- i ; J . . . ; . . . 3 : v : . . . 9 . t . E . . I . : . . . . . 5 . 5 . 2 . 2 8 1 . i - a . r V ! ! . n ! h n t i i ) . 4 . $ ( 9 . h . . . 1 . . . . . . . z . . ! . . . . . . . . . J . . 1 . . . . . . . . . : . 5 2 ¢ 1 5 A 1 ‘ t . : I . . . 1 } ; . n o . h . A J . . 9 - 3 3 \ . 1 . . 4 l [ r a F « 3 ( . “ { ! _ " . n n i w m u 3 fi J m t . 2 fi . . % . . . 1 2 ‘ . . 4 . 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . 5 . . ‘ 5 3 3 . 3 1 . 5 3 p ( . e s ; u s 3 i . ! . 5 . 3 . i u . t . A e . n h 9 1 . 1 5 , . , _ . . . . : . . . . . n . a I . : . 3 . . a . n J - w L I . L . ~ ? 5 . 1 : , y . M . . I . . . : : \ 5 . y 1 ‘ ‘ A h i 1 h t r » : A 1 L . : 4 0 r 9 ~ : a : ‘ y . ‘ . . . . . ~ . . . ‘v 3‘ r ! . 3 ‘ ‘ ’ 5 . “ m i fi u g . “ M a " " 2 . 4 ! ! v a i 3 : 1 1 ' 1 : » : . ’ - u n f i t » , : l t l l r - : . . . \ O . . l . v \ . . . . 6 - 4 . . M S U i s a n A f f i r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 M l L h n c U I i i B g v R a r e n A s R S i t Y t y a t e " ' ' , l / / I / / / / / I / I I l I M / W I / “ l ’ i l / l i / T M I I Z / M " ‘ . / , v f 9 4 1 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d C o n s u m e r B e h a v i o r a n d W e l f a r e M e a s u r e m e n t U n d e r U n c e r t a i n t y : T h e o r y a n d E m p i r i c a l E v i d e n c e f r o m S e n e g a l p r e s e n t e d b y A l i o u D i a g n e . . ~ _ - - , , . h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . d e g r e e i n A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s a n d E c o n o m i c s E r i c C r a n d J o h n S t r a u s s M a j o r p r o f e s s o r D a t e O c t o b e r 2 5 , 1 9 9 4 P 1 L 0 ’ A A C V E O l l l D R F E I T N U E R S N M B u O m X t o o n m r o a b v a o t o t n h d b u M o u . d u o m y o u r e c o r d . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E e m M S U l o A n N fl m a t l v o W W O p p o n w k y l m 1 C O N S U N I E R B E H A V I O R A N D W E L F A R E M E A S U R E M E N T U N D E R U N C E R T A I N T Y : T H E O R Y A N D E M P I R I C A L E V I D E N C E F R O M S E N E G A L V o l u m e I B y A l i o u D i a g n e A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s a n d D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s 1 9 9 4 A B S T R A C T C O N S U M E R B E H A V I O R A N D W E L F A R E M E A S U R E M E N T U N D E R U N C E R T A I N T Y : T H E O R Y A N D E M P I R I C A L E V I D E N C E F R O M S E N E G A L B y A l i o u D i a g n e I n t h i s d i s s e r t a t i o n w e a n a l y z e t h e o r e t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y h o w p r i c e u n c e r t a i n t y a f f e c t s s u b s t i t u t i o n a m o n g c o m m o d i t i e s b y w o r k i n g w i t h i n a g e n e r a l m u l t i v a r i a t e f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . T h i s f r a m e w o r k c a n h a n d l e m u l t i p l e s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y a s w e l l a s " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y p r e f e r e n c e s , i n c o n t r a s t t o t h e p r e v a l e n t u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k . W e h a v e e x t e n d e d t h e m a i n r e s u l t s o f d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y t o u n c e r t a i n t y , i n c l u d i n g R o y ’ s i d e n t i t y , S h e p h a r d ’ s l e m m a , t h e S l u t s k y e q u a t i o n , a n d a c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t t h a t g e n e r a l i z e s t h e s y m m e t r y a n d n e g a t i v i t y c o n d i t i o n s o f t h e S l u t s k y m a t r i x . W e h a v e a l s o d e r i v e d e l a s t i c i t y f o r m u l a s w h i c h g e n e r a l i z e t h e o n e s f o r d e t e r m i n i s t i c m o d e l s . I n b o t h t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s a n d t h e e l a s t i c i t y f o r m u l a s , w e h a v e d i s e n t a n g l e d t h e e f f e c t s d u e t o a t t i t u d e s t o w a r d r i s k f r o m t h e u s u a l o n e s t h a t a r e d u e t o t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e , a n d w h i c h o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . W e h a v e a l s o e x t e n d e d t h e s t a n d a r d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s ( e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , l i v i n g s t a n d a r d i n d e x , a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d e x ) t o u n c e r t a i n t y , a n d h a v e d e r i v e d n e w m e a s u r e s o f r i s k p r e m i u m a n d c o s t o f r i s k . W e a l s o s h o w h o w t o g e n e r a t e ” fl e x i b l e " i n t e g r a b l e d e m a n d s y s t e m s i n t h e c o n t e x t o f p r i c e u n c e r t a i n t y . A n e x t e n s i o n t o u n c e r t a i n t y o f t h e A l m o s t I d e a l D e m a n d S y s t e m ( A I D S ) w a s e s t i m a t e d u s i n g f o o d c o n s u m p t i o n d a t a f r o m a t w o - y e a r s u r v e y i n S e n e g a l c o l l e c t e d b y t h e I n s t i t u t S é n é g a l a i s d e R e c h e r c h e s A g r i c o l e s a n d t h e I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e . F o r e a c h h o u s e h o l d i n t h e s a m p l e w e e s t i m a t e d t h e r i s k a n d n o n r i s k e l a s t i c i t y m a t r i c e s , a n d t h e c o n s u m p t i o n , w e l f a r e , a n d r i s k i m p a c t s o f t h e r e c e n t d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c , a n d d i s c u s s e d t h e i r p o l i c y i m p l i c a t i o n s . A m a j o r fi n d i n g w a s t h a t h i g h e r f o o d p r i c e s w o u l d h a v e a s t r o n g ( n e g a t i v e ) i n c o m e e f f e c t o u t w e i g h i n g t h e s u b s t i t u t i o n e f f e c t . T h u s , t h e g o v e r n m e n t ’ s p o l i c y o f r a i s i n g t h e r i c e p r i c e i s u n l i k e l y t o s i g n i f i c a n t l y i n c r e a s e t h e d e m a n d f o r t h e l o c a l l y p r o d u c e d c e r e a l s . A l t h o u g h t h e i r m a g n i t u d e s w e r e n e g l i g i b l e , t h e p r i c e - r i s k e f f e c t s w e r e a l s o f o u n d t o d a m p e n t h e o v e r a l l s u b s t i t u t i o n e f f e c t . F i n a l l y , t h e w e l f a r e i m p a c t o f t h e d e v a l u a t i o n w a s f o u n d t o b e p o s i t i v e ( n e g a t i v e ) f o r a l l r u r a l ( u r b a n ) i n c o m e q u a r t i l e s . H o w e v e r , t h e l o w e s t u r b a n i n c o m e q u a r t i l e w a s t h e h a r d e s t h i t . C o p y r i g h t b y A l i o u D i a g n e 1 9 9 4 D e d i c a t e d T o T h e M e m o r y o f C h e i k h A n t a D i o p . M y E t e r n a l T e a c h e r i n L i f e a n d S o u r c e o f I n s p i r a t i o n . A C K N O W L E D G M E N T S I w o u l d l i k e t o t h a n k a n d a c k n o w l e d g e g r a t e f u l l y t h e h e l p o f m a n y i n d i v i d u a l s a n d i n s t i t u t i o n s w h o m a d e p o s s i b l e t h e c o m p l e t i o n o f t h e d i s s e r t a t i o n . T h e p e r s o n I o w e t h e g r e a t e s t d e b t t o i s D r . E r i c C r a w f o r d , m y a c a d e m i c a d v i s e r a n d o n e o f t h e t h e s i s d i r e c t o r s , w h o g u i d e d m e d u r i n g m y g r a d u a t e s t u d i e s a n d h e l p e d m e d e v e l o p p r o f e s s i o n a l l y . H i s m o r a l s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t w a s v e r y p r e c i o u s d u r i n g t h e w r i t i n g o f t h e t h e s i s . T o h i m , I s a y m y d e e p g r a t i t u d e c a n n o t b e e x p r e s s e d i n w o r d s . D r . J o h n S t r a u s s , m y o t h e r t h e s i s d i r e c t o r , i s t h e o t h e r p e r s o n t o w h o m I o w e a g r e a t d e b t . H e c a m e t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y a t a c r u c i a l t i m e i n t h e w r i t i n g o f t h e d i s s e r t a t i o n . I w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y d e e p g r a t i t u d e t o h i m f o r h i s v a l u a b l e a d v i c e a n d t h e s p e c i a l a t t e n t i o n h e h a s g i v e n m e s i n c e t h e n . I a l s o t h a n k t h e o t h e r m e m b e r s o f m y d i s s e r t a t i o n c o m m i t t e e , D r . P e t e r S c h m i d t , D r . J o h n S t a a t z , a n d D r . R o b e r t M e y e r , f o r t h e i r c r i t i c a l a n d c o n s t r u c t i v e c o m m e n t s w h i c h h e l p e d i m p r o v e t h e w o r k p r e s e n t e d i n t h e d i s s e r t a t i o n . H o w e v e r , I a l o n e b e a r r e s p o n s i b i l i t y f o r a n y r e m a i n i n g e r r o r s a n d s h o r t c o m i n g s . I w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y g r a t i t u d e t o t h e I n s t i t u t S é n é g a l a i s d e R e c h e r c h e s A g r i c o l e s ( I S R A ) a n d t h e I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e ( I F P R I ) f o r g i v i n g m e f u l l a c c e s s t o t h e d a t a s e t c o l l e c t e d b y t h e I S R A / I F P R I p r o j e c t . M y t h a n k s g o p a r t i c u l a r l y t o t h e p r o j e c t ’ s e c o n o m i s t s D r . V a l e r i e K e l l y , B o c a r D i a g a n a , A m a d o u A b d o u l a y e F a l l , a n d A s t o u D a k o n o , f o r g e n e r o u s l y h e l p i n g m e u n d e r s t a n d t h e d a t a s e t . D r . V a l e r i e K e l l y d e s e r v e s a s p e c i a l t h a n k s f o r h e r c o n t i n u o u s e n c o u r a g e m e n t a n d h e l p “ d u r i n g t h e w r i t i n g o f t h e d i s s e r t a t i o n . M y g r a t i t u d e g o e s a l s o t o t h e R o c k e f e l l e r F o u n d a t i o n f o r f u n d i n g m y d i s s e r t a t i o n fi e l d w o r k i n S e n e g a l t h r o u g h t h e A f r i c a n D i s s e r t a t i o n I n t e r n s h i p P r o g r a m . I w o u l d l i k e t o t h a n k M a m a d o u S i d i b é , t h e c o o r d i n a t o r o f t h e B u r e a u d ’ A n a l y s e s M a c r o é c o n o m i q u e s ( B A M E ) , f o r v i a r r a n g i n g m y s t a y a t I S R A . T h a n k s a l s o t o t h e B A M E ’ s s t a f f , e s p e c i a l l y B a b a c a r F a y e , A l i o u n e D i e n g , B o c a r D i a g a n a , a n d A m a d o u A b d o u l a y e F a l l , f o r t h e n u m e r o u s s e r v i c e s r e n d e r e d a n d w a r m w e l c o m e . M y s p e c i a l t h a n k s g o t o K a r i m D i a l l o , m y f r i e n d A l i o u n e N d o n g , a n d m y y o u n g b r o t h e r M a t a r D i a g n e f o r t h e a s s i s t a n c e a n d v a l u a b l e h e l p I r e c e i v e d f r o m t h e m i n t h e c o l l e c t i o n o f i n f o r m a t i o n i n D a k a r a n d d u r i n g m y v i s i t s t o t h e v i l l a g e s i n t h e I S R A / I F P R I s a m p l e . M y d e e p g r a t i t u d e g o e s t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , e s p e c i a l l y t o t h e F o o d S e c u r i t y P r o j e c t o f t h e D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s w h i c h , i n c o l l a b o r a t i o n w i t h t h e I n s t i t u t d u S a h e l a n d u n d e r t h e fi n a n c i a l s u p p o r t o f t h e U n i t e d S t a t e s A g e n c y f o r I n t e r n a t i o n a l D e v e l o p m e n t , f u n d e d m y d o c t o r a l s t u d i e s t h r o u g h t h e P r o g r a m m e R é g i o n a l d e R e n f o r c e m e n t I n s t i t u t i o n n e l e n M a t i e r e d e R e c h e r c h e s s u r l a S é c u r i t é A l i m e n t a i r e a u S a h e l ( P R I S A S ) . I w o u l d l i k e e s p e c i a l l y t o t h a n k t h e p e r s o n s i n v o l v e d i n t h e p r o g r a m , D r . J o h n S t a a t z , D r . J o s u e D i o n é , a n d D r . M i k e W e b e r , t h e d i r e c t o r o f t h e F o o d S e c u r i t y P r o j e c t . M y t h a n k s g o a l s o t o a l l t h e A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s D e p a r t m e n t s t a f f a n d g r a d u a t e s t u d e n t s , e s p e c i a l l y t o S h e r r y R i c h , P a t r i c i a E i s e l e , a n d C y n t h i a P h i l l i p s f o r t h e i r k i n d n e s s , a n d C h r i s W o l f a n d E l i z a b e t h B a r t i l s o n f o r t h e p r e c i o u s c o m p u t e r s u p p o r t I h a v e r e c e i v e d f r o m t h e m . M y e x p r e s s i o n o f g r a t i t u d e a l s o t o D r . M a r y T . N i a n e a n d D r . S a k h i r T h i a r n , m y f o r m e r M a t h e m a t i c s t e a c h e r s a t C h e i k h A n t a D i o p U n i v e r s i t y i n D a k a r , a n d t o D r . C h a r l e s B e c k e r P r e s i d e n t o f t h e E c o n o m i c s I n s t i t u t e o f B o u l d e r , C o l o r a d o , f o r h i s c o n t i n u o u s t r u s t a n d i n t e r e s t i n m y a c a d e m i c a n d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . T h a n k s a l s o t o m y S e n e g a l e s e f r i e n d s w h o h a v e b e e n w i t h m e a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , e s p e c i a l l y O u s s e y n o u N d o y e , B o u b a c a r B a r r y , A l i o u n e F a l l , a n d O u s m a n e N d i a y e . F i n a l l y , b u t m o s t i m p o r t a n t l y , m y d e e p e s t t h a n k s g o t o m y p a r e n t s , b r o t h e r s , a n d s i s t e r , w h o h a v e s u p p o r t e d m e b o t h m o r a l l y a n d fi n a n c i a l l y d u r i n g a l l m y s t u d i e s . v i i T A B L E O F C O N T E N T S C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . 1 T h e o r e t i c a l c o n t r i b u t i o n s o f t h e t h e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 . 2 O r g a n i z a t i o n o f t h e D i s s e r t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 2 S T A T I C C O N S U M E R B E H A V I O R U N D E R P R I C E U N C E R T A I N T Y . . . . . . . . . 2 0 2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 . 1 . 1 M a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n fi n i t e a n d i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e p r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 . 1 . 2 O r g a n i z a t i o n o f t h e c h a p t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2 . 2 T h e C o n c e p t u a l a n d M a t h e m a t i c a l F r a m e w o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 . 2 . 1 T h e C o n s u m e r ’ s u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t , " b e l i e f s " , a n d " e x p e c t a t i o n s " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 . 2 . 2 T h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e a m o n g r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2 . 2 . 3 S t r u c t u r e o f t h e c o n s u m p t i o n s p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 . 2 . 4 C h o i c e o f p r i c e f u n c t i o n a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 2 . 2 . 5 " C h a n g e s " a n d e x p e c t e d c h a n g e s i n r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s a n d p r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 2 . 2 . 6 M e a s u r e s o f t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e r i s k i n i t s c o n s u m p t i o n c h o i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 2 . 2 . 7 T h e B u d g e t c o n s t r a i n t u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y . . . . . . . . . . . . . 4 1 2 . 2 . 8 B e h a v i o r a l a s s u m p t i o n s a n d u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 2 . 3 D e m a n d F u n c t i o n a l s i n L 2 6 2 , 1 1 “ ) “ a n d D u a l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 2 . 3 . 1 E x i s t e n c e o f C o n t i n u o u s D e m a n d F u n c t i o n a l s o n L 2 “ ) , R “ ) , + x R + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 2 . 3 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e I n d i r e c t U t i l i t y f u n c t i o n a l a n d R o y ’ s I d e n t i t y . . . 4 6 2 . 3 . 3 P r o p e r t i e s o f t h e E x p e n d i t u r e E m o t i o n a l a n d S h e p h a r d ’ s L e a n n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 2 . 4 C o m p a r a t i v e S t a t i c s : T h e S l u t s k y p r i c e - s u b s t i t u t i o n m a t r i x u n d e r u n c e r t a i n t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 2 . 4 . 1 G l o b a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 2 . 4 . 2 D i f f e r e n t i a l o r l o c a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 2 . 5 T h e c o n s u m e r ’ s " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e t o p r i c e - r i s k . . . . . . . . . . . . . . 6 1 2 . 5 . 1 R i s k a v e r s i o n a n d t h e " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e t o r i s k . . . . . . . 6 2 2 . 5 . 2 M e a s u r e s o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e s t o p r i c e - r i s k . . . . . . . 6 4 2 . 5 . 3 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k e f f e c t s f r o m t h e n o n r i s k e f f e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 2 . 5 . 3 . 1 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e u n c o m p e n s a t e d ” p r e c a u t i o n a r y " r i s k e f f e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 v i i i C H A P T E R 2 . 5 . 3 . 2 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 2 . 5 . 3 . 3 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k a v e r s i o n e f f e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9 2 . 5 . 3 . 4 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k e f f e c t s i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0 2 . 6 M e a s u r e s o f p r i c e , e x p e n d i t u r e , a n d p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s . . . . . . 7 2 2 . 6 . 1 E l a s t i c i t y m e a s u r e s f o r m a r g i n a l c h a n g e i n r a n d o m p r i c e s . . . . . 7 3 2 . 6 . 2 E l a s t i c i t y m e a s u r e s f o r n o n - m a r g i n a l c h a n g e i n r a n d o m p r i c e s . . . 7 6 2 . 7 M e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s u n d e r u n c e r t a i n t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 2 . 7 . 1 T h e m o n e y - m e t r i c o r c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l s . . . . . . . . . . . . 8 0 2 . 7 . 2 T h e e q u i v a l e n t a n d c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n s u n d e r u n c e r t a i n t y . . . 8 3 2 . 7 . 3 L i v i n g s t a n d a r d s a n d C o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . . . 8 4 2 . 7 . 4 M e a s u r e s o f t h e s e n s i t i v i t y o f t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e t o p r i c e - r i s k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 2 . 7 . 4 . 1 M e a s u r e s o f r i s k p r e m i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 2 . 7 . 4 . 2 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e r i s k p r e m i u m f r o m t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0 2 . 7 . 4 . 3 R i s k p r e m i u m a n d c o s t - o f - r i s k i n d i c e s . . . . . . . . . . . 9 1 2 . 7 . 4 . 3 A m a t r i x m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n . . . . . . . . . . . . . . 9 2 2 . 8 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 3 E X A M P L E S O F U T I L I T Y F U N C T I O N A L S A N D T H E I M P L I E D R E S T R I C T I O N S O N B E L I E F S , E X P E C T A T I O N S , B E H A V I O R , A N D W E L F A R E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 3 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 3 . 2 F i r s t o r d e r n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r o p t i m a l i t y f o r a u t i l i t y d e fi n e d i n L 2 “ ) , R “ ) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 3 . 3 T h e s p e c i a l c a s e o f a n e x p e c t e d u t i l i t y m a x i m i z i n g c o n s u m e r . . . . . . . . . . 1 0 2 3 . 3 . 1 T h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5 3 . 3 . 2 E x a m p l e s o f u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s . . . . . . . . . . 1 0 6 3 . 3 . 2 . 1 D e m a n d f u n c t i o n f o r C R R A e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . 1 0 7 3 . 3 . 2 . 2 D e m a n d f u n c t i o n a l f o r t h e C A R A e x p e c t e d u t i l i t y . . . . 1 1 2 3 . 3 . 3 E x a m p l e s o f m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s . . . . . . . . . 1 1 5 3 . 3 . 3 . 1 M u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e ( C R A ) e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 3 . 3 . 3 . 1 . 1 D e m a n d f u n c t i o n a l s f o r t h e C o b b - D o u g l a s e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 3 . 3 . 3 . 1 . 2 D e m a n d f u n c t i o n a l s f o r t h e L o g - l i n e a r e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 3 . 3 . 3 . 2 M u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e C A R A e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 3 . 4 E x a m p l e s o f n o n - e x p e c t e d u t i l i t y , e x p e n d i t u r e a n d d e m a n d f u n c t i o n a l s . . . . 1 3 7 3 . 4 . 1 D e m a n d f u n c t i o n a l s f o r t h e C o b b - D o u g l a s n o n - e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0 3 . 4 . 2 D e m a n d f u n c t i o n a l s f o r t h e C E S n o n - e x p e c t e d u t i l i t y . . . . . . . . 1 4 7 i x C H A P T E R 3 . 5 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8 4 E X T E N S I O N T O I N T E R T E M P O R A L C O N S U M P T I O N C H O I C E S , . . . . . . . . . . . 1 4 9 4 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9 4 . 2 T h e e c o n o m i c a n d m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e o u t c o m e s p a c e . . . . . . . . 1 5 0 4 . 2 . 1 T h e o u t c o m e o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . . . . . . . . . 1 5 1 4 . 2 . 2 T h e n a t u r e o f i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n . . . . . . 1 5 4 4 . 3 T h e s t r u c t u r e s o f t h e c h o i c e s p a c e a n d c o n s u m p t i o n s e t . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 4 . 3 . 1 T h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e . . . . . . . . . . . . 1 6 2 4 . 3 . 2 T h e c o n s u m p t i o n s e t a n d t h e e x i s t e n c e o f a u t i l i t y f u n c t i o n a l . . . . 1 6 7 5 G E N E R A T I O N A N D E C O N O M E T R I C E S T I M A T I O N O F I N T E G R A B L E A N D " F L E X I B L E " D E M A N D S Y S T E M S U N D E R U N C E R T A I N T Y . . . . . . . . . . 1 7 3 5 . 1 T h e Q U A I D S f u n c t i o n a l f o r m u n d e r U n c e r t a i n t y . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 5 . 1 . 1 T h e g e n e r a l r a n k t h r e e i n t e g r a b l e Q U A I D S m o d e l . . . . . . . . . . 1 7 5 5 . 1 . 2 E l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s f o r t h e g e n e r a l Q U A I D S m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6 5 . 1 . 3 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 9 5 . 2 T h e " e x p e c t e d ” v e r s i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y . . . . . . . 1 8 0 5 . 3 T h e " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y . . . . 1 8 3 5 . 4 E c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 5 . 4 . 1 T h e E c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i s s u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 5 . 4 . 2 T h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r a n d t h e M i n i m u m C h i - s q u a r e m e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9 5 . 4 . 2 . 1 T h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r f o r c o n d i t i o n a l l y l i n e a r s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 5 . 4 . 2 . 2 T h e M i n i m u m C h i - s q u a r e E s t i m a t o r f o r i m p o s i n g c r o s s - e q u a t i o n r e s t r i c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9 6 T H E C O N S U M P T I O N B E H A V I O R A N D R I S K A T T I T U D E S O F S E N E G A L E S E H O U S E H O L D S : E M P I R I C A L E V I D E N C E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5 6 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5 6 . 2 T h e I n s t i t u t i o n a l a n d m a c r o e c o n o m i c e n v i r o n m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6 6 . 2 . 1 T h e i n s t i t u t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r . . . . . . . 2 0 7 6 . 2 . 2 T h e S e n e g a l e s e G o v e r n m e n t ’ s M a r k e t i n g a n d P r i c i n g P o l i c i e s . . . 2 0 8 6 . 3 D e s c r i p t i o n o f t h e I S R A / I F P R I s u r v e y a n d d a t a s e t . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 6 . 3 . 1 G e n e r a l d e s c r i p t i o n o f t h e s a m p l e a n d d a t a . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 6 . 3 . 2 S o m e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e . . . . . . . . 2 2 0 6 . 3 . 2 . 1 A v e r a g e l e v e l s o f h o u s e h o l d i n c o m e . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 6 . 3 . 2 . 2 H o u s e h o l d c e r e a l a n d p u l s e s t r a n s a c t i o n s . . . . . . . . . . 2 2 4 6 . 3 . 2 . 3 H o u s e h o l d f o o d c o n s u m p t i o n p a t t e m s . . . . . . . . . . . . 2 2 5 6 . 4 D a t a , e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n , a n d e m p i r i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0 6 . 4 . 1 T h e d a t a u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 0 6 . 4 . 2 E s t i m a t i o n a n d e m p r i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 6 . 4 . 2 . 1 E s t i m a t i o n o f t h e f o o d d e m a n d s y s t e m . . . . . . . . . . . 2 3 5 C H A P T E R 6 . 4 . 2 . 2 T h e e x p e c t e d a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S c o e f fi c i e n t e s t i m a t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 8 6 . 4 . 2 . 2 . 1 M o d e l s p e c i fi c a t i o n t e s t s . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 6 . 4 . 2 . 2 . 2 P r i c e a n d i n c o m e c o e f fi c i e n t s . . . . . . . . . . . 2 4 1 6 . 4 . 2 . 2 . 3 T h e c o e f fi c i e n t s a n d i m p a c t s o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 6 . 4 . 2 . 2 . 4 V u o n g ’ s m o d e l s e l e c t i o n t e s t . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 6 . 5 T h e c o n s u m p t i o n b e h a v i o r a n d r i s k a t t i t u d e s o f S e n e g a l e s e h o u s e h o l d s . . . . 2 4 7 6 . 5 . 1 N u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s . . . . . . 2 4 7 6 . 5 . 2 D i s t r i b u t i o n o f t h e h o u s e h o l d s ’ m a t r i c e s o f e l a s t i c i t y e s t i m a t e s . . 2 5 1 6 . 5 . 2 . 1 S a m p l e m e d i a n e s t i m a t e s o f t h e m a t r i c e s o f e l a s t i c i t i e s . 2 5 1 6 . 5 . 2 . 1 . 1 T h e u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s . . 2 5 1 6 . 5 . 2 . 1 . 2 T h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s . . . . . . . . . . . 2 5 6 6 . 5 . 2 . 2 V a r i a t i o n o f t h e m e d i a n e l a s t i c i t y e s t i m a t e s a c r o s s g e o g r a p h i c l o c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0 6 . 5 . 2 . 3 S a m p l e a n d z o n e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e h o u s e h o l d s ’ e l a s t i c i t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 6 . 5 . 2 . 4 V a r i a t i o n o f t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s a c r o s s i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3 6 . 6 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9 7 T H E C O N S U M P T I O N A N D W E L F A R E I M P A C T S O F T H E C F A D E V A L U A T I O N O N S E N E G A L E S E H O U S E H O L D S . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2 7 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2 7 . 2 C o m p u t a t i o n o f t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s . . . . 2 8 5 7 . 3 E v a l u a t i o n o f t h e c o n s u m p t i o n i m p a c t o f t h e C F A d e v a l u a t i o n . . . . . . . . . 2 8 7 7 . 3 . 1 C o m p a r i s o n o f t h e p o s t a n d p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s . . . . . . . 2 8 7 7 . 3 . 2 E s t i m a t e d c h a n g e s i n f o o d c o m m o d i t i e s q u a n t i t i e s d e m a n d e d a n d s h a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0 7 . 4 E v a l u a t i o n o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n . . . . . . 2 9 3 7 . 4 . 1 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s . . . . . . . . . . . 2 9 5 7 . 4 . 1 . 1 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n t o t a l w e l f a r e c h a n g e s . . . . . . . 2 9 8 7 . 4 . 1 . 2 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s . . . . 2 9 9 7 . 4 . 1 . 3 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m s a n d c o s t - o f - r i s k i n d i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 1 7 . 4 . 1 . 4 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n t o t a l c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n s . . 3 0 3 7 . 4 . 2 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s . . . . . . . 3 0 5 7 . 4 . 3 V a r i a t i o n o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s a c r o s s i n c o m e g r o u p s . . 3 1 3 7 . 4 . 3 . 1 W e l f a r e i m p a c t s a c r o s s i n c o m e g r o u p s i n r u r a l a n d u r b a n z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 7 . 4 . 3 . 2 W e l f a r e i m p a c t s a c r o s s i n c o m e g r o u p s i n m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8 7 . 5 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4 x i C H A P T E R 8 S U M M A R Y , P O L I C Y I M P L I C A T I O N S , A N D C O N C L U S I O N S . . . . . . . . . . . . . 3 2 9 8 . 1 S u m m a r y o f t h e T h e o r e t i c a l R e s u l t s a n d E c o n o m e t r i c A n a l y s i s . . . . . . . . 3 3 0 8 . 1 . 1 T h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 0 8 . 1 . 2 T h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 8 . 2 S u m m a r y o f t h e e m p i r i c a l fi n d i n g s a n d t h e i r p o l i c y i m p l i c a t i o n s . . . . . . . 3 3 4 8 . 2 . 1 E m p i r i c a l e v i d e n c e o n t h e c o n s u m p t i o n r e l a t e d i s s u e s . . . . . . . 3 3 5 8 . 2 . 1 . 1 T h e t o t a l a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s e s t i m a t e s . . . . . . . . . 3 3 5 8 . 2 . 1 . 2 T h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s . . . . . . . . . . . . . . 3 4 0 8 . 2 . 2 M e d i a n e s t i m a t e s o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 1 8 . 2 . 3 O t h e r p o l i c y - r e l e v a n t r e s e a r c h q u e s t i o n s n o t a d d r e s s e d . . . . . . . 3 4 7 8 . 3 L i m i t a t i o n s o f t h e E m p i r i c a l A n a l y s i s a n d D i r e c t i o n o f F u t u r e R e s e a r c h . . . 3 4 9 A P P E N D I C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 2 A P P E N D I X 1 S U M M A R Y O F T H E T H E O R E T I C A L R E S U L T S . . . . . . . . . . . . . . 3 5 3 A P P E N D I X 2 P R O O F S O F T H E O R E M S A N D P R O P O S I T I O N S . . . . . . . . . . . . . . 3 6 4 A P P E N D I X 3 N E C E S S A R Y F I R S T O R D E R C O N D I T I O N F O R O P T I M A L I T Y A N D D I F F E R E N T I A B I L I T Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 7 A P P E N D I X 4 C O N C E P T U A L F R A M E W O R K O F I N T E R T E M P O R A L C H O I C E U N D E R U N C E R T A I N T Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 0 A 4 . 1 A R e c o n s i d e r a t i o n o f S a v a g e ’ s C o n c e p t u a l F r a m e w o r k o f C h o i c e u n d e r U n c e r t a i n t y a n d i t s E x t e n s i o n t o I n t e r t e m p o r a l C h o i c e . . . . . . . . . . . 3 9 2 A 4 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 2 A 4 . 1 . 2 A s p e c t s o f D e c i s i o n M a k i n g : P r e f e r e n c e , B e l i e f s , P e r c e p t i o n , a n d A c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 5 A 4 . 1 . 3 R e c o n s i d e r a t i o n o f S a v a g e ’ s F r a m e w o r k . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 8 A 4 . 1 . 4 S t a t e / t i m e - d e p e n d e n t P r e f e r e n c e a n d P e r c e p t i o n . . . . . . . . . . . 4 1 3 A 4 . 1 . 5 T h e N a t u r e o f O p t i m a l C h o i c e s i n a I n t e r t e m p o r a l C o n t e x t . . . . 4 1 8 A 4 . 1 . 6 M e t h o d o l o g i c a l I m p l i c a t i o n s o f t h e C o n c e p t u a l F r a m e w o r k . . . 4 2 5 A 4 . l . 7 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 0 A 4 2 A n A x i o m a t i c F o u n d a t i o n o f I n t e r t e m p o r a l C h o i c e u n d e r U n c e r t a i n t y : . . . 4 3 3 A P P E N D I X 5 T H E " N O N - E X P E C T E D ” Q U A I D S V E R S I O N 2 . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 0 A P P E N D I X 6 D A T A A P P E N D I X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 4 A 6 1 M e t h o d s u s e d t o c o n s t r u c t t h e p r i c e s e r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 A 6 2 D a t a s e r i e s u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 9 A 6 . 3 A d d i t i o n a l d e s c r i p t i v e t a b l e s o n h o u s e h o l d s i n t h e I S R A / I F P R I S a m p l e . . 4 6 3 R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 7 x i i T a b l e 6 . 1 T a b l e 6 . 2 T a b l e 6 . 3 T a b l e 6 . 4 T a b l e 6 . 5 T a b l e 6 . 6 T a b l e 6 . 7 T a b l e 6 . 8 T a b l e 6 . 9 T a b l e 6 . 1 0 T a b l e 6 . 1 1 T a b l e 6 . 1 2 T a b l e 6 . 1 3 T a b l e 6 . 1 4 T a b l e 6 . 1 5 T a b l e 7 . 1 T a b l e 7 . 2 T a b l e 7 . 3 T a b l e 7 . 4 T a b l e 7 . 5 T a b l e 7 . 6 L I S T O F T A B L E S F o o d , n o n - f o o d , t o t a l e x p e n d i t u r e s , a n d t o t a l i n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 C e r e a l s a n d P u l s e s t r a n s a c t i o n s p e r a d u l t e q u i v a l e n t : V a r i a t i o n a c r o s s z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 F o o d a n d n o n - f o o d s h a r e s o f t o t a l e x p e n d i t u r e : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 F o o d p r o d u c t s s h a r e s o f t o t a l f o o d b u d g e t : V a r i a t i o n a c r o s s z o n e s . . . . 2 2 7 F o o d p r o d u c t s s h a r e s o f t o t a l f o o d b u d g e t : V a r i a t i o n a c r o s s i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 8 C h a r a c t e r i s t i c s o f h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e : C o n s u m p t i o n a n d p r o d u c t i o n p a t t e r n s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 F o o d ( c o n s u m e r ) p r i c e s : Z o n e m e a n p r i c e s ( c o e f fi c i e n t o f v a r i a t i o n i n p a r e n t h e s i s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1 P e r c a p i t a f o o d b u d g e t ( fi r s t s t a g e ) a n d f o o d s h a r e r e g r e s s i o n s . . . . . . . 2 3 7 P r i c e a n d i n c o m e c o e f fi c i e n t s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 0 T h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s p a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2 P r e - d e v a l u a t i o n m e d i a n u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s . . . . . . . . . . . . 2 5 2 P r e - d e v a l u a t i o n m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 P r e - d e v a l u a t i o n m e d i a n u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : R u r a l v e r s u s u r b a n z o n e s . . 2 6 1 P r e - d e v a l u a t i o n m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : R u r a l v e r s u s u r b a n z o n e s . . . . . . . . . 2 6 2 " E x p e c t e d " A I D S p r e — d e v a l u a t i o n t o t a l c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r c o a r s e g r a i n s a n d r i c e : V a r i a t i o n a c r o s s i n c o m e g r o u p s . . . 2 7 7 P o s t - d e v a l u a t i o n m e d i a n u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s . . . . . . . . . . . . 2 8 8 P o s t - d e v a l u a t i o n m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9 P o s t - d e v a l u a t i o n m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : R u r a l v e r s u s u r b a n z o n e s . . . . . . . . . 2 9 2 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s . . . . . . . . . . . . 2 9 6 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : V a r i a t i o n a c r o s s i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4 x i i i T a b l e 7 . 7 T a b l e 7 . 8 T a b l e 7 . 9 T a b l e 7 . 1 0 T a b l e A 6 . 1 T a b l e A 6 . 2 T a b l e A 6 . 3 T a b l e A 6 . 4 T a b l e A 6 . 5 T a b l e A 6 . 6 T a b l e A 6 . 7 T a b l e A 6 . 8 T a b l e A 6 . 9 T a b l e A 6 . 1 0 T a b l e A 6 . 1 1 T a b l e A 6 . 1 2 T a b l e A 6 . 1 3 W e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t v i l l a g e s b y i n c o m e g r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 9 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d a s % o f t h e p e r c a p i t a f o o d b u d g e t : b y i n c o m e g r o u p s , c o n s u m p t i o n , a n d p r o d u c t i o n p a t t e r n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 0 T h e l i v i n g s t a n d a r d a n d r i s k p r e m i u m i n d i c e s : b y i n c o m e g r o u p s , c o n s u m p t i o n , a n d p r o d u c t i o n p a t t e r n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 T h e c o s t - o f - l i v i n g a n d c o s t - o f - r i s k i n d i c e s : b y i n c o m e g r o u p s , c o n s u m p t i o n , a n d p r o d u c t i o n p a t t e r n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 2 C h a r a c t e r i s t i c s o f h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e : E t h n i c o r i g i n a n d S e x o f t h e h e a d o f h o u s e h o l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 4 C h a r a c t e r i s t i c s o f h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e : H o u s e h o l d p o p u l a t i o n . . . . 4 6 5 C h a r a c t e r i s t i c s o f h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e : C o n s u m p t i o n a n d p r o d u c t i o n p a t t e r n s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 6 I n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t b y s o u r c e s : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 7 S h a r e s o f n e t i n c o m e b y s o u r c e s : R u r a l v e r s u s u r b a n z o n e s . . . . . . . . . 4 6 8 S h a r e s o f n e t i n c o m e b y s o u r c e s : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 9 S h a r e s o f n e t i n c o m e b y s o u r c e s : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t v i l l a g e s , v e r s u s u r b a n z o n e s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 0 P r o d u c t i o n a n d v a l u e o f m a j o r c r o p s p e r a d u l t e q u i v a l e n t : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 1 M a j o r s o u r c e s o f c r o p p i n g ( g r o s s ) i n c o m e : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 2 M a j o r s o u r c e s o f c r o p p i n g ( g r o s s ) i n c o m e : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t v i l l a g e s b y i n c o m e g r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 3 C e r e a l s a n d P u l s e s t r a n s a c t i o n s p e r a d u l t e q u i v a l e n t : V a r i a t i o n a c r o s s s e a s o n s a n d y e a r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 4 L i v e s t o c k t r a n s a c t i o n s a n d h o l d i n g s : V a r i a t i o n a c r o s s z o n e s . . . . . . . . 4 7 5 L i v e s t o c k t r a n s a c t i o n s a n d h o l d i n g s : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s b y i n c o m e g r o u p i n n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 6 x i v F i g u r e 6 . 1 F i g u r e 6 . 2 ' F i g u r e 6 . 3 F i g u r e 6 . 4 F i g u r e 6 . 5 F i g u r e 6 . 6 F i g u r e 6 . 7 F i g u r e 6 . 8 F i g u r e 6 . 9 F i g u r e 6 . 1 0 F i g u r e 6 . 1 1 F i g u r e 6 . 1 2 F i g u r e 6 . 1 3 F i g u r e 6 . 1 4 F i g u r e 7 . 1 F i g u r e 7 . 2 F i g u r e 7 . 3 F i g u r e 7 . 4 F i g u r e 7 . 5 F i g u r e 7 . 6 F i g u r e 7 . 7 L I S T O F F I G U R E S S e n e g a l : I n s t i t u t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f t h e p e a n u t s e c t o r ( 1 9 8 6 - 9 2 ) . . . . . . 2 0 9 S e n e g a l : I n s t i t u t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f t h e c o t t o n s e c t o r ( 1 9 7 5 - 1 9 9 2 ) . . . 2 1 0 A g r o c l i m a t i c a n d s t u d y z o n e s c o v e r e d b y t h e I S R A / I F P R I s u r v e y . . . . . 2 1 7 T h e q u e s t i o n a i r e s a n d t i m i n g o f t h e I S R A \ I F P R I s u r v e y . . . . . . . . . . . 2 1 8 S a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c o a r s e g r a i n s a n d r i c e p r i c e e l a s t i c i t i e s : h i s t o g r a m s a n d s a m p l e s t a t i s t i c s . . . . . . . . . . . . 2 6 4 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e : B o x p l o t d i a g r a m s b y z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y z o n e . . . . . . . . . . . . . 2 6 8 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y m a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . 2 6 9 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e : B o x p l o t d i a g r a m s b y M a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . 2 7 0 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c r o s s — p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y m a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 5 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . 2 7 6 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p e r c e n t a g e w e l f a r e c h a n g e ( e q u i v a l e n t v a r i a t i o n ) a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d e x : h i s t o g r a m a n d s a m p l e s t a t i s t i c s . . . . . 3 0 7 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n w e l f a r e : B o x p l o t d i a g r a m s b y z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 9 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o s t - o f - f o o d i n d e x : B o x p l o t d i a g r a m s b y z o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 0 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n w e l f a r e : B o x p l o t d i a g r a m s b y M a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o s t — o f - f o o d i n d e x : B o x p l o t d i a g r a m s b y M a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 2 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n w e l f a r e : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o s t - o f - f o o d i n d e x : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e . g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 6 X V B C E A O C F A C S A C P S P E P I F P R I I S R A M S U U M O A U S A I D A B B R E V I A T I O N S B a n q u e C e n t r a l e d e s E t a t s d e l ’ A f r i q u e d e l ’ O u e s t C o m m u n a u t é F i n a n c i e r e A f r i c a i n e C o m m i s s a r i a t a l a S é c u r i t é A l i m e n t a i r e C a i s s e d e P é r é q u a t i o n e t d e S t a b i l i z a t i o n d e s P r i x E n q u é t e s s u r l e s P r i o r i t é s I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e I n s t i t u t S é n é g a l a i s d e R e c h e r c h e s A g r i c o l e s M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y U n i o n M o n é t a i r e O u e s t A f r i c a i n U n i t e d S t a t e s A g e n c y f o r I n t e r n a t i o n a l D e v e l o p m e n t x v i C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N T h e f a i l u r e o f S e n e g a l ’ s a g r i c u l t u r a l p o l i c y u n d e r t h e d e c a d e - l o n g s t r u c t u r a l a d j u s t m e n t p r o g r a m t o d e c r e a s e t h e c o n s u m p t i o n o f i m p o r t e d r i c e a n d b o o s t t h e d o m e s t i c p r o d u c t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s h a s r a i s e d t h e f o l l o w i n g t h r e e q u e s t i o n s : 1 ) A r e i m p o r t e d r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s r e a l l y s u b s t i t u t e s i n c o n s u m p t i o n ? 2 ) A r e p e a n u t s a n d c o a r s e g r a i n s s u b s t i t u t e s i n p r o d u c t i o n ? 3 ) W h y d o c o n s u m e r s i n g e n e r a l a n d u r b a n o n e s i n p a r t i c u l a r n o t s e e m t o r e s p o n d t o p r i c e i n c e n t i v e s ? W h i l e t h e fi r s t q u e s t i o n h a s b e e n r a i s e d s i n c e t h e b e g i n n i n g o f t h e a d j u s t m e n t p r o c e s s , w h e n e a r l y e m p i r i c a l e v i d e n c e f r o m R o s s ( 1 9 8 0 ) s u g g e s t e d t h a t r i c e c o n s u m p t i o n w a s m a i n l y d r i v e n b y " n o n — p r i c e f a c t o r s " s u c h a s c o n v e n i e n c e i n p r e p a r a t i o n , t h e i s s u e h a s n o t b e e n s e t t l e d y e t a n d i s s t i l l b e i n g d e b a t e d i n r e s e a r c h a n d p o l i c y c i r c l e s . ‘ F o r t h e s e c o n d a n d t h i r d q u e s t i o n s , M a r t i n ( 1 9 8 8 ) , K e l l y ( 1 9 8 8 ) , G o e t z ( 1 9 9 0 ) , a n d N d o y e ( 1 9 9 2 ) h a v e p r o v i d e d s o m e e m p i r i c a l a n s w e r s . T h e fi r s t a n s w e r i s t h a t g r o w i n g p e a n u t s i s f a r m o r e p r o fi t a b l e f o r f a r m e r s c o m p a r e d t o c o a r s e g r a i n s . T h u s , i t w o u l d r e q u i r e a l a r g e i n c r e a s e i n t h e p r o d u c e r p r i c e s o f t h e c o a r s e g r a i n s b e f o r e t h e y c a n b e fi n a n c i a l l y c o m p e t i t i v e w i t h p e a n u t s ( M a r t i n , 1 9 8 8 ; a n d K e l l y , 1 9 8 8 ) . T h e s e c o n d a n s w e r i s t h a t t h e c o a r s e g r a i n s a r e v e r y d e m a n d i n g i n s o i l n u t r i e n t s , a n d a g r o n o m i c i m p e r a t i v e s r e q u i r e t h e m t o b e r o t a t e d w i t h p e a n u t s ( K e l l y , 1 9 8 8 ) . T h e t h i r d a n s w e r i s t h a t f o r s o c i o - e c o n o m i c r e a s o n s t h e c o a r s e g r a i n s a r e m o s t l y g r o w n b y h o u s e h o l d h e a d s a n d p r i m a r i l y f o r t h e ‘ S e e D i a g n e ( 1 9 9 0 ) , a n d K i t e ( 1 9 9 3 ) f o r a m o r e r e c e n t c r i t i c a l r e v i e w o f t h e e m p i r i c a l e v i d e n c e . 1 h o u s e h o l d ’ s f o o d c o n s u m p t i o n n e e d s . M e a n w h i l e , p e a n u t s e e d i s u s e d b y t h e h o u s e h o l d ’ s h e a d t o a t t r a c t a n d k e e p d e p e n d e n t a d u l t m a l e s w h o t e n d t o g r o w e x c l u s i v e l y c a s h c r o p s ( G o e t z , 1 9 9 0 ; a n d N d o y e , 1 9 9 2 ) . A l l t h e s e a n s w e r s a b s t r a c t m o r e o r l e s s f r o m t h e f u n d a m e n t a l f a c t t h a t t h e g o v e r n m e n t h a s a l w a y s g u a r a n t e e d k n o w n a n d fi x e d p r i c e s f o r b o t h p e a n u t a n d i m p o r t e d r i c e , w h i l e t h e p r i c e s f o r c o a r s e g r a i n s , w h i c h a r e s u b j e c t t o m a r k e t f o r c e s , c a n fl u c t u a t e f r o m o n e y e a r t o a n o t h e r d e p e n d i n g o n w e a t h e r c o n d i t i o n s . I n d e e d , e v e n w i t h o u t t h e a b o v e e x p l a n a t i o n s b y M a r t i n , K e l l y , G o e t z , a n d N d o y e , p r i c e u n c e r t a i n t y a l o n e m a y e x p l a i n w h y s o m e r i s k a v e r s e f a r m e r s m i g h t a l w a y s p r e f e r t o g r o w p e a n u t s a n d b u y i m p o r t e d r i c e f o r t h e i r f o o d c o n s u m p t i o n . H e n c e , o u r o r i g i n a l r e s e a r c h o b j e c t i v e w a s t o a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : H o w d o e s a ) t h e r e l a t i v e s t a b i l i t y o f t h e p r i c e o f r i c e c o n t r o l l e d b y t h e g o v e r n m e n t , a n d b ) t h e f a c t t h a t p r i c e s o f c a s h c r o p s ( p e a n u t a n d c o t t o n ) a r e k n o w n a n d g u a r a n t e e d b e f o r e p r o d u c t i o n d e c i s i o n s a r e m a d e w h i l e t h e p r i c e s o f f o o d c r o p s ( m i l l e t , s o r g h u m a n d m a i z e ) a r e u n c e r t a i n a n d d e t e r m i n e d b y d o m e s t i c m a r k e t f o r c e s , i n fl u e n c e f a r m e r s ’ f o o d s e c u r i t y s t r a t e g i e s ? A l s o , h o w w o u l d a l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t a f f e c t t h i s s t r a t e g y ? T h e d i s s e r t a t i o n i s d e a l i n g o n l y w i t h t h e c o n s u m p t i o n p a r t o f t h e s e q u e s t i o n s . M o r e p r e c i s e l y , t h e q u e s t i o n s a n s w e r e d a r e l ) t o w h a t e x t e n t a r e t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s l e v e l s o f c o n s u m p t i o n o f t h e v a r i o u s f o o d c o m m o d i t i e s d r i v e n b y d i f f e r e n c e s i n t h e l e v e l s o f u n c e r t a i n t y i n t h e i r r e s p e c t i v e p r i c e s , a n d 2 ) h o w w o u l d a l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t ( b y l e t t i n g t h e p r i c e o f r i c e fl u c t u a t e r a n d o m l y ) a f f e c t t h e l e v e l s o f c o n s u m p t i o n o f t h e v a r i o u s f o o d c o m m o d i t i e s , a s w e l l a s t h e w e l f a r e o f c o n s u m e r s ? I n o r d e r t o a n s w e r t h e fi r s t q u e s t i o n , o n e n e e d s t o d e fi n e fi r s t t h e m e a n i n g o f t h e w o r d " c h a n g e " f o r p r i c e s t h a t a r e r a n d o m . O n e a l s o n e e d s t o s e p a r a t e o u t f r o m t h e o v e r a l l c o n s u m e r ’ s r e s p o n s e t o " c h a n g e s " i n r a n d o m p r i c e s , t h e p a r t t h a t i s s t r i c t l y d u e t o t h e v a r i a b i l i g o f p r i c e s ( i . e . , t h e r i s k e f f e c t o r r e s p o n s e t o u n c e r t a i n t y ) , f r o m t h e u s u a l p a r t t h a t i s d u e t o r e l a t i v e c h a n g e i n t h e l e v e l o f p r i c e s ( i . e . , t h e " t a s t e " s u b s t i t u t i o n e f f e c t ) w h i c h o b t a i n s i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T o a n s w e r t h e s e c o n d q u e s t i o n , o n e n e e d s a g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s m e t h o d w h i c h a l l o w s o n e t o q u a n t i f y t h e i m p a c t o f a c h a n g e i n p r i c e s t h a t i n v o l v e s m o v i n g f r o m c e r t a i n t y t o u n c e r t a i n t y . B e s i d e s t h e i r r e l e v a n c e f r o m a d i s c i p l i n a r y p o i n t o f v i e w , t h e t w o q u e s t i o n s h a v e i m p o r t a n t p o l i c y i m p l i c a t i o n s w i t h r e s p e c t t o s o m e a s p e c t s o f t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t ’ s C e r e a l P o l i c y . T h e fi r s t p o l i c y i m p l i c a t i o n i s r e l a t e d t o t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : G i v e n t h e f a c t t h a t t h e C e r e a l P o l i c y i s p r e s e n t l y d e s i g n e d t o e n c o u r a g e c o n s u m e r s t o s w i t c h f r o m i m p o r t e d r i c e t o t h e l o c a l l y p r o d u c e d c o a r s e g r a i n s , i s i t n o t t h e c a s e t h a t t h e p o l i c y o f m a i n t a i n i n g a fi x e d a n d s t a b l e p r i c e f o r r i c e w h i l e c o n s u m e r s f a c e r a n d o m p r i c e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s r u n s a g a i n s t t h a t o b j e c t i v e ? T h e s e c o n d p o l i c y i s r e l a t e d t o t h e d e b a t e d i s s u e o f w h e t h e r o r n o t t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t s h o u l d i n t e r v e n e i n t h e m a r k e t f o r t h e c o a r s e g r a i n s t o s t a b i l i z e t h e i r p r i c e s o r a t l e a s t r e d u c e t h e i r fl u c t u a t i o n s . A l t h o u g h p a s t g o v e r n m e n t a t t e m p t s t o e n f o r c e o f fi c i a l l y s e t c e i l i n g a n d fl o o r p r i c e s w e r e n o t s u c c e s s f u l , t h e r e a r e s o m e p o l i c y o b s e r v e r s a n d r e s e a r c h e r s w h o a r e s t i l l a d v o c a t i n g t h e n e e d f o r s o m e c o a r s e g r a i n s p r i c e s t a b i l i z a t i o n i n o r d e r t o r e d u c e t h e w e l f a r e c o s t t o f o o d i n s e c u r e f a r m e r s r e s u l t i n g f r o m t h e fl u c t u a t i o n i n c o a r s e g r a i n s p r i c e s . T h e p o l i c y q u e s t i o n h e r e i s w h e t h e r o r n o t t h e o v e r a l l c o s t o f a n e v e n t u a l g o v e r n m e n t p r i c e s t a b i l i z a t i o n p r o g r a m i s w o r t h t h e p o t e n t i a l g a i n i n w e l f a r e f o r a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d s . I n s h o r t , t h e g e n e r a l q u e s t i o n w e a r e a s k i n g i n t h i s d i s s e r t a t i o n i s h o w d o e s p r i c e u n c e r t a i n t y a f f e c t s u b s t i t u t i o n a m o n g c o m m o d i t i e s a n d t h e w e l f a r e o f c o n s u m e r s . I n a n s w e r i n g t h i s q u e s t i o n w e f o u n d t h e s t a n d a r d u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y ( E — U ) f r a m e w o r k i n a p p r o p r i a t e . T h i s i s b e c a u s e a s a t i s f a c t o r y a n s w e r t o t h e q u e s t i o n r e q u i r e s a m u l t i v a r i a t e f r a m e w o r k t h a t c a n h a n d l e m u l t i p l e s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y , a n d t h a t a l s o h a s t h e a b i l i t y t o d i s e n t a n g l e c o m p a r a t i v e s t a t i c s e f f e c t s o f t a s t e s u b s t i t u t i o n f r o m t h e e f f e c t s o f r i s k a t t i t u d e s a n d t i m e p r e f e r e n c e . I n p a r t i c u l a r , i n t e r t e m p o r a l E - U m o d e l s g e n e r a l l y c a n n o t s e p a r a t e o u t t h e b e h a v i o r a l c o n s e q u e n c e s o f ( l ) i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n , ( 2 ) r i s k a v e r s i o n r e g a r d i n g u n c e r t a i n f u t u r e c o n s u m p t i o n a n d ( 3 ) p r e f e r e n c e o n t h e t i m i n g o f t h e r e s o l u t i o n o f t h e u n c e r t a i n t y o n f u t u r e c o n s u m p t i o n ( i . e . , e a r l y r e s o l u t i o n v e r s u s l a t e r e s o l u t i o n ) . T h e s e t h r e e a s p e c t s o f p r e f e r e n c e , w h i c h a r e c o n c e p t u a l l y d i f f e r e n t , a r e i n d i s t i n g u i s h a b l e i n t h e e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k . I n u n i v a r i a t e E - U m o d e l s , t h e i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u - t i o n i n c o n s u m p t i o n i s e q u a l t o t h e r e c i p r o c a l o f t h e c o e f fi c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n . E - U m o d e l s a l s o i m p l y t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r i s i n d i f f e r e n t t o t h e t i m e w h e n t h e u n c e r t a i n t y i n f u t u r e c o n s u m p t i o n i s r e s o l v e d ( S p e n c e a n d Z e c k h a u s e r , 1 9 7 2 ; K r e p s a n d P o r t e u s , 1 9 7 8 , 1 9 7 9 a , a n d 1 9 7 9 b ; M a c h i n a , 1 9 8 4 a n d 1 9 8 9 ; a n d E p s t e i n a n d Z i n , 1 9 8 9 ) . T h i s p r o b l e m h a s l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f a l t e r n a t i v e d y n a m i c u n i v a r i a t e n o n - e x p e c t e d u t i l i t y m o d e l s t h a t s e p a r a t e t h e s e a s p e c t s o f p r e f e r e n c e ( K r e p s a n d P o r t e u s , 1 9 7 8 a n d 1 9 7 9 ; M a c h i n a , 1 9 8 4 , 1 9 8 9 ; E p s t e i n a n d Z i n , 1 9 8 9 ) . H o w e v e r , a s K h i l s t r o m a n d M i r m a n ( 1 9 7 4 ) fi r s t n o t i c e d , i n a m u l t i v a r i a t e c o n t e x t o n e n e e d s s t i l l t o d i s t i n g u i s h t h e e f f e c t o f r i s k a t t i t u d e s f r o m t h a t o f t a s t e s u b s t i t u t i o n i n o r d e r t o m a k e m e a n i n g f u l c o m p a r a t i v e r i s k s t a t e m e n t s . M o r e o v e r , t h e p a r t o f t h e q u e s t i o n w h i c h i s r e l a t e d t o t h e l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t i n v o l v e s a s i t u a t i o n w h e r e o n e m o v e s f r o m c e r t a i n t y t o u n c e r t a i n t y . T h i s t y p e o f c o m p a r a t i v e s t a t i c s c a n h a r d l y b e h a n d l e d w i t h t h e s t a n d a r d c o m p a r a t i v e r i s k m e t h o d o l o g y . H e n c e , i n o r d e r t o a n s w e r o u r b a s i c p o l i c y q u e s t i o n , w e w e r e l e d t o s o m e n e w t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s i n t h e a r e a s o f d e c i s i o n m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e d i s s e r t a t i o n a l s o p r o v i d e s d e t a i l e d e m p i r i c a l i n f o r m a t i o n o n t h e c o n s u m p t i o n b e h a v i o r a n d w e l f a r e o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d i n S e n e g a l . M o s t i m p o r t a n t l y , i t p r o v i d e s t h e m u c h - n e e d e d d e m a n d e l a s t i c i t i e s f o r t h e m a j o r f o o d s t a p l e s i n S e n e g a l . T h e t h e s i s a l s o r i g o r o u s l y e v a l u a t e s t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e J a n u a r y 1 9 9 4 d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c o n d i f f e r e n t g r o u p s o f r u r a l h o u s e h o l d s a n d u r b a n c o n s u m e r s . T h e e s t i m a t i o n o f t h e e l a s t i c i t i e s a n d t h e e v a l u a t i o n o f t h e w e l f a r e i m p a c t s w e r e b o t h d o n e a s s u m i n g p r i c e u n c e r t a i n t y , w i t h t h e t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d p u r e i n c o m e e f f e c t s b e i n g b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y d i s e n t a n g l e d f r o m t h e e f f e c t s d u e t o a t t i t u d e s t o w a r d r i s k . T h e r e m a i n d e r o f t h i s i n t r o d u c t i o n g i v e s a s u m m a r y o f t h e t h e o r e t i c a l c o n t r i b u t i o n s o f t h e t h e s i s , a n d i t s o r g a n i z a t i o n . 1 . 1 T h e o r e t i c a l c o n t r i b u t i o n s o f t h e t h e s i s T h e a p p r o a c h i n t h i s r e s e a r c h h a s b e e n t o v i e w t h e p r o b l e m o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a s a n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e p r o b l e m , a n d t o u s e f u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s t o t a c k l e t h e p r o b l e m s y s t e m a t i c a l l y . I n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s a r i s e n a t u r a l l y i n e c o n o m i c s . T h r e e t y p i c a l e x a m p l e s h a v e l o n g b e e n r e c o g n i z e d : i n t e r t e m p o r a l c h o i c e w i t h c o n t i n u o u s t i m e o r i n fi n i t e h o r i z o n d i s c r e t e t i m e , u n c e r t a i n t y w i t h a n i n fi n i t e n u m b e r o f s t a t e s , a n d d i f f e r e n t i a t i o n o f c o m m o d i t i e s . S o m e o f t h e fi r s t s y s t e m a t i c s t u d i e s o f i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s w e r e t h o s e b y B e r g e r a n d M e y e r ( 1 9 6 6 ) a n d B e r g e r ( 1 9 7 1 ) w h o s t u d i e d t h e i n t e g r a b i l i t y p r o b l e m i n a i n fi n i t e d i m e n s i o n a l B a n a c h s p a c e , u s i n g f u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s . M o r e r e c e n t l y , m o s t o f t h e c l a s s i c a l g e n e r a l e q u i l i b r i u m r e s u l t s h a v e b e e n e x t e n d e d t o a r b i t r a r y i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s . I n f a c t , t h e m a t h e m a t i c a l s e t t i n g o f o u r a p p r o a c h t o c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y f o l l o w s t h i s l i t e r a t u r e c l o s e l y . 2 2 S e e , f o r e x a m p l e , B a c k , 1 9 8 8 ; D u f fi e , 1 9 8 6 a a n d 1 9 8 6 b ; J o h n , 1 9 8 4 a n d 1 9 8 6 ; M a s - C o l l e l , 1 9 8 6 a n d 1 9 7 5 ; a n d M a s - C o l l e l a n d R i c h a r d , 1 9 9 1 . H o w e v e r , m u c h o f t h i s l i t e r a t u r e l o o k s f o r c o n d i t i o n s o f p r i c e s u p p o r t a b i l i t y , P a r e t o ( w e a k ) o p t i m a a l l o c a t i o n s , a n d e x i s t e n c e o f W a l r a s i a n e q u i l i b r i a . T h e s e a r e n o t a c o n c e r n i n o u r d e c i s i o n p r o b l e m o f o n e c o n s u m e r w i t h g i v e n i n c o m e a n d f a c i n g a g i v e n s e t o f p r i c e s . T h u s , s o m e o f t h e d i f fi c u l t i e s d i s c u s s e d i n t h i s l i t e r a t u r e d o n o t a r i s e i n o u r d e c i s i o n p r o b l e m . I n t h e r i s k l i t e r a t u r e , f u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s w e r e u s e d b y M a c h i n a ( 1 9 8 2 a n d 1 9 8 4 ) w h o s h o w s t h a t m o s t o f t h e r e s u l t s o f e x p e c t e d u t i l i t y a n a l y s i s r e m a i n l o c a l l y v a l i d i n a n o n - e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k , w h i c h d o e s n o t r e l y o n t h e c o n t r o v e r s i a l i n d e p e n d e n c e a x i o m . M a c h i n a ’ s c h o i c e s p a c e i s t h e s p a c e o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s w h i c h i s a n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e . H o w e v e r , i t i s m a t h e m a t i c a l l y m o r e c o n v e n i e n t t o t a k e d i r e c t l y t h e s p a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s a s t h e c h o i c e s p a c e . T h i s c h o i c e i s j u s t i fi e d b y t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y l a i d o u t i n A p p e n d i x 4 . T h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k i s a s l i g h t l y m o d i fi e d v e r s i o n o f S a v a g e ’ s ( 1 9 5 4 ) c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , w h i c h i s b a s e d o n t h e c o n c e p t s o f a c t s , c o n s e q u e n c e s , a n d b e l i e f s . B r i e fl y , S a v a g e d e fi n e s a n a c t a s a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e t o t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s ( o r o u t c o m e s ) . T h e i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t i n a c h o i c e s i t u a t i o n i n v o l v i n g u n c e r t a i n t y , y o u a c t a n d n a t u r e d e t e r m i n e s t h e c o n s e q u e n c e ( o u t c o m e ) o f y o u r a c t . P r e f e r e n c e i s t h e n a m o n g a l t e r n a t i v e f e a s i b l e a c t s . W e f o u n d i t i n t u i t i v e l y a n d m a t h e m a t i c a l l y m o r e c o n v e n i e n t t o m a k e t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n e x - a n t e c o n s e q u e n c e t h a t w e s i m p l y c a l l c o n s e q u e n c e , a n d e x - p o s t c o n s e q u e n c e t h a t w e c a l l o u t c o m e . W e a l s o r e i n t e r p r e t t h e m e a n i n g o f S a v a g e ’ s a c t a n d i n t r o d u c e t h e a d d i t i o n a l p r i m i t i v e c o n c e p t o f o p t i o n s w h i c h h a s n o c o u n t e r p a r t i n S a v a g e ’ s f r a m e w o r k . W e t a k e a n a c t t o b e a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f o p t i o n s t o t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s , w h i l e a c o n s e q u e n c e i s a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e t o t h e s e t o f o u t c o m e s . T h e s e c h a n g e s l e a d t o t h e f o l l o w i n g a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n : i n a c h o i c e s i t u a t i o n y o u h a v e a s e t o f o p t i o n s , a n d y o u a c t b y t a k i n g a n o p t i o n ; t h e c o n s e q u e n c e o f y o u r a c t i s e x — a n t e r a n d o m a n d n a t u r e w i l l e x - p o s t d e t e r m i n e t h e o u t c o m e o f y o u r a c t . P r e f e r e n c e i s a m o n g a l t e r n a t i v e c o n s e q u e n c e s o f y o u r a c t s . T h i s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k l e a d s t o a c h o i c e s p a c e w h i c h c a n b e m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h a s p a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s , w i t h t h e r a n d o m v a r i a b l e s b e i n g t h e c o n s e q u e n c e s o f a c t s a n d t h e i r r e a l i z a t i o n s b e i n g t h e o u t c o m e s . I n p a r t i c u l a r , i n t h e s t a t i c c o n s u m e r c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y c o n t e x t , c o n s u m e r p r e f e r e n c e s a m o n g r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s a r e d e fi n e d i n L 2 ( 0 , R “ ) . , , t h e p o s i t i v e o r t h a n t o f t h e s p a c e o f v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h fi n i t e v a r i a n c e s . O u r m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k i s g e n e r a l a n d c o v e r s b o t h e x p e c t e d a n d n o n - e x p e c t e d u t i l i t y p r e f e r e n c e s . W e h a v e a l s o i d e n t i fi e d a t h i r d p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t d i s t i n c t f r o m t h e o n e s o f b e l i e f s a n d p r e f e r e n c e , a n d w h i c h i s c a l l e d p e r c e p t i o n . W e a r g u e t h a t m a n y a s p e c t s o f b e h a v i o r t h a t a r e u s u a l l y a t t r i b u t e d t o e i t h e r b e l i e f s o r p r e f e r e n c e , a r e i n f a c t t h e r e s u l t s o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f t h e o b j e c t s o f c h o i c e s , a s w e l l a s t h e i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p s e x i s t i n g a m o n g t h e m . M o r e o v e r , t h e d i s e n t a n g l e m e n t o f t h e c o n c e p t o f p e r c e p t i o n f r o m p r q i e r e n c e a n d b e l i e f s s i m p l i fi e s t h e m a t h e m a t i c a l f o r m a l i z a t i o n a n a l y s i s o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a n d a l l o w s a n i n t u i t i v e i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . I n t h e e c o n o m i c l i t e r a t u r e , t h e r e h a v e b e e n t w o a x i o m a t i c a p p r o a c h e s t o c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . O n e a p p r o a c h t a k e s t h e s p a c e o f p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s ( o r m i x t u r e s e t s ) a s t h e c h o i c e s p a c e a n d f o r m u l a t e s b e h a v i o r a l a x i o m s w i t h i n t h i s s p a c e . T h i s a p p r o a c h i s t h e m o s t p r e v a l e n t o n e i n t h e l i t e r a t u r e d e a l i n g p u r e l y w i t h r i s k . T h e o t h e r a p p r o a c h f o r m u l a t e s t h e b e h a v i o r a l a x i o m s w i t h i n t h e s p a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s , c o n s i d e r e d a s t h e c h o i c e s p a c e . T h i s a p p r o a c h i s t h e o n e g e n e r a l l y u s e d i n t h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m a n d m a t h e m a t i c a l fi n a n c e l i t e r a t u r e s , a n d i n m o d e l s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . C o n c e p t u a l l y , t h e t w o a p p r o a c h e s c a n b e e q u i v a l e n t i f o n e i d e n t i fi e s a r a n d o m v a r i a b l e w i t h i t s p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n a s i n Y a a r i ( 1 9 8 5 a n d 1 9 8 6 ) w i t h h i s " d u a l t h e o r y o f c h o i c e u n d e r r i s k " . 3 B u t , t h e r e a r e d i f f e r e n c e s r e s u l t i n g f r o m d i f f e r e n c e s i n b o t h t h e b e h a v i o r a l f o u n d a t i o n s a n d t h e 3 I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i n h i s d u a l t h e o r y , Y a a r i ( 1 9 8 5 a n d 1 9 8 6 ) r e p l a c e s t h e i n d e p e n d e n c e a x i o m w h i c h l e a d s t o t h e e x p e c t e d u t i l i t y m o d e l w i t h a n a x i o m h e c a l l s d u a l i n d e p e n d e n c e o r c o r n o n o t o n i c i t y . N e i t h e r o f t h e t w o a s s u m p t i o n s w i l l b e m a d e h e r e . I n s t e a d , w e w i l l u s e t h e m o s t c o m m o n l y u s e d a s s u m p t i o n o f c o n v e x i t y . I n t h e o n e c o m m o d i t y c a s e , c o n v e x p r e f e r e n c e s h a v e b e e n a s s o c i a t e d w i t h r i s k a v e r s i o n ( s e e , f o r e x a m p l e , A r r o w ( 1 9 6 4 ) a n d Y a a r i ( 1 9 6 9 ) ) . 7 m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e t w o c h o i c e s p a c e s . V i e w i n g d e c i s i o n m a k e r s a s c h o o s i n g a m o n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s i s a p p e a l i n g . H o w e v e r , a s M a c h i n a a n d S c h m e i d l e r ( 1 9 9 2 , p . 6 2 ) p u t i t : . . . r e a l w o r l d u n c e r t a i n t y s e l d o m p r e s e n t s i t s e l f i n t e r m s o f e x o g e n o u s l y s p e c i fi e d p r o b a b i l i t i e s , b u t r a t h e r , a s a l t e r n a t i v e " e v e n t s ” o r ” s t a t e s o f n a t u r e , " s o t h a t i n s t e a d o f w e l l d e fi n e d o b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s , t h e o b j e c t s o f c h o i c e a r e t y p i c a l l y " b e t s ” o r ” a c t s " w h i c h a s s i g n o u t c o m e s t o t h e a l t e r n a t i v e p o s s i b l e e v e n t s o r s t a t e s . M o r e o v e r , t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 s h o w t h e i n h e r e n t c o n t r a d i c t i o n s o f a s s u m i n g t h a t a l l d e c i s i o n m a k e r s f a c e e x o g e n o u s l y s p e c i fi e d p r o b a b i l i t i e s . O n t h e o t h e r h a n d , t a k i n g t h e s p a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s a s t h e c h o i c e s p a c e w i l l l e a d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t , f r o m a f u n c t i o n a l a n a l y s i s p e r s p e c t i v e , c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y ( e s p e c i a l l y c o n s u m e r a n d p r o d u c e r t h e o r y w i t h m a n y c o m m o d i t i e s ) i s n o t m u c h d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l l y f r o m c h o i c e i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y ( s e e t h e s u m m a r y t a b l e c o n t r a s t i n g t h e t w o c a s e s i n A p p e n d i x 1 ) . I n p a r t i c u l a r , a l l t h e s t a n d a r d r e s u l t s o f d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y a r e e x t e n d e d t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y . T h e r e i s o n l y a s l i g h t d i f f e r e n c e i n t h e w a y n u m e r i c a l e l a s t i c i t i e s a r e c o m p u t e d a n d i n t e r p r e t e d , w h i c h i s d u e t o t h e l o s s o f t h e s i m p l i c i t y o f l i n e a r f u n c t i o n s d e fi n e d i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e . T h e y i n f a c t s i m p l i f y t o t h e u s u a l o n e s w h e n o n e a s s u m e s n o u n c e r t a i n t y . O n e n e w p r o b l e m c r e a t e d b y t h e i n t r o d u c t i o n o f u n c e r t a i n t y i s t h e n e e d t o s e p a r a t e o u t t h e e f f e c t s d u e t o a t t i t u d e t o w a r d r i s k f r o m t h e u s u a l e f f e c t s o f t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s w h i c h o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . O u r m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h i s s i m i l a r t o M a c h i n a ’ s ( 1 9 8 2 a n d 1 9 8 4 ) i n t h e s e n s e t h a t w e b o t h u s e f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s m e t h o d s , w i t h t h e d i f f e r e n c e t h a t M a c h i n a w o r k s w i t h d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s i n p l a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s . ‘ H o w e v e r , o u r ‘ M a c h i n a ’ s ( 1 9 8 2 a n d 1 9 8 4 ) a n a l y s i s w a s l i m i t e d o n l y t o t h e u n i v a r i a t e c a s e . 8 a p p r o a c h h a s s e v e r a l a d v a n t a g e s c o m p a r e d t o M a c h i n a ’ s : ( 1 ) I t i s m a t h e m a t i c a l l y e a s i e r t o w o r k w i t h a s p a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s t h a n w i t h a s p a c e o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s . ( 2 ) I n a m u l t i v a r i a t e c o n t e x t , i t i s v e r y d i f fi c u l t a n d c u m b e r s o m e t o f o r m u l a t e c o n s t r a i n t s o f o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s u s i n g d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s , w h i l e w i t h o u r a p p r o a c h , t h e f o r m u l a t i o n o f c o n s t r a i n t s i s v e r y s i m i l a r t o t h e w a y i t i s d o n e i n d e t e r m i n i s t i c c h o i c e m o d e l s . ( 3 ) W i t h o u r a p p r o a c h , w e c a n e a s i l y e x t e n d a l l t h e r e s u l t s o f d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r a n d p r o d u c e r t h e o r i e s ( R o y ’ s i d e n t i t y , S h e p h a r d ’ s l e m m a , S l u t s k y e q u a t i o n s , e t c . . . ) t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y . ( 4 ) T h e r e s u l t s d e r i v e d w i t h i n o u r f r a m e w o r k l e n d t h e m s e l v e s t o d i r e c t e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g u s i n g s t a n d a r d e c o n o m e t r i c m e t h o d s , s i n c e t h e y a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f r a n d o m v a r i a b l e s i n s t e a d o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s . A s e x p l a i n e d a b o v e , t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h i s n o t c e r t a i n l y n e w b e c a u s e i t i s t h e s t a n d a r d a p p r o a c h i n t h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m a n d m a t h e m a t i c a l fi n a n c e l i t e r a t u r e s , a n d w a s e a r l i e r u s e d b y B e r g e r a n d M e y e r ( 1 9 6 6 ) . W h a t i s n e w i n t h e d i s s e r t a t i o n a r e t h e v e r s i o n s o f R o y ’ s I d e n t i t y , S h e p h a r d ’ s l e m m a , S l u t s k y e q u a t i o n a n d o t h e r c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s w e o b t a i n i n t h e c o n t e x t o f m u l t i v a r i a t e r i s k . A n o t h e r n e w r e s u l t i n t h e t h e s i s i s t h e d e r i v a t i o n o f a v e r y g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t w h i c h d o e s n o t r e q u i r e d i f f e r e n t i a b i l i t y a s s u m p t i o n s o n e i t h e r t h e u t i l i t y f u n c t i o n o r t h e d e m a n d f u n c t i o n . 5 T h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s : T h e c o m p e n s a t e d o r H i c k s i a n d e m a n d i s a p o t e n t i a l m o n o t o n e o p e r a t o r w i t h r e s p e c t t o p r i c e s . T h e q u a l i fi c a t i o n s p o t e n t i a l a n d m o n o t o n e g e n e r a l i z e r e s p e c t i v e l y t h e u s u a l s y m m e t r y a n d n e g a t i v e s e m i - d e fi n i t e n e s s o f t h e S l u t s k y s u b s t i t u t i o n m a t r i x . T h e y b e c o m e r e s p e c t i v e l y e q u i v a l e n t w h e n d e m a n d s a r e d i f f e r e n t i a b l e . H e n c e , t h i s r e s u l t e x h a u s t s a l l t h e i m p l i c a t i o n s o f d e m a n d t h e o r y ( g i v e n t h e s t a n d a r d a s s u m p t i o n s o n p r e f e r e n c e s ) , b e c a u s e t h e 5 T h e o n l y a s s u m p t i o n s r e q u i r e d b y t h i s r e s u l t a r e t h o s e t h a t a r e u s u a l l y m a d e o n p r e f e r e n c e ( r e fl e x i v i t y , c o m p l e t e n e s s , t r a n s i t i v i t y , c o n t i n u i t y , c o n v e x i t y , a n d m o n o t o n i c i t y ) . 9 s y m m e t r y a n d n e g a t i v e s e m i - d e fi n i t e n e s s o f t h e S l u t s k y s u b s t i t u t i o n m a t r i x h a v e b e e n s h o w n t o b e n e c e s s a r y a n d s u f fi c i e n t f o r t h e i n t e g r a b i l i t y o f d e m a n d s y s t e m s ( s e e H u r w i c z a n d U z a w a , 1 9 7 1 ; a n d B e r g e r , 1 9 7 1 ) . T h e r e s u l t i s g e n e r a l a n d e n c o m p a s s e s b o t h t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y a n d t h e c a s e o f c e r t a i n t y . 6 M o r e o v e r , i t i s s h o w n a s a c o r o l l a r y o f t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c r e s u l t t h a t t h e r i s k p r e m i u m , d e fi n e d a s w h a t t h e c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y f o r n o t h a v i n g t o f a c e u n c e r t a i n t y , i s a l w a y s p o s i t i v e . I n o t h e r w o r d s , e v e r y t h i n g e l s e b e i n g e q u a l , u n c e r t a i n t y c a n n o t i m p r o v e w e l f a r e . T h e m e a s u r e s o f p r i c e a n d i n c o m e e l a s t i c i t i e s , a n d t h e m o n e t a r y m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s t h a t w e d e r i v e i n t h e c o n t e x t o f u n c e r t a i n t y a r e a l s o n e w . T h e s e p a r a t i o n ( i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s a n d i n t h e e l a s t i c i t i e s ) o f t h e e f f e c t s d u e t o r e s p o n s e t o r i s k f r o m t h e u s u a l t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s w h i c h o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y i s a l s o n e w . M o r e o v e r , f o l l o w i n g K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) a n d D r e z e a n d M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) , w e s e p a r a t e t h e e f f e c t s o f r i s k a v e r s i o n a n d t h e e f f e c t s o f w h a t K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) c a l l s p r e c a u t i o n o r p r u d e n c e . R i s k a v e r s i o n r e l a t e s t o t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o u n c e r t a i n t y , w h i l e p r e c a u t i o n r e l a t e s t o t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s t o u n c e r t a i n t y . T h e r a t i o n a l e b e h i n d t h i s d i s t i n c t i o n i s s i m p l e . I n t u i t i v e l y r i s k a v e r s i o n i s a b o u t " d i s l i k e ” o f u n c e r t a i n t y , a n d o n e " d i s l i k e s " u n c e r t a i n t y b e c a u s e o f i t s p o s s i b l e n e g a t i v e e f f e c t s o n o n e ’ s e x - a n t e w e l f a r e . H e n c e , r i s k a v e r s i o n e f f e c t s m u s t b e m e a s u r i n g h o w e a t - a n t e w e l f a r e c h a n g e s a s a r e s u l t o f u n c e r t a i n t y . T h i s r i s k a v e r s i o n - r e l a t e d c h a n g e i n w e l f a r e m i g h t a f f e c t e t c - a n t e o p t i m a l c h o i c e s . B u t , t h e a b i l i t y o f d e c i s i o n m a k e r s t o s u b s t i t u t e a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a l s o a f f e c t s e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s . H e n c e , i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c r e s u l t s w e s e p a r a t e t h e s e t w o p r e c a u t i o n a r y 6 A l t h o u g h i t i s a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f a s t a n d a r d n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s t h e o r e m , t h e s t a t e m e n t o f t h e g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s i s n e w i n t h e b e s t o f o u r k n o w l e d g e . T h e t h e o r y o f p o t e n t i a l m o n o t o n e o p e r a t o r i s w e l l d e v e l o p e d a n d h a s f o u n d w i d e a p p l i c a t i o n s i n a r e a s o f o p t i m i z a t i o n , n u m e r i c a l a n a l y s i s , a n d m a t h e m a t i c a l p h y s i c s ( s e e Z e i d l e r , 1 9 8 4 , 1 9 8 6 , a n d 1 9 9 0 ) . 1 0 r i s k e f f e c t s i n t h e s a m e w a y t h a t o n e s e p a r a t e s t h e t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d t h e p u r e i n c o m e e f f e c t i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y . S i m i l a r l y , t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , w h i c h i s d e r i v e d h e r e u n d e r u n c e r t a i n t y , i s d e c o m p o s e d i n t o t w o c o m p o n e n t s : o n e b e i n g t h e r i s k p r e m i u m m e a s u r i n g i n m o n e t a r y u n i t s t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) , a n d t h e o t h e r b e i n g t h e c h a n g e i n w e l f a r e t h a t w o u l d o b t a i n i f t h e c o n s u m e r w e r e w e l f a r e - i n d i f f e r e n t t o u n c e r t a i n t y . T h e d e r i v e d l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s a r e a l s o d e c o m p o s e d i n a s i m i l a r w a y . F u r t h e r m o r e , t h e f a c t t h a t t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s d e r i v e d i n t h e t h e s i s l e n d t h e m s e l v e s t o d i r e c t e m p i r i c a l e s t i m a t i o n a n d t e s t i n g u s i n g t r a d i t i o n a l e c o n o m e t r i c m e t h o d s d i s t i n g u i s h e s t h e o u r a p p r o a c h f r o m t h e o t h e r t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t s o f r i s k . I n d e e d t h e I S R A / I F P R I d a t a s e t i s u s e d t o e s t i m a t e a n A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y d e r i v e d u s i n g t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k . O t h e r n e w a n a l y t i c a l r e s u l t s a r e d e r i v e d i n t h e t h e s i s . T h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r t h e s p e c i a l c a s e o f a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y u n d e r a b u d g e t c o n s t r a i n t i s d e r i v e d . S e v e r a l e x a m p l e s i l l u s t r a t i n g h o w t h e a p p r o a c h a n d m e t h o d o l o g y a r e i m p l e m e n t e d i n p r a c t i c e a r e w o r k e d o u t i n d e t a i l . T h e s e a r e m u l t i v a r i a t e a n d u n i v a r i a t e e x p e c t e d a n d " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y e x a m p l e s . M o r e o v e r , t h e e x a m p l e s a r e n o t m e r e e x a m p l e s f o r t h e y g i v e i n s i g h t s i n t o t h e n a t u r e o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . S u c h i n s i g h t s a r e n o t p e r c e p t i b l e f r o m t h e g e n e r a l t h e o r y p r e s e n t e d i n c h a p t e r 2 . T h e e x a m p l e s s h o w c l e a r l y t h e q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s b e t w e e n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a n d c h o i c e i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . R e a d e r s u s e d t o t h e a n a l y s i s o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y b a s e d o n e x o g e n o u s l y s p e c i fi e d o b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s w i l l b e u n e a s y w i t h t h e i m p l i c a t i o n s o f s o m e o f t h e e x a m p l e s . T h i s i s b e c a u s e t h e y i m p l y t h a t t h e c o n c e p t o f a n e x o g e n o u s o b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f a c i n g a l l d e c i s i o n m a k e r s l e a d s n e c e s s a r i l y t o c o n t r a d i c t i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , 1 1 t h e i m p l i c a t i o n s w i l l n o t b e a s u r p r i s e f o r r e a d e r s f a m i l i a r w i t h t h e B a y e s i a n a p p r o a c h t o d e c i s i o n m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y i n w h i c h o n l y i n d i v i d u a l s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s a r e c o n s i d e r e d t o m a k e s e n s e . T h e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e a g a i n s t e x p e c t e d u t i l i t y i s w e l l d o c u m e n t e d . E a c h o n e o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y e x a m p l e s g i v e n i n c h a p t e r 3 s h e d s a d i f f e r e n t l i g h t o n t h e r e s t r i c t i v e n e s s a n d " i n s t a b i l i t y " i n t e r m s o f b e h a v i o r , b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s i m p l i e d b y t h e e x p e c t e d u t i l i t y h y p o t h e s i s . F o r e x a m p l e , f o r a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a n e x p e c t e d u t i l i t y w i t h a m u l t i v a r i a t e V o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n C o b b o D o u g l a s u t i l i t y t h a t i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e , u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y a n d b u d g e t c o n s t r a i n t , b o t h t h e i n d i r e c t u t i l i t y a n d d e m a n d s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t s o m e n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e r a n d o m p r i c e s m u s t b e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e ( i . e . , m u s t h a v e a d e g e n e r a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ) . I n t h e u n i v a r i a t e c a s e , t h i s r e s t r i c t i o n o n t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s l e a d s t o t h e s t r i k i n g r e s u l t t h a t ( A r r o w - P r a t t ) r i s k n e u t r a l i t y i s i n c o n s i s t e n t w i t h u n c e r t a i n t y , i n t h e s e n s e t h a t f o r a m a x i m i z i n g c o n s u m e r w i t h a l i n e a r V o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u n i v a r i a t e u t i l i t y , p r i c e m u s t b e n o n r a n d o m . 7 O f c o u r s e , a l l t h e s e r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e c o n c e p t o f a n " o b j e c t i v e " p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f u n c e r t a i n e v e n t s f a c i n g a l l c o n s u m e r s . T h a t i s w h y A p p e n d i x 4 w a s w r i t t e n t o p l a c e o u r m a t h e m a t i c a l r e s u l t s w i t h i n t h e B a y e s i a n o r 7 T h e r e s t r i c t i o n d o e s s e e m t o b e i m p l i e d b y t h e i n d e p e n d e n c e a x i o m , w h i c h l e a d s t o t h e e x p e c t e d u t i l i t y f o r m , i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e V o n N e u m a n n - M o r g e n s t e m u t i l i t y i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e . I n d e e d , b o t h t h e C o b b - D o u g l a s a n d c o n s t a n t e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n ( C E S ) e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m s l e a d t o t h e s a m e t y p e o f r e s t r i c t i o n s o n " b e l i e f s " a n d c h o i c e s i f t h e y a r e h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e ; w h i l e t h e r e i s n o r e s t r i c t i o n o n b e l i e f s a n d c h o i c e s i f t h e i r d e g r e e o f h o m o g e n e i t y i s l e s s t h a n o n e . T h e l o g - l i n e a r e x p e c t e d u t i l i t y d o e s n o t l e a d t o d e g e n e r a t e b e l i e f s b u t t h e c o r r e s p o n d i n g M a r s h a l l i a n d e m a n d s a r e i n d e p e n d e n t o f " b e l i e f s “ . ” N o n - e x p e c t e d " u t i l i t y v e r s i o n s o f C o b b - D o u g l a s a n d C B S f u n c t i o n a l f o r m s t h a t a r e h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e d o n o t l e a d t o e i t h e r d e g e n e r a t e " b e l i e f s ” o r i n d e p e n d e n c e o f d e m a n d s w i t h r e s p e c t t o b e l i e f s . 1 2 " s u b j e c t i v i s t i c " f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a s l a i d d o w n b y R a m s e y ( 1 9 3 1 ) , D e F e n e t t i ( 1 9 3 7 ) a n d S a v a g e ( 1 9 5 4 ) , a m o n g o t h e r s . 8 B e f o r e w e m o v e t o t h e o r g a n i z a t i o n o f t h e d i s s e r t a t i o n , w e w i l l d i s c u s s o n e c o n c e p t u a l d i f fi c u l t y i n t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s d e r i v e d i n t h e t h e s i s i n o r d e r t o p u t t h e m i n t o a p r o p e r p e r s p e c t i v e . T h e c o n c e p t u a l d i f fi c u l t y i s r e l a t e d t o t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r u n c e r t a i n t y i s p o s s i b l e w i t h o u t t h e p a s s a g e o f t i m e . A l l t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s i n t h e t h e s i s a r e d e r i v e d i n t h e c o n t e x t o f a s t a t i c d e c i s i o n - m a k i n g p r o c e s s . T h i s f o l l o w s t h e w e l l - e s t a b l i s h e d t r a d i t i o n o f a n a l y z i n g c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y i n a s t a t i c ( a t e m p o r a l ) f r a m e w o r k . T h e s t a t i c f r a m e w o r k u s e d i n c h a p t e r s 2 , 3 , a n d 5 i s i n p a r t i c u l a r i n l i n e w i t h t h e s t a t i c a n a l y s i s o f c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y a s i n K h i l s t r o m a n d M i r m a n ( 1 9 7 4 ) , H a n o c h ( 1 9 7 7 ) , D u n c a n ( 1 9 7 7 ) , K a r n i ( 1 9 7 9 ) , a n d Y a a r i ( 1 9 8 6 ) a m o n g o t h e r s . Y a a r i ( 1 9 8 6 ) i n h i s " d u a l " f r a m e w o r k c o n s i d e r e d e x p l i c i t l y t h e p r o b l e m o f a c o n s u m e r o p t i m a l l y a l l o c a t i n g a fi x e d b u d g e t o n n c o m m o d i t i e s u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y . H o w e v e r , t h e r e i s t h e c o n c e p t u a l p r o b l e m o f w h e t h e r i n f a c t u n c e r t a i n t y c a n o c c u r i n a t i m e l e s s w o r l d . T h a t i s , w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o i m a g i n e a r e a l i s t i c s i t u a t i o n o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y w h e r e t h e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y d o e s n o t i n v o l v e t h e p a s s a g e o f t i m e ( K r e p s a n d P o r t e u s , 1 9 7 9 a n d M a c h i n a , 1 9 8 4 ) . T o r e s o l v e t h i s c o n c e p t u a l d i f fi c u l t y w i t h o u t a f u l l - fl e d g e d i n t e r t e m p o r a l m o d e l , M a c h i n a ( 1 9 8 4 ) u s e s t h e D r e z e a n d M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) c o n c e p t u a l i z a t i o n t o d i s t i n g u i s h t w o a l t e r n a t i v e c a s e s o f s t a t i c c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y b o t h i n v o l v i n g t h e p a s s a g e o f t i m e , b u t d i f f e r e n t i a t e d b y w h e t h e r o r n o t t h e d e c i s i o n m a k e r m u s t m a k e ” a u x i l i a r y " d e c i s i o n s b e f o r e t h e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d . T h e s i t u a t i o n w h e r e " a u x i l i a r y ” 3 T h e r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a l s o c l e a r l y i n d i c a t e t h a t t h e q u e s t i o n o f e c o n o m i c ” r a t i o n a l i t y " , a s l o n g a s i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r s a r e c o n c e r n e d , i s a p e r s o n a l m a t t e r . T h a t i s , t h e ” r a t i o n a l i t y ” o f s o m e o n e ’ s c h o i c e s m u s t b e j u d g e d i n r e l a t i o n t o h i s o r h e r p r e f e r e n c e g 1 b e l i e f s . T h i s m e a n s t h a t t h e b e s t w a y t o c h a r a c t e r i z e o r e v a l u a t e i n d i v i d u a l c h o i c e s i s n o t i n t e r m o f " r a t i o n a l i t y " , b u t r a t h e r i n t e r m s o f g o o d j u d g m e n t o r p o o r j u d g m e n t . A l l t h e s e i s s u e s a r e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n A p p e n d i x 4 . l 3 d e c i s i o n s m u s t b e m a d e b e f o r e t h e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y i s c a l l e d " t e m p o r a l " r i s k , w h i l e t h e a l t e r n a t i v e s i t u a t i o n i s c a l l e d " t i m e l e s s r i s k " . S t a t i c m o d e l s o f p r o d u c t i o n u n d e r o u t p u t p r i c e u n c e r t a i n t y f a l l i n t h e c a t e g o r y o f " t e m p o r a l r i s k " b e c a u s e i n p u t c h o i c e s m u s t b e m a d e b e f o r e t h e r e s o l u t i o n o f t h e u n c e r t a i n t y . O n t h e o t h e r h a n d , m o s t p e o p l e w o u l d b e i n c l i n e d t o d e s c r i b e s t a t i c m o d e l s o f c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y a s a c a s e o f " t i m e l e s s r i s k " . B u t , t h e n o n e w o u l d h a v e t o a n s w e r t h e q u e s t i o n o f w h y t h e c o n s u m e r c a n n o t w a i t u n t i l t h e p r i c e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d b e f o r e m a k i n g h i s o r h e r c o n s u m p t i o n c h o i c e s ? T h u s , o n e m u s t i n v o k e s o m e k i n d o f " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s t h a t m u s t b e t a k e n b y t h e c o n s u m e r s o t h a t t h e s i t u a t i o n o f " t e m p o r a l r i s k " i s j u s t i fi e d i n t h i s s t a t i c c o n s u m p t i o n c o n t e x t . 9 H o w e v e r , u n l i k e t h e p r o d u c t i o n c a s e , t h e s e " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s n e e d n o t b e e x p l i c i t l y m o d e l l e d i n o r d e r t o s o l v e t h e s t a t i c c o n s u m p t i o n c h o i c e p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , o n e c a n v i e w t h e s t a t i c c o n s u m p t i o n c h o i c e u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y a s a t w o - p e r i o d c o n s u m p t i o n c h o i c e p r o b l e m w h e r e t h e p r i m a r y c h o i c e p r o b l e m i s t h e a l l o c a t i o n o f s e c o n d p e r i o d t o t a l e x p e n d i t u r e a m o n g v a r i o u s c o m m o d i t i e s , w i t h t h e fi r s t p e r i o d c o n s u m p t i o n a n d s a v i n g c h o i c e s b e i n g t h e " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s t h a t m u s t b e m a d e b e f o r e t h e p r i c e u n c e r t a i n t y i n t h e s e c o n d p e r i o d i s r e s o l v e d ( s e e , f o r e x a m p l e , D r é z e a n d M o d i g l i a n i , . 1 9 7 2 ) . A s l o n g a s o n e i s n o t i n t e r e s t e d i n s u b s t i t u t i o n a c r o s s t i m e b u t o n l y i n r i s k a v e r s i o n , a n d s u b s t i t u t i o n a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a n d a c r o s s c o m m o d i t i e s , t h e " a u x i l i a r y " fi r s t p e r i o d c o n s u m p t i o n a n d s a v i n g d e c i s i o n s n e e d n o t b e e x p l i c i t l y m o d e l l e d , a n d t h e s t a t i c f r a m e w o r k i s a d e q u a t e . ‘ 0 I n a n y c a s e , f r o m a f u n c t i o n a l a n a l y s i s p e r s p e c t i v e a l l t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s d e r i v e d i n t h e s t a t i c f r a m e w o r k w i l l r e m a i n v a l i d i n a i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t p r o v i d e d t h e c o n s u m p t i o n 9 Y a a r i ( 1 9 8 6 ) s u g g e s t s " t o v i e w t h e c o n s u m e r a s d e c i d i n g n o t h o w m u c h t o b u y , b u t r a t h e r h o w m u c h t o s p e n d . . . o n t h e v a r i o u s c o m m o d i t i e s " , a n d t o v i e w t h e c h o s e n q u a n t i t i e s o f t h e r a n d o m c o m m o d i t i e s a s w h a t w i l l b e a v a i l a b l e f o r c o n s u m p t i o n w h e n t h e p r i c e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d . ‘ ° T h e v a r i a b l e s r e l a t e d t o t h e a u x i l i a r y d e c i s i o n s w i l l a c t a s p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l . 1 4 c h o i c e v a r i a b l e s , p r i c e s , a n d t o t a l e x p e n d i t u r e a r e a p p r o p r i a t e l y r e i n t e r p r e t e d a n d a n a p p r o p r i a t e " t o p o l o g y " i s c h o s e n ( s e e c h a p t e r 4 ) . ” T h e b e n e fi t o f w o r k i n g w i t h i n t h e s i m p l i fi e d s t a t i c f r a m e w o r k i s t o g e t m o s t o f t h e n e w r e s u l t s o n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y t h a t a r e m a d e p o s s i b l e b y t h e a p p l i c a t i o n o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s i n g e n e r a l l i n e a r s p a c e s m e t h o d s , w h i l e a v o i d i n g t h e l e n g t h y m a t h e m a t i c a l d e v e l o p m e n t s t h a t a r e r e q u i r e d i n o r d e r t o a p p r o p r i a t e l y a d d r e s s i n f o r m a t i o n r e v e l a t i o n i s s u e s , a n d t h e H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) c r i t i c i s m o f t h e s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s ( s e e t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k o u t l i n e d i n c h a p t e r 4 ) . 1 . 2 O r g a n i z a t i o n o f t h e D i s s e r t a t i o n T h e t h e s i s i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . C h a p t e r 2 d e v e l o p s t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k o f s t a t i c c o n s u m e r b e h a v i o r u n d e r u n c e r t a i n t y a n d c o n t a i n s t h e m a i n t h e o r e t i c a l r e s u l t s o f t h e t h e s i s . I t a l s o c o n t a i n s t h e t h e o r e t i c a l a n s w e r s t o o u r b a s i c q u e s t i o n o f h o w u n c e r t a i n t y a f f e c t s s u b s t i t u t i o n a c r o s s c o m m o d i t i e s a n d t h e w e l f a r e o f c o n s u m e r s . T h i s c h a p t e r m a y b e h a r d t o r e a d f o r a n o n - m a t h e m a t i c a l l y o r i e n t e d r e a d e r . B u t , i t s r e a d i n g i s e s s e n t i a l f o r a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f t h e r a t i o n a l e b e h i n d t h e i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e e m p i r i c a l r e s u l t s a n d h o w t h e y r e l a t e t o t h e t h e o r y d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s , a n d t h e w a y w e h a v e c o n d u c t e d t h e e m p i r i c a l a n a l y s i s . H e n c e , t h e r e a d e r i n t e r e s t e d i n t h e e m p i r i c a l a n a l y s i s o n l y i s a d v i s e d t o a t l e a s t s k i m t h r o u g h i t a n d p a y a t t e n t i o n t o t h e i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n s a n d i n t e r p r e t a t i o n s . T h e i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n s a n d i n t e r p r e t a t i o n s a r e d o n e a t t h e c o s t o f l e n g t h e n i n g t h e c h a p t e r a n d b o r i n g t h e r e a d e r w h o i s f a m i l i a r w i t h t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k a n d i t s c o n c e p t s . T h e c h a p t e r b e g i n s w i t h a n i n t r o d u c t i o n t h a t d i s c u s s e s i n d e t a i l t h e m a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s “ T h e t w o t h e o r e m s A 2 . l a n d A 2 . 2 i n A p p e n d i x 2 o n w h i c h t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e b a s e d a r e f o r m u l a t e d i n v e r y g e n e r a l t e r m s , a n d c a n a c c o m m o d a t e v e r y g e n e r a l c h o i c e s p a c e s ( a s l o n g a s t h e y a r e u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e s ) . 1 5 b e t w e e n fi n i t e a n d i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e p r o b l e m s . I t t h e n s t a t e s f o r m a l l y t h e b e h a v i o r a l a n d m a t h e m a t i c a l a s s u m p t i o n s u n d e r l y i n g t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s . I n p a r t i c u l a r , t h e m e t r i c w e u s e f o r t h e s t a t i c a n a l y s i s o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , a n d w h i c h g o v e r n s t h e m e a n i n g o f t h e w o r d " c h a n g e " a n d r i s k i n a r a n d o m v a r i a b l e , i s d e fi n e d . T h e c h a p t e r t h e n p r o c e e d s t o d e r i v e t h e d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s a l o n g w i t h t h e i r r e s p e c t i v e p r o p e r t i e s . N e x t , t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s , t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s , a n d t h e d i f f e r e n t m e a s u r e s o f p r i c e a n d i n c o m e e l a s t i c i t i e s u n d e r u n c e r t a i n t y a r e d e r i v e d . T h e fi n a l s e c t i o n o f t h e c h a p t e r d e r i v e s a n d d i s c u s s e s t h e v a r i o u s m o n e t a r y m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s u n d e r u n c e r t a i n t y , i n c l u d i n g t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , l i v i n g s t a n d a r d i n d e x , c o s t - o f - l i v i n g i n d e x , r i s k p r e m i u m s , r i s k p r e m i u m i n d e x , a n d c o s t - o f - r i s k i n d e x . C h a p t e r 3 i l l u s t r a t e s t h e g e n e r a l t h e o r y o f c h a p t e r 2 b y w o r k i n g i n d e t a i l t h r o u g h e x a m p l e s o f u t i l i t y a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s a n d d e r i v i n g t h e a s s o c i a t e d M a r s h a l l i a n a n d H i c k s i a n d e m a n d f u n c t i o n a l s a l o n g w i t h t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s ( d e m a n d e l a s t i c i t i e s , m e a s u r e s o f a t t i t u d e t o w a r d r i s k a n d w e l f a r e c h a n g e s ) . T h e c h a p t e r d e r i v e s t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y u n d e r a b u d g e t c o n s t r a i n t . I t t h e n p r o c e e d s t o d e r i v e t h e d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s f o r t h e p o p u l a r u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y m o d e l s ( C A R A , C R R A , a n d r i s k n e u t r a l ) . T h e m u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e s e u n i v a r i a t e f u n c t i o n a l f o r m s a r e t h e n f u l l y t r e a t e d w i t h a l l t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s d e r i v e d . T h e fi n a l p a r t o f t h e c h a p t e r s h o w s h o w t o g e n e r a t e a n d s o l v e f o r " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m s . T h e C o b b - D o u g l a s " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y i s t h u s t r e a t e d a s a n i l l u s t r a t i o n w i t h a l l t h e f u n c t i o n a l , e l a s t i c i t i e s , a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s d e r i v e d . C h a p t e r 4 g i v e s a d e t a i l e d o u t l i n e o f h o w t h e s t a t i c r e s u l t s o f c h a p t e r s 2 a n d 3 a r e e x t e n d e d t o i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e c h a p t e r s u m m a r i z e s 1 6 H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) c r i t i c i s m o f t h e s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s a n d d i s c u s s e s i n d e t a i l t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k t h a t e n a b l e s a t t h e s a m e t i m e t o e x t e n d t h e s t a t i c r e s u l t s i n c h a p t e r s 2 a n d 3 a n d i n c o r p o r a t e t h e m o r e r e a l i s t i c t y p e s o f i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n d i s c u s s e d b y H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) , a n d w h i c h a r e r u l e d o u t b y t h e s t a n d a r d m o d e l s . M o s t o f t h e d i s c u s s i o n i n t h e c h a p t e r i s b a s e d o n a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w h i c h a r e n o t u s e d i n ' t h e s i m p l e r s t a t i c f r a m e w o r k o f c h a p t e r s 2 a n d 3 . T h e c h a p t e r i s n o t e s s e n t i a l f o r t h e r e s t o f t h e t h e s i s . C h a p t e r 5 d e a l s w i t h t h e g e n e r a t i o n o f " fl e x i b l e " s t a t i c d e m a n d s y s t e m s i n t h e c o n t e x t o f u n c e r t a i n t y a s w e l l a s t h e i r e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n s . T h e c h a p t e r s h o w s h o w t h e d u a l i t y t h e o r y o f c h a p t e r 2 i s u s e d t o d e r i v e n o n - r e s t r i c t i v e ( " fl e x i b l e " ) f u n c t i o n a l f o r m s u n d e r u n c e r t a i n t y i n a w a y s i m i l a r t o d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y . T h e c h a p t e r s t a r t s b y d e r i v i n g t h e " e x p e c t e d " a n d " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e Q U A I D S m o d e l i s t h e i n t e g r a b l e q u a d r a t i c e x t e n s i o n o f t h e p o p u l a r A I D S ( A l m o s t I d e a l D e m a n d S y s t e m ) f u n c t i o n a l f o r m o f D e a t o n a n d M u e l l b a u e r ( 1 9 8 0 ) r e c e n t l y p r o p o s e d b y B a n k s , B l u n d e l l , a n d L e w b e l ( 1 9 9 4 ) . T h e l a s t s e c t i o n d i s c u s s e s i n d e t a i l t h e s t a t i s t i c a l i s s u e s i n v o l v e d i n t h e e s t i m a t i o n o f d e m a n d s y s t e m s d e r i v e d u n d e r u n c e r t a i n t y a n d w h i c h c a n b e e s t i m a t e d w i t h t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) . C h a p t e r 6 b e g i n s t h e e m p i r i c a l p a r t o f t h e d i s s e r t a t i o n . T h e c h a p t e r p r e s e n t s fi r s t a v e r y b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e m a c r o e c o n o m i c e n v i r o n m e n t w i t h i n w h i c h t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d o p e r a t e s . T h e c h a p t e r t h e n p r o c e e d s t o g i v e a d e s c r i p t i o n o f t h e I S R A / I F P R I s u r v e y a n d t h e r e s u l t i n g d a t a s e t w h i c h i s u s e d i n o u r e m p i r i c a l a n a l y s i s . A t a b u l a r / d e s c r i p t i v e a n a l y s i s i s u s e d t o d e s c r i b e v e r y b r i e fl y t h e c o n s u m p t i o n , p r o d u c t i o n , a n d t r a n s a c t i o n p a t t e r n s o f t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d s a s e m b o d i e d i n t h e I S R A / I F P R I l 7 d a t a s e t . T h i s b r i e f d e s c r i p t i o n i s i n t e n d e d a s a n i n t r o d u c t i o n t o t h e f o l l o w i n g e c o n o m e t r i c a n a l y s i s w h i c h u s e s t h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a i n t h e I S R A \ I F P R I d a t a s e t t o i m p l e m e n t ' e m p i r i c a l l y t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s i n c h a p t e r 5 . T h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s p r o c e e d s b y e s t i m a t i n g t h e d e t e r m i n i s t i c a n d t h e " e x p e c t e d " A I D S d e m a n d s y s t e m s f o r t h e f o o d c o m m o d i t i e s . T h e m o r e g e n e r a l " e x p e c t e d " a n d " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S d e r i v e d i n c h a p t e r 5 w e r e u l t i m a t e l y n o t e s t i m a t e d b e c a u s e o f s o m e c o m p u t a t i o n a l p r o b l e m s w e h a d i n o u r e a r l y a t t e m p t s t o e s t i m a t e t h e m . T h e e s t i m a t e d c o e f fi c i e n t s o f t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s a r e c o m p a r e d a n d m o d e l s p e c i fi c a t i o n i s s u e s a r e d i s c u s s e d . T h e c h a p t e r t h e n u s e s t h e e s t i m a t e d c o e f fi c i e n t s a n d t h e p r e - d e v a l u a t i o n p r i c e s t o c o m p a r e t h e e l a s t i c i t i e s f o r t h e m e d i a n h o u s e h o l d s c a l c u l a t e d f r o m t h e d e t e m i i n i s t i c a n d " e x p e c t e d " A I D S f o r e a c h h o u s e h o l d . T h e u n c o m p e n s a t e d a n d c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e " e x p e c t e d " A I D S , d e c o m p o s e d i n t o t h e i r p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d n o n r i s k c o m p o n e n t s , a r e t h e n i n t e r p r e t e d a n d t h e p o l i c y i m p l i c a t i o n s o f t h e i r r e l a t i v e m a g n i t u d e s a r e a s s e s s e d . D e s c r i p t i v e a n d t a b u l a r a n a l y s i s a r e a l s o u s e d t o a n a l y z e t h e v a r i a t i o n s o f t h e e l a s t i c i t i e s a c r o s s a g r o - e c o l o g i c a l z o n e s a n d i n c o m e g r o u p s . T h e l a s t s e c t i o n c o n c l u d e s t h e c h a p t e r b y s u m m a r i z i n g t h e e m p i r i c a l fi n d i n g s o n t h e c o n s u m p t i o n b e h a v i o r o f S e n e g a l e s e h o u s e h o l d s . C h a p t e r 7 u s e s t h e c o e f fi c i e n t s e s t i m a t e d i n c h a p t e r 6 a n d t h e p o s t - d e v a l u a t i o n p r i c e s t o e v a l u a t e t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e J a n u a r y 1 9 9 4 C F A d e v a l u a t i o n . B o t h t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d t h e p r e d i c t e d p e r c e n t a g e c h a n g e s i n t h e s h a r e s a n d q u a n t i t i e s d e m a n d e d f o r t h e f o o d c o m m o d i t i e s a r e c a l c u l a t e d , a n d t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a r e c o m p a r e d w i t h t h e p r e - d e v a l u a t i o n o n e s c a l c u l a t e d i n c h a p t e r 6 . E q u i v a l e n t v a r i a t i o n , c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n , l i v i n g s t a n d a r d i n d e x , c o s t - o f - l i v i n g i n d e x , r i s k p r e m i u m , r i s k p r e m i u m i n d e x , a n d c o s t - o f - r i s k i n d e x a r e a l s o c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . T h e c h a p t e r t h e n c o m p a r e s t h e w e l f a r e i m p a c t s o f t h e d e v a l u a t i o n a c r o s s a g r o - 1 8 e c o l o g i c a l z o n e s a n d i n c o m e g r o u p s . T h e c h a p t e r c o n c l u d e s b y s u m m a r i z i n g t h e e m p i r i c a l fi n d i n g s o n t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n . C h a p t e r 8 c o n c l u d e s t h e t h e s i s w i t h a s u m m a r y o f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s , a n d e m p i r i c a l fi n d i n g s a n d t h e i r p o l i c y i m p l i c a t i o n s . T h e c h a p t e r c o n c l u d e s w i t h s o m e r e m a r k s o n t h e l i m i t a t i o n s o f t h e e m p i r i c a l a n a l y s i s a n d d i r e c t i o n s f o r f u t u r e r e s e a r c h . E x c e p t f o r c h a p t e r 7 a n d t h e c o n c l u d i n g c h a p t e r , e a c h c h a p t e r h a s a n a p p e n d i x t h a t c o n t a i n s t h e p r o o f s o f t h e t h e o r e m s a n d p r o p o s i t i o n s s t a t e d i n t h e c h a p t e r a n d / o r a d d i t i o n a l t a b l e s a n d m a t e r i a l s r e l e v a n t t o t h e c h a p t e r . A p p e n d i x 4 i n p a r t i c u l a r d e v e l o p s t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k u n d e r l y i n g t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s i n t h e d i s s e r t a t i o n . T h e o b j e c t i v e o f t h e a p p e n d i x i s t h r e e f o l d . F i r s t , i t p r o v i d e s t h e c o n c e p t u a l b a s i s f o r g i v i n g i n t u i t i v e b e h a v i o r a l i n t e r p r e t a t i o n s t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d t h e o r e t i c a l r e s u l t s w h i c h a r e i n c h a p t e r 2 . S e c o n d , i t r a t i o n a l i z e s t h e m a t h e m a t i c a l r e s u l t s d e r i v e d i n c h a p t e r 3 b y p u t t i n g t h e m i n t o t h e p e r s p e c t i v e o f t h e B a y e s i a n f r a m e w o r k o f d e c i s i o n m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y w h e r e o n l y t h e c o n c e p t o f s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n m a k e s s e n s e . T h i r d , i t p r o v i d e s t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k f o r e x t e n d i n g t h e s t a t i c a n a l y s i s o f t h e t h e s i s t o t h e i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t . R e a d e r s f a m i l i a r w i t h f u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s ( a n d t o a l e s s e r e x t e n t m a r t i n g a l e t h e o r y ) c a n a l r e a d y s e e f r o m t h i s a p p e n d i x h o w t h e s t a t i c r e s u l t s o f c h a p t e r s 2 , 3 , a n d 5 e x t e n d s t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s . C h a p t e r 4 c o n t a i n s t h e d e t a i l s o f t h i s o u t l i n e . F i n a l l y , a n a p p e n d i x t o t h i s i n t r o d u c t i o n ( A p p e n d i x 1 ) s u m m a r i z e s t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s o f t h e t h e s i s a n d c o n t r a s t s t h e m w i t h t h e d e t e m i i n i s t i c c a s e . T h e r e a d e r m a y w a n t t o s t a r t f r o m t h i s s u m m a r y t o g e t a g l o b a l p i c t u r e o f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s b e f o r e p r o c e e d i n g t o t h e d e t a i l s o f t h e d e r i v a t i o n s . 1 9 C H A P T E R 2 S T A T I C C O N S U M E R B E H A V I O R U N D E R P R I C E U N C E R T A I N T Y 2 . 1 I n t r o d u c t i o n W h a t t h i s c h a p t e r s h o w s i s t h a t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d t e c h n i c a l i t i e s a s i d e , t h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a n d c h o i c e w i t h o u t u n c e r t a i n t y , i s t h a t t h e f o r m e r i s r i c h e r i n t h e c o n t e n t o f t h e a n a l y s i s a n d b e h a v i o r a l c o n c e p t s d i s c u s s e d . ‘ 2 T h e m a t h e m a t i c a l t e c h n i c a l i t i e s a n d c o n c e p t s r e f e r t o t h e c h o i c e o f a n a p p r o p r i a t e t o p o l o g y o r m e t r i c w h i c h i s a c r u c i a l s t e p i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s . S i n c e m o s t o f t h e m a t h e m a t i c a l t e c h n i c a l i t i e s t h a t d i f f e r e n t i a t e fi n i t e a n d i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e p r o b l e m s t u r n a r o u n d t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t o f t o p o l o g y , w e n e e d t o s a y m o r e a b o u t i t a n d e x p l a i n w h y , d e s p i t e i t s a b s t r a c t n e s s , i t i s r e l e v a n t t o d i s c u s s i n a e c o n o m i c t h e o r y c o n t e x t . 2 . 1 . 1 M a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n fi n i t e a n d i n f i n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e p r o b l e m s T h e c o n c e p t o f t o p o l o g y i s m e r e l y a m a t h e m a t i c a l f o r m a l i z a t i o n o f t h e i n t u i t i v e n o t i o n o f " s i m i l a r i t y " o r " c l o s e n e s s " a m o n g e l e m e n t s b e l o n g i n g t o t h e s a m e s e t . A n y f o r m a l a n a l y s i s w h i c h g o e s b e y o n d u s i n g t h e s e t t h e o r e t i c , o r d e r , a n d a l g e b r a i c s t r u c t u r e s o f a s e t , n e e d s t o f o r m a l i z e a n d i n c o r p o r a t e t h i s n o t i o n ( e x p l i c i t l y o r n o t ) . A m e t r i c i s a s p e c i a l k i n d o f t o p o l o g y a n d a n o r m i s a m e t r i c i n a l i n e a r s p a c e w i t h s o m e s p e c i a l f e a t u r e s . W h e n o n e m o v e s b e y o n d t h e c o n v e n i e n c e o f t h e E u c l i d e a n s p a c e , h o w t o f o r m a l i z e a n d s t u d y t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e f a c t t h a t : t w o e c o n o m i c s i t u a t i o n s a r e " s i m i l a r " o r " c l o s e " ; o r t h e f a c t ‘ 2 A s i t w i l l b e c l e a r i n t h e n e x t c h a p t e r , t h e r e a r e s o m e q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s t h a t a r e r e l a t e d t o b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s . 2 0 t h a t : t w o o b j e c t s h a v e " s i m i l a r " o r " d i s s i m i l a r " e c o n o m i c a l l y r e l e v a n t c h a r a c t e r i s t i c s , b e c o m e s a n i m p o r t a n t i s s u e w h i c h d e t e r m i n e s t h e t y p e o f r e s u l t s y o u g e t f r o m y o u r a n a l y s i s . F u r t h e r m o r e , i f t h e i s s u e i s n o t a d e q u a t e l y d e a l t w i t h , i t c a n l e a d t o e c o n o m i c a l l y n o n s e n s i c a l r e s u l t s . F o r e x a m p l e , r e c e n t l y H i n d y H u a n g a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) h a v e s h o w n t h a t t h e s t a n d a r d c o n t i n u o u s t i m e i n t e r t e m p o r a l m o d e l o f c o n s u m p t i o n t h a t i s w i d e l y u s e d i n e c o n o m i c s i m p l i e s t h a t c o n s u m p t i o n s a t n e a r b y d a t e s a r e p e r f e c t n o n s u b s t i t u t e s . I n o t h e r w o r d s , t h e m o d e l i m p l i e s t h a t c o n s u m e r s a r e p e r f e c t l y u n w i l l i n g t o d e l a y c o n s u m p t i o n f o r e v e n o n e s e c o n d , e v e n w h e n t h e y a r e g i v e n t h e e c o n o m i c i n c e n t i v e f o r d e l a y i n g . T h i s c o n t e r i n t u i t i v e r e s u l t i m p l i e d b y t h i s w i d e l y u s e d m o d e l i s d u e t o t h e t o p o l o g y u s e d o n c o n s u m p t i o n " r a t e s " . ‘ 3 T h e p r o b l e m o f t h e c h o i c e o f a n a p p r o p r i a t e t o p o l o g y i s i m p l i c i t l y a s s u m e d a w a y i n s t a n d a r d c o n s u m e r a n d p r o d u c e r t h e o r i e s b y t h e s e l e c t i o n o f t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e a s t h e c o m m o d i t y s p a c e . T h e p a r t i c u l a r i t y o f t h e E u c l i d e a n s p a c e , m a k e s t h a t a l l m e t r i c s d e fi n e d i n t h i s s p a c e a r e e q u i v a l e n t , s o t h a t t h e c h o i c e o f a t o p o l o g y i s n o t a n i s s u e h e r e . A n o t h e r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t t h a t d i f f e r e n t i a t e s fi n i t e a n d i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e p r o b l e m s , i s t h e o n e o f d i f f e r e n t i a b i l i t y . T h e c o n c e p t o f a d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a n d i t s i n t e r p r e t a t i o n i n t e r m s o f l i n e a r l o c a l a p p r o x i m a t i o n s a r e f a m i l i a r o n e s w h e n o n e i s w o r k i n g w i t h t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e . B u t , i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l l i n e a r s p a c e s , o n e n e e d s t o d i s t i n g u i s h s e v e r a l c o n c e p t s o f d i f f e r e n t i a b i l i t y . T h e r e a r e a t l e a s t t h r e e m a i n c o n c e p t s o f d i f f e r e n t i a b i l i t y t h a t h a v e b e e n i n t r o d u c e d : F r é c h e t d i f f e r e n t i a b i l i t y , G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y , a n d H a d a m a r d o r c o m p a c t d i f f e r e n t i a b i l i t y . T h e F r é c h e t c o n c e p t i s t h e ‘ 3 A r a u j o ( 1 9 8 8 ) , a l s o g i v e s s e v e r a l t r o u b l e s o m e n o n e x i s t e n c e r e s u l t s r e l a t e d t o d e m a n d f u n c t i o n s , f o r s o m e t o p o l o g i e s t h a t h a v e b e e n u s e d i n t h e e c o n o m i c l i t e r a t u r e s d e a l i n g w i t h r i s k a n d i n t e r t e m p o r a l c h o i c e . 2 1 s t r o n g e s t o n e a n d i s t h e d i r e c t g e n e r a l i z a t i o n o f t h e f a m i l i a r c o n c e p t o f d i f f e r e n t i a b i l i t y , H a d a m a r d ’ s o n e i s t h e n e x t s t r o n g e s t , a n d G a t e a u x i s t h e w e a k e s t o n e . " D e p e n d i n g o n t h e t o p o l o g y u s e d , m a n y f u n c t i o n a l s d e fi n e d i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s a r e n o t F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e . B u t t h e y a r e u s u a l l y " s m o o t h " e n o u g h t o b e G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e , s o t h a t s o l u t i o n s o f o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s c a n b e c h a r a c t e r i z e d w i t h t h e u s u a l fi r s t a n d s e c o n d o r d e r c o n d i t i o n s , a n d l o c a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s b e d e r i v e d . A l l t h e t h r e e c o n c e p t s o f d i f f e r e n t i a b i l i t y a r e e q u i v a l e n t i n t h e E u c l i d e a n s p a c e , a n d t h e r e i s n o n e e d t o d i s t i n g u i s h a m o n g t h e m . M o r e o v e r , w h i l e i n t h e E u c l i d e a n s p a c e t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n a t a p o i n t c a n b e i d e n t i fi e d w i t h a v e c t o r o f r e a l n u m b e r s , i n t h e g e n e r a l c a s e t h i s s i m p l i fi c a t i o n i s n o t i n g e n e r a l p o s s i b l e a n d o n e n e e d s t o g e t u s e d t o a d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n a t a p o i n t b e i n g a c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n . ‘ 5 T h i s e x p l a i n s w h y t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s a n d t h e S l u t s k y e q u a t i o n d e r i v e d i n t h i s c h a p t e r a r e s t a t e d i n a s l i g h t l y d i f f e r e n t w a y i n t h i s u n c e r t a i n t y c a s e c o m p a r e d t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e . T h i s a l s o e x p l a i n s t h e f o r m u l a f o r c o m p u t i n g e l a s t i c i t i e s . W h e n e x t e n d i n g t h e r e s u l t s o f s t a n d a r d c o n s u m e r a n d p r o d u c e r t h e o r y t o i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s , o n e h a s t o a n s w e r f o u r t y p e s o f q u e s t i o n s . ( 1 ) U n d e r w h a t c o n d i t i o n s d o e s a p r e f e r e n c e o r d e r i n g d e fi n e d i n a i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e a d m i t a n u m e r i c a l u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n ? ( 2 ) G i v e n a u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e , w h e n d o e s t h e c o n s u m e r p r o b l e m o f m a x i m i z i n g u t i l i t y s u b j e c t t o b u d g e t c o n s t r a i n t h a v e a s o l u t i o n ? I n p a r t i c u l a r , u n d e r w h a t c o n d i t i o n s d o c o n t i n u o u s a n d / o r s m o o t h d e m a n d f u n c t i o n s e x i s t ? ( 3 ) " S e e Y a m a m u r o ( 1 9 7 4 ) f o r a g e n e r a l c o n c e p t o f d e r i v a t i v e i n a t o p o l o g i c a l l i n e a r s p a c e . T h e r e a r e a l s o o t h e r m o r e g e n e r a l c o n c e p t s o f d e r i v a t i v e s u s e d i n c o n v e x a n a l y s i s ( s e e , f o r e x a m p l e A u b i n , 1 9 7 9 ) . Y e t a n o t h e r m o r e g e n e r a l c o n c e p t o f d e r i v a t i v e , i s t h e g e n e r a l i z e d o r d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e u s e d i n t h e t h e o r y o f S o b o l e v s p a c e s ( s e e f o r e x a m p l e , R u d i n , 1 9 9 1 o r Z e i d l e r , 1 9 9 0 . I n c h a p t e r 4 w e a r g u e t h a t f o r b o t h m a t h e m a t i c a l a n d e c o n o m i c r e a s o n s , t h e S o b o l e v s p a c e s a r e t h e m o s t a p p r o p r i a t e ( o u t c o m e ) s p a c e s f o r a n a l y z i n g i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s . ' 5 T h e s i m p l i fi c a t i o n r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t i n t h e E u c l i d e a n s p a c e l i n e a r c o n t i n u o u s f u n c t i o n s c a n b e r e p r e s e n t e d b y a v e c t o r o r m a t r i x o f r e a l n u m b e r s . 2 2 I f a n o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e c o n s u m e r m a x i m i z a t i o n p r o b l e m e x i s t s , c a n w e c h a r a c t e r i z e i t ? I n p a r t i c u l a r , c a n w e h a v e t h e s o r t o f fi r s t o r d e r n e c e s s a r y c o n d i t i o n s w h i c h a l l o w s o n e t o s o l v e e x p l i c i t l y f o r t h e o p t i m a l s o l u t i o n , w h e n t h e u t i l i t y f u n c t i o n i s g i v e n e x p l i c i t l y ? ( 4 ) F i n a l l y , u n d e r w h a t c o n d i t i o n s c a n w e d o c o m p a r a t i v e s t a t i c s i n a w a y s i m i l a r t o t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e p r o b l e m ? T h e fi r s t q u e s t i o n w a s a n s w e r e d b y D e b r e u ( 1 9 5 4 ) f o r t h e c a s e o f p e r f e c t l y s e p a r a b l e t o p o l o g i c a l s p a c e s . I n t h e c o n t e x t o f t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s , M a s - C o l e l l ( 1 9 8 6 ) a n d R i c h a r d a n d Z a m e ( 1 9 8 6 ) p r o v i d e o t h e r a n s w e r s t h a t d o n o t r e l y o n t h e s e p a r a b i l i t y a s s u m p t i o n , b u t i n s t e a d e x p l o i t t h e l i n e a r a n d o r d e r s t r u c t u r e o f t h e s p a c e . T o a n s w e r t h e o t h e r q u e s t i o n s , o n e h a s t o o v e r c o m e t w o m a t h e m a t i c a l d i f fi c u l t i e s t h a t a r e p a r t i c u l a r t o i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s . T h e fi r s t d i f fi c u l t y s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t i n fi n i t e d i m e n s i o n a l t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s a r e n o t w e l l f u r n i s h e d w i t h c o m p a c t s e t s . T h e s e c o n d d i f fi c u l t y r e s u l t s f r o m t h e o f t e n e m p t i n e s s o f t h e i n t e r i o r o f t h e p o s i t i v e c o n e ( s e t o f n o n n e g a t i v e e l e m e n t s ) o f i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s , t o g e t h e r w i t h t h e e c o n o m i c r e q u i r e m e n t t h a t c o n s u m p t i o n s e t s b e p a r t o f t h e p o s i t i v e c o n e . T h e k e y t o t h e e x i s t e n c e i s s u e i n ( 2 ) i s s o m e s o r t o f g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l W e i e r s t r a s s t h e o r e m w h i c h s a y s t h a t a r e a l v a l u e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e fi n e d o n a c l o s e d a n d b o u n d e d i n t e r v a l o f t h e r e a l l i n e h a s a m i n i m u m a n d a m a x i m u m . T h e g e n e r a l i z e d W e i e r s t r a s s t h e o r e m r e a d s a s f o l l o w s : a n u p p e r ( r e s p l o w e r ) s e m i c o m p a c t f u n c t i o n f : M C X - > R d e fi n e d o n t h e n o n e m p t y s u b s e t M o f a t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e X h a s a m a x i m u m ( r e s p m i n i m u m ) . A s u f fi c i e n t c o n d i t i o n f o r f t o b e u p p e r ( r e s p l o w e r ) s e m i c o m p a c t , i s f o r M t o b e c o m p a c t a n d f b e u p p e r ( r e s p l o w e r ) s e m i c o n t i n u o u s . I n a p p l y i n g t h i s t h e o r e m i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s , o n e h a s t o f a c e t w o o b s t a c l e s : ( i ) U n l i k e t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , c l o s e d a n d b o u n d e d s u b s e t s a r e n o t n e c e s s a r i l y c o m p a c t . H e n c e , i n 2 3 g e n e r a l t h e r e a r e f e w e r c o m p a c t s t o b e g i n w i t h . ( i i ) C o m p a c t n e s s a n d c o n t i n u i t y w o r k a g a i n s t e a c h o t h e r . T h a t i s , t h e s t r o n g e r t h e t o p o l o g y o f t h e s p a c e , t h e m o r e f u n c t i o n s a r e l i k e l y t o b e c o n t i n u o u s , b u t t h e l e s s s e t s a r e l i k e l y t o b e c o m p a c t a n d v i c e v e r s a . T o c i r c u m v e n t t h e s e t w o p r o b l e m s , o n e g e n e r a l l y e n d o w s t h e s p a c e w i t h a t o p o l o g y t h a t i s s t r o n g e n o u g h t o a l l o w s u f fi c i e n t l y " r e g u l a r " f u n c t i o n s t o b e c o n t i n u o u s , y e t w e a k e n o u g h t o g e n e r a t e e n o u g h c o m p a c t s e t s . I n r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e s ( o r m o r e g e n e r a l l y i n t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s ) , o n e w o r k s u s u a l l y w i t h t h e w e a k ( o r t h e w e a k s t a r ) t o p o l o g y w h i c h i s i n d u c e d b y t h e s e t o f l i n e a r f u n c t i o n a l s d e fi n e d o n t h e s p a c e . T h e w e a k t o p o l o g y h a s t h e p r o p e r t y t h a t i t i s t h e w e a k e s t t o p o l o g y o n t h e s p a c e t h a t m a k e s l i n e a r f u n c t i o n a l s c o n t i n u o u s , y e t i t i s j u s t w e a k e n o u g h t o l e t c l o s e d a n d b o u n d e d s u b s e t s t o b e c o m p a c t . H e n c e , t h e w e a k t o p o l o g y s e e m s t o b e a b o u t r i g h t f o r t h e g e n e r a l i z e d W e i e r s t r a s s t h e o r e m t o w o r k i n m a n y o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s . C o n s e q u e n t l y , w e w i l l b e u s i n g b o t h t h e o r i g i n a l n o r m t o p o l o g y a n d t h e w e a k t o p o l o g y i n t h e B a n a c h s p a c e s w e w i l l b e w o r k i n g w i t h . T o a n s w e r t h e q u e s t i o n s i n ( 3 ) a n d ( 4 ) , o n e n e e d t o o v e r c o m e t h e m a t h e m a t i c a l d i f fi c u l t i e s s t e m m i n g f r o m t h e o f t e n e m p t i n e s s o f t h e p o s i t i v e c o n e o f i n f i n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e s a n d t h e r e q u i r e m e n t s t h a t c h o i c e s e t s l i e w i t h i n t h e p o s i t i v e c o n e . T h i s i s s o b e c a u s e o f t w o t h i n g s . F i r s t , e c o n o m i c o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s a r e a l m o s t a l w a y s c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n . I n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e , t h e m o s t e f f e c t i v e w a y o f d e a l i n g w i t h c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i s t h e L a g r a n g e - K u h n — T u c k e r m e t h o d . H e n c e , o n e w o u l d l i k e t o u s e s o m e s o r t o f g e n e r a l i z e d L a g r a n g e - K u h n — T u c k e r m e t h o d t h a t c a n h a n d l e a n i n fi n i t e n u m b e r o f c o n s t r a i n t s . H o w e v e r , i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s , t h e e x i s t e n c e o f L a g r a n g e " m u l t i p l i e r s " o f t e n r e l i e s o n t h e s o - c a l l e d S l a t e r c o n d i t i o n w h i c h , i n t h i s c o n t e x t , r e q u i r e s t h e p o s i t i v e c o n e t o h a v e a n o n - e m p t y i n t e r i o r . S e c o n d , i f w e w a n t t o c h a r a c t e r i z e t h e o p t i m a l s o l u t i o n i n a w a y s i m i l a r t o t h e f m i t e d i m e n s i o n a l c a s e , w e m u s t b e a b l e t o u s e 2 4 d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s m e t h o d s i n o u r i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s . H o w e v e r , t h e c o n c e p t s o f F r é c h e t a n d G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y t h a t w e w i l l b e u s i n g i n o u r a n a l y s i s , r e q u i r e t h a t t h e i n t e r i o r o f t h e d o m a i n o f d e fi n i t i o n o f t h e f u n c t i o n t o b e n o n e m p t y . T h e j u s t i fi c a t i o n o f t h i s r e q u i r e m e n t i s o b v i o u s f r o m t h e d e fi n i t i o n o f F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y . K n o w i n g t h a t n o t a l l i n fi n i t e B a n a c h s p a c e s h a v e t h e i r p o s i t i v e c o n e w i t h a n e m p t y i n t e r i o r , o n e m i g h t a s k w h y n o t c h o o s e o n e , l i k e L g , w h o s e p o s i t i v e c o n e h a s a n o n e m p t y i n t e r i o r ? T h e r e a r e t w o p r o b l e m s w i t h t h i s s p a c e a n d t h e L 1 s p a c e ( M a c h i n a ’ s c h o i c e s p a c e ) . F i r s t , t h e y a r e n o t r e fl e x i v e s o t h a t T h e o r e m A 2 . l i n A p p e n d i x 2 c a n n o t b e u s e d t o g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f L a g r a n g e " m u l t i p l i e r s " a n d t h e g e n e r a l i z e d K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s . S e c o n d , t h e s e s p a c e s a r e n o t " s m o o t h " , w h i c h i m p l i e s t h a t f u n c t i o n s d e fi n e d o n t h e m a r e r a r e l y d i f f e r e n t i a b l e . I n p a r t i c u l a r , T h e o r e m A 2 . 2 i n A p p e n d i x 2 , w h i c h g i v e s t h e g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t c i t e d a b o v e , i s n o t a p p l i c a b l e i n t h e s e s p a c e s . ” I n f a c t , t h e s e t w o s p a c e s a r e t h e s t a n d a r d p a t h o l o g i c a l e x a m p l e s f o r m o s t i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s . T h e c h o i c e s p a c e , [ m t h a t w e w i l l b e w o r k i n g w i t h h a s a p o s i t i v e c o n e w i t h a n e m p t y i n t e r i o r . B u t , w e d e a l w i t h t h i s d i f fi c u l t y b y d o i n g t w o t h i n g s . F i r s t , t o g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f L a g r a n g e " m u l t i p l i e r s " a n d t h e g e n e r a l i z e d K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s , w e n o t e t h a t t h e S l a t e r c o n d i t i o n t h a t t h e t h e o r e m s e e m s t o r e q u i r e i s u s e d o n l y t o o b t a i n s o m e t y p e o f w e a k c o e r c i v e n e s s o f t h e f u n c t i o n d e fi n i n g t h e c o n s t r a i n t s . H o w e v e r , t h e w e a k c o e r c i v e n e s s i s s a t i s fi e d i n m o s t c a s e s , e v e n i f t h e S l a t e r c o n d i t i o n i s i m p o s s i b l e t o m e e t . 1 7 ‘ 6 F o r L , , s i n c e i t i s s e p a r a b l e , o n e c a n p o s s i b l y r e m o v e t h e a s s u m p t i o n o f r e fl e x i v i t y t h a t T h e o r e m A 2 . 1 r e q u i r e s , a n d i n s t e a d o f t h e w e a k t o p o l o g y , w o r k w i t h t h e w e a k “ t o p o l o g y . H o w e v e r , t h e " s m o o t h n e s s " a s s u m p t i o n o f T h e o r e m A 2 . 2 c a n n o t b e d i s p e n s e d w i t h . ' 7 I n s o m e c a s e s , t h e f u n c t i o n d e fi n i n g t h e c o n s t r a i n t s t a k e s i t s v a l u e s i n t h e E u c l i d e a n s p a c e s o t h a t e m p t i n e s s o f t h e i n t e r i o r o f t h e p o s i t i v e c o n e i s n o t a n i s s u e . H o w e v e r , i n m a n y c a s e s , w e w o u l d l i k e t o i m p o s e e x p l i c i t l y n o n - n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t s f o r t h e c h o i c e v a r i a b l e s . 2 5 S e c o n d , w e s o l v e t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y p r o b l e m b y e x t e n d i n g o u r f u n c t i o n s t o a n O p e n s e t c o n t a i n i n g t h e i r r e s p e c t i v e d o m a i n s o f d e fi n i t i o n . I n m o s t c a s e s , t h i s o p e n s e t w i l l b e t h e w h o l e s p a c e . T h e e x t e n d e d f u n c t i o n w i l l b e u s e d o n l y f o r t h e p u r p o s e o f d e r i v i n g m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s t h a t r e q u i r e d i f f e r e n t i a b i l i t y , a n d i t n e e d s n o t h a v e e c o n o m i c m e a n i n g . O n l y i t s r e s t r i c t i o n t o t h e p o s i t i v e c o n e w h i c h , b y c o n s t r u c t i o n , c o i n c i d e s w i t h o u r o r i g i n a l f u n c t i o n w i l l h a v e a n e c o n o m i c m e a n i n g . F o r e x a m p l e , i f w e h a v e a u t i l i t y f u n c t i o n a l U , d e fi n e d o n a s u b s e t M o f t h e p o s i t i v e c o n e , t h a t w e e x t e n d b y a f u n c t i o n U ' d e fi n e d o n t h e w h o l e s p a c e , I f i s n o t a n y m o r e w h a t w e w o u l d c a l l i n e c o n o m i c s a u t i l i t y f u n c t i o n a l . H o w e v e r , f o r t h o s e m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s t h a t a r e d e fi n e d f o r U , U ‘ r e s t r i c t e d t o M b e h a v e s i n t h e s a m e w a y a s U . T h u s , f o r e x a m p l e , i f D " h a s a l o c a l m a x i m u m o n a p o i n t i n M , t h a t s a m e p o i n t w i l l b e a m a x i m u m f o r U o n M . H e n c e , w h i l e i t i s m e a n i n g l e s s t o s p e a k o f t h e F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y o f U , i f t h e e x t e n d e d [ 1 ' i s F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e o n M w e c a n u s e s o m e s o r t o f n e c e s s a r y fi r s t o r d e r c o n d i t i o n f o r U ' ( t h e g e n e r a l i z e d E u l e r e q u a t i o n ) t o fi n d o r c h a r a c t e r i z e t h e m a x i m u m o f U o n M . W e c a n e v e n s e t , a s a d e fi n i t i o n , t h e F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d e r i v a t i v e o f U a t a n y p o i n t o f M t o b e t h e F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d e r i v a t i v e o f U ' a t t h a t p o i n t . I n t h i s w a y , t h e c o n c e p t s o f F r é c h e t a n d G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y a r e e x t e n d e d t o f u n c t i o n s w h o s e d o m a i n s o f d e fi n i t i o n m a y h a v e e m p t y i n t e r i o r s . T h e f o r m a l d e fi n i t i o n s a r e g i v e n i n s e c t i o n 2 . 3 o f t h i s c h a p t e r a n d i n A p p e n d i x 2 . H e n c e , a l t h o u g h t h e i n d i r e c t u t i l i t y , e x p e n d i t u r e , a n d d e m a n d f u n c t i o n a l a r e a l l d e fi n e d o n l y f o r t h e s t r i c t l y p o s i t i v e e l e m e n t s o f t h e p o s i t i v e c o n e o f t h e d u a l s p a c e ( w h i c h a l s o h a v e a e m p t y i n t e r i o r ) , T h e i r F r é c h e t o r G a t e a u x d e r i v a t i v e s w i l l b e d e fi n e d u s i n g t h i s e x t e n d e d d e fi n i t i o n o f F r é c h e t a n d G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y . F o r a l l t h e c a s e s w e w i l l b e d e a l i n g w i t h ( i n c l u d i n g t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 , t h e e x t e n s i o n o f f u n c t i o n a l d e fi n e d i n t h e 2 6 p o s i t i v e c o n e b y F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a l d e fi n e d i n t h e w h o l e s p a c e i s d o n e n a t u r a l l y . T o s u m m a r i z e , o u r a p p r o a c h f o r d e a l i n g w i t h t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y i s s u e c o n s i s t s o f t w o s t a g e s : ( i ) E x t e n d t h e f u n c t i o n a l ( u t i l i t y , e x p e n d i t u r e , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d d e m a n d ) b y F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a l d e fi n e d i n a o p e n s e t c o n t a i n i n g t h e p o s i t i v e c o n e , t h e n d e r i v e t h e n e e d e d m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s . ( i i ) R e s t r i c t t h e m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s d e r i v e d i n s t a g e ( i ) t o a p p l y o n l y f o r e l e m e n t s c o n t a i n e d i n t h e p o s i t i v e c o n e . T h e i n t r o d u c t i o n a n d d i s c u s s i o n o f t h e a b o v e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a r e u n a v o i d a b l e w h e n o n e l o s e s t h e s p e c i a l f e a t u r e s o f t h e E u c l i d e a n s p a c e . B u t , i n t h i s c h a p t e r , w e m a n a g e d t o i n t r o d u c e p u r e l y m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d r e s u l t s o n l y w h e n t h e y a r e s t r i c t l y n e e d e d a n d w e c a n n o t d o o t h e r w i s e . E v e n w h e n t h e y a r e i n t r o d u c e d , w e d o o u r b e s t t o e x p l a i n i n t u i t i v e l y t h e i r m e a n i n g s . T h e c h a p t e r c o u l d h a v e b e e n s h o r t e r i f w e d i d a d o p t t h e m a t h e m a t i c a l l y m o r e e l e g a n t f o r m a l l a n g u a g e o f c o n v e x a n a l y s i s ( u s i n g t h e c o n c e p t s o f c o n j u g a t e a n d s u p p o r t f u n c t i o n s , s u b d i f f e r e n t i a l , e t c . . . ) . B u t , w e p r e f e r r e d t h e m o r e i n t u i t i v e V a r i a n t y p e t r e a t m e n t w h i c h a l l o w s t o g e t m o s t d u a l i t y r e s u l t s w i t h t h e m i n i m u m o f m a t h e m a t i c s a t t h e c o s t o f l e n g t h . ' 8 M o r e o v e r , s i n c e m o s t o f t h e p r o o f s o f t h e f e w p r o p o s i t i o n s g i v e n i n t h i s c h a p t e r a r e e i t h e r i d e n t i c a l t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e o r s i m p l e a p p l i c a t i o n s o f e x i s t i n g c o n v e x a n a l y s i s t h e o r e m s , w e h a v e r e f e r r e d t o V a r i a n ( 1 9 8 4 ) f o r s o m e o f t h e p r o o f s , t h e o t h e r s a r e p u t i n A p p e n d i x 2 f o r t h e i n t e r e s t e d r e a d e r . F o r r e a d e r s n o t f a m i l i a r w i t h t h e v o c a b u l a r y o f f u n c t i o n a l a n d c o n v e x a n a l y s i s , t h e d e fi n i t i o n s o f t h e m o s t i m p o r t a n t c o n c e p t s a n d f a c t s u s e d i n t h e c h a p t e r a r e s u m m a r i z e d i n A p p e n d i x 2 . T o f a c i l i t a t e c o m p a r i s o n w i t h t h e s t a n d a r d " M o r e o v e r , w i t h t h e u s e o f s u b g r a d i e n t a n d t h e t h e o r y o f m o n o t o n e s e t - v a l u e d m a p p i n g , m o r e g e n e r a l r e s u l t s u n d e r l e s s r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n s ( o n p r e f e r e n c e ) c o u l d h a v e b e e n d e r i v e d . H o w e v e r , a t t h i s p o i n t , t h e s e g e n e r a l i z a t i o n w i t h t h e u s e o f s e t - v a l u e d m a p p i n g s a r e m o s t l y o f t h e o r e t i c a l i n t e r e s t . 2 7 c o n s u m e r t h e o r y , w e h a v e f o l l o w e d v e r y c l o s e l y V a r i a n ( 1 9 8 4 , c h a p t e r 3 ) i n o u r e x p o s i t i o n , t e r m i n o l o g y , a n d n o t a t i o n s . A l s o , i t m a y b e u s e f u l t o r e a d fi r s t t h e s u m m a r y t a b l e s i n A p p e n d i x 1 w h i c h c o n t r a s t t h e t w o c a s e s . 2 . 1 . 2 O r g a n i z a t i o n o f t h e c h a p t e r T h e c h a p t e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : I n s e c t i o n 2 . 2 w e l a y d o w n t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k a l o n g w i t h t h e b e h a v i o r a l a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d a s s u m p t i o n s u n d e r l y i n g t h e a n a l y s i s . I n s e c t i o n 2 . 3 w e d e r i v e t h e d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l , a n d s t u d y t h e i r p r o p e r t i e s . I n s e c t i o n 2 . 4 w e d e r i v e t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s . I n s e c t i o n 2 . 5 t h e c o n s u m e r ’ s " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e s t o p r i c e - r i s k a r e i d e n t i fi e d a n d s e p a r a t e d f r o m t h e u s u a l t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s w h i c h o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . I n s e c t i o n 2 . 6 w e d e r i v e t h e d i f f e r e n t m e a s u r e s o f p r i c e a n d i n c o m e e l a s t i c i t i e s u n d e r u n c e r t a i n t y . I n s e c t i o n 2 . 7 w e d e r i v e a n d d i s c u s s t h e v a r i o u s m o n e t a r y m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s u n d e r u n c e r t a i n t y i n c l u d i n g t h e m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n , r i s k p r e m i u m , a n d c o s t o f r i s k . F i n a l l y , s e c t i o n 2 . 8 i s a b r i e f c o n c l u s i o n w h e r e w e s u m m a r i z e t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t h i s c h a p t e r . 2 8 2 . 2 T h e C o n c e p t u a l a n d M a t h e m a t i c a l F r a m e w o r k I n w h a t f o l l o w s , w e s u m m a r i z e t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a d o p t e d i n A p p e n d i x 4 a s i t a p p l i e s t o t h e a n a l y s i s o f s t a t i c c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y , a n d l a y o u t t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k w i t h i n w h i c h t h e a n a l y s i s i s c o n d u c t e d . ' 9 2 . 2 . 1 T h e C o n s u m e r ’ s u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t , " b e l i e f s " , a n d " e x p e c t a t i o n s " I t i s a s s u m e d t h a t t h e u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t o f t h e d e c i s i o n m a k e r ( c o n s u m e r ) c a n b e d e s c r i b e d b y a m e a s u r a b l e s p a c e ( ( 2 , . 9 ) , w h e r e ( I i s t h e s e t o f a l l r e l e v a n t p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a n d 9 ' i s t h e s e t o f e v e n t s . A g e n e r i c e l e m e n t o f ( I , n o t e d w , i s o n e p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e t h a t i s s u p p o s e d t o d e s c r i b e a l l r e l e v a n t e x o g e n o u s s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y ( i n c l u d i n g t h e a c t i o n s t a k e n b y o t h e r e c o n o m i c a g e n t s ) . U n c e r t a i n t y a r i s e s o n l y b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t a m o n g a l l t h e p o s s i b l e s t a t e s t h e c o n s u m e r d o e s n o t k n o w e x a c t l y w h i c h o n e i s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e . A n e v e n t i s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e b e l o n g s t o a g i v e n s u b s e t A o f 0 . A i s t h e n m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h t h a t e v e n t . T h e s e t o f a l l e v e n t s , . 9 5 , i s a s s u m e d t o s a t i s f y s o m e s t a b i l i t y p r o p e r t y t h a t m a k e s i t w h a t i s f o r m a l l y c a l l e d a ( I r - a l g e b r a . 2 0 A t a n y t i m e t t h e c o n s u m e r i s a s s u m e d t o b e e n d o w e d w i t h a s e t o f i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h e u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t . A n i n f o r m a t i o n s e t a t a t i m e t i s t h e f a c t k n o w n w i t h c e r t a i n t y b y t i m e t t h a t t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e b e l o n g s t o o n e o f t h e s u b s e t s o f ( I t h a t a r e i n a g i v e n s u b 0 - a l g e b r a 9 ‘ , o f . 9 ' ( i . e . , 8 ‘ , i s a a - a l g e b r a c o n t a i n e d i n ) . 8 ‘ , i s t h e n m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h t h a t i n f o r m a t i o n s e t . ' 9 T h e f o l l o w i n g m a t h e m a t i c a l s e t u p i s s t a n d a r d i n d e c i s i o n m a k i n g w i t h g e n e r a l c h o i c e s p a c e ( s e e f o r e x a m p l e , D e b r e u ( 1 9 8 3 , c h a p t e r 5 ) , B e r g e r a n d M e y e r s ( 1 9 6 6 ) , B e r g e r ( 1 9 7 1 ) , D u f fi e ( 1 9 8 6 a a n d 1 9 8 6 b ) , M a s - C o l e l l ( 1 9 8 6 ) . T h e p u r e l y m a t h e m a t i c a l f a c t s s t a t e d h e r e c a n b e f o u n d i n t e x t b o o k s o n m e a s u r e a n d / o r p r o b a b i l i t y t h e o r i e s a n d f u n c t i o n a l a n a l y s i s ( s e e f o r e x a m p l e , D u d l e y ( 1 9 8 9 ) a n d D u n f o r d a n d S c h w a r t z 1 9 5 8 ) . 2 ° F o r a f o r m a l d e fi n i t i o n o f a o — a l g e b r a , s e e , f o r e x a m p l e , B i l l i n g s l e y ( 1 9 8 6 ) o r D u d l e y ( 1 9 8 9 ) . 2 9 I t i s i m p o r t a n t t o n o t e b o t h t h e c o n c e p t u a l a n d m a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n a n e v e n t a n d a n i n f o r m a t i o n s e t . A n e v e n t i s a M f a c t t h e t r u t h f u l n e s s o f w h i c h i s n o t k n o w n w i t h c e r t a i n t y . O n t h e o t h e r h a n d , a n i n f o r m a t i o n s e t i s a f a c t t h a t w i l l b e k n o w n w i t h c e r t a i n t y b y t h e s p e c i fi e d t i m e . M a t h e m a t i c a l l y , a n e v e n t i s i d e n t i fi e d w i t h a s u b s e t ( I , w h i l e a n i n f o r m a t i o n s e t i s i d e n t i fi e d w i t h a c o l l e c t i o n o f s u b s e t s o f 0 . T h e f a c t t h a t a n i n f o r m a t i o n s e t i s i d e n t i fi e d w i t h a c o l l e c t i o n o f s u b s e t s o f 0 i n s t e a d s i m p l y w i t h a s u b s e t 9 h a s t o d o w i t h s o m e m a t h e m a t i c a l t e c h n i c a l i t i e s r e l a t e d t o t h e d e fi n i t i o n s o f c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y a n d e x p e c t a t i o n . 2 1 H o w e v e r , t h e a d o p t e d d e fi n i t i o n h a s s o m e i n t u i t i v e a p p e a l , b e c a u s e i t c a p t u r e s t h e p r o c e s s e m b o d i e d i n t h e p a r t i a l r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y t h r o u g h t i m e . T h a t i s , t h e i n t u i t i o n t h a t a s t i m e e v o l v e s a d d i t i o n a l " i n f o r m a t i o n " i s o b t a i n e d t h r o u g h t h e p r o c e s s o f k n o w i n g w i t h c e r t a i n t y b y a s p e c i fi e d t i m e t h e t r u t h f u l n e s s o r n o t o f a l l t h e e v e n t s ( p o s s i b l e f a c t s ) i n t h e i n f o r m a t i o n s e t . 2 2 W h e n d e c i s i o n s h a v e t o b e m a d e , t h e c o n s u m e r i s a s s u m e d t o h a v e a s e t o f b e l i e f s a b o u t t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f o c c u r r e n c e o f t h e v a r i o u s e v e n t s . W e a s s u m e t h a t t h e c o n s u m e r ’ s s e t o f b e l i e f s c a n b e m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h a b i n a r y r e l a t i o n ( l i k e l i h o o d o r d e r i n g ) o n t h e s e t o f e v e n t s . W e a l s o a s s u m e t h a t t h i s b i n a r y r e l a t i o n s a t i s f y t h e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s i n C h a t e a u n e u f ( 1 9 8 5 ) s o t h a t i t c a n b e r e p r e s e n t e d b y a s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y m e a s u r e 1 1 ’ d e fi n e d o n ( Q , ) a n d m a k i n g ( 0 , , ) a p r o b a b i l i t y s p a c e . H e n c e , i n t h i s w a y f o r 2 ‘ F o r e x a m p l e , w h y n o t c o n s i d e r " t h e f a c t k n o w n w i t h c e r t a i n t y b y t i m e t t h a t t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e b e l o n g s t o a g i v e n s u b s e t A o f 0 " a s a b a s i s f o r a d e fi n i t i o n o f a n i n f o r m a t i o n s e t ? 2 2 A t t h i s p o i n t , i t i s p e r h a p s w o r t h r e c a l l i n g t h a t f r o m t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f A p p e n d i x 4 i t i s a s s u m e d t h a t t h e c o n s u m e r fi t l l y p e r c e i v e s t h e s e t 0 o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a n d i t s p a r t i t i o n i n g i n t o d i s t i n c t s u b s e t s . H e n c e , i f A i s a n e v e n t , f o r a n y g i v e n m s s i b l e s t a t e o f n a t u r e o r t h e c o n s u m e r k n o w s e x a c t l y w h e t h e r o r n o t i t b e l o n g s t o A . W h a t h e o r s h e d o e s n o t k n o w i s w h e t h e r o r n o t t h a t p a r t i c u l a r o r i s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e . M o r e o v e r , e v e n i f A i s i n t h e i n f o r m a t i o n s e t t h e u n c e r t a i n t y i s s t i l l n o t c o m p l e t e l y r e s o l v e d b e c a u s e a ) h e o r s h e m a y n o t k n o w e x a c t l y w h i c h e l e m e n t o f t h e i n f o r m a t i o n s e t c o n t a i n s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e , g t i l t h e t i m e t h a s a r r i v e d a n d b ) e v e n i f h e o r s h e k n o w s t h a t A c o n t a i n s i t a l o n g w i t h w , a : m a y n o t b e t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e ( u n l e s s A i s a s i n g l e t o n ) . 3 0 e a c h p o s s i b l e e v e n t A E . 9 ’ , t h e d e c i s i o n m a k e r i s a b l e t o a s s i g n a s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y ( A ) m e a s u r i n g t h e p r o b a b i l i t y o f o c c u r r e n c e o f t h e e v e n t A ( i . e . , t h e b e l i e v e d c h a n c e s t h a t A c o n t a i n s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e ) . H e r e , w e a r e n o t m a k i n g e x p l i c i t t h e w a y t h e c o n s u m e r u s e s i t s i n f o r m a t i o n s e t 8 ‘ , i n c o n j u n c t i o n w i t h i t s s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y { P t o s u b j e c t i v e l y a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f o c c u r r e n c e o f t h e v a r i o u s e v e n t s . 2 3 S t r i c t l y s p e a k i n g , 3 ’ s h o u l d b e a c o n d i t i o n a l s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y a n d n o t e d i P ( . I S L ) s o t h a t f o r e a c h e v e n t A E , ( A l i f t ) i s i n t e r p r e t e d a s t h e c o n s u m e r ’ s s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e p r o b a b i l i t y o f o c c u r r e n c e o f t h e e v e n t A g i v e n t h e i n f o r m a t i o n 8 ‘ , a v a i l a b l e t o h i m o r h e r a t t h e t i m e t w h e r e h e o r s h e i s m a k i n g h i s o r h e r c o n s u m p t i o n c h o i c e s . " 4 H o w e v e r , a l t h o u g h m a k i n g t h e i n f o r m a t i o n s e t e x p l i c i t i n t h e n o t a t i o n w o u l d c l a r i f y s o m e o f t h e c o n c e p t u a l i s s u e s i n v o l v e d i n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l r e s u l t s , i t o n l y c o m p l i c a t e s t h e n o t a t i o n w i t h o u t a d d i n g a n y t h i n g n e w i n t h e r e s u l t s d e r i v e d w i t h i n t h e s t a t i c f r a m e w o r k o f t h i s c h a p t e r . H e n c e , r e f e r e n c e t o t h e i n f o r m a t i o n s e t w i l l b e s u b s e q u e n t l y o m i t t e d u n l e s s i t c l a r i fi e s t h e d i s c u s s i o n . B e c a u s e w e w i l l b e m a k i n g r e f e r e n c e t o " e x p e c t a t i o n s " i n t h i s c h a p t e r a n d i n t h e n e x t , w e n e e d t o b e m o r e p r e c i s e w i t h i t s m e a n i n g i n o r d e r t o a v o i d p o t e n t i a l c o n f u s i o n w h e n i t i s u s e d i n t h e i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l r e s u l t s . F r o m t h e d i s c u s s i o n i n A p p e n d i x 4 , g i v e n t h e m e a s u r a b l e s p a c e ( 0 , . 7 ) , t h e c o n s u m e r ’ s s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y a n d i t s i n f o r m a t i o n s e t u n i q u e l y d e t e r m i n e h i s o r h e r " e x p e c t a t i o n s " r e g a r d i n g t h e v a r i o u s r e a l v a l u e d ’ 3 S e e A p p e n d i x 4 f o r m o r e o n h o w t h e i n f o r m a t i o n s e t i s u s e d i n t h e d e c i s i o n p r o c e s s . 2 ‘ S e e , f o r e x a m p l e , B i l l i n g s l e y ( 1 9 8 6 ) o r D u d l e y ( 1 9 8 9 ) f o r a f o r m a l d e fi n i t i o n o f a c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y w h e n t h e c o n d i t i o n i n g a r g u m e n t i s a a - a l g e b r a . O n e w o u l d n o t e i n p a r t i c u l a r t h a t i t i s a r a n d o m v a r i a b l e t a k i n g i t s v a l u e i n [ 0 , l ] . R o u g h l y s p e a k i n g , i n t h i s c o n t e x t , t h e r a n d o m n e s s a r i s e s b e c a u s e t h e c o n s u m e r m a y n o t k n o w e x a c t l y w h i c h e l e m e n t o f t h e i n f o r m a t i o n s e t c o n t a i n s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e u n t i l t h e t i m e t . 3 1 r a n d o m v a r i a b l e s d e fi n e d i n t h e m e a s u r a b l e s p a c e ( 0 , 9 ) . ” H e r e , b y " e x p e c t a t i o n s " w e m e a n t h e p r o c e s s b y w h i c h t h e c o n s u m e r u s e s h i s o r h e r s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y { P a n d i n f o r m a t i o n s e t t o p r e d i c t t h e m o s t l i k e l y o u t c o m e o f a r a n d o m p h e n o m e n o n . T h a t i s , t h e p r o c e s s b y w h i c h f o r e a c h r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e x t h e c o n s u m e r a s s o c i a t e s w h a t h e o r s h e b e l i e v e s i s i t s m o s t l i k e l y v a l u e , o r ( s i m p l y p u t ) i t s e x p e c t e d v a l u e , x ‘ . T h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s c a n t a k e m a n y f o r m s . B u t , t h r o u g h o u t t h e t h e s i s w e f o r m a l l y i d e n t i f y i t w i t h t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E : L a m , R ) - > R d e fi n e d b y E x = I 0 x ( w ) d . P ( w ) f o r a l l x E L o ( 0 , R ) ; w h e r e L a m , R ) i s t h e s p a c e o f r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s . ” - 2 7 2 . 2 . 2 T h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e a m o n g r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s W e h a v e a s s u m e d t h a t i n a n y s t a t i c c h o i c e s i t u a t i o n t h a t i n v o l v e s u n c e r t a i n t y , t h e d e c i s i o n m a k e r h a s a s e t o f a v a i l a b l e o p t i o n s a n d h i s o r h e r d e c i s i o n o r a c t c o n s i s t s o f s e l e c t i n g a n o p t i o n . T h i s p r o c e s s g e n e r a t e s a s e t w h i c h i s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e a c t i o n s t h a t c a n b e t a k e n . I t i s a s s u m e d t h a t t h e c o n s e q u e n c e s o f e a c h a c t a r e n o t k n o w n w i t h c e r t a i n t y a t t h e t i m e d e c i s i o n h a s t o b e m a d e a n d c a n y i e l d m a n y p o s s i b l e o u t c o m e s d e p e n d i n g o n w h i c h 2 ’ A s u s u a l , t h e r e a l l i n e R i s e q u i p p e d w i t h i t s B o r e l a - a l g e b r a . 2 ‘ T h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e i d e n t i t y d e fi n i n g t h e E x i s s u p p o s e d t o e x i s t ( t h e e x i s t e n c e a s s u m p t i o n w i l l b e m a d e m o r e p r e c i s e l a t e r ) . A g a i n , s t r i c t l y s p e a k i n g t h e m a t h e m a t i c a l i d e n t i fi c a t i o n s h o u l d b e w i t h t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E [ . I S ‘ J d e fi n e d b y E [ x l 8 , ] = I ) x ( < l : ) a ' . P [ m | 8 , ] f o r a l l x 6 L 0 6 2 , R ) . E [ x I S ‘ J i s i n t e r p r e t e d a s t h e c o n s u m e r ’ s e x p e c t e d v a l u e f o r t h e r a n d o m v a r i a b l e x g i v e n t h e i n f o r m a t i o n 8 ‘ , a v a i l a b l e t o h i m o r h e r a t t i m e t . F o r t h e s a m e r e a s o n s a s f o r t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y , E [ x I S ‘ J i s a r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e ( S e e , f o r e x a m p l e , B i l l i n g s l e y ( 1 9 8 6 ) o r D u d l e y ( 1 9 8 9 ) f o r s o m e o f t h e t e c h n i c a l i t i e s i n v o l v e d i n t h e d e fi n i t i o n o f a c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n ) . ’ 7 W e n o t e t h a t b y i d e n t i f y i n g t h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s w i t h t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r , w e a r e p u t t i n g s o m e r e s t r i c t i o n s o n t h e w a y h e o r s h e o b t a i n e d t h e " e x p e c t e d " v a l u e s o f t h e v a r i o u s r a n d o m v a r i a b l e s ( l i n e a r i t y r e s t r i c t i o n s w i t h r e s p e c t t o b o t h t h e r a n d o m v a r i a b l e x a n d t h e b e l i e f { P i n p a r t i c u l a r ) . T h i s e x c l u d e s f o r e x a m p l e t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e c o n s u m e r p r e d i c t s t h e l o c a t i o n o r m o s t l i k e l y v a l u e o f a r a n d o m v a r i a b l e b y t a k i n g t h e m e d i a n o r m o d e o f a l l i t s p o s s i b l e v a l u e s . 3 2 s t a t e o f n a t u r e g e t r e a l i z e d . T h u s , t h e ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e s o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s a c t i o n s a r e r a n d o m , o r m o r e f o r m a l l y , t h e y a r e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s d e fi n e d o n t h e m e a s u r a b l e s p a c e ( 9 , . 7 ) . I n r e s t r i c t i n g o u r s e l f t o a c t s a f f e c t i n g c o n s u m p t i o n , w e h a v e a s s u m e d t h a t f o r e a c h a c t c o r r e s p o n d s , a s a n ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e o f t h e a c t , a r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e w h i c h y i e l d s s e v e r a l p o s s i b l e b u n d l e s o f c o n s u m p t i o n o u t c o m e s d e p e n d i n g o n w h i c h s t a t e o f n a t u r e g e t s r e a l i z e d . 2 8 T h u s , w e g e t a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e s e t o f a c t s a n d t h e c o n s u m p t i o n s e t . W e h a v e f u r t h e r a s s u m e d t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r c a r e o n l y a b o u t t h e c o n s e q u e n c e s o f a c t s , i n o t h e r w o r d s , a n y p r e f e r e n c e a m o n g a c t s i s d e r i v e d f r o m a p r e f e r e n c e a m o n g t h e d i f f e r e n t c o n s e q u e n c e s t h e y l e a d t o . ” T h i s m a k e s a n y e x p l i c i t r e f e r e n c e t o t h e s e t o f o p t i o n s a n d / o r a c t s i r r e l e v a n t f o r t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s ” o 2 . 2 . 3 S t r u c t u r e o f t h e c o n s u m p t i o n s p a c e W e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n c o n s u m p t i o n g o o d s a n d t h a t t h e r e a l i z a t i o n o f e a c h n - d i r n e n s i o n a l b u n d l e o f c o n s u m p t i o n g o o d s d e p e n d o n t h e s t a t e o f n a t u r e . I n o t h e r w o r d s , g i v e n t h e m e a s u r a b l e s p a c e ( 0 , . 5 7 ) , e a c h c o n s u m p t i o n b u n d l e i s a v e c t o r v a l u e d m e a s u r a b l e f u n c t i o n x f r o m 0 i n t o t h e E u c l i d e a n s p a c e R “ w h i c h a s s o c i a t e s t o e a c h p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e 2 ’ W e n o t e t h a t ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e m a y b e a n i n d e p e n d e n t f u n c t i o n o f a c t a n d / o r t h e s t a t e o f n a t u r e ( i . e . , p o s s i b l e o u t c o m e s m a y n o t d e p e n d o n a c t s a n d / o r t h e s t a t e o f n a t u r e ) . 2 9 W e r e c a l l t h a t " d o - n o t h i n g " i s c o n s i d e r e d a s a n a c t ( s e e A p p e n d i x 4 ) . 3 ° A s e x p l a i n e d i n t h e i n t r o d u c t o r y c h a p t e r , t h e s e a c t s c o n s t i t u t e M a c h i n a ’ s ( 1 9 8 4 ) " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s t h a t m u s t b e m a d e b e f o r e t h e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d ( l a b o r s u p p l y a n d s a v i n g d e c i s i o n s f o r e x a m p l e s ) . C o n c e p t u a l l y , t h e r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s c a n b e t h o u g h t a s p l a n f u t u r e c o n s u m p t i o n s . H e n c e , i n t h e c l a s s i fi c a t i o n o f M a c h i n a ( 1 9 8 4 ) o u r s t a t i c f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y c o n s t i t u t e a s i t u a t i o n o f " t e m p o r a l r i s k " a s o p p o s e d t o t h e a l t e r n a t i v e s i t u a t i o n o f " t i m e l e s s r i s k " w h e r e n o " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s n e e d t o b e t a k e n . H o w e v e r , u n l i k e i n t h e c a s e o f a s t a t i c a n a l y s i s o f p r o d u c t i o n d e c i s i o n s u n d e r u n c e r t a i n t y w h e r e t h e " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s ( w h i c h a r e m a d e o f t h e c h o i c e o f i n p u t s ) n e e d t o b e e x p l i c i t l y m o d e l l e d , t h e e x p l i c i t m o d e l l i n g o f t h e s e " a u x i l i a r y " d e c i s i o n s i s u n n e c e s s a r y h e r e ( t h e y c a n b e t a k e n a s p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l ) . 3 3 w a r e a l i z e d c o n s u m p t i o n b u n d l e x ( w ) . 3 1 F o r e c o n o m i c r e a s o n s , t h e c o n s u m p t i o n s e t i s r e s t r i c t e d t o c o n t a i n o n l y p o s i t i v e e l e m e n t s ; i . e , r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s t a k e t h e i r v a l u e s i n R " , , t h e p o s i t i v e o r t h a n t o f R “ . F o r m a l l y , t h e c o n s u m p t i o n s e t i s d e fi n e d t o b e t h e p o s i t i v e c o n e L 2 6 1 , R " ) + a { x 6 L 2 6 2 , R “ ) : x ( w ) 2 0 f o r a l l t o E 0 } . W h e r e L 2 6 2 , R " ) i s t h e s p a c e o f v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s x d e fi n e d o n ( 2 , t a k i n g v a l u e s i n R " , a n d s a t i s f y i n g J o l l x ( w ) | | 2 d P ( w ) < c o w i t h I I I I b e i n g t h e E u c l i d e a n n o r m o f 1 1 " . ” I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t w e h a v e r e s t r i c t e d t h e c o n s u m p t i o n s e t t o i n c l u d e o n l y p o s i t i v e r a n d o m c o n s u m p t i o n v e c t o r s w i t h fi n i t e s e c o n d m o m e n t s . T h i s r e s t r i c t i o n , w h i c h i s m a i n l y f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n s , r u l e s o u t f r o m c o n s i d e r a t i o n r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s w i t h fi n i t e e x p e c t e d v a l u e s b u t i n fi n i t e v a r i a n c e s . R u l i n g o u t r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s w i t h fi n i t e e x p e c t e d v a l u e s b u t i n fi n i t e v a r i a n c e s m a y a p p e a r r e s t r i c t i v e . B u t , t h i s w a s d o n e b e c a u s e m o s t o f o u r r e s u l t s d e p e n d o n t h e r e fl e x i v i t y a n d " s m o o t h n e s s " o f t h e c h o i c e s p a c e . M o r e o v e r , A r a u j o ( 1 9 8 8 ) h a s p r o v e d t h e g e n e r a l n o n - e x i s t e n c e o f a q u a s i - c o n c a v e c o n t i n u o u s u t i l i t y f u n c t i o n a l d e fi n e d o n n o n - r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e s l i k e L , o r L . a n d w h i c h w o u l d g i v e r i s e t o w e l l d e fi n e d d e m a n d f u n c t i o n a l s . 3 3 F o r 1 < p < o n L P “ ) , R “ ) i s a r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e , a n d L 2 6 1 , R " ) i s a n H i l b e r t s p a c e ( m e a n i n g t h a t i t s n o r m c a n b e d e fi n e d f r o m a i n n e r 3 ‘ T o b e m o r e p r e c i s e w e s h o u l d h a v e w r i t t e n x ( a , o r ) i n s t e a d o f x ( w ) t o e x p r e s s t h e d e p e n d e n c e o f t h e c o n s u m p t i o n b u n d l e ( o u t c o m e ) o n t h e a c t t a k e n b y t h e c o n s u m e r ( s e e A p p e n d i x 4 ) . B u t , w e h a v e s u p p r e s s t h i s e x p l i c i t d e p e n d e n c e t o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n s i n c e i t i s r e l e v a n t o n l y a t t h e c o n c e p t u a l l e v e l . M o r e o v e r , t o s h o r t e n t h e d i s c u s s i o n s w e w i l l s t o p r e f e r r i n g t o x a n d x ( w ) a s ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e a n d o u t c o m e s r e s p e c t i v e l y a s d i c t a t e d b y t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k p r e s e n t e d i n A p p e n d i x 4 , u n l e s s s u c h r e f e r e n c e s a d d c l a r i t y t o t h e i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e r e s u l t s . 3 ’ A s u s u a l , R “ i s e q u i p p e d w i t h t h e B o r e l a - a l g e b r a B ( R " ) d e fi n e d b y t h e E u c l i d e a n n o r m . ’ 3 A n o t h e r r e s u l t o f A r a u j o ( 1 9 8 8 ) i s t h a t w i t h L , , p ¢ 2 a s a c o n s u m p t i o n s p a c e , t h e r e i s n o s t r i c t l y q u a s i - c o n c a v e a n d t w i c e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e u t i l i t y f u n c t i o n a l a t t a i n i n g i t s m a x i m u m o n t h e i n t e r i o r o f t h e c o n s u m p t i o n s e t a n d g i v i n g r i s e t o a c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d f u n c t i o n a l d e fi n e d o n i t s d u a l . H o w e v e r , e v e n i f w e u s e p # 2 , t h i s r e s u l t w i l l n o t a p p l y i n o u r c a s e b e c a u s e w e a r e n o t g o i n g t o m a k e a n y d i f f e r e n t i a b i l i t y a s s u m p t i o n o n t h e d e r i v e d f i m c t i o n a l u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e . 3 4 p r o d u c t ) ? " S i n c e H i l b e r t s p a c e s a r e n a t u r a l g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e R “ ( t h e s t a n d a r d c o m m o d i t y s p a c e ) , i n t h e s e n s e t h a t m o s t o f t h e n i c e p r o p e r t i e s o f t h e E u c l i d e a n s p a c e e x t e n d i n t o t h e s e s p a c e s , w e c h o s e L 2 6 1 , R " ) a s t h e c o n s u m p t i o n s p a c e . H o w e v e r , m o s t o f t h e r e s u l t s d e r i v e d b e l o w h o l d w h e n w e c o n s i d e r a g e n e r i c L , s p a c e w i t h 1 < p < o n . 3 5 I n w h a t f o l l o w s , L , ( n , R “ ) i s e n d o w e d w i t h t h e n o r m s | | | | 2 d e fi n e d b y " x “ 2 I [ I o fl x ( w ) I I 2 ( 1 1 3 0 1 0 ] I f o r x 6 L 2 6 1 , R “ ) , a n d w i t h i t s l i n e a r n a t u r a l o r d e r 2 d e fi n e d b y : f o r a l l x , y E L 2 ( 0 , R “ ) , x 2 y i f a n d o n l y i f x ( w ) 2 y ( w ) f o r a l l t o E 9 . B y I : > y w e w i l l m e a n I t 2 y a n d x a ! y . ” 2 . 2 . 4 C h o i c e o f p r i c e f u n c t i o n a l s W e t a k e t h e p r i c e s p a c e t o b e t h e t o p o l o g i c a l d u a l o f L 2 6 1 , R " ) , t h a t i s , t h e s p a c e o f c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s d e fi n e d o n L 2 ( 0 , R “ ) e n d o w e d w i t h t h e n o r m d e fi n e d a b o v e . A g a i n , f o r e c o n o m i c r e a s o n s p r i c e s a r e r e s t r i c t e d t o b e s t r i c t l y p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l s . F o r m a l l y , p r i c e s a r e s t r i c t l y p o s i t i v e e l e m e n t s o f t h e p o s i t i v e c o n e o f L , ( fl , R “ ) ' d e fi n e d a s L 2 6 1 , R “ ) + , ' : - { p 6 L 2 6 2 , R ° ) ' : p ( x ) > 0 f o r a l l x 6 L 2 6 1 , R " ) , , x a t 0 } . T h i s d e fi n i t i o n o f p r i c e i s t h e s a m e a s i n t h e A r r o w - D e b r e u f r a m e w o r k w h e r e t h e c o n s u m p t i o n s p a c e i s R “ . I t j u s t h a p p e n s t o b e t h e c a s e t h a t a n y l i n e a r f o r m d e fi n e d o n R “ c a n b e i d e n t i fi e d w i t h s o m e 3 ‘ T h e r e fl e x i v i t y o f L P ( 0 , R “ ) m e a n s t h a t i t i s i d e n t i c a l t o t h e d u a l o f i t s d u a l , i . e . , L P “ ) , 1 1 " ) " a L 4 6 1 , R “ ) ' = P “ ) , R “ ) . I n p a r t i c u l a r , w e h a v e L 2 6 2 , R ” ) ' = L , ( 0 , R “ ) . 