r i e n t t h e i r d e c i s i o n s , a n d , u l t i m a t e l y , t h e r o l e s t h e c o u r s e s c o u l d p l a y i n s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I p r e s e n t t w o c h a r a c t e r i z a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s t h a t e m e r g e d f r o m m y a n a l y s e s . W h a t S h o u l d S t u d e n t s K n o w W h e n T h e y E n t e r t h e C o u r s e ? 2 8 M o s t i n s t r u c t o r s f e l t t h a t t h e y s h o u l d b e a b l e t o a s s u m e t h a t s t u d e n t s e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h b a s i c c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . O t h e r a s p e c t s o f p r e p a r a t i o n w e r e o c c a s i o n a l l y n o t e d , b u t t h e g r e a t e s t c o n c e r n r e s i d e d i n t h e l a c k o f m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n 2 9 t h a t m a n y s t u d e n t s e x h i b i t e d u p o n e n t e r i n g t h e f i r s t c o u r s e . T h e n a t u r e a n d d e g r e e o f t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e r n a n d t h e i r r e s p o n s e s t o t h e c o n c e r n i n t h e c o n t e x t o f t h e f i r s t c o u r s e v a r i e d . A s f o r e s h a d o w e d b y t h e i n d i v i d u a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e i n s t r u c t o r s , c o n c e r n a b o u t s t u d e n t s ' p r e p a r a t i o n o f t e n i m p a c t e d t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e . I n t h i s c a s e , m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t i n s t r u c t o r s t h o u g h t s t u d e n t s s h o u l d h a v e b r o u g h t t o t h e c o u r s e , b u t d i d n o t , w a s o f c o n c e r n . M y a n a l y s i s b e g i n s w i t h a d e s c r i p t i o n o f e a c h i n s t r u c t o r ' s p o r t r a y a l o f s t u d e n t p r e p a r a t i o n f o r t h e c o u r s e , i t s i m p o r t a n c e , a n d t h e i n s t r u c t o r ' s r e s p o n s e . I t e n d s w i t h a s u m m a r y a n a l y s i s o f t h e i s s u e . 2 3 B e c a u s e s u c c e s s f u l w o r k i n t h e f i r s t c o u r s e ( a g r a d e o f " C " o r b e t t e r ) w a s t h e p r e r e q u i s i t e f o r t h e s e c o n d c o u r s e , I f o c u s o n t h e f i r s t c o n t e n t c o u r s e . T h i s i s a n a r g u a b l e c h o i c e b u t w a s m a d e t o e n a b l e a c l o s e r s c r u t i n y o f t h e i s s u e r a t h e r t h a n o f t h e s p e c i f i c t o p i c s o f c o n t e n t i n c o u r s e s . W h e n e x p l i c i t l y a p a r t o f a n i n s t r u c t o r ' s r e s p o n s e , p o o r p r e p a r a t i o n f o r t h e s e c o n d c o u r s e i s a l s o i n c l u d e d . I t s h o u l d a l s o b e a c k n o w l e d g e d t h a t I u s e t h e t e r m s l a c k o f p r e p a r a t i o n a n d p o o r p r e p a r a t i o n i n t e r c h a n g e a b l y . 2 9 I n s t r u c t o r s h a d d i f f e r i n g v i e w s o f w h a t c o u n t e d a s m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n . T h e s e a r e p r e s e n t e d i n t h e b o d y o f t h e a n a l y s i s . 1 7 9 1 8 0 K a r a F o r K a r a , p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n w a s a n i r r i t a n t f o r t h e s t u d e n t s , m a k i n g t h e m m o r e f r u s t r a t e d . W h e n a s k e d w h a t b e i n g u n p r e p a r e d f o r t h e c o u r s e m e a n t , K a r a s a i d : A l a c k o f k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s i s w h a t I s e e a s u n p r e p a r e d . T h e y ' v e e i t h e r n o t h a d i t o r b e e n v e r y m a t h a n x i o u s a b o u t i t , a v o i d e d i t , u n a b l e t o d o s o m e t h i n g s , p r o b a b l y i n a l o t o f c a s e s b e c a u s e t h e y ' v e j u s t a v o i d e d i t . . . . I t h i n k y o u f i n d t h a t o n c e t h e s e p e o p l e r e l a x a l i t t l e b i t t h a t t h e y l e a r n a l o t a n d g o , " T h i s i s n ' t a s b a d a s I t h o u g h t i t w a s g o n n a b e . " ( K S , 7 P ) S t u d e n t s w e r e n o t " u n p r e p a r e d " b e c a u s e t h e y c o u l d n o t d d m a t h e m a t i c s , i t w a s b e c a u s e t h e y h a d n o t t a k e n m a t h e m a t i c s c o u r s e s t h a t w o u l d h a v e p r e p a r e d t h e m . 3 0 K a r a v i e w e d s t u d e n t s a s , g e n e r a l l y , c o m p u t a t i o n a l l y p r e p a r e d f o r t h e c o u r s e , s o t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e a d d r e s s e d t h e c o n t e n t t h e y l a c k e d . S h e t h o u g h t s t u d e n t s l a c k e d u n d e r l y i n g c o n c e p t u a l k n o w l e d g e o f a r i t h m e t i c a n d g e n e r a l c o n c e p t s o f a l g e b r a a n d g e o m e t r y . H e r r e s p o n s e i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e w a s t o p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o " l e a r n a l o t " i n a n e n v i r o n m e n t t h a t w a s i n t e n d e d t o b e n o n - t h r e a t e n i n g . I n t h i s w a y , s t u d e n t s w e r e t o g a i n c o m p e t e n c e a n d c o n f i d e n c e , t h u s b e c o m i n g p r e p a r e d t o t e a c h . T h e p h r a s e " p o o r p r e p a r a t i o n " w a s n e v e r u s e d b y K a r a . I t w a s a m u c h d i f f e r e n t s i t u a t i o n w i t h C y n t h i a , w h o t a l k e d a b o u t p o o r p r e p a r a t i o n a t l e n g t h . 3 0 R e m e m b e r t h a t t h e f a c u l t y s y l l a b u s t h a t a l l i n s t r u c t o r s t e a c h i n g t h e c o u r s e a t N U r e c e i v e d i n d i c a t e d t h a t t h e p r e r e q u i s i t e s f o r t h e c o u r s e w e r e t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d o n e y e a r o f g e o m e t r y . T h e c a t a l o g d i d n o t i n d i c a t e t h i s . R a t h e r , t h e o n l y r e s t r i c t i o n i n d i c a t e d i n t h e c a t a l o g w a s t h a t t h e c o u r s e w a s " o p e n o n l y t o p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . " 1 8 1 C y n t h i a F o r C y n t h i a , p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n w a s m u l t i d i m e n s i o n a l . A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e t h r e e d i m e n s i o n s s h e e m p h a s i z e d w e r e : c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y , c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d i t s v a l u e , a n d c o m m u n i c a t i o n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . I n t h e c a s e o f c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y , C y n t h i a ' s p e r s p e c t i v e o n i t s i m p o r t a n c e c o m p e l l e d h e r t o a c t . R e c a l l C y n t h i a ' s c o m m e n t : I t h i n k i t ' s j u s t , a f t e r w e l e a r n t o w a l k , w e s h o u l d b e a b l e t o a d d , s u b t r a c t , m u l t i p l y a n d d i v i d e . ( l a u g h s ) O k a y , i t ' s j u s t a n i n h e r e n t t h i n g t h a t w e a l l s h o u l d h a v e . . . . I n t h e M a t h f o r E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r s , t h a t ' s r e a l l y n o t o n e o f t h e s p e c i f i c g o a l s . I t h a s b e c o m e o n e o f m y g o a l s b e c a u s e I h a v e s e e n s t u d e n t s w h o c a n ' t d o i t , a n d , c e r t a i n l y , w e c a n ' t s e n d t h e m i n t o t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c l a s s r o o m i f t h e y c a n ' t d o t h a t . ( C Y , 1 3 B ) B a s e d o n h e r e x p e r i e n c e , C y n t h i a d i d n o t a s s u m e t h a t s t u d e n t s h a d b a s i c c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . 3 1 H e r r e s p o n s e w a s t o r e q u i r e t h a t s t u d e n t s s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e o r t e s t o u t o f a n i n d i v i d u a l m a s t e r y p r o g r a m c a l l e d t h e I n t e r a c t i v e M a t h P r o g r a m , d o n e o u t s i d e o f c l a s s . S t u d e n t s w e r e t e s t e d a n d e x p e c t e d t o c o m p l e t e c e r t a i n v i d e o - s u p p o r t e d m o d u l e s . E n t e r i n g c o m p u t a t i o n a l d e f i c i e n c i e s w e r e t o b e c o r r e c t e d i n t h i s w a y . C y n t h i a i n d i c a t e d t h a t s h e w a s a l s o d i s t r e s s e d b y t h e l a c k o f c o n c e r n f o r u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s o n t h e p a r t o f h e r s t u d e n t s : 3 1 T h e C C c a t a l o g d i d n o t i n d i c a t e a n y p r e r e q u i s i t e r e q u i r e m e n t f o r t h e c o u r s e s . S t u d e n t s c o u l d e n t e r a n d r e g i s t e r f o r t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s h a v i n g h a d n o m a t h e m a t i c s b e y o n d a h i g h s c h o o l G e n e r a l M a t h e m a t i c s c o u r s e . T h i s w a s c h a n g i n g a t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w i n g . A p r e r e q u i s i t e o f B e g i n n i n g A l g e b r a h a d b e e n p u t i n p l a c e i n t h e d i v i s i o n , r e s u l t i n g i n a s i g n i f i c a n t d r o p i n e n r o l l m e n t f o r t h e f i r s t m a t h e m a t i c s f o r t h e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r c o u r s e . 1 8 2 " T h e y ' r e n o t r e a l l y w a n t i n g t o k n o w t h e w h y s a n d t h e w h e r e f o r e s a n d l e a r n t h e c o n c e p t s a n d u n d e r s t a n d i n g , i t ' s j u s t g e t - m e - t h r o u g h - t h i s - c l a s s k i n d o f a t t i t u d e " ( C Y , 4 B ) . S h e f e l t t h a t , w i t h s t r o n g e r p r e p a r a t i o n , s t u d e n t s w o u l d s e e k t h e a n s w e r t o " w h y . " S h e s u p p o r t e d a B e g i n n i n g A l g e b r a - l e v e l p r e r e q u i s i t e f o r t h e c o u r s e , s u g g e s t i n g t h a t t h i s w o u l d i n c r e a s e s t u d e n t s ' a p p r e c i a t i o n o f t h e w h y s . ( T h i s v i e w s e e m e d t o b e a r e s u l t o f h e r s e n s e t h a t s t u d e n t s w i t h a l g e b r a b a c k g r o u n d s w e r e m o r e v e r s a t i l e t h i n k e r s a n d w e r e a b l e t o c o m e u p w i t h d i f f e r e n t s o l u t i o n m e t h o d s t o p r o b l e m s . ) I n a d d i t i o n , s h e i n t e n d e d t h a t c l a s s r o o m a c t i v i t i e s b e o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o s e e k " t h e w h y s a n d w h e r e f o r e s " a n d t h a t s t u d e n t s w o u l d c o m e t o v a l u e t h i s a s a r e s u l t o f c o m i n g t o k n o w m a t h e m a t i c s i n a d e e p e r w a y . S h e s a w h e r s e l f m o d e l i n g t h e s e a r c h f o r w h y s , a n d s h e h o p e d t h a t s t u d e n t s w o u l d j o i n h e r i n t h e s e a r c h . I n r e s p o n s e t o s t u d e n t s ' i n a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s , C y n t h i a a s s i g n e d s i g n i f i c a n t w r i t t e n w o r k , t o w h i c h s h e r e s p o n d e d . I t r e q u i r e d a g r e a t d e a l o f t i m e f o r b o t h s t u d e n t s a n d t h e t e a c h e r . S h e c a l l e d t h i s p o r t f o l i o w o r k . G o a l s i n c l u d e d t h e d e v e l o p m e n t o f s t u d e n t s ' a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e , i n g e n e r a l , a n d t h e a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e a b o u t m a t h e m a t i c s , i n p a r t i c u l a r . T h i s u n d e r s t a n d i n g o f s t u d e n t s ' p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n i n c l u d e d t h e n o r m s o f t h e d i s c i p l i n e - - h o w o n e c o m m u n i c a t e s a n d s u p p o r t s c o n j e c t u r e s a n d s o l u t i o n s - - a s c o n t e n t . C y n t h i a e m p h a s i z e d c o r r e c t u s e o f l a n g u a g e a n d n o t a t i o n a s a p r e p a r a t i o n f o r f u r t h e r a n d d e e p e r e x p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d r e l a t i o n s h i p s . T h i s s t r a t e g y e x e m p l i f i e d h e r s e n s e o f m a t h e m a t i c s 1 8 3 c o n t e n t a s a m e r g i n g o f w h a t I h a v e c a l l e d l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s w i t h t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e r o l e o f l e a r n i n g c o n t e n t t h a t C y n t h i a e x p e c t e d t h e c o u r s e t o p l a y i n c l u d e d d e a l i n g w i t h t h e s e t h r e e d i m e n s i o n s a s e n t e r i n g d e f i c i e n c i e s . D e f i c i e n c i e s w e r e t o b e c o m e s t r e n g t h s , v a l u e d s t r e n g t h s . T h e c o u r s e w a s t o f a c i l i t a t e t h i s s h i f t f r o m d e f i c i e n c i e s t o s t r e n g t h s f o r s t u d e n t s a s l e a r n e r s , f i r s t , a n d f o r s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s , s e c o n d . L i k e C y n t h i a , J e f f s a w p o o r p r e p a r a t i o n a s o f g r e a t e r c o n c e r n t h a n K a r a . U n l i k e C y n t h i a , w h o f o c u s e d h e r a t t e n t i o n o n t h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s , J e f f ' s c o n c e r n w a s m o r e f o c u s e d o n t h e p r o b l e m s f o r t h e f u t u r e p u p i l s o f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n h i s c h a r g e . J e f f J e f f d i d n o t a n t i c i p a t e t h e p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n o f h i s s t u d e n t s , a n d , d u e t o a d h e r e n c e t o h i s p r e - s e t , r i g i d g r a d i n g s c h e m e , h e g a v e p a s s i n g g r a d e s t o s t u d e n t s w h o m h e f e l t d i d n o t k n o w f u n d a m e n t a l s , s u c h a s t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s . J e f f f e l t t h e w e i g h t o f t h i s e x p e r i e n c e , s t r e s s i n g t h a t h e d i d n o t w a n t i t t o h a p p e n a g a i n . R e c a l l t h a t h e s t a t e d , " W e d o n ' t w a n t t o c e r t i f y t e a c h e r s t h a t a r e n ' t r e a d y " ( J S , 2 6 P ) . J e f f ' s r e s p o n s e w a s t o p l a n o n d e v i s i n g h i s o w n b a s i c c o m p e t e n c y t e s t t o g i v e t o s t u d e n t s u p o n b e g i n n i n g t h e c o u r s e ( e v e n i f t h e d e p a r t m e n t h a d a r e q u i r e d p l a c e m e n t t e s t ) . H i s i n t e n t i o n w a s n o t t o k e e p s t u d e n t s o u t o f t e a c h i n g , b u t t o b e s u r e t h a t t h e y w e r e c o m p e t e n t t o t e a c h : " I ' m n o t s a y i n g , y o u k n o w , ' T o o b a d . Y o u f a i l e d t h e t e s t . Y o u c a n n e v e r b e a t e a c h e r . ‘ . . . B u t , I t h i n k s o m e t i m e b e f o r e t h e y g e t t h e r e [ e l e m e n t a r y s c h o o l c l a s s r o o m ] , t h e y n e e d t o 1 8 4 b e c o m e c o m p e t e n t " ( J S , 2 8 P ) . J e f f f e l t t h a t e i t h e r s t u d e n t s s h o u l d b e i d e n t i f i e d a n d m o v e d i n t o a c o u r s e t h a t w o u l d p r e p a r e t h e m m a t h e m a t i c a l l y f o r t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e , o r i n s t r u c t o r s s h o u l d b e p r e p a r e d t o g i v e s u p p l e m e n t a l h e l p t o s t u d e n t s . S t u d e n t s w e r e n o t s e e n a s u n p r e p a r e d b y J e f f i n t h e r a n g e o f w a y s t o w h i c h C y n t h i a r e s p o n d e d . H e f o c u s e d o n c o m p u t a t i o n a l a n d f u n d a m e n t a l ( e . g . , w h a t a f r a c t i o n i s ) d e f i c i e n c i e s o f s t u d e n t s . W h i l e h e r e c o g n i z e d s t u d e n t s ' i n a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y , h e d i d n o t s e e t h i s a s o f p a r t i c u l a r c o n c e r n e x c e p t f o r e x p l a n a t i o n p u r p o s e s . F r a n k F r a n k v o i c e d s t r o n g c o n f i d e n c e t h a t , w i t h t h e n e w p r e r e q u i s i t e t e s t i n g a n d s u b s e q u e n t p l a c e m e n t o f s t u d e n t s , p o o r m a t h e m a t i c a l ( c o m p u t a t i o n a l ) p r e p a r a t i o n w o u l d b e a t h i n g o f t h e p a s t . H e s a w c u r r i c u l a r r e v i s i o n i n t h e c o u r s e p a i r e d w i t h t h e p r e r e q u i s i t e t e s t i n g , t o c a p i t a l i z e o n t h e p o s i t i v e s i t u a t i o n o f w e l l - p r e p a r e d s t u d e n t s . O n e d i s t i n c t i v e c o n c e r n o f F r a n k ' s w a s n o t m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n , b u t s o c i a l a n d c u l t u r a l p r e p a r a t i o n . H e r a i s e d c o n c e r n s a b o u t t h e n a r r o w e x p e r i e n c e - b a s e t h a t m a n y o f t h e s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e i r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . M o s t o f t h e m [ s t u d e n t s ] a r e f e m a l e . M a n y o f t h e m a r e f r o m m i d d l e c l a s s b a c k g r o u n d s , ( s h o r t p a u s e ) a n d s o m e a r e p r o b a b l y n o t v e r y r e a l i s t i c i n t e r m s o f w h a t t h e y w o u l d e x p e c t w h e n t h e y g o o u t a n d t e a c h o u t t h e r e . W e l l , w e g e t a n a w f u l l o t o f p e o p l e w h o d e c i d e d t o b e c o m e e l e m e n t a r y t e a c h e r s , w h o h a v e g r a d u a t e d f r o m , a n d s p e n t m o s t o f t h e i r l i v e s i n , l e t ' s s a y C a t h o l i c s c h o o l s , y o u k n o w ? A n d t h e y ' r e n o t ( l o n g p a u s e ) 1 8 5 p r e p a r e d y e t f o r w h a t t h e y ' r e g o i n g t o h a v e t o p u t u p w i t h a n d m e e t w i t h i n t h e , i n t h e t y p i c a l e l e m e n t a r y s c h o o l . A n d I t h i n k , s o t h e y ' r e , i n s o m e c a s e s , t h e y ' r e n o t r e a d y f o r i t . H o p e f u l l y , t h e y , t h e y w i l l e v e n t u a l l y h a v e s o m e p r e - s t u d e n t t e a c h i n g w h e r e t h e y ' l l b e a b l e t o s e e w h a t a t y p i c a l e l e m e n t a r y c l a s s w i l l l o o k l i k e w i t h o u t h a v i n g a n u n f i g u r e u p i n f r o n t , ( l a u g h ) o r s o m e b o d y . ( F A , 1 - 2 C ) F r a n k ' s p e r s p e c t i v e , m o l d e d i n p a r t b y h i s w o r k t e a c h i n g t h e m e t h o d s c o u r s e a n d o v e r s e e i n g s t u d e n t s ' p r a c t i c a , w a s o r i e n t e d t o w a r d p r e p a r a t i o n t o t e a c h . H e s a w t h a t m a n y s t u d e n t s h a d b a c k g r o u n d s t h a t i l l - e q u i p p e d t h e m f o r t h e c h a l l e n g e s o f t e a c h i n g i n u r b a n p u b l i c s c h o o l s e t t i n g s . T h i s a s p e c t o f p r e p a r a t i o n w a s a t t h e f o r e - f r o n t o f h i s t h i n k i n g , k n o w i n g t h a t m a n y o f t h e s t u d e n t s w o u l d f i n d f e w t e a c h i n g p o s i t i o n s a v a i l a b l e i n m o r e f a m i l i a r s e t t i n g s . W h e n a s k e d w h a t , i f a n y t h i n g , w a s d o n e i n t h e c o u r s e t o r e s p o n d t o t h i s a s p e c t o f p o o r p r e p a r a t i o n , F r a n k i n d i c a t e d t h a t h e w a s n o t a w a r e o f a n y t h i n g b e i n g d o n e . H e a l s o i n d i c a t e d h i s b e l i e f t h a t i t w a s m o r e a n i s s u e f o r T e a c h e r E d u c a t i o n c o u r s e s t o a d d r e s s . G a i l L i k e K a r a , J e f f , a n d F r a n k , G a i l a s s u m e d t h a t s t u d e n t s e n t e r e d t h e c o u r s e w i t h c o m p u t a t i o n a l s k i l l s , a n d s h e s t a t e d , " W e d o n ' t c o v e r t h a t . " A s s e s s i n g t h e r e a l i t y i n t h e c l a s s r o o m , h o w e v e r , s h e a c k n o w l e d g e d t h a t s h e s o m e t i m e s h a d s t u d e n t s w h o w e r e w e a k i n s o m e a r e a s : " E v e n n o w , w e ' r e a s s u m i n g t h e y k n o w h o w t o w o r k w i t h f r a c t i o n s e v e n , a n d a l o t o f t h e m d o n ' t . S o w e e n d u p h e l p i n g t h e m o n t h e s i d e , b u t i t ' s n o t a p a r t o f t h e c o u r s e " ( G L , 1 1 P ) . S h e a l s o p l a n n e d t o i n c r e a s e t h e e m p h a s i s o n a p p l i c a t i o n p r o b l e m s i n v o l v i n g f r a c t i o n s t o p r o v i d e a n o p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t o w o r k t h r o u g h a n y r e s i d u a l d e f i c i e n c i e s i n u n d e r s t a n d i n g f r a c t i o n s . 1 8 6 G a i l f e l t t h a t t h e l e v e l o f m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n h a d i m p r o v e d i n t h e r e c e n t p a s t , s u p p o r t e d b y t h e p r e r e q u i s i t e t e s t i n g . S h e s a w t h i s i m p r o v e m e n t a s a l l o w i n g c u r r i c u l a r c h a n g e s , s u c h a s t h e d e l e t i o n o f c o m p u t a t i o n a l w o r k w i t h f r a c t i o n s , t o b e v i e w e d a s r e a s o n a b l e . P r i o r t o t h e p r e r e q u i s i t e t e s t i n g , w h e n u n d e r p r e p a r e d s t u d e n t s t o o k t h e c o u r s e , t h e y o f t e n f a i l e d i t . T h e y t h e n h a d t h e c h o i c e o f o p t i n g f o r a d i f f e r e n t c a r e e r g o a l o r o f r e t a k i n g t h e c o u r s e . T h e n u m b e r o f s t u d e n t s r e t a k i n g t h e c o u r s e w a s n e a r o n e t h i r d , a c c o r d i n g t o G a i l . S h e e x p e c t e d t h i s f r a c t i o n t o d r o p d r a m a t i c a l l y w i t h t h e u s e o f p r e r e q u i s i t e t e s t i n g . T h i s s i t u a t i o n o f h i g h r e p e a t l e v e l s c o r r o b o r a t e s t w o a s p e c t s o f G a i l ' s c o m m e n t s . F i r s t , i f h i g h n u m b e r s o f s t u d e n t s f a i l e d t h e c o u r s e , i t i s l i k e l y t h a t s o m e w e r e n o t a d e q u a t e l y p r e p a r e d t o t a k e t h e c o u r s e . A n d , s e c o n d , b e c a u s e s t u d e n t s w e r e n o t a b l e t o s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e t h e w o r k o n t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t w a s a p a r t o f t h e c o u r s e , G a i l ' s d e s c r i p t i o n o f t h e c o u r s e a s n o t d e a l i n g w i t h a s p e c t s o f p o o r s t u d e n t p r e p a r a t i o n s e e m s t o b e r e a s o n a b l e . A s s u m i n g c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y a m o n g h e r s t u d e n t s , G a i l ' s c o n c e r n w a s m o r e a b o u t t h e d i v e r s i t y i n s t u d e n t s ' l e v e l s o f p r e p a r a t i o n . Y o u g o t p e o p l e t h a t h a d p r e - a l g e b r a o r b e g i n n i n g a l g e b r a i n n i n t h g r a d e g o t a " D " i n i t , n e v e r t o o k a n y t h i n g s i n c e . A n d t h e n y o u g o t p e o p l e t h a t h a v e b e e n t h r o u g h c a l c u l u s , a r e m a t h m a j o r s , a n d d e c i d e d t o g o i n t o e l e m e n t a r y t e a c h i n g . A n d t h e y ' r e a l l i n o n e c l a s s r o o m . ( G L , 2 C ) W i t h t h e w i d e r a n g e o f b a c k g r o u n d s , G a i l f e l t i t w a s u n f a i r t o e x p e c t m o r e s o p h i s t i c a t e d l e v e l s o f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g f r o m a l l o f t h e 1 8 7 s t u d e n t s . H o l d i n g t r u e t o h e r c o n c e r n f o r n o t i n t i m i d a t i n g o r t h r e a t e n i n g s t u d e n t s , s h e s h i e d a w a y f r o m c o n s i d e r i n g s u b j e c t s , s u c h a s g e o m e t r y , i n d e p t h . I n t h i s w a y , t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t h a t s t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o l e a r n w a s r e s t r i c t e d , b a s e d o n G a i l ' s p e r c e p t i o n o f w h a t a l l s t u d e n t s c o u l d r e a s o n a b l y b e e x p e c t e d t o l e a r n , g i v e n t h e i r c o l l e c t i v e m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s . C r a i g C r a i g s a w a v a l u e i n p r e r e q u i s i t e t e s t i n g , b u t h e s e n s e d t h a t t h i s d i d n o t t e l l t h e w h o l e s t o r y o f s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n . H e s u g g e s t e d d o i n g i n t e r v i e w s w i t h s t u d e n t s a s a w a y t o d e t e r m i n e i f t h e y w e r e p r e p a r e d f o r t h e c o u r s e s . I n t h i s w a y , a s e n s e o f t h e w a y s i n w h i c h s t u d e n t s u n d e r s t o o d m a t h e m a t i c s c o u l d h e l p t h e i n s t r u c t o r i n r e s p o n d i n g t o s t u d e n t n e e d s . 3 2 I n t h e c u r r e n t s e t - u p , C r a i g d e a l t w i t h e n t e r i n g c o m p u t a t i o n a l d e f i c i e n c i e s w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e c o u r s e . H e r e s p o n d e d t o t h e n e e d s o f t h e s t u d e n t s t h r o u g h t h e c o u r s e w o r k , b u t h e s e n s e d t h a t t h e c o u r s e w o u l d i n c l u d e d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i f s t u d e n t s e n t e r e d w e l l - p r e p a r e d . S p e n d i n g t i m e r e a d i n g a n d s t u d y i n g t h e N C T M S t a n d a r d s a s a p a r t o f t h e c o u r s e w a s o n e c h a n g e h e e n v i s i o n e d . I f t h e y c o m e i n t o t h e c o u r s e [ n o w ] a l i t t l e , i f y o u g e t , e s p e c i a l l y , a c e r t a i n g r o u p t h a t ' s a l i t t l e m o r e d e f i c i e n t t h a n w h a t y o u h a d h o p e d i n c e r t a i n a r e a s , t h a n y o u m i g h t h a v e t o e m p h a s i z e t h a t m o r e . A n d i t c o u l d a f f e c t s o m e o f t h e o t h e r g o a l s , s l i g h t l y . I h o p e n o t m u c h . B u t , t h e o r e t i c a l l y , i f t h e y r e a l l y c a m e i n w i t h g o o d p r e p a r a t i o n f r o m h i g h s c h o o l a n d , i n t e r m s o f m a t h e m a t i c s a n d a t t i t u d e a n d s o f o r t h , t h e n w e c o u l d 3 2 R e c a l l t h a t C r a i g s a w u n d e r s t a n d i n g a s b e i n g a s p e c t r u m , r a n g i n g f r o m r e c o g n i t i o n t o c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . 1 8 8 g o r i g h t o n . Y o u k n o w , l o o k a t t h e S t a n d a r d s a n d s o f o r t h . ( C K , 3 C ) P o o r p r e p a r a t i o n ' s i m p a c t o n t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e i n v o l v e d e m p h a s i z i n g t h o s e t o p i c s i n w h i c h s t u d e n t s s e e m e d t o l a c k b a c k g r o u n d . " E m p h a s i z i n g " t o o k t h e f o r m o f s e l e c t i n g i n s t r u c t i o n a l a n d a s s e s s m e n t t a s k s t h a t d e v e l o p e d a n d u s e d t h e s e t o p i c s . C r a i g s p o k e o f a s s e s s i n g s t u d e n t s ' p r i o r k n o w l e d g e a n d b u i l d i n g f r o m t h a t w i t h t h e c o u r s e c o n t e n t . S t u d e n t P r e p a r a t i o n a n d i t s E f f e c t s I n t h e i n s t r u c t o r s ' r e s p o n s e s , w e h a v e s i x v e r y d i f f e r e n t p e r c e p t i o n s o f w h a t s t u d e n t s ' p r e p a r a t i o n i s , h o w i m p o r t a n t a n i n f l u e n c e i t i s o n t h e c o u r s e c o n t e n t , a n d w h a t t h e r e s p o n s e n e e d s t o b e i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e . T h e r a n g e o f e m p h a s e s o n p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n a s a n i n f l u e n c e o n t h e c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n w e n t f r o m n o n - c o n c e r n t o a f u l l - b l o w n s e t o f c o n c e r n s t h a t i n f l u e n c e d c o n t e n t a n d d e s i g n , p a r t i c u l a r l y w i t h r e s p e c t t o a s s e s s m e n t , i n d r a m a t i c w a y s . M o s t i n s t r u c t o r s a s s u m e d t h a t s t u d e n t s h a d b a s i c c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . O n l y C y n t h i a d e s i g n e d c o u r s e r e q u i r e m e n t s w i t h a n e y e t o w a r d d e v e l o p i n g b a s i c c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y . M o s t i n s t r u c t o r s r e c o g n i z e d t h a t s o m e r e m e d i a t i o n w o u l d n e e d t o t a k e p l a c e w i t h i n t h e c o u r s e . I n s t r u c t o r s r e l i e d o n p r o b l e m s o l v i n g a n d a p p l i c a t i o n p r o b l e m s t o a c c o m p l i s h m u l t i p l e t a s k s , o n e o f w h i c h w a s r e m e d i a t i n g c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . T h e c o n t e x t o f t h e r e m e d i a t i o n w a s d i f f e r e n t a c r o s s i n s t r u c t o r s . F o r o n e , i t w a s s o m e t h i n g t h a t s h e d e a l t w i t h o n e - o n - o n e w i t h s t u d e n t s . O n e i n s t r u c t o r a s s u m e d t h a t s t u d e n t s h a d c o m p u t a t i o n a l f a c i l i t y a n d , i n 1 8 9 t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e , r e a l i z e d t h a t h e h a d p r o b l e m s a s a r e s u l t o f h i s a s s u m p t i o n . O n e i n s t r u c t o r s t a t e d t h a t t h e r e w a s n o p r o b l e m : S t u d e n t s w e r e t e s t e d a n d p l a c e d i n a p p r o p r i a t e c o u r s e s . A s a s t a n c e h e l d b y s o m e o n e n o t a c t i v e l y t e a c h i n g t h e c o u r s e a t t h e t i m e , p e r h a p s t h i s r e p r e s e n t s t h e r e s p o n s e o f t h e i d e a l i s t . C y n t h i a w a s t h e i n s t r u c t o r w i t h t h e b r o a d e s t d e f i n i t i o n o r s e n s e o f w h a t s t u d e n t s ' p o o r p r e p a r a t i o n m i g h t i n v o l v e . S h e f e l t t h a t , i f K - 1 2 s c h o o l s p r e p a r e d s t u d e n t s , s t u d e n t s w o u l d b e m o r e a b l e t o c o m m u n i c a t e a n d m o r e c u r i o u s a b o u t t h e w h y s a n d t h e w h e r e f o r e s . S h e f e l t t h i s r e p r e s e n t e d p r e p a r a t i o n - - s t u d e n t s s h o u l d c o m e t o t h e c l a s s w i t h t h e s e a b i l i t i e s a n d d i s p o s i t i o n s . T h e d i v e r s i t y i n t h e w a y s i n s t r u c t o r s p e r c e i v e d a n d r e s p o n d e d t o s t u d e n t p r e p a r a t i o n i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e h i g h l i g h t s t h e s o m e t i m e s w i d e d i f f e r e n c e o f o p i n i o n o n t h e p a r t o f t h e i n s t r u c t o r s a s t o i t s i n f l u e n c e s o n t h e c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n . W h e n i n s t r u c t o r s s a w t h e n e e d t o a s s e s s a n d a d d r e s s p o o r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n a c t i v e l y w i t h i n t h e c o u r s e , t h e y a d a p t e d t h e c o n t e n t w i t h t h e i n t e n t i o n o f d e a l i n g w i t h t h e p o o r p r e p a r a t i o n w h i l e m e e t i n g t h e g o a l s o f a d d i t i o n a l m a t h e m a t i c a l c o n t e n t l e a r n i n g . W h e n i n s t r u c t o r s a s s u m e d b u t d i d n o t c o n f i r m s t u d e n t p r e p a r a t i o n , i n s t r u c t o r s d i d n o t a d a p t t h e c o n t e n t , r e s u l t i n g i n a s i t u a t i o n w h e r e a s i g n i f i c a n t n u m b e r o f s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o c o m p l e t e t h e c o u r s e s u c c e s s f u l l y i n o n e s e m e s t e r . O v e r a l l , t h e i n s t r u c t o r s ' g o a l s d i d n o t m e s h i n t o a s h a r e d s e n s e o f t h e r o l e o f l e a r n i n g p r e p a r a t o r y c o n t e n t . . l 1 I I I c ‘ l u W h a t S h o u l d B e t h e M a t h e m a t i c a l C o n t e n t o f t h e C o u r s e s ? T h e p o s i t i o n o f t h e c o u r s e s i n t h e c o n t e x t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n s t r o n g l y i n f l u e n c e d h o w t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s s e l e c t e d c o n t e n t f o r t h e c o u r s e s . I n s t r u c t o r s b e l i e v e d t h a t s t u d e n t s i n t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n p r o g r a m n e e d e d t o k n o w t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t o f t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c u r r i c u l u m , 3 3 b u t t h e y a l s o f e l t t h a t s t u d e n t s n e e d e d t o k n o w m o r e . 3 4 T h e " m o r e " w a s w r a p p e d u p i n t h e r e a s o n s f o r k n o w i n g i t . I n s t r u c t o r s ' b e l i e f s i n f l u e n c e d t h e c h o i c e o f a n d e m p h a s i s o n m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d 3 3 A q u e s t i o n n o t a d d r e s s e d i n t h i s s t u d y b u t o f g r e a t i n t e r e s t t o m e i s o n w h a t e v i d e n c e i n s t r u c t o r s b a s e t h e i r v i e w t h a t t h e c o n t e n t t o p i c s o n t h e s y l l a b u s r e f l e c t t h e c o n t e n t t o p i c s i n t h e K - 6 c u r r i c u l u m . A s i n d i c a t e d i n t h e i n s t r u c t o r i n f o r m a t i o n ( s e e F i g u r e 1 , p . 4 6 ) , n o n e o f t h e i n t e r v i e w e d i n s t r u c t o r s h a d e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h i n g e x p e r i e n c e o r p r e p a r a t i o n a s a n e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r i o r t o t e a c h i n g t h e s e c o u r s e s . S o m e i n s t r u c t o r s d i d o u t r e a c h a c t i v i t i e s a t t h e e l e m e n t a r y s c h o o l l e v e l , b u t t h e s e w e r e u s u a l l y d e s c r i b e d a s t i m e s w h e n t h e i n s t r u c t o r s w o u l d g o t o s c h o o l s t o d o p r e s e n t a t i o n s , n o t a s o p p o r t u n i t i e s t o e x a m i n e t h e c u r r i c u l a b e i n g u s e d . 3 4 G e n e r a l l y , w h e n i n s t r u c t o r s s p o k e o f " m o r e " i n t h e s e n s e o f w h a t c o n t e n t w a s n e e d e d " b e y o n d t h e K - 6 c u r r i c u l u m , " t h e y c o n n e c t e d t h e m o r e w i t h g a i n i n g a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e K - 6 c u r r i c u l u m t h a n s t u d e n t s w e r e a s s u m e d t o h a v e w h e n t h e y e n t e r e d t h e c o u r s e . T h a t i s t h e f o c u s o f t h e n e x t s e c t i o n o f t h e a n a l y s i s . H o w e v e r , a n a s p e c t t h a t I s e e a s t r o u b l i n g i s t h a t w h e n d e s c r i b i n g t h e c o n t e n t t h a t w a s b e y o n d t h e K - 6 c u r r i c u l u m t h a t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n i n t h e c o u r s e , f e w m e n t i o n e d t h e n o t i o n o f f u n c t i o n s . A n d , w h e n t a l k i n g o f p a t t e r n s , t h e p a t t e r n s t h a t s t u d e n t s w e r e t o s e e s e e m e d t o b e c o n n e c t e d w i t h p a r t i c u l a r p r o b l e m s a s o p p o s e d t o b r o a d a p p l i c a t i o n . T h i s m a y h a v e s i m p l y b e e n a c a s e o f l a c k o f m e n t i o n o n t h e p a r t o f i n s t r u c t o r s r a t h e r t h a n a r e f l e c t i o n t h a t d e v e l o p i n g d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s a n d p a t t e r n s w a s n o t s e e n a s i m p o r t a n t . 1 9 0 1 9 1 t h e w a y s t h e y t h o u g h t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n i t . D e p a r t m e n t a l o r d i v i s i o n p o l i c y a r t i c u l a t e d a n i n s t i t u t i o n a l v i e w o f w h a t t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e s h o u l d b e . B u t , I f o u n d w i d e v a r i a t i o n i n c o n t e n t c o v e r a g e a n d e m p h a s i s b e t w e e n i n s t r u c t o r s , r a i s i n g q u e s t i o n s a b o u t h o w t h e c o u r s e s o p e r a t e i n t h e s e r v i c e o f t h e t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . M y a n a l y s i s i s s t r u c t u r e d w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h e c o u r s e c o n t e n t a s r e c o m m e n d e d b y t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e s a t e a c h i n s t i t u t i o n f o l l o w e d b y a n e x a m i n a t i o n o f t h e w a y s i n s t r u c t o r s e m p h a s i z e d c o n t e n t d i f f e r e n t l y . T h e q u e s t i o n o f w h a t c o u n t s a s " m a t h e m a t i c s " i s r a i s e d b y t h i s e x a m i n a t i o n , a n d I e x p l o r e t h i s b y l o o k i n g a t t h e w a y s i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t m a t h e m a t i c s a s c o n t e n t i n t h e c o u r s e s . I a l s o e x a m i n e t h e i n f l u e n c e s o n i n s t r u c t o r s t h a t e i t h e r d i r e c t l y o r i n d i r e c t l y h a d a n i m p a c t o n c h o i c e t o t e a c h f o r t h e l e a r n i n g o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . 3 5 R e c o m m e n d e d C o u r s e C o n t e n t W h i l e i n s t r u c t o r s h a d t h e u l t i m a t e d e c i s i o n - m a k i n g a u t h o r i t y a s t o t h e s p e c i f i c c o n t e n t i n c l u d e d i n t h e t w o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e s , d e p a r t m e n t a l o r d i v i s i o n p o l i c y i d e n t i f i e d t o p i c s f o r m i n i m a l c o v e r a g e . T h e r e w e r e d e p a r t m e n t a l ( f a c u l t y ) s y l l a b i f o r t h e c o u r s e s a t N U a n d a s h a r e d t e x t b o o k ; t h e r e w e r e n o p r e p a r e d s y l l a b i a t C C , b u t t h e t e x t b o o k w a s s h a r e d . 3 6 T h e 3 5 T h e c o n t e n t t o b e l e a r n e d v a r i e d a s w e l l a s t h e m o t i v a t i o n s f o r t e a c h i n g i t . A s a r e s u l t , I l e a v e t h e s p e c i f i c a t i o n o f w h a t a n d w h y t o t h e b o d y o f t h e a n a l y s i s . 