H I A ‘ A . y . , _ - 4 - . , . ‘ . 1 . ‘ x - _ ‘ - ' 4 - » . . - . . . * _ . N 5 3 : 3 3 - ‘ . i . . m . ‘ w “ : : J l l l l l l l l l l l l l\ l l u l l l l l l l l l l L M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 - 1 2 7 7 1 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d C R E A T I N G A N D S T U D Y I N G A P R A C T I C E O F T E A C H I N G E L E M E N T A R Y M A T H E M A T I C S F O R U N D E R S T A N D I N G p r e s e n t e d b y R u t h M . H e a t o n h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P h . D . d e g r e e i n T e a c h e r n E d u c a t l o n W W W M a j o r p r o f e s s o r D a t e fl a t / L o d z 0 9 3 ! ” € 7 1 M l c h l g a n S t a t e L I B R A R Y U n l v e r s l t y P L A C E I N R E T U R N B O X t o r e m o v e t h l e M o m f r o m y o u r r e c o r d . T O A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e f o r e d a t e d u e . D A T E D U E D A m g é Q Q E D A T E D U E fl . F / L . ’ * 3 M A R a 1 9 9 9 + a . . 1 ” W ; ' , ‘ 1 2 9 6 3 9 : 1 6 — 2 9 : 9 1 ? M S U ! e . A . ' ! “ " C R E A T I N G A N D S T U D Y I N G A P R A C T I C E O F T E A C H I N G E L E M E N T A R Y M A T H E M A T I C S F O R U N D E R S T A N D I N G V o l u m e I B y R u t h M . H e a t o n A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 4 A B S T R A C T C R E A T I N G A N D S T U D Y I N G A P R A C T I C E O F T E A C H I N G E L E M E N T A R Y M A T H E M A T I C S F O R U N D E R S T A N D I N G B y R u t h M . H e a t o n W h a t w o u l d i t t a k e t o t e a c h e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s i n w a y s e n v i s i o n e d b y t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ? W h a t s t r u g g l e s w o u l d b e e x p e r i e n c e d b y t e a c h e r s a s t h e y t r a n s f o r m t h e i r t e a c h i n g ? W a n t i n g t o u n d e r s t a n d t h e s e q u e s t i o n s f r o m b o t h t h e i n s i d e a n d t h e o u t s i d e , f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f a r e s e a r c h e r a n d a t e a c h e r , t h e a u t h o r e m b a r k e d o n a y e a r o f t e a c h i n g f o u r t h - g r a d e m a t h e m a t i c s . I n h e r e f f o r t s t o e n a c t a v i s i o n o f t h e r e f o r m s , s h e u s e d a n i n n o v a t i v e t e x t b o o k , t a u g h t n e w t o p i c s , e x p e r i m e n t e d w i t h n e w m e t h o d s , e n c o u n t e r e d n e w m a t h e m a t i c s . D u r i n g t h e y e a r , s h e d o c u m e n t e d h e r t e a c h i n g . A u d i o t a p e s a n d v i d e o t a p e s o f h e r m a t h l e s s o n s w e r e m a d e , o b s e r v a t i o n s b y t w o c o l l e a g u e s w h o v i s i t e d h e r c l a s s r e g u l a r l y w e r e r e c o r d e d , i n t e r v i e w s w i t h h e r w e r e a u d i o t a p e d , a n d a d a i l y t e a c h i n g j o u r n a l w a s k e p t b y h e r . T h r e e y e a r s l a t e r s h e r e v i s i t e d t h e s e d a t a i n a n e f f o r t t o u n d e r s t a n d t h e l e a r n i n g s h e h a d t o d o t o m a k e c h a n g e s i n h e r t e a c h i n g p r a c t i c e . T h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y s h e d l i g h t o n s e v e r a l i m p o r t a n t q u e s t i o n s . F i r s t , w h a t d o e s i t t a k e — i n t e l l e c t u a l l y a n d e m o t i o n a l l y u f o r t e a c h e r s t o e m b r a c e n e w v i s i o n s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? W h a t m i g h t t h e y n e e d t o l e a r n a b o u t m a t h e m a t i c s ? W h a t c h a n g e s i n r e l a t i o n s h i p s w i t h s t u d e n t s a n d c u r r i c u l u m d o t h e y n e e d t o u n d e r g o i n o r d e r t o t e a c h i n t h e s e w a y s ? T h e a u t h o r f o u n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g e n t a i l s , s i m u l t a n e o u s l y , l e a r n i n g t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w h i l e d o i n g i t . H e r e x p e c t a t i o n s f o r w h a t w a s e n t a i l e d i n m a k i n g c h a n g e s w e r e r e v i s e d t h r o u g h o u t h e r e x p e r i e n c e s . S h e l e a r n e d t h a t s h e n e e d e d t o d e v e l o p a r e p e r t o i r e o f p e d a g o g i c a l o p t i o n s , r e p r e s e n t i n g a m i x o f o l d a n d n e w t e a c h i n g p r a c t i c e s , t o u s e a s a r e s o u r c e w h e n m a k i n g d e c i s i o n s i n p r a c t i c e a b o u t w h a t t o d o n e x t . S h e a l s o l e a r n e d t h a t p e d a g o g y i s d e e p l y c o n n e c t e d t o u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s , b o t h w h a t i t i s a n d h o w o n e k n o w s i t . H e r s t u d y i m p l i e s t h e n e e d t o m a k e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s e d u c a t i v e f o r t e a c h e r s a n d t o f o c u s t e a c h e r e d u c a t i o n o n l e a r n i n g a b a l a n c e o f p a r t i c u l a r s a b o u t m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y a s w e l l a s w h a t i t m e a n s t o k n o w i n a n y o n e o f t h o s e d o m a i n s . C o p y r i g h t b y R U T H M . H E A T O N 1 9 9 4 T o S t e v e a n d m y p a r e n t s A C K N O W L E D G E M E N T S T h i s d i s s e r t a t i o n h a s t a k e n a s t r e n g t h o f m i n d , c o u r a g e o f h e a r t , a n d t r u s t o f s e l f w h i c h I h a v e b e e n u n a b l e t o g e n e r a t e o r s u s t a i n o n m y o w n . I h a v e r e l i e d h e a v i l y o n a v a r i e t y o f p e o p l e f r o m t h e m o m e n t I d e c i d e d t o t e a c h f o u r t h g r a d e m a t h e m a t i c s t h r o u g h t h e f i n a l p r i n t i n g o f t h i s d o c u m e n t . I t i s t o t h e s e p e o p l e , w i t h m y d e e p e s t g r a t i t u d e , I n o w t u r n . I b e g i n w i t h t h e p e o p l e w h o m a d e t h e o p p o r t u n i t y t o c r e a t e a p r a c t i c e p o s s i b l e : t h e c l a s s r o o m t e a c h e r i n w h o s e c l a s s r o o m I w o r k e d a n d t h e f o u r t h g r a d e s t u d e n t s w i t h w h o m I w o r k e d . I a m t h a n k f u l t o t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r f o r g r a c i o u s l y s h a r i n g h e r c l a s s r o o m , s t u d e n t s , t i m e , a n d i n s i g h t s w i t h m e . I a m d e e p l y a p p r e c i a t i v e t o m y s t u d e n t s , w h o b e c a m e i n s t r u m e n t a l i n h e l p i n g m e u n d e r s t a n d w h a t i t m e a n s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I a m t h a n k f u l t o D a v i d C o h e n f o r h i s v i s i o n o f w h a t i t w o u l d m e a n t o t a k e m y e x p e r i e n c e s t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y a n d t u r n t h e m i n t o a s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h . N o t o n l y d i d D a v i d e n v i s i o n w h a t t h i s d i s s e r t a t i o n c o u l d b e , h e h a s w o r k e d c l o s e l y w i t h m e o n d e v e l o p i n g t h e c e n t r a l i d e a s o f e a c h o f t h e p a r t s . I a m d e e p l y a p p r e c i a t i v e t o h i m f o r a s k i n g t h e h a r d e s t q u e s t i o n s o f m e a n d m y w o r k a n d t e a c h i n g m e t h e b e n e f i t s o f w r i t i n g t o f i g u r e o u t w h a t I m e a n . D a v i d a n d t h e o t h e r m e m b e r s o f m y c o m m i t t e e , B i l l M c D i a r m i d , J a y F e a t h e r s t o n e , D e b o r a h B a l l a n d M a g d a l e n e L a m p e r t , a r e a n e x t r a o r d i n a r y c o l l e c t i o n o f i n d i v i d u a l s w h o h a v e e n c o u r a g e d a n d h e l p e d m e t o t a k e i n t e l l e c t u a l r i s k s a s a t e a c h e r a n d s c h o l a r t h a t I w o u l d n o t h a v e v e n t u r e d t o d o o n m y o w n . v i v i i A s m y a d v i s o r a n d t h e c h a i r o f m y c o m m i t t e e , B i l l M c D i a r m i d h a s h e l p e d m e t h i n k t h r o u g h m a n y o f t h e d e c i s i o n s s u r r o u n d i n g m y w o r k o v e r t h e p a s t f i v e y e a r s . I a m t h a n k f u l f o r B i l l ’ s p a t i e n c e a n d i n s i g h t f u l n e s s . H i s u n e n d i n g s u p p o r t h a s g i v e n m e t h e c o u r a g e t o a c t w h e n w h a t l a y b e f o r e m e s e e m e d j u s t t o o h a r d . I a m t h a n k f u l t o J a y F e a t h e r s t o n e f o r h e l p i n g m e t o s e e h o w I c o u l d d e l v e d e e p l y i n t o m a t h e m a t i c s a n d s t i l l h o l d f a s t t o m y b e l i e f t h a t e l e m e n t a r y t e a c h e r s o u g h t t o b e g e n e r a l i s t s . H e i s a l s o r e s p o n s i b l e f o r r e i n t r o d u c i n g m e t o L i f e o n t h e M i s s i s s i p p i a n d h e l p i n g m e u n d e r s t a n d t h e r e l e v a n c e o f T w a i n ’ s w o r k t o m i n e . D e b o r a h B a l l h a s b e e n i n v a l u a b l e t o m e a s a t e a c h e r a n d f r i e n d i n e v e r y s t a g e o f t h i s w o r k . S h e h a s i n v e s t e d c o u n t l e s s h o u r s i n e v e r y a s p e c t o f m y w o r k , f r o m d a t a a n a l y s i s t h r o u g h d r a f t s o f e v e r y c h a p t e r , t o o n u m e r o u s t o c o u n t , t o a c l o s e e d i t o f t h e f i n a l t e x t . F o r h e r i n s i g h t a n d s u p p o r t t h r o u g h t h e h i g h s a n d l o w s o f d o i n g t h i s w o r k , w h e n I k n o w s h e h a d a m i l l i o n o t h e r t h i n g s s h e c o u l d h a v e b e e n d o i n g , I a m d e e p l y t h a n k f u l . M a g g i e L a m p e r t , t h e d i r e c t o r o f m y d i s s e r t a t i o n , m y m e n t o r a n d f r i e n d , k n o w s m a n y o f t h e v o i c e s i n t h i s d i s s e r t a t i o n b e t t e r t h a n I d o . O v e r t h e p a s t f i v e y e a r s , s h e ’ s s p e n t m a n y h o u r s t a l k i n g t o e a c h o f t h e m , t a k e n t h e t i m e t o l e a r n o f t h e i r s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , a n d f o u n d w a y s t o n u r t u r e a n d d e v e l o p e a c h o f t h e m i n m e a s w e l l a s t h i s t e x t . F o r t h e t r u s t a n d r e s p e c t t h a t h a s g r o w n b e t w e e n u s a n d f o r t h e t i m e a n d e n e r g y M a g g i e h a s c o m m i t t e d t o m y l e a r n i n g a s a t e a c h e r a n d a s c h o l a r , I a m d e e p l y a n d e v e r l a s t i n g l y g r a t e f u l . T h e r e a r e s e v e r a l o t h e r f a c u l t y m e m b e r s , n o t o n m y c o m m i t t e e , w h o h a v e c o n t r i b u t e d i n i m p o r t a n t w a y s t o t h i s w o r k a s w e l l . S u z a n n e W i l s o n d i d n o t h a v e m u c h o f a c h o i c e w h e n s h e l i v e d w i t h m e i n C a l i f o r n i a d u r i n g t h e f o r m a t i v e s t a g e s o f t h i s w o r k . I a m v e r y g r a t e f u l f o r h e r w i l l i n g n e s s t o l i s t e n , a s k q u e s t i o n s , o f f e r i n s i g h t , a n d g i v e g e n e r a l m o r a l s u p p o r t a t a m o m e n t ’ s n o t i c e o r w i t h n o n o t i c e a t a l l . I s p e n t a y e a r i n a s t u d y g r o u p w i t h S u s a n F l o r i o - R u a n e . I a m v i i i t h a n k f u l f o r w h a t s h e a n d t h e g r a d u a t e s t u d e n t s i n t h a t g r o u p t a u g h t m e a b o u t c r i t i c a l l y w a t c h i n g v i d e o t a p e a n d a n a l y z i n g c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s . I a m t h a n k f u l t o H e l e n F e a t h e r s t o n e , w h o t o o k a n u m b e r t h e o r y c o u r s e i n t h e m a t h d e p a r t m e n t w i t h m e , f o r h e l p i n g m e t o t h i n k a b o u t w h a t i t m e a n s t o b e a l e a r n e r o f m a t h e m a t i c s . I a l s o a p p r e c i a t e h e r g e n e r a l k n a c k a t r e a d i n g m e a n d s a y i n g j u s t w h a t I n e e d e d t o h e a r . I a m a l s o t h a n k f u l t o C h r i s C l a r k , w h o w a l k e d s l o w l y e n o u g h t h r o u g h t h e h a l l s o f t h e C o l l e g e o f E d u c a t i o n s o t h a t I c o u l d t a l k t o h i m a b o u t t h e e x p e r i e n c e o f d o i n g t h i s w o r k . F o r h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e r i s k s a n d s u p p o r t o f m e i n t h e p r o c e s s , I a m t h a n k f u l . I a m a l s o g r a t e f u l t o G l e n d a L a p p a n a n d D a n C h a z a n , f a c u l t y m e m b e r s w h o u n d e r s t a n d m o r e m a t h e m a t i c s t h a n I d o . T h e y h e l p e d m e u n d e r s t a n d s o m e o f t h e c o m p l e x m a t h e m a t i c a l i d e a s m y s t u d e n t s a n d I c o n f r o n t e d w i t h o u t m a k i n g m e f e e l l i k e t h e s e w e r e s i m p l e i d e a s I s h o u l d h a v e u n d e r s t o o d . C l a i r e H e i d e m a , w h i l e n o t a f a c u l t y m e m b e r , w a s a l s o h e l p f u l i n e x p l a i n i n g t h e m e a n i n g o f t h e m a t h e m a t i c s a s i t w a s r e p r e s e n t e d i n t h e t e x t b o o k I u s e d . I a m a l s o t h a n k f u l t o t h e m e m b e r s o f t h e r e s e a r c h p r o j e c t s o n w h i c h I h a v e w o r k e d w h i l e d o i n g t h i s s t u d y . T h e p e o p l e o n t h e s e p r o j e c t s f o r m e d i n t e l l e c t u a l c o m m u n i t i e s f r o m w h i c h m a n y o f t h e i d e a s i n t h i s t h e s i s h a v e g r o w n . M y w o r k o n t h e M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g t h r o u g h H y p e r m e d i a P r o j e c t a n d C o m m u n i c a t i o n i n a n d a b o u t S c h o o l M a t h e m a t i c s , f u n d e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n , c o - d i r e c t e d b y D e b o r a h B a l l a n d M a g d a l e n e L a m p e r t , p a r t i c u l a r l y t h e L a m p e r t T e a m ( M a g g i e L a m p e r t , N a n J a c k s o n , G i n n y K e e n , a n d T h o m D y e ) , h a s c o n t r i b u t e d i n s i g n i f i c a n t w a y s t o m y u n d e r s t a n d i n g o f w h a t i t m e a n s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . M y u n d e r s t a n d i n g s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p o l i c y a n d p r a c t i c e i n t h e c o n t e x t o f t h e r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n h a s s t e m m e d f r o m m y i n v o l v e m e n t w i t h f a c u l t y a n d g r a d u a t e s t u d e n t s o n t h e E d u c a t i o n a l P o l i c y a n d P r a c t i c e S t u d y , c o - d i r e c t e d b y 1 x D e b o r a h B a l l , D a v i d C o h e n , P e n e l o p e P e t e r s o n , a n d S u z a n n e W i l s o n , f u n d e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n , P E W C h a r i t a b l e T r u s t s , a n d t h e C o n s o r t i u m f o r P o l i c y R e s e a r c h i n E d u c a t i o n . T h e C e n t e r f o r t h e L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s , f u n d e d p r i m a r i l y b y t h e O f f i c e o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h a n d I m p r o v e m e n t , U . S . D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , c o - d i r e c t e d b y P e n e l o p e P e t e r s o n a n d J e r e B r o p h y , t h e s i t e o f m y fi r s t a s s i s t a n t s h i p , i s w h e r e I m e t J i m R e i n e k e , t h e r e s e a r c h e r w h o v i d e o t a p e d , a u d i o t a p e d a n d i n t e r v i e w e d m e d u r i n g p a r t o f t h e y e a r o f t e a c h i n g u n d e r s t u d y i n t h i s p r o j e c t . F o r J i m ’ s i n v o l v e m e n t i n t h i s p r o j e c t a n d t h e m a n y c o n v e r s a t i o n s w e h a d d u r i n g m y f i r s t f e w m o n t h s o f t e a c h i n g , I a m d e e p l y g r a t e f u l . M y f r i e n d s h a v e o f f e r e d m e i n v a l u a b l e s u p p o r t . I a m t h a n k f u l t o S G G r a n t w h o h a s r e a d c o u n t l e s s d r a f t s a n d w i t h w h o m I h a v e s h a r e d b o t t o m l e s s c u p s o f c o f f e e o v e r t h e i d e a s o f h i s d i s s e r t a t i o n a n d m i n e . I a m a l s o d e e p l y g r a t e f u l a n d a p p r e c i a t i v e o f K a r a S u z u k a w h o s t a r t e d o u t d o i n g t h e g r a p h i c s f o r m y w o r k a n d b e c a m e i n t e r e s t e d i n t h e i d e a s . F o r t h e i n t e l l e c t u a l s u p p o r t a n d l a u g h t e r s h e ’ s b r o u g h t i n t o t h e o f fi c e w e ’ v e s h a r e d i n t h e l a s t s i x m o n t h s o f w o r k i n g o n t h i s , I a m t h a n k f u l . I c o n s i d e r m y s e l f m o s t f o r t u n a t e t h a t K a r a h a s t r e a t e d t h e f o r m a t a n d p r i n t i n g o f m y d i s s e r t a t i o n w i t h t h e c a r e a n d a t t e n t i o n t o d e t a i l a s i f i t w e r e h e r o w n . I a m a l s o t h a n k f u l t o D i r c k R o o s e v e l t w h o h a s p u s h e d m y t h i n k i n g o n m a n y o f t h e i d e a s p r e s e n t e d h e r e a n d h a s n e v e r n o t a s k e d m e h o w m y w o r k w a s g o i n g a n d l i s t e n e d t o t h e a n s w e r . N a n c y J e n n i n g s a n d J i m m y S p i l l a n e e n t e r e d t h i s d o c t o r a l p r o g r a m w i t h m e a n d h a v e s e e n m e t h r o u g h t o t h e f i n i s h . F o r t h e i r f r i e n d s h i p s , I a m t h a n k f u l . I a m a l s o a p p r e c i a t i v e o f L a u r e n P f e i f f e r , w h o h a s g r a c i o u s l y l i s t e n e d t o m e t a l k a b o u t t h e s t r u g g l e s o f d o i n g t h i s w o r k . I a m g r a t e f u l f o r S a m L a r s o n ’ s f r i e n d s h i p w h i c h b e g a n t h e d a y I m o v e d t o E a s t L a n s i n g . S h e h a s h e l p e d m e t o m a i n t a i n s o m e p e r s p e c t i v e o n m y l i f e b y c o n t i n u a l l y r e m i n d i n g m e t h a t t h e r e i s m o r e t o l i f e t h a n g r a d u a t e s c h o o l X a n d d i s s e r t a t i o n s . I a m a l s o t h a n k f u l f o r M a r i l y n M a y , a t e a c h i n g c o l l e a g u e a n d f r i e n d i n V e r m o n t , w h o h a s m a n a g e d t o s u p p o r t m e , l o n g d i s t a n c e , e v e r y s t e p o f t h e W a y . I a m d e e p l y t h a n k f u l f o r m y f a m i l y ’ s l o v e a n d s u p p o r t . I a m g r a t e f u l t o m y p a r e n t s , w h o h a v e a l w a y s w a n t e d a n d m a d e i t p o s s i b l e f o r m e t o h a v e o p p o r t u n i t i e s t h e y n e v e r h a d . I a m a l s o a p p r e c i a t i v e o f m y s i b l i n g s , M i c h a e l , J a n e , a n d J u l i e , w h o w e r e m y f i r s t t e a c h e r s . S t e v e S w i d l e r , w h o m a r r i e d m e i n t h e c o u r s e o f w r i t i n g t h i s t h e s i s , h a s p r o v i d e d t h e d a y t o d a y b a l a n c e i n m y l i f e , w h i c h h a s s o o f t e n f e l t o u t o f b a l a n c e , w h i l e w o r k i n g o n t h i s d i s s e r t a t i o n . H e h a s s p e n t l o n g h o u r s l i s t e n i n g t o a n d h e l p i n g m e w o r k t h r o u g h t h e i n t e l l e c t u a l a n d e m o t i o n a l c h a l l e n g e s p r e s e n t e d b y t h i s t h e s i s . I a m t h a n k f u l f o r h i s k e e n a n d d e e p i n s i g h t i n t o m e a n d t h i s w o r k . H e h a s a l s o g i v e n m e a l l t h e t i m e a n d s p a c e I e v e r w a n t e d . F o r h i s e n d u r a n c e a n d e n d l e s s p a t i e n c e , s u p p o r t , l o v e , h u m o r , a n d g o o d c o o k i n g , I a m a l s o d e e p l y g r a t e f u l . W h i l e i t i s a j o y t o b e a t t h e e n d o f m y d i s s e r t a t i o n , i t w i l l b e a n e v e n g r e a t e r j o y w h e n S t e v e i s f i n i s h e d w i t h h i s , t o o . I n t h e m e a n t i m e , I h a v e m i g h t y l a r g e s h o e s t o f i l l . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - x v i i L I S T O F F I G U R E S - - - - - - - x v i i i P A R T I A N E W V I S I O N , A N E X P E R I E N C E D P R A C T I T I O N E R , A N D A M E T H O D O F I N Q U I R Y C H A P T E R 1 R E F O R M I N G M A T H E M A T I C S E D U C A T I O N : A N A T I O N A L M O V E M E N T A N D A P E R S O N A L D E C I S I O N - - - - _ - - - - - - 1 N o L o n g e r F e e l i n g L i k e a G o o d T e a c h e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Q u e s t i o n i n g M y F u t u r e a s a T e a c h e r o f T e a c h e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 T h e M a t h R e f o r m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 N e w I d e a s a b o u t M a t h e m a t i c a l K n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 N e w I d e a s a b o u t M a t h e m a t i c a l C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 N e w V i e w s a b o u t L e a r n i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 I m p l i c a t i o n s f o r T e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 C r e a t i n g a P r a c t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 P r o b l e m s o f P r a c t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 S t u d y i n g a P r a c t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 G a p s i n R e s e a r c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 S t u d y i n g a n d C r e a t i n g a P r a c t i c e o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 x i x i i C H A P T E R 2 M Y E X P E R I E N C E S A S A T E A C H E R A N D L E A R N E R A B O U T T E A C H I N G - 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g t h e M e a n i n g o f M a t h e m a t i c a l A r g u m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 L e a r n i n g t o A p p r e c i a t e I n d i v i d u a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1 L e a r n i n g t o S h a r e t h e L e a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 L e a r n i n g w h i c h L e a d s a r e U s e f u l t o F o l l o w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 9 L e a r n i n g t o A s s e s s M y O w n P r o g r e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 2 L e a r n i n g t o D a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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I N V E N T I N G A P R A C T I C E 3 3 9 I n v e n t i n g a P r a c t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9 L e a r n i n g a b o u t T e a c h i n g w h i l e L e a r n i n g t o T e a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 0 T h e L o g i c a n d L i m i t s o f I n v e n t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 1 E x p e c t a t i o n s f o r C r e a t i n g a P r a c t i c e o f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 6 A S e r i e s o f D i c h o t o m i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 7 A D e f i c i t M o d e l o f S u b j e c t M a t t e r K n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 8 A n I n t e l l e c t u a l E n d e a v o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 4 x v i E d u c a t i n g T e a c h e r s f o r U n c e r t a i n t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 0 E d u c a t i v e C u r r i c u l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 2 E d u c a t i n g T e a c h e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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T i r n e l i n e o f m y t e a c h i n g , r e s e a r c h , a n d l e a r n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 F i g u r e 3 . 3 M u l t i p l e s e l v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 F i g u r e 3 . 4 A p a t t e r n o f v o i c e s o n t e a c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 F i g u r e 3 . 5 O v e r v i e w o f t h e s c h o o l y e a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 F i g u r e 3 . 6 T h e e v e n t s I c h o s e t o w r i t e a b o u t a n d w h e r e t h e y f a l l i n t h e s c h o o l y e a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 F i g u r e 3 . 7 A v a i l a b l e d a t a f o r t h e e v e n t s I c h o s e t o w r i t e a b o u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 F i g u r e 3 . 8 T a b l e o f c o n t e n t s f r o m C h a p t e r 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 F i g u r e P . 1 M y f o u r t h g r a d e s t u d e n t s b y g e n d e r , b i r t h p l a c e , a n d l a n g u a g e c a p a b i l i t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. 1 A f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o s e t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 F i g u r e 4 . 2 T h e f i r s t p r o b l e m I g a v e s t u d e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 F i g u r e 4 . 3 , T h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g n u m b e r s g e n e r a t e d b y s t u d e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4 F i g u r e 4 . 4 T h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d a l g e b r a i c a l l y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5 F i g u r e 4 . 5 S t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r s a s m u l t i p l e s o f 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 F i g u r e 4 . 6 S t u d e n t r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s f r o m C S M P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 F i g u r e 4 . 7 C S M P s t u d e n t r e s p o n s e s c o m p a r e d t o V a l e r i e ’ s r e s p o n s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1 F i g u r e 4 . 8 A s t u d e n t ’ s e x a m p l e o f a p a t t e r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4 F i g u r e 4 . 9 T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n p u t s a n d o u t p u t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 F i g u r e 5 . 1 T h e f i r s t e x c h a n g e : T h e C S M P s c r i p t c o m p a r e d t o t h e l e s s o n t r a n s c r i p t . . . . . . 1 9 8 F i g u r e 5 . 2 v T h e s e c o n d e x c h a n g e : T h e C S M P s c r i p t c o m p a r e d t o t h e l e s s o n t r a n s c r i p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 F i g u r e 5 . 3 A p r e d i c t a b l e s e t o f m y r e s p o n s e s t o s t u d e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 F i g u r e 5 . 4 A M i n i c o m p u t e r r e p r e s e n t i n g 2 x ( 3 x 3 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5 F i g u r e 5 . 5 P r e d i c t a b l e b u t i n c o r r e c t w a y s t o r e p r e s e n t 2 x ( 3 x 3 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4 F i g u r e 5 . 6 T h e i n p u t c h a n g e s f r o m 3 5 t o 3 5 + 3 5 + 3 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 F i g u r e 5 . 7 T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a d d i n g t w o m o r e t o t h e s e t a n d d u p l i c a t i n g t h e s e t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5 F i g u r e 5 . 8 M u l t i p l e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s o f m u l t i p l i c a t i o n i n t h e t e x t b o o k . . . . . . . . . . . . 2 1 6 F i g u r e 6 . 1 J o h n ’ s d r a w i n g o f a r e c t a n g l e t o m a t c h h i s d e f i n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 F i g u r e 6 . 2 D a v i d ’ s d r a w i n g o f w h a t h e t h o u g h t J o h n h a d d e f i n e d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7 F i g u r e 6 . 3 D a v i d ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f J o h n ’ s r e v i s e d d e f i n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8 F i g u r e 7 . 1 5 / 4 o r 5 / 8 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4 F i g u r e 7 . 2 3 / 4 + 2 / 4 r e p r e s e n t e d o n a n u m b e r l i n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 6 F i g u r e 7 . 3 5 / 4 o r 5 / 8 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 8 F i g u r e 7 . 4 T w o w h o l e s d i v i d e d i n t o f o u r t h s o r o n e w h o l e d i v i d e d i n t o e i g h t h s ? . . . . . . . . . . 3 3 2 F i g u r e 8 . 1 D i c h o t o m i e s o f a c h a n g i n g p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 8 F i g u r e 8 . 2 P r a c t i c e s t o i n c r e a s e a n d d e c r e a s e t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 7 F i g u r e 8 . 3 3 / 4 + 2 / 4 i s 5 / 4 o f o n e l a r g e s q u a r e o r 5 / 8 o f t w o l a r g e s q u a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 1 P A R T I W A N E W V I S I O N , A N E X P E R I E N C E D P R A C T I T I O N E R , A N D A M E T H O D O F I N Q U I R Y C H A P T E R 1 R E F O R M I N G M A T H E M A T I C S E D U C A T I O N : A N A T I O N A L M O V E M E N T A N D A P E R S O N A L D E C I S I O N T h i s i s b o t h a s t o r y a n d a s t u d y o f t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g t o t e a c h f r o m a l e a r n i n g t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e , a p e r s p e c t i v e o n e x p e r i e n c e r a r e l y f o u n d i n e d u c a t i o n a l s c h o l a r s h i p . T h i s i s a s t o r y a b o u t a g o o d t e a c h e r w h o t o o k o n t h e t a s k o f t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n a w a y t h a t r e s p e c t s s t u d e n t s ’ t h i n k i n g a n d m a t h e m a t i c a l i d e a s . W h a t y o u a r e a b o u t t o r e a d c o m e s f r o m m y o w n e x p e r i e n c e s . I a m t h e t e a c h e r i n t h i s s t o r y . T h i s i s , h o w e v e r , m o r e t h a n j u s t a t e l l i n g o f m y t e a c h i n g e x p e r i e n c e s . I t i s , i n a d d i t i o n , a s t u d y o f t h o s e e x p e r i e n c e s f o r I a m a l s o a r e s e a r c h e r i n t e r e s t e d i n t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d l e a r n i n g t o t e a c h . W h e n I l i v e d t h e s t o r y y o u a r e a b o u t t o r e a d , I d i d s o a s a t e a c h e r t r y i n g t o m a k e c h a n g e s i n t h e w a y I t a u g h t m a t h e m a t i c s . I t w a s o n l y i n r e t r o s p e c t t h a t I d e c i d e d , a s a r e s e a r c h e r , t h a t a s t u d y o f m y o w n e x p e r i e n c e s a s I t r i e d t o m a k e c h a n g e s i n m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g c o u l d ' b e a n i n t e r e s t i n g s i t e f o r i n q u i r y i n t o w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . T h i s s t u d y o f m y e x p e r i e n c e s l e a r n i n g t o t e a c h h a s t h e p o t e n t i a l t o i n f o r m b r o a d e r q u e s t i o n s o f t e a c h e r k n o w l e d g e a n d t e a c h e r l e a r n i n g a s w e l l a s a d d i n g t o u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e f o r m i d e a s a s s o c i a t e d w i t h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h o s e i d e a s i n p r a c t i c e . N e L e n g e r F fi l i n g L i k e a G e e d T e a c h e r I d i d n o t d r e a m u p a n e w w a y o f t e a c h i n g e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . M y e f f o r t s t o c h a n g e m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g c o n n e c t t o a w h o l e h o s t o f n e w i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g s w e e p i n g t h e c o u n t r y a t l o c a l , s t a t e , . a n d n a t i o n a l l e v e l s . F o r e x a m p l e , t h e C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n ( 1 9 8 5 , 1 9 9 2 ) 1 2 d e v e l o p e d t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k w h i l e t h e n a t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s c o m p i l e d c u r r i c u l u m a n d t e a c h i n g s t a n d a r d s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) . T h e s e n e w i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s h a v e f u e l e d r e v i s i o n s o f o l d t e x t s a n d t e s t s a n d e n c o u r a g e d t h e d e v e l o p m e n t o f n e w c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d a l t e r n a t i v e f o r m s o f a s s e s s m e n t . P e o p l e i n t e r e s t e d i n b e t t e r i n g s c h o o l s f o r c h i l d r e n h a v e t i n k e r e d w i t h t h e s e t r a d i t i o n a l t o o l s o f e d u c a t i o n a l c h a n g e f o r m a n y y e a r s . T h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n h a v e p r o v i d e d y e t a n o t h e r o p p o r t u n i t y . I f i r s t l e a r n e d o f t h e w i d e s p r e a d r e f o r m m o v e m e n t i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w h e n I e n t e r e d m y d o c t o r a l p r o g r a m i n t e a c h e r e d u c a t i o n a t M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y f i v e y e a r s a g o . I w o r k e d a s a r e s e a r c h a s s i s t a n t w i t h a g r o u p o f o t h e r g r a d u a t e s t u d e n t s a n d f a c u l t y o n a p r o j e c t d e s i g n e d t o s t u d y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n s t r u c t i o n a l p o l i c y a n d t e a c h i n g p r a c t i c e . I n t h e e a r l y y e a r s o f o u r s t u d y , w e c o n c e n t r a t e d o u r e f f o r t s o n t h e r e f o r m o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e s t a t e o f C a l i f o r n i a ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 ) . 1 I b e g a n m y w o r k o n t h i s p r o j e c t , n e w t o g r a d u a t e s c h o o l , w i t h v e r y l i t t l e k n o w l e d g e a b o u t t h e m a k i n g o f i n s t r u c t i o n a l p o l i c y a n d n o r e a l i n t e r e s t i n m a t h e m a t i c s . I d i d , h o w e v e r , h a v e n i n e y e a r s o f e l e m e n t a r y t e a c h i n g e x p e r i e n c e a n d a d e e p a p p r e c i a t i o n f o r t h e r e a l i t i e s o f t e a c h i n g . T h e p u r p o s e o f t h a t r e s e a r c h p r o j e c t w a s t o u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n s t r u c t i o n a l p o l i c y a n d m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n . W h a t d o e s t e a c h i n g 1 I n t h e l a s t f i v e y e a r s , t h i s r e s e a r c h h a s e x p a n d e d f r o m l o o k i n g a t p o l i c y a n d p r a c t i c e i n t h e c o n t e x t o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s i n C a l i f o r n i a t o i n c l u d e r e a d i n g a s w e l l . M i c h i g a n a n d S o u t h C a r o l i n a h a v e b e e n a d d e d a s r e s e a r c h s i t e s . F o r a d d i t i o n a l s t u d i e s r e l a t e d t o t h i s p r o j e c t , s e e J e n n i n g s ( 1 9 9 2 ) f o r a s t u d y o f t e a c h e r l e a r n i n g i n t h e c o n t e x t o f r e a d i n g p o l i c y a n d p r a c t i c e , S p i l l a n e ( 1 9 9 3 ) f o r a s t u d y o f r e a d i n g p o l i c y a c r o s s s c h o o l d i s t r i c t s , G r a n t ( i n p r e p a r a t i o n ) f o r a s t u d y o f t h e w a y s i n w h i c h t e a c h e r s m a n a g e m u l t i p l e r e f o r m s , R e m i l l a r d ( i n p r e p a r a t i o n ) f o r a s t u d y o f t e a c h e r s ’ u s e o f i n n o v a t i v e m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s , a n d G e i s t ( i n p r e p a r a t i o n ) f o r a s t u d y o f h o w t h e r e f o r m i d e a s ” t r a v e l ” t h r o u g h o n e t e a c h e r ’ s p r a c t i c e . 3 p r a c t i c e l o o k l i k e a s t e a c h e r s t r y t o i m p l e m e n t t h e c u r r e n t r e f o r m i d e a s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ? H o w a r e t h e i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t e r p r e t e d a n d i m p l e m e n t e d i n p r a c t i c e ? W e o b s e r v e d a n d i n t e r v i e w e d e l e m e n t a r y t e a c h e r s a n d t a l k e d w i t h v a r i o u s s t a t e , d i s t r i c t , a n d s c h o o l p e r s o n n e l . W e f o u n d w i d e v a r i a t i o n i n p e o p l e ’ s i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e p o l i c y a n d w i t n e s s e d a r a n g e o f t e a c h i n g p r a c t i c e . W e f o u n d m a n y o f o u r t e a c h e r s t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n m e a n i n g f u l w a y s a n d s t r u g g l i n g - s o m e t i m e s f r o m t h e i r p e r s p e c t i v e s , o t h e r t i m e s f r o m o u r s ( B a l l , 1 9 9 0 ; C o h e n , 1 9 9 0 ; C o h e n a n d B a l l , 1 9 9 0 ; P e t e r s o n , 1 9 9 0 ; W i e m e r s , 1 9 9 0 ; W i l s o n , 1 9 9 0 ; P r a w a t , R e m i l l a r d , P u t n a m , & H e a t o n , 1 9 9 2 ; P u t n a m , H e a t o n , P r a w a t , 8 : R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ; H e a t o n , 1 9 9 2 ; P r a w a t , 1 9 9 2 ; P u t n a m , 1 9 9 2 ; R e m i l l a r d , 1 9 9 2 ) . A s a b a c k d r o p t o o u r e f f o r t s a s r e s e a r c h e r s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g p r a c t i c e , w e t r i e d t o u n d e r s t a n d w h a t i t m e a n t t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . W h a t w a s t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? W h a t w a s t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ? W h a t w e r e s t u d e n t s s u p p o s e d t o l e a r n ? W h a t w a s m e a n t b y u n d e r s t a n d i n g ? W h a t d i d t h i s i m p l y f o r t e a c h i n g ? L i k e m o s t o f t h e t e a c h e r s w i t h w h o m w e s p o k e , w e w e r e c o n f r o n t i n g a s r e s e a r c h e r s a w a y o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t h a t w a s f o r e i g n t o o u r p a s t e x p e r i e n c e s a s l e a r n e r s . T o h e l p o u r s e l v e s , w e d r e w o n t h e w o r k o f t w o m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s , c o l l e a g u e s w i t h i n o u r o w n c o l l e g e : M a g d a l e n e L a m p e r t a n d D e b o r a h B a l l . W e r e a d a r t i c l e s t h e y h a d w r i t t e n a b o u t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( L a m p e r t , 1 9 8 7 , 1 9 8 9 ; B a l l , 1 9 8 8 a , 1 9 8 8 b ) a n d a n a l y z e d a n d d i s c u s s e d v i d e o t a p e s o f t h e i r e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . W h i l e w e n e v e r r e a c h e d c o n s e n s u s o n w h a t i t m i g h t m e a n t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , w e d i d g a i n a n a p p r e c i a t i o n f o r t h e c o m p l e x i t y o f i n t e r p r e t i n g t h e s e n e w i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . 4 T h e m o r e i n v o l v e d I b e c a m e a s a r e s e a r c h e r o n t h a t s t u d y o f i n s t r u c t i o n a l p o l i c y a n d o t h e r s ’ t e a c h i n g p r a c t i c e , t h e l e s s c o n t e n t I f e l t w i t h m y s e l f a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . T h i s w o r r i e d m e . I e n t e r e d g r a d u a t e s c h o o l t h i n k i n g I w a s p r e p a r e d t o l e a r n t o b e a t e a c h e r e d u c a t o r b e c a u s e I w a s a g o o d t e a c h e r . I n o l o n g e r f e l t t h a t w a y . I h a d t a u g h t m a t h e m a t i c s i n t r a d i t i o n a l w a y s f o r n i n e y e a r s u n a w a r e o f a n a l t e r n a t i v e . A s I s t u d i e d t h e p r a c t i c e o f o t h e r t e a c h e r s f o r t h i s p r o j e c t , a j u m b l e o f q u e s t i o n s r a c e d t h r o u g h m y m i n d . W h a t w a s s o d i f f i c u l t a b o u t t r y i n g t o p u t t h e i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t o p r a c t i c e t h a t s e e m e d s o a p p e a l i n g i n t h e o r y w i t h i n t h e r e f o r m d o c u m e n t s ? W h y w e r e t h e t e a c h e r s w e w e r e s t u d y i n g s t r u g g l i n g ? W h y w a s t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n a m e a n i n g f u l w a y s o d i f f i c u l t t o d o ? W a s I a n y d i f f e r e n t t h a n a n y o f t h e s e t e a c h e r s w e w e r e s t u d y i n g ? I t w a s t r u e t h a t I h a d t a k e n m a t h e m a t i c s c l a s s e s t h r o u g h c a l c u l u s , b u t w h a t m a t h e m a t i c s d i d I r e a l l y u n d e r s t a n d ? W o u l d I h a v e t h e s a m e t r o u b l e s I s a w o t h e r t e a c h e r s h a v i n g i f I t r i e d t o e n a c t t h e s e r e f o r m s ? W h a t w o u l d i t t a k e f o r m e t o t r y t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n t h e w a y s t h e s e t e a c h e r s w e r e a i m i n g t o d o ? W h a t c h a l l e n g e s w o u l d I f a c e ? H o w w o u l d m y o w n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g o r l a c k t h e r e o f i n fl u e n c e w h a t I c o u l d d o w i t h s t u d e n t s ? C o u l d I p r o c e e d w i t h b e c o m i n g a t e a c h e r e d u c a t o r a n d i g n o r e t h e s e u n e a s y f e e l i n g s a b o u t m y s e l f a s a t e a c h e r ? F o r a s h o r t w h i l e , I t r i e d . ' n i n M T a r f 1 ' Q u e s t i o n s a b o u t m y p a s t e x p e r i e n c e s a s a t e a c h e r o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s n a g g e d a t m e t h r o u g h o u t t h e f i r s t y e a r o f m y d o c t o r a l p r o g r a m i n t e a c h e r e d u c a t i o n . I s s u e s s u r r o u n d i n g m y o w n c r e d i b i l i t y c o n c e r n e d m e . H o w c o u l d I b e s t u d y i n g t o b e a t e a c h e r e d u c a t o r a n d f e e l s o d i s s a t i s f i e d w i t h a n a s p e c t o f m y o w n t e a c h i n g p r a c t i c e ? W o u l d I b e c o m e a t e a c h e r e d u c a t o r w h o c o u l d n o t a n d d i d n o t p r a c t i c e w h a t s h e p r e a c h e d ? W o u l d I s o o n f i n d m y s e l f , a t e a c h e r e d u c a t o r , p u s h i n g n e w i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g 5 w i t h o u t a s e n s e o f w h a t t h e s e i d e a s m e a n t i n p r a c t i c e ? W a s n ’ t t h i s t y p i c a l o f t h e p r a c t i c e s o f m a n y o f t h e t e a c h e r e d u c a t o r s I h a d e n c o u n t e r e d i n m y p a s t e x p e r i e n c e s l e a r n i n g t o t e a c h t h a t I h a d g r o w n t o d e s p i s e ? I f I d i d n o t h a v e s o m e s e n s e o f w h a t i t m e a n t t o i m p l e m e n t t h e s e i d e a s a b o u t t e a c h i n g i n p r a c t i c e u m y o w n p r a c t i c e — c o u l d I p r o p o s e t h e m a s i d e a s f o r o t h e r s t o i m p l e m e n t ? T h i s w a s c e r t a i n l y a n a l t e r n a t i v e a n d o n e p u r s u e d b y m a n y p e o p l e l e a r n i n g t o b e t e a c h e r e d u c a t o r s — f i r s t , t h r o u g h g r a d u a t e c o u r s e w o r k , t o r e a d r e s e a r c h a n d l e a r n o f i d e a s r e l a t e d t o t e a c h i n g , a n d l a t e r t o t e a c h t h e s e s a m e r e s e a r c h f i n d i n g s a n d i d e a s i n t e a c h e r e d u c a t i o n c o u r s e s . T h i s r o u t e w o r k e d f o r s o m e b u t w o u l d n o t f o r m e . T h e s t r o n g t u g o f m y i d e n t i t y a s a t e a c h e r p u l l e d m e a w a y f r o m f o l l o w i n g t h a t p a t h t o r e a c h m y g o a l o f b e c o m i n g a t e a c h e r e d u c a t o r . I n e e d e d t o f i n d a w a y t o b u i l d c o n s i s t e n c y b e t w e e n m y o w n t e a c h i n g p r a c t i c e a n d w h a t I w o u l d b e t e a c h i n g o t h e r s a b o u t t e a c h i n g . V o i c i n g t h i s c o n c e r n a b o u t m y c r e d i b i l i t y a s a t e a c h e r e d u c a t o r f e e l s r i s k y a m o n g f r i e n d s a n d c o l l e a g u e s w h o a r e a l s o t e a c h e r e d u c a t o r s . H e a r i n g m y p e r s o n a l c o n c e r n s a b o u t c r e d i b i l i t y c o u l d r a i s e q u e s t i o n s a b o u t t h e p r a c t i c e s o f o t h e r t e a c h e r e d u c a t o r s , m a n y o f w h o m d o n o t h a v e r e l e v a n t o r r e c e n t c l a s s r o o m t e a c h i n g e x p e r i e n c e . T h e a l t e r n a t i v e w o u l d h a v e b e e n f o r m e t o r e m a i n s i l e n t a n d t r y t o i g n o r e t h e p r o b l e m I s a w e m e r g i n g i n m y e v o l v i n g r o l e a s a t e a c h e r e d u c a t o r w i t h a n i n c r e a s i n g r e s p o n s i b i l i t y t o t e a c h o t h e r s a b o u t t e a c h i n g . I c h o s e , h o w e v e r , t o s p e a k u p a n d , i n d o i n g s o , b r o k e a c o n s p i r a c y o f s i l e n c e t h a t h a s t e n d e d t o l o o m a r o u n d t h e g a p b e t w e e n t h e o r y a n d p r a c t i c e i n t e a c h e r e d u c a t i o n . F e w u n i v e r s i t y a c a d e m i c s c o n f r o n t , h e a d o n , t h e f a c t t h a t t h e y a r e t e a c h i n g o t h e r s t o t e a c h a n d d o i n g r e s e a r c h a n d w r i t i n g a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , w h i l e t h e y r e m a i n d i s t a n c e d f r o m e x p e r i e n c e s w i t h t e a c h e r s , s t u d e n t s , a n d c l a s s r o o m s . I n b r e a k i n g t h i s s i l e n c e a n d r a i s i n g t h e s e i s s u e s , I d o n o t m e a n t o s u g g e s t t h a t a l l t e a c h e r e d u c a t o r s s h o u l d b e c o m e c l a s s r o o m t e a c h e r s . R a t h e r , I 6 w i s h t o i n s e r t a b i t o f h u m i l i t y i n t o t h e r o l e o f a u n i v e r s i t y p r o f e s s o r . I n a d d i t i o n t o o u r r e s p o n s i b i l i t i e s t o t e a c h s t u d e n t s t h e o r y a b o u t t e a c h i n g , w e h a v e a r e s p o n s i b i l i t y t o l e a r n w h a t w e c a n a b o u t t e a c h i n g f r o m p r a c t i c e , w h e t h e r i t b e t h r o u g h o u r o w n w o r k i n s c h o o l s o r t h r o u g h t h e w r i t t e n a c c o u n t s o r c l o s e o b s e r v a t i o n s o f o t h e r t e a c h e r s ’ p r a c t i c e . C u b a n ( 1 9 9 0 ) a n d E i s n e r ( 1 9 9 2 ) a r e e x a m p l e s o f t w o u n i v e r s i t y p r o f e s s o r s w h o h a v e a t t e m p t e d t o b r i n g t h e i r u n i v e r s i t y w o r k c l o s e r t o t h e r e a l i t i e s o f t e a c h i n g a f t e r l o n g a b s e n c e s f r o m t h e c l a s s r o o m . T h e y i l l u s t r a t e w h a t I a m s u g g e s t i n g . B o t h m e n h a v e w r i t t e n a b o u t t h e h u m b l i n g n a t u r e o f t h e i r e x p e r i e n c e s , t h e r e a s o n s t h e y h a d f o r e n t e r i n g a c l a s s r o o m , a n d t h e i n fl u e n c e o f w h a t t h e y l e a r n e d f r o m t h e i r e n c o u n t e r w i t h t e a c h e r s a n d s t u d e n t s o n t h e i r w o r k a t t h e u n i v e r s i t y . C u b a n w a s d r a w n b a c k i n t o t h e C l a s s r o o m b y i s s u e s o f c r e d i b i l i t y , s i m i l a r t o o n e s t h a t c o n c e r n e d m e . H e w r o t e , F i r s t , I w a n t e d t o m a i n t a i n m y c r e d i b i l i t y b o t h a s a t e a c h e r a n d a s a n a c a d e m i c w h o w r i t e s a b o u t t e a c h i n g a n d p u b l i c s c h o o l s . I b e l i e v e d e e p l y i n t h e i d e a o f a s c h o l a r - p r a c t i t i o n e r - ~ t h a t i s , s o m e o n e w h o c a n b r i d g e t h e t w o v e r y d i f f e r e n t w o r l d s o f t h e u n i v e r s i t y a n d t h e p u b l i c s c h o o l . S u c h s w i t c h h i t t e r s a r e u n c o m m o n , a n d I w a n t e d t o b e o n e o f t h a t b r e e d . ( p . 4 8 0 ) I s h a r e C u b a n ’ s d e s i r e t o b e s o m e o n e w h o c a n m o v e b e t w e e n t h e w o r l d s o f p r a c t i c e a n d s c h o l a r s h i p . E i s n e r ( 1 9 9 2 ) n o t e s t h e n a t u r e o f t h e g a p b e t w e e n t h e o r y a n d p r a c t i c e , ” t h e r e i s a p r o f o u n d d i f f e r e n c e b e t w e e n k n o w i n g s o m e t h i n g i n t h e a b s t r a c t a n d k n o w i n g i t t h r o u g h d i r e c t e x p e r i e n c e ” ( p . 2 6 3 ) . H e u s e s h i s e x p e r i e n c e s i n c l a s s r o o m s w i t h t e a c h e r s a n d s t u d e n t s t o d e s c r i b e h i s n e w a p p r e c i a t i o n f o r t h e c o m p l e x i t y o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a n d t o a r g u e a g a i n s t t h e u s e f u l n e s s o f p r e s c r i p t i v e p r o d u c t s f r o m e d u c a t i o n a l r e s e a r c h . H i s w o r k i s a n e x a m p l e o f u s i n g w h a t c a n b e l e a r n e d i n o n e w o r l d t o i n f o r m w o r k i n a n o t h e r . 7 M y d e c i s i o n t o g o b a c k i n t o t h e c l a s s r o o m i n o r d e r t o m a k e c h a n g e s i n m y o w n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w a s n o t m a d e i n h a s t e . D u r i n g m y n i n e y e a r s o f t e a c h i n g , I d i d n o t r e a d i l y j u m p o n b a n d w a g o n s o f n e w t e a c h i n g i d e a s . I n t h i s c a s e , m y f e e l i n g s a b o u t t h e n e e d t o c h a n g e m y p r a c t i c e w e r e b e i n g s t i r r e d n o t o n l y b y r e f o r m e r s w h o t h o u g h t m a t h t e a c h i n g s h o u l d c h a n g e a n d b y m y c o n s c i e n c e a s a t e a c h e r e d u c a t o r . W h e n I c o n s i d e r e d m y p a s t p r a c t i c e a s a t e a c h e r , I c o u l d s e e t h a t w h i l e m y v i e w a n d t e a c h i n g o f o t h e r s u b j e c t s h a d c h a n g e d i n n i n e y e a r s , n o t h i n g h a d r e a l l y c h a n g e d i n t h e w a y I t a u g h t m a t h e m a t i c s . I h a d n e v e r p e r c e i v e d a n e e d f o r c h a n g e o r r u n a c r o s s a n y r e a l o p t i o n s . I h a d t a u g h t m a t h e m a t i c s f o r n i n e y e a r s b a s i c a l l y t h e w a y I h a d l e a r n e d i t . M y e n c o u n t e r w i t h t h e m a t h r e f o r m s w a s m y f i r s t h i n t t h a t m a t h e m a t i c s c o u l d b e t a u g h t d i f f e r e n t l y . B y t h e e n d o f t h e f i r s t y e a r i n m y d o c t o r a l p r o g r a m , I f o u n d m y s e l f m a k i n g p l a n s t o g o b a c k i n t o t h e c l a s s r o o m a s a t e a c h e r . I a r r a n g e d t o s p e n d m y s e c o n d y e a r o f d o c t o r a l s t u d y i n t e a c h e r e d u c a t i o n , m y t e n t h y e a r a s a t e a c h e r , i n a f o u r t h g r a d e m a t h c l a s s . T h e t e a c h e r i n m e w a n t e d t o t r y t o e n a c t t h e v i s i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g I h a d c o n s t r u c t e d t h r o u g h m y w o r k a s a r e s e a r c h e r . I h o p e d m y m o v e b a c k i n t o t h e c l a s s r o o m w o u l d h e l p t o r e s o l v e t h e g a p I f e l t g r o w i n g b e t w e e n t h e o r y a n d m y p r a c t i c e . T h e M a t h R e f e m g s W h a t w e r e t h e s e n e w i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t h a t I w a s g o i n g t o t r y t o e n a c t i n t h e c l a s s r o o m ? I c o n s t r u c t e d a v i s i o n o f w h a t I w a n t e d m y p r a c t i c e t o b e l i k e f r o m r e a d i n g r e f o r m d o c u m e n t s a n d o b s e r v i n g t e a c h e r s t r y i n g t o i m p l e m e n t t h e i d e a s . T h e s e e x p e r i e n c e s o f f e r e d m e n e w p e r s p e c t i v e s o n w h a t i t m e a n s t o k n o w m a t h e m a t i c s , w h a t i s i m p o r t a n t t o k n o w , a n d h o w s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s . I w a n t e d t o l e a r n w h a t t h e s e n e w i d e a s a b o u t k n o w l e d g e , c o n t e n t , a n d l e a r n i n g i m p l i e d f o r m y t e a c h i n g p r a c t i c e . I 8 w a n t e d t o e x p e r i e n c e f o r m y s e l f w h a t i t w a s l i k e t o t r y t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T o u n d e r s t a n d t h e s t o r y a n d s t u d y o f m y e f f o r t s , i t i s i m p o r t a n t t o p r o v i d e s o m e e x p l a n a t i o n o f w h a t t h e r e f o r m d o c u m e n t s l o o k e d l i k e t o m e a s a s c h o l a r a n d a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r b e f o r e I t a u g h t . W W W ; B e f o r e s t a r t i n g m y d o c t o r a l p r o g r a m , I n e v e r c o n s i d e r e d t h a t t h e r e w e r e m u l t i p l e w a y s t o t h i n k a b o u t t h e a n s w e r s t o t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s . W h a t i s m a t h e m a t i c s ? W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w m a t h e m a t i c s ? I n f a c t , I d i d n o t e v e n r e c o g n i z e t h e s e a s q u e s t i o n s . I n m y p a s t e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t a n d a t e a c h e r , m a t h e m a t i c s w a s f o u n d i n t h e t e x t b o o k . K n o w i n g m a t h e m a t i c s w a s m e m o r i z i n g a s e t o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s a n d a p p l y i n g t h e m t o c o m p u t a t i o n t o c o m e u p w i t h r i g h t a n s w e r s . T h e v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e I h a v e h a d m o s t o f m y l i f e i s o n e w h e r e k n o w l e d g e i s f i x e d a n d h i e r a r c h i c a l . F o r y e a r s , I t h o u g h t m a t h e m a t i c s r e s i d e d i n t h e t e x t b o o k . T h e i m a g e I h a d o f d o i n g m a t h e m a t i c s , a s a t e a c h e r o r s t u d e n t , w a s o n e o f f o l l o w i n g t h e t e x t b o o k , p a g e b y p a g e , y e a r a f t e r y e a r . I t h o u g h t k n o w i n g m a t h e m a t i c s w a s b e i n g a b l e t o r e c a l l a n d a p p l y r u l e s a n d p r o c e d u r e s t o g e t r i g h t a n s w e r s . M a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a s c o n c e p t u a l i z e d b y t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i s o f a m u c h d i f f e r e n t n a t u r e . I n t h e c o n t e x t o f t h e s e r e f o r m s , m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s c o n s i d e r e d d y n a m i c . I t i s s o m e t h i n g w h i c h i s c o n s t r u c t e d a n d r e — c o n s t r u c t e d t h r o u g h a n o n g o i n g p r o c e s s o f s e n s e - m a k i n g b y t h e l e a r n e r a n d e m p h a s i z e s b o t h c o n t e n t a n d p r o c e s s . K n o w i n g m a t h e m a t i c s i s u n d e r s t a n d i n g p a r t i c u l a r d o m a i n s o f k n o w l e d g e ( H i e b e r t & B e h r , 1 9 8 8 ) , t o p i c s a n d c o n c e p t s , a n d t h e c o n n e c t i o n s a m o n g t h e m . K n o w i n g m a t h e m a t i c s i s a l s o h a v i n g a n u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s o r h o w i t i s t h a t k n o w l e d g e i s a c q u i r e d a n d u s e d . T h i s m e a n s h a v i n g a n u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t o r w h a t c o u n t s a s e v i d e n c e a n d j u s t i f i c a t i o n f o r a p a r t i c u l a r ( U m “ I ” : : 1 1 t h i i i - " V i e 9 m a t h e m a t i c a l p o i n t o f v i e w . K n o w i n g m a t h e m a t i c s i s u s i n g a n d c r e a t i n g m a t h e m a t i c a l t o o l s , l a n g u a g e , a n d o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s t o c o n s t r u c t a n d c o m m u n i c a t e u n d e r s t a n d i n g s o f p a r t i c u l a r d o m a i n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h i s v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e d o e s n o t e n t i r e l y d i s m i s s m a t h e m a t i c a l r u l e s a n d p r o c e d u r e s b u t t r e a t s t h e m a s d y n a m i c t o o l s r a t h e r t h a n s t a t i c b i t s o f k n o w l e d g e . I t p l a c e s t h e i r u s e i n t h e c o n t e x t o f s o m e p u r p o s e f u l a c t i v i t y ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 ) w h e r e t h e s h o r t t e r m g o a l i s f o r s t u d e n t s t o s o l v e p r o b l e m s i n w a y s t h a t m a k e s e n s e t o t h e m a n d t h e l o n g t e r m g o a l i s f o r s t u d e n t s t o b e c o m e m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ) . ” M a t h e m a t i c a l l y p o w e r f u l s t u d e n t s t h i n k a n d c o m m u n i c a t e , d r a w i n g o n m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d u s i n g m a t h e m a t i c a l t o o l s a n d t e c h n i q u e s ” ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 , p . 3 ) . T h i s m e a n s t h a t a t t i m e s s t u d e n t s d r a w o n t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f f o r m a l m a t h e m a t i c a l r u l e s a n d p r o c e d u r e s . A t o t h e r t i m e s , i t m e a n s t h e y m a k e u s e o f t h e i r i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s . H o w e v e r a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m i s s o l v e d , t h e a i m i s f o r s t u d e n t s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s - t o k n o w w h y a p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d m e t h o d f o r s o l v i n g a p r o b l e m m a k e s s e n s e i n a p a r t i c u l a r c o n t e x t . ” A s a n o n g o i n g p r o d u c t o f h u m a n a c t i v i t y , m a t h e m a t i c s i s a d y n a m i c a n d e x p a n d i n g s y s t e m o f c o n n e c t e d p r i n c i p l e s a n d i d e a s c o n s t r u c t e d t h r o u g h e x p l o r a t i o n a n d i n v e s t i g a t i o n ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 , p . 1 3 3 ) . N e w l d e e s a b e u t M a t h e m a t i c a l C e m e n t C h a n g e s i n w h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o k n o w w o u l d a c c o m p a n y c h a n g e s i n w h a t i t m e a n s t o k n o w m a t h e m a t i c s . T h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m c o m m o n l y t a u g h t i n s c h o o l s n o w i n c l u d e s " m o r e a n d d i f f e r e n t c o n t e n t " ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 , p . 7 8 ) . C o n s i s t e n t w i t h v i e w s o f k n o w l e d g e , t h e r e f o r m d o c u m e n t s g i v e c u r r i c u l a r a t t e n t i o n t o p a r t i c u l a r c o n t e n t 1 0 a s w e l l a s m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s . T h e C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n ( 1 9 9 2 ) a n d t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) p r o v i d e l i s t s o f m a t h e m a t i c a l t o p i c s w h i c h i n c l u d e : e s t i m a t i o n , n u m b e r s e n s e a n d n u m e r a t i o n , n u m b e r a n d n u m b e r r e l a t i o n s h i p s , w h o l e n u m b e r s , g e o m e t r y a n d s p a t i a l s e n s e , m e a s u r e m e n t , s t a t i s t i c s a n d p r o b a b i l i t y , f r a c t i o n s a n d d e c i m a l s , p a t t e r n s a n d r e l a t i o n s h i p s , a n d f u n c t i o n s . S t a t i s t i c s a n d p a t t e r n s r e p r e s e n t t o p i c s n e w t o e l e m e n t a r y c u r r i c u l a . T h e t r a d i t i o n a l t o p i c o f l o n g d i v i s i o n m i g h t b e s u b s u m e d u n d e r w h o l e n u m b e r s , d e c i m a l s , f r a c t i o n s , o r n u m b e r a n d n u m b e r r e l a t i o n s h i p s . T h e p u s h o f t h e n e w c o n c e p t i o n o f c o n t e n t i s t o c o n s i d e r m a t h e m a t i c s m o r e b r o a d l y a n d m o v e b e y o n d a c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s d e f i n e d e n t i r e l y b y t h e r u l e s a n d p r o c e d u r e s n e c e s s a r y t o p e r f o r m a l g o r i t h m s . I n t r a d i t i o n a l m a t h c l a s s e s , d o i n g m a t h e m a t i c s m e a n t m e m o r i z i n g , r e c a l l i n g , a n d a p p l y i n g r u l e s a n d p r o c e d u r e s t o e n d l e s s a l g o r i t h m s . I n t h e c o n t e x t o f t h e c u r r e n t r e f o r m s , m e m o r i z i n g i s n o t d o i n g m a t h e m a t i c s . R a t h e r , m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s t h a t m o r e c l o s e l y r e s e m b l e t h e w o r k o f m a t h e m a t i c i a n s w i t h i n a m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y d e f i n e t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s . T h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 ) o u t l i n e s t h e m a t h e m a t i c a l c u r r i c u l u m t o i n c l u d e , E x a m i n i n g p a t t e r n s , a b s t r a c t i n g , g e n e r a l i z i n g , a n d m a k i n g c o n v i n c i n g m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s . . . d e f i n i t i o n s , e x a m p l e s , a n d c o u n t e r e x a m p l e s a n d t h e u s e o f a s s u m p t i o n s , e v i d e n c e , a n d p r o o f . F r a m i n g m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n s a n d c o n j e c t u r e s , c o n s t r u c t i n g a n d e v a l u a t i n g a r g u m e n t s , m a k i n g c o n n e c t i o n s , a n d c o m m u n i c a t i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s a r e a l l i m p o r t a n t a s p e c t s o f m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e . ( p . 1 3 3 ) M a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s a n d c o n t e n t a r e i n t e n d e d t o b e t a u g h t i n t a n d e m , o n e p r o v i d i n g t h e c o n t e x t f o r t h e o t h e r . ” M a t h e m a t i c s m u s t b e a p p r o a c h e d a s a w h o l e . C o n c e p t s , p r o c e d u r e s , a n d i n t e l l e c t u a l p r o c e s s e s a r e i n t e r r e l a t e d ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , p . 1 1 ) a n d a r e t o b e t a u g h t 1 1 w i t h t h e e x p e c t a t i o n t h a t p a r t o f w h a t i s t o b e l e a r n e d a r e t h e w a y s i n w h i c h c o n t e n t a n d p r o c e s s a r e r e l a t e d . ” T h e c u r r i c u l u m s h o u l d i n c l u d e d e l i b e r a t e a t t e m p t s , t h r o u g h s p e c i f i c i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s , t o c o n n e c t i d e a s a n d p r o c e d u r e s b o t h a m o n g d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l t o p i c s a n d w i t h o t h e r c o n t e n t a r e a s ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , p . 1 1 ) . A p a r t f r o m t h e n e w n e s s o f w h a t w a s c o n s i d e r e d c o n t e n t a n d p r o c e s s i n t h e c o n t e x t o f t h e s e r e f o r m s , I a n t i c i p a t e d t h a t t h i s n e w w a y o f c o n c e i v i n g o f t h e i n t e g r a t i o n o f c o n t e n t a n d p r o c e s s w a s g o i n g t o p u s h o n t h e l i m i t s o f m y o w n m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s . I h a d n o e x p e r i e n c e s a s a t e a c h e r o r l e a r n e r o f m a t h e m a t i c s o n w h i c h t o d r a w t h a t c o u l d g i v e m e a s e n s e o f w h a t i t w o u l d m e a n t o w e a v e t o g e t h e r c o n t e n t a n d p r o c e s s i n p r a c t i c e . I h a d n o e x p e r i e n c e s w i t h k n o w i n g m a t h e m a t i c s i n t h e s e w a y s . u a ' M a m a t i I n t h e p a s t , l e a r n i n g m a t h e m a t i c s m e a n t p a s s i v e l y m e m o r i z i n g t h e r u l e s a n d p r o c e d u r e s t h a t w e r e n e c e s s a r y t o g e t r i g h t a n s w e r s . N o w t h a t w h a t i s t o b e l e a r n e d i s c h a n g i n g , w h a t d o e s i t m e a n t o b e a c t i v e l y e n g a g e d i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n s o m e m e a n i n g f u l w a y t h a t p u s h e s b e y o n d o r b e n e a t h r u l e s a n d p r o c e d u r e s ? T h e V i e w o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i m p l i e d b y t h e r e f o r m d o c u m e n t s r e p r e s e n t s a ” s h i f t f r o m l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s a c c u m u l a t i n g f a c t s a n d p r o c e d u r e s t o l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a s a n i n t e g r a t e d s e t o f i n t e l l e c t u a l t o o l s f o r m a k i n g s e n s e o f m a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n s ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 , p . 2 ) . T h e w o r k o f P u t n a m , L a m p e r t , a n d P e t e r s o n ( 1 9 8 9 ) o f f e r s m e a w a y o f s o r t i n g o u t t h e s e v a r i o u s i n t e r p r e t a t i o n s o f w h a t i t c o u l d m e a n t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s i n f u n d a m e n t a l w a y s . O n e i n t e r p r e t a t i o n o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s l e a r n i n g h o w t o r e p r e s e n t a n d c o m m u n i c a t e a m a t h e m a t i c a l i d e a o r i n t e r p r e t t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f o t h e r s , t h r o u g h t h e u s e o f l a n g u a g e , d i a g r a m s , p i c t u r e s , 1 2 m a n i p u l a t i v e s , a n d o t h e r t o o l s t o a i d c o m m u n i c a t i o n ( K a p u t , 1 9 8 7 ) . A s e c o n d i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s i s l e a r n i n g p a r t i c u l a r m o d e l s o r s t r u c t u r e s o f k n o w l e d g e n e c e s s a r y t o p e r f o r m m a t h e m a t i c a l t a s k s . T h e a n a l y s i s o f s p e c i f i c t a s k s a n d s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e o n t a s k s a r o u n d a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , t h e f o u n d a t i o n o f C o g n i t i v e l y G u i d e d I n s t r u c t i o n ( C a r p e n t e r a n d F e n n e m a , 1 9 8 8 ) i s a n e x a m p l e o f t h i s w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . A t h i r d w a y o f c o n s i d e r i n g w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s c e n t e r s o n b u i l d i n g c o n n e c t i o n s a m o n g t y p e s o f k n o w l e d g e o r a t t e n d i n g t o t h e l i n k s b e t w e e n p r o c e d u r a l a n d c o n c e p t u a l k n o w l e d g e . F o r m a n y y e a r s , e d u c a t o r s b e l i e v e d t h a t t o l e a r n s c h o o l m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s h a d t o l e a r n b a s i c s k i l l s a n d p r o c e d u r e s b e f o r e p r o g r e s s i n g t o a c t i v i t i e s t h a t r e q u i r e d h i g h e r l e v e l t h i n k i n g o r s o m e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g ( R e s n i c k , 1 9 8 7 ) . L e a r n i n g b a s i c s k i l l s a n d h o w t o r e a s o n t h r o u g h a c t i v i t i e s a n d p r o b l e m s w i t h c o n c r e t e m a t e r i a l s a n d l a n g u a g e a s t o o l s a r e i n t e g r a t e d g o a l s f o r a l l s t u d e n t s i n t h e c u r r e n t r e f o r m s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 ) . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s l e a r n i n g h o w t o l i n k ” f o r m a l s y m b o l s y s t e m s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s o f q u a n t i t i e s a n d a c t i o n s ” ( H i e b e r t & B e h r , 1 9 8 8 ) . A f o u r t h i n t e r p r e t a t i o n o f l e a r n i n g i s t o c o n s i d e r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g a s t h e a c t i v e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e ( C o b b , 1 9 8 8 ) . I n m a t h e m a t i c s , ” s u c c e s s f u l l e a r n e r s u n d e r s t a n d t h e t a s k t o b e o n e o f c o n s t r u c t i n g m e a n i n g , o f d o i n g i n t e r p r e t i v e w o r k r a t h e r t h a n r o u t i n e m a n i p u l a t i o n s ” ( R e s n i c k , 1 9 8 7 , p . 1 2 ) . T h e s e n s e l e a r n e r s m a k e o f i d e a s p l a y s a p r i m a r y r o l e . T h e m a t h r e f o r m s c a l l f o r t e a c h e r s t o d r a w o n c h i l d r e n ’ s i n t u i t i o n s o r i n f o r m a l m a t h e m a t i c a l s e n s e - m a k i n g a n d t o h a v e t h e s e w a y s o f k n o w i n g b e p a r t o f w h a t i s v a l u e d i n s c h o o l m a t h e m a t i c s . T h i s i s b a s e d o n a b e l i e f a b o u t l e a r n i n g t h a t t h e p l a c e t o b e g i n c o n s t r u c t i n g m e a n i n g i s w i t h w h a t t h e c h i l d k n o w s , w h a t e v e r f o r m t h a t k n o w l e d g e t a k e s . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s d o n e a s s t u d e n t s a c t i v e l y 1 3 c o n s t r u c t m e a n i n g f o r t h e m s e l v e s ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ) b y c o n n e c t i n g n e w i d e a s w i t h p r e v i o u s u n d e r s t a n d i n g s . T h e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e , a s a d v o c a t e d b y t h e s e r e f o r m s , i s n o t d o n e i n i s o l a t i o n . M a k i n g m e a n i n g o u t o f m a t h e m a t i c s i s a s o c i a l a c t i v i t y ( G r e e n o , 1 9 8 9 ) a n d t h e r e f o r m s a r e b a s e d o n t h e b e l i e f t h a t ” s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i s e n h a n c e d i n a l e a r n i n g e n v i r o n m e n t t h a t i s b u i l t a s a c o m m u n i t y o f p e o p l e c o l l a b o r a t i n g t o m a k e s e n s e o f m a t h e m a t i c a l i d e a s ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , p . 5 8 ) . I n t h e o r y , I c o u l d s e e h o w a s h i f t i n a n e m p h a s i s o n r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s o r w h a t c o u n t s a s m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e w a s n e c e s s a r y , g i v e n p e r s p e c t i v e s o n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w h i c h e m p h a s i z e d i n t e r p r e t a t i o n , c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g , a n d r e p r e s e n t a t i o n a n d c o m m u n i c a t i o n o f i d e a s w i t h i n a c o m m u n i t y o f l e a r n e r s . I h a d b e g u n t o v a l u e t h e s e n s e s t u d e n t s m a d e o f i d e a s i n s o c i a l s t u d i e s a n d l a n g u a g e a r t s b u t w a s t h a t p o s s i b l e i n m a t h e m a t i c s - - a s u b j e c t t h a t h a d a l w a y s b e e n a s t r a i g h t f o r w a r d a n d c l e a r l y - d e f i n e d s u b j e c t t o t e a c h a n d l e a r n ? W a s t h e r e r o o m f o r s t u d e n t s ' i n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c a l i d e a s ? I h a d t o s t r e t c h m y m i n d t o c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y . I t r i e d t o e n v i s i o n w h a t i m p l e m e n t i n g s u c h i d e a s a b o u t k n o w l e d g e i n a m a t h c l a s s w o u l d a c t u a l l y e n t a i l . A s I r e a d t h r o u g h t h e s e r e f o r m d o c u m e n t s i n t h e u n i v e r s i t y s e t t i n g , I c o u l d g r a s p s o m e m e a n i n g o f t h e s e n e w i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . R e a d i n g t h r o u g h t h e l i t e r a t u r e i n t h e f i e l d s o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y , p o l i c y s t u d i e s , c u r r i c u l u m , t h e o r y , r e s e a r c h o n t e a c h i n g , a n d t h e l i k e , I w a s a b l e t o u n d e r s t a n d t h e r e f o r m s f r o m s e v e r a l s c h o l a r l y p e r s p e c t i v e s . B u t , a s a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r w h o c o n t e m p l a t e d d o i n g t h e m , I w a s m u c h l e s s c e r t a i n w h a t a l l o f t h i s r h e t o r i c i m p l i e d f o r t e a c h i n g . T h e r e f o r m d o c u m e n t s o f f e r e d s o m e 1 4 t h e o r e t i c a l i d e a s a b o u t w h a t t e a c h i n g a l i g n e d w i t h t h e s e r e f o r m s w o u l d e n t a i l . ” T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g e m p h a s i z e s t h e r e l a t i o n s h i p s a m o n g m a t h e m a t i c a l s k i l l s a n d c o n c e p t s a n d l e a d s s t u d e n t s t o a p p r o a c h m a t h e m a t i c s w i t h a c o m m o n s e n s e a t t i t u d e , u n d e r s t a n d i n g n o t o n l y h o w b u t a l s o w h y s k i l l s a r e a p p l i e d ” ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 , p . 1 2 ) . R e a s o n i n g , c o m m u n i c a t i o n , p r o b l e m s o l v i n g , a n d c o n n e c t i o n s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 ) p l a y a p r i m a r y r o l e . T o m y t e a c h e r s e l f , t h i s l a n g u a g e s e e m e d a b s t r a c t . H o w d o t h e s e n e w v i e w s o f k n o w l e d g e , l e a r n i n g , a n d c o n t e n t t r a n s l a t e i n t o t h e a c t u a l w o r k o f t e a c h i n g ? I l o o k e d f o r f u r t h e r i n f o r m a t i o n o n t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e s e i d e a s i n p r a c t i c e . ” T e a c h i n g i s a c o m p l e x p r a c t i c e a n d h e n c e n o t r e d u c i b l e t o r e c i p e s o r p r e s c r i p t i o n s . . . t e a c h i n g m a t h e m a t i c s d r a w s o n k n o w l e d g e f r o m s e v e r a l d o m a i n s : k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s , o f d i v e r s e l e a r n e r s , o f h o w s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s , o f t h e c o n t e x t o f c l a s s r o o m , s c h o o l a n d s o c i e t y ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 , p . 2 2 ) . T h e m o r e I r e a d , t h e m o r e I f e l t a c o n fl i c t w i t h w h a t I h a d u n d e r s t o o d t o b e g o o d p r a c t i c e . M a t h e m a t i c s t e a c h i n g h a d n o t s e e m e d t o o c o m p l e x i n t h e p a s t f o r i t w a s b a s e d o n s t r a i g h t f o r w a r d r u l e s , p r o c e d u r e s , a n d a l g o r i t h m s t h a t m y s t u d e n t s e i t h e r k n e w o r h a d t o l e a r n . I w a s u n s u r e w h a t w a s m e a n t b y t h e s e v a r i o u s d o m a i n s o f k n o w l e d g e . H o w w e r e t h e s e i d e a s a b o u t t h e k n o w l e d g e n e e d e d t o t e a c h d i f f e r e n t f r o m w h a t h a d g u i d e d m y t e a c h i n g i n t h e p a s t ? W T h e P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r M a t h e m a t i c s T e a c h i n g ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 ) o f f e r s a c o m p a r i s o n o f t r a d i t i o n a l p r a c t i c e a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T o m o v e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e k i n d o f m a t h t e a c h i n g e n v i s i o n e d b y t h i s r e f o r m , t h e y s t a t e t h e f o l l o w i n g a s t h e s h i f t s i n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s t h a t w o u l d n e e d t o O C C U T Z C 0 1 1 : V A a l e s T h e : a h t i e r 1 5 - t o w a r d c l a s s r o o m s a s m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t i e s - ~ a w a y f r o m c l a s s r o o m s a s s i m p l y a c o l l e c t i o n o f i n d i v i d u a l s ; - t o w a r d l o g i c a n d m a t h e m a t i c a l e v i d e n c e a s v e r i f i c a t i o n - - a w a y f r o m t h e t e a c h e r a s t h e s o l e a u t h o r i t y f o r t h e r i g h t a n s w e r s ; - t o w a r d m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g — a w a y f r o m m e r e l y m e m o r i z i n g p r o c e d u r e s ; - t o w a r d c o n j e c t u r i n g , i n v e n t i n g , a n d p r o b l e m s o l v i n g u a w a y f r o m a n e m p h a s i s o n m e c h a n i s t i c a n s w e r - f i n d i n g ; - t o w a r d c o n n e c t i n g m a t h e m a t i c s , i t s i d e a s , a n d i t s a p p l i c a t i o n s - a w a y f r o m t r e a t i n g m a t h e m a t i c s a s a b o d y o f i s o l a t e d c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s . ( p . 3 ) I k n e w a l l t o o w e l l f r o m m y o w n t e a c h i n g e x p e r i e n c e s w h a t t h i s d o c u m e n t w a s a d v o c a t i n g . T h e d i f f i c u l t y w a s u n d e r s t a n d i n g i n a p r a c t i c a l w a y w h a t t e a c h e r s w e r e s u p p o s e d t o m o v e t o w a r d a n d h o w t h e d o m a i n s o f k n o w l e d g e t h e y w e r e s u p p o s e d t o d r a w o n w o u l d h e l p t h e m d o t h e w o r k . T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 ) o f f e r s a n o t h e r c u t o n e x p e c t a t i o n s o f t h e s o r t s o f c h a n g e s t h a t a r e g o i n g t o n e e d o c c u r t o i m p l e m e n t t h e s e r e f o r m s . T h e f o l l o w i n g a r e l i s t s o f i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s t h a t n e e d i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d a t t e n t i o n : 1 6 G r a d e l e v e l I n c r e a s e d A t t e n t i o n D e c r e a s e d A t t e n t i o n u s e o f m a n i p u l a t i v e m a t e r i a l s r o t e p r a c t i c e c o o p e r a t i v e w o r k r o t e m e m o r i z a t i o n o f r u l e s d i s c u s s i o n o f m a t h e m a t i c s o n e a n s w e r a n d o n e m e t h o d q u e s t i o n i n g u s e o f w o r k s h e e t s K - 4 j u s t i f i c a t i o n o f t h i n k i n g w r i t t e n p r a c t i c e w r i t i n g a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g b y t e l l i n g p r o b l e m - s o l v i n g a p p r o a c h t o i n s t r u c t i o n c o n t e n t i n t e g r a t i o n u s e o f c a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r s a c t i v e l y i n v o l v i n g s t u d e n t s t e a c h i n g c o m p u t a t i o n s o u t o f c o n t e x t i n d i v i d u a l l y a n d i n g r o u p s i n d r i l l i n g o n p a p e r - a n d - p e n c i l e x p l o r i n g , c o n j e c t u r i n g , a n a l y z i n g , a l g o r i t h m s a n d a p p l y i n g m a t h e m a t i c s i n b o t h a t e a c h i n g t o p i c s i n i s o l a t i o n 5 — 8 m a t h e m a t i c a l a n d a r e a l - w o r l d c o n t e x t s t r e s s i n g m e m o r i z a t i o n u s i n g a p p r o p r i a t e t e c h n o l o g y f o r b e i n g t h e d i s p e n s e r o f k n o w l e d g e c o m p u t a t i o n a n d e x p l o r a t i o n t e s t i n g f o r t h e s o l e p u r p o s e o f u s i n g c o n c r e t e m a t e r i a l s a s s i g n i n g g r a d e s b e i n g a f a c i l i t a t o r o f l e a r n i n g a s s e s s i n g l e a r n i n g a s a n i n t e g r a l p a r t o f i n s t r u c t i o n ( p p . 2 0 , 2 1 , 7 2 , 7 3 ) F i g u r e 1 . 1 T e a c h i n g p r a c t i c e s t o i n c r e a s e a n d d e c r e a s e i n i m p l e m e n t i n g t h e m a t h r e f o r m s W h e n I l o o k e d a t t h e s e c o l u m n s , I u n d e r s t o o d t h e a r e a s i n w h i c h t e a c h e r s W e r e t o d e c r e a s e a t t e n t i o n . T h e y h a d b e e n f o c a l i n m y p r a c t i c e f o r y e a r s . W h a t I w a s l e s s c e r t a i n a b o u t w a s w h a t i t w o u l d m e a n t o " d e c r e a s e a t t e n t i o n " i n t h e s e a r e a s a n d " i n c r e a s e a t t e n t i o n " i n o t h e r s . W i t h o u t e v e n t r y i n g t h i s , I c o u l d s e e s e v e r a l p r o b l e m s f r o m m y p o i n t o f v i e w a s a n e x p e r i e n c e d c l a s s r o o m t e a c h e r . F i r s t , s o m e o f t h e a r e a s w h e r e i t w a s s u g g e s t e d t e a c h e r s i n c r e a s e a t t e n t i o n , l i k e j u s t i f i c a t i o n o f t h i n k i n g a n d w r i t i n g a b o u t m a t h e m a t i c s , o r e x p l o r i n g , c o n j e c t u r i n g , o r a n a l y z i n g , w e r e a s p e c t s o f p r a c t i c e t o w h i c h I h a d n e v e r a t t e n d e d i n m a t h c l a s s . H o w c o u l d I i n c r e a s e a t t e n t i o n o n t h e s e p a r t i c u l a r a s p e c t s o f p r a c t i c e w h e n I w a s u n c e r t a i n w h a t i t w o u l d m e a n t o a t t e n d t o t h e m i n 1 7 t h e f i r s t p l a c e ? A n d i f I c o u l d n o t i m a g i n e w h a t t h i s w o u l d l o o k l i k e i n t h e c l a s s r o o m s w h e r e I h a d t a u g h t , h o w c o u l d I h e l p o t h e r s l e a r n t o d o i t ? A n o t h e r t h i n g t h a t w a s a b i t t r o u b l e s o m e a s I l o o k e d a t w h a t w a s t o b e d e c r e a s e d a n d w h a t w a s t o b e i n c r e a s e d w a s t h a t t h e r e w a s n o t a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e m . I n m a n y i n s t a n c e s , t o t e a c h i n t h e s e n e w w a y s m i g h t b e a m a t t e r o f d e c r e a s i n g m y a t t e n t i o n o n s o m e a s p e c t o f m y o l d p r a c t i c e w h i l e i n c r e a s i n g m y a t t e n t i o n i n t h e d i r e c t i o n o f s o m e t h i n g I h a d n e v e r d o n e b e f o r e . M y r o l e s e e m e d f u l l a s a t e a c h e r i n m y o l d p r a c t i c e , p l e n t y t o d o a n d t o m a n a g e . I t s e e m e d t h a t n o t o n l y w e r e m y r e s p o n s i b i l i t i e s a s a t e a c h e r c h a n g i n g , b u t t h e y w e r e e x p a n d i n g , a n d e x p a n d i n g i n t o q u i t e u n f a m i l i a r t e r r i t o r y . A c h a n g e i n r e l e . A s I t r i e d t o g e t a c o n c e p t u a l a n d p r a c t i c a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e f o r m s , I m a d e u s e o f t h e i d e a o f " t e a c h e r s ' r o l e " t o t r y t o g e t a m o r e v i v i d i m a g e o f w h a t w a s e x p e c t e d . I t w a s d i f f i c u l t f o r m e t o i m a g i n e j u s t w h a t s o r t o f r o l e I w o u l d c o n s t r u c t f o r m y s e l f , g i v e n a l l o f t h e c h a n g e s i n p r a c t i c e t h a t w e r e b e i n g s u g g e s t e d . S c a t t e r e d t h r o u g h o u t v a r i o u s r e f o r m d o c u m e n t s a r e b r i e f s k e t c h e s o r i m a g e s o f t h e r o l e o f t h e t e a c h e r . F o r e x a m p l e , R e s h a p i n g S c h o o l M a t h e m a t i c s ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 9 0 ) d e s c r i b e s t h e t e a c h e r a s a n ” i n t e l l e c t u a l c o a c h ” ( p . 4 0 ) a n d o u t l i n e s t h e v a r i o u s d i m e n s i o n s o f t h e e n v i s i o n e d r o l e . T h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( 1 9 9 0 ) p r o p o s e s t h a t a t v a r i o u s t i m e s t h e t e a c h e r w i l l b e r e q u i r e d t o b e a r o l e m o d e l , a c o n s u l t a n t , a m o d e r a t o r , a n i n t e r l o c u t o r , a n d a q u e s t i o n e r . T e a c h e r s a r e t o b e ” f a c i l i t a t o r s o f l e a r n i n g r a t h e r t h a n i m p a r t e r s o f i n f o r m a t i o n ” ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 , p . 4 1 ) . T h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 ) o f f e r s t h e i m a g e o f t h e t e a c h e r a s m u s i c a l c o n d u c t o r , s o m e o n e w h o p l a y s a c e n t r a l r o l e i n ” o r c h e s t r a t i n g t h e o r a l a n d w r i t t e n d i s c o u r s e i n w a y s t h a t c o n t r i b u t e t o s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s ” ( p . 3 5 ) . I n t h e c o n t e x t o f t h e s e v a r i o u s i m a g e s , t e a c h e r s a r e r e s p o n s i b l e f o r l e a d i n g d i s c u s s i o n s o f 1 8 m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d c o n s t r u c t i n g l e a r n i n g e n v i r o n m e n t s w h e r e s t u d e n t s c a n b e e n g a g e d i n m e a n i n g f u l t a s k s a l o n e o r i n c o l l a b o r a t i o n w i t h o t h e r s . T h e s e m e t a p h o r s w e r e u s e f u l i n i m a g i n g m y r o l e b u t I w a s s t i l l u n c e r t a i n w h a t i t w o u l d t a k e o r a c t u a l l y b e l i k e t o l e a r n t o b e i n i t . I t f e l t t o m e t h a t i m p l e m e n t i n g t h e s e n e w i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g p l a c e d h i g h d e m a n d s o n t e a c h e r s . M y o w n s e n s e w a s t h a t t r y i n g t o t e a c h i n t h e s e n e w w a y s w a s g o i n g t o b e h a r d . I s a w h i n t s t h r o u g h o u t t h e d o c u m e n t s t h a t o t h e r s t h o u g h t s o , t o o . ” T h e t y p e o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n t h a t i n v o l v e s s t u d e n t s a c t i v e l y a n d i n t e l l e c t u a l l y r e q u i r e s m u c h f r o m t h e t e a c h e r ” ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 , p . 1 3 ) . T e a c h e r s w h o h e l p e d t o d e v e l o p t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 ) s t a t e w h a t t h e y t h i n k a r e t h e m o s t d i f f i c u l t t a s k s c o n f r o n t i n g t e a c h e r s i n t h e s e r e f o r m s . T h e f o l l o w i n g l i s t i s e x t r a c t e d f r o m t h e i r s t a t e m e n t : - c h a n g e i n h o w w e p r a c t i c e o u r p r o f e s s i o n « a b a n d o n t r a d i t i o n a l r o l e s , b e c o m e c h i e f q u e s t i o n e r s a n d f a c i l i t a t o r s f o r s t u d e n t s - r e fl e c t , e x p e r i m e n t , a n d a c c e p t u n c e r t a i n t y - s h a r e d o u b t s a n d c o n f u s i o n s w i t h c o l l e a g u e s « t h r o u g h p r o f e s s i o n a l e x p l o r a t i o n s a n d e x a m i n a t i o n g a i n t h e e x p e r i e n c e a n d c o n f i d e n c e n e c e s s a r y t o i m p l e m e n t t h e n e w p r o g r a m s a n d t a k e t h e c u r r i c u l u m i n t o o u r o w n h a n d s ( p . 1 2 ) W h a t t h e s e t e a c h e r s d i d n o t m e n t i o n w a s w h a t w o u l d i t m e a n f o r a n y t e a c h e r t o t r y t o d o t h e s e t h i n g s i n e v e r y d a y p r a c t i c e . W h a t w o u l d i t m e a n t o ” a c c e p t u n c e r t a i n t y ” i n a c l a s s o f f o u r t h g r a d e r s , f o r e x a m p l e ? O r , w h a t w o u l d i t m e a n t o ” t a k e t h e c u r r i c u l u m i n t o y o u r o w n h a n d s ” ? T h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 ) s t a t e t h a t , ” T h e k i n d o f i n s t r u c t i o n n e e d e d t o i m p l e m e n t t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s s t a n d a r d s r e q u i r e s a h i g h d e g r e e o f i n d i v i d u a l r e s p o n s i b i l i t y , a u t h o r i t y , a n d a u t o n o m y — - i n s h o r t p r o f e s s i o n a l i s m o n t h e p a r t o f e a c h t e a c h e r ” ( p . 