3 5 W e d i d i n i t i a l l y d e r i v e o u r r e s u l t s b y c o n s i d e r i n g a g e n e r i c L , , 1 < p < o n ; t h e d i f f e r e n c e w i t h t h e c a s e o f p = 2 , i s t h a t t h e d u a l i t y m a p p i n g o f L , w o u l d a p p e a r i n s o m e o f t h e r e s u l t s a n d e x a m p l e s w o r k e d o u t i n c h a p t e r 3 ; o t h e r w i s e , a l l t h e e x p r e s s i o n s a r e t h e s a m e . T h i s s h o u l d n o t b e a s u r p r i s e s i n c e i n t h e c a s e o f a n H i l b e r t s p a c e , t h e d u a l i t y m a p p i n g i s e q u a l t o t h e i d e n t i t y o p e r a t o r . 3 ‘ F r o m n o w o n , f o r a l i n e a r o r d e r e d s p a c e A w i t h o r d e r 2 , A J , a n d A M w i l l r e s p e c t i v e l y d e s i g n a t e t h e s e t s { x € A : x 2 0 } a n d { x E A : x 2 0 a n d x ¢ 0 } . 3 5 v e c t o r i n t h e s a m e s p a c e R “ . T h e s a m e i s t r u e f o r i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s i d e n t i fi e d w i t h t h e i r b i d u a l s . B u t , i n g e n e r a l a p r i c e p i s t a k e n t o b e a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l t a k i n g v a l u e i n R + a n d w h i c h a s s i g n s t o e a c h r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e x i t s m a r k e t ( o r s h a d o w ) v a l u e p ( x ) ( a p o s i t i v e r e a l , n o n r a n d o m n u m b e r ) . T h e v a l u e o f t h e l i n e a r f u n c t i o n a l p a t x i s b y c o n v e n t i o n n o t e d a s p ( x ) E ( p , x ) o r s o m e t i m e s s i m p l y a s p ' x . S i n c e b y t h e d u a l i t y r e s u l t c i t e d a b o v e , w e h a v e L z m , R “ ) ’ = L 2 6 2 , R “ ) , w e c a n i d e n t i f y a p r i c e p w i t h a n e l e m e n t o f L 2 6 2 , R “ ) . T h a t i s , p i s i d e n t i fi e d w i t h a v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e d e fi n e d o n 0 a n d t a k i n g v a l u e s i n R 1 , a n d s a t i s f y i n g I l p l l 2 - [ [ 0 I | p ( w ) I | 2 d . P ( w ) ] ; < o n . W e c a n t h e n w r i t e t h e v a l u e o f p a t x a s p 1 : = ( p , x ) = I n p ( w r x ( w ) d . P ( w ) . W h e r e t h e d o t a p p e a r i n g i n t h e fi r s t e x p r e s s i o n i s t h e i n n e r p r o d u c t o f t h e H i l b e r t s p a c e L 2 6 1 , R “ ) a n d t h e o n e i n s i d e t h e i n t e g r a l i s t h e u s u a l i n n e r p r o d u c t o f t h e E u c l i d e a n s p a c e R “ . 2 . 2 . 5 " C h a n g e s " a n d e x p e c t e d c h a n g e s i n r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s a n d p r i c e s T h e t o p o l o g y i n d u c e d b y I I I I 2 f o r r n a l i z e s t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f " s i m i l a r i t i e s " a n d " d i s s i r n i l a r i t i e s " a m o n g t h e r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s . H e n c e , t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f a s r e p r e s e n t e d b y t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n i P i s i m p l i c i t i n t h i s f o r m a l i z a t i o n o f h i s o r h e r p e r c e p t i o n o f " s i m i l a r i t y " o r " c l o s e n e s s " , s i n c e t h e n o r m I I E , d e p e n d s o n i t . A s e x p l a i n e d i n A p p e n d i x 4 , b e f o r e t h e c o n s u m e r u s e s h i s o r h e r p r e f e r e n c e t o r a n k t h e v a r i o u s r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s i n h i s o r h e r c h o i c e s e t , i t s b e l i e f { P i s u s e d t o " a d j u s t " h i s o r h e r p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c " s i m i l a r i t i e s " a n d d i s s i r n i l a r i t i e s e x i s t i n g a m o n g t h e p o s s i b l e b u n d l e s o f c o n s u m p t i o n o u t c o m e s ( i . e . , f o r e x a m p l e , h i s o r h e r p e r c e p t i o n o f h o w t h e p a i r c o n s t i t u t e d b y 1 k g o f r i c e a n d 1 / 2 k g o f m i l l e t i s " c l o s e " t o t h e p a i r c o n s t i t u t e d b y 1 / 2 k g o f r i c e a n d 2 k g o f m i l l e t ) t o a r r i v e a t a " b e l i e f - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n o f " s i m i l a r i t i e s " a n d 3 6 " d i s s i r n i l a r i t i e s " a m o n g t h e r e s p e c t i v e c o r r e s p o n d i n g r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s . U n d e r t h e n o r m fl I I 2 t h i s " a d j u s t m e n t " i s d o n e b y " w e i g h t i n g " t h e E u c l i d e a n n o r m s o f a l l t h e p o s s i b l e b u n d l e s o f c o n s u m p t i o n o u t c o m e s c o r r e s p o n d i n g t o e a c h r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e x w i t h t h e r e s p e c t i v e b e l i e v e d r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f o c c u r r e n c e o f t h e s t a t e s o f n a t u r e w h e r e t h e y m a y b e r e s p e c t i v e l y r e a l i z e d ; s o a s t o a r r i v e a t a " b e l i e f - w e i g h t e d " p e r c e p t i o n o f h o w x i s " c l o s e " t o t h e d e g e n e r a t e r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e c o n s i s t i n g o f z e r o c o n s u m p t i o n i n a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . T h e n o r m I ] I I 2 a l s o g o v e r n s t h e m e a n i n g o f t h e w o r d " c h a n g e " w h e n i t i s u s e d i n t h i s t h e s i s a n d i s a t t a c h e d t o a r a n d o m v a r i a b l e . I n p a r t i c u l a r , w h e n w e t a k e " d e r i v a t i v e " o f fi m c t i o n a l s w i t h r e s p e c t t o r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s o r r a n d o m p r i c e s , t h e m e a n i n g o f t h e i m p l i e d " c h a n g e s i n t h e r a n d o m v a r i a b l e s " i s g o v e r n e d b y t h e m e t r i c I I “ 2 . S i m i l a r l y , i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s t a t e m e n t s a s w e l l a s i n t h e e l a s t i c i t i e s a n d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e f o r m u l a d e r i v e d l a t e r , t h e m e a n i n g o f t h e " c h a n g e s i n t h e r a n d o m v a r i a b l e s " i s g o v e r n e d b y t h e m e t r i c [ I I I 2 . M o r e o v e r , g i v e n o u r m a t h e m a t i c a l i d e n t i fi c a t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s e x p e c t a t i o n p r o c e s s w i t h t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E , u n d e r t h i s m e t r i c w e c a n i n t e r p r e t a " c h a n g e i n a r a n d o m v a r i a b l e " a s a n e _ x 2 e c t e d c h a n g e i n i t s l e v e l . H e n c e , a " c h a n g e i n a r a n d o m p r i c e v e c t o r " i s i n t e r p r e t e d a s a n e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s , a n d a " c h a n g e i n a r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e " i s i n t e r p r e t e d a s a n e x p e c t e d c h a n g e i n i t s c o n s u m p t i o n . T o s e e t h e r a t i o n a l e b e h i n d t h i s i n t e r p r e t a t i o n , w e n o t e t h a t i f , f o r e x a m p l e , a r a n d o m p r i c e v e c t o r " c h a n g e " f r o m p t o q t h e n u n d e r a g i v e n p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e o r t h e a c t u a l c h a n g e i n p r i c e i s a s u s u a l m e a s u r e d b y t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n p ( w ) a n d q ( w ) . T h a t i s , b y t h e q u a n t i t y I I p ( w ) - q ( w ) I . H e n c e , t o g e t t h e e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s o n e w o u l d s i m p l y t a k e a " w e i g h t e d a v e r a g e " a c r o s s a l l s t a t e s o f n a t u r e t o fi n d 1 5 ‘ ( fl p - q I I ) , t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e I l p - q I I . B u t , u n d e r t h e m e t r i c I I I I , ( w h i c h g o v e r n s t h e 3 7 m e a n i n g o f " c h a n g e " ) t h e " a v e r a g i n g " a c r o s s s t a t e s o f n a t u r e i s m a d e " s m o o t h " b y t a k i n g i n s t e a d , t h e s q u a r e d r o o t o f t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e I I p - q H 2 . T h a t i s , b y g e t t i n g ( E I I p — q I I 2 ) I = I I p - q I I 2 w h i c h i s b y d e fi n i t i o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o r a n d o m v a r i a b l e s p a n d q u n d e r t h e m e t r i c I I I I 2 . 3 7 H e n c e , u n d e r t h i s m e t r i c a " c h a n g e " i n t h e r a n d o m v e c t o r o f p r i c e s c a n b e i n t e r p r e t e d a s a n e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s . ” 3 9 F i n a l l y , f o r m o r e c l a r i fi c a t i o n o n t h e m e a n i n g o f t h i s i n t e r p r e t a t i o n , w e c a l l a t t e n t i o n o n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a n e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s a n d a c h a n g e i n e x p e c t e d p r i c e s f r o m b o t h b e h a v i o r a l a n d m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e s . F r o m t h e b e h a v i o r a l p e r s p e c t i v e , t h e l a t t e r c h a n g e i s a b o u t t h e c o n s u m e r c h a n g i n g h i s o r h e r p r e d i c t i o n s o f t h e " l o c a t i o n " o f t h e r a n d o m p r i c e s a n d t h i s m a y o c c u r e v e n i f t h e r e i s n o " c h a n g e " i n t h e r a n d o m p r i c e s ( f o r e x a m p l e , t h e c o n s u m e r m a y o b t a i n n e w i n f o m i a t i o n o n t h e r a n d o m p r i c e s w h i c h l e a d s h i m o r h e r t o " r e v i s e " h i s o r h e r " e x p e c t a t i o n " ) . F r o m t h e m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e , t h e l a t e r c h a n g e i s a c h a n g e i n t h e e x g t e d v a l u e s a n d h e n c e i n v o l v e s o n l y t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e . ‘ 0 ’ 7 T h i s " s m o o t h a v e r a g i n g " i s w h a t m a k e s L 2 6 1 , R “ ) a u n i f o r m l y c o n v e x s p a c e , t h u s m a k i n g i t p o s s i b l e t o d e r i v e t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s . 3 ‘ A l o n g t h e s a m e l i n e s , w e n o t e t h a t w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t L 2 “ ) , R " ) i s e n d o w e d w i t h i t s n a t u r a l l i n e a r o r d e r , a n " i n c r e a s e " i n t h e r a n d o m p r i c e v e c t o r f r o m p t o q ( i . e . , t h e v e c t o r o f p r i c e s c h a n g e f r o m p t o q w i t h q 2 p ) m e a n s t h a t i n a n y g i v e n p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e t h e v a l u e t a k e n b y t h e r a n d o m v e c t o r q i s h i g h e r t h a n t h e o n e t a k e n b y p . I n t h i s c o n t e x t , b e c a u s e o f t h e p o s i t i v i t y o f t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r , a n " i n c r e a s e " i n r a n d o m p r i c e s a l w a y s i m p l y a n e x p e c t e d i n c r e a s e i n p r i c e s . B u t , t h e c o n v e r s e i s n o t t r u e . ‘ ’ 9 W e n o t e t h a t f r o m a f t m c t i o n a l a n a l y s i s p e r s p e c t i v e t h e ( u n c o n d i t i o n a l ) e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E i s j u s t a n e l e m e n t o f t h e d u a l o f L , ( 0 , R ) , t h a t i s a n e l e m e n t o f L , ( 9 , R ) i t s e l f s i n c e t h i s i s a n H i l b e r t s p a c e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e u n c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E [ . | 8 ‘ , ] i s a n c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r f r o m L 2 6 1 , R ) t o L 2 6 1 , R ) . T h a t i s , i t i s a n e l e m e n t o f t h e s p a c e 5 8 ( L 2 ( O , R ) ; L 2 6 1 , R ) ) . T h u s , t h e m a t h e m a t i c a l i d e n t i fi c a t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s w i t h t h e c o n d i t i o n a l o r c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r o p e n s t h e d o o r f o r q u a n t i f y i n g t h e i m p a c t o f " c h a n g e s " i n t h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s o n b e h a v i o r a n d w e l f a r e . ‘ ° T h e m e t r i c I I 2 w i l l b e i n v o l v e d w h e n c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n i s u s e d . 3 8 2 . 2 . 6 M e a s u r e s o f t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e r i s k i n i t s c o n s u m p t i o n c h o i c e s G i v e n t h e c o n s u m e r ’ s s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n S P , t h e " r i s k i n e s s " i n v o l v e d i n i t s c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y d e p e n d s o n h o w l a r g e t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e i s p e r c e i v e d t o b e , h o w e a c h p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e j o i n t l y d e t e r m i n e t h e r e s p e c t i v e v a l u e s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s , a n d h o w c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s b a s e d o n h i s o r h e r p r e d i c t i o n s o r f o r e c a s t s o f t h e m o s t l i k e l y v a l u e s ( o r l o c a t i o n ) o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s a f f e c t “ H o w e v e r , f o r e a c h r a n d o m v a r i a b l e s e v e r a l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e c a n h i s o r h e r w e l f a r e . l e a d t o t h e s a m e v a l u e o r t o v a l u e s t h a t a r e " c l o s e " . T h e s e v a l u e s m a y a l s o b e r e l a t e d i n s o m e w a y t o v a l u e s t a k e n b y t h e o t h e r r a n d o m v a r i a b l e s . H e n c e , t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y o r r i s k i n h i s o r h e r c o n s u m p t i o n c h o i c e s i s d e t e r m i n e d b y a ) h i s o r h e r s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f e a c h p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e , b ) t h e d e g r e e s o f v a r i a b i l i t y o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s a r o u n d t h e i r r e s p e c t i v e p r e d i c t e d o r " e x p e c t e d " v a l u e s , a n d c ) t h e d e g r e e s o f c o v a r i a b i l i t y o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s a s t h e y v a r y a r o u n d t h e i r r e s p e c t i v e p r e d i c t e d o r " e x p e c t e d " v a l u e s . T h e r e f o r e , t o h a v e a n a c c e p t a b l e m e a s u r e o f t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e d e g r e e o f r i s k i n t h e r a n d o m p r i c e s i n p a r t i c u l a r , o n e n e e d t o fi n d a w a y t o a p p r o p r i a t e l y " a g g r e g a t e " t h e d e g r e e o f v a r i a b i l i t y o f e a c h r a n d o m p r i c e a r o u n d i t s " e x p e c t " v a l u e a n d t h e d e g r e e o f c o v a r i a b i l i t y o f e a c h p a i r o f r a n d o m p r i c e s ( w h e n t h e y v a r y a r o u n d t h e i r " e x p e c t e d " v a l u e s ) w i t h h i s o r h e r s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f e a c h p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e s o a s t o a r r i v e a t a " b e l i e f - a d j u s t e d " n u m e r i c a l m e a s u r e s o f t h e p e r c e i v e d d e g r e e o f " v a r i a b i l i t y " o f e a c h r a n d o m p r i c e a n d d e g r e e o f " c o v a r i a b i l i t y " o f e a c h p a i r o f r a n d o m p r i c e s . " T h e r a n d o m v a r i a b l e s r e l a t e d t o c o n s u m p t i o n c h o i c e s i n c l u d e p r i c e s , t h e c o m m o d i t i e s , a n d ( f u t u r e ) t o t a l e x p e n d i t u r e . 3 9 G i v e n o u r m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k a n d i d e n t i fi c a t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s w i t h t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E , i t i s n a t u r a l t o m e a s u r e t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e i v e d d e g r e e o f " v a r i a b i l i t y " o f a r e a l - v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e x b y t h e d i s t a n c e b e t w e e n x a n d i t s e x p e c t e d v a l u e u n d e r t h e m e t r i c I I I I 2 . T h a t i s b y I I x - E x I I 2 = ( E ( x - E x ) 2 ) ’ l ‘ , w h i c h i s j u s t i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n . 4 2 S i m i l a r l y , i t i s n a t u r a l t o m e a s u r e t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e i v e d d e g r e e o f " c o v a r i a b i l i t y " o f t w o r e a l - v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e x a n d y b y t h e s c a l a r ( o r d o t ) p r o d u c t o f t h e i r d e v i a t i o n s f r o m t h e i r r e s p e c t i v e e x p e c t e d v a l u e s u n d e r t h e s c a l a r p r o d u c t a s s o c i a t e d w i t h t h e m e t r i c I I “ 2 - T h a t i s b y ( x - E x , y - E y ) 2 = E ( ( x - E x ) ( y - E y ) ) , w h i c h i s j u s t t h e i r c o v a r i a n c e . 4 3 B e f o r e c o n c l u d i n g t h i s s e c t i o n o n t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f p r i c e - r i s k , w e n o t e t w o i m p l i c a t i o n s t h a t w i l l b e i m p o r t a n t i n t h e i n t e r p r e t a t i o n s o f c o m p a r a t i v e s t a t i c r e s u l t s a n d e l a s t i c i t i e s m e a s u r i n g t h e e f f e c t s o f p r i c e - r i s k . F i r s t , w i t h t h i s m e a s u r e o f t h e v a r i a b i l i t y o f a r a n d o m v a r i a b l e , i t i s e a s y t o s e e t h a t n o t a l l " c h a n g e s " o r e x p e c t e d c h a n g e s i n a r a n d o m p r i c e w i l l n e c e s s a r i l y l e a d t o a c h a n g e i n i t s v a r i a b i l i t y . H o w e v e r , a d e t e r m i n i s t i c h o m o t h e t i c e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s ( i . e . , a m u l t i p l i c a t i v e s h i f t i n t h e r a n d o m p r i c e ) w i l l l e a d t o c h a n g e i n i t s v a r i a b i l i t y . S u c h e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s c h a r a c t e r i z e s d e t e r m i n i s t i c c h a n g e s t h a t a r e e x p r e s s e d i n p e r c e n t a g e t e r m s ( e . g . , s a l e t a x , d e v a l u a t i o n , e t c . . . ) . O n t h e o t h e r h a n d , ‘ 2 T h i s i s e q u i v a l e n t t o ” w e i g h i n g " t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e ’ s p o s s i b l e v a l u e s t o i t s " e x p e c t e d " v a l u e b y t h e r e s p e c t i v e c o n s u m e r ’ s s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f r e l a t i v e t h e l i k e l i h o o d s o f t h e p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a n d " a p p r o p r i a t e l y ” a g g r e g a t i n g t h e m . N o t e t h a t i f i n s t e a d o f L 2 w e h a v e w o r k e d w i t h a g e n e r i c L , , 1 < p < o n t h e n t h e m e a s u r e o f " v a r i a b i l i t y " w o u l d c o r r e s p o n d t o t h e p t h r o o t o f t h e p t h c e n t e r e d m o m e n t . H e n c e , " v a r i a b i l i t y " m e a s u r e s b a s e d o n h i g h e r m o m e n t s a r e a c c o m o d a t e d b y w o r k i n g w i t h L , 2 s p < e o . ‘ 3 F o r c o m p a r a b i l i t y a c r o s s p a i r s o f r a n d o m v a r i a b l e s , o n e c a n n o r m a l i z e e i t h e r b y d i v i d i n g b y t h e p r o d u c t s o f t h e n o r m s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s o r b y t h e p r o d u c t s o f t h e i r m e a s u r e s o f " v a r i a b i l i t y " ( i . e . , t h e i r s t a n d a r d e r r o r s ) . I f t h e l a t t e r n o r m a l i z a t i o n i s c h o s e n , t h e n t h e m e a s u r e o f c o v a r i a b i l i t y r e d u c e s t o t h e f a m i l i a r c o e f fi c i e n t o f c o r r e l a t i o n . F o r c o n v e n i e n c e , i n t h e d e r i v a t i o n o f e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , w e c h o o s e t h e fi r s t n o r m a l i z a t i o n m e t h o d . N o t e t h a t w i t h a g e n e r i c L , , 1 < p < c o a n d p ¢ 2 , t h e r a n d o m v a r i a b l e s x a n d y d o n o t b e l o n g t o t h e s a m e s p a c e a n d t h e o p e r a t o r ( ) i s n o t a p r o d u c t s c a l a r . H o w e v e r , i n t h i s g e n e r a l c a s e t h e i n t e r p r e t a t i o n i n t e r m s o f c o v a r i a n c e i s s t i l l v a l i d . 4 0 d e t e r m i n i s t i c a d d i t i v e s h i f t i n a r a n d o m p r i c e d o e s n o t c h a n g e i t s v a r i a b i l i t y . S e c o n d , b e c a u s e o f t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e i v e d c o v a r i a b i l i t y a m o n g t h e r a n d o m p r i c e s , a n e x p e c t e d c h a n g e i n o n e p r i c e m a y p o s s i b l y i m p l y e x p e c t e d c h a n g e s i n o t h e r p r i c e s . T h i s c o n t r a s t s w i t h t h e d e t e r m i n i s t i c m u l t i v a r i a t e c a s e w h e r e t h e s t a t e m e n t " c h a n g e i n o n e p r i c e h o l d i n g t h e o t h e r p r i c e s c o n s t a n t " h a s a l w a y s a w e l l d e fi n e d m e a n i n g . T h i s p e r c e i v e d c o v a r i a b i l i t y a m o n g r a n d o m p r i c e s w i l l m a k e d i f fi c u l t t h e p r e d i c t i o n s o f t h e s i g n s o f t h e o w n - p r i c e a n d s u b s t i t u t i o n e f f e c t s i n d u c e d b y p r i c e - r i s k . 2 . 2 . 7 T h e B u d g e t c o n s t r a i n t l m d e r p r i c e u n c e r t a i n t y W i t h t h e a b o v e n o t a t i o n s , f o r a g i v e n p r i c e p a n d e x p e n d i t u r e m 6 R H , t h e b u d g e t s e t i s g i v e n b y : B ( p , m ) a { x 6 L 2 6 1 , R n ) ” : p a r 5 m } . W e w i l l a s s u m e t h a t f o r a n y g i v e n p r i c e a n d i n c o m e , t h e b u d g e t s e t i s n o n - e m p t y ( m i n i m u m s u b s i s t e n c e l e v e l ) . F o r m a l l y , B ( p , m ) a 6 Q f o r a l l ( p , m ) E L 2 “ ) , R ' ) + + > < R + , . T o b e m o r e p r e c i s e , m s h o u l d b e c a l l e d e x p e c t e d t o t a l e x p e n d i t u r e . B u t f o r s h o r t n e s s w e w i l l k e e p t h e t e r m t o t a l e x p e n d i t u r e . T h e i m p o r t a n t p o i n t h e r e i s t h a t m i s a p r e d e t e r m i n e d n o n r a n d o m s c a l a r ; a n d t h a t r e s u l t s s u c h a s t h e S l u t s k y e q u a t i o n a p p l y o n l y t o e x p e c t e d t o t a l e x p e n d i t u r e , n o t t o t o t a l e x p e n d i t u r e w h i c h i s a r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e I n 6 L 2 6 1 , R H ) . N e v e r t h e l e s s , w e c a n s t i l l d o o u r a n a l y s i s i n t e r m s o f t o t a l e x p e n d i t u r e m a s a r a n d o m v a r i a b l e b y t a k i n g e x p e c t e d t o t a l e x p e n d i t u r e a s m a ( 1 , m ) , w h e r e l i s t h e ( c o n s t a n t ) r a n d o m v a r i a b l e t h a t i s e q u a l t o 1 f o r a l l s t a t e s o f n a t u r e , w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t t o t a l e x p e n d i t u r e i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e n u m e r a i r e . S i n c e ( 1 , m ) = I n m ( w ) t fl ’ ( w ) = E m , w i t h E b e i n g t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r , a l l t h e r e s u l t s d e r i v e d b e l o w a n d t h a t d o n o t i n v o l v e 4 1 d i f f e r e n t i a t i o n c a n b e a p p l i e d t o r a n d o m t o t a l e x p e n d i t u r e b y j u s t r e p l a c i n g m b y E m . “ F o r r e s u l t s t h a t i n v o l v e d i f f e r e n t i a t i o n ( s u c h t h e S l u t s k y e q u a t i o n a n d t h e e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t i e s ) , o n e c a n d e r i v e t h e m i n t e r m s o f m b y u s i n g t h e c h a i n r u l e s i n c e t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t a l l p o i n t s w i t h a c o n s t a n t d e r i v a t i v e e q u a l s t o t h e s a m e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r . H o w e v e r , s i n c e t h e s e t r a n s l a t i o n s a r e s t r a i g h t f o r w a r d , a n d t h e c h a p t e r i s a l r e a d y v e r y l o n g , w e w i l l n o t d o t h e m h e r e ( s e e f o o t n o t e 7 2 ) . A s i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y , w e w i l l a l s o m a i n t a i n a s t r i c t d i f f e r e n c e b e t w e e n e x p e c t e d t o t a l e x p e n d i t u r e a n d e x p e c t e d t o t a l i n c o m e . T h e e c o n o m i c r e a s o n f o r m a k i n g t h e d i f f e r e n c e , r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t w i t h t h e a s s u m p t i o n o f n o n s a t i a t i o n , t h e c o n s u m e r a l w a y s s p e n d a l l o f i t s p r e d e t e r m i n e d e x p e c t e d t o t a l e x p e n d i t u r e , w h i l e t h i s n e e d n o t b e t h e c a s e f o r e x p e c t e d t o t a l i n c o m e , p a r t o f w h i c h m a y b e s a v e d . 2 . 2 . 8 B e h a v i o r a l a s s u m p t i o n s a n d u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e W e w i l l r e s t r i c t f u r t h e r t h e c o n s u m p t i o n s e t a s b e i n g a w e a k l y c o m p a c t s u b s e t , X , i n L 2 “ ) , R " ) + . T h i s " b o u n d n e s s " c o n d i t i o n w h i c h i s f o r t e c h n i c a l r e a s o n s c a n b e h a r d l y c o n s i d e r e d a s r e s t r i c t i v e s i n c e i n p r a c t i c e , r a n d o m c o n s u m p t i o n s g o o d s c a n b e c o n s i d e r e d t o a l w a y s l i e i n a g i v e n c l o s e d a n d b o u n d e d s u b s e t o f R 1 T h u s , t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e o r d e r i n g z i s d e fi n e d n o w o n X . F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e s , w e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g s e t s : “ F r o m a b e h a v i o r a l p e r s p e c t i v e , t h i s a s s u m e s t h a t c o n s u m e r s a r e m a k i n g t h e i r c o n s u m p t i o n c h o i c e s b a s e d o n t h e e x p e n d i t u r e l e v e l t h e y d o n ’ t ” e x p e c t ” t o e x c e e d . H e n c e , g i v e n o u r i d e n t i fi c a t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s ” e x p e c t a t i o n " p r o c e s s w i t h t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r , t h i s i s e q u i v a l e n t t o b a s i n g t h e c o n s u m p t i o n c h o i c e s o n t h e i r m a x i m u m e x p e c t e d l e v e l o f e x p e n d i t u r e . N o t e t h a t t h e i s s u e s i n v o l v e d i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e b u d g e t c o n s t r a i n t i n t e r m s o f m a x i m u m e x p e c t e d e x p e n d i t u r e l e v e l a n d t h e i d e n t i fi c a t i o n o f t h e e x p e c t a t i o n p r o c e s s w i t h t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r a r e u n r e l a t e d t o i s s u e s c o n c e r n i n g t h e p r o p e r t i e s o f t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e o r d e r i n g w h i c h a r e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n ( s e e f o o t n o t e 2 7 a n d s e c t i o n 2 . 2 . 6 ) . 4 2 W P ( x ) : 5 { y E X : y z x } ( s e t o f r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s w e a k l y p r e f e r r e d t o x ) . N S P ( x ) a { y E X : x t y } ( s e t o f r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s n o t s t r i c t l y p r e f e r r e d t o x ) . A l : A 4 : A 6 : W e a s s u m e t h a t 2 s a t i s fi e s t h e f o l l o w i n g s t a n d a r d a x i o m s o n p r e f e r e n c e : R e f l e x i v i t y : z i s r e fl e x i v e i . e , x z x f o r a l l x E X ( e v e r y r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e i s p r e f e r r e d t o i t s e l f ) . C o m p l e t e n e s s : z i s c o m p l e t e i . e , f o r a l l x , y E X w e h a v e e i t h e r x z y , y z x o r i t ~ y ( a l l r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e s i n t h e c o n s u m p t i o n s e t a r e c o m p a r a b l e ) . T r a n s i t i v i t y : t i s t r a n s i t i v e i . e , f o r a l l x , y , z E X , x z y a n d y z 2 i m p l i e s x z z ( c o n s i s t e n c y o f t h e p r e f e r e n c e o r d e r i n g ) . C o n t i n u i t y : z i s c o n t i n u o u s i . e , f o r a l l x E X t h e s e t s W P ( x ) a n d N S P ( x ) a r e c l o s e d s u b s e t s o f L 2 “ ) , R “ ) + e n d o w e d w i t h t h e t o p o l o g y i n d u c e d b y I I I I 2 ( f o r a l l x , y E X i f x > y t h e n f o r a n y 2 " c l o s e " e n o u g h t o x w e h a v e 2 > y ) ” S t r i c t c o n v e x i t y : t i s s t r i c t l y c o n v e x i . e , f o r a l l x E X t h e s e t W P ( x ) i s a s t r i c t l y c o n v e x s u b s e t o f X m e a n i n g t h a t i f y , z E W P ( x ) a n d x 7 1 y t h e n a ' y + ( 1 - a ) z E W P ( x ) f o r a l l 0 < a < l ( d i v e r s i fi c a t i o n o r p r e f e r e n c e f o r a v e r a g e s o v e r e x t r e m e s ) . M o n o t o n i c i t y : z i s m o n o t o n e i . e , f o r a l l x , y E X , x 2 y i m p l i e s x a y ( i f i n e v e r y s t a t e o f n a t u r e t h e r e a l i z e d l e v e l o f c o n s u m p t i o n g o o d i t i s g r e a t e r t h a n t h e o n e o f y , t h e n x i s p r e f e r r e d t o y ) “ . ‘ 5 W e r e c a l l t h a t t h e t o p o l o g y i n d u c e d b y I I 2 f o r m a l l y d e fi n e s w h a t w e m e a n b y t h e s t a t e m e n t : a r a n d o m c o n s u m p t i o n x i s " c l o s e " o r " s i m i l a r ” t o a n o t h e r r a n d o m c o n s u m p t i o n y . ‘ 6 I n t h e r i s k l i t e r a t u r e , t h i s a s s u m p t i o n i s a l s o c a l l e d ” fi r s t o r d e r s t o c h a s t i c d o m i n a n c e " . A s u s u a l , t h i s a s s u m p t i o n c a n b e r e p l a c e d b y t h e w e a k e r l o c a l n o n - s a t i a t i o n a s s u m p t i o n . 4 3 W e n o t e i n p a s s i n g t h a t s t r i c t c o n v e x i t y a n d m o n o t o n i c i t y t o g e t h e r i m p l i e s S t r i c t m o n o t o n i c i t y . T h a t i s , i f x > y t h e n x > y f o r a l l x , y E X . ‘ 7 G i v e n t h e s e a s s u m p t i o n s , o n e c a n e s t a b l i s h t h e n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r e f e r e n c e o r d e r i n g r . b y a u t i l i t y f u n c t i o n a l . T h i s u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n w i l l b e u s e d f o r t h e r e s t o f o u r a n a l y s i s . P r o p o s i t i o n 2 . 2 . 1 : L e t t h e p r e f e r e n c e o r d e r i n g 2 s a t i s fi e s a x i o m s A 1 - A 6 , t h e n t h e r e i s a c o n t i n u o u s , s t r i c t l y q u a s i - c o n c a v e , a n d b o u n d e d u t i l i t y fi t n c t i o n a l U : X - > R + s u c h t h a t x t y i f a n d o n l y i f U ( x ) 2 U ( y ) . 2 . 3 D e m a n d F u n c t i o n a l s i n L 2 “ ) , R ' ) + + a n d D u a l i t y A s i n t h e f m i t e d i m e n s i o n a l c a s e , t h e a s s u m p t i o n s o f s t r i c t c o n v e x i t y a n d m o n o t o n i c i t y i m p l y t h a t i f t h e s o l u t i o n t o t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n e x i s t s , t h e n i t i s u n i q u e a n d m u s t e x a c t l y s a t i s f y t h e b u d g e t c o n s t r a i n t . M o r e f o r m a l l y : L e m a 2 . 3 . 1 ( a d d i n g - u p p r o p e r t y ) : I f t h e s e t S ' : . - = { x E B ( p , m ) : x z y f o r a l l y E B ( p , m ) } i s n o n e m p t y , t h e n i t i s r e d u c e d t o a s i n g l e t o n { x ' } w i t h : p a ? = m . W i t h t h e u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n U , t h e c o n s u m e r o p t i m i z i n g b e h a v i o r o r p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n a s s u m p t i o n t r a n s l a t e s t o u t i l i t y m a x i m i z a t i o n s u b j e c t t o t h e b u d g e t c o n s t r a i n t . H e n c e , w e c a n w r i t e t h e c o n s u m e r p r o b l e m a s : ‘ 7 T o s e e t h a t , n o t e t h a t x > y i m p l i e s 2 x - y > y w h i c h , b y m o n o t o n i c i t y i m p l i e s 2 x - y z y w h i c h i n t u r n b y s t r i c t c o n v e x i t y i m p l i e s . ; . ( 2 x - y ) + % y > y o r x > - y . 4 4 m a x U ( x ) ( 6 ’ l ) 3 . 1 . p - x s 0 : M o r e o v e r , b y L e m m a 2 . 3 . 1 f o r g i v e n p r i c e p a n d e x p e n d i t u r e m w e c a n r e s t r i c t o u r s e a r c h f o r a n o p t i m u m t o t h e s u b s e t o f t h e b u d g e t s e t d e fi n e d b y B ° ( p , m ) E { x E X : p x = m } . 2 . 3 . 1 E x i s t e n c e o f C o n t i n u o u s D e m a n d F u n c t i o n a l s o n L 2 “ ) , R “ ) + + x l l + + S i n c e t h e c o n s u m p t i o n s e t X i s a w e a k l y c o m p a c t s u b s e t o f t h e H i l b e r t s p a c e L 2 6 2 , R " ) a n d U i s q u a s i - c o n c a v e a n d c o n t i n u o u s ; f o r a g i v e n ( p , m ) E L 2 “ ) , R " ) , , x R + + s u c h t h a t t h e b u d g e t s e t B ( p , m ) i s n o n - e m p t y t h e r e e x i s t s a s o l u t i o n x ' t o t h e c o n s u m e r m a x i m i z a t i o n p r o b l e m d e fi n e d a s x ' ( p , m ) E a r g m a x { U ( x ) : x E B ( p , m ) } . 4 8 B y L e m m a 2 . 3 . 1 t h e s o l u t i o n x ' i s u n i q u e . T h u s , w e c a n d e fi n e a d e m a n d f u n c t i o n a l x : L 2 6 2 , R “ ) , + X R + + - » L 2 “ ) , R " ) + + w h i c h a s s o c i a t e s t o e a c h ( p , m ) E L 2 6 2 , I t “ ) , + X I I , + t h e u n i q u e v e c t o r x ( p , m ) n a r g m a x { U ( x ) : x E B ( p , m ) } e l e m e n t o f L 2 “ ) , R “ ) + + . M o r e o v e r , b e c a u s e o f t h e c a n o n i c a l i s o m o r p h i s m b e t w e e n L 2 6 2 , R ” ) a n d t h e n — c a r t e s i a n p r o d u c t o f L 2 “ ) , R ) , 1 1 1 L 2 6 1 , R ) I L 2 6 2 , R ) " , t h e d e m a n d f u n c t i o n a l f o r t h e i " ' c o n s u m p t i o n g o o d , x , , i s m g i v e n b y x , I m a x : L z m , R “ ) + + X R + + - > 2 ( Q , R ) + + w h e r e r , i s t h e i " c a n o n i c a l p r o j e c t i o n o f L 2 “ ) , R ) " . T h e d e m a n d f u n c t i o n a l i s c o n t i n u o u s i n b o t h o f i t s a r g u m e n t s . " 9 I t i s a l s o h o m o g e n o u s o f d e g r e e 0 s i n c e m u l t i p l y i n g b o t h p r i c e a n d e x p e n d i t u r e b y a p o s i t i v e s c a l a r d o e s n o t c h a n g e t h e b u d g e t s e t . ‘ 8 T h i s i s a w e l l k n o w n r e s u l t w h i c h f o l l o w s f r o m t h e w e a k c o m p a c t n e s s o f X a n d t h e u p p e r s e m i c o n t i n u i t y o f t h e q u a s i - c o n c a v e , c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d u t i l i t y f u n c t i o n ( s e e , f o r e x a m p l e , A u b i n 1 9 7 9 b , p . 4 5 , T h e o r e m 1 ; o r Z e i d l e r , 1 9 8 5 , p . 1 4 4 . p r o p o s i t i o n 3 8 . 1 2 ) . ‘ 9 S e e , f o r e x a m p l e , A u b i n ( 1 9 7 9 b , p a g e 7 0 , T h e o r e m 3 ) o r T h e o r e m A 2 i n A p p e n d i x 2 . N o t e t h a t u p p e r s e m i c o n t i n u i t y ( o f c o r r e s p o n d e n c e ) r e d u c e s t o c o n t i n u i t y w h e n t h e c o r r e s p o n d e n c e i s s i n g l e v a l u e d . 4 5 F o r s u b s e q u e n t a n a l y s i s w e n e e d t o e x p r e s s t h e c o n s u m e r m a x i m i z a t i o n p r o b l e m i n L a g r a n g i a n f o r m . T h e e x i s t e n c e o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s f o r c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s i s n o t a t r i v i a l q u e s t i o n ( s e e A u b i n 1 9 7 9 b , c h a p t e r 1 4 ; o r Z e i d l e r , 1 9 8 6 c h a p t e r s 4 7 - 5 0 ) . T h e t o p o l o g i e s o f t h e s p a c e s i n v o l v e d p l a y c r u c i a l r o l e s i n g u a r a n t e e i n g e x i s t e n c e o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s . T h e e x i s t e n c e o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s f o r o u r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i l l b e b a s e d i n a e x i s t e n c e t h e o r e m i n r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e s g i v e n i n Z e i d l e r ( 1 9 8 6 , p . 4 8 0 , T h e o r e m 5 0 . A ) . P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 1 : T h e r e e x i s t s a L a g r a n g e m u l t i p l i e r ) \ E R , s u c h t h a t t h e c o n s u m e r p r o b l e m : V ( p , m ) = m a x U ( x ) ( 6 ’ 1 ) 3 . 1 . p m - m i s e q u i v a l e n t t o t h e u n c o n s t r a i n e d m a x i m i z a t i o n p r o b l e m : V ( p , m ) = m a X { U ( X ) - > \ ( p x - M ) } ( 0 1 ' ) w i t h ) ‘ ( p ' x ' - m ) = 0 f o r a n y o p t i m a l s o l u t i o n x ‘ E X 2 . 3 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e I n d i r e c t U t i l i t y f t m c t i o n a l a n d R o y ’ s I d e n t i t y A s i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , i f w e d e fi n e a n i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l V : L 2 6 2 , R " ) + + X R H » R , w i t h V ( p , m ) = 5 : m i x - " U ( x ) f o r a l l ( p , m ) E L 2 “ ) , R “ ) , + X R + + t h e n V h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : ’ ° P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 2 ( 1 ) V i s c o n t i n u o u s a t a l l ( p , m ) E L 2 6 2 , R n ) ” x R H . 5 ° T h e p r o o f s a r e o m i t t e d b e c a u s e t h e y a r e i d e n t i c a l t o t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e w h i c h c a n b e f o u n d i n V a r i a n ( 1 9 8 4 , p . 1 2 1 ) . 4 6 ( 2 ) f o r g i v e n m , V ( . , m ) i s a m o n o t o n i c n o n i n c r e a s i n g fi m c t i o n a l ; i . e , p 2 p ' i m p l i e s V ( p , m ) s V ( p ’ , m ) . ( 3 ) f o r g i v e n p , V ( p , . ) i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n ; i . e , m > m ’ i m p l i e s V ( p , m ) > V ( p , m ’ ) . ( 4 ) f o r g i v e n m , V ( . , m ) i s a q u a s i - c o n v e x f u n c t i o n a l ; i . e , t h e s e t { p E L 2 “ ) , R “ ) + + : V ( p , m ) s k } i s c o n v e x f o r a l l k E R . ( 5 ) V i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e 0 i n b o t h o f i t s a r g u m e n t s . I n f a c t , a s w e w i l l s e e b e l o w , t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l s a t i s fi e s s t r o n g e r p r o p e r t i e s . W e n o w m o v e t o t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e o p t i m a l s o l u t i o n w h i c h i s e s s e n t i a l f o r c o m p a r a t i v e s t a t i c s . H o w e v e r , b e f o r e t h a t , a s a l r e a d y i n d i c a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n w e n e e d t o e x t e n d t h e c o n c e p t o f F r é c h e t d i f f e r e n t i a b i l i t y t o f u n c t i o n s w h o s e d o m a i n s o f d e fi n i t i o n m a y h a v e a n e m p t y i n t e r i o r . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 1 L e t X a n d Y b e t w o r e a l B a n a c h s p a c e s , M a s u b s e t o f X w h i c h i s n o t n e c e s s a r i l y o p e n , a n d f a f u n c t i o n f : M S X - Y . f i s s a i d t o b e F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d i f f e r e n t i a b l e a t x , E M i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a n e i g h b o r h o o d 0 ( x o ) o f x 0 t h a t c o n t a i n s M , a n d a f u n c t i o n ( 2 0 0 : 0 ) 5 X - Y w h i c h i s F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d i f f e r e n t i a b l e a t x 0 . s u c h t h a t f ( x ) = f ( x ) f o r a l l x E M . T h e F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d e r i v a t i v e o f f a t x 0 i s t h e n d e fi n e d a s : f ( x , , ) = f " ( x o ) . H i g h e r d e r i v a t i v e s o f f a r e a l s o d e fi n e d s i m i l a r l y ( s e e D e fi n i t i o n A 2 1 i n A p p e n d i x 2 ) . “ 5 ‘ I t i s c l e a r t h a t f o r a g i v e n x 0 f ’ ( x 0 ) i s w e l l d e fi n e d s i n c e i f t h e r e a r e t w o p a i r s o f n e i g h b o r h o o d o f x 0 a n d f u n c t i o n ( O , ( x o ) , f 1 ' ) a n d ( 0 2 ( x o ) , f z ' ) s a t i s f y i n g t h e d e fi n i t i o n t h e n i t i m m e d i a t e l y f o l l o w s t h a t f , " ( x o ) = f z " ( x o ) , a n d f ' , = i f o n M . I t i s a l s o c l e a r t h a t w h e n M i s a n o p e n s e t t h e d e fi n i t i o n r e d u c e s t o t h e u s u a l d e fi n i t i o n o f F r é c h e t a n d 6 5 1 t h d i f f e r e n t i a b i l i t y ( s i n c e i t s u f fi c e s t o t a k e 0 0 : ) = M , a n d ! " = f f o r a l l x E M ) . 4 7 H e n c e , i n w h a t f o l l o w s , w h e n e v e r w e s p e a k o f t h e F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y o f a f u n c t i o n f : M E X - ’ Y , a n d M i s n o t o p e n o r h a s a n e m p t y i n t e r i o r , i t m u s t b e u n d e r s t o o d i n t h e s e n s e o f D e fi n i t i o n 2 . 3 . 1 , e v e n i f t h e o p e n n e i g h b o r h o o d a n d t h e e x t e n d e d f u n c t i o n a r e n o t e x p l i c i t l y g i v e n ? 2 I t i s f r e q u e n t , e s p e c i a l l y i n e c o n o m i c s , t o c h a r a c t e r i z e o p t i m a l s o l u t i o n s b y t h e fi r s t a n d / o r s e c o n d o r d e r c o n d i t i o n . B u t t h i s w o u l d r e q u i r e s t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l t o b e d i f f e r e n t i a b l e i n s o m e a p p r o p r i a t e s e n s e . H o w e v e r , t h e a s s u m p t i o n o f d i f f e r e n t i a b i l i t y r u l e s o u t a c l a s s o f n o n - s m o o t h p r e f e r e n c e s s u c h a s t h e L e o n t i e f u t i l i t y w h i c h a d m i t s i n fi n i t e l y c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d f u n c t i o n a l s . N e v e r t h e l e s s , w e c a n c h a r a c t e r i z e t h e o p t i m a l s o l u t i o n a n d o b t a i n a l l t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c r e s u l t s o f e c o n o m i c i n t e r e s t w i t h o u t u s i n g t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n . T h i s w i l l b e a c h i e v e d b y u s i n g a m a t h e m a t i c a l r e s u l t o f E k e l a n d a n d L e b o u r g ( 1 9 7 6 ) w h i c h g i v e s a c h a r a c t e r i z a t i o n o f o p t i m a l s o l u t i o n s o f p e r t u r b e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , w h i c h d o e s n o t r e q u i r e t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e c h o i c e v a r i a b l e . I n f a c t , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n c a n b e s e e n a s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e w e l l k n o w n e n v e l o p t h e o r e m . P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 3 : L e t t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l V b e d e fi n e d a s V ( p , m ) - m a x { U ( x ) - > \ ( p ' x - m ) } f o r a l l ( p , m ) E L 2 6 1 , R " ) + + X R H , t h e n : V i s l o c a l l y l i p s c h i t z i a n o n L 2 “ ) , R " ) + + X R , + a n d i s " g e n e r i c a l l y " F r é c h e t - d i fi e r e n t i a b l e i . e , t h e r e e x i s t s a d e n s e G , s u b s e t S I X S 2 o f L 2 6 2 , R ” ) , + x R , s u c h t h a t V i s F r é c h e t - d i f f e r e n t i a b l e a t e v e r y ( p , m ) E S , X S z w i t h : ’ 2 I n g e n e r a l , t h e o p e n n e i g h b o r h o o d a n d t h e d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n e x t e n d i n g f i s t h e s a m e f o r a l l e l e m e n t s o f M . I n t h e p r o p o s i t i o n s t h a t f o l l o w s , a n d i n a l l t h e e x a m p l e s w o r k e d o u t i n c h a p t e r 3 w h e r e M h a s a n e m p t y i n t e r i o r , t h e o p e n n e i g h b o r h o o d i s t h e w h o l e s p a c e a n d f i s n a t u r a l l y e x t e n d e d t o t h e w h o l e s p a c e . 4 8 i = l , . . . , n ( 2 . 3 . 2 ) _ _ 6 ‘ V . ( l m _ _ ) 3 p 6 E _ , m ( i ) 6 V ( p . m ) z a p - x x , ( p , m ) i = 1 , . . . , n ; a n d 3 V ( P ” " ) = x ( 2 . 3 . 1 ) 8 m i ( i i ) T h e r e s t r i c t i o n t o S I X S 2 o f t h e d e r i v a t i v e V ’ : L 2 6 2 , 1 R “ ) + + x 1 R M - » L z m , R “ ) x R i s c o n t i n u o u s . ” A s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f ( i ) w e g e t R o y ’ s I d e n t i t y w h i c h l i n k s t h e n M a r s h a l l i a n d e m a n d f u n c t i o n a l s t o t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l , i . e , g e n e r i c a l l y w e h a v e ? “ 6 V 0 ) . m ) x 1 “ ) ! " 0 = - 2 . 3 . 3 P r o p e r t i e s o f t h e E x p e n d i t u r e F u n c t i o n a l a n d S h e p h a r d ’ s L e m m a S i n c e f o r g i v e n p , V ( p , . ) i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n f r o m R , + i n t o R H , w e c a n i n v e r t i t a n d d e fi n e t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n B ( p , ) : R _ . R , w i t h V ( p , E ( p , u ) ) = u a n d E ( p , V ( p , m ) ) = m f o r a l l u E R a n d m E R H , w h e r e R I U ( X ) . T h u s d e fi n e d , E ( p , u ) ’ 3 A G 6 s u b s e t i s d e fi n e d a s t h e i n t e r s e c t i o n o f a c o u n t a b l e f a m i l y o f o p e n d e n s e s u b s e t s ( s e e A p p e n d i x 2 ) . G e n e r i c i t y i s a n i m p o r t a n t c o n c e p t o f m o d e r n m a t h e m a t i c s . R o u g h l y s p e a k i n g , a g e n e r i c p r o p e r t y i s a p r o p e r t y w h i c h i s t r u e i n a " b i g s e t " , o r a l m o s t e v e r y w h e r e . I n o t h e r w o r d s , a g e n e r i c p r o p e r t y i s a l w a y s t r u e e x c e p t i n " v e r y r a r e ” p a t h o l o g i c a l c a s e s . I t i s a t o p o l o g i c a l p r o p e r t y a n d s h o u l d n o t b e c o n f u s e d w i t h t h e m o r e f a m i l i a r m e a s u r e t h e o r e t i c c o n c e p t o f " a l m o s t e v e r y w h e r e " u s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h t h e L e b e s g u e o r p r o b a b i l i t y m e a s u r e s . T h e y t r a n s m i t t h e s a m e i d e a b u t g e n e r i c i t y i s t h e a p p r o p r i a t e c o n c e p t i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s . 5 ‘ L e t u s r e c a l l t h a t f o r a f u n c t i o n f : O — . B w h e r e B i s a B a n a c h s p a c e a n d O i s a n o p e n s u b s e t o f a n o t h e r B a n a c h s p a c e A , i t s F r é c h e t d e r i v a t i v e f ’ i s , b y d e fi n i t i o n , a c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l f r o m A t o B . T h u s , h e r e w e h a v e a _ V ( ( ’ p , _ m ) E L ( 9 , R ) ‘ = L ( 9 , R ) w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e f a c t t h a t P I x , ( p , m ) E L ( 9 , R ) . 4 9 i s t h e m i n i m a l e x p e n d i t u r e n e c e s s a r y t o a c h i e v e u t i l i t y u a t p r i c e p . 5 5 S i n c e B ( p , u ) i s d e fi n e d f o r a l l p r i c e p E L 2 6 ) , R " ) + + , t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l c a n b e c o n s t r u c t e d a s t h e f u n c t i o n a l E : L 2 6 2 , R " ) + + x R - ’ R H w h i c h a s s o c i a t e s t o e a c h ( p , u ) E ( p , u ) t h e m i n i m a l e x p e n d i t u r e n e c e s s a r y t o a c h i e v e u t i l i t y u a t p r i c e p . A l t e r n a t i v e l y , w e c a n d e fi n e t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l t h r o u g h t h e f o l l o w i n g m i n i m i z a t i o n p r o b l e m : E ( p . u ) = m i n p x ( 6 ’ 2 ) s . t . U ( x ) 2 u w h e r e u i s a fi x e d u t i l i t y l e v e l i n t h e r a n g e o f U , R . 5 6 T h e f u n c t i o n a l h : L , ( Q , R “ ) + + x R a L z ( 0 , R " ) , + w h i c h a s s o c i a t e s t o e a c h ( p , u ) h ( p , u ) : - a r g m i n { p ' x : U ( x ) 2 u } i s t h e H i c k s i a n o r c o m p e n s a t i n g d e m a n d f u n c t i o n a l ; a n d h , I 1 r , 0 h i s t h e i ” ‘ c o m p e n s a t e d o r H i c k s i a n d e m a n d f u n c t i o n a l . G i v e n o u r a s s u m p t i o n s , l i k e i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , t h e s o l u t i o n t o t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ( ( 9 1 ) i s i d e n t i c a l t o t h e o n e o f t h e a b o v e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m w h e r e w e t a k e u a s t h e m a x i m u m u t i l i t y a t t a i n e d i n ( 0 1 ) ; m o r e f o r m a l l y ? 7 P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 4 : i f a n e l e m e n t x ' E X s o l v e s t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ( 0 1 ) t h e n x ' s o l v e s t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m : ’ 5 A n e a s y w a y t o s e e t h a t i s t o r e c a l l t h e d e fi n i t i o n o f t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e , g " , o f a r e a l v a l u e d f u n c t i o n g o n t h e r e a l l i n e a s b e i n g g " ( t ) = i n f { y E R : g ( y ) 2 t } . ’ 6 I t i s i m p o r t a n t t h a t u b e i n t h e r a n g e o f U , o t h e r w i s e E m a y n o t b e d e fi n e d u n l e s s o n e a l l o w s E t o t a k e t h e v a l u e + 0 0 a n d s e t s , f o r g i v e n p , B ( p , u ) = + 0 0 i f u E U ( X ) . A l s o , w e d o n o t n e e d t o u s e i n f i n t h e d e fi n i t i o n o f E s i n c e X i s w e a k l y c o m p a c t . ’ 7 F o r a p r o o f , s e e V a r i a n ( 1 9 8 4 , A p p e n d i x 1 p a g e 1 6 2 ) . T h e t o p o l o g i c a l a r g u m e n t s u s e d i n h i s p r o o f a r e a l s o v a l i d i n t h e i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e . 5 0 m i n p ' x m a x U ( x ) ( 2 . 3 - 3 ) ( 2 . 3 - 4 ) " r ( P . m ) = h , - ( P . V ( P . M ) ) . a n d h , ( p . u ) = x , . ( p , E ( p , u ) ) i = 1 , . . . , n ( 2 3 5 ) s . t . U ( x ) 2 U ( x ' ) c o n v e r s e l y , i f x ' s o l v e s t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ( 6 ’ 2 ) , t h e n x ' s o l v e s t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m : u . p ' : 5 [ 3 1 ' P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 4 i s o f t e n s t a t e d b y s a y i n g t h a t t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d a t p r i c e p a n d e x p e n d i t u r e m i s e q u a l t o t h e H i c k s i a n d e m a n d a t p r i c e p a n d u t i l i t y V ( p , m ) a n d v i c e v e r s a , t h e H i c k s i a n d e m a n d a t p r i c e p a n d u t i l i t y u i s e q u a l t o t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d a t p r i c e p a n d e x p e n d i t u r e E ( p , u ) . T h a t i s : S i n c e t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e m i n i m i z a t i o n i s t h e s a m e a s t h e c o r r e s p o n d i n g m a x i m i z a t i o n p r o b l e m , i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e t w o d e fi n i t i o n s o f t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l , g i v e n a b o v e , a r e e q u i v a l e n t . T h u s w e h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s f o r t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l ? 8 P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 5 : ( 1 ) E i s c o n t i n u o u s a t a l l ( p , u ) E L 2 ( 9 , R " ) , + x R ( 2 ) f o r g i v e n u , E ( . , u ) i s a m o n o t o n e n o n d e c r e a s i n g fi t n c t i o n a l ; i . e , p 2 p ' i m p l i e s E ( p , m ) 2 E ( p ' , m ) . ( 3 ) f o r g i v e n p , E ( p , . ) i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n g fi t n c t i o n ; i . e , u > u ’ i m p l i e s E ( p , u ) > E ( p , u ’ ) . ( 4 ) f o r g i v e n i t , E ( . , u ) i s a s t r i c t l y c o n c a v e f u n c t i o n a l . 5 ' T h e p r o o f s a r e t h e s a m e a s i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e a n d a r e o m i t t e d ( t h e y c a n b e f o u n d i n V a r i a n ( 1 9 8 4 , c h a p t e r 1 ) ) . T h e s t r i c t c o n c a v i t y f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e s t r i c t c o n v e x i t y a s s u m p t i o n ( v i a P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 4 a n d t h e u n i c i t y o f t h e s o l u t i o n o f t h e a s s o c i a t e d m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ) . F o r t h e c o n t i n u i t y p r o p e r t y , s e e , f o r e x a m p l e , A u b i n ( 1 9 7 9 , p . 7 0 , T h e o r e m 3 ) . 5 1 ( 5 ) f o r g i v e n u , E ( . , u ) i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e I . T o g e t t h e d i f f e r e n t i a l p r o p e r t i e s a n a l o g o u s t o t h o s e o f t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l , w e n e e d t o e x p r e s s t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m i n L a g r a n g i a n f o r m . P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 6 : F o r a l l ( p , u ) E L 2 ( 0 , R " ) + , x R s u c h t h a t u E i n t R t h e r e e x i s t s a L a g r a n g e m u l t i p l i e r X E R , s u c h t h a t t h e c o n s u m e r p r o b l e m : 1 3 ( 1 ) , " ) = m i n I " ! ( ( 9 2 ) s . t . U ( x ) 2 u i s e q u i v a l e n t t o t h e u n c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m : E m u ) = m i n { P x - M U G ! ) - u ) } ( 0 2 ' ) w i t h X ( U ( x ‘ ) - u ) = 0 f o r a n y o p t i m a l s o l u t i o n x ' E X W e c a n n o w u s e E k e l a n d a n d L e b o u r g ’ s r e s u l t t o c h a r a c t e r i z e t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e c o s t m i n i m i z a t i o n p r o b l e m . P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 7 : L e t t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l E b e d q ‘ i n e d a s E ( p . u ) = m i n l p ' x - M U G ! ) - 1 4 ) } ( 2 . 3 . 6 ) T h e n , E i s l o c a l l y l i p s c h i t z i a n o n L 2 “ ) , R " ) , + x R a n d i s " g e n e r i c a l l y " F r é c h e t - d t fi ’ e r e n t i a b l e i . e , t h e r e e x i s t s a d e n s e G , s u b s e t Q , X Q 2 o f L 2 “ ) , R “ ) + + x R s u c h t h a t E i s F r é c h e t - d i fi ‘ e r e n t i a b l e a t e v e r y ( p , m ) E Q l x Q 2 w i t h : ( i ) M a m a ) i = 1 , . . . , n , a n d M a ( 2 . 3 . 7 ) 6 p , a u ( i i ) T h e r e s t r i c t i o n t o Q 1 X Q 2 o f t h e d e r i v a t i v e E ' : L 2 6 ) , R " ) + + x R _ . 2 ( ( 2 , R “ ) x R i s c o n t i n u o u s . 5 2 I n p a r t i c u l a r , ( i ) y i e l d s S h e p h a r d ’ s l e m m a w h i c h g i v e s t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d f u n c t i o n a l s a s t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l . T h a t i s , g e n e r i c a l l y w e h a v e : h i ( p , u ) = a _ E ; l ” _ “ ) i = 1 . . . . . n ( 2 . 3 . 8 ) 2 . 4 C o m p a r a t i v e S t a t i c s : T h e S l u t s k y p r i c e - s u b s t i t u t i o n m a t r i x u n d e r u n c e r t a i n t y F o r t h e d e r i v a t i o n a n d c o r r e c t s t a t e m e n t o f t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c r e s u l t s i n t h e c o n t e x t o f u n c e r t a i n t y , w e n e e d t o i n t r o d u c e f e w m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d r e s u l t s f r o m n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s . T h e m a i n o n e s a r e t h e m o n o t o n i c i t y a n d p o t e n t i a l i t y c o n c e p t s . I n t h i s e c o n o m i c c o n t e x t , t h e m o n o t o n i c i t y p r o p e r t y i s m e r e l y a n a b s t r a c t w a y o f s a y i n g t h a t t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d s a r e d e c r e a s i n g f u n c t i o n s o f p r i c e s . I t t h u s g e n e r a l i z e s t h e n e g a t i v e s e m i - d e f m i t e n e s s o f t h e S l u t s k y m a t r i x . T h e p o t e n t i a l p r o p e r t y i s a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e i n t e g r a b i l i t y ( a l s o c a l l e d p a t h i n d e p e n d e n c e ) o f d e m a n d s , h e n c e g e n e r a l i z i n g t h e S l u t s k y s y m m e t r y c o n d i t i o n . T h e f o r m a l d e fi n i t i o n s a n d t h e o r e m s r e l a t e d t o t h e m a r e g i v e n i n A p p e n d i x 2 . 2 . 4 . 1 G l o b a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s A s a c o r o l l a r y o f P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 6 ( s t r i c t c o n c a v i t y a n d c o n t i n u i t y o f E ( . , u ) ) a n d P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 7 ( S h e p h a r d ’ s l e m m a ) , T h e o r e m s A 2 . 3 - A 2 . 4 i n A p p e n d i x 2 g i v e u s t h e m a i n r e s u l t o f d e m a n d t h e o r y : T h e m o n o t o n i c i t y a n d p o t e n t i a l p r o p e r t y w i t h r e s p e c t t o p r i c e o f t h e c o m p e n s a t e d o r H i c k s i a n d e m a n d . T h e r e s u l t i s g l o b a l i n t h e s e n s e t h a t u n l i k e t h e 5 3 [ 0 ' ( h ( l ‘ P . u ) , P l d t - [ 0 1 ( h ( t q , u ) , q ) d t = [ 0 1 ( h ( q ” ( p - ( 1 ) , “ ) , p - q ) d t c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s b a s e d o n d i f f e r e n t i a b i l i t y a s s u m p t i o n s , i t i s a l s o v a l i d f o r c h a n g e s t h a t a r e n o t i n f m i t e s i m a l l y s m a l l . 5 9 P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 1 : T h e r e e x i s t s a d e n s e G , s u b s e t Q l X Q 2 o f L 2 ( Q , R " ) + + X R s u c h t h a t f o r fi x e d i t E R , t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d o p e r a t o r h ( . , u ) i s a s t r i c t l y m o n o t o n e p o t e n t i a l o p e r a t o r f r o m Q I t o L 2 6 2 , R " ) , , . I n p a r t i c u l a r , h ( . , u ) i s l o c a l l y b o u n d e d a n d s a t i s fi e s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : ( i ) i n t e g r a b i l i t y ( 2 . 4 . 1 ) f o r a l l p , q , u E Q l x Q 2 ( i i ) s t r i c t m o n o t o n i c i t y ( h ( q . u ) - h ( p . u ) . q - P ) < 0 f o r a l l p , q E Q l a n d u E Q 2 w i t h e q u a l i t y i f p = q . ( 2 . 4 . 2 ) B y t a k i n g i n ( i i ) u I V ( p , m ) , t h e i n d i r e c t u t i l i t y c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e m a n d e d b u n d l e x ( p , m ) , w e o b t a i n : ’ 9 T h e r e s u l t i s a l s o g e n e r a l i n t h a t i t a p p l i e s t o a n y c h o i c e s i t u a t i o n w h e r e t h e p r e f e r e n c e i s c o n v e x a n d m o n o t o n i c , a n d t h e c h o i c e s e t i s a u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e . M o s t c h o i c e s p a c e s u s e d i n e c o n o m i c s s a t i s f y t h i s ” s m o o t h n e s s ” c o n d i t i o n . M a c h i n a ’ s ( 1 9 8 2 a n d 1 9 8 4 ) c h o i c e s p a c e o f c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s d o e s n o t q u a l i f y b e c a u s e h e u s e s t h e L , t o p o l o g y w h i c h m a k e s t h e s p a c e n o t u n i f o r m l y c o n v e x . 5 4 ( x m . u ( q . p . m ) ) - X ( p . m ) . q - p ) < 0 f o r a l l p , q E Q 1 a n d m > O w i t h e q u a l i t y i f p = q . ( 2 . 4 . 3 ) w h e r e p ( q , p , m ) a E ( q , V ( p , m ) ) i s t h e c o m p e n s a t e d e x p e n d i t u r e w h i c h m a i n t a i n s t h e l e v e l o f u t i l i t y a t t h e s a m e l e v e l a s w h e n t h e b u n d l e x ( p , m ) i s c o n s u m e d . T h e c o m p e n s a t e d f u n c t i o n a l i s d e fi n e d a n d d i s c u s s e d f u r t h e r i n s e c t i o n 2 . 7 b e l o w . I f i n s t e a d o f V ( p , m ) w e t a k e u E V ( q , m ’ ) , t h e i n d i r e c t u t i l i t y c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e m a n d e d b u n d l e x ( q , m ' ) , w e o b t a i n a s i m i l a r i n e q u a l i t y : ( x ( q . m ’ ) - x ( p . u ( p . q . m ’ ) ) . q - p > < 0 f o r a l l p , q E Q . a n d m ’ > 0 w i t h e q u a l i t y i f p = q . ( 2 . 4 . 4 ) T h e t w o i n e q u a l i t i e s ( 2 . 4 . 3 ) a n d ( 2 . 4 . 4 ) e s s e n t i a l l y s t a t e t h a t f o r a n y p r i c e c h a n g e t h e p u r e p r i c e e f f e c t s i n c h a n g e s i n t h e o r d i n a r y o r M a r s h a l l i a n d e m a n d s a r e n e g a t i v e . M o r e o v e r , w e c a n d e c o m p o s e t h e c h a n g e i n t h e o r d i n a r y d e m a n d i n d u c e d b y a p r i c e / e x p e n d i t u r e c h a n g e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ’ ) i n t o a p u r e p r i c e e f f e c t a n d a e x p e n d i t u r e e f f e c t : ( x ( q . m ’ ) - x ( p . m ) . q - p ) = ( x ( q . m ’ ) - x ( p . u ( p . q . m ’ ) ) . q - p ) + ( x ( p . u ( p . q . m ’ ) ) - x ( p . m ) . q - 9 ) ( 2 . 4 . 5 ) T h e fi r s t p a r t o f t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e e q u a l i t y i s t h e s u m o f t h e o w n p r i c e e fl e c t s o f t h e c h a n g e i n t h e i n d i v i d u a l M a r s h a l l i a n d e m a n d s , w h i c h w a s s h o w n t o b e n e g a t i v e , a n d t h e s e c o n d p a r t i s t h e i n c o m e e fi ' e c t ( o r m o r e p r e c i s e l y e x p e n d i t u r e e f f e c t ) . T h e i n c o m e e f f e c t c a n f u r t h e r b e d e c o m p o s e d i n t o t w o c o m p o n e n t s : ( x ( p . M P . ( W ’ ) ) - x ( p . m ) . q - p ) = ( x ( p . M P . ( 1 . » ! ' ) ) - x ( p , m ) . q ) - ( x ( p . M p . q . m ’ ) ) - x ( p . m ) . 9 ) ( 2 . 4 . 6 ) T h e s e c o n d c o m p o n e n t w i l l b e s h o w n b e l o w , i n s e c t i o n 2 . 7 , t o b e t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , a m o n e t a r y m e a s u r e o f t h e c h a n g e i n w e l f a r e i n d u c e d b y a c h a n g e i n p r i c e a n d 5 5 < x . ( q . m ' ) - x t e r m , q j ‘ l e = W 9 , m 7 ’ " i ‘ P ’ ” ‘ 9 ’ 9 ” " 3 ” q , - ' ” I " ( 2 . 4 . 7 ) e x p e n d i t u r e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ' ) . " 0 T h e fi r s t c o m p o n e n t c o u l d n o t , a t t h i s p o i n t , b e g i v e n a n i n t u i t i v e e c o n o m i c i n t e r p r e t a t i o n . W i t h t h e c a n o n i c a l i s o m o r p h i s m b e t w e e n L 2 ( l ' i , R “ ) a n d 1 1 1 L 2 6 1 , R ) a L 2 ( O , R ) ” , t h e m p u r e p r i c e , a n d i n c o m e e f f e c t s d e c o m p o s i t i o n c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e i n d i v i d u a l d e m a n d s . T h a t i s , t h e c h a n g e i n t h e i ‘ h M a r s h a l l i a n d e m a n d x , , i n d u c e d b y a c h a n g e i n t h e 1 ‘ “ p r i c e f r o m p , - t o q , - c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a c r o s s p r i c e o r s u b s t i t u t i o n e f f e c t a n d a n i n c o m e e f f e c t : + ( x i v . p ( p . q . m ’ ) ) - x , - ( p . m ) . ( 1 , 1 3 , ) i J = 1 . - - - . n . A g a i n , t h e s t r i c t m o n o t o n i c i t y i m p l i e s t h a t f o r i = j t h e o w n p r i c e e f f e c t i s n e g a t i v e , b u t f o r i a t j i t d o e s n o t i m p l y a n y t h i n g a b o u t t h e s i g n o f c r o s s p r i c e o r s u b s t i t u t i o n e f f e c t s w h i c h m a y b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e . I n f a c t , t h e s i g n s o f t h e c r o s s p r i c e a n d i n c o m e e f f e c t s a r e t h e b a s i s f o r t h e u s u a l c l a s s i fi c a t i o n o f c o m m o d i t i e s a s s u b s t i t u t e s , c o m p l e m e n t s , i n f e r i o r a n d s u p e r i o r . I n s u m m a r y , t h e s t r i c t m o n o t o n i c i t y a n d p o t e n t i a l p r o p e r t i e s o f t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d g i v e s u s t h e m a i n c o m p a r a t i v e s t a t i c s c o n c l u s i o n s o f d e m a n d t h e o r y . T h e s e c o n c l u s i o n s a r e u s u a l l y s t a t e d i n t e r m s o f t h e S l u t s k y p r i c e - s u b s t i t u t i o n m a t r i x w h i c h r e q u i r e s t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l . B u t i t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e s e c o n c l u s i o n s d o n o t r e q u i r e d i f f e r e n t i a b i l i t y a s s u m p t i o n s o n t h e d e m a n d f u n c t i o n a l s o r e v e n o n t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U . H o w e v e r , a s s h o w n b e l o w , t h e r e i s e q u i v a l e n c e w h e n t h e d e m a n d f u n c t i o n a l i s d i f f e r e n t i a b l e . B e s i d e s t h e m o s t l y t e c h n i c a l a s s u m p t i o n s o n p r e f e r e n c e ( r e fl e x i v i t y , t r a n s i t i v i t y , c o n t i n u i t y e t c . . . ) , t h e k e y b e h a v i o r a l a s s u m p t i o n s r e q u i r e d f o r t h i s c o n c l u s i o n t o 5 ° T h i s t e r m w o u l d h a v e b e e n t h e c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n i f t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 2 . 4 . 3 ) w a s u s e d i n t h e d e c o m p o s i t i o n . 5 6 b o l d a r e s t r i c t c o n v e x i t y , m o n o t o n i c i t y a n d p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n . “ T h e s y m m e t r y a n d n e g a t i v e s e m i - d e fi n i t e n e s s o f t h e S l u t s k y m a t r i x h a s b e e n s h o w n t o b e a n e c e s s a r y a n d s u f fi c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e i n t e g r a b i l i t y o f d e m a n d s y s t e m s ( s e e , f o r e x a m p l e , H u r w i c z a n d U z a w a ( 1 9 7 1 ) f o r t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , a n d , B e r g e r a n d M e y e r s ( 1 9 6 5 ) a n d B e r g e r ( 1 9 7 1 ) f o r t h e g e n e r a l c a s e ) . H e n c e , P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 1 e x h a u s t s a l l t h e i m p l i c a t i o n s o f d e m a n d t h e o r y ( g i v e n t h e a b o v e a s s u m p t i o n s o n p r e f e r e n c e ) . 2 . 4 . 2 D i f f e r e n t i a l o r l o c a l c o m p a r a t i v e s t a t i e s D i f f e r e n t i a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s ( a s s e s s i n g t h e e f f e c t s o f i n fi n i t e s i m a l l y s m a l l c h a n g e s i n p r i c e s a n d e x p e n d i t u r e o n d e m a n d s ) m a k e s s e n s e o n l y i f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l i s a t l e a s t d i f f e r e n t i a b l e i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e p o i n t w h e r e i t i s e v a l u a t e d . T h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l i s a l s o i m p o r t a n t a s a t h e o r e t i c a l r e q u i r e m e n t f o r c a l c u l a t i n g t h e u s u a l e l a s t i c i t i e s , w h i c h i s t h e a i m o f a p p l i e d d e m a n d a n a l y s i s . S o f a r , n o t h i n g i n t h e a b o v e r e s u l t s g u a r a n t e e s t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l s . T h e e x i s t e n c e o f d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d f u n c t i o n a l i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s i s v e r y p r o b l e m a t i c . I n p a r t i c u l a r A r a u j o ( 1 9 8 8 ) s h o w s t h a t c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d f u n c t i o n a l s c a n n o t b e d e r i v e d f r o m a s t r o n g l y c o n c a v e a n d t w i c e c o n t i n u o u s l y 6 ‘ S o m e a u t h o r s ( e . g . D e a t o n a n d M u e l l b a u e r , 1 9 8 0 , p p . 3 6 , 4 4 - 4 5 , 5 0 ) a t t r i b u t e t h e n e g a t i v e s e m i - d e fi n i t e n e s s o f t h e S l u t s k y p r i c e - s u b s t i t u t i o n m a t r i x t o t h e a s s u m p t i o n o f p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n a l o n e . T h i s i s b e c a u s e t h e p r o p e r t y f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e c o n c a v i t y o f t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n . B u t , i t i s i m p o r t a n t t o s e e t h a t t h e e q u i v a l e n c e b e t w e e n p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n a n d e x p e n d i t u r e m i n i m i z a t i o n d e p e n d s , a s t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 4 s h o w s , o n b o t h t h e c o n v e x i t y a n d m o n o t o n i c i t y ( o r a t l e a s t l o c a l n o n - s a t i a t i o n ) a s s u m p t i o n s . H e n c e , a s f a r a s t h e g l o b a l n a t u r e o f t h e p r o p e r t y i s c o n c e r n e d , p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n a l o n e i s n o t s u f fi c i e n t f o r h a v i n g t h e g l o b a l m o n o t o n i c i t y o f t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d . 5 7 d i f f e r e n t i a b l e u t i l i t y f u n c t i o n a l u n l e s s t h e c h o i c e s p a c e i s a H i l b e r t s p a c e . A s h e p u t s i t , " . . . i n t h e c a s e o f i n fi n i t e l y m a n y c o m m o d i t i e s , s t r o n g , n o n - e x i s t e n c e r e s u l t s a r e t h e r u l e " . 6 2 T h e S l u t s k y p r i c e - s u b s t i t u t i o n m a t r i x u n d e r u n c e r t a i n t y I f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l s a r e d i f f e r e n t i a b l e o n Q 1 > < Q 2 s o t h a t t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e D , h ( p , i t ) e x i s t s f o r a l l p , u E Q l X Q Z , t h e n b y T h e o r e m A 2 . 5 i n A p p e n d i x 2 , c o n d i t i o n s ( i ) a n d ( i i ) o f P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 1 a r e r e s p e c t i v e l y e q u i v a l e n t t o : - ( i i i ) s y m m e t r y o f D , h ( p , u ) : ( D , h ( p . u ) q . 8 ) = ( D , h ( p . u ) 5 . q ) f o r a l l ( p , u ) E Q l x Q z , a n d q , s E L 2 6 2 , R ” ) ( 2 . 4 . 8 ) 6 " ) ' 1 8 w a 0 f D M D , u ) : ( D , h ( p . u ) q . q ) < 0 f o r a l l ( p , u ) E Q l x Q z , a n d q E L 2 6 1 , R " ) ( 2 . 4 . 9 ) ‘ 2 I t i s i m p o r t a n t t o a d d r e s s t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f d e m a n d q u e s t i o n i f o n e w a n t s t o a v o i d m a k i n g v a c u o u s l o c a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s t a t e m e n t s o r t a k i n g m e a n i n g l e s s n u m b e r s a s e l a s t i c i t i e s . T h e q u e s t i o n w e n e e d t o a n s w e r i s w h e t h e r t h e a s s u m p t i o n s t h u s f a r m a d e o n t h e p r i m i t i v e c o n c e p t s a r e e n o u g h t o g u a r a n t e e t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l s , a n d i f n o t , w h a t a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s , c o n s i s t e n t w i t h p r e v i o u s l y m a d e o n e s , o n t h e p r i m i t i v e c o n c e p t s a r e n e e d e d ? I n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , D e b r e u ( 1 9 8 3 , c h a p t e r 1 5 ) s h o w s t h a t a s u f fi c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f d e m a n d i s t h e o n e o f s m o o t h p r e f e r e n c e . H e a l s o s h o w s t h a t t h i s c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a t t h e u t i l i t y f u n c t i o n b e t w i c e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e w i t h n o n v a n i s h i n g H e i s s i a n d e t e r m i n a n t . 5 8 a h , ( p , u ) = a x , ( p 6 9 } . a E ( p . u ) ) + 6 x , ( p n p . u ) ) o 6 E . 6 E " ( : u ) ( a p n . » ( 2 . 4 . 1 3 ) W e r e c a l l t h a t D , h ( p , u ) i s a c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r f r o m L 2 “ ) , R " ) t o L 2 “ ) , R " ) a n d t h a t b y a s t a n d a r d r e s u l t o f d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s i n B a n a c h s p a c e s ( s e e , f o r e x a m p l e , C a r t a n 1 9 7 7 , p . 4 0 ) , i t i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e n x n m a t r i x o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s M ( 2 . 4 . 1 0 ) a p j 1 s i s : 1 l s t n . 6 h , ( p . u ) . . . . W i t h e a c h a b e i n g a c o n t i n u o u s l m e a r f u n c t i o n a l f r o m L 2 ( Q , R ) t o L 2 “ ) , R ) . H e n c e t h e , - s y m m e t r y c o n d i t i o n c a n b e w r i t t e n i n t h e u s u a l f o r m : W ” ) = a h l ‘ p ' “ ) i J = 1 . . . . . n . ( 2 . 4 . 1 1 ) 6 p } . 6 p , . . . . . . . . 6 h , ( p . u ) . T h e n e g a t t v r t y c o n d i t i o n i m p l i e s t h a t t h e c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r s p z = 1 , . . . , n i w h i c h m e a s u r e t h e o w n p r i c e e f f e c t s , a r e s t r i c t l y n e g a t i v e i . e : 6 h , ( g : " ) q , , q , ) < 0 f o r a l l q , e L ( 0 , R ) \ { 0 } ; i = 1 , . . . , n ( 2 . 4 . 1 2 ) i F u r t h e r m o r e , b y d i f f e r e n t i a t i n g b o t h s i d e s o f t h e s e c o n d e q u a l i t y i n ( 2 . 3 . 5 ) w i t h r e s p e c t t o t h e 1 ‘ “ p r i c e w e g e t : w h e r e t h e s y m b o l 0 r e p r e s e n t s t h e c o m p o s i t i o n o p e r a t i o n b e t w e e n t h e t w o l i n e a r f u n c t i o n a l s . 5 9 W ! ” m ) ) = m a n d M P , W P , ’ 7 1 ) ) = x ( I ) . m ) , w e o b t a i n t h e S l u t s k y e c l u a t i o n : 6 3 B y t a k i n g u E V ( p , m ) a n d u s i n g S h e p h a r d ’ s l e m m a a l o n g w i t h t h e f a c t s t h a t E ( p , a h i ( p , V ( p , m ) ) = a x , . ( p , m ) + 6 x i ( p , m ) t ' i p j t i p ] . 6 m o x j ( p , m ) i , j = 1 . . . . . n . ( 2 - 4 - 1 4 ) H e n c e , i n t e r m s o f t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d o p e r a t o r , t h e p o t e n t i a l a n d m o n o t o n i c i t y p r o p e r t i e s o f t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d o p e r a t o r a r e r e s p e c t i v e l y e q u i v a l e n t t o t h e s y m m e t r y a n d n e g a t i v i t y o f t h e S l u t s k y m a t r i x 6 x , . ( p , m ) + 6 x i ( p , m ) . 2 . 4 . 1 a p , a m “ 4 “ “ ) ( 5 ) l S i S n l s t n T h e S l u t s k y e q u a t i o n a l s o g i v e s t h e d e c o m p o s i t i o n o f a d i f f e r e n t i a l c h a n g e i n t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d s i n t o a s u b s t i t u t i o n e f f e c t a n d a i n c o m e e f f e c t : a x i n m ) = 6 h , ( p . V ( p . m ) ) _ 6 X , ( p . m ) d p j t i p j a m o x j ( p , m ) i j = l , . . . , n . ( 2 - 4 - 1 6 ) F i n a l l y , t o c o n c l u d e t h i s s e c t i o n , w e p o i n t o u t t h a t i f t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l i s F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e s e n s e o f D e fi n i t i o n 2 . 3 . 1 o f c o u r s e ) , t h e n C o r o l l a r y A 2 . l i n A p p e n d i x 2 g i v e s a n e c e s s a r y fi r s t o r d e r c o n d i t i o n t h a t i s s i m i l a r t o t h e f m i t e d i m e n s i o n a l c a s e . M o r e o v e r , a s i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , i f U i s t w i c e d i f f e r e n t i a b l e , o n e c a n u s e t h i s fi r s t o r d e r c o n d i t i o n a l o n g w i t h a g e n e r a l i z e d i m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m ( s e e Z e i d l e r , 1 9 8 5 , p . 1 5 0 ) , t o d e r i v e a l l t h e a b o v e d i f f e r e n t i a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s . 6 3 F o r t w o f u n c t i o n a l s A z fl - v F a n d B : G - ’ H , A o B z G - e F i s d e fi n e d b o n B ( p ) a a . A ( B ( p ) ) f o r a l l p e G . W e r e c a l l t h a t “ " 9 m ) i s l i n e a r f u n c t i o n a l f r o m a t o L , ( o , a ) ; a n d b e c a u s e m L , ( 0 , R ) i s e q u a l t o i t s d u a l , w e c a n t a k e x , ( p , m ) a s a l i n e a r o p e r a t o r d e fi n e d o n L 2 “ ) , R ) . H e n c e , 3 1 4 n m ) 6 m o x j ( p , m ) i s a l i n e a r f u n c t i o n a l f r o m L , ( 0 , R ) t o L , ( ( 2 , R ) . 6 0 2 . 5 T h e c o n s u m e r ’ s " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e t o p r i c e - r i s k T h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s c o n c l u s i o n s d e r i v e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n r e fl e c t b o t h t h e e f f e c t s d u e s t o t a s t e s u b s t i t u t i o n , i n c o m e , a n d t h e c o n s u m e r ’ s r e s p o n s e t o p r i c e - r i s k . I n d e e d , t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e o r d e r i n g o f t h e d i f f e r e n t b u n d l e s o f c o n s u m p t i o n g o o d s b y 2 r e fl e c t s b o t h i t s t a s t e ( i . e . , t h e r e l a t i v e s t r e n g t h s o f t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e o r d e s i r e f o r c o n s u m i n g o n e t y p e o f c o m m o d i t y o v e r a n o t h e r ) a n d a t t i t u d e t o w a r d r i s k ( i . e . , t h e c o n s u m e r ’ s a t t i t u d e t o w a r d t h e r e l a t i v e r i s k i n e s s o r d i f f e r e n t d e g r e e s o f r i s k r e g a r d i n g t h e a v a i l a b i l i t y a n d a f f o r d a b i l i t y o f t h e d i f f e r e n t c o m m o d i t i e s a s r e fl e c t e d i n t h e i r u n c e r t a i n r e l a t i v e p r i c e s ) . 6 4 F o r e x a m p l e , t h e c o n v e x i t y a s s u m p t i o n ( i . e . , p r e f e r e n c e f o r c o m m o d i t y b u n d l e s t h a t i n c l u d e m o r e t y p e s o f g o o d o v e r t h o s e w i t h f e w e r t y p e s ) r e fl e c t d i v e r s i fi c a t i o n e i t h e r f o r t a s t e r e a s o n o r f o r r i s k a v e r s i o n r e a s o n , o r f o r b o t h r e a s o n s . H e n c e i n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y w i t h m a n y c o m m o d i t i e s , t h e r e a r e t w o p o s s i b l e w a y s t o j u s t i f y t h e c r u c i a l c o n v e x i t y a s s u m p t i o n . T h e s e p a r a t i o n i n c o m p a r a t i v e s t a t i c s o f t h e e f f e c t s d u e s o l e l y t o a t t i t u d e t o w a r d r i s k f r o m t h e u s u a l t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s , i s e s s e n t i a l f o r a m e a n i n g f u l c o m p a r a t i v e r i s k a n a l y s i s i n t h e c o n t e x t o f u n c e r t a i n t y w i t h m a n y c o m m o d i t i e s . T h i s p r o b l e m w h i c h d o e s n o t a r i s e i n t h e s t a t i c o n e - c o m m o d i t y c a s e h a s b e e n r e c o g n i z e d a n d d i s c u s s e d s i n c e K h i l s t r o m a n d M i r m a n ( 1 9 7 4 ) . “ T h e s a m e p r o b l e m a r i s e s i n t h e a n a l y s i s o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y w i t h o n e a g g r e g a t e d c o m m o d i t y ( t h e c o n s u m p t i o n - s a v i n g d e c i s i o n f o r e x a m p l e ) . B u t i n t h e o n e - c o m m o d i t y i n t e r t e m p o r a l c a s e , t h e s e p a r a t i o n o f t h e e f f e c t s o f “ S o m e a u t h o r s r e f e r t o t h e t a s t e a s p e c t a s o r d i n a l p r e f e r e n c e . B u t w e p r e f e r t h e t e r m t a s t e b e c a u s e w e v i e w t h e o r d i n a l i t y o f a a s r e fl e c t i n g b o t h t a s t e a n d a t t i t u d e t o w a r d r i s k . ‘ 5 S e e f o r e x a m p l e , K h i l s t r o m a n d M i r m a n ( 1 9 7 4 ) , P a r o u s h ( 1 9 7 4 ) , K e e n e y ( 1 9 7 5 ) , D u n c a n ( 1 9 7 7 ) , K e r n i ( 1 9 7 9 ) , O l s o n ( 1 9 8 8 ) . W i t h o n e c o m m o d i t y o n l y ( u s u a l l y t a k e n t o b e m o n e y ) , t h e t a s t e a s p e c t i s i r r e l e v a n t . T h e s a m e i s t r u e f o r t h e s t a t i c a n a l y s i s o f p o r t f o l i o a l l o c a t i o n w i t h m a n y r i s k y s e c u r i t i e s , b e c a u s e a l l r e t u r n s a r e m e a s u r e d i n m o n e t a r y u n i t s s o t h a t a n y s u b s t i t u t i o n w i l l b e d u e t o a t t i t u d e t o w a r d r i s k . 6 1 a t t i t u d e t o w a r d r i s k i s n o t f r o m t h o s e o f t a s t e ( w h i c h i s i r r e l e v a n t f o r o n e c o m m o d i t y o n l y ) , b u t r a t h e r f r o m t h e e f f e c t s o f t i m e p r e f e r e n c e o r i m p a t i e n c e , w h i c h i s a n o t h e r a s p e c t o f p r e f e r e n c e . “ T h e s e p a r a t i o n p r o b l e m i n t h e m u l t i - c o m m o d i t y s t a t i c c a s e l e d K h i l s t r o m a n d M i r m a n t o r e s t r i c t t h e i r c o m p a r a t i v e r i s k a n a l y s i s t o p r e f e r e n c e s w i t h s a m e t a s t e f o r t h e c o m m o d i t i e s . W e d o n o t n e e d t h i s r e s t r i c t i o n i n o r d e r t o a s s e s s t h e i m p a c t o f u n c e r t a i n t y o n t h e c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r a n d w e l f a r e . B u t , fi r s t w e n e e d t o m a k e t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n a m e a s u r e o f t h e c o n s u m e r ’ s " r i s k a v e r s i o n " a n d a m e a s u r e o f h i s o r h e r " o p t i m a l r e s p o n s e t o r i s k " . 2 . 5 . 1 R i s k a v e r s i o n a n d t h e " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e t o r i s k F o l l o w i n g L e l a n d ( 1 9 6 8 ) , S a n d m o ( 1 9 7 0 ) , a n d D r e z e a n d M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) , K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) , i n h i s a n a l y s i s o f t h e p r e c a u t i o n a r y m o t i v e o f s a v i n g , m a k e s t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e c o n s e q u e n c e o f r i s k a v e r s i o n a n d w h a t h e c a l l " t h e o p t i m a l r e s p o n s e o f d e c i s i o n v a r i a b l e s t o r i s k " . T h e r a t i o n a l e b e h i n d t h i s d i s t i n c t i o n i s s i m p l e . I n t u i t i v e l y r i s k a v e r s i o n i s a b o u t . ” d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y , a n d o n e " d i s l i k e s " u n c e r t a i n t y b e c a u s e i t s p o s s i b l e n e g a t i v e e f f e c t s o n o n e ’ s w e l f a r e . H e n c e , r i s k a v e r s i o n m e a s u r e s m u s t b e m e a s u r i n g h o w w e l f a r e c h a n g e s a s a r e s u l t o f t h e i n t r o d u c t i o n o f u n c e r t a i n t y o r " c h a n g e " i n i t . B u t , a m e a s u r e o f h o w w e l f a r e c h a n g e s a s a r e s u l t o f t h e i n t r o d u c t i o n o f u n c e r t a i n t y ( o r c h a n g e i n i t ) a l o n e i s n o t s u f fi c i e n t t o i n f e r a d e c i s i o n m a k e r ’ s r e s p o n s e t o r i s k ( i . e . , t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s t o r i s k ) . I n d e e d , w h i l e t h i s r i s k a v e r s i o n - r e l a t e d c h a n g e i n w e l f a r e m i g h t a f f e c t e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s , t h e a b i l i t y o f d e c i s i o n m a k e r s t o s u b s t i t u t e a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e d o e s a l s o a f f e c t e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s . H e n c e , o n e n e e d s m e a s u r e s t h a t a l l o w t o i n f e r a n d a s s e s s t h e 6 ° S e e i n p a r t i c u l a r , L e l a n d ( 1 9 6 8 ) , S a n d m o ( 1 9 7 0 ) , D r é z e a n d M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) , a n d K i m b a l l ( 1 9 8 9 ) . 6 2 s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s t o r i s k . K i m b a l l r e f e r s t o s u c h m e a s u r e s a s m e a s u r e s o f p r u d e n c e o r p r e c a u t i o n t o s u g g e s t , i n h i s w o r d s , " t h e p r o p e n s i t y t o p r e p a r e a n d f o r e a r m o n e s e l f i n t h e f a c e o f u n c e r t a i n t y " . I n t h e u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k , t h e d e g r e e o f c o n v e x i t y o f t h e fi r s t d e r i v a t i v e o f t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u t i l i t y f u n c t i o n p l a y s t h e s a m e r o l e f o r p r u d e n c e o r p r e c a u t i o n t h a t t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u t i l i t y f u n c t i o n p l a y s f o r r i s k a v e r s i o n . K i m b a l l ’ s d i s t i n c t i o n b e t w e e n p r u d e n c e o r p r e c a u t i o n a s c o n c e p t s r e l a t e d t o t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s t o r i s k a n d r i s k a v e r s i o n a s a c o n c e p t r e l a t e d t o t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o r i s k i s v e r y i n t u i t i v e a n d i m p o r t a n t i f o n e w a n t s t o a s s e s s t h e a b i l i t y o f d e c i s i o n m a k e r s t o m a k e s u b s t i t u t i o n s a c r o s s t h e n u m e r o u s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e d e p e n d i n g o n t h e i r r i s k p r e f e r e n c e ( s e e t h e r e l a t e d d i s c u s s i o n s i n A p p e n d i x 4 ) . I n d e e d , a r i s k a v e r s e d e c i s i o n m a k e r m a y b e a b l e t o e l i m i n a t e ( o r a t l e a s t r e d u c e ) t h e n e g a t i v e w e l f a r e i m p a c t r e s u l t i n g f r o m t h e i n t r o d u c t i o n o f u n c e r t a i n t y o r ( " c h a n g e " i n i t ) i f h e o r s h e i s a b l e t o m a k e s u b s t i t u t i o n a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . T h e w a y t h a t t h i s s u b s t i t u t i o n a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a f f e c t s w e l f a r e i s s i m i l a r t o t h e w a y , i n t h e m u l t i - c o m m o d i t y d e t e r m i n i s t i c c a s e , t h e p u r e t a s t e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s a f f e c t t h e w e l f a r e c h a n g e r e s u l t i n g f r o m a c h a n g e i n r e l a t i v e p r i c e s . M o r e o v e r , t h e r e d u c t i o n i n e x - a n t e w e l f a r e i m p l i e d b y r i s k a v e r s i o n m a y h a v e s o m e p r e c a u t i o n a r y e f f e c t s o n e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s i n w a y s i m i l a r t o h o w c h a n g e i n r e a l i n c o m e a f f e c t s o p t i m a l c h o i c e s i n d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y . H e n c e , t o s u m m a r i z e , i n t h e a n a l y s i s o f s t a t i c c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y w i t h m a n y c o m m o d i t i e s t h e r e a r e t h r e e i s s u e s i n v o l v e d i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c a n d w e l f a r e i m p a c t a s s e s s m e n t o f a n a p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s . F i r s t , o n e n e e d t o s e p a r a t e o u t t h e e f f e c t o f t h e c o n s u m e r ’ s r i s k a t t i t u d e o n w e l f a r e f r o m t h e w e l f a r e c h a n g e t h a t w o u l d h a v e r e s u l t e d i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . S e c o n d , o n e n e e d s t o d i s e n t a n g l e t h e e f f e c t s o f p r i c e - r i s k o r 6 3 u n c e r t a i n t y o n e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s f r o m t h e u s u a l e f f e c t s t h a t o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h i r d , w h e n a n a l y z i n g t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e t o u n c e r t a i n t y , o n e n e e d s t o d i s t i n g u i s h t h e p r e c a u t i o n a r y s u b s t i t u t i o n a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e e f f e c t f r o m t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) e f f e c t , i n t h e s a m e w a y o n e d i s t i n g u i s h e s t h e t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s i n s t a t i c d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y . D r e z e a n d M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) , i n t h e c o n t e x t o f a t w o p e r i o d c o n s u m p t i o n - s a v i n g m o d e l w i t h o n e a g g r e g a t e d c o m m o d i t y , c a l l t h e s e t w o e f f e c t s s i m p l y " s u b s t i t u t i o n " a n d " i n c o m e " e f f e c t s r e s p e c t i v e l y . B u t h e r e , w e w i l l a d o p t t h e t e r m s " p r e c a u t i o n a r y r i s k - s u b s t i t u t i o n " a n d " p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n " e f f e c t s r e s p e c t i v e l y , s o a s t o d i s t i n g u i s h t h e m f r o m t h e t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s t h a t o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h e s u m o f t h e s e t w o p r e c a u t i o n a r y e f f e c t s w i l l b e c a l l e d t h e " u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t " . I n s e c t i o n 2 . 7 b e l o w w h e r e w e d e a l w i t h w e l f a r e m e a s u r e m e n t u n d e r u n c e r t a i n t y i s s u e s , w e d e r i v e r i s k a v e r s i o n , r i s k p r e m i u m , a n d c o s t o f r i s k m e a s u r e s f o r a s s e s s i n g t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o r i s k . I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n w e c o n c e n t r a t e o n t h e d e r i v a t i o n o f t h e m e a s u r e s o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a n d r i s k a v e r s i o n r e s p o n s e s t o p r i c e - r i s k , a n d t h e i r d i s e n t a n g l e m e n t s f r o m t h e u s u a l t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s r e s p e c t i v e l y . 2 . 5 . 2 M e a s u r e s o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r e s p o n s e s t o p r i c e - r i s k I n s e c t i o n 2 . 2 . 6 w e h a v e i d e n t i fi e d t h e d e g r e e o f r i s k i n a r a n d o m p r i c e b y t h e c o n s u m e r ’ s " b e l i e f - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n o f i t s d e g r e e o f v a r i a b i l i t y w h i c h w e h a v e m e a s u r e d b y i t s d i s t a n c e t o t h e c o n s u m e r ’ s e x p e c t e d v a l u e f o r i t u n d e r t h e m e t r i c I “ 2 . H e n c e , t o m e a s u r e t h e c o n s u m e r ’ s o v e r a l l p r e c a u t i o n a r y r e s p o n s e t o t h e r i s k i n a r a n d o m p r i c e w e n e e d t o m e a s u r e h o w c h a n g e s i n i t s e x - a n t e o p t i m a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s , r e s u l t i n g f r o m a n 6 4 e x p e c t e d c h a n g e i n a r a n d o m p r i c e , i s r e l a t e d t o t h e v a r i a b i l i t y o f t h e r a n d o m p r i c e i n q u e s t i o n . I n o t h e r w o r d s , f o r u n c o m p e n s a t e d r i s k e f f e c t s f o r e x a m p l e , w e a r e l o o k i n g f o r n u m e r i c a l m e a s u r e s o f t h e r e l a t i o n s b e t w e e n c h a n g e s i n t h e u n c o m p e n s a t e d d e m a n d o f e a c h i n d i v i d u a l c o m m o d i t y , x , ( p , m ) - x , ( q , m ) , a n d t h e v a r i a b i l i t y i n c h a n g e s i n t h e r a n d o m v a r i a b l e p j - q , - a s s o c i a t e d w i t h t h e 1 " " p r i c e w h i c h i s e x p e c t e d t o c h a n g e f r o m p j t o q , . I n t h e c a s e o f d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d s a n d a m a r g i n a l " c h a n g e " i n p , w e a r e l o o k i n g f o r n u m e r i c a l a x , ( p , m ) o p ] . v a r i a b i l i t y o f t h e p r i c e 1 1 , - . T h a t i s t o s a y i n b o t h c a s e s w e a r e l o o k i n g f o r n u m e r i c a l m e a s u r e s m e a s u r e s o f t h e r e l a t i o n s b e t w e e n e a c h r a n d o m v a r i a b l e ' p j i = 1 . n a n d t h e o f t h e r e s p e c t i v e d e g r e e s o f " c o v a r i a b i l i t y " b e t w e e n t h e x , ( p , m ) - x , ( q , m ) j = 1 , . . , n a n d p j - a x , ( p , m ) q ] , a n d b e t w e e n t h e r a n d o m v a r i a b l e s i = 1 , . . . n a n d p j r e s p e c t i v e l y . B u t , f r o m , - p i s e c t i o n 2 . 2 . 6 , u n d e r t h e s c a l a r p r o d u c t ( . , . ) a s s o c i a t e d w i t h t h e m e t r i c I I I I 2 t h e s e m e a s u r e s o f c o v a r i a b i l i t y a r e g i v e n r e s p e c t i v e l y b y i " , ’ 5 ( i n - ( m m ) - X , ( q . m ) - E ( X , ( p . m ) - X . - ( q . m ) ) . p , - q , - - E 0 ) , - 4 1 , - » , ( 2 . 5 . 1 ) = C 0 " ( x ' ( p , m ) — x , ‘ ( q r m ) 9 p ] - q j ) a n d a x . ( p , m ) a x . ( p , m ) a r r - ( p m ) ( 2 s 2 ) . . ' . - E ' . . - E - = ‘ . " r , a < 3 p } 1 ) , ( 3 p ] 1 1 , ) p , 1 1 , ) 2 c o v l a n , , 1 1 , ] I f i n ( 2 . 5 . 1 ) a n d ( 2 . 5 . 2 ) w e r e p l a c e t h e u n c o m p e n s a t e d d e m a n d s w i t h t h e c o m p e n s a t e d o r H i c k s i a n d e m a n d s w h i c h h o l d t h e c o n s u m e r ’ s u t i l i t y c o n s t a n t , t h e n w e w o u l d o b t a i n n u m e r i c a l m e a s u r e s o f t h e c o n s u m e r ’ s p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s : 1 " ; I ! ( h i p . u ) - h , ( q . u ) - E ( h , ( p . u ) - h , ( q . U ) ) . 1 1 , - ‘ q , - E ( p , « 1 , » , = C O V ( h . ( p . u ) - h , ( q . u ) . p , - ¢ 1 , - ) ( 2 . 5 . 3 ) a n d 6 S f o r t h e g l o b a l c a s e , a n d i n r " , ; a E r t , o . - - i - ; } r ; - i i , , j j = = 1 1 , , . . . . . . , , n n . . ( ( 2 . 5 . 5 ) 2 5 . 6 ) ( m y ) = = E t ( r x c - o E < x ) ) ( v v [ x , y ] - + E < y > ) + E x - E y E x - E y ( 2 . 5 . 7 ) 6 h , ( P . u ) _ E 0 1 1 , - ( 1 1 . u ) a p ! “ ( 6 p l p i r 3 5 < a b l e " ) , ( 2 . 5 . 4 ) 3 P 1 ' ’ j . i 1 1 , - ) . i i j - l ‘ z ‘ l y . ) 2 = C O V [ s i n c e i t i s h i s o r h e r r e s p o n s e s t o p r i c e - r i s k w h e n h i s h e r e x - a n t e w e l f a r e r e m a i n c o n s t a n t a n d i s t h u s n o t a f f e c t e d b y r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) . T h e r e s p e c t i v e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t o t a l p r e c a u t i o n a r y e f f e c t s a n d t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s g i v e b y d e fi n i t i o n t h e n u m e r i c a l m e a s u r e s o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s w h i c h m e a s u r e p a r t s o f t h e c h a n g e s i n d e m a n d s r e s u l t i n g f r o m t h e l o s s i n e x - a n t e w e l f a r e a s s o c i a t e d w i t h r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) : f o r t h e d i f f e r e n t i a l c a s e . I n t h e n e x t s e c t i o n s , w e t u r n t o t h e d i s e n t a n g l e m e n t o f t h e s e t h r e e p r e c a u t i o n a r y e f f e c t s f r o m t h e o v e r a l l c o n s u m e r ’ s r e s p o n s e t o a n e x p e c t e d c h a n g e i n a r a n d o m p r i c e . 2 . 5 . 3 D i s e n t a n g l u e n t s o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k e f f e c t s f r o m t h e n o n r i s k e f f e c t s B e c a u s e o f t h e b i l i n e a r i t y o f t h e s c a l a r p r o d u c t ( . , . ) , f o r a l l x , y E L 2 “ ) , R " ) w e h a v e : w h e r e c o l e , y ] i s t h e n X n c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e t w o r a n d o m v e c t o r s x a n d y , a n d t r s t a n d s f o r i t s t r a c e , w h i c h i s b y d e fi n i t i o n t h e s u m o f i t s d i a g o n a l e l e m e n t s . H e n c e , i n b o t h 6 6 t h e g l o b a l a n d m a r g i n a l c a s e s w e c a n a l w a y s d e c o m p o s e t h e t o t a l " c h a n g e s " i n t h e d e m a n d o f t h e i n d i v i d u a l c o m m o d i t i e s r e s u l t i n g f r o m a n e x p e c t e d c h a n g e i n p , a n d t h u s i s o l a t e t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k p a r t o f t h e m . 2 . 5 . 3 . 1 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e u n c o m p e n s a t e d " p r e c a u t i o n a r y " r i s k e f f e c t s S u b s t i t u t i n g t h e t o t a l " c h a n g e " i n t h e u n c o m p e n s a t e d o r M a r s h a l l i a n d e m a n d s r e s u l t i n g f r o m a n e x p e c t e d c h a n g e i n p l - i n ( 2 . 5 . 7 ) w e o b t a i n t h e i r r e s p e c t i v e d e c o m p o s i t i o n i n t o t w o c o m p o n e n t s c o n s t i t u t e d b y t h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s a n d t h e u n c o m p e n s a t e d n o n r i s k e f f e c t s ( n o t e d i v . f o r t h e g l o b a l c a s e a n d t ” f o r t h e d i f f e r e n t i a l c a s e ) w h i c h o b t a i n i f t h e c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r w e r e n o t a f f e c t e d b y u n c e r t a i n t y . T h u s , f o r t h e g l o b a l c a s e w e h a v e : ( x , ( q . m ' ) - x , ( p . m ) . q , - - p , - ) = c o v { x , ( q . m ’ ) - x , - ( p . m ) . q , 1 1 , ] + E ( x , ( q , m ’ ) - x , ( p m ) ) l £ ( q j - p j ) ( 2 . 5 . 8 ) = r i j + t i j a n d f o r t h e c a s e o f d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d s a n d m a r g i n a l c h a n g e i n p j w e h a v e : B i g - ( p . m ) a n , 6 X , ( p . m ) ( ( 3 p j 1 1 , . 1 ) , ) = c o v { 1 1 , - . 9 , ] + 5 ( 2 . 5 . 9 ) a X , ( p . m ) 3 ! , 1 ' 1 i = + 2 . 5 . 3 . 2 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s A s i m i l a r d e c o m p o s i t i o n f o r t h e c o m p e n s a t e d o r H i c k s i a n d e m a n d s b a s e d o n ( 2 . 5 . 7 ) g i v e s a s e p a r a t i o n o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s f r o m t h e t a s t e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s ( n o t e d t ; f o r t h e g l o b a l c a s e a n d t ; f o r t h e d i f f e r e n t i a l c a s e ) w h i c h o b t a i n w h e n t h e 6 7 c o n s u m e r ’ s s u b s t i t u t i o n a c r o s s c o m m o d i t i e s i s n o t a f f e c t e d b y u n c e r t a i n t y . F o r t h e g l o b a l c a s e w e h a v e : ( h t - ( Q J I ) _ h i ( p ~ U ) i q } ' 1 3 , ) = C O V I h K Q , l l ' ) - h i ( p ' l l ) 9 Q j - p j ] + E ( b . ( q . u ) - b . ( p . u ) ) E ( q , ~ - p , ) ( 2 - 5 - 1 0 ) = fi + fi a n d f o r t h e d i f f e r e n t i a b l e c a s e w e h a v e : ( 6 1 1 4 1 1 . 1 4 ) ) = c o v [ , ( p . u ) ] + E . ( p . u ) a n , 1 ’ p i 3 p 1 ’ ” 1 d p ’ . p i p 1 “ ( 2 . 5 . 1 1 ) ‘ h + ¢ S i n c e t h e t ; i , j = 1 , . . , n m e a s u r e t h e p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s d u e t o t a s t e p r e f e r e n c e , t h e y a r e t h e b a s i s f o r c l a s s i f y i n g c o m m o d i t i e s i n t o c o m p l e m e n t s a n d s u b s t i t u t e s ( i . e i n t a s t e ) , w i t h t h e u s u a l u n d e r s t a n d i n g . I t i s t e m p t i n g t o u s e t h e s i g n s o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s t o c l a s s i f y t h e c o m m o d i t i e s i n t o r i s k s u b s t i t u t e s a n d r i s k c o m p l e m e n t s . T h e l o g i c o f t h i s c l a s s i fi c a t i o n w o u l d b e j u s t i fi e d b y t h e i n t u i t i v e p e r c e p t i o n t h a t , t a s t e p r e f e r e n c e a n d i n c o m e a s i d e , i f t h e p r i c e s o f t w o d i f f e r e n t c o m m o d i t i e s a r e n e g a t i v e l y c o r r e l a t e d , t h e n a r i s k a v e r s e c o n s u m e r w o u l d e x - a n t e d e m a n d b o t h o f t h e c o m m o d i t i e s . H o w e v e r , u n l i k e t h e t o t a l s u b s t i t u t i o n m a t r i x o f t h e s 9 . I t ; + 1 3 } t h e n X n m a t r i x o f t h e r ; i s n o t a s y m m e t r i c m a t r i x , t h u s m a k i n g s u c h a c l a s s i fi c a t i o n l e s s a p p e a l i n g . A l s o , a l t h o u g h t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e 6 8 c o m p e n s a t e d d e m a n d f u n c t i o n a l i m p l i e s t h a t s “ . E t " . + r ; - < 0 , t h i s l a t t e r c o n d i t i o n d o e s n o t r e q u i r e b o t h t e r m s t o b e n e g a t i v e . " 7 2 . 5 . 3 . 3 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k a v e r s i o n e f f e c t s S i n c e , b y d e fi n i t i o n , f o r e a c h c o m m o d i t y t h e t o t a l i n c o m e e f f e c t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t o t a l u n c o m p e n s a t e d a n d c o m p e n s a t e d e f f e c t s , i t s d e c o m p o s i t i o n b a s e d o n ( 2 . 5 . 7 ) g i v e s e x a c t l y t h e s u m o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t a n d t h e p u r e i n c o m e e f f e c t ( n o t e d t ; f o r t h e g l o b a l c a s e a n d t i ' , " f o r t h e d i f f e r e n t i a l c a s e ) w h i c h o b t a i n w h e n t h e c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r i s n o t a f f e c t e d b y t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e w e l f a r e t o r i s k a v e r s i o n . H e n c e f o r t h e g l o b a l c a s e w e h a v e : ( 1 9 ( 1 ) . u ( p . q . m ' ) ) - x . ( p . m ) . q , - - p , ~ ) = c o v I X . ( p . p ( p . q . m ’ ) ) - X , ( p . m ) . q , - p , ] + E ( X , ( p . u ( p . q . I n ’ ) ) - X , ( p . m ) ) - E ( q , - - p , ) ( 2 . 5 - 1 2 ) _ - m - M - r , - , - + 1 0 . a n d f o r t h e d i f f e r e n t i a l c a s e w e h a v e : 6 8 ‘ 7 W e k n o w t h a t a t l e a s t o n e o f t h e t w o ; t e r m s m u s t b e n e g a t i v e , b u t w h i c h o n e ? I n t h e t w o - p e r i o d e x p e c t e d u t i l i t y c o n s u m p t i o n - s a v i n g c o n t e x t w i t h o n e c o m m o d i t y a n d i n c o m e r i s k , D r e z e a n d M o d i g l i a n i s h o w s t h a t t h e e q u i v a l e n t o f r ; i s p o s i t i v e , e q u a l t o z e r o o r n e g a t i v e w h e n t h e A r r o w - P r a t t a b s o l u t e r i s k a v e r s i o n c o e f fi c i e n t w i t h r e s p e c t t o s e c o n d p e r i o d c o n s u m p t i o n i s d e c r e a s i n g , c o n s t a n t , o r i n c r e a s i n g . B u t s o f a r , w e h a v e b e e n u n a b l e t o d e r i v e a c o n d i t i o n o n p r e f e r e n c e t h a t w o u l d a l l o w t o s i g n r ; . T h e d i f fi c u l t y s e e m s t o b e r e l a t e d t o t w o f a c t s : 1 ) t h e u n i v a r i a t e A r r o w - P r a t t m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n i s i r r e l e v a n t i n a m u l t i v a r i a t e a n d / o r n o n - e x p e c t e d u t i l i t y c o n t e x t , a n d 2 ) t h e p o s s i b l e c o r r e l a t i o n a m o n g t h e r a n d o m p r i c e s m e a n s t h a t a n e x p e c t e d c h a n g e i n o n e p r i c e m a y i m p l i e s e x p e c t e d c h a n g e s i n o t h e r p r i c e s i n t h e s a m e o r o p p o s i t e d i r e c t i o n , t h u s c o m p l i c a t i n g t h e c o n s u m e r ’ s s u b s t i t u t i o n p r o c e s s . 6 , . . . 6 X . . ( p . m ) B X , ( p . m ) . W e r e c a l l t h a t f o r g i v e n 1 , } a n d ( p , m ) , b o t h T a n d T o x j ( p , m ) a r e c o n t m u o u s j . . a x i l p . m ) l i n e a r o p e r a t o r s f r o m L 2 “ ) , R ) t o L , ( 0 , R ) . H e n c e , f o r a n y r a n d o m p r i c e p j T p ! a n d 1 a . , . 1 % ? o x j ( p , m ) p l a r e r a n d o m v a r i a b l e s , e l e m e n t s o f L 2 “ ) , R ) . 6 9 a x , ( p , m ) 6 x i ( p , m ) d x i ( p , m ) 8 x , . ( p , m ) ( T P ] + T o x j ( P i m ) ' P / ~ ’ p j ) = C O V T 1 % + T O x j ( p , m ) ‘ p j 9 p j 6 X , ( p . M ) « h ( . - ( p m ) + E a p j . p j + T 0 x 1 “ ) , " 0 1 ) , - E p j = ’ 0 ' " + ’ 0 ’ " ( 2 . 5 . 1 3 ) r 3 m e a s u r e s t h e i m p a c t o n t h e d e m a n d o f c o m m o d i t y i o f t h e c o n s u m e r ’ s r i s k a v e r s i o n t o w a r d t h e p r i c e o f c o m m o d i t y j w h e n i t i s e x p e c t e d t o c h a n g e . T h e s i g n s o f r , ’ , ' - ' c a n b e u s e d t o c l a s s i f y t h e c o m m o d i t i e s a c c o r d i n g t o h o w t h e i r d e m a n d s a r e s e n s i t i v e t o r i s k a v e r s i o n ( i . e . , t h e c o n s u m e r ’ s " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) , i n t h e s a m e w a y t h a t t h e s i g n s o f t h e p u r e i n c o m e e f f e c t s , t h e t 3 ? , a r e u s e d t o c l a s s i f y t h e c o m m o d i t i e s i n t o n o r m a l a n d i n f e r i o r c o m m o d i t i e s . 6 9 2 . 5 . 3 . 4 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e " p r e c a u t i o n a r y " r i s k e f f e c t s i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i e s T o c o n c l u d e t h e a n a l y s i s o f t h e c o n s u m e r ’ s p r e c a u t i o n a r y r e s p o n s e t o p r i c e - r i s k , w e w i l l u s e t h e a b o v e d e c o m p o s i t i o n s t o r e w r i t e t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s e q u a t i o n s ( 2 . 4 . 7 ) a n d ( 2 . 4 . 1 6 ) i n a w a y t h a t s e p a r a t e s t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s f r o m t h e n o n r i s k e f f e c t s w h i c h o b t a i n w h e n t h e c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r i s n o t a f f e c t e d b y u n c e r t a i n t y . I n d e e d , e q u a t i o n s ( 2 . 5 . 8 ) , ( 2 . 5 . 1 0 ) , a n d ( 2 . 5 . 1 2 ) a l l o w t o d e c o m p o s e t h e g l o b a l c o m p a r a t i v e s t a t i c e q u a t i o n s ( 2 . 4 . 7 ) a s ‘ 9 I n t h e i r o n e c o m m o d i t y t w o - p e r i o d e x p e c t e d u t i l i t y m o d e l , D r é z e a n d M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) s h o w e d t h a t i f b o t h fi r s t a n d s e c o n d p e r i o d c o n s u m p t i o n s a r e n o t i n f e r i o r c o m m o d i t i e s , t h e n t h e a n a l o g u e o f r 5 3 i n t h e i r m o d e l i s a l w a y s p o s i t i v e u n d e r r i s k a v e r s i o n . B u t , s o f a r , w e h a v e n o t b e e n a b l e t o fi n d c o n d i t i o n s t h a t w o u l d a l l o w u s t o s i g n t h e r 3 " . 7 0 i 1 . a 1 1 5 1 5 ” + ? ? ? ” i i , , j j = = l 1 , , . . . . . . , , n n . . ( ( 2 2 . - 5 5 . - 1 1 4 5 ) ) a n d 1 - . + i , . j = ( r ; + i ; ) + ( a g i n g ) = ( i , ; . + 1 - ; ' ) + ( £ 5 . 4 5 ) i , j = 1 , . . . , n . 0 - 5 - 1 9 O f c o u r s e , w e h a v e a s i m i l a r d e c o m p o s i t i o n f o r t h e d i f f e r e n t i a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s e q u a t i o n s ( 2 . 4 . 1 6 ) . T h e e q u a t i o n s i n ( 2 . 5 . 1 4 ) i s o l a t e f r o m t h e g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s a n d d e c o m p o s e t h e m i n t o t h e i r r e s p e c t i v e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a n d p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e e q u a t i o n s i n ( 2 . 5 . 1 5 ) i s o l a t e t h e n o n r i s k c o m p o n e n t s a n d d e c o m p o s e t h e m i n t o t h e i r r e s p e c t i v e t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d p u r e i n c o m e e f f e c t s . T h e e q u a t i o n s i n ( 2 . 5 . 1 6 ) p r o v i d e t w o d i f f e r e n t w a y s o f g r o u p i n g t h e s e f o u r d i s t i n c t e f f e c t s w h i c h c o n s t i t u t e t h e t o t a l u n c o m p e n s a t e d c o n s u m e r ’ s r e s p o n s e t o a n e x p e c t e d c h a n g e i n a r a n d o m p r i c e : e i t h e r a l o n g t h e s u b s t i t u t i o n / i n c o m e d i m e n s i o n , o r a l o n g t h e r i s k / n o n r i s k d i m e n s i o n . N a t u r a l l y , t h e r i s k t e r m s d i s a p p e a r i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y a n d t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e d u c e s t o t h e o n e s f o u n d i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y . T h e c o n s u m e r ’ s i n d i f f e r e n c e t o p r i c e u n c e r t a i n t y ( i . e . , i n s e n s i t i v i t y o f o p t i m a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s t o p r i c e u n c e r t a i n t y ) c a n o c c u r i n t w o s i t u a t i o n s a ) w h e n t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a n d r i s k a v e r s i o n e f f e c t s a r e a l l i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o , a n d b ) w h e n t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a n d r i s k a v e r s i o n e f f e c t s c a n c e l e a c h o t h e r r e s p e c t i v e l y . I n b o t h c a s e s , t h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s w i l l b e e q u a l t o Z C I ' O . 7 1 2 . 6 M e a s u r e s o f p r i c e , e x p e n d i t u r e , a n d p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s A t t h i s l e v e l o f g e n e r a l i t y , e x c e p t f o r t h e n e g a t i v i t y o f t h e o w n p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s , t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s d e r i v e d a b o v e c a n n o t t h e o r e t i c a l l y d e t e r m i n e t h e s i g n s o f t h e v a r i o u s e f f e c t s w i t h o u t f u r t h e r r e s t r i c t i o n s o n p r e f e r e n c e . F u r t h e r m o r e , t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e s e r e s u l t s i s o n l y o f q u a l i t a t i v e v a l u e , i n t h e s e n s e t h a t o n l y t h e d i r e c t i o n o f c h a n g e c a n p o s s i b l y b e i n f e r r e d f r o m t h e r e s u l t s . T o g o b e y o n d t h i s q u a l i t a t i v e a s s e s s m e n t , o n e n e e d s t o n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e a n d e s t i m a t e t h e m a g n i t u d e s o f t h e s e v a r i o u s e f f e c t s . I n t h e d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y , t h e q u a n t i t a t i v e a s s e s s m e n t o f t h e s e v a r i o u s e f f e c t s a r e u s u a l l y a n d c o n v e n i e n t l y p r e s e n t e d i n t e r m s o f e l a s t i c i t i e s w h i c h m e a s u r e t h e p e r c e n t a g e c h a n g e s i n d e m a n d s c o r r e s p o n d i n g t o o n e p e r c e n t c h a n g e i n p r i c e s o r e x p e n d i t u r e . T h e q u e s t i o n t h a t a r i s e s t h e n i s , h o w w o u l d w e n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e a n d i n t e r p r e t e l a s t i c i t i e s i n t h i s u n c e r t a i n t y c o n t e x t ? B u t , f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e a l r e a d y h a v e n u m e r i c a l m e a s u r e s o f t h e v a r i o u s r i s k a n d n o n r i s k e f f e c t s r e s u l t i n g f r o m a " c h a n g e " i n a r a n d o m p r i c e . H e n c e , i f w e a p p r o p r i a t e l y " n o r m a l i z e " t h e s e n u m e r i c a l m e a s u r e s w e h a v e e l a s t i c i t y m e a s u r e s i n a w a y s i m i l a r t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e : t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n d e m a n d c o r r e s p o n d i n g t o o n e p e r c e n t c h a n g e i n p r i c e . T h e o n l y d i f f e r e n c e i s t h e m e a n i n g a t t a c h e d t o t h e w o r d " p e r c e n t a g e c h a n g e " . W h i l e i n t h e d e t e r m i n i s t i c c o n t e x t t h e m e a n i n g i s g o v e r n e d b y t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e , i n t h i s c o n t e x t t h e m e a n i n g o f " p e r c e n t a g e c h a n g e " i s g o v e r n e d b y t h e m e t r i c fl I I 2 d e fi n e d i n L 2 “ ) , R ) . M o r e o v e r , a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 2 . 5 , u n d e r t h i s m e t r i c a n d g i v e n o u r i d e n t i fi c a t i o n o f c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s w i t h t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E , w e c a n a l w a y s i n t e r p r e t a " p e r c e n t a g e c h a n g e i n a r a n d o m v a r i a b l e " a s a m r c e n t a g e g p e c t e d c h a n g e i n t h e r a n d o m v a r i a b l e . H e n c e , i n t h i s f r a m e w o r k e l a s t i c i t i e s a r e i n t e r p r e t e d 7 2 a s : t h e p e r c e n t a g e e x p e c t e d c h a n g e i n d e m a n d s r e s u l t i n g f r o m o n e p e r c e n t e x p e c t e d c h a n g e i n a p r i c e . 7 0 2 . 6 . 1 E l a s t i c i t y m e a s u r e s f o r m a r g i n a l c h a n g e i n r a n d o m p r i c e s T o g e t n u m e r i c a l e l a s t i c i t y m e a s u r e s f o r t h e v a r i o u s e f f e c t s o n t h e d e m a n d f o r c o m m o d i t y i f o l l o w i n g a " m a r g i n a l " e x p e c t e d c h a n g e i n t h e p r i c e o f c o m m o d i t y j , a l l w e n e e d i s t o a p p r o p r i a t e l y n o r m a l i z e t h e r y ’ s a n d t g ’ s d e fi n e d a b o v e . T h e n a t u r a l c h o i c e f o r t h i s n o r m a l i z a t i o n i s t o d i v i d e t h e m r e s p e c t i v e l y b y I I x 1 - I I x I I p } . I I = J E T } — x J E T f - t h e p r o d u c t o f t h e n o r m s o f x , - a n d p , - i n L 2 “ ) , R ) . H e n c e , f o r t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s t h e e l a s t i c i t i e s a r e : 7 1 a , a . , 6 . 3 - ’ 5 1 X c o v [ [ _ x . ‘ § . . , 1 ) - p J + # o x j ( p , m ) - p j , p l ] ( 2 - 6 + 1 ) « E x t ? ) ( 1 / E p j 2 p i F o r t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s t h e e l a s t i c i t i e s a r e : . 1 . 1 3 x . m ) e i j a — x c o v [ _ " ( , : : n _ o x , ( p , m ) ‘ p j , p l ] ( 2 . 6 . 2 ) « E x , 2 x E p j 2 T h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s a r e h e n c e : 7 " W e r e c a l l a g a i n t h e b e h a v i o r a l a n d m a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n a n e x p e c t e d c h a n g e i n a r a n d o m v a r i a b l e a n d a c h a n g e i n t h e e x p e c t e d v a l u e o f a r a n d o m v a r i a b l e . 7 ' W e r e c a l l t h a t b y t h e s e l f - d u a l p r o p e r t y o f L 2 “ ) , R ) w e c a n i d e n t i f y l i n e a r c o n t i n u o u s f o r m s d e fi n e d o n L , ( 0 , R ) w i t h i t s e l e m e n t s . 7 3 e - - = 6 , } + 6 ; , - i , j = 1 , . . . , n . ( 2 - 6 - 7 ) l X « ' 3 Q < a . , . r , = 1 [ ‘ 1 ‘ ” ” 0 1 , 1 , , p l ] z g s . e r r " ( 2 . 6 . 3 ) E x , 2 X ‘ l E p j 2 S i m i l a r l y , t h e t a s t e s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s a n d t h e e l a s t i c i t y m e a s u r e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p u r e i n c o m e e f f e c t w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e n o n r i s k e f f e c t s a r e r e s p e c t i v e l y : B X - . 3 - . 6 : 3 5 1 X E fl - p . + M o x . ( p , m ) - p . X E p . ( 2 - 6 - 4 ) 1 2 2 3 p 1 a m 1 I 1 « E x , X ‘ / E p j 1 6 x . , m 5 : ) ? " = - 1 x E [ _ % l . ) m _ _ l o x j ( p , m ) ' p j ] X E p j . ( 2 , 6 , 5 ) « E x t . 2 X ‘ l E p j 2 a n d a ’ m t : ( m e ; - = - — : l X E j i g — 2 p ] X E p j = 6 , , - + 6 , , - ( 2 - 6 - 6 ) ‘ / E x , . 2 X ‘ / E p j 2 p , T h e o v e r a l l p r i c e e l a s t i c i t i e s o f d e m a n d w h i c h i n c l u d e s a l l e f f e c t s a r e h e n c e : 1 ] T h e e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t i e s c a n b e c o m p u t e d a s : 1 7 1 ‘ 1 x a x , ( p , m ) = m x a x , ( p , m ) I x , l a m E x ? a m I i = 1 , . . . , n . ( 2 . 6 . 8 ) T h e s e c o n d e q u a l i t y f o l l o w s f r o m o u r i d e n t i fi c a t i o n o f l i n e a r c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l s f r o m R t o L 2 ( 0 , R ) w i t h e l e m e n t s o f L 2 “ ) , R ) . T h u s , t h e e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t i e s a r e r a n d o m v a r i a b l e s w i t h m e a n s : 7 4 6 1 9 ( 1 ) . m ) E n , 2 x 5 i = 1 , . . . , n . ( 2 . 6 . 9 ) E x } 6 m a n d v a r i a n c e s : 2 a , , v a r [ 1 ) , . ] a _ m _ . X v a r M i = 1 , . . . , n . ( 2 - 6 - 1 0 ) E x , 2 a m W e n o t e h e r e t h a t t h e r i s k e f f e c t s a r e i r r e l e v a n t b e c a u s e t h e p r e d e t e r m i n e d t o t a l e x p e n d i t u r e m i s n o t r a n d o m . T h e s i g n s a n d r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e m e a n s E n , i = 1 , . . . , n . ( w i t h r e s p e c t t o o n e ) , c a n b e u s e d t o c l a s s i f y t h e c o m m o d i t i e s a s u s u a l i n t o n o r m a l , i n f e r i o r , l u x u r y a n d n e c e s s a r y g o o d s . 7 2 N a t u r a l l y , a l l t h e e l a s t i c i t i e s c o m p u t e d a b o v e r e d u c e t o t h e i r d e t e r m i n i s t i c a n a l o g u e s w h e n t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y . T h e y a r e e a s i l y c a l c u l a t e d w h e n o n e i s g i v e n a d i f f e r e n t i a b l e d e m a n d f u n c t i o n x ( p , m ) . F r é c h e t - d i f f e r e n t i a t i o n i n g e n e r a l B a n a c h s p a c e s f o l l o w s t h e s a m e r u l e s a s i n R n ( a d d i t i v i t y , c h a i n r u l e e t c . . . ) . H o w e v e r , i n t h i s c o n t e x t i t i s i m p o r t a n t t o k e e p t r a c k o f t h e d i f f e r e n t s p a c e s , a n d k e e p i n m i n d t h a t i n g e n e r a l d e r i v a t i v e a r e l i n e a r c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . T h e u s e o f i s o m o r p h i c i d e n t i fi c a t i o n s u s u a l l y s i m p l i fi e s t h e e x p r e s s i o n s a n d / o r n o t a t i o n s . I n c h a p t e r 3 w e w o r k o u t i n d e t a i l e x a m p l e s o f d e m a n d f u n c t i o n a l s , a n d d e r i v e t h e ’ 2 N o t e t h a t , a s e x p l a i n e d i n s e c t i o n 2 . 2 . 7 , i f i n s t e a d i n t e r m o f e x p e c t e d t o t a l e x p e n d i t u r e m , w e w a n t t h e e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t i e s i n t e r m s o f t o t a l e x p e n d i t u r e m w h i c h i s a r a n d o m v a r i a b l e , w e c a n u s e a x , ( p , m ) _ 6 x , ( p , m ) 6 m a m b e i n g t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r , t o g e t t h e r i s k a n d n o n r i s k c o m p o n e n t s o f t h e e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t i e s i n t e r m s o f m : t h e f a c t t h a t m i s l i n k e d t o m b y m = ( l , m ) = E m , a n d t h e f a c t t h a t 0 E , E 3 x . 1 7 ; E E m x c o v [ M , m ] i = 1 , . . . , n . a m { / I K f — x t / T i i n - 2 2 1 ' 7 ; 2 ( E m ) x E F z ‘ J M ] i = 1 , . . . , n . ‘ l E x f X t / T z ‘ r - n - 5 a m 7 5 q , - = u p , + B w i t h a , 5 e 1 : ( 2 . 6 . 1 1 ) c o r r e s p o n d i n g a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s o f a l l t h e e l a s t i c i t i e s . I n c h a p t e r 5 , w e s h o w h o w a l l t h e e l a s t i c i t i e s c a n b e e s t i m a t e d w i t h e x i s t i n g e c o n o m e t r i c m e t h o d s . 2 . 6 . 2 E l a s t i c i t y m e a s u r e s f o r n o n - m a r g i n a l c h a n g e i n r a n d o m p r i c e s A s i n d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y , t h e e l a s t i c i t i e s c o m p u t e d a b o v e a r e v a l i d o n l y f o r " s m a l l " m a r g i n a l c h a n g e s i n p r i c e s a n d e x p e n d i t u r e . T h e i s s u e o f , t o w h a t e x t e n t a " c h a n g e " i n p r i c e s t h a t a r e r a n d o m c a n b e c o n s i d e r e d a s m a r g i n a l , b e c o m e s e v e n m o r e i m p o r t a n t i n t h i s u n c e r t a i n t y c o n t e x t . F o r s i m p l i c i t y , w e w i l l c o n s i d e r o n l y f o u r t y p e s o f " c h a n g e " i n r a n d o m p r i c e s w h i c h a r e o f i n t e r e s t f o r t h e e v a l u a t i o n o f t h e i m p a c t s o f p o l i c i e s : ( i ) L i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f 1 ) , . T h a t i s , t h e " c h a n g e " i n t h e p r i c e o f t h e f “ c o m m o d i t y f r o m p , - t o q , - c a n b e w r i t t e n a s T h i s t y p e o f " c h a n g e " i s v e r y c o m m o n a n d c h a r a c t e r i z e s p r i c e c h a n g e s l i k e t h o s e i n d u c e d b y s a l e t a x , t a r i f f , e t c . . . . ( i i ) P i e c e - w i s e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f 1 ) , . T h a t i s , t h e " c h a n g e " i n t h e p r i c e o f t h e f " c o m m o d i t y f r o m p j t o q , c a n b e w r i t t e n a s ' a i f p j ( w ) > a y p j + 6 i f b S p j ( w ) S o . 8 i f p j ( w ) < b w i t h a , B , y , 6 , a , a n d b E R ( 2 . 6 . 1 2 ) T h i s t y p e o f " c h a n g e " i s a l s o c o m m o n a n d c o r r e s p o n d s t o p r i c e s t a b i l i z a t i o n s c h e m e s , i n s u r a n c e , c a l l a n d p u t o p t i o n s e t c . . . 7 6 3 , 7 ; e , a 1 X C O V [ X , ( q . m ) - X , ( p . l u ( 7 5 x } x , / E ( q j - p j ) 2 x c o v I X , ( p . u ( p . q + m ) ) - X p . . - q ( . m » p . m ) . . 1 1 , - ] 1 1 , - ] ( ( 2 2 . . 6 6 . . 1 1 4 5 ) ) ( i i i ) A d d i t i o n o f " n o i s e " t o p j . T h a t i s : q , - = p j + z } . w i t h z ] . e L , ( n , R ) ( 2 . 6 . 1 3 ) T h i s t y p e o f p r i c e " c h a n g e " i n c l u d e s i n p a r t i c u l a r t h e m o v e f r o m a r e g i m e o f p r i c e c o n t r o l w h e r e p j ( w ) = a E R f o r a l l o r E ( I , t o a l i b e r a l i z e d p r i c e r e g i m e q , - E L 2 6 2 , R ) . I n t h e c l a s s i fi c a t i o n o f M e y e r a n d O r m i s t o n ( 1 9 8 8 ) , t h e fi r s t t w o " c h a n g e s " a r e i n t h e c l a s s o f d e t e r m i n i s t i c t r a n s f o r m a t i o n s w h i l e t h e l a t t e r i s i n t h e c l a s s o f s t o c h a s t i c t r a n s f o r m a t i o n s . T h e fi r s t t y p e o f p r i c e " c h a n g e " c a n b e c o n s i d e r e d m a r g i n a l i f a a n d B a r e s u c h t h a t I I q I . - p 1 . I I = m i s " s m a l l " . I n t h i s c a s e , t h e l o c a l e l a s t i c i t i e s c o m p u t e d a b o v e c a n b e u s e d . T h e t w o o t h e r t y p e s o f p r i c e " c h a n g e s " c a n n o t i n g e n e r a l b e c o n s i d e r e d a s m a r g i n a l . F o r n o n m a r g i n a l " c h a n g e s " i n p r i c e s , e l a s t i c i t y m e a s u r e s c a n b e c o m p u t e d b y a p p r o p r i a t e l y m o d i f y i n g a n d n o r m a l i z i n g t h e i " ; ’ s a n d i ; ’ s d e r i v e d i n t h e g l o b a l c o m p a r a t i v e r i s k s e c t i o n . I t i s e a s i l y s e e n t h a t f o r a " c h a n g e " i n t h e p r i c e o f t h e f “ c o m m o d i t y f r o m p j t o q , e l a s t i c i t y m e a s u r e s o f t h e " c h a n g e s " i n t h e d e m a n d f o r t h e i ' " c o m m o d i t y i s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g q j - p , - w i t h p j i n t h e i , j - ’ s a n d 3 3 ’ s , a n d b y d i v i d i n g b y “ X " X fl q j - P ) “ = W X W . H e n c e , i n a w a y s i m i l a r t o t h e l o c a l m e a s u r e s , t h e e l a s t i c i t i e s f o r t h e v a r i o u s e f f e c t s a r e : ( / E x , 2 X J E ( q j - p j ) 2 - r m 1 7 7 x c o v [ x , . ( q , m ) - x , . ( p . m ) 1 P i ] = E 1 3 5 + 5 1 ) ( 2 . 6 . 1 6 ) - f e a . l U W X V E ( q j ‘ - p j ) 2 r m - 1 . . . l e . ) - s > < E ( X . - ( p . u ( p . q . m ) ) - x 1 ( p . m ) ) > < E p , - ( 2 . 6 . 1 7 ) v E x i z X V E ( q } ' - p j ) 2 - l l ~ l 5 4 m 6 , , a x E ( x , ( q . m ) - x , - ( p . m ) ) > < E p , - = 6 . ) - + 6 1 , ( 2 . 6 . 1 8 ) J E X , ’ X J E m j - p j ) ’ a n d g ” , = g ; + g ; i , j = 1 , . . . , n . ( 1 6 ° 1 9 ) T h e s e e l a s t i c i t i e s a r e g l o b a l i n t h e s e n s e t h a t t h e y a r e v a l i d f o r a l l t y p e s o f p r i c e " c h a n g e s " , i n c l u d i n g t h e m a r g i n a l a n d n o n m a r g i n a l o n e s . T h e i r d i s a d v a n t a g e s c o m p a r e d t o t h e l o c a l e l a s t i c i t y m e a s u r e s d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i s t h a t t h e y r e q u i r e k n o w l e d g e o f b o t h t h e b e f o r e - c h a n g e a n d a f t e r - c h a n g e p r i c e s . 2 . 7 M e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s u n d e r u n c e r t a i n t y F o r a p u r e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l i s a l l t h a t i s n e e d e d t o a s s e s s w e l f a r e c h a n g e s r e s u l t i n g f r o m p o l i c y c h a n g e s t h a t a f f e c t p r i c e s a n d / o r e x p e n d i t u r e . I n p a r t i c u l a r , t h e m o n o t o n i c i t y i n p r i c e s a n d e x p e n d i t u r e p r o p e r t y o f t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l g i v e s t h e d i r e c t i o n o f w e l f a r e c h a n g e f o l l o w i n g a p r i c e / e x p e n d i t u r e c h a n g e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ’ ) . H o w e v e r , t h i s i n f o r m a t i o n i s o n l y o f q u a l i t a t i v e v a l u e b e c a u s e t h e d i f f e r e n c e V ( q , m ’ ) - V ( p , m ) i s a n o r d i n a l m e a s u r e w h i c h d e p e n d s o n t h e c h o i c e o f t h e u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e a n d i s n o t e v e n o b s e r v a b l e . T h u s f o r q u a n t i t a t i v e n u m e r i c a l a s s e s s m e n t s o f w e l f a r e c h a n g e s , i t i s n e c e s s a r y t o c o m e u p w i t h a l t e r n a t i v e m e a s u r e s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f t h e u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e , a n d w h i c h , i f n o t o b s e r v a b l e , c a n a t l e a s t b e c a l c u l a t e d f r o m o b s e r v a b l e d e m a n d d a t a . 7 8 M c K e n z i e ( 1 9 8 3 , p . 2 ) l i s t s t h e f o l l o w i n g fi v e c r i t e r i a t h a t , a c c o r d i n g t o h i m , a n y o p e r a t i o n a l m e a s u r e o f w e l f a r e c h a n g e s s h o u l d s a t i s f y : 7 3 ( 1 ) F o r a n i n d i v i d u a l o r h o m o g e n o u s g r o u p o f i n d i v i d u a l s ( i . e . , a g r o u p p o s s e s s i n g i d e n t i c a l t a s t e s a n d e x p e n d i t u r e l e v e l s ) t h e m e a s u r e m u s t b e c a p a b l e o f r a n k i n g a l l r e l e v a n t p r i c e / q u a n t i t y s i t u a t i o n s a c c o r d i n g t o t h e p r e f e r e n c e s o f . t h e i n d i v i d u a l o r h o m o g e n e o u s g r o u p . ( 2 ) T h e m e a s u r e m u s t t a k e t h e f o r m o f a s i n g l e m e t r i c o r s c a l e . ( 3 ) T h e m e a s u r e o r s c a l e m u s t b e e x p r e s s e d i n m o n e t a r y u n i t s . ( 4 ) T h e w e l f a r e i n d i c a t o r m u s t b e a m e n a b l e t o c a l c u l a t i o n i n t e r m s o f t h e p a r a m e t e r s o f o r d i n a r y , o b s e r v a b l e d e m a n d f u n c t i o n s . ( 5 ) O n c e a n i n d i c a t o r m e e t i n g t h e p r e c e d i n g f o u r c r i t e r i a i s c o n s t r u c t e d , i t m u s t b e s u c h t h a t i t c a n b e a g g r e g a t e d a c r o s s i n d i v i d u a l s o r h o m o g e n e o u s g r o u p s s o a s t o o b t a i n a n o v e r a l l m e a s u r e o f t h e s o c i a l d e s i r a b i l i t y o f t h e p r o j e c t o r p o l i c y u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I n d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y , i t i s k n o w n t h a t t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( E V ) , d e r i v e d f r o m t h e c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n o r m o n e y - m e t r i c u t i l i t y fi m c t i o n , m e e t s a l l fi v e c r i t e r i a ; w h i l e t h e c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n ( C V ) , a l s o d e r i v e d f r o m t h e s a m e c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n , e s s e n t i a l l y f a i l t h e fi r s t c r i t e r i o n ( s e e , f o r e x a m p l e , M c K e n z i e , 1 9 8 3 ; o r V a r i a n , 1 9 8 4 , p p 1 2 2 - 1 2 5 a n d p p 2 6 3 - 2 7 6 ) . I n c o n t r a s t , t h e ( M a r s h a l l i a n ) c o n s u m e r ’ s s u r p l u s o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n g t h e u n c o m p e n s a t e d d e m a n d f u n c t i o n c a n b e a v a l i d m e a s u r e o f w e l f a r e c h a n g e o n l y i f p r e f e r e n c e s a r e h o m o t h e t i c . B u t , h o m o t h e t i c p r e f e r e n c e i s a n u n n e c e s s a r i l y v e r y r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n . T h e o n l y d i s a d v a n t a g e o f E V , C V i s t h a t t h e y a r e h a r d t o g e t b e c a u s e t h e y r e q u i r e t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n o f a f u l l d e m a n d s y s t e m . A n d , e v e n i f a f u l l d e m a n d s y s t e m i s e s t i m a t e d , t h e i r t h e o r e t i c a l p r o p e r t i e s w h i c h m a k e t h e m e c o n o m i c a l l y a p p e a l i n g c a r m o t b e g u a r a n t e e d u n l e s s a l l t h e r e s t r i c t i o n s i m p l i e d b y d e m a n d t h e o r y ( h o m o g e n e i t y , a d d i n g u p , a n d s y m m e t r y a n d n e g a t i v i t y o f t h e S l u t s k y m a t r i x ) a r e i m p o s e d d u r i n g t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n . W h i l e i t i s r e l a t i v e l y e a s y t o i m p o s e t h e fi r s t t h r e e r e s t r i c t i o n s , t h e n e g a t i v i t y o f 7 ’ I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t , w h i l e t h e fi r s t f o u r c r i t e r i a i n v o l v e o n l y p u r e l y t e c h n i c a l p r o b l e m s , t h e fi f t h o n e n e c e s s a r i l y i n v o l v e s v a l u e j u d g m e n t s ( i . e . , i n t e r p e r s o n a l " u t i l i t y " c o m p a r i s o n s ) . 7 9 t h e S l u t s k y m a t r i x i s v e r y d i f fi c u l t t o i m p o s e g l o b a l l y e x c e p t f o r v e r y s i m p l e a n d r e s t r i c t i v e f u n c t i o n a l f o r m s . " D e t a i l e d d e r i v a t i o n s a n d t h e o r e t i c a l p r o p e r t i e s o f E V , C V , a n d t h e a s s o c i a t e d l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y c a n b e f o u n d i n D e a t o n a n d M u e l l b a u e r ( 1 9 8 0 a ) , D i e w e r t ( 1 9 8 1 ) , M c k e n z i e ( 1 9 8 4 ) , a n d V a r i a n ( 1 9 8 4 ) . I n t h e n e x t s e c t i o n s w e w i l l e x t e n d t h e s e m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y a n d s h o w t h a t t h e y p r e s e r v e t h e i r t h e o r e t i c a l e c o n o m i c i n t e r p r e t a t i o n s a n d p r o p e r t i e s . W e w i l l a l s o p r o v i d e m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n a n d m o n e t a r y m e a s u r e s o f r i s k p r e m i u m a n d c o s t o f r i s k . F u r t h e r m o r e , a s f o r t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s a n d e l a s t i c i t i e s , w e w i l l d e c o m p o s e t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e r e s u l t i n g f r o m a " c h a n g e " i n r a n d o m p r i c e s i n t o t w o c o m p o n e n t s . O n e b e i n g t h e r i s k p r e m i u m m e a s u r i n g i n m o n e t a r y u n i t s t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) , a n d t h e o t h e r b e i n g t h e c h a n g e i n w e l f a r e t h a t w o u l d o b t a i n i f t h e c o n s u m e r w e r e w e l f a r e - i n d i f f e r e n t t o u n c e r t a i n t y . T h e l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s w i l l a l s o b e d e c o m p o s e d s i m i l a r l y . 2 . 7 . 1 T h e m o n e y - m e t r i c o r c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l s 7 5 A s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , o n e c a n u s e t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l a n d d e fi n e s t w o c o m p e n s a t i o n o r m o n e y - m e t r i c f u n c t i o n a l s : 7 ‘ O n e i s u s u a l l y c o n t e n t t o v e r i f y a f t e r e s t i m a t i o n t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f t h e S l u t s k y m a t r i x a r e n e g a t i v e . H o w e v e r , n e g a t i v i t y o f t h e S l u t s k y m a t r i x a t t h e p o i n t e s t i m a t e s d o e s n o t g u a r a n t e e n e g a t i v i t y w i t h i n t h e r a n g e o f p r i c e s c o n s i d e r e d . 7 ’ T h e f o l l o w i n g d e v e l o p m e n t s a r e e x t e n s i o n s t o u n c e r t a i n t y o f V a r i a n ’ s ( 1 9 8 4 ) t r e a t m e n t o f t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e . T h e c h o i c e o f t h e w e l f a r e i n d i c a t o r s f o l l o w s M c K e n z i e ( 1 9 8 3 ) . 8 0 ( i ) T h e d i r e C t c o m p e n s a t i o n f u M o n n o c ‘ m i ) d ‘ 5 M p E ( : L 2 “ ) , R n ) + + X 1 1 2 “ ) , R n ) + + - ’ R + + . U ( x ) ) w 2 ( i t h : . 7 . 1 ) h ( P J L M ) E E ( p , V ( q , m ) ) ( 2 . 7 . 2 ) u ( p . p . M ) a E ( p , V ( p , m ) ) = 1 1 ( 2 . 7 . 3 ) w h i c h m e a s u r e s t h e m i n i m u m t h e c o n s u m e r f a c i n g p r i c e s p w o u l d n e e d t o s p e n d i n o r d e r t o b e a s w e l l o f f a s c o n s u m i n g t h e c o m m o d i t y b u n d l e x . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s e e f r o m i t s d e fi n i t i o n a n d f r o m t h e p r o p e r t i e s o f t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l , t h a t f o r g i v e n x , M ( . , x ) b e h a v e s l i k e a n e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l , a n d f o r g i v e n p , M ( p , . ) i s j u s t a n o t h e r u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e . ( i i ) T h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l u : L 2 6 ) , R “ ) + + X L 2 ( f l , R " ) + + X R M . 1 R , + w i t h : w h i c h m e a s u r e s t h e m i n i m u m t h e c o n s u m e r f a c i n g p r i c e s p , w o u l d n e e d t o s p e n d i n o r d e r t o b e a s w e l l o f f a s w h e n f a c i n g p r i c e s q a n d s p e n d i n g m ( i . e . , w h e n c o n s u m i n g t h e d e m a n d e d b u n d l e x ( q , m ) ) . A g a i n , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s e e f r o m i t s d e fi n i t i o n a n d f r o m t h e p r o p e r t i e s o f b o t h t h e e x p e n d i t u r e a n d i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l , t h a t f o r g i v e n q a n d m , u ( . , q , m ) b e h a v e s l i k e a n e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l , a n d f o r g i v e n p , p ( p , . , . ) b e h a v e s l i k e a n i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l w i t h : A l s o , f r o m S h e p h a r d ’ s l e m m a ( e q u a t i o n ( 2 3 . 8 ) ) a n d t h e s e c o n d e q u a t i o n i n ( 2 . 3 . 5 ) w e h a v e : 8 1 1 3 p m ” ) : h i p ’ v m i m » = X . - ( p . E ( p . V ( q . m ) ) i = 1 . . . . . n ( 2 . 7 . 4 ) 8 E ( p , V ( I O r , s t a t e d i n t e r m s o f u : a n d ) . m m ) = 6 p x . . ( p , u ( p . q . m » i = 1 . . . . . n ( 2 . 7 . 5 ) 1 ' w h e r e h a n d x a r e t h e H i c k s i a n a n d M a r s h a l l i a n d e m a n d f u n c t i o n a l s r e s p e c t i v e l y . T h e e q u a t i o n s i n ( 2 . 7 . 5 ) a r e k n o w n i n s t a n d a r d c o n s u m e r t h e o r y a s t h e " i n t e g r a b i l i t y e q u a t i o n s " . I t r e p r e s e n t s a s y s t e m o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n a a n d p w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n g i v e n b y t h e i d e n t i t y h ( q , q , m ) = m . T h i s l e a d s t o t h e p r a c t i c a l q u e s t i o n o f , w h e n a n d h o w i s i t p o s s i b l e t o s o l v e t h e s y s t e m o f p a r t i a l d e f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n u , w i t h t h e o n l y k n o w l e d g e o f t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d f u n c t i o n a l s ? T h i s i s t h e " i n t e g r a b i l i t y p r o b l e m " . F o r t h e i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , t h e p r o b l e m w a s s o l v e d b y B e r g e r a n d M e y e r s ( 1 9 6 6 ) , a n d B e r g e r ( 1 9 7 1 ) w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e s w h i c h i n c l u d e o u r c h o i c e s p a c e . 7 6 H e n c e , u n d e r s o m e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s a s o l u t i o n w i l l e x i s t s o t h a t k n o w l e d g e o f t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d f u n c t i o n a l a l l o w s t o r e c o v e r i t , w h i c h w i l l b e i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f t h e u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f a . I n g e n e r a l , a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r u i s d i f fi c u l t t o o b t a i n . H o w e v e r , n u m e r i c a l a n a l y s i s m e t h o d s c a n b e u s e d t o n u m e r i c a l l y s o l v e f o r i t . S i n c e t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l I t i n v o l v e s o n l y o b s e r v a b l e v a r i a b l e s a n d i s i n d e p e n d e n t o f a n y c h o i c e o f u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e , i t i s n o t a s u r p r i s e t h a t i t i s t h e b a s i s o f o p e r a t i o n a l m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s . 7 ‘ A c o m p l e t e t r e a t m e n t f o r t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e i s p r o v i d e d b y H u r w i c z a n d U z a w a ( 1 9 7 1 ) , a n d B e r g e r a n d M e y e r s ( 1 9 7 1 ) . 8 2 E V E u ( p . q . m ' ) - u ( p . p . m ) = u ( p , q , m ' ) - m ( 2 - 7 - 8 ) 2 . 7 . 2 T h e e q u i v a l e n t a n d c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n s u n d e r u n c e r t a i n t y B y p r o p o s i t i o n 2 . 3 . 6 , f o r g i v e n p , E ( p , , . ) i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f u t i l i t y u . T h u s , w e h a v e : V ( q , m ’ ) . > . V ( p , m ) i f a n d o n l y i f E ( p o , V ( q , m ' ) ) _ > _ E ( p o , V ( p , m ) ) ( 2 . 7 . 6 ) o r s t a t e d i n t e r m s o f t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l : V ( q , m ' ) 2 V ( p , m ) i f a n d o n l y i f p ( p 0 , q , m ' ) 2 p ( p o , p , m ) ( 2 . 7 . 7 ) H e n c e , t h e r e i s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n c h a n g e s i n V a n d c h a n g e s i n u w i t h t h e s i g n s o f u ( p . , q , m ’ ) - u ( p . , p , m ) a n d V ( q , m ’ ) — V ( p , m ) b e i n g t h e s a m e f o r a n y g i v e n b a s e p r i c e p . . I n o t h e r w o r d s , m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s b a s e d o n c h a n g e s i n t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l a r e c o n s i s t e n t w i t h m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s b a s e d o n c h a n g e s i n t h e m o n e y - m e t r i c o r i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l ? 7 T h e r e a r e t w o k n o w n m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s t h a t a r e b a s e d o n t h e d i f f e r e n c e M P » ( 1 + m ' ) - M P » P 1 m ) : ( i ) T h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( E V ) . I t i s d e fi n e d b y t a k i n g a s b a s e p r i c e p . 1 5 p . T h a t i s : E V m e a s u r e s t h e c h a n g e i n e x p e n d i t u r e s , m e a s u r e d a t i n i t i a l p r i c e p , r e q u i r e d i n o r d e r t o l e a v e a c o n s u m e r h a v i n g e x p e n d i t u r e m ' a n d f a c i n g t h e n e w p r i c e v e c t o r q , a s w e l l o f f a s ' w h e n c o n s u m i n g t h e d e n u n d e d b u n d l e x ( p , m ) . I t i s u s u a l l y c o n s i d e r e d a s a m e a s u r e o f " w i l l i n g n e s s t o p a y " . 7 ’ N o t e t h a t s i n c e t h e i n d i r e c t u t i l i t y a n d c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l s a r e r e a l v a l u e d , t h e m e a n i n g o f t h e w o r d " c h a n g e " i n t h e i r v a l u e s i s t h e s a m e a s u s u a l . 8 3 ( i i ) T h e c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n ( C V ) . I t i s d e fi n e d b y t a k i n g a s b a s e p r i c e p . 5 q . T h a t i s : C V E u ( q . q , m ’ ) - h ( q . P . m ) = " 1 ' - h ( q . p . M ) ( 2 ° 7 3 ) C V m e a s u r e s t h e c h a n g e i n e x p e n d i t u r e s , m e a s u r e d a t t h e n e w p r i c e q , n e e d e d f o r a c o n s u m e r w i t h e x p e n d i t u r e m ’ a n d f a c i n g t h e n e w p r i c e q , t o m a i n t a i n t h e s a m e l e v e l o f s a t i s f a c t i o n a s w h e n c o n s u m i n g t h e p r e v i o u s l y d e m a n d e d b u n d l e x ( p , m ) . A l t h o u g h t h e E V a n d C V c a n t a k e d i f f e r e n t v a l u e s b e c a u s e o f t h e d i f f e r e n c e i n t h e b a s e p r i c e , w e s e e f r o m a b o v e t h a t t h e y a l w a y s h a v e t h e s a m e s i g n : t h e s i g n o f V ( q , m ' ) - V ( p , m ) . 2 . 7 . 3 L i v i n g s t a n d a r d s a n d C o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y T h e c h a n g e s i n w e l f a r e a s m e a s u r e d b y t h e C V o r E V c a n a l s o b e e x p r e s s e d i n p e r c e n t a g e t e r m s b y c a l c u l a t i n g E V / m a n d C V / m ’ w h i c h a r e n o r m a l i z a t i o n s b y t h e r e s p e c t i v e b a s e e x p e n d i t u r e s . T h e s e n o r m a l i z a t i o n s g i v e u n i t - f r e e m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s , a n d , l i k e p r i c e a n d e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t y m e a s u r e s o f d e m a n d , f a c i l i t a t e c o m p a r i s o n s a c r o s s c o n s u m e r s o f d i f f e r e n t e x p e n d i t u r e l e v e l s ( i n t e r m s o f h o w t h e y a r e r e l a t i v e l y a f f e c t e d b y t h e p o l i c y c h a n g e ) . S u c h i n f o r m a t i o n i s o f t e n m o r e u s e f u l t h a n t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e o b t a i n e d b y a g g r e g a t i n g t h e d i f f e r e n t i n d i v i d u a l w e l f a r e c h a n g e s . T h e e x p r e s s i o n i n p e r c e n t a g e t e r m s a l s o s h o w s d i r e c t l y h o w t h e E V a n d t h e C V a r e r e l a t e d t o t h e n u m e r o u s p r i c e a n d q u a n t i t y i n d i c e s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d a s m e a s u r e s o f l i v i n g s t a n d a r d s o r c o s t - o f - l i v i n g . I n d e e d f r o m t h e d e fi n i t i o n o f E V w e h a v e : § X = fl fl fl l q = Q A - 1 = . ' . " _ ' x _ l _ - l ( 2 . 7 . 1 0 ) m m m P M w h e r e Q I 5 3 % = E Y E — m i s b y d e fi n i t i o n t h e A l l e n q u a n t i t y i n d e x , w h i c h i s I m ' m = i s t h e u ( p , q , m ’ ) E V + m a p r e f e r e n c e - b a s e d m e a s u r e o f l i v i n g s t a n d a r d ; a n d P M I M c K e n z i e - P e a r c e p r i c e i n d e x w h i c h i s a p r e f e r e n c e - b a s e d m e a s u r e o f c o s t o f l i v i n g . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e A l l e n ’ s q u a n t i t y i n d e x a n d t h e M c K e n z i e - P e a r c e p r i c e i n d e x i s t h a t t h e f o r m e r i s o b t a i n e d t h r o u g h a n o r m a l i z a t i o n o f E V b y m . I t t a k e s i n t o a c c o u n t c h a n g e s i n b o t h p r i c e s a n d e x p e n d i t u r e ( m a k i n g i t a t r u e i n d i c a t o r o f " r e a l i n c o m e " ) . T h e l a t t e r o n t h e o t h e r h a n d i s o b t a i n e d t h r o u g h a n o r m a l i z a t i o n o f E V b y m ' . I t a d j u s t s t h e e x p e n d i t u r e c h a n g e t o t a k e i n t o a c c o u n t o f o n l y c h a n g e s i n p r i c e s ( m a k i n g i t a t r u e i n d i c a t o r o f c o s t - o f - l i v i n g ) . 7 8 M c k e n z i e a n d P e a r c e ( 1 9 7 6 ) p r o p o s e d t h e i r c o s t - o f - l i v i n g i n d e x a r g u i n g t h a t i t i s t h e o n e t h a t t h e A l l e n q u a n t i t y i n d e x s h o u l d b e p a i r e d w i t h , i n s t e a d o f t h e c o m m o n l y u s e d K o n i i s c o s t - o f - l i v i n g i n d e x . T h e K o n i i s c o s t - o f - l i v i n g i n d e x c a n b e d e r i v e d f r o m t h e C V b y u s i n g t h e f a c t t h a t : 2 ‘ } . 4 4 : 1 2 : 1 2 = 1 - _ ’ " _ , x p , ( 2 . 7 . 1 1 ) m m m w h e r e P K I " ( q ; n p , m ) = m ’ ; n C V i s b y d e fi n i t i o n t h e K o n i ' l s c o s t - o f - l i v i n g i n d e x . T h e p a i r i n g ( P M , Q 4 ) s a t i s fi e s t w o e s s e n t i a l p r o p e r t i e s t h o u g h t t o b e n e c e s s a r y f o r a n y g o o d a n d e c o n o m i c a l l y m e a n i n g f u l p a i r o f q u a n t i t y / p r i c e i n d e x n u m b e r s ( M a c K e n z i e ; 1 9 8 3 , c h a p t e r 7 ) : 7 ’ I n c o n t r a s t , t h e e a s i l y c o n s t r u c t e d a n d c o m m o n l y u s e d l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c a t o r s s u c h a s " r e a l i n c o m e " , s t a t i s t i c a l l y c o n s t r u c t e d q u a n t i t y a n d p r i c e i n d i c e s ( b a s e d o n t h e L a s p e y r e s o r P a a s c h e f o r m u l a , o r s i m p l y o n c o m m o d i t i e s s h a r e s w e i g h t e d p r i c e a v e r a g e s ) a r e n o t g o o d e c o n o m i c m e a s u r e s o f l i v i n g s t a n d a r d s a n d c o s t - o f - l i v i n g . T h i s i s b e c a u s e t h e s e e a s i l y c o n s t r u c t e d i n d i c e s b y n o t i n c o r p o r a t i n g s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s d o n o t t a k e i n t o a c c o u n t i n d i v i d u a l p r e f e r e n c e s . I t i s o n l y w h e n t h e s u b s t i t u t i o n e f f e c t i s z e r o t h a t t h e L a s p e y r e s a n d P a a s c h e q u a n t i t y a n d p r i c e i n d i c e s a r e e q u a l t o t h e t r u e l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s r e s p e c t i v e l y . Z e r o s u b s t i t u t i o n e f f e c t o c c u r s o n l y w i t h a l i n e a r c o s t f u n c t i o n w h i c h i s g e n e r a t e d b y a L e o n t i e f u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m ( r i g h t - a n g l e i n d i f f e r e n c e c u r v e s ) . 8 5 fl ( P + q t m ' ) X fl ( q . p , M ) = m e ’ ( 2 . 7 . 1 3 ) ( i ) T h e t r a n s i t i v i t y c r i t e r i o n : F o r g i v e n m ’ , Q i s a m o n o t o n i c , i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f V ( q , m ’ ) a n d P M i s a m o n o t o n i c , d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f V ( q , m ’ ) . T h a t i s , t h e q u a n t i t y i n d e x m e a s u r i n g t h e " r e a l i n c o m e " s h o u l d b e d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e l e v e l o f w e l f a r e a n d t h e p r i c e i n d e x m e a s u r i n g t h e c o s t - o f - l i v i n g s h o u l d b e i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h e l e v e l o f w e l f a r e . ( i i ) T h e w e a k f a c t o r r e v e r s a l c r i t e r i o n : Q 4 4 ) ” _ — _ 1 ; ? ( 2 . 7 . 1 2 ) T h e c r i t e r i o n r e q u i r e s t h a t t h e p r o d u c t o f t h e q u a n t i t y a n d p r i c e i n d i c e s b e e q u a l t o t h e r a t i o o f t h e e x p e n d i t u r e s . T h i s i s f o r c o n s i s t e n c y . O n t h e o t h e r h a n d , M c K e n z i e ( 1 9 8 3 ) s h o w s t h a t t h e p a i r i n g ( P K , Q A ) w o u l d s a t i s f y e i t h e r c r i t e r i o n i f a n d o n l y i f p r e f e r e n c e s a r e h o m o t h e t i c ; t h a t i s , i f a n d o n l y i f B u t s u c h a c o n d i t i o n i s u n n e c e s s a r i l y r e s t r i c t i v e . M o r e o v e r , t h e f a c t t h a t t h e K o n i i s P r i c e i n d e x i s b a s e d o n t h e c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n w h i c h u s e s t h e a f t e r - c h a n g e p r i c e s a s a b a s i s f o r v a l u i n g t h e w e l f a r e c h a n g e , m a k e s i t m o r e d i f fi c u l t t o c o m p a r e m o r e t h a n t w o a l t e r n a t i v e s . M c K e n z i e a l s o r e v i e w e d s e v e r a l o t h e r q u a n t i t y a n d p r i c e i n d i c e s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d . N o n e o f t h e m h a d t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s . F i n a l l y , t o c o n c l u d e t h i s s e c t i o n o n i n d e x n u m b e r s , w e n o t e t h a t t h e y a r e o f t e n m i s l e a d i n g l y d i s c u s s e d i n t h e a p p l i e d b e n e fi t / c o s t a n a l y s i s l i t e r a t u r e a s i f t h e y c o n s t i t u t e a n a p p r o a c h t o m e a s u r i n g e c o n o m i c w e l f a r e d i f f e r e n t f r o m t h e o n e b a s e d o n t h e m o n e y - m e t r i c o r c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l . B u t i t s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e a b o v e r e l a t i o n s h i p s , t h a t t h e E V , C V a n d i n d e x n u m b e r s a r e j u s t d i f f e r e n t s c a l i n g m e t h o d s o r w a y s o f p r e s e n t i n g t h e s a m e q u a n t i fi a b l e i n f o r m a t i o n e m b o d i e d i n t h e c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l . 8 6 2 . 7 . 4 M e a s u r e s o f t h e s e n s i t i v i t y o f t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e t o p r i c e - r i s k I n s e c t i o n 2 . 5 w e h a v e f o l l o w e d K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) a n d d i s t i n g u i s h e d t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e t w o r e l a t e d c o n c e p t s o f r i s k a v e r s i o n ( " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) a n d p r u d e n c e o r p r e c a u t i o n ( " r e a c t i o n " t o u n c e r t a i n t y ) , b e c a u s e t h e fi r s t c o n c e p t r e l a t e t o t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e w e l f a r e t o u n c e r t a i n t y a n d t h e s e c o n d o n e t o t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s t o u n c e r t a i n t y . W e h a v e a l r e a d y a n a l y z e d t h e s e n s i t i v i t y o f e x - a n t e o p t i m a l c h o i c e s t o u n c e r t a i n t y i n t h a t s e c t i o n a n d i d e n t i fi e d a n d s e p a r a t e d t h e c o n s u m e r ’ s p r e c a u t i o n a r y r e s p o n s e t o u n c e r t a i n t y f r o m u s u a l t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e e f f e c t s . I n t h i s s e c t i o n w e c o m p l e t e o u r a n a l y s i s o f c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r u n d e r u n c e r t a i n t y b y a n a l y z i n g a n d fi n d i n g m e a s u r e s o f t h e s e n s i t i v i t y o f t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e t o p r i c e u n c e r t a i n t y . D e fi n i n g t h e r i s k p r e m i u m i n t h e m a n y - c o m m o d i t y c a s e a n d fi n d i n g e c o n o m i c a l l y m e a n i n g f u l m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n h a v i n g t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s a n a l o g o u s t o t h e o n e - n / / ( X ) c o m m o d i t y A r r o w - P r a t t m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n : r ( x ) I - / ( ) , w h e r e u ( x ) i s t h e u t i l i t y o f u x m o n e y i n c o m e o r w e a l t h x , i s n o t a n o b v i o u s t a s k . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e i n a n o n - e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k . W i t h i n t h e e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k , m a n y - c o m m o d i t i e s g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e A r r o w - P r a t t m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n h a v e b e e n p r o p o s e d b y K h i l s t r o m a n d M i r m a n ( 1 9 7 4 ) , D u n c a n ( 1 9 7 7 ) , a n d K e r n i ( 1 9 7 9 ) . T h e K h i l s t r o m a n d M i r m a n m e a s u r e i s a s c a l a r b a s e d o n t h e d i r e c t u t i l i t y w h i l e D u n c a n a n d K e r n i ’ s m e a s u r e s a r e m a t r i x m e a s u r e s b a s e d r e s p e c t i v e l y o n t h e d i r e c t u t i l i t y a n d t h e i n d i r e c t u t i l i t y . T h e y a l l j u s t i f y t h e i r p r o p o s e d m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n b y r e l a t i n g t h e m t o s o m e m e a s u r e o f r i s k p r e m i u m . A v e c t o r o f r i s k p r e m i u m , o n e f o r e a c h c o m m o d i t y , f o r K h i l s t r o m a n d M i r m a n , a n d D u n c a n ; a n d a s c a l a r m e a s u r e b a s e d o n t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n f o r K e r n i . S i n c e r i s k a v e r s i o n t o p r i c e u n c e r t a i n t y i s a b o u t t h e s e n s i t i v i t y o f t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e t o p r i c e - r i s k , m e a s u r e s o f i t a n d o f t h e i m p l i e d r i s k p r e m i u m m e a s u r i n g t h e 8 7 " e q u i v a l e n t " c h a n g e i n w e l f a r e c a n b e b a s e d o n a s c a l a r m e a s u r e o f h o w c h a n g e s i n t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l f o l l o w i n g c h a n g e s i n r a n d o m p r i c e s a r e r e l a t e d t o t h e v a r i a b i l i t y o f p r i c e s . B u t , s u c h m e a s u r e s a l t h o u g h p e r f e c t l y a d e q u a t e f o r t h e o r e t i c a l p u r p o s e s , w i l l n o t b e o p e r a t i o n a l b e c a u s e t h e i r u n i t s w i l l b e i n u t i l i t y t e r m s . H e n c e , g i v e n t h e o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n c h a n g e s i n t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l a n d c h a n g e s i n t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l a s s h o w n b y ( 2 . 7 . 7 ) , i t i s p r e f e r a b l e t o b a s e t h e m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n a n d r i s k p r e m i u m o n a s c a l a r m e a s u r e o f h o w c h a n g e s i n t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l , f o l l o w i n g c h a n g e s i n r a n d o m p r i c e s , a r e r e l a t e d t o t h e v a r i a b i l i t y o f p r i c e s . S u c h a s c a l a r m e a s u r e a l l o w s t h e m e a s u r e m e n t o f t h e r i s k p r e m i u m i n m o n e t a r y u n i t s . W e w i l l d e r i v e fi r s t t h e s c a l a r m e a s u r e o f t h e r i s k p r e m i u m , a n d d e r i v e f r o m i t a m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n . 2 . 7 . 4 . 1 M e a s u r e s o f r i s k p r e m i a A s i n t h e c a s e o f t h e m e a s u r e m e n t o f t o t a l w e l f a r e c h a n g e , t w o m e a s u r e s o f r i s k p r e m i u m c a n b e o b t a i n e d d e p e n d i n g o n t h e c h o i c e o f t h e b a s e p r i c e u s e d t o e v a l u a t e t h e c h a n g e i n t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l . I f t h e b e f o r e - c h a n g e p r i c e v e c t o r i s u s e d a s b a s e p r i c e w e g e t a n u n c e r t a i n t y a n a l o g u e o f t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n w h i c h c o r r e s p o n d s t o w h a t K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) a n d P o p e a n d C h a v a s ( 1 9 8 5 ) c a l l t h e e q u i v a l e n t r i s k p r e m i u m a n d t o w h a t P r a t t ( 1 9 6 4 ) c a l l e d t h e a s k i n g p r i c e o f r i s k . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e a f t e r - c h a n g e p r i c e v e c t o r i s u s e d a s b a s e p r i c e w e g e t a n u n c e r t a i n t y a n a l o g u e o f t h e c o m p e n s a t i n g v a r i a t i o n w h i c h c o r r e s p o n d s t o w h a t K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) a n d P o p e a n d C h a v a s ( 1 9 8 5 ) c a l l t h e c o m p e n s a t i n g r i s k p r e m i u m a n d t o w h a t P r a t t ( 1 9 6 4 ) c a l l e d t h e b i d p r i c e o f r i s k . S i n c e t h e d e r i v a t i o n s i n t h e 8 8 s ( D p u ( p , q , m ' ) ~ E D p u ( P , q 1 m ' ) 1 P ' E P ) t w o c a s e s a r e i d e n t i c a l , w e w i l l f o c u s o n t h e e q u i v a l e n t r i s k p r e m i u m t h a t w e s i m p l y c a l l t h e r i s k p r e m i u m . 7 9 F o l l o w i n g t h e s a m e r e a s o n i n g a s i n s e c t i o n 2 . 5 , u n d e r t h e m e t r i c I I I I 2 a s c a l a r m e a s u r e o f h o w c h a n g e s i n t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l , w h e n t h e r a n d o m p r i c e v e c t o r c h a n g e s f r o m p t o q , i s r e l a t e d t o t h e v a r i a b i l i t y o f p r i c e s i s p r o v i d e d b y t h e s c a l a r p r o d u c t o f t h e d e v i a t i o n o f t h e m a r g i n a l c h a n g e i n t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l f r o m i t s e x p e c t e d v a l u e a n d t h e d e v i a t i o n o f t h e v e c t o r o f p r i c e s f r o m i t s e x p e c t e d v a l u e . T h a t i s b y : a u ( p . q . m ) - 6 u ( p . q . m ' ) - § ‘ — — — a n . E T ’ P " 5 " " ( 2 . 1 . 1 4 ) = Z : c o v l a r r o g a n t ) + 9 1 ] i - l p i B u t , g i v e n t h e q u a n t i t y i n v o l v e d i n t h e p r o d u c t s c a l a r , t h i s s c a l a r i s i n t e r m s o f t h e s a m e m o n e t a r y u n i t a s t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l . H e n c e , i t c a n b e u s e d a s t h e m e a s u r e o f t h e r i s k p r e m i u m . H o w e v e r , b e c a u s e o f C o r o l l a r y 2 . 7 . 1 b e l o w , w e w i l l d e fi n e t h e t o t a l r i s k p r e m i u m , c o r r e s p o n d i n g t o a p r i c e / e x p e n d i t u r e c h a n g e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ’ ) a s R ( p , q , m , m ’ ) I - R ( p , q , m , m ' ) . T h e n e g a t i v e s i g n i s t o m a k e i t s i n t e r p r e t a t i o n c o n f o r m t o t h e c o n v e n t i o n t h a t i n t e r p r e t s i t a s t h e p o s i t i v e a m o u n t t h a t t h e c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y t o a v o i d f a c i n g u n c e r t a i n t y , i n s t e a d o f w h a t i s l o s t u n d e r u n c e r t a i n t y . M o r e o v e r , b y u s i n g t h e i n t e g r a b i l i t y e q u a t i o n s i n ( 2 . 7 . 5 ) , w e c a n e x p r e s s e d t h e t o t a l r i s k t o t a l p r e m i u m i n t e r m o f t h e o b s e r v a b l e M a r s h a l l i a n d e m a n d s . T h a t i s , 7 9 M o r e o v e r , g i v e n t h e f a c t t h a t t h e r i s k p r e m i u m i s i n t u i t i v e l y p e r c e i v e d a s a m o n e t a r y m e a s u r e o f " w i l l i n g n e s s t o p a y " f o r n o t h a v i n g t o d e a l w i t h u n c e r t a i n t y , a n a t u r a l c h o i c e f o r i t s o p e r a t i o n a l m e a s u r e i s t o b a s e i t o n t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n w h i c h , i t s e l f , i s a n o p e r a t i o n a l m o n e t a r y m e a s u r e o f " w i l l i n g n e s s t o p a y " , e q u i v a l e n t t o t h e c h a n g e i n w e l f a r e r e s u l t i n g f r o m a p r i c e / i n c o m e c h a n g e . 8 9 R - = — R ( 1 ) + < 1 + m . m ' ) = - Z C O V I X , ( 1 ) . 1 1 ( 9 4 m e . 1 ) . ] = - t r C O V I X ( 1 ) . u ( l ) . q . m ' ) ) , p ] 0 - 7 - 1 5 ) i - ] T h e i n d i v i d u a l o r d i r e c t i o n a l r i s k p r e m i u m s a t t a c h e d r e s p e c t i v e l y t o e a c h c o m m o d i t y c a n a l s o b e d e fi n e d a s : R , a R i ( p . q . m , m ' ) a - c o v [ x , . ( p , u ( p , q , m ' ) ) , p i ] T h u s , R = 1 2 1 R 1 - i - l T h e n e x t r e s u l t , w h i c h f o l l o w s f r o m t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e H i c k s i a n d e m a n d , t e l l s u s t h a t t h e t o t a l r i s k p r e m i u m i s a l w a y s n o n - n e g a t i v e . T h a t i s , a c o n s u m e r w h o s e p r e f e r e n c e s a t i s fi e s a x i o m s A l - A 6 i s a l w a y s w i l l i n g t o p a y a p o s i t i v e r i s k p r e m i u m t o a v o i d h a v i n g t o f a c e t h e u n c e r t a i n t y i n v o l v e d i n a n y p r i c e c h a n g e ( r e g a r d l e s s o f t h e d i r e c t i o n o f t h e p r i c e c h a n g e ) . I n o t h e r w o r d s , u n c e r t a i n t y c a n o n l y r e d u c e w e l f a r e . C o r o l l a r y 2 . 7 . 1 R a - t r c o v { x u ) . u ( p . q . m ' ) ) . 1 ) ] 2 0 _ 2 . 7 . 4 . 2 D i s e n t a n g l e m e n t o f t h e r i s k p r e m i m n f r o m t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e W e c a n u s e t h e s a m e p r o c e d u r e a s t h e o n e u s e d i n t h e d i s e n t a n g l e m e n t o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s i n t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s e q u a t i o n s t o d e c o m p o s e t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o a p r i c e / e x p e n d i t u r e c h a n g e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ' ) i n t o i t s t w o c o m p o n e n t s : o n e b e i n g t h e t o t a l r i s k p r e m i u m m e a s u r i n g t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o p r i c e - r i s k , a n d t h e o t h e r b e i n g t h e n o n r i s k p a r t o f t h e w e l f a r e c h a n g e ( n o t e d T ) w h i c h o b t a i n s w h e n t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e i s n o t a f f e c t e d b y u n c e r t a i n t y . F r o m t h e d e fi n i t i o n s o f t h e i n d i r e c t c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l u a n d o f t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l E w e h a v e : Q ; 5 m = - t i m P . ' _ m ' X t r c o l r e c u o ) l . e ( p . u ( p . q . m ' ) u ( p . q . m ’ ) ) . 1 ) ) ] . p ] = R x p M ( ( 2 2 . . 7 7 . . 1 1 8 9 ) ) u ( l ) + q . m ' ) E E ( l ) . V ( q . m ' ) ) = ( h ( 1 ) . V ( q . r n ' ) ) . 1 ) ) ( 2 . 7 . 1 6 ) = ( X ( p . u ( p . q . m ' ) ) . 1 ) ) = t r c o v { x ( p . u ( 1 ) . q + M ’ ) ) . 1 ) ] + E x ( 1 ) . u ( p . q . m ’ ) ) ' E 1 ) T h u s , E V = t r c o v { x ( p . u ( 1 ) . q . m ’ ) ) . p l + E x ( 1 ) . u ( p . q . m ’ ) ) ° E 1 ) - m ( 2 7 1 7 ) = - R + T 2 . 7 . 4 . 3 R i s k p r e m i u m a n d c o s t - o f - r i s k i n d i c e s T h e t o t a l r i s k p r e m i u m R c a n b e n o r m a l i z e d a n d m a d e u n i t f r e e b y d i v i d i n g i t b y t h e b a s e i n c o m e l e v e l m s o t h a t i t i s i n t e r p r e t e d a s p e r c e n t a g e o f i n c o m e . I n f a c t , t h e n o r m a l i z e d v a l u e o f t h e t o t a l r i s k p r e m i u m i s n o t h i n g e l s e t h a n t h e r i s k c o m p o n e n t i n t h e A l l e n l i v i n g s t a n d a r d i n d e x Q A . H e n c e , t h e n o r m a l i z e d t o t a l r i s k p r e m i u m c a n b e d e fi n e d t o b e t h e r i s k p r e m i u m i n d e x Q A ’ . T h a t i s : S i m i l a r l y , t h e r i s k c o m p o n e n t i n t h e M a c k e n z i e - P e a r c e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x , P M c a n b e d e fi n e d a s t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x 1 ) ; , T h a t i s : — - u ( l ) . q . r n ' ) E X ( 1 ) . u ( 1 ) . q . m ' ) ) ' E l ) ( T + m ) T h e r i s k p r e m i u m i n d e x m e a s u r e s i n r e l a t i v e t e r m s h o w m u c h i n t h e c h a n g e i n l i v i n g s t a n d a r d i s d u e t o r i s k a v e r s i o n , w h i l e t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x m e a s u r e s i n r e l a t i v e t e r m s h o w 9 1 Q ; a . 3 + 1 = _ ’ : _ 1 E x ( p , u ( p , q , m ’ ) ) - E p ( 2 . 7 . 2 0 ) 1 ( = - fi c o v [ x , ( | ) . u ( P 1 q 1 m ' » 1 P , - ] ) ( 2 . 7 . 2 2 ) m u c h i n t h e c h a n g e i n t h e c o s t o f l i v i n g i s d u e t o r i s k a v e r s i o n . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c k t h a t Q ; a n d P , § . a r e n o n - n e g a t i v e a n d b o u n d e d a b o v e r e s p e c t i v e l y b y Q 1 a n d P M . 8 " F o r c o m p l e t e n e s s , w e h a v e t h e n o n r i s k c o m p o n e n t s i n t h e A l l e n l i v i n g s t a n d a r d i n d e x a n d M a c k e n z i e - P e a r c e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x r e s p e c t i v e l y : 1 ) ; , s m ' = m ' , ( 2 . 7 . 2 1 ) T + m E X ( 1 ) . u ( 1 ) . q . m ) ) ' E 1 ) W e n o t e t h a t Q = Q ; - Q A ' , P M = P } , + P , ' , , a n d t h a t b o t h p a i r s ( P , ' , , Q , . ’ ) a n d ( P t h j ) s a t i s f y t h e t r a n s i t i v i t y c r i t e r i o n , w h i l e o n l y t h e p a i r ( P M , Q A ' ) s a t i s f y t h e w e a k f a c t o r r e v e r s a l c r i t e r i o n . T h e f a c t t h a t t h e p a i r ( P g , Q A ’ ) d o e s n o t s a t i s f y ( 2 . 7 . 1 2 ) i s j u s t n a t u r a l s i n c e w e w a n t t h e r i s k i n d i c e s t o b e z e r o i f t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y . 2 . 7 . 4 . 3 A m a t r i x m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n F i n a l l y , t h e m a t r i x R " E R " ( 1 ) . q . m . m ' ) 2 7 2 6 0 1 1 1 4 1 ) . u ( p . q . M ' ) ) . p ] I S i S n l s t n c a n b e d e fi n e d a s a m a t r i x m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n . T h e n , b y d e fi n i t i o n , a c o n s u m e r w i l l b e s a i d t o b e l o c a l l y r i s k a v e r s e a t a p o i n t ( p , q , m , m ’ ) i f a n d o n l y i f R " ( p , q , m , m ' ) i s a ' 0 S i n c e t h e r i s k p r e m i u m a n d t h e r i s k p r e m i u m i n d e x e n t a i l a l o s s i n w e l f a r e b u t a r e r e p o r t e d a s p o s i t i v e v a l u e ( s o a s t o c o n f o r m t o t h e c o n v e n t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n ) , t h e y s h o u l d a l w a y s b e s u b t r a c t e d f r o m t h e r e s p e c t i v e n o n r i s k c o m p o n e n t s i n o r d e r t o g e t t h e E V w h i c h m e a s u r e s t h e ( t o t a l ) w e l f a r e c h a n g e i n m o n e t a r y u n i t s , a n d t h e ( t o t a l ) l i v i n g s t a n d a r d i n d e x r e s p e c t i v e l y . I n c o n t r a s t , s i n c e i t i s a n i n d e x o f c o s t , t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x m u s t a l w a y s b e a d d e d t o t h e n o n - r i s k c o m p o n e n t i n o r d e r t o g e t t h e ( t o t a l ) c o s t - o f - l i v i n g i n d e x . 9 2 p o s i t i v e s e m i - d e fi n i t e m a t r i x . H e o r s h e i s g l o b a l l y r i s k a v e r s e i f a n d o n l y R " ( p , q , m , m ’ ) i s p o s i t i v e s e m i - d e f m i t e a t a l l p o i n t s ( p , q , m , m ’ ) . W i t h t h i s d e fi n i t i o n o f r i s k a v e r s i o n , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s e e t h a t r i s k a v e r s i o n i m p l i e s a p o s i t i v e t o t a l r i s k p r e m i u m . B u t , t h e i m p l i c a t i o n d o e s n o t r u n t h e o t h e r w a y . A l s o , b e c a u s e t h e o f f - d i a g o n a l t e r m s o f R ‘ m a y b e d i f f e r e n t f r o m z e r o , z e r o r i s k p r e m i u m d o e s n o t m e a n t h a t t h e c o n s u m e r i s i n d i f f e r e n t t o u n c e r t a i n t y . I n d i f f e r e n c e t o u n c e r t a i n t y s h o u l d b e m e a s u r e d a s w h e n a l l t h e e l e m e n t s o f R ‘ a r e i d e n t i c a l l y z e r o s . B e c a u s e o f R o y ’ s i d e n t i t y , t h e m a t r i x R ‘ i s c l o s e l y r e l a t e d t o K e r n i ’ s m a t r i x m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n , w h i c h i s b a s e d o n t h e fi r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e m i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n ( d e fi n e d i n t h e o u t c o m e s p a c e ) . A l o n g t h e s a m e l i n e s o n e c a n c o m p a r e t h e r e l a t i v e r i s k a v e r n e s s b e t w e e n t w o c o n s u m e r s b y u s i n g t h e d i f f e r e n c e s o f t h e i r m a t r i x m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n . W e w o u l d d e fi n e a c o n s u m e r I w i t h m a t r i x o f r i s k a v e r s i o n R , ‘ t o b e m o r e r i s k a v e r s e t h a n a c o n s u m e r 2 w i t h m a t r i x o f r i s k a v e r s i o n R z " i f a n d o n l y i f t h e m a t r i x ( R f - R , ‘ ) i s p o s i t i v e s e m i - d e fi n i t e . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t h e n t o s e e t h a t t h e m o r e r i s k a v e r s e c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y a h i g h e r t o t a l r i s k p r e m i u m f o r t h e s a m e c h a n g e i n p r i c e . 2 . 8 C o n c l u s i o n I n c o n c l u s i o n , w e w i l l v e r y b r i e fl y s u m m a r i z e t h e r e s u l t s d e r i v e d i n t h i s c h a p t e r , a n d i n d i c a t e n a t u r a l e x t e n s i o n s o f t h e a n a l y s i s i n t h i s s t a t i c f r a m e w o r k . W e h a v e s t a r t e d w i t h a g e n e r a l m o d e l o f d e c i s i o n m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y w h i c h i s b a s e d o n S a v a g e ’ s ( 1 9 5 4 ) c o n c e p t u a l f r a m e w o r k , a n d w h i c h j u s t i fi e d o u r c h o i c e o f t h e c o n s u m e r ’ s c h o i c e s p a c e . F u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s t h e n e n a b l e d u s t o e x t e n d a l l t h e r e s u l t s o f s t a t i c d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y . I n p a r t i c u l a r , w e 9 3 d e r i v e d a g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s t h a t g e n e r a l i z e s t h e f a m i l i a r d e c o m p o s i t i o n o f t h e e f f e c t s o f a p r i c e c h a n g e i n t o a s u b s t i t u t i o n a n d a n i n c o m e e f f e c t s . M o r e o v e r , t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a n d r i s k a v e r s i o n e f f e c t s w e r e d i s e n t a n g l e d f r o m t h e n o n r i s k t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d p u r e i n c o m e e f f e c t s w h i c h o b t a i n w h e n t h e c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r i s n o t a f f e c t e d b y u n c e r t a i n t y . A l l t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s d e r i v e d a b o v e m a k e r e f e r e n c e o n l y t o o b s e r v a b l e d e m a n d d a t a . N o r e f e r e n c e t o e i t h e r t h e o r i g i n a l p r i m i t i v e c o n c e p t o f p r q ’ e r e n c e o r t o t h e d e r i v e d b u t u n o b s e r v a b l e c o n c e p t o f u t i l i t y i s m a d e . T h u s t h e e m p i r i c a l v a l i d i t y o f t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s s t a t e m e n t s c a n b e t e s t e d . M o r e o v e r , n u m e r i c a l e l a s t i c i t y m e a s u r e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e t o t a l , p r e c a u t i o n a r y r i s k , a n d n o n r i s k e f f e c t s r e s u l t i n g f r o m a n e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s w e r e d e r i v e d . W e h a v e a l s o d e r i v e d m o n e t a r y m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s u n d e r u n c e r t a i n t y a s w e l l a s m o n e t a r y m e a s u r e s o f r i s k p r e m i u m a n d c o s t o f r i s k . A l l t h e s e e l a s t i c i t i e s a n d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e , r i s k p r e m i u m , a n d c o s t o f r i s k c a n b e c a l c u l a t e d f r o m o b s e r v a b l e d e m a n d d a t a . I n c h a p t e r 5 w e s h o w h o w t h e y c a n b e e s t i m a t e d u s i n g e x i s t i n g e c o n o m e t r i c m e t h o d s . W e a l s o o u t l i n e i n c h a p t e r 4 h o w a l l t h e r e s u l t s d e r i v e d i n t h i s c h a p t e r a r e e x t e n d e d t o i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . E x t e n s i o n o f t h e a n a l y s i s i n t h i s c h a p t e r t o t h e c a s e o f r a n d o m i n c o m e s t r e a m , p r o fi t m a x i m i z a t i o n , a n d j o i n t d e t e r m i n a t i o n o f c o n s u m p t i o n a n d p r o d u c t i o n i s n o t d i f fi c u l t a n d i s a l r e a d y a p p a r e n t f r o m t h e f u n c t i o n a l a n a l y s i s s e t t i n g . A n o t h e r e x t e n s i o n o f t h e a n a l y s i s i n t h i s c h a p t e r i s m a d e b y n o t i n g t h a t b y a s i m p l e c h a n g e o f d o m a i n s o f d e fi n i t i o n f o r t h e d i f f e r e n t f u n c t i o n a l s w e h a v e d e r i v e d , w e c a n m o v e f r o m a n a n a l y s i s u s i n g r a n d o m p r i c e s a s a r g u m e n t s o f t h e f u n c t i o n a l s , t o a n a n a l y s i s u s i n g t h e i r p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n a s a r g u m e n t s o f t h e f u n c t i o n a l s . M a c h i n a ’ s ( 1 9 8 3 ) p r e f e r e n c e f u n c t i o n a l c a n t h u s b e d e r i v e d . O n e k e y l i n k b e t w e e n t h e t w o a p p r o a c h e s i s t h e b u d g e t c o n s t r a i n t : ( 1 1 . x ) - I a p ( w ) x ( w ) d P ( w ) = E ( p ‘ x ) = m w h i c h d e p e n d s o n t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n : 1 ) 9 4 w h i c h i n t u r n i n d u c e s F ( p ) , t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e v e c t o r o f p r i c e s p . H o w e v e r , w i t h i n o u r f r a m e w o r k o f s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y , t h e b e h a v i o r a l a n d p s y c h o l o g i c a l i n t e r p r e t a t i o n s o f s t o c h a s t i c d o m i n a n c e c o n c e p t s w i l l b e d i f f e r e n t . I n a d d i t i o n , a s w e a r g u e i n A p p e n d i x 4 , w o r k i n g w i t h c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s i n m u l t i v a r i a t e d e c i s i o n p r o b l e m s i s m a t h e m a t i c a l l y c u m b e r s o m e a n d a t b e s t p r o b l e m a t i c f r o m a b e h a v i o r a l p e r s p e c t i v e . I n c o n t r a s t , r e c o g n i z i n g t h a t t h e d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , e x p e n d i t u r e , a n d c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l s a r e a l l d e p e n d e n t o n t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E ( w h i c h w a s i d e n t i fi e d w i t h t h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s ) a n d t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 3 ’ w h i c h i n d u c e s i t , w e c a n e a s i l y u s e f u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s t o q u a n t i f y ( b o t h a n a l y t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y ) t h e i m p a c t o n b e h a v i o r a n d w e l f a r e o f " c h a n g e s " i n " e x p e c t a t i o n s " a n d " b e l i e f s " . 