3 5 R e c a l l t h a t , a t b o t h i n s t i t u t i o n s , a s i n g l e t e x t b o o k w a s u s e d f o r t h e t w o c o u r s e c o n t e n t s e q u e n c e ( M u s s e r / B u r g e r , 1 9 9 1 , a t N U ; D e v i n e / O l s o n / O l s o n , 1 9 9 1 , a t C C ) . d e c i s i o n w e r e n 1 i n s h h n n a n d n c p a n x h n c o m n n m a t h e t h e d i e q u i v . c a t a l r c o u r s e l e m D r e r e U s e r r e c : C C m a C O L 1 9 2 d e c i s i o n s a b o u t t h e t o p i c s t o b e c o v e r e d a n d t h e t e x t b o o k t o b e u s e d w e r e m a d e b y M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e s a t e a c h i n s t i t u t i o n . A t N U , t h e C o m m i t t e e w a s m a d e u p o f a l l o f t h e t e n u r e d a n d n o n - t e n u r e d f u l l - t i m e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f a c u l t y , 3 7 t h o u g h p a r t - t i m e f a c u l t y w e r e e n c o u r a g e d t o p a r t i c i p a t e . 3 8 A t C C , t h i s c o m m i t t e e i n c l u d e d b o t h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d r e g u l a r m a t h e m a t i c s f a c u l t y m e m b e r s . E s s e n t i a l l y , a n y f a c u l t y m e m b e r i n t h e d i v i s i o n w h o w a s i n t e r e s t e d i n t h e c o u r s e s p a r t i c i p a t e d . T h e r e w e r e n o s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s i n t h e w a y s t h e e q u i v a l e n t c o u r s e s a t N U a n d C C w e r e d e s c r i b e d i n t h e i r r e s p e c t i v e c a t a l o g s . N e i t h e r c a t a l o g i n d i c a t e d a p r e r e q u i s i t e f o r t h e f i r s t c o u r s e , n o t i n g o n l y t h a t t h e c o u r s e w a s i n t e n d e d f o r s t u d e n t s i n t h e e l e m e n t a r y e d u c a t i o n p r o g r a m . B o t h i n c l u d e d t h e f i r s t c o u r s e a s a p r e r e q u i s i t e f o r t h e s e c o n d c o u r s e . I n s t r u c t o r s o f e a c h c o u r s e a t N U w e r e g i v e n t h e s y l l a b u s a n d u s e d i t i n w h a t e v e r w a y s t h e y c h o s e , m o s t t a k i n g t h e c o n t e n t r e c o m m e n d a t i o n s s e r i o u s l y , t h o u g h n o t r e l i g i o u s l y . I n t h e c a s e o f C C , C y n t h i a i n d i c a t e d t h a t t h e c o m m i t t e e o f m a t h e m a t i c i a n s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s h a d m e t t h e f i r s t y e a r s h e h a d t a u g h t t h e c o u r s e a n d h a d d i s c u s s e d a s y l l a b u s a n d s e l e c t e d a t e x t b o o k t o b e 3 7 " M a t h e m a t i c s e d u c a t i o n f a c u l t y " w a s d e f i n e d l o o s e l y a s a n y o n e t e a c h i n g c o u r s e s d e s i g n e d s p e c i f i c a l l y f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y t e a c h e r s o n a r e g u l a r b a s i s . T h e y w e r e a l l M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t f a c u l t y m e m b e r s . 3 3 P a r t i c i p a t i o n b y r e g u l a r m a t h e m a t i c s c o u r s e i n s t r u c t o r s w a s n o t m e n t i o n e d i n c o n v e r s a t i o n s a b o u t t h e C o m m i t t e e a n d i t s w o r k . I t i s u n c l e a r w h a t e n c o u r a g e m e n t t h e y w e r e g i v e n . u s e d i n r e i n 3 9 T a n L S a s i n k w e r e I N C T M T h e s : d e s k T h e r a h e r O p e l n o t 1 9 3 u s e d i n a l l s e c t i o n s . P r i o r t o t h i s t i m e , i n s t r u c t o r s h a d a f r e e r e i n 3 9 a s t o w h a t t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e c o u l d b e . T h e s y l l a b i f o r t h e c o u r s e s a t N U w e r e d e s c r i b e d i n t h e S i t e a n d S u b j e c t s s e c t i o n o f t h e m e t h o d o l o g y . 4 0 T h e y w e r e r e f e r r e d t o a s i n f o r m a t i v e b y i n s t r u c t o r s , b u t r e c o m m e n d a t i o n s o n t h e s y l l a b i w e r e n o t a l w a y s f o l l o w e d . T h e c o u r s e o b j e c t i v e s w e r e a c k n o w l e d g e d a s t a k e n f r o m t h e N C T M S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) a n d i n c l u d e d t h e f o l l o w i n g : S t u d e n t s w i l l : 1 l e a r n t o v a l u e m a t h e m a t i c s 2 b e c o m e c o n f i d e n t i n t h e i r o w n a b i l i t y 3 . b e c o m e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r s 4 l e a r n t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y 5 l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y T h e s e w e r e t o b e t h e i n s t r u c t o r s ' g u i d e s i n s e t t i n g t a s k s a n d d e s i g n i n g i n s t r u c t i o n a n d a s s e s s m e n t . E v a l u a t i o n w a s t o b e d e t e r m i n e d b y t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r . T h e r e w a s a r e c o m m e n d a t i o n t h a t e v a l u a t i o n i n c l u d e s o m e f o r m o f a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t , s p e c i f i c a l l y e n c o u r a g i n g m o r e w r i t i n g a n d o p e n - e n d e d q u e s t i o n s . I n t h e i n t e r v i e w i n g , s e v e r a l i n s t r u c t o r s w e r e n o t s u r e w h a t a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t w a s . O n e i n s t r u c t o r w a s a c t i v e l y u s i n g a n a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t f o r m b u t d i d n o t r e c o g n i z e i t a s s u c h . S o m e o f t h o s e i n s t r u c t o r s u s i n g m o r e w r i t i n g a n d o p e n - e n d e d q u e s t i o n s o n q u i z z e s a n d e x a m s d i d s o b e c a u s e t h e y f e l t i t 3 9 T h e w a y C y n t h i a s p o k e o f t h i s , p e r h a p s " f r e e r e i g n " i s a m o r e a p p l i c a b l e p h r a s e . F r e e r e i n i m p l i e s f r e e d o m t o c h o o s e w i t h i n r e a s o n a b l e l i m i t s . F r e e r e i g n i m p l i e s o m n i p o t e n t c o n t r o l . T h e l a c k o f d i v i s i o n r e c o m m e n d a t i o n s o r t h e a b i l i t y t o i g n o r e r e c o m m e n d a t i o n s w i t h o u t r e p r i m a n d w a s t h e o r d e r o f t h e d a y p r i o r t o C o m m i t t e e d e c i s i o n s o n e y e a r e a r l i e r . 4 0 T h e s y l l a b i a p p e a r i n A p p e n d i x A . h e l p e d I C o m p l e l o p p o r t u T s m a l l 5 w a y s j c w a y t h i n t o 8 " Y O U " . l e a r n e t r i e d < l a c u I t j T h i s w a s ‘ a n d i n I I 1 9 4 h e l p e d t h e m g a u g e h o w w e l l s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g t h e c o n t e n t . C o m p l e t i n g a s s e s s m e n t t a s k s w a s n o t s p o k e n o f a s p r o v i d i n g o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n t h e c o n t e n t b y m o s t i n s t r u c t o r s . 4 1 T h e p a r a g r a p h o n e a c h s y l l a b u s t h a t r e c o m m e n d e d t h e u s e o f s m a l l s p i r a l n o t e b o o k s a s j o u r n a l s f o r c l a s s g a v e g u i d a n c e o n t h e w a y s j o u r n a l s m i g h t b e u s e d . T h e p a r a g r a p h w a s w r i t t e n i n s u c h a w a y t h a t i t c o u l d b e l i f t e d f r o m t h e f a c u l t y s y l l a b u s a n d p u t d i r e c t l y i n t o a s t u d e n t s y l l a b u s f o r e a c h c o u r s e - - a l l t h e p r o n o u n s w e r e " y o u " , e . g . , " Y o u r j o u r n a l e n t r y s h o u l d i n c l u d e a s u m m a r y o f w h a t y o u l e a r n e d i n c l a s s . " T h e j o u r n a l s w e r e t o b e p l a c e s w h e r e s t u d e n t s t r i e d o u t i d e a s a n d d e s c r i b e d t h e i r t h i n k i n g p r o c e s s . N o n e o f t h e f a c u l t y r e q u i r e d t h e u s e o f j o u r n a l s i n t h e i r s e c t i o n s , h o w e v e r . 4 2 T h i s o b s e r v a t i o n m a t c h e s t h e g e n e r a l p e r c e p t i o n t h a t c o m m u n i c a t i o n w a s t o b e u s e d f o r a s s e s s m e n t r a t h e r t h a n i n s t r u c t i o n a l p u r p o s e s . “ 3 T h e m a j o r d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c o u r s e s y l l a b i f o r M a t h 1 1 5 a n d M a t h 1 1 6 , t h e t w o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e s , w a s i n t h e c o u r s e o u t l i n e s . T h e f i r s t c o u r s e o u t l i n e w a s a s i m p l e l i s t i n g o f t o p i c s m a t c h e d w i t h t h e s e c t i o n s f r o m t h e t e x t a n d s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s t o b e u s e d a n d t h e n u m b e r o f d a y s t o c o v e r t h e t o p i c . T h e s e c o n d c o u r s e o u t l i n e n o t o n l y i n d i c a t e d t o p i c s t o c o v e r , b u t a l s o i n d i c a t e d a s p e c t s o f t h e i n s t r u c t i o n t o c o n s i d e r . F o r 4 1 C y n t h i a ( n o t a t N U , t h e r e f o r e n o t w o r k i n g w i t h t h i s s y l l a b u s ) v i e w e d a s s e s s m e n t t a s k s a s o p p o r t u n i t i e s f o r l e a r n i n g a n d c l a r i f y i n g ( s t u d e n t ) u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n t e n t . 4 2 N o n e m e n t i o n e d r e c o m m e n d i n g t h e i r u s e i n t h e s e c o u r s e s . 4 3 A g a i n , C y n t h i a , n o t u n d e r t h e g u i d a n c e o f t h i s s y l l a b u s , s a w t h e u s e o f w r i t i n g a s i m p o r t a n t . S h e t a l k e d o f h e r u s e o f t h e p o r t f o l i o a s s i g n m e n t s a s o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t t h e p r o c e s s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . S h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o d e v e l o p a l t e r n a t i v e w a y s o f a p p r o a c h i n g t h e t a s k s a n d t o w r i t e a b o u t t h e m . e x a m p l e : t h e o r e t i c a c t i v e l y ' S c a t t e r a l g e b r a c o n c e p s e c o n c i n s t r u c w e r e I n s t r ! s o l v i e m ; D i f ‘ i n s p r 1 9 5 e x a m p l e : " C o m p a r e a n d c o n t r a s t e x p e r i m e n t a l p r o b a b i l i t i e s w i t h t h e o r e t i c a l p r o b a b i l i t i e s , s a m p l e s p a c e , e v e n t s , s t u d e n t s s h o u l d b e a c t i v e l y i n v o l v e d i n f i n d i n g e x p e r i m e n t a l p r o b a b i l i t i e s ( 2 d a y s ) " a n d " S c a t t e r p l o t s , f i n d i n g t h e l i n e o f b e s t f i t ( g r a p h i c a l l y a n d a l g e b r a i c a l l y ) , a n e x c e l l e n t o p p o r t u n i t y t o f u r t h e r d i s c u s s t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( 3 d a y s ) . " N o t i c e h o w t h e s e p o r t i o n s f r o m t h e s e c o n d o u t l i n e a r e m o r e t h a n a l i s t o f c o n t e n t . Q u a l i t i e s o f i n s t r u c t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n t e n t a r e i m p l i e d . 4 4 W h e n i n s t r u c t o r s s p o k e o f t h e c o u r s e c o n t e n t , t h e y g e n e r a l l y w e r e r e f e r r i n g t o t h e s h a r e d s e t o f t o p i c s f o r c o u r s e s " ! 5 I n s t r u c t o r s c o n s i s t e n t l y t a l k e d a b o u t t h e c o u r s e a s h a v i n g a p r o b l e m s o l v i n g f o c u s . 4 6 W i t h i n t h i s f o c u s , t h e c o n t e n t w a s d i f f e r e n t i a l l y e m p h a s i z e d b y i n s t r u c t o r s , h o w e v e r . D i f f e r e n t E m p h a s e s S t a r t i n g w i t h v e r y s i m i l a r c o n t e n t d e s c r i p t i o n s , t h e i n s t r u c t o r s m o l d e d t h e c o u r s e s w i t h d i f f e r e n t e m p h a s e s . I p r e s e n t e d s o m e a s p e c t s o f t h i s v a r i a t i o n i n t h e d i s c u s s i o n o f p o o r p r e p a r a t i o n . S o m e i n s t r u c t o r s s a w t h e g o a l s o f t h e c o u r s e l i t t l e a f f e c t e d b y w h a t s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e a n d o t h e r s a c t i v e l y c h o s e a n d e m p h a s i z e d c o n t e n t a n d s e l e c t e d i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s b a s e d o n t h e i r s e n s e o f w h a t s t u d e n t s l a c k e d . T h e v a r i a t i o n b e t w e e n 4 4 T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o u t l i n e s i s i n t r i g u i n g . M y g u e s s i s t h a t d i f f e r e n t i n s t r u c t o r s w e r e r e s p o n s i b l e f o r p r e p a r i n g t h e o u t l i n e s . 4 5 T h e s e t o p i c s a r e i d e n t i f i e d i n t h e S i t a _ a n _ d _ S n _ b j a c t s e c t i o n o f t h e M e t h o d o l o g y . T h e s y l l a b i a r e f o u n d i n A p p e n d i x A . 4 5 I r e a l i z e " p r o b l e m s o l v i n g f o c u s " i s v a g u e , r e f l e c t i n g t h e w a y i n s t r u c t o r s s p o k e a b o u t t h i s c o n t e n t . E l a b o r a t i o n o n w h a t t h i s p h r a s e i m p l i e s r e s i d e s i n t h e c o m m e n t s c i t e d f r o m t h e i n s t r u c t o r s ' i n t e r v i e w s . i n s c h t e x t b o : t h o u g I I m n a c c o m e r a p p r o s e n s e w o r k , s e k u : d i f f e r c o u r : i n s t r t e x t t t e x t t o b ' j e d o e : D r o t n n k j t o c 4 7 t O p I i t t l ‘ 6 8 V o l 1 9 6 i n s t r u c t o r s ' e m p h a s e s o n c o n t e n t a n d t h e c o n t e n t o f t h e r e q u i r e d t e x t b o o k a n d s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s i s o n e a s p e c t t h a t w e a v e s t h o u g h t h i s d i s c u s s i o n . I m a o n T e x t b o o k e l e c t i o n I n C y n t h i a ' s d e p a r t m e n t , a n i n s t r u c t o r w h o h a d t a u g h t t h e f i r s t c o n t e n t c o u r s e f o r m a n y y e a r s f o c u s e d t h e c o u r s e o n l o g i c , d i d n o t a p p r o v e o f t h e t e x t b o o k u s e d a t N U ( t o o " g l i t z y " ) , a n d , C y n t h i a s e n s e d , d i d n o t a p p r o v e o f t h e w a y t h a t s h e t a u g h t - - u s i n g g r o u p w o r k , m a n i p u l a t i v e s , a n d p o r t f o l i o s . W h e n a n e w t e x t b o o k w a s s e l e c t e d r e c e n t l y a t C C , i t s s e l e c t i o n w a s s h a p e d b y t h e f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e s i n t h e v i e w s o f w h a t c o n t e n t o u g h t t o b e a p a r t o f t h e c o u r s e h e l d b y t h e i n s t r u c t o r s , p a r t i c u l a r l y C y n t h i a a n d t h i s o t h e r i n s t r u c t o r . T h e c o m m i t t e e t h a t m a d e t h e s e l e c t i o n h a d r e v i e w e d s e v e r a l t e x t b o o k s a s p a r t o f i t s s e l e c t i o n p r o c e s s . C y n t h i a d e s c r i b e d t h e t e x t b o o k s e l e c t i o n a s b e i n g b a s e d o n w h i c h t e x t w a s " l e a s t o b j e c t i o n a b l e . " 4 7 T h e t e x t b o o k s e l e c t e d w a s " a c l e a n b o o k . I t d o e s n ' t , i t ' s n o t o f f e n s i v e i n a n y w a y " ( 1 4 C ) . S h e f o u n d i t w e a k i n p r o b l e m s o l v i n g a n d u s e o f m a n i p u l a t i v e s . B u t , b e c a u s e i t i s s u c h a m i d d l e - o f — t h e - r o a d t e x t , s h e f e l t t h a t i t g a v e h e r a l o t o f f r e e d o m t o d o w h a t s h e w a n t e d . I t d o e s n ' t i n t e r f e r e . A s I s a i d , t h e b o o k i s s o b l a s é t h a t I d o m y o w n t h i n g . T h e b o o k k i n d o f g i v e s m e a n o u t l i n e o f w h a t I ' m 4 7 H a v i n g a p r o b l e m s o l v i n g f o c u s , i n c l u d i n g a l a r g e n u m b e r o f t o p i c s t h a t i m p l i e d t h e u s e o f p h y s i c a l m a t e r i a l s , a n d h a v i n g t o o l i t t l e m a t e r i a l o n l o g i c w o u l d h a v e r e s u l t e d i n o b j e c t i o n s f r o m a t l e a s t o n e i n s t r u c t o r . B e c a u s e t h i s i n s t r u c t o r h a d a P h D i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n a n d h a d t a u g h t a t C C f o r s e v e r a l y e a r s , h i s v o i c e w a s s t r o n g . 1 9 7 c o v e r i n g . A n d I j u s t g o t o o t h e r b o o k s , I u s e t h i n g s t h a t I ' v e p i c k e d u p a t c o n f e r e n c e s , I j u s t ( s h o r t p a u s e ) , I d o m y o w n t h i n g . O k a y . B e c a u s e t h a t ' s w h a t I f e e l m y r e s p o n s i b i l i t y i s . ( C Y , 1 5 C ) H e r " t h i n g " i n c l u d e d c o v e r i n g c o n t e n t v e r y s i m i l a r t o t h a t i n d i c a t e d i n t h e N U s y l l a b u s f o r t h e f i r s t c o u r s e ; i n C y n t h i a ' s c o u r s e , t h i s w a s p r o b l e m s o l v i n g , s e t s , n u m b e r t h e o r y , e s t i m a t i o n , a n d n u m b e r s y s t e m s t h r o u g h t h e r e a l n u m b e r s . W h i l e a n o t h e r i n s t r u c t o r u s e d t h e s a m e t e x t f o r t h e c o u r s e a s C y n t h i a d i d , h e s p e n t a g r e a t d e a l m o r e t i m e o n t h e s e c t i o n s r e l a t e d t o l o g i c a n d d e - e m p h a s i z e d o t h e r c o n t e n t . D e l e t i n g o r D e - e m p h a s i z i n g N o t a l l i n s t r u c t o r s a t N U t h o u g h t a l l o f t h e t o p i c s o n t h e s y l l a b i w e r e i m p o r t a n t o r e v e n a p p r o p r i a t e t o c o v e r i n t h e c o u r s e s . I n t h i s c a s e , t h e i n s t r u c t o r m i g h t d e l e t e o r d e - e m p h a s i z e c e r t a i n c o n t e n t . I f a n i n s t r u c t o r d i d n o t i n c l u d e c o n t e n t i n d i c a t e d o n t h e s y l l a b u s , t h e r e w a s l i t t l e c h a n c e s t u d e n t s w o u l d e x i t t h e c o u r s e w i t h a n y g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e e x p e c t e d c o n t e n t t h a n w h e n t h e y e n t e r e d . T h i s l a c k o f c o v e r a g e c a n b e a c o n c e r n i n c o u r s e s t h a t a r e p a r t o f a s e q u e n c e , w h e r e i n s t r u c t o r s o f s u b s e q u e n t c l a s s e s m a y h o p e t o b u i l d o n w h a t w a s g a i n e d i n p r e v i o u s c o u r s e s . J e f f d i d n o t f o l l o w t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s c l o s e l y , a n d s t u d e n t s w e r e n o t e x p o s e d t o w o r k i n c e r t a i n a r e a s . J e f f f e l t t h a t t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s d i d n o t d e t e r m i n e t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e c o u r s e . W h e n a s k e d h o w i m p o r t a n t i t w a s f o r t h e c o u r s e t o s a t i s f y t h e d e p a r t m e n t ' s r e q u i r e m e n t s , h e r e s p o n d e d : " D e p e n d s o n w h a t t h o s e r e q u i r e m e n t s ( l a u g h s ) a r e . I m e a n , I g u e s s I h a v e m y o w n i d e a s . I ' d r a t h e r f o l l o w m y o w n i d e a s " ( 2 P ) . S o , e v e n t h o u g h h e w a s 1 9 8 a n o v i c e w i t h t h i s c o u r s e , h e f e l t f r e e t o f o l l o w h i s o w n i d e a s . H e a l s o s o l i c i t e d i n p u t f r o m o t h e r s r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g t h e c o u r s e . Y e a h , t h e r e w a s a w r i t t e n s y l l a b u s , b u t I , ( s h o r t p a u s e ) I t a l k e d t o p e o p l e a s I k i n d o f w e n t t h r o u g h t h e c o u r s e , a n d t h e y w o u l d s a y , " W e l l , I d o n ' t r e a l l y d o t h i s . I r e p l a c e d t h i s w i t h s o m e t h i n g e l s e . I f i n d t h a t t h a t d o e s n ' t w o r k w e l l . I d o n ' t l i k e t h a t s e c t i o n o f t h e b o o k . S o , h e r e ' s w h a t I d o . " S o , t h e r e w a s a s y l l a b u s , b u t , ( s h o r t p a u s e ) I s o r t o f b e n t i t a l i t t l e b i t t o , t o d o t h i n g s t h a t I t h o u g h t m i g h t b e b e t t e r . ( 4 C ) B e n d i n g t h e s y l l a b u s w a s s e e n a s a n a c c e p t a b l e p r a c t i c e . B u t , t w o i s s u e s w e r e u n c l e a r : h o w m u c h b e n d i n g w a s r e a s o n a b l e w h e n s t u d e n t s w e r e t o l e a r n m a t h e m a t i c s w i t h i n a s e q u e n c e o f c o u r s e s a n d o n w h a t b a s i s w a s c o n t e n t d e e m e d " b e t t e r . " A s i n d i c a t e d a b o v e , t h e d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s w a s b u i l t a r o u n d t h e c o v e r a g e o f p a r t i c u l a r s e c t i o n s i n t h e t e x t b o o k . J e f f a d a p t e d h i s c o v e r a g e . G K : D i d y o u f i n d t h e t e x t b o o k i t s e l f , a s a t e x t b o o k , w a s h e l p f u l ? J S : C e r t a i n p a r t s . T h e r e w e r e o t h e r p a r t s t h a t I j u s t t h o u g h t , " I a m n o t g o i n g t o t a l k a b o u t t h i s . I r e f u s e . " I t w a s j u s t , G K : F o r e x a m p l e ? J S : R o u n d i n g n u m b e r s . Y o u k n o w , t o m y s u r p r i s e , l a t e r o n , I f o u n d o u t t h a t p r o b a b l y I s h o u l d h a v e . T h a t p e o p l e s o m e h o w j u s t d o n ' t k n o w h o w t o r o u n d n u m b e r s . ( s h o r t p a u s e ) S t u f f l i k e h o w t o a d d t w o d e c i m a l n u m b e r s , y o u k n o w . I j u s t , I a m n o t g o i n g t o s t a n d ( l a u g h s ) u p t h e r e a n d d e s c r i b e h o w t o a d d t w o d e c i m a l n u m b e r s . I d i d t a l k a b o u t ( p a u s e ) y o u k n o w , t h e p l a c e v a l u e o f t h e n u m b e r s . T h a t t h e d i g i t i n t h e t h i r d p l a c e i s r e a l l y h o w m a n y h u n d r e d s y o u h a v e , y o u k n o w . I t ' s n o t j u s t a o n e ' s d i g i t . S o , I m e a n I d i d t a l k a b o u t p l a c e v a l u e a n d I w o u l d r e f e r t o t h a t a t d i f f e r e n t t i m e s i n t h e c o u r s e , b u t I , I j u s t c o u l d n ' t , c o u l d n ' t b e a r t o t a l k a b o u t h o w t o a d d t w o n u m b e r s . ( s h o r t p a u s e ) T h a t w a s i n t h e b o o k . A n d I , y o u k n o w , I j u s t w o u l d n ' t d o i t . . . . I m e a n , t h e r e w e r e p a r t s o f t h e b o o k t h a t w e r e o n t h e s y l l a b u s , a n d s a i d , " W e l l , y e a h , w e ' r e s u p p o s e d t o d o t h i s , " a n d I f o u n d m y s e l f r e a l l y f i g h t i n g i t . ( p a u s e ) A n d , I 1 9 9 h a d a r e a l l y h a r d t i m e w i t h c e r t a i n s e c t i o n s , h a d a r e a l l y h a r d t i m e j u s t k e e p i n g f r o m b o r i n g t h e s t u d e n t s t o t e a r s . ( l a u g h ) I ( s h o r t p a u s e ) p r o b a b l y a b o u t h a l f o f i t I t h o u g h t w a s g o o d , a n d p r o b a b l y t h e o t h e r h a l f I r e a l l y d i d n ' t e n j o y t o o m u c h . ( J S , 4 - 5 C ) T h e e m p h a s i s i n t h e t e x t a n d t h e s y l l a b u s o n l e a r n i n g " h o w t o a d d t w o n u m b e r s " d i d n o t s e e m a p p r o p r i a t e t o J e f f . I n m y r e a d i n g o f t h e t e x t , t h e t e x t m a t e r i a l i m p l i e s n o t a f o c u s o n l e a r n i n g h o w t o a d d t w o n u m b e r s , b u t o n a v a r i e t y o f w a y s t h e o p e r a t i o n s a n d p r o p e r t i e s o f w h o l e n u m b e r s c a n b e v i e w e d . 4 8 T h i s t o p i c c o u l d b e a p p r o a c h e d i n s t r u c t i o n a l l y t h e w a y J e f f t a l k e d a b o u t l e a r n i n g t o s o l v e p r o b l e m s a n d g a i n i n g a s e n s e o f t h e s t r u c t u r e o f m a t h e m a t i c s , b u t h e s a w t h e t e x t a s f o c u s e d o n l e a r n i n g h o w t o a d d t w o n u m b e r s . S o m e o f t h e s e c t i o n s i n t h e t e x t b o o k s e e m e d i n a p p r o p r i a t e t o J e f f , s o h e " b l e w t h e m o f f . " T h e r e w e r e , a s I m e n t i o n e d o n t h e s y l l a b u s , b e f o r e o n t h e s y l l a b u s , t h e r e w e r e t o p i c s t h a t I w a s s u p p o s e d t o c o v e r , s u c h a s h o w t o a d d t w o n u m b e r s , a n d I r e f u s e d t o d o i t , b e c a u s e I j u s t a s s u m e d t h a t t h e s e p e o p l e k n o w h o w t o d o t h i s . I ' m n o t g o i n g t o t e a c h t h a t . S o , t h a t ' s h o w I r e s p o n d e d t o t h a t . I m e a n , I j u s t , e i t h e r j u s t s a i d , " W e l l , y o u ' v e a l l s e e n t h i s b e f o r e , b u t l e t m e j u s t r e f r e s h y o u r m e m o r y . " a n d w o u l d d o i t r e a l l y q u i c k l y . I m e a n , t h a t ' s h o w I h a n d l e d c o n t e n t t h a t I a s s u m e d t h a t t h e y h a d s e e n b e f o r e . I j u s t k i n d o f b l e w i t o f f . ( l a u g h ) A s o p p o s e d t o t h i n g s t h a t t h e y h a v e n ' t s e e n b e f o r e , y o u k n o w , I w o u l d b e v e r y c a r e f u l a b o u t i t . ( 6 C ) J e f f c h o s e t o d e - e m p h a s i z e s o m e t o p i c s t h a t h e a s s u m e d s t u d e n t s a l r e a d y k n e w . O t h e r c o n t e n t , h e d e l e t e d : " I j u s t s a i d t h a t I ' m n o t d o i n g t h i s . I ' m n o t g o i n g t o t e a c h ' e m t h e l o n g d i v i s i o n ( l a u g h ) 4 3 T h i s a p p r o a c h i n c l u d e s n o n - s t a n d a r d a l g o r i t h m s a n d m o d e l i n g o f p r o p e r t i e s . a n d M A A W M ( 1 9 9 1 ) - 2 0 0 a l g o r i t h m . S o , n o , I , I t h i n k i t w a s , I m e a n , i t w a s i n t h e b o o k , b u t I d i d n ' t d o i t " ( 1 2 C ) . T w o s i t u a t i o n s m a y h a v e p l a y e d k e y r o l e s i n h o w h e p e r c e i v e d t h e s y l l a b u s a n d w h a t h e c h o s e t o d e - e m p h a s i z e o r d e l e t e f r o m t h e s y l l a b u s . O n e s i t u a t i o n w a s t h a t i n J e f f ' s n o r m a l t e a c h i n g r e s p o n s i b i l i t i e s , t h e r e w a s n o d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s t o b e f o l l o w e d , s e r i o u s l y o r o t h e r w i s e . I n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s m a d e d e c i s i o n s , b a s e d o n w h a t t h e y k n e w s t u d e n t s w o u l d n e e d t o s u p p o r t t h e i r s t u d i e s . A n d , c o n s e q u e n t l y , t h e s e c o n d s i t u a t i o n w a s t h a t J e f f ' s p o s i t i o n a s a n e w c o m e r t o t e a c h i n g t h i s t y p e o f c o u r s e m a y h a v e d i s a d v a n t a g e d h i m f r o m h i s u s u a l p o s i t i o n o f k n o w i n g w h a t s t u d e n t s k n e w a n d w o u l d n e e d t o k n o w t o s u p p o r t t h e i r s t u d i e s . T h e r e w e r e o t h e r i n f l u e n c e s o n w h a t i n s t r u c t o r s c h o s e a s t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e s , i n g e n e r a l , a n d t h o s e a t N U a n d C C , i n p a r t i c u l a r . S o m e o f t h e i n f l u e n c e s s e r v e d t o e n c o u r a g e p a r t i c u l a r c h o i c e s ; o t h e r i n f l u e n c e s s e r v e d t o c o n s t r a i n . T h e s e i n f l u e n c e s h e l p e d t h e i n s t r u c t o r s d e f i n e t h e s p e c i f i c c o n t e n t t o b e c o v e r e d i n t h e c o u r s e s a s w e l l a s t h e r o l e f o r t h e l e a r n i n g o f t h a t c o n t e n t f o r t h e c o u r s e s . G e n e r a l P r o f e s s i o n a l I n f l u e n c e s T h e i n f l u e n c e s a t t h e g e n e r a l p r o f e s s i o n a l l e v e l i n c l u d e d n a t i o n a l a n d s t a t e p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s a n d a c t i v i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e m . A t t h e n a t i o n a l l e v e l , p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s h a v e p u b l i s h e d d o c u m e n t s t h a t a r e i n t e n d e d t o i n f l u e n c e i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s , e . g . , N C T M S t a n d a t d s ( 1 9 8 9 ; 1 9 9 1 ) 2 0 1 T h e S t a n d a r d s w e r e r o u t i n e l y i d e n t i f i e d a s b e i n g e i t h e r a p a r t o f t h e c o n t e n t o r a n i m p o r t a n t i n f l u e n c e o n i n s t r u c t o r s ' t h i n k i n g a n d a c t i n g . H o w e v e r , t h e i n s t r u c t o r s ' l i m i t e d u s e o f o r m i s u s e o f t h e v o c a b u l a r y o f t h e S t a n d a r d s r a i s e s a q u e s t i o n a s t o t h e m a g n i t u d e o f t h e i r i n f l u e n c e . T h e w o r d " d i s c o u r s e " , a t e r m o f m a j o r d i m e n s i o n s i n t h e " S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s " ( N C T M , 1 9 9 1 ) , w a s n o t u s e d b y a n y i n s t r u c t o r a t a n y t i m e . O n e i n s t r u c t o r t h o u g h t t h a t t h e w o r d " e m p o w e r m e n t " m e a n t d e v e l o p i n g a c l a s s f u l l o f " p e o p l e w h o w a n t t o s h o w y o u h o w i n t e l l i g e n t t h e y a r e " r a t h e r t h a n p e o p l e w h o a r e f e e l j u s t i f i a b l y c o m p e t e n t a n d w i l l i n g t o t r u s t t h e i r o w n a b i l i t y t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s . T h e p h r a s e " m a t h e m a t i c a l t a s k s " w a s n o t u s e d w i t h t h e r i c h n e s s i m p l i e d i n t h e S t a n d a r d s ( 1 9 9 1 ) . " C o n j e c t u r e " w a s n o t a l w a y s r e c o g n i z e d . S o m e o f t h i s d i s c r e p a n c y b e t w e e n w h a t p e o p l e d e s c r i b e d a s b e i n g f a m i l i a r w i t h t h e S t a n d a r d s a n d t h e i r u s e o f v o c a b u l a r y m a y r e s i d e i n t h e f a c t t h a t s o m e o f t h e v o c a b u l a r y i s m o r e p r o m i n e n t i n t h e T c h i n t a n d a r d ( 1 9 9 1 ) t h a n i n t h e C u r r i s d l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) , t h e d o c u m e n t t y p i c a l l y u s e d i n a s s i g n m e n t s . I n J e f f ' s c a s e , h e h a d n o d i r e c t e x p e r i e n c e w i t h a n y r e c e n t d o c u m e n t s , b u t h e s p o k e i n t e r m s t h a t c o u l d b e e a s i l y t r a n s l a t e d a s c o n n e c t e d t o t h e s e i d e a s . T h i s w a s n o t e d i n h i s i n d i v i d u a l a n a l y s i s w i t h r e s p e c t t o " c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g " . A n o t h e r i n s t a n c e i n v o l v e s t h e p h r a s e m a t h e m a t i c a l t a s k s . J e f f t a l k e d a b o u t h o w d i f f i c u l t t h e j o b s o f t e a c h i n g t h i s k i n d o f c o u r s e a n d m a k i n g t h e d e c i s i o n s r e q u i r e d a s t o c o n t e n t w e r e : I s o r t o f i m m e d i a t e l y k n e w [ w h e n I g o t t h e t e a c h i n g a s s i g n m e n t ] t h a t t h i s w a s , I ' m g o i n g t o h a v e t o t h i n k a b o u t 2 0 2 t h i s . A n d a s I t h o u g h t , a s I ' m t h i n k i n g a b o u t , " W e l l , w h a t a m I g o i n g t o d o w i t h t h e s e i d e a s . H e r e ' s t h i s c h a p t e r i n t h e b o o k . W h a t a m I g o i n g t o d o w i t h t h i s ? " I m e a n , I f o u n d m y s e l f s p e n d i n g a l o t m o r e t i m e a n d t h i n k i n g a l o t m o r e c a r e f u l l y a b o u t w h a t w o u l d b e m e a n i n g f u l e x e r c i s e s , t h a n , ( s h o r t p a u s e ) I m e a n , I ' v e b e e n t e a c h i n g c a l c u l u s e v e r s i n c e I w a s a g r a d u a t e s t u d e n t , a n d s o t h a t ' s , I m e a n , I k i n d o f k n o w h o w t o t e a c h c a l c u l u s . ( l a u g h ) B u t I d o n ' t k n o w h o w t o t e a c h M a t h f o r E l e m e n t a r y E d T e a c h e r s . S o , i t w a s n e w . ( 2 6 C ) K n o w i n g h o w t o t e a c h m e a n t k n o w i n g h o w t o " c a r e f u l l y s e l e c t m e a n i n g f u l e x e r c i s e s " . T h i s i s a r e a s o n a b l e w a y o f t a l k i n g a b o u t k n o w i n g h o w t o " p o s e w o r t h w h i l e m a t h e m a t i c a l t a s k s " w h e n n o t u s e d t o t h a t v o c a b u l a r y . A l l t h i s b e i n g n o t e d , t h e S t a n d a r d s c a n n o t b e s a i d t o h a v e h a d a g r e a t i n f l u e n c e o n t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e s e c o u r s e s , y e t . O n t h e s t a t e l e v e l , C r a i g m e n t i o n e d t h a t t e s t i n g t h r o u g h t h e S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n w a s i n f l u e n c i n g w h a t h e s a w a s i m p o r t a n t c o n t e n t f o r t h e c o u r s e s . B e c a u s e t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e t e s t i n g w a s c h a n g i n g a n d a t t e m p t i n g t o d r i v e a c h a n g e i n t h e e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m , h e s a w a n e e d t o a d a p t t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e s . O t h e r i n s t r u c t o r s w e r e a w a r e o f s t a t e - l e v e l t e s t i n g , b u t t h i s w a s m o r e i n t e r m s o f t h e t e s t i n g t h e s t u d e n t s w o u l d t a k e b e f o r e b e i n g c e r t i f i e d r a t h e r t h a n t e s t i n g i n w h i c h t h e i r p u p i l s w o u l d b e i n v o l v e d . O t h e r g e n e r a l p r o f e s s i o n a l i n f l u e n c e s i n c l u d e d c o n f e r e n c e s a n d p r o f e s s i o n a l r e a d i n g . T h e s e i n f l u e n c e s w e r e r e f e r r e d t o b y a l l b u t J e f f . 4 9 I n s t r u c t o r s s p o k e o f a c t i v i t i e s a n d i d e a s t h e y b r o u g h t b a c k 4 9 J e f f m a y a t t e n d c o n f e r e n c e s a n d d o p r o f e s s i o n a l r e a d i n g , b u t t h e c o n f e r e n c e s p o n s o r s a n d t h e j o u r n a l s h e w o u l d h a v e m e n t i o n e d a r e p r o b a b l y n o t o n e s t h a t h e w o u l d h a v e m e n t i o n e d i n t h e c o n t e x t o f 2 0 3 a n d e i t h e r t r i e d o u t o r s h a r e d i n t h e i r c l a s s e s . T h e y v a l u e d a t t e n d i n g c o n f e r e n c e s a s o p p o r t u n i t i e s t o t a l k t o o t h e r i n s t r u c t o r s , a s w e l l . J o u r n a l s l i k e T h e A r i t h m e t i c T e a c h e r w e r e s e e n a s r e s o u r c e s f o r r e a d i n g a s s i g n m e n t s o r i n c l u s i o n i n t h e c o u r s e p a c k e t f o r s t u d e n t s . J o u r n a l s a l s o p r o v i d e d a c o n n e c t i o n t o t h e l a r g e r t e a c h i n g a n d r e s e a r c h c o m m u n i t y . T h e i r v a l u e i n c l u d e d s e r v i n g a s s u p p o r t a l o n g w i t h o t h e r i n f l u e n c e s f o r r e c e n t c h a n g e s i n t h e c o u r s e c o n t e n t a n d d e s i g n . T h e S t a n d a r d s , t h e n a t i o n a l S t a n d a r d s . C e r t a i n l y , a n d w h a t w e s e e o n t h e [ s t a t e t e s t f o r c h i l d r e n ] , . . . I t h i n k a l s o j u s t i n g e n e r a l , w h e r e w e a r e i n o u r r e a d i n g a n d t h i n k i n g a s p r o f e s s i o n a l s . P r o b a b l y w e ' v e h a d s o m e o f t h e s e b e l i e f s f o r y e a r s , b u t ( l a u g h , s h o r t p a u s e ) n o w , w i t h t h e e m p h a s i s a t t h e n a t i o n a l a n d s t a t e l e v e l o n s o m e c h a n g e , i t ' s e a s i e r i n a s e n s e t o [ c h a n g e ] . I t h i n k t h e n a t i o n a l S t a n d a r d s a n d o t h e r t h i n g s j u s t c a m e f r o m p e o p l e l i k e u s , a n y w a y , t h a t . S o , ( s h o r t p a u s e ) d i d n ' t j u s t s t a r t t h r e e y e a r s a g o , o u t o f t h e b l u e . I t ' s b e e n s m o l d e r i n g f o r m a n y y e a r s . ( C K , 4 - 5 C ) T h e s e p r o f e s s i o n a l i n f l u e n c e s m o t i v a t e d i n s t r u c t o r s t o v a r y i n g d e g r e e s t o d e f i n e t h e c o n t e n t a n d t h e r o l e o f l e a r n i n g t h e c o n t e n t i n d i f f e r e n t w a y s . L o c a l I n f l u e n c e s L o c a l i n f l u e n c e s r a n g e d f r o m c o n s t r a i n t s o n t i m e a n d e q u i p m e n t t o t h e i n f l u e n c e o f a c o l l e a g u e ' s c u r r i c u l a r s u g g e s t i o n . W h i l e t h e p a i r o f i n f l u e n c e s s h a r e d h e r e i s n o t e x h a u s t i v e o f t h o s e m e n t i o n e d b y t h e i n s t r u c t o r s , t h e s e t w o i n f l u e n c e s s e e m e d t o h a v e t h e g r e a t e s t i m p a c t o n t h e i n s t r u c t o r s ' a b i l i t y o r w i l l i n g n e s s t o t e a c h f o r t h e l e a r n i n g o f p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e y a l s o t h e s e i n t e r v i e w s a s h a v i n g i n f l u e n c e o n h i s t e a c h i n g o f t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e . 2 0 4 i n d i c a t e t h e i n d i v i d u a l i s t i c n a t u r e o f t h e i n s t r u c t o r s ' r e s p o n s e s t o i n f l u e n c e s o n c o n t e n t c o v e r a g e a n d e m p h a s i s . M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e s A s m e m b e r s o f c o m m i t t e e s t h a t o c c a s i o n a l l y m e t t o r e - e x a m i n e t h e c o u r s e s ' c o n t e n t a n d d e s i g n , t h e i n s t r u c t o r s s a w c h a n g e i n t h e c o u r s e c o n t e n t a s t o b e e x p e c t e d . T h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e a t N U m e t f o r a s e r i e s o f d i s c u s s i o n s j u s t p r i o r t o t h e i n t e r v i e w i n g , a n d s e v e r a l i n s t r u c t o r s m e n t i o n e d h o w t h e y s a w t h e d i s c u s s i o n s i n f l u e n c i n g t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e s . T h e r e w e r e d i f f e r i n g a s s e s s m e n t s o f t h e e x t e n t t o w h i c h t h e d i s c u s s i o n s w o u l d a f f e c t t h e c o u r s e s . F r a n k s h a r e d h i s r e c o m m e n d a t i o n s f o r c o n t e n t c o v e r a g e w i t h t h e C o m m i t t e e a t t h e m e e t i n g s . F r a n k h e l d s t r o n g b e l i e f s a b o u t t h e n e e d t o i n c l u d e a d d i t i o n a l t o p i c s o n t h e f i r s t c o u r s e o u t l i n e , s u c h a s l o g i c a n d g r o u p p r o p e r t i e s . W h i l e s o m e o f t h i s c o n t e n t w a s a n i n f o r m a l p a r t o f t h e c o n t e n t , t h e l a c k o f " n e c e s s a r y r i g o r " c o n c e r n e d h i m ; h e f e l t t h a t t h e c o u r s e s n e e d e d " b e e f i n g u p . " T o s a y t h a t t h e l i s t o f t o p i c s t h a t h e w a n t e d t h e f i r s t c o u r s e t o i n c l u d e w a s s t a g g e r i n g i s , I b e l i e v e , a n u n d e r s t a t e m e n t . H i s s u g g e s t e d c o u r s e s y l l a b u s h a d s e v e n t o p i c a r e a s , a l l t o b e a s s o c i a t e d w i t h p r o b l e m s o l v i n g . H e b r o k e t h e s e t o p i c a r e a s d o w n i n t o s u b - t o p i c s t o b e c o v e r e d . F o r e x a m p l e , t o p i c a r e a o n e w a s " l o g i c , " a n d t h e s u b - t o p i c s w e r e a r g u m e n t s ; v a l i d i t y ; E i i l e r d i a g r a m s ; c o m p o u n d s t a t e m e n t s - - d i s j u n c t i o n s , c o n j u n c t i o n s , i m p l i c a t i o n s ; t r u t h t a b l e s a n d t a u t o l o g i e s ; a t t r i b u t e s ; e l e m e n t a r y n e t w o r k s ; a n d s t o r y p r o b l e m s . ( F o r a c o m p l e t e l i s t i n g o f h i s r e c o m m e n d e d s y l l a b u s f o r t h e f i r s t c o n t e n t c o u r s e , s e e A p p e n d i x A . ) I t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t 2 0 5 F r a n k s a w b r e a d t h o f c o n t e n t c o v e r e d o f g r e a t e r v a l u e t h a n d e p t h . 