4 ) . A g a i n , p r a c t i c a l q u e s t i o n s 1 9 s u r f a c e d . W h a t w o u l d i t b e l i k e f o r m e t o l e a r n t o s h o u l d e r t h e r e s p o n s i b i l i t i e s i t a p p e a r s w o u l d b e d e m a n d e d o f m e ? I t w a s b e g i n n i n g t o f e e l l i k e a n e n o r m o u s w e i g h t a n d I w a s n ' t e v e n i n t h e c l a s s r o o m y e t . I t s e e m e d t o m e t h a t t h e s u c c e s s f u l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e r e f o r m s r e s t e d w i t h m e , t h e t e a c h e r . I n d e s c r i b i n g w h a t i s e n t a i l e d i n m a k i n g t h e s e c h a n g e s , t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( 1 9 8 9 ) n o t e s t h e t e a c h e r a s ” t h e c e n t r a l p e r s o n w h o c a n b r i n g a b o u t m e a n i n g f u l a n d l a s t i n g c h a n g e ” ( p . v i i i ) . T h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 ) s t a t e s , ” t e a c h e r s w i l l i n e v i t a b l y c a r r y t h e g r e a t e s t b u r d e n ” ( p . v i i i ) . T h e i d e a o f w h a t i t w i l l t a k e t o m a k e t h e s e c h a n g e s i s p u s h e d a b i t f u r t h e r a n d s o m e i d e a s a r e o f f e r e d a b o u t w h a t o u g h t t o b e d o n e b y a d m i n i s t r a t o r s i n s c h o o l s a n d d i s t r i c t s t o h e l p t e a c h e r s m a k e t h e s e c h a n g e s . F o r e x a m p l e , t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( 1 9 9 0 ) s u g g e s t s t h a t s c h o o l d i s t r i c t s p a y m o r e a t t e n t i o n t o i n s e r v i c e t r a i n i n g w h i l e t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 ) p r o p o s e s t h a t t e a c h e r s l e a r n m o r e m a t h e m a t i c s a n d p r o v i d e s d e s c r i p t i o n s o f p o s s i b l e c o n t e n t c o u r s e s f o r h i g h s c h o o l a n d e l e m e n t a r y t e a c h e r s . I w a s a l s o c o n c e r n e d w i t h t h e i s s u e o f n o t k n o w i n g e n o u g h m a t h e m a t i c s b u t I w a s n o t e n t i r e l y c o n v i n c e d t h a t w h a t I n e e d e d t o k n o w c o u l d b e f o u n d i n a m a t h c o u r s e , a t l e a s t n o t i n t h e k i n d o f m a t h c o u r s e s I h a d t a k e n e a r l i e r a s a s t u d e n t . T h e o n l y t h i n g I f e l t c e r t a i n o f w a s t h a t t h e r e w a s m u c h I d i d n o t k n o w a n d e v e n m o r e I h a d t o l e a r n . I ' P r T h r o u g h m y e f f o r t s t o c r e a t e a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g f o r m y s e l f , I h o p e d t o b e t t e r u n d e r s t a n d t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n m y s c h o l a r l y u n d e r s t a n d i n g s a n d m y p r a c t i c a l s e n s e o f t h e s e r e f o r m s . W i t h o u t t r y i n g t o a c t i v e l y t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , m y s e l f , t h e b e s t I c o u l d d o i n h e l p i n g o t h e r s l e a r n t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y w a s c o m p a r e a n d 3 * w e i t : 1 1 0 ‘ 9 \ ' 2 0 c o n t r a s t m y s e n s e o f t h e s c h o l a r l y i d e a s b e h i n d t h e s e r e f o r m s t o m y p a s t , m o r e t r a d i t i o n a l w a y s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . I n t h e o r y , I c o u l d n o t e t h e d i f f e r e n c e s . C r e a t i n g a p r a c t i c e a l l o w e d m e t o u n d e r s t a n d t h e d i f f e r e n c e s a n d s e e t h e p r o b l e m s i n t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y f r o m a t e a c h e r ’ s p o i n t o f v i e w . A s I i m a g i n e d a l l t h a t w a s g o i n g t o b e d e m a n d e d o f m e , I w a s t h a n k f u l t o h a v e a r r a n g e d t o t e a c h o n l y m a t h e m a t i c s . S u c h c o n c e n t r a t i o n i n a s i n g l e s u b j e c t a r e a w a s s o m e t h i n g I n e v e r h a d t h e l u x u r y t o d o i n m y y e a r s a s a f u l l t i m e e l e m e n t a r y t e a c h e r . T h e p a r t o f m e t h a t a l w a y s f e l t r u s h e d a s a t e a c h e r w a s l D o k i n g f o r w a r d t o s l o w i n g d o w n , t h i n k i n g a b o u t w h a t I w a s d o i n g , a n d m a y b e e v e n l e a r n i n g s o m e t h i n g ; i t s e e m e d l i k e a r a r e o p p o r t u n i t y . A n o t h e r p a r t o f m e w a s w o r r i e d . M a y b e I w a s n o t s m a r t e n o u g h t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n t h e s e n e w w a y s . I k n e w I n e e d e d t o l e a r n m o r e m a t h e m a t i c s b u t I w a s u n c e r t a i n j u s t w h a t i t w a s t h a t I s h o u l d l e a r n b e c a u s e I w a s s t i l l u n c l e a r a b o u t w h a t i t w a s t h a t I d i d n o t k n o w . A f t e r n i n e y e a r s o f t e a c h i n g , t o fi n d m y s e l f i n a p o s i t i o n o f l e a r n i n g t o t e a c h l e f t m e f e e l i n g u n e a s y . A s t h e s c h o o l y e a r a p p r o a c h e d , m y f e e l i n g s a b o u t t e a c h i n g v a r i e d . T h e r e w e r e s o m e s u m m e r d a y s w h e n I w a s a n x i o u s t o b e b a c k i n t h e c l a s s r o o m , e a g e r f o r a n e w c h a l l e n g e . T h e r e w e r e o t h e r d a y s w h e n m y u n c e r t a i n t y a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r g o t t h e b e t t e r o f m e a n d I w o n d e r e d w h a t e v e r h a d p o s s e s s e d m e t o m a k e a r r a n g e m e n t s t o t r y t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . W h e n I b e g a n m y d o c t o r a l p r o g r a m t o l e a r n t o b e a t e a c h e r e d u c a t o r , I n e v e r e x p e c t e d t h a t I w o u l d f i n d m y s e l f , w i t h i n a y e a r , h e a d e d b a c k i n t o t h e c l a s s r o o m t o l e a r n t o t e a c h . B r o h l e m s e t fi r a c t i c e W h e n I e n t e r e d t e a c h i n g , I f e l t l i k e I h a d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f w h a t w a s e n t a i l e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y f r o m t h e r e f o r m d o c u m e n t s I h a d 2 1 r e a d a n d t h e p r a c t i c e s I h a d o b s e r v e d . I h a d s o m e s e n s e o f t h e m a j o r p r o b l e m s o n e m i g h t f a c e i n t r y i n g t o i m p l e m e n t t h e s e r e f o r m s . B y t h e e n d o f t h e y e a r , t h e p r o b l e m s h a d n o t d i s a p p e a r e d b u t m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m h a d d e e p e n e d . K n e w i n g m e r e m a t h e m a t i c s . A s I h a v e a l r e a d y m e n t i o n e d , I w o r r i e d a l o t a b o u t n o t k n o w i n g e n o u g h m a t h e m a t i c s t o d o t h i s k i n d o f t e a c h i n g b u t I d o n o t t h i n k I r e a l l y u n d e r s t o o d t h e n a t u r e o f t h e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e I n e e d e d t o l e a r n . I h a d t h e i m p r e s s i o n , p r i o r t o t e a c h i n g , t h a t t h e m a t h e m a t i c s I n e e d e d t o l e a r n w a s " o u t t h e r e . " I j u s t h a d t o f i g u r e o u t w h a t m a t h e m a t i c s I w a s l a c k i n g a n d l e a r n i t . I i m a g i n e d t h a t i t w a s q u a n t i t y t h a t I n e e d e d . A n y o n e w h o c o u l d t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w o u l d h a v e t o p o s s e s s m o r e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h a n I h a d . M y e f f o r t s t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y m a k e v i s i b l e , t h r o u g h t h e a b s e n c e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n m y p r a c t i c e , t h e i m p o r t a n c e o f i t i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . W h a t o n e n e e d s t o k n o w , h o w e v e r , i s n o t n e c e s s a r i l y m o r e m a t h e m a t i c s . W h a t o n e n e e d s i s t o b e a b l e t o u n d e r s t a n d t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e d i f f e r e n t l y . W W ; B e f o r e I t r i e d t o m a k e c h a n g e s i n m y p r a c t i c e , I w a s a l s o u n d e r t h e i m p r e s s i o n t h a t a l o t o f t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g w o u l d b e l e f t u p t o s t u d e n t s s i n c e t h e y w e r e s u p p o s e d t o b e r e s p o n s i b l e f o r c o n s t r u c t i n g t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c s . I w o n d e r e d i f t h i s w a s s o m e t h i n g a l l s t u d e n t s c o u l d d o . W e r e t h e t i m e s I o b s e r v e d i n o t h e r c l a s s r o o m s a n d s a w s t u d e n t s m a k i n g s e n s e o f m a t h e m a t i c a l i d e a s r a r e m o m e n t s o r w e r e t h e s t u d e n t s u n u s u a l ? W h a t I q u i c k l y l e a r n e d w h e n I t r i e d t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y w a s t h a t m y s t u d e n t s , w h e n g i v e n t h e o p p o r t u n i t y , c o u l d r e a d i l y c o m e u p w i t h t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . T h a t w a s n o t t h e c h a l l e n g e . T h e p r o b l e m w a s m a k i n g s e n s e o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g s a n d fi n d i n g w a y s t o l i n k t h e i r s e n s e w i t h w h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n a n d m y i n s t r u c t i o n . I w a s s u r p r i s e d a t t h e d e m a n d s p l a c e d o n m y 2 2 m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t h e c o n t e x t o f a k i n d o f t e a c h i n g t h a t c e n t e r e d o n s t u d e n t s ’ c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e . L e a r n i n g t e t e e m . I a p p r o a c h e d t h e y e a r I s p e n t t e a c h i n g w i t h t h e e x p e c t a t i o n t h a t w h a t I w a s g o i n g t o d o w a s l e a r n t o t e a c h d i f f e r e n t l y . I a l s o e n t e r e d t e a c h i n g , a s I j u s t i n d i c a t e d , u n a w a r e t h a t I d i d n o t k n o w t h e s u b j e c t m a t t e r I w a s g o i n g t o b e t e a c h i n g w e l l e n o u g h . W h a t I d i d n o t a p p r e c i a t e , p r i o r t o t e a c h i n g , w a s t h e p r o b l e m o f t r y i n g t o l e a r n a n e w p e d a g o g y w h i l e a l s o t r y i n g t o l e a r n t h e s u b j e c t m a t t e r i n d e e p e r a n d m o r e c o n n e c t e d w a y s t h a n I h a d e v e r e x p e r i e n c e d a s a t e a c h e r o r l e a r n e r . A s r e s e a r c h e r s a n d t e a c h e r e d u c a t o r s h a v e g o t t e n w i s e r a b o u t t h e n e e d f o r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e t o t e a c h , t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m s h a v e t r i e d t o a d d r e s s t h e n e e d t o k n o w p r i o r t o s t u d e n t s e f f o r t s t o l e a r n t o t e a c h . A s a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r , h o w e v e r , I f o u n d m y s e l f f a c e d w i t h t h e c h a l l e n g e o f s i m u l t a n e o u s l y t r y i n g t o a c q u i r e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e w h i l e l e a r n i n g t o t e a c h i n n e w w a y s . W T h e s e p r o b l e m s , w h i c h I h a v e c o m e t o h a v e a d e e p a p p r e c i a t i o n f o r a s a p r a c t i t i o n e r , a r e m a n y o f t h e s a m e p r o b l e m s I h a v e t r i e d t o u n d e r s t a n d t h r o u g h a s t u d y o f m y o w n p r a c t i c e o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . A s a r e s e a r c h e r , I h a v e t r i e d t o u n d e r s t a n d w h a t i t i s t h a t I , a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r , c o u l d h a v e l e a r n e d o r m i g h t h a v e k n o w n a n d h o w i t i s t h a t c o u l d h a v e m a d e u s e o f t h i s k n o w l e d g e t o e a s e t h e d i f f i c u l t i e s p o s e d t o m e b y t h e p r o b l e m s o f c r e a t i n g a n e w p r a c t i c e o f t e a c h i n g e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . M m T h e p r o b l e m s I f a c e d i n p r a c t i c e a n d t h e o n e s I a d d r e s s i n m y r e s e a r c h a r e r e l a t e d t o o n e s t h a t o t h e r r e s e a r c h e r s , t h r o u g h t h e i r r e s e a r c h o n t e a c h i n g o r l e a r n i n g t o t e a c h , h a v e a d d r e s s e d i n v a r i o u s w a y s . A r e v i e w o f t h i s r e s e a r c h 2 3 i l l u s t r a t e s t h e w a y s i n w h i c h m y s t u d y c o m p l e m e n t s a n d fi l l s t h e g a p s o f e x i s t i n g r e s e a r c h . L e a r n i n g t e a c q u i r e a n d u s e k n e w l e d g e a b e u t t e a c h i n g . M y w o r k b u i l d s o n t h e e x p l o r a t i o n s o f t e a c h e r k n o w l e d g e d o n e b y o t h e r r e s e a r c h e r s . I t f u r t h e r s i n s i g h t i n t o w h a t k n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s a n d h o w o n e g o e s a b o u t a c q u i r i n g a n d l e a r n i n g t o u s e i t f r o m a t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e . A c l o s e r l o o k a t s p e c i fi c e x a m p l e s o f r e s e a r c h d o n e o v e r t h e l a s t t e n y e a r s i l l u s t r a t e s t h e w a y s I s e e m y w o r k b u i l d i n g o n a n d h e l p i n g t o f i l l i n t h e g a p s i n w h a t w e c u r r e n t l y u n d e r s t a n d a b o u t t e a c h e r k n o w l e d g e . E a r l y r e s e a r c h o n t e a c h i n g w o r k e d t o d e f i n e t h e o b s e r v a b l e b e h a v i o r s o f t e a c h e r s , t h e t e c h n i c a l f e a t u r e s o f t e a c h i n g ( B r o p h y & G o o d , 1 9 8 6 ) . C l a r k a n d P e t e r s o n ( 1 9 8 6 ) d u g b e n e a t h t h e s u r f a c e o f t e a c h e r a c t i o n s a n d t a l k e d w i t h t e a c h e r s a b o u t t h e t h o u g h t p r o c e s s e s t h a t g o i n t o d o i n g t e a c h i n g , t h e i n t e n t i o n s a n d m o t i v a t i o n t h a t g u i d e a n d d r i v e t e a c h e r s . W h a t C l a r k a n d P e t e r s o n ( 1 9 8 6 ) r e v e a l e d w a s a n e l a b o r a t e p r o c e s s o f t h i n k i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g g u i d i n g t h e o b s e r v a b l e a c t i o n s o f t e a c h e r s . T h e i r r e s e a r c h h a s h e l p e d u s t o s e e t e a c h i n g a s a c o m p l e x c o g n i t i v e a c t i v i t y r e q u i r i n g c o n s t a n t d e l i b e r a t i o n a n d j u d g m e n t , b e f o r e , d u r i n g , a n d a f t e r t h e a c t o f t e a c h i n g . E l b a z ’ s ( 1 9 8 3 ) d e t a i l e d a c c o u n t o f a n E n g l i s h t e a c h e r a n d L a m p e r t ’ s ( 1 9 8 6 ) i n t r o d u c t i o n o f t h e i d e a o f d i l e m m a m a n a g e m e n t i n t e a c h i n g a r e t w o e x a m p l e s o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g t h a t b e g a n t o r e v e a l t h e c o m p l e x i t i e s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r s ’ t h o u g h t s a n d a c t i o n s a n d t h e d y n a m i c n a t u r e o f t e a c h e r k n o w l e d g e . E l b a z ’ s s t u d y h e l p s u s t o s e e t h e p e r s o n a l , p r a c t i c a l , a n d c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f t e a c h e r k n o w l e d g e w h i l e L a m p e r t ’ s w o r k p r o v i d e s i n s i g h t i n t o t h e n a t u r e o f t h e m o m e n t t o m o m e n t j u d g m e n t s d e m a n d e d b y t e a c h i n g . S c t h ( 1 9 8 3 ) h a s l o o k e d , s p e c i fi c a l l y , a t t h e r e fl e c t i v e n a t u r e o f t e a c h e r s ’ w o r k a n d h o w i t i s t h a t p r a c t i t i o n e r s m a k e d e c i s i o n s a n d l e a r n f r o m t h e m . S h u l m a n 2 4 ( 1 9 8 6 ) i n t r o d u c e d ” c o n t e n t k n o w l e d g e , p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e , a n d c u r r i c u l a r k n o w l e d g e ” ( p . 9 ) a s c o n s t r u c t s f o r t h e k n o w l e d g e t e a c h e r s a c q u i r e a n d u s e t o m a k e t h e s e o n g o i n g d e c i s i o n s i n p r a c t i c e . S u b j e c t s p e c i f i c c a s e r e s e a r c h o n t e a c h e r k n o w l e d g e ( i . e . , B a l l 1 9 9 3 a , 1 9 9 3 b ; G r o s s m a n 1 9 9 0 ; G u d m u n d s d o t t i r , 1 9 9 0 ; W i l s o n 8 : W i n e b e r g , 1 9 8 8 ) h a s s e r v e d t o g r o u n d a n d e x p l i c a t e S h u l m a n ’ s t h e o r e t i c a l i d e a s a b o u t t e a c h e r k n o w l e d g e , w h a t i t i s a n d h o w i t i s u s e d . A n u n d e r s t a n d i n g w h i c h h a s g r o w n o u t o f t h i s w o r k i s t h a t w h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w i s n o t a fi x e d b o d y o f k n o w l e d g e l e a r n e d o n c e a n d u s e d r e p e a t e d l y . R a t h e r , t h e k n o w l e d g e n e e d e d f o r t e a c h i n g e x i s t s i n a c o n t e x t a n d i t s u s e f u l n e s s l i e s i n i t s v a l u e f o r m a k i n g j u d g m e n t s a n d g u i d i n g a c t i o n s ( S h u h n a n , 1 9 8 6 ) . T h e r e f o r e , m u c h r e c e n t r e s e a r c h h a s t r i e d t o r e p r e s e n t t e a c h e r k n o w l e d g e t h r o u g h n a r r a t i v e s o f p r a c t i c e w h e r e k n o w l e d g e i s r e p r e s e n t e d a s i t e x i s t s , ” c o n t e x t u a l , i n t e r a c t i v e , a n d s p e c u l a t i v e ” ( L a m p e r t & C l a r k , 1 9 9 0 , p . 2 1 ) . U p t o n o w , r e s e a r c h o n t e a c h e r k n o w l e d g e h a s b e e n i n v a l u a b l e i n h e l p i n g u s t o s e e w h a t i s m e a n t b y k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g a n d h o w i t i s u s e d i n p r a c t i c e . S h u l m a n ( 1 9 8 7 ) d e s c r i b e s t h e k n o w l e d g e g r o w t h i n n o v i c e s l e a r n i n g t o t e a c h a s a ” c o m m u t e f r o m t h e s t a t u s o f a l e a r n e r t o t h a t o f a t e a c h e r ” ( p . 1 2 ) . T h e c a s e s t u d i e s i n d i f f e r e n t s u b j e c t m a t t e r s p a i n t v i v i d p i c t u r e s o f t h a t c o m m u t e f o r n o v i c e s . B u t w e s t i l l h a v e l i t t l e u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h i s j o u r n e y o f g r o w t h i s l i k e f o r e x p e r i e n c e d t e a c h e r s a s t h e y a t t e m p t t o c h a n g e t h e i r p r a c t i c e . T h e s t u d y o f n o v i c e s l e a r n i n g t o t e a c h c e n t e r s o n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n t o p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . O n e i s l e a r n e d b e f o r e t h e o t h e r . T h e l e a r n i n g o f e x p e r i e n c e d t e a c h e r s m i g h t b e s o m e w h a t d i f f e r e n t a n d m o r e c o m p l i c a t e d b e c a u s e t h e y a r e t r y i n g t o l e a r n s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n t h e m i d s t o f e f f o r t s t o a c q u i r e p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . W h a t d o e s k n o w l e d g e g r o w t h l o o k l i k e f o r e x p e r i e n c e d t e a c h e r s w h o o n c e t h o u g h t t h e y h a d 2 5 l e a r n e d t o t e a c h b u t fi n d t h e m s e l v e s t r y i n g t o m a k e c h a n g e s i n t h e i r p r a c t i c e ? M y w o r k b e g i n s t o a d d r e s s t h i s q u e s t i o n t h r o u g h i t s d e t a i l e d a c c o u n t o f t h e p r o c e s s o f a c q u i r i n g a n d l e a r n i n g t o u s e k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g a n d m a t h e m a t i c s i n p r a c t i c e f r o m a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e . Q a m ’ g t e t e a c h m a t h e m a t i c s f e r u n d e r s t a n d i n g . I n t h e c u r r e n t r e s e a r c h o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , t h e s e a m s a r e s m o o t h b e t w e e n t h e i n t e r s e c t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d t h e v a r i o u s t a s k s o f t e a c h i n g . M y s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g b e g i n s t o r e v e a l t h e r o u g h e d g e s . H o w i s m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e u s e d i n t h e w o r k o f t e a c h i n g ? T h e b u m p s a n d b r u i s e s o f m y p r o c e s s o f l e a r n i n g t o t e a c h a l l o w s a p a r t i c u l a r v i e w o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d t h e n e e d f o r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e w h i c h m a y g o u n n o t i c e d i n t h e p r a c t i c e o f t e a c h e r s m o r e e x p e r i e n c e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . S h u l m a n ( 1 9 8 7 ) n o t e s t h e a d v a n t a g e s o f l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g i n t h e c o n t e x t o f t h e p r a c t i c e o f b e g i n n e r s , ” T h e n e o p h y t e ’ s s t u m b l e b e c o m e s t h e s c h o l a r ’ s w i n d o w ” ( p . 4 ) . M y p r a c t i c e i s a p l a c e t o u n d e r s t a n d t h e i m p o r t a n c e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g b y s t u d y i n g t h e s t r u g g l e s t h a t o c c u r , i n p a r t , b e c a u s e o f i t s a b s e n c e . T h e s t u d i e s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g d o m u c h f o r h e l p i n g u s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e c o n t e x t o f t h e c u r r e n t r e f o r m s . C o b b , W o o d , Y a c k e l , a n d M c N e a l ( 1 9 9 2 ) a n d Y a c k e l , C o b b , a n d W o o d ( 1 9 9 1 ) , f o r e x a m p l e , h a v e a t t e m p t e d t o c l a r i f y w h a t i t m e a n s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g f r o m c o g n i t i v e a n d s o c i o l o g i c a l p e r s p e c t i v e s t h r o u g h a n a n a l y s i s o f i n t e r a c t i o n . M y w o r k i l l u s t r a t e s t h e c h a l l e n g e o f g u i d i n g c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s w i t h o u t a c o m m a n d o f t h e s u b j e c t m a t t e r a n d h e l p s t o s h o w t h e i r i n t e r d e p e n d e n c e . L a m p e r t ( 1 9 8 7 , 1 9 8 8 , 1 9 8 9 , 1 9 9 0 , 1 9 9 2 a , 1 9 9 2 b ) , B a l l ( 1 9 9 3 a , 1 9 9 3 b ) a n d S c h o e n f e l d ( 1 9 8 8 , i n p r e s s ) a l l w r i t e a b o u t t h e i r o w n p r a c t i c e s 2 6 t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . S c h o e n f e l d ( 1 9 8 8 ) f o c u s e s o n t h e i n fl u e n c e o f s o c i a l c o n t e x t a n d w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s ( S c h o e n f e l d , i n p r e s s ) . H o w t h e s o c i a l a s p e c t s o f d o i n g m a t h e m a t i c s i n t e r s e c t w i t h u n d e r s t a n d i n g t h e s u b j e c t m a t t e r a r e e x p l o r e d f r o m a b e g i n n e r ' s p e r s p e c t i v e i n m y w o r k a s I s t r u g g l e t o i n t e g r a t e t h e m . L a m p e r t ’ s w o r k i n c l u d e s a t t e n t i o n t o c h o o s i n g a n d p o s i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , d e v e l o p i n g m a t h e m a t i c a l t o o l s f o r f a c i l i t a t i n g c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s a n d u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t h e c o n t e x t o f c l a s s r o o m d i s c o u r s e . W h a t m y w o r k i l l u s t r a t e s i s t h e w a y s i n w h i c h m y u n d e r s t a n d i n g o r l a c k o f u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i m p a c t s m y c h o i c e o f p r o b l e m s , m y a b i l i t y t o m a k e t o o l s a c c e s s i b l e t o m y s t u d e n t s f o r s o l v i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , a n d m y s k i l l a t g u i d i n g c l a s s d i s c u s s i o n s . B a l l ( 1 9 9 3 b ) h a s l o o k e d c l o s e l y a t i n s t r u c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s , r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s , a n d p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e i n t h e c o n t e x t o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . W h a t m y w o r k d o e s i s h i g h l i g h t t h e n e e d f o r t h e i n t e r a c t i o n o f c o n t e n t w i t h p e d a g o g y . T h i s i s e s p e c i a l l y v i v i d i n p l a c e s w h e r e I a m a t a l o s s f o r m y n e x t p e d a g o g i c a l m o v e b e c a u s e o f m y l a c k o f u n d e r s t a n d i n g o f w h a t m a t h e m a t i c s I a m t r y i n g t o t e a c h . A n o t h e r w a y i n w h i c h r e s e a r c h e r s h a v e t r i e d t o u n d e r s t a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s t h r o u g h s t u d i e s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . S o m e w h o d o r e s e a r c h o n l e a r n i n g a n d d r a w c o n n e c t i o n s t o t e a c h i n g s u g g e s t t h e f e a s i b i l i t y o f a p p l y i n g k n o w l e d g e o f l e a r n i n g t o i n s t r u c t i o n . I - I i e b e r t a n d W e a r n e ( 1 9 8 8 ; 1 9 9 2 ) , f o r e x a m p l e , h a v e d o n e e x t e n s i v e w o r k o n s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f r a t i o n a l n u m b e r s . F r o m t h e i r r e s e a r c h o n s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g s , i m p l i c a t i o n s f o r t e a c h i n g a r e d r a w n . C o g n i t i v e l y G u i d e d I n s t r u c t i o n ( C a r p e n t e r & F e n n e m a , 1 9 8 8 ) i s a n o t h e r e x a m p l e o f r e s e a r c h e r s o n l e a r n i n g a p p l y i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g t o i n s t r u c t i o n , i n p a r t i c u l a r t o t h e t o p i c s o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . W h a t t h e s e i 0 i s 2 7 r e s e a r c h e r s a r e d o i n g a s t h e y c o n s i d e r t h e w a y s k n o w l e d g e o f s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g c a n i n f o r m t e a c h i n g i s o n e o f t h e m a j o r t a s k s I f a c e d o n a d a i l y b a s i s a s a c l a s s r o o m t e a c h e r . W e n e e d m o r e u n d e r s t a n d i n g o f h o w t e a c h e r s a r e t o l e a r n t o m a k e u s e o f k n o w l e d g e o f s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g s i n t e a c h i n g . L e a r n i n g t e t e a c h a s a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r . T e a c h e r d e v e l o p m e n t i s a fi e l d o f e d u c a t i o n a l r e s e a r c h t h a t h a s b e e n e x a m i n e d f r o m a v a r i e t y o f p e r s p e c t i v e s ( B o r k o 8 : P u t n a m , i n p r e s s ; C a r t e r , 1 9 9 0 ; F e i m a n - N e m s e r , 1 9 8 3 ; R i c h a r d s o n , 1 9 9 0 ) . F o r e x a m p l e , t e a c h e r d e v e l o p m e n t i n c l u d e s u n d e r s t a n d i n g s o f h o w i t i s t h a t t e a c h e r s a r e s o c i a l i z e d i n t o t h e p r o f e s s i o n ( L o r t i e , 1 9 7 5 ) , t h e s t a g e s o f t e a c h e r s ’ c a r e e r s ( F u l l e r , 1 9 6 9 ; H u b e r m a n , 1 9 8 8 ) , s t a f f d e v e l o p m e n t ( L i e b e r m a n 8 : M i l l e r , 1 9 7 9 ) , p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t ( L i t t l e , 1 9 8 5 ; L i t t l e , G a l a g r a n , 8 : O ' N e a l , 1 9 8 4 ) , a n d t e a c h e r c h a n g e f r o m a s o c i a l a n d o r g a n i z a t i o n a l p e r s p e c t i v e ( M c L a u g h l i n , 1 9 7 6 ) . A c r o s s t h i s l i t e r a t u r e , t e a c h e r d e v e l o p m e n t h a s b e e n s e e n p r i m a r i l y a s a g e n e r i c p r o c e s s ( n o t s u b j e c t s p e c i fi c ) a n d r a r e l y i s t h e t o p i c o f h o w t e a c h e r s d e v e l o p o v e r t i m e a d d r e s s e d d i r e c t l y ( F e i m a n - N e m s e r , 1 9 8 3 ) o r i n a n y e x t e n d e d d e t a i l t h a t r e v e a l s i t s c o m p l e x i t y ( B o r k o 8 : P u t n a m , i n p r e s s ) . T h e r e a f e w e x c e p t i o n s . F e a t h e r s t o n e ( 1 9 9 3 ) i s a n e x a m p l e o f a c l o s e r , m o r e d e t a i l e d l o o k a t t h e l e a r n i n g o f b e g i n n i n g t e a c h e r s . C u r r e n t r e s e a r c h p r o j e c t s b y r e s e a r c h e r s a t t h e N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g ( N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n , 1 9 9 0 ) h a v e b e e n d e s i g n e d t o b e g i n t o a d d r e s s s o m e o f t h e h o l e s i n c u r r e n t r e s e a r c h o n t e a c h e r l e a r n i n g . T h e r e i s s o m e r e s e a r c h i n t h e a r e a o f l e a r n i n g t o t e a c h i n t h e c o n t e x t o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h a t s p a n s b o t h t h e p r a c t i c e o f p r e - s e r v i c e a n d b e g i n n i n g t e a c h e r s ( B o r k o 8 : L i v i n g s t o n , 1 9 8 9 ; E i s e n h a r t , B o r k o , U n d e r h i l l , B r o w n , J o n e s , 8 : A g a r d , 1 9 9 3 ; S c h r a m 1 9 9 2 ) a s w e l l a s t e a c h e r s w i t h y e a r s o f e x p e r i e n c e a t t e m p t i n g t o m a k e c h a n g e s i n p r a c t i c e ( i . e . , C o h e n , P e t e r s o n , W i l s o n , B a l l , P u t n a m , P r a w a t , H e a t o n , R e m i l l a r d , 8 : W i e m e r s , 1 9 9 0 ; F e a t h e r s t o n e , P f e i f f e r , 8 : 2 8 S m i t h , 1 9 9 3 ; H a r t , 1 9 9 1 ; S c h i f t e r 8 : F o s n o t , 1 9 9 3 ; S i m o n 8 : S c h i f t e r , 1 9 9 1 ; S t e i n , G r o v e r , a n d S i l v e r , 1 9 9 1 ; T h o m p s o n , 1 9 8 5 ; W o o d , C o b b , 8 : Y a c k e l , 1 9 9 1 ) . A g e n e r a l t h e m e a c r o s s a l l o f t h e s e s t u d i e s i s t h e d i f fi c u l t y o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n m e a n i n g f u l w a y s w h e t h e r y o u a r e a b r a n d n e w t e a c h e r o r a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r t r y i n g t o m a k e c h a n g e s i n p r a c t i c e . B u t w e h a v e m u c h m o r e t o l e a r n a b o u t w h a t m a k e s i t s o h a r d . I e x p e c t e d t h a t t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y t o b e d i f f i c u l t w h e n I s t a r t e d . W h a t I h a d l i t t l e a p p r e c i a t i o n f o r w a s w h a t m a k e s i t s o c h a l l e n g i n g . M y s t u d y s h i n e s a b r i g h t b e a m o n t h e d i f fi c u l t i e s o f a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r f a c e d w i t h t h e c h a l l e n g e o f l e a r n i n g n e w p e d a g o g y a n d s u b j e c t m a t t e r . S t u d y i n g a a d C r e a m g a P r a c t i c e c f T e a c h i n g M a t h e m a t i c s M y c r e a t i o n a n d s t u d y o f a p r a c t i c e c o m p l e m e n t s e x i s t i n g r e s e a r c h a n d i s a n a t t e m p t o n m y p a r t t o t r a v e l b e t w e e n t h e w o r l d s o f u n i v e r s i t y s c h o l a r s h i p a n d t e a c h i n g p r a c t i c e . M y s t u d y a l s o c o n n e c t s t o a u t o b i o g r a p h i c a l t r a d i t i o n s , i n p a r t i c u l a r , a u t o b i o g r a p h i e s o f t e a c h e r s . T e a c h e r s h a v e b e e n w r i t i n g a b o u t t h e i r o w n t e a c h i n g i n a u t o b i o g r a p h i c a l a c c o u n t s o f t e a c h i n g f o r a l o n g t i m e ( A s h t o n - W a m e r , 1 9 6 3 ; C a l k i n s , 1 9 8 3 ; D e n n i s o n , 1 9 6 9 ; E g g l e s t o n , 1 8 9 9 ; K o h l , 1 9 6 7 , 1 9 8 4 ; P a l e y , 1 9 7 9 , 1 9 8 1 , 1 9 9 0 ; S p r a g u e — M i t c h e l l , 1 9 6 3 ; S t e w a r t , 1 9 4 9 ; W i g g i n g t o n , 1 9 8 6 ) a n d t h i s c o n t i n u e s t o b e a g r o w i n g c a t e g o r y o f l i t e r a t u r e . W h a t t h e s e a c c o u n t s o f f e r i s a h i g h l y p e r s o n a l a n d c o n t e x t u a l a c c o u n t o f t e a c h i n g , s t o r i e s i l l u s t r a t i v e o f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h o u g h t a n d a c t i o n . T h e y p r o v i d e u s w i t h s t o r i e s o f t e a c h i n g . T h r o u g h t h e i r s t o r i e s , o n e c a n l e a r n a b o u t t h e s e a u t h o r s ’ l i v e s , t h e i r w o r k w i t h s t u d e n t s , w h a t t h e y v a l u e a s t e a c h e r s , h o w i t i s t h e y c h o o s e t o l i v e t h e i r l i v e s . T e a c h i n g i s p o r t r a y e d f r o m a n i n s i d e r ’ s p e r s p e c t i v e . T h e s e a u t o b i o g r a p h i c a l a c c o u n t s r e p r e s e n t t h e c o g n i t i v e w o r k o f t e a c h i n g a s w e l l a s t h e e m o t i o n a l d e m a n d s o f t h e w o r k . W h i l e m u c h c a n b e l e a r n e d a b o u t t e a c h i n g a n d 2 9 t h e k n o w l e d g e n e e d e d t o t e a c h f r o m t h e m , t h e s e a u t o b i o g r a p h i e s d o n o t - - n o r d i d t h e i r a u t h o r s i n t e n d t h e m t o - - f a l l i n t o t h e r e a h n o f a c a d e m i c r e s e a r c h . T h e w r i t i n g b y t e a c h e r s t h a t i s fi n d i n g i t s w a y i n t o a c a d e m i a i s t h e w o r k b e i n g d o n e b y t e a c h e r r e s e a r c h e r s . T e a c h e r r e s e a r c h i s a n e f f o r t b y t e a c h e r s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g f r o m t h e i r d a y - t o - d a y e x p e r i e n c e s . I t i s g r a d u a l l y b e c o m i n g a l e g i t i m a t e w a y o f k n o w i n g a b o u t t e a c h i n g ( L y t l e 8 : C o c h r a n - S m i t h , 1 9 9 2 ) . T e a c h e r ’ s q u e s t i o n s ” o f t e n e m e r g e f r o m d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n w h a t i s i n t e n d e d a n d w h a t o c c u r s ” ( C o c h r a n - S m i t h 8 : L y t l e , 1 9 9 0 , p . 5 ) a n d o f t e n f o c u s o n i s s u e s c e n t r a l t o t h e l e a r n i n g o f t h e i r s t u d e n t s . T h e q u e s t i o n s p o s e d a n d t h e s o l u t i o n s g e n e r a t e d t e n d t o h e l p t h e t e a c h e r w h o i s d o i n g t h e r e s e a r c h c o p e w i t h i m m e d i a t e p r o b l e m s i n t h e d a y - t o - d a y w o r k o f t e a c h i n g . F o r t h e m o s t p a r t , k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g g e n e r a t e d b y t e a c h e r r e s e a r c h i s n o t c o n s i d e r e d ” h i g h s t a t u s i n f o r m a t i o n , ” l i k e t h e k n o w l e d g e g e n e r a t e d b y u n i v e r s i t y r e s e a r c h e r s . C o c h r a n - S m i t h a n d L y t l e ( 1 9 9 0 ) a r e l e a d e r s a m o n g p e o p l e i n t h i s c o u n t r y p r o m o t i n g t h e v a l u e o f t e a c h e r r e s e a r c h a n d t h e k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g p r o d u c e d b y i t b e c a u s e o f i t s p o t e n t i a l t o i n f o r m t h e p e r s o n n e l o f s c h o o l s a n d u n i v e r s i t i e s . W h i l e m o s t a u t o b i o g r a p h i e s b y t e a c h e r s t o d a t e a r e n o t c o n s i d e r e d b y t h e i r a u t h o r s o r t h e a c a d e m y a s a t t e m p t s a t e d u c a t i o n a l s c h o l a r s h i p , I i n t e n d m y s t u d y a s b o t h a n a u t o b i o g r a p h i c a l a c c o u n t o f l e a r n i n g t o t e a c h a n d a p i e c e o f s c h o l a r s h i p . W h a t I h a v e w r i t t e n i s n o t j u s t a s t o r y o f m y e x p e r i e n c e . I t i s a l s o a c l o s e a n d c a r e f u l s t u d y o f m y l e a r n i n g e x p e r i e n c e s o v e r t w o d i f f e r e n t p o i n t s i n t i m e b a s e d o n a n a n a l y s i s o f a v a r i e t y o f s o u r c e s o f d o c u m e n t a t i o n o f m y t e a c h i n g . T h e c h a p t e r s w h i c h f o l l o w r e p r e s e n t m y j o u r n e y o f l e a r n i n g t o t e a c h d i f f e r e n t l y a n d w h a t I h a v e l e a r n e d a l o n g t h e w a y . M y d i s s e r t a t i o n i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . P a r t I , A N e w V i s i o n , a n E x p e r i e n c e d P r a c t i t i o n e r , a n d a M e t h o d 3 0 o f I n q u i r y , i n c l u d e s t h e fi r s t t h r e e c h a p t e r s . C h a p t e r 1 h a s o u t l i n e d t h e l a t e s t i d e a s f o r r e f o r m i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a t a n a t i o n a l l e v e l a s w e l l a s t h e n e w g o a l s I s e t f o r m y s e l f a s a t e a c h e r . I t o o k o n t h e t a s k o f t r y i n g t o l e a r n t o d o a n e w k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d a r r a n g e d t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n a f o u r t h - g r a d e c l a s s r o o m . C h a p t e r 2 i s m y p e d a g o g i c a l a u t o b i o g r a p h y . I n t h i s c h a p t e r , I d e s c r i b e m y p a s t t e a c h i n g p r a c t i c e w h i c h i n c l u d e s a n a c c o u n t o f m y o l d w a y s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h e s e r e fl e c t i o n s o n m y p a s t w o r k a s a t e a c h e r , t h e c h a n g e s I e x p e r i e n c e d i n t e a c h i n g p r a c t i c e i n n i n e y e a r s , a n d h o w I l e a r n e d t o t e a c h , s e t a h i s t o r i c a l c o n t e x t f o r t h e c h a n g e s i n p r a c t i c e I t r i e d t o m a k e i n m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . C h a p t e r 3 d e s c r i b e s m y m e t h o d o f i n q u i r y . I o u t l i n e t h e d a t a t h a t w a s c o l l e c t e d a n d h o w i t w a s c o l l e c t e d . I e x p l a i n t h e p r o c e s s I w e n t t h r o u g h t o m a k e t h e d e c i s i o n s a b o u t w h i c h s t o r i e s t o t e l l a n d h o w I a n a l y z e d t h e m . A s a n e x a m p l e , I b r i e fl y d i s c u s s t h e a n a l y t i c w o r k t h a t w e n t i n t o C h a p t e r 5 , t h e s e c o n d o f f o u r c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g . I a l s o d e s c r i b e t h e p u r p o s e s o f m y s t u d y a n d t h e r i s k s a s s o c i a t e d w i t h d o i n g i t . P a r t H , T h e C r e a t i o n a n d S t u d y o f a P r a c t i c e , b e g i n s w i t h a P r o l o g u e . I n t h i s i n t r o d u c t i o n , I d e s c r i b e t h e t o o l s a n d c o n t e x t o f m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . I d e s c r i b e t h e c o n t e x t i n w h i c h I w o r k e d a n d p r o v i d e a d e s c r i p t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m w i t h w h i c h I b e g a n t h e s c h o o l y e a r . T h e n e x t f o u r c h a p t e r s a r e n a r r a t i v e s a n d a n a l y s e s o f m y p r a c t i c e . T o g e t h e r , t h e c h a p t e r s s p a n t h e s c h o o l y e a r a n d p r o v i d e i n s i g h t i n t o t h e c h a l l e n g e s l c o n f r o n t e d a n d t h e l e a r n i n g I e x p e r i e n c e d d u r i n g t h a t y e a r o f t e a c h i n g a n d i n t h e t h r e e y e a r s b e t w e e n t h e t i m e I d i d t h e t e a c h i n g a n d b e g a n w o r k o n t h i s d i s s e r t a t i o n . C h a p t e r 8 c o n c l u d e s w i t h a l o o k b a c k a t t h e p r e v i o u s c h a p t e r s . I d i s c u s s w h a t i t i s t h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t l e a r n i n g t o t e a c h a n d t h e n a t u r e o f t h e p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I e x a m i n e t h e e x p e c t a t i o n s I h a d f o r m a k i n g c h a n g e s i n m y t e a c h i n g p r i o r t o t e a c h i n g a n d t h e w a y s i n w h i c h t h o s e 3 1 e x p e c t a t i o n s w e r e r e v i s e d t h r o u g h m y e f f o r t s t o c r e a t e a n d s t u d y a p r a c t i c e . T h e c h a p t e r c o n c l u d e s w i t h s u g g e s t i o n s f o r e d u c a t i n g t e a c h e r s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . W h i l e t h i s i s a s t o r y a n d s t u d y o f w h a t i t m e a n s t o l e a r n t o t e a c h , i t i s a l s o a s t o r y a n d s t u d y o f w h a t i t m e a n s f o r m e t o b e a l e a r n e r . A n d , i t i s a r o u n d t h i s l a s t p o i n t t h a t I s p e a k f r o m m y h e a r t a n d m i n d w h e n I s a y t h i s s t u d y o f m y o w n e x p e r i e n c e s h a s b e e n d i f fi c u l t t o d o . O n e o f t h e h a r d e s t p a r t s h a s b e e n s t e p p i n g b a c k a n d s e e i n g a l l t h a t I a m r e v e a l i n g i n t h e s e c h a p t e r s a b o u t w h o I a m , w h a t I u n d e r s t a n d , a n d w h a t I h a v e l e f t t o l e a r n . W h i l e a c e r t a i n v u l n e r a b i l i t y i s i n h e r e n t i n a u t h o r i n g a n y p i e c e o f s c h o l a r s h i p , i n t h i s c a s e , a s t o r y a n d s t u d y o f m y e x p e r i e n c e s a s a l e a r n e r , t h e s t a k e s f e e l e s p e c i a l l y h i g h . I n t e l l e c t u a l l y , I u n d e r s t a n d t h i s i s w h a t m a k e s m i n e a p o w e r f u l s t o r y , a u n i q u e a n d v a l u a b l e s t u d y . P e r s o n a l l y , I j u s t n e e d t o s a y o n e m o r e t h i n g b e f o r e y o u r e a d a n y f u r t h e r . T h i s w o r k f e e l s l i k e a n i n c r e d i b l e r i s k . O n e , h o w e v e r , w o r t h t a k i n g . M l V i e w ( ‘ t a d ” A I u m : L ) € i n . C H A P T E R 2 M Y E X P E R I E N C E S A S A T E A C H E R A N D L E A R N E R A B O U T T E A C H I N G I w a n t t o p r o v i d e s o m e b a c k g r o u n d o n w h o I w a s a n d t h e e x p e r i e n c e s I b r o u g h t w i t h m e a s a t e a c h e r a n d l e a r n e r w h e n I b e g a n t e a c h i n g f o u r t h g r a d e ’ m a t h e m a t i c s i n t h e y e a r o f t e a c h i n g u n d e r s t u d y i n t h i s d i s s e r t a t i o n . I d o t h i s t o s h e d l i g h t o n m y o w n s t o r y a s w e l l a s p o i n t o u t t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n m y e x p e r i e n c e s a s I s e e t h e m c o m p a r e d w i t h o t h e r e x p e r i e n c e d t e a c h e r s w h o m a y a t t e m p t t o m a k e c o m p a r a b l e c h a n g e s i n t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . I c o u l d d i s c u s s o n l y m y f o r m a l e x p e r i e n c e s l e a r n i n g t o t e a c h i n a n e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m a l o n g w i t h w h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t t e a c h i n g i n m y n i n e y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e i n v a r i e d p l a c e s w i t h d i f f e r e n t a g e s o f s t u d e n t s . T h i s , h o w e v e r , w o u l d o m i t a l l t h a t I l e a r n e d a b o u t t e a c h i n g a s a s t u d e n t , t h e y e a r s I s p e n t i n c l a s s r o o m s a s a s t u d e n t o b s e r v i n g m y t e a c h e r s . T h e s e e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g l e f t l a s t i n g i m p r e s s i o n s o n m e w i t h r e g a r d t o t h e r o l e s o f t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s a n d w h a t i t m e a n s t o t e a c h a n d l e a r n i n s c h o o l s . S o , i t i s w i t h t h e s e e x p e r i e n c e s t h a t I s h a l l b e g i n , f o l l o w e d b y a d i s c u s s i o n o f m y f o r m a l t e a c h e r e d u c a t i o n e x p e r i e n c e s a n d t h e n i n e y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e I b r o u g h t w i t h m e t o m y d o c t o r a l s t u d i e s . W I a m n o t a l o n e i n t h i n k i n g t h a t m y e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t i n fl u e n c e d m y v i e w o f t e a c h i n g . D a n L o r t i e ( 1 9 7 5 ) , a s o c i o l o g i s t w h o d i d e x t e n s i v e r e s e a r c h o n t e a c h i n g , c o i n e d t h i s w a y o f l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g a s ” t h e a p p r e n t i c e s h i p o f o b s e r v a t i o n ” ( p . 6 1 ) . F r o m a n o b s e r v e r ’ s p o s i t i o n , t h e l e a r n e r a b o u t t e a c h i n g h a s n o i d e a a b o u t t h e d e m a n d s a n d d i f fi c u l t i e s o f t e a c h i n g f r o m t h e t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e . B e h a v i o r s a r e w h a t t h e l e a r n e r o b s e r v e s a s a s t u d e n t a n d l a t e r 3 2 3 3 i m i t a t e s a s a t e a c h e r . W h a t i s m i s s i n g a t t h e t i m e f o r t h e l e a r n e r , a n d u n f o r t u n a t e l y l a t e r a s t h e t e a c h e r , i s a n a n a l y t i c p e r s p e c t i v e o n t e a c h i n g . I t i s o f t e n n o t o n l y t h a t s t u d e n t s l a c k s u c h p e r s p e c t i v e , b u t t h a t t h e y m a y n o t e v e n r e a l i z e t h a t t e a c h i n g h a s a n i n t e l l e c t u a l s i d e . E ' ' E l n t h 1 M y t h r e e o l d e r s i b l i n g s a n d I s p e n t g r a d e s o n e t h r o u g h e i g h t i n o u r n e i g h b o r h o o d C a t h o l i c g r a d e s c h o o l i n S t . P a u l , M i n n e s o t a . F o r m o s t o f t h o s e y e a r s , I w a s o n e o f f o r t y s t u d e n t s i n a c r o w d e d c l a s s r o o m . O u r w a l l - t o - w a l l d e s k s w e r e a r r a n g e d i n r o w s t h a t f a c e d t h e f r o n t o f t h e r o o m . M y t e a c h e r s t e n d e d t o c o n d u c t c l a s s f r o m a p o d i u m a t t h e f r o n t o f t h e r o o m w h e r e t h e y k e p t u s u n d e r s t r i c t c o n t r o l a n d f o l l o w e d o n e o f t h e n u m e r o u s t e a c h e r ’ s g u i d e s t h a t d e fi n e d t h e c u r r i c u l u m . W e s p e n t m o s t o f o u r s c h o o l d a y s q u i e t l y w o r k i n g o u t o f t h e s e t e x t b o o k s , a n s w e r i n g q u e s t i o n s p o s e d b y t h e t e a c h e r o r t h e t e x t . I n e i t h e r c a s e , t h e q u e s t i o n s a l w a y s h a d o n e r i g h t a n s w e r . N o t a l l o f m y c h i l d h o o d l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g w a s d o n e i n s c h o o l . M a n y o f m y o u t - o f - s c h o o l h o u r s w e r e s p e n t p l a y i n g w i t h m y t w o s i s t e r s , w h o a r e t w o a n d t h r e e y e a r s o l d e r t h a n m e . W e s p e n t a l o t o f o u r t i m e p l a y i n g s c h o o l w i t h d i s c a r d e d t e x t b o o k s a n d r e c y c l e d w o r k s h e e t s . A s t h e y o u n g e s t , t h e r e w a s n e v e r a n y q u e s t i o n a b o u t w h a t r o l e I w o u l d p l a y . I w a s t h e e t e r n a l s t u d e n t . I w a t c h e d a s m y t w o o l d e r s i s t e r s s q u a b b l e d o v e r w h o w o u l d b e t h e t e a c h e r a n d i m i t a t e d t h e w o r d s a n d a c t i o n s o f o u r r e a l t e a c h e r s . B e t w e e n m y p r a c t i c e s h e r e a n d m y e f f o r t s a t s c h o o l , I p e r f e c t e d s c h o o l l e a r n i n g . I k n e w w h a t w a s e x p e c t e d a n d h o w t o p e r f o r m . I t w a s n o t u n t i l I t h o u g h t c a r e f u l l y a b o u t m y s c h o o l e x p e r i e n c e s w h i l e w r i t i n g t h i s t h e s i s t h a t I r e a l i z e d t h a t m u c h o f w h a t h a p p e n e d i n m y s c h o o l e x p e r i e n c e s a s a s t u d e n t w a s s i m i l a r t o w h a t h a p p e n e d w h e n m y s i s t e r s a n d I p l a y e d s c h o o l . F o r m a n y y e a r s a s a s t u d e n t , I d i d s c h o o l . T h i s m e a n t 3 4 m e m o r i z i n g r u l e s a n d p r o c e d u r e s , g e t t i n g r i g h t a n s w e r s , a n d t u r n i n g i n n e a t p a p e r s . M u c h l a t e r i n m y l i f e , I e x p e r i e n c e d a d i f f e r e n t k i n d o f l e a m i n g n l f e l t w h a t i t w a s l i k e t o c u r i o u s , t o b e e n g a g e d i n i d e a s , a n d t o t h i n k a n d r e a s o n f o r m y s e l f . M y e a r l y s c h o o l e x p e r i e n c e s s h a p e d t h e w a y I t h o u g h t a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g a n d p r o v i d e d m e w i t h a n i m a g e o f t h e r o l e o f a t e a c h e r . I v i e w e d t e a c h i n g a s a d i d a c t i c p r o c e s s a i m e d a t r e p r o d u c i n g a f i x e d b o d y o f k n o w l e d g e ( J a c k s o n , 1 9 8 6 ) . L e a r n i n g w a s p r i m a r i l y a b o u t m e m o r i z a t i o n a n d r e c a l l . T e a c h i n g w a s t e l l i n g , a n d a s a s t u d e n t , m y j o b w a s t o l i s t e n . T h e r e w a s l i t t l e t h a t w a s d e m a n d e d o f m e i n t e r m s o f r e a l i n t e l l e c t u a l e n g a g e m e n t a s I l a t e r e x p e r i e n c e d i t . S c h o o l s w e r e n o t a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t h i n g s t h a t m a t t e r e d t o m e . S c h o o l s w e r e a b o u t l e a r n i n g a d e fi n e d s e t o f c u r r i c u l a r e p r e s e n t e d p r i m a r i l y b y t e x t b o o k s i n a d i r e c t e d f a s h i o n . M u c h o f m y e l e m e n t a r y s c h o o l l e a r n i n g w a s d o n e a r o u n d t e x t b o o k s a n d w o r k s h e e t s . L e a r n i n g e n t a i l e d s e a r c h i n g f o r r i g h t a n s w e r s , r e c a l l i n g t h e m a c c u r a t e l y , a n d r e c o r d i n g t h e m n e a t l y . T h e r e w a s n o s p a c e f o r m y c r e a t i v i t y a l o n g s i d e t e x t b o o k k n o w l e d g e a n d w o r k s h e e t s w i t h r i g h t a n s w e r s . I t w a s a l o n g t i m e b e f o r e I r e a l i z e d t h a t t e x t b o o k s h a d a u t h o r s a n d t h e t e x t t h a t a p p e a r e d w a s c o n s t r u c t e d b y p e o p l e . W h e r e k n o w l e d g e c a m e f r o m w a s n o t a m y s t e r y f o r m e a s a c h i l d . I t w a s n o t e v e n a q u e s t i o n . I f I w a n t e d t o k n o w s o m e t h i n g , I l o o k e d i t u p i n a t e x t b o o k . T h e s u b j e c t d i d n o t m a t t e r . W e h a d t e x t b o o k s f o r e v e r y t h i n g i n c l u d i n g a r t , m u s i c , r e l i g i o n , r e a d i n g , h i s t o r y , s c i e n c e , a n d m a t h e m a t i c s . S i n c e t h i s i s a s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s , I w i l l n o t d i s c u s s m y e x p e r i e n c e s i n e a c h s u b j e c t . I n s t e a d , I w i l l j u s t f o c u s o n m y e x p e r i e n c e s a s a l e a r n e r o f m a t h e m a t i c s . 7 f ‘ - z . 3 5 W T h e l a s t f o r m a l m a t h c l a s s I t o o k w a s a f u l l y e a r o f c a l c u l u s a s a c o l l e g e f r e s h m a n a t t h e s m a l l l i b e r a l a r t s w o m e n ’ s c o l l e g e m y o l d e s t s i s t e r h a d c h o s e n t o a t t e n d . A f r i e n d f r o m m y h i g h s c h o o l w a s a l s o i n t h e c o u r s e . W e s t u d i e d t o g e t h e r o n a r e g u l a r b a s i s o u t s i d e o f m a t h c l a s s . I h a d d o n e w e l l i n h i g h s c h o o l m a t h y e t f o u n d c a l c u l u s s o m e w h a t o f a c h a l l e n g e . U n l i k e m y m a t h c l a s s e s i n t h e p a s t , d o i n g w e l l w a s n o t m e r e l y a m a t t e r o f m e m o r i z a t i o n a n d r e c a l l . I h a d t o a p p l y r u l e s a n d f o r m u l a s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l c h a n g e a n d r e l a t i o n s h i p s . C a l c u l u s c o n f r o n t e d m e w i t h a n e w s c h o o l e x p e r i e n c e . I w a s e x p e c t e d t o t h i n k . E v e n w i t h t h i s n e w r e q u i r e m e n t , a l l t h a t I n e e d e d t o l e a r n c a m e p r e - p a c k a g e d i n t h e t e x t b o o k . W e w e r e e v e n g i v e n p r o b l e m s h e e t s , s i m i l a r t o t h e w o r k s h e e t s I d i d i n e l e m e n t a r y s c h o o l . T h e y , t o o , h a d s i n g l e r i g h t a n s w e r s . T h e d i f f e r e n c e w a s t h a t t h e r e w e r e j u s t m a n y m o r e s t e p s t o s o l v i n g t h e s e p r o b l e m s . B e f o r e m y s o p h o m o r e y e a r , I s w i t c h e d c o l l e g e s . T h e s i z e a n d d i v e r s i t y o f t h e l a r g e p u b l i c u n i v e r s i t y w h e r e I t r a n s f e r r e d w a s m u c h m o r e t o m y l i k i n g . A t t h e t i m e I m a d e t h e t r a n s f e r , I h a d a l r e a d y d e c i d e d t o b e a n e l e m e n t a r y t e a c h e r a n d l e a r n e d t h a t t h e c r e d i t s e a r n e d b y t a k i n g o n e m o r e m a t h c l a s s w o u l d q u a l i f y m e f o r a c o n c e n t r a t i o n i n a p a r t i c u l a r s u b j e c t a r e a , a r e q u i r e m e n t f o r e l e m e n t a r y e d u c a t i o n m a j o r s . I e n r o l l e d i n a c o u r s e c a l l e d D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s , f o r w h i c h C a l c u l u s w a s a p r e r e q u i s i t e . I n a r o o m f u l l o f m e n m a j o r i n g i n s c i e n c e o r m a t h e m a t i c s , I w a s o n e o f a f e w w o m e n e n r o l l e d i n t h e c o u r s e . I c o u l d n o t f o l l o w t h e l e c t u r e s a n d f e l t c o m p l e t e l y a l o n e a n d l o s t i n t h e c o n t e n t . I g r e w i n c r e a s i n g l y u n a b l e t o e v e n f o r m u l a t e q u e s t i o n s f o r m y s e l f a b o u t w h a t i t w a s t h a t I d i d n o t u n d e r s t a n d . T h i s w a s m y fi r s t e x p e r i e n c e f e e l i n g l i k e a c o m p l e t e f a i l u r e i n s c h o o l . A f t e r t h e m i d - t e r m , I d r o p p e d t h e c l a s s i n s h a m e . I c o n c l u d e d f r o m t h i s e x p e r i e n c e t h a t I h a d fi n a l l y r e a c h e d t h e h i g h e s t l e v e l o f m a t h e m a t i c s I w a s c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g . H U I 3 6 I c o n t i n u e d t o f e e l b a d l y a b o u t m y s e l f a n d t h i s m a t h e x p e r i e n c e u n t i l t h e f o l l o w i n g y e a r w h e n I w a s a d m i t t e d i n t o t h e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . T h e r e , I f o u n d t h a t I h a d t a k e n m o r e m a t h e m a t i c s t h a n m o s t o f m y p e e r s . W h e n I h e a r d t h e i r h o r r o r s t o r i e s a b o u t l e a r n i n g m a t h e m a t i c s , I r e a l i z e d t h a t m a n y p e o p l e c a r r i e d b a d m a t h e m a t i c a l m e m o r i e s t h a t w e n t a s f a r b a c k a s e l e m e n t a r y s c h o o l . H e a r i n g t h e i r s t o r i e s , I n o l o n g e r t h o u g h t o f m y s e l f a s S o m e o n e - W h o — D r o p p e d - D i f f e r e n t i a l - E q u a t i o n s . R a t h e r , I c a m e t o v i e w m y s e l f a s S o m e o n e - W h o - M a d e - i t - T h r o u g h - C a l c u l u s . I c o m p l e t e d m y c o n c e n t r a t i o n i n m a t h e m a t i c s b y t a k i n g a B A S I C c o m p u t e r s c i e n c e c o u r s e . I h a d h a d m y fi l l o f m a t h e m a t i c s . I i n i t i a l l y t o o k m a t h c o u r s e s b e c a u s e I f e l t l i k e I k n e w h o w t o w o r k w i t h n u m b e r s a n d e n j o y e d i t . I t h i n k I w a s l u l l e d i n t o b e l i e v i n g i n h i g h s c h o o l t h a t fi e l d s o f s t u d y w e r e n o t g e n d e r - s p e c i fi c a n d m y a t t e n d a n c e a t t h e w o m e n ’ s c o l l e g e d e l a y e d a n y u n d e r s t a n d i n g o f i n c l u s i o n o r e x c l u s i o n o f w o m e n i n m a t h e m a t i c s ( M c D a d e , 1 9 8 8 ) f o r a y e a r . I t w a s n o t u n t i l I w a s e n r o l l e d i n t h e p u b l i c c o — e d u n i v e r s i t y t h a t e x c l u s i o n b y g e n d e r i n m a t h e m a t i c s w a s a p p a r e n t t o m e . M y e x p e r i e n c e s i n c o l l e g e m a t h e m a t i c s a r e , u n f o r t u n a t e l y , n o t u n u s u a l . W h i l e m a t h w a s n o t m y m a j o r , I d i d e x p e r i e n c e s i m i l a r f e e l i n g s t o t h e w o m e n w h o M c D a d e ( 1 9 8 8 ) s t u d i e d w h o w e r e m a t h m a j o r s a n d d r o p p e d o u t o f m a t h . M c D a d e ( 1 9 8 8 ) w r i t e s , ” m o s t w o m e n w h o l e f t t h e s e m a j o r s d e s c r i b e d t h e i r f u t i l e a t t e m p t s t o i m p r o v e a i l i n g G P A s a s d e b i l i t a t i n g i n d i c a t o r s o f t h e i r i n f e r i o r i n t e l l i g e n c e , p o o r s t u d y h a b i t s , p o o r h i g h s c h o o l p r e p a r a t i o n , o r g e n e r a l i n a b i l i t y t o r e m a i n c o n f i d e n t a n d c o m p e t e n t a t t h e i r t a s k s a s s t u d e n t s ” ( p . 9 9 ) . I h a d a l w a y s t h o u g h t o f m y s e l f a s a g o o d s t u d e n t . M y p e r f o r m a n c e i n t h i s m a t h c l a s s s h o o k m y c o n f i d e n c e . I n t e r m s o f t h e g e n e r a l p o p u l a t i o n , m y m a t h e x p e r i e n c e s w e r e t y p i c a l . W o m e n w e r e n o t e x p e c t e d t o s u c c e e d . H o w e v e r , r e l a t i v e t o t h e p o p u l a t i o n o f p e o p l e w h o b e c o m e e l e m e n t a r y t e a c h e r s , I w a s s e e n a s s u c c e s s f u l 3 7 a n d h a d m o r e m a t h e x p e r i e n c e s t h a n m o s t o f m y p e e r s i n e l e m e n t a r y e d u c a t i o n ( B a l l 8 : M c D i a r m i d , 1 9 9 0 ) . A s a y o u n g w h i t e w o m a n f r o m a w o r k i n g m i d d l e c l a s s b a c k g r o u n d w i t h e d u c a t i o n a l o p p o r t u n i t i e s m y p a r e n t s n e v e r h a d , I s h a r e m u c h i n c o m m o n w i t h o t h e r s w h o d e c i d e t o b e c o m e t e a c h e r s ( L a n i e r 8 : L i t t l e , 1 9 8 6 ; G o o d l a d , 1 9 8 4 ) . M y d e c i s i o n t o b e a t e a c h e r w a s o n e e n c o u r a g e d b y m y p a r e n t s . I w a s g o i n g t o c o l l e g e t o l e a r n t o b e s o m e t h i n g t h a t , o n c e I h a d t h e d e g r e e a n d a t e a c h i n g j o b , w o u l d p l a c e m e fi r m l y i n t h e m i d d l e c l a s s ( L o r t i e , 1 9 7 5 ) , p e r h a p s i n a s l i g h t l y b e t t e r s o c i o - e c o n o m i c p l a c e t h a n m y p a r e n t s w e r e i n a t t h e t i m e . M y o r i e n t a t i o n t o s c h o o l i n g a n d t h e p u r p o s e s f o r g e t t i n g a c o l l e g e d e g r e e , w e r e b a s e d o n t h e e c o n o m i c p r o m i s e ( G o o d l a d , 1 9 8 4 ) t h a t e d u c a t i o n c o u l d g i v e m e . M y o l d e r s i b l i n g s a n d I a l l w e n t o n t o c o l l e g e a n d a c q u i r e d d e g r e e s , a n o p p o r t u n i t y n e i t h e r o f m y p a r e n t s h a d t h e m s e l v e s . L i k e m a n y fi r s t g e n e r a t i o n c o l l e g e s t u d e n t s , I h a d l i m i t e d e c o n o m i c r e s o u r c e s ( L o r t i e , 1 9 7 5 ) a n d m y s i b l i n g s a n d I a l l c h o s e t o a t t e n d c o l l e g e s n e a r h o m e . I s t a r t e d o u t a t a c o l l e g e m y o l d e s t s i s t e r a t t e n d e d a n d t h e n s w i t c h e d t o t h e u n i v e r s i t y m y b r o t h e r a t t e n d e d . M y o l d e s t s i s t e r b e c a m e a t e a c h e r . M y o t h e r s i s t e r b e c a m e a n u r s e . L i k e m a n y o t h e r s i n t h e p r o f e s s i o n , I b e c a m e a t e a c h e r m o r e b y d e f a u l t t h a n b y d e l i b e r a t e c h o i c e ( J o h n s o n , 1 9 9 0 ) . I t e n d e d t o f o l l o w m y s i s t e r s ’ l e a d s a n d s i n c e I h a d n o d e s i r e t o b e a n u r s e , I b e c a m e a t e a c h e r . W h i l e I d o n o t r e c a l l t h e d e c i s i o n a s a c h o i c e , i t m a d e s e n s e . I n s p i t e o f t h e f a c t t h a t s c h o o l w a s n o t v e r y e n g a g i n g , I l i k e d t h e s c h o o l s c e n e , e n g a g e d t h e w a y I w a s e x p e c t e d t o , a n d i m a g i n e d m y s e l f i n t h e r o l e o f t h e t e a c h e r . L o r t i e ( 1 9 7 5 ) r e f e r s t o t h i s a s ” t h e c o n t i n u a t i o n t h e m e : ” I l i k e d s c h o o l a s a c h i l d , w h y n o t c o n t i n u e t o b e p a r t o f s c h o o l l i f e a n d b e c o m e a t e a c h e r ? i ) “ d i e » ~ , 4 . 5 & 8 - 3 8 M y s i s t e r a n d I b e c a m e p a r t o f t h e s e c o n d g e n e r a t i o n o f t e a c h e r s i n m y f a m i l y . M y g r a n d m o t h e r h a d b e e n a s c h o o l t e a c h e r a n d p r i n c i p a l i n t h e e a r l y 1 9 0 0 ’ s . A l t h o u g h n e i t h e r m y s i s t e r n o r I k n o w m u c h a b o u t m y g r a n d m o t h e r ’ s t e a c h i n g p r a c t i c e , b y c h o o s i n g t o b e t e a c h e r s w e w e r e f o l l o w i n g i n h e r f o o t s t e p s . M a n y w h o b e c o m e t e a c h e r s h a v e f a m i l y m e m b e r s a n d r e l a t i v e s w h o a r e a l s o t e a c h e r s ( L o r t i e , 1 9 7 5 ) . M y g r a n d m o t h e r l i v e d a t a t i m e , h o w e v e r , w h e n w o m e n c o u l d b e w i v e s o r t e a c h e r s , n o t b o t h . A s e n t e n c e f r o m t h e a n n o u n c e m e n t o f h e r w e d d i n g i n h e r l o c a l n e w s p a p e r w h i c h h i g h l i g h t e d h e r d e c i s i o n h a s l i n g e r e d w i t h m e s i n c e t h e d a y I r e a d i t . T h o s e w h o h a v e c o m e t o e s t e e m a n d r e g a r d h i g h l y t h e y o u n g l a d y w h o s e r v e d a s p r i n c i p a l o f F e r r y v i l l e ’ s s c h o o l s t h e p a s t y e a r f e e l p l e a s e d t h a t s h e w i l l n o t d e p a r t f r o m t h i s v i c i n i t y b u t h a s b e e n w o n b y a p r o g r e s s i v e y o u n g f a r m e r a s h i s l i f e p a r t n e r . H o w h a d s h e f e l t a b o u t t h i s ? W h a t w o u l d s h e t h i n k o f t h e c h o i c e s I h a v e h a d , t h e l i f e I h a v e m a d e f o r m y s e l f a s a t e a c h e r ? M y o n l y w i n d o w i n t o m y g r a n d m o t h e r ’ s p r a c t i c e a s a t e a c h e r c o m e s f r o m o n e o f h e r b o o k ’ s , A B r i e f C o u r s e i n t h e T e a c h i n g P r o c e s s , ( S t r a y e r , 1 9 1 9 ) , w i t h p a g e s w e l l - w o r n b y h e r t h u m b a n d m a r g i n s m a r k e d w i t h h e r p e n c i l . I h a v e s e a r c h e d t h e p a s s a g e s s h e n o t e d t h a t I w o u l d h a v e n o t i c e d , t o o . I f o u n d t h i s o n e . P u p i l s a t w o r k f o r m i n g h a b i t s o f t h o u g h t , f e e l i n g , a n d a c t i o n ; a c q u i r i n g k n o w l e d g e o f n a t u r e a n d o f s o c i e t y ; f o r m i n g i d e a l s w h i c h m a k e f o r s o c i a l w e l l b e i n g ; a n d l e a r n i n g i n a l l o f t h i s w o r k t o a c t i n d e p e n d e n t l y , t o f u n c t i o n i n t h e s o c i e t y o f w h i c h t h e y a r e a p a r t : t h i s i s e d u c a t i o n , a n d t h e s e a r e t h e g o a l s w h i c h w e s h o u l d s t r i v e t o a c h i e v e e v e r y d a y a n d e v e r y h o u r t h a t w e t e a c h . ( p . 1 0 ) . I t i s i n t e r e s t i n g t o m e t h a t s o m e t h i n g m y g r a n d m o t h e r r e a d a n d m a r k e d w i t h h e r p e n c i l m o r e t h a n 7 0 y e a r s a g o m a k e s s e n s e t o m e t o d a y . W o u l d m y g r a n d m o t h e r b e s u r p r i s e d t h a t d e c a d e s l a t e r , I s h a r e s i m i l a r b e l i e f s ? B u t , i n t e r e s t i n g l y , t h e s e a r e n o t t h e v a l u e s I h e l d a b o u t t e a c h i n g w h e n I e n t e r e d m y t e a c h e r e d u c a t i o n [ 0 - 1 - 1 1 1 ; ) P 9 : 3 9 p r o g r a m . T h e t r a n s f o r m a t i o n o f m y b e l i e f s a n d v a l u e s a b o u t t e a c h i n g c a n b e f o l l o w e d t h r o u g h m y e x p e r i e n c e s i n t h e l i f e I m a d e f o r m y s e l f a s a t e a c h e r i n t h e n i n e y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e s e x p l a i n e d i n t h e r e m a i n i n g p a r t o f t h i s c h a p t e r a n d t h e y e a r o f m a t h t e a c h i n g d e s c r i b e d a n d a n a l y z e d i n f o l l o w i n g c h a p t e r s . E x r i n i n T a r E d a t i o n P r a m I n t h e l a t e 1 9 7 0 ’ s , I w e n t t h r o u g h t y p i c a l u n d e r g r a d u a t e e l e m e n t a r y t e a c h e r e d u c a t i o n c o u r s e s w h o s e c o n t e n t a n d i n s t r u c t o r s I c a n b a r e l y r e m e m b e r . I s t u d e n t t a u g h t i n a fi r s t g r a d e c l a s s r o o m w i t h a c o m p e t e n t , w e l l - o r g a n i z e d , s u p p o r t i v e c o o p e r a t i n g t e a c h e r . I g r a d u a l l y t o o k o n t h e r o l e o f t h e t e a c h e r , t a k i n g m o r e o f t h e c o o p e r a t i n g t e a c h e r ’ s r e s p o n s i b i l i t i e s a s t h e t e r m p r o g r e s s e d . B y t h e m i d d l e o f t h e t e n w e e k t e r m , I w a s t e a c h i n g f u l l - t i m e . I t w a s a s u c c e s s f u l e x p e r i e n c e . I l e f t t h i n k i n g t h a t I w o u l d b e a g o o d t e a c h e r . I p l a y e d t h e r o l e w e l l a n d h a d a c c u m u l a t e d a c o l l e c t i o n o f m a t e r i a l s a n d a c t i v i t i e s f o r t e a c h i n g , a n d s t r a t e g i e s f o r m a n a g i n g a c l a s s . L i k e s o m a n y o t h e r t e a c h e r s , I l e f t c o l l e g e f e e l i n g p r e p a r e d t o t e a c h a n e l e m e n t a r y c l a s s o f m y o w n a n d m y p r i n c i p l e t e a c h e r h a d b e e n e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m . T h e r e w a s n o t h i n g i n m y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m t o c h a l l e n g e m y c h i l d h o o d v i e w s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . I w a s p a r t o f a p r o g r a m i n w h i c h t h e p r i m a r y o b j e c t i v e o f p r a c t i c e w a s a c q u i r i n g t e c h n i c a l s k i l l s . I l e f t w i t h t h e s a m e v i e w s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g w i t h w h i c h I e n t e r e d . L o r t i e ( 1 9 7 5 ) n o t e s , ” T e a c h e r s s e e m t o e m e r g e f r o m t h e i r i n d u c t i o n e x p e r i e n c e s w i t h a s t r o n g l y b i o g r a p h i c a l o r i e n t a t i o n t o p e d a g o g i c a l d e c i s i o n - m a k i n g ” ( p . 8 1 ) . T e a c h e r s ’ o w n l i f e h i s t o r i e s a s s t u d e n t s s h a p e t h e s o r t o f t e a c h e r s t h e y b e c o m e . W h a t s t u d e n t s l e a r n a b o u t t e a c h i n g , L o r t i e r e p o r t e d , t e n d s t o b e ” i n t u i t i v e a n d i m i t a t i v e r a t h e r t h a n e x p l i c i t a n d a n a l y t i c a l ; i t i s b a s e d o n i n d i v i d u a l p e r s o n a l i t i e s r a t h e r t h a n p e d a g o g i c a l p r i n c i p l e s ” ( p . 6 2 ) . I w a s n o d i f f e r e n t t h a n m o s t . & E l l ! - 1 : : l . ‘ 9 : d . 4 0 I g r a d u a t e d f r o m c o l l e g e i n t h e m i d d l e o f a s c h o o l y e a r a n d s p e n t m y t i m e s u b s t i t u t i n g . I b o u n c e d f r o m o n e g r a d e l e v e l t o a n o t h e r , j u m p i n g i n a n d o u t o f t e a c h e r ’ s g u i d e s . C u r r i c u l u m w a s t h e l e a s t o f m y c o n c e r n s . D a i l y s u r v i v a l w a s m y o b j e c t i v e . T h i s w a s a r o u g h w a y t o s t a r t t e a c h i n g b u t i t m a d e m e e s p e c i a l l y a p p r e c i a t i v e w h e n I w a s h i r e d t h e f o l l o w i n g y e a r t o t e a c h a c l a s s o f fi r s t g r a d e r s i n a c l a s s r o o m t h a t w a s a l l m y o w n . M y T e a c h m g A d v e n t u r e s I n t h e s e c t i o n t h a t f o l l o w s , I r e l a y e x p e r i e n c e s f r o m m y n i n e y e a r s o f e l e m e n t a r y t e a c h i n g . I n t h o s e n i n e y e a r s , I t a u g h t i n t h r e e d i f f e r e n t l o c a t i o n s : M i n n e s o t a , G e r m a n y , a n d r u r a l V e r m o n t . T h e l e v e l o f d e t a i l a t w h i c h I w i l l c o n s i d e r m y t e a c h i n g e x p e r i e n c e s i n t h e s e t h r e e d i f f e r e n t p l a c e s v a r i e s . I d i s c u s s a s p e c t s o f t e a c h i n g s p e c i fi c s u b j e c t s t h a t I t h i n k , i n r e t r o s p e c t , i n fl u e n c e d m y c o n c e p t i o n o f k n o w l e d g e , a n d t h e l e a r n i n g a n d t e a c h i n g o f p a r t i c u l a r s u b j e c t s . i n n : T ' h I a T a h I b e g a n t e a c h i n g w i t h i n 3 0 m i l e s o f w h e r e I g r e w u p a n d w e n t t o c o l l e g e . L i k e m o s t s t u d e n t s w h o f i n i s h a t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m , I d i d n o t v i e w l e a r n i n g t o t e a c h a s ” a l o n g t e r m e n t e r p r i s e ” ( L a n i e r 8 : L i t t l e , 1 9 8 6 , p . 5 6 1 ) . R a t h e r , m y p e r s p e c t i v e a t t h e t i m e w a s t h a t m y p r e s e r v i c e p r o g r a m w a s a b o u t l e a r n i n g t o t e a c h . I fi n i s h e d t h a t . M y f i r s t j o b w a s a b o u t t e a c h i n g . I h a v e f o n d r e c o l l e c t i o n s o f m y fi r s t t w o y e a r s o f t e a c h i n g i n a n e w l y d e v e l o p i n g s u b u r b a n a r e a i n M i n n e s o t a . I t w a s b o t h e x c i t i n g a n d o v e r w h e l m i n g t o r e a l i z e t h a t I n o w h a d f u l l r e s p o n s i b i l i t y f o r a c l a s s , t h e s a m e r e s p o n s i b i l i t y a s t h e v e t e r a n t e a c h e r o f 2 0 y e a r s a c r o s s t h e h a l l . F o r t h e s e t w o y e a r s , I w o r k e d b e h i n d t h e c l o s e d d o o r o f m y c l a s s r o o m a n d e x p e r i e n c e d s u c c e s s b y t e a c h i n g t h e w a y I h a d b e e n t a u g h t . I c l o s e l y f o l l o w e d t h e t e x t b o o k s f o r e a c h s u b j e c t , t a u g h t i n a d i d a c t i c m a n n e r , a n d r e w a r d e d m y s t u d e n t s ’ r i g h t a n s w e r s w i t h s t i c k e r s a n d s m i l i n g f a c e s d r a w n w i t h s w e e t s m e l l i n g m a r k e r s . T h e r e w a s n o t h i n g i n t h e s e h 4 1 e x p e r i e n c e s t o c h a l l e n g e t h e V i e w o f t e a c h i n g I h a d a c q u i r e d a s a s t u d e n t a n d h a d b e e n p e r p e t u a t e d b y m y t e a c h e r e d u c a t i o n p r o g r a m . I l e a r n e d t h a t y e a r b y t r i a l a n d e r r o r . L o r t i e ( 1 9 7 5 ) r e f e r s t o t h i s a s t h e ” s i n k o r s w i m ” a p p r o a c h ( p . 6 0 ) . F o r t u n a t e l y , I s w a m . I w a s p l a y i n g s c h o o l i n m y o w n c l a s s r o o m a n d I fi n a l l y g o t t o b e t h e t e a c h e r . g a n g s ) : B r e a d e n i n g M y V i e w s a t T e a c h i n g a n d t e a m i n g A f t e r m y fi r s t y e a r o f t e a c h i n g , I m a r r i e d a t e a c h e r . T h e t w o o f u s t a u g h t i n M i n n e s o t a f o r a n o t h e r y e a r . T h e f o l l o w i n g y e a r , w e m o v e d t o B e r l i n , G e r m a n y . I t w a s q u i t e a b i g s t e p c o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t I h a d n e v e r l i v e d m o r e t h a n 3 0 m i l e s f r o m m y p a r e n t s . D u r i n g t h e t h r e e y e a r s I l i v e d i n B e r l i n , m y p e r s p e c t i v e o n m a n y t h i n g s c h a n g e d , i n c l u d i n g s o m e o f t h e v i e w s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g I h a d d e v e l o p e d a s a s t u d e n t a n d t e a c h e r i n M i n n e s o t a . I c a m e t o h a v e a n e w a p p r e c i a t i o n f o r w h a t s c h o o l l e a r n i n g c o u l d b e . I a l s o c a m e t o a p p r e c i a t e w h a t i t w o u l d m e a n f o r m e t o a d m i t a s a t e a c h e r t h a t I w a s a l s o a l e a r n e r . A t t h e t i m e o f o u r m o v e , m y s p o u s e s p o k e G e r m a n a n d w a s h i r e d t o t e a c h i n a b i l i n g u a l c l a s s i n a B e r l i n K - 1 2 p u b l i c s c h o o l , h a l f o f w h o s e f a c u l t y a n d s t u d e n t p o p u l a t i o n w e r e A m e r i c a n , h a l f w e r e G e r m a n . T h e A m e r i c a n s t u d e n t s c a m e p r i m a r i l y f r o m t h e f a m i l i e s o f d i p l o m a t s a n d b u s i n e s s m e n w h i l e t h e G e r m a n s t u d e n t s w e r e l o c a l s w h o w e r e a d m i t t e d t o t h e s c h o o l b y l o t t e r y . I n s t r u c t i o n , e s p e c i a l l y i n t h e p r i m a r y g r a d e s , o c c u r r e d i n b o t h G e r m a n a n d E n g l i s h a n d a m i x o f G e r m a n a n d A m e r i c a n c u r r i c u l u m m a t e r i a l s w e r e u s e d . I d i d n o t s p e a k G e r m a n a n d h a d n o j o b w h e n w e l e f t t h e U n i t e d S t a t e s . W A t t h e t i m e o f o u r m o v e , I h a d l i t t l e i d e a w h a t a t u r n i n g p o i n t a n d t r a n s f o r m a t i o n t h i s e x p e r i e n c e i n G e r m a n y w o u l d b e c o m e w i t h r e g a r d t o m y v i e w s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . T h e p r o c e s s I w e n t t h r o u g h t o l e a r n G e r m a n t o g e t a j o b , m y i n s i g h t i n t o w h a t i t t a k e s t o b e c o m e a fl u e n t g . W W ] 1 ; ] fi t 4 2 s p e a k e r o f a s e c o n d l a n g u a g e i n a c u l t u r e t h a t d e m a n d s i t o f y o u , a n d w h a t I l e a r n e d f r o m w o r k i n g c l o s e l y w i t h t e a c h i n g c o l l e a g u e s a l l c o n t r i b u t e d t o c h a l l e n g i n g m y p r e v i o u s s c h o o l e x p e r i e n c e s a s a t e a c h e r a n d a l e a r n e r . M y e x p e r i e n c e s i n G e r m a n y r e s h a p e d m y v i s i o n s o f w h a t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g c o u l d b e . I t t u r n e d o u t t h a t m y o n l y h o p e f o r a j o b t h a t y e a r w a s t o b e h i r e d a s a s u b s t i t u t e f o r a fi r s t g r a d e t e a c h e r a t t h e b i l i n g u a l s c h o o l w h o h a d p l a n s t o t a k e a n e x t e n d e d m a t e r n i t y l e a v e b e g i n n i n g i n N o v e m b e r . S p e a k i n g G e r m a n w a s a p r e r e q u i s i t e f o r t h e j o b . W h e n I l e a r n e d o f t h i s p o t e n t i a l o p p o r t u n i t y t o t e a c h , I e n r o l l e d i n a G e r m a n l a n g u a g e s c h o o l . I s p e n t f o u r h o u r s a d a y , fi v e d a y s a w e e k , i m m e r s e d i n G e r m a n c l a s s e s . I s p e n t t i m e o u t s i d e o f c l a s s s t u d y i n g a n d l i v i n g i n a c u l t u r e w h e r e s p e a k i n g G e r m a n w a s e s s e n t i a l t o m y s u r v i v a l . B y t h e e n d o f t h r e e m o n t h s , I h a d l e a r n e d e n o u g h G e r m a n t o b e h i r e d . T h e i n t e n s i t y o f t h e s e e x p e r i e n c e s h a d g i v e n m e a g o o d s t a r t w i t h l e a r n i n g t h e l a n g u a g e e v e n t h o u g h I a c k n o w l e d g e d a n d o t h e r s k n e w I s t i l l h a d p l e n t y m o r e t o l e a r n . T h e r e w a s n o w a y I c o u l d l e a r n a l l t h e G e r m a n I w o u l d n e e d t o b e f o r e I s t a r t e d t e a c h i n g . T h e l e a r n i n g o f a l a n g u a g e n e v e r s t o p s . W h a t I h a d l e a r n e d i n t h o s e t h r e e m o n t h s w a s a f o u n d a t i o n t o h e l p m e t o c o n t i n u e t o l e a r n o n m y o w n . T h i s w a s n o t a b l y d i f f e r e n t f r o m a n y s o r t o f l e a r n i n g I h a d d o n e i n t h e p a s t w h e r e t h e e x p e c t a t i o n s t h a t o t h e r s h e l d f o r m e a n d t h a t I h e l d f o r m y s e l f w e r e t h a t I w o u l d ” g e t ” w h a t e v e r i t w a s t h a t w a s b e i n g t a u g h t t o m e . T h i s w a s t h e fi r s t t i m e i t o c c u r r e d t o m e t h a t l e a r n i n g w a s n o t a b o u t ” g e t t i n g ” a c e r t a i n b o d y o f k n o w l e d g e . I n t h e c a s e o f l e a r n i n g a l a n g u a g e , i t w a s a b o u t a c q u i r i n g a c e r t a i n f o u n d a t i o n t h a t w o u l d e n a b l e m e t o k e e p o n l e a r n i n g v o c a b u l a r y a n d m a k e u s e o f t h e l a n g u a g e I u n d e r s t o o d . I w o u l d n e v e r c o m p l e t e l y m a s t e r t h e l a n g u a g e . A s w i t h E n g l i s h , I w o u l d a l w a y s h a v e t h e n e e d f o r a d i c t i o n a r y . T h e r e w o u l d a l w a y s b e m o r e I c o u l d l e a r n . P V h i m ( i d e s 4 3 M u c h o f t h e G e r m a n I c o n t i n u e d t o l e a r n w a s a c q u i r e d t h r o u g h i n t e r a c t i o n s w i t h m y s t u d e n t s . O f t h e 2 0 c h i l d r e n i n m y c l a s s , h a l f s p o k e G e r m a n a s a fi r s t l a n g u a g e , h a l f s p o k e E n g l i s h . S e v e r a l o f t h e c h i l d r e n w e r e p r o d u c t s o f b i l i n g u a l h o m e s . T h e s e s i x a n d s e v e n - y e a r - o l d b i l i n g u a l c h i l d r e n w e r e m a r v e l o u s t e a c h e r s . I n t h e i r p r e s e n c e , I r e a l i z e d f o r t h e fi r s t t i m e h o w m u c h I c o u l d l e a r n f r o m m y s t u d e n t s . I w a s f o r c e d t o f o r I f o u n d m y s e l f i n s i t u a t i o n s , r e p e a t e d l y , w h e r e I h a d t o d e p e n d o n t h e i r h e l p w i t h t h e l a n g u a g e . A c o m f o r t a b l e s o r t o f i n t e r d e p e n d e n c e g r e w a m o n g u s . W e e a c h h a d t h i n g s t o t e a c h a n d l e a r n f r o m o n e a n o t h e r . I o p e n l y a c k n o w l e d g e d t h a t I w a s l e a r n i n g a n d t h e s t u d e n t s r e a d i l y o f f e r e d t h e i r a s s i s t a n c e . W i t h i n a s h o r t t i m e , I f o u n d m y s e l f r e s p e c t e d a s a l e a r n e r o f G e r m a n a s w e l l a s a fi r s t g r a d e t e a c h e r b y m y s t u d e n t s a n d t h e i r p a r e n t s . T e a c h i n g a s a m e m b e r c f a t e a m . T e a c h i n g i n t h i s s c h o o l , i n a n e w s e t t i n g , i n a n e w c o u n t r y , w i t h n e w c o l l e a g u e s , s p e a k i n g a n e w l a n g u a g e , I f e l t i n s o m e w a y s a s i f I w a s a b r a n d n e w t e a c h e r b e i n g i n d u c t e d i n t o t e a c h i n g a l l o v e r a g a i n . T h i s t i m e , u n l i k e i n m y f i r s t t w o y e a r s o f t e a c h i n g , I d i d n o t f e e l l i k e I w a s d o i n g i t a l o n e . T h e fi v e t e a c h e r s a t m y p a r t i c u l a r g r a d e l e v e l w o r k e d a s a t e a m a n d t h i s m a d e fi n d i n g m y w a y t h r o u g h t h e c u r r i c u l u m s o m e w h a t d i f f e r e n t t h a n i t h a d b e e n i n t h e p a s t . I n s t e a d o f h a v i n g t o p r e t e n d I u n d e r s t o o d e v e r y t h i n g t h a t I w a s s u p p o s e d t o t e a c h , I c o u l d b e a l e a r n e r a n d a s k q u e s t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m y w o r k w i t h t h e s e o t h e r t e a c h e r s . I c o u l d a d m i t t o n o t k n o w i n g w i t h t h e s e t e a c h e r s . I t s e e m e d s i m i l a r t o b e i n g a b l e t o a s k q u e s t i o n s a b o u t t h e G e r m a n I d i d n o t u n d e r s t a n d . P r e t e n d i n g t o u n d e r s t a n d s o m e t h i n g I d i d n o t i n G e r m a n , o f t e n t i m e s , g o t m e i n t o i m m e d i a t e t r o u b l e a n d I q u i c k l y l e a r n e d i t w a s b e t t e r t o b e h o n e s t a b o u t w h a t I d i d n o t u n d e r s t a n d . I t w a s e a s i e r t o h i d e m y i g n o r a n c e w i t h c o l l e a g u e s . B u t , q u i t e s u r p r i s i n g , I d i s c o v e r e d t h e r e w a s n o n e e d t o . M y q u e s t i o n s a b o u t c o n t e n t w e r e e n c o u r a g e d . I n f a c t , I l e a r n e d m u c h f r o m t h i s t e a m 4 4 o f t e a c h e r s a n d i t w a s i n t h e c o n t e x t o f w o r k i n g w i t h t h e m , l e a r n i n g f r o m t h e m , t h a t I h a d m y fi r s t i n k l i n g t h a t l e a r n i n g f o r m y s t u d e n t s c o u l d b e d i f f e r e n t t h a n w h a t I h a d e x p e r i e n c e d . M y w o r k i n B e r l i n w a s a t u r n i n g p o i n t i n t h a t m y e x p e r i e n c e s w o r k i n g w i t h t h i s t e a m o f t e a c h e r s t o d e v e l o p a n d t e a c h s o c i a l s t u d i e s , s c i e n c e , a r t , a n d m u s i c c h a n g e d m y i m a g e s o f c u r r i c u l u m a n d l e a r n i n g a n d b r o a d e n e d m y p e r s p e c t i v e o n w h a t c o u l d b e d o n e w i t h s t u d e n t s a n d c o u n t e d a s s c h o o l l e a r n i n g . I a l s o g o t a t a s t e o f h o w I c o u l d b e v i e w e d a s a t e a c h e r a n d n o t h a v e t o k n o w o r p r e t e n d t o k n o w e v e r y t h i n g . I t a u g h t r e a d i n g t o a l l E n g l i s h s p e a k e r s i n m y c l a s s u s i n g t h e s a m e b a s a l r e a d i n g s e r i e s I h a d u s e d i n M i n n e s o t a . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e f o r m a t h e m a t i c s h e l p e d t o m a k e m a t h e m a t i c s t h e e a s i e s t s u b j e c t t o t e a c h r e l a t i v e t o t h e o t h e r s u b j e c t s I w a s e x p e c t e d t o t e a c h i n t w o l a n g u a g e s , l i k e s c i e n c e a n d s o c i a l s t u d i e s w h i c h h a d n o r e a d y - m a d e g u i d e s . I c o u l d l o o k o v e r t h e g u i d e a h e a d o f t i m e a n d p r e p a r e m y s e l f f o r t h e G e r m a n v o c a b u l a r y t h a t m i g h t c o m e u p i n t h e c o n t e x t o f t h e l e s s o n t h e n e x t d a y . I m a d e m y w a y t h r o u g h a c o n s u m a b l e m a t h w o r k b o o k o f c o m p u t a t i o n w i t h m y s t u d e n t s b y d e m o n s t r a t i n g h o w t o d o p r o b l e m s , a s s i g n i n g p a g e s , a n d c o r r e c t i n g t h e p r e v i o u s d a y ’ s w o r k , a l l t h e w h i l e s t i c k i n g c l o s e l y t o t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e w a y s i n w h i c h a n e w w a y o f t h i n k i n g a b o u t s c h o o l l e a r n i n g p l a y e d o u t f o r m e c a n b e s e e n i n t h e w a y s i n w h i c h m y c o l l e a g u e s a n d I w o r k e d t o g e t h e r w i t h o u r s t u d e n t s t o t e a c h a n d l e a r n s o c i a l s t u d i e s a n d s c i e n c e . I d e p e n d e d h e a v i l y o n t h e c r e a t i v i t y o f m y c o l l e a g u e s t o c o n s t r u c t t h e c u r r i c u l u m . T h e y a r r a n g e d f o r u s t o t a k e n u m e r o u s fi e l d t r i p s t o i n t e r e s t i n g p l a c e s t h r o u g h o u t t h e c i t y o f B e r l i n . I t w a s n e w f o r m e t o t h i n k t h a t a d v e n t u r e s , s i m i l a r t o t h e o n e s I h a d e x p l o r i n g t h e c i t y o n t h e w e e k e n d , c o u l d b e a r r a n g e d d u r i n g t h e w e e k f o r s t u d e n t s a n d c o u n t e d a s ” s c h o o l l e a r n i n g . ” W h e n w e w e n t o n fi e l d t r i p s , I f o u n d m y s e l f l e a r n i n g r i g h t a l o n g w i t h m y s t u d e n t s . 4 5 M y c o l l e a g u e s c a r e d t h a t s t u d e n t s l e a r n s o m e t h i n g f r o m o u r e x p e r i e n c e s b u t t h e r e w a s n o t t h e e x p e c t a t i o n t h a t a l l s t u d e n t s l e a r n t h e s a m e t h i n g . T h e r e w a s t h e e x p e c t a t i o n t h a t s t u d e n t s u s e s o m e m e d i u m t o r e p r e s e n t a n d s h a r e w h a t t h e y l e a r n e d f r o m o u r e x p e r i e n c e s . T h e m e d i u m a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n s v a r i e d . S t u d e n t s w r o t e s t o r i e s i n t h e i r o w n l a n g u a g e s a b o u t t h e i r e x p e r i e n c e s a n d d i d a c c o m p a n y i n g a r t w o r k - - p i c t u r e s , m u r a l s , a n d o b j e c t s c r e a t e d f r o m w a t e r c o l o r s , c r a y o n s , c h a r c o a l , p a s t e l s , a n d c l a y i n t e n d e d t o c a p t u r e s t u d e n t s ’ e x p e r i e n c e s a n d p e r s p e c t i v e s . T h e d i v e r s i t y i n w h a t t h e y h a d l e a r n e d w a s c e l e b r a t e d . I e n j o y e d n o t h a v i n g t h e c u r r i c u l u m t i e d t o a t e x t b o o k a n d a t t h e s a m e t i m e f e e l i n g l i k e m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g t h i n g s o f i n t e r e s t t o a l l o f u s . I s a w t h a t s c h o o l e x p e r i e n c e s d i d n o t h a v e t o b e d r i v e n b y a t e x t b o o k . I n f a c t , t h e s e l e a r n i n g e x p e r i e n c e s , n o t d e r i v e d f r o m a t e x t b o o k , w e r e m o r e e x c i t i n g f o r m e a n d m a n y o f m y s t u d e n t s t h a n a n y t h i n g e l s e w e d i d i n s c h o o l . I f o u n d m y s e l f e n g a g e d w i t h m y s t u d e n t s i n a k i n d o f l e a r n i n g I h a d n e v e r b e f o r e e x p e r i e n c e d i n s c h o o l . V : 1 1 a n r w h T r a n d L a r n r A f t e r o u r t h i r d y e a r i n B e r l i n , w e p i c k e d a b e a u t i f u l p l a c e i n t h e U n i t e d S t a t e s a n d m o v e d t o V e r m o n t , w h e r e I t a u g h t f o r t h e n e x t f o u r y e a r s . A s I c o n s i d e r t h o s e e x p e r i e n c e s n o w , I c a n s e e t h a t V e r m o n t b e c a m e a s i t e t o c o n t i n u e t h e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g I h a d b e g u n i n B e r l i n . M y c o l l e a g u e s i n B e r l i n h a d o f f e r e d m e a d i f f e r e n t v i e w o f w h a t a s o c i a l s t u d i e s a n d s c i e n c e c u r r i c u l u m c o u l d b e . I n V e r m o n t , I e n c o u n t e r e d M a n : A C o u r s e o f S t u d y , a n a m b i t i o u s s o c i a l s t u d i e s c u r r i c u l u m , a s w e l l a s ” w h o l e l a n g u a g e , ” a n e w w a y o f c o n c e i v i n g o f r e a d i n g . T h e s e c u r r i c u l a r i d e a s c o n t i n u e d t o i n fl u e n c e m y c h a n g i n g v i e w s o f s o c i a l s t u d i e s a n d o f f e r e d m e a n e w w a y o f t h i n k i n g a b o u t l a n g u a g e a r t s . I n t h e s e c t i o n s t h a t f o l l o w , I d e s c r i b e m y fi r s t y e a r i n V e r m o n t . S e v e r a l d a y s b e f o r e t h e s c h o o l y e a r b e g a n I w a s h i r e d a s a l o n g t e r m s u b s t i t u t e . D u r i n g t h a t y e a r , t h e l e a s t o f m y c o n c e r n s w a s c u r r i c u l a . T h i s i s f o l l o w e d b y a d i s c u s s i o n o f t h e n e x t 4 6 t h r e e y e a r s o f m y t e a c h i n g i n V e r m o n t b y s u b j e c t a r e a — s o c i a l s t u d i e s , l a n g u a g e a r t s , a n d m a t h e m a t i c s - a n d a c o m p a r i s o n a n d c o n t r a s t o f m y v i e w s o f t e a c h i n g , l e a r n i n g , c u r r i c u l u m , a n d k n o w l e d g e i n e a c h o f t h e s e a r e a s . A y e a r c f s u b s t i t u t e t e a c h i n g . T h r o u g h a c h a i n o f f a s t m o v i n g e v e n t s , I w a s h i r e d a s a l o n g t e r m s u b s t i t u t e f o r a c l a s s o f s i x t h - g r a d e r s t w o d a y s b e f o r e t h e s c h o o l y e a r s t a r t e d . I w a s t h r i l l e d t o h a v e a j o b , e v e n t e m p o r a r i l y , b u t f r i g h t e n e d . U p u n t i l n o w , t e a c h i n g fi r s t a n d s e c o n d g r a d e r s w a s t h e e x t e n t o f m y e x p e r i e n c e s . I k n e w n o t h i n g a b o u t s i x t h g r a d e r s - - w h a t t h e y w e r e l i k e o r w h a t t h e y n e e d e d t o l e a r n . B u t , g i v e n m y o v e r s e a s a d v e n t u r e , I d i d n o t t h i n k t h i s e n d e a v o r c o u l d b e a n y m o r e c h a l l e n g i n g . T h e s i x t h - g r a d e t e a c h e r s i n t h e s c h o o l s h a r e d s t u d e n t s a n d r e s p o n s i b i l i t y f o r t e a c h i n g d i f f e r e n t s u b j e c t s . T h e t e a c h e r f o r w h o m I w a s s u b s t i t u t i n g w a s r e s p o n s i b l e f o r t e a c h i n g U S . h i s t o r y a n d E n g l i s h . I n a d d i t i o n , w e e x c h a n g e d s t u d e n t s f o r r e a d i n g . I w a s c h a r g e d w i t h m a n a g i n g a r o o m f u l l o f h i g h — a b i l i t y r e a d e r s . F o r t h e n e x t f o u r m o n t h s , I t a u g h t t h e h i g h l i g h t s o f U S . h i s t o r y d r a w i n g o n h i s t o r y b o o k s a n d t h e n o t e s o f t h e t e a c h e r f o r w h o m I w a s s u b s t i t u t i n g . I u s e d h i s d i t t o s a n d f o l l o w e d h i s i d e a s f o r a c t i v i t i e s a n d p r o j e c t s . I n E n g l i s h , I f o l l o w e d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , a n d i n r e a d i n g , s t u d e n t s r e a d a n d d i d w o r k s h e e t s f r o m t h e u p p e r l e v e l s o f t h e s c h o o l ’ s b a s a l r e a d i n g s e r i e s . D u r i n g t h o s e f o u r m o n t h s , I a t t e n d e d t o m y r e l a t i o n s h i p s w i t h t h e s e s i x t h g r a d e s t u d e n t s a n d f o u n d s a f e t y i n t h e t e a c h e r s ’ g u i d e s a n d t h e r e g u l a r t e a c h e r ’ s n o t e s f o r w h a t t o t e a c h . I k n e w t h i s w a s o n l y a t e m p o r a r y p o s i t i o n a n d I d i d n o t i n v e s t m y s e l f i n t h e c o n t e n t . I w o r k e d , i n s t e a d , o n m a n a g i n g m y i n t e r a c t i o n s w i t h t h e s t u d e n t s . I s a w c o n t e n t a n d s o c i a l i n t e r a c t i o n s e p a r a t e a t t h e t i m e . T h e y w e r e t w o d i f f e r e n t i s s u e s w i t h w h i c h t o d e a l . K e e p i n g m y s e l f d e t a c h e d f r o m t h e c u r r i c u l u m l e s s e n e d m y f e e l i n g s o f r e s p o n s i b i l i t y . F o l l o w i n g s o m e o n e e l s e ’ s p l a n s a n s w e r e d t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t a n d h e l p e d m e d e a l w i t h t h e 4 7 q u e s t i o n o f w h e t h e r o r n o t w e w e r e m a k i n g p r o g r e s s . K n o w i n g t h a t I w a s ” c o v e r i n g ” w h a t I w a s s u p p o s e d t o l e s s e n e d t h e a n x i e t y o n d a y s w h e n t h i n g s d i d n o t g o w e l l a n d I q u e s t i o n e d w h a t m y s t u d e n t s h a d l e a r n e d . I w a s m a n a g i n g s u r v i v a l . F o r t h e t h i r d t i m e i n fi v e y e a r s , I f e l t l i k e a n e w t e a c h e r . F o r t h e r e s t o f t h a t s c h o o l y e a r , I c o n t i n u e d t o b e e m p l o y e d a s a f u l l t i m e s u b s t i t u t e t e a c h e r w i t h i n t h e s c h o o l . M y t i m e w a s f o c u s e d o n b u i l d i n g r e l a t i o n s h i p s w i t h t e a c h e r s a n d s t u d e n t s w i t h m i n i m a l i n v e s t m e n t i n t h e c u r r i c u l u m o f w h a t e v e r c l a s s o f s t u d e n t s I h a p p e n e d t o b e t e a c h i n g . I w a s n e v e r i n o n e p l a c e l o n g e n o u g h t o f e e l l i k e I c o u l d c a l l a n y t h i n g m y o w n . I s p e n t t h e e n t i r e s c h o o l y e a r t e a c h i n g s o m e o n e e l s e ’ s s t u d e n t s u s i n g s o m e o n e e l s e ’ s p l a n s . T h i s w a s u n s e t t l i n g . I f e l t u n s e t t l e d f o r p e r s o n a l r e a s o n s , t o o . D u r i n g t h i s y e a r , m y m a r r i a g e e n d e d . F o r t u n a t e l y , t h e n e x t y e a r , I r e t i r e d a s a s u b s t i t u t e a n d w a s h i r e d i n t o a p e r m a n e n t p o s i t i o n t e a c h i n g f i f t h g r a d e i n t h e s a m e s c h o o l . I n t h e n e x t t h r e e y e a r s , I d e a l t w i t h c u r r i c u l a r i s s u e s a r o u n d s o c i a l s t u d i e s a n d l a n g u a g e a r t s . I n a d d i t i o n t o c l a s s r o o m t e a c h i n g , I s t a r t e d a n d c o m p l e t e d a m a s t e r ’ s d e g r e e . I h a d a s t u d e n t t e a c h e r a n d r e c e i v e d a n a w a r d f o r m y t e a c h i n g . E a c h o f t h e s e e x p e r i e n c e s a r e d e s c r i b e d i n t h e r e m a i n i n g s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r . W M W h e n I s t a r t e d t e a c h i n g fi f t h g r a d e i n V e r m o n t , I e n c o u n t e r e d M a n : A C o u r s e o f S t u d y 1 ( M A C O S ) , a s o c i a l s t u d i e s c u r r i c u l u m d e v e l o p e d b y J e r o m e B r u n e r a n d h i s c o l l e a g u e s i n t h e 1 9 6 0 ’ s . T h e c o u r s e i s o r g a n i z e d a r o u n d t h e f u n d a m e n t a l q u e s t i o n , ’ W h a t m a k e s m a n h u m a n ? ’ T h e q u e s t i o n i s p u r s u e d t h r o u g h a y e a r l o n g c o m p a r a t i v e s t u d y o f s a l m o n , h e r r i n g g u l l s , b a b o o n s , t h e K a l a h a r i B u s h m e n , a n d t h e N e t s i l i k E s k i m o s . A s f o r t h e i n t e n d e d g o a l s o f M A C O S , D o w ( 1 9 9 1 ) w r i t e s , ” a s k i n g q u e s t i o n s w a s t o b e a s 1 S e e D o w ’ s b o o k , S c h o o l h o u s e P o l i t i c s ( 1 9 9 1 ) f o r a d i s c u s s i o n o f t h e d e v e l o p m e n t a n d i m p l e m e n t a t i o n o f M A C O S . l. 4 8 i m p o r t a n t a s fi n d i n g a n s w e r s , a n d n e w k n o w l e d g e a b o u t h u m a n n a t u r e w a s t o b e c o m b i n e d w i t h i s s u e s o f v a l u e , n a m e l y , h o w h u m a n b e i n g s c a n i m p r o v e t h e q u a l i t y o f l i f e ” ( p . 