8 | T h e s e " e x p e c t a t i o n s " a n d " b e l i e f s " i s s u e s w i l l b e d e a l t i n o u r f u t u r e w o r k . I n t h e n e x t c h a p t e r a n d i n c h a p t e r 5 , w e c o n t i n u e t h e s t a t i c a n a l y s i s b y w o r k i n g i n d e t a i l e x p l i c i t e x a m p l e s o f e x p e c t e d a n d " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y p r e f e r e n c e s t o i l l u s t r a t e t h e a b s t r a c t t h e o r y i n t h i s c h a p t e r a n d s h o w h o w i t i s i m p l e m e n t e d i n p r a c t i c e . I n t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 w e f o l l o w t h e p r i m a l a p p r o a c h b y s t a r t i n g w i t h d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l s t h a t a r e m a x i m i z e d t o d e r i v e t h e a s s o c i a t e d d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s , a n d t h e e l a s t i c i t y a n d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e f o r m u l a . I n c o n t r a s t , i n c h a p t e r 5 w e f o l l o w t h e d u a l i t y a p p r o a c h b y s t a r t i n g w i t h t h e i n d i r e c t u t i l i t y o r e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l t o d e r i v e t h e a s s o c i a t e d d e m a n d f u n c t i o n a l s a n d e l a s t i c i t y f o r m u l a . I t i s i n t h i s c h a p t e r w h e r e w e d e a l w i t h s o m e o f t h e e c o n o m e t r i c i s s u e s i n v o l v e d i n t h e e s t i m a t i o n o f d e m a n d s y s t e m s t h a t a r e d e r i v e d u n d e r u n c e r t a i n t y . " T h e d e p e n d e n c e o f t h e d e r i v e d f u n c t i o n a l s o n E a n d S P w e r e n o t m a d e e x p l i c i t b e c a u s e w e w e r e n o t i n t e r e s t e d ' i n t h a t d e p e n d e n c e 1 n t h i s c h a p t e r . 9 5 C H A P T E R 3 E X A M P L E S O F U T I L I T Y F U N C T I O N A L S A N D T H E I M P L I E D R E S T R I C T I O N S O N B E L I E F S , E X P E C T A T I O N S , B E H A V I O R , A N D W E L F A R E 3 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e s p e c i fi c a i m o f t h i s c h a p t e r i s t o w o r k i n d e t a i l t h r o u g h e x a m p l e s o f u t i l i t y a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s a n d d e r i v e t h e i r a s s o c i a t e d M a r s h a l l i a n a n d H i c k s i a n d e m a n d f u n c t i o n a l s a l o n g w i t h t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s ( d e m a n d e l a s t i c i t i e s , m e a s u r e s o f a t t i t u d e t o w a r d r i s k a n d w e l f a r e c h a n g e s ) . I n f a c t , o n e e x a m p l e c o u l d h a v e b e e n s u f fi c i e n t t o i l l u s t r a t e t h e a b s t r a c t t h e o r y o f c h a p t e r 2 . B u t , w e t h o u g h t t h a t w o r k i n g i n d e t a i l , s t e p b y s t e p , t h r o u g h s e v e r a l e x a m p l e s a n d d e r i v i n g t h e n u m e r i c a l e l a s t i c i t i e s n e c e s s a r y f o r a p p l i e d w o r k , m i g h t b e h e l p f u l f o r s o m e o n e n o t u s e d t o c a l c u l u s i n g e n e r a l n o r m e d l i n e a r s p a c e s . I n c h a p t e r 2 w e d e r i v e d g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s ( e q u i v a l e n t t o t h e s y m m e t r y a n d n e g a t i v e s e m i - d e fi n i t e n e s s o f t h e S l u t s k y m a t r i x w h e n d e m a n d s a r e d i f f e r e n t i a b l e ) w h i c h w e s a i d e x h a u s t e d a l l t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e a s s u m p t i o n s o f m o n o t o n i c a n d c o n v e x p r e f e r e n c e s . T h e a d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n s o n p r e f e r e n c e e m b o d i e d i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s w i l l l e a d t o l e s s g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s c o n c l u s i o n s . M o r e o v e r , t h e e x a m p l e s a r e n o t m e r e e x a m p l e s b e c a u s e t h e y g i v e i n s i g h t s i n t o s o m e a s p e c t s o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , a n d s u c h i n s i g h t s a r e n o t p e r c e p t i b l e f r o m t h e g e n e r a l t h e o r y o f c h a p t e r 2 . T h e e x a m p l e s s h o w c l e a r l y t h e q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s b e t w e e n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a n d u n d e r c e r t a i n t y . I n p a r t i c u l a r , t h r e e r e s u l t s s t a n d o u t f r o m t h e e x a m p l e s : ( i ) F o r a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a n e x p e c t e d u t i l i t y w i t h a m u l t i v a r i a t e V o n 9 6 N e u m a n n - M o r g e n s t e m C o b b - D o u g l a s u t i l i t y t h a t i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e , u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y a n d a b u d g e t c o n s t r a i n t , b o t h t h e i n d i r e c t u t i l i t y a n d d e m a n d s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t s o m e n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e r a n d o m p r i c e s m u s t b e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e ( i . e , m u s t h a v e a d e g e n e r a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ) . I n t h e u n i v a r i a t e c a s e , t h i s r e s t r i c t i o n o n t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s l e a d s t o t h e s t r i k i n g r e s u l t t h a t ( A r r o w - P r a t t ) r i s k n e u t r a l i t y i s i n c o n s i s t e n t w i t h u n c e r t a i n t y , i n t h e s e n s e t h a t f o r a m a x i m i z i n g c o n s u m e r w i t h a l i n e a r V o n N e u m a n n - M o r g e n s t e m u n i v a r i a t e u t i l i t y , p r i c e m u s t b e n o n r a n d o m . T h e s e r e s u l t s s e e m a t fi r s t s u r p r i s i n g , b u t i f w e r e c a l l t h a t i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e h o m o t h e t i c p r e f e r e n c e i m p l i e s s e v e r e r e s t r i c t i o n s o n b e h a v i o r ( u n i t a r y i n c o m e e l a s t i c i t y , z e r o c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t i e s , e t c . . . ) , t h e n w e c a n u n d e r s t a n d t h e l o g i c o f t h e s e r e s t r i c t i o n s o n " b e l i e f s " a n d e x p e c t a t i o n s w h e n t h e y a r e i n t r o d u c e d i n t o t h e a n a l y s i s . ( i i ) T h e a p p a r e n t i n s t a b i l i t y o f b e h a v i o r a n d " b e l i e f s " f o r p r e f e r e n c e s g e n e r a t e d b y e x p e c t e d u t i l i t y , a s i l l u s t r a t e d f o r e x a m p l e b y t h e C R R A f u n c t i o n a l f o r m , f o r w h i c h a " s m a l l c h a n g e " i n t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r c a n l e a d t o s o m e d e g e n e r a c y i n b e l i e f s a n d t o a q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t t y p e o f b e h a v i o r . ( i i i ) I n c o n t r a s t t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e w h e r e t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f m a x i m i z i n g a u n i v a r i a t e u t i l i t y s u b j e c t t o a b u d g e t c o n s t r a i n t i s d e t e r m i n e d s o l e l y b y t h e b u d g e t c o n s t r a i n t ( w i t h t h e u t i l i t y f u n c t i o n p l a y i n g n o r o l e ) , i n t h e u n c e r t a i n t y c a s e t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l a n d " b e l i e f s " ( a s r e p r e s e n t e d b y t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s ) p l a y i m p o r t a n t r o l e s i n d e t e r m i n i n g t h e o p t i m a l s o l u t i o n . T h e r e s t r i c t i o n s i m p l i e d b y s o m e o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y e x a m p l e s s e e m t o b e i m p l i e d b y t h e i n d e p e n d e n c e a x i o m w h i c h l e a d s t o i t s l i n e a r f o r m w i t h r e s p e c t t o t h e p r o b a b i l t y d i s t r i b u t i o n o f o u t c o m e s , i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e V o n N e u m a n n - M o r g e r s t e m u t i l i t y i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e . I n d e e d , b o t h t h e C o b b - D o u g l a s a n d 9 7 c o n s t a n t e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n ( C E S ) e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m s l e a d t o t h e s a m e t y p e o f r e s t r i c t i o n s o n " b e l i e f s " a n d c h o i c e s i f t h e y a r e h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e , w h i l e t h e r e i s n o r e s t r i c t i o n o n b e l i e f s a n d c h o i c e s i f t h e i r d e g r e e o f h o m o g e n e i t y i s l e s s t h a n o n e . T h e l o g - l i n e a r e x p e c t e d u t i l i t y d o e s n o t l e a d t o d e g e n e r a t e b e l i e f s , b u t t h e c o r r e s p o n d i n g M a r s h a l l i a n d e m a n d s a r e i n d e p e n d e n t o f " b e l i e f s " . " N o n - e x p e c t e d " u t i l i t y v e r s i o n s o f C o b b - D o u g l a s a n d C B S f u n c t i o n a l f o r m s t h a t a r e h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e d o n o t l e a d t o n e i t h e r d e g e n e r a t e " b e l i e f s " n o r i n d e p e n d e n c e o f d e m a n d s w i t h r e s p e c t t o b e l i e f s . O f c o u r s e , a l l t h e s e r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e c o n c e p t o f a n " o b j e c t i v e " p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f u n c e r t a i n e v e n t s f a c i n g a l l c o n s u m e r s . T h a t i s w h y w e p l a c e t h e s e m a t h e m a t i c a l r e s u l t s w i t h i n t h e B a y e s i a n o r " s u b j e c t i v i s t i c " f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a s l a i d d o w n b y R a m s e y ( 1 9 3 1 ) , D e F e n e t t i ( 1 9 3 7 ) a n d S a v a g e ( 1 9 5 4 ) , a m o n g o t h e r s . T h e r e s t r i c t i o n s m a y r e p r e s e n t v e r y s t r o n g r e s t r i c t i o n s o n i n d i v i d u a l " b e l i e f s " . N e v e r t h e l e s s , i t m a k e s s e n s e w i t h i n t h i s s u b j e c t i v i s t i c v i e w w h e r e d e c i s i o n m a k e r s a r e a s s u m e d t o b e f r e e t o c h o o s e w h a t e v e r " b e l i e f s " t h e y w a n t t o h o l d . W h a t i s s u r p r i s i n g h e r e i s t h e f a c t t h a t t h e s e r e s t r i c t i o n s a r e o b t a i n e d w i t h o u t u s i n g t h e o p t i m a l i t y o f b e l i e f a s s e s s m e n t s p o s t u l a t e d i n A p p e n d i x 4 , w h i c h s a y s t h a t f o r a c h o i c e t o b e e x - a n t e o p t i m a l , t h e d e c i s i o n m a k e r s h o u l d h a v e n o i n c e n t i v e t o c h a n g e h i s o r h e r b e l i e f s o r e x p e c t a t i o n s . I n d e e d l i k e t h e b e h a v i o r a l r e s t r i c t i o n s i m p l i e d b y t h e p r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n p o s t u l a t e i n d e t e r m i n i s t i c m o d e l s , t h i s p o s t u l a t e w i l l n e c e s s a r i l y i m p l y s o m e r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s w h i c h c a n b e a n a l y t i c a l l y d e r i v e d f o r m o s t e x p e c t e d a n d " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y f u n c t i o n a l s . H o w e v e r , i n t h i s c h a p t e r w e w i l l n o t d e a l w i t h t h e a n a l y t i c a l i m p l i c a t i o n s o f t h i s p o s t u l a t e , b e c a u s e i t r e q u i r e s d e a l i n g fi r s t w i t h f e w m a t h e m a t i c a l t e c h n i c a l i t i e s t h a t h a v e n o t b e e n d i s c u s s e d s o f a r . 9 8 T h e c h a p t e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n s e c t i o n 3 . 2 w e b r i e fl y r e v i e w s o m e p r e l i m i n a r y " t e c h n i c a l i t i e s " b r i e fl y d i s c u s s e d i n c h a p t e r 3 a n d g i v e t h e n e c e s s a r y fi r s t o r d e r c o n d i t i o n f o r o p t i m a l i t y f o r t h e c o n s u m e r ’ s m a x i m i z a t i o n p r o b l e m . I n s e c t i o n 3 . 3 w e d e r i v e t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y u n d e r a b u d g e t c o n s t r a i n t . W e t h e n p r o c e e d t o d e r i v e t h e d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s f o r t h e p o p u l a r u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y m o d e l s ( C A R A , C R R A , a n d R i s k n e u t r a l ) . W e u s e t h e s e u n i v a r i a t e e x a m p l e s t o c o m p a r e o u r d e fi n i t i o n o f t h e r i s k p r e m i u m g i v e n i n c h a p t e r 2 , w i t h t h e s t a n d a r d d e fi n i t i o n b a s e d o n e x p e c t e d v a l u e s . I n t h e s e e x a m p l e s , t h e t w o r i s k p r e m i a a r e a l w a y s p o s i t i v e , b u t w i t h d i f f e r e n t m a g n i t u d e s . T h e m u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e s e u n i v a r i a t e f u n c t i o n a l f o r m s a r e t h e n t r e a t e d w i t h a l l t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s d e r i v e d . T h e m u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e C A R A u t i l i t y w i l l c o i n c i d e w i t h t h e C o b b - D o u g l a s e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m . I n S e c t i o n 3 . 4 w e s h o w h o w t o g e n e r a t e a n d s o l v e f o r " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m s . T h e C o b b - D o u g l a s " n o n e x p e c t e d " u t i l i t y i s t h e n t r e a t e d w i t h a l l t h e f u n c t i o n a l , e l a s t i c i t i e s , a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s d e r i v e d . F i n a l l y , w e b r i e fl y c o n c l u d e t h e c h a p t e r w i t h s o m e r e m a r k s i n s e c t i o n 3 . 5 . A p p e n d i x 3 c o n t a i n s t h e p r o o f s o f t w o l e m m a s u s e d i n t h e c h a p t e r . 3 . 2 F i r s t o r d e r n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r o p t i m a l i t y f o r a u t i l i t y d e fi n e d i n L , ( 0 , R ' ) + W e r e c a l l f r o m c h a p t e r 2 t h a t w h e n t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U i s d e fi n e d o n a w e a k l y c o m p a c t a n d c o n v e x s u b s e t X o f L 2 “ ) , R “ ) + t h e n t h e c o n s u m e r ’ s p r o b l e m : V ( p , m ) = m a x U ( x ) ( 3 . 2 . 1 ) 1 . 1 . . 1 - 1 - 1 1 h a s a s o l u t i o n i n X t h a t i s u n i q u e i f U i s s t r i c t l y q u a s i — c o n c a v e . H e r e , p i s t h e v e c t o r o f p r i c e s , t h e d o t s i g n " - " i s t h e i n n e r o r s c a l a r p r o d u c t o f t h e H i l b e r t s p a c e L z ( f i , R “ ) , m i s t h e n o n r a n d o m p r e d e t e r m i n e d t o t a l e x p e n d i t u r e , a n d V i s t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l d e fi n e d o n 9 9 L 2 ( ( 2 , R “ ) + + X R H . 8 2 F u r t h e r m o r e , P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 1 i n c h a p t e r 2 g u a r a n t e e d t h e e x i s t e n c e o f a L a g r a n g e m u l t i p l i e r ) 1 E R “ s u c h t h a t ( 3 . 2 . 1 ) i s e q u i v a l e n t t o t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m V ( p . m ) = m a x { U ( X ) 4 1 ( 1 ) ) : - M ) } x E X ( 3 . 2 . 2 ) w i t h p x ' - m = 0 f o r a n y o p t i m a l s o l u t i o n x ‘ H o w e v e r , s i n c e X C L 2 6 2 , R " ) + h a s a n e m p t y i n t e r i o r , w e c a n n o t s p e a k o f t h e F r é c h e t o r G i t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y o f U i n t h e c l a s s i c a l s e n s e . H e n c e , w e c a n n o t d i r e c t l y u s e C o r o l l a r y A 2 . 1 i n A p p e n d i x 2 w h i c h g e n e r a l i z e s t o t h e i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e , t h e u s u a l n e c e s s a r y " fi r s t o r d e r c o n d i t i o n s " f o r a n i n t e r i o r s o l u t i o n o f a c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . F u r t h e r m o r e , s i n c e w e a r e i n t e r e s t e d i n e x p l i c i t s o l u t i o n s , w e w i l l r e p l a c e t h e a b s t r a c t r e q u i r e m e n t x E X b y s i m p l y i m p o s i n g t h e n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t s x 2 0 ( i . e . , x E L 2 6 2 , R “ ) + ) . T o g e t a r o u n d t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y p r o b l e m , i n c h a p t e r 2 w e e x t e n d e d t h e d e fi n i t i o n s o f F r é c h e t a n d G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y t o f u n c t i o n s w h o s e d o m a i n s o f d e fi n i t i o n h a v e e m p t y i n t e r i o r s . B r i e fl y , a f u n c t i o n a l o r o p e r a t o r F i s s a i d t o b e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t a p o i n t x E D C L 2 “ ) , R “ ) , i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a n o p e n s e t c o n t a i n i n g D a n d a f u n c t i o n a l F ' t h a t e x t e n d s F t o t h e o p e n s e t a n d t h a t i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t x . T h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f F a t x i s t h e n d e fi n e d a s F ’ ( x ) I F " ( x ) . F o r a l l t h e f u n c t i o n a l a n d o p e r a t o r s i n t h e e x a m p l e s b e l o w ( d i r e c t o r i n d i r e c t u t i l i t y , e x p e n d i t u r e , d e m a n d s , e t c . . . . ) , t h e o p e n s e t w i l l b e t h e w h o l e s p a c e L 2 6 2 , R “ ) a n d t h e e x t e n d i n g f u n c t i o n w i l l b e d e fi n e d a s F ' ( x ) I F ( I x I ) . W h e r e , I x I a ( I x l I , . . . , I x , | ) a n d I x , - I i s d e fi n e d b y I x , - I ( w ) I s u p ( x , ( w ) , - x , - ( u ) ) ) f o r a l l t o E 0 . T h u s d e fi n e d , F ' w i l l a l w a y s b e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t a l l x = ( x , , . . . , x , , ) E L 2 6 1 , R " ) s u c h t h a t x , 7 : 0 i = 1 , . . . , n . H e n c e , g i v e n o u r d e fi n i t i o n , s i m p l e d i f f e r e n t i a t i o n w i t h t h e c h a i n ‘ 2 S e e c h a p t e r 2 f o r h o w t o h a n d l e t h e c a s e o f r a n d o m t o t a l e x p e n d i t u r e . 1 0 0 r u l e w i l l a l w a y s g i v e u s F ' ( x ) = F " ( x ) f o r a l l x s u c h t h a t x , > 0 ( i . e x , - E L 2 6 ) , R ) + + ) i = 1 . . . n . 8 3 T h e o n l y e x c e p t i o n t o t h i s e x t e n s i o n p r o c e d u r e i s t h e C A R A m u l t i v a r i a t e d i r e c t e x p e c t e d u t i l i t y w h i c h i s s i m p l y d e fi n e d a s t h e r e s t r i c t i o n t o L 2 ( ( I , R “ ) . , o f a f u n c t i o n a l t h a t i s d e fi n e d a n d F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e o n t h e e n t i r e s p a c e ( i n c l u d i n g t h e o r i g i n ) . T h i s t a k e s c a r e o f c o m e r s o l u t i o n s w h i c h a r i s e i n t h e m u l t i v a r i a t e C A R A c a s e . S o , f o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s w e c a n c a r r y o u t o u r d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s w i t h F a s i f L 2 6 ) , R " ) , + h a d a n n o n e m p t y i n t e r i o r . H o w e v e r , a l l t h e d i f f e r e n t i a t i o n s c a r r i e d o u t b e l o w m u s t a l w a y s b e u n d e r s t o o d i n t h i s e x t e n d e d s e n s e , e v e n i f t h e e x t e n d i n g F ' w i l l r a r e l y b e m e n t i o n e d f o r s h o r t n e s s a n d f o r t h e s a k e o f s i m p l i f y i n g t h e n o t a t i o n . W h e n t h e d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l U i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e e x t e n d e d s e n s e ) a t x ' = ( x , ‘ , . . . , x , , ' ) E L 2 “ ) , R " ) , , a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f C o r o l l a r y A 2 . l i n A p p e n d i x 2 t o ( 3 . 2 . 2 ) y i e l d s t h e f o l l o w i n g n e c e s s a r y fi r s t o r d e r c o n d i t i o n s f o r x ' t o b e a s o l u t i o n o f ( 3 . 2 . 2 ) : U . ’ x ‘ - ) . + ' = o , ‘ ( ) p ’ ‘ 1 ‘ ( 3 . 2 . 3 ) q , ‘ 2 0 a n d q , - ' = 0 i f x , ’ > 0 i = 1 , . . . , n p “ . _ m = 0 ( 3 . 2 . 4 ) w h e r e q ' = ( q , ' , . . . , q , , ' ) E L 2 “ ) , R " ) + i s t h e v e c t o r o f L a g r a n g e " m u l t i p l i e r s " c o r r e s p o n d i n g t o t h e n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t x 2 0 ( s e e A p p e n d i x 3 ) . B y a n " i n t e r i o r " s o l u t i o n o f ( 3 . 2 . 2 ) w e a l w a y s m e a n s a s o l u t i o n x ' = ( x , ' , . . . , x , , ' ) E L 2 6 1 , R “ ) , s u c h t h a t x , ’ > 0 , i = 1 , . . . , n . , w h i l e b y a " c o m e r " s o l u t i o n w e r e f e r t o t h e c a s e w h e r e x , ’ = 0 f o r a t l e a s t o n e i . ‘ 3 T h i s i s b a s e d o n L e m m a 3 . 3 . 1 b e l o w , a n d o n t h e f a c t t h a t t h e r e a l v a l u e d f u n c t i o n o n t h e r e a l l i n e g : t - - I t I i s d i f f e r e n t i a b l e e v e r y w h e r e e x c e p t a t 0 , w i t h g ’ ( t ) = s i g n ( t ) . 1 0 1 I n a l l t h e e x a m p l e s b e l o w , t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e e x t e n d e d s e n s e ) a t a l l p o i n t s x s u c h t h a t x , - > 0 f o r a l l i . H e n c e , ( 3 . 2 . 3 ) w i l l a l w a y s a p p l y f o r a n " i n t e r i o r " s o l u t i o n i n w h i c h c a s e i t r e d u c e s s i m p l y t o U , ’ ( x ' ) - ) \ p , . = 0 i = 1 , . . . , n ( 3 . 2 . 5 ) M o r e o v e r , e x c e p t f o r t h e m u l t i v a r i a t e C A R A f u n c t i o n a l f o r m , t h e u n i q u e " i n t e r i o r " s o l u t i o n t h a t s o l v e s t h e o p e r a t o r e q u a t i o n s ( 3 . 2 . 5 ) a n d ( 3 . 2 . 4 ) w i l l b e t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s m a x i m i z a t i o n p r o b l e m . 8 4 F o r t h e m u l t i v a r i a t e C A R A e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l , t h e p o s s i b i l i t y o f a " c o r n e r " s o l u t i o n w i l l a r i s e . B u t s i n c e t h e C A R A e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l w i l l b e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t t h e o r i g i n 0 , ( 3 . 2 . 3 ) w i l l s t i l l b e a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e o p t i m a l s o l u t i o n . 3 . 3 T h e s p e c i a l c a s e o f a n e x p e c t e d u t i l i t y m a x i m i z i n g c o n s m n e r T h e e x p e c t e d u t i l i t y o f a r a n d o m c o n s u m p t i o n b u n d l e x E L z m , R " ) + i s g i v e n b y E u ( x ) = J n u ( x ( c o ) ) t t l ’ ( t o ) . W h e r e E i s t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r a n d u i s a r e a l v a l u e d s t r i c t l y c o n c a v e a n d c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e v o n N e u m a n n — M o r g e n s t e r n u t i l i t y d e fi n e d o n t h e o u t c o m e s p a c e R “ , w i t h i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s s a t i s f y i n g : u i ' ( x ) > O i = 1 , . . . , n . E u ( x ) i s u s u a l l y e x p r e s s e d i n t h e e q u i v a l e n t f o r m t h a t u s e s F ( x ) , t h e s u b j e c t i v e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n “ T h i s w i l l b e b e c a u s e i f f o r s o m e i x , = 0 , e i t h e r U ( x , , . . . , x , , ) = 0 o r U ( x , , . . . , x , , ) i s n o t d e fi n e d . F o r t h e u n i v a r i a t e C A R A , 0 c a n n o t b e o p t i m a l . 1 0 2 f u n c t i o n o f x i n s t e a d o f t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 2 P , i . e , a s E u ( x ) = I m u ( x ) d F ( x ) ( x ) . 8 5 W e c a n d e fi n e o n L 2 “ ) , R “ ) + t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U a s s o c i a t e d w i t h e x p e c t e d u t i l i t y a s U ( x ) s E u ( x ) . U ( x ) c a n b e e x p r e s s e d i n a w a y s u i t a b l e f o r f u n c t i o n a l a n a l y s i s a s : ‘ U ( x ) = E ( q u ) E ( E O T u ) ( x ) ( 3 - 3 - 1 ) w h e r e 0 i s t h e c o m p o s i t i o n o p e r a t o r , a n d T “ : L 2 6 2 , R “ ) - » L 2 ( 0 , R ) i s t h e f u n c t i o n a l d e fi n e d b y : T . ( x ) = q u . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e c o n c a v i t y o f 1 1 i m p l i e s t h e c o n c a v i t y o f U . A l s o , s i n c e t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E i s l i n e a r a n d c o n t i n u o u s , i t i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e e v e r y w h e r e w i t h E ' ( t ) = E f o r a l l t E L 2 6 1 , R ) . T h e f o l l o w i n g L e m m a s h o w s t h a t t h e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b i l i t y o f T . f o l l o w s f r o m t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f 1 1 . L e m m a 3 . 3 . 1 T h e o p e r a t o r T “ : L 2 6 2 , R “ ) - ) L 2 6 2 , R ) d q i n e d b y T , ( x ) = u o x i s e v e r y w h e r e F r é c h e t d i fi ‘ e r e n t i a b l e w i t h T _ ’ ( x ) = T . . ( x ) = u ' O x E L 2 G ) , R " ) . F u r t h e r m o r e , i f u i s n t i m e s d i fi e r e n t i a b l e t h e n s o i s T , w i t h T ' f , " ’ ( x ) = T u . . , ( x ) = u ‘ " ’ o x E L 2 ( 0 , R " ) " . H e n c e , b y t h e c h a i n r u l e , t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U f o l l o w s f r o m t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n u w i t h : ’ 5 I t i s i m p o r t a n t n o t t o c o n f u s e t h e r a n d o m v a r i a b l e x w i t h t h e d u m m y v a r i a b l e x . I n s t a n d a r d n o t a t i o n , t h e d e p e n d e n c e o f t h e s u b j e c t i v e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n F o n x i s n o t m a d e e x p l i c i t a s w e d o h e r e , s o t h a t i n s t e a d o f w r i t i n g F ( x ) ( x ) , o n e w o u l d s i m p l y w r i t e F ( x ) . F o r m a l l y , F i s a f u n c t i o n a l d e fi n e d o n L , ( 0 , R " ) + a n d w h i c h a s s o c i a t e s t o e a c h v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e x i t s s u b j e c t i v e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n F ( x ) . 1 0 3 U ’ ( x ) ° h = ( E O T L ( x ) ) - h = J o u ’ ( x ( w ) ) - h ( w ) a ' . P ( w ) = ( u ’ 0 x , h ) f o r a l l h E L 2 ( 9 , R " ) ( 3 - 3 - 2 ) T h u s , b y i d e n t i fi c a t i o n w e h a v e : U ' ( x ) = u ’ 0 x , w h i c h c a n b e w r i t t e n i n t h e u s u a l s h o r t h a n d n o t a t i o n a s U ' ( x ) = u ’ ( x ) . 8 6 T h i s p r e s e n t a t i o n o f e x p e c t e d u t i l i t y s h o w s i n p a r t i c u l a r t h a t i t i s j u s t a s p e c i a l f u n c t i o n a l f o r m o f t h e g e n e r a l u t i l i t y f u n c t i o n a l U o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n ; i n t h e s a m e w a y a s l i n e a r o r C o b b - D o u g l a s u t i l i t y i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y a r e s p e c i a l u t i l i t y f u n c t i o n s t h a t l e a d t o s o m e r e s t r i c t i o n s i n b e h a v i o r . I n p a r t i c u l a r , t h e l i n e a r d e p e n d e n c y o f e x p e c t e d u t i l i t y o n t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n F ( x ) i s g e n e r a l l y s e e n a s s h o w i n g t h e r e s t r i c t i v e n a t u r e o f e x p e c t e d u t i l i t y . O n t h e o t h e r h a n d , b o t h e x p r e s s i o n s o f e x p e c t e d u t i l i t y s h o w s i t s n o n l i n e a r d e p e n d e n c e o n t h e r a n d o m v a r i a b l e x ( e x c e p t w h e n u i s l i n e a r ) " A t t h i s p o i n t , i t i s p e r h a p s w o r t h r e c a l l i n g t h a t t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e m u t i l i t y u t h a t g i v e s r i s e t o U i s u n i q u e o n l y u p t o a p o s i t i v e a f fi n e t r a n s f o r m a t i o n . I n t h i s s e n s e , 1 1 i s a c a r d i n a l u t i l i t y , b e c a u s e a m o n o t o n i c n o n d e c r e a s i n g t r a n s f o r m a t i o n o f u t h a t l e a v e s t h e o r d i n a l r a n k i n g i n t h e o u t c o m e s p a c e u n c h a n g e d , w i l l i n g e n e r a l c h a n g e t h e o r d i n a l r a n k i n g o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s i n t h e c h o i c e s e t . I n o t h e r w o r d s , a l t h o u g h f 0 U a n d U r e p r e s e n t s t h e ‘ 6 T h i s s h o r t h a n d n o t a t i o n c a n b e m i s l e a d i n g b e c a u s e , u n l i k e U ' w h o s e d o m a i n o f d e fi n i t i o n i s L 2 ( 0 , R " ) , , t h e d o m a i n o f d e fi n i t i o n o f u ’ i s r a t h e r R “ , . I n o t h e r w o r d s , U ' ( x ) = u ' ( x ) m e a n s U ’ ( x ) ( t o ) = u ’ ( x ( w ) ) f o r a l l o r E 0 . T h e s a m e r e m a r k a p p l i e s w h e n o n e w r i t e s u ( x ) . ‘ 7 S e e M a c h i n a ( 1 9 8 2 ) f o r a c o m p r e h e n s i v e r e v i e w o f t h e b e h a v i o r a l r e s t r i c t i o n s i m p l i e d b y t h e i n d e p e n d e n c e a x i o m l e a d i n g t o t h e l i n e a r i t y , a n d t h e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e s a g a i n s t i t . A n o t h e r i l l u m i n a t i n g w a y t o s e e t h e r e s t r i c t i v e n e s s o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l f o r m i s t o n o t e t h a t i n t h e e x p r e s s i o n U ( x ) I E u ( x ) , t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U i s a l i n e a r f u n c t i o n a l o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s " e x p e c t a t i o n s " a s r e p r e s e n t e d b y t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E . A n d , s i n c e f r o m a f u n c t i o n a l a n a l y s i s p e r s p e c t i v e E i s j u s t a n e l e m e n t o f t h e d u a l o f L , ( 0 , R ) , h e n c e a n e l e m e n t o f L , ( 0 , R ) i t s e l f g i v e n t h e f a c t t h a t t h i s s p a c e i s a n H i l b e r t s p a c e , w i t h o u r e x t e n s i o n o f t h e c o n c e p t o f F r é c h e t d i f f e r e n t i a b i l i t y o n e c a n s e e t h a t t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f U w i t h r e s p e c t t o E i s j u s t u ( x ) w h i c h i s a r a n d o m v a r i a b l e i n d e p e n d e n t o f E a n d 2 ? . T h a t i s , t h e " m a r g i n a l u t i l i t y " f r o m c h a n g i n g " e x p e c t a t i o n s " i s i n d e p e n d e n t o f " e x p e c t a t i o n s " a n d " b e l i e f s " . H e n c e , w i t h r e s p e c t t o " e x p e c t a t i o n s " a n d " b e l i e f s " e x p e c t e d u t i l i t y i s l i k e l i n e a r u t i l i t y w i t h r e s p e c t t o t h e c h o i c e v a r i a b l e i n d e t e r m i n i s t i c m o d e l s . 1 0 4 s a m e p r e f e r e n c e i n t h e c h o i c e s e t i f f i s a m o n o t o n i c n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n , f c U a n d E o f o u d o n o t r e p r e s e n t t h e s a m e p r e f e r e n c e u n l e s s f i s a p o s i t i v e a f fi n e f u n c t i o n . 8 8 M a n y o f t h e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e s a g a i n s t e x p e c t e d u t i l i t y c a n b e t r a c e d t o t h i s n o n i n v a r i a n c e t o n o n l i n e a r m o n o t o n i c t r a n s f o r m a t i o n s o f o u t c o m e s . T h e e x a m p l e s b e l o w w i l l s h o w a n a l y t i c a l l y s o m e o f t h e b e h a v i o r a l c o n s e q u e n c e s o f t h i s n o n i n v a r i a n c e t o m o n o t o n i c t r a n s f o r m a t i o n s . 3 . 3 . 1 T h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r e x p e c t e d u t i l i t y T h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n s f o r a n " i n t e r i o r " s o l u t i o n x ' ( 3 . 2 . 5 ) a n d ( 3 . 2 . 4 ) b e c o m e s h e r e : u ' O x ‘ - ) 1 p = 0 ( 3 . 3 . 3 ) I ) “ . _ m = 0 ( 3 . 3 . 4 ) ( 3 . 3 . 3 ) , ( 3 . 3 . 4 ) i s a n e q u a t i o n i n L 2 “ ) , R “ ) w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f " m a r g i n a l r a t e s o f s u b s t i t u t i o n " a s : H = E i , j = 1 , . . . , n ( 3 . 3 . 5 ) 1 1 j O x ‘ I ) j E q u a t i o n s ( 3 . 3 . 3 ) , ( 3 . 3 . 4 ) a n d ( 3 . 3 . 3 ) , ( 3 . 3 . 4 ) a l s o i m p l y : ( u ' O x ‘ , x ‘ ) = ) 1 ( p , x ’ ) = > t m ( 3 ' 3 ' 6 ) H e n c e , t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r a n e x p e c t e d u t i l i t y m a x i m i z i n g c o n s u m e r i s : ” I n f a c t , i t i s w e l l k n o w n f r o m e x p e c t e d u t i l i t y a n a l y s i s t h a t i f f i s s t r i c t l y c o n c a v e a n d m o n o t o n i c i n c r e a s i n g , t h e n , i n t h e s e n s e o f t h e A r r o w - P r a t t m e a s u r e o f r i s k a v e r s i o n , t h e p r e f e r e n c e r e p r e s e n t e d b y E o f o u i s m o r e r i s k a v e r s e t h a n t h e o n e r e p r e s e n t e d b y E o u . T h e A r r o w - P r a t t r i s k p r e m i u m u n d e r E o f o u i s a l s o g r e a t e r . 1 0 5 u ’ O x ' = - 1 _ ( u ’ 0 x ' , x ‘ ) p = £ E ( x ' - u ’ ( x ' ) ) ( 3 . 3 . 7 ) m m o r , i n t e r m s o f t h e e x p e c t e d b u d g e t s h a r e s , ( p p x i ) _ ( u i ’ o x ' i x f ) E 0 ) . : - _ _ m ( “ 1 0 x u ’ x u ) l i = 1 , . . . , n ( 3 3 . 3 ) I f u i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e o z , t h e n ( u ' o x , x ) = a E u ( x ) . H e n c e , t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r a c o n s u m e r w i t h a n h o m o g e n e o u s e x p e c t e d u t i l i t y o f d e g r e e 0 : r e d u c e s t o : u ' 0 x ( p , m ) = % V ( p , m ) p ( 3 . 3 . 9 ) w h i c h c a n b e s o l v e d f o r t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l V ( p , m ) a E ( u o x ( p , m ) ) t o g e t : . ' 0 V ( P s m ) = " L u — 2 % ? ) - i = 1 , . . . , n ( 3 . 3 . 1 0 ) o r i F r o m ( 3 . 3 . 1 0 ) w e c a n s e e t h a t f o r a n h o m o g e n e o u s e x p e c t e d u i l i t y t h e i n d e p e n d e n c e o f d e m a n d w i t h r e s p e c t t o b e l i e f s a n d " e x p e c t a t i o n s " , a s r e p r e s e n t e d b y t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 3 ’ a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E , w i l l h a v e t w o i m p l i c a t i o n s : 1 ) W e l f a r e w i l l a l s o b e i n d e p e n d e n t o f b e l i e f s a n d " e x p e c t a t i o n s " , a n d 2 ) T h e r e w i l l b e s o m e r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a n d " e x p e c t a t i o n s " . 3 . 3 . 2 E x a m p l e s o f u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s T h e f o l l o w i n g u n i v a r i a t e r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d a s s p e c i a l c a s e s o f t h e i r m u l t i v a r i a t e c o u n t e r p a r t s i n t h e n e x t s e c t i o n . W e d e r i v e t h e m h e r e i n o r d e r t o c o m p a r e o u r d e fi n i t i o n s o f t h e r i s k p r e m i u m a n d r i s k a v e r s i o n g i v e n i n c h a p t e r 2 , a n d w h i c h a r e b a s e d o n t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , w i t h t h e t r a d i t i o n a l ( u n i v a r i a t e ) d e f i n i t i o n s b a s e d o n t h e V o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u t i l i t y 1 1 . W e r e c a l l t h a t t h e A r r o w - P r a t t m e a s u r e s o f a b s o l u t e a n d r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n a r e 1 0 6 “ u ( x ) r E _ x u n ( x ) u ' ( X ) ' u ' ( X ) t h e r e a l n u m b e r 1 r t h a t s a t i s fi e s u ( E x - 7 r ) = E u ( x ) . d e fi n e d r e s p e c t i v e l y a s r d a - ; w h i l e t h e r i s k p r e m i u m i s d e fi n e d a s T h e d e r i v a t i o n o f t h e u n i v a r i a t e r e s u l t s a l s o p u t s i n c o n t r a s t t h e q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s c o m p a r e d t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e . I n s t a t i c d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y , t h e d e m a n d f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o a u n i v a r i a t e u t i l i t y i s g i v e n b y x ( p , m ) = % a n d i s d e t e r m i n e d s o l e l y b y t h e b u d g e t c o n s t r a i n t ( 3 . 3 . 3 ) , ( 3 . 3 . 4 ) r e g a r d l e s s o f p r e f e r e n c e . I n t h i s u n c e r t a i n t y c o n t e x t , t h e s h a p e o f t h e u n i v a r i a t e d e m a n d f u n c t i o n w i l l d e p e n d i n a i m p o r t a n t w a y o n p r e f e r e n c e , b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s . 3 . 3 . 2 . 1 D e m a n d f u n c t i o n f o r C R R A e x p e c t e d u t i l i t y T h e A r r o w - P r a t t c o n s t a n t r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n ( C R R A ) e x p e c t e d u t i l i t y c l a s s i s d e fi n e d b y t a k i n g t h e c l a s s o f r e a l f u n c t i o n s d e fi n e d o n t h e s e t o f p o s i t i v e r e a l n u m b e r s b y : x “ f o r 0 < a 5 1 ( 3 . 3 . 1 1 ) L o g x f o r a = 0 u ( x ) = F o r a = 0 , u i s d e fi n e d o n l y f o r s t r i c t l y p o s i t i v e n u m b e r s . T h e A r r o w - P r a t t c o e f fi c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n i s 1 - a . F o r a = 1 u i s l i n e a r a n d w e h a v e a r i s k n e u t r a l p r e f e r e n c e , o t h e r w i s e 1 1 i s s t r i c t l y c o n c a v e a n d p r e f e r e n c e i s s a i d t o e x h i b i t r i s k a v e r s i o n . A s a f u n c t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a b l e x , t h e c o r r e s p o n d i n g r i s k p r e m i u m s a r e 1 E x — ( t h i s ) 3 f o r 0 < a s 1 ( 3 . 3 . 1 2 ) E x — e fl ‘ ” f o r a = 0 u ' ( x ) = 1 0 7 E ( p , u ) = u l “ a ‘ ( E p “ ( I T - l ( 3 . 3 . 1 7 ) C a s e 1 : 0 < a < l . I n t h i s c a s e t h e e x p e c t e d u t i l i t y o p t i m a l i t y c o n d i t i o n ( 3 . 3 . 7 ) b e c o m e s o z x a " = o E E x a ( 3 . 3 . 1 3 ) m w h i c h c a n b e s o l v e d f o r x t o g e t x = [ _ 1 _ ) _ ] fl a w — { r ( 3 . 3 . 1 4 ) m R a i s i n g b o t h s i d e s o f ( 3 . 3 . 1 4 ) t o t h e p o w e r o f a , t h e n t a k i n g t h e e x p e c t a t i o n o f b o t h s i d e s , a n d t h e n s o l v i n g f o r E x “ y i e l d s l - a " 3 . 3 . 1 E X “ = W i E p ‘ T ' T ) ( 5 ) S u b s t i t u t i n g ( 3 . 3 . 1 5 ) i n ( 3 . 3 . 1 4 ) g i v e s t h e d e m a n d f u n c t i o n a l . 1 , x ( p , m ) = m p “ ( 3 . 3 . 1 6 ) H e n c e , w e s e e t h a t t h e d e m a n d f u n c t i o n a l d e p e n d s n o t o n l y o n t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r o r , b u t a l s o i t d e p e n d s o n t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s a n d " e x p e c t a t i o n s " a s r e p r e s e n t e d b y t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 3 ’ a n d t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E s i n c e E n a n = ( D u m m i e s ) . T h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 3 . 3 . 1 5 ) g i v e s d i r e c t l y t h e e x p r e s s i o n f o r t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l V ( p , m ) = E x ( p , m ) “ . T h e e x p r e s s i o n f o r t h e e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l E i s o b t a i n e d b y i n v e r t i n g V : T h e c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l u a n d t h e H i c k s i a n d e m a n d a r e g i v e n r e s p e c t i v e l y b y 1 0 8 ( ( 3 3 . . 3 3 . 1 8 ) . 1 9 ) a n d u ( 1 ) + q . h ( m 1 5 - c 0 \ i x ( 1 ) . u ( p ) ) . E . u ) E _ — ( p , V X ( 1 ) . ( E q 0 , m ) ) . ) ) 0 _ - — ) q . m ’ ) ) . 1 ) 1 = m — E . F q r l — a p l n 1 " — p m a ) . . T 0 F 1 3 ( 1 ) “ ) u 5 a ( 1 ' 1 E p ? T T T h e e x p r e s s i o n f o r t h e r i s k p r e m i u m c o r r e s p o n d i n g t o a p r i c e / e x p e n d i t u r e c h a n g e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ’ ) , a s w e h a v e d e fi n e d i t i n c h a p t e r 2 , i s a “ _ ' l l ) ) = - , , , ' ’ 5 1 ) " ? r x C O ‘ i P fi i p ( 3 . 3 . 2 0 ) S i m i l a r l y , t h e c o r r e s p o n d i n g r i s k a v e r s i o n m a t r i x w h i c h r e d u c e s h e r e t o a s c a l a r e q u a l t o t h e r i s k p r e m i u m i n d e x i s a 2 1 ) R " a 5 a Q ; = - ” ’ _ ' E ' : x fi p fl ( 3 . 3 . 2 1 ) m m a a E q fi E ( p fi ) S i n c e t h e p r e f e r e n c e a s s o c i a t e d w i t h t h e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l U s a t i s fi e s a l l t h e a s s u m p t i o n s o n p r e f e r e n c e i n c h a p t e r 2 , w e a l r e a d y k n o w f r o m t h e g e n e r a l t h e o r y t h a t t h e r i s k p r e m i u m R i s p o s i t i v e . 8 9 H e n c e , b y o u r d e fi n i t i o n o f r i s k a v e r s i o n ( w h i c h r e d u c e s h e r e t o t h e p o s i t i v i t y o f R ‘ ) , t h i s p r e f e r e n c e e x h i b i t s r i s k a v e r s i o n . l l l ' 9 O n e c a n s h o w d i r e c t l y t h a t c a l i p fi , p ) < 0 b y u s i n g t h e f a c t t h a t ( p ‘ W - ( E p ) ? T , p - E p ) < 0 l w h i c h f o l l o w s f r o m t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e o p e r a t o r p - ) p “ . 1 0 9 T o f a c i l i t a t e t h e c o m p a r i s o n w i t h t h e s t a n d a r d m e a s u r e s o f r i s k p r e m i u m , l e t u s a s s u m e t h a t e x p e n d i t u r e r e m a i n s u n c h a n g e d , a n d t h a t t h e p r i c e c h a n g e f r o m p t o q i s a d e t e r m i n i s t i c h o m o t h e t i c t r a n s f o r m a t i o n s o t h a t i t c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f a 7 p e r c e n t a g e c h a n g e , w i t h ' y E R . 9 0 I n t h i s c a s e , q = ( 1 + y ) p a n d t h e r i s k p r e m i u m R s i m p l i fi e s t o l a a - , a l R = _ _ 1 m c o ‘ i p fi ) p ) = _ m x ( E p F r — E P F T E P > 0 ( 3 . 3 . 2 2 ) + 7 ( I a 1 5 ( 1 ) “ ) ( 1 + 7 ) E ( 1 ) ° ‘ — ' T ) O n t h e o t h e r h a n d , s u b s t i t u t i n g t h e e x p r e s s i o n f o r t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d f u n c t i o n a l e v a l u a t e d a t u t i l i t y V ( q , m ’ ) ( 3 . 3 . 1 6 ) i n ( 3 . 3 . 1 2 ) g i v e s t h e A r r o w - P r a t t r i s k p r e m i u m i n t e r m s o f p a n d m ’ : a ' 1 1 r = - _ L _ x [ ( E p fi ) ; - E p fi ] > 0 ( 3 . 3 . 2 3 ) ( 1 + 7 ) E ( 1 ) % ) C l e a r l y , t h e m a g n i t u d e s o f t h e t w o r i s k p r e m i a a r e d i f f e r e n t a l t h o u g h t h e y a r e b o t h s t r i c t l y p o s i t i v e . 9 1 H o w e v e r , w h i l e R d e p e n d s o n l y o n t h e u n d e r l y i n g o r d i n a l p r e f e r e n c e a n d i s t h u s i n v a r i a n t t o m o n o t o n i c i n c r e a s i n g t r a n s f o r m a t i o n s o f U , r i s d e p e n d e n t o n t h e c a r d i n a l u t i l i t y u w h i c h i s u n i q u e o n l y u p t o a f fi n e t r a n s f o r m a t i o n s o f u . T h e s a m e c o m m e n t s a p p l y t o t h e m e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n . I n a d d i t i o n , w h i l e t h e A r r o w - P r a t t m e a s u r e i s c o n s t a n t , R ‘ d e p e n d s o n p . F o r c o m p l e t e n e s s , t h e r i s k p r e m i u m i n d e x a n d t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x a s 2 d e fi n e d i n c h a p t e r 2 a r e r e s p e c t i v e l y 9 ° T h i s t y p e o f c h a n g e i n c l u d e s s a l e s t a x , t a r i f f , a n d d e v a l u a t i o n o f a c u r r e n c y . 9 ' T h e p o s i t i v i t y o f 1 r f o l l o w s f r o m t h e c o n c a v i t y o f t h e r e a l v a l u e d f u n c t i o n t - ) t “ i n c o n j u n c t i o n w i t h J e n s e n ’ s i n e q u a l i t y . 1 1 0 H a e n n c e t h d t h e i e n d e m d i r e c a t n d f u n c t i o n i u t i l i t y f u n c t i s o n a l i s = £ m x ( V ( p , 2 m 1 1 1 ] 1 X = 3 m p , m ) ) = = 3 P E L o g g ( ( ( 3 3 3 . . . 3 3 3 . . . 2 2 2 6 7 8 ) ) ) l R 4 = . — _ E = — m ' C ” ‘ 1 4 , ) ( 3 . 3 . 2 4 ) m ( 1 + 7 ) m 1 3 ( 1 ) “ ) a n d l m ’ R - _ ( 1 . 7 ) _ _ _ e m i t ) n 1 ) ) ( 3 . 3 . 2 5 ) u ( a q . m ’ ) ( E x ( 1 ) . u ( p . q . m ’ ) ) E p ) E ( . , “ ) E p £ 2 | | | C a s e 2 : a = 0 . I n t h i s c a s e t h e e x p e c t e d u t i l i t y o p t i m a l i t y c o n d i t i o n ( 3 . 3 . 7 ) b e c o m e s T h e o t h e r f u n c t i o n a l s a r e e a s i l y d e r i v e d f r o m ( 3 . 3 . 2 7 ) a n d ( 3 . 3 . 2 8 ) . O n e t h i n g t o n o t e h e r e i s t h a t t h e d e m a n d f u n c t i o n i s s i m i l a r t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e ; t h e o n l y d i f f e r e n c e i s t h a t h e r e p i s a r a n d o m v a r i a b l e . A l s o , t h e d e m a n d f u n c t i o n i s i n d e p e n d e n t o f b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s w h i l e , i n c o n t r a s t , t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l d e p e n d o n b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s . F i n a l l y , o n e c a n c h e c k t h a t a g a i n t h e t w o r i s k p r e m i a a r e p o s i t i v e b u t d i f f e r e n t i n m a g n i t u d e . 1 1 1 C a s e 3 : a = 1 . I n t h i s c a s e t h e e x p e c t e d u t i l i t y o p t i m a l i t y c o n d i t i o n ( 3 . 3 . 7 ) b e c o m e s 1 = 2 1 5 1 1 ( 3 . 3 . 2 9 ) E q u a t i o n ( 3 . 3 . 2 9 ) g i v e s t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l V ( p , m ) = § ( 3 . 3 . 3 0 ) f r o m w h i c h , b y R o y ’ s i d e n t i t y , f o l l o w s t h e d e m a n d f u n c t i o n x ( p , m ) = % ( 3 . 3 . 3 1 ) H o w e v e r , s i n c e V t a k e s i t s v a l u e s i n R , t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 3 . 3 . 3 0 ) m u s t b e n o n r a n d o m . T h a t i s p i s n o n r a n d o m , a n d t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s a r e d e g e n e r a t e . H e n c e , i n t h i s c a s e t h e d e m a n d f u n c t i o n i s t h e s a m e a s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e . I n o t h e r w o r d s , A r r o w - P r a t t r i s k n e u t r a l i t y i s i n c o n s i s t e n t w i t h u n c e r t a i n t y i n t h e s e n s e t h a t t h e c o n s u m e r m a k e s h i s o r h e r c h o i c e w h i l e b e l i e v i n g t h a t p r i c e i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e . T h i s o f c o u r s e i m p l i e s t h a t t h e r i s k p r e m i u m i s z e r o . 3 . 3 . 2 . 2 D e m a n d f u n c t i o n a l f o r t h e C A R A e x p e c t e d u t i l i t y T h e A r r o w - P r a t t c o n s t a n t a b s o l u t e r i s k a v e r s i o n ( C A R A ) e x p e c t e d u t i l i t y c l a s s i s d e fi n e d b y t a k i n g t h e c l a s s o f r e a l f u n c t i o n s d e fi n e d o n t h e s e t o f p o s i t i v e r e a l n u m b e r s b y : u ( x ) = l - e ' " f o r a > 0 0 3 3 2 ) T h e A r r o w - P r a t t c o e f fi c i e n t o f a b s o l u t e r i s k a v e r s i o n i s a a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r i s k p r e m i u m i s 1 1 2 , - . . = 5 6 m 3 m w h i c h c a n b e s o l v e d f o r x t o g e t 1 _ - a p . L o { E L [ x - . = § % < = = m = ( p . x ) x ( p , m ) = E fl p + - a i s ‘ p { E [ R m o s g [ T p L o - g a 1 r e E fi ( ] 1 § [ “ % ) - u x e ’ - E ; ) ] ) ] " ) p L > g o ] - E ( x e ' ° " ) } ( E p ) l . o g % } ( ( ( ( 3 3 3 3 . . . . 3 3 3 3 . . . . 3 3 3 3 4 5 6 7 ) ) ) ) r ( x ) = E x + i r o g r i e - a x ( 3 . 3 . 3 3 ) 0 I n t h i s c a s e , t h e e x p e c t e d u t i l i t y o p t i m a l i t y c o n d i t i o n ( 3 . 3 . 7 ) b e c o m e s T a k i n g t h e s c a l a r p r o d u c t o f b o t h s i d e s o f ( 3 . 3 . 3 5 ) w i t h p g i v e s S o l v i n g f o r E x “ a n d s u b s t i t u t i n g b a c k i n t o ( 3 . 3 . 3 5 ) g i v e s t h e d e m a n d f u n c t i o n f o r t h e C A R A e x p e c t e d u t i l i t y A g a i n , w e s e e t h a t t h e d e m a n d f u n c t i o n d e p e n d s o n b o t h t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r a a n d o n t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s a n d " e x p e c t a t i o n s " r e p r e s e n t e d b y { P a n d E r e s p e c t i v e l y . T h e i n d i r e c t u t i l i t y , c o m p e n s a t i o n , H i c k s i a n d e m a n d , r i s k p r e m i u m , a n d r i s k a v e r s i o n f u n c t i o n a l s a r e e a s i l y d e r i v e d f r o m ( 3 . 3 . 3 7 ) . T h e y a r e r e s p e c t i v e l y ” : 9 ’ T h e r i s k p r e m i u m a n d r i s k a v e r s i o n a r e e v a l u a t e d a s q u t h a t q = ( 1 + y ) p . 1 1 3 E m ( ) p , u = ) 1 = E 3 l % " ( p ’ q ’ l — { E h ( * p R , u ) R ‘ p E E ( p L o g p ) } g q ) - E ( p L o g p ) } L = = o n g p w g - é = é r o o c l o a _ a t 1 c _ m E g i g v p L ( L [ o + o T g L o g ( g l g p — p 1 € - = o L = 1 ( 3 3 7 ) q ] . 1 ) ) , p ) ( ( ( ( ( 3 3 3 3 3 : . . . . 3 3 3 3 3 . . . . 4 3 4 4 4 0 9 1 2 3 ) ) ) ) ) - ‘ 1 1 1 1 + 3 . 3 . 3 8 V ( p , m ) = 1 - e 7 = 7 ’ { E ( p l o s p ) } E p ( ) O n e c a n v e r i f y t h a t t h e r i s k p r e m i u m i s i n d e e d p o s i t i v e b y u s i n g t h e c o n c a v i t y o f t h e L o g f u n c t i o n , t h e c o n v e x i t y o f t h e f u n c t i o n t - > t L o g t , a n d J e n s e n ’ s i n e q u a l i t y . T h e A r r o w - P r a t t r i s k p r e m i u m ( e v a l u a t e d a t t h e c o m p e n s a t e d d e m a n d ) i s 7 r = - : : . ( E L o g p - L o g E p ) ( 3 - 3 - 4 4 ) w h i c h i s a l s o s t r i c t l y p o s i t i v e b y J e n s e n ’ s i n e q u a l i t y . B o t h r i s k p r e m i u m s a r e i n d e p e n d e n t o f e x p e n d i t u r e , h e n c e o f i n c o m e . A l l t h e c o m m e n t s m a d e i n t h e C R R A c a s e a p p l y e q u a l l y f o r t h e C A R A . A g a i n f o r c o m p l e t e n e s s , t h e r i s k p r e m i u m i n d e x a n d t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x a s d e fi n e d i n c h a p t e r 2 a r e r e s p e c t i v e l y 1 1 4 Q ; E 3 m a n d P t ; 5 u ( r ) . q . m . ) m ( p R . u ( E x ( l ) . q = . o v ( _ a L c m , m ) ) E 1 ) ) o L = g 7 p , p ) m 9 + ( 1 1 + + 7 E ) c p o L ‘ o ( g l p ‘ o - g E p ( ’ p p ) ) L 0 g p ( ( 3 3 . . 3 3 . . 4 4 5 6 ) ) u ( x ) = 1 ' 1 x ‘ , - " w i t h a , 2 0 a n d a a ) 3 a } , . 5 1 ( 3 . 3 . 4 7 ) F i n a l l y , o n e c a n v e r i f y t h a t a l l t h e e x p r e s s i o n s a b o v e r e d u c e t o t h e i r d e t e r m i n i s t i c c o u n t e r p a r t s w h e n n o u n c e r t a i n t y i s a s s u m e d . T h e e l a s t i c i t y m e a s u r e s f o r t h e C R R A w i l l b e c a l c u l a t e d i n t h e m o r e g e n e r a l a n d i n t e r e s t i n g m u l t i v a r i a t e c o n t e x t . 3 . 3 . 3 E x a m p l e s o f m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s 3 . 3 . 3 . 1 M u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e ( C R R A ) e x p e c t e d u t i l i t y I n a m u l t i v a r i a t e c o n t e x t , C o b b — D o u g l a s a n d l o g - l i n e a r f u n c t i o n a l f o r m s f o r u a r e t h e n a t u r a l g e n e r a l i z a t i o n o f t h e u n i v a r i a t e u t i l i t y w i t h a c o n s t a n t r e l a t i v e A r r o w - P r a t t r i s k a v e r s i o n c o e f fi c i e n t ( C R R A ) . 3 . 3 . 3 . 1 . 1 D e m a n d f u n c t i o n a l s f o r t h e C o b b - D o u g l a s e x p e c t e d u t i l i t y L e t u b e d e fi n e d b y 1 ' 1 1 " 1 T h e n , u fi o x = o , r ‘ , ‘ " ' 1 1 x 7 a n d t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s ( 3 . 3 . 7 ) a n d ( 3 . 3 . 9 ) r e d u c e j a t i r e s p e c t i v e l y t o : 3 1 : 3 1 = B : i , j = 1 , . . . , 1 1 ( 3 . 3 . 4 8 ) 1 1 5 a t x i ’ q l — I x ? = 7 : . V ( p , m ) p , ( 3 . 3 . 4 9 ) j a t i w h i c h b y s u b s t i t u t i n g ( 3 . 3 . 4 8 ) i n t o ( 3 . 3 . 4 9 ) r e d u c e t o e r r ! x m § i § i ( r ( p ) ) " v < p , m ) i = 1 . . . . . ) 1 . 0 - 3 - 5 0 ) j ' l j ' l w h e r e a I i a j a n d T ( p ) I f l [ g ] . A t t h i s p o i n t t h e r e a r e t w o c a j s e s t o c o n s i d e r : t h e h o m o t h e t i c c a s e a = 1 , a n d t h e n o n h o m o t h e t i c c a s e a < 1 . U n l i k e i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y , h e r e t h e t w o c a s e s l e a d t o q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t r e s u l t s . C a s e 1 : a t = 1 . I n t h i s c a s e , ( 3 . 3 . 5 0 ) c a n b e s o l v e d f o r t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l t o g e t : V ( l ) . m ) = m T ( 1 ) ) ( 3 3 ° 5 1 ) W e n o t e t h a t , s i n c e V t a k e s i t s v a l u e s i n R , ( 3 . 3 . 5 1 ) i m p l i e s t h a t t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n o f p r i c e T ( p ) i s a n o n r a n d o m s c a l a r . T h a t i s , i t h a s a d e g e n e r a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . I n o t h e r w o r d s , t h e e x p e c t e d u t i l i t y c o n s u m e r b e l i e v e s t h a t t h i s n o n l i n e a r f u n c t i o n o f p r i c e s i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e . T h i s r e s u l t c a n b e s e e n a s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e u n i v a r i a t e r i s k n e u t r a l i t y c a s e . T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l a r e g i v e n b y : a V ( p . m ) = _ a r _ m n 0 ) ’ = _ a 1 m T ( i ) ) . = 1 1 1 ( 3 . 3 . 5 2 ) 6 " ) p i j - l p } P , - ’ ’ a n d 1 1 6 h . ' ( p , u ) - - a E ( 6 _ p 1 9 . ) u ) = a ‘ ( i l u ) ) _ ' 1 1 ) . _ — - 1 l , . . . , n ( 3 0 3 . 5 7 ) a V ( p , m ) = " o z , - I : ( 3 . 3 . 5 3 ) a m H [ E ] T ( 1 ) ) H e n c e , s i n c e E g g ) . = — i m p ) , b y R o y ’ s i d e n t i t y w e g e t t h e n M a r s h a l l i a n d e m a n d i 1 f u n c t i o n a l s : x 1 ( 1 ) . m ) = 3 5 ? i = 1 . . . . . ) 1 ( 3 . 3 . 5 4 ) T h e a b o v e f o r m u l a a r e s i m i l a r t o t h e o n e s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e e x c e p t t h e f a c t t h a t h e r e , x , a n d p , a r e r a n d o m v a r i a b l e s . I n a d d i t i o n , t h e d e m a n d f u n c t i o n s i n t h i s c a s e a r e i n d e p e n d e n t o f t h e c o n s u m e r ’ s " b e l i e f s " a n d " e x p e c t a t i o n s " r e p r e s e n t e d r e s p e c t i v e l y b y { P a n d E . U s i n g t h e f a c t t h a t V ( p , E ( p , u ) ) = u , w e d e d u c e t h e e x p e n d i t u r e a n d c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l s : E , = L ( 3 . 3 . 5 5 ) ( p u ) T ( 1 ) ) = = T 9 1 ) 3 . 3 . 5 6 ” ( P 1 q , m ) 1 5 ( 1 ) . V ( q , m ) ) m 7 ? a s ( ) F i n a l l y , t h e H i c k s i a n o r c o m p e n s a t i n g d e m a n d f u n c t i o n a l s a r e : W e n o t e t h a t a l l t h e a b o v e f u n c t i o n a l s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 3 ’ . I n p a r t i c u l a r , t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e i s i n d e p e n d e n t o f h i s o r h e r " b e l i e f s " a n d " e x p e c t a t i o n s " . 1 1 7 T h e t o t a l , p r e c a u t i o n a r y r i s k , a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s F r o m t h e e x p r e s s i o n o f t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d i n ( 3 . 3 . 5 3 ) , w e g e t : 6 x . ( p . m ) _ _ a , m 8 X , ( p . m ) - — , = 0 f o r i , ' = 1 , . . . , n a n d i ¢ ' ( 3 3 . 5 8 ) 3 P , - p ‘ . 2 d p j J J a n d w = fl i = 1 , . . . , n ( 3 . 3 . 5 9 ) 3 m p l . H e n c e , t h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s a r e : a . , 6 , 3 5 1 x c o v [ l é ‘ L m i - p j , p l ] = 0 f o r i ¢ j ( 3 - 3 - 6 0 ) ( l a x ; x 1 5 p 2 1 ) , - a n d ( 3 . 3 . 6 1 ) H e n c e , a f t e r s i m p l i fi c a t i o n w e h a v e : r l 6 " ; = - l " E - — E p [ [ 1 . . ] ‘ 1 T h e n o n r i s k u n c o m p e n s a t e d d e m a n d e l a s t i c i t i e s a r e : E 5 p } i = 1 , . . . , n ( 3 - 3 - 6 2 ) 1 1 ) . 2 1 1 8 l l ( “ E X E E p . = O f o r i ¢ j ( 3 . 3 . 6 3 ) , 6 x . , m - 3 . 3 . 6 4 5 1 ’ 1 ' 5 1 X E # ‘ P J E p . ‘ = 1 X E 0 5 , 2 ) " i E P i ( ) « 5 x 3 > < ‘ / E p , . 2 p " « E y e . 2 x ‘ / E p , . 2 i w h i c h a f t e r s u b s t i t u t i o n a n d s i m p l i fi c a t i o n g i v e s : E . _ E p i 6 ! ” = - £ 1 i = 1 n " ' — — " ' — — ( 3 . 3 . 6 5 ) ( 1 E _ 2 E p f V L p i T h e t o t a l u n c o m p e n s a t e d p r i c e e l a s t i c i t i e s a r e h e n c e : e a . = 6 , ; - + e ; - = O f o r i ¢ j ( 3 3 ° 6 6 ) a n d E l i _ G i r l + 6 : 1 ' = 1 ( : 1 9 9 " ( 3 . 3 . 6 7 ) E i 2 E p f ‘ p i O n e c a n v e r i f y t h a t w i t h n o u n c e r t a i n t y c f , - = 0 a n d e ; = 6 “ . = - 1 , w h i c h i s i n d e e d t h e v a l u e f o u n d w i t h t h e C o b b - D o u g l a s u t i l i t y i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y . B u t , i n g e n e r a l 1 1 — - m - e a 7 ! - l , e x c e p t i n v e r y s p e c i a l c a s e s w h e r e E 2 P : F o r t h e i n c o m e a n d p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s , w e h a v e : 1 1 9 1 E ) p _ - o ) ? x - e - m ' 0 a = 1 x r ‘ i E 7 k / s £ U = _ 6 j a 2 v j p = a T n d . . , , . - 5 , _ = - « n E c x t ? o m e / h e t o t a l i - E V 1 3 p i X E e r s i . o m 5 U + 3 ~ U . 2 E x ' — 6 _ . X _ ° e f n m = f - c e ) 1 X E ( e V p p x , . - c a t j E E x p j m E , . 2 / P p i i m j ) ( p s a r e t h ] P E j 2 p E ' : n E p j E 1 7 ' o v [ E x i ( p a T n , I i i P ( , - m ’ ) ' P 1 ' _ 1 i , j P = ] - , l , . . . , n ( 3 . 3 . 6 9 ) a j E E V F . L l . l . - ‘ _ _ p p E p ’ E p . 9 ' “ , 2 ’ . n - 2 l . t , . } _ - l , . . . . ( ( 3 3 . ' 3 3 . ' , 7 7 n 0 1 ) ) _ 1 2 p j i ' . ] 3 = B X , ( p . I n ) a x x p . m ) — a m — - ° X j ( P . m ) ' P , - = T ‘ ( X j ( P . m ) ' P j ) . ‘ fi x 3 2 3 1 ) . ( 3 . 3 . 6 8 ) 9 . - p , ’ a i a j m P : f o r i , j = l , . . . , n H e n c e , i n t e r m s o f e l a s t i c i t i e s t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n a n d p u r e i n c o m e e f f e c t s a r e r e s p e c t i v e l y : F o r t h e s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s , o n e c a n e i t h e r s u b t r a c t t h e i n c o m e e f f e c t s f r o m t h e u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s o r d i r e c t l y t a k e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e H i c k s i a n d e m a n d s a t ( p , V ( p , m ) ) . I n e i t h e r c a s e , t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d t a s t e s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s a r e r e s p e c t i v e l y : 1 2 0 i _ l a j E fl - E - l _ E p ) E _ l _ 2 E p j z i ¢ j r : r r m 4 p i p i i ( 3 . 3 - 7 2 ) 6 . ) - = € i j - € i j = 1 1 1 2 ’ 7 _ ( 0 2 , — 1 ) 1 - E 3 1 a ) , E _ 2 E p , 1 . 1 , , n a n d 1 _ l 1 1 2 ‘ 1 . . _ . . a j E _ E p j E . _ 2 E p j . l J - 1 , . . . , I l a n d ( # 1 t : r r m ( p i p ' J ( 3 . 3 . 7 3 ) 5 : 7 = e , , - e , - , - = 1 1 i 1 2 ’ 1 _ ( a t - 1 ) E _ E p , E _ 5 E p , 1 — 1 , . , n L p i L P ; H e n c e , t h e t o t a l s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s a r e : _ 1 . I ( 1 1 . 5 g E - 1 _ 2 E p ) 2 t j = l , . . . , n a n d i ¢ j m r t { P , ; ( 3 . 3 . 7 4 ) e f j = e y - e , - j = e , f + e j = 1 1 2 " I _ ( a t - 1 ) E . . _ 2 E p , t - 1 , . , n i H e n c e , a s p r e d i c t e d b y t h e g e n e r a l t h e o r y , t h e t o t a l o w n - p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s , c f , - i = 1 , . . . , n , a r e n e g a t i v e . B u t , t h e r e a r e s e v e r a l f e a t u r e s i m p l i e d b y t h e C o b b - D o u g l a s h o m o t h e t i c e x p e c t e d u t i l i t y f o r m t h a t c a n b e n o t e d . F i r s t , a s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , t h e o w n - p r i c e t a s t e s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s a r e n e g a t i v e ; h o w e v e r , b e c a u s e o f J e n s e n ’ s i n e q u a l i t y , t h e o w n - p r i c e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s a r e p o s i t i v e . T h i s m e a n s t h a t e v e n w h e n t h e c o n s u m e r i s c o m p e n s a t e d f o r t h e p o s s i b l e l o s s o f w e l f a r e d u e t o r i s k a v e r s i o n a n d t o a n e x p e c t e d i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y , h i s o r h e r p r e c a u t i o n o r p r u d e n c e i n d u c e s h i m o r h e r n o t t o d e c r e a s e h i s o r h e r e x - a n t e d e m a n d o f t h a t c o m m o d i t y b y t h e f u l l a m o u n t i m p l i e d b y t h e o w n - p r i c e t a s t e s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t y . I n o t h e r w o r d s , t h e p r e c a u t i o n a r y 1 2 1 m o t i v e d a m p e n s t h e s u b s t i t u t i o n e f f e c t . 9 3 T h e s a m e p o s i t i v e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t i s f o u n d b y D r é z e a n d M o d i g l i a n i i n t h e t w o - p e r i o d c o n s u m p t i o n c h o i c e c a s e w i t h o n e a g g r e g a t e d c o m m o d i t y a n d s e c o n d p e r i o d i n c o m e u n c e r t a i n t y , u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f d e c r e a s i n g A r r o w — P r a t t r i s k a v e r s i o n c o e f fi c i e n t ( s e e a l s o K i m b a l l , l 9 9 0 ) . S e c o n d , a l s o a s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , a l l c o m m o d i t i e s a r e t a s t e s u b s t i t u t e s , w h i l e t h e c r o s s - p r i c e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s c a n b e e i t h e r p o s i t i v e o r n e g a t i v e . H o w e v e r , t h e y a r e a l l s u b s t i t u t e s i n t o t a l ( i . e . , w h e n o n e a d d s t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d t a s t e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s ) . T h i r d , s t i l l a s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , t h e p u r e i n c o m e e f f e c t s a r e n e g a t i v e , w h i l e t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s c a n b e e i t h e r p o s i t i v e o r n e g a t i v e e x c e p t f o r i = j , i n w h i c h c a s e i t i s p o s i t i v e . F u r t h e r m o r e , S c h w a r z ’ s i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t t h e t o t a l i n c o m e / r i s k a v e r s i o n e f f e c t s a r e b e t w e e n - 1 a n d 0 . A g a i n , t h e p o s i t i v i t y o f t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t w a s a l s o f o u n d b y D r é z e a n d M o d i g l i a n i . T h i s m e a n s t h a t w h e n t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y i s e x p e c t e d t o i n c r e a s e , r i s k a v e r s i o n a l o n e i n d u c e s t h e c o n s u m e r t o t a k e s o m e p r e c a u t i o n b y d e c r e a s i n g h i s o r h e r w r - a n t e d e m a n d o f t h a t c o m m o d i t y b y l e s s t h a n t h e a m o u n t i m p l i e d b y t h e d e c r e a s e i n " r e a l i n c o m e " . M o r e o v e r , a l t h o u g h t h e r e i s n o t a s t e G i f f e n g o o d ( i . e . , e fi < 0 ) , a l l t h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s a r e p o s i t i v e . T h i s i m p l i e s t h a t w h e n t h e c o n s u m e r e x p e c t s t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y t o i n c r e a s e , t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a n d r i s k a v e r s i o n e f f e c t s w o r k i n t h e s a m e d i r e c t i o n t o d a m p e n t h e o v e r a l l d e c r e a s e i n h i s o r h e r e x - a n t e d e m a n d f o r t h a t c o m m o d i t y w h i c h w o u l d h a v e o c c u r r e d i f h e o r s h e w e r e i n d i f f e r e n t t o u n c e r t a i n t y . F i n a l l y , o n e c a n v e r i f y t h a t w i t h n o u n c e r t a i n t y , a l l t h e r i s k e l a s t i c i t i e s a r e z e r o a n d t h e t a s t e 9 ’ N o t e t h a t b e c a u s e t h e t o t a l o w n p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t i s a l w a y s n e g a t i v e , t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t m u s t b e l e s s t h a n t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e o w n - p r i c e t a s t e s u b s t i t u t i o n e f f e c t . 1 2 2 e l a s t i c i t i e s r e d u c e t o t h e i r r e s p e c t i v e d e t e r m i n i s t i c a n a l o g u e s ; b u t , i n g e n e r a l t h e m a g n i t u d e s a r e r e s p e c t i v e l y d i f f e r e n t . F i n a l l y , t h e i n c o m e ( o r m o r e p r e c i s e l y b u d g e t ) e l a s t i c i t i e s f o r t h e C o b b - D o u g l a s e x p e c t e d u t i l i t y a r e : m a x i ( p r m ) 1 1 1 ’ . = X = . . _ E x ' 2 a m p l . 1 P x E - 1 ] 1 i = 1 , . . . , n ( 3 . 3 . 7 5 ) t h e y a r e r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e w h i c h r e d u c e t o l , t h e v a l u e f o u n d i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e , i f t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y . T h e i r m e a n s t e l l u s t h a t t h e r e a r e n o i n f e r i o r g o o d s w i t h a C o b b . D o u g l a s h o m o t h e t i c e x p e c t e d u t i l i t y . W e l f a r e i n d i c a t o r s a n d r i s k p r e m i m n F r o m t h e c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a l g i v e n b y ( 3 . 3 . 5 6 ) w e g e t t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( E V ) , t h e A l l e n q u a n t i t y ( l i v i n g s t a n d a r d ) i n d e x ( Q A ) , a n d t h e M a c k e n z i e - P e a r c e ( c o s t o f l i v i n g ) i n d e x ( P M ) r e s p e c t i v e l y : . _ . 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N o r m a l i z i n g b y t h e b a s e e x p e n d i t u r e m , g i v e s t h e r i s k p r e m i u m i n d e x w h i c h i s a l s o t h e r i s k c o m p o n e n t i n t h e i n t h e A l l e n q u a n t i t y i n d e x Q A : , E R = _ m ’ T a r ) ; ( 3 . 3 . 8 1 ) Q A H 7 - — _ T ( P ) Z : i - 1 m i 1 - [ E ‘ : — I ] E D I ] S i m i l a r l y , t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x , w h i c h i s t h e r i s k c o m p o n e n t i n t h e M a c k e n z i e - P e a r c e p r i c e i n d e x i s g i v e n b y : ’ R _ r ( ) 1 1 ( 3 3 8 2 ) I " ; m = p 2 0 1 E [ — 1 E p ‘ . Z a c o v [ _ , p ] u ( p . q . m ’ ) ( E X ( p . u ( p . q . m ) ) - E p ) T M ) i - n ’ 9 2 p , ‘ T h e ( i , 1 ) I l l e l e m e n t o f t h e m a t r i x o f r i s k a v e r s i o n , R ‘ , i s g i v e n b y : R U _ E C O V P ‘ X P J ‘ G ’ : q r m ) 9 p i ] : _ m T T p ) a { { c o v E [ E r p j ] ( 3 . 3 . 8 3 ) _ _ m _ T _ ( _ q ) a _ E m T ( p ) a ‘ p . p ’ W e r e c a l l t h a t t r R ‘ = Q , ’ . B u t w e c o u l d n o t d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t R ‘ i s a p o s i t i v e d e fi n i t e m a t r i x . 1 2 4 T h e n o n r i s k c o m p o n e n t s i n t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , A l l e n q u a n t i t y i n d e x , M a c k e n z i e - P e a r c e p r i c e i n d e x a r e r e s p e c t i v e l y : T = E x ( p , u ( p , q , m ’ ) ) ' E p - m = m 3 ( 1 ) ) : E H ] E p . - m T Q M - ) 2 1 : T + m T _ _ ( L l ) : Q - H l m u m ; M l fl ] T _ _ ( p ) P i t a m , _ T _ _ ( Q ) T + m " E B 1 5 » . C a s e 2 : a < 1 . I n t h i s c a s e , ( 3 . 3 . 5 0 ) c a n b e s o l v e d f o r x , - t o g e t i x , = fi [ £ ( r ( p ) ) " V ( p , m ) ] W i = 1 . . . . . n . m m a n d t h e ( 3 . 3 . 8 4 ) ( 3 . 3 . 8 5 ) ( 3 . 3 . 8 6 ) ( 3 . 3 . 8 7 ) T a k i n g t h e s c a l a r p r o d u c t o f b o t h s i d e s o f ( 3 . 3 . 8 7 ) w i t h p , , a n d s u m m i n g a c r o s s i g i v e s 1 m : 2 : 1 : ( 1 ’ 1 ’ H i ) E E — F i f i i 7 : . 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( 3 . 3 . 1 3 2 ) 2 a j x j = - L o g [ _ p L + 1 E p , L o g p , l + a i m j E l ' a i m E p l . a i m N o w , i f k 6 1 ° a n d q , a t 0 , t h e n ( 3 . 3 . 1 2 5 ) i m p l i e s E < L B J = 1 ’ . " f o r a l l i E I ‘ ( 3 . 3 . 1 3 3 ) p k m p i T h a t i s R t > E f o r a l l i e r : ( 3 . 3 . 1 3 4 ) a t ( 1 ' . H e n c e , t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d s f o r t h e m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y g e n e r a l i z a t i o n o f C A R A a r e g i v e n b y x , ( p , m ) = 0 i f 3 ' . > p a ‘ ( 3 . 3 . 1 3 5 ) z ( p . m ) = 4 4 7 4 ; ] + 2 1 3 % ” + E [ 1 5 L O S % ] } w h e r e f ) I m i n { 2 1 } = E f o r a l l i 6 1 ’ , a n d z ( p , m ) - 1 2 a j x j ( p , m ) j - l . . . . . n o r ] . a , j g ] . T h e r e a r e t w o t h i n g s t o n o t i c e h e r e . F i r s t , ( 3 . 3 . 1 2 8 ) i m p l i e s s o m e r e s t r i c t i o n o n t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s , w h i c h i s t h a t t h e c o n s u m e r b e l i e v e s t h a t t h e p r i c e s f o r a l l g o o d s w i t h n o n z e r o d e m a n d s a r e p o s i t i v e l y p e r f e c t l y c o r r e l a t e d ( i . e . , h a v e p a i r w i s e c o e f fi c i e n t s o f c o r r e l a t i o n o f l ) ; a n d s e c o n d , t h e q u a n t i t i e s f o r t h e i n d i v i d u a l g o o d s w i t h n o n z e r o d e m a n d a r e i n d e t e r m i n a t e . T h i s e x p r e s s e s s o m e i n d i f f e r e n c e a m o n g t h e s e g o o d s . T h e i n d i r e c t u t i l i t y a n d 1 3 6 o t h e r f u n c t i o n a l s f o l l o w e a s i l y f r o m ( 3 . 3 . 1 3 5 ) . B u t , i t w o u l d b e m e a n i n g l e s s t o c o m p u t e e l a s t i c i t i e s i n t h i s c o n t e x t . I n s u m m a r y , t h e e x p e c t e d u t i l i t y e x a m p l e s t r e a t e d h e r e r e v e a l t h e p o t e n t i a l l y r e s t r i c t i v e n a t u r e o f p r e f e r e n c e s g e n e r a t e d b y e x p e c t e d u t i l i t y . T h r e e s t r i k i n g f e a t u r e s e m e r g e f r o m t h e s e e x a m p l e s : ( 1 ) t h e r e s t r i c t i o n o n c o n s u m e r ’ s b e l i e f s i m p l i e d b y s o m e p r e f e r e n c e s . ( 2 ) T h e p o s s i b l e n o n d e p e n d e n c e o f c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r a n d w e l f a r e o n h i s o r h e r b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s . ( 3 ) T h e a p p a r e n t i n s t a b i l i t y o f b e h a v i o r a n d b e l i e f s t h a t i s i m p l i e d b y t h e f a c t t h a t a " s m a l l c h a n g e " i n p r e f e r e n c e c a n l e a d t o s o m e d e g e n e r a c y i n b e l i e f s a n d t o a q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t t y p e o f b e h a v i o r . T h e s e t h r e e f e a t u r e s c o m b i n e d c a n e x p l a i n m a n y o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y p a r a d o x e s f o u n d t h r o u g h c o n s t r u c t e d e x a m p l e s a n d e x p e r i m e n t a t i o n . 3 . 4 E x a m p l e s o f n o n - e x p e c t e d u t i l i t y , e x p e n d i t u r e a n d d e m a n d f u n c t i o n a l s G i v e n t h e s o m e t i m e s s e v e r e r e s t r i c t i o n s o n b o t h b e h a v i o r a n d b e l i e f s t h a t c a n e m e r g e s o e a s i l y f r o m p r e f e r e n c e s g e n e r a t e d b y e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s ( w h e n o n l y t h e o p t i m i z i n g b e h a v i o r i s u s e d ) , i t i s o f i n t e r e s t t o s e e w h e t h e r ” n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y f u n c t i o n a l s w i l l g e n e r a t e t h e s a m e k i n d s o f r e s t r i c t i o n s w h e n t h e o p t i m i z i n g b e h a v i o r a s s u m p t i o n i s u s e d a l o n e w i t h n o a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n o n b e l i e f s f o r m a t i o n . 9 4 B y " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y w e m e a n t h e i m p o s s i b i l i t y t o w r i t e t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U a s U ( x ) = E u ( x ) f o r s o m e c a r d i n a l u t i l i t y f u n c t i o n u , s o t h a t i t d e p e n d s l i n e a r l y o n t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , t h e 9 ‘ A s a l r e a d y d i s c u s s e d , a l l f u n c t i o n a l f o r m s i n c l u d i n g " n o n - e x p e c t e d " o n e s w i l l g e n e r a t e r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s w h e n t h e a s s u m p t i o n o f o p t i m a l i t y o f b e l i e f a s s e s s m e n t s ( i . e . , a t o p t i m a l c h o i c e s t h e d e c i s i o n m a k e r s h o u l d n o t h a v e e x - a n t e a n y i n c e n t i v e t o c h a n g e h i s o r h e r " b e l i e f s " o r " e x p e c t a t i o n s " ) i s u s e d . W h e n t h i s a s s u m p t i o n i s m a t h e m a t i c a l l y f o r m a l i z e d , o n e c a n u s e c a l c u l u s t o a n a l y t i c a l l y d e r i v e t h e i m p l i e d r e s t r i c t i o n s o n " b e l i e f s " a n d " e x p e c t a t i o n s " f o r e a c h f u n c t i o n a l f o r m . T h e i s s u e h e r e i s w h e t h e r w e c a n g e t r e s t r i c t i o n s o n b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s w i t h o u t t h i s a s s u m p t i o n . 1 3 7 e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E , o r t h e s u b j e c t i v e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f x . I n t e r m s o f t h e a x i o m s o f e x p e c t e d u t i l i t y t h e o r y , i t m e a n s d r o p p i n g t h e c o n t r o v e r s i a l , s o - c a l l e d " i n d e p e n d e n c e a x i o m " t h a t l e a d s t o t h i s r e p r e s e n t a t i o n . T h e m e t h o d w e u s e t o g e n e r a t e " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y f u n c t i o n a l s i s b a s e d o n t h e n o r m d e fi n i n g t h e t o p o l o g y o f t h e c h o i c e s p a c e L 2 G ) , R " ) . I n A p p e n d i x 4 w e e x p l a i n t h e r a t i o n a l e f o r m a k i n g t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l d e p e n d s e x p l i c i t l y o n t h e t o p o l o g y o f t h e c h o i c e s p a c e . I n e s s e n c e , b e c a u s e t h e a b i l i t y t o n u m e r i c a l l y r e p r e s e n t t h e u n d e r l y i n g o r d i n a l p r e f e r e n c e 2 b y a u t i l i t y f u n c t i o n a l U d e p e n d s o n t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e , d i r e c t l y a n d t h r o u g h t h e a s s u m e d c o n t i n u i t y o f z , t h e f u n c t i o n a l f o r m f o r U s h o u l d e x h i b i t t h i s d e p e n d e n c e . H e n c e , o n e m i g h t e x p e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l s o f t h e f o r m U ( x , , . . . , x n ) = F ( l | g 1 ( x , ) l l , , I l g n ( x n ) l l ) ( 3 - 4 - 1 ) t o b e l e s s r e s t r i c t i v e t h a n e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s . H e r e I I I I i s t h e n o r m o f L 2 “ ) , R ) s o t h a t l e I I 2 = i : I I x , “ 2 f o r a l l x = ( x , , . . . , x , , ) E L 2 ( 0 , R " ) , F i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e fi n e d 1 - 1 o n t h e E u c l i d e a n s p a c e R “ , a n d t h e g , ’ s a r e f u n c t i o n s a p p r o p r i a t e l y c h o s e n s o t h a t U i s a t l e a s t q u a s i — c o n c a v e . ” I n t h e f o l l o w i n g d e r i v a t i o n s , w e u s e t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y p r o p e r t y o f t h e H i l b e r t i a n n o r m o r L , ( n , R “ ) : x - 9 fl x l . W e r e c a l l t h a t M 2 = i . " ‘ ( “ ’ ) l z ‘ m “ ’ ) = E ( | | x fl 2 ) = g E x f , w h e r e t h e I I i n s i d e t h e i n t e g r a l o r t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r i s t h e u s u a l E u c l i d e a n n o r m . B u t , i t i s a n a l y t i c a l l y c o n v e n i e n t t o k e e p t h e n o t a t i o n I I X , " . a n d s u b s t i t u t e f o r E x ? o n l y f o r c o m p u t a t i o n a l p u r p o s e s . T h e f o l l o w i n g r e s u l t i s p r o v e d i n a p p e n d i x 3 . ’ 5 W e h a v e d r o p p e d t h e r e s p e c t i v e s u b s c r i p t s f r o m I I t o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n , s i n c e t h e r e s p e c t i v e s p a c e s t h e n o r m s r e f e r t o a r e c l e a r f r o m t h e c o n t e x t . 1 3 8 L e m m a 3 . 4 . 1 L e t f : x — > H g o x l l b e a fi t n c t i o n a l o n L 2 “ ) , R ) w h e r e g i s a d i f f e r e n t i a b l e r e a l v a l u e d f u n c t i o n o n t h e r e a l l i n e R . T h e n f i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e e v e r y w h e r e e x c e p t t h e o r i g i n 0 w i t h f ( x ) = W f o r a l l x e L , ( 0 , R ) \ { 0 } ( 3 . 4 . 2 ) I n t h e " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y e x a m p l e s b e l o w , t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U w i l l b e d e fi n e d a s t h e r e s t r i c t i o n t o t h e p o s i t i v e c o n e , L 2 6 ) , R " ) , , o f a F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a l i n t h e f o r m o f ( 3 . 4 . 1 ) t h a t i s d e fi n e d o n t h e e n t i r e s p a c e . T h u s , b y L e m m a 3 . 4 . 1 a n d b y t h e c h a i n r u l e , U w i l l b e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e e x t e n d e d s e n s e ) e x c e p t a t t h e o r i g i n . L i k e w i s e , a l l t h e d e r i v e d f u n c t i o n a l ( d e m a n d s , e x p e n d i t u r e , e t c . . . ) w i l l b e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e e x t e n d e d s e n s e ) e x c e p t a t t h e o r i g i n . H e n c e , i f t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l U i s g i v e n b y ( 3 . 4 . 1 ) , t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n s f o r a n " i n t e r i o r " s o l u t i o n ( 3 . 2 . 5 ) a n d ( 3 . 2 . 4 ) r e d u c e r e s p e c t i v e l y t o ( g , 0 X , ) ( g . ’ 0 X . ) — . = ' = ( 3 . 4 . 3 ) 1 8 . 1 0 3 1 " h p 0 1 1 , , n l F i < l e x x o l l 1 8 . 0 % . ) “ M _ m = 0 ( 3 . 4 . 4 ) ( 8 . o m y 0 X . ) i s a r a n d o m 1 8 . 0 1 : . " W e r e c a l l t h a t F § ( I l g , ( x , ) I I , , I l g n ( x n ) l l ) i s a r e a l n u m b e r , w h i l e v a r i a b l e . 1 3 9 U ( x ) = 1 1 ] 1 ' " x ? " w i t h 0 2 1 . 2 0 , a n d a E . 1 5 % 2 I 0 . ) ( 3 . 4 . 5 ) 3 . 4 . 1 D e m a n d f u n c t i o n a l s f o r t h e C o b b - D o u g l a s n o n - e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l W e d e fi n e t h e C o b b - D o u g l a s n o n - e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l a s : 9 6 S i n c e U c a n b e w r i t t e n a s t h e p r o d u c t o f s t r i c t l y p o s i t i v e c o n c a v e f u n c t i o n a l s , i t i s q u a s i - c o n c a v e . T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f U a r e - l x 2 e - l x . U g o . ) = " " ‘ 1 ? 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H o w e v e r , g e n e r a t i o n o f " n o n - e x p e c t e d " f u n c t i o n a l s i s n o t l i m i t e d t o t h e m e t h o d u s e d h e r e . T h e s e e x a m p l e s s h o w c l e a r l y t h a t t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n o f t h e M a r s h a l l i a n d e m a n d f u n c t i o n a l s p r o c e e d s e s s e n t i a l l y i n t h e s a m e w a y a s i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e . M o r e o v e r , h e r e o n e n e e d n o t i n t r o d u c e e x - p o s t a s o — c a l l e d " e r r o r t e r m " i n t o t h e d e m a n d m o d e l i n o r d e r t o j u s t i f y t h e s t a t i s t i c a l p r o c e d u r e s . N e v e r t h e l e s s , o n e s t i l l m a y w a n t t o a d d a n " e r r o r t e r m ” , b e c a u s e o f t h e i n e v i t a b l e p r e s e n c e o f " n o i s e " o r m e a s u r e m e n t e r r o r s i n c o l l e c t e d d a t a . I n c h a p t e r 5 w e u s e t h e d u a l i t y a p p r o a c h t o s t a r t f r o m a n e x p e n d i t u r e o r i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l t o d e r i v e t h e c o r r e s p o n d i n g d e m a n d f u n c t i o n a l s , e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s . W e w i l l a l s o d i s c u s s i n t h a t c h a p t e r s o m e o f t h e e c o n o m e t r i c i s s u e s i n v o l v e d i n t h e e s t i m a t i o n o f t h e d e m a n d f u n c t i o n a l s . H o w e v e r , b e f o r e d i s c u s s i n g t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n o f d e m a n d f u n c t i o n a l s u n d e r u n c e r t a i n t y , w e o u t l i n e i n t h e n e x t c h a p t e r h o w t o e x t e n d t h e t h e s t a t i c r e s u l t s t h u s f a r d e r i v e d t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . 1 4 8 C H A P T E R 4 E X T E N S I O N T O I N T E R T E M P O R A L C O N S U M P T I O N C H O I C E S 4 . 1 I n t r o d u c t i o n I n t h i s c h a p t e r w e g i v e a d e t a i l e d o u t l i n e o f t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k t h a t w i l l e n a b l e t h e e x t e n s i o n o f t h e s t a t i c r e s u l t s d e r i v e d i n c h a p t e r s 2 a n d 3 t o i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . I n A p p e n d i x 4 w e p r e s e n t t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k a n d m e t h o d o l o g y f o r a n a l y z i n g i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . I n p a r t i c u l a r , w e h a v e a r g u e d t h a t i n g e n e r a l t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e c a n a l w a y s b e d e fi n e d i n a c h o i c e s p a c e w h i c h h a s t h e g e n e r a l f o r m L e m , F ) , t h e s p a c e o f r a n d o m v a r i a b l e s ( o r f u n c t i o n s ) d e fi n e d o n Q ( t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e s ) a n d t a k i n g v a l u e s i n F ( t h e o u t c o m e s p a c e ) . I n t h e s t a t i c a n a l y s i s t h u s f a r c o n d u c t e d , F w a s t a k e n t o b e t h e E u c l i d e a n s p a c e R “ ( t h e u s u a l c o m m o d i t y s p a c e ) , a n d [ 0 ( 0 , F ) w a s e n d o w e d w i t h a n a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e w h i c h m a d e p o s s i b l e t h e u s e o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s t o o l s t o d e r i v e t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s . H e n c e , w h a t w e n e e d t o d o f o r t h e i n t e r t e m p o r a l c a s e i s t o i d e n t i f y t h e r e l e v a n t o u t c o m e s p a c e F , a n d e n d o w L a m , F ) w i t h a n a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e t h a t w i l l a l l o w t h e d e r i v a t i o n o f s i m i l a r r e s u l t s u s i n g t h e s a m e t o o l s . W e h a v e a l r e a d y m e n t i o n e d i n c h a p t e r 2 t h a t , a l t h o u g h i n t h e i r p r e s e n t f o r m o u r t h e o r e t i c a l r e s u l t s d o e s n o t m a k e e x p l i c i t r e f e r e n c e s t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s , t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h i s v a l i d f o r i n t e r t e m p o r a l c h o i c e m o d e l s a s l o n g a s t h e c h o i c e s p a c e i s a u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e , s o t h a t t h e t w o b a s i c t h e o r e m s A 2 . l a n d A 2 . 2 i n A p p e n d i x A 2 c a n b e a p p l i e d . H e n c e , t h e b a s i c s t r a t e g y i s t o s e l e c t F a n d e n d o w 1 . 0 ( 9 , F ) w i t h a m a t h e m a t i c a l 1 4 9 s t r u c t u r e t h a t m a k e s i t a u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e . H o w e v e r , a n y m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o n L o ( ( l , F ) w i l l d e p e n d t o a l a r g e e x t e n d o n t h e o n e o n F ( t h i s i s e s p e c i a l l y t r u e f o r t h e u n i f o r m c o n v e x i t y p r o p e r t y ) , w h i c h i n t h e ( c o n t i n u o u s t i m e ) i n t e r t e m p o r a l c a s e , i s a n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e ( s e e A p p e n d i x 4 ) . H e n c e , u n l i k e t h e s t a t i c c a s e w h e r e F w a s t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e R “ , t h e c h o i c e o f a t o p o l o g y o r m e t r i c o n F i s a c r u c i a l s t e p f o r d e t e r m i n i n g t h e o v e r a l l m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e . ” F u r t h e r m o r e , w i t h t h e H i n d y , H u a n g a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) ( H H K h e r e a f t e r ) c r i t i c i s m o f t h e s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s , d e fi n i n g t h e e c o n o m i c s t r u c t u r e a n d s i g n i fi c a n c e o f F i s a c r u c i a l fi r s t s t e p f o r d e t e r m i n i n g t h e e c o n o m i c s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e L a m , F ) a n d i n t e r p r e t i n g i t s e l e m e n t s . T h e c h a p t e r i s d i v i d e d i n t w o m a i n p a r t s . T h e fi r s t p a r t f o c u s s e s o n t h e e c o n o m i c a n d m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s o f t h e o u t c o m e s p a c e F , a n d t h e s e c o n d p a r t o n t h e o n e s o f t h e c h o i c e s p a c e 1 . 0 m , F ) . T h e s e c o n d p a r t c o n c l u d e s w i t h a b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e i s s u e s r e l a t e d t o t h e u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e , i n t e r t e m p o r a l c o n s t r a i n t s , a n d s e t - u p o f t h e c o n s u m e r ’ s u t i l i t y m a x i m i z a t i o n p r o b l e m . 4 . 2 T h e e c o n o m i c a n d m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e o u t c o m e s p a c e 5 ; I n c h a p t e r 2 w e b r i e fl y a l l u d e d t o H H K ’ s a r g u m e n t s o n w h y s t a n d a r d c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s a r e i n a p p r o p r i a t e f o r d e s c r i b i n g c o n t i n u o u s t i m e i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . W i t h o u t g o i n g i n t o d e t a i l i n t h e i r e c o n o m i c a n d m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s , w e w i l l s u m m a r i z e b r i e fl y t h e i r e c o n o m i c a r g m n e n t s a n d a d a p t t h e i r p r o p o s a l t o v i e w c o n s u m e r s a s c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s o r p a t t e r n s t o o u r c o n c e p t u a l a n d m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k . ’ 7 B e c a u s e a l l m e t r i c s d e fi n e d o n R “ a r e e q u i v a l e n t , t h e c h o i c e o f a t o p o l o g y o n R “ i s n o t a n i s s u e ( s e e t h e r e l a t e d d i s c u s s i o n i n t h e i n t r o d u c t i o n o f c h a p t e r 2 ) . 1 5 0 4 . 2 . 1 T h e o u t c o m e o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s H I - H ( ’ s a r g u m e n t s a r e t w o f o l d . W e d i s c u s s t h e i r fi r s t a r g u m e n t i n t h i s s e c t i o n a n d t h e s e c o n d a r g u m e n t i n t h e n e x t s e c t i o n . H H K a r g u e t h a t t o b e r e a l i s t i c , i n m o d e l l i n g c o n s u m p t i o n o v e r t i m e o n e s h o u l d a l l o w f o r c o n t i n u o u s c o n s u m p t i o n a t " r a t e s " a s w e l l a s c o n s u m p t i o n i n l u m p s o r " g u l p s " a t d i s c r e t e p o i n t s i n t i m e . H o w e v e r , t h e s t a n d a r d m o d e l , b y r e p r e s e n t i n g c o n s u m p t i o n o v e r t h e t i m e i n t e r v a l T b y a f u n c t i o n c : T C R + — ’ R ’ I , w h e r e c ( t ) i s t h e r a t e o f c o n s u m p t i o n a t t i m e t ( a v e c t o r o f c o m m o d i t y b u n d l e s ) , d o e s n o t a l l o w f o r c o n s u m p t i o n i n l u m p s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t i m e , w h i c h , i n f a c t i s a m o r e r e a l i s t i c d e s c r i p t i o n 9 8 H e n c e t h e y p r o p o s e r e p r e s e n t i n g c o n s u m p t i o n o v e r t h e t i m e o f c o n s u m p t i o n o v e r t i m e . i n t e r v a l T b y a r i g h t - c o n t i n u o u s f u n c t i o n x : T C R + 4 R 1 , w h e r e x ( t ) i s t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n f r o m t i m e z e r o t o t i m e I u n d e r t h e c o n s u m p t i o n p a t t e r n x . 9 9 T h e t i m e d e r i v a t i v e o f a c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n f u n c t i o n ( i f i t e x i s t s i n t h e c l a s s i c a l s e n s e o f d e r i v a t i v e ) g i v e s t h e a s s o c i a t e d c o n s u m p t i o n r a t e f u n c t i o n c . I n t h i s w a y , c o n t i n u o u s c o n s u m p t i o n i n r a t e a s w e l l a s d i s c r e t e c o n s u m p t i o n i n " g u l p " o r l u m p s u m i s a l l o w e d . H o w e v e r , b e c a u s e t h e t i m e d e r i v a t i v e o f t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n f u n c t i o n n e e d n o t e x i s t i n t h e c l a s s i c a l s e n s e o f a d e r i v a t i v e ( a s w h e n c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n i s m a d e o f l u m p s u m c o n s u m p t i o n a t d i s c r e t e p o i n t s i n t i m e ) , t h e r e l e v a n t c o n c e p t o f d e r i v a t i v e t o u s e h e r e i s t h e o n e o f g e n e r a l i z e d o r 9 ‘ H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) a r g u e t h a t d i s c r e t e c o n s u m p t i o n i n " g u l p " o r l u m p s u m ( s u c h a s t a k i n g m e a l s a t d i s c r e t e t i m e f o r e x a m p l e ) i s t h e m o s t r e a l i s t i c p i c t u r e o f t h e w a y p e o p l e c o n s u m e c o m m o d i t i e s i n t h e r e a l w o r l d . H o w e v e r , t h i s i s r u l e d o u t b y t h e s t a n d a r d p r a c t i c e o f m o d e l l i n g c o n t i n u o u s t i m e i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e a s a c h o i c e a m o n g a l t e r n a t i v e p a t t e r n s o f c o n s u m p t i o n r a t e s . ’ 9 I n f a c t , H H K t r e a t e d t h e o n e ( a g g r e g a t e d ) c o m m o d i t y c a s e ; b u t t h e i r a r g u m e n t s c a r r y o v e r w i t h o u t c h a n g e t o t h e m a n y c o m m o d i t i e s c a s e . 1 5 1 W : = W P " ( T , R " ) a { x ; D ° X E L P C T , R " ) , a = 0 , l , . . . , k ; } d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e . ' 0 0 H e n c e , i n t h i s g e n e r a l a n d m o r e r e a l i s t i c f r a m e w o r k c , t h e u s u a l c o n s u m p t i o n " r a t e " f u n c t i o n , b e c o m e s w h a t i s k n o w n i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s a s a d i s t r i b u t i o n o r g e n e r a l i z e d fi t n c t i o n . ” l M o r e o v e r , a s i t i s r e c o g n i z e d t h a t c o n s u m p t i o n s m o o t h i n g i s s u e s ( i n c l u d i n g i s s u e s o f s e a s o n a l i t y i n c o n s u m p t i o n ) a r e v e r y i m p o r t a n t i n t h e a n a l y s i s o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s , t h e c o n s u m p t i o n " r a t e " f u n c t i o n i s n o t t h e o n l y r e l e v a n t f u n c t i o n r e l a t e d t o t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n x . I n d e e d , t h e c o n c e p t o f c o n s u m p t i o n s m o o t h i n g r e l a t e s t o t h e " c u r v a t u r e " o f t h e c o n s u m p t i o n " r a t e " f u n c t i o n ; t h a t i s , t o v a r i o u s d e g r e e s o f " t h e c h a n g e i n t h e c h a n g e i n t h e c h a n g e i n t h e c h a n g e i n t h e c o n s u m p t i o n " r a t e " f u n c t i o n " . I n s h o r t , t h i s m e a n s t h a t t h e fi r s t a n d h i g h e r t i m e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e s u p t o a n a r b i t r a r y o r d e r k o f t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n x a r e a l l r e l e v a n t f o r t h e a n a l y s i s o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . T h e s e e c o n o m i c a r g u m e n t s i n d i c a t e t h a t f o r i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s , t h e r e l e v a n t c o n s u m p t i o n o u t c o m e s a r e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s o r p a t t e r n s , a n d t h a t m a t h e m a t i c a l l y t h e y l i e i n a s p a c e k n o w n i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s a s a S o b o l e v s p a c e . I n o t h e r w o r d s , t h e o u t c o m e s p a c e F c o n t a i n i n g a l l t h e p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s i s a S o b o l e v s p a c e o f o r d e r k d e fi n e d b y w h e r e T i s a n o p e n ( t i m e ) i n t e r v a l o f t h e p o s i t i v e o r t h a n t o f t h e r e a l l i n e , D “ ) : i s t h e a ' h t i m e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o f t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n x , w i t h D ° x a x ; a n d L P ( T , R “ ) ‘ ° ° T h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e c o n c e p t g e n e r a l i z e s t h e c l a s s i c a l c o n c e p t o f d e r i v a t i v e t o f u n c t i o n s t h a t a r e m e r e l y ( l o c a l l y ) i n t e g r a b l e . F o r e x a m p l e , c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a s w e l l a s s t e p f u n c t i o n s h a v e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e s o f i n fi n i t e o r d e r . T h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n i s c a l l e d d i s t r i b u t i o n o r g e n e r a l i z e d fi l n c t i o n w h i c h a l s o h a s d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e s o f i n fi n i t e o r d e r ( s e e , f o r e x a m p l e , R u d i n , 1 9 9 1 ) . ’ 0 ‘ H H K a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) d i d n o t u s e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e s i n t h e i r a n a l y s i s . B u t , f r o m a f u n c t i o n a l a n a l y s i s p e r s p e c t i v e i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o w o r k w i t h t h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e . W o r k i n g w i t h d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e s a l l o w s o n e a l s o t o r e s o l v e s o m e m a t h e m a t i c a l t e c h n i c a l i t i e s t h a t c o u l d p r e v e n t t h e a p p l i c a t i o n o f t h e o r e m s A 2 . 1 a n d A 2 . 2 . 1 5 2 i s t h e s p a c e o f L e b e s g u e p — i n t e g r a b l e f u n c t i o n s d e fi n e d o n T a n d t a k i n g v a l u e i n R i m T h e m e t r i c o f t h e S o b o l e v s p a c e W i s g i v e n b y t h e S o b o l e v n o r m d e fi n e d b y : l k _ u x u , . a l e l l . . . , a z 1 I I D “ x ( t ) u m ] . f o r a n x e w ; ( 4 . 2 . 1 ) ( 2 ‘ 0 w h e r e t h e n o r m I I I I a p p e a r i n g i n s i d e t h e i n t e g r a l i s t h e u s u a l E u c l i d e a n n o r m . I n t h e t e r m i n o l o g y o f t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f A p p e n d i x 4 , t h e n o r m I I I I L P f o r m a l i z e s t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f " s i m i l a r i t i e s / d i s s i m i l a r i t i e s " a m o n g t h e v a r i o u s p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s . T h e t i m e ( d i s t r i b u t i o n a l ) d e r i v a t i v e s i n v o l v e d i n t h i s p e r c e p t i o n o f " s i m i l a r i t i e s / d i s s i m i l a r i t i e s " m e a n s t h a t t h e d e g r e e s o f " s m o o t h n e s s " o f t h e v a r i o u s p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s a r e e c o n o m i c a l l y r e l e v a n t i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s t h a t a r e p e r c e i v e d t o d i s t i n g u i s h t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s o n e f r o m a n o t h e r . O n e n o t e s t h a t s i n c e b y d e fi n i t i o n a p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n i s a p o s i t i v e m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f t i m e , t h e s e t X , o f a l l p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s i s a s u b s e t o f t h e ( n a t u r a l ) p o s i t i v e c o n e o f t h e S o b o l e v s p a c e W p ' e n d o w e d w i t h i t s n a t u r a l o r d e r ( i . e . , t h e o r d e r 2 d e fi n e d b y x 2 y i f x ( t ) 2 y ( t ) f o r a l l t E T ) . I n o t h e r w o r d s , X 0 C V V , , " . . O n e a l s o n o t e s t h a t X o i t s e l f i s a c o n e , a n d t h u s c a n b e u s e d t o d e fi n e a n o t h e r o r d e r i n g 2 , , o n W , " b y t h e r e l a t i o n x 2 , , y i f x - y 6 X , , . 1 0 3 I t i s a s t a n d a r d r e s u l t o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s t h a t f o r 1 S p < c o ( r e s p I < p < c o ) t h e S o b o l e v s p a c e W , " i s a s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e ( r e s p s e p a r a b l e u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h “ ’ 2 N o t e i n p a r t i c u l a r t h a t b y d e fi n i t i o n W ; C L P ( 9 , R " ) . “ ’ 3 H H K t a k e t h e c h o i c e s p a c e t o b e t h e l i n e a r s p a n o f X 0 a n d w o r k w i t h t h e o r d e r i n g d e fi n e d b y 2 0 . O n e s h o u l d n o t e t h a t t h e m e a n i n g o f t h e u s u a l m o n o t o n i c i t y o f p r e f e r e n c e a s s u m p t i o n i s d i f f e r e n t d e p e n d i n g w h i c h o r d e r i n g o n e u s e s t o d e fi n e i t . 1 5 3 ( t u x ) , 2 = Z 1 ( D “ p ( t ) , D " x ( t ) ) d t ( 4 . 2 . 3 ) s p a c e ) . ‘ ° “ M o r e o v e r , f o r p = 2 , W ; i s a H i l b e r t s p a c e w i t h a n i n n e r o r s c a l a r p r o d u c t g i v e n b y : k ( x , y ) m s 2 [ ( D “ x ( t ) , D ° ' y ( t ) ) d t f o r a l l x , y e w ; ( 4 . 2 . 2 ) a = 0 w h e r e t h e s c a l a r p r o d u c t ( ) a p p e a r i n g i n s i d e t h e i n t e g r a l i s t h e u s u a l E u c l i d e a n s c a l a r p r o d u c t . 1 0 5 H e n c e , i f w e t a k e p r i c e s t o c o m e f r o m t h e d u a l s p a c e , t h e n f o r F = W f a p o s s i b l e p r i c e p t h a t v a l u e s t h e p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s i s a n e l e m e n t o f t h e s a m e s p a c e W z " , a n d u n d e r p t h e s h a d o w p r i c e o r c o s t o f a p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n x E W z " i s g i v e n b y : k a - O O n e n o t e s i n p a r t i c u l a r t h a t t h e s h a d o w c o s t o f a p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n i n c l u d e s n o t o n l y t h e o b s e r v a b l e c o s t s o f t h e c o n s u m p t i o n r a t e s , b u t a l s o t h e u n o b s e r v a b l e s h a d o w c o s t o f t h e " d e g r e e o f s m o o t h n e s s " o f t h e c o n s u m p t i o n p a t t e r n . 4 . 2 . 2 T h e n a t u r e o f i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n T h e s e c o n d a r g u m e n t o f H H K i n t h e i r c r i t i c i s m o f s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s i s r e l a t e d t o w h a t t h e y i m p l y a b o u t s u b s t i t u t i o n o f c o n s u m p t i o n a c r o s s t i m e . H H K a r g u e t h a t c o m m o n l y o b s e r v e d r e a l w o r l d c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s i n d i c a t e t h a t c o n s u m p t i o n a t n e a r b y d a t e s a r e c l o s e s u b s t i t u t e . H o w e v e r , t h e s t a n d a r d m o d e l s i m p l y j u s t ‘ ° ‘ F o r t h e s e p r o p e r t i e s o f S o b o l e v s p a c e s , s e e , f o r e x a m p l e , Z e i d l e r ( 1 9 9 0 ) a n d t h e l i t e r a t u r e c i t e d t h e r e ( w ; i s a B a n a c h s p a c e b u t i s n o t s e p a r a b l e ) . T h e u n i f o r m c o n v e x i t y o f w ; w h i c h o b t a i n s w h e n I < p < c o m e a n s , r o u g h l y s p e a k i n g , t h a t t h e " a g g r e g a t i o n ” a c r o s s t i m e o f t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e s i s ” s m o o t h " ( u n i f o r m c o n v e x s p a c e s a r e a l s o c a l l e d s m o o t h s p a c e s ) . ‘ 0 5 N o t e t h a t u n i f o r m c o n v e x i t y i m p l i e s r e fl e x i v i t y ( s e e A p p e n d i x A 2 ) . 1 5 4 t h e o p p o s i t e : c o n s u m p t i o n s a t n e a r b y d a t e s a r e p e r f e c t n o n s u b s t i t u t e s ! T h i s s t r a n g e i m p l i c a t i o n i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e s t a n d a r d m o d e l s v i e w i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n a s c h o i c e a m o n g a l t e r n a t i v e c o n s u m p t i o n r a t e f u n c t i o n s a n d u s e a v e r y s t r o n g m e t r i c o n t h e c h o i c e s p a c e . F u r t h e r m o r e , H H K a r g u e t h a t a r e a l i s t i c i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s h o u l d n o t o n l y a l l o w c o n s u m p t i o n a t n e a r b y d a t e s t o b e c l o s e s u b s t i t u t e s , b u t a l s o s h o u l d b e s u c h t h a t s u b s t i t u t a b i l i t y o f c o n s u m p t i o n a c r o s s t i m e i n v o l v e s s o m e ( s m o o t h ) t r _ m d _ § ; i f b e t w e e n t h e a m o u n t s u b s t i t u t e d a n d t h e t i m i n g o f c o n s u m p t i o n . T h a t i s , c o n s u m e r s s h o u l d b e a b l e t o t o l e r a t e s h i f t i n g a g i v e n a m o u n t o f c o n s u m p t i o n a c r o s s s h o r t p e r i o d s o f t i m e , a s w e l l a s t o t o l e r a t e s h i f t i n g a n i n c r e a s i n g l y l a r g e r a m o u n t o f c o n s u m p t i o n o v e r a d e c r e a s i n g l y s h o r t e r p e r i o d o f t i m e , p r o v i d e d t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e a m o u n t s h i f t e d i s s u f fi c i e n t l y l o w w i t h r e s p e c t t o t h e s h i f t i n t h e t i m i n g o f c o n s u m p t i o n . T h e s e t y p e s o f " fl e x i b l e " s u b s t i t u t i o n a c r o s s t i m e , w h i c h a r e c o m m o n l y o b s e r v e d i n r e a l l i f e c o n s u m p t i o n b e h a v i o r , a r e a l s o r u l e d o u t b y t h e s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s . H e n c e , t o a c c o m m o d a t e t h e s e m o r e r e a s o n a b l e t y p e s o f i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n n o t a l l o w e d b y t h e s t a n d a r d m o d e l s , H H K p r o p o s e t o v i e w c o n s u m e r s a s c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , a n d u s e a n a p p r o p r i a t e m e t r i c i n t h i s c h o i c e s p a c e . T h e y i n t r o d u c e a c l a s s o f m e t r i c s t h a t g e n e r a t e c h o i c e s p a c e s t h a t a r e k n o w n i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s a s O r l i c z s p a c e s . M o r e o v e r , t h e y s h o w t h a t t h e c h o i c e s p a c e m u s t b e a n O r l i c z s p a c e i f o n e i s t o a c c o m m o d a t e t h e t y p e o f i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n r e l a t e d t o t h e t r a d e - o f f b e t w e e n t h e a m o u n t o f c o n s u m p t i o n s u b s t i t u t e d a c r o s s t i m e a n d t h e t i m i n g o f c o n s u m p t i o n . T h e O r l i c z s p a c e s g e n e r a l i z e t h e L P s p a c e s , i n t h e s e n s e t h a t i n s t e a d o f b e i n g b a s e d o n t h e p a r t i c u l a r f a m i l y o f c o n v e x f u n c t i o n s d e fi n e d f r o m R , t o R , b y x - u x " ; 1 5 p < c o , t h e y a r e b a s e d o n t h e m u c h l a r g e r f a m i l y o f c o n v e x f u n c t i o n s , « p : s p a , , w h i c h s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s 9 0 ( 0 ) = O a n d 1 5 5 l i m p ( x ) = o n . A c o n v e x f u n c t i o n « p h a v i n g s u c h p r o p e r t i e s i s c a l l e d a Y o u n g f u n c t i o n . I f i n 1 " “ a d d i t i o n o f b e i n g a Y o u n g f u n c t i o n s o s a t i s fi e s t h e t w o p r o p e r t i e s : l i m f g g = O a n d x - 0 X l i m fl = o n , t h e n i t i s c a l l e d a n N - f u n c t i o n ; a n d c a n b e s h o w n t o b e a s t r i c t l y i n c r e a s i n g x - o c o X f u n c t i o n . T h e ( g a u g e ) n o r m o f t h e O r l i c z s p a c e a s s o c i a t e d w i t h t h e Y o u n g f u n c t i o n s o i s d e fi n e d b y : | | x | | , a i n r { e > o ; 1 ¢ [ h < ’ > _ | | 4 : 5 1 } ( 4 . 2 . 4 ) 1 ‘ e T h e c o r r e s p o n d i n g O r l i c z s p a c e n o t e d L , i s d e fi n e d a s L , = L ¢ ( T , R " ) { x 2 T - t R " ; L e k I I x ( t ) I I ) d t < c o f o r s o m e 6 > 0 } ( 4 - 2 - 5 ) W h e n ( a i s t h e c o n v e x f u n c t i o n x - n c " ; 1 s p < o o , L , a n d I I “ J e d u c e t o t h e f a m i l i a r L P s p a c e a n d n o r m r e s p e c t i v e l y . “ 5 H e n c e , s i n c e t h e L P s p a c e s , 1 S p s c o , a r e c o m m o n l y u s e d c h o i c e s p a c e s i n t h e s t a n d a r d i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e m o d e l s , t h e i r f a i l u r e t o c a p t u r e r e a l l i f e i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n r e fl e c t s m o r e t h e p r a c t i c e o f v i e w i n g c o n s u m e r s a s c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e c o n s u m p t i o n r a t e f u n c t i o n s t h a n t h e m e t r i c d e fi n i n g t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e . T h a t i s t o s a y t h a t t h e f u n d a m e n t a l d e p a r t u r e o f H H K f r o m t h e s t a n d a r d m o d e l s i s t o v i e w c o n s u m e r s a s c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s o r p a t t e r n s , a n d t o e x c l u d e o t h e r n o n - O r l i c z s p a c e s a s i n a p p r o p r i a t e " p a t h o l o g i c a l " c h o i c e s p a c e s f o r m o d e l l i n g i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . T h e e x c l u s i o n o f t h e " p a t h o l o g i c a l " n o n - O r l i c z s p a c e s ( w h i c h a r e s o m e t i m e s u s e d i n s o m e e c o n o m i c p r o b l e m s ) i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t u n d e r s c o r e s t h e e c o n o m i c i m p o r t a n c e o f t h e c h o i c e o f a n a p p r o p r i a t e t o p o l o g y w h e n w o r k i n g w i t h i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s . F o r ' ° ‘ W e n o t e t h a t L , = 1 1 » . w h e r e p . . . i s t h e Y o u n g f u n c t i o n d e fi n e d b y « p a = 0 i f O S x < 1 a n d = o o i f x > l . 1 5 6 e x a m p l e , L 0 , i s c o n s i d e r e d a s t h e n a t u r a l c h o i c e s p a c e f o r i n fi n i t e d i m e n s i o n a l e c o n o m i c p r o b l e m s f o r t h e f a c t t h a t i t s p o s i t i v e c o n e h a s a n o n e m p t y i n t e r i o r . I n c o n t r a s t , t h e L P s p a c e s , 1 s p < o n a r e g e n e r a l l y c o n s i d e r e d u n a t t r a c t i v e f o r e c o n o m i c p r o b l e m s b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t t h e i n t e r i o r s o f t h e i r p o s i t i v e c o n e a r e e m p t y ( s e e , f o r e x a m p l e , S t o k e y a n d L u c a s ( 1 9 8 9 ) ) . W e h a v e a l r e a d y d i s c u s s e d ( i n t h e i n t r o d u c t i o n o f c h a p t e r 2 ) t h e p r o b l e m s c a u s e d b y t h e e m p t i n e s s o f t h e p o s i t i v e c o n e o f t h e c h o i c e s p a c e a n d s h o w e d h o w o n e c a n g e t a r o u n d t h e m . W e h a v e a l s o g i v e n s o m e m a t h e m a t i c a l r e a s o n s w h y L , a n d L , a r e i n a p p r o p r i a t e i n fi n i t e d i m e n s i o n a l c h o i c e s p a c e s i f o n e w a n t s t o g e n e r a l i z e t h e m e t h o d s a n d r e s u l t s o f s t a t i c d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y . H H K ’ s a r g u m e n t s p r o v i d e u s t h e e c o n o m i c r e a s o n s f o r d i s m i s s i n g L , a n d L 1 a s i n a p p r o p r i a t e c h o i c e s p a c e s b e c a u s e t h e y a r e a t t h e b o r d e r l i n e f o r t h e s a t i s f a c t i o n o f H H K ’ s r e q u i r e m e n t s r e l a t e d t o i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n ( i . e . , a t t h e b o r d e r l i n e o f b e i n g O r l i c z s p a c e s ) . 1 0 7 M o r e o v e r , i n o r d e r f o r t h e O r l i c z s p a c e L , t o b e u n i f o r m l y c o n v e x ( t h u s a l l o w i n g t h e e x t e n s i o n o f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s o f c h a p t e r s 2 a n d 4 t o L , ) , w e n e e d t o r e s t r i c t f u r t h e r t h e t o fi m c t i o n t o t h e c l a s s o f N — f u n c t i o n s s a t i s f y i n g t h e a d d i t i o n a l s o — c a l l e d ( g l o b a l ) A 2 c o n d i t i o n g i v e n b y : “ ’ 7 N o t e t h a t L , c o r r e s p o n d t o a l i n e a r t p f u n c t i o n ( s e e R a o a n d R e n ( 1 9 9 1 ) f o r a c o m p r e h e n s i v e a c c o u n t o f t h e p r o p e r t i e s o f Y o u n g f u n c t i o n s a n d O r l i c z s p a c e s ) . 1 5 7 ¢ , ( x ) = | x | P ( 1 + | 1 n | x | | ) , p > 1 , ¢ ( 2 x ) s a ¢ p ( x ) V x 2 O , f o r s o m e a > 0 ( A 2 ) T h e A 2 c o n d i t i o n i s a r e s t r i c t i o n o n t h e r a t e o f g r o w t h o f ( 0 3 0 3 R o u g h l y s p e a k i n g , i t e x c l u d e s f r o m c o n s i d e r a t i o n N - f u n c t i o n s w h i c h g r o w f a s t e r t h a n a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . ‘ ° ° F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r , t h e N - f u n c t i o n ( 0 i s a s s u m e d t o s a t i s f y t h e A 2 c o n d i t i o n . ” 0 W i t h « p s a t i s f y i n g ( A 2 ) , L , i s a s e p a r a b l e a n d u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e ( h e n c e i s r e fl e x i v e ) . I t s d u a l ( w h i c h i s t h e p r i c e s p a c e ) i s t h e O r l i c z s p a c e L , . , w h e r e ‘ p ‘ : R , — » R , i s t h e c o m p l e m e n t a r y o r c o n j u g a t e f u n c t i o n o f « , 0 d e fi n e d b y : ¢ ' ( y ) E s u p { x y - ( p ( x ) ; x > 0 } « p ' i s a N - f u n c t i o n t h a t s a t i s fi e s a n o t h e r g r o w t h c o n d i t i o n c a l l e d t h e v 2 c o n d i t i o n a n d w h i c h i s g i v e n b y : “ 1 1 ° “ H H K d i d a l s o r e s t r i c t t h e ( 0 f u n c t i o n t o t h e c l a s s o f N - f u n c t i o n s i n o r d e r t o m a k e t h e c o n s u m p t i o n s p a c e a s e p a r a b l e s u b s p a c e o f L , ( s o t h a t p r e f e r e n c e c a n b e r e p r e s e n t e d b y a u t i l i t y f u n c t i o n a l v i a D e b r e u ’ s t h e o r e m ) , a n d c h a r a c t e r i z e i t s d u a l ( t h e p r i c e s p a c e ) . H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) a l s o u s e d a s i m i l a r r e s t r i c t i o n f o r t h e s a m e r e a s o n s . H o w e v e r , t h e r e s t r i c t i o n o f ( p t o a N - fi t n c t i o n i s n o t s u f fi c i e n t t o m a k e L , a u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e . I n f a c t , t h e A 2 c o n d i t i o n i s n e c e s s a r y f o r u n i f o r m c o n v e x i t y ( s e e , f o r e x a m p l e s , R a o a n d R e n ( 1 9 9 1 ) , T u r e t t ( 1 9 8 0 ) , a n d H u d z i k ( 1 9 8 3 ) ) . ‘ ° 9 B e s i d e s t h e L , s p a c e s , e x a m p l e s o f N - f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y t h e A : c o n d i t i o n a r e : : p , ( x ) = x " l n ( 1 + x P ) , 1 < p < o n a n d ¢ , ( x ) = ( 1 + x ) l n ( l + x ) — x . E x a m p l e s o f N - f u n c t i o n s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e A 2 c o n d i t i o n a r e : ¢ 3 ( x ) = e " - x - l , « p , ( x ) = e " - 1 , a n d c p , ( x ) = x " " f o r x > e a n d = g f o r O S x S e ( s e e R a o a n d R e n ( 1 9 9 1 ) f o r m o r e e x a m p l e s a n d o t h e r g r o w t h r e l a t e d c o n d i t i o n s ) . L , = { x z T — > R " ; M a g n u m < 0 0 } “ ° W h e n 4 : s a t i s fi e s ( 4 , ) , L , r e d u c e s t o ' ” F o r e x a m p l e , t h e c o m p l e m e n t a r y f u n c t i o n o f t h e N - f u n c t i o n x - a | x I ” , I < p < c o c o r r e s p o n d i n g t o t h e L , s p a c e i s t h e f u n c t i o n y a | y l 4 w i t h p “ + q ' l = 1 . L i k e w i s e , t h e c o m p l e m e n t a r y f u n c t i o n o f t h e N - f u n c t i o n ¢ 2 ( x ) = ( 1 + | x | ) l n ( l + | x | ) - | x | i s p 3 0 ) = e " ' - | y | - 1 . N 0 t e t h a t n e i t h e r ( p n o r ¢ ' n e e d t o s a t i s f y b o t h g r o w t h c o n d i t i o n s ( A 2 ) a n d ( v , ) a t t h e s a m e t i m e . T h e L , c a s e s a r e e x a m p l e s w h e r e t h e y b o t h d o . A n o t h e r N — fi t n c t i o n t h a t s a t i s fi e s b o t h ( A 2 ) a n d ( v 2 ) i s t h e f u n c t i o n 1 5 8 c p ‘ ( x ) s E l g p ' w x ) V x 2 0 , f o r s o m e b > l ( v 2 ) W i t h t h e O r l i c z s p a c e L , g e n e r a l i z i n g L , , 1 < p < o o , t h e S o b o l e v s p a c e W , ‘ , i n t r o d u c e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n i n o r d e r t o i n c o r p o r a t e c o n s u m p t i o n s m o o t h i n g i s s u e s , i s g e n e r a l i z e d i n a o b v i o u s w a y a s : w ; a { x ; p a g e L , ( T , R " ) , a = 0 , 1 , . . . , k ; } W , " i s c a l l e d a n O r l i c z - S o b o l e v s p a c e , a n d i t s n o r m i s d e fi n e d b y : 1 : ( 4 . 2 . 6 ) l e l l w a i n f e > 0 : 2 [ 1 ¢ [ . “ _ D a : ( i " ] d t s l f o r a l l e W : a - O W h e n ¢ p s a t i s fi e s ( A 1 ) , w : i s a s e p a r a b l e a n d u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e . ” 2 T o i n t r o d u c e t h e O r l i c z s p a c e L , ( T , R " ) , w e h a v e f o l l o w e d H H K a n d t a k e n t h e a s s o c i a t e d Y o u n g f u n c t i o n s o a s b e i n g a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e fi n e d o n R , . B u t , a m o r e g e n e r a l a n d c o n v e n i e n t w a y t o i n t r o d u c e L , ( T , R ” ) i s t o t a k e t h e Y o u n g f u n c t i o n « p a s b e i n g a n e v e n r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e fi n e d o n t h e E u c l i d e a n s p a c e R " . T h a t i s , p : R " - » R , i s a c o n t i n u o u s c o n v e x f u n c t i o n w h i c h s a t i s fi e s ¢ ( - x ) = p ( x ) , ( 0 ( 0 ) = O , a n d I n n p ( s x ) = c o f o r x 7 : 0 . T h e d e fi n i t i o n o f a n N - f u n c t i o n a n d t h e g r o w t h c o n d i t i o n s ( A ? ) a n d ( v 2 ) a r e g e n e r a l i z e d a c c o r d i n g l y ( s e e K o z e k ( 1 9 7 7 ) a n d T u r e t t ( 1 9 8 0 ) ) . W i t h t h i s g e n e r a l d e fi n i t i o n o f c p , t h e e x p r e s s i o n s i n ( 4 . 2 . 4 ) t o ( 4 . 2 . 6 ) a r e s t i l l c o r r e c t w i t h e : R " - t R , b e i n g d e fi n e d a s p ( x ) I ¢ ( I I I ! E ) ; w h e r e { a i s a Y o u n g f u n c t i o n d e fi n e d o n t h e r e a l l i n e . M o r e o v e r , t h i s g e n e r a l d e fi n i t i o n o f t h e Y o u n g f u n c t i o n i s s t i l l v a l i d w h e n i n s t e a d o f R " w e h a v e a n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e X l i k e i n t h e n e x t s e c t i o n . " 2 S e e , f o r e x a m p l e s , K o z e k ( 1 9 7 7 ) , a n d H u d z i k ( 1 9 7 9 , a n d 1 9 8 3 ) f o r t h e s e r e s u l t s a n d f o r t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f i t s d u a l . 1 5 9 T h i s m o r e g e n e r a l d e fi n i t i o n o f t h e O r l i c z s p a c e L , ( T , R " ) a l l o w s u s t o u s e t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f A p p e n d i x 4 a n d i n t e r p r e t t h e Y o u n g f u n c t i o n g o a s r e p r e s e n t i n g t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s d i s t i n g u i s h i n g t h e v a r i o u s c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s o r p a t t e r n s o n e f r o m a n o t h e r ( i . e . , t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f " s i m i l a r i t i e s / d i s s i m i l a r i t i e s " a m o n g t h e a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s ) . I n o t h e r w o r d s , a s e x p l a i n e d i n A p p e n d i x 4 , t h e Y o u n g f u n c t i o n g o r e p r e s e n t s t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f " c l o s e n e s s " ( a p r i m i t i v e c o n c e p t ) i n t h e s a m e w a y t h a t t h e u t i l i t y f u n c t i o n a n d t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y r e p r e s e n t t h e p r i m i t i v e c o n c e p t s o f p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s r e s p e c t i v e l y . ” 3 F u r t h e r m o r e , t h e g e n e r a l d e fi n i t i o n o f t h e O r l i c z s p a c e L , ( T , R " ) a l l o w s u s t o c o n v e n i e n t l y i n c o r p o r a t e " t i m e — d e p e n d e n t p e r c e p t i o n " i s s u e s ‘ “ b y l e t t i n g t h e a s s o c i a t e d Y o u n g f u n c t i o n ( p d e p e n d o n t h e t i m e p a r a m e t e r r . T h a t i s , b y l e t t i n g g o b e d e fi n e d a s g o : ' I ‘ x R " - » R , w i t h g p ( t , . ) b e i n g a Y o u n g f u n c t i o n f o r a l l t E T , a n d g o ( . , x ) b e i n g a L e b e s g u e m e a s u r a b l e f u n c t i o n f o r a l l x E R " . W h e n g o i s d e fi n e d i n t h i s w a y , i t i s k n o w n a s a g e n e r a l i z e d Y o u n g “ 3 H H K a s s u m e d t h a t g o i s t h e s a m e f o r a l l c o n s u m e r s i n a g i v e n e c o n o m y , b u t r e p o r t e d ( i n f o o t n o t e 1 0 ) t h a t s o m e h a v e f o u n d t h e r o l e p l a y e d b y g o n o t v e r y n a t u r a l a n d h a v e a s k e d t h e q u e s t i o n o f h o w w o u l d o n e d i s c o v e r t h e a p p r o p r i a t e g o f o r a g i v e n p o p u l a t i o n o f c o n s u m e r s ? H e r e , t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h a p t e r 2 h a s p r o v i d e d u s w i t h a n i n t u i t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f g o . M o r e o v e r , s i n c e w e t a k e t h e c o n c e p t o f p e r c e p t i o n t o e x i s t i n d e p e n d e n t l y o f p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s ( s e e t h e a r g u m e n t s o n t h e s e p a r a t e e x i s t e n c e o f t h r e e c o n c e p t s m a d e i n c h a p t e r 2 ) , H H K ’ s a s s u m p t i o n t h a t g o i s g i v e n u n i f o r m l y f o r a l l c o n s u m e r ’ s i s n o t t o o u n r e a l i s t i c ; c o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t t h e p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f t h e o b j e c t s o f c h o i c e , a n d t h e r e l a t i o n s a m o n g t h e m , s h o u l d n o t b e v e r y d i f f e r e n t f r o m o n e c o n s u m e r t o a n o t h e r ( i n m o s t c a s e s t h e s e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s a r e p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s ) . R e g a r d i n g t h e q u e s t i o n o f h o w t o d i s c o v e r t h e a p p r o p r i a t e g o , o u r a n s w e r w o u l d b e t o t r e a t ( p i n t h e s a m e w a y w e t r e a t i n d i v i d u a l p r e f e r e n c e s a n d b e l i e f s , a n d d i s c o v e r i t s e f f e c t s b y o b s e r v i n g o v e r t c h o i c e s . “ ‘ S e e A p p e n d i x 4 f o r t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n ' t i m e / s t a t e - d e p e n d e n t p e r c e p t i o n " a n d " t i m e / s t a t e - d e p e n d e n t p r e f e r e n c e " . 1 6 0 f u n c t i o n , a n d L , a n d W , " a r e c a l l e d g e n e r a l i z e d O r l i c z a n d g e n e r a l i z e d O r l i c z - S o b o l e v s p a c e s r e s p e c t i v e l y . ” 5 T h u s , e c o n o m i c a n d m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s h a v e l e d u s t o t h e g e n e r a l i z e d O r l i c z - S o b o l e v s p a c e a s t h e a p p r o p r i a t e c h o i c e s p a c e f o r i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r c e r t a i n t y , w i t h c o n s u m e r s b e i n g v i e w e d a s c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s o r p a t t e r n s . S i n c e u n d e r u n c e r t a i n t y t h e o u t c o m e s o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s a r e t h e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s , w e c o n c l u d e t h a t L , ( I l , F ) = L , ( ( l , W f ) . T h a t i s t h e c o n s u m e r ’ s o b j e c t s o f c h o i c e a r e p o s i t i v e r i g h t - c o n t i n u o u s m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g v e c t o r v a l u e d r a n d o m f u n c t i o n s d e fi n e d o n f l , t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e , a n d t a k i n g v a l u e s i n w : ( e n d o w e d w i t h i t s B o r e l a - a l g e b r a ) , a s e p a r a b l e a n d u n i f o r m l y c o n v e x g e n e r a l i z e d O r l i c z - S o b o l e v s p a c e . B e f o r e m o v i n g t o t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f L , ( fl , W f ) w e w i l l m a k e f e w c o m m e n t s o n t h e d i f f e r e n t a p p r o a c h w e h a v e t a k e n t o a r r i v e a t t h e l i n e a r s p a c e W : c o n t a i n i n g t h e s e t o f p o s s i b l e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s X , , c o m p a r e d t o t h e H H K ’ s a p p r o a c h . H H K d e fi n e d t h e c h o i c e s p a c e X , f o r i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r c e r t a i n t y a s t h e l i n e a r s p a n o f X , a n d e n d o w i t w i t h a n O r l i c z n o r m . “ 6 A s t h e y h a v e n o t e d , t h u s c o n s t r u c t e d X , i s n o t a B a n a c h s p a c e ( i . e . , i s n o t c o m p l e t e ) , w h i c h m a k e s i t m u c h h a r d e r t o a p p l y d i r e c t l y t h e w e l l k n o w n m a t h e m a t i c a l t h e o r e m s f o r s o l v i n g o p t i m i z a t i o n “ 5 H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) u s e d g e n e r a l i z e d Y o u n g f u n c t i o n s f o r t h e i r a n a l y s i s i n o r d e r t o t a k e c a r e o f s t a t e - d e p e n d e n t " n a d e - o f f o f c o n s u m p t i o n a c r o s s t i m e ” ( w h a t w e h a v e c a l l e d s t a t e - d e p e n d e n t p e r c e p t i o n i n A p p e n d i x 4 ) . E x a m p l e s o f g e n e r a l i z e d Y o u n g f u n c t i o n s a r e t h e f u n c t i o n s d e fi n e d b y g o , ( t , x ) I ¢ ( p ( t ) x ) a n d ¢ , ( t , x ) I ( @ ( x fl m w h e r e g } : R " - t R , i s a Y o u n g f u n c t i o n a n d p : T - > R , i s a f u n c t i o n t h a t s a t i s fi e s 1 < p ( t ) < o n f o r a l l t 6 T ( s e e , f o r e x a m p l e s , K o z e k ( 1 9 7 7 ) , H u d z i k ( 1 9 7 9 a n d 1 9 8 3 ) , a n d M u s i e l a k ( 1 9 8 3 ) f o r m o r e o n t h e g e n e r a l i z e d O r l i c z a n d g e n e r a l i z e d O r l i c z - S o b o l e v s p a c e s ) . “ 6 H i n d y a n d H u n g ( 1 9 9 2 ) w h o e x t e n d e d H H K ’ s a n a l y s i s t o u n c e r t a i n t y a l s o u s e d a s i m i l a r c o n s t r u c t i o n o f t h e c h o i c e s p a c e . 1 6 1 p r o b l e m s a n d c h a r a c t e r i z i n g t h e i r s o l u t i o n s i n X , . ” 7 I n p a r t i c u l a r , T h e o r e m s A 2 . 1 a n d A 2 . 2 i n t h e a p p e n d i x , w h i c h w e h a v e u s e d t o d e r i v e t h e r e s u l t s i n t h e c h a p t e r s 2 a n d 3 , c a n n o t b e a p p l i e d i n X , . I n s t e a d o f t a k i n g l i n e a r s p a n , w e h a v e f o l l o w e d a d i f f e r e n t a p p r o a c h b y s i m p l y c o n s i d e r i n g X , a s a s u b s e t o f a n a p p r o p r i a t e l y c h o s e n B a n a c h s p a c e w h i c h w e h a v e t a k e n t o b e a S o b o l e v s p a c e . T h i s a p p r o a c h i s s i m p l e r a n d a v o i d t h e m a t h e m a t i c a l d i f fi c u l t i e s t h a t c a n a r i s e o t h e r w i s e i n m a n y a p p l i c a t i o n s . W e u s e S o b o l e v s p a c e s b e c a u s e n o t o n l y i t a l l o w s t o c o n v e n i e n t l y i n c o r p o r a t e c o n s u m p t i o n s m o o t h i n g i s s u e s , b u t a l s o t h e y a r e t h e m o s t e f fi c i e n t t o o l s f o r w o r k i n g w i t h f u n c t i o n s d e fi n e d i n t h e r e a l l i n e a n d w h i c h a r e n o t d i f f e r e n t i a b l e i n t h e ” 8 c l a s s i c a l s e n s e . M o r e o v e r , e v e n i f o n e i s r e s t r i c t e d t o s m o o t h f u n c t i o n s , t h e S o b o l e v s p a c e s a r e r e q u i r e d f o r t h e g e n e r a l e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s o f o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s . “ 9 4 . 3 T h e s t r u c t u r e s o f t h e c h o i c e s p a c e a n d c o n s u m p t i o n s e t 4 . 3 . 1 T h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e W i t h a g e n e r a l s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e , ( 2 ( w i t h n o p a r t i c u l a r o r d e r o r t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e ) , l i t t l e c a n b e s a i d c o n c e r n i n g s u b s t i t u t i o n a c r o s s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . T h a t i s , i t w o u l d b e d i f fi c u l t t o r e l y o n e c o n o m i c a r g u m e n t s s i m i l a r t o t h o s e u s e d f o r t h e o u t c o m e s p a c e F t o d e t e r m i n e t h e a p p r o p r i a t e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e “ 7 I t i s a l s o h a r d e r t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f W a l r a s i a n e q u i l i b r i a i n X , ( s e e M a s C o l l e l a n d R i c h a r d 1 9 9 1 ) . ” ‘ H H K a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) d i d n o t c o n s i d e r t h e S o b o l e v s p a c e s . “ 9 T h e S o b o l e v s p a c e s c o m p l e t e t h e c l a s s o f f u n c t i o n s t h a t a r e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e i n t h e c l a s s i c a l s e n s e b y i n c l u d i n g f u n c t i o n s t h a t a r e n o t d i f f e r e n t i a b l e i n t h e c l a s s i c a l s e n s e b u t a d m i t d i s t r i b u t i o n a l o r g e n e r a l i z e d d e r i v a t i v e s , i n a w a y s i m i l a r t o h o w t h e i r r a t i o n a l n u m b e r s c o m p l e t e t h e s e t o f r a t i o n a l n u m b e r s t o f o r m t h e s e t o f r e a l n u m b e r s . I n p a r t i c u l a r , i t i s a k n o w n f a c t t h a t o n e c a n n o t h a v e a g e n e r a l e x i s t e n c e t h e o r e m f o r c l a s s i c a l c a l c u l u s o f v a r i a t i o n p r o b l e m s u n l e s s o n e w o r k s w i t h i n a S o b o l e v s p a c e . O u t s i d e t h e f r a m e w o r k o f S o b o l e v s p a c e s , o n e o n l y g e t s c a s e b y c a s e e x i s t e n c e t h e o r e m s ( s e e Z e i d l e r , 1 9 9 0 , p p . 1 - 5 , a n d 1 9 8 5 , p . 2 0 0 ) . 1 6 2 L , ( | | x Q | , | W , f ) a { x z fl , , , a i n f { e - > » W , f 0 : ; J J n d x ( . , w ) o ¢ [ " ( - ' w ) ) ] m w ) < 0 m w ) $ 0 1 } } ( ( 4 4 . . 3 3 . . 1 2 ) ) L , ( ( l , W , f ‘ ) . ' 2 0 H e n c e , w e w i l l p r o c e e d b y s i m p l y e n d o w i n g L , ( i l , W fi ) w i t h a t o p o l o g y w h i c h m a k e s i t s a t i s f y t h e m a t h e m a t i c a l r e q u i r e m e n t s f o r e x t e n d i n g t h e r e s u l t s o f c h a p t e r s 2 a n d 3 t o i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . 1 2 1 F o r t h a t , w e c h o o s e a N - fi m c t i o n x p : W fi - d t , t h a t s a t i s fi e s t h e A 2 c o n d i t i o n , s o t h a t L , ( f l , W j ) i s a s e p a r a b l e u n i f o r m l y c o n v e x O r l i c z s p a c e . 1 2 2 T h a t i s , w e t a k e t h e c h o i c e s p a c e t o b e t h e O r l i c z s p a c e L , ( f l , W j ) d e fi n e d b y a n d e n d o w e d w i t h t h e ( g a u g e ) n o r m d e fi n e d b y : 6 w i t h t h e N - f u n c t i o n a l l g i v e n b y ¢ ( x ( . , w ) ) = J T ¢ ( x ( t , w ) ) d t a , 2 : L u “ D “ x ( t , w ) | | ) d t V a : 6 9 ( 4 3 . 3 ) w h e r e t o i s a N — f u n c t i o n d e fi n e d o n t h e r e a l l i n e a n d w h i c h s a t i s fi e s t h e A 2 c o n d i t i o n . A s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e i n t e r p r e t t h e N - fi t n c t i o n ¢ ( w h i c h d e p e n d s o n t h e N - f u n c t i o n ( P a n k ) a s r e p r e s e n t i n g t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e m c h a r a c t e r i s t i c s d i s t i n g u i s h i n g t h e a l t e r n a t i v e r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s i n L , ( I l , W j ) ( i . e . , t h e e x - m S o m e p l a u s i b l e a r g u m e n t s a b o u t s u b s t i t u t a b i l i t y o f c o n s u m p t i o n a c r o s s e v e n t s c a n b e u s e d ( s e e H i n d y a n d H u a n g , 1 9 9 2 ) . ‘ 2 ‘ W e s t i l l a s s u m e a s i n c h a p t e r s 2 a n d 3 t h a t t h e c o n s u m e r ’ s u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t i s d e s c r i b e d b y t h e p r o b a b i l i t y s p a c e ( 0 , . 7 , T ) , w h e r e 0 i s t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e , . 9 ' i s t h e s e t o f e v e n t s , a n d S P i s a s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n r e p r e s e n t i n g t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f . 1 2 2 T h e r e a r e s o m e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s o n t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 2 P . 1 6 3 a n t e c o n s e q u e n c e s o f h i s o r h e r c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s ) o n e f r o m a n o t h e r . W e e m p h a s i z e h e r e t h a t t h e p e r c e p t i o n r e p r e s e n t e d b y ( I I i s i n d e p e n d e n t o f t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s c o n c e r n i n g w h i c h s t a t e o f n a t u r e i s l i k e l y g o i n g t o b e r e a l i z e d ( s e e A p p e n d i x 4 ) . T h i s i n d e p e n d e n c e i s i l l u s t r a t e d i n ( 4 . 3 . 3 ) b y t h e f a c t t h a t : 1 1 d o e s n o t d e p e n d o n t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s a s r e p r e s e n t e d b y t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ( P . H o w e v e r , a s e x p l a i n e d i n A p p e n d i x 4 , b e f o r e a n y c o n s u m p t i o n d e c i s i o n i s m a d e t h e c o n s u m e r u s e s h i s o r h e r b e l i e f s a b o u t t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e v a r i o u s e v e n t s , t o " w e i g h t " h i s o r h e r p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c d i s t i n g u i s h i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e a l t e r n a t i v e r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s s o a s t o a r r i v e a t a " b e l i e f s - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n o f t h e " s i m i l a r i t i e s / d i s s i m i l a r i t i e s " a m o n g t h e m . T h e " b e l i e f - a d j u s t m e n t " o f p e r c e p t i o n i n s u r e s t h a t t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e o r d e r i n g o f t h e a l t e r n a t i v e r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s i s c o n s i s t e n t w i t h h i s o r h e r b e l i e f a b o u t w h i c h s t a t e o f n a t u r e i s l i k e l y g o i n g t o b e r e a l i z e d . A s i n c h a p t e r 2 , t h i s " b e l i e f - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n i s f o r m a l i z e d b y t h e n o r m I I I I , , . k g i v e n b y ( 4 . 3 . 2 ) . O n e a l l o w s f o r s t a t e - d e p e n d e n t p e r c e p t i o n , b y t a k i n g ( l t o b e a g e n e r a l i z e d N - f u n c t i o n ( l : ( l x W fi - e R , ( w i t h g ( z ( . , x ) b e i n g a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n f o r e a c h x E W I ) . I n t h i s c a s e , ( I : w i l l b e g i v e n b y : l : ¢ ( w . x ( . . w ) ) = [ T o ( w , x ( t , w ) ) d t a 2 L a w , “ D a x ( , , w ) | | ) d , ( 4 . 3 . 4 ) 0 - 0 W e n o t e t h a t i f i n ( 4 . 3 . 4 ) w e l e t n = 1 a n d k = 0 ( t h e o n e c o m m o d i t y c a s e w i t h c o n s u m p t i o n s m o o t h i n g i s s u e s n o t b u i l t i n t o t h e t o p o l o g y ) , t h e n w e w i l l g e t t h e n o r m u s e d b y H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) . I f w e w a n t t o a l l o w f o r b o t h s t a t e - d e p e n d e n t a n d t i m e - d e p e n d e n t p e r c e p t i o n , t h e n w e h a v e t o t a k e b o t h ( I r a n d ( o t o b e g e n e r a l i z e d N - f u n c t i o n s d e fi n e d o n t h e p r o d u c t s p a c e s 0 x w : a n d T X R ” r e s p e c t i v e l y . I n t h i s c a s e , ( ( 1 w i l l b e g i v e n b y 1 6 4 k u ( w , X ( . , w ) ) = J T ¢ ( w . t . X ( t . w ) ) d t E Z L e a n n , I I D “ x ( t , w ) | | ) d t ( 4 . 3 - 5 ) a s O w i t h ( 2 ( a ) , . , . ) : T X R , » R , b e i n g a g e n e r a l i z e d N - f u n c t i o n d e fi n e d o n t h e r e a l l i n e f o r e a c h a t E ( 1 ‘ 2 3 T o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n , a n d w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e w i l l c o n t i n u e w i t h s i m p l e N - f u n c t i o n s i n s t e a d o f g e n e r a l i z e d N - f u n c t i o n s . B e c a u s e L , ( ( l , W f ) i s u n i f o r m l y c o n v e x , i t i s r e fl e x i v e a n d i t s d u a l ( t h e s p a c e o f s h a d o w p r i c e s o f r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s ) i s g i v e n b y L , ( l ' l , W j ) * = L , . ( ( l , W , " ) , w h e r e W , ‘ ' i s t h e d u a l o f t h e O r l i c z - S o b o l e v s p a c e W , ‘ ( i . e . , t h e s p a c e o f p o s s i b l e s h a d o w p r i c e s o f c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s ) , a n d w h e r e ( l ‘ : W f ' - > R , i s t h e c o m p l e m e n t a r y o r c o n j u g a t e f u n c t i o n o f ( 0 d e fi n e d b y : t o ) = s u p { < p . x > , , — ( r ( x ) ; x e w fi } w h e r e ( p , x ) , , i s t h e v a l u e o f t h e c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l p E W , " a t t h e p o i n t x E w : ( s e e . K o z e k ( 1 9 7 7 ) a n d T u r e t t ( 1 9 8 0 ) ) ' 2 4 M o r e o v e r , t h e v a l u e o f a n e l e m e n t p E L , . ( l l , W " ) a t t h e p o i n t x E L , ( ( l , W f ) , n o t e d ( p , x ) , , . k , i s g i v e n b y ( s e e K o z e k ( 1 9 7 7 ) : ‘ Z S 1 2 : ) E x a m p l e s o f s t a t e / t i m e — d e p e n d e n t p e r c e p t i o n a r e o b t a i n e d b y t a k i n g t h e g e n e r a l i z e d Y o u n g f u n c t i o n s d e fi n e d b y ( o , ( w , t , x ) I g o , ( p ( w , t ) x ) a n d ( o , ( w , t , x ) I ( g o , ( x ) f ‘ “ " ’ w h e r e g o o : R " - R , i s a Y o u n g f u n c t i o n a n d p : ( l X T - t R , i s a m e a s u r a b l e f u n c t i o n t h a t s a t i s fi e s 1 < p ( w , t ) < o n f o r a l l ( t o , t ) E Q x T ‘ 2 ‘ W e r e c a l l t h a t ) l ' “ i s a N - f u n c t i o n t h a t s a t i s fi e s t h e v 2 c o n d i t i o n . ‘ 2 5 N o t e t h a t t o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n w e a r e u s i n g t h e s a m e n o t a t i o n f o r a g e n e r i c e l e m e n t o f W , " ( r e s p w : . ) a n d a g e n e r i c e l e m e n t o f L , ( Q , W fi ) ( r e s p L , . ( 9 , w : . ) ) . B u t , t h e r e i s n o c o n f u s i o n i n d o i n g t h a t b e c a u s e t h e c o n t e x t i s a l w a y s m a d e c l e a r . 1 6 5 < p . x > , , . , , . = j n ( p m . ) . x ( w . . ) ) , , c fl > ( w > ( 4 . 3 . 6 ) l l x " 2 , 2 , , = ( j o l l x m . . ) I I § , , . a t r ( w ) ) 1 I = k Z [ i I l D ° x ( w . t ) 1 2 w m o ) 2 ( 4 9 - 8 ) H e n c e , w h e n g o : R " - ’ R , i s t h e N — f u n c t i o n x - » I I x I I 2 , s o t h a t W , ‘ i s t h e H i l b e r t s p a c e W z " , t h e n ( 4 . 3 . 6 ) b e c o m e s : ( p ’ x ) ¢ . ¢ . 2 : J o < p ( w 9 - ) , X ( O ) , ' ) ) k ‘ d e w ) , ( 4 . 3 . 7 ) = 2 1 1 ( D “ p ( w , t ) , D ° x ( w , t ) ) d t h ( w ) 0 - 0 F u r t h e r m o r e , w h e n g l : W f — u R , i s t h e N - f u n c t i o n x - o " x [ I 2 , t h e n L , ( ( l , W z " ) i s a n H i l b e r t s p a c e w i t h t h e s y m m e t r i c b i l i n e a r f u n c t i o n a l ( , ) , , 3 = ( , ) 2 . , . k d e fi n e d i n ( 4 . 3 . 7 ) b e i n g i t s s c a l a r p r o d u c t ( s e e , f o r e x a m p l e , Z e i d l e r , 1 9 9 0 , p . 1 0 7 2 ) . I n t h i s c a s e , t h e n o r m o f L , ( Q , W z " ) d e fi n e d i n ( 4 . 3 . 2 ) s i m p l i fi e s t o m a - O T h i s e n d s o u r d i s c u s s i o n o f t h e s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s p a c e f o r i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . I n t h e n e x t s e c t i o n w e c o n c l u d e t h e o u t l i n e b y b r i e fl y d i s c u s s i n g t h e s t r u c t u r e o f t h e c o n s u m p t i o n s e t ( i . e . , t h e s u b s e t o f L , ( Q , W I ) c o n t a i n i n g t h e r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s ) , t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e b y a u t i l i t y f u n c t i o n a l , t h e c o n s t r a i n t s f a c i n g t h e c o n s u m e r , a n d o t h e r r e l e v a n t m o d e l l i n g i s s u e s . ‘ 2 6 A s i m i l a r s i m p l i fi c a t i o n o f t h e n o r m i s o b t a i n e d f o r L , ( ( l , W , " ) , I s p < c o . 1 6 6 4 . 3 . 2 T h e c o n s u m p t i o n s e t a n d t h e e x i s t e n c e o f a u t i l i t y f u n c t i o n a l F o l l o w i n g t h e a r g u m e n t s a n d n o t a t i o n i n s e c t i o n 4 . 2 , w e t a k e t h e c o n s u m e r ’ s c o n s u m p t i o n s e t , n o t e d X , a s t h e s u b s e t o f t h e p o s i t i v e c o n e o f L , ( ( l , W fi ) d e fi n e d b y : X a { x E L , ( o , w , f ) : x ( w , . ) E X 0 C W : m e n } “ 3 3 ) w h e r e X , i s t h e s e t o f p o s i t i v e , m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g , a n d r i g h t c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f t i m e d e fi n e d o n t h e o p e n i n t e r v a l T C R , a n d t a k i n g v a l u e s i n R ' I ; w i t h d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e u p t o o r d e r k . I n s h o r t , X i s t h e s u b s e t o f L , ( l l , W f ) m a d e o f p o s i t i v e a n d m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g s t o c h a s t i c p r o c e s s e s w i t h r i g h t - c o n t i n u o u s s a m p l e p a t h s . I t i s c l e a r t h a t X i s a c o n v e x c o n e s i n c e X , i s . M o r e o v e r , w e c a n a s s u m e t h a t X i s a w e a k l y c o m p a c t s u b s e t o f L , ( Q , W , ‘ ) ( b y t a k i n g t h e c l o s u r e o f t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 4 . 3 . 9 ) i f n e c e s s a r y , a n d r e s t r i c t i n g o u r s e l f t o a b o u n d e d s u b s e t o f X , ) . W i t h t h e c o n s u m e r ’ s p r e f e r e n c e , : , b e i n g d e fi n e d o n X a n d s a t i s f y i n g t h e s t a n d a r d a s s u m p t i o n s A l - A 6 i n c h a p t e r 2 , a n d L , ( fl , W j ) b e i n g a s e p a r a b l e s p a c e , D e b r e u ’ s t h e o r e m g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e o f a c o n t i n u o u s , b o u n d e d , a n d s t r i c t l y q u a s i - c o n c a v e u t i l i t y f u n c t i o n a l U : X C L , ( 0 , W , f ‘ ) - t R + s u c h t h a t f o r a l l x , y E X x z y 1 1 7 ‘ U ( x ) 2 U ( y ) . F u r t h e r m o r e , w e a l l o w f o r " t i m e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e b y l e t t i n g r . t o b e a f u n c t i o n o f t i m e d e fi n e d o n T . I n t h i s c a s e , D e b r e u ’ s r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m c a n b e a p p l i e d f o r e a c h z ( t ) , t E T t o g e t a t i m e d e p e n d e n t u t i l i t y f u n c t i o n a l U ( t , . ) I U ( z ( t ) , . ) : X C L , ( 0 , W J ) — ~ R , s u c h t h a t f o r a l l x , y E X x : ( t ) y 1 1 7 ' U ( t , x ) 2 U ( t , y ) ( s e e A p p e n d i x 4 ) . W i t h t h i s u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e , o n e c a n s o l v e t h e c o n s u m e r ’ s u t i l i t y m a x i m i z a t i o n p r o b l e m f o r a n o p t i m a l r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s s a t i s f y i n g t h e f e a s i b i l i t y c o n s t r a i n t s ( d i s c u s s e d b e l o w ) , a n d d e r i v e t h e c o r r e s p o n d i n g d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s . O n e c a n t h e n u s e T h e o r e m s A 2 . l a n d A 2 . 2 t o e s t a b l i s h t h e 1 6 7 a n a l o g u e s o f t h e v a r i o u s p r o p o s i t i o n s d e r i v e d i n c h a p t e r 2 ( i n c l u d i n g t h e g e n e r a l i z e d v e r s i o n s o f R o y ’ s i d e n t i t y a n d S h e p h a r d ’ s l e m m a ) . F r o m t h e s e p r o p o s i t i o n s w i l l f o l l o w t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s r e l a t i n g " c h a n g e s " i n t h e r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h o f a c o m m o d i t y t o " c h a n g e s " i n i t s s h a d o w p r i c e a n d t h e v a r i o u s m e a s u r e s o f t o t a l w e l f a r e c h a n g e . H o w e v e r , u n l i k e t h e s t a t i c c a s e w h e r e t h e o n l y c o n s t r a i n t f a c i n g t h e c o n s u m e r i s t h e b u d g e t c o n s t r a i n t , i n t h e i n t e r t e m p o r a l c a s e t h e r e a r e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t c o m p l i c a t e t h e f o r m u l a t i o n a n d s o l u t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s u t i l i t y m a x i m i z a t i o n p r o b l e m . T h e ( l i f e t i m e ) b u d g e t c o n s t r a i n t w i l l s t i l l b e o f t h e s a m e f o r m : ( B a t h ) . 2 L I < D p ( w . t ) . v x ( w . t » d t m w ) ( 4 . 3 . 1 0 ) 3 L 1 w ( w , t ) d t t fl ’ ( w ) a ( l , w ) ‘ w h e r e ( D p , D x ) . i s t h e v a l u e o f t h e c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l D p , t h e u s u a l o b s e r v a b l e s t o c h a s t i c p r i c e v e c t o r ( b e i n g t h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o f t h e s h a d o w p r i c e o f c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s ) a t t h e p o i n t D x , t h e u s u a l o b s e r v a b l e v e c t o r - v a l u e d s t o c h a s t i c r a t e s o f c o n s u m p t i o n o f t h e c o m m o d i t i e s ; w i s t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s o f t h e c u m u l a t i v e n e t w e a l t h m e a s u r e d i n t e r m o f t h e n u m e r a i r e ; a n d 1 i s t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s t h a t t a k e s t h e c o n s t a n t v a l u e o f 1 a t a l l t i m e a n d a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . A s t h e s t a t i c c a s e , t h i s b u d g e t c o n s t r a i n t l i e s i n t h e r e a l l i n e . ‘ 2 7 O n t h e o t h e r h a n d , t h e a d d i t i o n a l ” l i q u i d i t y " c o n s t r a i n t w h i c h l i n k s t h e c h a n g e i n w t o t h e " fl o w v a r i a b l e s ” ( l a b o r i n c o m e , e x p e n d i t u r e , b o r r o w i n g / s a v i n g , e t c . . . ) a n d " b o r r o w i n g " c o n s t r a i n t a r e s t o c h a s t i c c o n s t r a i n t s t h a t m u s t b e s a t i s fi e d i n e a c h p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e a n d a t e a c h p o i n t i n t i m e . T h e s e t w o c o n s t r a i n t s ' 2 7 N o t e h o w e v e r t h a t u n l i k e t h e s t a t i c c a s e , ( 1 , w ) i s n o t a n e x o g e n o u s l y p r e d e t e r m i n e d s c a l a r . I n s t e a d , i t i s e n d o g e n o u s l y d e t e r m i n e d b y t h e l a b o r s u p p l y , s a v i n g , p r o d u c t i o n a n d i n v e s t m e n t d e c i s i o n s . 1 6 8 t o g e t h e r w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s g o v e r n t h e d y n a m i c o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s . T h e y c o n s t i t u t e a n e x a m p l e o f a c a s e o f a n i n fi n i t e n u m b e r o f c o n s t r a i n t s w h i c h c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m N ( u ) s 0 , w i t h u b e i n g a v e c t o r o f s t o c h a s t i c p r o c e s s d e fi n i n g t h e c o n s t r a i n t s a n d N b e i n g a ( p o s s i b l y n o n l i n e a r ) f u n c t i o n a l t a k i n g v a l u e s i n a r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e Y a n d s a t i s f y i n g s o m e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s . H e n c e , t h e y c a n b e h a n d l e d u s i n g t h e g e n e r a l i z e d v e r s i o n s o f t h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s g u a r a n t e e d b y T h e o r e m A 2 . l i n A p p e n d i x 2 . O n e n o t e s t h a t i n t h i s c a s e t h e " L a g r a n g e m u l t i p l i e r s " c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o n s t r a i n t s a r e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . H o w e v e r , t h e a p p r o p r i a t e f o r m u l a t i o n o f t h e s t o c h a s t i c c o n s t r a i n t s f a c i n g t h e c o n s u m e r r e q u i r e s a n e x p l i c i t a c c o u n t o f h o w t h e p a r t i a l r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y a s t i m e e v o l v e s ( i . e . , i n f o r m a t i o n r e v e l a t i o n ) a f f e c t s c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s . T o s e e t h e i m p o r t a n c e o f i n f o r m a t i o n r e v e l a t i o n i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e s e s t o c h a s t i c c o n s t r a i n t s , w e r e c a l l f r o m A p p e n d i x 4 t h a t a g i v e n r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h i s a c o n s e q u e n c e o f a c o n s u m e r ’ s c o n t i n g e n t p l a n m a d e o f a s e q u e n c e o f c o n t i n g e n t a c t s o r a c t i o n s a f f e c t i n g c o n s u m p t i o n ( s a v i n g , b o r r o w i n g , a n d l a b o r s u p p l y d e c i s i o n s f o r e x a m p l e ) , a n d w h i c h a r e i m p l e m e n t e d o v e r t i m e c o n d i t i o n a l o n t h e o c c u r r e n c e o f u n c e r t a i n e v e n t s i n t h e f u t u r e . H e n c e , s i n c e t h e t a k i n g o f a n y c o n t i n g e n t a c t d e p e n d s o n t h e r e s o l u t i o n o f t h e u n c e r t a i n e v e n t u p o n w h i c h i t i s c o n d i t i o n e d , t h e s t r u c t u r e o f t h e fl o w o f i n f o r m a t i o n , w h i c h d e t e r m i n e s t h e r e s o l u t i o n o f f u t u r e e v e n t s , m u s t b e e x p l i c i t i n t h e f o r m u l a t i o n o f a n y s t o c h a s t i c c o n s t r a i n t f a c i n g t h e c o n s u m e r f o r a m o d e l t o r e a l i s t i c a l l y r e p r e s e n t i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . W e h a v e b r i e fl y d i s c u s s e d i n c h a p t e r 2 s o m e o f t h e p r o b a b i l i s t i c c o n c e p t s i n v o l v e d i n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g o f t h e s e i n f o r m a t i o n i s s u e s ( s e e a l s o A p p e n d i x 4 ) . 1 6 9 H o w e v e r , t h e f u l l d i s c u s s i o n o f a l l t h e r e l e v a n t c o n c e p t s w i l l n o t b e c o n s i d e r e d i n t h i s o u t l i n e . 1 2 8 F r o m t h e a b o v e d i s c u s s i o n , i t s h o u l d b e c l e a r t h a t t h e k n o w l e d g e t h a t t h e c o n s u m p t i o n s e t X i s a w e a k l y c o m p a c t s u b s e t o f t h e p o s i t i v e c o n e o f L , ( ( l , W f ) i s s u f fi c i e n t t o d e r i v e t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s e x t e n d i n g t h e s t a t i c a n a l y s i s o f c h a p t e r 2 . F o r t h e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s e x t e n d i n g t h e r e s u l t s i n c h a p t e r 3 , o n e c a n p r o c e e d b y fi n d i n g a n a l y t i c a l c o n s t r a i n t s t h a t c a n d e s c r i b e t h e e l e m e n t s o f X . F o r t h a t , o n e c a n r e p r e s e n t t h e p o s i t i v e a n d m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g c o n d i t i o n s b y : x 2 o a n d D x 2 o ( 4 - 3 - 1 1 ) w h e r e D i s t h e ( t i m e ) d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o p e r a t o r ( a c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r ) a n d 2 r e p r e s e n t s t h e n a t u r a l o r d e r i n g o f t h e t w o s p a c e s i n v o l v e d . ( 4 . 3 . 1 1 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m M ( u ) s 0 , w h e r e M a - ( I , D ) i s a c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r t a k i n g v a l u e s i n t h e r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e Y a L , ( I l , W J ‘ ) X L , ( 0 , W i t ) , a n d I i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r d e fi n e d o n L , ( ( l , W fi ) . H e n c e , l i k e i n c h a p t e r 3 , C o r o l l a r y A 2 . 1 i n A p p e n d i x 2 c a n a l w a y s b e a p p l i e d t o o b t a i n t h e g e n e r a l i z e d v e r s i o n o f t h e E u l e r e q u a t i o n c h a r a c t e r i z i n g t h e s o l u t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s u t i l i t y m a x i m i z a t i o n p r o b l e m . F o r m a n y e x p l i c i t l y g i v e n u t i l i t y f u n c t i o n a l s , t h e E u l e r e q u a t i o n c a n b e s o l v e d t o g e t a n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n o f t h e o p t i m a l s o l u t i o n . M o r e o v e r , l i k e i n t h e s t a t i c c a s e , o n e n e e d n o t b e r e s t r i c t e d t o t i m e - a d d i t i v e a n d / o r e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l t o g e t t r a c t a b l e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s . H o w e v e r , f o r " n o n t i m e - a d d i t i v e \ n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y f u n c t i o n a l s g e n e r a t e d a s f u n c t i o n o f t h e n o r m I I I , , . , , l i k e i n t h e s t a t i c c a s e , o n e n o t e s t h a t t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f I I I I , , . , , ( w h i c h e x i s t s s i n c e L , ( f l , W j ) i s a u n i f o r m l y ‘ 2 3 O n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g o f i n f o r m a t i o n i s s u e s r e l e v a n t t o e c o n o m i c p r o b l e m s , s e e , f o r e x a m p l e , H a r r i s o n a n d K r e p s ( 1 9 7 9 ) , H u a n g ( 1 9 8 5 a a n d 1 9 8 5 b ) , D u f fi e a n d H u a n g ( 1 9 8 6 ) , a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) . 1 7 0 c o n v e x B a n a c h s p a c e ) i s a f u n c t i o n o f t h e d u a l i t y m a p p i n g o f L , ( ( l , W 9 3 ” T h e d u a l i t y m a p p i n g i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f t h e N - f u n c t i o n x i . T u r e t t ( 1 9 8 0 ) g i v e s t h e e x p l i c i t a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n o f t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f t h e n o r m o f L , ( f l , Y ) , w i t h Y b e i n g a u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e , a s a f u n c t i o n o f t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f ( I r ( s e e a l s o R a o a n d R e n , 1 9 9 1 , f o r t h e c a s e o f L , ( f l , 1 R ) . H o w e v e r , s i n c e V 1 d e p e n d s o n t h e N - f u n c t i o n ( o a n d k w h i c h t o g e t h e r d e fi n e t h e n o r m o f t h e O r l i c z - S o b o l e v s p a c e W , ‘ , o n e s t i l l n e e d s a n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n o f t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f t h e n o r m o f W j . T h i s c a n b e d e r i v e d b y u s i n g t h e c h a i n r u l e a n d n o t i n g t h a t t h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o p e r a t o r L I i D “ i s a 0 1 - 0 c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r . 1 3 0 N e e d l e s s t o s a y , e v e n f o r t i m e - a d d i t i v e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s , t h e o p t i m a l s o l u t i o n s w i l l i n g e n e r a l d e p e n d o n t h e t i m e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o p e r a t o r D , s i n c e m o s t o f t h e c o n s t r a i n t s a r e e x p r e s s e d i n t e r m o f D . I n t h e s a m e w a y a s i n t h e s t a t i c c a s e t r e a t e d i n t h e n e x t c h a p t e r , o n e c a n d e v e l o p a d u a l i t y a p p r o a c h t o d e r i v e d e m a n d s y s t e m s i n v o l v i n g t h e r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h s a s f u n c t i o n s o f t h e s t o c h a s t i c v e c t o r o f s h a d o w p r i c e s , a n d o t h e r e x o g e n o u s l y d e t e r m i n e d s t o c h a s t i c p r o c e s s e s d e t e r m i n i n g t h e c o n s t r a i n t s f a c i n g t h e c o n s u m e r ( e g . , i n t e r e s t r a t e , e x o g e n o u s i n c o m e , e t c . . . ) . T h u s , v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S d e m a n d s y s t e m , d e r i v e d i n t h e n e x t c h a p t e r , c a n b e d e r i v e d f o r i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e i n t e r t e m p o r a l Q U A I D S v e r s i o n s c a n b e e m p i r i c a l l y i m p l e m e n t e d b y n o t i n g t h a t t h e t i m e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e s o f a c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h a n d o f i t s ( p e r u n i t ) s h a d o w p r i c e g i v e t h e u s u a l o b s e r v a b l e c o n s u m p t i o n r a t e s f o r t h e v a r i o u s c o m m o d i t i e s a n d t h e i r p e r u n i t p r i c e s r e s p e c t i v e l y . H o w e v e r , t o p r o p e r l y d e r i v e t h e c o n s u m p t i o n r a t e s , o n e n e e d s t o ” 9 I n t h e c a s e o f t h e H i l b e r t s p a c e L , ( O , W , ‘ ) t h e d u a l i t y m a p p i n g r e d u c e s t o t h e i d e n t i t y o p e r a t o r ( s e e C i o r a n e s c u , 1 9 9 0 ) . 1 3 ° F o r t h e c a s e o f W , * , 1 < p < o n ) , s e e L i o n s ( 1 9 6 9 ) a n d C i o r a n e s c u ( 1 9 9 0 ) . 1 7 1 e x p l i c i t l y t a k e i n t o a c c o u n t t h e i n f o r m a t i o n a l i s s u e s r e l a t e d t o t h e p r o g r e s s i v e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y a s t i m e e v o l v e s . A g a i n , a s i n t h e c a s e o f t h e s t o c h a s t i c c o n s t r a i n t s , t h e n e e d t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e s e i n f o r m a t i o n a l i s s u e s a r i s e s b e c a u s e t h e o b s e r v a b l e c o n s u m p t i o n r a t e s f o r t h e v a r i o u s c o m m o d i t i e s a r e t h e r e s u l t o f t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n l e a d i n g t o t h e o p t i m a l r a n d o m c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t h . F i n a l l y w e c o n c l u d e t h i s o u t l i n e b y n o t i n g t h r e e s e t s o f i s s u e s t h a t a r e r e l e v a n t t o i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y b u t h a v e n o t b e e n d i s c u s s e d . T h e fi r s t s e t o f i s s u e s i s a b o u t t h e d i s e n t a n g l e m e n t i n b o t h t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s a n d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e o f t h e e f f e c t s d u e r e s p e c t i v e l y t o t a s t e s u b s t i t u t i o n , i n c o m e , a t t i t u d e s t o w a r d r i s k , a n d t i m e p r e f e r e n c e ( i . e . , i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n ) . T h i s s e p a r a t i o n c a n b e d o n e f o l l o w i n g t h e s a m e p r o c e d u r e a s i n t h e s t a t i c c a s e . T h e s e c o n d s e t o f i s s u e s r e l a t e t o t h e a n a l y t i c a l a s s e s s m e n t o f h o w t h e p r o g r e s s i v e r e v e l a t i o n o f i n f o r m a t i o n a s t i m e e v o l v e s a f f e c t s t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s . T h e t h i r d a n d fi n a l s e t o f i s s u e s c o n c e r n s t h e p r i c i n g o f i n f o r m a t i o n , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n a n d m e a s u r e m e n t o f i t s v a l u e t o t h e c o n s u m e r , a n d t h e c h a r a c t e r i z a t i o n a n d m e a s u r e m e n t o f t h e e f f e c t s o f t h e p r e f e r e n c e f o r e a r l y v e r s u s l a t e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y . T h e s e i n f o r m a t i o n - r e l a t e d i s s u e s w i l l b e a d d r e s s e d i n o u r f u t u r e w o r k u s i n g t h e c o n c e p t s a n d m e t h o d s o f m a r t i n g a l e t h e o r y . I n t h e n e x t c h a p t e r w e c o n t i n u e t h e s t a t i c a n a l y s i s o f c h a p t e r 2 a n d 3 b y u s i n g t h e d u a l i t y t h e o r y o f c h a p t e r 2 t o d e r i v e fl e x i b l e d e m a n d s y s t e m s u n d e r u n c e r t a i n t y . 1 7 2 C H A P T E R 5 G E N E R A T I O N A N D E C O N O M E T R I C E S T I M A T I O N O F I N T E G R A B L E A N D " F L E X I B L E " D E M A N D S Y S T E M S U N D E R U N C E R T A I N T Y I n a l l t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 , w e s t a r t e d w i t h a d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l a n d d e r i v e d t h e c o r r e s p o n d i n g d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s . A l t e r n a t i v e l y , a s i n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y , o n e c a n u s e t h e d u a l i t y t h e o r y o f c h a p t e r 2 a n d s t a r t w i t h e i t h e r a n e x p e n d i t u r e o r a n i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l a n d r e c o v e r t h e c o r r e s p o n d i n g d e m a n d a n d d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l s . T h i s d u a l i t y a p p r o a c h h a s b e e n f o u n d t o b e m o r e c o n v e n i e n t f o r a p p l i e d m i c r o - e c o n o m i c s . I n w h a t f o l l o w s w e w i l l b e w o r k i n g w i t h t h e q u a d r a t i c A I D S ( Q U A I D S ) f u n c t i o n a l f o r m o f B a n k s , B l u n d e l l a n d L e w b e l ( 1 9 9 4 ) ( B . B . L h e r e a f t e r ) . H o w e v e r , t h e d e r i v a t i o n s c a n b e a p p l i e d t o a n y o n e o f t h e o t h e r fl e x i b l e f u n c t i o n a l f o r m s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d s u c h a s t h e t r a n s l o g o r t h e g e n e r a l i z e d L e o n t i e f . T h e c h a p t e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n s e c t i o n 5 . 1 t h e g e n e r a l f u n c t i o n a l f o r m s f o r t h e i n t e g r a b l e Q U A I D S s h a r e s e q u a t i o n s , a n d e l a s t i c i t y a n d w e l f a r e i n d i c a t o r f o r m u l a a r e d e r i v e d i n a g e n e r a l f r a m e w o r k w h i c h e n c o m p a s s e s b o t h t h e s t a t i c d e t e r m i n i s t i c a n d u n c e r t a i n t y c a s e s . I n s e c t i o n 5 . 2 w e s p e c i a l i z e t h e g e n e r a l Q U A I D S t o d e r i v e t h e s h a r e s , e l a s t i c i t i e s , a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s o f w h a t w e c a l l t h e " e x p e c t e d " v e r s i o n o f Q U A I D S u n d e r u n c e r t a i n t y . H e r e , t h e t e r m " e x p e c t e d " i s n o t r e l a t e d t o e x p e c t e d u t i l i t y t h e o r y , b u t i s u s e d o n l y t o d e s c r i b e t h e w a y t h e " e x p e c t e d " v e r s i o n o f Q U A I D S i s o b t a i n e d . I n s e c t i o n 5 . 3 w e d e r i v e t h e s h a r e s , e l a s t i c i t i e s , a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s f o r w h a t w e c a l l t h e ” n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n o f Q U A D S u n d e r u n c e r t a i n t y . I n s e c t i o n 5 . 4 w e d i s c u s s t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i s s u e s r e l a t e d t o t h e 1 7 3 e m p i r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f g e n e r a l Q U A I D S m o d e l . I n p a r t i c u l a r , w e p r o v i d e i n t h i s s e c t i o n a n e w m e t h o d f o r e s t i m a t i n g t h e " n u i s a n c e " p a r a m e t e r w h i c h a p p e a r s i n t h e Q U A I D S s h a r e e q u a t i o n s a n d s e e m e d t o b e d i f fi c u l t t o e s t i m a t e i n p r e v i o u s e m p i r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l . 5 . 1 T h e Q U A I D S f u n c t i o n a l f o r m u n d e r U n c e r t a i n t y T h e Q U A I D S f u n c t i o n a l f o r m i s t h e r a n k t h r e e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e p o p u l a r A I D S m o d e l o f D e a t o n a n d M u e l l b a u e r ( 1 9 8 0 ) . T h e r a n k o f a d e m a n d s y s t e m h a s b e e n d e fi n e d b y G o r m a n ( 1 9 8 1 ) a s t h e d i m e n s i o n o f t h e s p a c e s p a n n e d b y i t s E n g e l c u r v e s . I n e s s e n c e , t h e Q U A I D S m o d e l a d d s t o t h e A I D S s h a r e e q u a t i o n a q u a d r a t i c t e r m i n i n c o m e w i t h p r i c e d e p e n d e n t c o e f fi c i e n t s . B u i l d i n g o n G o r m a n ( 1 9 8 1 ) , a n d L e w b e l ( 1 9 9 1 ) , B . B . L s h o w t h a t t h e r a n k t h r e e Q U A I D S i s t h e m o s t g e n e r a l i n t e g g a b l e d e m a n d s y s t e m f o r w h i c h t h e s h a r e s a r e p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f t h e l o g a r i t h m o f d e fl a t e d t o t a l e x p e n d i t u r e . A l t h o u g h B . B . L ’ s r e s u l t s a r e d e r i v e d f o r t h e d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r m o d e l w i t h i n t h e c o n t e x t o f t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e , w e e x p e c t t h e i r r e s u l t s t o h o l d i n a n y s e p a r a b l e a n d u n i f o r m l y c o n v e x B a n a c h s p a c e . H e n c e , t h e u n c e r t a i n t y v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l p r e s e n t e d b e l o w w i l l a l l h a v e t h e s a m e t y p e o f g e n e r a l i t y a n d i n t e g r a b i l i t y a s t h e i r d e t e r m i n i s t i c c o u n t e r p a r t . 1 7 4 ( a n ( p a n . ‘ m ) ) ' ( p , l m ) = ( = 1 n v - ( p , m ) ) " — ) . ( p ) m I ( ( 5 5 . . 1 1 . . 1 2 ) ) 5 . 1 . 1 T h e g e n e r a l r a n k t h r e e i n t e g r a b l e Q U A I D S m o d e l T h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n o f t h e g e n e r a l r a n k t h r e e Q U A I D S m o d e l i s g i v e n b y w i t h fl x l n [ T m w h e r e a ( p ) , b ( p ) , a n d M p ) a r e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s d e fi n e d f r o m t h e p o s i t i v e c o n e o f t h e p r i c e s p a c e t o t h e r e a l l i n e , m i s p r e d e t e r m i n e d t o t a l e x p e n d i t u r e , a n d p i s t h e v e c t o r o f p r i c e s . F o r t h e d e t e r m i n i s t i c Q U A I D S , t h e p r i c e s p a c e i s t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e , R “ , w h i l e f o r t h e u n c e r t a i n t y Q U A I D S m o d e l s , t h e p r i c e s p a c e i s t h e s p a c e o f v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h fi n i t e v a r i a n c e s ( i . e . , L , ( Q , R " ) ) . ‘ ” T h e a s s o c i a t e d e x p e n d i t u r e a n d c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n s a r e r e s p e c t i v e l y g i v e n b y : - 4 . 1 . 3 l n E ( p . u ) = l n a ( p ) + b ( p ) X i M p ) + ( 1 n u ) 1 } ( 5 ) a n d l n u ( p , q , m ) = 1 1 1 0 0 ) ) + 2 + ‘ I 3 1 n [ ( _ a q ) ] x { 1 + A _ ( _ _ _ " _ _ P ; ( q ) x ( Q ) 1 n a ( _ q ) ] } ( 5 . 1 . 4 ) T h e b u d g e t s h a r e s a n d c o m p e n s a t e d d e m a n d s ( e v a l u a t e d a t e x p e n d i t u r e u ( p , q , m ) ) f o r t h e g e n e r a l Q U A I D S m o d e l a r e ' 3 ‘ F o r d i f f e r e n t i a b i l i t y m a t t e r s i n t h e u n c e r t a i n t y c a s e , a ( . ) , b ( . ) a n d h ( . ) a r e c o n s i d e r e d a s t h e r e s p e c t i v e r e s t r i c t i o n s t o t h e p o s i t i v e c o n e o f t h e f u n c t i o n a l s p H a ( l p l ) , p H b ( | p l ) , a n d p H h ( l p l ) d e fi n e d o n t h e w h o l e s p a c e L , ( O , R “ ) ; w h e r e | p | I ( | p , | , . . . , | p | , , ) , a n d | p , | ( w ) = s u p ( p , ( w ) , 0 ) i = 1 , . . . n , f o r a l l a t E 0 . 1 7 5 ( 5 . 1 . 5 ) 1 , . . . , n I I 2 w . = P . - a l n a ( p ) + b . ( p ) l n l - M p ) l n . 1 " . i 6 p . - b ( p ) a ( p ) b ( p ) a ( p ) a n d ( 5 . 1 . 6 ) d . = _ _ _ _ . _ C ' " p . b ( p ) m b ( p ) a ( p ) ’ . b . ’ A ! ‘ " ' 4 . ( p ) l n ” - ( p ) [ I n m ” ] l n % i = 1 , . . . , n T h e A I D S m o d e l c o r r e s p o n d s t o t h e c a s e w h e r e h ( p ) = 0 f o r a l l p . A l s o , o n e c a n c h e c k t h a t t h e s y m m e t r y , a d d i n g u p , a n d h o m o g e n e i t y r e s t r i c t i o n s a r e t h e s a m e a s t h e o n e s i n t h e A I D S m o d e l , e x c e p t t h a t t h e r e a r e a d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n s o n h ( p ) ( i n p a r t i c u l a r , M p ) m u s t b e h o m o g e n o u s o f d e g r e e z e r o ) . 5 . 1 . 2 E l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s f o r t h e g e n e r a l Q U A I D S m o d e l F r o m ( 5 . 1 . 4 ) , ( 5 . 1 . 5 ) , a n d ( 5 . 1 . 6 ) w e c a l c u l a t e t h e v a r i o u s e l a s t i c i t i e s , w e l f a r e i n d i c a t o r s , a n d r i s k a v e r s i o n m e a s u r e s a s d e r i v e d i n c h a p t e r 2 . F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e , a n d f o r t h e p u r p o s e o f G A U S S p r o g r a m m i n g , w e l e t . . a X K P M ) a n , M P ) M ( u ) m . 7 ) i E — = - + — - 2 — — = 1 , . . . ’ ( 5 . 1 . ¢ 3 m p , b ( p ) b ( p ) n a ( p ) I n ( 5 . l . 8 ) ” m m - E L F ) _ m _ . _ " : " " ’ 1 1 . 1 3 . 2 i = , . . . , n l a n . r , b ( p ) a ( p ) b ( p ) a ( p ) a n d 1 7 6 _ 1 a x x p m _ a 2 1 n a ( p ) w . - , . b . 5 ’ ( p ) b . ’ ( p ) b , ’ ( p ) m 4 ’ 0 7 } ? a p " a p a p + ‘ " $ 1 ” b ( ) — b ( 2 ” E j i j p r P P ) P ( 5 . 1 . 9 ) A i m ) M o w / ( p ) 1 m 2 - - n i , j — 1 , . . . , n b ( p ) b ( p ) 2 a ( p ) W i t h t h e s e n o t a t i o n s , t h e v a r i o u s e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s f o r t h e g e n e r a l Q U A I D S m o d e l a r e U n c o m p e n s a t e d ( M a r s h a l l i a n ) e l a s t i c i t i e s P r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s : 1 w . 2 ( 5 . 1 . 1 0 ) 5 3 - 5 E . _ ‘ E p ’ . 2 X c o v [ ¢ , j p j , p f ] i , j = 1 , . . . , n N o n r i s k e l a s t i c i t i e s : _ 1 2 r . w , . . ( 5 . 1 . 1 1 ) 5 , , a E F E p ) 2 X E ( ¢ , j p j ) E p j t , j = l , . . . , n 1 ' T o t a l u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s : _ 1 2 2 . 2 ( 5 . 1 . 1 2 ) 6 , - c f , + 5 , , - E _ ’ l i p , 2 x E ( ¢ , , p , - ) l J = I , , n I n c o m e / r i s k a v e r s i o n e f f e c t s e l a s t i c i t i e s P r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s : _ 1 2 ‘ 2 ( 5 . 1 . 1 3 ) “ ’ 1 e f f ' a - E l i p , 2 X C O V [ ¢ : - " w j , p i ] i j = 1 , . . . , n N o n r i s k p u r e i n c o m e e f f e c t s : 1 7 7 T o t a l i n c o m e m ' . ! E — s k a v e r s m r , + e , - , , - " ’ 6 1 , i 5 / 3 5 r : f e c - - ' e f E E i = o n - E t _ i s ' . - P : - o : " w j ) E p j 1 J = 1 1 , n j X E ( 2 g _ a 2 E p ) . 2 X E ( g o : - " w j p j ) 1 , ] = l , , n ( ( 5 5 . . 1 1 . . 1 1 4 5 ) ) C o m p e n s a t e d ( H i c k s i a n ) e l a s t i c i t i e s T h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s a r e c a l c u l a t e d b y u s i n g t h e S l u s t k y d e c o m p o s i t i o n ( s e e c h a p t e r 2 ) a s t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e u n c o m p e n a s t e d e l a s t i c i t i e s a n d t h e i n c o m e / r i s k a v e r s i o n e f f e c t s r e s p e c t i v e l y . P r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s : e , , = e , , - — 5 , , i , j = 1 , . . . , n T a s t e s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s : s f } = e i , — e 3 " i j = 1 , . . . , n T o t a l s u b s t i t u t i o n e l a s t i c i t i e s : 6 ? , - = 5 , 5 } + e § j = e , - B u d g e t e l a s t i c i t i e s W e r e c a l l f r o m c h a p t e r 2 t h a t i n a u n c e r t a i n t y c o n t e x t t h e b u d g e t e l a s t i c i t i e s a r e r a n d o m v a r i a b l e s . S o t h e i r m e a n s a n d v a r i a n c e s a r e w h a t w i l l b e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d . B u d g e t e l a s t i c i t i e s : ( 5 . 1 . 1 6 ) a n d 1 7 8 - l “ ’ 1 ' V a r i a n c e s : v a r ( n , ) : 3 E v a r ( g o ; " ) i = 1 , . . . , n 1 ' 5 . 1 . 3 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e a n d r i s k a t t i t u d e T h e w e l f a r e i n d i c a t o r s a n d m e a s u r e s o f r i s k p r e m i u m , c o s t o f r i s k , a n d r i s k a v e r s i o n a r e c a l c u l a t e d f o r a p r i c e / b u d g e t c h a n g e f r o m ( p , m ) t o ( q , m ' ) . T h e i r e x p r e s s i o n s a r e o b t a i n e d b y u s i n g t h e g e n e r a l f o r m u l a s o f c h a p t e r 2 , a l o n g w i t h t h e e x p r e s s i o n s o f t h e c o m p e n s a t i o n f u n c t i o n a n d c o m p e n s a t e d d e m a n d s a s g i v e n b y ( 5 . 1 . 4 ) a n d ( 5 . 1 . 6 ) r e s p e c t i v e l y . W e g i v e t h e m h e r e f o r c o m p l e t e n e s s . I n d i c a t o r s o f t o t a l w e l f a r e c h a n g e E q u i v a l e n t v a r i a t i o n : E V = p ( p , q , m ' ) - m A l l e n L i v i n g — s t a n d a r d i n d e x : Q , = _ " ( P ’ S ’ m l m M c k e n z i e - P e a r c e c o s t — o f - L i v i n g i n d e x : P M = _ . u ( p . q . M ’ ) D e c o m p o s i t i o n o f t h e t o t a l w e l f a r e i n d i c a t o r s T o t a l r i s k p r e m i u m ( p a r t o f E V d u e t o r i s k a v e r s i o n ) : R = - z c o v ( c d , , p , ) i = 1 T o t a l n o n r i s k c o m p o n e n t o f E V : T = Z E c d , E p , i ' l R i s k p r e m i u m i n d e x ( p a r t o f t h e A l l e n i n d e x d u e t o r i s k a v e r s i o n ) : Q ; = % N o n r i s k c o m p o n e n t o f t h e A l l e n i n d e x : Q ; = 5 ; + 1 C o s t - o f - r i s k i n d e x ( p a r t o f t h e M c k e n z i e - P e a r c e i n d e x d u e t o r i s k a v e r s i o n ) : , _ R P u - — T + m u N o n r i s k c o m p o n e n t o f t h e M c k e n z i e - P e a r c e i n d e x : P } , = T ” : m M e a s u r e s o f r i s k a v e r s i o n R i s k a v e r s i o n m a t r i x : R ‘ = - % ( c o v ( c d , , p , ) ) l s , s u l S a n 1 7 9 m m ) = a 0 + 2 k - l b M p ( ) z . , u l n p k l n p l - l 1 - 1 0 , 1 1 1 , ) , + é p ) = p ‘ , H k - l : ; k ’ x , 1 n p , = 2 k - l ( ( ( 5 5 5 . . . 