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' 1 . ; I 7 n - w 3 , r . 5 3 - 1 3 . " * q o v . - - . n . . . - . n - . ~ I I : - I ‘ I . . _ I ? I n : ” ’ 1 ‘ : ‘ ' E I ' I I E . " f u t : I ' I s , ' ‘ " I ‘ i - | . 7 2 ! , 0 m a m T H E S I S 4 C I G A N H I G A N S T A T E a I n I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 2 9 3 0 1 0 5 0 6 3 3 9 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d T h e E f f e c t o f I n t e r f a c e a n d A r r a n g e m e n t o f I n c l u s i o n s o n L o c a l S t r e s s F i e l d s a n d F r a c t u r e o f M o d e l C o m p o s i t e s p r e s e n t e d b y A h m e d A l - O s t a z h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . d e g r e e i n M e c h a n i c s { fi x / o w n W M a j o r p r o f e s s o r v M a y 3 , 1 9 9 6 D a t e M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 M l L c U I h n B g v l i R a e r A s n R S i t t Y a y t e I P L A C E l l R E T U R N B O X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u o . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E M S U I n A n A f f i r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n M ” 3 - 5 1 T H E E F F E C T O F I N T E R F A C E A N D A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N L O C A L S T R E S S F I E L D S A N D F R A C T U R E O F M O D E L C O M P O S I T E S B y A h m e d A l - O s t a z A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f M a t e r i a l s S c i e n c e a n d M e c h a n i c s 1 9 9 6 a n d s e v e r a l i n c l u s i o n s s o l u t i o n s , t o o . A B S T R A C T T H E E F F E C T O F I N T E R F A C E A N D A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N L O C A L S T R E S S F I E L D S A N D F R A C T U R E O F M O D E L C O M P O S I T E S B y A h m e d A l - O s t a z W e c o n s i d e r a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l c o n s i s t i n g o f a t h i n e p o x y p l a t e ( m a t r i x ) r e i n f o r c e d w i t h c i r c u l a r c o p p e r d i s k s ( i n c l u s i o n s ) a n d s u b j e c t e d t o e i t h e r a u n i a x i a l t e n s i o n o r t o t h e r m a l s t r a i n s . A t e a c h i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e t h e r e i s a n i n t e r f a c i a l l a y e r . t h e i n t e r p h a s e , w h i c h h a s u n i f o r m p r o p e r t i e s . I n c l u s i o n s a r e a r r a n g e d i n t h e m a t r i x a t r a n d o m b u t w i t h t h e r e s t r i c t i o n t h a t t h e y a r e n o t a l l o w e d t o o v e r l a p a n d t h e r e i s a m i n i m u m s e p a r a - t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e m . F o r a c o m p a r i s o n w e a l s o c o n s i d e r t w o p e r i o d i c a r r a n g e - m e n t s : s q u a r e a n d t r i a n g u l a r . W e s t u d y e l a s t i c fi e l d s o f s u c h a c o m p o s i t e b o t h e x p e r i m e n t a l l y u s i n g a p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d a n d n u m e r i c a l l y w i t h a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d . F o r a m o r e b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p r o b l e m w e c o n s i d e r a s i n g l e i n c l u s i o n ' 1 W e a l s o i n v e s t i g a t e c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n b o t h e l a s t i c - b r i t t l e ( e p o x y ) a n d d u c t i l e ( a l u m i n u m ) s h e e t s , e a c h c o n t a i n i n g r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i o n . I n t h i s s t u d y , w h i c h i n c l u d e s b o t h n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , w e fi n d t h a t t h e c r a c k p a t h s i n s h e e t s c o n t a i n i n g h o l e s a r e n o t u n i q u e a n d t h u s a s t o c h a s t i c f r a c t u r e a n a l y s i s i s n e e d e d . T h i s s t u d y a l s o s e t s a b a s i s f o r a f r a c t u r e a n a l y s i s o f m o r e c o m p l e x m a t e r i a l s y s t e m s i n v o l v i n g t w o p h a s e c o m p o s i t e m a t e r i a l s w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s . F i n a l l y , w e s t u d y a p r o b l e m i n v o l v i n g a n e l a s t i c c i r c u l a r i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a h a l f - p l a n e a n d s u b j e c t e d t o t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n s . T h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e i s e i t h e r p e r f e c t l y b o n d e d o r i s a l l o w e d t o s l i p , w h i l e t h e s t r a i g h t e d g e o f t h e h a l f - p l a n e i s e i t h e r fi x e d o r i s a l l o w e d t o m o v e f r e e l y i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n ( f r i c t i o n l e s s ) . W e c o m p a r e o u r r e s u l t s w i t h a r e c e n t l y o b t a i n e d s o l u t i o n o f a n i n c l u s i o n i n a h a l f - p l a n e w i t h a t r a c t i o n - f r e e e d g e ( L e e e t a l . , 1 9 9 2 ) a n d s h o w t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s h a v e a s i g n i fi c a n t e f f e c t o n s t r e s s fi e l d s . T h i s w o r k i s J e d i c a t e r f t a t fi e m e m o r y q u y m o t fi e r a t h o m y f a t fi e r i v A C K N O W L E D G N I E N T F r o m t h e b e g i n n i n g o f m y g r a d u a t e e d u c a t i o n t o t h e c o n c l u s i o n o f m y r e s e a r c h , a n d f r o m c o n c e p t i o n t o c o m p l e t e n e s s , t h i s d i s s e r t a t i o n h a s r e q u i r e d n o t o n l y m y o w n d e v o t i o n b u t a l s o t h a t o f a n e x p e r i e n c e d a n d p a t i e n t a d v i s o r . T h u s , I w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y s i n - c e r e a p p r e c i a t i o n a n d d e e p g r a t i t u d e t o m y t h e s i s a d v i s e r P r o f e s s o r I w o n a J a s i u k f o r h e r c a r e f u l g u i d a n c e , i n n o v a t i v e s u g g e s t i o n s , k e e n i n t e r e s t a n d c o n s t a n t e n c o u r a g e m e n t t h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f t h i s r e s e a r c h . I a m a l s o s i n c e r e l y t h a n k f u l t o o t h e r m e m b e r s o f m y t h e s i s c o m m i t t e e , P r o f e s s o r s : G a r y C l o u d , M a r t i n O s t o j a - S t a r z e w s k i , M i c h a e l T h o r p e a n d L a w r e n c e D r z a l f o r t h e i r c o o p e r a t i o n a n d v a l u a b l e s u g g e s t i o n s . I n d e e d i t w a s a p l e a s u r e t o w o r k w i t h t h e m . S p e c i a l t h a n k s a n d a p p r e c i a t i o n a r e d u e t o m y f a t h e r , t h e m e m o r y o f m y m o t h e r , m y w i f e , m y b r o t h e r s a n d s i s t e r s f o r t h e i r p a t i e n c e , u n d e r s t a n d i n g a n d e n c o u r a g e m e n t w h i c h h e l p e d m e i n t h e c o m p l e t i o n o f t h i s s t u d y . I w o u l d f u r t h e r l i k e t o e x p r e s s m y t h a n k s t o a l l m y f r i e n d s a n d c o l l e a g u e s , w h o h e l p e d m e i n d i f f e r e n t p h a s e s d u r i n g t h i s r e s e a r c h . F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o a c k n o w l e d g e t h e fi n a n c i a l s u p p o r t f r o m t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a n t N o . M S S 9 4 0 2 2 8 5 a n d t h e R e s e a r c h E x c e l l e n c e F u n d f r o m t h e S t a t e o f M i c h i g a n . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i i i C H A P T E R ] I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l O B J E C T I V E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 M E T H O D O L O G Y O F T H E R E S E A R C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 C H A P T E R 2 T A S K ] : T H E I N F L U E N C E O F I N T E R F A C E A N D R A N D O M A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N L O C A L S T R E S S E S I N C O M P O S I T E M A T E R I A L S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 T H E S I N G L E I N C L U S I O N S O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 T H E M U L T I - I N C L U S I O N S O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 T h e E x p e r i m e n t a l A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 8 P h o t o e l a s t i c M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 T h e F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 T h e S i n g l e I n c l u s i o n C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 T h e M u l t i - i n c l u s i o n C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 T w o I n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0 P l a n e S t r e s s V e r s u s P l a n e S t r a i n , O t h e r V o l u m e F r a c t i o n s a n d v i S t a t i s t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 C H A P T E R 3 T A S K 2 : T H E I N F L U E N C E O F I N T E R F A C E A N D R A N D O M A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N T H E R E S I D U A L S T R E S S E S I N A M O D E L C O M P O S I T E M A T E - R I A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 T H E S I N G L E I N C L U S I O N S O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 T H E M U L T I I N C L U S I O N S S O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 P h o t o e l a s t i c M e a s u r e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0 T h e F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 T h e S i n g l e I n c l u s i o n S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 T h e T w o I n c l u s i o n s C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5 T h e M u l t i - I n c l u s i o n s S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 C L O S U R E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 C H A P T E R 4 T A S K 3 : D A M A G E I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N I N A M O D E L C O M P O S I T E W I T H A N E M P H A S I S O N C R A C K I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N I N A N E L A S - T I C P L A T E W I T H R A N D O M L Y D I S T R I B U T E D H O L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 E X P E R I M E N T A L S T U D Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 N U M E R I C A L S I M U L A T I O N O F F R A C T U R E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 2 R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 T h e l o c a l s t r e s s fi e l d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 v i i C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a s h e e t w i t h n o n - u n i f o r m l y a r r a n g e d h o l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 C r a c k i n g o f a b r i t t l e m a t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 C r a c k i n g o f a d u c t i l e m a t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4 C L O S U R E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9 C H A P T E R 5 T A S K 4 : A N E L A S T I C C I R C U L A R I N C L U S I O N I N A H A L F - P L A N E : T H E E F F E C T O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S O N S T R E S S C O N C E N T R A T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 M E T H O D O F S O L U T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 6 R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6 C O N C L U S I O N S S T R E S S L O C A L I Z A T I O N D U E T O R A N D O M A R R A N G E M E N T F O R A U N I A X I A L T R A N S V E R S E L O A D I N G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 S i n g l e - I n c l u s i o n c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7 T w o - I n c l u s i o n c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 8 M u l t i - I n c l u s i o n c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9 S T R E S S L O C A L I Z A T I O N D U E T O R A N D O M A R R A N G E M E N T F O R A T H E R M A L L O A D I N G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 S i n g l e - I n c l u s i o n c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 T w o — I n c l u s i o n c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 M u l t i - I n c l u s i o n c a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3 C R A C K I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4 E F F E C T O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S O N S T R E S S C O N C E N T R A T I O N S D U E T O A N E L A S T I C C I R C U L A R I N C L U S I O N I N A H A L F - P L A N E . . . 2 5 6 v i i i R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 A P P E N D D ( E X P E R I M E N T A L S E T - U P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 9 i x L I S T O F T A B L E S T a b l e 2 . 1 M e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l a n a l y s i s . T a b l e 2 . 2 M e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s u s e d i n t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s . T a b l e 2 . 3 A c o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l , n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l r e s u l t s f o r G e f f / O ’ o a n d ( o , - 0 ' 2 ) / O ' 0 f o r a s i n g l e i n c l u s i o n s o l u t i o n . T a b l e 2 . 4 T h e m a g n i t u d e a n d t h e l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m s t r e s s ( 0 ' e f f a n d a l — 0 ' 2 ) f o r a s i n g l e i n c l u s i o n c a s e a n d a u n i t a p p l i e d l o a d a s o b t a i n e d a n a l y t i c a l l y . T a b l e 2 . 5 A c o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l a n d r e s u l t s f o r ( a l - 6 2 ) / O ' o f o r m u l t i - i n c l u s i o n c a s e s w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . T a b l e 2 . 6 T h e e f f e c t o f t h e a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s o n t h e m a x i m u m ( 0 ’ 1 - 0 ' 2 ) / O ' 0 f o r a m u l t i - i n c l u s i o n c o m p o s i t e a s o b t a i n e d b y t h e F E M . T a b l e 2 . 7 T h e m a x i m u m e f f e c t i v e s t r e s s i n t w o , t h r e e , a n d f o u r i n c l u s i o n a r r a n g e m e n t s e p - a r a t e d b y a c o n s t a n t d i s t a n c e f o r a u n i t a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . T a b l e 3 . 1 M e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f c o m p o s i t e ’ s c o n s t i t u e n t s u s e d i n t h e a n a l y t i c a l s o l u - t i o n . T a b l e 3 . 2 A c o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l , n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l r e s u l t s o f t h e m a x i - m u m ( o ’ l n - O z z y A T ( p s i / ° C ) f o r a s i n g l e i n c l u s i o n c a s e . T a b l e 3 . 3 A c o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s o f t h e m a x i m u m ( c a n — U g l y A T ( p s i / ° C ) f o r t h e c a s e o f p e r f e c t l y b o n d e d a n d r a n d o m l y d i s t r i b u t e d i n c l u s i o n s . T a b l e 3 . 4 T h e e f f e c t o f t h e i n c l u s i o n s ’ a r r a n g e m e n t o n t h e m a x i m u m s t r e s s o f a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l w h e n a c = a m = 6 4 x 1 0 - 6 , t = . 2 5 a a n d v c = v ' " = 0 . 3 6 f o r v a r i - o u s v a l u e s o f 8 “ . T a b l e 3 . 5 T h e e f f e c t o f a r r a n g e m e n t o n t h e m a x i m u m s t r e s s o f a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l w h e n o n e = 2 1 9 x 1 0 ' 6 / 0 C , r = 0 . 2 5 a a n d v ‘ = v ' " = 0 . 3 6 f o r v a r i o u s v a l u e s o f E " T a b l e 3 . 6 T h e e f f e c t o f a r r a n g e m e n t o n t h e m a x i m u m s t r e s s o f a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l w h e n E = E ' " a 4 5 0 k s i , r = 0 . 2 5 a a n d v c = v " = 0 . 3 6 f o r v a r i o u s v a l u e s o f c o e f fi c i e n t s x i o f t h e r m a l e x p a n s i o n . T a b l e 3 . 7 T h e e f f e c t o f a r r a n g e m e n t o n t h e m a x i m u m s t r e s s o f a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l w h e n E ‘ = E l m : 9 x 1 0 6 p s i , t = 0 . 2 5 a a n d v c = v ' " = 0 . 3 6 f o r v a r i o u s v a l u e s o f t h e r m a l c o e f fi c i e n t s o f e x p a n s i o n s . T a b l e 4 . 1 A c o m p a r i s o n b e t w e e n a n a l y t i c a l , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r ( 0 ' 1 " - 0 , 2 " ) f o r a n e l a s t i c p l a t e w i t h a s i n g l e h o l e . T a b l e 4 . 2 A c o m p a r i s o n b e t w e e n a n a l y t i c a l , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r ( ( 5 l — o z ) ” f o r a n e l a s t i c p l a t e w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s . T a b l e 4 . 3 . E f f e c t o f h o l e s ’ a r r a n g e m e n t o n m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s i n a n e l a s t i c b r i t t l e s h e e t . x i i L I S T O F F I G U R E S F i g . 1 . 1 R a n d o m g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f g l a s s fi b e r s i n a n e p o x y m a t r i x . F i g . 2 . 1 A s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a n i n fi n i t e m a t r i x . F i g . 2 . 2 S c h e m a t i c p l o t o f a m o d e l c o m p o s i t e s p e c i m e n u s e d i n e x p e r i m e n t a l a n d a n a l y t i - c a l s t u d i e s . F i g . 2 . 3 a T h e j o i n t e f f e c t o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C ( E C / E m ) a n d c o a t i n g t h i c k n e s s t ( t / a ) o n o n m / O o a t r = a + t a n d 9 = 0 . F i g . 2 . 3 b T h e j o i n t e f f e c t o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C ( E C / E m ) a n d t h e c o a t i n g t h i c k n e s s t ( t / a ) o n O O O M / O o a t r = a + t a n d e = n / 2 . F i g . 2 . 3 c T h e j o i n t e f f e c t o f t h e c o a t i n g t h i c k n e s s t ( t / a ) a n d t h e P o i s s o n ’ s r a t i o v ‘ o n o e e m / o a a t r = a + t a n d 9 = n / Z . x i i i F i g 2 . 3 d T h e j o i n t e f f e c t o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C ( E C / E m ) a n d t h e c o a t i n g P o i s s o n ’ s r a t i o v ‘ o n d e e m / 0 0 a t r = a + t a n d 9 = 1 c / 2 . F i g . 2 . 4 a C o n t o u r p l o t o f G a f f / 0 ' 0 a r o u n d a s i n g l e i n c l u s i o n o f r a d i u s a w i t h c o a t i n g 2 o f t h i c k n e s s t = a / 4 . F i g . 2 . 4 b 0 ' : [ / 6 0 o f a s i n g l e c o p p e r i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a n e p o x y m a t r i x w i t h d i f f e r - e n t c o a t i n g i n t e r f a c e s a n d s u b j e c t e d t o a n a x i a l s t r e s s o f 0 . 4 k s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g . 2 . 5 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c i r c u l a r p e r f e c t l l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 1 . 7 5 k s i . F i g . 2 . 6 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c i r c u l a r c o a t e d i n c l u s i o n w i t h c o a t i n g 1 f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f I k s i . F i g . 2 . 7 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c i r c u l a r c o a t e d i n c l u - s i o n w i t h c o a t i n g 2 f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f I k s i . x i i i i F i g . 2 . 8 T h e i n fl u e n c e o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E c o n O d y / 0 ’ 0 i n t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n a t r = a + t . F i g . 2 . 9 - a l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 0 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n - t a l d i r e c t i o n w h e n t h e v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 2 . 9 - b l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o p - p e r i n c l u s i o n s w i t h a w e a k i n t e r f a c e b o n d i n g f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 0 ' 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n w h e n t h e v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 2 . 9 - c l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o p - p e r i n c l u s i o n c o a t e d w i t h c o a t i n g 2 ( E = 3 0 k s i ) f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 0 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n w h e n f = 2 3 % . F i g . 2 . 9 - d l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o p - p e r i n c l u s i o n c o a t e d w i t h c o a t i n g 1 ( E = I k s r ) f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f c o = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n w h e n f = 2 3 % . X V F i g . 2 . 1 0 a G a f f / 0 ’ 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 1 ( E = I k s i ) o b t a i n e d b y F E M . F i g . 2 . 1 0 b o , / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 2 ( E t = 3 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M . F i g . 2 . 1 0 c G a f f / 0 ’ 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 3 ( ) 5 c = 1 2 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M . F i g . 2 . 1 0 d 0 0 1 7 / 6 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 4 ( E = 4 5 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M . F i g . 2 . 1 0 e G a f f / 0 ’ 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 5 ( E = 9 0 0 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M . F i g . 2 . 1 0 f G a f f / 0 ’ 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 6 ( E c = 9 0 , 0 0 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M . x v i F i g . 2 . 1 1 T h e i n fl u e n c e o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C o n o e f / o o o f t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n f o r c o a t e d a n d r a n d o m l y d i s t r i b u t e d i n c l u s i o n s c a s e . F i g . 2 . 1 2 a - f ( < 3 I - o z ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = . 2 3 o f r a n - d o n r l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M f o r v a r i o u s c o a t i n g m a t e r i a l s . F i g . 2 . l 3 I n fl u e n c e o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E c o n ( 0 ’ I — 0 2 ) / 0 ‘ 0 o f t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n f o r r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o a t e d i n c l u s i o n s c a s e . F i g . 2 . 1 4 C o m p a r i s o n b e t w e e n a n a l y t i c a l ( K o u r i s , 1 9 9 1 ) a n d o u r n u m e r i c a l ( F E M ) r e s u l t s o f G e f f / O o a r o u n d t w o i n c l u s i o n s s e p a r a t e d b y d = a . F i g . 2 . 1 5 E f f e c t o f t h e i n c l i n a t i o n a n g l e 9 o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( ( 5 1 — 0 ’ 2 ) / o o i n t h e m a t r i x f o r a t w o - i n c l u s i o n s s o l u t i o n . F i g . 2 . 1 6 E f f e c t o f i n c l i n a t i o n a n g l e 9 o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( ( 3 I - 0 ' 2 ) / o o i n t h e c o a t i n g f o r a t w o - i n c l u s i o n s s o l u t i o n . F i g . 2 . 1 7 E f f e c t o f i n c l i n a t i o n a n g l e 6 o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( o l - 0 ' 2 ) / o o i n t h e x v i i i n c l u s i o n f o r t w o - i n c l u s i o n s s o l u t i o n . F i g . 2 . 1 8 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e . m . . . _ a m a t r i x a e fi / o o f o r a u n r a x r a l l o a d i n g 0 ' 0 a n d 0 - 0 . F i g . 2 . 1 9 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e . m . . . m a t r i x . O e f f / 0 0 f o r a u n r a x r a l t e n s r o n 0 0 a n d 0 - 1 t / 2 . F i g . 2 . 2 0 E f f e c t o f n u m b e r o f i n c l u s i o n o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s , ( ( 3 1 — 0 ' 2 ) / 0 0 i n t h e m a t r i x f o r a u n i a x i a l l o a d i n g 0 ' 0 w h e n 0 = 0 . F i g . 2 . 2 1 E f f e c t o f n u m b e r o f i n c l u s i o n s o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( ( 3 ] — 0 ' 2 ) / 0 ' 0 i n t h e m a t r i x f o r a u n i a x i a l l o a d i n g 0 ' 0 w h e n 6 = 1 t / 2 F i g . 2 . 2 2 P l a n e s t r a i n s o l u t i o n o f l o c a l e f f e c t i v e s t r e s s fi e l d ( o e fl m / o o ) a r o u n d a ) p e r - f e c t l y b o n d e d c i r c u l a r i n c l u s i o n , a n d b ) c i r c u l a r c o a t e d i n c l u s i o n s o f c o a t i n g 1 . F i g . 2 . 2 3 A t y p i c a l D e l a u n a y n e t w o r k r e p r e s e n t i n g r a n d o m l y d i s t r i b u t e d fi b e r s . x v i i i F i g . 2 . 2 4 P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f i n c l i n a t i o n a n g l e b e t w e e n t h e c l o s e s t n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s . F i g . 2 . 2 5 P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f c l o s e s t n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s . F i g . 2 . 2 6 P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e c l o s e s t n e i g h b o r - i n g i n c l u s i o n s . F i g . 3 . 1 S t r e s s - s t r a i n c u r v e s o f e p o x y m a t r i x ( E p o n 8 2 8 ) f o r v a r i o u s t e m p e r a t u r e s a n d f o r t h e t w o c o o l i n g c o n d i t i o n s : a ) s t a n d a r d c u r i n g , a n d b ) p o s t c u r i n g . F i g . 3 . 2 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e e p o x y m a t r i x ( E ’ " ) . F i g . 3 . 3 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e e p o x y m a t r i x ( W ) . F i g . 3 . 4 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f t h e e p o x y m a t r i x . F i g . 3 . 5 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f c o p p e r i n c l u s i o n s . x v i i i i F i g . 3 . 6 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f a m a t i o n o f c o a t i n g 1 . F i g . 3 . 7 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f c o a t i n g 2 . F i g . 3 . 8 C a l i b r a t i o n o f t h e e p o x y m a t r i x f o r p h o t o e l a s t i c i t y m e a s u r e m e n t s u s i n g a f o u r - p o i n t - l o a d i n g b e a m . F i g . 3 . 9 T h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e n o n - d i m e n s i o n a l - i z e d t h i c k n e s s t w i t h r e s p e c t t o t h e i n c l u s i o n r a d i u s a ( r / a ) o n 0 2 / A T ( p s i / 9 C ) a t r = a + t w h e n v c = 0 . 3 6 a n d ( 1 c : a m . F i g . 3 . 1 0 T h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g e t c o n 0 2 / A T ( p s i / ’ 0 a t r = a + I w h e n v c = 0 . 3 6 a n d t / a = 0 . 2 5 . F i g . 3 . 1 1 . T h e j o i n t e f f e c t o f t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C a n d t h e n o n - d i m e n - X X s i o n a l i z e d c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c w i t h r e s p e c t t o t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e m a t r i x a m o n c i t / A T ( p s i / 9 C ) a t r = a + t w h e n v c = 0 . 3 6 a n d t / a = 0 . 2 5 . F i g . 3 . 1 2 T h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v c o n o f f / A T ( p s i / 0 C ) a t r = a + I w h e n v c = 0 . 3 6 a n d t / a = 0 . 2 5 . F i g . 3 . 1 3 T h e e f f e c t o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E . ” o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s 0 e f f / A T ( p s i / 0 C ) i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n w h e n a c = a m , v ” : V " a n d t = 0 . 2 5 F i g . 3 . 1 4 T h e e f f e c t o f t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c o n t h e e f f e c - t i v e s t r e s s e s 0 e f f / A T ( p s i / 9 C ) i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n w h e n I E c = 1 5 " " , v ‘ z v ’ " a n d t = . 2 5 a . F i g . 3 . 1 5 T h e d i s t r i b u t i o n o f ( ( 3 1 - o z ) / A T ( p s i / 0 C ) i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n x x i a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n f o r t h e c a s e o f a c o n s t a n t t = 0 . 2 5 0 , ( 1 ‘ = ( 1 d e v ‘ = v ’ " . F i g . 3 . 1 6 a . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s a r o u n d a c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n i n a n e p o x y m a t r i x f o r t w o c u r i n g c o n d i t i o n s : i ) p o s t c u r i n g , a n d i i ) s t a n d a r d c u r i n g . F i g . 3 . 1 6 b . T h e e f f e c t o f c u r i n g c o n d i t i o n s o n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r ( ( 3 1 - o z ) / A T ( p s i / 0 C ) s t r e s s d i s t r i b u t i o n i n t h e m a t r i x a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n . F i g . 3 . 1 7 a . T h e c o n t o u r s o f ( a l - o z ) / A T ( p s i / 0 C ) i n t h e e p o x y m a t r i x a r o u n d a p e r f e c t l y b o n d e d s i n g l e c o p p e r i n c l u s i o n a s o b t a i n e d i ) e x p e r i m e n t a l l y , i i ) a n a l y t i c a l l y , a n d i i i ) n u m e r i c a l l y . F i g . 3 . 1 7 b . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h c o a t e d s i n g l e i n c l u s i o n u s i n g i ) c o a t i n g 1 , i i ) c o a t i n g 2 , o r ( i i i ) n o c o a t i n g c a s e . F i g . 3 . 1 8 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x 0 3 / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = 0 . 2 5 a , a t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 0 : ” = 6 4 x 1 0 ' 6 / 0 C a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 . x x i i t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s s e p a r a t e d b y d i f f e r e n t s e p a r a t i o n d i s t a n c e s ( a / D ) F i g . 3 . 1 9 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e c o a t i n g 0 : / A T ( p s i / C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = 0 . 2 5 a , a t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 0 : " = 6 4 x 1 0 ’ 6 / ° C a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v c = \ / " = 0 . 3 6 . F i g . 3 . 2 0 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e i n c l u s i o n o e / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = 0 . 2 5 a , a t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = a " = 6 4 x 1 0 . 6 P C a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v ‘ = i f ” = 0 . 3 6 . F i g . 3 . 2 1 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x O ' e f f / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s 1 = 0 . 2 5 a , a t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g o f = 2 1 9 . » : 1 0 ’ 6 P C a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 . F i g . 3 . 2 2 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x o e / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = . 2 5 a , a n e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g B E E " , a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v c = v ’ " = 0 . 3 6 . F i g . 3 . 2 3 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h x x i i i F i g . 3 . 2 4 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s i n a n e p o x y m a t r i x o n ( ( 3 1 - 0 2 ) / A T ( p s i / 9 C ) e x p e r i m e n t a l l y a n d n u m e r i c a l l y . F i g . 3 . 2 5 E f f e c t o f t h e m i s m a t c h i n e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s b e t w e e n t h e i n c l u s i o n s a n d m r t h e m a t r i x i n a t w o - p h a s e m a t e r i a l o n o , / ( 2 G t - : * ) f o r v ‘ = v ” I = 0 . 3 6 u s i n g K o u r i s ’ s o l u - t i o n ( 1 9 9 1 ) . F i g . 3 . 2 6 E f f e c t o f e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ o n r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x 0 3 / A T ( p s i / 0 C ) f o r v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 a n d t = 0 . 2 5 a u s i n g a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d . F i g . 3 . 2 7 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a 1 4 % v o l u m e f r a c t i o n c a s t - i n - p l a c e a n d r a n d o m l y a r r a n g e d c o p p e r i n c l u s i o n s . F i g . 3 . 2 8 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a 1 7 % v o l u m e f r a c t i o n c a s t - i n - p l a c e a n d r a n d o m l y a r r a n g e d c o p p e r i n c l u s i o n s . F i g . 3 . 2 9 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a 2 0 % v o l u m e f r a c t i o n c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n s a r r a n g e d i n a p e r i o d i c a r r a n g e m e n t . F i g . 3 . 3 0 0 1 - 0 2 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 1 4 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a - x x i i i i t u r e l o a d i n g o f A T = - 5 0 ° C u s i n g n o n - l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 3 1 o , — 0 2 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 1 7 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a - t u r e l o a d i n g o f A T = - 5 0 ° C u s i n g n o n - l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 3 2 ( 3 1 - 0 ’ 2 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 0 % o f p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s i n a r e g u l a r a r r a n g e m e n t o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = — 5 0 ° C u s i n g n o n - l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 3 3 T h e e f f e c t o f e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c o n t h e m a x i m u m e f f e c t i v e s t r e s s G a f f / A T ( p s i / 0 C ) f o r t h e c a s e o f t = 0 . 2 5 a , v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 . F i g . 3 . 3 4 T h e e f f e c t o f e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E o n t h e m a x i m u m ( ( 7 1 — 0 ' 2 ) / A T ( p s i / 0 C ) f o r t h e c a s e o f t = 0 . 2 5 0 a n d v c = V " : 0 . 3 6 . F i g . 3 . 3 5 T h e e f f e c t o f c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g ( a c ) o n t h e m a x i - m u m e f f e c t i v e s t r e s s 6 6 f f / A T ( p s i / 0 C ) f o r t h e c a s e o f t = 0 . 2 5 a , v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 . X X V F i g . 3 . 3 6 T h e e f f e c t o f c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g ( e t c ) o n t h e m a x i - m u m ( a , - o z ) / A T ( p s i / " Q f o r t h e c a s e o f t = 0 . 2 5 a . v c = v ’ " = 0 . 3 6 . F i g . 3 . 3 7 0 4 7 / A T ( p s i / 0 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n - d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ = 1 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 6 4 1 : 1 0 ' 6 P C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 3 8 o e f f / A T ( p s i / 0 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n - d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C = 3 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 6 4 x 1 0 “ 5 / " C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 3 9 0 e f f / A T ( p s i / 0 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n - d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c = 1 2 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 6 4 1 1 0 . 6 l ° C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . x x v i F d i g . 3 . 4 0 0 o m l y a r r a n 4 g / e d A c T o a t ( e p s d i c / 0 C ) o p p e i r n a m o i n c l u d s e i l c o m o n s w i p t o h s i e t e l a s t w i i c t h m o v d o u l l u u m s e o f f r a c t i o n f = 2 t h e c o a t i n g 3 1 % “ 5 o f r a n - = E ' " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a r e = 6 4 x 1 0 . 6 P C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 4 1 0 ‘ / A T ( p s i / 0 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n - d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ = 9 0 0 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a r e = 6 4 x 1 0 . 6 l ° C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 4 2 0 e f f / A T ( p s i / 0 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n - d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ = E ' " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 1 6 . 7 . r 1 0 - t 5 P C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 4 3 0 4 / A T ( p s i / 0 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n - d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ = E ' " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g o n e = 4 0 . 3 5 x 1 0 . 6 1 ° C a s o b t a i n e d x x v i i b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 4 4 o e / A T ( p s i / 9 C ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n — d o m l y a r r a n g e d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g 1 ' 5 c = E ' " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 2 1 9 x 1 0 4 I ° C a s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T = - 1 ° C u s i n g l i n e a r a n a l y s i s . F i g . 3 . 4 5 . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y a r o u n d a s i n g l e c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n s u b j e c t e d t o a c o n t i n u o u s i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e . F i g . 3 . 4 6 . C o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s o f m a x i m u m 6 1 — 6 2 i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n s u b j e c t e d t o t h e r m a l h e a t i n g A T : 5 0 0 c . F i g u r e 4 . 1 A n a l y t i c a l s t r e s s c o n t o u r s o f ( 0 ' 1 1 - < 5 2 ) / ( 3 0 a r o u n d a n i s o l a t e d h o l e f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g u r e 4 . 2 F i n i t e e l e m e n t c o n t o u r s o f a ) ( ( 7 1 - ( 1 ' 2 ) / < 1 ' 0 a n d b ) ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / 0 ' 0 a r o u n d a n i s o l a t e d h o l e f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . x x v i i i F i g . 4 . 3 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g o f 1 k s i . F i g . 4 . 4 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a 2 3 % v o l u m e f r a c t i o n h o l e s a t t h e m i d d l e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x - i a l t e n s i l e l o a d i n g o f 4 9 2 . 5 p s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g . 4 . 5 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a 3 1 % v o l u m e f r a c t i o n h o l e s a t t h e m i d d l e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x - i a l t r a n s v e r s e l o a d i n g o f 4 9 2 . 5 p s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g . 4 . 6 S t r e s s c o n t o u r s o f ( a l - ( 1 ’ 2 ) / o O i n a n e l a s t i c s h e e t p e r f o r a t e d w i t h h o l e s o f v o l - u m e f r a c t i o n 2 3 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g . 4 . 7 S t r e s s c o n t o u r s o f ( < 3 ] — ( 5 2 ) / 0 0 i n a n e l a s t i c s h e e t p e r f o r a t e d w i t h h o l e s o f v o l - u m e f r a c t i o n 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g . 4 . 8 S t r e s s c o n t o u r s o f ( m a x ( o l , 6 2 ) ) / O ’ 0 i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e s a l i g n e d a t a ) 6 ) , “ . = 0 . b ) e m = r t / 2 , a n d c ) 9 m = r c / 4 f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i l e l o a d - i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . x x v fi fi F i g . 4 . 9 E f f e c t o f i n c l i n a t i o n a n g l e 9 m o n t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s ( m a x ( o l , 6 2 ) ) / O ’ 0 i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e s s e p a r a t e d b y a c o n s t a n t d i s t a n c e d F i g 4 . 1 0 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o h o l e s i n c l i n e d a t 0 . ( R C = o o r 0 ‘ . “ = 1 r / 2 o n t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / o o i n a n e l a s t i c s h e e t . F i g 4 . 1 1 E f f e c t o f n u m b e r o f h o l e s i n a r o w i n c l i n e d a t 0 , . “ = 0 o r e m = n / 2 w i t h a s e p a r a t i o n d i s t a n c e o f d = a b e t w e e n e a c h t w o h o l e s o n t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s i n a n e l a s t i c s h e e t . F i g . 4 . 1 2 C r a c k p r o p a g a t i o n b e t w e e n t w o i s o l a t e d h o l e s u s i n g a ) a d a p t i v e m e s h i n g t e c h - n i q u e b ) a r e l a t i v e l y c r u d e m e s h . F i g . 4 . 1 3 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n ( e x p e r i m e n t a l l y ) . F i g . 4 . 1 4 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n ( f = 2 3 % ) , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i - m e n t a l l y ) , f o r t w o d i f f e r e n t s a m p l e s . X X X F i g . 4 . 1 5 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g u s i n g t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y f r a c t u r e c r i t e - r i o n w i t h a m e s h s i z e = 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s ( s e l e c t e d 1 2 s t e p s ) a s o b t a i n e d b y a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d . F i g . 4 . 1 6 T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g ( a ) t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s , ( b ) t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 2 a a r o u n d t h e h o l e s , a n d ( c ) t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 4 . 1 7 T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g ( a ) t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f . 4 a a r o u n d t h e h o l e s , ( b ) t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f . 2 a a r o u n d t h e h o l e s , a n d ( c ) t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % F i g . 4 . 1 8 ( a - g ) T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o b t a i n e d n u m e r i c a l l y u s i n g fi n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d f o r d i f f e r e n t m e s h s i z e s . F i g . 4 . 1 9 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e x x x i s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . F i g . 4 . 2 0 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g a s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 4 . 2 1 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y , f r o m s e v e n s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 4 . 2 2 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m fi v e s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . F i g . 4 . 2 3 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m f o u r s a m p l e s w i t h t h e s a m e a r r a n g e m e n t . F i g . 4 . 2 4 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s o r i n c l u s i o n s c o a t e d w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s - p l a c e m e n t l o a d i n g o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m n i n e s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t . x x x i i F i g . 4 . 2 5 a . C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o a t e d i n c l u s i o n s s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) F i g . 4 . 2 5 b C r a c k b r a n c h i n g i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o a t e d i n c l u s i o n s . F i g 4 . 2 6 S t r e s s c o n t o u r s o f ( ( 3 1 — 0 ' 2 ) / o o o f a p a r t i a l l y c r a c k e d s p e c i m e n s s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n u s i n g p h o t o e l a s t i c i t y . F i g 4 . 2 7 S t r e s s c o n t o u r s o f ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / 0 0 o f a p a r t i a l l y c r a c k e d s p e c i m e n s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n u s i n g F E M . F i g 4 . 2 8 S t r e s s c o n t o u r s o f ( 0 ' I — 0 ’ 2 ) / o o o f a n e l a s t i c m a t e r i a l p e r f o r a t e d w i t h h o l e s o f f = 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n w h i c h s h o w s a l o c a l i z a t i o n o f s t r e s s e s . F i g 4 . 2 9 A t y p i c a l s t r e s s s t r a i n c u r v e o f a n e p o x y s h e e t w i t h p e r f o r a t e d h o l e s f o r a ) s e v e n d i f f e r e n t s p e c i m e n s o f t h e s a m e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t w i t h f = 2 3 % , b ) a c o m p a r i s o n b e t w e e n e l a s t i c r e s p o n s e o f t w o s h e e t s h a v i n g t w o v o l u m e f r a c t i o n s o f h o l e s f o r t h e s a m e l o c a t i o n s o f h o l e s c e n t e r s . F i g . 4 . 3 0 ( a - b ) C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n ( f = 2 3 % ) , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g x x x i i i ( e x p e r i m e n t a l l y ) f o r t w o s e l e c t e d s a m p l e s . F i g . 4 . 3 1 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b - j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 4 . 3 2 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n - t a l l y f r o m s e v e n s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 4 . 3 3 ( a - b ) C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) , f o r t w o s e l e c t e d s a m p l e s . F i g . 4 . 3 4 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b - j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . F i g . 4 . 3 5 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n - t a l l y f r o m s e v e n s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . F i g . 4 . 3 6 S t r a i n e n e r g y d e n s i t y s t r e s s c o n t o u r s u s i n g fi n i t e e l e m e n t a r o u n d r a n d o m l y d i s - x x x i i i i t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n a ) f = 2 3 % b ) f = 3 1 % i n a n a l u m i n u m s h e e t a t t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k i n g ( w h e n a n z - 0 . 2 5 . F i g . 4 . 3 7 o e f f / 0 y s t r e s s c o n t o u r s u s i n g fi n i t e e l e m e n t a r o u n d r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n a ) f = 2 3 % a n d b ) f = 3 1 % i n a n a l u m i n u m s h e e t a t t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k i n g ( w h e n a z z z - 0 . 