7 9 ) . T h i s w a s m y f i r s t e n c o u n t e r w i t h a w r i t t e n c u r r i c u l u m t h a t d i d n o t e m p h a s i z e r i g h t a n s w e r s . I n t h e s e t o f M A C O S c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t h e r e w a s n o t h i n g t h a t r e s e m b l e d a n y t e x t b o o k o r t e a c h e r ’ s g u i d e I h a d u s e d t o t e a c h a n y s u b j e c t i n t h e p a s t . T h e g u i d e s o f f e r e d o p e n - e n d e d d i s c u s s i o n q u e s t i o n s a n d t h e s t u d e n t t e x t s w e r e , i n m a n y c a s e s , c o n d e n s e d v e r s i o n s o f p r i m a r y s o u r c e d o c u m e n t s f o r s t u d e n t s t o r e a d a n d i n t e r p r e t . I f o u n d t h e n u m b e r a n d v a r i e t y o f m a t e r i a l s o v e r w h e l m i n g b u t t h e e x p e r i e n c e s t h e y o f f e r e d q u i t e i n t e r e s t i n g . T h e s e t o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c o n s i s t e d o f ” n i n e t e a c h e r ’ s g u i d e s , 3 6 c h i l d r e n ’ s b o o k l e t s , 1 6 fi l m s , f o u r r e c o r d s , 5 fi l m s t r i p s , 3 g a m e s , 5 4 a r t i f a c t c a r d s , 2 w a l l - s i z e d m a p s , a c a r i b o u h u n t i n g s t r a t e g y c h a r t , a k i n s h i p c h a r t , a s e a i c e c a m p c h a r t , 1 1 e n l a r g e d p h o t o g r a p h s t a k e n f r o m t h e N e t s i l i k fi l m s , s e v e r a l p o s t e r - s i z e d p h o t o m u r a l s , a n d a t a k e - a p a r t s e a l ” ( D o w , 1 9 9 1 , p . 1 3 4 ) . M y s t u d e n t s l e a r n e d o f o t h e r c u l t u r e s a n d w a y s o f l i v i n g w i t h o u t e v e r h a v i n g t o l e a v e t h e c l a s s r o o m t h r o u g h r e a d i n g , fi l m s , a n d s i m u l a t i o n s . O v e r t h e t h r e e y e a r s d u r i n g w h i c h I t a u g h t M A C O S , I f e l t l i k e I l e a r n e d m o r e a b o u t t h e c u r r i c u l u m a s a w h o l e a s w e l l a s t h e p a r t s . I c o n s t r u c t e d c o n n e c t i o n s b e t w e e n t o p i c s a n d r e l a t i o n s h i p s a m o n g t h e m e s . I a l s o l e a r n e d h o w t o u s e t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o t e a c h i d e a s . T h r o u g h m y a t t e m p t s t o t e a c h t h e c u r r i c u l u m , I g a i n e d a s e n s e o f i t s s t r u c t u r e a s w e l l a s t h e c u l t u r e o f i n q u i r y t h a t d r o v e i t . B y t h e t h i r d y e a r , I f o u n d m y s e l f a n d m y s t u d e n t s d e l v i n g d e e p e r a n d d e e p e r i n t o t h e i d e a s . I n d i v i d u a l l y , i n s m a l l g r o u p s , a n d a s a w h o l e c l a s s , w e e x p l o r e d q u e s t i o n s w i t h o u t r i g h t o r w r o n g a n s w e r s a n d s t u d e n t s l e a r n e d t o g e n e r a t e a n d i n v e s t i g a t e q u e s t i o n s a s a m e a n s o f c o n s t r u c t i n g t h e i r o w n c o n n e c t i o n s a n d r e l a t i o n s h i p s . 4 9 I l o v e d t e a c h i n g M A C O S . I t w a s i n t e l l e c t u a l l y e x c i t i n g f o r m e a s w e l l a s m y s t u d e n t s . M y s t u d e n t s a n d I w e r e e n g a g e d i n i d e a s t o g e t h e r , r e a l i d e a s , ~ g e n u i n e q u e s t i o n s , w i t h o u t s i m p l e a n s w e r s . T h e l a s t t i m e I h a d f e l t s i m i l a r l y e n g a g e d w i t h s o m e t h i n g I w a s t e a c h i n g w a s i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g s o c i a l s t u d i e s a n d s c i e n c e i n B e r l i n . H a v i n g e x p e r i e n c e s w i t h s t u d e n t s a r o u n d i d e a s t h a t w e r e t h o u g h t - p r o v o k i n g t o m e w a s a t r e a t . A s I l o o k b a c k n o w , I t h i n k m y w o r k w i t h M A C O S d e f i n i t e l y i n fl u e n c e d t h e c h a n g e s I w e n t o n t o m a k e t h e f o l l o w i n g y e a r i n l a n g u a g e a r t s . O u r d i s c u s s i o n s g a v e m e a f e e l f o r w h a t i t c o u l d m e a n t o b e e n g a g e d w i t h s t u d e n t s a r o u n d i d e a s a n d t e x t . B e a d m g L e L t h c k i I n m y s e c o n d y e a r i n f i f t h g r a d e , w i t h M A C O S u n d e r w a y , I t u r n e d m y a t t e n t i o n t o w a r d r e a d i n g o r l a n g u a g e a r t s . A t e a c h e r n o t e d f o r d o i n g i n t e r e s t i n g t h i n g s i n l a n g u a g e a r t s w i t h e l e m e n t a r y s t u d e n t s i n a n e a r b y s c h o o l w a s h i r e d t o t e a c h fi f t h g r a d e w i t h m e . U n d e r h e r g u i d a n c e a n d m y p r i n c i p a l ’ s s u p p o r t , w e d i d s o m e e x p e r i m e n t i n g w i t h t e a c h i n g r e a d i n g . M y g o a l w a s t o m a k e r e a d i n g a s i n t e r e s t i n g a s s o c i a l s t u d i e s h a d b e c o m e . W e r e c e i v e d s o m e g r a n t m o n e y f r o m t h e s c h o o l d i s t r i c t t o p u r c h a s e t r a d e b o o k s . W e r e p l a c e d t h e r e a d i n g s e r i e s w i t h r e a l b o o k s a n d d i d a w a y w i t h r e a d i n g g r o u p s . T o p r e p a r e t o t e a c h t h e s e n e w b o o k s , w e r e a d t h e m o u r s e l v e s a n d s p e n t h o u r s t a l k i n g a b o u t w h a t w e h a d r e a d , w h a t i n t e r e s t e d u s , a n d q u e s t i o n s w e c o u l d a s k t o g e t a t t h e s e n s e o u r s t u d e n t s m a d e o f t h e s t o r y . I f o u n d m y s e l f t h i n k i n g b a c k t o m y e x p e r i e n c e s i n B e r l i n f o r w a y s t o i n t e g r a t e w r i t i n g a n d a r t i n t o o u r d i s c u s s i o n s o f t e x t a n d e x p e r i e n c e s . S t u d e n t s w r o t e i s t o r i e s , c r e a t e d w o r k s o f a r t , a n d d i d a s s o r t e d p r o j e c t s t o r e p r e s e n t w h a t t h e y u n d e r s t o o d a b o u t w h a t w e r e a d . I w a s a m a z e d a t w h a t m y s t u d e n t s c o u l d p r o d u c e a n d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e t e x t w h e n I g a v e t h e m t h e o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s t h e m s e l v e s . 5 0 R e a d i n g a n d M A C O S f a s t b e c a m e m y t w o f a v o r i t e s u b j e c t s t o t e a c h . A s I l o o k b a c k o n t h i s n o w , I t h i n k t h a t I w a s s e e i n g t h a t t e a c h i n g i n w a y s t h a t w e r e o f i n t e l l e c t u a l i n t e r e s t t o m e w e r e a l s o o f i n t e r e s t t o m y s t u d e n t s . T h e r e w a s n o t h i n g p r e t e n d a b o u t w h a t a n y o f u s w e r e l e a r n i n g . T h e s e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g w e r e c h a n g i n g m y v i e w s o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . M A C O S a n d l a n g u a g e a r t s h a d b e c o m e o c c a s i o n s f o r m e t o ” a c q u i r e n e w s t a n d a r d s , r e v e r s e e a r l i e r i m p r e s s i o n s , i d e a s , a n d o r i e n t a t i o n s ” ( L o r t i e , 1 9 7 5 , p . 8 1 ) . I n s o c i a l s t u d i e s a n d r e a d i n g , m y i d e a s a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g h a d c h a n g e d . I n e a c h o f t h e s e s u b j e c t s , I h a d t a s t e d , w h a t C o h e n ( 1 9 8 8 ) r e f e r s t o a s , ” a d v e n t u r o u s ” t e a c h i n g . M a t h e m a t i c s s t a n d s a l e n e . W h i l e t h e s e c h a n g e s w e r e h a p p e n i n g i n o t h e r c u r r i c u l a r a r e a s , m y m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n r e m a i n e d u n t o u c h e d . I h a d b e e n t e a c h i n g m a t h p r e t t y m u c h t h e s a m e f o r n i n e y e a r s . A n d , t h e w a y I w a s t e a c h i n g i t r e s e m b l e d t h e w a y I h a d l e a r n e d i t . M a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e h a d a l w a y s b e e n a fi x e d b o d y o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s t o m e . S o m e t h i n g t o b e m e m o r i z e d a n d r e c a l l e d w h e n n e e d e d . Q u e s t i o n s h a d o n l y r i g h t a n s w e r s . T h a t I c o u l d h a v e s u c h d i f f e r e n t v i e w s o f w h a t a n d h o w t o t e a c h m a t h a n d s o c i a l s t u d i e s s u r p r i s e s m e w h e n I l o o k b a c k o n m y p r a c t i c e n o w . A t t h e t i m e , I d i d n o t q u e s t i o n i t . I n f a c t , m a n y o t h e r t e a c h e r s ’ p r a c t i c e f o l l o w s a s i m i l a r p a t t e r n . S t o d o l s k y ( 1 9 8 8 ) f o u n d i n h e r s t u d y o f fi f t h g r a d e s o c i a l s t u d i e s a n d m a t h t e a c h e r s t h a t t h e i r i n s t r u c t i o n a c r o s s s u b j e c t a r e a s v a r i e d . ” W h e n i n d i v i d u a l t e a c h e r s s h i f t e d f r o m o n e c o n t e n t a r e a t o t h e o t h e r , t h e y v a r i e d c o g n i t i v e g o a l s , i n s t r u c t i o n a l f o r m a t s , s t u d e n t b e h a v i o r s , m a t e r i a l s , a n d t h e e x t e n t t o w h i c h p u p i l s w o r k e d t o g e t h e r ” ( p . 7 4 ) . S t o d o l s k y ( 1 9 8 8 ) h y p o t h e s i z e s w h y i n h e r s t u d y i t s e e m e d t o b e t h e c a s e t h a t o t h e r s u b j e c t s w e r e t a u g h t i n m o r e a m b i t i o u s w a y s w h i l e m a t h e m a t i c s r e m a i n e d s k i l l a n d p r o c e d u r e d r i v e n . ” P e r h a p s t r a d i t i o n a l f o r m s o f t e a c h i n g a r e m o r e r e g u l a r l y f o u n d i n s e q u e n t i a l s u b j e c t s o r s u b j e c t s w h e r e k n o w l e d g e i s 5 1 p e r c e i v e d a s s u c h ” ( p . 1 1 6 ) . T h a t w a s d e f i n i t e l y m y V i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a t t h e t i m e . I n f a c t , I d i d n o t k n o w t h e r e w a s a n a l t e r n a t i v e V i e w . M y m a t h i n s t r u c t i o n w a s s i m i l a r t o m u c h o f w h a t s h e o b s e r v e d . S o m e o f t h e fi f t h g r a d e t e a c h e r s s h e s t u d i e d a l s o t a u g h t M A C O S a n d t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , l i k e m i n e , w a s m u c h d i f f e r e n t t h a n t h e t e a c h i n g t h e y d i d i n s o c i a l s t u d i e s . H e r e s h e d e s c r i b e s t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , M o s t o f t h e c l a s s e s w e o b s e r v e d h a d c o m p e t e n t t e a c h e r s , b u t m o s t o f t h e m s e e m e d t o h o l d a v e r y l i m i t e d v i e w o f w h a t s h o u l d b e l e a r n e d i n s c h o o l a n d a p p e a r e d v e r y s k e p t i c a l o f c h i l d r e n ’ s m o t i v a t i o n a n d a b i l i t y t o l e a r n . M o r e o f t e n t h a n n o t , s t u d e n t s w e r e t r e a t e d a s r e c e p t a c l e s f o r k n o w l e d g e t h a t t e a c h e r s t r a n s m i t , n o t a c t i v e p a r t i c i p a n t s i n l e a r n i n g . A n d t h e n a t u r e o f t h e k n o w l e d g e t o b e t r a n s m i t t e d , o f t e n d e fi n e d b y t e x t b o o k s , a n d o t h e r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , w a s c h u n k e d s o s m a l l t h a t i s s i g n i fi c a n c e w a s n o t a t a l l c l e a r . ( p . 1 3 5 ) A t t h e f o u n d a t i o n o f m y m a t h t e a c h i n g i n V e r m o n t w a s a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k a n d a s c h o o l - w i d e s e t o f m a t h p e r f o r m a n c e o b j e c t i v e s . I s c h e d u l e d m a t h f o r a n h o u r e a c h d a y . D u r i n g t h a t h o u r , I s p e n t t h e fi r s t 2 0 t o 3 0 m i n u t e s c o r r e c t i n g t h e p r e v i o u s d a y ’ s c o m p u t a t i o n h o m e w o r k a n d w o r k i n g t h r o u g h s a m p l e p r o b l e m s o n t h e b o a r d . I t w a s a t i m e w h e n I t a u g h t r u l e s a n d o u t l i n e d t h e s t e p s , t h r o u g h e x a m p l e s , o f p a r t i c u l a r p r o c e d u r e s f o r w o r k i n g a l g o r i t h m s . D u r i n g t h e r e m a i n d e r o f t h e c l a s s , s t u d e n t s w o r k e d q u i e t l y o n c o m p u t a t i o n p r o b l e m s a s s i g n e d f r o m t h e t e x t b o o k o r t o w a r d t h e c o m p l e t i o n o f o n e o f t h e i r u n d o n e m a t h o b j e c t i v e s . I j u g g l e d t i m e o n t h e s e o b j e c t i v e s w i t h d o i n g p r o b l e m s f r o m t h e t e x t b o o k . T h e w o r k i n t h e t e x t b o o k a l w a y s c a m e fi r s t . I m a d e m y w a y t h r o u g h t h e t e x t b o o k , a b o u t t w o p a g e s a d a y , f o u r d a y s p e r w e e k . W e s p e n t W e d n e s d a y s o n ” p r o b l e m s o l v i n g . ” T h i s w a s t h e d a y t h e s t u d e n t s d i d t h e w o r d p r o b l e m s f r o m t h e t e x t b o o k t h a t o n o t h e r d a y s I t o l d t h e m t h e y d i d n o t h a v e t o d o . W o r d p r o b l e m s c a u s e d s u c h a r u c k u s i n m y c l a s s t h a t I t r i e d t o c o n f i n e t h e m t o o n e d a y 5 2 p e r w e e k . S t u d e n t s p u t u p a fi g h t . E v e r y w e e k t h e y a s k e d m e t h e s a m e q u e s t i o n s . D i d t h e y h a v e t o s h o w t h e i r w o r k ? D i d t h e y h a v e t o l a b e l t h e i r a n s w e r s ? W o u l d t h e y g e t p a r t i a l c r e d i t ? E v e r y w e e k m y a n s w e r s w e r e t h e s a m e - y e s , y e s , y e s . T h e r e w e r e l o t s o f q u e s t i o n s a b o u t w h a t e a c h p r o b l e m m e a n t a n d w h a t s o r t o f c o m p u t a t i o n w a s n e e d e d . I w a s a l w a y s e x h a u s t e d a f t e r m a t h o n W e d n e s d a y s . T h e s c h o o l ’ s m a t h o b j e c t i v e s c o v e r e d t h e k i n d s o f c o m p u t a t i o n t h e d i s t r i c t a d m i n i s t r a t o r s h a d d e c i d e d fi f t h g r a d e r s w e r e s u p p o s e d t o l e a r n a n d c o i n c i d e d w i t h t o p i c s i n t h e m a t h t e x t b o o k l i k e a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , f r a c t i o n s , a n d d e c i m a l s . I a l w a y s f e l t l i k e t h e r e w a s a l o t t o m a n a g e w i t h t h i s o b j e c t i v e s y s t e m . W h a t o b j e c t i v e w e r e i n d i v i d u a l s t u d e n t s w o r k i n g o n ? W h i c h o n e s h a d t h e y p a s s e d ? W h a t w a s t h e i r s c o r e ? I f a c h i l d d i d n o t p a s s a n o b j e c t i v e , w h a t p l a n s w e r e t h e r e f o r t h a t c h i l d t o r e t a k e i t ? I f s k i l l s n e e d e d r e t e a c h i n g , w h e n w a s t h a t g o i n g t o h a p p e n ? W h o w a s g o i n g t o d o i t ? T h e m a n a g e m e n t o n l y i n c r e a s e d a s t h e s c h o o l y e a r p r o g r e s s e d . B y s p r i n g , s o m e s t u d e n t s h a d p a s s e d a l l o f t h e i r o b j e c t i v e s w h i l e o t h e r s s t i l l h a d c o u n t l e s s u n m a s t e r e d o n e s a w a i t i n g t h e m . I t w a s a c o n t i n u a l s t r u g g l e t o k e e p t h e f i n i s h e d s t u d e n t s b u s y a n d m o t i v a t e t h e o t h e r s . B y t h e e n d o f t h e s c h o o l y e a r , I w a s t i r e d o f t h e o b j e c t i v e s , a s w e r e m y s t u d e n t s . T h e w o r k w e d i d o u t o f t h e t e x t b o o k t h e o t h e r f o u r d a y s w a s f a i r l y s t r a i g h t f o r w a r d . C l a s s o f t e n b e g a n w i t h t h e c o r r e c t i o n o f t h e p r e v i o u s d a y s h o m e w o r k w h i c h a m o u n t e d t o m e r e a d i n g t h e c o r r e c t a n s w e r s o u t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . A t l e a s t t w i c e a w e e k , t h i s w a s f o l l o w e d b y a t i m e d t e s t - o n e h u n d r e d m u l t i p l i c a t i o n o r d i v i s i o n f a c t s — o n e o f t h e m a n y m a t h o b j e c t i v e s a t t h i s g r a d e l e v e l . S o m e d a y s I d i d t h e m e n t a l a r i t h m e t i c ” w a r m - u p ” a c t i v i t i e s f o u n d w i t h i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d n o t i n t h e s t u d e n t s ’ t e x t s . T h i s w a s u s u a l l y 5 3 f o l l o w e d b y s a m p l e p r o b l e m s d o n e b y m e o n t h e b o a r d f o r t h e p u r p o s e o f i n t r o d u c i n g o r r e v i e w i n g r u l e s a n d p r o c e d u r e s . I c a m e u p w i t h a c r e a t i v e o n a w a y f o r w o r k i n g m a t h p r o b l e m s t o g e t h e r . S o m e w h e r e I g o t t h e i d e a o f m a k i n g i n d i v i d u a l c h a l k b o a r d s f o r s t u d e n t s o u t o f s q u a r e s o f c a r d b o a r d a n d c h a l k b o a r d p a i n t . I m a d e o n e f o r e a c h o f m y s t u d e n t s a n d e q u i p p e d t h e m w i t h c h a l k a n d a f e l t s q u a r e a s a n e r a s e r . T h e i n d i v i d u a l c h a l k b o a r d s e n a b l e d e v e r y o n e t o t r y o u t t h e p r o b l e m s I w o r k e d o n t h e b o a r d . U s i n g c h a l k o n t h e l i t t l e b o a r d s o f f e r e d a n a l t e r n a t i v e t o t h e u s u a l p a p e r a n d p e n c i l r o u t i n e a n d a p p e a r e d t o a d d a l i t t l e l i f e t o w h a t s e e m e d l i k e f o r m a n y , i n c l u d i n g m y s e l f , a d u l l s u b j e c t . I f t h e c o n t e n t w a s n o t e x c i t i n g , m a y b e t h e p r o c e s s c o u l d b e f u n . F o r a s i m i l a r r e a s o n , I d a b b l e d a b i t i n m a n i p u l a t i v e s . O n e s u m m e r , I t o o k a w o r k s h o p s p o n s o r e d b y t h e d e v e l o p e r s o f M a t h e m a t i c s : A W a y o f T h i n k i n g ( B a r a t t a - L o r t o n , 1 9 7 7 ) . I w a s e x c i t e d a b o u t t h e i d e a s b u t w o n d e r e d h o w I w a s g o i n g t o a d d t h e s e i d e a s a n d m a t e r i a l s i n t o a n a l r e a d y t i g h t s c h e d u l e . A s i t w a s , m a t h s p i l l e d o v e r , i n t o o t h e r t i m e s o f t h e d a y t o w a r d t h e e n d o f t h e y e a r i n a n e f f o r t t o c o m p l e t e a l l o f t h o s e o b j e c t i v e s . I d i d a s s e m b l e a c o l l e c t i o n o f b e a n s a n d c u p s a n d u s e d t h e m a f e w t i m e s . I e i t h e r l o s t o r n e v e r f o u n d t h e p o i n t o f u s i n g t h e m a n d s o o n t h e y w e r e j u s t c o l l e c t i n g d u s t o n m y b o o k s h e l f . I p u r c h a s e d a c o u p l e o f b u c k e t s o f p l a s t i c c u b e s t h a t b e c a m e f a v o r i t e t o y s d u r i n g f r e e t i m e b u t n e v e r f o u n d t h e i r w a y i n t o m a t h c l a s s . L o n g d i v i s i o n w a s a t o p i c i n f i f t h g r a d e t h a t w e s e e m e d t o w o r k o n a l l y e a r . T h e l o n g d i v i s i o n o b j e c t i v e s w e r e t h e h a r d e s t f o r s t u d e n t s t o p a s s a n d w e w e n t o v e r a n d o v e r t h e s t e p s o f t h e p r o c e s s — d i v i d e , m u l t i p l y , s u b t r a c t , b r i n g d o w n , d i v i d e , m u l t i p l y , s u b t r a c t , b r i n g d o w n . T h e r e w e r e s o m a n y n u m b e r s t o a t t e n d t o , p l a c e s t o k e e p t r a c k o f , a n d o p e r a t i o n s t o p e r f o r m . W o r k i n g p r o b l e m a f t e r p r o b l e m o n t h e c h a l k b o a r d s t o g e t h e r s e e m e d t o h e l p a b i t . A t l e a s t I c o u l d 5 4 s e e w h o h a d n o t y e t m a s t e r e d t h e p r o c e d u r e . L o n g d i v i s i o n w a s a h u r d l e t h a t a n y fi f t h g r a d e t e a c h e r o r s t u d e n t h a d t o j u m p . M y e m p h a s i s o n c o m p u t a t i o n p a i d o f f e a c h y e a r . E a c h s p r i n g m y s t u d e n t s t o o k s t a n d a r d i z e d t e s t s a n d d i d j u s t fi n e , e v e n o n t h e l o n g d i v i s i o n p r o b l e m s . I h a d m a s t e r e d t e c h n i q u e s f o r e f fi c i e n t l y t e a c h i n g m y s t u d e n t s r u l e s a n d p r o c e d u r e s . T h e y h a d l e a r n e d h o w t o r e c a l l t h e m w h e n t h e y n e e d e d t h e m . I n t h e t r a d i t i o n a l s e n s e o f m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n , m y s t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l a n d s o w a s I . M y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w a s d r i v e n b y t h e n e e d t o t e a c h m y s t u d e n t s w h a t o t h e r s h a d d e fi n e d t h a t t h e y n e e d e d t o k n o w . K n o w i n g w a s g e t t i n g r i g h t a n s w e r s o n w h a t s e e m e d l i k e a n i n f i n i t e n u m b e r o f m a t h e m a t i c s o b j e c t i v e s a n d a c h i e v i n g h i g h s c o r e s o n s t a n d a r d i z e d t e s t s . T h e s e w e r e t h e s a m e g o a l s I w a s a s k e d t o m e e t a s a s t u d e n t . I k n e w o f n o o t h e r w a y o f k n o w i n g m a t h e m a t i c s . I b e l i e v e d t h e r e w a s n o w a y a r o u n d i t . T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w a s j u s t t e d i o u s w o r k . A n d , m y s t u d e n t s a n d I h a d t o k e e p a t b e c a u s e o f a l l . t h e c o n t e n t w e w e r e e x p e c t e d t o c o v e r . W s fi e g t e e I n m y fi r s t t h r e e y e a r s i n V e r m o n t , i n a d d i t i o n t o b e i n g a t e a c h e r , I w a s a l s o a s t u d e n t i n a m a s t e r ’ s p r o g r a m i n c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n a t t h e U n i v e r s i t y o f V e r m o n t . I t o o k o n e c l a s s e a c h s e m e s t e r w i t h m a n y o f m y c o l l e a g u e s a s I c o n t i n u e d t o t e a c h . W e a l l c h o s e t o t a k e t h e s e c l a s s e s , y e t t h e a t m o s p h e r e c a r r i e d w i t h i t a t o n e o f r e s e n t m e n t . W h o d i d t h e s e u n i v e r s i t y p e o p l e t h i n k t h e y w e r e t o t e l l u s t h e w a y t h i n g s o u g h t t o b e d o n e ? M o s t o f t h e m h a d n o t t a u g h t i n s c h o o l s f o r y e a r s , i f e v e r . T h e g r o u p w a s n o t s o m u c h o p e n l y h o s t i l e a s h i g h l y s k e p t i c a l . E v e r y t h e o r y w a s q u e s t i o n e d a n d c o l l e c t i v e l y c o n f i r m e d o r d i s m i s s e d b y s o m e o n e ’ s r e a l c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s . L o r t i e ( 1 9 7 5 ) f o u n d s u c h c o m p l a i n t s t o b e c o m m o n p l a c e f o r t e a c h e r s t a k i n g u n i v e r s i t y c o u r s e w o r k . T e a c h e r s o f t e n f e l t a s i f t h e i r p r o f e s s o r s h e l d ” i m p r a c t i c a l e x p e c t a t i o n s a n d a u t o p i a n c o n c e p t i o n o f c l a s s r o o m r e a l i t y ” ( p . 6 9 ) 5 5 a n d t h e y w e r e ” t o o r e m o t e f r o m c l a s s r o o m e x i g e n c i e s ” ( p . 6 9 ) . M y c l a s s m a t e s a n d I l o o k e d f o r a n d f o u n d w a y s ” t o m a k e m o s t p r o j e c t s a n d p a p e r s d i r e c t l y a p p l i c a b l e t o o u r o w n t e a c h i n g . M y m a s t e r ’ s p r o j e c t f o c u s e d o n M A C O S . I c o n d u c t e d a q u a l i t a t i v e s u r v e y o f p e o p l e w h o h a d t a k e n M A C O S s o m e t i m e d u r i n g t h e t h i r t e e n y e a r s i t h a d b e e n u s e d i n m y s c h o o l d i s t r i c t . T h e c u r r i c u l u m , i t s e e m e d , h a d m a d e a l a s t i n g i m p r e s s i o n o n m o s t o f t h e p e o p l e w h o h a d e x p e r i e n c e d i t . Y e a r s l a t e r i t s t o o d o u t t o t h e m a s d i f f e r e n t f r o m o t h e r s u b j e c t s t h e y t o o k . S t u d e n t s s e e m e d t o a p p r e c i a t e t h e a b s e n c e o f s i n g l e r i g h t a n s w e r s . M o s t s t u d e n t s v i e w e d M A C O S a s o n e o f t h e r a r e s c h o o l e x p e r i e n c e s i n w h i c h t h e y w e r e a s k e d t o t h i n k f o r t h e m s e l v e s a n d r e a s o n a b o u t p r o b l e m s . S e p e fl i s i n g a s t u d e n t t e a c h e r . I n m y f o u r t h y e a r i n V e r m o n t , I f o u n d m y s e l f a t a p o i n t i n m y t e a c h i n g w h e r e I f e l t l i k e I w a s r e a d y t o h e l p s o m e o n e e l s e t o l e a r n t o t e a c h . I t o o k o n t h e r e s p o n s i b i l i t y o f m y fi r s t s t u d e n t t e a c h e r . I w e n t i n t o t h e e x p e r i e n c e t h i n k i n g I w o u l d t e a c h s o m e o n e t o t e a c h . I c a m e o u t o f t h e e x p e r i e n c e s u r p r i s e d t o h a v e l e a r n e d s o m u c h a b o u t m y o w n p r a c t i c e . T h e s t u d e n t t e a c h e r w i t h w h o m I w o r k e d w a s o l d e r t h a n m o s t u n d e r g r a d u a t e s a n d s e e m e d m o r e m a t u r e t h a n I r e m e m b e r e d m y s e l f b e i n g w h e n I s t u d e n t t a u g h t . S h e w a s n o t a f r a i d t o a s k m e q u e s t i o n s a b o u t a n y t h i n g h a v i n g t o d o w i t h m y p r a c t i c e . A t fi r s t , I f e l t t h r e a t e n e d b y h e r q u e s t i o n s . N o o n e h a d e v e r a s k e d s u c h p o i n t e d q u e s t i o n s a b o u t m y d e c i s i o n s . W h a t I c a m e t o r e a l i z e w a s t h a t h e r q u e s t i o n s w e r e g e n u i n e a n d s h e w a s i n t e r e s t e d i n u n d e r s t a n d i n g m y p r a c t i c e b e c a u s e s h e w a n t e d t o d e v e l o p h e r o w n . H e r q u e s t i o n s a b o u t m y p r a c t i c e h e l p e d t o s u r f a c e m u c h o f w h a t I t o o k f o r g r a n t e d , a s s u m p t i o n s I h e l d , i m p l i c i t b e l i e f s t h a t g u i d e d m y a c t i o n s . I g r o p e d f o r l a n g u a g e t o t a l k a b o u t m y t e a c h i n g a n d r e a l i z e d w h a t a r a r e o p p o r t u n i t y i t w a s f o r t e a c h e r s t o h a v e s o m e o n e w i t h l l e r . t e . o f 9 V ! Y ‘ A l l 5 6 w h o m t h e y c o u l d t a l k i n d e t a i l a b o u t t h e i r w o r k . I n e i g h t y e a r s , n o o n e h a d e v e r p a i d s u c h c l o s e a t t e n t i o n t o m y i n s t r u c t i o n , n o t e v e n m e . m m I n m y f o u r t h y e a r i n V e r m o n t , t h e s a m e y e a r I t o o k o n a s t u d e n t t e a c h e r , I w a s h o n o r e d a s a n ” o u t s t a n d i n g t e a c h e r . ” I t w a s i n t h e c o n t e x t o f a n a n n u a l s t a t e w i d e r e c o g n i t i o n p r o g r a m s p o n s o r e d b y t h e U n i v e r s i t y o f V e r m o n t f o r t e a c h e r s i n s c h o o l s a n d s c h o o l d i s t r i c t s a c r o s s t h e s t a t e . W h i l e i t w a s n i c e t o h a v e m y w o r k n o t i c e d a n d a p p r e c i a t e d , i t w a s s o m e w h a t e m b a r r a s s i n g t o b e r e c o g n i z e d p u b l i c l y . S u c h e x t r i n s i c r e w a r d s a r e r a r e i n t e a c h i n g a n d L o r t i e ( 1 9 7 5 ) n o t e s t h a t t h e p u b l i c i t y a r o u n d s u c h a w a r d s t e n d t o b e a w k w a r d f o r a l l i n v o l v e d . E v e n t o w r i t e a b o u t i t h e r e f e e l s a b i t p r e t e n t i o u s . M y p u r p o s e o f i n c l u d i n g t h i s e x p e r i e n c e , h o w e v e r , i s t o p r o v i d e f u r t h e r s u p p o r t f o r t h e p o i n t I w i s h t o m a k e . I e n t e r e d a d o c t o r a l p r o g r a m a n d t h i s y e a r o f m a t h t e a c h i n g a s a c o m p e t e n t t e a c h e r , v i e w e d a s s u c c e s s f u l i n m a n y p e o p l e ’ s e y e s . W h e n y o u r e a d o f t h e d i f fi c u l t i e s a n d s t r u g g l e s I f a c e d i n t r y i n g t o l e a r n t o e n a c t t h e m a t h r e f o r m s i n t h e r e m a i n i n g c h a p t e r s , I d o n o t w a n t y o u t o e x p l a i n t h e m a w a y b y a s s u m i n g t h a t , i n g e n e r a l , I w a s a n i n c o m p e t e n t e l e m e n t a r y t e a c h e r . T h a t w a s j u s t n o t t h e c a s e . ' n M E x r i n a T a h r a n a r n r a u T a h i n A s I l o o k b a c k o n m y e x p e r i e n c e s a s a t e a c h e r a n d l e a r n e r a b o u t t e a c h i n g , I r e c o g n i z e t h a t t h e k i n d o f a d v e n t u r o u s t e a c h i n g a s d e s c r i b e d i n t h e c u r r e n t r e f o r m d o c u m e n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i s o f a s p i r i t s i m i l a r t o t h e t e a c h i n g I d i d i n o t h e r s u b j e c t s , fi r s t i n B e r l i n , a n d t h e n i n V e r m o n t . T h e a d v e n t u r e s i n s c i e n c e a n d s o c i a l s t u d i e s i n B e r l i n , t h e t a l k o f i d e a s i n l a n g u a g e a r t s , a n d t h e f o c u s o n d i s c u s s i o n s o f q u e s t i o n s w i t h o u t r i g h t a n s w e r s i n M A C O S s e e m s s i m i l a r t o w h a t I w a s a i m i n g f o r i n m a t h e m a t i c s . I t i s i n t e r e s t i n g t o m e t h a t w h i l e I h a d m a d e c h a n g e s i n t h e w a y I t a u g h t o t h e r s u b j e c t s , m a t h e m a t i c s h a d r e m a i n e d v i r t u a l l y u n t o u c h e d . I h a d n e v e r c o n s i d e r e d t h a t t h e r e c o u l d b e 5 7 q u e s t i o n s a s f u n d a m e n t a l a n d t h o u g h t - p r o v o k i n g i n m a t h e m a t i c s a s I h a d f o u n d i n s o c i a l s t u d i e s , l i k e , w h a t m a k e s m a n h u m a n ? A c c o m p a n y i n g c h a n g e s i n t h e n a t u r e o f m y t e a c h i n g c a m e a n e w s e n s e o f w h a t i t m e a n s t o l e a r n , n e w p o s s i b i l i t i e s f o r w h a t s c h o o l l e a r n i n g c o u l d b e a n d a n e w v i e w o f m y s e l f a s a l e a r n e r . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n l e a r n i n g a n d t e a c h i n g i n t h e r o l e o f a t e a c h e r h a v e c o m e t o i n t e r e s t m e . I n t h e b e g i n n i n g o f m y t e a c h i n g c a r e e r , m y i m a g e s o f t e a c h i n g w e r e l a r g e l y i n fl u e n c e d b y m y v i e w s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g — m y r o l e a s a t e a c h e r a n d w h a t I c o u l d e x p e c t o f m y s t u d e n t s - — a s s h a p e d b y m y e a r l y e x p e r i e n c e s a s a l e a r n e r . T h r o u g h o u t m y n i n e y e a r s o f t e a c h i n g , m y v i e w s o f t e a c h i n g a n d w h a t i t m e a n s t o l e a r n c e r t a i n s u b j e c t s h a v e c h a n g e d a n d t h e l i n e s b e t w e e n m y r o l e a s a t e a c h e r a n d l e a r n e r o f t h o s e s u b j e c t s h a v e b l u r r e d a s I f o u n d m y s e l f t e a c h i n g s t u d e n t s a b o u t i d e a s I w a s c u r i o u s a b o u t , m y s e l f , a s a l e a r n e r . M y s t o r y a n d s t u d y i n t h e c h a p t e r s t o f o l l o w c o n t i n u e s t o p u s h a t t h e b o u n d a r i e s a n d m y u n d e r s t a n d i n g s o f t h e r o l e s o f t e a c h e r s a n d l e a r n e r s . I w i l l r e t u r n e x p l i c i t l y t o t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h e r s a n d l e a r n e r s i n C h a p t e r 8 , t h e c o n c l u s i o n t o t h i s d i s s e r t a t i o n . I n t h e m e a n t i m e , I i n v i t e y o u t o k e e p r e a d i n g . h a d i n t e P i e S i : C H A P T E R 3 L E A R N I N G A B O U T L E A R N I N G T O T E A C H M y s t u d y o f w h a t i t i s t h a t I - - a n e x p e r i e n c e d a n d s u c c e s s f u l t e a c h e r - h a v e h a d t o l e a r n t o m a k e f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g r a i s e s i n t e r e s t i n g i s s u e s a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t e a c h i n g a n d r e s e a r c h a n d t h e f r a g i l i t y o f s t u d y i n g o n e ' s o w n p r a c t i c e . I t a l s o i l l u s t r a t e s t h e i n t e l l e c t u a l c h a l l e n g e s a n d p e r s o n a l r i s k s p o s e d b y d o i n g r e s e a r c h o n o n e ’ s o w n t e a c h i n g p r a c t i c e . T h e k i n d o f t e a c h i n g I w a s t r y i n g t o d o w a s n o v e l t o m e a n d r e l a t i v e l y u n u s u a l i n s c h o o l p r a c t i c e . B u t , r e s e a r c h o n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y f r o m a l e a r n i n g t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e i s a n e v e n m o r e n o v e l p r a c t i c e w i t h f e w i m a g e s o r g u i d e l i n e s f o r g o i n g a b o u t t h e p r o c e s s . I u s e d n o s i n g l e m e t h o d o f i n q u i r y . I n s t e a d , I d r e w f r o m a v a r i e t y o f q u a l i t a t i v e r e s e a r c h t r a d i t i o n s , m a d e l i n k s t o a b r o a d r a n g e o f l i t e r a t u r e i n a r e a s o u t s i d e e d u c a t i o n a l r e s e a r c h , a n d r e l i e d h e a v i l y o n m y o w n i n s i g h t a n d i n t u i t i o n . T h i s d i s s e r t a t i o n , i n b o t h i t s c o n t e n t a n d i t s m e t h o d , r e p r e s e n t s a p r o c e s s o f s e l f - e d u c a t i o n . ’ A T e m p e r a l C e n t e x t I t a u g h t f o u r t h g r a d e m a t h e m a t i c s d u r i n g t h e 1 9 8 9 - 9 0 s c h o o l y e a r . I m a d e t h e d e c i s i o n t o m a k e m y t e a c h i n g e x p e r i e n c e s a s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h a l m o s t t w o y e a r s a f t e r I d i d t h e t e a c h i n g . T h i s r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m y t e a c h i n g a n d r e s e a r c h i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 . G i v e n t h i s i s a h i s t o r i c a l s t u d y o f l e a r n i n g , i t w a s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t t h a t I ” u s e a t e m p o r a l c o n t e x t o f a c t i o n s t o m a k e s e n s e o f t h e m ” ( H a m m e r s l e y 8 : A t k i n s o n , 1 9 8 9 , p . 1 9 2 ) a n d b e e x p l i c i t a b o u t t h i s c o n t e x t i n m y a n a l y s i s . I n e e d e d t o fi n d a w a y t o a c k n o w l e d g e m y l e a r n i n g a s d y n a m i c w h i l e s i m u l t a n e o u s l y e s t a b l i s h i n g a m e t h o d o l o g i c a l w a y t o h o l d m y l e a r n i n g s t i l l l o n g 5 8 5 9 e n o u g h t o a n a l y z e a n d w r i t e a b o u t i t . T o d o t h a t , I i d e n t i f i e d t w o p o i n t s o f t i m e a n d u s e d t h e m a s r e f e r e n c e ' p o i n t s f o r a n a n a l y s i s o f l e a r n i n g . T h e a n a l y s i s i s d i v i d e d i n t o t w o s e c t i o n s : w h a t I w a s l e a r n i n g a t t h e t i m e o f m y t e a c h i n g b a s e d o n t h e s e n s e I m a d e o f m y p r a c t i c e t h e n a n d w h a t I a m l e a r n i n g n o w , t h r e e y e a r s l a t e r , a s I r e v i s i t m y t e a c h i n g i n t h e c o u r s e o f s t u d y i n g i t . W h e n I t a u g h t , I l e a r n e d . I h a v e d o c u m e n t a t i o n t h a t s u p p o r t s t h e c o n j e c t u r e s I m a k e i n t h i s d i s s e r t a t i o n a b o u t t h e s e n s e I w a s m a k i n g o f m y p r a c t i c e a t t h e t i m e . T h r e e y e a r s l a t e r , a s I l o o k e d b a c k o n t h a t y e a r o f t e a c h i n g , I l e a r n e d m o r e - - b o t h a b o u t m y o w n t e a c h i n g a n d a b o u t t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g t o t e a c h d i f f e r e n t l y . T h e t i m e l i n e i n F i g u r e 3 . 2 s h o w s t h a t ” t h r e e y e a r s l a t e r ” i s c o n c e p t u a l l y a b r o a d e r t i m e f r a m e t h a n t h e s i n g l e p o i n t i n t i m e w h i c h i t m i g h t a p p e a r . T h e a c t u a l t i m e o f a n a l y s i s f a l l s o n e i t h e r s i d e o f S e p t e m b e r 1 9 9 2 , w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y t h r e e y e a r s a f t e r t h e s t a r t o f m y t e a c h i n g a n d w h e n I b e g a n w r i t i n g t h i s t e x t . 9 / 8 8 9 / 8 9 9 / 9 0 9 / 9 1 ‘ 9 / 9 2 9 / 9 3 3 / 9 4 6 0 n i n e y e a r s e l e m e n t a r y t e a c h i n g e x p e r i e n c e b e g a n d o c t o r a l s t u d i e s f o u r t h g r a d e m a t h t e a c h i n g d e c i s i o n t o d o a s t u d y o f m y o w n l e a r n i n g t o t e a c h f o r m y d i s s e r t a t i o n d a t a a n a l y s i s d i s s e r t a t i o n c o m p l e t i o n F i g u r e 3 . 1 T i m e l i n e o f m y t e a C h i n g a n d r e s e a r c h 9 / 8 8 9 / 8 9 9 / 9 0 9 / 9 1 9 / 9 2 9 / 9 3 3 / 9 4 0 0 I t i t e a c h i n g / r e fl e c t i o n s o n t e a c h i n g r e v i s i t i n g t e a c h i n g " T h r e e Y e a r s L a t e r " F i g u r e 3 . 2 T i m e l i n e o f m y t e a c h i n g , r e s e a r c h , a n d l e a r n i n g 6 2 I m p l i c a t i o n s o f t h i s t e m p o r a l c o n t e x t f o r m y a n a l y s i s a n d w r i t i n g c a n b e s e e n r e p r e s e n t e d i n t h e s t r u c t u r e o f t h e t e a c h i n g c h a p t e r s , C h a p t e r s 4 t h r o u g h 7 . C h a p t e r s 4 a n d 5 b o t h c o n t a i n a c c o u n t s a n d a n a l y s e s o f t e a c h i n g t h a t a r e o r g a n i z e d a r o u n d f o u r m a i n s e c t i o n s : p l a n n i n g , t e a c h i n g , r e fl e c t i o n s o n t e a c h i n g , a n d l o o k i n g b a c k o n t h a t t e a c h i n g , f r o m m y p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . C h a p t e r s 6 a n d 7 c o n t a i n a c c o u n t s o f t e a c h i n g o r g a n i z e d a r o u n d t w o m a i n s e c t i o n s : t e a c h i n g a n d l o o k i n g b a c k o n t h a t t e a c h i n g , f r o m m y p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . T h e d i f f e r e n c e i n t h e d e s i g n o f t h e s e c h a p t e r s , t h e a b s e n c e o f s e p a r a t e s e c t i o n s f o r p l a n n i n g a n d r e fl e c t i o n s o n t e a c h i n g , c a n b e e x p l a i n e d b y l o o k i n g a t t h e t e a c h i n g f e a t u r e d i n e a c h c h a p t e r . C h a p t e r s 4 a n d 5 a r e b o t h a b o u t t e a c h i n g e v e n t s t h a t o c c u r r e d o n s i n g l e d a y s . C h a p t e r s 6 a n d 7 a r e a b o u t m u l t i p l e d a y s o f t e a c h i n g w h e r e r e fl e c t i o n s o n t e a c h i n g b l u r r e a d i l y i n t o p l a n s f o r t h e n e x t l e s s o n . I n t h e t e x t o f C h a p t e r s 6 a n d 7 , t h e d a y s b e c o m e d i v i d e r s o f t i m e . W h a t i s c o m m o n a c r o s s a l l f o u r c h a p t e r s i s t h e a n a l y s i s f r o m m y p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . T h i s t e m p o r a l s t r u c t u r e h e l p s t o s o r t o u t w h e n I l e a r n e d w h a t — w h a t I u n d e r s t o o d o r d i d n o t u n d e r s t a n d a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e . T h i s i s i m p o r t a n t g i v e n t h a t t h i s s t u d y a i m s t o u n d e r s t a n d w h a t t e a c h e r s n e e d t o l e a r n t o m a k e c h a n g e s i n t h e i r p r a c t i c e . L e a r n i n g c a n b e d e fi n e d a s m o v i n g f r o m a p o i n t i n t i m e o f n o t u n d e r s t a n d i n g t o u n d e r s t a n d i n g . I n o t h e r w o r d s , l e a r n i n g h a s o c c u r r e d w h e n I n o w u n d e r s t a n d s o m e t h i n g t h a t a t a n e a r l i e r p o i n t i n t i m e I d i d n o t u n d e r s t a n d . I t c o u l d a l s o b e s a i d t h a t l e a r n i n g n e e d s t o o c c u r w h e n I r e c o g n i z e t h e r e i s s o m e t h i n g t h a t I d o n o t u n d e r s t a n d . I n t h e s e s i t u a t i o n s , s o m e t i m e s I k n o w w h a t I c o u l d l e a r n t o m o v e m y s e l f f r o m a p o i n t o f n o t u n d e r s t a n d i n g t o u n d e r s t a n d i n g . O t h e r t i m e s , I d o n o t . G i v e n t h a t l e a r n i n g i s a d y n a m i c p r o c e s s , a t l e a s t t w o p o i n t s o f c o m p a r i s o n a r e a l w a y s n e c e s s a r y . 6 3 W o r k i n g w i t h i n a t e m p o r a l c o n t e x t a n d r e p r e s e n t i n g w h a t h a s b e e n l e a r n e d o r n e e d s t o b e l e a r n e d i n t e x t r e q u i r e s a t t e n t i o n t o v o i c e . T h i s m e a n t t h a t w h o I t h o u g h t I w a s , t o w h o m I t h o u g h t I w a s s p e a k i n g , a t w h a t p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e , a n d h o w I m a d e t h i s i d e n t i fi a b l e t o t h e r e a d e r b e c a m e i m p o r t a n t . C o n n e l l y a n d C l a n d i n i n ( 1 9 9 0 ) n o t e , ” N a r r a t i v e w r i t e r s f r e q u e n t l y m o v e f o r w a r d a n d b a c k s e v e r a l t i m e s i n a s i n g l e d o c u m e n t a s v a r i o u s t h r e a d s a r e n a r r a t e d ” ( p . 7 ) . T h e n e x t s e c t i o n i s a n a t t e m p t t o s o r t o u t t h e i s s u e s o f i d e n t i t y , a u d i e n c e , a n d t e n s e w h i c h w e r e r a i s e d b y m y e f f o r t s t o u n d e r s t a n d a n d w r i t e a b o u t m y o w n l e a r n i n g . I s s u e s c f V e i c e M o s t a c a d e m i c w o r k i s w r i t t e n i n a v o i c e t h a t d i s t a n c e s t h e w o r k f r o m t h e a u t h o r t h r o u g h t h e u s e o f r h e t o r i c a l d e v i c e s s u c h a s p a s s i v e v o i c e , p a s t t e n s e , a n d t h e t h i r d p e r s o n . E i s n e r ( 1 9 8 8 ) w r i t e s a b o u t t h e d i s t a n t a n d i m p e r s o n a l n a t u r e o f m o s t a c a d e m i c w r i t i n g . W e w r i t e a n d t a l k i n a v o i c e v o i d o f a n y h i n t t h a t t h e r e i s a p e r s o n a l s e l f b e h i n d t h e w o r d s w e u t t e r : t h e a u t h o r , t h e s u b j e c t , t h e r e s e a r c h e r . . . w e s o m e h o w m u l t i p l y o u r i n d i v i d u a l i t y a n d w r i t e a b o u t w h a t ” w e ” f o u n d . A l l o f t h e s e l i n g u i s t i c c o n v e n t i o n s a r e , p a r a d o x i c a l l y , r h e t o r i c a l d e v i c e s d e s i g n e d t o p e r s u a d e t h e r e a d e r t h a t w e , a s i n d i v i d u a l s , h a v e n o s i g n a t u r e t o a s s i g n t o o u r w o r k . ( p . 1 8 ) W h a t r e s u l t s , E i s n e r d e s c r i b e s , i s ” t h e c r e a t i o n o f a l a n g u a g e o f r e s e a r c h t h a t o n l y r e s e a r c h e r s c a n u n d e r s t a n d a n d t h a t , e v e n f o r t h e m , i s d i f fi c u l t t o u s e t o r e c o n s t r u c t i m a g e s o f c l a s s r o o m l i f e h a v i n g s e m a n t i c c o n t e n t ” ( p . 1 8 ) . T h o s e r e s e a r c h e r s w h o a d h e r e t o t h e r h e t o r i c a l d e v i c e s t h a t h a v e b e c o m e n o r m s i n a c a d e m i c r e s e a r c h t e n d t o h a v e t h e i r w o r k a c c e p t e d a n d j u d g e d a s l e g i t i m a t e b y t h e a c a d e m i c c o m m u n i t y . T h o s e w h o c h o o s e t o d o o t h e r t h a n t h e n o r m r i s k r e j e c t i o n a n d a l i e n a t i o n . T r a d i t i o n a l r e s e a r c h m e t h o d s c a r r y p o w e r , s t a t u s , a n d 6 4 c o n t r o l w i t h i n a c a d e m i a w i t h o u t c o n s i d e r a t i o n f o r t h e v a l u e o f w h a t c a n b e l e a r n e d f r o m t h e m . I n c o n t r a s t t o t r a d i t i o n a l a c a d e m i c w o r k w h i c h t r i e s t o h i d e o r d i s g u i s e t h e p r e s e n c e o f t h e a u t h o r , m y w o r k e m b r a c e s m y s i g n a t u r e a n d i n d o i n g s o p r o v i d e s a v i v i d , p e r s o n a l p o r t r a i t o f t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . B e c a u s e I h a v e c h o s e n n o t t o f o l l o w t h e n o r m s o f t r a d i t i o n a l a c a d e m i c r e s e a r c h , i t d o e s n o t m e a n t h a t m y r e s e a r c h w a s d o n e w i t h o u t a m e t h o d o r t h a t m y w r i t i n g h a s b e e n d o n e h a p h a z a r d l y . C r e a t i n g c o n s i s t e n t w a y s t o a n a l y z e m y l e a r n i n g a n d r e p r e s e n t w h o I a m i n t h e t e x t h a s b e e n a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e w o r k , c r i t i c a l t o t e l l i n g m y s t o r y a n d s t u d y i n g m y e x p e r i e n c e s . T o a c c o m p l i s h t h i s , o n e o f t h e t h i n g s I d i d w a s d e v i s e m y o w n s e t o f r h e t o r i c a l d e v i c e s t o i d e n t i f y t h e m u l t i p l e v o i c e s p r e s e n t i n m y w o r k . M u l t i p l e S e l y e s M y d i s s e r t a t i o n i s w r i t t e n i n t h e fi r s t p e r s o n . " I " i s f o u n d t h r o u g h o u t t h e t e x t , i n e a c h o f t h e c h a p t e r s . B u t t h e " I " t h a t i s s p e a k i n g i n s o m e p l a c e s i s n o t t h e s a m e " I " a s s p e a k i n g i n o t h e r s . C o n n e l l y a n d C l a n d i n i n ( 1 9 9 0 ) n o t e t h e n e c e s s i t y a n d c o m p l e x i t y o f t r y i n g t o " s o r t o u t w h i c h v o i c e i s t h e d o m i n a n t o n e w h e n w e w r i t e " ( p . 9 ) . W e a l l h a v e m u l t i p l e I s t h a t r e p r e s e n t " a l l o f t h e w a y s e a c h o f u s h a v e o f k n o w i n g " ( p . 1 0 ) . W h a t m a k e s t h e w o r k o f t h i s s t u d y s o m e w h a t m o r e c o m p l i c a t e d i s t h a t n o t o n l y d o t h e m u l t i p l e s e l v e s a t a n y g i v e n p o i n t i n t i m e m a t t e r , a p a r t i c u l a r s e l f c h a n g e s o v e r t i m e . S i n c e t h e p o i n t o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t o u n d e r s t a n d m y l e a r n i n g , t h e c h a n g e s i n s e l f a r e i m p o r t a n t t o a n a l y z e a n d r e p r e s e n t . W h a t t h i s i m p l i e s i s t h a t i t i s i m p o r t a n t t o k n o w w h i c h v o i c e i s t a l k i n g , t o w h o m , a n d w h e n . T h e t e m p o r a l c o n t e x t , a s d e s c r i b e d a b o v e , p r o v i d e s a c o n t e x t f o r r e c o g n i z i n g a p a r t i c u l a r s e l f , o f w h i c h t h e r e a r e m a n y . 6 5 R u t h t h e r e s e a r c h e r R u t h t h e t e a c h e r e d u c a t o r R u t h t h e s c h o l a r R u t h t h e t e a c h e r R u t h 1 - t h e R u t h w h o d i d t h e t e a c h i n g i n 1 9 8 9 / 9 0 R u t h 2 - t h e R u t h w h o w a s l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g i n 1 9 8 9 / 9 0 R u t h 3 - - t h e R u t h w h o i s l e a r n i n g a b o u t t e a c h i n g , 3 y e a r s l a t e r F i g u r e 3 . 3 M u l t i p l e s e l v e s L o c a t i n g m y s e l f i n t i m e a n d r e l a t i n g t h e i m m e d i a t e p a s t a n d d i s t a n c e p a s t , a s w e l l a s t h e p r e s e n t , a n d f u t u r e r e l a t i v e t o g i v e n p o i n t s i n t i m e i s s o m e t h i n g I h a v e s t r u g g l e d w i t h t h r o u g h o u t t h i s t e x t . A c h a l l e n g e h a s b e e n t o u n d e r s t a n d a n d t r y t o c o m m u n i c a t e w h o I a m i n r e l a t i o n s h i p t o m y s e l f a n d o t h e r s , o v e r t i m e . I p l a n t e d i m p l i c i t a n d e x p l i c i t c l u e s w i t h i n t h e t e x t t o h e l p t h e r e a d e r u n d e r s t a n d w h i c h s e l f i s d o m i n a n t a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e . F o r e x a m p l e , I a l t e r h o w D e b o r a h B a l l a n d M a g d a l e n e L a m p e r t a r e r e f e r r e d t o t h r o u g h o u t t h e t e x t . A t t i m e s , t h e y a r e a d d r e s s e d i n a c a d e m i c f o r m a l i t y , b y l a s t n a m e s , i n a m o r e s c h o l a r l y v o i c e , a s I w o u l d a d d r e s s a n y s c h o l a r w h o h a s i n fl u e n c e d m y t h i n k i n g . O t h e r t i m e s t h e y a r e r e f e r r e d t o m o r e i n f o r m a l l y , b y fi r s t n a m e s , a s a t e a c h i n g c o l l e a g u e o r a m e n t o r . A n o t h e r v a r i a t i o n i n t h e t e x t , r e l a t e d t o t h e r e p r e s e n t a t i o n o f v o i c e s w i t h i n t h e t e x t , i s f o u n d w i t h i n t h e v a r i o u s e x c e r p t s o f t r a n s c r i p t s f r o m c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s a n d c o n v e r s a t i o n s w i t h J i m R e i n e k e , a r e s e a r c h e r w h o s t u d i e d m y t e a c h i n g . I n t r a n s c r i p t s , I r e f e r e n c e m y s e l f b y t h e n a m e t h a t t h e p e o p l e w i t h w h o m I a m i n t e r a c t i n g r e f e r t o m e b y . S o , i n t r a n s c r i p t s r e p r e s e n t i n g c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s , I a m k n o w n a s M s . H e a t o n . I n t r a n s c r i p t s o f c o n v e r s a t i o n s w i t h J i m , I r e f e r t o m y s e l f a s R u t h . D i f f e r e n t v o i c e s d o m i n a t e d i f f e r e n t s e c t i o n s a n d c h a p t e r s o f t h e t e x t . I n g e n e r a l t h i s i s t r u e , 6 6 h o w e v e r , I m a k e n o g u a r a n t e e s t h a t y o u w i l l n o t f i n d m u l t i p l e v o i c e s i n t h e s a m e p a r a g r a p h o r t h e s a m e s e n t e n c e . I n s o m e p l a c e s I a m e x p l i c i t a b o u t w h i c h s e l f i s s p e a k i n g b y r e f e r r i n g t o m y s e l f " a s a r e s e a r c h e r " o r " a s a t e a c h e r . " I n o t h e r p l a c e s , k n o w i n g t h e t e m p o r a l c o n t e x t a n d t h e s i t u a t i o n p r o v i d e s s u f fi c i e n t c o n t e x t f o r a r e a d e r t o fi g u r e o u t w h i c h o f m y s e l v e s i s s p e a k i n g . T h e s e i s s u e s a r o u n d v o i c e a r e n o t s o m e t h i n g I w a s a b l e t o fi g u r e o u t b e f o r e w r i t i n g t e x t . T h e t i m e s I t r i e d t o d e fi n e t h e m u l t i p l e I ' s f o r a p a r t i c u l a r s e c t i o n i n a d v a n c e o f w r i t i n g d i d n o t w o r k . I h a d t o w r i t e t e x t a n d t h e n e x a m i n e i t i n a n e f f o r t t o s o r t o u t t h e v o i c e s t h a t w e r e s p e a k i n g . O v e r t i m e , s o m e p a t t e r n s h a v e e m e r g e d . F o r e x a m p l e , a f t e r m a n y m o n t h s o f w r i t i n g , I w a s w o r k i n g o n C h a p t e r 7 , t h e f o u r t h a n d l a s t c h a p t e r o n m y t e a c h i n g . I n t h e m i d s t o f m y s t r u g g l e t o c r e a t e t h e t e x t , I r e a l i z e d t h e r e w a s a p a t t e r n o f v o i c e s i n t h e t e a c h i n g c h a p t e r s a n d a r e l a t i o n s h i p a m o n g v o i c e s a c r o s s t h e t e a c h i n g c h a p t e r s a n d t h e c o n c l u s i o n . C h . 4 C h . 5 C h . 6 C h . 7 ( 3 1 1 , 8 R 1 R 1 R 1 R 1 R 2 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 / ' R 3 / R 3 R 3 / w h o I a m n o w F i g u r e 3 . 4 A p a t t e r n o f v o i c e s o n t e a c h i n g F i g u r e 3 . 4 r e p r e s e n t s t h e p a t t e r n o n t e a c h i n g I n o t i c e d . E a c h c h a p t e r o n m y t e a c h i n g c o n t a i n s a t l e a s t t h r e e v o i c e s : R u t h 1 , R u t h 2 , a n d R u t h 3 . A s I e x p l a i n e d i n F i g u r e 3 . 3 , R u t h 1 i s t h e t e a c h e r w h o t a u g h t f o u r t h g r a d e 6 7 m a t h e m a t i c s . R u t h 2 i s t h e s e l f w h o w a s m a k i n g s e n s e o f t e a c h i n g , t h e n . R u t h 3 i s t h e s e l f w h o i s m a k i n g s e n s e o u t o f t e a c h i n g , n o w . I n e a c h o f t h e f o u r c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g , R u t h 1 n a r r a t e s t h e s t o r y o f t e a c h i n g . R u t h 2 i s t h e v o i c e o f t h e s e l f r e fl e c t i n g o r a n a l y z i n g t h e t e a c h i n g r i g h t a f t e r i t h a p p e n e d , w h i l e R u t h 3 l o o k s a t t h e t e a c h i n g f r o m a p e r s p e c t i v e o f t h r e e y e a r s l a t e r . A s t h e s t o r i e s f r o m m y t e a c h i n g m o v e c h r o n o l o g i c a l l y a c r o s s t h e y e a r , f r o m C h a p t e r 4 t o C h a p t e r 8 , t h e v o i c e o f R u t h 3 , w h i l e s u p p o s e d l y s p e a k i n g i n t h e h e r e a n d n o w , s w i t c h e s b a c k t o R u t h 1 , a s t h e r e a d e r m o v e s f r o m o n e s t o r y t o t h e n e x t . R u t h 3 i s t h e v o i c e t h a t c a r r i e s w i t h i t t h e m o s t r i s k b e c a u s e i t i s w h a t d e fi n e s w h a t i t i s t h a t I n o w u n d e r s t a n d a s w e l l a s w h a t I h a v e l e f t t o l e a r n . R u t h 1 a n d R u t h 2 a r e o l d e r v o i c e s . I n a s e n s e , I h a v e o u t g r o w n t h e m . R u t h 3 i s c l o s e r t o w h o I a m r i g h t n o w , e s p e c i a l l y t h e R u t h 3 a t t h e e n d o f C h a p t e r 7 . B r u n e r ( 1 9 9 0 ) n o t i c e d a s i m i l a r p a t t e r n i n w r i t i n g a b o u t o n e s o w n e x p e r i e n c e s a n d e x p l a i n s h o w h e s e e s t i m e i n t e r a c t i n g w i t h i d e n t i t y . T h e r e i s s o m e t h i n g c u r i o u s a b o u t a u t o b i o g r a p h y . I t i s a n a c c o u n t g i v e n b y a n a r r a t o r i n t h e h e r e a n d n o w a b o u t a p r o t a g o n i s t b e a r i n g h i s n a m e w h o e x i s t e d i n t h e t h e r e a n d t h e n , t h e s t o r y t e r m i n a t i n g i n t h e p r e s e n t w h e n t h e p r o t a g o n i s t f u s e s w i t h t h e n a r r a t o r . ( p . 1 2 1 ) T a g A n o t h e r r h e t o r i c a l d e v i c e I u s e d t h r o u g h o u t t h e t e x t w a s t h e t e n s e I c h o s e t o u s e a t a n y g i v e n p o i n t i n t i m e , i n a n y s i n g l e s e c t i o n , p a r a g r a p h , o r p a r t o f a c h a p t e r . T h e s t o r i e s f r o m m y t e a c h i n g ( t h e fi r s t h a l f o f e a c h o f t h e f o u r c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g ) a r e p r i m a r i l y w r i t t e n i n p a s t t e n s e . I f i n t e l l i n g t h e s t o r y , I r e f e r t o a t i m e p r i o r t o t h e m o m e n t , t h e l e s s o n , o r t h a t y e a r , I t e n d e d t o u s e p a s t p e r f e c t o r a t e n s e t h a t r e p r e s e n t e d o n e s t e p f u r t h e r i n t o t h e p a s t f r o m t h e p r e s e n t . I u s e d p r e s e n t t e n s e i n t h e s e c t i o n w r i t t e n f r o m m y p e r s p e c t i v e , t h r e e y e a r s l a t e r . 6 8 W h i l e t h i s i s i n g e n e r a l h o w t h e t e x t a p p e a r s , n o w , i t i s n o t n e c e s s a r i l y t h e w a y I i n i t i a l l y g e n e r a t e d i t . O n e o f t h e r h e t o r i c a l t r i c k s I p l a y e d o n m y s e l f t o j u s t p l u n g e i n t o w r i t i n g t h e s t o r y o f a p a r t i c u l a r t e a c h i n g e p i s o d e w a s t o w r i t e i n p r e s e n t t e n s e a b o u t a p a s t e v e n t , w h a t i s f o r m a l l y c a l l e d p r e s e n t h i s t o r i c a l t e n s e . B y t h e t i m e I w r o t e a b o u t t h e t e a c h i n g i n C h a p t e r 6 , t h e p a t t e r n s i n t h e d e v e l o p m e n t o f m y u s e o f d i f f e r e n t t e n s e s w a s b e i n g u s e d a s a m e t h o d o f a n a l y s i s . F o r e x a m p l e , I s t r u g g l e d t o g e t t h e s t o r y s t a r t e d i n C h a p t e r 6 . I d i d n o t w a n t t o w r i t e p a g e s t o l e a d i n t o t h e s t o r y . I j u s t w a n t e d t o g e t s t a r t e d b e c a u s e I h a d s o m u c h t o t e l l , t h i s b e i n g t h e fi r s t c h a p t e r t h a t I h a d a s e r i e s o f l e s s o n s r a t h e r t h a n a s i n g l e d a y a r o u n d w h i c h t o c o n s t r u c t a s t o r y . I n i t i a l l y , I w r o t e t h e w h o l e fi r s t h a l f o f C h a p t e r 6 , a s e r i e s o f l e s s o n s a b o u t m a k i n g l a b e l s f o r c a n s , i n p r e s e n t t e n s e . I m a d e t h e d e c i s i o n t o s w i t c h i t a l l t o p a s t t e n s e , o n c e I w a s s a t i s fi e d t h a t I h a d c o m m u n i c a t e d w h a t I w a s t r y i n g t o s a y , b e f o r e d o i n g t h e a n a l y s i s f r o m a p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . I t h i n k t h e i m a g e s o f m y i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s a r e t h e m o s t v i v i d i n t h i s s t o r y o r a t l e a s t s o m e o f t h e s t u d e n t s , a s c h a r a c t e r s , c o m e a l i v e . Q l , I I . M y u n d e r s t a n d i n g o f r e a s o n s t o u s e t h e v o i c e s o f o t h e r s ' i n m y w o r k h a s s h a r p e n e d i n t h e p r o c e s s o f w r i t i n g t h i s d i s s e r t a t i o n . I h a v e p l a y e d a r o u n d w i t h m e t a p h o r s , q u o t e s , a n d r e f e r e n c e s t h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f c r e a t i n g t e x t . W h a t I h a v e c o m e t o s e e i s t h a t I h a v e u s e d o t h e r p e o p l e ' s v o i c e s i n t h e w r i t i n g o f m y d i s s e r t a t i o n i n a t l e a s t t w o w a y s . O n e w a y i s a s t o o l s f o r h e l p i n g m e t o m a k e s e n s e o f m y o w n e x p e r i e n c e s a n d t h e o t h e r w a y i s t o c o m m u n i c a t e m y i d e a s t o o t h e r s . T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e w a y I a m b e g i n n i n g t o d e fi n e t h e w r i t i n g p r o c e s s f o r m y s e l f . I t h i n k I h a v e p r o b a b l y a l w a y s v i e w e d w r i t i n g a s a m e a n s o f , c o m m u n i c a t i n g m y i d e a s t o s o m e o n e e l s e . I n t h e c o u r s e o f w r i t i n g a n d r e w r i t i n g t h e t e x t o f t h e s e c h a p t e r s c o u n t l e s s t i m e s , I h a v e b e g u n t o s e e w r i t i n g a l s o a s a 6 9 t o o l f o r h e l p i n g m e t o fi g u r e o u t w h a t i t i s t h a t I t h i n k . T h e r e i s a w r i t i n g I d o f o r m y s e l f a n d a w r i t i n g I d o f o r o t h e r s . T h e n u m e r o u s d r a f t s o f t h e t e x t o f e a c h o f t h e c h a p t e r s m o v e d m e f r o m o n e t o t h e o t h e r . O t h e r ' s v o i c e s s e e m s t r o n g e s t i n m y w o r k i n e a r l i e r d r a f t s . A s m y v o i c e g e t s s t r o n g e r a n d c l e a r e r o n w h a t i t i s t h a t I w a n t t o s a y , t h e v o i c e s o f o t h e r s t e n d t o f a l l i n t o t h e b a c k g r o u n d . T h i s m a k e s m y w o r k q u i t e d i f f e r e n t f r o m c o n v e n t i o n a l a c a d e m i c w r i t i n g w h i c h t e n d s t o v a l u e r e f e r e n c e s a n d q u o t e s o f o t h e r s a t t h e e x p e n s e o f t h e a u t h o r ’ s o w n v o i c e . M M W h e n I d e c i d e d t o m a k e t h e y e a r o f t e a c h i n g a s t u d y o f m y o w n l e a r n i n g t o t e a c h , I g a t h e r e d t o g e t h e r a l l o f t h e d o c u m e n t a t i o n t h a t h a d b e e n d o n e a r o u n d m y t e a c h i n g t h a t y e a r . J i m R e i n e k e , a g r a d u a t e s t u d e n t i n e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y , h a d b e e n i n m y c l a s s r o o m t o d o a p r a c t i c u m o f h i s o w n d e s i g n . H e s t u d i e d s t u d e n t s ’ a n d a t e a c h e r ’ s c h a n g i n g c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ( R e i n e k e , 1 9 9 3 ) . H e v i d e o t a p e d m y m a t h c l a s s t w i c e a w e e k , a u d i o t a p e d a l l o f t h e l e s s o n s , t o o k fi e l d n o t e s , a n d d i d i n f o r m a l t a p e r e c o r d e d i n t e r v i e w s f r o m S e p t e m b e r t h r o u g h D e c e m b e r . 1 M a g d a l e n e L a m p e r t o b s e r v e d i n m y c l a s s r o o m s e v e r a l t i m e s a w e e k . S h e t o o k o b s e r v a t i o n n o t e s a n d r e s p o n d e d t h r o u g h o u t t h e y e a r t o a d a i l y j o u r n a l I k e p t o n m y t e a c h i n g . H e r r e a s o n f o r o b s e r v i n g m y m a t h c l a s s w a s t o h e l p m e l e a r n t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . B y t h e e n d o f t h e s c h o o l y e a r , I h a d c o l l e c t e d t h e f o l l o w i n g d a t a : t h e t e a c h i n g j o u r n a l I k e p t a l l y e a r , M a g g i e ’ s a n n o t a t i o n s o n m y t e a c h i n g j o u r n a l a l l y e a r , M a g g i e ’ s o b s e r v a t i o n n o t e s f r o m o b s e r v i n g m y t e a c h i n g t w i c e a w e e k f r o m S e p t e m b e r t h r o u g h D e c e m b e r , a n d a w e e k i n M a y , v i d e o t a p e s a n d a u d i o t a p e s o f m y t e a c h i n g b e t w e e n S e p t e m b e r a n d D e c e m b e r , t h r e e w e e k s o f v i d e o t a p e s o f m y t e a c h i n g i n A p r i l , a n a u d i o t a p e o f a l e s s o n i n J u n e , a n d a u d i o t a p e s o f 1 S e e ( H e a t o n , R e i n e k e , a n d F r e s e , 1 9 9 1 ) f o r a d e s c r i p t i o n a n d a n a l y s i s o f w h a t t h e s e c o n v e r s a t i o n s w e r e l i k e f o r b o t h o f u s . 7 0 i n t e r v i e w s w i t h J i m . I n a d d i t i o n , I h a d t a l k e d i n t o a t a p e r e c o r d e r b e f o r e a n d a f t e r m y t e a c h i n g , d o i n g ” t h i n k a l o u d s , ” f o r t h r e e w e e k s o f m y t e a c h i n g i n t h e s p r i n g . T h e f o l l o w i n g i s a l i s t o f t h e d a t a c o l l e c t e d a n d t h e q u a n t i t y o f e a c h d a t a t y p e . T a b l e 3 . 1 D a t a C o l l e c t e d D A T A T Y P E Q U A N T I T Y v i d e o t a p e s o f l e s s o n s 2 2 a u d i o t a p e s o f l e s s o n s 4 3 a u d i o t a p e s o f i n t e r v i e w s w i t h J i m 1 9 R e i n e k e m y t e a c h i n g j o u r n a l e n t r i e s 9 7 d a y s r e p r e s e n t e d M a g g i e L a m p e r t ’ s a n n o t a t i o n s o f m y 9 7 d a y s j o u r n a l r e p r e s e n t e d M a g g i e L a m p e r t ’ s o b s e r v a t i o n n o t e s 2 2 d a y s o b s e r v e d t h i n k a l o u d s 1 2 G l a s e r a n d S t r a u s s ( 1 9 6 7 ) r e f e r t o t h e s e a s " s l i c e s o f d a t a " ( p . 6 5 ) . D i f f e r e n t k i n d s o f d a t a p r o v i d e d m e w i t h d i f f e r e n t v i e w s o f t h e s a m e e v e n t . T h e p e r s p e c t i v e s o f f e r e d b y J i m a n d M a g g i e o n m y t e a c h i n g a l l o w e d m e t o t r i a n g u l a t e ( H a m m e r s l e y 8 : A t k i n s o n , 1 9 8 9 ) m y a n a l y s i s . I c o u l d d r a w o n t h e i n t e r p r e t a t i o n s o f o t h e r s t o c h a l l e n g e o r a f fi r m m y o w n . h i n a t i T 1 1 A n y t e a c h e r w o u l d h a v e q u i t e a f e w s t o r i e s t o t e l l f r o m a y e a r ' s w o r t h o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e s . R u s s e l l B a k e r ( 1 9 8 7 ) n o t e d t h e p r o b l e m o f h a v i n g t o o m u c h i n f o r m a t i o n w h e n t r y i n g t o w r i t e a b o u t y o u r o w n e x p e r i e n c e s . ” T h e b i o g r a p h e r ’ s p r o b l e m i s t h a t h e n e v e r k n o w s e n o u g h . T h e a u t o b i o g r a p h e r ’ s 7 1 p r o b l e m i s t h a t h e k n o w s t o o m u c h ” ( p . 4 9 ) . M y c h a l l e n g e w a s t o fi g u r e o u t w h i c h s t o r i e s t o t e l l a n d h o w b e s t t o t e l l t h e m . M y c o n c e r n w a s c h o o s i n g s t o r i e s t o t e l l t h a t w e r e r e l e v a n t t o m y q u e s t i o n o f w h a t i t w a s t h a t I h a d t o l e a r n t o m a k e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g . I h a d t o t e l l t h e s t o r y i n a w a y t h a t w o u l d a l l o w m e t o a n a l y z e i t . T o d o t h i s , I m o v e d b a c k a n d f o r t h b e t w e e n c o n s t r u c t i n g t h e s t o r y o f m y t e a c h i n g , t h e n , a n d a n a l y z i n g i t f r o m a p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . H o w I t h o u g h t a b o u t m y o r g a n i z a t i o n o f o n e i n fl u e n c e d m y w o r k o n t h e o t h e r . I w e n t t h r o u g h a s i m i l a r p r o c e s s o n a l a r g e r s c a l e a s I m o v e d b a c k a n d f o r t h b e t w e e n w o r k i n g o n p a r t s o f t h i s d i s s e r t a t i o n a n d c o n c e i v i n g o f i t a s a w h o l e . W h e n c h o o s i n g w h a t s t o r i e s t o t e l l a n d h o w t o a n a l y z e t h e m , I c o n s i d e r e d t h e i r p o w e r i n d i v i d u a l l y a n d t h e i r r i c h n e s s c o l l e c t i v e l y . B e i n g a u t o b i o g r a p h i c a l a l w a y s f o r c e s u s t o s e l e c t f r o m t h e m u l t i t u d e o f o u r m i n u t e - b y - m i n u t e , d a y b y d a y e x p e r i e n c e s , t o g i v e s h a p e a n d o r d e r t o o u r s e l e c t i o n s , a n d t o c o n v e y t o o u r a u d i e n c e s o m e s e n s e o f w h y w e h a v e c h o s e n t o e m p h a s i z e t h i s p a r t i c u l a r a s p e c t s o f o u r l i v e s ( L y o n s , 1 9 8 4 , p . 5 ) S o , h o w d i d I c h o o s e w h i c h s t o r i e s I w o u l d t e l l ? I s t a r t e d b y t r y i n g t o g e t a p i c t u r e o f t h e w h o l e y e a r . I m a d e m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e y e a r t h a t s h o w e d w h e n I t a u g h t , w h a t I t a u g h t , a n d n o t e d a n y t h i n g t h a t s t o o d o u t t o m e f o r a n y r e a s o n f o r e a c h d a y I t a u g h t f r o m S e p t e m b e r t o D e c e m b e r a n d M a r c h t o J u n e . I t a u g h t a n u n d e r g r a d u a t e t e a c h e r e d u c a t i o n c o u r s e a t t h e u n i v e r s i t y b e t w e e n J a n u a r y a n d m i d - M a r c h . 7 2 e l e m e n t a r y u n i v e r s i t y e l e m e n t a r y m a t h t e a c h i n g t e a c h i n g m a t h t e a c h i n g k t F a 9 / 8 9 1 2 / 8 9 3 / 9 0 6 / 9 0 F i g u r e 3 . 5 O v e r v i e w o f t h e s c h o o l y e a r I n a d d i t i o n t o m a k i n g o v e r v i e w s o f t h e y e a r , I r e a d t h r o u g h t h r e e d i f f e r e n t d a t a t y p e s — m y j o u r n a l , M a g g i e ' s o b s e r v a t i o n n o t e s , a n d J i m ' s i n t e r v i e w s - 4 0 i d e n t i f y t h e m e s . A s e a r c h f o r t h e m e s o r c a t e g o r i e s i s a c o m m o n a c t i v i t y w i t h i n t h e q u a l i t a t i v e r e s e a r c h t r a d i t i o n . I r e a d t h r o u g h t h e d a t a l o o k i n g f o r p a r t i c u l a r w o r d s , p h r a s e s , p a t t e r n s o f b e h a v i o r , w a y s I t h o u g h t a b o u t t h i n g s a n d e v e n t s t h a t r e p e a t e d t h e m s e l v e s o r s t o o d o u t f o r s o m e r e a s o n ( B o g d a n 8 : B i l k e n , 1 9 8 2 ) . I s o r t e d t h e s e fi n d i n g s i n t o l i k e k i n d s a s a w a y t o l o o k f o r r e g u l a r i t i e s a n d p a t t e r n s ( B o g d a n 8 : B i l k e n , 1 9 8 2 ) . O n e c a t e g o r y I c a m e u p w i t h w a s t h e t e x t b o o k a n d i d e a s r e l a t e d t o i t t h r o u g h o u t t h e d a t a . F o r e x a m p l e , t h i s i n c l u d e d t h i n g s I n o t i c e d i n t h e d a t a d i r e c t l y r e l a t e d t o p a r t i c u l a r a s p e c t s o f t h e t e x t b o o k , l i k e m y u n d e r s t a n d i n g o f p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . I t a l s o i n c l u d e d m y i d e a s a t t h e t i m e a b o u t w h a t t h e t e x t b o o k w a s o r w a s n o t a d d r e s s i n g a s a m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . I t c o n t a i n e d m y t h o u g h t s a b o u t m a k i n g u s e o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d p o i n t s a t w h i c h I m a d e c o n s c i o u s d e c i s i o n s n o t t o m a k e u s e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , e i t h e r t o d o t h i n g s m y s e l f o r d r a w o n o t h e r r e s o u r c e s . I a l s o i n c l u d e d m y i d e a s r e l a t e d t o k n o w l e d g e , a u t h o r i t y , a n d c e r t a i n t y a t t h e t i m e , a n d m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e i n r e l a t i o n s h i p t o t h e t e x t b o o k . A s e c o n d c a t e g o r y e n c o m p a s s e d w h a t I s e e m e d 7 3 t o b e n o t i c i n g a b o u t s t u d e n t s . O n e s t u d e n t w a s f e a t u r e d q u i t e a b i t i n m y j o u r n a l a n d t h r o u g h o u t m y c o n v e r s a t i o n s w i t h J i m . T h i s w a s S i p h o , a s t u d e n t i n t r o d u c e d i n C h a p t e r 6 , i n t h e c o n t e x t o f m a k i n g l a b e l s w i t h c a n s . I i n c l u d e d t h i n g s I n o t i c e d a b o u t o t h e r s t u d e n t s i n t h i s c a t e g o r y a s w e l l . A t h i r d c a t e g o r y h a d t o d o w i t h t h e m a t h e m a t i c s . T h i s i n c l u d e d m y t r o u b l e s w i t h u n d e r s t a n d i n g i t m y s e l f , m y l a c k o f c l a r i t y o n m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s f o r w h a t I w a s d o i n g w i t h s t u d e n t s , a n d m y s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s . A f o u r t h c a t e g o r y h a d t o d o w i t h m e o r m y r o l e i n t e a c h i n g . W h a t w a s i t t h a t I w a s s u p p o s e d t o b e d o i n g ? T h i s c a t e g o r y l i n k e d t o t h e o t h e r s a s I q u e s t i o n e d m y r e l a t i o n s h i p t o t h e t e x t b o o k , t o s t u d e n t s , a n d t o t h e m a t h e m a t i c s . T h e t e x t b o o k w a s t h e l a r g e s t o f c a t e g o r i e s a n d s e e m e d t o b e a t h r e a d t h r o u g h o u t t h e o t h e r s a s w e l l . T h i s l e d m e t o c o n s i d e r i t a s a n o v e r a r c h i n g t h e m e . W i t h t h e t e x t b o o k a s a p r o m i n e n t t h e m e , I r e a d b a c k t h r o u g h t h e d a t a a n d w r o t e a n a n a l y t i c m e m o a b o u t w h a t I t h o u g h t w a s g o i n g o n w i t h t h e t e x t b o o k . I p u l l e d f r o m a c r o s s d a t a s o u r c e s a n d t h e y e a r . I n o t e d p a r t i c u l a r d a y s o r e v e n t s o f i n t e r e s t a n d w h y t h e y s e e m e d r e l e v a n t . F r o m t h i s m e m o , I t r i e d t o w r i t e s e v e r a l p a g e s a b o u t w h a t I t h o u g h t a s t o r y o f t h e t e x t b o o k , b a s e d o n m y e x p e r i e n c e s , w o u l d b e . S c h a t z m a n a n d S t r a u s s ( 1 9 7 3 ) w r i t e a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f p u s h i n g o n e s i d e a s i n t o s t o r y f o r m d u r i n g d a t a a n a l y s i s e v e n b e f o r e y o u a r e e n t i r e l y c e r t a i n o f t h e p o i n t o f t h e s t o r y . W e u r g e t h e n o v i c e i n a n a l y s i s t o c o n v e r t r e l a t i v e l y i n e r t a b s t r a c t i o n s i n t o s t o r i e s - - e v e n w i t h p l o t s — i n o r d e r t o i n d u c e t h e m e s a n d m o d e l s t h a t l i n k d a t u m t o d a t u m . . . T h i s w a y , t h e a n a l y s t e s c a p e s t h e f o r m a l s t e r e o t y p e i n h e r e n t i n t h e c o n c e p t s ; h e d e a l s w i t h v e r y h u m a n a n d l i v e p h e n o m e n a t h a t a r e a m e n a b l e t o s t o r y - m a k i n g a n d p r o b a b l y p r o d u c t i v e t o n e w c o n s t r u c t s . T h e s t o r y l i n e c a n a l w a y s , l a t e r , b e r e c o n v e r t e d t o f o r m a l t e r m i n o l o g y , s h o u l d t h e a n a l y s t fi n d i t n e c e s s a r y . I n t h e m e a n t i m e , h e d e a l s c o m f o r t a b l y a n d n a t u r a l l y w i t h w h a t a p p e a r s o n l y a s d e s c r i p t i o n a n d i l l u s t r a t i o n , b u t w h i c h i s b u t a s h o r t d i s t a n c e , c o n c e p t u a l l y , f r o m g e n e r a l i z e d , s o c i a l p r o c e s s . ( p . 1 2 1 ) - C h a p t e r 5 4 / 1 2 - 4 / 1 8 9 a / p 2 t 0 e C h r 4 1 0 C / h 1 a 2 p - t 1 e 0 r F / 2 6 i 3 g u r e 3 . 6 7 4 T r y i n g t o f o r m u l a t e t h e s t o r y o f t h e t e x t b o o k h e l p e d m e t o s e e m y c h a n g i n g r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e x t b o o k - - w h a t I t h o u g h t I c o u l d e x p e c t f r o m i t , , w h a t I t h o u g h t i t c o u l d o r w o u l d d o f o r m e . W h i l e m y r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e x t b o o k w a s c h a n g i n g , s o w e r e m y r e l a t i o n s h i p s w i t h s t u d e n t s , t h e m a t h e m a t i c s , a n d m y s e l f . C o n s i d e r i n g t h e s t o r y o f t h e t e x t b o o k i n t e r m s o f a c h a n g i n g r e l a t i o n s h i p h e l p e d m e t o s e e t h e o t h e r c a t e g o r i e s i n t e r m s o f r e l a t i o n s h i p s , t o o . F r o m t h i s I n a r r o w e d t h e d a t a t o p a r t i c u l a r d a t e s o f d a y s a n d e v e n t s o f i n t e r e s t a c r o s s t h e y e a r w h i c h a m o u n t e d t o s t i l l m o r e d a t a t h a n I c o u l d i n c l u d e . F r o m t h e s e I c h o s e t h e o n e s y o u s e e w r i t t e n a b o u t i n C h a p t e r 4 t h r o u g h C h a p t e r 8 . I d e c i d e d t h e s t o r i e s a n d m y a n a l y s i s o f m y l e a r n i n g o u g h t t o s p a n t h e s c h o o l y e a r b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e i s s o m e c h r o n o l o g y t o l e a r n i n g . A s I c o n t e m p l a t e d c h o i c e s , I d e c i d e d t o h a v e t h e d i f f e r e n t t e a c h i n g e v e n t s f e a t u r e d i f f e r e n t l e n g t h s o f t i m e : a d a y , a m o m e n t , a s e r i e s o f d a y s , a s e r i e s o f d a y s f o l l o w e d b y a s i x w e e k b r e a k a n d t h e n t h e s e c o n d t o l a s t d a y o f m a t h c l a s s . C h a p t e r 7 9 / 2 I i I 6 / 4 1 . . 9 / 8 9 I I 6 / 9 0 T h e e v e n t s I c h o s e t o w r i t e a b o u t a n d w h e r e t h e y f a l l i n t h e s c h o o l y e a r 7 5 F o r e x a m p l e , C h a p t e r 4 i s a b o u t m y f r u s t r a t i o n s i n t h e e a r l y w e e k s o f s c h o o l a n d t h e e x a m i n a t i o n o f w h a t I a m l e a r n i n g i s b a s e d o n e l e s s o n . W h a t I a m l e a r n i n g i n C h a p t e r 5 c o m e s f r o m e x a m i n i n g a s i n g l e m o m e n t i n m y t e a c h i n g , t h e f i r s t m o m e n t t h a t I f e l t l i k e I w a s t e a c h i n g t h a t y e a r . C h a p t e r 6 s p a n s a s e r i e s o f fi v e m a t h l e s s o n s o r e l e v e n c a l e n d a r d a y s , a s e r i e s o f l e s s o n s i m p r o v i s e d f r o m a o n e d a y l e s s o n i n t h e m a t h t e x t b o o k . C h a p t e r 7 i s a b o u t f o u r d a y s i n A p r i l f o l l o w e d b y a s i x w e e k i n t e r l u d e a n d c o n c l u d e s w i t h t h e s e c o n d t o t h e l a s t d a y o f m y t e a c h i n g i n J u n e , a s e r i e s o f l e s s o n s i n w h i c h I s t r u g g l e d w i t h t h e q u e s t i o n o f w h a t I s h o u l d d o n e x t . T o g e t h e r , t h e s e c h a p t e r s o f f e r a r i c h p i c t u r e o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t o t e a c h f r o m a fi n e g r a i n e d l o o k a t w h a t I a m l e a r n i n g i n a s i n g l e m o m e n t t o a d e t a i l e d l o o k a t a s e r i e s o f l e s s o n s t h a t s p a n a l m o s t a t w o m o n t h p e r i o d . I n s p i t e o f t h e d i f f e r e n c e i n s c a l e o r s i z e o f t e a c h i n g b e i n g f e a t u r e d , e a c h u n i t o f a n a l y s i s h a s b e e n t r e a t e d e q u a l l y . E a c h c h a p t e r i s a p p r o x i m a t e l y 5 0 p a g e s l o n g w i t h t h e fi r s t h a l f d e v o t e d t o t h e s t o r y o f t e a c h i n g a n d t h e s e c o n d h a l f t o m y a n a l y s i s f r o m a p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . I n e a c h c h a p t e r w h a t g e t s f e a t u r e d c h a n g e s i n m u c h t h e s a m e w a y t h a t o n e c a n b u y d i f f e r e n t m a p s , a l l t h e s a m e s i z e i n t e r m s o f t h e p a p e r o n w h i c h t h e y h a v e b e e n p r i n t e d , b u t e a c h o n e e n a b l e s a v i e w o f d i f f e r e n t t h i n g s . C o n s i d e r f o r e x a m p l e w h a t c a n b e l e a r n e d f r o m a w o r l d m a p , a s t a t e m a p , a c o u n t y m a p , o r a d e t a i l e d c i t y m a p . I n e a c h o f f o u r c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g , d i f f e r e n t f e a t u r e s a r e m a d e p r o m i n e n t a n d e a c h o f f e r s a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e . T o g e t h e r , t h e y o f f e r a r i c h v i e w o f t h e t e r r a i n o f w h a t a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r n e e d s t o l e a r n t o m a k e f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . 7 6 d a t e — d a y o f m y j o u r n a l v i d e o t a p e a u d i o t a p e i n t e r v i e w M a g g i e ’ s w e e k ( w i t h w i t h J i m o b s e r v a t i o n M a g g i e ’ s n o t e s c o m m e n t s 4 9 / 2 0 / 8 9 — W X 5 9 / 2 1 / 8 9 - — T h X 6 1 0 / 1 2 / 8 9 - - T h 1 0 / 1 6 / 8 9 - - M 1 0 1 7 / 8 9 — T 1 0 / 1 8 / 8 9 — W 1 0 / 2 3 / 8 9 - - M 7 4 / 1 2 / 9 0 — T h 4 / 1 6 / 9 0 - M 4 / 1 7 / 9 0 - T 4 / 1 8 / 9 0 - W 6 / 4 / 9 0 - M F i g u r e 3 . 7 A v a i l a b l e d a t a f o r t h e e v e n t s I c h o s e t o w r i t e a b o u t I t r a n s c r i b e d t a p e s a n d a n n o t a t e d t r a n s c r i p t s o f a l l l e s s o n s , m y s e l f , a n d J i m a n d I s h a r e d t h e t a s k o f t r a n s c r i b i n g t h e t a p e s o f o u r c o n v e r s a t i o n s . L i s t e n i n g t o m y s e l f o n t a p e w h i l e d o i n g t h e t r a n s c r i p t i o n s w a s e n o r m o u s l y h e l p f u l i n b e c o m i n g r e c o n n e c t e d w i t h m y t e a c h i n g a f t e r a l o n g t i m e a w a y f r o m i t . W h a t w a s p a r t i c u l a r l y h e l p f u l w a s t o h e a r t h e t o n e a n d i n fl e c t i o n o f m y v o i c e . I t h e l p e d m e t o r e c o l l e c t t h e e v e n t s a s w e l l a s s o m e o f t h e e m o t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e m . M a g g i e h a d c o m m e n t e d o n m y d a i l y r e fl e c t i o n s o n t e a c h i n g i n a c o p y o f m y j o u r n a l o v e r t h e c o u r s e o f t h e s c h o o l y e a r . F o r p u r p o s e s o f a n a l y s i s , i t w a s u s e f u l t o h a v e t w o c o p i e s o f m y j o u r n a l , t h e o r i g i n a l w i t h o n l y m y r e fl e c t i o n s a n d a c o p y w i t h M a g g i e ' s c o m m e n t s . I c o u l d c h o o s e w h e t h e r I w a n t e d t o w o r k w i t h M a g g i e ' s c o m m e n t s a s w e l l a s m i n e . I c o u l d e a s i l y j u s t f o c u s o n o n e o r t h e o t h e r . I w a s g l a d t o h a v e t h e o p t i o n . M a g g i e ’ s c o m m e n t s o n 7 7 m y j o u r n a l w e r e s e p a r a t e f r o m h e r o b s e r v a t i o n n o t e s . S h e g a v e m e t h e o r i g i n a l s o f t h o s e w h e n t h e s c h o o l y e a r w a s o v e r . T h e U s e e f M e t a p h e r s W h i l e I w a s d o i n g t h i s n a r r o w i n g d o w n o f d a t a , I w a s a l s o r e a d i n g . D u r i n g t h i s t i m e i s w h e n I c a m e a c r o s s p i e c e s o f l i t e r a t u r e t h a t I t h o u g h t c o n t a i n e d p o w e r f u l m e t a p h o r s f o r w h a t i t w a s t h a t I w a s l e a r n i n g i n m y e f f o r t s t o m a k e f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n t h e w a y I t a u g h t e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . T h e t h i n g t h a t e x c i t e d m e a b o u t p a r t i c u l a r m e t a p h o r s w a s t h a t t h e y w e r e d r a w n f r o m t e x t s f a r a fi e l d f r o m e d u c a t i o n a l r e s e a r c h y e t s e e m e d s o c o n n e c t e d a n d r e l e v a n t . T h i s s e e m e d t o m e t o b e u s e f u l i n c r e a t i n g n e w c a t e g o r i e s , i m a g e s , a n d l a n g u a g e f o r t h i n k i n g a b o u t w h a t i s d e m a n d e d o f t e a c h e r s w h o a r e t r y i n g t o m a k e f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n t h e i r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g p r a c t i c e . M e t a p h o r s a r e u s e f u l t o o l s i n n a r r a t i v e i n q u i r y ( C o n n e l l y 8 : C l a n d i n i n , 1 9 9 0 ) . A b r a h a m s ( 1 9 7 2 ) , a f o l k l o r i s t , d e fi n e s m e t a p h o r a s , A p r o d u c t o f m a n ’ s d e s i r e t o m a k e a w h o l e o u t o f p a r t s , e s p e c i a l l y w h e n t h o s e p a r t s h a v e t h e a p p e a r a n c e o f d i s c o n t i n u i t y a n d t h e r e f o r e p o t e n t i a l c h a o s . M e t a p h o r b y d e f i n i t i o n d o e s e x a c t l y t h i s , b r i n g i n g t o g e t h e r t h i n g s f r o m d i f f e r e n t a n d a p p a r e n t l y i r r e c o n c i l a b l e r e a l m s , i n s u c h a w a y t h a t w e a r e f o r c e d t o r e c o g n i z e t h e i r e s s e n t i a l s a m e n e s s . M e t a p h o r i s a s p e c i a l k i n d o f s t y l i z a t i o n , f o r i t a r t i fi c i a l l y a c c e n t u a t e s c e r t a i n c o n g r u e n t f e a t u r e s o f t h i n g s b e i n g c o m p a r e d . ( p . 7 9 ) G l a s e r a n d S t r a u s s ( 1 9 6 7 ) n o t e t h a t , " t h e s e a r c h f o r c o m p a r i s o n s , i n v o l v i n g t h e d i s c o v e r y o f u s e f u l c o m p a r i s o n g r o u p s , w a s e s s e n t i a l t o t h e g e n e r a t i o n o f t h e o r y " ( p . 1 7 0 ) . T h e m e t a p h o r s I h a v e u s e d h a v e b e e n i n v a l u a b l e t o o l s i n h e l p i n g m e u n d e r s t a n d a n d c o m m u n i c a t e m y i d e a s t o o t h e r s . L a k o f f a n d J o h n s o n ( 1 9 8 0 ) w r i t e , A l a r g e p a r t o f s e l f - u n d e r s t a n d i n g i s t h e s e a r c h f o r a p p r o p r i a t e p e r s o n a l m e t a p h o r s t h a t m a k e s e n s e o f o u r l i v e s . S e l f - u n d e r s t a n d i n g r e q u i r e s 7 8 - u n e n d i n g n e g o t i a t i o n a n d r e n e g o t i a t i o n o f t h e m e a n i n g o f y o u r e x p e r i e n c e s t o y o u r s e l f . ( p . 2 3 3 ) W h a t T h e m e t a p h o r s I e v e n t u a l l y u s e d a s t o o l s o f m y a n a l y s i s w e r e c h o s e n f r o m a w i d e v a r i e t y o f r e a d i n g I d i d i n t h e c o u r s e o f d o i n g t h i s s t u d y . G l a s e r a n d S t r a u s s ( 1 9 6 7 ) , i n w r i t i n g a b o u t q u a l i t a t i v e m e t h o d s , r e c o m m e n d l o o k i n g f o r a n d r e a d i n g a n y t h i n g y o u t h i n k b e a r s o n t h e a r e a s y o u a r e s t u d y i n g . B o g d a n a n d B i l k e n ( 1 9 8 2 ) w r i t e a b o u t t h e i m p o r t a n c e o f r e a d i n g w i d e l y t o s e e ” h o w a u t h o r s p r e s e n t d a t a , h o w t h e y c o n s t r u c t t h e i r a r g u m e n t s , h o w t h e y a r r a n g e t h e i r s e n t e n c e s , h o w t h e y o r g a n i z e t h e i r f o r m a t ” ( p . 