1 1 1 . . . 1 1 1 7 8 9 ) ) ) a n d T h e e x p r e s s i o n s a b o v e a r e g e n e r a l a n d t h e y a p p l y t o b o t h t h e d e t e r m i n i s t i c a n d t h e u n c e r t a i n t y Q U A I D S m o d e l s . N a t u r a l l y , i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e t h e t e r m s r e f e r r i n g t o r i s k a r e a l l z e r o . T h e d e t e r m i n i s t i c Q U A I D S m o d e l o f B . B . L i s o b t a i n e d b y d e fi n i n g a ( p ) , b ( p ) , a n d M p ) a s r e s p e c t i v e l y : w h e r e t h e a ’ s , B ’ s , y ’ s , a n d A ’ s a r e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . 5 . 2 T h e " e x p e c t e d " v e r s i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y U n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y , w h e r e t h e r i g h t h a n d s i d e s o f ( 5 . 1 . 1 7 ) , ( 5 . 1 . 1 8 ) , a n d ( 5 . 1 . 1 9 ) b e c o m e r a n d o m , w e c a n d e fi n e a n " e x p e c t e d " v e r s i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y ( E Q U A I D S ) b y t a k i n g t h e e x p e c t e d v a l u e s o f a ( p ) , b ( p ) a n d M p ) . S i n c e t h e g e n e r a l Q U A I D S m o d e l i s i n t e g r a b l e , t h e r e a l w a y s e x i s t s a d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l d e fi n e d i n 1 8 0 l n a ( p ) = a 0 + ; “ k E l n P r + % 2 2 7 1 1 1 5 0 9 9 1 1 1 1 1 1 ! ) ( 5 . 2 . 1 ) b , ' ( P ) = g u m i = 1 , . . . , n ( 5 . 2 . 6 ) t h e c h o i c e s p a c e L , ( I l , R “ ) , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e " e x p e c t e d " v e r s i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l . H o w e v e r , t h i s u t i l i t y f u n c t i o n a l n e e d n o t b e a n e x p e c t e d u t i l i t y . ' 3 2 H e n c e , w e d e fi n e t h e E Q U A I D S m o d e l b y t a k i n g a ( p ) , b ( p ) , a n d M p ) a s r e s p e c t i v e l y : k - l I - l b ( p ) = E H p f ] ( 5 . 2 . 2 ) h i a n d M p ) = Z : x p l n p , ( 5 . 2 . 3 ) k - l w h e r e t h e a ’ s , B ’ s , y ’ s , a n d X ’ s a r e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . T h e n , u s i n g l e m m a 3 . 3 . 1 , i t i s e a s y t o s e e t h a t a ( p ) , b ( p ) , a n d M p ) a r e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e e x t e n d e d s e n s e ) w i t h a l . “ a n ” = a , + 2 7 , , l n p , i = 1 , . . . , n ( 5 . 2 . 4 ) 3 P 1 k - l ( ’ 1 1 2 1 n a ( l t ) = 7 : ) _ Q a . + i 7 u l n l ’ 1 ( 5 , 2 5 ) 6 9 . 6 9 , 9 . 9 , p ? ‘ . . 1 l a n d ‘ 3 2 W h e t h e r o r n o t t h e E Q U A I D S m o d e l i s g e n e r a t e d b y a n e x p e c t e d u t i l i t y p r e f e r e n c e i s a n o p e n q u e s t i o n . A t t h i s p o i n t , a l l w e c a n s a y i s t h a t i t i s i n t e g r a b l e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l m a y b e a ” n o n - e x p e c t e d ” u t i l i t y w h i c h c a n n o t b e r e d u c e d t o a n e x p e c t e d u t i l i t y f o r m . 1 8 1 a , ( z ) = a , + £ 0 . 1 1 . ( 5 . 2 . 1 1 ) / / B - B 5 - - . . ( 5 2 7 ) b i - ( ) = — ' — " — i ’ - b ( ) . = 1 . . . ” ° ° 1 p p i { P } P ] P l ] n i h . A , ' ( p ) = F , i = 1 , . . . , n ( 5 - 2 - 8 ) 1 ' x . x } ; ( p ) = - . s , . , _ _ ; . i , j = 1 , . . . , n ( 5 . 2 . 9 ) w h e r e ( S , - i s t h e K r o n e k e r d e l t a w h i c h i s e q u a l t o 1 i f i = j a n d 0 o t h e r w i s e . H e n c e , a l l o w i n g f o r t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s t o a f f e c t s o m e o f t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s , t h e b u d g e t s h a r e s t o b e e s t i m a t e d a r e : - , " , m - X . - m 2 - _ ( 5 . 2 . 1 0 ) w , — a , ( z ) § 7 u l n p k B ’ l n a — ( p ) E r n a — ( [ 5 ] t - 1 , . . . , n w h e r e z i s t h e r - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f t h e t i m e v a r i a b l e s , t h e g e o g r a p h i c a l v a r i a b l e s , a n d t h e o t h e r h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s , w h i l e a , ( z ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l e f f e c t o f 2 o n t h e 1 ‘ ” s h a r e , a n d i s g i v e n b y T h e ( 1 ’ 8 , 1 ’ 5 , B ’ s a n d A ’ s a r e t h e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . T h e a b o v e e x p r e s s i o n s a r e i d e n t i c a l t o t h e o n e s i n t h e d e t e r m i n i s t i c Q U A I D S m o d e l , e x c e p t h e r e o r , a n d p a r e r a n d o m v a r i a b l e s , w h i l e t h e y a r e t h e o r e t i c a l l y n o n r a n d o m i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e . H o w e v e r , i n t e r m s o f e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i t i s n o w c u s t o m a r y t o c o n s i d e r b o t h t h e d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s o f d e t e r m i n i s t i c m o d e l s a s s t o c h a s t i c ( e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w ) . N o t e t h a t t h e s h a r e s d e p e n d o n c o n s u m e r s ” e x p e c t a t i o n s " a n d " b e l i e f s " o n l y t h r o u g h t h e " p r i c e a g g r e g a t o r s " a ( p ) , b ( p ) . a n d M p ) . 1 8 2 F o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s , t h e r e l e v a n t e x p r e s s i o n s a r e : " ' w . _ 2 ) \ , l n _ m 1 n w t - — — _ = 3 ' p , - 9 , M a r ) a ( p ) 2 1 1 4 - = 4 - 5 1 1 1 — + _ ‘ l n — m l = 1 . , n p . - p , a ( p ) p . b ( p ) a ( p ) Q 5 7 U + w , " ' l n m 2 6 0 ’ " i , j l r t 1 ' - _ g o , - . _ = , . . . , ’ M E 9 , m m m m « m ” 3 a n d A . c d , = ; 1 _ ' + 5 1 1 1 1 . . - ' I n " W 1 1 1 i i = 1 , . . . , n 1 p i p , b ( p ) 0 ( 9 ) : m 5 . 3 T h e " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r I m c e r t a i n t y ( 5 . 2 . 1 2 ) ( 5 . 2 . 1 3 ) ( 5 . 2 . 1 4 ) ( 5 . 2 . 1 5 ) U n d e r u n c e r t a i n t y , t h e r e a r e a t l e a s t t w o p o s s i b l e " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l . O n e i s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g i n t h e r i g h t h a n d s i d e s o f ( 5 . 1 . 1 7 ) , ( 5 . 1 . 1 8 ) , a n d ( 5 . 1 . 1 9 ) t h e p , ’ s w i t h t h e i r r e s p e c t i v e L 2 n o r m s ; t h e o t h e r b y r e p l a c i n g t h e l o g a r i t h m o f t h e p , ’ s w i t h t h e i r r e s p e c t i v e L 2 n o r m s . H o w e v e r , w i t h r e s p e c t t o u n c e r t a i n t y , t h e l a t t e r v e r s i o n i s m o r e ” fl e x i b l e ” i n t h e s e n s e t h a t t h e d e r i v e d s h a r e s , e l a s t i c i t i e s , a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s a r e f u n c t i o n s o f m o m e n t s o f p r i c e s , w i t h t h e o r d e r o f t h e m o m e n t s b e i n g d e t e r m i n e d e m p i r i c a l l y . O n t h e o t h e r h a n d , w i t h t h e f o r m e r v e r s i o n t h e s h a r e s , e l a s t i c i t i e s 1 8 3 a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s a r e c o n s t r a i n e d t o b e f u n c t i o n s o f t h e s e c o n d m o m e n t s o f p r i c e s o n l y . ” 3 N e v e r t h e l e s s , f o r c o m p l e t e n e s s t h e r e s u l t s p e r t a i n i n g t o t h e f o r m e r " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n a r e g i v e n i n A p p e n d i x 5 . T h u s , w e d e fi n e t h e " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y ( N E Q U A I D S ) b y t a k i n g a ( p ) , b ( p ) , a n d M p ) a s r e s p e c t i v e l y : n 1 I I I I 1 n " ( P l = 0 ‘ 0 + 2 0 4 I l l u m l l + 5 2 2 7 . . . | | 1 n m l l l l l n p l l l ( 5 3 : 1 ) 1 . " ! k - l l - l b ( p ) = 5 , 1 1 I p i ' l l ( 5 . 3 . 2 ) k - I a n d M p ) = Z x , | | 1 n p , l l ( 5 . 3 . 3 ) k - l w h e r e I I x , I I 2 = E x ? i s t h e s e c o n d m o m e n t o f t h e r a n d o m v a r i a b l e x , , a n d t h e a ’ s , B ’ s q ’ s , a n d X ’ s a r e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . 1 3 4 B y L e m m a 4 . 4 . 1 a ( p ) , b ( p ) , a n d M p ) a r e F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e ( i n t h e e x t e n d e d s e n s e ) w i t h a l n a , ( p ) " l n p , . ( 5 . 3 . 4 ) = a + 7 m p 1 : 1 , . . . , n a p i [ l g i t I k l P 1 l l n P 1 l ‘ 3 3 A n o t h e r t h e o r e t i c a l r e a s o n f o r p r e f e r r i n g t h e l a t t e r v e r s i o n i s t h e f a c t t h a t i n s o m e o f t h e e x a m p l e s o r i g i n a l l y u s e d i n c h a p t e r 3 , w h i c h w e r e d e r i v e d i n t h e s a m e w a y a s w i t h t h e f o r m e r v e r s i o n , t h e t o t a l r i s k p r e m i u m e n d e d u p b e i n g g l o b a l l y n e g a t i v e . T h i s i n d i c a t e d t h a t t h e p r e f e r e n c e s g e n e r a t e d b y t h o s e e x a m p l e s w e r e n o t c o n v e x . ‘ 3 ‘ F o r c o n v e n i e n c e , w e w i l l k e e p t h e n o t a t i o n I x , fl , a n d s u b s t i t u t e f o r E x ? o n l y f o r c o m p u t a t i o n a l p u r p o s e s . 1 8 4 a z l n a ( p ) = 1 I n a - l n p , - 6 9 1 3 9 , 9 . 1 ) , " I l l n p l l l l l n fl ( 5 . 3 . 5 ) " l n p _ H l n p ) + 5 . . . . l [ 0 1 9 + g 7 1 1 " 3 1 ’ 1 " ] [ 1 1 1 1 1 l e " l n p : l l “ l n p , " 3 2 3 , - l b ( p ) = B b ( p ) p ' i = 1 , . . . , n ( 5 . 3 . 6 ) l l p 1 l l ’ 9 2 - ” ' 9 ” l 1 1 2 - ” " 2 1 1 " , “ 2 5 3 1 1 : ; ( 1 1 ) = B , B , b ( p ) ' ’ + 5 . . , 6 , . b ( p ) ( 2 6 , - 1 ) , ~ 2 6 , — ' , — ‘ ° ' 7 ’ l i t / V I I l a / l l 2 1 M P l l p 1 ' l l ‘ l n p . M ( p ) = k , ' i = 1 , . . . , n ( 5 . 3 . 3 ) P 1 | | 1 n P . - | l a n d x . I n 2 A ” ( 1 ) ) - 6 % l p ’ - o n ” ) i , j = 1 , . . . , n ( 5 - 3 - 9 ) 9 . 1 ) , D u a l l l l a n l l a n ’ w h e r e 5 , - i s t h e K r o n e k e r d e l t a w h i c h i s e q u a l t o 1 i f i = j a n d 0 o t h e r w i s e . H e n c e , a l l o w i n g f o r t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s t o a f f e c t s o m e o f t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s , t h e b u d g e t s h a r e s f o r t h e N E Q U A I D S t o b e e s t i m a t e d a r e : ~ p ” : M a p . 3 . 1 0 ) ' = ' 1 n m - l l l _ — w . 0 4 ( 2 ) T — — l - 2 7 1 1 1 — l - l n i P r . l l 5 1 ' P 1 , l z a ( p ) 1 1 1 1 1 1 1 1 b ( p ) 1 1 “ ( W T w h e r e z i s t h e r - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f t h e t i m e v a r i a b l e s , t h e g e o g r a p h i c a l v a r i a b l e s , a n d t h e o t h e r h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s , w h i l e a , ( z ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l e f f e c t o f 2 o n t h e 1 ‘ " s h a r e , a n d i s g i v e n b y 1 8 5 + 9 1 9 , l l a n b u r ) I p f : I I 2 _ ] 2 1 1 1 a _ ( ’ p " ) 7 “ 1 ( 2 ) = “ t o + ‘ 2 0 ‘ 1 t h - 1 T h e 0 1 ’ s , 7 ’ 8 , 3 ’ 3 a n d X ’ s a r e t h e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . ( 5 . 3 . 1 1 ) F o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s , t h e r e l e v a n t e x p r e s s i o n s a r e : m o r , [ £ 5 1 2 x 1 1 1 “ ) : 1 m , a - 1 _ n i = 1 , . . . , n P , p , " p i ' l l z p i ] D p , ! b ( p ) a ( p ) k = fi - fl , — l n _ 9 . p i l p f ' n z a ( p ) p 1 l l n p 1 l b ( p ) p ? ‘ m + N l n p , l n l 2 a ( p ) 4 5 = 7 l n p ’ l n p ’ + m ' . - d " i ! " " p . p , - l l n p . l l l n p , l p , - ' ’ 2 5 ) ‘ I fl j l n p , P ; 1 _ , _ l n p , l n p , l n p . 1 l p ? . 2 8 . p 1 _ 1 + l n p , m B , 1 - — — l p f t l z l n p . | 1 n p , ] 2 a ( p ) F . + 3 , _ 2 p i l p i ' l ’ i , j = 1 , . . . , n a n d 1 8 6 ( 5 . 3 . 1 2 ) ( 5 . 3 . 1 3 ) ( 5 . 3 . 1 4 ) c d , = , , 3 ’ 5 5 , 1 , , , n _ i = 1 , . . . , n ( 5 . 3 . 1 5 ) _ — l n — p , p 1 l l p ‘ 3 ' l l 2 m p , | | 1 n p , | l b ( p ) “ ( 9 ) 2 m 2 1 , p i p . ) ‘ i l n p ; m u ] [ l B e f o r e m o v i n g t o t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i s s u e s , w e n o t e t h a t a l l t h e e x p r e s s i o n s p e r t a i n i n g t o t h e u n c e r t a i n t y v e r s i o n s o f Q U A I D S r e d u c e t o t h e i r d e t e r m i n i s t i c c o u n t e r p a r t s w h e n o n e a s s u m e s n o u n c e r t a i n t y . 5 . 4 E c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n 5 . 4 . 1 T h e E c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i s s u e s F o r t h e " e x p e c t e d " a n d " n o n - e x p e c t e d " v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n o f t h e s h a r e e q u a t i o n s r e q u i r e s p r i o r e s t i m a t e s o f t h e u n o b s e r v a b l e c o n s u m e r ’ s e x p e c t e d v a l u e s f o r t h e v a r i o u s r a n d o m v a r i a b l e s w h i c h a p p e a r i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e s h a r e e q u a t i o n s . I n t h i s s t a t i c f r a m e w o r k w h e r e w e h a v e a b s t r a c t e d f r o m i n f o r m a t i o n i s s u e s a n d i d e n t i fi e d t h e c o n s u m e r ’ s " e x p e c t a t i o n " p r o c e s s w i t h t h e u n c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E , a n a t u r a l w a y t o p r o c e e d i s t o e s t i m a t e t h e u n o b s e r v a b l e u n c o n d i t i o n a l m o m e n t s b y t h e i r s a m p l e a n a l o g u e s . T h a t i s , f o r a n y r a n d o m v a r i a b l e x t h e 1 T T 2 , : x , , a n d r " . 1 2 x i , w h e r e t h e x , ’ s a r e t h e T r e a l i z a t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e x . T h e n , s t a n d a r d ( ' 1 a s y m p t o t i c t h e o r y t e l l s u s t h a t t h e r e s u l t i n g s h a r e e q u a t i o n s a r e a s y m p t o t i c a l l y e q u i v a l e n t t o u n c o n d i t i o n a l m o m e n t s E x , a n d “ x H 2 = 1 5 1 1 2 a r e e s t i m a t e d r e s p e c t i v e l y b y t h e o r i g i n a l o n e s . H o w e v e r , t o t h e e x t e n t t h a t t h e g e o g r a p h i c a l v a r i a b i l i t y i n p r i c e s i s i r r e l e v a n t f o r t h e p u r p o s e o f a n a l y z i n g t h e i m p a c t o f p r i c e u n c e r t a i n t y o n c o n s u m p t i o n c h o i c e s , i n a s t a t i c f r a m e w o r k o n l y o n e r e a l i z a t i o n o f t h e r a n d o m v e c t o r o f p r i c e s p c a n b e o b s e r v e d f o r a g i v e n c o n s u m e r ( o r g r o u p o f c o n s u m e r s l i v i n g i n t h e s a m e g e o g r a p h i c a l a r e a s ) . T h i s m a k e s i t i m p o s s i b l e t o c o n s i s t e n t l y e s t i m a t e t h e u n c o n d i t i o n a l m o m e n t s u n l e s s o n e i n t e r p r e t t h e d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e p r i c e v e c t o r a c r o s s t i m e a s r e a l i z a t i o n s o f t h e s a m e 1 8 7 r a n d o m v e c t o r o f p r i c e p ; a n d t a k e s a m p l e a v e r a g e s a c r o s s t h e t i m e d i m e n s i o n . T h i s i s a r e a s o n a b l e p r o c e d u r e i f o n e w a n t s t o r e m a i n w i t h i n t h e s t a t i c f r a m e w o r k a n d a v o i d t h e e c o n o m e t r i c i s s u e s r e l a t e d t o t h e e s t i m a t i o n o f c o n d i t i o n a l m o m e n t s . T h e m i s s p e c i fi c a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h i s p r o c e d u r e c a n t h e n b e t a k e n t o b e p a r t o f t h e m e a s u r e m e n t e r r o r s a n d / o r o m i t t e d v a r i a b l e s . T h e s e c o n d e s t i m a t i o n i s s u e r e l a t e s t o t h e e n d o g e n e i t y o f t o t a l e x p e n d i t u r e m w h i c h i s c o m p u t e d b y s u m m i n g t h e e x p e n d i t u r e s o f t h e i n d i v i d u a l c o m m o d i t i e s . ‘ 3 5 I n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e t h e e n d o g e n e i t y o f t o t a l e x p e n d i t u r e i s u s u a l l y t a k e n c a r e o f b y i n s t r u m e n t i n g w i t h v a r i a b l e s t h a t , w h i l e c o r r e l a t e d w i t h t o t a l e x p e n d i t u r e , a r e o r t h o g o n a l t o t h e m e a s u r e m e n t e r r o r . I n t h i s u n c e r t a i n t y c o n t e x t , a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h i s p r o c e d u r e i s t o i n c l u d e i n t h e l i s t o f i n s t r u m e n t s s o m e o f t h e m o m e n t s o f p r i c e s . T h e d e t e r m i n i s t i c Q U A I D S f u n c t i o n a l f o r m g e n e r a t e s a n o n l i n e a r d e m a n d s y s t e m , a n d t h e o n e g e n e r a t e d b y t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S i s e v e n " m o r e " n o n l i n e a r - i f o n e c a n s a y s o - b e c a u s e o f t h e p r i c e d e p e n d e n t c o e f fi c i e n t s i n t h e fi r s t i n c o m e t e r m o f t h e s h a r e e q u a t i o n s . H o w e v e r , e x i s t i n g N o n l i n e a r L e a s t S q u a r e s ( N L S ) m e t h o d s c a n b e u s e d t o e s t i m a t e a l l t h e p a r a m e t e r s i f t h e s y s t e m i s n o t t o o l a r g e a n d t h e s a m p l e s i z e n o t t o o b i g ( s e e , f o r e x a m p l e , A m e m i y a ( 1 9 8 5 ) , c h a p t e r 8 ) . A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n n o t e t h a t c o n d i t i o n a l o n t h e 2 5 , p ; 2 , t h e s h a r e s e q u a t i o n s a r e l i n e a r i n t h e p a r a m e t e r s . I I P 1 " I I F u r t h e r m o r e , c o n d i t i o n a l o n d o , t h e s e p a r a m e t e r s u n i q u e l y d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f t h e a b o v e t e r m s a ( p ) , b ( p ) , a n d t e r m s . H e n c e , g i v e n 0 1 0 . o n e c a n u s e a n i t e r a t i v e e s t i m a t i o n m e t h o d t h a t u s e s i n i t i a l s t a r t i n g 2 5 , p ; , t o g e t l e a s t s q u a r e s e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r s , w h i c h a r e 2 P 1 ! i n t u r n u s e d t o g e t n e w v a l u e s f o r t h e a b o v e t e r m s . T h e p r o c e d u r e i s t o b e r e p e a t e d u n t i l v a l u e s f o r a ( p ) , b ( p ) , a n d c o n v e r g e n c e . T h e i d e n t i fi c a t i o n o f a , i s w h a t u s u a l l y c a u s e s p r o b l e m s i n t h i s i t e r a t i v e ' 3 5 T h e o t h e r s o u r c e s o f e n d o g e n e i t y o f t o t a l e x p e n d i t u r e w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t c h a p t e r . 1 8 8 p r o c e d u r e . B u t , i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n w e d i s c u s s i n d e t a i l a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e i n w h i c h 0 1 0 c a n b e c o n s i s t e n t l y e s t i m a t e d w i t h i n e a c h i t e r a t i o n . 5 . 4 . 2 T h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r a n d t h e M i n i m u m C h i - s q u a r e m e t h o d F o r d e m a n d s y s t e m s w i t h l a r g e s a m p l e s i z e , F u l l I n f o r m a t i o n M a x i m u m l i k e l i h o o d o r N L S m e t h o d s f o r f u l l s y s t e m s s u c h a s t h o s e d e s c r i b e d i n c h a p t e r 5 o f A m e m i y a ( 1 9 8 5 ) , a r e i n g e n e r a l c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e . T o i m p o s e t h e s y m m e t r y r e s t r i c t i o n i m p l i e d b y t h e t h e o r y , o n e u s u a l l y n e e d s a s y s t e m - w i d e e s t i m a t i o n m e t h o d t h a t e n a b l e s t h e i m p o s i t i o n o f c r o s s - e q u a t i o n r e s t r i c t i o n s . F o r t u n a t e l y , w e c a n c i r c u m v e n t b o t h t h e n o n - l i n e a r i t y o f t h e s y s t e m a n d t h e n e e d f o r a s y s t e m - w i d e e s t i m a t i o n b y u s i n g a t w o - s t a g e e s t i m a t i o n p r o c e d u r e . ‘ 3 ‘ I n t h e fi r s t s t a g e w e u s e t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) w h i c h e x p l o i t s t h e c o n d i t i o n a l l i n e a r i t y o f t h e s y s t e m a s d i s c u s s e d a b o v e t o a l l o w a n e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n O L S e s t i m a t i o n w i t h l i t t l e e f fi c i e n c y l o s s c o m p a r e d t o a n N L S e s t i m a t i o n . A n d i n t h e s e c o n d s t a g e w e u s e t h e M i n i m u m C h i - s q u a r e m e t h o d t o i m p o s e t h e s y m m e t r y r e s t r i c t i o n w i t h o u t l o s s o f e f fi c i e n c y c o m p a r e d t o a s y s t e m - w i d e e s t i m a t i o n ( F e r g u s o n ( 1 9 5 8 ) a n d R o t h e n b e r g ( 1 9 7 3 ) ) . 1 3 7 T h e o t h e r t w o r e s t r i c t i o n s i m p l i e d b y t h e t h e o r y w h i c h w e a r e c o n c e r n e d w i t h - h o m o g e n e i t y a n d a d d i n g - u p - c a n b e i m p o s e d w i t h t h e e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n e s t i m a t i o n m e t h o d . I n d e e d , t h e h o m o g e n e i t y r e s t r i c t i o n c a n b e i m p o s e d e q u a t i o n b y e q u a t i o n b y d i v i d i n g o n e o f t h e p r i c e s t h r o u g h t h e r e m a i n i n g v e c t o r o f p r i c e s , w h i l e t h e a d d i n g - u p r e s t r i c t i o n c a n b e i m p o s e d b y d r o p p i n g o n e o f t h e e q u a t i o n s f r o m t h e ' 3 6 I n f a c t , i t i s a t h r e e - s t a g e e s t i m a t i o n i f o n e t a k e s c a r e o f t h e e n d o g e n e i t y o f t o t a l e x p e n d i t u r e b y i n s t r u m e n t i n g . ‘ 3 7 W e n o t e t h a t i n c o n t r a s t t o t h e d e t e r m i n i s t i c a n d " e x p e c t e d " c a s e s , t h e v e c t o r o f r e g r e s s o r s i n t h e ” n o n - e x p e c t e d " c a s e v a r i e s f r o m o n e e q u a t i o n t o a n o t h e r , s o e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n e s t i m a t i o n d o e s n o t y i e l d t h e s a m e e s t i m a t o r a s t h e u n r e s t r i c t e d G L S e s t i m a t o r p r o d u c e d b y a s y s t e m - w i d e e s t i m a t i o n . 1 8 9 w i z a , ( z + ) 1 “ 1 . 2 . 1 : 1 ” p “ + B i l n a m ( p ) + u i i = 1 , . . . , n ( 5 . 4 - l ) e s t i m a t i o n . I 3 8 T h i s t w o - s t a g e p r o c e d u r e i s a l s o u s e d b y B . B . L ( 1 9 9 4 ) , B r o w n i n g a n d C h i a p p o r i ( 1 9 9 4 ) , B r o w n i n g a n d M e g h i r ( 1 9 9 1 ) , a n d B l u n d e l l e t a l . , ( 1 9 9 3 ) . I n f o l l o w i n g s e c t i o n s w e w i l l g i v e a s u m m a r y o f t h e t w o s t a g e s . 5 . 4 . 2 . 1 T h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r f o r c o n d i t i o n a l l y l i n e a r s y s t e m s T o s i m p l i f y t h e d i s c u s s i o n a n d n o t a t i o n , w e w i l l c o n fi n e o u r s e l f t o t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S c a s e s i n c e t h e r e i s n o l o s s o f g e n e r a l i t y i n d o i n g s o . R e c a l l t h a t i f w e a l l o w f o r t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s t o a f f e c t s o m e o f t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s , t h e n A I D S b u d g e t s h a r e s t o b e e s t i m a t e d a r e : w h e r e z i s t h e q - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f t h e t i m e v a r i a b l e s , t h e g e o g r a p h i c a l v a r i a b l e s , a n d t h e o t h e r h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s , w h i l e a , ( z ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l e f f e c t o f 2 o n t h e i m s h a r e , a n d i s g i v e n b y q o z , ( z ) = 0 1 , , + z “ 1 1 2 1 ( 5 . 4 . 2 ) 1 - 1 T h e b u d g e t d e fl a t o r a ( p ) i s g i v e n b y : l n a ( p ) = a 0 + 2 a , ( Z ) l n P , - + % 2 Z : 7 n l n p , l n p , ( 5 - 4 - 3 ) i - l k - l l - l a 0 , a n d t h e 0 1 ’ s , 7 ’ 3 , a n d B ’ s a r e t h e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d , a n d u , - i s a n i . i . d . e r r o r t e r m w i t h m e a n E u , = 0 , a n d v a r i a n c e v a r ( u , ) = 0 , 2 , i = 1 , . . . n . L e t c o v ( u , , u , ) = a , b e t h e c o v a r i a n c e s o f t h e e r r o r s f o r d i f f e r e n t e q u a t i o n s a n d 2 3 I c o v ( u ) = ( 0 , . ) l s 1 s 1 . ‘ l s t n ‘ 3 ‘ N o t e , h o w e v e r , t h a t w h e n u p d a t i n g t h e p r i c e " a g g r e g a t o r s " a ( p ) , a n d b ( p ) i n e a c h i t e r a t i o n o f t h e I M E p r o c e d u r e , o n e n e e d s t o r e c o v e r a l l t h e p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m ( i n c l u d i n g t h o s e t h a t w e r e n o t e s t i m a t e d ) . 1 9 0 W 1 = g ( X . : a o . 0 ) ’ 0 , - u . i = 1 , . . . , n ; t = l , . . . , T ( 5 . 4 . 4 ) W I T L u T J , g ( x , , a 0 , 9 ) , , h r C o n d i t i o n a l o n t h e b u d g e t d e fl a t o r a ( p ) , t h e s h a r e e q u a t i o n s ( 5 . 4 . 1 ) a r e l i n e a r i n t h e p a r a m e t e r s ; s o t h a t e x c e p t f o r a , t h e y c a n a l l b e c o n s i s t e n t l y e s t i m a t e d w i t h O L S e q u a t i o n b y e q u a t i o n . . T h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r ( I M E ) o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) e x p l o i t s t h i s c o n d i t i o n a l l i n e a r i t y . T h i s i s w e l l k n o w n f o r t h e A I D S m o d e l a n d h a s b e e n e x p l o i t e d b y u s i n g t h e S t o n e p r i c e i n d e x t o a p p r o x i m a t e a ( p ) . T h e I M E a l l o w s o n e t o e s t i m a t e a ( p ) i n s t e a d o f e s t i m a t i n g i t . T o p r e s e n t t h e I M E w e fi x e a , a t s o m e c o n s t a n t v a l u e a n d w r i t e t h e r e g r e s s i o n e q u a t i o n s i n ( 5 . 4 . 1 ) a s : 1 3 9 I f w h e r e 0 = ( 0 , , . . . , 0 , ) , 0 , = ( a , , , 7 , , 3 , ) , x , = ( z , , l n p , , , . . . , l n p ” , l n m , ) , g i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f i t s a r g u m e n t s t a k i n g v a l u e s i n R " + ’ + " * ’ , a n d T i s t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s . F o r t h e e n d o g e n e i t y o f t o t a l e x p e n d i t u r e m , l e t h , b e t h e f u l l K - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f i n s t r u m e n t s s u c h t h a t K > q + 1 + n + 1 a n d h , s a t i s fi e s t h e i d e n t i fi c a t i o n c o n d i t i o n s : E ( u , | h , ) = o t = l , . . . , T ( 5 . 4 . 5 ) v a r ( u , | h , ) = E t = l , . . . , T ( 5 . 4 . 6 ) w h e r e u , = ( u , , , . . . , u , ) ' . F u r t h e r m o r e , l e t r 1 f 1 u “ 1 g ( x , , a , , 0 ) ’ h 1 . . . . - 1 w . = . , u = . , G , ( a , , o ) = . , H , = . , a n d P ” r = H , ( H ' , H , ) H , L J L J W i t h t h e s e n o t a t i o n s , t h e I M E f o r ( 5 . 4 . 4 ) i s d e fi n e d a s t h e s o l u t i o n 3 , o f t h e f o l l o w i n g fi x e d p o i n t p r o b l e m : ‘ 3 9 T o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n w e u s e t h e s a m e n o t a t i o n f o r t h e t r u e u n k n o w n p a r a m e t e r s a n d g e n e r i c e l e m e n t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g p a r a m e t e r s p a c e . 1 9 1 ‘ 1 ’ . 1 ( 0 ) a ( , , ; . . 1 A S V Q T ) E [ A T ( 0 ) I [ G \ = 2 0 , , ( I " r ® , ( ) ' P , I G , ( 0 ) ) " G , ( 0 ) ' P H I w 1 : 1 , , n ( P é ‘ H ; I ’ ) i = 1 G A O X G A , O . . . , n ; s = 1 , 2 , 3 , . . . . Y P H I G K O ) ) - I G T ( 0 ) I P H I ) A s v h w r ) - = - [ 1 1 1 ( 0 ) ’ ( I n ® P H I G I ( 0 ) ) B T ( 0 ) ' 1 ( I " ® I ) ‘ L I I G I ( 0 ) ) I A 1 ( w i t h ( ( 5 5 . . 4 4 . . 3 9 ) ) A A O ) ] ( 5 . 4 . 1 0 ) ) ] - l ( 5 . 4 . 1 2 ) ] 0 \ I ’ , ( 0 ) = 0 ! ( 5 . 4 . 7 ) w h e r e 1 1 7 ( 0 ) s ( ‘ 1 ’ , , ( 0 ) . , \ I ! M ( 0 ) ) , a n d 1 T W h e n ( 5 . 4 . 7 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n , t h e I M E e s t i m a t e 5 , , f o r t h e 1 " " e q u a t i o n c a n b e o b t a i n e d a s t h e c o n v e r g i n g v a l u e o f t h e f o l l o w i n g i t e r a t i v e p r o c e d u r e : H e n c e e a c h i t e r a t i o n c o n s i s t s o f a n e q u a t i o n — b y - e q u a t i o n 2 S L S l i n e a r r e g r e s s i o n o f ( 5 . 4 . 1 ) . U n d e r s o m e s t a n d a r d r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) p r o v e t h a t ( 9 , i s c o n s i s t e n t a n d a s y m p t o t i c a l l y n o r m a l w i t h a n a s y m p t o t i c v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x g i v e n , i n t h e h o m o s c e d a s t i c c a s e , b y : w i t h A , ( 0 ) = I , ® G , ( 0 ) + F , ( o ) ( 5 . 4 - l l ) w h e r e I , i s t h e i d e n t i t y m a t r i x o f s i z e n a n d F , ( 0 ) i s t h e n X n b l o c k m a t r i x w h o s e i , 1 ‘ " b l o c k i s a 9 9 0 t h e T x ( q + 1 + n + 1 ) m a t r i x t h e t ‘ h r o w o f w h i c h i s o , _ g ( x ; o a o _ ) 1 ' p r o d u c t . T o d e r i v e a n a l t e r n a t i v e h e t e r o s c e d a s t i c - r o b u s t v e r s i o n o f ( 5 . 4 . 1 0 ) w e f o l l o w W h i t e , a n d ® i s t h e K r o n e c k e r ( 1 9 8 2 ) t o g e t : 1 9 2 B , ( 0 ) = E [ ( I , ® P H I G , ( 0 ) ) u u ’ ( I , ® P a g e ) ” ( 5 . 4 . 1 3 ) F e a s i b l e c o n s i s t e n t e s t i m a t e s o f A s v ( f 9 , ) a n d A s v , ( 0 , ) a r e o b t a i n e d b y r e p l a c i n g t h e T u n k n o w n p a r a m e t e r s 0 a n d E b y 6 , a n d f 3 = _ 1 _ “ [ 1 2 , r e s p e c t i v e l y ; w h e r e 1 2 , = ( 1 2 1 , , . . . , u m ) ’ i s t = l t h e n — d i r n e n s i o n a l v e c t o r o f r e s i d u a l s c o r r e s p o n d i n g t o t h e t ‘ h o b s e r v a t i o n . T h e m a t r i x B A G ) c a n b e e s t i m a t e d b y : 3 4 9 , ) = ( I n a P , I G , ( 0 , ) ) 1 3 ( I , ® P , Z G , ( 6 , ) ) ( 5 . 4 . 1 4 ) w h e r e 1 5 i s t h e a n b l o c k m a t r i x w h o s e i , 1 ‘ " b l o c k i s t h e T X T d i a g o n a l m a t r i x t h e t ‘ h d i a g o n a l e l e m e n t o f w h i c h i s 1 2 , 1 2 , N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e c o m p u t a t i o n o f A s v ( l l , ) a n d A s v , ( 9 , ) r e q u i r e a s y s t e m - w i d e c o m p u t a t i o n w h i c h c a n b e p r o h i b i t i v e i f t h e s a m p l e s i z e i s l a r g e . I n t h e e m p i r i c a l a n a l y s i s r e p o r t e d i n t h e n e x t c h a p t e r w e c o m p u t e t h e h e t e r o s c e d a s t i c — r o b u s t A s v , ( 3 , ) . H o w e v e r , w e w e r e a b l e t o s a v e s i g n i fi c a n t c o m p u t a t i o n a l t i m e b y r e o r g a n i z i n g t h e s y s t e m b y o b s e r v a t i o n i n s t e a d o f t h e s t a n d a r d e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n g r o u p i n g o f t h e o b s e r v a t i o n s r e q u i r e d b y ( 5 . 4 . 1 0 ) a n d ( 5 . 4 . 1 2 ) . T h e r e o r g a n i z a t i o n o f t h e s y s t e m b y o b s e r v a t i o n s i g n i fi c a n t l y r e d u c e s t h e d i m e n s i o n s o f t h e m a t r i c e s t o b e m u l t i p l i e d a n d i n v e r t e d t o l e s s t h a n n x ( q + 1 + n + 1 ) ) . “ ‘ ° I n d e e d , w i t h a n o r g a n i z a t i o n b y o b s e r v a t i o n s , t h e f e a s i b l e e s t i m a t e o f A s v , ( 3 , ) c a n b e c o m p u t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g a l g e b r a i c a l l y e q u i v a l e n t f o r m u l a : " ° A l s o , t h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f t h e v e c t o r o f p a r a m e t e r s i n a s y s t e m o f e q u a t i o n s a r e e a s i e r t o d e r i v e w h e n t h e s y s t e m i s o r g a n i z e d b y o b s e r v a t i o n r a t h e r t h a n b y e q u a t i o n ( s e e W o o l d r i d g e , 1 9 9 1 ) . 1 9 3 A , ” ( 9 1 ) 5 ( 5 . 4 . 1 5 ) - 1 T T T ( = 1 t = l t i l w h e r e g “ , ( 9 , ) = 1 3 1 1 , 6 9 , ) a n d 1 , 0 9 , ) i s t h e t ‘ h r o w o f t h e m a t r i x P u , G r ( é r ) § A , ( ( } , ) i s t h e n X n ( q + 1 + n + I ) m a t r i x g i v e n b y 1 , 1 ; A , ( é , ) = . A ' " ( a r ) 1 w i t h A , , ( 9 , ) b e i n g t h e t ‘ h r o w o f t h e i t h T X n ( q + 1 + n + I ) r e c t a n g u l a r b l o c k s u b m a t r i x o f A ( 9 , ) . T h e c o n v e r g i n g p a r a m e t e r e s t i m a t e s o f t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e j u s t o u t l i n e d d e p e n d s o n t h e fi x e d v a l u e o f t h e " n u i s a n c e " p a r a m e t e r 0 1 0 . H e n c e , w e n e e d t o fi n d a n e s t i m a t o r o f i t w h i c h a l l o w s u s t o u p d a t e t h e d e fl a t o r a ( p ) i n e a c h i t e r a t i o n i n a n o n a r b i t r a r y w a y . I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n w e d e t a i l a m e t h o d t h a t a l l o w s a c o n s i s t e n t e s t i m a t i o n o f 0 1 0 w i t h i n e a c h i t e r a t i o n . F o l l o w i n g a n i d e a o r i g i n a l l y s u g g e s t e d b y D e a t o n a n d M u e l l b a u e r ( 1 9 8 0 ) , B . B . L ( 1 9 9 4 ) e s t i m a t e t h e d e t e r m i n i s t i c Q U A I D S m o d e l b y c h o o s i n g a , a s a n u m b e r j u s t b e l o w t h e l o w e s t v a l u e o f 1 n ( m ) i n t h e i r s a m p l e . A n e a r l i e r v e r s i o n o f t h e i r p a p e r u s e d a l e s s a r b i t r a r y c h o i c e o f 0 ‘ 0 w h i c h c o n s i s t e d o f a g r i d s e a r c h i n w h i c h t h e c o n d i t i o n a l l o g l i k e l i h o o d f u n c t i o n f o r a , ( g i v e n e s t i m a t e s o f t h e a ’ s , 7 ’ s , a n d B ’ s p a r a m e t e r s ) i s m a x i m i z e d . A s i m i l a r c h o i c e o f a , i s u s e d b y B r o w n i n g a n d C h i a p p o r i ( 1 9 9 4 ) , w i t h t h e d i f f e r e n c e t h a t i n s t e a d o f m a x i m i z i n g t h e c o n d i t i o n a l l o g l i k e l i h o o d , t h e y u s e d t h e G M M e s t i m a t o r , w h i l e h o l d i n g c o n s t a n t t h e G M w e i g h t i n g m a t r i x . 1 9 4 T o fi n d a l e s s a r b i t r a r y a n d s i m p l e r e s t i m a t o r o f 0 1 0 , w e r e w r i t e t h e s h a r e e q u a t i o n s ( 5 . 4 . 1 ) a s : m 1 ( 1 ) ) - [ 3 , 1 1 0 + u . w , = a , ( z ) + Z y i k l n p , + B , l n 1 - 1 w h e r e l n r ( p ) a 2 a , ( z ) l n p , + % 2 z 7 , , l n p , l n p , 1 i = 1 k - l [ - E q u a t i o n ( 5 . 4 . 1 6 ) c a n b e r e w r i t t e n a s : y , = [ 3 , 1 1 0 - u , i = 1 , . . . , n w h e r e y , i s d e fi n e d a s m y , a a , ( z ) + 7 , . l n p + B l n , 1 : 1 " ’ ‘ r ( p ) I n t e r m s o f t h e o b s e r v a t i o n s , t h e r e g r e s s i o n e q u a t i o n s a r e : y , = 6 , 0 1 0 - u , i = 1 , . . . , n ; t = l , . . . , T w h e r e T i s t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s . - w . i = 1 , . . . i = 1 , . . . ( 5 . 4 . 1 6 ) ( 5 . 4 . 1 7 ) ( 5 . 4 . 1 8 ) ( 5 . 4 . 1 9 ) ( 5 . 4 . 2 0 ) H e n c e , i f y , - a n d B , a r e k n o w n , t h e n a , c a n b e e s t i m a t e d f r o m ( 5 . 4 . 2 0 ) , w h i c h , c o n d i t i o n a l o n t h e a ’ s , 7 ’ s , a n d 6 ’ s p a r a m e t e r s , i s a s e t o f s e e m i n g l y u n r e l a t e d l i n e a r r e g r e s s i o n s ( S U R ) w i t h t h e s a m e p a r a m e t e r a , a p p e a r i n g i n a l l e q u a t i o n s . H e n c e , u s i n g t h e I M E p r o c e d u r e j u s t o u t l i n e d , S U R m e t h o d s c a n b e a p p l i e d t o ( 5 . 4 . 2 0 ) t o g e t a c o n s i s t e n t e s t i m a t e o f a 0 ( O L S o r G L S ) w i t h i n e a c h i t e r a t i o n . A n o t h e r s t r a i g h t f o r w a r d e s t i m a t o r o f a , i s g i v e n b y t h e a v e r a g e : 1 9 5 § . = B , a , + v , i = 1 , . . . , n ( 5 . 4 . 2 4 ) . A = l n T y , , : 1 n 5 ’ . . - ( 5 . 4 . 2 1 ) “ ° m ‘ . - 2 . 3 . 2 . 3 7 : 3 % . 1 ' 7 1 , 2 y , , . U n d e r t h e s t a n d a r d a s s u m p t i o n s f o r t h e e r r o r t e r m u , , t = l t h i s e s t i m a t o r o f a 0 i s c o n s i s t e n t i f t h e e s t i m a t o r o f t h e o z ’ s , 7 ’ s , a n d 5 ’ s p a r a m e t e r s a r e w h e r e ; = G , , . . . , y , ) ’ , a n d y , = c o n s i s t e n t . F u r t h e r m o r e , i t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e O L S a n d G L S f o r 0 : 0 i n t h e S U R r e g r e s s i o n i n ( 5 . 4 . 2 0 ) s i m p l i f y r e s p e c t i v e l y t o 6 , 3 1 3 = ( 3 1 6 ) " 6 1 3 , - ( 5 . 4 . 2 2 ) a n d a ? ” = ( a r r o w s - ‘ 1 ( 5 4 - 2 3 ) w h e r e B = ( 3 , , . . . , B " ) . E x p r e s s i o n s ( 5 . 4 . 2 2 ) a n d ( 5 . 4 . 2 3 ) s h o w c l e a r l y t h a t O L S a n d G L S a p p l i e d t o t h e S U R i n ( 5 . 4 . 2 0 ) a r e m e r e l y O L S a n d G L S a p p l i e d r e s p e c t i v e l y t o t h e f o l l o w i n g n - o b s e r v a t i o n s r e g r e s s i o n w i t h h e t e r o s c e d a s t i c a n d a u t o c o r e l l a t e d e r r o r s : 7 ' w h e r e v , = — l : “ 1 1 1 T h e v , ’ s h a v e z e r o m e a n s a n d v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x e q u a l t o % 2 . P l A s t r a i g h t f o r w a r d a p p l i c a t i o n o f t h e c e n t r a l l i m i t t h e o r e m s h o w s t h a t a 3 , a 3 ” , a n d a ? ” a r e a s y m p t o t i c a l l y n o r m a l w i t h a s y m p t o t i c v a r i a n c e s g i v e n r e s p e c t i v e l y b y : A 1 A = _ I 5 . 4 . 2 v a r [ o z , ] n 2 . 6 S E ( 5 ) v a r l a ‘ z ” 1 = ( B ’ B ) " B ’ E B ( B ’ B ) " ‘ 5 4 - “ ) a n d 1 9 6 v a r [ a f § ” ] = ( p i x - I 3 ) " ( 5 . 4 . 2 7 ) a : = l n i - « 1 2 ” W W 6 ‘ ? = ( 3 ’ E - l B l e I E - S ’ . 1 . l « = f B ( 1 i B C ( 3 a 1 = c r t ' s 2 _ 1 3 ) - I B I E _ I B = C ( ( ( 5 5 . . 4 4 . . 2 2 8 9 ) ) 5 . 4 3 0 ) a n d w h e r e Q I ( _ 1 _ , . . . , 1 ) . 3 7 3 : F e a s i b l e e s t i m a t e s o f a 3 , a 3 ” , a n d a ? ” a n d t h e i r r e s p e c t i v e a s y m p t o t i c v a r i a n c e s a r e o b t a i n e d b y r e p l a c i n g E a n d t h e ( 1 ’ 8 , 7 ’ 3 , a n d B ’ s p a r a m e t e r s b y t h e i r c o n s i s t e n t e s t i m a t e s . T h e s e c o n s i s t e n t e s t i m a t e s a r e o b t a i n e d f r o m t h e O L S e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n o f t h e I M E p r o c e d u r e a p p l i e d t o t h e c o n d i t i o n a l l y l i n e a r s h a r e e q u a t i o n s i n ( 5 . 4 . 2 0 ) . B y t h e S l u t s k y t h e o r e m , t h e r e s u l t i n g e s t i m a t o r s h a v e r e s p e c t i v e l y t h e s a m e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n a s t h e o r i g i n a l o n e s u n d e r s t a n d a r d a s s u m p t i o n s . I n t e r e s t i n g l y , f o r o u r s y s t e m o f e q u a t i o n s , i t i s t h e c a s e t h a t y = c B ; t h a t i s % i i s t h e s a m e f o r a l l i . T h e r e f o r e , a l l t h r e e f e a s i b l e e s t i m a t o r s o f a , a r e a l g e b r a i c a l l y i d e n t i c a i a n d e q u a l t h e c o m m o n r a t i o % . T h i s i n t u r n i m p l i e s t h a t : , 1 1 9 7 H e n c e , w e h a v e d e r i v e d a v e r y s i m p l e e s t i m a t o r o f a , a l l o w i n g t h e f u l l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e I M E p r o c e d u r e t o t h e c o n d i t i o n a l l y l i n e a r Q U A I D S s h a r e e q u a t i o n s . ” I t t h u s r e m a i n s t o i m p o s e t h e h o m o g e n e i t y , s y m m e t r y , a n d a d d i n g - u p i m p l i e d b y t h e t h e o r y . B e c a u s e t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n i s a w i t h i n - e q u a t i o n , i t c a n b e i m p o s e d w i t h i n e a c h i t e r a t i o n o f t h e I M E p r o c e d u r e . S i m i l a r l y , a l t h o u g h t h e a d d i n g - u p r e s t r i c t i o n s i n v o l v e p a r a m e t e r s f r o m d i f f e r e n t e q u a t i o n s , t h e y c a n s t i l l b e i m p o s e d w i t h i n e a c h i t e r a t i o n o f t h e I M E p r o c e d u r e b y d r o p p i n g o n e o f t h e e q u a t i o n s i n t h e s y s t e m . I n f a c t , i t i s n e c e s s a r y t o d r o p o n e o f t h e e q u a t i o n s i n o r d e r t o h a v e a n o n s i n g u l a r v a r i a n c e - c o v a r i a n c e e s t i m a t e f o r e r r o r t e r m s i n t h e e s t i m a t e d s y s t e m . H o w e v e r , i n e a c h i t e r a t i o n o f t h e I M E p r o c e d u r e o n e n e e d t o r e c o v e r t h e n o n e s t i m a t e d p a r a m e t e r s i n o r d e r t o u p d a t e r ( p ) w h i c h r e q u i r e s t h e f u l l 0 : a n d 7 m a t r i c e s . B u t , t h e h o m o g e n e i t y a n d t h e a d d i n g - u p r e s t r i c t i o n s m u s t s t i l l b e m a i n t a i n e d ( i f t h e y a r e i m p o s e d d u r i n g e s t i m a t i o n ) w h e n c o m p u t i n g a n y o f t h e e s t i m a t e s o f a , ( i . e . , w h e n I I I - c o m p u t i n g _ y ‘ a n d t a k i n g a v e r a g e a c r o s s e q u a t i o n s ) . B e c a u s e o t h e r w i s e o r , c a n n o t b e i d e n t i fi e d . i O n t h e o t h e r h a n d , t h e I M E p r o c e d u r e d o e s n o t a l l o w a d i r e c t i m p o s i t i o n o f t h e s y m m e t r y r e s t r i c t i o n s . I n d e e d , t o g e t t h e s y m m e t r y - r e s t r i c t e d p a r a m e t e r e s t i m a t e s , o n e n e e d s t o i m p o s e c r o s s e q u a t i o n r e s t r i c t i o n s u s i n g s i m u l t a n e o u s l y t h e r e l e v a n t i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d ‘ “ F o r t h e g e n e r a l Q U A I D S w i t h o r w i t h o u t u n c e r t a i n t y , t h e a n a l o g u e o f t h e e q u a t i o n ( 5 . 4 . 1 8 ) h a s t h e f o r m fl _ P N ( P ) I n m a - u . i = 1 . . . n b ( p ) b ( p ) r ( p ) ° ' ’ ’ a l n a ( p ) b 1 ( p ) , n _ > ‘ 1 ( p ) a o > ‘ 1 ' ( P ) _ w r ( p ) ( ” b ( p ) " I n t h i s c a s e w h e r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e y , d e p e n d s i t s e l f o n 0 1 0 3 , o n e c a n s t i l l u s e a o n e - s t e p l i n e a r p r o c e d u r e w i t h i n e a c h i t e r a t i o n b y r e p l a c i n g 0 1 0 2 b y t h e s q u a r e o f o r , e s t i m a t e d f r o m t h e p r e v i o u s i t e r a t i o n ( o r b y u s i n g t h e t ( s u n n i n g v g g e o f a , i n t h e c a s e o f t h e fi r s t i t e r a t i o n ) . H o w e v e r , t h e m p l i f y i n g f o r m u l a f o r a , , a n d a o a r e n o t v a l i d a n y m o r e f o r t h e ” n o n - e x p e c t e d ” v e r s i o n o f t h e Q l U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y . a o l n f a c t , t h e e q u i v a l e n t o f ( 5 . 4 . 2 2 ) a n d ( 5 . 4 . 2 3 ) g i v e t w o o t h e r a l t e r n a t i v e e s t i m a t o r s f o r 0 1 0 . y , a p , i = 1 , . . . , n w h e r e 8 p , “ 9 ) 5 0 ’ ) 1 9 8 i n e a c h e q u a t i o n . B u t , t h i s i s n o t p o s s i b l e w i t h t h e e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n e s t i m a t i o n i n v o l v e d i n t h e I M E p r o c e d u r e . H o w e v e r , t h e c o n s i s t e n t s y m m e t r y - u n r e s t r i c t e d p a r a m e t e r e s t i m a t e s a n d t h e i r e s t i m a t e d ( n o n s i n g u l a r ) v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o b t a i n e d f r o m t h e I M E p r o c e d u r e c a n b e u s e d w i t h t h e M i n i m u m C h i - s q u a r e m e t h o d t o o b t a i n t h e s y m m e t r y - r e s t r i c t e d p a r a m e t e r e s t i m a t e s w i t h o u t a j o i n t e s t i m a t i o n o f t h e s y s t e m , a n d y e t w i t h n o l o s s o f e f fi c i e n c y . 5 . 4 . 2 . 2 T h e M i n i m u m C h i - s q u a r e E s t i m a t o r f o r i m p o s i n g c r o s s - e q u a t i o n r e s t r i c t i o n s T h e M i n i m u m C h i - s q u a r e ( M C S ) m e t h o d i s a g e n e r a l b u t c o m p u t a t i o n a l l y s i m p l e m e t h o d f o r g e n e r a t i n g e f fi c i e n t c o n s t r a i n e d e s t i m a t e s a n d t e s t s t a t i s t i c s f r o m u n c o n s t r a i n e d c o n s i s t e n t e s t i m a t e s . ” 2 T h e m e t h o d r e q u i r e s o n l y t h e a v a i l a b i l i t y o f a c o n s i s t e n t e s t i m a t e o f t h e u n k n o w n p a r a m e t e r a n d a n o n s i n g u l a r e s t i m a t e o f i t s v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x . T o p r e s e n t t h e M C S m e t h o d , l e t 0 ° b e a l - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f u n k n o w n p a r a m e t e r s i n a p a r a m e t e r s p a c e 9 C R ’ , a n d w h i c h i s k n o w n t o s a t i s f y t h e c o n s t r a i n t R ( 0 ° ) = 0 , w h e r e R i s a ( p o s s i b l y n o n l i n e a r ) f u n c t i o n t a k i n g v a l u e s i n R " w i t h k s 1 . S u p p o s e t h a t 3 i s a c o n s i s t e n t a n d a s y m p t o t i c a l l y n o r m a l e s t i m a t o r o f 0 " w i t h 0 b e i n g i t s e s t i m a t e d a s y m p t o t i c v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x . T h e n t h e m i n i m u m d i s t a n c e e s t i m a t o r d e fi n e d b y : a , a a r g m i n { ( é - ( 1 ) / 1 1 " ( 3 - 0 ) ; 1 1 ( 0 ) = 0 } ( 5 . 4 . 3 1 ) 0 i s a c o n s i s t e n t a n d a s y m p t o t i c a l l y n o r m a l e s t i m a t o r o f 0 ° w i t h a n e s t i m a t e d a s y m p t o t i c v a r i a n c e — c o v a r i a n c e g i v e n b y - , 3 1 1 ( 0 ) ( “ 1 ( 5 . 4 . 3 2 ) 8 0 - 1 1 1 1 ( 9 ) ’ I 9 1 . = , 2 _ n 3 0 6 1 1 ( 0 ) f , 3 1 1 ( 9 ) 6 0 6 0 “ 2 I t i s a l s o s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s t h e M i n i m u m D i s t a n c e m e t h o d . 1 9 9 ( 4 ) 8 0 t h a l o t d o 9 = , ) / ( ‘ ) - 1 ( 9 - 9 1 ) . 1 2 1 6 l ) s m a - u m a g e c t 1 p m e r i e v ‘ 2 l d e e " 1 u e 1 C a l 1 ’ ( 1 1 e s u e h a i l - l s . A i z s I 2 u 1 a o ’ s 1 s q . m m D S 1 ’ ) " r r a m e r o e y d m q 1 e i h v i c n d n e g l e a i fi t e n c t a r t ( n a h e t e r i u d d c t i 5 . 4 . t i m l s i y n o ) s o i c n s 3 l h 1 e a t f t h e t o t e ( a n n 5 d w h r a s t c p i M . e 9 4 t " i , . h w e T T h i o s , b o e o t n s o m s a a i p t t r i c u a t i p l y e n v o m o a n l s h t s c i t n 3 e i x i p 4 l n o - ( ( 5 . 4 . 3 3 ) ( 5 . 4 i p o r n a t o f i c a s c r t e 3 t h . l ) e h 4 c e w h t i h i s t h a e d i m e n s l 2 w h c t E i . h M t h , / y i n C S i m p m l o e r p s m o l f s t h e I . e m p i r i M c a l l o c e d u e n t e d i n M o r e o v e r , 9 , i s r e l a t i v e l y m o r e e f fi c i e n c y c o m p a r e d t o t h e u n c o n s t r a i n e d 9 w i t h : w h e r e T i s t h e s a m p l e s i z e a n d d i s t h e n u m b e r o f i n d e p e n d e n t r e s t r i c t i o n s g e n e r a t e d b y t h e c o n s t r a i n t . T h u s , ( 5 . 4 . 3 3 ) p r o v i d e s a m e a n f o r t e s t i n g t h e v a l i d i t y o f t h e r e s t r i c t i o n R ( 0 ° ) = 0 ( s e e F e r g u s o n ( 1 9 5 8 ) , R o t h e n b e r g ( 1 9 7 3 ) , a n d L e e ( 1 9 9 2 ) f o r t h e p r o o f o f t h e s e r e s u l t s ) . F u r t h e r m o r e , w h e n R i s l i n e a r 9 , i s g i v e n b y t h e s i m p l e a n d w e l l k n o w n f o r m u l a : n e x t c h a p t e r u s i n g t h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a f r o m t h e I S R A / I F P R I s u r v e y . S u m m a r y o f t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t i o n p r o c e d u r e . S T E P 1 : C h o i c e o f t h e s t a r t i n g v a l u e s o f t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e . a ( p ) = S t o n e p r i c e i n d e x ( a l t e r n a t i v e l y o n e c a n d i r e c t l y c h o o s e a p p r o p r i a t e s t a r t i n g v a l u e s f o r t h e p a r a m e t e r s 0 1 0 , a , 7 , a n d 3 a n d c a l c u l a t e a ( p ) ) . S T E P 2 : C o n d i t i o n a l T L S e q u a t i o n b y e q u a t i o n e s t i m a t i o n . U s i n g t h e s t a r t i n g v a l u e s a ( p ) , c o m p u t e t h e T L S - e q u a t i o n - b y - e q u a t i o n i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s ( f o r t h e e n d o g e n e i t y o f l n ( m ) ) e s t i m a t e s o f a I ( a i r i n g s . , 7 I ( 7 1 1 ) 1 5 1 5 1 1 , 1 5 ) - g m 1 5 1 s . a n d 3 I ( 3 , , . . . , 3 n ) . A t t h i s s t a g e , i m p o s e t h e h o m o g e n e i t y r e s t r i c t i o n b y d i v i d i n g t h e 2 0 0 r ‘ h p r i c e t h r o u g h t h e r e m a i n i n g n - I p r i c e s . A l s o , i m p o s e t h e a d d i n g u p r e s t r i c t i o n a t t h i s s t a g e b y d r o p p i n g o n e o f t h e e q u a t i o n s ( s a y t h e 0 ‘ " e q u a t i o n ) f r o m t h e e s t i m a t i o n ( t h i s a v o i d h a v i n g a n e s t i m a t e d s i n g u l a r c o v a r i a n c e m a t r i x f o r t h e e r r o r t e r m ) . N o t e t h a t ( 1 n e e d s n o t e q u a l t o r . S T E P 3 : R e c o v e r i n g o f t h e n o n e s t i m a t e d p a r a m e t e r s f r o m t h e h o m o g e n e i t y a n d a d d i n g u p r e s t r i c t i o n s . R e c o v e r t h e n - I p a r a m e t e r s ( 7 ” , . . . , 7 , , ) r e l a t e d t o t h e r ‘ 1 1 p r i c e b y u s i n g t h e h o m o g e n e i t y r e s t r i c t i o n s 7 , , = ~ 2 3 7 , , j = 1 , . . . , n a n d t h e ( n - I ) x ( n - I ) e s t i m a t e d h a i r I ! p a r a m e t e r s o f t h e 7 m a t r i x . A l s o , u s e t h e a d d i n g u p r e s t r i c t i o n s “ . 1 0 = 1 - 2 a m , i a t d 0 1 , , = — : 0 1 , , k = l , . . . , q , 7 . 1 1 = - 2 1 1 ; 7 , , j = 1 , . . . , n , a n d 3 . 1 = — : 3 , t o e s t i m a t e t h e 1 1 1 1 . 1 1 . 1 q + 1 + n + 1 p a r a m e t e r s o f t h e d r o p p e d e q u a t i o n d f r o m t h e ( n - I ) ( q + 1 + n - I + 1 ) e s t i m a t e d p a r a m e t e r s . S T E P 4 : U p d a t i n g o f t h e " p a r t i a l " b u d g e t d e fl a t o r r ( p ) . U s e t h e f u l l m a t r i c e s o f T L S e s t i m a t e s o f a , 7 , a n d 3 o b t a i n e d f r o m S T E P 3 t o c o m p u t e t h e p r e d i c t e d v a l u e s r ( p ) o f r ( p ) a s g i v e n b y ( 5 . 4 . 1 7 ) ( f o r t h e " e x p e c t e d " A I D S , t h e r e l e v a n t s a m p l e a n a l o g u e s o f E l n p , a n d E ( l n p , l n p , ) a r e u s e d i n p l a c e o f l n p , a n d l n p , l n p , r e s p e c t i v e l y ) . S T E P 5 : E s t i m a t i o n o f ( 1 0 . U s e t h e T L S e s t i m a t e s o f a , 7 , a n d 3 o b t a i n e d f r o m S T E P 2 ( i . e . , n o t i n c l u d i n g t h e p a r a m e t e r s r e c o v e r e d i n S T E P 3 ) a l o n g w i t h t h e p r e d i c t e d v a l u e s r ( p ) o f r ( p ) o b t a i n e d I t - i n S T E P 4 t o c o m p u t e o n e o f t h e e q u i v a l e n t f e a s i b l e e s t i m a t e a , = Z ‘ . o f 0 1 0 . i S T E P 6 : U p d a t i n g o f t h e s t a r t i n g v a l u e s a n d i t e r a t i o n u n t i l c o n v e r g e n c e . U s e t h e e s t i m a t e o f o r , o b t a i n e d f r o m S T E P 5 a l o n g w i t h t h e p r e d i c t e d v a l u e s r ( p ) o f r ( p ) o b t a i n e d i n S T E P 4 t o c o m p u t e t h e p r e d i c t e d v a l u e s 2 0 1 a ( p ) = e x p ( a , r ‘ - ( p ) ) o f a ( p ) . T h e n , u s e t h e p r e d i c t e d v a l u e s a ( p ) a s n e w s t a r t i n g v a l u e s a n d r e p e a t s t e p s 2 - 5 u n t i l c o n v e r g e n c e o f a l l p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l . S T E P 7 : C o m p u t a t i o n o f t h e e s t i m a t e o f t h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e I M E O n c e c o n v e r g e n c e i s o b t a i n e d , u s e t h e c o n v e r g i n g e s t i m a t e s o f ( 1 0 , o z , 3 , a n d 7 , t o c o m p u t e t h e T s t r u c t u r a l 2 S L S r e s i d u a l s a , = ( 1 2 1 2 M ) a n d t h e fi r s t d e r i v a t i v e o f e a c h 1 ! , I . . , e s t i m a t e d e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e ( n - 1 ) ( q + 1 + n - 1 + 1 ) v e c t o r o f p a r a m e t e r s u s i n g ( 5 . 4 . 1 1 ) . F o r t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S F , ( 0 ) i s g i v e n b y F , ( 0 ) = 3 ® ( l n p * - [ z , l n p , 0 , ] ) w h i l e f o r t h e " e x p e c t e d " A I D S F , ( 0 ) i s g i v e n b y F , ( o ) = s ® [ ( 1 , ® E l n p ) * ~ z , l , ® E ( l n p * ~ l n p ) , 0 ; ~ ( , , - , , ] w h e r e l n p i s t h e T X ( n - I ) p r i c e m a t r i x ( n o t i n c l u d i n g t h e r I I I p r i c e ) ” , 2 i s t h e T X ( q + 1 ) h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s m a t r i x ( i n c l u d i n g t h e o n e s f o r t h e c o n s t a n t t e r m ) , I , i s t h e T d i m e n s i o n a l v e c t o r m a d e o f o n e s , 0 7 , “ , i s t h e T X ( n - I ) m a t r i x m a d e o f z e r o s , " * ~ " i s t h e G A U S S h o r i z o n t a l p r o d u c t o p e r a t o r a n d 3 i s t h e K r o n e c k e r p r o d u c t . ' “ T h e n c o m p u t e t h e h e t e r o s c e d a s t i c - r o b u s t a s y m p t o t i c v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x e s t i m a t e o f t h e i t e r a t e d m o m e n t e s t i m a t e s u s i n g t h e f o r m u l a i n ( 5 . 4 . 1 5 ) . “ 3 N o t e t h a t l n p i s n o t t h e T x ( n - I ) m a t r i x o f p r i c e r a t i o u s e d i n t h e 0 . L . S r e g r e s s i o n s . ' “ I f A i s a r x s m a t r i x a n d B i s a r x k m a t r i x , A * ~ B i s t h e r X s k m a t r i x o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g e l e m e n t - b y - e l e m e n t e v e r y c o l u m n o f A w i t h a l l c o l u m n s o f B . 2 0 2 S T E P 8 : R e c o v e r i n g o f t h e n o n e s t i m a t e d e l e m e n t s o f t h e f u l l v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x f r o m t h e h o m o g e n e i t y a n d a d d i n g u p r e s t r i c t i o n s . U s e t h e h o m o g e n e i t y r e s t r i c t i o n s 7 , , = - Z 7 , , j = 1 , . . . , n , t h e a d d i n g u p r e s t r i c t i o n s 1 a t r 0 ‘ 4 0 = 1 - 2 a m , 0 ‘ 4 1 = - Z a " , k = l , . . . , q , 7 4 1 = ' 2 7 , , j = 1 , . . . , n , a n d n i a t d i a t d i a l d 3 , = - 2 3 , , a l o n g w i t h t h e ( n - 1 ) ( q + 1 + n - I + I ) X ( n - 1 ) ( q + 1 + n - I + 1 ) e s t i m a t e d I M E i a t d v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x , t o r e c o v e r t h e f u l l n ( q + 1 + n + 1 ) X n ( q + 1 + n + I ) v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x c o r r e s p o n d i n g t o t h e f u l l n x ( q + I + n + 1 ) m a t r i x o f p a r a m e t e r s r e c o v e r e d i n S T E P 3 . S T E P 9 : R e a r r a n g i n g o f t h e f u l l 7 m a t r i x o f p a r a m e t e r s s o a s t o h a v e a c o h e r e n t n - I b y n - I s y s t e m . R e a r r a n g e i f n e c e s s a r y ( i . e . , i n t h e c a s e w h e r e d ¢ r ) t h e f u l l a n 7 m a t r i x ( i . e . , t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s a u g m e n t e d w i t h t h e p a r a m e t e r s 7 , , = - i 7 , , j = 1 , . . . , n a n d l a w 7 . 1 , - = - 2 1 . ; 7 , , j = 1 , . . . , n r e c o v e r e d i n S T E P 3 ) a n d d r o p e i t h e r t h e d ‘ h c o l u m n a n d a " 1 1 . : r o w o r t h e r ‘ h c o l u m n a n d r ' ' 1 r o w s o a s t o a r r i v e a t a c o h e r e n t ( n - 1 ) X ( n - I ) s h a r e / p r i c e 7 m a t r i x . A l s o , e x t r a c t t h e c o r r e s p o n d i n g ( n - I ) 2 X ( n - I ) 2 v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x f r o m t h e f u l l v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x r e c o v e r e d i n S T E P 8 ( n o t e t h a t t h e n 2 x n 2 v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x c o r r e s p o n d i n g t o t h e f u l l 7 m a t r i x i s s i n g u l a r ) . S T E P 1 0 : I m p o s i n g t h e S y m m e t r y r e s t r i c t i o n o n t h e g a m m a p a r a m e t e r s F i n a l l y , o b t a i n t h e ( n - I ) X ( n - 1 ) s y m m e t r y r e s t r i c t e d 7 m a t r i x b y u s i n g t h e m i n i m u m C h i - s q u a r e f o r m u l a : 7 , . = 7 , , - C O V ( 7 , , ) R ’ ( R C O V ( 7 , , ) " R ’ ) " R t u w h e r e 7 , , i s t h e v e c o f t h e ( n - I ) x ( n - I ) s y m m e t r y r e s t r i c t e d m a t r i x o f t h e 7 p a r a m e t e r s , 7 , , i s t h e v e c o f t h e ( n - I ) X ( r t - I ) m a t r i x o f u n r e s t r i c t e d 7 p a r a m e t e r s o b t a i n e d f r o m S T E P 9 , a n d R 2 0 3 c o v ( 7 R ) = 6 0 1 4 7 0 ) - C O V ( 7 U ) R ’ ( R C O V ( 7 U ) “ R ’ ) " R t h / u ) i s t h e ( ( n - 1 ) n / 2 ) X ( n — 1 ) 2 m a t r i x o f s y m m e t r y r e s t r i c t i o n s m a d e o f O , l , a n d - 1 , s u c h t h a t R ’ v e c ( 7 , , ) = 0 . T h e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t r i x o f 7 , , i s g i v e n b y : T h i s c o n c l u d e s o u r t h e o r e t i c a l e c o n o m i c a n d e c o n o m e t r i c a n a l y s i s o f s t a t i c c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y . T h e n e x t c h a p t e r s t a r t s o u r e m p i r i c a l a n a l y s i s . 2 0 4 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I i W l I I I I } - . . WW\\\\\\\\\\I\\\\\\\\\\\\"\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\l 3 1 2 9 3 0 1 0 4 4 I M ' C H G A N ¥ D i v e r s a t y ~ — P T L O D C A V E O A I T A D ! D R F E I E T N D U E R S U N m E a u m o o x a n D M t A w T m n o E m . u o w d d D . U a d E m D u A m m T E D m U E f M S U I s M W M a V E m - I o p p a w W n m 1 C O N S U N I E R B E H A V I O R A N D W E L F A R E N I E A S U R E M E N T U N D E R U N C E R T A I N T Y : T H E O R Y A N D E M P I R I C A L E V I D E N C E F R O M S E N E G A L V o l u m e I I B y A l i o u D i a g n e A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s a n d D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s 1 9 9 4 C H A P T E R 6 T H E C O N S U M P T I O N B E H A V I O R A N D R I S K A T T I T U D E S O F S E N E G A L E S E H O U S E H O L D S : E M P I R I C A L E V I D E N C E 6 . 1 I n t r o d u c t i o n T h i s c h a p t e r u s e s t h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a f r o m t h e 1 9 8 8 - 9 0 I S R A / I F P R I h o u s e h o l d s u r v e y i n S e n e g a l t o e m p i r i c a l l y i m p l e m e n t t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n c h a p t e r 5 . T h e c h a p t e r a l s o g i v e s a n d i n t e r p r e t e s t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , a n d c o m m e n t s o n t h e p o l i c y i m p l i c a t i o n s o f t h e i r r e l a t i v e m a g n i t u d e s . H o w e v e r , b e f o r e d i s c u s s i n g t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s , w e d i s c u s s b r i e fl y t h e m a c r o e c o n o m i c a n d i n s t i t u t i o n a l e n v i r o n m e n t w i t h i n w h i c h t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d o p e r a t e s a n d d e s c r i b e t h e I S R A / I F P R I h o u s e h o l d s u r v e y a n d t h e r e s u l t i n g d a t a s e t . D i s c u s s i n g fi r s t t h e p o l i c y e n v i r o n m e n t i n t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l s e c t o r w i l l g i v e t h e r e a d e r a g e n e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e s o u r c e s a n d n a t u r e s o f t h e u n c e r t a i n t i e s i n f o o d p r i c e s , a n d , m o r e g e n e r a l l y h o w t h e S e n e g a l s e e g o v e r m n e n t m a r k e t i n g a n d p r i c i n g p o l i c i e s i n fl u e n c e h o u s e h o l d c o n s u m p t i o n p a t t e r n s i n S e n e g a l . T h e b r i e f d i s c u s s i o n w i l l a l s o h e l p p u t t h e p o l i c y i m p l i c a t i o n s d e r i v e d f r o m t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s i n a g l o b a l a g r i c u l t u r a l a n d f o o d p o l i c y f r a m e w o r k . T h e f o c u s o f t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i s t h e " e x p e c t e d " v e r s i o n o f t h e A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y d e fi n e d i n c h a p t e r 5 . H o w e v e r , s i n c e t h e " e x p e c t e d " A I D S i s a g e n e r a l i z a t i o n t o u n c e r t a i n t y o f t h e f r e q u e n t l y e s t i m a t e d d e t e r m i n i s t i c A I D S , w e a l s o e s t i m a t e t h e l a t t e r t o c o m p a r e t h e p a r a m e t e r a n d e l a s t i c i t y e s t i m a t e s f r o m t h e t w o m o d e l s . T h e c o m p a r i s o n o f t h e e s t i m a t e s f r o m u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c m o d e l i s o f i n t e r e s t b e c a u s e , t o t h e b e s t o f o u r k n o w l e d g e , a d e m a n d s y s t e m d e r i v e d u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y h a s n e v e r 2 0 5 b e e n e s t i m a t e d . W e w e r e n o t s u c c e s s f u l i n e s t i m a t i n g t h e m o r e fl e x i b l e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S ” m o d e l b e c a u s e o f t h e c o m p u t a t i o n a l d i f fi c u l t i e s w e h a d i n o u r e a r l y a t t e m p t t o e s t i m a t e i t . 1 4 5 T h e o r g a n i z a t i o n o f t h e c h a p t e r i s a s f o l l o w s . S e c t i o n 6 . 2 g i v e s a b r i e f o v e r v i e w o f t h e i n s t u t i t i o n a l a r r a n g e m e n t s a n d p o l i c i e s i n t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l s e c t o r . S e c t i o n 6 . 3 d e s c r i b e s t h e I S R A / I F P R I s u r v e y , s a m p l i n g m e t h o d , a n d d a t a s e t . T h e s e c t i o n a l s o c o n t a i n s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s . S e c t i o n 6 . 4 d i s c u s s e s t h e s p e c i fi c a t i o n o f t h e e c o n o m e t r i c m o d e l a n d p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n . S e c t i o n 6 . 5 p r e s e n t s t h e u n c o m p e n s a t e d a n d c o m p e n s a t e d t o t a l , p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d n o n r i s k e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , a n d d i s c u s s e s t h e p o l i c y i m p l i c a t i o n s o f t h e i r r e l a t i v e m a g n i t u d e s . F i n a l l y , s e c t i o n 6 . 6 i s a b r i e f c o n c l u s i o n s u m m a r i z i n g t h e e m p i r i c a l fi n d i n g s o f t h i s c h a p t e r . 6 . 2 T h e I n s t i t u t i o n a l a n d m a c r o e c o n o m i c e n v i r o n m e n t I n d e s c r i b i n g t h e m a c r o e c o n o m i c a n d i n s t i t u t i o n a l e n v i r o n m e n t w i t h i n w h i c h S e n e g a l e s e f a r m e r s o p e r a t e , o u r e m p h a s i s i s n o t o n t h e d e t a i l s o f t h e i n s t i t u t i o n a l a r r a n g e m e n t s a n d m a c r o e c o n o m i c p o l i c i e s , b u t r a t h e r o u r i n t e n t i o n i s t o g i v e a g e n e r a l s e n s e “ 5 W e s u s p e c t t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l d i f fi c u l t i e s w e e n c o u n t e r e d e a r l y o n w i t h t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S w e r e l a r g e l y d u e t o o v e r - p a r a m e t r i z a t i o n . I n d e e d , i n a d d i t i o n t o t h e 0 : p a r a m e t e r s , w e a l s o a l l o w e d t h e B a n d X p a r a m e t e r s t o d e p e n d o n t h e f u l l v e c t o r o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s 1 , w h i c h t e n d e d t o c a u s e a l o t o f m u l t i c o l l i n e a r i t y g i v e n t h e f u n c t i o n a l f o r m o f t h e ” n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S ( s e e c h a p t e r 5 ) . F o r t h e o t h e r Q U A I D S m o d e l s , w e h a d a c o n v e r g e n c e p r o b l e m f o r t h e [ M E e s t i m a t o r . H o w e v e r , l a t e r o n w h e n w e h a d a l r e a d y r e v e r t e d t o t h e A I D S f u n c t i o n a l f o r m , w e d i s c o v e r e d a b u g i n o u r p r o g r a m w h i c h w a s p r o b a b l y c a u s i n g t h e n o n - c o n v e r g e n c e i n t h e Q U A I D S c a s e . F u r t h e r m o r e , e v e n f o r t h e A I D S m o d e l s w e g e t s i n g u l a r i t y w h e n e v e r w e u s e t h e s e a s o n a l l y a g g r e g a t e d d a t a a n d a l l o w t h e B p a r a m e t e r s t o d e p e n d o n 2 . H e n c e , w i t h t h e b u g c o r r e c t e d a n d a m i n i m a l p a r a m e t r i z a t i o n f o r t h e v e c t o r o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s , w e e x p e c t t o b e a b l e t o e s t i m a t e t h e " n o n - e x p e c t e d “ Q U A I D S i n t h e f u t u r e . 2 0 6 o f t h e s o u r c e s o f p r i c e u n c e r t a i n t y i n S e n e g a l , a n d s h o w h o w t h e b e h a v i o r o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d i s s h a p e d b y t h e g l o b a l i n s t i t u t i o n a l a r r a n g e m e n t i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r . 6 . 2 . 1 T h e i n s t i t u t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r A t t h e m a c r o a n d i n s t i t u t i o n a l l e v e l , t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l s e c t o r c a n b e c h a r a c - t e r i z e d b y t h e e x i s t e n c e o f t h r e e e n t i t i e s t h a t i n t e r a c t s t r a t e g i c a l l y . T h e fi r s t e n t i t y i s m a d e o f a l a r g e p o o l o f s u b s i s t e n c e a n d s e m i - c o m m e r c i a l f a r m h o u s e h o l d s w h o c o n s t i t u t e 6 5 % o f t h e S e n e g a l e s e w o r k f o r c e a c c o r d i n g t o t h e r e c e n t n a t i o n a l s u r v e y s , " E n q u é t e s s u r l e s p r i o r i t é s ( E P ) " ( R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , 1 9 9 2 ) . T h e y p r o d u c e m a i n l y f o o d c r o p s ( m i l l e t , s o r g h u m , m a i z e , a n d c o w p e a s ) a n d c a s h c r o p s ( p e a n u t a n d c o t t o n ) w i t h p o o r t e c h n o l o g y a n d l o w p r o d u c t i v i t y . T h e s e c o n d e n t i t y i s a c e n t r a l g o v e r n m e n t t h a t i n fl u e n c e s t o s o m e d e g r e e t h e m a r k e t i n g s y s t e m t h r o u g h a s y s t e m o f p u b l i c o r s e m i - p u b l i c e n t e r p r i s e s , d e v e l o p m e n t a l a g e n c i e s , a n d / o r s t a t e - s p o n s o r e d c o o p e r a t i v e s . T h e s e s t a t e - c o n t r o l l e d o r g a n i z a t i o n s o r a g e n c i e s b u y t h e c a s h c r o p s p r o d u c e d b y f a r m e r s a t p r i c e s o f fi c i a l l y s e t b y t h e c e n t r a l g o v e r n m e n t , a n d u n t i l 1 9 8 4 s u p p l i e d c r e d i t a n d m o s t o f t h e i n p u t s u s e d b y f a r m e r s a t s u b s i d i z e d p r i c e s . T h e t h i r d e n t i t y i s t h e n a t i o n a l c e n t r a l b a n k , w h i c h a l t h o u g h d i s t i n c t t o s o m e e x t e n t f r o m t h e c e n t r a l g o v e r n m e n t , p l a y s a r e l a t i v e l y a c t i v e r o l e i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r . I n d e e d , t h e m o n e t a r y a u t h o r i t y i s n o t d i r e c t l y u n d e r t h e c o n t r o l o f t h e g o v e r n m e n t b e c a u s e t h e n a t i o n a l c e n t r a l b a n k i s j u s t a b r a n c h o f B C E A O , t h e c e n t r a l b a n k o f t h e m o n e t a r y u n i o n t h a t l i n k s F r a n c e w i t h i t s s e v e n W e s t A f r i c a n f o r m e r c o l o n i e s . T h e c e n t r a l b a n k i n t e r v e n e s i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r t h r o u g h t h e c h a n n e l o f w h a t i s c a l l e d " t h e a g r i c u l t u r a l c a m p a i g n " b y w h i c h i t l e n d s m o n e y t o t h e g o v e r n m e n t s o t h a t i t c a n b u y t h e c a s h c r 0 p s f r o m t h e f a r m e r s . 2 0 7 T h e f o o d p r o d u c e d b y t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l s e c t o r i s n o t e n o u g h b o t h i n t e r m s o f q u a n t i t y a n d v a r i e t y t o f e e d t h e w h o l e c o u n t r y . O n a v e r a g e , t o t a l c e r e a l p r o d u c t i o n c o v e r s o n l y 5 0 t o 6 0 % o f c o n s u m p t i o n p e r y e a r ( K i t e , 1 9 9 3 ) , d e s p i t e t h e 8 0 % f o o d s e l f - s u f fi c i e n c y g o a l s e t b y t h e G o v e r n m e n t i n 1 9 8 4 . ' 4 6 T h u s , S e n e g a l m u s t i m p o r t f o o d ( m o s t l y c e r e a l s ) t o m a k e u p t h e d e fi c i t a n d s a t i s f y t h e c o n s u m e r p r e f e r e n c e s . C e r e a l i m p o r t s , 9 0 % o f w h i c h a r e r i c e , a r e c e n t r a l i z e d a n d c a r r i e d o u t b y a g o v e r n m e n t a g e n c y k n o w n b y i t s F r e n c h a c r o n y m C P S P ' ” . T h e s i t u a t i o n i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r i s f u r t h e r c o m p l i c a t e d b y t h e u n c e r t a i n t i e s r e s u l t i n g f r o m p r i c e fl u c t u a t i o n s i n w o r l d m a r k e t a n d m o r e i m p o r t a n t l y , f r o m t h e y e a r t o y e a r v a r i a b i l i t y i n t h e w e a t h e r . F i g u r e 6 . 1 a n d F i g u r e 6 . 2 g i v e s i m p l i fi e d d e s c r i p t i o n s o f t h e i n s t i t u t i o n a l a r r a n g e m e n t s i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r t h a t p r e v a i l e d s i n c e 1 9 8 6 . M o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n s c a n b e f o u n d i n B C E A O ( 1 9 8 4 - 1 9 9 0 ) , G e r s o v i t z a n d W a t e r b u r y ( 1 9 8 7 ) , B e r g ( 1 9 9 0 ) , D e l g a d o a n d J a m m e h ( 1 9 9 1 ) , a n d K i t e ( 1 9 9 3 ) . 6 . 2 . 2 T h e S e n e g a l e s e G o v e r n m e n t ’ s M a r k e t i n g ' a n d P r i c i n g P o l i c i e s T h e g o v e r n m e n t i n t e r v e n e s i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r t h r o u g h a n u m b e r o f p u b l i c e n t e r p r i s e s a n d a g e n c i e s , a n d t h r o u g h g o v e r n m e n t - i n i t i a t e d f a r m e r s ’ o r g a n i z a t i o n s ( s e e F i g u r e 6 . 1 a n d F i g u r e 6 . 2 ) . T h e r a n g e o f i n t e r v e n t i o n s c o v e r s p r o d u c t i o n , e x t e n s i o n , m a r k e t i n g , t r a n s p o r t , a n d p r o c e s s i n g . H o w e v e r , t h e g o v e m m e n t ’ s r o l e h a s b e e n d i m i n i s h i n g i n m a n y a r e a s s i n c e t h e a d o p t i o n o f t h e N e w A g r i c u l t u r a l P o l i c y ( N P A ) i n 1 9 8 4 . E x p o r t c r o p s i s o n e a r e a w h e r e t h e g o v e r n m e n t c o n t i n u e s t o b e v e r y a c t i v e . T h e t w o m a j o r c a s h " 6 A g g r e g a t e s t a t i s t i c s u s u a l l y v a r y f r o m o n e s o u r c e t o a n o t h e r . F o r c o n s i s t e n c y , m o s t o f t h e a g g r e g a t e s t a t i s t i c s c i t e d i n t h e t h e s i s a r e b a s e d o n K i t e ’ s ( 1 9 9 3 ) r e c e n t r e v i e w o f t h e c e r e a l s u b s e c t o r i n S e n e g a l . " 7 C a i s s e d e P é r é q u a t i o n e t d e S t a b i l i s a t i o n d e s P r i x . T h e C P S P i s a l s o i n c h a r g e o f i m p o r t i n g r i c e a n d / o r d i s t r i b u t i n g l i c e n s e s t o s e l e c t e d p r i v a t e i m p o r t e r s . 2 0 8 l s e t l e g n s i e r i o r b t h l n k r a r a a P M g u i o e C N l i o t u a n t e u a d n e u - S p r c - T e : d 8 d E o ( n K n ' 1 f a R M w ‘ ? 3 9 5 ‘ 1 " 0 5 ‘ fi l l t i a i ‘ : 9 r m A M n a o I D l O o S s o I L n R O r R u O O o t W D . m 8 X E B i A J I F : l T S . . . . fi a i fl ‘ , fi fi . s e d i o n ' b t c i o r f n I c : ' n L n o - a T e t g a n I c m E f I p o L h f i e E n n fl m o . i t t u a r i ; p e n a g a s o S k a n r l e e t v x E e D I e a m p W - ' a p [ ' . . , ‘ d s n n " o i . . . < k y c a ( c d c 8 . i m s t I s b u s o i r c r m o R p b n n t r w u t o p n o i s i c e d l s l n n o o y o c d i o i l t t c a e l o i a l D c c o e r u x M a l t t i d e d n - s d o r m a . a p c r 8 a - c c a . ' f l " a e i fi o P o n u o r n r p t y n s o n n t r n I I a l ! 1 t e n o M 0 0 t w w o w o o o fl fl fl A > , — - 9 . fi - 2 0 9 F i g u r e 6 . 1 S e n e g a l : I n s t i t u t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f t h e p e a n u t s e c t o r ( 1 9 8 6 - 9 2 ) . I N P U T S U P P L I E R S I ‘ t m r l r m ” I u n n a u y c r A g N a m u n » j ' r u b s / \ ' . f t m b r i c n r u b s b r ‘ 3 ” " U o > o ~ = E o : . _ \ I / \ I / B . C . E . A . 0 ( c e n t r a l b a n k ) M i n a m l n g o f c r e d i t s & l k a t b n o f d b c o u n t r a c e F c P A D O M E S T I C C O N S U M E R S p e a n u t p u u c t s 8 : 9 1 t h 1 C o m m e r c i a l b a n k s 0 ' s c u d f o u r n p o p b m t x I g t n a f h o t t a r o m p x o e c . ‘ l - , m . ‘ , 2 < . . r . o . t 8 ‘ ; l ’ e n n b t . m - . w I - - s n o m h c g s n . c s s h L = u d o l i b t c a t c a b n o y u u r p I q S h e e c M ” n . ’ r 4 l E e i ' : t o o e . d a r I a y E H o t c a u m r r s ] t t u t o t s L - L u n n v t b w l I n a s I b t d l s t a e a e r a w i a r n a b b l k u r H a t 1 i r p r e h e p l s n l u n I m I t f ! i 0 o 0 o w w f . ' i ( r w w o l . I - , ' c . 2 - n b M u o l o o l t " f fl » > ~ , s . > a - . w « - 2 1 0 F i g u r e 6 . 2 I N P U T S U P P L I E R S t o r n i z p r a t a r m e q u i p m e n t S e n e g a l : I 8 _ I n a r l 0 t l n g r u l e s , H V \ 5 / \ - / B . C . E . A . 0 ( c e n t r a l b a n k ) r a f h a n c ' n o f c m d l s a t i x a t ' o n d m u n t r a t s s C . F . D . T - : I p r i m - 3 f » ; 9 r t e r ; . r x : 9 « D c h n b a l a s s i s t a n c e i n t a c h n b a l o p e r a t b n s , m a n a g e m e n t & e x p o r t b u i d i n g o f r u r a l i n i r a s t r u c t u m s D o m e s t i c M a r k e t s t g x t b a n d . 0 I l C o m m e r c i a l b a n k s c r e d i t : t o r c o t fi i m a r k e t i n g W O R L D M A R K E T S I n s t i t u t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f t h e c o t t o n s e c t o r ( 1 9 7 5 - 1 9 9 2 ) . c r o p s a r e g r o u n d n u t a n d c o t t o n . G r o u n d n u t i s g r o w n i n t h e P e a n u t B a s i n w h i c h c o v e r s fi v e o u t o f t h e 1 0 a d m i n i s t r a t i v e r e g i o n s o f t h e c o u n t r y ( D i o u r b e l , L o u g a , T h i e s , K a o l a c k , a n d F a t i c k ) , w h i l e c o t t o n i s g r o w n m a i n l y i n t h e S o u t h e a s t e r n p a r t o f t h e c o u n t r y . T h e s a l e o f c a s h c r o p s i n i n t e r n a t i o n a l m a r k e t s i s a n i m p o r t a n t s o u r c e o f f o r e i g n e x c h a n g e f o r t h e c o u n t r y , a n d , i n t h e p a s t , o f r e v e n u e s f o r t h e g o v e r n m e n t ’ s b u d g e t . M o r e o v e r , b e c a u s e o f t h e i n d u s t r i e s a n d s e r v i c e s r e v o l v i n g a r o u n d i t , t h e p e a n u t s e c t o r c o v e r s a r e l a t i v e l y l a r g e s h a r e o f S e n e g a l ’ s G D P . T h e c r i t i c a l i m p o r t a n c e o f t h e e x p o r t c r o p s t o t h e S e n e g a l e s e e c o n o m y m a y e x p l a i n t h e h e a v y i n v o l v e m e n t o f t h e S e n e g a l e s e g o v e r m n e n t i n t h e i r d e v e l o p m e n t a n d m a r k e t i n g . E a c h y e a r , b e f o r e t h e g r o w i n g s e a s o n , t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t a n n o u n c e s t h e p r i c e s a t w h i c h i t g u a r a n t e e s t o b u y t h e d i f f e r e n t c a s h c r o p s a t h a r v e s t . I t a l s o s e t s b y d e c r e e t h e o f fi c i a l b e g i n n i n g a n d e n d i n g d a t e s f o r t h e i r m a r k e t i n g ( u s u a l l y i n D e c e m b e r a n d b e t w e e n A p r i l a n d M a y r e s p e c t i v e l y ) . T w o s t a t e - c o n t r o l l e d m o n o p o l i e s h a v e t h e e x c l u s i v e l e g a l r i g h t s o f b u y i n g t h e c a s h c r o p s f r o m f a r m e r s . I n g e n e r a l , t h e o f fi c i a l p r i c e s a r e m e a n t t o b e v a l i d o n l y f o r o n e y e a r , a l t h o u g h t h e y t e n d t o l a s t , o n a v e r a g e , m o r e t h a n t w o y e a r s . T h e s a m e u s e d t o b e t r u e f o r t h e p r i c e s o f s o m e o f t h e i n p u t s u s e d b y f a r m e r s ( f e r t i l i z e r a n d s e e d ) . T h e o f fi c i a l p r i c e o f f e r t i l i z e r u s e d t o b e m a i n t a i n e d b y a s u b s i d y ( p h a s e d o u t i n 1 9 8 9 ) p a i d d i r e c t l y t o t h e f e r t i l i z e r p r o c e s s i n g p l a n t . U n t i l t h e m i d 1 9 8 0 ’ s , i n p u t s i n c l u d i n g s e e d , f e r t i l i z e r , p e s t i c i d e s , a n d f a r m e q u i p m e n t s w e r e d i s t r i b u t e d o n c r e d i t a n d p a i d b a c k a t h a r v e s t . I n t h e p e a n u t s e c t o r , a n u n o f fi c i a l p a r a l l e l m a r k e t w h i c h e x t e n d s t o t h e n e i g h b o r i n g c o u n t r y o f G a m b i a h a s d e v e l o p e d o v e r t h e y e a r s . T h i s p a r a l l e l m a r k e t l i m i t s t h e e x t e n t t o w h i c h o f fi c i a l p e a n u t p r i c e s c a n b e k e p t l o w . ’ F o r e x a m p l e , i n 1 9 8 4 w h e n t h e g o v e r n m e n t i n t r o d u c e d a t a x w h i c h e f f e c t i v e l y l o w e r e d t h e p r i c e p a i d t o f a r m e r s f r o m 6 0 C F A / k g t o 5 0 C P A / k g , t h e p a r a l l e l m a r k e t ’ s s h a r e o f t o t a l p e a n u t m a r k e t e d j u m p e d f r o m 3 . 5 % i n t h e 1 9 8 2 - 2 1 1 8 3 s e a s o n t o 1 8 % i n t h e 1 9 8 3 - 8 4 s e a s o n . T h e p a r a l l e l m a r k e t ’ s s h a r e r e a c h e d i t s h i g h e s t l e v e l ( 4 1 % ) i n t h e 1 9 8 4 - 8 5 s e a s o n d e s p i t e t h e g o v e r n m e n t ’ s p r o m i s e t o r e t u r n 1 0 C F A / k g t o f a r m e r s w h o m a r k e t t h r o u g h o f fi c i a l c h a n n e l s . T h i s p r o m p t e d t h e g o v e r n m e n t t o r a i s e t h e p e a n u t o f fi c i a l p r i c e i n t h e m i d d l e o f t h e m a r k e t i n g s e a s o n i n o r d e r t o i n c r e a s e t h e s u p p l y o f p e a n u t s t o t h e s t a t e c o n t r o l l e d o i l p r o c e s s i n g p l a n t s w h o s e c a p a c i t y i s u n d e r u t i l i z e d ( B C E A O , 1 9 8 4 ) . T h e p r i c e s o f i n t e r n a t i o n a l l y n o n - t r a d e d c o m m o d i t i e s ( m i l l e t , s o r g h u m , m a i z e , a n d c o w p e a s ) a r e i n g e n e r a l d e t e r m i n e d b y t h e l a w o f s u p p l y a n d d e m a n d i n d o m e s t i c m a r k e t s , a l t h o u g h t h e g o v e r n m e n t h a s a t t e m p t e d s e v e r a l t i m e s i n t h e p a s t - w i t h o u t s u c c e s s - t o e n f o r c e o f fi c i a l l y s e t p r i c e s ( N d o y e , B o u g h t o n , a n d C r a w f o r d , 1 9 9 1 ) . I n i t s e f f o r t t o b o o s t d o m e s t i c c e r e a l p r o d u c t i o n i n s u p p o r t o f i t s g o a l o f 8 0 % f o o d s e l f - s u f fi c i e n c y , t h e g o v e r n m e n t a d o p t e d i n 1 9 8 6 a p o l i c y o f s e t t i n g o n l y fl o o r a n d c e i l i n g p r o d u c e r p r i c e s f o r t h e f o o d c r o p s . I n t h e o r y , a g o v e r n m e n t a g e n c y ( C S A ) “ ‘ 8 w a s s u p p o s e d t o i n t e r v e n e i n t h e f o o d c r o p m a r k e t s w h e n e v e r m a r k e t p r i c e s w e r e o u t s i d e t h e r a n g e d e l i m i t e d b y t h e i r r e s p e c t i v e o f fi c i a l c e i l i n g a n d fl o o r p r i c e s . I n p r a c t i c e , t h i s p r i c e s t a b i l i z a t i o n s c h e m e r a r e l y w o r k e d b e c a u s e o f l a c k o f s u f fi c i e n t f u n d s , l o w s t o r a g e c a p a b i l i t y , a n d i n a p p r o p r i a t e t i m i n g o f t h e i n t e r v e n t i o n . I n f a c t , f a r m e r s c o m p l a i n e d t h a t i n s t e a d o f s t a b i l i z i n g p r i c e s , C S A b r o u g h t m o r e i n s t a b i l i t y b e c a u s e o f i t s e r r a t i c i n t e r v e n t i o n ( N d o y e a n d O u e d r a o g o , 1 9 8 7 a n d 1 9 8 8 ) . T h e p r i c e s t a b i l i z a t i o n s c h e m e w a s a b a n d o n e d i n 1 9 8 8 . S i m i l a r l y , m o s t o f t h e l a w s t h a t p r o h i b i t e d t h e t r a n s a c t i o n o f m o r e t h a n 2 0 0 k g o f c e r e a l s w i t h o u t a u t h o r i z a t i o n w e r e r e p e a l e d i n 1 9 8 8 . O n t h e c o n s u m p t i o n s i d e , p r i c e s e t t i n g i s n o t y e a r b y y e a r . I n s t e a d , t h e p r i c e s f o r i m p o r t e d f o o d a r e c h a n g e d i n f r e q u e n t l y , u s u a l l y t o r e s p o n d t o s i g n i fi c a n t p r i c e c h a n g e s i n i n t e r n a t i o n a l m a r k e t s , p r e s s u r e s i n t h e b a l a n c e o f p a y m e n t a n d / o r g o v e r n m e n t b u d g e t , o r " ‘ C o m m i s s a r i a t a l a S é c u r i t é A l i m e n t a i r e . 2 1 2 p o l i t i c a l a n d s o c i a l p r e s s u r e s . I m p o r t e d f o o d p r i c e s c a n r e m a i n s t a b l e f o r a r e l a t i v e l y l o n g p e r i o d o f t i m e . H o w e v e r , t h e y a r e n o t s e t i n d e p e n d e n t l y o f c a s h c r o p p r i c e s b e c a u s e t h e r e a r e c r o s s - s u b s i d i z a t i o n s a m o n g c o m m o d i t i e s . T h e c r o s s - s u b s i d i z a t i o n s c h e m e s ( w h i c h i n c l u d e o t h e r c o m m o d i t i e s s u c h a s s u g a r , v e g e t a b l e o i l , g a s , e t c . . . ) a r e r e l a t i v e l y c o m p l e x a n d a r e m a n a g e d b y C P S P . F o r e x a m p l e , u n t i l t h e e a r l y 1 9 8 0 8 m o s t o f t h e b e n e fi t s r e a l i z e d f r o m p e a n u t e x p o r t s w e r e u s e d t o s u b s i d i z e r i c e i m p o r t s . W i t h t h e c o l l a p s e o f t h e w o r l d m a r k e t p r i c e s o f b o t h r i c e a n d p e a n u t i n t h e m i d 1 9 8 0 ’ s c o m b i n e d w i t h t h e o v e r v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c s , t h e r i c e s e c t o r h a s b e e n g e n e r a t i n g a s u r p l u s t h a t i s p a r t l y u s e d ( u n t i l t h e J a n u a r y 1 9 9 4 d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c ) t o s u b s i d i z e p e a n u t g r o w e r s , w h o h a v e b e e n r e c e i v i n g a p r o d u c e r p r i c e w e l l a b o v e t h e w o r l d m a r k e t p r i c e . “ 9 R e c e n t l y , i m p o r t a n t p o l i c y a n d i n s t i t u t i o n a l c h a n g e s h a v e b e e n t a k i n g p l a c e s i n c e 1 9 8 7 , s o t h a t i t i s e x p e c t e d t h a t b y 1 9 9 6 t h e i m p o r t a t i o n a n d m a r k e t i n g o f r i c e w i l l b e c o m p l e t e l y l i b e r a l i z e d w i t h t h e r o l e o f C P S P r e d u c e d t o m o n i t o r i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e p r i v a t i z e d s e c t o r ( K i t e , 1 9 9 3 ; R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , 1 9 9 4 ) . A l s o , a l t h o u g h t h e g o v e r n m e n t i n t e n d s t o c o n t i n u e t o b e i n v o l v e d i n t h e s e t t i n g o f p e a n u t p r o d u c e r p r i c e s b e c a u s e o f t h e i r i m p o r t a n c e f o r t h e e c o n o m y , i n t h e f u t u r e t h e y w i l l b e s e t a t l e v e l s c o n s i s t e n t w i t h w o r l d m a r k e t p r i c e s , a n d t h e d i r e c t l i n k o f t h e p e a n u t s e c t o r t o t h e g o v e r m n e n t b u d g e t w i l l b e s e v e r e d w i t h t h e c r e a t i o n o f a s e p a r a t e s e l f - fi n a n c i n g f u n d ( F G P A ) t h a t w i l l fi n a n c e o r a b s o r b a n y d e fi c i t o r s u r p l u s i n t h e p e a n u t s e c t o r ( R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , 1 9 9 4 ) . I n f a c t t h e f u n d h a s b e e n i n p l a c e s i n c e 1 9 8 9 , b u t i t h a s n o t b e e n a b l e t o o p e r a t e a s i n t e n d e d b e c a u s e o f t h e " 9 F r a n c e , t h e m a j o r t r a d i n g p a r t n e r o f S e n e g a l ( a n d t h e o t h e r 6 U M O A c o u n t r i e s ) h a s g u a r a n t e e d t h e c o n v e r t i b i l i t y o f t h e C F A w i t h t h e F r e n c h f r a n c a t a fi x e d r a t e s i n c e 1 9 4 8 . U n t i l t h e 5 0 % d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c s i n J a n u a r y 1 9 9 4 , T h e r a t e h a s r e m a i n e d c o n s t a n t a t 1 F r a n c f o r 5 0 C F A . T o c o u n t e r b a l a n c e t h e l o s s o f c o m p e t i t i v e n e s s o f S e n e g a l e s e e x p o r t s c r o p s a n d d o m e s t i c a l l y p r o d u c e d c e r e a l s r e s u l t i n g f r o m t h e s u r e v a l u a t i o n o f t h e C F A , t h e g o v e r n m e n t r e s o r t e d t o a p o l i c y t h a t p a y s p r o d u c e r p r i c e s f o r p e a n u t a n d c o t t o n a b o v e w o r l d m a r k e t p r i c e s w h i l e i m p o s i n g h i g h t a r i f f s o n r i c e i m p o r t s . 2 1 3 c h r o n i c d e fi c i t o f t h e p e a n u t s e c t o r . S i m i l a r r e f o r m s a r e p l a n n e d f o r t h e c o t t o n s e c t o r . H o w e v e r , t h e r e i s n o s i g n t h a t t h e g o v e r n m e n t i n t e n d s t o l i b e r a l i z e p e a n u t m a r k e t i n g w h i c h c o n t i n u e s t o b e d o m i n a t e d b y r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e o i l p r o c e s s i n g i n d u s t r y a n d a l i m i t e d n u m b e r o f a u t h o r i z e d p r i v a t e w h o l e s a l e r s c a l l e d " c o l l e c t o r s " . M a r k e t i n g p e a n u t i n t h e p a r a l l e l m a r k e t i s s t i l l a n i l l e g a l a c t i v i t y i n S e n e g a l . F a r m e r s c a u g h t s e l l i n g o u t s i d e o f t h e o f fi c i a l c h a n n e l s r u n t h e r i s k o f h a v i n g t h e i r p e a n u t s c o n fi s c a t e d . A n o t h e r i m p o r t a n t p o l i c y c h a n g e h a s t a k e n p l a c e i n 1 9 8 9 i n t h e m o n e t a r y s i d e . I n d e e d , t h e d e t e r i o r a t i o n o f t h e b a l a n c e o f p a y m e n t s d u r i n g t h e 1 9 8 0 3 l e d t h e C e n t r a l B a n k t o c h a n g e i t s m o n e t a r y p o l i c y i n 1 9 8 9 b y r e q u i r i n g t h e g o v e r n m e n t t o p r e fi n a n c e u p f r o n t b e f o r e t h e r e l e a s e o f t h e " a g r i c u l t u r a l c a m p a i g n " c r e d i t s a n y d e fi c i t t h a t m i g h t r e s u l t s f r o m t h e p r o j e c t e d v a l u e s o f t h e e x p o r t c r o p s a n d t h e t o t a l a m o u n t p a i d t o f a r m e r s ( U M O A , 1 9 9 1 ) . I n a d d i t i o n , a l o n g w i t h e l i m i n a t i n g t h e p r e f e r e n t i a l i n t e r e s t r a t e , B C E A O p o l i c y n o w r e q u i r e s t h a t t h e " a g r i c u l t u r a l c a m p a i g n " c r e d i t s b e w i t h i n t h e b o u n d s o f t h e c e i l i n g o n t h e c o u n t r y ’ s y e a r l y " v o l u m e o f c r e d i t s " ( U M O A , 1 9 9 1 ) . T h i s c h a n g e i n B C E A O ’ s m o n e t a r y p o l i c y i s a v e r y i m p o r t a n t d e v e l o p m e n t i n t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r . I n d e e d , o n e c a n i d e n t i f y a t l e a s t t h r e e c o n s e q u e n c e s . F i r s t , t h e e x - a n t e fi n a n c i n g o f t h e d e fi c i t - w h i c h u s e d t o b e w r i t t e n o f f b y B C E A O - a n d t h e i n c l u s i o n o f t h e " a g r i c u l t u r a l c a m p a i g n " c r e d i t s o n t h e c e i l i n g o n t o t a l c r e d i t s t o t h e e c o n o m y , e f f e c t i v e l y p u t s a y e a r l y c e i l i n g o n t h e o f fi c i a l p r o d u c e r p r i c e s t h a t a r e a n n o u n c e d b e f o r e p l a n t i n g . S e c o n d , t h e s t r i n g e n t r e q u i r e m e n t t h a t t h e " g a p " b e e x — a n t e fi n a n c e d b e f o r e t h e " a g r i c u l t u r a l c a m p a i g n " c r e d i t s a r e r e l e a s e d i s l i k e l y t o c r e a t e d e l a y s i n t h e p a y m e n t s o f f a r m e r s f o r t h e i r c r o p s , a s t h e g o v e r n m e n t s m u s t s t r u g g l e t o fi n d v e r y s c a r c e f u n d s i n t h e s e 2 1 4 d a y s o f t i g h t b u d g e t a r y c o n s t r a i n t s . 1 5 0 T h e s e d e l a y s a r e l i k e l y t o p u s h c a s h - c o n s t r a i n t f a r m e r s i n t o t h e p a r a l l e l m a r k e t , a n d / o r f o r c e t h e m t o s e l l p a r t o f t h e i r f o o d s t o c k s a t v e r y l o w p r i c e s . T h i r d , a n d p e r h a p s m o r e i m p o r t a n t l y , o f fi c i a l p r o d u c e r p r i c e s a n n o u n c e d b e f o r e p l a n t i n g c a n n o l o n g e r b e g u a r a n t e e d t o h o l d a t h a r v e s t . T h a t i s , t h e g o v e r n m e n t i s l i k e l y t o r e n e g e o n i t s p r e — a n n o u n c e d g u a r a n t e e d p r o d u c e r p r i c e i n y e a r s o f g o o d h a r v e s t a n d / o r w h e n t h e " g a p " i s e x p e c t e d t o b e l a r g e . ” ' F a r m e r s h a v e l o n g b e e n a c c u s t o m e d t o h i g h y i e l d u n c e r t a i n t y f o r t h e i r p e a n u t s ; n o w t h e y h a v e t o f a c e p o l i c y - i n d u c e d p r i c e u n c e r t a i n t y t h a t i s r e s o l v e d o n l y o n c e t h e y h a v e h a r v e s t e d t h e i r c r o p s . T h i s t y p e o f p r i c e u n c e r t a i n t y i s m o r e d i f fi c u l t t o c o p e w i t h c o m p a r e d t o m a r k e t - i n d u c e d p r i c e u n c e r t a i n t y w h i c h i s u s u a l l y c a u s e d b y v a r i a t i o n s i n s u p p l y i n d u c e d b y c h a n g e s i n t h e w e a t h e r . I n d e e d , w i t h t h e l a t t e r t y p e o f p r i c e u n c e r t a i n t y , a s t i m e g o e s a n d n a t u r e p r o g r e s s i v e l y r e v e a l s i t s e l f , f a r m e r s c a n s m o o t h l y a d j u s t t h e i r b e h a v i o r b y a l t e r i n g t h e i r l a b o r s u p p l y , i n p u t s u s e , c o n s u m p t i o n a n d s a v i n g s , i n a n t i c i p a t i o n o f p r i c e s t h a t a r e l i k e l y t o p r e v a i l a t h a r v e s t g i v e n e x p e c t e d m a r k e t s u p p l i e s . H e n c e , t h e n e w m o n e t a r y p o l i c y r e g i m e w h i l e b r i n g i n g a m u c h n e e d e d d i s c i p l i n e i n t h e g o v e r n m e n t ’ s fi n a n c i n g o f t h e " a g r i c u l t u r a l c a m p a i g n " , i n t r o d u c e s m o r e u n c e r t a i n t y i n f a r m e r s ’ c r o p m i x d e c i s i o n s a t p l a n t i n g t i m e , a n d i n t h e i r l a b o r s u p p l y , c o n s u m p t i o n a n d s a v i n g d e c i s i o n s d u r i n g t h e g r o w i n g a n d h a r v e s t s e a s o n . ‘ 5 ° T h i s s e e m s t o b e w h a t h a p p e n e d t h i s y e a r a c c o r d i n g t o t h e D e c e m b e r 1 4 , 1 9 9 3 e d i t i o n o f t h e i n d e p e n d e n t d a i l y n e w s p a p e r W a l f a d j r i . ‘ 5 1 T h i s i s e x a c t l y w h a t h a p p e n e d t h i s y e a r w h e n t h e g o v e r n m e n t , f a c e d w i t h o n e o f t h e b e s t h a r v e s t i n a d e c a d e , d e c i d e d t o r e d u c e t h e p r e - a n n o u n c e d o f fi c i a l p r i c e o f p e a n u t s f r o m 8 0 t o 7 0 C F A / k g j u s t w h e n f a r m e r s w e r e s t a r t i n g t o m a r k e t t h e i r p e a n u t s , w i t h t h e e x p r e s s p r o m i s e t o r e t u r n t o f a r m e r s t h e 1 0 C F A / k g d i f f e r e n t i a l i f a f t e r c o m m e r c i a l i s a t i o n t h e s e c t o r t u r n s o u t b e i n s u r p l u s . A c c o r d i n g t o t h e D e c e m b e r 6 , 1 9 9 3 e d i t i o n o f t h e i n d e p e n d e n t d a i l y n e w s p a p e r W a l f a d j r i , t h e a n n o u n c e m e n t o f t h e p r i c e d e c r e a s e h a s t a k e n f a r m e r s b y s u r p r i s e b e c a u s e j u s t o n e m o n t h b e f o r e , t h e y h a v e o b t a i n e d r e a s s u r a n c e s f r o m t h e M i n i s t e r o f A g r i c u l t u r e t h a t t h e g o v e r n m e n t w i l l m a i n t a i n i t s b e f o r e - p l a n t i n g o f fi c i a l p r i c e s . 2 1 5 W i t h t h i s b a c k g r o u n d o n t h e i n s t i t u t i o n a l s e t t i n g o f t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l s e c t o r , i n t h e n e x t s e c t i o n w e d e s c r i b e a n d i n t e r p r e t s o m e o f t h e e m p i r i c a l e v i d e n c e s c o n t a i n e d i n t h e d a t a s e t r e s u l t i n g f r o m t h e 1 9 8 8 - 1 9 9 1 s u r v e y c o n d u c t e d i n S e n e g a l b y t h e I n s t i t u t S é n é g a l a i s d e R e c h e r c h e s A g r i c o l e s ( I S R A ) a n d t h e I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e ( I F P R I ) . 6 . 3 D e s c r i p t i o n o f t h e I S R A / I F P R I s u r v e y a n d d a t a s e t 6 . 3 . 1 G e n e r a l d e s c r i p t i o n o f t h e s a m p l e a n d d a t a . T h e I S R A / I F P R I s u r v e y w a s a t h r e e - y e a r p r o j e c t fi n a n c e d b y t h e U n i t e d S t a t e s A g e n c y f o r I n t e r n a t i o n a l D e v e l o p m e n t ( U S A I D ) . T h e o b j e c t i v e o f t h e p r o j e c t w a s t o s t u d y " T h e C o n s u m p t i o n a n d S u p p l y I m p a c t s o f A g r i c u l t u r a l P r i c e P o l i c i e s " i n S e n e g a l . T h e p r o j e c t w a s m o s t l y f o c u s s e d o n r u r a l h o u s e h o l d s . H o w e v e r , a n u r b a n c o m p o n e n t f o c u s s i n g o n t h e c o n s u m p t i o n a n d i n c o m e g e n e r a t i o n a c t i v i t i e s o f u r b a n h o u s e h o l d s w a s a d d e d i n t h e s e c o n d y e a r o f t h e p r o j e c t . T h e d a t a c o l l e c t i o n f o r t h e r u r a l h o u s e h o l d s s t a r t e d i n O c t o b e r 1 9 8 8 a n d e n d e d i n D e c e m b e r 1 9 9 0 , w h i l e f o r t h e u r b a n h o u s e h o l d s t h e d a t a c o l l e c t i o n s t a r t e d i n J u n e 1 9 9 0 a n d e n d e d i n J u l y 1 9 9 1 . T h e s u r v e y c o l l e c t e d h o u s e h o l d - l e v e l i n c o m e , c o n s u m p t i o n , m a r k e t t r a n s a c t i o n s , a n d c r e d i t d a t a a s w e l l a s p l o t - l e v e l c r o p i n p u t / o u t p u t c r o p s d a t a . T h e s a m p l e c o n s i s t e d o f 3 6 0 h o u s e h o l d s i n 3 0 v i l l a g e s a n d 6 a g r o - c l i m a t i c r e g i o n s p l u s t h e t w o u r b a n c i t i e s o f K a o l a c k a n d T a m b a c o u n d a ( s e e m a p i n F i g u r e 6 . 3 ) ” . T h e 6 a g r o - c l i m a t i c r e g i o n s c o v e r t h e P e a n u t B a s i n a n d t h e E a s t e r n r e g i o n o f S e n e g a l . A c c o r d i n g t o K e l l y e t a l . , ( 1 9 9 3 ) , t h e y c o v e r 8 5 % o f ‘ 5 2 T h e m a p i s t a k e n f r o m K e l l y e t a l . , ( 1 9 9 3 ) . 2 1 6 \ E C N R A E M P A P U S A C L A T J P E I Q F L A R O T N E L A C i C E V I E S N A R I S I S I M U O T E R E H N ‘ E ‘ I S T A S B A E t m u T H \ \ u U T \ c \ N u U A _ O — E w — S P — u I m I f / I J I L O Y T T ‘ r ’ O f / j N N I R S E A s r t a c N T I B I Y S S A H A E I P U W a H t B I u s o T r T I I U I I A E e U A H s I u N K A o I A r I I E I P O I S P 2 1 7 F i g u r e 6 . 3 A g r o c l i m a t i c a n d s t u d y z o n e s c o v e r e d b y t h e I S R A / I F P R I s u r v e y . N O R T H E R N P E A N U T B A S I N 4 C E N T R A L C O I O I A I E I o u n c e s . y e v r u s I R P F I M R S I e h t f o g n i m i t d n a s e r t a n o i t s e u q e h T 4 . 6 e r w t F S e n e g a l ’ s r u r a l p o p u l a t i o n , 6 0 % o f i t s t o t a l p o p u l a t i o n , a n d 9 0 % o f b o t h i t s p e a n u t a n d c o a r s e g r a i n s ( m i l l e t , s o r g h u m , m a i z e ) p r o d u c t i o n . T h e s a m p l e s e l e c t i o n p r o c e e d e d b y p u r p o s e l y s e l e c t i n g 1 0 r u r a l s t u d y z o n e s w i t h i n t h e 6 a g r o o c l i m a t i c r e g i o n s b a s e d o n p h y s i c a l , s o c i o — e c o n o m i c , a n d r e p r e s e n t a t i v e n e s s c r i t e r i a . T h e s e l e c t e d r u r a l s t u d y z o n e s w e r e : S a g a t t a i n t h e N o r t h e r n P e a n u t B a s i n , N i a k h a r , C o l o b a n e , N d i o u m G a i n t h e , a n d T o u b a T o u l i n t h e C e n t r a l P e a n u t B a s i n , P a s s y i n t h e S o u t h w e s t e r n P e a n u t B a s i n , D i o l y a n d M e r e t o u i n t h e S o u t h e a s t e r n P e a n u t B a s i n , M i s s i r a h i n E a s t e r n S e n e g a l , a n d D i a o b e i n u p p e r C a s a m a n c e . T h e n i n e a c h r u r a l s t u d y z o n e , 3 r e p r e s e n t a t i v e v i l l a g e s w e r e s e l e c t e d p u r p o s e l y , w i t h o n e o f t h e v i l l a g e s b e i n g a l w a y s a m a r k e t v i l l a g e . T h e r e s u l t i n g o v e r s a m p l i n g o f m a r k e t v i l l a g e s w a s i n t e n d e d f o r a s s e s s i n g t h e i n fl u e n c e o f m a r k e t i n f r a s t r u c t u r e s o n h o u s e h o l d b e h a v i o r . T h e l a s t s t a g e o f t h e s a m p l e s e l e c t i o n c o n s i s t e d o f r a n d o m l y s e l e c t i n g i n e a c h v i l l a g e 1 2 h o u s e h o l d s f r o m t h e l i s t o f a l l h o u s e h o l d s i n t h e v i l l a g e . T h e t w o u r b a n c i t i e s w e r e p u r p o s e l y s e l e c t e d b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e y w e r e t h e t w o m a i n f o c a l c i t i e s f o r r e s p e c t i v e l y t h e P e a n u t B a s i n a n d t h e E a s t e r n r e g i o n o f S e n e g a l . I n e a c h c i t y , 4 0 h o u s e h o l d s w e r e r a n d o m l y s e l e c t e d f r o m a l i s t o f h o u s e h o l d s b a s e d o n d o c u m e n t s p r e p a r e d f o r t h e 1 9 8 8 n a t i o n a l c e n s u s . H o w e v e r , s e v e r a l o f t h e s t u d y z o n e s w e r e e l i m i n a t e d f r o m t h e fi n a l d a t a s e t f o r v a r i o u s r e a s o n s i n c l u d i n g p o o r p e r f o r m a n c e o f t h e e n u m e r a t o r s ( T o u b a T o u l ) l a c k o f t r a n s p o r t d u r i n g t h e s e c o n d y e a r o f t h e s u r v e y ( S a g a t t a ) , a n d l a c k o f t i m e f o r d a t a e n t r y a n d c l e a n i n g ( N d i o u m g a i n t h e , M e r e t o u a n d D i a o b e ) . B u t , t h e fi r s t y e a r o f d a t a f r o m S a g a t t a w a s k e p t i n t h e fi n a l a n a l y s i s . T h e h o u s e h o l d s w e r e i n t e r v i e w e d e v e r y 2 w e e k s f o r 2 y e a r s . H o u s e h o l d m e m b e r s w e r e a l s o i n t e r v i e w e d i n d i v i d u a l l y w h e n e v e r s u c h a l e v e l o f d i s a g g r e g a t i o n w a s w a r r a n t e d . F i g u r e 6 . 4 d e s c r i b e s t h e q u e s t i o n n a i r e s a n d t h e t i m i n g o f t h e d a t a c o l l e c t i o n a c t i v i t i e s i n t h e I S R A / I F P R I s u r v e y . A f u l l d e s c r i p t i o n o f t h e o b j e c t i v e s , c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s t u d y z o n e s , 2 1 9 s a m p l i n g m e t h o d s , a n d q u e s t i o n n a i r e s o f t h e I S R A / I F P R I s u r v e y c a n b e f o u n d i n D i a g a n a e t a l . , ( 1 9 9 0 ) , K e l l y a n d R e a r d o n ( 1 9 8 9 ) , a n d F a l l e t a l . , ( 1 9 8 9 ) . A c o m p l e t e d o c u m e n t a t i o n o f t h e o r i g i n a l d a t a b a s e r e s u l t i n g f r o m t h e s u r v e y c a n b e f o u n d i n D a k o n o e t a l . , ( 1 9 9 3 ) . T h e d a t a s e r i e s u s e d i n o u r d e s c r i p t i v e a n d e c o n o m e t r i c a n a l y s i s w e r e c o n s t r u c t e d f r o m t h e o r i g i n a l d a t a b a s e w h i c h i s c o m p l e t e l y d o c u m e n t e d b y D a k o n o e t a l . , ( 1 9 9 3 ) . T h e fi l e s i n t h e o r i g i n a l d a t a b a s e a r e o r g a n i z e d b y t o p i c ( c o r r e s p o n d i n g t o t h e t i t l e s o f t h e q u e s t i o n n a i r e s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 6 . 4 ) a n d b y s t u d y z o n e . T h e d a t a i n t h e fi l e s i n t h e o r i g i n a l d a t a b a s e a r e s t i l l i n c o d e d f o r m . T h e o r i g i n a l S P S S p r o g r a m s w r i t t e n t o c o n s t r u c t t h e d a t a s e r i e s u s e d f o r t h e a n a l y s i s i n t h e o r i g i n a l p r o j e c t r e p o r t s w e r e c o m p l e t e l y r e w r i t t e n . T h e o n l y e x c e p t i o n s a r e t h e p r o g r a m s f o r t h e i n c o m e s e r i e s . F u r t h e r m o r e , t h e n e w S P S S p r o g r a m s i n c l u d e c o d e s t h a t c o r r e c t f o r s o m e m i n o r d a t a e n t r y e r r o r s d i s c o v e r e d a f t e r t h e a n a l y s i s i n t h e o r i g i n a l p r o j e c t r e p o r t s w a s c o m p l e t e d . I n s t e a d o f d e t a i l i n g t h e m e t h o d s w e u s e d t o c o n s t r u c t o u r d a t a s e r i e s - w h i c h w i l l b e t o o l o n g t o d o h e r e - w e r e f e r t h e i n t e r e s t e d r e a d e r t o t h e S P S S p r o g r a m fi l e s w h i c h a r e w e l l d o c u m e n t e d . ” 3 T h e d a t a s e r i e s u s e d i n o u r e c o n o m e t r i c a n a l y s i s i s d e c r i b e d i n t h e n e x t s e c t i o n . 6 . 3 . 2 S o m e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e A d e t a i l e d d e s c r i p t i v e a n a l y s i s o f t h e l S R A / I F P R I d a t a s e t i s c o n t a i n e d i n t h e p r o j e c t r e p o r t s b y K e l l y e t a l . ( 1 9 9 3 ) . H e n c e , o u r d e s c r i p t i v e p r e s e n t a t i o n w i l l b e b r i e f a n d i s o n l y i n t e n d e d t o i n t r o d u c e t h e r e a d e r t o t h e d a t a s e t a n d g i v e s o m e f e e l i n g a b o u t t h e c h a r a c t e r i s t i c s ‘ 5 3 B e c a u s e o f o u r e x p e r i e n c e i n w o r k i n g w i t h t h e p r e v i o u s l y w r i t t e n p r o g r a m s , w e t o o k t h e p a i n t o d o c u m e n t l i n e b y l i n e t h e c o d e s i n t h e n e w p r o g r a m s , s o t h a t p o t e n t i a l f u t u r e u s e r s o f t h e d a t a b a s e w h o w a n t t o u s e o u r s e r i e s o r w a n t t o r e c o n s t r u c t t h e i r s c a n h a v e a d e t a i l e d k n o w l e d g e o f h o w t h e y w e r e c o n s t r u c t e d . T h i s d o c u m e n t a t i o n s e e m s r e a s o n a b l y a d e q u a t e , s i n c e s o m e o f t h e n e w p r o g r a m s h a v e b e e n u s e d a n d / o r r e v i s e d a t I F P R I i n t h e i r o n g o i n g a n a l y s i s o f t h e d a t a . . 2 2 0 o f t h e h o u s e h o l d s i n t h e I S R A / I F P R I s t u d y z o n e s . “ F u r t h e r m o r e , w e r e s t r i c t o u r s e l f t o a s t r i c t p r e s e n t a t i o n o f t h e " f a c t s " w i t h n o s u b s t a n t i v e d i s c u s s i o n . T h i s i s b e c a u s e t h e o n l y r e a s o n s f o r t h i s s h o r t d e s c r i p t i o n a r e t o s h o w t h e c e n t r a l t e n d e n c i e s o f h o u s e h o l d i n c o m e , c e r e a l t r a n s a c t i o n s , a n d f o o d c o n s u m p t i o n p a t t e r n , a n d t o p r o v i d e a c o n t e x t f o r r a t i o n a l i z i n g a n d i n t e r p r e t i n g t h e e s t i m a t e d e l a s t i c i e s a n d w e l f a r e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e J a n u a r y d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c . M o r e o v e r , t h e t a b l e s s h o w o n l y a v e r a g e s b e c a u s e ; w e c h o s e n o t t o d i s p l a y s t a n d a r d e r r o r s , m i n i m u m s , m a x i m u m s , e t c . . . t o a v o i d o v e r l o a d i n g t h e t a b l e s . ” T h u s , t h e r e i s n o p r e t e n s e t h a t t h e a p p a r e n t d i f f e r e n c e s o r s i m i l a r i t i e s a m o n g c l a s s i fi e d g r o u p s s h o w n b y t h e t a b l e s , a n d s o m e t i m e s m e n t i o n e d i n o u r d i s c u s s i o n , a r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t . W e p r e f e r r e d t o c o n c e n t r a t e o u r e f f o r t s i n a d d r e s s i n g t h e s t a t i s t i c a l i s s u e s i n t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s , w h i c h a l l o w s a m u c h m o r e c o m p l e t e a n d s a t i s f a c t o r y a s s e s s m e n t o f t h e r e s p e c t i v e e f f e c t s o f t h e v a r i o u s e x o g e n o u s v a r i a b l e s o n h o u s e h o l d c o n s u m p t i o n c h o i c e s . 6 . 3 . 2 . 1 A v e r a g e l e v e l s o f h o u s e h o l d i n c o m e T a b l e 6 . 1 g i v e s t h e a v e r a g e l e v e l s o f h o u s e h o l d i n c o m e s a n d f o o d , n o n f o o d , a n d t o t a l e x p e n d i t u r e s . I n h a r v e s t y e a r 8 8 - 8 9 w h i c h w a s a d r o u g h t y e a r e x c e p t f o r t h e D i o l y a n d M i s s i r a h z o n e s , t h e a v e r a g e n e t i n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t f o r t h e r u r a l z o n e s i s ‘ 5 ‘ A m o r e d e t a i l e d p r e s e n t a t i o n o f t h e d a t a u s e d i n o u r p r e s e n t a n a l y s i s w i l l b e a v a i l a b l e i n a f o r t h c o m i n g d o c u m e n t ( D i a g n e e t K e l l y , 1 9 9 4 ) w h i c h c o n t a i n s a n e x t e n s i v e s e t o f d e s c r i p t i v e t a b l e s c o m p l e m e n t i n g t h e s e t o f t a b l e s p u b l i s h e d i n t h e o r i g i n a l r e p o r t s . ‘ 5 5 I n o u r e x p l o r a t i o n o f t h e d a t a w e d i d a d e t a i l e d s t u d y o f t h e d i s t r i b u t i o n o f a l l t h e v a r i a b l e s u s e d i n o u r a n a l y s i s . I n f a c t , w e h a v e h i s t o g r a m s , s t e m a n d l e a f p l o t s , b o x p l o t s , r o b u s t e s t i m a t e s o f l o c a t i o n , s t a n d a r d e r r o r s , e t c . . f o r a l l t h e i m p o r t a n t v a r i a b l e s . B u t , t h e p r i n t e d d o c u m e n t ( o v e r 4 0 0 p a g e s ) i s t o o b i g t o b e i n c l u d e d h e r e . 2 2 1 e g a 2 9 2 . % 5 % 9 4 0 8 3 r k e v A a s b e m n a t l u d a o T 2 3 7 5 2 6 6 5 1 1 6 2 9 7 1 0 1 3 t d n s n a e a B v r a h k d c l a r l o . . . . A o W 1 3 0 4 7 0 2 9 1 a K m z o r e p e m n a k b c r a U l o a 4 5 9 9 4 F 9 9 8 1 9 9 8 1 5 3 9 8 % 2 5 3 9 8 % 2 . . . . 8 6 . . . . 8 6 3 7 0 4 7 4 3 7 0 4 4 7 7 0 2 2 3 7 0 3 l o h . l e 9 a s 8 g u e 5 9 9 . s r r d o f ( o o 1 1 1 1 K c n h i l a s t e o n t o z d n d a n a r i s s i M y l o i a D s s e r r u a e t y i d s n s e o p r x c e a n 4 9 4 8 4 7 7 1 5 7 3 1 . . . . 3 4 8 9 1 6 7 7 6 6 0 0 6 2 8 6 . . . . 0 8 8 3 3 3 6 2 2 2 7 6 3 3 y n h r e a S l u l n r a a o J f s s n P o i D r G c d a e a t t % 2 s r i 8 7 l a p 2 7 e t a v s c e l 9 r 8 e l - P a 8 u 8 n n . a r e e v h e t w % 6 4 9 3 9 7 5 . . . . 2 5 0 6 7 7 3 3 3 f H o : n r 1 o 4 6 9 l a o e e b 4 2 6 1 m m 4 4 8 8 d 4 3 7 5 e e t p . . . . 6 9 9 3 t e h S 2 2 2 g i o e t w 4 6 9 0 r 4 1 5 2 2 3 5 4 . . . . 4 3 7 3 2 2 3 e e h b t o t . s c y n O e i v m a r t o u n r s o f c I s R n l P u l F e r I c / a t i o t t a i . r d a o V o f : - t n n o e n l a S . v d i . . . e P . . . . m D o u G . . . . o o q . e . . F . r . e 9 . a ) c 8 . . t m . u n - . . i m i . t 8 . p . . i 8 . . d t a n . s ) . n . . e c i c r A e . . ( n e r 1 . 6 n F a p r . m . a C x e f e . o . r e o p y d . c f n 0 . o l l a 8 o . o o t l f i A 2 d f i t s n a e t F - o n t e t i l b C o o e a a v o 1 r T F N N R R a ( i H n a $ T A h a R c e S a y I E : e : c s r e u t o o S N 2 2 2 R u r a l z o n e s a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y H a r v e s t y e a r 8 9 - 9 0 F o o d . . . . . . . . . . . . . . . . N o n f o o d . . . . . . . . . . . . T o t a l e x p e n d i t u r e . N e t i n c o m e . . . . . . . R a t i o o f n e t i n c o m e t o e r c a p i t a G D P R a i n f a l ( i n m m ) . . H a r v e s t y e a r 9 0 - 9 1 F o o d . . . . . . . . . . . . . . . . N o n f o o d . . . . . . . . . T o t a l e x p e n d i t u r e N e t i n c o m e . . . . . . R a t i o o f n e t i n c o m e o p e r c a p i t a G D P R a i n f a l ( i n m m ) . A v e r a g e a c r o s s y e a r s F o o d . . . . . . . . . . . . . . N o n f o o d . . . . . . . . T o t a l e x p e n d i t u r e . . N e t i n c o m e . . . . . . . . . R a t i o o f n e t i n c o m e t o e r c a p i t a G D P R a i n f a l ( i n m m ) . . . . 2 1 : 4 4 9 1 6 2 7 3 1 2 3 . 4 7 2 4 , 0 7 4 2 7 . 5 4 6 2 6 . 0 3 4 1 4 ! 6 2 5 3 6 . 9 3 2 9 . 6 4 1 4 6 . 5 7 3 4 9 . 2 1 2 2 1 ! 5 8 9 2 8 . 0 7 1 3 5 % 7 1 7 2 9 . 3 0 2 5 . 9 6 7 3 5 . 2 6 9 5 2 . 7 9 7 2 9 % 6 9 2 3 2 . 4 6 3 1 2 . 3 2 9 4 4 . 7 9 3 5 1 . 6 4 0 1 9 . 7 6 0 3 . 6 6 3 2 3 . 4 0 8 3 0 . 0 2 4 1 6 % 9 5 0 1 6 % 8 5 9 7 1 . 1 6 6 2 3 . 0 2 5 9 4 . 1 9 1 1 0 0 . 3 7 1 5 8 % 6 7 6 5 8 2 6 7 6 2 4 . 5 4 2 3 . 3 6 7 2 7 . 9 1 1 3 0 . 9 5 6 1 7 % 6 2 9 1 2 7 9 3 6 3 4 . 8 3 8 8 . 4 6 1 4 3 . 3 0 1 5 0 . 3 1 2 T a m b a . t h e p e r i o d c o v e r e d i s J u l y 9 0 - T a b l e s ) w e r e r e s p e c t i v e l y : $ 6 5 0 . $ 6 5 0 a n d $ 6 1 5 . J u n e 9 1 . s e 0 0 l 2 n o z s s o r s e n o z c n a a b r n U o i t 1 4 - - - - 5 4 5 5 - - — 4 - 1 0 1 9 1 - 3 a - - i r a V : 5 0 1 6 - — 1 t ~ n e l a v i u q e t l u d 7 3 5 1 - - 2 1 - - 7 0 6 9 5 1 - a 1 r e p s n o s e n o z 0 9 5 l a i r t c u R e h t f o s e g a r e v a n o s a e s e h t f o s d l o h e s u o h l l a s s o r c a n a e m a . s n a r t s e s l u P d n a s l a e r d d e e t t h c g a i s e n w a r e t h t y t . s i y n t e n i v a a r t u u n q s o c e I v R i l P l t F e c I c e 4 9 0 3 2 1 1 2 . . . . . . . . p . . . . / . . . . h s . . A e . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . t . . . . . . h . . . . . . g . . . . . . u . . . . R c e S a r I E : e : c s 2 . 6 e l b a T o . m . . . . u t . . r e b t u t . . . o o s e h e . u e S N y g l l z e s n b t r a l i c e a e i o e i i a s e i t S R r N N l P N n e u a C P u Q 2 2 3 S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h A v e r a g e K a o l a c k T a m b a A v e r a g e Q u a n t i t y s o l d C e r e a l s M i l l e t . . . . . . . . . . . . S o r g h u m . . . . . . . . . . . M a i z e . . . . . . . . . . . . . R i c e . . . . . . . . . . . . . . P u l s e s P e a n u t . . . . N i e b e . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 1 0 1 2 0 1 0 0 C O C O C i t — 4 N N 0 0 0 # 0 H ( ” C O O n o S o C O C O C O 0 0 0 0 C C ) C O C O 0 C 3 O H O O N O v — t N C ‘ O O c o o v — Q O V L D V T L D L D V 0 ‘ 6 ’ 0 5 C " ) \ O r — t H H L O v — 4 m o o m C D C ) v — 4 N N m o — « o C O H N e t q u a n t i t y S o l d C e r e a l s M i l l e t . . . . . . . . . . . . - 1 3 - 5 - 6 S o r g h u m . . . . . . . . . . . 0 0 0 M a i z e . . . . . . . . . . . . . - R i c e . . . . . . . . . . . . . — 2 9 - 1 0 - 2 2 — P u l s e s P e a n u t . . . . . . . . . . . . 1 8 1 3 6 6 5 N i e b e . . . . . . . . . . . . . - 1 0 0 1 6 0 - 1 7 4 1 - 4 - 4 - 4 o o o - 1 0 1 . 0 H l V O O L D C D C ) F 4 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P . . . . . 1 8 : 1 4 2 2 0 x 2 7 x 2 8 % 1 5 % 1 8 2 7 1 2 7 7 : 7 2 % R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . . . 4 4 9 7 2 4 5 9 2 6 9 3 7 7 3 8 5 4 6 6 6 4 6 2 6 7 6 5 0 6 t h e I O W C S ! - 2 9 . 0 0 0 C F A ( $ 1 0 4 o r 1 6 % o f p e r c a p i t a G D P ) . 1 5 8 a p p r o x i m a t e l y 3 1 , 0 0 0 C F A ( $ 1 1 0 ) . 1 5 6 T h i s a v e r a g e i n c r e a s e s b y 4 2 % t o 4 4 , 0 0 0 C F A ( $ 1 5 7 ) i n t h e f o l l o w i n g 8 9 - 9 0 h a r v e s t y e a r w h i c h w a s a b e t t e r y e a r f o r a l l z o n e s e x c e p t D i o l y a n d M i s s i r a h . T h i s i s a n i n d i c a t i o n o f t h e y e a r l y fl u c t u a t i o n s i n i n c o m e t h a t r u r a l h o u s e h o l d s a r e s u b j e c t t o . T h e t w o - y e a r a v e r a g e i s a p p r o x i m a t e l y 3 7 , 0 0 0 C F A ( $ 1 3 3 ) p e r y e a r . T h i s r e p r e s e n t s o n l y 2 0 % o f S e n e g a l ’ s $ 6 5 0 n a t i o n a l G D P p e r c a p i t a . F o r t h e u r b a n z o n e s , t h e 1 9 9 0 - 1 9 9 1 a v e r a g e n e t i n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t i s 1 2 8 , 0 0 0 C F A ( $ 4 5 4 ) w h i c h r e p r e s e n t s 7 4 % o f S e n e g a l ’ s p e r c a p i t a G D P ( $ 6 1 5 ) . T h i s i l l u s t r a t e s t h e l a r g e i n c o m e g a p b e t w e e n r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s i n S e n e g a l . 1 5 7 T a b l e 6 . 1 a l s o s h o w s t h e i n c o m e d i s p a r i t i e s a m o n g a g r o - e c o l o g i c a l z o n e s , w i t h t h e P a s s y z o n e h a v i n g t h e h i g h e s t t w o - y e a r a v e r a g e n e t i n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t - 5 3 , 0 0 0 C F A ( $ 1 8 9 o r 2 9 % o f p e r c a p i t a G D P ) - a n d M i s s i r a h z o n e h a v i n g 6 . 3 . 2 . 2 H o u s e h o l d c e r e a l a n d p u l s e s t r a n s a c t i o n s T a b l e 6 . 2 g i v e s t h e a v e r a g e k i l o g r a m s p e r a d u l t e q u i v a l e n t o f c e r e a l s a n d p u l s e s t r a n s a c t e d i n t h e d i f f e r e n t z o n e s . O n a v e r a g e , d u r i n g t h e t w o - y e a r p e r i o d , h o u s e h o l d s h a v e s o l d 6 k g o f m i l l e t a n d 4 2 k g o f p e a n u t s p e r a d u l t e q u i v a l e n t . T h e y a l s o b o u g h t o n a v e r a g e 1 1 k g o f m i l l e t p e r a d u l t e q u i v a l e n t . T h u s , a s t h e t a b l e s h o w s o n a v e r a g e h o u s e h o l d s i n t h e " 6 T h e w e i g h t s u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f a d u l t e q u i v a l e n t s w e r e a d a p t e d b y K e l l y e t a l . , ( 1 9 9 3 ) f r o m F A O 1 9 7 5 s t a n d a r d s . T h e y w e r e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s : 1 f o r a d u l t m a l e m o r e t h a n 1 5 y e a r s o l d , . 8 1 f o r b o y 5 - 1 4 y e a r s o l d , . 7 3 f o r f e m a l e m o r e t h a n 5 y e a r s o l d , a n d . 4 4 f o r b o y o r g i r l l e s s t h a n 5 y e a r s o l d . " 7 T h i s b i g i n c o m e d i s p a r i t y b e t w e e n r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s i n S e n e g a l i s c o n fi r m e d b y t h e 1 9 9 1 E . P . n a t i o n w i d e s u r v e y ( R e p u b l i q u e d u S é n é g a l , 1 9 9 2 ) . H o w e v e r , t h e E . P . n u m b e r s a r e n o t c o m p a r a b l e w i t h o u r s b e c a u s e t h e y e s t i m a t e d o n l y m o n e t a r y i n c o m e . ' 5 ' T h i s i s v e r y p u z z l i n g b e c a u s e M i s s i r a h h a s t h e h i g h e s t r a i n f a l l l e v e l a m o n g a l l z o n e s ( i t a l s o h a s - w i t h D i o l y - t h e b e s t l a n d i n S e n e g a l ( U S A I D / S E N E G A L , 1 9 9 1 ) ) . M o r e o v e r , a l t h o u g h t h e 1 9 8 8 - 8 9 r a i n f a l l l e v e l w a s a l m o s t t w i c e a s h i g h i n M i s s i r a h ( 9 5 0 m m ) t h a n i n S a g a t t a ( 4 4 9 m m ) , t h e 1 9 8 8 - 8 9 a v e r a g e n e t i n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t w a s 2 8 % l o w e r i n M i s s i r a h t h a n i n S a g a t t a , w h i c h e x p e r i e n c e d a d r o u g h t . 2 2 4 s t u d y z o n e s a r e n e t b u y e r s o f f o o d . O n l y t h e h o u s e h o l d s i n P a s s y w h o a r e a l s o t h e r i c h e s t h o u s e h o l d s a r e o n a v e r a g e n e t s e l l e r s o f f o o d . O n a v e r a g e , t h e h o u s e h o l d s i n M i s s i r a h w h o a r e a l s o t h e p o o r e s t h o u s e h o l d s h a v e t h e l a r g e s t f o o d d e fi c i t s , b o t h i n t e r m s o f c o a r s e g r a i n s a n d i n t e r m s o f t o t a l c e r e a l s ( i . e . , i n c l u d i n g i m p o r t e d r i c e ) . H o w e v e r , t h e y b u y m o s t l y m a i z e , w h i l e i n t h e o t h e r z o n e s h o u s e h o l d s b u y m o s t l y r i c e a n d m i l l e t . 6 . 3 . 2 . 3 H o u s e h o l d f o o d c o n s u m p t i o n p a t t e r n s T a b l e 6 . 3 g i v e s t h e a v e r a g e h o u s e h o l d s h a r e s o f f o o d i n t o t a l e x p e n d i t u r e s f o r e a c h z o n e . W h a t s t r i k e s o n e fi r s t i n t h i s t a b l e a r e t h e v e r y h i g h a v e r a g e f o o d s h a r e s . T h e y s i g n i fi c a n t l y d e p a r t f r o m t h e c o n v e n t i o n a l w i s d o m ’ s g e n e r a l e s t i m a t e s ( f o r A f r i c a n r u r a l h o u s e h o l d s ) o f a b o u t 7 0 % . ‘ 5 9 E x c e p t f o r t h e r i c h z o n e o f D i o l y w h i c h h a s a t w o - y e a r a v e r a g e f o o d s h a r e o f 7 7 % , a l l o t h e r r u r a l z o n e s h a v e f o o d s h a r e s t h a t a v e r a g e m o r e t h a n 8 0 % f o r t h e t w o y e a r s . O n e a l s o w o u l d n o t e t h a t t h e a v e r a g e f o o d s h a r e s f o r t h e 1 9 8 8 d r o u g h t y e a r a r e n o t i c e a b l y h i g h e r ( b y a n a v e r a g e o f 6 % ) t h a n t h e o n e s f o r 1 9 8 9 , w h i c h h a d b e t t e r r a i n f a l l . A l t o u g h t h e a v e r a g e f o o d s h a r e s f o r t h e t w o c i t i e s o f K a o l a c k ( 7 3 % ) a n d T a m b a c o u n d a ( 7 8 % ) a r e l e s s t h a n 8 0 % , t h e y a r e s t i l l r e l a t i v e l y h i g h . T a b l e 6 . 4 g i v e s t h e a v e r a g e h o u s e h o l d s h a r e s o f t h e m a i n f o o d p r o d u c t o u t o f t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e . I n a l l z o n e s e x c e p t f o r t h e c i t y o f K a o l a c k , t h e t w o s i n g l e m o s t i m p o r t a n t f o o d i t e m s a r e t h e c o a r s e g r a i n s a n d i m p o r t e d r i c e . 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T h e c o r r e s p o n d i n g a v e r a g e s h a r e s f o r t h e t w o c i t i e s a r e 1 1 % f o r t h e c o a r s e g r a i n s , 2 1 % f o r i m p o r t e d r i c e , 6 % f o r t h e p u l s e s , 1 1 % f o r fi s h , 1 2 % f o r v e g e t a b l e o i l , 9 % f o r m e a t , a n d 3 2 % o n t h e o t h e r f o o d i t e m s . H o w e v e r , t h e p a t t e r n o f f o o d c o n s u m p t i o n i s n o t u n i f o r m a c r o s s a l l r u r a l z o n e s . F o r e x a m p l e , t h e p a t t e r n o f f o o d c o n s u m p t i o n i n S a g a t t a i s c l o s e r t o t h e o n e i n u r b a n z o n e s t h a n t o t h e o n e s i n t h e o t h e r r u r a l z o n e s . F i n a l l y , T a b l e 6 . 5 a n d T a b l e 6 . 6 g i v e t h e b r e a k d o w n o f t h e h o u s e h o l d c o n s u m p t i o n p a t t e r n s b y i n c o m e q u a r t i l e s ( b a s e d o n a v e r a g e h o u s e h o l d a n n u a l i n c o m e p e r a d u l t e q u i v a l e n t ) . 6 . 4 D a t a , e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n , a n d e m p i r i c a l r e s u l t s 6 . 4 . 1 T h e d a t a u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s T h e d a t a u s e d i n t h e e m p i r i c a l e s t i m a t i o n c o n s i s t s o f t h e 2 4 - h o u r r e c a l l f o o d c o n s u m p t i o n d a t a f r o m t h e I S R A / I F P R I s u r v e y . T h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a w a s c o m p l e m e n t e d w i t h t h e i n c o m e , l i v e s t o c k a s s e t s , p r o d u c t i o n a n d o t h e r s o c i o - e c o n o m i c v a r i a b l e s f r o m t h e o t h e r c o m p o n e n t s o f t h e s u r v e y . B e c a u s e t h e h o u s e h o l d l e v e l . p r i c e d a t a c o l l e c t e d b y t h e s u r v e y w a s v e r y t h i n , w e u s e d w e e k l y m a r k e t p r i c e d a t a f r o m t w o o t h e r s o u r c e s t o c o n s t r u c t m o n t h l y p r i c e s e r i e s f o r t h e c e r e a l s ( m i l l e t , s o r g h u m , m a i z e , a n d r i c e ) a n d p u l s e s ( p e a n u t a n d c o w p e a s ) f o r e a c h z o n e i n t h e s t r a t i fi c a t i o n o f t h e s u r v e y . T h e fi r s t s o u r c e o f p r i c e d a t a i s t h e M a r k e t I n f o r m a t i o n S y s t e m o f C S A w h i c h h a s b e e n c o l l e c t i n g w e e k l y c o n s u m e r a n d p r o d u c e r p r i c e d a t a f o r c e r e a l s a n d p u l s e s i n D a k a r a n d o t h e r 4 0 l o c a l m a r k e t s a r o u n d S e n e g a l s i n c e 1 9 8 6 . T h e s e c o n d s o u r c e o f p r i c e d a t a i s t h e I S R A / M S U c e r e a l m a r k e t i n g r e s e a r c h p r o j e c t w h i c h c o l l e c t e d p r o d u c e r a n d c o n s u m e r p r i c e d a t a f o r c e r e a l s a n d p u l s e s e v e r y t w o w e e k s i n 1 8 r u r a l m a r k e t s a r o u n d S e n e g a l a n d G a m b i a f r o m 1 9 8 4 t o 1 9 9 0 . F o r t h e o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s , w e u s e d t h e p r i c e d a t a i n t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y t o c o n s t r u c t m o n t h l y w e i g h t e d p r i c e s f o r e a c h g r o u p o f c o m m o d i t i e s a n d e a c h z o n e , t h e w e i g h t s 2 3 0 s ‘ u s a ‘ O J U K E N D S N K t a b s m e a ) ) ) ) ) % % % % % ) 2 1 6 % 3 1 1 2 1 2 3 3 ( ( ( ( ( ( n T 0 8 5 3 o 4 6 0 0 3 8 z 9 9 4 1 1 1 n a b r U k c a l ) ) ) % % % ) ) 3 7 2 % % 2 2 2 7 8 . ( ( ( ( ( o 9 4 8 4 1 a 1 1 1 3 3 . K 1 2 2 1 1 “ h ) % % % % % ) ) ) ) ) a r i s 8 8 5 2 3 3 1 2 2 1 2 2 ( ( ( ( ( ( s 5 0 3 0 7 7 i 8 7 3 7 7 4 M 1 1 1 . r e . t i p l u o r . g o l e i h k t f p o u s g t n i i n k u a m d e s x t i c m u d e o v r a e h h c t i h f w o d s o e o c f i ) ) ) ) ) r y : 4 6 5 6 8 1 % 2 % % ) l o i 1 1 1 2 2 1 ( ( ( ( ( ( D 9 6 3 8 3 1 6 3 6 7 4 3 1 1 1 ) ) ) ) y 9 % 2 2 8 . % % 2 % ) s s a 1 0 1 2 2 ( ( ( ( ( s P 3 2 5 3 5 e 7 1 3 1 2 . r p e h e t g o a r d e n v a a s d t e n t e h m g i i d e n w o c e r . n a 1 1 2 1 o z l a ) ) ) ) r ) 2 % % % u e 2 3 3 2 2 . R n 1 1 2 1 0 ( ( ( ( ( a b o l 2 2 5 5 3 o 7 0 3 4 2 . C 1 1 1 1 ) ) ) ) r 6 7 2 7 2 . 1 : : 1 ) 1 0 2 1 5 ( ( ( ( ( a h k a ) r d e o t o i f l ( r e l h i t o O e d l n b . a a s t y e s e g t v e n . r v e u m s i r d o A f n S o i C 2 4 5 3 5 N 8 9 3 0 9 . 1 2 ) ) ) ) ) 2 : 2 % % 8 4 8 9 0 1 1 . ( ( ( ( ( a t t a g a 1 7 5 8 2 . S 9 0 3 7 0 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . s ) . . . . . . c A . . . . . . . c t p d e . n s c a e x l e . b U a o S l t M i e / g k A e R v n S i I r o e . f r I a . R s s P e s e F c t c I i i e / r n i A p p u R S . . . d . e I l h n l T A a : s e : c s r e u t n F a C r f 0 . . . . . . . . m . . . t . u . t . 8 u e s e . h e A 2 n b l l g z e s F - a e a l r i c e C i s e i o a e i 1 r M M S R l P N n e $ u i P ( C o o S N 2 3 1 T a b l e 6 . 7 F o o d ( c o n s u m e r ) p r i c e s : Z o n e m e a n p r i c e s ( c o e f f i c i e n t o f v a r i a t i o n i n p a r e n t h e s i s ) A n i m a l p r o t e i n s M e a t / C h i k e n . . . 7 7 1 ( 4 % ) 7 2 8 ( 2 3 % ) 6 4 2 ( 1 3 % ) 6 5 4 ( 4 : ) 6 4 4 ( 2 % ) 5 2 6 ( 6 % ) 8 5 1 ( 9 % ) 7 7 2 ( 1 0 % ) F r e s h f i s h . . . 1 6 2 ( 1 8 % ) 1 0 4 ( 1 1 % ) 1 0 0 ( 0 2 ) 5 0 ( 0 % ) 2 7 4 ( 5 4 % ) 3 1 2 ( 3 6 % ) 7 6 0 ( 5 6 % ) 3 2 3 ( 1 6 % ) D r i e d f i s h . . . 1 4 3 ( 2 1 2 ) 1 2 9 ( 3 7 : ) 1 0 0 ( 0 % ) 1 8 1 ( 1 3 2 ) 1 5 2 ( 2 5 2 ) 1 9 0 ( 2 0 % ) 2 2 6 ( 1 3 % ) 4 5 5 ( 4 3 % ) O t h e r s V e g e t a b l e s . . . . 1 1 6 ( 1 5 2 ) 1 7 2 ( 1 6 % ) 2 8 4 ( 3 0 % ) 1 3 6 ( 1 2 2 ) 2 6 6 ( 1 3 2 ) 2 0 7 ( 1 9 % ) 3 7 1 ( 2 5 % ) 4 6 7 ( 2 7 % ) C o n d i m e n t s . . . . 1 1 3 ( 7 % ) 1 2 2 ( 1 9 2 ) 3 7 0 ( 1 6 2 ) 1 8 8 ( 1 1 % ) 7 8 7 ( 2 9 % ) 2 7 ( 1 5 2 ) 4 7 4 ( 4 5 % ) 4 2 9 ( 2 8 % ) V e g e t a b l e o i l . 3 6 7 ( 4 2 ) 3 5 8 ( 2 % ) 3 4 0 ( 8 % ) 4 2 3 ( 3 % ) 3 6 7 ( 5 % ) 3 9 1 ( 1 0 % ) 3 7 0 ( 2 % ) 3 7 1 ( 4 % ) O t h e r f o o d . . . . 3 9 8 ( 2 % ) 4 2 6 ( 8 % ) 6 4 2 ( 1 2 % ) 3 8 6 ( 2 1 % ) 9 0 5 ( 1 1 2 ) 4 5 7 ( 1 6 % ) 5 9 3 ( 1 0 % ) 3 7 2 ( 1 0 % ) b e i n g t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s o f t h e c o m m o d i t i e s m a k i n g u p t h e g r o u p . F o r m o n t h s w i t h m i s s i n g w e i g h t e d p r i c e f o r t h e o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s , w e u s e d t h e v a r i a t i o n s i n t h e D a k a r m o n t h l y p r i c e i n d i c e s t o r e c o n s t r u c t t h e c o r r e s p o n d i n g m o n t h l y w e i g h t e d p r i c e s . T a b l e 6 . 7 g i v e s t h e t w o - y e a r a v e r a g e f o o d p r i c e s a n d c o e f fi c i e n t s o f v a r i a t i o n f o r e a c h z o n e . D e s p i t e a p a i n s t a k i n g a n d t i m e - c o n s u m i n g e f f o r t , w e h a v e n o t b e e n s u c c e s s f u l i n c o n s t r u c t i n g a c c e p t a b l e m o n t h l y w e i g h t e d p r i c e s f o r t h e n o n f o o d c o m m o d i t i e s e x c e p t f o r f u e l . T h i s i s m o s t l y d u e t o t h e f a c t t h a t t h e u n i t s o f m e a s u r e m e n t f o r t h e n o n f o o d c o m m o d i t i e s a r e s o n u m e r o u s a n d d i v e r s e ( w i t h n o i n f o r m a t i o n f o r p o s s i b l e s t a n d a r d i z a t i o n ) , a n d t h e p r i c e d i f f e r e n t i a l s r e s u l t i n g f r o m q u a l i t y d i f f e r e n c e s s o p r o n o u n c e d , t h a t t h e m o n t h l y a n d g e o g r a p h i c a l v a r i a t i o n s i n t h e s o - f a r c o n s t r u c t e d s e r i e s ( s o m e t i m e s v e r y l a r g e w i t h n o c l e a r p a t t e r n ) c a n h a r d l y b e c o n s i d e r e d a s " g e n u i n e " . H e n c e , b e c a u s e o f t h i s p r o b l e m w e w e r e l e d t o c o n c e n t r a t e o u r d e m a n d a n a l y s i s o n t h e f o o d c o m m o d i t i e s o n l y . I n d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y , t h e s e p a r a b i l i t y c o n d i t i o n s w h i c h t h e o r e t i c a l l y j u s t i f y c o n s i d e r i n g t h e f o o d c o m m o d i t i e s a s a s e p a r a t e s y s t e m a r e s t a n d a r d ( s e e , f o r e x a m p l e s , D e a t o n a n d M u e l l b a u e r , 1 9 8 0 a , V a r i a n , 1 9 8 4 , a n d B l u n d e l l , 1 9 8 8 ) . I n o u r t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f s t a t i c c o n s u m p t i o n c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y , w e d i d n o t a d d r e s s t h e s e p a r a b i l i t y i s s u e s , b u t g i v e n t h e d a t a c o n s t r a i n t s , w e h a v e n o c h o i c e b u t t o a s s u m e t h a t t h e s a m e s e p a r a b i l i t y c o n d i t i o n s h o l d . A l t e r n a t i v e l y , w e c a n a l s o j u s t i f y t h e r e s t r i c t i o n o f o u r a n a l y s i s t o t h e f o o d c o m m o d i t i e s b y t h e w e a k s e p a r a b i l i t y a s s u m p t i o n o f f o o d a n d n o n f o o d c o m m o d i t i e s v i a t h e c o n d i t i o n a l c o s t f i m c t i o n a p p r o a c h o f B r o w n i n g a n d M e g h i r ( 1 9 9 1 ) . I n t h i s c a s e , t h e n o n f o o d c o m m o d i t i e s a r e c o n d i t i o n i n g v a r i a b l e s t h a t a f f e c t t h e d e m a n d f o r t h e f o o d c o m m o d i t i e s o n l y t h r o u g h t h e i n c o m e e f f e c t s , a n d t h e i r d e m a n d s n e e d n o t b e e x p l i c i t l y m o d e l l e d ( s e e B r o w n i n g a n d M e g h i r , 1 9 9 1 ) . A d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o n t h e d a t a a n d m e t h o d s 2 3 2 u s e d f o r c o n s t r u c t i n g t h e p r i c e s e r i e s a n d o t h e r c r i t i c a l v a r i a b l e s a r e i n t h e d a t a a p p e n d i x i n A p p e n d i x 6 . T h e s a m p l e u s e d i n t h e a n a l y s i s i s c o n s t i t u t e d b y 2 6 9 h o u s e h o l d s w h o w e r e i n t e r v i e w e d e v e r y o t h e r w e e k f o r a b o u t t w o y e a r s . T h e p o o l e d d a t a h a s a b o u t 8 0 0 0 o b s e r v a t i o n s , w i t h t h e n u m b e r o f t i m e p e r i o d s f o r a h o u s e h o l d r a n g i n g f r o m a m i n i m u m o f 9 t o a m a x i m u m o f 4 5 . T h e a v e r a g e n u m b e r o f t i m e p e r i o d s f o r a h o u s e h o l d i s 3 2 . I f w e a g g r e g a t e a t t h e m o n t h l y l e v e l b y t a k i n g t h e m o n t h l y a v e r a g e s o f t h e d a i l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a , t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s o f t h e p o o l e d d a t a r e d u c e s t o a b o u t 4 0 0 0 , w i t h t h e n u m b e r o f t i m e p e r i o d s p e r h o u s e h o l d r a n g i n g f r o m 6 t o 2 3 w i t h 5 8 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v i n g s o m e g a p s b e t w e e n m o n t h s . I f w e a g g r e g a t e a t t h e s e a s o n a l l e v e l ( b y t a k i n g t h e s e a s o n a v e r a g e s o f t h e d a i l y d a t a ) , t h e s a m p l e s i z e o f t h e p o o l e d d a t a d r o p s t o a b o u t 1 7 0 0 o b s e r v a t i o n s , w i t h t h e n u m b e r o f t i m e p e r i o d s p e r h o u s e h o l d d r o p p i n g t o b e t w e e n 2 t o 7 , w i t h 4 h o u s e h o l d s o n l y h a v i n g a 1 s e a s o n g a p . B e f o r e t h e e s t i m a t i o n , t h e s a m p l e w a s t r i m m e d o f o u t l i e r s c o n s t i t u t e d b y : 1 ) h o u s e h o l d s w h o r e p o r t e d v e r y l o w i n c o m e c o m p a r e d t o t o t a l e x p e n d i t u r e s ( l e s s t h a n 7 0 % ) ; 2 ) h o u s e h o l d s w h o h a v e i n c o m p l e t e d a t a f o r a n y o f t h e v a r i a b l e s u s e d i n t h e r e g r e s s i o n s , a n d 3 ) f o r e a g h h o u s e h o l d , o b s e r v a t i o n s f o r w h i c h t h e t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r a d u l t e q u i v a l e n t w a s t w i c e a s h i g h o r t w i c e a s l o w a s t h e h o u s e h o l d s e a s o n m e d i a n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r a d u l t e q u i v a l e n t . A t t h e e n d , w e h a d 2 4 7 h o u s e h o l d s , a n d 3 8 8 9 p o o l e d c r o s s s e c t i o n - t i m e s e r i e s o b s e r v a t i o n s f o r t h e m o n t h l y a g g r e g a t e d d a t a , a n d 1 5 5 8 p o o l e d c r o s s s e c t i o n - t i m e s e r i e s o b s e r v a t i o n s f o r t h e s e a s o n a l l y a g g r e g a t e d d a t a . B e c a u s e o f c o m p u t a t i o n a l c o n s t r a i n t s , t h e e s t i m a t e d m o d e l i s b a s e d o n t h e s e a s o n a l l y a g g r e g a t e d d a t a . 2 3 3 6 . 4 . 2 E s t i m a t i o n a n d e m p r i c a l r e s u l t s “ 5 0 A s e x p l a i n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n o f t h i s c h a p t e r , t h e f o c u s o f t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n i s t h e " e x p e c t e d " v e r s i o n o f t h e A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y d e r i v e d i n c h a p t e r 5 . B u t , w e a l s o e s t i m a t e t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l t o c o m p a r e t h e p a r a m e t e r a n d e l a s t i c i t y e s t i m a t e s f r o m t h e t w o m o d e l s . T h e e s t i m a t i o n p r o c e e d s b y f o l l o w i n g t h e s t e p s o f t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r ( I M E ) a n d M i n i m u m C h i - s q u a r e m e t h o d ( M C S ) o u t l i n e d a t t h e e n d o f c h a p t e r 5 . E s t i m a t i n g a s t a t i c m o d e l w i t h p a n e l d a t a i s a s t a n d a r d p r a c t i c e a l t h o u g h t h e r e a r e p r o b l e m s b r o u g h t a b o u t b y i g n o r i n g i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i s s u e s . ‘ 5 ' F u r t h e r m o r e , w e h a v e a l r e a d y c o n c l u d e d i n c h a p t e r 5 t h a t i n c a l c u l a t i n g t h e s a m p l e e s t i m a t e s o f t h e m o m e n t o f p r i c e s t h a t a p p e a r i n t h e u n c e r t a i n t y m o d e l , w e h a v e t o r e l y o n t h e p r i c e v a r i a t i o n a c r o s s t h e t i m e d i m e n s i o n s i n c e t h e g e o g r a p h i c a l p r i c e v a r i a t i o n i s i r r e l e v a n t f o r m e a s u r i n g t h e i m p a c t o f u n c e r t a i n t y o n t h e i n d i v i d u a l c o n s u m e r . T o s h o r t e n t h e d i s c u s s i o n o f t h e s e i n t e r t e m p o r a l i s s u e s , w e s i m p l y c o n s i d e r t h e i r i m p l i c a t i o n s i n t e r m s o f m i s p e c i fi c a t i o n a n d m e a s u r e m e n t e r r o r s t o b e i n c o r p o r a t e d i n t h e e r r o r t e r m s o f t h e r e g r e s s i o n s . C l o s e l y r e l a t e d t o t h e s e t h e o r e t i c a l e c o n o m i c c o n s i d e r a t i o n s a r e t h e e c o n o m e t r i c i m p l i c a t i o n s a n d d i f fi c u l t i e s u n d e r l y i n g t h e a n a l y s i s o f p a n e l d a t a , i n w h i c h t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n u n o b s e r v e d h o u s e h o l d a n d / o r t i m e s p e c i fi c e f f e c t s a n d t h e o b s e r v e d v a r i a b l e s c a n y i e l d i n c o n s i s t e n t e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r s o f i n t e r e s t w h e n O L S i s a p p l i e d t o t h e p o o l e d d a t a . I d e a l l y , o n e w o u l d l i k e t o u s e a n e f fi c i e n t i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e e s t i m a t o r i n t h e c o n t e x t o f p a n e l d a t a s u c h a s t h o s e , d i s c u s s e d i n A m e m i y a a n d M a C u r d y ( 1 9 8 6 ) , W o o l d r i d g e ( 1 9 9 1 ) , ‘ ° ° A l l t h e c o m p u t a t i o n s w e r e c a r r i e d o u t i n G A U S S . " ‘ T h e s e i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i s s u e s a r e t h o s e r e l a t e d t o t h e k n o w n c o n d i t i o n s f o r i n t e r t e m p o r a l s e p a r a b i l i t y o f c o n s u m p t i o n c h o i c e s . H o w e v e r , i n l i g h t o f t h e H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) c r i t i c i s m o f t h e s t a n d a r d m o d e l s o f i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e w i t h r e s p e c t t o w h a t t h e y i m p l y a b o u t i n t e r t e m p o r a l s u b s t u t i t a b i l i t y o f c o n s u m p t i o n , t h e s t a n d a r d c o n d i t i o n s f o r i n t e r t e m p o r a l s e p a r a b i l i t y h a v e t o r e a s s e s s e d . 2 3 4 a n d C o m w e l l , S c h m i d t a n d W y h o w s k i ( 1 9 9 2 ) , i n o r d e r t o m i n i m i z e t h e e f f e c t s o f t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n m e a s u r e m e n t e r r o r s a n d u n o b s e r v e d h o u s e h o l d a n d t i m e s p e c i fi c e f f e c t s . H o w e v e r , g i v e n t h e c o m p u t a t i o n a l d i f fi c u l t i e s i n i m p l e m e n t i n g t h e s e p r o c e d u r e s w i t h o u r r e l a t i v e l y l a r g e s a m p l e s i z e , w e s i m p l y u s e p o o l e d L e a s t S q u a r e d e s t i m a t o r s b y i n v o k i n g t h e a s s u m p t i o n o f s t r i c t e x o g e n e i t y c o n d i t i o n a l o n t h e u n o b s e r v a b l e e f f e c t s ( W o o l d r i d g e , 1 9 9 1 ) . W e d o u s e t h e h e t e r o s c e d a s t i c - r o b u s t c o v a r i a n c e e s t i m a t o r o f t h e [ M E e s t i m a t o r g i v e n i n c h a p t e r 5 t o g u a r d a g a i n s t p o s s i b l e h e t e r o s c e d a s t i c i t y . 6 . 4 . 2 . 1 E s t i m a t i o n o f t h e f o o d d e m a n d s y s t e m T h e s y s t e m o f fi v e f o o d c o m m o d i t i e s e s t i m a t e d u s i n g t h e [ M E a n d M C S m e t h o d s c o n s i s t s o f t h e c o a r s e g r a i n s ( m i l l e t , s o r g h u m , a n d m a i z e ) , i m p o r t e d r i c e , t h e p u l s e s ( p e a n u t a n d c o w p e a s ) , fi s h / m e a t ( f r e s h fi s h , d r i e d fi s h , m e a t , a n d c h i c k e n ) , a n d o t h e r f o o d ( v e g e t a b l e o i l , v e g e t a b l e s , c o n d i m e n t s , a n d a l l o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s n o t l i s t e d h e r e ) . ' 6 2 W e n o r m a l i z e d t h e d a i l y t o t a l h o u s e h o l d f o o d b u d g e t b y d i v i d i n g b y t h e n u m b e r o f h o u s e h o l d m e m b e r s p r e s e n t t h e d a y o f i n t e r v i e w t o o b t a i n t h e d a i l y t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r c a p i t a . T h i s g r o u p i n g o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s w a s l a r g e l y d i c t a t e d b y t h e i m p o r t a n t p o l i c y i s s u e i n S e n e g a l o f t h e s u b s t i t u t a b i l i t y b e t e w e e n i m p o r t e d r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s , t h e q u a l i t y o f t h e d a t a i n s o m e o f t h e s e r i e s , t h e f r e q u e n c y o f z e r o s i n s o m e o f t h e c o m m o d i t y s e r i e s w h e n i s o l a t e d , a n d t h e n e e d t o k e e p t h e s i z e o f t h e s y s t e m m o d e r a t e f o r c o m p u t a t i o n a l r e a s o n s . “ ‘ 3 " 2 T h e c o m p l e t e l i s t o f f o o d c o m m o d i t i e s o n w h i c h d a t a a r e c o l l e c t e d b y t h e I S R A / I F P R I s u r v e y c a n b e f o u n d i n D a k o n o e t a l . , ( 1 9 9 3 ) . " 3 B e c a u s e o f i t s n a t u r e a n d i t s s h a r e i n f o o d e x p e n d i t u r e , o n e w o u l d h a v e p r e f e r r e d t o k e e p v e g e t a b l e o i l s e p a r a t e f r o m t h e o t h e r f o o d c a t e g o r y . H o w e v e r , t h e q u a l i t y o f t h e v e g e t a b l e o i l s e r i e s i s n o t p a r t i c u l a r l y g o o d b e c a u s e o f s o m e d a t a c o l l e c t i o n p r o b l e m s d u r i n g t h e s u r v e y . 2 3 5 B e c a u s e t h e p r i c e o f r i c e i s fi x e d b y t h e g o v e r n m e n t a t t h e s a m e l e v e l f o r a l l z o n e s a n d d u r i n g t h e t w o - y e a r p e r i o d o f t h e s u r v e y ( s e e T a b l e 6 . 7 ) , w e t o o k r e l a t i v e p r i c e s b y d i v i d i n g b y t h e p r i c e o f r i c e a n d u s e t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n s t o r e c o v e r t h e g a m m a c o e f fi c i e n t s r e l a t e d t o t h e p r i c e o f r i c e . H e n c e , w i t h t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n i m p o s e d , t h e l a c k o f v a r i a t i o n i n t h e p r i c e o f r i c e e n t a i l s o n l y a l o s s i n e f fi c i e n c y . I n a d d i t i o n , s i n c e w e w a n t t o c a l c u l a t e t h e v a r i o u s w e l f a r e i n d i c a t o r s , w e i m p o s e d t h e a d d i n g u p a n d s y m m e t r y r e s t r i c t i o n s d u r i n g t h e e s t i m a t i o n s o a s t o g e t a s c l o s e a s p o s s i b l e t o t h e i n t e g r a b i l i t y c o n d i t i o n . T h e a d d i n g u p r e s t r i c t i o n w a s i m p o s e d b y d r o p p i n g t h e e q u a t i o n f o r t h e o t h e r f o o d c a t e g o r y , w h i l e t h e s y m m e t r y r e s t r i c t i o n w a s i m p o s e d u s i n g t h e M i n i m u m C h i - s q u a r e d m e t h o d . F i n a l l y , w e n e e d a t l e a s t o n e i d e n t i f y i n g r e s t r i c t i o n t o t a k e c a r e o f t h e e n d o g e n e i t y o f t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r c a p i t a , r e s u l t i n g b o t h f r o m t h e w e a k s e p a r a b i l i t y a s s u m p t i o n u n d e r l y i n g t h e t w o - s t a g e b u d g e t i n g o r c o n d i t i o n a l d e m a n d a p p r o a c h , a n d t h e f a c t t h a t t h e t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e w a s o b t a i n e d b y s u m m i n g t h e i n d i v i d u a l f o o d e x p e n d i t u r e s ( t h u s i m p l y i n g s o m e c o m m o n m e a s u r e m e n t e r r o r s b e t w e e n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e a n d t h e s h a r e s ) . F o r t h a t p u r p o s e , t h e a n n u a l h o u s e h o l d ( g r o s s ) i n c o m e s e e m s t o b e a n a t u r a l i n s t r u m e n t f o r t h e d a i l y t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r c a p i t a . W e a l s o u s e d a n o t h e r s e t o f i n s t r u m e n t s t h a t i n i t i a l l y i n c l u d e d v a r i o u s t y p e s o f i n c o m e , l i v e s t o c k a s s e t s , a n d h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s . H o w e v e r , m a n y o f t h e m w e r e r e j e c t e d a f t e r a s e r i e s o f o v e r i d e n t i fi c a t i o n t e s t s . L i k e w i s e , m a n y o f t h e h o u s e h o l d s o c i o - d e m o g r a p h i c v a r i a b l e s w e r e n o t i n c l u d e d i n o u r fi n a l s p e c i fi c a t i o n , m o s t l y b e c a u s e t h e y e i t h e r t e n d e d t o i n t r o d u c e m u l t i c o l l i n e a r i t y o r t h e y h a d v e r y i n s i g n i fi c a n t e f f e c t s ( o n b o t h f o o d e x p e n d i t u r e s a n d t h e f o o d s h a r e s ) . T a b l e 6 . 8 g i v e s t h e c o e f fi c i e n t e s t i m a t e s o f t h e fi r s t s t a g e w i t h t h e l o g a r i t h m o f t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r c a p i t a a s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d w i t h t h e a d d i t i o n a l i n s t r u m e n t s b e i n g t h e l o g a r i t h m o f t o t a l 2 3 6 T a b l e 6 . 8 P e r c a p i t a f o o d b u d g e t ( f i r s t s t a g e ) a n d f o o d s h a r e r e g r e s s i o n s P e r c a p i t a f o o d e x p e n d i t u r e F o o d s h a r e C o n s t a n t . . . . . . . . . . . . . . 1 . 3 2 4 ( 1 . 4 5 4 ) - . 8 7 6 ( 1 . 0 8 1 ) D P E U L . . . . . . . . . . . . . . . . . - . 2 2 1 ( . 0 4 5 ) - 0 0 8 ( . 0 0 7 ) D S E R E R E . . . . . . . . . . . . . . . . 0 5 8 ( . 0 3 5 ) - . 0 3 7 ( . 0 0 6 ) D S A R A K H . . . . . . . . . . . . . . . - . 5 1 8 ( . 0 6 0 ) - . 0 1 0 ( . 0 1 0 ) O O T H E R . . . . . . . . . . . . . . . . — . 0 7 9 ( . 0 4 9 ) - 0 2 9 ( . 0 0 9 ) H H s i z e . . . . . . . . . . . . . . . . - . 0 2 8 ( . 0 0 2 ) - . 0 0 4 ( . 0 0 0 ) R H a d u l t . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 ( . 1 0 4 ) . 0 3 5 ( . 0 1 7 ) R F a d u l t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 5 ( . 1 4 2 ) - . 0 4 2 ( . 0 2 6 ) R G i r l s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 ( . 0 9 0 ) - 0 5 6 ( . 0 1 5 ) D M A R K E T . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 ( . 0 2 8 ) - 0 1 4 ( . 0 0 5 ) D K a o l a c k . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 4 ( . 0 7 2 ) . 0 0 5 ( 0 1 7 ) D T a m b a . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 1 ( . 0 6 9 ) . 0 1 7 ( . 0 1 8 ) D N o r t h . . . . . . . . . . . . . . . . - . 5 2 4 ( . 0 3 9 ) . 0 2 5 ( . 0 0 7 ) D S a g a t t a . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4 ( . 0 7 1 ) . 0 0 0 ( . 0 1 3 ) T o t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . - . 3 6 5 ( . 0 7 4 ) . 0 0 9 ( . 0 1 3 ) R P P u l s e s . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 8 ( . 0 6 1 ) - . 0 0 2 ( . 0 1 2 ) R P F i s h \ M e a t . . . . . . . . . . . - . 6 9 8 ( . 0 5 2 ) . 0 7 3 ( . 0 0 8 ) R P O t h e r . . . . . . . . . . . . . . . - . 6 7 4 ( . 0 6 6 ) - O 4 9 ( 0 1 2 ) C A T L S T K . . . . . . . . . . . . . . . . 0 8 0 ( . 0 2 1 ) . . H R D K S T K . . . . . . . . . . . . . . . - 0 5 9 ( . 0 7 1 ) S H G T S T K . . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 5 ( . 0 1 4 ) P L T R S T K . . . . . . . . . . . . . . . - . 0 2 2 ( . 0 0 8 ) 0 T H A S T K . . . . . . . . . . . . . . . - . 1 4 1 ( . 0 6 2 ) R O F F I N C . . . . . . . . . . . . . . . - 1 4 2 ( . 0 4 9 ) R M I G I N C . . . . . . . . . . . . . . . - . 4 6 6 ( . 1 2 3 ) L T o t i n c . . . . . . . . . . . . . . . - . 2 8 3 ( . 2 6 8 ) L T o t i n c Z . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 3 ( . 0 1 3 ) . . L T o t e x p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 2 ( . 2 0 7 ) L t o t e p o . . . . . . . . . . . . . . . . — . 0 2 5 ( . 0 1 0 ) D i a g n o s t i c t e s t s U n a d j u s t e d A ? . . . . . . . . . . 4 7 9 6 . 3 5 8 7 A m e m i y a ' s a d j u s t e d A F . . 4 6 1 3 . 3 4 2 1 F ' S t a t l s t l c s . . . . . . . . F 2 6 1 5 3 2 - 5 6 F i g - 1 5 3 9 - 4 8 N o t e s : H e t e r o s c e d a s t i c - r o b u s t s t a n d a r d e r r o r s i n p a r e n t h e s e s 2 2 3 7 a n n u a l i n c o m e ( L T o t i n c ) , t h e s q u a r e o f t h e l o g a r i t h m o f t o t a l a n n u a l i n c o m e ( L T o t i n c 2 ) , t h e r a t i o o f o f f - f a r m i n c o m e t o t o t a l i n c o m e ( R O F F I N C ) , t h e r a t i o o f m i g r a t i o n i n c o m e t o t o t a l i n c o m e ( R M I G I N C ) , a n d t h e s t o c k s o f c a t t l e ( C A T L S T K ) , h o r s e s / d o n k e y s ( H R D K S T K ) , s h e e p s / g o a t s ( S H G T S K ) , p o u l t r y , o t h e r a n i m a l s ( O T H A S T K ) ( t h e l i s t a n d l a b e l s f o r a l l t h e v a r i a b l e s u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s i s g i v e n i n t h e d a t a a p p e n d i x ) . 6 . 4 . 2 . 2 T h e e x p e c t e d a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S c o e f fi c i e n t e s t i m a t e s W e u s e d t h e S t o n e p r i c e i n d e x ( c a l c u l a t e d u s i n g t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s ) a s t h e s t a r t i n g v a l u e f o r t h e l o g a r i t h m o f t h e b u d g e t d e fl a t o r a ( p ) . W i t h t h i s c h o i c e o f i n i t i a l v a l u e f o r a ( p ) , t h e fi r s t i t e r a t i o n o f t h e I M E m e t h o d g i v e s e f f e c t i v e l y t h e u s u a l l i n e a r A I D S p a r a m e t e r e s t i m a t e s b a s e d o n t h e S t o n e p r i c e i n d e x . “ 5 4 I n g e n e r a l , t h e I M E e s t i m a t o r , w i t h a c e s t i m a t e d i n e a c h i t e r a t i o n , c o n v e r g e s q u i c k l y d e p e n d i n g o n t h e s a m p l e s i z e a n d t o l e r a n c e l e v e l . F u r t h e r m o r e , w h e n w e fi x a c t o s o m e c o n s t a n t v a l u e t h a t i s u s e d i n e a c h i t e r a t i o n t o u p d a t e t h e b u d g e t d e fl a t o r , t h e e s t i m a t e o f a 0 o b t a i n e d f r o m t h e p r o c e d u r e o u t l i n e d i n c h a p t e r 5 c o n v e r g e s e v e n t u a l l y t o t h e s a m e fi x e d a 0 . H o w e v e r , i n a l l o u r s p e c i fi c a t i o n s , t h e c o n v e r g i n g v a l u e s o f a 0 w e r e a l w a y s d i f f e r e n t f r o m t h e v a l u e s u g g e s t e d b y B a n k , B l u n d e l l a n d L e w b e l ( 1 9 9 4 ) w h i c h i n o u r d a t a w o u l d h a v e b e e n 3 . 2 . M o r e o v e r , i n o u r d a t a s o m e o f t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s w e r e v e r y s e n s i t i v e t o t h e a r b i t r a r y c h o i c e o f a fi x e d a 0 . F i n a l l y , f o r a n y g i v e n t o l e r a n c e l e v e l a n d c h o i c e o f i n s t r u m e n t s a n d h o u s e h o l d d e m o g r a p h i c s , t h e " e x p e c t e d " A I D S a l w a y s c o n v e r g e d f a s t e r t h a n t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S . T a b l e 6 . 1 0 p r e s e n t s t h e I M E p a r a m e t e r e s t i m a t e s o f d o o f 1 . 4 9 f o r t h e ” e x p e c t e d " A I D S a n d - 2 . 5 7 f o r t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l ( w i t h t h e O L S s t a n d a r d e r r o r s ) . ‘ “ I n a l l o u r s p e c i fi c a t i o n s , t h e s e i n i t i a l p a r a m e t e r e s t i m a t e s w e r e i n g e n e r a l d i f f e r e n t f r o m t h e c o n v e r g i n g p a r a m e t e r v a l u e s ( s e e B r o w n i n g a n d M e g h i r , 1 9 9 1 , f o r a s i m i l a r fi n d i n g ) . 2 3 8 6 . 4 . 2 . 2 . ] M o d e l s p e c i fi c a t i o n t e s t s A t t h e b o t t o m o f T a b l e 6 . 9 w e p r e s e n t t h e s p e c i fi c a t i o n t e s t s f o r t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . B o t h t h e s y m m e t r y a n d t h e o v e r - i d e n t i f y i n g r e s t r i c t i o n s a r e r e j e c t e d w i t h a h i g h c o n fi d e n c e l e v e l . T h i s i s a t y p i c a l fi n d i n g i n d e m a n d a n a l y s i s u s i n g h o u s e h o l d l e v e l d a t a ( B l u n d e l l , 1 9 8 8 ; B l u n d e l l e t a l . , 1 9 9 3 ; a n d B r o w n i n g a n d C h i a p p o r i , l 9 9 4 ) . “ ‘ 5 T h e r e j e c t i o n o f t h e o v e r - i d e n t i f y i n g r e s t r i c t i o n s i s p e r h a p s a n i n d i c a t i o n o f t h e r e j e c t i o n o f t h e s e p a r a b i l i t y a s s u m p t i o n a n d / o r t h e i n v a l i d i t y o f t h e r e m a i n i n g i n s t r u m e n t s a s b e i n g n o t o r t h o g o n a l t o t h e m e a s u r e m e n t e r r o r s . 1 6 6 F o r t h e r e j e c t i o n o f s y m m e t r y , B r o w n i n g a n d C h i a p p o r i ( 1 9 9 4 ) g i v e s o m e t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l e v i d e n c e s u g g e s t i n g t h a t i t s s y s t e m a t i c r e j e c t i o n i n d e m a n d s y s t e m s e s t i m a t e d w i t h h o u s e h o l d l e v e l d a t a m a y b e d u e t o t h e a p p l i c a t i o n o f a n i n d i v i d u a l c h o i c e m o d e l t o d a t a a g g r e g a t e d a t t h e h o u s e h o l d l e v e l . T h e y u s e t h e P a r e t o e f fi c i e n c y c r i t e r i o n t o d e v e l o p a m o d e l o f h o u s e h o l d c o l l e c t i v e c h o i c e s . I n t h i s " c o l l e c t i v e " m o d e l t h e s y m m e t r y r e s t r i c t i o n o f t h e i n d i v i d u a l c h o i c e m o d e l b e c o m e s a s y m m e t r y a n d r a n k c o n d i t i o n . I n t h e n e x t s e c t i o n s w e c o m p a r e t h e p r i c e , i n c o m e , a n d h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s c o e f fi c i e n t e s t i m a t e s f r o m t h e " e x p e c t e d ” a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s , a n d d i s c u s s V u o n g ’ s ( 1 9 8 9 ) m o d e l s e l e c t i o n t e s t . “ ’ 5 W i t h d e m a n d s y s t e m s u s i n g a g g r e g a t e d t i m e s e r i e s d a t a , t h e r e j e c t i o n o f h o m o g e n e i t y a n d s y m m e t r y i s p r e v a l e n t ( D e a t o n a n d M u e l l b a u e r , 1 9 8 0 a ) . T h e r e i s s o m e e v i d e n c e t h a t t h e r e j e c t i o n o f h o m o g e n e i t y m a y b e d u e t o a g g r e g a t i o n p r o b l e m s , a n d t h a t i t m a y n o t b e r e j e c t e d w i t h h o u s e h o l d l e v e l d a t a ( B l u n d e l l e t a l . , 1 9 9 3 ) . O f c o u r s e w e c a n n o t t e s t f o r h o m o g e n e i t y h e r e b e c a u s e o f t h e l a c k o f v a r i a t i o n i n t h e p r i c e o f r i c e . “ ‘ 6 W e l a t e r d i s c o v e r e d ( p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n f r o m D r . V a l e r i e K e l l y ) t h a t b e c a u s e t h e d a t a c o l l e c t i o n s t a r t e d a f t e r t h e 1 9 8 8 h a r v e s t , p a r t o f t h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a o r i g i n a t i n g f r o m h o u s e h o l d s ’ f o o d s t o c k s w e r e u s e d t o e s t i m a t e t h e h o u s e h o l d 1 9 8 8 - 1 9 8 9 i n c o m e a n d p r o d u c t i o n fi g u r e s . T h i s m a y e x p l a i n t h e r e l a t i v e l y h i g h C h i - s q u a r e d s t a t i s t i c s f o r t h e c o a r s e g r a i n s a n d p u l s e s e q u a t i o n s . 2 3 9 e c i R r x i r t ) 8 9 7 2 0 1 . . - ( 2 5 e d 0 a 7 4 0 4 7 ) h o 7 m 7 9 7 2 5 3 9 ) 2 S a t o O f 2 0 1 0 0 0 3 1 2 . . . . . . 2 0 2 D m s - - - . . . . I m ( ( A a G c i / x i r t t h t 2 8 5 e 6 7 4 i ) ) ) ) ) ) ) s 5 s a t f 0 6 9 8 1 3 4 6 6 2 a 3 7 0 i e 9 c 0 0 0 1 f 1 3 m 0 0 0 0 0 0 0 d c t n e i i n i m r e t F 1 M i e 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 0 a . r o . . . . . - - . ' m m a G ( ( ( ( ( ( ( t c s e a a r w t e e s D 8 3 5 8 4 B e 7 y ) ) ) ) s 5 r 3 0 3 0 1 0 0 0 5 7 l 1 1 1 1 6 4 0 0 0 0 0 8 9 4 9 9 6 1 . . . . 0 0 0 1 . 0 . . - ( ( ( - ( u . P - e c i R r t e m m y S x i r t a ) s 7 4 e 0 s 0 e . 7 5 0 0 . . - ( - h 3 5 t w n e r a p e m ) n h t O a m m a G 0 i 8 3 5 2 2 . . ( s s r t o n r e r x 2 i e c t 0 ) i ) 2 6 c 9 f 3 8 r 0 0 i 0 f 4 0 t 0 . . . 4 r e 0 0 a t o . . . 9 5 d r a d d i e m ( ( s c s a m m a e r y e 3 r 3 0 ) ) ) ) s 6 8 G t 8 9 3 2 9 7 ‘ l 4 e 0 0 0 5 0 0 0 7 u . 0 m . 0 0 P - . m - . . 0 1 . . 1 . 6 ( - ( ( ( y S 0 6 9 2 1 1 3 8 0 7 7 0 6 8 3 9 5 3 6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . . . . . . 0 . . 1 t s u b o r - c i t s a d e c 9 n ' a t a s t e B a w - ; - . - . . . . . . . . . 2 t s s o n r e o e t . . . . . . . . . i t . . . . . . . . . . t e e s s . . . . . . H a c n n . . . . . . . . : c n - i i i . . . . t . a . a a . . . . . . . r r t . t . . . . z : s f i ” s e i r , e g g . a . a t a t x . . . . . e . e . . . . n v e e y e M s M s . t o N s r e s r / e / r d s . r e s h s h r e e a l h s l s a h c o u t o t i i u i C 0 C P F P F O R t i ' : e - g t m r n s m e o e y t u v S V O 2 4 0 T a b l e 6 . 9 P r i c e a n d i n c o m e c o e f f i c i e n t s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . " E x p e c t e d ” A I D S S h a r e s S h a r e s C o a r s e g r a i n s F i s h / M e a t f o o d C o a r s e g r a i n s R i c e . . . . . . . . . . . . ( . 0 6 3 ) - . 1 6 8 ( . 0 1 2 ) ( 0 1 4 ) . 0 5 1 ( . 0 1 9 ) - . 1 0 2 ( . 1 2 9 ) . 1 0 0 ( . 0 6 9 ) - . 1 0 9 ( . 0 8 3 ) 1 9 6 6 . 4 . 2 . 2 . 2 P r i c e a n d i n c o m e c o e f fi c i e n t s P r i c e a n d i n c o m e ( m o r e p r e c i s e l y e x p e n d i t u r e ) e f f e c t s a r e b e s t a n d c o m m o n l y e v a l u a t e d b y u s i n g t h e p r i c e a n d i n o m e e l a s t i c i t i e s , w h i c h a r e d i s c u s s e d i n t h e l a s t s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r . H o w e v e r , w e u s e t h i s s e c t i o n t o b r i e fl y c o m p a r e t h e p r i c e a n d e x p e n d i t u r e c o e f fi c i e n t e s t i m a t e s f r o m t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l . I n T a b l e 6 . 9 w e p r e s e n t t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r t h e g a m m a m a t r i x f r o m b o t h t h e " e x p e c t e d ” a n d t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l . T h e fi r s t t h i n g t o n o t e i s t h a t e s t i m a t e s o f t h e g a m m a p a r a m e t e r s f r o m t h e t w o m o d e l s s e e m t o b e d i f f e r e n t , a l t h o u g h o n l y a f e w o f t h e u n r e s t r i c t e d p a r a m e t e r s a r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t a t t h e 5 % s i g n i fi c a n c e l e v e l . “ 5 7 B u t , w h e n w e a p p l y t h e s y m m e t r y r e s t r i c t i o n a l l b u t o n e o f t h e ” e x p e c t e d ” A I D S r e s t r i c t e d g a m m a p a r a m e t e r e s t i m a t e s b e c o m e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t a t t h e 5 % s i g n i fi c a n c e l e v e l , w h i l e f o r t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S e s t i m a t e s o n e - t h i r d o f t h e r e s t r i c t e d g a m m a p a r a m e t e r s r e m a i n s t a t i s t i c a l l y i n s i g n i fi c a n t a t t h e 5 % l e v e l . A l s o , b y a n d l a r g e t h e t w o m o d e l s ’ r e s t r i c t e d g a m m a p a r a m e t e r e s t i m a t e s s e e m t o b e d i f f e r e n t . I n c o n t r a s t t o t h e r e s t r i c t e d g a m m a p a r a m e t e r e s t i m a t e s , n o n e o f t h e e x p e n d i t u r e ( b e t a ) c o e f fi c i e n t s a r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t a t t h e 5 % l e v e l , a l t h o u g h t h e e s t i m a t e s f r o m t h e " e x p e c t e d " A I D S a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s s e e m t o b e v e r y c l o s e . 6 . 4 . 2 . 2 . 3 T h e c o e f fi c i e n t s a n d i m p a c t s o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i e s T a b l e 6 . 1 0 r e p o r t s t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S e s t i m a t e s f o r t h e a l p h a m a t r i x w h i c h m e a s u r e s t h e i m p a c t s o f t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s v a r i a b l e s o n t h e f o o d s h a r e s . W e n o t e t h a t f o r m o s t o f t h e v a r i a b l e s , t h e e s t i m a t e d p a r a m e t e r s f r o m t h e t w o m o d e l s a r e v e r y c l o s e . W h e n t h e e s t i m a t e d c o e f fi c i e n t s f r o m t h e t w o m o d e l s s e e m t o d i v e r g e , t h e y “ 7 H e r e , f o r c o n v e n i e n c e , w e r e f e r t o t h e a d d i n g - u p a n d h o m o g e n e i t y r e s t r i c t e d p a r a m e t e r s a s u n r e s t r i c t e d . 2 4 1 d : . n n o o i i t t a : n a y t n i a t r e D S c n u I A c i s e t e h s r i a ) 7 8 7 5 . . ( 2 - - 4 4 4 5 2 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 . . . . . ' ' ‘ i i e a l . s ) r l u s e ) 6 a r u p i y 2 0 . ( e p o m s s h o s m p e t p u a l d O d P b l ) a d o 5 d n i n h o n 1 4 0 2 7 7 ) r e i a a 2 0 8 1 0 7 a > t s 6 ‘ 2 l L L l 0 0 1 1 0 . . . . . 5 9 8 0 8 ) o r t h S N 1 2 6 0 2 0 0 0 O 0 t O . . . . . n h i S a ’ ' ' ' i r m o r e h p l f a s t e D 9 2 4 7 8 2 0 0 3 1 0 0 0 0 0 e n t a m i t s . . . . . ' ' 3 0 . ( o u s S o o h p e i e o o n . t s i p o e a u t r l z o a e ) u 4 0 2 7 0 ) h r r 5 n p 2 2 0 8 1 e 0 0 0 0 0 . . . . . i l 1 r e t e m a 2 2 4 H 1 1 1 0 8 0 0 0 0 0 0 0 r . . . . . ' ' ' 1 a a p s c i t . s s i S " 9 5 0 0 4 ) p m t d u a 4 2 1 8 5 0 0 0 0 1 . . . . . L i - - ' 9 e e p T 7 f n o o t 0 i t p f t . ( i f o m o ( t u o o n o i l c e t r e a a r g l a t b a o a l m l d n s r r D o l o y e e d t o I A s o o o i t r e h t i i c m 1 2 2 0 6 d r 6 a e t l s a e a 8 u u r ) 0 0 0 0 0 . e ) t C r h e a 4 0 8 8 8 3 v u a 0 . ( . , e o c ) r c H a g h o i h K a l t A k l ( s c a R a i t i s A i 9 t D e p l 1 ( t a u 0 . ( c r o d a g e a t r o l . e n a a e o e n b h G h l o o c k a i l ) a m t o 2 d C r a . 2 l ( a f l 0 e 1 o r 3 e e S > p . 0 5 ( h t ) T e d s . e l z g l e u i o W a e s h ( . P H e s . ) s t e a 7 ( l u s : d 4 u o e ) n 0 . h p u n d h r S t h c S a D e h I p x E ” c A d c l i o t h s e i s n u i 9 9 8 8 4 2 . . 1 ( - O a h p l a m h r . . . . . ' . ’ . - 5 7 4 5 9 3 0 o 3 0 0 0 o 0 0 0 . ( d s o E r c i h o . a a p n d f l l o n o o a ) i a l a t 5 t ) t K o o 1 a 9 s N t < l 0 ( u f . . . . . 0 ' ' ‘ ' l . t : p e o ( s y n o g o ) 2 2 2 8 8 1 1 0 0 7 0 0 0 0 0 2 c o i h h 5 i p t e g e . . . . 0 t m e s $ - 1 - 5 e t h e T d 0 1 . 6 e l b a T ( a r l c o o s o f u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d l o h e o d f i c i l v l s o t s a o h e t t a . . . . . . . a o r e i e r H t t t e s t n k K R e l l t t u n d r A E z u u a e o n u o a R H i d d g a H D M H t A T a a s S O H M F a S D O D H R R : s e t o N u t o p y a b i i ( t o c d t i r i l i l C - n o s r . e g 2 4 2 C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e g r a i n s M e a t f o o d g r a i n s M e a t f o o d A l p h a m a t r i x A l p h a m a t r i x C o n s t a n t . . . . . 4 6 7 . 2 1 6 . 1 5 1 . 0 4 6 . 1 2 0 . 7 7 8 . 3 8 7 . 1 3 2 — . 6 3 8 . 3 4 2 ( . 0 7 2 ) ( . 0 6 3 ) ( 1 0 7 ) ( . 1 5 3 ) ( . 0 4 3 ) ( . 1 6 3 ) ( . 0 8 3 ) ( . 1 4 1 ) ( . 2 4 2 ) ( . 0 3 3 ) D P E U L . . . . . . . - . 0 0 5 5 . 0 0 7 - 0 2 2 . 0 0 8 . 0 2 5 - . 0 1 1 - . 0 1 0 - . 0 2 1 . 0 2 3 . 0 2 0 ( 0 1 1 ) ( . 0 9 2 ) ( . 0 7 9 ) ( . 1 4 7 ) ( . 1 4 9 ) ( 0 1 0 ) ( . 1 8 0 ) ( . 1 0 4 ) ( . 2 6 7 ) ( . 1 9 2 ) D S E R E R E . . . . . . 0 4 6 . 0 1 7 - . 0 0 2 - . 0 5 3 - . 0 0 8 . 0 3 6 . 0 1 2 - . 0 0 1 - . 0 3 2 - . 0 1 5 R G i r l s . . . . . . — . 0 7 4 - . 0 2 9 . 0 1 5 . 0 5 0 . 0 3 8 - . 0 6 9 - . 0 2 6 . 0 1 5 . 0 3 9 . 0 4 1 ( . 0 2 3 ) ( . 0 6 7 ) ( . 0 6 1 ) ( . 1 2 6 ) ( . 0 0 4 ) ( 0 2 5 ) ( . 0 7 8 ) ( . 0 8 7 ) ( . 1 6 9 ) ( . 0 0 5 ) D M A R K E T . . . . . - . 1 4 5 - . 0 1 4 . 0 4 1 . 0 5 2 . 0 6 6 - . 1 4 7 - 0 1 5 . 0 4 1 . 0 5 5 . 0 6 5 ( 0 0 8 ) ( 0 1 4 ) ( . 0 9 5 ) ( . 1 5 7 ) ( 0 6 2 ) ( 0 0 9 ) ( 0 1 7 ) ( . 1 0 5 ) ( . 1 9 3 ) ( . 0 8 5 ) D K a o l a c k . . . . - . 4 1 8 - . 0 6 0 . 1 1 5 . 2 6 0 . 1 0 4 - 3 8 7 - . 0 4 3 . 1 1 3 . 1 9 2 . 1 2 6 ( . 0 2 3 ) ( . 0 0 5 ) ( . 0 2 3 ) ( . 1 2 1 ) ( . 0 9 4 ) ( . 0 1 7 ) ( 0 0 9 ) ( . 0 2 7 ) . D T a m b a . . . . . . - . 3 8 5 - . 0 3 6 . 1 7 3 . 0 6 4 . 1 8 3 - . 3 9 5 - . 0 4 3 . 1 7 5 . 0 8 9 . 1 7 4 ( . 0 4 4 ) ( . 0 3 2 ) ( . 0 0 8 ) ( . 0 8 3 ) ( . 0 2 5 ) ( . 0 1 8 ) ( . 0 1 5 ) ( . 0 1 2 ) ( . 0 3 0 ) ( . 0 2 6 ) D N N e s t . . . . . . - . 1 5 5 - . 0 4 7 . 0 3 1 . 0 4 2 . 1 2 9 - . 1 5 8 - . 0 4 9 . 0 3 1 . 0 4 9 . 1 2 7 A C ’ ) O v — i V A U ? H v — 4 V t e n d t o b e n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m z e r o a t t h e u s u a l 5 % s i g n i fi c a n c e l e v e l . T h i s s h o u l d n o t b e a s u r p r i s e s i n c e i n t e r m s o f e c o n o m e t r i c a n a l y s i s t h e s h a r e e q u a t i o n s o f t h e t w o m o d e l s a r e i d e n t i c a l e x c e p t f o r t h e b u d g e t d e fl a t o r a ( p ) . T h i s s t a t i s t i c a l fi n d i n g w i l l b e c o n fi r m e d m o r e f o r m a l l y b y V u o n g ’ s ( 1 9 8 9 ) m o d e l s e l e c t i o n t e s t d i s c u s s e d b e l o w . B u t , b e f o r e d i s c u s s i n g V u o n g ’ s t e s t w e w i l l b r i e fl y d i s c u s s t h e i m p a c t s o f t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s o n t h e f o o d c o m m o d i t y s h a r e s . A l m o s t a l l t h e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t e s t i m a t e d c o e f fi c i e n t s h a v e t h e e x p e c t e d s i g n . I n p a r t i c u l a r , t h e " e x p e c t e d " A I D S m o d e l t e l l s u s t h a t e v e r y t h i n g e l s e b e i n g e q u a l , t h e s h a r e o f c o a r s e g r a i n s ( m i l l e t , s o r g h u m , a n d m a i z e ) i n f o o d e x p e n d i t u r e i s . 0 4 6 h i g h e r f o r a S e r e r e t h a n f o r a W o l o f . S u r p r i s i n g l y , t h e c o r r e s p o n d i n g c o e f fi c i e n t i n t h e r i c e s h a r e e q u a t i o n , a l t h o u g h n e g a t i v e a s e x p e c t e d , i s n o t s t a t i s t i c a l l y d i f f e r e n t f r o m z e r o e v e n a t t h e 1 0 % s i g n i fi c a n c e l e v e l . F u r t h e r m o r e , e t h n i c i t y d o e s n o t s e e m t o h a v e a s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t i m p a c t o n f o o d c o n s u m p t i o n p a t t e r n s w h e n h o u s e h o l d c o m p o s i t i o n , g e o g r a p h i c l o c a t i o n , r e l a t i v e p r i c e s , a n d d e fl a t e d t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r c a p i t a a r e a c c o u n t e d f o r . “ ’ 8 H o u s e h o l d c o m p o s i t i o n a l s o d o e s n o t s e e m t o h a v e a s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t i m p a c t o n t h e d a i l y s h a r e s w h e n t h e o t h e r v a r i a b l e s a r e c o n t r o l l e d f o r . I n t h e ” e x p e c t e d " A I D S m o d e l t h e c o e f fi c i e n t f o r t h e t o t a l h o u s e h o l d p o p u l a t i o n i s n e v e r s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t f o r a n y o f t h e s h a r e s . T h e o n l y h o u s e h o l d c o m p o s i t i o n c o e f fi c i e n t s t h a t a r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t a r e t h e h o u s e h o l d p o p u l a t i o n r a t i o o f g i r l s ( a g e 1 5 o r y o u n g e r ) i n t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e e q u a t i o n s ( - . 0 7 4 a n d + . 0 3 8 ) r e s p e c t i v e l y , t h e h o u s e h o l d p o p u l a t i o n r a t i o o f f e m a l e a d u l t s ( a g e 1 5 o r o l d e r ) i n t h e fi s h \ m e a t a n d r i c e e q u a t i o n s ( + . 0 6 8 a n d + . 0 8 1 ) r e s p e c t i v e l y , a n d t h e h o u s e h o l d " 3 T h e e x c e p t i o n s a r e t h e s h a r e o f p u l s e s ( p e a n u t a n d c o w p e a s ) - w h i c h i s . 0 3 5 h i g h e r f o r S a r a k h o l e c o m p a r e d t o W o l o f w h e n e v e r y t h i n g e l s e i s c o n t r o l l e d f o r - , a n d t h e s h a r e o f a n i m a l p r o t e i n ( fi s h , m e a t , a n d c h i c k e n ) - w h i c h i s . 0 2 8 h i g h e r f o r h o u s e h o l d s n o t i n t h e W o l o f , S e r e r e , a n d S a r a k h o l e e t h n i c g r o u p s t h a n f o r W o l o f h o u s e h o l d s , w h e n e v e r y t h i n g e l s e i s c o n t r o l l e d f o r . 2 4 3 p o p u l a t i o n r a t i o o f m a l e a d u l t s ( a g e 1 5 o r o l d e r ) i n t h e p u l s e s e q u a t i o n s ( + . 0 3 5 ) . T h i s m e a n s f o r e x a m p l e , w h e n e v e r y t h i n g e l s e i s b e i n g c o n t r o l l e d f o r , t h e i n c r e a s e i n t h e h o u s e h o l d p o p u l a t i o n r a t i o o f g i r l s a g e 1 5 o r y o u n g e r b y o n e u n i t h a s t h e e f f e c t o f d e c r e a s i n g t h e s h a r e o f c o a r s e g r a i n s i n t h e h o u s e h o l d ’ s t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e b y . 0 7 4 , a n d i n c r e a s i n g t h e s h a r e o f r i c e b y . 0 3 8 . T h e o t h e r h o u s e h o l d c o m p o s i t i o n c o e f fi c i e n t s a r e i n t e r p r e t e d s i m i l a r l y . I n c o n t r a s t , t h e g e o g r a p h i c l o c a t i o n d u m m y v a r i a b l e s s e e m t o h a v e a s i g n i fi c a n t i m p a c t o n t h e h o u s e h o l d d a i l y f o o d c o m m o d i t y s h a r e s . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e f o r t h e s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s a n d r i c e . M o r e o v e r , t h e y a l l h a v e t h e e x p e c t e d s i g n s . F r o m t h e " e x p e c t e d " A I D S m o d e l , e v e r y t h i n g e l s e b e i n g e q u a l t h e s h a r e o f t h e c o a r s e g r a i n s i s . 1 4 5 l o w e r f o r a h o u s e h o l d i n a m a r k e t v i l l a g e t h a n f o r o n e i n a n o n m a r k e t v i l l a g e , a l t h o u g h t h e r e d o e s n o t s e e m t o b e a n y s t a t i s t i c a l d i f f e r e n c e w h e n i t c o m e s t o t h e s h a r e o f r i c e . S i m i l a r l y , w h e n t h e o t h e r v a r i a b l e s a r e h e l d c o n s t a n t , h o u s e h o l d s i n t h e c i t i e s o f K a o l a c k a n d T a m b a c o u n d a , a n d t h o s e i n t h e N o r t h e r n a n d W e s t e r n r u r a l z o n e s o f S e n e g a l ( S a g a t t a , C o l o b a n e , N i a k h a r , a n d P a s s y ) t e n d t o h a v e s i g n i fi c a n t l y l o w e r s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s a n d h i g h e r s h a r e s o f r i c e c o m p a r e d t o t h o s e i n t h e E a s t e r n r u r a l z o n e s ( D i o l y a n d M i s s i r a h ) . 6 . 4 . 2 . 2 . 4 V u o n g ’ s m o d e l s e l e c t i o n t e s t I n t h i s s e c t i o n w e u s e V u o n g ’ s ( 1 9 8 9 ) s e r i e s o f m o d e l s e l e c t i o n t e s t s f o r s t r i c t l y n o n - n e s t e d , o v e r l a p p i n g , a n d n e s t e d m o d e l s t o c o m p a r e t h e " e x p e c t e d ” A I D S a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . V u o n g ’ s t e s t s a r e l o g l i k e l i h o o d r a t i o b a s e d t e s t s w h i c h a r e v a l i d e v e n f o r m i s s p e c i fi e d m o d e l s . A s w e h a v e a l r e a d y s a i d , a l t h o u g h d i f f e r e n t f r o m a n e c o n o m i c t h e o r e t i c a l v i e w , i n t e r m s o f e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n t h e s h a r e e q u a t i o n s o f t h e t w o m o d e l s a r e i d e n t i c a l e x c e p t f o r t h e b u d g e t d e fl a t o r i n t h e i n c o m e t e r m s . H e n c e , i f w e a s s u m e t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e 2 4 4 m e a s u r e m e n t e r r o r i s t h e s a m e i n t h e t w o m o d e l s , t h e r e l e v a n t t e s t t o a p p l y h e r e i s t h e o n e f o r o v e r l a p p i n g m o d e l s . V u o n g ’ s t e s t f o r o v e r l a p p i n g m o d e l s i s a s e q u e n t i a l t e s t w h i c h t e s t s fi r s t t h e n u l l h y p o t h e s i s t h a t t h e v a r i a n c e o f t h e l o g l i k e l i h o o d r a t i o ( L R ) i s e q u a l t o z e r o , a g a i n s t t h e a l t e r n a t i v e t h a t i t i s d i f f e r e n t f r o m z e r o . V u o n g ( 1 9 8 9 ) s h o w s t h a t t h e n u l l h y p o t h e s i s i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a t t h e c o n d i t i o n a l d e n s i t y o f t h e t w o m o d e l s b e i n g c o m p a r e d a r e e q u a l , a n d t h a t u n d e r i t t h e L R s t a t i s t i c i s a s y m p t o t i c a l l y d i s t r i b u t e d a s a W e i g h t e d S u m s o f C h i - S q u a r e d D i s t r i b u t i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , u n d e r t h e a l t e r n a t i v e t h e L R s t a t i s t i c i s a s y m p t o t i c a l l y n o r m a l . I f t h e n u l l h y p o t h e s i s i s n o t r e j e c t e d , t h e n t h e t e s t i n g i s o v e r a n d o n e c o n c l u d e s t h a t t h e t w o m o d e l s a r e s t a t i s t i c a l l y i n d i s t i n g u i s h a b l e g i v e n t h e d a t a . B u t , i f t h e n u l l h y p o t h e s i s i s r e j e c t e d , o n e u s e s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e L R s t a t i s t i c u n d e r t h e a l t e r n a t i v e t o t e s t t h e n u l l h y p o t h e s e s t h a t t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e l o g l i k e l i h o o d r a t i o i s e q u a l t o z e r o , m e a n i n g t h a t t h e t w o m o d e l s a r e e q u i v a l e n t , a g a i n s t e i t h e r o n e o f t h e t w o a l t e r n a t i v e s t h a t t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e L R i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e , m e a n i n g t h a t o n e o f t h e t w o m o d e l s i s ” b e t t e r " t h a n t h e o t h e r . ” 9 T o p e r f o r m t h e v a r i a n c e t e s t i n t h e fi r s t s t a g e , V u o n g g i v e s a n e s t i m a t o r o f t h e L R v a r i a n c e , w h i c h h e s h o w s t o b e a s y m p t o t i c a l l y d i s t r i b u t e d a s a W e i g h t e d S u m s o f C h i - S q u a r e D i s t r i b u t i o n s u n d e r t h e n u l l h y p o t h e s e s . U n f o r t u n a t e l y , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e W e i g h t e d S u m s o f C h i - S q u a r e D i s t r i b u t i o n s i s n o n - s t a n d a r d i n t h e s e n s e t h a t i t s c r i t i c a l v a l u e s a r e n o t a v a i l a b l e i n p u b l i s h e d s t a t i s t i c a l t a b l e s . T h e y n e e d t o b e c o m p u t e d t h r o u g h p r o g r a m m i n g . ” o H e n c e , i n t h e a b s e n c e o f c r i t i c a l v a l u e s t o c o m p a r e w i t h , w e s i m p l y g i v e i n " 9 N o t e t h a t t h e n u l l h y p o t h e s e s i n t h i s L R t e s t c o n t a i n s t h e n u l l h y p o t h e s e s i n t h e v a r i a n c e t e s t i n t h e fi r s t s t a g e o f t h e s e q u e n t i a l t e s t i n g p r o c e d u r e . ‘ 7 “ V u o n g ( 1 9 8 9 ) r e f e r s t o t h e a v a i l a b i l i t y o f t w o F o r t r a n s u b r o u t i n e s ( o n e i n J o h n s t o n a n d K o t z , 1 9 6 9 ; a n d t h e o t h e r i n D u b i n a n d R i v e r s ( 1 9 8 6 ) ) t h a t c a n b e u s e d t o c o m p u t e t h e r e l e v a n t c r i t i c a l v a l u e s f o r t h e W e i g h t e d S u m s o f C h i - S q u a r e D i s t r i b u t i o n s . V u o n g a l s o s h o w s t h a t u n d e r a c o n d i t i o n c a l l e d I n f o r m a t i o n M a t r i x E q u i v a l e n c e , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e W e i g h t e d S u m s o f C h i - S q u a r e D i s t r i b u t i o n s r e d u c e t o a s t a n d a r d C h i - S q u a r e d i s t r i b u t i o n . W h i t e ( 1 9 8 2 ) o u t l i n e s a p r o c e d u r e f o r t e s t i n g t h e I n f o r m a t i o n M a t r i x E q u i v a l e n c e c o n d i t i o n . H o w e v e r , t h i s p r o c e d u r e i s d i f fi c u l t t o i m p l e m e n t . 