2 5 w h e r e O ) , i s t h e y i e l d s t r e s s o f t h e a l u m i n u m . F i g . 4 . 3 8 F i n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e m i n - i m u m s t r a i n c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a ) f = 2 3 % a n d b ) f = 3 1 % . F i g 4 . 3 9 A t y p i c a l s t r e s s s t r a i n c u r v e o f a n a l u m i n u m s h e e t w i t h h o l e s a ) f o r fi v e d i f f e r e n t s p e c i m e n s o f t h e s a m e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t w i t h f = 2 3 % a n d b ) a c o m p a r i s o n b e t w e e n e l a s t i c r e s p o n s e o f t w o s h e e t s h a v i n g t w o v o l u m e f r a c t i o n s o f h o l e s f o r t h e s a m e g e o m e t - r i c a r r a n g e m e n t . F i g . 5 . 1 A c i r c u l a r i n c l u s i o n i n a h a l f - p l a n e . F i g . 5 . 2 T h e h o o p s t r e s s 0 % = o y i n t h e m a t r i x a t p o i n t M v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a y w h e n * — * . . I I I . . e — 8 y ) , — E u a n d F - 1 0 0 . X X X X X V F i g . 5 . 3 T h e h o o p s t r e s s 0 ' 9 9 = a ” , i n t h e m a t r i x a t p o i n t N v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a w h e n I t ! — a t l - I t _ a n — e y y - 2 2 : a n d l " - 1 0 0 . F i g . 5 . 4 T h e h o o p s t r e s s 0 ' 9 9 = o ” i n t h e m a t r i x a t p o i n t P v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a w h e n 8 * = e y y ’ “ = a n " a n d I ‘ = 1 0 0 . X X F i g . 5 . 5 T h e r a d i a l s t r e s s o r , = 0 ’ i n t h e m a t r i x a t p o i n t M v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s X I a w h e n I I I - a l t - a t ! - a n - e y y — e z z a n d F - 1 0 0 . F i g . 5 . 6 T h e r a d i a l s t r e s s o r , = o i n t h e m a t r i x a t p o i n t N v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s 0 x x w h e n i l l _ . * - * _ 5 x ; — a ” , — - 8 2 2 a n d I ‘ — 1 0 0 . F i g . 5 . 7 T h e r a d i a l s t r e s s 0 ' " = o i n t h e m a t r i x a t p o i n t P v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s 0 I I w h e n * _ * - I t _ a n - £ y y — e z z a n d F — 1 0 0 . x x x v i F i g . 5 . 8 T h e e f f e c t i v e s t r e s s a t ” i n t h e m a t r i x a t p o i n t M v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a w h e n * _ I I I — I I : _ . 8 n — e y y — e z z a n d F — 1 0 0 . F i g . 5 . 9 T h e e f f e c t i v e s t r e s s o e f f i n t h e m a t r i x a t p o i n t N v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a w h e n 1 1 : . . . * _ a t : . . . 8 - a ” — a n a n d T - 1 0 0 . X X F i g . 5 . 1 0 T h e h o o p s t r e s s 6 9 9 = a ” i n t h e m a t r i x a t p o i n t N v e r s u s T w h e n v = v = 0 . 3 , a t _ s t : _ a t : _ e n — 8 ” , — 8 : : , a n d a — 0 . 8 . F i g . 5 . 1 1 T h e r a d i a l s t r e s s o r , = o i n t h e m a t r i x a t p o i n t N v e r s u s t h e s h e a r m o d u l i X X r a t i o T w h e n e n ’ “ = E W ’ “ = 8 3 * , v = \ 7 = 0 . 3 , a n d a = 0 . 8 . F i g . 5 . 1 2 T h e s t r e s s O v y i n t h e m a t r i x a n d i n t h e i n c l u s i o n a l o n g t h e x - a x i s w h e n e n “ = e y y ’ “ = e z z * , v = \ 7 = 0 . 3 , F = 1 0 0 , a n d a = 0 . 6 . F i g . 5 . 1 3 T h e S t r e s s a r e a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 0 w h e n x x x v fi e m “ = e y ; = 8 2 2 * , V = v = 0 . 3 , r = 1 0 0 , a n d a = 0 . 6 . F i g . 5 . 1 4 T h e j u m p i n t h e t a n g e n t i a l d i s p l a c e m e n t 2 0 [ u o ] a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 9 w h e n 8 “ “ = 8 ” , " = 8 2 2 * , v = \ 7 = 0 . 3 , F = 1 0 0 , a n d a = 0 . 6 . F i g . 5 . 1 5 T h e s t r e s s a r e a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 9 w h e n e x ; = 2 2 y ; = e z z * , v = r : = 0 . 3 . 1 “ = 1 0 0 , a n d a = 0 . 8 . F i g . 5 . 1 6 T h e s t r e s s a r e a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 9 w h e n 2 6 x ; = 8 ) , ) , 1 ‘ = e * v = \ 7 = 0 . 3 . 1 “ = 1 0 0 . a n d a = 0 . 8 . Z Z ’ x x x v fi i C H A P T E R 1 I N T R O D U C T I O N F i n d i n g l o c a l s t r e s s fi e l d s i n m a t r i x - i n c l u s i o n c o m p o s i t e m a t e r i a l s i s v e r y i m p o r t a n t s i n c e t h e p r e s e n c e o f i n c l u s i o n s m a y g i v e r i s e t o s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s i n t h e c o m p o s i t e w h i c h i n t u r n m a y r e s u l t i n a n i n i t i a t i o n o f c r a c k i n g a n d / o r p l a s t i c i t y . T h e m a g n i t u d e o f t h e s e s t r e s s e s d e p e n d s o n m a n y f a c t o r s w h i c h i n c l u d e t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s o f c o n s t i t u - e n t s , t h e s h a p e a n d r e l a t i v e s i z e o f i n c l u s i o n s , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e s , t h e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s a n d t h e p r o x i m i t y t o t h e s u r - f a c e . P h y s i c a l l y , i n c l u s i o n s m a y r e p r e s e n t r e i n f o r c i n g b a r s i n a c o n c r e t e s l a b o r fi b e r s i n a c o m p o s i t e m a t e r i a l , f o r e x a m p l e . I n c l u s i o n p r o b l e m s h a v e b e e n a d d r e s s e d b y m a n y r e s e a r c h e r s , b u t m o s t o f t h e s o l u - t i o n s i n v o l v e d a s i n g l e p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a n i n fi n i t e m a t e r i a l ( E s h e l b y , 1 9 5 7 ; M u r a , 1 9 8 7 ) . T h e g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f fi b e r s i n a c o m p o s i t e m a t e r i a l i s o f t e n a p p r o x i m a t e d b y a s s u m i n g a p e r i o d i c a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s . T h i s s i m p l i fi e s c o n s i d e r a b l y t h i s c o m p l i - c a t e d p r o b l e m a n d e n a b l e s o n e t o s o l v e i t e i t h e r n u m e r i c a l l y o r a n a l y t i c a l l y f o r t h e l o c a l fi e l d s b y c o n s i d e r i n g a u n i t c e l l ( e . g . , Z h a n g , 1 9 8 8 ; Z h u a n d A c h e n b a c h , 1 9 9 1 ) . H o w e v e r , s i n c e t h e fi b e r d i s t r i b u t i o n i n c o m p o s i t e m a t e r i a l s i s u s u a l l y n o n - u n i f o r m , t h i s a p p r o a c h m a y n o t c a p t u r e t h e t r u e b e h a v i o r o f c o m p o s i t e s . S u c h a n a p p r o x i m a t i o n m a y b e a d e - q u a t e t o d e s c r i b e t h e e f f e c t i v e e l a s t i c r e s p o n s e o f a c o m p o s i t e b u t w i l l n o t s e r v e a s a g o o d m o d e l f o r a s t u d y o f l o c a l s t r e s s fi e l d s a n d c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n c o m p o s i t e s w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s b e c a u s e f r a c t u r e i s a h i g h l y l o c a l i z e d p h e n o m e n o n l i n fl u e n c e d b y t h e l o c a l g e o m e t r i c a n d m a t e r i a l d i s o r d e r ( e . g . B a s i s t a a n d K r a j c i n o v i c , 1 9 9 1 ; B r o c k e n b r o u g h e t a 1 . 1 9 9 1 ; O s t o j a - S t a r z e w s k i e t a l . 1 9 9 4 ; P y r z a n d B o c h e n e k , 1 9 9 5 ) . T h e u n i t c e l l i s n o t s u f fi c i e n t t o i n v e s t i g a t e t h e r a n d o m d i s t r i b u t i o n o f fi b e r s a n d , r a t h e r , i t i s i m p o r t a n t t o r e d e fi n e t h e r e p r e s e n t a t i v e v o l u m e e l e m e n t ( R V E ) s o t h a t i t c o n - t a i n s e n o u g h fi b e r s a n d c r a c k s t o r e p r e s e n t t h e m i c r o s t r u c t u r e ( h e r e s c a l e e f f e c t s w i l l e n t e r , s e e e . g . , B a z a n t e t a l . 1 9 9 0 ) . T h e i s s u e o f e l a s t i c i t y a n d f r a c t u r e h a s b e e n a d d r e s s e d t o s o m e e x t e n t i n O s t o j a - S t a r z e w s k i e t a l . ( 1 9 9 4 ) , f o r e x a m p l e , w h e r e t h e o u t - o f - p l a n e e l a s - t i c i t y o f a u n i d i r e c t i o n a l fi b e r r e i n f o r c e d c o m p o s i t e w a s c o n s i d e r e d . T h a t r e s e a r c h p o i n t s o u t t h a t t h e a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s h a s a s m a l l i n fl u e n c e o n t h e e f f e c t i v e e l a s t i c m o d u l i o f t h e p r o - d a m a g e s t a t e , b u t t h e r a n d o m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s , a s c o m p a r e d w i t h a p e r i o d i c o n e , h a s a w e a k e n i n g e f f e c t o n t h e m o d u l i i n t h e d a m a g e s t a g e a n d o n t h e o v e r a l l s t r e n g t h . T h e m a g n i t u d e o f t h e s e e f f e c t s , h o w e v e r , d e p e n d s o n t h e c o m b i n a t i o n o f e l a s t i c c o n s t a n t s a n d t h e m i s m a t c h i n s t r a i n - t o - f a i l u r e r a t i o . S i m i l a r o b s e r v a t i o n s a b o u t t h e r e d u c e d s t r e n g t h a n d t h e f r a c t u r e s t r a i n o f a m a t e r i a l w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s h a v e b e e n m a d e b y B e c k e r a n d S m e l s e r ( 1 9 9 4 ) , M a g n u s e n e t a l . ( 1 9 8 8 ) , a n d o t h e r s . T h e i s s u e s o f t h e i n fl u e n c e o f r a n d o m a r r a n g e m e n t o f fi b e r s o n t h e e f f e c t i v e p r o p e r t i e s a n d l o c a l fi e l d s w e r e a d d r e s s e d b y s e v e r a l r e s e a r c h e r s . F o r e x a m p l e , t h e p a p e r s i n v o l v i n g a s p r i n g n e t w o r k m o d e l i n c l u d e D a y e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d S n y d e r e r a l . ( 1 9 9 2 ) w h e r e t h e e f f e c - t i v e e l a s t i c m o d u l i o f a m a t e r i a l w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s a n d i n c l u s i o n s , r e s p e c - t i v e l y , w e r e s t u d i e d . T h e fi n i t e e l e m e n t s t u d i e s i n c l u d e B r o k e n b r o u g h e t a l . ( 1 9 9 1 ) w h e r e t h e e l a s t o - p l a s t i c s t r e s s - s t r a i n c u r v e s w e r e c o m p u t e d a n d t h e e f f e c t o f r a n d o m v e r s u s p e r i - o d i c a r r a n g e m e n t w a s a d d r e s s e d . E f f e c t i v e e l a s t i c m o d u l i o f c o m p o s i t e s w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d a n d r i g i d i n c l u s i o n s w e r e i n v e s t i g a t e d n u m e r i c a l l y ( b y u s i n g a s p r i n g n e t w o r k o r a M T m e s e p t T ( m n a m b r t f i fi n a m o u l o a c n e h u e w i r t r K s e o o u u g n u h n g e k t o l a i l h h i l . n h l b c l o t o e e n e i u r i s h m i n p o a e t t r T r i i m n t e e a I s d q n r u a s r u l 9 s b c u 9 h , l l l d n 1 s h h h e a e a i l 1 n g a . a a t t h b y e o c d ( l n i m p c i d , e e t e r c e a n x a i i e i l l ) i i r v a u i g r t e n e a o a d s s u o s e m . i i l r o s d ) s r u e u e o b T r o s 9 t c m e h u i w 4 o 1 s s a o d i u 9 l o r i h i w g n o o o n t s o n s e a a i n e i i 9 ) r y s d u u g . a o u s l o i l h r 9 p y s ) o h o l t 5 e d s n i t t n h t m d n y c n . 1 i m a i f m c ( a d a a o a i i m o f r r g o e 1 s f n n i e a n r i n c o s f n e B fi d r n t 9 c d a o n e t s a n . m e g i a c s m i h 9 l t t h l i s r n b c N l l o 3 u e d v e d K u u - a t p m w ( o a a o f d a y t u w , n d n d s i s i p c s s d a a n e 9 h u n o l h a o e a i 1 a l u j Z G d s i c p r S i i t s a n p a t l l c r o t m o b c y o n n d a d n a u d a a y n e l a t l s 9 v a h r j d b i , d s s i a O e n e n r r e a d c o k e . o n n e r l , r t t t i c o g e n g e l i p d . c e 3 e t m n e a 1 p i c a o l e ( a h y s t n r g , y g o m l f i o t ) r p e n i h i o n t s a i - S a u c y a l a n e d 9 u s r n l a r t M 3 e n l 9 n d n d a i p r g c a r n c a r s e c o i fi . z e n m n t h g r K t g s y . g e ) r a p e A k s g f , n l k h e a e d a b a a w y n t o T d u o e m i m e e i a s i r e c u n n w D e e u d k l i l t d a b t y n i s r g i h a t l i x t e p p e c a a i h t s w e i p i o h c e t p n h l t f v c p e t b a w ( r c r i i a n a l l i 1 o h w k m s ( l s n u e 9 i o o b s o e t l e i m o m . e r d e c w s e r c s 9 t n n c , 1 1 y l d s n h b o l h i d 3 a i 9 t e 9 f t a e e fi o n l m i ) a u e w t o n u n o ) n 9 r s n c a . c r d a i 5 a l d i b t o i e 9 n n m l o r a d 4 d i , ; s . o n l s A o e s o l r P n i b s t i u i n r o n e p h f f s b d ( s o w a l y 1 o l u t l n r p s o c s R h r e o r l e h e e e e V i z s e y t y 9 , a e 9 u u n i c i a g d x m m t t c m p r E a g a e n t t h e n n a o n e e o ) e o i t i s q o h n i d t o r s 4 i a t e a p e t n t a t n e l m a a h d l p i r n e i u r s - s f d . t n d y a - r g a g o i i c f s f s s B i s s l m i , o n x a r e t h o n e i e m - , , t u o n u d a r a c i f d p e n n s u i a b c c t o , n j l h p i n r i n m C v a n o e a f a d c e e e s t u o e i h r m e l m r t c d m f l l n e y w e a t b t w u t i t v a a n g o p o s e e e s n l n u r i x o r e n s k l r n l e t i n . n n o b e c t t i e c t k e r d u i y fi , u h r i s i o r p d e e d n n i n r ) p v n o e r e c t a n t a e o i d i a s ( c c 1 a G t l h e c o n l s K c 9 k I a r a i l c o l p r o i u o o g r 9 s o i n . w s s l a o l u f n m n y 4 o e i c u l ) e t e e c i l o k ( s a H r w p , e o l t t e . v v 1 9 h i m h o i u l i i o m n e m n n s o e T r s t s e s a a p e e 5 a e e d e o s i e n a t y o h t i o i t f 9 h - r , w h i c h e x c e e d t h e l o c a l f r a c t u r e c r i t e r i o n , i s c a r r i e d o u t . I f t h e f r a c t u r e c o n d i t i o n i s m e t , i t r m n e r S s m T d a t p c w l h n e u e e m m h r e h o i l a i e c l e r m n p m e t e m r o e g t l e l e a o - s h y l v t u n s k a d i e a t y i s o s s T r T T o y s i i S e v h h h w h e fi o i c s d e n s i e n o c m c e e e n a m i r i f s s r a i o b n t a r u o d y i a g e a b n 1 a i u b r h g d l l ( y h p d n g G r l n l o l h c a o n e h . l s f u e n e t s 9 r a c d t i e i s o r e 4 d a t a a a l d i s e 9 0 a o c n g e s w f e s s n t p d a o n i e t d o o o n 4 t T . i l d o r f t ) r t a n d n ’ h m b d u i c a t n i u d d a s s n i u i e n fi . s p r l a o - m h t r g i c d f o a h v t c e s t p n n n e s a t a u i l h y y n e c e m s i s i h l r d l i f t e t t e e , i d u o l t e o i fl n e m e t r e ' e o e u e l t a e l s o s p v l l i w m o g y a a w s f l r t n e l e d o c s h a i e s u t e e o i h l s a c l r a . o i m n a e i d a l e t c w a h m n n i d r e l o a e s r O u a i l v u n y r f r t . t g e d r d i n e m f l n o h m t a i f i v r h o r i i e a d c i n b o n n r s h n i o c m o e t m t h fi r n t i v d T t e a c i c a s g e o s l w g n o h a u i t a p h k d r i f t e i d h a s s o c o c c i r n e h - s r d k o n e g a h n s t s a u n o r e t i v t e g t h d c e t l s e e y t l a a r d u t a c a y e p c e u u l H b l s s a u c r y o u c l b m t i e m n l h e w a d t d a a t d i o t t p u t e t i c b e n i e n t t i u d r s s h a o i a n l e e c s e - n l z h c n c o i w y , l t c l e i l . e i i l p d d e a fi a r d r r y t i s c s r s T h r a u b t e c s t s e a v t e e s c d u c m t c d e a a o a e h l l n a o f f a m y e t u u s s t t r e d a l i c n a u e n l r t n e u s e s i e a r i o e p o e t p e 8 t e a u r a u e r t u r s t n c r r e s r s ( e n d t d i e n e c e a e e f m k t 1 e d a o r f p l m o g s e x r h 9 d c , s f e i t o e s e n a o s e m r u o a m r 4 q h i d f u h n n o e t l o f r p e a ) d t i l t n s e a e f s i i o i i s n y o d h a v a t f d n r r n t e a r c e d t . e t r p f g e m g h p t u r i n l e i o h v s r u a p a e o t t r n r d w p e H n s m e o m h e g d o o i a e d e h i b o t o p t l i e a e i w t s y w o d n c e h i h e . X t d e d v n r c t s a c e t x p e r t h h a r e n n m c r i d u t t r v e o s c T r a s i a i c r u i r k e e g n h v o r i i . t h a s c t a t u e i l , r v s i u r c o b n m i fl t a y n r i l n a a m y e s h o f d e a l y o s i l e d b o b o u y u d w t t n a e u N o t v v c t t s i e c c i f s t e e l o e i M p e s r h i o a s d e l e c n n s a i h w c a t e e b m g s t a c e i e n d v f c o o o n o g e a n n s n i c d h e n t fi i i i r l u i e t h y k l a h fi n t s m n e d i o e n i B m a t d e i . m n r s a w s z s t a e e n t e t a s i a a n h e . e T h i b t l e n e l k h v s e i t n e i c p t n e r r a e e o 1 s n i h e e d e l r l u h e t r o e ( a a o n l y n r m r i - a l d b l e e s s d m t ) s - u n 1 n c a m n d a n n 9 e o e - i . - l l . i a o i 9 t a d l a t i s t l l ( 1 9 8 8 ) a n d a n a l y t i c a l l y b y N e e d l e m a n a n d K u s h n e r ( 1 9 9 0 ) . T h e y f o u n d t h a t t h e i n fl u e n c e o f r a n d o m v e r s u s p e r i o d i c a r r a n g e m e n t o f h o l e s o n t h e e f f e c t i v e r e s p o n s e w a s s m a l l f o r t h e e l a s t i c r a n g e b u t l a r g e i n t h e p l a s t i c r a n g e a n d t h e m a t e r i a l s w i t h r a n d o m a r r a y s o f h o l e s w e r e l e s s d u c t i l e . T h e f r a c t u r e b e h a v i o r w a s f o u n d t o b e a f u n c t i o n o f t h e m i n i m u m v o i d s p a c i n g , v o i d s i z e , a n d s t r a i n h a r d e n i n g . T h e c o m b i n e d fi n i t e e l e m e n t o r b o u n d a r y c l e m e n t h s p r i n g n e t w o r k a p p r o a c h e s w e r e a l s o c o n s i d e r e d . F o r e x a m p l e , B a l a n g e r e t a l . ( 1 9 9 4 , 1 9 9 5 ) p r o p o s e d a l a r g e - s c a l e f r a c t u r e a n a l y s i s w h i c h c o m b i n e d a b o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d u s e d f o r r e m o t e r e g i o n s a n d a l a t t i c e n e t w o r k f o r t h e a r e a s u r r o u n d i n g a c r a c k , w h i c h , b y u s i n g a d a p t i v e m e s h i n g g u i d e d b y a f u z z y l o g i c s c h e m e , c a n m o v e w i t h t h e c r a c k t i p . S c h l a n g e n ( 1 9 9 3 ) a n d S c h l a n g e n a n d v a n M i e r ( 1 9 9 2 ) u s e d a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d t o m o d e l r e m o t e r e g i o n s a n d a l a t t i c e n e t w o r k w i t h b e a m e l e m e n t s i n t h e a r e a s w h e r e t h e c r a c k p r o p a g a t e s . F r a c t u r e o f b r i t t l e h e t e r o g e n e o u s m a t e r i a l s w a s d i s c u s s e d i n H e r r m a n n e t a l . ( 1 9 8 9 ) a n d H e r r m a n n a n d R o u x ( 1 9 9 0 ) , f o r e x a m p l e . A s i m i l a r a p p r o a c h w a s u s e d b y S c h l a n g e n a n d v a n M i e r ( 1 9 9 2 ) a n d S c h l a n g e n ( 1 9 9 3 ) w h o e m p l o y e d a t r i a n g u l a r l a t t i c e s p r i n g n e t — w o r k t o s i m u l a t e c r a c k i n g o f a c o n c r e t e . R e c e n t l y S c h l a n g e n a n d G a r b o c z i ( 1 9 9 5 ) p r o - p o s e d a n e w m e t h o d t o s i m u l a t e c r a c k i n g o f b r i t t l e m a t e r i a l s u s i n g a l a t t i c e w i t h a s m a l l s c a l e r a n d o m g e o m e t r y t o a v o i d c r a c k m e s h d e p e n d e n c e i n h o m o g e n e o u s m e d i a . J a g o d a a n d B e n n i s o n ( 1 9 9 3 ) p r e s e n t e d a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e f r a c t u r e r e s u l t s u s i n g a r a n d o m s p r i n g n e t w o r k a n d a r a n d o m fi n i t e e l e m e n t m e s h . S i m i l a r s t u d i e s i n c l u d e d t h e w o r k s o f J i r a s e k a n d B a z a n t ( 1 9 9 4 / 1 9 9 5 ) a n d B a z a n t e t a l . ( 1 9 9 0 ) w h o r e p r e s e n t e d c o n c r e t e a s a c o l l e c t i o n o f p a r t i c l e s w h i c h h a v e e l a s t i c b u t o n l y a x i a l i n t e r a c t i o n s a s i n a t r u s s ( Z u b e l e w i c z a n d B a z a n t , 1 9 8 7 ) . T h e m a t r i x l a y e r s b e t w e e n t h e p a r t i c l e s w e r e d e s c r i b e d b y a s t r a i n s o f t e n i n g b e h a v i o r . C r a c k i n i t i a t i o n a n d l o c a l i z a t i o n w a s s i m u l a t e d a n d s i z e e d s i t i s 9 o c e p V t A e h i m m c c T T a m l a 1 f f e o n c s e l p t t d 2 t t e l e a l s h h l e 1 e i s e o l h x o i r i m n e e m a h d 9 h i s r a p e l p t i r d o d d B t . i n a ) n t i e y t g e c o g l s , e a a e o . o o e i i n e i S t s R A r ; c W r c i a s o e e s h m h o c n i c T y a s d d o h r t H w f o n n , e l e o o - e h e r u i n i e r a d t c . d s s e d e r t a a n d i s c i d t o h 1 a m s u b n p e e 9 s y s S s n e e s e a l o n s o y y m r ( o o d o 6 o e p l a a f s a r m e w s P , e e f e i r e 3 f i s t t u o c d e a r r h t f r i i . e n l r h r e s t e r c u t s , r n y f c r o y h t U f b y s e a t d t e e g i a t l k e z n o l o c a l n t r a d 1 s q u . s a m t s w w i t i f u p o a a n n h . e c a m t r y l P c e . a a t 5 e e r n s h f 9 d m e i c t e r i a r a s o 1 i g p l t o s o a l n u e a s s e 4 h a R d . s n a o h a d c i m e t e d g u d e o c i c n ) n i l t ) d e c o o r r i 7 l n d e 9 o p t o o c l r e n n k r a t t u d m f d r k , e o d m t u t f c , a m m d a i s p f o . h p t m e c n e e l F i a i e i c e c o t s m i i n n k g e e o l o t u d s a c u l n e h n l n e ( c t d h s k e m i n r u r r t t , c o o i r l l e g c a s y o e t p e s a o o t f 9 r t s i r w r t l s i r s q d 1 s o o 9 c t o . u i r a o e n t d i f a r h d t t w e d i d a W a 4 c , t n s m i p e l e a t e c r n ) e e e k s u h h 1 c a t a h g i s c a o s a e f t e u r r E f t c e n a t 1 e 9 c r t h i n t u l i n o 9 o t i i e a 9 a r n l a y 9 f i i n r c d w 5 t d u s l n a p k e r ) e e i m e a s t i s e e t g r m , d r 5 a s a c : f y r c ( m n t e w a e P o e h p l a o e t o q t t t r e o f i o t r t s a m r g e a h i p m d c t t e m l z t g f n n y o m u l u r r r o a e u a e h i c i i r b n r e t k , F n t y h a u r i s r a a t a t e a r h r u s i y g r e e e w s 9 e a n y t r n s o i u z s t o a e d o u i o n G d i 4 r r i a p r n n n a i u e ; n a a l a r n t w g a c c y m , l . c t c e r m s d P e t k k a r e i d t h c ( n i i r s l m i c c 9 m r i n f t h i n h r h t T e y s c r s e ( c i u e a i r i t n h r p p e S r k a c i r s a o i t r z r r i s o h a t l e b c h e a e r n f c a o o n o e e n c a b s i u , r o n ( o c g a m g w n n h p m d E g g e e f y 1 a h f a a l t l f e c p p d . k b t t o m a F a a o o u r 7 r v e 9 r i r a e e r e t B d i o s w m k e n o e c p a G e t t m 4 e s c i 1 e a a x e s h r r g x h d y n a d t i n o ) e t r c e s a i i , b n ) l a o y o o , e t e t r e a r i m o r h i , g n n a 1 t i a a r t a e s 9 o t e r i o a s , w h n l e n a a e t n k r , d b f e r i b e 9 h t t n e u o l f s . a a y . 5 i h o m a t f r m a s ) o T u , p t n a n h s u l . d t s o s r r a c t K e a e i h u u C a s e 9 h s i r e n p G m d i u l v l s a e o t r h g e i s b 9 e r a a a a . r ( m r n d 4 t s l E i o t i p , c h f t t e n u n e s s i u b a T r m fi h t r o r r ( e d s d e l t o 1 i s e m w a 1 h e e i 9 i p i c o h r . e b 9 a v s d n . b 4 k t 9 t k s g r , e a 9 l , x d i o n r 1 e t s ( n n s n h a o ; t 5 h a i n n - - i ) y a n d K u n i n ( 1 9 8 7 ) s t u d i e d t h e p r o b a b i l i t y o f a b r i t t l e c r a c k f o r m a t i o n i n a n e l a s t i c s o l i d w i t h a fl u c t u a t i n g s t r e n g t h . T h e i r s t u d y w a s a p p l i e d o n fi r s t m o d e c r a c k i n g o f a n o t c h e d s p e c i m e n . T h e i r e v a l u a t i o n o f s p e c i fi c f r a c t u r e e n e r g y s h o w e d a l a r g e s c a t t e r o f t h e p r e - d i c t e d c r a c k p a t h s . J e u l i n ( 1 9 9 4 ) p r e s e n t e d a s t a t i s t i c a l m o d e l t o s t u d y t h e c r a c k p r o p a g a - t i o n i n a h e t e r o g e n e o u s m e d i u m . H e p r o p o s e d a p r o b a b i l i s t i c m o d e l f o r m o d e I c r a c k p r o p a g a t i o n i n b r i t t l e m a t e r i a l s w i t h r a n d o m d i s t r i b u t i o n o f f r a c t u r e e n e r g y w h i c h e n a b l e d h i m t o c a l c u l a t e t h e p r o b a b i l i t y o f f r a c t u r e i n v o l v i n g t h e c r a c k n u c l e a t i o n a n d p r o p a g a t i o n . M a n y o t h e r r e a s e a r c h e r s s t u d i e d a n d p r o p o s e d d i f f e r e n t p r o b a b i l i s t i c m o d e l s f o r t h e c r a c k p r o p a g a t i o n i n b r i t t l e m a t e r i a l s , e . g . L i n a n d Y a n g ( 1 9 8 3 ) , M o e t e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d B r e y s s e e t a l . , ( 1 9 9 4 ) . T o o u r k n o w l e d g e t h e r e i s n o s t o c h a s t i c m o d e l i n l i t e r a t u r e w h i c h c a n b e u s e d d i r e c t l y f o r o u r c a s e o f s t u d y w h i c h i n v o l v e s b o t h m a t e r i a l a n d g e o m e t r i c d i s o r d e r s . A n o t h e r i m p o r t a n t a n d c o m p l i c a t i n g f a c t o r w h i c h i n fl u e n c e s t h e c o m p o s i t e r e s p o n s e i s t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e . T h e i n t e r f a c e i s o f t e n r e p r e s e n t e d a s a t h i n l a y e r o r c o a t - i n g a r o u n d t h e fi b e r , c a l l e d i n t e r p h a s e ( D r z a l , 1 9 8 3 ) . F o r r e v i e w s s e e e . g . K e r a n s e t a l . ( 1 9 8 9 ) , W r i g h t ( 1 9 9 0 ) , a n d H u g h e s ( 1 9 9 1 ) . T h e i n t e r p h a s e m a y b e d u e t o a c h e m i c a l r e a c t i o n , d i f f u s i o n , o r o t h e r c o m p l e x p r o c e s s e s w h i c h o c c u r d u r i n g m a n u f a c t u r i n g . T h e e f f e c t o f i n t e r p h a s e o n t h e l o c a l fi e l d s a n d e f f e c t i v e p r o p e r t i e s o f c o m p o s i t e s h a s b e e n t h e s u b j e c t o f s t u d y i n t h e l a s t d e c a d e . F o r e x a m p l e , H a s h i n ( 1 9 9 1 ) , B e n v e n i s t e a n d M i l o h ( 1 9 8 6 ) , P u k a n s z k y a n d V o r o s ( 1 9 9 3 ) , B e n v e n i s t e e t a l . ( 1 9 8 9 ) , a n d m a n y o t h e r s s t u d i e d t h e e f f e c t i v e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f c o m p o s i t e s w i t h c o a t e d i n c l u s i o n s . T h e e f f e c t i v e p r o p e r t i e s o f c o m p o s i t e m a t e r i a l s s u b j e c t e d t o t h e r m a l s t r a i n w e r e s t u d i e d b y H a s h i n ( 1 9 9 0 ) , T a k a o a n d T a y a ( 1 9 8 5 ) , T a y a e r a l . ( 1 9 9 0 ) , M i k a t a a n d T a y a ( 1 9 8 5 ) , H a t t a a n d T a y a ( 1 9 8 6 ) , P a g a n o a n d T a n d o n ( 1 9 8 8 ) , A r n o l d a n d W i l t ( 1 9 9 3 ) , a n d o t h e r s . E x p e r i m e n t a l l y l o c a l s t r e s s fi e l d s d u e t o a c a s t - i n p l a c e i n c l u s i o n o r i n c l u s i o n s i n p e r i - e r n l r 0 e d m i o d M e o e a m s n p b S ( p p a w t w f d a r t a u e e o l l 1 i i a n a a s s i r . a d t c t a a 9 t r c r o f f l s l n l c l e e 5 h n n h e f ( c n e t i o a m c h n i s t ) I o A A s c d l T . r s a e i e e 3 e i a e i i s r a h e w e a n , c fi r i l r e e 1 f . c o . n l l t e a a t I u t e 9 v s o t i a t ( w h i n e n s n 5 u a t h r r h h c l h 1 8 T m s e e t y h 9 i i i d r h g m d i e i - d ) e n t s l u 5 r a s e p . t r i o r c b r p l b g d t s r 8 c i e e D n n r m e t y d e e l u x y , t a r g r a i i n n a c a a L i h r e m c s n x f - g e , t r i ) u r fi t i t v t s r t S o t m u i h t u h e e e o t a o t t c s f e c e i l s r i r o n r l r e r e i p r o i r u a i e t e d n t f i a o n ( r a x l e u - o p i o n c r e t a c o f y t o t r f r l d b c o y e r o i u a r 1 d i c o f b i a u a i i t t t ) m 6 p n t p e n ( n . n b e e c e i n s k p 9 e s l c r o o l s p a 9 l e t l e i e o a o ) a m ( m f e n l s n , d f a c m 6 n w f r 1 s i a d a d D e e c r t f 9 s s 7 i d l e o 9 e u e o d o p e l t n w c s r i o e 9 n w e o e l 1 o d e n n d e i t , a o e s i a h o f 2 s g c i g o n h t t a e a ) r f t d i e e o c n n e o n . s a u u e h s n i e a n l d t e s n l o a c n c w d o n y i o i l o i d e a h o m n n R fi i e u r t F p d f t s l v e i ( p m r a l e i g n e i i s c r n n p d c n o s s c h i d i t c u n j l t e o o o i g v t m s n i o l t u o s c e h i . g e r c t a t s l l r r c n h D i g g n a s l e u t n t a ’ r p e o n r e i b i o a n c 1 o i . f e e t e e e s n h d a t 1 r m u a u ) e a r s t n t s s i o l e i s l e n m n s e . l f d o l r c b i i , n s l l l o a e f i y e e n h h t a o e i s W f l t f e e e o t fi y d e e ( c t o ( t r e l r e a i e f e e e t e r n e r r w 1 9 p e d i n n f a d 1 9 i s s a n s a c i e n i f l l d a 6 o s x o f c c a a e e b 6 2 p x c p , 9 s u r a y n ) g , y n s o g l e t ) e e o s r , i J w H r o o a r o r s f e d p n i r o e b fi fi a s m h e s h t a l c e h l d o d o l e t e d n t f n e f t d s c e f m i m e f c e e s r r r i a i s t e e z e d h - h o - s t e s m e n i o o n e r n e l r a d s p m i r o t d s e r n n p y y n s i a t i e a h s a r t e t g i t n y g r d b d c t c ( r a r o e r u s n i o 1 e e t a n d a t a r e t x a i e x 9 r a a b s n t a w e o r l n e i i i a s h e 2 d i n p s r h i d m d a s J s a m . T i a r D n b e y i M t w r g s r a d a r i l f y y d . b c z a e t u f s a l s p i M o n i r t e e l o f c y m a n u r f c o a l e l n v n ( t n I u c c l e k c l o s i n a e d s a h p n e ( 1 u c n s i o o h e i f f i s i n t t a n , e i r c i n i 9 i u h o c n d o n m 9 d l t n a l o a e n i c k , n p i c o i n 9 h f r f i h ) d i m i t t h e i 1 s 2 e s e o ( i o i f w n s n c - w o t y b ( a y o c n c 4 v e u l n n a n a o o i n i c c s v l h s 8 e l i n l , f a g t G t , 1 i e d i a i s d a e , s 9 7 0 ) o p o e t n s t i o s t f g u r h s t n t h o - r e e o n c - n u e r u s s x i y i l t o d s l s a v i - - - n u s w t o u h l i ) h e i o n i . i ) r t n e t a t d s b h , v e o l r e n u e t fi a f a c e ) F i g . 1 . 1 R a n d o m g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f g l a s s fi b e r s i n a n e p o x y m a t r i x . 1 0 O B J E C T I V E S T h e m a i n o b j e c t i v e s o f t h i s r e s e a r c h a r e : 1 . T o s t u d y e x p e r i m e n t a l l y , n u m e r i c a l l y , a n d t h e o r e t i c a l l y t h e j o i n t e f f e c t o f r a n d o m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s a n d i n t e r f a c e o n t h e l o c a l s t r e s s fi e l d i n a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l l o a d i n g . 2 . T o i n v e s t i g a t e e x p e r i m e n t a l l y , n u m e r i c a l l y , a n d a n a l y t i c a l l y t h e j o i n t e f f e c t o f r a n d o m a r r a n g e m e n t a n d c o a t i n g o n t h e r m a l s t r e s s e s o f a c o m p o s i t e w i t h c a s t - i n - p l a c e i n c l u s i o n s . 3 . T o p r e d i c t t h e c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a c o m p o s i t e w i t h c o a t e d a n d r a n d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s u n d e r a t r a n s v e r s e u n i a x i a l l o a d i n g o n t h e b a s i s o f e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l o b s e r v a t i o n s w i t h t h e e m p h a s i s o n d a m a g e i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e l a s - t i c b r i t t l e ( e p o x y ) o r e l a s t o - p l a s t i c ( a l u m i n u m ) s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s . 4 . T o s t u d y t h e j o i n t e f f e c t o f t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e o f a h a l f - p l a n e f o r a s i n g l e i n c l u s i o n c a s e e m b e d d e d n e a r a s u r f a c e . M E T H O D O L O G Y O F T H E R E S E A R C H T o a c h i e v e t h e s e o b j e c t i v e s t h e f o l l o w i n g t a s k s w e r e c o n d u c t e d : T a s k 1 . T h e s t u d y o f t h e e f f e c t o f i n t e r f a c e a n d r a n d o m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s o n t h e l o c a l e l a s t i c s t r e s s e s i n m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l s s u b j e c t e d t o a m e c h a n i c a l l o a d i n g ( a 1 1 u n i a x i a l t e n s i o n ) . T a s k 2 . T h e s t u d y o f t h e e f f e c t o f i n t e r f a c e a n d r a n d o m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s o n t h e t h e r m a l s t r e s s e s i n a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l . T a s k 3 . I n v e s t i g a t i o n o f d a m a g e i n c o m p o s i t e m a t e r i a l s : s t u d y o f t h e e f f e c t o f i n t e r f a c e a n d fi b e r a r r a n g e m e n t o n t h e d a m a g e i n c o m p o s i t e m a t e r i a l s w i t h a n e m p h a s i s o n d a m a g e i n i - t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n o f e l a s t i c - b r i t t l e a n d e l a s t o - p l a s t i c s h e e t s w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s . T a s k 4 . T h e s t u d y o f t h e e f f e c t o f i n t e r f a c e a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e o f a h a l f - p l a n e o n s t r e s s c o n c e n t r a t i o n w h e n a s i n g l e e l a s t i c c i r c u l a r i n c l u s i o n i s e m b e d d e d n e a r t h e s u r f a c e . T a s k s 1 , 2 a n d 3 w e r e s o l v e d e x p e r i m e n t a l l y a n d n u m e r i c a l l y . A n a l y t i c a l s o l u t i o n w a s i m p l e m e n t e d f o r s i m p l e r c a s e s . T a s k 4 w a s s o l v e d a n a l y t i c a l l y . C H A P T E R 2 T A S K l : T H E I N F L U E N C E O F I N T E R F A C E A N D R A N D O M A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N L O C A L S T R E S S E S I N C O M P O S I T E M A T E R I A L S I n t h i s p h a s e o f s t u d y w e f o c u s o n t h e i n fl u e n c e o f t h e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s a n d t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e o n t h e l o c a l e l a s t i c fi e l d s . W e c o n d u c t t h i s a n a l y s i s b y c o n s i d e r i n g a p l a n e e l a s t i c i t y p r o b l e m i n v o l v i n g a m o d e l c o m p o s i t e m a t e r i a l . M o r e s p e c i fi c a l l y , w e i n v e s t i g a t e t h e s t r e s s e s i n a m o d e l c o m p o s i t e m a d e o f a n e p o x y s h e e t r e i n f o r c e d w i t h c i r c u l a r c o p p e r i n c l u s i o n s . A t e a c h m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e t h e r e i s a n i n t e r f a c i a l l a y e r , w h i c h w e r e f e r t o a s a n i n t e r p h a s e o r a c o a t i n g . E x p e r i m e n t a l l y , w e c o n s i d e r t w o d i f f e r e n t i n t e r p h a s e s , w h i c h a r e m o r e c o m p l i a n t t h a n t h e m a t r i x , b y u s i n g t w o c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e a d h e s i v e s , a n d d e n o t e t h e m a s c o a t i n g s l a n d 2 , a n d a t h i r d c o a t i n g h a v i n g t h e s a m e p r o p e r t i e s a s t h e m a t r i x . M a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e c o m p o s i t e ’ s c o n s t i t u e n t s u s e d i n e x p e r i m e n t s a r e g i v e n i n T a b l e 2 . 1 . N u m e r i c a l l y w e u s e s i x t y p e s o f c o a t i n g s r a n g i n g f r o m v e r y c o m p l i a n t t o r e l a t i v e l y s t i f f o n e s . T h e p r o p e r t i e s o f t h e s e c o a t - i n g s a r e g i v e n i n T a b l e 2 . 2 . I n c l u s i o n s a r e a r r a n g e d r a n d o m l y i n t h e m a t r i x b u t w i t h a r e s t r i c t i o n t h a t t h e y a r e n o t a l l o w e d t o o v e r l a p a n d t h a t t h e r e i s a m i n i m u m d i s t a n c e b e t w e e n t h e m . F o r a c o m p a r i s o n w e a l s o i n c l u d e c o m p o s i t e s w i t h t r i a n g u l a r a n d s q u a r e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s . W e s u b j e c t 1 2 1 3 T a b l e 2 . 1 M e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t a l a n a l y s i s . M a t e r i a l V E ( k s i ) W ? ? — c o a t i n g 2 . 4 3 0 m a t r i x . 3 6 4 5 0 i n c l u s i o n s . 3 4 1 7 , 4 0 0 T a b l e 2 . 2 M e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f c o a t i n g s u s e d i n t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s . E c ( k s i ) v c D e s c r i p t i o n c o a t i n g 1 1 0 . 3 6 : v e r y c o m p l i a n t c o a t i n g 2 3 0 0 . 3 6 c o m p l i a n t c o a t i n g 3 1 2 0 0 . 3 6 o p t i m u m ( C a r m a n e t a l . , 1 9 9 2 ) c o a t i n g 4 4 5 0 0 . 3 6 E ° = E m c o a t i n g 5 9 0 0 0 0 . 3 6 S t i f f E ° = ( E “ ‘ + E i ) / 2 c o a t i n g 6 9 0 0 0 0 0 . 3 6 v e r y s t i f f 1 4 t h e s e c o m p o s i t e s t o a m e c h a n i c a l l o a d i n g , t h e u n i a x i a l t e n s i o n , a n d a n a l y z e t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s e x p e r i m e n t a l l y b y u s i n g t h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d a n d n u m e r i c a l l y v i a t h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d . W e a l s o c o n s i d e r a s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n p r o b l e m , w h i c h w e s t u d y a n a l y t i c a l l y , n u m e r i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y , a s w e l l a s o t h e r s i m p l e g e o m e t r i e s . T H E S I N G L E I N C L U S I O N S O L U T I O N A f u n d a m e n t a l p r o b l e m i n m i c r o m e c h a n i c s i s o n e i n v o l v i n g a s i n g l e i n c l u s i o n i n a n i n fi n i t e m a t r i x . T h e f a m o u s r e s u l t d e a l i n g w i t h a s i n g l e i n c l u s i o n i s d u e t o E s h e l b y ( 1 9 5 7 ) w h o f o u n d t h a t t h e s t r e s s fi e l d i n a n e l l i p s o i d a l a n d p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n , s u b j e c t e d t o e i t h e r a u n i f o r m t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n o r a u n i f o r m r e m o t e l o a d i n g , i s c o n s t a n t . T h e s o l u t i o n o f a s i n g l e i n c l u s i o n i s a p p l i c a b l e f o r t h e d i l u t e c a s e i n w h i c h i n c l u s i o n s a r e f a r e n o u g h f r o m e a c h o t h e r s o t h e y d o n ’ t i n t e r a c t , b u t i t a l s o g i v e s a b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r e s s fi e l d s i n c o m p o s i t e m a t e r i a l s i n g e n e r a l . T h u s , w e fi r s t b r i e fl y c o n s i d e r a s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n s o l u t i o n a n d d i s c u s s t h e i n fl u - e n c e o f s e v e r a l p a r a m e t e r s o n t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s . I n t h e a n a l y s i s w e a s s u m e t h a t a l l t h e c o m p o n e n t s o f t h e c o m p o s i t e a r e l i n e a r l y e l a s t i c a n d i s o t r o p i c . W e d e n o t e t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s a n d t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o n s t i t u e n t s b y E a n d v , a n d u s e t h e s u p e r s c r i p t s i , c , a n d m t o d e n o t e t h e i n c l u s i o n , c o a t i n g ( i n t e r p h a s e ) , a n d m a t r i x , r e s p e c t i v e l y . T h e g e o m - e t r y i n v o l v e s a l a r g e p l a t e c o n t a i n i n g a s m a l l c i r c u l a r i n c l u s i o n o f r a d i u s a w i t h t h e i n t e r - p h a s e o f t h i c k n e s s t ( F i g . 2 . 1 ) . T h u s w e h a v e a n e l a s t i c i t y p r o b l e m o f a p l a n e s t r e s s t y p e . T h e a p p l i e d l o a d i n g i s a r e m o t e u n i a x i a l t e n s i o n . I n t h e a n a l y s i s i t i s c o n v e n i e n t t o A A A A A A A A A I V V V V V V V V V V F i g . 2 . 1 A s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a n i n fi n i t e m a t r i x . T a h e p r e e v r a o l b u l e m i n v o l v e s a t e d b y s o l v i t n w g e l v e t w e l u v n e k e n q o w u a t n i c o n o n s s g t a n t s : i v e n b A y , t B h , e C b , o D , u n d E a r G y , c H o , n d J i , t L i , o M , n s ( N 2 , Q , . 1 ) - ( 2 w . h 2 i c h ) . 1 6 e m p l o y t h e p o l a r c o o r d i n a t e s y s t e m ( r , 6 ) . W e a s s u m e p e r f e c t b o n d i n g c o n d i t i o n s b e t w e e n t h e i n c l u s i o n - c o a t i n g ( r = a ) a n d t h e c o a t i n g - m a t r i x ( r = a + t ) i n t e r f a c e s , w h i c h i m p l y c o n t i n u i t y o f t r a c t i o n s a n d d i s p l a c e m e n t s . T h u s a t r = a i _ c i = c 0 ' " " ' O r r “ r e o r B 0 o ( 2 0 1 ) r . _ c r = c " r - “ r “ 9 u 6 a n d a t r = a + t m _ c m _ c 0 ’ " - 0 . r r “ r e " o r O ( 2 . 2 ) m - c m _ c “ r — u r “ 9 - “ 9 w h e r e o k I a n d u k ( k , I = r , 0 ) a r e s t r e s s e s a n d d i s p l a c e m e n t s , r e s p e c t i v e l y . F o r t h e a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i o n 6 x x = 0 ' 0 a t i n fi n i t y , t h e r e m o t e b o u n d a r y c o n d i - t i o n s i n p o l a r c o o r d i n a t e s a r e ( e . g . T i m o s h e n k o a n d G o o d i e r , 1 9 5 3 ) m 6 0 0 ’ " = — 2 - ( 1 + c 0 5 2 0 ) ( 2 . 3 ) G o . 0 7 1 6 = ~ 3 — s r n 2 9 ( 2 . 4 ) T h e n , o u r p l a n e e l a s t i c i t y p r o b l e m c a n b e s o l v e d b y u s i n g t h e f o l l o w i n g A i r y s t r e s s f u n c - t i o n s < l > 6 0 2 2 2 B a 4 c o s 2 0 ( P m = T r — r c 0 5 2 9 + A a l o g r + — - 2 — + C a 2 c o s 2 9 ( 2 . 5 ) f . 0 0 o ' = T w r z + F r 2 c 0 5 2 9 + G r 4 c o s 2 9 ) ( 2 . 6 ) - c o 2 c 0 5 2 9 2 ( 1 3 " = 7 ( H r + J l o g r + L 2 + M c 0 5 2 0 + N r c o s Z O + Q r 4 c 0 8 2 9 ) ( 2 . 7 ) r N a s e s h u q o o t e o t u o i w m v I n , l a n a t f 9 t l h 6 a i i n t h e 8 c t n ) e a o F t , r l n g l i i o r a r y s i n a s n a 2 i a t f f d t . e d e i u n s a t i 3 c o fi r d e e o v fi - i n e d a f e d a b p s c y a d r s l t n a t . e d h g i ( T t s h a i s s e e t v m i 0 l b c g y f e e t s i w v 2 e w f e . o , n 3 b r e q i 4 — e u n . o a s e a f e d t i o n s . T q i n n o . n t ( t 5 t 2 . e s h e e r . h t ) H e b o T h h u e b n e r - M i u t e i r n w d e o a r u l y t c s o o n f d i t a u l d b e s y i e e c o l d a i r p c n o r n a s m ( e t v e n i t e i r e i 3 i 2 n o . t r n ) c t - o ( s 2 t . u u s ( e . g . M d 4 e ) e a r y a r a n n d e e e l - s s 1 7 l 0 8 ] ? “ = E u o n - o e e fl + ( o z z - o e e ) 2 + ( o " - o z z ) 2 + 6 ( 6 r 9 + ° 6 z + ° 2 2 ” 2 . 8 3 w h e r e f o r a p l a n e s t r e s s c a s e , c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r , 6 2 2 = 0 ' 9 2 = 0 ' r z = 0 . T H E M U L T I - I N C L U S I O N S O L U T I O N W h e n m o r e t h a n o n e i n c l u s i o n i s p r e s e n t i n t h e m a t e r i a l t h e p r o b l e m o f fi n d i n g l o c a l s t r e s s e s b e c o m e s v e r y c o m p l e x d u e t o t h e i n c l u s i o n s ’ i n t e r a c t i o n s . T h e a n a l y t i c a l s o l u - t i o n f o r a p r o b l e m o f m u l t i p l e c o a t e d i n c l u s i o n s i s p o s s i b l e , i n p r i n c i p l e , b y u s i n g t h e a p p r o a c h o f G o n g a n d M e g u i d ( 1 9 9 3 ) o r H o n e i n e t a l . ( 1 9 9 4 ) , f o r e x a m p l e , b u t i t w o u l d b e c o m p u t a t i o n a l l y v e r y i n v o l v e d . A l t e m a t e l y , t h e n u m e r i c a l m e a n s , s u c h a s fi n i t e e l e - m e n t , b o u n d a r y e l e m e n t , a n d fi n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d s ; o r e x p e r i m e n t a l m e a n s , s u c h a s o p t i c a l m e t h o d s , c a n b e u s e d . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , f o r s i m p l i c i t y , w e u s e t h e fi n i t e e l e m e n t p r o g r a m A N S Y S 5 . 1 ( 1 9 9 5 ) a n d t h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d ( e . g . D a l l y a n d R i l l e y , 1 9 9 1 ) t o c a l c u l a t e t h e e l a s t i c fi e l d s i n a c o m p o s i t e w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s . F o r a c o m p a r i s o n w e c o n s i d e r c o m p o s i t e s w i t h s q u a r e a n d t r i a n g u l a r p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s o f i n c l u s i o n s , t o o . A l s o , w e u s e t h e s e t w o m e t h o d s t o fi n d t h e s o l u t i o n s f o r a s i n g l e i n c l u s i o n p r o b l e m a n d c o m p a r e t h e m w i t h t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n i n o r d e r t o c h e c k t h e a c c u r a c y o f 1 8 o u r e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l a p p r o a c h e s . T h e E x p e r i m e n t a l A p p r o a c h T h e e x p e r i m e n t a l s e t - u p i n v o l v e d e p o x y p l a t e s , w i t h d i m e n s i o n s o f 3 . 2 x 1 3 . 0 x 0 . 1 2 5 i n c h e s , c o n t a i n i n g 3 1 r a n d o m l y d i s t r i b u t e d n o n - o v e r l a p p i n g c o a t e d c i r c u l a r c o p p e r i n c l u - s i o n s ( F i g . 2 . 2 ) , w h i c h a r e 0 . 2 5 i n c h e s i n d i a m e t e r ( v o l u m e f r a c t i o n o f i n c l u s i o n s i s a p p r o x i m a t e l y 2 3 % i n t h e m i d d l e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n ) . T o c r e a t e a n o n - u n i f o r m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s t h e r a n d o m n u m b e r s , i n d i c a t i n g t h e c e n t e r s o f i n c l u s i o n s , w e r e g e n e r a t e d b y a c o m p u t e r a c c o r d i n g t o a p l a n a r P o i s s o n ’ s d i s t r i b u t i o n . W e i m p o s e d r e s t r i c - t i o n s t h a t t h e c o a t e d i n c l u s i o n s d i d n ’ t o v e r l a p , w e r e l o c a t e d a t l e a s t o n e d i a m e t e r a w a y f r o m t h e e d g e o f t h e s p e c i m e n , a n d t h e r e w a s a m i n i m u m c l e a r d i s t a n c e 0 . 