1 8 2 ) . I r e a d w i d e l y i n fi e l d s t h a t s e e m e d r e l e v a n t , fi e l d s b o t h i n s i d e a n d o u t s i d e o f t r a d i t i o n a l a c a d e m i c r e s e a r c h . I w a s c u r i o u s a b o u t o t h e r ’ s i d e a s o n m e t h o d s o f r e p r e s e n t i n g e x p e r i e n c e a n d o t h e r s ’ w r i t t e n r e p r e s e n t a t i o n s o f e x p e r i e n c e . F o r c o n s i d e r i n g w a y s o f r e p r e s e n t i n g e x p e r i e n c e , I r e a d t h e w o r k o f p e o p l e w h o h a v e t h o u g h t e x t e n s i v e l y a b o u t n a r r a t i v e a n d n a r r a t i v e w a y s o f k n o w i n g w i t h i n e d u c a t i o n a l r e s e a r c h ( B r u n e r , 1 9 8 5 , 1 9 9 0 ; C a r t e r , 1 9 9 3 ; C o n n e l l y 8 : C l a n d i n i n , 1 9 9 0 ) . I a l s o r e a d a b o u t t h e t r a d i t i o n o f a u t o b i o g r a p h y ( B u c k l e y , 1 9 8 4 ; R o s e n ; 1 9 8 8 ) a n d t h e c h a l l e n g e s o f w r i t i n g a b o u t o n e ’ s o w n e x p e r i e n c e s ( L y o n s , 1 9 8 4 ; Z i n s s e r , 1 9 8 7 ) . I a l s o r e a d m a n y r e p r e s e n t a t i o n s o f e x p e r i e n c e . I n a d d i t i o n t o t h e a u t o b i o g r a p h i e s o f t e a c h e r s , s o m e o f w h i c h I l i s t e d i n C h a p t e r 1 , I r e a d a u t o b i o g r a p h i c a l c l a s s i c s l i k e , T h e E d u c a t i o n o f H e n r y A d a m s ( A d a m s , 1 9 7 1 / 1 9 1 8 ) , T h e N a r r a t i v e o f t h e L i f e o f F r e d e r i c k D o u g l a s s , ( D o u g l a s s , 1 9 6 8 / 1 8 4 5 ) , a n d T h e S o u l s o f B l a c k F o l k s ( D u B o i s , 1 9 9 0 / 1 9 0 3 ) , a s w e l l a s t w o d i f f e r e n t c o l l e c t i o n s o f a u t o b i o g r a p h i e s o f A m e r i c a n w o m e n ( C o n w a y , 1 9 9 2 ; C u l l e y , 1 9 9 2 ) . T h e s e w e r e a l l d i f f e r e n t a n d c o m p l e m e n t a r y e x a m p l e s o f p e o p l e t r y i n g t o m a k e s e n s e o f t h e i r o w n l i v e s . 7 9 I a l s o r e a d , s p e c i fi c a l l y , t o e x a m i n e w a y s p e o p l e h a v e r e p r e s e n t e d e x p e r i e n c e s : a u t o b i o g r a p h i c a l a c c o u n t s o f p e o p l e l e a r n i n g s p e c i fi c p r a c t i c e s o r w r i t i n g a b o u t t h e p r a c t i c e s o f o t h e r s . T h e n a t u r e o f t h e e x p e r i e n c e s v a r i e d g r e a t l y a n d I p u s h e d m y s e l f , w h e n i t s e e m e d r e a s o n a b l e , t o d r a w c o m p a r i s o n s a n d c o n t r a s t s t o t e a c h i n g . F o r e x a m p l e , I r e a d a b o u t l e a r n i n g t o d o t h e w o r k o f a r t i s t s ( H a l p e r n , 1 9 8 8 ) , w r i t e r s ( P l i m p t o n , 1 9 8 4 ; S t e i n b e c k , 1 9 9 0 ; S t e m b e r g , 1 9 9 1 ) , t e n n i s p l a y e r s ( G a l l w e y , 1 9 7 4 ) , s k i e r s ( G a l l w e y , 1 9 7 7 ) , a u t o m o b i l e m e c h a n i c s ( H a r p e r , 1 9 8 7 ) , t h e m o t h e r o f a h a n d i c a p p e d c h i l d ( F e a t h e r s t o n e , 1 9 8 0 ) , r i v e r b o a t p i l o t s ( M e r r i c k , 1 9 8 7 ; T w a i n , 1 9 9 0 / 1 8 8 3 ) , j a z z m u s i c i a n s ( D e a n , 1 9 8 9 ; M a c k 1 9 7 0 ; M e h e g a n , 1 9 5 9 ; S t o r m e n , 1 9 5 5 ; S u d n o w , 1 9 7 8 ) , a n d i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e r s ( B l o m 8 : C h a p l i n , 1 9 8 8 ; N o v a c k , 1 9 9 0 ) . M a n y o f t h e s e w o r k s o f f e r e d m e c o m p a r a t i v e a n d c o n t r a s t i n g i m a g e s o f a p r a c t i c e o r l e a r n i n g a p r a c t i c e t h a t w e r e u s e f u l i n t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g a n d w h a t i t w a s t h a t I w a s l e a r n i n g t o d o . F r o m t h i s a r r a y o f r e p r e s e n t a t i o n s o f e x p e r i e n c e , I c h o s e t h r e e m e t a p h o r s w h i c h c a p t i v a t e d m y i n t e r e s t a n d a r o u n d w h i c h I f o c u s e d t h e a n a l y s i s o f m y l e a r n i n g . O n e w a s T w a i n ’ s ( 1 9 9 0 / 1 8 8 3 ) a c c o u n t o f l e a r n i n g t o b e a r i v e r b o a t p i l o t , a n o t h e r w a s S u d n o w ’ s ( 1 9 7 8 ) w o r k o n l e a r n i n g t o p l a y i m p r o v i s a t i o n a l j a z z , a n d a t h i r d w a s N o v a c k ’ s ( 1 9 9 0 ) a n d B l o m ’ s a n d C h a p l i n ’ s ( 1 9 8 8 ) w o r k o n l e a r n i n g t o d o i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e . L e a r n i n g t o p i l o t a r i v e r b o a t , i m p r o v i s e j a z z , o r d o i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e w i t h o t h e r s a r e a l l o n t h e s u r f a c e v e r y d i f f e r e n t a c t i v i t i e s . W h a t I h a v e f o u n d i s t h a t t h e k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g d e m a n d e d b y t h e p a r t i c i p a n t s i n e a c h s i t u a t i o n s t r o n g l y p a r a l l e l s a n d h i g h l i g h t s d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g d e m a n d e d o f m e i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . F i n d i n g e x a m p l e s o f o t h e r p e o p l e w r i t i n g a b o u t t h e i r o w n l e a r n i n g h e l p e d m e t o t h i n k a b o u t h o w i t w a s t h a t I w a n t e d t o w r i t e a b o u t m y o w n l e a r n i n g - - b o t h w h a t I w a n t e d t o s a y a n d h o w I w a n t e d t o s a y i t . T h e s t r e n g t h o f t h e s e 8 0 p i e c e s o f t e x t i s t h a t t h e y a r e a u t o b i o g r a p h i c a l a c c o u n t s o f l e a r n i n g a n d t h e n a t u r e o f t h e w o r k t h e s e a u t h o r s a r e t r y i n g t o l e a r n t o d o h a s n o t a b l e c o n n e c t i o n s t o t h e k i n d o f t e a c h i n g I w a s a i m i n g t o l e a r n t o d o . ” W e n e e d a l a n g u a g e t h a t w i l l p e r m i t u s t o t a l k a b o u t o u r s e l v e s i n s i t u a t i o n s a n d t h a t w i l l a l s o l e t u s t e l l s t o r i e s o f o u r e x p e r i e n c e s ” ( L a k o f f a n d J o h n s o n , 1 9 8 0 , p . 5 9 ) . T h e s e m e t a p h o r s h a v e g i v e n m e i m a g e s a n d a l a n g u a g e t o u n d e r s t a n d w h a t I w a s l e a r n i n g a n d c o m m u n i c a t e m y u n d e r s t a n d i n g s t o o t h e r s . N o s i n g l e m e t a p h o r c a p t u r e s a l l t h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . N o s i n g l e r e p r e s e n t a t i o n i s s u f fi c i e n t . T a k e n t o g e t h e r , t h e s e t h r e e m e t a p h o r s o f f e r a r i c h p i c t u r e o f t h e c o m p l e x i t y o f t h e w o r k a n d d e m a n d s o f l e a r n i n g t o d o t h e w o r k o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . W T h e fi r s t m e t a p h o r I f o u n d c o m e s f r o m M a r k T w a i n ’ s ( 1 8 8 3 / 1 9 9 0 ) e x p e r i e n c e s l e a r n i n g t o b e a r i v e r b o a t o n t h e M i s s i s s i p p i R i v e r . T w a i n ’ s e x p e r i e n c e s l e a r n i n g t o n a v i g a t e p a r a l l e l m y b e g i n n i n g a d v e n t u r e s m a k i n g c h a n g e s i n m y p r a c t i c e . N a i v e p r e c o n c e p t i o n s o f t h e w o r k , c o n t i n u a l s t r u g g l e s w i t h l e a r n i n g t o d o t h e w o r k , a n d i n s i g h t i n t o w h a t o n e n e e d s t o k n o w t o b e a b l e t o n a v i g a t e a r e t h e m e s f o u n d t h r o u g h o u t T w a i n ’ s s t o r y a s w e l l a s m y o w n . T w a i n w r i t e s , I s u p p o s e d t h a t a l l a p i l o t h a d t o d o w a s t o k e e p h i s b o a t i n t h e r i v e r , a n d I d i d n o t c o n s i d e r t h a t t h a t c o u l d b e m u c h o f a t r i c k , s i n c e i t w a s s o w i d e . ( p - 3 8 ) I t d i d n o t t a k e M a r k T w a i n l o n g t o r e a l i z e t h a t l e a r n i n g t o b e a r i v e r b o a t p i l o t w a s n o t m e r e l y a m a t t e r o f l e a r n i n g t o k e e p t h e b o a t a fl o a t o n w h a t l o o k e d f r o m t h e s h o r e t o b e a p r e d i c t a b l y w i d e b o d y o f w a t e r . O n t h e M i s s i s s i p p i R i v e r , f r o m b e h i n d t h e w h e e l o f t h e b o a t , T w a i n c a m e t o h a v e a d i f f e r e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e w o r k . H e s a w c o m p l e x i t i e s i n n a v i g a t i n g t h e r i v e r a n d l e a r n i n g t o b e a 8 1 r i v e r b o a t p i l o t t h a t h e n e v e r e n v i s i o n e d f r o m t h e s h o r e . T h e e v e r - c h a n g i n g r i v e r a n d t h e s o r t o f u n d e r s t a n d i n g n e e d e d t o n a v i g a t e i t r e q u i r e d h i s c o n t i n u a l a t t e n t i o n . I w a s i n t r i g u e d b y T w a i n ' s c o n c e p t i o n o f w h a t i t m e a n t t o p i l o t a r i v e r b o a t p r i o r t o t r y i n g i t h i m s e l f . H i s s i m p l e v i e w o f t h e w o r k f r o m t h e s h o r e s e e m e d c o m p a r a b l e t o t h e s i m p l i c i t y a n d e a s e w i t h w h i c h t h e i d e a o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s w r i t t e n a n d t a l k e d a b o u t t h r o u g h t h e e y e s o f m a n y a d v o c a t e s o f t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T w a i n ' s l e a r n i n g e x p e r i e n c e s f r o m b e h i n d t h e w h e e l o f t h e r i v e r b o a t q u i c k l y a l t e r e d h i s p e r c e p t i o n s o f t h e w o r k a n d h i s r o l e . W h a t d o e s l e a r n i n g t o p i l o t a r i v e r b o a t h a v e t o d o w i t h m y l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? H o w d o e s t h e w o r k o f n a v i g a t i n g a r i v e r b o a t p a r a l l e l t h e w o r k o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g o n a d a i l y b a s i s w i t h f o u r t h g r a d e r s ? W h a t c o n n e c t i o n s c a n b e d r a w n b e t w e e n w h a t i s d e m a n d e d o f T w a i n i n l e a r n i n g t o n a v i g a t e t h e r i v e r a n d w h a t i t i s t h a t I a m l e a r n i n g i s d e m a n d e d o f m e i n m y e f f o r t s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? I n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , w h a t i s t h e r i v e r ? W h a t i s t h e b o a t ? W h a t i s t h e s h o r e ? W h a t i s i t t h a t I a m l e a r n i n g t o n a v i g a t e ? W h a t d o e s i t m e a n f o r T w a i n t o l e a r n t h e r i v e r ? W h a t i s t h e n a t u r e o f t h e k n o w l e d g e h e i s t r y i n g t o l e a r n t o n a v i g a t e ? T h e s e a r e t h e m a n y o f t h e q u e s t i o n s I c o n s i d e r a s I d r a w c o n n e c t i o n s b e t w e e n T w a i n ’ s e x p e r i e n c e s a n d m y o w n i n t w o c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g , C h a p t e r 4 a n d C h a p t e r 7 . I s a r m ‘ n g t n l m t m m i s e I n C h a p t e r 5 , t h e s e c o n d c h a p t e r o n m y t e a c h i n g , I m o v e a w a y f r o m T w a i n a n d m a k e u s e o f a m e t a p h o r g e n e r a t e d f r o m S u d n o w ’ s ( 1 9 7 8 ) d e t a i l e d a c c o u n t o f l e a r n i n g t o i m p r o v i s e j a z z . W h a t I s e e m e d t o b e l e a r n i n g i n t h i s e p i s o d e o f t e a c h i n g h a d s o m e t h i n g t o d o w i t h u n d e r s t a n d i n g w h a t i t w a s l i k e t o b e c o n n e c t e d t o t h e w o r k o f t e a c h i n g . T o c r e a t e a n i m a g e o f w h a t i t f e e l s l i k e t o t . 8 2 t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d w h a t i t m i g h t m e a n t o l e a r n t o b e a t a p o i n t i n t e a c h i n g w h e r e y o u h a v e t h e ” f e e l ” o f i t , I d r a w o n D a v i d S u d n o w ’ s a c c o u n t o f h i s o w n l e a r n i n g t o p l a y i m p r o v i s a t i o n a l j a z z . T h e p a r a l l e l I f i n d i n h i s s t o r y a n d m i n e h a s t o d o w i t h w h a t w e a r e b o t h l e a r n i n g a b o u t w h a t i s d e m a n d e d i n i m p r o v i s a t i o n — a n a c u t e s e n s e o f h e a r i n g , a b i l i t y t o a c t i n t h e m o m e n t , a n d a r e p e r t o i r e o f p o s s i b l e p a t h w a y s t o t a k e d e p e n d i n g o n t h e m u s i c t h a t c a m e b e f o r e a n d o n e ’ s s e n s e f o r w h e r e o n e i s h e a d e d . W m I n C h a p t e r 6 , t h e t h i r d c h a p t e r o n m y t e a c h i n g , t h e e m p h a s i s m o v e s f r o m a f o c u s o n t h e d i s c o v e r y o f a m o m e n t o f i m p r o v i s a t i o n i n t e a c h i n g t o t r y i n g t o u n d e r s t a n d t h e i n t e r a c t i o n s t h a t o c c u r w i t h i n s u c h m o m e n t s a n d w h a t m u s t b e l e a r n e d t o c o n s t r u c t a n d m a i n t a i n o r s u s t a i n c o n s t r u c t i v e i n t e r a c t i o n s . S e v e r a l b o o k s o n i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e N o v a c k ( 1 9 9 0 ) a n d B l o m a n d C h a p l i n ( 1 9 8 8 ) h a v e b e e n h e l p f u l i n p u s h i n g m y t h i n k i n g a b o u t w h a t t e a c h e r - s t u d e n t a n d s t u d e n t - s t u d e n t i n t e r a c t i o n s e n t a i l a n d w h a t i s r e q u i r e d o f t h e p a r t i c i p a n t s . I n t h e c o n t e x t o f t h e i m a g e o f i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e , t h e s e n s o r y n a t u r e o f t e a c h i n g i s v i v i d , t h e c o n s t a n t n e e d t o g e t a ” f e e l ” f o r t h e s i t u a t i o n i s p r o m i n e n t , a n d t h e n e e d o f t h e p a r t i c i p a n t s t o b e r e s p o n s i v e i s e v e r p r e s e n t . A n d , a s i n j a z z , d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t a r e m a d e i n t h e m o m e n t o f m o v e m e n t . m m M y u s e o f t h e s e m e t a p h o r s t h r o u g h o u t t h e t e x t w a s m u c h m o r e p r o m i n e n t i n e a r l i e r d r a f t s t h a n w h a t y o u s e e i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . A s I c o n t e m p l a t e d l i g h t e n i n g t h e i r u s e a n d m a k i n g t h e i r c o n n e c t i o n t o m y w o r k b e c o m e e x p l i c i t l y p a r t o f w h a t I l e a r n e d , I b e g a n t o s e e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n u s i n g m e t a p h o r s a s t o o l s f o r m y u n d e r s t a n d i n g a n d h o w t h a t m i g h t b e d i f f e r e n t t h a n u s i n g t h e m a s t o o l s t o c o m m u n i c a t e m y u n d e r s t a n d i n g s t o s o m e o n e e l s e . S h i f t i n g t h e m e t a p h o r s f r o m t h e i r u s e t h r o u g h o u t t h e e n t i r e t e x t o f a c h a p t e r t o t h e s e c o n d 8 3 h a l f , t o b e c o m e p a r t o f w h a t I h a d l e a r n e d f r o m a p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r , s t r e n g t h e n e d m y o w n v o i c e t h r o u g h o u t t h e e n t i r e c h a p t e r . C o n n e l l y a n d C l a n d i n i n ( 1 9 8 8 ) o f f e r s o m e i n s i g h t i n t o w h a t h a p p e n e d a s I r e c o g n i z e d m e t a p h o r s a s a t o o l i n m y o w n l e a r n i n g . S h i f t i n g t h e m e t a p h o r s f r o m d o m i n a t i n g m y w o r k t o a m u c h q u i e t e r p l a c e i n t h e b a c k g r o u n d o f m y v o i c e m a k e s s e n s e . U s i n g m e t a p h o r s , C o n n e l l y a n d C l a n d i n i n p r e d i c t , ” w i l l p r o b a b l y l e a d y o u b a c k t o y o u r i m a g e s , p r i n c i p l e s , a n d r u l e s a n d m a y g i v e y o u n e w i n s i g h t i n t o y o u r p e r s o n a l p h i l o s o p h y ” ( p . 7 5 ) . T h e m e t a p h o r s p l a y e d a m a j o r r o l e i n h e l p i n g m e fi g u r e o u t w h a t I t h o u g h t a n d a l e s s e r r o l e , o v e r t i m e , i n c o m m u n i c a t i n g m y i d e a s t o o t h e r s . T h e r o l e o f m e t a p h o r s t h r o u g h o u t t h i s t e x t i s a n o t h e r e x a m p l e o f u s i n g a n d a l t e r i n g t h e r o l e o f o t h e r p e o p l e ' s v o i c e s a s a m e a n s o f s t r e n g t h e n i n g m y o w n . W T h i s s e c t i o n i s a b o u t t h e d i f fi c u l t i e s , c h a l l e n g e s , a n d c h o i c e s I c o n f r o n t e d i n d o i n g a n a l y s i s — w r i t i n g t h e c h r o n o l o g i e s , c o n s t r u c t i n g t h e n a r r a t i v e s , a n d fi g u r i n g o u t w h a t I w a s l e a r n i n g b y u s i n g m e t a p h o r s — i n e a c h o f t h e f o u r c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g . R a t h e r t h a n d e s c r i b e t h e w r i t i n g o f e a c h o f t h e c h a p t e r s , I t e l l o f m y e x p e r i e n c e s w i t h o n e o f t h o s e c h a p t e r s , C h a p t e r 5 , w h a t I i d e n t i fi e d a s t h e fi r s t m o m e n t o f t e a c h i n g . W h a t t h i s s t o r y a l s o s h o w s i s h o w a m a j o r s o u r c e o f k n o w l e d g e a b o u t m y m e t h o d c a m e f r o m m y o w n i n t u i t i o n s a b o u t w h e n t o d o w h a t a n d w h a t t o d o n e x t . H a m m e r s l e y a n d A t k i n s o n ( 1 9 8 9 ) c a l l t h i s ” c o m m o n s e n s e k n o w l e d g e ” ( p . 1 7 ) , w h i l e G l a s e r a n d S t r a u s s ( 1 9 6 7 ) r e f e r t o i n s i g h t a s a s o u r c e o f t h e o r y , ” T h e r o o t s o u r c e s o f a l l s i g n i f i c a n t t h e o r i z i n g i s t h e s e n s i t i v e i n s i g h t s o f t h e o b s e r v e r h i m s e l f ” ( p . 2 5 1 ) . O v e r t i m e , m a i n l y t h r o u g h c h e c k i n g o u t t h e r e a s o n a b l e n e s s o f m y i d e a s w i t h o t h e r s , I l e a r n e d t o t r u s t m y o w n i n s i g h t s a n d i n t u i t i o n s . P ' f ? N e a r l y t h r e e w e e k s i n t o s c h o o l a n d t h e r e h a d b e e n r e a l l y o n l y o n e f e l t m o m e n t o f t e a c h i n g . I t s e e m e d w o r t h t r y i n g t o u n d e r s t a n d w h y t h i s m o m e n t o n S e p t e m b e r 2 1 w a s d i f f e r e n t f r o m t h e r e s t . I n m y m e m o r y , I h a d r e c o l l e c t e d t h e m o m e n t a s a n ” a h a ” i n t e a c h i n g . M a g g i e ’ s o b s e r v a t i o n n o t e s f r o m t h a t d a y a n d a t a p e r e c o r d e d c o n v e r s a t i o n w i t h J i m a f e w d a y s l a t e r c o n fi r m e d m y r e c o l l e c t i o n s . T h e r e w a s s o m e t h i n g n o t a b l e a b o u t t h i s m o m e n t i n t e a c h i n g . I t s e e m e d p a r t i c u l a r l y n o t e w o r t h y a f t e r t h e f r u s t r a t i o n s o f t h e d a y b e f o r e , S e p t e m b e r 2 0 , w h i c h I h a d w r i t t e n a b o u t i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , C h a p t e r 4 . I t h o u g h t f o c u s i n g o n t h e n e x t d a y , w h i c h h a d b e e n a s g o o d a s t h e d a y b e f o r e h a d b e e n b a d , w o u l d p r o v i d e a n i n t e r e s t i n g c o n t r a s t t o t h e d a y b e f o r e a n d a u s e f u l s i t e f o r e x a m i n i n g m y l e a r n i n g . I p r o c e e d e d t o t r a n s c r i b e t h e t a p e . I m a d e u s e o f M a g g i e ’ s o b s e r v a t i o n n o t e s t o g u i d e m e t o t h e i n t e r a c t i o n w h e r e t h i s m o m e n t b e g a n . I l i s t e n e d t o i t o v e r a n d o v e r a g a i n w h i l e m a k i n g n o t e s o n t h e t r a n s c r i p t . I t s t r u c k m e t h a t t h e f e e l i n g i n t h i s m o m e n t o f b e i n g c o n n e c t e d t o t e a c h i n g i n a w a y t h a t I h a d n o t p r e v i o u s l y e x p e r i e n c e d w a s s i m i l a r t o w h a t I h a d r e a d a b o u t i n S u d n o w ’ s ( 1 9 7 8 ) b o o k a b o u t h i s e x p e r i e n c e s l e a r n i n g t o i m p r o v i s e j a z z . I m a d e t h e d e c i s i o n t o t r y t o u s e S u d n o w ’ s e x p e r i e n c e s t o f r a m e a s t o r y o f m y o w n a r o u n d t h i s m o m e n t i n t e a c h i n g . I n o n e o f m y e a r l i e s t d r a f t s , I b e g a n w i t h a q u o t e f r o m S u d n o w i n w h i c h h e t a l k s a b o u t W h a t i t f e l t l i k e t o i m p r o v i s e . M y p l a n w a s t o d r a w p a r a l l e l s t o S u d n o w ’ s e x p e r i e n c e b y w r i t i n g a b o u t w h a t t h a t m o m e n t f e l t l i k e t o m e w h e n t h i n g s c a m e t o g e t h e r i n t e a c h i n g . I w e n t t o m y j o u r n a l a s t h i s w a s t h e b e s t s o u r c e o f d a t a f o r h o w I w a s f e e l i n g a t t h e t i m e . I t w a s o f t e n w h a t I w r o t e a b o u t , p a r t i c u l a r l y i n t h o s e fi r s t f e w w e e k s o f s c h o o l . I n l o o k i n g b a c k o v e r m y t e a c h i n g j o u r n a l f r o m t h i s d a y o f t e a c h i n g , i t b e c a m e c l e a r t o m e t h a t t h e w a y I w a s h o l d i n g t h i s m o m e n t i n m y m e m o r y d i d n o t q u i t e fi t t h e w a y i t h a d o c c u r r e d . T h e m o m e n t w a s m i n e , a l l r i g h t , b u t t h e 8 5 i n i t i a l r e c o g n i t i o n o f i t w a s n o t . I n m y j o u r n a l I s a w m y m u s i n g s a b o u t M a g g i e ’ s q u e s t i o n f r o m h e r o b s e r v a t i o n n o t e s a b o u t w h e t h e r o r n o t a t a p a r t i c u l a r m o m e n t I h a d g o t t e n s o m e ” b r i g h t i d e a . ” I a l s o s a w m y o w n n o t e s f r o m l i s t e n i n g t o t h e a u d i o t a p e o f t h e l e s s o n . G i v e n t h e p l a c e m e n t o f m y n o t e s i n m y j o u r n a l , I a s s u m e t h i s w a s s o m e t h i n g I d i d b e f o r e t h e n e x t d a y ’ s m a t h c l a s s . W h a t a l l o f t h i s m e a n t t o m e w a s t h a t t h i s m o m e n t w a s s o m e t h i n g M a g g i e n o t i c e d a t t h e t i m e , n o t m e . I w a s d e e p l y d i s a p p o i n t e d . H o w c o u l d I w r i t e a b o u t t h i s a s a m o m e n t o f i m p r o v i s a t i o n ? I t w a s n o t a n y t h i n g I r e c o g n i z e d a t t h e t i m e . W i t h t h i s n e w d i s c o v e r y , t h e s t o r y I t h o u g h t w a s h e r e h a d j u s t s l i p p e d a w a y . T h e e v e n t s w e r e s t i l l t h e r e b u t t h e p o i n t w a s g o i n g . C a r t e r ( 1 9 9 3 ) n o t e s t h e p h e n o m e n o n o f c o n s t r u c t i n g s t o r i e s f r o m e v e n t s , S t o r i e s a r e n o t m e r e l y r a w d a t a f r o m w h i c h t o c o n s t r u c t i n t e r p r e t a t i o n s b u t p r o d u c t s o f a f u n d a m e n t a l l y i n t e r p r e t i v e p r o c e s s t h a t i s s h a p e d b y t h e m o r a l i s t i c i m p u l s e s o f t h e a u t h o r a n d m a n y n a r r a t i v e f o r c e s a n d r e q u i r e m e n t s . ( p . 9 ) I f I w e r e g o i n g t o t r y t o m a k e u s e o f t h i s d a y o f t e a c h i n g , I n e e d e d t o c r e a t e a n e w p l o t . A f t e r m a n y c o n v e r s a t i o n s w i t h M a g g i e , I d e c i d e d t h a t I c o u l d s t i l l w r i t e a b o u t t h i s m o m e n t . I t c o u l d s t i l l b e m y m o m e n t , a n ” a h a ” i n m y t e a c h i n g , e v e n i f s h e h a d b e e n t h e o n e t o h e l p m e s e e i t . T h e p o i n t w a s t h a t i n t h i s m o m e n t , r e g a r d l e s s o f w h o n o t i c e d i t , I w a s c o n n e c t e d t o t e a c h i n g i n w a y s I h a d n o t b e e n b e f o r e . A p a r t o f m e w a s s t i l l d i s a p p o i n t e d b e c a u s e S u d n o w ’ s e x p e r i e n c e s , w h e n I t h o u g h t t h i s w a s a m o m e n t I h a d n o t i c e d , s e e m e d s o p e r f e c t f o r e x p l a i n i n g w h a t w a s h a p p e n i n g t o m e . W i t h t h i s n e w d i s c o v e r y o f t h e e v e n t s , I w o r r i e d t h a t S u d n o w m i g h t n o t b e s o u s e f u l i n h e l p i n g m e u n d e r s t a n d w h a t w a s h a p p e n i n g . 8 6 W W B e f o r e g i v i n g u p o n d r a w i n g c o n n e c t i o n s t o S u d n o w ’ s e x p e r i e n c e s , I d e c i d e d t o g o b a c k a n d r e r e a d t h e t e x t . M a y b e t h e ” a h a ” w a s t h a t I w a s n o w a b l e t o s e e t e a c h i n g a s i m p r o v i s a t i o n , t h u s m a k i n g a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m e t a p h o r ’ s r e l a t i o n s h i p t o t e a c h i n g p a r t o f w h a t I w a s l e a r n i n g . I m p r o v i s a t i o n w a s n o t a w a y t h a t I w o u l d h a v e d e s c r i b e d t e a c h i n g b a c k t h e n . I t w a s a w a y I c o u l d s e e t o m a k e s e n s e o f i t , n o w . I n r e r e a d i n g S u d n o w ’ s b o o k , I t r i e d t o l e a v e m y s e l f o p e n t o u n d e r s t a n d i n g h i s e x p e r i e n c e s d i f f e r e n t l y i n r e l a t i o n t o m i n e n o w t h a t I h a d a n e w s e n s e o f m y e x p e r i e n c e s . O r i g i n a l l y , I h a d t r i e d t o s e e m y s e l f a s S u d n o w , t h e l e a r n e r . T h i s t i m e , I m a d e a c o n n e c t i o n b e t w e e n m y s e l f a n d S u d n o w ’ s t e a c h e r . I c a m e a c r o s s a p a s s a g e w h e r e S u d n o w r e c o l l e c t e d e x p e r i e n c e s w a t c h i n g h i s i n s t r u c t o r p l a y j a z z . S u d n o w w r o t e , I w o u l d a s k , ' w h a t w a s t h a t ? ’ H e w o u l d s a y ' w h a t w a s w h a t ? ‘ I s a i d ' t h a t l i t t l e t h i n g y o u j u s t d i d o v e r t h e G m i n o r c h o r d t h e r e . ’ N o w a c h a r a c t e r i s t i c ' t r o u b l e ' o c c u r r e d , w h o s e s i g n i f i c a n c e I d i d n o t a p p r e c i a t e a t t h e t i m e a n d f o r s e v e r a l y e a r s . I w o u l d s a y , ' t h a t l i t t l e t h i n g y o u j u s t d i d o n t h e G m i n o r c h o r d , ’ a n d h e w o u l d h a v e a h a r d t i m e fi n d i n g w h a t h e h a d ' j u s t d o n e . ‘ H e w o u l d a t t i m e s f r a n k l y s a y , ' I ' m n o t f o l l o w i n g r u l e s s o I d o n ' t r e a l l y k n o w w h a t I j u s t d i d ' ( a n d o n o t h e r o c c a s i o n s a d m i t , ' I j u s t i m p r o v i s e , I r e a l l y c a n n o t t e l l y o u h o w , y o u h a v e t o h a v e a f e e l f o r i t ' ) . ( p . 2 5 ) T h e f a c t t h a t I h a d n o t n o t i c e d t h i s m o m e n t w h e n i t o c c u r r e d m a y a c t u a l l y b e e v i d e n c e t o s t r e n g t h e n m y c l a i m t h a t w h a t I e x p e r i e n c e d w a s a n i m p r o v i s e d m o m e n t i n t e a c h i n g . W h a t t h e d i s c o v e r y d i d w a s r e s h a p e h o w I t h o u g h t a b o u t u s i n g t h e m e t a p h o r . I n t h i s m o m e n t , i t m a d e m o r e s e n s e t o c o n n e c t m y s e l f w i t h S u d n o w ’ s t e a c h e r , s o m e o n e w h o k n e w h o w t o i m p r o v i s e , r a t h e r t h a n S u d n o w , t h e l e a r n e r . F o r a m o m e n t , l i k e S u d n o w ’ s t e a c h e r , I h a d m a s t e r e d t h e a r t . 8 7 S l o w l y , I w a s c o n s t r u c t i n g t h e s t o r y I w o u l d t e l l a n d t h e a n a l y s i s I w o u l d d o o n m y l e a r n i n g . T h e p o i n t w a s t o t e l l t h e s t o r y i n a w a y t h a t m a d e t h i s m o m e n t l o o k d i f f e r e n t t h a n t h e o t h e r s b u t n o t i d e n t i f y i t a s a m o m e n t o f i m p r o v i s a t i o n u n t i l t h e s e c o n d h a l f o f t h e c h a p t e r . T h e a n a l y s i s w o u l d e x p l a i n t h e m o m e n t b y t r y i n g t o u n d e r s t a n d w h a t i t w a s t h a t M a g g i e m i g h t h a v e n o t i c e d t o s e e t h i s a s a m o m e n t o f i m p r o v i s a t i o n . I n d o i n g s o , I w o u l d d r a w o n i m a g e s a n d l a n g u a g e a s s o c i a t e d w i t h l e a r n i n g t o i m p r o v i s e j a z z . m m I f w h a t w a s h a p p e n i n g w a s t h a t I w a s l e a r n i n g w h a t i m p r o v i s a t i o n m e a n t i n t e a c h i n g , w h a t w a s i t t h a t I w a s l e a r n i n g ? I d i d s e v e r a l t h i n g s t o h e l p m y s e l f w i t h t h e a n a l y s i s . O n e t h i n g I d i d w a s t o l e a r n m o r e a b o u t w h a t w a s g o i n g o n i n t h i s l e s s o n m a t h e m a t i c a l l y . H o w d i d t h e a c t i v i t y I w a s d o i n g w i t h s t u d e n t s r e l a t e t o s o m e b i g g e r m a t h e m a t i c a l i d e a s ? I n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , I h a d fi g u r e d o u t t h a t h a v i n g a p u r p o s e i n m i n d w a s i m p o r t a n t . W h a t w a s t h e p u r p o s e h e r e ? A n o t h e r t h i n g I d i d w a s r e a d o t h e r b o o k s a b o u t l e a r n i n g t o p l a y i m p r o v i s a t i o n a l j a z z . D o i n g t h i s d i d t w o t h i n g s . O n e i s t h a t i t h e l p e d m e t o u n d e r s t a n d S u d n o w ’ s e x p e r i e n c e s b e t t e r . A n o t h e r t h i n g i t d i d w a s h e l p m e u n d e r s t a n d m y t e a c h i n g . O n c e I s a w t h a t t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n i m p r o v i s a t i o n a l j a z z a n d t e a c h i n g w a s r e a s o n a b l e , r e a d i n g b o o k s a b o u t j a z z w a s r e a l l y l i k e r e a d i n g b o o k s a b o u t t e a c h i n g . T h r o u g h t h i s , I g a i n e d s o m e i n s i g h t i n t o w h a t i t w a s t h a t I w a s l e a r n i n g w h e n I w a s a b l e t o s e e i m p r o v i s a t i o n a s a n i m p o r t a n t p a r t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I u s e d t h e m a k i n g o f a t a b l e o f c o n t e n t s f o r e a c h c h a p t e r a s a n a n a l y t i c t o o l . F o r e x a m p l e , f o r t h i s c h a p t e r , I t r i e d t o p h r a s e w h a t I w a s l e a r n i n g u s i n g l a n g u a g e f r o m i m a g e s o f i m p r o v i s a t i o n a l j a z z . 8 8 I W A N T T O S H O W Y O U S O M E T H I N G : T H E F I R S T M O M E N T O F T E A C H I N G I n t r o d u c t i o n P l a n n i n g t o T e a c h T h e M i n i c o m p u t e r T e a c h i n g T h e C o m p o s i t i o n o f F u n c t i o n s R e fl e c t i n g o n T e a c h i n g A N o t i c e d M o m e n t T h r e e Y e a r s L a t e r L e a r n i n g W h a t t o D o i n t h e M o m e n t L e a r n i n g t o H e a r t h e S i g n i fi c a n c e o f t h e M o m e n t L e a r n i n g t o C o n s t r u c t N e w P a t h w a y s L e a r n i n g t o F o r m N e w I n t e n t i o n s L e a r n i n g t o I m p r o v i s e F i g u r e 3 . 8 T a b l e o f c o n t e n t s f r o m C h a p t e r 5 T h i s t u r n e d o u t t o b e a n i n c r e d i b l y h e l p f u l d e v i c e f o r f o c u s i n g m y a n a l y s i s a n d p r o v i d i n g a v i v i d i m a g e f o r w h a t i t w a s t h a t I w a s l e a r n i n g . A s w i t h t h e o t h e r t o o l s I h a v e u s e d i n m y m e t h o d , t h i s w a y o f u s i n g a t a b l e c o n t e n t s i s n o t s o m e t h i n g I h a d d e fi n e d p r i o r t o w r i t i n g t e x t . I t d e v e l o p e d o u t o f m a n y d r a f t s o f t e x t i n w h i c h I t r i e d t o e x p r e s s m y i d e a s . I n t u r n , t h e t o o l t h e n b e c a m e a d e v i c e f o r h e l p i n g m e t o e x p r e s s m y i d e a s t o o t h e r s . D m s M y A n a l y s i s M a k e S e m e ? M y t e s t f o r w h e t h e r o r n o t I w a s s u c c e s s f u l i n c o m m u n i c a t i n g m y i d e a s t o o t h e r s c a m e t h r o u g h t h e m u l t i p l e r e a d i n g s t h a t I h a d v a r i o u s p e o p l e d o o f t h e t e x t . A s f a r a s t h e s t o r y o f m y t e a c h i n g , i t m a t t e r e d t o m e t h a t p e o p l e w h o r e a d i t c o u l d u n d e r s t a n d w h a t h a d o c c u r r e d a n d t h a t m y d e s c r i p t i o n o f w h a t h a d o c c u r r e d m a d e s e n s e t o t h e m . C o n n e l l y a n d C l a n d i n i n ( 1 9 9 0 ) n o t e t h a t , ” A p l a u s i b l e a c c o u n t i s o n e t h a t t e n d s t o r i n g t r u e ” ( p . 8 ) . A s f a r a s a c h e c k f o r t h e 8 9 a n a l y s i s , S c h a t z m a n a n d S t r a u s s ( 1 9 7 3 ) d i s c u s s s o m e t h i n g c a l l e d ” p h e n o m e n o n r e c o g n i t i o n ” ( p . 1 3 5 ) . I s t h e r e a d e r o f t h e t e x t a b l e t o u n d e r s t a n d w i t h n e w c l a r i t y w h a t t h e r e s e a r c h e r h a s a n a l y z e d ? ” D o e s t h e r e s e a r c h e r ’ s a n a l y s i s , w h i c h w a s p r o b a b l y b a s e d u p o n a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e o r f r a m e w o r k f r o m t h e i r s , a c t u a l l y h e l p t h e a u d i e n c e e x p l a i n — a l b e i t i n a n e w w a y - - t h e i r o w n e x p e r i e n c e s ? ” ( p . 1 3 5 ) . F o r a n y o n e w h o h a s r e a d e x c e r p t s o f m y w o r k , t h e i m a g e s o f f e r e d b y t h e m e t a p h o r s a n d t h e c o n n e c t i o n s d r a w n t o m y e x p e r i e n c e o f f e r n e w a n d r i c h i m a g e s a n d u n d e r s t a n d i n g s o f w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g d i f f e r e n t l y . C e n t i n u e d g a m i n g T h e r e a r e a t l e a s t t w o w a y s I c a n s e e t o e x t e n d t h i s s t u d y . O n e w o u l d b e t o r e v i s i t t h i s d a t a i n a n o t h e r f e w y e a r s . I h a v e n o d o u b t s t h a t I w o u l d b e a b l e t o l e a r n t h i n g s f r o m m y t e a c h i n g t h a t I h a v e b e e n u n a b l e t o s e e u p t o n o w . C o n n e l l y a n d C l a n d i n i n n o t e ( 1 9 9 0 ) , ” t h e n a r r a t i v e i n s i g h t s o f t o d a y a r e t h e c h r o n o l o g i c a l e v e n t s o f t o m o r r o w ” ( p . 9 ) . A n o t h e r w a y t o e x t e n d t h i s s t u d y i s t o s t e p b a c k a n d l o o k a t t h e i n t e r s e c t i o n o f m y m e t h o d o f i n q u i r y a n d w h a t I a m l e a r n i n g . B y t h i s I m e a n , w h a t h a v e I b e e n l e a r n i n g a b o u t l e a r n i n g t o t e a c h , a s a t e a c h e r , t h r o u g h t h e m e t h o d o f s t u d y i n g m y o w n t e a c h i n g ? A n d , h o w h a s m y w o r k a s a r e s e a r c h e r b e e n t r a n s f o r m e d t h r o u g h t h i s s t u d y o f t e a c h i n g ? I n a c o l l e c t i o n o f e s s a y s b y w r i t e r s o n a r t i s t s ( H a l p e r n , 1 9 8 8 ) , A l d o u s H u x l e y m a d e t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s a b o u t t h e l a y e r s o f i n s i g h t o n e c a n g l e a n f r o m a n a r t i s t ’ s w o r k a s h e w r o t e a b o u t t h e a r t w o r k o f E l G r e c o , A p i c t u r e a l w a y s e x p r e s s e s m o r e t h a n i s i m p l i c i t i n i t s s u b j e c t . E v e r y p a i n t e r w h o t e l l s a s t o r y , t e l l s i t i n h i s o w n m a n n e r , a n d t h a t m a n n e r t e l l s a n o t h e r s t o r y s u p e r i m p o s e d , a s i t w e r e , u p o n t h e fi r s t . ( p . 6 2 ) 9 0 M y d i s s e r t a t i o n i s a b o u t u n p a c k i n g l a y e r s o f l e a r n i n g f r o m m y o w n e x p e r i e n c e . W h i l e I h a v e u n e a r t h e d m o r e t h a n I e v e r t h o u g h t p o s s i b l e , t h e r e i s s t i l l m u c h l e f t t o b e l e a r n e d . R fl i n a r n i n a u a r n i n t T a h A d m i t t e d l y , t h e r e i s a c e r t a i n f r a g i l i t y t o a m e t h o d o f s t u d y i n g o n e ’ s o w n p r a c t i c e . O n e d a n g e r w i t h s u c h s e l f r e p o r t s i s t h a t t h e y a r e n o t a l w a y s v a l i d . T h i s i s w h e r e i t i s h e l p f u l t h a t t h e r e w e r e o t h e r s o b s e r v i n g i n m y c l a s s r o o m a n d I h a v e d o c u m e n t a t i o n o f w h a t t h e y o b s e r v e d . C h o o s i n g t o a n a l y z e m y o w n l e a r n i n g a s a t e a c h e r i s a b o u t a s c l o s e t o o r i n s i d e t h e p h e n o m e n o n o f l e a r n i n g t o t e a c h a s o n e c a n g e t - - a s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h f r o m a l e a r n i n g t e a c h e r ' s p e r s p e c t i v e . I t o f f e r s a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e t h a n w h a t s o m e o n e , o t h e r t h a n m e , m i g h t s e e w h o t r i e d t o e x a m i n e m y l e a r n i n g a n d w h a t I c o u l d s e e o r i n t e r p r e t i n a n o t h e r t e a c h e r ’ s e x p e r i e n c e s . M y s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h d i f f e r e n t l y o f f e r s a p e r s p e c t i v e o n e x p e r i e n c e r a r e l y f o u n d i n e d u c a t i o n a l s c h o l a r s h i p - l e a r n i n g f r o m t h e l e a r n e r ' s p e r s p e c t i v e . T h i s w o r k r e p r e s e n t s a h i s t o r i c a l s t u d y o f l e a r n i n g f r o m t h e l e a r n e r ’ s p o i n t o f v i e w . 1 1 1 — e m I c o n s i d e r e d t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f t h i s s t u d y g i v e n m y q u e s t i o n : w h a t i s i t t h a t I - a n e x p e r i e n c e d a n d s u c c e s s f u l e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r - h a v e h a d t o l e a r n t o m a k e f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? M o r e b r o a d l y , I w a s a s k i n g : W h a t d o t e a c h e r s n e e d t o k n o w , c a r e a b o u t a n d b e d i s p o s e d t o d o t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? I n t h e c o n t e x t o f t h e m a t h e m a t i c s r e f o r m s , w e h a v e l i t t l e u n d e r s t a n d i n g o f h o w i t i s t h a t t e a c h e r s a c q u i r e t h e k n o w l e d g e n e e d e d t o t e a c h a n d u s e i t i n p r a c t i c e , e s p e c i a l l y e x p e r i e n c e d t e a c h e r s t r y i n g t o m a k e c h a n g e s i n p r a c t i c e . S i n c e t h i s i s a r e l a t i v e l y n e w fi e l d o f i n q u i r y , e x p l o r a t o r y r e s e a r c h i s n e e d e d . T h e a i m o f t h i s s t u d y i s t r y t o d e s c r i b e a n d u n d e r s t a n d m y p r o c e s s o f l e a r n i n g t o t e a c h w i t h p r i m a r y a t t e n t i o n t o t h e n a t u r e 9 1 o f w h a t I w a s l e a r n i n g . T h e u s e f u l n e s s o f s u c h a s t u d y s t e m s f r o m t h e c o n c e p t s , c a t e g o r i e s , h y p o t h e s e s , a n d l a n g u a g e i t g e n e r a t e s t o t h i n k a b o u t t e a c h e r l e a r n i n g ( G l a s e r 8 : S t r a u s s , 1 9 6 7 ; S c h a t z m a n 8 : S t r a u s s , 1 9 7 3 ) . I t i s n o t a s t u d y i n t e n d e d t o v e r i f y o r t e s t h y p o t h e s e s a n d m a k e b r o a d g e n e r a l i z a t i o n s . R e c o n s i d e r i n g t h e r o l e o f t h e d i f f e r e n t v o i c e s i n t h e t e x t i s u s e f u l . W h a t t h e c o m m u n i t y o f s c h o l a r s a n d r e f o r m e r s c a n l e a r n f r o m R u t h 1 a n d R u t h 2 i s a b o u t t h e e x p e r i e n c e o f c h a n g i n g t e a c h i n g f r o m t h e i n s i d e . W h a t t h e y c a n l e a r n f r o m R u t h 3 i s h o w t o t h i n k a b o u t t h a t e x p e r i e n c e i n r e l a t i o n t o t e a c h e r e d u c a t i o n a n d r e f o r m e f f o r t s . I n o t h e r w o r d s , R u t h 3 c o n s t r u c t s t h e ” t h e o r y ” a n d ” q u e s t i o n s ” t h a t s t u d i e s s u c h a s m i n e , a s n o t e d b y G l a s e r a n d S t r a u s s ( 1 9 6 7 ) a n d S c h a t z m a n a n d S t r a u s s ( 1 9 7 3 ) , a r e s u p p o s e d t o g e n e r a t e . W h a t t h e s e m u l t i p l e s e l v e s a l l o w f o r i n t h i s s t u d y i s t h e o r y a n d q u e s t i o n s a b o u t t e a c h i n g g e n e r a t e d i n a r i g o r o u s w a y b y a n i n s i d e r . A s i n m e d i c a l r e s e a r c h , w h e n c h a r t i n g n e w t e r r i t o r y , t h e v a l u e o f t h e w o r k d o e s n o t c o m e o n l y f r o m t h e q u e s t i o n s a n s w e r e d b u t f r o m t h e n e w q u e s t i o n s t h a t g e t a s k e d b e c a u s e o f i t . W h e n g e n e r a t i o n o f t h e o r y i s t h e a i m , h o w e v e r , o n e i s c o n s t a n t l y a l e r t t o e m e r g e n t p e r s p e c t i v e s t h a t w i l l c h a n g e a n d h e l p d e v e l o p h i s t h e o r y . T h e s e p e r s p e c t i v e s c a n e a s i l y o c c u r e v e n o n t h e fi n a l d a y o f s t u d y o r w h e n t h e m a n u s c r i p t i s r e v i e w e d . . . s o t h e p u b l i s h e d w o r d i s n o t t h e fi n a l o n e , b u t o n l y a p a u s e i n t h e n e v e r - e n d i n g p r o c e s s o f g e n e r a t i n g t h e o r y . W h e n v e r i fi c a t i o n i s t h e m a i n a i m , p u b l i c a t i o n o f t h e s t u d y t e n d s t o g i v e r e a d e r s t h e i m p r e s s i o n t h a t t h i s i s t h e l a s t w o r d . ( G l a s e r 8 : S t r a u s s , 1 9 6 7 , p . 4 0 ) M y w o r k i s n o t t h e l a s t w o r d o n a n y t h i n g . I n f a c t , I t h i n k j u s t t h e o p p o s i t e . M y h o p e i s t h a t m y w o r k w i l l i n i t i a t e c o n v e r s a t i o n s a m o n g e d u c a t o r s f r o m a v a r i e t y o f p e r s p e c t i v e s a t v a r i o u s l e v e l s w h o c a r e a b o u t r e f o r m i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . 9 2 T h e R i s l _ < s T h e r e a r e p e r s o n a l r i s k s t o t h e t a s k o f a n a l y z i n g m y o w n l e a r n i n g . W h a t i t i n v o l v e s i s r e c o g n i z i n g a n d a d m i t t i n g w h a t i t i s t h a t I d o n ' t k n o w . T o t a l k a b o u t m y o w n l e a r n i n g , I h a v e h a d t o a d m i t t h a t t h e r e w e r e t i m e s w h e n t h e r e w e r e t h i n g s w h i c h I d i d n o t u n d e r s t a n d . A f t e r s e e i n g m y s e l f a n d h a v i n g o t h e r s v i e w m e a s a g o o d t e a c h e r , t h i s h a s b e e n e x t r e m e l y d i f fi c u l t t o b r i n g m y s e l f t o d o . I t l e a v e s m e i n a v u l n e r a b l e p o s i t i o n . F o r i n a n a l y z i n g w h a t I h a v e l e a r n e d o r n e e d t o l e a r n , I a m f o r c e d t o e x p o s e a n d e x a m i n e m y o w n w e a k n e s s e s a n d t h e n m a k e t h e m p u b l i c . T h i s i s a p r a c t i c e f o r e i g n t o t e a c h e r s a n d a c a d e m i c i a n s o r m o s t p e o p l e , f o r t h a t m a t t e r . W h y h a v e I s u b j e c t e d m y s e l f t o t h i s v u l n e r a b i l i t y ? O n e r i s k s t u d y i n g m y o w n p r a c t i c e a v o i d s i s t h e d a n g e r o f b e i n g a c c u s e d , a s a r e s e a r c h e r , o f b e i n g a " t e a c h e r b a s h e r . " T h i s d e s c r i p t o r i s d i r e c t e d a t r e s e a r c h e r s w h o w r i t e d e s c r i p t i o n s o f t e a c h i n g f o r t h e p u r p o s e o f u n d e r s t a n d i n g p r a c t i c e , b u t w h o s e a c c o u n t s o f e x p e r i e n c e c o m e a c r o s s t o s o m e a s e v a l u a t i v e a n d p r e s c r i p t i v e , i n s e n s i t i v e t o t h e c o m p l e x s e t o f d e m a n d s p l a c e d o n t e a c h e r s . S o m e c o m p l a i n t s s e e m j u s t i fi e d . A t t i m e s i n a n e f f o r t t o e x p l a i n w h a t i s u n d e r s t o o d a b o u t c l a s s r o o m s , r e s e a r c h e r s d o w r i t e a b o u t t h e p r a c t i c e o f p a r t i c u l a r t e a c h e r s i n w a y s t h a t s e e m h i g h l y c r i t i c a l , s o m e w h a t o f f e n s i v e , a n d b o r d e r i n g o n d i s r e s p e c t . C a r t e r ( 1 9 9 3 ) , a n e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r d i s t u r b e d b y s o m e r e s e a r c h e r s ' a c c o u n t s o f t e a c h i n g , w r o t e , I n m o s t c o n v e n t i o n a l s t o r i e s t o l d a b o u t t e a c h e r s , t h e n a r r a t o r , h o w e v e r i n v i s i b l e , a s s u m e s a s u p e r i o r , m o r e k n o w i n g a t t i t u d e t o w a r d t h e c h a r a c t e r s . I t i s t h e n a r r a t o r w h o h a s a c c e s s t o t h e r e l e v a n t l i t e r a t u r e s , w h o f r a m e s t h e s t u d y , w h o p r o v i d e s t h e i n t e r p r e t a t i o n s , a n d w h o m o d u l a t e s t h e t e a c h e r ’ s v o i c e . ( p . 9 ) H a v i n g w r i t t e n a b o u t a n o t h e r t e a c h e r ' s p r a c t i c e ( H e a t o n , 1 9 9 2 ) , I k n o w t h e d i l e m m a f a c e d b y r e s e a r c h e r s t r y i n g t o c o n s t r u c t a n a r r a t i v e o f a t e a c h e r ' s E X ] s o t t h i s W h h a V w ‘ m t r a d W i t } L y t l f o r 1 5 0 d . a n d C o i l s I 1 9 1 1 3 1 1 1 9 3 e x p e r i e n c e . I t i s a c h a l l e n g e t o k n o w h o w t o m a n a g e t h e e x a m i n a t i o n o f t e a c h i n g i n w a y s t h a t r e s p e c t s t h e p r a c t i t i o n e r a n d t h e i d e a s b e i n g s t u d i e d w h i l e a l s o p u s h i n g a t t h e s t a t u s q u o o f t h e o r y a n d p r a c t i c e . W h i l e i t s t r u e t h a t i n t h i s s t u d y I c a n e s c a p e t h e a c c u s a t i o n o f t e a c h e r b a s h e r , w h a t I r i s k d o i n g i s b e i n g e x t r e m e l y h a r d o n m y s e l f . T h i s i s a d a n g e r a n d s o m e t h i n g I h a v e h a d t o d e a l w i t h t h r o u g h o u t t h i s e n t i r e s t u d y . T h e s t r e n g t h o f t h i s s t u d y i s l e t t i n g p e o p l e s e e w h o I a m a s a l e a r n e r , m y p r o c e s s o f l e a r n i n g , w h a t i t i s I k n o w a n d w h a t i t i s t h a t I h a v e y e t t o l e a r n . I n m o m e n t s o f d o u b t , I h a v e h a d t o r e m i n d m y s e l f t h i s i s w o r t h d o i n g . E i s n e r ( 1 9 8 8 , 1 9 9 3 ) a n d B a r o n e ( 1 9 9 2 ) a r e t w o e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r s w h o h a v e r e c e n t l y e n c o u r a g e d p e o p l e t o p u s h a t t h e b o u n d a r i e s a n d q u e s t i o n t h e t r a d i t i o n s o f e d u c a t i o n a l r e s e a r c h . K r i e g e r ( 1 9 9 1 ) i s s o m e o n e w h o h a s s t r u g g l e d w i t h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s o c i a l s c i e n c e a n d t h e s e l f . C o c h r a n - S m i t h a n d L y t l e ( 1 9 9 0 ) a r e e n c o u r a g i n g t e a c h e r s t o g e n e r a t e t h e i r o w n k n o w l e d g e , t o s p e a k f o r t h e m s e l v e s . ( B e r g e r , 1 9 9 0 ) p u t t o g e t h e r a c o l l e c t i o n o f e s s a y s b y e s t a b l i s h e d s o c i o l o g i s t s f o r t h e p u r p o s e o f d i s c u s s i n g t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e i r p e r s o n a l a n d p r o f e s s i o n a l l i v e s . B e r g e r w r o t e t h e f o l l o w i n g i n t h e i n t r o d u c t i o n t o t h e c o l l e c t i o n o f e s s a y s , I t w a s o b v i o u s t o m e t h a t a s k i n g s o c i o l o g i s t s t o w r i t e a b o u t t h e i r l i v e s c o n s t i t u t e d a s u b s t a n t i a l d e p a r t u r e f r o m t h e s t a n d a r d p r a c t i c e s o f a c a d e m i c w r i t i n g , w h i c h c o n s t r a i n s o c i o l o g i s t s t o k e e p t h e m s e l v e s a s d e c e n t l y o r d i s c r e e t l y i n v i s i b l e a s p o s s i b l e . O u t s i d e t h e e n t e r t a i n m e n t p a g e s , n a r c i s s i s m d o e s n o t h a v e g o o d p r e s s , p a r t i c u l a r l y i n t h o s e fi e l d s w h o s e ” d i s c i p l i n e ” r e c o g n i z e s t h e l o g i c a l i r r e l e v a n c e o f t h e p e r s o n a l q u a l i t i e s o f t h e a u t h o r t o t h e o b j e c t i v e q u a l i t i e s o f t h e w o r k , a n d a r a d i c a l s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e m . O n e o f t h e a i m s o f t h i s b o o k i s t o n a r r o w t h a t g a p . ( p . x v ) I n e d u c a t i o n , I w o u l d a r g u e , a n d i n m y w o r k , a s a n e x a m p l e , t h e p e r s o n a l q u a l i t i e s o f a t e a c h e r o r a r e s e a r c h e r a r e d e e p l y i n t e r t w i n e d w i t h t h e o b j e c t i v e 9 4 q u a l i t i e s o f t h e w o r k o f l e a r n i n g t o t e a c h o r d o i n g r e s e a r c h o n t e a c h i n g . W h a t m y d i s s e r t a t i o n d o e s , i n b o t h i t s c o n t e n t a n d i t s m e t h o d , i s m a k e v i s i b l e t h e s e p e r s o n a l a n d i n t e l l e c t u a l c o n n e c t i o n s . E i s n e r ( 1 9 9 3 ) w a r n s , ” W o r k i n g a t t h e e d g e o f i n c o m p e t e n c e t a k e s c o u r a g e ” ( p . 1 0 ) . I w o u l d a d d t h a t w r i t i n g a d i s s e r t a t i o n a b o u t b e i n g o n t h e e d g e o f i n c o m p e t e n c e t a k e s a s p e c i a l k i n d o f c o u r a g e . P A R T I I N T H E C R E A T I O N A N D S T U D Y O F A P R A C T I C E P R O L O G U E C O N T E X T A N D T O O L S F O R C R E A T I N G A P R A C T I C E B e f o r e c o n t i n u i n g w i t h t h e s t o r y a n d s t u d y o f m y p r a c t i c e , i t i s i m p o r t a n t t h a t I e x p l a i n a b i t a b o u t t h e c o n t e x t i n w h i c h I a t t e m p t e d c h a n g e s i n m y p r a c t i c e a n d t o o l s I u s e d t o f a c i l i t a t e t h a t p r o c e s s . T h e b a c k g r o u n d n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d i n g m y p r a c t i c e i n c l u d e s i n f o r m a t i o n o n t h e k i n d o f s c h o o l i n w h i c h I w o r k e d , t h e s o r t s o f s t u d e n t s w i t h w h o m I w o r k e d , a n d t h e o b s e r v e r s i n m y m a t h c l a s s t h a t y e a r . T h e t o o l s I u s e d t o c r e a t e m y p r a c t i c e i n c l u d e t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m w i t h w h i c h I b e g a n t h e y e a r a n d t h e t e a c h i n g j o u r n a l I k e p t a l l y e a r . A n e x p l a n a t i o n o f t h e c u r r i c u l u m , t h e C o m p r e h e n s i v e S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o g r a m ( C S M P ) ( M c R E L , 1 9 8 6 ) , a n d t h e p r o c e s s I w e n t t h r o u g h t o k e e p a j o u r n a l a r e i n c l u d e d h e r e . T h n t x t M y t e a c h i n g , l i k e a l l t e a c h i n g , w a s s i t u a t e d i n a n e n v i r o n m e n t w i t h c e r t a i n f e a t u r e s . T o u n d e r s t a n d m y s t o r y a n d s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h , i t i s i m p o r t a n t t h a t I e x p l a i n t h e s o r t o f s c h o o l I w o r k e d i n , t h e k i n d o f s t u d e n t s w i t h w h o m I w o r k e d , a n d t h e i n t e r e s t s a n d i n v o l v e m e n t o f t h e p e o p l e w h o o b s e r v e d m y m a t h c l a s s o n a r e g u l a r b a s i s . A f i n a l D v 1 m n l I a t t e m p t e d t o m a k e c h a n g e s i n m y p r a c t i c e w i t h i n a s u p p o r t i v e e n v i r o n m e n t . T h e p u b l i c e l e m e n t a r y s c h o o l i n w h i c h I t a u g h t w a s o n e o f m a n y P r o f e s s i o n a l D e v e l o p m e n t S c h o o l s ( H o l m e s G r o u p , 1 9 9 0 ) w o r k i n g c l o s e l y w i t h M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y f a c u l t y a n d g r a d u a t e a n d u n d e r g r a d u a t e s t u d e n t s . T h e s c h o o l a n d c l a s s r o o m p r o v i d e d a s e t t i n g w h e r e n o r m s a n d r o u t i n e s w e r e e s t a b l i s h e d f o r w h a t i t m i g h t m e a n f o r s o m e o n e f r o m M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y 9 5 9 6 t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n s o m e o n e ’ s c l a s s r o o m . M a g d a l e n e L a m p e r t a n d D e b o r a h B a l l 1 h a d b e e n t e a c h i n g m a t h i n o t h e r t e a c h e r s ’ c l a s s r o o m s f o r a n u m b e r o f y e a r s . T h i s m e a n t t h a t c l a s s r o o m t e a c h e r s i n t h i s s c h o o l h a d p a s t e x p e r i e n c e s s h a r i n g t h e i r c l a s s r o o m s a n d s t u d e n t s w i t h u n i v e r s i t y p e o p l e a n d n o o n e l o o k e d a t m e t o o o d d l y w h e n I i n q u i r e d w h e t h e r I c o u l d t e a c h m a t h e m a t i c s t o f o u r t h g r a d e r s f o r t h e p u r p o s e o f t r y i n g t o m a k e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g . T h e t e a c h e r s , a s a w h o l e , i n t h i s s c h o o l w e r e c o m m i t t e d a n d t h o u g h t f u l p r a c t i t i o n e r s . M a n y o f t h e m h a d s p e n t a n u m b e r o f y e a r s c o n s i d e r i n g w h a t i t m i g h t m e a n t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n m o r e c o n c e p t u a l w a y s . M a n y h a d n e w v i s i o n s o f w h a t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g c o u l d b e a n d s o m e w e r e e v e n t r y i n g t o e n a c t t h e s e v i s i o n s i n t h e i r c l a s s r o o m s . I w a s p l e a s e d t o b e e n t e r i n g s u c h a r e c e p t i v e e n v i r o n m e n t . T r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n n e w w a y s w i t h i n t h i s s c h o o l m e a n t t h a t I d i d n o t h a v e t o t r y t o c o n v i n c e p e o p l e t h a t t h e w a y I w a n t e d t o t r y t o t e a c h m a t h e m a t i c s w a s a g o o d i d e a . W h a t t h i s s e t t i n g a l l o w e d m e t o d o w a s s t a r t r i g h t a w a y w i t h t r y i n g t o t e a c h i n n e w w a y s . I w a s n o t f a c e d w i t h t h e w o r k o f h a v i n g t o a r g u e p e o p l e t h a t t h e i d e a s I h a d a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w e r e w o r t h t r y i n g . M a g g i e a n d D e b o r a h h a d a l r e a d y p a v e d t h e w a y f o r m e i n t h i s c o n t e x t . G i v e n m y d e c i s i o n t o w o r k i n a c o n t e x t w h e r e p e o p l e w e r e a l r e a d y s o m e w h a t f a m i l i a r w i t h t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , m i n e i s n o t a s t u d y o f l e a r n i n g t o c o n v i n c e p e o p l e o f t h e v a l u e o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g d i f f e r e n t l y . T h e r e i s m u c h t o b e l e a r n e d a b o u t w h a t t h a t w o r k e n t a i l s b u t g i v e n t h e c o n t e x t i n w h i c h I w a s w o r k i n g , t h a t i s n o t w h a t I a m d o i n g h e r e . M y c h o i c e t o w o r k i n t h i s s c h o o l 1 M y c h o i c e o f w h a t t o c a l l M a g d a l e n e L a m p e r t a n d D e b o r a h B a l l t h r o u g h o u t m y d i s s e r t a t i o n v a r i e s . A t t i m e s , i n r e f e r r i n g t o t h e i r s c h o l a r l y w o r k , I r e f e r t o t h e m b y t h e i r s u r n a m e s , a s I d o a n y o t h e r s c h o l a r s . I n t h i s p o r t i o n o f t h e t e x t , h o w e v e r , t h e y a r e m y t e a c h i n g c o l l e a g u e s a n d I r e f e r t o t h e m , i n i t i a l l y , b y fi r s t a n d l a s t n a m e s . I l a t e r r e f e r t o t h e m b y j u s t t h e i r f i r s t n a m e s . T h e s w i t c h i s i n t e n t i o n a l a n d c o n v e y s t h e c o m p l e x i t y o f o u r r e l a t i o n s h i p . 9 7 a l l o w e d m e t o j u m p r i g h t i n t o t e a c h i n g , t o f o c u s m y s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h o n t h e d a y t o d a y w o r k o f t e a c h i n g f o u r t h g r a d e r s m a t h e m a t i c s i n m e a n i n g f u l w a y s w i t h i n a s u p p o r t i v e e n v i r o n m e n t . T h e f o u r t h g r a d e t e a c h e r i n w h o s e c l a s s r o o m I t a u g h t t r e a t e d m e a s a p e e r a n d c o l l e a g u e . W e w e r e b o t h e x p e r i e n c e d t e a c h e r s , s h e w i t h a f e w m o r e y e a r s o f e x p e r i e n c e t h a n m e . 2 S h e k n e w f r o m t h e o n s e t t h a t I w a s g o i n g t o b e a t t e m p t i n g t o m a k e c h a n g e s i n m y p r a c t i c e . I n e g o t i a t e d m y t e a c h i n g s c h e d u l e - f o u r d a y s a w e e k , M o n d a y t h r o u g h T h u r S d a y , a 6 0 m i n u t e c l a s s p e r i o d r i g h t b e f o r e l u n c h . I m a d e t h e c h o i c e t o a t t e m p t c h a n g e s i n m y p r a c t i c e w h i l e t e a c h i n g o n l y m a t h e m a t i c s . T h e a l t e r n a t i v e w o u l d h a v e b e e n t o t e a c h a l l o r m u l t i p l e s u b j e c t s . G i v e n m y o t h e r r e s p o n s i b i l i t i e s a s a d o c t o r a l s t u d e n t a n d r e s e a r c h a s s i s t a n t , t h i s w a s a l l o f t h e t i m e I f e l t l i k e I c o u l d r e s p o n s i b l y c o m m i t t o e l e m e n t a r y t e a c h i n g . W h e n I m a d e t h i s d e c i s i o n , I r e a l i z e d t h a t m y e x p e r i e n c e s t e a c h i n g o n l y m a t h w o u l d n o t r e s e m b l e t h e c u r r i c u l a r d e m a n d s p l a c e d u p o n m o s t e l e m e n t a r y t e a c h e r s . G i v e n t h e s e c o n d i t i o n s , w h a t m y s t u d y e n d s u p b e i n g i s a b e s t c a s e s c e n a r i o — a c a s e o f a n e x p e r i e n c e d , s u c c e s s f u l e l e m e n t a r y t e a c h e r a t t e m p t i n g c h a n g e s i n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g w i t h i n a s u p p o r t i v e s c h o o l e n v i r o n m e n t w i t h o u t o t h e r t e a c h i n g r e s p o n s i b i l i t i e s . E v e n u n d e r c o n d i t i o n s t h a t I t h i n k m o s t e l e m e n t a r y t e a c h e r s w o u l d c a l l i d e a l , t r y i n g t o m a k e c h a n g e s i n m y p r a c t i c e p r o v e d t o b e h a r d . W h i l e m e e t i n g m y u n i v e r s i t y o b l i g a t i o n s o f t e a c h i n g a n u n d e r g r a d u a t e c o u r s e d u r i n g w i n t e r t e r m , I w a s a b l e t o ’ h a c k a w a y ” f r o m m y f a l l t e r m t e a c h i n g e x p e r i e n c e s a n d t a k e s t o c k o f t h e m . T h i s t o o , I r e a l i z e , i s a l u x u r y t h a t d o e s n o t c o m e w i t h t h e u s u a l r e s p o n s i b i l i t i e s o f a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . 2 8 e e C o l l e c t i v e R e fl e c t i o n : A n A c c o u n t o f C o l l a b o r a t i v e R e s e a r c h ( H e a t o n , R e i n e k e , a n d F r e s e , 1 9 9 1 ) f o r h o w w e d e fi n e d o u r g o a l s , j o i n t l y a n d s e p a r a t e l y , i n o u r w o r k t o g e t h e r . 9 8 T h r o u g h o u t t h e y e a r , I h a d w e e k l y m e e t i n g s w i t h t h e c l a s s r o o m t e a c h e r . D u r i n g t h o s e m e e t i n g s , w e f o c u s e d o n t h e p r o g r e s s o f i n d i v i d u a l s t u d e n t s , t h e p a c e o f t h e g r o u p a s a w h o l e , a s w e l l a s m y p l a n s f o r t h e c o m i n g w e e k . T h e s e w e r e i m p o r t a n t c o n v e r s a t i o n s f o r m e i n t h a t t h i s t e a c h e r b r o u g h t a w e a l t h o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c h i l d r e n a s l e a r n e r s i n c o n t e x t s o u t s i d e o f m a t h c l a s s . I a l s o b e n e fi t e d f r o m h e r y e a r s o f e x p e r i e n c e w i t h f o u r t h g r a d e r s a n d t h e C o m p r e h e n s i v e S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o g r a m ( C S M P ) . I n a d d i t i o n t o o u r p l a n n e d m e e t i n g s , w e h a d i n f o r m a l c o n v e r s a t i o n s a t t h e e n d o f e a c h c l a s s p e r i o d i n w h i c h e a c h o f u s s h a r e d o u r o w n o b s e r v a t i o n s a b o u t w h a t h a d j u s t o c c u r r e d . E v e n t h o u g h w e a g r e e d s h e d i d n o t h a v e t o s t a y i n t h e r o o m w h i l e I t a u g h t m a t h , s h e o p t e d t o o b s e r v e e v e r y d a y . S h e a l s o v i d e o t a p e d m y t e a c h i n g , a t m y r e q u e s t , f o r t h r e e w e e k s d u r i n g t h e s p r i n g t e r m . M y S t a g ; e n t s T h e s t u d e n t s i n t h e s c h o o l i n w h i c h I t a u g h t c o m e f r o m f a m i l i e s w h e r e o n e o r b o t h p a r e n t s a r e u n i v e r s i t y s t u d e n t s a n d h a v e m o v e d t o M i c h i g a n f r o m p l a c e s a l l o v e r t h e U n i t e d S t a t e s a n d t h e w o r l d t o a t t e n d t h e u n i v e r s i t y . M a n y d i f f e r e n t n a t i o n a l i t i e s a n d fi r s t l a n g u a g e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e s t u d e n t s i n t h e s c h o o l . I t i s c o m m o n f o r s t u d e n t s t o l e a v e o r n e w s t u d e n t s t o a r r i v e i n t h e c o u r s e o f t h e s c h o o l y e a r a s t h e i r p a r e n t s c o m p l e t e o r b e g i n t h e i r s t u d i e s a t t h e u n i v e r s i t y . F o r m o s t o f t h e y e a r I t a u g h t , I h a d 2 3 s t u d e n t s . F o r a s h o r t w h i l e , t h e r e w e r e 2 5 . O f t h e s e 2 5 s t u d e n t s , 1 2 w e r e E n g l i s h s p e a k i n g , U n i t e d S t a t e s c i t i z e n s . T h e o t h e r 1 3 w e r e f r o m v a r i o u s c o u n t r i e s a r o u n d t h e w o r l d . F i v e o f t h e s e 1 3 f o r e i g n s t u d e n t s w e r e n e w t o t h e s c h o o l t h e y e a r I t a u g h t a n d l e a r n e d t o s p e a k E n g l i s h i n t h e c o u r s e o f t h e s c h o o l y e a r . I n t h e fi g u r e b e l o w , t h e s t u d e n t s ( b y p s e u d o n y m ) a r e l i s t e d b y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r d i v e r s i t y : g e n d e r , t h e l a n g u a g e t h e y s p o k e a t t h e s t a r t o f 9 9 t h e s c h o o l y e a r , a n d w h e t h e r t h e y w e r e U n i t e d S t a t e s c i t i z e n s o r i n t e r n a t i o n a l s t u d e n t s . I n t e r n a t i o n a l s t u d e n t s I n t e r n a t i o n a l s t u d e n t s w h o s t a r t e d i n m y w h o s t a r t e d i n m y U n i t e d S t a t e s C i t i z e n s f o u r t h g r a d e c l a s s a s f o u r t h g r a d e c l a s s a s n o n - E n g l i s h s p e a k e r s E n g l i s h s p e a k e r s F e n i c e A n a J e n n i f e r f e m a l e s K a t r i n a J a m i l i a V a l e r i e O l i v i a P i l i L u c y W u L e e A d i m A s i m B o b m a l e s J a n g G e e A r i f D a v i d F a r u q J o h n N a r u j L u k e S i p h o M i k e R o n R i c h a r d S c o t t F i g u r e P . 1 M y f o u r t h g r a d e s t u d e n t s b y g e n d e r , b i r t h p l a c e , a n d l a n g u a g e c a p a b i l i t i e s W o r k i n g w i t h t h i s g r o u p o f s t u d e n t s a l l o w e d m e t o s e e w h a t i t i s l i k e t o t r y t o m a k e c h a n g e s w i t h a d i v e r s e g r o u p o f s t u d e n t s w i t h a r a n g e o f a b i l i t y , s i m i l a r t o w h a t w o u l d b e f o u n d i n m a n y c l a s s r o o m s . T h e f a c t t h a t fi v e s t u d e n t s s t a r t e d t h e s c h o o l y e a r n o t s p e a k i n g E n g l i s h p r o v i d e d m e w i t h e x p e r i e n c e s i n h e l p i n g s t u d e n t s f o r w h o m E n g l i s h i s n o t t h e i r fi r s t l a n g u a g e c o m m u n i c a t e a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . A r i f r T h e r e w e r e s e v e r a l r e g u l a r o b s e r v e r s i n m y m a t h c l a s s . M y p u r p o s e i n d e s c r i b i n g t h e i r p a r t i c i p a t i o n i s n o t t o i m p l y c a u s a l l i n k s b e t w e e n t h e i r p r e s e n c e a n d m y l e a r n i n g t o t e a c h . R a t h e r , I e x p l a i n t h e i r i n v o l v e m e n t i n m y t e a c h i n g a s a m e a n s o f f u r t h e r u n d e r s t a n d i n g f e a t u r e s o f t h e c o n t e x t i n w h i c h I a t t e m p t e d c h a n g e s i n m y p r a c t i c e . H a v i n g o t h e r p e r s p e c t i v e s o n m y t e a c h i n g b e n e fi t e d m e 1 0 0 i n t e l l e c t u a l l y a s I t r i e d t o u n d e r s t a n d w h a t i t m e a n t t o m a k e c h a n g e s i n m y p r a c t i c e , fi g u r e o u t w h a t w a s h a p p e n i n g i n c l a s s , a n d m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t . M y t e a c h e r . A s m y f e e l i n g s o f d i s s a t i s f a c t i o n o v e r m y o w n t e a c h i n g p r a c t i c e g r e w i n m y f i r s t y e a r a s a d o c t o r a l s t u d e n t , I i n t r o d u c e d m y s e l f t o M a g g i e a n d t o l d h e r o f m y d e s i r e t o t r y t o t e a c h m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . F r o m J a n u a r y t o J u n e , i n t h e y e a r b e f o r e I t o o k o n t h e t a s k o f t e a c h i n g f o u r t h - g r a d e m a t h e m a t i c s , I m e t w e e k l y w i t h M a g g i e t o v i e w h e r m a t h t e a c h i n g o n v i d e o t a p e o r o b s e r v e i n h e r e l e m e n t a r y m a t h c l a s s . W e u s e d t h i s a s a n o c c a s i o n t o t a l k ' a b o u t h e r t e a c h i n g a n d h o w i t c o m p a r e d a n d c o n t r a s t e d t o m y p a s t p r a c t i c e . I n t h e s e c o n v e r s a t i o n s , I t r i e d t o m a k e s e n s e o f w h a t I s a w M a g g i e d o i n g a n d c o n s t r u c t a n i m a g e o f t h e m a t h e m a t i c s t e a c h i n g I w a n t e d t o t r y t o d o . M a g g i e p u t m e i n t o u c h w i t h a t e a c h e r w h o s h e t h o u g h t w o u l d a l l o w m e t e a c h h e r s t u d e n t s m a t h e m a t i c s . K i n d l y , t h e t e a c h e r a g r e e d . I a r r a n g e d f o r M a g g i e t o o b s e r v e i n m y c l a s s r o o m t w i c e a w e e k . I w a n t e d h e r t o o b s e r v e s o w e c o u l d t h e n t a l k a b o u t m y t e a c h i n g f r o m a s h a r e d e x p e r i e n c e . S h e t o o k o b s e r v a t i o n n o t e s t h a t s h e s h a r e d w i t h m e e a c h t i m e s h e o b s e r v e d . I n t h e s e n o t e s , s h e r a i s e d q u e s t i o n s a b o u t m y a c t i o n s a n d i n t e n t i o n s a n d p u s h e d m e t o t h i n k h a r d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s I w a s t r y i n g t o t e a c h a n d w h a t m y s t u d e n t s s e e m e d t o b e u n d e r s t a n d i n g . W e d i s c u s s e d h e r n o t e s w e e k l y . 3 M a g g i e ’ s n o t e s w e r e fi l l e d w i t h d i f f e r e n t v o i c e s . H e r n o t e s r e p r e s e n t e d h e r u n d e r s t a n d i n g s a s a s c h o l a r a s s h e d i r e c t e d m e t o w a r d r e l a t e d r e a d i n g s . T h e y r e p r e s e n t e d h e r w o r k a s a t e a c h e r e d u c a t o r a s s h e o f f e r e d h e r p e r s p e c t i v e o n t h e d i f fi c u l t i e s s h e c o u l d s e e I w a s h a v i n g w i t h p e d a g o g y a n d t h e m a t h e m a t i c s . T h e y r e p r e s e n t e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s a s s h e a s k e d m e s p e c i f i c q u e s t i o n s t o t r y t o 3 S e e H e a t o n a n d L a m p e r t ( 1 9 9 3 ) f o r a d i s c u s s i o n o f o u r r e l a t i o n s h i p a r o u n d m y t e a c h i n g . 1 0 1 u n d e r s t a n d m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l p u r p o s e o f w h a t I w a s d o i n g a n d m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s e n s e s t u d e n t s m a d e o f i d e a s . A n d , fi n a l l y , h e r n o t e s r e p r e s e n t e d h e r p e r s p e c t i v e a s a c o l l e a g u e a n d t e a c h e r , e m p a t h e t i c t o t h e d i f fi c u l t i e s i n h e r e n t i n t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I n t h e s p r i n g t e r m , r a t h e r t h a n c o m i n g t w i c e a w e e k , M a g g i e o b s e r v e d c o n s e c u t i v e d a y s f o r a f u l l w e e k . I w a n t e d M a g g i e ' s h e l p i n a n s w e r i n g a q u e s t i o n t h a t a r o s e f r o m a p r o j e c t I d i d o n m y p l a n n i n g t h a t I d i d f o r a c o u r s e I t o o k e a r l i e r i n t h e y e a r . 4 I w a s c u r i o u s t o u n d e r s t a n d h o w t o g o a b o u t c o n s t r u c t i n g t h e c u r r i c u l u m f r o m o n e d a y t o t h e n e x t . D u r i n g t h i s s c h o o l y e a r , I a l s o o b s e r v e d i n M a g g i e ’ s fi f t h g r a d e c l a s s r o o m t w o o r t h r e e d a y s a w e e k . I d i d t h i s o u t o f m y i n t e r e s t i n h e r t e a c h i n g a s w e l l a s m y r e s p o n s i b i l i t i e s a s a r e s e a r c h a s s i s t a n t o n t h e M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g t h r o u g h H y p e r m e d i a P r o j e c t ( L a m p e r t , H e a t o n , 8 : B a l l , i n p r e s s ; B a l l , L a m p e r t , 8 : R o s e n b e r g , 1 9 9 1 ) . D u r i n g t h a t y e a r , m y r e s p o n s i b i l i t i e s f o r t h e p r o j e c t i n c l u d e d t a k i n g fi e l d n o t e s d u r i n g M a g g i e ’ s m a t h c l a s s , w r i t i n g o b s e r v a t i o n s u m m a r i e s a f t e r w a r d , v i d e o t a p i n g m a t h c l a s s e s , i n t e r v i e w i n g s t u d e n t s , a n d t a l k i n g w i t h M a g g i e a b o u t h e r t e a c h i n g i n f o r m a l a n d i n f o r m a l c o n v e r s a t i o n s s e v e r a l t i m e s a w e e k . A r e s e a t c h e r . J i m R e i n e k e , a d o c t o r a l s t u d e n t a n d r e s e a r c h e r i n e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y , o b s e r v e d i n m y c l a s s r o o m t w i c e a w e e k a n d t a l k e d w i t h m e o n a w e e k l y b a s i s a b o u t m y t e a c h i n g d u r i n g f a l l t e r m . H e d e s i g n e d h i s r e s e a r c h p r o j e c t t o s t u d y s t u d e n t s ’ a n d m y o w n c h a n g i n g c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . 5 H e v i d e o t a p e d m y m a t h c l a s s t w i c e a w e e k , a u d i o t a p e d a l l o f t h e l e s s o n s , t o o k f i e l d n o t e s , a n d d i d i n f o r m a l i n t e r v i e w s o f s t u d e n t s . 4 S e e C o n t i n u i t y a n d C o n n e c t e d n e s s i n T e a c h i n g a n d R e s e a r c h : A S e l f - S t u d y o f L e a r n i n g t o T e a c h M a t h e m a t i c s f o r U n d e r s t a n d i n g ( H e a t o n , 1 9 9 1 ) f o r m y r e s e a r c h r e p o r t o n t h i s p r o j e c t . 5 S e e R e i n e k e ( 1 9 9 3 ) f o r a n a c c o u n t o f m y t e a c h i n g f r o m J i m ’ s p e r s p e c t i v e . K w ( 1 1 t e i s . o r p r C h 1 0 2 I a u d i o t a p e d t h e l e s s o n s o n t h e d a y s w h e n h e w a s n o t t h e r e . H e a l s o i n t e r v i e w e d m e a n d r e c o r d e d o u r c o n v e r s a t i o n s 6 a f t e r e a c h l e s s o n h e o b s e r v e d . T h e d e c i s i o n t o a l l o w J i m t o d o h i s p r o j e c t i n m y c l a s s r o o m w a s a d v a n t a g e o u s f o r m e . A t t h e t i m e o f m y t e a c h i n g , I w a s g l a d t o h a v e h i m t o t a l k w i t h a b o u t m y t e a c h i n g . I m a d e c o p i e s o f t h e a u d i o t a p e s a n d v i d e o t a p e s m a d e o f m y t e a c h i n g f a l l t e r m a s w e l l a s t h e i n t e r v i e w s h e d i d w i t h m e a b o u t m y t e a c h i n g . T h e r e w e r e d a y s w h e n h i s o b s e r v a t i o n s o v e r l a p p e d w i t h M a g g i e ’ s . W h a t t h i s m e a n s f o r m y s t u d y i s t h a t o n c e r t a i n d a y s , I h a v e m u l t i p l e s o u r c e s o f d a t a f o r t h e s a m e t e a c h i n g e v e n t . F r o m a r e s e a r c h p e r s p e c t i v e ( C o c h r a n - S m i t h 8 : L y t l e , 1 9 9 0 ; H a m m e r s l e y 8 : A t k i n s o n , 1 9 8 9 ) , t h i s e n r i c h e s t h e d a t a s e t a n d s t r e n g t h e n s t h e e v i d e n c e f o r t h e a r g u m e n t s I h a v e m a d e t h r o u g h o u t m y s t u d y . T e e l s c f M y T e a c h i n g P r a c t i c e M a n y t e a c h e r s m a k e u s e o f a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k t o t e a c h m a t h e m a t i c s . I d i d f o r t h e n i n e y e a r s I t a u g h t m a t h e m a t i c s i n a f a i r l y t r a d i t i o n a l m a n n e r , p r i o r t o t h i s y e a r o f t e a c h i n g . I a l s o m a d e u s e o f a t e x t b o o k d u r i n g t h e y e a r I a t t e m p t e d t o c h a n g e m y p r a c t i c e . I n t h e c h a p t e r s w h i c h f o l l o w , m y r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e a c h e r ' s g u i d e i s a t h e m e . T o b e t t e r u n d e r s t a n d t h i s r e l a t i o n s h i p , I d e s c r i b e t h e n a t u r e o f t h e c u r r i c u l u m - — i t s u n d e r l y i n g p h i l o s o p h y , h o w t h e c u r r i c u l u m i s o r g a n i z e d , a n d w h a t t h e t e a c h e r ' s g u i d e i s l i k e . D u r i n g t h a t y e a r o f t e a c h i n g , I a l s o k e p t a j o u r n a l o n m y t e a c h i n g . T h i s , u n l i k e m a k i n g u s e o f a t e a c h e r ' s g u i d e , i s n o t s o m e t h i n g a l o t o f t e a c h e r s d o . W r i t i n g a b o u t m y p r a c t i c e o n a d a i l y b a s i s i s s o m e t h i n g I h a d t o l e a r n t o d o . I n t h e c h a p t e r s w h i c h f o l l o w , I p r o v i d e e v i d e n c e f o r m y s t o r y a n d s t u d y b y d r a w i n g f r o m m y j o u r n a l . I n t h i s c h a p t e r , I w i l l d e s c r i b e a b i t o f t h e p r o c e s s a n d s t r u g g l e o f l e a r n i n g t o c o l l e c t m y 6 S e e C o l l e c t i v e R e fl e c t i o n : A n A c c o u n t o f C o l l a b o r a t i v e R e s e a r c h ( H e a t o n , R e i n e k e , a n d F r e s e , 1 9 9 1 ) f o r w h a t t h e s e c o n v e r s a t i o n s w e r e l i k e f o r b o t h o f u s . 1 0 3 d a i l y t h o u g h t s a b o u t m y t e a c h i n g o n p a p e r . I b e g i n w i t h b a c k g r o u n d o n t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . L M fl e m a t i c a a n ’ a n m B e f o r e t h e s c h o o l y e a r b e g a n , I m a d e t h e d e c i s i o n t h a t I w a s g o i n g t o u s e a m a t h t e x t b o o k w h e n I s t a r t e d m y e f f o r t s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e a l t e r n a t i v e w a s t o d o a s M a g g i e a n d D e b o r a h d i d , a n d n o t u s e a t e x t b o o k . I d i d n o t f e e l q u a l i fi e d t o d o t h a t . I f e a r e d I d i d n o t k n o w e n o u g h m a t h e m a t i c s t o t e a c h o n m y o w n w i t h o u t u s i n g a t e x t b o o k . I d e c i d e d t o u s e t h e m a t h t e x t b o o k t h a t w a s a d o p t e d b y t h e s c h o o l d i s t r i c t , t h e C o m p r e h e n s i v e S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o g r a m ( C S M P ) ( M c R E L , 1 9 8 6 ) . L i k e m o s t t e a c h e r s w h o m a k e u s e o f t e x t b o o k s , I d i d s o w i t h m i n i m a l s u p p o r t o u t s i d e o f w h a t a p p e a r e d i n t h e t e x t o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h i s c u r r i c u l u m w a s d e v e l o p e d p r i o r t o t h e c u r r e n t m a t h c u r r i c u l u m a n d t e a c h i n g s t a n d a r d s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) y e t , i n m a n y w a y s , t h e p e d a g o g y i m p l i e d w i t h i n i t s e e m e d c o n s i s t e n t w i t h ” n e w ” w a y s o f t h i n k i n g a b o u t m a t h t e a c h i n g b e i n g a d v o c a t e d i n t h e r e f o r m d o c u m e n t s . F o r e x a m p l e , p r o b l e m s o l v i n g i s a c e n t r a l f o c u s . C o m m u n i c a t i o n o r m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e . A m a j o r a i m i s t o h e l p a l l c h i l d r e n l e a r n t o r e a s o n a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d u n d e r s t a n d h o w m a t h e m a t i c a l i d e a s r e l a t e t o o n e a n o t h e r . A n d , i t i s n o t o n l y f r o m m y p e r s p e c t i v e t h a t C S M P s e e m e d a l i g n e d w i t h t h e c u r r e n t i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n t h e p u b l i s h e r ’ s c u r r e n t c a t a l o g o f C S M P c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t h e f o l l o w i n g a p p e a r s , " C S M P a l r e a d y a d d r e s s e s , a n d h a s f o r y e a r s , e v e r y o n e o f t h e N C T M o b j e c t i v e s o r g o a l s " ( M c R E L , 1 9 9 2 b , p . 1 ) . C S M P i s a n i n n o v a t i v e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m t h a t l o o k s d i f f e r e n t f r o m t h e m a t h t e x t b o o k s I u s e d i n t h e p a s t . I t i s n o t fi l l e d w i t h p a g e s o f c o m p u t a t i o n . T h e r e a r e n o a c t u a l s t u d e n t t e x t b o o k s . T h e r e i s o n l y a d e t a i l e d t e a c h e r ’ s g u i d e 1 0 4 a n d s t u d e n t w o r k s h e e t s t o a c c o m p a n y i n d i v i d u a l l e s s o n s . U s i n g a c u r r i c u l u m t h a t l o o k e d d i f f e r e n t f r o m o n e s I h a d u s e d i n t h e p a s t a n d o n e t h a t w a s a d v e r t i s e d a s a l i g n e d w i t h t h e l a t e s t m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m a n d t e a c h i n g s t a n d a r d s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ) s e e m e d l i k e a g o o d w a y t o g o a b o u t s u p p o r t i n g t h e c h a n g e s I w a n t e d t o m a k e i n m y t e a c h i n g . I t h o u g h t I k n e w h o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s w i t h a t e x t b o o k . I h a d d o n e s o f o r n i n e y e a r s . U s i n g a c u r r i c u l u m t h a t r e p r e s e n t e d t h e n e w i d e a s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s a d v o c a t e d b y t h e r e f o r m s s e e m e d l i k e a r e a s o n a b l e w a y t o l a u n c h m y s e l f i n t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s d i f f e r e n t l y . I n t h i s s t u d y o f t h e l e a r n i n g I h a v e h a d t o o t o t e a c h d i f f e r e n t l y , m a n y q u e s t i o n s s u r f a c e d f o r m e a r o u n d t h i s c u r r i c u l u m a n d m y u s e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . W h a t w a s i t s r o l e i n m y l e a r n i n g t o t e a c h ? H o w d i d m y i n t e r p r e t a t i o n o f p a r t i c u l a r l e s s o n s m a t c h t h e a u t h o r s ’ i n t e n t i o n s ? H o w d i d m y r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e c h a n g e o v e r t i m e ? W h a t d i d I e x p e c t i t w o u l d d o f o r m e ? H o w d i d I t h i n k i t w o u l d h e l p ? T o u n d e r s t a n d m y s t u d y o f t h e s e q u e s t i o n s a n d o t h e r s t h a t a r o s e a r o u n d m y u s e o f t h e t e x t b o o k i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s , I p r o v i d e b a c k g r o u n d o n t h e c u r r i c u l u m . W h e n a n d w h y w a s i t d e v e l o p e d ? W h a t a r e t h e c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d p e d a g o g y i m p l i e d w i t h i n i t ? H o w i s t h e c o n t e n t o r g a n i z e d ? T o a n s w e r t h e s e q u e s t i o n s , I d r a w p r i m a r i l y o n d o c u m e n t s p u b l i s h e d b y t h e d e v e l o p e r s o f t h e c u r r i c u l u m . T h e d e y e l e p m e n t c t C S M P . I w o n d e r e d h o w i t c o u l d b e t h a t C S M P w a s d e v e l o p e d p r i o r t o t h e c u r r e n t N C T M s t a n d a r d s y e t w a s c o n s i s t e n t w i t h t h e m . W h a t w a s t h e s t a t e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a t t h e t i m e o f C S M P ’ s i n i t i a l d e v e l o p m e n t i n 1 9 6 6 ? T h e l a u n c h i n g o f S p u t n i k i n 1 9 5 7 p r o m p t e d p e o p l e t o d o s o m e t h i n g t o u p g r a d e m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e i n s t r u c t i o n i n t h e U n i t e d S t a t e s . S h o r t l y a f t e r S p u t n i k , J e r o m e B r u n e r ( 1 9 7 7 / 1 9 6 0 ) , a p o w e r f u l s p o k e s p e r s o n f o r t h i n k i n g i n n e w w a y s a b o u t l e a r n i n g , t e a c h i n g , a n d s u b j e c t m a t t e r , a n d h i s m e H 1 5 s t r n e x 1 0 5 c o l l e a g u e s b e c a m e l e a d e r s i n a n e w w a v e o f c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . B r u n e r a n d h i s c o l l e a g u e s t h o u g h t t h a t s t u d e n t s w e r e c a p a b l e o f t h i n k i n g a b o u t m o r e s o p h i s t i c a t e d i d e a s t h a n t h e y w e r e g i v e n c r e d i t o r o p p o r t u n i t y t o d o i n s c h o o l s . T h e y e n c o u r a g e d t h e d e v e l o p m e n t o f c u r r i c u l a t h a t w a s r e s p o n s i v e t o o f f e r i n g s t u d e n t s n e w o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n . W h a t B r u n e r t h o u g h t s t u d e n t s o u g h t t o a n d w e r e c a p a b l e o f u n d e r s t a n d i n g w a s t h e s t r u c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e . T h a t i s , s t u d e n t s c o u l d l e a r n t h e f u n d a m e n t a l i d e a s o f t h e d i s c i p l i n e a n d u n d e r s t a n d t h e c o n n e c t i o n s a m o n g t h e i d e a s . B r u n e r ( 1 9 7 7 / 1 9 6 0 ) n o t e d , ” T o l e a r n s t r u c t u r e , i n s h o r t , i s t o l e a r n h o w t h i n g s a r e r e l a t e d ” ( p . 7 ) . T h e i n i t i a l w a v e o f m a t h r e f o r m , i n r e s p o n s e t o S p u t n i k a n d t h e s e i d e a s o f B r u n e r ’ s , c a m e i n t h e f o r m o f ” n e w m a t h . ” T h i s r e f o r m m o v e m e n t w a s a n a t t e m p t t o e n r i c h t h e c o n t e n t o f t h e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g b y d e v e l o p i n g c u r r i c u l a t h a t r e p r e s e n t e d t h e s t r u c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e ( B r u n e r , 1 9 7 7 / 1 9 6 0 ) . T h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s e n e w m a t h e m a t i c s c u r r i c u l a 7 d i d n o t m e e t w i t h h u g e s u c c e s s ( S a r a s o n , 1 9 8 2 ; S t a k e 8 : E a s l e y , 1 9 7 8 ) . N e w m a t h w a s t a u g h t i n o l d w a y s ( S a r a s o n , 1 9 8 2 ) . O n e r e s p o n s e t o t h i s f a i l u r e o f ” n e w m a t h ” w a s t o m o v e f r o m c o n t e n t w i t h a c o n c e p t u a l f o c u s b a c k t o t h e b a s i c s k i l l s . T h i s r e s u l t e d i n c u r r i c u l a d e s i g n e d a r o u n d s e q u e n c e d b e h a v i o r a l o b j e c t i v e s i n t e n d e d t o b e t a u g h t , a s s e s s e d , a n d m a s t e r e d ( K a u f m a n n 8 : S t e r l i n g , 1 9 8 1 ) . A n o t h e r r e s p o n s e w a s t o p r e s e r v e t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f n e w m a t h b u t g i v e m o r e s e r i o u s t h o u g h t t o i s s u e s o f p e d a g o g y . T h i s i s w h a t t h e d e v e l o p e r s o f C S M P i n t e n d e d t o d o . C S M P w a s d e v e l o p e d u n d e r t h e c o m m i t m e n t t o ” d u a l e m p h a s i s o n m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d p e d a g o g y d e s i g n e d t o s u p p o r t m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ” ( M c R E L , 1 9 9 2 a , p . 4 ) . 7 T h e s e fi r s t w a v e o f ” n e w m a t h ” c u r r i c u l u m p r o j e c t s d i d n o t i n c l u d e C S M P . I t d i d i n c l u d e p r o j e c t s a n d p r o g r a m s l i k e S M S G , U I C S M , T h e A r i t h m e t i c P r o j e c t , t h e M a d i s o n P r o j e c t , a n d M i n n e m a t h ( K a u f m a n n 8 : S t e r l i n g , 1 9 8 1 ) . S i o f i d : d e p r ; t h e 1 0 6 T h e u u d e r l y i n g a s s u m p u ' e u s . C S M P i s b u i l t o n t h e a s s u m p t i o n t h a t b e i n g m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e i s k n o w i n g s o m e t h i n g a b o u t c a l c u l u s o r u n d e r s t a n d i n g r e a l n u m b e r s , t h e i d e a s o f f u n c t i o n s , a n d l o g i c ( C E M R E L , 1 9 8 1 b ) . W o r k i n g b a c k w a r d f r o m t h a t g o a l , t h e p u r p o s e o f t h e c u r r i c u l u m i s t o ” g i v e s t u d e n t s a n a p p r e c i a t i o n a n d f e e l i n g f o r a l g e b r a i c s t r u c t u r e . ” T h e c o n c e p t s o f s e t , r e l a t i o n , a n d f u n c t i o n , w i t h o u t t h e f o r m a l m a t h e m a t i c a l t e r m i n o l o g y , h o l d a p r o m i n e n t p l a c e i n t h i s c u r r i c u l u m . I n a d d i t i o n t o t h e s p e c i fi c c o n t e n t , C S M P w a n t s s t u d e n t s t o h a v e a n a p p r e c i a t i o n f o r t h e ” p o w e r a n d e l e g a n c e ” ( C E M R E L , 1 9 8 1 b ) o f m a t h e m a t i c s . C S M P i s b u i l t u p o n a c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s a s a u n i fi e d b o d y o f k n o w l e d g e ( M c R E L , 1 9 9 2 a ) . M a t h e m a t i c s , f r o m C S M P ’ s p e r s p e c t i v e , i s a b o u t i d e a s , n o t n o t a t i o n ( C E M R E L , 1 9 8 1 b ) . C o m p u t a t i o n i s s t i l l i m p o r t a n t b u t t h e d e v e l o p e r s o f C S M P ( C E M R E L , 1 9 8 1 b ) d i d n o t b e l i e v e t h a t s t u d e n t s n e e d e n d l e s s p r a c t i c e o f a l g o r i t h m s . I n s t e a d , a l g o r i t h m s a r e i n t r o d u c e d i n t h e c o n t e x t o f w h a t t h e y b e l i e v e t o b e i n t e r e s t i n g p r o b l e m s i t u a t i o n s f o r c h i l d r e n . W h a t a r e t h e a s s u m p t i o n s a b o u t h o w c h i l d r e n l e a r n t h a t w e r e p o p u l a r a r o u n d t h e t i m e o f t h e d e v e l o p m e n t o f C S M P ? B r u n e r a n d h i s c o l l e a g u e s t h o u g h t t h a t s t u d e n t s o u g h t t o l e a r n m a t h e m a t i c s t h r o u g h t h e d i s c o v e r y a p p r o a c h . T h a t i s , g i v e n r i c h m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s , s t u d e n t s w o u l d b e a b l e t o i n t u i t i v e l y g r a s p o r d i s c o v e r t h e s t r u c t u r e o f t h e d i s c i p l i n e . T h e e x p e r i e n c e s n e e d t o b e c a r e f u l l y s e q u e n c e d a n d r e v i s i t e d r e p e a t e d l y ( B r u n e r , 1 9 7 7 / 1 9 6 0 ) . C u g i c u l L r i m p h ' L a u ' e u s C S M P u s e s a p r o b l e m s o l v i n g a p p r o a c h d e s i g n e d a r o u n d ” a p e d a g o g y o f s i t u a t i o n s . ” T h a t i s , C S M P h a s a i m e d t o s i t u a t e t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n c o n t e x t s t h e y b e l i e v e a r e a c c e s s i b l e t o c h i l d r e n . T h e y m a k e u s e o f s t o r y s i t u a t i o n s a n d c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n s ( i . e . t h e M i n i c o m p u t e r , a r r o w r o a d s , a n d s t r i n g p i c t u r e s ) . T h e s e r e p r e s e n t a t i o n s a r e d e s c r i b e d i n d e t a i l a b i t l a t e r . T h e r e a r e n o s t u d e n t t e x t b o o k s , o n l y a t e a c h e r ’ s P l l a d e N 1 L a m 6 s i t : t h e E X P 1 0 7 g u i d e a n d s t u d e n t w o r k s h e e t s t o a c c o m p a n y i n d i v i d u a l l e s s o n s . T h e c u r r i c u l u m i s d e s i g n e d t o ” h e l p c h i l d r e n u s e t h e i r c u r i o s i t y , t h e i r i n t u i t i o n , t h e i r p o w e r s o f r e a s o n i n g t o f o r m u l a t e a n d t h i n k a b o u t i n t e r e s t i n g p r o b l e m s a n d s i t u a t i o n s ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . 3 0 ) . T h e p r o b l e m s i t u a t i o n s a r e i n t e n d e d t o g u i d e t h e s e q u e n c i n g o f c o n t e n t a n d p r o v i d e a m e a n s f o r d e v e l o p i n g c o m p u t a t i o n s k i l l s ( M c R E L , 1 9 8 6 ) . T h e b e l i e f i s b a s e d o n t h e t h e o r y t h a t s t u d e n t s l e a r n b y i n t u i t i o n i n t h e c o n t e x t o f p r o b l e m s i t u a t i o n s t h a t t h e y fi n d i n t r i g u i n g . ” T h e c o n t e n t i s p r e s e n t e d n o t a s a n a r t i fi c i a l s t r u c t u r e e x t e r n a l t o t h e e x p e r i e n c e o f c h i l d r e n b u t r a t h e r a s a n e x t e n s i o n o f e x p e r i e n c e s c h i l d r e n h a v e e n c o u n t e r e d i n t h e i r d e v e l o p m e n t ” ( H e r b e r t , 1 9 8 4 , p . 3 ) . D o i n g t h e s e p r o b l e m s ” c o u l d e a s i l y l e a d i n s e v e r a l w a y s t o i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a s o r w a y s o f t h i n k i n g ” ( H e r b e r t , 1 9 8 4 , p . 6 ) . T h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i s o r g a n i z e d i n t o f o u r s t r a n d s : T h e W o r l d o f N u m b e r s , G e o m e t r y a n d M e a s u r e m e n t , P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s , a n d T h e L a n g u a g e o f S t r i n g s a n d A r r o w s . T h e s e s t r a n d s a r e o r g a n i z e d i n a s p i r a l . T h i s m e a n s t h a t i n a w e e k ’ s t i m e , t h e d e v e l o p e r s i n t e n d s t u d e n t s t o e n c o u n t e r s i t u a t i o n s f r o m a d i f f e r e n t s t r a n d o n e a c h d a y . T h e n e x t w e e k , s t u d e n t s r e t u r n t o t h e s t r a n d a n d e n c o u n t e r s i m i l a r i d e a s i n n e w l e s s o n s o v e r a g a i n . H e r b e r t ( 1 9 8 4 ) e x p l a i n s t h e r a t i o n a l e b e h i n d t h i s a p p r o a c h , C S M P b e l i e v e s t h a t d i f f e r e n t c h i l d r e n l e a r n a t d i f f e r e n t t i m e s a n d a t d i f f e r e n t r a t e s a n d s i n c e l e a r n i n g i s n o t n e c e s s a r i l y a l i n e a r p r o c e s s , t h i s s p i r a l o r g a n i z a t i o n g i v e s e a c h s t u d e n t a n e w c h a n c e t o w o r k w i t h a n i d e a a t e a c h t u r n o f t h e s p i r a l . T h u s , a c c o r d i n g t o t h e d e v e l o p e r s , w h e n s t u d e n t s r e t u r n t o a t o p i c a w e e k o r t w o l a t e r , s o m e w h o d i d n o t u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s t h e fi r s t t i m e a r o u n d m a y n o w b e b e t t e r p r e p a r e d t o w o r k o n t h e i d e a s . ( p . 2 2 ) T h e i n t e n t i o n o f t h e s p i r a l o r g a n i z a t i o n i s f o r s t u d e n t s t o h a v e e x p e r i e n c e s w h i c h ” c o m b i n e b r i e f e x p o s u r e s t o a t o p i c ( s e p a r a t e d b y s e v e r a l d a y s b e f o r e t h e t o p i c 1 0 8 a p p e a r s a g a i n ) w i t h a t h o r o u g h i n t e g r a t i o n o f t o p i c s f r o m d a y t o d a y ” ( C E M R E L , 1 9 8 2 , p . 3 ) . I n t r o d u c i n g , l e a v i n g , a n d r e t u r n i n g t o c o n c e p t s a n d i d e a s i s i n t e n t i o n a l a n d r e l a t e d t o b e l i e f s a b o u t l e a r n i n g . " T h e g a p b e t w e e n t h e s e g m e n t s p r o v i d e s t i m e f o r t h e m a t e r i a l t o " s i n k i n " ; l a t e r s e g m e n t s p r o v e d a n a t u r a l r e v i e w o f e a r l i e r s e g m e n t s " ( C E M R E L , 1 9 8 2 , p . 3 ) . T h e a s s u m p t i o n u n d e r l y i n g C S M P i s t h a t l e a r n i n g o c c u r s i n a s p i r a l , r a t h e r t h a n a l i n e a r , p r o c e s s . A d e s c r i p t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t w i t h i n e a c h o f t h e s t r a n d s i n c l u d e s a d e s c r i p t i o n o f t h e t h r e e n o n - v e r b a l l a n g u a g e s f o u n d w i t h i n t h e s t r a n d s : s t r i n g p i c t u r e s , a r r o w d i a g r a m s a n d t h e M i n i c o m p u t e r . T h e n o n - v e r b a l l a n g u a g e s a r e i n t e n d e d t o h e l p s t u d e n t s c o n s i d e r m o r e c o m p l i c a t e d m a t h e m a t i c a l i d e a s w i t h o u t e n c o u n t e r i n g w r i t i n g , r e a d i n g , o r f o r m a l t e r m i n o l o g y a s o b s t a c l e s . A d e s c r i p t i o n o f e a c h o f t h e s t r a n d s a n d t h e n o n - v e r b a l t o o l s w i t h i n t h e m f o l l o w . T h e W e r l d c f N u m b e r s . T h e W o r l d o f N u m b e r s i s a s i t e f o r c h i l d r e n t o h a v e a v a r i e t y o f n u m e r i c a l e x p e r i e n c e s , i n c l u d i n g a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , n e g a t i v e n u m b e r s , d e c i m a l s , a n d f r a c t i o n s . T h e P a p y M i n i c o m p u t e r i s a t o o l f o r h e l p i n g s t u d e n t s t o c o n s t r u c t a n d u n d e r s t a n d i d e a s a b o u t p l a c e v a l u e w h e n d o i n g b a s i c c o m p u t a t i o n s . T h e M i n i c o m p u t e r i s n o t l i k e a c o m p u t e r o r a c a l c u l a t o r . I t i s a l a r g e s q u a r e b o a r d d i v i d e d i n t o f o u r s q u a r e s o f d i f f e r e n t c o l o r s a n d d i f f e r e n t v a l u e s . E a c h o f t h e s m a l l e r s q u a r e s w i t h i n t h e l a r g e s q u a r e h a s a d i f f e r e n t v a l u e - - 1 , 2 , 4 , o r 8 . F r o m r i g h t t o l e f t , t h e v a l u e s o f t h e b o a r d s i n c r e a s e a s t h e i r p l a c e i n t h e b a s e t e n s y s t e m i n c r e a s e s . ~ 1 0 9 t e n s o n e s / F i g u r e P 2 T h e v a l u e s o f t h e M i n i c o m p u t e r C h e c k e r s p l a c e d o n t h e s q u a r e s h a v e t h e v a l u e o f t h e s q u a r e . T o fi n d t h e n u m b e r o n t h e M i n i c o m p u t e r y o u a d d u p t h e v a l u e s o f e a c h o f t h e c h e c k e r s . F o r e x a m p l e , t h e n u m b e r o n t h e M i n i c o m p u t e r b e l o w i s 1 6 o r 2 + 4 + 1 0 . R R I R \ ‘ l 6 F i g u r e P . 3 2 + 4 + 1 0 o r 1 6 a s r e p r e s e n t e d b y t h e M i n i c o m p u t e r S t u d e n t s u s e t h e M i n i c o m p u t e r t o r e p r e s e n t n u m b e r s , p e r f o r m c a l c u l a t i o n s , a n d s o l v e p r o b l e m s . T h e M i n i c o m p u t e r i s i n t e n d e d ( C E M R E L , 1 9 8 1 a ) t o b e a w a y f o r y o u n g s t u d e n t s t o b e a b l e t o w o r k w i t h r e l a t i v e l y l a r g e n u m b e r s e a r l y i n t h e i r s t u d y o f m a t h e m a t i c s . T h e L a u g u a g e c f S i m g s a n d A r r e y y s . T h e L a n g u a g e s o f S t r i n g s a n d A r r o w s i s a w a y t o r e p r e s e n t a n d s t u d y s e t s a n d r e l a t i o n s a n d u s e c l a s s i fi c a t i o n m a t p r i r u p ( M r J a n g 0 r o l b e l o . A m a n d 1 f r o m t h i n k s e t . Q t h i n k i r a b fl j t ) . ( l a g s j fi ( 1 1 0 t o u n d e r s t a n d c o n c e p t s a n d s o l v e p r o b l e m s . T h i s i s i m p o r t a n t i n t h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s b e c a u s e , ” T h e d e fi n i t i o n o f m a t h i s t h e s t u d y o f s e t s a n d r e l a t i o n s p r i n c i p a l l y i n v o l v i n g n u m b e r s a n d g e o m e t r i c a l o b j e c t s . T h i s i s i n c h i l d r e n ' s e x p e r i e n c e s a n d m a t h e m a t i c s , t h e r e f o r e k e y i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . v i ) . T h e r e a r e t w o n o n - v e r b a l l a n g u a g e s w i t h i n t h i s s t r a n d , t h e l a n g u a g e o f a r r o w s a n d t h e l a n g u a g e o f s t r i n g s . T h e L a n g u a g e o f A r r o w s i s u s e d t o ” r e p r e s e n t r e l a t i o n s a m o n g n u m b e r s o r o b j e c t s ” ( H e r b e r t , 1 9 8 4 , p . 9 ) . C h i l d r e n c a n " r e a d a n d d r a w t h e r e l a t i o n s h i p b e f o r e t h e y c a n p r e s e n t t h e s a m e i n f o r m a t i o n i n w o r d s ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . v i i ) . A r r o w d i a g r a m s a r e u s e d t o r e p r e s e n t t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o f r e l a t i o n s a n d f u n c t i o n s , n u m e r i c a l a n d n o n - n u m e r i c a l r e l a t i o n s l i k e a d d i n g t o , s u b t r a c t i n g f r o m , m u l t i p l y i n g b y , a n d s h a r i n g e q u a l l y a m o n g . T h e y a r e a l s o u s e d f o r l o g i c a l t h i n k i n g a c t i v i t i e s . + 2 + 2 + 2 + 2 ( W 2 4 6 8 1 0 F i g u r e P . 4 A n a r r o w r o a d T h e L a n g u a g e o f S t r i n g s i s u s e d t o r e p r e s e n t t h e m a t h e m a t i c a l n o t i o n o f s e t . C o l o r e d s t r i n g s p r o v i d e n o n - v e r b a l l a n g u a g e f o r c l a s s i fi c a t i o n a n d l o g i c a l t h i n k i n g a n d d e d u c t i v e r e a s o n i n g e x e r c i s e s . T h i s i s i m p o r t a n t b e c a u s e , ” T h e a b i l i t y t o c l a s s i f y , t o r e a s o n a b o u t c l a s s i fi c a t i o n , t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n a b o u t c l a s s i fi c a t i o n a r e i m p o r t a n t s k i l l s f o r e v e r y d a y l i f e ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . v i ) . 1 1 1 T r i a n g l e s F i g u r e P . 5 A s t r i n g p i c t u r e G e e m e t t y Q d M e a s u r e m e n t . T h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s i s n o t l i m i t e d t o t h e s t u d y o f n u m e r i c a l s i t u a t i o n s . I n t h e G e o m e t r y a n d M e a s u r e m e n t s t r a n d , m e a s u r e m e n t b e c o m e s a m e a n s f o r i n v e s t i g a t i n g p r o b l e m s a n d d e v e l o p i n g c o n c e p t s a n d p r o v i d e s a n o p p o r t u n i t y t o ” e x p l o r e t h e r i c h c o n n e c t i o n s b e t w e e n a r i t h m e t i c c o n c e p t s a n d p h y s i c a l c o n c e p t s ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . v ) . P r e h a h i l i t y a n d S t a t i s t i c s . T h e s t r a n d o f P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s p r o v i d e s c h a l l e n g i n g p r o b l e m s i t u a t i o n s a n d t h e o p p o r t u n i t y f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e w o r l d a r o u n d t h e m b y d e a l i n g w i t h i d e a s l i k e c h a n c e a n d p r e d i c t i o n . I n t h i s s t r a n d , s t u d e n t s i n v e s t i g a t e t h e n o t i o n o f p r o b a b i l i t y a n d l e a r n t o t h i n k l o g i c a l l y a s a m e a n s o f p r e d i c t i n g t h e l i k e l i h o o d o f f u t u r e e v e n t s . W T h e i n d i v i d u a l l e s s o n s w i t h i n a s t r a n d b e g i n w i t h a s h o r t s u m m a r y o f t h e l e s s o n . ” I n d i r e c t l y , t h e s e s u m m a r i e s s u g g e s t g o a l s b u t , o f c o u r s e , t h e g o a l s o f t h e c u r r i c u l u m s p r e a d o v e r w h o l e s e r i e s o f l e s s o n s a n d c a n n o t b e b r o k e n i n t o s p e c i fi c g o a l s f o r i n d i v i d u a l l e s s o n s ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . 3 2 ) . T h e s e a r e n o t g o a l s i n t h e f o r m o f o b j e c t i v e s t o b e m a s t e r e d . M a s t e r y w o u l d r u n c o u n t e r t o t h e b e l i e f s a b o u t l e a r n i n g s u p p o r t e d b y t h e s p i r a l t t ’ t e a r e s ] E m ] 1 1 2 o r g a n i z a t i o n o f t h e c u r r i c u l u m . C S M P m a k e s s o m e a s s u m p t i o n s a b o u t h o w i t i s t e a c h e r s w i l l fi g u r e o u t t h e g o a l s o f a p a r t i c u l a r l e s s o n , " I f y o u r e a d t h e i n t r o d u c t i o n t o t h e s t r a n d i n w h i c h a l e s s o n a p p e a r s a s w e l l a s t h e C a p s u l e L e s s o n S u m m a r y f o r t h a t l e s s o n , w e e x p e c t y o u w i l l e a s i l y s e e t h e d i r e c t i o n a n d i n t e n t o f t h e l e s s o n . W e d e c l i n e t o p r e d i c t f o r a n y o n e l e s s o n w h a t w i l l h a p p e n i n t e r m s o f s t u d e n t l e a r n i n g ” ( M c R E L , 1 9 8 6 p . 3 2 ) . T h e s p i r a l i n g t h a t o c c u r s a c r o s s s t r a n d s , a s d e s c r i b e d e a r l i e r , i s f o u n d w i t h i n s t r a n d s a s w e l l . T h e m a t h e m a t i c a l i d e a s f o u n d w i t h i n a s i n g l e l e s s o n r e o c c u r i n l e s s o n s f o u n d l a t e r i n a p a r t i c u l a r s t r a n d . I h e t e a c h e r ’ s r e l e . H o w d o e s t h e t e a c h e r g u i d e ” s t u d e n t s t o a d e s i r e d m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e o r c o n c l u s i o n ” ( M c R E L , 1 9 9 2 a , p . 5 ) ? W h a t i s t h e t e a c h e r ’ s r o l e i n g u i d e d d i s c o v e r y ? T h e w a y t h e t e a c h e r h e l p s t h e s t u d e n t s t o l e a r n o r t o d i s c o v e r t h e s t r u c t u r e o f w h a t i t i s t h e y a r e l e a r n i n g i n t u i t i v e l y i s t h r o u g h t h e a s k i n g o f q u e s t i o n s t h a t h e l p s t u d e n t s t o t h i n k a b o u t t h e p r o b l e m . B r u n e r ( 1 9 7 7 / 1 9 6 0 ) , h o w e v e r , s a w t h i s a s n o e a s y t a s k f o r t e a c h e r s . G i v e n a p a r t i c u l a r s u b j e c t m a t t e r o r a p a r t i c u l a r c o n c e p t , i t i s e a s y t o a s k t r i v i a l q u e s t i o n s o r t o l e a d t h e c h i l d t o a s k t r i v i a l q u e s t i o n s . I t i s a l s o e a s y t o a s k i m p o s s i b l y d i f fi c u l t q u e s t i o n s . T h e t r i c k i s t o fi n d t h e m e d i u m q u e s t i o n s t h a t c a n b e a n s w e r e d a n d t h a t t a k e y o u s o m e w h e r e . T h i s i s t h e b i g j o b o f t e a c h e r s a n d t e x t b o o k s . ( p . 4 0 ) I n o r d e r t o a d d r e s s t h i s p r o b l e m , C S M P p r o v i d e s t e a c h e r s w i t h a s c r i p t e d t e a c h e r ’ s g u i d e - t e a c h e r q u e s t i o n s f o l l o w e d b y s e v e r a l e x a m p l e s o f s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s y o u m i g h t h e a r s t u d e n t s s a y . T h e s e t e a c h e r ’ s g u i d e s p l a c e a h e a v y e m p h a s i s o n t h e d i s c o v e r y a p p r o a c h a n d q u e s t i o n - a s k i n g t e c h n i q u e s . C S M P i s v e r y t e a c h e r d i r e c t e d . T e a c h e r s a r e e n c o u r a g e d t o f o l l o w t h e t e a c h e r ' s g u i d e f a i r l y c a r e f u l l y u n t i l t h e y b e c o m e c o m f o r t a b l e w i t h t h e k i n d s o f q u e s t i o n s a n d p r o c e d u r e s i n t e n d e d . B e c a u s e o f C S M P ' S h i g h l y s t r u c t u r e d s c h e d u l e s a n d l e s s o n s , t h e t e a c h e r s ' g u i d e i s t h e c r u c i a l p r o g r a m v e h i c l e . I t p r o v i d e s s u p p o r t a n d i n s t r u c t i o n t o t h e t e a c h e r f r o m 1 1 3 t r a i n i n g , t h r o u g h p r a c t i c e o f t h e l e s s o n s , a n d o n t o e v e n t u a l m a s t e r y o f t h e c o n t e n t a n d p e d a g o g y . ( H e r b e r t , 1 9 8 4 , p . 2 5 ) W h a t t h i s i m p l i e s i s t h a t a t e a c h e r m i g h t b e a b l e t o l e a r n t h e c o n t e n t a n d p e d a g o g y o f C S M P t h r o u g h r e p e a t e d u s e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . H e r b e r t ( 1 9 8 4 ) m a k e s i t s o u n d l i k e C S M P i s n o t o n l y a g u i d e f o r t e a c h i n g b u t a l s o a t o o l f o r l e a r n i n g t o t e a c h . C S M P s u g g e s t s , " Y o u m a y w i s h t o f o l l o w i t a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r a n d t h e n d e v i a t e f r o m i t a s t h e n e e d s o f y o u r s t u d e n t s m a y d i c t a t e ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . 3 9 ) . T h e d e t a i l e d l e s s o n s , a c c o r d i n g t o t h e d e v e l o p e r s , a r e o n l y g i v e n f o r t e a c h e r s w h o f e e l t h e y n e e d t h e m . Y o u s h o u l d n e v e r f e e l o b l i g a t e d t o f o l l o w a n y l e s s o n w o r d f o r w o r d a s i t i s w r i t t e n i n t h e g u i d e . B y t h e s a m e t o k e n , y o u s h o u l d n e v e r i n s i s t t h a t y o u r s t u d e n t s g i v e t h e s a m e r e s p o n s e a s t h o s e g i v e n i n t h e h y p o t h e t i c a l d i a l o g u e s . U s e y o u r o w n c r e a t i v i t y i n d r a w i n g o u t s t u d e n t s ' r e s p o n s e s a s t h e s i t u a t i o n s s u g g e s t . R e a d t h e l e s s o n p l a n s v e r y c a r e f u l l y b e f o r e h a n d t o g e t a n i d e a h o w t h e l e s s o n s a r e e x p e c t e d t o p r o c e e d . ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . 3 9 ) O n e o f t h e p u r p o s e s o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i s t o m o d e l g o o d q u e s t i o n i n g t e c h n i q u e s w h i c h i s , f r o m C S M P ’ S p e r s p e c t i v e , a c r i t i c a l s k i l l i n p r o b l e m s o l v i n g a n d o n e t h a t t e a c h e r s o f t e n fi n d d i f fi c u l t t o d o . T h e s i g u i fi c a n c e c f C S M P t e m y s t u d y . M y s t u d y i s n o t a s t u d y o f t h e i m p l e m e n t a t i o n o f C S l V fl ’ . I a m s t u d y i n g w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n w a y s a d v o c a t e d b y t h e c u r r e n t r e f o r m . I b e g a n m y e f f o r t s b y u s i n g a m a t h t e x t b o o k , t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e , a s a t o o l i n t h a t p r o c e s s . T h e w a y I m a d e u s e o f C S M P i s t h e w a y m o s t t e a c h e r s , I c o n j e c t u r e , w i l l t r y t o m a k e u s e o f a n y t e x t b o o k . I t r i e d t o g l e a n w h a t I c o u l d f r o m t h e t e x t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . W h e n I d i d n o t u n d e r s t a n d s o m e t h i n g w i t h i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , I m a d e a n e d u c a t e d g u e s s a b o u t i t s m e a n i n g o r d i s m i s s e d w h a t I d i d n o t u n d e r s t a n d a s u n i m p o r t a n t . I u s e d t h e t e x t b o o k u n d e r t h e b e s t o f i n t e n t i o n s w i t h m i n i m a l 1 1 4 s u p p o r t f o r m a k i n g s e n s e o f t h e c o n t e n t a n d t h e p e d a g o g y a s i t a p p e a r e d e x p l i c i t l y a n d i m p l i c i t l y w i t h i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . W I k e p t a j o u r n a l o n m y t e a c h i n g a l l y e a r . K e e p i n g a t e a c h i n g j o u r n a l i s s o m e t h i n g I o b s e r v e d b o t h M a g g i e a n d D e b o r a h d o i n g . N e i t h e r o f t h e m u s e d a t e a c h e r ’ s g u i d e o r l e s s o n p l a n b o o k . B u t t h e y k e p t j o u r n a l s t h a t c o n t a i n e d d e t a i l e d a n d e x t e n s i v e n o t e s o n t h e i r t e a c h i n g w r i t t e n m a i n l y b e f o r e a n d a f t e r e a c h m a t h c l a s s . I t r i e d t o k e e p s u c h a j o u r n a l a n d g a v e a c o p y o f i t t o M a g g i e t o r e a d a n d r e s p o n d t o o n a w e e k l y b a s i s t h r o u g h o u t t h e y e a r I t a u g h t . T h e d e c i s i o n t o k e e p t h i s j o u r n a l , a t t h e t i m e , w a s a d i f fi c u l t o n e t o f o l l o w t h r o u g h o n . I h a d k e p t p e r s o n a l d i a r i e s a s a c h i l d a n d e v e n d u r i n g p e r i o d s o f t i m e i n m y l i f e a s a n a d u l t . T r y i n g t o w r i t e a b o u t m y t e a c h i n g , o n a d a i l y b a s i s , h o w e v e r , w a s a f a r g r e a t e r c h a l l e n g e . I t w a s n o t a s e a s y f o r m e a s i t l o o k e d t o b e f o r M a g g i e a n d D e b o r a h . T h e d i f fi c u l t y w a s n o t s o m u c h i n f i n d i n g t h e t i m e a s k n o w i n g w h a t t h e r e w a s t o w r i t e a b o u t . A s I w a s l e a r n i n g t h a t i t w a s p o s s i b l e t o d i s c u s s m a t h e m a t i c a l i d e a s w i t h s t u d e n t s , I w a s a l s o l e a r n i n g t h a t t h e r e w e r e i s s u e s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g w o r t h t h i n k i n g a n d e v e n w r i t i n g a b o u t . W h e n I s t a r t e d t h e s c h o o l y e a r , I o n l y w r o t e i n m y j o u r n a l a f t e r t e a c h i n g . I u s e d a s e p a r a t e n o t e b o o k m o r e l i k e a p l a n b o o k t o r e c o r d w h a t i t w a s t h a t I w a s g o i n g t o d o . I s a v e d m y j o u r n a l f o r r e fl e c t i o n s o n w h a t h a p p e n e d . A s m y u s e o f t h e t e x t b o o k c h a n g e d t h r o u g h o u t t h e s c h o o l y e a r , s o d i d t h e w a y I k e p t t r a c k o f w h a t I p l a n n e d t o t e a c h a n d w h a t h a p p e n e d w h e n I t a u g h t . O v e r t i m e , t h e s e p a r a t e n o t e b o o k f o r p l a n s w e n t b y t h e w a y s i d e . I s t a r t e d k e e p i n g t r a c k o f e v e r y t h i n g i n o n e j o u r n a l a n d w r o t e i n i t b e f o r e a n d a f t e r e a c h c l a s s p e r i o d a s I t r i e d t o t h i n k t h r o u g h w h a t h a d h a p p e n e d d u r i n g a c l a s s a s p a r t o f t h e p r o c e s s o f fi g u r i n g o u t w h a t t o d o n e x t . M a n y d a y s , i t w a s h a r d t o f a c e p e n a n d p a p e r a f t e r 1 1 5 c l a s s w h e n w h a t I w a n t e d t o d o w a s a s q u i c k l y a s p o s s i b l e p u t t h e c h a l l e n g i n g e x p e r i e n c e s o f t h e c l a s s b e h i n d m e . T h e l a s t t h i n g I w a n t e d t o d o w a s r e fl e c t o n t h e m . O f t e n , I h a d t o l e t a f e w h o u r s p a s s a f t e r t e a c h i n g b e f o r e I c o u l d w r i t e a t a n y l e n g t h a b o u t t h e l e s s o n a n d p r e p a r e f o r t h e n e x t c l a s s p e r i o d . K e e p i n g a j o u r n a l w a s n o t j u s t a b o u t r e fl e c t i n g o n p r a c t i c e . J o u r n a l w r i t i n g b e c a m e a t o o l o f m y p r a c t i c e . B y t h e e n d o f t h e s c h o o l y e a r , I h a d s o m e s o r t o f j o u r n a l e n t r y f o r e v e r y d a y t h a t I t a u g h t . S i n c e d e c i d i n g t o s t u d y m y l e a r n i n g f o r t h i s y e a r o f t e a c h i n g , I h a v e b e e n t h a n k f u l I s t r u g g l e d t h r o u g h k e e p i n g a j o u r n a l . I t i s a r e c o r d o f m y t e a c h i n g t h a t i s u n l i k e w h a t I fi n d i n a n y o f m y o t h e r s o u r c e s o f d a t a . O n m a n y d a y s , i t i s a r e c o r d . o f m y f e e l i n g s . A n o t h e r a d v a n t a g e t o m y j o u r n a l a n d M a g g i e ’ s w r i t t e n r e s p o n s e t o i t i s t h a t i t i s t h e o n l y r e c o r d o f a n y o f t h e e x c h a n g e s w e h a d o v e r m y t e a c h i n g a p a r t f r o m w h a t I m a y h a v e n o t e d a b o u t t h o s e c o n v e r s a t i o n s i n m y j o u r n a l . A t t h e t i m e o f m y t e a c h i n g , t h e a c t o f a u d i o r e c o r d i n g o u r c o n v e r s a t i o n s w a s n o t a n a c t i v i t y r e l e v a n t t o d o i n g t h e t e a c h i n g . A t t h e t i m e , m y p u r p o s e w a s t e a c h i n g , n o t r e s e a r c h . M y c o n v e r s a t i o n s w i t h M a g g i e a n d t h e i m m e d i a t e n e e d s t h e y s e r v e d w e r e w h a t m a t t e r e d t o m e . 8 I n r e t r o s p e c t , I r e g r e t n o t h a v i n g d o c u m e n t a t i o n o f t h o s e c o n v e r s a t i o n s w i t h M a g g i e . 8 S e e H e a t o n a n d L a m p e r t ( 1 9 9 3 ) f o r a d i s c u s s i o n o f t h e n a t u r e o f t h o s e c o n v e r s a t i o n s . C H A P T E R 4 W H A T I S A P A T T E R N ? : F R U S T R A T I O N I N T H E E A R L Y W E E K S O F S C H O O L I n t r e d u c t i e n T h e f i r s t f e w w e e k s o f t e a c h i n g w e r e w r o u g h t w i t h d i f f i c u l t i e s a n d f r u s t r a t i o n a s I t r i e d t o e n a c t t h e v i s i o n I h e l d f o r t h e k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g I w a n t e d t o b e d o i n g . I c o n t i n u a l l y f e l t a s i f I w a s f a l l i n g s h o r t o f m y g o a l . A t t h e s t a r t o f t h a t y e a r , t h e t i m e o f t h i s l e s s o n , I f o u n d m y s e l f t e t h e r e d t o t h e t e x t b o o k . I a c t e d a s i f i t w e r e m y l i f e l i n e t o t e a c h i n g . I r o n i c a l l y , a b i t l a t e r I f o u n d m y s e l f n e e d i n g t o s e v e r t h e c o n n e c t i o n t o m a k e p r o g r e s s i n l e a r n i n g t o t e a c h d i f f e r e n t l y . T h e t e x t b o o k d i d n o t , h o w e v e r , d r i f t c o m p l e t e l y o u t o f m y s i g h t . R a t h e r , t h r o u g h o u t t h e y e a r , I r e c o n s i d e r e d m y r e l a t i o n s h i p t o i t a n d w o r k e d a t r e c a s t i n g i t s p l a c e i n m y t e a c h i n g . T h e d i f fi c u l t i e s a n d c o n f u s i o n I c o n f r o n t i n t h e t e a c h i n g d e s c r i b e d a n d a n a l y z e d i n t h i s c h a p t e r , b a s e d o n a l e s s o n ( 0 9 / 2 0 / 8 9 ) i n t h e t h i r d w e e k o f t h e 1 9 8 9 - 9 0 s c h o o l y e a r , a r e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e c h a l l e n g e s I c o n f r o n t e d o n a d a i l y b a s i s i n t h e e a r l y w e e k s o f s c h o o l . T h e f r u s t r a t i o n s I f e l t t h r o u g h o u t t h i s l e s s o n , h o w e v e r , w e r e m o r e i n t e n s e t h a n w h a t I h a d e x p e r i e n c e d i n p r e v i o u s l e s s o n s . M y c u r i o s i t y o v e r t h e s o u r c e o f t h e s e f r u s t r a t i o n s d r e w m e t o s t u d y t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n . P a i n f u l a s i t h a s b e e n t o l o o k b a c k a t t h i s p e r i o d i n m y t e a c h i n g , d o i n g s o h a s o f f e r e d a r i c h s i t e f o r e x p l o r i n g t h e d e m a n d s o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I h a v e c h o s e n t o o r g a n i z e t h i s c h a p t e r i n t o t h r e e m a i n p a r t s . T h e fi r s t p a r t i s m y t e l l i n g o f t h e s t o r y o f t h e t e a c h i n g o n t h i s p a r t i c u l a r d a y . T h e s t o r y , i t s e l f , h a s t h r e e s e c t i o n s b a s e d o n - t h e w a y I o r g a n i z e d m y t e a c h i n g i n t h o s e 1 1 6 1 1 7 e a r l y w e e k s o f s c h o o l : p l a n n i n g , t e a c h i n g , a n d r e fl e c t i o n s o n t e a c h i n g . T h r o u g h m y d e s c r i p t i o n s o f e v e n t s , I i n t e n d t o p o r t r a y t h e c o n f u s i o n a n d f r u s t r a t i o n s I f e l t a s w e l l a s t h e s e n s e , o r l a c k o f s e n s e , I m a d e o f w h a t w a s h a p p e n i n g a t t h e t i m e . A n y f r u s t r a t i o n y o u m a y f e e l a s a r e a d e r a s y o u t r y t o f o l l o w m y t e a c h i n g e x p e r i e n c e o n t h e d a y f o c u s e d o n i n t h i s c h a p t e r i s i n t e n t i o n a l . T h e l a c k o f s m o o t h n e s s i n t h e fl o w o f t h e n a r r a t i v e i s c h a r a c t e r i s t i c o f w h a t I w a s e x p e r i e n c i n g i n t h e t e a c h i n g . B e a r w i t h m e . T h e t e n o r o f m y t e a c h i n g s m o o t h e s o u t s o m e w h a t i n l a t e r c h a p t e r s . I n t h e s e c o n d p a r t o f t h i s c h a p t e r , I l o o k b a c k o n t h i s l e s s o n a n d w h a t I a m l e a r n i n g f r o m m y p r e s e n t p e r s p e c t i v e , t h r e e y e a r s a f t e r t e a c h i n g t h e l e s s o n . I r e - e x a m i n e m y f r u s t r a t i o n s a n d t r y t o u n d e r s t a n d w h a t i t i s t h a t I c o u l d l e a r n o r h a v e l e a r n e d s i n c e t h e n , t h a t m i g h t h a v e e a s e d m y f r u s t r a t i o n s a t t h e t i m e I e x p e r i e n c e d t h e m . I a m a b l e t o s e e a n d h e a r m u c h m o r e n o w i n m y t e a c h i n g t h a n I w a s a b l e t o t h e n . A p r i m a r y f o c u s i s o n w h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s c o n t a i n e d w i t h t h e l e s s o n , t h e t e x t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , a n d t h e t e r r i t o r y i n w h i c h t h e s t u d e n t s a n d I f o u n d o u r s e l v e s : t h e m a t h e m a t i c a l m e a n i n g a n d s i g n i fi c a n c e o f f u n c t i o n s a n d t h e i r c o m p o s i t i o n a s w e l l a s t h e r e l e v a n c e o f p a t t e r n s . F i n a l l y , i n t h e t h i r d p a r t , I d r a w p a r a l l e l s b e t w e e n w h a t I a m l e a r n i n g f r o m t h i s p a r t i c u l a r m a t h l e s s o n a b o u t l e a r n i n g t o t e a c h a n d M a r k T w a i n ’ s a d v e n t u r e s l e a r n i n g t o n a v i g a t e a r i v e r b o a t a s p o r t r a y e d i n L i f e o n t h e M i s s i s s i p p i ( T w a i n , 1 9 9 0 / 1 8 8 3 ) . I d o t h i s b e c a u s e T w a i n f a c e s f r u s t r a t i o n s i n h i s e a r l y e f f o r t s t o l e a r n t h e r i v e r t h a t s e e m s i m i l a r t o m i n e . H e s t r u g g l e s w i t h h o w t o m a k e u s e o f h i s n o t e b o o k , h i s w r i t t e n g u i d e f o r n a v i g a t i o n . I d o b a t t l e w i t h t h e t e x t b o o k . T h r o u g h h i s s t r u g g l e s , h e b e g i n s t o r e c o g n i z e t h e d e p t h o f w h a t h e n e e d s t o k n o w a n d t h e fl u i d a n d fl e x i b l e w a y h e n e e d s t o m a k e u s e o f w h a t h e k n o w s a s h e a t t e m p t s t o n a v i g a t e t h e r i v e r . H e a l s o 1 1 8 b e g i n s t o s e e t h e e v e r - c h a n g i n g q u a l i t y o f t h a t w h i c h h e i s t r y i n g t o l e a r n a n d t h e n e v e r e n d i n g j o u r n e y o f h i s o w n l e a r n i n g . I h a v e t o c o m e t o h a v e a s i m i l a r V i e w o f t h e c o n t e n t a n d p r o c e s s o f m y o w n l e a r n i n g a s a t e a c h e r . P l a n n i n g t e T e a c h F e l l e w i n g t h e T e a c h e r ’ s G u i d e T h e l e s s o n I d i d w i t h m y s t u d e n t s o n t h i s p a r t i c u l a r d a y c a m e f r o m ” T h e W o r l d o f N u m b e r s , ” o n e o f t h e c o n t e n t s t r a n d s t h a t m a k e u p t h e s p i r a l c u r r i c u l u m o f C S M P . T h e s e s t r a n d s w e r e d e s c r i b e d i n t h e P r o l o g u e t o P a r t I I . A t t h e t i m e o f t h i s l e s s o n , I h a d b e e n f o l l o w i n g t h e s p i r a l o r g a n i z a t i o n o f t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e f r o m o n e s t r a n d t o a n o t h e r , f r o m o n e l e s s o n t o t h e n e x t . A s I l o o k e d o v e r t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n a n d n o t i c e d t h e t i t l e , ” C o m p o s i t i o n o f F u n c t i o n s , ” I f e l t t h e n e e d t o g e t s o m e s e n s e o f w h a t t h i s l e s s o n w a s i n t e n d e d t o b e a b o u t a s w e l l a s w h a t m y s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o d o . T h e r e h a d a l w a y s b e e n a c l e a r m a t c h b e t w e e n w h a t t h e m a t h t e x t b o o k s a i d I w a s s u p p o s e d t o t e a c h a n d w h a t m y s t u d e n t s w e r e t o l e a r n a n d d o . I n m y p a s t t e a c h i n g , w h a t m y s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o l e a r n w a s w h a t I t a u g h t t h e m t o d o . F o r e x a m p l e , i f s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o l e a r n t o d o l o n g d i v i s i o n , I t a u g h t t h e m t h e r u l e s a n d p r o c e d u r e s f o r c o m p u t i n g t h e a l g o r i t h m , a n d t h e y p r a c t i c e d fi n d i n g t h e a n s w e r s t o m a n y l o n g d i v i s i o n p r o b l e m s . K n o w i n g w h e n a n d w h a t t h e y u n d e r s t o o d w a s a l s o m o r e s t r a i g h t f o r w a r d . A n s w e r s w e r e e i t h e r r i g h t a n d I m o v e d o n o r w r o n g a n d s t u d e n t s d i d t h e w o r k o v e r . I f m a n y s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y , I r e t a u g h t t h e l e s s o n . I n m y p a s t t e a c h i n g , t h e m e r e t i t l e o f a m a t h l e s s o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e g a v e m e s u f f i c i e n t i n f o r m a t i o n t o p l a n , t e a c h , a n d a s s e s s t h e s u c c e s s f u l n e s s o f a n y l e s s o n ( i . e . t w o - d i g i t d i v i s i o n , t h r e e - d i g i t m u l t i p l i c a t i o n , a d d i t i o n o f f r a c t i o n s ) . T h e r e w a s n e v e r a q u e s t i o n a b o u t w h a t I w a s s u p p o s e d 1 1 9 t o d o , w h a t m y s t u d e n t s w e r e t o l e a r n , a n d w h e t h e r o r n o t w e h a d a c c o m p l i s h e d a n y t h i n g . I n t h i s l e s s o n o n t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s f r o m C S M P , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w h a t t o t e a c h , w h a t w a s t o b e l e a r n e d , m y r o l e , a n d w h a t m y s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o d o d i d n o t s e e m s o c l e a r t o m e . I s a w a n e e d t o c o n s t r u c t c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e a c t i v i t y i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s t h e a c t i v i t y w a s i n t e n d e d t o t e a c h . T h e t i t l e o f t h i s l e s s o n , t h e " C o m p o s i t i o n o f F u n c t i o n s , " g a v e m e l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t e i t h e r . T h e l a n g u a g e w a s f o r e i g n t o m y p a s t e x p e r i e n c e s a s a n e l e m e n t a r y t e a c h e r . I n m y n i n e y e a r s o f t e a c h i n g , I c o u l d n o t r e c a l l a n y t o p i c , c h a p t e r , o r l e s s o n i n a n e l e m e n t a r y m a t h t e x t b o o k t h a t u s e d t h i s s a m e l a n g u a g e . 1 W h i l e I h a d l e a r n e d s o m e t h i n g a b o u t f u n c t i o n s s o m e w h e r e i n m y o w n l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s , w h a t m y f o u r t h g r a d e r s w e r e s u p p o s e d t o l e a r n a b o u t t h e m w a s a m y s t e r y t o m e . S e e i n g t h e n e e d f o r c o n n e c t i o n s a n d m a k i n g t h e m a r e t w o d i f f e r e n t t h i n g s . ” I l o o k e d f o r c l u e s t h r o u g h o u t t h e t e a c h e r ' s g u i d e t o h e l p m e b u i l d t h e c o n n e c t i o n s I k n e w w e r e i m p o r t a n t t o m a k e . I t u r n e d t o t h e l e s s o n s u m m a r y , a d e s c r i p t i o n f o u n d a t t h e s t a r t o f e a c h n e w l e s s o n i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . U s i n g a r r o w d i a g r a m s a n d t h e m n i c a r p u t e r , » i n v e s t i g a t e t h e c o m p o s i t i o n o f c e r t a i n n u m e r i c a l f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , + 1 0 f o l l o w e d b y + 2 a n d 3 x f o l l o w e d b y 2 X . ( p . 1 1 ) R e a d i n g t h i s s u m m a r y g e n e r a t e d m o r e q u e s t i o n s f o r m e t h a n i t a n s w e r e d . I k n e w w h a t i t m e a n t t o f i n d a n a n s w e r t o a m a t h p r o b l e m b u t w h a t d i d i t m e a n t o i n v e s t i g a t e a m a t h e m a t i c a l i d e a ? W h a t d i d i t m e a n t o i n v e s t i g a t e 1 L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n ( 1 9 9 0 ) n o t e t h e m a r g i n a l i t y o f f u n c t i o n s a s a t o p i c i n e l e m e n t a r y m a t h t e x t b o o k s . O p e n C o u r t ’ s R e a l M a t h ( W i l l o u g h b y , B e r e i t e r , H i l t o n , 8 : R u b i n s t e i n , 1 9 8 1 ) a n d C S M P ( M c R E L , 1 9 8 6 ) a r e a m o n g t h e e x c e p t i o n s . 1 2 0 t h e c o m p o s i t i o n o f c e r t a i n n u m e r i c a l f u n c t i o n s ? W h a t w a s t h e r e t o i n v e s t i g a t e ? W h a t w e r e w e s u p p o s e d t o b e l o o k i n g f o r ? H o w w a s I s u p p o s e d t o a s s e s s w h a t w a s l e a r n e d i n t h e i n v e s t i g a t i o n ? W e r e t h e r e r i g h t a n d w r o n g w a y s t o i n v e s t i g a t e ? F i n d i n g t h e r i g h t a n s w e r t o a p r o b l e m h a d s i g n a l e d b e i n g d o n e i n t h e p a s t . H o w w a s I t o d e c i d e w h e n w e w e r e fi n i s h e d ? H o w w o u l d I k n o w w h e n i t w a s t i m e t o m o v e o n ? I n a n a t t e m p t t o f u r t h e r u n d e r s t a n d w h a t w a s b e n e a t h t h e p h r a s e " c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s " , I r e a d t h r o u g h t h e c o n t e n t o v e r v i e w o f T h e W o r l d o f N u m b e r s , i n t h e s e c t i o n e n t i t l e d , C o m p o s i t i o n o f F u n c t i o n s . S e v e r a l l e s s o n s i n t h i s s t r a n d d e a l w i t h w h a t h a p p e n s w h e n y o u c o m p o s e a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s , t h a t i s , a p p l y t h e f u n c t i o n s i n o r d e r o n e a t a t i m e . T h e s e c o m p o s i t i o n s l e a d t o m a n y g e n e r a l , p o w e r f u l i n s i g h t s i n t o t h e p r o p e r t i e s o f n u m b e r s a n d o p e r a t i o n s . ( p . x i x ) A f t e r r e a d i n g t h i s , I q u e s t i o n e d w h a t s o r t o f p o w e r f u l i n s i g h t s w e w e r e s e a r c h i n g f o r a n d w h y . W h a t c o n s t i t u t e d a ” p o w e r f u l i n s i g h t ” ? I r e a d a b i t f u r t h e r a n d f o u n d t h a t m y f o u r t h g r a d e r s , i n p r e v i o u s y e a r s , s h o u l d h a v e h a d e x p e r i e n c e s w i t h t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . Y o u r s t u d e n t s ' e x t e n s i v e e x p e r i e n c e s w i t h t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e C S M P U p p e r P r i m a r y G r a d e s c u r r i c u l u m l e d t h e m t o m a n y i n s i g h t s t h a t i n v o l v e d t h e d e v e l o p m e n t o f a l g o r i t h m s , t h e d i s c o v e r y o f n u m b e r p a t t e r n s , a n d e f f i c i e n t m e n t a l a r i t h m e t i c t e c h n i q u e s . A g o a l i n t h i s s t r a n d i s t o r e v i e w t h e s e d i s c o v e r i e s a n d t o a p p c h o n p o s i t i o n t o n e w s i t u a t i o n s a n d p r o b l e m s . ( p . x x ) T h e f a c t t h a t m y s t u d e n t s m i g h t b e s o m e w h a t f a m i l i a r w i t h t h e c o n t e n t o f t h e l e s s o n I w a s a b o u t t o t e a c h w a s o f s o m e c o m f o r t . B u t , i f t h i s w a s t r u e , w o u l d t h e y r e m e m b e r w h a t t h e y h a d l e a r n e d ? A n d , w h a t a b o u t t h e h a n d f u l o f s t u d e n t s i n m y c l a s s w h o w e r e n e w t o t h e s c h o o l ? W h a t c o u l d I c o u n t o n i n t e r m s o f a n y o f m y s t u d e n t s ’ p a s t e x p e r i e n c e s ? 1 2 1 M o s t o f t h e C S M P l e s s o n s w e r e d e s i g n e d t o b e c o m p l e t e d i n a s i n g l e c l a s s p e r i o d . I n t h e f i r s t f e w w e e k s o f m y t e a c h i n g t h a t y e a r , I f o u n d t h a t l e s s o n s t o o k m u c h l o n g e r t h a n C S M P o r I p l a n n e d . C S M P t y p i c a l l y a l l o w e d o n e d a y f o r e a c h l e s s o n w h i l e I s p e n t a t l e a s t t w o d a y s , s o m e t i m e s l o n g e r , o n e a c h o n e . I h a d b e g u n t o f e e l l i k e I w a s f a l l i n g b e h i n d . I l o o k e d f o r l o g i c a l w a y s t o d i v i d e t h e s i n g l e d a y C S M P l e s s o n s o v e r a c o u p l e o f m a t h c l a s s e s . O n e w a y t o l e s s e n t h e f e e l i n g o f f a l l i n g b e h i n d w a s t o b e c o m e m o r e r e a l i s t i c a b o u t m o v i n g a h e a d . T h i s p a r t i c u l a r l e s s o n o n f u n c t i o n s i n v o l v e d a s e q u e n c e o f p r o b l e m s a r o u n d a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , a n d m u l t i p l i c a t i o n . I d e c i d e d t o d o t h e t h r e e p r o b l e m s f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t d e a l t w i t h a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n ( d e f i n e d a s E x e r c i s e 1 ) o n e d a y , a n d m u l t i p l i c a t i o n ( d e f i n e d a s E x e r c i s e 2 ) i n C S M P . E v e n w i t h s p l i t t i n g u p t h i s l e s s o n o v e r t w o d a y s , I r e m a i n e d s k e p t i c a l a s t o w h e t h e r o r n o t I w o u l d a c t u a l l y g e t t h r o u g h w h a t I h a d p l a n n e d . T h e s e d a y s m y j u d g m e n t s a b o u t p a c e f e l t o f f . T h i s w a s u n s e t t l i n g . A s I f o u n d m y s e l f f a l l i n g f u r t h e r b e h i n d i n t e r m s o f n u m b e r s o f p r o b l e m s f i n i s h e d a n d p a g e s c o v e r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , I b e g a n t o q u e s t i o n i f t h e s e w e r e r e a s o n a b l e w a y s t o m e a s u r e p r o g r e s s i n m y ' c u r r e n t p r a c t i c e . W h y w e r e t h i n g s t a k i n g s o m u c h l o n g e r ? W h a t w e r e r e a l i s t i c e x p e c t a t i o n s ? W a s I m o v i n g a n y w h e r e ? I n t h o s e f i r s t f e w w e e k s , I e x p e r i e n c e d a s t r a n g e s e n s e o f f e e l i n g b e h i n d i n a c o n t e x t w h e r e I f e l t u n s u r e o f w h e r e I w a s s u p p o s e d t o b e g o i n g . T h e p r o b l e m s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e u n d e r t h e h e a d i n g o f " c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s " l o o k e d l i k e t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . T h e l a b e l s o f t h e a r r o w s v a r i e d f r o m o n e p r o b l e m t o t h e n e x t . 1 2 2 o ' l I . . . . . C . o n o o o a a o . . I I I C C I I n a n . . . . I I C . . . . . . . . . U I C I I C . C I . O u t o o o o o o o o U . . . . . . . . . . U . I C . D O Q C o a o o o o o o o a . . ’ o o a I o 0 ' . ' 0 ' 0 ' . : ' : ' 0 I . . . . ' . . C C O . . . . . . : : ' . . . . . s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r A t t h e t i m e I p l a n n e d t h e l e s s o n , t h e t a b l e s e e m e d e a s y e n o u g h f o r m y s t u d e n t s t o c o m p l e t e . I w a s c e r t a i n t h e y c o u l d f o l l o w t h e a r r o w s , o n e r e d a n d o n e b l u e i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , a n d c o m e u p w i t h n u m b e r s t o f i l l i n t h e t a b l e . O n c e t h e t a b l e w a s f i l l e d w i t h n u m b e r s , t h e s t u d e n t s w e r e t o n o t i c e p a t t e r n s i n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e i n p u t ( s t a r t i n g ) n u m b e r s a n d t h e o u t p u t ( e n d i n g ) n u m b e r s . I d e c i d e d t o d o t h e fi r s t p r o b l e m t o g e t h e r w i t h t h e w h o l e g r o u p a n d a s s i g n t h e r e m a i n i n g t w o p r o b l e m s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e f o r t h e s t u d e n t s t o w o r k o n t h e i r o w n . 1 2 3 s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r I p l a n n e d t o f o l l o w t h e p r o b l e m s a s t h e y a p p e a r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . S t u d e n t s w o u l d f i n d s t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r s t o c o m p l e t e t h e t a b l e s , i d e n t i f y t h e c o m p o s i t i o n a r r o w , a n a r r o w w h i c h w o u l d e n c o m p a s s t h e o t h e r t w o , f o r e a c h t a b l e o f n u m b e r s , a n d n o t i c e p a t t e r n s . 1 n i i n f M R f I n m y e a r l y w e e k s o f t e a c h i n g , C S M P w a s a g u i d e f o r m y p r a c t i c e a s w e r e i d e a s t h a t I g o t e l s e w h e r e f o r t h e k i n d o f m a t h t e a c h i n g t h a t I w a n t e d t o l e a r n t o d o . W h e n I c a m e a c r o s s t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s i n t h e s c r i p t o f t h e C S M P l e s s o n , m y f a m i l i a r i t y w i t h t h e m a t h r e f o r m s a t t h e t i m e h e l p e d m e t o s e e t h i s a s a n i m p o r t a n t q u e s t i o n e v e n t h o u g h a s t u d y o f p a t t e r n s w a s f o r e i g n t o m y p a s t e x p e r i e n c e s a s a t e a c h e r o r s t u d e n t . B a s e d o n m y o b s e r v a t i o n s i n M a g g i e ’ s c l a s s a n d w h a t I h a d r e a d i n t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 ) , I t h o u g h t t h a t a d i s c u s s i o n o f p a t t e r n s w a s a w a y t o c o n s i d e r m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s . P a t t e r n s a n d f u n c t i o n s a p p e a r e d a s o n e o f s e v e n m a t h e m a t i c a l c o n t e n t s t r a n d s u s e d t o o r g a n i z e t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m i n t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e 1 2 4 D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 ) . T h e i m p o r t a n c e o f t h e s t u d y o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s w a s d e s c r i b e d t h i s w a y : T h e s t u d y o f m a t h e m a t i c a l p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s e n a b l e s s t u d e n t s t o o r g a n i z e a n d u n d e r s t a n d m o s t o b s e r v a t i o n s o f t h e w o r l d a r o u n d t h e m . I t i n v o l v e s d i s c o v e r y o f p a t t e r n s a n d r e l a t i o n s , i d e n t i f i c a t i o n a n d u s e o f f u n c t i o n s , a n d r e p r e s e n t a t i o n o f r e l a t i o n s a n d f u n c t i o n s i n g r a p h s , m a t h e m a t i c a l s e n t e n c e s o r f o r m u l a s , d i a g r a m s , a n d t a b l e s . ( p . 1 0 ) I h a d o b s e r v e d M a g g i e e n g a g e h e r f i f t h g r a d e r s o n a r e g u l a r b a s i s i n d i s c u s s i o n s o f p a t t e r n s . I w a s e a g e r t o h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o a t t e m p t a d i s c u s s i o n o f p a t t e r n s w i t h m y o w n s t u d e n t s . I h a d b e c o m e i n t r i g u e d w i t h t h e i d e a o f m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s a n d w a n t e d t o g e t m y s t u d e n t s t a l k i n g . I t h o u g h t p a t t e r n s w o u l d g i v e u s s o m e t h i n g t o t a l k a b o u t . B e f o r e I b e c a m e a c q u a i n t e d w i t h t h e r e f o r m s , I n e v e r k n e w t h e r e w a s a n y t h i n g t h a t w o u l d l e n d i t s e l f t o a d i s c u s s i o n i n m a t h c l a s s . I h a d l e a r n e d t h r o u g h o b s e r v i n g M a g g i e ’ s c l a s s a n d r e a d i n g t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 ) , t h a t i t w a s p o s s i b l e t o d i s c u s s m a t h e m a t i c a l i d e a s . I c o u l d a s k s t u d e n t s t o e x p l a i n h o w t h e y s o l v e d a p r o b l e m , w h y t h e y s o l v e d a p r o b l e m i n a p a r t i c u l a r w a y , a n d t o s h a r e a l t e r n a t i v e m e a n s o f f i n d i n g s o l u t i o n s . I h a d l e d d i s c u s s i o n s i n o t h e r s u b j e c t s a n d c o u l d n o t i m a g i n e t h a t m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n s w o u l d b e t h a t m u c h d i f f e r e n t t o c o n d u c t , n o w t h a t I k n e w t h e r e w e r e i d e a s t o d i s c u s s . A t t h e o n s e t o f t h i s s c h o o l y e a r , I e x p e c t e d t h a t m o v i n g a w a y f r o m a p r i m a r y f o c u s o n r u l e s a n d p r o c e d u r e s w o u l d d e e p e n m y s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s a n d p u s h a t t h e l i m i t s o f m y o w n m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s a n d u n d e r s t a n d i n g s . I w a s w o r r i e d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s I d i d n o t u n d e r s t a n d . I w a s r e m i n d e d o f t h e l i m i t s o f m y u n d e r s t a n d i n g a s I s e a r c h e d f o r t h e m e a n i n g o f ” c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ” 1 2 5 w i t h i n t h e t e x t o f C S M P . T h e s e c o n c e r n s a b o u t m y l a c k o f m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g d i d n o t , h o w e v e r , k e e p m e f r o m g o i n g a h e a d w i t h t h i s l e s s o n . W i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n h a n d , I f e l t m o r e o r l e s s p r e p a r e d . E v e n t h o u g h I w a s u n c l e a r e x a c t l y w h a t I w a s s u p p o s e d t o t e a c h , I t h o u g h t h a v i n g s o m e t h i n g t o d o w o u l d g e t u s t h r o u g h t h e h o u r . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e p r o v i d e d m e w i t h p r o b l e m s I t h o u g h t m y s t u d e n t s c o u l d d o , q u e s t i o n s f o r m e t o a s k , a n d e v e n r e s p o n s e s I m i g h t h e a r f r o m m y s t u d e n t s . I h o p e d t h a t w o r k i n g o n t h r e e d i f f e r e n t t a b l e s w o u l d f i l l t h e t i m e a n d t h a t a s k i n g t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s w o u l d e n c o u r a g e a d i f f e r e n t w a y o f t h i n k i n g a b o u t n u m b e r a n d s p a r k a d i s c u s s i o n - - t w o a s p e c t s o f t h e r e f o r m s I w a s a i m i n g t o m a k e p r o m i n e n t i n m y p r a c t i c e t h a t d a y . T e a c h i n g A t t h e s t a r t o f c l a s s , I w r o t e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m o n t h e c h a l k b o a r d : s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r I s a i d , ” I ’ d l i k e y o u t o t a k e a l o o k a t t h e c h a r t . T h i n k o f a n u m b e r . E v e r y o n e j u s t t h i n k o f a n u m b e r . ” B o b i n q u i r e d a b o u t t h e p a r a m e t e r s f o r c h o o s i n g a s t a r t i n g n u m b e r . ” B e t w e e n w h a t ? ” h e a s k e d . W e b a r e l y b e g a n a n d a l r e a d y t h e r e w a s a q u e s t i o n . I h a d n o t c o n s i d e r e d p u t t i n g c o n d i t i o n s o n t h e p r o b l e m n o r w a s t h e r e a n y i n d i c a t i o n i n t h e t e a c h e r ’ g u i d e t h a t I s h o u l d . W h y w a s 1 2 6 B o b a s k i n g t h e q u e s t i o n ? G i v e n i m y o w n u n c e r t a i n t y a b o u t w h y w e w e r e d o i n g w h a t w e w e r e d o i n g , t h e l a s t t h i n g I w a n t e d w a s f o r a s t u d e n t t o q u e s t i o n m e a b o u t t h e t a s k . I s a i d t o h i m , ” j u s t t h i n k o f a n u m b e r a n d a d d 1 0 t o i t a n d t h e n a d d 2 m o r e t o i t . ” A f t e r a f e w m o m e n t s o f s i l e n c e w h i l e s t u d e n t s t h o u g h t o f n u m b e r s , I a s k e d f o r s o m e o n e t o g i v e t h e b e g i n n i n g n u m b e r t h e y c h o s e . I s t a r t e d w i t h R i c h a r d , w h o s e h a n d w a s i n t h e a i r . R i c h a r d : 9 9 . M s . H e a t o n : A n d w h a t d i d y o u e n d w i t h ? R i c h a r d : 1 1 1 . M s . H e a t o n : A n d c a n y o u t e l l u s h o w y o u g o t t h a t ? R i c h a r d : W e l l , I d i d 9 9 p l u s 1 0 e q u a l s 1 0 9 a n d t h e n p l u s 2 i s l i k e 9 p l u s 2 e q u a l s 1 1 . 2 W e f o l l o w e d a s i m i l a r r o u t i n e f o r a d d i n g t h e f i r s t f o u r p a i r s o f n u m b e r s t o t h e t a b l e . W M s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r 9 9 1 1 1 8 0 0 0 8 0 1 2 2 5 0 2 6 2 1 1 3 A s k i n g m y s t u d e n t s t h e q u e s t i o n , " H o w d i d y o u g e t t h a t ? " w a s m y i d e a . I t d i d n o t a p p e a r i n C S M P b u t i t w a s a q u e s t i o n I h a d h e a r d M a g g i e a s k i n o r d e r t o 2 P l e a s e n o t e t h a t I r e f e r t o m y s e l f a s " M s . H e a t o n " i n t h e e x c e r p t s o f t r a n s c r i p t s f r o m l e s s o n s f o u n d t h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r a n d t h e c h a p t e r s o n m y t e a c h i n g w h i c h f o l l o w . I d o t h i s b e c a u s e t h i s i s h o w I w a s r e f e r r e d t o b y m y s t u d e n t s . I n e x c e r p t s o f t r a n s c r i p t s o f c o n v e r s a t i o n s w i t h J i m R e i n e k e , I r e f e r t o m y s e l f a s " R u t h . " J i m a n d I a r e p e e r s a n d r e f e r t o o n e a n o t h e r b y f i r s t n a m e s . T h i s s w i t c h i n h o w I r e f e r t o m y s e l f i s a c o m p l i c a t e d i s s u e a n d r e l a t e d t o i s s u e s o f v o i c e a n d i d e n t i t y w h i c h I d i s c u s s i n C h a p t e r 3 . 1 2 7 p r o m p t h e r f i f t h g r a d e r s t o t a l k . R a t h e r t h a n j u s t h a v e s t u d e n t s g i v e m e b e g i n n i n g a n d e n d i n g n u m b e r s , I a d d e d t h i s q u e s t i o n t h i n k i n g t h a t a s k i n g i t w o u l d g e t s t u d e n t s t a l k i n g a b o u t h o w t h e y s o l v e d t h e p r o b l e m . W h a t h a p p e n e d w a s t h a t i n d i v i d u a l s , l i k e R i c h a r d , r e s p o n d e d w i t h p r o c e d u r a l e x p l a n a t i o n s t h a t d i d n o t s e e m t o h o l d a n y o n e ’ s i n t e r e s t . W h y w a s t h i s h a p p e n i n g ? W h e n M a g g i e a s k e d t h e q u e s t i o n o f h e r s t u d e n t s , t h e y a l w a y s o f f e r e d i n t e r e s t i n g e x p l a n a t i o n s . A s t h e t e a c h e r ’ s g u i d e s u g g e s t e d , I v a r i e d t h e p r o c e s s o f f i l l i n g t h e t a b l e w i t h n u m b e r s b y a s k i n g s o m e s t u d e n t s t o g i v e e n d i n g n u m b e r s f i r s t , f o l l o w e d b y a n e x p l a n a t i o n o f h o w t h e y g e n e r a t e d t h e m . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e a l s o s u g g e s t e d t h a t I c a l l o n s o m e o n e d i f f e r e n t t o o f f e r t h e s e e x p l a n a t i o n s . T h e s e v a r i a t i o n s i n t h e t a s k a n d w a y s o f c a l l i n g o n p e o p l e a p p e a l e d t o m e . I t h o u g h t t h a t s t a r t i n g w i t h t h e e n d i n g n u m b e r m i g h t m a k e t h e e x p l a n a t i o n s a b o u t h o w p e o p l e g o t f r o m o n e n u m b e r t o t h e o t h e r m o r e i n t e r e s t i n g a n d c a l l i n g o n a v a r i e t y o f p e o p l e w o u l d g e t m o r e p e o p l e t a l k i n g . M a y b e t h i s w o u l d h e l p t h e t a l k s e e m m o r e l i k e a d i s c u s s i o n i n w h i c h m a n y p e o p l e w e r e e n g a g e d . H e r e i s a s a m p l e o f t h e i n t e r a c t i o n s t h a t o c c u r r e d . M s . H e a t o n : C a n s o m e b o d y g i v e u s t h e i r e n d i n g n u m b e r ? T h e n u m b e r t h e y e n d e d w i t h , D a v i d ? D a v i d : 1 9 . M s . H e a t o n : A n d w h a t w a s y o u r s t a r t i n g n u m b e r ? D a v i d : 7 . M s . H e a t o n : C a n y o u t e l l u s h o w y o u g o t t h a t ? D a v i d : B e c a u s e 7 p l u s 1 0 i s 1 7 a n d 1 7 p l u s 2 i s 1 9 . M s . H e a t o n : O . K . , c a n s o m e o n e e l s e g i v e a n e n d i n g n u m b e r ? J e n n i f e r ? J e n n i f e r : 2 1 5 M s . H e a t o n : C a n s o m e o n e e l s e t e l l u s w h a t s h e m i g h t h a v e s t a r t e d w i t h ? B o b ? B o b : 2 0 3 . M s . H e a t o n : O . K . , h o w d i d y o u g e t t h a t ? 1 2 8 B o b : B e c a u s e 2 0 3 p l u s 1 0 i s 2 1 3 , 2 1 3 p l u s 2 i s 2 1 5 a n d I h a v e a n o t h e r n u m b e r . I c o n t i n u e d c a l l i n g o n p e o p l e a n d f i l l e d i n s t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r s u n t i l I r a n o u t o f s p a c e o n t h e c h a l k b o a r d . + | 0 + 2 M s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r 9 9 1 1 1 8 0 0 0 8 0 1 2 2 5 0 2 6 2 1 3 1 9 W e e n d e d u p w i t h a t a b l e o f n u m b e r s b u t m y e f f o r t s t o g e n e r a t e a d i s c u s s i o n l e d u s n o w h e r e . D u P a t t r n ? D i s a p p o i n t e d w i t h t h e l a c k o f i n t e r e s t i n g t a l k t h a t h a d o c c u r r e d t h u s f a r , I h e l d h i g h h o p e s f o r t h e n e x t p a r t o f t h e a c t i v i t y i n w h i c h I p l a n n e d t o a s k s t u d e n t s t o n o t i c e p a t t e r n s . I f o l l o w e d t h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d s a i d t o t h e s t u d e n t s , " I w a n t y o u t o l o o k a t t h e s e n u m b e r s . D o y o u s e e a n y p a t t e r n s ? " F o r t h e n e x t 1 5 m i n u t e s , s t u d e n t s p r o c e e d e d t o g i v e t h e i r i d e a s a b o u t p a t t e r n s . I c a l l e d o n V a l e r i e f i r s t . S h e s a i d , ” E a c h o f t h e m h a v e a b e g i n n i n g n u m b e r a n d t h e n t h e y h a v e a n e n d i n g n u m b e r t h a t i s 1 2 m o r e . ” I a s k e d h e r h o w s h e k n e w t h e e n d i n g n u m b e r w a s 1 2 m o r e . S h e s a i d , ” B e c a u s e y o u h a v e t o a d d 1 0 , y o u f i n d a n u m b e r , y o u a d d 1 0 t o i t a n d t h e n 2 . ” I a d d e d 1 2 9 t h e g r e e n a r r o w , t h e c o m p o s i t i o n a r r o w , a n d s a i d , ” I f I w e r e t o p u t i n a n o t h e r a r r o w h e r e , w h a t w o u l d I p u t , p l u s w h a t ? ” V a l e r i e r e s p o n d e d , ” P l u s 1 2 . ” I a d d e d t h e l a b e l t o t h e a r r o w a n d , g i v e n m y g o a l t o i n i t i a t e a d i s c u s s i o n , p r o c e e d e d t o f i n d o u t w h a t o t h e r s w e r e t h i n k i n g . P i l i s a i d , ” I s e e , I t h i n k I s e e a p a t t e r n . I t i s 8 0 , 8 0 . ” S h e p o i n t e d t o t h e ” 8 0 ” i n 8 0 0 0 a n d t h e ” 8 0 ” i n 8 0 1 2 a s s h e s a i d , ” 8 0 r i g h t h e r e a n d 8 0 r i g h t h e r e . ” H e a r i n g P i l i ’ s i d e a , I t h o u g h t t o m y s e l f , w h a t s o r t o f p a t t e r n s w e r e w e l o o k i n g f o r ? D e f i n i t e l y n o t o n e s l i k e t h i s . S h e w a s r i g h t . T h e r e w a s a n 8 a n d a z e r o i n e a c h o f t h o s e n u m b e r s b u t t a k e n t o g e t h e r , t h e y d i d n o t m e a n ” 8 0 . ” T h e 8 w a s a c t u a l l y 8 0 0 0 a n d t h e z e r o w a s i n t h e h u n d r e d s p l a c e . I n a n o t h e r a t t e m p t t o p r o m o t e d i s c u s s i o n , I a s k e d p e o p l e t o c o m m e n t o n P i l i ’ s i d e a . T h i s c a l l f o r 1 3 0 c o m m e n t s f r o m o t h e r s t u d e n t s w a s a p e d a g o g i c a l m o v e I h a d o b s e r v e d M a g g i e m a k e w i t h h e r s t u d e n t s . I n a d d i t i o n t o b e i n g a b l e t o e x p l a i n t h e i r o w n i d e a s , I w a n t e d t o t e a c h m y s t u d e n t s t o l i s t e n a n d b u i l d o n t h e i d e a s o f o t h e r s . I t h o u g h t t h a t w h a t P i l i h a d s a i d s e e m e d l i k e a m e a n i n g l e s s p a t t e r n a n d I h o p e d t h a t o n e o f h e r c l a s s m a t e s m i g h t s a y s o m e t h i n g t o c h a l l e n g e h e r i d e a . I r e p e a t e d w o r d s n o t f o u n d i n C S M P b u t o n e s I h a d o f t e n h e a r d M a g g i e a s k , ” O k a y , w h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k a b o u t t h a t ? ” I c a l l e d o n J e n n i f e r , w h o s a i d , ” I a g r e e w i t h h e r . ” T h i s , u n f o r t u n a t e l y , w a s n o t t h e r e s p o n s e I w a n t e d . I h o p e d J e n n i f e r w o u l d d i s a g r e e w i t h P i l i . I c o u l d h a v e a s k e d J e n n i f e r w h y s h e a g r e e d w i t h P i l i b u t I w a s n o t i n a m o o d t o h e a r e x p l a n a t i o n s f o r w h a t I t h o u g h t w a s a m e a n i n g l e s s p a t t e r n . W a s n ’ t i t c l e a r t h a t P i l i w a s w r o n g ? S h o u l d I j u s t c o m e o u t a n d t e l l h e r s o ? B u t , w a s n ’ t d o i n g t h a t c o u n t e r t o m y g o a l f o r s t u d e n t s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n m e a n i n g s ? H o w d i d t h e c a t e g o r i e s o f ” r i g h t ” a n d ” w r o n g ” f i t i n t o m y d e s i r e t o g i v e s t u d e n t s s p a c e t o m a k e t h e i r o w n s e n s e o f i d e a s ? S h o u l d I a c c e p t a l l o f m y s t u d e n t s ’ i d e a s , e v e n t h e o n e s I t h o u g h t w e r e w r o n g ? I m o v e d o n w i t h o u t p u r s u i n g J e n n i f e r ’ s c o m m e n t o r d e a l i n g w i t h t h i s b i g g e r i s s u e o f r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s . I a d d r e s s e d t h e c l a s s , ” O k a y , a r e t h e r e a n y o t h e r p a t t e r n s t h a t y o u s e e ? ” I c a l l e d o n L u c y , w h o s a i d , ” T h e r e i s 8 a n d t h e n 8 g o i n g a c r o s s a n d t h e n 2 a n d t h e n 2 g o i n g a c r o s s . ” S h e w e n t t o t h e c h a l k b o a r d a n d p o i n t e d o u t w h a t s h e w a s t a l k i n g a b o u t . S h e p o i n t e d t o t h e 8 ' s a t t h e b e g i n n i n g o f 8 0 0 0 a n d 8 0 1 2 a n d t h e 2 ' s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e p a i r s o f n u m b e r s , 2 5 0 , 2 6 2 a n d 2 0 3 , 2 1 5 . + | 0 + 2 1 3 1 S h e w a s r i g h t . T h e s e n u m e r a l s m a t c h e d o n e a n o t h e r b u t w h a t d i d t h i s o b s e r v a t i o n h a v e t o d o w i t h t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s i n t h e c o n t e x t o f f u n c t i o n s ? R e l u c t a n t l y , I r e t u r n e d t o P i l i , w h o w a s w a v i n g h e r h a n d f r a n t i c a l l y , r e a d y t o g i v e a n o t h e r ” p a t t e r n . ” S h e s a i d , ” I s e e t h r e e z e r o e s h e r e a n d h e r e , ” a n d s h e u n d e r l i n e d t h e t h r e e z e r o e s i n 8 0 0 0 a n d 5 0 0 0 . s t a r t i n g n u m b e r l e n d i n g n u m b e r 1 3 2 I w a s w o r r i e d . T h i s ” p a t t e r n ” s e e m e d e v e n m o r e i r r e l e v a n t t h a n h e r l a s t o n e . M a y b e I s h o u l d h a v e c o m e o u t a n d s a i d w h a t I t h o u g h t o f h e r i d e a s . S h e a t t e m p t e d t o d r a w c o n n e c t i o n s b e t w e e n a p a i r o f n u m b e r s n o t e v e n i n t h e s a m e r o w . S i n c e t h e o r d e r e d p a i r s w e r e g e n e r a t e d i n d e p e n d e n t o f o n e a n o t h e r , I k n e w t h e r e w a s n o m a t h e m a t i c a l r e a s o n w h y t h e r e w o u l d b e m e a n i n g f u l c o n n e c t i o n s b e t w e e n n u m b e r s n o t f o u n d i n t h e s a m e r o w . M a y b e P i l i w o u l d s e e f o r h e r s e l f t h e u n r e a s o n a b l e n e s s o f w h a t s h e w a s d o i n g , i f I c o u l d g e t h e r t o t a l k a b o u t h e r i d e a . I a s k e d h e r t o e x p l a i n . S h e s a i d , ” I n 8 0 0 0 t h e r e a r e t h r e e z e r o e s a n d i n 5 0 0 0 t h e r e a r e t h r e e z e r o e s . ” B u t w h a t d i d t h i s h a v e t o d o w i t h p a t t e r n s ? W h a t w a s a p a t t e r n ? I k n e w t h a t w h a t I w a s h e a r i n g w e r e n o t p a t t e r n s . J e n n i f e r f o l l o w e d P i l i ’ s c o m m e n t a n d s a i d , ” I h a v e s o m e t h i n g s i m i l a r t o h e r s b u t i t i s n o t e x a c t l y t h e s a m e . S h e w e n t t o t h e b o a r d a n d u n d e r l i n e d t h e z e r o e s i n t h e h u n d r e d ' s p l a c e i n 8 0 0 0 , 8 0 1 2 , 4 0 8 8 , a n d 5 0 0 0 . 1 3 3 I f e l t a m i x o f e m o t i o n s . O n t h e o n e h a n d , I w a s e x c i t e d t h a t a s t u d e n t h a d l i s t e n e d t o a n o t h e r s t u d e n t a n d w a s m a k i n g a n a t t e m p t t o b u i l d o n a c l a s s m a t e ’ s i d e a . O n t h e o t h e r h a n d , I w a s g r o w i n g f r u s t r a t e d a s I w a t c h e d o n e i r r e l e v a n t p a t t e r n l e a d t o a n o t h e r . I n f a c t , J e n n i f e r j u s t i n c l u d e d a n u m b e r t h a t d i d n o t e v e n b e l o n g o n t h e c h a r t . I t w a s t h e r e w i t h a l i n e t h r o u g h i t b e c a u s e i t h a d b e e n r e v i s e d . T h e i d e a o f t a k i n g a l l i d e a s s e r i o u s l y , r e v i s e d o r n o t , w a s s o m e t h i n g e l s e I h a d p i c k e d u p f r o m M a g g i e . S e e i n g J e n n i f e r m a k i n g u s e o f t h e e r r o r , h o w e v e r , m a d e m e q u e s t i o n m y d e c i s i o n n o t t o j u s t e r a s e i t l i k e I w o u l d h a v e d o n e i n t h e p a s t . W a s t h a t r e v i s e d n u m b e r j u s t a d d i n g t o t h e c o n f u s i o n a n d t h e f a c t t h a t i t w a s r e v i s e d i n s i g n i f i c a n t i n t h i s c o n t e x t ? W e r e t h e r e s o m e c o n t e x t s w h e r e r e v i s e d t h i n k i n g a n d e v i d e n c e o f i t w a s m o r e i m p o r t a n t t h a n o t h e r s ? T h e s e q u e s t i o n s a b o u t r e v i s i o n s s e e m e d l i k e t h e l e a s t o f m y w o r r i e s . H o w c o u l d I s t o p t h i s g e n e r a t i o n o f m e a n i n g l e s s p a t t e r n s w i t h o u t j u s t r e v e r t i n g b a c k t o m y p a s t w a y s o f t e l l i n g s t u d e n t s t h e y w e r e w r o n g ? I w a s t r y i n g t o s e a r c h f o r m a t h e m a t i c a l s e n s e i n w h a t s t u d e n t s w e r e s a y i n g b u t w a s t h i s a n i n s t a n c e w h e r e t h e r e w a s n o n e t o b e f o u n d ? I w a s c u r i o u s h o w J e n n i f e r w o u l d d e s c r i b e t h e p a t t e r n s h e n o t i c e d , s o I a s k e d , ” W h a t w o u l d y o u s a y t h a t p a t t e r n i s . H o w w o u l d y o u d e s c r i b e i t ? ” J e n n i f e r : O n e h e r e a n d o n e h e r e , a n d o n e h e r e a n d o n e h e r e . M s . H e a t o n : I d o n ' t u n d e r s t a n d w h a t y o u m e a n b y o n e h e r e , w h a t a r e y o u s h o w i n g m e ? J e n n i f e r : T h e r e i s a z e r o i n t h e h u n d r e d s p l a c e a n d o n e z e r o i n t h e h u n d r e d s p l a c e , a n d t h e r e i s o n e z e r o i n h u n d r e d s p l a c e a n d o n e z e r o i n t h e h u n d r e d s p l a c e . H e a r i n g J e n n i f e r t a l k o f p l a c e v a l u e g a v e m e a m o m e n t a r y s e n s e o f r e l i e f f r o m t h e m e a n i n g l e s s n e s s o f a l l o f t h i s . I c o n t i n u e d t o a s k m y s e l f , h o w e v e r , 1 3 4 w h a t a n y o f w h a t s h e o r t h e o t h e r s t u d e n t s w e r e s a y i n g h a d t o d o w i t h p a t t e r n s o r f u n c t i o n s . W h a t w a s a m e a n i n g f u l p a t t e r n ? W h a t w a s a f u n c t i o n ? I c a l l e d o n R i c h a r d . H e e x p l a i n e d , ” I h a v e a n o t h e r p a t t e r n . C a n I g o u p t h e r e ? R i g h t h e r e i s t h r e e z e r o e s i n a r o w a n d t h r e e o n e s i n a r o w , a n d t h e n t h r e e z e r o e s i n a r o w . ” I a s k e d w h a t t h e p a t t e r n w a s . H e s a i d , ” 0 0 0 , 1 1 1 , 0 0 0 . ” I f e l t t r o u b l e d a s I l i s t e n e d t o R i c h a r d . I k n e w t h e s e w e r e n o t p a t t e r n s i n a m a t h e m a t i c a l s e n s e b u t w h a t w e r e t h e y ? A n d , m o r e i m p o r t a n t l y , w h a t w e r e m a t h e m a t i c a l l y m e a n i n g f u l p a t t e r n s i n t h i s t a b l e o f n u m b e r s ? T h e s e s t u d e n t s n o t i c e d ” p a t t e r n s ” i n p a i r s o f n u m b e r s i n t h e s a m e r o w , p a i r s o f n u m b e r s t h a t s p a n n e d r o w s , a n d n o w s e n s e l e s s p a t t e r n s i n n u m b e r s i n e a c h o f t h e c o l u m n s . I k n e w t h a t ” m e a n i n g f u l ” p a t t e r n s c o u l d n o t b e f o u n d i n c o l u m n s o f n u m b e r s i n w h i c h p a i r s o f n u m b e r s h a d b e e n g e n e r a t e d b y b e g i n n i n g o r e n d i n g n u m b e r s c h o s e n a t r a n d o m . A f t e r m o r e t h a n 1 5 m i n u t e s o f t h e s e p a t t e r n s , w h e n I c o u l d b e a r t h i s ” d i s c u s s i o n ” n o l o n g e r , I a n n o u n c e d , " I w a n t t o m o v e o n t o a n o t h e r 1 3 5 e x a m p l e . " I w r o t e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s o n t h e c h a l k b o a r d f o r s t u d e n t s t o w o r k o n . s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r A s t h e s t u d e n t s w o r k e d o n t h e s e p r o b l e m s , I h a d a f e w m o m e n t s o f m y o w n t o t h i n k a n d a s k e d m y s e l f o n c e m o r e , w h a t i s a p a t t e r n ? I k n e w t h a t I h a d a l r e a d y m a d e p l a n s t o t e a c h t h e s e c o n d h a l f o f t h i s l e s s o n t h e n e x t d a y . C o u l d I b r i n g m y s e l f t o c o m e b a c k t h e n e x t d a y a n d f a c e t h i s t e a c h i n g a n d , q u i t e p o s s i b l y , t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s a g a i n ? I l e f t s c h o o l f e e l i n g p e r t u r b e d w i t h m y s e l f f o r h a v i n g t r u s t e d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d a n n o y e d w i t h m y s e l f f o r h a v i n g t h o u g h t I e n t e r e d t h i s l e s s o n p r e p a r e d t o t e a c h . R e fl e c t i n g e n T e a e h i n g T h a t e v e n i n g , I w a s d i s t r a u g h t a n d t r o u b l e d b y t h e d a y ’ s e v e n t s . M y m i n d w a s f i l l e d w i t h q u e s t i o n s a s I t r i e d t o s o r t o u t t h e d i f f i c u l t i e s I e x p e r i e n c e d t h a t d a y . W a s I t e a c h i n g ? W h a t w e r e m y s t u d e n t s l e a r n i n g ? W h a t w e r e t h e y s u p p o s e d t o b e l e a r n i n g ? W h a t w o u l d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i n t h i s s i t u a t i o n l o o k l i k e ? W h y w a s I u n a b l e t o g e t a n i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n s t a r t e d ? W h y w a s I a s k i n g m y s t u d e n t s t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s a n y w a y ? W h a t w a s a p a t t e r n ? D i d t h e p a t t e r n s m y s t u d e n t s n o t i c e d h a v e a n y 1 3 6 r e l e v a n c e ? W h a t i s a f u n c t i o n ? W h y d i d n ’ t m y s t u d e n t s c o m e u p w i t h r e s p o n s e s t h a t m a t c h e d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? H o w w a s I s u p p o s e d t o b e m a k i n g u s e o f t h i s t e a c h e r ’ s g u i d e ? I n m y i n t e r v i e w w i t h J i m t h a t a f t e r n o o n , I s a i d , I f e l t l i k e I w a s fl o u n d e r i n g t o d a y . . . I w a s a s k i n g m y s e l f t h e q u e s t i o n , w h a t d o I m e a n b y a p a t t e r n ? W h a t d o e s t h e w o r d p a t t e r n m e a n ? I a m n o t s u r e I h a v e a n a n s w e r t o t h e s e q u e s t i o n s b u t t h a t ’ s w h a t I w a s t h i n k i n g a s I s t o o d u p t h e r e , l i s t e n i n g t o t h e s e k i d s . A n d t h e s o r t o f s t u d e n t r e s p o n s e s t h e b o o k s a y s w i l l c o m e u p — - t h a t C S M P p u t s i n , w h a t k i d s w o u l d r e s p o n d w h e n y o u s a y , ” W h a t ’ s a p a t t e r n ? ” - - n o n e o f t h a t c a m e u p . I f e l t r e a l l y l i k e I d i d n ’ t k n o w w h a t t o d o t o m o v e a d i s c u s s i o n a b o u t p a t t e r n s . ( R e i n e k e i n t e r v i e w , 0 9 / 2 0 / 8 9 ) I h a d t r u s t e d t h a t t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w a s g o i n g t o h e l p m e w i t h t h i s w o r k . I f e l t l i k e i t w a s l e t t i n g m e d o w n . I t w a s , a t o n c e , t o o m u c h o f a g u i d e a n d n o t e n o u g h o f a g u i d e . I t h a d g i v e n m e e n o u g h g u i d a n c e t o l e a d m e t o b e l i e v e w e c o u l d d o t h i s a c t i v i t y w i t h o u t p r o v i d i n g s o m e b r o a d e r s e n s e o f i t s p u r p o s e . T h e o n l y r e a s o n I h a d f o r d o i n g t h e l e s s o n w a s b e c a u s e i t w a s t h e n e x t t h i n g i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I n t h e m i d s t o f t e a c h i n g , I f o u n d m y s e l f f e e l i n g l o s t a n d h e l p l e s s w i t h n o w a y t o r e s p o n d t o s t u d e n t s . A s s o o n a s I h e a r d m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s , I r e a l i z e d I d i d n o t k n o w w h a t I m e a n t b y ’ p a t t e r n ' o r r e a l l y w h y I w a s a s k i n g t h e q u e s t i o n . I i n i t i a l l y a s k e d t h e q u e s t i o n b e c a u s e i t w a s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d , g i v e n w h a t I k n e w a b o u t t h e r e f o r m s , i t h a d s e e m e d l i k e a g o o d i d e a t o m e . B u t m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s d i d n o t m a t c h w h a t t h e t e a c h e r ’ s g u i d e h a d p r e d i c t e d . I t f r u s t r a t e d m e t o h a v e a n i n t u i t i v e s e n s e a b o u t w h a t w a s n o t a p a t t e r n b u t n o r e a l s e n s e o f w h a t w o u l d b e s e n s i b l e p a t t e r n s o r h o w t o g e t s t u d e n t s t o n o t i c e a n d d i s c u s s t h e m . T h e p r e d i c t e d r e s p o n s e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w e r e n o t u s e f u l t o m e i n t h e s i t u a t i o n . H e r e i s w h a t a p p e a r e d i n t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e : 1 3 7 T : L o o k c l o s e l y a t t h i s c h a r t . W h a t p a t t e r n s d o y o u n o t i c e ? S : A n e n d i n g n u m b e r i s a l w a y s l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r . S : I f y o u s t a r t w i t h a n e v e n n u m b e r , y o u e n d w i t h a n e v e n n u m b e r . I f y o u s t a r t w i t h a n o d d n u m b e r y o u e n d w i t h a n o d d n u m b e r . S : A n e n d i n g n u m b e r i s a l w a y s 1 2 l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r . ( p . 1 4 ) I h a d t h e s e r e s p o n s e s i n h a n d w h e n I w e n t i n t o c l a s s . I n t h e p a s t , I w o u l d h a v e b e e n i n t e n t o n l i s t e n i n g f o r t h e s e r e s p o n s e s . I f I h a d n o t h e a r d t h e m , I w o u l d h a v e e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o p r o d u c e t h e s e ” r i g h t ” a n s w e r s . L i k e m a n y g o o d ” t r a d i t i o n a l ” t e a c h e r s , I h a v e h a d y e a r s o f e x p e r i e n c e a s k i n g c o n v e r g e n t q u e s t i o n s . I k n o w h o w t o l e a d s t u d e n t s t o t h e ” r i g h t ” a n s w e r . B u t , i n t h i s s i t u a t i o n I w a n t e d t o b e o p e n t o t h e i d e a t h a t m y s t u d e n t s ’ a n s w e r s m i g h t v a r y f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . H o w w a s I t o k n o w w h i c h o f m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s W e r e r e a s o n a b l e v a r i a t i o n s o f t h e r e s p o n s e s f o u n d i n t h e s c r i p t a n d w h i c h w e r e n o t ? H o w w o u l d I f i g u r e o u t h o w t o b e r e s p o n s i v e t o t h e s e v a r i a t i o n s ? W a s t h e r e a w a y t h a t I c o u l d b e r e s p e c t f u l o f a l l o f m y s t u d e n t s ’ i d e a s a n d a t t h e s a m e t i m e l e t t h e m k n o w t h a t m a n y o f t h e i r o b s e r v a t i o n s w e r e i r r e l e v a n t t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s ? H o w c o u l d I r e s p o n d t o m y s t u d e n t s ’ i d e a s i n w a y s t h a t w o u l d p u s h t h e i r t h i n k i n g ? T h e s c r i p t i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e w a s d e s i g n e d w i t h q u e s t i o n s f o r m e t o i n i t i a t e b u t I f e l t f r u s t r a t e d b y w h a t l i t t l e h e l p i t o f f e r e d m e i n f i g u r i n g o u t w h a t t o d o n e x t i n t h e s i t u a t i o n , e s p e c i a l l y w h e n i t s e e m e d t h a t w h a t m y s t u d e n t s w e r e s a y i n g d i d n o t m a t c h w h a t t h e d e v e l o p e r s o f C S M P h a d a n t i c i p a t e d t h e y m i g h t . M y f r u s t r a t i o n s w e n t b e y o n d m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s n o t m a t c h i n g t h e o n e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I w a s b o t h e r e d t h a t t h e t a l k t h a t w a s h a p p e n i n g 1 3 8 f e l t o u t o f m y c o n t r o l . M o r e o v e r , I d i d n o t h a v e a n y s e n s e o f w h a t i t w o u l d m e a n f o r i t t o b e i n m y c o n t r o l . I w a n t e d t o d o s o m e t h i n g t o g u i d e a d i s c u s s i o n b u t , n o t k n o w i n g w h a t t o d o , I r e m a i n e d s i l e n t . I n s i d e , I w a s s t r u g g l i n g . I w a n t e d u s t o h a v e a m e a n i n g f u l d i s c u s s i o n . I k n e w t h a t w e w e r e n o t h a v i n g o n e y e t I d i d n o t k n o w w h a t w e c o u l d h a v e t a l k e d a b o u t o r h o w I c o u l d h a v e s h a p e d w h a t m y s t u d e n t s w e r e s a y i n g i n t o a m e a n i n g f u l d i s c u s s i o n . W h i l e t r o u b l e d b y m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s , I w a s a l s o w r e s t l i n g w i t h m y o w n r e s p o n s e . I a s k e d m y s e l f o v e r a n d o v e r a g a i n , w h a t i s a p a t t e r n ? . I h a d n o t s e e n t h i s q u e s t i o n a s k e d o r a n s w e r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e b u t i t w a s a q u e s t i o n t h a t c o n c e r n e d m e . T h e s c r i p t i n C S M P o f f e r e d m e n o a s s i s t a n c e w i t h r e s p o n d i n g t o t h e s t u d e n t s o r t o t h e q u e s t i o n s I a s k e d m y s e l f . I f I h a d b e e n m o r e c e r t a i n o f t h e p o i n t o f t h e l e s s o n , I m i g h t h a v e b e e n m o r e w i l l i n g a n d a b l e t o m o v e a w a y f r o m t h e s c r i p t a n d a s k t h e s t u d e n t s a d i f f e r e n t q u e s t i o n - - m y q u e s t i o n - - o r I m i g h t h a v e h a d a w a y o f r e s p o n d i n g t o t h e i r r e s p o n s e s . A s i t w a s , t h e s c r i p t i n m y h a n d s , i n t e n d e d t o h e l p m e i n m y r o l e a s t h e t e a c h e r , f e l t d i s c o n n e c t e d f r o m m y s t u d e n t s a n d m y s e l f a n d t h e s e n s e a n y o f u s w e r e m a k i n g o f t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s . Q u e s t i e n m ' g t h e Q u e s t i e n W h e n I a s k e d m y s t u d e n t s i f t h e y n o t i c e d a n y p a t t e r n s , m y r e s p o n s e w a s t o a s k m y s e l f , ' W h a t i s a p a t t e r n ? ’ 3 I a s k e d m y s t u d e n t s o n e q u e s t i o n - - w h a t p a t t e r n s d o y o u n o t i c e - a n d m y s e l f a n o t h e r u w h a t i s a p a t t e m — - r e p e a t e d l y t h r o u g h o u t t h i s l e s s o n , y e t I n e v e r c o n s i d e r e d a s k i n g m y s t u d e n t s 3 R e c o g n i z i n g t h e q u e s t i o n o f , ’ W h a t i s a p a t t e r n ? ’ i n t h e c o n t e x t o f a s k i n g t h e q u e s t i o n o f n o t i c i n g p a t t e r n s a s w e l l a s s t r u g g l i n g w i t h t h e f u n d a m e n t a l n a t u r e o f t h a t q u e s t i o n s e e m s s i m i l a r t o t h e q u e s t i o n o f , ’ W h a t i s a w h o l e n u m b e r ? ’ w h i c h c o m e s u p i n a l e s s o n o n e w e e k l a t e r . M a g g i e a n d I w r o t e a b o u t t h a t l e s s o n ( 0 9 / 2 7 / 8 9 ) i n , ” L e a r n i n g t o H e a r V o i c e s : I n v e n t i n g a N e w P e d a g o g y o f T e a c h e r E d u c a t i o n , ” ( C o h e n , M c L a u g h l i n , 8 : T a l b e r t , 1 9 9 3 ) . 1 3 9 t h e q u e s t i o n I a s k e d m y s e l f . I w a s s u r p r i s e d w h e n J i m b r o u g h t u p t h e i d e a i n o u r i n t e r v i e w . R u t h : T h e q u e s t i o n f o r m e b e c a m e w h a t i s a p a t t e r n ? A n d , a r e t h e s e t h i n g s t h a t t h e k i d s a r e g i v i n g m e p a t t e r n s ? J i m : S o , w h y d i d n ’ t y o u a s k t h a t ? R u t h : W h y d i d n ’ t I a s k - - ? J i m : T h e c l a s s . R u t h : W h a t ? J i m : W h a t i s a p a t t e r n ? R u t h : T h a t w o u l d h a v e b e e n a g o o d q u e s t i o n . T h a t i s t h e q u e s t i o n t h a t I h a d o n m y m i n d . A s I s a i d t h e l a s t s e n t e n c e , I h e a r d m y s e l f l a u g h o n t h e a u d i o t a p e . I t h i n k I w a s r e a l i z i n g h o w s l o w I w a s t o s e e t h a t w h a t J i m w a s s u g g e s t i n g w a s t h a t I a s k m y s t u d e n t s t h e q u e s t i o n t h a t h a d b e e n o n m y m i n d . I t d i d n o t o c c u r t o m e , p r i o r t o t h i s m o m e n t i n m y c o n v e r s a t i o n w i t h J i m , t h a t a s k i n g i t w o u l d h a v e b e e n a r e a s o n a b l e t h i n g t o d o . I d i d n o t e v e n c o n s i d e r i t a n o p t i o n . W h y ? O n e r e a s o n m i g h t h a v e h a d t o d o w i t h m y c o n c e r n f o r t i m e a n d m y o w n n e e d t o g e t t h r o u g h t h e l e s s o n I h a d p l a n n e d . H o w c o u l d I h a v e j u s t i f i e d s p e n d i n g t i m e o n w h a t p a t t e r n s w e r e w h e n ; a c c o r d i n g t o C S M P , s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o b e s e a r c h i n g f o r t h e m ? T h e t e a c h e r ’ s g u i d e d e f i n e d t h e t a s k a s n o t i c i n g p a t t e r n s , n o t d e f i n i n g t h e m . W o u l d t h e s t u d e n t s h a v e g o t t e n t h r o u g h t h e t a s k o f n o t i c i n g p a t t e r n s i f w e h a d s t o p p e d t o d e f i n e t h e m ? I b e g a n , h o w e v e r , t o q u e s t i o n h o w w o r t h w h i l e t h e t a s k o f n o t i c i n g p a t t e r n s h a d b e e n w i t h o u t s o m e s h a r e d u n d e r s t a n d i n g o f w h a t w e w e r e l o o k i n g f o r a n d w h y . I w a s r e l i e v e d t o f i n d o u t t h a t I w a s n o t t h e o n l y o n e w h o a s k e d w h a t a p a t t e r n w a s . J i m s a i d t h a t h e h a d a s k e d h i m s e l f t h e s a m e q u e s t i o n . M a g g i e h a d a l s o o b s e r v e d t h i s l e s s o n a n d a s I r e a d h e r o b s e r v a t i o n n o t e s f o r t h e d a y , I 1 4 0 s a w t h a t s h e h a d a l s o b e e n p l a y i n g a r o u n d w i t h t h e d e f i n i t i o n o f a p a t t e r n . W h a t f o l l o w s i s a n e x c e r p t f r o m h e r n o t e s : A s k i n g ” d o y o u s e e a n y p a t t e r n s ? ” W h a t d o y o u w a n t t o g e t o u t o f t h a t ? W a s t h e i d e a t o g e t s o m e o n e t o s a y t h a t t h e e n d i n g n u m b e r i s 1 2 m o r e t h a n t h e b e g i n n i n g n u m b e r ? T h e r e a r e r e l e v a n t a n d i r r e l e v a n t p a t t e r n s ( i . e . l i k e 8 - 2 - 2 a n d 8 - 2 - 2 ) . H a r d t o e x a c t l y e x p l a i n w h a t I m e a n b y ” i r r e l e v a n t p a t t e r n s . ” T h e r e a r e t h i n g s y o u c o u l d g e t o u t o f a l m o s t e v e r y p a t t e r n t h e k i d s c o m e u p w i t h . . . w h a t t h e k i d s a r e s a y i n g a r e m o r e l i k e e b s e r v e t i e n s t h a n p e t t e r n s . I t h i n k y o u w e r e t r y i n g t o g e t a t t h i s a b i t w h e n y o u a s k e d , ” D o e s t h a t p a t t e r n a p p l y t o a n y o t h e r s e t o f n u m b e r s ? ( L a m p e r t o b s e r v a t i o n n o t e s , 0 9 / 2 0 / 8 9 ) D u r i n g t h e l e s s o n , I a s s u m e d t h a t I w a s t h e o n l y o n e w h o d i d n ’ t k n o w w h a t a p a t t e r n w a s . I t w a s c o m f o r t i n g t o k n o w t h a t I w a s n o t t h e o n l y o n e r a i s i n g t h e q u e s t i o n a n d t h a t f r o m M a g g i e ’ s p e r s p e c t i v e , t h e r e w a s n o t a n e a s y a n s w e r . T h e d e f i n i t i o n o f a p a t t e r n i s r e l a t e d t o q u e s t i o n s o f r e l e v a n c e . Q u e s t i o n s o f r e l e v a n c e a r e r e l a t e d t o q u e s t i o n s o f p u r p o s e a n d q u e s t i o n s o f p u r p o s e a r e r e l a t e d t o t h e m a t h e m a t i c s ( i . e . M m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d w a y s o f k n o w i n g ) t o b e l e a r n e d . W h e r e m i g h t t h i s d i s c u s s i o n h a v e g o n e i f I h a d t a k e n m y o w n q u e s t i o n s e r i o u s l y ? H o w m i g h t t h i n g s h a v e t u r n e d o u t i f I h a d a s k e d t h e q u e s t i o n t h a t m a d e s e n s e t o m e r a t h e r t h a n t h e o n e w i t h l i t t l e m e a n i n g f o r m e f o u n d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? I w e n t i n t o t h i s t e a c h i n g t h i n k i n g t h a t I d i d n o t k n o w e n o u g h m a t h e m a t i c s a n d t h a t I w a s g o i n g t o b e l e a r n i n g a l o t . T h a t w a s i n t h e a b s t r a c t , b e f o r e I s t a r t e d t h i s t e a c h i n g . R e a l i t y h i t w h e n I w a s f a c e d w i t h a q u e s t i o n f o r w h i c h I r e a l l y d i d n o t k n o w t h e a n s w e r . C o u l d I a s k m y s t u d e n t s a q u e s t i o n t h a t w a s g e n u i n e f o r m e ? 