5 O H i s s u g g e s t e d s y l l a b u s i m p l i e d c o n s i d e r a b l e c h a n g e i n e m p h a s i s f r o m t h e c u r r e n t s y l l a b u s . F o l l o w i n g t h e s a m e m e e t i n g s , C r a i g a n t i c i p a t e d s i g n i f i c a n t s h i f t o f w o r k w i t h w h o l e n u m b e r s a n d f r a c t i o n c o m p u t a t i o n t o t h e m e t h o d s c o u r s e , a l l o w i n g f o r g r e a t e r o p p o r t u n i t i e s f o r d e v e l o p i n g t h e r e s t o f t h e c u r r e n t c o n t e n t i n m e a n i n g f u l w a y s t h a t t i m e d i d n o t a l l o w , c u r r e n t l y . T h i s i n s t r u c t o r d i d n o t a n t i c i p a t e t h e a d d i t i o n o f n e w c o n t e n t , r e f l e c t i n g a v a l u e f o r d e p t h r a t h e r t h a n b r e a d t h o f c o n t e n t c o v e r a g e . O t h e r i n s t r u c t o r s a t t h e m e e t i n g s a s s e s s e d t h a t t h e r e w o u l d b e n o c h a n g e a s a r e s u l t o f t h e m e e t i n g s ; p o s s i b l y c h a n g e w o u l d c o m e a f t e r i n s t r u c t o r s s e l e c t e d a n e w t e x t b o o k . A t t h e t i m e t h e y c h o s e a n e w t e x t , i n s t r u c t o r s w o u l d d e t e r m i n e w h i c h s e c t i o n s o f t h e t e x t t o c o v e r a n d d e v e l o p n e w p l a n s f o r i n s t r u c t i o n . T h e s e i n s t r u c t o r s w e r e a l l a t t h e s a m e s e t o f m e e t i n g s a n d h e a r d a n d p a r t i c i p a t e d i n t h e s a m e d i s c u s s i o n s . T h e y c a m e a w a y w i t h v e r y d i f f e r e n t i m p r e s s i o n s a b o u t h o w t h e d i s c u s s i o n s w o u l d a f f e c t c o u r s e c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n a n d , u l t i m a t e l y , t h e r o l e o f l e a r n i n g c o n t e n t f o r t h e c o u r s e . T h i s p e r c e p t i o n s e r v e s t o s u p p o r t o n e i n s t r u c t o r s a s s e s s m e n t t h a t t h e s e t o f m e e t i n g s o n l y s e r v e d t o " m u d d y t h e w a t e r s . " I n s t r u c t o r s s o m e t i m e s w a n t e d t o s e e c h a n g e i n t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t o f t h e c o u r s e , b u t t h e y f e l t t h e c o n s t r a i n t o f w o r k i n g w i t h i n t h e l o c a l s y s t e m . A s C y n t h i a ' s e x p e r i e n c e w i t h 5 0 T h e c o u r s e h a s t h i r t y - t h r e e d a y s i n d i c a t e d f o r c o n t e n t - c o v e r a g e o n t h e s y l l a b u s a n d t h e r e a r e o v e r f o r t y s u b - t o p i c s o n F r a n k ' s l i s t . I t i s u n c l e a r h o w h e t h o u g h t m o v i n g t o t h i s s y l l a b u s w o u l d d e v e l o p " n e c e s s a r y r i g o r . " 2 0 6 t e x t b o o k s e l e c t i o n e x e m p l i f i e s , 5 1 c h a n g i n g t h e t e x t b o o k d i d n o t e q u a t e w i t h c h a n g i n g t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t o f t h e c o u r s e . B u t , s h e h a d s t r o n g b e l i e f s t h a t t h i s c h a n g e n e e d e d t o h a p p e n . C Y : I n m y m i n d , I ' v e o n l y b e e n t e a c h i n g t h i s f o r t w o y e a r s , b u t I a m a w a r e o f h o w i t h a d b e e n t a u g h t h e r e , a n d i t h a d b e e n t a u g h t a s a v e r y , w h a t t h e i n s t r u c t o r t h o u g h t w a s w o n d e r f u l , t h a t ' s w h a t t h e i n s t r u c t o r [ t a u g h t ] , a n d I t h i n k t h a t i s t h e w o r s t a t t i t u d e t o h a v e . " O h , I r e a l l y l i k e d o i n g t h i s , s o w e ' r e g o i n g t o d o t h i s . " I t h i n k t h a t ' s c r i m i n a l . ( s h o r t p a u s e ) Y e a h , I t h i n k [ c h a n g e t o t e a c h i n g t h i n k i n g s k i l l s ] i s s h a p i n g t h e t e x t b o o k s . I f i t ' s s h a p i n g t e x t b o o k s , i t ' s c e r t a i n l y g o i n g t o s h a p e t h e w a y t h i n g s a r e b e i n g t a u g h t . G K : D i d y o u s a y y o u a r e c h a n g i n g t e x t b o o k s ? C Y : N o , I s a i d t h i s , I t h i n k t h e c r y f r o m t h e u n i v e r s i t i e s a n d f r o m t h e w o r k p l a c e a r e s a y i n g w e h a v e t o h a v e c h a n g e . A n d t h i s c r y f o r c h a n g e i s a f f e c t i n g h o w w e , i f y o u l o o k a t a b o o k t h a t w a s p r i n t e d f i v e y e a r s a g o c o m p a r e d t o a n e w e d i t i o n b o o k , t h e r e ' s j u s t a t r e m e n d o u s d i f f e r e n c e . A n d w h e n t e x t b o o k s a r e g o i n g t o s t a r t c h a n g i n g , y o u k n o w , I m e a n , i f y o u ' r e n o t i _ n , I m e a n , i f y o u ' r e n o t c u r r e n t i n y o u r f i e l d , i f y o u ' r e t r y i n g t o s l e e p t h r o u g h a l l o f t h i s , a n d s a y , " N o , I ' m j u s t g o i n g t o d o i t t h e w a y I d i d i t 2 0 y e a r s a g o , " t h e t e x t b o o k s a r e g o n n a , y o u ' r e g o n n a e i t h e r b e c r e a t i n g y o u r o w n m a t e r i a l s o r ( p a u s e ) . ( C Y , 1 2 P ) H e r e , t h e c h a n g e i n c o n t e n t e m p h a s i s t h a t s h e w a s a d v o c a t i n g f o r t h e c o u r s e , p a r t i c u l a r l y a s o t h e r i n s t r u c t o r s t a u g h t i t , w a s a n i n c l u s i o n o f m o r e c r i t i c a l t h i n k i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . S h e s a w t h e s e a s i m p o r t a n t a s p e c t s o f t h e c o n t e n t . I n t h e w a y t h a t s h e s p o k e o f t h e m , s h e w e d d e d t h e r o l e s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , l e a r n i n g a b o u t d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d l e a r n i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s t o w a r d d o i n g m a t h e m a t i c s . 5 1 R e c a l l t h e n e w t e x t h a d t o b e a c c e p t a b l e a n d u s a b l e b y o t h e r i n s t r u c t o r s w h o w a n t e d t o m a i n t a i n t h e c o n t e n t e m p h a s e s o f t h e p a s t 2 0 7 D i f f e r i n g I n f l u e n c e o f C o n v e r s a t i o n s w i t h C o l l e a g u e s : A n E x a m p l e I n s t r u c t o r s w e r e a w a r e o f t h e w a y s d i f f e r e n t f a c u l t y m e m b e r s p e r s o n a l i z e d t h e c o u r s e s b y e m p h a s i z i n g o p t i o n a l c o n t e n t . S o m e i n s t r u c t o r s w a n t e d t o s e e o p t i o n a l c o n t e n t a s r e q u i r e d . O t h e r s t h o u g h t t h e o p t i o n a l c o n t e n t w a s n o t a p p r o p r i a t e . T h e t o p i c t h a t r e c e i v e d t h e m o s t a t t e n t i o n f r o m t h e i n s t r u c t o r s w i t h i n t h e i n t e r v i e w s w a s t h a t o f h a v i n g s t u d e n t s l e a r n t o w o r k w i t h i n a n o t h e r b a s e s y s t e m , a t l e a s t t o t h e l e v e l o f c o u n t i n g . I n s t r u c t o r s ' h a n d l i n g o f t h e t o p i c w a s v e r y d i f f e r e n t . I n t e r a c t i o n s w i t h i n d i v i d u a l s a s a p a r t o f o r s e p a r a t e f r o m t h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s S 2 i n f l u e n c e d i n s t r u c t o r s d e c i s i o n s a b o u t w h a t c o n t e n t t o i n c l u d e a n d h o w t o t e a c h t h e c o n t e n t t o v a r y i n g d e g r e e s . O n e o f t h e m o s t o b v i o u s c a s e s w a s r e l a t e d t o t h e o p t i o n a l t o p i c o f t h e s t u d y o f b a s e s o t h e r t h a n t e n i n t h e f i r s t c o u r s e . O n e i n s t r u c t o r , D o n n a S t e r l i n g , o p p o s e d t h e i n c l u s i o n o f t h e s t u d y o f o t h e r b a s e s , a t l e a s t i n p a r t , b e c a u s e r e s e a r c h t h a t s h e h a d r e a d d i s c o u n t e d t h e i n s t r u c t i o n a l v a l u e o f h a v i n g s t u d e n t s l e a r n h o w t o u s e o t h e r b a s e s . 5 3 S h e s h a r e d w h a t s h e h a d l e a r n e d f r o m t h e r e s e a r c h w i t h a l l o f t h e i n s t r u c t o r s . I n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s r e s p o n d e d d i f f e r e n t l y t o h e r c o m m e n t s . F o r J e f f , t e a c h i n g t h e c o u r s e f o r t h e f i r s t t i m e , D o n n a ' s a r g u m e n t i n f l u e n c e d h i m t o m o v e a w a y f r o m h a v i n g s t u d e n t w o r k w i t h o t h e r 5 2 J e f f w a s n o t a m e m b e r o f t h e c o m m i t t e e , b u t h e c o u l d a t t e n d t h e m e e t i n g s . H e h a d n e v e r d o n e s o . 5 3 B e c a u s e t h i s i n s t r u c t o r w a s n o t a p a r t o f t h e s t u d y , i t i s n o t k n o w n t h e e x t e n t t o w h i c h h e r a r g u m e n t i s b a s e d o n t h e s e r e s e a r c h r e s u l t s . 2 0 8 b a s e s , e v e n t h o u g h h i s i n t u i t i v e s e n s e w a s t h a t i t h e l d o p p o r t u n i t i e s f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e r e ' s a c h a p t e r , a w h o l e c h a p t e r i n t h e b o o k o n o t h e r b a s e s a n d I t a l k e d t o o n e o f t h e p e o p l e h e r e w h o t e a c h 1 1 5 [ t h e f i r s t c o u r s e ] r e g u l a r l y , D o n n a S t e r l i n g , a n d w h a t s h e s a i d w a s t h a t s h e r e a d r e s e a r c h t h a t s a i d s t u d y i n g o t h e r b a s e s h a s n o c a r r y o v e r i n t o b a s e t e n . I n o t h e r w o r d s , y o u ' r e w a s t i n g y o u r t i m e i f y o u s t u d y o t h e r b a s e s . I t d o e s n ' t n e c e s s a r i l y i m p l y t h a t t h e y ' r e g o n n a u n d e r s t a n d b a s e t e n a n y b e t t e r , w h i c h s o u n d s s u r p r i s i n g t o m e . ( s h o r t p a u s e ) S o , b a s e d o n h e r a d v i c e , I d i d n ' t s t u d y o t h e r b a s e s . I m e a n , y o u k n o w , o t h e r b a s e s i s a p a r t o f a l m o s t e v e r y o n e o f t h o s e t y p e o f b o o k s , y o u k n o w . ( s h o r t p a u s e ) I c a n r e m e m b e r l o o k i n g a t t h e s e b o - , t h e t e x t b o o k f o r t h i s c o u r s e w h e n l w a s a g r a d u a t e s t u d e n t , y e a r s a g o . I m e a n , i t h a d , p a r t o f i t w a s t o s t u d y o t h e r b a s e s . Y e a h , I w a s s u r p r i s e d a b o u t t h a t . A n d I t h o u g h t , a n d I t h o u g h t , a c t u a l l y , t h a t w o u l d h a v e b e e n a n i n t e r e s t i n g t h i n g t o d o . ( s h o r t p a u s e ) B u t I d i d n ' t . ( J S , 9 C ) H e t r u s t e d t h a t D o n n a , a s a p e r s o n m o r e c o n n e c t e d t o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h , w a s r i g h t i n h e r r e c o m m e n d a t i o n . H i s a w a r e n e s s t h a t s e v e r a l t e x t b o o k p u b l i s h e r s i n c l u d e d t h e s t u d y o f o t h e r b a s e s a s m a t h e m a t i c a l c o n t e n t f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s d i d n o t h o l d t h e s t r e n g t h t h a t h i s t r u s t i n D o n n a ' s g o o d j u d g m e n t a n d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e s e a r c h d i d . K a r a i n d i c a t e d t h a t s h e h a d c h o s e n n o t t o t e a c h o t h e r b a s e s t h e l a s t t i m e s h e t a u g h t t h e c o u r s e . S h e b a s e d h e r d e c i s i o n , l a r g e l y , o n d i s c u s s i o n s w i t h D o n n a a n d o t h e r i n s t r u c t o r s . K a r a i n d i c a t e d t h a t s h e f e l t t h a t i t h a d b e e n v a l u a b l e c o n t e n t t o i n c l u d e . N o w o n e o f t h e t h i n g s t h a t I ' m n o t t e a c h i n g t h i s s e m e s t e r b u t I u s e d t o d o f o r e x a m p l e w i t h b a s e s , a n d y o u k n o w t h a t ' s h a r d f o r a l o t o f t h o s e k i d s a n d I s a y , " I w a n t y o u t o j u s t f e e l w h a t a f i r s t g r a d e r w o u l d f e e l l i k e a n d I ' m n o t d o i n g t h i s j u s t t o m a k e y o u c o n f u s e d o r h a r d y o u k n o w , t r y a d d i n g i n t h a t b a s e . W e l l , d i d n ' t y o u k n o w t h a t f o u r a n d f i v e i s r e a l l y , s a y t w o i n b a s e 2 0 9 s e v e n ? A n d , a n d t h e n y o u ' v e g o t t o c a r r y a o n e , " a n d t h e y ' r e l i k e , y o u c a n s e e t h e m s t o p p i n g t o t h i n k a n d t h e n t h e y ' r e m e s s i n g i t u p a n d p u t t i n g t h e w r o n g , I s a i d , " T h a t ' s w h a t y o u r f i r s t g r a d e r s a r e g o i n g t o f e e l l i k e . Y o u h a v e t o t h i n k a b o u t " y o u k n o w , a n d s o l i k e t h e n t h e y a r e l i k e , " Y e a h . I g u e s s i t w o u l d b e h a r d f o r t h e m . " Y o u k n o w a n d s o I ' m t r y i n g t o p u t t h e m i n t h e p l a c e o f t h e k i d s a n d t h i n k h o w t h e k i d s a r e g o i n g t o b e t h i n k i n g a n d , y o u k n o w . I t h i n k t h a t a t t h a t p o i n t , t h e y ' r e g o n n a , I w a n t t h e m a n y w a y t o b e t h i n k i n g h o w w o u l d a k i d f e e l ? H o w c a n I m a k e t h e k i d f e e l m o r e c o m f o r t a b l e ? Y o u k n o w d o n ' t j u s t , y o u c a n ' t j u s t s h o w t h e m a n d e x p e c t t h a t t h e y ' r e g o i n g t o d o i t , o r j u s t i t ' s t h e w a y i t ' s d o n e b e c a u s e t h a t ' s t h e w a y y o u l e a r n e d i t , a n d m a y b e y o u d i d l e a r n i t b y d o i n g i t o v e r a n d o v e r a n d o v e r a g a i n . E v e n t u a l l y g o t d r i l l e d i n t o y o u r h e a d . B u t w a s t h a t t h e b e s t w a y ? ( l a u g h s ) ( K S , 3 B ) S h e m e n t i o n e d s e v e r a l t h i n g s s h e s a w a s r e s u l t i n g f r o m l e a r n i n g t h i s c o n t e n t , l i t t l e o f w h i c h h a d t o d o w i t h t h e f u n d a m e n t a l n o t i o n o f p l a c e v a l u e . S h e c i t e d s t u d e n t s g a i n i n g a s e n s e o f h o w c h i l d r e n f e e l w h e n t h e s t u d e n t s t r y t o m a k e s e n s e o f w h a t d o e s n o t , o n t h e f a c e o f i t , s e e m s e n s i b l e . S h e w a n t e d s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t h o w t h e y c o u l d r e l i e v e s o m e o f t h e a n x i e t y a r o u n d t h e d o i n g o f t h e m a t h e m a t i c s . S h e v o i c e d a p h i l o s o p h y o f t e a c h i n g : " Y o u c a n ' t j u s t s h o w t h e m a n d e x p e c t t h a t t h e y ' r e g o i n g t o d o i t , o r j u s t i t ' s t h e w a y i t ' s d o n e b e c a u s e t h a t ' s t h e w a y y o u l e a r n e d i t . " S h e a l s o s h a r e d a p h i l o s o p h y o f l e a r n i n g : " M a y b e y o u d i d l e a r n i t b y d o i n g i t o v e r a n d o v e r a n d o v e r a g a i n . E v e n t u a l l y g o t d r i l l e d i n t o y o u r h e a d . B u t w a s t h a t t h e b e s t w a y ? " W i t h a l l o f t h e s e a s p e c t s e m b e d d e d i n t h e t a s k o f l e a r n i n g a b o u t o t h e r b a s e s , K a r a w a s u n s u r e o f h e r d e c i s i o n t o d e l e t e t h i s f r o m h e r v e r s i o n o f t h e c o u r s e . T h e a r g u m e n t o f h e r c o l l e a g u e w i t h t h e s u p p o r t o f r e s e a r c h f i n d i n g s p e r s u a d e d h e r t o m a k e t h i s c h o i c e , a t l e a s t t h i s s e m e s t e r . T h i s r e s p o n s e w a s a n e c h o o f o n e o f t h e f o c a l t e n s i o n s , p r e s e n t e d i n h e r c o n c e p t u a l i z a t i o n o f 2 1 0 t h e c o u r s e , t h a t K a r a w a s d e a l i n g w i t h - - t h e t e n s i o n b e t w e e n f a m i l i a r i t y a n d c h a n g e . H e r r e s p o n s e w a s a c a u t i o u s o p e n n e s s t o c o n s i d e r a n a l t e r n a t i v e . G a i l p a r t i c i p a t e d i n m a n y o f t h e s a m e d i s c u s s i o n s K a r a d i d w i t h D o n n a . S h e a l s o h a d c o n v e r s a t i o n s w i t h F r a n k , w h o a l s o s u p p o r t e d d e l e t i n g w o r k o n o t h e r b a s e s f r o m t h e s y l l a b u s . F o r G a i l , t h i s w a s n o t s u f f i c i e n t . I r e a l l y l i k e d o i n g b a s e s . I t ' s j u s t m y t h i n g . I l i k e c o v e r i n g b a s e s . I t h i n k i t ' s g o o d f o r t h e s t u d e n t s t o s e e . W h e n t h e y w o r k o n a b a s e , s a y b a s e f i v e , b a s e s i x , t h e y m a k e t h e s a m e e r r o r s t h a t t h e i r l i t t l e f i r s t a n d s e c o n d g r a d e r s d o i n b a s e t e n . A n d t h e y c a n u n d e r s t a n d w h y t h e y a r e n o t c a r r y i n g , b o r r o w i n g , w h a t e v e r . W h y t h e y ' r e h a v i n g t r o u b l e w i t h l o n g d i v i s i o n , c u z t h e y d o n ' t k n o w t h e i r m u l t i p l i c a t i o n t a b l e s . A l l t h e t h i n g s t h a t t h e y k i n d o f t a k e f o r g r a n t e d , c u z t h e y g r e w u p w i t h . S o t h a t ' s m y b u g . I t ' s r e a l i m p o r t a n t t o m e a n d I t h i n k i t ' s n e a t . T h e r e ' s o t h e r t e a c h e r s i n t h e d e p a r t m e n t , b a s e s w a s t a k e n o u t a l o n g t i m e a g o . ( G L , 5 - 6 C ) G a i l k n e w t h a t o t h e r s h a d c h o s e n t o e l i m i n a t e t h i s c o n t e n t f r o m t h e s y l l a b u s . T h e i r o p i n i o n w a s n o t r e a s o n e n o u g h f o r h e r t o r e m o v e i t . S h e , l i k e K a r a , s a w s e v e r a l p u r p o s e s i n r e t a i n i n g t h i s c o n t e n t . H a v i n g s t u d e n t s g a i n a s e n s e o f h o w c h i l d r e n f e e l w h e n t h e s t u d e n t s t r y t o m a k e s e n s e o f i t , t h e m s e l v e s , w a s a l s o i m p o r t a n t t o h e r . S h e a d d e d d i f f e r e n t r e a s o n s t h a t s h e c o n n e c t e d t o t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s m o r e g e n e r a l l y : u n d e r s t a n d i n g h o w d o i n g o p e r a t i o n s r e l i e s o n p l a c e v a l u e a n d u n d e r s t a n d i n g t h e r o l e o f m u l t i p l i c a t i o n i n d i v i s i o n . F o r G a i l , h e r d e c i s i o n t o i n c l u d e t h i s c o n t e n t c a m e i n s p i t e o f t h e r e c o m m e n d a t i o n f r o m c o l l e a g u e s t o r e m o v e i t f r o m t h e s y l l a b u s . H e r o w n e x p e r i e n c e a n d g a u g i n g o f t h e v a l u e o f l e a r n i n g t h e c o n t e n t f o r s t u d e n t s c o m p e l l e d h e r t o a c t . S u m m a r y T h i s f i n a l e x a m p l e s h o w s h o w t h r e e i n s t r u c t o r s r e s p o n d e d t o a s i m i l a r i n f l u e n c e i n d i f f e r e n t w a y s . M a n y o f t h e i n s t r u c t o r s h a d o t h e r i n f l u e n c e s a n d c o n s t r a i n t s t h a t w e r e s i m i l a r t o t h o s e o f t h e i r c o l l e a g u e s . E a c h i n s t r u c t o r r e s p o n d e d i n h i s o r h e r o w n w a y , m a k i n g d e c i s i o n s a b o u t w h a t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o i n c l u d e i n t h e c o u r s e s , w h a t e m p h a s i s a n d k i n d o f e m p h a s i s t o p l a c e o n i t , a n d h o w t o t e a c h i t . I n s t r u c t o r s e a c h m a d e t h e i r o w n c h o i c e s . M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t p o l i c y h a d v a r y i n g i n f l u e n c e , a n d t h e D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n w a s n o t m e n t i o n e d a s h a v i n g a n e f f e c t o n d e c i s i o n s . I n s t r u c t o r s m a d e d e c i s i o n s r e g a r d i n g c o n t e n t a n d i n s t r u c t i o n i n i s o l a t i o n f r o m a n y s o r t o f p r o g r a m m a t i c d i s c u s s i o n . A n d , i n s t r u c t o r s b a s e d t h e i r d e c i s i o n s o n l i m i t e d d i r e c t e x p e r i e n c e i n e l e m e n t a r y s c h o o l s . W h a t K i n d o f L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s i s S o u g h t ? I n s t r u c t o r s i d e n t i f i e d m a n y g o a l s f o r t h e c o u r s e s . A m o n g t h e t w o o r t h r e e c o n s i s t e n t l y s e e n a s o f g r e a t e s t i m p o r t a n c e w a s t h a t t h e m a t h e m a t i c s l e a r n e d i n t h e c o u r s e s h o u l d b e u n d e r s t o o d . I n t h e c o n t e x t o f t h e i n t e r v i e w s , i n s t r u c t o r s i n d i c a t e d w h a t u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s m e a n t t o t h e m . T h e m o s t p r e v a l e n t p h r a s e a s s o c i a t e d w i t h t h e i r u s e o f t h e w o r d u n d e r s t a n d i n g w a s t h a t o f " f i n d i n g t h e w h y s . " W h a t t h i s p h r a s e m e a n t w a s r a r e l y e l a b o r a t e d u p o n d i r e c t l y ; i t w a s l e f t c o u c h e d i n a l l u s i o n s . W h i l e a l l o f t h e i n s t r u c t o r s i n d i c a t e d t h a t d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s w a s a n i m p o r t a n t , i f n o t e s s e n t i a l , p a r t o f t h e c o u r s e s , t h e y u s e d t h e w o r d d i f f e r e n t l y . T h e d i f f e r e n t u s e s i m p l i e d d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s f o r t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i n t h e c o u r s e s . C o n s e q u e n t l y , t h e n a t u r e o f t h e c o u r s e a s d e t e r m i n e d i n i n s t r u c t o r i s o l a t i o n i s u n d e r l i n e d , a g a i n . G o a l s f o r u n d e r s t a n d i n g t h e c o n t e n t w e r e t i g h t l y c o n n e c t e d t o t h e v i s i o n o f m a t h e m a t i c s t h e i n s t r u c t o r s h e l d . F o r s o m e i n s t r u c t o r s t h i s m e a n t t h a t l e a r n i n g a n d u n d e r s t a n d i n g a b o u t t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s a n d d e v e l o p i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s t o w a r d m a t h e m a t i c s b e c a m e w o v e n i n t o t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , a s I d e f i n e d i t i n t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k . T h i s d i f f e r e n c e h i g h l i g h t s t h e q u e s t i o n o f w h a t c o u n t s a s " m a t h e m a t i c s . " S o m e t i m e s i n s t r u c t o r s f o c u s o n t h e i r s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a s l e a r n e r s , w h i l e o t h e r t i m e s t h e f o c u s i s o n u n d e r s t a n d i n g a s i t p r e p a r e s t h e m 2 1 2 2 1 3 t o b e f u t u r e t e a c h e r s . T h e w a y s i n s t r u c t o r s o f f e r e d o p p o r t u n i t i e s t o d e v e l o p t h e d e s i r e d k i n d o f u n d e r s t a n d i n g s u p p o r t e d t h e i r f o c u s . I c o n s i d e r d i f f e r e n t m e a n i n g s o f " u n d e r s t a n d i n g " a s a w a y t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e w a y s i n s t r u c t o r s u s e d t h e w o r d . T h e n , I e x a m i n e p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s g o a l s f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s . D e f i n i n g U n d e r s t a n d i n g I n o r d e r t o c l a r i f y h o w i n s t r u c t o r s w e r e u s i n g t h e t e r m u n d e r s t a n d i n g i n a w a y t h a t h e l p e d i d e n t i f y w h a t t h e y i n t e n d e d w i t h i t s u s e , I c o n s i d e r e d w h a t a s p e c t s o f k n o w i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s t h e y s e e m e d t o b e f o c u s i n g o n w h e n t h e y s p o k e o f u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s . I s u s p e c t e d t h a t i n s t r u c t o r s d i d n o t a l l m e a n s i m i l a r t h i n g s w h e n t h e y s p o k e o f u n d e r s t a n d i n g a n d d e s c r i b e d s i t u a t i o n s t h a t e x e m p l i f i e d u n d e r s t a n d i n g t o t h e m . D e f i i n P r c e d u r a l n d n c e t u l n d e r n d i n I n e e d e d a w a y t o d i s t i n g u i s h t h e w a y s o f k n o w i n g a n d d o i n g m a t h e m a t i c s t h a t i n s t r u c t o r s p o r t r a y e d w h e n t h e y t a l k e d a b o u t u n d e r s t a n d i n g . I f o u n d t h i s b y d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t w o l a y e r s o f u n d e r s t a n d i n g . O n e l a y e r i s b a s e d o n h a v i n g s e t s o f e x p l a n a t i o n s o f a l g o r i t h m s o r s t e p s t o j u s t i f y a c t i o n s . T h e o t h e r l a y e r o f u n d e r s t a n d i n g i n c l u d e s t h e f i r s t a n d e x t e n d s b e y o n d t h i s t o c o n n e c t t h e p r o c e d u r e s , t h e i r j u s t i f i c a t i o n s , a n d o t h e r c o n c e p t s a n d j u s t i f i c a t i o n s i n i n t r i c a t e w e b s o f m e a n i n g . T h e f i r s t l a y e r i n v o l v e s p r o c e d u r a l r e a s o n s . T h e r e a r e p l a n s o f a c t i o n i n m a t h e m a t i c s t h a t a r e p r o c e d u r e s f o r e x p l a i n i n g " w h y " b u t w h i c h , i f n o t c o n n e c t e d w i t h a n y o t h e r m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p o r 2 1 4 r e p r e s e n t a t i o n , 5 4 m a y l a c k d e p t h o f m e a n i n g . F o r e x a m p l e , e x p l a i n i n g w h y o n e b o r r o w s 6 0 m i n u t e s f r o m a n h o u r w h e n y o u a r e s u b t r a c t i n g 1 h o u r 4 0 m i n u t e s f r o m 3 h o u r s m a y i n v o l v e a s t r a i g h t - f o r w a r d s e t o f s t e p s f o r r e n a m i n g t h e 3 h o u r s a s 2 h o u r s 6 0 m i n u t e s f o l l o w e d b y t h e s u b t r a c t i o n . T h i s p r o c e d u r e d o e s n o t r e q u i r e c o n n e c t i o n s t o r e n a m i n g d o n e i n t h e s u b t r a c t i o n o f w h o l e n u m b e r s o r f r a c t i o n s o r t h e s u b t r a c t i o n o f o t h e r k i n d s o f u n i t s l i k e f e e t a n d i n c h e s . I n s t r u c t o r s m a y d i v o r c e p r o c e d u r e s f r o m o t h e r o p p o r t u n i t i e s t o c o n n e c t t h e m w i t h o t h e r m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s , r e l a t i o n s h i p s , o r r e p r e s e n t a t i o n s . B e c a u s e t h i s f o r m o f u n d e r s t a n d i n g r e l i e s h e a v i l y o n p r o c e d u r e s , I c a l l i t p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g . A f o c u s o n p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g i n c l u d e s d e v e l o p i n g a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f f i x e d p l a n s t h a t t e l l s t u d e n t s w h a t t o d o a t c h o i c e p o i n t s . W i t h p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , t h e r e i s l i t t l e a w a r e n e s s o f t h e o v e r a l l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s u c c e s s i v e s t e p s a n d t h e f i n a l g o a l . T h e l e a r n e r i s d e p e n d e n t o n o u t s i d e g u i d a n c e f o r l e a r n i n g t h e p r o c e d u r e s a n d t h e r e a s o n s j u s t i f y i n g t h e m . T h e r e a r e c e r t a i n a d v a n t a g e s t o t h i s t y p e o f u n d e r s t a n d i n g . I t i s u s u a l l y e a s i e r f o r s t u d e n t s t o g a i n a n d r e q u i r e s l e s s t i m e a n d e n e r g y i n i n s t r u c t o r p r e p a r a t i o n . T h e r e w a r d s a r e m o r e i m m e d i a t e a n d a p p a r e n t , a c t i n g t o b u i l d s e l f - c o n f i d e n c e . S t u d e n t s c a n o f t e n g e t r i g h t a n s w e r s m o r e q u i c k l y a n d r e l i a b l y a p p l y i n g t h i s u n d e r s t a n d i n g . H o w e v e r , i f i n s t r u c t o r s e n c o u r a g e o n l y p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , a s i g n i f i c a n t p a r t o f t h e t o t a l i t y o f m a t h e m a t i c s i s m i s s i n g . T h i s 5 4 R e c a l l t h a t t h e w o r d " r e p r e s e n t a t i o n s " i s u s e d t h r o u g h o u t t h e a n a l y s e s t o r e f e r t o c o n c r e t e , p i c t o r i a l , a b s t r a c t , a p p l i e d , o r v e r b a l d e p i c t i o n s o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o r i d e a s u n l e s s a r e s t r i c t i o n ( e . g . , c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n s ) i s i n d i c a t e d . 2 1 5 p a r t i a l v i e w o f m a t h e m a t i c s i s o f p a r t i c u l a r c o n c e r n w h e n t h e p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s i s a n i s s u e . T h e s e c o n d l a y e r o f u n d e r s t a n d i n g r e l i e s o n t h e d e v e l o p m e n t o f i n t e r c o n n e c t i o n s , s t u d e n t e m p o w e r m e n t , a n d r e l e v a n c e . I n t h e e a r l i e r e x a m p l e o f s u b t r a c t i n g 1 h o u r 4 0 m i n u t e s f r o m 3 h o u r s , s t u d e n t s m i g h t b e a s k e d t o i n v e s t i g a t e h o w t h e y w o u l d f i n d t h e d i f f e r e n c e , w i t h t h e t e a c h e r m o n i t o r i n g h o w s t u d e n t s a p p r o a c h e d t h e p r o b l e m , l o o k i n g t o s e e w h a t s t u d e n t s w e r e a b l e t o d o a n d o f f e r i n g g u i d a n c e w h e n n e e d e d . T h e r e l a t i o n s h i p o f s u b t r a c t i n g h o u r s a n d m i n u t e s t o s u b t r a c t i n g w h o l e n u m b e r s o r f r a c t i o n s m i g h t b e i n v e s t i g a t e d a s a r e s o u r c e f o r a p p r o a c h i n g t h e t a s k . T h e t a s k m i g h t h a v e a r i s e n i n t h e c o n t e x t o f p l a n n i n g f o r a n a f t e r n o o n p a r t y , k n o w i n g t h a t t h e r e w e r e t h r e e h o u r s o f c l a s s t i m e a n d t h a t t h e r e n e e d e d t o b e 1 h o u r 4 0 m i n u t e s u s e d f o r a c a d e m i c w o r k . I n s t r u c t o r s m i g h t e n c o u r a g e s t u d e n t s t o d r a w p i c t u r e s o r u s e c l o c k f a c e s t o m o v e t h e m i n u t e h a n d s t h r o u g h t h e a c t o f f i n d i n g t h e d i f f e r e n c e . B e c a u s e t h i s f o r m o f u n d e r s t a n d i n g r e l i e s h e a v i l y o n t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t s a n d s e e i n g t h e i r i n t e r c o n n e c t i o n s , I c a l l i t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . A f o c u s o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i n v o l v e s d e v e l o p i n g n e t w o r k s o f i n t e r c o n n e c t e d r e p r e s e n t a t i o n s a n d p l a n s o f a c t i o n t h a t a r e a d a p t a b l e a n d g e n e r a t i v e . T h e r e i s a n a w a r e n e s s o f t h e o v e r a l l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o n c e p t s , p r o c e d u r e s , a n d g o a l s . T h e l e a r n e r i s n o t d e p e n d e n t o n a n o u t s i d e a u t h o r i t y , t h o u g h g u i d a n c e i n d e v e l o p i n g t h e u n d e r s t a n d i n g i s v a l u a b l e . T h e r e a r e c e r t a i n a d v a n t a g e s t o t h i s t y p e o f u n d e r s t a n d i n g . C o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i s m o r e a d a p t a b l e t o n e w t a s k s , i s e a s i e r t o r e m e m b e r ( t h o u g h h a r d e r t o l e a r n ) , i s 2 1 6 e f f e c t i v e a s a g o a l i n i t s e l f , a n d e n c o u r a g e s e x p l o r a t i o n b e y o n d c u r r e n t k n o w l e d g e . A s l a y e r s o f u n d e r s t a n d i n g , p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a r e n o t d i s j o i n t . C o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i n c l u d e s p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d t a k e s f u l l a d v a n t a g e o f i t s b e n e f i t s . I n t h e c o n t e x t o f t h i s a n a l y s i s , t h e q u e s t i o n o f t h e e x t e n t t o w h i c h i n s t r u c t o r s e x t e n d e d t h e i r e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g b e y o n d t h e p r o c e d u r a l t o t h e c o n c e p t u a l b e c a m e f o c a l . N o n e o f t h e i n s t r u c t o r s f u l l y a r t i c u l a t e d a r e l i a n c e o n t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , b u t a l l o f t h e i n s t r u c t o r s g a v e g l i m p s e s i n t o w h a t t h e y w o u l d l i k e t o d o . T h e i n s t r u c t o r s d i f f e r e d i n h o w m a n y g l i m p s e s t h e y g a v e a n d h o w f u l l y d e v e l o p e d t h e i r t h i n k i n g a b o u t t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w a s . I n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s , I m e a n t o c o n s t r a i n t h e p h r a s e " p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g " t o a n e m p h a s i s o n t h i s t y p e o f u n d e r s t a n d i n g , o n l y . I i n t e n d t h e p h r a s e " c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g " t o i m p l y a n e m p h a s i s o n u n d e r s t a n d i n g i n c l u d i n g a n d b e y o n d t h e p r o c e d u r a l . T h e w a y s i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t w h a t t h e y w a n t e d s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d a n d h o w t h e y s t r u c t u r e d i n s t r u c t i o n f o r t h e p u r p o s e o f d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g g a v e a s e n s e o f t h e t y p e o f u n d e r s t a n d i n g e x p e c t e d a n d e n c o u r a g e d . W o r k i n g f r o m t h e p r e m i s e t h a t a l l i n s t r u c t o r s s a w u n d e r s t a n d i n g a s " f i n d i n g t h e w h y s , " 5 5 t h e 5 5 T h e r e i s a m p l e e v i d e n c e i n t h e c a r d s o r t t a s k s a n d t h e i n t e r v i e w s t h a t a l l i n s t r u c t o r s s a w t h i s a s i m p o r t a n t , t h o u g h c e r t a i n l y n o t t h e t o t a l i t y o f w h a t w a s m e a n t b y u n d e r s t a n d i n g . H o w e v e r , t h e a d d i t i o n a l a s p e c t s o f u n d e r s t a n d i n g t h a t i n s t r u c t o r s i m p l i e d a s a l s o p a r t o f u n d e r s t a n d i n g a r e d e a l t w i t h i n t h e c o n t e x t o f t h i s d i s c u s s i o n . 2 1 7 q u e s t i o n b e c o m e s " f i n d i n g w h y s f o r w h a t g o a l " - - p r o c e d u r a l o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ? D i s t i n g u i s h i n g B e t w e e n P r o c e d u r a l a n d C o n c e p t u a l C n d e r s t a n d i n g : T w p E x a m p l e s A l l i n s t r u c t o r s s p o k e o f d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g . S o m e t i m e s i n s t r u c t o r s i m p l i e d t h a t p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a s d e f i n e d a b o v e w a s t h e p r i m a r y g o a l . A t o t h e r t i m e s , i t w a s c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . I d e l i b e r a t e l y u s e w o r d s c o n n e c t e d t o o c c a s i o n s , n o t i n s t r u c t o r s , h e r e . T h e s a m e i n s t r u c t o r m i g h t e m p h a s i z e p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g o f o n e c o n c e p t o r p r o c e d u r e a t o n e t i m e a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e s a m e o r a d i f f e r e n t c o n c e p t o r p r o c e d u r e a t a d i f f e r e n t t i m e . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e h i g h l i g h t s d i f f e r e n t w a y s o f u s i n g t h e w o r d u n d e r s t a n d i n g . T h e e x a m i n a t i o n a c r o s s t h e s e m e s t e r o f n u m b e r s y s t e m s a n d t h e p r o p e r t i e s t h a t d i f f e r e n t n u m b e r s y s t e m s s a t i s f i e d w a s i m p o r t a n t t o t h e i n s t r u c t o r s . A l l i n s t r u c t o r s s p o k e o f t h i s a s a n i n t e g r a l p a r t o f t h e c o u r s e . W i t h i n t h e i r d e s c r i p t i o n s o f t h e e m p h a s e s o n a n d p r e s e n t a t i o n o f t h i s c o n t e n t , i n s t r u c t o r s i m p l i e d d i f f e r e n t p i c t u r e s o f w h a t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n a n d h o w t h e y w o u l d a c c o m p l i s h s t u d e n t l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t . T h e s e e x e m p l i f i e d h o w p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w e r e b o t h a p a r t o f i n s t r u c t o r s ' c o n c e r n . I n o n e s e n s e , i n s t r u c t o r s u s e d t h e n u m b e r s y s t e m p r o p e r t i e s a s c a t e g o r i e s t o d i f f e r e n t i a t e n u m b e r s y s t e m s , a n d u s e d t h e l a n g u a g e a n d n o t a t i o n t o s h o w w h e t h e r s e t s o f n u m b e r s h a d t h e p r o p e r t i e s . I n s t r u c t o r s i n t e n d e d s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g t h a t w a s o f a p r o c e d u r a l n a t u r e , o f t e n i n v o l v i n g c a t e g o r i z a t i o n . T h e v a l u e i n t h i s c o n t e x t w a s 2 1 8 t h a t s t u d e n t s w i t h t h i s k i n d o f u n d e r s t a n d i n g o f s e t s a n d p r o p e r t i e s c o u l d r e s p o n d k n o w l e d g e a b l y a n d q u i c k l y a b o u t w h e t h e r a s t u d i e d s e t s a t i s f i e d p a r t i c u l a r p r o p e r t i e s , s u c h a s c l o s u r e o r c o m m u t a t i v i t y u n d e r a p a r t i c u l a r o p e r a t i o n . 