1 a b e t w e e n a n y t w o i n c l u s i o n s ( a i s t h e i n c l u s i o n r a d i u s ) . I n c l u s i o n s w e r e i n t r o d u c e d i n t h e f o l l o w i n g w a y . F i r s t , t h e e p o x y p l a t e s w e r e c u t t o t h e d e s i r e d d i m e n s i o n s . T h e n , t h e e p o x y p l a t e s w e r e p l a c e d o n e a t a t i m e b e t w e e n t w o s t e e l p l a t e s a n d h o l e s w e r e d r i l l e d a t a s l o w s p e e d t o r e d u c e r e s i d u a l s t r e s s e s a n d t o m i n i m i z e m i c r o c r a c k s . T h e h o l e s w e r e d r i l l e d a c c o r d i n g t o t h e r a n d o m d i s t r i b u t i o n a s d e s c r i b e d a b o v e a n d t h e y w e r e o f t h e s i z e e q u a l t h e c o m - b i n e d s i z e o f i n c l u s i o n s a n d t h e c o a t i n g s . T o r e m o v e a n y r e m a i n i n g r e s i d u a l s t r e s s e s d u e t o m a c h i n i n g , t h e s p e c i m e n s w e r e h e a t e d t o 2 6 0 0 F ( w h i c h i s b e y o n d t h e g l a s s t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e ) , w e r e h e l d a t t h i s t e m p e r a t u r e f o r t w o h o u r s a n d t h e n c o o l e d a t t h e r a t e o f 5 0 F / h r t o 1 5 0 0 1 ? , a n d fi n a l l y c o o l e d i n 7 h o u r s t o a r o o m t e m p e r a t u r e . T o s i m u l a t e d i f < 1 3 . 0 ” — — > . 0 . 1 2 5 ” ( g ) . e ' V \ - ‘ O O O C O 1 ' 3 2 . . E p o x y P l a t e . . . . 0 I n c $ 0 “ 0 . O O O O l C o a t i n g ( I n t e r p h a s e ) 0 . 0 3 1 2 5 ” F i g . 2 . 2 S c h e m a t i c p l o t o f a m o d e l c o m p o s i t e s p e c i m e n u s e d i n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l s t u d i e s . p o r t i o n o f o r d i n a r y t h e r m a l s h r i n k a g e ) . M e c h a n i c a l l o a d i n g m a y b e s u p e r p o s e d o n t h e 2 0 f e r e n t i n t e r p h a s e s t h e i n c l u s i o n s w e r e c o a t e d w i t h t w o d i f f e r e n t a d h e s i v e m a t e r i a l s . M e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s e m a t e r i a l s a r e s h o w n i n T a b l e 2 . 1 . A f t e r t h e p r e p a r a t i o n o f s a m p l e s t h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d w a s u s e d t o fi n d t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n s i n t h e s e b i r e - f r i n g e n t c o m p o s i t e p l a t e s . A m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f e x p e r i m e n t a l s e t - u p a n d m a t e r i - a l s u s e d i s g i v e n i n t h e A p p e n d i x . P h o t g e l g s t i c m e a s u r e m e n t s , P h o t o e l a s t i c i t y i s a n e x p e r i m e n t a l s t r e s s a n a l y s i s m e t h o d w h i c h t a k e s a d v a n t a g e o f t h e p r o p e r t y o f d o u b l e r e f r a c t i o n e x h i b i t e d b y c e r t a i n i s o t r o p i c t r a n s p a r e n t m a t e r i a l s w h e n s u b j e c t e d t o s t r e s s o r s t r a i n . T h i s o p t i c a l p h e n o m e n o n m a n i f e s t s i t s e l f i n t h e f o r m o f i n t e r - f e r e n c e f r i n g e s o r a l t e r n a t e d a r k a n d l i g h t b a n d s w h e n t h e m a t e r i a l i s v i e w e d i n a fi e l d o f p o l a r i z e d m o n o c h r o m a t i c l i g h t . T h e s e f r i n g e s , r e f e r r e d t o a s i s o c h r o m a t i c s a r e o r d e r e d a c c o r d i n g t o t h e n u m b e r o f d a r k n e s s - b r i g h t n e s s c y c l e s t h a t o c c u r a t a n y g i v e n p o i n t a s t h e l o a d i s i n c r e a s e d f r o m z e r o t o i t s fi n a l v a l u e . T o o b t a i n s t r e s s e s w i t h t h i s m e t h o d o f a n a l y s i s , t y p i c a l l y , a m o d e l i s f a b r i c a t e d f r o m a t r a n s p a r e n t p l a s t i c k n o w n t o p o s s e s s t h e r e q u i r e d p h o t o e l a s t i c p r o p e r t i e s . T h e m o d e l i s m a c h i n e d t o b e g e o m e t r i c a l l y s i m i l a r t o t h e p r o t o t y p e . a n d l o a d e d a l s o s i m i l a r l y t o t h e p r o t o t y p e l o a d i n g . I n t h e c a s e o f i n s e r t s a s o m e w h a t d i f f e r e n t p r o c e d u r e i s r e q u i r e d . T h e p h o t o e l a s t i c m a t e r i a l i s c a s t a r o u n d t h e i n s e r t , a n d , i f d e s i r e d , a l l o w e d t o b o n d t o t h e i n s e r t . I f a s h r i n k a g e l o a d i s d e s i r e d , a d v a n t a g e i s t a k e n o f t h e c u r i n g s h r i n k a g e o f t h e m a t r i x ( t h i s i n c l u d e s a l a r g e p r o - 2 1 s h r i n k a g e l o a d , o r s p e c i a l p r e c a u t i o n s m a y b e t a k e n t o a v o i d a n y s h r i n k a g e l o a d i n g a n d t h e n s t r e s s e s d u e t o m e c h a n i c a l l o a d i n g a r e o b t a i n e d s e p a r a t e l y . 1 . T W O - D I M E N S I O N A L T E S T S . I n t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s t h e l o a d e d m o d e l i s e x a m i n e d i n a fi e l d o f p o l a r i z e d l i g h t . T h e f r i n g e p a t t e r n g i v e s t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n a n d d i r e c t v i s u a l o b s e r v a t i o n c a n o r d i - n a r i l y b e u s e d t o l o c a t e r e g i o n s o f h i g h a n d l o w s t r e s s e s . E s s e n t i a l l y , t w o p a t t e r n s c a n b e o b t a i n e d . I f t h e p o l a r i s c o p e i s s e t t o p r o d u c e t h e m a x - i m u m d a r k n e s s i n t h e b a c k g r o u n d o u t s i d e t h e m o d e l ( d a r k fi e l d ) , t h e n t h e f r i n g e s a r e o r d e r e d n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . I f t h e p o l a r i s c o p e i s a r r a n g e d t o p r o d u c e t h e m a x i m u m l i g h t i n t h e fi e l d o u t s i d e t h e m o d e l ( l i g h t fi e l d ) , t h e n t h e f r i n g e s h a v e t h e v a l u e s o f t h e i n t e r m e d i a t e o r d e r s n = 1 / 2 , 1 1 / 2 , 2 1 / 2 , 3 1 / 2 , . . . . . . e t c . B y t h e s i m p l e p r o c e s s o f c o u n t i n g t h e f r i n g e s a n d m u l t i p l y i n g t h e i r o r d e r b y a c a l i b r a t i o n c o n s t a n t , t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s d i s t r i b u t i o n c a n b e d e t e r m i n e d t h r o u g h o u t t h e b o d y o f t h e m o d e l . T h e m o d e l s t r e s s d i s t r i b u t i o n c a n t h e n b e c o n v e r t e d b y t h e u s e o f a p p r o p r i a t e s c a l i n g l a w s t o t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n i n t h e p r o t o t y p e . T h e r e l a t i o n b e t w e e n f r i n g e n u m b e r s a n d t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s i s g i v e n b y : 0 1 — 6 2 = 2 1 m = n f o / h . ( 2 . 9 ) w h e r e n = f r i n g e o r d e r h = m o d e l t h i c k n e s s 1 m a x - m a x r m u m r n - p l a n e s h e a r s t r e s s 2 2 0 1 , 0 ' 2 = i n - p l a n e p r i n c i p a l s t r e s s e s f a = m a t e r i a l f r i n g e c o e f fi c i e n t W h e n t h e a p p l i e d s t r e s s i s u n i a x i a l , o n e o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s e s a t t h e b o u n d a r y i s z e r o a n d t h e o t h e r c a n b e d e t e r m i n e d d i r e c t l y f r o m t h e p h o t o e l a s t i c d a t a . A t t h e i n t e r i o r p o i n t s o f t h e m o d e l a n a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i s r e q u i r e d f o r d e t e r m i n i n g e a c h o f t h e p r i n - c i p a l s t r e s s e s . T h e e v a l u a t i o n o f t h e m b e c o m e s a p p r e c i a b l y m o r e c o m p l i c a t e d . A n u m b e r o f m e t h o d s a r e a v a i l a b l e , h o w e v e r , t o s o l v e t h e t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m c o m p l e t e l y . 2 . T H R E E - D I M E N S I O N A L T E S T S . F o r t h e p h o t o e l a s t i c i t y s o l u t i o n o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m a s o m e w h a t m o r e i n v o l v e d t e c h n i q u e i s n e c e s s a r y , s i n c e t h e o b s e r v a t i o n o f t h e l o a d e d m o d e l i n a fi e l d o f p o l a r i z e d l i g h t d o e s n o t r e s u l t i n a f r i n g e p a t t e r n w h i c h c a n r e a d i l y b e i n t e r p r e t e d . T o o v e r - c o m e t h i s d i f fi c u l t y , a s t r e s s p a t t e r n i s “ l o c k e d - i n ” o r “ f r o z e n ” i n t h e m o d e l , a n d t h i n s l i c e s a r e r e m o v e d f r o m t h e m o d e l w h e r e v e r t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n i s r e q u i r e d . B y v i e w i n g t h e s l i c e s i n p o l a r i z e d l i g h t , a f r i n g e p a t t e r n i s o b t a i n e d w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l a t t h e t i m e o f s t r e s s f r e e z i n g . I n t h i s p h a s e o f s t u d y w e c o n s i d e r t h e m o d e l c o m p o s i t e i n a f o r m o f a t h i n p l a t e i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e e x p e r i m e n t a l a n a l y s i s . B y h a v i n g t h e p l a n e s t r e s s c a s e w e r e d u c e t h e f r e e e d g e e f f e c t s , i . e . t h e d i s t u r b a n c e o f s t r e s s e s n e a r t h e t r a c t i o n f r e e s u r f a c e d u e t o a r e l a x a t i o n o f s t r e s s e s t h e r e , a n d i n t h i s c a s e , w e c a n s e e t h e p h o t o e l a s t i c f r i n g e s m o r e e a s - i l y . A l t e m a t e l y , w e c o u l d s i m u l a t e d i r e c t l y t h e p l a n e s t r a i n c a s e b y u s i n g a f r i n g e f r e e z i n g 2 3 t e c h n i q u e . I n o r d e r t o c a l i b r a t e t h e e p o x y m a t r i x m a t e r i a l f o r t h e f r i n g e v a l u e f 0 d i f f e r e n t l e v e l s o f l o a d i n g w e r e a p p l i e d t o e i t h e r s p e c i m e n s i n v o l v i n g t h i n s h e e t s w i t h a h o l e o r t o a f o u r - p o i n t - l o a d e d b e a m . T h e a v e r a g e v a l u e o f n u m b e r o f f r i n g e s w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l f r i n g e v a l u e f o ’ F o r o u r c a s e f 0 w a s f o u n d t o b e 5 3 l b / i n / f r i n g e a t r o o m t e m - p e r a t u r e . T h e F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n I n t h i s s t u d y w e u s e d a c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e fi n i t e e l e m e n t s p a c k a g e A N S Y S 5 . 1 ( 1 9 9 5 ) . W e u t i l i z e d q u a d r i l a t e r a l p l a n e e l e m e n t s , s u c h t h a t e a c h e l e m e n t w a s d e fi n e d b y e i g h t n o d e s h a v i n g t w o d e g r e e s o f f r e e d o m : t r a n s l a t i o n s i n t h e n o d a l x a n d y d i r e c t i o n s , w i t h t h e e l e m e n t e d g e s i z e o f . 2 5 a . W e s i m u l a t e d i n t h i s a n a l y s i s t h e e x a c t g e o m e t r y o f t h e e x p e r i m e n t a l s p e c i m e n s ( d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ) w i t h t h e f o l l o w i n g b o u n d - a r y c o n d i t i o n s : t r a c t i o n - f r e e c o n d i t i o n s a t t w o s i d e e d g e s a n d a n a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i o n a t t h e t h i r d e d g e w i t h a fi x e d d i s p l a c e m e n t c o n d i t i o n a t t h e r e m a i n i n g e d g e . N u m e r i c a l l y , w e u s e d s i x d i f f e r e n t c o a t i n g s ( T a b l e 2 . 2 ) a n d w e c o n s i d e r e d s e v e n d i f f e r e n t c o n fi g u r a - t i o n s o f i n c l u s i o n s a r r a n g e d r a n d o m l y b u t w i t h n o o v e r l a p a n d a m i n i m u m d i s t a n c e o f 0 . 1 a b e t w e e n t h e m . O t h e r s t u d i e d g e o m e t r i c c o n fi g u r a t i o n s i n c l u d e d s q u a r e a n d t r i a n g u l a r p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s , a n d t w o , t h r e e a n d f o u r i n c l u s i o n c a s e s . 2 4 R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N T h e S i n g l e I n c l u s i o n C a s e I n t h e p a r a m e t r i c s t u d y o f a s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n s o l u t i o n w e i l l u s t r a t e t h e i n fl u e n c e o f t h r e e p a r a m e t e r s c h a r a c t e r i z i n g t h e c o a t i n g ( i n t e r p h a s e ) : t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s E C , t h e P o i s s o n ’ s r a t i o v c , a n d t h e t h i c k n e s s t , o n t h e s t r e s s fi e l d s i n t h e m a t r i x . T h e c o m p o s i t e s y s t e m i s a t h i n e p o x y p l a t e w i t h c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h t h e p r o p e r t i e s g i v e n i n T a b l e 2 . 1 . F i g s . 2 . 3 a - b i l l u s t r a t e t h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x 5 ’ ” ( E C / E m ) a n d t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d t h i c k n e s s r w i t h r e s p e c t t o t h e i n c l u s i o n r a d i u s a ( t / a ) o n a : a t 0 = 0 a n d 0 3 9 a t 0 = 1 t / 2 r e s p e c t i v e l y , a t r = a + t w h e n v c = 0 . 3 6 . O b s e r v e t h a t b o t h t h e t h i c k n e s s t a n d t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c o n t r i b u t e t o t h e s t r e s s fi e l d s . T h e e f f e c t o f t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C o n t h e s t r e s s e s i n t h e m a t r i x i s m o r e p r o n o u n c e d w h e n t h e c o a t i n g i s v e r y c o m p l i a n t , i . e . E c / E m i s s m a l l , a n d i s h i g h l y i n fl u e n c e d b y t h e t h i c k n e s s . T h u s , w e o n l y p l o t t h e r e s u l t s i n t h e r a n g e 0 S E c / E m S l . I t 1 t / 2 w h e n t h e t h i c k - i s i n t e r e s t i n g t o o b s e r v e t h a t t h i s e f f e c t o f E ‘ i s l a r g e r o n 0 3 9 a t 9 n e s s i s v e r y s m a l l w h i l e t h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s t r u e f o r o f ; a t 9 = 0 . T h e e f f e c t o f t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g m a t e r i a l i s v e r y s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e i n fl u e n c e o f t h e o t h e r t w o p a r a m e t e r s a s s h o w n i n F i g s . 2 . 3 c - d . T h i s e f f e c t i n c r e a s e s s o m e w h a t a s t h e t h i c k n e s s i n c r e a s e s , a s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 . 3 c , w h i c h g i v e s a g o a t 9 = 1 t / 2 a n d r = a + t , w h e n t h e c o a t i n g 2 i s u s e d ( s e e T a b l e 2 . 1 ) . A l s o , n o t e t h e m u c h 2 5 F i g . 2 . 3 a T h e j o i n t e f f e c t o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C ( E C / E m ) a n d c o a t i n g t h i c k n e s s t m ( t / a ) o n O " / O ' 0 a t r = a + t a n d 9 = 0 . 2 6 N W O 9 9 / 0 0 C O , F i g . 2 . 3 b T h e j o i n t e f f e c t o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E c ( E c / E m ) a n d c o a t i n g t h i c k n e s s t ( t / a ) o n ( S e e m / 6 0 a t r = a + t a n d 0 = 1 t / 2 . 2 7 6 6 9 / 6 0 o o - L - ‘ m m F i g . 2 . 3 c T h e j o i n t e f f e c t o f c o a t i n g t h i c k n e s s t ( t / a ) a n d P o i s s o n ’ s r a t i o v c o n ( s e e m / 0 ' 0 a t r = a + t a n d e = n / 2 . 2 8 F i g 2 . 3 d T h e j o i n t e f f e c t o f t h e . c o a t i n g s t i f f n e s s E C ( E C / E m ) a n d t h e c o a t i n g P o i s s o n ’ s 1 c / 2 . a t r = a + r a n d 9 ” / o o r a t i o v ‘ o n ( S e e 2 9 l a r g e r i n fl u e n c e o f t h e t h i c k n e s s o n a g e i n c o m p a r i s o n t o v c f o r t h i s c a s e . F i g . 2 . 3 d p r e - s e n t s t h e j o i n t e f f e c t o f t h e P o i s s o n ’ s r a t i o v c a n d E C / E m f o r t h e s a m e s t r e s s c o m p o n e n t a n d l o c a t i o n . A g a i n , t h e i n fl u e n c e o f v c i s n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o t h e i n fl u e n c e o f E ‘ . T h u s , i n t h e fi n i t e e l e m e n t c a l c u l a t i o n s w e a s s u m e a c o m m o n v a l u e o f v c = 0 . 3 6 f o r a l l t h e c o a t i n g t y p e s c o n s i d e r d . I n o r d e r t o c h e c k t h e a c c u r a c y o f b o t h o u r p h o t o e l a s t i c r e s u l t s a n d fi n i t e e l e m e n t o u t - p u t s , w e c o m p a r e d t h e c o n t o u r s o f o e fi o b t a i n e d a n a l y t i c a l l y ( F i g . 2 . 4 a ) , a n d n u m e r i c a l l y ( F i g . 2 . 4 b ) a n d e x p e r i m e n t a l l y ( t h e p h o t o e l a s t i c f r i n g e p a t t e r n s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g s . 2 . 5 - 2 . 7 ) . T h e s e r e s u l t s , g i v e n i n T a b l e 2 . 3 , s h o w a g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n o u r n u m e r i c a l , e x p e r i m e n t a l , a n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n s . N o t e , t h a t i n t h e c a s e o f p e r f e c t b o n d i n g , e x p e r i m e n t a l l y , t h e f r i n g e s s t a r t f o r m i n g a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d a n d t h e n t h e y p r o p a g a t e t o t h e o t h e r s i d e o f t h e i n c l u s i o n ( F i g . 2 . 5 ) . T h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s o b s e r v e d i n c a s e s o f a n i n c l u s i o n w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g ( F i g . 2 . 6 - 2 . 7 ) o r a h o l e , w h e r e f r i n g e s s t a r t f o r m i n g i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d a n d e v e n t u a l l y m i g r a t e t o t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d . F i g . 2 . 8 i l l u s t r a t e s t h e m a x i m u m e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x , i n c l u s i o n , a n d t h e c o a t - i n g a s a f u n c t i o n o f E c / E ' " f o r t h e s i n g l e i n c l u s i o n c a s e ( d i l u t e c o n c e n t r a t i o n ) . N o t e t h a t f o r t h e c a s e o f a c o m p l i a n t c o a t i n g t h e m a x i m u m s t r e s s i s i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g ( 0 = 0 ) , w h i l e f o r t h e c a s e o f E c / E ' " 2 1 t h e m a x i m u m s t r e s s i s l o c a t e d 1 : : / / / W 3 0 \ 5 / \ 9 / F i g . 2 . 4 a C o n t o u r p l o t o f o e fi / o o a r o u n d a s i n g l e i n c l u s i o n o f r a d i u s a w i t h c o a t i n g 2 o f t h i c k n e s s t = a / 4 . . ? n a _ . - 3 3 £ . i ‘ . o I “ ¢ . _ ‘ 3 1 1 7 7 . 2 8 7 2 2 2 . 9 4 8 5 8 8 . 2 6 3 C o a t e d ( E x = I E 3 ) , t E 1 / 3 2 F i g . 2 . 4 % G a f f / 6 0 0 1 a s i n g l e c o p p e r i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a n e p o x y m a t r i x w i t h d i t r e r - e n t c o a t i n g i n t e r f a c e s a n d s u b j e c t e d t o a n a x i a l s t r e s s o f 0 . 4 k s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . C o a t e d ( E x = . 0 0 0 0 1 ) , t = . 0 0 0 0 1 3 2 a ) L i g h t F i e l d b ) D a r k F i e l d F i g . 2 . 5 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c i r c u l a r p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l s t r e s s o f 1 . 7 5 k s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 3 3 a ) L i g h t F i e l d b ) D a r k F i e l d F i g . 2 . 6 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c i r c u l a r c o a t e d i n c l u - s i o n o f c o a t i n g 1 f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l s t r e s s o f l k s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 3 4 a ) L i g h t F i e l d b ) D a r k F i e l d F i g . 2 . 7 l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c i r c u l a r c o a t e d i n c l u s i o n o f c o a t i n g 2 f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l s t r e s s o f l k s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . n y x n n E E a p a a A T F A F E A F A y s p e l M l y t i i c s a l r i m e n t a l e M l y t i c a E M n a l y t i c a l l 0 0 3 4 3 3 0 8 0 5 5 . A . , . . . . . . . 1 6 6 9 9 8 . . . . . 8 2 6 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 4 2 3 4 4 4 6 3 0 5 7 3 7 2 2 2 2 2 . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 . . 3 . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 1 2 1 5 5 6 6 7 6 7 8 8 3 5 7 2 3 2 0 0 6 9 4 8 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N 0 0 . . . . . . . . . . . . 2 1 3 4 1 A 1 9 9 3 4 3 8 9 5 3 . 3 9 6 3 1 6 5 1 . 4 2 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 l 1 5 0 9 , 0 0 0 9 . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 3 3 3 4 3 4 4 5 8 3 0 5 4 0 0 9 2 7 6 9 0 1 1 1 1 N . 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . 3 3 4 3 5 5 A 6 6 6 5 6 6 7 2 0 5 . 0 5 1 5 5 2 9 6 0 3 3 N 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 G 0 3 5 3 0 0 G a o o a 0 a f | ‘ ‘ ' c e | | , ‘ r r . . f f - _ _ - _ _ f ” ” ” ” 3 5 3 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 9 8 6 4 6 5 6 1 1 2 4 4 9 2 7 . 8 . . . . M a t e r i a l " E E g 5 g 3 5 T a b l e 2 . 3 A c o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l , n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l r e s u l t s f o r 0 e I f a n d G I - 0 2 f o r a s i n g l e i n c l u s i o n c a s e a n d a u n i t u n i a x i a l a p p l i e d l o a d . 5 ° ( k s i ) N . A . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e n o t a v a i l a b l e . 3 6 g r . . . _ > : — > ‘ — > I A l < : : > : 1 ? _ > - I l < — ‘ — ‘ — ‘ — fl ‘ — ‘ — ‘ — 6 = O E 9 = E 3 0 3 - o < — i 2 — b l - l ' ’ § / I _ . 2 ‘ 3 c o a t i n g 6 , o ; m o l u s r o n _ , 2 . m a t r i x I , ’ - I I l 0 A N N “ . - . n m . 1 0 ' 3 1 0 ' 2 1 0 ' 1 . A _ _ _ L . A A 1 0 ° 1 0 “ ‘ “ ‘ t o 2 A ‘ i o 3 E C / E m F i g . 2 . 8 T h e i n fl u e n c e o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E c o n o , f / O ' o i n t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n a t r : a + t . 3 7 a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d ( 0 = 1 c / 2 ) . C a r r n a n e t a l . ( 1 9 9 2 ) o b s e r v e d t h a t w h e n t h e h o o p s t r e s s a t 0 = O a n d a t 9 = 1 t / 2 i s e q u a l , t h e n t h e s t r e s s i n t h e m a t r i x i s m i n i m u m . T h e y r e f e r t o t h i s c a s e a s t h e o p t i m u m o n e w i t h r e s p e c t t o s t r e s s e s . I n t h e c a s e o f a c o m p l i a n t c o a t i n g t h e m a x i m u m s t r e s s i s l o c a t e d i n t h e m a t r i x , a n d t h e i n c l u s i o n a n d c o a t i n g c a r r y a l m o s t n o l o a d , e v e n t h o u g h t h e i n c l u s i o n i s m u c h s t i f f e r . A s t h e v a l u e o f E c i n c r e a s e s b o t h t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n s t a r t c a r r y i n g t h e l o a d . I n t h e c a s e o f a s t i f f c o a t i n g t h e m a x i m u m s t r e s s i n t h e c o m p o s i t e i s l o c a t e d i n t h e c o a t i n g . N o t e t h a t w h e n E c / E ' " > 1 a n d t h e i n c l u s i o n i s s t i f f t h e s t r e s s fi e l d i n t h e m a t r i x r e m a i n s a l m o s t u n c h a n g e d , a s s e e n i n F i g . 2 . 8 T h e s e r e s u l t s a r e a l s o g i v e n i n T a b l e 2 . 4 w h i c h s u m m a r i z e s t h e m a g n i t u d e s a n d l o c a - t i o n s o f t h e m a x i m u m s t r e s s a t f a n d 6 1 — 0 2 i n d i f f e r e n t c o n s t i t u e n t s o f t h e m o d e l c o m - p o s i t e ( m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n ) w i t h a s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n w h e n t = 0 . 2 5 a . N o t e t h a t t h e l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m s t r e s s i s n o t n e c e s s a r i l y a t o n e o f t h e i n t e r f a c e s . I n t h e m a t r i x t h e m a x i m u m s t r e s s i s a t t h e c o a t i n g - m a t r i x i n t e r f a c e f o r a c o m p l i a n t c o a t i n g , b u t a s t h e c o a t i n g s t i f f n e s s i n c r e a s e s . t h e l o c a t i o n s o f t h e m a x i m u m s t r e s s i n t h e m a t r i x m o v e f u r t h e r a w a y f r o m t h e i n t e r f a c e . T h e M u m - i n c l u s i o n C a s e A s i m i l a r b e h a v i o r , i n t e r m s o f t h e f r i n g e p a t t e r n f o r m a t i o n , t o t h a t o b s e r v e d f o r a s i n - g l e i n c l u s i o n c a s e , i l l u s t r a t e d i n F i g s . 2 . 5 - 2 . 7 , i s s e e n i n t h e c a s e o f a c o m p o s i t e w i t h t h e 3 8 T a b l e 2 . 4 T h e m a g n i t u d e a n d t h e l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m s t r e s s ( 0 ' e f f a n d 6 1 - 0 2 ) f o r a s i n g l e i n c l u s i o n c a s e a n d a u n i t u n i a x i a l a p p l i e d l o a d a s o b t a i n e d a n a l y t i c a l l y . S t r e s s E c ( k s i ) A n g l e 1 3 0 1 2 0 4 5 0 9 . 0 0 0 9 0 , 0 0 0 a . 0 . 9 9 5 1 . 0 7 1 . 3 3 1 . 4 0 1 . 4 0 1 . 4 0 ' ” r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 6 7 a r = 1 . 5 7 a = 1 . 6 0 a 0 0 o r - 3 2 1 . 0 1 1 . 2 5 1 . 4 1 1 . 3 5 1 . 3 5 1 . 3 5 r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 4 3 a r = 1 . 7 3 a r = 1 . 7 7 a x ' 5 ‘ 2 ‘ o 2 . 9 6 2 . 1 7 1 . 3 3 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 ‘ H r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 [ : o o [ : o o [ : o o 9 0 0 o r _ 5 2 2 . 9 6 2 . 2 5 1 . 4 5 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 r = 1 . 2 5 a F 1 2 5 a r = 1 . 2 5 a [ : 0 0 r = o o r = o o a , ” 0 . 0 3 4 0 . 6 2 4 1 . 1 3 1 . 4 0 1 . 5 5 1 . 8 5 r = 1 . 0 6 r = 1 . 0 7 a = 1 . 1 2 5 r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = a 0 0 5 | - 0 2 0 . 2 5 4 0 . 4 9 6 0 . 9 5 5 1 . 3 2 1 . 6 1 2 . 1 0 r = 1 . 0 6 r = 1 . 1 5 a r = 1 . 2 2 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a m a . 5 . ” g a t ” 0 . 0 1 2 0 . 2 2 7 0 . 4 3 4 0 . 6 6 3 1 . 3 0 4 . 6 4 L ) 5 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 r = 1 . 2 5 = 1 . 2 5 a r = a 9 0 0 3 ' _ 0 2 0 . 0 1 4 0 . 2 5 6 0 . 5 0 3 0 . 7 3 6 1 . 3 1 4 . 8 1 r = 1 . 2 5 r = 1 . 2 5 a m 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a r = 1 . 2 5 a a t r = a g 0 . ) ; 0 . 0 4 3 I 0 . 7 8 2 I 1 . 3 5 I 1 . 4 9 I 1 . 6 9 I 1 . 5 2 3 O S r S a 0 0 - 9 0 0 g a . _ 0 2 0 . 0 4 7 | 0 . 8 4 4 I 1 . 4 2 I 1 . 5 0 I 1 . 6 6 J 1 . 6 7 0 S r S a 3 9 2 3 % v o l u m e f r a c t i o n o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d i n c l u s i o n s ( F i g s . 2 . 9 a - d ) . T h e v a l u e s o f t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( p r i n c i p a l s t r e s s d i f f e r e n c e ) i n t h e m a t r i x , o b t a i n e d b y t h e p h o t o - e l a s t i c m e t h o d a n d a l s o u s i n g fi n i t e e l e m e n t c a l c u l a t i o n s , . w e r e c o m p a r e d i n T a b l e 2 . 5 a n d s h o w e d a g o o d a g r e e m e n t . F i g . 2 . 9 a g i v e s t h e f r i n g e p a t t e r n s , w h i c h d e n o t e t h e c o n t o u r s o f t h e d i f f e r e n c e i n t h e i n - p l a n e p r i n c i p a l s t r e s s e s , 0 1 - 0 ' 2 , o r t h e m a x i m u m i n - p l a n e s h e a r s t r e s s , 1 : = ( 0 ' , — o z ) / 2 , f o r a c o m p o s i t e w i t h n o c o a t i n g ( E C = 1 5 ' " I ) a n d F i g . m a x 2 . 9 c - d f o r a c o m p o s i t e w i t h a v e r y c o m p l i a n t i n t e r p h a s e ( c o a t i n g 1 a n d c o a t i n g 2 ) f o r t h e s a m e a p p l i e d l o a d o f 6 0 = 4 9 2 . 5 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . N o t e t h a t t h e s t r e s s fi e l d s i n t h e m a t r i x a r e v e r y n o n - u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n b o t h c a s e s a n d t h e s t r e s s e s a r e m u c h h i g h e r f o r c o m p l i a n t i n t e r p h a s e c a s e s ( F i g . 2 . 9 c - d ) a s e x p e c t e d . N o t e t h a t t h e n u m b e r s d e n o t e t h e f r i n g e n u m b e r s a n d t h e h i g h e r t h e n u m b e r , t h e h i g h e r t h e s t r e s s e s ( D a l l y a n d R i l l y , 1 9 9 1 ) . I n F i g s . 2 . 1 0 a - c t h e fi n i t e e l e m e n t o u t p u t s i l l u s t r a t e t h e j o i n t e f f e c t o f r a n d o m a r r a n g e - m e n t a n d i n t e r f a c e o n O ' e f f f o r t h e s a m e a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t i e s a s i n F i g s . 2 . 9 a , c - d . T h e fi n i t e e l e m e n t c a l c u l a t i o n s a l s o i n c l u d e d t h r e e a d d i - t i o n a l i n t e r p h a s e c a s e s g i v e n i n T a b l e 2 ( F i g s . 2 . 1 0 d - f ) . W e o b s e r v e t h a t w h e n t h e i n t e r f a c e i s v e r y w e a k ( i n t e r p h a s e i s v e r y c o m p l i a n t - c o a t - i n g 1 ) , t h e n a l m o s t n o l o a d i s t r a n s f e r r e d f r o m t h e m a t r i x t o t h e i n c l u s i o n s a n d i t i s c a r r i e d b y t h e m a t r i x ( F i g . 2 . 1 % ) . I f t h e i n t e r f a c e i s w e a k ( i n t e r p h a s e i s c o m p l i a n t - c o a t i n g 2 ) , b u t y e t c a p a b l e o f t r a n s f e r r i n g s o m e l o a d s t o t h e i n c l u s i o n s , t h e n t h e l o a d s w i l l b e c a r - 4 0 F i g . 2 . 9 - a l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 0 ' 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n - t a l d i r e c t i o n w h e n t h e v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 2 . 9 - b l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o p - p e r i n c l u s i o n s w i t h a w e a k i n t e r f a c e b o n d i n g f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 6 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n w h e n t h e v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . F i g . 2 . 9 - c l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o p - p e r i n c l u s i o n c o a t e d w i t h c o a t i n g 2 ( E ‘ = 3 0 k s i ) f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 0 ' 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n w h e n f = 2 3 % . F i g . 2 . 9 - d l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o p - p e r i n c l u s i o n c o a t e d w i t h c o a t i n g 1 ( E 6 = l k s i ) f o r a n a p p l i e d s t r e s s o f 0 0 = 4 9 2 . 3 p s i i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n w h e n f = 2 3 % . 4 2 T a b l e 2 . 5 A c o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l a n d r e s u l t s f o r ( c s l — o z ) / o o f o r m u l t i - i n c l u s i o n c a s e s w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . E x p e r i m e n t a l F E M m P e r f e c t b o n d 1 . 7 4 1 . 8 0 c o a t i n g 1 5 . 6 4 5 . 1 7 I " = 1 / 4 5 0 c o a t i n g 2 2 . 6 3 2 . 5 7 I “ = 1 / 1 5 I I I I I I I I I I 4 3 O a r / 0 0 ( N A V G ) D M X = 0 . 1 9 0 E - 0 4 S M N = 0 . 3 5 3 1 9 3 S M X = 1 . 7 8 2 0 . 3 5 3 1 9 3 0 . 5 1 1 9 4 5 0 . 6 7 0 6 9 7 0 . 8 2 9 4 4 8 0 . 9 8 8 2 1 . 1 4 7 1 . 3 0 6 1 . 4 6 4 1 . 6 2 3 t , v . . ' I _ ‘ V s ; . . h ' . t ~ ' _ ‘ 9 3 . . . F i g . 2 . 1 0 a G e f f / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . I I I I I I i I I I I G e f f / O o ( N A V G ) D M X = 0 . 2 8 6 E - 0 4 S M N = 0 . 0 0 3 4 0 7 S M N B = - 3 . 9 3 1 S M X = 9 . 0 4 9 S M X B = 1 3 . 0 2 9 0 2 0 0 3 4 0 7 1 ' 8 ' F i g . 2 . 1 0 b G e f f / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 1 ( E ‘ = 1 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . I I I I I I I I I 2I 4 5 G e f f / O o ( N A V G ) D M X = o . 2 3 2 £ o 4 S M N = 0 . 1 5 3 6 4 3 S M X = 2 . 8 4 2 0 . 1 5 3 6 4 3 0 . 4 5 2 3 7 5 0 . 7 5 1 1 0 6 1 . 0 5 1 . 3 4 9 1 . 6 4 7 1 . 9 4 6 2 . 2 4 5 2 . 5 4 3 2 . 8 4 F i g . 2 . 1 0 c G e f f / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 2 ( E C = 3 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . G e f f / o o ( N A V G ) D M X = o . 2 o o e o 4 S M N = 0 . 0 8 9 5 4 8 S M N B = - 0 . 3 8 5 3 8 4 S M X = 1 . 5 8 2 ' X F = 1 . 4 F i g . 2 . 1 0 d G e f f / 0 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 4 ( E = 1 2 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . 4 7 G e f f / o o ( N A V G ) D M X = 0 . 1 8 5 E - 0 4 S M N = 0 . 0 4 2 2 0 2 S M N B = - 0 . 6 7 4 2 3 8 S M X = 2 . 3 9 3 S M X B = 3 . 0 3 2 z v = 1 ' D I S T = 1 . 9 1 8 : x ; = 1 . 4 P R E C I S E H I D D E N 0 0 4 2 2 0 2 I I D I I I I I I F i g . 2 . 1 0 c o e f f / 0 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 5 ( 1 5 ‘ : 9 0 0 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . I I I I I E I I I I I “ e f f / 0 0 ( N A V G ) D M X = 0 . 1 8 4 E - 0 4 S M N = 0 . 0 1 4 5 0 6 S M N B = 1 . 8 5 1 S M X = 6 . 3 9 S M X B = 8 . 9 3 2 Z V = 1 * D I S T = 1 . 9 1 8 i ' X F = 1 . 4 ' = 1 . 5 P R E X I S E H I D D E N F i g . 2 . 1 0 f G e f f / O o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 6 ( E ‘ = 9 0 , 0 0 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . r ( i F e i d g b . y 2 b 1 . o 0 t c h t h e i ) . I n n c c a l s u e s i o o f n s o a n d t h e m a t r i x p t i m u m c o a t i w n i g t h t h ( m i e n m a x i i m u m m s u m s t r e s s t r e s s c o n d i o t c i c o u n r r i n g i n ) , t h e l o t a h d e m a w i l r t l i b x e 4 9 s h a r e d a l m o s t e q u a l l y b e t w e e n t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n ( F i g . 2 . 1 0 d ) . I f t h e i n t e r p h a s e e l a s t i c m o d u l u s E c i n c r e a s e s f u r t h e r a n d a g o o d b o n d i s m a i n t a i n e d b e t w e e n i n t e r f a c e s t h e n t h e l o a d w i l l b e c a r r i e d b y t h e s t i f f i n c l u s i o n s a n d t h e c o a t i n g s ( F i g . 2 . 1 0 a ) . B u t i f t h e c o a t i n g i s v e r y s t i f f t h e n t h e h i g h e s t s t r e s s w i l l o c c u r i n t h e c o a t i n g ( F i g . 2 . 1 0 c - 0 . N o t e t h a t a s i m i l a r b e h a v i o r , a s o b s e r v e d f o r a s i n g l e i n c l u s i o n c a s e a n d i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 . 8 , i s p r e s e n t f o r t h e m u l t i - i n c l u s i o n c a s e d i s c u s s e d h e r e ( F i g . 2 . 1 1 ) . I n F i g . 2 . 1 0 a t h e r e i s b r i d g i n g o f s t r e s s e s t h r o u g h t h e i n c l u s i o n s a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f a p p l i e d l o a d . I n c l u s i o n s c l o s e t o e a c h o t h e r a n d a l i g n e d i n t h e d i r e c t i o n o f t h e l o a d , b e h a v e l i k e l o n g i t u d i n a l fi b e r s s u b j e c t e d t o a n a x i a l l o a d i n g . F o r i n c l u s i o n s w i t h a c o m p l i - a n t i n t e r p h a s e , a s s h o w n i n F i g . 2 . 1 0 b - c , t h e m a x i m u m s t r e s s a r o u n d e a c h i n c l u s i o n i s l o c a t e d i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g , a s w a s o b s e r v e d i n t h e s i n g l e i n c l u - s i o n c a s e . A s i m i l a r b e h a v i o r o c c u r s i n e l a s t i c s h e e t s w i t h h o l e s . F i g . 2 . 1 0 a s h o w s t h a t t h e l o a d i s d i s t r i b u t e d v e r y u n e v e n l y b e t w e e n t h e i n c l u s i o n s . T h i s i s i n c o n t r a s t t o p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s i n w h i c h i n c l u s i o n s s h a r e l o a d s e q u a l l y . I n F i g . 2 . 1 0 b - c w e s e e a ' l o c a l i z a t i o n o f m a x i m u m s t r e s s i n t h e m a t r i x . F o r a p e r i o d i c a r r a n g e m e n t t h i s m a x i m u m s t r e s s w o u l d b e d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e c o m p o s i t e a n d b e l o w e r i n m a g n i t u d e a s s h o w n i n T a b l e 2 . 6 . T h u s , t h e n o n - u n i f o r m a r r a n g e m e n t l e a d s t o s t r e s s l o c a l i z a t i o n a n d h i g h e r m a x i m u m s t r e s s e s a n d t h i n s t o a n e a r l i e r i n i t i a t i o n o f d a m a g e , a n d c o n s e q u e n t l y , t o a l o w e r s t r e n g t h . S o f t S t i f f , . ‘ L \ \ \ ~ . o c o o r x r o m a w m 5 0 7 7 7 ' j ' V V V Y Y Y f " V r V V V V fi ' V I V I T ' Y ‘ I m a t r i x c o a t i n g - i n c l u s i o n . I ' - e - ’ b \ ‘ N - “ o b . _ _ / " . - 1 0 ° 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 E C F i g . 2 . 1 1 T h e i n fl u e n c e o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C o n G e f f / o o o f t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n f o r c o a t e d a n d r a n d o m l y d i s t r i b u t e d i n c l u s i o n s c a s e . 5 1 T a b l e 2 . 6 E f f e c t o f t h e a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s o n t h e m a x i m u m ( 0 ' 1 - — 0 ' 2 ) / 0 ’ 0 f o r a m u l t i - i n c l u s i o n c o m p o s i t e a s o b t a i n e d b y t h e F E M . E c ( k s i ) A r r a n g e m e n t 1 3 0 1 2 0 4 5 0 9 , 0 0 0 9 0 , 0 0 0 I S q u a r e 3 . 3 8 2 . 2 9 1 . 4 2 2 . 0 3 2 . 4 7 2 . 5 2 T r i a n g u l a r 3 . 1 0 1 . 8 1 1 . 1 5 1 . 3 2 2 . 0 2 2 . 0 9 R a n d o m A V G . < 8 . 1 7 > < 4 . 0 7 > < 1 . 5 1 > < 2 . 4 1 > < 3 . 0 9 > < 2 . 9 8 > S T D . 2 . 4 5 1 . 4 6 1 0 . 1 0 1 0 . 1 1 2 0 . 1 1 3 0 . 1 1 3 g T w o f r o m A v g , < 5 . 2 0 > < 3 . 5 1 > < 1 . 5 0 > < 2 . 5 0 > < 3 . 2 0 > < 3 . 1 9 > 2 R a m a " S T D . 2 . 2 5 1 . 3 5 2 0 . 1 6 1 0 . 1 6 4 0 . 1 6 5 0 . 1 6 8 T w o i n A v g , < 5 . 1 9 > < 3 . 4 3 > < 1 . 4 6 > < 2 . 5 3 > < 3 . 2 5 > < 3 . 2 5 > m e w “ m ' S T D . 2 . 0 4 1 . 3 3 0 . 1 5 7 0 . 1 6 0 0 . 1 6 2 0 . 1 6 5 s q u a r e 0 . 0 0 3 0 . 5 3 4 1 . 2 4 2 . 1 3 2 . 4 0 4 . 0 7 T r i a n g u l a r 0 . 0 0 2 0 . 4 2 6 1 . 2 0 1 . 4 4 2 . 3 1 3 . 8 6 R a n d o m A V G . < 0 . 0 3 4 > < 0 . 7 0 1 > < 1 . 3 0 > < 2 . 3 7 > < 3 . 1 0 > < 6 . 2 6 > S T D . 0 . 0 0 7 0 . 0 6 8 0 . 1 0 4 0 . 1 1 3 1 . 5 4 1 2 . 3 2 . é o { w o f r o m A v g , < 0 . 0 2 0 > < 0 . 6 5 > < 1 . 3 0 > < 2 . 4 0 > < 3 . 3 4 > < 6 . 6 8 > g a n d ” S T D . 0 . 0 0 7 0 . 0 5 4 0 . 0 5 5 0 . 0 6 3 1 . 5 2 3 2 . 2 4 T w o i n A V G . < 0 . 0 1 1 > < 0 . 6 4 3 > < 1 . 2 9 > < 2 . 3 8 > < 3 . 3 0 > < 6 . 4 3 > 5 m m m ' 5 1 1 ) , 0 . 0 0 6 0 . 0 5 2 0 . 0 5 4 0 . 0 6 0 1 . 5 1 0 2 . 2 1 S q u a r e 0 . 0 0 9 0 . 6 9 3 1 . 3 9 2 . 1 1 3 . 4 0 3 . 1 4 T r i a n g u l a r 0 . 0 0 1 0 . 5 9 9 1 . 2 6 1 . 5 8 2 . 8 0 2 . 6 2 R a n d o m A V G . < 0 . 0 4 4 > < 0 . 7 4 5 > < 1 . 4 6 > < 2 . 5 0 > < 4 . 7 8 > < 4 . 1 1 > a S T D . 0 . 0 0 5 0 . 0 6 3 0 . 0 8 9 0 . 1 1 5 1 . 1 2 1 . 0 1 g T w o f r o m A V G . < 0 . 0 1 8 > < 0 . 6 0 1 > < 1 . 4 6 > < 2 . 3 0 > < 5 . 1 9 > < 4 . 6 5 > g R a n d ” 5 7 1 1 0 . 0 0 4 0 . 0 5 2 0 . 0 6 1 0 . 0 6 5 1 . 1 0 0 . 9 8 1 T w o i n A V G . < 0 . 0 1 5 > < 0 . 5 3 2 > < 1 . 4 6 > < 2 . 2 5 > < 5 . 1 0 > < 4 . 5 9 > 5 m m " " S T D , 0 . 0 0 4 0 . 0 4 9 0 . 0 5 4 0 . 0 6 2 0 . 9 9 5 0 . 9 7 6 u . r . i T w B C s s r h h e k o s i c h e n e a r e k A i r e e e s s n t s t s l b a l m e a i r s s t r i e s w e a 4 r e e 9 h 9 9 b s ) e , t 5 ) h a , b o c l l s e . a i t o n i B u a v k d 1 ( d r o n i e 9 o i s r 9 t n 0 c u 1 ‘ a e t e h 1 s , r s n ) r - D d s m . < e s 5 d S a 2 n e i m y o f ( t e a a l d d e l e l t o F i s g a i l r . ( ( c a n 9 9 1 1 i r 9 9 4 2 r y i 2 . 1 2 a - f ( o l u a ( 1 d 9 g i 1 r B a s s t a , , g i n ) ) n a a z d r y c . 2 h 1 y n e P S m d a B j o c c a l . i n h ( e 1 m s i s o o v n 9 i e 9 2 b s c k ) e , r ( 1 9 ( 1 D 9 a v e 9 d 1 ) 9 4 ) v i , s , O e P s t t o y r a l f o r t h e j . z m a - S ( ( a 1 1 x 9 9 t i a r z e - 9 9 4 4 ) ) , , m u m r t s e n 3 a d r n K d e a n i ) . 5 2 T a b l e 2 . 6 s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s o f m a x i m u m ( 5 1 - 0 2 i n t h e m a t r i x , c o a t i n g , a n d i n c l u s i o n s f o r s e v e n r a n d o m a r r a n g e m e n t s a n d t w o p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s ( s q u a r e a n d t r i - a n g u l a r ) . T h e v o l u m e f r a c t i o n u s e d i n t h e s e c a l c u l a t i o n s i s 2 3 % f o r b o t h r a n d o m a n d p e r i - o d i c a r r a n g e m e n t s . W e a l s o i n c l u d e t h e r e s u l t s f o r t w o i s o l a t e d i n c l u s i o n s , e m b e d d e d i n a n e p o x y m a t r i x o r i n a n e f f e c t i v e m e d i u m . T h e e f f e c t i v e m e d i u m p r o p e r t i e s a r e d e t e r - m i n e d b y u s i n g t h e M o r i - T a n a k a m e t h o d ( T o n g a n d J a s i u k , 1 9 9 0 ) . T h e l o c a t i o n o f t h e s e t w o i n c l u s i o n s i s d e t e r m i n e d b y t h e i r g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t a n d t h e y h a v e t h e m a x i m u m S t r e s s i n t h e i r v i c i n i t y i n t h e m u l t i - i n c l u s i o n c o n fi g u r a t i o n . T a b l e 2 . 6 S h o w s t h a t p e r i o d i c a r r a n g e m e n t u n d e r e s t i m a t e s t h e m a g n i t u d e o f t h e m a x i - m u m s t r e s s p r e s e n t i n a r e a l c o m p o s i t e w h e r e t h e fi b e r a r r a n g e m e n t i s n o n - u n i f o r m . T h i s i s d u e t o a I o c a t i z a t i o n o f s t r e s s e s a s d i s c u s s e d b e f o r e . A l s o , t h e t r i a n g u l a r a r r a n g e m e n t g i v e s l o w e r s t r e s s e s t h a n t h e s q u a r e o n e f o r t h e s a m e v o l u m e f r a c t i o n . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t i n c l u s i o n s a r e f u r t h e r a p a r t i n t h e t r i a n g u l a r a r r a n g e m e n t f o r t h e s a m e v o l u m e f r a c t i o n . 5 3 ( 0 1 - 0 2 ) / 0 0 ( N A V G ) D M X = 0 . 1 9 0 5 - 0 4 S M N = 0 . 3 1 4 8 2 5 S M X = 1 . 7 7 5 0 . 3 1 4 8 2 5 - 0 . 4 7 7 0 5 2 0 . 6 3 9 2 7 9 0 . 8 0 1 5 0 6 F i g . 2 . 1 2 a ( o l - 0 2 ) / 0 0 i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d p e r f e c l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . " 1 1 1 1 0 1 1 5 4 ( 0 1 — 0 2 ) / 0 0 ( N A V G ) D M X = 0 . 2 8 6 E - 0 4 S M N = 0 . 0 7 9 S M X = 9 . 2 2 2 0 . 0 7 9 1 . 0 8 2 2 . 0 8 7 3 . 0 9 2 4 . 0 9 7 5 . 1 0 2 6 . 1 0 7 7 . 1 1 2 8 . 1 1 7 9 . 2 2 2 I Q ~ n . - " " 5 1 " ! ' - I ! 0 . 1 . 1 . 1 . : - ‘ l l ~ ' F i g . 2 . 1 2 b ( o 1 — 0 2 ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 4 ( E ‘ = 1 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . 5 5 ( ( 3 1 — 0 2 ) / 0 0 ( N A V G ) D M X = 0 . 2 3 2 E - 0 4 S M N = 0 . 0 1 8 6 0 8 S M X = 2 . 8 1 5 0 . 0 1 8 6 0 8 0 . 3 2 9 2 8 8 - 0 . 6 3 9 9 6 8 0 . 9 5 0 6 4 8 F i g . 2 . 1 2 c ( o 1 — 0 2 ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 2 ( 1 5 c = 3 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . L — L I I — L — I I I I I I D I I 5 6 ( O 1 — D M X S M N S M X Z V I " D I S T * X F ' Y F v ‘ . ' . " . I " ‘ 4 » . 5 ' . - - . 1 9 | A 0 2 ) / 0 0 ( N A V G ) = 0 . 2 0 0 E - 0 4 = 0 . 1 9 6 1 8 7 = 1 . 2 7 1 = 1 = . 9 1 8 . 4 . 5 0 . 1 9 6 1 8 7 0 . 3 1 5 6 2 8 0 . 4 3 5 0 6 9 0 . 5 5 4 5 1 0 . 6 7 3 9 5 0 . 7 9 3 3 9 1 0 . 9 1 2 8 3 2 1 . 3 2 1 . 1 5 2 1 . 2 7 1 F i g . 2 . 1 2 d ( c ; l - 0 2 ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 4 ( 1 5 c = 1 2 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . 5 7 : ° f : : ‘ ; i : : : ’ ? ¢ f ~ é i f : . fi = . ~ } 8 ( 0 1 ‘ C ’ 2 V “ 0 ( N A V G ) ' - » D M X = o . 1 8 5 E - 0 4 S M N = 0 . 0 7 6 2 3 4 S M X = 2 . 2 2 8 z v = 1 * D I S T = 1 . 9 1 8 * X F = 1 . 4 ' Y F = 1 . 5 P R E C I S E O S H D D E N 0 . 3 1 5 3 0 9 « o . . . ' 4 4 3 — " _ L b c o c o F i g . 2 . 1 2 c ( o 1 - 0 2 ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f — 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 5 ( E C = 9 0 0 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . I I I I I I ] [ I I 5 8 ( 0 1 — 0 2 V 0 0 ( N A V G ) M X = 0 . 1 8 4 E - 0 4 S M N = 0 . 0 4 4 9 5 S M X = 3 . 7 5 7 Z V = ' D I S T = 1 . 9 1 8 * X F = . 4 " Y F = 1 . 5 P R E C I S E H I D D E N 0 . 0 4 4 9 0 5 0 . 4 5 7 3 5 6 0 . 8 6 9 8 0 7 1 . 2 8 2 1 . 6 9 5 2 . 1 0 7 2 . 5 2 2 . 9 3 2 3 . 3 4 5 3 . 7 5 7 U ” r . . . 4 ‘ . 1 . . . ~ " l : t . 4 , 1 1 ’ 0 . . — > I n : I ' _ n o n ‘ . ¢ r . l “ ) . ' - e ' l a a n a i s ' , ‘ “ E . ’ F i g . 2 . 1 2 f ( o 1 — 0 2 ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 6 ( E c = 9 0 , 0 0 0 k s i ) o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . 5 9 5 fi l * I I r 1 w n I I . . I . 4 - - C o m p l i a n t S t i f f I ! . t v . ’ I I . Q _ / E 3 ' M a t r i x C o a t i n g I ! 4 I l . 1 ' " ‘ 2 I n c l u s u o n , - _ 3 i \ , - . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . I . 1 _ . 2 " ” q 0 ’ ’ L ’ ’ I ’ A u d a . . . 1 . A n n i 2 4 4 1 8 1 ° ‘ 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 E C F i g . 2 . 1 3 I n fl u e n c e o f t h e c o a t i n g s t i f f n e s s E C o n ( 0 ' l - o z ) / o o o f t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n f o r r a n d o m l y d i s t r i b u t e d c o a t e d i n c l u s i o n s c a s e . 