4 A d m i t t i n g t o m y s e l f a n d o t h e r s t h a t I 4 1 h a d h a d t h e e x p e r i e n c e o f a s k i n g g e n u i n e q u e s t i o n s a s a t e a c h e r a n d l e a r n e r i n t h e c o n t e x t o f M a n : A C o u r s e o f S t u d y ( M A C O S ) . M y e x p e r i e n c e s w i t h t h i s c u r r i c u l u m a r e d e s c r i b e d i n C h a p t e r 2 . F o r e x a m p l e , ” W h a t m a k e s m a n h u m a n ? ” t h e q u e s t i o n a r o u n d w h i c h t h e e n t i r e c u r r i c u l u m i s o r g a n i z e d , i s a q u e s t i o n f o r w h i c h I d i d n o t h a v e a n a n s w e r w h e n I b e g a n t e a c h i n g M A C O S . S c h o o l h o u s e P o l i t i c s ( D o w , 1 9 9 1 ) , e s p e c i a l l y c h a p t e r 4 o n t e a c h e r w o r k s h o p s , 1 4 1 h a d s o m e t h i n g t o l e a r n c l a s h e d w i t h m y V i e w o f r o l e a n d r e s p o n s i b i l i t i e s a s a m a t h e m a t i c s t e a c h e r . I w a s t h e t e a c h e r . I w a s s u p p o s e d t o a s k q u e s t i o n s f o r w h i c h I h a d t h e a n s w e r s . O r , w a s I ? C o u l d I l e g i t i m a t e l y a s k a q u e s t i o n a s a l e a r n e r w h i l e a l s o b e i n g t h e t e a c h e r ? C o u l d I t a k e t h e r i s k ? I n e e d e d t o l e a r n t o s e t a s i d e t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , v a l u e w h a t I d i d n o t k n o w , a n d t r u s t m y s e l f t o a s k a d i f f e r e n t q u e s t i o n - - m y o w n q u e s t i o n - - e v e n i f i t m e a n t r a i s i n g q u e s t i o n s a b o u t q u e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h L i r n i t a t i n f F 1 1 w i n a T a h r ’ i d M y f r u s t r a t i o n s w i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n t h i s l e s s o n p r o m p t e d m e t o r e c o n s i d e r w h y i t w a s I t h o u g h t f o l l o w i n g t h i s t e a c h e r ’ s g u i d e w a s a g o o d i d e a i n t h e f i r s t p l a c e . T h e c o n t e n t a n d p e d a g o g y r e p r e s e n t e d b y t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e l o o k e d d i f f e r e n t f r o m a n y c u r r i c u l u m m a t e r i a l s I h a d u s e d i n t h e p a s t . S i n c e I w a n t e d t o m o v e a w a y f r o m ” t r a d i t i o n a l ” t e a c h i n g , ” n o n - t r a d i t i o n a l ” c u r r i c u l u m m a t e r i a l s s e e m e d l i k e a u s e f u l t o o l f o r m a k i n g f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n m y v i e w o f c o n t e n t a s w e l l a s h o w t o t e a c h i t . I w a s c o m i n g t o s e e t h a t m a k i n g t h e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g t o a c h i e v e w h a t I w a s a i m i n g f o r w a s n o t g o i n g t o b e a s e a s y a s m e r e l y f o l l o w i n g t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e a s I h a d f o l l o w e d t e a c h e r ’ s g u i d e s i n t h e p a s t . H o w w a s I m a k i n g u s e o f t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e i n m y t e a c h i n g ? A s i n t h e p a s t , I u s e d t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e t o m a k e m y d e c i s i o n s a b o u t w h a t a n d h o w t o t e a c h . I n t h i s l e s s o n , w h a t t o t e a c h w a s d e f i n e d a s t h e ” c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ” a n d h o w t o t e a c h w a s t o ” i n v e s t i g a t e . ” I h a d a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f n e i t h e r o f t h e s e a t t h e t i m e . I n m y p a s t t e a c h i n g , w h a t I d i d w a s t h e s a m e a s w h a t I w a n t e d s t u d e n t s t o l e a r n a n d t h e r e w a s l e s s r o o m s u p p o r t s t h e i d e a t h a t o t h e r t e a c h e r s f o u n d t h e m s e l v e s , o f t e n a c c o m p a n i e d b y m u c h a n x i e t y , i n a s i m i l a r p o s i t i o n . 1 4 2 f o r i n t e r p r e t a t i o n o f e i t h e r . N o w , e v e r y t h i n g s e e m e d w i d e o p e n t o i n t e r p r e t a t i o n a n d m u c h m o r e c o m p l i c a t e d . W i t h l i t t l e s u c c e s s , I h a d t r i e d t o f i g u r e o u t t h e p o i n t o f t h e l e s s o n b y u s i n g t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w h e n I p l a n n e d t h i s l e s s o n . A t t h e t i m e , I e n d e d u p p u t t i n g a s i d e m y q u e s t i o n s a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l i d e a o f c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s a n d w h a t m y s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o l e a r n a n d p r o c e e d e d w i t h g i v i n g m y s t u d e n t s t h e p r o b l e m s f r o m t h e t e x t . T h e p r o b l e m s l o o k e d d o a b l e w i t h o u t a n u n d e r s t a n d i n g o f s o m e l a r g e r p u r p o s e a n d I t r u s t e d t h a t d o i n g t h e m w o u l d l e a d t o s o m e t h i n g m e a n i n g f u l . O n c e I a s k e d t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s , I q u e s t i o n e d m y d e c i s i o n t o c o n t i n u e d i s c u s s i n g t h e m w i t h o u t u n d e r s t a n d i n g w h y t h e y w e r e i m p o r t a n t . H o w c o u l d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e h a v e h e l p e d m e t o b e b e t t e r p r e p a r e d f o r t h i s l e s s o n ? W e r e t h e r e w a y s t h a t t h e s e p r o b l e m s c o u l d h a v e b e e n s i t u a t e d i n t e r m s o f b r o a d e r m a t h e m a t i c a l g o a l s t h a t I c o u l d h a v e u n d e r s t o o d ? W h a t w o u l d I h a v e n e e d e d t o k n o w o u t s i d e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t o h a v e f e l t p r e p a r e d a n d g o t t e n t h e m o s t o u t o f t h e s e p r o b l e m s a n d t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s ? W e r e t h e r e a s p e c t s o f t h i s t e a c h i n g t h a t C S M P o r a n y t e x t b o o k c o u l d n o t p r e p a r e m e f o r ? A n o t h e r s e t o f f r u s t r a t i o n s a c c o m p a n i e d m y u s e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w h e n I t r i e d t o g e n e r a t e a d i s c u s s i o n a n d i n t e r a c t w i t h m y s t u d e n t s . T h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e o f f e r e d m e o n e p o s s i b l e r o u t e t h r o u g h t h e m a t e r i a l . I t o f f e r e d e n o u g h d e t a i l o f t h e a c t i v i t y t o g e t m y s t u d e n t s a n d I s t a r t e d e v e n t h o u g h I d i d n o t u n d e r s t a n d e x a c t l y w h e r e I w a s g o i n g o r w h y . T h i s h a d w o r k e d fi n e i n m y p a s t m a t h t e a c h i n g a n d i t w o u l d h a v e b e e n fi n e t h i s t i m e i f w h a t h a d h a p p e n e d i n m y c l a s s h a d m a t c h e d e x a c t l y w h a t w a s a n t i c i p a t e d b y C S M P . B u t t h i s w a s n o t t h e c a s e . A t t h e t i m e , I t h o u g h t t h e r e w a s a c o m p l e t e m i s m a t c h b e t w e e n t h e a n t i c i p a t e d s t u d e n t r e s p o n s e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d w h a t m y s t u d e n t s s a i d . I n m y j o u r n a l I w r o t e , 1 4 3 W h a t m y k i d s c a m e u p w i t h d i d n o t r e s e m b l e t h e s e r e s p o n s e s . . . I a m w o n d e r i n g w h a t t h e r o l e o f t h e t e a c h e r ’ s m a n u a l i s i n t h i s t y p e o f t e a c h i n g . A l o t o f t h e s p a c e i n C S M P i s t a k e n u p w i t h e x a m p l e s o f s t u d e n t / t e a c h e r i n t e r a c t i o n . I ’ m n o t fi n d i n g t h i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l a n d a t t i m e s t r o u b l e s o m e . W h e n I r e a d i t , I t h i n k I h a v e a n i d e a o f w h a t i s g o i n g t o h a p p e n i n c l a s s a n d t o d a y w a s a n e x a m p l e , l a s t T h u r s d a y w a s t o o , o f t h i n g s n o t g o i n g a s I a n t i c i p a t e d . I b a s e m y p l a n s o n t h e b o o k b u t t h a t d o e s n ’ t s e e m t o b e w o r k i n g . ( H e a t o n j o u r n a l , 0 9 / 2 0 / 8 9 ) T h i s f r u s t r a t e d m e t o n o e n d . W e r e t h e r e a l t e r n a t i v e r o u t e s t o t h e o n e i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? I f s o , w h a t w e r e t h e y a n d h o w c o u l d I c o n n e c t t h e m t o t h e v a r i e d s e n s e m y s t u d e n t s w e r e m a k i n g o f t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s ? B e f o r e t h i s y e a r , I w o u l d h a v e s t e e r e d u s r i g h t b a c k o n t h e c o u r s e d e fi n e d b y t h e t e x t b o o k , r e g a r d l e s s o f h o w m y s t u d e n t s r e s p o n d e d t o m y q u e s t i o n s . N o w , h o w e v e r , I w a n t e d t o b e d o i n g t h i n g s d i f f e r e n t l y . I w a n t e d t o b e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s ' i d e a s . W a s t h e r e a w a y I c o u l d d o t h a t a n d s t i l l g e t t o w h e r e w e w e r e h e a d e d b y c h o o s i n g a l t e r n a t e r o u t e s p r o m p t e d b y m y s t u d e n t s ’ s e n s e - m a k i n g ? W h a t s o r t o f g u i d e c o u l d g i v e m e e n o u g h o f a f e e l f o r w h e r e I w a s h e a d e d s o a s t o g u i d e m y d e c i s i o n s a b o u t h o w t o g e t t h e r e y e t d o s o i n w a y s t h a t w e r e r e s p o n s i v e t o m y s t u d e n t s ’ i d e a s ? r T A ? W h i l e I w a s t e a c h i n g , I w a s f r u s t r a t e d w i t h m y a t t e m p t s t o g e n e r a t e a d i s c u s s i o n . E v e n t h o u g h m y s t u d e n t s w e r e t a l k i n g , b o t h a s t h e y f i l l e d t h e t a b l e w i t h n u m b e r s a n d a s t h e y s e a r c h e d f o r p a t t e r n s , i t f e l t t o m e l i k e t h e r e w a s n o t h i n g t o t a l k a b o u t o r w h a t t h e y p r o p o s e d w a s m e a n i n g l e s s . I n t h e fi r s t p a r t o f t h e l e s s o n , t h e d i s c u s s i o n f e l t fl a t a n d i n t h e s e c o n d p a r t o f t h e l e s s o n , t h e s u b s t a n c e b e i n g d i s c u s s e d s e e m e d i r r e l e v a n t . T e a c h i n g a s t e l l i n g d o m i n a t e d m y p a s t p r a c t i c e a s a t e a c h e r . A t t h e t i m e o f t h i s l e s s o n , o n l y a f e w w e e k s i n t o t h e s c h o o l y e a r , I w a s d e t e r m i n e d t o c h a n g e m y w a y s o f i n t e r a c t i n g 1 4 4 w i t h s t u d e n t s a n d a v o i d d o i n g a n y t h i n g t h a t r e s e m b l e d t e l l i n g . I t h o u g h t a s k i n g q u e s t i o n s w a s a w a y t o m a k e t h i s h a p p e n . I e v e n i n s e r t e d q u e s t i o n s o f m y o w n i n t o t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e r e w a s s t i l l n o d i s c u s s i o n . G i v e n m y l a c k o f s u c c e s s a t g e n e r a t i n g a d i s c u s s i o n t h r o u g h q u e s t i o n s , I b e g a n t o t h i n k t h a t t h e r e h a d t o b e m o r e t o m y r o l e t h a n j u s t a s k i n g q u e s t i o n s . T h e r e w a s s o m e t h i n g t o b e l e a r n e d a b o u t h o w t o c o m m e n t o n s t u d e n t s ’ i d e a s i n t h e s i t u a t i o n . H o w d o I d e c i d e w h a t t o s a y , a b o u t w h a t , t o w h o m , a n d w h e n ? I d i s c o v e r e d t h a t I c o u l d g e t s t u d e n t s t a l k i n g w i t h t h e q u e s t i o n s I r e a d a b o u t a n d h e a r d M a g g i e u s e i n h e r c l a s s . T h e s e q u e s t i o n s - - D o y o u s e e a n y p a t t e r n s ? H o w d i d y o u g e t i t ? W h a t d o o t h e r s t h i n k ? - - a l o n g w i t h t h e q u e s t i o n s i n t h e C S M P g u i d e w e r e p e d a g o g i c a l t o o l s f o r g e t t i n g p e o p l e t o t a l k . A s k i n g t h e m w a s a w a y f o r m e t o t r y o n t h e r o l e o f a d i f f e r e n t s o r t o f t e a c h e r . T h e q u e s t i o n s g o t s t u d e n t s t a l k i n g b u t t h e n w h a t ? A s k i n g t h e q u e s t i o n s w a s o n e t h i n g . K n o w i n g w h a t t o d o w i t h t h e r e s p o n s e s w a s q u i t e a n o t h e r . I b e g a n t o t h i n k t h a t t h e d e c i s i o n s I c o u l d s e e I n e e d e d t o m a k e w e r e r e l a t e d t o w h e r e I w a n t e d t o g o w i t h a l e s s o n w h i c h w a s d e p e n d e n t o n a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e p u r p o s e f o r a t t e m p t i n g a d i s c u s s i o n i n t h e f i r s t p l a c e . I f I h a d k n o w n w h y w e w e r e l o o k i n g f o r p a t t e r n s , I m i g h t h a v e b e e n a b l e t o c o n s i d e r t h e r e l e v a n c e o f t h e s t u d e n t s ’ p a t t e r n s . W h e n I a s k e d a q u e s t i o n a b o u t p a t t e r n s i n m y j o u r n a l , M a g g i e c o m m e n t e d i n t h e m a r g i n , ” I s n ’ t a l a r g e r q u e s t i o n , w h y a r e w e l o o k i n g f o r p a t t e r n s i n m a t h c l a s s i n t h e fi r s t p l a c e ? ? ? ” ( L a m p e r t a n n o t a t i o n o f H e a t o n j o u r n a l , 0 9 / 2 0 / 8 9 ) . A s e n s e o f p u r p o s e m i g h t h a v e h e l p e d m e t o f i g u r e o u t w h a t t h e r e w a s t o t a l k a b o u t o r p o s s i b l e w a y s t o h e l p m y s t u d e n t s t h i n k a b o u t t h e i r i d e a s . I o p e n e d u p t h e d i s c o u r s e w i t h q u e s t i o n s I h a d h e a r d M a g g i e a s k b u t I d i d s o w i t h o u t a s e n s e o f w h e r e I w a n t e d t o g o . I f o u n d m y s e l f w i t h l o t s o f s t u d e n t s ’ 1 4 5 i d e a s b e f o r e m e , p l e n t y o f m y o w n t h o u g h t s i n m y h e a d , b u t n o w a y t o r e s p o n d a n d t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t c a r r i e d m e t h i s f a r w a s o f l i t t l e u s e . I d i d n o t k n o w w h a t t o d o t o m a k e a d i s c u s s i o n o u t o f w h a t m y s t u d e n t s w e r e s a y i n g . I d i d n o t k n o w h o w t o r e s p o n d i n w a y s t h a t w o u l d p u s h t h e i r t h i n k i n g . I a l s o l a c k e d a s e n s e o f w h e r e I w a n t e d t o p u s h t h e i r t h i n k i n g a n d w h y . W h a t w a s i t t h a t I w a s t r y i n g t o t e a c h t h e m a b o u t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ? W h a t w a s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n ? I d i d n o t h a v e a n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s . I w a s t r y i n g t o g e t a d i s c u s s i o n o f p a t t e r n s g o i n g w i t h o u t a s e n s e o f w h a t t h e r e w a s t o t a l k a b o u t . T h r e e Y e a r s L a t e r : R e v i s i t i n g M y F r e s t r a t i e n s A t l e a s t p a r t o f m y f r u s t r a t i o n a t t h e t i m e w a s d i r e c t e d a t t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d w h a t I t h o u g h t w a s i t s i n a b i l i t y t o h e l p m e r e s p o n d t o m y s t u d e n t s . I n g o i n g b a c k t o t h i s l e s s o n , t h r e e y e a r s l a t e r , I w a n t e d t o u n d e r s t a n d m o r e a b o u t m y r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e x t b o o k u w h a t I e x p e c t e d o f i t o r w h a t I t h o u g h t i t w o u l d p r o v i d e m e w i t h o r d o f o r m e w h i l e I w a s t e a c h i n g , t h e t r u s t I h a d i n i t a n d t h e p e o p l e w h o w r o t e i t , a n d t h e w a y I m a d e u s e o f i t i n c l a s s . T o d o s o , I h a v e r e - e x a m i n e d m y f r u s t r a t i o n s a n d t r i e d t o u n d e r s t a n d w h a t i t i s t h a t I c o u l d h a v e k n o w n o r u n d e r s t o o d t h a t w o u l d h a v e e a s e d o r a v o i d e d m y f r u s t r a t i o n s . W h a t m a t h e m a t i c s w a s I s u p p o s e d t o b e t e a c h i n g ? W h a t w a s m a t h e m a t i c a l l y s i g n i f i c a n t a b o u t t h e p a t t e r n s s t u d e n t s g a v e m e ? W h a t i s a p a t t e r n ? W h a t i s a f u n c t i o n ? W h a t i s t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s ? W h a t i s m a t h e m a t i c a l l y s i g n i f i c a n t a b o u t t h e p r e d i c t e d s t u d e n t r e s p o n s e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? W h a t w a s t h e i n t e n t o f t h i s l e s s o n f r o m C S M P ’ S p e r s p e c t i v e ? H o w d o t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s i n t h i s l e s s o n c o n n e c t t o b r o a d e r m a t h e m a t i c a l i d e a s ? H o w d o e s d o i n g t h e a c t i v i t y a d d r e s s w h a t i t i s t h a t s t u d e n t s a r e s u p p o s e d t o l e a r n ? W h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n ? 1 4 6 I n t h e s e c t i o n t h a t f o l l o w s , I d r a w o n r e s o u r c e s o u t s i d e o f t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e t o a n s w e r t h e s e q u e s t i o n s . I t i s u n c l e a r t o m e w h e t h e r o r n o t t h e a u t h o r s o f C S M P e x p e c t e d m e t o k n o w , p r i o r t o t e a c h i n g t h i s l e s s o n , w h a t I n o w u n d e r s t a n d . F r o m m y c o n v e r s a t i o n s w i t h p e o p l e w h o k n o w a b o u t C S M P a n d t h e w r i t t e n c o m m e n t a r y o n t h e c u r r i c u l u m , I h a v e n o d o u b t t h a t t h e p e o p l e w h o d e s i g n e d t h e i n d i v i d u a l l e s s o n s , t h e c o n t e n t s t r a n d s , a n d t h e c u r r i c u l u m h a d a s e n s e f o r t h e m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s a n d r e l a t i o n s h i p s a t m a n y d i f f e r e n t l e v e l s t h a t I a m o n l y n o w c o m i n g t o u n d e r s t a n d . T h i s m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e , h o w e v e r , w a s n o t p r e s e n t e d i n w a y s t h a t w e r e a c c e s s i b l e t o m e n o r a m I c e r t a i n t h a t i t w a s i n t e n d e d t o b e . I t s e e m s t h a t t h e d e v e l o p e r s m a y h a v e o v e r e s t i m a t e d w h a t t e a c h e r s k n o w a n d u n d e r s t a n d a n d u n d e r e s t i m a t e d t h e s h e e r d i f f i c u l t y o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s r e p r e s e n t e d b y t h e c u r r i c u l u m . I n t h e c o u r s e o f p u r s u i n g a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s f o r m y s e l f , I h a v e d i s c o v e r e d a s e t o f c o n n e c t i o n s a n d r e l a t i o n s h i p s a m o n g m a t h e m a t i c a l i d e a s i n C S M P t h a t w e r e i n v i s i b l e t o m e a t t h e t i m e I t a u g h t t h e l e s s o n . I f t h e a u t h o r s o f C S M P t h o u g h t I u n d e r s t o o d w h a t f o l l o w s , I a m u n c e r t a i n h o w t h e y t h o u g h t I w o u l d h a v e l e a r n e d i t . I f t h e y a s s u m e d t h e i n f o r m a t i o n w a s i n C S M P , i t w a s n o t i n a f o r m t h a t I f o u n d a c c e s s i b l e . T h e a r e a s o f m a t h e m a t i c s I p u r s u e a r e o r g a n i z e d u n d e r t h r e e b r o a d q u e s t i o n s . W h y a r e p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s a n i m p o r t a n t t o p i c t o t e a c h ? W h y t e a c h a b o u t p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s i n a p a r t i c u l a r w a y ? W h a t s e n s e m i g h t s t u d e n t s m a k e o u t o f a s t u d y o f p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s ? W W W T h e p r e s e n c e o f a l e s s o n o n t h e ” c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ” w i t h i n C S M P i m p l i e s t h a t i t w a s s o m e t h i n g w o r t h t e a c h i n g . B u t , w h y i s t h i s t o p i c w o r t h t e a c h i n g ? W h a t i s t h e i m p o r t a n c e o f l e a r n i n g a b o u t f u n c t i o n s ? W h a t 1 4 7 i s a p a t t e r n ? W h y s t u d y p a t t e r n s ? W h a t i s m e a n t b y t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ? H o w d o p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s c o n n e c t t o b r o a d e r m a t h e m a t i c a l i d e a s ? W h y d o e s C S M P l i n k p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s ? W h a t i s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s ? I h a d b e g u n t o a s k m y s e l f v a r i o u s f o r m s o f t h e s e q u e s t i o n s a t t h e t i m e o f t h e l e s s o n . T h r e e y e a r s l a t e r , I h a v e b e g u n t o c o n s t r u c t s o m e a n s w e r s . W h y s p e n d t i m e e n p a t t e r n s ? I h a v e r e c e n t l y b e g u n t o a p p r e c i a t e t h a t m a t h e m a t i c s i s a s c i e n c e o f p a t t e r n s a n d a s e a r c h f o r p a t t e r n s d r i v e s t h e w o r k o f m a t h e m a t i c i a n s . S t e e n ( 1 9 9 0 ) w r i t e s , ” S e e i n g a n d r e v e a l i n g h i d d e n p a t t e r n s a r e w h a t m a t h e m a t i c i a n s d o b e s t . ” ( p . 1 ) . I n a n e f f o r t t o b r o a d e n a n d d e e p e n s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c s , r e f o r m e r s a d v i s e a s i m i l a r s e a r c h f o r p a t t e r n s i n m a t h e m a t i c s b y a l l s t u d e n t s a t e v e r y g r a d e l e v e l ( N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ; N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , 1 9 9 1 ; C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 5 , 1 9 9 2 ) . F o r e x a m p l e , t h e P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s n o t e t h a t a s " t e a c h e r s s h i f t t o w a r d t h e v i s i o n o f t e a c h i n g p r e s e n t e d b y t h e s e s t a n d a r d s , o n e w o u l d e x p e c t t o s e e t e a c h e r s a s k i n g , a n d s t i m u l a t i n g s t u d e n t s t o a s k , q u e s t i o n s l i k e " D o y o u s e e a p a t t e r n ? " ( p . 4 ) . P a t t e r n s , a c c o r d i n g t o t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 ) , ” h e l p c h i l d r e n t o s e e o r d e r a n d m a k e s e n s e o f u n d e r l y i n g s t r u c t u r e s o f t h i n g s , s i t u a t i o n s , a n d e x p e r i e n c e s . P a t t e r n s h e l p c h i l d r e n p r e d i c t w h a t w i l l h a p p e n ” ( p . 1 0 8 ) . A h u n t f o r p a t t e r n s e x p a n d s t h e c o n c e p t o f d o i n g m a t h e m a t i c s b e y o n d t h e s e a r c h f o r a s i n g l e r i g h t a n s w e r t o w a r d a n u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s , a n a i m o f t h e c u r r e n t r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . R e c o g n i z i n g , d e s c r i b i n g a n d c r e a t i n g a w i d e v a r i e t y o f p a t t e r n s p r o v i d e s a f o u n d a t i o n f o r e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s i n n u m b e r s 1 4 8 i n l a t e r g r a d e s . T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s p u t i t t h i s w a y : F r o m t h e e a r l i e s t g r a d e s , t h e c u r r i c u l u m s h o u l d g i v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o f o c u s o n r e g u l a r i t i e s o f e v e n t s , s h a p e s , d e s i g n s , a n d s e t s o f n u m b e r s . C h i l d r e n s h o u l d b e g i n t o s e e t h a t r e g u l a r i t y i s t h e e s s e n c e o f m a t h e m a t i c s . T h e i d e a o f a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p c a n b e i n t u i t i v e l y d e v e l o p e d t h r o u g h o b s e r v a t i o n s o f r e g u l a r i t y a n d w o r k w i t h g e n e r a l i z a b l e p a t t e r n s . ( p . 6 0 ) I n t h e c o n t e x t o f a s t u d y o f p a t t e r n s , t h e d o i n g o f s c h o o l m a t h b e a r s s t r o n g r e s e m b l a n c e t o t h e w o r k o f r e a l m a t h e m a t i c i a n s . T h e s t u d y o f p a t t e r n s n o w p e r m e a t e s t h e l a t e s t V e r s i o n o f t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 ) a s a " u n i f y i n g i d e a " a c r o s s c o n t e n t s t r a n d s . T h e r e a r e g o o d r e a s o n s w h y p a t t e r n s h a v e c o m e t o t a k e a p r o m i n e n t r o l e i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s c u r r i c u l a . W h a t m a t t e r s i n t h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s i s n o t s o m u c h w h i c h p a r t i c u l a r s t r a n d s o n e e x p l o r e s , b u t t h e p r e s e n c e i n t h e s e s t r a n d s o f s i g n i fi c a n t e x a m p l e s o f s u f f i c i e n t v a r i e t y a n d d e p t h t o r e v e a l p a t t e r n s . B y e n c o u r a g i n g s t u d e n t s t o e x p l o r e p a t t e r n s t h a t h a v e p r o v e n t h e i r p o w e r a n d s i g n i fi c a n c e , w e o f f e r t h e m b r o a d s h o u l d e r s f r o m w h i c h t h e y w i l l s e e f a r t h e r t h a n w e c a n . ( S t e e n , 1 9 9 0 , p . 8 ) W h a t i s e p e t t e r n ? T h e r e w a s n o i n d i c a t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t m y q u e s t i o n a b o u t w h a t a p a t t e r n i s w a s r e a s o n a b l e . T o h a v e a s k e d i t w o u l d h a v e r e q u i r e d m e t o v a l u e m y o w n q u e s t i o n a b o v e w h a t I f o u n d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h i s w o u l d h a v e r e q u i r e d a c o n f i d e n c e t h a t I d i d n o t h a v e a t t h e t i m e . I n t h e t h r o e s o f c h a n g i n g m y p r a c t i c e , m y s e l f - c o n f i d e n c e w a s a t l o w p o i n t . I t h o u g h t l o o k i n g t o t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e a s a n a u t h o r i t y f o r w h a t a n d h o w t o t e a c h w a s a s a f e w a y t o p r o c e e d w i t h m a k i n g c h a n g e s i n m y m a t h t e a c h i n g . D o i n g t h e t e a c h i n g w a s h a r d e n o u g h w i t h o u t t a k i n g o n a l l o f t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t . I a s s u m e d t h a t t h e 1 4 9 t e a c h e r ’ s g u i d e k n e w b e t t e r t h a n I w h a t q u e s t i o n s w e r e r e a s o n a b l e t o a s k . A t t h e t i m e , I a l s o a s s u m e d t h a t m y q u e s t i o n i n g t h e d e f i n i t i o n o f a p a t t e r n w a s r e l a t e d t o m y b e i n g n e w t o i n v e s t i g a t i o n s o f p a t t e r n s . I r e a l i z e n o w t h a t n o t i c i n g p a t t e r n s a n d f i g u r i n g o u t w h a t a p a t t e r n i s a r e r e l a t e d t a s k s . C o n t e m p l a t i n g o n e i n f o r m s t h e o t h e r . C o n s t r u c t i n g t h e d e f i n i t i o n o f a p a t t e r n , a s y o u n o t i c e p a t t e r n s , i s p a r t o f t h e w o r k o f fi g u r i n g o u t w h e t h e r a p a t t e r n i s r e l e v a n t o r i r r e l e v a n t . R e g u l a r i t y a n d p r e d i c t a b i l i t y a r e t h e t w o f u n d a m e n t a l c h a r a c t e r i s t i c s o f a p a t t e r n . S o m e t h i n g i s a p a t t e r n i f y o u c a n o b s e r v e r e g u l a r i t y i n i t . T h e r e g u l a r i t y a l l o w s y o u t o b e p r e d i c t i v e a b o u t t h e p a t t e m ’ s b e h a v i o r . A n u m e r i c a l p a t t e r n w i t h r e g u l a r i t y a n d p r e d i c t a b i l i t y e n a b l e s y o u t o d e s c r i b e a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s . I d e n t i f y i n g a p a t t e r n a l l o w s y o u t o m a n i p u l a t e o n e v a r i a b l e a n d p r e d i c t w h a t w i l l h a p p e n w i t h t h e o t h e r . A r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s w i t h t h i s k i n d o f r e g u l a r i t y a n d p r e d i c t a b i l i t y i s a f u n c t i o n . I h a v e l e a r n e d s e v e r a l w a y s t o t h i n k a b o u t t h i s r e l a t i o n s h i p c a l l e d a f u n c t i o n . O n e w a y i s t o d e s c r i b e t h i s r e l a t i o n s h i p o f v a r i a b l e s a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s e t s a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 . I f f o r a n y m e m b e r o f o n e s e t ( S e t A ) , y o u c a n d e s c r i b e t h e p r e d i c t a b i l i t y t h a t e n a b l e s y o u t o t e l l w i t h c e r t a i n t y t h e c o r r e s p o n d i n g m e m b e r o f a s e c o n d s e t ( S e t B ) , t h e n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o s e t s i s a f u n c t i o n . I n o t h e r w o r d s , g i v e n f ( x ) = y . F o r a n y x ( x 1 , x 2 , X 3 , . . . ) , y o u c a n p r e d i c t a n y y ( y A , y B , y c , . . . ) . 1 5 0 x 1 j 7 : Y A X 2 Y 3 X 3 > Y c S e t A S e t B F i g u r e 4 . 1 A f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o s e t s L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n ( 1 9 9 0 ) o f f e r a s i m i l a r e x p l a n a t i o n o f t h i s r e l a t i o n s h i p u s i n g s l i g h t l y d i f f e r e n t l a n g u a g e . A f u n c t i o n i s a ” s p e c i a l t y p e o f r e l a t i o n o r c o r r e s p o n d e n c e , a r e l a t i o n w i t h a r u l e t h a t a s s i g n s t o e a c h m e m b e r o f S e t A e x a c t l y o n e m e m b e r o f S e t B ” ( p . 2 7 ) . A w e l l d e f i n e d f u n c t i o n w i l l a l l o w o n e t o s a y w h a t y v a l u e w i l l g o w i t h a p a r t i c u l a r x . F o r e a c h x t h e r e i s o n l y o n e v a l u e o f y . E a c h e l e m e n t i n t h e d o m a i n ( S e t A ) c o r r e s p o n d s t o o n l y o n e e l e m e n t i n t h e r a n g e ( S e t B ) . W h e n s t a r t i n g w i t h a p a r t i c u l a r v a l u e , y o u c a n p r e d i c t w h a t t h e o u t p u t w i l l b e w i t h c e r t a i n t y . F u n c t i o n s c a r r y w i t h t h e m t h e n o t i o n o f p r e d i c t a b i l i t y a n d r e g u l a r i t y , t h e e s s e n c e o f p a t t e r n . W W U n d e r s t a n d i n g t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s e n c o u r a g e s s t u d e n t s t o b u i l d fl e x i b i l i t y i n t o t h e w a y t h e y l o o k a t n u m b e r s . S t u d y i n g f u n c t i o n s i n e l e m e n t a r y s c h o o l i s a w a y t o p r e p a r e f o r a l g e b r a o r ” t h e s t u d y o f o p e r a t i o n s a n d r e l a t i o n s a m o n g n u m b e r s t h r o u g h t h e u s e o f v a r i a b l e s ” ( K a r u s h , 1 9 8 9 , p . 4 ) . I t i s a l s o a w a y t o p r e p a r e f o r o p e r a t i n g ” w i t h c o n c e p t s a t a n a b s t r a c t l e v e l a n d t h e n a p p l y i n g t h e m , a p r o c e s s t h a t o f t e n f o s t e r g e n e r a l i z a t i o n s a n d i n s i g h t s ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f 1 5 1 M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , p . 1 5 0 ) . C S M P i s a c u r r i c u l u m o r i e n t e d a r o u n d f u n c t i o n s . I t a t t e m p t s t o b u i l d s o m e c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g s o f a l g e b r a w i t h o u t u s i n g t e r m i n o l o g y t h r o u g h w o r k w i t h a r r o w r o a d s . F r o m t h i s f o u n d a t i o n , t h e e x p e c t a t i o n i s t h a t s t u d e n t s , i n l a t e r g r a d e s , w i l l b e a b l e t o d o t h e k i n d o f a b s t r a c t g e n e r a l i z i n g r e q u i r e d i n t h e e x p l i c i t s t u d y o f a l g e b r a . A m a j o r g o a l i s t o b u i l d t h e k i n d o f t h i n k i n g a n d fl e x i b i l i t y t h a t w i l l m a k e a t r a n s i t i o n t o t h e m o r e a d v a n c e d w o r l d o f m a t h e m a t i c s e a s i e r , e s p e c i a l l y a s p e c t s o f m a t h e m a t i c s h a v i n g t o d o w i t h f u n c t i o n s . A n o v e r a l l g o a l o f C S M P a n d t h i s l e s s o n w a s t o l e a r n t o l o o k a t c a l c u l a t i o n i n d i f f e r e n t w a y s . C o m p o s i n g f u n c t i o n s o f f e r s a n a l t e r n a t i v e w a y o f t h i n k i n g a b o u t c o m p u t a t i o n t h r o u g h t h e p r a c t i c e o f m e n t a l s t r a t e g i e s f o r t h e p u r p o s e o f c o m b i n i n g d i f f e r e n t n u m b e r s . F o r e x a m p l e , a d d i n g 1 2 c a n b e t h o u g h t o f a s a d d i n g 1 0 p l u s a d d i n g 2 . A d e v e l o p e r o f C S M P a d m i t t e d t h a t t h e p r o b l e m s g i v e n i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e , + 1 0 f o l l o w e d b y + 2 , + 7 f o l l o w e d b y - 3 , a n d + 9 f o l l o w e d b y - 4 a r e n o t p a r t i c u l a r l y s t r o n g e x a m p l e s o f g o o d p r a c t i c e i n m e n t a l a r i t h m e t i c . T h e n u m b e r s a r e e a s y t o c a l c u l a t e a n d y o u d o n o t h a v e t o h a v e v e r y c o m p l e x m e n t a l s t r a t e g i e s t o f i g u r e t h e m o u t . A m o r e d i f f i c u l t e x a m p l e m i g h t b e t o a d d 3 8 a n d t h i n k o f i t , f o r e x a m p l e , a s t h e c o m p o s i t i o n o f t w o f u n c t i o n s , + 4 0 f o l l o w e d b y - 2 . L o o k i n g b a c k o n t h e s e p r o b l e m s n o w , I c a n s e e h o w m e n t a l a r i t h m e t i c c o u l d b e e m p h a s i z e d b u t t h i s w a s n o t a p p a r e n t t o m e a s a g o a l w h e n I r e a d t h r o u g h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . W h e n I a s k e d s t u d e n t s t o e x p l a i n h o w t h e y fi g u r e d o u t s t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r s , i t c o u l d h a v e b e e n u n d e r s t o o d a s a n a t t e m p t t o m a k e p u b l i c s t u d e n t s ’ m e n t a l s t r a t e g i e s f o r fi g u r i n g o u t t h e s e p r o b l e m s . T h e c a l c u l a t i o n s t h e y d i d , h o w e v e r , w e r e n o t t o o d i f fi c u l t . T h e r e f o r e , t h e m e n t a l s t r a t e g i e s t h a t s t u d e n t s r e v e a l e d w e r e n o t t o o i n t e r e s t i n g f o r a s t u d e n t t o r e p o r t o r t h e r e s t o f u s t o c o n s i d e r . P e r h a p s l a r g e r 1 5 2 a n d m o r e d i f f i c u l t n u m b e r s t o c o m p o s e w o u l d h a v e m a d e c o m p l e t i o n o f t h e t a b l e m o r e i n t e r e s t i n g a n d t h e g o a l o f b u i l d i n g fl e x i b i l i t y i n m e n t a l s t r a t e g i e s m o r e o b v i o u s t o m e . W W h a t i s t h e m e a n i n g o f t h e t a s k o f s e a r c h i n g f o r p a t t e r n s i n a t a b l e ? W h y a r e t a b l e s u s e f u l i n l e a r n i n g a b o u t f u n c t i o n s ? W h a t w e r e s t u d e n t s s u p p o s e d t o n o t i c e w h e n t h e y l o o k e d f o r p a t t e r n s i n t h e t a b l e ? T h e s e w e r e n o t q u e s t i o n s I a s k e d m y s e l f t h r e e y e a r s a g o . A t t h a t p o i n t i n t i m e , - I a s s u m e d t h a t b y d o i n g t h e l e s s o n , s t u d e n t s w o u l d l e a r n s o m e t h i n g . R a t h e r , I h o p e d t h e y w o u l d . S o m e o n e e l s e h a d d e c i d e d i t w a s a w o r t h w h i l e t a s k . T h r e e y e a r s l a t e r , I d e c i d e d , o n c e a g a i n , t o f i n d o u t f o r m y s e l f w h a t w a s i m p o r t a n t a b o u t i t . I a p p r o a c h e d m y i n v e s t i g a t i o n o f t h e m e a n i n g o f t h i s t a s k w i t h t w o q u e s t i o n s . F i r s t , w h a t s o r t o f r e p r e s e n t a t i o n o f a f u n c t i o n i s a t a b l e ? S e c o n d , w h a t d o e s i t m e a n t o l o o k f o r p a t t e r n s w i t h i n s u c h a t a b l e ? T h e p r o b l e m s u n d e r t h e h e a d i n g o f " c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s " i n C S M P l o o k e d l i k e t h e p r o b l e m s i n F i g u r e 4 . 2 . T h e l a b e l s o f t h e a r r o w s v a r i e d . O n c e t h e t a b l e w a s fi l l e d w i t h n u m b e r s , t h e s t u d e n t s w e r e t o n o t i c e p a t t e r n s . 1 5 3 + | 0 + 2 M s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r F i g u r e 4 . 2 T h e f i r s t p r o b l e m I g a v e s t u d e n t s M y c u r r e n t u n d e r s t a n d i n g s o f t h e p u r p o s e o f t h e s e a r c h f o r p a t t e r n s w i t h i n t h i s p r o b l e m c o m e s f r o m m y o w n i n v e s t i g a t i o n i n t o i t s m e a n i n g b y u s i n g r e s o u r c e s o u t s i d e o f t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e . W h a t w e r e s t u d e n t s l e a r n i n g a b o u t f u n c t i o n s w h e n t h e y c o m p l e t e d t h e t a b l e w i t h t h e n u m b e r s a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 ? T o c o m p l e t e t h e t a b l e , m y s t u d e n t s c h o s e i n p u t s a n d p r e d i c t e d o u t p u t s o r c h o s e o u t p u t s a n d p r e d i c t e d i n p u t s . P i c k i n g a n y s t a r t i n g n u m b e r , t h e y c o u l d b e c e r t a i n o f t h e e n d i n g n u m b e r b y a d d i n g 1 2 t o i t . T h e y c o u l d a l s o p r e d i c t t h e s t a r t i n g n u m b e r b y s u b t r a c t i n g 1 2 f r o m a n y e n d i n g n u m b e r . T h e o n l y u n c e r t a i n t y c a m e i f a s t u d e n t h a d d i f fi c u l t y p e r f o r m i n g t h e a d d i t i o n o r s u b t r a c t i o n . W h e n s t u d e n t s s t a r t e d w i t h t h e e n d i n g n u m b e r , t h e y p e r f o r m e d t h e i n v e r s e f u n c t i o n , a r r i v e d a t b y s u b t r a c t i n g f i r s t 2 a n d t h e n 1 0 . D o i n g e n o u g h o f t h e s e , s t u d e n t s c o u l d h a v e l e a r n e d a b o u t i n v e r s e r e l a t i o n s h i p s a m o n g f u n c t i o n s . 1 5 4 + l 0 + 2 M s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r 9 9 1 1 1 8 0 0 0 8 0 1 2 2 5 0 2 6 2 1 1 3 7 1 9 2 0 3 2 1 5 4 9 8 8 - 5 0 0 0 4 9 8 8 F i g u r e 4 . 3 T h e b e g i n n i n g a n d e n d i n g n u m b e r s g e n e r a t e d b y s t u d e n t s C o m m u t a t i v i t y i s a l s o a p o s s i b l e f o c u s . T h e s t u d e n t s c o u l d h a v e a s k e d t h e q u e s t i o n , i f t h e t w o f u n c t i o n s a r e a p p l i e d t o a s t a r t i n g n u m b e r i n t h e o p p o s i t e o r d e r , d o y o u g e t t h e s a m e e n d i n g n u m b e r ? I n o t h e r w o r d s , i f I d o + 2 f o l l o w e d b y + 1 0 d o I e n d u p i n t h e s a m e p l a c e a s + 1 0 f o l l o w e d b y + 2 ? T h e t a b l e i s n o r m a l l y t h o u g h t o f a s t h e s i m p l e s t r e p r e s e n t a t i o n o f a f u n c t i o n . I n t h e e x a m p l e o f + 1 0 f o l l o w e d b y + 2 , t h e t a b l e r e p r e s e n t s a c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . T h e fi r s t o p e r a t i o n , a d d 1 0 , g i v e s a n o u t p u t t h a t b e c o m e s t h e i n p u t f o r t h e o p e r a t i o n , a d d 2 . T h e fi r s t f u n c t i o n i s f ( x ) = x + 1 0 . T h e o u t p u t o f t h i s f u n c t i o n i s s y m b o l i z e d b y f ( x ) . T h e i n p u t i s x . T h e s e c o n d f u n c t i o n i s g ( x ) = f ( x ) + 2 w h e r e f ( x ) i s t h e i n p u t f o r g ( x ) . I t c a n b e w r i t t e n a l g e b r a i c a l l y a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 4 . 1 5 5 + | 0 f ( x ) = x + 1 0 g ( f ( x ) ) = ( x + 1 0 ) + 2 F i g u r e 4 . 4 T h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d a l g e b r a i c a l l y I n t h e c a s e o f t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s , t h e t w o f u n c t i o n s a r e c o m p o s e d s u c h t h a t t h e o u t p u t s f o r t h e f i r s t f u n c t i o n b e c o m e t h e i n p u t s f o r t h e s e c o n d f u n c t i o n . L o o k i n g f o r t h e k i n d s o f p a t t e r n s t h a t l e a d t o a n u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n v o l v e s m u l t i p l e s t e p s a s w e l l . T h e t w o c o l u m n s o f a t a b l e c o m e i n r o w s w h i c h h a v e a b e g i n n i n g n u m b e r a n d a n e n d i n g n u m b e r . T h e b e g i n n i n g n u m b e r d e t e r m i n e s t h e e n d i n g n u m b e r b e c a u s e t h e l a b e l s o f t h e a r r o w s a l l o w m e t o p r e d i c t a n e n d i n g n u m b e r f r o m a b e g i n n i n g n u m b e r o r v i c e v e r s a . T o n o t i c e p a t t e r n s , a s t h e y r e l a t e t o f u n c t i o n s , I b e g i n b y m a k i n g o b s e r v a t i o n s a b o u t a p a i r o f n u m b e r s i n o n e r o w . I f t h e s e o b s e r v a t i o n s h o l d t r u e f o r m o r e t h a n o n e r o w , t h e y a r e p a t t e r n s . 1 5 6 T h e r e i s a n o t h e r l a y e r o f s o p h i s t i c a t i o n t o t h e a n a l y s i s o f p a t t e r n s i n t a b l e s . L o o k i n g , f o r e x a m p l e , a t a s e t o f s t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r s n o t c h o s e n r a n d o m l y - - i n t h e e x a m p l e b e l o w , t h e s t a r t i n g n u m b e r s a r e a l l m u l t i p l e s o f 3 - - I c a n l o o k f o r p a t t e r n s d o w n t h e c o l u m n s a s w e l l a s a c r o s s t h e r o w s . + | 0 + 2 M s t a r t i n g n u m b e r e n d i n g n u m b e r 3 1 5 6 1 8 9 2 1 1 2 2 4 F i g u r e 4 . 5 S t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r s a s m u l t i p l e s o f 3 B y p u t t i n g t h e b e g i n n i n g n u m b e r s i n o r d e r , a n d c h o o s i n g t h e m w i t h s o m e r e g u l a r i t y , I c a n m a k e u s e o f p a t t e r n s i n t h e c o l u m n o f s t a r t i n g n u m b e r s t o p r e d i c t t h e c o l u m n o f e n d i n g n u m b e r s . S i n c e t h e o u t p u t s d e p e n d o n t h e i n p u t s , I c a n l o o k t o s e e i f t h e r e a r e p a t t e r n s i n t h e w a y s t h a t t h e o u t p u t s ' c h a n g e w h e n t h e r e i s a c e r t a i n o r d e r l y c h a n g e i n t h e i n p u t s . I c o u l d a s k , f o r e x a m p l e , i s t h e r e a c o n s t a n t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o u t p u t s w h e n t h e r e i s a c o n s t a n t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n p u t s ? P a t t e r n s i n a t a b l e w h e r e t h e n u m b e r s a r e o r d e r e d a n d n o t r a n d o m l y c h o s e n h a v e t h e p o t e n t i a l t o b e m o r e c o m p l e x b e c a u s e t h e y r e p r e s e n t a c o o r d i n a t i o n b e t w e e n c h a n g e s i n i n p u t s a n d 1 5 7 o u t p u t s . P a t t e r n s a n d f u n c t i o n s a r e a l s o a w a y t o c o n s i d e r c l a s s i fi c a t i o n . F u n c t i o n s a r e o b j e c t s a n d a s o b j e c t s t h e y c a n b e c l a s s i fi e d a n d s o r t e d . D i f f e r e n t f u n c t i o n s w i l l h a v e d i f f e r e n t k i n d s o f p a t t e r n s . F o r e x a m p l e , t h e f u n c t i o n + 1 2 h a s c e r t a i n p a t t e r n s . T h e f u n c t i o n s + 1 0 o r + 2 w i l l h a v e o t h e r p a t t e r n s . a r n ' M a k n e f h a r h f r P a t t r n W h a t s e n s e c a n b e m a d e o u t o f t h e q u e s t i o n o f l o o k i n g f o r p a t t e r n s i n t h e c o n t e x t o f a t a b l e o f n u m b e r s ? T o a n s w e r t h i s q u e s t i o n , I l o o k a t b o t h t h e r e s p o n s e s t h a t a r e a p a r t o f t h i s l e s s o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d m y s t u d e n t s ' r e s p o n s e s m a d e d u r i n g t h e l e s s o n . H o w d i d I u n d e r s t a n d t h e s e r e s p o n s e s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e t h e n a n d h o w d o I u n d e r s t a n d t h e m n o w ? W h a t s e n s e d i d I m a k e o u t o f t h e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t h e n a n d h o w d o I i n t e r p r e t t h e m n o w ? W h a t d o t h e i n c o n s i s t e n c i e s b e t w e e n m y p e r c e p t i o n s a n d u n d e r s t a n d i n g s t h e n a n d n o w s a y a b o u t w h a t I a m l e a r n i n g ? R e s p e n s e s i n t h e t e a e h e r ’ s g h i d e . I f t h e C S M P d i a l o g u e i s i n t e n d e d t o b e a g u i d e a n d a w a y t o p r e p a r e f o r w h a t m i g h t h a p p e n a l o n g t h e w a y , a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e t e x t s e e m s i m p o r t a n t . W h a t I f o u n d i s t h a t j u s t r e a d i n g t h e t e x t d i d n o t g u a r a n t e e t h a t I u n d e r s t o o d i t t h e w a y C S M P m a y h a v e i n t e n d e d . I n m y e x p l o r a t i o n s o f t h e i n t e n t i o n s o f C S M P , I d i s c o v e r e d a w e a l t h o f m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d c o n n e c t i o n s w i t h i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t w e r e n o t a p p a r e n t t o m e a t t h e t i m e a n d o n l y r e c e n t l y b e c a m e v i s i b l e t o m e i n a c o n v e r s a t i o n w i t h a m a t h e d u c a t o r i n v o l v e d i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a n d f a m i l i a r w i t h t h e d e v e l o p m e n t a n d d e s i g n o f C S M P . I f o c u s e d m y c o n v e r s a t i o n w i t h a d e v e l o p e r o f C S M P o n t h e t h r e e s t u d e n t r e s p o n s e s l i s t e d i n C S M P i n r e s p o n s e t o t h e q u e s t i o n o f n o t i c i n g p a t t e r n s . 1 5 8 T : L o o k c l o s e l y a t t h i s c h a r t . W h a t p a t t e r n s d o y o u n o t i c e ? S : A n e n d i n g n u m b e r i s a l w a y s l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r . S : I f y o u s t a r t w i t h a n e v e n n u m b e r , y o u e n d w i t h a n e v e n n u m b e r . I f y o u s t a r t w i t h a n o d d n u m b e r y o u e n d w i t h a n o d d n u m b e r . S : A n e n d i n g n u m b e r i s a l w a y s 1 2 l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r . ( p . 1 4 ) F i g u r e 4 . 6 S t u d e n t r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s f r o m C S M P W h e n I t a u g h t t h e l e s s o n , I w a s u n d e r t h e i m p r e s s i o n t h a t t h e s e r e s p o n s e s w e r e o n e s I s h o u l d e x p e c t f r o m m y s t u d e n t s b e c a u s e t h e s e r e p r e s e n t e d h o w o t h e r s t u d e n t s h a v e r e s p o n d e d t o t h e q u e s t i o n . W h a t I h a v e s i n c e d i s c o v e r e d i s t h a t t h e s t u d e n t r e s p o n s e s t h a t a p p e a r t h r o u g h o u t C S M P c o m e e i t h e r f r o m t h e d e v e l o p e r s ' e x p e r i e n c e s i n c l a s s r o o m s w i t h s t u d e n t s o r t h e y r e p r e s e n t i d e a s t h a t a r e m a t h e m a t i c a l l y i n t e r e s t i n g f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e p e r s o n o r p e o p l e r e s p o n s i b l e f o r w r i t i n g t h e t e x t o f t h e l e s s o n . I l e a r n e d t h a t t h e r e s p o n s e s i n t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n w e r e m a t h e m a t i c a l l y i n t e r e s t i n g o n e s a n d n o t o n e s t h a t I c o u l d n e c e s s a r i l y e x p e c t f r o m s t u d e n t s . I w i s h t h a t t h e t e a c h e r ’ s g u i d e h a d i n c l u d e d i n f o r m a t i o n o n w h e r e t h e s e r e s p o n s e s h a d c o m e f r o m a n d w h y t h e y w e r e c o n s i d e r e d m a t h e m a t i c a l l y i n t e r e s t i n g . H e r e i s h o w I n o w u n d e r s t a n d t h e r e s p o n s e s i n C S M P . T h e t h i r d r e s p o n s e i n t h e t e x t , t h a t t h e e n d i n g n u m b e r i s a l w a y s 1 2 l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r , i s a r e s p o n s e a t t h e l e v e l o f a g e n e r a l i z a t i o n a n d t h e m o s t r e l a t e d t o t h e f u n c t i o n n o t i o n . T h i s r e s p o n s e r e p r e s e n t s a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a t h r o u g h i t s d e s c r i p t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s t a r t i n g a n d e n d i n g n u m b e r . T h e f i r s t r e s p o n s e , t h a t t h e e n d i n g n u m b e r i s 1 5 9 a l w a y s l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r , i s a n o b s e r v a t i o n t h a t i s a m o r e g e n e r a l v a r i a t i o n o n t h e t h i r d r e s p o n s e . T h e s e c o n d r e s p o n s e , i f I s t a r t w i t h a n e v e n n u m b e r , I e n d u p w i t h a n e v e n n u m b e r o r t h e p a r i t y o f t h e o d d / e v e n r e l a t i o n s h i p o f t h e s t a r t i n g n u m b e r a n d e n d i n g n u m b e r , i s a n i n t e r e s t i n g o b s e r v a t i o n . I f I a d d 1 1 r a t h e r t h a n 1 2 , t h e p a r i t y w o u l d b e d i f f e r e n t . T h e s i g n i fi c a n c e o f e a c h r e s p o n s e a n d h o w t h e y a r e r e l a t e d t o o n e a n o t h e r i s s o m e t h i n g I h a v e l e a r n e d b u t n o t f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I f I h a d k n o w n a n y o f t h i s g o i n g i n t o t h e l e s s o n , w o u l d i t h a v e h e l p e d m e a l o n g t h e w a y ? A t t h i s p o i n t , I c a n o n l y h y p o t h e s i z e . I t h i n k t h e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n w o u l d b e y e s . T h e q u e s t i o n s o f h o w m u c h , w h a t k i n d , a n d i n w h a t w a y s t o p r o v i d e i n f o r m a t i o n f o r t h e t e a c h e r s i s a n o n g o i n g d i l e m m a i n c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t a n d a p r o b l e m t h a t t h e d e v e l o p e r s o f C S M P h a v e c o n s i d e r e d . W h e n I v o i c e d m y c o n c e r n o f n o t h a v i n g h a d a c c e s s t o c e r t a i n i n f o r m a t i o n a n d i d e a s t h r o u g h t h e t e a c h e r ' s g u i d e , t h e C S M P c u r r i c u l u m d e v e l o p e r e x p l a i n e d c o n c e r n s a b o u t g i v i n g t o o m u c h b a c k g r o u n d o n t h e r e s p o n s e s m i g h t m a k e t h e u s e o f t h e g u i d e t o o t e d i o u s f o r t e a c h e r s . W h a t i s t h e b a l a n c e b e t w e e n e n o u g h a n d t o o m u c h i n f o r m a t i o n i n a t e a c h e r ’ s g u i d e ? I n t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e , h o w u s e f u l a r e t h e s u g g e s t e d s t u d e n t s ' r e s p o n s e s w i t h o u t t h e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n I l e a r n e d o n m y o w n ? I f I h a d h a d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e r e s p o n s e s , I t h i n k I w o u l d h a v e h a d a b e t t e r s e n s e o f w h a t m a d e f o r s e n s i b l e a n s w e r s . I e x p e c t e d t h e s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o v a r y b u t w i t h o u t a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e m a t h e m a t i c s , I h a d n o i d e a w h a t r e a s o n a b l e v a r i a t i o n s m i g h t b e . W W h a t a m I a b l e t o s e e a n d h e a r i n m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s n o w t h a t I w a s u n a b l e t o s e e o r h e a r a t t h e t i m e I w a s t e a c h i n g ? I w a s c u r i o u s t o s e e i f i t r e a l l y w a s t h e c a s e t h a t w h a t m y s t u d e n t s 1 6 0 h a d s a i d i n r e s p o n s e t o t h e q u e s t i o n , ” D o y o u s e e a n y p a t t e r n s ? ’ w a s u n l i k e a n y o f t h e s t u d e n t s ’ p r e d i c t e d r e s p o n s e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I n e x a m i n i n g t h i s l e s s o n t h r e e y e a r s l a t e r , I h a v e g o n e b a c k t o t h e v i d e o t a p e o f t h i s l e s s o n a n d r e p l a y e d i t w i t h t h e s c r i p t e d l e s s o n f r o m C S M P i n o n e h a n d a n d a t r a n s c r i p t i n t h e o t h e r . V e l e t i e ’ s r e s p e n s e . I n F i g u r e 4 . 7 i s a n e x c e r p t f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e s i d e - b y - s i d e t h e e x c e r p t f r o m t h e l e s s o n ’ s t r a n s c r i p t w h e r e I a s k e d t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s . T h e C S M P S c r i p t 1 6 1 T r a n s c r i p t 0 9 / 2 0 l 8 9 T : L o o k c l o s e l y a t t h i s c h a r t . W h a t p a t t e r n s d o y o u n o t i c e ? S : A n e n d i n g n u m b e r i s a l w a y s l a r g e r t h a n t h e s t a r t i n g n u m b e r S : I f y o u s t a r t w i t h a n e v e n n u m b e r , y o u e n d w i t h a n e v e n n u m b e r . I f y o u s t a r t w i t h a n o d d n u m b e r , y o u e n d w i t h a n o d d n u m b e r . s : W W ( M c R E L , p . 1 4 ) M s . H e a t o n : O K , I w a n t y o u t o l o o k a t t h e s e n u m b e r s , d o y o u s e e a n y p a t t e r n s ? V a l e r i e ? V a l e r i e : M s . H e a t o n : O K , a n d h o w d o y o u k n o w t h a t i t i s 1 2 m o r e ? V a l e r i e : B e c a u s e y o u h a v e t o a d d t e n , y o u fi n d a n u m b e r , y o u a d d t e n t o i t a n d t h e n 2 . M s . H e a t o n : I f w e r e t o p u t i n a n o t h e r a r r o w h e r e , w h a t w o u l d I p u t , p l u s w h a t ? V a l e r i e : p l u s 1 2 . F i g u r e 4 . 7 C S M P s t u d e n t r e s p o n s e s c o m p a r e d t o V a l e r i e ’ s r e s p o n s e 1 6 2 A s I l o o k b a c k a t t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d t h e t r a n s c r i p t , n o w , I s e e t h a t V a l e r i e , t h e f i r s t p e r s o n t o r e s p o n d t o m y q u e s t i o n o f p a t t e r n s , g a v e o n e o f t h e a n s w e r s t h a t i s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I e v e n r e s p o n d e d t o h e r , a d d e d t h e c o m p o s i t i o n a r r o w , a n d l a b e l e d i t w i t h p l u s 1 2 . Y e t , I c o n t i n u e d w i t h w h a t r e s u l t e d i n a p o i n t l e s s d i s c u s s i o n o f p a t t e r n s a n d I e n d e d t h a t c l a s s f e e l i n g f r u s t r a t e d t h a t m y s t u d e n t s h a d n o t r e s p o n d e d i n a n y o f t h e w a y s p r e d i c t e d b y t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . W h a t d o e s t h i s d i s c o v e r y o f t h e s i m i l a r i t y o f V a l e r i e ’ s c o m m e n t t o w h a t a p p e a r s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e s a y a b o u t w h a t I u n d e r s t o o d t o b e m y f r u s t r a t i o n s a t t h e t i m e a n d w h a t I h a v e l e a r n e d s i n c e t h e n t h a t m i g h t h e l p m e t o u n d e r s t a n d m y f e e l i n g s ? I w a n t e d t o t r y t o u n d e r s t a n d r a t h e r t h a n d i s c o u n t t h e s e n s e I m a d e o u t o f t h e s i t u a t i o n a t t h e t i m e . H o w c o u l d i t b e t h a t I t h o u g h t a l l o f m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s w e r e m e a n i n g l e s s a n d b o r e n o r e s e m b l a n c e t o w h a t w a s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w h e n V a l e r i e ’ s r e s p o n s e w a s r e a l l y s u c h a c l o s e m a t c h ? O n e e x p l a n a t i o n t h a t c o m e s i m m e d i a t e l y t o m y m i n d w a s m y f o c u s o n h a v i n g a d i s c u s s i o n . I f t h i s w a s t h e c a s e , t h e n I w a s n o t r e a l l y f o c u s e d o n t h e r i g h t a n s w e r a n d i t m i g h t m a k e s e n s e t h a t I d i d n o t ” h e a r ” V a l e r i e o r w a n t t o ” h e a r ” h e r . I f I h a d , s h e w a s t h e f i r s t p e r s o n t o r e s p o n d a n d h e r " r i g h t a n s w e r ” m a y h a v e e n d e d t h e d i s c u s s i o n . W h a t m o r e w a s t h e r e t o t a l k a b o u t ? I t a l s o s e e m s q u i t e p o s s i b l e t h a t I m i g h t h a v e ” h e a r d ” V a l e r i e b u t d i d n o t r e a l l y u n d e r s t a n d w h a t s h e w a s t e l l i n g m e . A t t h e t i m e , I w a s u n c e r t a i n a b o u t t h e p o i n t o f t h e l e s s o n . I f t h e q u e s t i o n o f n o t i c i n g p a t t e r n s r e l a t e s t o t h e r e a s o n s w h y o n e w o u l d l o o k f o r t h e m , i t m i g h t f o l l o w t h a t I w a s l i s t e n i n g f o r t h e r e s p o n s e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e b u t I d i d n o t r e a l l y u n d e r s t a n d t h e i r s i g n i f i c a n c e t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s i n t h i s c o n t e x t . I d i d n o t r e a l l y k n o w w h a t I w a s l i s t e n i n g f o r . M y a b i l i t y t o h e a r V a l e r i e n o w m a y h a v e s o m e t h i n g 1 6 3 t o d o w i t h w h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s s i n c e t h a t y e a r o f t e a c h i n g . V a l e r i e ’ s r e s p o n s e , t h a t e a c h o f t h e b e g i n n i n g n u m b e r s h a s a n e n d i n g n u m b e r t h a t i s 1 2 m o r e , s e e m s o n t h e s u r f a c e t o b e r a t h e r m u n d a n e . B u t , I a p p r e c i a t e n o w w a y s i n w h i c h i t i s m a t h e m a t i c a l l y s i g n i f i c a n t . H e r r e s p o n s e i s a g e n e r a l i z a t i o n t h a t d e f i n e s t h e c o m p o s i t i o n o f t h e t w o f u n c t i o n s i n t h i s p r o b l e m . I f I h a d a s k e d h e r t o w r i t e d o w n w h a t s h e w a s s a y i n g i n t h e s h o r t e s t f o r m p o s s i b l e , s h e w o u l d p r o b a b l y h a v e w r i t t e n s o m e t h i n g l i k e , ” n u m b e r + 1 2 ” . T h i s c o u l d b e t h o u g h t o f a s t h e e q u a t i o n , ” X + 1 2 . ” I n o w s e e t h a t l o o k i n g f o r p a t t e r n s i n a t a b l e i s l i k e l o o k i n g f o r t h e e q u a t i o n t h a t d e f i n e s t h e f u n c t i o n . T h i s i s a m o v e i n t h e d i r e c t i o n o f a l g e b r a . V a l e r i e ’ s g e n e r a l i z a t i o n m e e t s t h e c r i t e r i a o f r e g u l a r i t y a n d p r e d i c t a b i l i t y , t h e t w o k e y c h a r a c t e r i s t i c s o f p a t t e r n s . I t i s a s t a t e m e n t t h a t h o l d s t r u e f o r t h e p a i r s o f n u m b e r s i n a l l r o w s . Y o u c o u l d c h o o s e a n y s t a r t i n g n u m b e r a n d p r e d i c t w i t h c e r t a i n t y , u s i n g V a l e r i e ’ s p a t t e r n , t h e e n d i n g n u m b e r . c h e r s t u d e n t s ’ r e s p e n s e s . W h a t a b o u t t h e r e s p o n s e s o f t h e o t h e r s t u d e n t s ? W e r e t h o s e p a t t e r n s ? I f n o t , w h a t w e r e t h e y ? W h a t t h e o t h e r s t u d e n t s w e r e o b s e r v i n g w e r e n o t m a t h e m a t i c a l l y r e l e v a n t p a t t e r n s . T h e y w e r e o b s e r v i n g r e g u l a r i t i e s i n t h e n u m b e r s . T a k e t h e f o l l o w i n g ” p a t t e r n ” a s t u d e n t n o t i c e d a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 8 f o r e x a m p l e - t h e r e a r e 3 z e r o e s i n 8 0 0 0 a s w e l l a s 5 0 0 0 . 1 6 4 F i g u r e 4 . 8 A s t u d e n t ’ s e x a m p l e o f a p a t t e r n T h e r e i s n o t h i n g p r e d i c t a b l e a b o u t t h i s o b s e r v a t i o n . I t d o e s n o t t e l l m e a n y t h i n g a b o u t w h a t e l s e i s h a p p e n i n g w i t h n u m b e r s i n t h e t a b l e . I f I m a k e u s e o f t h e c r i t e r i o n t h a t t o f i n d p a t t e r n s I m u s t s t a r t o u t w i t h o b s e r v a t i o n s a b o u t a p a i r o f n u m b e r s i n o n e r o w , t h e r e s p o n s e s w h e r e m y s t u d e n t s m a d e o b s e r v a t i o n s a b o u t p a i r s o f n u m b e r s n o t i n t h e s a m e r o w a r e e l i m i n a t e d i m m e d i a t e l y a s p a t t e r n s . T h e ” p a t t e r n ” i d e n t i fi e d i n t h e t a b l e a b o v e i s a n e x a m p l e o f t h i s . E v e n w h e n s t u d e n t s w e r e l o o k i n g a t p a i r s o f n u m b e r s i n t h e s a m e r o w s , t h e s o r t s o f r e g u l a r i t i e s t h e y w e r e n o t i c i n g w e r e n o t p r e d i c t i v e . W h e n m y s t u d e n t s e x p l a i n e d h o w t h e y f o u n d b e g i n n i n g a n d e n d i n g n u m b e r s t o fi l l i n t h e t a b l e , t h e y g a v e p r o c e d u r a l e x p l a n a t i o n s o f h o w t h e y g o t f r o m o n e t o t h e o t h e r . T h e i r e x p l a n a t i o n s , w h i c h I f i r s t i n t e r p r e t e d a s d u l l a n d p o i n t l e s s , r e v e a l t h e m e a n i n g o f t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s a n d t h e 1 6 5 r e l a t i o n s h i p b e t w e e n o u t p u t s a n d i n p u t s . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s i l l u s t r a t e t h i s p o i n t . R i c h a r d : W e l l , I d i d 9 9 p l u s 1 0 e q u a l s 1 0 9 a n d t h e n p l u s 2 i s l i k e 9 p l u s e q u a l s 1 1 . L u c y : 1 p l u s 1 0 i s 1 1 p l u s 2 i s 1 3 D a v i d : B e c a u s e 7 p l u s 1 0 i s 1 7 a n d 1 7 p l u s 2 i s 1 9 . B o b : B e c a u s e 2 0 3 p l u s 1 0 i s 2 1 3 , 2 1 3 p l u s 2 i s 2 1 5 . I f t h e i r p r o c e d u r e s w e r e r e p r e s e n t e d i n a c h a r t o f i n p u t s a n d o u t p u t s t h e y w o u l d l o o k a s t h e y a p p e a r i n F i g u r e 4 . 9 : i n p u t o u t p u t i n p u t o u t p u t 9 9 1 0 9 1 0 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 1 7 1 7 1 9 2 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 5 F i g u r e 4 . 9 T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n p u t s a n d o u t p u t s P e r h a p s t h e r e w a s s o m e t h i n g i n t e r e s t i n g t o n o t i c e i n t h e i r r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n o f h o w t h e y g o t f r o m t h e i r b e g i n n i n g n u m b e r t o t h e i r e n d i n g n u m b e r . M a t h e m a t i c a l l y , t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i s a l a y e r o f c o m p l e x i t y t h a t i s q u i t e s i g n i f i c a n t e v e n t h o u g h t h e m e n t a l a r i t h m e t i c n e c e s s a r y t o f i l l i n t h e c h a r t w a s r a t h e r s i m p l e f o r m y f o u r t h g r a d e r s . B o b ’ s q u e s t i o n a b o u t w h a t k i n d s o f n u m b e r s t h e y s h o u l d c h o o s e a s b e g i n n i n g n u m b e r s p o i n t e d o u t t o m e t h a t t h e r e w e r e n o c o n s t r a i n t s o n t h e n u m b e r s t o u s e i n t h e c h a r t a s t h e t a s k w a s p r e s e n t e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . W h e n e i t h e r t h e s t a r t i n g o r e n d i n g n u m b e r s a r e c h o s e n a t r a n d o m , a s w a s t h e c a s e i n t h e p r o b l e m I g a v e m y s t u d e n t s , t h e c h a n c e o f n o t i c i n g i n t e r e s t i n g 1 6 6 p a t t e r n s i s r e d u c e d . C o n s t r a i n i n g t h e c h o i c e o f n u m b e r s a n d o r d e r i n g t h e n u m b e r s c h o s e n c o u l d h e l p t o m a k e o b v i o u s s o m e i n t e r e s t i n g p a t t e r n s b e t w e e n r o w s a n d c o l u m n s w h i c h m i g h t o t h e r w i s e g o u n n o t i c e d . L e a r n i n g t h e S h a p e e f t h e R i v e r M a r k T w a i n ’ s w r i t i n g a b o u t w h a t h e h a d t o l e a r n t o n a v i g a t e t h e r i v e r i n L i f e o n t h e M i s s i s s i p p i ( 1 9 9 0 / 1 8 8 3 ) o f f e r s m e i m a g e s o f w h a t i t i s t h a t I n e e d e d t o l e a r n a s I a t t e m p t e d t o m a k e c h a n g e s i n m y m a t h t e a c h i n g . I n t h i s s e c t i o n , I c o n s t r u c t p a r a l l e l s b e t w e e n h i s e a r l y l e a r n i n g e x p e r i e n c e s a n d m i n e m a i n l y i n t h e s e n s e o f h i s g r o w i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e n a t u r e o f w h a t h e n e e d e d t o l e a r n a n d t h e u s e f u h i e s s o f a t e x t i n d o i n g t h e w o r k . I d r a w f u r t h e r c o n n e c t i o n s b e t w e e n T w a i n ' s e x p e r i e n c e s a n d m i n e i n C h a p t e r 7 , a d e s c r i p t i o n a n d a n a l y s i s o f a s e r i e s o f l e s s o n s l a t e r i n t h e y e a r , a n d i n C h a p t e r 8 , t h e c o n c l u s i o n t o t h i s d i s s e r t a t i o n . I n t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n , I f o u n d m y s e l f d e p e n d e n t o n t h e C S M P t e a c h e r ' s g u i d e . I t r u s t e d t h a t i t w a s g o i n g t o h e l p m e d o t h e k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g I e n v i s i o n e d . I n a s i m i l a r w a y , T w a i n b e g a n h i s a d v e n t u r e s o n t h e r i v e r w i t h a n o t e b o o k i n h i s h a n d s o n w h i c h h e d e p e n d e d . T w a i n , l i k e m e , t h o u g h t t h i s t e x t w a s g o i n g t o b e t h e k e y t o n a v i g a t i n g t h e r i v e r . H e w r o t e a b o u t w h a t w a s i n h i s n o t e b o o k a n d h i s s e n s e o f i t s c o n t e n t s , I h a d a n o t e b o o k t h a t f a i r l y b r i s t l e d w i t h t h e n a m e s o f t o w n s , ’ p o i n t s , ’ b a r s , i s l a n d s , b e n d s , r e a c h e s , e t c . ; b u t t h e i n f o r m a t i o n w a s t o b e f o u n d o n l y i n t h e n o t e b o o k - - n o n e o f i t w a s i n m y h e a d . ( p . 4 3 ) F o r b o t h T w a i n a n d 1 , o u r w o r k w h i l e t r y i n g t o f o l l o w t h e s e g u i d e s d i d n o t g o a s p l a n n e d . W e b o t h b e c a m e f r u s t r a t e d . W i t h i n a s h o r t t i m e o n t h e r i v e r , T w a i n f o u n d t h a t t h e i n f o r m a t i o n i n h i s n o t e b o o k w a s i n s u f f i c i e n t f o r t h e n a v i g a t i o n h e n e e d e d t o d o . I f o u n d t h e s a m e t o b e t r u e i n m y e f f o r t s t o m a k e u s e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . F o l l o w i n g i t s d i r e c t i o n s w a s n o t h e l p i n g m e t e a c h 1 6 7 i n t h e w a y I i m a g i n e d i t w o u l d w h e n I f o u n d m y s e l f t r y i n g t o i n t e r a c t w i t h s t u d e n t s a r o u n d m a t h e m a t i c a l i d e a s . T w a i n w r o t e o f t h e f r u s t r a t i o n h i s r e l i a n c e o n h i s n o t e b o o k c a u s e d h i m . T h e b o a t c a m e t o s h o r e a n d w a s t i e d u p f o r t h e n i g h t . . . I t o o k m y s u p p e r a n d w e n t i m m e d i a t e l y t o b e d , d i s c o u r a g e d b y m y d a y ' s o b s e r v a t i o n s a n d e x p e r i e n c e s . M y l a t e v o y a g e ' s n o t e b o o k w a s b u t a c o n f u s i o n o f m e a n i n g l e s s n a m e s . I t h a d t a n g l e d m e a l l u p i n a k n o t e v e r y t i m e I h a d l o o k e d a t i t i n t h e d a y t i m e . I n o w h o p e d f o r r e s p i t e i n s l e e p ; b u t n o , i t r e v e l e d a l l t h r o u g h m y h e a d t i l l s u n r i s e a g a i n , a f r a n t i c a n d t i r e l e s s n i g h t m a r e . ( p . 4 8 ) I c a n u n d e r s t a n d h o w h e f e l t . T h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d t h e s e n s e I m a d e o f i t s e e m e d t o h i n d e r m y t e a c h i n g m o r e t h a n h e l p i t . I w a s n a i v e t o t h i n k t h a t t h e t e a c h e r ' s g u i d e c o u l d c a r r y a s p e c t s o f t h i s t e a c h i n g t h a t I w a s l e a r n i n g w e r e m y r e s p o n s i b i l i t y . F o r e x a m p l e , I n e e d e d t o h a v e a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s f o r w h a t I w a s d o i n g , a m a t h e m a t i c a l s e n s e o f w h y I w a s a s k i n g t h e q u e s t i o n s I w a s a s k i n g . S i m p l y f o l l o w i n g t h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e w a s n o t w o r k i n g . W i t h o u t a s e n s e o f p u r p o s e o r a n u n d e r s t a n d i n g o f w h a t m a t h e m a t i c s w a s i m p o r t a n t f o r m y s t u d e n t s t o l e a r n , I w a s l o s t a s f a r a s b e i n g a b l e t o f i g u r e o u t w h a t t o d o n e x t . ‘ M r . B i x b y i n t e n d e d f o r T w a i n ’ s n o t e b o o k t o b e u s e f u l . B u t , h o w d i d h e e x p e c t h i m t o m a k e u s e o f i t ? W h a t r o l e d i d h e t h i n k i t s h o u l d p l a y i n T w a i n ’ s n a v i g a t i o n o f t h e r i v e r ? W h a t d i d t h e w r i t e r s o f C S M P k n o w t h a t m a d e t h e m t h i n k t h a t w h a t w a s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w o u l d b e h e l p f u l t o m e ? W h a t w a s i t t h a t e i t h e r T w a i n o r I n e e d e d t o k n o w t o m a k e u s e o f o u r t e x t s ? W a s i t t h e t e x t t h a t n e e d e d t o c h a n g e o r t h e w a y w e m a d e u s e o f i t ? O r , b o t h ? I t h i n k t h a t M r . B i x b y k n e w m u c h m o r e a b o u t t h e r i v e r t h a n T w a i n r e a l i z e d a n d I d o u b t t h a t M r . B i x b y , a n e x p e r i e n c e d r i v e r b o a t p i l o t , e v e r 1 6 8 i m a g i n e d t h a t T w a i n w o u l d r e l y s o h e a v i l y o n h i s n o t e b o o k . I n m y c a s e , I d i d n o t w a n t t o b e s o d e p e n d e n t o n t h e t e x t b o o k b u t , i n t h e h e a t o f t h e m o m e n t , i n t h e f a c e o f u n c e r t a i n l y , I f e l l b a c k o n o l d a n d f a m i l i a r w a y s o f u s i n g a m a t h t e x t b o o k . I t r u s t e d i t . I f o l l o w e d i t w i t h o u t a n u n d e r s t a n d i n g t h a t w a s m e a n i n g f u l t o m e o f w h a t w a s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n a n d w h y . L i k e M r . B i x b y , I d o n o t t h i n k t h e d e v e l o p e r s o f C S M P e v e r e x p e c t e d m e t o c l i n g s o t i g h t l y t o t h e t e x t . T h a t w a s p a r t o f m y p r o b l e m . B u t , t o s t r a y f r o m t h e t e x t i n p u r p o s e f u l w a y s , w i t h o u t w a n d e r i n g t o o f a r f r o m i m p o r t a n t m a t h e m a t i c s , I n e e d e d a m u c h s t r o n g e r a n d c l e a r e r s e n s e o f p u r p o s e f o r w h a t I w a s d o i n g . I s t a r t e d o u t s e a r c h i n g f o r t h a t w h e n I p l a n n e d t h e l e s s o n . W h e n I f a i l e d t o t u r n u p m u c h t h a t s e e m e d u s e f u l , m y p a s t e x p e r i e n c e s p u s h e d m e t o g o a h e a d w i t h t h e l e s s o n a n y w a y . T h a t i s w h e n I f o u n d m y s e l f i n t r o u b l e , u n p r e p a r e d a n d i l l - e q u i p p e d . T w a i n w r o t e a b o u t w h a t h e l e a r n e d a b o u t t h e w a y h e n e e d e d t o k n o w w h a t w a s i n h i s n o t e b o o k . I h a v e n o t o n l y t o g e t t h e n a m e s o f a l l o f t h e t o w n s a n d i s l a n d s a n d b e n d s , a n d s o o n , b y h e a r t , b u t I m u s t e v e n g e t u p a w a r m p e r s o n a l a c q u a i n t a n c e s h i p w i t h e v e r y o l d s n a g a n d o n e - l i m b e d c o t t o n - w o o d a n d o b s c u r e w o o d p i l e t h a t o r n a m e n t s t h e b a n k s o f t h i s r i v e r f o r t w e l v e h u n d r e d m i l e s ; a n d m o r e t h a n t h a t , I m u s t a c t u a l l y k n o w w h e r e t h e s e t h i n g s a r e i n t h e d a r k . ( p . 4 7 ) T h e i d e a t h a t h e l e a r n e d h e n e e d e d a ” p e r s o n a l a c q u a i n t a n c e s h i p ” w i t h t h e r i v e r s e e m s r e l a t e d t o w h a t I l e a r n e d a b o u t t h e s e n s e o f p u r p o s e I n e e d e d t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e a u t h o r s o f C S M P h a d a m u c h g r e a t e r s e n s e o f w h a t w a s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n a n d w h y p a r t i c u l a r c o n c e p t s w e r e i m p o r t a n t t h a n I c o u l d s e e i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e i n f o r m a t i o n i n T w a i n ’ s n o t e b o o k w a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r i v e r . M y t e a c h e r ’ s g u i d e w a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n . M r . B i x b y 1 6 9 k n e w t h e r i v e r . T h e a u t h o r s o f C S M P k n e w t h e t e r r a i n . W h a t w o u l d T w a i n ’ s n o t e b o o k l o o k l i k e i f i t r e p r e s e n t e d w h a t M r . B i x b y k n e w a b o u t t h e r i v e r i n a w a y t h a t w a s a c c e s s i b l e t o T w a i n ? C o u l d i t b e r e p r e s e n t e d i n a t e x t ? W h a t w o u l d i t l o o k l i k e f o r t h e t e a c h e r ' s g u i d e t o r e p r e s e n t w h a t t h e d e v e l o p e r s o f C S M P k n e w a b o u t t h e m a t h e m a t i c s i n a w a y t h a t w a s a c c e s s i b l e t o m e ? A f t e r T w a i n h a d b e e n l e a r n i n g p a r t i c u l a r s o n t h e r i v e r f o r a w h i l e , M r . B i x b y s p o k e i n m o r e g e n e r a l t e r m s a b o u t w h a t h e t h o u g h t T w a i n w a s l e a r n i n g a n d w h y i t w a s i m p o r t a n t , Y o u l e a r n t h e s h a p e o f t h e r i v e r ; a n d y o u l e a r n i t w i t h s u c h a b s o l u t e c e r t a i n l y t h a t y o u c a n a l w a y s s t e e r b y t h e s h a p e t h a t ’ s i n y o u r h e a d , a n d n e v e r m i n d t h e o n e t h a t ’ s b e f o r e y o u r e y e s . ( p . 5 4 ) F r o m t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n , I l e a r n e d t h a t I n e e d e d t o d e v e l o p a s e n s e o f p u r p o s e f o r w h a t I w a s t e a c h i n g t h a t w a s m y o w n . I l e a r n e d , s p e c i f i c a l l y , a b o u t w h a t i t w o u l d m e a n t o h a v e t h i s s e n s e o f p u r p o s e f o r t e a c h i n g p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s b y l o o k i n g c l o s e l y a t w h y p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s a r e ‘ i m p o r t a n t t o t e a c h , w h y t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n w a s i m p o r t a n t , a n d w h a t s t u d e n t s c o u l d l e a r n f r o m i t . B u t w h a t I h a v e l e a r n e d g o e s b e y o n d t h e s p e c i f i c s o f p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s . W h a t I t a k e f r o m t h i s l e s s o n i s t h e n e e d f o r a n e w s e n s e o f p u r p o s e , t h e q u e s t i o n s t o a s k m y s e l f t o g o a b o u t c o n s t r u c t i n g a s e n s e o f p u r p o s e f o r w h a t e v e r m a t h e m a t i c a l i d e a I a m t r y i n g t o t e a c h , a n d a n u n d e r s t a n d i n g o f w h y t h i s s e n s e o f p u r p o s e i s i m p o r t a n t i n t h e k i n d o f m a t h t e a c h i n g I a m l e a r n i n g t o d o . W h a t I h a v e l e a r n e d i s t h a t t h e r i v e r o r t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n h a s a s h a p e t h a t I m u s t l e a r n t o e n a b l e m y s e l f t o n a v i g a t e m y w a y a r o u n d i n i t . W h a t i s i m p o r t a n t i s m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s I a m t r y i n g t o t e a c h f o r t h a t w i l l h e l p m e " h e a r " m y s t u d e n t s 1 7 0 a n d b u i l d c o n n e c t i o n s f r o m t h e i r i d e a s t o t h e m a t h e m a t i c s I w a n t t h e m t o l e a r n . C H A P T E R 5 I W A N T T O S H O W Y O U S O M E T H I N G : T H E F I R S T M O M E N T O F T E A C H I N G I n t r e d u e t i e n N o t a l l m a t h l e s s o n s w e r e a s f r u s t r a t i n g a s w h a t t r a n s p i r e d i n t h e l a s t c h a p t e r . I n f a c t , t h e d a y f o l l o w i n g t h e l e s s o n o n p a t t e r n s w a s n o t s u c h a b a d d a y . B e c a u s e o f t h e i r c o n t r a s t , I c h o s e t o s t u d y t h e s e t w o l e s s o n s b a c k - t o - b a c k : 0 9 / 2 0 / 8 9 i n C h a p t e r 4 a n d 0 9 / 2 1 / 8 9 i n t h i s c h a p t e r . M y i n t e n s e f r u s t r a t i o n s o f t h e d a y b e f o r e a r e f o l l o w e d h e r e b y a f u l f i l l i n g m o m e n t , t h e fi r s t t i m e s i n c e t h e s c h o o l y e a r b e g a n t h a t ” I f e l t l i k e I w a s t e a c h i n g ” ( H e a t o n j o u r n a l , 0 9 / 2 1 / 8 9 ) . F r o m m y p e r s p e c t i v e a s t h e t e a c h e r , t h i s c h a p t e r i s a b o u t t h a t m o m e n t , a m o m e n t w h e n I h a d a s e n s e a p u r p o s e f o r w h a t t o d o , I h a d s o m e t h i n g t o d o , a n d I k n e w w h y I w a s d o i n g i t . W h a t I a m l e a r n i n g h e r e i s h o w a s e n s e o f p u r p o s e c a n i n f o r m t e a c h i n g a n d t h e w a y s i n w h i c h t e a c h i n g i s m o m e n t - t o - m o m e n t w o r k . A t t h e t i m e o f t h i s l e s s o n , a s w a s t h e c a s e i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , I b a s i c a l l y f o l l o w e d m a t h l e s s o n s a s t h e y a p p e a r e d i n C S M P w i t h o u t a s e n s e o f p u r p o s e t h a t w a s m y o w n f o r w h a t l e s s o n s I d i d w i t h s t u d e n t s . I m a d e u s e o f t h e t e a c h e r q u e s t i o n s p r o v i d e d i n t h e s c r i p t t o g e t h e r w i t h t h e p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s a s t h e y a p p e a r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . F o l l o w i n g t h e l e s s o n s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e g a v e m e a s t a r t i n g p o i n t , o f f e r e d m e p r o b l e m s t h a t I c o u l d g i v e m y s t u d e n t s , a n d q u e s t i o n s t h a t I c o u l d a s k t h e m . A s I b e g a n t o u n d e r s t a n d t h e i m p r o v i s a t i o n a l n a t u r e o f t e a c h i n g , I c o u l d s e e t h a t m a k i n g u s e o f a t e x t b o o k , a s I h a d i n t h e p a s t , l i m i t e d r a t h e r t h a n s t r e n g t h e n e d m y a b i l i t y t o i m p r o v i s e . I n a d d i t i o n t o q u e s t i o n i n g t h e w a y I m a d e u s e o f a t e x t b o o k , I b e g a n t o q u e s t i o n w h a t s o r t o f r e s o u r c e s w o u l d b e m o s t h e l p f u l t o m e a s I t r i e d t o b e r e s p o n s i b l e t o 1 7 1 1 7 2 t h e m a t h e m a t i c s I w a n t e d t o t e a c h a s w e l l a s r e s p o n s i v e t o t h e s e n s e m y s t u d e n t s m a d e o f i d e a s . T h e c h a p t e r b e g i n s w i t h a d e s c r i p t i o n o f m y p l a n n i n g f o r t h e l e s s o n a n d t h e i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s t h a t o c c u r r e d d u r i n g t h e l e s s o n . T h i s i s f o l l o w e d b y r e fl e c t i o n s o n t h e l e s s o n a t t h e t i m e . T h i s i s a l e s s o n M a g g i e o b s e r v e d a n d h e r o b s e r v a t i o n s p r o v e i n s t r u m e n t a l t o m e i n i d e n t i f y i n g w h a t h a p p e n e d i n a m o m e n t t h a t s e e m e d s i g n i fi c a n t t o M a g g i e i m m e d i a t e l y a f t e r t e a c h i n g t h e l e s s o n . T h r e e y e a r s l a t e r , I l o o k b a c k o n t h i s m o m e n t a n d e x a m i n e h o w I v i e w i t s s i g n i fi c a n c e n o w . T h e n a t u r e o f t h e m o m e n t , a m o m e n t o f i m p r o v i s a t i o n , s e r v e s a s a n o t h e r i m a g e o f t h e t e a c h i n g I t r i e d t o l e a r n t o d o . I c o n c l u d e b y d r a w i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n l e a r n i n g t o d o t h i s m a t h t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t o i m p r o v i s e j a z z ( S u d n o w , 1 9 7 8 ; M e h e g a n , 1 9 5 9 ; M a c k , 1 9 7 0 ) . L e a r n i n g t o p l a y i m p r o v i s a t i o n a l j a z z i s a u s e f u l m e t a p h o r b e c a u s e o f t h e p a r a l l e l s I s e e w i t h t e a c h i n g i n t e r m s o f t h e s p o n t a n e i t y o f t h e w o r k , t h e d e m a n d s o n t h e p e r s o n l e a r n i n g t o d o t h e i m p r o v i s a t i o n , a n d w h a t i t m e a n s t o b e a b l e t o r e s p o n d i n i m m e d i a t e a n d m e a n i n g f u l w a y s . fl a n n i u g j o l e a c h I w a s i n t h e m i d s t o f t h e t h i r d w e e k o f s c h o o l a n d h a d y e t t o f e e l l i k e I w a s t e a c h i n g . I h a d m y d o u b t s t h a t a n y t h i n g I w a s d o i n g i n m a t h c l a s s c a m e c l o s e t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . A s I p r e p a r e d f o r t h e n e x t d a y ’ s l e s s o n , t h e q u e s t i o n s a n d d i f fi c u l t i e s t h a t a r o s e f o r m e w i t h t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s e a r l i e r t h a t d a y w e i g h e d h e a v i l y o n m y m i n d . I t h o u g h t b a c k o v e r w h a t m y t e a c h i n g h a d b e e n l i k e i n t h e s e fi r s t f e w w e e k s w i t h t h e i n t e n s e f r u s t r a t i o n s o f t h e d a y b e f o r e r e m i n d i n g m e o f e v e r y t h i n g I t h o u g h t w a s w r o n g w i t h m y p r a c t i c e . I h a d b e e n u s i n g t h e C S M P c u r r i c u l u m t o m a k e m y p l a n s , t o p r o v i d e m y d i r e c t i o n s , a n d t h e n I t r i e d t o f o l l o w t h e m i n t h e c l a s s r o o m . I c o u l d f e e l , h o w e v e r , t h a t t h i s w a s n o t w o r k i n g . E v e n t h o u g h I h a d l e s s o n p l a n s , I f o u n d 1 7 3 t h a t l i t t l e o f w h a t h a p p e n e d w e n t a s p l a n n e d . E v e r y t h i n g s e e m e d t o b e ” o u t o f s y n c h . ” I h a d b e e n f o l l o w i n g a t e a c h e r ’ s g u i d e y e t f e l t l o s t . I h a d t h e u r g e t o m o v e b u t l a c k e d a c l e a r s e n s e o f d i r e c t i o n . I k e p t a s k i n g q u e s t i o n s o f m y s t u d e n t s t h a t I t h o u g h t w o u l d m o v e u s t o a n e w p l a c e b u t w e r e m a i n e d w h e r e w e w e r e o r m o v e d i n a n u n e x p e c t e d d i r e c t i o n . I w a n t e d t o e n g a g e m y s t u d e n t s i n a m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n b u t f o u n d m y s e l f n o t k n o w i n g w h a t t h e r e w a s t o t a l k a b o u t . I t r u s t e d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e b u t h a d l i t t l e c o n fi d e n c e i n m y s e l f . I h a d b e e n g o i n g t h r o u g h w h a t I t h o u g h t w e r e t h e m o t i o n s o f p l a n n i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g b u t I w a s u n c e r t a i n w h a t m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g o r s u p p o s e d t o b e l e a r n i n g . I h a d e x p e c t e d t h a t l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w o u l d b e d i f f i c u l t b u t I n e v e r t h o u g h t i t w o u l d b e a s c h a l l e n g i n g a s I w a s fi n d i n g i t t o b e . W h y w a s t h i s s o h a r d ? I n t h e l a s t m a t h c l a s s , a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , I h a d d o n e t h e f i r s t p a r t o f E x e r c i s e 1 f r o m t h e C S M P l e s s o n o n t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . T h e a c t i v i t y i n v o l v e d fi n d i n g a n d d e s c r i b i n g p a t t e r n s . I p l a n n e d t o d o t h e s e c o n d e x e r c i s e f r o m t h e s a m e C S M P l e s s o n t h e n e x t d a y . I t c o n t i n u e d w i t h t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s b u t t h i s t i m e t h e c o n t e x t w a s m u l t i p l i c a t i o n r a t h e r t h a n a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . I p a g e d t h r o u g h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d s e a r c h e d t h e s c r i p t f o r a n y s i g n s o f a q u e s t i o n a b o u t p a t t e r n s , s i m i l a r t o t h e o n e I h a d a s k e d t h e d a y b e f o r e . A f t e r m y f r u s t r a t i o n w i t h t h e q u e s t i o n i n t h e fi r s t p a r t o f t h e l e s s o n w h e n I a s k e d s t u d e n t s t o n o t i c e p a t t e r n s t h e d a y b e f o r e , I h a d d e c i d e d t o p a y c l o s e r a t t e n t i o n t o t h e s c r i p t a s I p l a n n e d t h e n e x t h a l f o f t h e l e s s o n . T h e r e w a s n o f u r t h e r m e n t i o n o f p a t t e r n s i n t h i s s e c o n d h a l f o f t h e l e s s o n . I d i d n o t h a v e t o a t t e m p t t o i n i t i a t e a n o t h e r d i s c u s s i o n a r o u n d t h e i d e a o f p a t t e r n s . I r e r e a d t h e l e s s o n s u m m a r y i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t I h a d t r i e d t o u n d e r s t a n d s e v e r a l d a y s e a r l i e r . 1 7 4 U s i n g a r r o w d i a g r a m s a n d t h e M i n i c o m p u t e r , i n v e s t i g a t e t h e c o m p o s i t i o n o f c e r t a i n n u m e r i c a l f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , + 1 0 f o l l o w e d b y + 2 a n d 3 x f o l l o w e d b y 2 X . ( p . 1 1 ) I f o u n d m y s e l f n o c l e a r e r a b o u t t h e p o i n t o f t h i s l e s s o n a s I l o o k e d i t o v e r a s e c o n d t i m e a n d c o n s i d e r e d w h a t w e h a d c o v e r e d a n d w h a t r e m a i n e d f o r u s t o d o . W h a t h a d m y s t u d e n t s l e a r n e d t h r o u g h t h e i d e n t i fi c a t i o n o f m e a n i n g l e s s p a t t e r n s w e h a d d o n e i n t h e fi r s t h a l f o f t h i s l e s s o n ? W h a t w e r e s t u d e n t s s u p p o s e d t o i n v e s t i g a t e a b o u t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n ? W h y w a s t h e M i n i c o m p u t e r u s e d i n t h i s p a r t o f t h e l e s s o n a n d n o t t h e p r e v i o u s o n e ? A s I g l a n c e d t h r o u g h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , t h e k i n d s o f a r r o w p r o b l e m s I s a w d i d n o t l o o k t o o d i f f e r e n t f r o m t h e o n e s w e h a d j u s t d o n e a n d , l i k e t h e o t h e r s , t h e s e l o o k e d l i k e s o m e t h i n g m y s t u d e n t s c o u l d d o e v e n t h o u g h I w a s s t i l l u n c l e a r a b o u t t h e p o i n t o f t h e l e s s o n . H e r e i s a n e x a m p l e o f o n e o f t h e p r o b l e m s : A g a i n , o n e a r r o w w a s r e d a n d t h e o t h e r w a s b l u e . I t u r n e d t h e p a g e i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d s a w t h e g r e e n o r c o m p o s i t i o n a r r o w l a b e l e d 6 x f o r t h i s p a r t i c u l a r p r o b l e m . W h e n I fi r s t s a w t h e g r e e n a r r o w , m y i n i t i a l t h o u g h t h a d b e e n t o l a b e l i t 5 x r a t h e r t h a n 6 x , a d d i n g 3 x a n d 2 x . T h i s w a s c o n s i s t e n t w i t h fi n d i n g t h e l a b e l f o r t h e c o m p o s i t i o n a r r o w s i n t h e a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n p r o b l e m s i n t h e fi r s t h a l f o f t h i s C S M P l e s s o n . I w o n d e r e d i f m y s t u d e n t s w o u l d d o t h e s a m e t h i n g . 1 7 5 2 1 0 T h e C S M P w o r k s h e e t I p l a n n e d t o a s s i g n , i n t e n d e d b y C S M P t o a c c o m p a n y t h e e n t i r e C S M P l e s s o n o n t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s , g a v e m e a p u r p o s e f o r g e t t i n g t h r o u g h t h i s l e s s o n : t o b e a b l e t o d o t h e w o r k s h e e t . T h e w o r k s h e e t c o n t a i n e d p r o b l e m s d e a l i n g w i t h t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n , a n d m u l t i p l i c a t i o n . E a c h p r o b l e m c o n s i s t e d o f a s e t o f a r r o w s w i t h a t a b l e t o b e c o m p l e t e d b y c o m p o s i n g t w o f u n c t i o n s . I k n o w m y p u r p o s e w a s q u i t e n a r r o w a n d s h a l l o w b u t i t w a s a p u r p o s e , n e v e r t h e l e s s , a n d o n e q u i t e f a m i l i a r f r o m m y p a s t m o r e t r a d i t i o n a l m a t h t e a c h i n g e x p e r i e n c e s . I s s o m e p u r p o s e b e t t e r t h a n n o n e ? W h a t t h i s w o r k s h e e t d i d f o r m e a t t h e t i m e w a s g i v e m e a m e a s u r i n g s t i c k a g a i n s t w h i c h I c o u l d e v a l u a t e m y a c c o m p l i s h m e n t s . W e r e m y s t u d e n t s l e a r n i n g a n y t h i n g ? G i v i n g s t u d e n t s t h e w o r k s h e e t w a s o n e w a y t o f i n d o u t . I f m y s t u d e n t s d i d w e l l o n i t , i t m i g h t h e l p t o e a s e m y m o u n t i n g u n c e r t a i n t y a b o u t w h a t i t w a s m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g . T h e M i n i e e m p u t e r T h e M i n i c o m p u t e r , a r e p r e s e n t a t i o n a l t o o l d e s c r i b e d i n t h e p r o l o g u e t o P a r t I I , T h e C r e a t i o n a n d S t u d y o f a P r a c t i c e , w a s i n t e n d e d , a c c o r d i n g t o w h a t a p p e a r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , t o a c c o m p a n y t h i s p o r t i o n o f t h e l e s s o n . T h e r e w a s n o e x p l i c i t d i s c u s s i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a s t o w h y t h i s w a s a u s e f u l t o o l f o r t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s i n t h i s p a r t o f t h e l e s s o n . I t s p r e s e n c e i m p l i e d i t s i m p o r t a n c e a n d I c a m e u p w i t h m y o w n r e a s o n s w h y . I t h o u g h t t h a t a r r a n g i n g 1 7 6 c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r , a s p i c t u r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , i l l u s t r a t e d t h e n u m b e r o f g r o u p s i n v o l v e d i n t h e p r o c e s s o f m u l t i p l i c a t i o n a n d t h a t b e i n g a b l e t o k e e p t r a c k o f t h a t m i g h t h e l p s t u d e n t s s e e t h e n u m b e r o f g r o u p s i n v o l v e d w h e n c o m p o s i n g t w o f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n . K n o w i n g t h e n u m b e r o f g r o u p s i n v o l v e d w a s e s s e n t i a l t o l a b e l i n g t h e a r r o w s , s o m e t h i n g s t u d e n t s h a d t o d o t o w o r k t h e s e p r o b l e m s a n d c o m p l e t e t h e w o r k s h e e t . F o r e x a m p l e , m u l t i p l i c a t i o n o f 1 4 b y 3 c a n b e t h o u g h t o f a s 3 g r o u p s o f 1 4 o b j e c t s o r 4 2 . F o u r t e e n c a n b e r e p r e s e n t e d o n t h e M i n i c o m p u t e r w i t h 1 c h e c k e r o n t h e 1 0 s q u a r e a n d 1 o n t h e 4 s q u a r e o r 1 0 + 4 . T h r e e t i m e s 1 4 o r 3 g r o u p s o f 1 4 c a n b e r e p r e s e n t e d b y r e p e a t i n g t h e p a t t e r n o f c h e c k e r s f o r 1 g r o u p o f 1 4 , 3 t i m e s . I f t h i s w h o l e t h i n g i s m u l t i p l i e d b y 2 o r d o u b l e d , t h i s m e a n s t h e s a m e a s 2 g r o u p s o f 3 g r o u p s o f 1 4 o r 2 x ( 3 x 1 4 ) o r 6 x 1 4 . T h i s c a n b e r e p r e s e n t e d o n t h e M i n i c o m p u t e r b y r e p e a t i n g t h e p a t t e r n o f c h e c k e r s u s e d t o r e p r e s e n t 3 x 1 4 , t w i c e . 