2 4 5 T a b l e 6 . 9 t h e c o m p u t e d v a r i a n c e s t a t i s t i c s , 8 , a n d i n f o r m a l l y c o n c l u d e g i v e n i t s p r a c t i c a l l y z e r o v a l u e t h a t t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s a r e s t a t i s t i c a l l y i n d i s t i n g u i s h a b l e i n o u r d a t a . I 7 1 D e s p i t e t h e l a c k o f c r i t i c a l v a l u e s t o f o r m a l l y c o m p a r e , t h i s c o n c l u s i o n i s n o t s u r p r i s i n g g i v e n t h e f a c t s t h a t t h e t w o m o d e l s w o u l d b e e c o n o m e t r i c a l l y i d e n t i c a l i f t h e b e t a c o e f fi c i e n t s i n b o t h m o d e l s w e r e e q u a l t o z e r o , a n d t h a t t h e b e t a e s t i m a t e s i n b o t h m o d e l s a r e n o t s t a t i s t i c a l l y d i f f e r e n t f r o m z e r o a t t h e 5 % s i g n i fi c a n c e l e v e l . B e s i d e s t h i s a r g u m e n t b a s e d o n t h e b e t a c o e f fi c i e n t s , t h e r e a r e a t l e a s t t h r e e m o r e r e a s o n s w h y t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s m i g h t b e s t a t i s t i c a l l y i n d i s t i n g u i s h a b l e . 1 ) S i n c e t h e u n c e r t a i n t y m o d e l r e d u c e s t o t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l , t h e r e m a y n o t b e e n o u g h p r i c e v a r i a t i o n i n o u r d a t a t o a l l o w t h e s t a t i s t i c a l d i s t i n c t i o n o f t h e t w o m o d e l s . 2 ) E v e n i f t h e r e w e r e s u f fi c i e n t p r i c e v a r i a t i o n i n t h e d a t a , t h e e c o n o m e t r i c m o d e l s r e s u l t i n g f r o m t h e t w o e c o n o m i c t h e o r e t i c a l f o r m u l a t i o n s a r e s o c l o s e t o p r e v e n t t h e s t a t i s t i c a l d i s t i n c t i o n o f o n e f r o m a n o t h e r . 3 ) T h e b e h a v i o r i m p l i e d b y t h e t w o a p p a r e n t l y d i f f e r e n t t h e o r e t i c a l f u n c t i o n a l f o r m s i s t h e s a m e . I n d e e d , w e s a w i n t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 t h a t " e x p e c t e d " f u n c t i o n a l f o r m s s o m e t i m e s l e a d t o r e s t r i c t i v e b e h a v i o r t h a t i s v e r y c l o s e t o b e h a v i o r i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h i s i s e s p e c i a l l y r e l e v a n t g i v e n t h e f a c t t h a t t h e ” e x p e c t e d " A I D S s h a r e s a r e o n l y f u n c t i o n s o f t h e fi r s t m o m e n t s o f p r i c e s , w h i c h a r e N e v e r t h e l e s s , b y d i r e c t c o m p u t a t i o n a n d w i t h o u t f o r m a l s t a t i s t i c a l t e s t i n g w e f o u n d t h e I n f o r m a t i o n M a t r i x E q u i v a l e n c e c o n d i t i o n n o t l i k e l y t o b e s a t i s fi e d i n o u r d a t a . I n a n y c a s e , e v e n i f t h e c o n d i t i o n w a s s a t i s fi e d , t h e i m p l i e d d e g r e e s o f f r e e d o m w a s f o u n d t o b e z e r o , m a k i n g t h e a p p l i c a t i o n o f t h e C h i - S q u a r e t e s t i m p o s s i b l e . ” ‘ N o t e t h a t z e r o i s t h e l o w e r b o u n d o f t h e v a r i a n c e s t a t i s t i c s , a n d w e a r e t e s t i n g t h e n u l l h y p o t h e s i s o f e q u a l i t y t o z e r o . 2 4 6 m o r e o v e r o n l y i n t h e b u d g e t d e fl a t o r a ( p ) . T h e e s t i m a t i o n o f t h e m o r e u n c e r t a i n t y - fl e x i b l e " n o n - e x p e c t e d " A I D S w i l l p e r h a p s s h e d m o r e l i g h t o n t h i s i s s u e . ' 7 2 6 . 5 T h e c o n s u m p t i o n b e h a v i o r a n d r i s k a t t i t u d e s o f S e n e g a l e s e h o u s e h o l d s 6 . 5 . 1 N u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s W e u s e d t h e m o d e l s ’ ( s y m m e t r y r e s t r i c t e d ) p a r a m e t e r e s t i m a t e s i n T a b l e 6 . 9 a n d T a b l e 6 . 1 0 t o c a l c u l a t e t h e e l a s t i c i t i e s f o r b o t h t h e " e x p e c t e d " a n d t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l u s i n g t h e p r e - d e v a l u a t i o n p r i c e s e r i e s a n d t h e e l a s t i c i t y f o r m u l a s d e r i v e d i n c h a p t e r 5 . T h e p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s w e r e c o m p u t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . T h e c a l c u l a t i o n b y h o u s e h o l d e l i m i n a t e s t h e a g g r e g a t i o n b i a s t h a t w o u l d r e s u l t i f w e w e r e t o u s e a v e r a g e v a l u e s a c r o s s h o u s e h o l d s f o r t h e v a r i a b l e s ( B l u n d e l l e t a l . , 1 9 9 3 ) . T h i s i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t g i v e n t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e A I D S m o d e l . B u t , p e r h a p s m o r e i m p o r t a n t l y , t h e c a l c u l a t i o n b y h o u s e h o l d e n a b l e s u s t o a n a l y z e t h e d i s t r i b u t i o n o f e a c h e l a s t i c i t y a c r o s s h o u s e h o l d s t h r o u g h t h e u s e o f h i s t o g r a m s , b o x p l o t s , a n d c r o s s t a b u l a t i o n s . I 7 3 F o r t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l t h e c a l c u l a t i o n w a s d o n e f o r e a c h o b s e r v a t i o n fi r s t b e f o r e a g g r e g a t i n g a t t h e h o u s e h o l d l e v e l ( b y t a k i n g a v e r a g e ) . F o r t h e u n c e r t a i n t y m o d e l t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s a r e f u n c t i o n s ‘ o f t h e m o m e n t s o f t h e v a r i a b l e s . H e n c e , f o r e a c h h o u s e h o l d w e n e e d a s e r i e s o f o b s e r v a t i o n s f o r e a c h v a r i a b l e i n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e r e q u i r e d s a m p l e a n a l o g u e s . I n p r i n c i p l e , t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f ” 2 A g a i n w e e m p h a s i z e t h a t e v e n i f t h e t w o m o d e l s a r e s t a t i s t i c a l l y i n d i s t i n g u i s h a b l e , f r o m t h e e c o n o m i c t h e o r e t i c a l v i e w t h e y m a y s t i l l b e d i f f e r e n t i f t h e o r e t i c a l b e h a v i o r a l r e s t r i c t i o n s d o n o t r e d u c e t h e u n c e r t a i n t y m o d e l t o t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l . M o r e o v e r , a s t h e f o r m u l a s h o w s , w e c a n s t i l l e x p e c t s i g n i fi c a n t d i f f e r e n c e s i n t h e r e s p e c t i v e c o m p u t e d e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s u n l e s s t h e p r i c e v a r i a t i o n i n t h e d a t a i s i n s i g n i fi c a n t . ” 3 A l l t h e e l a s t i c i t y a n d w e l f a r e i n d i c a t o r c a l c u l a t i o n s w e r e d o n e i n G A U S S . T h e h o u s e h o l d l e v e l fi g u r e s w e r e t h e n t r a n s f e r r e d t o S P S S w h e r e t h e y w e r e m a t c h e d w i t h t h e o t h e r h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s b e f o r e a n a l y s i s . A l l t h e t a b l e s , h i s t o g r a m s a n d b o x p l o t d i a g r a m s a r e d i r e c t S P S S o u t p u t s . 2 4 7 t h e e l a s t i c i t i e s n e e d n o t b e t h e s a m e a s f o r t h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s . T h a t i s , w e c a n u s e m o n t h l y o r y e a r l y o b s e r v a t i o n s e v e n i f t h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s u s e s s e a s o n a l d a t a . H o w e v e r , t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s m u s t b e l a r g e e n o u g h s o a s p e r m i t t h e c o m p u t a t i o n o f r e l i a b l e s a m p l e e s t i m a t e s . F o r t h e p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s , w e u s e d t h e s a m e m o n t h l y p r i c e s e r i e s u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n , t h e p e r c a p i t a h o u s e h o l d t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s e r i e s , a n d t h e v e c t o r o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s s e r i e s . T o a v o i d i n c o r p o r a t i n g t h e i r r e l e v a n t ( c r o s s s e c t i o n a l ) p r i c e v a r i a t i o n s a c r o s s z o n e s , t h e s a m p l e m o m e n t s f o r t h e p r i c e s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h z o n e a l o n g t h e t i m e d i m e n s i o n , w i t h o n e v a l u e f o r e a c h z o n e a n d f o r e a c h s a m p l e m o m e n t . ” ‘ W h e n e v e r r e l e v a n t , w e h a v e w e i g h t e d b y t h e r e s p e c t i v e v i l l a g e s a m p l i n g w e i g h t s w h e n c a l c u l a t i n g t h e m e d i a n a c r o s s h o u s e h o l d s i n o r d e r t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e o v e r s a m p l i n g o f m a r k e t v i l l a g e s a n d t h e r e l a t i v e p o p u l a t i o n w e i g h t s o f t h e s t u d y z o n e s . T h e w e i g h t s w e r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e 1 9 8 8 n a t i o n a l c e n s u s d a t a . F o u r t y p e s o f w e i g h t s w e r e u s e d d e p e n d i n g o n t h e l e v e l o f a g g r e g a t i o n u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e m e d i a n s ( w i t h i n z o n e s , a c r o s s z o n e s , w i t h i n m a r k e t s a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s r e s p e c t i v e l y , a n d w i t h i n r u r a l a n d u r b a n z o n e s r e s p e c t i v e l y ) . H e n c e , t h e w e i g h t i n g s c h e m e s m a k e t h e e l a s t i c i t y fi g u r e s r e p r e s e n t a t i v e f o r t h e p o p u l a t i o n o f t h e s t u d y z o n e s . T h e o n l y fi g u r e s t h a t w e r e n o t w e i g h t e d a r e t h o s e r e l a t e d t o t h e i n c o m e g r o u p s , d u e t o t h e f a c t t h a t t h e i n c o m e c l a s s i fi c a t i o n i s s a m p l e b a s e d . T h e e l a s t i c i t y f o r m u l a s i n c h a p t e r 5 a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e f o o d c o m m o d i t y s h a r e s . T h i s r a i s e s t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r t o u s e t h e a c t u a l s h a r e s o r t h e p r e d i c t e d s h a r e s . T h e e l a s t i c i t i e s r e p o r t e d h e r e a r e b a s e d o n t h e p r e d i c t e d s h a r e s b e c a u s e t h e y w e r e f o u n d t o b e m o r e s t a b l e a n d r e a s o n a b l e , a n d l e s s p r o n e t o o u t l i e r s . I n c a l c u l a t i n g t h e p r e d i c t e d s h a r e s w e ” ‘ T h e s e c o n s t a n t p r i c e s a m p l e m o m e n t s s u p p o s e t h a t t h e p r i c e s e r i e s a r e s t a t i o n a r y s o t h a t t h e i r m o m e n t s a r e i n d e p e n d e n t o f t i m e . A l t e r n a t i v e l y , w e c o u l d u s e a G e n e r a l i z e d A u t o r e g r e s s i v e C o n d i t i o n a l H e t e r o s c e d a s t i c ( G A R C H ) m o d e l f o r t h e p r i c e s e r i e s t o e s t i m a t e t h e i r t i m e - v a r y i n g c o n d i t i o n a l m o m e n t s . 2 4 8 i n c l u d e d t h e r e d u c e d - f o r m r e s i d u a l s ( A m e m i y a , 1 9 8 5 , c h a p t e r 9 ) . W i t h t h e e n d o g e n e i t y o f p e r c a p i t a t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e , i n c l u d i n g t h e r e d u c e d - f o r m r e s i d u a l s i n p r e d i c t i n g t h e s h a r e s i s e q u i v a l e n t t o f o r e c a s t i n g w i t h t h e o v e r - i d e n t i f y i n g r e s t r i c t i o n s i m p o s e d ( B l u n d e l l e t . a l . , 1 9 9 3 ) . F i n a l l y , s i n c e t h e e l a s t i c i t y c a l c u l a t i o n s i n v o l v e d i v i d i n g b y t h e c o m m o d i t y s h a r e s , w h e n e v e r a p r e d i c t e d v a l u e s h a r e w a s n e g a t i v e , w e s e t t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e t o 0 . 0 1 . T h i s i s a r e a s o n a b l e p r a c t i c e g i v e n t h e l e v e l o f c o m m o d i t y a g g r e g a t i o n a n d t h e c o m m o d i t y s h a r e s t a t i s t i c s i n T a b l e 6 . 4 , T a b l e 6 . 5 , a n d T a b l e 6 . 6 . I n a n y c a s e , o n l y a f e w s h a r e s w e r e p r e d i c t e d t o b e n e g a t i v e ( l e s s t h a n 3 % o f a l l c a s e s ) , a n d a q u i c k s e n s i t i v i t y a n a l y s i s r e v e a l e d t h a t t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s w e r e n o t s e n s i t i v e t o t h i s c h o i c e . I t i s p e r h a p s w o r t h n o t i n g t h a t a l t h o u g h i t i s f r e q u e n t l y d o n e i n t h e l i t e r a t u r e , t h e s t a t i s t i c a l s i g n i fi c a n c e o f t h e p r i c e a n d e x p e n d i t u r e e f f e c t s , a s g i v e n b y t h e g a m m a a n d b e t a p a r a m e t e r s i n T a b l e 6 . 9 a n d T a b l e 6 . 1 0 , a l o n e c a n n o t b e u s e d t o j u d g e t h e s t a t i s t i c a l s i g n i fi c a n c e o f t h e r e s p e c t i v e p r i c e a n d e x p e n d i t u r e ( o r b u d g e t ) e l a s t i c i t i e s . I n f a c t , o n e g a m m a p a r a m e t e r c a n b e s t a t i s t i c a l l y n o t d i f f e r e n t f r o m z e r o , a n d y e t t h e c o r r e s p o n d i n g p r i c e e l a s t i c i t y b e s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m z e r o . T h i s i s b e c a u s e t h e s t a n d a r d e r r o r o f a n y i n d i v i d u a l e l a s t i c i t y d e p e n d s o n t h e v a r i a n c e s a n d c o v a r i a n c e s o f Q t h e g a m m a a n d b e t a p a r a m e t e r e s t i m a t e s i n t h e m o d e l , a s i s c l e a r f r o m t h e e l a s t i c i t y f o r m u l a s . D e s p i t e t h e n o n l i n e a r i t i e s i n t h e f o r m u l a , a s y m p t o t i c s t a n d a r d e r r o r s f o r t h e e l a s t i c i t i e s c a n b e a n a l y t i c a l l y c a l c u l a t e d u s i n g t h e " d e l t a m e t h o d " ( i . e . , b y a s e c o n d o r d e r T a y l o r e x p a n s i o n o f t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e p a r a m e t e r s a r o u n d t h e t r u e p a r a m e t e r v a l u e s ) . B u t , b e c a u s e o f t i m e c o n s t r a i n t s , w e d i d n o t c a l c u l a t e t h e s e s t a n d a r d e r r o r s . F i n a l l y , b e f o r e p r e s e n t i n g t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , w e b r i e fl y r e c a l l , f o r t h e c o n v e n i e n c e o f t h e r e a d e r , t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s i n t h e c o n t e x t o f u n c e r t a i n t y . T h e i n t e r p r e t a t i o n s o f p r i c e a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s i n d e t e r m i n i s t i c d e m a n d m o d e l s i s s t a n d a r d : t h e 2 4 9 p e r c e n t a g e c h a n g e i n q u a n t i t y d e m a n d e d c o r r e s p o n d i n g t o 1 % c h a n g e i n o n e p r i c e ( o r i n t o t a l e x p e n d i t u r e ) w h i l e h o l d i n g a l l t h e o t h e r p r i c e s , t o t a l e x p e n d i t u r e , a n d t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s c o n s t a n t . 1 7 5 I n c h a p t e r 2 w e s h o w e d t h a t t h e e l a s t i c i t i e s d e r i v e d u n d e r u n c e r t a i n t y h a v e e s s e n t i a l l y t h e s a m e i n t e r p r e t a t i o n s . T h e r e a r e o n l y t w o d i f f e r e n c e s . F i r s t , t h e m e a n i n g o f t h e w o r d " p e r c e n t a g e c h a n g e " i s g o v e r n e d b y t h e m e t r i c s o f t h e r e s p e c t i v e s p a c e s . I n d e t e r m i n i s t i c m o d e l s , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s i s g i v e n b y t h e u s u a l E u c l i d e a n d i s t a n c e . I n t h e u n c e r t a i n t y c o n t e x t , w e d e fi n e d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o r a n d o m v a r i a b l e s t o b e , r o u g h l y s p e a k i n g , t h e a v e r a g e a c r o s s a l l s t a t e s o f n a t u r e o f t h e s t a t e - b y - s t a t e E u c l i d e a n d i s t a n c e s o f t h e i r r e s p e c t i v e p o s s i b l e v a l u e s . O r , i n o t h e r w o r d s a n d m o r e p r e c i s e l y , t h e " e x p e c t e d " v a l u e o f t h e i r E u c l i d e a n d i s t a n c e . M o r e o v e r , a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 2 . 5 , u n d e r t h i s m e t r i c , w e c a n a l w a y s i n t e r p r e t a " p e r c e n t a g e c h a n g e i n a r a n d o m v a r i a b l e " a s a m r c e n t a g e g a t e d c h a n g e i n t h e r a n d o m v a r i a b l e . H e n c e , i n t h i s f r a m e w o r k e l a s t i c i t i e s a r e i n t e r p r e t e d a s : t h e p e r c e n t a g e e x p e c t e d c h a n g e i n d e m a n d s r e s u l t i n g f r o m o n e p e r c e n t a p e c t e d c h a n g e i n a p r i c e . ” 6 S e c o n d , w i t h u n c e r t a i n t y t h e b u d g e t e l a s t i c i t i e s a r e r a n d o m v a r i a b l e s . H e n c e , o n l y t h e i r m e a n s a n d v a r i a n c e s a r e r e p o r t e d ( s e e c h a p t e r s 2 a n d 5 f o r m o r e d e t a i l s ) . M o r e o v e r , s i n c e t h e d e m a n d s y s t e m i n c l u d e s t h e f o o d c o m m o d i t i e s o n l y , t h e b u d g e t e l a s t i c i t i e s r e p o r t e d h e r e a r e f o r t h e f o o d b u d g e t , n o t t h e t o t a l h o u s e h o l d b u d g e t . ” 5 H e r e , w e a r e u s i n g t h e t e r m " b u d g e t o r e x p e n d i t u r e e l a s t i c i t y ” i n s t e a d o f t h e m o r e c o m m o n l y u s e d t e r m o f " i n c o m e e l a s t i c i t y " . S e e s e c t i o n 2 . 2 . 7 i n c h a p t e r 2 ( o r , f o r e x a m p l e , D e a t o n a n d M u e l b a u e r , 1 9 8 0 a , c h a p t e r 1 ) f o r t h e t h e o r e t i c a l i s s u e s i n v o l v e d i n t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t o t a l i n c o m e a n d t o t a l e x p e n d i t u r e ) . A l t h o u g h " i n c o m e e l a s t i c i t y ” i s s t i l l t h e p r e v a l e n t t e r m i n o l o g y i n t h e l i t e r a t u r e a n d t h e r e p o r t i n g o f e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , t h e t e r m ” b u d g e t e l a s t i c i t y " i s b e i n g i n c r e a s i n g l y u s e d t o r e c o g n i z e t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t o t a l i n c o m e a n d t o t a l e x p e n d i t u r e . A l t h o u g h i n t h e t h e s i s w e d o u s e t h e t e r m s " i n c o m e e l a s t i c i t y ” a n d " i n c o m e e f f e c t s " f o r c o n v e n i e n c e , t h e y a l w a y s r e f e r t o t o t a l e x p e n d i t u r e . ' 7 ‘ W e r e c a l l a g a i n t h e b e h a v i o r a l a n d m a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n a n e x p e c t e d c h a n g e i n a r a n d o m v a r i a b l e a n d a c h a n g e i n t h e e x p e c t e d v a l u e o f a r a n d o m v a r i a b l e ( s e e c h a p t e r 2 f o r m o r e d e t a i l s ) . 2 5 0 F u r t h e r m o r e , i n s e c t i o n 2 . 5 w e h a v e i d e n t i fi e d t h e d e g r e e o f r i s k i n a r a n d o m p r i c e b y t h e c o n s u m e r ’ s p e r c e p t i o n o f i t s d e g r e e o f v a r i a b i l i t y w h i c h w e h a v e m e a s u r e d b y i t s d i s t a n c e t o t h e c o n s u m e r ’ s e x p e c t e d v a l u e f o r i t u n d e r t h e m e t r i c d e fi n e d a b o v e . T h e e l a s t i c i t y m e a s u r e s o f h o w c h a n g e s i n t h e c o n s u m e r ’ s e x a n t e o p t i m a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s , r e s u l t i n g f r o m a n e x p e c t e d c h a n g e i n a r a n d o m p r i c e , i s r e l a t e d t o t h e v a r i a b i l i t y o f t h e r a n d o m p r i c e i n q u e s t i o n i s t h e n d e fi n e d a s t h e e l a s t i c i t y m e a s u r e o f t h e c o n s u m e r ’ s o v e r a l l p r e c a u t i o n a r y r e s p o n s e t o t h e r i s k i n t h e r a n d o m p r i c e . W e h a v e a l s o d e c o m p o s e d e a c h p r i c e e l a s t i c i t y i n t o i t s p r e c a u t i o n a r y r i s k c o m p o n e n t ( w h i c h i s e q u a l t o z e r o i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y o r w h e n t h e c o n s u m e r ’ s b e h a v i o r i s n o t a f f e c t e d b y u n c e r t a i n t y ) a n d i t s n o n r i s k c o m p o n e n t ( w h i c h r e d u c e s t o i t s d e t e r m i n i s t i c c o u n t e r p a r t i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y ) . T h e t e r m p r e c a u t i o n a r y t h a t i s a t t a c h e d t o t h e s e p r i c e - r i s k e f f e c t s d e s c r i b e s t h e e x - a n t e p r e c a u t i o n a r y m e a s u r e s t h a t t h e c o n s u m e r t a k e s t o d e a l w i t h t h e p r i c e u n c e r t a i n t y ( i . e . , t h e p r e c a u t i o n a r y c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s m a d e b e f o r e t h e r e s o l u t i o n o f t h e p r i c e u n c e r t a i n t y ) . T h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o c h a p t e r 2 f o r m o r e d e t a i l s . 6 . 5 . 2 D i s t r i b u t i o n o f t h e h o u s e h o l d s ’ m a t r i c e s o f e l a s t i c i t y e s t i m a t e s 6 . 5 . 2 . 1 S a m p l e m e d i a n e s t i m a t e s o f t h e m a t r i c e s o f e l a s t i c i t i e s 6 . 5 . 2 . 1 . ] T h e u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s T a b l e 6 . 1 1 g i v e s t h e p r e - d e v a l u a t i o n s a m p l e m e d i a n u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y m a t r i c e s a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r b o t h t h e ” e x p e c t e d " a n d t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . T h e e l a s t i c i t i e s f r o m t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s e e m t o b e r e s p e c t i v e l y d i f f e r e n t f r o m t h e i r ( t o t a l ) a n a l o g u e s f r o m t h e " e x p e c t e d ” A I D S m o d e l , b u t t h e y a r e n o t t o o f a r a p a r t . F r o m t h e t o t a l e l a s t i c i t y m a t r i x o f t h e " e x p e c t e d " w e c a n s e e t h a t o n l y t h e fi s h / m e a t f o o d g r o u p h a s a 2 5 1 T a b l e 6 . 1 1 P r e - d e v a l u a t i o n m e d i a n u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s 1 c h a n g e i n q u a n t i t i e s C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e g r a i n s M e a t f o o d " E x p e c t e d " A I D S m o d e l T o t a l C o a r s e g r a i n s . . . - . 7 7 6 . 1 6 0 . 0 9 4 - 2 1 4 . 1 6 9 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 0 7 - . 8 1 9 . 0 5 3 ~ . 1 6 0 . 1 0 1 F i s h / M e a t . . . . . . . - . 1 9 8 - 2 0 3 - 1 . 1 7 2 - . 5 3 6 - . 2 0 5 O t h e r f o o d . . . . . . . 7 3 2 . 7 0 6 . 5 6 0 - . 9 4 1 . 7 1 3 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 7 4 . 0 6 6 . 0 1 9 - . 2 2 8 — . 9 0 4 P r e c a u t i o n a r y r i s k C o a r s e g r a i n s . . . . 0 1 3 - 0 0 3 - . 0 0 2 — . 0 0 4 - . 0 0 2 P u l s e . . . . . . . . . . . - . 0 0 2 . 0 2 1 - . 0 0 1 - . 0 0 1 - 0 0 1 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 1 7 . 0 0 3 . 0 0 3 O t h e r f o o d . . . . . . - . 0 0 4 - . 0 0 4 - . 0 0 4 . 0 0 5 - . 0 0 4 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . - 7 9 2 . 1 6 3 . 0 9 6 - . 2 1 0 . 1 7 3 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 0 9 — . 8 4 4 . 0 5 5 - 1 5 9 . 1 0 5 F i s h / M e a t . . . . . . . - 2 0 2 - . 2 0 7 - 1 . 1 4 5 - . 5 3 7 - 2 0 2 O t h e r f o o d . . . . . . . 7 3 0 . 7 2 2 . 5 7 4 - . 9 7 0 . 7 2 2 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 7 3 . 0 6 6 . 0 1 9 - . 2 2 8 - . 9 0 4 B u d g e t e l a s t i c i t y M e a n . . . . . . . . . . . . . . 8 0 9 . 7 9 6 . 9 5 8 1 . 7 4 6 . 8 0 7 V a r i a n c e . . . . . . . . . . 0 5 1 . 0 7 3 . 1 2 6 . 3 1 1 . 0 4 7 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l C o a r s e g r a i n s . . - . 6 5 1 . 2 7 3 . 2 4 2 - . 8 5 1 - . 0 1 8 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 4 0 - . 8 7 3 . 0 0 9 - . 5 9 7 . 2 3 6 F i s h / M e a t . . . . . . . . 3 0 0 . 1 0 7 - 1 . 1 5 9 - . 1 4 3 - 0 9 1 O t h e r f o o d . . . . . . - . 2 7 2 - . 4 7 1 . 0 9 5 - . 8 2 1 . 3 4 2 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 2 6 . 5 5 7 - 2 2 6 - . 0 5 9 - 1 . 1 1 4 B u d g e t e l a s t i c i t y . . . 7 1 1 . 6 8 5 1 . 0 2 1 1 . 7 7 7 . 7 8 8 N o t e s : T h e e l a s t i c i t i e s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e e l a s t i c i t i e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . T h e t w o m o d e l s w e r e e s t i m a t e d w i t h t h e p o o l e d s e a s o n a v e r a g e s o f t h e d a i l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a . u s i n g t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) . ( t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y c o l l e c t e d 2 4 h o u r s - r e c a l l d a t a e v e r y 1 5 d a y s f o r t w o y e a r s ) . 2 5 2 m e d i a n ( t o t a l ) u n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t y g r e a t e r t h a n 1 i n a b s o l u t e v a l u e ( - 1 . 1 7 2 ) , w h i l e f r o m t h e d e t e m i i n i s t i c A I D S m o d e l , b o t h fi s h \ m e a t a n d r i c e h a v e m e d i a n u n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s g r e a t e r t h a n 1 i n a b s o l u t e v a l u e ( - l . 1 5 9 a n d - l . 1 1 4 r e s p e c t i v e l y ) . O u t o f t h e 2 5 e l a s t i c i t i e s f r o m t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S e l a s t i c i t y m a t r i x , 6 d o n o t h a v e t h e s a m e s i g n a s t h e i r r e s p e c t i v e a n a l o g u e s f r o m t h e " e x p e c t e " A I D S t o t a l e l a s t i c i t y m a t r i x . S i m i l a r l y , f r o m t h e s a m p l e m e d i a n m e a n s o f t h e b u d g e t e l a s t i c i t i e s f r o m t h e " e x p e c t " A I D S m o d e l , o n l y t h e o t h e r f o o d g r o u p i s a l u x u r y w i t h a s a m p l e m e d i a n b u d g e t e l a s t i c i t y o f 1 . 7 4 6 . A l l o t h e r f o o d g r o u p s ( c o a r s e g r a i n s , p u l s e s , fi s h / m e a t , a n d r i c e ) a r e n e c e s s i t i e s , w i t h r e s p e c t i v e b u d g e t e l a s t i c i t i e s o f . 8 0 9 , 0 . 7 9 6 , 0 . 9 5 8 , a n d 0 . 8 0 7 . I n t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l fi s h / m e a t b e c o m e s a l u x u r y c o m m o d i t y a l o n g w i t h t h e o t h e r f o o d g r o u p w i t h r e s p e c t i v e b u d g e t e l a s t i c i t i e s o f 1 . 0 2 1 a n d 1 . 7 7 7 . T h e " d e t e r m i n i s t i c " fi g u r e s f o r t h e o t h e r f o o d g r o u p s a r e 0 . 7 1 1 f o r c o a r s e g r a i n s , 0 . 6 8 5 f o r p u l s e s , a n d 0 . 7 8 8 f o r r i c e . T h e d i s c r e p a n c i e s o f t h e e l a s t i c i t i e s f r o m t h e t w o m o d e l s d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e t w o m o d e l s a r e t h e o r e t i c a l l y c l o s e a n d s t a t i s t i c a l l y i n d i s t i n g u i s h a b l e , i n d i c a t e b i a s e s i n e l a s t i c i t i e s c a l c u l a t e d f r o m e s t i m a t e d d e t e r m i n i s t i c m o d e l s , w h e n p r i c e u n c e r t a i n t y i s r e l e v a n t . M o r e o v e r , f r o m T a b l e 6 . 1 1 i t i s c l e a r t h a t t h e d i r e c t i o n o f t h e b i a s i s u n i f o r m . ‘ " T h e p o t e n t i a l b i a s e s w e r e a l r e a d y c l e a r f r o m t h e t h e o r e t i c a l f o r m u l a s i n c h a p t e r s 2 a n d 5 , a n d f r o m t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 . F u r t h e r m o r e , o n t h e e m p i r i c a l s i d e , f o r a l l t h e d i f f e r e n t m o d e l s w e e s t i m a t e d ( w i t h d i f f e r e n c e s i n s p e c i fi c a t i o n a m o n g m o d e l s b e i n g o n l y o n t h e g r o u p i n g o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s a n d t h e i n c l u d e d s e t s o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s a n d i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s ) , t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s f r o m t h e " e x p e c t e d " A I D S w e r e a l w a y s f o u n d t o b e m o r e " r e a s o n a b l e " a n d s t a b l e ( i . e . , l e s s s e n s i t i v e t o m i n o r c h a n g e s i n ” 7 G i v e n t h e f a c t s t h a t t h e s t a n d a r d s e r r o r s a r e n o t p r o v i d e d a n d t h a t w e c a n n o t f o r m a l l y t e s t t h e s t a t i s t i c a l s i g n i fi c a n c e o f d i f f e r e n c e s , t h e e x t e n t t o w h i c h t h e a p p a r e n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o m o d e l s e s t i m a t e d e l a s t i c i t i e s c a n b e c o n s i d e r e d s i g n i fi c a n t i s m o s t l y a m a t t e r o f p e r s o n a l j u d g e m e n t . 2 5 3 s p e c i fi c a t i o n ) t h a n t h e o n e s f r o m t h e i d e n t i c a l l y s p e c i fi e d d e t e r m i n i s t i c A I D S . H e n c e , t o s h o r t e n t h e d i s c u s s i o n , f o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r w e w i l l f o c u s o n l y o n t h e e l a s t i c i t y a n d w e l f a r e i n d i c a t o r e s t i m a t e s f r o m t h e " e x p e c t e d " A I D S m o d e l . H o w e v e r , i n m o s t o f t h e t a b l e s b e l o w , w e h a v e p r o v i d e d e s t i m a t e s f r o m b o t h m o d e l s s o a s t o l e t t h e r e a d e r a p p r e c i a t e t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e e s t i m a t e s f o r t h e t w o m o d e l s . T a b l e 6 . 1 1 i n d i c a t e s t h a t a l l t h e t o t a l u n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s a r e n e g a t i v e , a n d t h a t t h e t o t a l u n c o m p e n s a t e d c r o s s p r i c e e l a s t i c i t i e s b e t w e e n c o a r s e g r a i n a n d r i c e a r e p o s i t i v e . T h i s m e a n s i n p a r t i c u l a r t h a t f o r a m e d i a n h o u s e h o l d a 1 % c e t e r i s p a r i b u s m e g i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f c o a r s e g r a i n s w i l l d e c r e a s e t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s a n d o t h e r f o o d b y 0 . 7 8 % , a n d 0 . 2 1 % r e s p e c t i v e l y , a n d w i l l i n c r e a s e t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f p u l s e s , fi s h / m e a t , a n d r i c e b y 0 . 1 6 % , 0 . 0 9 % , a n d 0 . 1 7 % r e s p e c t i v e l y . S i m i l a r l y , f o r a m e d i a n h o u s e h o l d a 1 % c e t e r i s p a r i b u s m e g i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f r i c e w i l l d e c r e a s e t h e a v e r a g e d a i l y r i c e a n d o t h e r f o o d c o n s u m p t i o n b y 0 . 9 % a n d 0 . 2 3 % r e s p e c t i v e l y , a n d i n c r e a s e t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s , p u l s e s a n d fi s h / m e a t c o n s u m p t i o n b y 0 . 0 7 4 % , 0 . 0 6 6 % , a n d 0 . 0 2 % r e s p e c t i v e l y . T a b l e 6 . 1 1 a l s o g i v e s t h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d n o n r i s k p r i c e e l a s t i c i t i e s . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e n o n r i s k - p r i c e e l a s t i c i t i e s i s s i m i l a r t o t h e o n e f o r t h e t o t a l e l a s t i c i t i e s . F o r t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k p r i c e e l a s t i c i t i e s , w i t h r e s p e c t t o t h e c o a r s e g r a i n s f o r e x a m p l e , a 1 % c e t e r i s p a r i b u s g m i n c r e a s e i n i t s p r i c e w i l l l e a d a m e d i a n h o u s e h o l d t o r e s p o n d t o t h e u n c e r t a i n t y i n i t s p r i c e ( m e a s u r e d b y i t s v a r i a b i l i t y ) b y i n c r e a s i n g t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s b y 0 . 0 1 3 % a n d d e c r e a s i n g t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f p u l s e s , fi s h / m e a t , o t h e r f o o d , a n d r i c e b y 0 . 0 0 3 % , 0 . 0 0 2 % , 0 . 0 0 4 % , a n d 0 . 0 0 2 % r e s p e c t i v e l y . T h e e x p l a n a t i o n i s t h a t , a s t h e h o u s e h o l d " e x p e c t s " t h e c o a r s e g r a i n s p r i c e s t o r i s e , t h e f a c t t h a t t h e p r i c e s a r e u n c e r t a i n , l e a d s i t t o t a k e s o m e p r e c a u t i o n a r y m e a s u r e s b y , 2 5 4 f o r e x a m p l e , p r o d u c i n g m o r e c o a r s e g r a i n s o r b u i l d i n g u p e n o u g h s t o c k s s o a s t o e n d u p c o n s u m i n g o v e r t i m e m o r e o f t h e a v a i l a b l e c o a r s e g r a i n s o n s t o c k s t h a n i f c o a r s e g r a i n p r i c e s w e r e n o t r a n d o m . H e n c e , w i t h r e s p e c t t o t h e p r i c e o f t h e c o a r s e g r a i n s , t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s p r e c a u t i o n a r y r i s k r e s p o n s e t o i t s u n c e r t a i n t y h a s , i n g e n e r a l , t h e e f f e c t o f d a m p e n i n g i t s o v e r a l l p r i c e r e s p o n s i v e n e s s . 1 7 8 T h e s a m e p a t t e r n o f r e s p o n s e s t o p r i c e u n c e r t a i n t y a p p e a r s f o r p u l s e s a n d t h e o t h e r f o o d g r o u p . T h e o n l y e x c e p t i o n s a r e r i c e , f o r w h i c h t h e m e d i a n p r i c e r i s k e l a s t i c i t y i s z e r o b e c a u s e o f t h e t h e c o n s t a n c y o f i t s p r i c e i n m o s t o f t h e z o n e s , a n d fi s h / m e a t f o r w h i c h t h e m e d i a n h o u s e h o l d r e s p o n d s t o t h e v a r i a b i l i t y i n i t s p r i c e b y i n c r e a s i n g t h e d a i l y a v e r a g e c o n s u m p t i o n o f a l l f o o d c o m m o d i t i e s . 1 7 9 H o w e v e r , t h e m a g n i t u d e s o f t h e p r e c a u t i o n a r y e l a s t i c i t i e s a r e v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e i r n o n r i s k r e s p e c t i v e c o u n t e r p a r t s , i n d i c a t i n g t h a t u n c e r t a i n t y i n f o o d p r i c e s i s n o t a n i m p o r t a n t i s s u e i n t h e S e n e g a l e s e h o u s e h o l d f o o d c o n s u m p t i o n c h o i c e s . T h i s p e r h a p s i s n o t a s u r p r i s i n g e m p i r i c a l fi n d i n g g i v e n t h e l o w v a r i a t i o n i n f o o d p r i c e s i n S e n e g a l d u r i n g t h e t w o - y e a r p e r i o d o f t h e I S R A / I F P R I s u r v e y ( s e e T a b l e 6 . 7 ) . B u t s t i l l , f r o m a p o l i c y p e r s p e c t i v e i t i s a n i m p o r t a n t e m p i r i c a l c o n fi r m a t i o n g i v e n t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t ’ s p a s t a n d f a i l e d a t t e m p t s t o s t a b i l i z e c o a r s e g r a i n p r i c e s . 1 8 0 ” 3 N o t e t h a t e x c e p t f o r t h e o t h e r f o o d g r o u p , t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s h a v e o p p o s i t e s i g n s . ” 9 W e n o t e t h a t t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s i n c h a p t e r 2 d i d n o t p u t a n y s i g n r e s t r i c t i o n s o n e i t h e r t h e u n c o m p e n s a t e d o r c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s . " 0 T o a v o i d m i s u n d e r t a n d i n g , o u r c o n c l u s i o n d o e s n o t s a y t h a t u n c e r t a i n t y i s n o t i m p o r t a n t i n t h e S e n e g a l e s e h o u s e h o l d f o o d c o n s u m p t i o n c h o i c e s . O u r c o n c l u s i o n c o n c e r n s o n l y p r i c e u n c e r t a i n t y . T h e e f f e c t o f i n c o m e u n c e r t a n t y ( w h i c h m a y b e i m p o r t a n t ) i s n o t c o v e r e d b y t h i s c o n c l u s i o n . 2 5 5 6 . 5 . 2 . 1 . 2 T h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s T a b l e 6 . 1 2 g i v e s t h e m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y m a t r i c e s . A l l t h e t o t a l o w n p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s a r e n e g a t i v e a s p r e d i c t e d b y t h e t h e o r y i n c h a p t e r 2 , b u t n o n e o f t h e m s e e m s t o b e e l a s t i c ( a l t h o u g h s o m e a r e " s i z e a b l e " b y s o m e s t a n d a r d s ) . A l s o , t h e e i g e n v a l u e s o f t h e S l u t s k y m a t r i x w e r e f o u n d t o b e a l l n e g a t i v e e x c e p t t h e o n e r e l a t e d t o r i c e . W e n o t e a l s o t h a t a l l t h e f o o d c o m m o d i t i e s ( i n c l u d i n g r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s ) a r e s u b s t i t u t e e x c e p t s f o r fi s h \ m e a t a n d t h e o t h e r f o o d g r o u p f o r w h i c h t h e s i g n r e v e r s a l o f t h e c r o s s p r i c e e l a s t i c i t i e s s e e m s t o b e i n c o n t r a d i c t i o n t o w h a t t h e t h e o r y p r e d i c t s . ” 1 H o w e v e r , t h e - 0 . 0 3 7 m i g h t i n d i c a t e t h a t i t i s n o t s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m z e r o . A n i m p o r t a n t f a c t t o n o t e h e r e a r e t h e r e l a t i v e l y l a r g e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e c o m p e n s a t e d a n d t h e u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s . T h i s i s a n i n d i c a t i o n t h a t t h e r e i s a r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t i n t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s r e s p o n s e t o e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s . 1 8 2 F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e o f t h e c o a r s e g r a i n s f o r a 1 % c e t e r i s p a r i b u s e x p e c t e d c h a n g e i n t h e p r i c e s o f t h e c o a r s e g r a i n s , t h e r e i s a 0 . 5 2 % d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s d u e t o t h e e x p e c t e d l o s s o f p u r c h a s i n g p o w e r o n l y , w h i l e o n l y 0 . 2 5 % d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s i s d u e t o t h e p u r e p r i c e e f f e c t ( i . e . , t o t h e f a c t t h a t t h e c o a r s e g r a i n s a r e e x p e c t e d t o b e c o m e r e l a t i v e l y m o r e e x p e n s i v e ) . I n c o n t r a s t , f o r t h e s a m e 1 % c e t e r i s p a r i b u s e x p e c t e d i n c r e a s e i n c o a r s e g r a i n s p r i c e s , t h e r e i s a r e l a t i v e l y m o d e s t s u b s t i t u t i o n t o w a r d r i c e ( 0 . 6 7 % i n c r e a s e ) d u e o n l y t o t h e p u r e p r i c e e f f e c t , w h i c h e n d s u p b e i n g r e d u c e d t o a m e r e 0 . 1 7 % i n c r e a s e b y t h e e q u a l l y ‘ 3 ' N o t e t h a t u n l i k e t h e S l u t s k y m a t r i x , t h e ( t o t a l ) c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y m a t r i x n e e d s n o t b e s y m m e t r i c . H o w e v e r , t h e c r o s s p r i c e e l a s t i c i t i e s i n e a c h r e s p e c t i v e p a i r s h o u l d a l w a y s h a v e t h e s a m e s i g n . “ 2 W e r e c a l l t h a t i n t e r m s o f e l a s t i c i t y t h e i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y a n d t h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y ( s e e c h a p t e r 2 a n d S f o r m o r e d e t a i l s ) . 2 5 6 T a b l e 6 . 1 2 P r e - d e v a l u a t i o n m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s 2 c h a n g e i n q u a n t i t i e s C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e g r a i n s M e a t f o o d " E x p e c t e d " A I D S m o d e l T o t a l C o a r s e g r a i n s . . - . 2 5 2 . 6 5 2 . 6 7 5 . 8 3 7 . 6 6 7 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 0 3 - . 4 6 6 . 4 1 9 . 5 3 6 . 3 9 7 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 2 2 . 0 1 0 - . 8 5 8 - . 0 3 7 . 0 0 9 O t h e r f o o d . . . . . . . 8 8 2 . 8 6 9 . 7 8 0 - . 4 8 2 . 8 6 9 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 4 0 . 4 4 0 . 4 6 3 . 6 3 6 - 4 9 9 R i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . 0 0 5 - 0 0 6 - . 0 0 2 - . 0 0 6 . 0 0 1 P u l s e . . . . . . . . . . . - . 0 0 5 . 0 1 0 - 0 0 3 - . 0 0 4 — . 0 0 3 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 2 . 0 0 1 . 0 1 5 . 0 0 3 . 0 0 1 O t h e r f o o d . . . . . . - . 0 0 4 - . 0 0 3 - 0 0 5 . 0 0 3 - . 0 0 4 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . - 2 5 7 . 6 5 5 . 6 7 7 . 8 3 6 . 6 5 8 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 0 8 - 4 7 8 . 4 1 7 . 5 5 5 . 3 9 3 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 2 0 . 0 0 6 - . 8 3 6 - . 0 3 9 . 0 0 8 O t h e r f o o d . . . . . . . 8 9 5 . 8 8 1 . 7 8 6 - 4 7 7 . 8 8 2 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 4 0 . 4 4 0 . 4 6 3 . 6 3 6 - . 4 9 9 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l C o a r s e g r a i n s . . . - . 2 7 4 . 6 1 8 . 7 6 0 - . O 9 2 . 3 2 3 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 0 0 - . 6 0 1 . 2 7 5 - . 1 1 6 . 5 0 1 F i s h / M e a t . . . . . . . . 5 6 4 . 3 7 1 - . 8 1 1 . 5 0 3 . 1 9 6 O t h e r f o o d . . . . . . . 0 0 0 - . 2 1 6 . 5 0 7 - . 1 8 4 . 6 1 8 R i c e . . . . . . . . . . . . . 3 7 8 . 9 3 2 . 2 7 6 . 8 9 7 - . 7 1 0 N o t e s : T h e e l a s t i c i t i e s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e e l a s t i c i t i e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . T h e t w o m o d e l s w e r e e s t i m a t e d w i t h t h e p o o l e d s e a s o n a v e r a g e s o f t h e d a i l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a . u s i n g t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) . ( t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y c o l l e c t e d 2 4 h o u r s - r e c a l l d a t a e v e r y 1 5 d a y s f o r t w o y e a r s ) . 2 5 7 r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t . T h i s c o n t r a s t i n g i m p a c t t h a t t h e i n c o m e e f f e c t h a s o n t h e o w n p r i c e a n d c r o s s p r i c e r e s p o n s e s o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d i s a g e n e r a l p a t t e r n a p p l y i n g t o a h n o s t a l l t h e c o m m o d i t i e s , a n d i s c l e a r l y d i s c e m a b l e f r o m t h e t o t a l c o m p e n s a t e d a n d u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y m a t r i c e s . T h a t i s , w h e n i t c o m e s t o t h e o w n - p r i c e r e s p o n s e o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d , m o s t o f t h e r e s p o n s e i s d u e t o a r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t , b u t w h e n i t c o m e s t o i t s c r o s s - p r i c e r e s p o n s e , m o s t o f t h e p o t e n t i a l p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t i s w i p e d o u t b y t h e s a m e r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t . T h i s i s p e r h a p s n o t s u r p r i s i n g g i v e n t h e f a c t t h a t t h e h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e a r e o n a v e r a g e v e r y p o o r w i t h m e a n n e t i n c o m e o f 5 0 , 0 0 0 C F A ( $ 1 8 0 ) p e r y e a r o r j u s t 2 8 % o f a v e r a g e G D P p e r c a p i t a ; a n d t h a t 2 1 % o f t h e h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e s p e n d o n a v e r a g e m o r e t h a n 9 0 % o f t h e i r t o t a l b u d g e t o n f o o d , 2 4 % o f t h e m s p e n d b e t w e e n 8 0 t o 9 0 % o n f o o d , a n d o n l y 8 % o f t h e m s p e n d l e s s t h a n 7 0 % o n f o o d ( s e e T a b l e 6 . 3 a n d T a b l e 6 . 5 ) . T h i s e m p i r i c a l fi n d i n g h a s i m p o r t a n t p o l i c y i m p l i c a t i o n s r e g a r d i n g t h e c e r e a l p r i c i n g p o l i c y d e b a t e i n S e n e g a l . T h e g o v e r n m e n t h a s s o f a r m a i n t a i n e d a p o l i c y o f h i g h o f fi c i a l p r i c e s f o r i m p o r t e d r i c e i n t h e h o p e t h a t h i g h e r r e l a t i v e p r i c e f o r i m p o r t e d r i c e c o m p a r e d t o t h e l o c a l l y g r o w n c o a r s e g r a i n s w i l l p u s h c o n s m n e r s t o s w i t c h t o t h e l a t t e r . S o f a r t h e p o l i c y h a s n o t w o r k e d e i t h e r i n c u r t a i l i n g c o n s u m e r d e m a n d f o r i m p o r t e d r i c e , o r i n b o o s t i n g t h e d e m a n d f o r t h e c o a r s e g r a i n s . B u t , s o m e p o l i c y o b s e r v e r s a n d r e s e a r c h e r s m a i n t a i n t h a t i s b e c a u s e t h e r e l a t i v e p r i c e o f i m p o r t e d r i c e h a s n o t b e e n h i g h e n o u g h . C o n s e q u e n t l y , t h e y a d v o c a t e f u r t h e r i n c r e a s e i n t h e o f fi c i a l p r i c e o f r i c e . B u t , t h e fi g u r e s i n t h e s e t a b l e s c l e a r l y i n d i c a t e t h a t o n e o f t h e r e a s o n s f o r t h e f a i l u r e o f t h e h i g h e r r i c e p r i c e p o l i c y l i e s r a t h e r i n t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . T h e n u m b e r s a l s o i n d i c a t e t h a t f o r t h e s e p o o r h o u s e h o l d s i n t h e I S R A / I F P R I s t u d y z o n e s , f u r t h e r c e t e r i s p a r i b u s i n c r e a s e s i n t h e p r i c e o f i m p o r t e d r i c e w o u l d c o m e a t s u c h a g r e a t c o s t t h a t i t w o u l d n o t l e a v e t h e m m u c h f o r b u y i n g m o r e m i l l e t . 2 5 8 F o r e x a m p l e , a 1 % c e t e r i s p a r i b u s e x p e c t e d i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f r i c e c o u l d h a v e i n c r e a s e d t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n b y a s m u c h a s 0 . 4 4 % i f t h e r e w e r e n o r e d u c t i o n i n p u r c h a s i n g p o w e r . B u t , b e c a u s e o f t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r t h e i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n w i l l o n l y b e a m e r e 0 . 0 7 % ! M e a n w h i l e , 4 4 % o f t h e 0 . 9 % r e s u l t i n g d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y r i c e c o n s u m p t i o n w i l l b e d u e t o a l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r , n o t t o s u b s t i t u t i o n t o w a r d o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s . F i n a l l y , t h e c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k p r i c e e l a s t i c i t y m a t r i x i n T a b l e 6 . 1 2 s h o w s t h a t t h e m e d i a n o w n - p r i c e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b t i t u t i o n e l a s t i c i t y , a l t o u g h v e r y s m a l l , i s p o s i t i v e f o r a l l c o m m o d i t i e s e x c e p t r i c e f o r w h i c h i t i s z e r o a s e x p e c t e d . M o r e o v e r , f o r a l m o s t a l l c o m m o d i t i e s t h e c r o s s - p r i c e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s h a v e o p p o s i t e s i g n s . H e n c e , i n g e n e r a l , t h e e x a n t e p r e c a u t i o n a r y p r i c e — r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s d a m p e n t h e h o u s e h o l d ’ s o v e r a l l a b i l i t y t o s u b s t i t u t e a c c r o s s c o m m o d i t i e s . I n o t h e r w o r d s , e v e n w h e n t h e h o u s e h o l d i s c o m p e n s a t e d f o r t h e p o s s i b l e l o s s o f w e l f a r e d u e t o r i s k a v e r s i o n a n d t o a n e x p e c t e d i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y , t h e e x a n t e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n c o n s u m p t i o n d e c i s o n s , t a k e n t o d e a l w i t h t h e p r i c e u n c e r t a i n t y , r e d u c e t h e s u b s t i t u t i o n e f f e c t s t h a t w o u l d h a v e o b t a i n e d i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h e o n l y e x c e p t i o n t o t h i s i s r i c e w i t h r e s p e c t t o t h e p r i c e o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d t h e p r i c e o f fi s h / m e a t . F o r e a c h c o m m o d i t y , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e u n c o m p e n s a t e d p r e c a u t i o n a r y e f f e c t s a n d t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k s u b s t i t u t i o n e f f e c t s g i v e t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t s w h i c h m e a s u r e s p a r t o f t h e c h a n g e s i n c o n s u m p t i o n o f t h a t c o m m o d i t y r e s u l t i n g f r o m t h e l o s s i n e x a n t e w e l f a r e a s s o c i a t e d w i t h r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) . H e n c e , c o n c e p t u a l l y t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a v e r s i o n e f f e c t i s s i m i l a r t o t h e p u r e i n c o m e e f f e c t s H o w e v e r , t h e o v e r a l l m a g n i t u d e s o f t h e p r e c a u t i o n a r y p r i c e — r i s k e l a s t i c i t i e s a r e s o s m a l l 2 5 9 c o m p a r e d t o t h e i r n o n r i s k c o u n t e r p a r t s , t h a t t h e y c a n b e c o n s i d e r e d a s n e g l i g i b l e . T h e i r i m p o r t a n c e l i e s i n k n o w i n g t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e y m i g h t a f f e c t s u b s t i t u t i o n a c r o s s c o m m o d i t i e s . H e n c e , i n t h e r e m a i n d e r o f t h e c h a p t e r w e w i l l f o c u s o u r d i s c u s s i o n o n t h e t o t a l e l a s t i c i t i e s . I n t h i s s e c t i o n w e h a v e f o c u s s e d o n t h e p r i c e a n d b u d g e t r e s p o n s e s o f t h e s a m p l e m e d i a n h o u s e h o l d . I n t h e n e x t s e c t i o n s w e w i l l s t u d y h o w t h e s e r e s p o n s e s v a r y a c r o s s g e o g r a p h i c l o c a t i o n s a n d i n c o m e g r o u p s . 6 . 5 . 2 . 2 V a r i a t i o n o f t h e m e d i a n e l a s t i c i t y e s t i m a t e s a c r o s s g e o g r a p h i c l o c a t i o n s T a b l e 6 . 1 3 a n d T a b l e 6 . 1 4 g i v e t h e m e d i a n u n c o m p e n s a t e d a n d c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y m a t r i c e s a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r b o t h t h e r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s . A c o m p a r i s o n o f t h e fi g u r e s f r o m t h e t w o t a b l e s w i t h t h o s e i n T a b l e 6 . 1 1 a n d T a b l e 6 . 1 2 i n d i c a t e s t h a t t h e r u r a l m e d i a n e l a s t i c i t i e s a r e a l l r e s p e c t i v e l y c l o s e t o t h e i r s a m p l e m e d i a n c o u n t e r p a r t s . I n c o n t r a s t , s o m e o f t h e u r b a n m e d i a n e l a s t i c i t i e s s e e m t o b e d i f f e r e n t f r o m t h e i r s a m p l e m e d i a n c o u n t e r p a r t s . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e f o r t h e o t h e r f o o d c o l u m n i n t h e t o t a l u n c o m p e n s a t e d m a t r i x w h e r e m o s t o f t h e e l a s t i c i t i e s h a v e c h a n g e d s i g n s . A n o t a b l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s - w h i c h i s n o t p e r h a p s s u r p r i s i n g - i s i n t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r t h e c o a r s e g r a i n s ( - 0 . 2 5 f o r r u r a l a n d - 0 . 4 6 f o r u r b a n ) . I n d e e d , o n e c a n e x p e c t t h a t t h e r u r a l h o u s e h o l d s w h o g r o w m o s t o f t h e i r c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n t o b e l e s s r e s p o n s i v e t o c h a n g e i n i t s p r i c e t h a n u r b a n h o u s e h o l d s w h o h a v e t o b u y t h e c o a r s e g r a i n s . H o w e v e r , a c o m p a r i s o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s ( - O . 7 8 a n d - 0 . 7 2 r e s p e c t i v e l y ) i n d i c a t e s t h a t t h e d i f f e r e n c e i n r e s p o n s e s r e s u l t s m a i n l y f r o m t h e i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t , w i t h t h e r u r a l h o u s e h o l d s h a v i n g s t r o n g e r i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t s . T h e s t r o n g e r i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t s f o r t h e r u r a l h o u s e h o l d s a p p l y i n g e n e r a l f o r a l l t h e o t h e r 2 6 0 y t n i a t r e c n u e h t r o f e c i R s r d e e o i h o t t f i O t s n e a n u o q / t z h a 4 5 5 9 3 9 7 0 7 . . . 1 0 6 3 1 2 8 7 9 . . . 1 1 0 3 9 n i b e o n h R o t s . a d ) f e n o s a s r a n d e l a e y l i l e d d o o e n o w m u p t l d e r B e h o 9 7 2 f t t f s 9 0 e n i i M i a F n s e t i b e r g U n c s a s . . 0 . 1 h o g h s i y t r e i o a w w t d a e d m 5 i e h e 0 4 7 1 h e i t n c s s o a z l e n a t b e r l 2 u P e s s n r i g u a a 9 8 4 6 0 0 . . . t t t a y s s m r E n i e l i t t v e a n s e d o 8 5 m 8 t e e n m a o o t e c M a r 4 4 8 5 6 0 . . S d e d u s b u o r D C g I A . - l w d l e l e s t l c a l a s r d r n e a v d l e a t r a u e c i R c i e c h d e e 7 t 8 8 t c o r 0 4 8 I s a m - 8 0 7 i E s . . . n i m r e t o e r w h u t t o . d h l e g o h 4 n h T i 2 e s s u d . u e s s s r R 6 d 8 e 6 n e e o i h o 4 1 D 7 7 7 3 e . : t t f . . p 1 1 s o t i O m t l o e c d n o s n e a n u u m z h a o q / t n s e 6 3 5 3 9 1 . . d . h c l a o t e h h a l c e d l 1 o a s 2 e u c n 0 o o i . n S a D l a r e i M F i I u g d A R n e m c a s h e c s i l n t o s i i t n 2 u P a i e s u m l r a e s n r i a a o r v t C g e e d d r y i h 1 o t e 0 3 8 0 7 9 8 0 6 . . . 1 9 4 1 4 2 8 0 7 . . . f l p v l m r d u a u e s s t s n a s n o l o c o u r i c d c t l a o p a m o c u s f e s e y i n r l t o e i i c w a c i d d s t o e s e o - . . . . f i a h e d r n P a . . t l t . . i e e y . y h . f c t t . . i e o t i . i . ( t v 3 c l l c c . . i i . . t t . . s s . a a . e . s i s a t e . l c g ) e e a 3 p r 9 e e s 9 1 . 6 e l b a T . e e n 1 h e v a T r a ( t n i t e a r e g e a g d M V d u u B B : s e t o N 2 6 1 " E x p e c t e d " A I D S m o d e l T o t a l C o a r s e g r a i n s . . . - 7 7 7 . 1 5 5 . 0 9 2 - . 2 3 7 . 1 6 7 - . 7 1 8 . 2 0 1 . 1 7 9 . 1 0 9 . 1 9 8 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 0 6 - . 8 2 2 . 0 4 9 - . 1 7 6 . 1 0 1 . 1 1 9 - 7 4 8 . 0 9 2 . 0 2 9 . 1 0 8 F i s h / M e a t . . . . . . . - . 2 0 9 - 2 1 4 - 1 . 1 7 2 - . 5 3 8 - . 2 0 8 - . 1 6 0 - . 1 8 1 - 1 . 1 8 2 - 5 1 7 - 1 9 0 O t h e r f o o d . . . . . . . 7 2 0 . 7 0 6 . 5 6 0 — . 9 3 3 . 7 1 3 . 8 0 8 . 7 5 0 . 5 0 8 - . 0 8 1 . 7 0 3 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 7 3 . 0 6 6 . 0 1 8 - 2 2 9 — . 9 0 3 . 0 9 2 . 0 8 2 . 0 2 3 - . 1 4 8 - . 9 1 2 P r e c a u t i o n a r y r i s k C o a r s e g r a i n s . . . . 0 1 3 - . 0 0 3 - 0 0 2 - . 0 0 4 - . 0 0 2 . 0 1 5 ~ . 0 0 5 o . 0 0 6 - 0 0 9 - . 0 0 6 P u l s e . . . . . . . . . . . — . 0 0 2 . 0 1 9 - 0 0 1 - . 0 0 1 - . 0 0 1 - . 0 0 7 . 0 4 7 - . 0 0 6 - . 0 0 5 - 0 0 6 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 1 7 . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 0 6 . 0 0 5 . 0 3 4 . 0 1 1 . 0 0 5 O t h e r f o o d . . . . . . - . 0 0 4 - . 0 0 4 - . 0 0 4 . 0 0 5 - . 0 0 4 - . 0 0 7 - . 0 0 9 - . 0 0 9 - 0 0 1 - . 0 0 9 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . - 7 9 3 . 1 6 0 . 0 9 6 - . 2 3 0 . 1 7 1 - . 7 3 4 . 2 0 7 . 1 8 5 . 1 2 2 . 2 0 6 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 0 8 - . 8 4 5 . 0 5 0 - . 1 7 3 . 1 0 4 . 1 2 5 - . 7 9 6 . 0 9 9 . 0 3 4 . 1 1 4 F i s h / M e a t . . . . . . . - . 2 0 3 - 2 0 8 - 1 . 1 4 0 - . 5 3 7 - . 2 0 6 - . I 6 7 - . 1 8 8 - 1 . 2 1 2 — . 5 3 3 - . 1 9 3 O t h e r f o o d . . . . . . . 7 2 8 . 7 1 1 . 5 8 1 - . 9 5 2 . 7 2 2 . 8 1 2 . 7 6 6 . 5 1 9 - . 0 8 1 . 7 0 9 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 7 3 . 0 6 6 . 0 1 8 — . 2 2 9 - 9 0 4 . 0 9 2 . 0 8 2 . 0 2 3 - 1 4 8 - 9 1 2 H e — C C o a r s e g r a i n s . . . - 6 6 3 . 2 7 2 . 2 4 1 - . 8 5 2 - . 0 1 7 . 2 6 4 . 4 9 5 . 3 3 9 - . 7 0 4 - . 0 8 2 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 3 9 - . 8 7 6 . 0 0 9 - . 5 9 7 . 2 4 4 . 4 9 6 - . 7 3 6 . 0 1 8 — . 5 4 3 . 2 0 0 F i s h / M e a t . . . . . . . . 2 9 3 . 1 0 7 - l . 1 5 8 - . 1 4 3 - . 0 9 1 1 . 3 8 8 . 2 7 9 - 1 . 2 1 6 - . l 6 0 - . 1 2 8 O t h e r f o o d . . . . . . - . 2 6 3 - . 4 6 5 . 0 9 4 - . 8 2 3 . 3 4 4 - 1 . 5 4 7 - 1 . 5 2 0 . 1 3 0 - 7 4 3 . 3 1 7 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 2 6 . 5 3 1 - . 2 2 6 - . 0 6 3 — 1 . 1 1 4 . 0 3 2 1 . 4 8 1 - . 3 0 3 . 0 5 4 - 1 1 0 4 e 5 2 8 9 0 7 1 1 2 6 3 8 3 4 4 9 3 5 0 6 9 8 3 0 0 9 6 8 0 9 3 0 0 5 8 0 c 6 0 0 0 i R 4 0 9 2 0 0 4 2 3 0 0 0 9 5 5 0 0 0 5 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - - - - e h t d n f a r d 2 5 2 6 0 3 3 7 8 4 3 5 4 0 7 3 2 9 9 7 o y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . t O - - - — - - - - - e o 1 2 2 0 6 3 4 6 0 0 6 2 1 9 0 1 9 9 6 6 h o 0 5 0 0 7 4 5 0 0 0 7 4 5 4 9 0 5 4 3 1 t n i a n a i d e m t 5 2 2 0 0 2 7 7 2 7 8 6 6 5 3 1 2 / 1 d t 7 7 r e c n h a 0 1 0 1 3 3 2 0 2 0 4 1 3 6 7 6 3 3 6 8 s e 5 5 0 0 3 7 4 0 3 7 4 4 4 0 1 9 0 0 9 9 i M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F - - c - - e t h g i u e w e s e 1 e 1 9 6 9 8 4 8 5 0 2 9 7 3 6 9 6 3 6 5 h 5 1 6 0 0 6 7 0 2 5 2 6 3 0 6 2 4 3 0 s 0 l u P l 4 5 0 0 0 6 6 4 5 0 4 9 3 9 3 0 0 0 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l - - - - - - 1 1 h t e s d o - n e i d m e s o s m 6 S 6 5 n 8 3 9 6 6 9 6 6 8 2 6 0 8 9 6 9 9 a t n o c l l e t r s o e f n o s z i n t a i b c r u e 4 0 0 4 I 2 6 1 a a S 2 0 9 3 0 0 0 0 2 9 3 4 2 r i 5 0 0 D 7 3 5 7 2 8 5 7 7 1 0 0 5 6 7 9 3 o r D A . . . . . . . C g I - - - - 1 1 - A c - i . . . . . . . . . . . . . ” t c i s d t s s a u e 1 e 1 1 0 1 4 3 0 0 i 5 3 9 9 2 8 2 3 5 6 9 c t 7 0 6 0 2 2 9 9 0 0 0 0 9 n 6 0 8 9 3 3 3 h c i c 4 0 0 4 i 6 a 6 0 8 0 6 4 4 0 0 0 8 1 3 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l p s r - - - - - R e m E e r e d v x E “ e t e D e 4 6 3 5 4 s r d t e e o l a a s r i h o t t f i O n u t 8 0 0 8 8 0 1 5 8 1 . . . . - - - . d l o h e s u o e n h R p m o s e a n u : o q / t s h a z c l n s e e l i i M n d a o a F r e u g i m R n 5 5 8 6 8 9 1 0 7 0 7 3 5 2 8 . . . . . - h c a e r o f d d a s e S m D h e c s l I I u 8 4 6 1 5 1 9 9 7 8 6 8 3 5 1 . . . . . - - e t a l n A u P o i c t i a t s n e s r i a a o r C g u s l i a n v i e m d r - e e t r e P d 9 7 4 2 9 8 9 5 1 8 2 3 5 0 3 . . . . . - c l a c e r e w s . . . . . e . . . . . i . . . . t s . . . i . n . . . c . i . . . . i a d . . . t r o . t . s g o . a . a . e . l f e . M . e s r e / . r e s h e a h c l s o t i u i C R O P F e h T : s e t o N 2 6 2 T a b l e 6 . 1 4 U r b a n z o n e s 2 c h a n g e i n q u a n t i t i e s T o t a l C o a r s e g r a i n s . . - . 2 4 9 . 6 5 5 . 6 8 1 . 8 4 5 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 1 1 - . 4 4 9 . 4 4 3 . 5 4 2 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 1 6 . 0 1 0 - . 8 3 8 - . 0 4 2 O t h e r f o o d . . . . . . . 8 7 6 . 8 6 0 . 7 8 0 - . 4 7 9 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 4 7 . 4 4 8 . 4 6 9 . 6 3 7 P r e c a u t i o n a r y r i s k C o a r s e g r a i n s . . . . 0 0 5 - . 0 0 6 - . 0 0 2 - . 0 0 6 P u l s e . . . . . . . . . . . - . 0 0 5 . 0 0 9 - . 0 0 3 - . 0 0 3 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 2 . 0 0 1 . 0 1 2 . 0 0 3 O t h e r f o o d . . . . . . - . 0 0 3 - . 0 0 3 - . 0 0 5 . 0 0 3 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n C o a r s e g r a i n s . . . - . 2 5 2 . 6 6 1 . 6 8 7 . 8 3 9 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 2 2 - 4 7 6 . 4 4 6 . 5 6 3 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 1 6 . 0 0 6 - . 8 2 4 - . O 4 2 O t h e r f o o d . . . . . . . 8 8 9 . 8 7 9 . 7 8 8 - . 4 7 4 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 4 7 . 4 4 7 . 4 6 9 . 6 3 7 r e s p e c t i v e e l a s t i c i t i e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . T h e t w o m o d e l s w e r e e s t i m a t e d w i t h t h e p o o l e d s e a s o n a v e r a g e s o f t h e d a i l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a . u s i n g t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) . ( t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y c o l l e c t e d 2 4 h o u r s - r e c a l l d a t a e v e r y 1 5 d a y s f o r t w o y e a r s ) . f o o d c o m m o d i t i e s . I t i s a r e fl e c t i o n o f t h e i r r e l a t i v e p o v e r t y a n d h i g h e r s h a r e o f f o o d i n t o t a l e x p e n d i t u r e , m a k i n g t h e m l o s e m o r e i n p u r c h a s i n g p o w e r w h e n e v e r t h e r e i s a c e t e r i s p a r i b u s e x p e c t e d c h a n g e i n p r i c e s . 6 . 5 . 2 . 3 S a m p l e a n d z o n e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e h o u s e h o l d s ’ e l a s t i c i t i e s I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s w e h a v e f o c u s s e d o n t h e m e d i a n e l a s t i c i t i e s b e c a u s e u n l i k e t h e m e a n , t h e m e d i a n i s r o b u s t t o o u t l i e r s . H o w e v e r , t h e m e d i a n d o e s n o t u s e a l l t h e s a m p l e i n f o r m a t i o n . H e n c e , i t w i l l b e i n t e r e s t i n g t o s e e t h e e n t i r e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e e l a s t i c i t i e s t h r o u g h h i s t o g r a m s a n d b o x p l o t s . H o w e v e r , a n h i s t o g r a m a n d a b o x p l o t f o r e v e r y e l e m e n t o f t h e m a t r i c e s w o u l d b e t o o d e t a i l e d a n d t o o l o n g . H e n c e , w e w i l l f o c u s o n l y o n t h e o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e , a n d o n t h e i r c r o s s p r i c e e l a s t i c i t i e s . F i g u r e 6 . 5 s h o w s t h e h i s t o g r a m s a n d t h e s a m p l e s t a t i s t i c s o f t h e r i c e a n d c o a r s e g r a i n s ( t o t a l ) c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r a l l t h e h o u s e h o l d s i n t h e s a m p l e g r o u p e d t o g e t h e r r e s p e c t i v e l y . A l l t h e v a l u e s f o r t h e c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s a r e n e g a t i v e a s p r e d i c t e d b y t h e t h e o r y , w i t h t h e o n e f o r t h e c o a r s e g r a i n s r a n g i n g f r o m - O . 5 7 t o — 0 . 3 8 a n d t h e o n e f o r r i c e r a n g i n g f r o m - 0 . 7 3 t o — 0 . 1 4 . T h e y b o t h h a v e a s t a n d a r d e r r o r o f a b o u t 0 . 0 0 8 . M e a n w h i l e , t h e v a l u e s f o r t h e c o m p e n s a t e d r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s p r i c e e l a s t i c i t y a r e a l l p o s i t i v e c o n fi r m i n g t h a t r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s a r e i n d e e d s u b s t i t u t e s , a l t h o u g h t h e d e g r e e o f s u b s t i t u t i o n i s l i m i t e d . T h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t i e s r a n g e f r o m a m i n i m u m o f 0 . 2 1 t o a m a x i m u m o f 0 . 7 5 , w i t h s t a n d a r d e r r o r 0 . 0 0 7 . B u t , n o n e o f t h e e l a s t i c i t i e s s e e m s t o h a v e a n e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n c l o s e t o t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n . T h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n f o r t h e c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t y o f t h e c o a r s e g r a i n s i s s k e w e d t o t h e l e f t ( i . e . , t o w a r d l e s s r e s p o n s i v e n e s s ) w i t h a n i n d e x o f s k e w n e s s o f - 0 . l 9 , w h i l e t h e o n e s f o r t h e c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t y o f r i c e a n d f o r t h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y a r e s k e w e d t o t h e r i g h t ( i . e . , t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s 2 6 3 C O A R S E G R A I N S C O M P E N S A T E D O W N - P R I C E E L A S T I C I T Y F r e q u e n c y B i n C e n t e r V a l i d c a s e s : 2 4 7 . 0 M i s s i n g c a s e s : . 0 1 . 0 0 - . 5 7 5 0 0 P e r c e n t m i s s i n g : . 0 1 1 . 0 0 - 5 2 5 0 0 * * * * * 2 0 . 0 0 - . 4 7 5 0 0 * * * * * * * * * * M e a n - . 2 8 4 1 S t d E r r . 0 0 8 3 2 7 . 0 0 - . 4 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * M e d i a n - . 2 6 9 2 V a r i a n c e . 0 1 7 1 2 4 . 0 0 - 3 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * 5 % T r i m - 2 8 2 7 S t d D e v . 1 3 0 8 2 6 . 0 0 - . 3 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * M i n - . 5 6 8 5 S k e w n e s s - . 1 9 1 2 2 7 . 0 0 - 2 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * M a x - 0 3 8 1 S E S k e w . 1 5 4 9 2 6 0 0 — . 2 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * R a n g e . 5 3 0 4 K u r t o s i s — 1 . 0 8 7 7 4 4 . 0 0 - . 1 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * I O R . 2 2 5 4 S E K u r t . 3 0 8 6 2 6 . 0 0 - - 1 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * 1 3 . 0 0 - . O 7 5 0 0 * * * * * * M - E s t i m a t o r s 2 . 0 0 - 0 2 5 0 0 * H u b e r ( 1 . 3 3 9 ) - 2 7 9 0 . 0 0 . 0 2 5 0 0 T u k e y ( 4 . 6 8 5 ) - 2 7 9 7 H a m p e l ( l . 7 0 0 . 3 . 4 0 0 . 8 . 5 0 0 ) - 2 8 1 5 B i n w i d t h : . 0 5 0 0 0 A n d r e w ( 1 . 3 4 0 * p i ) - . 2 7 9 7 E a c h s t a r : 2 c a s e ( s ) R I C E C O M P E N S A T E O O W N - P R I C E E L A S T I C I T Y F r e q u e n c y B i n C e n t e r V a l i d c a s e s : 2 4 7 . 0 M i s s i n g c a s e s : 0 3 . 0 0 - . 7 2 5 0 0 * P e r c e n t m i s s i n g : 0 . 0 1 1 . 0 0 - . 6 7 5 0 0 * * * * * 3 8 . 0 0 - . 6 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M e a n - . 4 8 0 9 S t d E r r 0 0 8 4 3 9 . 0 0 - . 5 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M e d i a n - . 5 0 6 5 V a r i a n c e 0 1 7 6 4 0 . 0 0 - . 5 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 5 % T r i m - 4 8 5 7 S t d D e v 1 3 2 7 3 0 . 0 0 - . 4 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * M i n - . 7 2 5 1 S k e w n e s s 5 6 8 8 2 0 . 0 0 - . 4 2 5 0 0 * * * * * * * * * * M a x - . 1 3 5 5 S E S k e w . 1 5 4 9 1 6 . 0 0 - . 3 7 5 0 0 * * * * * * * * R a n g e 5 8 9 6 K u r t o s i s - . 5 4 7 5 1 8 . 0 0 - . 3 2 5 0 0 * * * * * * * * * I O R 1 9 8 3 S E K u r t 3 0 8 6 1 6 . 0 0 — . 2 7 5 0 0 * * * * * * * * 1 1 . 0 0 - . 2 2 5 0 0 * * * * * M - E s t i m a t o r s 3 . 0 0 - . 1 7 5 0 0 * H u b e r ( 1 . 3 3 9 ) - . 4 9 8 7 2 . 0 0 - . 1 2 5 0 0 * T u k e y ( 4 . 6 8 5 ) - . 5 0 0 5 . 0 0 - . 0 7 5 0 0 H a m p e l ( l . 7 0 0 . 3 . 4 0 0 . 8 . 5 0 0 ) - . 4 9 3 0 A n d r e w ( 1 . 3 4 0 * p i ) - . 5 0 0 6 B i n w i d t h : . 0 5 0 0 0 E a c h s t a r : 2 c a s e ( s ) R I C E - C O A R S E G R A I N S C O M P E N S A T E O C R O S S - P R I C E E L A S T I C I T Y F r e q u e n c y B i n C e n t e r V a l i d c a s e s : 2 4 7 . 0 M i s s i n g c a s e s : . 0 4 . 0 0 . 2 2 5 0 0 * * P e r c e n t m i s s i n g : . 0 5 . 0 0 . 2 7 5 0 0 * * M e a n . 4 4 2 5 S t d E r r . 0 0 7 1 4 5 . 0 0 . 3 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M e d i a n . 4 1 6 6 V a r i a n c e . 0 1 2 5 5 3 . 0 0 . 3 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 5 2 T r i m . 4 3 7 6 S t d D e v . 1 1 1 7 4 5 . 0 0 . 4 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M i n . 2 1 2 2 S k e w n e s s . 6 6 2 9 2 5 . 0 0 . 4 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * M a x . 7 4 6 1 S E S k e w . 1 5 4 9 2 2 . 0 0 . 5 2 5 0 0 * * * * * * * * * * * R a n g e . 5 3 3 9 K u r t o s i s - . 2 4 5 5 2 4 . 0 0 . 5 7 5 0 0 * * * * * * * * * * * * I O R . 1 6 8 2 S E K u r t . 3 0 8 6 9 . 0 0 . 6 2 5 0 0 * * * * 9 . 0 0 . 6 7 5 0 0 * * * * M - E s t i m a t o r s 6 . 0 0 . 7 2 5 0 0 * * * H u b e r ( 1 . 3 3 9 ) . 4 2 4 7 B i n w i d t h : . 0 5 0 0 0 T u k e y ( 4 . 6 8 5 ) . 4 1 8 6 E a c h s t a r : 2 c a s e ( s ) H a m p e l ( 1 . 7 0 0 . 3 . 4 0 0 . B . 5 0 0 ) . 4 2 8 7 A n d r e w ( 1 . 3 4 0 * p i ) . 4 1 8 4 F i g u r e 6 . 5 S a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c o a r s e g r a i n s a n d r i c e p r i c e e l a s t i c i t i e s : h i s t o g r a m s a n d s a m p l e s t a t i s t i c s . 2 6 4 a n d l e s s r e s p o n s i v e n e s s r e s p e c t i v e l y ) w i t h a n i n d e x o f s k e w n e s s o f 0 . 5 7 a n d 0 . 6 6 r e s p e c t i v e l y . F i g u r e 6 . 5 a l s o s h o w s t h a t t h e m e a n s a n d o t h e r r o b u s t e s t i m a t e s o f l o c a t i o n f o r t h e e l a s t i c i t i e s a r e v e r y c l o s e t o t h e m e d i a n s w h i c h w e h a v e a d o p t e d . F i g u r e 6 . 6 , F i g u r e 6 . 7 , a n d F i g u r e 6 . 8 u s e b o x p l o t d i a g r a m s t o c o m p a r e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s a c r o s s z o n e s . F r o m F i g u r e 6 . 6 w e c a n s e e t h a t h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s h a v e t h e h i g h e s t o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e f o r t h e c o a r s e g r a i n s a n d h o u s e h o l d s i n N i a k h a r , D i o l y a n d M i s s i r a h h a v e t h e l o w e s t . I n f a c t , t h e r e s p e c t i v e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o a r s e g r a i n s c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t y f o r t h e s e t w o e x t r e m e g r o u p s d o n o t i n t e r s e c t . B y a n d l a r g e , h o u s e h o l d s i n S a g a t t a , C o l o b a n e , a n d P a s s y h a v e s i m i l a r o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e f o r t h e c o a r s e g r a i n s , w i t h S a g a t t a h a v i n g t h e l o w e s t m e d i a n r e s p o n s e a m o n g t h e t h r e e z o n e s , b u t a l s o w i t h t h e g r e a t e s t v a r i a b i l i t y a m o n g a l l t h e z o n e s . I n f a c t , t h e e x t r e m e r e s p o n s e s o f s o m e h o u s e h o l d s i n S a g a t t a a r e e v e n h i g h e r t h a n a n y o t h e r r e s p o n s e i n t h e u r b a n z o n e s . T h i s i s p e r h a p s a r e fl e c t i o n o f t h e f a c t t h a t a m o n g t h e r u r a l z o n e s S a g a t t a h a s o n a v e r a g e t h e l o w e s t s h a r e o f c o a r s e g r a i n s i n t h e f o o d b u d g e t ( s e e T a b l e 6 . 4 ) . T h e v a r i a b i l i t y i n t h e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e f o r t h e c o a r s e g r a i n s i s t h e l o w e s t i n M i s s i r a h , D i o l y , a n d K a o l a c k , w i t h C o l o b a n e , P a s s y , T a m b a , a n d N i a k h a r h a v i n g i n t e r m e d i a t e s i m i l a r v a r i a b i l i t y . I n c o n t r a s t , F i g u r e 6 . 7 s h o w s t h a t t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s o f u r b a n h o u s e h o l d s i s n o t b y a n d l a r g e m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e o n e s o f r u r a l h o u s e h o l d s , e x c e p t t h e o n e s f o r h o u s e h o l d s i n S a g a t t a a n d N i a k h a r w h o i n g e n e r a l h a v e l o w e r r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s . H o w e v e r , t h e v a r i a b i l i t y o f t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s i s n o t i c e a b l y l o w e r i n C o l o b a n e , a n d n o t i c e a b l y h i g h e r i n N i a k h a r a n d M i s s i r a h . A g a i n , t h e h i g h e r v a r i a b i l i t y i n t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d 2 6 5 . e n o z y b s m a r g a i d t o l . e g n a r e l p i t r a 0 u a 0 q b . r . e x o B : m 7 e s l a n 2 t i T n t i i n e e c h r t e p h s a ) i r 0 h i 0 x t a r g e s r a s . o 5 o s 2 b 7 . e c i 3 l M e p e i h s t l r t o e n i r e t f f ( c n o r e h e c y h t t p r t 5 e y 0 g 2 p i c i l 6 5 1 1 2 2 ) ) O E ( ( Y T I C I T S A l 0 n ) h L E E C I R P - N W O D E T o . e e t ) i 5 t h 5 h l D 3 7 t t e 5 h s ? t i s s a l e p e x s r . x o ( e o b r b h ( e c e t i y e r h 0 h 5 s h t 2 0 t s t . 5 a 9 f m 2 P 2 o o p - n A n S N E P M O i r w m h ) o f o t y r f i r s w a h d d t s e C n S N I A R G E S R A O C 8 0 1 ) O ( s g h t e n t u u o e g a s k 0 l n l b c 0 — e a n . a l . x r r e v . l e - 0 e o r p o b e p x 3 i e a p v o i K u a b t l 5 m o h . u t c p o u 1 3 s s o e t n n e e s t o a a r h a o n t h h ( e t t c n n 0 y s ) ) a 0 r f s e e i b . o a i r r o 3 d t o o l 3 % n a t m m o 0 h u a C t 5 o h p p f o s n b t s s o , e i e e e t r u e r r n e u l ( ( o w a l z v o a s s u b S r l i v s s a d 0 h r e e h e 0 c e d l l k h . a v e a 2 e t r v e e i 3 e r u u t s i N r d e s l l d o a a n b s F a v v o b o l t a : . . e s t r c n m i e s e a e l e i i r l r i a d 0 a r t t t 0 e u m a x p t m . M O s E l a 9 E g 2 - - - - — a S * s O E l ) ) ( ( 4 ~ 6 : s y . 0 0 a 0 0 C l e e s K 6 e 0 0 . 0 E r o 6 N f b u . « O o m Z y N S g i F 2 6 6 1 - . 2 0 0 0 4 A W — l < m i — H U H l — > — - . 4 0 0 0 < ' — A A . e n o z y b s m a r g a i d t o l p x o B : e c i r r o f y t i Y T 0 8 I c 1 ) O ( C I T S A L E E C I R P - N W O D E T A S N E i t s a l e e c i r p - n w o d e t P a M O C E C I R s n e p m o c e h t f o s n o i t u b i r t s i d l a c i r i p m E 7 . 6 e l ) 0 ( - < 0 0 0 0 r 0 0 6 9 . . - - u g i F 2 6 7 A . 0 0 0 0 . J - . 3 0 0 0 4 u J _ J < m P — H U H i — > - V ) A A Z O N E S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e K a o l a c k P a s s y D i o l y M i s s i r a h T a m b a N o f C a s e s 2 9 . 0 0 3 2 . 0 0 3 3 . 0 0 3 0 . 0 0 2 9 . 0 0 3 5 0 0 3 2 . 0 0 2 7 . 0 0 S y m b o l K e y : * - M e d i a n . F o r e a c h z o n e . 5 0 % o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . s - s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t i e r . l - l a r g e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . ( O ) - O u t l i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . ( E ) - E x t r e m e . v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 3 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e t o l p x o B : s n i a r . e g n g a r e s l r e i t r a a o c 0 u a 0 q b . r e h . e m 7 e l a 2 t i T n t i n e e c h r t e p h s a ) i r 0 h i x 0 t t d n a e c i r s . o 5 . s 2 b 7 i 3 e r l o M e p e i f h s t l t e n i r e t y f ( c n o r e h e c t i h t p r c s t 5 e y 0 g p 2 l 0 n ) h o e t e ) i t s i 5 5 h a h l D t 3 7 t l e 5 e h s p 7 t s i . x x o e e p r s c ( e i o b r b h ( r s e t p y e - 0 h h 5 s h 0 t t 2 s s t . 5 Y T I C I T S A L E E C I R P - S S O R C O E T 0 8 1 ) 0 ( A s S N E P M O C S N I A R G a 9 2 f m P 2 o o o n i r r m h ) c f o t y r i r s f w a h d d t s e s h n g t e n u t u o e g a s k 0 l l b n c e 0 - a n . a r l r e . x v . l - e 0 e o r p o p e b x 3 i e E m S R A O C - E C I R a p v o i K a u t l 5 b o h . u t c p u o 1 3 s s o e t n n e e s o t a a r h a o n t h h ( s c n e t t n 0 y s ) ) a r 0 s f e e i b a . o i r r o d 3 t o o l n 3 ! m m t a o 0 h u a C o 5 t h p p f o s n b t s s o . e i e e e t r u e r r n e l u ( ( o w l a u b z v o a . s s r l v i s s e a 0 h d r n e e h 0 c e e d l l 9 0 6 7 ) ) k . a h v e t o s z O O a 2 e t r e v e ( ( i i 3 e r u u N r d s e l l d y o n a a b s b F a o b v v o l t : . a s . r e c s t m n a e m i e s a i e l e i l r l g r r i g a d t 0 t a r t 0 e u m x a p a t m . M O i s E l a 9 E d g 2 - - - - - a S * O E s l ) ) ( ( i 1 . 8 : 0 0 0 8 . s . y e e s K 6 0 0 0 0 a 0 C e l 0 E r o 4 2 N f b u . . O o m Z y N S g i F 2 6 8 . l I . 6 0 0 0 - * i ( 0 ) 1 4 7 * ( 0 ) 2 1 0 — — - J 1 ( 0 ) 1 4 8 ( 0 n o t e 1 ) U J — J < W r - H U H l - — > - i t A y b s m a r g a i d t o e l i t r a u q l . r e e p l x t i n t i n e e c o B h r : t s e p n s i i ) a h x t o 5 b 7 e p h s r g e s t e r r a f o ( o c h h t t 5 r g o 2 n f e e l h t y e t h s i t i c i . x Y T I C I T S A L E t E C I R P - N W O D E T A S N E P M O C S N I x o o b s b e e h a l h t e t f n o i h ) e c i t r y i r p w a d s n - n e u w u o o l b a v r d e e e p t I v p a u 0 h a s n a 0 p . A b . s s e r . R m 7 e e e r p a 2 r G s E S R A O C - 0 0 0 0 . 8 0 1 ) T a ( l i i e m c t l o y u t c f o r u o o a d t 2 o n t e h 0 u n o t k 5 o n c 0 b s f a 0 e s i l . p r i s o 0 o y 0 e t e ( a w 3 t a t K o h a s g n a e t h l g t o l a i e e l l h u i e t l t l u u v s i a l e v v a d b g n v t i t a 0 h r d e a e d 0 c e l t k k v e l . a . s r r r v i 0 e e a e r v 6 g i a M s r n m e d o a b s F r o b o l t a n o n . s t c / n i e s t t s a l e e e i l g k g 0 d a r r e i k r e a 0 m a p r a l . M m a s l m l 0 E m n i 3 - - - o v 1 N * s l : 9 s y . e e 6 s K a C l o e r f b u o m y N S g i F 2 6 9 A - . 2 0 0 0 ~ I u 4 _ u < : e o » — - c 2 - e - > - ' — L - . 4 0 0 0 - L - . 6 0 0 0 - e l y i b t r a s u m q a . r e r e l g t i n t a i i n e d e c h r t e t p o s l i ) p h x t o 5 x o b 7 B e p h s : t e e r c f i ( o r h h t t 5 r g o 2 n f e e l h t y e t h s t i . x i c i x o t o b s b e e h a l h t e t f n o i h ) e c i t y r i r w a d s n p — n e u w u o o l b a v r d e e e p t v p a u 0 h a s a p 0 n . b e s s r . m 7 e e e r p a 2 s r i e T a l i ( m c t l o y t u c f u r o o o a d t 2 t n o e h 0 u n o t k 5 o n c 0 b s f a 0 e i s l . p r i s o o y 0 e t e a 3 t w a t K o h a s g n a e t h l g t o l a i e e l l h u e i t l t l u u v s i a l e v v a d b g n v t i t a d 0 h r e a e l 0 c e d t k k v e l a . . s r r v r i e 0 e a r e v 6 g i a M s e d r n m o b a s F r o b n o o l t a n . s t c / n i e s t t s a l e e e i l g k g 0 d a r r e i k r a 0 e m a p r a M l . s l m a m l 0 E M n i 3 - - - o v 1 N * s l : s y . e e 6 0 1 s K a C f l o e r b u o m y N S g i F Y T I C I T S A L E E C I R P - N W O D E T A S N E P M O C E C I R J 0 0 0 0 . 2 7 0 L - . 3 0 0 0 4 u J _ J < m i — H U H l — > - . 6 0 0 0 - - . 9 0 0 0 . Y T I C I T S A L E E C I R P - S S O R C D E T A S N E P M O C S N I A R G E S R A O C - E C I R 0 0 7 2 0 0 . 0 3 s e g a 0 l 0 l . i 0 v 6 s e g 0 a 0 l . l 0 i 3 v 1 * : 1 1 s y . e e s K a C l o f b o m y N S 6 e r u g i F 2 7 1 . 8 0 0 0 . 1 . 6 0 0 0 J u J _ l < m f — H U v — e i — > - A . 4 0 0 0 . A . 2 0 0 0 « S — — — S N o n m a r k e t M a r k e t K a o l a c k T a m b a S l ( 0 ) ( E ) - M e d i a n . F o r e a c h v i l l a g e t y p e 5 0 2 o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . - s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . - l a r g e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . - O u t l i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . - E x t r e m e . v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 3 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 5 t h ) p e r c e n t i l e E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y m a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s r e s p o n s e s i n N i a k h a r a n d M i s s i r a h r e fl e c t s t h e f a c t t h a t t h e y h a v e t h e l o w e s t s h a r e o f r i c e i n e x p e n d i t u r e s o n f o o d a m o n g a l l t h e z o n e s ( s e e T a b l e 6 . 4 ) . A n o t h e r t h i n g t o n o t e h e r e i s t h e f a c t t h a t t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e i n C o l o b a n e i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e l e f t ( i . e . , t o w a r d l e s s r e s p o n s i v e n e s s ) . T h e p a t t e r n s o f r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 8 a r e v e r y s i m i l a r t o t h e o n e s f o r t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s , w i t h t h e n o t a b l e d i f f e r e n c e t h a t i n s t e a d o f h a v i n g t h e l o w e s t r e s p o n s e s , S a g a t t a a n d N i a k h a r h a v e h e r e t h e h i g h e s t c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s . I n d e e d , h e r e a g a i n b y a n d l a r g e i n t e r m s o f s u b s t i t u t i o n b e t w e e n r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s u r b a n h o u s e h o l d s b e h a v e m u c h l i k e r u r a l h o u s e h o l d s e x c e p t t h o s e i n S a g a t t a a n d N i a k h a r . A n o t h e r d i f f e r e n c e c o m p a r e d t o t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e c a s e i s t h e n o t i c e a b l e i n c r e a s e i n t h e v a r i a b i l i t y o f c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s i n S a g a t t a , D i o l y , a n d T a m b a , a n d i t s e q u a l l y n o t i c e a b l e d e c r e a s e i n M i s s i r a h a n d N i a k h a r . W h a t i s i n t r i g u i n g i n t h e a b o v e fi g u r e s i s t h e s i m i l a r i t y o f r e s p o n s e s o f h o u s e h o l d s i n S a g a t t a a n d t h o s e i n N i a k h a r w i t h r e s p e c t t o b o t h t h e r i c e o w n - p r i c e a n d t h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s . T h i s i s p u z z l i n g b e c a u s e i n t e r m s o f t h e r e s p e c t i v e s h a r e s o f r i c e a n d c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s , S a g a t t a a n d N i a k h a r a r e a t t h e o p p o s i t e e x t r e m e s ( s e e T a b l e 6 . 4 ) . I n d e e d , S a g a t t a h a s t h e h i g h e s t a v e r a g e r i c e s h a r e a m o n g a l l z o n e s i n c l u d i n g t h e u r b a n z o n e s ( 3 3 % ) a n d t h e l o w e s t a v e r a g e c o a r s e g r a i n s s h a r e a m o n g t h e r u r a l z o n e s ( 1 9 % ) , w h i l e N i a k h a r h a s t h e h i g h e s t c o a r s e g r a i n s s h a r e a m o n g a l l z o n e s ( 5 1 % ) a n d t h e s e c o n d l o w e s t r i c e s h a r e ( 1 0 % ) a f t e r D i o l y ( 9 % ) . F r a n k l y , g i v e n t h e s e c o n t r a s t i n g fi g u r e s w e c a n n o t e x p l a i n w h y h o u s e h o l d s i n S a g a t t a a n d N i a k h a r h a v e t h e l o w e s t r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s , a n d a t t h e s a m e t i m e h a v e t h e h i g h e s t r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s . 2 7 2 F i n a l l y , t o c o n c l u d e t h i s s e c t i o n , F i g u r e 6 . 9 , F i g u r e 6 . 1 0 , a n d F i g u r e 6 . 1 1 c o m p a r e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s a c r o s s m a r k e t / n o n m a r k e t v i l l a g e s . F o r t h e c o a r s e g r a i n s o w n — p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e , n o n m a r k e t v i l l a g e s t e n d t o h a v e b o t h l o w e r m e d i a n r e s p o n s e a n d l o w e r v a r i a b i l i t y i n t h e r e s p o n s e s c o m p a r e d t o m a r k e t v i l l a g e s . I n c o n t r a s t , f o r b o t h t h e r i c e o w n - p r i c e a n d r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s , m a r k e t v i l l a g e s h a v e l o w e r m e d i a n r e s p o n s e s a n d l o w e r v a r i a b i l i t y . F i g u r e 6 . 9 , F i g u r e 6 . 1 0 , a n d F i g u r e 6 . 1 1 a l s o c o n fi r m t h e p a t t e r n s o f p r i c e r e s p o n s e s t h a t e m e r g e d f r o m t h e z o n e - b y - z o n e a n a l y s i s . T h a t i s , t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s o f u r b a n h o u s e h o l d s i s q u i t e f a r a p a r t f r o m t h e o n e s o f b o t h m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s , w h i l e t h e r e s p e c t i v e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s f o r t h e r i c e o w n - p r i c e a n d r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s a r e b y a n d l a r g e c l o s e r . H o w e v e r , i n a l l c a s e s t h e v a r i a b i l i t y i n r e s p o n s e s i s a l w a y s l o w e r f o r u r b a n h o u s e h o l d s . 6 . 5 . 2 . 4 V a r i a t i o n o f t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s a c r o s s i n c o m e g r o u p s A s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i n t h i s s e c t i o n w e f o c u s o n l y o n t h e ( t o t a l ) c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e b e c a u s e a n a n a l y s i s f o r e a c h e l e m e n t o f t h e e l a s t i c i t y m a t r i c e s i s t o o l o n g t o b e c a r r i e d o u t h e r e . H e n c e , w e w i l l f o c u s o n t h e t w o m a i n c o m m o d i t i e s : i m p o r t e d r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s . F i r s t , f o r t h e c o a r s e ' g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s F i g u r e 6 . 1 2 s h o w s t h e e l ' f l p i l ’ i c a l d i s t r i b u t i o n s w i t h i n e a c h i n c o m e q u a r t i l e f o r t h e r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s 2 7 3 2 5 2 p o t % 5 7 - S E 0 N 5 O Z N A B % R 0 U 5 - 5 2 % 5 2 w o l : e l i t r a Y T I ) 1 C I T e S t A o L n 0 ( E E C I R P - N o v u 4 W O D 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 3 4 5 . . . - - - T A S N E P M O C S N I A q e m o c n I 2 R 5 G E S R A O C * l 2 p o t 2 5 7 S - E N 0 O 5 Z L A R U 1 R 0 5 - 5 2 1 5 2 w o l : e l i * 2 1 a 4 r y . t : 0 0 0 2 . - a e u K q 0 0 e 0 m 6 o . c - n I l o b m y S 6 e r u g i F 2 7 4 . 0 0 0 0 . A A u J _ J < m I — H U H i — > - - . 4 0 0 0 . 1 ' k L I J - — 1 < m 1 — H U i — ¢ I — > - 1 I - . 6 0 0 0 » - M e d i a n . F o r e a c h i n c o m e q u a r t i l e 5 0 2 o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . - s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . - l a r g e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . - O u t l i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . - E x t r e m e . v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 3 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 5 t h ) p e r c e n t i l e E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . Y T I C I T S A L E E C I R P - N W O D E T A S N E P M O C E C I R % 5 2 p o t % 5 7 - 0 S 5 E N O Z N A % B 0 R 5 U - 5 2 % 5 2 w o l : e l i » 4 4 t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 4 6 8 m . . o - - - r a u q c n I 2 5 2 p o t % 5 7 - 0 S 5 E N O Z L A % R 0 U 5 R - 5 2 1 5 2 w o l : e l i t 3 1 r . a u q 6 e e r m o c n I u g i F « 0 0 0 3 . - 2 7 5 . 0 0 0 0 v L u _ J < t n i - H U H i — > - - . 6 0 0 0 0 - . 9 0 0 0 4 - . 2 0 0 0 4 L u _ J < m i — t — c u . _ . j _ > . S y m b o l K e y : * - M e d i a n . F o r e a c h i n c o m e q u a r t i l e 5 0 X o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . - s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . - l a r e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . - O u t i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . - E x t r e m e . v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 3 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 5 t h ) p e r c e n t i l e E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d o w n - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . Y T I C I T S A L E E C I R P - S S O R C . 0 0 0 D 8 E . T A S N E P M O C S N I A R G E S R A O C - E C I R 2 0 1 8 1 ) ) 0 0 ( ( « 0 0 0 4 . 2 7 6 . 8 0 0 0 « A A — — — — i A . 6 0 0 0 ) . 6 0 0 0 . l u _ J < ( / H — H U H I — > - L L J _ J < m f — D — O U t — e p — > - J . 4 0 0 0 i L . 2 0 0 0 . . . 2 0 0 0 « A I n c o m e q u a r t i l e : l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 % 5 O - 7 5 2 t o p 2 5 2 I n c o m e q u a r t i l e : l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 2 5 0 - 7 5 % t o p 2 5 % R U R A L Z O N E S U R B A N Z O N E S S y m b o l K e y : * - M e d i a n . F o r e a c h i n c o m e q u a r t i l e 5 0 1 o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . s - s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . l - l a r e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . ( O ) - O u t i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . ( E ) - E x t r e m e . v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 3 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 5 t h ) p e r c e n t i l e F i g u r e 6 . 1 4 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y f o r r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s : B o x p l o t d i a g r a m s b y i n c o m e g r o u p s . 6 6 8 6 6 3 0 5 5 0 1 4 6 9 9 0 0 3 3 5 0 1 7 1 ‘ 4 7 4 8 5 8 5 8 5 5 4 5 . . . . . . . . . . . - - ~ - n i b o R d n a . s l d l l e o d h n e u s l u B o s e n 2 5 2 4 2 8 2 5 3 1 1 8 h f 1 4 1 4 3 1 7 9 2 1 o 1 9 4 4 4 4 3 6 4 6 4 7 4 6 . . . . . . . . . - - - - l l r a o o z t n a s a s m o i b 7 2 1 1 8 3 3 8 4 8 9 r 0 t r 1 2 1 0 9 9 6 8 s 8 8 8 c 6 U 5 8 7 4 7 4 7 4 5 6 5 5 a E . . . . . . . . . . . - - - - 6 7 0 7 9 c 8 6 M 8 5 2 1 0 5 8 8 8 2 7 9 0 7 6 i 4 2 4 4 4 3 6 3 6 3 7 3 6 4 t d . . . . . . . . . . . s t e n i e t m i o - - - - s e a t l a e r e e t I 2 9 6 5 5 5 v 3 0 1 0 2 1 2 3 8 3 8 1 7 6 2 i 4 5 7 7 7 7 7 7 7 8 6 6 5 t e 5 4 . . . . . . . . . . . . c h - - - - e t p s g e n r i 0 0 3 3 8 2 5 6 1 4 2 s 9 1 1 2 4 3 6 1 1 0 9 4 9 e u 1 1 1 h 0 3 8 3 8 4 8 2 8 . . . . t . . . . . . . . - - - - . a . f t s o a r d a n e 8 3 6 3 5 9 0 7 3 4 0 a n y 1 9 6 9 6 4 5 6 2 0 5 9 i o 5 5 8 6 7 6 7 7 8 4 3 4 4 d i o . . . . . . . . . . . - - — - e t w m p t m d u r e s o t n f 2 5 2 2 0 8 2 5 0 h 6 8 6 o 4 9 4 4 3 3 1 9 0 7 4 2 g s c 2 2 1 1 i y 5 7 4 8 3 8 4 8 . . . . . . . . . . . e d a - - - - w o d o e 5 f h 1 t y 3 9 3 6 3 0 8 7 6 l y 0 7 1 9 1 5 3 5 7 0 6 1 1 3 6 8 6 6 7 6 8 5 5 5 6 7 7 . . . . . . . . . . . . - - - - s i r n a e i d v a e t e n h a o t t c a s e n 5 5 1 1 0 2 9 3 8 6 0 8 f d 4 1 3 0 1 8 1 7 o l 6 9 5 0 3 3 2 2 4 8 4 8 3 7 3 8 . . . . . . . . . . . . - - - - l l e s l c o e z l a r u R a g c h a e c r r a e - 4 0 4 8 4 1 2 4 9 7 1 7 s E v 5 1 0 0 3 8 5 8 0 8 a 6 6 r 6 8 6 8 6 7 7 6 5 5 5 5 u . . . . . . . . . . . - - ~ . - n o . o h d l s o a 4 h e 2 e s 9 7 3 6 2 9 1 1 5 d 4 5 5 s 6 7 2 u d 9 2 0 e 3 9 2 1 7 9 2 3 3 3 t o e 4 4 3 7 8 8 3 7 . . . . c h l . . . . . . . . - - - e - o h o l c p a o e c e 5 3 9 6 3 7 3 4 7 6 9 h 8 0 5 1 7 9 3 3 0 8 r y t 2 4 7 7 6 8 8 6 8 7 8 3 3 4 2 o e . . . . . . . . . . . . f - - « - h v t r d i u e w s t a d n 8 3 9 2 3 4 5 7 4 l e 9 o 9 5 8 7 9 6 1 2 1 4 9 6 0 7 u t i 1 1 2 1 c a t 5 7 5 8 5 8 6 7 . . . . . . . . . . . l m p - - - ~ a i m c t u s s e e n r o 4 0 2 8 2 2 6 0 4 e e 3 5 9 c 9 6 9 4 3 4 1 3 7 9 3 2 w r 5 8 5 8 6 8 5 8 2 2 2 3 e d . . . . . . . . . . . . - v - - s w o e o i s f t l i e e c d h 2 1 6 7 i o 2 8 9 4 7 7 6 8 t 2 4 5 7 t m 8 7 7 6 7 6 7 8 ( 2 2 2 3 s 5 7 6 7 7 5 5 6 . . . . . . . . . . . - - . - . . . . . . . . . . . . s . y s y . . s y s . y n n n t . t t . n . t . i t i t i i . i t i t . i i . . a o . l w ) e t 3 9 e e 9 h h 1 T T ( a e a e a . . c c . . e a e c . c r g g r r g i i r g . . i i . g d d g g d t g d t . . t t . . . . s s . u u u s u s . : e a e a b b . 2 ! . e . b a b a . e s : . s s l 0 l 5 l s . ! . l e . s e 5 e 5 e 7 e 5 r r e n e n r n e e n t r 2 a c a a c a a c a a c o 2 o i e o i e e i e o i N - - n w C R M R C C R M M a R M o o 5 0 l 2 5 t 2 7 7 T a b l e 6 . 1 5 " E x p e c t e d " A I D S p r e - d e v a l u a t i o n t o t a l c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r c o a r s e g r a i n s a n d r i c e : V a r i a t i o n a c r o s s i n c o m e g r o u p s . S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h K a o l a c k T a m b a C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e C o a r s e R i c e g r a i n s g r a i n s g r a i n s g r a i n s g r a i n s g r a i n s g r a i n s g r a i n s 2 c h a n g e i n q u a n t i t y I n c o m e q u a r t i l e r e s p e c t i v e l y . 1 8 3 W e c a n s e e f r o m F i g u r e 6 . 1 2 t h a t f o r t h e r u r a l h o u s e h o l d s t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y i s v e r y s i m i l a r a c r o s s i n c o m e q u a r t i l e s . T h e r e i s p r a c t i c a l l y t h e s a m e v a r i a b i l i t y i n p r i c e r e s p o n s e s a c r o s s i n c o m e q u a r t i l e s , w i t h t h e t w o l o w e r i n c o m e q u a r t i l e s h a v i n g s l i g h t l y l o w e r m e d i a n r e s p o n s e s t h a n t h e t w o u p p e r i n c o m e q u a r t i l e s . I n c o n t r a s t , f o r t h e u r b a n h o u s e h o l d s t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y v a r i e s a c r o s s i n c o m e q u a r t i l e s , w i t h h o u s e h o l d s i n t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e h a v i n g t h e l o w e s t m e d i a n r e s p o n s e a n d t h e h i g h e s t v a r i a b i l i t y i n r e s p o n s e s . S e c o n d , f o r t h e r i c e o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s F i g u r e 6 . 1 3 i n d i c a t e s t h a t f o r t h e r u r a l h o u s e h o l d s t h e p a t t e r n s o f t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n w i t h i n i n c o m e q u a r t i l e s a r e s i m i l a r t o t h e o n e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y . B u t , f o r u r b a n h o u s e h o l d s t h e p a t t e r n a c r o s s i n c o m e q u a r t i l e s s h o w n b y t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s i s n o t i c e a b l y d i f f e r e n t c o m p a r e d t o t h e o n e f o r t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y , w i t h t h e m o s t n o t a b l e d i f f e r e n c e b e i n g f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e . T h i r d , f o r t h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s , F i g u r e 6 . 1 4 s h o w s t h a t f o r t h e r u r a l h o u s e h o l d s t h e p a t t e r n o f t h e w i t h i n i n c o m e q u a r t i l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s i s l i k e t h e t w o p r e v i o u s c a s e s . T h e o n l y n o t i c e a b l e d i f f e r e n c e i s t h e r e v e r s a l i n t h e o r d e r o f p r i c e r e s p o n s i v e n e s s o f t h e i n c o m e q u a r t i l e s . H e r e , c o a r s e g r a i n s a n d r i c e a r e s u b s t i t u t e s f o r a l l r u r a l h o u s e h o l d s , b u t t h o s e i n t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e h a v e a s l i g h t l y h i g h e r c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s . F o r u r b a n h o u s e h o l d s , t h e p a t t e r n o f t h e w i t h i n i n c o m e q u a r t i l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s i s a g a i n d i f f e r e n t f r o m a n y o f t h e t w o p r e v i o u s c a s e s . M o r e o v e r , t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d “ 3 W e r e c a l l t h a t t h e u r b a n a n d r u r a l h o u s e h o l d s w e r e c l a s s i fi e d i n t o i n c o m e q u a r t i l e s s e p a r a t e l y . 2 7 8 e l a s t i c i t y i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e l e f t ( i . e . , t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s ) f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e . I n c o n c l u s i o n , w h e n i t c o m e s t o d i f f e r e n c e i n p r i c e r e s p o n s i v e n e s s a m o n g i n c o m e q u a r t i l e s , r u r a l h o u s e h o l d s s h o w m o r e s i m i l a r i t i e s t h a n u r b a n h o u s e h o l d s . T a b l e 6 . 1 5 g i v e s t h e m e d i a n fi g u r e s f o r e a c h i n c o m e q u a r t i l e i n e a c h z o n e . 6 . 6 C o n c l u s i o n W e c o n c l u d e t h i s c h a p t e r b y a b r i e f s u m m a r y o f t h e e m p i r i c a l fi n d i n g s r e g a r d i n g t h e c o n s u m p t i o n b e h a v i o r a n d r i s k a t t i t u d e s o f S e n e g a l e s e h o u s e h o l d s . 6 . 6 . 1 I m p a c t s o f h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s o n t h e f o o d c o m m o d i t y s h a r e s I n g e n e r a l , h o u s e h o l d e t h n i c i t y a n d d e m o g r a p h i c c o m p o s i t i o n h a v e n e g l i g i b l e i m p a c t s o n t h e r e l a t i v e d a i l y s h a r e s o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s . I n c o n t r a s t , t h e g e o g r a p h i c l o c a t i o n v a r i a b l e s w e r e f o u n d t o h a v e a s i g n i fi c a n t i m p a c t o n t h e f o o d c o m m o d i t y s h a r e s . I n p a r t i c u l a r , w h e n t h e o t h e r v a r i a b l e s a r e c o n t r o l l e d f o r , h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n a r e a s a n d t h o s e i n t h e N o r t h e r n a n d W e s t e r n r u r a l z o n e s o f S e n e g a l t e n d t o h a v e s i g n i fi c a n t l y l o w e r s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s a n d h i g h e r s h a r e s o f r i c e c o m p a r e d t o t h o s e i n t h e E a s t e r n r u r a l z o n e s . 6 . 6 . 2 T h e t o t a l a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s e s t i m a t e s W e f o u n d t h a t a l l t h e f o o d c o m m o d i t i e s ( i n c l u d i n g r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s ) a r e s u b s t i t u t e e x c e p t f o r fi s h \ m e a t a n d t h e o t h e r f o o d g r o u p f o r w h i c h t h e c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y i s p r a c t i c a l l y z e r o . H o w e v e r , w e f o u n d r e l a t i v e l y i m p o r t a n t i n c o m e e f f e c t s t h a t s i g n i fi c a n t l y l i m i t t h e a b i l i t y o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d t o s u b s t i t u t e a c r o s s c o m m o d i t i e s . I n d e e d , w h e n i t c o m e s t o t h e o w n - p r i c e r e s p o n s e o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d , m o s t o f t h e r e s p o n s e i s d u e t o a r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t , b u t w h e n i t c o m e s t o i t s c r o s s - p r i c e r e s p o n s e , m o s t o f t h e p o t e n t i a l p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t i s w i p e d o u t b y t h e s a m e r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r 2 7 9 b u d g e t e f f e c t . F o r e x a m p l e , a 1 % c e t e r i s p a r i b u s e x p e c t e d i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f r i c e c o u l d h a v e i n c r e a s e d t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n b y a s m u c h a s 0 . 4 4 % i f t h e r e w e r e n o r e d u c t i o n i n p u r c h a s i n g p o w e r . B u t , b e c a u s e o f t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r t h e i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n w i l l o n l y b e a m e r e 0 . 0 7 % ! M e a n w h i l e , 4 4 % o f t h e 0 . 9 % r e s u l t i n g d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y r i c e c o n s u m p t i o n w i l l b e d u e t o a l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r , n o t t o s u b s t i t u t i o n t o w a r d o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s . T h i s e m p i r i c a l fi n d i n g i s p e r t i n e n t t o t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t ’ s c e r e a l p r i c i n g p o l i c y w h i c h i s p r e s e n t l y d e s i g n e d t o p r o m o t e t h e c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s b y m a i n t a i n i n g h i g h o f fi c i a l p r i c e s f o r i m p o r t e d r i c e . T h e s t r o n g i n c o m e e f f e c t c l e a r l y i n d i c a t e s t h a t o n e o f t h e r e a s o n s t h a t t h e p o l i c y h a s n o t w o r k e d e i t h e r i n c u r t a i l i n g c o n s u m e r d e m a n d f o r i m p o r t e d r i c e , o r i n b o o s t i n g t h e d e m a n d f o r t h e c o a r s e g r a i n s , i s t h e r e l a t i v e l y b i g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r r e s u l t i n g f r o m h i g h e r p r i c e s f o r i m p o r t e d r i c e . 6 . 6 . 3 T h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s W e f o u n d t h a t i n g e n e r a l t h e p r i c e - r i s k e f f e c t s d a m p e n t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s o v e r a l l a b i l i t y t o s u b s t i t u t e a c r o s s c o m m o d i t i e s . H o w e v e r , o v e r a l l t h e m a g n i t u d e s o f t h e p r e c a u t i o n a r y p r i c e - r i s k e l a s t i c i t i e s a r e s o s m a l l c o m p a r e d t o t h e i r n o n r i s k c o u n t e r p a r t s t h a t t h e y c a n b e c o n s i d e r e d a s n e g l i g i b l e . S i n c e s o m u c h i s s a i d a b o u t t h e e f f e c t s o f u n c e r t a i n t y o n t h e f o o d s e c u r i t y o f t h e p o o r , fi n d i n g e m p i r i c a l l y t h a t t h e e f f e c t s o f p r i c e u n c e r t a i n t y a r e n e g l i g i b l e ( a t l e a s t f o r S e n e g a l ) a n d t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e y m i g h t a f f e c t s u b s t i t u t i o n a c r o s s c o m m o d i t i e s , h a s i t s e l f s o m e v a l u e . 6 . 6 . 4 D i f f e r e n c e s i n c o n s u m p t i o n p a t t e r n s b e t w e e n r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s W e f o u n d t h a t t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s o f u r b a n h o u s e h o l d s i s q u i t e f a r a p a r t f r o m t h e o n e s o f r u r a l h o u s e h o l d s i n b o t h t h e 2 8 0 m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e s p e c t i v e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s f o r t h e r i c e o w n - p r i c e a n d r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s w e r e b y a n d l a r g e c l o s e r . H o w e v e r , i n a l l c a s e s t h e v a r i a b i l i t y i n r e s p o n s e s i s a l w a y s l o w e r f o r u r b a n h o u s e h o l d s . 6 . 6 . 5 D i f f e r e n c e s i n c o n s u m p t i o n p a t t e r n s a c r o s s i n c o m e g r o u p s F i n a l l y , w h e n i t c o m e s t o d i f f e r e n c e i n p r i c e r e s p o n s i v e n e s s a m o n g i n c o m e q u a r t i l e s . r u r a l h o u s e h o l d s s h o w m o r e s i m i l a r i t i e s t h a n u r b a n h o u s e h o l d s . H o w e v e r , a l t h o u g h c o a r s e g r a i n s a n d r i c e a r e s u b s t i t u t e s f o r a l l r u r a l h o u s e h o l d s , t h o s e i n t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e h a v e a s l i g h t l y h i g h e r c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s . F o r u r b a n h o u s e h o l d s , t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e l e f t ( i . e . , t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s ) f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e . 2 8 1 C H A P T E R 7 T H E C O N S U M P T I O N A N D W E L F A R E I M P A C T S O F T H E C F A D E V A L U A T I O N O N S E N E G A L E S E H O U S E H O L D S 7 . 1 I n t r o d u c t i o n I n t h i s fi n a l c h a p t e r w e u s e t h e e s t i m a t e d m o d e l s t o e v a l u a t e t h e i m p a c t s o f t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e J a n u a r y 1 9 9 4 d e v a l u a t i o n o f t h e C F A c u r r e n c y o n h o u s e h o l d s ’ c o n s u m p t i o n b e h a v i o r a n d w e l f a r e . T o e v a l u a t e t h e i m p a c t o n t h e h o u s e h o l d s ’ c o n s u m p t i o n . b e h a v i o r , w e u s e t h e p o s t - d e v a l u a t i o n p r i c e s t o c a l c u l a t e t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e n e w p r i c e s . H o w e v e r , s i n c e e l a s t i c i t i e s a r e v a l i d o n l y f o r m _ a r g _ j n a l c h a n g e s i n p r i c e s , n e i t h e r t h e p r e - d e v a l u a t i o n n o r t h e p o s t — d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s c a n b e u s e d t o e v a l u a t e t h e i m p a c t o f t h e n o n - m a r g i n a l c h a n g e i n p r i c e s w h i c h f o l l o w e d t h e C F A d e v a l u a t i o n . H e n c e , t o e v a l u a t e t h e c o n s u m p t i o n i m p a c t o f t h e o n e - t i m e n o n - m a r g i n a l c h a n g e i n p r i c e s r e s u l t i n g f r o m t h e C F A d e v a l u a t i o n , w e u s e t h e e s t i m a t e d m o d e l p a r a m e t e r s t o p r e d i c t t h e n e w f o o d c o m m o d i t y s h a r e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o s t - d e v a l u a t i o n p r i c e s , a n d u s e t h e p r e d i c t e d n e w s h a r e s t o c a l c u l a t e t h e e s t i m a t e d c h a n g e i n t h e s h a r e s a n d q u a n t i t y d e m a n d e d . N o n e t h e l e s s , t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s c a n b e u s e d t o e v a l u a t e t h e i m p a c t s o f t h e e v e n t u a l m _ a r , g _ i l a _ l c h a n g e s i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e o n e - t i m e c h a n g e b r o u g h t a b o u t b y t h e d e v a l u a t i o n . T o e v a l u a t e t h e w e l f a r e i m p a c t o f t h e d e v a l u a t i o n , w e u s e d t h e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e d e r i v e d i n c h a p t e r s 2 a n d 5 . U n l i k e t h e e l a s t i c i t y m e a s u r e s , t h e s e m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s a r e v a l i d f o r n o n m a r g i n a l a s w e l l a s m a r g i n a l c h a n g e s i n p r i c e s a n d i n c o m e . T h e m a i n d i f fi c u l t y h e r e ( a s w e l l a s i n t h e c o m p u t a t i o n o f t h e p o s t d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s ) i s i n 2 8 2 g e t t i n g e s t i m a t e s o f t h e p o s t — d e v a l u a t i o n v e c t o r o f p r i c e s a n d e x p e n d i t u r e l e v e l ( q a n d m ’ r e s p e c t i v e l y i n t h e n o t a t i o n o f c h a p t e r s 2 a n d 5 ) . N o r m a l l y , i f o n e d o e s n o t h a v e t h e a c t u a l n e w p r i c e v e c t o r q a n d e x p e n d i t u r e l e v e l m ' , o n e w o u l d h a v e t o u s e m o d e l s o f a g g r e g a t e s u p p l y a n d d e m a n d t o p r e d i c t t h e p o s t - d e v a l u a t i o n v e c t o r o f p r i c e s q a n d t h e c h a n g e i n t h e i n c o m e o f p r o d u c e r s . A l t e r n a t i v e l y b y d e f a u l t , o n e w o u l d m a k e p l a u s i b l e a s s u m p t i o n s a b o u t i n c o m e c h a n g e s a n d t h e l i k e l y v a l u e s f o r t h e d i f f e r e n t p r i c e s d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e r e s p e c t i v e c o m m o d i t i e s a r e i n t e r n a t i o n a l l y t r a d e d o r n o t , a n d h o w t h e r e l a t i v e p r i c e s o f i n t e r n a t i o n a l l y n o n t r a d e d c o m m o d i t i e s m a y a d j u s t i n r e s p o n s e t o d o m e s t i c s u p p l y a n d d e m a n d a d j u s t m e n t s . W e i n i t i a l l y c h o s e t o p r o c e e d b y t h e a l t e r n a t i v e m e t h o d o f m a k i n g p l a u s i b l e a s s u m p t i o n s c o m p l e m e n t e d b y a s e n s i t i v i t y a n a l y s i s o n t h e p o s s i b l e r a n g e s o f p r i c e s . T h i s c h o i c e w a s m o s t l y d i c t a t e d b y t h e m i c r o - e c o n o m i c f o c u s o f o u r s t u d y a n d b y t h e l a c k o f r e l i a b l e a g g r e g a t e t i m e s e r i e s d a t a n e e d e d f o r t h e a g g r e g a t e s u p p l y a n d d e m a n d m e t h o d . T h e d e v a l u a t i o n o f t h e C F A t o o k p l a c e i n J a n u a r y 1 9 9 4 w h e n w e j u s t s t a r t e d o u r e c o n o m e t r i c a n a l y s i s , a l l o w i n g u s t h e n t o u s e t h e a c t u a l r e s u l t i n g p r i c e c h a n g e s a n d e s t i m a t e d i r e c t l y t h e w e l f a r e c h a n g e s , i n s t e a d o f s i m u l a t i n g t h e m b a s e d o n h y p o t h e t i c a l s c e n a r i o s o f p r i c e c h a n g e s . T h e k e y a s s u m p t i o n i n t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s i s t h a t t h e u n d e r l y i n g c o n s u m e r p r e f e r e n c e a n d " b e l i e f s " p a r a m e t e r s d i d n o t c h a n g e a s a r e s u l t o f t h e C F A d e v a l u a t i o n . T h i s i s a v e r y r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n i n t h e s h o r t r u n , b e c a u s e h o u s e h o l d s n e e d t i m e t o a d j u s t t h e i r c o n s u m p t i o n p a t t e r n s . I t i s p e r h a p s w o r t h r e c a l l i n g h e r e t h a t b o t h i n t h e d e t e r m i n i s t i c a n d u n c e r t a i n t y c a s e , d e m a n d f u n c t i o n s g i v e t h e s c h e d u l e s o f q u a n t i t y d e m a n d e d f o r p r i c e s v a r y i n g f r o m z e r o t o ( p r a c t i c a l l y ) i n fi n i t y . B e s i d e s p r i c e s , t h e s e f u n c t i o n s d e p e n d ( i n a p a r a m e t r i c w a y ) o n c o n s u m e r p r e f e r e n c e a n d ” e x p e c t a t i o n s " ( s e e t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 a n d t h e s h a r e 2 8 3 e q u a t i o n s f o r t h e " e x p e c t e d " A I D S i n c h a p t e r 5 ) . H e n c e , o n c e t h e d e m a n d f u n c t i o n s a r e e s t i m a t e d , e l a s t i c i t i e s a n d i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s ( w h i c h a r e a l s o f u n c t i o n s o f p r i c e s ) c a n b e c a l c u l a t e d f o r a n y p r i c e l e v e l , a s s u m i n g t h a t t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s r e m a i n u n c h a n g e d . T h e r e i s n o r e a s o n t o a s s u m e t h a t p r e f e r e n c e p a r a m e t e r s s u c h a s t a s t e a n d r i s k a t t i t u d e w o u l d n e c e s s a r i l y c h a n g e w h e n p r i c e s c h a n g e . A s s e e n i n c h a p t e r s 2 a n d 3 , e v e n c h a n g e i n p r i c e s n e e d n o t c h a n g e " e x p e c t a t i o n s " . ' 8 4 T h e c h a p t e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 7 . 2 d e s c r i b e s t h e m e t h o d s w e u s e d t o c o m p u t e t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s . S e c t i o n 7 . 3 e v a l u a t e s t h e c o n s u m p t i o n i m p a c t o f t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n b y c o m p a r i n g t h e p o s t a n d p r e — d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s , a n d p r e s e n t i n g t h e e s t i m a t e d c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d a n d s h a r e s f o r t h e f o o d c o m m o d i t i e s . S e c t i o n 7 . 4 e v a l u a t e t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n . T h e s e c t i o n g i v e s t h e m e d i a n h o u s e h o l d s ’ e s t i m a t e d c h a n g e s i n t o t a l w e l f a r e a n d c o s t s o f f o o d , a n d r i s k p r e m i a a n d c o s t o f r i s k f o r e a c h a g r o - c l i m a t i c z o n e i n t h e I S R A / I F P R I s u r v e y . T h e s e c t i o n a l s o c o m p a r e s t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e e s t i m a t e d w e l f a r e c h a n g e s a n d r i s k m e a s u r e s a c r o s s i n c o m e g r o u p s . F i n a l l y , s e c t i o n 7 . 5 c o n c l u d e s t h e c h a p t e r b y s u m m a r i z i n g t h e e m p i r i c a l fi n d i n g o f t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n . ‘ 3 ‘ T o t h e e x t e n t t h a t o u r t h e o r e t i c a l a n d e c o n o m e t r i c m o d e l s c a p t u r e h o u s e h o l d c o n s u m p t i o n b e h a v i o r r e a s o n a b l y a s e m b o d i e d i n t h e I S R A / I F P R I d a t a s e t , t h e r e s t i l l r e m a i n s t h e p r o b l e m o f h o w r e l i a b l e o u t - o f - s a m p l e p r e d i c t i o n s c a n b e . B u t t h i s i s a p r o b l e m i n h e r e n t i n a n y s t a t i s t i c a l a n a l y s i s . A l l w e c a n h a v e a r e b e s t e s t i m a t e s g i v e n t h e a v a i l a b l e d a t a a n d i n f o r m a t i o n . I n a n y c a s e , o n e s h o u l d k e e p i n m i n d t h a t f r o m a p o l i c y p e r s p e c t i v e t h i s t y p e o f e x e r c i s e i s t h e p r i m a r y j u s t i fi c a t i o n f o r s p e n d i n g f u n d s t o c o l l e c t h o u s e h o l d c o n s u m p t i o n d a t a a n d e s t i m a t e d e m a n d s y s t e m s . T e s t i n g t h e i m p l i c a t i o n s o f e c o n o m y t h e o r y a l o n e c a n h a r d l y b e j u s t i fi e d i n t h e p o l i c y a r e n a . 2 8 4 7 . 2 C o m p u t a t i o n o f t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s F o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e p o s t — d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s i n t h e u n c e r t a i n t y m o d e l , t h e c h a n g e s i n p r i c e s f r o m p t o q c a n b e e i t h e r r a n d o m o r d e t e r m i n i s t i c . I n t h e c a s e w h e r e t h e c h a n g e i n p r i c e s i s a s s u m e d t o b e a d e t e r m i n i s t i c ( h o m o t h e t i c ) t r a n s f o r m a t i o n o f r a n d o m p r i c e s t h e n t h e e m p i r i c a l p r i c e s e r i e s a r e j u s t s c a l e d u p ( o r d o w n ) b y s o m e ( k n o w n ) n o n r a n d o m s c a l a r s ( t h e m o m e n t s o f p r i c e s a r e a l s o j u s t s c a l e d u p o r d o w n ) . T h e s c a l i n g f a c t o r s w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f p e r c e n t a g e s m a y n o t b e t h e s a m e f o r a l l c o m m o d i t i e s ( i . e , i n g e n e r a l w e h a v e q . - = ( 1 + t , ) p , ) . T h i s c a n b e t h e c a s e f o r p r i c e c h a n g e s r e s u l t i n g f r o m a s a l e s t a x , a t a r i f f , o r a d e v a l u a t i o n o f a c u r r e n c y . W h e n t h e c h a n g e i n p r i c e s i s r a n d o m ( i . e , c a u s e d b y s o m e r a n d o m s h o c k s ) , t h e n e w p r i c e s e r i e s q m u s t b e g i v e n e i t h e r b y r a n d o m g e n e r a t i o n o r t h r o u g h a t i m e s e r i e s m o d e l t h a t u s e s t h e r a n d o m s h o c k t o p r e d i c t t h e v a l u e s f o r t h e n e w p r i c e s e r i e s q . I n o u r c o m p u t a t i o n s o f t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s w e a s s u m e d t h a t t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e 5 0 % d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c i n e a r l y J a n u a r y 1 9 9 4 i s d e t e r m i n i s t i c . M o r e p r e c i s e l y , f o r t h e g o v e m m e n t — c o n t r o l l e d p r i c e s w e c a l c u l a t e d t h e p e r c e n t a g e c h a n g e s i n p r i c e s b a s e d o n t h e o f fi c i a l l i s t o f n e w p r i c e s p u b l i s h e d i n J a n u a r y 1 9 9 4 ( 3 3 % f o r r i c e , 2 3 % f o r v e g e t a b l e o i l , 4 3 % f o r p e a n u t , a n d 3 0 % f o r c o t t o n ) . F o r t h e i n t e r n a t i o n a l l y n o n t r a d e d f o o d c o m m o d i t i e s s u c h a s t h e c o a r s e g r a i n s ( m i l l e t , s o r g h u m , a n d m a i z e ) a n d c o w p e a , w e a s s u m e d n o p r i c e c h a n g e . W e a l s o a s s u m e d n o p r i c e c h a n g e f o r fi s h a n d m e a t s i n c e t h e y a r e l a r g e l y d o m e s t i c a l l y t r a d e d . B u t , f o r t h e o t h e r f o o d g r o u p , w e u s e d t h e 3 0 % a v e r a g e p e r c e n t a g e c h a n g e i n p r i c e s i n t h e o f fi c i a l l i s t ( w h i c h i n c l u d e d o t h e r f o o d a n d n o n f o o d c o m m o d i t i e s ) . A r e v i e w o f t h e m o n t h l y p r i c e s e r i e s p u b l i s h e d b y C S A f r o m J a n u a r y t o J u n e 1 9 9 4 , i n d i c a t e s t h a t t h e p r i c e c h a n g e a s s u m p t i o n s f o r t h e c e r e a l s a n d p u l s e s a r e r e a s o n a b l e o n e s . F o r t h e o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s w e h a v e n o 2 8 5 m e a n s f o r c h e c k i n g t h e p l a u s i b i l i t y o f o u r a s s u m p t i o n s . B u t w e f e e l t h a t t h e o n l y a s s u m p t i o n t h a t m i g h t b e p r o b l e m a t i c i s t h e o n e f o r t h e o t h e r f o o d c a t e g o r y . F o r t h e t o t a l f o o d b u d g e t m ’ c o r r e s p o n d i n g t o t h e n e w p r i c e v e c t o r q , t h e n e w p r e d i c t e d v a l u e s a r e o b t a i n e d b y e s t i m a t i n g f o r e a c h h o u s e h o l d t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n t h e p e r c a p i t a f o o d b u d g e t a s a r e s u l t o f t h e i n c r e a s e i n t o t a l i n c o m e d u e t o t h e i n c r e a s e s i n t h e p r o d u c e r p r i c e s o f p e a n u t s a n d c o t t o n . T h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n t h e p e r c a p i t a f o o d b u d g e t i s c a l c u l a t e d a s t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n p e r c a p i t a t o t a l i n c o m e t i m e s t h e e l a s t i c i t y o f p e r c a p i t a f o o d e x p e n d i t u r e w i t h r e s p e c t t o p e r c a p i t a t o t a l e x p e n d i t u r e ( i . e . p e r c a p i t a t o t a l e x p e n d i t u r e i n f o o d a n d n o n f o o d c o m m o d i t i e s ) . T h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n t o t a l i n c o m e i s c a l c u l a t e d a s t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n p e a n u t p r i c e s t i m e s t h e s h a r e o f p e a n u t i n t o t a l i n c o m e p l u s t h e p e r c e n t a g e c h a n g e i n c o t t o n p r i c e s t i m e s t h e s h a r e o f c o t t o n i n t o t a l i n c o m e . T h e e l a s t i c i t y o f p e r c a p i t a f o o d e x p e n d i t u r e w a s c a l c u l a t e d b y e s t i m a t i n g a q u a d r a t i c E n g e l c u r v e w i t h f o o d s h a r e a s d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d p e r c a p i t a t o t a l e x p e n d i t u r e a n d s q u a r e d v a l u e a s r e g r e s s o r s . T h e r e g r e s s o r s a l s o i n c l u d e d t h e s a m e r e l a t i v e p r i c e s a n d h o u s e h o l d s o c i o - d e m o g r a p h i c v a r i a b l e s u s e d i n t h e d e m a n d s y s t e m . W e a l s o u s e d t h e s a m e i n s t r u m e n t s a s i n t h e m a i n m o d e l t o t a k e c a r e o f t h e e n d o g e n e i t y o f t o t a l e x p e n d i t u r e . T h e c o e f fi c i e n t e s t i m a t e s f o r t h i s r e g r e s s i o n a r e r e p o r t e d i n T a b l e 6 . 8 . A s i n t h e c o m p u t a t i o n o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s , t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d t h e w e l f a r e i n d i c a t o r s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d f o r b o t h t h e d e t e r m i n i s t i c a n d u n c e r t a i n t y A I D S m o d e l ( f o r t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l t h e c a l c u l a t i o n w a s d o n e f o r e a c h o b s e r v a t i o n fi r s t b e f o r e a g g r e g a t i n g a t t h e h o u s e h o l d l e v e l ) . A s f o r t h e e l a s t i c i t i e s , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e w e l f a r e i n d i c a t o r s b y h o u s e h o l d n o t o n l y a v o i d s t h e a g g r e g a t i o n b i a s t h a t o c c u r s w h e n w e c a l c u l a t e u s i n g a v e r a g e s , b u t a l s o i t e n a b l e s u s t o 2 8 6 a n a l y z e t h e d i s t r i b u t i o n o f e a c h w e l f a r e i n d i c a t o r a c r o s s h o u s e h o l d s t h r o u g h t h e u s e o f h i s t o g r a m s a n d c r o s s t a b u l a t i o n s . 7 . 3 E v a l u a t i o n o f t h e c o n s u m p t i o n i m p a c t o f t h e C F A d e v a l u a t i o n 7 . 3 . 1 C o m p a r i s o n o f t h e p o s t a n d p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s T a b l e 7 . 1 a n d T a b l e 7 . 2 g i v e t h e s a m p l e m e d i a n p o s t - d e v a l u a t i o n u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s , a n d t h e m e d i a n p o s t - d e v a l u a t i o n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s r e s p e c t i v e l y . I n g e n e r a l , t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a r e n o t m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e p r e - d e v a l u a t i o n o n e s . ” T h e r e i s o n l y a s l i g h t t r e n d o f i n c r e a s e i n t h e u n c o m p e n s a t e d p r i c e a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s . I n p a r t i c u l a r , t h e m e d i a n u n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e c h a n g e f r o m - 0 . 7 7 6 a n d — 0 . 9 0 4 t o r e s p e c t i v e l y - 0 . 7 9 1 a n d - 0 . 9 1 1 , a n d t h e m e d i a n s o f t h e m e a n s o f t h e i r b u d g e t e l a s t i c i t i e s i n c r e a s e f r o m 0 . 8 0 9 a n d 0 . 8 0 7 t o r e s p e c t i v e l y 0 . 8 2 9 a n d 0 . 8 2 3 . I n c o n t r a s t , f o r t h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s t h e r e i s a s l i g h t t r e n d o f r e d u c t i o n i n t h e o w n - p r i c e r e s p o n s i v e n e s s , c o n t r a s t i n g w i t h a s l i g h t t r e n d o f i n c r e a s e i n t h e c r o s s - p r i c e r e s p o n s i v e n e s s . F o r e x a m p l e , t h e m e d i a n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e c h a n g e f r o m - O . 2 5 2 a n d - 0 . 4 9 9 t o r e s p e c t i v e l y - 0 . 2 1 4 a n d - 0 . 4 8 1 , w h i l e t h e i r m e d i a n c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t i e s i n c r e a s e f r o m 0 . 4 4 a n d 0 . 6 6 7 t o r e s p e c t i v e l y 0 . 4 6 1 a n d 0 . 7 0 9 . T h e s e t r e n d s c o m b i n e d w i t h t h e o n e o f t h e u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s i n d i c a t e t h e i n c r e a s e d i m p a c t o f t h e a l r e a d y i d e n t i fi e d r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t w h i c h d o m i n a t e s t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s r e s p o n s e t o r e l a t i v e p r i c e c h a n g e s . I n o t h e r w o r d s , t h e h i g h e r t h e l e v e l s o f p r i c e s , t h e m o r e t h e m e d i a n h o u s e h o l d " ‘ 5 N o t e h o w e v e r t h a t t h e s i g n s o f t h e c o m p e n s a t e d c r o s s p r i c e e l a s t i c i t i e s f o r fi s h \ m e a t a n d t h e o t h e r f o o d g r o u p w h i c h w e r e t h e o r e t i c a l l y i n c o n s i s t e n t a r e n o w t h e o r e t i c a l l y c o n s i s t e n t . H e n c e , o u r c o n j e c t u r e t h a t t h e - 0 . 0 3 7 fi g u r e w a s p r o b a b l y n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m z e r o a p p e a r s l a r g e l y c o r r e c t . 2 8 7 T a b l e 7 . 1 P o s t - d e v a l u a t i o n m e d i a n u n c o m p e n s a t e d a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s 2 c h a n g e i n q u a n t i t i e s C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e g r a i n s M e a t f o o d " E x p e c t e d " A I D S m o d e l T o t a l C o a r s e g r a i n s . . - . 7 9 1 . 1 5 4 . 0 8 8 - 3 8 9 1 7 0 P u l s e . . . . . . . . . . . . 0 9 9 - . 8 3 5 . 0 4 7 - . 2 7 2 . 1 0 1 F i s h / M e a t . . . . . . . - . 1 7 7 ~ . 1 8 4 - 1 . 1 7 9 - . 5 8 8 - . 1 8 4 O t h e r f o o d . . . . . . . 8 7 1 . 8 2 9 . 7 0 3 - 9 8 1 . 8 3 8 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 7 2 . 0 6 5 . 0 1 7 — 3 3 2 - 9 1 1 P r e c a u t i o n a r y r i s k C o a r s e g r a i n s . . . . 0 1 2 - 0 0 2 - . 0 0 2 - 0 0 5 - . 0 0 2 P u l s e . . . . . . . . . . . - . 0 0 2 . 0 2 0 — . 0 0 1 — . 0 0 2 - . 0 0 1 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 3 . 0 0 3 . 0 1 6 . 0 0 3 . 0 0 3 O t h e r f o o d . . . . . . - 0 0 5 - 0 0 5 - . 0 0 5 . 0 0 3 - . 0 0 6 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . - . 8 0 8 . 1 6 0 . 0 9 1 - 3 8 2 1 7 2 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 0 1 - . B 5 7 . 0 4 9 - 2 7 4 . 1 0 1 F i s h / M e a t . . . . . . . - . 1 8 1 - . 1 8 8 - 1 1 5 1 - 6 1 3 - . 1 8 7 O t h e r f o o d . . . . . . . 8 7 2 . 8 4 0 . 7 3 1 - . 9 9 0 . 8 6 5 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 7 2 . 0 6 5 . 0 1 7 - 3 3 2 - . 9 1 1 B u d g e t e l a s t i c i t y M e a n . . . . . . . . . . . . . . 8 2 9 . 8 2 2 . 9 7 1 2 . 0 2 5 . 8 2 3 V a r i a n c e . . . . . . . . . . 0 2 6 . 0 5 4 . 1 0 9 . 2 6 8 . 0 3 2 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l C o a r s e g r a i n s . . . - . 6 6 7 . 2 1 2 . 2 0 1 - . 6 5 1 - . 0 0 8 P u l s e . . . . . . . . . . . . 1 4 2 - . 8 8 8 . 0 0 7 - . 4 8 1 . 1 4 6 F i s h / M e a t . . . . . . . . 2 9 1 . 0 9 9 - 1 . 1 3 4 - . 1 4 3 - . 0 5 4 O t h e r f o o d . . . . . . - . 2 4 5 - . 3 4 8 . 0 7 9 - . 9 2 4 . 2 0 8 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 6 4 . 4 3 8 - . 1 9 2 - . 1 3 3 - 1 . 0 2 5 B u d g e t e l a s t i c i t y . . . 7 3 2 . 7 6 7 1 . 0 1 8 1 . 5 7 6 . 8 8 1 N o t e s : T h e e l a s t i c i t i e s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e e l a s t i c i t i e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . T h e t w o m o d e l s w e r e e s t i m a t e d w i t h t h e p o o l e d s e a s o n a v e r a g e s o f t h e d a i l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a . u s i n g t h e I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) . ( t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y c o l l e c t e d 2 4 h o u r s - r e c a l l d a t a e v e r y 1 5 d a y s f o r t w o y e a r s ) . 2 8 8 T a b l e 7 . 2 P o s t - d e v a l u a t i o n m e d i a n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s 1 c h a n g e i n q u a n t i t i e s C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e g r a i n s M e a t f o o d " E x p e c t e d " A I D S m o d e l T o t a l C o a r s e g r a i n s . . . - . 2 1 4 . 7 0 8 . 7 2 4 1 . 0 3 2 . 7 0 9 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 3 8 - . 4 5 2 . 4 5 6 . 6 3 7 . 4 3 1 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 6 0 . 0 6 3 - . 8 4 2 . 0 0 7 . 0 6 9 O t h e r f o o d . . . . . . 1 . 0 0 3 . 9 7 9 . 8 7 5 - . 5 0 6 . 9 8 9 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 6 1 . 4 6 5 . 4 8 6 . 7 5 5 - . 4 8 1 P r e c a u t i o n a r y r i s k C o a r s e g r a i n s . . . . 0 0 3 - . 0 0 6 - . 0 0 2 - . 0 0 5 . 0 0 1 P u l s e . . . . . . . . . . . - . 0 0 5 . 0 0 9 - . 0 0 3 - . 0 0 4 — . 0 0 3 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 2 . 0 0 1 . 0 1 3 . 0 0 3 . 0 0 1 O t h e r f o o d . . . . . . - . 0 0 4 - . 0 0 5 - . 0 0 6 . 0 0 1 - . 0 0 5 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . - 2 2 3 . 7 0 1 . 7 2 6 1 . 0 4 2 . 7 1 7 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 3 8 - . 4 7 1 . 4 5 4 . 6 5 0 . 4 3 2 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 5 9 . 0 6 2 - . 8 2 2 . 0 0 3 . 0 6 7 O t h e r f o o d . . . . . . 1 . 0 1 4 1 . 0 0 3 . 8 9 3 - . 5 1 2 . 9 9 3 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 6 1 . 4 6 5 . 4 8 6 . 7 5 5 - . 4 8 1 E s t i m a t e d z c h a n g e i n q u a n t . d e m a n d . 1 7 . 2 7 0 - 2 . 7 0 0 2 5 . 7 4 0 - 1 5 . 4 1 - 4 . 7 8 0 E s t i m a t e d 1 c h a n g e i n t h e s h a r e s . . . - I . 0 3 0 8 . 9 6 0 6 . 6 2 0 - 8 . 4 7 0 4 . 3 1 0 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l C o a r s e g r a i n s . . . - . 2 2 0 . 6 2 4 . 8 2 7 . 0 7 3 . 3 6 5 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 4 3 - . 5 6 2 . 2 9 0 . 0 0 3 . 4 8 2 F i s h / M e a t . . . . . . . . 6 3 1 . 4 2 9 - . 7 4 5 . 5 2 8 . 2 7 9 O t h e r f o o d . . . . . . . 0 9 4 . 0 1 4 . 5 7 0 - . 1 9 3 . 6 2 9 R i c e . . . . . . . . . . . . . 5 6 8 . 9 5 8 . 4 8 4 . 9 9 3 - . 4 3 2 N o t e s : T h e e l a s t i c i t i e s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e e l a s t i c i t i e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . T h e t w o m o d e l s w e r e e s t i m a t e d w i t h t h e p o o l e d s e a s o n a v e r a g e s o f t h e d a i l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a . u s i n g t h e t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r o f B l u n d e l l a n d R o b i n ( 1 9 9 3 ) . ( t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y c o l l e c t e d 2 4 h o u r s - r e c a l l d a t a e v e r y 1 5 d a y s f o r t w o y e a r s ) . 2 8 9 i s s e n s i t i v e t o l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r , a n d t h e m o r e i t s p r i c e s u b s t i t u t i o n a b i l i t y i s n e g a t i v e l y a f f e c t e d b y t h e l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . ” ’ 6 H e n c e , t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s j u s t c o n fi r m t h e c o n c l u s i o n w e h a v e a l r e a d y r e a c h e d a f t e r t h e a n a l y s i s o f t h e m e d i a n p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h a t i s , a c e r e a l p o l i c y b a s e d o n a c _ e t _ e _ t _ ' t ; . 5 _ Q a r i b u s h i g h e r r e l a t i v e p r i c e s f o r r i c e c o m p a r e d t o t h e o n e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s i s n o t g o i n g t o l e a d t o m o r e s u b s t i t u t i o n t o w a r d t h e c o a r s e g r a i n s , u n l e s s o n e fi n d s a w a y t o c o m p e n s a t e t h e m e d i a n h o u s e h o l d f o r t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . 7 . 3 . 2 E s t i m a t e d c h a n g e s i n f o o d c o m m o d i t i e s q u a n t i t i e s d e m a n d e d a n d s h a r e s T a b l e 7 . 2 g i v e s t h e e s t i m a t e d c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d a n d s h a r e s o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s a f t e r t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e 5 0 % d e v a l u a t i o n o f t h e C F A . F o r t h e s a m p l e m e d i a n h o u s e h o l d , t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d fi s h \ m e a t f o r w h i c h p r i c e s h a v e r e m a i n e d u n c h a n g e d , a r e e s t i m a t e d t o h a v e i n c r e a s e d b y 1 9 % a n d 2 6 % r e s p e c t i v e l y . M e a n w h i l e , t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n s o f p u l s e s , o t h e r f o o d , a n d r i c e f o r w h i c h p r i c e s h a v e i n c r e a s e d b y 4 3 % , 3 0 % , a n d 3 3 % r e s p e c t i v e l y , a r e e s t i m a t e d t o h a v e d e c r e a s e d b y 3 % , 1 5 % , a n d 5 % r e s p e c t i v e l y . T h e l o w d e c r e a s e i n r i c e c o n s u m p t i o n i n d i c a t e s t h a t m o s t o f t h e 1 7 % i n c r e a s e i n t h e c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s i s n o t d u e t o s u b s t i t u t i o n a w a y f r o m r i c e , b u t r a t h e r t o a n i n c r e a s e i n p u r c h a s i n g p o w e r f o r r u r a l h o u s e h o l d s a s a r e s u l t o f t h e i n c r e a s e s i n t h e i r p e a n u t i n c o m e . I n d e e d , t h i s i s c o n fi r m e d b y t h e fi g u r e s i n T a b l e 7 . 3 w h i c h g i v e s t h e s e p a r a t e m e d i a n e s t i m a t e d c h a n g e s f o r r u r a l a n d " ’ 6 N o t e t h a t d e s p i t e t h e 3 3 % i n c r e a s e i n t h e r e l a t i v e p r i c e o f r i c e c o m p a r e d t o t h e c o a r s e g r a i n s , t h e m e d i a n o f t h e i r u n c o m p e n s a t e d c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e p r i c e o f r i c e h a s s l i g h t l y d e c r e a s e d f r o m 0 . 0 7 4 t o 0 . 0 7 2 , w h i l e t h e o n e w i t h r e s p e c t t o t h e p r i c e o f t h e c o a r s e g r a i n s h a s i n c r e a s e d o n l y f r o m 0 . 1 6 9 t o t o 0 . 1 7 0 . I n c o n t r a s t , t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s h a v e i n c r e a s e d f r o m 0 . 4 4 0 t o 0 . 4 6 1 a n d f r o m 0 . 6 6 7 t o 0 . 7 0 9 r e s p e c t i v e l y . T h i s i n d i c a t e s t h a t m o s t o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s i n c r e a s e d p u r e a b i l i t y t o s u b s t i t u t e r i c e f o r c o a r s e g r a i n s h a s b e e n w i p e d o u t b y t h e r e l a t i v e l y s t r o n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . 2 9 0 u r b a n h o u s e h o l d s w h o d i d n o t e x p e r i e n c e a n i n c r e a s e i n i n c o m e . I n f a c t , f o r t h e m e d i a n u r b a n h o u s e h o l d t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n a r e e s t i m a t e d t o d e c r e a s e b y 3 % d e s p i t e t h e 1 6 % e s t i m a t e d d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y r i c e c o n s u m p t i o n ! M e a n w h i l e , f o r t h e m e d i a n r u r a l h o u s e h o l d , w i t h a 1 9 % e s t i m a t e d i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n , t h e r e i s a m e r e 4 % d e c r e a s e i n r i c e c o n s u m p t i o n . T h e s e fi g u r e s m e r e l y c o n fi r m o u r e a r l i e r fi n d i n g s b a s e d o n t h e e l a s t i c i t i e s : i n c r e a s e s i n t h e r e l a t i v e p r i c e o f r i c e w i t h r e s p e c t t o t h e c o a r s e g r a i n s d o n o t l e a d t o s u b s t i t u t i o n t o w a r d t h e c o a r s e g r a i n s u n l e s s c o n s u m e r s a r e c o m p e n s a t e d f o r t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . T a b l e 7 . 3 a l s o s h o w s t h a t t h e m e d i a n u r b a n h o u s e h o l d i s s u b s t i t u t i n g a w a y f r o m t h e o t h e r f o o d g r o u p ( a l u x u r y ) , t h e p u l s e s , a n d r i c e ( - 3 2 % , - 4 % , a n d - 1 6 % , r e s p e c t i v e l y ) t o w a r d fi s h \ m e a t ( + 1 0 % ) w h o s e p r i c e h a s r e m a i n e d u n c h a n g e d . O n t h e o t h e r h a n d , t h e 2 7 % i n c r e a s e i n t h e m e d i a n r u r a l h o u s e h o l d ’ s a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f fi s h \ m e a t i s m o r e o f a r e fl e c t i o n o f t h e i n c r e a s e i n i t s p u r c h a s i n g p o w e r , t h a n a r e fl e c t i o n o f a s u b s t i t u t i o n a w a y f r o m p u l s e s ( - 3 % ) , t h e o t h e r f o o d ( - 1 5 % ) , a n d r i c e ( - 4 % ) . F i n a l l y , w e n o t e f r o m T a b l e 7 . 2 t h a t d e s p i t e t h e 1 7 % e s t i m a t e d i n c r e a s e i n t h e s a m p l e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s , i t s s h a r e i n t o t a l e x p e n d i t u r e s o n f o o d i s e s t i m a t e d t o d e c r e a s e b y 1 % . I n c o n t r a s t , t h e s h a r e o f r i c e i s e s t i m a t e d t o i n c r e a s e b y 4 % d e s p i t e i t s 5 % d e c r e a s e i n c o n s u m p t i o n . E v e n i n r u r a l a r e a s w h e r e t h e c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n i s e s t i m a t e d t o i n c r e a s e b y 1 9 % , i t s s h a r e i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s r i s e s o n l y b y a n e g l i g i b l e 0 . 0 3 % , c o m p a r e d t o r i c e w h o s e s h a r e i s e s t i m a t e d t o r i s e b y 4 % d e s p i t e t h e e s t i m a t e d 4 % d e c r e a s e i n i t s c o n s u m p t i o n . O f c o u r s e , t h e r e i s n o c o n t r a d i c t i o n i n t h e s e fi g u r e s g i v e n t h e f a c t t h a t t h e p r i c e o f r i c e h a s r i s e n b y 3 3 % a n d t h e o n e f o r t h e c o a r s e g r a i n s r e m a i n s u n c h a n g e d . 2 9 1 d n a 8 3 7 9 3 3 0 1 1 4 9 3 3 4 y t n s 2 7 . . . . 3 1 - 9 - 1 4 3 1 0 5 - - 3 8 0 2 2 8 5 1 3 2 1 8 3 1 . 6 8 0 2 1 5 6 . . . . . . 1 - 9 - n i b e n o h o R t s . a d ) f e n s o s a r a n d e l a e y l i l e d d o o e n o w m u p t e l n o 0 0 4 0 9 3 1 e h o d e r B z 0 0 1 f 1 9 3 4 e n a b r U l e d o m S A " d e i a t r c n u e h t r o s f e n s o e z i t n i a c b i r t u s a s l e s r d e e v a l s a n r e u E n e m o : c s o z l l a n r e a d i o d m u R 2 0 9 4 1 3 2 . . . . . . . 0 0 - 1 1 t t f h o g h s i t r y e o i a w t w d a e d m 5 0 0 7 7 8 4 3 1 h i e 0 4 7 1 0 3 2 t t t 0 3 4 6 0 4 4 . . . . . . a y s s m r E 4 1 1 - 1 l n i e - - 2 e i t t v d s e a n o m t e e n m a 0 0 0 4 4 9 1 o o e t 5 5 2 5 S 4 6 2 c M a r 2 A 2 - 1 1 — - - c a c l a i r e c t e h d e . . . . . - i m r e t e 0 0 D 3 5 3 3 3 7 2 9 0 1 3 9 e l w d l e l e s t l a m - E s o e r w h u t t o . d h l e g o h n 4 h T i 2 e s s d u 0 0 7 1 5 8 8 a o s o t h h a l c e d l 0 0 4 9 4 7 3 7 6 8 4 3 5 7 . . 6 6 2 . . . . . - e c u n o o r i y h o t e f l p v l m r d a u u e s s D d 9 1 0 0 2 D 3 0 I I . . . . . . u - E " p . x 4 3 t 0 s 0 0 4 4 8 3 t c o r c 3 i 8 I 3 9 3 8 4 e 9 n 0 4 3 5 2 6 t . 0 1 1 0 5 9 s e 4 . . . . . . . 1 7 - - - u e s o t d . h c l a e o 0 1 1 0 7 9 6 t s n 5 3 2 3 5 2 1 m S D n I o A i t c a i u t l s a i v n e i d m — r t e s t o e P d 3 t l a 6 5 1 6 9 4 0 . . . . . . . 2 8 - - 0 0 9 . 8 1 . 0 0 7 4 4 9 3 5 1 7 4 1 0 4 6 5 1 2 . . . . . . - a s n l o o c u r i c d t c l o p a a m o c u f s e s e i y n r t l o e i i c w c a i d d s t o e s e o . . . . . . i . . a h f . . . t . . t l e e d . . . . i . e e g g n h . s . f . c . n n t a s n . o . i e . . a a m e i . ( . . t v . h h e d r a . s . . s i c c o d a r . e t . t a . h g o . g a . c l . ) 2 2 s t f . e . e e a 3 n e M . . p r 9 d d e r . a e s / e s e 9 e e r s e 1 u h h e e v h t t q t a l s h c ( T r a a a t o i u i m m n n C R O P F . 7 e l b a T o T i i i i t t s s E E : s e t o N 2 9 2 I c h a n g e i n q u a n t i t i e s 2 c h a n g e i n q u a n t i t i e s C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e C o a r s e P u l s e s F i s h / O t h e r R i c e g r a i n s M e a t f o o d g r a i n s M e a t f o o d C o a r s e g r a i n s . . - . 2 0 0 . 7 4 2 . 7 3 8 1 . 0 3 2 . 7 3 8 - . 4 7 3 . 4 7 1 . 5 4 2 . 8 3 2 . 4 9 6 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 6 0 - . 4 2 8 . 4 6 7 . 6 4 2 . 4 5 5 . 3 1 1 - . 5 5 7 . 3 5 3 . 5 2 6 . 3 2 8 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 4 8 . 0 4 1 — . 8 4 2 . 0 0 4 . 0 4 3 . 0 9 6 . 0 7 8 - . 8 4 2 . 0 4 1 . 0 9 3 O t h e r f o o d . . . . . . . 9 9 4 . 9 6 9 . 8 7 5 - . 5 0 5 . 9 8 9 1 . 1 0 3 1 . 0 2 8 . 9 0 4 - . 7 1 2 1 . 0 0 3 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 6 8 . 4 6 5 . 4 8 8 . 7 6 1 - . 4 7 6 . 4 0 2 . 4 2 9 . 4 7 5 . 7 1 0 - . 5 3 0 R i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . . 0 0 3 - . 0 0 6 - . 0 0 2 - . 0 0 5 . 0 0 2 . 0 1 2 - 0 0 6 - 0 0 1 - . 0 0 6 - . 0 0 2 P u l s e . . . . . . . . . . . - . 0 0 5 . 0 0 8 - . 0 0 3 - . 0 0 4 - . 0 0 2 - . 0 0 4 . 0 3 5 - . 0 1 3 - . 0 1 9 - . 0 0 9 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 0 2 . 0 0 1 . 0 1 3 . 0 0 3 . 0 0 1 . 0 0 5 - . 0 0 2 . 0 2 0 . 0 0 4 . 0 0 1 O t h e r f o o d . . . . . . - . 0 0 4 - . 0 0 4 - . 0 0 6 - . 0 0 1 - . 0 0 5 - 0 0 7 - 0 0 9 - . 0 0 8 . 0 0 3 - . 0 0 8 R i c e . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 N o n r i s k c o m p o n e n t C o a r s e g r a i n s . . . - . 2 0 9 . 7 3 3 . 7 3 7 1 . 0 4 3 . 7 4 3 « . 4 8 7 . 4 8 0 . 5 3 7 . 8 4 8 . 4 9 7 P u l s e . . . . . . . . . . . . 4 7 4 - . 4 5 8 . 4 8 3 . 6 5 1 . 4 5 9 . 3 1 0 - . 5 9 3 . 3 6 6 . 5 5 7 . 3 3 5 F i s h / M e a t . . . . . . . . 0 4 6 . 0 3 9 - . 8 1 7 . 0 0 1 . 0 3 9 . 0 8 2 . 0 8 0 - . 8 6 0 . 0 4 0 . 0 9 2 O t h e r f o o d . . . . . . 1 . 0 1 2 . 9 9 9 . 8 9 3 - . 5 1 0 . 9 9 3 1 . 1 0 3 1 . 0 3 8 . 9 0 3 - . 7 0 4 1 . 0 1 3 R i c e . . . . . . . . . . . . . 4 6 8 . 4 6 5 . 4 8 8 . 7 6 1 - 4 7 6 . 4 0 2 . 4 2 9 . 4 7 5 . 7 1 0 - 5 2 9 7 . 4 E v a l u a t i o n o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n B e f o r e p r e s e n t i n g t h e e s t i m a t e s o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n , w e b r i e fl y r e c a l l , f o r t h e c o n v e n i e n c e o f t h e r e a d e r , t h e m e a s u r e s a n d i n t e r p r e t a t i o n s o f w e l f a r e c h a n g e s a n d r i s k a t t i t u d e s d e r i v e d i n c h a p t e r 2 . W i t h a c o m b i n a t i o n o f p r i c e a n d i n c o m e c h a n g e s l e a d i n g t o a w e l f a r e c h a n g e , t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( E V ) m e a s u r e s t h e m a x i m u m a m o u n t i n m o n e t a r y u n i t s t h a t t h e c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y ( o r a c c e p t i f h e o r s h e w i l l g a i n f r o m t h e c h a n g e ) t o p r e v e n t t h e c h a n g e f r o m t a k i n g p l a c e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C V ) m e a s u r e s t h e m i n i m u m a m o u n t i n m o n e t a r y u n i t s t h a t t h e c o n s u m e r m u s t b e c o m p e n s a t e d ( o r t a k e n a w a y f r o m i f h e o r s h e h a s g a i n e d f r o m t h e c h a n g e ) s o t h a t h e o r s h e i s a t l e a s t a s w e l l o f f a s b e f o r e t h e c h a n g e . S i m i l a r l y , t h e A l l e n l i v i n g s t a n d a r d i n d e x a n d t h e M c k e n z i e - P e a r c e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x m e a s u r e r e s p e c t i v e l y t h e a f t e r - c h a n g e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e a n d c o s t o f a c h i e v i n g t h a t w e l f a r e r e l a t i v e t o t h e b e f o r e - c h a n g e l e v e l s . T h e s e w e l f a r e i n d i c a t o r s a r e p r e f e r e n c e - b a s e d t r u e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s , w h e n t h e c h a n g e s a r e t h r o u g h t h e m a r k e t . I n c h a p t e r 2 w e h a v e e x t e n d e d t h e s e t r u e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y a n d h a v e s h o w n t h a t t h e y p r e s e r v e t h e i r t h e o r e t i c a l e c o n o m i c i n t e r p r e t a t i o n s a n d p r o p e r t i e s . ‘ 8 7 F u r t h e r m o r e , a s f o r t h e e l a s t i c i t i e s , w e h a v e d e c o m p o s e d t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n m e a s u r i n g t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e r e s u l t i n g f r o m a " c h a n g e " i n r a n d o m p r i c e s i n t o t w o c o m p o n e n t s . O n e b e i n g t h e r i s k p r e m i u m m e a s u r i n g i n m o n e t a r y u n i t s t h e s e n s i t i v i t y o f w e l f a r e t o r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) , a n d t h e o t h e r b e i n g t h e c h a n g e i n w e l f a r e t h a t w o u l d o b t a i n i f t h e c o n s u m e r w e r e w e l f a r e - i n d i f f e r e n t t o u n c e r t a i n t y . T h e r i s k " 7 A g a i n , a s f o r t h e e l a s t i c i t i e s , t h e m e a n i n g o f t h e w o r d ” c h a n g e " i n t h e u n c e r t a i n p r i c e s i s g o v e r n e d b y t h e m e t r i c s o f t h e p r i c e s p a c e . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o r a n d o m p r i c e s i s d e fi n e d t o b e , r o u g h l y s p e a k i n g , t h e a v e r a g e a c r o s s a l l s t a t e s o f n a t u r e o f t h e s t a t e - b y - s t a t e E u c l i d e a n d i s t a n c e s o f t h e i r r e s p e c t i v e p o s s i b l e v a l u e s . N o t e t h a t s i n c e t o t a l e x p e n d i t u r e a n d a l l t h e w e l f a r e i n d i c a t o r s a r e r e a l n o n r a n d o m s c a l a r s , t h e m e a n i n g o f t h e w o r d " c h a n g e ” f o r t h e s e fi g u r e s i s t h e s a m e a s u s u a l . 2 9 3 p r e m i u m , w h i c h w a s s h o w n t o b e a l w a y s p o s i t i v e r e g a r d l e s s o f t h e d i r e c t i o n o f t h e p r i c e c h a n g e , g i v e s t h e m a x i m u m a m o u n t i n m o n e t a r y u n i t s t h e c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y i n o r d e r n o t t o f a c e u n c e r t a i n t y . T h e l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s a r e a l s o d e c o m p o s e d s i m i l a r l y . T h e r i s k c o m p o n e n t o f t h e l i v i n g s t a n d a r d i n d e x m e a s u r i n g i n r e l a t i v e t e r m s h o w m u c h i n t h e c h a n g e i n t h e l i v i n g s t a n d a r d i s d u e t o u n c e r t a i n t y i s t h e r i s k p r e m i u m i n d e x , w h i l e t h e r i s k c o m p o n e n t o f t h e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x m e a s u r i n g i n r e l a t i v e t e r m s h o w m u c h i n t h e c h a n g e i n t h e c o s t o f l i v i n g i s d u e t o u n c e r t a i n t y i s t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x . 1 8 8 B e c a u s e w e h a v e e s t i m a t e d a d e m a n d s y s t e m w i t h o n l y t h e f o o d c o m m o d i t i e s i n c l u d e d , a l l t h e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e n u m b e r s p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g t a b l e s r e f e r t o t h e s a t i s f a c t i o n d e r i v e d f r o m f o o d c o n s u m p t i o n a n d t o t h e c o s t o f f o o d o n l y . W i t h t h e m a i n t a i n e d a s s u m p t i o n o f w e a k s e p a r a b i l i t y b e t w e e n t h e f o o d g r o u p a n d t h e n o n f o o d c o m m o d i t i e s , t h e i n d i c e s a r e s u b i n d i c e s i n s t a n d a r d t e m r i n o l o g y ( D e a t o n , 1 9 8 0 a ) . T h a t i s , t h e y d o n o t i n c o r p o r a t e t h e l o s s o f w e l f a r e r e s u l t i n g f r o m t h e i n c r e a s e i n t h e p r i c e s o f n o n f o o d c o m m o d i t i e s . 1 8 9 H e n c e , t o b e m o r e p r e c i s e i n t h e l a b e l l i n g i n t h e t a b l e s , w e s h o u l d h a v e h a d " i n d e x o f s a t i s f a c t i o n f r o m f o o d c o n s u m p t i o n ” i n s t e a d o f " l i v i n g s t a n d a r d i n d e x " , a n d " c o s t - o f - f o o d i n d e x ” i n s t e a d o f " c o s t - o f - l i v i n g i n d e x ” , e t c . . . F o r t h e s a k e o f b r e v i t y , w e h a v e m a i n t a i n e d t h e s t a n d a r d t e r m i n o l o g y , b u t t h e r e a d e r s h o u l d a l w a y s k e e p t h i s i n m i n d w h e n i n t e r p r e t i n g t h e n u m b e r s . H o w e v e r , g i v e n t h e h i g h f o o d s h a r e s e m e r g i n g f r o m t h e " ’ 8 S i n c e t h e r i s k p r e m i u m a n d t h e r i s k p r e m i u m i n d e x e n t a i l a l o s s i n w e l f a r e b u t a r e r e p o r t e d a s p o s i t i v e v a l u e s ( s o a s t o c o n f o r m t o t h e c o n v e n t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n ) , t h e y s h o u l d a l w a y s b e s u b t r a c t e d f r o m t h e r e s p e c t i v e n o n r i s k c o m p o n e n t s i n o r d e r t o g e t t h e E V w h i c h m e a s u r e s t h e ( t o t a l ) w e l f a r e c h a n g e i n m o n e t a r y u n i t s , a n d t h e ( t o t a l ) l i v i n g s t a n d a r d i n d e x r e s p e c t i v e l y . I n c o n t r a s t , s i n c e i t i s a n i n d e x o f c o s t , t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x m u s t a l w a y s b e a d d e d t o t h e n o n r i s k c o m p o n e n t i n o r d e r t o g e t t h e ( t o t a l ) c o s t - o f - l i v i n g i n d e x . " 9 A l s o , s i n c e t h e e s t i m a t e d m o d e l i s a s t a t i c m o d e l w i t h u n c e r t a i n t y i n p r i c e s o n l y , t h e r i s k m e a s u r e s r e f e r t o p r i c e u n c e r t a i n t y o n l y . T h e y d o n o t i n c o r p o r a t e t h e l o s s o f w e l f a r e d u e t o i n c o m e u n c e r t a i n t y . 2 9 4 I S R A / I F P R I s u r v e y ( s e e T a b l e 6 . 3 a n d T a b l e 6 . 5 ) , t h e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e i n t h e f o l l o w i n g t a b l e s s h o u l d b e v e r y c l o s e t o t h e t o t a l fi g u r e s w h i c h w o u l d h a v e b e e n o b t a i n e d i f o u r d e m a n d s y s t e m i n c l u d e d t h e n o n f o o d c o m m o d i t i e s . B e c a u s e t h e f o o d c o n s u m p t i o n d a t a w a s a g g r e g a t e d b y t a k i n g t h e a v e r a g e d a i l y f o o d c o m m o d i t y e x p e n d i t u r e s a n d t h e d a i l y t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r c a p i t a i n C F A f r a n c s , t h e u n i t f o r t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , t h e c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n , a n d t h e r i s k p r e m i u m i s C F A p e r c a p i t a p e r d a y , w h i l e t h e p e r c e n t a g e c h a n g e s a r e a v e r a g e d a i l y p e r c e n t a g e s p e r c a p i t a . F i n a l l y , w e e m p h a s i z e t h a t t h e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e i n t h e f o l l o w i n g t a b l e s a r e i n t e n d e d t o m e a s u r e o n l y t h e s h o r t t e r m w e l f a r e i m p a c t o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e J a n u a r y 1 9 9 4 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n . I n d e e d , i n t h e l o n g r u n , p r e f e r e n c e s , p r o d u c t i o n p a t t e r n s , r e l a t i v e p r i c e s , a n d i n c o m e m a y c h a n g e i n s u c h a w a y t h a t h o u s e h o l d s t h a t a r e s h o w n a s l o s e r s i n t h e t a b l e s m a y e n d u p g a i n i n g . T h e a p p r o p r i a t e t i m e f r a m e f o r w h i c h t h e w e l f a r e i m p a c t s e v a l u a t i o n c a n b e c o n s i d e r e d a s r e a s o n a b l y v a l i d i s t h e p e r i o d f r o m j u s t a f t e r t h e d e v a l u a t i o n t o J u n e 1 9 9 4 . B e y o n d t h e s t a r t i n g d a t e o f t h e 1 9 9 4 h a r v e s t , t h e v a l i d i t y o f t h e w e l f a r e c h a n g e e s t i m a t e s i s q u e s t i o n a b l e . 1 9 0 7 . 4 . 1 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s T a b l e 7 . 4 g i v e s t h e v a r i o u s i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e d u e t o t h e p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e m e d i a n h o u s e h o l d i n e a c h z o n e , a n d f r o m b o t h t h e " e x p e c t e d ” a n d t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s . W h a t w e c a n n o t i c e fi r s t , a r e t h e b i g ‘ 9 0 A n o t h e r i s s u e h e r e i s w h e t h e r o r n o t t h e a c t u a l c h a n g e s i n t h e v a r i o u s p r i c e s a r e c a u s e d b y t h e d e v a l u a t i o n o n l y . W e h a v e n o w a y o f d i s t i n g u i s h i n g t h e p r i c e c h a n g e s d u e t o t h e d e v a l u a t i o n f r o m t h e o n e s d u e t o o t h e r p o s s i b l e f a c t o r s ( r a i n f a l l f o r e x a m p l e ) . H e n c e , s t r i c t l y s p e a k i n g i t i s n o t t h e w e l f a r e i m p a c t s o f t h e d e v a l u a t i o n w e a r e e s t i m a t i n g , b u t r a t h e r t h e w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e d e v a l u a t i o n . 2 9 5 3 3 9 9 1 7 9 6 2 7 1 1 6 3 7 0 7 2 7 7 6 8 1 3 . 3 . . . . . . . 8 2 9 . 7 3 9 0 9 8 7 3 . . 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 2 - ~ - - - - - - - s 7 2 3 6 6 0 9 9 9 5 3 8 e 5 8 0 0 6 . 7 1 1 2 0 2 n a , 2 . . . . 8 1 . . . 2 8 i 5 7 7 5 1 9 8 7 3 . . . 1 2 1 1 - 2 1 1 3 2 d e ~ - - - - ~ - - m n o z n a d e t h g i e w e h t s n b 8 r 5 9 5 2 0 1 9 4 1 0 4 4 U 0 6 7 . 8 5 4 9 6 9 3 1 . 5 4 . . . . . . 2 8 0 . 2 0 1 7 0 8 8 3 . . 2 2 1 3 ~ 1 3 1 3 2 1 - ~ - - - - - - 3 0 0 9 5 2 4 0 3 0 4 5 0 4 7 7 7 0 3 7 5 9 9 7 6 4 3 9 5 6 2 6 5 6 1 9 i . . . . . . . . . . 8 9 3 2 2 1 0 2 2 2 1 a t 1 - - - - n l e d 0 l e d o o 8 2 m 0 9 2 0 7 4 9 6 5 0 m 6 1 5 8 0 9 6 6 6 3 6 5 6 6 0 . S 0 0 6 3 1 9 9 9 S D . . . 4 . . . . . . . D I 9 2 3 1 3 4 3 1 4 I A 1 - . - - A " 0 i c d 8 0 8 3 0 1 t 7 2 0 0 6 4 e 8 6 0 1 2 3 s 5 8 0 7 4 8 t i 4 5 4 . 0 5 6 6 4 3 0 1 o c l l e c h c a E . . s d d l l s e 7 9 2 5 2 1 1 1 h h i 3 4 4 4 c . . . 6 . . n . . . . . . o o e p 1 1 1 1 n x m r o e E z t 0 " e e s s u u o o h h l a r u R 3 6 5 9 2 0 e 1 1 0 0 2 0 5 7 3 8 5 4 D 5 7 7 6 1 9 3 2 3 . 6 7 6 9 3 1 4 9 h l . . . 5 . . . . . . . . c l 4 6 1 - - 3 4 4 5 1 - - - - 0 7 0 7 3 9 0 4 2 9 0 0 9 4 3 9 5 0 9 0 6 5 7 0 9 a a e s r s o o f r c a 4 9 0 . 4 5 2 2 1 1 2 9 d . . . 1 . . . . . . . e 0 2 3 1 - - ~ - 1 8 6 1 1 ) 0 a ) a 7 t 1 0 0 8 6 0 3 7 2 0 6 0 0 0 3 5 4 t 0 i 3 3 3 2 3 2 3 9 2 8 1 2 7 2 1 1 6 i 2 p 4 2 0 0 0 9 6 8 5 0 1 . 1 9 0 0 9 p . 9 a . . . . . . . . . . . . . . . a 8 c 1 0 1 1 1 2 3 3 1 1 1 3 t s a r l o u t c a l c a i c d n e i c / 1 / y y a a 0 d d 9 1 / 5 7 0 5 3 1 7 8 4 9 2 3 0 7 4 1 / 5 3 A 8 0 2 8 9 9 0 8 5 4 9 4 3 4 2 0 A 9 7 . F 2 9 0 9 0 8 3 1 7 1 . 7 . . 2 e e w r a s f r l o e - - - - r F . . 1 C . . . 1 . . 4 . 2 . . . . . . t w C 7 8 - - ( - 1 1 1 1 1 1 9 ( - ~ - « . - . n n x n n x n n o o e x x x n n o o e x . . . . . . . . . . . . o o i i . t . . . . d e e e t t o o i i d e . ) . . . . i i t . t n . d d d n . n n i i t t n d . . . . . . . a t t a a . e . i n n n i n . e e t t a a . . . . ) t . . a a i i n . n n . . a i i a . i i i i . . a i . . . i i r r . o d o o . . d i r r i . . t p . . . r r a a . m p r p p m g . . . . k r a a r . . i a r g . a a v v . u m a u n m m a v v a . . p c a n . s . . . . v . . v v v . . . i o . . . i d i o o i d a / i a c e i v d i n t i c e e p r s a e f r l . . . . r m c . c c d d n m v c v d d y n . . . e e t . e t . . - t . t e e a e i / e e a i a . . . . w h n . r t t l t r y t t t l d k n . . f n n k . k . . . t e . a a - s p p X a / a a - s s e . . o e e s . s . l l s s - f s s f - i l l l - l l i l i d X A X a a n n g o n n o g r a a a a a r t a r k k x n / F v t e n v t e s n t n - s t n s v - v e e n n n i A C i o n p i i o i o p o o t i i i p p t i o o o F i i ( u T R N u m T v T R N u u v m s T C N m m s i C q q q q o i i o o o o o ( E E E E C L L C C C C C e h f T o : s e t o N 2 9 6 T a b l e 7 . 4 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : A l l z o n e s S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h a v e r a g e K a o l a c k T a m b a a v e r a g e . 1 1 5 . 0 5 9 1 . 2 6 1 1 . 1 4 9 1 . 0 9 4 . 8 5 7 . 8 9 0 . 8 6 2 . 0 2 9 . 0 1 7 . 0 2 1 . 0 3 9 . 0 1 9 . 0 1 1 . 0 0 8 . 0 1 0 . 1 4 8 1 . 0 6 7 1 . 2 8 2 1 . 1 9 2 1 . 1 2 5 . 8 7 0 . 8 9 2 . 8 7 6 . 1 3 1 . 1 1 8 1 . 0 4 3 . 9 9 5 1 . 0 9 5 1 . 1 6 7 1 . 1 2 4 1 . 1 6 0 . 0 2 9 . 0 1 9 . 0 2 0 . 0 3 5 . 0 1 8 . 0 1 5 . 0 0 8 . 0 1 4 . 0 9 5 . 1 0 3 1 . 0 2 6 . 9 4 7 1 . 0 6 6 1 . 1 4 9 1 . 1 2 1 1 . 1 4 2 F . H H H e — t v - G r - d O t h e r S t a t i s t i c s S h a r e o f P e a n u t i n t o t a l i n c o m e . . . . 2 4 . 1 0 0 3 3 . 8 0 0 5 0 . 3 0 0 3 0 . 9 0 0 6 5 . 1 0 0 9 . 4 0 0 4 0 . 9 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 2 c h a n g e i n n o m i n a l i n c o m e . . . . . . . . . . 1 0 . 3 6 0 1 4 . 5 3 0 2 1 . 6 3 0 1 3 . 2 9 0 2 9 . 1 5 0 1 3 . 6 5 0 1 8 . 0 2 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 E s t i m a t e d 2 c h a n g e i n f o o d e x p . . . . . . . . 9 . 5 7 0 1 3 . 0 5 0 2 0 . 7 8 0 1 2 . 2 6 0 2 5 . 3 0 0 1 2 . 6 6 0 1 7 . 3 5 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 L a s p e y r e s P r i c e i n d e x 1 . 2 8 2 1 . 2 5 8 1 . 2 4 6 1 . 2 3 0 1 . 2 3 7 1 . 3 1 2 1 . 2 4 9 1 . 2 6 2 1 . 2 2 7 1 . 2 4 2 P a a s c h e P r i c e i n d e x . . 4 2 4 . 3 9 8 . 6 1 3 1 . 4 5 8 2 . 3 6 5 1 . 4 1 2 . 5 2 8 . 7 7 8 1 . 1 5 3 1 . 0 7 0 T a b l e 7 . 5 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t V l a g e s N o n m a r k e t M a r k e t v i l l a g e s v i l l a g e s " E x p e c t e d " A I D S m o d e l E q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) T o t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 1 9 9 5 . 0 4 4 R i s k p r e m i u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 8 1 . 8 8 5 N o n r i s k c o m p o n e n t . . . . . . . . . . . . . . 1 0 . 9 2 5 6 . 8 2 4 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . 3 8 0 6 . 4 5 0 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) T o t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 9 8 6 - 9 5 8 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 5 0 - 1 . 1 5 0 L i v i n g - s t a n d a r d i n d e x T o t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 1 4 1 . 0 6 5 R i s k p r e m i u m i n d e x . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 . 0 1 7 N o n r i s k c o m p o n e n t . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 3 1 1 . 0 8 4 C o s t - o f - l i v i n g i n d e x T o t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 0 8 1 1 . 1 2 4 C o s t - o f - r i s k i n d e x . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 8 . 0 1 8 N o n r i s k c o m p o n e n t . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 0 6 1 1 . 1 0 8 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l E q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 . 1 4 6 - 5 . 2 5 5 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 . 3 3 0 - 5 . 5 4 0 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 . 4 2 6 - 6 6 9 1 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 . 3 8 0 - 5 . 9 8 0 L i v i n g — s t a n d a r d i n d e x . . . . . . . . . . . . . , . 9 8 7 . 9 4 5 C o s t - o f — l i v i n g i n d e x . . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 8 5 1 . 2 1 5 O t h e r S t a t i s t i c s S h a r e o f P e a n u t i n t o t a l i n c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 . 4 0 0 3 2 . 6 0 0 2 c h a n g e i n n o m i n a l i n c o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 . 9 2 0 1 4 . 0 2 0 E s t i m a t e d 1 c h a n g e i n f o o d e x p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 . 7 7 0 1 2 . 8 1 0 L a s p e y r e s P r i c e i n d e x . . . . . . . . . . . . . . 1 . 2 4 9 1 . 2 4 3 P a a s c h e P r i c e i n d e x . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 0 . 4 7 5 N o t e s : T h e w e l f a r e i n d i c a t o r s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e w e l f a r e i n d i c a t o r s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . 2 9 7 d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e r e s p e c t i v e e s t i m a t e s f r o m t h e t w o m o d e l s . I n d e e d t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s h o w s a n e t w e l f a r e l o s s f o r t h e m e d i a n h o u s e h o l d i n a l l z o n e s e x c e p t D i o l y , w h i l e f o r t h e " e x p e c t e d " A I D S m o d e l o n l y t h e m e d i a n h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s a n d i n S a g a t t a e x p e r i e n c e a n e t w e l f a r e l o s s . G i v e n t h e f a c t t h a t t h e " e x p e c t e d " A I D S m o d e l r e d u c e s t o t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S o n e i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y , w e d i d n o t e x p e c t s u c h b i g d i f f e r e n c e s b e t w e e n e s t i m a t e s f r o m t h e t w o m o d e l s b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t t h e fl u c t u a t i o n s i n f o o d p r i c e s a r e n o t v e r y g r e a t . I n a n y c a s e , t h i s i s a n o t h e r i l l u s t r a t i o n o f t h e p o t e n t i a l b i a s e s i n e s t i m a t e s f r o m d e t e r m i n i s t i c m o d e l s w h e n u n c e r t a i n t y i s r e l e v a n t t o t h e c h o i c e s i t u a t i o n . W e c a n n o t e h e r e t h a t a l t h o u g h t h e i r e s t i m a t e s a r e n o t t h e o r e t i c a l l y c o m p a r a b l e w i t h o u r s , t h e e s t i m a t e s o f c h a n g e s i n " r e a l i n c o m e " a f t e r t h e C F A d e v a l u a t i o n g i v e n b y K e l l y e t a l . , ( 1 9 9 4 ) a r e c l o s e r t o t h e o n e s f r o m t h e " e x p e c t e d " A I D S t h a n t h e o n e s f r o m t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S . ‘ 9 ' 7 . 4 . 1 . 1 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n t o t a l w e l f a r e c h a n g e s A s w e c a n e x p e c t g i v e n t h e c o n s u m p t i o n a n d p r o d u c t i o n p a t t e r n s i n t h e d i f f e r e n t z o n e s a n d t h e d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e o f t h e c h a n g e s i n r e l a t i v e p r i c e s , h o u s e h o l d s i n N i a k h a r , C o l o b a n e , P a s s y , D i o l y a n d M i s s i r a h w h o h a v e a r e l a t i v e l y h i g h s h a r e o f p e a n u t i n c o m e , a n d a r e l a t i v e l y l o w s h a r e o f r i c e a n d / o r a r e l a t i v e l y h i g h s h a r e o f c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s a r e t h e o n e s w h o h a v e e x p e r i e n c e d a n e t g a i n i n w e l f a r e . O n t h e o t h e r h a n d , h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s a n d i n S a g a t t a , w h o h a v e n o o r r e l a t i v e l y l o w p e a n u t i n c o m e ‘ 9 ' K e l l y e t a l . , ( 1 9 9 4 ) d i d n o t e s t i m a t e a d e m a n d m o d e l . I n s t e a d t h e y u s e d t h e a v e r a g e f o o d c o m m o d i t y s h a r e s i n e a c h z o n e s a n d a s s u m e d t h e y w e r e c o n s t a n t . H e n c e , t h e i r e s t i m a t e s d i d n o t i n c o r p o r a t e a n y s u b s t i t u t i o n o r i n c o m e e f f e c t s . A l s o , t h e i r a n a l y s i s c o v e r e d o n l y p e a n u t , r i c e , a n d t h e c o a r s e g r a i n s i n t h e c o n s u m p t i o n s i d e , a n d p e a n u t i n t h e c r o p p i n g i n c o m e s i d e . T h e i r e s t i m a t e s o f " c h a n g e s i n r e a l i n c o m e ” w e r e - 8 % f o r S a g a t t a , 5 % f o r N i a k h a r , 1 4 % f o r C o l o b a n e , 0 % f o r P a s s y 1 6 % f o r D i o l y , 2 % f o r M i s s i r a h , - 8 % f o r K a o l a c k , a n d - 1 0 % f o r T a m b a . 2 9 8 b u t h a v e h i g h r i c e s h a r e s a n d l o w c o a r s e g r a i n s s h a r e s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . A s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y p e r c a p i t a f o o d b u d g e t , h o u s e h o l d s i n D i o l y h a v e e x p e r i e n c e d t h e m o s t g a i n s i n w e l f a r e , w i t h a m e d i a n n e t g a i n o f + 2 6 % ( o r 1 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , w h i l e h o u s e h o l d s i n t h e c i t y o f K a o l a c k h a v e t h e h i g h e s t l o s t i n w e l f a r e w i t h a m e d i a n n e t l o s t o f - 1 4 % ( o r 2 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . T h e m e d i a n n e t l o s s e s o r g a i n s f o r t h e o t h e r z o n e s a r e r e s p e c t i v e l y - 1 . 5 % ( o r - 0 . 9 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r S a g a t t a , + 9 % ( o r 8 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r N i a k h a r , + 1 1 . 5 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r C o l o b a n e , + 6 % ( o r 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r P a s s y , 1 5 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r M i s s i r a h , a n d - 1 1 % ( o r 1 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r T a m b a . ‘ 9 2 I n t e r m s o f m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s , T a b l e 7 . 5 s h o w s t h a t n o n m a r k e t v i l l a g e s h a v e a h i g h e r m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n ( 1 1 C F A p e r c a p i t a p e r d a y o r 1 1 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) t h a n m a r k e t v i l l a g e s ( 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y o r 6 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) . 7 . 4 . 1 . 2 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s S i m i l a r l y t o t h e t o t a l w e l f a r e i m p a c t s , a s w e c a n e x p e c t , i t i s i n t h e z o n e s w i t h t h e h i g h e s t s h a r e s o f r i c e a n d t h e l o w e s t s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s w h e r e t h e c o s t o f l i v i n g h a s r i s e n t h e m o s t . I n c o n t r a s t , i n t h e l o w r i c e a n d h i g h c o a r s e g r a i n s c o n s u m i n g z o n e s o f N i a k h a r , D i o l y , a n d M i s s i r a h , t h e c o s t o f l i v i n g ( m o r e p r e c i s e l y t h e c o s t o f f o o d ) h a s p r a c t i c a l l y r e m a i n e d u n c h a n g e d . T h e c o s t o f f o o d h a s r i s e n t h e m o s t i n K a o l a c k ‘ 9 2 N o t e t h a t t h e l i v i n g - s t a n d a r d i n d e x i s o b t a i n e d b y a d d i n g o n e t o t h e r a t i o o f t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n t o t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ( t h a t i s t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n % r o w d i v i d e d b y 1 0 0 ) . F o r m o r e d e t a i l s o n t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e v a r i o u s w e l f a r e i n d i c a t o r s , s e e c h a p t e r 3 . 2 9 9 ( + 1 7 % ) , S a g a t t a ( + 1 5 % ) , C o l o b a n e ( + 1 3 % ) , a n d P a s s y ( + 1 2 % ) . T h e m e d i a n r i s e i n t h e c o s t o f f o o d f o r N i a k h a r a n d D i o l y a r e r e s p e c t i v e l y + 3 % a n d + 4 % . I n M i s s i r a h , t h e r e i s p r a c t i c a l l y 0 % r i s e i n t h e c o s t o f f o o d . 1 9 3 W e n o t e a l s o t h a t d e s p i t e t h e f a c t t h a t S a g a t t a h a s e x p e r i e n c e d a m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s o f 0 . 9 % w h i l e C o l o b a n e h a s e x p e r i e n c e d a m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n o f 1 3 % , t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e c o s t o f l i v i n g i n t h e t w o z o n e s a r e v e r y c l o s e ( 1 5 % a n d 1 3 % r e s p e c t i v e l y ) . T h i s i s a r e fl e c t i o n o f t h e f a c t t h a t t h e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s i n t h e t w o z o n e s a r e c l o s e , w h i l e , a s T a b l e 7 . 4 s h o w s , o n a v e r a g e t h e s h a r e o f p e a n u t i n c o m e i n t o t a l i n c o m e i n C o l o b a n e ( 5 0 % ) i s m o r e t h a n t w i c e h i g h e r t h a n t h e o n e i n S a g a t t a ( 2 5 % ) . ‘ ° " F i n a l l y , T a b l e 7 . 5 s h o w s t h a t t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d i s l o w e r i n n o n m a r k e t v i l l a g e s ( 8 % ) t h a n i n m a r k e t v i l l a g e s ( 1 2 % ) . T h i s i s , a g a i n , w h a t o n e w o u l d e x p e c t g i v e n t h e f a c t t h a t n o n m a r k e t v i l l a g e s h a v e a h i g h e r a v e r a g e s h a r e o f c o a r s e g r a i n s ( 4 4 % ) a n d a l o w e r a v e r a g e s h a r e o f r i c e ( 1 4 % ) i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s c o m p a r e d t o m a r k e t v i l l a g e s ( 2 8 % a n d 2 0 % r e s p e c t i v e l y ) . ' 9 3 F r o m t h e t h e o r y i n c h a p t e r 2 , t h e 0 . 0 0 5 % d e c r e a s e i n t h e c o s t o f l i v i n g o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d i n M i s s i r a h i s t h e o r e t i c a l l y i m p o s s i b l e b e c a u s e f o r a c o n s u m e r w h o s e p r e f e r e n c e s a t i s fi e s t h e s t a n d a r d a x i o m s t h e t r u e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x i s m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g i n p r i c e s . H e n c e , w e t a k e t h i s s m a l l d e c r e a s e a s a n s t a t i s t i c a l a r t i f a c t . T h a t i s , w e c o n s i d e r i t a s s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y n o t d i f f e r e n t f r o m z e r o . I n f a c t , i f w e d o n o t w e i g h t ( i . e . , i f w e d o n o t c o r r e c t f o r t h e o v e r s a m p l i n g o f m a r k e t v i l l a g e s ) t h e n t h e e s t i m a t e d m e d i a n t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d e x i n M i s s i r a h i s 1 . 0 1 2 . M o r e o v e r , s i n c e i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y ( i . e . , i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e ) t h e t r u e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x i s s t i l l m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g i n p r i c e s , i t i s r e a l l y t h e t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e n o n r i s k c o m p o n e n t o f t h e c o s t — o f - l i v i n g i n d e x t h a t m u s t b e t a k e n a s p r a c t i c a l l y z e r o , s o t h a t t h e m e d i a n n e t i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t - o f - l i v i n g i n d e x i n M i s s i r a h i s r e d u c e d t o t h e c o s t - o f - r i s k i n d e x , w h i c h i s e s t i m a t e d t o b e 0 . 0 3 5 ( s e e t h e t h e o r e t i c a l f o r m u l a i n c h a p t e r 3 ) . I n s u m m a r y , b e c a u s e o f t h e o r e t i c a l a n d s t a t i s t i c a l c o n s i d e r a t i o n s f o r M i s s i r a h w e t a k e t h e e s t i m a t e d m e d i a n c o s t - o f - f o o d i n d e x t o b e 1 . 0 3 5 , a n d t h e r i s k a n d n o n r i s k c o m p o n e n t o f i t t o b e 0 . 0 3 5 a n d 1 r e s p e c t i v e l y . ' 9 ‘ T h e a v e r a g e s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s a n d r i c e i n t o t a l e x p e n d i t u r e s o n f o o d a r e r e s p e c t i v e l y 1 9 % a n d 3 3 % i n S a g a t t a , a n d 2 7 % a n d 2 1 % i n C o l o b a n e . T h e r e s p e c t i v e fi g u r e s f o r t h e o t h e r z o n e s a r e 5 1 % a n d 1 0 % f o r N i a k h a r , 3 6 % a n d 1 8 % f o r P a s s y , 4 0 % a n d 9 % f o r D i o l y , 4 8 % a n d 6 % i n M i s s i r a h , 1 2 % a n d 2 1 % i n K a o l a c k , a n d 8 % a n d 2 3 % i n T a m b a . 3 0 0 7 . 4 . 1 . 3 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m s a n d c o s t - o f - r i s k i n d i c e s T a b l e 7 . 4 a l s o g i v e s t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m a n d r i s k p r e m i u m i n d e x f o r e a c h z o n e . T h e y a r e a l l p o s i t i v e a s p r e d i c t e d b y t h e t h e o r y i n c h a p t e r 2 . T h e r i s k p r e m i u m m e a s u r e s i n C F A p e r c a p i t a p e r d a y t h e t o t a l w e l f a r e l o s s a s s o c i a t e d w i t h t h e u n c e r t a i n t y i n t h e f o o d c o m m o d i t y p r i c e s . T h e r i s k p r e m i u m i n d e x m e a s u r e s t h e s a m e w e l f a r e l o s s , b u t a s a r a t i o t o t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . A s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a , t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m i s h i g h e s t i n M i s s i r a h ( 3 . 9 % o r 2 . 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , a n d l o w e s t i n S a g a t t a ( 0 . 3 % o r 0 . 2 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . T h i s p e r h a p s r e fl e c t s t h e f a c t t h a t i n t e r m s o f t h e r e s p e c t i v e s h a r e s o f r i c e a n d c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e S a g a t t a a n d M i s s i r a h a r e a t o p p o s i t e e x t r e m e s a m o n g t h e z o n e s ( s e e T a b l e 6 . 4 ) , a l o n g w i t h t h e f a c t t h a t t h e p r i c e o f r i c e i s fi x e d a n d c o n t r o l l e d b y t h e g o v e r n m e n t , w h i l e t h e c o e f fi c i e n t s o f v a r i a t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s p r i c e s a r e a l m o s t t w i c e a s h i g h i n M i s s i r a h t h a n i n S a g a t t a . ( s e e T a b l e 6 . 