6 0 F o r c a s e s o f c o m p l i a n t c o a t i n g t w o i n c l u s i o n s e m b e d d e d i n e i t h e r t h e m a t r i x o r t h e e f f e c t i v e m e d i u m u n d e r a u n i a x i a l l o a d i n g g i v e a l o w e r m a g n i t u d e o f s t r e s s t h a n t h e o n e i n t h e a c t u a l c o m p o s i t e , a n d t h e s t r e s s e s a r e h i g h e r f o r t h e t w o i n c l u s i o n s i n t h e m a t r i x a s e x p e c t e d b e c a u s e o f a h i g h e r m i s m a t c h i n e l a s t i c m o d u l i . T h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s o b s e r v e d f o r c a s e s o f s t i f f c o a t i n g s . A l s o , t h e m a x i m u m s t r e s s e s i n t h e m a t r i x a r e h i g h e s t w h e n t h e i n t e r p h a s e i s m o s t c o m p l i a n t . T h i s i s e x p e c t e d s i n c e i n t h i s c a s e t h e m a t r i x c a r - r i e s m o s t o f t h e l o a d e v e n t h o u g h t h e i n c l u s i o n s a r e m u c h s t i f f e r t h a n t h e m a t r i x m a t e r i a l . A n o t h e r i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i s t h a t t h e r e i s a v e r y l a r g e s c a t t e r i n d a t a f o r c o m p l i a n t c o a t i n g c a s e s a n d i t d e c r e a s e s a s t h e c o a t i n g s t i f f n e s s i n c r e a s e s . T w o i n c l u s i o n s I n o r d e r t o g a i n a n i n s i g h t i n t o t h e i n c l u s i o n s ’ i n t e r a c t i o n w e f o c u s n o w o n a t w o - i n c l u s i o n s o l u t i o n . T h e l o c a l s t r e s s fi e l d s d u e t o t w o i n c l u s i o n s a r e a f u n c t i o n o f t h e i n c l i - n a t i o n a n g l e b e t w e e n t h e t w o i n c l u s i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e a p p l i e d l o a d i n g , t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o i n c l u s i o n s , a n d t h e p r e s e n c e o f o t h e r i n c l u s i o n s . T h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n 0 ‘ . “ i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e l i n e c o n n e c t i n g t h e c e n t e r s o f t w o i n c l u s i o n s a n d t h e l i n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i o n . W e c o n d u c t t h i s s t u d y n u m e r i c a l l y . W e c o m p a r e d o u r n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s f o r a v e r y c o m p l i a n t c o a t i n g ( w h i c h h a s s i m i l a r s t r e s s fi e l d s t o t h o s e p r o d u c e d i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h h o l e s ) a n d f o r a p e r f e c t b o n d i n g c a s e w i t h t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f K o u r i s ( 1 9 9 3 ) a n d f o u n d a v e r y g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n o u r fi n i t e e l e m e n t a n d h i s a n a l y t i c a l r e s u l t s ( F i g . 2 . 1 4 ) . 6 1 3 O . . . . . . . . . ' 1 ‘ o . . . . o . . . . o A n a l y t i c a l 2 5 _ 2 , * - . * - . * - . * F E M - 2 0 . ' 1 ‘ . Q ‘ 3 b . \ 1 5 . l . . . o . . § ‘ 1 c o m p I I a n t c o a t i n g ( 0 l o a d i n g ) b 1 1 0 ; ; 1 1 . - \ . \ " ' 8 , ‘ p e r f e c t b o n d i n g ( 9 0 ° l o a d i n g ) 0 d / a F i g . 2 . 1 4 C o m p a r i s o n b e t w e e n a n a l y t i c a l ( K o u r i s , 1 9 9 1 ) a n d o u r n u m e r i c a l ( F E M ) r e s u l t s o f ( S e l f / 0 0 a r o u n d t w o i n c l u s i o n s s e p a r a t e d b y 6 1 : 6 2 . 6 2 I ) E fi ' e c t o f t h e i n c l i n a t i o n a n g l e o n t h e l o c a l e l a s t i c s t r e s s fi e l d s F i r s t , w e e x p l o r e t h e e f f e c t o f t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n 0 m . W e c o n s i d e r n u m e r i c a l l y t w o c o a t e d i n c l u s i o n s s e p a r a t e d b y a c o n s t a n t d i s t a n c e d = a a n d i n c l i n e d b y t h e a n g l e 0 . m . T h e i n fl u e n c e o f t h e i n c l i n a t i o n a n g l e o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s d e f } - i n t h e m a t r i x , c o a t i n g , a n d i n c l u s i o n i s s h o w n i n F i g s . 2 . 1 5 - 2 . 1 7 . T h e l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m U z i i s a t a r o u n d 9 = O f o r c a s e s o f c o m p l i a n t c o a t i n g ( w h e n t h e t w o i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g ) . F o r c a s e s o f s t i f f e r c o a t i n g s , t h e l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m 0 : } ? i s a t a r o u n d 6 = n / 2 ( w h e n t h e t w o i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d i n g ) a s i n t h e c a s e o f a s i n g l e i n c l u s i o n a s d i s c u s s e d b e f o r e . F o r t h e c a s e o f a n o p t i m u m c o a t i n g t h e e f f e c t i v e s t r e s s ( 6 % , ) i n t h e m a t r i x w i l l b e t h e s a m e a t a n y a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e t w o i n c l u s i o n s ( C a r m a n e t a l . , 1 9 9 2 ) . A s i m i l a r b e h a v i o r i s o b s e r v e d f o r e f f e c t i v e s t r e s s e s i n t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n . S o w e c a n d e fi n e t w o e x t r e m e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n s : c r i t i c a l a n d o p t i m u m . W e d e n o t e t h e c r i t i c a l a n g l e o f i n c l i n a t i o n a s t h e a n g l e w h i c h w i l l p r o d u c e t h e m a x i m u m s t r e s s . T h e o p t i m u m a n g l e o f i n c l i n a t i o n i s t h e a n g l e t h a t g i v e s t h e m i n i m u m s t r e s s . W e a r e i n t e r e s t e d i n t h e c r i t i c a l a n g l e , w h i c h i s f o r s o f t c o a t i n g s a t a r o u n d 6 1 = O a n d f o r t h e s t i f f c o a t i n g s a t a r o u n d 9 = n / 2 . 2 ) E fi ' e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s . N e x t w e v a r y t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o c o a t e d i n c l u s i o n s i n c l i n e d a t e i t h e r 6 = O o r 9 = 1 t / 2 . F i g s . 2 . 1 8 - 2 . 1 9 s h o w t h a t i n c r e a s i n g t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e 6 3 5 . . 1 E ° = 1 k s i - 2 E ° = 3 0 k s i ‘ 1 ‘ ? ? ? , 3 E ° = 1 2 0 k s i 4 . ° 4 E ° = 4 5 0 k s i g 5 E C = 9 0 0 0 k s i 3 _ E ° = 9 0 , 0 0 0 k s i g : 3 1 1 1 1 1 1 : ‘ 1 ) . E F ‘ ' 2 o - o . ~ . v 2 - o - . . ' - M W / 3 $ 3 1 ? — 6 G ' ° 4 - 0 . 0 3 0 6 O 9 0 9 i n c F i g . 2 . 1 5 E f f e c t o f t h e i n c l i n a t i o n a n g l e 0 o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( a , - 6 2 ) / O ’ 0 i n t h e m a t r i x f o r a t w o - i n c l u s i o n s s o l u t i o n . 5 I - 1 E ° = 1 k s i . ’ 2 E ° = 3 0 k s 1 - 3 E ° = 1 2 0 k s i 4 E ° = 4 5 0 k s i . _ 5 E ° = 9 0 0 0 k s r 6 ° 6 E ° = 9 , 0 0 0 k 8 1 x \ A L ) N b D ' F " b \ _ / i n c F i g . 2 . 1 6 E f f e c t o f i n c l i n a t i o n a n g l e 9 o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( . 0 1 - — 6 2 ) / O ' 0 i n t h e c o a t i n g f o r a t w o - i n c l u s i o n s s o l u t i o n . 6 5 5 l I l I 4 - 3 = S I _ 3 E ° = 1 2 0 k s i 1 1 1 1 1 . 6 ° 4 E ° = 4 5 0 k s n Y \ 3 _ 5 E ° = 9 0 0 0 k s 1 . . 4 . N ‘ 6 E ° = 9 0 , 0 0 0 k 8 1 x b | 1 ' 7 6 — 2 1 1 1 1 1 \ _ / c 2 M 1 c Q ; 9 — # 4 4 : 6 . . G O C c C 3 1 ’ 2 O G a : a m A ' 1 0 3 0 6 0 9 0 9 i n c F i g . 2 . 1 7 E fl ‘ e c t o f i n c l i n a t i o n a n g l e 0 o n t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( t 5 I - 0 2 ) / o o i n t h e i n c l u s i o n f o r t w o - i n c l u s i o n s s o l u t i o n . . " 3 2 0 5 ’ ’ 1 1 1 1 1 1 . i 1 4 9 § 4 1 5 E § E E E = ° ° ° = = = = k g 5 0 s i 0 0 i § k 0 ~ S i s k I i s i - 1 2 0 - Q P 6 E ° = 9 0 , 0 0 0 k s i = a t i s m - 1 1 1 1 1 1 a 1 0 . . 2 5 _ . 4 3 _ 0 1 % ' 7 ' . - 0 0 . 5 1 1 5 d i e F i g . 2 . 1 8 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x o e f f n z / o o f o r a u n i a x i a l l o a d i n g 0 0 a n d 0 = 0 0 . 6 7 1 1 , . 1 0 - 6 1 E ° = 1 k s i 2 E g = 3 0 k s i . 9 ’ ” “ 1 1 “ 3 5 : 2 8 : 2 2 : 8 4 Q 3 5 E ° = 9 0 0 0 k s i . a ( 1 : 3 5 6 E ° = 9 0 , 0 0 0 k s i 8 7 “ O ‘ - 3 ‘ 5 6 - . E . 5 _ 1 1 1 1 1 1 1 1 4 . : 2 _ 2 3 * ‘ % \ a - e 1 % — - 4 1 = : r m 0 0 . 5 1 1 5 d / a F i g . 2 . 1 9 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e . m . . . m a t r i x . c e f f ’ / 6 0 f o r a u m a x 1 a l t e n s 1 o n G o a n d 0 - 1 t / 2 . h e t , d a l o c d t i a v l r d 3 i i fi p a e 0 i i s d c b e n i n ) e e ) r f n i e o ) d c s c l n a o c a t c u c l t r u a e s n a e fi d . = l e fi d r n h t r e fi ' F i t e e s e i ’ F ' T e d y , l i h f f 2 u f r a e e i 1 c r n a i e a e h t n s i c s o e e c n u t c W i s i w s g c g n i r l / t a a t i a 2 l n n e s c l e t a e h s l g l g n e w t o o l o l r o e e a s n o o e c r r m - e n a a p l f o p i e e b a p 2 n e s l l r a . a n r d l c e a n f i r e t h e x t s y a g t f i s p i q e u 1 r r e c e 2 a s g n s m u n l v f e l c l b e i v u l m r e y e e e t u i o l o g e b c u i c o s f e s s h w r o c e h e u i r t n 0 e o a l e l o , e t n o r . 2 t s h i e d s d a a t e e s s c r n l l y , e a r r f h s a n h l s e i , l o o i o e n t n c l r i t g e n a . e o d o a i t f n f . r w u e o h r s s f e n e g e e f i i s s n e t n e o n r t d s d g h t e c a e i p h e t a c r s e a h s c f s e i n t f e e d t l a t d i d f c l g h u l r t w s o e e i v i i n t t h n e v c h i o g s r e l e e r i e i n t h c t i n r e d . o n s a r r i o l u e n o n t a o n n a o a o d r p i e m l u s i c e p t c h a l t l e o c f e r y s . i s n a r n e T w t u t f h i s e a s h f o o n o s h e t n t a a i e i p n r t s h s n r f r d i n . o . e c l i i n c a i t s m h i m x n c l u e r n O s , g l u e s e u l l s u o i n g e d i n t r i t n c t a i i r n , u s n g m m a a h e t h o n s i n c w e i o b 0 t h p e a s l o h t o n r i e g u l c u n s = e h h a o a t i n g , i f x e a s f s , a r r m i a f v c . o t o o i e h r e t w O o e c h i r r i i l v , e o n a h r n s c a t t e e l e h a i n T o h r s q g t t n i e r d w u h a g h n r h i a e a d r n d s n i r n a e e a 0 a e n e s t r s n f r c f e t o c n w w a e s s e a t b r p d = e o r e o c a c g i e i l n t n / f n n t a i i e r n i g v r 2 r i t h c e t n c g o e t s n . e h t a n g e u e a f u s e l l h a n l c d c h e m i g o s i s d n o r i e m f u i n r t a s o n e n t o g n w t h p a l i o m t i r i s o s t n l e i r o a i n m s u c s n x b n l a t h e o m g n r n g 0 . a e e e s n a m a n g u r s u d n n H m s s e p t = l b o e l o e i n t o d n o s s r t i a e p h h r e a t w t i o a t h t s e i t v n n n 0 q u e r i i e e s , f w e . p r e a e l h c w e a e l i t n r s r t n u l h p a r a t e o n d , s - - , l e - d — 6 8 b y a c o n s t a n t d i s t a n c e d = a a r e s t u d i e d a n d c o m p a r e d t o t h e c a s e o f t w o i n c l u s i o n s s e p a - 3 ( - 3 0 b a 6 9 ' 1 E ° = 1 k s i 2 E ° = 3 0 k s i 1 3 E ° = 1 2 0 k s i ( 4 E ° = 4 5 0 k s i 2 5 E ° = 9 , 0 0 0 k s i _ 4 , 5 , 6 6 E ° = 9 0 , 0 0 0 k s i 1 1 l 2 1 n u m b e r o f i n c l u s i o n s F i g . 2 . 2 0 E f f e c t o f n u m b e r o f i n c l u s i o n o n t h e m a x i m u m S h e a r s t r e s s , ( 0 1 — 0 2 ) / 0 ' o i n t h e m a t r i x f o r - a u n i a x i a l l o a d i n g 6 0 w h e n 0 = 0 . 7 0 3 ' 0 1 1 i ' 6 2 . 8 i _ : l _ _ d = a . . 1 , 1 2 . 6 ‘ - 1 8 5 - 2 . 4 V V 1 - D 3 2 2 “ ‘ 5 . . b 2 . 0 1 8 9 ‘ — 1 6 1 E ° = 1 k s i 4 E ° = 4 5 0 k s i ' - 2 E ° = 3 0 k s i 5 E ° = 9 , 0 0 0 k s i 1 . 3 E ° = 1 2 0 k s i 6 E ° = 9 0 , 0 0 0 k s i J 3 1 . 3 e . # 1 . . 1 2 3 4 n u m b e r o f i n c l u s i o n s F i g . 2 . 2 1 E f f e c t o f n u m b e r o f i n c l u s i o n s o n t h e m a x i m u m S h e a r S t r e s s ( 0 ' 1 - - 0 ' 2 ) / O ' 0 i n t h e m a t r i x f o r a u n i a x i a l l o a d i n g 6 0 w h e n 0 = 1 t / 2 r 2 s s . a l i t 7 o i ) e n . d s g h t l b F i y o S y t e o t h s e h s r r m l e e s a f o m u e r t h a n t h a n o d i s i n 0 r c ” : a u s t , l } b n b e c e a i o e t n t w s e w n a d r e e e n s a u n b g t w w o e e m j o c i i n t s e c r n t e d t o n l o t l u t t i a s h e o e d n t s e i h e s f f e c n a c l l i u g a t m i v s i e o e n e d t s a t r l a n s v e r i e n s c s l o n g i 6 c n r r : e s i e ” d t u b a c i l a n i e l o t n a p x w g a i e t a e o h n l p l a t i . S d u n o a a m y m n s i n g ( T a t m e w b p o e c i n h a t h a v l b b i u l u o e - t r 7 1 w a s o b s e r v e d f o r s t r e s s e s i n t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n s . P l a n e S t r e s s V e r s u s P l a n e S t r a i n , O t h e r V o l u m e F r a c t i o n s a n d S t a t i s - t i c s A l l o u r n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e f o r a p l a n e s t r e s s c a s e b e c a u s e e x p e r i m e n t a l l y w e u s e d t h i n e p o x y p l a t e s f o r t h e r e a s o n s m e n t i o n e d o n p a g e 2 1 . W e a l s o e x p l o r e d a c o m p a r - i s o n b e t w e e n p l a n e s t r e s s a n d p l a n e s t r a i n c a s e s n u m e r i c a l l y a n d w e f o u n d t h a t t h e p l a n e s t r e s s c a s e i s m o r e c r i t i c a l f o r b o t h s i n g l e a n d m u l t i - i n c l u s i o n s g e o m e t r i e s ( F i g s 2 . 2 2 a — d ) . W e h a v e a l s o c o n s i d e r e d t h e c a s e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 0 . 4 6 f o r t h e c a s e s o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d e i t h e r p e r f e c l y b o n d e d o r c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o m p l i a n t c o a t i n g s ( c o a t i n g s l a n d 2 ) . T h e m a g n i t u d e s o f t h e m a x i m u m s t r e s s e s ( O e f f a n d 0 1 - o 2 ) w e r e f o u n d t o b e h i g h e r f o r f = 0 . 4 6 t h a n t h o s e f o r f = 2 3 % . T h e a c t u a l n u m b e r s , h o w e v e r , d e p e n d o n t h e g i v e n g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t . T o S t u d y t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f t h e n o n - u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d fi b e r s a n d t h e s t r e s s fi e l d s , D e l a u n a y n e t - w o r k s w i t h 1 0 d i f f e r e n t d i s t r i b u t i o n s a r e u s e d ( F i g . 2 . 2 3 ) . E a c h v e r t e x o f t h e D e l a u n a y c e l l r e p r e s e n t s t h e l o c a t i o n o f a fi b e r . T h e n t h e p r o b a b i l i t y o f i n c l i n a t i o n a n g l e s b e t w e e n e a c h o f t h e n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s , P ( 0 ) , ( F i g . 2 . 2 4 ) , t h e p r o b a b i l i t y o f c l o s e s t n e i g h b o r , 9 9 : © ' 0 © 9 — L 1 . . 7 2 T a b l e 2 . 7 T h e m a x i m u m e f f e c t i v e s t r e s s i n t w o , t h r e e , a n d f o u r i n c l u s i o n a r r a n g e m e n t s e p a r a t e d b y a c o n s t a n t d i s t a n c e f o r a u n i t a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . E c ( k s i ) 0 : } , 0 : ” o i ” 1 3 . 9 4 0 . 0 1 2 0 . 0 4 8 3 0 2 . 6 4 0 . 3 7 7 0 . 8 3 3 1 2 0 1 . 2 6 1 . 1 3 1 . 3 6 4 5 0 1 . 2 7 1 . 2 8 1 . 4 9 9 , 0 0 0 1 . 3 2 1 . 3 5 1 . 7 5 9 0 , 0 0 0 1 . 3 2 3 . 0 1 1 . 4 0 1 2 . 2 6 0 . 0 1 2 0 . 0 3 6 3 0 1 . 8 2 0 . 7 3 2 0 . 7 2 6 1 2 0 1 . 2 6 1 . 1 4 1 . 3 6 4 5 0 1 . 7 4 1 . 7 0 1 . 7 0 9 , 0 0 0 2 . 0 7 2 . 4 9 1 . 9 4 9 0 , 0 0 0 2 . 1 9 4 . 5 0 1 . 7 4 1 3 . 6 8 0 . 0 1 1 0 . 0 2 1 3 0 2 . 1 0 0 . 7 4 2 0 . 8 8 3 1 2 0 1 . 2 8 1 . 1 3 1 . 2 7 4 5 0 1 . 4 0 1 . 4 5 1 . 5 9 9 , 0 0 0 1 . 5 9 1 . 6 8 1 . 7 9 9 0 , 0 0 0 1 . 6 3 3 . 2 4 1 . 6 4 1 3 . 8 2 0 . 0 4 1 0 . 0 5 3 3 0 2 . 5 4 0 . 7 8 4 0 . 9 1 5 1 2 0 1 . 2 8 1 . 1 6 1 . 2 7 L 4 5 0 1 . 6 7 1 . 6 2 1 . 6 5 9 , 0 0 0 1 . 9 8 1 . 9 3 1 . 9 0 9 0 , 0 0 0 1 . 9 6 4 . 4 5 1 . 7 2 6 E 5 d = a L 0 @ ® ( 1 : = 3 I I I I I I D I I 7 3 ( 5 e S M N S M X 5 a / O o ( N A V G ) = 0 . 1 6 6 E - 0 4 - 0 . 3 0 6 7 9 5 = 1 . 1 7 1 0 . 3 0 6 7 9 5 0 . 4 6 3 5 3 9 0 . 6 2 0 2 8 3 0 . 7 7 7 0 2 6 F i g . 2 . 2 2 a G e f f / O o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M ( p l a n e s t r a i n ) f o r a u n i a x - i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . O n N O i 1 : : 2 0 I . ‘ 2 : - ' _ ‘ ‘ 2 ’ 0 7 6 . 2 0 1 7 4 / o o ( N A V G ) = 0 . 2 8 6 E - 0 4 S M N = 0 . 0 0 5 5 5 9 S M X = 6 . 2 0 1 0 . 0 0 5 5 5 9 0 . 6 9 3 9 4 7 3 ‘ . . . " ‘ 0 . , ‘ 0 9 9 0 > ‘ u b ‘ . 1 p ‘ 1 0 1 c o 4 F i g . 2 . 2 2 b G e f f / O o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 1 ( I i c = 1 k s i ) o b t a i n e d b y F E M ( p l a n e s t r a i n ) f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . 6I 7 5 ' - ' D ' ‘ u ' - “ 1 . 4 , . ‘ 5 ‘ : ~ ' 6 > - . 5 u p » ; a - . " . : q v - ‘ i ’ 5 " : a ' 1 . 9 9 1 . 1 8 1 } . 0 3 . 8 " ( 0 1 — 0 2 ) / 0 0 ( N A V G ) D M X = 0 . 1 6 6 E - O 4 S M N = 0 . 2 1 5 3 3 9 S M X = 1 . 1 9 6 0 . 2 1 5 3 3 9 0 . 3 2 4 2 7 4 0 . 4 3 3 2 0 9 0 . 5 4 2 1 4 5 0 . 6 5 1 0 8 0 . 7 6 0 0 1 5 0 . 8 6 8 9 5 1 0 . 9 7 7 8 8 6 1 . 0 8 7 1 . 1 9 I D I I I I I I 2 “ ~ " * ‘ : ' 0 ? \ 1 . a ‘ 1 1 ' ‘ o , " L ’ . * . F i g . 2 . 2 2 c ( o — o ) / o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - = 2 3 % o f r a n - 1 2 o d o m l y d i s t r i b u t e d a n d p e r f e c l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M ( p l a n e s t r a i n ) f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . I I I I I I D I I 7 6 ( o — o ) / o ( N A V G ) 0 1 1 x 2 = 0 . 2 € 6 E - 0 4 S M N = 0 . 1 0 5 E - 0 4 S M X = 6 . 1 2 2 0 . 1 0 5 E - 0 4 0 . 6 8 0 2 0 3 1 . 3 6 2 . 0 4 1 2 . 7 2 1 3 . 4 0 1 4 . 0 8 1 4 . 7 6 1 . a ! . ' " 1 : . 1 ' " ' . 5 . 4 4 2 " : : ‘ ~ 1 3 " " 6 . 1 2 2 Q . ‘ F i g . 2 . 2 2 d ( o 1 — 0 2 ) / o o i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % o f r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h c o a t i n g 4 ( E ‘ = I k s i ) o b t a i n e d b y F E M ( p l a n e s t r a i n ) f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . 1 c . a l D e 4 0 l ° F i g . 2 . 2 3 A t y p i 0 v 1 A a a u n a y n e t w o 1 1 I r n k o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d fi b e r s . 3 c 0 l i ° n 1 i a t o n A 1 n g l 6 e 0 ° ( 9 ) 9 0 ° 7 7 V A 1 5 5 % F i g . 2 . 2 4 P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f i n c l i n a t i o n a n g l e b e t w e e n t h e c l o s e s t n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s . P h t d t a ( o i h n ) , ( F i v t e h e s e c o r fi i i a n a g t n g v n n . e i u d o 2 e t n t i m . y a 2 m 5 e g e o o d , m ) f r r a a h g i e t n u t e e n d m r t b h o y m o o d m e n t e e f u , s n e d p e t l h ) w e i t t r e e a t d h h a s b n r t t y e i e P s t ( d o t n r d ) c h s e a 0 i s m i t i w s p i z l i t o a n e e l n . l s c o e f h o , a N f t o v n P h ( e t e o e n d ) s a - , p t h c o ( F i e v a o c e t n i r s m i g t f . e a n n w , t e l a p p i 2 . 2 6 ) w e o r u ( e e e r t d h a h d d u e s t r a e s e v s e h u e i e d . S i t g l d s e l i n o l w n p i i e r l n ) e l e . f n b T r s e c ( e e h e n e l f u t w i s i f e i c t f l e m a d f t o e o r t v i n h a g g e l n , n u o r e w 7 8 a n g l e , a s e x p e c t e d . C L O S U R E I n t h i s p h a s e o f t h e s t u d y w e i n v e s t i g a t e d t h e i n fl u e n c e o f t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r - f a c e a n d t h e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t o n t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s o f a m o d e l c o m p o s i t e h a v i n g c i r c u l a r c o p p e r i n c l u s i o n s i n t h e p h o t o e l a s t i c m a t r i x . W e fi n d t h a t b o t h o f t h e s e f a c t o r s s i g n i fi c a n t l y c o n t r i b u t e t o t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s . W e n o t e t h a t t h e s t u d y o f t h e e f f e c t s o f g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s r e q u i r e s a m o r e c o m p l e t e s t a t i s t i c a l a n a l y s i s . a m o r e c o m p l e t e d i s c u s s i o n o f t h e r e s u l t s f r o m t h i s c h a p t e r i s i n c l u d e d i n t h e c o n c l u s i o n s s e c t i o n o n p a g e s 2 4 4 - 2 4 7 . 7 9 r 0 . 3 . _ . . . . M I ‘ - 4 ' , X I . I ‘ . I ' ‘ . 0 2 - 1 w 0 I . A . \ C . ’ \ v I ' \ a u . \ I . \ I ‘ \ 0 1 ’ " . p I . \ I ' \ I \ 1 1 1 ’ 1 1 1 ‘ . I ‘ . \ I . J . ’ \ I 0 ” 2 i 4 ‘ é ' a “ “ 1 0 n u m b e r o f c l o s e s t n e i g h b o r s ( n ) F i g . 2 . 2 5 P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f c l o s e s t n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s . 0 . 4 ' T 0 . 3 ~ , " “ « a s , B O 2 I , 9 ‘ . v I D . — r — 1 I , ‘ 1 1 0 . 1 1 . x 0 — a 1 1 ‘ “ 0 2 4 6 S e p a r a t i o n o f c l o s e s t n e i g h b o r ( d / a ) F i g . 2 . 2 6 P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e c l o s e s t n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s . C H A P T E R 3 T A S K 2 : T H E I N F L U E N C E O F I N T E R F A C E A N D R A N D O M A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N T H E R E S I D U A L S T R E S S E S I N A M O D E L C O M P O S I T E M A T E R I A L W h e n a c o m p o s i t e m a t e r i a l i s s u b j e c t e d t o a t e m p e r a t u r e c h a n g e , t h e r m a l s t r e s s e s a r e c r e a t e d d u e t o a m i s m a t c h i n t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f fi c i e n t s . T h e t e m p e r a t u r e c h a n g e m a y b e d u e t o t h e r m a l c o o l i n g o f a c o m p o s i t e m a t e r i a l a f t e r b e i n g m a n u f a c t u r e d a t a n e l e v a t e d t e m p e r a t u r e ; s u c h s t r e s s e s a r e c a l l e d r e s i d u a l s t r e s s e s . T h e s e t h e r m a l s t r e s s e s c a u s e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s , w h i c h m a y i n i t i a t e y i e l d i n g a n d / o r c r a c k i n g . T h e r e f o r e , f o r d e s i g n p u r - p o s e s i t i s i m p o r t a n t t o k n o w t h e m a g n i t u d e o f t h e s e s t r e s s e s . I n t h i s p h a s e o f s t u d y w e a n a l y s e t h e l o c a l s t r e s s fi e l d i n a m o d e l c o m p o s i t e m a d e o f a n e p o x y m a t r i x a n d c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s . W e s t u d y s u c h a c o m p o s i t e e x p e r i m e n t a l l y u s i n g a p h o t o e l a s t i c t e c h n i q u e a n d n u m e r i c a l l y u s i n g a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d . E x p e r i m e n - t a l l y w e f o c u s o n s t u d y i n g t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n s a r o u n d c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n s i n e i t h e r r a n d o m o r r e g u l a r a r r a n g e m e n t ( t r i a n g u l a r ) . M o r e s p e c i fi c a l l y w e c o n s i d e r t w o r a n d o m a r r a n g e m e n t s , o n e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t , t w o i n c l u s i o n s s e p a r a t e d b y d i f f e r e n t s e p a r a t i o n d i s t a n c e s , a n d a s i n g l e i n c l u s i o n c o n fi g u r a t i o n . N u m e r i c a l l y , w e s t u d y t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s b y c o n s i d e r i n g t w o r a n d o m a r r a n g e m e n t s a n d t w o p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s ( t r i - a n g u l a r a n d s q u a r e ) o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s . I n t h i s c a s e w e v a r y b o t h t h e e l a s t i c m o d - u l u s o f t h e c o a t i n g E ” a n d t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ( C T E ) o f t h e c o a t i n g a c . 8 0 8 1 T H E S I N G L E I N C L U S I O N S O L U T I O N I n i t i a l l y , w e c o n s i d e r a s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n s o l u t i o n i n o r d e r t o g a i n a m o r e b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m a n d w e d i s c u s s t h e i n fl u e n c e o f d i f f e r e n t p a r a m e t e r s o n t h e t h e r m a l s t r e s s fi e l d i n a c o m p o s i t e w i t h a d i l u t e c o n c e n t r a t i o n o f fi b e r s . W e c o n s i d e r a t h r e e p h a s e c o m p o s i t e m a t e r i a l c o n s i s t i n g o f a c i r c u l a r i n c l u s i o n o f r a d i u s a c o a t e d w i t h a m a t e r i a l o f t h i c k n e s s t a n d e m b e d d e d i n a n i n fi n i t e l y e x t e n d e d m a t r i x . T h e i n c l u s i o n , t h e c o a t i n g l a y e r a n d t h e m a t r i x a r e a s s u m e d t o b e l i n e a r l y e l a s t i c a n d i s o t r o p i c . T h e y h a v e d i s t i n c t m a t e r i a l p r o p e r t i e s : t h e e l a s t i c m o d u l u s E , t h e P o i s s o n ’ s r a t i o v a n d t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ( C T E ) a . I n t h e n o t a t i o n u s e d t h e s u p e r - s c r i p t s i , c , a n d m r e f e r t o t h e i n c l u s i o n , c o a t i n g a n d m a t r i x , r e s p e c t i v e l y . W h e n t h e a b o v e c o m p o s i t e i s s u b j e c t e d t o a u n i f o r m t e m p e r a t u r e c h a n g e A T , t h e n t h e d i s p l a c e m e n t a n d s t r e s s fi e l d s i n p o l a r c o o r d i n a t e s ( r ; 0 ) a r e : a ) i n t h e i n c l u s i o n u = ( K i - 1 ) r A / 2 u i + U : . . ( 3 . 1 ) O J r r = 0 0 0 = 2 A b ) i n t h e c o a t i n g u f = C ( x c — 1 ) r / 2 n ‘ — D / 2 u ‘ r + U : o ‘ = 2 C + D / r 2 ( 3 . 2 ) r r C 6 0 0 = 2 C - D / r 2 c ) i n t h e m a t r i x 8 2 u ' , " = 4 3 / 2 4 1 " + u ’ , " m - m — B / 2 ( 3 . 3 ) o . r r - . 0 0 0 " r w h e r e S S - t K , = [ ( 3 v ) / ( 1 + v ) p l a n e s r e s s s = i , a m ( 3 ' 4 ) 3 - 4 v ’ p l a n e s t r a i n T h e o t h e r d i s p l a c e m e n t a n d s t r e s s c o m p o n e n t s a r e z e r o d u e t o a r a d i a l s y m m e t r y . N o t e t h a t t h e r a d i a l d i s p l a c e m e n t s i n t h e c o n s t i t u e n t s a r e t h e s u m s o f t h e d e f o r m a t i o n d u e t o t h e r m a l s t r a i n i n t h e a b s e n c e o f t h e r e m a i n i n g c o m p o n e n t s a s g i v e n b y 3 a U : = ( 1 + n 5 ) a A T r s = t , c , m ( 3 . 5 ) w h e r e _ ( v p l a n e s t r a i n ( 3 6 ) 0 p l a n e s t r e s s a n d t h e d e f o r m a t i o n d u e t o e l a s t i c s t r a i n s . A , B , C a n d D a r e t h e u n k n o w n c o n s t a n t s t o b e d e t e r m i n e d u s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . W e a s s u m e p e r f e c t b o n d i n g b o u n d a r y c o n d i - t i o n s a t t h e i n c l u s i o n - c o a t i n g a n d c o a t i n g - m a t r i x i n t e r f a c e s , w h i c h a r e g i v e n a s f o l l o w s i _ _ c 1 ' _ c _ o , , — o , , u , — u , a t r — a C M C m 0 , , = 0 , , u , = u , a t r = a + t ( 3 . 7 ) 0 " " = 0 a t r - ) o o N o t e , t h a t S t r e s s e s i n t h e m a t r i x a r e c h o s e n i n s u c h a w a y s o t h a t t h e c o n d i t i o n o f v a n - s t r u c t T u h r e N H ; e c u r i n g a g e n t c o n c e n t r a t i o n w a s c a l l N " : c u l a t e d b y G u p t a e t a l . ( 1 9 8 5 ) t o b e 1 4 . 5 p a r t s 8 3 i s h i n g t r a c t i o n s a t i n fi n i t y i s a u t o m a t i c a l l y s a t i s fi e d . T H E M U L T I I N C L U S I O N S S O L U T I O N W h i l e fi n d i n g l o c a l s t r e s s fi e l d s o f a c o m p o s i t e w i t h a s i n g l e i n c l u s i o n i s r e l a t i v e l y s i m p l e , d e t e r m i n i n g t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s o f a c o m p o s i t e w i t h m a n y i n c l u s i o n s , w h e r e t h e i n t e r a c t i o n o f i n c l u s i o n s ’ t a k e s p l a c e , i s v e r y c o m p l i c a t e d t o d o a n a l y t i c a l l y . T h u s , a l t e r - n a t i v e l y , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s c a n b e u s e d . E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e r r t i T h e e p o x y r e s i n u s e d w a s E p o n 8 2 8 w h i c h i s b a s e d i n d i g l y c i d y l e t h e r o f B i s p h e n o l - A a n d h a s t h e f o l l o w i n g c h e m i c a l s t r u c t u r e ( G u p t a e t a l . 1 9 8 5 ) ( ) / 0 ' 0 4 : 0 H C H 3 / \ C H 2 E l l - 0 1 2 . 0 Q ' C Q ' W T ' C ’ H " C H r - O - — C - - © - - O ~ C H 2 " C H H C H : I C H J C H 3 T h e c u r i n g a g e n t u s e d w a s m e t a p h e n y l e n e d i a m i n e h a v i n g t h e f o l l o w i n g c h e m i c a l p e r h u n d r e d p a r t s o f r e s i n s o t h a t t h e e p o x y a m i n e r a t i o i s 1 : 1 . 8 4 T o p r e p a r e t h e e p o x y m a t r i x , t h e r e s i n a n d t h e c u r i n g a g e n t w e r e h e a t e d i n s e p a r a t e c o n t a i n e r s a t 7 5 ° C f o r a p p r o x i m a t e l y 1 5 m i n u t e s ( u n t i l t h e c u r i n g a g e n t m e l t e d ) , t h e n t h e y w e r e m i x e d t o g e t h e r . T h e m i x t u r e w a s t h e n v a c u u m - g a s s e d . N e x t , t h e e p o x y r e s i n m i x - t u r e w a s p o u r e d i n t o s i l i c o n e r u b b e r m o d e l s t o f o r m 1 . 6 x 3 . 5 x 0 . 1 2 5 i n c h r e c t a n g u l a r s p e c i - m e n s o r d o g b o n e s t a n d a r d s h a p e c o n t r o l s p e c i m e n s . I n c l u s i o n s w e r e p l a c e d a t l e a s t a d i s t a n c e o f o n e d i a m e t e r a w a y f r o m t h e f r e e s u r f a c e t o m i n i m i z e t h e f r e e s u r f a c e e f f e c t ( L e e e t a l . 1 9 9 2 ) . T h e m o d e l e p o x y - c o p p e r c o m p o s i t e w a s t h e n c u r e d i n a p r e - p r o g r a m e d o v e n . T h e c u r i n g c y c l e u s e d w a s 7 5 ° C ( 1 6 7 ° F ) f o r t w o h o u r s f o l l o w e d b y 1 2 5 ° C ( 2 5 7 ° F ) f o r a n o t h e r t w o h o u r s , t h e n t h e c o m p o s i t e w a s e i t h e r h e a t e d t o 1 6 0 ° C ( 3 2 0 ° F ) , w h i c h i s t h e g l a s s t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e f o r t h i s e p o x y , h e l d f o r t w o h o u r s a n d t h e n c o o l e d t o r o o m t e m p e r a t u r e a t s l o w c o o l i n g a t r a t e o f 2 5 ° C ( 5 ° F ) I h o u r ( p o s t c u r i n g ) , o r c o o l e d d i r e c t l y t o r o o m t e m p e r a t u r e w i t h o u t p o s t c u r i n g ( s t a n d a r d c u r i n g ) . M g g j m i g g l E m p g m ' g s Q t £ 1 2 m M a m T o s t u d y t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f v a r i o u s m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e p o x y r e s i n t h r e e s e t s o f e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d . I n t h e fi r s t s e t , t h e t e n s i l e t e s t e r ( M T S ) w a s u s e d . U s i n g a s m a l l e n v i r o n m e n t a l c h a m b e r , t h e s t r e s s - s t r a i n d a t a a n d t h e a x i a l - t r a n s - v e r s e s t r a i n d a t a w e r e r e c o r d e d f o r 5 5 ° C a n d 8 5 ° C a t a s t r a i n r a t e o f 7 % . T h e a v e r a g e r e s u l t s o f t h r e e s p e c i m e n s f o r e a c h c a s e w e r e u s e d t o fi n d t h e e l a s t i c m o d u l u s a n d t h e P o i s - s o n ’ s r a t i o f o r b o t h p o s t a n d s t a n d a r d c u r i n g c o n d i t i o n s . I n t h e s e c o n d s e t o f e x p e r i m e n t s , I n s t r o n t e n s i l e m e a s u r e m e n t s w e r e u s e d t o fi n d t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e p o x y m a t r i x a t r o o m t e m p e r a t u r e . T h e l a s e r e x t e n s o m e t e r w a s u s e d t o m e a s u r e s t r a i n . S t r e s s - s t r a i n c u r v e s o f e p o x y m a t r i x f o r v a r i o u s t e m p e r a t u r e s 8 5 a n d f o r t h e t w o c o o l i n g c o n d i t i o n s a r e p l o t t e d i n F i g u r e s 3 . l a a n d 3 . 1 b . T h e d a s h e d c u r v e i n F i g u r e 3 . 1 a w a s o b t a i n e d b y G u p t a e t a l . ( 1 9 8 5 ) . U s i n g a r e g r e s s i o n a n a l y s i s , t h e v a r i a - t i o n o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e e p o x y m a t r i x a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e T i s g i v e n b y E ' " ( T ) = 6 . 2 9 7 4 ( 1 0 1 5 - 6 . 7 7 9 8 ( 1 0 ) 3 T + 4 9 . 7 3 5 4 1 " 2 - 0 1 5 7 7 9 9 7 3 p s i ( 3 . 8 ) T h i s v a r i a t i o n o f e l a s t i c m o d u l u s w i t h t e m p e r a t u r e i s r e p r e s e n t e d i n F i g . 3 . 2 . T h e e f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e m a t r i x i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 3 a n d h a s t h e f o l l o w i n g f o r m V " ( T ) = 0 . 2 7 0 4 4 I 7 + 0 . 0 0 3 6 8 0 6 7 7 ' - 1 . 3 3 5 5 2 9 7 ‘ 2 - 4 . 2 6 1 1 9 T 3 ( 3 . 9 ) I n t h e t h i r d s e t o f e x p e r i m e n t s , t h e v a r i a t i o n o f t h e r m a l e x p a n s i o n w i t h t e m p e r a t u r e w a s u s e d t o c a l c u l a t e t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ( C T E ) o f t h e e p o x y - m a t r i x , c o a t i n g m a t e r i a l s a n d c o p p e r i n c l u s i o n s . D e f o r m a t i o n o f e p o x y , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n s a m p l e s a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e i s p l o t t e d i n F i g u r e s 3 . 4 t h r o u g h 3 . 7 . T h e d e r i v a t i v e o f t h o s e c u r v e s w i l l g i v e a v a r i a t i o n o f t h e r m a l c o e f fi c i e n t s o f e x p a n s i o n w i t h t e m p e r a t u r e w h i c h a r e f o u n d u s i n g r e g r e s s i o n a n a l - y s i s a ’ " ( r ) = 2 . 9 1 ( 1 0 ) “ 5 - 4 . 5 9 ( 1 0 1 6 “ 3 . 1 1 ( 1 0 ) ” “ 1 ‘ 2 - 1 . 1 8 ( 1 0 ) " " r 3 + 2 . 7 8 ( 1 0 ) “ 0 r 4 - 4 . 2 1 ( 1 0 1 ' 2 ‘ r 5 + 4 . 1 0 ( 1 0 ) " “ 1 6 - 2 . 4 8 ( 1 0 ) " 6 1 ‘ 7 + 8 . 4 9 ( 1 0 ) ‘ 1 9 T 8 - 1 . 2 5 ( 1 0 ) ' 2 1 T 9 ° c ( 3 . 1 0 ) S i m i l a r e x p r e s s i o n s w e r e o b t a i n e d f o r t h e c o a t i n g s a n d t h e i n c l u s i o n . ................. .................1 . 2 9 9 0 ) i s k ( 6 ) i s k ( 6 8 6 1 4 r T 2 7 ° C 1 2 - 5 ° C 1 0 ~ 8 _ 8 5 ° C 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 . 0 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 7 8 ( m / m ) 1 4 ‘ 2 ~ 2 7 ° C 1 0 _ 5 5 ° C 8 5 ° C b ) 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 7 8 ( i n / i n ) F i g . 3 . 1 S t r e s s - s t r a i n c u r v e s o f e p o x y m a t r i x ( E p o n 8 2 8 ) f o r v a r i o u s t e m p e r a - t u r e s a n d f o r t h e t w o c o o l i n g c o n d i t i o n s : a ) s t a n d a r d c u r i n g a n d b ) p o s t c u r i n g . ) i s k ( m E 5 0 0 4 5 0 ~ 4 0 0 - 3 5 0 - 3 0 0 ~ 2 5 0 2 0 8 7 S t a n d a r d c u r i n g P o s t c u r i n g 6 0 * 1 8 0 ‘ 8 1 0 0 1 1 2 0 T ( ° C ) F i g . 3 . 2 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e e p o x y m a t r i x ( E m ) 0 . 5 0 0 . 4 8 - 0 . 4 6 - 0 . 4 4 - 0 . 4 2 - 0 . 4 0 . 3 8 - 0 . 3 6 ~ 0 . 3 4 » 0 . 3 2 - 0 . 3 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 T ( ° C ) F i g . 3 . 3 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e e p o x y m a t r i x ( v " ' ) . 8 8 2 5 A 2 0 — E 3 8 1 5 ‘ 5 6 1 0 8 . 8 0 ° C 0 . 5 1 0 ‘ a = 6 6 . 8 ] . l m / ( m C ) 8 D E . Q 5 - O _ . . - fl . 4 . . f . 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 T e m p e r a t u r e ( ° C ) F i g . 3 . 4 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f t h e e p o x y m a t r i x . 8 E 6 ‘ 1 2 5 . 4 7 ° c 0 E ‘ ; o n = 1 6 . 7 t t m / ( m C ) 3 0 S 8 4 - . 5 g 1 . § 0 2 - 0 r - . . 2 , . 4 , 2 . a 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 - T e m p e r a t u r e ( ° C ) F i g . 3 . 5 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f c o p p e r i n c l u s i o n s . T e m p e r a t u r e ( ° C ) F i g . 3 . 7 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f c o a t i n g 2 . 8 9 - 1 1 0 0 8 7 . 5 3 0 g 0 1 = 2 E 7 t t m / ( m 0 C ) 3 4 1 2 0 - m a : C 2 5 7 . 9 6 ° C O C % 4 1 4 0 — 8 ‘ 5 4 . 0 5 ° C 0 D 3 5 . 6 3 ° C - 1 1 6 0 E . a , , , a a 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 T e m p e r a t u r e ( ° C ) F i g . 3 . 6 E f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e d e f o r m a t i o n o f c o a t i n g 1 . 6 0 1 E 4 0 * 1 2 2 . 3 2 0 C o , v ; a = 2 1 9 u m / ( m C ) 8 1 . C . ‘ c " o 2 0 1 ' c . ' . 9 ( D C o g 0 0 C 0 ' . 0 1 0 1 3 9 : 1 0 3 u m / ( m C ) 4 2 0 1 . - . - - , . 3 - - 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 ' 1 4 6 P h o t o e l a s t i c m e a s u r e m e n t s . T h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d w a s u s e d t o s t u d y t h e e f f e c t o f i n t e r p h a s e a n d r a n d o m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s o n t h e r m a l s t r e s s e s i n c o m p o s i t e s w i t h c a s t - i n - p l a c e i n c l u s i o n s f o r t w o c u r i n g c o n d i t i o n s : s t a n d a r d c u r i n g a n d p o s t c u r i n g . I n t h i s a n a l y s i s w e u s e d t w o c o m p l i a n t c o a t i n g s . T h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e p o x y m a t r i x , i n c l u s i o n a n d c o a t i n g s a r e s h o w n i n T a b l e 3 . 1 . T o s t u d y t h e e f f e c t o f g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n , t w o r a n d o m a r r a n g e m e n t s o f i n c l u s i o n s w i t h v o l u m e f r a c t i o n 1 4 % a n d 2 0 % w e r e u s e d . T h e l o c a t i o n o f t h e s e fi b e r s w a s d i g i t i z e d t o b e i n c o r p o r a t e d i n t h e fi n i t e e l e m e n t a n a l y s i s a s w i l l b e m e n t i o n e d i n n e x t s e c t i o n . F o r a c o m p a r i s o n w e a l s o s t u d i e d a p e r i o d i c a r r a n g e m e n t ( t r i a n g u l a r ) w i t h a v o l u m e f r a c t i o n o f 2 7 . 5 % . T h e m a t r i x w a s c u r e d i n a c c o r d a n c e t o s t a n d a r d c u r i n g f o r t h e c a s e o f r a n d o m l y a n d r e g u l a r l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s . I n o u r s t u d y w e c o n s i d e r e d t h e m o d e l c o m p o s i t e i n a f o r m o f a t h i n p l a t e i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e e x p e r i m e n t a l a n a l y s i s . B y h a v i n g t h e p l a n e s t r e s s c a s e w e r e d u c e t h e f r e e e d g e e f f e c t s , i . e . t h e d i s t u r b a n c e o f t h e s t r e s s e s n e a r t h e t w o t r a c t i o n - f r e e s u r f a c e s d u e t o a r e l a x a t i o n o f s t r e s s e s t h e r e , a n d , i n t h i s c a s e , w e c a n s e e t h e p h o t o e l a s t i c f r i n g e s m o r e e a s - i l y . A l t e r n a t i v e l y , w e c o u l d s i m u l a t e d i r e c t l y t h e p l a n e s t r a i n c a s e b y u s i n g a f r i n g e f r e e z - i n g t e c h n i q u e a s m e n t i o n e d b e f o r e . I n o r d e r t o c a l i b r a t e t h e e p o x y m a t r i x m a t e r i a l f o r t h e f r i n g e v a l u e f a d i f f e r e n t l e v e l s o f l o a d i n g w e r e a p p l i e d t o a f o u r - p o i n t - l o a d e d b e a m ( F i g u r e 3 . 8 ) . T h e a v e r a g e v a l u e o f n u m b e r o f f r i n g e s w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l f r i n g e v a l u e f 0 a c c o r d i n g t o t h e f o r - N f a . . m u l a ° I — 0 2 . = T . F o r o u r c a s e f w a s f o u n d t o b e 1 4 . 5 1 b / 1 n / f r 1 n g e a t r o o m t e m p e r a - t u r e . 9 2 T h e F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n I n t h i s s t u d y w e u s e d a c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e fi n i t e e l e m e n t p a c k a g e A N S Y S 5 . 1 . W e u t i l i z e d q u a d r i l a t e r a l p l a n e e l e m e n t s , s u c h t h a t e a c h e l e m e n t w a s d e fi n e d b y e i g h t n o d e s h a v i n g t w o d e g r e e s o f f r e e d o m : t r a n s l a t i o n s i n t h e n o d a l x a n d y d i r e c t i o n s w i t h t h e e l e m e n t e d g e s i z e o f . 2 5 a . W e u s e d t h e f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s : t r a c t i o n f r e e c o n d i - t i o n s a t t h r e e s i d e e d g e s a n d a s y m m e t r i c b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e r e m a i n i n g e d g e . W e d i d t w o t y p e s o f a n a l y s e s . F i r s t , t o s t u d y t h e e f f e c t o f i n t e r f a c e n u m e r i c a l l y , w e v a r i e d t h e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e c o a t i n g k e e p i n g t h e s a m e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e m a t r i x a n d t h e i n c l u s i o n a s t h a t g i v e n i n T a b l e 3 . 1 . I n t h i s c a s e t h e r a n d o m g e o m e t r i c d i s - t r i b u t i o n o f fi b e r s w a s g e n e r a t e d b y t h e c o m p u t e r a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 2 . W e a l s o s t u d - i e d t w o p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s : t r i a n g u l a r a n d s q u a r e . F o r m o r e b a s i c u n d e r s t a n d i n g w e a l s o s t u d i e d s i n g l e , t w o , a n d t h r e e i n c l u s i o n s i n a r o w o r i n a n e q u i l a t e r a l a r r a n g e m e n t . I n t h e s e c o n d s e t o f r u n s , t o c h e c k t h e a c c u r a c y o f o u r n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , w e s i m u l a t e d t h e e x a c t g e o m e t r y o f t h e e x p e r i m e n t a l s p e c i m e n s ( d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ) a n d u s e d t h e m e c h a n i c a l a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s o f t e s t e d m a t e r i a l s a s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y ( e q n s . 3 . 8 - 3 . 1 0 ) ; t h u s w e u t i l i z e d a n o n l i n e a r a n a l y s i s i n t h i s c a s e . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N T h e S i n g l e I n c l u s i o n S o l u t i o n . I n t h e p a r a m e t r i c s t u d y o f a s i n g l e c o a t e d i n c l u s i o n w e s t u d i e d t h e i n fl u e n c e o f f o u r 9 3 T a b l e 3 . 1 . T h e e l a s t i c a n d t h e r m a l p r o p e r t i e s o f c o m p o s i t e ’ s c o n s t i t u e n t s u s e d i n t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n . E c v ‘ a c / ” C k s i ( M P a ) ( x 1 0 ' ° ) @ m a t r i x 4 5 0 0 . 3 6 6 4 ( 3 . 1 1 x 1 0 3 ) i n c l u s i o n 1 . 7 4 x 1 0 3 0 . 3 4 1 6 . 7 ( 1 . 2 0 x 1 0 5 ) c o a t i n g 1 l 0 . 3 6 2 4 6 ( 6 . 8 9 ) c o a t i n g 2 3 0 0 . 3 6 2 1 9 ( 2 0 6 . 8 4 ) ' 9 4 p a r a m e t e r s c h a r a c t e r i z i n g t h e c o a t i n g ( i n t e r p h a s e ) : t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s E C , t h e P o i s s o n ’ s r a t i o v c , t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o n e a n d t h e t h i c k n e s s t , o n t h e s t r e s s fi e l d s i n t h e m a t r i x . T h e c o m - p o s i t e s y s t e m i s a t h i n e p o x y p l a t e w i t h c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h t h e p r o p e r t i e s g i v e n i n T a b l e 3 . 1 . F i g . 3 . 9 i l l u s t r a t e s t h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d t h i c k n e s s t w i t h r e s p e c t t o t h e i n c l u s i o n r a d i u s a ( t / a ) o n a : a t r = a + t w h e n v c = 0 . 3 6 a n d e t c : ( 1 ” . O b s e r v e t h a t b o t h t h e t h i c k n e s s t a n d t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E “ c o n t r i b u t e t o t h e s t r e s s fi e l d s . T h e e f f e c t o f c h a n g i n g t h e c o a t i n g t h i c k - n e s s i s m o r e p r o n o u n c e d f o r t h e c a s e s o f t h i n c o a t i n g . I n c r e a s i n g t h e c o a t i n g t h i c k n e s s w i l l a l w a y s i n c r e a s e t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x r e g a r d l e s s o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g . I f E c / E m > 1 , t h e n a n d i n c r e a s i n g t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g i n c r e a s e s t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x . T h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s o b s e r v e d w h e n E C / E m < 1 . I n c r e a s i n g t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g w i l l i n c r e a s e t h e r a d i a l s t r e s s e s ( F i g s . 3 . 1 0 a n d 3 . 1 1 ) . T h i s i n fl u e n c e i n c r e a s e s a s t h e v a l u e o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C / E m i n c r e a s e s . T h e e f f e c t o f c h a n g i n g t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g ( v c ) i n c r e a s e s a s t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g i n c r e a s e s ( E C / E " ) a s s h o w n i n F i g . 3 . 1 2 . A l s o n o t e t h a t i n c r e a s i n g t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g ( v ‘ ) w i l l i n c r e a s e t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x ( 6 : ) f o r t h e c a s e s o f c o m p l i a n t c o a t i n g s ; t h i s e f f e c t w i l l b e 9 5 E c ’ E m = 1 0 0 6 0 - - \ L A 5 0 O D 4 0 . . 5 { a E : 2 0 “ 1 0 [ ‘ 1 < / g : 0 " . 0 0 1 / b . 0 1 0 ' - 2 0 o 0 2 0 . 4 0 6 0 8 1 V a F i g . 3 . 9 T h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d t h i c k n e s s t w i t h r e s p e c t t o t h e i n c l u s i o n r a d i u s a ( t / a ) o n 0 3 / A T a t r = a + t w h e n v c = 0 . 3 6 a n d a c : a m . ) C 0 / i s p ( T A / r 9 6 m O r O 5 1 0 T 5 2 0 2 5 ( 1 1 1 0 ‘ 5 ) : a ° ( / ° C ) F i g . 3 . 1 0 T h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t - i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e . . . c c o e f fi c r e n t o f t h e r m a l e x p a n s r o n o f t h e c o a t i n g o n o n 0 2 / A T a t r = a + t w h e n v ‘ = 0 . 3 6 a n d U 3 = . 2 5 . 9 7 3 0 . . 2 0 . . G o E . 1 0 " t a 5 : s . 0 \ ‘ g / / 5 / Q \ L E b k ' 1 0 ‘ 1 2 0 - [ 0 . 0 1 ‘ 0 1 ' 3 0 - 0 ' 5 . : n 0 1 e + 0 6 2 6 + 0 6 B e + 0 6 4 e + 0 6 5 e + 0 6 E C F i g . 3 . 1 1 . T h e j o i n t e f f e c t o f t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C a n d t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c w i t h r e s p e c t t o t h e c o e f fi c r e n t o f t h e r m a l e x p a n s r o n o f t h e m a t r r x o r o n ( x x / A T a t r = a + t w h e n v c = 0 . 3 6 a n d t / a = . 2 5 . ) C 0 / i s p ( T A / 9 8 E c / E m = 0 . 0 0 1 O m r r - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 F i g . 