5 6 I n s t r u c t o r s i n d i c a t e d t h a t a t s o m e t i m e s t h i s k i n d o f u n d e r s t a n d i n g w a s t h e i r g o a l , a n d t h e y g a v e a s s i g n m e n t s t h a t r e i n f o r c e d i t . I n a n o t h e r s e n s e , t h i s c o n t e n t , n u m b e r s y s t e m s a n d t h e i r p r o p e r t i e s , w a s a u n i f y i n g t h e m e t h a t i n s t r u c t o r s u s e d t o h e l p s t u d e n t s b u i l d a r i c h s e n s e o f c o n c e p t s l i k e i d e n t i t y a n d i n v e r s e w h i l e g i v i n g m e a n i n g t o t h e p r o p e r t i e s . S t u d e n t s w e r e t o d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g t h a t i n c l u d e d a " b i g p i c t u r e " o f t h e d o m a i n a s a g o a l . 5 7 I n s t r u c t o r s w h o s p o k e o f d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f n u m b e r s y s t e m s a n d o t h e r c o n t e n t d i d n o t d e - v a l u e p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , o n l y i n d i c a t e d t h a t i t w a s i n s u f f i c i e n t a s t h e p r i m a r y g o a l f o r t h e s t u d e n t s i n t h e i r c o u r s e s . A s e c o n d e x a m p l e d i f f e r e n t i a t i n g t h e w a y s i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t u n d e r s t a n d i n g i n v o l v e s t h e u s e a n i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e a n d i t s m o t i v a t i o n : u s e o f m a n i p u l a t i v e s . O n e i n s t r u c t o r s a w w o r k w i t h m a n i p u l a t i v e s s e r v i n g t h e p u r p o s e o f g i v i n g s t u d e n t s e x p e r i e n c e 5 6 F o r e x a m p l e , a r e t h e w h o l e n u m b e r s c l o s e d u n d e r s u b t r a c t i o n ? S t u d e n t s d o a f e w s u b t r a c t i o n e x a m p l e s a n d k n o w t o c h e c k t o s e e i f t h e a n s w e r s a r e p o s i t i v e o r n e g a t i v e . I f n e g a t i v e , t h e s e t i s n o t c l o s e d . T h i s q u i c k c h e c k m a y n o t i n c l u d e a s e n s e o f t h e f u n d a m e n t a l n o t i o n o f c l o s u r e : T h e a n s w e r m u s t b e a n e l e m e n t o f t h e s e t u n d e r c o n s i d e r a t i o n . 5 7 W h e n y o u h a v e a s e n s e o f t h e w a y c o n c e p t s a n d p r o p e r t i e s b u i l d o n e a c h o t h e r a n d i n t e r r e l a t e , y o u c a n u s e w h a t y o u k n o w a b o u t o n e s i t u a t i o n t o c o n j e c t u r e a b o u t p a t t e r n s o r g e n e r a l i z e t o a d i f f e r e n t s i t u a t i o n . F o r e x a m p l e , b y r e c o g n i z i n g a d e f i c i e n c y o f o n e n u m b e r s y s t e m a n d t h i n k i n g a b o u t g e n e r a l p r o p e r t i e s , y o u c a n c o n s t r u c t a n e w n u m b e r s y s t e m t h a t d o e s n o t h a v e t h e d e f i c i e n c y . 2 1 9 w i t h u s i n g m a t e r i a l s p r i o r t o t h e i r w o r k i n t h e m e t h o d s c o u r s e , s t r e s s i n g t h a t s t u d e n t s s h o u l d h a v e c o n s i d e r a b l e e x p e r i e n c e u s i n g m a n i p u l a t i v e s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s b u t o f f e r i n g l i t t l e s e n s e o f w h a t k i n d o f u n d e r s t a n d i n g s t u d e n t s w e r e t o d e v e l o p t h r o u g h t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s . O n e p h y s i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f a c o n c e p t o r p r o c e d u r e w a s a l l t h a t h e f e l t w a s n e c e s s a r y f o r u n d e r s t a n d i n g i n t h e s e c o u r s e s . S t u d e n t s w o u l d d e v e l o p o t h e r a s p e c t s o f u n d e r s t a n d i n g i n t h e m e t h o d s c o u r s e . A d i f f e r e n t i n s t r u c t o r t a l k e d a b o u t w o r k w i t h c o n c r e t e m a t e r i a l s a s m o t i v a t e d b y t h e d e s i r e t o h e l p s t u d e n t s u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s b e t t e r b y d e v e l o p i n g r e p r e s e n t a t i o n s t h a t s t u d e n t s c o n n e c t e d t o t h e i r p r i o r k n o w l e d g e . T h e s e a r e v e r y d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s o n t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s a n d t h e v a l u e o f i n c l u d i n g w o r k w i t h p h y s i c a l m a t e r i a l s f o r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g . I t i s t o o s i m p l i s t i c t o s a y t h a t t h e i n s t r u c t o r s f e l l n e a t l y i n t o t w o c a t e g o r i e s - - o n e s e t e m p h a s i z i n g p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , p r e d o m i n a n t l y , a n d t h e o t h e r w o r k i n g b e y o n d p r o c e d u r a l t o w a r d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s g o a l s f o r t h e c o u r s e s . B u t , f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s a n a l y s i s , d i f f e r e n t i a t i n g i n t h i s w a y i s h e l p f u l t o p u s h a t t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e s e g o a l s . P r o c e d u r a l U n d e r s t a n d i n g a s a G o a l f o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s W h e n p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g w a s t h e g o a l , t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o b e l e a r n e d o f t e n i n c l u d e d a p r o c e d u r e f o r e x p l a i n i n g t h e c o n t e n t o r w a s e x e m p l i f i e d i n a r e p r e s e n t a t i o n t h a t s t u d e n t s w e r e t o c o n n e c t w i t h t h e c o n t e n t . T h e f i r s t e x a m p l e o f r e n a m i n g i n s u b t r a c t i o n i n v o l v i n g h o u r s a n d m i n u t e s i s a n e x a m p l e o f t h i s u s e o f 2 2 0 a p r o c e d u r e e x p l a i n i n g w h y . T h i s k i n d o f s t a n d - a l o n e m o d e l f o r u n d e r s t a n d i n g w i t h c o n n e c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s s p e c i f i e d b y t h e i n s t r u c t o r d e v e l o p s a k i n d o f m a t h e m a t i c s t h a t i s e a s y t o l e a r n , c a n b e u s e d e a s i l y , a n d r e s u l t s i n w a y s o f d o i n g t a s k s t h a t r e a p q u i c k a n d r e l i a b l e a n s w e r s . P r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g w a s m o r e f r e q u e n t l y t h e g o a l o f i n s t r u c t o r s f o r w h o m a f f e c t i v e a s p e c t s o f l e a r n i n g w e r e f o c a l . W i t h s u c c e s s b u i l t i n t o p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g s u p p o r t e d s t u d e n t c o n f i d e n c e . 5 8 T h e a d v a n t a g e s o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g m a d e i t a r e a s o n a b l e g o a l w h e n w o r k i n g t o w a r d d e v e l o p i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s . I n s t r u c t o r s g a v e p r o c e d u r e s a n d r e p r e s e n t a t i o n s t o s t u d e n t s ; e x p l a i n i n g w a s g e n e r a l l y t h e i n s t r u c t i o n a l m e t h o d . T h i s m e t h o d i s n o t t h e o n l y m e a n s o f t e a c h i n g p r o c e d u r e s a n d d e v e l o p i n g r e p r e s e n t a t i o n s , b u t i t d o e s r e p r e s e n t a c o m m o n m e a n s f o r t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g . T h o s e w h o a d v o c a t e d p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a s t h e i r g o a l i n d i c a t e d t h a t t h e " t e l l i n g o f r u l e s " t h a t m o s t s t u d e n t s h a d e x p e r i e n c e d a s p u p i l s w a s n o t f o u n d a t i o n e n o u g h f o r s t u d e n t s t o b a s e t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t s o n i f t h e y w e r e t o b e e x p e c t e d t o t e a c h . A s t e a c h e r s , t h e y w o u l d b e e x p e c t e d t o e x p l a i n w h y t h i n g s w e r e t r u e t o p u p i l s a n d s h o u l d n o t r e p e a t t h e i r o w n e x p e r i e n c e s o f m e m o r i z i n g r u l e s t o a p p l y m i n d l e s s l y . 5 3 C o n f i d e n c e - b u i l d i n g i s a s i g n i f i c a n t e l e m e n t . A l b e r s ( 1 9 8 1 ) o b s e r v e d , c i t i n g L e o n H e n k i n : " T h e f a c t i s t h a t [ p r o s p e c t i v e ] t e a c h e r s ' n e e d s a r e c o m p l e x , t h a t t e a c h e r s ' e m o t i o n s a n d s e l f - c o n f i d e n c e p l a y a g r e a t r o l e i n h o w t h e y a r e g o i n g t o p r e s e n t m a t e r i a l " ( p . 1 3 5 ) . 2 2 1 A s n o t e d , t h e s e i n s t r u c t o r s o f t e n s a w u n d e r s t a n d i n g a s e m b o d i e d i n r e p r e s e n t a t i o n s o f c o n c e p t s o r p r o c e d u r e s . O n e i n s t r u c t o r w a s c o m f o r t a b l e a s l o n g a s s t u d e n t s h a d a t l e a s t o n e r e p r e s e n t a t i o n . H e s a w t h e m e t h o d s c o u r s e a s a p l a c e w h e r e s t u d e n t s d e v e l o p e d m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s o f c o n c e p t s . O n e i n s t r u c t o r s e e m e d t o c o n n e c t d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s w i t h d i f f e r e n t w a y s o f e x p l a i n i n g . L a c k i n g f r o m t h e s e i n s t r u c t o r s ' s e n s e o f u n d e r s t a n d i n g w a s t h e a s p e c t o f c o n n e c t i o n s . I n s t r u c t o r s w o r k i n g o n p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g m a d e f e w e x p l i c i t c o m m e n t s t o i n d i c a t e t h a t t h e y e m p h a s i z e d c o n n e c t i n g r e p r e s e n t a t i o n s , w h e t h e r p h y s i c a l , p i c t o r i a l , s y m b o l i c , a p p l i e d , o r v e r b a l i n m e a n i n g f u l w a y s . R a t h e r , r e p r e s e n t a t i o n s w e r e s t a n d - a l o n e . I n s t r u c t o r s i n t h i s m o d e o f t e n p r e s e n t e d t h e r e p r e s e n t a t i o n s t o s t u d e n t s a s r e p r e s e n t a t i o n s o f a p a r t i c u l a r c o n c e p t . T h e e x p e c t a t i o n w a s t h a t t h e s t u d e n t s w o u l d d i r e c t l y c o n n e c t t h e i m p o r t a n t a s p e c t s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n ( a n d i g n o r e t h o s e a s p e c t s t h a t w e r e d i s t r a c t i v e ) w i t h t h e a p p r o p r i a t e p a r t s o f w h a t e v e r t h e i n s t r u c t o r r e p r e s e n t e d , i n t h e w a y s i n t e n d e d b y t h e i n s t r u c t o r . W h e n s t u d e n t s m a d e i n a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n s o r d i d n o t s e e h o w a r e p r e s e n t a t i o n m a d e s e n s e , t h e i n s t r u c t o r d i d n o t o f t e n b e c o m e a w a r e o f t h i s u n t i l e x a m t i m e . W h e n a m i s c o n c e p t i o n b e c a m e e v i d e n t , i t w a s c o m m o n f o r t h e i n s t r u c t o r t o c o r r e c t i t b y e x p l a i n i n g t h e c o r r e c t u n d e r s t a n d i n g . 5 9 5 9 E x a m p l e s o f t h i s a r e K a r a ' s c o m m e n t t h a t , " I f t h e y ' r e m i s l n t e r p r e t i n g , y o u w a n t t o k n o w s o t h a t y o u c a n c o r r e c t i t " ( K S , 1 0 P ) , a n d C y n t h i a ' s c o m m e n t a b o u t " r e v e r b a l i z i n g z " S o m e t i m e s w h e n t h e y v e r b a l i z e , a n d t h e y v e r b a l i z e i n c o r r e c t l y , I k n o w t o s a y , " N o w w a i t a m i n u t e . L e t ' s t h i n k a b o u t t h a t . " A n d t h e n I ' l l r e v e r b a l i z e p r o p e r l y . O k a y , s o m e b o d y 2 2 2 O n e v i e w h e l d b y a n i n s t r u c t o r w a s t h a t i n t e r c o n n e c t i n g i d e a s w a s n o t p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t i n t h e c o n t e x t o f t h e c o n t e n t c o u r s e s . S h e f e l t t h a t t h i s w a s m o r e a r o l e f o r t h e m e t h o d s c o u r s e . A s a p a r t o f t h e t o t a l t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m , s h e s a w l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e n t c o u r s e s f o r t h e p u r p o s e s o f p r o v i d i n g b a c k g r o u n d f o r t e a c h i n g . S i n c e t h e l e a r n i n g w a s f o r t h e s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s , t h e c o n n e c t i o n s c o u l d w a i t f o r t h e m e t h o d s c o u r s e . H a d s h e v i e w e d l e a r n i n g t h e c o n t e n t v a l u a b l e f o r t h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s , m a k i n g c o n n e c t i o n s m i g h t h a v e b e e n m o r e i m p o r t a n t t o h e r . F o r t h i s i n s t r u c t o r , c o n n e c t i o n s w e r e n o t u n i m p o r t a n t , p e r s e , o n l y u n i m p o r t a n t i n t h e c o n t e n t c o u r s e s . F o r t h o s e i n s t r u c t o r s f o r w h o m t h e a f f e c t i v e c o m p o n e n t s o f l e a r n i n g a n d m o t i v a t i o n w e r e h i g h l y p r i z e d ( e . g . , f e e l i n g g o o d a b o u t m a t h e m a t i c s , h a v i n g f u n i n c l a s s ) , e x p e c t a t i o n s t h a t c e n t e r e d o n d e v e l o p i n g p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , w i t h i t s q u i c k e r r i g h t a n s w e r s a n d e a s e t o u n d e r s t a n d , w e r e r e a s o n a b l e . S t u d e n t s w h o u n d e r s t o o d p r o c e d u r a l l y h a d r e d u c e d a n x i e t y - - t h e y k n e w w h a t t o d o a n d w h y . B u t , i n s t r u c t o r s d i d n o t e x p e c t t h e m t o c r e a t e a l t e r n a t i v e a r g u m e n t s o r e x p l a n a t i o n s f o r s o l u t i o n s o r c o n j e c t u r e s . T h e s e e x p e c t a t i o n s w e r e i n t h e d o m a i n o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . C o n c e p t u a l U n d e r s t a n d i n g a s a G o a l f o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s S o m e i n s t r u c t o r s s p o k e o f l i s t e n i n g t o t h e i r s t u d e n t s a n d b u i l d i n g o n t h e k n o w l e d g e t h a t s t u d e n t s b r o u g h t t o t h e c o u r s e i n w a y s t h a t c o n n e c t e d t h e n e w k n o w l e d g e w i t h p r i o r k n o w l e d g e . F r o m s a i d s o m e t h i n g , a n d I t h i n k I t w a s t h e y o u n g l a d y n e x t t o y o u , s a i d s o m e t h i n g a n d I r e s t a t e d i t , a n d c l a r i f i e d i t o r p u t i t i n t o p r o p e r l a n g u a g e . ( C Y , 8 - 9 C ) 2 2 3 t h i s b a s e , t h e y h o p e d t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p o t h e r i n t e r c o n n e c t i o n s , e m p o w e r m e n t , a n d a s e n s e o f t h e r e l e v a n c e o f m a t h e m a t i c s , a l l i m p o r t a n t a s p e c t s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w i t h c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . L i k e t h e o t h e r i n s t r u c t o r s , a l l o f t h e i n s t r u c t o r s s t r i v i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g e m p h a s i z e d s t u d e n t s h a v i n g m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s . H o w e v e r , t h e r e w a s a b e l i e f t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e a n e c e s s a r y , b u t n o t s u f f i c i e n t p a r t o f u n d e r s t a n d i n g . A d d i t i o n a l l y , t h e a b i l i t y t o c o n n e c t i d e a s w a s o n l y i m p o r t a n t i f t h e r e w e r e r e p r e s e n t a t i o n s t o c o n n e c t . T h e t w o a c t i o n s , r e p r e s e n t i n g a n d c o n n e c t i n g , w o r k e d t o g e t h e r i n t h e s e i n s t r u c t o r s ' m i n d s . F o r t h o s e i n s t r u c t o r s f o r w h o m d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g i n v o l v e d b u i l d i n g r i c h n e t w o r k s o f i n t e r c o n n e c t i o n s , t h e r e w a s s o m e v a r i a t i o n a s t o t h e " l o o k " o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t m a d e u p t h e n e t w o r k s . O n e i n s t r u c t o r p a s s i o n a t e l y d e s c r i b e d t h e i m p o r t a n c e o f s t u d e n t s ' a b i l i t y t o s e e m a t h e m a t i c a l i d e a s i n t h e i r s o u l s a n d h a v e r i c h v i s u a l i z a t i o n s t h a t w e r e c o m p o n e n t s o f t h e n e t w o r k s . " H a n d s - o n d i s c o v e r y l e s s o n s " o f t e n s u p p o r t e d c o n n e c t i o n s b e t w e e n i d e a s a n d r e p r e s e n t a t i o n s . F o r a n o t h e r , n e t w o r k s w e r e m a d e u p o f r i c h c o n c e p t s t h a t w e r e c o n n e c t e d b y t h e i r m u l t i p l e w a y s o f r e p r e s e n t i n g t h e m , o f t e n o f a n a b s t r a c t n a t u r e . T h e s e c o n n e c t i o n s a r o s e f r o m d i s c u s s i o n s , w h e r e i d e a s w e r e " d i s c o v e r e d . " A t h i r d s a w c o n n e c t i o n s b e i n g o n m a n y d i f f e r e n t l e v e l s , r a n g i n g f r o m c o n n e c t i n g e v e r y d a y u s e s w i t h m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s t o c o n n e c t i n g c o n c r e t e , p i c t o r i a l , a b s t r a c t , a p p l i e d , a n d v e r b a l r e p r e s e n t a t i o n s . I n h i s d e s c r i p t i o n o f u n d e r s t a n d i n g a s a " s p e c t r u m , " h e h i g h l i g h t e d h i s 2 2 4 s e n s e t h a t t h e r e w e r e d i f f e r e n t w a y s o f u n d e r s t a n d i n g . H e a l s o i n d i c a t e d t h a t h e s a w d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s t h e p r i m a r y g o a l , b u t n o t o f t e n t h e a t t a i n e d g o a l . O n e i n s t r u c t o r a d m i t t e d f r u s t r a t i o n t h a t " d i s c o v e r y " a c t i v i t i e s s h e d e s i g n e d a n d u s e d s o m e t i m e s s e e m e d c o n t r i v e d w h e n a t t e m p t i n g t o g e t s t u d e n t s t o t a k e a s t e p b a c k f r o m p r o c e d u r e s t h a t t h e y h a d m e m o r i z e d a n d l o o k f o r w a y s o f r e p r e s e n t i n g t h e m a n d c o n n e c t i n g t o o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s . S o m e t i m e s t h e s t u f f i s m o r e d i f f i c u l t t o m o t i v a t e t h e d i s c o v e r y , t h e f a l s e d i s c o v e r y m a y b e , o f t h e t h i n g s t h e y a l r e a d y k n o w . " W e a l r e a d y k n o w t h i s . W h y a r e w e d o i n g t h i s ? " " W e l l , y o u a l r e a d y k n o w t h e a l g o r i t h m , b u t d o y o u u n d e r s t a n d w h y ? L e t ' s s e e i f u s i n g t h e s e p a t t e r n p i e c e s o r t h e s e C u i s e n a i r e r o d s w e c a n u n d e r s t a n d w h y w e ' r e d o i n g i t . " A n d s o , l i k e , t h e n u r t u r i n g o f a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n w h y . ( C Y , 1 3 C ) T h i s s e n t i m e n t w a s f a i r l y c o m m o n a m o n g i n s t r u c t o r s , w i t h v a r y i n g l e v e l s o f f r u s t r a t i o n a r o u n d i t . T h i s s a m e i n s t r u c t o r m a d e m o v i n g b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s e x p l i c i t l y a p a r t o f w h a t s t u d e n t s w e r e d o i n g , c o n n e c t i n g c o m m u n i c a t i n g a b o u t t h e c o n c e p t w i t h t h e p h y s i c a l r e p r e s e n t a t i o n . F i r s t , t h e y ' r e d o i n g t h e b l o c k s [ m o d e l i n g e q u i v a l e n t f r a c t i o n s ] a n d w o r k i n g w i t h t h a t . O k a y , n o w , h o w d o w e t a k e t h e b l o c k s a n d t r a n s f e r t h i s t o p a p e r - p e n c i l ? H o w c a n I m a t h e m a t i c a l l y d e s c r i b e t h i s t r a d i n g t h r e e o n e - s i x t h s f o r a h a l f ? O k a y ? A n d s o , r a t h e r t h a n a s s u m i n g t h a t t h e y k n o w i t , I t r y t o e n c o u r a g e t h e m t o u s e t h e m a n i p u l a t i v e s t o u n d e r s t a n d w h y t h e y ' r e d o i n g i t . . . . A n d I e n c o u r a g e t h e m t o d e v e l o p t h a t a I g - , t h e i r o w n a l g o r i t h m , a n d , " L e t ' s c o m p a r e y o u r a l g o r i t h m a n d h o w y o u ' v e s t a t e d i t w i t h w h a t t h e b o o k h a s o r h o w I ' m g o i n g t o p r e s e n t i t o r w h a t t h i s h a n d o u t h a s . " S o , r a t h e r t h a n j u s t s a y i n g , " T o d a y , n o w , w e ' r e g o i n g t o h a v e f r a c t i o n s . . . . " W e d o n ' t d o t h a t . W e t r y t o d i s c o v e r . W e t r y t o b u i l d c o n c e p t a n d l e a r n t h e w h y . ( C Y , 1 1 C ) 2 2 5 C o n n e c t i n g t h e d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f e q u i v a l e n t f r a c t i o n w a s a p a r t o f t h i s e x a m p l e . M a n i p u l a t i v e s s e r v e d a s t o o l s f o r a l t e r n a t i v e p h y s i c a l r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e t h e n c o n n e c t e d t o s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s . I n s t r u c t o r s h o l d i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s a g o a l a l s o v a l u e d s t u d e n t e m p o w e r m e n t . T h i s s t a n c e c o n t r a s t e d d r a m a t i c a l l y w i t h s o m e o f t h e o t h e r i n s t r u c t o r s w h o h a d l i t t l e s e n s e o f w h a t t h e w o r d " e m p o w e r m e n t " m e a n t . 6 0 I n s t r u c t o r s e n c o u r a g e d , e v e n r e q u i r e d ( o n a s s i g n m e n t s a n d e x a m s ) , s t u d e n t s t o c o n j e c t u r e a n d s h o w a l t e r n a t i v e s o l u t i o n m e t h o d s t o p r o b l e m s . I n s t r u c t o r s e m p h a s i z e d h e l p i n g s t u d e n t s c o m e t o s e e t h e i r o w n a b i l i t y t o t r y p r o b l e m s a n d m a k e d e c i s i o n s a b o u t t h e r e a s o n a b l e n e s s o f c o n j e c t u r e s a n d s o l u t i o n s . I n t h i s w a y , i n s t r u c t o r s i n t e r r e l a t e d t h e r o l e s o f l e a r n i n g a b o u t d o i n g m a t h e m a t i c s a n d d e v e l o p i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n a l a t t r i b u t e s w i t h t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . W h i l e o t h e r i n s t r u c t o r s s p o k e o f d e v e l o p i n g r e l e v a n c e f o r t h e m a t h e m a t i c s e i t h e r t h r o u g h c o n n e c t i o n s t o e v e r y d a y u s e o r t o t e a c h i n g , t h o s e h o p i n g t o d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g s p o k e o f r e l e v a n c e a s a m u c h b r o a d e r c o n s t r u c t . U t i l i t y w a s o n l y o n e p a r t o f r e l e v a n c e . R e c a l l C y n t h i a ' s e x t e n s i v e s e t o f a s p e c t s o f r e l e v a n c e r a n g i n g f r o m d e - m y s t i f i c a t i o n ( s u c h a s w h a t a c u b i c c e n t i m e t e r l o o k e d l i k e - - o n e c e n t i m e t e r o n a s i d e ) t o u s i n g u n d e r s t a n d i n g a s t h e b a s i s f o r f u r t h e r u n d e r s t a n d i n g , p e r h a p s o f a n o t h e r c o n c e p t , p r o c e s s , o r s o l u t i o n . 6 0 O n e i n s t r u c t o r t h o u g h t t h a t i f h e w a s d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' e m p o w e r m e n t , h e w a s c r e a t i n g a c l a s s f u l l o f k n o w - i t - a l l s . 2 2 6 A n i m p o r t a n t s i m i l a r i t y o f t h e i n s t r u c t o r s w h o m o s t e l a b o r a t e l y e n v i s i o n e d t h a t s t u d e n t s w o u l d d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i n t h e c o u r s e s w a s t h e i r p a s s i o n f o r t h e d i s c i p l i n e . T h i s p a s s i o n w a s n o t e v i d e n t i n t h e w a y s t h a t t h e i n s t r u c t o r s o n t h e o t h e r e n d o f t h e u n d e r s t a n d i n g s p e c t r u m s p o k e a b o u t m a t h e m a t i c s . P a s s i o n f o r t h e d i s c i p l i n e a n d a f o c u s o n t h e c r e a t i v i t y e m b o d i e d i n t h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s w a s n o t a s h a r e d a s p e c t a c r o s s i n s t r u c t o r s . T h i s i s n o t t o s a y t h a t t h e o n e s e t o f i n s t r u c t o r s d i d n o t e n j o y d o i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , o n l y t h a t t h e w a y t h e y t a l k e d a b o u t w h a t t h e y e x p e c t e d s t u d e n t s t o l e a r n a n d t h e w a y t h e y p o r t r a y e d t h e d i s c i p l i n e w a s l e s s o r g a n i c t h a n t h e s e t o f i n s t r u c t o r s w o r k i n g t o w a r d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . I n s t r u c t i o n f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d i n s t r u c t i o n f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g w e r e b o t h r e a s o n a b l e w a y s f o r s u p p o r t i n g d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e b y s t u d e n t s . T h e m o s t i m p o r t a n t i s s u e b e c a m e w h a t k i n d o f u n d e r s t a n d i n g w a s t h e p r i m a r y g o a l - - p r o c e d u r a l o r c o n c e p t u a l ? A n a l y s i s a n d S u m m a r y A s o n e i n s t r u c t o r n o t e d , t h e r e a r e d i f f e r e n t w a y s o f u n d e r s t a n d i n g . T h i s d i s c u s s i o n p r e s e n t e d o n e w a y o f d i f f e r e n t i a t i n g u n d e r s t a n d i n g i n t o a n a d m i t t e d l y s i m p l i s t i c p a i r . T h r o u g h o u t t h i s d i s c u s s i o n , I c a l l e d t h e s e n o t i o n s p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h e i n s t r u c t o r s a l l e x p r e s s e d t h e v i e w t h a t d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s w a s a m a j o r g o a l o f t h e c o u r s e . T w o l a y e r s o f u n d e r s t a n d i n g w e r e p o r t r a y e d i n t h e w a y s t h e i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t i n s t r u c t i o n o f t h e c o n t e n t f o r d e v e l o p i n g t h e k i n d o f . 2 2 7 u n d e r s t a n d i n g t h a t e a c h v a l u e d . S e v e r a l i n s t r u c t o r s v i e w e d t h e i r p r i m a r y g o a l t o b e t h e d e v e l o p m e n t o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g . T h e i r t a s k s i n v o l v e d m a k i n g c o n c e p t s l e s s c o m p l i c a t e d b y e x p l a i n i n g t h e r e a s o n s w h y c o n c e p t s , p r o c e d u r e s , a n d s o l u t i o n s w e r e r e a s o n a b l e o r c o r r e c t . W h i l e i n s t r u c t o r s v a l u e d r e p r e s e n t a t i o n s , t h e i n s t r u c t o r s d i d n o t c o n s i s t e n t l y i n t e r c o n n e c t r e p r e s e n t a t i o n s i n m e a n i n g f u l w a y s t o i d e a s o r e a c h o t h e r . I n s t r u c t o r s i n t h i s m o d e s e e m e d t o r e p l a c e t h e t e l l i n g o f t h e p a s t w i t h a n e w k i n d o f t e l l i n g . T h e y w e r e t e l l i n g s t u d e n t s w h y a p r o c e d u r e w o r k e d o r h o w t h e y c o u l d r e p r e s e n t a n i d e a w i t h l i t t l e i n p u t e x p e c t e d f r o m t h e s t u d e n t s . A s f u t u r e t e a c h e r s , t h e s t u d e n t s w o u l d , p e r h a p s , b e a b l e t o e x p l a i n w h y t h i n g s w e r e t r u e , b u t i t w a s u n c l e a r t h a t t h e y w o u l d b e i n a p o s i t i o n t o e x p l a i n w h y a l t e r n a t i v e s w e r e t r u e o r u n t r u e . S t u d e n t s w e r e a c q u i r i n g a " g o o d y - b a g o f r e a s o n i n g " m u c h l i k e t h e y m i g h t a c q u i r e a " g o o d y - b a g o f a c t i v i t i e s " t o u s e i n t h e i r f u t u r e t e a c h i n g w h e n p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g w a s t h e p r i m a r y g o a l f o r c o n t e n t l e a r n i n g . S o m e i n s t r u c t o r s v i e w e d t h e i r p r i m a r y g o a l t o b e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h e i r t a s k s i n v o l v e d h e l p i n g s t u d e n t s a p p r o a c h t h e c o m p l e x i t i e s o f t h e c o n t e n t , f e e l i n g j u s t i f i a b l y c o m p e t e n t i n a p p r o a c h i n g t h e c o n t e n t . I n s t r u c t o r s e m p h a s i z e d a s p e c t s o f i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f , e m p o w e r m e n t w i t h , a n d t h e r e l e v a n c e o f c o n c e p t s , p r o c e d u r e s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s . I n s t r u c t o r s s a w t h i s g o a l a f f e c t i n g t h e s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I n s u c h a n a p p r o a c h , s t u d e n t s w o u l d b e m o r e a b l e t o t h i n k f l e x i b l y a b o u t t h e c o n t e n t a n d r e s p o n d t o p u p i l s ' q u e s t i o n s i n w a y s t h a t r e f e r r e d t o t h e i r o w n e x p e r i e n c e s o f c o n j e c t u r i n g a n d j u s t i f y i n g , - s _ . ' _ _ ‘ _ I l X h - ' 1 1 " 2 2 8 m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s a n d m u l t i p l e s o l u t i o n m e t h o d s . T h e f o c u s w a s o n l e a r n i n g t h e c o n t e n t f o r i n d i v i d u a l e m p o w e r m e n t , w i t h i n f l u e n c e s o n s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o t e a c h a s b y - p r o d u c t s . I f y o u f e e l g o o d a b o u t y o u r s e l f a n d y o u u n d e r s t a n d m o r e o f w h a t t h i s i s a l l a b o u t b y t y i n g i n t h e c o n c r e t e t o t h e p i c t u r e s t o t h e s y m b o l s t h e n I , f r o m w h a t r e s e a r c h h a s s h o w n u s t o o , I m e a n y o u ' r e g o i n g t o r e m e m b e r m o r e . T h e m o r e y o u r e a l l y u n d e r s t a n d w h a t y o u ' r e d o i n g , n o t o n l y a r e y o u g o i n g t o b e l e s s a f r a i d t o t r y a n e w p r o b l e m o r w h a t e v e r , b u t y o u ' r e g o i n g t o r e m e m b e r i t b e t t e r i f y o u ' v e h e l p e d d e v e l o p i t i n s t e a d o f j u s t b e i n g l e c t u r e d t o i t a n d a l l t h i s s t u f f . ( C K , 2 0 B ) W i t h t h e c o n t e n t w e l l - u n d e r s t o o d , a t t r i b u t e s o f s e l f - c o n f i d e n c e a n d r i s k - t a k i n g w e r e s u p p o r t e d a l o n g w i t h c o g n i t i v e a b i l i t i e s t o c o n n e c t a n d r e p r e s e n t m a t h e m a t i c a l i d e a s . G e n e r a l l y , t h o s e w h o w o r k e d t o w a r d p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g f o c u s e d c o n s i d e r a b l e e n e r g y o n a f f e c t i v e g o a l s . T h e s e i n s t r u c t o r s v i e w e d t h e c o n t e n t s t u d e n t s w e r e t o l e a r n a s e a s y , a l l o w i n g t h e m t o f o c u s t h e i r a t t e n t i o n l e s s o n c o n t e n t a n d m o r e o n a f f e c t i v e a s p e c t s . A n d , a g a i n , o n e o f t h e a d v a n t a g e s o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g i s i t s c o n n e c t i o n w i t h q u i c k , r e l i a b l e a n s w e r s s u p p o r t i n g t h e d e v e l o p m e n t o f s e l f - c o n f i d e n c e . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s n e e d e d t h e s e l f - c o n f i d e n c e t o b e a b l e t o p r e s e n t t h e c o n t e n t t o p u p i l s w i t h s u r e t y . I n s t r u c t o r s w h o w o r k e d t o w a r d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g h e l d g o a l s e m p h a s i z i n g c o g n i t i o n . I n s t r u c t o r s s a w t h e l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t a s n o n t r i v i a l , r e q u i r i n g s i g n i f i c a n t m e n t a l e n e r g y . A s o n e i n s t r u c t o r c o m m e n t e d : " S o m e t i m e s i t ' s [ m a t h i s ] h a r d w o r k . A n d y o u h a v e t o b e w i l l i n g t o a c c e p t t h e f a c t t h a t s o m e t i m e s i t ' s h a r d w o r k . ( l a u g h ) A n y w a y , s o m e t i m e s h a r d w o r k i s p l e a s a n t , a n d I m e a n , i s r e w a r d i n g i n t h e e n d . B u t w h i l e y o u ' r e d o i n g i t , i t s o m e t i m e s i s 2 2 9 d i f f i c u l t " ( J S , 2 0 C ) . R e c o g n i z i n g t h a t l e a r n i n g t h e m a t h e m a t i c s w a s a b i g c h a l l e n g e f o r t h e s t u d e n t s , p a r t i c u l a r l y w h e n m a t h e m a t i c s w a s u n d e r s t o o d t o i n c l u d e t h e m a n y a s p e c t s t h e s e i n s t r u c t o r s s a w a s a p a r t o f m a t h e m a t i c s , i t s e l f , t h e i n s t r u c t o r s o r i e n t e d t h e i r g o a l s f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s t o w a r d t h e s t u d e n t s a s l e a r n e r s . T h i n k i n g o f t h e c o n t e n t a s t e a c h e r s w o u l d c o m e l a t e r a s a p a r t o f t h e m e t h o d s c o u r s e . 6 1 T h i s v a r i a t i o n i n c o g n i t i v e a n d a f f e c t i v e e m p h a s i s w a s a n o t h e r a s p e c t t h a t d i f f e r e n t i a t e d t h o s e w h o s e p r i m a r y g o a l w a s p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g f r o m t h o s e f o r w h o m c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w a s t h e m a j o r g o a l . 5 1 W h e n t h e s e i n s t r u c t o r s o c c a s i o n a l l y t a l k e d a b o u t e x p l i c i t t a s k s w i t h i n t h e c o u r s e s t h a t f o c u s e d o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , t h e s e t a s k s w e r e o f t e n c o n c e p t u a l l y - d r i v e n a s o p p o s e d t o p r o c e d u r e - o r a c t i v i t y - d r i v e n . F o r e x a m p l e , o n e i n s t r u c t o r a s k e d s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t c o n t e n t d e v e l o p m e n t t h r o u g h o u t t h e e l e m e n t a r y g r a d e s . I k i n d o f s n e a k t h e s e l i t t l e t h i n g s i n , a n d I ' l l s a y , " W e l l , t h i n k a b o u t t e a c h i n g a f i r s t g r a d e r , t e a c h , t h i n k a b o u t t e a c h i n g a f i f t h g r a d e r . A n d s o y o u s e e h o w , o v e r t h e s e f i v e y e a r s , y o u h a v e b u i l t , o k a y , f r o m u s i n g d i n o s a u r c o u n t e r s a n d t e d d y b e a r c o u n t e r s , a l l t h e w a y u p t o u s i n g p a t t e r n p i e c e s o r w h a t e v e r , C u i s e n a i r e r o d s , b u t d o y o u s e e h o w y o u h a v e b u i l t t h e s e n u m b e r s y s t e m s o v e r t h i s p e r i o d o f t i m e ? " A n d t h e y ' r e , " O h , y e a h . " A n d t h e n w e d o h a v e t e x t b o o k s e r i e s a n d t h e y d o d o p r o j e c t s o u t o f t h e t e x t b o o k s e r i e s , a n d o n e p r o j e c t , f o r i n s t a n c e , w i l l b e d i s c u s s t h e t e a c h i n g o f f r a c t i o n s f r o m g r a d e s d a - d a - d a - d a - d a , a n d t h e y h a v e t o g o t h r o u g h t h e b o o k a n d i s t h e r e e v i d e n c e o f a n y f r a c t i o n w o r k i n f i r s t g r a d e , s e c o n d g r a d e , t h i r d g r a d e , y o u k n o w . A n d s h o w t h e s p i r a l , a n d s h o w t h e d e v e l o p m e n t . ( C Y , 3 - 4 C ) S U M M A R Y O F T H E A N A L Y S E S A s I p r e s e n t e d t h e s e a n a l y s e s o f t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s a n d t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s c o n t e n t , I e x p l i c i t l y a n d i m p l i c i t l y s u g g e s t e d t w o w a y s i n s t r u c t o r s s a w t h e p r o g r a m m a t i c r o l e s o f t h e c o u r s e . G e n e r a l l y , I o b s e r v e d t h a t i n s t r u c t o r s d i d n o t v a l u e t h e r o l e s d i f f e r e n t l y , b u t t h a t t h e y s a w t h e r o l e s , t h e m s e l v e s , a s d i f f e r e n t - - i n v o l v i n g d i s p a r a t e m o t i v a t i o n s , e n a c t m e n t s , a n d e x p e c t a t i o n s . I f o u n d t h e s t u d y o f t h e r o l e t h a t " l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t " p l a y e d f o r t h e c o u r s e s t o b e c o m p l e x , f i l l e d w i t h t e n s i o n s a n d d i l e m m a s . I n s t r u c t o r s d i f f e r e d i n w h a t t h e y a s s e s s s t u d e n t s b r i n g t o t h e c o u r s e s a n d h o w t o r e s p o n d . D e t e r m i n i n g t h e r o l e t h a t l e a r n i n g c o n t e n t i s t o p l a y i n s t u d e n t s ' p r o g r a m s w a s d i f f i c u l t d u e t o v a r i a t i o n i n w h a t i n s t r u c t o r s s a w a s t h e c o n t e n t o f c o n c e r n t o t h e c o u r s e s . T h i s f i n d i n g h i g h l i g h t s t h e d e a r t h o f i n t e r a c t i o n b e t w e e n i n s t r u c t o r s . M o r e s i g n i f i c a n t l y , I f o u n d a n e a r - t o t a l l a c k o f c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n t h e i n s t r u c t o r s , m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s t a f f , s t a f f i n o t h e r d e p a r t m e n t s , a n d e l e m e n t a r y s c h o o l s t a f f . F i n a l l y , I d o c u m e n t e d d i f f e r i n g m e a n i n g s o f " u n d e r s t a n d i n g " a n d d i f f e r i n g k i n d s o f l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s s o u g h t b y t h e i n s t r u c t o r s . T h e o b j e c t o f t h i s r e s e a r c h w a s t o s t u d y a l l r o l e s a n d d e t e r m i n e w h a t r o l e s t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s s h o u l d p l a y i n s t u d e n t s ' p r o g r a m s . T h e r e s u l t s o f t h i s e x a m i n a t i o n o f r o l e s p o i n t t o i m p o r t a n t d i f f e r e n c e s i n t h o u g h t a n d a c t i o n o n t h e p a r t o f t h e i n s t r u c t o r s o f t h e c o u r s e s . T h e s e d i f f e r e n c e s a f f e c t w h a t i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s v a l u e o v e r a l l a s t h e r o l e s t h e c o u r s e s s h o u l d p l a y i n 2 3 0 2 3 1 s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n t h i s s u m m a r y a n a l y s i s , I l a y o u t t w o c h a r a c t e r i z a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s t h a t e m e r g e d f r o m m y a n a l y s e s o f t h e i n s t r u c t o r s ' i n d i v i d u a l a n d c o l l e c t i v e c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s t h e c o u r s e s h o u l d p l a y . E a c h i n s t r u c t o r ' s g o a l f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s o r i e n t e d h i s o r h e r p e r s p e c t i v e . I n a f e w c a s e s , i n s t r u c t o r s c o n s i s t e n t l y ( t h o u g h n e v e r e x c l u s i v e l y ) s p o k e o f t h e g o a l a s e i t h e r p r o c e d u r a l o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ; m o s t i n s t r u c t o r s m o v e d b e t w e e n t h e s e g o a l s . F o r t h i s r e a s o n , I d o n o t s p e c i f y p a r t i c u l a r i n s t r u c t o r s a s e s p o u s i n g a p a r t i c u l a r g o a l . B y l a y i n g o u t t h e t w o w a y s i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s a n d t h e i r g o a l s i n t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , t h e o v e r a r c h i n g g o a l f o r t h e c o u r s e a c t s t o i n t e r c o n n e c t t h e r o l e s , s u m m a r i z e m y f i n d i n g s , a n d p o i n t t o a r e a s f o r f u r t h e r s t u d y . L a y i n g o u t t h e s e p e r s p e c t i v e s h a s p a r t i c u l a r v a l u e , a s B r o w n , C o o n e y , a n d J o n e s ( 1 9 9 0 ) s u g g e s t i n t h e i r a n a l y s i s o f t w o r e s e a r c h p a r a d i g m s : " W e f o c u s o n t h i s d i c h o t o m y w i t h t h e r e a l i z a t i o n t h a t t h e s h a r p e n i n g o f d i s t i n c t i o n s c a n e n a b l e u s t o b e t t e r u n r a v e l a s s u m p t i o n s i n h e r e n t i n e a c h o f t h e p e r s p e c t i v e s " ( p . 