7 ) . M o r e o v e r , a s T a b l e 6 . 7 s h o w s , f o r a l m o s t a l l t h e f o o d p r o d u c t s t h e p r i c e v a r i a b i l i t y i s n o t i c e a b l y h i g h e r i n M i s s i r a h t h a n i n S a g a t t a . H o w e v e r , t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f r i c e a n d c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e a l o n e c a n n o t e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e s i n t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m s a m o n g z o n e s . F o r e x a m p l e , N i a k h a r w h i c h h a s t h e h i g h e s t a v e r a g e c o a r s e g r a i n s s h a r e ( 5 1 % ) a n d t h e t h i r d l o w e s t a v e r a g e r i c e s h a r e ( 1 0 % ) , h a s a n o t i c e a b l y l o w e r m e d i a n r i s k p r e m i u m ( 1 . 7 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r 1 . 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) t h a n C o l o b a n e w h i c h h a s r e s p e c t i v e a v e r a g e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e s h a r e s o f 2 7 % a n d 2 1 % r e s p e c t i v e l y , a n d a m e d i a n r i s k p r e m i u m ( i n p e r c e n t a g e t e r m s ) o f 2 . 9 % ( o r 3 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . I n d e e d , i n g e n e r a l t h e r e l a t i v e s h a r e s a n d v a r i a b i l i t y o f i n d i v i d u a l p r i c e s a l o n e d o n o t a l l o w o n e t o p r e d i c t t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t h e r i s k p r e m i a . I n f a c t , a s t h e c o m p l i c a t e d e x p r e s s i o n s f o r t h e " e x p e c t e d " A I D S c o m p e n s a t e d d e m a n d s i n c h a p t e r 5 - w h i c h a r e u s e d t o 3 0 1 c a l c u l a t e t h e t o t a l r i s k p r e m i u m s - s h o w , n o t o n l y t h e i n d i v i d u a l v a r i a n c e s o f p r i c e s e n t e r t h e c o m p u t a t i o n o f e a c h r e s p e c t i v e d i r e c t i o n a l r i s k p r e m i u m , b u t a l s o c o v a r i a n c e s w i t h n o n l i n e a r f u n c t i o n o f o t h e r p r i c e s a s w e l l a s n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f m o m e n t s f o r a l l p r i c e s e n t e r i n t h e c o m p u t a t i o n o f e a c h o f t h e m . T h e r e s p e c t i v e r i s k p r e m i u m fi g u r e s f o r t h e o t h e r z o n e s a r e 1 . 7 % o r 1 . 3 C F A p e r c a p i t a p e r d a y f o r P a s s y , 2 . 1 % o r 1 . 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y f o r D i o l y , 1 % o r 1 . 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y f o r K a o l a c k , a n d 0 . 8 % o r 0 . 9 C F A p e r c a p i t a p e r d a y i n T a m b a . T h e n o n r i s k c o m p o n e n t s o f t h e w e l f a r e g a i n s o r l o s s e s i n T a b l e 7 . 4 i n d i c a t e t h a t i f t h e r e w e r e n o p r i c e u n c e r t a i n t y , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n s - a s p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a - w o u l d h a v e b e e n 1 3 % i n s t e a d o f 9 % i n N i a k h a r , 1 5 % i n s t e a d o f 1 1 . 5 % i n C o l o b a n e , 7 % i n s t e a d o f 6 % i n P a s s y , 2 8 % i n s t e a d o f 2 6 % i n D i o l y , a n d 1 9 % i n s t e a d o f 1 5 % i n M i s s i r a h . M e a n w h i l e , i n S a g a t t a , K a o l a c k , a n d T a m b a , p r i c e u n c e r t a i n t y h a s f u r t h e r i n c r e a s e d t h e m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s e s ( a s p e r c e n t a g e o f t h e p r e — d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) f r o m 1 . 3 % t o 1 . 5 % , 1 3 % t o 1 4 % , a n d 1 0 . 8 % t o 1 1 . 2 % r e s p e c t i v e l y . T h e p a t t e r n s h o w n i n T a b l e 7 . 4 b y t h e z o n e m e d i a n c o s t - o f - r i s k i n d i c e s i s s i m i l a r t o t h e o n e s h o w n b y t h e r i s k p r e m i u m fi g u r e s . T h a t i s , t h e c o s t o f p r i c e - r i s k i s h i g h e s t i n M i s s i r a h a n d l o w e s t i n S a g a t t a . I n o t h e r t e r m s , p r i c e u n c e r t a i n t y i n c r e a s e d t h e m e d i a n c o s t - o f - f o o d i n d i c e s i n M i s s i r a h a n d S a g a t t a b y r e s p e c t i v e l y 0 . 0 3 5 p o i n t s ( o r 4 % ) a n d 0 . 0 0 4 p o i n t s ( o r 0 . 3 % ) . ' 9 5 T h e r e s p e c t i v e i n c r e a s e s f o r t h e o t h e r z o n e s a r e 0 . 0 1 5 p o i n t s o r 1 . 5 % f o r N i a k h a r , 0 . 0 2 9 p o i n t s o r 2 . 6 % f o r C o l o b a n e , 0 . 0 1 9 p o i n t s o r 1 . 7 % f o r P a s s y , 0 . 0 2 p o i n t s 1 . 9 % f o r D i o l y , 0 . 0 1 5 p o i n t s o r 1 . 3 % f o r K a o l a c k , a n d 0 . 0 1 4 p o i n t s o r 0 . 7 % f o r T a m b a . ‘ 9 5 F o r M i s s i r a h , s e e f o o t n o t e 1 9 3 . 3 0 2 W i t h r e g a r d t o m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s , T a b l e 7 . 5 i n d i c a t e s t h a t w h i l e t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m i n d e x i s h i g h e r i n n o n m a r k e t v i l l a g e s ( 0 . 0 2 ) t h a n i n m a r k e t v i l l a g e s ( 0 . 0 1 7 ) , t h e m e d i a n c o s t - o f - r i s k i n d e x i s t h e s a m e i n t h e t w o g r o u p s o f v i l l a g e s ( 0 . 0 1 8 ) . 7 . 4 . 1 . 4 E s t i m a t e s o f t h e m e d i a n t o t a l c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n s T a b l e 7 . 4 g i v e s a l s o t h e z o n e m e d i a n c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n s b o t h i n l e v e l s a n d a s p e r c e n t a g e o f t h e p o s t - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . W e r e c a l l t h a t t h e c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n m e a s u r e s t h e s a m e w e l f a r e c h a n g e a s t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , b u t w i t h t h e d i f f e r e n c e t h a t i t u s e s t h e p o s t - d e v a l u a t i o n p r i c e s i n s t e a d o f t h e p r e — d e v a l u a t i o n o n e s t o v a l u e , i n m o n e t a r y t e r m s , t h e w e l f a r e c h a n g e s . H e n c e , s i n c e i t t a k e s t h e p o s t - d e v a l u a t i o n s i t u a t i o n a s t h e s t a t u s - q u o , t h e c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n m e a s u r e s h o w m u c h t h e m e d i a n h o u s e h o l d i n e a c h z o n e m u s t b e c o m p e n s a t e d ( i f t h e r e i s w e l f a r e l o s s ) o r t a k e n a w a y f r o m i t ( i f t h e r e i s w e l f a r e g a i n ) s o a s i t s l e v e l o f w e l f a r e r e m a i n s t h e s a m e a s b e f o r e t h e d e v a l u a t i o n . W h a t w e fi r s t n o t e i s t h e c a s e o f P a s s y w h e r e t h e e s t i m a t e d m e d i a n c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i s n e g a t i v e ( - 0 . 6 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y o r - 0 . 7 % o f t h e p o s t - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) . H o w e v e r , w e k n o w f r o m t h e t h e o r y i n c h a p t e r 2 , t h a t a l t h o u g h t h e y m a y b e o f d i f f e r e n t m a g n i t u d e s b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t t h e y u s e a d i f f e r e n t s e t o f p r i c e s t o v a l u e t h e c h a n g e i n w e l f a r e , t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n a n d t h e c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n m u s t a l w a y s h a v e t h e s a m e s i g n s . H e n c e , w e t a k e t h e s m a l l n e g a t i v e v a l u e f o r t h e m e d i a n c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n P a s s y t o b e j u s t a n s t a t i s t i c a l a r t i f a c t , a n d t a k e i t t o b e p r o b a b l y n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t f r o m z e r o . I n o t h e r w o r d s , c o n s i d e r i n g t h e p r e v a i l i n g p o s t - d e v a l u a t i o n l e v e l o f p r i c e s a s t h e s t a t u s - q u o , b y a n d l a r g e h o u s e h o l d s i n P a s s y n e e d n o c o m p e n s a t i o n o r t a x a t i o n i f t h e m e d i a n l e v e l o f w e l f a r e i s t o r e m a i n t h e s a m e a s b e f o r e t h e d e v a l u a t i o n . T h e c a s e s o f N i a k h a r a n d M i s s i r a h w h e r e t h e e s t i m a t e d m e d i a n c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n s a r e 3 0 3 r e s p e c t i v e l y 0 . 9 2 a n d 0 . 9 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ( o r 1 . 0 2 % a n d 0 . 9 9 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p o s t - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a ) a r e v e r y c l o s e a n d a l s o s i m i l a r t o t h e o n e o f P a s s y . ‘ 9 6 O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e i r l e v e l o f w e l f a r e i s t o b e t h e s a m e a s b e f o r e t h e d e v a l u a t i o n , h o u s e h o l d s i n S a g a t t a , K a o l a c k a n d T a m b a m u s t b e c o m p e n s a t e d b y r e s p e c t i v e l y 7 , 3 3 , a n d 2 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ( o r 9 % , 2 1 % , a n d 1 7 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p o s t - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a ) . I n c o n t r a s t , b y a n d l a r g e h o u s e h o l d s i n C o l o b a n e a n d D i o l y h a v e t o b e t a x e d b y r e s p e c t i v e l y 8 a n d 1 2 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ( o r 6 . 5 % a n d 1 5 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p o s t — d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a ) , i f t h e i r r e s p e c t i v e m e d i a n l e v e l s o f w e l f a r e i s t o r e m a i n t h e s a m e a s b e f o r e t h e d e v a l u a t i o n . F i n a l l y , i n t e r m s o f m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s , T a b l e 7 . 5 t e l l u s t h a t b y a n d l a r g e h o u s e h o l d s i n n o n m a r k e t v i l l a g e s h a v e t o b e t a x e d a n d t h o s e i n m a r k e t v i l l a g e s b e c o m p e n s a t e d b y r e s p e c t i v e l y 4 a n d l C F A p e r c a p i t a p e r d a y ( o r 5 % a n d 1 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p o s t - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a ) , i f t h e i r r e s p e c t i v e m e d i a n l e v e l s o f w e l f a r e i s t o r e m a i n t h e s a m e a s b e f o r e t h e d e v a l u a t i o n . F o r c o m p l e t e n e s s , a t t h e e n d o f T a b l e 7 . 4 w e g i v e f o r c o m p a r i s o n t h e e s t i m a t e d z o n e m e d i a n p e r c e n t a g e c h a n g e s i n n o m i n a l i n c o m e a n d t h e e s t i m a t e d r e s u l t i n g m e d i a n c h a n g e s i n t h e a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . T h e e s t i m a t e d c h a n g e s i n n o m i n a l i n c o m e s a r e b a s e d o n t h e s h a r e o f p e a n u t i n c o m e i n t o t a l i n c o m e ( a l s o g i v e n i n t h e s a m e t a b l e ) a n d t h e o n e f o r c o t t o n i n c o m e , a l o n g w i t h t h e p e r c e n t a g e c h a n g e s i n p e a n u t a n d c o t t o n p r i c e s . A s a l r e a d y m e n t i o n e d , t h e e s t i m a t e d p e r c e n t a g e c h a n g e s i n t h e a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a w e r e o b t a i n e d b y e s t i m a t i n g a n E n g e l c u r v e o f f o o d s h a r e o n t o t a l e x p e n d i t u r e ( t h a t i s f o o d p l u s n o n f o o d e x p e n d i t u r e ) . T h e r e a r e t w o t h i n g s t o n o t e h e r e . F i r s t , a l l r u r a l z o n e s e x p e r i e n c e a n ‘ 9 5 F o r M i s s i r a h , g i v e n t h e e s t i m a t e d l o w m e d i a n c o s t - o f - f o o d i n d e x , t h e m e d i a n c o m p e n s a t e d v a r i a t i o n e s t i m a t e d o e s n o t s e e m t o b e p l a u s i b l e . 3 0 4 i n c r e a s e i n n o m i n a l i n c o m e , w i t h D i o l y h a v i n g t h e h i g h e s t m e d i a n i n c r e a s e ( 2 9 % ) a n d S a g a t t a t h e l o w e s t ( 1 0 % ) . T h e i n c r e a s e s i n n o m i n a l i n c o m e f o r t h e o t h e r z o n e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 5 % f o r N i a k h a r , 2 2 % f o r C o l o b a n e , 1 3 % f o r P a s s y , 1 4 % f o r M i s s i r a h , a n d 0 % f o r K a o l a c k a n d T a m b a . B u t , t h e n o t i c e a b l e t h i n g h e r e i s t h e s i m i l a r i t y o f t h e m e d i a n i n c r e a s e s i n n o m i n a l i n c o m e w i t h t h e e s t i m a t e d m e d i a n i n c r e a s e s i n t h e a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a w h i c h a r e r e s p e c t i v e l y 9 . 5 % f o r S a g a t t a , 1 3 % f o r N i a k h a r , 2 1 % f o r C o l o b a n e , 1 2 % f o r P a s s y , 2 5 % f o r D i o l y , 1 3 % f o r M i s s i r a h , a n d 0 % f o r K a o l a c k a n d T a m b a . S e c o n d , f o r s o m e o f t h e z o n e s l i k e D i o l y , M i s s i r a h , a n d N i a k h a r , t h e e s t i m a t e d m e d i a n i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a a r e v e r y c l o s e t o t h e i r e s t i m a t e d m e d i a n n e t g a i n i n w e l f a r e ( w h i c h w e r e 2 6 % , 1 5 % , a n d 9 % r e s p e c t i v e l y ) . O n t h e o t h e r h a n d , f o r o t h e r z o n e s l i k e C o l o b a n e a n d P a s s y , t h e i r e s t i m a t e d m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n s ( w h i c h w e r e 1 1 . 5 % a n d 6 % r e s p e c t i v e l y ) a r e a b o u t h a l f t h e i r e s t i m a t e d m e d i a n i n c r e a s e s i n t h e i r a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . M o r e o v e r , f o r S a g a t t a , d e s p i t e a 9 . 5 % m e d i a n i n c r e a s e i n i t s a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a a s a r e s u l t o f t h e n e t i n c r e a s e i n t o t a l i n c o m e , t h e r e i s s t i l l a m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s o f 1 . 5 % i n t e r m s o f f o o d c o n s u m p t i o n . O f c o u r s e , t h e s e d i f f e r e n c e s a m o n g z o n e s a r e e x p l a i n e d b y t h e d i f f e r e n c e s i n t h e i r c o s t - o f - f o o d i n d i c e s . S t i l l f o r c o m p l e t e n e s s , w e h a v e g i v e n i n T a b l e 7 . 4 t h e m e d i a n e s t i m a t e s o f t h e L a s p e y r e s a n d P a a s c h e p r i c e i n d i c e s . A s t h e fi g u r e s s h o w , t h e y b o t h t e n d t o g r o s s l y o v e r o r u n d e r e s t i m a t e t h e t r u e c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s . 7 . 4 . 2 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s I n t h e a n a l y s i s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e h a v e f o c u s s e d e x c l u s i v e l y o n t h e m e d i a n w e l f a r e i m p a c t s o n e a c h z o n e . H o w e v e r , w i t h i n e a c h z o n e t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e d e v a l u a t i o n h a s a f f e c t e d h o u s e h o l d s d i f f e r e n t l y d e p e n d i n g o n t h e i r i n c o m e s t a t u s , c o n s u m p t i o n 3 0 5 p a t t e r n s , p r o d u c t i o n p a t i e n t s a n d o t h e r s o c i o — e c o n o m i c v a r i a b l e s . O n e w a y t o s e e h o w h o u s e h o l d s w i t h d i f f e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s h a v e b e e n a f f e c t e d b y t h e c h a n g e i n p r i c e , i s t o s t u d y t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s i n e a c h z o n e . H o w e v e r , t o a v o i d l e n g t h y d i s c u s s i o n s , w e w i l l f o c u s o n l y o n t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n a s p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a a n d t h e t o t a l c o s t - o f — f o o d i n d e x . I n t h e n e x t s e c t i o n w h e r e w e s t u d y t h e w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e d e v a l u a t i o n a c r o s s i n c o m e g r o u p s , w e w i l l c o m e b a c k t o t h e o t h e r i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s . F i g u r e 7 . 1 g i v e s t h e h i s t o g r a m s a n d s a m p l e s t a t i s t i c s r e s p e c t i v e l y f o r b o t h t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n a s p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a a n d t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d e x . I n t h e o v e r a l l s a m p l e , t h e w e l f a r e l o s s e s o r g a i n s r a n g e f r o m - 1 7 % t o + 3 8 % w i t h a n s t a n d a r d e r r o r o f 0 . 9 1 , w h i l e t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d e x r a n g e f r o m 0 . 9 2 t o 1 . 1 7 w i t h a n s t a n d a r d e r r o r o f 0 . 0 0 4 . W i t h r e s p e c t t o t h e c o s t - o f - f o o d i n d e x , a s a l r e a d y d i s c u s s e d i n f o o t n o t e 1 9 3 t h e 1 6 c a s e s ( 5 % o f t h e s a m p l e ) f o r w h i c h t h e c o s t - o f - f o o d i n d e x i s e s t i m a t e d t o b e b e l o w o n e a r e r u l e d o u t b y t h e t h e o r y . F o r b o t h t h e w e l f a r e c h a n g e a n d t h e c o s t - o f - f o o d i n d e x , t h e s a m p l e m e d i a n i s h i g h e r t h a n e i t h e r t h e s i m p l e m e a n o r t h e o t h e r r o b u s t e s t i m a t e s o f - l o c a t i o n s . T h e s a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e w e l f a r e c h a n g e s i s c l o s e t o b e i n g b i m o d a l , w i t h o n e m o d e b e i n g i n t h e w e l f a r e l o s s r a n g e b e t w e e n - 1 2 . 5 % t o - 7 . 5 % , a n d t h e o t h e r m o d e b e i n g i n t h e w e l f a r e g a i n r a n g e b e t w e e n + 7 5 % t o + 1 2 . 5 % . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d e x i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e r i g h t ( i . e . , t o w a r d h i g h e r v a l u e s ) . 3 0 6 W E L F A R E C H A N G E A S 1 O F T H E P R E - D E V A L U A T I O N F O O D B U D G E T F r e q u e n c y B i n C e n t e r V a l i d c a s e s : 2 4 7 . 0 M i s s i n g c a s e s : . 0 1 1 . 0 0 - 1 7 . 5 0 0 0 * * * * * P e r c e n t m i s s i n g : . 0 4 1 ‘ 0 0 - 1 2 _ 5 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3 3 0 0 - 7 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * M e a n 4 . 6 1 3 4 S t d E r r . 9 0 7 6 1 9 . 0 0 - 2 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * * M e d i a n 5 . 2 9 0 0 V a r i a n c e 2 0 3 . 4 4 8 0 1 6 . 0 0 2 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * 5 % T r i m 4 . 1 6 7 5 S t d D e v 1 4 . 2 6 3 5 3 4 . 0 0 7 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * M i n — l 6 . 7 1 0 0 S k e w n e s s . 2 6 9 3 3 1 . 0 0 1 2 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * M a x 3 8 . 0 4 0 0 5 E S k e w . 1 5 4 9 1 9 . 0 0 1 7 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * * R a n g e 5 4 . 7 5 0 0 K u r t o s i s - . 9 7 7 1 2 1 . 0 0 2 2 . 5 0 0 0 0 * * * * * * * * * * I O R 2 4 . 0 7 0 0 5 E K u r t . 3 0 8 6 9 . 0 0 2 7 . 5 0 0 0 0 * * * * 1 0 . 0 0 3 2 . 5 0 0 0 0 * * * * * M - E s t i m a t o r s 3 . 0 0 3 7 . 5 0 0 0 0 * H u b e r ( 1 . 3 3 9 ) 3 . 7 5 5 1 T u k e y ( 4 6 8 5 ) 4 . 0 5 6 0 B i n w i d t h : 5 . 0 0 0 0 0 H a m p e l ( l . 7 0 0 . 3 . 4 0 0 . 8 . 5 0 0 ) 4 . 1 1 7 7 E a c h s t a r : 2 c a s e ( s ) A n d r e w ( 1 . 3 4 0 * p i ) 4 . 0 6 1 2 C O S T - O F - F O O D I N D E X F r e q u e n c y B i n C e n t e r V a l i d c a s e s : 2 4 7 . 0 M i s s i n g c a s e s : . 0 1 . 0 0 . 9 1 0 0 0 P e r c e n t m i s s i n g : . 0 1 . 0 0 . 9 3 0 0 0 6 . 0 0 . 9 5 0 0 0 * * * M e a n 1 . 0 9 6 7 S t d E r r 0 0 4 0 4 . 0 0 . 9 7 0 0 0 * * M e d i a n 1 . 1 1 1 4 V a r i a n c e 0 0 3 9 4 . 0 0 . 9 9 0 0 0 * * 5 % T r i m 1 0 9 9 5 S t d D e v 0 6 2 3 1 7 . 0 0 1 . 0 1 0 0 0 * * * * * * * * M i n . 9 1 7 0 S k e w n e s s - 5 9 5 2 2 3 . 0 0 1 . 0 3 0 0 0 * * * * * * * * * * * M a x 1 . 2 0 9 7 S E S k e w 1 5 4 9 1 3 . 0 0 1 . 0 5 0 0 0 * * * * * * R a n g e . 2 9 2 7 K u r t o s i s - 3 8 5 5 1 8 . 0 0 1 . 0 7 0 0 0 * * * * * * * * * I O R . 0 9 6 8 S E K u r t 3 0 8 6 2 3 . 0 0 1 . 0 9 0 0 0 * * * * * * * * * * * 2 8 . 0 0 1 . 1 1 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * M - E s t i m a t o r s 3 8 0 0 1 . 1 3 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * H u b e r ( 1 . 3 3 9 ) 1 . 1 0 6 6 3 2 . 0 0 1 . 1 5 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * T u k e y ( 4 . 6 8 5 ) 1 . 1 0 8 2 2 7 . 0 0 1 . 1 7 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * H a m p e l ( 1 . 7 0 0 . 3 . 4 0 0 . B . 5 0 0 ) 1 . 1 0 2 8 1 0 . 0 0 1 . 1 9 0 0 0 * * * * * A n d r e w ( 1 . 3 4 0 * p i ) 1 . 1 0 8 2 2 . 0 0 1 . 2 1 0 0 0 * B i n w i d t h : . 0 2 0 0 0 E a c h s t a r : 2 c a s e ( s ) F i g u r e 7 . 1 E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p e r c e n t a g e w e l f a r e c h a n g e ( e q u 1 v a l e n t v a r i a t i o n ) a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d e x : h i s t o g r a m a n d s a m p l e s t a t i s t i c s . 3 0 7 F i g u r e 7 . 2 a n d F i g u r e 7 . 3 s h o w t h e b o x p l o t d i a g r a m s f o r t h e e s t i m a t e d w e l f a r e c h a n g e s a n d t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s i n e a c h z o n e . F i r s t , a s F i g u r e 7 . 2 s h o w s t h e r e i s n o z o n e w h e r e a l l h o u s e h o l d s e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . H o w e v e r , e x c e p t f o r t h e z o n e o f P a s s y , i n a l l t h e z o n e s t h a t s h o w e d a m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n , m o r e t h a n 7 5 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . F o r t h e z o n e o f P a s s y a b o u t 5 0 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . N a t u r a l l y , v i r t u a l l y a l l t h e h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . B u t , i n S a g a t t a w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e , a b o u t 2 5 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . S e c o n d , t h e v a r i a b i l i t y i n t h e n e t w e l f a r e c h a n g e s a c r o s s h o u s e h o l d s i s h i g h e r i n z o n e s w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s p o s i t i v e t h a n i n z o n e s w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e . T h e v a r i a b i l i t y i n t h e n e t w e l f a r e c h a n g e s a c r o s s h o u s e h o l d s i s p a r t i c u l a r l y l o w i n K a o l a c k w h e r e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n i s p a r t i c u l a r l y s k e w e d t o w a r d t h e v a l u e s o f g r e a t e r n e t w e l f a r e l o s s e s . I n c o n t r a s t , F i g u r e 7 . 3 s h o w s t h a t b y a n d l a r g e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s a r e s i m i l a r a c r o s s z o n e s , e s p e c i a l l y i n t e r m s o f v a r i a b i l i t y . I t i s o n l y i n M i s s i r a h w h e r e c l o s e t o 5 0 % o f t h e e s t i m a t e d c o s t - o f - f o o d i n d i c e s h a v e t h e o r e t i c a l l y w r o n g m a g n i t u d e s ( i . e . , l e s s t h a n 1 ) . F e w c a s e s i n N i a k h a r a l s o h a v e t h e o r e t i c a l l y w r o n g e s t i m a t e d c o s t - o f - f o o d i n d i c e s . F i g u r e 7 . 3 a l s o c o n fi r m s t h e t r e n d i n t h e i n c r e a s e s o f t h e c o s t o f f o o d a s s h o w n b y t h e m e d i a n e s t i m a t e s . T h a t i s , b y a n d l a r g e t h e c o s t o f f o o d h a s i n c r e a s e d t h e l e a s t i n N i a k h a r , D i o l y , a n d M i s s i r a h , a n d i n c r e a s e d t h e m o s t i n K a o l a c k . F i n a l l y , F i g u r e 7 . 4 a n d F i g u r e 7 . 5 c o m p a r e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s i n m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s o f t h e w e l f a r e c h a n g e s a n d t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s r e s p e c t i v e l y . A l t h o u g h i n b o t h c a s e s t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s i n m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s d o i n t e r s e c t , t h e b o x p l o t d i a g r a m s m e r e l y c o n fi r m t h e t r e n d s s h o w n b y t h e m e d i a n e s t i m a t e . 3 0 8 ) T E G D U B D O O F n o i t a u l a v e d - e r P E H T F O 2 S A N O I T A . e n o z y b s m a r g a i d t o l p x o B : e r a f l e w n i e g n I a R A V T N E L A V I U Q E ( E G N A H C E R A F L E W E G A T N E C R E P 4 0 0 0 . 0 4 h c e g a t n e c r e p e h t f o s n o i t u b i r t s i d l a c i r i p m E ~ 2 0 0 . 0 2 - . 7 e r u g i F 3 0 9 L 2 0 . 0 4 . l N 3 L “ _ J L L < K L I J U I < Z C D L A J . 0 0 - l A Z O N E S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e K a o l a c k P a s s y D i o l y M i s s i r a h T a m b a N o f C a s e s 2 9 . 0 0 3 2 . 0 0 3 3 . 0 0 3 0 . 0 0 2 9 0 0 3 5 . 0 0 3 2 . 0 0 2 7 . 0 0 S y m b o l K e y : * - M e d i a n . F o r e a c h z o n e . 5 0 % o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . s - s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . l - l a r g e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . ( O ) - O u t l i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . . e g n a r e l i t r a 0 u a 0 q b . r m 4 e a 5 t T n . e l i t i n e e c h r . t e p h s a ) i r 0 h i x 0 t e n o z s . o 5 . y s 4 b 7 e b i 6 M e p l i e h s s t l t e n m i r e t f ( c n o r e h e c a r g h t a p r t 5 e 0 g p 2 y 0 n ) h l . e e t ) i d o 5 h 0 l h t i t 7 7 t D 5 e h s p t i s o l p e p x ) x s o r . 1 ( e t o n 0 x B o e o b r b h ( e t : 0 e h 5 h y 0 t h t 2 s . t 5 s 8 f m 2 x e d ( n a 5 n o o P i i r m h ) f o t y r f i r s w a h d o d t s o s h n g f k e n t u c u e g o a 0 l n l b l 0 - a e . - f o o . v r l x r - . a 0 e - e o r t K 6 i e x p b e v o p i a u t l 5 b s o h . u t c p u o 3 1 s s o e t n n e e e s o t a a r h n o a n t h h ( a c n t t b s 0 y ) ) o f 0 r s e e i l o . a i r r o 6 d t o o C 6 % m m t n a 0 u h a 5 o t h p p f o s n b t s s o . e i e e e t r e u r r n e l u ( ( o w a l z o v a s s u b r s s l v i a 0 h d r e e h 0 c e e d l l k . a h v e a e t 4 r v e e i 6 e r u u t s i N r d e s l l d o n a a b s F a v v o b o l t a : . . r e c s t n e m e s a l e a i e t l g i l r t 0 t d t a r i r i a 0 e u m x a p g M . O s E l a 8 S 5 - - - - - m E 4 0 0 0 8 . * : y e K l o b m y S 3 1 0 1 . 4 0 0 0 . A 1 . 2 0 0 0 - A 1 . 0 0 0 0 « U O W P — O L L — L L O O D H Z D L A J X C O S T - O F - F O O O I N D E X 1 l l l l l l l s s ( O ) B — ( ) — 8 9 s s s s Z O N E N o f C a s e s F i g u r e 7 . 3 ) T E G D U B D O O F n o i t a u l a v e d - . s e g a l l i v t e k r a m n o n / t e k r a M y b s m a r g a i d t o l p x o e B r P E H T F O 1 S A N O I T A I R A V T N E L A V I U Q E ( E G N A : e r a f l e w n i e g n a h c e g a t n 0 a 0 b . e m 7 a 2 T c r e p e h H t C k c 0 E a 0 R l . A o 0 F a 3 L K f o s n o i t u b i s e g E W E G A T N E C R E P t 0 a r e 0 l k . l r 0 i a v 6 t s i M d t s e e k g 0 r a 0 l a c i r i p a l . m m l 0 n i 3 o v 1 N E . 4 - s . 0 0 a 0 0 C 0 . e s . 0 4 0 2 - f o N 7 e r u g i F 3 1 1 A 2 0 . 0 0 0 ~ fl N I L A J _ J L L . < K L I J U I < Z L O L A J ' — l . 0 0 0 0 . L S y m b o l K e y : * - M e d i a n . F o r e a c h v i l l a g e t y p e 5 0 % o f c a s e s h a v e v a l u e s w i t h i n t h e b o x . t h e l e n g t h o f t h e b o x i s t h e i n t e r q u a r t i l e r a n g e . a n d t h e l o w e r b o u n d a r y ( r e s p u p p e r b o u n d a r y ) o f t h e b o x i s t h e 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . s s m a l l e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . l - l a r g e s t o b s e r v e d v a l u e t h a t i s n o t o u t l i e r . ( 0 ) - O u t l i e r : v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 1 . 5 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 7 5 t h ) p e r c e n t i l e . ( E ) - E x t r e m e . v a l u e l e s s ( r e s p m o r e ) t h a n 3 b o x - l e n g t h s f r o m 2 5 t h ( r e s p 5 t h ) p e r c e n t i l e . e g s e g a l n l a r e l i t r i v t e k a r u q a . m r e e l n t o i n t i n e e c h r n / t e t e k p s i ) h x t r a M o 5 y . b 7 e b e p e i l h s l s t t e n m i r ( e t a f n c o r e h e c r g h t p r a t 5 e i g 2 p ) d n h e e t ) l h 5 h t t 7 t e 5 h s p 7 o l t s i p e p x x o r s , ( e X E D o N I O O O F - F O - T S O C x B o b r ( b h e t : e h 5 h h t 2 t t 5 f m 2 n o o x e d n i r m i h ) f o t y i r s w a h r f d o d t s o s n g h f e t n u u e g o 0 l l n b — f o a 0 - e a . b r r - . x l v . m e 7 e o - r t a e 2 p b x i e s T v p o i a u 5 b t l o h . u t c p u o 1 3 s s o e t n n e e s o t a a r h a o n h h ( t k t t c n c y 0 ) ) s a r e e 0 f s i l . o a r r i o 0 d o o t a 3 1 a n m m t K 0 u h a 5 o t h p p b t s s f o s n o . e e e i e t r u e r r n e u l ( ( s o w l a e s s z a o v u b g l i v s s t 0 h a d r e e e l 0 c e e d l l k l . a h v e r r i t 0 e v e e a e u r u v 6 t s i M s e l l r d d o n b s a a F a v v o b o l t a : . . s t r e c n i e m e s t s i e a l e e e l r i l g r i k g 0 d a r t t r a 0 e m x u a p a l . M m s l E O m l 0 E n i 3 - - - - - o v 1 N ) ) * s O E l ( ( : s y 5 . e e 7 s K a C l o f b o m y N S e r u g i F « 0 0 0 0 . 1 3 1 2 A 1 . 4 0 0 0 « 1 . 2 0 0 0 « ' — I U ) W U O W F — O m fl o o o t n ~ 1 2 0 q u . 8 0 0 0 < A T h a t i s , b y a n d l a r g e h o u s e h o l d s i n n o n m a r k e t v i l l a g e s e x p e r i e n c e d h i g h e r n e t w e l f a r e g a i n s a n d l o w e r i n c r e a s e i n t h e i r t o t a l c o s t o f f o o d t h a n h o u s e h o l d s i n m a r k e t v i l l a g e s . P e r h a p s o n e l a s t t h i n g t o n o t i c e h e r e i s t h e l o w v a r i a b i l i t y a c r o s s h o u s e h o l d s i n t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d e x i n m a r k e t v i l l a g e s c o m p a r e d t o n o n m a r k e t v i l l a g e s . 7 . 4 . 3 V a r i a t i o n o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s a c r o s s i n c o m e g r o u p s T a b l e 7 . 6 g i v e s t h e m e d i a n w e l f a r e i m p a c t s f o r e a c h i n c o m e q u a r t i l e i n t h e r u r a l a n d u r b a n z o n e s s e p a r a t e l y , w h i l e T a b l e 7 . 7 g i v e s t h e s a m e i n f o r m a t i o n f o r m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s s e p a r a t e l y . H o w e v e r , a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t o s h o r t e n t h e d i s c u s s i o n w e w i l l f o c u s o n t h e t o t a l e q u i v a l e n t v a r i a t i o n a n d c o s t - o f - f o o d i n d e x o n l y . 1 9 7 7 . 4 . 3 . 1 W e l f a r e i m p a c t s a c r o s s i n c o m e g r o u p s i n r u r a l a n d u r b a n z o n e s T a b l e 7 . 6 s h o w s t h a t i n t h e u r b a n z o n e s , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s a s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a a n d t h e i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d a r e g r e a t e s t f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e ( 1 5 % o r 1 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d 1 8 % r e s p e c t i v e l y ) . T h e y a r e l o w e s t f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 . 5 % o r 1 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d 1 4 % r e s p e c t i v e l y ) . F o r t h e t w o h i g h e r i n c o m e q u a r t i l e s , t h e c o r r e s p o n d i n g fi g u r e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 3 % ( o r 1 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 1 5 % f o r t h e u p p e r - m e d i u m q u a r t i l e , a n d 1 3 % ( o r 2 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 1 5 . 5 % f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e . I n t h e r u r a l z o n e s , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s p o s i t i v e f o r a l l i n c o m e q u a r t i l e s . I n p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a , t h e m e d i a n n e t ‘ 9 ” O n e n o t i c e a b l e f a c t h e r e i s t h e t h e o r e t i c a l l y w r o n g s i g n f o r t h e r i s k fi g u r e s f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e i n t h e m a r k e t v i l l a g e s . 3 1 3 T a b l e 7 . 6 I n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e 5 0 % C F A d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : V a r i a t i o n a c r o s s i n c o m e g r o u p s R u r a l z o n e s U r b a n z o n e s I n c o m e q u a r t i l e I n c o m e q u a r t i l e l o w 2 5 % 2 5 - 5 0 % 5 0 - 7 5 % t o p 2 5 % l o w 2 5 % 2 5 - 5 0 % 5 0 - 7 5 2 t o p 2 5 % " E x p e c t e d " A I D S m o d e l E q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) T o t a l . . . . . . . . . . . . . 7 9 9 8 7 . 0 9 0 1 0 . 4 4 7 1 0 . 2 5 6 - 1 5 . 8 2 - 1 3 7 8 - 1 5 . 3 1 - 2 4 7 9 R i s k p r e m i u m . . . . . . 1 . 4 3 0 1 2 2 8 1 . 7 6 4 1 . 8 6 3 1 . 2 0 0 2 . 0 3 4 6 6 2 2 0 3 4 N o n r i s k c o m p o n e n t 8 2 6 5 8 . 7 0 6 1 1 . 8 5 4 1 4 . 6 0 7 - 1 5 . 0 7 - 1 2 . 2 6 - 1 5 . 5 7 - 2 3 . 0 8 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n X . . . . . . . . . . . . 1 2 . 4 1 0 8 . 3 4 0 1 0 . 1 3 0 8 . 9 6 0 - 1 5 . 0 6 - 1 2 . 5 1 - 1 2 . 9 8 - 1 3 4 3 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) T o t a l . . . . . . . . . . . . . 1 . 6 5 0 1 . 2 9 3 5 . 6 7 0 7 . 8 0 5 - 2 7 . 6 9 - 2 4 . 0 5 - 3 0 . 8 6 - 3 7 7 1 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n 2 . . . . . . . . . . . . 2 . 9 7 0 1 . 3 1 0 5 . 8 3 0 5 . 6 9 0 - 1 9 . 2 3 - 2 0 . 4 0 - 1 9 . 9 0 - 2 0 7 2 L i v i n g - s t a n d a r d i n d e x T o t a l . . . . . . . . . . . . . 1 . 1 2 4 1 . 0 8 3 1 . 1 0 1 1 . 0 9 0 . 8 4 9 . 8 7 5 . 8 7 0 8 6 6 R i s k p r e m i u m i n d e x . 0 2 2 . 0 1 6 . 0 2 0 . 0 2 2 . 0 1 0 . 0 1 5 . 0 0 7 . 0 1 0 N o n r i s k c o m p o n e n t 1 . 1 6 8 1 . 1 0 3 1 . 1 1 9 1 . 1 5 3 . 8 6 8 . 8 8 7 . 8 7 3 . 8 7 6 C o s t - o f - l i v i n g i n d e x T o t a l . . . . . . . . . . . . . 1 . 0 8 9 1 . 0 7 2 1 . 0 9 5 1 . 1 2 6 1 . 1 7 7 1 . 1 4 3 1 . 1 4 9 1 . 1 5 5 C o s t - o f - r i s k i n d e x . 0 1 7 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 1 5 . 0 1 9 . 0 0 9 . 0 1 3 N o n r i s k c o m p o n e n t 1 . 0 6 6 1 . 0 5 8 1 . 0 7 6 1 . 0 9 8 1 . 1 5 2 1 . 1 2 7 1 . 1 4 6 1 . 1 4 2 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l E q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) . . - 2 4 9 5 - 3 . 7 0 5 - . 2 6 8 - 1 . 1 4 6 - 2 9 . 7 8 - 2 2 . 2 8 - 3 1 . 2 1 - 3 9 . 8 9 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n z . . . . . . . . . . . . - 2 . 2 3 0 - 4 . 3 5 0 - . 3 2 0 - . 9 6 0 - 1 8 . 7 0 - 1 8 . 6 1 - 1 8 . 8 8 - 1 9 . 2 7 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) . . . - 3 . 1 5 4 - 4 5 9 4 - . 3 3 5 - 1 . 4 2 6 - 3 7 . 6 7 - 2 8 1 5 - 3 9 . 5 3 — 5 0 . 6 9 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n Z . . . . . . . . . . . . - 2 . 3 3 0 - 4 . 6 5 0 - 3 3 0 - 1 . 0 0 0 - 2 3 . 8 1 - 2 3 . 4 2 - 2 3 . 8 5 - 2 4 . 7 4 L i v i n g - s t a n d a r d i n d e x . 9 7 8 . 9 5 7 . 9 9 7 . 9 9 0 . 8 1 3 . 8 1 4 . 8 1 1 . 8 0 7 C o s t - o f — l i v i n g i n d e x 1 . 1 8 1 1 . 1 8 4 1 . 1 9 9 1 . 1 9 9 1 . 2 3 0 1 . 2 2 9 1 . 2 3 3 1 . 2 3 9 O t h e r S t a t i s t i c s S h a r e o f P e a n u t i n t o t a l i n c o m e . . . . 3 7 . 5 0 0 3 4 . 7 0 0 4 8 . 2 0 0 4 9 . 9 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 2 c h a n g e i n n o m i n a l . . . . . . . . . . 1 7 . 3 3 0 1 4 . 9 2 0 2 0 . 7 3 0 2 1 . 4 6 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 E s t i m a t e d 1 c h a n g e i n f o o d e x p . . . . . 1 6 . 0 5 0 1 3 . 5 9 0 1 8 . 9 8 0 1 9 . 8 4 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 L a s p e y r e s P r i c e i n d e x 1 . 2 4 6 1 . 2 5 7 1 2 4 9 1 . 2 3 6 1 . 2 0 4 1 . 2 7 2 1 . 2 6 4 1 . 2 6 5 P a a s c h e P r i c e i n d e x . . 4 4 5 . 4 4 6 . 5 4 1 . 7 5 1 . 9 9 9 . 9 6 6 1 . 1 4 2 1 . 1 1 1 N o t e s : T h e w e l f a r e i n d i c a t o r s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e w e l f a r e i n d i c a t o r s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . 3 1 4 0 5 2 ) O ( e l i t . s r p a u q r e t . n e i u o r g e l m i o e t h n c t e n c i s r i 3 e 4 p y 2 b ) O ( x o ) b h t s e 5 m h 7 a t p f s o e r g a r i h d ( 2 t 5 2 ) O ( g h n t t e 5 o l 2 e e h h l p x t t o B . s i x < « o : 0 0 h 0 t 0 e a f l b x e o r e b ) T E G D U B D O O F L A I T I N I E H T F O 2 S A N O I T A I R A V T . 0 0 N E L A V I U Q E ( E R A F L E . h 8 t e n 1 - i w h f t o i w ) y n i s r e e a u d l n g n a u a v o b e v r h c a e e h p g p W a N I E s u e s p . t n a s e r . c e e r c r i e G r N A H C E G A T f ( l i o t l e y t u p 2 r u o 0 o a 5 d t n o t e h e o u n t l o n i s b N f E C R E P E H T F O N O I T U B I R T S I D 1 _ _ 4 0 0 t s i r r i o a e t u w a t q o h a l t h s n e t o m e e i o h u e t c t l u n a l u i v a d b n v i h d r a c e d t a v e . s e r v e g e r i r n s e d o a b s F r o b o l t a . s t c n i e s a l e i l g d a r r i e m a p M s l m - - - E * s l : 6 y . e K l 7 e r ~ 0 0 . 0 r . 0 4 0 2 - o b u m y S g i F 3 1 5 1 1 2 0 . 0 0 0 ~ - 6 . 0 0 0 . ' — A i ¥ , — . O O O O - - 1 2 . 0 0 - T I f N 3 L u _ 1 u . < ( o : u . i U I < Z C J L A J N 3 L u _ 1 u . < c r u . 1 U I < Z L D u J l I n c o m e q u a r t i l e : l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 % 5 0 - 7 5 % t o p 2 5 % I n c o m e q u a r t i l e : l o w 2 5 % 2 5 - 5 0 % 5 0 - 7 5 % t o p 2 5 % R U R A L Z O N E S U R B A N Z O N E S I D O O F 0 - 0 F 0 O 4 1 - T S O C E H T F O N O I T U B I R 0 0 q h 0 n 0 t r e b a h u t e o l p x 0 o e i 0 0 . 1 8 . m f h B o o t c i n w ) : I y x s r e a u d l n e d n a u i v o b e v r d o a o e h p f p s u 2 e 5 s p . - f o 2 a s - r . c e e r t r ( i e s % 5 2 p o e t l i t r a u q r % e 5 t 7 n . - e i l i e t . 0 h S s n 5 t E e N c O s r Z i e p u o p r N x g A o ) 2 h B b 0 R t 5 U 5 e e m 3 4 2 ) O h 7 o ( - t c p n 5 f s i 2 e o r ( h y t b % t n g h 5 5 s e 2 2 l w e e o h h m a r l g t t : . s i e x a i d X E D N o a 0 t « o t l i b x T p S I D 4 . - o f l i t o t l o y t u c 1 r o u 0 o a 5 d t n o t e h e u o n t l o n 2 i b s 5 t s i 7 i r r - u w a t a e t S h a q o 0 E t h l 5 t N e f o s n o O i m e e Z o h u e t c t l u L n a l A d i v a u b R n v i % h d r U a 0 R c e d t 5 a v e . s e r v e - i g e r r n s e d 5 o a b s 2 F r o b o l t a . s t c n i e s 2 l e a 5 l g i 2 a r d r i e m a p w M s l m o E l - — - : e l i * s l t : 7 r y . a e 7 u K 0 0 0 q 0 0 0 0 4 2 . . 1 1 0 e l 0 8 . e r o m b u o m c y n S g i I F 3 1 6 A A 1 . 2 0 0 0 » — — — — l l l i k * s s ( O ) 2 5 2 s 5 1 . 0 0 0 0 4 A c o m p — o m — u o o o U O W H — O m — L L O O D S ( O ) 2 3 2 ~ 4 2 0 q u i n t - ‘ Z O L A J X A w e l f a r e g a i n i s g r e a t e s t f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 % o r 8 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d l o w e s t f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 8 % o r 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . T h e fi g u r e s f o r t h e t w o h i g h e r i n c o m e q u a r t i l e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 0 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r t h e u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e , a n d 9 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e . I n c o n t r a s t , t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d i s t h e l o w e s t f o r t h e l o w e r m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 7 % ) , a n d t h e h i g h e s t f o r u p p e r i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 . 6 % ) . T h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d f o r t h e l o w e s t a n d u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e a r e 9 % a n d 9 . 5 % r e s p e c t i v e l y . T h e f a c t t h a t h o u s e h o l d s i n t h e l o w e r - m e d i u r n i n c o m e q u a r t i l e h a v e t h e l o w e s t m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n d e s p i t e h a v i n g t h e l o w e s t m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d , i s m o s t l y a r e fl e c t i o n o f t h e i r l o w e r m e d i a n s h a r e o f p e a n u t i n c o m e i n t o t a l i n c o m e ( 3 5 % ) c o m p a r e d t o t h e o n e s f o r t h e o t h e r i n c o m e q u a r t i l e s ( 3 7 . 5 % f o r t h e l o w e s t q u a r t i l e , 4 8 % f o r t h e u p p e r - m e d i u m q u a r t i l e , a n d 5 0 % f o r t h e u p p e r q u a r t i l e ) . F i n a l l y , F i g u r e 7 . 6 a n d F i g u r e 7 . 7 s h o w t h e b o x p l o t d i a g r a m s o f t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p e r c e n t a g e n e t w e l f a r e c h a n g e s a n d c o s t - o f - f o o d i n d i c e s w i t h i n e a c h i n c o m e q u a r t i l e f o r t h e r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s r e s p e c t i v e l y . ” 8 F i r s t , f o r t h e r u r a l z o n e s , i n e a c h i n c o m e q u a r t i l e 7 5 % o f a l l h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a p o s i t i v e n e t w e l f a r e g a i n w i t h m o r e t h a n 2 5 % h a v i n g a p o s i t i v e n e t w e l f a r e g a i n o f 1 5 % o f t h e i r p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r g r e a t e r . T h e o n l y e x c e p t i o n t o t h i s p a t t e r n i s i n t h e u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e w h e r e c l o s e 4 0 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . O v e r a l l , i n t h e r u r a l z o n e s h o u s e h o l d s i n t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e h a v e t h e h i g h e s t n e t w e l f a r e g a i n w i t h a p o s i t i v e n e t w e l f a r e g a i n o f m o r e t h a n 2 0 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a f o r m o r e t h a n 2 5 % o f t h e m . F o r t h e c o s t - ‘ 9 3 W e r e c a l l t h a t t h e u r b a n a n d r u r a l h o u s e h o l d s w e r e c l a s s i fi e d i n t o i n c o m e q u a r t i l e s s e p a r a t e l y . 3 1 7 o f - f o o d i n d e x , t h e w i t h i n - i n c o m e q u a r t i l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s s e e m t o b e s i m i l a r , e x c e p t f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e w h e r e i t i s n o t i c e a b l y s k e w e d u p w a r d . O v e r a l l , f o r a l l i n c o m e q u a r t i l e s t h e c o s t o f f o o d h a s r i s e n l e s s t h a n 1 2 % f o r 7 5 % o f t h e h o u s e h o l d s ; e x c e p t f o r t h e u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g p e r c e n t a g e o f h o u s e h o l d s i s a b o u t 6 0 % . S e c o n d , i n c o n t r a s t t o t h e r u r a l z o n e s , i n t h e u r b a n z o n e s w h e r e a l l h o u s e h o l d s h a v e a n e t w e l f a r e l o s s , i n a l l i n c o m e q u a r t i l e s f o r 7 5 % o f t h e h o u s e h o l d s t h e n e t w e l f a r e l o s s i s g r e a t e r t h a n 9 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . F u r t h e r m o r e , h o u s e h o l d s i n t h e l o w e r i n c o m e q u a r t i l e a r e h u r t t h e m o s t w i t h a l l h o u s e h o l d s h a v i n g a n e t w e l f a r e l o s s o f m o r e t h a n 1 1 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . T h e c o s t o f f o o d h a s a l s o r i s e n t h e m o s t f o r t h e s e h o u s e h o l d s ( m o r e t h a n 1 2 % f o r a l l t h e h o u s e h o l d s ) . H o w e v e r , i n a l l i n c o m e q u a r t i l e s , f o r 7 5 % o f t h e h o u s e h o l d s t h e c o s t o f f o o d h a s r i s e n b y m o r e t h a n 1 0 % . F i n a l l y , F i g u r e 7 . 6 a n d F i g u r e 7 . 7 s h o w t h a t o v e r a l l t h e w i t h i n - i n c o m e q u a r t i l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e w e l f a r e i m p a c t s s h o w r e l a t i v e l y l e s s v a r i a b i l i t y i n t h e u r b a n z o n e s t h a n i n t h e r u r a l z o n e s . H e n c e , i n c o n t r a s t t o t h e w i t h i n - i n c o m e q u a r t i l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , w h e n i t c o m e s t o t h e d i f f e r e n c e s a m o n g i n c o m e q u a r t i l e s o f t h e w e l f a r e i m p a c t s o f p r i c e c h a n g e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n , u r b a n h o u s e h o l d s s h o w m o r e s i m i l a r i t i e s t h a n r u r a l h o u s e h o l d s . 7 . 4 . 3 . 2 W e l f a r e i m p a c t s a c r o s s i n c o m e g r o u p s i n m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e a s s e s s m e n t o f t h e d i f f e r e n c e s a c r o s s i n c o m e q u a r t i l e s o f t h e w e l f a r e i m p a c t s o n t h e r u r a l h o u s e h o l d s w a s d o n e b y p o o l i n g h o u s e h o l d s i n m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s t o g e t h e r . T a b l e 7 . 7 g i v e s t h e w e l f a r e i m p a c t fi g u r e s f o r t h e i n c o m e 3 1 8 T a b l e 7 . 7 W e l f a r e c h a n g e s a f t e r t h e d e v a l u a t i o n f o r t h e u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t v i l l a g e s b y i n c o m e g r o u p N o n m a r k e t v i l l a g e s M a r k e t v i l l a g e s I n c o m e q u a r t i l e I n c o m e q u a r t i l e l o w 2 5 % 2 5 - 5 0 % 5 0 - 7 5 % t o p 2 5 % l o w 2 5 % 2 5 - 5 0 % 5 0 - 7 5 % t o p 2 5 % E q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) 7 9 9 8 7 . 0 9 0 " E x p e c t e d " A I D S m o d e l T o t a l . . . . . . . . . . . . . . 1 0 . 4 4 7 1 1 . 1 9 6 5 . 6 7 3 1 . 4 9 6 R i s k p r e m i u m . . . . . . 1 . 7 0 1 1 . 2 2 8 1 . 6 3 6 1 . 8 6 3 - 1 2 2 7 1 . 0 7 2 N o n r i s k c o m p o n e n t 1 0 . 6 7 3 1 0 . 2 3 6 1 1 . 8 5 4 1 4 6 0 7 7 . 5 9 9 4 . 7 2 4 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n Z . . . . . . . . . . . . 1 3 . 5 6 0 9 . 2 8 0 1 2 . 2 1 0 1 3 . 6 3 0 6 6 0 0 2 . 4 6 0 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) T o t a l . . . . . . . . . . . . . 1 . 6 5 0 1 . 5 6 6 7 . 5 3 3 8 . 4 0 7 2 . 6 4 4 - 4 2 3 9 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n z . . . . . . . . . . . . 2 . 9 7 0 1 . 6 9 0 7 . 8 4 0 6 . 1 0 0 2 . 4 9 0 - 6 . 3 6 0 L i v i n g - s t a n d a r d i n d e x T o t a l . . . . . . . . . . . . . . 1 . 0 9 3 1 . 1 2 2 1 . 1 3 6 1 . 0 6 6 1 . 0 2 5 R i s k p r e m i u m i n d e x . 0 2 2 . 0 1 6 . 0 2 0 . 0 2 1 - . 0 1 3 . 0 1 4 N o n r i s k c o m p o n e n t 1 . 1 7 3 1 . 1 2 8 1 . 1 4 8 1 . 1 5 6 1 . 0 9 9 1 . 0 7 8 C o s t - o f - l i v i n g i n d e x T o t a l . . . . . . . . . . . . . 1 . 0 7 7 1 . 0 6 9 1 . 0 9 5 1 . 1 2 3 1 . 1 2 2 1 . 0 9 4 C o s t - o f - r i s k i n d e x . 0 1 8 . 0 1 5 . 0 2 0 . 0 2 0 - . 0 1 7 . 0 1 4 N o n r i s k c o m p o n e n t 1 . 0 5 6 1 . 0 3 4 1 . 0 7 6 1 . 0 9 8 1 . 1 3 9 1 . 0 8 1 D e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l E q u i v a l e n t v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) - . 5 7 9 - 3 4 0 0 1 . 0 3 4 - . 9 1 6 - 2 . 8 3 8 - 5 . 7 1 7 E q u i v a l e n t v a r i a t i o n i n 2 . . . . . . . . . . . . - 1 . 1 4 0 - 4 . 0 3 0 1 . 0 9 0 - . 9 6 0 - 3 . 5 5 0 - 9 . 3 1 0 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n ( C F A / d a y / c a p i t a ) - . 6 8 8 - 4 . 1 7 4 1 . 2 6 6 - 1 . 1 0 8 ~ 3 . 4 9 2 - 6 . 9 6 5 C o m p e n s a t e d v a r i a t i o n i n 2 . . . . . . . . . . . . - 1 . 1 9 0 - 4 . 3 0 0 1 . 1 0 0 - 1 . 0 0 0 - 3 . 7 5 0 — 1 0 . 4 6 L i v i n g - s t a n d a r d i n d e x . 9 8 9 . 9 6 0 1 . 0 1 1 . 9 9 0 . 9 6 5 . 9 0 7 C o s t - o f - l i v i n g i n d e x 1 . 1 7 9 1 . 1 7 6 1 . 1 9 7 1 . 1 9 2 1 . 2 0 3 1 . 1 9 8 O t h e r S t a t i s t i c s S h a r e o f P e a n u t i n t o t a l i n c o m e . . . . 3 5 . 3 0 0 3 4 . 7 0 0 5 4 . 1 0 0 5 0 3 0 0 4 5 . 0 0 0 2 0 . 6 0 0 2 c h a n g e i n n o m i n a l i n c o m e . . . . . . . . . . 1 5 . 1 8 0 1 4 9 2 0 2 3 . 2 6 0 2 1 . 6 3 0 1 9 . 3 5 0 8 . 8 6 0 E s t i m a t e d 1 c h a n g e i n f o o d e x p . . . . . . 1 4 . 4 8 0 1 3 . 5 9 0 2 1 . 7 4 0 1 9 . 8 4 0 1 8 . 1 3 0 8 . 2 7 0 L a s p e y r e s P r i c e i n d e x 1 . 2 4 9 1 . 2 5 7 1 . 2 4 7 1 . 2 4 2 1 . 2 1 6 1 . 2 7 9 P a a s c h e P r i c e i n d e x . . 4 3 9 . 4 4 6 . 5 4 1 1 . 2 6 4 . 4 4 5 . 4 2 1 3 1 . 1 3 . 1 1 . . 3 1 6 . 4 9 3 . 2 3 1 . 1 8 0 . 0 4 4 . 6 7 0 . 0 5 2 . 0 1 9 . 0 8 4 . 1 4 5 . 0 2 0 . 1 2 6 . 3 8 9 . 1 7 0 . 2 8 3 . 8 8 0 . 9 2 8 . 2 2 6 9 0 0 7 2 0 9 4 0 1 . 2 5 8 . 5 5 8 . 4 5 7 4 . 0 8 1 . 5 0 3 . 7 6 0 . 6 1 3 . 0 9 0 . 9 7 2 . 0 3 4 1 . 0 0 4 1 . 1 3 6 . 0 3 8 1 . 1 2 6 - 8 . 9 9 6 - 1 0 . 2 1 - 1 1 . 5 6 - 1 1 . 6 4 . 8 9 8 1 . 2 4 2 2 9 . 9 0 0 1 2 . 8 6 0 1 1 . 4 9 0 1 . 2 3 1 . 6 3 2 N o t e s : T h e w e l f a r e i n d i c a t o r s w e r e c a l c u l a t e d f o r e a c h h o u s e h o l d . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e m e d i a n o f t h e r e s p e c t i v e w e l f a r e i n d i c a t o r s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . 3 1 9 ) ) 8 8 0 0 0 0 . . 4 5 1 1 8 0 8 9 9 2 7 6 2 6 8 0 9 9 7 6 2 6 7 9 8 9 8 8 8 8 8 8 9 8 8 8 . . . . . . . . . . . . 0 9 8 . ) ) ) ) ) ) ) 1 8 7 9 0 3 9 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . ) ) ) 1 9 0 1 2 0 0 0 0 . . . 7 0 6 5 5 0 8 8 9 . . . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 5 6 1 7 6 9 6 3 3 2 5 0 4 3 3 3 3 3 3 3 4 2 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . ) ) ) ) ) 1 0 3 1 1 1 1 1 1 0 0 0 . . . 1 0 0 . 0 4 2 7 5 5 8 8 8 . . . ) ) ) 7 1 6 3 4 3 0 0 0 . . . ) ) ) ) ) ) ) ) 6 1 2 6 5 5 0 7 3 3 5 6 3 3 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . 5 6 3 1 3 3 5 9 7 1 9 3 0 7 8 1 7 3 0 4 2 9 1 1 0 0 0 0 1 1 9 1 0 . . . . . . . . . . . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 1 9 1 7 3 6 8 1 0 1 0 2 1 2 2 2 1 1 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . 4 3 6 8 4 6 1 5 2 4 4 1 4 7 6 3 6 1 2 8 3 2 0 2 2 0 . . . . . . ) ) ) ) ) ) ) 2 3 0 5 7 6 5 1 1 2 1 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . 9 4 4 7 4 4 3 7 0 3 2 5 4 4 1 4 9 9 8 1 1 0 0 0 9 0 0 0 0 1 5 7 7 1 4 4 9 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 a b m a T k c a l o a K y l o i D y s s a P s e n o z l a r ) ) ) ) u 8 9 7 3 R 2 2 2 3 0 0 0 0 . . . . 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I n n o n m a r k e t v i l l a g e s , i t i s t h e u p p e r a n d l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e t h a t h a v e t h e h i g h e s t m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n s ( 1 3 . 6 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r 1 1 C F A a n d 8 C F A p e r c a p i t a p e r d a y f o r t h e u p p e r a n d l o w e s t q u a r t i l e r e s p e c t i v e l y ) . F o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e , t h i s i s d e s p i t e h a v i n g t h e h i g h e s t m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d ( 1 2 % ) . F o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e , t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d i s o n l y 8 % . T h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e h a s s t i l l t h e l o w e s t m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n ( 9 % o r 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) d e s p i t e h a v i n g t h e l o w e s t m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d ( 7 % ) . A g a i n t h i s i s l a r g e l y e x p l a i n e d b y i t s l o w e r s h a r e o f p e a n u t i n c o m e i n t o t a l i n c o m e ( 3 4 . 7 % ) c o m p a r e d t o 3 5 . 3 % , 5 4 % , a n d 5 0 . 3 % f o r t h e l o w e s t , u p p e r - m e d i u m , a n d u p p e r i n c o m e q u a r t i l e s r e s p e c t i v e l y . T h e m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n a n d i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d f o r t h e u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e a r e 1 2 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 9 . 5 % r e s p e c t i v e l y . I n c o n t r a s t t o t h e c a s e o f t h e n o n m a r k e t v i l l a g e s , i n m a r k e t v i l l a g e s t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e i s n e g a t i v e ( - 3 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r - 3 . 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . T h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e a l s o h a s t h e s e c o n d h i g h e s t m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d ( 1 3 . 6 % ) a f t e r t h e u p p e r - m e d i u m q u a r t i l e ( 1 4 . 5 % ) . H o w e v e r , d e s p i t e h a v i n g t h e h i g h e s t i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d , t h e u p p e r - m e d i u m q u a r t i l e h a s a p o s i t i v e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e ( + 5 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r + 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , w h i c h i s e v e n h i g h e r t h a n t h e o n e f o r t h e l o w e r l o w e r - m e d i u m q u a r t i l e ( + 2 . 5 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r + 1 . 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) w h i c h s t i l l h a s t h e l o w e s t m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d ( 9 % ) . T h i s f a c t i s e x p l a i n e d o n c e a g a i n b y t h e l o w e r m e d i a n s h a r e o f p e a n u t i n c o m e i n t o t a l i n c o m e f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e 3 2 3 q u a r t i l e ( 2 0 . 5 % ) c o m p a r e d t o 4 5 % f o r t h e l o w e s t q u a r t i l e , 3 2 % f o r t h e u p p e r - m e d i i u n q u a r t i l e , a n d 3 0 % f o r t h e u p p e r q u a r t i l e . T h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e h a s t h e h i g h e s t m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n ( + 6 . 6 % o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a o r + 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d t h e s e c o n d l o w e s t m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d ( 1 2 % ) . F i n a l l y , T a b l e 7 . 8 , T a b l e 7 . 9 , a n d T a b l e 7 . 1 0 g i v e t h e i n c o m e b r e a k d o w n o f t h e w e l f a r e i m p a c t s b y z o n e . A n o t i c e a b l e f a c t i n T a b l e 7 . 8 i s t h e f a c t t h a t i n S a g a t t a w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e , t h e l o w e s t a n d l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e s d o i n f a c t h a v e a m e d i a n n e t i n c r e a s e i n w e l f a r e o f 1 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . T h e t a b l e s a l s o g i v e c r o s s t a b u l a t i o n s o f t h e w e l f a r e i m p a c t s a c c o r d i n g t o t h e h o u s e h o l d ’ s s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s a n d r i c e i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s , s h a r e s o f f o o d i n t o t a l e x p e n d i t u r e s , a s w e l l a s s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s a n d p e a n u t i n c o m e s i n t h e t o t a l c r o p p i n g i n c o m e s . 7 . 5 C o n c l u s i o n T o c o n c l u d e t h e c h a p t e r w e s u m m a r i z e o u r e m p i r i c a l fi n d i n g s r e g a r d i n g t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e s i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n . 7 . 5 . 1 C o m m n p t i o n i m p a c t o f t h e C F A d e v a l u a t i o n I n g e n e r a l , t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s w e r e f o u n d t o b e n o t m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e p r e - d e v a l u a t i o n o n e s i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r H o w e v e r , w e f o u n d a s l i g h t t r e n d o f i n c r e a s e i n t h e u n c o m p e n s a t e d p r i c e a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s . F o r e x a m p l e , t h e m e d i a n u n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e c h a n g e d f r o m - 0 . 7 7 6 a n d - 0 . 9 0 4 t o r e s p e c t i v e l y — 0 . 7 9 1 a n d - 0 . 9 1 1 , a n d t h e m e d i a n s o f t h e m e a n s o f t h e i r b u d g e t e l a s t i c i t i e s i n c r e a s e d f r o m 0 . 8 0 9 a n d 0 . 8 0 7 t o r e s p e c t i v e l y 0 . 8 2 9 a n d 3 2 4 0 . 8 2 3 . I n c o n t r a s t , f o r t h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s w e f o u n d a s l i g h t t r e n d o f r e d u c t i o n i n t h e o w n - p r i c e r e s p o n s i v e n e s s , c o n t r a s t i n g w i t h a s l i g h t t r e n d o f i n c r e a s e i n t h e c r o s s - p r i c e r e s p o n s i v e n e s s . T h e s e t r e n d s c o m b i n e d w i t h t h e o n e o f t h e u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s i n d i c a t e a n i n c r e a s e d i m p a c t o f t h e r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t , w h i c h w a s f o u n d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r t o d o m i n a t e t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s r e s p o n s e t o r e l a t i v e p r i c e c h a n g e s . I n o t h e r w o r d s , t h e h i g h e r t h e l e v e l s o f p r i c e s , t h e m o r e t h e m e d i a n h o u s e h o l d i s s e n s i t i v e t o l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r , a n d t h e m o r e i t s p r i c e s u b s t i t u t i o n a b i l i t y i s n e g a t i v e l y a f f e c t e d b y t h e l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . U s i n g t h e p o s t - d e v a l u a t i o n f o o d c o m m o d i t y p r i c e l e v e l s , w e h a v e e s t i m a t e d t h e c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d a n d s h a r e s o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s a f t e r t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e 5 0 % d e v a l u a t i o n o f t h e C F A . F o r t h e s a m p l e m e d i a n h o u s e h o l d , t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d fi s h \ m e a t f o r w h i c h p r i c e s h a v e r e m a i n e d u n c h a n g e d , a r e e s t i m a t e d t o h a v e i n c r e a s e d b y 1 9 % a n d 2 6 % r e s p e c t i v e l y . M e a n w h i l e , t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n s o f p u l s e s , o t h e r f o o d , a n d r i c e f o r w h i c h p r i c e s h a v e i n c r e a s e d b y 4 3 % , 3 0 % , a n d 3 3 % r e s p e c t i v e l y , a r e e s t i m a t e d t o h a v e d e c r e a s e d b y 3 % , 1 5 % , a n d 5 % r e s p e c t i v e l y . T h e l o w d e c r e a s e i n r i c e c o n s u m p t i o n i n d i c a t e s t h a t m o s t o f t h e 1 7 % i n c r e a s e i n t h e c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s i s n o t d u e t o s u b s t i t u t i o n a w a y f r o m r i c e , b u t r a t h e r t o a n i n c r e a s e i n p u r c h a s i n g p o w e r f o r r u r a l h o u s e h o l d s a s a r e s u l t o f t h e i n c r e a s e s i n t h e i r p e a n u t i n c o m e . I n d e e d , f o r t h e m e d i a n u r b a n h o u s e h o l d w h o d i d n o t e x p e r i e n c e a n i n c r e a s e i n i n c o m e t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n a r e e s t i m a t e d t o d e c r e a s e b y 3 % d e s p i t e t h e 1 6 % e s t i m a t e d d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y r i c e c o n s u m p t i o n ! M e a n w h i l e , f o r t h e m e d i a n r u r a l h o u s e h o l d , w i t h a 1 9 % e s t i m a t e d i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n , t h e r e i s a m e r e 4 % d e c r e a s e i n r i c e c o n s u m p t i o n . 3 2 5 H e n c e , t h e p o s t — d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d t h e e s t i m a t e d c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s a f t e r t h e C F A d e v a l u a t i o n c o n fi r m t h e c o n c l u s i o n w e r e a c h e d a f t e r t h e a n a l y s i s o f t h e m e d i a n p r e - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r . T h a t i s , a c e r e a l p o l i c y b a s e d o n c e t e r i s g a r i b u s h i g h e r r e l a t i v e p r i c e s f o r r i c e c o m p a r e d t o t h e o n e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s w i l l n o t l e a d t o m o r e s u b s t i t u t i o n t o w a r d t h e c o a r s e g r a i n s , u n l e s s o n e fi n d s a w a y t o c o m p e n s a t e t h e m e d i a n h o u s e h o l d f o r t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . 7 . 5 . 2 W e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n A s w e c a n e x p e c t g i v e n t h e t h e d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e o f t h e c h a n g e s i n r e l a t i v e p r i c e s , h o u s e h o l d s i n N i a k h a r , C o l o b a n e , P a s s y , D i o l y a n d M i s s i r a h w h o h a v e a r e l a t i v e l y h i g h s h a r e o f p e a n u t i n c o m e , a n d a r e l a t i v e l y l o w s h a r e o f r i c e a n d / o r a r e l a t i v e l y h i g h s h a r e o f c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s a r e t h e o n e s w h o h a v e e x p e r i e n c e d a n e t g a i n i n w e l f a r e . O n t h e o t h e r h a n d , h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s a n d i n S a g a t t a , w h o h a v e n o o r r e l a t i v e l y l o w p e a n u t i n c o m e b u t h a v e a h i g h r i c e s h a r e s a n d l o w c o a r s e g r a i n s s h a r e s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e , e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . A s a p e r c e n t a g e o f t h e p r o - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y p e r c a p i t a f o o d b u d g e t , h o u s e h o l d s i n D i o l y h a v e e x p e r i e n c e d t h e m o s t g a i n s i n w e l f a r e , w i t h a m e d i a n n e t g a i n o f + 2 6 % ( o r 1 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , w h i l e h o u s e h o l d s i n t h e c i t y o f K a o l a c k h a v e t h e h i g h e s t l o s t i n w e l f a r e w i t h a m e d i a n n e t l o s t o f - l 4 % ( o r 2 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . S i m i l a r l y t o t h e t o t a l w e l f a r e i m p a c t s , a s w e c a n e x p e c t , i t i s i n t h e z o n e s w i t h t h e h i g h e s t s h a r e s o f r i c e a n d t h e l o w e s t s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s w h e r e t h e c o s t o f l i v i n g h a s r i s e n t h e m o s t . I n c o n t r a s t , i n t h e l o w r i c e a n d h i g h c o a r s e g r a i n s c o n s u m i n g z o n e s o f N i a k h a r , D i o l y , a n d M i s s i r a h , t h e c o s t o f f o o d h a s p r a c t i c a l l y r e m a i n e d u n c h a n g e d . T h e c o s t o f f o o d h a s r i s e n t h e m o s t i n K a o l a c k ( + 1 7 % ) . S a g a t t a ( + 1 5 % ) , C o l o b a n e ( + 1 3 % ) , a n d P a s s y ( + 1 2 % ) . T h e m e d i a n r i s e i n t h e c o s t o f f o o d 3 2 6 f o r N i a k h a r a n d D i o l y a r e r e s p e c t i v e l y + 3 % a n d + 4 % . I n M i s s i r a h , t h e r e i s p r a c t i c a l l y 0 % r i s e i n t h e c o s t o f f o o d . A s p e r c e n t a g e o f t h e p r e — d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a , t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m i s h i g h e s t i n M i s s i r a h ( 3 . 9 % o r 2 . 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , a n d l o w e s t i n S a g a t t a ( 0 . 3 % o r 0 . 2 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . S i m i l a r l y , t h e c o s t o f p r i c e - r i s k , i s h i g h e s t i n M i s s i r a h a n d l o w e s t i n S a g a t t a . I n o t h e r t e r m s , p r i c e u n c e r t a i n t y i n c r e a s e d t h e m e d i a n c o s t - o f - f o o d i n d i c e s i n M i s s i r a h a n d S a g a t t a b y r e s p e c t i v e l y 0 . 0 3 5 p o i n t s ( o r 4 % ) a n d 0 . 0 0 4 p o i n t s ( o r 0 . 3 % ) . T h i s r e fl e c t s t h e f a c t t h a t b o t h i n t e r m s o f t h e r e s p e c t i v e s h a r e s o f r i c e a n d c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e a n d v a r i a b i l i t y o f c o a r s e g r a i n s p r i c e s , S a g a t t a a n d M i s s i r a h a r e a t t h e o p p o s i t e e x t r e m e s a m o n g t h e z o n e s . - G e o g r a p h i c d i s t r i b u t i o n o f t h e w e l f a r e i m p a c t T h e s a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e s w a s f o u n d t o b e b i m o d a l , w i t h o n e m o d e b e i n g i n t h e n e t w e l f a r e l o s s r a n g e b e t w e e n - 1 2 . 5 % t o - 7 . 5 % ( o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) , a n d t h e o t h e r m o d e b e i n g i n t h e w e l f a r e g a i n r a n g e b e t w e e n + 7 5 % t o + 1 2 . 5 % . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l c o s t — o f - f o o d i n d e x i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e r i g h t ( i . e . , t o w a r d h i g h e r v a l u e s ) . T h e r e i s n o z o n e w h e r e a l l h o u s e h o l d s e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . H o w e v e r , e x c e p t f o r t h e z o n e o f P a s s y , i n a l l t h e z o n e s t h a t s h o w e d a m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n , m o r e t h a n 7 5 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . F o r t h e z o n e o f P a s s y a b o u t 5 0 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . N a t u r a l l y , v i r t u a l l y a l l t h e h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . B u t , i n S a g a t t a w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e , a b o u t 2 5 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . S e c o n d , t h e v a r i a b i l i t y i n t h e n e t w e l f a r e c h a n g e s a c r o s s h o u s e h o l d s i s h i g h e r i n z o n e s w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s p o s i t i v e t h a n i n z o n e s 3 2 7 w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e . B y a n d l a r g e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s a r e s i m i l a r a c r o s s z o n e s , e s p e c i a l l y i n t e r m s o f v a r i a b i l i t y . - D i s t r i b u t i o n o f t h e w e l f a r e i m p a c t a c r o s s i n c o m e g r o u p s I n t h e u r b a n z o n e s , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s a s p e r c e n t a g e o f t h e p r e — d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a a n d t h e i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d a r e g r e a t e s t f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e ( 1 5 % o r 1 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d 1 8 % r e s p e c t i v e l y ) . T h e y a r e l o w e s t f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 . 5 % o r 1 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d 1 4 % r e s p e c t i v e l y ) . F o r t h e t w o h i g h e r i n c o m e q u a r t i l e s , t h e c o r r e s p o n d i n g fi g u r e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 3 % ( o r 1 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 1 5 % f o r t h e u p p e r - m e d i u m q u a r t i l e , a n d 1 3 % ( o r 2 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 1 5 . 5 % f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e . I n t h e r u r a l z o n e s , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s p o s i t i v e f o r a l l i n c o m e q u a r t i l e s . I n p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n i s g r e a t e s t f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 % o r 8 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d l o w e s t f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 8 % o r 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . T h e fi g u r e s f o r t h e t w o h i g h e r i n c o m e q u a r t i l e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 0 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r t h e u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e , a n d 9 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e . I n c o n t r a s t , t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d i s t h e l o w e s t f o r t h e l o w e r m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 7 % ) , a n d t h e h i g h e s t f o r u p p e r i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 . 6 % ) . T h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d f o r t h e l o w e s t a n d u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e a r e 9 % a n d 9 . 5 % r e s p e c t i v e l y . A n o t i c e a b l e f a c t i s t h e f a c t t h a t i n S a g a t t a w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e , t h e l o w e s t a n d l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e s d o i n f a c t h a v e a m e d i a n n e t i n c r e a s e i n w e l f a r e o f 1 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . 3 2 8 C H A P T E R 8 S U M M A R Y , P O L I C Y I M P L I C A T I O N S , A N D C O N C L U S I O N S T h e r e s e a r c h c o n d u c t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n w a s m o t i v a t e d b y o u r d e s i r e t o u n d e r s t a n d a n d a s s e s s b o t h a n a l y t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y t o w h a t e x t e n t t h e S e n e g a l e s e A g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s f o o d s e c u r i t y s t r a t e g y i s d i c t a t e d b y t h e f a c t t h a t t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t g u a r a n t e e s fi x e d p r o d u c e r p r i c e s f o r p e a n u t s a n d c o t t o n , w h i c h a r e k n o w n b e f o r e t h e s t a r t o f t h e g r o w i n g s e a s o n , w h i l e a t t h e s a m e t i m e i t m a i n t a i n s a fi x e d a n d s t a b l e p r i c e f o r i m p o r t e d r i c e , w h i c h h a p p e n s t o c o m p e t e , o n t h e d e m a n d s i d e , w i t h l o c a l l y g r o w n c o a r s e g r a i n s , w h o s e p r i c e s a r e r a n d o m . A t t h e m i c r o l e v e l , t h i s i s a n i m p o r t a n t p o l i c y i s s u e i n S e n e g a l t h a t i s r e l a t e d t o t h e d e b a t e a b o u t w h e t h e r o r n o t t h e c o a r s e g r a i n s a r e s u b s t i t u t e s f o r i m p o r t e d r i c e i n c o n s u m p t i o n . I t i s a l s o a k e y p o l i c y i s s u e a t t h e m a c r o e c o n o m i c l e v e l b e c a u s e o f t h e i m p o r t a n c e o f i m p o r t e d r i c e i n t h e c o u n t r y ’ s b a l a n c e o f p a y m e n t s , a n d t h e g o v e r n m e n t ’ s s t a t e d g o a l o f a c h i e v i n g 8 0 % c e r e a l s e l f - s u f fi c i e n c y b y t h e y e a r 2 0 0 0 . I n s h o r t , t h e q u e s t i o n w e h a v e a s k e d i s h o w u n c e r t a i n t y a f f e c t s s u b s t i t u t i o n a m o n g c o m m o d i t i e s . O r m o r e p r e c i s e l y , t o w h a t e x t e n t t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s l e v e l s o f c o n s u m p t i o n o f t h e v a r i o u s f o o d c o m m o d i t i e s a r e d r i v e n b y d i f f e r e n c e s i n t h e l e v e l s o f u n c e r t a i n t y i n t h e p r i c e s o f t h e c o m m o d i t i e s p r o d u c e d a n d c o n s u m e d ? I n t h i s t h e s i s , w e h a v e p r o v i d e d a n a l y t i c a l a n d e m p i r i c a l a n s w e r s t o t h i s q u e s t i o n , w o r k i n g w i t h i n a g e n e r a l m u l t i v a r i a t e f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y w h i c h c a n h a n d l e m u l t i p l e s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y a s w e l l a s " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y p r e f e r e n c e s . T h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k u n d e r l y i n g t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s w a s b a s e d o n S a v a g e ’ s 1 9 5 4 c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f 3 2 9 c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y w h i c h , i s b a s e d o n t h e c o n c e p t s o f b e l i e f s , a c t s , c o n s e q u e n c e s , a n d o u t c o m e s , a n d w h i c h w e h a v e c o n v e n i e n t l y m o d i fi e d a n d e x t e n d e d t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s . O u r f r a m e w o r k c o n t r a s t s w i t h t h e p r e v a l e n t u n i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f r a m e w o r k w h i c h c o u l d n o t b e u s e d t o a n s w e r o u r b a s i c q u e s t i o n . I n t h i s r e s e a r c h , w e h a v e d e r i v e d s e v e r a l n e w t h e o r e t i c a l r e s u l t s r e l a t e d t o c o n s u m e r b e h a v i o r u n d e r u n c e r t a i n t y w h i c h w e s u m m a r i z e fi r s t b e f o r e d i s c u s s i n g t h e p o l i c y i m p l i c a t i o n s o f o u r e m p i r i c a l fi n d i n g s . 8 . 1 S u m m a r y o f t h e T h e o r e t i c a l R e s u l t s a n d E c o n o m e t r i c A n a l y s i s 8 . 1 . 1 T h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s I n t h e p r o c e s s o f a n s w e r i n g o u r b a s i c q u e s t i o n , w e h a v e e x t e n d e d a l l t h e m a i n r e s u l t s o f d e t e r m i n i s t i c d e m a n d t h e o r y t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y , i n c l u d i n g R o y ’ s i d e n t i t y , S h e p h a r d ’ s l e m m a , t h e S l u t s k y e q u a t i o n , a n d a c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t t h a t g e n e r a l i z e s t h e w e l l - k n o w n s y m m e t r y a n d n e g a t i v i t y c o n d i t i o n o f t h e S l u t s k y m a t r i x . W e h a v e a l s o d e r i v e d e l a s t i c i t y f o r m u l a s w h i c h g e n e r a l i z e t h e e l a s t i c i t y f o r m u l a s o f d e t e r m i n i s t i c m o d e l s a n d h a v e e s s e n t i a l l y t h e s a m e i n t e r p r e t a t i o n s . F u r t h e r m o r e , i n t h e d e r i v e d c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s a s w e l l a s i n t h e e l a s t i c i t y f o r m u l a s , w e h a v e d i s e n t a n g l e d t h e e f f e c t s d u e t o a t t i t u d e s t o w a r d r i s k o r u n c e r t a i n t y f r o m t h e u s u a l o n e s t h a t a r e d u e t o t a s t e s u b s t i t u t i o n a n d i n c o m e a n d w h i c h o b t a i n i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h i s s e p a r a t i o n w a s a r e q u i r e m e n t i f w e w e r e g o i n g t o a n s w e r o u r b a s i c q u e s t i o n . F o l l o w i n g K i m b a l l ( 1 9 9 0 ) , w e h a v e c a l l e d t h e c o n s u m p t i o n e f f e c t s d u e t o a t t i t u d e s t o w a r d r i s k " p r e c a u t i o n a r y r i s k e f f e c t s " , b e c a u s e t h e y m e a s u r e t h e e f f e c t s o n c o n s u m p t i o n o f t h e c o n s u m e r ’ s e x a n t e ( i . e . , b e f o r e t h e r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y ) p r e c a u t i o n a r y c o n s u m p t i o n d e c i s i o n s t a k e n i n r e s p o n s e t o u n c e r t a i n t y a l o n e . W e h a v e a l s o e x t e n d e d t h e s t a n d a r d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s ( t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , t h e c o m p e n s a t e d 3 3 0 v a r i a t i o n , t h e l i v i n g s t a n d a r d i n d e x , a n d t h e c o s t - o f - l i v i n g i n d e x ) t o t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y , a n d s h o w t h a t i n t h e u n c e r t a i n t y c o n t e x t , t h e y s t i l l m a i n t a i n t h e i r t h e o r e t i c a l p r o p e r t i e s a s w e l l a s t h e i r p r a c t i c a l a p p e a l a s i d e a l m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e s . M o r e o v e r , a s i n t h e e l a s t i c i t y c a s e , w e h a v e d e c o m p o s e d e a c h w e l f a r e i n d i c a t o r i n t o a p a r t t h a t i s p u r e l y d u e t o a t t i t u d e t o w a r d r i s k , a n d w h i c h r e d u c e s t o z e r o i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y o r w h e n t h e c o n s u m e r i s i n d i f f e r e n t t o u n c e r t a i n t y , a n d a p a r t t h a t r e d u c e s t o t h e d e t e r m i n i s t i c m e a s u r e i n t h e a b s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h e r i s k p a r t o f t h e e q u i v a l e n t v a r i a t i o n , w h i c h w a s p r o v e d t o b e a l w a y s p o s i t i v e , i s t h e r i s k p r e m i u m m e a s u r i n g t h e s e n s i t i v i t y o f t h e c o n s u m e r ’ s w e l f a r e t o r i s k a v e r s i o n ( i . e . , " d i s l i k e " o f u n c e r t a i n t y ) . W i t h o u r d e r i v a t i o n , t h e r i s k p r e m i u m g i v e s d i r e c t l y i n m o n e t a r y u n i t s h o w m u c h t h e c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y i n o r d e r n o t t o f a c e p r i c e u n c e r t a i n t y . S i m i l a r l y , t h e r i s k p a r t s i n t h e l i v i n g s t a n d a r d a n d c o s t - o f - l i v i n g i n d i c e s w e r e n a t u r a l l y d e fi n e d a s t h e r i s k p r e m i u m i n d e x a n d t h e c o s t - o f — r i s k i n d e x r e s p e c t i v e l y . T o i l l u s t r a t e t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k , w e h a v e w o r k e d o u t i n d e t a i l s e v e r a l e x a m p l e s o f u n i v a r i a t e a n d m u l t i v a r i a t e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s a s w e l l a s m u l t i v a r i a t e " n o n - e x p e c t e d " u t i l i t y o n e s . F o r e a c h e x a m p l e , w e h a v e d e r i v e d t h e c o r r e s p o n d i n g d e m a n d , i n d i r e c t u t i l i t y , a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l s , a n d h a v e c a l c u l a t e d t h e v a r i o u s c o r r e s p o n d i n g e l a s t i c i t i e s a n d m e a s u r e s o f w e l f a r e c h a n g e a n d r i s k a t t i t u d e . 1 9 9 W e h a v e a l s o s h o w n t h r o u g h t h e s e e x a m p l e s , o n o n e h a n d , t h e q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s b e t w e e n c o n s u m e r b e h a v i o r w i t h a n d w i t h o u t u n c e r t a i n t y , a n d o n t h e o t h e r h a n d , t h e n u m e r o u s p o s s i b l e r e s t r i c t i o n s o n c o n s u m e r s ’ " b e l i e f s " , e x p e c t a t i o n s , b e h a v i o r , a n d w e l f a r e t h a t a r e i m p l i e d b y t h e e x p e c t e d u t i l i t y h y p o t h e s i s . I n p a r t i c u l a r , w e h a v e s h o w n t h a t i n c o n t r a s t t o t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e w h e r e t h e d e m a n d f u n c t i o n o f a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a u n i v a r i a t e u t i l i t y i s i n d e p e n d e n t o f t h e s h a p e o f ' 9 9 A f u n c t i o n a l i s s i m p l y a f u n c t i o n w h o s e a r g u m e n t i s a n o t h e r f u n c t i o n . H e r e d e m a n d i s a f u n c t i o n o f p r i c e w h i c h i n t u r n i s a f u n c t i o n o f t h e s t a t e o f n a t u r e . 3 3 1 t h e u t i l i t y f u n c t i o n a n d i s d e t e r m i n e d s o l e l y b y t h e b u d g e t c o n s t r a i n t , i n t h e u n c e r t a i n t y c a s e t h e d e m a n d f u n c t i o n a l c o r r e s p o n d i n g t o t h e s a m e u n i v a r i a t e u t i l i t y n o t o n l y d e p e n d s o n t h e s h a p e o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l , b u t a l s o o n t h e c o n s u m e r ’ s b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s . T h e o t h e r n o t a b l e f a c t e m e r g i n g f r o m t h e e x a m p l e s i s t h a t h o m o g e n e o u s o f d e g r e e o n e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n s i m p l y t h a t b e h a v i o r a n d w e l f a r e a r e i n d e p e n d e n t o f b e l i e f s a n d e x p e c t a t i o n s , a n d t h a t s o m e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f r a n d o m p r i c e s m u s t h a v e a d e g e n e r a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ( i . e . , m u s t b e n o n r a n d o m ) . T h e r e s t r i c t i v e n e s s o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y h y p o t h e s i s i s b y n o w w e l l d o c u m e n t e d b y t h e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e . T h e a n a l y t i c a l r e s u l t s p r o v i d e d t h r o u g h s o m e o f t h e s e e x a m p l e s - a n d w h i c h a r e n e w t o t h e b e s t o f o u r k n o w l e d g e - s h e d n e w l i g h t o n t h e r e s t r i c t i v e i m p l i c a t i o n s o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y h y p o t h e s i s . W e h a v e a l s o u s e d t h e d u a l i t y t h e o r y u n d e r u n c e r t a i n t y d e v e l o p e d i n t h e t h e s i s t o s h o w h o w t o g e n e r a t e " fl e x i b l e " a n d i n t e g r a b l e d e m a n d s y s t e m s i n t h e c o n t e x t o f p r i c e u n c e r t a i n t y . I n p a r t i c u l a r , w e h a v e e x t e n d e d t h e r e c e n t l y p r o p o s e d Q U A I D S m o d e l t o u n c e r t a i n t y . T h e Q U A I D S m o d e l i s t h e r a n k t h r e e i n t e g r a b l e q u a d r a t i c e x t e n s i o n o f t h e p o p u l a r A I D S m o d e l o f D e a t o n a n d M u e l l b a u e r ( 1 9 8 0 a ) , p r o p o s e d r e c e n t l y b y B a n k s , B l u n d e l l , a n d L e w b e l ( 1 9 9 4 ) . W e h a v e d e r i v e d t h r e e u n c e r t a i n t y v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S m o d e l w h i c h h a v e t h e s a m e t y p e o f g e n e r a l i t y a n d i n t e g r a b i l i t y a s t h e d e t e r m i n i s t i c Q U A I D S o n e . O n e o f t h e v e r s i o n s w a s d e fi n e d a s t h e " e x p e c t e d " Q U A I D S , a n d t h e t w o o t h e r v e r s i o n s a s t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S v e r s i o n s 1 a n d 2 r e s p e c t i v e l y . F o r t h e t h r e e u n c e r t a i n t y v e r s i o n s w e h a v e d e r i v e d t h e r e s p e c t i v e f o r m u l a s f o r c o m p u t i n g t h e p r e c a u t i o n a r y r i s k a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s , t h e i n d i c a t o r s o f t o t a l w e l f a r e c h a n g e s , t h e r i s k p r e m i u m s , a n d c o s t - o f - r i s k i n d i c e s . W e h a v e a l s o d i s c u s s e d t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n o f t h e Q U A I D S m o d e l u n d e r u n c e r t a i n t y . I n t h e p r o c e s s , w e h a v e d e r i v e d a s i m p l e m e t h o d f o r e s t i m a t i n g t h e " n u i s a n c e " 3 3 2 p a r a m e t e r a 0 a s s o c i a t e d w i t h t h e Q U A I D S m o d e l w h i c h s e e m e d t o b e d i f fi c u l t t o i d e n t i f y i n p r e v i o u s w o r k . 8 . 1 . 2 T h e e c o n o m e t r i c a n a l y s i s T h e " e x p e c t e d " A I D S m o d e l w a s e s t i m a t e d u s i n g b i w e e k l y 2 4 - h o u r r e c a l l f o o d c o n s u m p t i o n d a t a c o l l e c t e d b y t h e I n s t i t u t S é n é g a l a i s d e R e c h e r c h e s A g r i c o l e s ( I S R A ) a n d t h e I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e ( I F P R I ) t w o - y e a r s u r v e y i n S e n e g a l . F o r e a c h h o u s e h o l d i n t h e s a m p l e w e e s t i m a t e d t h e r i s k a n d n o n r i s k e l a s t i c i t y m a t r i c e s , a s w e l l a s e s t i m a t e s o f t h e c o n s u m p t i o n , w e l f a r e , a n d r i s k i m p a c t s o f t h e r e c e n t d e v a l u a t i o n o f t h e C F A c u r r e n c y . O u r e m p i r i c a l fi n d i n g s w i t h r e g a r d s t o h o u s e h o l d c o n s u m p t i o n b e h a v i o r a n d r i s k a t t i t u d e s i n S e n e g a l a s w e l l a s t h e i r p o l i c y i m p l i c a t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n . M e a n w h i l e , w e h a v e a l s o e s t i m a t e d t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s o a s t o c o m p a r e t h e p a r a m e t e r , e l a s t i c i t i e s , a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s e s t i m a t e s f r o m t h e t w o m o d e l s . F o r t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s , o u r fi n d i n g w a s t h a t b y a n d l a r g e t h e t w o m o d e l s ’ e s t i m a t e d c o e f fi c i e n t s f o r t h e h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s v a r i a b l e s a n d b u d g e t w e r e v e r y c l o s e , w h i l e t h e o n e s f o r p r i c e s t e n d e d t o b e d i f f e r e n t . H o w e v e r , u s i n g V u o n g ’ s ( 1 9 8 9 ) m o d e l s e l e c t i o n t e s t f o r o v e r l a p p i n g m o d e l s w e c o n c l u d e d t h a t g i v e n t h e d a t a , t h e t w o m o d e l s w e r e n o t s t a t i s t i c a l l y d i s t i n g u i s h a b l e . W e a l s o n o t e d t h a t t h i s c o n c l u s i o n w a s n o t a s u r p r i s e , b e c a u s e , a l t h o u g h t h e y a r e d i f f e r e n t f r o m a e c o n o m i c t h e o r e t i c v i e w , i n t e r m s o f e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n t h e t w o m o d e l s d i f f e r o n l y i n t h e A I D S b u d g e t d e fl a t o r . F o r t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , w e f o u n d t h a t t h e s e t o f e l a s t i c i t i e s f r o m t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l t e n d e d t o b e d i f f e r e n t f r o m t h e c o m p a r a b l e " e x p e c t e d " A I D S o n e s , a l t h o u g h t h e y w e r e n o t t o o f a r a p a r t . F o r e x a m p l e , o u t o f t h e 2 5 s a m p l e m e d i a n e l a s t i c i t i e s f r o m t h e d e t e r m i n i s t i c A I D S u n c o m p e n s a t e d m a t r i x , 6 d i d n o t h a v e t h e s a m e s i g n a s t h e i r c o m p a r a b l e a n a l o g u e s f r o m t h e 3 3 3 " e x p e c t e d " A I D S m o d e l . T h e b i g g e s t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o m o d e l s w e r e i n t h e e s t i m a t e s o f t h e i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e . T h e c o m p a r a b l e e s t i m a t e s f r o m t h e t w o m o d e l s w e r e s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t i n m a g n i t u d e , a n d m o s t o f t h e m d i d n o t h a v e t h e s a m e s i g n s . T h e s e e m p i r i c a l fi n d i n g s c o n fi r m t h e c o n c l u s i o n t h a t w a s a l r e a d y a p p a r e n t i n t h e t h e o r e t i c a l e x p r e s s i o n s o f t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s . T h a t i s , w h e n p r i c e u n c e r t a i n t y i s r e l e v a n t , t h e r e a r e p o t e n t i a l b i a s e s i n e l a s t i c i t i e s a n d i n d i c a t o r s o f w e l f a r e c h a n g e s e s t i m a t e d f r o m d e t e r m i n i s t i c m o d e l s . I n n e x t s e c t i o n , w e d i s c u s s o u r e m p i r i c a l fi n d i n g s i n t e r m s o f c o n s u m e r b e h a v i o r i n S e n e g a l a n d t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n , a n d t h e i r p o l i c y i m p l i c a t i o n s . 8 . 2 S u m m a r y o f t h e e m p i r i c a l fi n d i n g s a n d t h e i r p o l i c y i m p l i c a t i o n s T h e e m p i r i c a l fi n d i n g s i n t h e d i s s e r t a t i o n h a v e s o m e p o l i c y i m p l i c a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t f o o d p o l i c y . T h e m a i n p o l i c y c o n t r i b u t i o n o f t h e d i s s e r t a t i o n , h o w e v e r , i s t o p r o v i d e d e m a n d e l a s t i c i t y e s t i m a t e s f o r S e n e g a l t h a t a r e d i s a g g r e g a t e d b y g e o g r a p h i c l o c a t i o n a n d i n c o m e g r o u p . O n e o f t h e m a i n d i f fi c u l t i e s i n d o i n g p o l i c y a n a l y s i s i n S e n e g a l h a s a l w a y s b e e n t h e l a c k o f r e l i a b l e d e m a n d a n d s u p p l y e l a s t i c i t y e s t i m a t e s ( K r a m e r , 1 9 8 4 ; B r a v e r r n a n a n d H a m m e r , l 9 8 6 ; a n d K i t e , 1 9 9 3 ) . T h e f a c t t h a t t h e l a c k o f r e l i a b l e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s h a s b e e n a c o n s t r a i n i n g f a c t o r f o r p o l i c y a n a l y s i s i s u n d e r s t a n d a b l e b e c a u s e a l a r g e p a r t o f t h e d e b a t e d p o l i c y r e f o r m s i n S e n e g a l d u r i n g t h e 1 9 8 0 s t u r n e d a r o u n d t h e g o v e r n m e n t ’ s c e r e a l m a r k e t i n g a n d p r i c i n g p o l i c i e s ( s e e B e r g , 1 9 9 0 ) . I n f a c t , o n e o f t h e m a i n g o a l s o f t h e I S R A / I F P R I p r o j e c t w a s t o p r o v i d e d e m a n d a n d s u p p l y e l a s t i c i t i e s f o r S e n e g a l ( K e l l y e t a l . , 1 9 9 3 ) . I t i s h o p e d t h a t t h e h o u s e h o l d - l e v e l e l a s t i c i t y e s t i m a t e s p r o v i d e d i n t h e d i s s e r t a t i o n w i l l fi l l a g a p a n d b e u s e f u l f o r p o l i c y a n a l y s t s d e a l i n g w i t h f o o d p o l i c y 3 3 4 i s s u e s i n S e n e g a l . W e p a r t i c u l a r l y h o p e t h a t t h e l e v e l o f d i s a g g r e g a t i o n w i l l b e u s e f u l i n a s s e s s i n g a n d m o n i t o r i n g t h e i m p a c t s o f t h e p e n d i n g l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t f o r t h e d i f f e r e n t r e g i o n s o f S e n e g a l . I n d e e d , o n e i m p o r t a n t p o l i c y i s s u e o f c o n c e r n t o t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t i s h o w t h e l i b e r a l i z a t i o n w i l l i m p a c t t h e d i f f e r e n t r e g i o n s o f S e n e g a l ( K i t e , 1 9 9 3 ) . I n w h a t f o l l o w s , w e s u r r u n a r i z e t h e c o n c l u s i o n s d e r i v e d f r o m o u r i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e s i g n s a n d r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e e s t i m a t e d e l a s t i c i t i e s a n d f r o m o u r e s t i m a t e s o f t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t s o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n . 8 . 2 . 1 E m p i r i c a l e v i d e n c e o n t h e c o n s u m p t i o n r e l a t e d i s s u e s 8 . 2 . 1 . 1 T h e t o t a l a n d n o n r i s k e l a s t i c i t i e s e s t i m a t e s B a s e d o n t h e p r e - d e v a l u a t i o n p r i c e l e v e l s , w e f o u n d t h a t a l l t h e f o o d c o m m o d i t i e s ( i n c l u d i n g r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s ) a r e s u b s t i t u t e s e x c e p t f o r fi s h \ m e a t a n d t h e o t h e r f o o d g r o u p f o r w h i c h t h e c r o s s - p r i c e e l a s t i c i t y i s p r a c t i c a l l y z e r o . P e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t fi n d i n g , h o w e v e r , w a s t h e r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e e f f e c t t h a t s i g n i fi c a n t l y l i m i t s t h e a b i l i t y o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d t o s u b s t i t u t e a c r o s s c o m m o d i t i e s . I n d e e d , w e f o u n d t h a t m o s t o f t h e o w n - p r i c e r e s p o n s e o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d i s d u e t o a r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t . A t s a m e t i m e , m o s t o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d p o t e n t i a l p r i c e s u b s t i t u t i o n e f f e c t i s w i p e d o u t b y t h e s a m e r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e o r b u d g e t e f f e c t . T h i s r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e e f f e c t i s f o u n d f o r a l l c o m m o d i t i e s . F o r e x a m p l e , a 1 % c e t e r i s p a r i b u s e x p e c t e d i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f r i c e c o u l d h a v e i n c r e a s e d t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n b y a s m u c h a s 0 . 4 4 % i f t h e r e w e r e n o r e d u c t i o n i n p u r c h a s i n g p o w e r . B u t , b e c a u s e o f t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r t h e i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n w i l l o n l y b e a m e r e 0 . 0 7 % ! M e a n w h i l e , 4 4 % o f t h e 0 . 9 % r e s u l t i n g 3 3 5 d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y r i c e c o n s u m p t i o n w i l l b e d u e t o a l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r , n o t t o s u b s t i t u t i o n t o w a r d o t h e r f o o d c o m m o d i t i e s . T h i s p a t t e r n o f r e s p o n s e t o p r i c e c h a n g e s o f t h e m e d i a n h o u s e h o l d w a s c o n fi r m e d b y t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s a n d t h e e s t i m a t e d c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s c a l c u l a t e d u s i n g t h e p r i c e s p r e v a i l i n g a f t e r t h e 5 0 % d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c s . I n d e e d , w e f o u n d t h e p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t i e s t o b e n o t m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e p r e - d e v a l u a t i o n o n e s . T h e r e w a s o n l y a s l i g h t t r e n d o f i n c r e a s e i n t h e u n c o m p e n s a t e d p r i c e a n d b u d g e t e l a s t i c i t i e s t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s . F o r e x a m p l e , t h e m e d i a n u n c o m p e n s a t e d o w n p r i c e e l a s t i c i t i e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s a n d r i c e c h a n g e d f r o m - 0 . 7 7 6 a n d - 0 . 9 0 4 t o r e s p e c t i v e l y 0 7 9 1 a n d - 0 . 9 1 1 , a n d t h e m e d i a n s o f t h e m e a n s o f t h e i r f o o d b u d g e t e l a s t i c i t i e s i n c r e a s e d f r o m 0 . 8 0 9 a n d 0 . 8 0 7 t o r e s p e c t i v e l y 0 . 8 2 9 a n d 0 . 8 2 3 . I n c o n t r a s t , f o r t h e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s w e f o u n d a s l i g h t t r e n d o f r e d u c t i o n i n t h e o w n - p r i c e r e s p o n s i v e n e s s , c o n t r a s t i n g w i t h a s l i g h t t r e n d o f i n c r e a s e i n t h e c r o s s - p r i c e r e s p o n s i v e n e s s . T h e s e t r e n d s , c o m b i n e d w i t h t h e o n e o f t h e u n c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s , i n d i c a t e a n i n c r e a s e d i m p a c t o f t h e r e l a t i v e l y s t r o n g p r e - d e v a l u a t i o n i n c o m e e f f e c t , w h i c h w a s f o u n d t o d o m i n a t e t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s r e s p o n s e t o r e l a t i v e p r i c e c h a n g e s . T h u s , t h e h i g h e r t h e l e v e l s o f p r i c e s , t h e m o r e t h e m e d i a n h o u s e h o l d i s s e n s i t i v e t o l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r , a n d t h e m o r e i t s p r i c e s u b s t i t u t i o n a b i l i t y i s n e g a t i v e l y a f f e c t e d b y t h e l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . M o r e o v e r , u s i n g t h e p o s t - d e v a l u a t i o n f o o d c o m m o d i t y p r i c e l e v e l s , w e e s t i m a t e d t h e c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d a n d s h a r e s o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s a f t e r t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e 5 0 % d e v a l u a t i o n o f t h e C F A . F o r t h e s a m p l e m e d i a n h o u s e h o l d , t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s a n d fi s h \ m e a t f o r w h i c h p r i c e s h a v e r e m a i n e d u n c h a n g e d , a r e e s t i m a t e d t o h a v e i n c r e a s e d b y 1 9 % a n d 2 6 % r e s p e c t i v e l y . M e a n w h i l e , t h e a v e r a g e d a i l y c o n s u m p t i o n o f p u l s e s , o t h e r f o o d , a n d r i c e f o r w h i c h p r i c e s h a v e i n c r e a s e d b y 3 3 6 4 3 % , 3 0 % , a n d 3 3 % r e s p e c t i v e l y , i s e s t i m a t e d t o h a v e d e c r e a s e d b y 3 % , 1 5 % , a n d 5 % r e s p e c t i v e l y . T h e l o w d e c r e a s e i n r i c e c o n s u m p t i o n i n d i c a t e s t h a t m o s t o f t h e 1 7 % i n c r e a s e i n t h e c o n s u m p t i o n o f c o a r s e g r a i n s i s n o t d u e t o s u b s t i t u t i o n a w a y f r o m r i c e , b u t r a t h e r t o a n i n c r e a s e i n p u r c h a s i n g p o w e r f o r r u r a l h o u s e h o l d s a s a r e s u l t o f t h e i n c r e a s e s i n t h e i r p e a n u t i n c o m e . I n d e e d , f o r t h e m e d i a n u r b a n h o u s e h o l d w h i c h d i d n o t e x p e r i e n c e a n i n c r e a s e i n i n c o m e , t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n i s e s t i m a t e d t o d e c r e a s e b y 3 % d e s p i t e t h e 1 6 % e s t i m a t e d d e c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y r i c e c o n s u m p t i o n ! M e a n w h i l e , f o r t h e m e d i a n r u r a l h o u s e h o l d , w i t h a 1 9 % e s t i m a t e d i n c r e a s e i n t h e a v e r a g e d a i l y c o a r s e g r a i n s c o n s u m p t i o n , t h e r e i s a m e r e 4 % d e c r e a s e i n r i c e c o n s u m p t i o n . T h u s , t h e i m p a c t s o f t h e n o n m a r g i n a l c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n c o n fi r m a g a i n t h e i m p o r t a n c e o f t h e i n c o m e e f f e c t s f o u n d i n t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s . D i f f e r e n c e s i n c o n s u m p t i o n p a t t e r n s b e t w e e n r u r a l a n d u r b a n h o u s e h o l d s W e f o u n d t h a t t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s o w n - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s o f u r b a n h o u s e h o l d s i s q u i t e f a r a p a r t f r o m t h e o n e s o f r u r a l h o u s e h o l d s i n b o t h t h e m a r k e t a n d n o n m a r k e t v i l l a g e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e s p e c t i v e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s f o r t h e r i c e o w n - p r i c e a n d r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t i e s w e r e b y a n d l a r g e c l o s e r . H o w e v e r , i n a l l c a s e s t h e v a r i a b i l i t y i n r e s p o n s e s i s a l w a y s l o w e r f o r u r b a n h o u s e h o l d s ( i . e . , u r b a n h o u s e h o l d s t e n d t o b e h a v e s i m i l a r l y t o r u r a l h o u s e h o l d s ) . D i f f e r e n c e s i n c o n s u m p t i o n p a t t e r n s a c r o s s i n c o m e g r o u p s W h e n i t c o m e s _ t o d i f f e r e n c e i n p r i c e r e s p o n s i v e n e s s a m o n g i n c o m e q u a r t i l e s , r u r a l h o u s e h o l d s s h o w m o r e s i m i l a r i t i e s t h a n u r b a n h o u s e h o l d s . H o w e v e r , a l t h o u g h c o a r s e g r a i n s a n d r i c e a r e s u b s t i t u t e s f o r a l l r u r a l h o u s e h o l d s , t h o s e i n t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e h a v e s l i g h t l y h i g h e r c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d r e s p o n s e s . F o r u r b a n h o u s e h o l d s , t h e e m p i r i c a l 3 3 7 d i s t r i b u t i o n o f t h e r i c e - c o a r s e g r a i n s c r o s s - p r i c e c o m p e n s a t e d e l a s t i c i t y i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e l e f t ( i . e . , t o w a r d m o r e r e s p o n s i v e n e s s ) f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e . P o l i c y i m p l i c a t i o n s T h e r e l a t i v e l y s t r o n g i n c o m e e f f e c t s f o u n d i n t h e p r e - a n d p o s t - d e v a l u a t i o n e l a s t i c i t y e s t i m a t e s , a n d i n t h e e s t i m a t e d c h a n g e s i n t h e q u a n t i t i e s d e m a n d e d o f t h e f o o d c o m m o d i t i e s a f t e r t h e C F A d e v a l u a t i o n l e a d t o a n i m p o r t a n t p o l i c y i m p l i c a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t ’ s c e r e a l p r i c i n g p o l i c y , w h i c h i s p r e s e n t l y d e s i g n e d t o e n c o u r a g e t h e d o m e s t i c p r o d u c t i o n o f r i c e a n d t o i n d u c e S e n e g a l e s e c o n s u m e r s t o s w i t c h t o l o c a l l y p r o d u c e d c o a r s e g r a i n s b y p r o g r e s s i v e l y i n c r e a s i n g t h e r e l a t i v e p r i c e o f i m p o r t e d r i c e . A d e b a t e r e g a r d i n g t h e e c o n o m i c r a t i o n a l e a n d e f f e c t i v e n e s s o f t h e c e r e a l p r i c i n g p o l i c y h a s b e e n g o i n g o n s i n c e t h e e a r l y 1 9 8 0 s a m o n g p o l i c y m a k e r s a n d r e s e a r c h e r s w o r k i n g o n S e n e g a l e s e i s s u e s ( s e e , B e r g , 1 9 9 0 , a n d K i t e , 1 9 9 3 ) . O p p o n e n t s o f t h e p o l i c y h a v e q u e s t i o n e d i t s e c o n o m i c r a t i o n a l e g i v e n i t s h i g h c o s t t o t h e S e n e g a l e s e c o n s u m e r s a n d e c o n o m y . T h e y h a v e a l s o q u e s t i o n e d i t s e f f e c t i v e n e s s s i n c e i t h a s s o f a r g i v e n n o s i g n o f c u r b i n g r i c e d e m a n d o r b o o s t i n g t h e c o n s u m p t i o n o f t h e c o a r s e g r a i n s . I t s o n l y a c h i e v e m e n t , t h e y p o i n t o u t , i s t h e i n c r e a s e d l o c a l p r o d u c t i o n o f i r r i g a t e d r i c e i n t h e F l e u v e r e g i o n a t a v e r y h i g h c o s t i n t e r m s o f s u b s i d y a n d r e s o u r c e a l l o c a t i o n . 2 0 0 H e n c e , t h e y a r g u e , i n s t e a d o f t r y i n g t o p r o d u c e i t s o w n r i c e a t a v e r y h i g h c o s t t o t h e S e n e g a l e s e c o n s u m e r a n d e c o n o m y , S e n e g a l s h o u l d t a k e a d v a n t a g e o f t h e c h e a p i m p o r t e d r i c e a n d c o n c e n t r a t e o n t h e p r o d u c t i o n o f c r o p s l i k e p e a n u t , w h e r e i t h a s k n o w n c o m p a r a t i v e a d v a n t a g e . A d v o c a t e s o f t h e c e r e a l p o l i c y j u s t i f y i t b y p o i n t i n g t o t h e n e e d f o r S e n e g a l t o r e d u c e i t s c h r o n i c b a l a n c e o f p a y m e n t s d e fi c i t ( f o r w h i c h t h e i m p o r t a t i o n o f r i c e i s a m a i n c o m p o n e n t ) , a n d d e v e l o p t h e d o m e s t i c m a r k e t f o r t h e c o a r s e 3 ‘ ” T h e D o m e s t i c R e s o u r c e C o s t ( D R C ) o f p r o d u c i n g r i c e i n S e n e g a l h a s b e e n e s t i m a t e d t o b e i n t h e r a n g e o f 2 . 3 t o 6 . 8 ( K i t e , 1 9 9 3 ) . K i t e ( 1 9 9 3 ) a l s o e s t i m a t e d t h e a n n u a l r e s o u r c e m i s a l l o c a t i o n c o s t i n v o l v e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f i r r i g a t e d r i c e t o b e i n t h e r a n g e b e t w e e n $ 2 5 a n d $ 7 0 m i l l i o n . 3 3 8 g r a i n s a s p a r t o f i t s a g r i c u l t u r a l d e v e l o p m e n t s t r a t e g y a n d g o a l o f 8 0 % f o o d s e l f - s u f fi c i e n c y b y t h e y e a r 2 0 0 0 . A d v o c a t e s o f t h e c e r e a l p o l i c y h a v e a l w a y s a r g u e d t h a t t h e r e a s o n w h y i t h a s n o t w o r k e d y e t i s t h a t t h e r e l a t i v e p r i c e o f i m p o r t e d r i c e h a s n o t b e e n h i g h e n o u g h . O p p o n e n t s o f t h e p o l i c y h a v e a r g u e d t h a t t h e m a i n r e a s o n f o r i t s f a i l u r e l i e s i n t h e s o - c a l l e d " n o n p r i c e " f a c t o r s ( s u c h a s u r b a n i z a t i o n , c u l t u r a l p r a c t i c e s , a n d c o n v e n i e n c e a n d c o s t o f p r e p a r a t i o n ) ? “ T h e e m p i r i c a l e v i d e n c e p r o v i d e d b y t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e e l a s t i c i t y e s t i m a t e s i n d i c a t e s a n o t h e r r e a s o n w h y t h e c e r e a l p o l i c y h a s n o t s u c c e e d e d i n d e c r e a s i n g t h e c o n s u m p t i o n o f i m p o r t e d r i c e a n d i n c r e a s i n g t h e o n e f o r t h e c o a r s e g r a i n s . T h a t i s , t h e r e l a t i v e l y i m p o r t a n t l o s s o f p u r c h a s i n g p o w e r r e s u l t i n g f r o m h i g h e r p r i c e s f o r r i c e , s i g n i fi c a n t l y r e d u c e s t h e a b i l i t y o f t h e p o o r S e n e g a l e s e h o u s e h o l d t o s u b s t i t u t e t o w a r d t h e o t h e r f o o d p r o d u c t s . I n o t h e r w o r d s , a c e r e a l p o l i c y b a s e d o n a c e t e r i s g a r i Q L s h i g h e r r e l a t i v e p r i c e s f o r r i c e c o m p a r e d t o t h e o n e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s i s n o t g o i n g t o l e a d t o m o r e s u b s t i t u t i o n t o w a r d t h e c o a r s e g r a i n s , u n l e s s o n e fi n d s a w a y t o c o m p e n s a t e t h e m e d i a n h o u s e h o l d f o r t h e r e s u l t i n g l o s s i n p u r c h a s i n g p o w e r . H e n c e , s i n c e i n c o m e c o m p e n s a t i o n o f c o n s u m e r s i s o u t o f t h e q u e s t i o n , t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t s h o u l d r e a s s e s s i t s c e r e a l p o l i c y a n d f o c u s o n o t h e r n o n p r i c e m e a n s f o r e n c o u r a g i n g c o n s u m e r s t o d e c r e a s e t h e i r r i c e c o n s u m p t i o n a n d s w i t c h t o t h e l o c a l c e r e a l s . T h e n c o m e s t h e q u e s t i o n o f w h a t t y p e o f n o n p r i c e f o o d p o l i c y c a n b e s u g g e s t e d A n i m p o r t a n t s t e p t o w a r d t h e d i r e c t i o n o f a n o n p r i c e - b a s e d c e r e a l p o l i c y i s t h e g r o w i n g i n t e r e s t , b o t h f r o m t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t a n d t h e d o n o r c o m m u n i t y , i n t h e d e v e l o p m e n t o f i n d u s t r i a l a n d s e m i - i n d u s t r i a l p r o c e s s i n g t e c h n o l o g i e s t h a t w o u l d m a k e t h e 2 ‘ “ O n e n o n p r i c e f a c t o r o f t e n c i t e d a s t h e m a i n r e a s o n f o r t h e l i m i t e d s u b s t i t u t a b i l i t y o f r i c e a n d t h e c o a r s e g r a i n s , i s t h e u r b a n S e n e g a l e s e c u l t u r a l p r a c t i c e o f a l m o s t a l w a y s e a t i n g r i c e a t n o o n , a n d t h e c o a r s e g r a i n s o n l y i n e v e n i n g m e a l s . 3 3 9 c o a r s e g r a i n s m o r e a t t r a c t i v e t o c o n s u m e r s i n t e r m s o f c o n v e n i e n c e i n p r e p a r a t i o n ( U S A I D / S E N E G A L , 1 9 9 1 ) . H o w e v e r , e x c e p t f o r a l i m i t e d c o n s u m e r a c c e p t a n c e t e s t p r o g r a m , m u c h o f t h i s e f f o r t i s c o n c e n t r a t e d o n t h e t e c h n o l o g i c a l a s p e c t o f t h e p r o b l e m a n d i n r e d u c i n g t h e c o a r s e g r a i n s ’ p r o c e s s i n g c o s t s c o m p a r e d t o i m p o r t e d r i c e . T h e p r o g r a m s h o u l d b e m o r e c o n s u m e r o r i e n t e d b y t r y i n g t o i n fl u e n c e c o n s u m e r p r e f e r e n c e s t h r o u g h e d u c a t i o n a l p r o g r a m s o n a l t e r n a t i v e c u l i n a r y p r a c t i c e s t h a t r e l y o n n e w a n d c r e a t i v e u s e o f c o a r s e g r a i n s i n t h e S e n e g a l e s e d i e t . 2 0 2 M o r e o v e r , t h e f o c u s o f t h e S e n e g a l e s e f o o d p o l i c y o n t h e c e r e a l s i s t o o n a r r o w b o t h f r o m a p o l i c y a n d n u t r i t i o n a l p e r s p e c t i v e . T h e d e v e l o p m e n t o f o t h e r l o c a l f o o d p r o d u c t s ( v e g e t a b l e s , l i v e s t o c k p r o d u c t s , a n d f r u i t s , e t c . ) s h o u l d b e v i g o r o u s l y p u r s u e d t o p r o m o t e a m u c h m o r e d i v e r s i fi e d d i e t f o r t h e S e n e g a l e s e c o n s u m e r . 2 0 3 T h e u s e o f t h e c o a r s e g r a i n s i n l i v e s t o c k f e e d i n g s h o u l d a l s o b e p r o m o t e d . 8 . 2 . 1 . 2 T h e p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s W e f o u n d t h a t i n g e n e r a l t h e p r i c e - r i s k e f f e c t s d a m p e n t h e m e d i a n h o u s e h o l d ’ s o v e r a l l a b i l i t y t o s u b s t i t u t e a c r o s s c o m m o d i t i e s . H o w e v e r , t h e o v e r a l l m a g n i t u d e s o f t h e p r e c a u t i o n a r y p r i c e - r i s k e l a s t i c i t i e s a r e s o s m a l l , c o m p a r e d t o t h e i r n o n r i s k c o u n t e r p a r t s , t h a t t h e y c a n b e c o n s i d e r e d a s n e g l i g i b l e . T h e e m p i r i c a l fi n d i n g t h a t t h e e f f e c t s o f p r i c e 2 ‘ ” I T A , t h e S e n e g a l e s e F o o d T e c h n o l o g y I n s t i t u t e , h a s b e e n d e v e l o p i n g a l t e r n a t i v e s u s e s o f t h e c o a r s e g r a i n s . B u t , s o f a r n o v i g o r o u s p r o g r a m t o e d u c a t e S e n e g a l e s e c o n s u m e r s o n t h e s e a l t e r n a t i v e c u l i n a r y p r a c t i c e s h a s b e e n d e v e l o p e d . T h e i m p a c t o f c h a n g e s i n p r e f e r e n c e o n c o n s u m p t i o n i s n o t u s u a l l y d e a l t w i t h i n q u a n t i t a t i v e e c o n o m i c a n a l y s i s . B u t , a s t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 s h o w , a s m a l l c h a n g e i n p r e f e r e n c e c a n l e a d t o n o n m a r g i n a l c h a n g e i n c o n s u m p t i o n . H e n c e , p o l i c y d e s i g n e d t o i n fl u e n c e c o n s u m e r s p r e f e r e n c e s c a n b e m o r e e f f e c t i v e i n c h a n g i n g d e m a n d t h a n p o l i c i e s b a s e d o n c h a n g e i n r e l a t i v e p r i c e s . ” 3 T h e I S R A / I F P R I s u r v e y r e v e a l e d t h a t t h e s h a r e o f c e r e a l s i n c a l o r i c i n t a k e r a n g e d f r o m 6 5 % f o r h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s a n d N o r t h e r n P e a n u t B a s i n t o m o r e t h a n 8 0 % i n t h e S o u t h w e s t a n d S o u t h e a s t P e a n u t B a s i n ( K e l l y e t a l . , 1 9 9 3 ) . G o e t z ( 1 9 9 0 ) r e p o r t s s o m e e m p i r i c a l e v i d e n c e w h i c h s h o w s t h a t r u r a l h o u s e h o l d s w o u l d d i v e r s i f y t h e i r d i e t i f t h e y w e r e g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o d o s o ( s e e a l s o , A b t A s s o c i a t e s , 1 9 8 5 , f o r a s i m i l a r fi n d i n g i n D a k a r ) . 3 4 0 u n c e r t a i n t y o n f o o d c o n s u m p t i o n i n S e n e g a l a r e n e g l i g i b l e h a s n o n e t h e l e s s s o m e p o l i c y v a l u e i n t h e s e n s e t h a t i t g i v e s a j u s t i fi c a t i o n f o r t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t t o d e e m p h a s i z e t r y i n g t o s t a b i l i z e c o a r s e g r a i n p r i c e s a s i t d i d i n t h e p a s t . M o r e o v e r , g i v e n t h e r e c e n t t r e n d o f p r o m o t i n g v i l l a g e c e r e a l b a n k s i n S e n e g a l , f r o m a p o l i c y p e r s p e c t i v e , t h e e m p i r i c a l e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t t h e y c a n b e j u s t i fi e d o n l y i f t h e y a r e i n t e n d e d n o t t o d e a l w i t h p r i c e u n c e r t a i n t y , b u t r a t h e r t o s o l v e t h e l i q u i d i t y c o n s t r a i n t s f a c i n g m a n y f a r m e r s , w h i c h f o r c e t h e m t o s e l l t h e i r f o o d c r o p s a t l o w p r i c e s a t h a r v e s t a n d b u y b a c k l a t e r w h e n p r i c e s a r e h i g h . H o w e v e r , g i v e n t h e s u b s i d i e s a n d h i d d e n o p p o r t u n i t y c o s t s o f s e t t i n g a n d o p e r a t i n g t h e s e c e r e a l s b a n k s , t h e r e m a y b e a b e t t e r a n d m o r e c o s t e f fi c i e n t w a y f o r s o l v i n g t h e l i q u i d i t y c o n s t r a i n t s f a c i n g f a r m e r s ( b y p r o v i d i n g c r e d i t t h a t i s n o t t i e d t o p r o d u c t i o n a c t i v i t i e s f o r e x a m p l e ) ? “ H e n c e , t h e e c o n o m i c r a t i o n a l e b e h i n d t h e p r o m o t i o n o f t h e s e c e r e a l b a n k s s h o u l d b e q u e s t i o n e d ; e s p e c i a l l y c o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t t h e y i m p e d e o n t h e l o n g - t e r m d e v e l o p m e n t o f a w e l l w o r k i n g a n d e f fi c i e n t c e r e a l m a r k e t i n g s y s t e m w h i c h w o u l d a l l o w f a r m e r s t o s p e c i a l i z e i n p r o d u c t i o n . 8 . 2 . 2 M e d i a n e s t i m a t e s o f t h e w e l f a r e a n d r i s k i m p a c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n A s w e c a n e x p e c t g i v e n t h e d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e o f t h e c h a n g e s i n r e l a t i v e p r i c e s , h o u s e h o l d s i n t h e r u r a l z o n e s w i t h a r e l a t i v e l y h i g h s h a r e o f p e a n u t i n c o m e , a n d a r e l a t i v e l y l o w . s h a r e o f r i c e a n d / o r a r e l a t i v e l y h i g h s h a r e o f c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s ( N i a k h a r , C o l o b a n e , P a s s y , D i o l y a n d M i s s i r a h ) a r e t h e o n e s w h o h a v e e x p e r i e n c e d a n e t g a i n i n w e l f a r e . O n t h e o t h e r h a n d , h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s a n d i n S a g a t t a , w h o h a v e n o o r 2 “ A s o f 1 9 9 0 , a t o t a l o f 5 7 1 c e r e a l b a n k s h a v e b e e n c r e a t e d t h r o u g h t h e h e l p o f n o n - g o v e m m e n t a l o r g a n i z a t i o n s a n d i n t e r n a t i o n a l d o n o r o r g a n i z a t i o n s w h i c h p r o v i d e g r a n t s a n d s u b s i d i z e s o m e o f t h e o p e r a t i n g c o s t s . H o w e v e r , 6 4 % o f t h e m a r e o p e r a t i n g a t a n a v e r a g e o f 1 0 % c a p a c i t y ( U S A I D / S E N E G A L , 1 9 9 1 ) . T h i s l o w u t i l i z a t i o n r a t e m a y b e a n i n d i c a t i o n t h a t t h e y a r e t r y i n g t o s o l v e a p r o b l e m t h a t , p r a c t i c a l l y s p e a k i n g , i s n o t r e a l l y v e r y i m p o r t a n t f o r f a r m e r s . 3 4 1 r e l a t i v e l y l o w p e a n u t i n c o m e b u t h a v e a h i g h r i c e s h a r e a n d l o w c o a r s e g r a i n s s h a r e i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . A s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e — d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y p e r c a p i t a f o o d b u d g e t , h o u s e h o l d s i n D i o l y h a v e e x p e r i e n c e d t h e m o s t g a i n s i n w e l f a r e , w i t h a m e d i a n n e t g a i n o f + 2 6 % ( o r 1 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , w h i l e h o u s e h o l d s i n t h e c i t y o f K a o l a c k h a v e t h e h i g h e s t l o s s i n w e l f a r e w i t h a m e d i a n n e t l o s s o f - 1 4 % ( o r 2 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . S i m i l a r l y , i t i s i n t h e z o n e s w i t h t h e h i g h e s t s h a r e s o f r i c e a n d t h e l o w e s t s h a r e s o f c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s w h e r e t h e c o s t o f f o o d h a s r i s e n t h e m o s t . I n c o n t r a s t , i n t h e l o w r i c e a n d h i g h c o a r s e g r a i n s c o n s u m i n g z o n e s o f N i a k h a r , D i o l y , a n d M i s s i r a h , t h e c o s t o f f o o d h a s r e m a i n e d p r a c t i c a l l y u n c h a n g e d . T h e c o s t o f f o o d h a s r i s e n t h e m o s t i n K a o l a c k ( + 1 7 % ) , S a g a t t a ( + 1 5 % ) , C o l o b a n e ( + 1 3 % ) , a n d P a s s y ( + 1 2 % ) . T h e m e d i a n r i s e i n t h e c o s t o f f o o d f o r N i a k h a r a n d D i o l y i s r e s p e c t i v e l y + 3 % a n d + 4 % . I n M i s s i r a h , t h e r e i s p r a c t i c a l l y 0 % r i s e i n t h e c o s t o f f o o d . A s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a , t h e m e d i a n r i s k p r e m i u m w a s h i g h e s t i n M i s s i r a h ( 3 . 9 % o r 2 . 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) , a n d l o w e s t i n S a g a t t a ( 0 . 3 % o r 0 . 2 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . I f t h e r e w e r e n o p r i c e u n c e r t a i n t y , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n s - a s p e r c e n t a g e o f t h e p r e — d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t s p e r c a p i t a - w o u l d h a v e b e e n 1 3 % i n s t e a d o f 9 % i n N i a k h a r , 1 5 % i n s t e a d o f 1 1 . 5 % i n C o l o b a n e , 7 % i n s t e a d o f 6 % i n P a s s y , 2 8 % i n s t e a d o f 2 6 % i n D i o l y , a n d 1 9 % i n s t e a d o f 1 5 % i n M i s s i r a h . M e a n w h i l e , i n S a g a t t a , K a o l a c k , a n d T a m b a , p r i c e u n c e r t a i n t y h a s f u r t h e r i n c r e a s e d t h e m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s e s ( a s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) f r o m 1 . 3 % t o 1 . 5 % , 1 3 % t o 1 4 % , a n d 1 0 . 8 % t o 1 1 . 2 % r e s p e c t i v e l y . H e n c e , o n a v e r a g e , p r i c e u n c e r t a i n t y a d d e d 2 p e r c e n t a g e p o i n t s t o t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e . S i m i l a r l y , t h e c o s t o f p r i c e r i s k w a s h i g h e s t i n M i s s i r a h a n d l o w e s t i n S a g a t t a . I n o t h e r t e r m s , p r i c e u n c e r t a i n t y i n c r e a s e d t h e m e d i a n c o s t - o f - f o o d i n d i c e s i n M i s s i r a h a n d 3 4 2 S a g a t t a b y r e s p e c t i v e l y 0 . 0 3 5 p o i n t s ( o r 4 % ) a n d 0 . 0 0 4 p o i n t s ( o r 0 . 3 % ) . T h i s r e fl e c t s t h e f a c t t h a t i n t e r m s o f a ) t h e r e s p e c t i v e s h a r e s o f r i c e a n d c o a r s e g r a i n s i n t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e a n d b ) v a r i a b i l i t y o f c o a r s e g r a i n s p r i c e s , S a g a t t a a n d M i s s i r a h a r e a t t h e o p p o s i t e e x t r e m e s a m o n g t h e z o n e s . E m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e e s t i m a t e d w e l f a r e i m p a c t s T h e s a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l w e l f a r e c h a n g e s w a s f o u n d t o b e b i m o d a l , w i t h o n e m o d e b e i n g i n t h e n e t w e l f a r e l o s s r a n g e b e t w e e n - 1 2 . 5 % t o - 7 . 5 % ( o f t h e p r o - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a ) , a n d t h e o t h e r m o d e b e i n g i n t h e w e l f a r e g a i n r a n g e b e t w e e n + 7 . 5 % t o + 1 2 . 5 % . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s a m p l e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l c o s t — o f - f o o d i n d e x i s n o t i c e a b l y s k e w e d t o t h e r i g h t ( i . e . , t o w a r d h i g h e r v a l u e s ) . T h e r e i s n o z o n e w h e r e a l l h o u s e h o l d s e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . H o w e v e r , e x c e p t f o r t h e z o n e o f P a s s y , i n a l l t h e z o n e s t h a t s h o w e d a m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n , m o r e t h a n 7 5 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . F o r t h e z o n e o f P a s s y a b o u t 5 0 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . N a t u r a l l y , v i r t u a l l y a l l t h e h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e l o s s . B u t , i n S a g a t t a w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e , a b o u t 2 5 % o f t h e h o u s e h o l d s h a v e e x p e r i e n c e d a n e t w e l f a r e g a i n . S e c o n d , t h e v a r i a b i l i t y i n t h e n e t w e l f a r e c h a n g e s a c r o s s h o u s e h o l d s i s h i g h e r i n z o n e s w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s p o s i t i v e t h a n i n z o n e s w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e i s n e g a t i v e . B y a n d l a r g e t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s o f t h e t o t a l c o s t - o f - f o o d i n d i c e s a r e s i m i l a r a c r o s s z o n e s , e s p e c i a l l y i n t e r m s o f v a r i a b i l i t y . D i s t r i b u t i o n o f t h e w e l f a r e i m p a c t a c r o s s i n c o m e g r o u p s I n t h e u r b a n z o n e s , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e l o s s a s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a a n d t h e i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d w e r e g r e a t e s t f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e ( 1 5 % o r 1 6 C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d 1 8 % r e s p e c t i v e l y ) . 3 4 3 T h e y w e r e l o w e s t f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 . 5 % o r 1 4 C F A p e r c a p i t a p e r d a y a n d 1 4 % r e s p e c t i v e l y ) . F o r t h e t w o h i g h e r i n c o m e q u a r t i l e s , t h e c o r r e s p o n d i n g fi g u r e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 3 % ( o r 1 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 1 5 % f o r t h e u p p e r - m e d i u m q u a r t i l e , a n d 1 3 % ( o r 2 5 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d 1 5 . 5 % f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e . I n t h e r u r a l z o n e s , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e w a s f o u n d t o b e p o s i t i v e f o r a l l i n c o m e q u a r t i l e s . A s a p e r c e n t a g e o f t h e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a , t h e m e d i a n n e t w e l f a r e g a i n w a s g r e a t e s t f o r t h e l o w e s t i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 % o r 8 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) a n d l o w e s t f o r t h e l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 8 % o r 7 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) . T h e fi g u r e s f o r t h e t w o h i g h e r i n c o m e q u a r t i l e s a r e r e s p e c t i v e l y 1 0 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r t h e u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e , a n d 9 % ( o r 1 0 C F A p e r c a p i t a p e r d a y ) f o r t h e u p p e r i n c o m e q u a r t i l e . I n c o n t r a s t , t h e m e d i a n i n c r e a s e i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d i s t h e l o w e s t f o r t h e l o w e r m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e ( 7 % ) , a n d t h e h i g h e s t f o r u p p e r i n c o m e q u a r t i l e ( 1 2 . 6 % ) . T h e m e d i a n i n c r e a s e s i n t h e t o t a l c o s t o f f o o d f o r t h e l o w e s t a n d u p p e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e w e r e 9 % a n d 9 . 5 % r e s p e c t i v e l y . I t i s n o t e w o r t h y t h a t i n S a g a t t a w h e r e t h e m e d i a n n e t w e l f a r e c h a n g e w a s n e g a t i v e , t h e l o w e s t a n d l o w e r - m e d i u m i n c o m e q u a r t i l e s d i d i n f a c t h a v e a m e d i a n n e t i n c r e a s e i n w e l f a r e o f 1 % o f t h e i r r e s p e c t i v e p r e - d e v a l u a t i o n a v e r a g e d a i l y f o o d b u d g e t p e r c a p i t a . P o l i c y i m p l i c a t i o n s T h e d e b a t e o n t h e e c o n o m i c b e n e fi t s a n d c o s t o f a d e v a l u a t i o n o f t h e C F A f r a n c h a s b e e n g o i n g o n f o r a l m o s t a d e c a d e n o w . N o w t h a t t h e d e v a l u a t i o n h a s t a k e n p l a c e , t h e d e b a t e h a s s h i f t e d t o q u e s t i o n s a b o u t w h a t p o l i c i e s s h o u l d b e p r o m o t e d i n o r d e r t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e C F A d e v a l u a t i o n a n d a l l e v i a t e i t s s h o r t t e r m i m p a c t s o n t h e p o o r . T h e e s t i m a t e s o f t h e s i z e a n d d i s t r i b u t i o n o f t h e w e l f a r e i m p a c t s g i v e n i n t h i s d i s s e r t a t i o n e n a b l e o n e t o d r a w a 3 4 4 p r o fi l e o f p a r t i c u l a r h o u s e h o l d s t h a t n e e d t o b e t a r g e t e d f o r h e l p i n m i t i g a t i n g t h e s h o r t t e r m n e g a t i v e w e l f a r e i m p a c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n . W h e t h e r o r n o t t h e n e g a t i v e w e l f a r e i m p a c t s a r e l a r g e e n o u g h t o w a r r a n t d e s i g n i n g t a r g e t i n g p r o g r a m s t o h e l p t h e v u l n e r a b l e h o u s e h o l d s i s a p o l i c y j u d g m e n t t h a t h a s t o b e m a d e t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e e f f e c t i v e n e s s o f t a r g e t i n g p r o g r a m s i n r e a c h i n g t h e n e e d y , a n d t h e i r a d m i n i s t r a t i v e c o s t s . H o w e v e r , f o c u s s i n g t o o m u c h o n t h e s h o r t - t e r m n e g a t i v e w e l f a r e i m p a c t s o f t h e d e v a l u a t i o n m a y , a t t h e e n d , d i s t r a c t f r o m d e s i g n i n g a n d i m p l e m e n t i n g t h e e c o n o m i c p o l i c y r e f o r m s t h a t s h o u l d g o w i t h t h e d e v a l u a t i o n i n o r d e r f o r i t t o h a v e a l o n g - t e r m p o s i t i v e i m p a c t o n t h e e c o n o m i c w e l l - b e i n g o f S e n e g a l e s e h o u s e h o l d s . E v e n t h e l o w e r i n c o m e q u a r t i l e h o u s e h o l d s i n t h e u r b a n z o n e s w h o , f r o m o u r e s t i m a t e s , s e e m t o b e t h e o n e s w h o h a v e b e e n t h e m o s t h u r t i n t h e s h o r t r u n b y t h e d e v a l u a t i o n , m a y b e b e t t e r h e l p e d i n t h e l o n g r u n b y m a c r o e c o n o m i c p o l i c y r e f o r m s t h a t e n c o u r a g e j o b c r e a t i o n r a t h e r t h a n t a r g e t e d f o o d d i s t r i b u t i o n . I n d e e d , fi n d i n g j o b s f o r u n e m p l o y e d h o u s e h o l d m e m b e r s i s l i k e l y t o h a v e m o r e i m p a c t f o r t h e w e l l b e i n g o f t h e p o o r h o u s e h o l d t h a n f o o d h a n d o u t s . T h e I S R A / I F P R I s a m p l e s h o w s t h a t u r b a n h o u s e h o l d s h a v e a n a v e r a g e a d u l t p o p u l a t i o n o f 5 , o f w h i c h , a c c o r d i n g t o t h e E P s u r v e y ( R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , 1 9 9 2 ) , t w o a t l e a s t a r e l i k e l y t o b e u n e m p l o y e d . M o r e o v e r , t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t i s i n c r e a s i n g l y u n d e r p r e s s u r e f r o m t h e W o r l d B a n k t o s i g n i fi c a n t l y r e d u c e i t s r e l i a n c e o n t h e h i g h t a x a t i o n o f r i c e a n d g a s o l i n e a s t h e p r i n c i p a l m e a n s f o r fi n a n c i n g i t s b u d g e t . H o w e v e r , g i v e n t h e b a d s t a t e o f i t s fi n a n c e s i t i s p r e s e n t l y u n r e a l i s t i c t o e x p e c t t h e r e m o v a l o f t h e t a x a t i o n o n b o t h p r o d u c t s a t t h e s a m e t i m e . A l t h o u g h t h e p r i c e o f i m p o r t e d r i c e i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e f o o d s e c u r i t y o f t h e p o o r , h o w e v e r , i f t h e r e i s a c h o i c e b e t w e e n t h e t w o p r o d u c t s , t h e g o v e r n m e n t s h o u l d c h o o s e t o s i g n i fi c a n t l y r e d u c e i f n o t e l i m i n a t e t a x a t i o n o n g a s o l i n e b e c a u s e o f e c o n o m i c g r o w t h l i n k a g e s a n d p o t e n t i a l f o r j o b c r e a t i o n . I n d e e d , g a s o l i n e i s a n e c e s s a r y i n p u t f o r m a n y e c o n o m i c a c t i v i t i e s t h a t b e n e fi t t h e 3 4 5 p o o r , i n c l u d i n g t h e t r a n s p o r t o f f o o d f r o m t h e r u r a l a r e a s . O n t h e o t h e r h a n d , f o r i m p o r t e d r i c e , t h e r e i s a l w a y s t h e a v a i l a b i l i t y o f c h e a p c o a r s e g r a i n s a n d o t h e r l o c a l f o o d p r o d u c t s , i f p o l i c i e s a r e d e s i g n e d t o e d u c a t e u r b a n c o n s u m e r s o n a l t e r n a t i v e c u l i n a r y p r a c t i c e s t h a t s u b s t i t u t e l o c a l f o o d p r o d u c t s f o r r i c e . A l o n g t h e s a m e l i n e s , a n o t h e r p o l i c y r e f o r m t h a t w o u l d h e l p t h e u r b a n p o o r b e n e fi t f r o m t h e d e v a l u a t i o n i n t h e l o n g r u n , i s t o s t i m u l a t e t h e h o u s i n g c o n s t r u c t i o n s e c t o r b y r e m o v i n g t h e p r e s e n t o v e r p r i c i n g o f c e m e n t . I n d e e d t h e h o u s i n g c o n s t r u c t i o n a n d r e l a t e d s e c t o r s c o n s t i t u t e a p o t e n t i a l s o u r c e o f j o b s f o r t h e l a r g e p o o l o f u n s k i l l e d l a b o r s m a k i n g u p m o s t o f t h e p o o r u r b a n h o u s e h o l d s . M o r e o v e r , u n l i k e u p p e r i n c o m e s k i l l e d l a b o r e r s , u n s k i l l e d l a b o r e r s a r e m o r e l i k e l y t o s p e n d t h e i r e a r n i n g s o n l o c a l l y p r o d u c e d c o m m o d i t i e s , t h u s g e n e r a t i n g m o r e e m p l o y m e n t t h r o u g h i n t e r s e c t o r a l l i n k a g e s . F o r r u r a l h o u s e h o l d s t h a t a r e n e g a t i v e l y a f f e c t e d b y t h e s h o r t - t e r m e f f e c t s o f t h e C F A d e v a l u a t i o n , o u r w e l f a r e i m p a c t e s t i m a t e s s h o w t h a t t h e y a r e m o s t l y l o c a t e d i n t h e N o r t h e r n P e a n u t B a s i n . M o r e o v e r , t h e e s t i m a t e s s h o w t h a t t h e n e t w e l f a r e i m p a c t i s p o s i t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h p e a n u t p r o d u c t i o n . H e n c e , t h e b e s t w a y t o h e l p t h e m i s t o g i v e t h e m a c c e s s t o p e a n u t s e e d a n d o t h e r r e l a t e d i n p u t s . T h i s i s n o t a t r i v i a l i s s u e b e c a u s e t h e I S R A s u r v e y s h o w s t h a t p o o r h o u s e h o l d s i n t h e P e a n u t B a s i n d i d n o t b e n e fi t f r o m t h e b e t t e r 1 9 8 9 r a i n y s e a s o n f o l l o w i n g t h e 1 9 8 8 d r o u g h t , c o m p a r e d t o t h e h i g h e r i n c o m e h o u s e h o l d s ( s e e K e l l y e t a l . , a n d t h e t a b l e s i n t h e d a t a a p p e n d i x ) . I t i s l i k e l y t h a t t h e s e p o o r h o u s e h o l d s d o n o t h a v e g o o d a c c e s s t o i n p u t s i n g e n e r a l , a n d t o p e a n u t s e e d i n p a r t i c u l a r , t h e l a c k o f w h i c h h a s b e e n a m a j o r s o u r c e o f c o m p l a i n t s f r o m f a r m e r s s i n c e t h e a d o p t i o n o f t h e N e w A g r i c u l t u r a l P o l i c y . H e n c e , t h e b e t t e r p e a n u t p r o d u c e r p r i c e s f o l l o w i n g t h e C F A d e v a l u a t i o n m a y n o t b e n e fi t t h e p o o r h o u s e h o l d i n t h e P e a n u t B a s i n u n l e s s a c o n s c i o u s a n d t a r g e t e d e f f o r t i s m a d e t o e n s u r e s u r e i t h a s a c c e s s t o t h e n e c e s s a r y i n p u t s . A t t h e e n d , w h a t w o u l d h e l p r u r a l h o u s e h o l d s a n d t h e a g r i c u l t u r a l s e c t o r t a k e t h e m o s t a d v a n t a g e o f t h e c h a n g e i n r e l a t i v e p r i c e s b r o u g h t a b o u t 3 4 6 b y t h e C F A d e v a l u a t i o n , i s f o r t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t t o e s t a b l i s h a n e f fi c i e n t r u r a l c r e d i t s y s t e m t h a t w o u l d e n a b l e f a r m e r s t o h a v e t i m e l y a c c e s s t o a g r i c u l t u r a l i n p u t s a n d c o n t r i b u t e t o s o l v i n g t h e i r c o n s u m p t i o n - r e l a t e d l i q u i d i t y c o n s t r a i n t s . 8 . 2 . 3 O t h e r p o l i c y - r e l e v a n t r e s e a r c h q u e s t i o n s n o t a d d r e s s e d F i n a l l y , b e f o r e m o v i n g t o t h e d i s c u s s i o n o f t h e t h e o r e t i c a l l i m i t a t i o n s o f o u r e m p i r i c a l a n a l y s i s , a n d o f d i r e c t i o n s f o r f u t u r e r e s e a r c h t o w a r d i m p r o v i n g i t , w e w i l l m e n t i o n t w o p o l i c y - r e l e v a n t r e s e a r c h q u e s t i o n s t h a t w e o r i g i n a l l y p r o p o s e d t o s h e d l i g h t o n , b u t w h i c h w e h a v e n o t y e t d e a l t w i t h . A s s t a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e d i s s e r t a t i o n , o n e o f t h e p o l i c y q u e s t i o n s t h a t w e w e r e i n t e r e s t e d i n w a s h o w t h e l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t ( b y a l l o w i n g i t s p r i c e t o fl u c t u a t e r a n d o m l y a s d o t h e o n e s f o r t h e c o a r s e g r a i n s ) w o u l d a f f e c t t h e S e n e g a l e s e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s c h o i c e o f c r o p m i x a n d l e v e l o f c o n s u m p t i o n o f t h e v a r i o u s f o o d c o m m o d i t i e s . T h i s i s a t i m e l y p o l i c y - r e l e v a n t r e s e a r c h q u e s t i o n g i v e n t h e p e n d i n g d e c i s i o n o f t h e S e n e g a l e s e g o v e r n m e n t t o l i b e r a l i z e t h e r i c e m a r k e t ( K i t e , 1 9 9 3 , a n d R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , 1 9 9 4 ) . T h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s a n d e l a s t i c i t y f o r m u l a s d e r i v e d i n c h a p t e r 2 g i v e a t h e o r e t i c a l a n s w e r t o t h e p a r t o f t h e q u e s t i o n r e l a t e d t o c o n s u m p t i o n . F o r a s i m u l a t e d e m p i r i c a l a n s w e r , m o r e d a t a r e l a t e d t o t h e p r i c e o f i m p o r t e d r i c e a r e n e e d e d ( s i n c e i n o u r p r i c e s e r i e s t h e p r i c e o f r i c e i s c o n s t a n t i n m o s t z o n e s d u r i n g t h e p e r i o d o f t h e s u r v e y , m o s t o f t h e e s t i m a t e d p r e c a u t i o n a r y r i s k e l a s t i c i t i e s t h a t d e p e n d e d o n i t s v a r i a t i o n w e r e z e r o ) . T o s i m u l a t e t h e c o n s u m p t i o n i m p a c t s o f t h e l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t o n t h e h o u s e h o l d s , o n e c a n u s e t h e v a r i a t i o n s i n t h e w o r l d m a r k e t p r i c e s ( o r D a k a r C . I . F p r i c e s ) . T h a t i s , f o r e a c h z o n e t h e p r i c e o f r i c e c a n b e a s s u m e d t o b e j u s t t % g r e a t e r t h a n t h e D a k a r C . I . F p r i c e , w h e r e t i s t h e 3 4 7 p e r u n i t t a r i f f p l u s m a r k e t i n g a n d t r a n s p o r t c o s t s f r o m D a k a r t o t h e z o n e . M o n t h l y C . I . F p r i c e s e r i e s f o r i m p o r t e d r i c e c a n b e o b t a i n e d f r o m C . P . S . P . F o r t h e t r a n s p o r t a n d m a r k e t i n g c o s t s , K i t e ( 1 9 9 3 ) p r o v i d e s e s t i m a t e s f o r t h e d i f f e r e n t r e g i o n s o f S e n e g a l . O n c e t h e r a n d o m p r i c e s e r i e s f o r r i c e a r e g e n e r a t e d f o r e a c h z o n e , t h e c a l c u l a t i o n s c a n p r o c e e d e s s e n t i a l l y i n t h e s a m e w a y a s f o r t h e e v a l u a t i o n o f t h e c o n s u m p t i o n a n d w e l f a r e i m p a c t o f t h e c h a n g e i n p r i c e s f o l l o w i n g t h e d e v a l u a t i o n , w i t h t h e d i f f e r e n c e t h a t h e r e w e h a v e a r a n d o m c h a n g e i n p r i c e s , i n s t e a d o f a d e t e r m i n i s t i c c h a n g e i n p r i c e s . I t i s p e r h a p s w o r t h n o t i n g t h a t f r o m t h e ( t h e o r e t i c a l ) c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s i n c h a p t e r 2 , t h e s i g n o f t h e p r e c a u t i o n a r y p r i c e - r i s k e l a s t i c i t i e s w a s a m b i g u o u s . H e n c e , t o e v e n k n o w t h e d i r e c t i o n o f t h e i m p a c t o f t h e l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t o n r i c e c o n s u m p t i o n , a n e m p i r i c a l a n a l y s i s i s n e e d e d . B u t , i f r i c e i s l i k e t h e o t h e r c o m m o d i t i e s i n o u r e m p i r i c a l a n a l y s i s , w h i c h a l l h a d s m a l l b u t p o s i t i v e p r e c a u t i o n a r y p r i c e - r i s k e l a s t i c i t i e s , t h e n o n e s h o u l d e x p e c t t h e l i b e r a l i z a t i o n o f t h e r i c e m a r k e t t o i n c r e a s e t h e c o n s u m p t i o n o f r i c e b y a n e g l i g i b l e a m o u n t . ” O n t h e o t h e r h a n d , t h e p r o d u c t i o n - r e l a t e d p a r t i n o u r b a s i c q u e s t i o n a s w e l l a s i n t h e r i c e l i b e r a l i z a t i o n q u e s t i o n , w h i c h r e f e r s t o t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s c h o i c e o f c r o p s m i x , h a s n o t b e e n t h e o r e t i c a l l y a n s w e r e d b e c a u s e w e h a v e n o t y e t t r e a t e d p r o d u c e r b e h a v i o r w i t h i n o u r s t a t i c f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . H o w e v e r , e x c e p t f o r m i n o r c o n c e p t u a l i s s u e s t h a t n e e d t o b e s e t t l e d , t h e e x t e n s i o n o f o u r t h e o r e t i c a l r e s u l t s o n c o n s u m e r b e h a v i o r u n d e r u n c e r t a i n t y t o t h e i r p r o d u c t i o n e q u i v a l e n t s ( H o t e l l i n g ’ s l e m m a , a n d t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e l a t e d t o o u t p u t a n d i n p u t u s e s ) i s s i m i l a r t o t h e w a y r e s u l t s o f d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r t h e o r y t r a n s l a t e t o t h e o n e s i n d e t e r m i n i s t i c p r o d u c e r t h e o r y . H e n c e , o n c e t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s r e l a t e d t o s t a t i c p r o d u c e r b e h a v i o r u n d e r u n c e r t a i n t y a r e d e r i v e d , w e w o u l d b e ” 5 O n e c a n s e e t h i s b y n o t i n g t h a t w h e n t h e p r i c e o f r i c e i s u n c e r t a i n c o n s u m e r s a r e l i k e l y t o t a k e p r e c a u t i o n a r y m e a s u r e s b y b u y i n g i n b u l k a n d s t o c k i n g m o r e o f t e n t h a n p r e s e n t l y . 3 4 8 a b l e t o a n s w e r ( a t l e a s t t h e o r e t i c a l l y ) t h e p a r t o f o u r b a s i c q u e s t i o n r e l a t e d t o h o w d i f f e r e n t i a l p r i c e u n c e r t a i n t y a f f e c t s c h o i c e o f c r o p m i x . I n f a c t , i t i s i n t h e p r o d u c t i o n s i d e w h e r e t h e p a y o f f s o f o u r m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k i n t e r m s o f u n c e r t a i n t y - r e l a t e d p o l i c y i m p l i c a t i o n s w i l l b e t h e m o s t a p p a r e n t . I n d e e d , t h e f r a m e w o r k e n a b l e s o n e t o s t u d y c r o p d i v e r s i fi c a t i o n s t r a t e g i e s i n r e s p o n s e t o p r i c e a n d w e a t h e r u n c e r t a i n t i e s , a n d t o d e r i v e e m p i r i c a l l y e s t i m a b l e m e a s u r e s o f c r o p - s p e c i fi c r i s k p r e m i u m s . T h a t i s , i n t h e s a m e w a y t h a t w e h a v e g i v e n a n a l y t i c a l a n d e m p i r i c a l a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n o f h o w m u c h a c o n s u m e r i s w i l l i n g t o p a y t o e l i m i n a t e p r i c e u n c e r t a i n t y i n t h e c o n s u m p t i o n s i d e , w i t h t h i s f r a m e w o r k i t i s p o s s i b l e t o g i v e a n a n s w e r t o t h e q u e s t i o n o f h o w m u c h a f a r m e r i s w i l l i n g t o p a y f o r c r o p i n s u r a n c e . H o w e v e r , a n e m p i r i c a l a n a l y s i s w i l l b e i m p o s s i b l e b a s e d o n t h e I S R A / I F P R I d a t a , s i n c e i t c o n t a i n s o n l y t w o y e a r s o f p r o d u c t i o n d a t a . T i m e s e r i e s a g g r e g a t e p r o d u c t i o n a n d p r i c e d a t a m a y b e t h e o n l y t h i n g a v a i l a b l e h e r e i f o n e i s t o d i s c a r d t h e u n c e r t a i n t y - i r r e l e v a n t c r o s s - s e c t i o n a l v a r i a t i o n s c o n t a i n e d i n h o u s e h o l d l e v e l p r o d u c t i o n d a t a . S t i l l , a n o t h e r a r e a w h e r e o u r m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k c a n b e u s e f u l l y a p p l i e d i s i n e v a l u a t i o n o f t h e b e h a v i o r a l a n d w e l f a r e i m p a c t s o f p r i c e s t a b i l i z a t i o n s c h e m e s . 8 . 3 L i m i t a t i o n s o f t h e E m p i r i c a l A n a l y s i s a n d D i r e c t i o n o f F u t u r e R e s e a r c h B e c a u s e o f t i m e c o n s t r a i n t s a n d t h e c o m p u t a t i o n a l d i f fi c u l t i e s w e e n c o u n t e r e d , w e d i d n o t e s t i m a t e o u r p r e f e r r e d ” n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S v e r s i o n . I n s t e a d , w e h a v e e s t i m a t e d o n l y t h e " e x p e c t e d ” a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S m o d e l s w h i c h a r e r a n k t w o d e m a n d s y s t e m s . T h e r e i s a m p l e e m p i r i c a l e v i d e n c e t h a t t h e A I D S f u n c t i o n a l f o r m i s r e s t r i c t i v e , e s p e c i a l l y w h e n i t c o m e s t o t h e b u d g e t o r i n c o m e r e s p o n s e s o f h o u s e h o l d s ( B l u n d e l l e t a l . , 1 9 9 3 , a n d B a n k s e t . a l . , 1 9 9 4 ) . T h i s i s v e r y c l e a r f r o m t h e f o r m u l a f o r t h e A I D S b u d g e t e l a s t i c i t i e s , w h i c h d e p e n d o n t h e l e v e l o f t o t a l e x p e n d i t u r e o n l y t h r o u g h t h e r e s p e c t i v e c o m m o d i t y s h a r e s . 3 4 9 M o r e o v e r , B a n k s e t a l . , ( 1 9 9 4 ) f o u n d s i g n i fi c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e w e l f a r e i m p a c t s o f a s a l e s t a x e s t i m a t e d u s i n g t h e A I D S m o d e l a n d o n e s e s t i m a t e d u s i n g i t s r a n k t h r e e q u a d r a t i c e x t e n s i o n . T h i s b r i n g s t o m i n d t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r a n d h o w o u r e m p i r i c a l fi n d i n g s w o u l d c h a n g e i f w e h a d e s t i m a t e d t h e Q U A I D S f u n c t i o n a l f o r m s . W e e x p e c t t h e Q U A I D S e s t i m a t e s t o b e p o s s i b l y d i f f e r e n t i n m a g n i t u d e . H o w e v e r , t h e d i f f e r e n c e s s h o u l d n o t c h a n g e t h e g e n e r a l c o n c l u s i o n s d r a w n f r o m o u r e m p i r i c a l r e s u l t s b e c a u s e t h e " e x p e c t e d " a n d d e t e r m i n i s t i c A I D S f u n c t i o n a l f o r m s a r e s p e c i a l c a s e s o f t h e i r r e s p e c t i v e Q U A I D S e x t e n s i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , r e s u l t s f r o m e i t h e r t h e " n o n - e x p e c t e d " A I D S o r t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S a r e n o t o n l y e x p e c t e d t o b e d i f f e r e n t i n m a g n i t u d e s f r o m b o t h t h e d e t e r m i n i s t i c a n d t h e " e x p e c t e d " A I D S o n e s , b u t a l s o m a y c h a n g e s o m e o f o u r g e n e r a l c o n c l u s i o n s . T h i s i s e s p e c i a l l y t r u e f o r t h e c o n c l u s i o n s r e l a t e d t o t h e s t a t i s t i c a l i n d i s t i n g u i s h a b i l i t y b e t w e e n t h e e s t i m a t e d u n c e r t a i n t y a n d d e t e r m i n i s t i c m o d e l s g i v e n t h e d a t a , a n d t h e s m a l l m a g n i t u d e o f t h e p r e c a u t i o n a r y p r i c e - r i s k e l a s t i c i t i e s . I n d e e d , a s i t i s c l e a r f r o m t h e t h e o r e t i c a l e x p r e s s i o n s , t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S i s v e r y d i f f e r e n t f r o m b o t h t h e d e t e r m i n i s t i c a n d " e x p e c t e d " Q U A I D S , b o t h f r o m t h e o r e t i c a l e c o n o m i c a n d e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n c o n s i d e r a t i o n s . H e n c e , t h e e s t i m a t i o n o f t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S i s o u r n e x t s t e p i n t h i s r e s e a r c h . T h e o t h e r m a i n l i m i t a t i o n o f o u r e m p i r i c a l a n a l y s i s i s t h e f a c t t h a t w e h a v e e s t i m a t e d a s t a t i c m o d e l - l i m i t e d t o t h e f o o d g r o u p o n l y - d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e b i w e e k l y f o o d c o n s u m p t i o n d a t a w a s g e n e r a t e d b y h o u s e h o l d s m a k i n g i n t e r t e m p o r a l a n d i n t e r r e l a t e d f o o d a n d n o n f o o d c o n s u m p t i o n a s w e l l a s p r o d u c t i o n c h o i c e s . T h e e s t i m a t i o n o f a s t a t i c d e m a n d s y s t e m l i m i t e d t o t h e f o o d g r o u p o n l y w a s d i c t a t e d b y t w o f a c t o r s . T h e fi r s t f a c t o r i s t h e p o o r q u a l i t y o f t h e n o n f o o d p r i c e s s e r i e s . T h e s e c o n d i s t h e f a c t t h a t t h e p r o d u c t i o n , s a v i n g , a n d t r a n s a c t i o n d a t a w h i c h n e e d t o b e i n c l u d e d i n a f u l l i n t e r t e m p o r a l h o u s e h o l d m o d e l r e q u i r e f u r t h e r c l e a n i n g b e f o r e t h e y a r e u s a b l e i n a e c o n o m e t r i c a n a l y s i s . T h e e s t i m a t i o n o f o u r s t a t i c 3 5 0 m o d e l c a n o n l y b e t h e o r e t i c a l l y j u s t i fi e d b y t h e a s s u m p t i o n s o f s e p a r a b i l i t y b e t w e e n c o n s u m p t i o n a n d p r o d u c t i o n d e c i s i o n s , i n t e r t e m p o r a l s e p a r a b i l i t y , a n d w e a k s e p a r a b i l i t y b e t w e e n t h e f o o d g r o u p a n d t h e n o n f o o d c o m m o d i t i e s . H o w e v e r , e v e n i f t h e p r o d u c t i o n , s a v i n g , a n d t r a n s a c t i o n d a t a w e r e r e a d y f o r a n e c o n o m e t r i c a n a l y s i s , t h e e x i s t i n g m o d e l s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s u n d e r u n c e r t a i n t y w h i c h c a n b e e m p i r i c a l l y i m p l e m e n t e d a r e a l l u n i v a r i a t e ( i . e . , o n e c o m m o d i t y ) m o d e l s w h i c h a r e i n a p p r o p r i a t e f o r t h e p u r p o s e o f s t u d y i n g s u b s t i t u t i o n s a c r o s s b o t h t i m e a n d c o m m o d i t i e s . M o r e o v e r , e x c e p t t h e o n e s b a s e d o n E p s t e i n a n d Z i n ( 1 9 8 9 ) , m o s t o f t h e e x i s t i n g e m p i r i c a l l y i m p l e m e n t a b l e i n t e r t e m p o r a l c h o i c e m o d e l s a r e b a s e d o n e x p e c t e d u t i l i t y a n d t i m e a d d i t i v i t y . T h e y a r e a l s o a l l s u b j e c t t o t h e H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) c r i t i c i s m r e l a t e d t o h o w t h e y u n r e a l i s t i c a l l y r e s t r i c t i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n i n c o n s u m p t i o n . I n p a r t i c u l a r , t h e y a l l i m p l y t h a t c o n s u m p t i o n s a t n e a r b y d a t e s a r e p e r f e c t n o n s u b s t i t u t e s . A l t h o u g h i n t h e i r p r e s e n t f o r m o u r t h e o r e t i c a l r e s u l t s d o n o t m a k e e x p l i c i t r e f e r e n c e s t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e s , t h e y c a n b e e x t e n d e d t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e a s o u t l i n e d i n c h a p t e r 4 . I n p a r t i c u l a r , t h e g e n e r a l f o r m o f t h e u n c e r t a i n t y v e r s i o n s o f t h e Q U A I D S d e r i v e d h e r e f o r a s t a t i c m o d e l o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y i s s t i l l v a l i d i n a i n t e r t e m p o r a l c h o i c e c o n t e x t , a s l o n g a s w e f o l l o w H i n d y H u a n g a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) a n d v i e w c o n s u m e r s a s c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s r a t h e r t h a n a m o n g a l t e r n a t i v e c o n s u m p t i o n r a t e s a s i t i s i n s t a n d a r d p r a c t i c e . H e n c e , e x t e n d i n g o u r r e s u l t s t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e a l o n g t h e l i n e s o f c h a p t e r 4 i s a n o t h e r a r e a o f o u r f u t u r e r e s e a r c h . 3 5 1 A P P E N D I C E S A P P E N D I X 1 S U M M A R Y O F T H E T H E O R E T I C A L R E S U L T S B M B A u e s e C d h s g a u t r i o n e m s v t p i c c o n s t r a i n t o t r i o n s o n P r e u m p t i 1 o - n S ( E o r T c U f h e r e n c e a n d o P i c e ) s p a c e p X a t C t t - ' h h h n o x y e e e d m p = : E E E 2 u u u c l E p n t o e c c c x l l l ‘ x = m v e e , x r p e r f e l f e x i i i y d ‘ d d e e e a a a n n n n s s o p p ( e W i r a a w r h e v e e r n , m : c c i e e t e I R m r ; “ e t o t l “ a e u c h a n t ’ i s n s t d o i t a U t i n a p v l r e e e . x p e n f e c r o n d e i n t fi x : c e r t a i t n u r e c i e n u ) m o a u x s i , m i m z o a n t o i t o o n n e , t ( o o ( m m C ( ( t y o t w E p a . h ( l e p x a o o m p n w e h x m y n r e x m l e t e e t e t t a h ) r t e h h o r s ' ) e J s s t . p p o “ i a a r ~ ) i p o ) - m i e o g n z t L a a e e t , e x p e n d i i s 2 t t 5 u h 0 r e e ’ n ! - n fl c o , f s “ c c i e ’ t e e m o r ( v h " n a e e 0 e n " o o t " c f i f a n « x n ’ " s fi fi ) s e d o n - r i = m c i ' a s h " i i e e s u ” e n n v t v v W n a a m e 1 s m " o t t c c c n n o i t s t e e e , “ e o d m v ' r o p m e a t o h t s a a o r x f e = r r v v r a = i s a e u E U m n p . l l o t x b a a d a a i i p e p d e r s e i | * w i j M u u n n s e c s n t t c i c e e c ) o f c t e r i v < ~ i n t h b e e e d d t i v s s r e l e f r e o e e , d e ) t = r r t t h o q n l ’ . L s L ' a a a t p 2 A z u c c n a n n c r i ” o o t t ' v v r r e e o i m t d t a i n v h ; n w a o o a M t E . , n a t ) e o b a x l a i i i f . m m y l y p n n e s l ) R R e n i “ v v n " = s d u t n t i d s l ) i y o p u r s E ( h a a t ) a ) e y t r r u I e m r i i r 3 o 5 “ m t d d e s a l t u r e . R a n d o m , a e a x e e , X p a b b ) f e r e n I ’ ) = £ e s l l c u t r a t i e d e e s s w w c o i i e E x f n e fi n e d t t h h I T E M P r i c e s p a c e S c a l a r ( o r d o t ) p r o d u c t t h e [ a n o r m : 3 5 4 C E I H M U o n x i a t m p c r d i p e n s a e s k i l n h s r i t d i t u e c t i a y a l n l f u U i t n 2 - E ' . i i o n f u n c t i o n r e t a i x D c n l t e i f t i i m D s u y a e o t I n e n T n m n c t i o n d a c E n d M e R e s u l t s i s : e v : h : ( l p , i x : ( m p a a n u ( u m m ) : p . . x ( a ) i q z l p 0 . x m " ( E m - t l - " e W i ' m . ) . x - ' l l p , ( , p m x t ) i ) h n - ( x . ( . p - . R t p . - “ ' . ' ” a ( - V - ( . . u H m ‘ I ) . i ) p = P - u : I h o u t . . n f U . . u I q ) . t m a ) r a r g g ! - . I m t ) = e ( p u . ( 1 ) = m = u . i I n i x { u t , m a m i m p a p - a ( x i n - x n c e r t . x n V ( q : . i a - n a : u ( ) : p . n ( - m x x ) ) ) ) 2 u x = } m } t y 3 : ' I n : ( L v p , x : ( L P , J ( I n ( L u 0 : E , ( : I . p , . ( n ( L ( L P , ) . ) l t R - " - " ' ) q , n . ( . . ( e ) , l u W m 0 . , 8 ) p . r - . ‘ < ) . ) . ( x n h , l R > p ( l l U : i t - , . . . ) ' R ) m e , u , h a . , x E V ) . . ) , . . , L ( ( x x p l . t P l n = - = . ( U ’ n ( . t L . . q n u a I , , l m ” L . ) , r F ( t . l g n - ) , . ( E m r m = 0 . . ) . = ) i . ) M l , . . u R n n = " I { u I x . t ~ ) — . . t X c e r t a m t ) ' l ( . p , E l m t i U m t , . , l n i z t u . h . ( p . ' l l o H p . , , . n , n r ) x t ( , ) U i ? ) : y : . U r l U ( p m t t I ( m . ) ) ) x ) x ) 2 u x ) = } m } I I 3 5 5 S R D I E D h o x i n e y p f d e p ’ h s f e r e n i m r a e a e d n 4 c r d ’ i d e n t i s n b e a G l e m m a - t i 3 t d u U - r e t G i l t i i l n l o t b e i y i t y r I t y a i c P r o p e r t i e s l T P E M r o p e r t i e s V n V n n e n x w ( ( ( o o o o . . . , , , n n n n . . d d . d i ) e ) e e ) n ( . h e . r . e a i r r r r i s e s a n e e e e c c c c ) v d c a a a a c e n i i i i n ( n n n t t n s s s o o s n r d t h h e . ( , . y g g g i i g . n , n ) u a . i i u a a x ( p m u d a ) e t s r = e i c ; n q d r a u s i d u e - i h o a i c n fi n d o a e l c u n n o n ) n r o M — 3 a e i V 3 r v o . - t f f t y c o m s d o . n m e i n e d ( p e e i n g e c h i o o n ' n . n n ) m _ ' m ) t i a b p o l r u e i c s i n m u n o v o e e u g x s e i n f n e u i c f e u p s o o n = 1 . . n c t , f r u a c d i s t i o i n e e o d g s o n ; s f . n r n s e d e a n d e g 1 r , e e 0 ; V m ( w n a x m V E f " ( o ( ( o h o n o a . , r l n n d e n ( . . m d , , . . a . o . o . m r ) t t ) l o ) e n l c o s a i . t i r n y o o n e s d n n s . e ) v a e n r d c c d x c v s c o t o e e a e e e E e n h e i r n n o o n h h i p . u ) = x p n r e ( t e t ( ( . y g t n n i . a y i p , d i p w , n s . o i e . a h u i n n m n c ) s c ) u ) = s e n o r u r o r e i g r W a u u a r r b e s e t e e e l a d i a ; i s i - " y l s s e t n d h i i c fi t h i n o n t i n n i i a T y — n o a E a h f a . g n n g d t § t p a p r o o n h i . m m P g n ‘ e . o u a n n c u m n r n e e d d u e ) _ m t y e c o a d ) e r t o t n . v e e m f c U i c e u a q o b t a g l o d o s u a b a e e n e u l i s i e s u fi c n f = n n a i n u - e l v i f i n t . . . . . n = e u y n d f o t u o e o o c c 1 n c t i 0 i d n e c g n s i v e o o n a n n r o o p x f l r l a s l e i e c e d e i d n e g s e t s w i s , I r p , r i e e a c n e d s 0 ; t ; h W i t h o u t U n c e r t a i n t y “ a l m o s t e v e r y w h e r e " t h e y a r e d e fi n e d f o r m a l l y . e x c e p t p o s s i b l y i n a s e t o f z e r o L e b e s g u e m e a s u r e ) . e m p t y i n t e r i o r s ) . l 3 5 6 ( i i ) - P o t e n t i a l p r o 5 - C o m p a r a t i l v e T p E e r t y ; T h e H i c k s i a n d e m a F n M S t a t i c s R e s u l t s ( M q . W i t t h d u p ) i - s ) o - h u ( t [ a p J P ' p u o ) . t W e I n L t ) ' ( q - U n c e r i t u a ) l p ) a d i t o 5 p e r a t o r : 0 f o r s T T d i h h fl e e H H ' e r e o i i n m e d i c c k k s s i i t i a b i a a l f n n i f e d d y t r e e e ( o n h f m m t a F i a b l ( p n ) d = ' e i “ s f ( a u p ( a q t . h n u ) d e - i d h s e ( p a m . a n t y W i t h U n n c u m ) o . n n e d r c t i o p . o h t ( e n p a . t l M i a F : N l t q n o f - t u p o n i ) n c n e t t s i t a o y p e r a t o r : 0 o p e r a t o o n a l i s r n : o t n e e d e d 5 . 1 - G l o b a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s d i fl ' e r e n t i a b i l i t y o f t h e d e m a n d fi t n c t r ' o n i s n o t n e e d e d ( i ) - M o n o t o n i c i t y p r o p e r t y T h e H i c k s i a n d e m a n d i s a m o n o t o n e o p e r a t o r : f o r s o m e d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n F 3 5 7 s n y e e g m f i r s i c e f a e t s a m e t ( 5 i . ) - S 2 - l L u o t c s a k l y c e o q m u p a a t r i a o t n i v e s t a t i c s i p n a 3 e e M d P - ' ( t h e c d i P r s e I t v . I i c d a I ) ) r e e x a e m a n m fi ‘ a ( a d a t r i n n p p e i , . 3 f g t m X u a e ) . n x ( t c . P i m t + . v a e t . r i x 3 x a , . ( . . p . , I n p m ) 4 . . . a . r t i c . . ) u i l i s a ‘ l I s S u u r , t h e o w n p i r s i c e a n e e f g f a m i ) o + B n t o M b W e “ d ) i f f e r e n t i a b l e 0 M P . n e e d t V h ( e e t p c i t v s e a r l i a x g 3 ( e " p n e ] 9 . d m e ) ) m a n d n m 6 a e ) r g a o t p x f , u ( n * p . c I S I S n i t e v r e a a ‘ X . t a o r . P n . ] m ) i o m ) i O a x , o n a l t ( o p n b . i t m e p a ’ l l ) r . t m i ) c u l a r , t h e o w n ) d i f f e r e n t i a b l e i ' I ‘ E M W i t h o u t U n c e r t a i n t y W i t h U n c e r t a i n t y . ' . ' = t , . . . . . = . ‘ . 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P — ’ + fi x ‘ ( i p p ) , I , P m ) I i t h U n c e r t a i n t X 4 E y I P , * 9 , “ 2 ' 4 , 3 5 9 e - u - e f ( P f l ( n P a p c a t s e a r a t e r s t i r c r e t t t e s c c t i a a d e t u s y i u x t u ) n b c s l t u i d t i e o t y t o n a r u y l n e i r g s T n k n e c l a s e r t t i a s u b s e s t t o c i t y i i n t t u ) y t i o n t i o n u r i p s o E M W i t h o u t U n c e B D x r - p , a t i n t y . . . = 1 p e e - a . 0 a x , ( p , m ) x p , + 3 x ‘ ( p , m ) . . T a x . 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( p m ) l n l a T c e r m x , x x m m . . , ( — ( p . a p t P o ' i ) o x ( p , m ) 1 p , « E a x t ) ' 2 p ) x l I ] x E p l J E p ’ ’ 8 . . . . ] x p I ] x n ) t p fi m t y l l E x 2 1 - ( M u - - ( A ( P t a P a n a l a n t M c c l l c P h P P ( P q h e e a ) i a r h k e e r r v a a t m u e i e r t e r e i n r r a ( t t e v u - ( - ( E c a n t n a q r g t t a t s q u a o o c z o i o - u o r l 7 s s i f o i u i f s f o i t s n k v t f f a n t e a - P o - - t n t Q a Q n E E , o y l y p d t 4 A r a r i V e V e e - o n f t W e ' l v f f P - - e r d l i u i a e d e i a f d t n w y t e d s e i r k n c c n u e i x r u l i i r d T v x n u i l a r I i t o g l e u e n i m d u t x c i e n a e l s g t E d i ) u k I n n t n o e e n M d d i o s o p d u i x u p e n e r i s n n r n n d i x x i c ) ( g d c n u e c t ) c g n o ( e e Q a e e x r ) ‘ t m c p E i e a V i t ) o u r y r t a ) r s i ) d i n a ” m t e n x t ) a i n y t y n t y 0 P E 0 Q , - ( ‘ L g - ' ’ ’ z p ' ” " q ' m . E fl ( p e m q e E m V ' ) B - M u W m i U E " v " m " ' m m + u ( p . q ' ) - M t h o u t . a U M ' ) - m n n n c ! e ) r = e ( p t a i n . t y q . m ' ) - m E V R - — t r c o - P , - a _ ( " p ' . q _ P ' M _ _ , . Q ( T 2 4 - - E W m Q m ; N W . n ( 9 v [ x . P q . . t M P . ( I ( P e _ ) - _ m ; ( ) ( M P ' A r M c ' m " m " t 1 " m P ' ' ) r . ' ( M = . - = M t i o m W x . v “ ) c E P m ' ) u t I 5 E _ . ) W x t ) ‘ q r m - v . i X t = x . . w p m M t P } u ( ( p , p . . = P m ~ = M l p . M p q u " X = o Q ) [ ‘ ) h U n c e n P . ( i I M } p E ‘ r = m , ' ' D » . ' p E m ' , q ' ) Q ) - , m ' ) J M P . E u r ( o p v . t a i i q n X . E l p ) i : ( , a , ( = m I p l = p p . . q m ' ) - T ‘ . M m m i m p t y u R I n n P " ' ) ) ' E p . . q . m ' ' R ) + ) T ' . m p . l 0 “ I 3 6 2 c M u - o e f a n t c P a f r r e i i t r c x t i a o e i o f n t s f n r ; t P i s k a v e r s i o n 0 e x I c l u T E d M i n g “ _ _ N _ V _ T “ . W i t h o u t U n c e r t a i n t y R ‘ _ P " . _ _ i t E W x m t l p e o . e h v ( U m P p . m n . q ’ c . e m r u ’ t ) ) - p . q . t a i E n m t p ' y ) _ _ ) . T p l o m r ' n r n 1 N o t e : O n e c a n v e r i f y t h a t w i t h n o u n c e r t a i n t y , t h e r e s u l t s i n c o l u m n ( 3 ) c o l l a p s e t o t h e i r d e t e r m i n i s t i c a n a l o g u e s i n c o l u m n ( 2 ) . I n p a r t i c u l a r , t h i s i s t h e c a s e f o r a l l t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s c a l c u l a t e d . F o r t h e d e fi n i t i o n o f d e f e r e n t i a b i l i t y o f f u n c t i o n s w h o s e d o m a i n s o f d e fi n i t i i o n h a s a n e m p t y i n t e r i o r , s e e C h a p t e r 2 a n d A p p e n d i x 2 3 6 3 A P P E N D I X 2 P R O O F S O F T H E O R E M S A N D P R O P O S I T I O N S P r o o f s o f t h e o r e m s a n d p r o p o s i t i o n s T h e p r o o f s o f t h e t h e o r e m s i n t h i s a p p e n d i x r e q u i r e s o m e s t a n d a r d c o n c e p t s a n d f a c t s o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s . F o r t h e r e a d e r w h o i s n o t f a m i l i a r w i t h t h e s e c o n c e p t s a n d f a c t s , t h e y a r e s u m m a r i z e d i n t h e s e c o n d p a r t o f t h e a p p e n d i x . A l s o , f o r c o n v e n i e n c e , w e h a v e p u t t h e r e t h r e e a d d i t i o n a l t h e o r e m s r e f e r r e d t o i n c h a p t e r 2 a n d i n t h e fi r s t p a r t o f t h e a p p e n d i x . P A R T I : T h e o r e m s a n d P r o o f s . T h e p r o o f s o f t h e p r o p o s i t i o n s s t a t e d i n c h a p t e r 2 a r e b a s e d o n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s ( a l l t h e f a c t s r e f e r r e d t o a r e i n t h e s e c o n d p a r t o f t h i s a p p e n d i x ) . T h e o r e m A 2 . 1 : L e t B a n d Y b e r e a l r e f l e x i v e B a n a c h s p a c e s , B ' a n d Y ' t h e i r r e s p e c t i v e d u a l s , M a n o n e m p t y s u b s e t o f B , a n d K a c o n e o f Y w i t h K + i t s d u a l c o n e . L e t F : M . . . R a n d N : M - ’ Y b e f u n c t i o n a l s o n M . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ? “ 5 i n f F ( x ) = a , N x 5 0 ( P l ) x E M a n q u i n e t h e fi t n c t i o n a l L : M x K + — . R b y : L ( x , q ) : - F ( x ) + ( q , N x ) f o r a l l ( x , q ) E M X K ” . A s s u m e : ( I I I ) M i s c l o s e d , c o n v e x , a n d b o u n d e d . ( H Z ) K i s c l o s e d a n d c o n v e x . ( H S ) F i s w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s . ( H 4 ) N i s w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s i n t h e s e n s e t h a t t h e f u n c t i o n a l s : x - » ( q , N x ) a r e w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s f o r a l l q E K + . ” 5 W e r e c a l l t h a t , K b e i n g a c o n e , N ( x ) s 0 m e a n s 0 — N ( x ) = - N ( x ) E K ; w h e r e 0 i s t h e o r i g i n o f Y . A l s o w e r e c a l l t h e s t a n d a r d c o n v e n t i o n o f n o t i n g N ( x ) a s s i m p l y N x ( g i v e n N i s a n o p e r a t o r f r o m a B a n a c h s p a c e t o a n o t h e r ) , B y t h e s a m e c o n v e n t i o n , w h e n y E Y a n d y ' E Y ' t h e v a l u e y ' ( y ) i s n o t e d a s ( y ' , y ) . W h e n Y i s a H i l b e r t s p a c e s o t h a t Y ' i s i d e n t i fi e d w i t h Y , ( y ' , y ) i s s i m p l y t h e i n n e r p r o d u c t o f y a n d y ‘ . 3 6 5 ( H S ) T h e r e e x i s t s x o 6 M s u c h t h a t L ( x 0 , . ) i s w e a k l y c o e r c i v e i n K ” i n t h e s e n s e t h a t | l i l m F ( x , > + < q . N x , > = - o o . q - o o o T h e n : ( 1 ) E x i s t e n c e o f s o l u t i o n a n d L a n g r a n g i a n f o r ( P I ) : ( i ) I h e r e e x i s t s a s o l u t i o n x ' o f t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ( P l ) s u c h t h a t F ( X ' ) = 0 1 , x ' E M , a n d N x ' $ 0 ( A Z - 1 ) ( i i ) L , a s d e fi n e d a b o v e , i s a L a g r a n g i a n f o r ( P 1 ) . ( 2 ) E x i s t e n c e o f L a g r a n g e " m u l t i p l i e r s " a n d g e n e r a l i z e d K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s : T h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s a r e e q u i v a l e n t s : ( i ) x ' i s a s o l u t i o n o f t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ( P l ) . . ( i i ) T h e r e e x i s t s a L a g r a n g e " m u l t i p l i e r " q ' E K ‘ “ a n d a x ' E M s u c h t h a t : L ( x ’ , q ‘ ) = m i n L ( x , q ‘ ) , N x ‘ 5 0 , a n d ( q ' , N x ‘ ) = 0 . ( A 2 . 2 ) x E M B e f o r e p r o v i n g t h e t h e o r e m , w e g i v e a c o n d i t i o n t h a t i m p l i e s t h e a s s u m p t i o n ( H S ) , w h i c h , i n s o m e i n s t a n c e s i s e a s i e r t o o b t a i n t h a n ( H S ) . T h e c o n d i t i o n i s t h e s o c a l l e d S l a t e r c o n d i t i o n : ( S C ) T h e r e e x i s t a x 0 6 M s u c h t h a t - N ( x o ) b e l o n g s t o t h e i n t e r i o r o f K . H o w e v e r , t h i s c o n d i t i o n i s v e r y r e s t r i c t i v e a n d i s i m p o s s i b l e t o m e e t w h e n K h a s a n e m p t y i n t e r i o r l i k e i n t h e c a s e o f L 2 6 1 , R “ ) + . W h e n Y i s t h e E u c l i d e a n s p a c e R “ ( S C ) i s g e n e r a l l y m e t i n m o s t p r a c t i c a l p r o b l e m s . A u b i n ( 1 9 7 9 , p . 4 5 2 ) g i v e s a n o t h e r w e a k e r c o n d i t i o n ( t h e s o c a l l e d " c o n s t r a i n t q u a l i fi c a t i o n " ) w h i c h i n s o m e i n s t a n c e s c a n r e p l a c e ( H S ) . 2 0 7 ” 7 F o r a p r o o f t h a t ( S C ) i m p l i e s ( H S ) , s e e Z e i d l e r ( 1 9 8 6 , p . 4 8 1 ) . I n P r o p o s i t i o n s 2 . 3 . 3 a n d 2 . 3 . 5 b e l o w w h e r e w e a p p l y t h e t h e o r e m , S C w i l l b e e a s i l y s a t i s fi e d . H o w e v e r , i n c h a p t e r 3 w h e r e w e w o r k o u t s p e c i fi c e x a m p l e s i n w h i c h t h e n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t x 2 0 n e e d s t o b e e x p l i c i t l y i m p o s e d , i t i s i m p o s s i b l e t o s a t i s f y S C . 3 6 6 F i n a l l y , w e n o t e t h a t w h e n Y = R “ , t h e E u c l i d e a n s p a c e , a n d K i s i t s p o s i t i v e c o n e , t h e L a g r a n g e " m u l t i p l i e r " q ' i s j u s t t h e f a m i l l i a r v e c t o r o f n o n - n e g a t i v e r e a l n u m b e r s . W h e r e a s , w h e n Y = L 2 ( f 2 , R “ ) a n d K i t s p o s i t i v e c o n e , t h e L a g r a n g e " m u l t i p l i e r " q ' i s a n — d i m e n s i o n a l v e c t o r o f n o n - n e g a t i v e r a n d o m v a r i a b l e s . M o r e o v e r i n t h e s e t w o c a s e s , t h e c o n d i t i o n s N x ' S 0 a n d ( q ' , N x ‘ ) = 0 l e a d t o t h e u s u a l p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r y s l a c k n e s s ? ” 8 N x ' 5 0 . q ' 2 0 , a n d q ' = 0 i f N x ' < 0 . ( A Z - 3 ) T h e o r e m A 2 . l i s e s s e n t i a l l y T h e o r e m 5 0 . A a n d C o r o l l a r y 5 0 . 1 o f Z e i d l e r ( 1 9 8 6 , p . 4 8 1 ) . w e h a v e r e f o r m u l a t e d t h e m t o w e a k e n t h e c o n v e x i t y o f F a n d N , a n d d r o p t h e S l a t e r C o n d i t i o n w h i c h t h e y o r i g i n a l l y r e q u i r e d . I n d o i n g t h a t , w e h a v e a d d e d t h e r e q u i r e m e n t t h a t M b e b o u n d e d . 2 0 9 P r o o f o f t h e o r e m A 2 . 1 : P r o o f o f ( l . i i ) . S i n c e K i s a c l o s e d c o n v e x c o n e , K + + = K . H e n c e u s i n g F a c t 5 w e h a v e : s u p { F ( x ) + ( q , N x ) } = F ( x ) + 3 2 3 - ( q , - N x ) q . q E K ‘ ( A 2 . 4 ) F ( x ) i f - N x E K = F ( x ) - i n f ( q . - N X ) = « 1 9 " o n i f - N x 9 5 K H e n c e , i n f s u p L ( x , q ) = i n f F ( x ) = a w h i c h s h o w s t h a t L i s a L a g r a n g i a n o f ( P I ) . I E M 3 6 M q E K ‘ M o r e o v e r , u s i n g ( A 2 . 4 ) , o n e c a n s e e t h a t x ' i s a s o l u t i o n o f ( P 1 ) i f a n d o n l y i f s u p L ( x ' , q ) = 0 : . H e n c e , ( P 1 ) i s e q u i v a l e n t t o t h e m i n i - m a x p r o b l e m : q G K ' 2 ° “ T h i s i s a l w a y s t r u e w h e n Y i s a n o r d e r e d B a n a c h s p a c e , a n d K i s i t s p o s i t i v e c o n e . W e r e c a l l t h a t i n t h i s c a s e , y < O m e a n s t h a t y s 0 a n d y r t 0 , a n d t h a t i f q ’ E K + \ { 0 } a n d y > 0 t h e n ( q ' , y ) > O ( b y d e fi n i t i o n o f t h e s t r i c l y p o s i t i v e e l e m e n t s o f Y * ) . ” 9 T h i s w a s d o n e i n o d e r t o a c c o m o d a t e q u a s i - c o n c a v e u t i l i t y f u n c t i o n a l s o r c o n s t r a i n t s , a n d / o r i n s t a n c e s w h e r e t h e s l a t e r c o n d i t i o n i s i m p o s s i b l e t o b e m e t . 3 6 7 a = i n f s u p L ( x , q ) ( P ) X E M q E K ' F o r f u t u r e r e f e r e n c e s , l e t t h e d u a l o f ( P ) b e : B = s u p i n f L ( x , q ) ( P ' ) q E K ' X E M T h e p r o o f o f t h e r e m a i n i n g a s s e r t i o n s i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e a s s u m p t i o n s o f t h e t h e o r e m g u a r a n t e e t h a t L h a s a s a d d l e p o i n t w i t h r e s p e c t t o M X K + . T h i s , f o l l o w s f r o m t h e f o l l o w i n g l e m m a ( f o r a p r o o f s e e Z e i d l e r ( 1 9 8 6 , p . 4 5 9 , T h e o r e m 4 9 . A ) . L e m m a A 2 . l . L e t X a n d Y b e r e a l r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e s , a n d L : M X Q E X X Y - » R a f u n c t i o n a l o n t h e s u b s e t M X Q o f X X Y . A s s u m e : ( 1 ) M a n d Q a r e c l o s e d a n d n o n e m p t y . ( 2 ) T h e f u n c t i o n a l x - L ( x , y ) i s w e a k l y s e q u e n t i a l l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s o n M f o r a l l y E Q . ( 3 ) T h e f u n c t i o n a l y - » L ( x , y ) i s w e a k l y s e q u e n t i a l l y u p p e r s e m i c o n t i n u o u s o n Q f o r a l l x E M . ( 4 ) E i t h e r M i s b o u n d e d o r t h e r e e x i s t s y o 6 Q s u c h t h a t t h e f u n c t i o n a l x - > L ( x , y . ) i s w e a k l y c o e r c i v e o n M . ( 5 ) E i t h e r Q i s b o u n d e d o r t h e r e e x i s t s x 0 6 M s u c h t h a t t h e fi t n c t i o n a l y - e - L ( x o , y ) i s w e a k l y c o e r c i v e o n Q . T h e n L h a s a s a d d l e p o i n t w i t h r e s p e c t t o M X Q . P r o o f o f ( L i ) . S i n c e ( P 1 ) i s e q u i v a l e n t t o ( P ) , ( L i ) f o l l o w s f r o m l e m m a A 2 . l a n d t h e f o l l o w i n g s o c a l l e d s t r o n g e s t d u a l i t y a s s e r t i o n ( t h e p r o o f i s e a s y a n d u s e s o n l y t h e d e fi n i t i o n s o f i n f , s u p , a n d s a d d l e p o i n t ; i . e . , n o p a r t i c u l a r p r o p e r t y o f L , M , a n d K + a r e u s e d ; s e e Z e i d l e r ( 1 9 8 6 , p . 4 6 0 ) ) . L e m m a A 2 . 2 . l f L : M X K “ E X X Y - R i s a fi t n c t i o n a l o n t h e n o n e m p t y s u b s e t M > < K + o f X X Y , T h e n t h e f o l l o w i n g t w o a s s e r t i o n s a r e e q u i v a l e n t s : 3 6 8 ( ( L N X ' ) $ 0 f o r L a l ( x l ' q . E K + . 3 1 1 q ) = F ( x ‘ ) + d ( q . N L x ( ‘ X ) ' . q ’ s F ) ( x = ’ F ) ( x ‘ = L ( ) x r ‘ e , s q p ' e ) c t i v e l y . f o r a l e , H l e n q c e K ’ ( A Z - 6 ) ( i ) ( x ’ , q ‘ ) i s a s a d d l e p o i n t o f L w i t h r e s p e c t t o M X K + . ( i i ) x ' i s a s o l u t i o n o f ( P ) , q ' i s a s o l u t i o n o f ( P ' ) , a n d a = 8 . P r o o f o f ( 2 ) . F i r s t w e w i l l p r o v e t h a t ( 2 . i i ) i s e q u i v a l e n t t o t h e a s s e r t i o n t h a t L h a s a s a d d l e p o i n t a t ( x ' , q ’ ) w i t h r e s p e c t t o M X K “ . I f ( x ' , q ' ) i s a s a d d l e p o i n t o f L , t h e n L ( x ‘ , q ' ) = m i n L ( x , q ‘ ) a n d , b y l e m m a A 2 . 