3 . 1 2 T h e j o i n t e f f e c t o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C w i t h r e s p e c t t o t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t r i x E m ( E C / E m ) a n d t h e P o i s - , . . m s o n 5 r a t i o o f t h e c o a t i n g v ‘ o n 0 ' " a t r = a + I w h e n t / a = . 2 5 . 9 9 r e v e r s e d i n c a s e s o f s t i f f c o a t i n g s . F i g s . 3 . 1 3 d e m o n s t r a t e s t h e e f f e c t o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s 0 " , ? i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n w h e n a c = a ' " , v c = v ’ " a n d t = . 2 5 a . I f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ < E " : 4 5 0 k s i t h e n t h e m a t r i x , c o a t i n g , a n d i n c l u s i o n c a r r y a l m o s t t h e s a m e a m o u n t o f l o a d i n g . H o w e v e r w h e n P M ? " t h e n t h e l o a d i n g i s c a r r i e d b y t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n w i t h t h e m a x i m u m s t r e s s b e i n g i n t h e m a t r i x . N o t e t h a t t h e s t r e s s i n t h e m a t r i x w i l l b e a l m o s t c o n s t a n t w h e n E S E " L F o r a c o n s t a n t t = . 2 5 a , E ‘ = E ' " a n d v ‘ = v ’ " , i n c r e a s i n g t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ( C T E ) o f t h e c o a t i n g a c w i l l r e d u c e t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s o e f f i n t h e m a t r i x b u t w i l l i n c r e a s e t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e c o a t i n g a n d t h e s t r e s s i n t h e i n c l u s i o n w i l l n o t c h a n g e ( F i g . 3 . 1 4 ) . F i g u r e 3 . 1 5 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f ( 3 ' 1 - 0 2 i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n f o r t h e c a s e o f a c o n s t a n t t = . 2 5 a , a c = a m a n d v ‘ = 1 ’ " . N o t e t h a t t h e s t r e s s e s a r e u n i f o r m i n s i d e t h e i n c l u s i o n a s e x p e c t e d f r o m E s h e l b y ’ s s o l u t i o n ( 1 9 5 7 ) . T o s t u d y t h e e f f e c t o f c u r i n g c o n d i t i o n s , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s o f 6 1 — 0 ’ 2 s t r e s s d i s t r i b u t i o n i n t h e m a t r i x a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n w e r e c o m p a r e d i n F i g u r e 3 . 1 6 b f o r t w o c u r i n g c o n d i t i o n s : p o s t c u r i n g a n d s t a n d a r d c u r i n g f o r t h e c a s e o f p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n s . I n t h e fi n i t e e l e m e n t a n a l y s i s t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s s h o w n i n F i g - u r e s 3 . 1 - 3 . 8 w e r e u s e d . F i g . 3 . 1 6 b s h o w s t h a t p o s t c u r i n g w i l l r e d u c e r e s i d u a l s t r e s s i n t h e m a t r i x . F i g u r e 3 . 1 6 a r e p r e s e n t s t y p i c a l s t r e s s p a t t e r n s o f b o t h c u r i n g c o n d i t i o n s a s 1 0 0 c o a t i n g a t r = * ’ c o a t i n g a t r = a + t 1 0 0 0 - } ; U I Q s f a 1 0 0 - 1 i n c l u s i o n t ~ . / ’ m E r i x \ < ‘ 1 0 . - \ 1 : x s z E “ a ? 1 : e , 1 . « - 1 0 1 0 1 1 0 ’ 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 3 " ( k s i ) F i g . 3 . 1 3 T h e e f f e c t o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s o e f f / A T i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n w h e n a c = a m , v ° = V " a n d t = 0 . 2 5 a . - n ( ) h \ 1 0 1 ' 1 6 0 ; , , 1 : c o a t i n g a t r = 1 4 0 3 } G 1 2 0 i ; : : c o ' g a t r = a + Q . . b 1 0 0 : 7 t o i t 3 - 8 0 3 ‘ - : 6 0 S } \ ‘ K . 2 * 4 o 1 ; . . E S ? 1 : m o l u s u o n < ~ < / 2 0 : : . 3 . m a t r i x 0 J : - : : : 1 t : : 4 t 0 4 8 ‘ 1 2 1 6 2 0 o c c ( fi e ? F i g . 3 . 1 4 T h e e f f e c t o f t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s ( 3 4 / A T i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n w h e n E ‘ = E ' " , v ° = v ’ " a n d t = . 2 5 a . 1 0 2 1 0 4 v , - - . . . v I n c l u s r o n : 1 m a t r i x A 1 0 3 9 0 0 0 0 k s i . " 1 L ) ' - ' | , _ _ | e . j ‘ l h 1 0 2 9 1 0 9 9 1 5 3 1 1 ] t o " l . 3 . I 1 4 5 0 m s . 1 0 1 : < . . > 0 b “ 1 0 1 g 1 0 " , - 1 0 ' 2 F i g . 3 . 1 5 T h e d i s t r i b u t i o n o f ( 0 ' 1 — 0 2 ) / A T ( p s i / 0 C ) i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d . . . . . c m m c l u s r o n a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n f o r t h e c a s e o f a c o n s t a n t t = . 2 5 a , o r = a a n d v c = v ’ " . 1 0 3 ( i ) ( i i ) F i g . 3 . 1 6 a . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n s a r o u n d a c a s t - i n — p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n i n a n e p o x y m a t r i x f o r t w o c u r i n g c o n d i t i o n s : i ) p o s t c u r i n g , a n d i i ) s t a n d a r d c u r i n g . 1 0 4 1 8 0 0 0 P o s t C u r i n g ( F . E . M ) - — 1 " . 6 S t a n d a r d C u r i n g ( F . E . M ) - - - - - 7 i . \ P o s t C u r i n g ( E X P . ) + + + + 1 6 0 0 - ‘ 9 S t a n d a r d C u r i n g ( E X P . ) o o o o g . a . 3 N ‘ f 4 0 0 » b v — i 2 0 0 . . . L 0 , i . 0 0 5 1 0 1 . 5 2 0 2 5 F i g . 3 . 1 6 b . T h e e f f e c t o f t w o c u r i n g c o n d i t i o n s : e x p e r i m e n t a l ( E X P ) a n d n u m e r i c a l ( F . E . M . ) r e s u l t s f o r o ] - 6 2 s t r e s s d i s t r i b u t i o n i n t h e m a t r i x a l o n g t h e r a d i a l d i r e c t i o n . 1 0 5 o b t a i n e d v i a p h o t o e l a s t i c i t y . I n o r d e r t o c h e c k t h e a c c u r a c y o f b o t h o u r p h o t o e l a s t i c r e s u l t s a n d fi n i t e e l e m e n t o u t - p u t s , w e c o m p a r e d t h e c o n t o u r s o f t h e m a x ( 0 ' 1 " - a ; ) , o b t a i n e d n u m e r i c a l l y a n d e x p e r i - m e n t a l l y w i t h t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s . T h e s e r e s u l t s , g i v e n i n T a b l e 3 . 2 , s h o w a g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n o u r n u m e r i c a l , e x p e r i m e n t a l , a n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n s . N o t e , a l s o , t h e s i m i l a r i t y i n s t r e s s d i s t r i b u t i o n s o f t h e t h r e e m e t h o d s ( F i g . 3 . 1 7 a ) . I n c a s e o f c o m p l i a n t c o a t i n g s n o s t r e s s e s w e r e o b s e r v e d i n t h e b i r e f r i n g e m a t e r i a l ( F i g . 3 . 1 7 b i - i i ) . T w o i n c l u s i o n s c a s e . I n o r d e r t o g a i n a n i n s i g h t a b o u t t h e i n c l u s i o n s ’ i n t e r a c t i o n w e f o c u s n o w o n t h e t w o i n c l u s i o n s s o l u t i o n . T h e l o c a l s t r e s s fi e l d s d u e t o t w o i n c l u s i o n s a r e a f u n c t i o n o f t h e s e p a - r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o i n c l u s i o n s , a n d t h e p r e s e n c e o f o t h e r i n c l u s i o n s . l ) E fl e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s . N u m e r i c a l l y , w e v a r y t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o c o a t e d i n c l u s i o n s . F i g s . 3 . 1 8 - 3 . 2 2 s h o w t h a t i n c r e a s i n g t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e r e d u c e s t h e l o c a l e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g , a n d t h e i n c l u s i o n . F o r t h e c a s e o f t h e c o a t i n g t h i c k n e s s t = . 2 5 a , t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = a m = 6 4 1 : 1 0 - 6 / ° C a n d t h e P o i s - s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v c = V " = . 3 6 ( F i g . 3 . l 6 — 3 . 1 8 ) , t h e m a x i m u m s t r e s s b e t w e e n t h e t w o i n c l u s i o n s a l w a y s i n c r e a s e s a s t h e e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E ‘ i n c r e a s e s . T h e s a m e i n f l u e n c e w a s o b s e r v e d f o r t h e c a s e o f 0 1 ° = 2 1 9 x 1 0 ~ 6 P C T ; c c o o a a t t i i n n g g 1 2 0 0 6 . . 2 6 0 1 3 6 . 3 2 0 . 1 8 5 1 0 6 T a b l e 3 . 2 . A c o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l , n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l r e s u l t s o f t h e m a x - i m u m ( 6 ' 1 " - 6 ’ 2 " ) / A T ( p s i / 0 C ) f o r t h e s i n g l e i n c l u s i o n c a s e . E x p e r i m e n t a l F . E . M A n a l y t i c a l p e r f e c t b o n d ( n o c o a t i n g ) 1 3 ' 9 1 4 - 5 1 4 . 4 6 F 1 5 1 ' F i g , 8 1 6 c 1 0 7 F i g . 3 . 1 7 a — i . T h e c o n t o u r s o f 6 1 - o 2 i n t h e e p o x y m a t r i x a r o u n d a p e r f e c t l y b o n d e d s i n g l e c o p p e r i n c l u s i o n a s ' o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y . ‘ 1 ‘ 8 f . 7 7 7 % \ . U N o t e : E a c h c o n t o u r l i n e = 1 . 4 6 p s i F i g . 3 . 1 7 a - i i . T h e c o n t o u r s o f ° 1 — 6 2 i n t h e e p o x y m a t r i x a r o u n d a p e r f e c t l y b o n d e d s i n - g l e c o p p e r i n c l u s i o n a s o b t a i n e d a n a l y t i c a l l y . % 1 3 3 I I I I I D E I 1 0 8 S 1 - S 2 ( A V G ) = 0 . 0 0 8 2 2 6 = 0 . 0 3 3 0 9 7 = 9 3 7 . 2 8 5 0 . 0 3 3 0 9 7 1 0 4 . 1 7 2 2 0 8 . 3 1 1 3 1 2 . 4 5 4 1 6 . 5 8 9 5 2 0 . 7 2 8 6 2 4 . 8 6 7 7 2 9 . 0 0 7 8 3 3 . 1 4 6 9 3 7 . 2 8 5 F i g . 3 . 1 7 a - i i i . T h e c o n t o u r s o f ( 0 ' l — 0 2 ) / A T ( p s i / 0 C ) i n t h e e p o x y m a t r i x a r o u n d a p e r - f e c t l y b o n d e d s i n g l e c o p p e r i n c l u s i o n a s o b t a i n e d n u m e r i c a l l y . i i ) i i ! ) F i g . 3 . 1 7 b . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h e i t h e r c o a t e d s i n g l e i n c l u s i o n u s i n g i ) c o a t i n g 1 a n d i i ) c o a t i n g 2 , o r ( i i i ) n o c o a t i n g c a s e . C X C 0 1 1 0 1 4 9 1 d 1 0 3 ' . 3 G 1 0 2 f Q I . \ 2 5 1 e . 1 0 < 1 . \ ‘ N x 5 0 " 1 0 ° . 1 0 - 1 , 1 1 . . 1 i i l 0 0 . 4 0 . 8 1 . 2 1 . 6 2 d / a F i g . 3 . 1 8 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x o g f / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = . 2 5 a , t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = a m = 6 4 1 : 1 0 — 6 / ° C a n d t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 . l l l 1 0 3 E ' ' ‘ ' ‘ ' ' ' ' Q 9 1 ° 2 5 ” 4 5 0 k s i . \ . 3 3 Q . V 1 [ ~ 1 1 0 { L < \ ‘ H . _ , " @ ’ b 1 0 0 ; ‘ c _ . , E _ 1 k 8 ] o f e — 9 — e e 1 0 1 0 ' 1 1 - 0 0 4 0 . 8 1 2 1 6 2 d / a F i g . 3 . 1 9 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e i n c l u s i o n O s z / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = . 2 5 a , t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 0 1 ’ " = 6 4 x 1 0 _ 6 / ° C a n d t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v ‘ = v ’ " = 0 . 3 6 . C 1 1 2 1 0 3 E i r r r r I r I r 9 0 0 0 k s i P a p 1 0 2 . - 4 5 0 k s i W E ° = 1 k s i , o e f f / A T ( p s r / C ) 5 i . C O — L O — L q O a s , i 0 . 4 1 0 . 8 1 . 2 1 1 : 6 2 d / a F i g . 3 . 2 0 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e c o a t i n g 6 : f f / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = . 2 5 a , t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n - s i o n o f t h e c o a t i n g a c = a m = 6 4 1 1 0 . 6 P C a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v “ = v ’ " = . 3 . 1 1 3 1 0 3 . . . . . 9 0 0 0 S 1 ’ ‘ ‘ 1 0 2 6 E ? ’ 4 5 0 k s i ’ I a E 3 O k s 1 . \ . _ / 2 1 0 ° : \ : K . I E ° = 1 k s i . E ‘ s ? . b 1 0 4 : " 1 0 ' 3 - . 1 . . . 0 0 4 0 . 8 1 . 2 1 6 2 d / a F i g . 3 . 2 1 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x 6 2 3 7 / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = 0 . 2 5 a , t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g o f = 2 1 9 x 1 0 . 6 / ° C a n d t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v c = v ’ " = 0 . 3 6 . 3 9 - ) C o / . t s p ( T A / f f m e G o 1 1 4 d / a F i g . 3 . 2 2 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e d o n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x O g l fi / A T ( p s i / 0 C ) f o r a c o a t i n g t h i c k n e s s t = . 2 5 a , a n e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c = E ' " a n d a P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g v c = v ’ " = . 3 6 . o t w w f t h ( c e i s o F f i n i f i f e c g e n l o n o . i a i o x t u . c u E s 3 t s r 2 v f p n o n e 1 e n u e d ) . s x t p s r m . i w e r r e m F e i s a n e n s s g t . i a u c s a i o l b e l 3 e . t n l t c y h a 2 w ( , l e 2 1 e c s h n o e e ‘ s w v a d i a o t a n u l a t s r o e r n t i c y t d s h c n o f a h c a u o t e l t r r u i f s i o n e s n r g p i g o t r n a r c o a p e r h e s f e g c a s a a l r w d a t i o n n d i t e c t b a l i y d e e o o s n n i o s s f i o s d a F t ( i f E n n ‘ c n i g r t c g . h e e c = e a 3 a b E t e s 3 s . s s e e 2 e ' " b p a r w a w e - i , e a t i t n ) . t h y h = t o i n o . 2 c r e a n w W u d i o h r e e 5 p s x s n e a t r i p a n f w n e g n r d t c e c e i e m v h e b t c l e o y n c : v t t e m t b h p a w o e l ’ e r n m e d " r = n a e e e d s . 3 6 t l d u c h t i e t r l o e n s s e c u f l l t f h fi w u t e - o - s o r a r 1 1 5 t h e c a s e o f s t a n d a r d c u r i n g , w e f o u n d a v e r y g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e fi n i t e e l e m e n t a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f 6 ' , " - 6 ' 2 " ( F i g . 3 . 2 4 ) . W W W F i n a l l y , w e e x p l o r e t h e e f f e c t o f t h e p r e s e n c e o f m o r e t h a n t w o i n c l u s i o n s o n t h e s t r e s s fi e l d . W e d o s o b y c o n s i d e r i n g t h r e e i n c l u s i o n s i n a r o w a n d t h r e e i n c l u s i o n s w i t h t h e i r c e n t e r s f o r m i n g a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e . W e s t u d y t h e s e e f f e c t s f o r t h e c a s e o f e i t h e r a t w o - p h a s e m a t e r i a l ( n o c o a t i n g ) o r a t h r e e p h a s e m a t e r i a l ( w i t h a c o a t i n g ) . F o r t h e c a s e o f t w o p h a s e m a t e r i a l s y s t e m w e v a r y t h e m i s m a t c h b e t w e e n t h e t w o m a t e r i a l s ( E / E " ) a n d w e u s e K o u r i s ’ s o l u t i o n ( 1 9 9 1 ) . F i g . 3 . 2 5 s h o w s t h a t i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f i n c l u s i o n s i n a r o w i n c r e a s e s t h e c o m p r e s s i v e o f r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x r e g a r d l e s s o f d e g r e e o f m i s - m a t c h b e t w e e n t h e i n c l u s i o n a n d t h e m a t r i x . T h i s e f f e c t d e c a y s a s w e i n c r e a s e t h e n u m b e r o f i n c l u s i o n s . F i g . 3 . 2 5 a l s o s h o w s t h a t t h r e e i n c l u s i o n s i n t h e r o w c o n fi g u r a t i o n w i l l p r o - d u c e a l a r g e r c o m p r e s s i v e s t r e s s t h a n t h e t h r e e i n c l u s i o n s i n a t r i a n g u l a r a r r a n g e m e n t . 1 1 6 F i g . 3 . 2 3 a . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 1 2 4 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 1 5 4 . . . . 4 . 5 F i g . 3 . 2 3 b . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 9 5 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 2 2 2 1 1 7 F i g . 3 . 2 3 c . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 1 1 5 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 2 5 7 . F i g . 3 . 2 3 d . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 0 8 7 7 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 3 4 7 . 1 1 8 F i g . 3 . 2 3 e . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 0 7 l i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 3 4 8 F i g . 3 . 2 3 f . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 0 7 4 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 3 9 6 . 1 1 9 F i g . 3 . 2 3 g . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 0 7 5 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a / D = 0 . 4 4 2 . F i g . 3 . 2 3 h . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x o f t h i c k n e s s t = 0 . 0 8 1 i n . w i t h t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s l o c a t e d a t a l D = 0 . 4 8 0 3 . ) C 0 / i s p ( T A / 1 2 0 3 0 0 0 . . . e . a o o - o o 0 E x p e r i m e n t a l 2 5 0 ° ’ x — x - x — x - x F . E . M 2 0 0 0 - m 2 1 5 0 0 . b 5 5 " 1 0 0 0 . V 5 0 0 . . . . . r . . L 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5 a / D F i g . 3 . 2 4 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u - s i o n s i n a n e p o x y m a t r i x o n ( 0 , 1 , 1 — 0 ' 2 " ) / A T ( p s i / ’ C ) e x p e r i m e n t a l l y a n d n u m e r i - c a l l y . ( 5 1 9 5 ’ 6 6 9 % ? 0 . 2 : 0 " : r : . : : ; : . ' . ‘ 3 1 . ' . ” L l - V i o l . I I I I I I 0 . . . . . ° . . . . . . . . . . . . . . o . . . o . . . . . . . . . 0 7 - 0 . 2 _ A ' 0 . 4 ' * 8 N - 0 . 6 . - < 0 8 1 S I N G L E s o : ' - ' 2 T W O ( A ) - 1 _ 3 T W O ( B ) 4 T H R E E ( A ) - 1 - 2 - 5 T H R E E ( B ) _ 1 4 ~ 6 T R | A N G L E ( A ) ' 7 T R | A N G L E ( B ) - 1 . 6 . e . . . 1 0 ' 3 1 0 ' 2 1 0 ' 1 1 0 ° 1 0 1 1 0 2 1 0 3 E i / E c F i g . 3 . 2 5 E f f e c t o f e l a s t i c t h e m i s m a t c h i n e l a s t i c Y o u n g ’ s m o d u l u s b e t w e e n t h e i n c l u - s i o n s a n d t h e m a t r i x i n a t w o - p h a s e m a t e r i a l o n o r g / ( 2 6 8 * ) f o r v c = v ’ " : 3 6 u s i n g t h e s o l u t i o n K o u r i s ( 1 9 9 3 ) . a i t m n l x R f b a m a a a r a r d c e c r t e e i r a o o o n c a s h e g e m e a e n r b s m v t d p e t e n r e s s h n t i d e s n s t l F o l e i , u b i ( t c i r g s v e . a e e s t r e s t i o s t t h 3 . n h a e 2 t e 5 ) r e s s t m . s a s h i e d N p e m c e i n - o t t i i d h s v e o e r m d t i f m i n a - e t t l d a y h t h a e s a c t t e t n r a 8 d c a c e x G i ' n b " s e t i = s w i e o f o u n d t o b e e ( b s f t a n h w c m e e t a n e e e t h - s a h t o e a e t h w i r ) i t d a e e o m A n o c a l t i T d l r u w n u c o s g e l i l u o w u r i h s s n a t n c l i e o r o t u e n f s u b h s e i i j t n s t h i n m e c m t c ; e , l d a t e a u a s c c i r i t a o i t o n s u a a e r x . a o n n e o h / T l e u m a t r i x l o y f C h n e i t t s T f h E e r o e i r i s n t n o f a e m g f f t t r u e h e e t l c e r s a h t r - r s e s - 1 2 2 m a l c h a n g e ( F i g . 3 . 2 6 ) . T h e M u l t i - I n c l u s i o n s S o l u t i o n . T h e v a l u e s o f t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( p r i n c i p a l s t r e s s d i f f e r e n c e , 6 ' 1 " - — 6 ' 2 " ) i n t h e m a t r i x , o b t a i n e d b y t h e p h o t o e l a s t i c m e t h o d a n d a l s o u s i n g fi n i t e e l e m e n t c a l c u l a t i o n s f o r t h e c a s e o f p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n s f o r t w o r a n d o m r a n d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s o f v o l u m e f r a c t i o n s 1 4 % ( F i g . 3 . 2 7 ) a n d 2 0 % ( F i g . 3 . 2 8 ) a n d a r e g u l a r a r r a n g e m e n t f o r t h e v o l u m e f r a c t i o n o f 2 7 % ( F i g . 3 . 2 9 ) w e r e c o m p a r e d i n T a b l e 3 . 3 w h i c h s h o w s a g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s . T a b l e 3 . 3 s h o w s t h a t i n c r e a s i n g t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e i n c l u s i o n s w i l l i n c r e a s e t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s . T h e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t p r o d u c e s a l o w e r s t r e s s t h a n t h a t o f r a n d o m a r r a n g e m e n t e v e n i f t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t i s h i g h e r . N o t e t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n s t r e s s fi e l d c o n - t o u r s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y ( F i g s 3 . 2 7 - 3 . 2 9 ) a n d n u m e r i c a l l y ( F i g s . 3 . 3 0 - 3 . 3 2 ) . e S h G E F S c r i : 5 0 1 1 - 2 ' - ' - r N W W ' 1 H H R R ' ’ . " 0 ° 5 0 5 1 ' T S T T T T T 1 2 4 S 7 6 ' 3 3 - . ' o 0 1 " " " " . “ . . . ' \ 7 " \ . 5 o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o - ~ o 7 . l . . ‘ . . : . . . . . . . . 5 . . ' . . ' . . . . ' . 3 . . . . . . . . . ' ' . ' . . ' . . . ' . " 5 I g 9 . . . 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I I I I I E U I I 1 2 8 s r - s z ( A V G ) D M X - o . 0 5 3 5 4 5 S M N = 1 8 . 1 6 3 s r r x = 9 1 1 . 6 0 1 ' 3 ‘ . ’ _ . . _ l - " ‘ 5 . ‘ _ . ' n e w . - 9 . - : : . ~ . . " " " 9 - ‘ , ' h e ; . 3 . . , ( , . q . . 9 1 1 . 6 0 1 F i g . 3 . 3 1 0 ' 1 — 0 ' 2 ( p s i ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 1 7 % o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d p e r f e c t l y b o n d e d c o p p e r i n c l u s i o n s o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m - p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - 5 0 ° C u s i n g a n o n - l i n e a r a n a l y s i s . 1 2 9 . 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E f f e c t o f a r r a n g e m e n t o n t h e m a x i m u m s t r e s s i n a m o d e l c o m p o s i t e m a t e - r i a l w h e n E = E a v g = 9 x 1 0 3 p s i , t = . 2 5 a a n d v c = v m = 0 . 3 6 f o r v a r i o u s v a l u e s o f t h e r m a l c o e f fi c i e n t s o f e x p a n s i o n s . S t r e s s a t = 1 6 . 7 4 0 . 3 5 6 4 2 1 9 ( p s i 7 ° C ) ( 1 0 6 7 0 C ) ( 1 0 ° 7 ° C ) ( 1 0 ° 7 ° C ) ( 1 0 ° 7 ° C ) 6 / A T 3 9 . 3 2 0 6 . 5 3 9 7 . 4 5 1 6 7 5 e f f ( m ) ( C ) ( c ) ( C ) 5 ( 0 | - 0 2 V ” 2 3 . 8 1 7 3 . 0 3 7 5 . 3 1 1 5 1 9 E ( m ) ( C ) ( C ) ( C ) G e f f / A T 2 6 . 9 1 7 0 . 4 3 9 1 . 2 4 1 5 9 0 ( m ) ( C ) ( C ) ( C ) g D ( a , _ 6 2 y ) ” 2 0 . 3 1 5 2 . 3 3 6 9 . 3 1 4 8 5 6 ’ ; ( m ) ( C ) ( C ) ( c ) “ e f f / A T 2 4 . 0 1 5 9 . 3 3 8 2 . 7 1 4 1 0 a ( m ) ( C ) ( C ) ( C ) " a , ( 0 ' I - 0 2 ) / A T 1 7 . 3 1 4 3 . 6 3 6 1 . 9 0 1 3 9 0 E ( m ) ( C ) ( c ) ( c ) [ — 1 3 8 T a b l e 3 . 7 . E f f e c t o f a r r a n g e m e n t o n t h e m a x i m u m s t r e s s i n a m o d e l c o m p o s i t e m a t e - r i a l w h e n E ‘ = E ” : 4 5 0 k s i , t = . 2 5 a a n d v ‘ = v ' " = 0 . 3 6 f o r v a r i o u s v a l u e s o f t h e r - m a l c o e f fi c i e n t s o f e x p a n s i o n s . S t r e s s a = 1 6 . 7 4 0 . 3 5 6 4 2 1 9 ( p s i / ° C ) ( 1 6 6 7 9 c ) ( 1 0 ° / ’ 0 ( 1 0 4 ’ 7 ° C ) ( 1 0 ° 7 ° C ) G a f f / A T 3 7 . 9 3 2 . 6 3 3 . 7 8 9 . 1 . ( m ) ( m ) ( C ) ( C ) 5 ( a , - a z y A T 2 0 . 1 1 7 . 3 2 0 . 9 8 1 . 7 5 ( m ) ( m ) ( C ) ( c ) G e f f / A T 2 4 . 6 2 0 . 1 2 2 . 2 6 9 . 3 ( m ) ( m ) ( C ) ( c ) g ( 9 1 _ 5 2 y “ : 1 7 . 6 1 4 . 9 1 5 . 4 6 2 . 0 g . ( m ) ( m ) ( c ) ( c ) W o e f f / A T 2 2 . 3 1 9 . 0 1 9 . 1 5 4 . 4 g ( m ) ( m ) ( C ) ( C ) a ( 9 1 - o z ) / A T l 5 . 9 1 3 . 0 1 3 . 4 5 3 . 3 g ( m ) ( m ) ( C ) ( c ) g é ’ é ‘ é O 1 1 O ‘ O g O l l l O O l O l i O l O l l l O O l O l i - O O l O . O O O O O O O O 1 3 9 ( A V G ) . 5 7 6 8 - 0 3 . 1 9 0 E - 0 3 = 0 . 4 9 2 3 8 7 7 4 6 3 8 3 0 0 4 0 3 6 0 2 7 1 0 7 0 5 4 0 2 4 0 8 0 9 4 1 1 0 4 0 1 3 . 1 3 0 9 3 . 1 5 7 8 4 7 . 1 8 0 9 1 9 . 2 0 7 8 3 6 2 3 4 7 5 3 2 5 7 8 2 4 2 8 4 7 4 1 3 1 1 6 5 8 3 3 4 7 3 3 6 1 6 4 7 3 8 8 5 6 4 4 1 1 6 3 6 4 3 8 5 5 3 4 6 5 4 7 4 9 2 3 8 7 1 7 ; " 1 F i g . 3 . 3 7 G e f f ( p s i ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E € = I k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 6 4 x 1 0 _ 6 / ° C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - 1 ° C u s i n g a l i n e a r a n a l y s i s . 1 4 0 S l - S Z ( A V G ) D M X = 3 . 5 8 0 E - 0 3 S M N = . 2 7 7 E - 0 3 . 2 4 4 . 0 2 5 6 1 6 . 1 7 7 6 5 1 . 3 2 9 6 8 6 . 5 0 7 0 6 . 6 5 9 0 9 5 . 8 1 1 1 3 . 9 8 8 5 0 4 . 1 4 1 . 2 9 3 4 7 . 6 2 2 . 7 7 4 . 9 5 1 . 1 0 3 . 2 5 5 . 4 3 3 . 5 8 5 . 7 3 7 . 9 1 4 . 0 6 6 . 2 4 4 ‘ 5 ’ I I I I I I I I I I I I I I I H E ! I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I m fi B E D 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 . 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 F i g . 3 . 3 8 G e f f ‘ P S i ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w r t h . o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c = 3 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g e t c = 6 4 x 1 0 _ 6 / ° C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - 1 ° C u s i n g a l i n e a r a n a l y s i s . E I I E I I I D E I 1 4 1 ( A V G ) = 0 . 5 6 4 E - 0 3 = 0 . 0 3 2 4 2 5 = 2 1 . 6 8 0 . 0 3 2 4 2 5 2 . 4 3 8 4 . 8 4 3 7 . 2 4 8 9 . 6 5 4 1 2 . 0 5 9 1 4 . 4 6 4 1 6 . 8 6 9 1 9 . 2 7 5 2 1 . 6 8 3 8 . 9 E F i g . 3 . 3 9 0 ' e f ( p s i ) i n a m o d e l c o m p o s u c w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % r a r i t l o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c : 1 2 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g e t c = 6 4 x 1 0 — 6 / ° C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - 1 ° C u s i n g a l i n e a r a n a l y s i s . l l fl l l fi fl i i a I 1 4 2 S E Q ‘ . ’ ( A V G ) D M X = O . 5 4 8 E - O 3 S M N = 0 . 0 1 7 9 3 4 S M X = 3 3 . 6 7 8 S M X B = 6 1 . 6 9 4 0 . 0 1 7 9 3 4 3 . 7 5 8 7 . 4 9 8 1 1 . 2 3 8 1 4 . 9 7 8 1 8 . 7 1 8 2 2 . 4 5 8 2 6 . 1 9 8 2 9 . 9 3 8 3 3 . 6 7 8 F i g . 3 . 4 0 0 8 I f ( p s i ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E : = E ' " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 6 4 x 1 0 _ 6 / " C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - l ° C u s i n g a l i n e a r a n a l y s i s . " i l l a H I 1 4 3 S E Q V ( A V G ) D M X = 0 . 5 5 7 E - 0 3 S M L = 0 . 0 4 3 3 4 9 S M X = 3 9 7 . 0 . 0 4 3 3 4 9 4 4 . 1 9 9 8 8 . 3 5 6 1 3 2 . 1 7 6 . 2 2 0 . 2 6 4 . 3 0 9 . 3 5 3 . 3 9 7 . 4 4 9 5 1 2 6 6 8 8 2 4 9 8 1 3 6 2 9 3 4 4 9 F i g . 3 4 1 o e f j t p s i ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C = 9 0 0 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g o n e = 6 4 1 : 1 0 — 6 I ” C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - l ° C u s i n g a l i n e a r a n a l y s i s . I I I I I E I I I I I I E E U E ( 6" S E Q V ( A T G ) D M X = 0 . 5 3 S E — 0 3 S M N = 0 . 0 2 5 4 3 7 S M X = 3 9 . 2 8 7 S M X B = 5 4 . 7 2 3 0 . 3 3 2 1 6 9 2 . 1 7 3 4 . 3 2 6 . 4 6 7 8 . 3 0 7 1 0 . 4 5 4 1 2 . 6 0 1 1 4 . 4 4 2 . 5 8 9 1 8 . 7 3 6 2 0 . 5 7 6 2 2 . 7 2 4 2 4 . 8 7 1 2 6 . 7 1 1 2 8 . 8 5 8 3 1 . 0 0 5 3 2 . 8 4 U . ) \ l H . 5 F i g . 3 . 4 2 6 4 , ( p s i ) i n a m o d e l c o m p o s r t e w i t h v o l u m e t r a c t i o n f = 2 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E = E ' " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = l 6 . 7 x 1 0 _ 6 / " C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - l ° C u s i n g a l i n e a r a n a l - y s i s . 1 4 5 F i g . 3 . 4 3 o c f f t ‘ p s i ) i n a m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n ] = 1 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g 5 " = E ’ " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g e t c = 4 0 . 3 5 x 1 0 — 6 / " C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - 1 ° C u s i n g a l i n e a r a n a l - y s i s . 1 4 6 S E Q V ( A V G ) f M X = 0 . 5 9 4 E - 0 3 S M N = 0 . 0 1 1 1 7 8 S M X = 8 9 . 1 6 6 - 3 2 : 1 1 ” - ' 1 9 . 8 2 3 - 2 9 . 7 2 9 3 9 6 3 5 - ' 4 9 . 5 4 1 : 1 5 9 . 4 4 8 F i g . 3 . 4 4 G a f f ( p s i ) i n . 1 m o d e l c o m p o s i t e w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % r a n d o m l y a r r a n g e d o f c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s w i t h e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c = E ’ " = 4 5 0 k s i , t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g a c = 2 1 9 x 1 0 _ 6 / ° C o b t a i n e d b y F E M f o r a u n i f o r m t e m p e r a t u r e l o a d i n g o f A T : - 1 ° C u s i n g a l i n e a r a n a l y s i s . - I t ; 0 . 0 0 1 0 ? ! ' § u t fi l N ' l . ; ‘ ? . ' 3 . ’ I ‘ . v ' . g d ‘ - ” ‘ 4 p - . u u . . n s . § a . . . \ . ; . ” n . 4 , . . - 1 4 7 c o n s i d e r i n g c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n s i n a n e p o x y m a t r i x a n d s u b j e c t e d i t t o a c o n - t i n u o u s i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e . T h e s p e c i m e n w a s p l a c e d i n a s m a l l c h a m b e r a n d t h e c h a n g e i n s t r e s s e s w a s m o n i t o r e d a n d r e c o r d e d c o n t i n u o u s l y . T h e r e s u l t s o f s t r e s s e s a t s i x s e l e c t e d t e m p e r a t u r e s a r e s h o w n i n F i g . 3 . 4 5 . T h e e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s o f 6 ' , " - 0 ' 2 " a r e i n g o o d a g r e e m e n t a t r e l a t i v e l y l o w t e m p e r a t u r e s ( T < 7 7 0 C ) a s s h o w n i n F i g 3 . 4 6 . A t h i g h t e m p e r a t u r e , t h e r e i s a b i g d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o m e t h o d s . T h i s c o u l d b e d u e t o v i s c o e l a s t i c e f f e c t a n d c h a n g e o f b i r e f r i n g e c o e f fi c i e n t w i t h t e m p e r a t u r e . T h e s e t w o e f f e c t s w e r e n o t c o n s i d e r e d i n o u r c a l c u l a t i o n s . C L O S U R E I n t h i s p h a s e o f t h e s t u d y w e i n v e s t i g a t e d t h e i n fl u e n c e o f t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r - f a c e a n d t h e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t o n t h e r e s i d u a l s t r e s s e s i n a m o d e l c o m p o s i t e m a d e o f a n e p o x y m a t r i x a n d c i r c u l a r c o p p e r i n c l u s i o n s . W e fi n d t h a t b o t h o f t h e s e f a c t o r s s i g n i fi - c a n t l y c o n t r i b u t e t o t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s . T h e s t u d y o f t h e e f f e c t s o f g e o m e t r i c a r r a n g e - m e n t o f i n c l u s i o n s r e q u i r e s a m o r e c o m p l e t e s t a t i s t i c a l a n a l y s i s a n d m o r e s t u d y i s n e e d e d t o i n v e s t i g a t e t h e v i s c o e l a s t i c e f f e c t , s p e c i a l l y a t h i g h t e m p e r a t u r e s . 1 4 8 T = 2 6 ° C 4 5 ° C 5 8 ° C 6 2 ° C 7 0 ° C 7 5 ° C 1 1 4 ° C 1 3 6 ° C F i g . 3 . 4 5 . l s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y a r o u n d a s i n g l e c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u s i o n s u b j e c t e d t o a c o n t i n u o u s i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e . 1 0 0 0 I I O J Q . 1 D b , N I 3 " V 5 \ < > 5 . 0 . 9 7 8 6 5 3 2 4 1 0 0 - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O " - - - - . . . I I r : ' E x . p . e r . i . m o e " , , , , , n t a l — ~ o - 2 1 4 9 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 F i g . 3 . 4 6 . C o m p a r i s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s o f m a x i m u m ( 0 ' 1 — 0 ' 2 ) / A T ( p s i / 0 C ) i n a n e p o x y m a t r i x a r o u n d a c a s t - i n - p l a c e c o p p e r i n c l u - s i o n s u b j e c t e d t o t h e r m a l h e a t i n g . ~ r u " . . . ” a n ” . . . . . " a . “ ‘ . . . . u . . . . . 4 . . . . . ~ 1 1 . “ P L A C E l l R E T U R N 8 0 X t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b d o r e d a t e d u e . W I I I I I I fi C J F — I . I I I I I I I I I _ _ _ I I _ _ E : I I I I I I I M S U I s A n A f fi r m a t i v e A d l a i / E m u O p p o r t u n i t y I n fl a t i o n C H A P T E R 4 T A S K 3 : T H E D A M A G E I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N I N A M O D E L C O M P O S I T E W I T H A N E M P H A S I S O N C R A C K I N I T I A - T I O N A N D P R O P A G A T I O N I N A N E L A S T I C P L A T E W I T H R A N - D O M L Y D I S T R I B U T E D H O L E S . I n t h i s c h a p t e r w e c o n s i d e r t h e c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n e l a s t i c - b r i t t l e ( e p o x y ) a n d e l a s t o - p l a s t i c ( a l u m i n u m ) t h i n s h e e t s c o n t a i n i n g r a n d o m l y a r r a n g e d c i r c u l a r h o l e s . T h e s p e c i m e n s a r e s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i o n . W e s t u d y a s i n g l e c o n fi g u r a t i o n ' o f a r a n d o m a r r a n g e m e n t b o t h n u m e r i c a l l y , b y u s i n g a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d , a n d e x p e r i - m e n t a l l y . T h e g o a l o f t h i s s t u d y i s t o p r e d i c t n u m e r i c a l l y t h e c r a c k p a t h w h i c h i s i n a g r e e - m e n t w i t h t h e c r a c k p a t t e r n s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y . T h i s s t u d y w i l l s e t a f r a m e w o r k f o r a f r a c t u r e a n a l y s i s o f m o r e c o m p l e x t w o o r t h r e e p h a s e c o m p o s i t e m a t e r i a l s w i t h r a n - d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s . E X P E R I M E N T A L S T U D Y T h e e x p e r i m e n t a l s e t - u p i n v o l v e d t h i n p e r f o r a t e d s h e e t s m a d e o f e i t h e r a n e p o x y o r a n a l u m i n u m , e a c h c o n t a i n i n g 3 1 r a n d o m l y d i s t r i b u t e d n o n - o v e r l a p p i n g c i r c u l a r h o l e s o f t h e s a m e s i z e ( v o l u m e f r a c t i o n o f h o l e s i s 2 3 % i n t h e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n a w a y f r o m t h e e d g e s ) . T h e d i s t r i b u t i o n o f h o l e s w a s o b t a i n e d b y g e n e r a t i n g r a n d o m n u m b e r s t o s i m u l a t e t h e l o c i o f t h e h o l e s ’ c e n t e r s . W e i m p o s e d r e s t r i c t i o n s t h a t t h e h o l e s d i d n o t o v e r l a p , t h e y 1 5 0 a l o n g t h e t e s t e d c r o s s s e c t i o n . I n a m a t e r i a l w i t h h o l e s t h e s t r e s s i s n o t u n i f o r m a n d t h u s 1 5 1 w e r e l o c a t e d a t l e a s t o n e d i a m e t e r a w a y f r o m t h e e d g e s o f t h e s p e c i m e n a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e h o l e s w a s a t l e a s t 0 . 1 a , w h e r e a w a s t h e h o l e r a d i u s . T h e d i m e n s i o n s o f e a c h e p o x y p l a t e w e r e 3 . 5 ” x l 3 . 0 ” x 0 . 1 2 5 ” a n d t h e h o l e s w e r e 0 . 2 5 ” i n d i a m e t e r . T h e h o l e s w e r e i n t r o d u c e d i n t h e f o l l o w i n g w a y . F o r t h e c a s e o f a n e p o x y m a t e r i a l t h e p l a t e s w e r e p l a c e d o n e a t a t i m e b e t w e e n t h e t w o s t e e l p l a t e s a n d d r i l l e d a t a s l o w s p e e d t o r e d u c e r e s i d u a l s t r e s s e s c a u s e d b y m a c h i n i n g . T h e n , t h e r e m a i n i n g r e s i d u a l s t r e s s e s w e r e r e m o v e d b y a n n e a l i n g t h e e p o x y p l a t e t o a t e m p e r a t u r e b e y o n d t h e g l a s s t r a n s i t i o n t e m p e r - a t u r e w h i c h w a s f o r o u r c a s e 1 6 0 ° C . F o r t h e c a s e o f a l u m i n u m s h e e t s t h e h o l e s w e r e d r i l l e d a c c o r d i n g t o t h e d e s i r e d r a n d o m a r r a n g e m e n t . A f t e r t h e p r e p a r a t i o n o f t h e e p o x y s a m p l e s t h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d w a s u s e d t o fi n d t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n s i n t h e s e b i r e f r i n g e n t p e r f o r a t e d p l a t e s . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l f r i n g e v a l u e f o f o r t h e e p o x y m a t e r i a l u s e d , d i f f e r e n t l e v e l s o f l o a d i n g w e r e a p p l i e d t o e i t h e r s p e c i m e n s w i t h a h o l e o r t o a f o u r - p o i n t - l o a d e d b e a m . I t i s k n o w n f r o m t h e o r y o f p l a n e e l a s t i c i t y ( M i c h e l l , 1 8 9 9 ; T i m o s h e n k o a n d G o o d i e r , 1 9 5 6 ) t h a t , w h e n a m a t e r i a l w i t h h o l e s i s s u b j e c t e d t o t r a c t i o n s a n d t h e r e s u l t a n t o f f o r c e s o v e r e a c h h o l e b o u n d a r y v a n i s h e s , t h e s t r e s s fi e l d i s i n d e p e n d e n t o f e l a s t i c c o n s t a n t s . T h u s , t h e s t r e s s e s o b t a i n e d f r o m t h e a n a l y s i s o f f r i n g e p a t t e r n s a r e a p p l i c a b l e f o r b o t h m a t e r i a l s y s t e m s s t u d - i e d , w h e n t h e y a r e i n t h e e l a s t i c r a n g e . T h e c r a c k p r o p a g a t i o n t e s t s w e r e c o n d u c t e d u s i n g a n I n s t r o n t e s t i n g m a c h i n e t h a t c o u l d a p p l y a c o n s t a n t d i s p l a c e m e n t r a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n . A n A S T M s t a n d a r d D 2 3 4 3 r e q u i r e s t h e u s e o f a c r o s s h e a d s p e e d o f 2 m m / m i n . T h i s r e c o m m e n d e d c r o s s h e a d s p e e d i s u s e d b y m a n y o t h e r A S T M s t a n d a r d s i n c a s e s w h e r e t h e s t r e s s i s d i s t r i b u t e d u n i f o r m l y t o c t s f f a h o f o h p r t 1 d e m e 0 e r e n e a e n r s . m a r c a s l u m i t e m l t c i n s n a o m e m s g p c e m i e e / d r d l u m r t o n s i o t n a r p t c n , a r r a e e e t 4 a e e . n w n . m n c i t h ( i T m i d r . i m h e n o e a 0 c m n i g c h a i r n e o e o c s n i n i o i e / o m u d c t fi g s . M o i s g l m d e ) f t r d i n u o r r o . c i e r a z T p e e i t r r t i e a t o o a m c t u a a k n i r h m n l c a d d a d o i e g o s . 0 e t a i o n n e n f 3 o 1 h i 0 t w h n t i 0 o a e l 0 s t . x r o e I r o a e p r n a m u n a n i c f t o i u s p r h n t e c l e t m n o u k s y s / w t d e r p s a o c b n t e x c e a o t e r r r u s a a , p d c p . d i t l e i i k s g r w r n w a p e t c a t a a i s t t h s e t u i m e n d h y t s . i e s a e e o p s d h w t . h p a n e u i t c T e fi e l r t s n d i m T e i u n h d e l s e a e t e o x r o u d e d a v a d p n a s d r d e n a u e i v c c o m p s e t c r i n e s i r o k t e h e r s p s a c r u n a e a d t l i V A t m h t e C e w e p d p p r e e a r a f a s R o e d r n x n e g b d a s r w o a d y d p h e i m a i o s a e x n a e n u n d c s r o e e h p 1 5 2 ( p p . 2 7 2 - 2 8 0 ) . N U M E R I C A L S I M U L A T I O N S O F F R A C T U R E I n a d d i t i o n t o c o n d u c t i n g e x p e r i m e n t s w e a l s o s t u d i e d t h e a b o v e p r o b l e m n u m e r i - c a l l y . W e u s e d a c o m m e r c i a l fi n i t e e l e m e n t p r o g r a m A N S Y S 5 . 1 t o e x p l o r e t h e i s s u e o f c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n e l a s t i c - b r i t t l e e p o x y a n d e l a s t o - p l a s t i c a l u m i n u m s h e e t s p e r f o r a t e d w i t h c i r c u l a r a n d r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s o f e q u a l s i z e a s d e s c r i b e d i n t h e p r e - v i o u s s e c t i o n . W e s u b j e c t e d t h e b o u n d a r y o f t h e t e s t e d s p e c i m e n s t o t h e k i n e m a t i c b o u n d - a r y c o n d i t i o n s “ i = 2 : n g w h e r e 6 ? } . = a ; y ‘ I n t h e m o d e l i n g o f c r a c k i n i t i a t i o n a n d g r o w t h w e u s e d t h e a p p r o a c h i n v o l v i n g a r e m o v a l o f e l e m e n t s . F o r t h e e p o x y s h e e t w e s i m u l a t e d c r a c k i n g b y e i t h e r r e m o v i n g t h e e l e m e n t s w i t h t h e h i g h e s t s t r a i n e n e r g y o r t h e e l e m e n t s t h a t h a d a m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s e x c e e d i n g t h e t e n s i l e s t r e n g t h o f t h e m a t e r i a l . I n t h e s e c o n d c a s e f o r e x a m p l e , i f t h e l a r g e s t o f t h e i n - p l a n e p r i n c i p a l s t r e s s e s a l a n d 0 2 i n a n e l e m e n t e x c e e d e d a t e n s i l e s t r e n g t h o f t h e m a t r i x , w e r e m o v e d t h a t e l e m e n t a n d r e p e a t e d t h e s a m e s t e p s u n d e r t h e s a m e l o a d i n g u n t i l a s t a b l e c o n d i t i o n w a s r e a c h e d ( i . e . n o e l e m e n t h d s a 0 r p i w i a m e . n o l h d a c d 2 t i u o l u a t e n t e s i n h n s o a l c m s l r t i a e e t u d t c r n c u e d e r t e e m h 2 s s e h . n e d b m o r 0 s t n y a c s k 4 o a x t e e 5 s a t t c % o a n e w i e . n r e t t o m e a w o l f u n e d u f W a y d l i n d t r i a e i d n e d n i g r c p l t h h h e e l r t e s p e o e a o r e a t t p u o n m o t n t e n s i l t y w e e h u o n s u a b fi d o o c e d r d e l e n s e n d d t s t c m h . e e t t h a r e c e o p s y c h t r r e k i e r a s h w W u s t o c t e t f p r o i s o d n n e e g r r a i g h a t e f , a d f t i i a t v u n h o . e c e e i r n h r r e i e . o e n u u n n f h s t w s t e n b e h m l h t e i d e e e u . t s e d t h i m a t r l s b t t t y h i h a a I l c s e B e h y s n s l b t r u h h ; o i e x c u i w n z r h e ) r n e w u k i o d o c k s s i d e t s n t e h e n e y d e a m p e s r r e n s r a e c h p c s i a d r a i t p w e c S t i c c s o i m e a i a g k a n l o c m e i n g n e l i n m r m e h l w i c s o n o e f e r w z d r e e t f e n r z g fi o r a l h e s a ( e . i l c i n s i e 1 m m m u W t d 9 a e n e p r n s t s e 4 t e h h h w i c 9 g l d ) e i i . e s m n f t a o y h z w o F s r . o i a h e e y d c e r r A s t y h p s t t f b l e e h o e a h l s o a e r e - i o s , 1 5 3 w e o n l y d i d a s t a t i c f r a c t u r e a n a l y s i s a n d n e g l e c t e d v i s c o e l a s t i c e f f e c t s . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N T h e l o c a l s t r e s s fi e l d s S t u d y i n g t h e l o c a l s t r e s s fi e l d w i l l g i v e a n i n s i g h t i n t h e d a m a g e i n i t i a t i o n , e s p e c i a l l y f o r b r i t t l e m a t e r i a l s . T h e l o c a l s t r e s s fi e l d i n a m a t e r i a l w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s u n d e r a r e m o t e t e n s i o n , a s c o n s i d e r e d i n o u r n u m e r i c a l e x a m p l e s a n d e x p e r i m e n t s , i s v e r y c o m p l e x a n d w i l l d i f f e r f o r e a c h r a n d o m a r r a n g e m e n t . T h u s , i n o r d e r t o g a i n a f u n d a m e n - t a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r e s s fi e l d s a n d t h e s i t e s o f c r a c k i n i t i a t i o n i n a m a t e r i a l w i t h r a n - d o m l y a r r a n g e d a n d i n t e r a c t i n g h o l e s w e fi r s t c o n s i d e r s i m p l e r g e o m e t r i e s i n v o l v i n g a s i n g l e h o l e a n d t w o h o l e s . T h e s i n g l e h o l e s o l u t i o n i s a p p l i c a b l e f o r t h e d i l u t e c a s e i n w h i c h h o l e s a r e f a r a w a y f r o m e a c h o t h e r a n d t h e y d o n ’ t i n t e r a c t , b u t i t a l s o g i v e s a b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r e s s fi e l d s i n a p e r f o r a t e d s h e e t w i t h m a n y h o l e s . T h e r e s u l t s o f a s i n g l e h o l e s o l u t i o n u s i n g a n a l y t i c a l , n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s a r e i l l u s - s a i l i t p t t W m v i s a h g n 3 t f b m p g t h 1 r i e h n u i o l h r e u e u u n e o a o r e r c l d e l m t e r a d d n o t n e e p n l t e % y e c e f d e s e n u r i fi m c s a s . A o r h i h h p t t t d o , u n n v i p r l o e o w s a s m o c t t i i b i d i o l a i m t n e t g o l s e n g h F n h m u c c e p l e o i g l o e i u a r s m l l l a o s i o r n e e i l s a o h r e r i e d c l t e s m a f h s e e l l l g w y a e . h r s t a e t x , e e t a c e 2 r o t s ( e e e s m a r s h h i i m f s h e m e g n n e o . o u m a i e r l s o 4 t l d e a e b e i r F i c z n e n e 3 e l t a % t t 1 t e n h t u s ( w s a c t o n t o o y a t i u g s i a - t s 4 h h e n t l m n i v t n i 4 r s T i o m . l s a t r . i o r e c e v c i 3 e t a e l o a 6 e a n d b h l p o s , f 1 h m e d ) e a g f h h e 7 e s t a t l t r - o p d h u r o t 3 l e a a n e a i n a o l l i e . o % r r 4 h = f i e e d o f e n n d i i r ( . i d l p h o s s y r t F f i . t h i a s l o F ) d o t n n e 1 h e o — t t b g e i t d o I d f e r i i o s r g r n . r s r o a y T c c m . e s i F s e d t a n ( . 2 l l n s f n e a a g 3 i a . a c d t b i i l T n o n s fi l a n e . a I v G s m a t t v o o i l n h i 4 r o z g e e o y . e s ) l o l l 4 n n y n u f l t 4 0 / u o . e t 0 x t . e a s , e s 4 t t 5 o e g h h t d , a - d p 1 l h , g b i i t - a . o e m f t s y h 3 s o 3 e c h i a e s t 1 1 t f c y e r r h i h a e n n K t r a f r 2 . h g t r r r M n u p e w i 0 p e t o a d h s i r b o m c u w i s a a t o i s a e e e r = e n t t s 5 m r c B a ” e k i t g o c t i n n a s d s b r / t c n c i g e e r e t i h , a . u e x i e l t d o n w m n o s r i f n s a n o i w e u o n a e , e o a s p h i h a n i m i e ( s s o o u e h o . l t d f h d r fi t s i m m t d t h e o h r h o t e e w n f T T c 1 i l r e c h t r l i o fi d 9 m h c r d h s h i e s e n b c l a l s s h e i n o n i m l ) h i 3 a o ’ d c i l t a s s d w a a o f a . e u n 9 p r s c r o e 0 2 t g s r e d n h i h e o g g o i n i . a a t i l c F a d r e c s e ( o e t o i i a e m l r d o l h p c i l t a T o g g s x i l f m t a y t s g n n a r t r i o e . d b g v c c ( e e h , l i a e u y r e e r l e e i o a o e y , i h c g t 9 o i d . t t s x i n r a a i 1 w c r o e e o f s 4 r e t r a l w m n 9 e m i a p 1 t e s r 6 — p l o h e l n o e r s t o e n s s ) o n 7 t e r s m o o r l t e h s i t o , t r i t l e s s t e t a e a u h i b f b n ) t r l a i e e r e a i g p m h n r t s a l t u n t v t t s t h e d i t s e y e t h e t s g h a t t n l i n b n d t f e e s m o n e t e e o t a r h o e m r s b ( t p d w r b F h s h h o i n s l e y i h . s s p g t o a e o t i s a m o s r e i e i w m i x p c r f n l t h g l m o c o s e s fi e h F a n t e a d 4 m l l i g m w o e o l e h t i n e o t r v t . e a v y b e s l l l u e r g s e i e o b d o fi d . s i v i . n o s o n e t f n s l s 2 4 c i u f n i m 4 a m c r 5 t h m - t s h i o t r a d i e a o v 3 e n . u i p g , u r s t p e b a l o t b e - e , - - r d o f y l i l r s c u a w u a n e a e o t s y n m s l n e u n s s o n n d e d - e a i - % ) t g d e o 4 i o o - h n 7 1 5 4 s h o w a l o c a l i z a t i o n a n d a n o n u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f s t r e s s e s b e t w e e n t h e h o l e s . T h i s 1 5 5 3 c o n t o u r v a l u e = 0 N o t e i s o l a t e d h o l e f o r a n a r o u n d a n a l s t r e s s c o n t o u r s o f ( 6 1 1 C 1 A n a l y t a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . F i g u r e 4 O N O O O O I - l ‘ — l H N N N ’ P é I I P a E O H l E O O l O l l l O H H I l — fl i l N 2I N N 1 5 6 . 