6 4 2 ) I l a y t h e s e t w o c h a r a c t e r i z a t i o n s o u t , k n o w i n g t h a t I r i s k p o r t r a y i n g t h e s e g o a l s a s d i a m e t r i c a l l y o p p o s e d a n d d i s j o i n t . T h e y a r e n o t . T h e i n t e r r e l a t i o n s h i p o f t h e g o a l s a n d t h e c o m p l e x i t i e s o f p r a c t i c e s h o w t h e d i c h o t o m y t o b e f a l s e , b u t I s u g g e s t h e r e t h a t t h e s e c h a r a c t e r i z a t i o n s h o l d v a l u e f o r h e l p i n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s c l a r i f y s o m e t i m e s c o m p e t i n g m o t i v a t i o n s a n d g o a l s f o r 2 3 2 s t u d e n t l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n t h e i r e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n . C h a r a c t e r i z a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g f o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s T h e t w o c h a r a c t e r i z a t i o n s r e p r e s e n t p a t t e r n s o f t h o u g h t a n d a c t i o n t h a t e m e r g e d f r o m m y s t u d y o f t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s s h o u l d p l a y i n s t u d e n t s ’ p r e p a r a t i o n . T h e s e p a t t e r n s s u g g e s t e d d i f f e r e n t g o a l s f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s : p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T a c h i n f o r P r o c e d u r a l n d e r s t a n i n S o m e i n s t r u c t o r s d e s c r i b e d m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s a s n o t d i f f i c u l t . T h e i r f o c u s w a s o n t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g . B e c a u s e i n s t r u c t o r s s e e t h e c o n t e n t a s e a s y t o l e a r n , t h e y s e e t h e r o l e o f d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s h o l d i n g g r e a t i m p o r t a n c e i n t h e c o u r s e s . A f f e c t i v e a s p e c t s a r o u n d l e a r n i n g t h e c o n t e n t g a i n v a l u e , e . g . , e n j o y i n g m a t h e m a t i c s a n d f e e l i n g g o o d a b o u t m a t h e m a t i c s . S e t t i n g a n o n - t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t i n t h e c l a s s r o o m i s i m p o r t a n t . T h i s n o n - t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t i n c l u d e s a p l e a s a n t i n s t r u c t o r ' s d e m e a n o r , t h e s e q u e n t i a l i n c r e a s e i n d i f f i c u l t y o f t h e p r o b l e m s t o b e w o r k e d o n , a n d a p a s s i v e r o l e f o r t h e s t u d e n t ( m i n i m i z i n g o p p o r t u n i t i e s f o r e m b a r r a s s m e n t o r d i s c o m f o r t ) . S e t t i n g t h i s e n v i r o n m e n t r e q u i r e s c o n s i d e r a b l e e m o t i o n a l e n e r g y o f t h e i n s t r u c t o r . T h e r e w a r d s o f l e a r n i n g a r e i m m e d i a t e a n d o b v i o u s - - s t u d e n t s c a n d o s e t s o f p r o b l e m s q u i c k l y a n d a c c u r a t e l y , b u i l d i n g t h e i r s e l f - c o n f i d e n c e . 2 3 3 T h e i n s t r u c t o r s s e e t h e s t u d e n t s p r e d o m i n a n t l y a s f u t u r e t e a c h e r s , r a t h e r t h a n s e e i n g t h e s t u d e n t s a s i n d i v i d u a l l e a r n e r s . T h e y a s s u m e s t u d e n t s a l r e a d y " k n o w " t h e c o n t e n t a t o n e l e v e l , s o t h e g o a l i s t o p r o v i d e t h e r e a s o n s f o r w h a t t h e y k n o w . I n s t r u c t o r s o f t e n s e e t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e s a s r e s t r i c t e d t o K - 8 6 2 c u r r i c u l u m w i t h m i n i m a l d e v e l o p m e n t b e y o n d t h o s e t o p i c s . T h i s c u r r i c u l u m d e t e r m i n e s a n d b o u n d s t h e m a t h e m a t i c s o f s t u d y . P r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g h a s a s i t s b a c k b o n e s e t s o f r e a s o n s t h a t e x p l a i n w h y c e r t a i n t h i n g s a r e t r u e . T h e s o u r c e o f t r u t h i s t h e i n s t r u c t o r o r s o m e o t h e r s o u r c e o f t h e r e a s o n i n g . T h i s s o u r c e i s u s u a l l y s e p a r a t e f r o m t h e s t u d e n t s ; i t p r o v i d e s t h e r e a s o n s . E x p l a i n i n g " w h y " o r s e e i n g t o i t t h a t s t u d e n t s k n o w w h y i s t h e t e a c h e r ' s r o l e . T h i s m e a n s t h a t i n m a n y s i t u a t i o n s t h e i n s t r u c t i o n a l m o d e i s l e c t u r e / d i s c u s s i o n . 6 3 T h e m o d e l o f t e a c h i n g t h a t s t u d e n t s o b s e r v e d i s t h a t o f t r a n s m i s s i o n . T h e r o l e t h a t e r r o r s p l a y i n l e a r n i n g t h e c o n t e n t i s t h a t o f l e t t i n g t h e i n s t r u c t o r k n o w w h a t e x p l a n a t i o n s s t u d e n t s d o n o t u n d e r s t a n d . I n s t r u c t o r s c a n t h e n c o r r e c t t h e e r r o r s b y r e - e x p l a i n i n g o r h a v i n g a n o t h e r s t u d e n t r e - e x p l a i n . I n s t r u c t o r s t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g e x p e c t s t u d e n t s t o k n o w w h a t s a n d w h y s - - " r u l e s w i t h r e a s o n s . " Q u e s t i o n s o f “ h o w ” a r e m i s s i n g - - h o w d o e s t h i s m a k e s e n s e , h o w d o e s t h i s c o n n e c t w i t h t h e o t h e r k n o w l e d g e I h o l d , h o w m i g h t I a p p r o a c h t h i s 5 2 O n e o f t h e i n s t r u c t o r s i n t h i s s t u d y r e s t r i c t e d t h i s f u r t h e r t o K - 6 . 6 3 D i f f e r e n t i n s t r u c t o r s u s e d t h e w o r d s l e c t u r e a n d d i s c u s s i o n d i f f e r e n t l y , b u t g e n e r a l l y t h e y i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s d i d n o t o f t e n m a k e c o n t r i b u t i o n s o f m a t h e m a t i c a l s u b s t a n c e i n t h i s m o d e . 2 3 4 d i f f e r e n t l y i f I s t a r t e d w i t h d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s . C o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i n c l u d e s t h i s a s p e c t . T e a c h i n f o r o n c e t u a l n d e r s t a n d i n S o m e t i m e s , i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s a s c o m p l e x w i t h a f o c u s o n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . B e c a u s e i n s t r u c t o r s i n t h i s m o d e s e e t h e c o n t e n t t o b e h a r d e r t o l e a r n , t h e r o l e o f d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s c h a n g e s c h a r a c t e r . T h e g o a l s a r e c o g n i t i v e a n d d i s p o s i t i o n a l , d e v e l o p i n g a p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d d o i n g a n d p e r s i s t i n g i n t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s . S e t t i n g a t o n e o f i n v e s t i g a t i o n i n t h e c l a s s r o o m i s i m p o r t a n t . T h i s t o n e i n c l u d e s e x p e c t a t i o n s t h a t s t u d e n t s w i l l c o n j e c t u r e , s e a r c h f o r p a t t e r n s , j u s t i f y , a n d e n t e r t a i n a l t e r n a t i v e p o i n t s o f v i e w o r w a y s o f o p e r a t i n g . S e t t i n g t h i s t o n e r e q u i r e s c o n s i d e r a b l e m e n t a l e n e r g y o f t h e i n s t r u c t o r a n d t h e s t u d e n t s . 6 4 T h e r e w a r d s o f l e a r n i n g a r e s l o w i n c o m i n g - - c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s t a k e s l o n g e r t o d e v e l o p , b u t t h e m a t h e m a t i c s i s e a s i e r t o r e m e m b e r , t h e m a t h e m a t i c s i s e a s i e r t o a d a p t t o n e w t a s k s , t h e m a t h e m a t i c s o f t e n s u g g e s t s n e w t a s k s a n d n e w w a y s o f a p p r o a c h i n g t a s k s , a n d l e a r n i n g t h e m a t h e m a t i c s c a n b e i n t r i n s i c a l l y r e w a r d i n g . T h e s t u d e n t ' s r o l e i s t h a t o f a n i n v e s t i g a t o r . I n s t r u c t o r s i n t h i s m o d e v i e w s t u d e n t s f i r s t a s l e a r n e r s o f t h e m a t h e m a t i c s , t h o u g h t h e y t a k e t h e l o n g - t e r m s t a t u s o f t h e s t u d e n t s a s f u t u r e t e a c h e r s i n t o c o n s i d e r a t i o n w h e n s e l e c t i n g t a s k s . I n s t r u c t o r s c o n s i d e r a n d u s e s t u d e n t s ' p r i o r k n o w l e d g e t o b u i l d 5 4 T h i s i s n o t t o s a y t h a t c o n s i d e r a b l e e m o t i o n a l e n e r g y i s n o t r e q u i r e d , a s w e l l , o n l y t h a t t h e c o g n i t i v e d e m a n d s a r e g r e a t e r t h a n w h e n t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g . 2 3 5 c o n n e c t i o n s a m o n g m u l t i f a c e t e d r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y d o n o t l i m i t t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e b y a f o c u s o n t h e K - 8 c u r r i c u l u m , b u t t h i s c u r r i c u l u m i n f o r m s t h e c h o i c e s t h e i n s t r u c t o r s m a k e . T h e m a t h e m a t i c s o f s t u d y i s o r g a n i c , a l l o w i n g a n d e n c o u r a g i n g s t u d e n t c o n t r i b u t i o n s t o n e w u n d e r s t a n d i n g s . C o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g h a s i n q u i r y a s i t s b a c k b o n e . S t u d e n t s e s t a b l i s h t r u t h i n s i d e t h e m s e l v e s t h r o u g h t h e p r o c e s s o f c o n j e c t u r i n g a n d j u s t i f y i n g , a l o n e a n d w i t h o t h e r s . T h e n o r m s o f t h e d i s c i p l i n e a r e c o n s i d e r e d a n d u s e d , b u t t h e y a r e s e e n a s g u i d e s a n d c o n v e n t i o n s t h a t s e r v e t h e l e a r n e r a n d c a n b e c h a l l e n g e d . T h e i n s t r u c t i o n a l m o d e v a r i e s , d e p e n d i n g o n t h e c o n t e n t a n d t a s k a s s o c i a t e d w i t h l e a r n i n g t h e c o n t e n t . T h e m o d e l o f t e a c h i n g t h a t s t u d e n t s o b s e r v e i s t h a t o f f a c i l i t a t i o n . T h e r o l e t h a t e r r o r s p l a y i n l e a r n i n g t h e c o n t e n t i s t h a t o f p r o v i d i n g o p p o r t u n i t i e s f o r p u s h i n g t h i n k i n g . Q u e s t i o n s a b o u t t h e r e a s o n a b l e n e s s o f a n e r r o r a n d t h e a s s u m p t i o n s t h a t l e a d t o t h e e r r o r a r e i m p o r t a n t t o i n v e s t i g a t e . I n s t r u c t o r s a r e w a t c h f u l t o s e e h o w s t u d e n t s u n d e r s t a n d t h e c o n t e n t i n o r d e r t o p o s e t a s k s t h a t a s k s t u d e n t s t o a p p l y w h a t t h e y l e a r n i n w a y s t h a t m i g h t u n e a r t h d i f f i c u l t i e s . I n s t r u c t o r s t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g e x p e c t s t u d e n t s t o k n o w w h a t s , h o w s , a n d w h y s . T h i s l e a r n i n g o f t h e c o n t e n t p o s i t i o n s s t u d e n t s t o m a k e p r o d u c t i v e u s e o f t h a t k n o w l e d g e i n w h a t e v e r s i t u a t i o n t h e y m i g h t n e e d i t . F i n a l T h o u g h t s I r e a l i z e t h a t t h e d i c h o t o m y b e t w e e n t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f 2 3 6 c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g t h a t I a m s u g g e s t i n g i s a r t i f i c i a l , b u t I b e l i e v e t h a t i t i s i m p o r t a n t t o l a y o u t . I t i s a r t i f i c i a l b e c a u s e i n s t r u c t o r s m o v e b e t w e e n t h e s e g o a l s f o r l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I t i s a r t i f i c i a l b e c a u s e t h e s e t w o g o a l s a r e b o t h v a l i d a n d i m p o r t a n t , e a c h i n t h e i r o w n w a y - - t h e y d o n o t r e p r e s e n t a n e i t h e r / o r d e c i s i o n t o b e m a d e . I t i s a r t i f i c i a l b e c a u s e p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g i s e m b e d d e d w i t h i n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , s o t h a t s e t t i n g t h e i r c h a r a c t e r i z a t i o n o u t a s a " d i c h o t o m y " m o v e s a t t e n t i o n a w a y f r o m t h e i r i n t e r r e l a t e d s t a t u s . O n t h e o t h e r h a n d , l a y i n g t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o u t a s d i c h o t o m o u s g o a l s i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t s u g g e s t s s p e c i f i c p a t t e r n s i n i n s t r u c t o r s ' w a y s o f t h i n k i n g a n d a c t i n g t h a t a f f e c t t h e r o l e s t h a t t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s c a n a n d d o p l a y f o r s t u d e n t s . B y e x a m i n i n g t h e s e p a t t e r n s i n w a y s o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s a n d w a y s o f t u r n i n g t h o u g h t s i n t o a c t i o n i n t h e c l a s s r o o m , w e a r e a b l e t o c o n s i d e r o u r a l t e r n a t i v e s . L a y i n g t h e s e g o a l s o u t a s d i c h o t o m o u s i s a l s o i m p o r t a n t b e c a u s e i t h e l p s f o c u s a t t e n t i o n o n t h e q u e s t i o n o f e x p e c t a t i o n s . E a c h g o a l h o l d s d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s f o r l e a r n i n g . A n d , g e n e r a l l y , t h e l e v e l o f c o m p e t e n c e a n d u n d e r s t a n d i n g t h a t i s a x p a p t s d i s t h e m a x i m u m a c h i e v e d . M o s t i n s t r u c t o r s i n t h i s s t u d y w e r e n o t e x p l i c i t l y a w a r e o f h o l d i n g d i f f e r e n t g o a l s f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , t h o u g h t h e y d i d i n d i c a t e s o m e o f t h e t e n s i o n s t h e y f e l t . R e c a l l K a r a ' s r e c o g n i t i o n : " S o m e o f t h e t h i n g s I t h i n k I w a n t t o d o a l o t , I ' m n o t 2 3 7 d o i n g a l o t o r t h a t I t h i n k a r e i m p o r t a n t , I ' m n o t s t r e s s i n g . ( K S , 1 5 B ) " T h i s r e c o g n i t i o n c a m e o n l y a f t e r r e f l e c t i n g o n h e r r e s p o n s e s t o i n t e r v i e w q u e s t i o n s e l i c i t i n g h e r b e l i e f s a n d t h e n r e f l e c t i n g o n h e r a c t i o n s i n t h e c l a s s r o o m . I b e l i e v e t h a t i n s t r u c t o r s f e l t m a n y t e n s i o n s d u e t o t h e p u l l b e t w e e n t h e s e t w o d i f f e r e n t g o a l s , e a c h h o l d i n g d i f f e r e n t r e q u i r e m e n t s a n d r e w a r d s f o r s t u d e n t s a n d t h e i n s t r u c t o r . F o r e x a m p l e , i n t h e t e n s i o n t h a t K a r a f e l t b e t w e e n p o r t r a y i n g m a t h e m a t i c s a s a c o m p l e x i n t e r c o n n e c t e d w e b o r i n h a v i n g s t u d e n t s f e e l t h a t t h e y k n e w e n o u g h t o t e a c h o n a d a y - t o - d a y b a s i s , K a r a w a s t r y i n g t o b a l a n c e h e r c o n c e r n f o r l e a r n i n g o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , b u i l d i n g i n t e r c o n n e c t i o n s a n d h e l p i n g s t u d e n t s s e e t h e b i g g e r p i c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e , w i t h h e r c o n c e r n f o r h e r s t u d e n t s ' s e n s e t h a t t h e y c o u l d u s e t h e i r k n o w l e d g e o f t h e r u l e s a n d r e a s o n s w h y o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g t o s u r v i v e i n t h e c l a s s r o o m . I f s t u d e n t s d o n o t s u r v i v e i n t h e c l a s s r o o m , t h e y w i l l n e v e r c o m e t o t h r i v e . I f t h e y s u r v i v e , a n i m p o r t a n t q u e s t i o n t o a s k i s w h a t k i n d o f u n d e r s t a n d i n g t h e i r p u p i l s w i l l b e g a i n i n g . I f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , t h e y w i l l b e a b l e t o m a k e i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s a s t o t h e i r g o a l f o r t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s f o r t h e i r p u p i l s . I f t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s h a v e p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g o n l y , h o w w i l l t h e y h a v e a c h o i c e a s t o t h e i r g o a l f o r t h e i r p u p i l s ' l e a r n i n g ? A r e w e a s s u m i n g t o o m u c h i f w e a s s u m e t h a t , w i t h i n t h e t e a c h i n g , t h e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w i l l g a i n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ? I t i s a l s o i m p o r t a n t t o l a y t h e s e g o a l s o u t a s a d i c h o t o m y b e c a u s e i n s o m e c a s e s i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s e m p h a s i z e d 2 3 8 t h e g o a l o f t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a s t h e p r e d o m i n a n t g o a l f o r s t u d e n t s i n t h e c o u r s e s w i t h t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g s e e n a s a n a t t r a c t i v e e x t r a . T h e r e w e r e v e r y f e w f o r a y s b e y o n d p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , a n d i n s t r u c t o r s d e s c r i b e d t h e m a s e x c e p t i o n s f r o m t h e r o u t i n e o f t h e c o u r s e w o r k . I n s t r u c t o r s a n d p r o g r a m d e s i g n e r s n e e d t o r e c o g n i z e t h e r a m i f i c a t i o n s o f o p t i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a s t h e p r i m a r y g o a l i n t h e s e c o u r s e s . I n s t r u c t o r s b a s e d t h e i r c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s t h i s c o u r s e w o r k i s t o p l a y i n s t u d e n t s ' p r o g r a m s o n d i f f e r e n t g o a l s - - o n e w a s t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , t h e o t h e r w a s t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . T h e r e w e r e t r a d e - o f f s a n d t e n s i o n s i n t h e c h o o s i n g o f g o a l s . S o m e i n s t r u c t o r s c h o s e t o f o c u s t h e i r t e a c h i n g o n t h e d e v e l o p m e n t o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g w i t h i t s q u i c k , r e l i a b l e r e w a r d s , r e w a r d s t h a t s u p p o r t e d i n s t r u c t o r s ' a f f e c t i v e g o a l s , a s w e l l . T h e i n f l u e n c e s a n d c o n s t r a i n t s f e l t b y t h e s e i n s t r u c t o r s o f t e n o p p o s e d t e a c h i n g f o r d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , e v e n w h e n t h e i n s t r u c t o r s t h e m s e l v e s m i g h t h a v e t h o u g h t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a d e s i r a b l e g o a l . O t h e r i n s t r u c t o r s c h o s e t o e x t e n d t h e i r e x p e c t a t i o n s t o t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , i n i t i a t i n g s t u d e n t s i n t o t h e d i s c i p l i n e i n w a y s t h a t s u p p o r t e d i n s t r u c t o r s ' c o g n i t i v e a n d d i s p o s i t i o n a l g o a l s . I " : ~ F " " ; a J 1 ’ 5 . E 3 “ 2 $ P “ ‘ 1 . “ \ , . ) u v J . . . 1 ? } . ‘ r E . V ‘ . h i . . . . . . n n w . . . ‘ u r i n a l " . . a . . r I . b u x v . . r ( M . . 1 . u . ~ . r u ” . l a ) . 9 a m » ! . R H “ v . H c u . . . r . a ( e . I ‘ . F t c z - c z t ' c : ' ( v m ? ‘ 1 ‘ o h I i l l . . . m ; \ m ‘ . J T A T E m i i ‘ x fi u ’ i ' m fi m u m 3 1 2 9 3 W “ L I B R A R Y M l c h l g a n S t a t e U n i v e r s i t y + _ P L A C E l l R E T U R N B O X t o r o m a n t h h M o a t f r o m y o u r " c o r d . T O A V O I D F I N E S M u m o n o r M o r e d a t a d u o . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E M S U l o A n A f f i r m a t i v e A d l a i / E q u a l O p p o r t u n i t y I n fl a t i o n W 1 C H A P T E R 6 C O N C L U S I O N S A N D I M P L I C A T I O N S I b e g a n t h i s s t u d y b y i d e n t i f y i n g q u e s t i o n s r a i s e d b y m y e x p e r i e n c e a s a n i n s t r u c t o r o f m a t h e m a t i c s c o u r s e s d e s i g n e d f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . I w o n d e r e d w h a t a s s u m p t i o n s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o r g a n i z e d i n s t r u c t o r s ' t h o u g h t a n d a c t i o n a n d h o w i n s t r u c t o r s c o n c e p t u a l i z e d t h e e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s . I w o n d e r e d a b o u t t h e e x t e n t t o w h i c h i n s t r u c t o r s h e l d s h a r e d v a l u e s a n d v i e w s o f w h a t w a s t o b e a c c o m p l i s h e d i n t h e c o u r s e s a n d h o w t h e i r v a l u e s a n d v i e w s m e s h e d w i t h t h o s e a r t i c u l a t e d i n r e c e n t r e f o r m d o c u m e n t s ( N C T M , 1 9 9 1 ; M A A , 1 9 9 1 ) . M o s t i m p o r t a n t l y , I w o n d e r e d h o w i n s t r u c t o r s s a w t h e c o u r s e s f i t t i n g i n t o t h e t o t a l t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m o f t h e i r s t u d e n t s . I n t h i s s t u d y , I f o c u s e d o n m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t i n s t r u c t o r s ' v i e w s a b o u t t h e r o l e s t h e i r m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a s s e r v i c e c o u r s e s p l a y i n t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m o f t h e i r s t u d e n t s . T h e a n a l y s e s t h a t I p r e s e n t e d r e p r e s e n t a f o c u s e d l o o k a t t h e t h i n k i n g o f a s e t o f i n s t r u c t o r s r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s i n a n e x t e n d e d u n i v e r s i t y s e t t i n g , f i v e i n s t r u c t o r s f r o m a f o u r - y e a r u n i v e r s i t y , N U , a n d o n e f r o m a c o m m u n i t y c o l l e g e w h o s e s t u d e n t s t r a n s f e r t o N U . T h e i r c o n c e r n s a n d t h e d i l e m m a s t h e y d e s c r i b e d o f f e r a f r e s h l o o k i n t o t h e i s s u e s s u r r o u n d i n g t h e m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . T e a c h e r e d u c a t o r s i n b o t h m a t h e m a t i c s a n d e d u c a t i o n d e p a r t m e n t s c a n u s e t h e a n a l y s e s i n 2 3 9 2 4 0 t h i s s t u d y t o o r i e n t d i s c u s s i o n s o f t h e c u r r e n t a n d f u t u r e r o l e s o f t h i s t y p e o f c o u r s e w o r k . T h i s c h a p t e r i n c l u d e s a b r i e f r e p r i s e o f m y f i n d i n g s , f o c u s i n g o n t h e i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e r o l e s a n d t h e d i s c r e p a n c i e s w i t h i n a n d b e t w e e n i n s t r u c t o r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s . I h i g h l i g h t s p e c i f i c i m p l i c a t i o n s f o r t e a c h e r e d u c a t i o n t h a t a r i s e f r o m t h e f i n d i n g s o f t h i s s t u d y a n d i n d i c a t e p o s s i b l e d i r e c t i o n s m y r e s e a r c h c a n t a k e i n t h e f u t u r e . I c o n c l u d e w i t h a r e t u r n t o t h e i m p e t u s f o r t h i s s t u d y - - m y o w n e x p e r i e n c e a s a n i n s t r u c t o r o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s - - a n d s u g g e s t h o w t h i s s t u d y h a s a f f e c t e d m y o w n t h i n k i n g . l n s t r u c t o r s ' V i e w s o f t h e H o l e s I n p r e p a r i n g t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k , I a r t i c u l a t e d m y o w n p r e c o n c e p t i o n s . l w a s m a k i n g a n e d u c a t e d g u e s s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t i n s t r u c t o r s w o u l d b e o p e r a t i n g u n d e r c i r c u m s t a n c e s s i m i l a r t o t h o s e u n d e r w h i c h I h a d w o r k e d w h e n t e a c h i n g t h i s k i n d o f c o u r s e . O v e r a l l , i n s t r u c t o r s c o n f i r m e d m y c o n j e c t u r e s . r ' V i w h A n ' F r W h e n I d e s c r i b e d t h e r o l e o f d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s , I t r i e d t o p r e d i c t w h a t t h e o b j e c t s o f t h e p o s i t i v e a t t i t u d e s w e r e . I a n t i c i p a t e d a n d f o u n d w i t h i n t h e s e t o f i n s t r u c t o r s d i f f e r e n t o b j e c t s , s u c h a s d o i n g m a t h e m a t i c s , b e i n g i n a m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m , a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . G a i l v i e w e d d e v e l o p i n g p o s i t i v e a t t i t u d e s a s a p r e c u r s o r t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d o r i e n t e d t h e c o u r s e t o w a r d t h e g o a l o f r e d u c i n g m a t h e m a t i c s 2 4 1 a n x i e t y . A l l o f t h e o t h e r i n s t r u c t o r s v i e w e d t h e l e a r n i n g o f c o n t e n t a s a v e h i c l e t o r e d u c i n g a n x i e t y . T h e m a j o r i t y o f i n s t r u c t o r s h e l d w h a t I d e s c r i b e d i n t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k a s a " p r o a c t i v e s t a n c e " o n g a t e - k e e p i n g . I n s t r u c t o r s f e l t t h a t e i t h e r t h e c o u r s e s s h o u l d i n c l u d e s u p p o r t s f o r s t u d e n t s w h o l a c k e d i m p o r t a n t p r e p a r a t i o n o r t h a t t h e d e p a r t m e n t s h o u l d i d e n t i f y a n d p r o v i d e a p p r o p r i a t e c o u r s e s f o r s t u d e n t s n e e d i n g a d d i t i o n a l b a c k g r o u n d b e f o r e e n t e r i n g t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o n t e n t c o u r s e s . T h e r e w a s o n l y a m i n i m a l s e n s e t h a t t h e c o u r s e w a s t o b e u s e d a s a f i l t e r t o k e e p s t u d e n t s o u t o f t e a c h i n g . T h e r o l e o f l e a r n i n g h o w t o t e a c h h a d a w i d e r a n g e o f i n c a r n a t i o n s . T h i s r o l e ' s m a n i f e s t a t i o n s i n c l u d e d b r i e f d i s c u s s i o n s o f h o w t o t e a c h a p a r t i c u l a r c o n c e p t d i f f e r e n t l y i n t h e e l e m e n t a r y c l a s s r o o m f r o m t h e s t u d e n t s ' e x p e r i e n c e i n t h e i r u n i v e r s i t y c o u r s e t o c o u r s e a s s i g n m e n t s r e q u i r i n g s t u d e n t s t o a n a l y z e e l e m e n t a r y s c h o o l t e x t b o o k c o v e r a g e o f a c o n c e p t a c r o s s g r a d e l e v e l s . T h e r o l e o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s w a s o f t e n i m p l i c i t , t o b e a c c o m p l i s h e d b y s t u d e n t o b s e r v a t i o n o f t h e i n s t r u c t o r . I n s t r u c t o r s t r i e d t o m o d e l g o o d m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . M a n y i n s t r u c t o r s w e r e a t t e m p t i n g t o a d a p t t h e i r t e a c h i n g m e t h o d s t o r e f l e c t t h e e m p h a s e s i n t h e N C T M S t a n d a r d s a s t h e y i n t e r p r e t e d t h e m . I n s t r u c t o r s s a i d t h a t l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s w e r e i m p o r t a n t . I h a d a h a r d t i m e s e p a r a t i n g t h e s e i n t o c a t e g o r i e s w h e n I s e t o u t t h e f r a m e w o r k , a n d I f o u n d s o m e i n s t r u c t o r s p u t t h e m b a c k t o g e t h e r . Y e t , i t w a s i m p o r t a n t f o r m e t o s e p a r a t e t h e m i n o r d e r t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e e m p h a s e s t h a t i n s t r u c t o r s f e l t n e e d e d t o b e g i v e n t o e a c h a s p e c t . 2 4 2 l n s t r u c t o r s ' s t r o n g e m p h a s i s o n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t d i d n o t n e c e s s a r i l y i n c l u d e a s t r o n g e m p h a s i s o n l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s , j u s t i f y i n g m y s e p a r a t i o n o f t h e s e r o l e s . T h r o u g h t h e a n a l y s i s , I d i s c o v e r e d o n e d e f i c i e n c y i n m y a n a l y t i c f r a m e w o r k . I h a d n o t s e p a r a t e d t h e r o l e o f d e v e l o p i n g p a r t i c u l a r d i s p o s i t i o n s f r o m t h e r o l e o f l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s . T h e r o l e " l e a r n i n g t h e n o r m s o f m a t h e m a t i c s “ w a s h a r d f o r m e t o d e s c r i b e i n p a r t b e c a u s e I l e f t a s i m p l i c i t t h e d i s p o s i t i o n a l a s p e c t s t h a t I a s s u m e d t o b e p a r t o f t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , t h i s s t u d y h e l p e d m e c l a r i f y t h a t t h e d i s p o s i t i o n s r e l a t e t o t h e m o f t h e m a t h e m a t i c s , n o t t h e d o i n g . A s s u c h , t h e d e v e l o p m e n t o f d i s p o s i t i o n s n e e d s t o b e s e e n a s a s e p a r a t e r o l e . T h i s r o l e h o l d s i n c l i n a t i o n s t o t h i n k a n d a c t i n p a r t i c u l a r w a y s . F o r t o o l o n g , w e h a v e n o t r e c o g n i z e d t h a t d i s p o s i t i o n s h a s b e e n d e v e l o p e d a s a p a r t o f t h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s . I t i s o n l y n o w , a s w e c o n s i d e r d e v e l o p i n g d i f f e r e n t d i s p o s i t i o n s t h a n h a v e b e e n d e v e l o p e d i n t h e p a s t , t h a t t h i s r o l e s e e m s i m p o r t a n t t o s e p a r a t e a n d s t u d y . I f w e d o n o t r e c o g n i z e a n d v a l u e t h e d e v e l o p m e n t o f d i f f e r e n t d i s p o s i t i o n s , i t i s u n l i k e l y t h a t a n y t h i n g d i f f e r e n t w i l l b e i n e v i d e n c e i n s t u d e n t l e a r n i n g . r r ' i i T h e i n s t r u c t o r s I s t u d i e d m a d e c h o i c e s b a s e d o n t h e i r b e l i e f s a n d g o a l s a s t o w h a t w a s i m p o r t a n t f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t o k n o w a n d c a r e a b o u t . B y m a k i n g t h e i r b e l i e f s a n d g o a l s a b o u t t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s e x p l i c i t a n d s e t t i n g t h e m s i d e - b y - s i d e , I f o u n d p a t t e r n s i n t h e w a y s 2 4 3 i n s t r u c t o r s t a l k e d a b o u t a n d a c t e d o n t h e r o l e . T w o a l t e r n a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s e m e r g e d t h a t s e e m e d t o o r i e n t t h e i n s t r u c t o r s ' c h o i c e s i n c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c o u r s e s . I n s t r u c t o r s m a d e c h o i c e s b a s e d o n t h e i r b e l i e f s a n d a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t k i n d o f u n d e r s t a n d i n g t h e i r s t u d e n t s n e e d e d t o h a v e a s p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . M a n y c h o s e t o s u p p o r t d e v e l o p i n g p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g i n p r a c t i c e , e v e n t h o u g h t h e y o c c a s i o n a l l y o r r e g u l a r l y v o i c e d b e l i e f s t h a t i n d i c a t e d t h a t t h e y v a l u e d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . V a l u i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g d i d n o t t r a n s l a t e i n t o s e e i n g t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a s a p r i m a r y g o a l w i t h i n t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e f o c a l q u e s t i o n b e c a m e " W h a t w a s t o b e d e v e l o p e d - - p r o c e d u r a l o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ? " T h e i n s t r u c t o r s g a v e d i f f e r i n g , o f t e n i n c o n s i s t e n t a n s w e r s , r e f l e c t i n g t h e c o m p l e x s e t o f u n d e r s t a n d i n g s a n d i n f l u e n c e s o n t h e i r b e l i e f s a n d a c t i o n s . T h e d i f f e r e n c e s I f o u n d g a v e s u p p o r t t o B a l l ' s ( 1 9 9 2 ) r e a d i n g o f t h e s i t u a t i o n i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n - - w e h o l d d i f f e r i n g v i e w s o n s u c h i s s u e s a s w h a t t o p i c s t o c o v e r , w h e t h e r o r h o w t o u s e m a n i p u l a t i v e s , w h a t m a k e s a g o o d p r o b l e m , a n d w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d w h a t i t m e a n s t o k n o w , d o , a n d u s e m a t h e m a t i c s . I n t h e i r s t u d y o f a p r o s p e c t i v e t e a c h e r , B o r k o e t a l ( 1 9 9 2 ) a s s e r t e d t h a t t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s t h a t t h e s t u d e n t t o o k a s p a r t o f h e r t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m d i d n o t c h a l l e n g e h e r k n o w l e d g e o f f u n d a m e n t a l c o n c e p t s n o r d i d i t s t r e s s m e a n i n g f u l l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . I t a p p e a r e d t h a t “ t h e u n i v e r s i t y t e a c h e r 2 4 4 e d u c a t i o n p r o g r a m g a v e u p a n o p p o r t u n i t y t o f o s t e r h e r a c q u i s i t i o n o f t h e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e n e c e s s a r y f o r t e a c h i n g m i d d l e s c h o o l m a t h e m a t i c s , a n d i t r e i n f o r c e d h e r b e l i e f t h a t h e r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s w a s s u f f i c i e n t f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n e l e m e n t a r y a n d m i d d l e s c h o o l s " ( p . 