2 , x ' i s a s o l u t i o n o f ( P 1 ) w i t h x E M N x ' S O , a n d o r = F ( x ‘ ) = L ( x ‘ , q ‘ ) = F ( x ‘ ) + ( q ‘ , N x ‘ ) ( A Z - 5 ) f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t ( q ' , N x ' ) = O a n d ( 2 . i i ) i s s a t i s fi e d . C o n v e r s e l y , i f ( 2 . i i ) i s s a t i s fi e d , t h e n f r o m N x ' s 0 a n d ( q ‘ , N x ‘ ) = O w e d e d u c e T h u s , L ( x ' , q ‘ ) = n é a l x u x ' , q ) , a n d s i n c e L ( x ' , q ' ) = g a m m y ) , ( x ' , q ‘ ) i s a s a d d l e p o i n t o f L . 9 H e n c e , t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f ( 2 ) , w e n e e d o n l y t o s h o w t h a t a x ' E M i s a s o l u t i o n o f ( P 1 ) i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a q ' E K + s u c h t h a t ( x ' , q ‘ ) i s a s a d d l e p o i n t o f L . B u t , L e t ( 2 ' , q ‘ ) b e a s a d d l e p o i n t o f L g i v e n b y l e m m a A 2 . l . T h e n , b y l e m m a A 2 . 2 q ’ i s a s o l u t i o n o f t h e d u a l p r o b l e m ( P ' ) a n d a = B . H e n c e , b y t h e s a m e l e m m a A 2 . 2 , a x ' E M i s a s o l u t i o n o f ( P 1 ) i f a n d o n l y i f ( x ' , q ‘ ) i s a s a d d l e p o i n t o f L . I C o r o l l a r y A 2 . l . A l o n g w i t h a s s u m p t i o n s 0 1 1 ) - ( H S ) a s s u m e t h a t t h e i n t e r i o r s o f t h e d o m a i n e s o f d e fi n i t i o n o f F a n d N a r e b o t h n o n e m p t y a n d c o n t a i n M . T h e n , t h e f o l l o w i n g h o l d s : ( 1 ) F i r s t o r d e r ( n e c e s s a r y c o n d i t i o n ) . I f x ' E M i s a l o c a l s o l u t i o n o f ( P 1 ) , t h e n t h e r e e x i s t s a L a g r a n g e " m u l t i p l i e r " q ' E K + s u c h t h a t 3 6 9 ( 2 ) ( 3 ) L , ' ( X ‘ . q ' ) = F ' ( X ‘ ) + q ‘ o N ' ( x ' ) = 0 , N x ' s o , a n d ( q ' , N x ‘ ) = 0 . ( A 2 . 7 ) w h e n b o t h F ' ( x ' ) a n d N ’ ( x ' ) e x i s t a s a G a t e a u x d e r i v a t i v e o r a s a F r é c h e t d e r i v a t i v e ; w h e r e o i s t h e c o m p o s i t i o n o p e r a t o r . S u f fi c i e n t c o n d i t i o n . L e t n b e a e v e n n u m b e r , n 2 2 . T h e n x ' i s a s t r i c t l o c a l s o l u t i o n o f ( P 1 ) w h e n t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s a r e f u l fi l l e d : ( i ) T h e r e e x i s t s a L a g r a n g e " m u l t i p l i e r " q ' E K + s u c h t h a t f o r a l l h E B a n d fi x e d c > 0 L 1 * ’ ( x ' , q ' ) = r i * * ’ ( x ' ) + q ' o N " " ( x ’ ) = o k = l , . . . , n - l , L i " ’ < x ‘ . q ' ) h " = ( 1 = * " ’ < x ' ) + q ‘ o N ( W x ' ) ) h " 2 c I l h l l " . ( “ ' 8 ’ N x ‘ $ 0 , a n d ( q ‘ , N x ‘ ) = 0 . ( i i ) F a n d N a r e n - t i m e s F r e ’ c h e t d i f f e r e n t i a b l e i n a n e i g h b o r h o o d o f x ' , a n d F “ ) a n d N ‘ " ’ a r e c o n t i n u o u s a t x ' . N e c e s s a r y a n d s u f fi c i e n t c o n d i t i o n . I f i n a d d i t i o n i t i s a s s u m e d t h a t F i s c o n v e x , a n d N i s c o n v e x i n t h e s e n s e t h a t N ( a x + ( 1 - a ) z ) s a N x + ( 1 - a ) N z f o r a l l x , z E B a n d 0 s a s 1 ; t h e n t h e n e c e s s a r y c o n d t i o n o f ( l ) i s a l s o s u f fi c i e n t f o r x ' E M t o b e a g l o b a l s o l u t i o n o f ( P 1 ) . M o r e o v e r , i f e i t h e r F o r N i s s t r i c t l y c o n v e x , t h e n x ' i s u n i q u e . P r o o f . F r o m T h e o r e m A 2 . 1 ( 2 ) i t f o l l o w s t h a t i f x ' i s a s o l u t i o n o f ( P 1 ) t h e n f o r s o m e q ' E K + N x ‘ 5 0 , ( q ‘ , N x ‘ ) = 0 , a n d L ( X ’ . q ' ) = m i n L ( x . q ' ) ( P ) x E M T h u s , a s s e r t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) f o l l o w s b y a p p l y i n g T h e o r e m A 2 . 3 o f P a r t 1 1 b e l o w t o t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ( P ) , a n d f r o m t h e f a c t t h a t 3 7 0 L x ' ( x 0 , q - ) h = F ' ( x ' ) h + ( q - , N r ( x e ) h > = F r ( x . ) h + ( q - 0 ( N r ( x - ) ) h f o r a ” . 1 6 3 ( “ . 9 ) F O L D ) = i n f { ( X , l l , b ) ( P a m ) s o t h a t L . ’ ( X ' . q ' ) = F ' ( x ‘ ) + q ‘ 0 N ’ ( x ‘ ) ( A 2 . 1 0 ) w h i c h , b y t h e c h a i n r u l e a n d t h e f a c t t h a t t h e m a p p i n g y . . . q ' o y i s l i n e a r a n d c o n t i n u o u s , g i v e s t h e e x p r e s s i o n f o r t h e h i g h e r d e r i v a t i v e s . F i n a l l y , s i n c e L ( . , q ’ ) i s ( s t r i c t l y ) c o n v e x w h e n F ( o r ) a n d N ( i s ) a r e ( s t r i c t l y ) c o n v e x , a s s e r t i o n ( 3 ) f o l l o w s b y a p p l y i n g T h e o r e m A 2 . 4 o f P a r t I I b e l o w . I T h e o r e m A 2 . 2 . ( E k e l a n d a n d L e b o u r g ) : L e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e , B b e a r e a l l o c a l l y u n i f o n n l y s m o o t h B a n a c h s p a c e , B ’ i t s d u a l . L e t g : X e R b e a l o w e r s e m i c o n t i n u o u s f u n c t i o n w h i c h i s b o u n d e d b e l o w , a n d A : X - ’ B ' b e a c o n t i n u o u s a n d p r o p e r fi t n c t i o n s u c h t h a t A 0 0 i s n o r m b o u n d e d i n B ' . F i n a l l y , d e fi n e t h e f u n c t i o n f : X x B x R » R b y f ( x , u , b ) : - g ( x ) + ( A x , u ) + b f o r a l l ( x , u , b ) E X x B x R , a n d c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g m i n i m i z a t i o n p r o b l e m : x E X T h e n F i s l o c a l l y l i p s c h i t z i a n o n B x R a n d t h e r e e x i s t s a d e n s e G 5 s u b s e t T C B x R , a t e v e r y p o i n t ( u , b ) o f w h i c h : ( 1 ) F i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e , ( 2 ) t h e s e t S “ o f o p t i m a l s o l u t i o n s f o r ( P . . . ) i s c o m p a c t n o n e m p t y , ( 3 ) f u ' ( x , u , b ) = F u ' ( u , b ) a n d f b ’ ( x , u , b ) = F b ' ( u , b ) f o r a l l x E S “ , ( 4 ) t h e r e s t r i c t i o n t o T o f t h e m a p p i n g F ' : B x R _ . B ' x R i s c o n t i n u o u s , ( 5 ) t h e s e t - v a l u e d m a p p i n g ( u , b ) . . . S “ , f r o m T t o 2 x i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s . P r o o f : T h i s t h e o r e m i s a m i n o r m o d i fi c a t i o n o f P r o p o s i t i o n 3 . 7 o f E k e l a n d a n d L e b o u r g ( 1 9 7 6 , p . 2 0 8 ) . I n t h e o r i g i n a l p r o p o s i t i p o n b = 0 . B u t , a n e x a m i n a t i o n o f t h e p r o o f o f t h e i r 3 7 1 m o r e g e n e r a l T h e o r e m 3 . 4 ( p . 2 0 5 ) o n w h i c h t h e p r o p o s i t i o n i s b a s e d s h o w s t h a t t h i s m i n o r m o d i fi c a t i o n d o e s n o t a l t e r t h e c o n c l u s i o n s o f t h e p r o p o s i t i o n . I P r o o f s o f L e m m a a n d P r o p o s i t i o n s . A s a r u l e , t h e p r o o f o f a n y p r o p e r t y t h a t d o e s n o t i n v o l v e t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e s p a c e s i s i d e n t i c a l t o t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e . O n l y p r o p e r t i e s t h a t i n v o l v e t o p o l o g i c a l a r g u m e n t s n e e d a c a r e f u l e x a m i n a t i o n , a l t h o u g h f o r m a n y p r o p e r t i e s t h e t o p o l o g y d o e s n o t m a k e d i f f e r e n c e . C o n s e q u e n t l y , p r o p e r t i e s t h a t d o n o t c a l l u p o n t o p o l o g i c a l a r g u m e n t s a n d h a v e c o u n t e r p a r t s i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e w i l l n o t b e r e p r o v e d a s m o s t o f t h e m a r e p r o v e d i n V a r i a n ( 1 9 8 4 ) c h a p t e r 1 a n d 3 . T h e c o n t i n u i t y o f t h e i n d i r e c t u t i l i t y a n d e x p e n d i t u r e f u n c t i o n a l f o l l o w s f r o m T h e o r e m A 2 . 2 ( 5 ) a b o v e ( s e e a l s o A u b i n , 1 9 7 9 , p . 7 0 , T h e o r e m 3 . ) . T h e f a c t t h a t V i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g i n m f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e s t r i c t m o n o t o n i c i t y a s s u m p t i o n . P r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . 2 . 1 : S i n c e L 2 G ) , R “ ) i s p e r f e c t l y s e p a r a b l e , w e c a n a p p l y D e b r e u ( 1 9 5 4 ) g e n e r a l t h e o r e m w h i c h g i v e s t h e n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f a c o m p l e t e , r e fl e x i v e , a n d t r a n s i t i v e o r d e r i n g o n a p e r f e c t l y s e p a r a b l e t o p o l o g i c a l s p a c e . T h e s t r i c t q u a s i - c o n c a v i t y o f U f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e a s s u m p t i o n o f s t r i c t c o n v e x i t y o f p r e f e r e n c e , w h i l e t h e b o u n d n e s s o f U f o l l o w s f r o m i t s c o n t i n u i t y a n d f r o m t h e f a c t t h a t X i s w e a k l y c o m p a c t . 2 1 0 I P r o o f o f l e m m a 2 . 3 . 1 : T h e p r o o f i s s t r a i g h t f o r w a r d a n d u s e s t h e s a m e a r g u m e n t s a s i n t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l c a s e . T o p r o v e u n i c i t y , s u p p o s e t h e r e a r e t w o d i s t i n c t o p t i m a l s o l u t i o n s x ' a n d y ' b e l o n g i n g t o S ' , t h e n % x ‘ + % y ' E B ( p , m ) a n d b y s t r i c t c o n v e x i t y i s s t r i c t l y p r e f e r r e d t o e i t h e r x ' o r y ' c o n t r a d i c t i n g t h e f a c t t h a t t h e y a r e o p t i m a l . T o p r o v e t h e 2 ‘ ° M a s - C o l e l l ( 1 9 8 6 ) a n d R i c h a r d a n d l a m e ( 1 9 8 6 ) g i v e o t h e r p r o o f s t h a t d o n o t u s e t h e s e p a r a b i l i t y a s s u n p t i o n . I n s t e a d , t h e y e x p l o i t t h e o r d e r s t r u c t u r e o f t h e s p a c e . H o w e v e r , M a s - C o l e l l d i d a s s u m e t h a t X i s a o r d e r i n t e r v a l , w h i l e R i c h a r d a n d l a m e a s s u m e d t h a t t h e p r e f e r e n c e i s p r o p e r . 3 7 2 b i n d i n g o f t h e b u d g e t c o n s t r a i n t a t t h e o p t i m u m , s u p p o s e t h e r e i s a n x ' E S ' w i t h p ' x ' < m . T h e n s i n c e p i s c o n t i n u o u s , t h e s e t B O 5 { x 6 L 2 6 2 , R “ ) : p ' x < m } i s o p e n a n d c o n t a i n s x ' . T h u s i t c o n t a i n s a n o p e n b a l l B ( x ' , e ) f o r s o m e e > 0 . T a k e y s x ‘ + m g f o r s o m e x . E B ( x ' , e ) fl L z ( f 2 , R “ ) + + s o t h a t I I y - x ‘ I I = f 2 . < e , t h a t i s y E B ( x ' , e ) , a n d h e n c e m y < m . B u t y > x ' , w h i c h b y s t r i c t m o n o t o n i c i t y i m p l i e s t h a t y > x ' , c o n t r a d i c t i n g t h e f a c t t h a t x ' i s o p t i m a l . I P r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . 3 . 1 : W e a p p l y T h e o r e m A 2 . l w h e r e w e t a k e B = B ' = L 2 6 2 , R “ ) , Y = Y ' = R , M = X , K = K + = R , , F = - U , a n d N a s t h e l i n e a r ( a f fi n e ) m a p p i n g N : M - ’ R d e fi n e d b y N x = ( p , x ) - m . T o c h e c k t h a t a l l t h e a s s u m p t i o n s o f t h e t h e o r e m a r e s a t i s fi e d w e n o t e t h a t L 2 ( i ' l , R “ ) a n d R a r e r e fl e x i v e , X i s c o n v e x , c l o s e d b o u n d e d b y a s s u m p t i o n , - U i s q u a s i - c o n v e x a n d c o n t i n u o u s , t h u s i s w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ( s e e F a c t s 1 - 4 ) . F u r t h e r m o r e s i n c e b y a s s u m p t i o n t h e b u d g e t s e t B ( p , m ) i s n o n e m p t y f o r e v e r y ( p , m ) , t h e r e e x i s t s x 0 6 X s u c h t h a t ( p , x 0 ) = % < m . H e n c e , N x 0 = ( p , x . ) - m < 0 s o t h a t - N x 0 6 i n t K = R H . T h i s s h o w s t h a t t h e S l a t e r c o n d i t i o n ( S C ) i s s a t i s fi e d , a n d h e n c e , a l l t h e c o n d i t i o n s r e q u i r e d b y t h e t h e o r e m a r e f u l fi l l e d ? “ I B e f o r e p r o v i n g P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 3 , w e r e c a l l t h e d e fi n i t i o n o f F r é c h e t a n d 0 : 1 t h d i f f e r e n t i a b i l t y o f a f u n c t i o n , n o t n e c e s s a r i l y d e fi n e d o n a o p e n s e t , t h a t w e g a v e i n c h a p t e r 2 . D e f i n i t i o n A 2 . l . L e t X a n d Y b e t w o r e a l B a n a c h s p a c e s , M a s u b s e t o f X w h i c h i s n o t n e c e s s a r i l y o p e n , a n d f a f u n c t i o n f : M E X - Y . f i s s a i d t o b e n - t i m e s F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d i f f e r e n t i a b l e a t x ( , E M i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a n e i g h b o r h o o d 0 ( x 0 ) o f X O t h a t c o n t a i n s M . a n d a f u n c t i o n f : 0 ( x o ) E X . . Y w h i c h i s n - t i m e s F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d i f f e r e n t i a b l e a t x 0 , s u c h t h a t f ( x ) = f ( x ) f o r a l l x E M . T h e k m F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d e r i v a t i v e o f f a t x 0 i s t h e n d e fi n e d a s : f ‘ “ ’ ( x o ) - f ‘ “ ’ ( x o ) , k = 1 , . . . , n . f i s s a i d t o b e n - t i m e s 2 ” W e n o t e t h a t h e r e w e d i d n o t n e e d t o i m p o s e t h e n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t , x 2 0 . I t w o u l d b e r e d u n d a n t t o d o s o s i n c e w e a l r e a d y h a v e X S 1 , , ( 0 , R " ) , . 3 7 3 f ( x . p . m ) 5 a m + ( A x . u ) + b = - U ( x ) + M y : , p ) - > , m ( A 2 . 1 1 ) c o n t i n u o u s l y F r é c h e t ( r e s p G a t e a u x ) d i f f e r e n t i a b l e i f a n d o n l y i f t h e f u n c t i o n x H f ‘ " ’ ( x ) i s c o n t i n u o u s o n M ? ” I n g e n e r a l , t h e o p e n n e i g h b o r h o o d a n d t h e d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n e x t e n d i n g f i s t h e s a m e f o r a l l e l e m e n t s o f M . I n t h e p r o p o s i t i o n s t h a t f o l l o w , a n d i n a l l t h e e x a m p l e s w o r k e d o u t i n c h a p t e r 3 w h e r e M h a s a n e m p t y i n t e r i o r , t h e o p e n n e i g h b o r h o o d i s t h e w h o l e s p a c e a n d f i s n a t u r a l l y e x t e n d e d t o t h e w h o l e s p a c e . H e n c e , i n w h a t f o l l o w s , w h e n e v e r w e s p e a k o f t h e F r é c h e t o r G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l t y o f a f u n c t i o n f : M E X - e Y , a n d M h a s a n e m p t y i n t e r i o r , i t m u s t b e u n d e r s t o o d i n t h e s e n s e o f t h e d e fi n i t i o n g i v e n a b o v e , e v e n i f t h e o p e n n e i g b o r h o o d a n d t h e e x t e n d e d f u n c t i o n a r e n o t e x p l i c i t l y g i v e n . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 3 : t h i s i s a n e a s y a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m A 2 . 2 o f E k e l a n d a n d L e b o u r g . W e t a k e g = - U , B = L 2 6 2 , R “ ) , ( u , b ) = M p , m ) , a n d A = M ( w i t h I b e i n g t h e i d e n t i t y f r o m L , ( f l , R " ) t o i t s e l f ) . W e t h e n d e fi n e f : X x L 2 ( f l , R “ ) X R » R a s : S i n c e L 2 6 ) , R “ ) x R i s a n H i l b e r t s p a c e i t i s u n i f o r m l y s m o o t h . M i s t r i v i a l l y c o n t i n u o u s a n d p r o p e r , a n d s i n c e X i s w e a k l y c o m p a c t b y a s s u m p t i o n , ) X i s n o r m b o u n d e d i n L 2 “ ) , R " ) x R ( s e e F a c t 2 ) . F i n a l l y , - U b e i n g q u a s i - c o n v e x a n d c o n t i n u o u s , a n d X w e a k l y c o m p a c t , i t i s l o w e r s e m i c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d b e l o w ( s e e F a c t 4 ) . H e n c e , a l l t h e a s s u m p t i o n s o f t h e t h e o r e m a r e s a t i s fi e d , a n d w e c a n a p p l y t h e t h e o r e m t o t h e f t m c t i o n F d e fi n e d b y 2 " I t i s c l e a r t h a t f o r a g i v e n x 0 f ‘ " ( x 0 ) i s w e l l d e fi n e d s i n c e i f t h e r e a r e t w o p a i r s o f n e i g h b o r h o o d o f x 0 a n d f u n c t i o n ( O , ( x o ) , f f ) a n d ( 0 2 ( x 0 ) , f z ' ) s a t i s f y i n g t h e d e fi n i t i o n t h e n i t i m m e d i a t e l y f o l l o w s t h a t f l ' “ ’ ( x o ) = f 2 “ ’ ( x o ) , a n d f ’ , = f ; o n M . I t i s a l s o c l e a r t h a t w h e n M i s a n o p e n s e t t h e d e fi n i t i o n r e d u c e s t o t h e u s u a l d e fi n t i o n o f F r é c h e t a n d G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l t y ( s i n c e i t s u f fi c e s t o t a k e O ( x ) = M , a n d f ’ = f f o r a l l x E M ) . 3 7 4 a V ( p , m ) = - > \ x ( p . m ) , a n d ( M o m ) = x ( A 2 . 1 4 ) F ( p . m ) = i 2 § f ( X . p . m ) ( A 2 . 1 2 ) t o g e t F , ' ( p . I n ) = f , ' ( x ‘ . p . M ) = K x ‘ a n d F , . ' ( p . m ) = f , , ' ( x ‘ . p . M ) = - > \ ( A 1 1 3 ) f o r a l l ( p , m ) i n a G , s u b s e t Q X D o f L 2 ( f l , R “ ) x R . W h e r e x ' i s t h e u n i q u e o p t i m a l s o l u t i o n o f ( A 2 1 2 ) . N o w , i t i s c l e a r t h a t t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n a l V i s m e r e l y t h e r e s t r i c t i o n o f - F t o L 2 “ ) , R " ) + + x R H . H e n c e , t a k i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n D e fi n i t i o n A 2 . 1 , i f w e s h o w t h a t ( Q X D ) n ( L 2 6 2 , R " ) , + x R H ) i s a G , s u b s e t o f L 2 “ ) , R " ) , + > < R + + ( e n d o w e d w i t h i t s i n d u c e d t o p o l o g y ) , t h e n t h e a s s e r t i o n s o f t h e p r o p o s i t i o n w i l l f o l l o w , w i t h f o r a l l ( p , m ) E S l e 2 5 ( Q a n m , R “ ) , , ) x ( D n R , , ) . B u t s i n c e Q X D i s a G , , c l e a r l y w e h a v e S l > < S 2 = , Q , ( Q ‘ n L 2 ( Q ’ R n ) ) X ( D ‘ n R ) w h e r e { Q , . ; i E I } a n d ( D , - ; i E I } a r e c o u n t a b l e s e t s o f o p e n d e n s e s u b s e t s o f L 2 “ ) , R ” ) a n d R r e s p e c t i v e l y . F u r t h e r m o r e , i f ( p , m ) E L 2 6 1 , R “ ) + + x R + + t h e n f o r e a c h i E I t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e { ( p , , m , , ) } n E N C Q X D , w h i c h c o n v e r g e s t o ( p , m ) . F o r e a c h n E N l e t p f a s u p { p , , , 0 } E Q i a n m , R “ ) , + a n d m , , + a s u p { m , , , 0 } E D , n R , , , t h e n s i n c e b o t h t h e n o r m s o f L 2 “ ) , R " ) a n d R h a v e t h e l a t t i c e p r o p e r t y ( i . e . , s u p ( z , - z ) s s u p ( y , - y ) i m p l i e s I 2 ] 5 I I l e ) s o t h a t t h e s u p f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s , t h e s e q u e n c e { ( p , * , m , + ) } , , e N c o n v e r g e s t o ( p * , r n ” ) = ( p , m ) . T h i s s h o w s t h a t e a c h ( Q , O L 2 ( 9 . R " ) ) X ( D i n R ) i s d e n s e i n L z ( f l , R " ) , + x R H e n d o w e d w i t h i t s i n d u c e d t o p o l o g y , a n d h e n c e , S l e 2 i s a G , o f o n , R “ ) + + X R + + . I P r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . 3 . 6 : W e a g a i n a p p l y T h e o r e m A 2 . l b y t a k i n g B = L 2 6 2 , R “ ) , Y = R , M = X , K = K + = R , , F = ( p , . ) , a n d N = - ( U - u ) . B e c a u s e o f t h e s t r i c t m o n o t o n i c i t y o f z , t h e f a c t s t h a t U ( X ) i s b o u n d e d a n d u E i n t U ( X ) g u a r a n t e e t h a t t h e r e a l w a y s e x i s t s a x o E X \ { 0 } s u c h t h a t u < U ( x o ) < b f o r s o m e b > 0 . H e n c e , - N ( x , ) E R H a n d t h e S l a t e r c o n d i t i o n ( S C ) i s s a t i s fi e d . B y f o l l o w i n g t h e s a m e s t e p s a s i n t h e p r o o f 3 7 5 ( h ( E p . u ) - h ( p , u ) , E p - p ) s o E l h ( p . u ) > t r c < o p v ) - E h ( p , u ( h ( p , u ) , p ) ) s p r s o 0 ( ( A A 2 2 ( A Z . 1 6 ) . - 1 1 7 3 ) ) o f P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 3 , i t i s e a s y t o s e e t h a t a l l t h e o t h e r a s s u m p t i o n s r e q u i r e d b y t h e t h e o r e m a r e s a t i s fi e d . I P r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . 3 . 7 : D e fi n e f : X X L Z G I , R “ ) > < R — . R b y : f ( x , p , u ) = - A U ( x ) + ( p , x ) + M a n d t h e r e s t o f t h e p r o o f i s t h e s a m e a s i n P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 3 . I P r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . 4 . 1 : T h i s i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f P r o p o s i t i o n s 2 . 3 . 5 a n d 2 . 3 . 7 a n d o f T h e o r e m s A 2 . 3 - A 2 . 5 b e l o w ( n o t e t h e s i g n d i f f e r e n c e i n t h e d e fi n i t i o n o f m o n o t o n i c i t y ; w e s h o u l d h a v e s a i d m o n o t o n i c d e c r e a s i n g i n t h e p r o p o s i t i o n t o b e m o r e p r e c i s e ) . P r o o f o f C o r o l l a r y 2 . 6 . 1 : S i n c e t h e H i c k s i a n d e m a n d i s s t r i c t l y m o n o t o n i c w i t h r e s p e c t t o p r i c e s , w e h a v e ( h ( q . u ) - h ( p . u ) , q - p ) < 0 f o r a l l p , q E Q l a n d u E Q 2 w i t h e q u a l i t y i f p = q . ( A 2 . 1 5 ) H e n c e , f o r p E Q 1 a n d q = E p . w e h a v e B u t , s i n c e t h e r a n g e o f t h e r e s t r i c t i o n o f h ( . , u ) t o R " , + i s R n ” , w e h a v e ( h ( E p , u ) , p ) = h ( E p , u ) p r . H e n c e , a f t e r e x p e n s i o n a n d s i m p l i fi c a t i o n , ( A 2 . 1 6 ) i s e q u i v a l e n t t o : T h a t i s , N o w , t a k i n g u = V ( q , m ’ ) a n d u s i n g t h e f a c t t h a t h ( p , V ( q , m ’ ) ) = x ( p , h ( p , q , m ’ ) ) , y i e l d t h e d e s i r e d r e s u l t . I 3 7 6 P A R T I I A . T h e L , S p a c e s . F o r 1 s p < c o , L P G ) , R “ ) ( r e s p L , , ( i 2 , R “ ) ) i s d e fi n e d a s t h e s p a c e o f v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s x d e fi n e d o n ( 2 , t a k i n g v a l u e s i n R “ a n d s a t i s f y i n g I a l l x ( w ) I I P d J K w ) < c o ( r e s p “ x " s M f o r s o m e r e a l M < c o ) w i t h I I I I b e i n g t h e E u c l i d e a n n o r m o f R " . E n d o w e d w i t h t h e n o r m s I I I I p d e fi n e d r e s p e c t i v e l y b y I I x I I p I { I 0 I I x ( w ) " p a w ” ; f o r x E L p ( f 2 , R “ ) , 1 S p < c o a n d l e l l a : - i n f { M : I I x I I S M a . e } f o r x E L g m , R “ ) , t h e L P s p a c e s a r e B a n a c h s p a c e s ( i . e c o m p l e t e n o r m e d v e c t o r i a l s p a c e s ) . A l s o , f o r 1 s p s p ' < a n w e h a v e m e , R " ) E L P G ) , R “ ) . A n o t h e r b a s i c r e s u l t i s t h a t f o r 1 < p < o n , L P “ ) , R “ ) ‘ , t h e t o p o l o g i c a l d u a l o f L P G ) , R “ ) , w h i c h i s d e fi n e d a s t h e s p a c e o f c o n t i n u o u s l i n e a r f o r m s d e fi n e d o n L P “ ) , R “ ) e n d o w e d w i t h t h e n o r m I I " p , i s e q u a l t o L q m , R “ ) w i t h q s a t i s f y i n g % + 1 = 1 q ( i . e , q = . p l ’ q . . B . C o n c e p t s a n d F a c t s f r o m F u n c t i o n a l a n d C o n v e x a n a l y s i s . F o r a l l t h e f o l l o w i n g c o n c e p t s , s e e Z e i d l e r ( 1 9 8 5 , 1 9 8 6 a n d 1 9 9 0 ) , A u b i n ( 1 9 7 9 ) , a n d R u d i n ( 1 9 9 1 ) f o r m o r e d e t a i l s . I n t h e d e fi n i t i o n s b e l o w , t h e s y m b o l s - e a n d _ . s t a n d r e s p e c t i v e l y f o r t h e s t r o n g o r n o r m c o n v e r g e n c e a n d t h e w e a k c o n v e r g e n c e . F o r m o r e d e t a i l s o n t h e s e c o n c e p t s a n d o n t h e c o n c e p t o f w e a k t o p o l o g y , s e e , f o r e x a m p l e , R u d i n ( 1 9 9 1 , c h a p t e r 3 ) . F o r m o r e o n t h e c o n c e p t s o f u n i f o r m l y c o n v e x a n d s m o o t h B a n a c h s p a c e s , s e e , f o r e x a m p l e , C i o r a n e s c u ( 1 9 9 0 ) . T o e n s u r e t h a t o u r e x t r e m u m p r o b l e m s a r e a l w a y s w e l l d e fi n e d , r e a l v a l u e d f u n c t i o n a l s a r e o c c a s i o n a l l y a l l o w e d t o t a k e t h e t w o v a l u e s + c o a n d - o o . S o , l e t R - R U { - 0 0 , + 0 0 } . D e f i n i t i o n A 2 . 2 : L e t B b e a r e a l B a n a c h s p a c e , a n d f : M S B - R a f u n c t i o n a l o n t h e s u b s e t M o f B . A l s o , f o r r E R l e t M , - { x E M : f ( x ) 5 r } . T h e n : 3 7 7 ( 1 ) f i s s a i d t o b e w e a k s e q u e n t i a l l y c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f p , — ‘ p i m p l i e s f ( p n ) — . f ( p ) f o r a l l s e q u e n c e s ( p , ) o f M . ( 2 ) f i s s a i d t o b e s e q u e n t i a l l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ( r e s p w e a k s e q u e n t i a l l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ) i f a n d o n l y i f P . - ’ p i m p l i e s 1 m m f ( p ) 2 f ( p ) ( r e e r p . — ‘ 9 i m p l i e s 1 i _ m . w K m ) 2 f ( p ) f o r a l l s e q u e n c e s ( p , ) o f M ) . ( 3 ) f i s s a i d t o b e l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ( r e s p w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ) i f a n d o n l y i f M , i s c l o s e d ( r e s p w e a k l y c l o s e d ) r e l a t i v e t o M f o r a l l r E R . ( 4 ) f i s s a i d t o b e l o w e r s e m i c o m p a c t ( r e s p w e a k l y l o w e r s e m i c o m p a c t ) i f a n d o n l y i f M r i s c o m p a c t ( r e s p w e a k l y c o m p a c t ) f o r a l l r E R ? ” ( 5 ) f i s s a i d t o b e ( w e a k l y ) u p p e r s e m i c o n t i n u o u s ( r e s p ( w e a k l y ) u p p e r s e m i c o m p a c t ) i f a n d o n l y i f - f i s ( w e a k l y ) l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ( r e s p ( w e a k l y ) l o w e r s e m i c o m p a c t ) . ( 6 ) f i s s a i d t o b e w e a k l y c o e r c i v e i f a n d o n l y i f 1 1 m m ” f ( p ) = o n W e r e c a l l t h a t f i s q u a s i - c o n v e x i f a n d o n l y i f M , i s c o n v e x f o r a l l r E R ; a n d t h a t f i s q u a s i — c o n c a v e i f a n d o n l y i f — f i s q u a s i - c o n v e x . A l s o , i t i s e a s y t o s e e t h a t i f f i s ( w e a k l y ) l o w e r s e m i c o n t i n u o u s , a n d M i s ( w e a k l y ) c o m p a c t , t h e n f i s ( w e a k l y ) l o w e r s e m i c o m p a c t . D e fi n i t i o n A 2 . 3 : L e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e , a n d f : M E B - > R a f u n c t i o n a l o n t h e s u b s e t M o f X . ( 1 ) x , E M i s s a i d t o b e a g l o b a l m i n i m u m o f f i f a n d o n l y i f f ( x o ) s f ( x ) f o r a l l x E M , i . e . , f ( x ) ) = m i n f ( x ) . x E M ( 2 ) P r o v i d e d t h e i n t e r i o r o f t h e d o m a i n o f d e fi n i t i o n o f f i s n o n e m p t y a n d c o n t a i n s M , r t 0 E M i s s a i d t o b e a l o c a l ( r e s p s t r i c t l o c a l ) m i n i m u m o f f i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a 2 ‘ 3 I n s o m e b o o k s ( e . g A u b i n 1 9 7 9 ) l o w e r s e m i c o m p a c t n e s s i s d e fi n e d b y t h e r e l a t i v e c o m p a c t n e s s o f M , ( b y d e fi n i t i o n , a s e t i s r e l a t i v e l y c o m p a c t i f i t s c l o s u r e i s c o m p a c t ) . H e r e w e a r e u s i n g t h e d e fi n i t i o n g i v e n i n Z e i d l e r ( 1 9 8 5 , p a g e 1 5 0 ) . T h e t w o d e fi n i t i o n s c o i n c i d e w h e n I i s l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ( r e s p w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ) . 3 7 8 n e i g h b o r h o o d o f X O , N ( x o ) , s u c h t h a t fi x . ) = ‘ 2 2 ? f ( x ) ( r e s p f ( x ) ) = x 2 1 3 2 , f ( x ) a n d f ( x o ) r t f ( x ) ) f o r a l l x E N ( x o ) ) . ’ 0 ’ D e f i n i t i o n A 2 . 4 : L e t B a n d Y b e r e a l B a n a c h s p a c e s , a n d g : M x Q E B X Y _ . R a f u n c t i o n a l o n t h e s u b s e t M > < Q o f B X Y . T h e n g i s s a i d t o h a v e a s a d d l e p o i n t w i t h r e s p e c t t o M X Q i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s ( a , b ) E M X Q s u c h t h a t m i n g ( X . b ) = g t a . b ) = m a x g ( a . y ) x E M ’ 5 0 D e fi n i t i o n A 2 . 5 : L e t B b e a r e a l B a n a c h s p a c e , 3 ' i t s d u a l , a n d f : M g B - . R a f u n c t i o n a l o n t h e s u b s e t M o f B . L e t t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m : i n f f ( x ) = a I ( P 0 ) a E M ( 1 ) x ' E M i s s a i d t o b e a g l o b a l s o l u t i o n o f ( P 0 ) i f a n d o n l y i f x ' i s a g l o b a l m i n i m u m o f f . ( 2 ) P r o v i d e d t h e i n t e r i o r o f t h e d o m a i n o f d e fi n i t i o n o f f i s n o n e m p t y a n d c o n t a i n s M , x ' E M i s s a i d t o b e a l o c a l ( r e s p s t r i c t l o c a l ) s o l u t i o n o f ( P , ) i f a n d o n l y i f x ' i s a l o c a l ( r e s p s t r i c t l o c a l ) m i n i m u m o f f . ( 3 ) A f u n c t i o n a l L : M X Q ; B x B ' - . i i i s s a i d t o b e a L a g r a n g i a n o f t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ( P o ) i f a n d o n l y i f a = i n f s u p L ( x , q ) ( P ) a E M 4 1 6 0 ( 4 ) I f L i s a L a g r a n g i a n o f t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ( P o ) t h e n a n e l e m e n t q ' E Q i s c a l l e d a L a g r a n g e " m u l t i p l i e r " i f a n d o n l y i f a = i n f s u p L ( x , q ) = i n f L ( x , q ‘ ) x E M x E M 1 . 6 0 ( 5 ) T h e d u a l p r o b l e m o f t h e m i n i - m a x p r o b l e m d e fi n e d b y ( P ) i s d e fi n e d a s : 3 7 9 t 3 = s u n i n f L ( x . q ) ( P ' ) q E Q x E M ( 6 ) x ' E M ( r e s p q ' E Q ) i s s a i d t o b e a s o l u t i o n o f ( P ) ( r e s p ( P ’ ) i f a n d o n l y s u p L ( x ' , q ) = a ( r e s p i n f L ( x , q ' ) = 6 ) . q E K ‘ . e M D e fi n i t i o n l A 2 . 6 : L e t X b e a t o p l o g i c a l s p a c e , a n d M a s u b s e t o f X . T h e n : ( 1 ) M i s c a l l e d a G , s u b s e t o f X i f a n d o n l y i f M i s t h e c o u n t a b l e i n t e r s e c t i o n o f d e n s e o p e n s u b s e t s o f X ( w h i c h i s d e n s e b y t h e B a i r e c a t e g o r y t h e o r e m ) . ( 2 ) A p r o p e r t y ( P ) d e fi n e d o n X i s s a i d t o b e g e n e r i c i f a n d o n l y i f t h e r e i s a G , s u b s e t M o f X a t e v e r y p o i n t o f w h i c h ( P ) i s t r u e . D e fi n i t i o n A 2 . 7 : L e t X a n d Y b e t w o t o p o l o g i c a l s p a c e s . ( 1 ) A c o n t i n u o u s m a p g : X - ' Y i s s a i d t o b e p r o p e r i f a n d o n l y i f i t i s c l o s e d ( i e . m a p s c l o s e d s u b s e t s o n t o c l o s e d s u b s e t s ) a n d g “ ( y ) i s c o m p a c t f o r a l l y E Y . ( 2 ) A s e t - v a l u e d m a p p i n g S : X - e 2 Y i s s a i d t o b e u p p e r s e m i c o n t i n u o u s a t x E X i f a n d o n l y i f f o r a n y n e i g h b o r h o o d N ( S ( x ) ) o f S ( x ) t h e r e e x i s t s n e i g h b o r h o o d N ( x ) o f x s u c h t h a t S ( N ( x ) ) C N ( S ( x ) ) . D e fi n i t i o n A 2 . 8 : L e t X a n d Y b e t w o r e a l B a n a c h s p a c e s w i t h r e s p e c t i v e n o r m s fl I x a n d I I fl y , 0 a n o p e n s u b s e t o f X , a n d f a f u n c t i o n f : O E X - Y . ( 1 ) f i s s a i d t o b e F r é c h e t d r fi ‘ e r e n t i a b l e a t x E 0 i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n f r o m X t o Y , n o t e d f ’ ( x ) , s u c h t h a t m m H f ( x + h ) - f ( x ) - f ' ( x ) ' h n , I “ * 0 l h l l x a t x . = 0 . f ’ ( x ) i s t h e n c a l l e d t h e F r é c h e t d e r i v a t i v e o f f ( l ) f i s s a i d t o b e G d t e a u x d i f f e r e n t i a b l e a t x E 0 i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n f r o m X t o Y , n o t e d f ’ ( x ) , s u c h t h a t u m I ] f ( x + o n ) - f ( x ) - f ' ( x ) ' h I Y e - o o 0 d e r i v a t i v e o f f a t x . = 0 f o r a l l h E X . f ' ( x ) i s t h e n c a l l e d t h e G d t e a u x 3 8 0 f ( x ) = | | x | | a n d e m = % I I X I | 2 W e r e c a l l t h a t i f f i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t x t h e n i t i s G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e a t x w i t h t h e d e r i v a t i v e b e i n g t h e s a m e ? “ D e fi n i t i o n A 2 . 9 : L e t B b e a B a n a c h s p a c e w i t h H I I i t s n o r m , B ' i t s d u a l , a n d f , g : B - ’ R t h e f u n c t i o n a l s d e fi n e d b y : T h e n ? “ 5 ( 1 ) B i s s a i d t o b e s m o o t h i f a n d o n l y f i s G a t e a u x d i f f e r e n t i a b l e a t a l l x E B \ { 0 } . ( 2 ) B i s s a i d t o b e l o c a l l y u n i f o r m l y s m o o t h i f a n d o n l y f i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e a t a l l x E B \ { 0 } . ( 3 ) B i s s a i d t o b e u n i f o r m l y s m o o t h i f a n d o n l y B i s l o c a l l y u n i f o r m l y s m o o t h a n d ( 2 ) B i s s a i d t o b e u n i f o r m l y c o n v e x i f a n d o n l y i f g i s s t r i c t l y c o n v e x . D e fi n i t i o n A 2 . 1 0 : L e t B b e a r e a l B a n a c h s p a c e , B ' i t s d u a l , a n d K a s u b s e t o f B . ( 1 ) K i s s a i d t o b e a c o n e i f a n d o n l y i f a x E K f o r a l l r e a l a > O , a n d x E K . ( 2 ) T h e s e t K + d e fi n e d b y K + a { A E B ' : A ( x ) 2 0 f o r a l l x E K } i s c a l l e d t h e d u a l c o n e o f K . K + i s i t s e l f a c o n v e x c o n e i n B ' t h a t c o n t a i n s 0 . I t i s a f a c t t h a t i f K i s a c l o s e d c o n v e x c o n e t h e n K H 5 ( K " ) + = K . A l s o , w i t h K b e i n g a c o n e , b y x s y o n e a l w a y s m e a n s y - x E K . D e fi n i t i o n A 2 . 1 1 : L e t B , a n d Y b e r e a l B a n a c h s p a c e s , a n d A t h e o p e r a t o r A : B - Y a n o p e r a t o r o n B , T h e n : ( 1 ) A i s s a i d t o b e h e m i c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f 2 “ S i n c e 0 i s a n o p e n s e t , w e c a n a l w a y s fi n d a b > 0 s u c h t h a t t h e q u a n t i t i e s f ( x + h ) a n d f ( x + o h ) a r e w e l l d e fi n e d w h e n e v e r I h l < 5 ( r e s p | o h | < 5 ) . T h i s j u s t i fi e s t h e r e q u i r e m e n t t h a t o b e o p e n i n t h e d e fi n i t i o n o f F r é c h e t a n d G a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t y . , 2 " T h e r e a r e n u m e r o u s e q u i v a l e n t s t a t e m e n t s f o r e a c h o n e o f t h e d e fi n i t i o n s g i v e n h e r e . T h e s e w e r e c h o s e n f o r t h e i r s i m p l i c i t y a n d s h o r t n e s s . S e e C i o r a n e s c u ( 1 9 9 0 ) f o r m o r e d e t a i l s a n d o t h e r r e l a t e d c o n c e p t s . 3 8 1 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) I f Y = ( 6 ) ( 8 ) ( 9 ) t h e f u n c t i o n t _ . ( A ( p + t q ) , s ) i s c o n t i n u o u s f o r a l l p , q E B , a n d s E Y . A i s s a i d t o b e d e m i c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f p , - v p i m p l i e s A ( p , ) _ . A ( p ) f o r a l l s e q u e n c e s ( p , ) o f B . A i s s a i d t o b e b o u n d e d ( r e s p l o c a l l y b o u n d e d ) i f a n d o n l y i f A m a p s b o u n d e d s e t s i n t o b o u n d e d s e t s ( r e s p e a c h p E B h a s a n e i g h b o r h o o d N ( p ) s u c h t h a t A ( N ( p ) ) i s b o u n d e d ) . A i s s a i d t o b e L i p s c h i t z o n M C B i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s k 2 0 s u c h t h a t I I A p - A q l l s k I I p - q “ f o r a l l p , q E M . A i s s a i d t o b e l o c a l l y L i p s c h i t z i f a n d o n l y i f e a c h x E B h a s a n e i g h b o r h o o d V ( x ) o n w h i c h A i s L i p s c h i t z . B ' , t h e d u a l o f B , T h e n A i s s a i d t o b e m o n o t o n e ( r e s p s t r i c t l y m o n o t o n e ) i f a n d o n l y i f ( A p - A q , p - q ) 2 O ( r e s p > 0 ) f o r a l l p , q E B ; w i t h e q u a l i t y i f p = q . A i s a p o t e n t i a l o p e r a t o r i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a G a t e a u x - d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a l F : B - v R s u c h t h a t A = F ' . F i s t h e n c a l l e d a p o t e n t i a l o f A a n d i s o b t a i n e d f r o m A b y : H P ) = ( 0 ‘ ( A ( p ) . p > d t f o r a l l p e B i f A i s a l i n e a r a n d c o n t i n u o u s ‘ o p e r a t o r , t h e n A i s p o s i t i v e ( r e s p s t r i c t l y p o s i t i v e ) i f a n d o n l y i f ( A ( p ) . p ) 2 0 ( r e s p ( A ( p ) . p ) > 0 ) f o r a l l p E B - A i s n e g a t i v e ( r e s p s t r i c t l y n e g a t i v e ) i f a n d o n l y i f - A i s p o s i t i v e ( r e s p s t r i c t l y p o s i t i v e ) . i f A i s a l i n e a r a n d c o n t i n u o u s o p e r a t o r , t h e n A i s s y m m e t r i c i f a n d o n l y i f 3 8 2 ( A ( P ) . P ) = ( A ( Q ) . P ) f o r a l l p , q E B , 2 ' 6 W e r e c a l l t h e f o l l o w i n g f a c t s t h e p r o o f s o f w h i c h a r e s t a n d a r d a n d c a n b e f o u n d , f o r e x a m p l e , i n R u d i n ( 1 9 9 1 ) , A u b i n ( 1 9 7 9 ) , Z e i d l e r ( 1 9 8 6 ) a n d C i o r a n e s c u ( 1 9 9 0 ) . F a c t 1 : A c l o s e d a n d c o n v e x s u b s e t o f a B a n a c h s p a c e i s w e a k l y c l o s e d . F a c t 2 : A s u b s e t o f a B a n a c h s p a c e i s n o r m b o u n d e d i f a n d o n l y i f i t i s w e a k l y b o u n d e d . F a c t 3 : A w e a k l y c l o s e d a n d b o u n d e d s u b s e t o f a r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e i s w e a k l y c o m p a c t . F a c t 4 : l e t B b e a r e a l r e fl e x i v e B a n a c h s p a c e , a n d F : M E B - > R a q u a s i - c o n v e x f u n c t i o n a l o n t h e c l o s e d c o n v e x s u b s e t M o f B . T h e n : ( 1 ) T h e f o l l o w i n g t h r e e a s s e r t i o n s a r e e q u i v a l e n t s : ( i ) F i s l o w e r s e m i c o n t i n u o u s . ( i i ) F i s w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s . ( i i i ) F i s w e a k l y s e q u e n t i a l l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s . ( 2 ) I f M i s b o u n d e d , t h e n F i s b o u n d e d b e l o w . ( F o r t h e e q u i v a l e n c e b e t w e e n ( i i ) a n d ( i i i ) t h e r e fl e x i v i t y o f B , a n d t h e q u a s i - c o n v e x i t y o f F a r e n o t n e e d e d ) . F a c t 5 ( G e n e r a l i z e d W e i e r s t r a s s t h e o r e m ) : l e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e , a n d F : M E X a R a f u n c t i o n a l o n s u b s e t M o f X . T h e n , t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m : m i n F ( x ) = a x E M h a s a s o l u t i o n w h e n F i s l o w e r s e m i c o m p a c t . 2 “ T h e d e fi n i t i o n s o f p o s i t i v i t y a n d s t r i c t p o s i t i v i t y c o r r e s p o n d i n fi n i t e d i m e n s i o n l i n e a r s p a c e s t o t h e c o n c e p t s o f p o s i t i v e s e m i - d e fi n i t e a n d p o s i t i v e d e fi n i t e o f m a t r i c e s r e s p e c t i v e l y . L i k e w i s e f o r t h e d e fi n i t i o n o f s y m m e t r y ( r e c a l l t h a t l i n e a r f u n c t i o n s i n fi n i t e d i m e n s i o n l i n e a r s p a c e s a r e c o n t i n u o u s a n d c a n b e r e p r e s e n t e d b y m a t r i c e s o f fi n i t e n u m b e r o f r o w s a n d c o l u m n s ) . A l s o , f o r a l i n e a r o p e r a t o r p o s i t i v i t y i s e q u i v a l e n t t o m o n o t o n i c i t y . 3 8 3 F a c t 6 : l e t B b e a r e a l B a n a c h s p a c e , B ' i t s d u a l a n d K a c o n e o f B T h e n , 0 i q u K ‘ i n f ( x . q > = x E K _ m i f q é K ‘ F a c t 7 : l e t B b e a r e a l B a n a c h s p a c e , a n d B ' i t s d u a l . T h e n : ( 1 ) B i s u n i f o r m l y c o n v e x ( r e s p u n i f o r m l y s m o o t h ) i f a n d o n l y i f B ' i s u n i f o r m l y s m o o t h ( r e s p u n i f o r m l y c o n v e x ) . ( 2 ) B i s r e fl e x i v e i f i t i s u n i f o r m l y c o n v e x . ( 3 ) L P “ ) , R “ ) i s u n i f o r m l y c o n v e x i f a n d o n l y i f 1 < p < o o . F i n a l l y , t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s a r e p r o v e d i n Z e i d l e r ( 1 9 8 6 , p . 1 9 4 , P r o p o s i t i o n 4 0 . 3 ; p . 2 4 7 , P r o p o s i t i o n 4 2 . 6 ; p . 2 5 0 , P r o p o s i t i o n 4 2 . 1 1 ; a n d 1 9 9 0 , p . 5 5 5 , P r o p o s i t i o n s 2 6 . 3 a n d 2 6 . 4 ) . T h e o r e m A 2 . 3 : L e t F : 0 C B - > R b e a f u n c t i o n a l o n t h e o p e n s u b s e t o f t h e r e a l B a n a c h s p a c e B . T h e n t h e f o l l o w i n g h o l d : ( 1 ) N e c e s s a r y c o n d i t i o n . I f F h a s a f r e e l o c a l m i n i m u m a t x 0 , t h e n F ’ ( x o ) = 0 ( g e n e r a l i z e d E u l e r e q u a t i o n ) w h e n F ' ( x 0 ) e x i s t s a s a G d t e a u x d e r i v a t i v e o r a s a F r é c h e t d e r i v a t i v e . ( 2 ) S u f fi c i e n t c o n d i t i o n . L e t n b e a e v e n n u m b e r , n 2 2 . I h e n , F h a s a f r e e s t r i c t l o c a l m i n i m u m a t 1 : 0 w h e n t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s a r e fi t l fi l l e d : ( i ) F ‘ " ( x o ) = o , k = 1 , . . . , n - I , a n d F ‘ " ) ( x o ) 2 c fl h l l " f o r a l l h e B a n d fi x e d c > 0 . ( i i ) F i s n - t i m e s F r é c h e t d i fi ‘ e r e n t i a b l e i n a n e i g h b o r h o o d o f x 0 a n d F ‘ " ) i s c o n t i n u o u s a t x 0 . 3 8 4 1 0 1 ( A ( l p ) , P l d l - I 0 1 ( A ( l q ) , q ) d t = [ 0 | ( A ( q + t ( p — q ) ) ’ p - q ) d t T h e o r e m A 2 . 4 : L e t F : B _ . R b e a f u n c t i o n a l o n t h e r e a l B a n a c h s p a c e B . S u p p o s e t h e G — d e r i v a t i v e F ' : B _ . B ' e x i s t s o n B . T h e n t h e f o l l o w i n g h o l d : ( 1 ) T h e f o l l o w i n g t h r e e a s s e r t i o n s a r e e q u i v a l e n t : ( i ) F i s c o n v e x o n B . ( i i ) F ’ i s m o n o t o n e o n B . ( i i i ) F ( q ) - F ( p ) 2 ( F ' ( p ) . q - p ) f o r a l l p . q E B . ( 2 ) i f F i s c o n v e x o n B a n d B i s r e fl e x i v e , t h e n F ' i s m o n o t o n e a n d d e m i c o n t i n u o u s o n B . ( 3 ) T h e f o l l o w i n g t h r e e a s s e r t i o n s a r e e q u i v a l e n t : ( i ) F i s s t r i c t l y c o n v e x o n B . ( i i ) F ’ i s s t r i c t l y m o n o t o n e o n B . ( i i i ) F ( q ) - F ( p ) > ( F ' ( p ) , q - p ) f o r a l l p , q E B ; w i t h e q u a l i t y o n l y V p = d T h e o r e m A 2 . 5 : L e t A : B - v B ' b e a n o p e r a t o r o n t h e r e a l B a n a c h s p a c e B . ( l ) T h e f o l l o w i n g t h r e e a s s e r t i o n s a r e e q u i v a l e n t : ( i ) A i s a m o n o t o n e p o t e n t i a l o p e r a t o r . ( i i ) A i s m o n o t o n e h e m i c o n t i n u o u s a n d s a t i s fi e s t h e f o l l o w i n g i n t e g r a b i l i t y c o n d i t i o n : f o r a l l p , q E B ( i i i ) A i s a p o t e n t i a l o p e r a t o r , i . e . , A = F ’ , a n d F i s c o n v e x a n d w e a k l y s e q u e n t i a l l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s o n B . ( 2 ) i f t h e d e m i c o n t i n u o u s G — d e r i v a t i v e A ’ e i a ' s t s o n B , t h e n t h e f o l l o w i n g t w o a s s e r t i o n s a r e e q u i v a l e n t . ( i ) A i s a m o n o t o n e p o t e n t i a l o p e r a t o r . ( i i ) A ’ s a t i s fi e s t h e f o l l o w i n g t w o p r o p e r t i e s : 3 8 5 ( a ) S y m m e t r y : ( A ’ ( p ) q . 8 ) = ( A ’ ( p ) s . q ) f o r a l l p . q . s E B . ( b ) P o s i t i v i t y : ( A ’ ( p ) q , q ) ) = 0 f o r a l l p , q E B . ( 3 ) i f A i s a m o n o t o n e p o t e n t i a l o p e r a t o r , t h e n A i s d e m i c o n t i n u o u s . T h e o r e m A 2 . 6 : L e t A : B a B ' b e a n o p e r a t o r o n t h e r e a l B a n a c h s p a c e B . T h e n : ( i ) I f A i s m o n o t o n e , t h e n A i s l o c a l l y b o u n d e d . ( i i ) I f A i s l i n e a r a n d m o n o t o n e , t h e n A i s c o n t i n u o u s . ( i i i ) I f A i s m o n o t o n e a n d h e m i c o n t i n u o u s o n t h e r e a l r e f l e x i v e B a n a c h s p a c e B , t h e n A i s d e m i c o n t i n u o u s . ( i v ) I f A i s d e m i c o n t i n u o u s o n t h e r e a l r e f l e x i v e B a n a c h s p a c e B , t h e n A i s l o c a l l y b o u n d e d . 3 8 6 A P P E N D I X 3 N E C E S S A R Y F I R S T O R D E R C O N D I T I O N F O R O P T I M A L I T Y A N D D I F F E R E N T I A B I L I T Y N e c e s s a r y F i r s t O r d e r C o n d i t i o n f o r O p t i m a l i t y a n d P r o o f s o f D i f f e r e n t i a b i t y L e m m a A 3 . l T h e N e c e s s a r y F i r s t O r d e r C o n d i t i o n f o r O p t i m a l i t y T o a p p l y C o r o l l a r y A 2 . 1 o f A p p e n d i x 2 t o t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ( 3 . 2 . 2 ) , w e s e t , i n t h e n o t a t i o n o f t h e c o r o l l a r y , F ( x ) = - U ( x ) + M p , x ) a n d N = - I , w h e r e I i s t h e i d e n t i t y o f L 2 ( 9 , R " ) . 2 1 7 T h u s t h e c o n d i t i o n N x S 0 r e d u c e s t o t h e n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t x 2 0 . S i n c e ( q , x ) = i ( q , , x ) , w e h a v e f o r a l l q , x E L 2 ( 0 , R " ) + ( q , x ) = 0 1 1 7 " } q u x , ) = 0 i = l , . . . , n a n d q , = 0 i f ( q i , x , ) = 0 a n d x i > 0 . I n a d d i t i o n , t h e w e a k c o e r c i v e n e s s i s t r i v i a l l y s a t i s fi e d ( s i n c e l i m ( q , x 0 ) = + o n f o r a n y x 0 6 L z m , R " ) , + ) . ‘ 1 ‘ “ H e n c e , ( 3 . 2 . 3 ) f o l l o w s f r o m t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n ( A 2 . 7 ) o f t h e c o r o l l a r y . I A 3 . 2 P r o o f s o f t h e D i f f e r e n t i a b i t y L e m m a P r o o f o f L e m m a 3 . 3 . 1 T o s h o w t h a t t h e f u n c t i o n a l T n : L 2 6 ) , R " ) » L 2 ( fl , R ) d e fi n e d b y : T . ( x ) = u o x i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e i n L 2 “ ) , R “ ) w i t h T . ’ = u ’ o x , w e n e e d t o s h o w t h a t l i m “ O ( x + 0 b ) - “ o x - ( “ l o x m = 0 u n i f o r m l y w i t h r e s p e c t t o h o n e a c h b o u n d e d s e t o f L 2 “ ) , o - o o 0 R I D - 2 1 8 L e t 6 > 0 , a n d l e t B b e a b o u n d e d s u b s e t o f L , ( 0 , R “ ) . T h e n t h e s e t R ( B ) I { h ( w ) : h E B a n d w E 0 } i s a b o u n d e d s u b s e t o f R u ( o t h e r w i s e B w o u l d n o t b e b o u n d e d ) . N o w , s i n c e u i s d i f f e r e n t i a b l e a t e a c h x ( w ) , w E 0 , w e h a v e l i m “ 0 “ “ ) " W m » ' “ ( x ( w » ' ( “ ' ( ‘ ( “ ’ » h ( “ ’ ) = o u n i f o r m l y w i t h r e s p e c t t o h ( w ) o n R ( B ) . o - o o 0 2 ” W e c o u l d h a v e a p p l i e d t h e c o r o l l a r y d i r e c t l y t o t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ( 3 . 2 . 1 ) . T h e e n d r e s u l t w o u l d b e t h e s a m e . . 2 " T h i s g e n e r a l d e fi n i t i o n o f F r é c h e t d i f f e r e n t i a b i l i t y ( w h i c h v a l i d e v e n f o r n o n n o r m e d s p a c e ) i s e q u i v a l e n t t o t h e u s u a l d e fi n i t i o n g i v e n f o r n o r m e d s p a c e s ( s e e Y a m a m u r o , 1 9 7 4 ) . 3 8 8 n I l l u H ° ( u ( x K + m 0 ) h + ) 0 - 1 u 9 ) 1 ( o 0 x » - ' ( u u ( ’ ! ; ( w ) ) 0 x ) ~ h - H L . ( “ ’ ( X ( w ) ) ‘ h ( w ) I l z m w ) < 6 2 . T h a t i s , H e n c e , b y . i d e n t . i fi c a t . i o n 1 ’ ( x ) _ - h , ( 1 ' . ( x ) ) ' r t , ( x ) _ - ( g 0 ' 2 ) ? O ' ” X ) f o r a l l x e L , ( o , R ) \ { 0 } . l T h u s i t e x i s t s 1 7 > 0 ( w h i c h d e p e n d s o n l y o n e a n d B ) s u c h t h a t [ 0 | < 7 1 i m p l i e s l l u ( x ( w ) + 0 h ( w ) ) - u ( X ( w ) ) - ( u 0 o f t h e i n t e g r a l o p e r a t o r t h e n i m p l i e s / ( x ( w ) ) ' h ( w ) H < e f o r a l l t o E 0 , a n d h E B . T h e p o s i t i v i t y u n i f o r m c o n v e r g e n c e w i t h r e s p e c t t o h o n B . I < e f o r a l l h E B , w h e n e v e r | 0 | < 1 ; . H e n c e s h o w i n g t h e P r o o f o f L e m m a 3 . 4 . 1 T h i s l e m m a f o l l o w s d i r e c t l y f r o m L e m m a 3 . 3 . 1 , a n d t h e f a c t t h a t t h e H i l b e r t i a n n o r m h : x . . . I I 2 : I I i s F r é c h e t d i f f e r e n t i a b l e e v e r y w h e r e e x c e p t t h e o r i g i n 0 w i t h I i ' ( x ) = " f o r a l l x e L , ( 0 , R ) \ { 0 } ( A l l ) W H e n c e , b y t h e c h a i n r u l e w e h a v e 1 ' ( x ) = h ' fl ' ( x ) ) o T " ( x ) f o r a l l x E L 2 ( f l , R ) \ { 0 } ( A 3 2 ) B u t , ( h ' t r . < x > ) ° T . ' < x > ) - h = h ' t r . < x > ) - ( r . ' < x > - h ) = ( h ' ( l ‘ , ( x ) ) . T , ' ( X ) - h ) = E { h ' t r . < x > ) t r . ' < x > - h ) } ( A s - 3 ) = E { ( h ' ( r . < x > ) 1 ‘ . ' < x > ) h } = ( h ' ( l ‘ , ( X ) ) T , ' ( X ) . h ) f o r a l l h E L 2 ( 0 , R “ ) . 3 8 9 A P P E N D I X 4 C O N C E P T U A L F R A M E W O R K O F I N T E R T E M P O R A L C H O I C E U N D E R U N C E R T A I N T Y A P P E N D I X A 4 . 1 A R E C O N S I D E R A T I O N O F S A V A G E ’ S C O N C E P T U A L F R A M E W O R K O F C H O I C E U N D E R U N C E R T A I N T Y A N D I T S E X T E N S I O N T O I N T E R T E M P O R A L C H O I C E A R e c o n s i d e r a t i o n o f S a v a g e ’ s C o n c e p t u a l F r a m e w o r k o f C h o i c e u n d e r U n c e r t a i n t y a n d i t s E x t e n s i o n t o I n t e r t u p o r a l C h o i c e 2 1 9 A 4 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n I n t h i s a p p e n d i x w e a d e v e l o p s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k b a s e d o n S a v a g e ’ s ( 1 9 5 4 ) f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e m o t i v a t i o n f o r t h i s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k w a s a n e e d t o j u s t i f y t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h t o c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y d e v e l o p e d i n c h a p t e r 2 . B e s i d e s j u s t i f y i n g t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k , t h e i n t e r p r e t a t i o n o f s o m e o f t h e m a t h e m a t i c a l a n d e c o n o m i c r e s u l t s d e r i v e d i n c h a p t e r 3 m a k e s s e n s e o n l y w i t h i n t h e B a y e s i a n f r a m e w o r k o f R a m s e y ( 1 9 2 6 ) , D e F i n e t t i ( 1 9 3 7 ) , S a v a g e ( 1 9 5 4 ) , a n d A n s c o m b e a n d A u m a n n ( 1 9 6 3 ) a m o n g o t h e r s , w h i c h a d o p t s t h e v i e w o f s u b j e c t i v e o r p e r s o n a l i s t i c p r o b a b i l i t y . F o r e x a m p l e , i t i s n a t u r a l t o t h i n k t h a t i f a d e c i s i o n m a k e r ’ s w e l f a r e i s a f f e c t e d b y t h e o u t c o m e o f a r a n d o m p h e n o m e n o n o u t s i d e o f i t s c o n t r o l , t h e n b o t h w e l f a r e a n d b e h a v i o r s h o u l d d e p e n d o n t h e i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o t h e r a n d o m p h e n o m e n o n a l o n g w i t h i t s p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . T h i s d e p e n d e n c y s h o u l d h o l d r e g a r d l e s s o f t h e s u b j e c t i v e o r o b j e c t i v e n a t u r e o f t h i s p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . B u t , i n s o m e o f t h e e x a m p l e s w o r k e d o u t i n c h a p t e r 3 , t h i s i s n o t t h e c a s e . I n c h a p t e r 3 i t w a s s h o w n t h a t f o r a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a n e x p e c t e d u t i l i t y w i t h a m u l t i v a r i a t e V o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n C o b b - D o u g l a s u t i l i t y t h a t i s h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e , u n d e r p r i c e u n c e r t a i n t y a n d b u d g e t c o n s t r a i n t , b o t h t h e i n d i r e c t u t i l i t y a n d d e m a n d s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s . M o r e t h a n t h a t , t h e m o d e l i m p l i e s t h a t s o m e n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e r a n d o m p r i c e s m u s t b e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e ( i . e , m u s t h a v e a d e g e n e r a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ) . C l e a r l y t h i s l a s t r e s u l t c a n n o t b e i n t e r p r e t e d w i t h i n t h e o b j e c t i v e p r o b a b i l i t y v i e w w i t h i n w h i c h p r i c e s a n d t h e i r ( o b j e c t i v e ) j o i n t p r o b a b i l i t y " 9 T h e d i s c u s s i o n i n t h i s a p p e n d i x i s s t r i c t l y a t t h e c o n c e p t u a l l e v e l , a n d a c o n s c i o u s e f f o r t w a s m a d e t o k e e p i t i n f o r m a l . 3 9 2 d i s t r i b u t i o n a r e a s s u m e d t o b e e x o g e n o u s l y g i v e n t o t h e c o n s u m e r , s o t h a t t h e r e i s n o r e a s o n w h y t h e ( o b j e c t i v e ) p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f a t r a n s f o r m a t i o n o f r a n d o m p r i c e s m u s t b e d e g e n e r a t e f o r a p a r t i c u l a r c o n s u m e r . I f t h e r e a r e m a n y c o n s u m e r s w i t h d i f f e r e n t p r e f e r e n c e s , ‘ w e e n d u p w i t h s e v e r a l p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s f o r t h e s a m e r a n d o m v e c t o r o f p r i c e s , w h i c h i s s e l f — c o n t r a d i c t o r y f o r a c o n c e p t o f a u n i q u e o b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f p r i c e s f a c i n g a l l c o n s u m e r s . A W i t h i n t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y v i e w , o n e c a n i n t e r p r e t t h e a b o v e r e s u l t b y s a y i n g t h a t t h i s p a r t i c u l a r c o n s u m e r , w h o h a s a h o m o g e n o u s o f d e g r e e o n e C o b b - D o u g l a s e x p e c t e d u t i l i t y , b e l i e v e s t h a t t h e v a l u e t a k e n b y t h i s n o n l i n e a r f u n c t i o n o f p r i c e i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e . I n o t h e r w o r d s , h e o r s h e h a s d e g e n e r a t e " b e l i e f s " f o r t h i s n o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f p r i c e s r e g a r d l e s s o f a n y p e r t i n e n t i n f o r m a t i o n . T h e i m p l i c a t i o n s o f t h e e x a m p l e s m a y r e p r e s e n t v e r y s t r o n g r e s t r i c t i o n s o n i n d i v i d u a l " b e l i e f ” . N e v e r t h e l e s s , i t m a k e s s e n s e w i t h i n t h i s s u b j e c t i v i s t i c v i e w w h e r e d e c i s i o n m a k e r s a r e a s s u m e d t o b e f r e e t o c h o o s e w h a t e v e r ” b e l i e f s " t h e y w a n t t o h o l d . A l t h o u g h t h e s u b j e c t i v i s t i c v i e w p r o v i d e s a m u c h m o r e a p p r o p r i a t e c o n t e x t f o r i n t e r p r e t i n g t h e r e s u l t s o f t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s , f u r t h e r i n t u i t i v e , c o n c e p t u a l , a n d m a t h e m a t i c a l c o n s i d e r a t i o n s l e d u s t o r e c o n s i d e r S a v a g e ’ s o r i g i n a l f r a m e w o r k b y m o d i f y i n g s o m e o f h i s t e r m i n o l o g y a n d a d d i n g s o m e n e w c o n c e p t s . F r o m t h e m a t h e m a t i c a l s i d e , t h e s e c o n c e p t u a l c h a n g e s a l l o w u s t o e x t e n d m o r e e a s i l y S a v a g e ’ s f r a m e w o r k t o c o v e r i n t e r t e m p o r a l c h o i c e , t h u s h a v i n g a u n i fi e d t r e a t m e n t o f t h e f o u r m a i n d e c i s i o n m o d e l s i n e c o n o m i c s : s t a t i c d e t e r m i n i s t i c c h o i c e , d y n a m i c d e t e r m i n i s t i c c h o i c e , s t a t i c c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , a n d d y n a m i c c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e m a t h e m a t i c a l t o o l s w h i c h a l l o w t h i s u n i fi e d t r e a t m e n t a r e i n d i c a t e d . 3 9 3 A n o t h e r d e p a r t u r e f r o m S a v a g e ’ s f r a m e w o r k i s o u r t r e a t m e n t a n d f o r m a l i z a t i o n o f t h e p r i m i t i v e c o n c e p t o f b e l i e f s . S a v a g e ’ s s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y r e p r e s e n t i n g b e l i e f s i s b a s e d o n t h e u n d e r l y i n g p r e f e r e n c e . H e r e , w e a r g u e t h a t t h e t w o p r i m i t i v e c o n c e p t s o f b e l i e f s a n d p r e f e r e n c e a r e t w o d i s t i n c t p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t s t h a t e _ x i § _ t _ i n d e p e n d e n t l y f r o m o n e a n o t h e r . C o n s e q u e n t l y , w e p o s t u l a t e a t t h e o u t s e t t h e i n d e p e n d e n t e x i s t e n c e o f a l i k e l i h o o d o r d e r i n g a m o n g e v e n t s , a n d h e n c e a d o p t t h e a p p r o a c h o f D e F i n e t t i ( 1 9 3 7 ) a n d C h a t e a u n e u f ( 1 9 8 5 ) a m o n g o t h e r s , w h o r e p r e s e n t i t b y a s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n i n d e p e n d e n t l y o f p r e f e r e n c e . F i n a l l y , w e i d e n t i f y a t h i r d p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t d i s t i n c t f r o m t h e o n e s o f b e l i e f s a n d p r e f e r e n c e , a n d w h i c h i s c a l l e d p e r c e p t i o n . W e a r g u e t h a t m a n y a s p e c t s o f b e h a v i o r t h a t a r e u s u a l l y a t t r i b u t e d t o e i t h e r b e l i e f s o r p r e f e r e n c e , a r e i n f a c t t h e r e s u l t s o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f t h e o b j e c t s o f c h o i c e s , a s w e l l a s t h e i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p s e x i s t i n g a m o n g t h e m . M o r e o v e r , t h e d i s e n t a n g l e m e n t o f t h e c o n c e p t o f p e r c e p t i o n f r o m p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s c l a r i fi e s t h e t r u e m e a n i n g o f t h e s o — c a l l e d p h e n o m e n o n o f " s t a t e - d e p e n d e n t p r e f e r e n c e " . T h e s e p a r a t i o n o f t h e t h r e e c o n c e p t s a l s o s i m p l i fi e s t h e m a t h e m a t i c a l f o r m a l i z a t i o n a n d a n a l y s i s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . T h e a p p e n d i x i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : S e c t i o n A 4 . 1 . 2 p r e s e n t s b r i e fl y t h e m a i n c o n c e p t s u s e d t o d e s c r i b e d e c i s i o n p r o c e s s e s . S e c t i o n A 4 . 1 . 3 d i s c u s s e s S a v a g e ’ s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a l o n g w i t h c h a n g e s i n t r o d u c e d h e r e . S e c t i o n A 4 . 1 . 4 u s e s t h e c o n c e p t o f p e r c e p t i o n t o c l a r i f y t h e t r u e m e a n i n g o f s o c a l l e d ” s t a t e - d e p e n d e n t " a n d ” t i m e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e s . S e c t i o n A 4 . 1 . 5 e x t e n d s S a v a g e ’ s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k t o c o v e r i n t e r t e m p o r a l c h o i c e . S e c t i o n A 4 . 1 . 6 d i s c u s s e s t h e m e t h o d o l o g i c a l i m p l i c a t i o n s o f t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k . F i n a l l y , S e c t i o n A 4 . 1 . 7 i s a s h o r t c o n c l u s i o n . A p p e n d i x A 4 . 2 c o n t a i n s p a r t o f a n a x i o m a t i c p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k . 3 9 4 A 4 . 1 . 2 A s p e c t s o f D e c i s i o n M a k i n g : P r e f e r e n c e , B e l i e f s , P e r c e p t i o n , a n d A c t I n a n y c h o i c e o r d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n , w e c o n c e p t u a l l y r e c o g n i z e t h e i n t e r a c t i o n o f t w o t y p e s o f o b j e c t s : p h y s i c a l o b j e c t s w h i c h a r e e l e m e n t s o f t h e p h y s i c a l e n v i r o n m e n t , a n d p s y c h o l o g i c a l o b j e c t s w h i c h c a n b e a t t r i b u t e d t o t h e d e c i s i o n m a k e r . T h e l i n k b e t w e e n t h e p h y s i c a l a n d p s y c h o l o g i c a l o b j e c t s i s b e h a v i o r , w h i c h c o n s i s t s o f t h e a c t s o r a c t i o n s t a k e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r . T h e r e l e v a n t o b j e c t s d e s c r i b i n g t h e p h y s i c a l e n v i r o n m e n t o f t h e d e c i s i o n m a k e r a r e t h e t i m e , t h e ( u n c e r t a i n ) s t a t e s o f n a t u r e , a n d t h e t h i n g s w h i c h a r e u s u a l l y r e f e r r e d i n e c o n o m i c s a s c o m m o d i t i e s o r g o o d s a n d w h i c h a r e t h e o b j e c t s o f c h o i c e . P h i l o s o p h i c a l i s s u e s a s i d e , t h e r e i s u n a n i m o u s a g r e e m e n t o n t h e e x i s t e n c e a n d n a t u r e o f t h e s e p h y s i c a l o b j e c t s , b e c a u s e t h e y t e n d t o h a v e a n " o b j e c t i v e " c h a r a c t e r . T h e r e a r e t h r e e p s y c h o l o g i c a l o b j e c t s i n p o s s e s s i o n o f t h e d e c i s i o n m a k e r : p r e f e r e n c e , b e l i e f s , a n d p e r c e p t i o n . I n c o n t r a s t t o t h e p h y s i c a l o n e s , t h e n a t u r e a n d p r o p e r t i e s o f t h e s e p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t s a r e s o u r c e s o f d i s a g r e e m e n t a m o n g b e h a v i o r a l s c i e n t i s t s . P r e f e r e n c e e m b o d i e s t h r e e a s p e c t s t h a t g u i d e b e h a v i o r : t h e a s p e c t o f t a s t e , w h i c h d e s c r i b e s r e l a t i v e s t r e n g t h s o f d e s i r e f o r c o m m o d i t i e s o f d i f f e r e n t t y p e s , t h e a s p e c t o f a t t i t u d e t o w a r d u n c e r t a i n t y o r r i s k , a n d t h e a s p e c t o f p a t i e n c e / i m p a t i e n c e o r t i m e p r q ’ e r e n c e . T h e s e t h r e e a s p e c t s c o m b i n e d d i c t a t e s u b s t i t u t i o n s a c r o s s c o m m o d i t i e s , s t a t e s o f n a t u r e , a n d t i m e . A n i m p o r t a n t a n a l y t i c a l a n d e m p i r i c a l i s s u e t h a t i s p a r t l y a d d r e s s e d i n t h i s t h e s i s , i s h o w o n e c a n i s o l a t e t h e i r r e s p e c t i v e e f f e c t s b y o b s e r v i n g o v e r t c h o i c e s . I n g e n e r a l , t h e d i s a g r e e m e n t s a b o u t p r e f e r e n c e c o n c e r n i t s p r o p e r t i e s ( o r d e r i n g , c o m p l e t e n e s s , t r a n s i t i v i t y , e t c . . . . ) , n o t i t s a s s u m e d e x i s t e n c e . B e l i e f s d e s c r i b e t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s a p p r a i s a l o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e d i f f e r e n t e v e n t s w h i c h c o n t a i n t h e v a r i o u s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . T h e i s s u e s r e g a r d i n g t h e c o n c e p t o f b e l i q f s t h a t a r e d e b a t e d i n t h e e c o n o m i c l i t e r a t u r e c a n b e c l a s s i fi e d i n t o t w o b r o a d q u e s t i o n s : ( 1 ) C a n t h e c o n c e p t o f b e l i e f s h a v e a n y o b j e c t i v e m e a n i n g , o r s h o u l d i t b e 3 9 5 c o n s i d e r e d e x c l u s i v e l y a s a p e r s o n a l o r s u b j e c t i v e t h i n g ? I n o t h e r w o r d s , d o i n d i v i d u a l s a l w a y s a g r e e o n t h e s a m e s e t o f b e l i e f s w h e n e v a l u a t i n g t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f v a r i o u s e v e n t s ? ( 2 ) G i v e n t h a t o n e a d o p t s t h e s u b j e c t i v i s t i c v i e w , ( i ) t o w h a t e x t e n t a r e b e l i e f s i n d e p e n d e n t f r o m p r e f e r e n c e ? ( i i ) T o w h a t e x t e n t a r e i n d i v i d u a l s f r e e t o c h o o s e t h e b e l i e f s t h e y w a n t t o h o l d ? ( i i i ) A n d , i f i n d e e d t h e y a r e f r e e t o c h o o s e t h e i r b e l i e f s , w h i c h c r i t e r i a d o t h e y u s e t o c h o o s e t h e m ? I n t h i s t h e s i s , w e a d o p t t h e s u b j e c t i v i s t i c v i e w o f R a m s e y ( 1 9 2 6 ) , D e F i n e t t i ( 1 9 3 7 ) a n d S a v a g e ( 1 9 5 4 ) . T h a t i s , w e c o n s i d e r b e l i e f s a s a p e r s o n a l m a t t e r w h i c h e x i s t i n d e p e n d e n t l y o f p r e f e r e n c e , a n d t h a t d e c i s i o n m a k e r s c h o o s e f r e e l y t h e i r b e l i e f s a b o u t t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e d i f f e r e n t e v e n t s . 2 2 0 P e r c e p t i o n i s a n o t h e r p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t t h a t i s n o t u s u a l l y d i s t i n g u i s h e d ( a t l e a s t e x p l i c i t l y ) f r o m t h e t w o o t h e r c o n c e p t s o f p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s . W e a r g u e t h a t a d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f o b j e c t s , a l o n g w i t h t h e i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e m , e x i s t s i n d e p e n d e n t l y o f h i s o r h e r p r e f e r e n c e a n d b e l i q f s , a n d m u s t b e a n a l y z e d a n d f o r m a l i z e d s e p a r a t e l y . 2 2 1 W e i d e n t i f y f o u r a s p e c t s p e r t a i n i n g t o p e r c e p t i o n : a " s e t " a s p e c t e m b o d y i n g t h e r u l e s f o r w h i c h s o m e o b j e c t s a r e p e r c e i v e d t o b e l o n g t o a g i v e n s e t a n d o t h e r s n o t ; . a n " a l g e b r a i c " a s p e c t e m b o d y i n g t h e r u l e s f o r c o m b i n i n g o b j e c t s 2 ” T o a v o i d m i s u n d e r s t a n d i n g r e g a r d i n g w h a t w e m e a n b y t h i s s e n t e n c e , w e w a n t t o c l a r i f y t w o p o i n t s . F i r s t , t h e l e v e l o f i n d e p e n d e n c e b e t w e e n p r e f e r e n c e a n d b e l i e f a r g u e d h e r e i s a t t h e e x i s t e n c e l e v e l a s t w o d i f f e r e n t c o n c e p t s . W e a r e n o t m l i n g o u t t h e f a c t t h a t t h e y j o i n t l y d e t e r m i n e b e h a v i o r , i n t h e s e n s e t h a t s o m e o n e ’ s o p t i m a l c h o i c e s m u s t b e c o n s i s t e n t w i t h h i s o r h e r b e l i e f s ( s e e t h e e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 ) . W e a r e a l s o n o t r u l i n g o u t t h e f a c t t h a t o n e m a y h a v e p r e f e r e n c e a m o n g t h e d i f f e r e n t p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . B u t s t i l l , h a v i n g a p r e f e r e n c e f o r o n e p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e o v e r a n o t h e r i s d i f f e r e n t f r o m y o u r o p i n i o n a b o u t w h i c h o n e i s l i k e l y t o o c c u r . S e c o n d , b y a s s u m i n g f r e e c h o i c e o f b e l i e f s , w e a r e n o t r u l i n g o u t t h e f a c t t h a t t h e c h o s e n b e l i e f s m a y b e i n fl u e n c e d b y o n e ’ s o w n p a s t b e l i e f s a n d o t h e r i n d i v i d u a l s ’ b e l i e f s . T h e a r g u m e n t h e r e i s s i m i l a r t o t h e f a c t t h a t w h i l e e c o n o m i s t s r e c o g n i z e t h a t a n i n d i v i d u a l ’ s p r e f e r e n c e m a y b e i n fl u e n c e d b y o t h e r s ’ p r e f e r e n c e s ( e . g . , e n v y o r a l t r u i s m ) t h e y s t i l l t a k e p r e f e r e n c e a s a n i n d i v i d u a l m a t t e r . 2 2 ‘ A g a i n , t h e i n d e p e n d e n c e o f t h e t h r e e c o n c e p t s h e r e i s a t t h e e x i s t e n c e l e v e l , a n d w e a r e n o t r u l i n g o u t t h e f a c t t h a t t h e y j o i n t l y d e t e r m i n e d o p t i m a l c h o i c e s . F o r i n s t a n c e , o n e h a s t o p e r c e i v e fi r s t d i f f e r e n c e s a m o n g t h e p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e ( i . e . , d i f f e r e n c e s b e t w e e n r a i n y , s u n n y , a n d c l o u d y d a y s f o r e x a m p l e ) b e f o r e o n e c a n f o r m u l a t e p r e f e r e n c e a m o n g t h e m a n d / o r h a s a n o p i n i o n a b o u t t h e i r r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f o c c u r r e n c e . 3 9 6 b e l o n g i n g t o t h e s a m e s e t ; a n " o r d e r " a s p e c t r a n k i n g o b j e c t s a c c o r d i n g t o s o m e i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s ( w e i g h t f o r e x a m p l e ) ; a n d , a " s i m i l a r i t y " o r " c l o s e n e s s " a s p e c t d e fi n i n g t h e " s i m i l a r i t i e s / d i s s i m i l a r i t i e s " a m o n g o b j e c t s , i n c l u d i n g a l l t h e r e l e v a n t i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s t h a t d i s t i n g u i s h o b j e c t s o f a s a m e s e t f r o m o n e a n o t h e r . A l l t h e s e a s p e c t s o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n a r e i n d e p e n d e n t o f h i s o r h e r p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s . F o r e x a m p l e , w i t h r e s p e c t t o t h e " o r d e r " a s p e c t , t h e d e c i s i o n m a k e r c a n p e r c e i v e a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o n e k i l o g r a m o f r i c e a n d t w o k i l o g r a m s o f r i c e , r e g a r d l e s s o f h i s o r h e r p r e f e r e n c e a n d h i s o r h e r b e l i e f s a b o u t t h e v a r i o u s p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . W i t h r e s p e c t t o t h e " s i m i l a r i t y " o r " c l o s e n e s s " a s p e c t , t h e i n t r i n s i c s i m i l a r i t i e s a n d d i s s i r n i l a r i t i e s e x i s t i n g a m o n g c h i c k e n , t u r k e y , a n d b e e f , c a n l e a d o n e t o p e r c e i v e t h a t o n e k i l o g r a m o f t u r k e y i s " c l o s e r ” t o o n e k i l o g r a m o f c h i c k e n t h a n o n e k i l o g r a m o f b e e f i s . T h i s p e r c e p t i o n i s r e g a r d l e s s o f a n y p r e f e r e n c e o n e m a y h o l d f o r a n y o n e o f t h e m , a n d r e g a r d l e s s o f a n y b e l i e f s o n t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f e v e n t s . A n a c t i s a b e h a v i o r a l c o n c e p t w h i c h c h a r a c t e r i z e s t h e c h o i c e o r d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s . I t i s a m e c h a n i s m b y w h i c h t h e p s y c h o l o g i c a l o b j e c t s a r e r e l a t e d t o t h e p h y s i c a l o n e s . T h e q u e s t i o n o f w h a t g u i d e s a c t s ( t h a t i s , w h a t r u l e d e c i s i o n m a k e r s f o l l o w w h e n m a k i n g t h e i r c h o i c e s ) i s a c o n t r o v e r s i a l q u e s t i o n . I n e c o n o m i c s , t h e m o s t c o m m o n l y u s e d a s s u m p t i o n i s t h a t o f p r q ' e r e n c e o r s a t i s f a c t i o n m a x i m i z a t i o n . T h a t i s , a d e c i s i o n m a k e r r a n k s a l l t h e e l e m e n t s i n h i s o r h e r c h o i c e s e t a c c o r d i n g t o h i s o r h e r p r e f e r e n c e , a n d t h e n a c t s s o a s t o r e v e a l t h e e l e m e n t w i t h t h e h i g h e s t r a n k a s h i s o r h e r m o s t p r e f e r r e d c h o i c e . I f o n e a d m i t s t h e e x i s t e n c e o f a p r e f e r e n c e t h a t c a n r a n k a l l t h e e l e m e n t s i n t h e c h o i c e s e t , a n d i f t h i s c h o i c e s e t i s fi n i t e , t h e n i t i s n o t d i f fi c u l t t o i m a g i n e a fi n i t e - s t e p m e c h a n i s m b y w h i c h t h e e l e m e n t w i t h t h e h i g h e s t r a n k c a n b e s e l e c t e d . H o w e v e r , w h e n t h e c h o i c e s e t i s i n fi n i t e a n d / o r u n c o u n t a b l e , t h e e x i s t e n c e o f a fi n i t e - s t e p m e c h a n i s m t h a t e f f e c t i v e l y m a k e s t h e s e l e c t i o n o f 3 9 7 t h e e l e m e n t w i t h t h e h i g h e s t r a n k f e a s i b l e c a n b e a t b e s t a n a s s u m p t i o n . 2 2 2 S a t i s f a c t i o n m a x i m i z a t i o n i s t h e a s s u m p t i o n w e h a v e a d o p t e d i n t h i s t h e s i s , b o t h w i t h r e s p e c t t o a c t s , a n d w i t h r e s p e c t t o t h e c h o i c e o f b e l i e f s . m A 4 . 1 . 3 R e c o n s i d e r a t i o n o f S a v a g e ’ s F r a m e w o r k A 4 . 1 . 3 . 1 A c t s , C o n s e q u e n c e s , a n d O u t c o m e s B e s i d e s t h e c o n c e p t s o f s t a t e s o f n a t u r e , e v e n t s , b e l i e f s , a n d p r e f e r e n c e , t h e m a i n p r i m i t i v e c o n c e p t s w h i c h d i s t i n g u i s h S a v a g e ’ s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y f r o m o t h e r s a r e t h e c o n c e p t s o f a c t s a n d c o n s e q u e n c e s ( w h i c h h e u s e d i n t e r c h a n g e a b l y w i t h o u t c o m e s ) . S a v a g e d e fi n e s a n a c t a s a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e t o t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s ( o r o u t c o m e s ) . T h e i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t : i n a c h o i c e s i t u a t i o n i n v o l v i n g u n c e r t a i n t y , y o u a c t , a n d n a t u r e d e t e r m i n e s t h e c o n s e q u e n c e ( o u t c o m e ) o f y o u r a c t . P r e f e r e n c e i s t h e n a m o n g a l t e r n a t i v e f e a s i b l e a c t s . W e f o u n d i t i n t u i t i v e l y a n d m a t h e m a t i c a l l y m o r e c o n v e n i e n t t o m a k e t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n e x - a n t e c o n s e q u e n c e t h a t w e s i m p l y c a l l c o n s e q u e n c e , a n d e x - p o s t c o n s e q u e n c e t h a t w e c a l l o u t c o m e . W e a l s o i n t r o d u c e t h e a d d i t i o n a l p r i m i t i v e c o n c e p t o f o p t i o n s w h i c h h a v e n o c o u n t e r p a r t i n S a v a g e ’ s f r a m e w o r k a n d w h i c h a l l o w u s t o r e i n t e r p r e t S a v a g e ’ s a c t s i n a w a y t h a t w e f o u n d m o r e i n t u i t i v e . W e t a k e a n a c t t o b e a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f o p t i o n s t o t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s , w h i l e a c o n s e q u e n c e i s a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e t o t h e s e t o f o u t c o m e s ( s e e 2 2 2 S e e D u d l e y ( 1 9 8 9 , p . 1 4 ) f o r a d i s c u s s i o n o f a s i m i l a r p r o b l e m r e l a t e d t o t h e a x i o m o f c h o i c e i n m a t h e m a t i c s . 2 2 3 N o t e t h a t h e r e t h e r e i s o n l y o n e o b j e c t i v e , s a t i s f a c t i o n , w h i c h i s m a x i m i z e d b y b o t h t h e c h o s e n a c t s a n d b e l i e f . B y t h i s w e m e a n t h a t a t t h e m o m e n t w h e r e d e c i s i o n s a r e b e i n g m a d e , t h e r e n o o t h e r f e a s i b l e a c t i o n s y o u c a n t a k e a n d n o o t h e r b e l i e f y o u c a n h o l d a n d w h i c h c a n e x - a n t e i n c r e a s e y o u r s a t i s f a c t i o n . H o w e v e r , t h i s a s s u m p t i o n o f o p t i m a l i t y o f b e l i e f s i s n o t f o r m a l l y u s e d i n a n y p a r t o f t h e t h e s i s . I t i s a d o p t e d a n d s t a t e d h e r e f o r t h e s o l e p u r p o s e o f r a t i o n a l i z i n g t h e r e s t r i c t i o n s o n c o n s u m e r ’ s b e l i e f s i m p l i e d b y s o m e o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y e x a m p l e s i n c h a p t e r 3 . T h a t i s , t h o s e t y p e o f b e l i e f s o n p r i c e s a r e t h e o n l y o n e s c o n s i s t e n t w i t h t h e m a x i m i z a t i o n o f h o m o g e n o u s - o f - d e g r e e o n e e x p e c t e d u t i l i t y f u n c t i o n a l s . N o t e t h a t e v e n i f t h e o p t i m a l i t y o f b e l i e f s a s s u m p t i o n i s i m p o s e d , t h e y m a y b e a m u l t i t u d e o f b e l i e f s t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e i m p l i e d r e s t r i c t i o n s . 3 9 8 A p p e n d i x A 4 . 2 f o r m o r e p r e c i s e d e fi n i t i o n s ) . H e n c e , w h a t w e n o w c a l l c o n s e q u e n c e c o r r e s p o n d s t o S a v a g e ’ s a c t w h i l e o u r o u t c o m e i s S a v a g e ’ s c o n s e q u e n c e . T h e s e c h a n g e s l e a d t o t h e f o l l o w i n g a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n : i n a c h o i c e s i t u a t i o n y o u h a v e a s e t o f o p t i o n s , a n d y o u a c t b y t a k i n g a n o p t i o n ; t h e c o n s e q u e n c e o f y o u r a c t i s e x - a n t e r a n d o m ; n a t u r e w i l l e x - p o s t d e t e r m i n e t h e o u t c o m e o f y o u r a c t . P r e f e r e n c e i s a m o n g a l t e r n a t i v e c o n s e q u e n c e s o f y o u r a c t s " . S a v a g e ’ s c h o i c e o f t h e d o m a i n o f a n a c t a s b e i n g t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e , d o e s n o t s o u n d i n t u i t i v e t o u s b e c a u s e i t s u g g e s t s t h a t t h e r e i s s o m e t h i n g r a n d o m i n d e c i s i o n m a k i n g p e r s e . “ B u t , w e t h i n k o f a n a c t ( a t l e a s t f r o m t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r s p e c t i v e ) a s a d e t e r m i n i s t i c a c t i o n t h a t a d e c i s i o n m a k e r t a k e s o r i s p l a n n i n g t o t a k e . I n a i n t e r t e m p o r a l s e t t i n g , a n a c t m a y b e c o n t i n g e n t o n t h e o c c u r r e n c e o f a n e v e n t i n t h e f u t u r e . B u t e v e n i n t h i s c a s e , w h e n c o m e s t i m e t o a c t o r n o t t o a c t ( d o i n g n o t h i n g b e i n g c o n s i d e r e d a s a n a c t ) , t h e r e w i l l b e n o t h i n g r a n d o m i n t h e p r o c e s s o f d e c i d i n g . H e n c e , w e s u g g e s t t h a t b o t h e x - a n t e a n d e x - p o s t , t h e r e i s n o t h i n g r a n d o m i n t h e p r o c e s s o f m a k i n g a d e c i s i o n o r a c t i n g ( i . e , t h e d e c i s i o n t o d o s o m e t h i n g ) . F o r u s , w h a t i s e x - a n t e r a n d o m i s r e a l l y t h e c o n s e q u e n c e o f t h e a c t , w h i c h c a n y i e l d s e v e r a l p o s s i b l e o u t c o m e s d e p e n d i n g o n w h i c h s t a t e o f n a t u r e g e t s r e a l i z e d . T h e r e i s n o e x - a n t e u n c e r t a i n t y i n S a v a g e ’ s d e fi n i t i o n o f t h e c o n s e q u e n c e o f a n a c t s i n c e m a t h e m a t i c a l l y i t i s t h e r e a l i z e d v a l u e o f a r a n d o m v a r i a b l e . W h i l e w e c o n s i d e r t h i s t o b e t r u e e x - p o s t w h e n t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e i s r e v e a l e d , a n d t h e m a n y p o s s i b l e e x - a n t e o u t c o m e s r e d u c e t o a s i n g l e e x - p o s t o u t c o m e , w e f e e l t h a t i n t u i t i v e l y , i n t h e f a c e o f u n c e r t a i n t y , t h e c o n s e q u e n c e o f a n a c t o r a c t i o n i s e x - a n t e i n h e r e n t l y r a n d o m . T h i s i s t h e r e a s o n w h y w e c h o o s e t h e t e r m o u t c o m e , w h i c h i s s y n o n y m o f c o n s e q u e n c e i n S a v a g e ’ s f r a m e w o r k , t o d e s i g n a t e t h e e x - p o s t r e a l i z e d v a l u e o f t h e c o n s e q u e n c e o f a n a c t . 2 " I n m a t h e m a t i c a l t e r m s , S a v a g e ’ s a c t i s b a s i c a l l y a r a n d o m v a r i a b l e w i t h o n e p o s s i b l e r e a l i z e d v a l u e b e i n g w h a t h e c a l l s a c o n s e q u e n c e . 3 9 9 T h e i n t u i t i v e j u s t i fi c a t i o n s f o r t h e s e c h a n g e s c a n b e i l l u s t r a t e d b y t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s . T h e fi r s t e x a m p l e i s t h e c a s e o f a p e r s o n w h o i s m a k i n g a c h o i c e o f w h a t t o h a v e f o r d i n n e r . S h e h a s t w o p o s s i b i l i t i e s t o c h o o s e f r o m : e i t h e r s h e c a n g o t o a r e s t a u r a n t s p e c i a l i z e d i n c h i c k e n o r s h e c a n g o t o a r e s t a u r a n t s p e c i a l i z e d i n b e e f . W e s u p p o s e t h a t t h e u n c e r t a i n t y i s a b o u t t h e q u a l i t y o f t h e b e e f q , a n d t h a t o f c h i c k e n q c . q b a n d q c c a n t a k e e i t h e r t h e v a l u e 1 ( f o r g o o d ) o r t h e v a l u e 1 / 2 ( f o r b a d ) . T a b l e A 4 . 1 . 3 . 1 c o n t r a s t s S a v a g e ’ s t e r m i n o l o g y f o r d e s c r i b i n g t h e c h o i c e s i t u a t i o n w i t h t h e c h a n g e s w e h a v e p r o p o s e d . T a b l e A 4 . 1 . 3 . 2 m a k e s t h e s a m e c o m p a r i s o n w i t h a n e x a m p l e b o r r o w e d f r o m K a r n i ( 1 9 9 3 ) . I t i s a b o u t a p e r s o n w h o i s d e c i d i n g w h e t h e r o r n o t t o g o t o t h e s t a d i u m t o w a t c h a f o o t b a l l g a m e , o r t o s t a y a t h o m e a n d w a t c h t h e g a m e o n t e l e v i s i o n . T h e u n c e r t a i n t y i n t h i s e x a m p l e i s a b o u t t h e w e a t h e r , m , w h i c h c a n b e o f t w o s t a t e s : s u n n y o r r a i n y . T h i s e x a m p l e w i l l b e u s e d l a t e r t o d i s c u s s t h e s o c a l l e d p h e n o m e n o n o f ” s t a t e - d e p e n d e n t p r e f e r e n c e " . W e n o t e t h a t i n t h e p r o p o s e d c h a n g e s i l l u s t r a t e d i n t h e t w o e x a m p l e s , e a c h a c t l e a d s t o a w e l l d e fi n e d c o n s e q u e n c e s o t h a t b y c h o o s i n g o n e a c t , t h e d e c i s i o n m a k e r i s r e v e a l i n g h i s o r h e r p r e f e r e n c e f o r t h e c o n s e q u e n c e i t l e a d s t o . W e a l s o n o t e t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r c a n n o t c h o o s e a m o n g t h e f o u r o u t c o m e s , b e c a u s e i t c a n n o t " c o n t r o l " a n y o n e o f t h e m . A l l h e o r s h e c a n d e t e r m i n e b y h i s a c t s a r e t h e t w o c o n s e q u e n c e s . I n g e n e r a l , t h i s w i l l a l w a y s b e t h e c a s e ? ” B y l o o k i n g a t t h e t w o t a b l e s i t m a y s e e m t o s o m e r e a d e r s t h a t n o t h i n g i s g a i n e d f r o m t h e c h a n g e s i n t r o d u c e d h e r e , s i n c e f o r m a l l y i n b o t h d e s c r i p t i o n s p r e f e r e n c e i s s t i l l d e fi n e d o n t h e s a m e o b j e c t s w h i c h a r e j u s t g i v e n d i f f e r e n t n a m e s . H o w e v e r , t h e r e a r e s o m e g a i n s i n c l a r i t y b o t h f r o m c o n c e p t u a l a n d f o r m a l p e r s p e c t i v e s . F i r s t , o n e h a s t o a d m i t t h a t t h e r e i s a c o n c e p t u a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c o n c e p t s o f a n a c t a n d i t s a s s o c i a t e d ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e . ” 5 W e n o t e t h a t s o f a r t h e c o n c e p t o f b e l i e f s h a s n o t b e e n i n t r o d u c e d i n t h e d i s c u s s i o n . T h i s c o n t r a s t s w i t h t h e s t a n d a r d p r a c t i c e i n m o s t o f t h e t h e o r e t i c a l r i s k l i t e r a t u r e t h a t u s e s S a v a g e ’ s f r a m e w o r k , w h e r e o f t e n a n S a v a g e ’ s a c t i s r e i n t e r p r e t e d a s a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o v e r t h e s e t s o f o u t c o m e s ( i . e . , a s t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f S a v a g e ’ s a c t ) ( s e e , f o r e x a m p l e s , A u m a n n , 1 9 6 3 , M a c h i n a a n d S c h m e i d l e r , 1 9 9 2 ) . 4 0 0 T a b l e A 4 . 1 . 3 . 1 : w i t h u n c e r t a i n q u a l i t y . 4 0 1 C o n c e p t s S a v a g e ’ s d e s c r i p t i o n T h e p r o p o s e d d e s c r i p t i o n O p t i o n s : n o t a p p l i c a b l e t w o o p t i o n s : - o p t i o n 1 : c h i c k e n f o r d i n n e r - o p t i o n 2 : b e e f f o r d i n n e r A c t s : t w o a c t s : t w o a c t s : - a c t 1 : h a v e a c h i c k e n f o r d i n n e r - a c t I : t h e p r o c e s s o f h a v i n g c h i c k e n w i t h q u a l i t y q , f o r d i n n e r ( i . e g o i n g t o t h e c h i c k e n - a c t 2 : h a v e b e e f f o r d i n n e r w i t h r e s t a u r a n t ) q u a l i t y q . - a c t 2 : t h e p r o c e s s o f h a v i n g b e e f f o r d i n n e r ( i . e g o i n g t o t h e b e e f r e s t a u r a n t ) C o n s e q u e n c e s : f o u r c o n s e q u e n c e s ( s a m e a s t w o c o n s e q u e n c e s : o u t c o m e s ) : - c o n s e q u e n c e 1 : c h i c k e n f o r d i n n e r - c o n s e q u e n c e 1 : c h i c k e n f o r d i n n e r w i t h q u a l i t y q , w i t h g o o d q u a l i t y ( q , = l ) - c o n s e q u e n c e 2 : b e e f f o r d i n n e r w i t h - c o n s e q u e n c e 2 : c h i c k e n f o r d i n n e r q u a l i t y q . w i t h b a d q u a l i t y ( q . = 1 / 2 ) - c o n s e q u e n c e 3 : b e e f f o r d i n n e r w i t h I 8 0 0 d q u a l i t y ( q i = 1 ) ‘ - c o n s e q u e n c e 4 : b e e f f o r d i n n e r w i t h ’ M M « I t : U 2 ) 1 O u t c o m e s ‘ s a m e a s t h e c o n s e q u e n c e s a b o v e f o u r p o s s i b l e o u t c o m e s ( t w o f o r e a c h ‘ c o n s e q u e n c e ) : l l - o u t c o m e 1 : c h i c k e n f o r d i n n e r w i t h i g o o d q u a l i t y ( q . = 1 ) 4 - o u t c o m e 2 : c h i c k e n f o r d i n n e r w i t h I b a d q u a l i t y ( e s 1 1 2 ) ‘ - o u t c o m e 3 : b e e f f o r d i n n e r w i t h I g o o d q u a l i t y ( q t - 1 ) - o u t c o m e 4 : b e e f f o r d i n n e r w i t h b a d . q u a l i t y ( q . = 1 / 2 ) i b e t w e e n t h e t w o a c t s b e t w e e n t h e t w o c o n s e q u e n c e s O p t i o n s , a c t s , c o n s e q u e n c e s , a n d o u t c o m e s : e x a m p l e o f a p e r s o n m a k i n g h e r c h o i c e f o r d i n n e r T a b l e A 4 . 1 . 3 . 2 : O p t i o n s , a c t s , c o n s e q u e n c e s , a n d o u t c o m e s : e x a m p l e o f a p e r s o n d e c i d i n g w h e t h e r t o w a t c h a f o o t b a l l g a m e o n T V , o r g o t o t h e s t a d i u m t o w a t c h i t t h e r e . T h e u n c e r t a i n t y i s a b o u t t h e w e a t h e r . 4 0 2 F — m C o n c e p t s S a v a g e ’ s d e s c r i p t i o n T h e p r o p o s e d d e s c r i p t i o n O p t i o n s : n o t a p p l i c a b l e t w o o p t i o n s : - o p t i o n 1 : w a t c h t h e f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m - o p t i o n 2 : w a t c h t h e f o o t b a l l g a m e o n W H A c t s : t w o a c t s : t w o a c t s : - a c t 1 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e a t - a c t 1 : t h e p r o c e s s o f g o i n g t o t h e t h e s t a d i u m u n d e r w e a t h e r a : s t a d i u m a n d b u y i n g a t i c k e t - a c t 2 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e o n - a c t 2 : s t a y i n g a t h o m e a n d m a k i n g T V u n d e r w e a t h e r o r a r r a n g e m e n t s f o r w a t c h i n g t h e g a m e o n T V C o n s e q u e n c e s : f o u r c o n s e q u e n c e s ( s a m e a s t w o c o n s e q u e n c e s : o u t c o m e s ) : - c o n s e q u e n c e 1 : w a t c h i n g t h e - c o n s e q u e n c e l : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m u n d e r g a m e a t t h e s t a d i u m i n a r a i n y d a y w e a t h e r t o - c o n s e q u e n c e 2 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l - c o n s e q u e n c e 2 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m i n a s u n n y d a y g a m e o n T V u n d e r w e a t h e r o r - c o n s e q u e n c e 3 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e o n T V i n a r a i n y d a y - c o n s e q u e n c e 4 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e o n T V i n a s u n n y d a y O u t c o m e s : s a m e a s t h e c o n s e q u e n c e s a b o v e f o u r p o s s i b l e o u t c o m e s ( t w o f o r e a c h c o n s e q u e n c e ) : - o u t c o m e 1 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m i n a r a i n y d a y - o u t c o m e 2 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m i n a s u n n y d a y - o u t c o m e 3 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e o n T V i n a r a i n y d a y - o u t c o m e 4 : w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e o n T V i n a s u n n y d a y P r e f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o a c t s b e t w e e n t h e t w o c o n s e q u e n c e s T h e c o n c e p t u a l d i f f e r e n c e i s e v e n m o r e p e r c e p t i b l e i n a i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t w h e r e t h e ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e o f o n e s i n g e a c t t a k e n a t o n e p o i n t i n t i m e c a n s p a n a n e n t i r e p e r i o d o f t i m e . S e c o n d , t h e c o n c e p t o f o p t i o n i s a v e r y r e l e v a n t c o n c e p t w h i c h m u s t b e p a r t o f a n y r e a l i s t i c d e s c r i p t i o n o f a d e c i s i o n p r o c e s s . I t i s d i f f e r e n t f r o m t h e c o n c e p t o f a c t b e c a u s e i t e x i s t s i n d e p e n d e n t l y o f t h e d e c i s i o n m a k e r , w h i l e a n a c t i s a l w a y s a s s o c i a t e d w i t h a d e c i s i o n m a k e r . T h i r d , a l t h o u g h i n c o m m o n p a r l a n c e c o n s e q u e n c e i s s y n o n y m o f o u t c o m e , i n a u n c e r t a i n t y c o n t e x t t h e r e e x i s t s a c o n c e p t u a l d i f f e r e n c e b e t w e e n e x - a n t e c o n s e q u e n c e ( i . e . , t h e p e r c e i v e d c o n s e q u e n c e o f a n a c t b e f o r e t h e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d ) a n d e x - p o s t c o n s e q u e n c e ( i . e . , w h a t i s p e r c e i v e d t o b e t h e c o n s e q u e n c e o f a n a c t o n c e t h e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d ) . I n d e e d , i n a u n c e r t a i n t y c o n t e x t w h e n o n e t a k e s a n a c t , h e o r s h e w i l l n o t k n o w t h e m e ; c o n s e q u e n c e u n t i l t h e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d . T h e e f f e c t o f u n c e r t a i n t y i s t o a s s o c i a t e a l i s t o f s e v e r a l p o s s i b l e c o n s e q u e n c e s t o t h e s a m e a c t w i t h e a c h c o n s e q u e n c e m a d e p o s s i b l e b y o n e p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e . H o w e v e r , o n c e t h e u n c e r t a i n t y i s r e s o l v e d t h e r e c a n o n l y b e o n e c o n s e q u e n c e a s s o c i a t e d w i t h t h e r e a l i z e d s t a t e o f n a t u r e . “ 5 F o r l a c k o f b e t t e r t e r m s t o d i f f e r e n t i a t e b e t w e e n t h e t w o c o n c e p t s o f e x - a n t e c o n s e q u e n c e a n d e x - p o s t c o n s e q u e n c e , w e h a v e c a l l e d t h e fi r s t c o n c e p t s i m p l y c o n s e q u e n c e , a n d t h e s e c o n d o n e o u t c o m e . H e n c e , t h e c h a n g e s a d d s o m e c l a r i t y i n t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n o f d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s . F o r e x a m p l e , i n t h e c o n t e x t o f a g r i c u l t u r a l p r o d u c t i o n d e c i s i o n s , t h e o p t i o n s a r e t h e i n p u t s s u c h a s s e e d , f e r t i l i z e r , l a b o r , e t c . . . T h e a c t s c o n s i s t o f t h e p l a n t i n g a n d w e e d i n g a c t i v i t i e s , a n d f e r t i l i z e r a p p l i c a t i o n s . T h e ( e x - a n t e ) c o n s e q u e n c e s a r e t h e l e v e l s o f o u t p u t r e s p e c t i v e l y a s s o c i a t e d t o t h e d i f f e r e n t l e v e l s o f i n p u t u s e . T h e o u t c o m e s a r e t h e v a r i o u s l e v e l s o f o u t p u t a t h a r v e s t r e s p e c t i v e l y a s s o c i a t e d t o t h e d i f f e r e n t l e v e l s o f i n p u t u s e a n d p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e ( d e t e r m i n e d b y t h e c l i m a t i c c o n d i t i o n s ) . T h e c h a n g e s i n t r o d u c e d h e r e h a s a l s o s o m e e m p i r i c a l r e l e v a n c e , b e c a u s e t h e y e n a b l e t o b e t t e r l i n k d i r e c t l y t h e o b j e c t s o f 2 " I f e a c h p o s s i b l e c o n s e q u e n c e i s a v e c t o r , t h e n w e h a v e o n e v e c t o r o f c o n s e q u e n c e s a s s o c i a t e d t o t h e r e a l i z e d s t a t e o f n a t u r e . 4 0 3 t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k w i t h t h e o b s e r v a b l e v a r i a b l e s u s e d i n e c o n o m e t r i c a n a l y s i s . F o r e x a m p l e , c o n s e q u e n c e i s n o t o b s e r v a b l e b u t o u t c o m e i s b o t h o b s e r v a b l e a n d m e a s u r a b l e . S i m i l a r l y , a c t i s o b s e r v a b l e b u t i t i s n o t m e a s u r a b l e . O n t h e o t h e r h a n d o p t i o n i s b o t h o b s e r v a b l e a n d m e a s u r a b l e . M a t h e m a t i c a l l y , t h e s e c o n c e p t u a l c h a n g e s m a k e i t p o s s i b l e t o a n a l y z e c h o i c e s i t u a t i o n s b y d e fi n i n g a p r e f e r e n c e o r d e r i n g i n t h e c o n s e q u e n c e s p a c e w h i c h w i l l i n v a r i a b l y h a v e t h e f o r m L " ( 0 , F ) , t h e s p a c e o f v e c t o r ( o r f u n c t i o n ) v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h d o m a i n 0 , t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e , a n d t a k i n g v a l u e i n F , t h e o u t c o m e s p a c e . 2 2 7 I n p a r t i c u l a r , t h e m a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e s a m o n g t h e f o u r g e n e r a l d e c i s i o n m o d e l s u s e d i n e c o n o m i c s ( s t a t i c c h o i c e u n d e r c e r t a i n t y , d y n a m i c c h o i c e u n d e r c e r t a i n t y , s t a t i c c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a n d d y n a m i c c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y ) r e s u l t o n l y f r o m a c h a n g e i n t h e c o n s e q u e n c e s p a c e a n d / o r o u t c o m e s p a c e . I n d e e d , s t a t i c d e c i s i o n m a k i n g w i t h p e r f e c t a n d c o m p l e t e i n f o r m a t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e c a s e w h e r e t h e c o n s e q u e n c e s p a c e a n d o u t c o m e s p a c e a r e b o t h e q u a l t o t h e c o m m o d i t y s p a c e R “ . 2 2 8 I n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n m a k i n g w i t h p e r f e c t a n d c o m p l e t e i n f o r m a t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e c a s e w h e r e t h e c o n s e q u e n c e a n d o u t c o m e s p a c e s a r e b o t h e q u a l t o L ° ( [ t , T ] , R " ) , t h e s e t o f B o r e l m e a s u r a b l e f u n c t i o n s w i t h d o m a i n a n i n t e r v a l [ t , T ] o f t h e r e a l l i n e a n d t a k i n g v a l u e s i n R “ ( t h a t i s , t h e s p a c e o f t i m e p a t h s o f c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n s , w i t h t a n d T ' 2 2 7 T h e t e r m " s p a c e " i s m e r e l y a s y n o n y m f o r a s e t w i t h s o m e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e t h a t g o e s b e y o n d w h a t m a k e s i t m a t h e m a t i c a l l y a s e t ( i . e . , a s e t i n t h e s e t t h e o r e t i c s e n s e ) . T h e u n d e r l y i n g s t r u c t u r e o f L " ( 0 , F ) i n q u e s t i o n i n v o l v e s t h e p a r t i t i o n i n g o f b o t h t h e s e t o f e v e n t s 0 a n d t h e s e t o f o u t c o m e s F i n t o s u b s e t s ( e v e n t s i n t h e c a s e o f 0 ) t h a t s a t i s f y s o m e " s t a b i l i t y " p r o p e r t i e s . R o u g h l y s p e a k i n g , t h e e l e m e n t s o f L ° ( 0 , F ) a r e t h o s e f u n c t i o n s f r o m 0 t o F t h a t " p r e s e r v e " t h e s t r u c t u r e o f t h e t w o p a r t i t i o n i n g . L ° ( 0 , F ) i s f o r m a l l y c a l l e d a m e a s u r a b l e s p a c e a n d i t s e l e m e n t s m e a s u r a b l e f u n c t i o n s o r r a n d o m v a r i a b l e s ( v e c t o r s o r f u n c t i o n s i n g e n e r a l ) . 2 2 3 W e r e c a l l t h a t t h e c o m m o d i t y s p a c e i n t h e A r r o w - D e b r e u f r a m e w o r k i s m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h t h e fi n i t e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e R “ . M o r e o v e r , t o a c c o m m o d a t e u n c e r t a i n t y w i t h a fi n i t e n u m b e r o f p o s s i b l e s t a t e s , A r r o w ( 1 9 6 4 ) a n d D e b r e u ( 1 9 5 9 a n d 1 9 8 3 ) e x t e n d e d t h e d e fi n i t i o n o f a c o m m o d i t y a s f o l l o w s : " . . . T h e d e fi n i t i o n o f a n e c o n o m i c c o m m o d i t y n o w s p e c i fi e s i n a d d i t i o n t o i t s p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s , i t s d a t e a n d i t s l o c a t i o n , t h e s t a t e o f t h e w o r l d i n w h i c h i t w i l l b e a v a i l a b l e . " 4 0 4 b e i n g r e s p e c t i v e l y t h e i n i t i a l ( d e c i s i o n ) t i m e , a n d t h e t i m e h o r i z o n ) . 2 2 9 I n s t a t i c d e c i s i o n m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y t h e o u t c o m e s p a c e w i l l b e e q u a l t o t h e c o m m o d i t y s p a c e R " , w h i l e t h e c o n s e q u e n c e s p a c e b e c o m e s L ° ( f l , R " ) , t h e s p a c e o f v e c t o r v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s d e fi n e d o n 9 a n d t a k i n g v a l u e s i n R n ( t h a t i s , t h e s p a c e o f r a n d o m c o m m o d i t y b u n d l e s ) . F i n a l l y , i n i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n m a k i n g w i t h u n c e r t a i n t y t h e o u t c o m e s p a c e w i l l b e L ° ( [ t , T ] , R “ ) a n d t h e c o n s e q u e n c e s p a c e w i l l b e L ° ( f l , L ° ( [ t , T ] , R “ ) ) , t h e s p a c e o f v e c t o r v a l u e d s t o c h a s t i c p r o c e s s e s ( o r r a n d o m f u n c t i o n s ) d e fi n e d o n 0 a n d t a k i n g v a l u e s i n L " ( [ t , T ] , R “ ) ( t h a t i s , t h e s p a c e o f r a n d o m t i m e p a t h s o f c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n s ) . 2 3 0 H e n c e , b y c o n s i d e r i n g a g e n e r a l c h o i c e s p a c e o f t h e f o r m L ° ( 9 , F ) , a n d u s i n g f u n c t i o n a l a n a l y s i s m e t h o d s , o n e g e t s a u n i fi e d m a t h e m a t i c a l t r e a t m e n t o f t h e f o u r p r i n c i p a l d e c i s i o n m o d e l s . T h i s i s b e c a u s e w i t h t h e s t a n d a r d a s s u m p t i o n s o n p r e f e r e n c e ( c o m p l e t e n e s s , t r a n s i t i v i t y , c o n t i n u i t y , e t c . . . ) , a g e n e r a l n u m e r i c a l u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e o n L " ( 0 , F ) c a n b e o b t a i n e d , a n d g e n e r a l c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s w h i c h d e p e n d o n l y o n t h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e c o n s e q u e n c e s p a c e c a n t h e n b e d e r i v e d u s i n g t h e u s u a l c a l c u l u s a n d c o n v e x a n a l y s i s m e t h o d s , w i t h n o p a r t i c u l a r a t t e n t i o n t o t i m e o r u n c e r t a i n t y i s s u e s . M o r e o v e r , a g e n e r a l a n d u n i fi e d t r e a t m e n t a l l o w s o n e t o a v o i d r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n s s u t h a s t i m e a d d i t i v i t y . r e c u r s i v i t y , a n d / o r " e x p e c t e d u t i l i t y " a n d y e t g e t v e r y t r a c t a b l e m o d e l s , b o t h a n a l y t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y . T h e a n a l y s i s c a n b e p u r s u e d s u c h t h a t t i m e a n d u n c e r t a i n t y i s s u e s w i l l o n l y a p p e a r a t t h e e n d o f t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s w h e n o n e w a n t s t o a s s e s s a n d d i s e n t a n g l e t h e r e s p e c t i v e e f f e c t s d u e t o a t t i t u d e t o w a r d u n c e r t a i n t y , t i m e p r e f e r e n c e , a n d ’ 2 9 H e r e w e a r e f o l l o w i n g H i n d y , H u a n g a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) , a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) w h o a r g u e t h a t f o r b o t h m a t h e m a t i c a l r e a s o n s a n d i n t u i t i v e e c o n o m i c r e a s o n s , i n t e r t e m p o r a l c o n s u m p t i o n c h o i c e s h o u l d b e m o d e l l e d a s c h o i c e a m o n g a l t e r n a t i v e c u m u l a t i v e c o n s u m p t i o n s i n s t e a d o f t h e s t a n d a r d p r a c t i c e w h i c h t a k e t h e c h o i c e t o b e a m o n g c o n s u m p t i o n r a t e s . 2 3 ° W i t h m o d e l s o f c o m m o d i t y d i f f e r e n t i a t i o n ( M a s - C o l l e l , 1 9 7 5 ; a n d J o h n , 1 9 8 4 ) , R ' I i s r e p l a c e d i n a l l t h e s p a c e s a b o v e b y M ( R " ) t h e s p a c e o f fi n i t e s i g n e d m e a s u r e s d e fi n e d o n t h e E u c l i d e a n s p a c e R “ , w h i c h i s t h e c o m m o d i t y s p a c e i n t h e s e m o d e l s . 4 0 5 n a t u r e o f t h e i n f o r m a t i o n fl o w ( t h a t i s , w h e n o n e w a n t s t o d o c o m p a r a t i v e r i s k a n d / o r c o m p a r a t i v e d y n a m i c a n a l y s i s ) . A 4 . 1 . 3 . 2 P r e f e r e n c e a n d B e l i e f s T h e s e c o n d d e p a r t u r e f r o m S a v a g e ’ s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s t e m s f r o m o u r v i e w o n p r e f e r e n c e a n d " b e l i e f s " . S a v a g e d e r i v e s h i s s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y s i m u l t a n e o u s l y w i t h a n e x p e c t e d u t i l i t y r e p r e s e n t a t i o n o f p r e f e r e n c e ? 3 | T h i s i s a c h i e v e d b y d e fi n i n g a l i k e l i h o o d o r d e r i n g a m o n g e v e n t s t h r o u g h t h e i n t e r m e d i a r y o f t h e p r e f e r e n c e o r d e r i n g a m o n g a c t s . T h e b e h a v i o r a l p o s t u l a t e s l e a d i n g t o t h e d e r i v a t i o n a r e s u c h t h a t l i k e l i h o o d o r d e r i n g a m o n g e v e n t s i s c o n s i s t e n t w i t h p r e f e r e n c e o r d e r i n g a m o n g a c t s , i n t h e s e n s e t h a t a d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e f o r a n a c t a g r e e s w i t h t h e e v e n t t h a t h e o r s h e b e l i e v e s i s m o s t l i k e l y t o o c c u r . H e n c e , S a v a g e ’ s p r i m i t i v e c o n c e p t o f p r e f e r e n c e c o n t a i n s a n e x p r e s s i o n o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s b e l i e f s , a n d t h e s e p a r a t i o n o f b e l i e f s f r o m p r e f e r e n c e a s r e p r e s e n t e d b y t h e d e r i v e d s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y a n d V o n N e u m a n n - M o r g e r s t e r n u t i l i t y r e s p e c t i v e l y , i s a r e s u l t f o l l o w i n g f r o m t h e a x i o m s . ” 2 I n o u r s e t t i n g , w e k e e p s t r i c t l y s e p a r a t e t h e p r e f e r e n c e o r d e r i n g a m o n g c o n s e q u e n c e s o f a c t s a n d t h e l i k e l i h o o d o r d e r i n g a m o n g e v e n t s b e c a u s e w e f e e l t h a t t h e y r e p r e s e n t d i f f e r e n t p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t s . T h u s , t h e i r s e p a r a t i o n i s p o s t u l a t e d a t t h e o u t s e t . W e v i e w t h e p r e f e r e n c e a m o n g c o n s e q u e n c e s a s s t r i c t l y e x p r e s s i n g d e s i r e s o r w a n t s a n d t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f e v e n t s a s e x p r e s s i n g o p i n i o n o r j u d g m e n t a b o u t u n c e r t a i n e v e n t s . I t i s i m p o r t a n t 2 ” M a c h i n a a n d S c h m e i d l e r ( 1 9 9 2 ) h a v e e x t e n d e d S a v a g e ’ s d e r i v a t i o n t o t h e c a s e o f " n o n - e x p e c t e d ” u t i l i t y . 2 3 2 S e e a l s o , D e b r e u ( 1 9 5 9 , p . 1 0 1 ) , w h o , i n h i s t r e a t m e n t o f c o n s u m e r t h e o r y u n d e r u n c e r t a i n t y i n c l u d e s i n t h e u s u a l d e fi n i t i o n o f a c o m m o d i t y t h e s t a t e o f n a t u r e u n d e r w h i c h i t i s a v a i l a b l e a n d p o s t u l a t e s c o n s u m e r p r e f e r e n c e t o a p p l y t o t h i s e x t e n d e d c o m m o d i t y s p a c e . H e t h e n s t a t e s : " T h i s p r e f e r e n c e p r e o r d e r i n g r e fl e c t s t h e t a s t e s o f t h e c o n s u m e r f o r g o o d s a n d s e r v i c e s ( i n c l u d i n g , i n p a r t i c u l a r , t h e i r s p a t i a l a n d t e m p o r a l s p e c i fi c a t i o n s ) , h i s p e r s o n a l a p p r a i s a l o f t h e l i k e l i h o o d s o f t h e v a r i o u s e v e n t s , a n d a t t i t u d e t o w a r d r i s k . " 4 0 6 a t t h i s c o n c e p t u a l l e v e l t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e p r i m i t i v e c o n c e p t o f p r q r e r e n c e d e fi n e d o n e x - a n t e c o n s e q u e n c e , a n d i t s r e p r e s e n t a t i o n b y a n u m e r i c a l u t i l i t y f u n c t i o n a l . I n d e e d , a s w e w i l l a r g u e d l a t e r , c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n s w i l l r e q u i r e t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l r e p r e s e n t i n g p r e f e r e n c e a m o n g e x - a n t e c o n s e q u e n c e s t o d e p e n d o n t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s b e l i e f s . M o r e o v e r , t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e m u t i l i t y i n S a v a g e ’ s r e p r e s e n t a t i o n n e e d s n o t d e p e n d o n b e l i e f s b e c a u s e i t r e p r e s e n t s a " p r e f e r e n c e " o r d e r i n g d e fi n e d o n o u t c o m e s a n d w h i c h i s d i f f e r e n t f r o m t h e o n e d e fi n e d o n e x - a n t e c o n s e q u e n c e s ? ” I n m a n y c h o i c e s i t u a t i o n s t h a t i n v o l v e u n c e r t a i n t y , t h e d e c i s i o n m a k e r i s o n l y c o n c e r n e d w i t h t h e c o n s e q u e n c e s o r p o s s i b l e s e t o f o u t c o m e s o f h i s o r h e r d e c i s i o n r e g a r d l e s s o f w h i c h s t a t e o f n a t u r e fi n a l l y p r e v a i l s ( e x a m p l e : d e s i r e t o e a r n s o m e m o n e y , b e i t i n a r a i n y o r s u n n y d a y ) . I n o t h e r s i t u a t i o n s , t h e d e c i s i o n m a k e r c a n h a v e a p r e f e r e n c e f o r a p a r t i c u l a r o u t c o m e b e i n g r e a l i z e d i n a g i v e n s t a t e o f n a t u r e ( e x a m p l e : d e s i r e t o e a r n s o m e m o n e y w h i l e b e i n g i n g o o d s t a t e o f h e a l t h r a t h e r t h a n b e i n g s i c k w i t h t h e m o n e y ) . I n t h i s s i t u a t i o n , t h e d o m a i n o f t h e " p r e f e r e n c e " o r d e r i n g o v e r o u t c o m e s c a n b e t h o u g h t a s e x t e n d i n g t o i n c l u d e t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . B u t , e v e n i n t h i s c a s e , w e c a n a r g u e t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f t h e e x t e n d e d " p r e f e r e n c e " o r d e r i n g o v e r o u t c o m e s t o t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e i s c o n c e p t u a l l y d i s t i n c t f r o m t h e l i k e l i h o o d o r d e r i n g t h a t i s d e fi n e d o n t h e s a m e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . I n d e e d , t h e l a t t e r o r d e r i n g i s a n a s s e s s m e n t o f w h i c h e v e n t o r s t a t e o f n a t u r e i s l i k e l y t o o c c u r , w h i l e t h e f o r m e r e x p r e s s e s a w i s h o r d e s i r e f o r h a v i n g a p a r t i c u l a r e v e n t t o o c c u r . F o r e x a m p l e , a n i n d i v i d u a l m a y h a v e t h e p e r c e p t i o n o r b e l i e f t h a t i t i s m o r e l i k e l y t o ’ 3 3 T o b e m o r e p r e c i s e , i n c h a p t e r 3 w e w r o t e t h e e x p e c t e d u t i l i t y o f a n e x - a n t e c o n s e q u e n c e x a s U ( x ) a E u ( x ) n I O u ( x ( w ) ) d P ( w ) . W h e r e U i s t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l r e p r e s e n t i n g p r e f e r e n c e a m o n g e x - a n t e c o n s e q u e n c e s , E i s t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r , u _ i s t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u t i l i t y f u n c t i o n d e fi n e d o n o u t c o m e s , a n d ‘ P i s t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n r e p r e s e n t i n g t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s b e l i e f s . A s i t i s c l e a r i n t h i s e x p e c t e d u t i l i t y c a s e , t h e U t i l i t y f u n c t i o n a l U d e p e n d s o n t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n 2 P , b u t t h e v o n N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u t i l i t y i t d o e s n o t . S a v a g e ’ s r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m i s a b o u t t h e s e p a r a t i o n o f u a n d S P . T h r o u g h o u t t h e t h e s i s , w h e n w e s p e a k o f p r e f e r e n c e w i t h o u t q u a l i fi c a t i o n w e a l w a y s m e a n t h e o n e t h a t r a n k s e x - a n t e c o n s e q u e n c e s , w h i c h i s t h e r e l e v a n t o n e i n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y ( s i n c e o n e c a n n o t e x - a n t e c h o o s e a m o n g ( e x - p o s t ) o u t c o m e s ) . 4 0 7 r a i n t o m o r r o w y e t , w o u l d p r e f e r t o m o r r o w t o b e a s u n n y r a t h e r t h a n a r a i n y d a y . N e v e r t h e l e s s , h i s o r h e r p r e f e r e n c e o v e r p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e h a s p r e s u m a b l y n o e f f e c t o n n a t u r e ’ s c h o i c e ? “ T h e s e a r e t h e r e a s o n s w h y w e m a i n t a i n a c o n c e p t u a l a n d m a t h e m a t i c a l d i s t i n c t i o n b e t w e e n p r e f e r e n c e o r d e r i n g a n d l i k e l i h o o d o r d e r i n g . F o r u s , t h e y d e s c r i b e t w o c o n c e p t u a l l y d i s t i n c t a s p e c t s o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s w h i c h w e w a n t t o f o r m a l i z e a n d a n a l y z e s e p a r a t e l y . T h e m a t h e m a t i c a l f o r m a l i z a t i o n o f p r e f e r e n c e w i l l b e a l o n g t h e t r a d i t i o n a l l i n e s w h i c h i d e n t i f y i t w i t h a b i n a r y o r d e r i n g d e fi n e d o n t h e c h o i c e s p a c e ( t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s ) , a n d w h i c h r a n k s c o n s e q u e n c e s a c c o r d i n g t o t h e i r o r d e r s o f p r e f e r e n c e . B e l i e f s w i l l b e m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i f i e d w i t h a s e p a r a t e b i n a r y o r d e r i n g d e fi n e d o n t h e s e t o f e v e n t s , w h i c h r a n k s e v e n t s a c c o r d i n g t o t h e i r r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f o c c u r r e n c e . A 4 . 1 . 3 . 3 T h e c r i t e r i o n f o r c h o o s i n g " b e l i e f s " S a v a g e ’ s f r a m e w o r k t a k e s a s g i v e n t h e f a c t t h a t b e l i e f s a r e p e r s o n a l m a t t e r s , a n d t h a t i n d i v i d u a l s a r e f r e e t o c h o o s e w h a t e v e r b e l i e f s a b o u t t h e p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e t h e y w a n t t o h o l d . T h i s o f c o u r s e s u p p o s e s t h a t a d e c i s i o n m a k e r h a s a c c e s s , n o t j u s t t o o n e , b u t t o a s e t o f l i k e l i h o o d o r b e l i e f a s s e s s m e n t s , f r o m w h i c h h e o r s h e c a n c h o o s e o n e t o r a n k a l l t h e e v e n t s . H o w r e a l i s t i c i s t h i s a s s u m p t i o n ? O n e c a n a r g u e t h a t i n a n y d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n s e v e r a l a l t e r n a t i v e b e l i e f a s s e s s m e n t s a r e a v a i l a b l e t o t h e d e c i s i o n m a k e r ( s i n c e d i f f e r e n t p e o p l e d o h o l d d i f f e r e n t b e l i e f s ) , a n d t h a t b e l i e f s i n t h e m s e l v e s a r e m a t t e r o f i n d i v i d u a l c h o i c e ( i . e . , n o t f o r c e d o n i n d i v i d u a l s ) . I n o t h e r w o r d s , i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r s c h o o s e t o h a v e a p a r t i c u l a r o p i n i o n o r a p p r a i s a l o f t h e l i k e l i h o o d o f p o s s i b l e e v e n t s , w h i c h g u i d e s t h e i r a c t i o n s g i v e n t h e i r 2 3 ‘ N o t e t h a t w e d o n o t r u l e o u t t h e f a c t t h a t n a t u r e ’ s c h o i c e m a y a f f e c t p r e f e r e n c e a f t e r w a r d . T h i s p h e n o m e n o n c a l l e d s t a t e - d e p e n d e n t p r e f e r e n c e i s d i s c u s s e d i n s e c t i o n A 4 . 1 . 4 b e l o w . W h a t w e d o r u l e o u t i s t h e p o s s i b i l i t y t h a t a n i n d i v i d u a l ’ s p r e f e r e n c e i t s e l f m a y a f f e c t n a t u r e ’ s c h o i c e . I n o t h e r w o r d s , w e t a k e t h e s o u r c e o f u n c e r t a i n t y t o b e e x o g e n o u s l y g i v e n ( i . e . , o u t s i d e o f t h e c o n t r o l o f t h e d e c i s i o n m a k e r ) . 4 0 8 p r e f e r e n c e s a m o n g a l t e r n a t i v e c o n s e q u e n c e s o f t h e i r a c t s . I n d e e d , i t i s n a t u r a l t o t h i n k t h a t , w h i l e i n d i v i d u a l a c t i o n s c a n b e c o n t r o l l e d o r l i m i t e d b y o u t s i d e f o r c e s ( l i k e i n c o n t r o l l e d e c o n o m i e s o r u n d e r d i c t a t o r s h i p ) , s o a s t o l i m i t t h e i r f r e e d o m o f c h o i c e ( i . e . , f r e e t o a c t i n a m a n n e r t h a t w i l l y i e l d t h e m o s t p r e f e r r e d c o n s e q u e n c e ) ; o n e c a n a r g u e t h a t i n d i v i d u a l b e l i e f s a r e v e r y d i f fi c u l t i f n o t i m p o s s i b l e t o b e t o t a l l y c o n t r o l l e d b y o u t s i d e f o r c e s . T o b e s u r e , b e l i e f s c a n b e i n fl u e n c e d o r m a n i p u l a t e d . B u t , u l t i m a t e l y , i t i s a m a t t e r o f t h e i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r fi ' e e l y c h o o s i n g t h e s e t o f b e l i e f a s s e s s m e n t s u n d e r w h i c h a c t i o n s t a k e n a r e l i k e l y t o y i e l d t h e m o s t p r e f e r r e d o u t c o m e ? ” F o r e x a m p l e , t h e e m e r g e n c e o f " b l a c k " m a r k e t s f o r c u r r e n c i e s ( o r a n y o t h e r c o m m o d i t y f o r t h a t m a t t e r ) i n s o m e e c o n o m i e s u n d e r a fi x e d a n d c o n t r o l l e d e x c h a n g e r a t e r e g i m e , i s a c l e a r i n d i c a t i o n o f e c o n o m i c a g e n t s w h o , b e i n g c o n c e r n e d w i t h t h e v a l u e o f a c u r r e n c y , r e f u s e t o b e l i e v e t h a t t h e " o f fi c i a l " e x c h a n g e r a t e t h a t i s b e i n g f o r c e d o n t h e m r e fl e c t s t h e t r u e e x c h a n g e v a l u e o f t h e c u r r e n c y . O u t s i d e o f e c o n o m i c s , t h e r e a r e s e v e r a l r e a l l i f e e x a m p l e s t h a t i n d i c a t e t h a t b e l i e f s a r e i n d e e d m a t t e r o f i n d i v i d u a l c h o i c e s . O n e e x a m p l e i s p r o v i d e d b y t h e c o m m o n l y o b s e r v e d o r g a n i z a t i o n o f c i t i z e n s i n d e m o c r a t i c s o c i e t i e s a l o n g p o l i t i c a l p a r t y l i n e s . I n d i v i d u a l s i n e a c h p o l i t i c a l p a r t y c a n b e c o n s i d e r e d a s s h a r i n g t h e s a m e s e t o f b e l i e f s c o n c e r n i n g t h e l i k e l y o u t c o m e s r e s u l t i n g f r o m p o l i t i c a l a n d e c o n o m i c d e c i s i o n s . I n t h i s c o n t e x t , a n i n d i v i d u a l ’ s f r e e c h o i c e o f a p o l i t i c a l p a r t y t o b e l o n g c a n b e c o n s i d e r e d a s c h o i c e o f a s e t o f b e l i e f s . A n o t h e r e x a m p l e i s p r o v i d e d b y t h e e n v i r o m n e n t a l b a t t l e s o p p o s i n g g r o u p s o f i n d i v i d u a l s s h a r i n g d i f f e r e n t s e t o f b e l i e f s a b o u t h o w h u m a n a c t i o n s a r e a f f e c t i n g t h e e c o l o g i c a l b a l a n c e o f t h e p l a n e t . I n t h i s c a s e , s o m e o n e w h o i s t a k i n g s i d e , i s f r e e l y c h o o s i n g a s e t o f b e l i e f s t o h o l d r e g a r d i n g t h e l i k e l y i m p a c t o f h u m a n a c t i o n s o n t h e e n v i r o n m e n t . 2 3 ‘ O n e c a n d r a w h e r e a p a r a l l e l b e t w e e n t h e w a y a n i n d i v i d u a l ’ s b e l i e f s i s i n fl u e n c e d b y o u t s i d e f o r c e s , a n d t h e w a y a n i n d i v i d u a l ’ s p r e f e r e n c e i s i n fl u e n c e b y o u t s i d e f o r c e s o r o t h e r i n d i v i d u a l s ’ p r e f e r e n c e s ( a s i n t h e c a s e o f e n v y o r a l t r u i s m ) , I n b o t h c a s e s , o n e r e c o g n i z e s t h e i n t e r d e p e n d e n c e o f i n d i v i d u a l s ’ p r e f e r e n c e s a n d b e l i e f s r e s p e c t i v e l y . H o w e v e r , e x c e p t i n s p e c i a l p r o b l e m s w h e r e o n e i s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d o n t h i s i n t e r d e p e n d e n c e , i n m o s t o f e c o n o m i c a n a l y s i s , o n e a l w a y s t a k e s p r e f e r e n c e a s a p e r s o n a l m a t t e r . 4 0 9 I t i s i m p o r t a n t t o s e e t h a t t h e q u e s t i o n o f c h o o s i n g a m o n g a l t e r n a t i v e b e l i e f s i s d i f f e r e n t f r o m t h e m o r e u s u a l c o n c e p t o f B a y e s i a n u p d a t i n g o f g i v e n b e l i e f s i n l i g h t o f n e w i n f o r m a t i o n . T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o c o n c e p t s a r e p e r h a p s b e s t i l l u s t r a t e d b y q u o t i n g t h e f o l l o w i n g s e n t e n c e s f r o m D e F i n e t t i ( 1 9 3 7 , p . 1 4 6 ) . W h a t e v e r b e t h e i n fl u e n c e o f o b s e r v a t i o n o n p r e d i c t i o n s o f t h e f u t u r e , i t n e v e r i m p l i e s a n d n e v e r s i g n i fi e s t h a t w e c o r r e c t t h e p r i m i t i v e e v a l u a t i o n o f t h e p r o b a b i l i t y P ( E , , + , ) a f t e r i t h a s b e e n d i s p r o v e d b y e x p e r i e n c e a n d s u b s t i t u t e f o r i t a n o t h e r P ' ( E , , + , ) w h i c h c o n f o r m s t o t h a t e x p e r i e n c e a n d i s t h e r e f o r e p r o b a b l y c l o s e r t o t h e r e a l p r o b a b i l i t y ; o n t h e c o n t r a r y , i t m a n i f e s t s i t s e l f s o l e l y i n t h e s e n s e t h a t w h e n e x p e r i e n c e t e a c h e s u s t h e r e s u l t A o n t h e fi r s t n t r i a l s , o u r j u d g m e n t w i l l b e e x p r e s s e d b y t h e p r o b a b i l i t y P ( E , , , , ) n o l o n g e r , b u t b y t h e p r o b a b i l i t y P ( E , , + 1 | A ) , i . e . t h a t w h i c h o u r i n i t i a l o p i n i o n w o u l d a l r e a d y a t t r i b u t e t o t h e e v e n t E , + l c o n s i d e r e d a s c o n d i t i o n e d o n t h e o u t c o m e A . N o t h i n g o f t h i s i n i t i a l o p i n i o n i s r e p u d i a t e d o r c o r r e c t e d ; I t i s n o t t h e f u n c t i o n P w h i c h h a s b e e n m o d i fi e d ( r e p l a c e d b y a n o t h e r P ‘ ) , b u t r a t h e r t h e a r g u m e n t E n + 1 w h i c h h a s b e e n r e p l a c e d b y E n , 1 | A , a n d t h i s i s j u s t t o r e m a i n f a i t h f u l t o o u r o r i g i n a l o p i n i o n ( a s m a n i f e s t e d i n t h e c h o i c e o f t h e f u n c t i o n P ) a n d c o h e r e n t i n o u r j u d g m e n t t h a t o u r p r e d i c t i o n s v a r y w h e n a c h a n g e t a k e s p l a c e i n t h e k n o w n c i r c u m s t a n c e s . I n t h e a b o v e s e n t e n c e s , D e F i n e t t i i s e s s e n t i a l l y e x p l a i n i n g t h a t u p d a t i n g o n e ’ s s e t o f b e l i e f s i n l i g h t o f n e w i n f o r m a t i o n d o e s n o t m e a n c h a n g i n g y o u r b e l i e f s . N o n e t h e l e s s , o n e s t i l l h a s t o c h o o s e w h i c h s e t o f b e l i e f s t o u s e a n d u p d a t e i n t h e fi r s t p l a c e ( a s i t i s i m p l i c i t i n D e F i n e t t i ’ s s t a t e m e n t : " a s m a n i f e s t e d i n t h e c h o i c e o f t h e f u n c t i o n P ) “ . I f i n d e e d d e c i s i o n m a k e r s a r e f r e e t o c h o o s e t h e i r b e l i e f s , w h i c h c r i t e r i o n d o t h e y u s e t o s e l e c t a b e l i e f f r o m a l l t h e p o s s i b l e o n e s ? T h e r e i s a n a t u r a l a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n i f w e f o l l o w t h e t r a d i t i o n i n e c o n o m i c s : T h e o p t i m i z i n g b e h a v i o r a s s u m p t i o n . T h a t i s , i f i n d i v i d u a l b e l i e f s a r e o b j e c t s o f c h o i c e , i t m u s t b e t h e c a s e t h a t t h e y a r e c h o s e n o p t i m a l l y ( w i t h r e s p e c t t o t h e s a m e o b j e c t i v e o f m a x i m i z i n g t h e s a t i s f a c t i o n d e r i v e d f r o m t h e o b j e c t s o f c h o i c e ) ? ” I n o t h e r w o r d s , a m o n g a l l t h e b e l i e f a s s e s s m e n t s a v a i l a b l e t o t h e d e c i s i o n m a k e r , t h e o n e a c t u a l l y c h o s e n t o a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f e v e n t s i s t h e o n e t h a t w e m a x i m i z e s h i s 2 3 ‘ A g a i n , w e d o n o t r u l e o u t t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e c h o s e n b e l i e f s a r e i n fl u e n c e d b y o t h e r s ’ b e l i e f s ( s e e f o o t n o t e 2 3 5 ) . 2 3 " s e e f o o t n o t e 2 2 3 4 1 0 o r h e r w e l f a r e f o r a l l p o s s i b l e a c t i o n s t h a t h e o r s h e c a n t a k e . 2 3 8 I n a m o r e g e n e r a l c o n t e x t , t h e o p t i m a l i t y o f b e l i e f s p o s t u l a t e g i v e s a n h y p o t h e t i c a l a n s w e r t o t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : w h y d o p e o p l e h a v e a p a r t i c u l a r a p p r a i s a l o r o p i n i o n o f t h e w o r l d w h i c h g u i d e s t h e i r a c t i o n s i n d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n s ? O r r e s t a t e d i n o t h e r t e r m s , w h y d o t h e y c h o o s e t o h o l d s o m e p a r t i c u l a r b e l i e f s i n s t e a d o f o t h e r s ? T h e a n s w e r w e g i v e h e r e i s t h a t , i t i s b e c a u s e t h e c h o s e n b e l i e f s , i n a d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n , a r e t h e o n e s t h a t e x - a n t e g i v e t h e m t h e m o s t s a t i s f a c t i o n f o r a l l p o s s i b l e a c t i o n s t h e y c a n t a k e ? ” I n p r i n c i p l e , w i t h t h i s o p t i m a l i t y o f b e l i e f a s s u m p t i o n i t i s m a t h e m a t i c a l l y p o s s i b l e t o d e r i v e t h e r e s t r i c t i o n s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e o p t i m a l b e l i e f s o f i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r s b y o b s e r v i n g t h e i r o v e r t c h o i c e s o r r e a c t i o n s t o o b s e r v a b l e e x o g e n o u s r a n d o m v a r i a b l e s ? ” A 4 . 1 . 3 . 4 P e r c e p t i o n o f t h e o u t s i d e w o r l d T h e c o n c e p t o f p e r c e p t i o n i s n o t p r e s e n t i n S a v a g e ’ s f r a m e w o r k . B u t , o n e c a n a r g u e t h a t m a n y a s p e c t s o f b e h a v i o r t h a t a r e u s u a l l y a t t r i b u t e d t o p r e f e r e n c e a n d / o r b e l i e f s c a n b e d i r e c t l y l i n k t o t h e c o n c e p t o f p e r c e p t i o n a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n A . 4 . 1 . 2 a b o v e . T h e f o r m a l a n a l y s i s o f d e c i s i o n p r o b l e m s u s u a l l y r e q u i r e s t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s o b j e c t s 2 3 ' T h e w o r d ” e x - a n t e " i s v e r y i m p o r t a n t h e r e . I n d w d , i n l i g h t o f n e w i n f o r m a t i o n o n e c a n h a v e r e g r e t s a b o u t p a s t d e c i s i o n s . B u t t h e s e e x - p o s t r e g r e t s a r e e x - a n t e i r r e l e v a n t t o t h e c h o i c e s i t u a t i o n . T h a t i s , e v e n i f I m i g h t r e g r e t m y p r e s e n t d e c i s i o n i n t h e f u t u r e , I s t i l l h a v e t o m a k e a c h o i c e . . 2 ’ 9 T h e g e n e r a l i d e a t h a t t h e p o s t u l a t e c o n v e y s i s m o r e o r l e s s i m p l i c i t i n t h e l i t e r a t u r e d e a l i n g w i t h t h e r e fi n e m e n t o f p e r f e c t B a y e s i a n N a s h e q u i l i b r i u m s i n g a m e t h e o r y , w h e r e i t i s o f t e n r e f e r r e d a s ” r a t i o n a l i t y o f b e l i e f a s s e s s m e n t s ” ( s e e F u n d e m b e r g a n d T i r o l e ( 1 9 9 1 ) o n e q u i l i b r i u m r e fi n e m e n t s ) . M o r e o v e r , i n t h i s i n d i v i d u a l c h o i c e c o n t e x t , o n e c a n s t i l l r e i n t e r p r e t t h e o p t i m a l i t y o f a c t i o n s p o s t u l a t e i n t e r m s o f e q u i l i b r i u m c o n c e p t s a s f o l l o w s : A d e c i s i o n m a k e r i s i n a s t a t e o f e q u i l i b r i u m i n a d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n i f a n d o n l y i f h e o r s h e h a s e x - a n t e n o i n c e n t i v e t o c h a n g e n e i t h e r h i s o r h e r b e l i e f a s s e s s m e n t s n o r h i s o r h e r p l a n n e d a c t i o n s . I n o t h e r w o r d s , b e i n g i n a s t a t e o f e q u i l i b r i u m m e a n s t h a t h e o r s h e c a n n o t g - a n t e i m p r o v e h i s o r h e r w e l f a r e b y c h o o s i n g a l t e r n a t i v e b e l i e f a s s e s s m e n t s a n d / o r c o u r s e o f a c t i o n s . 2 4 0 S o m e m a y t h i n k t h a t t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f o p t i m a l b e l i e f s i n t e r m s o f o b s e r v a b l e c h o i c e v a r i a b l e s i s n o t p o s s i b l e . B u t t h e p r i n c i p l e s a r e t h e s a m e a s t h e o n e s g u i d i n g d e m a n d a n a l y s i s w h e r e w e c h a r a c t e r i z e p r e f e r e n c e t h r o u g h o b s e r v a b l e v a r i a b l e s s u c h a s q u a n t i t y , p r i c e s , a n d e x p e n d i t u r e s . 4 1 1 o f c h o i c e s a t i s f y s o m e m a t h e m a t i c a l r u l e s a n d p r o p e r t i e s . T h e s t a t e m e n t s o f t h e s e r u l e s a n d p r o p e r t i e s i n v a r i a b l y i n v o l v e t h e u s e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d c o n c e p t s s u c h a s " s e t " , " E " ( m e m b e r ) , " C " ( i n c l u s i o n ) , " U " ( u n i o n ) , " n " ( i n t e r s e c t i o n ) , " + " ( a d d i t i o n ) , " - " ( s u b t r a c t i o n ) , " x " ( m u l t i p l i c a t i o n ) , a n d " 2 " ( g r e a t e r t h a n ) . T h e s e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s g i v e t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s c h o i c e s e t ( a n d t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e ) a n " a l g e b r a i c " a n d " o r d e r " s t r u c t u r e . A n o t h e r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t t h a t i s o f t e n u s e d ( t h o u g h s o m e t i m e s n o t e x p l i c i t l y ) i s t h e c o n c e p t o f " t o p o l o g y " o r " m e t r i c " w h i c h f o r r n a l i z e s s o m e i n t u i t i v e n o t i o n o f " c l o s e n e s s " o r " d e g r e e s o f s i m i l a r i t y a n d d i s s i m i l a r i t y " a m o n g t h e o b j e c t s o f c h o i c e ( a n d p o s s i b l y a m o n g s t a t e s o f n a t u r e ) . I m p l i c i t i n t h i s m o d e l l i n g p r a c t i c e , i s t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r p e r c e i v e s t h e s e r u l e s a n d p r o p e r t i e s ( o r w h a t t h e y a r e s u p p o s e d t o r e p r e s e n t i n h i s o r h e r c o n s c i o u s n e s s ) a s a p p l y i n g t o h i s o r h e r o b j e c t s o f c h o i c e a n d s t a t e s o f n a t u r e . F o r e x a m p l e , i n c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , i t i s a s s u m e d t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r f u l l y p e r c e i v e s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e a n d i t s p a r t i t i o n i n g i n t o e v e n t s . T h e s e p e r c e i v e d p r o p e r t i e s c a n b e c a l l e d t h e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f t h e c h o i c e s e t i n t h e s e n s e t h a t t h e y a r e i n d e p e n d e n t o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s , a n d d e p e n d o n l y o n h i s o r h e r p e r c e p t i o n o f h o w o b j e c t s a r e r e l a t e d . T h e l a u s i b i l i o f a n i n t r i n s i c r o e o r r u l e i n v o l v e d c a n w s b e d e c i d e d w i t h n o r e f e r e n c e t o h i s o r h e r p r e f e r e n c e a n d s e t o f b e l i g L s . T h e s t a t e m e n t s o f s o m e o t h e r p r o p e r t i e s s u c h a s c o n t i n u i t y , m o n o t o n i c i t y , c o n v e x i t y , o p t i m i s m , p e s s i m i s m , e t c . . . , w h i c h a r e u s e d i n f o r m a l a n a l y s i s , i n v o l v e p e r c e p t i o n i n c o n j u n c t i o n w i t h p r e f e r e n c e a n d / o r b e l i e f s . T h e s e p r o p e r t i e s c a n b e c a l l e d t h e " c o n n e c t i n g " p r o p e r t i e s i n t h e s e n s e t h a t t h e y e s t a b l i s h c o n n e c t i o n s a m o n g t h e t h r e e c o n c e p t s o f p e r c e p t i o n , p r e f e r e n c e , a n d b e l i e f s . M a n y b e h a v i o r a l c o n c l u s i o n s o f e c o n o m i c n a t u r e t h a t a r e u s u a l l y a t t r i b u t e d t o t h e o p t i m i z i n g b e h a v i o r a s s u m p t i o n a r e i n f a c t t h e r e s u l t o f o n e o r s e v e r a l o f t h e s e c o n n e c t i n g p r 0 p e r t i e s . F o r e x a m p l e , H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s ( 1 9 9 2 ) , a n d H i n d y a n d 4 1 2 H u a n g ( 1 9 9 2 ) s h o w h o w t h e c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n a l o n e c a n b e u s e d t o i n f e r b e h a v i o r a l c o n c l u s i o n s r e g a r d i n g t h e s u b s t i t u t a b i l i t y o f c o n s u m p t i o n a c r o s s t i m e a n d / o r s t a t e s o f n a t u r e . T a k i n g p e r c e p t i o n a s a p s y c h o l o g i c a l c o n c e p t s e p a r a t e f r o m p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s r e v e a l s m a n y i m p l i c i t a s s u m p t i o n s t h a t a r e u s u a l l y e m b o d i e d i n f o r m a l m a t h e m a t i c a l m o d e l . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e f o r t h e a s s u m e d l i n e a r s t r u c t u r e o f c h o i c e s e t s . T h e s e p a r a t i o n a l s o s i m p l i fi e s t h e m a t h e m a t i c a l f o r m a l i z a t i o n o f e a c h o f t h e t h r e e c o n c e p t s a n d f a c i l i t a t e s t h e i n t u i t i v e j u s t i fi c a t i o n s o f t h e a s s u m p t i o n s t h a t a r e m a d e d u r i n g t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s . I n p a r t i c u l a r , t h i s s e p a r a t i o n h e l p s c l a r i f y m a n y o f t h e i s s u e s r e l a t e d t o t h e s o c a l l e d p r o b l e m s o f s t a t e o r t i m e - d e p e n d e n t p r e f e r e n c e , b y r e l a t i n g t h e m d i r e c t l y t o p e r c e p t i o n i n s t e a d o f p r e f e r e n c e . A 4 . 1 . 4 S t a t e / fi m e - d e p e n d e n t P r e f e r e n c e a n d P e r c e p t i o n I n m o s t c h o i c e s i t u a t i o n s , w h a t i s r e a l l y m e a n t b y " s t a t e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e , i s n o t t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e c h a n g e s w h e n t h e s t a t e o f n a t u r e c h a n g e s . B u t r a t h e r t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h d i s t i n g u i s h t h e c o n s e q u e n c e s ( o b j e c t s o f c h o i c e ) f r o m o n e a n o t h e r , a n d d e fi n e t h e d e g r e e o f s i m i l a r i t i e s a m o n g t h e c o r r e s p o n d i n g o u t c o m e s , i s " s t a t e - d e p e n d e n t " . W e c a n i l l u s t r a t e t h i s p o i n t b y u s i n g K a r n i ’ s ( 1 9 9 3 ) f o o t b a l l g a m e e x a m p l e g i v e n a b o v e . H e r e , t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s o b j e c t s o f c h o i c e a r e t h e t w o c o n s e q u e n c e s : w a t c h i n g a f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m u n d e r t h e u n c e r t a i n w e a t h e r o r , a n d w a t c h i n g t h e s a m e f o o t b a l l g a m e o n T V u n d e r t h e u n c e r t a i n w e a t h e r o r . I n t h i s s i t u a t i o n , i t c a n b e s a i d t h a t w a t c h i n g a f o o t b a l l g a m e a t t h e s t a d i u m w h e n i t i s s u n n y i s p e r c e i v e d t o b e d i f f e r e n t f r o m w a t c h i n g i t a t t h e s t a d i u m w h e n i t r a i n s . T h i s p e r c e i v e d d i f f e r e n c e i s r e g a r d l e s s o f p r e f e r e n c e a n d b e l i e f s . S i m i l a r l y f o r t h e c o n s e q u e n c e c o n s i s t i n g o f w a t c h i n g a f o o t b a l l g a m e o n T V u n d e r t h e u n c e r t a i n w e a t h e r t o . H e n c e , i n t h e p e r c e p t i o n o f t h e d e c i s i o n m a k e r , t h e i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s d i s t i n g u i s h i n g t h e t w o c o n s e q u e n c e s i n c l u d e t h e p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e w h e r e t h e y c a n b e r e a l i z e d . I n o t h e r t e r m s , 4 1 3 t h e t w o c o n s e q u e n c e s a r e p e r c e i v e d t o b e d i f f e r e n t n o t o n l y b e c a u s e w a t c h i n g a f o o t b a l l g a m e i n a s t a d i u m i s d i f f e r e n t f r o m w a t c h i n g i t o n T V , b u t a l s o b e c a u s e t h e s t a t e o f n a t u r e u n d e r w h i c h t h e y m a y p o s s i b l y b e w a t c h e d i n t r o d u c e s f u r t h e r " s i m i l a r i t i e s " o r " d i s s i m i l a r i t i e s " b e t w e e n t h e t w o c o n s e q u e n c e s . T h e f o r e g o i n g p o i n t c a n b e m a d e c l e a r e r i f i n s t e a d o f a s s u m i n g t h a t t h e u n c e r t a i n w e a t h e r t o c a n o n l y b e o f t w o s t a t e s , w e a s s u m e t h a t i t v a r i e s c o n t i n u o u s l y . I f w e s u p p o s e f o r e x a m p l e t h a t 0 : s t a n d s f o r t h e t e m p e r a t u r e , a n d c a n t a k e s v a l u e s r a n g i n g f r o m m i n u s t e n t o o n e h u n d r e d a n d t e n d e g r e e s . T h e n , w a t c h i n g a f o o t b a l l g a m e i n a s t a d i u m a t s i x t y d e g r e e s c a n r e a s o n a b l y b e p e r c e i v e d a s " c l o s e r " t o w a t c h i n g t h e s a m e g a m e i n t h e s t a d i u m a t fi f t y fi v e d e g r e e s t h a n i t i s t o w a t c h i n g i t i n t h e s t a d i u m a t o n e h u n d r e d d e g r e e s o r a t m i n u s fi v e d e g r e e s . T h e r e m a y a l s o b e a t e m p e r a t u r e ( s a y , f o r t y d e g r e e s f o r e x a m p l e ) a t w h i c h w a t c h i n g t h e f o o t b a l l g a m e i n t h e s t a d i u m i s p e r c e i v e d t o b e v e r y " s i m i l a r " t o w a t c h i n g i t o n T V . S t i l l p o s s i b l e i s t h e c a s e w h e r e w a t c h i n g t h e g a m e o n T V a t s e v e n t y d e g r e e s i s p e r c e i v e d t o b e " s i m i l a r " t o w a t c h i n g i t a t t h e s t a d i u m a t t w e n t y fi v e d e g r e e s . T h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o c o n s e q u e n c e s d i s c u s s e d a b o v e r e fl e c t t h e i r i n t r i n s i c f e a t u r e s , a n d t h e i r d i s c u s s i o n d o e s n o t n e c e s s i t a t e a n y r e f e r e n c e t o p r e f e r e n c e o r b e l i d s . I n o t h e r w o r d s , i t i s n o t b e c a u s e t h e d e c i s i o n m a k e r p r e f e r s o n e o v e r t h e o t h e r t h a t m a k e s t h e t w o c o n s e q u e n c e s d i f f e r e n t , b u t r a t h e r , t h e y a r e p e r c e i v e d d i f f e r e n t fi r s t b e f o r e t h e d e c i s i o n m a k e r f o r m u l a t e s a n y p r e f e r e n c e b e t w e e n t h e m . H o w e v e r , p r i o r t o a n y r a n k i n g o f t h e c o n s e q u e n c e s , t h e p e r c e i v e d i n t r i n s i c " s i m i l a r i t i e s " o r " d i s s i m i l a r i t i e s " a m o n g t h e m m u s t b e " a d j u s t e d " w i t h t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s b e l i q f r t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e d i f f e r e n t s t a t e s o f n a t u r e t h e y m a y p o s s i b l y b e r e a l i z e d . T h a t i s , p r i o r t o a n y r a n k i n g o f t h e c o n s e q u e n c e s , t h e d e c i s i o n m a k e r u s e s h i s o r h e r b e l i e f s a b o u t t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e t o " a d j u s t " h i s o r h e r p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c s d i s t i n g u i s h i n g t h e p o s s i b l e o u t c o m e s t o a r r i v e a t a b e l i q ‘ s - w e i g h t e d p e r c e p t i o n o f t h e d i f f e r e n c e s a m o n g t h e c o r r e s p o n d i n g c o n s e q u e n c e s ( w h i c h a r e t h e o b j e c t s o f c h o i c e ) . I n t h e 4 1 4 f o o t b a l l g a m e e x a m p l e a b o v e , t h e d e c i s i o n m a k e r r a n k s t h e t w o a l t e r n a t i v e s ( w a t c h i n g t h e g a m e a t t h e s t a d i u m a n d w a t c h i n g i t o n T V ) , i t s p e r c e p t i o n o f t h e d i f f e r e n c e s a m o n g t h e f o u r p o s s i b l e o u t c o m e s ( w a t c h i n g t h e g a m e a t t h e s t a d i u m u n d e r t h e s u n , w a t c h i n g i t a t t h e s t a d i u m u n d e r t h e r a i n , w a t c h i n g i t o n T V i n a s u n n y d a y , a n d w a t c h i n g i t o n T V i n a r a i n y d a y ) i s t o b e " w e i g h t e d " b y i t s b e l i e f a b o u t t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f r a i n y a n d s u n n y d a y s , t o a r r i v e a t a b e l i e f — a d j u s t e d p e r c e p t i o n o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n w a t c h i n g t h e g a m e a t t h e s t a d i u m a n d w a t c h i n g i t o n T V . T h i s p r i o r " w e i g h t i n g " o f t h e p e r c e p t i o n o f i n t r i n s i c d i s t i n g u i s h i n g . c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p o s s i b l e o u t c o m e s b y b e l i e f s , i n s u r e s t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r r e d c h o i c e s a r e a l w a y s c o n s i s t e n t w i t h h i s o r h e r o p i n i o n o r j u d g e m e n t a b o u t w h i c h s t a t e o f n a t u r e i s l i k e l y g o i n g t o b e r e a l i z e d . F o r e x a m p l e , i n t h e e x a m p l e a b o v e , i f t h e d e c i s i o n m a k e r p r e f e r s a l w a y s t o w a t c h t h e g a m e o n T V w h e n i t r a i n s , t h e n w e c a n n o t o b s e r v e h i m o r h e g o i n g t o t h e s t a d i u m t o w a t c h i t w h e n h e o r h e b e l i e v e s t h a t t h e r e i s a o n e p e r c e n t c h a n c e t h a t t h e g a m e w i l l b e p l a y e d u n d e r t h e r a i n . H e n c e , i n m o s t c a s e s w h e n o n e s p e a k s o f " s t a t e — d e p e n d e n t p r e f e r e n c e " , t h e i n t e n d e d m e a n i n g i s r e a l l y " s t a t e - d e p e n d e n t " p e r c e p t i o n . T h a t i s , c o n s e q u e n c e s a r e p e r c e i v e d t o b e d i f f e r e n t b e c a u s e , a m o n g o t h e r t h i n g s , t h e s t a t e o f n a t u r e i n w h i c h t h e y m a y b e r e a l i z e d c o u n t s . T r u e " s t a t e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e o c c u r s w h e n p r e f e r e n c e c h a n g e s b e c a u s e o f t h e r e a l i z a t i o n o r n o n r e a l i z a t i o n o f a g i v e n s t a t e o f n a t u r e t h a t c a n a f f e c t t a s t e , a t t i t u d e t o w a r d u n c e r t a i n t y , o r t i m e p r e f e r e n c e . B u t , t h i s t r u e " s t a t e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e i s n o t r e a l l y r e l e v a n t i n t h e c o n t e x t o f a " o n e - s h o t " s t a t i c c h o i c e . T h i s i s b e c a u s e e v e n i f p r e f e r e n c e c h a n g e s a f t e r w a r d , b y t h e t i m e t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e i s r e v e a l e d t h e d e c i s i o n h a s a l r e a d y b e e n m a d e . I n o t h e r w o r d s , t h e " n e w " p r e f e r e n c e t h a t r e s u l t s i n t h e r e a l i z a t i o n o r n o t o f a g i v e n s t a t e o f n a t u r e i s n o t r e l e v a n t t o t h e o l d c h o i c e p r o b l e m , w h i c h w a s r e s o l v e d b y u s i n g t h e r a n k i n g g i v e n b y t h e " o l d " p r e f e r e n c e . T r u e " s t a t e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e i s r e l e v a n t o n l y i n a i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n m a k i n g c o n t e x t , w h e r e a s e q u e n c e o f i n t e r r e l a t e d c h o i c e s h a s t o b e m a d e o v e r t i m e . I n t h e f o o t b a l l g a m e e x a m p l e a b o v e , i t m a y h a p p e n t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r 4 1 5 c h o o s e s t o g o t o t h e s t a d i u m t o w a t c h t h e g a m e , b u t , u n f o r t u n a t e l y , i t r a i n e d d u r i n g t h e g a m e . I t c a n b e t h a t b e c a u s e o f t h i s " b a d " e x p e r i e n c e , t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e b e t w e e n w a t c h i n g a f o o t b a l l g a m e o n T V a n d w a t c h i n g i t i n a s t a d i u m c h a n g e s c o m p l e t e l y , s o a s t o m a k e h i m o r h e r n o w p r e f e r a l w a y s w a t c h i n g i t o n T V , e v e n i f t h e r e i s a o n e h u n d r e d p e r c e n t c h a n c e t h a t t h e r e w i l l b e n o r a i n . T h i s " n e w " p r e f e r e n c e i s r e l e v a n t o n l y f o r s u b s e q u e n t f o o t b a l l g a m e d e c i s i o n s . M o r e o v e r , e v e n i n t h e i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t w h e r e t r u e " s t a t e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e i s r e l e v a n t , t h e t e r m " s t a t e - d e p e n d e n t " d o e s n o t c o r r e c t l y d e s c r i b e t h e p h e n o m e n o n . I n d e e d , i n a i n t e r t e m p o r a l s e t t i n g , w h e r e o u t c o m e s s p a n a n e n t i r e p e r i o d o f t i m e , a g i v e n r e a l i z e d s t a t e o f n a t u r e i s s u p p o s e d t o d e s c r i b e a l l s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y f o r t h e e n t i r e l e n g t h o f t i m e c o n s i d e r e d ( u p t o i n fi n i t y f o r i n fi n i t e t i m e h o r i z o n d e c i s i o n p r o b l e m s ) . H e n c e , t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e i s n o t f u l l y r e v e a l e d u n t i l t h e e n d o f t h e p e r i o d c o n s i d e r e d . O n l y p a r t i a l i n f o r m a t i o n ( s u b s e t s o f e v e n t s ) a b o u t t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e i s r e v e a l e d a s t i m e e v o l v e s . I t i s t h i s p a r t i a l r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y , t h r o u g h t h e o c c u r r e n c e o f e v e n t s t h a t c a n p o s s i b l y a f f e c t t h e m e n t a l a n d / o r p h y s i c a l s t a t e o f t h e d e c i s i o n m a k e r a s t i m e g o e s , t h a t e v e n t u a l l y c h a n g e s h i s o r h e r p r e f e r e n c e b y c h a n g i n g i t s t a s t e , a t t i t u d e t o w a r d u n c e r t a i n t y , a n d / o r t i m e p r e f e r e n c e a s p e c t s . H e n c e , t h e t e r m " e v e n t - d e p e n d e n t " p r q ‘ e r e n c e d e s c r i b e s t h i s p h e n o m e n o n m o r e c o r r e c t l y . E s s e n t i a l l y , t h e s a m e d i s t i n c t i o n a p p l i e s w h e n o n e s p e a k s o f " t i m e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e i n a i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t . T h a t i s , t h e r e e x i s t s a d i s t i n c t i o n b e t w e e n " t i m e - d e p e n d e n t " p e r c e p t i o n a n d t r u e " t i m e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e . " T i m e - d e p e n d e n t " p e r c e p t i o n r e fl e c t s t h e f a c t t h a t t h e f a c t o r " t i m e " i s a m o n g t h e f e a t u r e s t h a t a r e p e r c e i v e d t o d i s t i n g u i s h t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s o b j e c t s o f c h o i c e f r o m o n e a n o t h e r . T r u e " t i m e — d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e r e p r e s e n t s t h e c a s e w h e n a d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e i s c h a n g i n g a s t i m e g o e s , i n r e fl e c t i o n o f c h a n g e s i n h i s o r h e r t a s t e , a t t i t u d e t o w a r d u n c e r t a i n t y , a n d / o r t i m e p r e f e r e n c e ( o r p a t i e n c e ) . T h i s l a t t e r c a s e i s b e s t i l l u s t r a t e d b y t h e p h e n o m e n o n o f t h e i m p a c t o f a g i n g o n p r e f e r e n c e . 4 1 6 T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e p h e n o m e n a o f " t i m e - d e p e n d e n t " a n d / o r " s t a t e - d e p e n d e n t " p e r c e p t i o n o n o n e h a n d , a n d t h e o n e s o f " t i m e - d e p e n d e n t " a n d / o r " s t a t e - d e p e n d e n t " p r e f e r e n c e o n t h e o t h e r h a n d , l e a d s t o t h e r e c o g n i t i o n o f t w o d i s t i n c t p r o b l e m s i n v o l v e d i n t h e a n a l y s i s o f d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s . T h e fi r s t p r o b l e m r e a d s a s f o l l o w s : F o r a g i v e n r i m t r i p l e t p r e f e r e n c e , b e l i e f s , a n d p e r c e p t i o n , w h a t i s t h e o p t i m a l c h o i c e r e s u l t i n g f r o m a n o p t i m i z i n g b e h a v i o r ? T h e s e c o n d p r o b l e m p o s e s t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : g i v e n t h a t t h e o p t i m a l c h o i c e t h a t s o l v e s t h e fi r s t p r o b l e m d e p e n d s o n t h e g i v e n p r e f e r e n c e ( a n d o n b e l i e f s a n d p e r c e p t i o n ) , h o w d o e s i t c h a n g e w h e n p r e f e r e n c e c h a n g e s ? I n s h o r t , h o w d o e s o p t i m a l c h o i c e d e p e n d s o n p r e f e r e n c e . C l e a r l y , t h e s e t w o p r o b l e m s , t h o u g h r e l a t e d , a r e v e r y d i f f e r e n t , a n d p e r h a p s a r e b e s t a n a l y z e d s e p a r a b l y . I n f a c t , o n e c a n s o l v e t h e fi r s t w i t h o u t w o r r y i n g a b o u t t h e s e c o n d . I n t h e fi r s t p r o b l e m , p r e f e r e n c e i s m e r e l y a p a r a m e t e r , a m o n g o t h e r s , o n w h i c h t h e s o l u t i o n w i l l d e p e n d . T h e s e c o n d p r o b l e m m a y b e i n t e r e s t i n g f o r i t s o w n s a k e . H o w e v e r , a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n t h a t g o b e y o n d t r i v i a l s t a t e m e n t s m a y r e q u i r e a t h e o r y o f h o w p r e f e r e n c e c h a n g e s o v e r t i m e , a s t h e s e q u e n t i a l o c c u r r e n c e s o f e v e n t s p a r t i a l l y r e v e a l t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e , a n d / o r a s f a c t o r s a f f e c t i n g t h e e n v i r o n m e n t o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s c h a n g e ? “ I t i s v e r y i m p o r t a n t t o n o t e t h a t b y t h i s r e c o g n i t i o n o f t h e t w o d i s t i n c t p r o b l e m s t h a t a r e i n v o l v e d i n t h e a n a l y s i s o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s t h r o u g h t i m e , w e a l l o w d e c i s i o n m a k e r s t o o p t i m i z e a s m a n y t i m e s a s t h e y w i s h . I n o t h e r w o r d s , d e c i s i o n m a k e r s a r e a l l o w e d t o " r e o p t i m i z e " a s t i m e g o e s , w h e n t h e r e a r e s i g n i fi c a n t c h a n g e s i n t h e i r p h y s i c a l a n d / o r m e n t a l s t a t e s , a n d o r i n t h e e n v i r o n m e n t o f t h e d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n t h a t w a r r a n t s u c h a " r e o p t i r n i z a t i o n " . A l l w e a r e i n t e r e s t e d i n , a s a n a n a l y s t , i s w h a t a r e t h e o p t i m a l c h o i c e s ? 2 " I n t h e a b s e n c e o f a t h e o r y o f h o w a n d w h y p r e f e r e n c e c h a n g e , o n e m a y p o s i t ( r e a s o n a b l y ) t h a t t h e l a w o f m o t i o n o f p r e f e r e n c e i s g i v e n b y a s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( s e e , f o r e x a m p l e , D u f fi e a n d E p s t e i n , 1 9 9 2 ) . 4 1 7 ( i . e . , t h e fi r s t p r o b l e m ) . A n d h o w t h e s e , e v e n t u a l l y n u m e r o u s , o p t i m a l c h o i c e s r e l a t e a m o n g t h e m s e l v e s ? ( i . e . , t h e s e c o n d p r o b l e m ) . 2 4 2 A 4 . 1 . S T h e N a t u r e o f O p t i m a l C h o i c e s i n a I n t e r t e m p o r a l C o n t e x t I n a n i n t e r t e m p o r a l c h o i c e c o n t e x t t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e i s r a n k i n g c o n s e q u e n c e s ( s e t s o f p o s s i b l e o u t c o m e s ) w h i c h a r e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . E a c h c o n s e q u e n c e i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y a c o n t i n g e n t p l a n , w h i c h , b y d e fi n i t i o n , i s a s e q u e n c e o f c o n t i n g e n t o r c o n d i t i o n a l a c t s t h a t c o n s i s t o f t h e " t a k i n g " o f o p t i o n s o v e r t i m e c o n t i n g e n t o r c o n d i t i o n a l o n t h e o c c u r r e n c e o f e v e n t s ( s e e A p p e n d i x A 4 . 2 f o r p r e c i s e d e fi n i t i o n s ) . F o r e x a m p l e , a c o n t i n g e n t a c t m a y r e a d a s f o l l o w s : " a t t i m e t , t a k e t h i s g i v e n o p t i o n i f t h a t p a r t i c u l a r e v e n t o c c u r s " . T h e e x a c t t i m i n g o f a c o n t i n g e n t a c t m a y o r m a y n o t b e r a n d o m . I n t h i s e x a m p l e , t h e t i m i n g o f t h e c o n t i n g e n t a c t i s g i v e n b y a fi x e d t i m e t . B u t , i f t h e e x a m p l e w a s f o r m u l a t e d i n t h e f o l l o w i n g w a y : " t a k e t h i s g i v e n o p t i o n w h e n ( o r i f ) t h a t p a r t i c u l a r e v e n t o c c u r s " , t h e n t h e t i m i n g o f t h e c o n t i n g e n t a c t w i l l b e r a n d o m , b e c a u s e i t i s n o t k n o w n w h e n t h a t p a r t i c u l a r e v e n t w i l l o c c u r . M o r e o v e r , a s i s a p p a r e n t f r o m t h e e x a m p l e s , t h e t i m i n g o f c o n t i n g e n t a c t s i s e n d o g e n o u s , t h a t i s , t h e y a r e c o n d i t i o n a l l y c h o s e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r . I n s o m e i n s t a n c e s , a c o n t i n g e n t a c t m a y r e d u c e t o a d e t e m r i n i s t i c a c t , t h a t i s , a n a c t t h a t i s u n c o n d i t i o n a l t o t h e o c c u r r e n c e o f e v e n t s . F o r e x a m p l e , a d e t e r m i n i s t i c a c t m a y r e a d a s f o l l o w s : " a t t i m e t , t a k e t h a t o p t i o n r e g a r d l e s s o f t h e p r e v a i l i n g s t a t e o f n a t u r e " . F u r t h e r m o r e , a c o n t i n g e n t a c t m a y s i m p l y c o n s i s t o f t h e " d o n o t h i n g " a c t , t h a t i s , t h e a c t t h a t c o n s i s t s o f n o t t a k i n g a n y o p t i o n a t a l l . F o r e x a m p l e , " d o n o t t a k e a n y o p t i o n i f t h a t p a r t i c u l a r e v e n t o c c u r s " . H e n c e , i n t h e c o n t e x t o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , a n o p t i m a l c h o i c e c o n s i s t s o f t h e c h o i c e o f a c o n t i n g e n t p l a n t h a t l e a d s t o a u n i q u e o p t i m a l c o n s e q u e n c e . I n t h i s 2 ‘ 2 I t i s a s s u m e d t h a t a t e a c h p o i n t i n t i m e t h e d e c i s i o n m a k e r s o l v e s a t m o s t o n e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . 4 1 8 s e n s e , o n e c a n s p e a k o f a n " o p t i m a l " c o n t i n g e n t p l a n , w h i c h w o u l d m e a n t h a t t h e u n i q u e c o n s e q u e n c e t h e c o n t i n g e n t p l a n l e a d s t o i s o p t i m a l ( i . e . , h a s t h e h i g h e s t r a n k i n t h e p r e f e r e n c e r a n k i n g ) . T h e s e o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s a n d t h e r e s p e c t i v e c o n s e q u e n c e s t h e y l e a d t o a r e f u n c t i o n s o f t h e v a r i a b l e t i m e a n d a r e . i n a d d i t i o n , b o t h i n d e x e d b y t h e t i m e a t w h i c h t h e y w e r e f o u n d t o b e o p t i m a l ? " 3 I n t h i s i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y c o n t e x t , i t i s i m p o r t a n t t o s e e t h e d i f f e r e n t r o l e s t h e o c c u r r e n c e s o f u n c e r t a i n e v e n t s h a v e o n o n e h a n d , i n t h e " u p d a t i n g " o f b e l i e f s a n d i n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f c o n t i n g e n t p l a n s o v e r t i m e , a n d o n t h e o t h e r h a n d , i n c h a n g i n g t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e a s t i m e g o e s b y . I n d e e d , w h e n t h e t a k i n g o f a n a c t i s c o n t i n g e n t u p o n t h e o c c u r r e n c e o f a n e v e n t , a t e a c h t i m e t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s i n f o r m a t i o n s e t i s u s e d t o d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t t h a t e v e n t h a s o c c u r r e d . H e n c e , a n a c t t h a t i s p l a n n e d , b u t c o n t i n g e n t u p o n t h e o c c u r r e n c e o f a n e v e n t m a y n o t b e t a k e n , e v e n i f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e ( i . e . , t h e r a n k i n g o f c o n t i n g e n t p l a n s ) d o e s n o t c h a n g e a t t h e t i m e w h e n t h e a c t i s s u p p o s e d t o b e t a k e n . T h e c r u c i a l p o i n t h e r e i s i n d e fi n i n g w h a t t h e o b j e c t s o f c h o i c e a r e , i . e . , w h a t p r e f e r e n c e i s s u p p o s e d t o r a n k . I f p r e f e r e n c e i s r a n k i n g c o n s e q u e n c e s t h a t a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y s e q u e n c e s o f a c t s t h a t a r e c o n d i t i o n a l o n t h e s t a t e o f n a t u r e , t h e n u s i n g t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e a t e a c h t i m e t t o i m p l e m e n t a c o n t i n g e n t p l a n , d o e s n o t p r e c l u d e a g i v e n c o n t i n g e n t p l a n t h a t w a s f o u n d t o b e o p t i m a l a t t h e i n i t i a l t i m e , t o r e m a i n o p t i m a l t h r o u g h o u t t h e e n t i r e p e r i o d o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s ? “ H o w e v e r , t h e r e i s a l s o n o r e a s o n t o a s s u m e t h a t o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s , o n c e c h o s e n , a r e g o i n g t o r e m a i n o p t i m a l f o r t h e e n t i r e r e m a i n i n g p e r i o d , r e g a r d l e s s o f c h a n g e s i n p r e f e r e n c e 2 ‘ 3 S i n c e p r e f e r e n c e r a n k s o b j e c t s t h a t a r e f u n c t i o n s o f b o t h t i m e a n d s t a t e o f n a t u r e , o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s a n d t h e i r c o n s e q u e n c e s a r e f u n c t i o n s d e fi n e d o n t h e s e t 0 x [ t , , ' 1 ‘ ] . W h e r e , 0 i s t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e , T i s t h e t i m e h o r i z o n , a n d t 1 s t a n d s f o r t h e " d e c i s i o n " o r " o p t i m i z a t i o n " t i m e . H e n c e , o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g c o n s e q u e n c e s d e p e n d o n t , I a n d T . 2 “ A g a i n , b y t h e t e r m " o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n " w e i m p l i c i t l y m e a n t h a t t h e u n i q u e l y d e t e r m i n e d c o n s e q u e n c e t h a t t h e c o n t i n g e n t p l a n l e a d s t o i s o p t i m a l . 4 1 9 a n d / o r c h a n g e s i n t h e e n v i r o n m e n t o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s . I n o t h e r w o r d s , t h e r e i s n o t h i n g t h a t i n d i c a t e s " i n c o n s i s t e n c y " o r " n a i v e t y " i n t h e b e h a v i o r o f a d e c i s i o n m a k e r w h o f o r m u l a t e s a n o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n w h i l e k n o w i n g t h a t i t m a y n o t b e i m p l e m e n t e d i n t h e f u t u r e , g i v e n t h a t p r e f e r e n c e c a n c h a n g e a t a n y t i m e . I n f a c t , n o t k n o w i n g w h e t h e r o r n o t a n d w h e n p r e f e r e n c e w i l l c h a n g e i n t h e f u t u r e , t h e m o s t l o g i c a l t h i n g t o d o f o r a d e c i s i o n m a k e r , i s t o h a v e a n o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n o n h a n d a t a l l t i m e . T h i s t y p e o f b e h a v i o r , i s a t l e a s t c o n s i s t e n t w i t h t h e o p t i m i z i n g - b e h a v i o r a s s u m p t i o n , t h a t i s m a d e i n m o s t o f e c o n o m i c a n a l y s i s , a n d w h i c h e s s e n t i a l l y p o s t u l a t e s t h a t d e c i s i o n m a k e r s b e h a v e o p t i m a l l y a t a l l t i m e s . T h e d e c i s i o n m a k e r a l s o u s e s n e w i n f o r m a t i o n t o c o n t i n u o u s l y u p d a t e h i s o r h e r b e l i e f s r e g a r d i n g t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f f u t u r e e v e n t s . I t i s t h e " u p d a t e d " b e l i e f s t h a t a r e u s e d i n s u b s e q u e n t d e t e r m i n a t i o n s o f o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s a n d t h e i r i m p l e m e n t a t i o n s , f o l l o w i n g c h a n g e s i n p r e f e r e n c e a n d / o r i n t i m e v a r y i n g " p a r a m e t e r s " d e s c r i b i n g t h e e n v i r o n m e n t o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s . T h e r o l e s o f e v e n t s a n d i n f o r m a t i o n i n t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s d i s c u s s e d a b o v e a r e d i f f e r e n t f r o m t h e p o s s i b l e r o l e s t h e y h a v e i n c h a n g i n g p r e f e r e n c e , t h r o u g h c h a n g e s i n t h e m e n t a l a n d / o r p h y s i c a l s t a t e s o f t h e d e c i s i o n m a k e r ? 4 5 W h e n t h e o c c u r r e n c e o f a n e v e n t i n d u c e s p r e f e r e n c e t o c h a n g e t o a " n e w " o n e , i t i s t h i s " n e w " p r e f e r e n c e t h a t i s u s e d i n a n o t h e r s u b s e q u e n t o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h a t s o l v e s f o r a n e w o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n w h i c h w o u l d u n i q u e l y l e a d t o a n e w s e t o f p o s s i b l e o u t c o m e s , t h a t i s t o s a y , t o a " n e w " c o n s e q u e n c e . T h e q u e s t i o n a d d r e s s e d i n t h e s e c o n d p r o b l e m i n v o l v e d i n t h e a n a l y s i s o f d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s , i s h o w t h i s " n e w " c o n t i n g e n t p l a n , w h i c h i s t h e o n e t h a t i s i m p l e m e n t e d o v e r t i m e s t a r t i n g t h e p e r i o d a t w h i c h p r e f e r e n c e d i d c h a n g e , i s d i f f e r e n t f r o m t h e " o l d " c o n t i n g e n t p l a n , w h i c h i s a b a n d o n e d n o w . I t m a y b e t h e c a s e t h a t t w o d i f f e r e n t p r e f e r e n c e s y i e l d t h e s a m e r a n k i n g o f c o n s e q u e n c e s , s o t h a t t h e o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n i s t h e 2 “ F o r e x a m p l e , o n e m a y l e a r n u n e x p e c t e d l y t h a t h e o r s h e h a s a t e r m i n a l i l l n e s s . 4 2 0 s a m e f o r t h e t w o d i f f e r e n t p r e f e r e n c e s . A l s o , a l t h o u g h u n l i k e l y , i t i s c o n c e i v a b l e t h a t p r e f e r e n c e r e m a i n s i n v a r i a n t t h r o u g h o u t , s o t h a t t h e r e i s o n l y o n e o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n t h a t i s i m p l e m e n t e d d u r i n g t h e e n t i r e p e r i o d . T h e r e i s a l s o t h e p o s s i b i l i t y o f a s t a t i o n a r y p r q ’ e r e n c e w h i c h , b e y o n d a g i v e n t i m e , b e c o m e s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o t i m e ( K o o p m a n s , 1 9 6 0 ) . B u t , t h e m o r e r e a l i s t i c c a s e i s t h e o n e o f a r e c u r s i v e p r e f e r e n c e . T h a t i s , a p r e f e r e n c e , t h e s t r u c t u r e o f w h i c h ( t a s t e , a t t i t u d e t o w a r d u n c e r t a i n t y , a n d i m p a t i e n c e ) e x h i b i t s s o m e p e r s i s t e n c e o v e r t i m e , s o a s t o m a k e p r e f e r e n c e a t a n y t i m e d e p e n d o n p r e f e r e n c e a t p r e v i o u s t i m e s ( K o o p m a n s , 1 9 6 0 ; E p s t e i n a n d Z i n , 1 9 8 9 a n d 1 9 9 1 ; D u f fi e a n d E p s t e i n 1 9 9 2 ) . T h e s e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f d i f f e r e n t t y p e s o f p r e f e r e n c e s r e p r e s e n t r e s t r i c t i o n s o n p r e f e r e n c e t h a t m a y o r m a y n o t b e p l a u s i b l e , d e p e n d i n g o n t h e n a t u r e o f t h e c h o i c e p r o b l e m o n h a n d . T h e i s s u e s i n v o l v e d i n t h e f o r e g o i n g d i s c u s s i o n c a n b e b e s t s e e n b y t a k i n g p r q ’ e r e n c e , o r t h e u t i l i t y f u n c t i o n r e p r e s e n t i n g i t , a s o n e a d d i t i o n a l a r g u m e n t ( a m o n g t h e o t h e r u s u a l a r g u m e n t s ) o f t h e f u n c t i o n d e fi n i n g a g i v e n o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n . I n t h i s w a y , o n e c a n s e e t h a t t h e r e a r e t w o t y p e s o f d r i v i n g f o r c e s t h a t d e t e r m i n e t h e r e s p e c t i v e ( s a m p l e ) t r a j e c t o r i e s o r s a m p l e p a t h s o f o u t c o m e s a n d a c t u a l l y r e a l i z e d o p t i m a l a c t s t h r o u g h t i m e . T h e fi r s t d r i v i n g f o r c e o p e r a t e s t h r o u g h t h e " u s u a l " v a r i a b l e s t h a t a r e a r g u m e n t s o f t h e f u n c t i o n d e fi n i n g o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s . I n c o n s u m e r t h e o r y , t h e s e " u s u a l " v a r i a b l e s a r e t h e v e c t o r o f p r i c e s a n d i n c o m e ( o r m o r e p r e c i s e l y c u m u l a t i v e n e t i n c o m e o r w e a l t h ) . T h e y a r e t h e m s e l v e s f u n c t i o n s o f t i m e a n d s t a t e o f n a t u r e , a n d t h u s t h e i r t r a j e c t o r i e s o r s a m p l e p a t h s d i r e c t l y d e t e r m i n e t h e s a m p l e p a t h s o f a c t u a l l y r e a l i z e d a c t s a n d o u t c o m e s . T h e s e c o n d d r i v i n g f o r c e o p e r a t e s t h r o u g h p r e f e r e n c e a n d o t h e r t i m e v a r y i n g " p a r a m e t e r s " o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s . T o s e e t h a t , w e c a n c o n s i d e r a s e q u e n c e o f o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s a n d t h e i r r e s p e c t i v e c o n s e q u e n c e s w h i c h a r e i n d e x e d b y a t i m e v a r y i n g p r e f e r e n c e ( o r m o r e g e n e r a l l y b y a s e t o f t i m e v a r y i n g " p a r a m e t e r s " ) s i m p l y a s f u n c t i o n s o f a f u n c t i o n o f t i m e t h a t i n d i c a t e s f o r w h i c h p r e f e r e n c e e a c h o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n a n d i t s r e s p e c t i v e c o n s e q u e n c e r e f e r t o . T h e n , a s t i m e e v o l v e s o n e c a n s e e h o w t h e e f f e c t o f c h a n g e i n p r e f e r e n c e c a n 4 2 1 d e t e r m i n e , f r o m w h i c h o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n a n d c o n s e q u e n c e , . e x - p o s t a c t u a l l y r e a l i z e d a c t s a n d o u t c o m e s c o m e f r o m r e s p e c t i v e l y . T h i s i s j u s t t o s a y t h a t w h e n p r e f e r e n c e c h a n g e s t h r o u g h t i m e , e x - p o s t a c t u a l l y r e a l i z e d a c t s a n d o u t c o m e s m a y r e s p e c t i v e l y r e fl e c t t h e D E M r e a l i z a t i o n o f s e v e r a l o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s a n d t h e i r r e s p e c t i v e c o n s e q u e n c e s . I n t h e a b o v e d i s c u s s i o n , w e h a v e b e e n v e r y v a g u e o n w h a t d o w e m e a n b y t h e t e r m i n f o r m a t i o n . T h a t i s b e c a u s e a p r e c i s e a n d s a t i s f a c t o r y d e fi n i t i o n n e c e s s a r i l y r e q u i r e s t h e f o r m a l u s e o f c o n c e p t s f r o m p r o b a b i l i t y t h e o r y . H o w e v e r , i n A p p e n d i x A 4 . 2 w h e r e w e g i v e t h e f o r m a l d e fi n i t i o n o f i n f o r m a t i o n s e t , w e m a k e t h e c a r e f u l d i s t i n c t i o n a m o n g t h e t h r e e c o n c e p t s o f i n f o r m a t i o n , k n o w l e d g e , a n d l e a r n i n g . I n f o r m a t i o n i s o n e c o m p o n e n t o f k n o w l e d g e ; w i t h t h e o t h e r c o m p o n e n t o f k n o w l e d g e b e i n g w h a t i s u s u a l l y r e f e r r e d a s e x p e r t i s e , " k n o w h o w " , o r s i m p l y a s h u m a n c a p i t a l . L e a r n i n g i s t h e n t a k e n t o b e t h e " r a t e " o f a c q u i s i t i o n o f k n o w l e d g e . I n e s s e n c e , t h e r a t i o n a l e b e h i n d t h e s e d i s t i n c t i o n s l i e s i n t h e f a c t t h a t , i n t u i t i v e l y , t h e n o t i o n o f i n f o r m a t i o n i s a b o u t ( h i s t o r i c a l ) f a c t s o r p a s s e d e v e n t s t h a t h a v e t o b e t a k e n ( p a s s i v e l y ) a s t h e y a r e ; b u t w h i c h h e l p s t h e d e c i s i o n m a k e r a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f f u t u r e e v e n t s a n d p r e d i c t o u t c o m e s . W h e r e a s , t h e n o t i o n s o f e x p e r t i s e " k n o w h o w " a n d h u m a n c a p i t a l a r e a b o u t k n o w i n g v a r i o u s w a y s o f " d o i n g t h i n g s " , t a k i n g a c t s o r a c t i o n s , a n d o f i n t e r p r e t i n g f a c t s ( i . e . , p r o c e s s i n g i n f o r m a t i o n ) ; i n c l u d i n g t h o s e " e x t r a n e o u s " f a c t s t h a t a r e n o t c o n t a i n e d i n i n f o r m a t i o n s e t s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e n o t i o n o f l e a r n i n g i n c o r p o r a t e s s o m e d y n a m i s m t h a t r e fl e c t s b o t h t h e p a s s a g e o f t i m e a n d t h e " a c t i v i s m " i n v o l v e d i n t h e a c q u i s i t i o n o f k n o w l e d g e . A t t h i s p o i n t , w e r e c a l l t h e i m p l i c i t , b u t i m p o r t a n t , a s s u m p t i o n t h a t i s m a d e i n m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . T h a t i s , t h e f a c t t h a t d e c i s i o n m a k e r s a r e a s s u m e d t o fi d l y p e r c e i v e t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e ( 0 i n o u r n o t a t i o n ) , a n d i t s p a r t i t i o n i n g i n t o e v e n t s . T h e s o u r c e o f u n c e r t a i n t y i s s u p p o s e d t o r e s u l t o n l y f r o m t h e f a c t t h a t h e o r s h e d o e s n o t k n o w w h i c h s t a t e o f n a t u r e , a m o n g a l l t h e p o s s i b l e o n e s , i s g o i n g t o b e r e a l i z e d . M o r e o v e r , a s a l r e a d y e m p h a s i z e d , i n t h e i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t a g i v e n s t a t e o f n a t u r e i s s u p p o s e d t o d e s c r i b e o n e p o s s i b l e r e a l i z a t i o n o f a l l t h e p e r c e i v e d 4 2 2 e x o g e n o u s s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y d u r i n g t h e e n t i r e p e r i o d o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s ( i n c l u d i n g t h e a c t i o n s o f o t h e r d e c i s i o n m a k e r s ) . T h i s a s s u m p t i o n i s a p o t e n t i a l l y l i m i t i n g f a c t o r f o r p r e s e n t m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y t o r e a l i s t i c a l l y d e s c r i b e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s . I n d e e d , i t i s c o n c e i v a b l e t h a t a s t i m e g o e s t h e d e c i s i o n m a k e r p e r c e i v e s t h e p o s s i b i l i t y o f o t h e r s t a t e s o f n a t u r e t h a t w e r e n o t p a r t o f t h e i n i t i a l s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e 0 ? “ T h e r o l e o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p h y s i c a l e n d o w m e n t s i n t h e c h o i c e p r o c e s s h a s n o t b e e n d i s c u s s e d e x p l i c i t l y . I n A p p e n d i x A 4 . 