1 7 7 i i i . . . . . . . . . . . . . . . . . ( i t ) . 2 x ( 3 x 1 4 ) T h e p a t t e r n o f t h e a r r a n g e m e n t o f c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r w a s a w a y t o k e e p t r a c k o f t h e n u m b e r o f g r o u p s w h e n t w o f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n w e r e c o m p o s e d a n d t h a t w a s w h y t h e M i n i c o m p u t e r s e e m e d t o m e t o b e a u s e f u l t o o l h e r e . S e e i n g t h e c h e c k e r s i n a p h y s i c a l p a t t e r n s h o w e d t h e n u m b e r o f g r o u p s . T h i s w a y o f c o n s i d e r i n g ’ p a t t e m ’ w a s n o t s o m e t h i n g 1 7 8 d i s c u s s e d i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e . I t w a s s o m e t h i n g t h a t o c c u r r e d t o m e a s I p l a n n e d f o r t h e l e s s o n . A s i n e a r l i e r l e s s o n s , I r e m a i n e d c o m m i t t e d t o f o l l o w i n g t h e s c r i p t c l o s e l y . I f o l l o w e d t h e t e a c h e r ’ s g m ' d e a n d i n s i s t e d m y s t u d e n t s u s e t h e M i n i c o m p u t e r f o r e v e r y p r o b l e m j u s t a s o u t l i n e d i n t h e t e x t . T h e r e w a s n o t h i n g i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t i n d i c a t e d I s h o u l d q u e s t i o n t h e r e l e v a n c e o f t h e M i n i c o m p u t e r a s i t r e l a t e d t o m y s t u d e n t s ’ w o r k o n p a r t i c u l a r p r o b l e m s o r t a k e i n t o a c c o u n t o t h e r w a y s s t u d e n t s m i g h t c o m e u p w i t h s o l u t i o n s . I w e n t i n t o t h e l e s s o n h a v i n g d r a w n m y o w n c o n c l u s i o n s a s t o w h y t h e M i n i c o m p u t e r w a s a u s e f u l t o o l f o r w o r k i n g t h e s e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s . T h e M i n i c o m p u t e r w a s a n e w t o o l f o r m e a n d t h e h a n d f u l o f s t u d e n t s i n m y c l a s s w h o w e r e n e w t o t h e s c h o o l . W e h a d u s e d t h e M i n i c o m p u t e r o n c e b e f o r e t h i s l e s s o n . W h e n w e d i d , I h a d f o u n d i t a c h a l l e n g e t o c o n s i d e r t h e p l a c e m e n t o f t h e c h e c k e r , t h e v a l u e o f t h e s q u a r e , a n d d o t h e m e n t a l a r i t h m e t i c n e c e s s a r y t o k e e p t r a c k o f t h e t o t a l v a l u e o f t h e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . A s I g l a n c e d a t t h e p a g e s o f p i c t u r e s i n C S M P o f t h e c h e c k e r s a r r a n g e d o n t h e M i n i c o m p u t e r , I c o u l d s e e t h a t t h e n u m b e r o f c h e c k e r s i n c r e a s e d a s f u n c t i o n s w e r e c o m p o s e d . R e l u c t a n t t o t a k e o n t h e m e n t a l c o n c e n t r a t i o n I t h o u g h t w a s r e q u i r e d t o k e e p t r a c k o f t h e c h e c k e r s , I d e c i d e d t o s t i c k c l o s e l y t o t h e s c r i p t a n d u s e t h e n u m b e r s a n d c h e c k e r s e x a c t l y a s t h e y a p p e a r e d i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I f I d i d t h i s , I c o u l d j u s t c o p y t h e p l a c e m e n t o f t h e c h e c k e r s a s t h e y a p p e a r e d i n t h e g u i d e a n d n o t w o r r y a b o u t k e e p i n g t r a c k o f t h e v a l u e o f t h e c h e c k e r s m y s e l f . l e a c h i n g B e f o r e m a t h c l a s s b e g a n , I s t o o d t w o M i n i c o m p u t e r b o a r d s a l o n g t h e c h a l k b o a r d t r a y a t t h e f r o n t o f t h e r o o m . O n e b o a r d r e p r e s e n t e d t e n s , t h e o t h e r r e p r e s e n t e d o n e s . I b e g a n w i t h t h e f i r s t e x a m p l e i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d p l a c e d t h r e e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r t o s h o w 4 9 . 1 7 9 4 9 0 | “ 4 0 + 8 + 1 F o l l o w i n g t h e s c r i p t , I a s k e d s t u d e n t s w h a t n u m b e r w a s r e p r e s e n t e d o n t h e M i n i c o m p u t e r . J o h n r e s p o n d e d , ” 4 9 , ” a n d a t m y r e q u e s t e x p l a i n e d h o w h e k n e w , ” B e c a u s e t h e c h e c k e r o n t h e p u r p l e s p a c e o n t h e s e c o n d M i n i c o m p u t e r i s 4 0 a n d t h e o n e s M i n i c o m p u t e r , t h a t h a s a c h e c k e r o n t h e 8 a n d 1 o n t h e o n e s a n d t h a t i s 9 . ” I m o v e d t o t h e n e x t p r o b l e m i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d a s k e d s t u d e n t s t o s h o w ” d o u b l e 4 9 . ” B o b v o l u n t e e r e d t o a r r a n g e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . 2 x 4 9 H i s a r r a n g e m e n t o f c h e c k e r s m a t c h e d w h a t w a s s h o w n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e , h o w e v e r , c o n t a i n e d t h i s a d d i t i o n a l n o t e . N O T E : T h e r e a r e o t h e r c o r r e c t c o n f i g u r a t i o n s f o r 2 X 4 9 , s u c h a s t h e s t a n d a r d c o n f i g u r a t i o n f o r 9 8 , b i t t h e o n e a b o v e e m p h a s i z e s t h a t t h e r e a r e 2 4 9 ' s o n t h e M i n i c q r w r . ( p . 1 7 ) 1 8 0 T h e r e w a s n o e x p l a n a t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a s t o w h y t h e c o n f i g u r a t i o n e m p h a s i z i n g t w o 4 9 ’ s w a s p r e f e r r e d o v e r o t h e r a r r a n g e m e n t s , l i k e 9 8 m a d e w i t h t h e f e w e s t c h e c k e r s p o s s i b l e . 9 8 o r 8 0 + 1 0 + 8 G i v e n t h i s p r e f e r e n c e , I a s s u m e d t h e d i f f e r e n c e i n t h e t w o r e p r e s e n t a t i o n s w a s i n u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r a s a t o o l t o i l l u s t r a t e t h e p r o c e s s o f d o u b l i n g v e r s u s u s i n g i t a s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a n s w e r t o t h e d o u b l i n g . I c o u l d s e e a c o n n e c t i o n b e t w e e n s h o w i n g t h e p r o c e s s a n d l a b e l i n g t h e a r r o w s o n t h e w o r k s h e e t . S t u d e n t s h a d n o w a y o f k n o w i n g t h a t C S M P p r e f e r r e d o n e w a y o f a r r a n g i n g t h e c h e c k e r s o v e r a n o t h e r . F o r e x a m p l e , M i k e a n n o u n c e d , ” I h a v e a n e a s i e r w a y o f d o u b l i n g 4 9 t h a n j u s t p u t t i n g a n o t h e r c h e c k e r o n t h e 4 0 ' s a n d a n o t h e r c h e c k e r o n b o t h t h e 8 a n d t h e 1 , " a n d p r o c e e d e d t o a r r a n g e 9 8 w i t h t h e f e w e s t p o s s i b l e c h e c k e r s a s s h o w n a b o v e . H i s w a y w a s e a s i e r i f t h e p u r p o s e o f u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r w a s , a s h e m i g h t h a v e i n t e r p r e t e d i t , t o s h o w t h e s o l u t i o n o n c e i t h a d b e e n c o m p u t e d b y s o m e o t h e r m e a n s . I t w a s n o t e a s i e r i f t h e i n t e n t i o n o f i t s u s e w a s , a s I i n t e r p r e t e d i t , t o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g o f m u l t i p l i c a t i o n b y r e p r e s e n t i n g t h e n u m b e r o f e q u a l g r o u p s . A s i n t h e l e s s o n o f t h e d a y b e f o r e , I i n s e r t e d m y o w n q u e s t i o n s i n t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I a s k e d i f p e o p l e h a d o t h e r w a y s o f t h i n k i n g a b o u t 1 8 1 t h e p r o b l e m a n d R o n e x p l a i n e d h i s m e n t a l s t r a t e g y , ” 5 0 a n d 5 0 i s 1 0 0 a n d t h e n t a k e a w a y 1 a n d i t i s j u s t 9 . A n d , t h e n a n o t h e r 1 a n d i t i s 9 8 . ” T h e r e w a s n o m e n t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t s t u d e n t s m i g h t f i g u r e o u t t h e t o t a l s t o t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s u s i n g a l t e r n a t i v e m e t h o d s o f c o m p o s i n g a n d d e c o m p o s i n g n u m b e r s a n d n o t a t t e n d t o o r n e e d t h e M i n i c o m p u t e r . I w a s a l i t t l e a n n o y e d t h a t s t u d e n t s , l i k e R o n , w e r e n o t m a k i n g u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r a n d t h a t s t u d e n t s , l i k e M i k e , w e r e n o t u s i n g i t t h e w a y I t h o u g h t t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n t e n d e d . I t w a s g o i n g t o b e c o m e h a r d e r t o m a k e i t t h r o u g h m y p l a n s i f s t u d e n t s k e p t o f f e r i n g t h e s e a l t e r n a t i v e s . O n t h e o u t s i d e , I a c c e p t e d a l l s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s w h e t h e r o r n o t t h e y m a t c h e d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . O n t h e i n s i d e , m y o w n f r u s t r a t i o n w a s m o u n t i n g . I w a s c o n f r o n t e d w i t h a c o n fl i c t . S h o u l d I g e t t h e s t u d e n t s t o d o a s t h e s c r i p t s a i d a n d t r u s t t h a t t h i s w o u l d c a u s e l e a r n i n g ? O r , s h o u l d I e n c o u r a g e s t u d e n t s t o b e a n a l y t i c , c r e a t i v e , a n d i n n o v a t i v e ? W h a t w a s I t r y i n g t o d o h e r e ? I c o u l d s e e t h a t t h e s t u d e n t s w e r e a b l e t o d o t h e m a t h i n t h e i r h e a d s , t h a t t h e y h a d w a y s o f fi g u r i n g o u t t h e a n s w e r t h a t d i d n o t r e q u i r e u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r . S o , i n o n e s e n s e t h e y c o u l d d o t h e m a t h . B u t i n a n o t h e r s e n s e , I w a n t e d t h e m t o f o l l o w t h e d i r e c t i o n s o f u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r b e c a u s e o f w h e r e I t h o u g h t t h e l e s s o n w a s h e a d e d . I t s e e m e d t o m e t h a t u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r t o s o l v e o n e - s t e p m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s w a s b u i l d i n g u p t o u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r f o r t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . I c o n t i n u e d t o u s e i t a s a n a c c o m p a n i m e n t t h r o u g h o u t t h e e n t i r e l e s s o n e v e n t h o u g h I w a s o n e o f t h e f e w p e o p l e i n t h e c l a s s e n g a g e d i n i t s u s e . M o s t s t u d e n t s u s e d o t h e r w a y s t o fi n d t h e s o l u t i o n s t o t h e m u l t i p l i c a t i o n p r O b l e m s . W h a t w a s t h e r i g h t t h i n g t o d o ? I p e r s i s t e d w i t h t h e M i n i c o m p u t e r a n d w o r k e d t h r o u g h t h e n e x t t w o e x a m p l e s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w i t h t h e n u m b e r s 6 5 a n d 2 7 . I a r r a n g e d c h e c k e r s t o r e p r e s e n t t h e s e n u m b e r s a n d t h e n s t u d e n t s , w i t h s o m e p r o m p t i n g o n m y p a r t , 1 8 2 d o u b l e d o r t r i p l e d t h e p a t t e r n o f c h e c k e r s t o r e p r e s e n t 2 o r 3 t i m e s t h e n u m b e r . T h i s w a s a p a i n s t a k i n g l y s l o w p r o c e s s b e c a u s e I i n s i s t e d t h a t s t u d e n t s a r r a n g e t h e c h e c k e r s i n p a t t e r n s a s i l l u s t r a t e d i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e . I t h o u g h t t h a t i f t h e c h e c k e r s w e r e r a n d o m l y p l a c e d i n t h e s q u a r e s o n t h e M i n i c o m p u t e r , t h e i d e a t h a t m u l t i p l i c a t i o n w a s a b o u t r e p e a t e d n u m b e r s o f e q u a l g r o u p s w o u l d b e l o s t . A r r a n g i n g t h e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r s e e m e d l i k e a t e d i o u s c h o r e w h e n s t u d e n t s a l r e a d y h a d fi g u r e d o u t t h e a n s w e r s i n t h e i r h e a d s b u t I c o u l d f o r e s e e t h e b e n e f i t o f b e i n g a b l e t o s e e t h e n u m b e r o f g r o u p s o n c e w e g o t i n t o c o m p o s i n g f u n c t i o n s . B e s i d e s , i t w a s t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ’ s i d e a t o m a k e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r f o r e a c h o f t h e s e p r o b l e m s , n o t m i n e . S i n c e I h a d n o r e a s o n b e y o n d t h e w o r k s h e e t t o b e d o i n g t h e s e p r o b l e m s , i t m a d e s e n s e f o r m e t o f o l l o w t h e t e x t b o o k c l o s e l y a n d d o t h i n g s t h a t w o u l d h e l p s t u d e n t s s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e i t . M o s t s t u d e n t s w a n t e d t o s h a r e h o w t h e y c o m p u t e d t h e s o l u t i o n s t o t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s i n t h e i r h e a d s o r s h o w t h e w a y s t h e y h a d o f a r r a n g i n g c h e c k e r s t o r e p r e s e n t t h e t o t a l w i t h t h e f e w e s t c h e c k e r s p o s s i b l e . T h e r e w a s n o i n d i c a t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t t h i s w a s a n a c c e p t a b l e w a y t o w o r k t h e p r o b l e m s . I c o u l d n o t s e e h o w t h e i r m e n t a l a r i t h m e t i c s t r a t e g i e s c o n n e c t e d w i t h e i t h e r m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m s o r t h e r o l e o f t h e M i n i c o m p u t e r i n fi g u r i n g t h e m o u t . A n i n t e r e s t i n r e p e a t i n g p a t t e r n s o f c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r c o n t i n u e d t o b e m o r e m i n e t h a n t h e i r s . T h i s w a s u n d e r s t a n d a b l e , g i v e n t h e w o r k s h e e t I k n e w a w a i t e d t h e m b u t t h e y k n e w n o t h i n g a b o u t . T h e n e x t p r o b l e m b e g a n l i k e t h e o t h e r s . I a r r a n g e d a n u m b e r o n t h e M i n i c o m p u t e r . 1 8 3 3 5 o r 2 0 + 1 0 + 4 + 1 S i p h o e x p l a i n e d h o w h e k n e w t h i s w a s 3 5 . ” B e c a u s e t h e r e a r e 2 c h e c k e r s o n t h e t e n s b o a r d . O n e o f t h e m i s o n t h e 2 a n d t h e o t h e r i s o n t h e 1 . O n e p l u s 2 e q u a l s 3 a n d o n t h e o n e s b o a r d y o u h a v e a c h e c k e r o n t h e 4 a n d t h e r e i s a n o t h e r c h e c k e r o n t h e 1 . F o u r p l u s 1 e q u a l s 5 . ” I a s s u m e d t h a t S i p h o m e a n t 3 0 w h e n h e s a i d ” 3 ” o n t h e t e n s b o a r d . I a s k e d J a m i l a t o s h o w 3 t i m e s t h i s n u m b e r o n t h e M i n i c o m p u t e r . U n d e r m y d i r e c t i o n , s h e c a r e f u l l y r e p e a t e d t h e p a t t e r n o f c h e c k e r s f o r 3 5 , 3 t i m e s . 3 x 3 5 J e n n i f e r , w h o h a d b e e n w o r k i n g t h e p r o b l e m s i n h e r h e a d a n d p a y i n g l i t t l e a t t e n t i o n t o t h e c h e c k e r s a n d t h e M i n i c o m p u t e r , a n n o u n c e d t h a t s h e k n e w t h e a n s w e r w a s 1 0 5 . S h e e x p l a i n e d h o w s h e k n e w , ” B e c a u s e I d i d i t i n m y h e a d 1 8 4 a g a i n . I d i d 3 5 p l u s 3 5 p l u s 3 5 a n d t h e n I w e n t 5 p l u s 5 p l u s 5 i s 1 5 , p u t d o w n 5 c a r r y t h e 1 0 . 3 0 p l u s 3 0 , p l u s 3 0 e q u a l s 9 0 a n d I w o u l d a d d 1 m o r e 1 0 a n d t h a t ' s 1 0 0 . ” J e n n i f e r , l i k e m a n y o f t h e o t h e r s t u d e n t s , h a d n o r e a s o n t o t h i n k t h e M i n i c o m p u t e r a n d c h e c k e r s w e r e i m p o r t a n t w h e n s h e h a d m e n t a l s t r a t e g i e s f o r fi g u r i n g o u t t h e a n s w e r s . W e w e n t t h r o u g h t h e s a m e t e d i o u s w o r k o f a r r a n g i n g c h e c k e r s f o r m o r e t h a n 3 0 m i n u t e s a n d I s e e m e d t o b e t h e o n l y o n e w h o c o u l d s e e t h e r e l e v a n c e i n w h a t w e w e r e d o i n g . T h i s w o r r i e d m e f o r I k n e w w e w e r e a p p r o a c h i n g a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e l e s s o n . W e h a d b e e n d o i n g r e l a t i v e l y s i m p l e , o n e - s t e p m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s t h a t w e r e a b o u t t o g e t t o m o r e c o m p l e x . I f s t u d e n t s d i d n o t u n d e r s t a n d t h e n u m b e r o f g r o u p s i n v o l v e d w h e n m u l t i p l y i n g t h e y m i g h t f a c e d i f fi c u l t y i n l a b e l i n g t h e c o m p o s i t i o n a r r o w s o n t h e w o r k s h e e t . T h e C e m p e s i t i e n e f F e h e t i e m I a s k e d , " H o w w o u l d y o u d o u b l e t h i s ( 3 x 3 5 ) ? " I n r e s p o n s e , R o n q u i c k l y r e p l i e d , " 2 1 0 . " I w i s h e d t h e s e s t u d e n t s w o u l d s t o p g i v i n g t h e t o t a l . I t r e v e a l e d n o t h i n g a b o u t t h e p r o c e s s o f m u l t i p l i c a t i o n . K n o w i n g t h e t o t a l s o r h a v i n g a w a y t o fi g u r e t h e m o u t m e n t a l l y w a s n o t n e c e s s a r i l y h e l p f u l i n f i g u r i n g o u t w h a t t o l a b e l t h e c o m p o s i t i o n a r r o w . I f t h e y k n e w w h a t w a s o n t h e w o r k s h e e t , m a y b e t h e y w o u l d s t i c k w i t h m e a n d a t t e n d t o t h e p r o c e s s . I w a n t e d s t u d e n t s t o s e e w h y 2 x ( 3 x 3 5 ) w a s e q u a l t o 6 x 3 5 n o t 5 x 3 5 . I h a d n o d i r e c t e v i d e n c e t h a t t h e y t h o u g h t i t w o u l d b e 5 x 3 5 . I w a s p r o j e c t i n g w h a t I t h o u g h t t h e y m i g h t d o b a s e d o n m y o w n e x p e r i e n c e . I a s k e d f o r s o m e o n e t o s h o w h o w t o d o u b l e t h e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . I f s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h a t 2 g r o u p s o f 3 g r o u p s o f 3 5 w a s t h e s a m e a s 6 g r o u p s o f 3 5 t h e y m i g h t u n d e r s t a n d h o w t o l a b e l t h e c o m p o s i t i o n a r r o w a n d u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g o f 3 x f o l l o w e d b y 2 x . I n r e s p o n s e t o m y r e q u e s t f o r s o m e o n e t o d o u b l e 3 x 3 5 o n t h e M i n i c o m p u t e r , R o n v o l u n t e e r e d t o s h o w 2 1 0 . 1 8 5 2 1 0 o r 8 0 + 8 0 + 4 0 + 1 0 T h a t w a s fi n e e v e n t h o u g h f r o m m y p e r s p e c t i v e I t h o u g h t i t h a d n o t h i n g d o w i t h l e a r n i n g a b o u t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . I j u s t w a n t e d t o g e t t h e t o t a l s o u t o f t h e w a y , s o w e c o u l d c o n c e n t r a t e o n t h e n u m b e r s o f g r o u p s . A r i f s a i d t h a t h e h a d a n o t h e r w a y t o s h o w i t . I w e l c o m e d i t . I a s s u m e d s i n c e R o n h a d a l r e a d y s h o w n t h e t o t a l , A r i f h a d i n m i n d t o s h o w t h e n u m b e r o f g r o u p s o f 3 5 . W e a l l w a t c h e d a s A r i f s t a r e d a t t h e M i n i c o m p u t e r f o r a b i t , m o v e d s o m e c h e c k e r s a r o u n d , a d d e d o t h e r s . A f t e r a n a w k w a r d s i l e n c e , h e s a i d , ” I a m c o n f u s e d . ” H e a p p e a r e d t o b e u n c e r t a i n h o w t o a d d a n d o r g a n i z e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r t o r e p r e s e n t t h e d o u b l i n g o f 3 t i m e s 3 5 . I a s k e d h i m w h y h e w a s c o n f u s e d . H e r e s p o n d e d , ” B e c a u s e o v e r h e r e w e a d d e d 3 o f t h e m a n d w e g o t 1 0 5 a n d I t h o u g h t o v e r h e r e w e w e r e s u p p o s e d t o a d d 2 m o r e o f t h e m . ” I a s s u m e d ” t h e m ” m e a n t 3 5 ’ s . A r i f w a s d o i n g w h a t I h a d d o n e - a d d i t i o n r a t h e r t h a n m u l t i p l i c a t i o n . A d d i n g 2 3 5 ’ s t o t h e p r o d u c t o f 3 x 3 5 o r 1 0 5 w a s n o t t h e s a m e a s m u l t i p l y i n g 3 x 3 5 o r 1 0 5 , b y 2 . H o w w e r e o t h e r p e o p l e t h i n k i n g a b o u t t h i s p r o b l e m ? I a s k e d , ” D o e s a n y o n e h a v e t h o u g h t s f o r A r i f a b o u t t h i s ? ” I c a l l e d o n B o b w h o s a i d , ” I k n o w h o w y o u c a n m a k e o n e a l i t t l e e a s i e r i n s t e a d o f p u t t i n g a l l o f t h o s e c h e c k e r s o n . Y o u c o u l d m a k e i t e a s i e r . ” I a s s u m e d t h a t B o b w a n t e d t o 1 8 6 s h o w t h e t o t a l w i t h t h e f e w e s t n u m b e r o f c h e c k e r s a n d I d i d n o t w a n t t o g o i n t h a t d i r e c t i o n . I c u t h i m o f f . F e w e r c h e c k e r s m i g h t b e ” e a s i e r ” i n t h e s e n s e o f t r y i n g t o k e e p t r a c k o f t h e t o t a l v a l u e o f t h e n u m b e r o n t h e M i n i c o m p u t e r b u t B o b ’ s s e n s e o f ” e a s i e r ” d i d n o t m e a n t h a t t h e g r o u p s m a k i n g u p a m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m w o u l d b e v i s i b l e , w h i c h f r o m m y p e r s p e c t i v e , i s w h a t w o u l d m a k e t h e p r o b l e m " e a s i e r . ” S t u d e n t s n e e d e d t o k n o w t h e n u m b e r s o f g r o u p s t o c o m p l e t e t h e w o r k s h e e t . I fi n a l l y r e a c h e d a p o i n t i n t h e l e s s o n w h e r e I f e l t l i k e I h a d s o m e t h i n g t o t e a c h . S o m e o n e w a s t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m t h e w a y I t h o u g h t t h e y w o u l d a n d s o I c o u l d m a k e u s e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n i n t h e w a y i t h a d m a d e s e n s e t o m e . I w o u l d s h o w A r i f a n d t h e o t h e r s t h e n u m b e r o f g r o u p s I w a n t e d t h e m t o s e e b y u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r . I p u t a s i d e t h e t e a c h e r ' s g u i d e a n d m o v e d b e s i d e A r i f . A s I s t a r t e d t o t a l k , h e r e t u r n e d t o h i s d e s k . I s a i d , ” I w o u l d l i k e t o s h o w y o u s o m e t h i n g h e r e . ” I r e m o v e d a l l t h e c h e c k e r s A r i f h a d p u t o n t h e b o a r d a n d p u t b a c k o n l y e n o u g h c h e c k e r s t o s h o w 3 5 . 3 5 T h e n I a s k e d , ” W h a t n u m b e r i s t h i s o n t h e M i n i c o m p u t e r ? J e n n i f e r ? ” J e n n i f e r s a i d , ” 3 5 . ” N e x t , I r e p e a t e d t h e p a t t e r n o f 3 5 o n t h e M i n i c o m p u t e r . 1 8 7 2 x 3 5 I s a i d , ” O k a y . I f I w a n t t o m a k e t h i s a m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m , w h a t w o u l d I s a y ? U s i n g a m u l t i p l i c a t i o n s i g n , h o w c o u l d I m a k e a p r o b l e m o u t o f t h i s , w h a t c o u l d I s a y ? F a r u q ? ” F a r u q s a i d , ” 2 t i m e s 3 5 . ” I r e p e a t e d w h a t h e s a i d a n d w r o t e 2 x 3 5 o n t h e c h a l k b o a r d . T h e n , I a r r a n g e d t h e c h e c k e r s t o s h o w 3 t i m e s 3 5 . I r e p e a t e d t h e p a t t e r n o f c h e c k e r s f o r 3 5 a t h i r d t i m e . 3 x 3 I a s k e d , ” W h a t w o u l d I s a y n o w w i t h m u l t i p l i c a t i o n ? U s i n g t h e m u l t i p l i c a t i o n s i g n , w h a t c o u l d I s a y n o w ? A r i f ? ” H e s a i d , ” 3 t i m e s 3 5 . ” I d r e w a n a r r o w o n t h e c h a l k b o a r d a n d l a b e l e d i t 3 x . 3 x 3 5 1 8 8 I s a i d , ” N o w , a n d t h i s i s w h a t s o m e p e o p l e w e r e h a v i n g p r o b l e m s w i t h , I w a n t t o d o u b l e t h i s . ” A f t e r s e e i n g A r i f a t a l o s s f o r h o w t o a r r a n g e c h e c k e r s t o r e p r e s e n t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s o n t h e M i n i c o m p u t e r , I a s s u m e d t h a t I u n d e r s t o o d t h e s o u r c e o f A r i f ’ s c o n f u s i o n a n d w h a t o t h e r s m i g h t b e t h i n k i n g b a s e d o n m y o w n e x p e r i e n c e s w i t h t h i s p r o b l e m . I a d d e d a n d l a b e l e d a s e c o n d a r r o w w i t h 2 x . 2 x 3 5 1 0 5 A s I d i d s o , t h e s t u d e n t s c h o r u s e d , ” O h h h h h h h h , ” a s i f t h e y h a d j u s t s e e n s o m e t h i n g i n n e w w a y . I s a i d , ” T w o t i m e s w h a t ' s h e r e , ” a s I p o i n t e d t o t h e M i n i c o m p u t e r a r r a n g e d w i t h c h e c k e r s i l l u s t r a t i n g 3 x 3 5 a n d t h e d o t f o r 1 0 5 o n t h e a r r o w r o a d , ” H o w c o u l d I d o t h a t w i t h o u t m o v i n g t h e s e c h e c k e r s a n d a d d i n g s o m e t h i n g e l s e t o t h e M i n i c o m p u t e r ? A r i f ? ” A r i f s a i d , ” I r e m e m b e r e d n o w . ” H e s t e p p e d f o r w a r d a n d r e p e a t e d t h e p a t t e r n o f 3 x 3 5 o n t h e M i n i c o m p u t e r . 1 8 9 W h e n h e w a s fi n i s h e d , h e s a i d , ” I h a v e d o u b l e d t h e w h o l e t h i n g . ” W h e n I a s k e d , ” W h y d i d y o u d o i t t h a t w a y ? W h y d o e s t h a t m a k e s e n s e t o y o u ? ” H e s a i d , ” B e c a u s e y o u h a v e t o d o u b l e t h e 1 0 5 . ” W h e n A r i f s a i d t h i s , I d i d n o t f o l l o w u p w i t h a n y f u r t h e r q u e s t i o n s . I w a s c o n t e n t t o l e a v e t h i n g s t h i s w a y . I w a n t e d t o b e l i e v e t h a t A r i f u n d e r s t o o d . I l a b e l e d t h e a r r o w s l i k e t h i s : 2 1 o T h e o t h e r s t u d e n t s w e r e r e s t l e s s a n d I n e e d e d t o g e t t h e m e n g a g e d i n s o m e t h i n g . I f I d i d n o t b e l i e v e A r i f o r o t h e r s u n d e r s t o o d , w h a t w o u l d w e d o i n t h e r e m a i n i n g t i m e i f I c o u l d n o t g i v e t h e m t h e w o r k s h e e t ? I h a d n o o t h e r w a y o f r e p r e s e n t i n g t h e m e a n i n g o f m u l t i p l i c a t i o n a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o a d d i t i o n . I p a s s e d o u t t h e w o r k s h e e t a n d s t u d e n t s s p e n t t h e r e m a i n i n g 1 5 m i n u t e s o f t h e c l a s s w o r k i n g o n i t i n d e p e n d e n t l y . R H ' n T a ' : A ' m 1 1 M a g g i e o b s e r v e d c l a s s t h a t d a y . A s u s u a l , s h e h a d t o h u r r y o f f a f t e r m y m a t h c l a s s t o p r e p a r e f o r h e r o w n m a t h t e a c h i n g i n t h e fi f t h g r a d e c l a s s n e x t d o o r . S h e h a n d e d m e h e r o b s e r v a t i o n n o t e s o n h e r w a y o u t t h e d o o r . W e h a d a s c h e d u l e d t i m e t o d i s c u s s t h e m l a t e r . 1 I w a s a l w a y s a n x i o u s t o r e a d w h a t s h e 1 S e e H e a t o n a n d L a m p e r t ( 1 9 9 3 ) f o r m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n u s a r o u n d m y t e a c h i n g . 1 9 0 h a d w r i t t e n d u r i n g h e r o b s e r v a t i o n s . O n t h a t d a y , I r e a d h e r n o t e s i n m y c a r , i n t h e s c h o o l p a r k i n g l o t , b e f o r e h e a d i n g b a c k t o t h e u n i v e r s i t y . I n t h e m i d s t o f w h a t s h e w r o t e , I f o u n d t h i s , D i d y o u g e t s o m e k i n d o f " b r i g h t i d e a " a b o u t h o w t o p u l l a l l t h i s t o g e t h e r w h e n y o u s a i d " I w a n t t o s h o w y o u s o m e t h i n g " ? O r w e r e y o u f o l l o w i n g t h e s c r i p t ? I t s e e m e d t o m e a s i f y o u w e r e m o r e e n g a g e d h e r e , m o r e t h i n k i n g a b o u t t h e k i d s a n d t h e s u b j e c t m a t t e r a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n r a t h e r t h a n f o l l o w i n g t h e m a n u a l . I t s e e m e d l i k e y o u s a w w h a t t h e y n e e d e d i n o r d e r t o g e t t h e p o i n t . ( L a m p e r t o b s e r v a t i o n n o t e s , 0 9 / 2 1 / 8 9 ) D i d I g e t s o m e b r i g h t i d e a ? W h a t m o m e n t w a s s h e r e f e r r i n g t o ? A t t h e t i m e , a s I t h o u g h t b a c k o n t h e l e s s o n , I w a s u n c e r t a i n . H e r o b s e r v a t i o n p e a k e d m y c u r i o s i t y a n d c a m e a t a t i m e w h e n I w a s s e a r c h i n g f o r a n y t h i n g I m i g h t h a v e b e e n d o i n g t h a t r e s e m b l e d t h e t e a c h i n g I w a s a i m i n g t o d o . I h a d a u d i o t a p e d t h e l e s s o n a n d h a d t h e t a p e w i t h m e . I d e c i d e d t h a t I w o u l d r e p l a y t h e t a p e a n d t r y t o h e a r t h e m o m e n t M a g g i e h a d n o t i c e d b e f o r e I t a u g h t t h e n e x t d a y . I t h o u g h t i f I r e p l a y e d t h e m o m e n t I m i g h t u n d e r s t a n d w h a t i t w a s t h a t s h e h a d n o t i c e d . A t h o m e t h a t e v e n i n g I r e p l a y e d t h e a u d i o t a p e . I l o c a t e d m y s t a t e m e n t , ” I w a n t t o s h o w y o u s o m e t h i n g , ” a n d p l a y e d a n d r e p l a y e d t h e p a r t o f t h e l e s s o n t h a t s u r r o u n d e d i t . T h e m o m e n t t h a t M a g g i e n o t i c e d w a s w h e n I i n t e r a c t e d w i t h A r i f a r o u n d t h e p r o b l e m o f d o u b l i n g 3 x 3 5 . A s I l i s t e n e d a n d c o n s i d e r e d w h a t h a d g o n e o n , I d e c i d e d t h a t , i n d e e d , s o m e t h i n g n e w w a s h a p p e n i n g h e r e . I m a d e n o t e s i n m y j o u r n a l a s I l i s t e n e d t o t h e t a p e . I d i d s e e w h a t t h e y n e e d e d . T h e p o i n t w a s t o s e e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n . B y t h e t i m e I s t e p p e d i n , t h e s t u d e n t s h a d a l r e a d y w a n d e r e d o f f t h e t r a c k . T h e y w e r e m i s s i n g t h e p o i n t a n d I c o u l d s e e t h a t . I t h i n k p a r t o f w h a t w a s h a p p e n i n g w a s t h a t I w a s c l e a r o n t h e p u r p o s e - c o n n e c t i o n b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n - ( m a k e u s e o f p a t t e r n s o n t h e M i n i c o m p u t e r ) . I a l s o t r u s t e d m y s e l f . I h a d t h e c o n fi d e n c e t o m a k e a d e c i s i o n a b o u t w h a t t o d o i n d e p e n d e n t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . ( H e a t o n j o u r n a l , 0 9 / 2 1 / 8 9 ) 1 9 1 I f e l t t h e n e e d t o d o s o m e t h i n g a n d , u n l i k e m o m e n t s w h e n I h a d f e l t l i k e t h i s i n t h e p a s t , I h a d s o m e t h i n g i n m i n d t h a t I c o u l d d o t h a t c o n n e c t e d t o t h e e f f o r t s o f o n e o f m y s t u d e n t s t o m a k e s e n s e o f t h e p r o b l e m a s w e l l a s w h a t I u n d e r s t o o d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h e y w e r e s u p p o s e d t o b e l e a r n i n g . I f e l t t h e n e e d t o r e s p o n d t o A r i f ’ s c o n f u s i o n o v e r r e p r e s e n t i n g 2 x ( 3 x 3 5 ) o n t h e M i n i c o m p u t e r . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e - s p e c i fi c a l l y , i t s u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r t o s h o w t h e n u m b e r o f g r o u p s - p r o v i d e d m e w i t h a m e a n s o f c o m m u n i c a t i n g w h a t i t w a s I t h o u g h t A r i f a n d t h e o t h e r s t u d e n t s n e e d e d t o s e e . A f t e r l i s t e n i n g t o t h e t a p e , I w r o t e i n m o r e g e n e r a l w a y s a b o u t w h a t i t w a s t h a t I t h o u g h t w a s h a p p e n i n g i n t h a t m o m e n t . T h i n g s c a m e t o g e t h e r i n t h a t m o m e n t b e c a u s e I w a s t h i n k i n g a b o u t t h e s u b j e c t , l i s t e n i n g t o t h e s t u d e n t s a n d t r y i n g t o m a k e s e n s e o f w h a t t h e y w e r e s a y i n g a n d t h e n I a c t e d . I t h i n k t h i s l a s t p a r t i s w h a t h a s b e e n m i s s i n g u p u n t i l n o w - - t h e t e a c h i n g ( a s a v e r b , a n a c t i o n ) p a r t o f t e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g . H o w d o I k e e p i t u p ? ( H e a t o n j o u r n a l , 0 9 / 2 1 / 8 9 ) I s t r u g g l e d t o m a k e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t e a c h i n g I d i d p r i o r t o t h i s m o m e n t a n d t h e t e a c h i n g t h a t o c c u r r e d i n t h e m o m e n t . ” T e a c h i n g ” w a s c o m i n g t o h a v e a n e w m e a n i n g f o r m e , a m e a n i n g t h a t d e p e n d e d o n m y a c t i o n o r p a r t i c i p a t i o n i n t h e m o m e n t a s w e l l a s s o m e s e n s e o f p u r p o s e . M y t e a c h i n g w a s r e s p o n s i v e i n a w a y t h a t w a s ” s e n s i t i v e t o t h e m o m e n t a n d p l a c e ” ( Y i n g e r , 1 9 8 8 ) . I w a s l e a r n i n g t h a t I n e e d e d t o b e r e s p o n s i v e t o t h e s e n s e m y s t u d e n t s m a d e o f t h e m a t h e m a t i c s a s w e l l a s w h a t m a d e s e n s e t o m e a s I c o n s i d e r e d t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t . I r e d e fi n e d t e a c h i n g t o i n c l u d e s u c h m o m e n t s . A f t e r e x a m i n i n g t h i s m o m e n t M a g g i e h a d n o t i c e d , I s a w m y s e l f c o n n e c t e d t o t h e w o r k o f t e a c h i n g i n w a y s t h a t I h a d n o t e x p e r i e n c e d b e f o r e . I h a d a n e w f e e l f o r t e a c h i n g a n d d e c i d e d a t t h e t i m e t h a t w h a t I h a d e x p e r i e n c e d , w h a t M a g g i e h a d n o t i c e d , w a s w h a t I w a s a i m i n g t o d o . I n m y j o u r n a l I w r o t e , ” M a g g i e s p o t t e d t h e m o m e n t . I t ’ s b e e n o v e r t w o w e e k s o f s c h o o l a n d o n e 1 9 2 m o m e n t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ! ” ( H e a t o n j o u r n a l , 0 9 / 2 1 / 8 9 ) . T h e s i g n i fi c a n c e o f t h e m o m e n t f o r m e a t t h e t i m e w a s g r a n d e r t h a n t h e m o m e n t , i t s e l f . I n f a c t , i t p r o b a b l y w o u l d h a v e g o n e u n n o t i c e d i f n o t f o r M a g g i e ’ s k e e n e y e . I t w a s a m o m e n t i n w h i c h I m a d e t h e d e c i s i o n t o d o s o m e t h i n g I t h o u g h t n e e d e d t o b e d o n e a n d h a d a m e a n s f o r f o l l o w i n g t h r o u g h o n m y d e c i s i o n e v e n t h o u g h m y r e s o u r c e s f o r r e s p o n d i n g t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t w e r e l i m i t e d a t t h e t i m e . I n m y j o u r n a l , I w r o t e t h a t i t f e l t l i k e f o r a m o m e n t , ” I t o o k c o n t r o l . I k n e w w h a t I w a s d o i n g ” ( H e a t o n j o u r n a l 0 9 / 2 1 / 8 9 ) . T h r e e Y e e r s L a t e r : R e y i s i m ' g t h e M e m e n t T h e m o m e n t o f i n t e r a c t i o n w i t h A r i f a n d t h e o t h e r s t u d e n t s a r o u n d t h e p r o b l e m o f d o u b l i n g 3 x 3 5 , h o w e v e r s h o r t - l i v e d , w a s p o w e r f u l f o r m e i n t h a t i t g a v e m e a n e w f e e l o r i m a g e f o r w h a t i t w a s I w a s a i m i n g t o d o . I n t h i s s e c t i o n , t h r e e y e a r s l a t e r , I g o b a c k t o t h a t m o m e n t w i t h t h e a i d o f a n a u d i o t a p e a n d t r a n s c r i p t t o t r y t o u n d e r s t a n d t h e s i g n i fi c a n c e o f t h e m o m e n t o r m y r e l a t i o n s h i p t o t e a c h i n g , f r o m a p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . W h a t l e d u p t o t h e m o m e n t ? W h a t e v i d e n c e i s t h e r e , b e y o n d M a g g i e ’ s o b s e r v a t i o n , t h a t t h i s w a s a s i g n i fi c a n t m o m e n t f o r m e ? I n w h a t w a y s w a s t h e t e a c h i n g i n t h i s m o m e n t d i f f e r e n t f r o m t h e t e a c h i n g I h a d d o n e b e f o r e ? W h a t w a s c h a n g i n g ? W h a t w a s h a p p e n i n g w i t h m y i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s ? W h a t w a s h a p p e n i n g i n m y i n t e r a c t i o n s w i t h t h e m a t h e m a t i c s ? W h a t w a s m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s a t i s s u e i n t h a t m o m e n t a t t h e t i m e ? W h a t d o I u n d e r s t a n d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s n o w ? W h a t w o u l d b e r e q u i r e d o f m e t o s u s t a i n s u c h m o m e n t s i n m y t e a c h i n g f o r l o n g e r p e r i o d s o f t i m e ? I n a n e f f o r t t o t r y t o u n d e r s t a n d m y i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s p r i o r t o t h e m o m e n t , I b e g i n w i t h a n e x a m i n a t i o n o f t h e d i s c o u r s e . W h a t w e r e m y i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s l i k e ? H o w d i d o u r i n t e r a c t i o n s c o m p a r e w i t h t h e s u g g e s t e d t e a c h e r - s t u d e n t d i a l o g u e i n t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? H o w d i d 1 9 3 o u r i n t e r a c t i o n s c h a n g e t h r o u g h o u t t h e l e s s o n ? T h i s i s f o l l o w e d b y a n a n a l y s i s o f w h a t I a m l e a r n i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y b e i n g e x p l o r e d i n t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n . H o w d o e s m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s a t t h e t i m e i n fl u e n c e m y r o l e ? I n w h a t w a y s d o e s m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s h e l p o r h i n d e r m e f r o m h e a r i n g t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e m o m e n t , a t t h e t i m e o f i t s o c c u r r e n c e a n d n o w , s o m e t h r e e y e a r s l a t e r ? W h a t w o u l d i t m e a n t o h a v e m u l t i p l e w a y s t o r e s p o n d i n t h e m o m e n t , t o h a v e c h o i c e s o f p a t h w a y s t o t a k e ? A s i t w a s , I h a d o n l y o n e w a y t o r e s p o n d . W h i l e i t w a s a w a y t h a t m a d e s e n s e t o m e , I s t o p p e d b e f o r e I f o u n d o u t t h e s e n s e i t m a d e t o o t h e r s . B e c a u s e I l a c k e d a l t e r n a t i v e s , I d i d n o t k n o w w h a t I w o u l d h a v e d o n e , o t h e r t h a n r e p e a t w h a t I h a d d o n e , i f s o m e o n e h a d s a i d t h e y d i d n o t u n d e r s t a n d . A n d fi n a l l y , I l o o k a t t h e t e n s i o n s t h a t e x i s t e d o v e r m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p o i n t o f t h e l e s s o n a n d t h e s t u d e n t s ’ i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t a s k p r i o r t o t h a t m o m e n t . W h a t h a p p e n e d t o o u r i n t e n t i o n s o r s e n s e o f p u r p o s e i n t h a t m o m e n t ? H o w w e r e i n t e n t i o n s n e g o t i a t e d p r i o r t o a n d d u r i n g t h a t m o m e n t ? L ' W h D i n m n I n t h i s s e c t i o n , I t r y t o u n d e r s t a n d w h a t I w a s l e a r n i n g a b o u t w h a t w a s d e m a n d e d o f m e i n t h a t m o m e n t , b y a n a l y z i n g m y i n t e r a c t i o n w i t h s t u d e n t s a n d t h e m a t h e m a t i c s b e i n g d i s c u s s e d i n s e v e r a l d i f f e r e n t s i t u a t i o n s t h r o u g h o u t t h e c l a s s . W h a t w a s I l e a r n i n g a b o u t w h a t I n e e d e d t o d o i n o r d e r t o b e , i n Y i n g e r ’ s w o r d s , ” s e n s i t i v e t o t h e m o m e n t a n d p l a c e ” ? H o w d i d m y r o l e v a r y i n d i f f e r e n t m o m e n t s ? H o w d i d i t c h a n g e i n t h e m o m e n t M a g g i e n o t i c e d ? H o w w e r e t h e s e i n t e r a c t i o n s d i f f e r e n t f r o m e a r l i e r o n e s ? W h a t s o r t o f r o u t i n e s e x i s t e d f o r t h e w a y s i n w h i c h m y s t u d e n t s a n d I i n t e r a c t e d ? H o w d i d t h e s e r o u t i n e s v a r y f r o m o n e a n o t h e r a n d f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h r o u g h o u t t h e l e s s o n ? 1 9 4 I n t h e fi r s t s e c t i o n , I g i v e s o m e f u r t h e r b a c k g r o u n d o n p a r t i c u l a r a s p e c t s o f m y v i s i o n o f m a t h t e a c h i n g t h a t w e r e i n t h e f o r e g r o u n d o n t h a t p a r t i c u l a r d a y . I n t h e s e c o n d s e c t i o n , I l o o k a t t h e s o c i a l i n t e r a c t i o n o n t h a t d a y o f t e a c h i n g i n t w o d i f f e r e n t e x c h a n g e s p r i o r t o t h e m o m e n t M a g g i e n o t i c e d . I n t h e t h i r d s e c t i o n , I l o o k a t i n t e r a c t i o n s w i t h i n t h e m o m e n t M a g g i e n o t i c e d . W h a t I t h e u g h t I n e e d e d t Q d e d i f f e r e n t l y . W h e n I b e g a n t h i s s c h o o l y e a r , b a s e d o n w h a t I k n e w o f t h e m a t h r e f o r m s a n d m y o b s e r v a t i o n s o f a n d c o n v e r s a t i o n s a b o u t M a g g i e ’ s t e a c h i n g , I t h o u g h t o n e o f t h e t h i n g s I n e e d e d w a s t o c h a n g e m y r o l e i n t h e c l a s s r o o m . I n a n i n t e r v i e w w i t h J i m ( 0 9 / 8 9 ) , b e f o r e t h e s c h o o l y e a r b e g a n , I t a l k e d a b o u t m y v i s i o n o f t h a t r o l e . J i m : T h e n e x t q u e s t i o n I w a s g o i n g t o a s k i s i f y o u p l a n t o c h a n g e y o u r i n s t r u c t i o n . I t h i n k y o u j u s t a n s w e r e d t h a t t o s o m e e x t e n t . I s t h e r e a n y t h i n g e l s e t h a t y o u ’ d l i k e t o a d d t o t h a t ? R u t h : O n e t h i n g w o u l d b e t o h a v e t h e m e x p l a i n t h e i r t h i n k i n g a n d h o w t h e y g o t t h e i r a n s w e r s . I t h i n k a n o t h e r c h a n g e w o u l d b e f o r m e t o t a k e a d i f f e r e n t r o l e i n t h e c l a s s r o o m , o n e w h e r e t h e s t u d e n t s w o u l d d o t h e t a l k i n g . T h e s t u d e n t s w o u l d t a l k w i t h e a c h o t h e r . O n e w a y t o c h a n g e m y r o l e w a s t o c h a n g e t h e k i n d s o f t h i n g s I s a i d , w h a t I m e a n t b y t h e m a n d w h e n I s a i d t h e m . T h e w a y I m a n a g e d t h i s i n t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , a s e v i d e n c e d i n t h i s l e s s o n a n d t h e l e s s o n i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r i s t h a t I s t o p p e d a l l t e l l i n g a n d t r i e d t o d o n o t h i n g b u t a s k q u e s t i o n s . I h o p e d t h e q u e s t i o n s I a s k e d w o u l d s e r v e a t l e a s t t w o s p e c i f i c p u r p o s e s . F i r s t , I w a n t e d t h e q u e s t i o n s I a s k e d t o i n fl u e n c e t h e r e s p o n s e s o f m y s t u d e n t s . I t h o u g h t t h a t a s k i n g s t u d e n t s t o r e s p o n d t o m y q u e s t i o n s , w h i c h w e r e i n t e n d e d t o o p e n u p t h e d i s c o u r s e , w o u l d b e a w a y f o r t h e m t o b e p u s h e d i n t o t a k i n g o n a d i f f e r e n t r o l e . I w a n t e d t h e s t u d e n t s t o b e g i n t o t a k e s o m e r e s p o n s i b i l i t y f o r i n t e r p r e t i n g h o w t o d o t h e p r o b l e m s I g a v e t h e m a n d d e c i d i n g f o r t h e m s e l v e s 1 9 5 w h e n s o m e t h i n g m a d e s e n s e . S e c o n d l y , a s k i n g q u e s t i o n s a n d l i s t e n i n g t o s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s w o u l d g i v e m e a w a y t o b e g i n t o u n d e r s t a n d t h e s e n s e m y s t u d e n t s w e r e m a k i n g o f w h a t w e w e r e d o i n g . M y q u e s t i o n s g o t s t u d e n t s t a l k i n g b u t w i t h t h i s c h a n g e c a m e a w h o l e n e w s e t o f d i f fi c u l t i e s f o r m e . I t w a s t r u e t h a t a s k i n g q u e s t i o n s p u t m y s t u d e n t s i n a d i f f e r e n t r o l e a n d l e d t o s o m e i n s i g h t i n t o h o w m y s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g . B u t , I w a s l e a r n i n g t h a t a s k i n g q u e s t i o n s w a s o n e t h i n g , r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s ’ a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n s w a s q u i t e a n o t h e r . O n c e I h a d t h e i r i d e a s o n t h e t a b l e , w h a t w a s I t o d o w i t h t h e m ? W h i c h i d e a s s h o u l d I p u r s u e ? I s o n e a n s w e r a s m e a n i n g f u l a s a n o t h e r ? W h a t s h o u l d I d o w i t h i d e a s t h a t s e e m e d w r o n g t o m e ? Q u e s t i o n s l i k e t h e s e h a d s u r f a c e d f o r m e t h e d a y b e f o r e a s I h e a r d m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s . O n t h e o u t s i d e , I t r i e d t o r e m a i n n e u t r a l t o a l l s t u d e n t s r e s p o n s e s , a c c e p t i n g o f a l l a n s w e r s , i n a n a t t e m p t t o l e t s t u d e n t s c o n s t r u c t t h e i r o w n m e a n i n g s . O n t h e i n s i d e , I w a s c h u r n i n g w i t h q u e s t i o n s t h a t t r o u b l e d m e . I n t h i s l e s s o n , f o r e x a m p l e , w h i l e I a c c e p t e d a l l o f m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h e p r o b l e m s I p o s e d w i t h t h e M i n i c o m p u t e r , I w a s g r o w i n g q u i t e f r u s t r a t e d w i t h t h e s t u d e n t s w h o w e r e a b l e t o a n s w e r m y q u e s t i o n s w i t h o u t a t t e n d i n g t o t h e M i n i c o m p u t e r . D i d i t r e a l l y m a t t e r h o w t h e y f o u n d t h e a n s w e r s ? W a s a c c e p t i n g a l l o f t h e i r a n s w e r s a n d t h e i r m e a n s f o r c o m i n g u p w i t h t h e m t h e r i g h t t h i n g t o d o ? W a s n o t r e s p o n d i n g b e i n g i r r e s p o n s i b l e ? W h a t w a s t h e r e s p o n s i b l e t h i n g t o d o ? W a s i t a l r i g h t i f w h a t t h e y c a m e u p w i t h d i d n o t m a t c h w h a t w a s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? W h e n t h a t h a p p e n e d , w h a t w a s I s u p p o s e d t o d o ? H o w w a s I s u p p o s e d t o fi g u r e o u t w h a t t o d o n e x t ? I w a s b e g i n n i n g t o s e e t h a t i t w a s n e c e s s a r y f o r m e t o r e s p o n d t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t i n t h e m o m e n t . W h a t I n e e d e d t o l e a r n w a s h o w t o b e l i s t e n t o m y s t u d e n t s a n d b e r e s p o n s i v e t o t h e m a t h e m a t i c s i n t h e m o m e n t . 1 9 6 S u d n o w ( 1 9 7 8 ) w r i t e s o f l e a r n i n g a s i m i l a r k i n d o f m o m e n t t o m o m e n t r e s p o n s i v e n e s s i n t h e p l a y i n g o f i m p r o v i s a t i o n a l j a z z . F o r a l o n g w h i l e , I g u i d e d m y h a n d s t h r o u g h t h e t e r r a i n o f t h e k e y b o a r d b y m o v i n g m y f i n g e r s a l o n g t h e v a r i o u s r o u t e s a n d s c a l e s I h a d c o n c e i v e d . M y l o o k i n g , e v e n w h e n d i r e c t e d a t t h e k e y b o a r d a f t e r l o o k i n g w a s n o t e s p e c i a l l y n e c e s s a r y t o f o l l o w t h e p a t h s , w a s s o i n v o l v e d i n t h e s t y l e o f a c t i v i t y u n d e r w a y t h a t I d i d n ’ t s e e m y fi n g e r s ’ d o i n g s a s I n o w s e e t h e m . T h e d o i n g s w e r e d i f f e r e n t , a n d t h e l o o k i n g s , ’ i n s i d e o r o u t s i d e , ’ w e r e d i f f e r e n t , f o r t o g e t h e r t h e y w e r e p a r t o f a w a y o f p r o c e e d i n g o t h e r t h a n w h a t I d o n o w . I a m n o t u s i n g p a t h w a y s t o m a k e u p m e l o d i e s . N o w I fi n d p l a c e s t o o i n t h e c o u r s e o f g o i n g t o t h e m , e a c h p a r t i c u l a r n e x t p l a c e a t a t i m e , d o i n g i m p r o v i s a t i o n . ( p . x i i ) I f i m p r o v i s a t i o n 2 w a s t o c h a r a c t e r i z e m y t e a c h i n g , t h e n m y p l a n n i n g a l s o n e e d e d t o c h a n g e . I f o u n d t h a t t h e i n t e r a c t i o n s w e r e s u c h t h a t c o u l d n o t f o l l o w t h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e c l o s e l y d u r i n g c l a s s a n d t h e r e f o r e c o u l d n o t p l a n e v e r y t h i n g i n a d v a n c e . S o m e o f m y d e c i s i o n s f o r w h a t t o d o n e x t h a d t o w a i t u n t i l I w a s i n t h e s i t u a t i o n b e c a u s e t h e y w e r e t i e d t o t h e s e n s e m y s t u d e n t s w e r e m a k i n g o f t h e m a t h e m a t i c s . W h a t c o u l d I d o t o p r e p a r e m y s e l f t o r e s p o n d i n t h e s i t u a t i o n i n w a y s t h a t m a y o r m a y n o t c o i n c i d e w i t h w h a t i s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? A t t h e t i m e , m y w a y o f r e s p o n d i n g w a s t o a c c e p t e v e r y r e s p o n s e . I n c l a s s , I d i d n o t w a n t t o d o w h a t I h a d d o n e i n t h e p a s t w h i c h w a s t o s i m p l y e v a l u a t e s t u d e n t s ’ a n s w e r s a n d d e c l a r e t h e m a s e i t h e r r i g h t o r w r o n g . I w a s s e a r c h i n g f o r o t h e r w a y s t o t h i n k a b o u t a n d r e s p o n d t o s t u d e n t s ’ c o m m e n t s . B u t I w a s b e g i n n i n g t o f e e l t h a t m a t h n e e d e d t o b e m o r e t h a n j u s t a t i m e t o s h a r e i d e a s . I w a s a t e a c h e r . I h a d t h i n g s t h a t I h a d p l a n n e d t o t e a c h a n d I s t r u g g l e d t o fi g u r e o u t a w a y t o i m p l e m e n t m y p l a n s . I t r i e d t o t h i n k o f m y s t u d e n t s a s s e n s e - 2 M a r v i n H o f f m a n , a n e d u c a t o r w h o h a s a l s o d r a w n a n a n a l o g y b e t w e e n t e a c h i n g a n d p l a y i n g j a z z ( 1 9 9 2 ) , d e s c r i b e s t h e k e y e l e m e n t i n t e a c h i n g ” t h a t fi n a l , i r r e d u c i b l e e l e m e n t i n g o o d t e a c h i n g - s o u l ” ( p . 6 ) . 1 9 7 m a k e r s , b o t h i n t e r m s o f w h a t t h e y s a i d t o m e a n d h o w I r e s p o n d e d t o t h e m . H o w c o u l d I s h o w r e s p e c t f o r t h e m a n d t h e i r i d e a s a n d a t t h e s a m e t i m e f u l f i l l m y r e s p o n s i b i l i t i e s a s t h e t e a c h e r w h o k n o w s t h i n g s I w a n t e d t h e m t o l e a r n ? I f o u n d m y s e l f w o r r y i n g m u c h o f t h e t i m e a b o u t m y r e s p o n s i b i l i t i e s a n d q u e s t i o n i n g w h a t m y r o l e o u g h t t o b e o n a d a i l y b a s i s . V a g t h ' g t h e s e r i p t . M y i n i t i a l i d e a s a b o u t w h a t I t h o u g h t I n e e d e d t o d o t o c h a n g e m y t e a c h i n g i n fl u e n c e d t h e w a y I m a d e u s e o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e t e a c h e r q u e s t i o n s i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e s e r v e d a s s t a r t i n g p o i n t s f o r m e . B u t i f I w a n t e d t o b e r e s p o n s i v e t o w h a t m y s t u d e n t s w e r e s a y i n g , b e y o n d a n a c k n o w l e d g m e n t o f t h e i r a n s w e r s a s r i g h t o r w r o n g , i t l o o k e d l i k e I w a s o n m y o w n t o f i g u r e o u t w h a t t o d o . I h a d a l r e a d y b e g u n t o f e e l t h e l i m i t s o f a p r e d e t e r m i n e d s c r i p t e d d i a l o g u e a n d s t a r t e d d o i n g t h i n g s t o ” fi l l i n ” b e t w e e n t h e q u e s t i o n s t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n d i c a t e d t h a t I s h o u l d a s k i n h o p e s o f i n i t i a t i n g a d i s c u s s i o n . I f o u n d t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t o b e o f l i t t l e h e l p b e y o n d t h e fi r s t q u e s t i o n i n m y a t t e m p t s t o g e n e r a t e a c o n v e r s a t i o n a b o u t m a t h e m a t i c a l i d e a s . I n t h e t w o t a b l e s t h a t f o l l o w , a n e x c e r p t f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i s i n t h e f i r s t c o l u m n a n d c o m p a r e d i n t h e s e c o n d c o l u m n t o e x c e r p t s f r o m t h e l e s s o n t r a n s c r i p t r e p r e s e n t i n g t h e i n t e r a c t i o n t h a t o c c u r r e d b e t w e e n m y s e l f a n d m y s t u d e n t s . I u s e t h e s e t a b l e s t o a n a l y z e m y r o l e i n t h e t u r n s i n v o l v e d i n ” d o i n g o n e . ” ” D o i n g o n e ” i n c l u d e d e s t a b l i s h i n g a p a r t i c u l a r n u m b e r o n t h e M i n i c o m p u t e r a n d t h e n m u l t i p l y i n g i t b y 2 o r 3 . T h e t w o e x c h a n g e s t h a t a r e e x a m i n e d h e r e , o c c u r r e d p r i o r t o t h e m o m e n t M a g g i e n o t i c e d . M y w o r d s a r e i n i t a l i c s i n t h e t r a n s c r i p t t h a t f o l l o w s . T h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e r e p r e s e n t s t h e t y p i c a l w a y t h e c l a s s c o u l d g o w h i l e t h e t r a n s c r i p t r e p r e s e n t s w h a t a c t u a l l y h a p p e n e d . T h e y a r e t w o d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s o n r o l e . G o f f m a n ( 1 9 6 1 ) a d d r e s s e s t h e s e d i f f e r e n c e s . 1 9 8 R o l e m a y n o w b e d e fi n e d . . . a s t h e t y p i c a l r e s p o n s e o f i n d i v i d u a l s i n a p a r t i c u l a r p o s i t i o n . T y p i c a l r o l e m u s t o f c o u r s e b e d i s t i n g u i s h e d f r o m t h e a c t u a l r o l e p e r f o r m a n c e o f a c o n c r e t e i n d i v i d u a l i n a g i v e n p o s i t i o n . B e t w e e n t y p i c a l r e s p o n s e a n d a c t u a l r e s p o n s e w e c a n u s u a l l y e x p e c t s o m e d i f f e r e n c e , i f o n l y b e c a u s e t h e p o s i t i o n o f a n i n d i v i d u a l , i n t h e t e r m s n o w u s e d , w i l l d e p e n d s o m e w h a t o n t h e v a r y i n g f a c t o f h o w h e p e r c e i v e s a n d d e fi n e s h i s s i t u a t i o n ” ( p . 9 2 ) . W h a t d o t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d t h e a c t u a l d i s c o u r s e s h o w ? W h a t s o r t o f ” f i l l - i n ” w a s I d o i n g ? W h a t w a s m y i n t e r a c t i o n w i t h t h e s t u d e n t s l i k e d u r i n g t h i s l e s s o n p r i o r t o t h e m o m e n t M a g g i e n o t i c e d ? W h a t s o r t s o f q u e s t i o n s d i d I a s k ? H o w d i d s t u d e n t s r e s p o n d ? W h a t d i d I d o w i t h t h e i r r e s p o n s e s ? H o w d i d t h i s v a r y f r o m w h a t w a s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? W h a t d o e s t h i s s a y a b o u t t h e u s e f u l n e s s o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n m y t e a c h i n g o f t h i s p a r t i c u l a r l e s s o n a n d t h i s k i n d o f t e a c h i n g i n g e n e r a l ? M o m m a C S M P s c r i p t L e s s o n t r a n s c r i p t ( 0 9 / 2 1 1 8 9 ) C l e a r t h e M i n i c o m p u t e r a n d p u t o n M s . H e a t o n : U m , l e t ' 5 d o a n o t h e r o n e h e r e . t h i s c o n f i g u r a t i o n . ( 3 5 ) W h a t n u m b e r i s t h a t ? S i p h o ? . S i p h o : 3 7 . T f ‘ W h a t n u m b e r 1 5 o n t h e M s . H e a t o n : H o w d o y o u k n o w t h a t ? m i n i c o m p u t e r ? S i p h o : N o w a i t , 3 5 . S . 3 5 M s . H e a t o n : H o w d o y o u k n o w t h a t ? ' S i p h o : B e c a u s e t h e r e a r e 2 c h e c k e r s o n t h e t e n s b o a r d . O n e o f t h e m o n t h e 2 a n d t h e o t h e r i s o n t h e 1 . O n e p l u s 2 e q u a l s 3 a n d o n t h e o n e s b o a r d y o u h a v e 4 a n d t h e r e i s a n o t h e r c h e c k e r o n t h e 1 . F o u r p l u s 1 e q u a l s 5 . F i g u r e 5 . 1 T h e fi r s t e x c h a n g e : T h e C S M P s c r i p t c o m p a r e d t o t h e l e s s o n t r a n s c r i p t 1 9 9 A s d i r e c t e d b y t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , I a r r a n g e d t h e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . T h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a s s u m e d t h a t s t u d e n t s w o u l d c o r r e c t l y i d e n t i f y t h e n u m b e r r e p r e s e n t e d b y c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . T h e r e w e r e n o a l t e r n a t i v e s p r e s e n t e d , l i k e , f o r e x a m p l e , w h a t t o d o i f s o m e o n e g a v e a w r o n g a n s w e r . N o m a t t e r h o w a s t u d e n t i n m y c l a s s r e s p o n d e d t o t h e i n i t i a l q u e s t i o n , r i g h t o r w r o n g , I a s k e d t h e f o l l o w u p q u e s t i o n , ’ H o w d o y o u k n o w t h a t ? ’ T h i s w a s a q u e s t i o n n o t f o u n d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d g a v e m e s o m e i n s i g h t i n t o h o w m y s t u d e n t s m a d e s e n s e o f w h a t t h e y w e r e d o i n g . I n t h e fi r s t i n s t a n c e a b o v e , t h e a l t e r n a t i v e w o u l d h a v e b e e n t o t e l l S i p h o h e h a d t h e w r o n g a n s w e r . I n s t e a d , i n t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e , i t i s p o s s i b l e t h a t m y q u e s t i o n g a v e h i m a m o m e n t t o t h i n k a n d t h e s p a c e t o r e v i s e h i s a n s w e r . A s k i n g h i m a s e c o n d t i m e h o w h e k n e w w a s a w a y t o s e e w h a t h e u n d e r s t o o d a b o u t t h e a n s w e r h e g a v e . H e h a d a w a y o f e x p l a i n i n g w h y t h e a n s w e r w a s 3 5 . I n g e n e r a l , d u r i n g t h e i n i t i a t i o n o f a n e w n u m b e r o r p r o b l e m o n t h e M i n i c o m p u t e r , I w a s f a i r l y c e r t a i n a b o u t m y r o l e . I a s k e d s t u d e n t s h o w t h e y k n e w i n r e s p o n s e t o w h a t e v e r i t w a s t h a t t h e y s a i d . T h i s w a s t r u e i n m o s t p r e v i o u s l e s s o n s w i t h r e g a r d t o a s k i n g a n y o f t h e q u e s t i o n s t h e C S M P g u i d e o f f e r e d m e . T h i s i s , h o w e v e r , w h e r e t h e t u r n e n d e d b e c a u s e I w a s n o t s u r e h o w t o f o l l o w u p o n t h e i r r e s p o n s e s . I c o u l d a s k t h e q u e s t i o n s , l i s t e n t o t h e i r r e s p o n s e s a n d p u s h t h e m t o e l a b o r a t e , b u t fi g u r i n g o u t w h a t t o d o w i t h t h e i r r e s p o n s e s b e y o n d t h a t w a s a c o n t i n u a l c h a l l e n g e . W a s i t e n o u g h t o h e a r h o w t h e y u n d e r s t o o d t h e i r o w n a n s w e r s ? W e r e t h e r e t h i n g s I s h o u l d b e d o i n g t o f o l l o w u p o n t h e i r r e s p o n s e s t o p u s h t h e i r t h i n k i n g ? I h e s e g t m d fl g h m g e . O n c e t h e n u m b e r w a s e s t a b l i s h e d , I a s k e d s t u d e n t s t o d o u b l e i t o r m u l t i p l y i t b y 3 . I n t h e e x c h a n g e t h a t f o l l o w s , I a s k e d s t u d e n t s t o m u l t i p l y 3 5 b y 3 . C S M P S c r i p t T : W h o c a n a d d s o m e c h e c k e r s s o t h a t 3 x 3 5 i s o n t h e M i n i c o m p u t e r ? 2 0 0 L e s s o n t r a n s c r i p t ( 0 9 / 2 1 / 8 9 ) M s . H e a t o n : J a m i l i a : M s . H e a t o n : B o b : M s . H e a t o n : J e n n i f e r : M s . H e a t o n : J e n n i f e r : M s . H e a t o n : J e n n i f e r : M s . H e a t o n : R o n : M s . H e a t o n : R o n : M s . H e a t o n : R o n : M s . H e a t o n : F i g u r e 5 . 2 O . K . , w h a t i f I w a n t t o s h o w n o w , t h r e e t i m e s ? C a n s o m e o n e s h o w m e t h a t o n t h e m i n i c o m p u t e r ? J a m i l i a ? [ J a m i l i a a r r a n g e s c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . ] O . K . , c a n y o u t e l l m e , - - u s w h y t h a t i s t h r e e t i m e s 3 5 ? C a n y o u e x p l a i n w h a t y o u d i d ? C a n s o m e o n e h e l p h e r o u t ? D o y o u a g r e e w i t h t h a t ? D o y o u d i s a g r e e ? W h a t d o y o u t h i n k ? B o b ? I a g r e e b e c a u s e s e e 3 5 t i m e s 3 i s j u s t l i k e 3 3 5 ’ s . I t i s s o r t o f l i k e , i t i s t r i p l e d . O k a y , w h a t d o p e o p l e t h i n k a b o u t t h a t ? J e n n i f e r ? I k n o w h o w m u c h i t i s . A n d w h a t i s i t ? 1 0 5 H o w d o y o u k n o w t h a t ? B e c a u s e I d i d i t i n m y h e a d a g a i n . I d i d 3 5 p l u s 3 5 p l u s 3 5 a n d t h e n I w e n t 5 p l u s 5 p l u s 5 i s 1 5 , p u t d o w n 5 c a r r y t h e 1 0 . 3 0 p l u s 3 0 , p l u s 3 0 e q u a l s 9 0 a n d I w o u l d a d d m o r e 1 m o r e 1 0 a n d t h a t ' s 1 0 0 . O K . a n d w h a t i f I w a n t t o s h o w t h a t n o w o n t h e m i n i c o m p u t e r , 1 0 5 t i m e s t w o ? R o n ? 2 1 0 H o w d o y o u k n o w t h a t ? T w o t i m e s 1 0 5 e q u a l s , c a n I s h o w i t ? S u r e . Y o u c a n d o b o t h . Y o u c a n s h o w u s a n d t e l l u s . 1 0 0 p l u s 1 0 0 i s 2 0 0 a n d t h e n p l u s 5 a n d 5 i s t e n . D o y o u w a n t t o s h o w u s w i t h t h i s o n t h e M i n i c o m p u t e r a w a y y o u c a n m u l t i p l y b y 2 ? T h e s e c o n d e x c h a n g e : T h e C S M P s c r i p t c o m p a r e d t o t h e l e s s o n t r a n s c r i p t 2 0 1 T h e n e x t t h i n g t o a p p e a r i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a f t e r w h a t y o u s e e i n t h e fi r s t c o l u m n w a s a M i n i c o m p u t e r w i t h 3 x 3 5 n e a t l y a r r a n g e d o n i t f o l l o w e d b y a n e w p r o b l e m . T h e r e w e r e a s s u m p t i o n s e m b e d d e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t s t u d e n t s w o u l d k n o w h o w t o a r r a n g e t h e c h e c k e r s . T h e r e w a s a n o t e a b o u t a l t e r n a t i v e w a y s o f a r r a n g i n g c h e c k e r s . B u t , t h e r e w a s n o e x p l a n a t i o n a s t o w h y o n e w a y w a s p r e f e r r e d o v e r o t h e r s o r w h a t t o d o i f t h e p r e f e r r e d w a y w a s n o t w h a t a s t u d e n t o f f e r e d . T h e s c r i p t i n t h e C S M P g u i d e a s s u m e s t h a t w h a t i s b e i n g a s k e d o f s t u d e n t s i s a m a t h e m a t i c a l t a s k . W h a t t h e t r a n s c r i p t r e c o g n i z e s i s t h e c o g n i t i v e c o m p l e x i t y o f t h e t a s k . M y s t u d e n t s k n e w b y t h e t i m e o f t h i s l e s s o n t h a t I a c c e p t e d a l l w a y s t h e y t h o u g h t a b o u t t h e a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n s I a s k e d . L o o k i n g b a c k , I S e e t h a t m y s t u d e n t s r e s p o n d e d t o m y r e q u e s t t o s h o w 3 x 3 5 o r o n e - s t e p m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s i n o n e o f 3 w a y s . T h e y k n e w t h a t I a c c e p t e d m o r e t h a n o n e w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m a n d t h e y v o l u n t e e r e d , r e g a r d l e s s o f h o w t h e fi r s t I I p e r s o n r e s p o n d e d , w i t h ” I h a v e a n o t h e r w a y . T h i s v a l u i n g o f ” o t h e r w a y s ” i s s o m e t h i n g I h a d b e e n t r y i n g t o e n c o u r a g e f r o m t h e s t a r t o f t h e s c h o o l y e a r . I t i s a l s o s o m e t h i n g t h a t m a n y o f m y s t u d e n t s e x p e r i e n c e d i n t h e i r m a t h c l a s s t h e y e a r b e f o r e . 2 0 2 W h a t a S t u d e n t D i d W h a t I D i d 1 ) A s t u d e n t g a v e m e t h e t o t a l o r t h e 1 ) I a s k e d , ” C a n y o u t e l l u s h o w y o u a n s w e r t o t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m . fi g u r e d i t o u t ? ” 2 ) A s t u d e n t s h o w e d t h e t o t a l o r t h e 2 ) I a s k e d , a s t h e c h e c k e r s w e r e p l a c e d a n s w e r t o t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m o n t h e M i n i c o m p u t e r , ” C o u l d y o u t e l l o n t h e M i n i c o m p u t e r . u s w h a t y o u a r e d o i n g a s y o u d o i t ? ” 3 ) A s t u d e n t r e p e a t e d t h e p a t t e r n o f 3 ) I h o v e r e d o v e r t h e i r s h o u l d e r a n d c h e c k e r s o f t h e n u m b e r w e s t a r t e d h e l p e d t h e m t o a r r a n g e t h e c h e c k e r s t o w i t h e i t h e r t w i c e o r t h r e e t i m e s o n t h e c r e a t e a n d m a i n t a i n a p a t t e r n . T h i s M i n i c o m p u t e r , d e p e n d i n g o n w h e t h e r t u r n t o o k m u c h l o n g e r t h a n t h e o t h e r s . a n u m b e r w a s m u l t i p l i e d b y 2 o r 3 . F i g u r e 5 . 3 A p r e d i c t a b l e s e t o f m y r e s p o n s e s t o s t u d e n t s T h e l i s t o f w a y s I c o u l d r e s p o n d g r e w a s t h e v a r i a n c e i n m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s i n c r e a s e d . O n c e w e e x h a u s t e d t h e s t u d e n t s ’ a l t e r n a t i v e s f o r t h i n k i n g a b o u t a p a r t i c u l a r p r o b l e m , I s a i d , ” L e t ’ s d o a n o t h e r o n e ” a n d t h e p a t t e r n o f e x c h a n g e w o u l d r e p e a t i t s e l f . M y i n n e r r e s t l e s s n e s s w i t h s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s c o n t i n u e d . I t e n d e d t o r e m a i n s i l e n t a s s t u d e n t s o f f e r e d t h e i r i n d i v i d u a l w a y s f o r t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m . I d i d n o t k n o w w h a t e l s e t o d o . W h e n I s t a r t e d t h e s c h o o l y e a r , a s k i n g q u e s t i o n s a n d l i s t e n i n g t o s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s h a d b e e n fi n e . I w a s t h r i l l e d t o h a v e s t u d e n t s d o i n g m u c h o f t h e t a l k i n g . B u t a s t i m e w e n t o n , I h a d b e g u n t o f e e l l i k e I o u g h t t o b e d o i n g s o m e t h i n g w i t h t h e i r r e s p o n s e s . I n e e d e d t o e x p a n d m y r o l e a n d i t w a s b e c o m i n g c l e a r e r t o m e t h a t t h e C S l V fl ’ t e a c h e r ’ s g u i d e w a s g o i n g t o b e o f l i m i t e d a s s i s t a n c e . T h e v a r i o u s w a y s I c r e a t e d t o r e s p o n d t o s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s i n F i g u r e 5 . 3 a b o v e c o u l d b e t h o u g h t o f a s a f o r m o f i m p r o v i s a t i o n . ” T h e u s e o f f o r m u l a e - l i k e c h o r d s e q u e n c e s m a y o f t e n s i m p l y b e a w a y o f f a c i l i t a t i n g m a x i m a l l y r e l a x e d 2 0 3 i m p r o v i s i n g ” ( D e a n , 1 9 8 9 , p . 8 9 ) . W h i l e I d i d n o t t h i n k o f t h e s e a s f o r m u l a s f o r i m p r o v i s i n g m y a c t i o n s a t t h e t i m e , I c a n n o w s e e h o w t h e s e r o u t i n e s , n o t f o u n d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , c o u l d b e i n t e r p r e t e d t h a t w a y . I m u s t e m p h a s i z e o c c a s i o n a n d t h e s i t u a t i o n i n w h i c h a n i m p r o v i s a t i o n o c c u r s , b e c a u s e t h e s o c i a l s e t t i n g o f a n i m p r o v i s a t i o n w i l l u s u a l l y t e l l u s t h e k i n d o f m u s i c t h a t n e e d s t o b e i m p r o v i s e d . ( M a c k , 1 9 7 0 , p r e f a c e ) F o r e x a m p l e , i n t h e fi r s t e x c h a n g e , n o m a t t e r w h a t s o m e o n e s a i d , I a s k e d , ” H o w d o y o u k n o w t h a t ? ” I n t h e s e c o n d e x c h a n g e , I c o n s t r u c t e d a n i f - t h e n s y s t e m , i f a s t u d e n t d o e s t h i s , t h e n I d o t h i s . E v e n w i t h t h e s e f o r m u l a s , I f o u n d m y s e l f g e t t i n g l e s s c e r t a i n o f m y r o l e . I f I f o l l o w u p o n w h a t e v e r s o m e o n e s a y s w i t h t h e q u e s t i o n , ” H o w d o y o u k n o w t h a t ? ” t h e n w h a t d o I d o ? I r e a l i z e d t h a t I c o u l d n o t a n t i c i p a t e a l l o f t h e p o s s i b l e c l a s s r o o m s c e n a r i o s i n a d v a n c e a n d e v e n i f I c o u l d , t r y i n g t o h o l d a l l o f t h e p o s s i b l e w a y s t o r e s p o n d i n m y h e a d w o u l d b e u n r e a l i s t i c . I w a s l e a r n i n g t h a t t h e r e w a s a n e e d f o r m e t o r e s p o n d a n d d e c i s i o n s a b o u t h o w t o r e s p o n d h a d t o h a p p e n o n c e I w a s i n t h e s i t u a t i o n . T h e d e e p e r I g o t i n t o t h e t e a c h i n g , t h e l e s s c e r t a i n I b e c a m e o f m y r o l e . I f o u n d m y s e l f l e s s d e p e n d e n t o n t h e C S M P g u i d e a n d m o r e d e p e n d e n t o n m y s e l f t o f i g u r e o u t w h a t t o d o n e x t . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e w a s a s t a r t i n g p o i n t a n d b e t w e e n t h e g u i d e a n d m y e x p e r i e n c e s I c o u l d g e t t h r o u g h t h e fi r s t f e w m o v e s a n d b e f a i r l y c e r t a i n o f t h e m a h e a d o f t i m e . F u r t h e r t h a n t h a t , i t w a s h a r d t o p r e d i c t w h a t s i t u a t i o n s m i g h t a r i s e a n d e v e n h a r d e r t o d e c i d e a h e a d o f t i m e w h a t t o d o n e x t . T h e s i t u a t i o n s a n d d e c i s i o n s a b o u t m y n e x t m o v e s w e r e g e t t i n g m o r e c o m p l e x . A t t h e t i m e , I w r o t e i n m y j o u r n a l ( 0 9 / 2 1 / 8 9 ) , ” S o m e h o w I t h o u g h t f o l l o w i n g C S M P w a s g o i n g t o h e l p m e i n a l l o f t h i s . N o w , I a m b e g i n n i n g t o q u e s t i o n w h a t i t m e a n s t o f o l l o w a b o o k i n t h i s k i n d o f t e a c h i n g . ” 2 0 4 H a r i n i n h a t n x . W h a t h a p p e n e d i n m y i n t e r a c t i o n s w i t h A r i f ? I n w h a t w a y s w e r e t h e y l i k e w h a t h a d b e e n h a p p e n i n g i n t h e s e t w o e x c h a n g e s ? I n w h a t w a y s w e r e t h e y d i f f e r e n t ? T h i s w a s a n e w s i t u a t i o n . I t w a s t h e f i r s t t i m e I a s k e d a q u e s t i o n a b o u t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n . W h e n I a s k e d h o w t o d o u b l e 3 x 3 5 , t h e fi r s t s t u d e n t t o r e s p o n d g a v e t h e t o t a l , 2 1 0 . T h i s w a s l i k e w h a t s t u d e n t s h a d d o n e o n e a r l i e r p r o b l e m s . T h e s o l u t i o n w a s f o u n d b y d o i n g a n e a s y m e n t a l a d d i t i o n p r o b l e m o f 1 0 5 p l u s 1 0 5 . R o n o f f e r e d t o s h o w t h e s o l u t i o n o n t h e M i n i c o m p u t e r . H e c l e a r e d t h e c h e c k e r s t h a t h a d b e e n s h o w i n g 3 x 3 5 f r o m t h e b o a r d a n d s t a r t e d a g a i n . H e p u t u p t h e t o t a l o f 2 1 0 w i t h t h e f e w e s t c h e c k e r s p o s s i b l e . T h i s , t o o , w a s l i k e w h a t s t u d e n t s h a d d o n e o n e a r l i e r p r o b l e m s a n d a s h a d b e e n t h e c a s e , s t u d e n t s w a n t e d t o o f f e r o t h e r w a y s o f t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m . A r i f s a i d h e h a d a n o t h e r w a y t o s h o w t h e t o t a l o n t h e M i n i c o m p u t e r . S i n c e , R o n h a d a l r e a d y p u t u p t h e t o t a l , I a s s u m e d t h a t A r i f w a s g o i n g t o s h o w t h e ” o t h e r w a y ” o f r e p r e s e n t i n g i t o n t h e M i n i c o m p u t e r w h i c h e n t a i l e d r e p e a t i n g t h e p a t t e r n o f c h e c k e r s f o r 3 5 , 6 t i m e s . A r i f w e n t t o t h e M i n i c o m p u t e r a n d s t a r t e d r e a r r a n g i n g c h e c k e r s . H e h a d d i f fi c u l t y t r y i n g t o s h o w w h a t h e w a n t e d . W i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e o p e n b e f o r e m e , I c o u l d s e e t h a t a r r a n g i n g 6 x 3 5 r e q u i r e d l o t s o f c h e c k e r s a n d p a t i e n c e . I h a d p r o m p t e d s t u d e n t s t o a r r a n g e t h e c h e c k e r s i n p a t t e r n s o n p r e v i o u s p r o b l e m s . G i v e n t h e n u m b e r o f c h e c k e r s a n d t h e p a t t e r n n e e d e d t o s h o w 2 x ( 3 x 3 5 ) , i t w o u l d n o t b e t o o e a s y t o p r o m p t h i m w i t h o u t s o m e s e n s e o f h i s u n d e r s t a n d i n g o f w h a t i t w a s h e w a s t o t r y t o r e p r e s e n t . A r i f b e c a m e c o n f u s e d . A t t h e t i m e , I f e l t l i k e I c o u l d u n d e r s t a n d h i s c o n f u s i o n o n s e v e r a l l e v e l s . F i r s t o f a l l , I c o u l d s e e w h y h e m i g h t fi n d i t d i f fi c u l t t o k e e p t r a c k o f a l l o f t h e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . I f h e w e r e t o g e t a l l o f 2 0 5 t h e c h e c k e r s i n t h e r i g h t p l a c e f o r 6 x 3 5 , w h a t h e w a s a i m i n g f o r c a n b e s e e n i n F i g u r e 5 . 4 — w h i c h w a s a t l e a s t t w i c e a s m a n y c h e c k e r s a s w e h a d d e a l t w i t h i n t h e p a s t . 2 x ( 3 x 3 5 ) F i g u r e 5 . 4 A M i n i c o m p u t e r r e p r e s e n t i n g 2 x ( 3 x 3 5 ) A n d , b e c a u s e R o n h a d t a k e n o f f a l l o f t h e c h e c k e r s a n d p u t u p t h e t o t a l , A r i f h a d t o s t a r t w i t h a n e m p t y M i n i c o m p u t e r w i t h o u t a t e a c h e r ’ s g u i d e t o s h o w h i m t h e w a y . I c o u l d a l s o u n d e r s t a n d h i s c o n f u s i o n w i t h t h e p r o b l e m o f d o i n g 3 x 3 5 a n d t h e n d o u b l i n g t h a t . I h a d b e e n c a u g h t o f f g u a r d b y t h e t a s k , m y s e l f , w h e n I p l a n n e d t h i s l e s s o n . W i t h o u t m u c h t h o u g h t , I h a d a s s u m e d t h e c o m p o s i t i o n o f t h e s e t w o f u n c t i o n s r e s u l t e d i n 5 g r o u p s o f 3 5 , n o t 6 . W i t h e m p a t h y f o r h i s c o n f u s i o n , I a s k e d h i m i f h e c o u l d t a l k a b o u t w h y h e w a s f e e l i n g c o n f u s e d . H e s a i d , ” B e c a u s e o v e r h e r e w e a d d e d 3 o f t h e m a n d w e g o t 1 0 5 a n d I t h o u g h t o v e r h e r e w e w e r e s u p p o s e d t o a d d 2 m o r e o f t h e m . ” I t o o k t h i s t o m e a n t h a t A r i f u n d e r s t o o d ” d o u b l i n g 3 x 3 5 " t o b e a d d i n g o n 2 m o r e 3 5 ’ s . I k n e w t h i s w a s n o t t h e s o l u t i o n . D o i n g w h a t A r i f s u g g e s t e d w o u l d r e s u l t i n 5 3 5 ’ s n o t 6 3 5 ’ s . H o w c o u l d I h e l p h i m s e e t h e c o r r e c t s o l u t i o n ? 2 0 6 I t r i e d t o p u s h h i s t h i n k i n g w i t h a q u e s t i o n u - a q u e s t i o n s p e c i fi c t o t h i s s i t u a t i o n — t h a t i f A r i f t r i e d t o a n s w e r m i g h t l e a d h i m t o s e e w h a t I t h o u g h t h e n e e d e d t o l e a r n . I a s k e d , ” D o e s t h a t s i g n t e l l y o u t o a d d , w h a t a r e y o u d o i n g ? ” L o o k i n g a t m y q u e s t i o n f r o m m y p e r s p e c t i v e n o w , i t i s a s i f I t h o u g h t t h e d i f fi c u l t y w a s i n h i s l i t e r a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e m u l t i p l i c a t i o n s i g n . I n a s e n s e , I w a s a s k i n g , w h y a r e y o u a d d i n g w h e n i t s a y s t o m u l t i p l y ? I d o n o t t h i n k t h i s w a s t h e d i f fi c u l t y . I w a s f u m b l i n g f o r a q u e s t i o n t o a s k t o p u s h h i s t h i n k i n g . I t h i n k t h e d i f fi c u l t y h e f a c e d h a d t o d o w i t h h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n . P e r h a p s t h e q u e s t i o n t o b e a s k i n g h e r e w a s w h a t w a s b e i n g d o u b l e d ? T h e a n s w e r t o t h a t q u e s t i o n i s w h a t A r i f n e e d e d t o s e e . I c o n t i n u e d b y a s k i n g i f a n y o n e h a d t h o u g h t s f o r A r i f o n t h e d i f fi c u l t y h e w a s h a v i n g . T h i s w a s a w a y t o b u y m y s e l f s o m e t i m e a n d s e e i f o t h e r s t u d e n t s c o u l d h e l p p u s h h i s t h i n k i n g i n w a y s I f e l t I h a d f a i l e d t o d o . B o b s a i d h e h a d a w a y h e c o u l d m a k e i t e a s i e r f o r A r i f , a w a y f o r h i m t o n o t p u t a l l o f t h o s e c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . I c o u l d s e e t h a t B o b , l i k e R o n , w a s p r o b a b l y a i m i n g f o r t h e f e w e s t n u m b e r o f c h e c k e r s o n t h e M i n i c o m p u t e r . I k n e w t h i s m o v e w a s n o t g o i n g t o t a k e u s w h e r e I w a n t e d t o g o . I t w o u l d n o t h e l p A r i f a n d o t h e r s s e e w h a t I w a n t e d t h e m t o s e e - t h e n u m b e r o f g r o u p s . I c o u l d s e e n o w a y a r o u n d s e t t i n g u p t h e M i n i c o m p u t e r w i t h a l l o f t h o s e c h e c k e r s . I t h o u g h t s e e i n g t h e g r o u p s o n t h e M i n i c o m p u t e r w o u l d c l e a r u p A r i f ’ s c o n f u s i o n . I d e c i d e d t h a t I w a s n o t g o i n g t o l e a v e t h i s u p t o a n o t h e r s t u d e n t . I n s t e a d , I i n t e r r u p t e d B o b a n d s a i d , ” I w a n t t o s h o w y o u s o m e t h i n g . ” I p r o c e e d e d t o p u t b a c k a l l o f t h e c h e c k e r s , m y s e l f , s h o w i n g s t u d e n t s , s t e p b y s t e p , h o w w h a t I w a s d o i n g w i t h t h e c h e c k e r s r e l a t e d t o t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m I p o s e d . T h i s d e c l a r a t i v e m o v e b y m e w a s i n s t a r k c o n t r a s t t o w h a t I h a d b e e n d o i n g e a r l i e r t h i s d a y a n d d u r i n g t h e t h r e e w e e k s p r i o r t o t h i s l e s s o n . I h a d b e e n 2 0 7 d o i n g n o t h i n g b u t a s k i n g q u e s t i o n s a n d r e m a i n i n g s i l e n t w h e n s t u d e n t s r e s p o n d e d . F o r t h e fi r s t t i m e , I f e l t l i k e I h a d a w a y t o r e s p o n d t o a r e s p o n s e a s t u d e n t m a d e t o m y q u e s t i o n f o r w h i c h I h a d n o t p l a n n e d . H o w h a d m y b r u s h w i t h t h e p r o b l e m w h e n I w a s p l a n n i n g t h e l e s s o n h e l p e d m e u n d e r s t a n d A r i f ’ s d i f fi c u l t i e s ? I n t h e s i t u a t i o n , I h a d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i s s u e o n t h e t a b l e , t h e s e n s e s t u d e n t s w e r e m a k i n g o f i t , a n d I h a d a w a y t o s h o w s t u d e n t s w h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n . I w a s j o i n i n g i n t h e d o i n g o f m a t h e m a t i c s w i t h m y s t u d e n t s i n w a y s t h a t I h a d n o t d o n e b e f o r e . I w a s n o w i n t h e s i t u a t i o n a s a m o r e k n o w l e d g e a b l e o t h e r i n a w a y u n l i k e I h a d b e e n i n t h e p a s t . I h a d s o m e t h i n g t o c o n t r i b u t e t o t h e d i s c u s s i o n . R a t h e r t h a n c o n t i n u i n g a s a s i l e n t b y s t a n d e r , I w a s n o w e n g a g e d w i t h m y s t u d e n t s , r e s p o n d i n g t o q u e s t i o n s a s w e l l a s a s k i n g t h e m . f l f e a e h i n g e s t e l l i n g . A s I l o o k b a c k o n t h i s m o m e n t n o w , I fi n d i t i r o n i c t h a t t h e fi r s t m o m e n t I f e l t l i k e I w a s t e a c h i n g , I w a s t e l l i n g . T e l l i n g w a s a t e a c h e r m o v e I c o n s c i o u s l y d e l e t e d f r o m m y r e p e r t o i r e w h e n I s t a r t e d c h a n g i n g m y p r a c t i c e . I t f e l t l i k e a n i n t e g r a l p a r t o f m y p a s t t e a c h i n g t h a t n e e d e d t o b e o m i t t e d . I r e p l a c e d m y s t a t e m e n t s w i t h c o u n t l e s s q u e s t i o n s a n d l i s t e n e d t o s t u d e n t s ’ i d e a s b u t , t h e n w h a t ? I f e l t f r u s t r a t e d t h a t w e w e r e g o i n g n o w h e r e w i t h t h e i d e a s . I n t h i s m o m e n t , I l e a r n e d t h a t s h o w i n g o r t e l l i n g h a d a p l a c e i n t h i s t e a c h i n g , I c o u l d c h o o s e t o d o i t . E r i c k s o n ( 1 9 8 2 ) r e f e r s t o a b r e a k i n t h e r o u t i n e o f t e a c h e r - s t u d e n t i n t e r a c t i o n s u c h a s h a p p e n e d h e r e w h e n I a d d e d t e l l i n g t o m y o p t i o n s a s a n ” a d a p t a t i o n t o t h e e x i g e n c i e s o f t h e m o m e n t — a c t i o n s t h a t m a k e s e n s e w i t h i n a n a d e q u a t e l y s p e c i fi e d c o n t e x t ” ( p . 1 6 9 ) . T h e t e l l i n g I w a s d o i n g f e l t d i f f e r e n t f r o m t h e t e l l i n g I h a d d o n e i n t h e p a s t . H e r e , I w a s s h o w i n g a n d t e l l i n g m y s t u d e n t s s o m e t h i n g I k n e w a n d t h o u g h t w o u l d h e l p t h e m i n r e s p o n s e t o a s t u d e n t w h o h a d f o u n d t h e c o u r a g e t o a d m i t h e w a s c o n f u s e d . T h i s w a y o f b e i n g i n t h e s i t u a t i o n a s a t e l l e r f e l t d i f f e r e n t 2 0 8 t o m e t h a n m y r o l e a s a t e l l e r i n t h e p a s t . 3 I n t h i s s i t u a t i o n , I w a s t a k i n g i n t o a c c o u n t m y s t u d e n t s fi r s t a n d , o n t h a t b a s i s , m a k i n g a d e c i s i o n t o t e l l , f o l l o w e d b y a c h o i c e o f w h a t t o t e l l . I n t h i s i n s t a n c e , I h a d d i f f e r e n t i n t e n t i o n s f o r m y t e l l i n g ( O l s o n a n d A s t i n g t o n , 1 9 9 3 ) . T h e t e l l i n g I d i d i n t h i s s i t u a t i o n w a s d o n e f o r r e a s o n s o t h e r t h a n s t a n d i n g i n f r o n t o f a g r o u p s t u d e n t s a n d t e l l i n g t h e m w h a t t o d o o r w h a t t o l e a r n w i t h o u t a n y s e n s e o f h o w w h a t I w a s t e l l i n g c o n n e c t e d t o w h a t t h e s t u d e n t s d i d o r d i d n o t u n d e r s t a n d o r w h a t i t w a s I w a n t e d t h e m t o l e a r n . I n t h e t e a c h i n g s t a n d a r d s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 ) t h e r e i s a d i s c u s s i o n o f t h e t e a c h e r ’ s r o l e i n c l a s s r o o m d i s c o u r s e a n d t h e p l a c e o f t e l l i n g i s g i v e n a t t e n t i o n . B e y o n d a s k i n g c l a r i f y i n g o r p r o v o c a t i v e q u e s t i o n s , t e a c h e r s s h o u l d a l s o , a t t i m e s , p r o v i d e i n f o r m a t i o n a n d l e a d s t u d e n t s . D e c i s i o n s a b o u t w h e n t o l e t s t u d e n t s s t r u g g l e t o m a k e s e n s e o f a n i d e a o r a p r o b l e m w i t h o u t d i r e c t t e a c h e r i n p u t , w h e n t o a s k l e a d i n g q u e s t i o n s , a n d w h e n t o t e l l s t u d e n t s s o m e t h i n g d i r e c t l y a r e c r u c i a l t o o r c h e s t r a t i n g p r o d u c t i v e m a t h e m a t i c a l d i s c o u r s e i n t h e c l a s s r o o m . ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 , p . 3 6 ) H o w d o y o u d e c i d e w h e n t h e a p p r o p r i a t e r e s p o n s e i s t o t e l l ? A r e t h e r e o t h e r w a y s t o p u s h s t u d e n t s ’ t h i n k i n g ? I f s o , w h a t a r e t h e y ? A n d , h o w d o y o u d e c i d e t h e a p p r o p r i a t e n e s s o f o n e r e s p o n s e o v e r a n o t h e r i n a g i v e n m o m e n t ? A n o t h e r w a y t o i n t e r p r e t m y t e l l i n g i n t h a t m o m e n t o f t e a c h i n g i s t h a t i t m a r k e d m y e n t r a n c e i n t o t h e ” c o n v e r s a t i o n o f p r a c t i c e ” ( Y i n g e r , 1 9 8 8 , p . 7 4 ) . I n t e r a c t i o n i n t h e c o n t e x t o f i m p r o v i s a t i o n , Y i n g e r ( 1 9 8 8 ) w r i t e s , ” i s r e a c t i v e a n d r e s p o n s i v e ; t h o u g h t a n d a c t i o n a r e a d a p t e d t o t h e d y n a m i c s o f s o c i a l i n t e r a c t i o n a n d c o n v e r s a t i o n ” ( p . 8 7 ) , t h e r e f o r e , ” i n s t r u c t i o n a l c o n v e r s a t i o n s a n d t h e s t r a t e g y 3 T h e r e a r e o t h e r m a t h e d u c a t o r s c o n s i d e r i n g t h e r o l e o f t e l l i n g i n t e a c h i n g . T h e r e w a s a 1 9 9 3 N C T M r e s e a r c h p r e s e s s i o n , M a r c h 3 0 , 1 9 9 3 e n t i t l e d , T e l l i n g i n T e a c h i n g ? T h o u g h t s o n T e a c h e r T e l l i n g i n C o n s t r u c t i v i s t - I n fl u e n c e d T e a c h i n g . D a n i e l C h a z a n , D e b o r a h B a l l , P a u l C o b b , E r n a Y a c k e l , J e r e C o n f r e y , J o h n S m i t h , M a r c e l l a P e r l w i t z a n d R o b e r t D a v i s w e r e p r e s e n t e r s . 2 0 9 o f p a t t e r n s o f t e a c h i n g c a n b e d e s c r i b e d o n l y g e n e r a l l y ” ( p . 8 7 ) . I f t h i s i s s o , h o w d o y o u p l a n f o r t h e s e c o n v e r s a t i o n s ? C a n y o u p l a n ? S e v e r a l d a y s a f t e r t h i s l e s s o n ( 0 9 / 2 5 / 8 9 ) , I n o t e d i n m y j o u r n a l t h a t I w a s ” w r i t i n g m y p l a n s d i f f e r e n t l y - m a k i n g d e c i s i o n s . ” W h e n M a g g i e r e a d t h r o u g h m y j o u r n a l , n e x t t o t h i s c o m m e n t s h e w r o t e , ” N o t i n g t h e d i f f e r e n c e i n h o w y o u p l a n s e e m s c r u c i a l . ” W h y ? Y i n g e r ( 1 9 8 8 ) a r g u e s t h a t i f w e d r a w a n a n a l o g y b e t w e e n t e a c h i n g a n d i m p r o v i s a t i o n , t h e n w e n e e d t o c o n s i d e r p l a n n i n g a s p r e p a r a t i o n . P r e p a r a t i o n a c k n o w l e d g e s o u r l i m i t e d a b i l i t y t o p r e d i c t a n d t h e c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f l i f e . P r e p a r a t i o n e x p e c t s d i v e r s i t y , s u r p r i s e , t h e r a n d o m , a n d t h e w i l d . T o p r e p a r e i s t o g e t r e a d y , t o b e c o m e e q u i p p e d , a n d t o b e c o m e r e c e p t i v e . T h e f o c u s o f p r e p a r a t i o n i s o n o n e s e l f , n o t o n a f r a m e w o r k t o c o n s t r a i n p o s s i b i l i t y . I n a s e n s e , p r e p a r a t i o n e n l a r g e s t h e f u t u r e . ( p . 