3 2 4 6 4 7 . 6 4 9 2 9 4 . 9 7 3 9 4 1 a ) . 2 9 9 . 6 2 3 . 9 4 8 . 2 7 3 . 5 9 7 . 9 2 2 ( A V G ) 2 2 4 E — 0 4 0 0 4 8 7 9 U ) H l U ) N l 0 0 4 8 7 9 . 3 1 1 2 7 . 6 1 7 6 6 9 2 4 0 5 1 b ) . 1 . “ ? 1 ; . g . e “ m i ' 5 3 7 . 8 4 3 s ‘ . 4 5 6 . 7 6 F i g u r e 4 . 2 F i n i t e e l e m e n t c o n t o u r s o f a ) ( 0 ' 1 - 0 ' 2 ) “ : 0 a n d b ) ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / O ’ 0 a r o u n d a n i s o l a t e d h o l e f o r a n a p p l i e d u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 1 5 7 F i g . 4 . 3 I s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g o f 1 k s i . 1 5 8 4 . 1 A c o m p a r i s o n b e t w e e n a n a l y t i c a l , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r ( C T — G a g / 0 0 f o r a n e l a s t i c p l a t e w i t h a s i n g l e h o l e . A n a l y t i c a l E x p e r i m e n t a l N u m e r i c a l m ( m m ) “ , 0 = o 3 . 0 3 . 0 2 . 8 0 e = “ / 2 1 . 0 0 . 9 0 . 9 . J , 1 . . 1 , . I 1 ’ ‘ \ - i l l I a ) _ . . . 0 3 : 1 9 v ~ " i n s - 2 5 F i g . 4 . 4 I s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y w i t h a 2 3 % v o l u m e f r a c t i o n h o l e s a t t h e m i d d l e p o r t i o n o f s p e c i m e n a n d s u b - j e c t e d t o u n i a x i a l t r a n s v e r s e l o a d i n g o f 4 9 2 . 5 p s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . V ' V y . . “ ‘ — F i g . 4 . 5 I s o c h r o m a t i c f r i n g e p a t t e r n o b t a i n e d b y p h o t o e l a s t i c i t y f o r a n e p o x y m a t r i x w i t h a 3 1 % v o l u m e f r a c t i o n h o l e s a t t h e m i d d l e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l l o a d o f 4 9 2 . 5 p s i i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . I I ‘ 5 . 3 . : 3 ' e r S l - S Z ( A V G ) = 0 . 2 4 7 E - 0 4 = 0 . 1 6 5 E - 0 5 = 3 . 6 5 9 0 . 1 6 S E - 0 5 0 . 4 0 6 5 9 2 0 . 8 1 3 1 8 2 1 . 2 2 1 . 6 2 6 2 . 0 3 3 c F i g . 4 . 6 S t r e s s c o n t o u r s o f ( 6 1 - 0 ' 2 ) / 0 ' o i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n 2 3 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . O O ‘ - l N a w i b v D L m 1 6 1 S l - S Z ( A V G ) D M X = O . 2 9 l E — O 4 S M N = . 0 0 2 0 0 5 S M X = . 4 0 9 . 0 0 2 0 0 5 . 7 1 3 9 0 4 . 4 2 6 . 1 3 8 . 8 5 . 5 6 2 . 2 7 3 . 9 8 5 . 6 9 7 . 4 0 9 j e l l F i g . 4 . 7 S t r e s s c o n t o u r s o f ( 6 1 - 0 2 ) / 0 ’ 0 i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i t u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 1 6 2 4 . 1 A c o m p a r i s o n b e t w e e n a n a l y t i c a l , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r I m “ 1 — 0 ’ 2 " ) / 0 ' 0 f o r a n e l a s t i c p l a t e w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s h o l e s . ) / o o v o l u m e f r a c t i o n ( 0 E x p e r i m e n t a l N u m e r i c a l 0 . 2 3 3 . 5 3 . 7 0 . 3 l 6 . 2 6 . 4 1 6 3 i s i n c o n t r a s t w i t h t h e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t i n w h i c h t h e d i s t r i b u t i o n o f s t r e s s e s i s m o r e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d a n d e a c h h o l e w i l l h a v e t h e s a m e s t r e s s i n i t s v i c i n i t y . T h e m a x i - m u m s t r e s s a n d t h u s t h e p o s s i b l e l o c a t i o n o f d a m a g e i n i t i a t i o n i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h r a n - d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s w i l l b e b e t w e e n t h e t w o i n c l u s i o n s a r r a n g e d i n t h e m o s t c r i t i c a l g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t . T h e s t r e s s fi e l d d i s t u r b e d b y t h e p r e s e n c e o f t w o h o l e s d e p e n d s o n t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e h o l e s , t h e i r l o c a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e a p p l i e d l o a d i n g , a n d t h e s u r r o u n d i n g e n v i r o n m e n t ( n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s ) . F i g s . 4 . 8 a - c s h o w t h e s t r e s s c o n t o u r s o f t h e m a x i m u m i n - p l a n e p r i n c i p a l s t r e s s , m a x ( o l , 0 ' 2 ) , i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e s a l i g n e d a t d i f f e r e n t i n c l i n a t i o n a n g l e s . N o t e t h a t t h e m a x i m u m s t r e s s i s a l w a y s a t a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g r e g a r d l e s s o f t h e i n c l i n a t i o n o f t h e t w o h o l e s w i t h r e s p e c t t o o n e a n o t h e r . T h u s , t h e w o r s t s c e n a r i o o f a r r a n g e m e n t o f t w o h o l e s w i l l o c c u r w h e n t h e h o l e s a r e a l i g n e d i n a d i r e c t i o n a l m o s t p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g , a s s h o w n i n F i g . 4 . 9 , w h i c h r e p r e s e n t s t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s b e t w e e n t w o h o l e s s e p a r a t e d b y a c o n s t a n t d i s t a n c e d , w h i c h w e t a k e a s d = a . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g a s t h a t g e o m e t r y r e s e m b l e s t h e n u c l e a t i o n o f a c r a c k f r o m a c h a i n o f v o i d s . W h e n t h e h o l e s a r e a l i g n e d a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d i n g , t h e s t r e s s i s m i n i m u m a n d l e s s o r e q u a l t o t h e o n e i n t h e c a s e o f a n i s o l a t e d h o l e , w h i c h h a s a s t r e s s c o n c e n t r a t i o n o f 3 , d e p e n d i n g o n t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e . A s t h e t w o h o l e s g e t c l o s e r t o e a c h o t h e r t h e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n i n c r e a s e s i f t h e t w o h o l e s a r e a l i g n e d i n a p l a n e p e r p e n - d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g b u t i t d e c r e a s e s i f t h e y a r e a l i g n e d a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d i n g a s i l l u s t r a t e d i n F i g . 4 . 1 0 . T h e e f f e c t o f a d d i n g m o r e h o l e s a l o n g a p a r - t i c u l a r p a t h i s s u m m a r i z e d i n F i g . 4 . 1 1 a n d T a b l e 4 . 3 . 1 6 4 D M X C D I I [ I I I I I I I ‘ é ’ z x 2 E N E R G Y ( A V G ) = 0 . 3 3 8 E - 0 4 = 0 . 2 1 4 E - 0 7 = 0 . 9 0 3 E - 0 5 0 . 2 1 4 e - 0 7 0 . 1 0 2 E - 0 5 0 . 2 0 2 E - 0 5 0 . 3 0 2 E - 0 5 0 . 4 0 3 E - 0 5 0 . 5 0 3 5 0 5 0 . 6 0 3 E — 0 5 0 . 7 0 3 5 - 0 5 0 . 8 0 3 E - 0 5 0 . 9 0 3 E — 0 5 F i g . 4 . 8 a S t r e s s c o n t o u r s o f ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / o o i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e a l i g n e d a t 0 , . ” - n / 2 f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . E N E R G Y ( N A V G ) = 0 . 0 4 0 1 3 8 = 0 . 9 5 0 E - 0 4 ( 0 0 : 0 Z I I U I I I I I I § § x = 0 . 0 0 9 9 6 8 0 : 0 0 9 9 6 8 F i g . 4 . 8 a S t r e s s c o n t o u r s o f ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / o o i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e a l i g n e d a t 0 m - 1 r / 4 f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 1 6 5 E N E R G Y ( A V G ) D M X = 0 . 2 8 4 E - 0 4 S M N = 0 . 2 8 0 E - 0 7 S M X = 0 . 1 2 6 E - 0 4 0 . 2 8 0 E - 0 7 0 . 1 4 3 E - 0 5 0 . 2 8 2 E - 0 5 0 . 4 2 2 E - 0 5 O 0 1 O ) M ' 2 " O 0 ' 1 0 ' 1 1 2 5 0 4 0 . 1 2 6 E — 0 4 F i g . 4 . 8 c S t r e s s c o n t o u r s o f ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / o o i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e a l i g n e d a t 6 , . “ - 0 f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 1 6 6 3 . 6 . . . . 6 0 H M H i - 3 . 4 d I f o \ . 2 . 7 . 3 2 m e x . ° . b v — t ) - ' 1 E 2 . 8 . . 2 . 6 . . . . . . . . 0 3 0 6 0 9 0 6 i n c F i g . 4 . 9 E f f e c t o f i n c l i n a t i o n a n g l e 0 , . “ o n t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s ( m a x ( o l , 0 2 ) ) / o o i n a n e l a s t i c s h e e t w i t h t w o h o l e s s e p a r a t e d b y a c o n s t a n t d i s t a n c e d - . - m . . . _ _ . 3 0 . I d / a _ . . - 2 1 8 L . _ _ , _ _ . — ‘ 3 I S I 2 ' 0 1 6 7 F i g 4 . 1 0 E f f e c t o f s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t w o h o l e s i n c l i n e d a t 9 , . “ = 0 o r 0 , . “ = 1 t / 2 o n t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s ( m a x ( o l , 6 2 ) ) / o o i n a n e l a s t i c s h e e t . 1 6 8 4 . 0 - ~ - 0 = 0 0 ° _ > 3 . 6 I ' " N b - b v - fl ‘ 5 3 . 2 . . E 1 1 2 e = - 2 8 ' / 2 I 2 . 4 . . . I 1 2 3 4 n u m b e r o f h o l e s i n a r o w F i g 4 . 1 ] E f f e c t o f n u m b e r o f h o l e s i n a r o w i n c l i n e d a t 0 , . “ = 0 o r 9 m = 1 t / 2 w i t h a s e p a r a t i o n d i s t a n c e o f d = a b e t w e e n e a c h t w o h o l e s o n t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s i n a n e l a s t i c s h e e t . 1 6 9 T a b l e 4 . 3 . E f f e c t o f a r r a n g e m e n t o n m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s i n a n e l a s t i c b r i t t l e s h e e t w i t h h o l e s . A r r a n g e m e n t " W 4 0 1 , 6 2 ) / 6 0 i i I t i ‘ 5 6 6 I I I I I l i i i i i _ _ £ : > d = a m 2 . 7 2 I i i i i I I t I i d = a ‘ E 0 3 3 4 ( : D < : > ’ I I I H i i i i i d = a t £ i > ( Z ) 3 4 1 i T I D < : > ' I I I I I 1 7 0 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a s h e e t w i t h n o n - u n i f o r m l y a r r a n g e d h o l e s . T o s t u d y t h e c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s w e r e u s e d . N u m e r i c a l l y , c r a c k p r o p a g a t i o n w a s s i m u l a t e d b y r e m o v a l o f e l e m e n t s a n d e i t h e r a d a p t i v e m e s h i n g ( F i g . 4 . 1 2 a ) o r r a n d o m m e s h i n g ( 4 . 1 2 b ) . E x p e r i m e n t a l l y a h i g h s p e e d c a m e r a w a s u s e d t o m o n i t o r t h e c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n . N o t e t h a t i n F i g - u r e 4 . 1 2 b , w h e r e b o t h h o l e s a r e l o c a t e d a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d u n i a x i a l t e n - s i l e l o a d i n g , 0 m . = r t / 2 , a n d i f w e a s s u m e t h a t t h e m a t e r i a l i s p e r f e c t l y h o m o g e n e o u s a n d t h e h o l e s a r e i d e n t i c a l , b o t h h o l e s g i v e r i s e t o t h e s a m e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n f a c t o r a n d t h u s h a v e t h e s a m e c h a n c e f o r t h e c r a c k i n i t i a t i o n . H o w e v e r , d u e t o s m a l l n u m e r i c a l d i f - f e r e n c e s , s m a l l d i f f e r e n c e s i n t h e m e s h , o n e o f t h e m w i l l h a v e a s l i g h t l y h i g h e r s t r e s s c o n - c e n t r a t i o n f a c t o r a n d t h e c r a c k w i l l i n i t i a t e a t t h a t h o l e . T h e s i m i l a r b e h a v i o r c a n b e o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y a n d i s d u e t o m a t e r i a l i m p e r f e c t i o n s , f o r e x a m p l e . C r a c k i n g o f a b r i t t l e m a t e r i a l F i g . 4 . 1 3 d e m o n s t r a t e s c r a c k p r o g r e s s i n a n e p o x y m a t r i x w i t h 3 1 % v o l u m e f r a c t i o n h o l e s a s r e c o r d e d b y a h i g h s p e e d c a m e r a w i t h 1 0 0 0 f r a m e s / s e c o n d . F i g . 4 . 1 4 s h o w s a c r a c k p r o p a g a t i o n i n t w o e p o x y s a m p l e s w i t h 2 3 % v o l u m e f r a c t i o n u s i n g a h i g h s p e e d c a m e r a w i t h 1 0 0 0 a n d 2 0 0 0 f r a m e s / s e c o n d . O u r e x p e r i m e n t a l s t u d y o f c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a b r i t t l e m a t e r i a l ( e p o x y ) w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s i n d i c a t e s a c a t a s t r o p h i c f a i l u r e , a s s h o w n i n F i g s . 4 . 1 3 a n d 4 . 1 4 , w h e r e t h e c r a c k p r o p a g a t e s w i t h a s p e e d a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e s o n i c s p e e d ( 1 0 2 0 f t / s o r 3 4 0 m / s ) . I n o u r n u m e r i c a l s t u d y o f a s p e c i m e n w i t h 3 1 r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s f o u r f r a c t u r e c r i t e r i a a r e u s e d t o i d e n t i f y t h e l o c a t i o n o f a c r a c k i n i t i a t i o n , n a m e l y t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s c r i t e r i o n , 1 7 1 a ) b ) F i g . 4 . 1 2 C r a c k p r o p a g a t i o n b e t w e e n t w o i s o l a t e d h o l e s u s i n g a ) a d a p t i v e m e s h i n g t e c h - n i q u e b ) a r e l a t i v e l y c r u d e m e s h . 1 7 2 I l l ‘ t 1 3 : 3 2 5 5 D R T E 8 7 / 3 1 / 9 5 H I E 1 3 ‘ 3 4 3 2 D R T E 0 7 / 3 1 / 9 5 F i g . 4 . 1 3 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n ( e x p e r i m e n t a l l y ) . 1 7 3 I n ! 1 4 3 6 . 3 8 D R T E 8 7 / 2 1 / 9 5 . , . ~ , « : 7 . D fi T E 9 7 / 2 1 / 9 5 D R T E 8 7 / 2 1 / 9 5 - 4 7 8 9 P L fl V / S I I P 8 E I - 0 8 8 8 0 2 3 9 8 0 F i g . 4 . 1 4 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n ( f = 2 3 % ) , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i - m e n t a l l y ) , f o r t w o d i f f e r e n t s a m p l e s . 1 7 4 t h e m i n i m u m s t r a i n e n e r g y c r i t e r i o n , t h e m a x i m u m c i r c u m f e r e n t i a l s t r e s s c r i t e r i o n , a n d t h e m i n i m u m t h i c k n e s s c r i t e r i o n . I n F i g . 4 . 1 5 t h e m i n i m u m s t r a i n e n e r g y c r i t e r i o n w a s u s e d a n d t w e l v e s e l e c t e d s t e p s o f c r a c k p r o p a g a t i o n a r e s h o w n a s o b t a i n e d u s i n g F E M . T h e l o c a t i o n o f t h e c r a c k i n i t i a t i o n i s f o u n d t o b e t h e s a m e r e g a r d l e s s o f t h e c r i t e r i o n u s e d a n d i t i s b e t w e e n t h e t w o m o s t c l o s e l y s p a c e d h o l e s a s s h o w n , f o r e x a m p l e , i n F i g s . 4 . 6 - 7 . T h i s a g r e e s w i t h o u r e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r a l l s a m p l e s c o n s i d e r e d . H o w - e v e r o u r n u m e r i c a l r e s u l t s u s i n g fi n i t e e l e m e n t ( F i g s . 4 . 1 6 - 1 7 ) a n d fi n i t e d i f f e r e n c e ( O s t o j a - S t a r z e w s k i a n d L e e , 1 9 9 6 ) ( F i g . 4 . 1 8 ) m e t h o d s s h o w d i f f e r e n t c r a c k p a t h s f o r d i f - f e r e n t f a i l u r e c r i t e r i a . S i m i l a r l y , w e o b t a i n e x p e r i m e n t a l l y s e v e r a l d i f f e r e n t c r a c k p a t t e r n s b y f r a c t u r i n g s e v - e r a l s p e c i m e n s w i t h t h e i d e n t i c a l h o l e a r r a n g e m e n t s ; d i f f e r e n t c r a c k p a t t e r n s a r e s h o w n i n F i g s . 4 . 1 9 a n d 4 . 2 0 f o r c a s e s o f v o l u m e ( a r e a ) f r a c t i o n f = 3 1 % a n d f = 2 3 % , r e s p e c t i v e l y . S c h e m a t i c p l o t o f fi n a l c r a c k p a t h s o f s e v e n s p e c i m e n s o f t h e s a m e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t w i t h f = 2 3 % a n d s u b j e c t e d t o t h e s a m e l o a d i n g c o n d i t i o n s i s s h o w n i n F i g . 4 . 2 1 . A s i m i - l a r r e s p o n s e i n t e r m s o f c r a c k s c a t t e r w a s o b s e r v e d f o r t h e c a s e o f a h i g h e r v o l u m e f r a c t i o n o f f = 3 1 % ( F i g . 4 . 2 2 ) . I n s p i t e o f t h e c r u d e w a y o f s i m u l a t i n g t h e c r a c k p r o p a g a t i o n , a t l e a s t t w o o f t h e c r a c k p a t t e r n s ( t h e o u t e r c r a c k p a t h s s h o w n i n F i g . 4 . 2 1 ) a r e p r e d i c t e d n u m e r i c a l l y b y u s i n g t w o d i f f e r e n t f r a c t u r e c r i t e r i a : t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s c r i t e r i o n ( F i g s . 4 . 1 8 a , b ) a n d t h e m i n i m u m e l a s t i c s t r a i n e n e r g y ( F i g . 4 . 1 8 c ) a n d u s i n g t h e s p r i n g r e m o v a l t e c h n i q u e i n t h e fi n i t e d i f f e r e n c e a p p r o a c h ( F i g . 4 . 2 0 ) . H o w e v e r , t h e m i d d l e p a t h o f F i g s . 4 . 2 1 i s n o t p r e - d i c t e d n u m e r i c a l l y b y u s i n g a d e t e r m i n i s t i c s t a t i c a n a l y s i s . T h e s c a t t e r i n c r a c k p a t t e r n i s l a r g e r a t t h e r i g h t p o r t i o n o f t h e t e s t s p e c i m e n s . S i n c e , a s o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y , t h i s 1 7 5 F i g . 4 . 1 5 C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g u s i n g t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y f r a c t u r e c r i t e - r i o n w i t h a m e s h s i z e = 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s ( s e l e c t e d 1 2 s t e p s ) a s o b t a i n e d b y a fi n i t e e l e m e n t m e t h o d . 1 7 6 F i g . 4 . 1 6 a T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e m a x - i m u m p r i n c i p a l s t r e s s c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f h o l e s f o r t h e v e r t i c a l u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t . 1 7 7 F i g . 4 . 1 6 b T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 2 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f h o l e s f o r t h e v e r t i c a l u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t . 1 7 8 F i g . 4 . 1 6 c T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % o f h o l e s f o r t h e v e r t i c a l u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t . 1 7 9 F i g . 4 . 1 7 a T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e m a x i m u m p r i n c i p a l s t r e s s c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % o f h o l e s f o r t h e v e r t i c a l u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t . 1 8 0 F i g . 4 . 1 7 b T h e fi n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y f r a c t u r e c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % o f h o l e s f o r t h e v e r t i c a l u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t . 1 8 1 F i g . 4 . 1 8 a F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h h o l e s o f v o l u m e f r a c - t i O n f = 2 3 % o b t a i n e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e fi n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d f o r a m e s h s i z e 0 f 0 . 6 7 a . . e m m d « 0 e a : 3 8 a H e e 0 5 2 : 8 5 5 $ “ . 0 3 5 0 5 w a s : b 7 3 5 8 5 : 8 : 8 5 0 o e m u u m : 0 3 - o fi m 2 : 2 3 m o 8 3 : 5 5 1 : 8 9 : 6 : 9 2 0 2 5 5 a 5 F 5 3 8 : 8 3 E E o w fi v . w m n w v t t i l ' n e a t u i t t r e a t i ‘ . 0 0 w i t . 0 c t i l t ' 1 ' : 9 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 x v i v t i z t t t v g a : ( 1 1 ? : 1 t a n d M O c a n : 3 8 a h e e 0 5 2 : c o c o n u t m e 8 3 ¢ 0 5 m a i n b i e r — 0 6 : : 8 : 8 5 0 8 8 m m u u n o w o u t 0 8 3 9 . « o 3 8 : 5 5 3 . 6 n g 0 3 2 0 2 5 5 a 5 S u d a n x o fl o 3 : 5 £ 3 4 . w m n m . 8 5 1 1 1 1 1 1 1 . 7 » . s r t . . . 1 1 . : . . t . . . t , . . . . 1 . 1 4 1 1 1 1 4 3 3 $ 4 . 1 1 F i g . 4 . 1 8 d F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h h o l e s o f v o l u m e f r a c - t i o n f = 2 3 % o b t a i n e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e fi n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d f o r a m e s h s i z e o f 0 . 2 a . d o “ f = 2 3 % o b t a i n e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e fi n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d f o r a m e s h s i z e o f 0 . 1 6 7 a . . . . 2 1 . “ t i o n f = 2 3 % o b t a i n e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e fi n i t e d i fi e m n c e m e t h o d f o r a m e s h s i z e 1 8 4 u w n “ 3 1 3 ‘ ? " 3 1 5 . 1 , 1 3 : 9 9 : 9 9 . g g fi r " ' 1 1 : 3 1 1 3 1 . . . l ' _ M 1 1 1 1 3 } - , 1 4 % ; } : 1 1 " é ' 1 1 1 1 “ w - . 1 1 ' J fi i fi fi l 1 1 4 1 1 _ . J . ' ‘ d . | ' . . ‘ . . 3 “ g i n a p . q : 4 ; . 1 u _ # 1 1 3 1 1 1 3 . 1 3 ‘ 1 ‘ « 1 : : - 1 5 1 1 3 1 1 1 3 ; ‘ = . z . 1 , - . 1 3 , ' 2 ' : - 3 : 1 1 1 ? . . ‘ . . ' " 4 , 3 3 % 1 2 . ' M 1 1 1 1 v e i t i i fl . . . . ~ F i g . 4 - 1 8 f F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a b r i t t l e e l a s t i c m a t e r i a l w i t h h o l e s o f v o l u m e f r a c - o f 0 . 1 3 a _ 1 8 5 F i g - 4 . 1 9 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e S a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . F i g . 4 . 2 0 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g a s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . 1 8 7 S a m p l e # 1 S a m p l e # 2 S a m p l e # 3 S a m p l e # 4 — — S a m p l e # 5 - - - - - - - - - - S a m p l e # 6 a n . _ - _ . . . _ - . . _ . . S a m p l e # 7 F i g . 4 . 2 1 S c h e m a t i c p l o t o f t h e n n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y , f r o m s e v e n s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . 1 8 8 S a m p l e # 1 S a m p l e # 2 S a m p l e # 3 S a m p l e # 4 S a m p l e # 5 F i g . 4 . 2 2 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d h o l e s , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m fi v e s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . 1 8 9 i s t h e fi n a l p o r t i o n o f t h e c r a c k a n d t h e c r a c k l e n g t h i s a l r e a d y l a r g e , w e h a v e a c a t a - s t r o p h i c f a i l u r e w i t h a d y n a m i c c r a c k p r o p a g a t i o n . T h e r e f o r e , a d y n a m i c a n a l y s i s w i l l b e c o n s i d e r e d i n t h e f u t u r e . W e a l s o s t u d i e d c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y a r r a n g e d i n c l u s i o n s c o a t e d w i t h a v e r y c o m p l i a n t l a y e r . S i n c e t h e l o c a l s t r e s s fi e l d o f s u c h c o m p o s i t e i s v e r y s i m i l a r t o t h e s t r e s s fi e l d a r o u n d c i r c u l a r h o l e s ( F i g . 2 . 1 0 a ) o f v o l u m e f r a c t i o n o f 3 1 % w e c o m b i n e t h e r e s u l t s o f c r a c k p a t h s i n c a s e o f r a n d o m h o l e s w i t h f = 3 1 % ( F i g . 4 . 2 2 ) w i t h c r a c k p a t h s o b t a i n e d i n c a s e o f a c o m p l i a n t c o a t i n g ( F i g . 4 . 2 3 ) . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 4 . 2 4 . F i g . 4 . 2 5 a r e p r e s e n t s c r a c k p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y m a t r i x w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d a n d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g . N o t e t h e s i m i - l a r i t y w i t h t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t h e c a s e o f a s i m i l a r r a n d o m a r r a n g e m e n t o f h o l e s o f t h e s a m e s i z e . N o t e a l s o b r a n c h i n g o f c r a c k s i n c a s e o f c r a c k i n g o f a b r i t t l e m a t e r i a l ( F i g . 4 . 2 5 b ) . T h e n o n - u n i q u e n e s s o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s m a y b e u n d e r s t o o d a s f o l l o w s : i n a S h e e t w i t h t h i r t y o n e i n c l u s i o n s t h e r e i s , o n p u r e l y c o m b i n a t o r i a l g r o u n d s , a v e r y l a r g e n u m b e r o f g e o m e t r i c a l l y a c c e p t a b l e c r a c k p a t h s c u t t i n g t h e s p e c i m e n a c r o s s . T h e e n e r g y r e l e a s e v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h a l l t h e s e p a t h s d o n o t d i f f e r m u c h f r o m o n e a n o t h e r , a n d t h u s , a s u b s e t o f t h e m h a s p r a c t i c a l l y t h e s a m e n u m e r i c a l v a l u e . T h e r e f o r e , m i n u t e m a t e - r i a l a n d g e o m e t r i c i m p e r f e c t i o n s d e c i d e w h i c h c r a c k p a t h w i l l a c t u a l l y t a k e p l a c e i n a p a r - t i c u l a r s p e c i m e n t h a t i s n o m i n a l l y ( o n t h e m a c r o s c o p i c s c a l e s ) t h e s a m e a s t h e r e s t o f t h e b u n c h . T h u s , b o t h e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l m e t h o d s s h o w e d t h a t t h e c r a c k p a t h i s n o t u n i q u e a n d s e v e r a l c r a c k p a t h s w e r e o b s e r v e d . H o w e v e r , t h e r e a r e t w o m a j o r p a t h s t h a t a r e m o s t l i k e l y f o r t h e s p e c i m e n t o c r a c k a l o n g . T o u n d e r s t a n d t h e c r a c k i n g b e h a v i o r b e t t e r w e c o n s i d e r e d p a r t i a l l y c r a c k e d s p e c i - 1 9 0 S a m p l e # 1 S a m p l e # 2 S a m p l e # 3 S a m p l e # 4 F i g - 1 . 2 3 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e m i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s — t r i b u t e d c o a t e d i n c l u s i o n s w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m f o u r s a m p l e s w i t h t h e s a m e a r r a n g e m e n t . 1 9 1 S a m p l e # 1 S a m p l e # 2 S a m p l e # 3 S a m p l e # 4 - — — — S a m p l e # 5 _ _ _ _ _ _ _ _ S a m p l e # 6 - - _ - . . . . . _ _ . . . . . S a m p l e # 7 _ _ _ _ _ S a m p l e # 8 — — — — — S a m p l e # 9 F i g . 4 . 2 4 S c h e m a t i c p l o r o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e m i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m ; d i s t r i b - u t e d h o l e s o r i n c l u s i o n s c o a t e d w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s - P l a c e m e n t l o a d i n g o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m n i n e s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t . 1 9 2 D R T E 8 7 / 1 2 / 9 5 8 + P L R V / S T O P 8 E T 8 8 8 8 8 3 0 0 0 8 D R T E 8 7 / 1 2 1 9 5 F i g . 4 . 2 5 a . C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n e p o x y s h e e t \ \ i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e : C O a t e d i n c l u s i o n s s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) D R T E 8 6 / 2 2 / 9 5 D R T E 8 6 / 2 2 / 9 5 D H T E 9 6 / 2 2 / 9 5 D R T E 8 6 / 2 2 / 9 5 F 1 3 . 4 . 2 5 b C r a c k b r a n c h i n g i n a n e p o x y s h e e t w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u r c d c o a t e d i n c l u s i o n s . t a h s 2 d h a i e e 9 m n t s fi s o e u w n o e r a m o t n h f e l s w t h s r p s e x i a c c t fi r F a i n e s p n l c s u e l m a h l a e a i k d r F r e w r i e e h i a p s i m n a o g . g u d e f t e n l c h t t h 4 o t . m l o r s l y f t e fi r e , ( a h b p t i o a h . a r a o m F i e u r l x i a t n c t y c g i m d i h r p w n y l a n a r l 4 l j y . o c o t e k i a r p 2 r s 6 p c d i r ) a r c t i x e a c a h e w e g n k c i n s c d k e w d i e a m t t h s o n n n d r t u s e g c h i a m p o e t p a n e e i r t a s h n m a s r c d s o i i t t p o t n a r . e s e l c m m h s e . h r a s l e s n y l y s A o F s d h l T - ( g s s r a F h o l a i o , u t f i i r r a n g z w e i i . e t b c l o s d t u u u 4 . h u m r 4 t r 2 n v a . e e 7 d t 2 a d e l l c i i t s e ) 8 x a e h o . l o r o a l s a i n m l d f B s t e s a o t u s e s d i r t n e i h 4 m v h d . s s 2 s n a g s e i e h e t 1 t s x r b d e e p w i r h e r h s e a s r i f r t f r e i f e e t i l d o m l e o n c t a c l r t s h e a i e r i t f n t o r s t a h l a l o b l u i b u p s n h i i e s a e e t i e c e z w r t e p n d o t w h n a i c e a s d a s m i e l t . e m n t o n e n s n g h e s e t 1 9 4 w i t h a l o w e r v o l u m e f r a c t i o n o f h o l e s , a s e x p e c t e d . C r a c k i n g o f d u c t i l e m a t e r i a l T o f u r t h e r u n d e r s t a n d t h e n a t u r e o f t h e c r a c k p r o p a g a t i o n p r o b l e m w e a l s o c o n d u c t e d C X p e r i m e n t s u s i n g a l u m i n u m s h e e t s o f t h e s a m e g e o m e t r y a s t h e e p o x y s a m p l e s a n d t h e S a m e d i s t r i b u t i o n o f h o l e s w h i c h a l l o w a s l o w c r a c k p r o p a g a t i o n ( F i g s . 4 . 3 0 a n d 4 . 3 3 ) . W h e r e a s t h e fi n a l c r a c k p a t h o f t h e b r i t t l e m a t e r i a l c o n t a i n s m a n y b r a n c h e s ( F i g . 4 . 2 2 b ) , t h e fi n a l c r a c k p a t h o f t h e a l u m i n u m s h e e t i s a s s o c i a t e d w i t h a p l a s t i c f l o w ( F i g . 4 . 3 1 a n d F i g . 4 . 3 4 ) . E x p e r i m e n t s o n t h e a l u m i n u m s h e e t s h o w a m a j o r p l a s t i c fl o w i n t h e t w o d i r e c — t i o n s , t h e n o n e p a t h w i l l d o m i n a t e , a n d c r a c k i n g w i l l p r o c e e d i n t h a t d i r e c t i o n . T h e s c h e - m a t i c s o f t h e fi n a l c r a c k p a t h s i n c a s e s o f f = 2 3 % a n d f = 3 1 % a r e s h o w n i n F i g s . 4 . 3 2 a n d 4 . 3 5 , a n d t y p i c a l c r a c k e d s p e c i m e n s a r e s h o w n i n F i g s . 4 . 3 1 a n d 4 . 3 4 . N o t e b o t h t h e p l a s - t i c fl o w a n d t h e c r a c k i n g i n t h e s e fi g u r e s . N u m e r i c a l l y w e u s e d a m i n i m u m s t r a i n c r i t e r i o n ( n e c k i n g b e t w e e n h o l e s ) ( F i g . 4 . 3 6 ) . T h e a l u m i n u m s h e e t w i l l c r a c k i f 8 2 2 i s a b o u t - 0 . 2 5 , t h i s v a l u e i s b a s e d o n a n e m p i r i c a l f o r m u l a ( B e c k e r a n d S m e l s e r , 1 9 9 4 ) . B e f o r e c r a c k i n g - l F i r . g 4 . 2 6 1 5 0 c r o h 0 a m a i c t f r i n n g e p a a e t t e s r n o o f t w o p a r t i a l l y c r a c k e d s p e c i m e n u s i n g p h o t o e l a s t i c i t y 1 9 6 E L E M E N T S O L U T I O N 1 ( N O A V G ) F i g 4 . 2 7 S t r e s s c o n t o u r s o f ( m a x i ~ 0 ' 1 , 0 2 ) ) / 0 ’ 0 o f a p a r t i a l l y c r a c k e d s p e c i m e n s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n u s i n g F E M . 1 9 7 A N S Y S 5 . 1 N O V 4 1 9 9 5 2 3 : 3 3 : 2 2 P L O T N O . 3 E L E M E N T S O L U T I O N S T E P = 1 S U B = T I M E = 1 S l - S Z ( N O A V G ) D M X = . 2 9 1 E — 0 4 S M N = 0 . 0 0 1 3 1 3 S M X = 6 . 4 0 9 - 0 . 0 0 1 3 1 3 - 0 . 7 1 3 2 8 9 1 . 4 2 5 _ 2 . 1 3 7 - - 2 . 8 4 9 m 3 . 5 6 1 ‘ ' 4 . 2 7 3 m 4 . 9 8 5 - 5 . 6 9 7 6 . 4 0 9 F i g 4 . 2 8 S t r e s s c o n t o u r s o f ( 0 ' l — 6 2 ) / 6 0 o f a n e l a s t i c m a t e r i a l p e r f o r a t e d w i t h h o l e s o f f = 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t e n s i l e l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n w h i c h s h o w s a l o c a l i z a t i o n o f s t r e s s e s . 1 9 8 ‘ ‘ - 3 8 ( i n 3 / i n ) 5 6 X 1 0 4 s 6 x 1 0 ' 3 0 i 2 8 ( i n 3 / i n ) F i g 4 . 2 9 A t y p i c a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e o f a n e p o x y s h e e t w i t h p e r f o r a t e d h o l e s a ) s e v e n d i f f e r e n t s p e c i m e n s o f t h e s a m e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t w i t h f = 2 3 % b ) a c o m p a r i s o n b e t w e e n e l a s t i c r e s p o n s e o f t w o s h e e t s h a v i n g t w o v o l u m e f r a c t i o n s o f h o l e s b u t s a m e l o c a t i o n s o f h o l e c e n t e r s . 1 9 9 I D S 8 9 : 3 9 : 3 6 ’ D R T E 8 7 / 2 1 / 9 5 . . , I F i g . 4 . 3 0 a C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n a l u m i n u m s h e e t . w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n ( f = 2 3 % ) , s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) f o r a s e l e c t e d s a m p l e . 2 0 0 o a r : 8 7 / 2 7 / 9 5 D R T E 0 7 / 2 7 / 9 5 F i g . 4 . 3 % C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n ( f = 2 3 % ) . s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) f o r a n o t h e r s e l e c t e d s a m p l e . 2 0 1 F i g . 4 . 3 1 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t . w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b — j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t h r e e s e l e c t e d s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f : 2 3 % . . . _ _ . _ . . _ . S a m p l e # I ( C r a c k i n g ) . . . . . . . . . . S a m p l e # 1 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) — — - — — S a m p l e # 2 ( C r a c k i n g ) . . . . . . . . . . S a m p l e # 2 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) — — S a m p l e # 3 ( C r a c k i n g ) . . . . . . . . . . S a m p l e # 3 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) S a m p l e # 4 ( C r a c k i n g ) . . . . . . . . . . S a m p l e # 4 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) - — - - - — S a m p l e # 5 ( C r a c k i n g ) . . . . . . . . . . S a m p l e # 5 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) F i g . 4 . 3 2 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n - t a l l y f r o m s e v e n s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 2 3 % . 2 0 3 D R ] ! 8 7 / 2 7 / 9 5 T H E 8 9 2 3 4 2 1 ] D R I E 8 7 / 2 7 / 9 5 D R T E 8 7 / 2 7 / 9 5 D fl ‘ l E 8 7 / 2 7 / 9 5 F i g . 4 . 3 3 a C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n a l u m i n u m s h e e t . w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) , f o r a s e l e c t e d s a m p l e . 2 0 4 M E 0 7 / 2 7 / 9 5 : : 0 a n 8 7 / 2 7 / 9 5 _ . _ _ _ _ + — — — _ D fi I ' E 0 7 / 2 7 / 9 5 1 8 : 0 6 2 4 5 D fl T E 0 7 / 2 7 / 9 5 F i g . 4 . 3 3 b C r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n a n a l u m i n u m s h e e t . w i t h r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g ( e x p e r i m e n t a l l y ) . f o r a n o t h e r s e l e c t e d s a m p l e . 2 0 5 1 7 ) F i g . 4 . 3 4 F i n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t , w r t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s , s u b - j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f r o m t w o s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . 2 0 6 ' S a m p l e # 1 ( C r a c k i n g ) - - - - - - - - - - S a m p l e # 1 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) S a m p l e # 2 ( C r a c k i n g ) " " " " " S a m p l e # 2 ( P l a s t i c d e f o r m a t i o n ) F i g . 4 . 3 5 S c h e m a t i c p l o t o f t h e fi n a l c r a c k p a t t e r n i n a n a l u m i n u m s h e e t . w i t h r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s a n d s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l d i s p l a c e m e n t l o a d i n g , o b t a i n e d e x p e r i m e n - t a l l y f r o m s e v e n s a m p l e s w i t h t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t w i t h v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % . 2 0 7 E N E R G Y ( A V G ) D M X = 0 . 6 0 1 0 5 2 = 8 . 4 3 4 = 5 4 1 4 7 8 . 4 3 4 6 0 2 4 1 2 0 3 9 1 8 0 5 5 2 4 0 7 0 3 0 0 8 5 3 6 1 0 1 4 2 1 1 6 4 8 1 3 2 5 4 1 4 7 U ) I I D I I I I I I E Z x 2 F i g . 4 . 3 6 a S t r a i n e n e r g y d e n s i t y c o n t o u r s u s i n g fi n i t e e l e m e n t s a r o u n d r a n d o m l y d i s — t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f - 2 3 % i n a n a l u m i n u m s h e e t a t t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k i n g w h e n E z z z - 0 . 2 5 ' f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . M 1 D W 0 C h‘ 2 0 8 E N E R G Y ( A V G ) D M X = 0 . 3 0 0 7 3 S M N = 4 . 9 3 6 S M X = 5 4 8 5 7 F i g . 4 . 3 6 b S t r a i n e n e r g y d e n s i t y c o n t o u r s u s i n g fi n i t e e l e m e n t s a r o u n d r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f = 3 1 % i n a n a l u m i n u m s h e e t a t t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k i n g w h e n E z z = — 0 . 2 5 . f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 2 0 9 t h e a l u m i n u m s h e e t u n d e r g o e s a v e r y l a r g e p l a s t i c d e f a m a t i o n a s s h o w n i n F i g s . 4 . 3 7 , w h i c h i l l u s t r a t e s t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d 0 ' e fi / 6 y w h e n 8 2 2 = - . 2 5 , w h e r e o ” , i s t h e y i e l d s t r e s s o f a l u m i n u m . N o t e t h a t i f G a f f / 0 y > 1 t h e n p l a s t i c i t y w i l l s t a r t . O u r n u m e r i c a l r e s u l t s o f t h e fi n a l c r a c k p a t h u s i n g m i n i m u m t h i c k n e s s c r i t e r i o n a r e s h o w n i n F i g 4 . 3 8 . S t r e s s - s t r a i n c u r v e s o f fi v e d i f f e r e n t s a m p l e s o f a l u m i n u m s h e e t s w i t h r a n d o m l y d i s - t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n 2 3 % a r e s h o w n i n F i g . 4 . 3 9 a . F i g . 4 . 3 % r e p r e s e n t s a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e o f t w o a l u m i n u m s h e e t s w i t h d i f f e r e n t v o l u m e f r a c t i o n s f o r t h e s a m e r a n d o m d i s t r i b u t i o n o f h o l e s . I n F i g . 4 . 3 % t h e s u d d e n d r o p i n t h e s t r e s s v a l u e i n t h e c a s e o f f = 3 1 % w a s a s s o c i a t e d w i t h t h e fi r s t c r a c k i n g b e t w e e n t w o h o l e s . C L O S U R E I n t h i s s t u d y w e h a v e c o n s i d e r e d t h e p r o b l e m o f a c r a c k i n i t i a t i o n a n d p r o p a g a t i o n i n m a t e r i a l s c o n t a i n i n g r a n d o m l y a r r a n g e d h o l e s . W e h a v e o b s e r v e d t h a t t h e l o c a t i o n o f t h e C r a c k i n i t i a t i o n d e p e n d s o n a d i s t a n c e b e t w e e n t h e h o l e s a n d t h e i r o r i e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e a p p l i e d l o a d i n g . T h e c r a c k p r o p a g a t i o n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y d e p e n d e d o n t h e m e s h S h a p e , s i z e , a n d o r i e n t a t i o n o f e l e m e n t s . A l s o , e x p e r i m e n t a l r e s u l t s g a v e s e v e r a l d i f f e r e n t C r a c k p a t h s f o r t h e s a m e h o l e a r r a n g e m e n t . T h i s m a y b e d u e t o m a t e r i a l i m p e r f e c t i o n s a n d a n u n s t a b l e c r a c k g r o w t h . T h u s , w e h a v e o b t a i n e d n o n - u n i q u e c r a c k p a t h s b o t h n u m e r i - c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y . T h i s r e s e a r c h i l l u s t r a t e s t h e c o m p l e x i t y o f f r a c t u r e p h e n o m e n a a n d a n e e d f o r a s t o c h a s t i c f r a c t u r e a n a l y s i s . .o . a I I I I I I I E I I 2 1 0 o e f f / " y ( A V G ) D M X = 0 . 6 0 1 0 5 2 S M N = 0 . 1 3 7 7 5 5 S M X = 4 . 2 8 5 0 . 1 3 7 7 5 5 0 . 5 9 8 5 0 8 . . s ‘ 3 ’ . . . " ‘ ¢ 0 o O t o a F i g . 4 . 3 7 a o e f f / 0 y s t r e s s c o n t o u r s u s i n g fi n i t e e l e m e n t a r o u n d r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f — 2 3 % i n a n a l u m i n u m s h e e t a t t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k i n g W h e n 8 7 2 z - 0 . 2 5 ' f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 2 1 1 D M X = 0 . 3 0 0 7 3 S M N = 0 . 1 0 8 1 8 S M X = 4 . 3 6 9 0 . 1 0 8 1 8 M — L b o m F i g . 4 . 3 7 b G e f f / o y s t r e s s c o n t o u r s u s i n g fi n i t e e l e m e n t s a r o u n d r a n d o m l y d i s t r i b - u t e d h o l e s o f v o l u m e f r a c t i o n f - 3 1 % i n a n a l u m i n u m s h e e t a t t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k - i n g w h e n e z z z — 0 . 2 5 ' f o r a n a p p l i e d l o a d i n g i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n . 2 1 2 . . . M M » ; . ' 9 4 . . “ , 4 a " . | " ’ ~ ‘ 1 ‘ 2 , - - . . ; . 3 . ‘ ‘ 9 ‘ ? ‘ ) F i g . 4 . 3 8 a F i n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e m i n i m u m s t r a i n c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r f = 2 3 % . 2 1 3 F i g . 4 . 3 8 b F i n a l c r a c k p a t t e r n o b t a i n e d n u m e r i c a l l y b y fi n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g t h e " fi n i m u m s t r a i n c r i t e r i o n w i t h a m e s h s i z e o f 0 . 4 a a r o u n d t h e h o l e s f o r f = 3 1 % . ) i s k ( 0 2 1 4 L ‘ 1 W X . I W M 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 x 1 0 ' 2 8 ( i n / i n ) — . 2 3 3 1 J l 4 % 3 4 5 6 x 1 0 - 2 8 ( i n / i n ) F i g 4 . 3 9 A t y p i c a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e o f a n a l u m i n u m s h e e t w i t h h o l e s a ) fi v e d i f f e r e n t S p e c i m e n s o f t h e s a m e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t w i t h f = 2 3 % b ) a c o m p a r i s o n b e t w e e n e l a s t i c r e s p o n s e o f t w o s h e e t s h a v i n g t w o v o l u m e f r a c t i o n s o f h o l e s w h e n c e n t e r s a r e a t t h e s a m e l o c a t i o n . T T A H S E K 4 : A N E F F E C E T L A S O F T B I C O U C N I D R A C U L R Y A C R O I N C L U S I O N D I T I O N S N O I N N S A T H R A E L S F S - C P O L N A - N E : C H A P T E R 5 C E N T R A T I O N S I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s w e f o c u s s e d o n t h e j o i n t e f f e c t o f t h e g e o m e t r i c a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s a n d t h e i n t e r f a c e . O f i n t e r e s t t h e r e w a s t h e f a c t t h a t s t r e s s fi e l d i s a f f e c t e d b y i n c l u s i o n s i n t e r a c t i o n s . T h e r e w e c o n s i d e r e d m u l t i - i n c l u s i o n s e m b e d d e d i n a n i n fi n i t e p l a n e . A n o t h e r i m p o r t a n t f a c t o r i n fl u e n c i n g t h e s t r e s s i s t h e i n t e r a c t i o n o f i n c l u s i o n s w i t h t h e s u r f a c e ; t h i s s u r f a c e c a n b e a n e i g h b o r i n g l a m i n a o r a n e d g e o f a s p e c i m e n , f o r e x a m p l e . T h e p r o x i m i t y o f s u c h a s u r f a c e m a y g i v e r i s e t o h i g h s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s . I n t h i s c h a p - t e r w e i n v e s t i g a t e t h i s i s s u e b y c o n s i d e r i n g a s i n g l e i n c l u s i o n i n a h a l f - p l a n e a n d v a r y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e e d g e o f t h e h a l f - p l a n e a s w e l l a s a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r - f a c e . I n t h i s p h a s e o f s t u d y w e e x t e n d t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y L e e e t a l . ( 1 9 9 2 ) b y c o n s i d e r - i n g t h e p l a n e e l a s t i c i t y p r o b l e m o f a n e l a s t i c c i r c u l a r ( o r c y l i n d r i c a l ) i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a h a l f - p l a n e . T h e i n c l u s i o n u n d e r g o e s a n e i g e n s t r a i n ( M u r a , 1 9 8 7 ) , w h i c h c a n b e a t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n , a t h e r m a l s t r a i n , a p l a s t i c s t r a i n , o r a m i s fi t s t r a i n . T h e m a t r i x - i n c l u - s i o n i n t e r f a c e i s e i t h e r p e r f e c t l y b o n d e d o r a l l o w s s l i p w i t h o u t f r i c t i o n , w h i l e t h e e d g e o f 2 1 5 2 1 6 t h e h a l f - p l a n e i s e i t h e r fi x e d o r i s a l l o w e d t o m o v e i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n . W e c o m - p a r e t h e s e r e s u l t s w i t h a r e c e n t s o l u t i o n o f a c i r c u l a r i n c l u s i o n i n a h a l f - s p a c e w i t h a t r a c - t i o n - f r e e e d g e ( L e e e t a l . , 1 9 9 2 ) . M E T H O D O F S O L U T I O N W e s t u d y t h e e l a s t i c fi e l d s w h e n a c i r c u l a r i n c l u s i o n i s e m b e d d e d i n a n e l a s t i c h a l f - p l a n e a n d s u b j e c t e d t o a n e i g e n s t r a i n l o a d i n g o f n o n - s h e a r t y p e . B o t h t h e i n c l u s i o n a n d t h e m a t r i x a r e l i n e a r e l a s t i c a n d i s o t r o p i c a n d t h e y h a v e d i s t i n c t e l a s t i c c o n s t a n t s . T h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e i n c l u s i o n a n d t h e m a t r i x i s e i t h e r p e r f e c t l y b o n d e d ( d i s p l a c e m e n t s a n d t r a c t i o n s a r e c o n t i n u o u s ) o r i s a l l o w e d t o s l i p w i t h o u t f r i c t i o n w i t h n o s e p a r a t i o n i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n ( t r a c t i o n s a n d n o r m a l d i s p l a c e m e n t s a r e c o n t i n u o u s , a n d s h e a r t r a c t i o n s v a n i s h ) , w h i l e t h e s t r a i g h t e d g e o f t h e h a l f - p l a n e i s e i t h e r fi x e d ( c o n s t r a i n e d i n m o t i o n - d i s p l a c e m e n t s a r e z e r o ) o r f r i c t i o n l e s s ( c a n m o v e f r e e l y i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n - v e r t i - c a l d i s p l a c e m e n t a n d s h e a r t r a c t i o n a r e z e r o ) . T h e m e t h o d o f a n a l y s i s i s s i m i l a r t o t h e o n e u s e d i n L e e e t a l . ( 1 9 9 2 ) . I n t h i s c h a p t e r w e b r i e fl y s u m m a r i z e t h e m e t h o d o f s o l u t i o n a n d f o c u s o n t h e r e s u l t s . I n t h e a n a l y s i s w e u s e t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m ( x , y ) a n d t h e p o l a r c o o r d i n a t e s ( r , 6 ) . W e l e t t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s b e a t t h e c e n t e r o f t h e c i r c u l a r i n c l u s i o n ( s e e F i g . 