2 1 7 - 2 1 8 ) . M y s t u d y i n d i c a t e s t h a t t h i s s t u d e n t ' s e x p e r i e n c e w a s n o t a n i s o l a t e d i n s t a n c e . T h e b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s j u s t i f i e d t h e i r l a c k o f d e m a n d f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o r c h a l l e n g e o f s t u d e n t s ' n o t i o n s o f t h e s u f f i c i e n c y o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g . I n o t h e r w o r d s , i n s t r u c t o r s m a y b e p e r p e t u a t i n g p o o r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e a n d s t u d e n t s ' b e l i e f i n t h e a d e q u a c y o f t h e i r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s b y d e s i g n a n d i n t e n t , t h o u g h t h e i n s t r u c t o r s ' i n t e n t i o n s m a y b e a d m i r a b l e . F o r e x a m p l e , t h e i n s t r u c t o r m a y i n t e n d t o i m p r o v e s t u d e n t s ' a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s b y e x p e c t i n g p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g , r e s u l t i n g i n " m o r e s u c c e s s f u l “ w o r k w i t h t h e m a t h e m a t i c s b u t l i m i t i n g t h e s t u d e n t s i n t e r m s o f d e e p e r i n s i g h t i n t o t h e c o n c e p t s b e i n g u s e d . E i s e n h a r t e t a l ( 1 9 9 3 ) p o i n t t o t h e n e e d f o r m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s t o s u p p o r t s t u d e n t s i n t h e e x a m i n a t i o n o f f a c t o r s t h a t c r e a t e p r e s s u r e s f o r t e a c h e r s t o t e a c h f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a s o p p o s e d t o t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . I m p l i c i t i n t h i s i s t h e a s s u m p t i o n t h a t W W h a v e c o n s i d e r e d a n d r e f l e c t e d o n t h e i s s u e s a n d d i l e m m a s f a c e d w h e n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a n d t h a t t h e y h a v e t h e g o a l o f t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . M y s t u d y s h o w s t h i s a s s u m p t i o n t o b e n a i v e . M a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s m u s t c o m e t o s e e d i l e m m a s t h e y a r e d e a l i n g w i t h f o r w h a t t h e y a r e a n d r e s p o n d 2 4 5 i n w a y s t h a t a r e m o r e c o n d u c i v e t o t h e d e v e l o p m e n t o f i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s t h a t w i l l s u p p o r t d e v e l o p m e n t o f s t u d e n t s ' c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . D i f f i c u l t i e s a n d t e n s i o n s a r e a n a t u r a l p a r t o f t e a c h i n g t h e s e c o u r s e s . I t i s e s s e n t i a l t o b a l a n c e g o a l s s o t h a t s t u d e n t s h a v e b o t h a b r o a d b a s e o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d a s t r o n g f r a m e w o r k o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g t o w o r k w i t h i n . M y s t u d y p o i n t s t o t h e f u n d a m e n t a l t e n s i o n b e t w e e n t e a c h i n g f o r d e p t h o r b r e a d t h o f c o n t e n t a n d t h e d i s t i n c t i v e n a t u r e o f t h e s e m a t h e m a t i c s c o u r s e s d e s i g n e d w i t h a p a r t i c u l a r s e t o f s t u d e n t s i n m i n d . B a l a n c i n g t h e g o a l s o f t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g a n d t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g t a k e s o n g r e a t e r i m p o r t a n c e i n t h i s c o n t e x t . T h e c h a l l e n g e t o d a y i s t o b r i n g a b a l a n c e t h a t m o r e e f f e c t i v e l y p r e p a r e s f u t u r e t e a c h e r s w i t h m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , s k i l l s , a n d d i s p o s i t i o n s t h a t w i l l s e r v e t h e m i n t h e i r f u t u r e c l a s s r o o m s , k n o w i n g t h a t t h e e x p e c t a t i o n s p l a c e d o n t h e m a s t e a c h e r s m a y b e d i f f e r e n t f r o m y e s t e r d a y a n d t o d a y . C o n f l i c t i n g V i e w s T h e i n s t r u c t o r s e x p r e s s e d a w i d e r a n g e o f i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e s a n d a w i d e v a r i a t i o n i n e m p h a s i s o n t h e r o l e s . T h e r e s u l t i n g i m a g e w a s o n e t h a t h i g h l i g h t s t h e m u l t i t u d e o f d i l e m m a s t o w h i c h t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s r e s p o n d a n d t h e i s o l a t e d n a t u r e o f t h e i n s t r u c t o r s ' w o r k . - ' r r ' ' | I n s t r u c t o r s s p o k e o f w o r k i n g t o w a r d m a n y d i f f e r e n t g o a l s , s o m e o f w h i c h w e r e i n c o n f l i c t w i t h e a c h o t h e r . F o r e x a m p l e , a n i n s t r u c t o r d e s i r i n g r i g o r o u s s t a n d a r d s o f m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n 2 4 6 f o r t e a c h i n g ( g a t e - k e e p i n g ) a l s o f e l t t h e n e e d t o c o n s i d e r t h e f r a g i l e m a t h e m a t i c a l s t a t u s a n d m a t h e m a t i c s a n x i e t y o f t h e s t u d e n t s ( a t t i t u d e ) . T h i s d i l e m m a i n v o l v e d t r y i n g t o e s t a b l i s h h i g h a n d r i g o r o u s s t a n d a r d s , w h i l e a c k n o w l e d g i n g a n a u d i e n c e t h a t h a d a l a r g e n u m b e r . o f m a t h e m a t i c a l l y d a m a g e d h u m a n b e i n g s , p u t t i n g t h e n e e d s o f m a t h - d a m a g e d s t u d e n t s i n t e n s i o n w i t h t h e d e m a n d f o r m a t h e m a t i c a l r i g o r . D i l e m m a s d i d n o t a r i s e o n l y f r o m v a l u i n g c o n f l i c t i n g r o l e s . A s a r t i c u l a t e d i n t h e a n a l y t i c f r a m e w o r k , t h e r e w e r e a l s o c o n f l i c t i n g w a y s o f v i e w i n g t h e s a m e r o l e . I n s t r u c t o r s s o m e t i m e s e x p r e s s e d a n d v a l u e d d i f f e r i n g i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e s a m e r o l e . F o r e x a m p l e , a n i n s t r u c t o r s t r e s s e d t h e i m p o r t a n c e o f “ w e e d i n g o u t “ s t u d e n t s w h o c a m e t o c l a s s n o t k n o w i n g w h a t t h e y n e e d e d t o k n o w a n d a l s o s t r e s s e d t h e i m p o r t a n c e o f s u p p o r t i n g t h e d e v e l o p m e n t o f k n o w l e d g e t h a t s t u d e n t s s h o u l d h a v e h a d p r i o r t o b e g i n n i n g t h e c o u r s e . B o t h a r e v e r s i o n s o f g a t e - k e e p i n g . I f o u n d t h a t t h e s a m e i n s t r u c t o r c o u l d v a l u e t w o d i f f e r i n g a n d c o n f l i c t i n g i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e s a m e r o l e a t t h e s a m e t i m e o r i n d i f f e r e n t s i t u a t i o n s . H e o r s h e c o u l d a l s o v a l u e t w o d i f f e r i n g a n d c o n f l i c t i n g r o l e s a t t h e s a m e t i m e o r i n d i f f e r e n t s i t u a t i o n s . S u c h c o n f l i c t s s e t t h e i n s t r u c t o r i n a d i f f i c u l t p o s i t i o n , r e s u l t i n g i n d e c i s i o n - m a k i n g t h a t o f t e n r e f l e c t e d t h e i n s t r u c t o r ' s r e s p o n s e t o t h e d i l e m m a i n t h e p a r t i c u l a r s i t u a t i o n r a t h e r t h a n d e c i s i o n - m a k i n g t h a t r e f l e c t e d a r e s p o n s e t o a p r o g r a m m a t i c o r i e n t a t i o n o r d e s i g n . I I - ' I I I ! ' I ' l l l l ' T h e r e s p o n s e s o f t h e i n s t r u c t o r s p r e s e n t e d a c a c o p h o n y o f i n t e r p r e t a t i o n s a b o u t t h e c o u r s e s a n d w h a t t h e c o u r s e s w e r e t o 2 4 7 c o n t r i b u t e t o s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I n s t r u c t o r s a t t h e s a m e i n s t i t u t i o n h e l d w i d e l y v a r y i n g v i e w s a n d w e r e n o t c o m p e l l e d t o s u p p o r t c o h e r e n c e w i t h i n t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s ' c o m p o n e n t , l e t a l o n e t h e w h o l e o f t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . T h e p r o g r a m a n d d e p a r t m e n t a l s y l l a b i i m p o s e , t h e o r e t i c a l l y , a c o n s e n s u s v i e w f r o m w h i c h a l l i n s t r u c t o r s a r e t o o p e r a t e . l m b e d d e d i n t h e p r o g r a m a n d s y l l a b i a r e i n t e n t i o n s f o r s t u d e n t l e a r n i n g , b o t h t h e w h a t a n d t h e h o w . Y e t , t h e i d i o s y n c r a t i c n a t u r e o f t h e c o u r s e , d e t e r m i n e d b y t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s , l e d t o d i f f e r i n g e x p e c t a t i o n s f o r t h e s t u d e n t s . T h e v a r i a t i o n i n i n t e r p r e t a t i o n o f a n d e m p h a s i s o n t h e r o l e s t h e c o u r s e s w e r e t o p l a y c r e a t e d t h e i m p r e s s i o n t h a t t e a c h i n g o f t h e s e c o u r s e s i s a n i s o l a t e d a c t i v i t y . T e n s i o n s T h e i n s t r u c t o r s ' v i s i o n s o f t h e s e c o u r s e s a s p a r t o f s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m i n c l u d e d t e n s i o n b e t w e e n t h e c o n t e n t a n d m e t h o d s c o u r s e s ' c o n t e n t a n d d e s i g n . I n s t r u c t o r s s p o k e o f “ s n e a k i n g i n " m e t h o d s i n s t r u c t i o n a n d u s i n g t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s t o e l e m e n t a r y s t u d e n t s a s b o t h a m o t i v a t o r a n d a b a c k d r o p f o r a c t i v i t i e s . I n s t r u c t o r s f e l t c o m f o r t a b l e s a y i n g , “ Y o u m i g h t d o t h i s w i t h s e c o n d g r a d e r s , “ o r , " H o w m i g h t y o u t h i n k a b o u t t h i s w i t h f i f t h g r a d e r s ? “ o r , " H o w d o y o u s e e r a t i o n a l n u m b e r s b e i n g d e v e l o p e d t h r o u g h K - 6 ? " I n s t r u c t o r s f r e e l y t a l k e d a b o u t t h e s e k i n d s o f c o n c e r n s i n t h e c o n t e x t o f t h e c o u r s e s . B u t , w h e n i n s t r u c t o r s s e n s e d t h a t t h e y m i g h t b e s t e p p i n g i n t o t e r r i t o r y r e g a r d e d a s t h e p r o v i n c e o f t h e m e t h o d s c o u r s e , t h e i r r e a c t i o n s d i f f e r e d . F o r e x a m p l e , t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s r a i s e d q u e s t i o n s i n t h e i n s t r u c t o r s ' m i n d s . I n s t r u c t o r s d i d n o t p o r t r a y t h e u s e o f 2 4 8 m a n i p u l a t i v e s a n d t h e r a t i o n a l e f o r t h e i r u s e s i m i l a r l y , a n d m o s t q u e s t i o n s r e l a t e d t o w h e t h e r t h e i r u s e i n t h e c o n t e n t c o u r s e s i n t e r f e r e d w i t h w o r k d o n e i n t h e m e t h o d s c o u r s e . 6 5 O n e i n s t r u c t o r ' s r e a c t i o n w a s t o i n c l u d e w h a t s h e d e e m e d a s a p p r o p r i a t e , e v e n t h o u g h s h e f e l t f a i r l y s u r e t h a t s h e w a s m o v i n g i n t o t h e m e t h o d s c o u r s e t e r r i t o r y . A n o t h e r i n s t r u c t o r ' s r e a c t i o n w a s t o i n c l u d e a s s i g n m e n t s t h a t s h e s a w a s m o v i n g i n t o m e t h o d s c o u r s e w o r k a s o p t i o n a l , b u t s h e p r o v i d e d s t r o n g e n c o u r a g e m e n t f o r s t u d e n t s t o c o m p l e t e t h e a s s i g n m e n t s . O t h e r i n s t r u c t o r s u s e d m a n i p u l a t i v e s i n v e r y s p e c i f i c w a y s a s t o o l s f o r l e a r n i n g t h e c o n t e n t a n d d i d n o t r e l a t e t h e i r u s e t o t h e s t u d e n t s ' f u t u r e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s t h a t i n s t r u c t o r s p a r t i c i p a t e d i n h o l d p r o m i s e a s s i t e s f o r d i s c u s s i n g i s s u e s s u c h a s a c o n s i s t e n t p o l i c y f o r t h e u s e o f m a n i p u l a t i v e s i n t h e c o u r s e s , b u t o n l y i f i n s t r u c t o r s s e e t h e i s s u e s a s i m p o r t a n t a n d i f t h e y d i s c u s s i s s u e s f u l l y e n o u g h t o m o v e b e y o n d t h e s i t u a t i o n d e s c r i b e d b y o n e i n s t r u c t o r . H e i n d i c a t e d t h a t t h e m e e t i n g s h a d ” o n l y m u d d i e d t h e w a t e r s . " M u d d y i n g t h e w a t e r s i s n o t a l l b a d i f i t g e t s y o u t o m o v e t o w a r d c l a r i f y i n g a n d d e a l i n g w i t h t e n s i o n s i n t h e l o n g r u n . W i t h t h e d i f f e r e n t a g e n d a s w i t h i n t h i s s e t o f i n s t r u c t o r s , a m o v e t o a f o c u s e d s e n s e o f p u r p o s e f o r t h e c o u r s e s w i l l d o u b t l e s s 6 5 W h e n I a s k e d F r a n k a b o u t u s i n g m a n i p u l a t i v e s i n o t h e r c o u r s e s i n t h e d e p a r t m e n t , h e s a i d t h a t i n s t r u c t o r s s h o u l d n o t u s e t h e m . T h e n , h e r e s t a t e d t h i s : T h e y w o u l d n o t u s e t h e m . I f s o m e o n e w a s i n c l i n e d t o u s e t h e m a t e r i a l s , F r a n k w o u l d s a y , “ F i n e . “ B u t , h e h a d t o w o r k t h r o u g h t h e n o t i o n t h a t a n y o n e w o u l d u s e t h e m b e c a u s e t h e i d e a w a s s o n o v e l t o h i m . I s e e t h e t h o u g h t f u l u s e o f m a n i p u l a t i v e s a s a n a r e a t h r o u g h w h i c h m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s c a n r e a c h o u t t o o t h e r s i n t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t . 2 4 9 i n v o l v e s i g n i f i c a n t d i s c o m f o r t a n d c h a l l e n g e t o l o n g - h e l d n o t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o t e a c h a n d d o m a t h e m a t i c s . I s o l a t i o n W i t h i n a n y c o u r s e , a n i n s t r u c t o r h o l d s p a r t i c u l a r g o a l s . T h e s e g o a l s a r e o f t e n a r e f l e c t i o n o f t h e l a r g e r p r o g r a m m a t i c r o l e s t h e d e s i g n e r s a n d i n s t r u c t o r s o f a p a r t i c u l a r p r o g r a m e x p e c t t h e c o u r s e s t o p l a y . W h e n t a l k i n g w i t h t h e i n s t r u c t o r s i n t h i s s t u d y , t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r ' s g o a l a n d t h e i n s t r u c t o r ' s v i s i o n o f t h e r o l e s f o r t h e m a t h e m a t i c s c o u r s e s t o p l a y w e r e o f t e n o n e a n d t h e s a m e . B u t , t h e s e g o a l s a n d v i s i o n s w e r e n o t o f t e n i n f o r m e d b y o r c o n n e c t e d t o t h e v i s i o n o f t h e r o l e s o f t h e c o u r s e s a r t i c u l a t e d b y p r o g r a m d e s i g n e r s o r a n y o n e o u t s i d e t h e i m m e d i a t e c i r c l e o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s . I n s t r u c t o r s i n d i c a t e d t h a t t h e y h a d l i t t l e , i f a n y , i n t e r a c t i o n w i t h f a c u l t y i n t h e T e a c h e r E d u c a t i o n D e p a r t m e n t . O n l y J e f f i n d i c a t e d t h a t h a v i n g a s e n s e o f t h e " b i g p i c t u r e " o f t h e p r o g r a m w a s i m p o r t a n t f o r i n s t r u c t o r s i n o r d e r t o m a x i m i z e t h e c o h e r e n c e , e f f e c t i v e n e s s , a n d e f f i c i e n c y i n t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . T h i s s i t u a t i o n i m p l i e s t h a t i n s t r u c t o r s d e t e r m i n e d t h e r o l e s t h e c o u r s e s s h o u l d p l a y w i t h l i m i t e d a w a r e n e s s o f t h e l a r g e r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m a n d t h e w o r k d o n e i n o t h e r c o u r s e s r e q u i r e d a s a p a r t o f i t s c o m p l e t i o n . P e r h a p s , w i t h a l l o f t h e c o n c e r n s t h e y w e r e a l r e a d y d e a l i n g , e x p a n d i n g t h e i r s e t o f i n f o r m a n t s t o i n c l u d e o t h e r s o u t s i d e t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t t a x e d t h e i r l i m i t s . A n a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n f o r i n s t r u c t o r s ' l a c k o f m e n t i o n o f t h e l a r g e r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m m a y b e t h a t t h e y w e r e a l r e a d y 2 5 0 w e l l - a w a r e o f i t . T h e y g a v e n o i n d i c a t i o n t h a t t h i s w a s t h e c a s e . I h a d v e r y l i t t l e s e n s e t h a t t h e i n s t r u c t o r s k n e w a n y o n e i n o t h e r d e p a r t m e n t s ( e x c e p t s o c i a l l y ) . A t N U , t h e T e a c h e r E d u c a t i o n D e p a r t m e n t w a s i n t h e s a m e b u i l d i n g a s t h e M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t , a f e w f l o o r s a w a y . B u t , i n t e r a c t i o n w a s n o t a n o r m . I f o u n d i n s t r u c t o r s w o r k i n g i n i s o l a t i o n o r i n s m a l l c o m m u n i t i e s t h a t d i d n o t c o n s i s t e n t l y e n c o u r a g e i n - d e p t h c o n s i d e r a t i o n o f t h e i s s u e s a n d d i l e m m a s s u r r o u n d i n g t h e t a s k s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n t h e c o u r s e s . T h e c o m m u n i t i e s d i d n o t e x t e n d b e y o n d t h e b o u n d s o f t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y t o i n c l u d e f a c u l t y f r o m o t h e r d e p a r t m e n t s t e a c h i n g e i t h e r g e n e r a l e d u c a t i o n c o u r s e s o r o t h e r c o n t e n t a r e a c o u r s e s a l s o r e q u i r e d a s a p a r t o f t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . T h e r e w a s n o o n - g o i n g i n t e r a c t i o n w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l s t a f f . I n t h i s w a y , i n s t r u c t o r s h a d l i m i t e d i n p u t a t t h e p o l i c y - m a k i n g l e v e l f o r t h e c o u r s e a n d i t s i n s t r u c t i o n , b y d e s i g n o r d e f a u l t . B e c a u s e t h e e x i s t i n g p o l i c y d i d n o t s e r v e t o e n c o u r a g e o r r e q u i r e i n t e r - i n s t r u c t o r , i n t e r - d e p a r t m e n t a l , o r i n t e r - i n s t i t u t i o n a l c o l l a b o r a t i o n , t h i s i s n o t a s u r p r i s i n g f i n d i n g . I n s t r u c t o r s s p o k e o f w o r k i n g w i t h i n t h e c o n s t r a i n t s t h e y f e l t t h e e n v i r o n m e n t i m p o s e d u p o n t h e m , r e q u i r i n g t h e a d j u s t m e n t o f t h e i r s e n s e o f w h a t r o l e s t h e c o u r s e s c o u l d a n d s h o u l d p l a y . T h e l a c k o f c o n s i s t e n t i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r o l e s a n d t h e w i d e r a n g e o f t h e i n s t r u c t o r s ' v i e w s p r e s e n t a p i c t u r e o f t h e c o u r s e a s d i s c o n n e c t e d f r o m c o n c e r n s f o r p r o g r a m c o h e r e n c e a n d a s l a c k i n g d e p a r t m e n t a l u n i f o r m i t y . T h e l a c k o f c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n 2 5 1 i n d i v i d u a l s i n d i f f e r e n t c o n t e x t s s e r v e d t o s u p p o r t t h e i n d i v i d u a l l y d e t e r m i n e d n a t u r e o f t h e c o u r s e . I m p l i c a t i o n s f o r T e a c h e r E d u c a t i o n A s a m e m b e r o f t h e c o m m u n i t y o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s , I a m b o t h d i s t r e s s e d a n d o p t i m i s t i c a b o u t t h e f u t u r e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a s a r e s u l t o f c a r r y i n g o u t t h i s s t u d y . M y d i s m a y i s n o t b a s e d o n a s p e c i f i c i n s t r u c t o r s ' p e r s p e c t i v e o r s o m e d r a m a t i c e x p o s i t i o n t h a t r e s u l t e d f r o m c o m p l e t i n g t h i s s t u d y , t h o u g h t h e d o c u m e n t i n g o f t h e p r o m i n e n c e o f t h e g o a l o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i s s i g n i f i c a n t , I b e l i e v e . O n a m o r e g e n e r a l y e t p r a c t i c a l l e v e l , I a m c o n c e r n e d a b o u t t h e d i f f e r e n t m e a n i n g s i n s t r u c t o r s h a d f o r w o r d s a n d p h r a s e s , d i f f e r e n t f r o m e a c h o t h e r a n d d i f f e r e n t f r o m t h e l a r g e r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y . F o r e x a m p l e , i n s t r u c t o r s o f t e n s p o k e o f p r o v i d i n g a n o n — t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t t h a t e n c o u r a g e s s t u d e n t l e a r n i n g . F o r s o m e , t h i s m e a n t s e t t i n g a n a f f e c t i v e l y - p l e a s a n t e n v i r o n m e n t , o n e i n w h i c h i n s t r u c t o r s a v o i d e d s t u d e n t d i s c o m f o r t t h r o u g h t h e l a c k o f e x p e c t a t i o n f o r s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n i n d i s c u s s i o n s u n l e s s s t u d e n t s f e l t s u r e t h a t t h e y w e r e c o r r e c t o r t h r o u g h t h e s e l e c t i o n o f p r o b l e m s s o t h a t s t u d e n t s w o u l d n o t b e d i s c o u r a g e d . O t h e r s s a w p r o v i d i n g a n o n - t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t a s s e t t i n g a c o g n i t i v e l y - a t t r a c t i v e e n v i r o n m e n t , o n e i n w h i c h i n s t r u c t o r s e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o t r y o u t i d e a s w i t h o u t f e a r o f q u i c k " c o r r e c t i o n " a n d b y s e l e c t i n g p r o b l e m s t h a t c h a l l e n g e d t h e b o u n d s o f s t u d e n t s ' k n o w l e d g e i n o r d e r t o s u p p o r t s t u d e n t i n v e n t i o n a n d s e n s e o f 2 5 2 i n v e s t m e n t . 6 6 I f t h e s e i n s t r u c t o r s m e t t o t a l k a b o u t t h e t e a c h i n g o f t h e c o u r s e s a n d o n e i n s t r u c t o r s u g g e s t e d a s a s h a r e d g o a l " p r o v i d i n g a n o n - t h r e a t e n i n g e n v i r o n m e n t , " a l l w o u l d n o d t h e i r h e a d s a n d s m i l e i n a g r e e m e n t . B u t , t h e y w o u l d n e e d t o d i s c u s s i n m o r e d e t a i l w h a t t h i s m e a n t i n o r d e r t o r e v e a l u n d e r l y i n g d i f f e r e n c e s i n v i e w . M y r e s e a r c h h i g h l i g h t s t h e i m p o r t a n c e o f p u r s u i n g t h e q u e s t i o n o f w h a t w e m e a n w h e n w e d e s c r i b e a s p e c t s o f o u r t e a c h i n g a n d w h a t w e s e e a s g o a l s . S e v e r a l o t h e r i s s u e s a r e r a i s e d b y t h i s s t u d y . T h r e e i m p l i c a t i o n s t h a t s e e m p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t t o p u r s u e a r e s h a r e d h e r e : t h e n e e d f o r e l e m e n t a r y s c h o o l c o n n e c t i o n s , t h e n e e d f o r o n - g o i n g c o n v e r s a t i o n s i n s e v e r a l c o n t e x t s , a n d t h e n e e d f o r t h e c o n s i s t e n t g o a l o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w i t h c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . 0 l e m e n t a h o o l n n c i o n s I s e e a s n o t e w o r t h y t h e f a c t t h a t n o n e o f t h e i n s t r u c t o r s h a d a n y e x p e r i e n c e w i t h i n e l e m e n t a r y s c h o o l s e x c e p t a s a p a r e n t o r w i t h i n s h o r t i n s e r v i c e p r o j e c t s . N o n e o f t h e i n s t r u c t o r s h a d p u r s u e d a l o n g - t e r m c o m m i t m e n t o r h a d d e v e l o p e d r e l a t i o n s h i p s w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s i n w h i c h t h e r e w a s o n - g o i n g d i a l o g u e a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l . I w a s n o t s u r p r i s e d t h a t n o n e h a d b e e n a f u l l - t i m e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r b e c a u s e i t i s u n l i k e l y t h a t i n d i v i d u a l s w h o p u r s u e m a s t e r s 5 5 T h i s d e s c r i p t i o n f e e l s m u c h l i k e t h e w a y I t h i n k o f f e a r a s b e i n g r o o t e d i n i g n o r a n c e . W i t h k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g , w h e t h e r o f m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s o r a l t e r n a t i v e c u l t u r a l p r a c t i c e s , f e a r i s r e p l a c e d b y s e c u r i t y . 2 5 3 d e g r e e s i n m a t h e m a t i c s 6 7 w o u l d h a v e d o n e t h e i r u n d e r g r a d u a t e w o r k i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n . 6 8 B u t , I w a s s u r p r i s e d t h a t n o o n e w a s “ c o n n e c t e d " t o e l e m e n t a r y s c h o o l s a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s i n t h e f i e l d , e x c e p t a s i t w a s a p a r t o f s t u d e n t f i e l d w o r k s u p e r v i s i o n . 6 9 I a m n o w w o n d e r i n g t o w h a t e x t e n t t h i s i s t h e n o r m i n m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . W o r k i n g w i t h i n a d e p a r t m e n t o f t e a c h e r e d u c a t i o n , I s e e m a n y c o l l e a g u e s w h o a r e w o r k i n g w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s o n a n o n - g o i n g b a s i s a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n e l e m e n t a r y s c h o o l c l a s s r o o m s ( f o r m o r e a b o u t t h i s k i n d o f w o r k , s e e t h e w r i t i n g s o f M a g d a l e n e L a m p e r t a n d D e b o r a h B a l l 7 0 ) . W h a t e x p e r i e n c e s i n t h e f i e l d i n f o r m t h e p r a c t i c e o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s w h o p a r t i c i p a t e i n t h e p r e p a r a t i o n o f e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ? T h i s q u e s t i o n s e e m s i m p o r t a n t t o c o n s i d e r , a s i s t h e q u e s t i o n t h a t n a t u r a l l y f o l l o w s : W h a t d i f f e r e n c e d o e x p e r i e n c e s i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s e t t i n g s m a k e i n t h e b e l i e f s a n d a c t i o n s o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s ? 5 7 T o b e c o m e a f a c u l t y m e m b e r i n a m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t , a m a s t e r s d e g r e e i n m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y t h e m i n i m u m a c c e p t a b l e c r e d e n t i a l . 6 3 I d o n o t m e a n t o s u g g e s t t h a t a n u n d e r g r a d u a t e d e g r e e i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n i s i n h e r e n t l y p o o r p r e p a r a t i o n f o r a m a s t e r s d e g r e e i n m a t h e m a t i c s , o n l y t h a t i t i s u n l i k e l y t h a t t h e r e a r e m a n y i n d i v i d u a l s w h o a r e i n t e r e s t e d i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n w h o w o u l d f o c u s g r a d u a t e w o r k o n m a t h e m a t i c s s e p a r a t e f r o m e d u c a t i o n . 6 9 O n e i n s t r u c t o r d i d , h o w e v e r , s e r v e o n a l o c a l s c h o o l b o a r d . 7 0 D r s . L a m p e r t a n d B a l l d o n o t , h o w e v e r , t e a c h m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s . C u r r e n t l y , i n s t r u c t o r s i n d e p a r t m e n t s o f t e a c h e r e d u c a t i o n r a r e l y a r e r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g c o n t e n t c o u r s e s i n e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s . T h e r e i s s o m e i n d i c a t i o n t h a t d e p a r t m e n t s a r e b e g i n n i n g t o w o r k t o g e t h e r o n s t a f f i n g t h i s t y p e o f c o u r s e . 2 5 4 A t t h e v e r y l e a s t , r e l a t i o n s h i p s i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l e n v i r o n m e n t i n f o r m m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s a s t o t h e c u r r i c u l a t h a t a r e i n p l a c e a n d a c t i v e l y u s e d i n c l a s s r o o m s . F e w o f t h e i n s t r u c t o r s i n t e r v i e w e d i n d i c a t e d a n y q u e s t i o n t h a t t h e c o n t e n t o f t h e s y l l a b u s m i g h t b e d e f i c i e n t o r m i s g u i d e d a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c u r r i c u l u m . T h e f a c t t h a t c o n t e n t w a s i n t h e u n i v e r s i t y - l e v e l t e x t b o o k a p p e a r e d t o b e t h e b a s i s f o r t h e i r c o n f i d e n c e i n t h e s y l l a b u s . - i n o n v e r a i o n i n M a n n s T h e e n v i r o n m e n t o f m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s h a s n o t t r a d i t i o n a l l y b e e n s u p p o r t i v e o f i n t e r - i n s t r u c t o r c o m m u n i c a t i o n a b o u t t h e t e a c h i n g o f c o u r s e s . T h e M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n C o m m i t t e e m e e t i n g s a t b o t h s c h o o l s w e r e s i g n i f i c a n t i n t h a t t h e y o c c u r r e d a t a l l . H o w e v e r , t h e c o n v e r s a t i o n s i n t h e m e e t i n g s a n d m a n y o f t h e o t h e r c o n v e r s a t i o n s i n s t r u c t o r s d e s c r i b e d w e r e o f t e n i n s t r u m e n t a l 7 1 i n n a t u r e . I n s t r u c t o r s d i s c u s s e d i d e a s f o r a c t i v i t i e s , p r o b l e m s , a n d a s s i g n m e n t s . T h e y w e r e n o t o f t e n a t t h e i n - d e p t h , r e l a t i o n a l l e v e l : “ H o w i s t h i s a l l g o i n g t o f i t t o g e t h e r ? " o r , " H o w i s o u r p i e c e g o i n g t o a d d s o m e t h i n g t o t h e t o t a l t e a c h e r 7 1 M y u s e o f " i n s t r u m e n t a l ” h e r e e x t e n d s S k e m p ' s ( 1 9 8 7 ) u s e o f t h e w o r d s i n s t r u m e n t a l a n d r e l a t i o n a l . I n s t r u m e n t a l i m p l i e s t h e ' w h a t " a n d r e l a t i o n a l i m p l i e s “ w h a t a n d w h y . “ I n s t r u m e n t a l c o n v e r s a t i o n s a r o u n d t h e c o u r s e s w o u l d i n v o l v e e x c h a n g i n g i d e a s f o r a c t i v i t i e s o r d e s c r i b i n g w h a t w e n t o n i n c l a s s . R e l a t i o n a l c o n v e r s a t i o n s w o u l d g o b e y o n d t h e e x c h a n g e o f t h e a c t i v i t y t o i n c l u d e d i s c u s s i o n o f w h y t h e a c t i v i t y m i g h t b e v a l u a b l e t o d o o r w h a t i s s u e s m i g h t b e r a i s e d f o r s t u d e n t s , a n d g o b e y o n d d e s c r i p t i o n o f w h a t w e n t o n i n c l a s s t o a s h a r i n g o f i d e a s a b o u t w h a t s t u d e n t s ' r e s p o n s e s a n d a c t i o n s w e r e i n d i c a t i n g a n d h o w t h e l e s s o n m i g h t b e r e v i s e d t o o f f e r g r e a t e r o p p o r t u n i t i e s f o r l e a r n i n g . 2 5 5 p r e p a r a t i o n p r o g r a m ? " A d d i t i o n a l l y , t h e r e w a s n o d e p a r t m e n t a l e n c o u r a g e m e n t ( e . g . , r e l e a s e t i m e ) f o r i n s t r u c t o r s t o s p e n d t i m e a n d e n e r g y w i t h c o l l e a g u e s f r o m o t h e r d e p a r t m e n t s o r w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a n d s t u d e n t s . A s a t e a c h e r e d u c a t o r w h o f o c u s e s a t t e n t i o n o n t h e m a t h e m a t i c s p o r t i o n o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ' p r e p a r a t i o n , t h i s r a i s e s a n o t h e r q u e s t i o n : H o w c a n c o n v e r s a t i o n s i n v o l v i n g p r o g r a m d e s i g n e r s a n d i n s t r u c t o r s i n t h e s a m e a n d d i f f e r e n t d e p a r t m e n t s b e e n c o u r a g e d a n d s u p p o r t e d a s a m e a n s t o i n f o r m e a c h o t h e r o f c o n c e r n s , g o a l s , a n d d i l e m m a s ? T h i s k i n d o f c o l l a b o r a t i o n w i l l n o t b e e a s y : " I t i s o n e t h i n g t o a s k i n d i v i d u a l s w h a t r o l e t h e y t h i n k a c o u r s e p l a y s . I t i s a n o t h e r t h i n g t o t a k e t h e n o t i o n s e r i o u s l y e n o u g h s o t h a t w e t a l k t o c o l l e a g u e s w h o l i v e i n a u n i v e r s i t y , w h i c h h a s a s i t s n o r m a c a d e m i c f r e e d o m , a b o u t t h e f a c t t h a t t h e y a r e t e a c h i n g a s e r v i c e c o u r s e , s e r v i n g a p r o g r a m " ( 8 . F e i m a n - N e m s e r , p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , J u n e 1 4 , 1 9 9 4 ) . I n s t r u c t o r s m u s t c o m e t o s e e m o r e c l e a r l y t h a t w h a t t h e y a r e d o i n g i s n o t j u s t s e r v i n g t h e n e e d s o f s t u d e n t s , b u t a l s o p r o v i d e s a p a r t i c u l a r s e r v i c e f o r a c u r r i c u l a r p r o g r a m . T h e r e i s n o r o o m f o r a n i s o l a t i o n i s t a t t i t u d e : “ I ' m g o i n g t o p u t m y b l i n d e r s o n a n d d o w i t h t h i s c o u r s e w h a t I w a n t t o d o w i t h t h i s c o u r s e . " I n o r d e r t o c l a r i f y w h a t r o l e s e a c h c o u r s e i n a p r o g r a m s h o u l d f o c u s o n , t h e r e n e e d s t o b e i n t e r a c t i o n a m o n g a l l p a r t i e s a n d m u t u a l r e s p e c t a n d c o n t r i b u t i o n o f i d e a s . T h e f i n d i n g s o f t h i s s t u d y c o u l d s e r v e a s t h e c a t a l y s t f o r c o n v e r s a t i o n s w i t h i n m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s a n d a m o n g m a n y d e p a r t m e n t s . W e m u s t f i n d w a y s t o t a l k a b o u t s e r v i c e c o u r s e s w i t h i n t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s t h a t h e l p d e f i n e t h e r o l e s m o r e c l e a r l y . 2 5 6 T h e d i f f e r e n t w a y s o f u s i n g v o c a b u l a r y t h a t a r e a p a r t o f d i s c r e p a n c i e s i n i n t e r p r e t a t i o n b e t w e e n m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s u n d e r l i n e t h e d i f f i c u l t y t h a t a c c o m p a n i e s s e r i o u s d i a l o g u e . B y r e c o g n i z i n g u p - f r o n t t h a t l a n g u a g e m u s t b e d e v e l o p e d a n d u s e d i n s i m i l a r w a y s i n o r d e r t o c o m m u n i c a t e i d e a s , m e m b e r s o f d i f f e r i n g e d u c a t i o n a l c o m m u n i t i e s c a n c o m e t o g e t h e r t o w o r k a s a l a r g e r c o m m u n i t y t o d e v e l o p t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s t h a t a r e a c t i v e l y s e r v e d b y t h e s e r v i c e c o u r s e s i n o t h e r d e p a r t m e n t s . N r h a l o f o n e t u a l n d e r s t a n d i n I f t h e p r i m a r y g o a l f o r m a t h e m a t i c s l e a r n i n g i n t h e s e c o u r s e s d o e s n o t c h a n g e f r o m p r o c e d u r a l t o c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , t h e i m p l i c a t i o n f o r s t u d e n t s ( a n d t h e i r f u t u r e p u p i l s ) i s t h a t p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s w i l l c o n t i n u e t o b e t h e i r p r i m a r y t o o l f o r u s e u n l e s s t h e y i n d e p e n d e n t l y d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . I d o n o t b e l i e v e t h a t t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g i s w r o n g - h e a d e d . T h e r e a r e t i m e s w h e n t h i s i s a v a l i d a n d r e a s o n a b l e g o a l . B u t , i t i s n o t a n a p p r o p r i a t e p r i m a r y g o a l i n t h e s e m a t h e m a t i c s c o u r s e s . T h e e x p e c t a t i o n o r g o a l o f p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s f o r t h e s e c o u r s e s r e p r e s e n t s a g l a s s c e i l i n g . W h i l e s t u d e n t s m a y s e n s e t h a t t h e r e i s m o r e t o u n d e r s t a n d , t h e y m a y n o t h a v e t h e t o o l s a v a i l a b l e t o d o s o . I f o t h e r s b e l i e v e a s I d o t h a t t h e g o a l m u s t c h a n g e s o t h a t p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s g a i n c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , t h e i m p l i c a t i o n f o r m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n i s t h a t t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s m u s t f o c u s o n s u p p o r t i n g t h e g o a l o f d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . S u p p o r t i n g t h i s 2 5 7 g o a l i n v o l v e s a s i g n i f i c a n t r e o r i e n t a t i o n o f b e l i e f s a n d a c t i o n s . I f w e t a k e t h e i n s t r u c t o r s ' r e s p o n s e s a s e v i d e n c e o f b e l i e f s , t h e r e i s g o o d r e a s o n t o b e l i e v e t h a t t h e r e o r i e n t a t i o n o f b e l i e f s i s u n d e r w a y . B u t , b e l i e f s d o n o t q u i c k l y o r e a s i l y t u r n i n t o a c t i o n s w h e n o p p o s i n g i n f l u e n c e s a n d c o n s t r a i n t s a r e s e e n a s d i f f i c u l t o r i m p o s s i b l e t o o v e r c o m e . I n t h e i r r e s e a r c h , B o r k o e t a l ( 1 9 9 2 ) s u g g e s t e d t h a t : " F o r p r o s p e c t i v e t e a c h e r s t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e O p p o r t u n i t i e s w e [ m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s ] p r o v i d e , w e m u s t f i n d w a y s t o c h a l l e n g e f u n d a m e n t a l b e l i e f s a b o u t l e a r n i n g , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g t o t e a c h “ ( p . 2 2 0 ) . M y r e s e a r c h s u g g e s t s t h a t o u r o w n b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s , a s m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s , n e e d t o b e e x a m i n e d . W e m u s t a s k w h a t " o p p o r t u n i t i e s w e p r o v i d e " s t u d e n t s a n d d e t e r m i n e h o w b e s t t o p r o c e e d i n o r d e r t o o f f e r t h e g r e a t e s t o p p o r t u n i t y t o l e a r n t h e c o n t e n t o f t h e s e c o u r s e s . A s S i m o n ( i n p r e s s ) s u g g e s t e d : M a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s s e e m t o o p e r a t e i n a s i m i l a r [ t o c l a s s r o o m t e a c h e r s ] v a c u u m , d e v o i d o f e x p l i c i t t h e o r y w i t h r e s p e c t t o h o w t e a c h e r s l e a r n t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I t i s n o t e n o u g h t o s p e c i f y n e c e s s a r y c o u r s e s ( i . e . , m e t h o d s , c o n t e n t , p r a c t i c u m ) n o r c o n t e n t o r c o m p e t e n c i e s f o r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s . W e m u s t b e g u i d e d b y t h e o r i e s a s t o h o w m a t h e m a t i c s t e a c h e r s l e a r n a n d h o w t e a c h e r e d u c a t i o n c a n e f f e c t i v e l y s u p p o r t t h e s e l e a r n i n g p r o c e s s e s . . . . K e y c o n c e p t s i n m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n m u s t b e i d e n t i f i e d , u n p a c k e d i n t e r m s o f t h e i r c o m p o n e n t u n d e r s t a n d i n g s , a n d u s e d t o g e n e r a t e a p p r o p r i a t e e x p l o r a t i o n , c o n c e p t i d e n t i f i c a t i o n , a n d a p p l i c a t i o n a c t i v i t i e s . . . . J u s t a s o u r g o a l i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s t h o r o u g h a n d w e l l - c o n n e c t e d u n d e r s t a n d i n g s , a p a r a l l e l g o a l m u s t b e p u r s u e d i n m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n i f m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a r e g o i n g t o a p p l y a n d e x t e n d t h e s e l e a r n i n g s i n t h e i r c l a s s r o o m s . ( p p . 