2 w h e r e t h e t e r m i s f o r m a l l y d e fi n e d , p h y s i c a l e n d o w m e n t s a r e t a k e n t o b e p a r t o f t h e O p p o r t u n i t y s e t ; t h a t i s , t h e s e t o f o p t i o n s a v a i l a b l e t o t h e d e c i s i o n m a k e r . H e n c e , t h e y a r e i m p o r t a n t d e t e r m i n a n t o f t h e s e t o f f e a s i b l e a c t s t h a t c a n b e t a k e n a t a n y g i v e n p o i n t i n t i m e . I n o t h e r w o r d s , t h e y d e t e r m i n e w h a t c o n t i n g e n t p l a n s a r e i m p l e m e n t a b l e . F i n a l l y , b e f o r e w e t u r n t o t h e m e t h o d o l o g i c a l i m p l i c a t i o n s o f t h i s c o n c e p t u a l f r a m e w o r k i n t e r m s o f m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , w e p r e s e n t , a s a w a y o f s u m m a r i z i n g t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n , a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s t h a t c a p t u r e s t h e e s s e n t i a l f e a t u r e s i n v o l v e d i n i t ( s e e A p p e n d i x 2 f o r a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n ) . W e h a v e p o s t u l a t e d t h a t w h e n e v e r a n i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r i s i n a c h o i c e s i t u a t i o n , t h e e n v i r o n m e n t o f t h e c h o i c e s i t u a t i o n i s d e s c r i b e d b y t h r e e t y p e s o f p h y s i c a l o b j e c t s c o n s i s t i n g o f t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e , t h e t i m e h o r i z o n , a n d t h e c o m m o d i t i e s o r g o o d s w h i c h a r e t h e o b j e c t s o f h i s o r h e r c h o i c e s . H e o r s h e i s a l s o s u p p o s e d t o p o s s e s s t h r e e p s y c h o l o g i c a l o b j e c t s c o n s i s t i n g o f h i s o r h e r p e r c e p t i o n w h i c h e n a b l e s h i m o r h e r t o p e r c e i v e t h e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f t h e p h y s i c a l o b j e c t s , a l o n g w i t h t h e r e l a t i o n s h i p s 2 “ N o t e t h a t t h i s p h e n o m e n o n i s d i f f e r e n t f r o m t h e p h e n o m e n o n o f i n f o r m a t i o n " s u r p r i s e s " w h i c h h a s b e e n m a t h e m a t i c a l l y f o r m a l i z e d b y H u a n g ( 1 9 8 5 a a n d 1 9 8 5 b ) , a n d H i n d y a n d H u a n g ( 1 9 9 2 ) ; t h r o u g h t h e u s e o f c o n c e p t s f r o m m a r t i n g a l e t h e o r y . T h e f o r m a l d e fi n i t i o n o f w h a t c o n s t i t u t e s a n i n f o r m a t i o n " s u r p r i s e " i s b a s e d o n g i v e n p a r t i t i o n s o f t h e ( i n i t i a l ) s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e 0 . 4 2 3 a m o n g t h e m ; a p r e f e r e n c e w h i c h a l l o w s h i m o r h e r t o r a n k a l t e r n a t i v e c o n s e q u e n c e s o f h i s o r h e r s e t o f p o s s i b l e a c t s t a k e n d u r i n g t h e t i m e p e r i o d ; a n d a s e t o f b e l i e f s w h i c h a l l o w s h i m o r h e r t o s u b j e c t i v e l y a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e d i f f e r e n t p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . W e h a v e a l s o p o s t u l a t e d t h a t w h e n e v e r a d e c i s i o n m a k e r i s i n a c h o i c e s i t u a t i o n , t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e o f p h e n o m e n o n o c c u r s . ( i ) A w a r e n e s s o f c o n s e q u e n c e s o f a c t s a n d t h e c o n s t r a i n t s o n t h e m : h e o r s h e i s f u l l y a w a r e t h a t a n y o f h i s o r h e r p o s s i b l e a c t o r a c t i o n s w i l l l e a d t o a w e l l d e fi n e d c o n s e q u e n c e , a p o s s i b l e r e a l i z a t i o n o f w h i c h i s a n o u t c o m e w h i c h n o t o n l y d e p e n d s o n t h e a c t t a k e n , b u t a l s o o n t h e f u t u r e r e a l i z e d s t a t e o f n a t u r e . H e r e , a n a c t c o n s i s t s o f t a k i n g a n o p t i o n . H e o r s h e i s a l s o f u l l y a w a r e t h a t a t a n y t i m e , t h e s e t o f p o s s i b l e a c t s h e o r s h e c a n t a k e i s l i m i t e d t o a s u b s e t o f f e a s i b l e a c t s t h a t i s d e t e r m i n e d b y h i s o r h e r s e t o f e n d o w m e n t s . ( i i ) S u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f e v e n t s : H e o r s h e i s a b l e t o f r e e l y s e l e c t o n e b e l i e f f r o m h i s o r h e r s e t o f b e l i e f s t o c o m p l e t e l y a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e e v e n t s t h a t h e o r s h e p e r c e i v e s a s f o r m i n g a " p a r t i t i o n " o f t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . ( i i i ) P r e f e r e n c e o r d e r i n g o f t h e c o n s e q u e n c e s o f s e t s o f p o s s i b l e a c t s : h e o r s h e u s e s h i s o r h e r p r e f e r e n c e a n d h i s o r h e r " b e l i e f s - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n t o c o m p l e t e l y a n d c o n s i s t e n t l y r a n k a l l t h e c o n s e q u e n c e s t h a t r e s u l t f r o m t h e r e s p e c t i v e c o n t i n g e n t p l a n s . A c o n t i n g e n t p l a n c o n s i s t s o f a s e q u e n c e o f a c t s t h a t a r e t a k e n o v e r t i m e c o n d i t i o n a l o n t h e o c c u r r e n c e o f e v e n t s . ( i v ) O p t i m a l i t y o f a c t i o n s o r d e c i s i o n s ( i v . a ) O p t i m a l i t y o f b e l i e f . T h e c h o i c e o f a b e l i e f f r o m t h e s e t o f b e l i q ‘ s t o a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e e v e n t s i s o p t i m a l i n t h e s e n s e t h a t g i v e n h i s k n o w l e d g e a t t h e t i m e o f d e c i s i o n , t h e u p h e l d b e l i e f i s t h e o n e , a m o n g a l l t h e p o s s i b l e b e l i e f s , t h a t y i e l d s t h e m a x i m u m s a t i s f a c t i o n f o r a n y c o n t i n g e n t p l a n t h e d e c i s i o n m a k e r c a n c h o o s e . I n o t h e r w o r d s , f o r a n y c o n t i n g e n t p l a n t h a t m i g h t b e s e l e c t e d , h e o r s h e c a n n o t i m p r o v e h i s o r h e r w e l f a r e b y c h a n g i n g h i s o r h e r b e l i e f . 4 2 4 ( i v . b ) P r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n : fi n a l l y , g i v e n t h e o p t i m a l s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e v a r i o u s e v e n t s , a n d t h e r a n k i n g o f t h e c o n s e q u e n c e s r e s u l t i n g f r o m t h e r e s p e c t i v e c o n t i n g e n t p l a n s , h e o r s h e c h o o s e s a f e a s i b l e c o n t i n g e n t p l a n w h i c h u n i q u e l y d e t e r m i n e s t h e m o s t p r e f e r r e d c o n s e q u e n c e a m o n g a l l t h e c o n s e q u e n c e s t h a t r e s p e c t i v e l y r e s u l t f r o m a l l t h e f e a s i b l e c o n t i n g e n t p l a n s . I n o t h e r w o r d s , g i v e n t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s s e t o f e n d o w m e n t s , t h e c h o s e n f e a s i b l e c o n t i n g e n t p l a n l e a d s t o t h e c o n s e q u e n c e w i t h t h e h i g h e s t r a n k i n t h e r a n k i n g g i v e n b y h i s o r h e r p r e f e r e n c e . T h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s j u s t d e s c r i b e d , i s s u p p o s e d t o b e r e p e a t e d w h e n e v e r t h e r e i s a c h a n g e i n p r e f e r e n c e . T h e o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n a n d c o n s e q u e n c e c o r r e s p o n d i n g t o e a c h r e p e t i t i o n a r e i n d e x e d ( o r d a t e d ) b y t h e t i m e t h e r e p e t i t i o n o c c u r s . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t a n o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n i s i m p l e m e n t e d s t a r t i n g t h e t i m e w h e n i t i s f o u n d o p t i m a l u n t i l t h e t i m e t h e n e x t r e p e t i t i o n o c c u r s , a t w h i c h t i m e t h e n e w l y f o u n d o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s t a r t s t o b e i m p l e m e n t e d , a n d s o o n u n t i l t h e e n d o f t h e t i m e h o r i z o n . A 4 . 1 . 6 M e t h o d o l o g i c a l I m p l i c a t i o n s o f t h e C o n c e r x u a l F r a m e w o r k T h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k p r e s e n t e d i n t h i s a p p e n d i x h a s m a j o r m e t h o d o l o g i c a l i m p l i c a t i o n s i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . G i v e n t h a t t h e d i s c u s s i o n i n t h i s a p p e n d i x i s i n t e n d e d t o b e i n f o r m a l , a n d t h a t a n y d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f a l l t h e m e t h o d o l o g i c a l i m p l i c a t i o n s w o u l d r e q u i r e s o m e f o r m a l i s m a n d t h e u s e o f m o r e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d d e fi n i t i o n s , w e w i l l o n l y g i v e a b r i e f a n d i n f o r m a l a c c o u n t o f s o m e o f t h e i m p l i c a t i o n s . A f u l l a c c o u n t a l o n g t h e l i n e s o f c h a p t e r 4 w i l l b e p r o v i d e d i n f u t u r e w o r k . W e h a v e a l r e a d y m e n t i o n e d t h a t c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y i s b e s t d e s c r i b e d b y d e fi n i n g a p r e f e r e n c e o r d e r i n g o n a c h o i c e h a v i n g t h e f o r m L ’ m , F ) , t h e s p a c e o f v e c t o r ( o r f u n c t i o n ) 4 2 5 v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h d o m a i n 0 , t h e s e t o f s t a t e s o f n a t u r e , a n d t a k i n g v a l u e i n F , t h e o u t c o m e s p a c e . T h e a d v a n t a g e o f t h i s o v e r t h e m o r e s t a n d a r d p r a c t i c e w h i c h c o n s i s t s o f d e fi n i n g p r e f e r e n c e o n a s e t o f p r o b a b i l i t y m e a s u r e s i s t w o f o l d ? ” T h e fi r s t a d v a n t a g e s t e m s f r o m d i f f e r e n c e i n t h e s t r u c t u r e o f t h e t w o c h o i c e s p a c e s . A n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f a t o p o l o g y o n L ° ( f l , F ) m a k e s i t a B a n a c h s p a c e ( i . e . a c o m p l e t e n o r m e d l i n e a r s p a c e ) . T h i s a l l o w s e a s y a p p l i c a t i o n s o f s t a n d a r d f u n c t i o n a l a n d c o n v e x a n a l y s i s , a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s m e t h o d s t o o b t a i n g e n e r a l e x i s t e n c e r e s u l t s f o r o p t i m a l s o l u t i o n s o f o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s a n d t h e i r c h a r a c t e r i z a t i o n b y s o m e f o r m o f g e n e r a l i z e d " fi r s t o r d e r " o r K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s ( s e e t h e i n t r o d u c t i o n a n d a p p e n d i x t o c h a p t e r 2 ) . I n m o s t c a s e s , t h e s e g e n e r a l i z e d c o n d i t i o n s a r e e a s i l y s o l v e d t o o b t a i n c l o s e d f o r m a n a l y t i c a l s o l u t i o n s ( s e e c h a p t e r 3 ) . E v e n i n t h e i n t e r t e m p o r a l c a s e , D y n a m i c P r o g r a m m i n g a r g u m e n t s a n d / o r r e s t r i c t i o n s a r e n o t n e e d e d t o g e t a n a l y t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y t r a c t a b l e s o l u t i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s p a c e o f p r o b a b i l i t y m e a s u r e i s n o t a l i n e a r s p a c e , s o t h a t o n e o f t e n n e e d s t o e m b e d i t i n a l i n e a r s p a c e i n o r d e r t o u s e t h e s t a n d a r d m e t h o d s o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s o r d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s ( e . g . , M a c h i n a , 1 9 8 2 ) . M o r e o v e r , e v e n i f i t i s e m b e d d e d i n a l i n e a r s p a c e , t h e f o r m u l a t i o n o f t h e c o n s t r a i n t s o f o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i n t e r m s o f p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s i s d i f f i c u l t a n d c u m b e r s o m e . T h e s e c o n d a d v a n t a g e r e s u l t s f r o m t h e f r e q u e n t n e e d t o e m p i r i c a l l y e s t i m a t e o r t e s t t h e d e p e n d e n c e o f o p t i m a l c h o i c e v a r i a b l e s o n t h e " e x o g e n o u s " v a r i a b l e s o f t h e m o d e l . W i t h a c h o i c e s p a c e h a v i n g t h e f o r m L ° ( 0 , F ) , t h e c h o i c e v a r i a b l e s a n d t h e " e x o g e n o u s " o n e s a r e i n t e r m s r a n d o m v a r i a b l e s w h o s e r e a l i z a t i o n s a r e d i r e c t l y o b s e r v a b l e . H e n c e , t r a d i t i o n a l e c o n o m e t r i c p r o c e d u r e s c a n b e u s e d t o d i r e c t l y e s t i m a t e t h e r e l a t i o n s h i p s d e r i v e d f r o m t h e t h e o r e t i c a l m o d e l ( s e e C h a p t e r 5 ) . O n t h e o t h e r h a n d , w h e n t h e c h o i c e v a r i a b l e s a r e i n t e r m s o f “ 7 T h e r e h a v e b e e n t w o a p p r o a c h e s o f m o d e l l i n g c h o i c e u n c e r t a i n t y . T h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m a n d m a t h e m a t i c a l fi n a n c e l i t e r a t u r e s u s e d a c h o i c e s e t o f t h e f o r m L " ( 0 , F ) , w h i l e i n t h e m o r e t r a d i t i o n a l l i t e r a t u r e o f r i s k , c h o i c e s e t s i n t e r m s o f s e t s o f p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s , m i x t u r e s e t s , o r s e t s o f c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a r e m o s t c o m m o n l y u s e d . 4 2 6 u n o b s e r v a b l e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s , a d i r e c t e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p s d e r i v e d f r o m t h e t h e o r e t i c a l m o d e l i s a t b e s t v e r y d i f fi c u l t . O n c e a c h o i c e s p a c e o f t h e f o r m L ° ( 1 2 , F ) i s s e l e c t e d , t h e n e x t s t e p i s t o r e p r e s e n t s e p a r a t e l y b e l i e f a n d p r e f e r e n c e r e s p e c t i v e l y b y a ( s u b j e c t i v e ) p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s o a s t o m a k e L ° ( fl , F ) a m e a s u r e s p a c e , a n d b y a c o n t i n u o u s u t i l i t y f u n c t i o n a l d e fi n e d o n a a p p r o p r i a t e l y t o p o l o g i z e d L " ( 0 , F ) . T h e s e r e p r e s e n t a t i o n s c a n b e d o n e b y a p p l y i n g t h e r e s u l t s o f C h a t e a u n e u f ( 1 9 8 5 ) , a n d D e b r e u ( 1 9 5 4 ) o r M a s - C o l l e l ( 1 9 8 6 ) r e s p e c t i v e l y ? “ 8 N e x t , i n s o l v i n g t h e p r o b l e m o f m a x i m i z i n g u t i l i t y s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s , a s a r g u e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , o n e n e e d s t o d i s t i n g u i s h t h e t w o s e p a r a t e p r o b l e m s i n v o l v e d i n t h e a n a l y s i s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e p r o b l e m s . I n d e e d , i n fi n d i n g t h e o p t i m a l c h o i c e f o r a g i v e n p r e f e r e n c e , o n e n e e d o n l y t o w o r r y a b o u t t h e p r o b l e m s o f " t i m e - d e p e n d e n t " a n d / o r " s t a t e - d e p e n d e n t " p e r c e p t i o n , w h i c h c a n b e t a k e n c a r e o f b y t h e c h o i c e o f a n a p p r o p r i a t e " t o p o l o g y " t h a t i n c o r p o r a t e s " t i m e - d e p e n d e n t " a n d / o r " s t a t e — d e p e n d e n t " p h e n o m e n a ( s e e , f o r e x a m p l e , H i n d y a n d H u a n g , 1 9 9 2 ) . T h e c h o s e n " t o p o l o g y " w i l l m a t h e m a t i c a l l y f o r m a l i z e t h e " s i m i l a r i t y " a n d " d i s s i m i l a r i t y " a s p e c t s o f p e r c e p t i o n . M o r e o v e r , t h e c h o i c e o f a t o p o l o g y c o n c e r n s o n l y t h e " b e l i e f s - a d j u s t e d " s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s e t ( " a l g e b r a i c " , " o r d e r " , a n d " t o p o l o g i c a l " ) , a s p e r c e i v e d b y t h e d e c i s i o n m a k e r . I n p a r t i c u l a r , t h e r e i s n o n e e d t o m a k e r e f e r e n c e t o p r e f e r e n c e a t t h i s l e v e l u n l e s s o n e w a n t s t o c h e c k t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f t h e c h o s e n t o p o l o g y b y t e s t i n g t h e i m p l i c a t i o n s o f c o n t i n u i t y o f p r e f e r e n c e i n i t . H o w e v e r , a l t h o u g h p r e f e r e n c e i t s e l f e x i s t s i n d e p e n d e n t l y o f t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e " t o p o l o g i c a l " s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s e t , t h e p o s s i b i l i t y t o r e p r e s e n t i t b y a ( c o n t i n u o u s ) n u m e r i c a l u t i l i t y f u n c t i o n d e p e n d s , d i r e c t l y a n d t h r o u g h t h e c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n , o n t h i s t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e . H e n c e , t h e f u n c t i o n a l f o r m o f a u t i l i t y f u n c t i o n t h a t p r e t e n d s t o r e p r e s e n t p r e f e r e n c e s h o u l d e x h i b i t t h i s d e p e n d e n c e , s o t h a t a n a l y s i s d o n e 2 ‘ 3 F o r t h e r e p r e s e n t a t i o n o f b e l i e f s e e a l s o F i s h b u m ( 1 9 7 2 ) a n d t h e l i t e r a t u r e c i t e d t h e r e . 4 2 7 u s i n g i t r e v e a l s a l l t h e b e h a v i o r - r e l e v a n t f e a t u r e s b u i l t i n t o t h e " t o p o l o g y " . T h e r e s u l t i n g m a t h e m a t i c a l m o d e l n e e d n o t r e l y o n r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n s s u c h a s " e x p e c t e d u t i l i t y " , t i m e s e p a r a b i l i t y , a n d / o r r e c u r s i v i t y , i n o r d e r t o y i e l d o p t i m a l s o l u t i o n s t h a t a r e b o t h a n a l y t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y t r a c t a b l e ” . I f d e s p i t e t h e d e p e n d e n c e o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n o n t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e c h o i c e s e t , t h e a n a l y s i s y i e l d s n o n s e n s i c a l o r u n j u s t i fi e d r e s t r i c t i v e b e h a v i o r , t h e n o n e s h o u l d q u e s t i o n t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f t h e c h o s e n " t o p o l o g y " , a n d / o r f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e u t i l i t y ? ’ 0 I n o r d e r t o c a r r y o u t p r o p e r l y t h e a n a l y s i s i n t h e ( o p t i o n a l ) s e c o n d p r o b l e m i n v o l v e d i n d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s , i t i s i m p o r t a n t i n s o l v i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t o m a k e e x p l i c i t t h e d e p e n d e n c e o f t h e p r o b l e m o n t h e i n i t i a l d e c i s i o n t i m e t . T h i s d e p e n d e n c e i s a l l o w e d b y u s i n g a t i m e i n t e r v a l o f t h e f o r m [ t , T ] o r [ t , o o [ i n s t e a d o f t h e m o r e c o m m o n p r a c t i c e o f u s i n g a t i m e i n t e r v a l o f t h e f o r m [ 0 , T ] , [ 0 , l ] , o r [ 0 , 0 0 L I n s o l v i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e d e c i s i o n t i m e t i s j u s t a p a r a m e t e r o n w h i c h t h e t o p o l o g y o f t h e c h o i c e s p a c e ( a n d t h e o n e o f i t s d u a l ) a n d s o m e o t h e r v a r i a b l e s ( w h i c h a r e r a n d o m f u n c t i o n s o f t i m e ) a n d p a r a m e t e r s d e p e n d e x p l i c i t l y . H e n c e , i n g e n e r a l , t h e o p t i m a l s o l u t i o n w i l l b e a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l d e c i s i o n t i m e t b o t h d i r e c t l y a n d t h r o u g h t h e " e x o g e n o u s " v a r i a b l e s a n d p a r a m e t e r s . O n c e t h e o p t i m a l c h o i c e i s d e r i v e d , t h e p r o b l e m b e c o m e s h o w t h a t o p t i m a l c h o i c e d e p e n d s o n t i m e a n d p r e f e r e n c e ( a n d p o s s i b l y o n o t h e r t i m e v a r y i n g " p a r a m e t e r s " ) . W h e n p r e f e r e n c e i s r e p r e s e n t e d b y a p a r a m e t r i z e d u t i l i t y f u n c t i o n , t h i s w o u l d m e a n s t u d y i n g t h e 2 ‘ 9 O t h e r r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n s o n t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s u c h a s n o r m a l i t y , i n d e p e n d e n c e , e t c . . . , a r e a l s o n o t n e e d e d . 2 5 ° I n l i g h t o f t h e f o r e g o i n g d i s c u s s i o n , o n e c a n s u s p e c t t h a t m o s t a w k w a r d o r r e s t r i c t i v e b e h a v i o r i m p l i e d b y m o d e l s b a s e d o n " e x p e c t e d u t i l i t y " a n d / o r t i m e s e p a r a b i l i t y , r e s u l t f r o m t h e f a c t t h a t t h e f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e u t i l i t y f u n c t i o n d o e s n o t u s e a l l t h e f e a t u r e s i m p l i c i t i n t h e t o p o l o g y o f t h e c h o s e n c h o i c e s p a c e , o r t h e c h o s e n t o p o l o g y d o e s n o t t a k e i n t o a c c o u n t a l l t h e r e l e v a n t i n f o r m a t i o n p e r t a i n i n g t o t h e c h o i c e s i t u a t i o n . 4 2 8 d e p e n d e n c e o f t h e o p t i m a l c h o i c e o n t h e p a r a m e t e r s d e fi n i n g t h e u t i l i t y f u n c t i o n ? “ , I n a n i n t e r t e m p o r a l c h o i c e c o n t e x t , o n e c a n f o r m u l a t e a " l a w o f m o t i o n " t h a t d e s c r i b e s h o w p r e f e r e n c e c h a n g e s a s t i m e g o e s a n d n e w i n f o r m a t i o n p a r t i a l l y r e v e a l s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e . I n g e n e r a l , t h i s " l a w o f m o t i o n " w i l l b e i n t h e f o r m o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t e r m s o f u t i l i t y f u n c t i o n a l s . B u t , i f t h e u t i l i t y f u n c t i o n a l s a r e p a r a m e t r i z e d , w i t h t h e E u c l i d e a n s p a c e R u b e i n g t h e p a r a m e t e r s p a c e , t h e n t h e s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n t e r m s o f u t i l i t y f u n c t i o n a l s c a n b e r e d u c e d t o a s y s t e m o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t e r m s o f r e a l n u m b e r s . I n p r i n c i p l e , t h e " l a w o f m o t i o n " d e s c r i b i n g h o w p r e f e r e n c e c h a n g e s o v e r t i m e c a n b e s o l v e d a n d / o r u s e d t o i n f e r h o w o p t i m a l c h o i c e s d e p e n d o n m p r e f e r e n c e a n d o n t i m e . A l t e r n a t i v e l y , o n e m a y n o t n e e d t o w o r r y a b o u t h o w p r e f e r e n c e c h a n g e s o v e r t i m e , b u t i n s t e a d j u s t s t u d y t h e d e p e n d e n c e o f t h e o p t i m a l c h o i c e o n t h e i n i t i a l t i m e t o f d e c i s i o n ? 5 2 I n t h e i n t e r t e m p o r a l c o n t e x t , a p r o p e r a n d c o r r e c t a n a l y s i s o f t h i s s e c o n d s t a g e n e c e s s a r i l y r e q u i r e s t h e u s e o f t h e m e t h o d s a n d c o n c e p t s o f m a r t i n g a l e t h e o r y , w h i c h e n a b l e s t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e p a r t i a l r e s o l u t i o n o f u n c e r t a i n t y o v e r t i m e t h r o u g h t h e r e v e l a t i o n o f n e w i n f o r m a t i o n a t e a c h t i m e t . F i n a l l y , o n e m e t h o d o l o g i c a l i s s u e r e g a r d s t h e c h o i c e b e t w e e n d i s c r e t e t i m e a n d c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . D i s c r e t e t i m e m o d e l s a r e 2 5 ‘ F o r e x a m p l e , f o r a c o n s u m e r m a x i m i z i n g a b i v a r i a t e C o b b - D o u g l a s u t i l i t y f u n c t i o n u ( x , , x 2 ) = x a x ‘ u n d e r t h e b u d g e t c o n s t r a i n t p l x l + p z x 2 = m w i t h n o u n c e r t a i n t y , t h i s m e a n s s t u d y i n g a m t h e d e p e n d e n c e o f t h e d e m a n d f u n c t i o n s x , ( p , , p 2 , m , a , f l ) = ( a + 3 ) “ o n t h e p a r a m e t e r s a a n d B . 2 ‘ 2 I n g e n e r a l t h e p a r a m e t r i z e d i n t e r t e m p o r a l u t i l i t y f u n c t i o n a l U i s o f t h e f o r m U ( t , x ) = f ( t , x , o z ( t ) ) . w h e r e t i s t h e i n i t i a l d e c i s i o n t i m e , f i s a r e a l v a l u e d f u n c t i o n a l , x , t h e c h o i c e v a r i a b l e , i s a v e c t o r v a l u e d s t o c h a s t i c p r o c e s s d e fi n e d o n [ t , T ] x 0 , a n d a ( t ) i s a v e c t o r o f r e a l p a r a m e t e r s w h i c h d e p e n d s o n t h e i n i t i a l t i m e t . I n m a x i m i z i n g u t i l i t y s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s , t a n d a ( t ) a r e fi x e d p a r a m e t e r s o n w h i c h t h e o p t i m a l s o l u t i o n w i l l d e p e n d i n t h e f o r m x ‘ ( t ) = g ( t , z ( t ) , a ( t ) ) , w h e r e g i s a n o p e r a t o r t h a t t a k e s v a l u e s i n a f u n c t i o n s p a c e , a n d z ( t , . ) i s a " e x o g e n o u s " s t o c h a s t i c p r o c e s s d e fi n e d o n [ t , T ] X ! ) a n d t h a t i s g i v e n i n t h e c o n s t r a i n t s . T h e m a i n i s s u e i n v o l v e d i n t h e s e c o n d s t a g e , i s h o w t h e o p t i m a l s o l u t i o n x ' d e p e n d s o n t a n d a ( t ) w h e n t v a r i e s o v e r t i m e . T h e d e p e n d e n c e o f t h e p r e f e r e n c e p a r a m e t e r a o n t h e t i m e v a r i a b l e c a n ( o p t i o n a l l y ) b e g i v e n b y a s y s t e m o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . 4 2 9 u s u a l l y v i e w e d a s m o r e r e a l i s t i c b e c a u s e o f t h e f a c t s t h a t r e a l l i f e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s a r e d i s c r e t e . I n t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f t h i s a p p e n d i x , o n e c a n s e e t h a t a l t h o u g h t i m e i s c o n t i n u o u s , d u e t o b i o l o g i c a l a n d i n s t i t u t i o n a l c o n s t r a i n t s i n m o s t r e a l i s t i c i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n s i t u a t i o n s , c o n t i n g e n t a c t s t h a t a r e n o t " d o n o t h i n g " a c t s a r e t a k e n o n l y a t d i s c r e t e t i m e s . H o w e v e r , t h i s f a c t d o e s n o t i m p l y t h a t m a t h e m a t i c a l d i s c r e t e t i m e m o d e l s a r e m o r e a p p r o p r i a t e t h a n c o n t i n u o u s t i m e o n e s f o r d e s c r i b i n g r e a l l i f e i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s . O n t h e c o n t r a r y , s i n c e t h e t i m i n g o f t h e d e c i s i o n s o r a c t s a r e t h e m s e l v e s e n d o g e n o u s , t h a t i s , ( c o n d i t i o n a l l y ) c h o s e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r , c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s a r e m o r e a p p r o p r i a t e . I n f a c t , u s i n g d i s c r e t e t i m e m o d e l s u n d e r u n c e r t a i n t y , w i t h d e c i s i o n o r a c t i n g t i m e s t h a t a r e e x o g e n o u s l y d e t e r m i n e d a t g i v e n d i s c r e t e t i m e s , m a y b e v e r y r e s t r i c t i v e . T h i s i s b e c a u s e t h e y r u l e o u t t h e p o s s i b i l i t y f o r d e c i s i o n m a k e r s t o d e l a y t h e t a k i n g o f a n o p t i o n , " j u s t a l i t t l e b i t " , w h e n n e w i n f o r m a t i o n i n d i c a t e a c e r t a i n " g a i n " i n d o i n g s o . H e n c e , f o r m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g p u r p o s e s , c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s a r e m o r e a p p r o p r i a t e f o r d e s c r i b i n g i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y . M o r e o v e r , t h e y a r e m u c h e a s i e r t o w o r k w i t h . H o w e v e r , i n o r d e r t o r e fl e c t r e a l d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n s c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s s h o u l d e m b o d y e n o u g h r e s t r i c t i o n s t h a t l e a d t o o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s t h a t a r e d i s c r e t e ( i . e . , d i s c o n t i n u o u s ) f u n c t i o n s o f t i m e , w i t h d i s c o n t i n u i t y ( o r j u m p ) p o i n t s e n d o g e n o u s l y d e t e r m i n e d b y t h e m o d e l . A 4 . 1 . 7 C o n c l u s i o n T h i s a p p e n d i x w e h a v e p r e s e n t e d a c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y t h a t i s b a s e d o n S a v a g e ’ s ( 1 9 5 4 ) c o n c e p t u a l f r a m e w o r k . T h e m e a n i n g s o f s o m e o f S a v a g e ’ s c o n c e p t s w e r e c h a n g e d a n d o t h e r c o n c e p t s w e r e i n t r o d u c e d i n o r d e r t o b e t t e r d e s c r i b e t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s i n t h e p r e s e n c e o f u n c e r t a i n t y . T h e s e c h a n g e s w e r e j u s t i fi e d b o t h i n t u i t i v e l y a n d m a t h e m a t i c a l l y . T h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k l e a d s t o a c h o i c e s p a c e t h a t a l l o w s t h e a p p l i c a t i o n o f f u n c t i o n a l a n d c o n v e x a n a l y s i s , a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s m e t h o d s t o e x t e n d 4 3 0 a l l t h e r e s u l t s o f d e t e r m i n i s t i c c o n s u m e r a n d p r o d u c e r t h e o r y t o t h e c a s e " o f u n c e r t a i n t y . I t i s o n l y w i t h i n t h i s B a y e s i a n c o n c e p t u a l f r a m e w o r k w h e r e d e c i s i o n m a k e r s c h o o s e f r e e l y t h e i r b e l i e f s , t h a t t h e m a t h e m a t i c a l r e s u l t s o f c h a p t e r 3 c a n b e i n t e r p r e t e d . ” 3 T h e c o n c e p t u a l c h a n g e s m a d e t o S a v a g e ’ s o r i g i n a l s t a t i c f r a m e w o r k h a v e a l l o w e d u s t o e x t e n d i t e a s i l y t o i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n m a k i n g s i t u a t i o n s . A l t h o u g h t h e d i s c u s s i o n i n t h i s a p p e n d i x w a s i n f o r m a l , t h e e x t e n s i o n s h o w s c l e a r l y t h a t t h e w a y u n c e r t a i n t y i s p a r t i a l l y r e s o l v e d o v e r t i m e p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n d e s c r i b i n g i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s . T h e t h e o r y s t a r t e d i n A p p e n d i x A 4 . 2 a n d c h a p t e r 4 w i l l p r o v i d e a f o r m a l t r e a t m e n t o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y w h i c h w i l l b a s e d o n f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d m a r t i n g a l e t h e o r y . T h e a p p r o a c h i n A p p e n d i x A 4 . 2 a n d c h a p t e r 4 i s a x i o m a t i c a n d m o r e m a t h e m a t i c a l l y o r i e n t e d . N e v e r t h e l e s s , d e s p i t e t h e a b s t r a c t s e t t i n g , t h e t h e o r y s t a r t e d i n t h i s a p p e n d i x w i l l l e a d t o e m p i r i c a l l y t e s t a b l e c o m p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s t h a t p a r a l l e l t h e o n e s d e r i v e d i n c h a p t e r s 2 , 3 , a n d 5 ? “ T h e a b s t r a c t t h e o r y s t a r t e d i n A p p e n d i x A 4 . 2 a n d c h a p t e r 4 w i l l a l s o p r o v i d e e l a s t i c i t y , w e l f a r e i n d i c a t o r s , a n d o t h e r m e a s u r e s r e l a t e d t o i n t e r t e m p o r a l c h o i c e , a n d t h a t w i l l b e d i r e c t l y e s t i m a b l e u s i n g s t a n d a r d e c o n o m e t r i c t e c h n i q u e s . I n d e e d , t h i s i s a l r e a d y a p p a r e n t i n c h a p t e r 4 w h e r e t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k i s u s e d t o o u t l i n e a n e x t e n s i o n t o t h e i n t e r t e m p o r a l c a s e o f t h e s t a t i c t h e o r e t i c a l r e s u l t s d e r i v e d i n t h e t h e s i s . S t a r t i n g w i t h t h e s i m p l e r c a s e o f a s t a t i c c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y a l l o w s o n e t o g e t m o s t o f t h e n e w r e s u l t s a l l o w e d b y t h e u s e o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s i n g e n e r a l l i n e a r s p a c e m e t h o d s , w i t h o u t t h e a d d i t i o n a l c o m p l i c a t i o n s t h a t w o u l d r e s u l t f r o m t h e i n c o r p o r a t i o n o f i n f o r m a t i o n r e v e l a t i o n a n d i n t e r t e m p o r a l s u b s t i t u t i o n a s p e c t s i n t h e a n a l y s i s . ” 3 W e e m p h a s i z e a g a i n t h a t t h e f r e e c h o i c e o f b e l i e f s d o e s n o t p r e c l u d e t h e c h o s e n b e l i e f s t o b e i n fl u e n c e d p a s t b y b e l i e f s a n d / o r o t h e r i n d i v i d u a l s ’ b e l i e f s . T h a t i s , i n t e r d e p e n d e n c e o f i n d i v i d u a l b e l i e f s i s n o t r u l e d o u t . 2 " A n i n t e r t e m p o r a l a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d m o d e l i s o u t l i n e d a t t h e e n d o f A p p e n d i x 2 t o i l l u s t r a t e t h e c o n c e p t s o f t h e a x i o m a t i c s e t t i n g . 4 3 1 A P P E N D I X A 4 . 2 A N A X I O M A T I C F O U N D A T I O N O F I N T E R T E M P O R A L C H O I C E U N D E R U N C E R T A I N T Y A n A x i o m a t i c F o u n d a t i o n o f I n t e r t e m p o r a l C h o i c e u n d e r U n c e r t a i n t y : T h e P r i m i t i v e C o n c e p t s a n d B e h a v i o r a l / P s y c h o l o g i c a l P o s t u l a t e s . F i r s t , t h e p r i m i t i v e c o n c e p t s o f t h e e c o n o m i c a n a l y s i s a r e s e l e c t e d , a n d t h e n , e a c h o n e o f t h e s e p r i m i t i v e c o n c e p t s i s r e p r e s e n t e d b y a m a t h e m a t i c a l o b j e c t . . . S e c o n d , a s s u m p t i o n s o n t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e p r i m i t i v e c o n c e p t s a r e m a d e e x p l i c i t a n d a r e f u l l y s p e c i fi e d . M a t h e m a t i c a l a n a l y s i s t h e n e s t a b l i s h e s t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e s e a s s u m p t i o n s i n t h e f o r m o f t h e o r e m s . . . A n a x i o m a t i z e d t h e o r y s u b s t i t u t e s f o r a n a m b i g u o u s e c o n o m i c c o n c e p t a m a t h e m a t i c a l o b j e c t t h a t i s s u b j e c t t o e n t i r e l y d e fi n i t e r u l e s o f r e a s o n i n g . N o d o u b t t h e e c o n o m i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r i m i t i v e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s o f t h e t h e o r y i s f r e e , a n d t h i s i s i n d e e d o n e o f t h e s o u r c e s o f t h e p o w e r o f t h e a x i o m a t i c m e t h o d . . . B u t w h i l e a p r i m i t i v e c o n c e p t o f a n a x i o m a t i c t h e o r y a d m i t s d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s a t h e o r i s t w h o h a s c h o s e n o n e o f t h e m s u c c e e d s i n c o m m u n i c a t i n g h i s i n t e n d e d m e a n i n g w i t h l i t t l e a m b i g u i t y b e c a u s e o f t h e c o m p l e t e l y s p e c i fi e d f o r m a l c o n t e x t i n w h i c h h e o p e r a t e s . . . T h e a x i o m a t i z a t i o n o f a c e r t a i n p a r t o f e c o n o m i c t h e o r y a l s o r e q u i r e s a f u l l s p e c i fi c a t i o n o f t h e a s s u m p t i o n s u n d e r w h i c h a n y o n e o f i t s c o n c l u s i o n s i s a s s e r t e d . . . M o r e p o s i t i v e l y , t h e c o m p l e t e s p e c i fi c a t i o n o f a s s u m p t i o n s , t h e e x a c t s t a t e m e n t o f c o n c l u s i o n s , a n d t h e r i g o r o f t h e d e d u c t i o n s o f a n a x i o m a t i z e d s t u d y p r o v i d e a s e c u r e f o u n d a t i o n o n w h i c h t h e c o n s t r u c t i o n o f e c o n o m i c t h e o r y c a n p r o c e e d . . . T h e r e a s o n s I h a v e l i s t e d a l o n e w o u l d e x p l a i n w h y t h e p r o p o n e n t s o f a p a r t i c u l a r d r e a r y w e l c o m e i t s a x i o m a t i z a t i o n . S e v e r a l o f t h e s e r e a s o n s a l s o e x p l a i n w h y t h e o p p o n e n t s o f t h e s a m e t h e o r y m a y w e l c o m e i t s a x i o m a t i c f o r m s i n c e t h i s b r i n g s o u t m o r e s h a r p l y t h e a s p e c t s o f t h a t t h e o r y t o w h i c h t h e y o b j e c t . . . T h u s a x i o m a t i z a t i o n f a c i l i t a t e s t h e d e t e c t i o n o f l o g i c a l e r r o r s w i t h i n t h e m o d e l , a n d p e r h a p s m o r e i m p o r t a n t l y i t f a c i l i t a t e s t h e d e t e c t i o n o f c o n c e p t u a l e r r o r s i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e t h e o r y a n d i n i t s i n t e r p r e t a t i o n s ? ” A 4 . 2 . l T h e P r i m i t i v e C o n c e p t s A 4 . 2 . 1 . l P h y s i c a l p r i m i t i v e c o n c e p t s T i m e , s t a t e o f n a t u r e , a n d c o m m o d i t i e s W e p o s t u l a t e t h a t t h e p h y s i c a l e n v i r o m n e n t o f t h e d e c i s i o n m a k e r c a n b e d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g t h r e e c o n c e p t u a l o b j e c t s : T , ( I , a n d K . W h e r e , T i s t h e t i m e s e t o r p e r i o d . 0 i s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t a t e s o f t h e w o r l d o r n a t u r e h e o r s h e i s a w a r e o f ; w i t h a n e l e m e n t t o 7 ' ” G e r a r d D e b r e u o n " T h e A x i o m a t i z a t i o n o f E c o n o m i c T h e o r y " ; c i t e d b y W . H i l d e n b r a n d i n t h e i n t r o d u c t i o n o f D e b r e u ( 1 9 8 3 , p . 4 ) . 4 3 3 o f ( I b e i n g a p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e t h a t c o u l d o c c u r d u r i n g t h e t i m e i n t e r v a l T ? 5 6 K i s t h e s e t o f a l l c o m m o d i t i e s o r g o o d s a v a i l a b l e f o r t h e e n t i r e t i m e s e t T . T o fi x i d e a s , o n e c a n t a k e T t o b e a n i n t e r v a l o f t h e r e a l l i n e R , a n d K t o b e t h e E u c l i d e a n s p a c e R " . A 4 . 2 . 1 . 2 C o n c e p t u a l p r i m i t i v e c o n c e p t s W e p o s t u l a t e t h a t i n a n y c h o i c e s i t u a t i o n , t h e d e c i s i o n m a k e r i s c o n s c i o u s o f t h e f o l l o w i n g c o n c e p t u a l o b j e c t s : E v e n t s . 9 ' i s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e e v e n t s a s p e r c e i v e d b y t h e d e c i s i o n m a k e r . I t i s a s e t o f s u b s e t s o f ( I , a n e l e m e n t o f w h i c h i s a s u b s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e ? ” I t i s p o s t u l a t e d t h a t b o t h ( I a n d t h e e m p t y s e t E b e l o n g t o . 9 ” . f l i s t h e c e r t a i n e v e n t a n d Q i s t h e e v e n t t h a t n e v e r o c c u r s . I n f o r m a t i o n p r o fi l e , i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e , a n d i n f o r m a t i o n s e t 0 ‘ i s a s e t - v a l u e d m a p p i n g 0 ‘ : T - 2 " c a l l e d a p o s s i b l e i n f o r m a t i o n p r o fi l e ( o r i n f o r m a t i o n p a t h ) f o r t h e d e c i s i o n m a k e r . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t t h e u n i q u e s u b s e t S ( t ) C . 9 ' , c a l l e d t h e i n f o r m a t i o n s e t o f t h e d e c i s i o n m a k e r a t t i m e t . 2 5 8 T h e r a n g e o f 8 ‘ , w h i c h i s b y d e fi n i t i o n 0 ‘ ( T ) I { 0 ‘ ( t ) : t E T } , i s c a l l e d t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e a s s o c i a t e d w i t h 8 ‘ . H e n c e , a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e i s m e r e l y a f a m i l y o f s u b s e t s o f t h e s e t o f 2 " T h e s t a t e o f n a t u r e i s i n t e r p r e t e d h e r e i n a b r o a d s e n s e a n d i n c l u d e s t h e a c t i o n s o r d e c i s i o n s t a k e n b y a l l r e l e v a n t e c o n o m i c a g e n t s . U n c e r t a i n t y a r i s e s o n l y b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t a m o n g a l l t h e p o s s i b l e s t a t e s t h e c o n s u m e r d o e s n o t k n o w a a c t l y w h i c h m o n e i s t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e . ’ 5 " A n e v e n t i s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e b e l o n g s t o a g i v e n s u b s e t A o f 0 . A i s t h e n m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h t h a t e v e n t . ” 8 A n i n f o r m a t i o n s e t a t a t i m e t i s t h e f a c t k n o w n w i t h c e r t a i n t y b y t i m e t t h a t t h e t r u e s t a t e o f n a t u r e b e l o n g s t o o n e o f t h e s u b s e t s o f 0 t h a t a r e i n a g i v e n s u b s e t 8 ‘ , o f Y ( i . e . , 8 ‘ , i s a s e t o f e v e n t s c o n t a i n e d i n . 9 ) . 9 ‘ , i s t h e n m a t h e m a t i c a l l y i d e n t i fi e d w i t h t h a t i n f o r m a t i o n s e t . 4 3 4 e v e n t s . 9 2 L e t ' I t b e t h e s e t o f a l l p o s s i b l e i n f o r m a t i o n p r o fi l e s t h a t c a n b e c h o s e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r . H u m a n c a p i t a l s t o c k o r e x p e r t i s e l e v e l a n d e x p e r t i s e p r o fi l e i l - C i s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e " h u m a n c a p i t a l s t o c k s " o r s e t o f a l l p o s s i b l e l e v e l s o f " e x p e r t i s e " , w h i c h c o n s i s t s o f a l l p o s s i b l e l e v e l o f e x p e r t i s e t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r c a n p o s s e s s d u r i n g t h e e n t i r e t i m e i n t e r v a l T . A g e n e r i c e l e m e n t o f 1 H i s n o t e d h a n d i s c a l l e d a n e x p e r t i s e l e v e l o r e d u c a t i o n l e v e l o r s i m p l y s k i l l s . h i s a m a p p i n g h : T X D - » S H c a l l e d t h e e x p e r t i s e p r o fi l e o f t h e d e c i s i o n m a k e r . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e a t t h e u n i q u e e l e m e n t h ( t , w ) E { H w h i c h c o n s i s t s o f t h e e x p e r t i s e o r e d u c a t i o n l e v e l a c h i e v e d b y t h e d e c i s i o n m a k e r a t t i m e t u n d e r t h e s t a t e o f n a t u r e t o . F o r a g i v e n s t a t e o f n a t u r e o r , t h e m a p p i n g h ( . , w ) : T - ' 9 - ( t h a t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t t h e e x p e r t i s e l e v e l h ( t , w ) , i s c a l l e d a n e x p e r t i s e s a m p l e p a t h . L e t H d e s i g n a t e t h e s e t o f a l l a p e r t i s e p r o fi l e s . K n o w l e d g e , k n o w l e d g e p r o fi l e , a n d l e a r n i n g c u r v e F o r g i v e n h E H , a n d 8 ‘ E ‘ I t , t h e p a i r ( h ( t , 0 : ) , 8 ( 0 ) c o n s i s t i n g o f t h e e x p e r t i s e l e v e l a t t i m e t u n d e r s t a t e o f n a t u r e o r a n d o f t h e i n f o r m a t i o n s e t a t t i m e t , i s c a l l e d t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s k n o w l e d g e a t t i m e t u n d e r s t a t e o f n a t u r e w . T h e p a i r ( h , 8 ‘ ) i s t h e n c a l l e d a k n o w l e d g e p r o fi l e f o r t h e d e c i s i o n m a k e r , a n d f o r g i v e n s t a t e o f n a t u r e t o , t h e p a i r ( h ( . , w ) , 8 ‘ ) i s w h a t c a n b e c a l l e d a s a m p l e l e a r n i n g c u r v e o r s a m p l e l e a r n i n g p a t h . H e n c e , a k n o w l e d g e p r o fi l e u n i q u e l y d e t e r m i n e s a t e a c h t i m e a n d e a c h s t a t e o f n a t u r e , t h e e x p e r t i s e l e v e l a n d i n f o r m a t i o n s e t p o s s e s s e d b y t h e d e c i s i o n m a k e r . I t a l s o d e t e r m i n e s t h e " p a t h " a t w h i c h t h e d e c i s i o n m a k e r a c q u i r e s " n e w " i n f o r m a t i o n a n d i m p r o v e s h i s o r h e r e x p e r t i s e l e v e l c o r r e s p o n d i n g t o a n y s t a t e o f n a t u r e . 4 3 5 O p t i o n a n d O p t i o n p r o c e s s 9 i s a s e t - v a l u e d m a p p i n g 9 : T x f l - > 2 K c a l l e d t h e s e t o f o p t i o n s p r o c e s s f o r t h e d e c i s i o n m a k e r . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e o r t h e u n i q u e s u b s e t ( p o s s i b l y e m p t y ) 9 , ( w ) o f t h e s e t o f c o m m o d i t i e s K . 9 , ( w ) i s t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s s e t c o n s i s t i n g o f a l l o p t i o n s a v a i l a b l e a t t i m e I u n d e r t h e s t a t e o f n a t u r e t o . W h e n 9 , ( w ) i s e m p t y , t h e n i t i s c a l l e d t h e e m p t y o p t i o n s e t , c o n s i s t i n g o f " t h e c a s e w h e n t h e d e c i s i o n m a k e r h a s n o o p t i o n a v a i l a b l e ( o r h a s r u n o u t o f o p t i o n s ) t o t a k e " . F o r s i m p l i c i t y , w e a s s u m e t h a t 9 , ( w ) i s n o n e m p t y f o r a l l t E T a n d w E 0 . 5 " L e t t h e s e t 9 = 9 1 6 ‘ S K b e t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s s e t o f a l l a v a i l a b l e o p t i o n s f o r t h e e n t i r e t i m e i n t e r v a l T . ” A g e n e r i c e l e m e n t o f 9 i s n o t e d 0 . I t i s a s s u m e d t h a t t h e r e e x i s t s a n o p t i o n 0 E Q 9 , w h i c h i s c a l l e d t h e " z e r o o p t i o n " . 5 6 i 0 i s a m a p p i n g 0 : T X ! ) - > 9 c a l l e d a n o p t i o n p r o c e s s . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e t o o n e p o s s i b l e a v a i l a b l e o p t i o n 0 ( t , t o ) E 9 , ( w ) . F o r a g i v e n s t a t e o f n a t u r e o r E 0 , t h e m a p p i n g 0 ( . , w ) : T - ’ 9 i s c a l l e d a s a m p l e o p t i o n p a t h . L e t O b e t h e s e t o f a l l o p t i o n s p r o c e s s e s . 5 ‘ R u l i n g o u t c a s e s w h e r e 9 , ( w ) i s e m p t y i s n o t r e s t r i c t i v e f o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s . T h e a s s u m p t i o n c a n b e r e l a x e d , b u t a t t h e c o s t o f a d d i t i o n a l c o m p l e x i t i e s i n n o t a t i o n s a n d c o n c e p t s . ‘ 5 I t c a n b e n o t e d t h a t t h e n o n e m p t y o p t i o n s e t s m a y ( a n d a r e l i k e l y t o ) b e o v e r l a p p i n g . T h i s i s b e c a u s e a n o p t i o n 0 ( t , w ) E 9 , ( w ) m a y s t i l l b e a v a i l a b l e a t f u t u r e t i m e i f i t i s n o t t a k e n a t t i m e t ( e i t h e r b y t h e d e c i s i o n m a k e r o r b y e x o g e n o u s f a c t o r s ) . L i k e w i s e , o p t i o n s t h a t w e r e n o t a v a i l a b l e i n t h e p a s t c a n b e c o m e a v a i l a b l e i n t h e f u t u r e . H e n c e , i n g e n e r a l t h e n o n e m p t y o p t i o n s e t s d o n o t f o r m a m o n o t o n i c f a m i l y o f n o n e m p t y s e t s . A n e x a m p l e w h e r e t h e y d o f o r m a n o n - i n c r e a s i n g m o n o t o n i c f a m i l y , i s t h e c a s e o f e x t r a c t i o n o f n o n - r e n e w a b l e r e s o u r c e s . I n t h i s c a s e , t h e o p t i o n s e t 9 , ( w ) c a n b e t h o u g h t a s b e i n g t h e s e t o f r e s o u r c e s r e m a i n i n g a t t i m e t , s o t h a t 6 , ( w ) c a n o n l y s h r i n k o v e r t i m e . 5 ‘ A s i t w i l l b e c l e a r b e l o w , h e r e w e a r e m a k i n g t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a s e w h e n 6 , ( w ) i s e m p t y s o t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r h a s n o a v a i l a b l e o p t i o n s t o t a k e , a n d t h e c a s e w h e n 6 , ( w ) i s n o n e m p t y s o t h a t o p t i o n s a r e a v a i l a b l e , b u t t h e d e c i s i o n m a k e r d e c i d e s t o t a k e n o o p t i o n . I n t h i s l a t e r c a s e w e w o u l d s a y t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r i s t a k i n g t h e z e r o o p t i o n . 4 3 6 A c t , a c t i o n , a c t p r o c e s s , a n d l i n e o f a c t i o n A i s t h e s e t o f a l l p o s s i b l e a c t s t h a t c a n b e t a k e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r . A g e n e r i c e l e m e n t o f A i s c a l l e d a n a c t a n d i s n o t e d a . a i s a m a p p i n g a : fl f x e x T — > A c a l l e d a n a c t i o n . I t a s s o c i a t e s t o e a c h e x p e r t i s e l e v e l h E 0 1 ; , o p t i o n 0 E 9 , a n d t i m e t E T , t h e u n i q u e a c t a ( h , 0 , t ) E A c o n s i s t i n g o f " u s i n g t h e e x p e r t i s e l e v e l h t o t a k e t h e o p t i o n 0 a t t i m e t " . F o r a l l e x p e r t i s e l e v e l h , t h e a c t a ( h , 0 , t ) i s t h e " d o n o t h i n g " a c t c o n s i s t i n g o f " t a k i n g t h e ’ z e r o o p t i o n ’ a t t i m e t " ? ‘ 2 ’ 2 6 3 F o r g i v e n a c t i o n a , e x p e r t i s e p r o fi l e h , a n d o p t i o n p r o c e s s 0 , t h e m a p p i n g 1 ) : T X Q - A i s c a l l e d t h e a c t p r o c e s s o f t h e d e c i s i o n m a k e r . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e o r t h e u n i q u e e l e m e n t g ( t , w ) a a ( h ( t , w ) , 0 ( t , w ) , t ) E A c o n s i s t i n g o f " t h e a c t t a k e n a t t i m e t u n d e r t h e s t a t e o f n a t u r e o r . F o r a g i v e n s t a t e o f n a t u r e a : E 0 , t h e m a p p i n g n ( . , w ) : T - ' A i s c a l l e d a s a m p l e a c t i o n p a t h o r s a m p l e l i n e o f a c t i o n . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t t h e a c t g ( t , w ) - a ( h ( t , w ) , 0 ( t , w ) , t ) w h i c h i s t a k e n a t t i m e t u n d e r t h e s t a t e o f n a t u r e o r . A c t i n g t i m e a n d c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e T h e t i m e t E T i n t h e a c t a ( h , 0 , t ) i s c a l l e d t h e a c t i n g ( o r i m p l e m e n t a t i o n ) t i m e f o r t h e o p t i o n 0 ? “ F o r a fi x e d o p t i o n 0 E 9 , i t s a c t i n g o r i m p l e m e n t a t i o n t i m e t ( 0 ) , m a y 2 " W h e n 6 , ( w ) i s t h e e m p t y o p t i o n s e t , t h e n o n e w o u l d s a y t h a t w e h a v e a " ’ n o o p t i o n ’ c a s e a t t i m e t " . B u t , o u t s i d e r s w h o c a n n o t o b s e r v e 9 , ( t o ) m a y n o t b e a b l e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n a " d o n o t h i n g " a c t a n d a " n o o p t i o n " c a s e . 2 ‘ 3 F o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s , w e c a n a l w a y s i d e n t i f y t h e a c t a ( h , 0 , t ) w i t h t h e t r i p l e t ( h , 0 , t ) . T h i s i s b e c a u s e a i s n o t o b s e r v a b l e ( o r a t l e a s t n o t m e a s u r a b l e ) w h e r e a s ( h , 0 , t ) c a n b e o b s e r v e d a n d m e a s u r e d i n m o s t p r a c t i c a l s i t u a t i o n s ( o n e c a n u s e p r o x i e s l i k e e d u c a t i o n l e v e l t o g e t a m e a s u r e o f h ) 2 “ A l t h o u g h t i m e i s c o n t i n u o u s , b e c a u s e o f b i o l o g i c a l a n d i n s t i t u t i o n a l c o n s t r a i n t s i n m o s t r e a l i s t i c i n t e r t e m p o r a l d e c i s i o n s i t u a t i o n s a c t s t h a t a r e n o t " d o n o t h i n g " a c t s a r e t a k e n o n l y a t d i s c r e t e t i m e s . T h a t i s , t h e s e t { t E T : a ( h , 0 , t ) a t a ( h , 0 , t ) ; h E 2 H , 6 E 6 } i s c o u n t a b l e . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t m e a n t h a t d i s c r e t e t i m e s e t s ( i . e T E N ) a r e m o r e a p p r o p r i a t e f o r m o d e l l i n g i n t e r t e m p o r a l c h o i c e . O n t h e c o n t r a r y , s i n c e t h e t i m i n g o f t h e d e c i s i o n s o r a c t s a r e t h e m s e l v e s e n d o g e n o u s ( i . e c h o s e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r ) , c o n t i n u o u s t i m e s e t s ( i . e T E R ) a r e m o r e a p p r o p r i a t e f o r i n t e r t e m p o r a l c h o i c e 4 3 7 p o s s i b l y d e p e n d o n t h e s t a t e o f n a t u r e o r . I n t h i s c a s e , t h e m a p p i n g t ( 0 ) : ( l - > T w h i c h a s s o c i a t e s t o e a c h s t a t e o f n a t u r e a n , t ( 0 ) ( w ) , t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n t i m e o f 0 , i s c a l l e d t h e c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e f o r 0 . F o r e x a m p l e , t h e d e c i s i o n m a k e r m a y c o n d i t i o n t h e t a k i n g o f t h e o p t i o n 6 o n t h e o c c u r r e n c e o f a n e v e n t B , e l e m e n t o f . 7 , b y s a y i n g t h a t : " o p t i o n 0 w i l l b e t a k e n i f e v e n t B o c c u r s " . T h e t i m e t ( B ) E T w h e n e v e n t B o c c u r s i s t h e n , b y d e fi n i t i o n , t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n t i m e o f 0 , a n d i s e q u a l t o t ( 0 ) ( w ) . C o n t i n g e n t a c t F o r a fi x e d t i m e t t h e m a p p i n g h ( t , . ) : 9 _ . A i s c a l l e d a c o n t i n g e n t a c t . I t a s s o c i a t e s t o e a c h s t a t e o f n a t u r e t o t h e a c t h ( t , w ) a a ( h ( t , w ) , 0 ( t , w ) , t ) w h i c h i s t a k e n a t t i m e t i f t h e s t a t e o f n a t u r e t o p r e v a i l s . T h e t i m e t i s t h e n c a l l e d t h e c o n s t a n t a c t i n g t i m e o r t i m i n g o f t h e c o n t i n g e n t a c t g ( t , . ) . I f g ( t , ) t a k e s a c o n s t a n t v a l u e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e t o , t h e n h ( t , . ) i s c a l l e d a c o n s t a n t o r n o n - c o n t i n g e n t a c t . W h e n t : ( I - ’ T i s a c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e f o r s o m e o p t i o n 0 , t h e n t h e m a p p i n g n ( t ( . ) , . ) : 0 - r A i s s t i l l c a l l e d a c o n t i n g e n t a c t . B a s i c a l l y , a c o n t i n g e n t a c t a ( t , . ) I a ( h ( t , . ) , 0 ( t , . ) , t ) i s a " p r o j e c t e d " a c t w h o s e r e a l i z a t i o n i s c o n d i t i o n e d o n t h e o c c u r r e n c e o f a n e v e n t B e l e m e n t o f . 7 : " o p t i o n 0 ( B ) w i l l b e t a k e n i f e v e n t B o c c u r s " ; t h e t i m e t ( 0 ( B ) ) w h e n e v e n t B o c c u r s i s t h e n , b y d e fi n i t i o n , a c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e f o r t h e o p t i o n 0 ( B ) ? " M o r e o v e r , i f o n e c o n s i d e r s a n o n c o n t i n g e n t a c t a s a n s p e c i a l c o n t i n g e n t a c t w h o s e r e a l i z a t i o n i s c o n d i t i o n e d o n t h e o c c u r r e n c e o f t h e e v e n t ( 1 , t h e n a l l a c t s a r e c o n t i n g e n t a c t s ? “ s i t u a t i o n s . 2 “ A c o n t i n g e n t a c t m a y c o n s i s t o f t h e " d o n o t h i n g " a c t : " d o n o t h i n g i f e v e n t B o c c u r s " . F u r t h e r m o r e , i f w e a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y o f t h e s e t o f a v a i l a b l e o p t i o n s t o b e e m p t y , t h e n a c o n t i n g e n t a c t n e e d n o t l e a d t o a " r e a l " o b s e r v a b l e a c t . 2 “ M a t h e m a t i c a l l y , a c o n t i n g e n t a c t i s a r a n d o m v a r i a b l e . S i n c e a n y r a n d o m v a r i a b l e w i t h a c o n s t a n t v a l u e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f n a t u r e c a n s t i l l b e c o n s i d e r e d a s a r a n d o m v a r i a b l e , a c o n s t a n t o r n o n - c o n t i n g e n t a c t i s a l s o a c o n t i n g e n t a c t . S i m i l a r l y , w e c a n c o n s i d e r a l l a c t i n g t i m e a s 4 3 8 C o n t i n g e n t p l a n F o r g i v e n a c t i o n a , e x p e r t i s e p r o fi l e h , a n d o p t i o n p r o c e s s 0 , t h e m a p p i n g a ( h , 0 ) : 0 - ' A T d e fi n e d b y a ( h , 0 ) ( w ) E h ( . , w ) a a ( h ( . , w ) , 0 ( . , w ) , . ) i s c a l l e d t h e c o n t i n g e n t p l a n o f t h e d e c i s i o n m a k e r c o r r e s p o n d i n g t o h a n d 0 f o r t h e e n t i r e t i m e p e r i o d T . I t a s s o c i a t e s t o e a c h s t a t e o f n a t u r e t o t h e u n i q u e s a m p l e a c t i o n p a t h o r l i n e o f a c t i o n 1 1 ( - , ( . 0 ) . L e t 1 1 b e t h e s e t o f a l l p o s s i b l e c o n t i n g e n t p l a n s . 2 6 7 I n f o r m e d a c t , i n f o r m e d a c t p r o c e s s , i n f o r m e d c o n t i n g e n t a c t , a n d i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n F o r g i v e n a c t i o n a , e x p e r t i s e p r o fi l e h , o p t i o n p r o c e s s 0 , a n d i n f o r m a t i o n p r o fi l e 8 ‘ , t h e p a i r ( 1 ) , 8 ‘ ) i s c a l l e d a n i n f o r m e d a c t p r o c e s s . F o r e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e t o t h e p a i r ( 2 , 0 , o r ) , 8 ( t ) ) a ( a ( h ( t , w ) , 0 ( t , w ) , t ) , 8 ‘ ( t ) ) E A X Z ' i s t h e i n f o r m e d a c t c o n s i s t i n g o f " t h e a c t t a k e n a t t i m e t u n d e r t h e s t a t e o f n a t u r e o r a n d u s i n g t h e i n f o r m a t i o n s e t 8 ( t ) " . O r m o r e p r e c i s e l y , o f " t h e o p t i o n 0 ( t , w ) t a k e n a t t i m e t b a s e d o n t h e e x p e r t i s e l e v e l h ( t , w ) a n d i n f o r m a t i o n s e t 8 ( t ) " . S i m i l a r l y , t h e p a i r ( h ( t , ) 8 ‘ ( t ) ) i s c a l l e d a n i n f o r m e d c o n t i n g e n t a c t a n d t h e p a i r ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) i s c a l l e d a n i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n o r k n o w l e d g e a b l e c o n t i n g e n t p l a n ? ‘ 5 8 S t r a t e g y o r g a m e p l a n F o r a g i v e n a c t i o n a , t h e m a p p i n g 3 ” - H X O X V I V » I I X ‘ I ' d e fi n e d b y { ( 1 1 , 0 , 8 ‘ ) a ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) i s c a l l e d t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s s t r a t e g y o r g a m e p l a n . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t r i p l e t c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e . A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n c o n s i d e r c o n t i n g e n t a c t s a n d t h e i r t i m i n g t o b e c o n d i t i o n e d o n t h e o c c u r r e n c e o f t h e e v e n t 0 : " o p t i o n 0 ( t ) w i l l b e t a k e n a t t i m e t r e g a r d l e s s o f t h e p r e v a i l i n g s t a t e o f n a t u r e " . 2 ‘ 7 A g a i n , s i n c e t h e a c t i o n a i s n o t o b s e r v a b l e , f o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s w e c a n i d e n t i f y t h e c o n t i n g e n t p l a n a ( h , 0 ) w i t h t h e p a i r e x p e r t i s e p r o fi l e - o p t i o n p r o c e s s ( h , 0 ) w h o s e v a l u e s a r e o b s e r v a b l e . 2 “ S i n c e w e c a n i d e n t i f y t h e c o n t i n g e n t p l a n a ( h , 0 ) w i t h t h e p a i r ( h , 0 ) , a n d t h e p a i r ( h , 8 ‘ ) h a s a l r e a d y b e e n c a l l e d a k n o w l e d g e p r o fi l e , t h e r e i s n o p r o b l e m f o r c a l l i n g t h e p a i r ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) b o t h a n i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n a n d a k n o w l e d g e a b l e c o n t i n g e n t p l a n . 4 3 9 e x p e r t i s e p r o fi l e , o p t i o n p r o c e s s , a n d i n f o r m a t i o n p r o fi l e t h e c o r r e s p o n d i n g i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n . L e t E b e t h e s e t o f a l l p o s s i b l e s t r a t e g i e s . ” H e n c e , g i v e n t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s a c t i o n a , h i s o r h e r c h o i c e o f a s t r a t e g y 3 ' E 2 c o n s i s t s e s s e n t i a l l y o f : ( 1 ) t h e s e l e c t i o n o f a n e x p e r t i s e o r s k i l l p r o fi l e h f r o m H , ( 2 ) t h e s e l e c t i o n o f a n o p t i o n p r o c e s s 0 f r o m O , a n d ( 3 ) t h e s e l e c t i o n o f a n i n f o m z a t i o n p r o fi l e 8 ‘ f r o m ‘ I ' . T h e n a g i v e s t h e c o n t i n g e n t p l a n a ( h , 0 ) w h i c h t e l l s t h e d e c i s i o n m a k e r h o w t o i m p l e m e n t t h e o p t i o n p r o c e s s 0 o v e r t h e e n t i r e t i m e s e t T u s i n g t h e e x p e r t i s e p r o fi l e h . T h e c o n t i n g e n t p l a n a ( h , 0 ) i s t h e n i m p l e m e n t e d o v e r t i m e , b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e 8 0 ‘ ) E { 8 ( t ) : t E T } p r o v i d e d b y t h e s e l e c t e d i n f o r m a t i o n p r o fi l e 8 ‘ . A c t - c o n s e q u e n c e m a p p i n g , c o n s e q u e n c e , o u t c o m e , a n d o u t c o m e p r o c e s s x i s a m a p p i n g x : A a K 0 c a l l e d t h e a c t - c o n s e q u e n c e m a p p i n g . I t a s s o c i a t e s t o e a c h a c t i o n a E A , t h e u n i q u e e l e m e n t x ( a , . ) E K “ c a l l e d t h e c o n s e q u e n c e o f t h e a c t a w h i c h i t s e l f , i s a m a p p i n g f r o m ( I t o t h e s e t o f c o m m o d i t i e s K t h a t a s s o c i a t e s t o e a c h s t a t e o f n a t u r e t o t h e c o m m o d i t y x ( a , o r ) c a l l e d t h e o u t c o m e o f a c t i o n a w h e n t h e s t a t e o f n a t u r e t o p r e v a i l s . F o r a g i v e n ( i n f o r m e d ) c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) , t h e m a p p i n g 0 : T X D - K d e fi n e d b y o ( t , w ) 5 x ( ( a ( h ( t , w ) , 0 ( t , o r ) , t ) , 8 ( t ) ) , w ) i s c a l l e d t h e o u t c o m e p r o c e s s c o r r e s p o n d i n g t o t h e ( i n f o r m e d ) c o n t i n g e n t p l a n . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e t o t h e u n i q u e c o m m o d i t y o ( t , w ) I : x ( ( a ( h ( t , w ) , 0 ( t , w ) , t ) , 8 ‘ ( t ) ) , w ) c o n s i s t i n g o f " t h e o u t c o m e a t t i m e t o f t h e ( i n f o r m e d ) c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) w h e n t h e s t a t e o f n a t u r e o r p r e v a i l s " . F o r a g i v e n s t a t e o f n a t u r e o r E ( I , t h e m a p p i n g o ( . , w ) : T . . A i s c a l l e d a s a m p l e o u t c o m e p a t h . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t t h e o u t c o m e o ( t , w ) a x ( ( a ( h ( t , w ) , 0 ( t , w ) , t ) . 9 ( 0 ) . w ) . 2 " ” I f f o r t h e s a m e r e a s o n s a s i n f o o t n o t e 2 6 7 w e i d e n t i f y t h e i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) . w i t h t h e t r i p l e t ( h , 0 , 8 ‘ ) , t h e n a s t r a t e g y a l w a y s r e d u c e s t o t h e i d e n t i t y m a p p i n g . 4 4 0 F o r a g i v e n ( i n f o r m e d ) c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) , t h e m a p p i n g x ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) : Q - ’ K T u n i q u e l y d e fi n e d b y x ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) ( w ) E o ( . , w ) a x ( ( a ( h ( . , w ) , 0 ( . , w ) , . ) , 8 ‘ ) , w ) i s c a l l e d t h e c o n s e q u e n c e a s s o c i a t e d w i t h t h e ( i n f o r m e d ) c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) . I t a s s o c i a t e s t o e a c h s t a t e o f n a t u r e t o t h e u n i q u e s a m p l e o u t c o m e p a t h o ( . , t o ) . L e t C b e t h e s e t o f a l l p o s s i b l e c o n s e q u e n c e s . E n d o w m e n t p r o fi l e a n d e n d o w m e n t s e t 2 ’ i s a s e t - v a l u e d m a p p i n g 8 ’ : T x fl - > 2 K c a l l e d t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s e n d o w m e n t p r o fi l e . I t a s s o c i a t e s t o e a c h t i m e t a n d s t a t e o f n a t u r e t o t h e u n i q u e s u b s e t a x e ) E K c a l l e d t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s e n d o w m e n t s e t , a n d w h i c h c o n s i s t s o f " a l l t h e c o m m o d i t i e s t h e d e c i s i o n m a k e r i s e n d o w e d w i t h a t t i m e t w h e n t h e s t a t e o f n a t u r e t o p r e v a i l s . ” o _ W e c a n a s s u m e t h a t 2 1 w ) E O , ( w ) f o r a l l t E T a n d w E ( I . T h a t i s , p o s s i b l e e n d o w m e n t s a r e p a r t o f t h e c o r r e s p o n d i n g o p t i o n s e t s , a n d h e n c e a r e a v a i l a b l e o p t i o n s t h a t c a n b e t a k e n b y t h e d e c i s i o n m a k e r . A 4 . 2 . l . 3 P s y c h o l o g i c a l p r i m i t i v e c o n c e p t s W e p o s t u l a t e t h a t w h e n e v e r a n i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r i s i n a c h o i c e s i t u a t i o n , h e o r s h e p o s s e s s e s t h e f o l l o w i n g t h r e e c o n c e p t u a l o b j e c t s : P , t , , a n d 2 , . I ) i s t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p e r c e p t i o n o f t h e i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f t h e p h y s i c a l a n d c o n c e p t u a l o b j e c t s a l o n g w i t h t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e m . a , i s t h e d e c i s i o n m a k e r ’ s p r e f e r e n c e o v e r a l t e r n a t i v e c o n s e q u e n c e s . i f i s h i s o r h e r s e t o f b e l i e f s o r s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t s o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e d i f f e r e n t e v e n t s ; 2 7 " S i n c e t h e d e c i s i o n m a k e r i s a l w a y s e n d o w e d w i t h h i s o r h e r l a b o r , t h e e n d o w m e n t s e t i s a l w a y s n o n e m p t y . 4 4 1 A 4 . 2 . 2 B e h a v i o r a l / p s y c h o l o g i c a l P o s t u l a t e s L i n k i n g t h e P r i m i t i v e C o n c e p t s W e p o s t u l a t e t h a t w h e n e v e r t h e d e c i s i o n m a k e r i s i n a c h o i c e s i t u a t i o n , t h e f o l l o w i n g h a p p e n s : A 4 . 2 . 2 . 1 S u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f e v e n t s H e o r s h e i s a b l e t o f r e e l y s e l e c t a n e l e m e n t : 2 , E S E t o c o m p l e t e l y a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e e v e n t s , e l e m e n t s o f . 7 w i t h : f o r E , F E . 9 ; E t , F m e a n i n g t h e e v e n t E i s m o r e l i k e l y t o o c c u r t h a n t h e e v e n t F . A 4 . 2 . 2 . 2 A w a r e n e s s o f c o n s e q u e n c e s o f a c t s a n d t h e c o n s t r a i n t s o n t h e m H e o r s h e i s fi t l l y a w a r e t h a t g i v e n h i s o r h e r k n o w l e d g e p r o fi l e ( h , 8 ‘ ) E H X ‘ I ’ a n d s e t o f a v a i l a b l e o p t i o n s 9 , a n y o f h i s o r h e r p o s s i b l e i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) E I I X ‘ I ' w i l l l e a d t o a w e l l d e fi n e d c o n s e q u e n c e x ( a ( h , 0 ) , 8 ) t h e r e a l i z a t i o n o f w h i c h i s a n o u t c o m e o ( . , w ) a x ( ( a ( h ( . , w ) , 0 ( . , w ) , . ) , 8 ‘ ) , w ) E O , w h i c h n o t o n l y d e p e n d s o n t h e c h o s e n i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n ( a ( h , 0 ) , 8 ‘ ) , b u t a l s o o n t h e f u t u r e r e a l i z e d s t a t e o f n a t u r e t o . M o r e o v e r , h e o r s h e i s a l s o f u l l y a w a r e t h a t t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a n y i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n m u s t b e w i t h i n t h e c o n s t r a i n t s A ( S ) d e t e r m i n e d b y h i s o r h e r e n d o w m e n t p r o fi l e 8 ’ . A 4 . 2 . 2 . 3 " B e l i e f s - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n o f t h e c o n s e q u e n c e s H e o r s h e u s e s t h e s e l e c t e d l i k e l i h o o d o r d e r i n g : , t o " a d j u s t " h i s o r h e r p e r c e p t i o n P o f t h e c o n s e q u e n c e s i n C a n d t h e i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e m , a c c o r d i n g t o t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e p o s s i b l e o u t c o m e s o f e a c h o f t h e c o n s e q u e n c e s i n C . ‘ A 4 . 2 . 2 . 4 P r e f e r e n c e o r d e r i n g o f t h e c o n s e q u e n c e s H e o r s h e u s e s z , t o c o m p l e t e l y r a n k i n a c o n s i s t e n t m a n n e r a l l t h e e l e m e n t s o f C , t a k i n g i n t o a c c o u n t h i s o r h e r " b e l i e f s - a d j u s t e d " p e r c e p t i o n o f t h e m a n d t h e i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p e x i s t i n g a m o n g t h e m w i t h : f o r x , y E C , x a ] , y m e a n i n g x i s p r e f e r r e d t o y . 4 4 2 A 4 . 2 . 2 . 5 O p t i m a l i t y o f a c t i o n s o r d e c i s i o n s A 4 . 2 . 2 . 5 a O p t i m a l i t y o f b e l i e f a s s e s s m e n t s T h e s e l e c t i o n o f a n e l e m e n t z , f r o m S E t o a s s e s s t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f t h e e l e m e n t s o f . 7 i s o p t i m a l i n t h e s e n s e t h a t g i v e n h i s k n o w l e d g e ( h o , 8 0 ) a t t h e i n i t i a l t i m e o f d e c i s i o n , t h e c h o s e n l i k e l i h o o d a s s e s s m e n t i s t h e o n e , a m o n g a l l l i k e l i h o o d a s s e s s m e n t s i n 5 8 t h a t y i e l d s t h e m a x i m u m s a t i s f a c t i o n f o r a n y s t r a t e g y ( i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n ) t h e d e c i s i o n m a k e r c a n c h o o s e . I n o t h e r w o r d s , f o r a n y i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n t h a t m i g h t b e s e l e c t e d f r o m A ( S ‘ ) , h e o r s h e c a n n o t i m p r o v e h i s o r h e r w e l f a r e b y s e l e c t i n g , i n s t e a d o f z , , a n a l t e r n a t i v e l i k e l i h o o d a s s e s s m e n t t , ’ f r o m £ 8 A 4 . 2 . 2 . 5 b P r e f e r e n c e m a x i m i z a t i o n F i n a l l y , g i v e n t h e o p t i m a l s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d s o f t h e e l e m e n t s o f . 7 , a n d t h e a b o v e r a n k i n g o f t h e e l e m e n t s o f C , h e o r s h e c h o o s e s a n e l e m e n t f r o m t h e s e t A ( Z ) o f f e a s i b l e i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n s , i n a m a n n e r c o n s i s t e n t w i t h t h e f a c t t h a t a m o n g a l l t h e c o n s e q u e n c e s i n a g i v e n s u b s e t C ( 3 ) o f C c o r r e s p o n d i n g t o A ( Z ) , a p a r t i c u l a r o n e i s h i s o r h e r m o s t p r e f e r r e d c o n s e q u e n c e . I n o t h e r w o r d s , t h e p a r t i c u l a r c o n s e q u e n c e t h a t t h e a c t w i l l l e a d t o h a s t h e h i g h e s t r a n k i n t h i s c h o i c e s i t u a t i o n w h e n z p i s r e s t r i c t e d t o C ( S ) . A 4 . 2 . 3 A p p l i c a t i o n : A n a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d m o d e l T h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d m o d e l o u t l i n e d b e l o w i s a n a p p l i c a t i o n o f t h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k o f d e c i s i o n m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y j u s t o u t l i n e d . I t i s g e n e r a l i n n a t u r e a n d d o e s n o t a t t e m p t t o r e p r e s e n t a l l t y p e s o f b e h a v i o r o r c o v e r e v e r y a s p e c t o f t h e a g r i c u l t u r a l 4 4 3 h o u s e h o l d e n v i r o n m e n t . N o n e t h e l e s s , i t s e m p i r i c a l r e l e v a n c e i s n o t d i m i n i s h e d b e c a u s e i t c a n b e e a s i l y a d a p t e d t o a n y p a r t i c u l a r s i t u a t i o n o n c e t h e e m p i r i c a l d a t a i s o n h a n d . W e a s s u m e t h a t t h e o b j e c t i v e o f t h e h o u s e h o l d i s t o m a x i m i z e s a t i s f a c t i o n f r o m i t s l i f e t i m e a c c u m u l a t e d l e v e l o f c o n s u m p t i o n o f g o o d s w h i c h i n c l u d e b o t h f o o d a n d n o n - f o o d c o m m o d i t i e s ( m o r e o n t h i s s h o r t l y ) . A s e x p l a i n e d i n A p p e n d i x A 4 . 1 a n d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h i s o b j e c t i v e i s a c h i e v e d t h r o u g h t h e c h o i c e a n d i m p l e m e n t a t i o n o f o p t i m a l i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n s . A l s o , a s e x p l a i n e d i n A p p e n d i x A . 4 . 1 w e a s s u m e t h a t a t a n y p o i n t i n t i m e t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d i s o p e r a t i n g a l o n g o n e o p t i m a l i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n . T h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d c a n c h o o s e o r a b a n d o n a g i v e n o p t i m a l i n f o r m e d c o n t i n g e n t p l a n a t a n y p o i n t i n t i m e . H o w e v e r , a c r u c i a l s t a g e i n t h e d e c i s i o n p r o c e s s i s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e g r o w i n g s e a s o n w h e r e p r o d u c t i o n d e c i s i o n s o r p l a n s m u s t b e m a d e o r r e v i s e d . A n o t h e r c r u c i a l s t a g e i n t h e d e c i s i o n p r o c e s s i s a t h a r v e s t w h e r e t h e c o n s u m p t i o n , s a v i n g , m a r k e t i n g , a n d o f f - f a r m e m p l o y m e n t d e c i s i o n s o r p l a n s m u s t b e m a d e o r r e v i s e d i n l i g h t o f t h e h a r v e s t e d c r o p s . T h e f o l l o w i n g p a r a g r a p h s d e s c r i b e m o r e i n d e t a i l t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s d e c i s i o n p r o c e s s . T h e u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d i s d e s c r i b e d b y a s e t 0 c o n t a i n i n g a l l r e l e v a n t p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e . A p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e a : I ( s , g , b ) , i n c l u d e s t h e ( r a n d o m ) v e c t o r o f g o v e r n m e n t p o l i c y v a r i a b l e s g , t h e ( r a n d o m ) v e c t o r o f t h e c e n t r a l b a n k ’ s p o l i c y v a r i a b l e s b , a n d a l l t h e r e m a i n i n g s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y s w h i c h i n c l u d e s t h e c l i m a t i c v a r i a b l e s ( l e v e l a n d d i s t r i b u t i o n o f r a i n f a l l , w i n d s , i n s e c t i n v a s i o n s , e t c . . . ) , a n d t h e a c t i o n s t a k e n b y o t h e r f a r m e r s a n d m a r k e t p a r t i c i p a n t s ( w h i c h a f f e c t t h e d i v e r s i t y a n d a g g r e g a t e l e v e l o f o u t p u t a n d r e l a t i v e p r i c e s a t h a r v e s t ) , e t c . . . A t a n y p o i n t t o f i t s l i f e t i m e , t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d i n f o r m a t i o n s e t 8 ‘ ( t ) i s m a d e u p o f t h e h i s t o r i c a l e v o l u t i o n o f t h e c l i m a t i c v a r i a b l e s , t h e c o n d i t i o n o f i t s fi e l d s ( s o i l q u a l i t y , e r o s i o n , e t c . . . ) , i t s 4 4 4 c r o p p r o d u c t i o n , d o m e s t i c m a r k e t p r i c e s ( b o t h i n t h e o f fi c i a l a n d p a r a l l e l m a r k e t s ) , p e r s o n a l i n c o m e , p e r s o n a l a s s e t s , a n d t h e r e a l i z a t i o n o f o t h e r r e l e v a n t r a n d o m v a r i a b l e s u p t o t i m e I . A l s o i n c l u d e d i n e a c h f a r m e r ’ s i n f o r m a t i o n s e t s a r e t h e c o n s u m p t i o n o u t c o m e s o f i t s p a s t d e c i s i o n s , t h e h i s t o r y o f t h e g o v e r m n e n t a g r i c u l t u r a l p o l i c y , a n d t h e o c c u r r e n c e o r n o t o f a n y e v e n t t h a t m i g h t a f f e c t t h e o u t c o m e s o f i t s d e c i s i o n s . A t a n y p o i n t t o f i t s l i f e t i m e , a n d f o r a n y p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e o r , t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s e x p e r t i s e o r h u m a n c a p i t a l s t o c k h ( t , w ) i s m a d e o f i t s l i t e r a c y a n d e d u c a t i o n l e v e l s , i t s f a r m i n g s k i l l s a n d o t h e r s k i l l s i n o f f - f a r m a c t i v i t i e s , t r a d i n g , e t c . . . . A l s o , a t a n y p o i n t t o f i t s l i f e t i m e , a n d f o r a n y p o s s i b l e s t a t e o f n a t u r e t o , t h e s e t 9 ( 0 ) ) o f o p t i o n s a v a i l a b l e t o t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d i s c o n s t i t u t e d b y a l l t h e i n p u t s o f d i f f e r e n t k i n d s i t c a n u s e i n t h e p r o d u c t i o n o f t h e d i f f e r e n t c r o p s , i n t h e o f f - f a r m e m p l o y m e n t a c t i v i t i e s , a n d c o n s u m p t i o n r e l a t e d a c t i v i t i e s . S i m i l a r l y , t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d e n d o w m e n t s e t a t t i m e t u n d e r t h e s t a t e o f n a t u r e w , 8 f ( w ) , - w h i c h d e t e r m i n e s t h e s e t o f f e a s i b l e a c t s - i n c l u d e i t s l a b o r e n d o w m e n t , p h y s i c a l a n d b i o l o g i c a l a s s e t s ( l a n d , e q u i p m e n t s , l i v e s t o c k , f o o d s t o c k s , c a s h , e t c . . . ) , a n d e n t i t l e m e n t o r r i g h t s ( a c c e s s t o c r e d i t , l a n d , a n d o t h e r i n p u t s ) , e t c . . . T h e s e t o f a c t s A i n c l u d e s t h e s e l e c t i o n o f c o m b i n a t i o n o f c r o p s t o g r o w , t h e a p p l i c a t i o n o f d i f f e r e n t i n p u t s i n e a c h o f t h e m ( s e e d i n g , f e r t i l i z e r a p p l i c a t i o n , t i l l i n g , w e e d i n g , h a r v e s t i n g , e t c . . . ) , a s w e l l a s t h e p e r f o r m a n c e o f o f f - f a r m a c t i v i t i e s , a n d o f c o n s u m p t i o n , t r a d i n g , a n d s t o r a g e - r e l a t e d a c t i v i t i e s , e t c . . . T h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s s e t o f c o n t i n g e n t a c t s a r e a l l t h e f e a s i b l e a c t s t h e p e r f o r m a n c e o f w h i c h i s c o n d i t i o n e d o n t h e o c c u r r e n c e o r n o t o f e v e n t s d e t e r m i n e d b y t h e s e t o f p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e 0 . T h e f o l l o w i n g a r e e x a m p l e s o f p o s s i b l e c o n t i n g e n t a c t s f o r t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d . ( 1 ) I w i l l s t a r t p l a n t i n g m y c r o p s a f t e r t h e s e c o n d r a i n f a l l . O r , I w i l l s t a r t p l a n t i n g m y c r o p s w h e n t h e s o i l i s " v e r y w e t " ( o r , t o b e p r e c i s e , w h e n t h e r a i n f a l l r e a c h e s 2 0 m m ) ( 2 ) I f b y t h e e n d o f J u n e t h e r e i s n o t " e n o u g h " w a t e r i n t h e s o i l I w i l l n o t a p p l y f e r t i l i z e r . 4 4 5 ( 3 ) I f t h e d r o u g h t p e r s i s t s u n t i l J u l y 3 0 t h , I w i l l a b a n d o n m y fi e l d s . O r , i f t h e d r o u g h t p e r s i s t s u n t i l J u l y 3 0 t h , a n d i f I fi n d s o m e o n e w h o c a n l e n d m e m o n e y , t h e n I w i l l b o r r o w t o b u y s e e d a n d r e p l a n t m y fi e l d s . ( 4 ) I f t h e h a r v e s t i s g o o d t h i s y e a r , I w i l l p a y y o u b a c k y o u r m o n e y w h e n I s e l l m y c r o p s 2 m o n t h s a f t e r h a r v e s t . O r , I w i l l p a y y o u b a c k y o u r m o n e y w h e n I s e l l m y c r o p s a f t e r h a r v e s t . ( 5 ) I f t h e h a r v e s t i s n o t g o o d t h i s y e a r I w i l l m i g r a t e t o t h e c i t y . ( 6 ) I f t h i s y e a r ’ s h a r v e s t e d f o o d c r o p i s g o o d , a n d i f t h e g o v e r m n e n t d o e s n o t d e c r e a s e p e a n u t p r i c e s n e x t y e a r , t h e n I w i l l r e d u c e m y f o o d c r o p a c r e a g e n e x t y e a r . ( 7 ) S t a r t i n g n e x t y e a r I w i l l r o t a t e p e a n u t a n d m i l l e t i n m y fi e l d s t o l i m i t t h e l o s s o f s o i l n u t r i e n t s . ( 8 ) I w i l l b u y a s h e e p f o r f a t t e n i n g w h e n I h a r v e s t m y c r o p s . ( 9 ) I w i l l s e l l o n e o f m y s h e e p t o b u y r i c e w h e n e v e r I r u n o u t o f f o o d . ‘ ( 1 0 ) I w i l l s e l l h a l f o f m y s t o c k s o f m i l l e t i f i t s p r i c e r e a c h e s 1 0 0 C F A / k g . ( 1 1 ) I f t h e d r o u g h t p e r s i s t s u n t i l J u l y 3 0 t h , t h e n I w i l l s t a r t d e c r e a s i n g m y l e v e l o f f o o d c o n s u m p t i o n s o t h a t I c a n s a v e f o r n e x t y e a r . ( 1 2 ) I f t h e r e i s a n o t h e r d r o u g h t w i t h i n t h e 3 y e a r s , t h e n I w i l l l e a v e f a r m i n g f o r g o o d . ( 1 3 ) I f t h e g o v e r n m e n t d o e s n o t d e c r e a s e p e a n u t p r i c e s w i t h i n t h e n e x t 5 y e a r s , t h e n I w i l l s t a r t i n v e s t i n g i n m o r e f a r m e q u i p m e n t . ( 1 4 ) I w i l l s t o p f a r m i n g o n l y w h e n I a m 6 0 y e a r s o l d . B e f o r e c o n t i n u i n g t h e d e s c r i p t i o n o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s d e c i s i o n p r o c e s s , t h e r e a r e s e v e r a l b e h a v i o r a l c o n c e p t s i l l u s t r a t e d i n t h e a b o v e e x a m p l e s t h a t w e w a n t t o c o m m e n t o n . F i r s t , m o s t o f t h e e x a m p l e s a b o v e a r e p u r e c o n t i n g e n t a c t s . T h e o n l y e x c e p t i o n s a r e t h e o n e i n ( 7 ) , ( 8 ) , a n d ( 1 4 ) , a n d t h e s e c o n d e x a m p l e i n ( 4 ) w h i c h w i l l b e i m p l e m e n t e d r e g a r d l e s s o f t h e p r e v a i l i n g s t a t e o f n a t u r e . S e c o n d , w e n o t e t h a t f o r m o s t o f t h e m , t h e i r a c t i n g o r i m p l e m e n t a t i o n t i m e s a r e p u r e c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e s ( i . e , t h e t i m e s w h e n t h e y a r e r e s p e c t i v e l y i m p l e m e n t e d a r e r a n d o m ) . T h e o n l y e x c e p t i o n s a r e t h e e x a m p l e s w h i c h r e f e r t o J u l y 3 0 t h , a n d t h e e x a m p l e s i n ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) w h i c h w i l l b e i m p l e m e n t e d a t t h e e n d o f a 3 a n d 5 y e a r p e r i o d s , r e s p e c t i v e l y . A l s o , w e n o t e t h a t t h e t i m i n g o f t h e c o n t i n g e n t a c t s m a y v a r y f r o m t h e i m m e d i a t e f u t u r e t o a r e l a t i v e l y d i s t a n t f u t u r e . I n g e n e r a l , t h e y s p a n t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s l i f e t i m e . M o r e o v e r , s o m e o f t h e c o n t i n g e n t a c t s l i k e t h e o n e i n ( ' 7 ) a r e c y c l i c a l . T h i r d , e a c h o f t h e a c t s i n t h e s e c o n d e x a m p l e i n ( 3 ) , a n d i n ( 6 ) i s c o n d i t i o n a l o n t h e c o n j u n c t i o n o f t w o e l e m e n t a r y e v e n t s r e s p e c t i v e l y . T h e o t h e r s a r e c o n d i t i o n a l o n o n e 4 4 6 s i n g l e e v e n t . I n g e n e r a l , c o n t i n g e n t a c t s a r e m o r e c o m p l e x t h a n t h e s e . T h a t i s , t h e r e i s u s u a l l y a m u l t i t u d e o f c o n d i t i o n a l " i f " a n d / o r " w h e n " t h a t a r e a t t a c h e d t o a n y r e a l w o r l d c o n t i n g e n t a c t , a n d s o m e o f t h e " i f " a n d / o r " w h e n " m a y n o t b e c o n s c i o u s l y a r t i c u l a t e d . F o u r t h , s o m e o f t h e c o n t i n g e n t a c t s a r e i n c o m p a t i b l e , a n d t h u s c a n n o t b e l o n g t o t h e s a m e c o n t i n g e n t p l a n . C o n t i n g e n t p l a n s a r e m a d e o f a c o l l e c t i o n o f c o m p a t i b l e c o n t i n g e n t s a c t s w h i c h a r e n o t n e c e s s a r i l y c h r o n o l o g i c a l l y o r d e r e d . I n f a c t , a t e a c h t i m e t t h e r e i s p o s s i b l y a v e c t o r o f c o n t i n g e n t a c t s m a k i n g u p t h e p a r t o f t h e c o n t i n g e n t p l a n c o r r e s p o n d i n g t o t , d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e a c t s a r e c o n d i t i o n e d o n t h e s a m e e v e n t o r w h e t h e r t h e e v e n t s t o w h i c h t h e a c t s a r e r e s p e c t i v e l y c o n d i t i o n e d h a v e t h e s a m e r e s o l u t i o n t i m e . T h e r e s o l u t i o n t i m e o f a n e v e n t i s , b y d e fi n i t i o n , t h e fi r s t t i m e t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d k n o w s e x a c t l y ( i . e , w i t h p r o b a b i l i t y o n e ) t h a t t h e e v e n t i s g o i n g t o o c c u r o r n o t . 2 7 1 F i f t h , a t e a c h t i m e t t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d u s e s i t s i n f o r m a t i o n s e t 8 ‘ ( t ) t o c h e c k t h e o c c u r r e n c e o r n o t o f t h e v a r i o u s e v e n t s t h a t c o n d i t i o n i t s c o n t i n g e n t a c t s , a n d t h e n d e c i d e s w h e t h e r o r n o t t o i m p l e m e n t p l a n n e d a c t s . W e n o t e a l s o t h a t i n s o m e c a s e s l i k e t h e fi r s t e x a m p l e i n ( 4 ) , t h e r e s o l u t i o n t i m e o f t h e e v e n t c o n d i t i o n i n g t h e a c t i s d i f f e r e n t f r o m t h e i m p l e m e n t a t i o n t i m e o f t h e a c t . S i x t h , w e n o t e t h a t n o t o n l y d o e s t h e f o r m u l a t i o n o f a c o n t i n g e n t a c t c a l l u p o n t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s l e v e l o f e x p e r t i s e h , b u t a l s o t h e i m p l e m e n t a t i o n o f s o m e o f t h e a c t s c a l l s u p o n m o r e o f t h i s e x p e r t i s e t h a n o t h e r s . F i n a l l y , t o c o n c l u d e t h e s e c o m m e n t s o n t h e c o n t i n g e n t a c t s e x a m p l e s , w e n o t e t h a t f r o m t h e a b o v e e x a m p l e s i t s e e m s n a t u r a l t o a s s u m e t h a t a t a n y p o i n t i n t i m e t , t h e i n f o r m a t i o n s e t o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d 8 ‘ ( t ) a l l o w s i t t o t e l l i f a c o n t i n g e n t a c t i n g o r i m p l e m e n t a t i o n t i m e h a s a r r i v e d , a n d w h e t h e r o r n o t a g i v e n c o n t i n g e n t a c t h a s b e e n 2 ' " S e e D u f fi e a n d H u a n g , 1 9 8 6 , f o r a f o r m a l d e fi n i t i o n o f r e s o l u t i o n t i m e o f a n e v e n t t h a t i s b a s e d o n m a r t i n g a l e t h e o r y . 4 4 7 i m p l e m e n t e d . R o u g h l y s p e a k i n g , t h e s e t w o a s s u m p t i o n s m e a n , i n t h e f o r m a l l a n g u a g e o f m a r t i n g a l e t h e o r y , t h a t c o n t i n g e n t a c t i n g t i m e s a r e s t o p p i n g o r o p t i o n a l t i m e , a n d c o n t i n g e n t p l a n s a r e a d a p t e d p r o c e s s e s w i t h r e s p e c t t o t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e d e fi n e d b y t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s c o l l e c t i o n o f i n f o r m a t i o n s e t s { 8 ‘ ( t ) ; t E T } ; w h e r e T i s t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s l i f e t i m e . T h e t w o a s s u m p t i o n s a l s o r u l e o u t i m p l i c i t l y t h e p o s s i b i l i t y o f l o s s o f m e m o r y a n d i m p e r f e c t r e c a l l o f p a s t a c t s i n t h e p a r t o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ? " 2 C o n t i n u i n g t h e d e s c r i p t i o n o f t h e d e c i s i o n p r o c e s s , t h e s e t C o f c o n s e q u e n c e s o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s p o s s i b l e f e a s i b l e c o n t i n g e n t p l a n s e n c o m p a s s e s t h e a n n u a l v a r i o u s p o s s i b l e l e v e l s o f o u t p u t a t h a r v e s t f o r e a c h c r o p g r o w n , a n d t h e v a r i o u s p o s s i b l e l i f e t i m e a c c u m u l a t e d f e a s i b l e l e v e l s o f c o n s u m p t i o n o f t h e d i f f e r e n t g o o d s . E a c h p o s s i b l e l i f e t i m e a c c u m u l a t e d f e a s i b l e l e v e l o f c o n s u m p t i o n i s c a l l e d a f e a s i b l e c o n s u m p t i o n p a t t e r n ( f o l l o w i n g H i n d y , H u a n g , a n d K r e p s , 1 9 9 2 ) , a n d i s d e t e r m i n e d , i n p a r t i c u l a r , b y o n e o f i t s v a r i o u s p o s s i b l e l i f e t i m e a c c u m u l a t e d l e v e l s o f w e a l t h , t h e s t o c h a s t i c v e c t o r o f p r i c e s f o r a l l t h e c o m m o d i t i e s i n t h e o u t c o m e s p a c e 0 , a n d t h e p r e v a i l i n g s t a t e o f n a t u r e . T h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s p r e f e r e n c e o r d e r i n g t w h i c h r a n k s t h e p o s s i b l e c o n s e q u e n c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e v a r i o u s r e s p e c t i v e p o s s i b l e c o n t i n g e n t p l a n s , i s r e s t r i c t e d t o t h e s e t o f p o s s i b l e l i f e t i m e f e a s i b l e c o n s u m p t i o n p a t t e r n s , X ( 8 ) w h i c h i s d e t e r m i n e d b y i t s e n d o w m e n t p r o fi l e 8 ' . H e r e , t h e a s s u m p t i o n o f o p t i m a l i t y o f a c t i o n s o r d e c i s i o n s m e a n s t h a t , g i v e n t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s p e r c e p t i o n o f t h e o u t s i d e w o r l d , i t s e x p e r t i s e l e v e l h , a n d i t s i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e { 8 ( t ) ; t E T } ; i t s s u b j e c t i v e a s s e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e l i k e l i h o o d o f 2 7 2 F o r m a l l y , i t i s a l s o i m p l i c i t l y a s s u m e d t h a t t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e { 8 ( t ) ; t E T } i s a fi l t e r i n g . T h a t i s , t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s i n f o r m a t i o n s e t i s m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g a s t i m e g o e s . I n o t h e r w o r d , t h e r e i s n o l o s s o f m e m o r y , a n d i n f o r m a t i o n c a n o n l y a c c u m u l a t e o v e r t i m e . H o w e v e r , f o r t h e g o v e r n m e n t a n d o t h e r a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d s s i n c e t h e y m a y n o t k n o w a b o u t t h i s p a r t i c u l a r h o u s e h o l d ’ s c o n t i n g e n t p l a n s , a n d m a y n o t o b s e r v e t h e t a k i n g o f s o m e o f i t s a c t s , i t s a c t i n g t i m e s a n d i t s c o n t i n g e n t p l a n s m a y n o t b e o p t i o n a l t i m e a n d a d a p t e d p r o c e s s e s r e s p e c t i v e l y w i t h r e s p e c t t o t h e i r r e s p e c t i v e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e s 4 4 8 t h e d i f f e r e n t p o s s i b l e s t a t e s o f n a t u r e , m a d e b y s e l e c t i n g a n e l e m e n t I f r o m i t s s e t o f b e l i e f s 3 a t t h e t i m e w h e n o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s w e r e b e i n g c h o s e n a n d d u r i n g t h e i r i m p l e m e n t a t i o n , w a s a l w a y s t h e m o s t s a t i s f a c t o r y u n d e r a l l p o s s i b l e c o n t i n g e n t p l a n s t h e h o u s e h o l d m a y h a v e c o n s i d e r e d ; a n d t h a t i m p l e m e n t e d c o n t i n g e n t a c t s w i l l b e c o n s i s t e n t w i t h s h o w i n g t h a t a p a r t i c u l a r c o n s e q u e n c e i n X ( 8 ) i s i t s m o s t p r e f e r r e d c o n s u m p t i o n p a t t e r n . T h e s e t 0 o f o u t c o m e s o f t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s i m p l e m e n t e d o p t i m a l c o n t i n g e n t p l a n s i n c l u d e t h e a c t u a l a n n u a l l y r e a l i z e d l e v e l s o f i t s h a r v e s t e d c r o p s a n d b u n d l e s o f c o n s u m p t i o n g o o d s c o n s u m e d d u r i n g i t s l i f e t i m e . T h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d m o d e l j u s t o u t l i n e d h a s b e e n t h e i n s p i r a t i o n a l f o r c e b e h i n d a l l t h e c o n c e p t u a l a n d t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s i n t h e t h e s i s . H o w e v e r , t i m e a n d s p a c e d o e s n o t a l l o w t h e f u l l d e v e l o p m e n t o f t h e m o d e l h e r e , w h i c h c a n n o t b e p r o p e r l y d o n e u n t i l t h e m a t h e m a t i c a l t r e a t m e n t o f i n t e r t e m p o r a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y i s c o m p l e t e d a l o n g t h e l i n e s o f c h a p t e r 4 , a n d w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f a d d i t i o n a l c o n c e p t s f r o m m a r t i n g a l e t h e o r y w h i c h a l l o w s a n e x p l i c i t a n d r i g o r o u s a c c o u n t o f t h e i m p a c t s t h a t t h e p r o g r e s s i v e r e v e l a t i o n o f i n f o r m a t i o n o v e r t i m e h a v e o n t h e a g r i c u l t u r a l h o u s e h o l d ’ s e x p e c t a t i o n s , b e h a v i o r , a n d w e l f a r e . 4 4 9 A P P E N D I X 5 T H E " N O N - E X P E C T E D " Q U A I D S V E R S I O N 2 A 5 E x p r e s s i o n s f o r t h e " n o n - e x p e c t e d " Q U A I D S v e r s i o n 2 m o d e l ( N E Q A I D S 2 ) T h e N Q U E A I D S 2 m o d e l i s d e fi n e d b y t a k i n g a ( p ) , b ( p ) , a n d A ( p ) a s r e s p e c t i v e l y : n 1 I I n l n a ( p ) = a 0 + k 2 : a k i n " P r " + ' 5 2 2 7 a m “ P r “ I n " P i “ ( A 5 . l ) - 1 h i [ ' 1 I ’ ( l ’ ) = I I l l p i l l ‘ " ( A S - 2 ) k - l a n d x ( p ) = 2 x , 1 n | p , | | ( A 5 . 3 ) k - I w h e r e I I p 1 . I I 2 = E p f i s t h e s e c o n d m o m e n t o f t h e r a n d o m v a r i a b l e p i . a n d t h e a ’ s , B ’ s , y ’ s , a n d X ’ s a r e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . B y L e m m a 4 . 4 . 1 w e h a v e : 3 1 m m " - P i . ( A 5 4 ) = a + 7 1 n p r l — t = l , . . . , n ’ 2 8 2 1 n a ( p ) p m , " 1 p . - ( A 5 . 5 ) _ = y , + 5 , a , + 7 I n p - 2 a p i a p j l l p i l z " P 1 P I 2 . ? i t I k “ 1 — I - P i 2 W P ; ‘ b . ' < p ) = a m m fi i = 1 . . . . . n ( A S - 6 ) 2 p p 1 p i . . M ” ) b . ” - ( p ) = 1 3 fi b ( p ) ' 1 + 6 . . b i n ) — 2 t . 1 = 1 . . . . . n . H w i n i f m : m p , ( a s s ) w h e r e 6 9 . i s t h e K r o n e k e r d e l t a w h i c h i s e q u a l t o 1 i f i = j a n d 0 o t h e r w i s e . 4 5 1 p i . . 1 = 1 , . . . n ( A 5 . 9 ) 1 - 2 ’ J " 1 ) . - “ 2 I l p i l l ‘ H e n c e , a l l o w i n g f o r t h e h o u s e h o l d s c h a r a c t e r i s t i c s t o a f f e c t s o m e o f t h e p r e f e r e n c e x , ” ( p = ) 5 “ ) . p a r a m e t e r s , t h e b u d g e t s h a r e s f o r t h e N E Q A I D S Z t o b e e s t i m a t e d a r e : i = 1 2 2 P t m w h e r e z i s t h e r - d i m e n s i o n a l v e c t o r o f t h e t i m e v a r i a b l e s , t h e g e o g r a p h i c a l v a r i a b l e s , a n d t h e o t h e r h o u s e h o l d c h a r a c t e r i s t i c s , w h i l e a , ( z ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l e f f e c t o f z o n t h e 1 " " s h a r e , a n d i s g i v e n b y 0 9 ( 2 ) = “ t o + 2 “ a l l : ( A 5 . l l ) k - l T h e o z ’ s , 7 ’ 3 , 6 ’ 5 a n d A ’ s a r e t h e p a r a m e t e r s t o b e e s t i m a t e d . F o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e e l a s t i c i t i e s a n d w e l f a r e i n d i c a t o r s , t h e r e l e v a n t e x p r e s s i o n s a r e : 4 5 2 ¢ i = t w E + fl i ' l r ' p l i l — p i2 = ‘ b ‘ _ w p ' . , — . 3 ' x fl j p i “ p i l l z l p j u p _ + 2 ) . p p M “ V | u l i P 2 , b ( ” | : ’ b ( p P ) ) I n a “ m ( p ) " l . . . “ ( m l P p - , ‘ “ 2 l n a m ( p ) , fl z b fl fi m ( a p ) 2 , 5 M “ , ” I I m l l ’ P i 1 n _ l ‘ - N p , [ I n m ” ] l n ” d > . . = ' y . . p p . + f i r s t ? " i f - t / I } l l p i l l l l p j l l p f j i j = l , . . . , n + a n d ( , 0 . c d . = _ ‘ " P : m I p i l z b u r ) « 2 ( 9 ) 2 4 5 3 [ l u l l 2 2 ( A 5 . 1 2 ) ( A 5 . 1 3 ) ( A 5 . 1 4 ) ( A 5 . 1 5 ) A P P E N D I X 6 D A T A A P P E N D I X A 6 D a t a A p p e n d i x A 6 . 1 M e t h o d s u s e d t o c o n s t r u c t t h e p r i c e s e r i e s T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s h o w w e s u p p l e m e n t e d t h e p r i c e d a t a i n t h e o r i g i n a l I S R A / I F P R I d a t a s e t w i t h m a r k e t p r i c e s f r o m o t h e r s o u r c e s t o c o n s t r u c t m o n t h l y p r i c e s e r i e s f o r t h e c e r e a l s ( m i l l e t , s o r g h u m , m a i z e , a n d r i c e ) a n d p u l s e s ( p e a n u t a n d c o w p e a s ) f o r e a c h z o n e i n t h e s t r a t i fi c a t i o n o f t h e s u r v e y . T h e fi r s t s o u r c e o f p r i c e d a t a i s t h e M a r k e t I n f o r m a t i o n S y s t e m o f C S A w h i c h h a v e b e e n c o l l e c t i n g w e e k l y c o n s u m e r a n d p r o d u c e r p r i c e d a t a f o r c e r e a l s a n d p u l s e s i n D a k a r a n d o t h e r 4 0 l o c a l m a r k e t s a r o u n d S e n e g a l s i n c e 1 9 8 6 . T h e s e c o n d s o u r c e o f p r i c e d a t a i s t h e I S R A \ M S U c e r e a l m a r k e t i n g r e s e a r c h p r o j e c t w h i c h c o l l e c t e d p r o d u c e r a n d c o n s u m e r p r i c e d a t a f o r c e r e a l s a n d p u l s e s e v e r y t w o w e e k s i n 1 8 r u r a l m a r k e t s a r o u n d S e n e g a l a n d G a m b i a f r o m 1 9 8 4 t o 1 9 9 0 . F o r t h e o t h e r f o o d c o n u n o d i t i e s , t h e p r i c e d a t a i n t h e f o o d c o n s u m p t i o n s u r v e y w a s u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e v a r i a t i o n s i n t h e D a k a r m o n t h l y p r i c e i n d i c e s f o r v a r i o u s f o o d g r o u p s t o c o n s t r u c t m o n t h l y w e i g h t e d p r i c e s f o r e a c h g r o u p o f c o m m o d i t i e s a n d e a c h z o n e . T h e w e i g h t s b e i n g t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s o f t h e c o m m o d i t i e s m a k i n g u p t h e g r o u p . W h a t f o l l o w s d e s c r i b e s h o w w e p r o c e e d e d t o fi l l i n t h e m i s s i n g p r i c e s a n d c a l c u l a t e t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s a n d p r i c e i n d i c e s . H o w e v e r , w e n o t e t h a t t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s c a l c u l a t e d i n t h e p r o c e s s a r e a p p r o x i m a t e , a n d a r e u s e d f o r t h e s o l e p u r p o s e o f c a l c u l a t i n g t h e p r i c e i n d i c e s . M o r e a c c u r a t e h o u s e h o l d l e v e l e x p e n d i t u r e s a n d e x p e n d i t u r e s h a r e s s e r i e s w e r e c o n s t r u c t e d f o r e a c h p r o d u c t c a t e g o r y f o r t h e d e s c r i p t i v e a n d e c o n o m e t r i c a n a l y s e s . 4 5 5 A 6 . l . l . T h e c e r e a l a n d p u l s e p r i c e s e r i e s T h e f o o d p r o d u c t s c o n c e r n e d h e r e a r e M i l l e t , S o r g h u m , M a i z e , R i c e , P e a n u t , a n d N i e b e . F o r p e a n u t , o n l y t h e p r i c e f o r s h e l l e d p e a n u t w e r e u s e d i n o u r a n a l y s i s a l t h o u g h p r i c e s e r i e s f o r u n s h e l l e d w e r e a l s o c o n s t r u c t e d . F o r e a c h C S A a n d M S U m o n t h l y m a r k e t p r i c e s e r i e s w e c a l c u l a t e d t h e m e d i a n ( a c r o s s a l l m o n t h s ) o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e m a r k e t p r i c e a n d t h e e s t i m a t e d z o n e m e d i a n t r a n s a c t i o n p r i c e f r o m t h e I S R A / I F R I c e r e a l t r a n s a c t i o n q u e s t i o n a i r e . T h e s e m e d i a n d i f f e r e n c e s a r e r e s p e c t i v e l y a d d e d t o e a c h M S U o r C S A m a r k e t p r i c e w e u s e d t o e s t i m a t e t h e m i s s i n g z o n e m e d i a n m o n t h p r i c e . T o fi l l i n t h e m i s s i n g p r i c e s w e u s e d t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e . F i r s t i f a m i s s i n g p r i c e i s b e t w e e n 2 a d j a c e n t n o n - m i s s i n g p r i c e s w e fi l l i n w i t h t h e a v e r a g e o f t h e t w o a d j a c e n t n o n - m i s s i n g p r i c e s . I f n o t , w e u s e - w h e n e v e r n o n - m i s s i n g - i n o r d e r o f p r i o r i t y t h e C S A c l o s e s t m a r k e t ’ s p r i c e , t h e M S U c l o s e s t m a r k e t ’ s p r i c e , t h e M S U r e g i o n a l p r i c e , t h e C S A n a t i o n a l p r i c e , a n d a t l a s t , t h e M S U n a t i o n a l p r i c e . I n t h e S P S S p r o g r a m t h a t i m p l e m e n t s t h e p r o c e d u r e , t h e p r i c e w i t h w h i c h t h e m i s s i n g v a l u e w a s fi l l e d i n , i s d o c u m e n t e d b y a fl a g ( o n e f o r e a c h p r o d u c t ) . A 6 . l . 2 T h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t m ' e s h a r e s s e r i e s F i r s t , w e c a l c u l a t e d t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e f o r e a c h p r o d u c t b y c a l c u l a t i n g f o r e a c h h o u s e h o l d t h e t o t a l y e a r l y e x p e n d i t u r e o n t h a t p r o d u c t . T h e n , f o r e a c h p r o d u c t w e t o o k t h e m e d i a n y e a r l y e x p e n d i t u r e s a c r o s s a l l y e a r s a n d a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . S e c o n d , f o r e a c h p r o d u c t 2 s h a r e s w e r e c a l c u l a t e d : t h e w i t h i n c a t e g o r y m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s ( c a l c u l a t e d b y d i v i d i n g t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e o n t h a t p r o d u c t b y t h e t o t a l e x p e n d i t u r e o n a l l p r o d u c t s w i t h i n t h e c a t e g o r y ) . a n d t h e a c r o s s p r o d u c t s m e d i a n e x p e n d i t u r e s h a r e s ( c a l c u l a t e d 4 5 6 b y d i v i d i n g t h e z o n e m e d i a n e x p e n d i t u r e o n t h a t p r o d u c t b y t h e t o t a l e x p e n d i t u r e o n a l l p r o d u c t s c o n s u m e d b y t h e h o u s e h o l d ) . A 6 . l . 3 T h e P r i c e i n d e x s e r i e s f o r t h e o t h e r f o o d a n d n o n f o o d c o m m o d i t i e s T h e r e w e r e s e v e r a l s t e p s . F i r s t , f o r e a c h p r o d u c t w e c h o s e o n l y t h e u n i t s t h a t a r e s t a n d a r d a n d c a n b e f o u n d i n a l m o s t a l l o f t h e z o n e s . T h e n w e s t a n d a r d i z e d t h e u n i t s f o r e a c h p r o d u c t s o t h a t w e w i l l h a v e o n l y o n e u n i t f o r e a c h p r o d u c t a n d fi v e u n i t s f o r a l l p r o d u c t s ( k i l o , l i t e r , m e t e r , m o n t h s , a n d p i e c e / b o x / u n i t ) . S e c o n d , w e c a l c u l a t e d t h e z o n e m e d i a n p r i c e f o r e a c h p r o d u c t a s f o l l o w s . F o r t h e f o o d p r o d u c t s , s o a p , c e m e n t , a n d f u e l , w e e s t i m a t e d t h e z o n e m e d i a n p r i c e f o r e a c h y e a r , m o n t h , p r o d u c t , a n d u n i t . F o r t h e o t h e r p r o d u c t s , w e e s t i m a t e d f o r e a c h p r o d u c t o n l y t h e z o n e m e d i a n p r i c e a c r o s s a l l y e a r s , a l l m o n t h s , a n d a l l u n i t s ; w e t h e n l a t e r u s e d t h e m o n t h l y v a r i a t i o n s i n t h e D a k a r p r i c e i n d i c e s t o e s t i m a t e a p p r o x i r n a t i v e l y t h e m o n t h l y p r i c e s b a s e d o n t h e s i n g l e e s t i m a t e d m e d i a n p r i c e f o r e a c h p r o d u c t . W e p r o c e e d e d i n t h i s w a y b e c a u s e t h e u n i t s f o r t h e s e p r o d u c t s a r e s o d i v e r s e a n d t h e m o n t h l y p r i c e o b s e r v a t i o n s s o t h i n s o a s t o p r e v e n t a n y r o b u s t e s t i m a t i o n o f m o n t h l y p r i c e s f o r e a c h p r o d u c t a n d u n i t . F o u r t h , f o r e a c h p r o d u c t a n d e a c h m o n t h w e fi l l e d i n t h e m i s s i n g p r i c e s b y u s i n g t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e . F o r p r o d u c t s o t h e r t h a n f o o d w i t h n o p r i c e a t a l l ( i . e p r i c e s f o r w h i c h a l l t h e m o n t h s a r e m i s s i n g ) , w e t o o k t h e D a k a r p r i c e . O t h e r w i s e , i f a m i s s i n g p r i c e i s b e t w e e n 2 a d j a c e n t n o n m i s s i n g p r i c e s w e fi l l e d i n w i t h t h e a v e r a g e o f t h e t w o a d j a c e n t n o n m i s s i n g p r i c e s . A f t e r t h a t , i f a p r i c e i s s t i l l m i s s i n g w e e s t i m a t e d t h e p r i c e b y u s i n g t h e m o n t h l y v a r i a t i o n s i n t h e D a k a r r e s p e c t i v e p r o d u c t p r i c e s . 4 5 7 F i f t h , w e e l i m i n a t e d f r o m t h e c a l c u l a t i o n o f t h e p r i c e i n d i c e s t h o s e p r o d u c t s f o r w h i c h n o p r i c e c o u l d b e e s t i m a t e d a n d w e a d j u s t e d t h e w i t h i n c a t e g o r y e x p e n d i t u r e s h a r e s a c c o r d i n g l y . F i n a l l y , w e c a l c u l a t e d t h e p r i c e i n d e x f o r e a c h c a t e g o r y a s t h e w e i g h t e d s u m o f p r i c e s o f t h e p r o d u c t s w i t h i n t h e c a t e g o r y , w i t h t h e w e i g h t s b e i n g t h e i r r e s p e c t i v e w i t h i n c a t e g o r y s h a r e s ? 7 3 T h e d i f f e r e n t p r o d u c t c a t e g o r i e s f o r w h i c h a p r i c e i n d e x w a s c a l c u l a t e d a r e : M e a t / C h i c k e n , f r e s h fi s h , d r i e d fi s h , V e g e t a b l e s , C o n d i m e n t s , V e g e t a b l e o i l , o t h e r f o o d i t e m s ( M i l k , d r i n k , f r u i t s , s t i m u l a n t s e t c . . ) , F u e l , C o s m e t i c s / S a n i t a r y , C l o t h i n g / S h o e s , T r a n s p o r t / t e l e c o m m u n i c a t i o n , U t e n s i l s / K i t c h e n m a t e r i a l s , F u r n i t u r e / A p p l i a n c e s a n d H o u s i n g r e l a t e d E x p e n s e s , O t h e r n o n f o o d i t e m s , a n d A g r i c u l t u r a l i n p u t s . F r o m h e r e , t o h a v e m o r e a g g r e g a t e d g r o u p p r i c e i n d i c e s , o n e o n l y n e e d s t o t a k e t h e w e i g h t e d s u m o f t h e c a l c u l a t e d r e s p e c t i v e p r i c e i n d i c e s w i t h t h e n e w w e i g h t s b e i n g t h e r e s p e c t i v e s h a r e s o f t h e p r o d u c t c a t e g o r i e s r e l a t i v e t o t h e n e w l a r g e r g r o u p b e i n g c o n s t r u c t e d ( i . e t o t a l e x p e n d i t u r e o n p r o d u c t c a t e g o r i e s d i v i d e d b y t h e t o t a l e x p e n d i t u r e o n t h e n e w l a r g e r g r o u p ) . F o r e x a m p l e , i f o n e w a n t s t o c o m b i n e i n o n e n e w g r o u p i n g t h e p r o d u c t c a t e g o r i e s 1 , 2 , a n d 3 , w i t h r e s p e c t i v e p r i c e i n d i c e s p , , p 2 , a n d p 3 , t h e p r i c e i n d e x o f t h e n e w g r o u p i n g i s ( W I / T ) p l + ( w 2 / T ) p 2 + ( w 3 / T ) p 3 . W h e r e w i i s t h e t o t a l e x p e n d i t u r e o n p r o d u c t c a t e g o r y i , a n d T = w l + w 2 + W 3 . " 3 W e n o t e a t t h i s s t a g e t h e r e i s a n o p t i o n i n t h e S P S S p r o g r a m t h a t i m p l e m e n t s t h e p r o c e d u r e w h i c h a l l o w s . i f o n e w i s h e s . t o s e l e c t o n l y a l i m i t e d m r m b e r o f p r o d u c t s w i t h i n e a c h c a t e g o r y - f o r e x a m p l e , t h e 5 p r o d u c t s w i t h t h e h i g h e s t s h a r e s - t o b e c o n s i d e r e d f o r t h e p r i c e i n d e x ) . 4 5 8 A 6 . 2 D a t a s e r i e s u s e d i n t h e e c o n o m e t r i c e s t i m a t i o n A 6 . 2 . 1 V a r i a b l e l a b e l s A 6 . 2 . 1 . 2 C h o i c e ( d e p e n d e n t ) v a r i a b l e s V a r i a b l e L a b e l n a m e E 1 0 0 1 : E x p e n d i t u r e o n M i l l e t E 1 0 0 2 E 1 0 0 3 E 1 0 0 4 E 1 0 0 5 E 1 0 0 6 E 2 0 0 1 E 2 0 0 2 E 2 0 0 3 E 2 0 0 4 E 2 0 0 5 E 2 0 0 6 E 2 0 0 7 : E x p e n d i t u r e o n S o r g h u m : E x p e n d i t u r e o n M a i z e : E x p e n d i t u r e o n R i c e : E x p e n d i t u r e o n P e a n u t : E x p e n d i t u r e o n N i e b e : E x p e n d i t u r e o n M e a t : E x p e n d i t u r e o n F r e s h F i s h : E x p e n d i t u r e o n D r i e d F i s h : E x p e n d i t u r e o n V e g e t a b l e s : E x p e n d i t u r e o n C o n d i m e n t s : E x p e n d i t u r e o n V e g e t a b l e O i l : E x p e n d i t u r e o n O t h e r f o o d i t e m s N o t e : T h e s e a s o n a l a v e r a g e s o f t h e b i w e e k l y 2 4 - h o u r s r e c a l l e x p e n d i t u r e s h a r e s a r e u s e d . A 6 . 2 . 1 . 2 E x o g e n o u s ( i n d e p e n d e n t ) v a r i a b l e s V a r i a b l e L a b e l n a m e P r i c e s P 1 0 0 1 P 1 0 0 2 P 1 0 0 3 P 1 0 0 4 P 1 0 0 5 P 1 0 0 6 P 1 2 0 0 1 P 1 2 0 0 3 : C o n s u m e r p r i c e o f M i l l e t ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) : C o n s u m e r p r i c e o f S o r g h u m ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) : C o n s u m e r p r i c e o f M a i z e ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) : C o n s u m e r p r i c e o f I m p o r t e d r i c e ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) : C o n s u m e r p r i c e o f s h . P e a n u t ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) : C o n s u m e r p r i c e o f N i e b e ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) : P r i c e i n d e x f o r M e a t ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) P I 2 0 0 2 : : P r i c e i n d e x f o r D r i e d F i s h ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) P 1 2 0 0 4 : P I 2 0 0 5 : P 1 2 0 0 6 : P 1 2 0 0 7 : P r i c e i n d e x f o r F r e s h F i s h ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) P r i c e i n d e x f o r V e g e t a b l e s ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) P r i c e i n d e x f o r C o n d i m e n t s ( C F A / K G ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) P r i c e i n d e x f o r V e g e t a b l e o i l ( C F A / L I T E R ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) P r i c e i n d e x f o r o t h e r f o o d ( C F A / U N I T ) ( m o n t h l y o r s e a s o n a l d a t a ) 4 5 9 T o t a l f o o d e x p e n d i t u r e ( i n s t r u m e n t e d ) E F O O D A E : T o t a l f o o d e x p e n d i t u r e p e r a d u l t e q u i v a l e n t ( 2 4 - h o u r s r e c a l l b i w e e k l y d a t a ) D e m o g r a p h i c v a r i a b l e s A G E C M : A g e o f t h e h e a d o f h o u s e h o l d P O M H : H o u s e h o l d m a l e p o p u l a t i o n ( s e a s o n a l d a t a ) P O M F : H o u s e h o l d f e m a l e p o p u l a t i o n ( s e a s o n a l d a t a ) P O M E : H o u s e h o l d c h i l d r e n p o p u l a t i o n ( l e s s t h a n 1 7 y e a r s o l d ) ( s e a s o n a l d a t a ) P O P N A V : N a v e t a n e ( m i g r a n t w o r k e r s ) t o t a l p o p u l a t i o n ( s e a s o n a l d a t a ) P O P S R G : S o u r g h a s ( r e s i d e n t l a b o r e r ) t o t a l p o p u l a t i o n ( s e a s o n a l d a t a ) D P E U L : D u m m y v a r i a b l e f o r P e u l e t h n i c o r i g i n e D S E R E R E : D u m m y v a r i a b l e f o r S e r e r e e t h n i c o r i g i n e D S A R A K H : D u m m y v a r i a b l e f o r S a r a k h o l e / D i a k h a n k e e t h n i c o r i g i n e D O T H E R : D u m m y v a r i a b l e f o r M a n d . T o u c . a n d o t h e r e t h n i c o r i g i n e ( T h e W o l o f e t h n i c i t y i s t h e c o n t r o l g r o u p ) G e o g r a p h i c a l v a r i a b l e s D M A R K E T : D u m m y v a r i a b l e f o r m a r k e t v i l l a g e s D S A G A T T : D u m m y v a r i a b l e f o r t h e S a g a t t a z o n e D N O R T H : D u m m y v a r i a b l e f o r t h e N o t h w e s t e m r u r a l z o n e s e x c e p t S a g a t t a ( C o l o b a n e , N i a k h a r , a n d P a s s y ) ‘ D K A O L A C : D u m m y v a r i a b l e f o r t h e K o a l a c k z o n e D T A M B A : D u m m y v a r i a b l e f o r t h e S a g a t t a z o n e ( T h e S o u t h e a s t e r n r u r a l z o n e s o f D i o l y a n d M i s s i r a h a r e t h e c o n t r o l v a r i a b l e s ) . A 6 . 2 . 1 . 3 O t h e r v a r i a b l e s u s e d a s i n s t r u m e n t s f o r t o t a l f o o d e x p e n d i t u r e s V a r i a b l e L a b e l n a m e O F F I N C : H a r v e s t y e a r o f f - f a r m i n c o m e ( a n n u a l d a t a ) M I G I N C : H a r v e s t y e a r m i g r a t i o n i n c o m e ( a n n u a l d a t a ) N T O T I N C : N e t h a r v e s t y e a r t o t a l i n c o m e ( G T O T I N C - t o t a l i n p u t c o s t s ) ( a n n u a l d a t a ) C A T L S T K : n u m b e r o f c a t t l e s i n s t o c k ( s e a s o n a l d a t a ) H R D K S T K : n u m b e r o f h o r s e s , d o n k e y s a n d c a m m e l s i n s t o c k ( s e a s o n a l d a t a ) S H G T S T K : n u m b e r o f s h e e p s a n d g o t s i n s t o c k ( s e a s o n a l d a t a ) P L T R S T K : n u m b e r o f p o u l t r y a n i m a l s i n s t o c k ( s e a s o n a l d a t a ) O T H A S T K : n u m b e r o f o t h e r a n i m a l s i n s t o c k ( s e a s o n a l d a t a ) 4 6 0 O O O O O O O O O O O O O A 6 . 2 . 2 M e a n s , s t a n d a r d d e v i a t i o n s , a n d r a n g e s o f v a r i a b l e s N u m b e r o f V a l i d O b s e r v a t i o n s ( L i s t w i s e ) = V a r i a b l e M e a n E 1 0 0 1 2 3 3 . 2 6 E 1 0 0 2 2 1 . 0 2 E 1 0 0 3 3 6 . 9 6 E 1 0 0 4 1 7 0 . 0 6 E 1 0 0 5 8 2 . 0 9 E 1 0 0 6 1 4 . 1 6 E 2 0 0 1 5 0 . 8 9 E 2 0 0 2 5 2 . 0 3 6 2 0 0 3 3 3 . 2 9 E 2 0 0 4 3 6 . 6 1 E 2 0 0 5 3 5 . 0 0 E 2 0 0 6 6 5 . 5 6 E 2 0 0 7 2 1 4 . 7 8 E F O O D C A P 1 0 1 . 0 4 E T O T C A P 3 0 8 6 8 . 0 6 F O O D S H . 8 2 P r i c e s P 1 0 0 1 8 2 . 6 3 P 1 0 0 2 8 0 . 8 1 P 1 0 0 3 9 3 . 6 7 P 1 0 0 4 1 3 6 . 8 7 P 1 0 0 5 1 8 6 . 5 8 P 1 0 0 6 1 5 3 . 4 7 P 1 2 0 0 1 6 9 1 . 7 1 P 1 2 0 0 2 2 2 7 . 6 9 P 1 2 0 0 3 1 7 8 . 8 7 P 1 2 0 0 4 2 4 3 . 4 3 P 1 2 0 0 5 3 0 6 . 9 0 P 1 2 0 0 6 3 7 4 . 4 0 P 1 2 0 0 7 5 5 4 . 5 0 S T I N D X 5 . 4 9 P O M H 5 . 9 6 S t d D e v 1 8 9 . 5 1 6 7 . 5 2 1 0 7 . 3 2 1 7 0 . 7 0 6 8 . 7 8 2 3 . 7 8 1 7 1 . 1 8 1 3 0 . 0 1 3 5 . 4 6 8 8 . 9 4 5 3 . 0 2 1 0 5 . 7 6 2 2 9 . 0 5 6 7 . 4 3 2 7 4 3 5 . 1 9 . 0 9 2 0 . 3 5 1 0 . 1 6 2 0 . 2 1 5 . 3 2 5 7 . 0 9 8 9 . 4 1 1 2 8 . 5 6 2 0 0 . 0 9 1 0 2 . 6 0 1 0 6 . 2 5 2 6 0 . 5 0 3 1 . 0 8 1 8 9 . 6 7 . 2 7 4 . 6 4 M i n i m u m 2 3 . 9 1 4 2 9 3 . 2 5 4 5 5 4 7 5 3 1 3 5 1 0 0 4 2 4 9 1 5 0 3 3 8 0 2 1 3 0 0 2 1 0 5 H o u s e h o l d c o m p o s i t i o n v a r i a b l e s 0 E x p e n d i t u r e s f o r t h e f o o d c o m m o d i t i e s 1 5 5 8 . 0 0 M a x i m u m N 1 1 0 8 1 7 4 9 6 4 8 1 7 4 9 1 1 7 5 1 7 4 9 1 6 2 1 1 7 4 9 9 2 5 1 7 4 9 2 9 8 1 7 4 9 2 8 5 0 1 7 4 9 3 9 1 3 1 7 4 9 5 8 8 1 7 4 9 1 7 6 2 1 7 4 9 5 1 7 1 7 4 9 1 0 5 0 1 7 4 9 1 7 6 5 1 7 4 9 7 4 9 . 4 0 1 7 1 1 2 0 1 5 2 3 1 7 0 2 . 9 8 0 1 7 4 9 2 0 5 1 7 4 9 1 4 2 1 7 4 9 1 5 5 1 7 4 9 1 7 6 1 7 4 9 4 0 0 1 7 4 9 5 4 4 1 7 4 9 1 0 1 2 1 7 4 9 1 0 7 6 1 7 4 9 7 0 0 1 7 4 9 6 0 1 1 7 4 9 1 0 1 1 1 7 4 9 4 5 2 1 7 4 9 1 0 4 1 1 7 4 9 6 1 7 4 9 5 6 1 7 1 1 4 6 1 L a b e l D a i l y f o o d t o t a l e x p / c a p . A n n u a l t o t a l E x p . / c a p . F o o d s h a r e S t o n e p r i c e i n d e x O O O O O P O M F 5 . 8 6 3 P O M A D L 5 . 1 9 2 P O M E N F 6 . 6 3 4 P O M E H 3 . 5 2 3 P O M E F 3 . 1 1 2 L i v e s t o c k C A T L S T K . 2 8 H R D K S T K . 1 2 S H G T S T K . 4 8 P L T R S T K . 5 9 1 . O T H A S T K . 0 1 I n c o m e V a r i a b l e O F F I N C 2 0 4 3 8 . 8 9 5 5 7 8 0 . M I G I N C 1 2 1 8 . 3 3 5 4 1 9 . . 4 5 . 8 6 . 7 2 . 6 0 . 3 0 . 6 8 . 1 3 . 7 6 0 4 . 0 7 3 7 1 2 N T I N C A P 4 1 0 8 8 . 0 1 5 9 7 8 6 . 9 4 C O O P — ‘ 0 - 4 8 8 0 - 5 3 1 3 - 7 7 1 3 2 5 2 1 4 6 4 3 1 8 7 1 8 4 9 6 6 1 8 5 3 8 1 2 2 5 3 4 6 2 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 0 8 1 7 0 8 1 7 0 8 n u m b e r o f c a t t l e s i n n u m b e r o f h o r s e s . d o n u m b e r o f s h e e p s a n d n u m b e r o f p o u l t r y a n n u m b e r o f o t h e r a n i m A n n u a l o f f - f a r m i n c o m e A n n u a l m i g r a t i o n i n c o m e A n n u a l n e t i n c o m e / c a p . A 6 . 3 A d d i t i o n a l d e s c r i p t i v e t a b l e s o n h o u s e h o l d s i n t h e I S R A / I F P R I S a m p l e d l o h e s u o e l l a p t ) ) ) ) % % % % 3 2 5 5 2 9 ( ( ( ( h m o 2 6 5 4 f o d a e h e h t f o t 6 5 1 2 ) ) ) ) % X % % 0 9 4 6 ( ( 8 1 ( ( 0 3 5 7 2 a S s e n o z n ) ) ) ) x r a b % Z % % 5 O 6 4 1 ( 7 2 U ( ( e S d n a n i g i r o c i 0 8 6 2 ) ) ) % % % % 3 0 0 0 ( ( 0 ( 1 1 0 3 0 3 . ) % 9 ( a l o i D . ) % 9 ( r u e l u o c u o T . ) X 7 1 ( e r e r e n ) ) ) S h t E : e l p m a s e h t s e n n o z % 1 % % 0 0 0 0 ( ( ( 0 1 . ) % 7 5 0 1 3 ( ) ) ) % 2 % 2 8 0 0 0 4 1 0 ( ( ( 1 l u e P . ) % 6 3 5 3 0 ( 1 1 3 f o i l ) ) ) W ) o s l a d r l o h u R % 2 % % 1 0 7 3 2 9 ( ( ( ( 3 1 e 2 3 s u o h f o ) ) ) 2 2 % 2 % 0 0 0 0 0 ( ( ( 0 0 1 1 : l e v e l l a n o i t a n s ) 4 4 0 0 3 3 c i t s i r e t ) ) ) ) ) ) a 2 Z % 2 X X % 6 0 9 O O O 0 5 3 ( ( ( 0 ( ( ( 1 r e n h o t i O e % h 3 t ( t s c t a r a 0 0 0 0 4 6 0 2 3 1 u . b ) i 2 r 9 ( h t C d s . . . . . . . a n . . e . . . . . i . . h d . . . . . g l . . . . . . . i e d u g c n i e o . . . . . i i . . . . r h h . e . . . n d 1 o t e . u . . . . . h n . . . . g . s . . t a c . n . e . f u . M e E 6 A e l b a T i f i . r r o o . l n l o e d e h e a h u l n r h x l m t e e o a e t e f a E F P S O S o M N M : s e t o N S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h K a o l a c k T a m b a 8 ( 7 9 % ) 1 0 ( 3 2 % ) 3 2 ( 9 1 2 ) 0 ( 0 % ) 1 6 ( 4 7 % ) 6 ( 1 9 % ) 1 1 1 ( 4 1 % ) S a r a k h o l e . . . . . 0 ( 0 % ) . 8 ( 0 2 ) 0 ( 0 % ) 1 ( 3 X ) 0 ( 0 % ) 4 ( 1 2 % ) 1 ( 3 % ) 2 ( 6 % ) 8 ( 3 % ) ( 0 % ) 0 ( 0 % ) ( 0 % ) 1 6 ( 4 8 % ) 0 ( 0 % ) 4 ( 1 3 % ) 2 0 ( 7 % ) ( 0 % ) l ( 3 % ) ( 0 % ) 0 ( 0 % ) 2 4 2 ) 1 ( 3 % ) 1 2 ( 4 2 ) 0 T o u c o u l e u r . . . . 2 ( 6 % ) 0 8 ( ( 0 2 ) 1 ( 3 2 ) 3 ( 9 X ) 1 2 ( 3 6 % ) 2 £ 1 2 2 ) 1 6 ( 5 0 % ) 5 0 ( 1 9 % ) 0 5 T o t a l . . . . . . . . . 3 6 1 0 0 2 3 4 1 0 0 % 3 4 1 0 0 2 3 1 1 0 0 % 3 1 0 0 % 3 3 1 0 0 % 3 4 1 0 0 % 3 2 1 0 0 % 2 6 9 1 0 0 % : 5 T o t a l . . . . . . . . . 3 6 1 0 0 2 3 4 1 0 0 1 3 4 1 0 0 2 3 1 1 0 0 % 3 5 1 0 0 % 3 3 1 0 0 2 3 4 1 0 0 % 3 2 1 0 0 % 2 6 9 1 0 0 % S E S o u r c e : I S R A / I F P R I s u r v e y . [ \ O C O O N O A N O v e e l g p a 8 1 5 6 m r 4 1 a e S v a s e n o z n a b n o 6 0 4 5 4 1 i U 5 1 r 1 2 6 6 t a l u p o p d l o h e 8 1 5 6 4 1 s 1 3 6 6 4 1 u o H : e l 3 0 s 5 6 p e 5 1 m a s n o z l e a h r u 9 1 5 6 R 4 1 2 0 4 5 5 1 7 1 4 1 5 6 t n i s d l o h e s u o h f o s . . . . e c i . . t l . . . e l a . . z u . m . t i . d . e . . . . f s a . y e v r u s i r e . . . e s h d d d d . . t a l l l . . I e o o o . . R t h h h f h . . P c n n F o e e e a r d s s s o o I e l u u u i i / g o o o o t t A a a h h h h R a a h l l e S e s e u u e e I g g u g g p p a a a a o o o r r r r h p p e e e e v v v v A A A A : e c r u o S C 2 . 6 A e l b a T 4 6 5 S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h K a o l a c k T a m b a A v e r a g e h o u s e h o l d c h i l d r e n p o p u l a t i o n . . 7 6 6 8 7 6 7 5 6 A v e r a g e h o u s e h o l d m a l e p o p u l a t i o n . . . . . . . . . . . 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N o t e s : E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n o f t h e a n n u a l i n c o m e a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . A h a r v e s t y e a r r u n s f r o m O c t o b e r t o S e p t e m b e r : H o w e v e r . 8 8 - 8 9 s t a r t e d i n J a n u a r y 8 9 . 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N o t e s : E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n o f t h e a n n u a l i n c o m e s h a r e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . A h a r v e s t y e a r r u n s f r o m O c t o b e r t o S e p t e m b e r : H o w e v e r . 8 8 - 8 9 s t a r t e d i n J a n u a r y 8 9 . F o r K a o l a c k a n d T a m b a . t h e p e r i o d c o v e r e d i s J u l y 9 0 - J u n e 9 1 . P e r c a p i t a G D P f o r S e n e g a l ( f r o m W o r l d B a n k T a b l e s ) w e r e r e s p e c t i v e l y : $ 6 5 0 . $ 6 5 0 a n d $ 6 1 5 . 4 6 8 T a b l e A 6 . 6 S h a r e s o f n e t i n c o m e b y s o u r c e s : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d i n c o m e g r o u p s R u r a l z o n e s U r b a n z o n e s A v e r a g e I n c o m e g r o u p I n c o m e g r o u p l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 2 5 0 - 7 5 2 t o p 2 5 2 l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 2 5 0 - 7 5 2 t o p 2 5 2 H a r v e s t y e a r 8 8 - 8 9 N e t o n - f a r m i n c o m e . 6 5 2 6 3 2 5 9 2 5 8 2 . . . . 6 1 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . . 5 2 3 2 7 2 3 2 . . . . 4 2 O f f - f a r m i n c o m e . . . . 9 2 2 4 2 2 4 2 3 2 2 . . . . 2 3 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . 2 0 2 9 2 5 2 5 2 . . . . 9 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . 2 2 1 2 5 2 2 2 . . . . 3 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P 9 2 1 4 2 1 7 2 3 4 2 . . . . 2 0 2 H a r v e s t y e a r 8 9 - 9 0 N e t o n - f a r m i n c o m e . 7 7 2 7 7 2 7 1 2 7 4 2 . . . . 7 4 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . 4 2 3 2 6 2 2 2 . . . . 4 2 O f f - f a r m i n c o m e . . . 9 2 1 3 2 1 9 2 2 4 2 . . . . 1 7 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . 1 0 2 4 2 2 2 - 2 2 . . . . 3 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . 0 2 3 2 3 2 1 2 . . . . 2 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P 8 2 1 6 2 2 4 2 4 5 2 . . . . 2 6 2 H a r v e s t y e a r 9 0 - 9 1 N e t o n - f a r m i n c o m e . . . . . 1 2 2 2 0 2 0 2 1 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . . . . . . 1 2 3 2 5 2 0 2 3 2 O f f - f a r m i n c o m e . . . . . . . 7 5 2 7 4 2 9 0 2 9 1 2 8 3 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . . . . . 2 3 2 2 0 2 I 2 8 2 1 2 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . . . . . 0 2 0 2 3 2 0 2 1 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G O P . . . . 1 8 2 3 9 2 5 8 2 1 5 0 2 6 9 2 A v e r a g e a c r o s s y e a r s N e t o n - f a r m i n c o m e . 7 0 2 7 0 2 6 4 2 6 6 2 1 2 2 2 0 2 0 2 5 7 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . . 4 2 3 2 6 2 3 2 1 2 3 2 5 2 0 2 4 2 O f f o f a r m i n c o m e . . . 9 2 1 9 2 2 2 2 2 8 2 7 5 2 7 4 2 9 0 2 9 1 2 3 0 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . 1 6 2 7 2 4 2 2 2 2 3 2 2 0 2 1 2 8 2 7 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . 1 2 2 2 4 2 2 2 0 2 0 2 3 2 0 2 2 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P 9 2 1 5 2 2 0 2 3 9 2 1 8 2 3 9 2 5 8 2 1 5 0 2 2 9 2 S o u r c e : I S R A / I F P R I s u r v e y . N o t e s : E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n o f t h e a n n u a l i n c o m e s h a r e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . A h a r v e s t y e a r r u n s f r o m O c t o b e r t o S e p t e m b e r : H o w e v e r . 8 8 - 8 9 s t a r t e d i n J a n u a r y 8 9 . F o r K a o l a c k a n d T a m b a . t h e p e r i o d c o v e r e d i s J u l y 9 0 - J u n e 9 1 . P e r c a p i t a G D P f o r S e n e g a l ( f r o m W o r l d B a n k T a b l e s ) w e r e r e s p e c t i v e l y : 2 6 5 0 . $ 6 5 0 a n d $ 6 1 5 . 4 6 9 T a b l e A 6 . 7 S h a r e s o f n e t i n c o m e b y s o u r c e s : M a r k e t v e r s u s n o n m a r k e t v i l l a g e s . v e r s u s u r b a n z o n e s b y i n c o m e g r o u p s R u r a l z o n e s N o n m a r k e t v i l l a g e s M a r k e t v i l l a g e s I n c o m e g r o u p s l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 2 5 0 - 7 5 2 t o p 2 5 2 l o w 2 5 2 2 5 - 5 0 2 5 0 - 7 5 2 t o p 2 5 2 H a r v e s t y e a r 8 8 - 8 9 N e t o n - f a r m i n c o m e . 6 9 2 6 9 2 7 4 2 6 7 2 5 2 2 4 7 2 3 7 2 4 0 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . . 6 2 3 2 8 2 3 2 0 2 5 2 5 2 2 2 O f f - f a r m i n c o m e . . . 1 0 2 1 9 2 9 2 2 3 2 7 2 3 8 2 4 5 2 5 1 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . 1 3 2 1 0 2 3 2 6 2 4 1 2 7 2 8 2 5 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . 3 2 0 2 6 2 1 2 0 2 3 2 5 2 3 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P 9 2 1 4 2 1 6 2 3 3 2 9 2 1 3 2 1 9 2 3 5 2 H a r v e s t y e a r 8 9 - 9 0 N e t o n - f a r m i n c o m e . 7 7 2 8 4 2 8 5 2 7 8 2 7 5 2 6 0 2 4 7 2 6 5 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . . 7 2 3 2 2 2 3 2 0 2 5 2 1 2 2 0 2 O f f - f a r m i n c o m e . . . 9 2 8 2 8 2 2 1 2 9 2 2 5 2 3 6 2 3 2 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . 7 2 4 2 2 2 - 2 2 1 5 2 5 2 2 2 - 1 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . 0 2 1 2 3 2 1 2 0 2 6 2 3 2 4 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P 8 2 1 6 2 2 4 2 4 4 2 9 2 1 5 2 2 3 2 4 7 2 A v e r a g e a c r o s s y e a r s N e t o n - f a r m i n c o m e . 7 2 2 7 6 2 7 9 2 7 2 2 6 4 2 5 4 2 4 2 2 5 1 2 M i g r a t i o n i n c o m e . . . 6 2 3 2 5 2 3 2 0 2 5 2 8 2 1 2 O f f - f a r m i n c o m e . . . . 9 2 1 4 2 9 2 2 2 2 8 2 3 1 2 4 1 2 4 2 2 O t h e r i n c o m e . . . . . . . . 1 1 2 7 2 2 2 2 2 2 8 2 6 2 5 2 2 2 L i v e s t o c k i n c o m e . . . 2 2 1 2 5 2 1 2 0 2 4 2 4 2 4 2 R a t i o o f n e t i n c o m e t o p e r c a p i t a G D P 9 2 1 5 2 2 0 2 3 8 2 9 2 1 4 2 2 1 2 4 0 2 S o u r c e : N o t e s : I S R A / I F P R I s u r v e y . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n o f t h e a n n u a l i n c o m e s h a r e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . A h a r v e s t y e a r r u n s f r o m O c t o b e r t o S e p t e m b e r ; H o w e v e r . 8 8 - 8 9 s t a r t e d i n J a n u a r y 8 9 . F o r K a o l a c k a n d T a m b a . t h e p e r i o d c o v e r e d i s J u l y 9 0 - J u n e 9 1 . P e r c a p i t a G D P f o r S e n e g a l ( f r o m W o r l d B a n k T a b l e s ) w e r e r e s p e c t i v e l y : 5 6 5 0 . $ 6 5 0 a n d $ 6 1 5 . 4 7 0 T a b l e A 6 . 8 V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s P r o d u c t i o n a n d v a l u e o f m a j o r c r o p s p e r a d u l t e q u i v a l e n t : S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h A v e r a g e H a r v e s t y e a r 8 8 - 8 9 M i l l e t ( i n K g ) . . . . . . 3 4 1 1 6 1 0 9 I 3 9 I 6 5 4 1 1 0 9 S o r g h u m ( i n K g ) . . . . . 0 8 1 0 3 6 3 7 5 M a i z e ( i n K g ) . . . . . . . 0 0 0 1 8 7 5 1 P e a n u t ( i n K g ) . . . . . . 9 0 8 6 1 9 6 2 1 7 3 6 7 7 6 1 5 4 N i e b e ( i n K g ) . . . . . . . 2 0 0 2 0 0 3 3 C o t t o n ( i n K g ) . . . . . . 0 0 0 0 2 7 9 3 2 C r o p i n g i n c o m e ( g r o s s ) . . . . . . . . . . 1 0 . 8 4 7 1 4 . 8 6 9 2 1 . 4 1 5 2 4 . 4 1 1 4 0 . 9 6 1 2 1 4 3 4 1 9 . 1 5 1 R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . 4 4 9 6 4 4 6 2 5 6 6 9 8 1 0 9 5 0 6 2 9 H a r v e s t y e a r 8 9 - 9 0 M i l l e t ( i n K g ) . . . . . . 5 7 2 2 0 2 1 3 2 7 7 1 7 6 2 7 2 0 4 S o r g h u m ( i n K g ) . . . . . 0 2 7 7 7 8 1 5 0 1 8 M a i z e ( i n K g ) . . . . . . . 0 0 0 0 9 7 3 1 P e a n u t ( i n K g ) . . . . . . 1 6 3 2 0 5 4 8 8 2 8 6 5 9 9 I 4 0 3 2 1 N i e b e ( i n K g ) . . . . . . . 1 5 1 2 8 6 0 0 4 5 4 C o t t o n ( i n K g ) . . . . . . 0 0 0 1 2 1 0 1 C r o p i n g i n c o m e ( g r o s s ) . . . . . . . . . . 1 5 . 8 1 5 3 6 . 4 9 0 4 8 . 7 9 3 3 5 . 4 3 4 5 7 . 6 0 1 1 8 . 5 2 0 3 9 . 0 4 4 R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . 4 7 4 8 0 2 5 5 6 7 1 7 7 3 6 7 5 6 6 7 1 H a r v e s t y e a r 9 0 - 9 1 M i l l e t ( i n K g ) . . . . . . 1 3 4 2 0 2 2 0 3 1 1 4 1 6 1 6 5 S o r g h u m ( i n K g ) . . . . . 2 1 3 2 1 5 2 3 M a i z e ( i n K g ) . . . . . . . 0 0 2 0 6 9 1 P e a n u t ( i n K g ) . . . . . . 4 1 2 2 4 4 2 6 6 0 1 7 3 1 6 0 N i e b e ( i n K g ) . . . . . . . 2 2 0 0 0 2 C o t t o n ( i n K g ) . . . . . . 0 0 3 4 1 3 3 2 C r o p i n g i n c o m e ( g r o s s ) . . . . . . . . . . 1 1 . 9 9 7 2 7 6 5 1 4 1 . 4 9 7 1 1 . 6 4 8 2 7 . 3 3 8 2 1 . 6 2 2 R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . 3 4 6 3 6 1 4 6 2 5 6 9 6 7 6 3 8 1 A v e r a g e a c r o s s y e a r s M i l l e t ( i n K g ) . . . . . . 4 6 1 5 9 1 7 5 2 0 5 1 5 2 2 9 1 6 0 S o r g h u m ( i n K g ) . . . . . 0 1 3 3 3 4 6 4 6 9 M a i z e ( i n K g ) . . . . . . . 0 0 0 1 6 7 3 1 P e a n u t ( i n K g ) . . . . . . 1 2 6 1 1 2 3 0 8 3 0 8 3 4 1 1 2 6 2 1 6 N i e b e ( i n K g ) . . . . . . . 1 8 4 6 3 0 0 3 2 1 C o t t o n ( i n K g ) . . . . . . 0 0 0 I 1 7 7 5 2 C r o p i n g i n c o m e ( g r o s s ) . . . . . . . . . . 1 3 . 3 3 1 2 1 . 5 0 2 3 3 . 0 8 1 3 3 . 6 1 0 3 6 . 6 9 3 2 2 . 2 6 9 2 7 . 0 9 1 R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . 4 6 2 5 9 4 5 1 8 6 1 7 7 0 4 8 0 4 5 6 8 S o u r c e : I S R A / I F P R I s u r v e y . E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n o f t h e a n n u a l p r o d u c t i o n a n d v a l u e a c r o s s a l l h o u s e h o l d s . N o t e s : 4 7 1 T a b l e A 6 . 9 M a j o r s o u r c e s o f c r o p p i n g ( g r o s s ) i n c o m e : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s a n d z o n e s S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i S S i r a h A v e r a g e H a r v e s t y e a r 8 8 - 8 9 M i l l e t . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 6 5 2 4 0 2 4 4 2 2 8 2 1 1 2 4 6 2 S o r g h u m . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 0 2 7 2 1 3 2 1 2 M a i z e . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 1 2 2 2 1 5 2 O 2 P e a n u t . . . . . . . . . . . . . . 6 5 2 3 5 2 5 8 2 5 6 2 5 9 2 2 8 2 5 0 2 N i e b e . . . . . . . . . . . . . . . I 3 2 0 2 1 2 0 2 0 2 2 2 2 2 C o t t o n . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 0 2 4 2 3 0 2 1 2 C r o p p i n g i n c o m e . . . . . 3 6 2 5 5 2 7 2 2 6 5 2 7 7 2 6 3 2 6 1 2 R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . 4 4 9 6 4 4 6 2 5 6 6 9 8 1 0 9 5 0 6 2 9 H a r v e s t y e a r 8 9 - 9 0 M i l l e t . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 5 2 2 3 4 2 4 7 2 1 9 2 7 2 4 1 2 S o r g h u m . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 1 2 1 2 7 2 1 5 2 1 2 M a i z e . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 0 2 3 2 2 3 2 O 2 P e a n u t . . . . . . . . . . . . . . 6 6 2 3 5 2 6 4 2 5 1 2 6 8 2 5 3 2 5 2 2 N i e b e . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 1 3 2 1 2 0 2 O 2 2 2 6 2 C o t t o n . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 0 2 3 2 0 2 0 2 C r o p p i n g i n c o m e . . . . . . 9 6 2 8 0 2 6 2 2 8 2 2 7 2 2 8 5 2 R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . 4 7 4 8 0 2 5 5 6 7 1 7 7 3 6 7 5 6 6 7 1 H a r v e s t y e a r 9 0 - 9 1 M i l l e t . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 2 4 1 2 3 1 2 5 7 2 3 2 5 5 2 S o r g h u m . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 7 2 1 2 2 1 2 M a i z e . . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 1 2 0 2 1 5 2 0 2 P e a n u t . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 2 5 7 2 6 7 2 3 4 2 4 0 2 4 3 2 N i e b e . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 C o t t o n . . . . . . . . . . . . . . . O 2 0 2 0 2 1 2 3 0 2 0 2 C r o p p i n g i n c o m e . . . . . . . . . . . . R a i n f a l l ( i n m m ) . . . . . 3 4 6 3 6 1 4 6 2 5 6 9 6 7 6 3 8 1 A v e r a g e a c r o s s y e a r s M i l l e t . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2 6 3 2 3 8 2 4 1 2 3 5 2 8 2 4 7 2 S o r g h u m . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 1 2 1 2 7 2 1 3 2 1 2 M a i z e . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 1 2 2 2 1 8 2 O 2 P e a n u t . . . . . . . . . . . . . . 6 6 2 3 1 2 6 0 2 5 8 2 5 4 2 4 0 2 4 8 2 N i e b e . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 5 2 1 2 0 2 0 2 1 2 3 2 C o t t o n . . . . . . . . . . . . . . 0 2 0 2 0 2 O 2 3 2 2 0 2 0 2 C r o p p i n g i n c o m e . . . . . 3 6 2 7 7 2 7 6 2 6 4 2 8 0 2 6 7 2 7 3 2 R a i n f a l ( i n m m ) . . . . 4 6 2 5 9 4 5 1 8 6 1 7 7 0 4 8 0 4 5 6 8 S o u r c e : I S R A / I F P R I s u r v e y . N o t e s : E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n o f t h e a n n u a l s h a r e s a c r o s s a l l h o u s e h o l d s ( s h a r e o f c r o p p i n g i n c o m e i s g r o s s c r o p p i n g i n c o m e d i v i d e d b y g r o s s t o t a l i n c o m e ) . 4 7 2 y b s e 2 5 g 1 1 0 6 2 4 3 4 2 0 2 0 4 0 0 2 0 7 3 5 9 5 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a p 2 7 2 6 5 4 6 2 5 l l i v t o t 2 5 7 e . e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o s f k - 1 g p 7 2 5 0 6 3 9 9 4 4 4 5 5 3 3 0 9 7 5 0 0 0 5 r u a 2 6 6 2 3 5 2 5 4 e l o 0 r 5 a a m n l r i g v o e n t m 2 e o 0 k c 5 h s ( s d s n r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l 2 2 . u a 8 3 5 7 5 9 3 7 o I - 1 7 9 1 0 6 3 8 8 5 0 0 2 2 5 3 s M 2 4 3 4 4 5 1 3 4 5 h 5 e r e v t e 2 2 5 s . u ) o e h m o l c l n k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i a . r a M : e m o w 4 4 4 1 1 6 2 2 3 3 7 1 1 8 0 2 9 2 2 0 3 3 5 0 3 0 6 0 9 8 0 8 7 9 1 1 1 o l 2 5 s l s a o t r o c t a s s s e o c 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . n 1 8 8 8 1 2 0 2 9 3 3 5 4 1 1 2 6 2 0 3 3 5 2 1 r a g 2 6 2 6 4 3 7 5 4 h i ) p o t s y b l s a d s o r g 2 s 5 e 7 g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . u e n d n i a v i ( 4 4 3 7 2 1 8 0 2 4 6 2 2 2 2 3 5 2 2 3 3 a p 9 e d - 1 1 l u 4 4 4 5 4 4 5 3 7 h g i r 5 l o 0 n v g i p p t e e 2 m o 0 t e m f o o c n n i k a 0 c 5 r e r 2 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 2 2 2 2 2 n . c m 3 3 1 5 5 2 3 9 3 3 5 0 2 2 9 3 3 3 8 5 4 6 7 I - 1 n 4 5 4 4 4 4 3 3 7 g n i f N 2 o 5 o s e p 2 c u 5 d p e p t o h r g c i e s w s r o u r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e 2 2 . 9 4 7 3 6 0 7 5 7 5 5 4 3 2 6 6 4 9 0 9 2 8 h 1 1 o r g w 3 3 2 5 2 3 2 3 7 4 t 1 1 o g o s l e r m o o j c a n . . m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r a . . . . . . o . . . u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s . . . s . n c . . . . . . . . . . . r . . . . . . . . . . . . . o n . s y s i e n v i e . M . . . . . . . . . . i . 1 a . 9 . 0 . . . . . . c i . . . I . . 8 9 . . 9 . . . . e . e . . . . e . . . e . . . . . . e . R . - . . . m - m — . P m . . . . . . . . . . l g . . . . . . . . y m 8 . . o 9 o 0 . o . . o F . . . . . . . . . . . . n . . . . . l . 8 . . c 8 c 9 c . . c I . . . . . . . . . . . . . . . . . s . . e i 0 . . . . . . i i i i . . A r r . . . r . . . . o . . . . . 1 . a a . . a . . . . . h . . . r R . . . . . . . . . . . g S e . g e . g . . e . g . . . . . c c . . . . . . . . . . . . . n . . . . n n . n / c . . . . . . . . . . . s . . . . . p p o r 6 . . t y . n y . m n . y m n m . . . . . a m . . . . . . . . . A e t h t t u e e o p h p h h p e e e e e e e o e u u u e e o o u . . . . t t . n . n n t t . t . n i u i u u i t t l n I a c E n i p p s z b l t s g z g s n b z t z t : t p g p g g p l l n n b b e e i e e l r i t e i t a i t t o a r o r r e o l l l a a a e e o v v a v i a o a o r i a o o r o i o r i o r o i e e i e i e i r e : c s l b a T r r M C r M M C M S S N C C M M C M M C S C S C P P N P N P N e r e a a a v u t H H H A o o S N 4 7 3 N v — l < 2 0 0 O \ C " ) N C O V N , _ 4 N N f \ \ D N C ’ ) ! \ 3 0 ( I ) \ O N 0 0 \ D N ( I ) \ O N Q L i ) 3 0 K O S D M I ' \ C C N f \ l ' \ N K O ( I ) N N a ) N V 0 ‘ s e n o z n a b r y t i t n a u q e v i t c e p s e U r s e n o z l a r u R e h t f o s e g a r e v a n o s a e s e h t f o s d l o h e s u o h l l a s s o r c a n a e m d e t h g i e w e h t . y s e n v i r a u t s n o . I g R e P l t F l c I e a / c s A n R h a S c r I a t E : e : c s r e u t o o S N 4 ' 7 4 T a b l e A 6 . 1 1 C e r e a l s a n d P u l s e s t r a n s a c t i o n s p e r a d u l t e q u i v a l e n t : V a r i a t i o n a c r o s s s e a s o n s a n d y e a r s 8 8 - 8 9 8 9 - 9 0 9 0 - 9 1 H a r v e s t M a r k e t i n g D r y R a i n y H a r v e s t M a r k e t i n g D r y R a i n y H a r v e s t M a r k e t i n g D r y R a i n y s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n s e a s o n Q u a n t i t y s o l d M i l l e t . . . . . . . . . . . . S o r g h u m . . . . . . . . . . . M a i z e . . . . . . . . . . . . . R i c e . . . . . . . . . . . . . . P e a n u t . . . . . . . . . . . . N i e b e . . . . . . . . . . . . . Q u a n t i t y b o u g h t M i l l e t . . . . . . . . . . . . S o r g h u m . . . . . . . . . . . M a i z e . . . . . . . . . . . . . R i c e . . . . . . . . . . . . . . P e a n u t . . . . . . . . . . . . N i e b e . . . . . . . . . . . . . N e t q u a n t i t y S o l d M i l l e t . . . . . . . . . . . . S o r g h u m . . . . . . . . . . . M a i z e . . . . . . . . . . . . . R i c e . . . . . . . . . ' . . . . . P e a n u t . . . . . . . . . . . . N i e b e . . . . . . . . . . . . . I — I o — 4 L O L ! ) H N M O O O N O O w e n — « m a c s o ( . 0 N N O O N O O ‘ H O K D C ' J O O ‘ F - I O O O O O O O m — « o o v o \ D O O L D I - ( O ( \ l O O O O O O N H N V S D o — I H I — I O O O C D O O ‘ O N H H O H I — I N t O I — I o o o o v — ( v - ‘ v a — I o I — I r - I # o o o o o H O N m u — i o H O O O O O V N N L D V O H V O O O O O O \ D O H n g — I \ O O H r — I N m r — I o N I 0 ' ) v — I I I v - u I I m N H N I I I — I o o m m o l ( I ) 0 - 4 I I l v — 4 I v — I H N H I I I O m O N I — I I I I H I N N F 4 I - 2 1 V K D L O I I I O , — q I ( ‘ 0 N l O I — I L D N I I — ‘ H I I H m C h v H \ D o H M O O O K D O Q T O O Q I — I O N O O Q B O L O M O O O O O \ D O O K O Q ' O M O O K O Q ’ O H I H I 1 1 - 2 - 4 5 - 2 9 - 2 5 1 - 1 0 - 1 0 O C ) O O J O ‘ - D C w N H m ‘ ‘ N — — I N N H ‘ D D N O N C O K D C O O O ‘ I D O N - — O J K O ‘ ( — I ‘ U N G ‘ O O O F O O O O O O O O 0 0 ' — P O C O O O O O O 0 k 1 ' 0 T a b l e A 6 . 1 ? . L i v e s t o c k t r a n s a c t i o n s a n d h o l d i n g s : V a r i a t i o n a c r o s s z o n e s S a g a t t a N i a k h a r C o l o b a n e P a s s y D i o l y M i s s i r a h A v e r a g e E n d o f p e r i o d h o l d i n g s C a t t l e . . . . . . . . . . . . H o r s e 8 D o n k e y . . . S h e e p 8 G o a t . . . . . . P o u l t r y . . . . . . . . . . . O t h e r a n i m a l s . . . . . O u t f l o w C a t t l e . . . . . . . . . . . . H o r s e 8 D o n k e y . . . . S h e e p 8 G o a t . . . . . . P o u l t r y . . . . . . . . . . . O t h e r a n i m a l s . . . . . I n f l o w C a t t l e . . . . . . . . . . . . H o r s e 8 D o n k e y . . . . S h e e p 8 G o a t . . . . . . P o u l t r y . . . . . . . . . . . O t h e r a n i m a l s . . . . . N e t C h a n g e i n h o l d i n g s C a t t l e . . . . . . . . . . . . H o r s e 8 D o n k e y . . . . S h e e p 8 G o a t . . . . . . P o u l t r y . . . . . . . . . . . O t h e r a n i m a l s . . . . . M a i n t e n a n c e c o s t s . . . . . I O N O O O O I — ‘ N O O O U J F - ‘ O O Q J O O O O O C H I — I C C C H I — J 0 0 O O O O O O O O I — ‘ O O D e b — P O O m o o o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m o H o o o O H H O O O O H O O k o o w o o o O W N O O C O N D O 0 ‘ O p — e U ' l . . . : 8 3 5 8 H N 1 . 9 0 1 . 3 0 6 S o u r c e : I S R A / I F P R I s u r v e y . N o t e s : E a c h c e l l c o n t a i n s t h e w e i g h t e d m e a n a c r o s s a l l h o u s e h o l d s o f t h e s e a s o n a v e r a g e s o f t h e r e s p e c t i v e n u m b e r o f a n i m a l s . O u t f l o w i n c l u d e s a l e . c o n s u m p t i o n . d e a t h . a n d g i f t ; w h i l e i n f l o w i n c l u d e a c q u i s i t i o n . g i f t . a n d b i r t h . T h e m a i n t e n a n c e c o s t s i n c l u d e f e e d . w a t e r , m e d i c a l e x p e n s e s . h o u s i n g . e t c . . . 4 7 5 0 9 - 2 9 5 8 2 p o t 9 8 - 8 8 0 9 - 2 9 5 8 7 - s e g a 0 9 l 8 5 l - i 8 v 8 t e k 0 r 9 a - m 9 2 n 0 8 o 5 N - 5 9 2 8 0 9 - 9 8 9 8 - 8 8 s s g g . d e e f : t e f d e i u h g l t c d n f n i o a s s t . e h s g t o a a c r e e d e v c a n . n a n n o o e i s t t a n p e m i s u a s m e n h o e t c h T f . o e l . s a h d t s l r o e i h d b e u s d l u n c o n a h i . . . l . t w l o f c a l i t f g e s t s u . . o O n g r c a o n i i t s i u n s o a i h e u m q 0 0 1 3 5 4 2 2 . c 2 e a . s e 2 3 1 . 1 h s t e n d e . s u p y n l x e i c e v a n r t i u n s o w l a c c o i I l d n n . f . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . R i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P . i . . l l n m d . d . . . . . y . . . . y . . y y . . . F . i e l . l . . . . . e . s e . s . e s . c e . s I s . o . . . . . o . k t l k . l k t t l t k l / t . . h . . . . . h . s n a A . n n a a a a a a n a . h . . . . . . . o o R o o o m o m o m o m o . c e r e i t . . . . . . . D D G i D n G S G i G i D i c d o . . . . . . . n n n i n I . a h a . E w w i 8 y y y y e 8 8 8 8 8 8 a 8 a a a . . . . r e r r r c r e e e e e t t t t n l e e p e p r p r r l l g e p r l : p l l l l t s e s e s e e e e t t n s e e a t t h w r e t r e h r e h t a r e h n t u u u u f a o a o t h t o h t w a h a e h o o h t o o o o o H O C S O C H S O C C C o H S O l t S H P P P P f n l d t t i f n e u a n E N I O M e : c s r e u t o o S N 4 3 7 6 T a b l e A 6 . 1 3 L i v e s t o c k t r a n s a c t i o n s a n d h o l d i n g s : V a r i a t i o n a c r o s s y e a r s b y i n c o m e g r o u p i n n o n m a r k e t v i l l a g e s I n c o m e g r o u p s l o w 2 5 2 8 8 - m N N t o O e fi n m o o o — I o o C O P - I C C ) o o o o o V N C ‘ O L D O . — « V N O ‘ N O G D N Q D S O O I \ - — I K D O \ O V N N o v — d M H L D S O O I O O H v — I O O O I — I O O O O O v - I O C I ) O O N I — I O o o m m o o o — m o o x o ' \ v — O l \ O \ O O v — I v — I O O O v — I I — I O O O O O O V . . . ; t o O \ O O H N O O O r — I v — I O O O O o - I O C D O O H v — I O O O I — I o — I O o o o o o m o o — n — I o o o v — I o o O O O O O O H r e s e c t i v e n u m b e r o f a n i m a l s . R E F E R E N C E S A b t . I n c . 1 9 8 4 . S e n e g a l P o l i c y A n a l y s i s , A A I N o . 8 5 - 3 2 . R e p o r t s u b m i t t e d t o U S A I D / D A K A R . A m e m i y a , T . ( 1 9 8 5 ) . A d v a n c e d E c o n o m e t r i c s , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s s e t t : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . A r a u j o , A . ( 1 9 8 8 ) . " T h e N o n - e x i s t e n c e o f S m o o t h D e m a n d i n G e n e r a l B a n a c h S p a c e s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 7 : 3 0 9 - 3 1 9 . A r r o w , K . J . ( 1 9 6 4 ) . " T h e R o l e o f S e c u r i t i e s i n t h e O p t i m a l A l l o c a t i o n o f R i s k - B e a r i n g " , R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s , 3 1 : 9 1 - 9 6 . A s c o m b e , F . , a n d , R J . A u m a n n ( 1 9 6 3 ) " A D e f m i t i o n o f S u b j e c t i v e P r o b a b i l i t y " , A n n a l s o f M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s 3 4 : 1 9 9 - 2 0 5 . A u b i n , J . P . ( 1 9 7 9 a ) . M a t h e m a t i c a l M e t h o d s o f G a m e a n d E c o n o m i c T h e o g , A m s t e r d a m : N o r t h - H o l l a n d . A u b i n , J . P . ( 1 9 7 9 b ) . A p p l i e d F u n c t i o n a l A n a l y s i s , N e w Y o r k : W i l e y - I n t e r s c i e n c e . B a c k , K . ( 1 9 8 8 ) . " S t r u c t u r e o f C o n s u m p t i o n S e t s a n d E x i s t e n c e o f E q u i l i b r i a i n I n fi n i t e - D i m e n s i o n a l S p a c e s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 7 : 8 9 - 9 9 . B a n k s , 1 . , R . W . B l u n d e l l , a n d A . L e w b e l . ( 1 9 9 4 ) " Q u a d r a t i c E n g e l C u r v e s , I n d i r e c t T a x R e f o r m , a n d W e l f a r e M e a s u r e m e n t " , U n i v e r s i t y C o l l e g e L o n d o n , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , D i s c u s s i o n P a p e r 9 4 - 0 4 . B C E A O ( 1 9 8 4 — 1 9 9 0 ) . ” L a C o m m e r c i a l i z a t i o n d e I ’ A r a c h i d e a u S e n e g a l " , L ’ E c o n o m i e Q u e s t A f r i c a i n e , v a r i o u s i s s u e s , D a k a r . B e r g , E . ( 1 9 9 0 ) . ” A d j u s t m e n t P o s t p o n e d : E c o n o m i c P o l i c y R e f o r m i n S e n e g a l i n t h e 1 9 8 0 s ” . R e p o r t p r e p a r e d f o r U S A I D / D a k a r , O c t o b e r . B e r g e r , M . ( 1 9 7 1 ) . " G e n e r a l i z e d D i f f e r e n t i a t i o n a n d U t i l i t y F u n c t i o n a l f o r C o m m o d i t y S p a c e s o f A r b i t r a r y D i m e n s i o n ” , i n J C h i p m a n e t a l . , e d s . , P r e f e r e n c e s , Q t i l i g , _ a _ n _ d D e m a n d . N e w Y o r k : H a r c o u r t - B r a c e — J o v a n o v i c h . B e r g e r , M . a n d N . M e y e r s ( 1 9 6 6 ) . " O n a S y s t e m o f N o n l i n e a r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s A r i s i n g i n M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s " . B u l l e t i n o f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 7 2 : 9 5 4 - 9 5 8 . 4 7 7 _ , ( 1 9 7 1 ) . " U t i l i t y F u n c t i o n f o r F i n i t e D i m e n s i o n a l C o m m o d i t y S p a c e s " , i n J C h i p m a n e t a l . , e d s . , P r e f e r e n c e s , U t i l i g , a n d D e m a n d . N e w Y o r k : H a r c o u r t - B r a c e — J o v a n o v i c h . B i l l i n g s l e y , P . ( 1 9 7 9 ) . P r o b a b i l i g a n d M e a s u r e , N e w Y o r k : W i l e y - I n t e r s c i e n c e . B l u n d e l l , R . W . ( 1 9 8 8 ) . " C o n s u m e r B e h a v i o r : T h o e r y a n d E m p i r i c a l E v i d e n c e " , E c o n o m i c J o u r n a l , 9 8 : 1 6 - 5 5 . B l u n d e l l , R . W . , P . P a s h a r d e s , a n G . W e b e r . ( 1 9 9 3 ) ” W h a t D o W e l e a r n A b o u t C o n s u m e r D e m a n d P a t t e r n s f r o m M i c r o - D a t a ? " , A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , 8 3 : 5 7 0 - 5 9 7 . B l u n d e l l , R . W . a n d J . M . R o b i n ( 1 9 9 3 ) . " A n I t e r a t e d M o m e n t E s t i m a t o r f o r C o n d i t i o n a l l y L i n e a r E q u a t i o n s S y s t e m s : A N o t e " , U n i v e r s i t y C o l l e g e L o n d o n , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , W o r k i n g p a p e r . B r a v e r m a n , A . a n d J . 8 . H a m m e r . 1 9 8 6 . " M u l t i m a r k e t A n a l y s i s o f A g r i c u l t u r a l P r i c i n g P o l i c i e s i n S e n e g a l . " I n A g r i c u l t u r a l H o u s e h o l d M o d e l s : E x t e n s i o n s , A p p l i c a t i o n s , a n d P o l i c y . S i n g h , 1 . , L . S q u i r e , a n d J . S t r a u s s . e d s . B a l t i m o r e , M d : J o h n H o p k i n s U n i v e r s i t y P r e s s . B r o w n i n g , M . J . , a n d R A . C h i a p p o r i ( 1 9 9 4 ) . " E f fi c i e n t I n t r a - I - I o u s e h o l d A l l o c a t i o n s : A G e n e r a l C h a r a c t e r i z a t i o n a n d E m p i r i c a l T e s t s " , M c M a s t e r U n i v e r s i t y a n d C N R S , P a r i s , W o r k i n g p a p e r . B r o w n i n g , M . J . , a n d C . M e g h i r ( 1 9 9 1 ) . " T h e E f f e c t s o f M a l e a n d F e m a l e L a b o r S u p p l y o n C o m m o d i t y D e m a n d s " , E c o n o m e t r i c a 5 9 : 9 2 5 - 9 5 1 . C a r t a n , H . ( 1 9 7 7 ) . C o u r s d e C a l c u l D i f f é r e n t i e l , C o l l e c t i o n M é t h o d e s , P a r i s : H e r m a n . C h a t e a u n e u f , A . ( 1 9 8 5 ) . ” O n t h e E x i s t e n c e o f a P r o b a b i l i t y M e a s u r e C o m p a t i b l e w i t h a T o t a l P r e o r d e r o n a B o o l e a n A l g e b r a " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 4 : 4 3 - 5 2 . C i o r a n e s c u , I . ( 1 9 9 0 ) . G e o m g t g o f B a n a c h S p a c e s , D u a l i g M a p p i p g s m N o n l i n e a r P r o b l e m s , D o r d r e c h t , T h e N e t h e r l a n d s : K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s . D a k o n o , A . , V . K e l l y , B . D i a g a n a , a n d A . A . F a l l ( 1 9 9 3 ) . " D o c u m e n t a t i o n d e l a B a s e d e D o n n é e s d u P r o j e t I S R A / I F P R I " , I S R A / I F P R I p r o j e c t , I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e , W a s h i n g t o n D C . D e a t o n , A . a n d J . M u e l l b a u e r . ( 1 9 8 0 a ) E c o n o m i c s a n d C o n s u m e r B e h a v i o r , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . D e a t o n , A . a n d J . M u e l l b a u e r . ( 1 9 8 0 b ) " A n A l m o s t I d e a l D e m a n d S y s t e m " , A m e r i c a n E c o n o m i c R e v i e w , 7 0 : 3 1 2 - 3 3 6 . D e b r e u , G . ( 1 9 5 4 ) . " R e p r e s e n t a t i o n o f a P r e f e r e n c e O r d e r i n g b y a N u m e r i c a l F u n c t i o n " , i n R . M . T h r a l l e t a l . , e d s . , D a g ” i p n p r o _ c § s e s , N e w Y o r k : W i l e y . R e p r i n t e d i n 4 7 8 M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s T w e n g P a p e r s o f G e r a r d D e b r e u , ( 1 9 8 3 ) E c o n o m e t r i c S o c i e t y M o n o g r a p h s 4 , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . D e b r e u , G . ( 1 9 5 9 ) . T h e o g y o f v a l u e , N e w H a v e n : C o w l e s F o u n d a t i o n , M o n o g r a p h 1 7 , 1 9 5 9 . D e b r e u , G . ( 1 9 8 3 ) . M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s T w e n g g P a p e r s o f G e r a r d D e b r e u , E c o n o m e t r i c S o c i e t y M o n o g r a p h s 4 , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . D e F e n e t t i , B . ( 1 9 3 7 ) . " F o r s i g h t : I t s L o g i c a l L a w s , I t s S u b j e c t i v e S o u r c e s " , R e p r i n t e d i n K y b u r g , H . a n d H . S m o k l e r e d s . , ( 1 9 8 0 ) , S t u d i e s i n S u b j e c t i v e P r o b a b i l i g N e w Y o r k : R o b e r t E . K r i e g e r P u b l i s h i n g C o . D e l g a d o , C . a n d S . J a m m e h ( 1 9 9 1 ) . T h e P o l i t i c a l E c o n o m y o f S e n e g a l u n d e r S t r u c t u r a l A d j u s t m e n t . N e w Y o r k : P r a e g e r P u b l i s h e r s . D i a g a n a , B . , V . K e l l y , a n d T . R e a r d o n ( 1 9 9 0 ) . " C a r a c t é r i s t i q u e s d e s Z o n e s d ’ E t u d e d u P r o j e t I S R A / I F P R I : R é s u l t a t s d e s E n q u é t e s d e R e c o n n a i s s a n c e d e s V i l l a g e s " , I S R A / I F P R I p r o j e c t , I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e , W a s h i n g t o n D C . D i a g n e , A . ( 1 9 9 0 ) . " F o o d C o n s u m p t i o n i n t h e S a h e l : a C r i t i c a l R e v i e w o f S o m e S t u d i e s a n d P r o p o s e d M e t h o d s f o r I m p r o v e m e n t . " U n p u b l i s h e d M a n u s c r i p t , D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . D i e w e r t , W . E . ( 1 9 8 1 ) . " T h e E c o n o m i c T h e o r y o f I n d e x N u m b e r s : A S u r v e y ” , i n A . S . D e a t o n e d s . , E s s a y s i n t h e T h e o g a n d M e a s u r e m e n t o f C o n s u m e r B e h a v i o r , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . D r e z e , J . H . a n d F . M o d i g l i a n i ( 1 9 7 2 ) . " C o n s u m p t i o n D e c i s i o n s u n d e r U n c e r t a i n t y ” , J o u r _ n a _ l o f E c o n o m i c T h e o g , 5 : 3 0 8 - 3 3 5 . D u d l e y , R . ( 1 9 8 9 ) . R e a l A n a l y s i s a n d P r o b a b i l i g , M a t h e m a t i c s S e r i e s , P a c i fi c G r o v e , C a l i f o r n i a : W a d s w o r t h . D u f fi e , D . ( 1 9 8 6 ) . " C o m p e t i t i v e E q u i l i b r i a i n G e n e r a l C h o i c e S p a c e s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 5 2 1 - 2 4 . D u f fi e , D . ( 1 9 8 6 ) . " S t o c h a s t i c E q u i l i b r i a : E x i s t e n c e , S p a n n i n g N u m b e r , A n d t h e ’ N o E x p e c t e d F i n a n c i a l G a i n f r o m T r a d e ’ H y p o t h e s i s " , E c o n o m e t r i c a 5 4 : 1 1 6 1 - 1 1 8 3 . D u f fi e , D . a n d L . E p s t e i n ( 1 9 9 2 ) . ” S t o c h a s t i c D i f f e r e n t i a l U t i l i t y " , E c o n o m e t r i c a 6 0 : 3 5 3 - 3 9 4 . , D u f fi e , D . C . F . H u a n g ( 1 9 8 6 ) . ” M u l t i p e r i o d S e c u r i t y M a r k e t s w i t h D i f f e r e n t i a l I n f o r m a t i o n : M a r t i n g a l e s a n d R e s o l u t i o n T i m e s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 5 : 2 8 3 - 3 0 3 . D u n c a n , G T . ( 1 9 7 7 ) . " A M a t r i x M e a s u r e o f M u l t i v a r i a t e L o c a l R i s k A v e r s i o n " , E c o n o m e t r i c a , 4 5 : 8 9 5 - 9 0 3 4 7 9 D u n f o r d , N . a n d J . S c h w a r t z ( 1 9 5 8 ) . L i n e a r O p e r a t o r s P a r t I G e n e r a l T h e o g g , 1 9 8 8 W i l e y C l a s s i c s L i b r a r y , N e w Y o r k : W i l e y I n t e r s c i e n c e . E k e l a n d , I . a n d G . L e b o u r g ( 1 9 7 6 ) . " G e n e r i c F r é c h e t - d i f f e r e n t i a b i l t y a n d P e r t u r b e d O p t i m i z a t i o n P r o b l e m s i n B a n a c h s p a c e s " , T r a n s . A m . M a t h . S o c . , 2 2 4 : 1 9 3 - 2 1 6 . E p s t e i n , L a n d S . Z i n ( 1 9 8 9 ) . " S u b s t i t u t i o n , R i s k A v e r s i o n a n d t h e T e m p o r a l B e h a v i o r o f C o n s u m p t i o n a n d A s s e t R e t u r n s : A T h e o r e t i c a l F r a m e w o r k " , E c o n o m e t r i c a 5 7 : 9 3 7 - 9 6 9 . E p s t e i n , L a n d S . Z i n ( 1 9 9 1 ) . " S u b s t i t u t i o n , R i s k a v e r s i o n a n d t h e T e m p o r a l B e h a v i o r o f C o n s u m p t i o n a n d A s s e t R e t u r n s : A n E m p i r i c a l A n a l y s i s " , J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y 9 9 : 2 6 3 - 2 8 6 . F a l l , A . A . , V . K e l l y , a n d T . R e a r d o n ( 1 9 8 9 ) . " H o u s e h o l d - l e v e l S u r v e y M e t h o d s U s e d i n t h e I F P R I / I S R A S t u d y o f C o n s u m p t i o n a n d S u p p l y I m p a c t s o f A g r i c u l t u r a l P o l i c i e s " , I S R A / I F P R I p r o j e c t , I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e , W a s h i n g t o n D C . F e r g u s o n , T S ( 1 9 5 8 ) " A M e t h o d o f G e n e r a t i n g B e s t A s y m p t o t i c a l l y N o r m a l E s t i m a t e s W i t h A p p l i c a t i o n s t o t h e E s t i m a t i o n o f B a c t e r i a l D e n s i t i e s " , A n n a l s o f M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s 2 9 : 1 0 4 6 - 1 0 6 2 . F i s h b u m ; R C . ( 1 9 7 2 ) . M a t h e m a t i c s o f D e c i s i o n T h e o g , U N E S C O , P a r i s F u d e m b e r g , D . a n d J . T i r o l e ( 1 9 9 1 ) . G a m e T h e o r y , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s s e t t : T h e M I T P r e s s . G e r s o v i t z , M . a n d J . W a t e r b u r y ( 1 9 8 7 ) . T h e P o l i t i c a l E c o n o m y o f R i s k a n d C h o i c e i n S e n e g a l . L o n d o n : F r a n k C a s s P u b l i s h i n g C o . G o e t z , S . J . ( 1 9 9 0 ) . " M a r k e t R e f o r m s a n d t h e C a s h - F o o d C r o p D e b a t e i n S o u t h e a s t e r n S e n e g a l " , u n p u b l i s h e d P h . D D i s s e r t a t i o n , D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . G o r m a n , W . M . ( 1 9 8 1 ) . " S o m e E n g e l C u r v e s " , i n A . S . D e a t o n e d s . , E s s a y s i n t h e T h e o g g a n d M e a s u r e m e n t o f C o g u m g r B e h a v i o r , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . H a n o c h , G . ( 1 9 7 7 ) . " R i s k A v e r s i o n a n d C o n s u m e r P r e f e r e n c e s " , E c o n o m e t r i c a , 4 5 : 4 1 3 - 4 2 6 H a r r i s o n , J . a n d D . K r e p s ( 1 9 7 9 ) . " M a r t i n g a l e s a n d A r b i t r a g e i n M u l t i p e r i o d S e c u r i t y M a r k e t s " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e p g 2 0 : 3 8 1 - 4 0 8 . H i n d y , A . , H u a n g , C . , a n d K r e p s D . ( 1 9 9 2 ) . " O n I n t e r t e m p o r a l P r e f e r e n c e s i n C o n t i n u o u s T i m e , T h e C a s e o f C e r t a i n t y " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 2 1 : 4 0 1 - 4 4 0 . H i n d y , A . , a n d C . H u a n g ( 1 9 9 2 ) . " I n t e r t e m p o r a l P r e f e r e n c e s f o r U n c e r t a i n C o n s u m p t i o n : A C o n t i n u o u s T i m e A p p r o a c h " , E c o n o m e t r i c a 6 0 : 7 8 1 - 8 0 1 . 4 8 0 H u a n g , C . ( 1 9 8 5 a ) . " I n f o r m a t i o n S t r u c t u r e a n d E q u i l i b r i u m A s s e t P r i c e s " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o g 3 5 : 3 3 - 7 1 . H u a n g , C . ( 1 9 8 5 b ) . " I n f o r m a t i o n S t r u c t u r e s a n d V i a b l e P r i c e S y s t e m s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 4 : 2 1 5 - 2 4 0 . H u d z i k , H . ( 1 9 8 3 ) . " U n i f o r m C o n v e x i t y o f M u s i e l a k - O r l i c z S p a c e s w i t h L u x e m b u r g ’ s N o r m " , C o m m . M a t h . 2 1 : 2 5 9 - 2 8 8 . H u d z i k , H . ( 1 9 7 9 ) . " T h e P r o b l e m s o f S e p a r a b i l i t y , D u a l i t y , R e f l e x i v i t y , a n d f o r C o m p a r a i s o n o f G e n e r a l i z e d O r l i c z - S o b o l e v S p a c e s W ‘ p m ) " , C o m m . M a t h . 2 1 2 2 5 9 - 2 8 8 . H u r w i c z , L . a n d H . U z a w a ( 1 9 7 1 ) . " O n t h e I n t e g r a b i l i t y o f D e m a n d F u n c t i o n s " , i n J C h i p m a n e t a l . , e d s . , P r e f e r e n c e s , U t i l i t y I a n d D e m a n d . N e w Y o r k : H a r c o u r t - B r a c e - J o v a n o v i c h . J o n e s , L . ( 1 9 8 6 ) . " S p e c i a l P r o b l e m s A r i s i n g i n t h e S t u d y o f E c o n o m i e s w i t h I n fi n i t e l y M a n y C o m m o d i t i e s " , i n H . S o n n e n s c h e i n , e d s . , M o d e l s p f E c o n p m i c D m i c s B e r l i n : S p r i n g e r V e r l a g . J o n e s , L . ( 1 9 8 4 ) . " A C o m p e t i t i v e M o d e l o f C o m m o d i t y D i f f e r e n t i a t i o n " , E c o n o m e t r i c a , 5 2 : 5 0 7 - 5 3 0 . K a r n i , E . , ( 1 9 9 3 ) . " A D e fi n i t i o n o f S u b j e c t i v e P r o b a b i l i t i e s w i t h S t a t e - D e p e n d e n t P r e f e r e n c e s " , E c o n o m e t r i c a , 6 1 : 1 8 7 - 1 9 8 . K a r n i , E . ( 1 9 7 9 ) . " O n M u l t i v a r i a t e R i s k A v e r s i o n " , E c o n o m e t r i c a , 4 7 : 1 3 9 1 - 1 4 0 1 K e e n e y , R . L . ( 1 9 7 3 ) . " R i s k I n d e p e n d e n c e a n d M u l t i a t t r i b u t e d U t i l i t y F u n c t i o n " , E c o n o m e t r i c a , 4 1 : 2 7 - 3 4 . K e l l y , V . ( 1 9 8 8 ) . " F a c t o r s A f f e c t i n g t h e D e m a n d f o r F e r t i l i z e r i n S e n e g a l ’ s P e a n u t B a s i n " , u n p u b l i s h e d P h . D D i s s e r t a t i o n , D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . K e l l y , V . , T . R e a r d o n , A . A . F a l l , a n d B . D i a g a n a ( 1 9 9 4 ) . " I m p a c t s o f D e v a l u a t i o n o n S e n e g a l e s e H o u s e h o l d s : P o l i c y I m p l i c a t i o n s " , D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , S t a f f P a p e r , N o . 9 4 - 2 0 . K e l l y , V . , T . R e a r d o n , A . A . F a l l , B . D i a g a n a , a n d L . M c N e i l l y ( 1 9 9 3 ) . " C o n s u m p t i o n a n d S u p p l y I m p a c t s o f A g r i c u l t u r a l P o l i c i e s i n t h e P e a n u t B a s i n a n d S e n e g a l O r i e n t a l " , I S R A / I F P R I p r o j e c t , F i n a l R e p o r t , I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e , W a s h i n g t o n D C . K e l l y , V . a n d T . R e a r d o n ( 1 9 8 9 ) . " S a m p l i n g M e t h o d s U s e d i n t h e I F P R I / I S R A S t u d y o f C o n s u m p t i o n a n d S u p p l y I m p a c t s o f A g r i c u l t u r a l P o l i c i e s " , I S R A / I F P R I p r o j e c t , I n t e r n a t i o n a l F o o d P o l i c y R e s e a r c h I n s t i t u t e , W a s h i n g t o n D C . 4 8 1 K h i l s t r o m , R E , a n d L . M i r m a n ( 1 9 7 5 ) . " R i s k A v e r s i o n w i t h M a n y C o m m o d i t i e s " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o g , 8 : 3 6 1 - 3 8 8 . K i m b a l l , M . S . ( 1 9 9 0 ) . " P r e c a u t i o n a r y S a v i n g i n t h e S m a l l a n d i n t h e L a r g e " , E c o n o m e t r i c a , 5 8 : 5 3 - 7 3 K i t e , R C . ( 1 9 9 3 ) . " S e n e g a l : I m p l i c a t i o n s f o r t h e R i c e P o l i c y D i a l o g u e " , E c o n o m i c D i v i s i o n , A g r i c u l t u r a l a n d N a t u r a l R e s o u r c e s O f fi c e , U S A I D / D A K A R . K o o p m a n s , T . ( 1 9 6 0 ) . " S t a t i o n a r y O r d i n a r y U t i l i t y a n d I m p a t i e n c e " , E c o n o m e t r i c a 2 8 : 2 8 7 - 3 0 9 . K o z e k , A . ( 1 9 7 7 ) . " O r l i c z S p a c e s o f F u n c t i o n s w i t h V a l u e s i n B a n a c h S p a c e s " , C o m m . M a t h . 1 9 : 2 5 9 - 2 8 8 . K r a m e r , C . ( 1 9 8 4 ) . " F o o d C o n s u m p t i o n , F o o d D e m a n d i n S e n e g a l : S u m m a r y o f L i t e r a t u r e a n d S u g g e s t i o n s f o r N e e d e d R e s e a r c h " , R e p o r t s u b m i t t e d t o U S A I D / S E N E G A L . K r e p s , D . M . a n d E L . P o r t e u s ( 1 9 7 9 ) . " D y n a m i c C h o i c e T h e o r y a n d D y n a m i c P r o g r a m m i n g " , E c o n o m e t r i c a , 4 7 : 9 1 - 1 0 0 . K r e p s , D . M . a n d E L . P o r t e u s ( 1 9 7 8 ) . " T e m p o r a l R e s o l u t i o n o f U n c e r t a i n t y a n d D y n a m i c C h o i c e T h e o r y " , E c o n o m e t r i c a , 4 6 : 1 8 5 - 2 0 0 . L e e , L P . ( 1 9 9 2 ) . " A m e m i y a ’ s G e n e r a l i z e d L e a s t S q u a r e s a n d T e s t s o f O v e r i d e n t i fi c a t i o n i n S i m u l t a n e o u s E q u a t i o n M o d e l s w i t h Q u a l i t a t i v e o r L i m i t e d D e p e n d e n t V a r i a b l e s " , E c o n o m e t r i c R e v i e w s 1 1 : 3 1 9 - 3 2 8 . L e l a n d , H . E . ( 1 9 6 8 ) . " S a v i n g a n d U n c e r t a i n t y . T h e P r e c a u t i o n a r y D e m a n d f o r S a v i n g " , M e r l y J o u r n a l o f E c o n o m i c s , 8 2 : 4 6 5 - 4 7 3 L e w b e l , A . ( 1 9 9 1 ) . " T h e R a n k o f D e m a n d S y s t e m s : T h e o r y a n d N o n p a r a m e t r i c E s t i m a t i o n " , E c o n o m e t r i c a 5 9 : 7 1 1 - 7 3 0 . L i o n s , J . L . ( 1 9 6 9 ) . Q p e l g u e s M é t h o d e s d ; R e s o l u t i o n d e s P r o b l é m e s a u x L i m i t e s N o n l i n é a i r e s , D u n o d , c t . G a u t h i e r V i l l a r s E d . P a r i s . M a c h i n a , M . J . ( 1 9 8 2 ) . " ’ E x p e c t e d U t i l i t y ’ U t i l i t y A n a l y s i s w i t h o u t t h e I n d e p e n d e n c e A x i o m " , E c o n o m e t r i c a , 5 0 : 2 7 7 - 3 2 3 . M a c h i n a , M . J . ( 1 9 8 4 ) . " T e m p o r a l R i s k a n d t h e N a t u r e o f I n d u c e d P r e f e r e n c e s " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o g , 3 3 : 1 9 9 - 2 3 1 . M a c h i n a , M . J . a n d D . S c h m e i d l e r ( 1 9 9 2 ) . " A M o r e R o b u s t D e fi n i t i o n o f S u b j e c t i v e P r o b a b i l i t y " , E c o n o m e t r i c a , 6 0 : 7 4 5 - 7 8 0 . 4 8 2 M a r t i n , F . ( 1 9 8 8 ) . " F o o d S e c u r i t y a n d C o m p a r a t i v e A d v a n t a g e i n S e n e g a l : A M i c r o - M a c r o A p p r o a c h " , u n p u b l i s h e d P h . D D i s s e r t a t i o n , D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . M a s - C o l e l l A . ( 1 9 7 5 ) . " A M o d e l o f E q u i l i b r i u m w i t h D i f f e r e n t i a t e d C o m m o d i t i e s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 2 2 2 6 3 - 2 9 5 . M a s - C o l e l l , A . ( 1 9 8 6 ) . " T h e P r i c e E q u i l i b r i u m E x i s t e n c e P r o b l e m i n T o p o l o g i c a l V e c t o r L a t t i c e s " , E c o n o m e t r i c a 5 4 : 1 0 3 9 - 1 0 5 3 . M a s - C o l e l l A . a n d S . R i c h a r d ( 1 9 9 1 ) . " A N e w A p p r o a c h t o t h e E x i s t e n c e o f E q u i l i b r i a i n V e c t o r L a t t i c e s " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o g 5 3 2 1 - 1 1 . M c K e n z i e , G . ( 1 9 8 3 ) . M e a s u r i n g E c o n o m i c W e l _ f _ a r e . N e w M e t h o d s , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . M e y e r , J . a n d M . O m i i s t o n ( 1 9 8 9 ) . " D e t e r m i n i s t i c T r a n s f o r m a t i o n s o f R a n d o m V a r i a b l e s a n d t h e C o m p a r a t i v e S t a t i c s o f R i s k " , J o u r n a l o f R i s k a n d U n c e r t a i n t y 2 : 1 7 9 - 1 8 8 . M u s i e l a k , J . ( 1 9 8 3 ) . O r l i c z S p a c e s a n d M o d u l a r S p a c e s , L e c t u r e N o t e s i n M a t h e m a t i c s N o . 1 0 3 4 , N e w Y o r k : S p r i n g e r V e r l a g . N d o y e , O . ( 1 9 9 2 ) . " A n E c o n o m i c A n a l y s i s o f F a c t o r s A f f e c t i n g M i l l e t P r o d u c t i o n a n T r a n s a c t i o n s i n t h e P e a n u t B a s i n o f S e n e g a l " , u n p u b l i s h e d P h . D D i s s e r t a t i o n , D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y . N d o y e , O . , D . B o u g h t o n , a n d E . W . C r a w f o r d ( 1 9 9 1 ) . " P o l i t i q u e d e F i x a t i o n d e s P r i x d e s C é r é a l e s a u S e n e g a l : S y n t h e s e d ’ E t u d e s r é a l i s é e s d e p u i s l ’ I n s t a l l a t i o n d a l a N o u v e l l e P o l i t i q u e A g r i c o l e " , I n s t i t u t S é n é g a l a i s d e R e c h e r c h e s A g r i c o l e s a n d D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E t u d e s e t D o c u m e n t s , V o l 4 , N o . 1 7 . N d o y e , O . , a n d I . O u é d r a o g o ( 1 9 8 7 ) . " C e r e a l M a r k e t i n g I n S e n e g a l : I m p l i c a t i o n s f o r t h e N e w A g r i c u l t u r a l P o l i c y " , P a p e r p r e p a r e d f o r S e n e g a l C o u n t r y D a y 1 0 - 1 1 A p r i l . B a l t i m o r e : S A I S , T h e J o h n H o p k i n s U n i v e r s i t y . O l s o n , L . J . ( 1 9 9 0 ) . " M u l t i v a r i a t e D e c i s i o n M a k i n g u n d e r R i s k A v e r s i o n " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o g , 5 0 : 1 9 3 - 2 0 3 . P a r o u s h , J . ( 1 9 7 5 ) . " R i s k P r e m i u m w i t h M a n y C o m m o d i t i e s " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h m g , 1 1 : 2 8 3 - 2 8 6 . P o p e , R D . a n d J . P . C h a v a s ( 1 9 8 5 ) . " P r o d u c e r S u r p l u s a n d R i s k " , M e r l y J o u r n a l p f E c o n o m i c s , 1 0 0 : 8 5 3 - 8 7 0 P r a t t , J . W . ( 1 9 6 4 ) . " R i s k A v e r s i o n i n t h e S m a l l a n d i n t h e L a r g e " , E c o n o m e t r i c a , 3 2 : 1 2 2 - 1 3 6 4 8 3 R a m s e y , F . P . ( 1 9 3 1 ) . " T r u t h a n d P r o b a b i l i t y " , R e p r i n t e d i n K y b u r g , H . a n d H . S m o k l e r e d s . , ( 1 9 8 0 ) , S t u d i e s i n S u b j e c t i v e P r o b a b i l i g N e w Y o r k : R o b e r t E . K r i e g e r P u b l i s h i n g C o . R a o , M . M . a n d Z . D . R e n ( 1 9 9 1 ) . T h e o g ; o f O r l i c z S p a c e s , P u r e a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , N e w Y o r k : M a r c e l D e k k e r , I n c . R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , M i n i s t e r e d e l ’ A g r i c u l t u r e ( 1 9 9 4 ) . " D é c l a r a t i o n d e P o l i t i q u e d e D é v e l o p p e m e n t A g r i c o l e " D a k a r , A p r i l 1 9 9 2 . R é p u b l i q u e d u S é n é g a l , M i n i s t e r e d e l ’ E c o n o m i e , d e s F i n a n c e s , e t d u P l a n , D i r e c t i o n d e l a P r é v i s i o n e t d e l a S t a t i s t q u e ( 1 9 9 2 ) . " E n q u é t e s S u r l e s P r i o r i t é s : P r e s e n t a t i o n d e s R é s u l t a t s P r é l i m i n a i r e s " D a k a r , N o v e m b e r 1 9 9 2 . R i c h a r d , S . a n d W . Z a m e ( 1 9 8 6 ) . " P r o p e r P r e f e r e n c e s a n d Q u a s i - C o n c a v e U t i l i t y F u n c t i o n s " , J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s 1 5 : 2 3 1 - 2 4 7 . R o s s , C G . ( 1 9 8 0 ) . " G r a i n D e m a n d a n d C o n s u m e r P r e f e r e n c e s i n S e n e g a l " , F o o d P o l i c y , 5 : 2 7 3 - 2 8 1 . R o t h e n b e r g , T . ( 1 9 7 3 ) . E f fi c i e n t E s t i m a t i o n w i t h A P r i o r i I n f o r m a t i o n , N e w H a v e n : C o w l e s F o u n d a t i o n , M o n o g r a p h 2 3 , Y a l e U n i v e r s i t y P r e s s . S a v a g e , L . J . ( 1 9 5 4 ) . T h e F o fl t i o n s p f S t a t i s t i c s , N e w Y o r k : J o h n W i l e y . S a n d m o , A . ( 1 9 7 0 ) . " T h e E f f e c t s o f U n c e r t a i n t y o n S a v i n g D e c i s i o n s " , R e v i e w o f E c o n o m i c S t u — d i g , 3 7 : 3 5 3 - 3 6 0 S t o k e y , N . L . R . E . L u c a s ( 1 9 8 9 ) . R e c u r s i v e M e t h o d s i n E c o n o m i c D m c s , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s s e t t : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . T u r e t t , B . ( 1 9 8 0 ) . " F e n c h e l - O r l i c z S p a c e s " , D i s s e r t a t i o n e s M a t h . , N o . 1 8 1 . U S A I D / S E N E G A L ( 1 9 9 1 ) . " S e n e g a l A g r i c u l t u r a l S e c t o r A n a l y s i s " , A g r i c u l t u r a l a n d N a t u r a l R e s o u r c e s O f fi c e , D a k a r . U M O A ( 1 9 9 0 ) . W D a k a r . V a r i a n , H . ( 1 9 8 4 ) . M i c r p fl n o m i c M y s i s , N e w Y o r k : W . W . N o r t o n & C o m p a n y W h i t e , H . ( 1 9 8 2 ) . " I n s t r u m e n t a l V a r i a b l e s r e g r e s s i o n w i t h I n d e p e n d e n t O b s e r v a t i o n s " , E c o n o m e t r i g 5 0 : 4 8 3 - 4 9 8 . W o o l d r i d g e , J . ( 1 9 9 2 ) . " L e c t u r e N o t e s i n E c o n o m e t r i c s " , U n p u b l i s h e d M a n u s c r i p t , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M i c h i g a n . 4 8 4 Y a a r i , M . ( 1 9 8 6 ) . " U n i v a r i a t e a n d M u l t i v a r i a t e C o m p a r i s o n s o f R i s k A v e r s i o n : a N e w A p p r o a c h " , i n U n c e r t a i n g I n f o r m a t i o n a n d C o m m u n i c a t i o n , E s s a y s i n H o n o r o f K . J . A r r o w , e d s . , W . P . H e l l e r e t a l . , C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . Y a a r i , M . ( 1 9 8 7 ) . " T h e D u a l T h e o r y o f C h o i c e u n d e r R i s k " , E c o n o m e t r i c a 5 5 2 9 5 - 1 1 5 . Y a a r i , M . ( 1 9 6 9 ) . " S o m e R e m a r k s o n M e a s u r e s o f R i s k A v e r s i o n " , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o g 1 : 3 1 5 - 3 2 9 . Y a m a m u r o , S . ( 1 9 7 4 ) . D i f f e r e n t i a l C a l c u l u s i n T o m l o g i c a l L i n e a r S p a c e s , B e r l i n : S p r i n g e r V e r l a g . Z e i d l e r , E . ( 1 9 8 5 ) . N o n l i n e a r F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d i t s A p p l i c a t i o n s . P a r t I F i x e d - m i n t T h e o r e m s , B e r l i n : S p r i n g e r V e r l a g . , ( 1 9 9 0 ) . a n l i n e a r F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d i t s A p p l i c a t i o n s . P a r t I I / A L i n e a r M o n o t o n e O p e r a t o r s , B e r l i n : S p r i n g e r V e r l a g . _ _ _ _ , ( 1 9 9 0 ) . N o n l i n e a r F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d i t s A p p l i c a t i o n s . P a r t I I / B N o n l i n e a r M o n o t o n e e r a t o r s , B e r l i n : S p r i n g e r V e r l a g . _ , ( 1 9 8 5 ) . N o n l i n e a r F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d i t s A p p l i c a t i o n s . P a r t I I I V a r i a t i o g M e t h o d s a n d O p t i m i z a t i o n , B e r l i n : S p r i n g e r V e r l a g . 4 8 5 . _ _ - _ fl _ - _ - _ - _ . _ . H I C H I G R N s m r : U N I V . L I B R A R I E S l l . 1 | W W 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I l l W I I I W I W I W ” W W I 3 1 2 9 3 0 1 0 4 4 1 9 5 8