5 . 1 ) a n d t h e x - a x i s b e d i r e c t e d d o w n i n t o t h e i n t e r i o r o f t h e h a l f - p l a n e . W e s e t t h e e d g e o f 2 1 7 F i g . 5 . 1 A c i r c u l a r i n c l u s i o n i n a h a l f - p l a n e . ( 0 ' = ( 0 ' = O ( 5 . 3 ) 2 1 8 t h e h a l f - p l a n e a t x = - 1 a n d d e n o t e t h e r a d i u s o f t h e i n c l u s i o n b y r = a . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a s f o l l o w s : a ) A t t h e s u r f a c e a t x = - 1 - e i t h e r a fi x e d s u r f a c e ( u x ) x = _ l = ( u y ) x = _ l = 0 ( 5 ‘ 1 ) - o r a s u r f a c e w h i c h i s a l l o w e d t o m o v e w i t h n o r e s t r i c t i o n i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n ( o r t o s l i p w i t h n o f r i c t i o n w i t h r e s p e c t t o a r i g i d m a t e r i a l i n c o n t a c t w i t h a n e l a s t i c h a l f - p l a n e ) ; w e r e f e r t o t h i s s u r f a c e a s f r i c t i o n l e s s ( “ x ) x = ' _ 1 = ( ( 3 ‘ , ‘ ) , ) x = _ l = 0 ( 5 . 2 ) - o r a t r a c t i o n - f r e e s u r f a c e c o n d i t i o n I X ) x = - l x y ) x = - I w h i c h w a s s o l v e d b y L e e e t a l . ( 1 9 9 2 ) , a n d i s i n c l u d e d h e r e f o r a c o m p a r i s o n ; b ) A t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e a t r = a - e i t h e r s l i p p i n g w i t h n o f r i c t i o n a n d n o s e p a r a t i o n i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n ( 0 , 9 ) , “ = ( 6 , 9 ) , “ = o ( 5 . 4 ) M 1 2 ( X ) e ' “ c o s } t y d l 9 1 = * I 0 ( 5 . 8 ) 2 1 9 w h e r e t h e q u a n t i t i e s d e n o t e d b y t h e b a r r e f e r t o t h e i n c l u s i o n ( N o t e t h a t i n t h i s c h a p t e r w e d o n o t u s e t h e s u p e r s c r i p t s t o d e n o t e t h e m a t r i x a n d t h e i n c l u s i o n i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n ) , - o r p e r f e c t b o n d i n g c o n d i t i o n s ( 0 " ) r = a = ( o f f ) r - a ( 0 ' 9 ) r = a = ( 6 ' 9 ) r = a ( u , ) = ( a . ) , _ , w e ) ” , = w e ) ” , ( 5 5 ) c ) V a n i s h i n g t r a c t i o n s a t i n fi n i t y 0 k ! = 0 k , l = x , y ( 5 . 6 ) W e s o l v e t h e a b o v e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s b y u s i n g P a p k o v i c h - N e u b e r d i s p l a c e m e n t p o t e n t i a l s t h o a n d ¢ 1 , w h i c h f o r t h e m a t r i x ( r > a ) a r e . c o s m G r m ( ) 0 = — A o l o g r + 2 A m W " " l 0 $ 1 = 2 B m C O S M " " ' ( 5 . 7 ) $ 0 = I v , ( M e - ’ “ c o s l y d l ( ” ) 4 ° 2 2 0 a n d f o r t h e i n c l u s i o n ( r < a ) a r e r ¢ o = 2 K n fl c o s n e ( 1 1 m " : ‘ q ) , = 2 E n fl c o s n e ‘ " ‘ 1 ( 5 . 9 ) w h e r e A " , B " , A n , 8 , , a r e t h e u n k n o w n c o n s t a n t s a n d V 1 0 0 , s z t ) a r e t h e u n k n o w n f u n c t i o n s . N o t e t h a t t h e p o t e n t i a l s ( 1 ) a c c o u n t f o r t h e d i s t u r b a n c e i n t h e m a t r i x d u e t o t h e p r e s e n c e o f t h e i n c l u s i o n , w h i l e t h e p o t e n t i a l s ( I ! ) a l l o w t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e a t x = - 1 . S i n c e t h e a p p l i e d l o a d i n g i s t h e n o n - s h e a r e i g e n s t r a i n i n t h e i n c l u s i o n w i t h c o m p o — n e n t s e x ; , e m f “ . a n d 8 2 2 * t h e d i s p l a c e m e n t s i n s i d e t h e i n c l u s i o n a r e t h e s u m o f t h e d i s - p l a c e m e n t s i n t h e u n c o n s t r a i n e d i n c l u s i o n w i t h n o m a t r i x p r e s e n t g i v e n b y 1 ' 4 * = E n r i c a “ + ( 2 3 * + 8 ” , " ) + ( a n : — e y y * ) c o s z e r ( 5 . 1 0 ) a ; = 5 ( e x x * — e y y * ) s i n 2 9 w h e r e 5 . 1 1 _ _ \ 7 f o r p l a n e s t r a i n ( ) T l - O f o r p l a n e s t r e s s a n d t h e e l a s t i c d i s p l a c e m e n t s o b t a i n e d f r o m t h e p o t e n t i a l s ( I I I ) , w h i c h a c c o u n t f o r t r a c - o 8 2 2 1 t i o n s i m p o s e d b y t h e m a t r i x . I n ( 5 . 1 1 ) V d e n o t e s t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e i n c l u s i o n . I n o r d e r t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 5 . 1 ) , ( 5 . 2 ) , o r ( 5 . 3 ) a t t h e s u r f a c e x = - 1 w e u s e t h e f o l l o w i n g m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s c o s m 0 _ ( — 1 ) ' " m _ 1 h — ( m _ l ) ! p t e c o s k y d l ‘ 5 x < 0 ( 5 . 1 2 ) s i a n _ ( - l ) m m - l L t . r ’ " - ( m _ l ) ! ( j ) x e s m x y d i . T h e n , w e c a n e x p r e s s p o t e n t i a l s ( I ) i n t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s v i a e q n . ( 5 . 1 2 ) a n d u s e t h e p o t e n t i a l s ( I ) a n d ( I I ) , n o w b o t h e x p r e s s e d i n t e r m s o f i n t e g r a l s , t o fi n d t h e s t r e s s e s a n d d i s - p l a c e m e n t s i n t h e m a t r i x , a n d t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e i t = - 1 . T h e n , t h e q u a n t i t i e s f o r t h e c o n d i t i o n s ( 5 . 1 ) a n d ( 5 . 2 ) a t x = - 1 a r e ( 2 6 % ) ” ? I = j [ A O e - A - k w l ( k ) e 1 + m 2 ( i n - 1 ) : ) ! k m e ‘ l A m + l z w 2 ( 7 t ) e " - fl 0 = ( 5 . 1 3 ) 2 1 _ ( — — — ’ ( n 1 ) : ) ! 3 m 7 t m e “ " — k a 2 ( l ) e - K m 2 ( - ( — - — l ) 1 ) ! B m e ‘ A 7 s . ' " " ] c o s l y d k = 0 ( 2 0 . 4 ) “ , = j [ - A o e " ‘ - w , ( x ) e - M ) : ( - — m ‘ — — ( 1 ) : ) ! A m M e - s z w z a n l o ( 5 . 1 4 ) B m l m e ' x ] s i n 2 . d e = 0 + 2 ( " 1 ) m = 1 ( “ o h W 1 0 “ - ) - 1 : ( 1 % ( 1 1 ( 1 ) : : + ( ‘ T ' 1 U x fi z a k = A 0 9 4 “ 7 " + 2 K ’ l ) + m 2 1 ( _ 1 — ) “ 1 2 ( 1 ) = 2 A 0 e ' 2 1 1 “ x “ 1 + 2 m 2 l _ — ( . - 1 . ( ) g A 1 ( ) — _ » _ : _ A x m M Z I W A _ 1 ( _ - _ - ) " ' ) N n - 1 , 3 4 , , l ’ " 1 e " ‘ 2 " ( “ ‘ e - ‘ } n . " + 2 K ' 1 ) - K - l — 2 2 2 ( 5 . 1 5 ) ( 1 ) " ‘ 1 C - l — 2 - 2 . - 1 - ) . - _ 2 3 m ( m _ 1 ) , ( “ 2 + 2 . ) " : e — A 0 7 . e ] s r n k d e . — O w h e r e 3 — 4 v f o r p l a n e s t r a i n ( 5 1 6 ) K = « ( i - l ) - f o r p l a n e s t r e s s l + v a n d G d e n o t e s t h e s h e a r m o d u l u s . F o r t h e c a s e o f a fi x e d s u r f a c e , w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e n b y ( 5 . 1 ) , w e s e t t h e q u a n t i t i e s i n b r a c k e t s i n e q u a t i o n s ( 5 . 1 3 ) a n d ( 5 . 1 4 ) t o z e r o . T h u s , w e h a v e t w o e q u a t i o n s f o r t h e t w o u n k n o w n f u n c t i o n s w , ( A ) a n d V 2 0 . ) , w h i c h w e fi n d t o b e ( 5 . 1 7 ) 2 z ( — ' — — ( 1 " " — — B i n g - u r n m — l ) ! " ' m — l ) ! ’ " " H i m ( ” m — — B e - 2 % ( 2 x m - l x - 1 + M - 2 ) ( 5 . 1 8 ) 1 1 2 ( 2 ) : - Z B m ( — 1 - ) — ; ( . ” 2 e - 2 2 ( 5 . 2 0 ) 2 2 3 S i m i l a r l y f o r t h e c a s e o f t h e f r i c t i o n l e s s e d g e , w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e n b y ( 5 . 2 ) , w e fi n d V 1 0 . ) a n d v 2 0 . ) b y s e t t i n g t h e q u a n t i t i e s i n b r a c k e t s i n e q u a t i o n s ( 5 . 1 3 ) a n d ( 5 . 1 5 ) t o z e r o . T h e s e f u n c t i o n s a r e f o u n d t o b e 1 1 1 , 0 1 ) = A o l ‘ l e ‘ n - i - 2 A ( — 2 . m - 1 ) 1 e - 2 L — 2 2 3 ( " 1 ' " — — ) - ! - 2 . m l e - n ( 5 . 1 9 ) " ‘ ( m - l ) ! 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( 5 . 2 3 ) i n t h e f o l l o w i n g f o r m 2 2 4 a n = A 0 “ ! ! ! + 2 G I T Z A m d " 2 “ 3 . 3 m ” : 1 " j ‘ ( 5 . 2 4 ) B u = A O B n l + 2 B r Z A m ' I ' z B h n B B m m : 1 m = 1 w h e r e f o r t h e c a s e o f a fi x e d - s u r f a c e a t x = - 1 2 o 1 2 2 a n ] - { E y n ' i ' e n ( 1 : 1 2 - Y : + — m Y : a n s = - E m 7 : 2 o 2 — 1 2 B n l = , 2 ? » 3 2 = g m fl 5 , 7 3 = Y : - ; m r i . " ( 5 - 2 5 ) 0 - 1 - 1 a n ] - - - Y n - l “ 2 . 2 - 7 : “ 3 ' 3 - 2 7 : 1 3 . . ) = 1 3 . 2 " : = 0 1 3 . 2 " ; = V I ? " ( 5 . 2 6 ) w h e r e m _ ( — 1 ) m + n ° ° _ _ ( - 1 ) " ” ' " ( m + n ) ! Y " - m l n ! J x m fi e 2 1 6 0 ‘ - m l n ! 2 M + n + l ( 5 ' 2 7 ) 0 a n d l o g 2 n = 0 8 = 0 ( 5 . 2 8 ) n Y n n - l n 2 1 s i n c e 2 2 5 - a x b b ! e x d x = 7 : 7 1 a , b > 0 ( 5 . 2 9 ) 0 a j é e ’ i l d g = - 1 o g z ( 5 . 3 0 ) 0 T h e n , u s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e , e i t h e r ( 5 . 4 ) o r ( 5 . 5 ) , w e h a v e f o u r s e t s o f e q u a t i o n s t o fi n d t h e u n k n o w n c o n s t a n t s A " , B " , K " , 3 " . W e e v a l u a t e t h e s e c o n s t a n t s b y t r u n c a t i n g t h e i n fi n i t e s e r i e s t o n = N ; f o r m o r e d e t a i l s s e e L e e 1 e t a l . ( 1 9 9 2 ) . I n t h e p o t e n t i a l s ( 1 1 * ) t h e c o n s t a n t s a , a n d B o c o r r e s p o n d t o t h e s a m e r i g i d b o d y m o t i o n o f t h e m a t r i x i n t h e x — d i r e c t i o n . W e s e t o n e o f t h e s e c o n s t a n t s t o z e r o . I n t h e p o t e n t i a l s ( I I I ) t h e c o n s t a n t s K 1 a n d 3 0 r e p r e s e n t t h e s a m e r i g i d b o d y m o t i o n o f t h e i n c l u - s i o n i n t h e x - d i r e c t i o n . T h u s , a g a i n , w e c a n s e t o n e o f t h e s e c o n s t a n t s t o z e r o . F o r t h e c a s e s o f fi x e d a n d f r i c t i o n l e s s s u r f a c e s a t x = - l w e n e e d t o a l l o w f o r t h e r i g i d b o d y d i s - p l a c e m e n t s i n b o t h t h e m a t r i x a n d t h e i n c l u s i o n . T h u s , w e t a k e ( 1 1 ¢ 0 a n d K , a t 0 , w h i l e ( 3 0 = 7 3 0 = 0 ( 8 0 : 0 , 8 0 : 0 , a n d ( x 1 = K ] = 0 w o u l d g i v e t h e s a m e r e s u l t s ) . F o r t h e t r a c t i o n - f r e e s u r f a c e c a s e , d i s c u s s e d i n L e e e t a l . ( 1 9 9 2 ) , o n l y o n e r i g i d b o d y d i s p l a c e m e n t 2 2 6 n e e d e d t o b e s p e c i fi e d . T h u s , w e a l l o w e d f o r t h e r i g i d b o d y m o t i o n o f t h e i n c l u s i o n a n d t o o k K . # 0 , w h i l e ( 1 0 = B o = 3 0 = 0 . A g a i n 3 0 $ 0 w i t h t h e o t h e r c o n s t a n t s v a n i s h - i n g w o u l d g i v e t h e s a m e s o l u t i o n . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N I n t h e n u m e r i c a l e x a m p l e s w e a s s u m e a p l a n e s t r a i n c a s e . T h i s c a s e i s o f i n t e r e s t w h e n t h e i n c l u s i o n r e p r e s e n t s a l o n g c y l i n d r i c a l r e i n f o r c i n g b a r i n c o n c r e t e o r a c o n t i n u - o u s fi b e r i n a c o m p o s i t e m a t e r i a l , f o r e x a m p l e . I n m o s t fi g u r e s , u n l e s s o t h e r w i s e s t a t e d , w e a s s u m e t h e s a m e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e i n c l u s i o n a n d t h e m a t r i x s u c h t h a t v = \ 7 = 0 . 3 a n d c o n s i d e r d i l a t a t i o n a l e i g e n s t r a i n s e m , “ = e y y ‘ “ = t e a “ i n t h e i n c l u s i o n a s a l o a d i n g . P h y s i c a l l y , t h e s e e i g e n s t r a i n s m a y r e p r e s e n t t h e r m a l s t r a i n s s u c h t h a t e * = E A T w h e n a = 0 , f o r e x a m p l e . A l s o , w e t a k e t h e r a t i o o f t h e s h e a r m o d u l i o f X X t h e i n c l u s i o n a n d m a t r i x I ‘ = C / G = 1 0 0 . W e c h o o s e s u c h a h i g h m i s m a t c h s o t h e d i f - f e r e n c e s b e t w e e n p e r f e c t b o n d i n g a n d s l i d i n g c a s e s a r e m o r e p r o n o u n c e d . I n e a c h o f t h e s e fi g u r e s w e g i v e t h e r e s u l t s f o r b o t h t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e : p e r f e c t b o n d i n g ( P B ) , d e n o t e d b y s o l i d l i n e s , a n d s l i d i n g ( S L ) , d e n o t e d b y d a s h e d l i n e s , a n d f o r t h e t h r e e c a s e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t x = - 1 : fi x e d ( F I X E D ) , f r i c - t i o n l e s s ( F R I C L ) a n d t r a c t i o n - f r e e ( F R E E ) . I n F i g s . 5 . 2 - 9 t h e r a d i u s , d e n o t e d b y a n a , r a n g e s f r o m 0 t o 0 . 9 8 , w h i l e t h e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f t h e i n c l u s i o n t o t h e c l o s e s t p o i n t o n t h e s t r a i g h t e d g e i s u n i t y . T h u s , t h e r a d i u s a c l o s e t o z e r o c o r r e s p o n d s t o t h e l i m i t c a s e o f a n i n c l u s i o n i n t h e i n fi n i t e m a t e r i a l w h i l e a c l o s e t o 1 i m p l i e s t h a t t h e i n c l u s i o n i s l o c a t e d v e r y c l o s e t o t h e s u r f a c e g i v e n b y x = - 1 . 2 2 7 F i g . 5 . 2 g i v e s t h e h o o p s t r e s s a ” , = 0 ' ” i n t h e m a t r i x v e r s u s t h e r a d i u s a o n t h e s u r - f a c e x = - 1 a t p o i n t M ( s e e F i g . 5 . 1 ) f o r t h e s i x c a s e s ( b o t h t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e a n d t h e t h r e e t y p e s o f c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e x = - 1 ) . N o t e t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e b e g i n i n fl u e n c i n g t h e h o o p s t r e s s w h e n t h e i n c l u s i o n r a d i u s i s a b o u t 0 . 1 , i . e . t h e i n c l u s i o n i s a d i s t a n c e o f a b o u t 9 r a d i i a w a y f r o m t h e s u r f a c e . P e r f e c t b o n d i n g a n d s l i d i n g c o n d i t i o n s a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e e n t e r l a t e r w h e n a i s a b o u t 0 . 5 , i . e t h e i n c l u s i o n i s l o c a t e d a d i s t a n c e o f o n e r a d i u s a w a y f r o m t h e s u r f a c e . T h e h i g h e s t t e n s i l e s t r e s s i n t h e m a t r i x d e v e l o p s w h e n t h e s u r f a c e i s t r a c t i o n - f r e e f o r t h e s l i d i n g i n c l u s i o n c a s e , w i t h a f r i c t i o n l e s s s u r f a c e w i t h a s l i d i n g i n c l u s i o n a l s o g i v - i n g a h i g h s t r e s s . T h e h i g h c o m p r e s s i v e s t r e s s d e v e l o p s i n t h e f r i c t i o n l e s s a n d fi x e d s u r - f a c e c a s e s w i t h a p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n w h e n t h e i n c l u s i o n i s v e r y c l o s e t o t h e s u r f a c e . T h e i n t e r e s t i n g t e n d e n c y i s o b s e r v e d f o r t h e c a s e o f t h e p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u - s i o n n e a r t h e f r i c t i o n l e s s s u r f a c e a s t h e h o o p s t r e s s c h a n g e s a s i g n a n d b e c o m e s c o m p r e s - s i v e w h e n a > 0 . 9 . F i g . 5 . 3 i l l u s t r a t e s t h e h o o p s t r e s s 0 ‘ ” , = 0 ' 9 9 a t t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e a t p o i n t N ( s e e F i g . 5 . 1 ) . W h e n t h e i n c l u s i o n h a s a r a d i u s o f a b o u t 0 . 2 o r l e s s , w h i c h i m p l i e s t h a t i t i s t w o o r m o r e d i a m e t e r s a w a y f r o m t h e e d g e , t h e n t h e r e s u l t s a r e a l m o s t i n d i s t i n - g u i s h a b l e f o r t h e s i x c a s e s b e i n g c o n s i d e r e d . I n t h e l i m i t c a s e w h e n t h e i n c l u s i o n i s v e r y s m a l l , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e c a s e o f i n c l u s i o n e m b e d d e d i n t h e i n fi n i t e m a t r i x , a g e / 2 6 8 x : = 1 . 2 9 4 8 . W h e n t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i n c l u s i o n a n d t h e e d g e d e c r e a s e s t h e h o o p s t r e s s i n c r e a s e s t o h i g h t e n s i l e v a l u e s f o r t h e c a s e s o f t r a c t i o n f r e e a n d f r i c t i o n - l e s s s u r f a c e s w h e n s l i d i n g o c c u r s a t t i r e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e a s a t p o i n t M . F o r t h e 2 2 8 1 2 1 o - 1 1 F R E E - 8 L 1 8 _ 2 F R I C L — S L 1 ' . . 3 F R E E - P B [ . 2 , . 6 _ , 4 F R I C L - P B , - . 3 3 5 F I X E D - S L ( L 3 4 . 5 F I X E D - P B . \ _ . _ . 3 3 2 5 _ o - 2 » - 4 F i g . 5 . 2 T h e h o o p s t r e s s 0 % = o ” i n t h e m a t r i x a t p o i n t M v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a w h e n 8 n “ = 8 ” } = 8 2 2 * a n d F = 1 0 0 . 2 2 9 1 2 . 1 1 0 - 1 F R E E - S L r - 2 F R I C L — S L _ , - ' 8 " 3 F R E E - P B ; é * 4 6 4 F l X E D - S L _ i w e " 5 F I X E D - P B g 4 _ 6 F R I C L - P B 4 \ _ / ' . ’ 8 ’ b 2 _ ‘ l . ; : = = : : : . ' : " . 3 o . ' 2 . - - 4 1 L . 0 . 2 0 . 4 ( i s F i g . 5 . 3 T h e h o o p s t r e s s 0 ' 9 9 = a ” i n t h e m a t r i x a t p o i n t N v e r s u s t h e i n c l u s i o n r a d i u s a w h e n E x x “ = 8 ” , ” = £ 3 ” a n d I “ = 1 0 0 . F i g . 5 . 6 i l l u s t r a t e s t h e r a d i a l s t r e s s o n = 6 , , a t t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e a t 2 3 0 c a s e o f a t r a c t i o n - f r e e e d g e a n d a p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n c a s e t h e m a g n i t u d e o f t h e h o o p s t r e s s r e m a i n s a l m o s t u n c h a n g e d w h i l e f o r t h e c a s e s o f a fi x e d e d g e w i t h a p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n a n d fi x e d a n d f r i c t i o n l e s s e d g e s w i t h . a s l i p p i n g i n c l u s i o n t h e s t r e s s d e c r e a s e s a n d a t a r o u n d a = 0 . 9 b e c o m e s n e g a t i v e . F i g . 5 . 4 i l l u s t r a t e s t h e h 0 0 p s t r e s s a ” , = 0 ' 9 9 i n t h e m a t r i x a t t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e a t p o i n t P ( s e e F i g . 5 . 1 ) . H e r e t h e e f f e c t s o f b o t h e d g e a n d m a t r i x — i n c l u s i o n i n t e r - f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s m a l l f o r a l l s i x c a s e s , a s e x p e c t e d , a n d f o r t h e r a d i u s a c l o s e t o z e r o , i . e . t h e c a s e o f i n c l u s i o n e m b e d d e d i n t h e i n fi n i t e m e d i u m , t h e n o n - d i m e n s i o n a l - i z e d h o o p s t r e s s e q u a l s t o 1 . 2 9 4 8 a s e x p e c t e d . T h e h o o p s t r e s s i n t h e m a t r i x r e m a i n s t e n - s i l e f o r a l l s i x c a s e s w i t h a s m a l l i n c r e a s e o b s e r v e d f o r t h e f r i c t i o n l e s s a n d fi x e d e d g e s w i t h a s l i p p i n g i n c l u s i o n c a s e s a n d t h e t r a c t i o n - f r e e a n d p e r f e c t l y b o n d e d i n c l u s i o n c a s e , a n d a s m a l l d e c r e a s e o b s e r v e d f o r t h e r e m a i n i n g t h r e e c a s e s . F i g . 5 . 5 i l l u s t r a t e s t h e r a d i a l s t r e s s o n = o " i n t h e m a t r i x a t t h e e d g e ( x = - 1 ) a t p o i n t M . A s e x p e c t e d t h e s t r e s s fi e l d i s z e r o w h e n a i s c l o s e t o z e r o , i . e . a n i n c l u s i o n i s e m b e d d e d i n a n i n fi n i t e p l a t e . T h e n , a s t h e s i z e o f t h e i n c l u s i o n i n c r e a s e s , f o r t h e t r a c t i o n f r e e e d g e t h e s t r e s s i s t e n s i l e b u t v e r y s m a l l , w h i l e f o r t h e f r i c t i o n l e s s a n d fi x e d e d g e i t b e c o m e s c o m p r e s s i v e w i t h t h e h i g h e s t c o m p r e s s i v e s t r e s s b e i n g f o r t h e f r i c t i o n l e s s e d g e c a s e a n d b o t h m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e c o n d i t i o n s c a s e s . N o t e t h a t t h e e f f e c t o f b o u n d - a r y c o n d i t i o n s a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e i s a l m o s t n e g l i g i b l e f o r t h e t r a c t i o n f r e e a n d f r i c t i o n l e s s e d g e c a s e s b u t i t i s n o t i c e a b l e f o r t h e fi x e d e d g e c a s e w h e n a > 0 . 5 , w i t h t h e p e r f e c t b o n d i n g c a s e g i v i n g t h e h i g h e r c o m p r e s s i v e s t r e s s t h a n t h e s l i d i n g i n c l u s i o n C 3 8 6 . 0 0 1 1 0 1 2 0 ‘ 3 0 4 ~ 5 0 : 3 0 : 6 0 3 7 0 3 8 0 3 9 1 2 3 1 3 2 . 5 — 1 . 5 “ M 1 2 - * R W . . . ‘ — — — — — — — : : - — E — — . 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F i g s . 5 . 1 3 , 5 . 1 5 - 5 . 1 6 s h o w t h e t a n g e n t i a l s t r e s s 0 , 0 a t t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 0 f o r t h e p e r f e c t b o n d i n g c a s e w h e n v = \ 7 = 0 . 3 , F = 1 0 0 , a n d a = 0 . 8 , f o r d i f f e r e n t e i g e n s t r a i n l o a d i n g s . F i g . 5 . 1 5 c o r r e s p o n d s t o t h e d i l a t a t i o n a l e i g e n s t r a i n c a s e , s u c h t h a t e x : = 8 ” , " = 6 n " , c o n s i d e r e d i n a l l t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n s o f t h e r e s u l t s , w h i l e F i g . 5 . 1 7 g i v e s t h e l o a d i n g 8 U V 2 = 8 ” ” = 8 2 2 * , a n d F i g . 5 . 1 8 t h e c a s e o f I I : _ I I : _ 1 1 ‘ a n — 2 8 ) , ) , - e z z . N o t e t h a t w h e n e x ; = a ” ? = e z z ’ “ a n d t h e i n c l u s i o n i s e m b e d d e d i n t h e i n fi n i t e p l a n e t h e n t h e s h e a r s t r e s s i s z e r o f o r a l l a n g l e s 0 d u e t o t h e r a d i a l s y m m e t r y . T h i s i s n o t t h e c a s e a n y m o r e w h e n t h e i n c l u s i o n i s e m b e d d e d n e a r a s u r f a c e ( F i g . 5 . 1 5 ) . F i g . 5 . 1 6 g i v e s a j u m p i n t h e t a n g e n t i a l d i s p l a c e m e n t 2 G [ u e ] f o r t h e s a m e p a r a m e - t e r s a s i n F i g . 5 . 1 5 . N o t e t h a t b o t h 6 , 9 a n d Z G [ u 9 ] a r e z e r o a t = 0 a n d 1 8 0 ° d u e t o s y m m e t r y a b o u t t h e x a x i s . C L O S U R E T h e r e i s a s t r o n g i n fl u e n c e o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e l o c a l s t r e s s c o n c e n t r a t i o n d u e t o a c r i c u l a r i n c l u s i o n i n a h a l f p l a n e . T h i s i n fl u e n c e b e c o m e s m o r e p r o n o u n c e d a s t h e i n c l u - s i o n a p p r o a c h e s t h e s u r f a c e . “ m 6 0 2 / e r o - 0 . 8 0 , 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 9 . 0 0 1 . 2 0 1 . 4 0 1 1 1 0 . . 6 2 4 3 0 . 6 I I l I I I I I 0 . 4 - 1 F I X E D 4 3 4 - 2 F R E E ' 3 F R I C L - 0 . 6 - F i g . 5 . 1 3 T h e s t r e s s a r e a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 0 w h e n a n “ 4 2 , ; = e z z * , v = v = 0 . 3 , r = 1 0 0 , a n d a = 0 . 6 . ; x 6 0 2 / e r o ' 0 2 0 4 0 6 0 6 0 1 6 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 6 0 2 4 4 0 ' 6 1 ' F I X E b 2 F R E E 3 F R I C L 0 . 4 - 0 . 2 . . . . . . . . . . . . . - 0 . 2 - / F i g . 5 . 1 4 T h e j u m p i n t h e t a n g e n t i a l d i s p l a c e m e n t 2 G [ u o ] a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 0 w h e n e x : = 8 ” , " = 1 5 2 2 * . v = \ 7 = 0 . 3 , F = 1 0 0 , a n d a = 0 . 6 . 2 4 5 1 F I X E D 0 . 4 - 2 F R E E 3 F R I C L 2 ‘ 0 4 0 6 0 6 ‘ 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 6 F i g . 5 . 1 5 T h e s t r e s s a r e a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 0 w h e n 6 ” “ = 2 s ; = s u m ; = v = 0 . 3 , r = 1 0 0 , a n d a = 0 . 8 . 2 4 6 0 . 6 ‘ . 1 F I X E D 0 4 - 2 F R E E ‘ 3 F R I C L 1 * g 0 . 2 { 5 ’ - N 0 \ 3 ° 6 ' - 0 . 2 N - 0 . 4 _ - - 0 . 6 - - ' 0 . 8 r 1 1 i 1 1 1 1 . 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 0 F i g . 5 . 1 6 T h e s t r e s s 6 , 9 a l o n g t h e m a t r i x - i n c l u s i o n i n t e r f a c e v e r s u s t h e a n g l e 0 w h e n 2 2 , ; = 8 ” " = 6 , z * , v = v = 0 3 , 1 “ = 1 0 0 , a n d a = 0 . 8 . C O N C L U S I O N S S T R E S S L O C A L I Z A T I O N D U E T O R A N D O M A R R A N G E M E N T F O R A U N I A X I A L T R A N S V E R S E L O A D I N G . S i n g l e - I n c l u s i o n m g . l - B o t h t h e t h i c k n e s s t a n d t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E . “ c o n t r i b u t e t o t h e s t r e s s fi e l d s . 2 - T h e e f f e c t o f t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E C o n t h e s t r e s s e s i n t h e m a t r i x i s m o r e p r o n o u n c e d w h e n t h e c o a t i n g i s v e r y c o m p l i a n t a n d i s h i g h l y i n fl u e n c e d b y t h e t h i c k n e s s . T h i s e f f e c t o f I i “ i s h i g h e r o n 6 3 9 a t 0 = 1 t / 2 w h e n t h e t h i c k n e s s i s v e r y s m a l l w h i l e t h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s t r u e f o r 0 : ; a t 0 = 0 . 3 - T h e e f f e c t o f t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g m a t e r i a l i s v e r y s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e i n fl u e n c e o f t h e o t h e r t w o p a r a m e t e r s . T h i s e f f e c t i n c r e a s e s s o m e w h a t a s t h e t h i c k n e s s i n c r e a s e s . 4 - I n t h e c a s e o f p e r f e c t b o n d i n g , e x p e r i m e n t a l l y , t h e f r i n g e s s t a r t f o r m i n g a t t h e i n c l u s i o n - m a t r i x i n t e r f a c e a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d a n d t h e n t h e y p r o p a g a t e t o t h e 2 4 7 2 4 8 o t h e r s i d e o f t h e i n c l u s i o n . T h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s o b s e r v e d i n c a s e s o f a n i n c l u s i o n w i t h a c o m p l i a n t c o a t i n g o r a h o l e , w h e r e f r i n g e s s t a r t f o r m i n g i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d a n d e v e n t u a l l y m i g r a t e t o t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d . 5 - I n t h e c a s e o f a c o m p l i a n t c o a t i n g t h e m a x i m u m s t r e s s i s l o c a t e d i n t h e m a t r i x , a n d t h e i n c l u s i o n a n d c o a t i n g c a r r y a l m o s t n o l o a d , e v e n t h o u g h t h e i n c l u s i o n i s m u c h s t i f f e r . A s t h e v a l u e o f E c i n c r e a s e s b o t h t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n s t a r t c a r r y i n g t h e l o a d . I n t h e c a s e o f a s t i f f c o a t i n g t h e m a x i m u m s t r e s s i n t h e c o m p o s i t e i s l o c a t e d i n t h e c o a t i n g . l - T h e l o c a t i o n o f m a x i m u m 0 : ; f i s a t 0 = O f o r c a s e s o f c o m p l i a n t c o a t i n g ( w h e n t h e t w o i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g ) a n d f o r c a s e s o f s t i f f e r c o a t i n g s , t h e l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m 0 ; } i s a t 6 = 1 t / 2 ( w h e n t h e t w o i n c l u - s i o n s a r e a l i g n e d a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f t h e a p p l i e d l o a d i n g ) . 2 - I n c r e a s i n g t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e r e d u c e s t h e l o c a l e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g , a n d t h e i n c l u s i o n w h e n t h e t w o i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d a l o n g a c r i t i c a l p a t h . O n t h e o t h e r h a n d i n c r e a s i n g t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e w i l l s l i g h t l y i n c r e a s e t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s i f t h e t w o i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d a l o n g t h e o p t i m u m p a t h . 2 4 9 3 - W h e n t h e i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d a t t h e c r i t i c a l a n g l e t h e n i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f i n c l u s i o n s i n c r e a s e s t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x . H o w e v e r i f t h e i n c l u s i o n s a r e a l i g n e d a l o n g a n o p t i m u m p a t h t h e n i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f i n c l u s i o n s w i l l d e c r e a s e t h e e f f e c t i v e s t r e s s i n t h e m a t r i x . 4 ~ T h e e f f e c t o f i n c l u s i o n n u m b e r o n t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s i n t h e m a t r i x , c o a t i n g a n d i n c l u s i o n w i l l d e c r e a s e a s i n c l u s i o n s a r e a d d e d . M u l t i - i n c l u s i n . I - W h e n t h e c o a t e d i n c l u s i o n s a r e d i s t r i b u t e d u n e v e n l y i n t h e m a t r i x t h e s t r e s s e s a r e d i s - t r i b u t e d u n e v e n l y b e t w e e n t h e i n c l u s i o n s . T h u s , t h e n o n - u n i f o r m a r r a n g e m e n t l e a d s t o s t r e s s l o c a l i z a t i o n a n d h i g h e r m a x i m u m s t r e s s e s a n d t h e r f o r e t o a n e a r l i e r i n i t i a t i o n o f d a m a g e , a n d c o n s e q u e n t l y , t o a l o w e r s t r e n g t h . T h i s i n c o n t r a s t t o t h e p e r i o d i c a r r a n g e — m e n t i n w h i c h i n c l u s i o n s s h a r e t h e l o a d e q u a l l y . 2 - W h e n t h e i n t e r f a c e i s v e r y w e a k ( i n t e r p h a s e i s v e r y c o m p l i a n t - c o a t i n g 1 ) , t h e n a l m o s t n o l o a d i s t r a n s f e r r e d f r o m t h e m a t r i x t o t h e i n c l u s i o n s a n d i t i s c a r r i e d b y t h e m a t r i x . I f t h e i n t e r f a c e i s w e a k ( i n t e r p h a s e i s c o m p l i a n t - c o a t i n g 2 ) , b u t y e t c a p a b l e o f t r a n s f e r r i n g s o m e l o a d s t o t h e i n c l u s i o n s , t h e n t h e l o a d s w i l l b e c a r r i e d b y b o t h t h e i n c l u s i o n s a n d t h e m a t r i x w i t h t h e m a x i m u m s t r e s s o c c u r r i n g i n t h e m a t r i x . 3 - I n c a s e o f o p t i m u m ( m i n i m u m s t r e s s c o n d i t i o n ) c o a t i n g t h e l o a d w i l l b e s h a r e d a l m o s t e q u a l l y b e t w e e n t h e m a t r i x , t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n . 2 5 0 4 - I f a g o o d b o n d i s m a i n t a i n e d b e t w e e n i n t e r f a c e s t h e n t h e l o a d w i l l b e c a r r i e d b y t h e s t i f f i n c l u s i o n s a n d t h e c o a t i n g s . B u t i f t h e c o a t i n g i s v e r y s t i f f t h e n t h e h i g h e s t s t r e s s w i l l o c c u r i n t h e c o a t i n g . 5 - F o r t h e c a s e o f n o b o n d i n g ( p e r f e c t b o n d i n g ) , t h e l o a d i s c a r r i e d b y t h e s t i f f i n c l u s i o n s l y i n g i n t h e d i r e c t i o n o f t h e l o a d a n d t h e r e i s b r i d g i n g o f s t r e s s e s t h r o u g h t h e i n c l u s i o n s a l o n g t h e l i n e o f a c t i o n o f a p p l i e d l o a d . I n c l u s i o n s c l o s e t o e a c h o t h e r a n d a l i g n e d i n t h e d i r e c t i o n o f t h e l o a d b e h a v e l i k e l o n g i t u d i n a l fi b e r s s u b j e c t e d t o a n a x i a l l o a d i n g . 6 - F o r i n c l u s i o n s w i t h a c o m p l i a n t i n t e r p h a s e , t h e m a x i m u m s t r e s s a r o u n d e a c h i n c l u s i o n i s l o c a t e d i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a p p l i e d l o a d i n g , a s w a s o b s e r v e d i n t h e s i n g l e i n c l u s i o n c a s e . A s i m i l a r b e h a v i o r o c c u r s i n e l a s t i c s h e e t s w i t h h o l e s . 7 - T h e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s o f i n c l u s i o n s u n d e r e s t i m a t e t h e m a g n i t u d e o f t h e m a x i m u m l o c a l s t r e s s g i v e n b y r a n d o m a r r a n g e m e n t s . 8 - W h e n t h e i n t e r f a c e i s m o r e c o m p l i a n t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m a x i m u m s t r e s s i n r a n d o m v e r s u s p e r i o d i c a r r a n g e m e n t s i s m o r e p r o n o u n c e d . 9 - T h e t w o - i n c l u s i o n m o d e l g i v e s a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e s t r e s s e s i n m u t i - i n c l u s i o n 2 5 1 m e t h o d i n t h e c a s e o f s t i f f c o a t i n g o n l y . l O - T h e l o c a l s t r e s s e s d e p e n d o n n u m b e r o f n e i g h b o r i n g i n c l u s i o n s , v o l u m e f r a c t i o n , t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e m , t h e i n c l i n a t i o n a n g l e a n d t h e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s . S T R E S S L O C A L I Z A T I O N D U E T O R A N D O M A R R A N G E M E N T F O R A T H E R M A L L O A D I N G . l - T h e e f f e c t o f c h a n g i n g t h e c o a t i n g t h i c k n e s s i s m o r e p r o n o u n c e d f o r t h e c a s e s o f t h i n c o a t i n g . I n c r e a s i n g t h e c o a t i n g t h i c k n e s s w i l l a l w a y s i n c r e a s e t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x r e g a r d l e s s o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g i f E C / E m < 1 , a n d i n c r e a s i n g t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g i n c r e a s e s t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x . T h e o p p o s i t e b e h a v i o r i s o b s e r v e d w h e n E C / E m > 1 . 2 - I n c r e a s i n g t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g w i l l i n c r e a s e t h e r a d i a l s t r e s s e s . T h i s i n fl u e n c e i n c r e a s e s a s t h e v a l u e o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c / E m i n c r e a s e s . 3 - T h e e f f e c t o f t h e r a t e o f c h a n g e i n t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g ( 1 " ) i n c r e a s e s a s t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g i n c r e a s e s ( E / E " ) . A l s o , i n c r e a s i n g t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e c o a t i n g ( v ‘ ) w i l l i n c r e a s e t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x ( 6 : ) f o r t h e c a s e s o f c o m p l i a n t 2 5 2 c o a t i n g s ; t h i s e f f e c t w i l l b e r e v e r s e d i n c a s e s o f s t i f f c o a t i n g s . 4 - I f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g E c < E " : 4 5 0 k s i t h e n t h e m a t r i x , c o a t i n g , a n d i n c l u s i o n c a r r y a l m o s t t h e s a m e a m o u n t o f l o a d i n g . H o w e v e r w h e n E ‘ > E ' " t h e n t h e l o a d - i n g i s c a r r i e d b y t h e c o a t i n g a n d t h e i n c l u s i o n w i t h t h e m a x i m u m s t r e s s b e i n g i n t h e m a t r i x . 5 - F o r a c o n s t a n t t = . 2 5 a , E ‘ = I ? " a n d v ‘ = v ’ " , i n c r e a s i n g t h e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ( C T E ) o f t h e c o a t i n g a c w i l l r e d u c e t h e e f f e c t i v e s t r e s s e s o e f f i n t h e m a t r i x b u t w i l l i n c r e a s e t h e e f f e c t i v e s u e s s i n t h e c o a t i n g a n d t h e s t r e s s i n t h e i n c l u s i o n w i l l n o t c h a n g e . 6 - E x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s i n d i c a t e t h a t p o s t c u r i n g w i l l r e d u c e r e s i d u a l s t r e s s e s i n t h e u s e d c o m p o s i t e m a t e r i a l a s c o m p a r e d t o s t a n d a r d c u r i n g . 7 - A l t h o u g h w e h a v e u s e d a c o n s t a n t v a l u e f o r t h e m a t e r i a l f r i n g e c o e f fi c i e n t ( f a ) , a n d w e h a v e u s e d a n o n l i n e a r e l a s t i c i t y m e t h o d o f a n a l y s i s ( n o v i s c o e l a s t i c e f f e c t ) , t h e r e i s a g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l s t r e s s v a l u e s o f r e s i d u a l s t r e s s e s a t r o o m t e m p e r a t u r e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e i s a l a r g e d i s a g r e e m e n t b e t w e e n b o t h e x p e r i m e n t a l 2 5 3 a n d n u m e r i c a l r e s u l t s o f s t r e s s e s f o r t h e c a s e o f s t r e s s e s a t e l e v a t e d t e m p e r a t u r e . I . I . l - T h e e f f e c t i v e s t r e s s b e t w e e n t w o i n c l u s i o n s a l w a y s i n c r e a s e s b y d e c r e a s i n g t h e s e p a r a - t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o i n c l u s i o n s . 2 - I n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f i n c l u s i o n s i n a r o w i n c r e a s e s t h e r a d i a l s t r e s s i n t h e m a t r i x r e g a r d l e s s o f d e g r e e o f m i s m a t c h b e t w e e n t h e i n c l u s i o n a n d t h e m a t r i x . T h i s e f f e c t d e c a y s a s w e i n c r e a s e t h e n u m b e r o f i n c l u s i o n s . 3 - A l t h o u g h w e u s e d a c o n s t a n t v a l u e f o r t h e m a t e r i a l f r i n g e c o e f fi c i e n t ( f a ) , a n d n o n l i n - e a r e l a s t i c i t y ( n o v i s c o e l a s t i c e f f e c t ) , t h e r e w a s a g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l s t r e s s v a l u e s . t i - ' l ’ n l - I n c r e a s i n g t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e i n c l u s i o n s w i l l i n c r e a s e t h e m a x i m u m s h e a r s t r e s s i n t h e m a t r i x . 2 - T h e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t p r o d u c e s a l o w e r s t r e s s t h a n t h a t o f r a n d o m a r r a n g e m e n t e v e n i f t h e v o l u m e f r a c t i o n o f t h e p e r i o d i c a r r a n g e m e n t i s h i g h e r . 3 - I n c r e a s i n g t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e c o a t i n g w i l l a l w a y s i n c r e a s e t h e m a x i m u m s t r e s s 2 5 4 i n t h e c o m p o s i t e m a t e r i a l . 4 - W h e r e a s f o r t h e c a s e o f a c = 2 1 9 x 1 0 4 P C t h e m a x i m u m s t r e s s i s a l w a y s i n t h e c o a t - i n g m a t e r i a l , t h e m a x i m u m s t r e s s w i l l b e i n t h e c o a t i n g o n l y i f E < E ' " f o r t h e c a s e o f a ‘ = 6 4 x 1 0 " P C . 5 - T h e m a x i m u m s t r e s s i n t h e c o m p o s i t e m a t e r i a l w i l l i n c r e a s e b y i n c r e a s i n g t h e t h e r m a l c o e f fi c i e n t o f e x p a n s i o n o f t h e c o a t i n g . 6 - F o r t h e c a s e o f n o — c o a t i n g t h e m a x i m u m s t r e s s i s a l w a y s i n t h e m a t r i x a n d f o r a s t i f f c o a t i n g m a t e r i a l ( E = 9 0 0 0 k s i ) t h e m a x i m u m s t r e s s i s b a s i c a l l y c a r r i e d b y t h e c o a t i n g . 7 — U s i n g r a n d o m a r r a n g e m e n t a l w a y s g i v e s h i g h e r v a l u e s o f s t r e s s e s t h a n r e g u l a r a r r a n g e - m e n t s . T h i s e f f e c t i s m o r e n o t i c e a b l e w h e n t h e m a x i m u m s t r e s s i s l o c a t e d i n t h e m a t r i x . . C R A C K I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N . 1 - F r a c t u r e i n c o m p o s i t e m a t e r i a l s i s a h i g h l y l o c a l i z e d p h e n o m e n o n d e p e n d i n g o n g e o - m e t r i c a n d m a t e r i a l d i s o r d e r . 2 5 5 2 - I n o r d e r t o i n v e s t i g a t e t h e l o c a l s t r e s s fi e l d s i n a c o m p o s i t e w i t h r a n d o m d i s t r i b u t i o n o f fi b e r s , t h e u n i t c e l l c o n c e p t i s n o t s u f fi c i e n t . 3 - I n c a s e o f u n i a x i a l l o a d i n g , t h e c r a c k i n i t i a t i o n d e p e n d s o n b o t h t h e d i s t a n c e b e t w e e n h o l e s a n d t h e i r o r i e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e a p p l i e d l o a d i n g . 4 - T h e n u m e r i c a l l y p r e d i c t e d c r a c k p a t t e r n i s h i g h l y d e p e n d e n t o n t h e m e s h s i z e , s h a p e a n d t h e u s e d f r a c t u r e c r i t e r i o n s . E x p e r i m e n t a l l y , w e d o n ’ t g e t u n i q u e c r a c k a l s o . 5 - I n c a s e o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d h o l e s t h e r e i s a v e r y l a r g e n u m b e r o f g e o m e t r i c a l l y a c c e p t a b l e c r a c k p a t h s c u t t i n g a c r o s s t h e s p e c i m e n . T h e e n e r g y r e l e a s e o r m a x i m u m s t r e s s v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h a l l t h e s e p a t h s d o n o t d i f f e r m u c h f r o m o n e a n o t h e r , a n d t h u s , a s u b s e t o f t h e m h a s p r a c t i c a l l y t h e s a m e n u m e r i c a l v a l u e . T h e r e f o r e , m i n u t e m a t e r i a l a n d g e o m e t r i c i m p e r f e c t i o n s d e c i d e w h i c h c r a c k p a t h w i l l a c t u a l l y t a k e p l a c e i n a p a r t i c u l a r s p e c i m e n t h a t i s n o r m a l l y ( o n t h e m a c r o s c o p i c s c a l e s ) t h e s a m e a s t h e r e s t o f t h e b u n c h . T h u s , b o t h e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l m e t h o d s s h o w e d t h a t t h e c r a c k p a t h i s n o t u n i q u e a n d s e v e r a l c r a c k p a t h s w e r e o b s e r v e d . 6 - W h i l e c r a c k p r o p a g a t i o n i n d u c t i l e m a t e r i a l s ( a l u m i n u m ) i s s l o w , t h e c r a c k p r o p a g a t i o n i n b r i t t l e e p o x y m a t r i x i s v e r y f a s t c a u s i n g c a t a s t r o p h i c f a i l u r e . T h u s , i n t h i s c a s e d y n a m i c f r a c t u r e a n a l y s i s n e e d s t o b e c o n s i d e r e d . 2 5 6 7 - U s i n g a v e r y c r u d e w a y i n s i m u l a t i n g t h e c r a c k p r o p a g a t i o n w e c o u l d p r e d i c t c l o s e l y t h e c r a c k p a t h s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y . E F F E C T O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S O N S T R E S S C O N C E N T R A - T I O N S D U E T O A N E L A S T I C C I R C U L A R I N C L U S I O N I N A H A L F - P L A N E . I n t h i s p h a s e O f t h e s t u d y , a n e x a c t e l a s t i c i t y s o l u t i o n ( g i v e n i n a s e r i e s f o r m ) i s p r e s e n t e d f o r e i t h e r a s l i d i n g o r p e r f e c t l y b o n d e d c i r c u l a r i n c l u s i o n e m b e d d e d i n a h a l f p l a n e i n o r d e r t o i n v e s t i g a t e t h e j o i n t d e f e c t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d i n t e r f a c e o n t h e l o c a l s t r e s s a n d d i s p l a c e m e n t fi e l d s . 1 - T h e r e i s a s t r o n g i n fl u e n c e o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e l o c a l s t r e s s c o n c e n t r a t i o n d u e t o a c i r c i r c u l a r i n c l u s i o n i n a h a l f - p l a n e . T h i s i n fl u e n c e b e c o m e s m o r e p r o n o u n c e d a s t h e i n c l u s i o n a p p r o a c h e s t h e s u r f a c e . 2 - T h e e f f e c t o f i n t e r f a c e ( s l i d i n g o r p e r f e c t b o n d i n g ) i s m o r e n o t i c e a b l e w h e n t h e i n c l u - s i o n i s s t i f f e r t h a n t h e m a t r i x . 3 - T h e e f f e c t o f m a t e r i a l m i s m a t c h ( F = G / G ) o n b o t h r a d i a l ( 0 " ) a n d h o o p ( 6 9 9 ) s t r e s s e s a t p o i n t N i s p r o n o u n c e d w h e n F i s s m a l l a n d t h e s t r e s s r e m a i n s u n c h a n g e d f o r l a r g e F . 2 5 7 R E F E R E N C E S A c h e n b a c h , 1 . , 1 9 9 0 “ E f f e c t o f I n t e r p h a s e o n M i c r o a n d M a c r o B e h a v i o r o f H e x a g o n a l A r r a y F i b e r C o m p o s i t e s ” J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , V o l . 5 7 p p . 9 5 6 - 9 6 8 . A l - O s t a z , A . a n d J a s i u k , 1 . , 1 9 9 4 , “ E f f e c t o f I n t e r f a c e a n d R a n d o m G e o m e t r i c A r r a n g e - m e n t o f I n c l u s i o n s o n t h e L o c a l S t r e s s e s i n C o m p o s i t e M a t e r i a l s , ” D u r a b i l i t y o f C o m p o s i t e M a t e r i a l s ( R . C . W e t h e r h o l d , e d . ) , 1 9 9 4 A S M E W i n t e r A n n u a l M e e t i n g , C h i c a g o , N o v e m - b e r 1 9 9 4 . p p . 2 0 7 - 2 1 7 . A r n o l d , S . a n d W i l t , T . , 1 9 9 3 , “ I n fl u e n c e o f E n g i n e e r e d I n t e r f a c e o n R e s i d u a l S t r e s s e s a n d M e c h a n i c a l R e s p o n s e i n M e t a l M a t r i x C o m p o s i t e s , ” C o m p o s i t e I n t e r f a c e s , V o l . 1 , p p . 3 8 1 - 4 0 2 . A x e l s e n , M S , a n d P y r z , R . , 1 9 9 5 , “ C o r r e l a t i o n B e t w e e n F r a c t u r e T o u g h n e s s a n d t h e M i c r o s t r u c t u r e M o r p h o l o g y i n T r a n s v e r s e l y L o a d e d U n i d i r e c t i o n a l C o m p o s i t e s , ” i n I U T A M S y m p o s i u m o f M i c r o s t r u c t u r e - P r o p e r t y I n t e r a c t i o n s i n C o m p o s i t e M a t e r i a l s ( e d . R . P y r z ) p p . 1 5 - 2 6 , K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s . B a l a n d e r , J . E . , E b i h a r a , T . , a n d H i k o s a k a , H . , 1 9 9 4 , “ E v a l u a t i n g C o n c r e t e M e s o s c a l e P r o p e r t i e s U s i n g N e u r a l N e t w o r k s , ” i n I n f r a s t r u c t u r e : N e w M a t e r i a l s a n d M e t h o d s o f R e p a i r , P r o c e e d i n g s o f t h e T h i r d M a t e r i a l s E n g i n e e r i n g C o n f e r e n c e , S a n D i e g o , N o v . 1 9 9 4 , p p . 4 7 5 - 4 8 2 . 2 5 8 B a l a n d e r , . l . E . , H i k o s a k a , H . , a n d H e , W . J . , 1 9 9 5 , “ L a r g e - s c a l e A n a l y s e s t h r o u g h A d a p t i v e R e m e s h i n g , ” p r e p r i n t . B a s i s t a , M . a n d K r a j c i n o v i c , D . , 1 9 9 1 , “ B r i t t l e D e f o r m a t i o n o f D i s o r d e r e d S o l i d s , ” C o m - p o s . E n g t : V o l . 