1 9 - 2 0 ) 2 5 8 W i t h t h o u g h t f u l c o n s i d e r a t i o n o f w h a t p r o s p e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s n e e d t o k n o w a n d h o w t h i s c o u l d b e a c c o m p l i s h e d w i t h i n t h e t o t a l t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m , m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n c a n i m p r o v e . M a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t i n s t r u c t o r s m u s t b e m a j o r p l a y e r s i n a n y r e d e s i g n . A s I n o t e d i n t h e L i t e r a t u r e R e v i e w , t h e r e c o n t i n u e s t o b e a c a l l f r o m s o m e c o r n e r s f o r m o r e c o u r s e r e q u i r e m e n t s i n m a t h e m a t i c s f o r e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n ( a l t h o u g h n o n e o f t h e i n s t r u c t o r s i n t h i s s t u d y s u g g e s t e d t h i s a s a n o p t i o n ) . M y e a r l i e r q u e s t i o n o f " m o r e o f w h a t " s t a n d s a s c r i t i c a l f o r c o n s i d e r a t i o n . M y s t u d y i n d i c a t e s t h a t t h e " y e s " t o m o r e c o n t e n t c o u r s e s m u s t i n c l u d e a n e x a m i n a t i o n o f t h e c u r r e n t i m b a l a n c e i n e m p h a s i s o n p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . W e m u s t a d d r e s s t h i s i m b a l a n c e i n o r d e r t o m o r e f u l l y p r e p a r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s . I n a d d i t i o n , w e n e e d t o a s k o u r s e l v e s w h a t t h e i m p l i c a t i o n s o f c h a n g i n g o u r g o a l f r o m t e a c h i n g f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g t o t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a r e f o r o u r o w n p r a c t i c e . T h e r e i s a b e l i e f w i t h i n t h e r a n k s o f t e a c h e r e d u c a t o r s t h a t i f w e e x p l a i n c o n t e n t t o s t u d e n t s i n e n o u g h d i f f e r e n t w a y s a n d i f w e e x p l a i n e n o u g h d i f f e r e n t c o n c e p t s i n e n o u g h d i f f e r e n t w a y s , s t u d e n t s w i l l b e p r e p a r e d t o t e a c h . T h i s a s s u m p t i o n i s o n e w e m u s t e x a m i n e t h o r o u g h l y i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a s t e a c h e r e d u c a t o r s b e f o r e a d d i n g c o u r s e r e q u i r e m e n t s . W h a t c o u n t s a s " p r e p a r a t i o n “ t o t e a c h ? B e f o r e w e c a n s a y t h a t w e e x p e c t o u r e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n c r e a t i v e w a y s a n d t o s h a r e a d i s c i p l i n e t h a t i s d y n a m i c , i n t e r e s t i n g , a n d w o r t h s t u d y i n g , s t u d e n t s n e e d t o e x p e r i e n c e t h e d i s c i p l i n e i n t h i s w a y i n a l l c o u r s e s i n t h e i r t e a c h e r 2 5 9 e d u c a t i o n p r o g r a m . 7 2 W h a t d o e s t h i s m e a n f o r f a c u l t y i n m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t s a n d i n o t h e r d e p a r t m e n t s ? C o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n i s b e i n g g i v e n K - 1 2 m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , a n d r e c o m m e n d a t i o n s f o r i m p r o v e m e n t o f K - 1 2 m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a r e v i s i b l e a t n a t i o n a l , s t a t e , a n d l o c a l l e v e l s . A t t h e s a m e t i m e , p r o f e s s i o n a l o r g a n i z a t i o n s h a v e m a d e r e c o m m e n d a t i o n s a b o u t p r e s e r v i c e e l e m e n t a r y t e a c h e r p r e p a r a t i o n i n m a t h e m a t i c s . B u t , m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s , t h e c r a f t e r s o f m a n y o f t h e r e c o m m e n d a t i o n s f o r i m p r o v i n g K - 1 2 a n d p r e s e r v i c e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , m u s t a l s o t o t a k e a l o n g , h a r d l o o k a t o u r o w n p r a c t i c e . I d o n o t b e l i e v e t h a t t h e k i n d s o f c h a n g e s r e c o m m e n d e d f o r e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i n t h e N C T M m m ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) p r o p o s e d f o r t h e i m p r o v e m e n t o f c b i l g r e n ' e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , a s I s e e t h e m , w i l l o c c u r w i t h o u t s e r i o u s e x a m i n a t i o n , r e - e v a l u a t i o n , a n d r e o r i e n t a t i o n o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n . I t i s i n c o n c e i v a b l e t h a t c h i l d r e n w i l l d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g i n a n e n v i r o n m e n t i n w h i c h t e a c h e r s a r e p r e p a r e d t o t e a c h a n d e x p e c t p u p i l s t o d e v e l o p p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g . I t i s u n c l e a r i n w h a t o r d e r t h i n g s w i l l h a p p e n f o r i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s , w h e t h e r t h e b e l i e f i n t h e p r i m a c y o f d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g w i l l p r e c e d e c h a n g e s i n p r a c t i c e o r 7 2 E x p e r i e n c i n g t h e d i s c i p l i n e a s d y n a m i c i n t h e i r t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m i s a m i n i m u m . S u r e l y , w e w o u l d p r e f e r t h a t t h e i r e x p e r i e n c e p r i o r t o t h e i r p r o f e s s i o n a l c o u r s e s e q u e n c e i n m a t h e m a t i c s w o u l d p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o e x p e r i e n c e m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a s a n i n t e r e s t i n g a n d e x c i t i n g e n d e a v o r , a s w e l l . 2 6 0 w h e t h e r c h a n g e s i n p r a c t i c e t h a t r e s u l t i n g r e a t e r s t u d e n t l e a r n i n g w i l l c o n v i n c e t h e i n s t r u c t o r o f t h e v a l u e o f f o c u s i n g t h e i r t e a c h i n g o n t h e d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . B o t h c a n a n d d o h a p p e n . B u t , w h a t c a n b e d o n e t o s u p p o r t t h e r e o r i e n t a t i o n , w h a t e v e r w a y i t h a p p e n s f o r i n s t r u c t o r s ? I s e e t h i s q u e s t i o n a s o f u t m o s t i m p o r t a n c e t o a d d r e s s i f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n a n d , a s a n o u t g r o w t h , e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i s t o i m p r o v e . F u t u r e R e s e a r c h D i r e c t i o n s M a n y i s s u e s c o u l d b e i l l u m i n a t e d b y f u r t h e r s t u d y o f t h e d a t a a n a l y z e d h e r e . I a p p r o a c h e d t h e d a t a w i t h a p a r t i c u l a r c o n c e r n a n d n a r r o w e d m y f o c u s t o c l o s e e x a m i n a t i o n o f t h e r o l e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e r e a r e s e v e r a l o t h e r s i g n i f i c a n t i s s u e s t o s t u d y . I s e e t h e t w o c h a r a c t e r i z a t i o n s o f t e a c h i n g a n d m a t h e m a t i c s s k e t c h e d i n t h e S u m m a r y o f t h e A n a l y s i s a s w o r t h y o f c o n s i d e r a b l y m o r e t h o u g h t , a n d I l o o k f o r w a r d t o s p e n d i n g t i m e w o r k i n g t h r o u g h n u m e r o u s q u e s t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e c h a r a c t e r i z a t i o n s . I a l s o w a n t t o e x a m i n e i n m o r e d e t a i l t h e w a y s i n s t r u c t o r s s t r u c t u r e d o p p o r t u n i t i e s t o d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g , l o o k i n g i n p a r t i c u l a r a t h o w i n s t r u c t o r s s a w c o m m u n i c a t i o n a n d t h e u s e o f s m a l l g r o u p s a n d m a n i p u l a t i v e s a s i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s f o r d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g . I f i n d e x p a n d i n g m y c o n c e r n t o i n c l u d e s t u d e n t s ' b e l i e f s a n d d i s p o s i t i o n s a t t r a c t i v e . T h a t i s , I w o n d e r w h a t s t u d e n t s t h i n k t h e y a r e t o l e a r n i n t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s a n d w h a t t h e y t h i n k t h e y n e e d t o k n o w i n o r d e r t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l . E a c h o f t h e s e e x t e n s i o n s o f t h i s s t u d y c o u l d c o n t r i b u t e t o t h e c o n v e r s a t i o n s i n i t i a t e d a r o u n d t h i s s t u d y . 2 6 1 T h e r e w e r e m a n y i n f l u e n c e s a n d c o n s t r a i n t s c i t e d a n d / o r n o t e d a s a f f e c t i n g t h e c h o i c e s t h a t i n s t r u c t o r s m a d e i n t e r m s o f t h e r o l e s t h a t t h e c o u r s e s w e r e t o p l a y . T h e i n f l u e n c e s t h a t s e e m t o h o l d t h e m o s t p r o m i s e f o r s u p p o r t i n g i n s t r u c t o r s i n r e a s s e s s i n g t h e i r g o a l s a n d m o v i n g t o w a r d t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a r e i m p o r t a n t t o d e t e r m i n e . W h a t a r e t h e i n f l u e n c e s a n d c o n s t r a i n t s o n t h e b e l i e f s a n d a c t i o n s o f i n s t r u c t o r s i n t e r m s o f t e a c h i n g w i t h t h e g o a l o f d e v e l o p i n g c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ? W h a t m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l p r e p a r a t i o n d o i n s t r u c t o r s n e e d ; w h a t p h y s i c a l a n d m a t e r i a l n e e d s m u s t b e m e t ; h o w c a n a m o v e t o v a l u i n g a n d a c t i n g o n t h a t v a l u e o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g b e s u p p o r t e d a n d m o d e l e d ; w h y w o u l d a n i n s t r u c t o r w h o i s s a t i s f i e d , e v e n e n c o u r a g e d , t o t e a c h f o r p r o c e d u r a l u n d e r s t a n d i n g r e d e f i n e h i s o r h e r g o a l ? T h e q u e s t i o n s a r e n o t e a s y , 7 3 b u t w e m u s t w o r k t o w a r d t e a c h e r e m p o w e r m e n t . 7 4 A n a d d i t i o n a l d i r e c t i o n m y r e s e a r c h c o u l d t a k e m o v e s b e y o n d t h e i m m e d i a t e c o n c e r n s o f t h e c o u r s e s ' p a r t i c i p a n t s t o e x p a n d t h e c i r c l e o f i n f o r m a n t s t o o t h e r i n s t r u c t o r s i n m a t h e m a t i c s 7 3 M u c h l i k e d i f f i c u l t b u t i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c s p r o b l e m s , q u e s t i o n s o f i m p o r t a n c e a r e c o m p l e x . A n d , a s a t t e m p t i n g t o s o l v e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s i s a s m u c h o r m o r e i m p o r t a n t t h a n s o l v i n g t h e m , a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n s i s n o t t h e p o i n t . I t i s i n t h e s t r u g g l e t o m a k e s e n s e a n d d e t e r m i n e r e a s o n a b l e c o u r s e s o f a c t i o n t h a t p r o g r e s s a n d g r o w t h o c c u r . 7 4 P a r a l l e l i n g t h e c a l l f o r s t u d e n t e m p o w e r m e n t i n d o i n g m a t h e m a t i c s , I s u g g e s t a c a l l f o r t h e e m p o w e r m e n t o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s . L i k e s o m e s t u d e n t s o f m a t h e m a t i c s , s o m e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s m a y n o t w a n t t o b e e m p o w e r e d . T h e r e i s a l a c k o f a w a r e n e s s t h a t a p r o b l e m e x i s t s . T h e r e i s a h e s i t a n c e t o c h a l l e n g e t h e f a m i l i a r . E m p o w e r m e n t c a l l s f o r d i f f e r e n t e x p e c t a t i o n s a s t o w h a t i t m e a n s t o d o t h e a c t i v i t y - - t h e t e a c h e r ' s r o l e i s a l t e r e d s i g n i f i c a n t l y . T h i s i s r i s k y b u s i n e s s w i t h p a y - o f f s o r l o s s e s t h a t a r e i n c a l c u l a b l e o n t h e f r o n t - e n d . 2 6 2 d e p a r t m e n t s ( n o t r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s ) , i n s t r u c t o r s i n t e a c h e r e d u c a t i o n d e p a r t m e n t s , i n s t r u c t o r s o f c o n t e n t - s p e c i f i c r e q u i r e d c o u r s e s i n o t h e r d e p a r t m e n t s , a n d e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s a n d a d m i n i s t r a t o r s . B e c a u s e t h e f i n d i n g s o f t h i s s t u d y i n d i c a t e a s i t u a t i o n o f i n s t r u c t o r i s o l a t i o n e x i s t i n g , f u r t h e r s t u d y i n c l u d i n g o t h e r s ' p o i n t s o f v i e w c o u l d s e r v e t o l a y t h e g r o u n d w o r k f o r t h e k i n d s o f c o n v e r s a t i o n s t h a t a r e c u r r e n t l y m i s s i n g f r o m t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . S u m m a r y I n t h i s s t u d y , I d e s c r i b e d t h e r o l e s a s e t o f m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t i n s t r u c t o r s s e e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s p l a y i n g i n t h e i r s t u d e n t s ' t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . I w o n d e r e d i f i n s t r u c t o r s w e r e a w a r e o f , i n f o r m e d b y , a n d s u p p o r t i v e o f t h e p a r t i c u l a r p r o g r a m t h a t h a d b e e n d e v e l o p e d a t t h e i r o w n i n s t i t u t i o n . B y e x a m i n i n g t h i s s i t u a t i o n , o n e t h a t i s f a r l e s s d i s t a n c e d f r o m i n s t r u c t o r s t h a n t h e r e f o r m i n i t i a t i v e s , I h o p e d t o c o n s i d e r w h a t s i t u a t i o n p r e c e d e d a t t e m p t s a t r e f o r m . W h a t I h a v e d e s c r i b e d h e r e c o u l d i n f o r m f u r t h e r s t e p s t o w a r d a c h i e v i n g t h e k i n d o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s t h a t m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t o r s h a v e c a l l e d f o r i n r e f o r m d o c u m e n t s . A s I r e t u r n t o t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s , I a m b o t h e x c i t e d a n d n e r v o u s a b o u t t e a c h i n g t h e s e c o u r s e s . F o r t h e p a s t f i v e y e a r s , I h a v e b e e n s t u d y i n g t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , i n g e n e r a l , a n d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , i n p a r t i c u l a r , l a r g e l y s e p a r a t e f r o m p e r s o n a l t e a c h i n g r e s p o n s i b i l i t i e s . I t i s d i f f i c u l t t o i m a g i n e h o w m y 2 6 3 p r a c t i c e w i l l h a v e c h a n g e d , b u t t h e o n e c e r t a i n t y i s t h a t i t w i l l c o n t i n u e t o c h a n g e . L i s t e n i n g t o t h i s s e t o f i n s t r u c t o r s t a l k a b o u t t h e i r q u e s t i o n s , d e c i s i o n s , a n d s t r u g g l e s h a s o n l y s e r v e d t o c o n v i n c e m e t h a t I m u s t k e e p m y m i n d o p e n a n d r e c e p t i v e w h i l e e x a m i n i n g i d e a s a n d i s s u e s w i t h c o l l e a g u e s , c o l l e a g u e s m u c h l i k e t h e s e i n s t r u c t o r s , w h o s e e t h e i r t a s k a s c o m p l e x , i m p o r t a n t , a n d r e w a r d i n g . I m u s t a l s o a v o i d t r e a t i n g m y r e s p o n s i b i l i t i e s a s c o n f i n e d t o t h e t e a c h i n g o f a p a r t i c u l a r c o u r s e i n a p a r t i c u l a r d e p a r t m e n t . l s o l a t i o n i s m k e e p s u s f r o m c o n t r i b u t i n g t o t h e b i g g e r p i c t u r e . I m u s t a c k n o w l e d g e t h e v a l u e o f m a k i n g c o n t r i b u t i o n s b e y o n d m y i n d i v i d u a l c l a s s r o o m . I a m c h a l l e n g e d t o r e v i s i t m y o w n t e a c h i n g o f t h e s e t y p e s o f c o u r s e s a n d c o n s i d e r h o w t h i s s t u d y h a s a f f e c t e d m y o w n t h i n k i n g a b o u t w h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n i n m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s t h a t a r e a p a r t o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m s . I w a s s t r u c k b y t h e f a c t t h a t t h e i n s t r u c t o r s a t N U h a d a d e p a r t m e n t a l s y l l a b u s t h a t w a s m u c h m o r e e l a b o r a t e a n d p e d a g o g i c a l l y o r i e n t e d t h a n a n y I h a d s e e n . Y e t , f o r t h e m o s t p a r t , i n s t r u c t o r s u s e d o n l y t h e i n f o r m a t i o n a s t o w h a t s e c t i o n s o f t h e b o o k w e r e t o b e c o v e r e d a s t h e i r g u i d e f o r d e s i g n i n g t h e c o u r s e s . S y l l a b u s s u g g e s t i o n s f o r j o u r n a l u s a g e a n d a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t s a r e d i f f i c u l t t o r e s p o n d t o i f y o u d o n o t h a v e a s e n s e o f p u r p o s e o r v i s i o n o f w h a t y o u a r e s e e k i n g . F o r e x a m p l e , i n o r d e r t o u s e a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t s , y o u n e e d t o k n o w w h a t r e p r e s e n t s a n a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t . M a n y o f t h e i n s t r u c t o r s w e r e n o t s u r e w h a t t h e p h r a s e “ a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t “ i m p l i e d . I a m c h a l l e n g e d t o e n h a n c e m y o w n a n d o t h e r s u n d e r s t a n d i n g a n d u s e o f t h e s e p e d a g o g i c a l s u g g e s t i o n s . 2 6 4 I c o m e a w a y f r o m t h i s s t u d y w i t h a v i v i d p i c t u r e o f t h e w a y t h i n g s a r e . W h a t I d e s c r i b e d c a n h e l p f r a m e a n d i n f o r m p r o d u c t i v e c o n v e r s a t i o n s t o l a y o u t m o r e c o n c r e t e l y a n d v i v i d l y s o m e o f t h e c h o i c e s , t e n s i o n s , a n d d i l e m m a s i n v o l v e d i n d e s i g n i n g t h e s e c o u r s e s . T h i s p i c t u r e c a n h e l p i n s t r u c t o r s f e e l l e s s i s o l a t e d b e c a u s e t h e y w i l l r e c o g n i z e t h a t p r o b l e m s t h e y e x p e r i e n c e a r e s h a r e d . D i s c o m f o r t a n d t h i n k i n g a b o u t c h a n g e w e r e a p a r t o f t h e i n t e r v i e w i n g p r o c e s s f o r t h e i n s t r u c t o r s . T h e y f o u n d t h e i n t e r v i e w i n g c h a l l e n g i n g . T h e y c a m e f a c e - t o - f a c e w i t h t h e m s e l v e s , t h e i r b e l i e f s a n d a c t i o n s . W h e n t h e i r b e l i e f s a n d a c t i o n s d i d n o t m e s h , e v e n i f t h e i n s t r u c t o r s d i d n o t s e e a n e a s y s o l u t i o n t o t h e t e n s i o n s , t h e y b e c a m e a w a r e t h a t t h e y w e r e m a k i n g c h o i c e s t h a t t h e y w a n t e d t o r e t h i n k . F a c i n g t h e s e i s s u e s n e e d s t o b e a p a r t o f m y p r a c t i c e a n d t h a t o f m y c o l l e a g u e s . I a m o p t i m i s t i c a b o u t t h e f u t u r e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a s a r e s u l t o f m y w o r k i n t h i s s t u d y . T h e w o r d " g u a r d e d l y " s h o u l d r i g h t f u l l y p r e c e d e o p t i m i s t i c ; t h a t i s , I a m g u a r d e d l y o p t i m i s t i c a b o u t t h e f u t u r e o f e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n . T h e i n s t r u c t o r s i n m y s t u d y w e r e w i l l i n g t o b e a s k e d a n d t o a s k t h e m s e l v e s d i f f i c u l t q u e s t i o n s . T h e y w e r e w i l l i n g a n d a n x i o u s t o b e a p a r t o f a s t u d y t h a t t h e y s a w a s h o l d i n g p r o m i s e f o r c o n t r i b u t i n g t o c o n v e r s a t i o n s a r o u n d e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r p r e p a r a t i o n . T h i s w i l l i n g n e s s t o e x p l o r e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s f o r t h e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r p r o v i d e s i n s p i r a t i o n f o r f u r t h e r s t u d y a n d h o p e f o r t h e i m p r o v e m e n t o f p r e s e r v i c e m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . A p p e n d i x A S y l l a b i f o r M a t h e m a t i c s f o r t h e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r C o u r s e s a t N o r m a l U n i v e r s i t y Q e g r e e T i t l e : l g e t r u e t o r : f f i ' W : i r e : 2 6 5 D e p a r t m e n t a l S y l l a b u s M a t h 1 1 5 1 9 9 3 M a h e m i s f o r l m n T e a c h e r : A C e n t e m p o r a r y A g g r o a e h . 2 n d e d i t i o n b y G . M u s s e r a n d W . B u r g e r C e g r e e D e e c r i p t i o n : T h e f i r s t o f a t w o c o u r s e s e q u e n c e w h i c h P r i ' e : e x a m i n e s t o p i c s f r o m t h e e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m f r o m a n a d v a n c e d s t a n d p o i n t . T o p i c s i n c l u d e p r o b l e m s o l v i n g , n u m b e r s y s t e m s t h r o u g h t h e r e a l n u m b e r s , n u m b e r t h e o r y , a l g e b r a i c c o n c e p t s i n c l u d i n g f u n c t i o n s , a p p l i c a t i o n s a n d m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g . T h e e m p h a s i s i s o n t e a c h i n g f o r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . R e q u i r e d o f a l l s t u d e n t s i n e a r l y e l e m e n t a r y a n d l a t e r e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m s . O p e n o n l y t o p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . 2 y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d 1 y e a r o f g e o m e t r y C o u r s e O b j e c t i v e s a r e t a k e n f r o m N C T M ' s C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s . S t u d e n t s w i l l : 1 . l e a r n t o v a l u e m a t h e m a t i c s 2 . b e c o m e c o n f i d e n t i n t h e i r o w n a b i l i t y 3 . b e c o m e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r s 4 . l e a r n t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y 5 . l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y D e t e r m i n e d b y t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s . E v a l u a t i o n s h o u l d i n c l u d e s o m e f o r m o f a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t i n c l u d i n g m o r e e m p h a s i s o n w r i t i n g a n d o p e n e n d e d q u e s t i o n s . 2 6 6 D e p a r t m e n t a l S y l l a b u s , M a t h 1 1 5 ( c o n t i n u e d ) J e u r n e l : Y o u s h o u l d u s e a s m a l l s p i r a l n o t e b o o k f o r y o u r j o u r n a l . Y o u s h o u l d w r i t e a j o u r n a l e n t r y f o r e a c h c l a s s p e r i o d . D a t e e a c h e n t r y . Y o u r j o u r n a l e n t r y s h o u l d i n c l u d e a s u m m a r y o f w h a t y o u l e a r n e d i n c l a s s . B e s u r e t o i n c l u d e a n y q u e s t i o n s t h a t a r i s e i n y o u r m i n d . U s e y o u r j o u r n a l a s a v e h i c l e f o r r e c o r d i n g h o w y o u r b e l i e f s a n d a t t i t u d e s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t y o u r s e l f e v o l v e t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r . W h a t f o l l o w s i s a n o u t l i n e o f t h e m a t e r i a l t o b e c o v e r e d : D a y s A l l o t t e d 5 d a y s 3 d a y s 2 d a y s 3 d a y s 6 d a y s 4 d a y s 5 d a y s 3 d a y s 2 d a y s C h a p t e r T o p i c s C h a p t e r l p r o b l e m s o l v i n g C h a p t e r 2 s e t s , V e n n d i a g r a m s , C a r t e s i a n p r o d u c t , a p p l i e d p r o b l e m s , f u n c t i o n s o m i t 2 . 2 C h a p t e r 3 p r o p e r t i e s o f n u m b e r s y s t e m s o m i t d e f i n i t i o n s o f w h o l e n u m b e r o p e r a t i o n s , t h i n k i n g s t r a t e g i e s f o r l e a r n i n g t h e b a s i c f a c t s , o r d e r i n g w h o l e n u m b e r s , e x p o n e n t s C h a p t e r 4 e s t i m a t i o n o m i t 4 . 2 a n d 4 . 3 C h a p t e r 5 n u m b e r t h e o r y C h a p t e r 6 f r a c t i o n c o n c e p t s , e s t i m a t i o n w i t h f r a c t i o n s C h a p t e r 7 d e c i m a l s , r a t i o , p e r c e n t s C h a p t e r 8 i n t e g e r s C h a p t e r 9 r e a l n u m b e r s , i n t r o d u c t i o n t o a l g e b r a o m i t 9 . 1 Q e e r e e T i t l e : I n r o r : C i t i e s : f f ' H o r : B e c a m e : 2 6 7 D e p a r t m e n t a l S y l l a b u s M a t h 1 1 6 1 9 9 3 M a t h e m a t i c s f o r E l e m e n t a r y T e a c h e r s : A C o n t e m g o r a m A p p r o a c h . 2 n d e d i t i o n b y G . M u s s e r a n d W . B u r g e r W : T h e s e c o n d o f a t w o c o u r s e s e q u e n c e w h i c h r i i s : e x a m i n e s t o p i c s f r o m t h e e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m f r o m a n a d v a n c e d s t a n d p o i n t . T o p i c s i n c l u d e e l e m e n t a r y p r o b a b i l i t y i n c l u d i n g b o t h e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l , e l e m e n t a r y s t a t i s t i c s i n c l u d i n g e x p l o r a t o r y d a t a a n a l y s i s , d e s c r i p t i v e s t a t i s t i c s , a n d a n i n t r o d u c t i o n t o i n f e r e n t i a l s t a t i s t i c s , i n f o r m a l g e o m e t r y i n c l u d i n g s y m m e t r y , s i m i l a r i t y a n d c o n g r u e n c e , a n d m e a s u r e m e n t . R e q u i r e d o f a l l s t u d e n t s i n e a r l y e l e m e n t a r y a n d l a t e r e l e m e n t a r y c u r r i c u l u m s . O p e n o n l y t o p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y t e a c h e r s . M a t h 1 1 5 C o u r s e O b j e c t i v e s a r e t a k e n f r o m N C T M ' s C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s . S t u d e n t s w i l l : 1 . l e a r n t o v a l u e m a t h e m a t i c s 2 b e c o m e c o n f i d e n t i n t h e i r o w n a b i l i t y 3 b e c o m e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v e r s 4 . l e a r n t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y 5 l e a r n t o r e a s o n m a t h e m a t i c a l l y D e t e r m i n e d b y t h e i n d i v i d u a l i n s t r u c t o r s . E v a l u a t i o n s h o u l d i n c l u d e s o m e f o r m o f a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t i n c l u d i n g m o r e e m p h a s i s o n w r i t i n g a n d o p e n e n d e d q u e s t i o n s . 2 6 8 D e p a r t m e n t a l S y l l a b u s , M a t h 1 1 6 ( c o n t i n u e d ) . L c u m a l : Y o u s h o u l d u s e a s m a l l s p i r a l n o t e b o o k f o r y o u r j o u r n a l . Y o u s h o u l d w r i t e a j o u r n a l e n t r y f o r e a c h c l a s s p e r i o d . D a t e e a c h e n t r y . Y o u r j o u r n a l e n t r y s h o u l d i n c l u d e a s u m m a r y o f w h a t y o u l e a r n e d i n c l a s s . B e s u r e t o i n c l u d e a n y q u e s t i o n s t h a t a r i s e i n y o u r m i n d . U s e y o u r j o u r n a l a s a v e h i c l e f o r r e c o r d i n g h o w y o u r b e l i e f s a n d a t t i t u d e s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d a b o u t y o u r s e l f e v o l v e t h r o u g h o u t t h e s e m e s t e r . W h a t f o l l o w s i s a n o u t l i n e o f t h e m a t e r i a l t o b e c o v e r e d : D a y s A l l o t t e d 2 d a y s 4 d a y s 2 d a y s 3 d a y s 5 d a y s 3 d a y s C h a p t e r T o p i c s C h a p t e r 1 0 1 0 . 1 c o n s t r u c t i n g a n d i n t e r p r e t i n g s t e m a n d l e a f , b a r , a n d l i n e g r a p h s , w r i t i n g a n a r r a t i v e i n t e r p r e t i n g t h e g r a p h C h a p t e r 1 0 1 0 . 2 m o d e , m e a n , m e d i a n , l o w e r q u a r t i l e , u p p e r q u a r t i l e , r a n g e , b o x p l o t s , m e a s u r i n g d i s p e r s i o n , v a r i a n c e s , s t a n d a r d d e v i a t i o n , n o r m a l d i s t r i b u t i o n , o m i t z s c o r e s C h a p t e r 1 1 1 1 . 1 c o m p a r e a n d c o n t r a s t e x p e r i m e n t a l p r o b a b i l i t i e s w i t h t h e o r e t i c a l p r o b a b i l i t i e s , s a m p l e s p a c e , e v e n t s , s t u d e n t s s h o u l d b e a c t i v e l y i n v o l v e d i n f i n d i n g e x p e r i m e n t a l p r o b a b i l i t i e s C h a p t e r 1 1 1 1 . 2 F u n d a m e n t a l C o u n t i n g P r o p e r t y , t r e e d i a g r a m s , p r o b a b i l i t y t r e e d i a g r a m s , P a s c a l ' s t r i a n g l e C h a p t e r 1 1 1 1 . 3 s i m u l a t i o n s u s i n g d i c e , s p i n n e r s , r a n d o m d i g i t t a b l e s , c o i n s o m i t c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y , o d d s a n d e x p e c t e d v a l u e s S u p p l e m e n t s a m p l i n g , u s i n g s a m p l e s t o m a k e p r e d i c t i o n s a b o u t t h e p o p u l a t i o n , b i a s e d s a m p l e s , c a p t u r e - r e c a p t u r e p r o b l e m s 2 6 9 D e p a r t m e n t a l S y l l a b u s , M a t h 1 1 6 ( c o n t i n u e d ) 3 d a y s 2 d a y s 2 d a y s 6 d a y s 4 d a y s S u p p l e m e n t S c a t t e r p l o t s , f i n d i n g t h e l i n e o f b e s t f i t ( g r a p h i c a l l y a n d a l g e b r a i c a l l y ) , a n e x c e l l e n t o p p o r t u n i t y t o f u r t h e r d i s c u s s t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n . Y o u m a y u s e 1 5 . 1 a s a r e f e r e n c e f o r e q u a t i o n s o f l i n e s , s l o p e , l i n e a r f u n c t i o n s , i n t e r p r e t i n g g r a p h s o f l i n e a r f u n c t i o n s C h a p t e r 1 2 1 2 . 1 l i n e s o f s y m m e t r y , r o t a t i o n a l s y m m e t r y , p l a n e s o f s y m m e t r y C h a p t e r 1 2 1 2 . 2 a n g l e m e a s u r e s o p t i o n a l t e s s e l l a t i o n s o m i t 1 2 . 3 C h a p t e r 1 3 o m i t 1 3 . 1 1 3 . 2 p e r i m e t e r , a r e a , P y t h a g o r e a n t h e o r e m 1 3 . 3 s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e S u p p l e m e n t b a s i c c o n s t r u c t i o n s u s i n g r u l e r a n d c o m p a s s a n d M I R A , c o n s t r u c t c e n t r o i d , i n c e n t e r , a n d c i r c u m c e n t e r o f a t r i a n g l e , e x p l o r e p r o p e r t i e s o f q u a d r i l a t e r a l s t h r o u g h c o n s h u c fi o n s . A p p e n d i x B I n t e r v i e w I n s t r u m e n t O n e : P h i l o s o p h i c a l I n t e r v i e w 2 7 0 I n t e r v i e w O n e - P h i l o s o p h i c a l K e e n R e s e a r c h 1 9 9 3 M y g o a l i s t o l e a r n a b o u t t h e w a y s i n s t r u c t o r s o f m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e s f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s s e e t h e c o u r s e s t h e y t e a c h - w h a t r o l e s t h e y s e e t h e c o u r s e s p l a y i n g i n t h e i r s t u d e n t s ’ p r o g r a m s . M y i n t e r v i e w q u e s t i o n s h a v e b e e n c h o s e n t o h e l p m e l e a r n a b o u t t h i s . 1 . O n t h e s e c a r d s a r e a n u m b e r o f p o s s i b l e p u r p o s e s f o r s t u d e n t c o u r s e w o r k i n m a t h e m a t i c s . P l e a s e i n d i c a t e h o w i m p o r t a n t t h e s e p u r p o s e s a r e f o r m a t h e m a t i c s c o u r s e s b y p l a c i n g t h e m i n t o f i v e s t a c k s r a n g i n g f r o m : 1 2 3 4 5 E s s e n t i a l V e r y S o m e w h a t N o t V e r y N o t I m p o r t a n t I m p o r t a n t l m p o r t a n I m p o r t a n t A t A l l P l e a s e t a l k a l o u d a s y o u p l a c e t h e m t o h e l p m e u n d e r s t a n d w h y y o u h a v e p l a c e d t h e m t h e r e . I f y o u ’ d r a t h e r , w a i t u n t i l y o u ’ v e p l a c e d t h e m a n d t h e n d e s c r i b e y o u r r a t i o n a l e f o r t h e s o r t i n g y o u d i d . A . U n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s i n m e a n i n g f u l w a y s . B . C h a l l e n g e t h e t y p i c a l s t u d e n t ’ s p e r c e p t i o n o f h i s / h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . C . S a t i s f y t h e d e p a r t m e n t a l r e q u i r e m e n t f o r a m a t h e m a t i c s c o u r s e . D . U n d e r s t a n d t h e s o c i a l a n d c u l t u r a l c o n t e x t o f t e a c h i n g . E . L e a r n a b o u t a n d u s e t e c h n o l o g y i n m e a n i n g f u l w a y s . F . B e c o m e a n e f f e c t i v e p r o b l e m s o l v e r . G . L e a r n a b o u t a n d u s e r e s e a r c h f i n d i n g s i n t h e i r t e a c h i n g . H . D e v e l o p a s e n s e o f e m p o w e r m e n t w i t h d o i n g m a t h . I . L e a r n t h e c o n v e n t i o n s o f t h e d i s c i p l i n e . J . L e a r n t o p l a n l e s s o n s a n d u n i t s . K . A c t a s a b a r r i e r f o r u n p r e p a r e d s t u d e n t s . L . C h a l l e n g e s t u d e n t s ' n o t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o t e a c h m a t h e m a t i c s . M . P r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n e x p e r i e n c e t h a t b u i l d s u p a s e n s e o f t h e r e l e v a n c e o f m a t h e m a t i c s t o d a i l y l i f e . N . L e a r n t h e v a l u e o f c o n j e c t u r e i n m a t h e m a t i c s . 0 . G i v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o h a v e f u n w i t h m a t h e m a t i c s . 3 3 9 3 . ” I " 7 C . < . E < > . < ' . N . 2 7 1 I n t e r v i e w O n e ( c o n t ’ d . ) P l e a s e i n d i c a t e h o w i m p o r t a n t t h e s e p u r p o s e s a r e f o r m a t h e m a t i c s c o u r s e s b y p l a c i n g t h e m i n t o f i v e s t a c k s r a n g i n g f r o m : 1 2 3 4 5 E s s e n t i a l V e r y S o m e w h a t N o t V e r y N o t I m p o r t a n t I m p o r t a n t l m p o r t a n I m p o r t a n t A t A l l U n d e r s t a n d h o w t h e y t h e m s e l v e s l e a r n m a t h e m a t i c s . U n d e r s t a n d h o w c h i l d r e n l e a r n m a t h e m a t i c s . E n s u r e t h a t s t u d e n t s a r e c o m p e t e n t m a t h e m a t i c a l t h i n k e r s b y r e q u i r i n g t h e a t t a i n m e n t o f c e r t a i n s t a n d a r d s . D e v e l o p s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c s o r a l l y a n d i n w r i t i n g . G i v e s t u d e n t s i d e a s f o r a c t i v i t i e s t h a t t h e y c a n d o i n t h e i r f u t u r e c l a s s r o o m s . C h a l l e n g e s t u d e n t s ’ n o t i o n s o f h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s . U n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s i n w a y s t h a t h e l p t h e m t e a c h i t . D e v e l o p a s e n s e o f h o w s m a l l g r o u p s c a n b e u s e d . L e a r n t o a p p r e c i a t e m a t h e m a t i c s a s a p r o b l e m s o l v i n g d o m a i n . D e v e l o p a s e n s e o f t h e i n t e r c o n n e c t e d n e s s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . E n s u r e t h a t o n l y t h o s e s t u d e n t s w h o h a v e a d e e p u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a r e a b l e t o c o n t i n u e i n t h e t e a c h e r p r e p a r a t i o n p r o g r a m . G i v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n m a t h i n a n e n v i r o n m e n t t h a t i s d i f f e r e n t f r o m t h e i r e a r l i e r e x p e r i e n c e s . B B . R e d u c e t h e a n x i e t y s t u d e n t s m i g h t h a v e a b o u t m a t h e m a t i c s . C C . R e d u c e t h e a n x i e t y s t u d e n t s m i g h t h a v e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . D D . B r i n g t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s a l i v e . E E . D e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . F F . U n d e r s t a n d t h e i m p o r t a n c e o f c o l l e g i a l s u p p o r t . G G . P r o m o t e a d e q u a t e f a c i l i t y w i t h c o m p u t a t i o n a l s k i l l s . H H . P r o v i d e s t u d e n t s a n e x p e r i e n c e i n a m a t h c l a s s t h a t m i r r o r s t h e k i n d o f c l a s s r o o m e x p e r i e n c e I w a n t s t u d e n t s t o v a l u e f o r t h e m s e l v e s a s t e a c h e r s . l l . M a i n t a i n t h e s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n o f t h e c o u r s e a s d i f f i c u l t . J J . L e a r n p r o b l e m - s o l v i n g h e u r i s t i c s . K K . D e v e l o p a s e n s e o f e m p o w e r m e n t a n d c o n f i d e n c e w i t h t e a c h i n g m a t h . 2 7 2 I n t e r v i e w O n e ( c o n t ’ d . ) P l e a s e i n d i c a t e h o w i m p o r t a n t t h e s e p u r p o s e s a r e f o r m a t h e m a t i c s c o u r s e s b y p l a c i n g t h e m i n t o f i v e s t a c k s r a n g i n g f r o m : 1 2 3 4 5 E s s e n t i a l V e r y S o m e w h a t N o t V e r y N o t I m p o r t a n t I m p o r t a n t l m p o r t a n I m p o r t a n t A t A l l L L . P r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n e x p e r i e n c e t h a t h e l p s t h e m f e e l g o o d a b o u t t h e m s e l v e s w h e n d e a l i n g w i t h m a t h . M M . P r o v i d e a n o p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t h o w t h e m a t h e m a t i c s t h e y h a v e a l r e a d y l e a r n e d w a s t a u g h t . N N . P r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n m a t h e m a t i c s i n a w a y t h a t i s v e r y d i f f e r e n t f r o m t h e i r e a r l i e r e x p e r i e n c e s w i t h l e a r n i n g m a t h . 0 0 . P r o v i d e s t u d e n t s w i t h a m o d e l f o r t e a c h i n g m a t h . P P . P r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n o p p o r t u n i t y t o d i s c o v e r m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d c o n c e p t s . 