1 , p p . 1 0 3 - 1 1 2 . B a z a n t , Z . P . , T a b b a r a , M . R . , K a z e m i , M . T . , a n d P i j a u d i e r - C a b o t , G . , 1 9 9 0 , “ R a n d o m P a r - t i c l e M o d e l f o r F r a c t u r e o f A g g r e g a t e o r F i b e r C o m p o s i t e s , ” J . E n g n g . M e c h . , V o l . 1 1 6 , p p . 1 6 8 6 - 1 7 0 5 . B e c k e r R . , a n d S m e l s e r , R E , 1 9 9 4 , “ S i m u l a t i o n o f S t r a i n L o c a l i z a t i o n a n d F r a c t u r e B e t w e e n H o l e s i n a n A l u m i n u m S h e e t , ” J . M e c h . P h y s . S o l i d s , V o l . 4 2 , p p . 7 7 3 - 7 9 0 . B e l y t s c h k o , T . , L u , Y . Y . , a n d C u , L . , 1 9 9 4 , “ E l e m e n t - F r e e G a l e r i k i n M e t h o d , ” I n t . J . N u m . M e t h s . i n E n g . , V o l 3 7 , p p . 2 2 9 - 2 5 6 . B e l y t s c h k o , T . , L u , Y . Y . , a n d C u , L . , 1 9 9 5 “ C r a c k P r o p a g a t i o n b y E l e m e n t - F r e e G a l e r k i n M e t h o d , ” E n g i n e e r i n g F r a c t u r e M e c h a n i c s , V o l . 5 1 , p p . 2 9 5 - 3 1 5 . B e n v e n i s t e , G . , 1 9 8 5 , “ T h e E f f e c t i v e M e c h a n i c a l B e h a v i o r o f C o m p o s i t e M a t e r i a l s w i t h I m p e r f e c t C o n t a c t B e t w e e n C o n s t i t u e n t s , ” M e c h a n i c s o f M a t e r i a l s , V o l . 4 , p p . 1 9 7 - 2 0 8 . 2 5 9 B e n v e n i s t e , G . , D v o r a k , G . , a n d C h e n , T . , 1 9 8 9 , “ S t r e s s F i e l d i n C o m p o s i t e s w i t h C o a t e d I n c l u s i o n s , ” M e c h a n i c s o f M a t e r i a l s , V o l . 7 , p p . 3 0 5 - 3 1 7 . B i r d , M . , a n d S t e e l e , C . , 1 9 9 2 , “ A S o l u t i o n P r o c e d u r e f o r L a p l a c e ’ s E q u a t i o n o n M u l t i p l y C o n n e c t e d C i r c u l a r D o m a i n s , ” T r a n s a c t i o n o f t h e A S M E , V o l . 5 9 , p p . 3 9 8 - 4 0 4 . B r e y s s e , D . , F o k w a , D . , a n d D r a h y , F . , 1 9 9 4 , “ S p a t i a l V a r i a b i l i t y i n C o n c r e t e : N a t u r e , S t r u c t u r e , a n d C o n s e q u e n c e s . ” A p p l . M e c h . R e v . V o l . 4 7 , p p $ 1 8 4 - $ 1 9 6 . B r o c k e n b r o u g h , J . R . , a n d S u r e s h , S . , a n d W i e n e c k e , H . A . , 1 9 9 1 , “ D e f o r m a t i o n o f M e t a l - M a t r i x C o m p o s i t e s w i t h C o n t i n u o u s F i b e r s : G e o m e t r i c a l E f f e c t s o f F i b e r D i s t r i b u t i o n a n d S h a p e , ” A c t a M e t a l . M a t e n , V o l . 3 9 , p p . 7 3 5 - 7 5 2 . C a r m a n G . , A v e r i l , R . , R e i f s n i d e r , K . , a n d R e d d y , 1 . , 1 9 9 3 , “ O p t i m i z a t i o n o f F i b e r C o a t - i n g s t o M i n i m i z e S t r e s s C o n c e n t r a t i o n s i n C o m p o s i t e M a t e r i a l s , ” J o u r n a l o f C o m p o s i t e M a t e r i a l s , V o l . 2 7 , p p . 5 8 9 - 6 1 2 . C h e n , 1 . , T h o r p e , M . , a n d D a v i s , L . , 1 9 9 5 , “ E l a s t i c P r o p e r t i e s o f R i g i d F i b e r - R e i n f o r c e d C o m p o s i t e s , ” J . A p p l . P h y s . V o l . 7 7 , p p . 4 3 4 9 - 4 3 6 0 . C h u d n o v s k y , A . , a n d K u n i n , B . , 1 9 8 7 , “ A P r o b a b l i s t i c M o d e l o f B r i t t l e C r a c k F o r m a - t i o n . ” J . A p p l . P h y . V o l . 6 2 . P P - 4 1 2 4 - 4 1 2 9 . G H h e o t s e h r , o S e . n g a e n o d u M s u M k e h d o i p a a d I n h v y o a l y , S . , v i n g D i 1 r 9 9 3 , “ i c h l e t A T e M s a s t e e l r i a l B a l a t i o n s ” s , e d C o F m i p n i t u t e . E M l e e t m h e o n t d s A A n p a p l l y . s i M s e o f c h . 2 6 0 D a n i e l , I . , a n d D u r e l l i , A . , 1 9 6 2 , “ S h r i n k a g e S t r e s s e s a r o u n d R i g i d I n c l u s i o n s , ” E x p e r i - m e n t a l M e c h a n i c s , V o l . 2 , p p . 2 4 0 - 2 4 5 . D a v i s , L . , H a s s , R . , C h e n , J . a n d T h o r p e , M . , 1 9 9 4 , “ E l a s t i c M o d u l i o f C o m p o s i t e s w i t h R a n d o m , R i g i d I n c l u s i o n s , ” A p p l . M e c h . R e v . , V o l . 4 7 , P a r t 2 , S S - S 9 . D a y , A . , S n y d e r , K . , G a r b o c z i , E . , a n d T h o r p e , M . , 1 9 9 2 , “ T h e E l a s t i c M o d u l i o f a S h e e t C o n t a i n i n g C i r c u l a r H o l e s , ” J . M e c h . P h y s . S o l i d s , V o l . 4 0 , p p . 1 0 3 1 - 1 0 5 1 . D r z a l , L . , 1 9 8 3 , “ C o m p o s i t e I n t e r p h a s e C h a r a c t e r i z a t i o n , ” S A M P L E 1 . , p p . 7 - 1 3 . D u r e l l i , A . , P a r k s , V . , F e n g , H . , a n d C h i a n g , E , 1 9 6 7 , ” S t r a i n s a n d s t r e s s e s i n m a t r i c e s w i t h i n s e r t s , ” M e c h a n i c s o f C o m p o s i t e s , p p . 2 6 5 - 3 3 7 . E r d o g a n , F . , a n d S i h , 8 . , l 9 6 3 , “ O n C r a c k E x t e n t i o n i n P l a t e s u n d e r P l a n e L o a d i n g a n d T r a n s v e r s e S h e a r , ” A S M E J . B a s i c E n g n g . , V o l . 8 5 . p p . 1 2 3 - 1 3 1 . E s h e l b y , J . D . , 1 9 5 7 , “ T h e D e t e r m i n a t i o n o f t h e E l a s t i c F i e l d o f a n E l l i p s o i d a l I n c l u s i o n , a n d R e l a t e d P r o b l e m s , ” P r o c . R o y . S o c . , V o l . A 2 4 1 , p p . 3 7 6 - 3 9 6 . E n g . V o l . 1 0 4 . p p . 2 1 1 - 2 4 7 . 2 6 1 G o n g , S . X . , a n d M e g u i d , S . A . , 1 9 9 3 , “ I n t e r a c t i n g C i r c u l a r I n h e m o g e n e t i e s i n P l a n e E l a s t o s t a t i c s , ” A c t a M e c h a n i c a . V o l . 9 9 , p p . 4 9 - 6 0 . G r i f fi t h , A . A . , 1 9 2 1 , “ T h e P h e n o m e n a o f R u p t u r e a n d F l o w i n S o l i d s , ” P h i l . T r a n s . R . S o c . , V o l . 2 2 1 , p p . 1 6 3 - 1 9 8 . G u p t a , V . B . , D r z a l , L . T . , L e e , C . , Y - C . , a n d R i c h , M . . l . , 1 9 8 5 , “ T h e T e m p e r a t u r e - D e p e n - d a n c e o f S o m e M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s o f a C u r e d E p o x y R e s i n S y s t e m , ” P o l y m e r E n g i - n e e r i n g a n d S c i e n c e , V o l . 2 5 , p p . 8 1 2 - 8 2 3 . G u p t a , V . B . , D r z a l , L . T . , l e e , C . , Y - C . , a n d R i c h , M . J . , 1 9 8 4 , “ T h e E f f e c t s o f S t o i c h i o m - e t r y a n d S t r u c t u r e o n t h e D y n a m i c T o r s i o n a l P r o p e r t i e s o f a C u r e d E p o x y R e s i n S y s t e m ” , J o u r n a l o f M a c r o m o l e c u l a r S c i e n c e , V o l . 2 4 , p p . 4 3 5 - 4 6 6 . H a s h i n , Z . , 1 9 9 0 , “ T h e r m o e l a s t i c P r o p e r t i e s o f F i b e r C o m p o s i t e s w i t h I m p e r f e c t I n t e r - f a c e ” , M e c h a n i c s o f M a t e r i a l s , p p . 3 3 3 - 3 4 8 . H a s h i n , 2 . , I 9 9 1 , “ E x t r e m u m P r i n c i p a l s o f E l a s t i c H e t r o g e n o u s M e d i a w i t h I m p e r f e c t I n t e r f a c e a n d T h e r e A p p l i c a t i o n t o B o u n d i n g o f E f f e c t i v e M o d u l i ” , J . M e c h . P h y s . S o l i d s . V o l . 4 0 , N o . 4 , p p . 7 6 7 - 7 8 1 . H e r r e r a - F r a n c o , P . a n d D r z a l , L , 1 9 9 2 , “ C o m p a r i s o n o f m e t h o d s f o r t h e M e a s u r e m e n t o f F i b e r / M a t r i x A d h e s i o n i n C o m p o s i t e s , ” C o m p o s i t e s , V o l . 2 3 , p p . 2 - 2 7 . 2 6 2 H e r r m a n n , H . J . , H a n s e n , H . , a n d R o u x , S . , 1 9 8 9 , “ F r a c t u r e o f D i s o r d e r e d L a t t i c e s i n T w o D i m e n s i o n s , ” P h y s . R e v . B . , V o l . 3 9 , p p . 6 3 7 - 6 4 8 . H e r r m a n n , H . J . , a n d R o u x , S . , e d s . , 1 9 9 0 , S t a t i s t i c a l M o d e l s f o r F r a c t u r e o f D i s o r d e r e d M e d i a , E l s e v i e r . H u g h e s , J . D . H . , 1 9 9 1 . “ T h e C a r b o n F i b e r / E p o x y I n t e r f a c e - A R e v i e w ” , C o m p o s i t e s S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , V o l . 4 1 , p p . 1 3 - 4 5 . J a g o t a , A . , a n d B e n n i s o n , 8 . 1 . , 1 9 9 4 , “ S p r i n g N e t w o r k a n d F i n i t e E l e m e n t M o d e l s f o r E l a s t i c i t y a n d F r a c t u r e , ” i n B r e a k d o w n a n d N o n - L i n e a r i t y i n S o f t C o n d e n s e d M a t t e r ( K . K . B a r d h a n , B . K . C h a k r a b a r t i , a n d A . H a n s e n , e d s . ) S p r i n g e r V e r l a g , B e r l i n , p r e p r i n t . J a v o m i c k y , 1 . , I 9 7 0 , “ P h o t o e l a s t i c I n v e s t i g a t i o n o f C a s t P l a t e s w i t h I n c l u s i o n s , ” E x p e r i - m e n t a l S t r e s s A n a l y s i s , p p . 3 9 - 8 2 . J e f f e r y , G . B . , 1 9 2 0 , “ P l a n e S t r e s s a n d P l a n e S t r a i n i n B i p o l a r C o o r d i n a t e s , ” T r a n s a c t i o n s o f R o y a l S o c i e t y , L o n d o n , S e r i e s A , V o l . 2 2 1 , p p . 2 5 6 - 2 9 3 . l e u l i n , D . , 1 9 9 4 , “ F r a c t u r e S t a t i s t i c s M o d e l s a n d C r a c k P r o p a g a t i o n i n R a n d o m M e d i a . ” A p p l . M e c h . R e v . V o l . 4 7 , p p . 8 1 4 1 - 8 1 5 0 . J i r a s e k , M . , a n d B a z a n t , 2 . , 1 9 9 4 / 1 9 9 5 , “ M a c r o s c o p i c F r a c t u r e C h a r a c t e r i s t i c s o f R a n d o m 2 6 3 P a r t i c l e S y s t e m s , ” I n t . J . F r a c t . V o l . 6 9 , p p . 2 0 1 - 2 2 8 . K e r a n s , R . J . , H a y , R . S . , P a g a n o , N . 1 . , a n d P a r t h a s a r a t h y , T . A . , 1 9 8 9 , “ T h e R o l e o f t h e F i b e r - M a t r i x I n t e r f a c e i n C e r a m i c C o m p o s i t e s , ” C e r a m i c s B u l l e t i n , V o l . 6 8 , p p . 4 2 9 - 4 4 2 . K o u r i s , D . a n d T s u c h i d a , E . , 1 9 9 1 , “ O n t h e E l a s t i c I n t e r a c t i o n B e t w e e n T w o F i b e r s i n a C o n t i n u o u s F i b e r C o m p o s i t e u n d e r T h e r m a l L o a d i n g , ” M e c h a n i c s o f M a t e r i a l s , V o l . 1 2 , p p . 1 3 1 - 1 4 6 . K o u r i s , D . , 1 9 9 3 , “ S t r e s s C o n c e n t r a t i o n D u e t o t h e I n t e r a c t i o n B e t w e e n T w o I m p e r f e c t l y B o n d e d F i b e r s i n 3 C o n t i n u o u s F i b e r C o m p o s i t e , ” J . A p p l . M e c h . , V o l . 6 0 , p p . 2 0 3 - 2 0 6 . K o u r i s D . , a n d M a r s h a l l , 1 9 9 4 “ D a m a g e M e c h a n i s m s i n T i 3 A l M a t r i x C o m p o s i t e ” J o u r - n a l o f E n g i n e e r i n g M a t e r i a l s a n d T e c h n o l o g y . V o l . 1 6 6 , p p . 3 1 9 - 3 2 4 . K u n i n , B . , a n d G o r e l i k , M . , 1 9 9 1 , “ O n R e p r e s e n t a t i o n o f f r a c t u r e p r o fi l e s b y F r a c t i o n a l I n t e g r a l s o f W i e n e r P r o c e s s . ” J . A p p l . P h y s . V o l . 7 0 , p p . 7 6 5 1 - 7 6 5 3 . K u n i n , B . I . , 1 9 9 4 , “ A s t o c h a s t i c M o d e l f o r S l o w C r a c k G r o w t h i n B r i t t l e M a t e r i a l s , ” A p p l i e d M e c h a n i c s R e v i e w s . , V o l . 4 7 , p p . 8 1 7 5 - 8 1 8 3 . 2 6 4 L e e , M . , J a s i u k , I . , a n d T s u c h i d a , E . , 1 9 9 2 “ T h e S l i d i n g C i r c u l a r I n c l u s i o n i n a n E l a s t i c H a l f - P l a n e , ” , J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , V o l . 5 9 , p p . 5 7 - 6 4 . L i n , Y . K . , a n d Y a n g . J . N . , 1 9 8 3 , “ O n S t a t i s t i c a l M o m e n t s o f F a t i g u e C r a c k P r o p a g a t i o n , ” E n g i n e e r i n g F r a c t u r e M e c h a n i c s . V o l . 1 8 , p p . 2 4 3 - 2 5 6 . M a g n u s e n , P . E . , D u b e n s k y , E . M . , a n d K o s s , D . A . , 1 9 8 8 , “ T h e E f f e c t o f V o i d A r r a y s o n V o i d L i n k i n g D u r i n g D u c t i l e F r a c t u r e , ” A c t a M e t a l l . V o l . 3 6 . p p . 1 5 0 3 - 1 5 0 9 . M a r l o f f , R . , a n d D a n i e l , I . , 1 9 6 9 , “ T h r e e - D i m e n s i o n a l P h o t o e l a s t i c A n a l y s i s o f 6 F i b e r - R e i n f o r c e d C o m p o s i t e M o d e l , ” E x p e r i m e n t a l M e c h a n i c s , V o l . 9 , p p . 1 5 6 - 1 6 2 . M i k a t a , Y . a n d T a y a , M . , 1 9 8 5 , “ S t r e s s F i e l d i n a C o a t e d C o n t i n u o u s F i b e r C o m p o s i t e S u b j e c t e d t o T h e r m o - M e c h a n i c a l L o a d i n g , ” J o u r n a l o f C o m p o s i t e M a t e r i a l s , V o l . 1 9 , p p . 5 5 4 - 5 7 9 . M i n d l i n , R . D . , 1 9 4 8 , “ S t r e s s D i s t r i b u t i o n a r o u n d a H o l e N e a r t h e E d g e o f a P l a t e U n d e r T e n s i o n , ” P r o c e e d i n g s o f t h e S o c i e t y f o r E x p e r i m e n t a l S t r e s s A n a l y s i s , V o l . 5 , p p . 5 6 - 6 8 . M o e t , A . , M o s t a f a , I . , C h u d n o v s k y , A . , a n d K u n i n , B . , 1 9 9 2 , “ P r o b a b i l i s t i c F r a c t u r e M e c h a n i s c o f 2 D C a r b o n - C a r b o n C o m p o s i t e . ” I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f F r a c t u r e , V o l . 5 5 , p p . 1 7 9 - 1 9 1 . M M u u r r a a , , T . , 1 T , a n 9 d 8 7 , M i c r o m e c h a F u r u h a s h i , R . , n 1 i 9 c s o f 8 4 , “ T D h e f e e E c l t s i n S o l i d s a s t i c I n c l u s , i 2 n d e d . , M a o n w i t h a S l i r d t i i n n u s g I n t N e i r j f h a o f f , D o r - c e , ” J o u r - 2 6 5 d r e c h t . n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , V o l . 5 1 , p p . 3 0 8 - 3 1 0 . M u s k h e l i s h v i l i , N . I . , 1 9 5 3 , S o m e B a s i c P r o b l e m s o f t h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c - i t y , P . N o o r d h o f f L t d . , G r o n i n g e n , H o l l a n d , p p . 2 1 4 - 2 1 7 . N e e d l e m a n , A . , a n d K u s h n e r , A . S . , 1 9 9 0 , “ A n A n a l y s i s o f V o i d D i s t r i b u t i o n E f f e c t s o n P l a s t i c F l o w i n P o r o u s S o l i d s , ” E u r . J . M e c h . , A / S o l i d s . V o l . 9 , p p . 1 9 3 - 2 0 6 . O s t o j a - S t a r z e w s k i M a n d L e e , J . D . , “ D a m a g e m a p s o f D i s o r d e d c o m p o s i t e s : a S p r i n g N e t w o r k A p p r o a c h , ” I n t . J . F r a c t u r e , s u b m i t t e d . P a g a n o , N . J . a n d T a n d o n , C R , 1 9 8 8 , “ E l a s t i c R e s p o n s e o f M u l t i d i r e c t i o n a l C o a t e d F i b e r C o m p o s i t e s , ” C o m p o s i t e s S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , V o l . 3 1 , p p . 2 7 3 - 2 9 3 . P u k a n s z k y , B . , a n d V o r o s , G . , 1 9 9 3 , “ M e c h a n i s m o f I n t e r f a c i a l I n t e r a c t i o n i n P a r t i c u l a t e F i l l e d C o m p o s i t e s . ” C o m p o s i t e I n t e r f a c e s , V o l . 1 , p p . 4 1 1 - 4 2 7 . P y r z , R . , a n d B o c h e n e k , B . , 1 9 9 4 , “ S t a t i s t i c a l M o d e l o f F r a c t u r e i n M a t e r i a l s w i t h D i s o r - d e r e d M i c r o s t r u c t u r e , ” S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g o f C o m p o s i t e M a t e r i a l s . V o l . 3 , p p . 9 5 - 1 0 9 . S E c l h l a a s t i n c g a e l n l , y E U . n , i a f n o d r G m a R r b o a n c d z o i , 1 9 9 m G e o 5 m “ t e N r e y w L M e a t t i d t c h e ” o , f t o . r S J . i E m n u g l r a : I n t i n S c i g . F , r s a u c b t m u i r t e t e U d s . i n g a n d 2 6 6 P y r z , R . , a n d B o c h e n e k , B . , 1 9 9 5 , “ D i s c r e t e M o d e l o f F r a c t u r e i n D i s o r d e r e d T w o - P h a s e M a t e r i a l s , ” i n I U T A M S y m p o s i u m o f M i c r o s t r u c t u r e - P r o p e r t y I n t e r a c t i o n s i n C o m p o s i t e M a t e r i a l s ( e d . R . P y r z ) , p p . 3 1 3 - 3 2 6 , K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s . P y r z , R . , 1 9 9 4 , “ Q u a n t i t a t i v e D e s c r i p t i o n o f t h e M i c r o s t r u c t u r e o f C o m p o s i t e s . P a r t I : M o r p h o l o g y o f U n i d i r e c t i o n a l C o m p o s i t e S y s t e m s ” C a m p o s . S c i . & T e c h . V o l . 5 0 , p p . 1 9 7 - 2 0 8 . R i c h a r d s o n , M . , K . , 1 9 6 9 , “ I n t e r f e r e n c e S t r e s s i n a H a l f P l a n e C o n t a i n i n g a n E l a s t i c D i s k o f S a m e M a t e r i a l , ” A S M E J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , V o l . 3 6 , p p . 1 2 8 - 1 3 0 . S c h l a n g e n , E . , 1 9 9 3 , E x p e r i m e n t a l a n d N u m e r i c a l A n a l y s i s o f F r a c t u r e P r o c e s s i n C o n - c r e t e , P h D . t h e s i s : D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , T h e N e t h e r l a n d s . S a l e m e , E . , M . , 1 9 5 8 , “ S t r e s s D i s t r i b u t i o n A r o u n d a C i r c u l a r I n c l u s i o n i n a S e m i - I n fi n i t e E l a s t i c P l a t e , ” A S M E J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , V o l . 2 5 , p p . 1 2 9 - 1 3 5 . S h i o y a , S . , 1 9 6 7 , “ O n a S e m i - I n fi n i t e T h i n P l a t e W i t h C i r c u l a r I n c l u s i o n U n d e r U n i f o r m T e n s i o n , ” B u l l e t i n o f J S M E , V o l . 1 0 , p p . 1 - 9 . S M c i h c l r a n g e n , o m e c h a E n . , a n i c s d o v a n M i e r , J . f F r a c t u r e o f G C . e M . , m e n 1 t 9 - 9 2 B , a “ E s e x d p e r i m e n t a l a n C o m p o s i t e s , ” d C N e u m m e e n r t i c & a l C A n a l y s i o n c r e t e s C o o f m - 2 6 7 p o s . V o l . 1 4 . p p . 1 0 5 - 1 1 8 . S i h , G . , l 9 7 4 “ S t r a i n - E n e r g y - D e n s i t y F a c t o r A p p l i e d t o M i x e d - M o d e C r a c k P r o b l e m s ’ ” I n t , J . F r a c t u r e M e c h . V o l 1 0 , p p . 3 1 1 - 3 2 1 . S n y d e r , K . A . , G a r b o c z i , E . J . , a n d D a y , A , 1 9 9 2 , “ T i r e E l a s t i c M o d u l i o f a S i m p l e 2 - D I s o - t r o p i c C o m p o s i t e : C o m p u t e r S i m u l a t i o n a n d E f f e c t i v e M e d i u m T h e o r y , ” J . A p p l . P h y s , V o l . 7 2 . p p . 5 9 4 8 - 5 9 5 5 . T h e o c a r i s , P . S . , 1 9 9 5 “ F a i l u r e C r i t e r i a f o r I s o t r o p i c B o d i e s R e v i s e d , ” E n g n g . F r a c t . M e c h . , V o l . 5 1 , p p . 2 3 9 - 2 6 4 T h o r p e , M . , a n d D a y , A . , 1 9 9 4 , “ C o m p a r i s o n o f C o m p u t e d E l a s t i c M o d u l i w i t h S e c o n d a n d T h i r d o r d e r B o u n d s f o r F i b e r A l i g n e d C o m p o s i t e s , ” s u b m i t t e d . T v e r g a a r d , V . , 1 9 8 2 , “ O n L o c a l i z a t i o n i n D u c t i l e M a t e r i a l s C o n t a i n i n g S p h e r i c a l V o i d s , ” I n t . J . F r a c t u r e . V o l . 1 8 , p p . 2 3 7 - 2 5 1 . U g u r a l , A C . a n d F e n s t e r , S . K . , 1 9 9 5 , A d v a n c e d S t r e n g t h a n d A p p l i e d E l a s t i c i t y , 3 r d e d . P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J , p . 1 6 1 . 2 6 8 W r i g h t , W . W . , 1 9 9 0 , “ T h e C a r b o n F i b e r / e p o x y R e s i n I n t e r p h a s e - A R e v i e w - P a r t I I , ” C o m p o s i t e s P o l y m e r s , V o l . 3 , p p . 3 6 0 - 4 0 1 . X u , X . , a n d N e e d l e m a n , A . , 1 9 9 1 , “ S i m u l a t i o n s o f D u c t i l e F a i l u r e w i t h T w o S i z e S c a l e s o f V o i d s , ” E u r : J . M e c h . , A / S o l i d s . V o l . 1 0 , p p . 4 5 9 - 4 8 4 . Z h a n g , J . , a n d K a t s u b e , N . 1 9 9 5 , “ A H y b r i d F i n i t e E l e m e n t M e t h o d F o r H e t e r o g e n e o u s M a t e r i a l s w i t h R a n d o m l y D i s p e r s e d E l a s t i c I n c l u s i o n s , ” F i n i t e E l e m e n t s A n a l y s i s a n d D e s i g n . V o l . 1 9 , p p . 4 5 - 5 5 . Z h a n g , X . S . , 1 9 8 8 , “ A n I n fi n i t e S h e e t W e a k e n e d b y D o u b l y P e r i o d i c C i r c u l a r H o l e s w i t h T w o U n e q u a l R a d i a l C r a c k s , ” E n g n g . F r a c t u r e M e c h . , V o l . 3 1 , p p . 8 3 7 - 8 4 5 . Z h u , H . a n d A c h e n b a c h , J . , 1 9 9 1 , “ R a d i a l M a t r i x C r a c k i n g a n d I n t e r p h a s e F a i l u r e i n T r a n s v e r s e l y L o a d e d F i b e r C o m p o s i t e s , ” M e c h . M a t e r , V o l . 1 1 , p p . 3 4 7 - 3 5 6 . Z u b e l e w i c z , A . , a n d B a z a n t , Z . , 1 9 8 7 , “ I n t e r f a c e E l e m e n t M o d e l i n g o f F r a c t u r e i n A g g r e - g a t e C o m p o s i t e s , ” J . E n g n g . M e c h . , V o l . 1 1 3 , p p . 1 6 1 9 - 1 6 3 0 . A P P E N D I X E X P E R I M E N T A L S E T - U P 2 6 9 2 7 0 T A S K ] : T H E I N F L U E N C E O F I N T E R F A C E A N D R A N D O M A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N L O C A L S T R E S S E S I N C O M P O S I T E M A T E R I A L S W T h e e x p e r i m e n t a l s e t - u p i n v o l v e d e p o x y p l a t e s m a n u f a c t u r e d b y t h e M e a s u r e m e n t G r o u p , I n c . ( P H O T O E L A S T I C D I V I S I O N . M E A S U R E M E N T G R O U P . I N C . P . 0 . B O X 2 7 7 7 7 , R A L E I G H , N O R T H C A R O L I N A 2 7 6 1 1 , U S A . T E L E P H O N E ( 9 1 9 ) 3 6 5 - 3 8 0 0 . F A X ( 9 1 9 ) 3 6 5 - 3 6 5 - 3 9 4 5 ) u n d e r a c o m m e r c i a l n a m e o f P S M - S . T h e e p o x y p l a t e s w e r e c u t w i t h a b a n d s a w , o p e r a t e d a t a s l o w r a t e t o t h e d i m e n s i o n s o f 3 . 2 x l 3 . 0 x 0 . 1 2 5 i n c h e s . T h e p i t c h o f t h e t e e t h o n t h e b a n d s a w b l a d e w a s a b o u t 0 . 1 i n . s o t h a t a t l e a s t t w o t e e t h a r e a l w a y s i n c o n t a c t w i t h t h e e d g e o f t h e e p o x y p l a t e . T h e n t h e c u t e d g e s w e r e m i l l e d u s i n g a v e r t i c a l m i l l i n g m a c h i n e , c u t t i n g o n t h e s i d e o f a n e n d m i l l u s i n g s h a r p c u t t e r s w i t h a n a i r j e t d i r e c t e d a t t h e p o i n t o f t o o l c o n t a c t w i t h t h e m o d e l t o m i n i m i z e h e a t i n g . T h e c u t l e t s u s e d w e r e 0 . 1 2 5 i n . i n d i a m e t e r a n d t h e u s e d c u t t e r s p e e d w a s 7 5 0 r p m . T h e n 3 1 r a n d o m l y d i s t r i b u t e d n o n - o v e r l a p p i n g c o a t e d c i r c u l a r c o p p e r i n c l u s i o n s ( F i g . 2 . 2 ) , w h i c h w e r e 0 . 2 5 i n c h e s i n d i a m e t e r ( v o l u m e f r a c t i o n o f i n c l u s i o n s i s a p p r o x i m a t e l y 2 3 % i n t h e m i d d l e p o r - t i o n o f t h e s p e c i m e n ) w e r e i n t r o d u c e d i n t h e e p o x y p l a t e s . T o c r e a t e a n o n - u n i f o r m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s t h e r a n d o m n u m b e r s , i n d i c a t i n g t h e c e n t e r s o f i n c l u s i o n s , w e r e 2 7 1 g e n e r a t e d b y a c o m p u t e r a c c o r d i n g t o a p l a n a r P o i s s o n ’ s d i s t r i b u t i o n . W e i m p o s e d r e s t r i c - t i o n s t h a t t h e c o a t e d i n c l u s i o n s d i d n ’ t o v e r l a p , w e r e l o c a t e d a t l e a s t o n e d i a m e t e r a w a y f r o m t h e e d g e o f t h e s p e c i m e n , a n d t h e r e w a s a m i n i m u m c l e a r d i s t a n c e 0 . 1 a b e t w e e n a n y t w o i n c l u s i o n s ( a i s t h e i n c l u s i o n r a d i u s ) . I n c l u s i o n s w e r e i n t r o d u c e d i n t h e f o l l o w i n g w a y . A f t e r c u t t i n g t h e e p o x y p l a t e s t o t h e d e s i r e d d i m e n s i o n s ( 3 . 2 x 1 3 x 0 . 1 2 5 i n c h e s ) , t h e e p o x y p l a t e s w e r e p l a c e d o n e a t a t i m e b e t w e e n t w o s t e e l p l a t e s a n d h o l e s w e r e d r i l l e d a t a s l o w s p e e d o f 1 0 0 0 r p m w i t h a s t e a d y b u t s l o w f e e d s o f t h e m a t e r i a l t o r e d u c e r e s i d u a l s t r e s s e s a n d t o m i n i m i z e r n i c r o c r a c k s . T h e h o l e s w e r e d r i l l e d a c c o r d i n g t o t h e r a n d o m d i s t r i b u t i o n a s d e s c r i b e d a b o v e a n d t h e y w e r e o f t h e s i z e e q u a l t h e c o m b i n e d s i z e o f i n c l u s i o n s a n d t h e c o a t i n g s . T o r e m o v e a n y r e m a i n i n g r e s i d u a l s t r e s s e s d u e t o m a c h i n i n g , t h e s p e c i m e n s w e r e h e a t e d t o 2 6 0 0 ! ? ( w h i c h i s b e y o n d t h e g l a s s t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e ) , w e r e h e l d a t t h i s t e m p e r a t u r e f o r t w o h o u r s a n d t h e n c o o l e d a t t h e r a t e o f ( 5 0 F ) / h r t o I S O O F , a n d fi n a l l y c o o l e d i n 7 h o u r s t o a r o o m t e m p e r a t u r e . I n o r d e r t o a l l o w f r e e e x p a n s i o n o f t h e m o d e l , t h e e p o x y s u r f a c e w a s c o a t e d w i t h a v e r y t h i n u n i f o r m l a y e r o f r e l e a s i n g a g e n t , t h e n i t w a s p l a c e d o n a s m o o t h fl a t p l a t e i n t h e o v e n t o s u p p o r t t h e m o d e l d u r i n g a n n e a l i n g . T o s i m u - l a t e d i f f e r e n t i n t e r p h a s e s t h e i n c l u s i o n s w e r e c o a t e d w i t h t w o d i f f e r e n t a d h e s i v e m a t e r i a l s w i t h a c o a t i n g t h i c k n e s s e q u a l t o 0 . 2 5 a ( c o a t i n g 1 a n d c o a t i n g 2 ) o r u s i n g a t h i n a d h e s i v e m a t e r i a l w h i c h h a d t h e s a m e p r o p e r t i e s o f t h e m a t r i x t o s i m u l a t e a n o c o a t i n g c o n d i t i o n ( c o a t i n g 4 ) . T h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s e m a t e r i a l s a r e s h o w n i n T a b l e 2 . 1 . A l l c o a t - i n g s ( a d h e s i v e s ) w e r e p u r c h a s e d f r o m t h e M E A S U R E M E N T G R O U P , I N C . a n d a l l o f 2 7 2 t h e m w e r e B i s p h e n o l - A b a s e d e p o x y r e s i n m a t e r i a l s m a d e o f t w o c o m p o n e n t s : a r e s i n a n d a h a r d e n e r . O n e g r a m o f m i x e d a d h e s i v e w o u l d c o v e r a p p r o x i m a t e l y 1 . 5 i n . 2 a r e a . T h e m i x i n g p r o p o r t i o n f o r c o a t i n g 1 w h i c h h a d a c o m m e r c i a l n a m e o f P C - l w e r e 9 0 . 9 % r e s i n t o 9 . 1 % h a r d e n e r a n d a m i x t u r e p r o p o r t i o n o f 5 0 % o f r e s i n t o 5 0 % o f h a r d e n e r w a s u s e d t o p r e p a r e c o a t i n g 2 w h i c h h a d a c o m m e r c i a l n a m e o f P C - 6 . C o a t i n g 3 h a d a c o m m e r c i a l n a m e P C - l l . T h e u s e d m i x t u r e p r o p o r t i o n s f o r P C - l l w e r e 4 0 % o f r e s i n t o 6 0 % o f h a r d - e n e r . W h e r e a s P C - l l a n d P C - 6 c a n b e m i x e d a t r o o m t e m p e r a t u r e , P C - I l r e q u i r e d a p r e - h e a t i n g p r i o r t o m i x i n g o r d e r t o o b t a i n a s m o o t h h o m o g e n e o u s m i x t u r e o f a h i g h l y v i s c o u s m a t e r i a l . T h e p o t l i f e o f a l l u s e d a d h e s i v e s w a s a p p r o x i m a t e l y 2 0 - 3 0 m i n u t e s . B o t h t h e s u r f a c e o f t h e i n c l u s i o n s a n d t h e h o l e s n e e d e d t o b e c l e a n b e f o r e s p r e a d i n g t h e a d h e s i v e s , s o w e u s e d A s i t o n t o c l e a n t h o s e s u r f a c e s . A l s o , i t i s r e c o m m e n d e d t h a t t h e t e s t p a r t s u r - f a c e t o b e w a r m e d p r i o r t o s p r e a d i n g o f t h e a d h e s i v e m a t e r i a l i n c a s e o f u s i n g P C - l l a d h e - s i v e . A f t e r p r e p a r a t i o n o f t h e a d h e s i v e s m a s k i n g t a p e w a s u s e d t o p l a c e t h e i n c l u s i o n s a t t h e c e n t e r s o f t h e h o l e s t h e n t h e g a p s b e t w e e n t h e h o l e s a n d i n c l u s i o n s w e r e fi l l e d w i t h t h e d e s i r e d c o a t i n g m a t e r i a l . T h e c o a t i n g s w e r e a l l o w e d t o s e t f o r a t l e a s t 2 4 h o u r s b e f o r e t e s t - i n g . P h o t o e l a s t i c m e a s u r e m e n t s . A f t e r t h e p r e p a r a t i o n o f s a m p l e s t h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d w a s u s e d t o fi n d t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n s i n t h e s e b i r e f r i n g e n t c o m p o s i t e p l a t e s s u b j e c t e d t o a u n i a x i a l t r a n s v e r s e l o a d - T h h e a e p s t h o e x y f o r l e l s o i w n i u s n g e c d h w a e m i s c E p a l o s n 8 t r u c 2 t 8 u r w e h ( i G c u h p i s t a b e a t s a e l d . i 1 n 9 a n d d i g l y c i d y l e t h e r o f B i s p h e n o l - A 8 5 ) 2 7 3 i n g . T h e l o a d i n g w a s a p p l i e d b y fi x i n g t h e b o t t o m s i d e o f t h e s p e c i m e n a n d t h e n a p p l y i n g a u n i a x i a l f o r c e o n t h e o t h e r s i d e o f t h e s p e c i m e n . W e u s e d M o d u l a r T r a n s m i s s i o n P o l a r i - s c o p e m o d e l 0 6 1 m a n u f a c t u r e d b y t h e M E A S U R E M E N T G R O U P . T h i s i n s t r u m e n t w a s e q u i p p e d w i t h g l a s s l a m i n a t e d p a r a l y z e r , a n a l y z e r , a n d q u a r t e r w a v e p l a t e fi l t e r s . T h e a n g u l a r r e a d i n g s o f t h i s s e t u p w e r e r e a d a b l e t o 1 / 2 d e g r e e . I n t h e c i r c u l a r p o l a r i s c o p e c o n - d i t i o n , t h e a n a l y z e r w a s i n d e p e n d e n t l y r o t a t a b l e t o p r o v i d e f r a c t i o n a l f r i n g e m e a s u r e m e n t b y T a r d y C o m p e n s a t i o n . T h e a n a l y z e r r o t a t i o n w a s s h o w n o n t h e m e a s u r i n g d i a l a n d w a s r e a d a b l e t o 0 . 1 o f a f r i n g e . T o h a v e a m o n o c h r o m a t i c l i g h t w e u s e d a s o d i u m l a m p w i t h a w a v e l e n g t h o f 5 8 9 n m . I n o r d e r t o c a l i b r a t e t h e e p o x y m a t r i x m a t e r i a l f o r t h e f r i n g e v a l u e f a d i f f e r e n t l e v e l s o f l o a d i n g w e r e a p p l i e d t o e i t h e r s p e c i m e n s i n v o l v i n g t h i n s h e e t s w i t h a h o l e o r t o a t w o - p o i n t - l o a d e d b e a m . T h e a v e r a g e v a l u e o f n u m b e r o f f r i n g e s w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l f r i n g e v a l u e f o . F o r o u r c a s e f 0 w a s f o u n d t o b e 5 3 l b / i n / f r i n g e a t r o o m t e m p e r a t u r e . T A S K 2 : T H E I N F L U E N C E O F I N T E R F A C E A N D R A N D O M A R R A N G E M E N T O F I N C L U S I O N S O N T H E R E S I D U A L S T R E S S E S I N A M O D E L C O M P O S I T E M A T E R I A L S a m p l e P r e p a r a t i o n < 1 . . . 2 7 4 0 * : O H C H 0 ‘ 3 / O \ l c ) " / \ C H , - C H - C H 2 - O - ( I : o — c r - l , » « c u r - o _ c - - - - 0 - - C H 2 - - ( ‘ H - - C H _ — C H , C " : T h e c u r i n g a g e n t u s e d w a s m e t a p h e n y l e n e d i a m i n e h a v i n g t h e f o l l o w i n g c h e m i c a l s t r u c t u r e " “ 2 T h e c u r i n g a g e n t c o n c e n t r a t i o n w a s c a l c u l a t e d b y G u p t a e t a l . ( 1 9 8 5 ) t o b e 1 4 . 5 p a r t s p e r h u n d r e d p a r t s o f r e s i n s o t h a t t h e e p o x y a m i n e r a t i o i s 1 : 1 . T o p r e p a r e t h e e p o x y m a t r i x , t h e r e s i n a n d t h e c u r i n g a g e n t w e r e h e a t e d i n s e p a r a t e c o n t a i n e r s a t 7 5 ° C ( 1 6 7 ° F ) f o r a p p r o x i m a t e l y 1 5 m i n u t e s ( u n t i l t h e c u r i n g a g e n t m e l t e d ) , t h e n t h e y w e r e m i x e d t o g e t h e r . T h e m i x t u r e w a s t h e n v a c u u m - g a s s e d . N e x t , t h e e p o x y r e s i n m i x t u r e w a s p o u r e d i n t o s i l i c o n e r u b b e r m o d e l s t o f o r m 1 . 6 x 3 . 5 x 0 . 1 2 5 i n c h r e c t a n - g u l a r s p e c i m e n s o r d o g b o n e s t a n d a r d s h a p e c o n t r o l s p e c i m e n s . I n c l u s i o n s w e r e p l a c e d i n r a n d o m a t t h e m i d d l e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n a n d t h e y w e r e a t l e a s t a d i s t a n c e o f o n e d i a m e t e r a w a y f r o m t h e f r e e s u r f a c e t o m i n i m i z e t h e f r e e s u r f a c e e f f e c t ( L e e e t ' a l . 1 9 9 2 ) . W e u s e d e i t h e r u n c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s o r c o a t e d c o p p e r i n c l u s i o n s . T h e c o a t i n g w a s a p p l i e d t o t h e i n c l u s i o n s a n d a l l o w e d t o s e t f o r a t l e a s t 2 4 h o u r s b e f o r e p l a c i n g t h e c o a t e d i n c l u s i o n s i n t h e l i q u i d e p o x y m a t r i x . P r e - m a d e s i l i c o n e m o l d s w i t h c a v i t i e s e q u a l t o t h e c o m b i n e d s i z e o f t h e i n c l u s i o n s a n d t h e c o a t i n g s w e r e u s e d , t h e i n c l u s i o n s w e r e p l a c e d i n 2 7 5 t h e c e n t e r o f t h e s e s c a v i t i e s a n d t h e c o a t i n g a d h e s i v e s w e r e u s e d t o fi l l t h e r e m a i n i n g g a p . I n t h i s t a s k w e u s e d t h e s a m e c o a t i n g s d e s c r i b e d i n t a s k 1 . T h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e p o x y m a t r i x , i n c l u s i o n a n d c o a t i n g s u s e d i n t h i s p h a s e o f t h e s t u d y a r e s h o w n i n T a b l e 3 . 1 . T o s t u d y t h e e f f e c t o f g e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n , t w o r a n d o m a r r a n g e m e n t s o f i n c l u s i o n s w i t h v o l u m e f r a c t i o n 1 4 % a n d 2 0 % w e r e p r e p a r e d . T h e l o c a t i o n o f t h e s e fi b e r s w a s d i g i - t i z e d t o b e i n c o r p o r a t e d i n t h e fi n i t e e l e m e n t a n a l y s i s . F o r a c o m p a r i s o n w e a l s o p r e p a r e d p e r i o d i c a r r a n g e m e n t ( t r i a n g u l a r ) w i t h a v o l u m e f r a c t i o n o f 2 7 . 5 % s a m p l e s . T h e m o d e l e p o x y - c o p p e r c o m p o s i t e w a s t h e n c u r e d i n a p r e - p r o g r a m e d o v e n . T h e c u r i n g c y c l e u s e d w a s 7 5 ° C ( 1 6 7 ° F ) f o r t w o h o u r s f o l l o w e d b y 1 2 5 ° C ( 2 5 7 ° F ) f o r a n o t h e r t w o h o u r s , t h e n t h e c o m p o s i t e w a s e i t h e r h e a t e d t o 1 6 0 ° C ( 3 2 0 ° F ) , w h i c h i s t h e g l a s s t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e f o r t h i s e p o x y , h e l d f o r t w o h o u r s a n d t h e n c o o l e d t o r o o m t e m p e r a t u r e a t s l o w c o o l i n g a t r a t e o f 2 5 ° C ( 5 ° F ) / h o u r ( p o s t c u r i n g ) , o r c o o l e d d i r e c t l y t o r o o m t e m p e r a t u r e w i t h o u t p o s t c u r i n g ( s t a n d a r d c u r i n g ) . I n o u r s t u d y w e c o n s i d e r e d t h e m o d e l c o m p o s i t e i n a f o r m o f a t h i n p l a t e i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e e x p e r i m e n t a l a n a l y s i s . B y h a v i n g t h e p l a n e s t r e s s c a s e w e r e d u c e t h e f r e e e d g e e f f e c t s , i . e . t h e d i s t u r b a n c e o f t h e s t r e s s e s n e a r t h e t w o t r a c t i o n - f r e e s u r f a c e s d u e t o a r e l a x a t i o n o f s t r e s s e s t h e r e , a n d , i n t h i s c a s e , w e c a n s e e t h e p h o t o e l a s t i c f r i n g e s m o r e e a s - i l y . A l t e r n a t i v e l y , w e c o u l d s i m u l a t e d i r e c t l y t h e p l a n e s t r a i n c a s e b y u s i n g a f r i n g e f r e e z - i n g t e c h n i q u e a s m e n t i o n e d b e f o r e . l l l ' l E ' 5 5 . l l ' T o s t u d y t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f v a r i o u s m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e p o x y 2 7 6 r e s i n t h r e e s e t s o f e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d . I n t h e fi r s t s e t , t h e t e n s i l e t e s t e r ( M T S ) w a s u s e d . U s i n g a s m a l l e n v i r o n m e n t a l c h a m b e r , t h e s t r e s s - s t r a i n d a t a a n d t h e a x i a l - t r a n s - v e r s e s t r a i n d a t a w e r e r e c o r d e d f o r 5 5 ° C a n d 8 5 ° C a t a s t r a i n r a t e o f 7 % . T h e a v e r a g e r e s u l t s o f t h r e e s p e c i m e n s f o r e a c h c a s e w e r e u s e d t o fi n d t h e e l a s t i c m o d u l u s a n d t h e P o i s - s o n ’ s r a t i o f o r b o t h p o s t a n d s t a n d a r d c u r i n g c o n d i t i o n s . I n t h e s e c o n d s e t o f e x p e r i m e n t s , I n s t r o n t e n s i l e m e a s u r e m e n t s w e r e u s e d t o fi n d t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e p o x y m a t r i x a t r o o m t e m p e r a t u r e . T h e l a s e r e x t e n s o m e t e r w a s u s e d t o m e a s u r e s t r a i n . S t r e s s - s t r a i n c u r v e s o f e p o x y m a t r i x f o r v a r i o u s t e m p e r a t u r e s a n d f o r t h e t w o c o o l i n g c o n d i t i o n s a r e p l o t t e d i n F i g u r e s 3 . 1 a a n d 3 . l b . T h e d a s h e d c u r v e i n F i g u r e 3 . 1 3 w a s o b t a i n e d b y G u p t a e t a l . ( 1 9 8 5 ) . U s i n g a r e g r e s s i o n a n a l y s i s , t h e v a r i a - t i o n o f t h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e e p o x y m a t r i x a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e T i s g i v e n b y : 1 5 ' " ( 7 ) = 6 . 2 9 7 4 ( 1 0 ) 5 - 6 . 7 7 9 8 ( r o fi r + 4 9 . 7 3 5 4 7 ‘ 2 - 0 1 5 7 7 9 9 7 1 3 p s i ( 3 . 8 ) T h i s v a r i a t i o n o f e l a s t i c m o d u l u s w i t h t e m p e r a t u r e i s r e p r e s e n t e d i n F i g . 3 . 2 . T h e e f f e c t o f t e m p e r a t u r e o n t h e P o i s s o n ’ s r a t i o o f t h e m a t r i x i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 3 a n d h a s t h e f o l l o w i n g f o r m I ? " ( T ) = 0 . 2 7 0 4 4 1 7 + 0 0 0 3 6 8 0 6 7 7 ~ - 1 . 3 3 5 5 2 9 T 2 - 4 . 2 6 1 I 9 T 3 ( 3 . 9 ) I n t h e t h i r d s e t o f e x p e r i m e n t s , t h e v a r i a t i o n o f t h e r m a l e x p a n s i o n w i t h t e m p e r a t u r e w a s u s e d t o c a l c u l a t e c o e f fi c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ( C I ' E ) o f t h e e p o x y - m a t r i x , c o a t i n g m a t e r i a l s a n d c o p p e r i n c l u s i o n s . t t r ( D m e f o r e d i n a l c o m F e i a f T " ) 0 7 = " 2 - . 4 t g fi . 9 u c i 1 2 o n o f r i e e 1 0 5 s n ( 3 . t ( 1 s 0 1 e 4 o ) 0 “ r t f p 5 2 h e - o 1 x ' y , c o r x o p u a g n h s 4 5 . 5 + 9 5 4 i a . 3 t o . i n 7 ( 0 1 9 w g ) n . 0 6 a h t T i ' ( 6 1 n h e T 0 d i e d e m t + r n 3 c p i . ) " 4 7 l v e 6 1 u a r s t a 8 0 - i i t 2 o v 1 u . n e 6 r 4 s ( e o 8 a 1 f 1 m t h w 0 4 p h ) i ( l o ” c 1 e s ? s e h 0 2 ) c a a " s u r r e a v f - 1 . 6 T 7 f o e 1 u u s 8 + n w n 1 c 6 8 t l i d ( . i u l 4 o s n g i 1 0 8 ) 7 n - p t l h o e m a ( 1 0 ) p e r o v i f e t a e m v a r e g r e g u o n r n e a o n i f a s l - 9 8 t i a 7 i o t 7 - r 9 2 s i 7 a s . 8 8 ( r 1 ' ” 0 ) + “ 1 2 7 7 y s i s 1 . 2 5 3 4 2 ( 1 0 r 2 ’ 1 ‘ 9 ( 3 . 1 0 ) S i m i l a r e x p r e s s i o n s w e r e o b t a i n e d f o r t h e c o a t i n g s a n d t h e i n c l u s i o n . P h t i e a s u r e m e n t s . P h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d w a s u s e d t o s t u d y t h e e f f e c t o f i n t e r p h a s e a n d t h e r a n d o m a r r a n g e m e n t o f i n c l u s i o n s o n t h e r m a l s t r e s s e s i n c o m p o s i t e s w i t h c a s t - i n - p l a c e i n c l u s i o n s f o r t w o c u r i n g c o n d i t i o n s : s t a n d a r d c u r i n g a n d p o s t c u r i n g . I n t h i s a n a l y s i s w e u s e d t w o c o m p l i a n t c o a t i n g s . W e u s e d i n t h e p h a s e t h e s a m e p o l a r i s c o p e d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . I n o r d e r t o c a l i b r a t e t h e e p o x y m a t r i x m a t e r i a l f o r t h e f r i n g e v a l u e f a d i f f e r e n t l e v e l s o f l o a d i n g w e r e a p p l i e d t o a t w o p o i n t l o a d e d b e a m ( F i g u r e 3 . 8 ) . T h e a v e r a g e v a l u e o f n u m b e r o f f r i n g e s w a s u s e d t o d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l f r i n g e v a l u e f 0 a c c o r d i n g t o t h e f o r m u l a ( 7 1 - 0 2 = 7 1 — 9 . F o r o u r c a s e f w a s f o u n d t o b e 1 4 . 5 l b / i n / f r i n g e a t r o o m t e m p e r - a t u r e . 2 7 8 T A S K 3 : T H E D A M A G E I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N I N A M O D E L C O M - P O S I T E W I T H A N E M P H A S I S O N C R A C K I N I T I A T I O N A N D P R O P A G A T I O N I N A N E L A S T I C P L A T E W I T H R A N D O M L Y D I S T R I B U T E D H O L E S m m T h e e x p e r i m e n t a l s e t - u p i n v o l v e d t h i n p e r f o r a t e d s h e e t s m a d e o f e i t h e r a n e p o x y o r a n a l u m i n u m ( 2 0 2 4 - T 4 ) , e a c h c o n t a i n i n g 3 1 r a n d o m l y d i s t r i b u t e d n o n - o v e r l a p p i n g c i r c u l a r h o l e s o f t h e s a m e s i z e ( v o l u m e f r a c t i o n o f h o l e s i s 2 3 % i n t h e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n a w a y f r o m t h e e d g e s ) . T h e d i s t r i b u t i o n o f h o l e s w a s o b t a i n e d b y g e n e r a t i n g r a n d o m n u m - b e r s t o s i m u l a t e t h e l o c i o f t h e h o l e s ’ c e n t e r s . W e i m p o s e d r e s t r i c t i o n s t h a t t h e h o l e s d i d n o t o v e r l a p , t h e y w e r e l o c a t e d a t l e a s t o n e d i a m e t e r a w a y f r o m t h e e d g e s o f t h e s p e c i m e n a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e h o l e s w a s a t l e a s t 0 . 1 a , w h e r e a w a s t h e h o l e r a d i u s . T h e d i m e n s i o n s o f e a c h e p o x y p l a t e w e r e 3 . 5 ” x 9 ” x 0 . 1 2 5 ” p r o d u c e d i n t h e s a m e m a n n e r d e s c r i b e d f o r p h a s e 1 o f t h i s s t u d y . T h e h o l e s w e r e e i t h e r O . 2 5 ” o r 0 . 3 1 2 5 ” i n d i a m e t e r . T h e h o l e s w e r e i n t r o d u c e d i n t h e m a n n e r d e s c r i b e d i n t a s k 1 . A f t e r t h e p r e p a r a t i o n o f t h e e p o x y s a m p l e s t h e p h o t o e l a s t i c i t y m e t h o d w a s u s e d t o fi n d t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n s i n t h e s e b i r e f r i n g e n t p e r f o r a t e d p l a t e s . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l f r i n g e v a l u e f o f o r t h e e p o x y m a t e r i a l u s e d , d i f f e r e n t l e v e l s o f l o a d i n g w e r e a p p l i e d t o e i t h e r s p e c i m e n s w i t h a h o l e o r t o a f o u r - p o i n t - l o a d e d b e a m . I t i s k n o w n f r o m t h e o r y o f p l a n e e l a s t i c i t y ( M i c h e l l , 1 8 9 9 ; T i m o s h e n k o a n d G o o d i e r , 1 9 5 6 ) t h a t , w h e n a m a t e r i a l w i t h h o l e s i s s u b j e c t e d t o t r a c t i o n s a n d t h e r e s u l t a n t o f f o r c e s o v e r e a c h h o l e b o u n d a r y v a n i s h e s , t h e s t r e s s fi e l d i s i n d e p e n d e n t o f e l a s t i c c o n s t a n t s . T h u s , t h e s t r e s s e s o b t a i n e d f r o m t h e a n a l y s i s o f f r i n g e 2 7 9 p a t t e r n s a r e a p p l i c a b l e f o r b o t h m a t e r i a l s y s t e m s s t u d i e d , w h e n t h e y a r e i n t h e e l a s t i c r a n g e . W T h e c r a c k p r o p a g a t i o n t e s t s w e r e c o n d u c t e d u s i n g a n I n s t r o n t e s t i n g m a c h i n e t h a t c o u l d a p p l y a c o n s t a n t d i s p l a c e m e n t r a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n . A n A S T M s t a n d a r d D 2 3 4 3 r e q u i r e s t h e u s e o f a c r o s s h e a d s p e e d o f 2 m m / m i n . T h i s r e c o m m e n d e d c r o s s h e a d s p e e d i s u s e d b y m a n y o t h e r A S T M s t a n d a r d s i n c a s e s w h e r e t h e s t r e s s i s d i s t r i b u t e d u n i f o r m l y a l o n g t h e t e s t e d c r o s s s e c t i o n . I n a m a t e r i a l w i t h h o l e s t h e s t r e s s i s n o t u n i f o r m a n d t h u s t h e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n i s m o r e t h a n 1 . 0 . I n o u r e x p e r i m e n t s w e u s e d a c r o s s h e a d s p e e d o f 0 . 1 m m / m i n . ( . 0 4 i n / m i n ) . T o m o n i t o r c r a c k p r o p a g a t i o n a n d fi n a l c r a c k p a t t e r n a h i g h s p e e d c a m e r a , w h i c h c o u l d c a p t u r e 3 0 0 0 f r a m e s / s e c . , w a s u s e d . T h e v i d e o c a m e r a w a s c o n n e c t e d t o a n i m a g e d i g i t i z e r a n d t h e o u t p u t w a s d i r e c t e d e i t h e r t o a s u p e r V C R o r a t h e r m a l p r i n t e r . T h e r e c o r d e d i m a g e w a s t h e n s t o r e d i n t h e c o m p u t e r a n d s t u d i e d f r a m e b y f r a m e t o d e t e r m i n e a s i t e o f c r a c k i n i t i a t i o n a n d c r a c k p a t h s . T h i s e x p e r i m e n t w a s d o n e f o r a s i n g l e r a n d o m c o n fi g u r a t i o n o f h o l e s o n l y b u t i t w a s r e p e a t e d o n s e v e r a l e p o x y a n d a l u - m i n u m s p e c i m e n s . " l l l l l l ‘ l l l l l l l l l l l f