0 0 . S h o w s t u d e n t s “ w h y y o u d o w h a t y o u d o w h e n y o u d o i t ” i n m a t h e m a t i c s . R R . C h a l l e n g e t h e t y p i c a l s t u d e n t ’ s p e r c e p t i o n o f w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s . S S . P r o v i d e s t u d e n t s w i t h a n o p p o r t u n i t y t o l e a r n h o w t o a s k . g o o d q u e s fi o n s . T T . B e c o m e f a m i l i a r w i t h a l t e r n a t i v e a s s e s s m e n t m e t h o d s . U U . D e v e l o p s t u d e n t c o n f i d e n c e w i t h d o i n g m a t h . V V . L e a r n t h e v a l u e o f p r o o f i n m a t h e m a t i c s . W W . M o t i v a t e s t u d e n t s t o p u r s u e f u r t h e r s t u d y i n m a t h e m a t i c s . O t h e r ( p l e a s e s p e c i f y ) 2 7 3 I n t e r v i e w O n e ( c o n t ’ d . ) I ’ d l i k e y o u t o r e a d t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a n d r e a c t t o t h e m . ( S t e t e m e n t s i n b o l d . Q f i m p o r t a n c e : E x t e n t t o w h i c h a g r e e l d i e e g r e e e n d w h y . ) T h e s t a t e m e n t s a r e c o m m e n t s m a d e b y d i f f e r e n t p e o p l e , s o m e r e a d , s o m e a s p a r t o f c o n v e r s a t i o n . 2 . T o m a x i m i z e l e a r n i n g , t h e l e a r n e r s h o u l d b e i n t e r e s t e d i n t h e m a t e r i a l a n d f i n d p l e a s u r e i n t h e a c t i v i t y o f l e a r n i n g . P r o b e s 1 ) H o w d o e s t h i s a f f e c t w h a t y o u s e l e c t a s c o u r s e m a t e r i a l ? 2 ) I s i n t e r e s t t o s t u d e n t s c o n s i d e r e d ? 3 ) H o w d o y o u k n o w i t i s i n t e r e s t i n g ? 4 ) T o w h a t e x t e n t i s t h e c o u r s e m a t e r i a l c o n n e c t e d t o i s s u e s a r o u n d t e a c h i n g ? H o w ? 3 . T h e g o a l o f a c o l l e g e c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s s h o u l d b e t o d e v e l o p d e e p e r , m a t u r e i n s i g h t s i n t o t h e m a t h e m a t i c s t h a t t h e y w i l l b e t e a c h i n g t o c h i l d r e n . P r o b e s 1 ) C a n y o u g i v e m e a n e x a m p l e o f a n m a t u r e i n s i g h t i n t o a m a t h t o p i c t h a t y o u h o p e y o u r s t u d e n t s w i l l d e v e l o p i n t h e c o u r s e ? 2 ) T o w h a t e x t e n t s h o u l d m e t h o d s f o r t e a c h i n g c h i l d r e n b e a p a r t o f t h i s ? 4 . C o n t e n t k n o w l e d g e a l o n e i s n o t s u f f i c i e n t t o g u a r a n t e e s u c c e s s f u l t e a c h i n g . P r o b e s 1 ) T o w h a t e x t e n t d o e s t h i s a f f e c t w h a t y o u d o i n t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e w o r k f o r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s ? 2 ) I s c o n t e n t k n o w l e d g e s u f f i c i e n t t o t e a c h p r o s p e c t i v e t e a c h e r s ? I t s o , d o y o u t h i n k m o s t p e o p l e i n t h e m a t h d e p a r t m e n t c o u l d t e a c h t h e c o u r s e w o r k s u c c e s s f u l l y ? I f n o t , w h a t e l s e i s r e q u i r e d ? 5 . G o o d t e a c h i n g i n c l u d e s t e a c h i n g s t u d e n t s h o w t o l e a r n . P r o b e s 1 ) W h a t a r e s t u d e n t s l e a r n i n g t o l e a r n i n t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e w o r k ? 2 ) H o w i s t h i s a c c o m p l i s h e d ? 2 7 4 I n t e r v i e w O n e ( c o n t ' d . ) 6 . I t i s i m p o r t a n t t o k e e p p e o p l e w h o a r e l a c k i n g u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o u t o f t h e e l e m e n t a r y s c h o o l c l a s s r o o m . P r o b e s 1 ) D o y o u a g r e e o r d i s a g r e e ? 2 ) H o w d o y o u k n o w w h e n t h e y l a c k u n d e r s t a n d i n g ? 3 ) W h e n s h o u l d t h o s e p e o p l e b e i d e n t i f i e d ? 4 ) H o w s h o u l d t h e y b e k e p t “ o u t ” ? 7 . A p r o s p e c t i v e t e a c h e r ’ s p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s c a n o v e r c o m e m u c h w e a k n e s s i n c o n t e n t k n o w l e d g e . P r o b e s 1 ) D o y o u a g r e e o r d i s a g r e e ? 2 ) W h a t a r e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f a n a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s t h a t w i l l s u p p o r t g o o d t e a c h i n g ? 8 . M a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e w o r k s h o u l d b e c l o s e l y t i e d t o t h e t e a c h i n g o f t h e c o n t e n t t o c h i l d r e n . P r o b e s 1 ) T o w h a t e x t e n t s h o u l d m e t h o d s b e f o c a l ? 2 ) A r e m e t h o d s e x p l i c i t l y a p a r t o f t h e c o u r s e s y o u t e a c h ? I f s o , h o w ? I f n o t , h o w d o y o u t h i n k a b o u t t h e r o l e o f m e t h o d s i n a c o n t e n t c o u r s e ? 9 . L i t t l e h a s c h a n g e d i n t e r m s o f t h e n e e d s o f p r o s p e c t i v e t e a c h e r s i n m a t h e m a t i c s c o n t e n t c o u r s e w o r k f o r s e v e r a l y e a r s . P r o b e s 1 ) W h a t n e e d s r e m a i n t h e s a m e ? h a v e c h a n g e d ? 2 ) W h a t c h a n g e s i n d e m a n d s o n i n s t r u c t o r s h a v e r e s u l t e d f r o m a n y c h a n g e s ? 1 0 . T h e U n i v e r s i t y i s c o n c e r n e d a b o u t h a v i n g c a p a b l e g r a d u a t e s a n d s c h o o l d i s t r i c t s w a n t c a p a b l e t e a c h e r s t o h i r e . W h a t i s t h e r o l e o f t h i s c o u r s e w o r k f o r s u p p o r t i n g t h i s s i t u a t i o n ? I n w h a t a r e a s d o s t u d e n t s g a i n c o m p e t e n c e i n t h i s c o u r s e w o r k ? A r e t h e r e o t h e r a r e a s t h a t a r e s u p p o r t e d ? 1 1 . I s t h e r e a n y t h i n g t h a t l h a v e m i s s e d ? H a v e t h e q u e s t i o n s s e e m e d r e a s o n a b l e ? A p p e n d i x C I n t e r v i e w I n s t r u m e n t T w o : C o n t e n t I n t e r v i e w 2 7 5 I n t e r v i e w T w o - C o n t e n t K e e n R e s e a r c h 1 9 9 3 I ’ d l i k e t o a s k y o u t o w a l k m e t h r o u g h t h e c o u r s e . I a m e s p e c i a l l y i n t e r e s t e d i n w h a t y o u a r e t r y i n g t o t e a c h s t u d e n t s . I ’ l l a s k q u e s t i o n s a b o u t t h i n g s l i k e t h e c o n t e n t o f t h e c l a s s , i t s g o a l s , a n d t h e n a t u r e o f t h e s t u d e n t s w h o y o u h a v e . I w i l l a l s o a s k q u e s t i o n s a b o u t t h e w a y s i n w h i c h y o u e v a l u a t e y o u r s t u d e n t s . 1 . D e s c r i b e t h e m a t h c o n t e n t c o u r s e f o r e l e m e n t a r y t e a c h e r s t h a t y o u t e a c h i n a f e w s e n t e n c e s . 2 . S u m m a r i z e t h e g o a l s o f t h e c o u r s e i n a f e w s e n t e n c e s . 3 . C a n y o u c h a r a c t e r i z e t h e s t u d e n t p o p u l a t i o n ( a b i l i t y r a n g e , c o m m i t m e n t , a g e , g e n d e r , e t h n i c i t y ) ? 4 . H o w a r e t h e g o a l s a f f e c t e d b y t h e s t u d e n t p o p u l a t i o n t a k i n g t h e c o u r s e ? 5 . W h o d e v e l o p e d t h e c o u r s e ? 6 . H o w h a s t h e c o u r s e c h a n g e d o v e r t h e y e a r s ? W h y ? 7 . H a v e y o u m a d e a n y m a j o r c h a n g e s i n t h e c o n t e n t o r i n w a y y o u t e a c h t h e c l a s s i n t h e l a s t f e w y e a r s ? E x p l a i n t h e c h a n g e s a n d t h e b a s i s o n w h i c h t h e c h a n g e s w e r e m a d e . ( I f m o r e a p p r o p r i a t e , s e t i n c o n t e x t o f t h e f u t u r e - w i l l y o u b e m a k i n g a n y m a j o r c h a n g e s i n t h e c o n t e n t o r w a y y o u t e a c h i n t h e n e x t f e w y e a r s a n d e x p l a i n . ) 8 . I s t h e r e a c o m m o n s y l l a b u s , t e x t , a s s i g n m e n t s , t e s t s ? W h y i s t h e c o u r s e s e t u p t h i s w a y ? 9 . H o w d o e s t h e s i t u a t i o n w i t h p r e r e q u i s i t e s ( e i t h e r e n f o r c e m e n t , l a c k o f e n f o r c e m e n t , o r n o p r e r e q ) a f f e c t w h a t t h e c o n t e n t o f t h e c o u r s e i s ? H o w d o y o u f e e l a b o u t t h i s ? W h y ? 1 0 . H o w d o e s t h e s i t u a t i o n w i t h p r e r e q u i s i t e s ( e i t h e r e n f o r c e m e n t , l a c k o f e n f o r c e m e n t , o r n o p r e r e q ) a f f e c t h o w c o u r s e i s t a u g h t ? H o w d o y o u f e e l a b o u t t h i s ? W h y ? 2 7 6 I n t e r v i e w T w o ( c o n t ’ d . ) 1 1 . O f t e n t i m e s , y o u m a y w a n t t o s t u d e n t s t o l e a r n m o r e a b o u t s o m e t h i n g t h a t t h e y h a v e h a d i n s t r u c t i o n o n b e f o r e . W h a t a r e e x a m p l e s o f c o n t e n t t h a t y o u i n c l u d e i n t h i s c o u r s e t h a t a r e o f t h i s t y p e ? H o w d o y o u s t r u c t u r e i n s t r u c t i o n o n a c o n c e p t t h a t y o u t h i n k a l l s t u d e n t s h a v e e n c o u n t e r e d b e f o r e ? H o w i s t h i s d i f f e r e n t f r o m w h a t t h e y h a v e d o n e b e f o r e ? C h o o s e a c o n c e p t a n d e x p l a i n . 1 2 . O c c a s i o n a l l y , y o u m a y w a n t s t u d e n t s t o l e a r n s o m e t h i n g t h a t t h e y h a v e n e v e r h a d i n s t r u c t i o n o n b e f o r e . W h a t a r e e x a m p l e s o f c o n t e n t t h a t y o u i n c l u d e i n t h i s c o u r s e t h a t m i g h t b e o f t h i s t y p e ? H o w d o y o u s t r u c t u r e i n s t r u c t i o n o n a c o n c e p t t h a t y o u t h i n k f e w s t u d e n t s h a v e e n c o u n t e r e d b e f o r e ? C h o o s e a c o n c e p t a n d e x p l a i n . H o w w o u l d t h i s i n s t r u c t i o n b e d i f f e r e n t , i f a t a l l , f r o m w h a t y o u d e s c r i b e d e a r l i e r ? 1 3 . I s t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t i n c l u d e d i n c o u r s e s d i f f e r e n t f r o m t h e m a t h e m a t i c s i n c l u d e d i n o t h e r U n i v e r s i t y m a t h e m a t i c s c o u r s e s ? I f s o , h o w ? W h y / w h y n o t ? 1 4 . I s t h e w a y m a t h e m a t i c s i s t a u g h t i n c o u r s e s d i f f e r e n t f r o m t h e w a y m a t h e m a t i c s i s t a u g h t i n o t h e r U n i v e r s i t y m a t h e m a t i c s c o u r s e s ? I f s o , h o w ? W h y / w h y n o t ? 1 5 . I n t h e b e s t o f a l l p o s s i b l e w o r l d s , w h a t w o u l d a s t u d e n t t a k e a w a y f r o m t h e e x p e r i e n c e o f p a r t i c i p a t i n g i n t h i s c o u r s e ? T h a t i s , a r e t h e r e p a r t i c u l a r t h i n g s t h a t y o u e x p e c t t h e m t o k n o w a b o u t o r c a r e a b o u t a s a r e s u l t o f t h e i r p a r t i c i p a t i o n i n t h i s c l a s s ? W h y a r e t h e s e i m p o r t a n t ? N o w , I ’ d l i k e t o a s k s p e c i f i c q u e s t i o n s a b o u t t h e t e x t s a n d r e a d i n g s t h a t a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e c o u r s e . 1 6 . W h a t t e x t d o y o u u s e ? W h o s e l e c t e d t h e t e x t ? H o w w a s t h e t e x t s e l e c t e d ? W h a t a r e t h e a d v a n t a g e s / d i s a d v a n t a g e s o f t h i s t e x t r e l a t i v e t o o t h e r s ? ( W h a t d o y o u l i k e m o s t / l e a s t a b o u t t h e t e x t ? ) H o w i s t h e t e x t u s e d ? W h y i s i t u s e d t h i s w a y ? 1 7 . A r e t h e r e o t h e r r e a d i n g s o r s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s t h a t a r e p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t f o r t h e c o u r s e ? W h a t a r e t h e y ? C o u l d y o u b r i e f l y d e s c r i b e t h e m ? W h y a r e t h e y i m p o r t a n t ? 2 7 7 I n t e r v i e w T w o ( c o n t ’ d . ) L e t ’ s t a l k a b o u t t h e s c h e d u l e o f t o p i c s i n t h e c o u r s e . 1 8 . C a n y o u l i s t f o r m e t h e t o p i c s t h a t a r e c o v e r e d i n t h e c o u r s e ? W h a t t r a d e - o f f s d i d y o u m a k e i n d e c i d i n g o n t h i s c o n t e n t a n d s e q u e n c e ? 1 9 . C a n y o u w a l k m e t h r o u g h a t y p i c a l m e e t i n g o f t h e c l a s s ? a ) H o w d o t h i n g s s t a r t ? b ) W h a t d o t h e s t u d e n t s d o ? c ) W h a t d o y o u d o ? A n y t h i n g e l s e ? d ) H o w d o e s i t e n d ? e ) W h y i s c l a s s o r g a n i z e d i n t h i s w a y ? 2 0 . A r e t h e r e a n y “ s p e c i a l ” l e s s o n s t h a t y o u h a v e d e v e l o p e d f o r t h e c o u r s e ? I f s o , c a n y o u d e s c r i b e t h e m t o m e ? W h y a r e t h e y i m p o r t a n t ? N o w c a n y o u t e l l m e a b o u t t h e c o u r s e r e q u i r e m e n t s a n d a s s i g n m e n t s ? 2 1 . W h a t a s s i g n m e n t s a r e s t u d e n t s r e q u i r e d t o d o i n t h e c o u r s e ? a ) D o t h e y h a v e t o w r i t e p a p e r s ? W h y ? W h a t d o y o u h o p e t h e y w i l l l e a r n ? b ) D o t h e y h a v e t o d o p r e s e n t a t i o n s ? W h y ? W h a t d o y o u h o p e t h e y w i l l l e a r n ? 0 ) D o t h e y h a v e t o p a r t i c i p a t e i n d i s c u s s i o n s ? W h y ? W h a t d o y o u h o p e t h e y w i l l l e a r n ? d ) A r e t h e y r e q u i r e d t o m e e t w i t h y o u i n d e p e n d e n t l y o r i n g r o u p s ? W h y ? W h a t d o y o u h o p e t h e y w i l l l e a r n ? e ) A r e t h e y r e q u i r e d t o m e e t a s g r o u p s o u t s i d e c l a s s ? W h y ? W h a t d o y o u h o p e t h e y w i l l l e a r n ? [ f ) l s a t t e n d a n c e m a n d a t o r y ? W h y ? ] 2 2 . A r e t h e r e d i f f e r e n t t y p e s o r c a t e g o r i e s o f a s s i g n m e n t s t h a t s t u d e n t s a r e r e q u i r e d t o c o m p l e t e ? I f s o , c a n y o u d e s c r i b e e a c h c a t e g o r y o f a s s i g n m e n t f o r m e ? W h a t i s t h e v a l u e o f e a c h ? 2 7 8 I n t e r v i e w T w o ( c o n t ’ d . ) 2 3 . C o u l d y o u p i c k a n a s s i g n m e n t f r o m a m o n g t h e d i f f e r e n t o n e s s t u d e n t s a r e r e q u i r e d t o d o t h a t i s a s i g n i f i c a n t a s s i g n m e n t a n d i s r e p r e s e n t a t i v e o f t h e k i n d o f t h i n g t h a t y o u w a n t s t u d e n t s t o l e a r n o r t o t h i n k a b o u t i n t h i s c l a s s . C a n y o u b r i e f l y d e s c r i b e i t t o m e ? W h y d i d y o u s e l e c t t h i s o n e ? W h a t i s t h e s t u d e n t r e q u i r e d t o d o ? T a k e a m i n u t e t o r e c a l l a g o o d a s s i g n m e n t t h a t y o u r e c e i v e d f r o m a s t u d e n t . C a n y o u d e s c r i b e i t f o r m e ? W h a t m a d e i t g o o d ? W h y ? H o w d i d y o u r e s p o n d t o i t ? T a k e a m i n u t e t o r e c a l l a p o o r a s s i g n m e n t t h a t y o u r e c e i v e d f r o m a s t u d e n t . C a n y o u d e s c r i b e i t f o r m e ? W h a t m a d e i t p o o r ? W h y ? H o w d i d y o u r e s p o n d t o i t ? W h y i s t h i s a s s i g n m e n t p a r t o f t h e c o u r s e ? T h a t i s , w h a t d o y o u h o p e t o a c c o m p l i s h w i t h t h i s a s s i g n m e n t ? 2 4 . A r e e x a m s g i v e n i n t h e c o u r s e ? I f s o , m a y I h a v e a c o p y ? W h a t a r e t h e c o n c e r n s t h a t y o u h a v e t h a t i n f l u e n c e t h e t y p e o f e x a m y o u g i v e ? W h e r e a r e e x a m p l e s o f t h i s i n t h e e x a m ? W h a t a r e t h e t r a d e - o f f s y o u s e e i n u s i n g e x a m s t o a s s e s s s t u d e n t a b i l i t y ? 2 5 . B y w h a t p r o c e s s d o y o u e v a l u a t e s t u d e n t s ? W h a t a r e t h e c r i t e r i a y o u u s e ? W h y d o y o u u s e t h e s e ? H o w a r e d i f f e r e n t c r i t e r i a / a s s i g n m e n t s w e i g h t e d i n t h e f i n a l e v a l u a t i o n ? 2 6 . I s t h e r e a n y t h i n g I h a v e m i s s e d ? D o t h e s e q u e s t i o n s s e e m r e a s o n a b l e ? A p p e n d i x D I n t e r v i e w I n s t r u m e n t T h r e e : O b s e r v a t i o n I n t e r v i e w 2 7 9 I n t e r v i e w T h r e e - O b s e r v a t i o n K e e n R e s e a r c h 1 9 9 3 A s k b e f o r e t h e o b s e r v a t i o n : W h a t i s s o m e t h i n g y o u w o u l d w a n t a n o b s e r v e r t o n o t i c e a b o u t y o u r l e s s o n s ? W h a t w o u l d y o u w a n t n o t i c e d a b o u t t h e s t u d e n t s ? W h a t w o u l d y o u w a n t n o t i c e d a b o u t t h e c o u r s e ? A f t e r o b s e r v i n g i n y o u r c l a s s , I w a n t t o a s k a f e w q u e s t i o n s t o h e l p m e c o n n e c t w h a t y o u h a v e t o l d m e a b o u t w h a t y o u s e e t h e r o l e o f t h e c o u r s e t o b e a n d w h a t t h e s t u d e n t s a r e i n v o l v e d i n i n c l a s s . 1 . H o w t y p i c a l w e r e t h e c l a s s p e r i o d s I o b s e r v e d ? W h a t w a s “ t y p i c a l ” ? W h a t w a s n o t ? W e r e t h e r e a n y s u r p r i s e s ? 2 . C a n y o u p i c k a n e x a m p l e o f s o m e t h i n g t h a t w e n t t h e w a y y o u ’ d p l a n n e d f o r i t t o g o ? W h a t w a s i m p o r t a n t f o r t h e s t u d e n t s t o l e a r n ? H o w w a s i t a c c o m p l i s h e d ? W h y w a s i t i m p o r t a n t f o r t h e m t o l e a r n i t ? 3 . Y o u m e n t i o n e d t h a t a m a j o r r o l e t h e c o u r s e p l a y s i s C o u l d y o u g i v e m e a n e x a m p l e o f h o w y o u s e e t h e c o u r s e p l a y i n g t h a t r o l e i n t h e c l a s s p e r i o d s I o b s e r v e d ? 4 . I d e n t i f y a n e p i s o d e i n t h e c l a s s p e r i o d t h a t s e e m s t o b e a n e x a m p l e o f a r o l e t h e c o u r s e i s t o p l a y a c c o r d i n g t o t h e i n s t r u c t o r a n d a s k t h e i n s t r u c t o r : I n c l a s s , t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n o c c u r r e d - ( r e l a t e ) . W h a t w e r e y o u h o p i n g s t u d e n t s w o u l d l e a r n ? D o y o u t h i n k t h i s w a s a c c o m p l i s h e d ? W h y ( o r w h y n o t ) w e r e y o u a b l e t o a c c o m p l i s h w h a t y o u w a n t e d t o i n t h i s s i t u a t i o n ? W h a t w o u l d y o u d o d i f f e r e n t l y a n o t h e r t i m e ? [ I f p o s s i b l e , h a v e a f e w o t h e r e x a m p l e s f r o m t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n t o a s k t h e i n s t r u c t o r a b o u t ] 5 . P l a c e e a c h c a r d i n t h e p i l e b e s t i n d i c a t i n g h o w i m p o r t a n t y o u t h i n k e a c h o f t h e f o l l o w i n g i s t o b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s . E s s e n t i a l S u p p o r t i v e N o t I m p o r t a n t a . R e m e m b e r i n g f o r m u l a s . b . K n o w i n g h o w t o a s k g o o d q u e s t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c a l s h u a fi o n s . c . T h i n k i n g i n a l o g i c a l s t e p - b y - s t e p m a n n e r . - . o c - : - . - . - < ? - . 2 8 0 I n t e r v i e w T h r e e ( c o n t ’ d . ) P l a c e e a c h c a r d i n t h e p i l e b e s t i n d i c a t i n g h o w i m p o r t a n t y o u t h i n k e a c h o f t h e f o l l o w i n g i s t o b e i n g g o o d a t m a t h e m a t i c s . E s s e n t i a l S u p p o r t i v e N o t I m p o r t a n t d . H a v i n g a s t r o n g u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . H a v i n g a b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f h o w t r u t h i s e s t a b l i s h e d i n m a t h e m a t i c s . B e i n g a b l e t o t h i n k f l e x i b l y . B e i n g a b l e t o a p p l y t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m s . B e i n g a b l e t o g i v e t h o r o u g h m a t h e m a t i c a l e x p l a n a t i o n s . H a v i n g a g o o d a t t i t u d e t o w a r d m a t h e m a t i c s . B e i n g a b l e t o m o d e l a c o n c e p t i n a v a r i e t y o f w a y s . O p e n n e s s t o a t t e m p t i n g p r o b l e m s . B e i n g a b l e t o s o l v e m a n y d i f f e r e n t k i n d s o f p r o b l e m s . m . B e i n g a b l e t o p e r f o r m m a t h e m a t i c a l t a s k s s u c c e s s f u l l y . n . H a v i n g t h e a b i l i t y t o i n t e r c o n n e c t c o n c e p t s w i t h i n m a t h e m a t i c s a n d b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d o t h e r d o m a i n s . 0 . B e i n g a b l e t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s . p . K n o w i n g h o w t o u s e t e c h n o l o g y . 5 ° 1 3 . I s t h e r e a n y t h i n g I ’ v e m i s s e d o r i g n o r e d ? D i d t h e q u e s t i o n s s e e m r e a s o n a b l e ? A p p e n d i x E P r o p o s e d S y l l a b u s ( F r a n k A d a m s ) f o r M a t h e m a t i c s f o r t h e E l e m e n t a r y S c h o o l T e a c h e r F i r s t C o u r s e a t N o r m a l U n i v e r s i t y 2 8 1 M a t h 1 1 5 - R e c o m m e n d e d S y l l a b u s R o u g h D r a f t S p r i n g , 1 9 9 3 l . L o g i c - A r g u m e n t s , V a l i d i t y - E i ‘ I l e r D i a g r a m s - C o m p o u n d S t a t e m e n t s - D i s j u n c t i o n s I m p l i c a t i o n - C o n j u n c t i o n s ( P r o b l e m S o l v i n g ) - T r u t h T a b l e s a n d T a u t o l o g i e s - A t t r i b u t e s - E l . N e t w o r k s S t o r y P r o b l e m l l . S e t s V e n n D i a g r a m s C a r t e s i a n p r o d u c t F u n c t i o n s - R e l a t i o n s S t o r y P r o b l e m - E q u i v a l e n c e R e l a t i o n ( P r o b l e m S o l v i n g ) I I I . G r o u p P r o p e r t i e s - ( A b e l i a n ) - W h o l e N o s . E s t i m a t i o n — F r a c t i o n s C a l c u l a t o r s ( P r o b l e m S o l v i n g ) - R a t i o n a l N o s . ’ - S t o r y P r o b l e m s I V . F i e l d P r o p e r t i e s - W h o l e N o s . - F r a c t i o n s ( P r o b l e m S o l v i n g ) - R a t i o n a l N o s . E s t i m a t i o n - S t o r y P r o b l e m s C a l c u l a t o r s V . N u m b e r T h e o r y - F a c t o r s - P r i m e s E s t i m a t i o n N u m b e r P a t t e r n s C a l c u l a t o r s ( P r o b l e m S o l v i n g ) V I . D e c i m a l s , R a t i o , P e r c e n t s w i t h S t o r y P r o b l e m s ( P r o b l e m S o l v i n g ) ( A p p l i e d ) E s t i m a t i o n ( S c i e n t i f i c N o t a t i o n ) C a l c u l a t o r s V I I . T h r e e t y p e s o f p e r c e n t s p r o b l e m u s i n g A l g e b r a a p p r o a c h P l a c e V a l u e u s i n g e x p o n e n t s ( P r o b l e m S o l v i n g ) ( A p p l i e d ) ( E s t i m a t i o n ) ( C a l c u l a t o r s ) L I S T O F R E F E R E N C E S 2 8 2 L I S T O F R E F E R E N C E S A l b e r s , D . ( 1 9 8 1 ) . T e a c h i n g t e a c h e r s , t e a c h i n g s t u d e n t s . I n L . S t e e n & D . A l b e r s ( E d s ) , T e a c h i n g T e a c h e r s , T e a c h i n g S t u d e n t s . B o s t o n : B i r k h a u s e r . B a l l , D . ( 1 9 8 8 ) . R e s r c h o n T e h i n M a h m a i c : M k i M e d e r K n e w l e d g e P a r t o f t h e E q u a t i o n ( R e s e a r c h R e p o r t 8 8 - 2 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . B a l l , D . ( 1 9 9 2 ) . l m l e m e n t i n t h e N T M t a n . H d r d l e e ( I s s u e P a p e r 9 2 - 2 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . B a l l , D . & M c D i a r m i d , G . ( 1 9 8 9 ) . T h e b ' c t - M a t t e r P r e r i n f L e e e h e L s ( I s s u e P a p e r 8 9 - 4 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . B a l l , D . & W i l c o x , S . ( 1 9 8 9 ) . l n e e r v i e e T e e e h e r E d u c a t i e n i n t h m t i z E x a m i n i n h n r a i n f n x t n e n ( R e s e a r c h R e p o r t 8 9 - 3 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . B o r k o , H . , E i s e n h a r t , M . , B r o w n , C . , U n d e r h i l l , R . , J o n e s , D . , & A g a r d , P . ( 1 9 9 2 ) . L e a r n i n g t o t e a c h h a r d m a t h e m a t i c s : D o n o v i c e t e a c h e r s a n d t h e i r i n s t r u c t o r s g i v e u p t o o e a s i l y ? d e d r n a l p f R e e e e r e h i n M a t h e m a t i c L E Q L a t m . 2 3 , 3 , 1 9 4 - 2 2 2 . B r o w n , C . & C o o n e y , T . ( 1 9 8 2 ) . R e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n : A p h i l o s o p h i c a l o r i e n t a t i o n . n I f l i 5 . 6 1 5 6 8 2 8 . L 5 . 4 . 1 3 - 1 8 - B r o w n , S . ( 1 9 8 2 ) . O n h u m a n i s t i c a l t e r n a t i v e s i n t h e p r a c t i c e o f t e a c h e r e d u c a t i o n W W W E d u c a t m . 1 _ 5 . 4 . 1 - 1 2 B r o w n , S . , C o o n e y , T . , & J o n e s , D . ( 1 9 9 0 ) . M a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n I n W - H o u s t o n ( E d ) . W e : E d d e a t j e n . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . 2 8 3 B u r n s , M . ( 1 9 8 9 ) . T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g : A f o c u s o n m u l t i p l i c a t i o n . I n P . T r a f t o n 8 . A . S h u l t e ( E d s ) N e w D i r e c t i o n s f o r E l e m n t a c h o o l M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 9 Y e a r b o o k ) . R e s t o n , V A : T h e C o u n c i l . C a r s s , M . ( E d . ) . ( 1 9 8 4 ) . P r o e e e d i n g s o f t h e F i f t h I n t e r n a t i o n a l Q p n g r e e e e n M a t h e m a t i c e E d d c a t i o n . B o s t o n : B i r k h a u s e r . C h a p m a n , L . R . ( E d ) . ( 1 9 7 2 ) . T h e P r o c e s s o f L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . O x f o r d : P e r g a m o n P r e s s . C l a r k , C . ( 1 9 8 8 ) . A s k i n g t h e r i g h t q u e s t i o n s a b o u t t e a c h e r p r e p a r a t i o n : C o n t r i b u t i o n s o f r e s e a r c h o n t e a c h e r t h i n k i n g . E d u c a t i o n e l R e s e a r c h e r , 1 1 ( 2 ) , 5 - 1 2 . C o b b , P . ( 1 9 8 6 ) . C o n t e x t s , g o a l s , a n d l e a r n i n g . F o r t h e L e a r n i n g _ p t M e t h e m e t i e s , 6 , 2 , 2 - 9 . C o b b , P . ( 1 9 8 8 ) . T h e t e n s i o n s b e t w e e n t h e o r i e s o f l e a r n i n g a n d i n s t r u c t i o n i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . E c a i n l P h l 2 3 ( 2 ) , 8 7 - 1 0 3 . C o m m i s s i o n o n t h e E d u c a t i o n o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s o f t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 1 ) . G u i d e l i n e e f e r t h e P r e p e r a t i e n o f T e a e h e r s o f M e t h e m a t i e e . U S A : T h e C o u n c i l . D e v i n e , O l s o n , & O l s o n ( 1 9 9 1 ) . l m n m i f r r ( 2 n d e d . ) . S o m e r s e t , N J : J o h n W i l e y a n d S o n s . D i e n e s , Z . P . ( 1 9 7 2 ) . S o m e r e f l e c t i o n s o n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I n W . L a m o n ( E d . ) , L e a r n i n g a n d t h e N a t p r e p f M e t h e m e t i e e . C h i c a g o : S c i e n c e R e s e a r c h A s s o c i a t e s . D u n k i n , M . ( 1 9 8 6 ) . R e s e a r c h o n t e a c h i n g i n h i g h e r e d u c a t i o n . I n M . C . W i t t r o c k ( E d ) . W i n g . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . E i s e n h a r t , M . , B e h r n , L . & R o m a g n a n o , L . ( 1 9 9 1 ) . L e a r n i n g t o t e a c h : D e v e l o p i n g e x p e r t i s e o r r i t e o f p a s s a g e ? W W I e a s h i n g . 1 1 . 5 1 - 7 2 2 8 4 E i s e n h a r t , M . , B o r k o , H . , U n d e r h i l l , R . , B r o w n , C . , J o n e s , D . , & A g a r d , P . ( 1 9 9 3 ) . C o n c e p t u a l k n o w l e d g e f a l l s t h r o u g h t h e c r a c k s : C o m p l e x i t i e s o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . d e d t h e l e f R e e e a r c h i n M a t h e m e t i c s E d u c a t i o n , _ 2 _ 4 , 1 , 8 - 4 0 . E n g e l h a r d t , J . ( 1 9 8 2 ) . E l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n a t A r i z o n a S t a t e U n i v e r s i t y . J o u r n a l o f R e s e a r c h a n d Q e v e l p p m e n t i n E d u c a t i o n , 1 _ 5 , 4 , 6 5 - 6 8 . E r n e s t , P . ( 1 9 8 9 ) . T h e k n o w l e d g e , b e l i e f s , a n d a t t i t u d e s o f t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r : A m o d e l . J o u r n a l o f E d u c e t i p n f o r T e e e h i n g , L 5 , 1 , 1 3 - 3 3 . G a g n e , R . ( 1 9 8 3 ) . d o u r n a l p f R e e e a r e h i n M a t h e m a t i e s E d p e e t i p n . J A , 1 , 7 - 1 8 . G a r f u n k e l , S . & Y o u n g , G . ( 1 9 9 2 ) . I n t h e B e g i n n i n g : M a t h e m a t i e e l P r e p e r e t i p n f o r E l e m e n t a t y S c h o o l T e a c h e r e . U S A : C O M A P , I n c . G o o d , T . ( 1 9 9 0 ) . B u i l d i n g t h e k n o w l e d g e b a s e o f t e a c h i n g . I n D i l l , D . ( E d . ) , W e h r s N n o w h K n w I ' V l s n t i I d T h i n . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . G o o d , T . , G r o u w s , D . , & E b m e i e r , H . ( 1 9 8 3 ) . A e t i v e M e t h e m e t i e e T e e e h i n g . N e w Y o r k : L o n g m a n G r o u w s , D . ( E d . ) ( 1 9 9 2 ) . H e n d h p p k p f R e e e e r e h e n M e t h e m e t i e e l e e e h i I h g e n n d L e e r n i h g . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . H a r t , K . ( 1 9 8 3 ) . I k n o w w h a t I b e l i e v e : S o I h a v e t o b e l i e v e w h a t I k n o w ? W W W . L 4 . 2 . 1 1 9 - 1 2 5 . H i e b e r t , J . & C a r p e n t e r , T . ( 1 9 9 2 ) . I n D . G r o u w s ( E d . ) , fl e _ I I _ d b _ Q _ Q ] g _ 9 _ t W N e w Y o r k : M a c m i l l a n . H o l l i s , L . & H o u s t o n , R . ( 1 9 8 2 ) . E l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n a t t h e U n i v e r s i t y o f H o u s t o n . W E D W m . 1 5 , 4 , 6 9 - 7 1 . 2 8 5 H o o t e n , J . ( 1 9 8 2 ) . P r e f a c e . J o u r n a l o f R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t i n B M . 1 . 5 . 4 . i . K a g a n , D . ( 1 9 9 2 ) . I m p l i c a t i o n s o f r e s e a r c h o n t e a c h e r b e l i e f . E d u e e t i o n a l P s y c h o l o g i s t , 2 _ 7 ( 1 ) , 6 5 - 9 0 . K l i n e , M . ( 1 9 7 7 ) . W h h P r o f e r a n ' T e a c h : M h e m a i n t h e d i l e m m e p f u n i v e r s i t y e d u c a t i o n . N e w Y o r k : S t . M a r t i n ' s P r e s s . L a m p e r t , M . ( 1 9 8 8 ) . W h a t c a n r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n t e l l u s a b o u t i m p r o v i n g q u a l i t y i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ? T e a c h i n g e n d T e a e h e r E d u c a t i p n , A , 2 , 1 5 7 - 1 7 0 . L a p p a n , G . 8 . E v e n , R . ( 1 9 8 9 ) . L e a r n i n t T e a h : o n s r I n M e e n i n g f u l U n d e r s t a n d i n g o f M a t h e m a t i c e l C o n t e n t ( C r a f t P a p e r 8 9 - 3 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a fl o n . L e B l a n c , J . ( 1 9 7 7 ) . T e a c h e r e d u c a t i o n i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s : A f r a m e w o r k f o r n e e d e d r e s e a r c h . I n P r p e e e d i n g e p f t h e R e e e e r e h - e n - T e e e h i n g M a t h e m e t i e e C o n f e r e n e e , M a y 1 - 4 , 1 9 7 7 . E a s t L a n s i n g , M I : T h e I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n T e a c h i n g . M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a , C o m m i t t e e o n t h e M a t h e m a t i c a l P r e p a r a t i o n o f T e a c h e r s ( 1 9 9 1 ) . A _ Q e L t 9 r _ Q h e n g e ; B e e e m m e n d a t i o n e f e r t h e M a t h e m e t i c e l E r e p e r e t U S A : M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . M i c h i g a n C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 a ) . E _ r o _ c _ e _ e _ d i n g _ s 0 = - . ‘ - . I ' I M I ' I I T I _ 0 - 0 0 - ‘ 0 1 1 1 - 1 : W . U S A . M i c h i g a n C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . M i c h i g a n C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 b ) . G u i d e l i n e s 0 1 : n i ' l P r r - _ - . . u o ‘ - ‘ f I n . I = I I - _ l ' I u I ' e l . U S A : M i c h i g a n C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . M u s s e r G & B u r g e r W ( 1 9 9 1 ) M a t h e m a t c h f o L E L e m e M a n I W ( 2 n d e d - - ) N e w Y o r k : M a c m i l l a n P u b l i s h e r s . 2 8 6 N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n ( 1 9 8 8 a ) . T e e e h e r E d u e e t p r I n t e r v i e w . E a s t L a n s i n g , M I : N C R T E . N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n ( 1 9 8 8 b ) . T e a c h e r E d u e a t o r Q u e s t i o n n a i r e . E a s t L a n s i n g , M I : N C R T E . N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g ( 1 9 9 2 ) . F i n d i n g s e n L e e t n i n g t o T e a c h . E a s t L a n s i n g , M I : N C R T L . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 9 ) . r r i l d E v a l u a t i p n S t a n d a r d s f e r S c h o o l M a t h e m a t i c e . R e s t o n , V A : T h e C o u n c i l . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 ) . P r e f e s s i o n e l S t a n d a r d e f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : T h e C o u n c i l . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( 1 9 9 1 ) . M v i n B n M h : v ' I i z i n u n d e r g t a d u a t e M a t h e m a t i c s . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . P a j a r e s , M . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r s ' b e l i e f s a n d e d u c a t i o n a l r e s e a r c h : C l e a n i n g u p a m e s s y c o n s t r u c t . B M W . 6 2 . 3 . 3 0 7 - 3 3 2 . P o l y a , G . ( 1 9 6 3 ) . A m e r i e a n M e t h e m a t i e e l M e n t h l y , 1 0 , 6 0 5 - 6 1 9 . P r a w a t , R . ( 1 9 8 9 ) . T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g : T h r e e k e y a t t r i b u t e s . W e 5 , 4 , 3 1 5 - 3 2 8 . S c h m i d t , W . & K e n n e d y , M . ( 1 9 9 0 ) . h r ' n d T - - i f A n t . o - . - r . o n ‘ o o - T a u - ' - . o o I I I I - I : ( R e s e a r c h R e p o r t 9 0 - 4 ) . E a s t L a n s i n g : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . S c h o e n f e l d . A - ( E d ) ( 1 9 9 0 ) . W i s e I e e e h j n g . U S A : M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . S c h r a m , P . , W i l c o x , S , L a n i e r , P , 8 . L a p p a n , G . ( 1 9 8 8 ) . S h e h g j n g H - - ‘ t h v i - o n C - o 0 ] ' . - 3 L ; : 3 . l v ' A ' “ I 3 . 1 . E e d e g g g i e e U n t e n L e n t i e n ( R e s e a r c h R e p o r t 8 8 - - 4 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . 2 8 7 S e i d m a n , l . ( 1 9 9 1 ) . I n t e r v i e w i n g e e Q u a l i t a t i v e R e s e a r e h : A S u i d e f e r R e e e e r e h e r s i n E d u e a t i o n a n d t h e S o c i a l S c i e n c e s . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . S i m o n , M . ( i n p r e s s ) . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d l e a r n i n g t o t e a c h : L e a r n i n g c y c l e s i n m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . E d u c a t i e n a l t i e i n M h e m a t i c s . S i m o n , M . ( 1 9 9 3 ) . R e c o n s t r u c t i n g M a t h e m a t i c s P e d a g o g y f r e m a S o n s t r u c t i v i s t P e r s p e c t i v e . W o r k i n g D r a f t . P e n n s y l v a n i a S t a t e U n i v e r s i t y . S k e m p , R . ( 1 9 8 7 ) . T h e P s y c h o l o g y o f L e a r n i n g M a t h e m e t i e s . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s . S t a r k , J . , L o w t h e r , M . , R y a n , M . , B o m o t t i , S . , G e n t h o n , M . , H a v e n , 0 . , & M a r t e n s , G . ( 1 9 8 8 ) . R e f l e t i o n o n o u r P l n n i n : F l n S t u d e n t e S e n e i d e r l n f l u e n e e e e n d S o e l s . A n n A r b o r , M I : N a t i o n a l C e n t e r t o I m p r o v e P o s t s e c o n d a r y T e a c h i n g a n d L e a r n i n g . S t o n e , M . H . ( 1 9 7 2 ) . R e m a r k s o n t h e t e a c h i n g o f l o g i c . I n W . L a m o n ( E d . ) , L e e r n i n g e n d t h e N e t u r e e f M a t h e m e t i e e . U S A : S c i e n c e R e s e a r c h A s s o c i a t e s . S u r v e y o f M a t h e m a t i c s a n d S c i e n c e O p p o r t u n i t i e s ( 1 9 9 2 ) . T e e e h e r n x e s i o n n a i r e s a n R u n d N o ( R e s e a r c h R e p o r t S e r i e s N o . 5 5 ) . E a s t L a n s i n g , M I : T h i r d I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c s a n d S c i e n c e S t u d y . T h o m p s o n , A . ( 1 9 8 4 ) . T h e r e l a t i o n s h i p o f t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . E d u e e t i e n e l S t u d i e e i n M e t h e m e t i e § , 1 _ 5 _ , 1 0 5 - 1 2 7 . T h o m p s o n , A . ( 1 9 9 2 ) . I n D . G r o u w s ( E d . ) , _ l - l _ fl 1 _ d _ b e e l t _ e t _ B e _ s e e t e h _ o n W m N e w Y o r k : M a c m i l l a n - U n d e r h i l l , R . ( 1 9 9 1 ) . L e a r n i n g t o t e a c h : T h e p r o g r a m d i r e c t o r ' s r e s p o n s e . r l f r i n T h i n . 1 1 , 7 3 - 7 9 . U n I v e r s i t y 0 ‘ C h i c a g o ( 1 9 9 2 ) W W W E j e m e n t e n L S e h e e L ' L e e e h e L e . R e p o r t o f a c o n f e r e n c e h e l d a t t h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o . C h i c a g o , I L : T h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o . 2 8 8 W e i s s g l a s s , J . ( 1 9 7 7 ) . M a t h e m a t i c s f o r e l e m e n t a r y t e a c h i n g : A s m a l l - g r o u p l a b o r a t o r y a p p r o a c h . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y fl ( 5 ) , 3 7 7 - 3 8 2 . W i l c o x , S . , L a n i e r , P . , S c h r a m , P . , & L a p p a n , G . ( 1 9 9 2 ) . I n f l u e n c i n g i n n i n h r s ' P r a i c e i n M a h e m a t i c s E d u a t i o n : n f r n i n o r a i o f K n o w l e d B e l i e f s a n d o n t e x t ( R e s e a r c h R e p o r t 9 2 - 1 ) . E a s t L a n s i n g , M I : N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . W o r t h , J . ( E d . ) . ( 1 9 8 8 ) . P r e p e r i n g E l e m e n t e t y S c h e o l M e t h e m e t i e e T e a e h e r e . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s .