8 8 ) I t s e e m s t h a t M a g g i e w a s a l r e a d y a n t i c i p a t i n g c h a n g e s i n t h e n a t u r e o f m y p l a n n i n g g i v e n t h e n a t u r e o f t h e c h a n g e s h a p p e n i n g i n m y t e a c h i n g . 4 L e a r n i n g t e H e a r t h e S i g h i fi e a n e e Q f m e M e m e n t P r e p a r a t i o n f o r i m p r o v i s i n g j a z z m u s i c i n v o l v e s l e a r n i n g t o ” h e a r ” o r l i s t e n . M e h e g a n ( 1 9 5 9 ) w r o t e , T h e p r o b l e m o f d e v e l o p i n g t h e e a r f o r w h a t i s c a l l e d p r e h e a r i n g i s o f m a j o r i m p o r t a n c e i n p e r f o r m i n g j a z z . I t g o e s w i t h o u t s a y i n g t h a t t h e h e a r i n g d e m a n d s i n j a z z a r e e x t r e m e l y h i g h a n d n o e f f o r t s h o u l d b e s p a r e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e e a r . ( p . 2 0 0 ) P r e h e a r i n g m e a n s a m e m o r i z e d h e a r i n g - h e a r d i n a n t i c i p a t i o n o f t h e m o m e n t o f p l a y i n g . T h i s i s t h e i d e a l w e a l l s e e k a n d i s t h e r e a s o n w h y fi n e j a z z p l a y i n g i s a c h a l l e n g e b o t h t o p l a y a n d a p p r e c i a t e . ( p . 2 0 1 ) 4 L a t e r d u r i n g t h a t y e a r , I d i d a r e s e a r c h p r o j e c t f o r a c o u r s e t h a t l w a s t a k i n g . I s t u d i e d m y o w n p r a c t i c e a n d l o o k e d a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m y p l a n n i n g a n d t e a c h i n g ( H e a t o n , 1 9 9 1 ) . 2 1 0 I s t h e r e a w a y t h a t l e a m i n g t o h e a r c a n h e l p y o u i m p r o v i s e i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g ? F r o m m y e x p e r i e n c e w i t h p a t t e r n s i n t h e l a s t c h a p t e r , I w o u l d s a y t h a t l e a r n i n g t o h e a r i s c r i t i c a l a n d r e l a t e d t o h o w i t i s t h a t y o u d e c i d e h o w t o r e s p o n d . D u r i n g t h i s l e s s o n , I t h o u g h t I h e a r d A r i f a n d t h a t I h a d a s e n s e o f h i s d i f f i c u l t y w i t h t h e m a t h e m a t i c s . B a s e d o n w h a t I t h o u g h t I h e a r d f r o m h i m , w h a t I t h o u g h t I u n d e r s t o o d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s , a n d w h a t I w a n t e d h i m t o l e a r n , I r e s p o n d e d . F r o m t h e c h a p t e r o n p a t t e r n s , i t s e e m s t h a t n o t o n l y d o e s w h a t y o u k n o w a b o u t t h e m a t h e m a t i c s h e l p y o u t o r e s p o n d , b u t i t h e l p s y o u h e a r w h a t i t i s t h a t y o u n e e d t o r e s p o n d t o . I n m y a n a l y s i s o f p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s , t h r e e y e a r s l a t e r , I l e a r n e d t h i n g s t h a t h e l p e d m e t o h e a r V a l e r i e d i f f e r e n t l y . I n t h i s s e c t i o n I e x p l o r e s i m i l a r q u e s t i o n s . A r e t h e r e t h i n g s t h a t I n o w k n o w a b o u t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n t h a t w o u l d h a v e h e l p e d m e t o h e a r A r i f a n d h i s c l a s s m a t e s d i f f e r e n t l y a t t h e t i m e ? W h a t i s t h e s o r t o f h e a r i n g t h a t y o u n e e d t o d o m o m e n t t o m o m e n t i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? W h a t i s i t t h a t y o u c a n l e a r n t o h e l p y o u h e a r i n a n t i c i p a t i o n o f t h e m o m e n t ? H o w w o u l d s u c h h e a r i n g h e l p y o u p a r t i c i p a t e i n t h e c o n v e r s a t i o n ? W h a t i s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a s e n s e o f p u r p o s e a n d t h e a b i l i t y t o h e a r a n d r e s p o n d ? S i n c e d o i n g t h e t e a c h i n g , I h a v e l e a r n e d m u c h a b o u t w h a t m y s t u d e n t s w e r e d o i n g a n d t h e c o m p l e x i t i e s o f t h e m a t h e m a t i c s . A s w i t h p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s i n t h e l a s t c h a p t e r , e x p l o r i n g t h e m a t h e m a t i c s o f t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n h a s g i v e n m e a g r e a t e r a p p r e c i a t i o n f o r w h a t I w a s h e a r i n g a n d b r o a d e n e d m y u n d e r s t a n d i n g o f w a y s i n w h i c h I c o u l d h a v e r e s p o n d e d . T h e d i f f i e d l t y e f t h e t a s k . I d i d n o t g i v e m u c h t h o u g h t t o m y o w n c o n f u s i o n w h e n I fi r s t e n c o u n t e r e d t h e t a s k o f l a b e l i n g t h e c o m p o s i t i o n a r r o w w h i l e p l a n n i n g f o r t h i s l e s s o n . A t t h e t i m e , m y r e a c t i o n w a s t o a d d . I a t t r i b u t e d m y m i s t a k e t o t h e s i m i l a r i t y o f t h i s p r o b l e m t o t h e o n e s w e d i d t h e d a y b e f o r e 2 1 1 w h i c h h a d r e q u i r e d a d d i n g . I h a v e l e a r n e d s i n c e t h e n t h a t t h e t e n d e n c y t o a d d c a n a l s o b e e x p l a i n e d m a t h e m a t i c a l l y . I e x p l o r e d t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e m a t h e m a t i c s w i t h i n t h e s e p r o b l e m s t o t r y t o u n d e r s t a n d f r o m a m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e w h y i t w a s i m p o r t a n t t o g o t h r o u g h t h e t e d i o u s w o r k o f u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r w h e n s t u d e n t s h a d p e r f e c t l y g o o d m e n t a l c o m p u t a t i o n s t r a t e g i e s . W h a t i s t h e M i n i c o m p u t e r a b o u t a n y w a y ? W h a t f o l l o w s i s w h a t I l e a r n e d a b o u t t h e m e a n i n g o f t h e t a s k , t h e s i g n i fi c a n c e o f t h e m a t h e m a t i c s b e i n g l e a r n e d , a n d a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f w h a t i s b e i n g l e a r n e d . A s w i t h t h e c a s e o f m y s t u d y o f p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 , i f w h a t I h a v e s i n c e l e a r n e d a b o u t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n w a s t o b e f o u n d w i t h i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e t h e n i t w a s i n a f o r m i n a c c e s s i b l e t o m e . W h a t I h a v e l e a r n e d h a s c o m e f r o m m y o w n i n v e s t i g a t i o n i n t o t h e m a t h e m a t i c s u s i n g r e s o u r c e s o u t s i d e o f t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n p u s h e s a t a p i e c e o f f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c s , n a m e l y t h e m o v e f r o m a d d i t i v e t o m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s . L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n ( 1 9 9 0 ) d e s c r i b e t h i s t r a n s i t i o n a s ” o n e o f t h e c r i t i c a l m o m e n t s i n e a r l y m a t h e m a t i c s ” ( p . 2 ) . 5 T h e c r i t i c a l m o m e n t s a r e o p p o r t u n i t i e s f o r ” p o w e r f u l l e a r n i n g ” t h a t h a v e t w o i n t e r e s t i n g f e a t u r e s : ” T h e y a r e o f t e n u n m a r k e d i n t h e ’ n o r m a l ’ c o u r s e o f t e a c h i n g ; o n t h e o t h e r h a n d , t h e y a r e f u n d a m e n t a l t o o t h e r m o r e s o p h i s t i c a t e d p a r t s o f m a t h e m a t i c s ” ( p . 2 ) . S o , w h a t 3 x ( 2 x 3 5 ) r e p r e s e n t s i s a m o v e f r o m a d d i t i v e t o m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s a n d t h i s s h i f t m a r k s m o m e n t s t h a t h o l d t h e p o t e n t i a l f o r p o w e r f u l l e a r n i n g . A s f a r a s I c a n s e e , t h e s i g n i fi c a n c e o f t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y t h i s p r o b l e m g e t s t h e l e a r n e r i n t o a n d t h e s i g n i fi c a n c e o f w h a t c o u l d b e l e a r n e d g o e s 5 T h e o t h e r c r i t i c a l m o m e n t s t h e y m e n t i o n i n c l u d e f u n c t i o n s a n d g r a p h s , r e g r o u p i n g , a n d e x p a n d i n g t h e n u m b e r s y s t e m f r o m c o u n t i n g n u m b e r s t o r a t i o n a l s . 2 1 2 u n m a r k e d i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e a n d f o l l o w s t h e p a t t e r n o f w h a t . L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n ( 1 9 9 0 ) f o u n d i n m o s t o t h e r m a t h c u r r i c u l a . I t i s u n c l e a r t o m e t h a t a n y o f t h e c r i t i c a l m o m e n t s , a s d e fi n e d b y L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n ( 1 9 9 0 ) a r e m a r k e d i n t h e c u r r i c u l u m . P e r h a p s I c o u l d i d e n t i f y t h e s e c r i t i c a l m o m e n t s w i t h i n t h e C S M P c u r r i c u l u m i f I h a d a p i c t u r e o f t h e w h o l e c u r r i c u l u m , a c r o s s a y e a r a s w e l l a s r e l a t i v e t o o t h e r g r a d e l e v e l s . T h i s , h o w e v e r , i s n o t a n u n d e r s t a n d i n g I h a d a t t h e t i m e I w a s t e a c h i n g . I t s e e m s t h a t a n y c r i t i c a l m o m e n t s , s h i f t s o r m a r k e r s w i t h i n t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y a r e d i f f u s e d b y t h e n a t u r e o f m o v i n g t h r o u g h a s p i r a l c u r r i c u l u m w h e r e g o a l s a n d o b j e c t i v e s a r e i n t e n t i o n a l l y v a g u e a n d l e s s w e l l d e fi n e d a n d m a s t e r y i s n o t e x p e c t e d i n t h e c o n t e x t o f a n y p a r t i c u l a r l e s s o n . W h a t s o r t o f c r i t i c a l m o m e n t i s r e p r e s e n t e d b y t h e p r o b l e m s i n t h i s h a l f o f t h e C S M P l e s s o n ? M o v i n g f r o m t h e a d d i t i v e w o r l d t o m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s i s a n e n o r m o u s c o n c e p t u a l l e a p f o r s t u d e n t s t o m a k e ( V e r g n a u d , 1 9 8 8 ) . 6 O n e o f t h e f u n d a m e n t a l p r o b l e m s i s t h a t s t u d e n t s b r i n g m a n y e x p e r i e n c e s w i t h a d d i t i o n w h e n t h e y m a k e t h e i r w a y i n t o t h e m u l t i p l i c a t i v e w o r l d . A n u n d e r s t a n d i n g o f m u l t i p l i c a t i o n i s o f t e n b u i l t o n a n u n d e r s t a n d i n g o f a d d i t i o n . I t i s c o m m o n f o r s t u d e n t s t o m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n o r t o t h i n k o f m u l t i p l i c a t i o n a s r e p e a t e d a d d i t i o n . F o r e x a m p l e , i n a p r o b l e m l i k e 3 x 3 5 , r a t h e r t h a n t h i n k o f i t a s m u l t i p l y i n g b y t h r e e , s t u d e n t s t e n d t o t h i n k o f i t i n t e r m s o f a d d i t i o n - - a d d i n g 3 5 t h r e e t i m e s . T h i s g e t s y o u a n a n s w e r b u t w h a t d o e s i t h e l p y o u u n d e r s t a n d a b o u t t h e m e a n i n g o f m u l t i p l i c a t i o n ? W h a t i s t h e u n d e r l y i n g m e a n i n g o f m u l t i p l i c a t i o n ? W h a t i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a d d i t i v e a n d 6 M u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s i s a n a r e a o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h t h a t h a s b e e n d i f fi c u l t f o r r e s e a r c h e r s t o c o n c e p t u a l i z e a n d r e p r e s e n t e x a c t l y h o w i t i s t h a t c h i l d r e n u n d e r s t a n d t h i s d o m a i n . S e e V e r g n a u d ( 1 9 8 8 ) f o r a d i s c u s s i o n o f m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s . H e w r i t e s t h a t t h e s t u d y o f c h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g o f m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s i n c l u d e s t h e s t u d y o f t h e c o n c e p t s o f ” l i n e a r a n d n o n - l i n e a r f u n c t i o n s , v e c t o r s p a c e s , d i m e n s i o n a l a n a l y s i s , f r a c t i o n , r a t i o , r a t e , r a t i o n a l n u m b e r , a n d m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n ” ( p . 1 4 1 ) . 2 1 3 m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e ? A n d , d o e s u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r h e l p s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h i s s h i f t ? I f s o , h o w ? M u l t i p l i e a t i v e c h a n g e . W h a t i s m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e ? H o w d o e s t h e i d e a o f m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e r e l a t e t o w h a t m y s t u d e n t s w e r e d o i n g ? I n o w s e e t h a t c o m p o s i n g t h e f u n c t i o n s , 3 x f o l l o w e d b y 2 x , p u t m y s t u d e n t s i n t h e m u l t i p l i c a t i v e w o r l d . T h e y i m m e d i a t e l y r e v e r t e d b a c k t o t h e a d d i t i v e w o r l d , a p l a c e w h e r e , u n d e r s t a n d a b l y , g i v e n w h a t t h e y h a v e l e a r n e d a b o u t m a t h e m a t i c s i n s c h o o l u p t o t h i s p o i n t , t h e y f e e l q u i t e c o m f o r t a b l e b e c a u s e o f t h e f o c u s o n a d d i t i v e s t r u c t u r e s i n e a r l i e r g r a d e s . M o s t o f t h e t i m e d e a l i n g w i t h m u l t i p l i c a t i o n a s r e p e a t e d a d d i t i o n w o r k s . F o r e x a m p l e , 3 x 3 5 i s t h e s a m e a s 3 5 + 3 5 + 3 5 . B u t , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n b e c o m e s m o r e c o m p l i c a t e d w h e n y o u t r y t o m u l t i p l y 3 x 3 5 b y 2 . T o A r i f , f r o m a n a d d i t i v e p e r s p e c t i v e , i t l o o k e d l i k e h e n e e d e d t o a d d t w o 3 5 ’ s o n t o t h r e e 3 5 ’ s . I n r e s p o n s e t o a q u e s t i o n o f w h y h e w a s a d d i n g t w o 3 5 ’ s h e s a i d , ” B e c a u s e o v e r h e r e w e a d d e d t h r e e o f t h e m a n d w e g o t 1 0 5 a n d I t h o u g h t o v e r h e r e w e w e r e I I s u p p o s e d t o a d d t w o m o r e o f t h e m . T h e r e a r e m u l t i p l e i n c o r r e c t b u t p r e d i c t a b l e w a y s s o m e o n e w i t h a l i m i t e d v i e w o f m u l t i p l i c a t i o n m i g h t t r y t o s y m b o l i c a l l y r e p r e s e n t t h i s m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m . 2 1 4 ( 3 5 + 3 5 + 3 5 ) + 3 5 + 3 5 o r ( 5 x 3 5 ) o r ( 3 x 3 5 ) + ( 2 x 3 5 ) o r ( 1 0 5 ) + 3 5 + 3 5 F i g u r e 5 . 5 P r e d i c t a b l e b u t i n c o r r e c t w a y s t o r e p r e s e n t 2 x ( 3 x 3 5 ) W h a t A r i f a n d I d i d n o t u n d e r s t a n d , a t f i r s t , i s t h a t t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s b r i n g s o u t t h e c o m p l e x i t y a n d d i f fi c u l t y o f m u l t i p l i c a t i o n . C o n s i d e r t h e p r o b l e m 2 x ( 3 x 3 5 ) i n t e r m s o f i n p u t s a n d o u t p u t s . I f I b e g i n w i t h 3 5 a s t h e i n p u t , a p p l y t i m e s t h r e e t o t h i s , a n d c o n s i d e r m u l t i p l i c a t i o n a s r e p e a t e d a d d i t i o n , I g e t o n e g r o u p o f 3 5 p l u s a n o t h e r g r o u p o f 3 5 p l u s a n o t h e r g r o u p o f 3 5 . T h e s e 3 g r o u p s o f 3 5 ( 3 x 3 5 ) o r ( 3 5 + 3 5 + 3 5 ) b e c o m e t h e n e w i n p u t t o w h i c h I a p p l y t i m e s t w o . I e n d u p w i t h t w o s e t s o f t h r e e 3 5 ’ s o r s i x 3 5 ’ s , n o t t w o m o r e 3 5 ’ s a d d e d t o a s e t o f 3 g r o u p s o f 3 5 . T h e f a c t t h a t t h e i n p u t c h a n g e s f r o m 3 5 t o ( 3 5 + 3 5 + 3 5 ) i s t h e d i f fi c u l t p a r t . 2 1 5 3 5 — > 3 5 + 3 5 + 3 5 x 3 * x 2 3 5 + 3 5 + 3 5 3 5 + 3 5 + 3 5 ] F i g u r e 5 . 6 T h e i n p u t c h a n g e s f r o m 3 5 t o 3 5 + 3 5 + 3 5 A d d i n g t w o m o r e t o t h e s e t i s v e r y d i f f e r e n t f r o m d u p l i c a t i n g t h e s e t . H i e b e r t a n d B e h r ( 1 9 8 8 ) d e s c r i b e t h e s i g n i f i c a n c e o f m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e . ” I t i s n o t a t r i v i a l s h i f t , b e c a u s e i t r e p r e s e n t s a c h a n g e i n w h a t c o u n t s a s a n u m b e r . A g r o u p o r c o m p o s i t e o f , f o r i n s t a n c e , t h r e e , n o w c a n c o u n t a s a u n i t , a s o n e . A c h a n g e i n t h e n a t u r e o f t h e u n i t i s a c h a n g e i n t h e m o s t b a s i c e n t i t y o f a r i t h m e t i c ” ( p . 2 ) . 3 5 + 3 5 + 3 5 l + 3 5 + 3 5 a d d i n g t w o m o r e t o t h e s e t 3 5 + 3 5 + 3 5 | + | 3 5 + 3 5 + 3 5 d u p l i c a t i n g t h e s e t F i g u r e 5 . 7 T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a d d i n g t w o m o r e t o t h e s e t a n d d u p l i c a t i n g t h e s e t W h a t d i d I d o i n t h e m o m e n t ? U s i n g t h e M i n i c o m p u t e r g a v e m e a w a y t o s h o w s t u d e n t s t h e n u m b e r o f g r o u p s i n v o l v e d i n t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o c e s s . T h e 2 1 6 fi r s t s t a g e i n v o l v e s r e p e a t i n g t h e s e t o f c h e c k e r s r e p r e s e n t i n g 3 5 , t h r e e t i m e s o r 3 x 3 5 . T h i s i s t h e n t a k e n a s t h e i n p u t ( 3 x 3 5 ) a n d d o u b l e d . A t t h e t i m e , I d i d n o t h a v e a c l e a r u n d e r s t a n d i n g o f t h e s y m b o l i c r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n r e p r e s e n t e d b y t h e p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n s f o r t h e p r o b l e m . I w a s a b l e t o s e t u p t h e M i n i c o m p u t e r a n d i l l u s t r a t e t h e n u m b e r s o f g r o u p s b u t I d i d n o t h a v e m u l t i p l e w a y s t o c o n s i d e r t h e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n o f w h a t w a s h a p p e n i n g . W h a t I r e a l i z e n o w i s t h a t t h e r e a r e o t h e r w a y s , i n a d d i t i o n t o t h e M i n i c o m p u t e r , t o r e p r e s e n t w h a t w a s h a p p e n i n g t h e r e . T h e r e w a s o n l y o n e p l a c e i n t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ 8 g u i d e w h e r e a n a l t e r n a t i v e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n f o r m u l t i p l i c a t i o n w a s o f f e r e d . I t c a m e i n t h e c o n t e x t o f t h e f o l l o w i n g t e a c h e r q u e s t i o n . [ T : M 1 a t i s B x 3 5 ? W h a t i s 3 5 + 3 5 + 3 5 ? F i g u r e 5 . 8 M u l t i p l e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s o f m u l t i p l i c a t i o n i n t h e t e x t b o o k T h e r e w a s n o d i s c u s s i o n a b o u t h o w t h e s e t w o s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s , 3 x 3 5 a n d 3 5 + 3 5 + 3 5 , w e r e r e l a t e d o r h o w t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s e f f e c t s t h e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n . I f I h a d w o r k e d t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c s b e f o r e h a n d , I m i g h t h a v e r e j e c t e d t h e M i n i c o m p u t e r a s a r e p r e s e n t a t i o n o r u s e d i t m o r e s t r a t e g i c a l l y , o r n o t f e l t s o c o m p l e t e l y d e p e n d e n t o n i t . a m i n w P w A t t h e t i m e , I w a s o n l y m a r g i n a l l y c e r t a i n o f w h a t w a s h a p p e n i n g h e r e , m a t h e m a t i c a l l y . I h a d o n e w a y o f t e a c h i n g w h a t I t h o u g h t I u n d e r s t o o d a n d t h a t i s w h a t I s h o w e d m y s t u d e n t s . H o w m i g h t t h i s l e s s o n h a v e t u r n e d o u t i f I h a d 2 1 7 h a d m u l t i p l e w a y s o f r e p r e s e n t i n g t h e m a t h e m a t i c a l i s s u e s e m b e d d e d i n t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ? I r e a l i z e t h a t I w a s m a k i n g a h u g e a s s u m p t i o n a b o u t w h a t i t w a s t h a t A r i f u n d e r s t o o d . T h e a l t e r n a t i v e , a t t h e t i m e , w o u l d h a v e b e e n t o q u e s t i o n w h a t I t h o u g h t h e u n d e r s t o o d . B u t , w h e r e w o u l d t h a t h a v e l e f t m e ? I m i g h t h a v e f o u n d o u t t h a t h e d i d n o t u n d e r s t a n d a n d t h e n I w o u l d h a v e h a d t o t h i n k o f a w a y t o d e a l w i t h t h a t . W h a t w o u l d I h a v e d o n e t h e n ? A n d , w h a t a b o u t t h e o t h e r s t u d e n t s ? W h a t d i d t h e y u n d e r s t a n d ? D i d m y d e m o n s t r a t i o n o n t h e M i n i c o m p u t e r m a k e s e n s e t o s t u d e n t s ? P u r s u i n g t h e s e q u e s t i o n s a t t h e t i m e w o u l d n o t h a v e h e l p e d . I d i d n o t k n o w w h a t I w o u l d d o i f I l e a r n e d t h a t s t u d e n t s d i d n o t u n d e r s t a n d . T h i s w a s t h e o n l y w a y o f i l l u s t r a t i n g t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s w i t h m u l t i p l i c a t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d I h a d n o t c o n s i d e r e d a l t e r n a t i v e s . O p e n i n g u p t h e d i s c o u r s e t o f i n d o u t i n m o r e d e t a i l w h a t s t u d e n t s d i d o r d i d n o t u n d e r s t a n d o n l y c o m p l i c a t e d m y j o b a s a t e a c h e r . I f I h a d h a d m u l t i p l e w a y s o f a p p r o a c h i n g t h e d i f f i c u l t y , a s I s a w i t a t t h e t i m e , I m i g h t h a v e b e e n m o r e w i l l i n g t o s p e n d t i m e o n i t , p u r s u e d a b i t m o r e o f w h a t i t i s t h a t A r i f o r o t h e r s u n d e r s t o o d . I f I h a d h a d m o r e w a y s t o t h i n k a b o u t t h e p r o b l e m , t o r e p r e s e n t t h e m a t h e m a t i c a l i s s u e s t o s t u d e n t s , I m i g h t h a v e b e e n m o r e w i l l i n g t o b e l e s s c e r t a i n a b o u t w h a t i t w a s t h a t a n y o n e u n d e r s t o o d . A s i t w a s , I w a s j u s t h a p p y t o h a v e a w a y t o r e s p o n d . I w a n t e d t o b e l i e v e A r i f u n d e r s t o o d b e c a u s e I d i d n o t k n o w w h a t I w o u l d d o i f h e o r o t h e r s h a d n o t u n d e r s t o o d . I o n l y h a d o n e w a y o f t e a c h i n g w h a t i t w a s I t h o u g h t t h e s t u d e n t s n e e d e d t o l e a r n . W h a t I t h o u g h t A r i f n e e d e d t o l e a r n w a s b a s e d o n t h e m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e n s e h e m a d e o u t o f t h e p r o b l e m . B e c a u s e h e d i d w h a t I d i d , I t h o u g h t h e n e e d e d t o l e a r n w h a t I c o u l d s e e , i n t h e w a y I h a d c o m e t o s e e i t . W e r e t h e r e o t h e r w a y s I c o u l d h a v e s h o w n h i m ? A t t h e t i m e , I d i d n o t c o n s i d e r t h a t q u e s t i o n . I w a s j u s t e x c i t e d t o h a v e h a d o n e w a y t o s h o w h i m w h a t I t h o u g h t h e n e e d e d t o l e a r n . I w a n t e d t o b e l i e v e t h a t h i s c o m m e n t m e a n t t h a t 2 1 8 h e u n d e r s t o o d t h a t 1 0 5 w a s t h e s a m e a s t h r e e g r o u p s o f 3 5 a n d d o u b l i n g t h a t w a s t h e s a m e a s t w o t i m e s t h r e e g r o u p s o f 3 5 o r " s i x t i m e s " o r s i x t i m e s 3 5 . Q u e s t i o n s a b o u t w h a t I d i d o r t h e s e n s e a n o t h e r m a d e o f i t w o u l d h a v e t o b e s a v e d f o r t h e n e x t s t e p , w h i c h I w a s n o t p r e p a r e d t o t a k e . W h a t I w a s l a c k i n g a t t h e t i m e w a s a k n o w l e d g e o f r e p r e s e n t a t i o n s , ” a n a l o g i e s , i l l u s t r a t i o n s , e x a m p l e s , e x p l a n a t i o n s , d e m o n s t r a t i o n s , t h e w a y s o f r e p r e s e n t i n g a n d f o r m u l a t i n g t h e s u b j e c t t o m a k e i t c o m p r e h e n s i b l e t o o t h e r s ” ( S h u l m a n , 1 9 8 6 , p . 9 ) . A r e p e r t o i r e o f r e p r e s e n t a t i o n s w o u l d p r e p a r e m e t o b e r e s p o n s i v e t o t h e s i t u a t i o n u t o t h e s t u d e n t s a n d t h e m a t h e m a t i c s - t o c o n s t r u c t n e w p a t h w a y s t o u n d e r s t a n d i n g . H o w c a n I u s e w h a t I u n d e r s t a n d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t o g e t h e r w i t h w h a t I h e a r i n m y s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s a n d i n t e r a c t i o n s t o d r a w o n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n s t o h e l p s t u d e n t s l e a r n w h a t I t h i n k t h e y n e e d t o ? I n o t h e r w o r d s , r e p r e s e n t a t i o n s b e c o m e a r e s o u r c e f o r i m p r o v i s a t i o n . W h a t a r e t h e s e r e s o u r c e s a n d h o w d o I c o l l e c t t h e m f o r m y s e l f ? H o w c a n I m a k e t h e m b e u s e f u l t o m e a s t h e t e a c h e r ? H o w c a n I l e a r n t o m a k e u s e o f t h e m ? T h e M i n i c o m p u t e r w a s a r e p r e s e n t a t i o n I h a d a t m y d i s p o s a l i n t h i s c o n t e x t b u t m y u n d e r s t a n d i n g o f i t s u s e f u l n e s s a n d l i m i t a t i o n s w a s l i m i t e d b y t h e i n f o r m a t i o n o r l a c k o f i t o f f e r e d w i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n c a m e o u t o f m y c o n v e r s a t i o n s w i t h s o m e o n e w h o t r i e d t o e x p l a i n t h e m a t h e m a t i c s t o m e . T h e r e p r e s e n t a t i o n c a m e o u t o f m y o w n l e a r n i n g e x p e r i e n c e s . R e p r e s e n t a t i o n s , t h e r e f o r e , a r e s o m e t h i n g I e x p e c t t o l e a r n o v e r t i m e , t h r o u g h m y t e a c h i n g p r a c t i c e a n d t h e o p p o r t u n i t i e s I c r e a t e f o r m y s e l f t o l e a r n m o r e m a t h e m a t i c s . T h e i m p o r t a n t o v e r a l l c o n s i d e r a t i o n s a r e t o p e r m i t o n e s e l f t h e o p p o r t u n i t y o f a l l t h e p o s s i b i l i t i e s y o u c a n e n v i s a g e ; t o r e a l i s e t h a t f r e e d o m i s p o s s i b l e w i t h i n n e a r l y a l l t h e i m p r o v i s i n g c o n t e x t s w e h a v e d i s c u s s e d ; a n d t o b e 2 1 9 c o n t i n u a l l y o n t h e l o o k o u t ( b y l i s t e n i n g t o y o u r s e l f a n d y o u r c o - i m p r o v i s e r s , b y h e a r i n g o t h e r i m p r o v i s e r s p e r f o r m ) f o r n e w i n p u t s . ( D e a n , 1 9 8 9 , p . 1 1 1 ) . b e a m — i n g t e f r m l e r i e r i t h m s M y u n c e r t a i n t y a b o u t w h a t I w a s t e a c h i n g , h o w t o m a k e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r , a n d w h y I w a s u s i n g i t m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o m y c l i n g i n g t o t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r a s i t a p p e a r e d i t i n t h e t e a c h e r ’ s ' g u i d e e v e n i f i t d i d n o t c o n n e c t i n m e a n i n g f u l w a y s t o t h e s e n s e m y s t u d e n t s w e r e m a k i n g o f t h e p r o b l e m s . I s a w t h e M i n i c o m p u t e r a s a h e l p f u l t o o l i n w o r k i n g t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s p r o b l e m s b u t w h a t a b o u t f o r t h e e a s i e r - m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s ? W a s i t u s e f u l f o r s o l v i n g t h e s e ? T h i s i s a q u e s t i o n I a s k n o w b u t a t t h e t i m e I n e v e r q u e s t i o n e d w h e t h e r o r n o t i t w a s u s e f u l , I j u s t u s e d i t . W a s i t n e c e s s a r y t o u s e t h e M i n i c o m p u t e r , e s p e c i a l l y g i v e n t h e m e n t a l a r i t h m e t i c s t r a t e g i e s m y s t u d e n t s h a d f o r w o r k i n g t h e p r o b l e m s ? T h e u s e f u l n e s s o f t h e M i n i c o m p u t e r w a s n o t a p p a r e n t t o t h e s t u d e n t s u n t i l m u c h l a t e r i n t h e l e s s o n . W a s t h e r e a w a y t o d i s c r i m i n a t e o n t h e u s e o f t h e r e p r e s e n t a t i o n ? W e r e t h e r e r e a s o n s t o u s e o r n o t t o u s e i t o t h e r t h a n b e c a u s e i t w a s o r w a s n o t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e ? I a m n o t c e r t a i n t h a t s t u d e n t s s a w a n y p o i n t t o d o i n g t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s b e y o n d g e t t i n g t h e r i g h t a n s w e r . A n d f o r t h e m o s t p a r t , t h e y h a d t h e i r o w n s t r a t e g i e s t o h e l p t h e m s e l v e s t o c o m e u p w i t h t h e r i g h t a n s w e r s . T h e y h a d n o n e e d t o m e s s a r o u n d w i t h a l l o f t h o s e c h e c k e r s i f t h e o n l y p u r p o s e w a s t o g e t t h e r i g h t a n s w e r . A n d , a s I l o o k b a c k o n t h e l e s s o n n o w , t h e y h a d n o r e a s o n t o b e l i e v e o t h e r w i s e . W a s i t n e c e s s a r y f o r t h e m t o m a k e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r f o r p r o b l e m s t h e y c o u l d a l r e a d y d o i n t h e i r h e a d s ? F r o m C S M P ’ S p e r s p e c t i v e , w h a t w e r e s t u d e n t s s u p p o s e d t o g e t o u t o f d o i n g s i m p l e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s p r i o r t o t h e m o r e c o m p l e x p r o b l e m s 2 2 0 a r o u n d t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s ? I t w a s n o t e x p l a i n e d w i t h i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I c o n s t r u c t e d a c o n n e c t i o n . T h e s i m p l e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s I d i d w i t h s t u d e n t s i n t h e b e g i n n i n g s e e m e d t o o e a s y f o r t h e m i f t h e p o i n t w a s j u s t t o d o t h e m u l t i p l i c a t i o n . W a s I m i s s i n g t h e p o i n t o f C S M P ? W a s I m i s s i n g t h e p o i n t o f w h a t m y s t u d e n t s w e r e s h o w i n g m e t h e y w e r e c a p a b l e o f d o i n g ? W a s m y o w n s e n s e m a k i n g o f w h a t I w a s d o i n g w i t h s t u d e n t s a n d w h y m i s s i n g ? F o r m u c h o f t h e l e s s o n , t h e s t u d e n t s a n d I p r o c e e d e d a l o n g p a r a l l e l t r a c k s , w i t h d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e t a s k , p l a y i n g d i f f e r e n t t u n e s . I w a s i n t e n t o n u s i n g t h e M i n i c o m p u t e r f o r e a c h p r o b l e m w e d i d . T h e p r o c e s s o f a r r a n g i n g - t h e s e c h e c k e r s w a s t e d i o u s a n d I e x p e c t e d s t u d e n t s t o f o l l o w a l o n g w i t h o u t a n y u n d e r s t a n d i n g a s t o w h y i t w a s i m p o r t a n t t o d o s o . I w a s b l i n d l y f o l l o w i n g , w h y c o u l d n ’ t t h e y ? T h e y w e r e i n t e n t o n g e t t i n g a n s w e r s a n d h a d c o m p l e x m e n t a l s t r a t e g i e s f o r fi n d i n g t h e m . I w a s n o t r e a l l y i n t e r e s t e d . I t o l e r a t e d t h e i r a l t e r n a t i v e w a y s o f t h i n k i n g i n m u c h t h e s a m e w a y t h e y t o l e r a t e d m y p u r s u i t o f t h e p l a c e m e n t o f c o u n t l e s s c h e c k e r s . F o r m u c h o f t h e l e s s o n , n o n e o f u s w e r e r e a l l y e n g a g e d i n w h a t t h e o t h e r w a s d o i n g . T h e m e n t a l c o m p u t a t i o n s t r a t e g i e s t h e y u s e d t o g e t t h e r i g h t a n s w e r s w e r e n o t n e c e s s a r i l y g o i n g t o h e l p t h e m c o m p l e t e t h e w o r k s h e e t w h e r e I k n e w t h e y w o u l d b e a s k e d t o i d e n t i f y t h e n u m b e r o f g r o u p s b e i n g m u l t i p l i e d . S h a r e d i n t e n h ' e n s . W h e n t h e p r o b l e m b e i n g w o r k e d o n c h a n g e d f r o m s i m p l e m u l t i p l i c a t i o n t o t h e c o m p o s i t i o n o f t w o f u n c t i o n s , w e a l l t o o k n o t i c e . I b e g a n t o j o i n u p i n a n e w p a r t n e r s h i p w i t h t h e h a n d s a n d t h e s o u n d i n g t e r r a i n , a s w h e r e w e w e r e g o i n g t o g e t h e r b e g a n t o s l o w l y i n t e g r a t e i n t o a n a l t o g e t h e r n e w w a y o f d o i n g s i n g i n g a t t h e p i a n o : a n e w w a y f o r i n t e n t i o n s t o b e f o r m e d , a n e w s o r t o f s y n c h r o n y a n d d i r e c t i o n a l i t y o f l i n k a g e b e t w e e n m y h e a d ' s a i m i n g f o r s i n g a b l e s o u n d s , b e c o m i n g p r o g r e s s i v e l y s h a p e d a n d r e f i n e d . ( S u d n o w , 1 9 7 8 , p . 9 5 ) 2 2 1 I l i s t e n e d a n d r e s p o n d e d w h e n A r i f s a i d h e w a s c o n f u s e d a n d s t o p p e d B o b w h e n h e w a n t e d t o t a l k a b o u t t o t a l s . T h e t o t a l , I k n e w , m a s k e d w h a t w a s h a p p e n i n g i n t h e p r o c e s s . T h e s t u d e n t s w e r e a b o u t t o s e e w h y t h e p r o c e s s m a t t e r e d f r o m m y p e r s p e c t i v e a n d , w i t h l u c k , w h y I h a d b e e n p u s h i n g t h e m t o m a k e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r a n d a l l o f t h o s e c h e c k e r s . A r i f ’ s c o m m e n t a n d m y r e s p o n s e g a v e t h e s t u d e n t s a r e a s o n t o f o c u s o n t h e M i n i c o m p u t e r . I t i s i n t e r e s t i n g t o m e t h a t w h e n t h e s t u d e n t s h a d a r e a s o n f o r l o o k i n g , t h e y s a w o r a t l e a s t i n d i c a t e d t h r o u g h t h e i r ” O h h h h h h h h , " t h a t t h e y m i g h t h a v e u n d e r s t o o d s o m e t h i n g i n a n e w w a y . I f I h a d h a d a b e t t e r s e n s e o f t h e i n t e n t o f t h e l e s s o n f r o m C S M P ’ S p e r s p e c t i v e a n d w a y s t o m a k e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r , I m i g h t h a v e b e e n a b l e t o fi n d w a y s t o c o n n e c t t o s t u d e n t s s e n s e m a k i n g m u c h e a r l i e r i n t h e l e s s o n . S i n c e t e a c h i n g t h i s l e s s o n , I f o u n d o u t f r o m o n e o f t h e d e v e l o p e r s o f C S M P t h a t i m p r o v i n g s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o d o m e n t a l a r i t h m e t i c w a s a g o a l h e r e . F o r e x a m p l e , i f I c o u l d s e e 6 x a s t h e c o m p o s i t i o n o f 3 x a n d 2 x I m i g h t b e a b l e t o t h i n k o f t h e c o m p u t a t i o n a s fi n d i n g t h e d o u b l e o f 3 x . C o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i s a b o u t b u i l d i n g fl e x i b i l i t y i n t h e w a y o n e l o o k s a t n u m b e r s a n d m e n t a l a r i t h m e t i c r e q u i r e s b e i n g fl e x i b l e w i t h c o m p u t a t i o n . I t m a k e s s e n s e t o m e n o w t h a t t h i s l e s s o n c o u l d b e a b o u t l e a r n i n g t o l o o k a t c a l c u l a t i o n i n d i f f e r e n t w a y s a n d i n d o i n g s o i n c l u d e a t t e n t i o n t o m e n t a l c o m p u t a t i o n s t r a t e g i e s . B u t t h a t s e e m s l i k e a g o a l o f a m u c h b r o a d e r m a t h e m a t i c a l n a t u r e t h a n w h a t a p p e a r e d i n t h e l e s s o n s u m m a r y : U s i n g a r r o w d i a g r a m s a n d t h e M i n i c o m p u t e r , i n v e s t i g a t e t h e c o m p o s i t i o n o f c e r t a i n n u m e r i c a l f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , + 1 0 f o l l o w e d b y + 2 a n d 3 x f o l l o w e d b y 2 x . ( p . 1 1 ) I f I h a d a t t e n d e d t o t h e m e n t a l s t r a t e g i e s s t u d e n t s w e r e u s i n g a n d b e e n m o r e t h o u g h t f u l a b o u t w h e n a n d w h y t o u s e t h e M i n i c o m p u t e r , i n w h a t w a y s w o u l d 2 2 2 t h i s l e s s o n h a v e t u r n e d o u t d i f f e r e n t l y ? T h e s e b o t h s e e m l i k e t h i n g s t h a t w o u l d h a v e b e e n g o o d t o h a v e d o n e y e t t h e r e w a s n o t h i n g i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t o i n d i c a t e t h a t t h e s e w e r e e v e n t h i n g s t o b e c o n s i d e r e d . W h a t w o u l d i t b e l i k e f o r s t u d e n t s a n d t h e t e a c h e r t o j o i n t l y c o n s t r u c t t h e a g e n d a o f a m a t h c l a s s i n w a y s t h a t c o n n e c t e d t o w h a t w e a l l u n d e r s t o o d ? I n t h e m o m e n t o f m y e x c h a n g e w i t h A r i f a n d w h a t i m m e d i a t e l y f o l l o w e d , w e w e r e a l l f o c u s e d o n w o r k i n g t h e p r o b l e m w i t h t h e M i n i c o m p u t e r . T o g e t h e r , w e e x a m i n e d a _ m a t h e m a t i c a l p r o b l e m i d e n t i fi e d b y a s t u d e n t , o f i n t e r e s t t o h i s p e e r s , w h i c h I t h o u g h t I c o u l d e x p l a i n t h r o u g h a r e p r e s e n t a t i o n t h a t h a d h e l p e d m e t o u n d e r s t a n d . L e a r n i n g t e I m p r e v i s e I f o u n d m y s e l f i n t h e t e a c h i n g i n w a y s I h a d n o t e x p e r i e n c e d b e f o r e . F o r a m o m e n t I f e l t w h a t i t w a s l i k e t o i m p r o v i s e i n t e a c h i n g , t o b e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g a n d t o t h e m a t h e m a t i c s . W h a t i s t h a t s t a t e o f b e i n g I a m l e a r n i n g t o b e i n a s a p a r t o f t e a c h i n g ? I f e l t i t . H o w d o I d e s c r i b e i t ? T h i s i s w h e r e S u d n o w ’ s ( 1 9 7 8 ) d e s c r i p t i o n o f l e a r n i n g t o p l a y i m p r o v i s a t i o n a l j a z z i s u s e f u l . S u d n o w d e s c r i b e s t h e w a y h i s h a n d s h a v e t o b e , t h e s t a t e h i s m i n d a n d h i s h a n d s h a v e t o b e i n o r d e r t o i m p r o v i s e . H e a n d h i s h a n d s m u s t l e a r n t o b e ” s i n g i n g l y p r e s e n t ” ( p . 9 0 ) w i t h h i s fi n g e r s i n t h e t e r r a i n - s e e i n g , h e a r i n g , f e e l i n g , p r e p a r e d t o c h o o s e a p a t h . O n e o f t h e f i r s t s t e p s i n p r e p a r i n g m y s e l f t o c h o o s e a p a t h i s l e a r n i n g w h a t a p a t h w a y i s . I t h i n k t h i s i s s o m e t h i n g t h a t I w a s l e a r n i n g . I n o w s e e t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i s a p a t h t h r o u g h t h e t e r r a i n . I t h i n k u p u n t i l t h i s p o i n t , I s a w t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n m a t h e m a t i c s a s t h e t e r r a i n . S u d n o w ( 1 9 7 8 ) d e s c r i b e s h o w h e s e e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p a t h a n d t h e t e r r a i n . ” I s a w t h e p a t h a s a fi g u r e a g a i n s t t h e b a c k g r o u n d o f t h e t e r r a i n ” ( p . 2 1 ) . V i e w i n g t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h i s w a y , a s o n e p a t h t h r o u g h t h e t e r r a i n , o p e n s u p t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e r e m a y b e o t h e r p a t h s t o f o l l o w . I t m a k e s f o l l o w i n g t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a c h o i c e , o n e t h a t I 2 2 3 m a y d e c i d e i s o r i s n o t a p p r o p r i a t e g i v e n t h e e x i g e n c i e s o f t h e m o m e n t . T h e s a m e i d e a o f c h o i c e c a n b e e x t e n d e d t o t o o l s , l i k e t h e M i n i c o m p u t e r , t h a t c a n h e l p y o u m o v e a b o u t i n t h e t e r r a i n , a l o n g d i f f e r e n t p a t h s . A g a i n , t h e M i n i c o m p u t e r i s a t o o l o r a p a t h , a fi g u r e i n t h e t e r r a i n , n o t t h e t e r r a i n . T h e p u r p o s e i s n o t t o t e a c h t h e M i n i c o m p u t e r , i t i s a m e a n s t o a n e n d , a n d a n e n d . R a t h e r , w h a t w a y s c a n t h i s t o o l b e u s e d t o h e l p y o u s e e s o m e t h i n g t h a t m i g h t o t h e r w i s e g o u n n o t i c e d i n t h e t e r r a i n ? W h a t d o I w a n t m y s t u d e n t s t o n o t i c e ? W h a t a r e t h e y n o t i c i n g ? W h a t t o o l s c a n I u s e t o h e l p t h e m s e e w h a t I s e e ? I a l w a y s r u n t h e r i s k t h a t w h a t e n a b l e s m e t o s e e m i g h t n o t b e w h a t e n a b l e s s o m e o n e e l s e . T h a t i s w h y I n e e d a r e p e r t o i r e o f t o o l s o r p a t h w a y s f o r h e l p i n g o t h e r s s e e . L e a r n i n g w h a t p a t h w a y s a r e p o s s i b l e a n d l e a r n i n g h o w t o d e c i d e w h i c h p a t h t o t a k e i s p a r t o f t h e w o r k e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o i m p r o v i s e . W h a t c a n I d o t o p r e p a r e m y s e l f t o i m p r o v i s e ? M a c k ( 1 9 7 0 ) o f f e r s t h e f o l l o w i n g a d v i c e u n d e r a s e c t i o n i n t h e b e g i n n i n g o f t h e b o o k c a l l e d , ” g e n e r a l s u g g e s t i o n s . ” D o n ’ t t r y t o ” l e a m ” i m p r o v i s a t i o n s . O n c e y o u ’ v e d e c i d e d o n a n a p p r o a c h , t r y t o v a r y t h e k e y , t h e t e m p o , t h e m o o d , t h e m e t e r , t h e r e g i s t e r . T r y t o u s e y o u r w i t s a n d d o n ’ t r e l y o n r o t e o r r e p e t i t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , y o u m a y f i n d i t u s e f u l t o k e e p a n o t e b o o k o f g o o d i d e a s - - m a t e r i a l t h a t s e r v e s w e l l f o r c e r t a i n p u r p o s e s . W h a t w o u l d s u c h a ” n o t e b o o k ” l o o k l i k e f o r t e a c h i n g ? T h e n o t e b o o k s h o u l d n o t j u s t b e a c o l l e c t i o n o f p a t h w a y s . H o w t o c o n s t r u c t p a t h w a y s a n d m a k e c h o i c e s r e l a t i v e t o s p e c i fi c p u r p o s e s w o u l d a l s o n e e d t o b e p a r t o f s u c h a n o t e b o o k . I t w o u l d b e a m i s t a k e t o t h i n k t h a t I c o u l d e v e r c o m p i l e a l l o f t h e p o s s i b l e p a t h w a y s a n d a n t i c i p a t e a l l o f t h e p o s s i b l e c h o i c e s a n d t h e i r a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s . T h e r e c o u l d a l w a y s b e s o m e t h i n g n e w a d d e d t o t h e l i s t a n d c o n t e x t s a r e a l w a y s c h a n g i n g . L e o n a r d B e r n s t e i n ( M e h e g a n , 1 9 5 9 ) , a f a m o u s m u s i c i a n , r e c o g n i z e s t h e w i s h a n d i m p o s s i b i l i t y o f e v e r b e i n g a b l e t o w r i t e d o w n 2 2 4 a l l t h e k n o w l e d g e t h a t i s n e e d e d t o i m p r o v i s e m u s i c i n a t e x t b o o k . B e r n s t e i n w r i t e s i n t h e p r e f a c e t o M e h e g a n ’ s b o o k , T h e r e h a s l o n g b e e n a n e e d f o r a s h a r p , c l e a r , w i s e t e x t b o o k w h i c h w o u l d o n c e a n d f o r a l l c o d i f y a n d d e l i n e a t e t h a t e l u s i v e p r o c e d u r e k n o w n a s j a z z i m p r o v i s a t i o n . O f c o u r s e , n o i m p r o v i s a t i o n c a n e v e r b e e x p l a i n e d d o w n t o i t s r o o t s ; t h e r e i n l i e s t h e m y s t e r y a n d j o y o f s p o n t a n e o u s c r e a t i o n . A n d a n y i m p r o v i s a t i o n w i l l v a r y g r e a t l y i n p r o p o r t i o n t o t a l e n t , m o o d , c o l l e a g u e s , a n d e n d l e s s p e r s o n a l f a c t o r s . A s o l u t i o n i n m a t h e m a t i c s i s t o c o n s t r u c t a t e x t b o o k t h a t c a n s e r v e a s a g u i d e , r a t h e r t h a n a s c r i p t , f o r i m p r o v i s a t i o n . T h e g u i d e s h o u l d n o t b e t h e r e s p o n s e . T h e e x a c t r e s p o n s e i s c o n s t r u c t e d i n t h e s i t u a t i o n . R a t h e r t h a n b e i n g a h o w - t o g u i d e f o r a c t i o n , c u r r i c u l u m m a t e r i a l s s h o u l d h e l p t h e t e a c h e r p r e p a r e t o a c t . n M . . v . “ I » . . L E . 1 . . . r « g t m u h m w ” n . u fi w t m w i t 1 . . a n m . 1 . . . . 3 . . i a . . . 2 w 2 . 4 . . . , a r e ? ! . . r . 2 r » a n } . L U m “ . . _ m a n n a u W — A x t k fl t « . 1 . . . 5 . . . . . . w w e . . . 5 . h . . . . . n e w s m a n " . fi n : 3 . . r w a t t . : 9 . . . . a J v l i . I f . . . t . . R , . s h a h » . v b y v . W A I T “ . . w u u fi t . . r . . e » u . a . i . o . . { r e fi n e s L ) 5 . . . R N . . . » 1 . . 2 . 2 . 3 . « . 3 0 . 3 % . u . b k . . v . K . . fl fl . , . . P n a g \ . 5 p a r a . “ . . . . . . . . p . 9 9 . . 2 3 a L : { . r . V q . . I y N . - r . . o L e l i a . . . d a m s ‘ L i n k s } . . t h a t i : 3 1 . 1 . : h . . . m t a . . 4 . » 1 i s . . _ . w . . : . . . u 1 . . 7 » I t . 4 . 7 5 . 1 » : . 1 | . m i ' \ 1 1 2 1 . 1 4 3 " ‘ ' . ‘ k ‘ \ ' » 5 . 0 . 5 " . 1 . “ ‘ } . “ 1 4 $ ” ‘ 4 ‘ « W t . a m } . a n d . . . a . _ m o m m y fi v w . : f w . . . . : 3 , fl a w g f X . . . m m 4 . a w , » M y 6 ? : fi m r i fi , a s . a n . . fl fi a fi . Q . 3 3 . , . . , ; . x l . J . . 3 . » n . ” \ . . f _ m . m m n u . . r . m . « . 1 3 . H r a fi x . . . fl a w . . . . N a h . J V . { m u m ’ w f . m w u l w d r a fi fi $ W T N O Y J W f a . . 4 fi . — . . . . a m u m fi % . . . W W . . I . . V . . % . . u . . . . u A . v . . I a m . « a i m . . r . ' \ / . ’ } \ I G A N H I S T C I M IIIIIIIIIIIIIIIIII‘IIIIIIII III'I‘III U N I V R A L I B A T E n s m r - ‘ M I C h I Q a n s t a t e P L A C E I N R E T U R N B O X t o r o m a n t h i s c h o c k “ f r o m y o u : r e c o r d . T o A V O I D F I N E S M u m o n o r b a t o n d a t e d u o . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E 7 , 3 4 ? " 3 I ( 1 3 ; ’ 0 E ” 1 2 3 1 0 2 M S U I . A n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n i t i a t i o n ' W m 1 C R E A T I N G A N D S T U D Y I N G A P R A C T T C E O F T E A C H I N G E L E M E N T A R Y M A T H E M A T I C S F O R U N D E R S T A N D I N G V o l u m e I I B y R u t h M . H e a t o n A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 4 o f I T h e h m C H A P T E R 6 N O T R E A D Y T O P A R T W I T H T H E C A N S : A S E R I E S O F I M P R O V I S A T I O N S I N T E A C H I N G I n t r o d u c t i o n I h a d b e g u n t o g e t t h e f e e l f o r w h a t i t m e a n t t o i m p r o v i s e i n t e a c h i n g . U n l i k e t h e p r e v i o u s t w o c h a p t e r s t h a t w e r e c o n f i n e d t o s i n g l e l e s s o n s , t h i s c h a p t e r f o c u s e s o n a s e r i e s o f f i v e l e s s o n s i n t h e m i d d l e o f O c t o b e r , a s e r i e s o f i m p r o v i s e d l e s s o n s . W h a t w a s i n t e n d e d b y C S M P t o b e a o n e d a y l e s s o n t o m a k e l a b e l s f o r s o u p c a n s e v o l v e d i n t o a s e r i e s o f f i v e d a y s o f l e s s o n s f o r m y s t u d e n t s . I m p r o v i s a t i o n p l a y e d a r o l e i n t h e c r e a t i o n o f t h e s e l e s s o n s a n d h o w t h e y u n f o l d e d . I d e c i d e d t o f o c u s o n t h e s e l e s s o n s , b e c a u s e , d u r i n g t h e m , I f e l t l i k e I w a s r e a l l y t e a c h i n g . I n t h i s c h a p t e r , I d e e p e n m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e i n t e r a c t i o n c o n t a i n e d w i t h i n m o m e n t s o f i m p r o v i s a t i o n i n t e a c h i n g . D r a w i n g o n w h a t I l e a r n e d a b o u t i m p r o v i s a t i o n a s a g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c o f t h i s k i n d o f t e a c h i n g , I b e g i n t o s e e t h a t I w a s n o t l e a r n i n g t o d o s o l o i m p r o v i s a t i o n . R a t h e r , m y i n t e r a c t i o n s w e r e c o n n e c t e d i n i m p o r t a n t w a y s t o m y s t u d e n t s ’ i n t e r a c t i o n s . W e w e r e l e a r n i n g t o i m p r o v i s e t o g e t h e r . T a l k a m o n g t e a c h e r s a n d s t u d e n t s i n l e s s o n s — t a l k t h a t i s n o t o n l y i n t e l l i g i b l e b u t s i t u a t i o n a l l y a p p r o p r i a t e a n d e f f e c t i v e - c a n b e s e e n a s t h e c o l l e c t i v e i m p r o v i s a t i o n o f m e a n i n g a n d s o c i a l o r g a n i z a t i o n f r o m m o m e n t t o m o m e n t . ( E r i c k s o n , 1 9 8 2 , p . 1 5 3 ) T h e c h a p t e r i s o r g a n i z e d i n t o t w o m a i n p a r t s . T h e f i r s t p a r t i s a n a c c o u n t o f f i v e m o m e n t s o f i m p r o v i s a t i o n a n d w h a t I w a s l e a r n i n g f r o m t h e m a t t h e t i m e . T h e s e c o n d p a r t r e v i s i t s t h e s e m o m e n t s t o r e i n t e r p r e t t h e m f r o m m y p e r s p e c t i v e n o w , t h r e e y e a r s l a t e r . A n d f i n a l l y , I c o n s i d e r w h a t i t i s t h a t I a m l e a r n i n g b y 2 2 5 2 2 6 d r a w i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n l e a r n i n g t o d o i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e ( B l o m 8 : C h a p l i n , 1 9 8 8 ; N o v a c k , 1 9 9 0 ) a n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . T h e m e t a p h o r o f i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e e n r i c h e s m y i m a g e o f i m p r o v i s a t i o n i n t e a c h i n g a s i t f o c u s e s o n t h e i n t e r d e p e n d e n t r e l a t i o n s h i p a m o n g t h e p a r t i c i p a n t s . M o m e n fi o f I m p r o v i s a t i o n W h a t f o l l o w s a r e f i v e e p i s o d e s f r o m m y t e a c h i n g o f a l e s s o n o n m e a s u r e m e n t f r o m t h e ” G e o m e t r y a n d M e a s u r e m e n t ” s t r a n d o f C S M P . T h i s l e s s o n s u m m a r y a p p e a r s a s f o l l o w s i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e : C A P S U L E L E S S O N S U M M A R Y M a k e l a b e l s f o r c a n s . D i s c u s s h o w s i z e p r o b l e m s m i g h t b e r e d u c e d b y m e a s u r i n g t o t h e n e a r e s t m i l l i m e t e r i n s t e a d o f t o t h e n e a r e s t c e n t i m e t e r . ( p . 6 ) I i n d i c a t e e a c h e p i s o d e ’ s r e l a t i o n s h i p t o w h a t w a s f o u n d i n t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . t a n 1 8 B y t h e t i m e I t a u g h t t h i s l e s s o n ( 1 0 / 1 2 / 8 9 ) , I h a d a l r e a d y l e a r n e d t h a t t a l k a l o n e w a s n o t e n o u g h t o m a k e a m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n . T h e l e s s o n a r o u n d p a t t e r n s i n C h a p t e r 4 w a s a n e x a m p l e o f w h e r e I s a w t h a t i t w a s n e c e s s a r y f o r t h e t a l k t o b e a b o u t s o m e t h i n g m a t h e m a t i c a l l y i n t e r e s t i n g . I f o u n d o u t t h e h a r d w a y t h a t i t w a s i m p o s s i b l e t o i n i t i a t e a n d s u s t a i n a m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n w i t h m y s t u d e n t s w h e n I , a s t h e t e a c h e r , h a d n o s e n s e o f w h a t t h e r e w a s t o t a l k a b o u t . T h e q u e s t i o n s i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w e r e a s t a r t i n g p o i n t , i n t h e s e n s e t h a t t h e y p r o v i d e d m e w i t h a n i n i t i a l q u e s t i o n t o p o s e t o m y s t u d e n t s . I a l s o h a d a p o o l o f g e n e r a l f o l l o w - u p q u e s t i o n s f r o m w h i c h t o d r a w . B u t w i t h o u t a v i s i o n o f t h e p u r p o s e , i t w a s h a r d f o r m e t o k n o w , s p e c i f i c a l l y , h o w t o r e s p o n d t o s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s a n d p u s h t h e i r t h i n k i n g o n p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s . 2 2 7 W i t h o u t k n o w i n g w h a t s t e p s t o t a k e t o m o v e f o r w a r d , I b e g a n f e e l i n g l i k e I w a s f a l l i n g b e h i n d . I n m y p a s t t e a c h i n g , m o v i n g a h e a d m e a n t k e e p i n g u p w i t h t h e p a c e o f t w o m a t h b o o k p a g e s a d a y . T h a t y e a r , I h a d b e e n j u d g i n g m y p r o g r e s s b a s e d o n C S M P ’ s m a s t e r s c h e d u l e o f l e s s o n s . I w a s i n t h e m i d s t o f t h e fi f t h w e e k o f s c h o o l a n d d o i n g a l e s s o n t h a t w a s t o h a v e c o m e a t t h e e n d o f t h e s e c o n d w e e k o f s c h o o l a c c o r d i n g t o C S M P ’ s s c h e d u l e . B y C S M P ’ s s t a n d a r d s I w a s f a r b e h i n d . B u t w a s I ? I f I c o u l d h a v e a b a n d o n e d t h e C S M P c a l e n d a r a s a b e n c h m a r k f o r p r o g r e s s , w h a t w o u l d I h a v e p u t i n i t s p l a c e ? H o w c o u l d I h a v e d e c i d e d f o r m y s e l f w h e t h e r o r n o t w e w e r e m a k i n g p r o g r e s s ? O n o u r f i r s t d a y o f w o r k i n g w i t h t h e c a n s , I s t o o d a t t h e f r o n t o f t h e r o o m a b o u t t o a s k a q u e s t i o n f r o m t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e w i t h o n e o f t h e s o u p c a n s t h e s t u d e n t s b r o u g h t t o s c h o o l i n m y h a n d s . " W h a t s h a p e d o y o u t h i n k t h e l a b e l w i l l b e w h e n I p u l l i t o f f t h e c a n ? " I a s k e d . R o n ' s a r m i m m e d i a t e l y s h o t i n t o t h e a i r . H i s w a s t h e o n l y h a n d r a i s e d . I n o d d e d i n h i s d i r e c t i o n a n d h e p r o c l a i m e d w i t h g r e a t c e r t a i n t y , " A r e c t a n g l e . " I a s k e d h i m h o w h e k n e w . H i s p e r s o n a l e x p e r i e n c e w i t h l a b e l s s u r p r i s e d m e . " M y m o m c o l l e c t s s o u p c a n l a b e l s . S h e s a v e s t h e m d o w n fl a t . " R o n e x p l a i n e d t h a t w h e n l e f t t o t h e i r o w n d e v i c e s , t h e l a b e l s " a u t o m a t i c a l l y c u r l u p b e c a u s e t h e y h a v e b e e n l i k e t h a t t o o l o n g . " B u t , " i f y o u s t r e t c h t h e m o u t , t h e s h a p e o f t h e l a b e l i s a r e c t a n g l e . " I f o l l o w e d u p R o n ' s r e s p o n s e w i t h o n e o f t h e q u e s t i o n s t h a t h a d b e c o m e p a r t o f m y r e p e r t o i r e o f m o v e s w h e n e v e r s o m e o n e r e s p o n d e d t o o n e o f m y i n i t i a l q u e s t i o n s . I a s k e d , " W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k ? " I n t h e f a c e o f R o n ' s e v i d e n c e , h o w c o u l d a n y o n e d i s a g r e e ? H o w o f t e n d o e s a n y o n e s e e l a b e l s t h a t h a v e b e e n p e e l e d o f f o f c a n s ? I n a w a y , w e w e r e l u c k y t h a t R o n ' s m o m w a s a d e n m o t h e r f o r B o y S c o u t s a n d h i t u p o n s a v i n g s o u p c a n l a b e l s a s a f u n d r a i s e r . E v e r y o n e a g r e e d w i t h R o n . I w a s l e f t t o w o n d e r h o w t h e o t h e r s t u d e n t s w o u l d h a v e a n s w e r e d t h e q u e s t i o n w i t h o u t t h e i r c l a s s m a t e ’ s e x p e r i e n c e t o d r a w o n . I w e n t 2 2 8 i n t o t h i s c l a s s t h i n k i n g t h a t s t u d e n t s w o u l d u s e t h e s h a p e o f t h e c a n t o f i g u r e o u t t h e s h a p e o f t h e l a b e l a n d t h a t w e m i g h t h a v e h a d a n i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n . I n e v e r e x p e c t e d a n y o f m y s t u d e n t s t o a n s w e r t h e q u e s t i o n o f t h e s h a p e o f t h e l a b e l s o q u i c k l y . I w a s i n t e r e s t e d i n f i n d i n g s o m e t h i n g m a t h e m a t i c a l t o t a l k a b o u t s o , I w a s n o t p r e p a r e d t o d r o p t h e i d e a o f d i s c u s s i n g r e c t a n g l e s a l t o g e t h e r . I f o l l o w e d u p o n R o n ’ s c o m m e n t b y a s k i n g , " W h a t m a k e s s o m e t h i n g a r e c t a n g l e ? " T h i s w a s n o t a q u e s t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I t w a s a q u e s t i o n t h a t I c a m e u p w i t h i n t h e s i t u a t i o n . B y f o u r t h g r a d e , m o s t s t u d e n t s w e r e a b l e t o i d e n t i f y s h a p e s a s r e c t a n g l e s b u t w h a t w a s a r e c t a n g l e ? I d e n t i f y i n g a s h a p e a s a r e c t a n g l e w a s o n e t h i n g . B e i n g a b l e t o a r t i c u l a t e t h e p r o p e r t i e s o f a r e c t a n g l e w a s q u i t e a n o t h e r . W h e n I a s k e d m y s t u d e n t s , " W h a t m a k e s s o m e t h i n g a r e c t a n g l e ? " s e v e r a l s t u d e n t s , i n c l u d i n g J o h n , r a i s e d t h e i r h a n d s . H e w a s a r a t h e r s h y a n d t i m i d a b o u t o f f e r i n g h i s i d e a s b u t w h e n h e d i d , w e a l w a y s l e a r n e d a l o t f r o m h i m . I h a d p r i v a t e l y t o l d h i m h o w m u c h I v a l u e d h i s c o n t r i b u t i o n s . I w a s n o t s u r e t h a t h e b e l i e v e d m e . W h e n e v e r I s a w J o h n ' s h a n d r a i s e d , I c a l l e d o n h i m . H e s a i d , ” I f t w o e n d s a r e t h e s a m e s i z e , l i k e i f t w o e n d s a r e l i t t l e a n d t w o e n d s a r e l i t t l e r t h a n t h e o t h e r t w o e n d s . ” W h a t J o h n s a i d s o u n d e d l i k e t h e b e g i n n i n g o f a d e f i n i t i o n f r o m w h i c h o n e c o u l d b e g i n t o i n f e r p r o p e r t i e s o f r e c t a n g l e s ( i . e . o p p o s i t e s i d e s a r e e q u a l ) . H e s t r u g g l e d f o r l a n g u a g e . I h o p e d o t h e r p e o p l e c o u l d o f f e r l a n g u a g e t h a t w o u l d h e l p J o h n a r t i c u l a t e w h a t h e m e a n t . M s . H e a t o n : O . K . , w h a t d o p e o p l e t h i n k a b o u t J o h n ' s i d e a ? S o , t w o e n d s a r e l i t t l e r t h a n t h e o t h e r t w o e n d s . A r e t h e r e o t h e r t h i n g s t h a t m a k e s o m e t h i n g a r e c t a n g l e o r d o y o u h a v e o t h e r c o m m e n t s a b o u t J o h n ' s i d e a ? L u k e ? L u k e : I c h a l l e n g e . I t h i n k l i k e i f t w o e n d s a r e l i t t l e r t h a n t h e o t h e r t w o e n d s t h e n i t w o u l d b e g o i n g d o w n l i k e a t r i a n g l e . I t w o u l d b e , i t j u s t w o u l d n ' t b e a r e c t a n g l e . 2 2 9 W i t h a s o m e w h a t f r u s t r a t e d l o o k o n h i s f a c e , J o h n a s k e d , " C a n I s h o w h i m o n t h e b o a r d ? " I w o n d e r e d w h e n a n d h o w o f t e n I s h o u l d e n c o u r a g e s t u d e n t s t o u s e p i c t u r e s t o e x p l a i n t h e i r i d e a s . A p i c t u r e m i g h t h e l p J o h n e x p l a i n h i s i d e a . I t a l s o m i g h t h e l p s o m e o n e e l s e c o m e w i t h l a n g u a g e t o h e l p c l a r i f y t h e i r o w n o r J o h n ’ s i d e a . S o m e t i m e s i t s e e m e d w o r t h w h i l e g r o p i n g f o r l a n g u a g e . O t h e r t i m e s i t s e e m e d i m p o r t a n t t o d r a w p i c t u r e s t o h e l p c o m m u n i c a t e y o u r i d e a s t o s o m e o n e e l s e . W h e n t o d o w h a t a n d f o r w h a t p u r p o s e s w e r e q u e s t i o n s I c o n t i n u e d t o a s k m y s e l f . T h e r e w e r e n o r u l e s t o f o l l o w a b o u t w h a t t o d o w h e n . A t t h a t m o m e n t , J o h n ' s c h e e k s w e r e fl u s h e d , h e s e e m e d a t a l o s s f o r w o r d s , a n d I d i d n o t w a n t h i m t o g i v e u p . I t w a s s o m e t h i n g I h a d s e e n h i m d o a t o t h e r t i m e s w h e n s o m e o n e d i s a g r e e d w i t h h i m . I h a n d e d h i m a p i e c e o f c h a l k a n d h e d r e w a r e c t a n g l e . " T h i s i s w h a t I m e a n . T h e s e t w o e n d s a r e l i t t l e a n d t h e s e t w o e n d s a r e l o n g , " h e e x p l a i n e d . C ] R i s i n g i n h i s c h a i r t o s e e t h e b o a r d , L u k e s a i d , " O h . T h a t ' s n o t w h a t y o u s a i d . " W i t h ‘ a s l i g h t l y p a i n e d l o o k o n h i s f a c e , J o h n s o f t l y r e p l i e d , " W e l l , I t r i e d t o s a y i t . " I w a n t e d t o s u p p o r t J o h n ' s e f f o r t s . W h a t h e w a s t r y i n g t o a r t i c u l a t e w a s d i f f i c u l t . I n o t h e r s i t u a t i o n s , I h a d s e e n L u k e t r y t o u n d e r s t a n d s o m e t h i n g f r o m a n o t h e r ' s p e r s p e c t i v e s o I a s s u m e d t h a t h e h a d r e a l l y t r i e d t o p i c t u r e i n h i s m i n d w h a t J o h n h a d d e s c r i b e d . A n d a p p a r e n t l y w h a t h e s a w i n h i s m i n d d i d n o t r e s e m b l e a r e c t a n g l e . I d i d n o t w a n t J o h n t o d r o p o u t o f t h i s e x c h a n g e b e c a u s e o f w h a t I k n e w a b o u t h i m a s w e l l a s w h a t I k n e w a b o u t L u k e . O f t e n J o h n r e t ‘ t a l l J o l J o l m c t h i : t h e t h l : l o t t h e H e r e c t V ' O i ( 1 0 h ] 2 3 0 r e t r e a t e d i n t o s i l e n c e w h e n s o m e o n e q u e s t i o n e d h i m . I w a n t e d h i m t o k e e p t a l k i n g a n d t r y t o r e s p o n d t o L u k e . L u k e a p p e a r e d t o b e g e n u i n e l y p u z z l e d b y J o h n ’ s d e f i n i t i o n . H e a l s o h a d p a t i e n c e f o r l i s t e n i n g t o o t h e r ’ s i d e a s . I s a i d , " J o h n , h o w c o u l d y o u m a k e i t c l e a r e r t o L u k e w h a t y o u m e a n t ? " J o h n c h o s e a c o u p l e o f n e w w o r d s a n d t r i e d a g a i n , " T w o o f t h e e n d s a r e s h o r t e r a n d t w o o f t h e e n d s a r e l o n g e r . " I t w a s n o t c l e a r t o m e w h e t h e r t h i s m a d e a n y m o r e s e n s e t o L u k e . I t h o u g h t i t m i g h t h a v e b e e n a g o o d t i m e t o h a v e o t h e r s j o i n t h i s d i s c u s s i o n . I n o t i c e d D a v i d o n h i s k n e e s i n h i s c h a i r w i t h h i s h a n d w a v i n g i n t h e a i r . I t w a s c l e a r h e h a d s o m e t h i n g t o s a y . I i n v i t e d h i m t o s h a r e w h a t h e w a s t h i n k i n g . D a v i d s a i d , ” C a n I s h o w s o m e t h i n g u p o n t h e b o a r d ? I d i s a g r e e w i t h J o h n w h e n h e s a i d t h a t b e c a u s e , l i k e , s e e , l i k e t h i s , i f y o u h a v e f i v e e n d s a n d t h e s e t w o e n d s a r e l o n g e r , i t i s n o t i n t h e s h a p e o f a r e c t a n g l e . ” / \ H e h a d a g o o d p o i n t . T h i s d i d f i t J o h n ’ s d e f i n i t i o n b u t i t w a s d e f i n i t e l y n o t a r e c t a n g l e . I g r e w i n c r e a s i n g l y c o n c e r n e d , h o w e v e r , a b o u t t h e t o n e o f D a v i d ’ s v o i c e . T o m e , i t h i n t e d a t c o m p e t i t i o n r a t h e r t h a n c o o p e r a t i o n . I w o n d e r e d ‘ w h a t J o h n w a s t h i n k i n g . H o w w a s h e f e e l i n g ? I n h i s q u i e t w a y , J o h n w a s a l e a d e r i n t h i s c l a s s . W h i l e m o r e v o c a l , D a v i d w a s a l s o a l e a d e r . T h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e t w o o f t h e m a n d s e v e r a l o t h e r p a i r s o f s t u d e n t s i n t h e c l a s s t h i s y e a r h a d p r o m p t e d m e t o b e g i n n o t i c i n g t h e f i n e d i s t i n c t i o n b e t w e e n d i s a g r e e i n g w i t h s o m e o n e f o r t h e s a k e o f d i s a g r e e i n g w i t h t h e p e r s o n a n d d i s a g r e e i n g w i t h s o m e o n e b e c a u s e y o u d i s a g r e e d w i t h t h e i r i d e a s . I t e n d e d t o s t e p i n a n d t a k e t h e l e a I n e I ' l i k e t h i s r a n t h r e e n d t o o l W a s o r M t e a c j E X p I H o n r 8 5 p 2 3 1 l e a d w h e n I t h o u g h t i t w a s t h e f o r m e r a n d r e m a i n q u i e t d u r i n g t h e l a t e r . I t w a s n e v e r e a s y f o r m e t o d e c i d e w h i c h w a s w h i c h . I o f t e n r e c o g n i z e d w h a t s e e m e d l i k e p i c k i n e s s a f t e r i t h a d g o n e t o o f a r . I h e l d b a c k h e r e t o s e e i f I c o u l d t e l l w h i c h t h i s w a s . J o h n l o o k e d a t D a v i d ’ s d r a w i n g a n d s a i d , " W e l l , y o u ' d n e e d f o u r . " D a v i d r a n h i s f i n g e r a r o u n d t h e s i d e s o f t h e f i g u r e h e d r e w a n d c o u n t e d , " O n e , t w o , t h r e e , f o u r , f i v e . " O n h i s o w n , J o h n r e v i s e d h i s d e f i n i t i o n . " T h e r e i s t w o s h o r t e n d s a n d t w o l o n g e n d s a n d t h e r e i s n o t f i v e e n d s . T h e r e i s f o u r e n d s . " D a v i d t o o k a n e r a s e r , r e m o v e d a f i f t h s i d e a n d s a i d , " T h e r e , t h a t h a s f o u r e n d s . " / \ W a s D a v i d r e a l l y h e l p i n g J o h n t o r e v i s e a n d c o n s t r u c t a d e f i n i t i o n o f a r e c t a n g l e o r w a s h e p i c k i n g a t J o h n a n d h i s i d e a s , t r y i n g t o m a k e J o h n l o o k f o o l i s h ? A s a t e a c h e r , i t w a s a h a r d c a l l . D a v i d ' s q u e s t i o n s w e r e f o r c i n g J o h n t o b e m o r e e x p l i c i t a b o u t t h e a s s u m p t i o n s e m b e d d e d i n h i s d e f i n i t i o n b u t a t w h a t c o s t ? H o w w a s J o h n g o i n g t o f e e l w h e n t h i s w a s o v e r ? H o w w o u l d I k n o w ? I n r e s p o n s e t o D a v i d ' s d r a w i n g , J o h n a s k e d , " C a n y o u c o n n e c t i t ? " T o t h i s D a v i d r e s p o n d e d , " I t i s c o n n e c t e d , " a n d r a n h i s f i n g e r a r o u n d t h e s i d e s . M y s e n s e w a s t h a t D a v i d d i d u n d e r s t a n d w h a t J o h n s a i d a n d t r i e d t o f i n d h o l e s i n h i s s t a t e m e n t . T h i s c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s a r e a s o n a b l e w a y t o h e l p J o h n r e v i s e h i s i d e a s a n d f o r t h e g r o u p t o c o n s t r u c t s o m e s h a r e d d e f i n i t i o n o f a r e c t a n g l e . B u t I f e l t u n e a s y a b o u t t h e e x c h a n g e a n d n o t i c e d t h a t o t h e r s d i d , t o o . T h e r e w a s a s h a r p n e s s i n D a v i d ' s v o i c e a n d a r e d n e s s i n J o h n ' s f a c e t h a t I w a s C E t h I d o t a l . " J o l t h e d e s p o i g m W i t l t h i s t h a t “ m O f W “ h a n e t } l e a d : 2 3 2 c e r t a i n w a s a p p a r e n t t o o t h e r s . S o m e s t u d e n t s s q u i r m e d i n t h e i r s e a t s a n d g l a n c e d f r o m t h e t w o b o y s a t t h e c h a l k b o a r d , t o m e a t t h e s i d e o f t h e r o o m , a n d t h e n b a c k t o t h e b o y s a t t h e f r o n t . I r e a d t h e i r m o v e m e n t s a s a r e q u e s t f o r m e t o d o s o m e t h i n g . I m o v e d t o t h e f r o n t o f t h e r o o m a n d a s k e d , " C a n w e t h i n k o f a w a y t o t a l k a b o u t a r e c t a n g l e t h a t d e s c r i b e s a s h a p e t h a t l o o k s l i k e t h i s ? " " J o h n h a s g i v e n u s a g o o d s t a r t . T w o e n d s a r e s h o r t a n d t w o e n d s a r e l o n g a n d t h e r e a r e f o u r e n d s . H o w e l s e c o u l d w e , w h a t c o u l d w e d o t o a d d t o t h a t d e s c r i p t i o n t o m a k e i t c l e a r e r t h a t w e a r e t a l k i n g a b o u t s o m e t h i n g l i k e t h i s ? " I p o i n t e d t o t h e r e c t a n g l e J o h n d r e w . D a v i d a n d J o h n r e t u r n e d t o t h e i r s e a t s . T h e g r o u p r e l a x e d . T h e t e n s i o n i n t h e a i r e a s e d . I t w a s n o w a g r o u p t a s k t o u s e J o h n ' s i d e a s t o c o n s t r u c t a d e f i n i t i o n o f a r e c t a n g l e . A f t e r c l a s s . I n m y j o u r n a l ( 1 0 / 1 2 / 8 9 ) , I r e p o r t e d o n a c o n v e r s a t i o n I h a d w i t h t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r i m m e d i a t e l y a f t e r c l a s s . S h e s a i d t o m e , ” A f t e r t h i s c l a s s , I d o n ’ t c a r e i f y o u s p e n d t w o w e e k s o n t h e c a n . ” I r e s p o n d e d t o h e r t h a t i n t h e p a s t I w o u l d h a v e j u s t t o l d s t u d e n t s h o w t o m a k e t h e l a b e l s a n d w e w o u l d h a v e g o t t e n i t d o n e i n o n e d a y . S h e s a i d s h e t h o u g h t t h i s w a s a n e x a m p l e o f w h a t c a n h a p p e n w h e n y o u g i v e s t u d e n t s t i m e t o t a l k a b o u t t h e i r i d e a s . W h e n I s t a r t e d t h i s l e s s o n , t o m a k e l a b e l s f o r c a n s w a s t h e d r i v i n g g o a l f o r w h a t I w a s d o i n g b u t I w a s b e g i n n i n g t o t h i n k t h a t a c t u a l l y m a k i n g t h e m m i g h t n o t b e t h e p o i n t . T h i s w a s a n e x a m p l e o f a r i c h a c t i v i t y w i t h t h e p o t e n t i a l f o r l e a d i n g u s i n l o t s o f d i f f e r e n t , m a t h e m a t i c a l l y i n t e r e s t i n g d i r e c t i o n s . I d e c i d e d I M M s t r h a i l o n l e I I h a c b y a : 2 3 3 w o u l d s p e n d a f e w d a y s p l a y i n g a r o u n d w i t h w h a t e v e r c a m e u p . T h i s w a s a w h o l e n e w w a y f o r m e t o t h i n k a b o u t a m a t h c u r r i c u l u m . O n t h e o n e h a n d , t h e s t r u c t u r e d f r e e d o m t o m o v e a s I p l e a s e d m a d e m e a b i t n e r v o u s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d i s c u s s i o n o f r e c t a n g l e s w a s n o t h i n g I p l a n n e d y e t i t c r e a t e d t h e l o n g e s t s u s t a i n e d f e e l f o r t h i s t e a c h i n g t h a t I h a d e x p e r i e n c e d s i n c e I s t a r t e d t h i s t e a c h i n g b a c k i n S e p t e m b e r . T h e f o l l o w i n g i s w h a t h a d a p p e a r e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e : H o l d u p a c a n w i t h a n e a s i l y r e m o v a b l e l a b e l . T r a c e s t r a i g h t d o w n t h e s i d e o f t h e c a n ; t h e s e a m i s a n a t u r a l g u i d e . T : I f I c u t t h e l a b e l s t r a i g h t d a m t h e s i d e a n d t h e n f l a t t e n i t , w h a t s h a p e d o y o u t h i n k t h e l a b e l w i l l h a v e ? S : A c i r c l e . S : A r e c t a n g l e . S : A n o v a l . ( p - 7 ) I h a d t a k e n m y s t u d e n t ’ s r e s p o n s e o f a r e c t a n g l e a n d t u r n e d i t i n t o a d i s c u s s i o n b y a s k i n g p e o p l e t o t a l k a b o u t t h e i r a s s u m p t i o n s a b o u t r e c t a n g l e s . A f t e r o n e d a y , w e h a d n o t m o v e d b e y o n d d i s c u s s i n g t h e r e c t a n g u l a r s h a p e o f t h e l a b e l . I h a d a l r e a d y m a d e a d e c i s i o n n o t t o r u s h i n t o m a k i n g t h e l a b e l f o r t h e s a k e o f g e t t i n g i t d o n e . T h e r e s e e m e d t o b e a l o t w e c o u l d e x p l o r e i n t h e p r o c e s s . W h a t e l s e c o u l d I m a k e i n t o a d i s c u s s i o n ? S i n u s : U n b e k n o w n s t t o t h e s t u d e n t s , t h e n e x t d a y w e h a d m a t h ( 1 0 / 1 6 / 8 9 ) , I h a d a l o n g p i e c e o f s t r i n g i n m y p o c k e t a n d p l a n s i n m y h e a d f o r u s i n g i t t o m e a s u r e t h e c i r c u m f e r e n c e o f a c a n . H e r e w e r e t h e d i r e c t i o n s a s t h e y a p p e a r e d i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e : 2 3 4 M e a s u r e t o t h e n e a r e s t c e n t i m e t e r t h e c i r c u m f e r e n c e o f y o u r c a n a n d i t s h e i g h t . U s e a m e t r i c t a p e m e a s u r e , o r c u t p i e c e s o f s t r i n g i n t h e a p p r o p r i a t e l e n g t h s a n d t h e n m e a s u r e t h e s t r i n g . L a b e l t h e m e a s u r e m e n t s o f y o u r c a n . ( p . 8 ) I d e c i d e d t o k e e p t h e s t r i n g i n m y p o c k e t u n t i l I s a w h o w s o m e o n e m e a s u r e d t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c a n . I w a n t e d t h e s t u d e n t s t o s e e t h e n e e d f o r a n a l t e r n a t i v e m e t h o d b e f o r e I g a v e t h e m o n e . T h i s w a s m u c h d i f f e r e n t t h a n w h a t I w o u l d h a v e d o n e i n t h e p a s t . I n t h e p a s t , I w o u l d h a v e b e e n f o c u s e d o n g e t t i n g t h e l a b e l m a d e . I w a s n o w t r y i n g t o b e r e s p o n s i v e t o m y s t u d e n t s ’ s e n s e - m a k i n g a n d o p e n t o a l t e r n a t i v e w a y s o f t h i n k i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c s . A r i f v o l u n t e e r e d t o s h o w u s a m e t h o d o f m e a s u r i n g a c a n t h a t h e t h o u g h t w o u l d w o r k . A l l e y e s w e r e g l u e d o n h i m a s h e s t o o d b e f o r e t h e g r o u p r o l l i n g t h e c a n a l o n g h i s r u l e r . T h e r u l e r w a s a f a m i l i a r m e a s u r e m e n t t o o l f o r m y s t u d e n t s . E a c h o f t h e m h a d o n e s t o r e d i n t h e i r d e s k s . T h e m e a s u r i n g o f a r o u n d o b j e c t w i t h a s t r a i g h t e d g e w a s a n a w k w a r d p r o c e s s t o w a t c h a n d i t a p p e a r e d a n e v e n m o r e a w k w a r d p r o c e s s t o d o . T h e c a n s l i p p e d , t h e r u l e r s l i d a n d s h o o k , fi n g e r s g o t i n t h e w a y , e y e s c o u l d n o t r e a d n u m b e r s . A r i f s t a r t e d , s t o p p e d , a n d b e g a n t o m e a s u r e t h e c a n s e v e r a l t i m e s . H e d e c i d e d t o k n e e l o n t h e fl o o r , e y e l e v e l w i t h t h e c a n w h i c h r e s t e d a t o p a n e m p t y d e s k a t t h e f r o n t o f t h e r o o m . O n e h a n d h e l d t h e r u l e r s t r a i g h t , p a r a l l e l t o t h e t o p o f t h e d e s k , p e r p e n d i c u l a r t o a n d i n f r o n t o f t h e c a n . T h e o t h e r h a n d r e a c h e d b e h i n d t h e r u l e r a n d r o t a t e d t h e c a n a l o n g t h e e d g e o f t h e r u l e r . H e s l o w l y r o t a t e d t h e c a n o n e t i m e a s h e m a r k e d t h e s t a r t o f t h e r o t a t i o n o n t h e s i d e o f t h e c a n a n d t r i e d t o w a t c h a s t h e n u m b e r o f c e n t i m e t e r s i n c r e a s e d . W h e n t h e c a n r o t a t e d b a c k t o w h e r e i t s t a r t e d , A r i f a n n o u n c e d , " a b o u t 2 2 c e n t i m e t e r s . " A s h e r e t u r n e d t o h i s s e a t , I r e c o r d e d A r i f ' s f i n d i n g u n d e r t h e w o r d ’ c i r c u m f e r e n c e ’ o n t h e c h a l k b o a r d a n d n o t e d h i s n a m e D E X w a r 2 3 5 n e x t t o i t . H i s n o b l e b u t c u m b e r s o m e a t t e m p t s e t a p e r f e c t s t a g e f o r w h e r e I w a n t e d t o m o v e n e x t . T h e s t u d e n t s d e c i d e d , a f t e r w i t n e s s i n g t h e p r o b l e m s A r i f f a c e d w i t h t h e r u l e r , t h a t a n a l t e r n a t i v e m e a n s , p r e f e r a b l e s o m e t h i n g t h a t w o u l d b e n d a r o u n d t h e c a n , w o u l d b e u s e f u l . A r i f c o n c u r r e d . I p u l l e d t h e s t r i n g f r o m m y p o c k e t a n d o f f e r e d i t a s a m e a n s f o r m e a s u r i n g t h e c i r c u m f e r e n c e . W u L e e v o l u n t e e r e d t o c o m e f o r w a r d a n d d e m o n s t r a t e d a w a y t o u s e t h e s t r i n g . A l l e y e s w e r e f i x e d o n h e r a s s h e h e l d t h e e n d s o f t h e s t r i n g a n d w r a p p e d i t a r o u n d t h e m i d d l e o f t h e c a n . S h e f o u n d t h a t t h e s t r i n g w a s l o n g e r t h a n t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c a n . W i t h i n t e n s e c o n c e n t r a t i o n , s h e u s e d t h e f i n g e r s o f o n e h a n d t o m a r k t h e l e n g t h o f s t r i n g s h e n e e d e d . A s s h e p u l l e d t h e s t r i n g f r o m t h e c a n , s h e t r i e d t o k e e p h e r f i n g e r s p o s i t i o n e d i n t h e s a m e p l a c e . I n o t i c e d h e r f i n g e r s s l i p . S h e g l a n c e d a t m e o v e r t h e t o p o f h e r g l a s s e s a n d r e p l a c e d h e r f i n g e r s a t a b o u t t h e s a m e s p o t . I s u s p e c t e d t h i s s l i p o f h e r f i n g e r s w a s t r o u b l e s o m e t o h e r . I w a t c h e d h e r s t r i v e f o r p r e c i s i o n a n d p e r f e c t i o n i n e v e r y t h i n g s h e d i d . I d e c i d e d n o t t o s a y a n y t h i n g . S h e l a i d t h e l e n g t h o f s t r i n g b e t w e e n h e r f i n g e r s a l o n g t h e e d g e o f h e r r u l e r a n d a n n o u n c e d , " 2 6 c e n t i m e t e r s . " A s I n o t e d t h i s o n t h e c h a l k b o a r d a l o n g w i t h h e r n a m e , m a n y h a n d s r o s e i n t h e a i r . O t h e r s w a n t e d t o t r y m e a s u r i n g t h e c a n w i t h t h e s t r i n g . R a t h e r t h a n s p e n d a n y t i m e c r i t i q u i n g W u L e e ' s m e t h o d , I i n v i t e d L u k e f o r w a r d . A f t e r w a t c h i n g W u L e e , h e d i s c l o s e d h i s c o n c e r n f o r t h e t e n s i o n o f t h e s t r i n g . " 1 t h i n k i t m i g h t w o r k t o p l a c e t h e s t r i n g a t t h e b o t t o m o f t h e c a n , w r a p i t a r o u n d , a n d t h e n m a k e s u r e i t i s n i c e a n d t i g h t . " I a s k e d , " W h y d o e s i t n e e d t o b e t i g h t ? " L u k e r e a s o n e d , " B e c a u s e i f i t i s l o o s e , i t c o u l d a d d a f e w m o r e c e n t i m e t e r s t h a n w h a t i t r e a l l y i s . " L u k e t r i e d o u t a n o t h e r m e t h o d . P l a c i n g t h e s t r i n g a t t h e b o t t o m o f t h e c a n l e t h i m u s e t h e d e s k t o s t e a d y t h e s t r i n g . H i s f i n g e r s m a r k e d t h e s p o t a n d h e l a i d t h e s t r i n g o n t h e r u l e r a n d p u l l e d i t t i g h t . " 2 1 c e n t t h e m v o l u r e p r . u n c l e e m p . t h a t I t h e r r k m o v r e m e d o w t h i n k l e s s 0 E l ' e n 2 3 6 c e n t i m e t e r s , " h e a n n o u n c e d . A s I p u t h i s n a m e a n d m e a s u r e m e n t o n t h e b o a r d , t h e r e w e r e m a n y h a n d s i n t h e a i r a g a i n . T h i s t i m e I s a w F a r u q ' s h a n d . I c o u l d h a r d l y b e l i e v e i t . F a r u q n e v e r v o l u n t e e r e d a n d I w a s o f t e n u n c e r t a i n a b o u t h o w t o d r a w h i m i n . H e r e p r e s e n t e d a h a r d i s s u e f o r m e i n c h o o s i n g t o f o c u s o n a c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . I t h o u g h t t h a t d o i n g m a t h e m a t i c s i n w a y t h a t e m p h a s i z e d l a n g u a g e a n d r e a s o n i n g w a s v e r y d i f f i c u l t f o r h i m . H e w a s s o m e o n e t h a t c o u l d p r o b a b l y " d o " m a t h i f I w o u l d j u s t t e a c h r u l e s a n d l e t h i m p r a c t i c e t h e m . M o r a l l y , t h i s s e e m e d i r r e s p o n s i b l e f o r I k n e w t h a t h e w o u l d n o t h a v e k n o w n h o w t o w o r k a p r o b l e m i f h e f o r g o t t h e r u l e . A n d I h a d a l r e a d y s e e n t h a t r e m e m b e r i n g r u l e s a n d f o l l o w i n g p r o c e d u r e s w a s h a r d f o r h i m . W h a t w o u l d h e d o w h e n f a c e d w i t h a p r o b l e m f o r w h i c h t h e r e w e r e n o r u l e s ? I k n e w t h a t t h e t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g I a s k e d h i m t o d o w a s d e m a n d i n g b u t h o w c o u l d I e x p e c t l e s s o f h i m t h a n t h e o t h e r s ? F a r u q s t e p p e d f o r w a r d . T h e r o o m f e l l s i l e n t . E v e r y o n e r e c o g n i z e d t h i s w a s a r a r e e v e n t . F a r u q c a r e f u l l y m e a s u r e d t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c a n . H e b e n t t o h i s k n e e s a s A r i f d i d , p u l l e d t h e s t r i n g n o t q u i t e a s t i g h t a s L u k e , a n d w a t c h e d s o h i s f i n g e r s d i d n o t s l i p n e a r l y a s m u c h a s W u L e e ' s . F a r u q l a i d t h e s t r i n g a l o n g t h e r u l e r a n d w h i s p e r e d , " 2 3 c e n t i m e t e r s . " I a d d e d h i s n a m e a n d m e a s u r e m e n t t o t h e g r o w i n g l i s t o n t h e b o a r d . A s F a r u q r e t u r n e d t o h i s s e a t , I n o t i c e d t h a t h e g l a n c e d s e v e r a l t i m e s o v e r h i s s h o u l d e r a t t h e c h a l k b o a r d . W h e n I s a w h i m d o t h i s I r e a l i z e d t h i s w a s p r o b a b l y t h e f i r s t t i m e h i s n a m e h a d b e e n a t t a c h e d t o a n i d e a i n m a t h c l a s s . I h a d n e v e r s e e n h i m l o o k m o r e c o n f i d e n t . I f e l t a w f u l . I h a d b e e n t h i n k i n g t h a t l e a r n i n g m a t h f o r u n d e r s t a n d i n g w a s j u s t t o o h a r d f o r h i m . I t h a d t a k e n u n t i l m i d - O c t o b e r f o r m e t o s e e t h a t h e h a d s o m e t h i n g t o c o n t r i b u t e . I q u i c k l y c a l l e d o n J e n n i f e r w h o , i t t u r n e d o u t , h a d b e e n t h i n k i n g a b o u t t h e f i n g e r s l i p p a g e p r o b l e m . S h e h a d n o t i c e d t h a t c e n t i m e t e r s a p p e a r e d t o g e t w e r e e n ; l o s t c a n s t r i r d e r r h e r , S h h : s t r i n l a r u l e r e s t l e p a c i n m o r e c o u l d F a r u q I l v a s i h a d h t W h a t a h a n d s S i p h o ' g P r o b l e r h o w t o b l i n g i t c o n t r i b L g e n e r a ] , h a d b e e n 2 3 7 l o s t o r f o u n d s o m e w h e r e i n t h e p r o c e s s b e t w e e n w r a p p i n g t h e s t r i n g a r o u n d t h e c a n a n d p l a c i n g i t a l o n g t h e e d g e o f t h e r u l e r . S h e i n q u i r e d , " C o u l d I c u t t h e s t r i n g ? " T h i s w a s a n e w i d e a f o r a l l o f u s . I a s k e d h e r i f s h e w o u l d l i k e t o d e m o n s t r a t e . S h e f e t c h e d a p a i r o f s c i s s o r s . C a r e f u l l y , l i k e t h e s t u d e n t s b e f o r e h e r , s h e w r a p p e d t h e s t r i n g a r o u n d t h e c a n . T h i s t i m e , h o w e v e r , t h e s t r i n g w a s s n i p p e d a t t h e p o i n t w h e r e i t m a d e i t s w a y a r o u n d t h e c a n . T h e l e f t o v e r p i e c e o f s t r i n g f e l l t o t h e fl o o r . J e n n i f e r m e a s u r e d t h e c u t p i e c e o f s t r i n g a l o n g t h e e d g e o f a r u l e r a n d d e c l a r e d , " 2 2 a n d a h a l f c e n t i m e t e r s . " B y n o w , m o r e t h a n 2 0 m i n u t e s i n t o t h e l e s s o n , s o m e s t u d e n t s w e r e g e t t i n g r e s t l e s s w h i l e o t h e r s a p p e a r e d l i s t l e s s . I h a d b e e n h a v i n g s u c h d i f f i c u l t y w i t h p a c i n g . H o w l o n g s h o u l d I s t a y w i t h s o m e t h i n g ? H o w s h o u l d I d e c i d e w h e n t o m o v e o n ? I h a d p l a n n e d t o s t o p a f t e r L u k e b u t t h e n I s a w F a r u q ' s h a n d . H o w c o u l d I h a v e n o t c a l l e d o n h i m ? I h a d b e e n s o p r e o c c u p i e d w i t h t h o u g h t s o f F a r u q , I j u s t c a l l e d o n s o m e o n e e l s e w i t h o u t m u c h d e l i b e r a t e t h o u g h t a b o u t w h a t I w a s d o i n g o r w h y . T h e m e a s u r i n g o f a s i n g l e c a n h a d g o n e o n w a y t o o l o n g . I t h a d h e l d t h e a t t e n t i o n o f t h e f i v e s t u d e n t s w h o h a d h a d a c h a n c e t o m e a s u r e b u t w h a t a b o u t t h e o t h e r s ? I d e c i d e d t h a t I n e e d e d t o g e t a c a n a n d s t r i n g i n t o t h e h a n d s o f e v e r y o n e a s q u i c k l y a s p o s s i b l e . O u t o f t h e c o m e r o f m y e y e I s a w S i p h o ' s h a n d r a i s e d . I w o n d e r e d w h a t I s h o u l d d o . I b e g a n t h e y e a r w i t h t h e p r o b l e m o f g e t t i n g a d i s c u s s i o n g o i n g . N o w , I f o u n d m y s e l f w i t h t h e p r o b l e m o f h o w t o e n d o n e . H o w l o n g s h o u l d I l e t t h i s d i s c u s s i o n g o o n ? H o w s h o u l d I b r i n g i t t o a c l o s e ? W h a t s h o u l d I d o a b o u t t h e s t u d e n t s w h o w e r e n o t c o n t r i b u t i n g ? W h a t w e r e t h e y d o i n g ? H o w c o u l d I t e l l i f t h o s e w h o w e r e s i l e n t w e r e e n g a g e d ? A t t h e t i m e , i n a d d i t i o n t o m y c o n c e r n s a b o u t h o w t o e n d d i s c u s s i o n s i n g e n e r a l , I w a s r e l u c t a n t t o c a l l o n S i p h o i n p a r t i c u l a r . H i s w a y o f c o n t r i b u t i n g h a d b e e n b o t h e r i n g m e . P e r h a p s i t w a s m o r e a c c u r a t e t o s a y t h a t w h a t w a s 2 3 8 b o t h e r i n g m e w a s t h e w a y I h a d b e e n f e e l i n g w h e n I s a w t h a t S i p h o h a d . s o m e t h i n g h e w a n t e d t o c o n t r i b u t e . I h a t e d t o a d m i t t h a t a t t i m e s I f e l t l i k e I d i d n o t w a n t t o c a l l o n h i m . B u t I d i d . F r o m m y p e r s p e c t i v e , h e a l m o s t n e v e r g a v e a c o n c i s e a n s w e r . I t w a s a l w a y s a l o n g , d e t a i l e d , r a m b l i n g e x p l a n a t i o n , h a r d f o r m e t o f o l l o w . I f I w a s l o o k i n g f o r a w a y t o e n d a d i s c u s s i o n , c a l l i n g o n S i p h o w o u l d n o t b r i n g c l o s u r e . O f t e n t i m e s , b e c a u s e h i s i d e a s d i d n o t n e c e s s a r i l y f o l l o w o n t h o s e t h a t h a d c o m e b e f o r e , o r i t w a s n o t a p p a r e n t t o m e t h a t t h e y d i d , I q u e s t i o n e d w h e t h e r h e h a d b e e n l i s t e n i n g . I k n e w I w a s g o i n g t o n e e d t o l i s t e n c a r e f u l l y f o r a l o n g p e r i o d o f t i m e i f I d i d d e c i d e t o c a l l o n h i m . D i d I h a v e t h e e n e r g y ? C o u l d I s p a r e t h e t i m e ? D i d I h a v e t h e p a t i e n c e ? I h a d a l r e a d y l e t t h i s p a r t o f t h e l e s s o n g o o n t o o l o n g . T h i s w a s r e a s o n e n o u g h t o m o v e o n . I t w a s a l s o r e a s o n t o t a k e a f e w m o r e m i n u t e s a n d h e a r w h a t S i p h o h a d t o s a y . " O . K . , S i p h o , t h i s i s t h e l a s t c o m m e n t b e f o r e w e a l l g e t c a n s . W h a t a r e y o u t h i n k i n g ? " S i p h o b e g a n , " I w a n t e d t o s a y t h a t t h e y e a c h g o t d i f f e r e n t a n s w e r s . I n o t i c e t h a t t h e y e a c h g o t d i f f e r e n t a n s w e r s a n d t h e y u s e d t h e s a m e s t r i n g . I a m w o n d e r i n g w h y t h e y g o t d i f f e r e n t a n s w e r s i f t h e y m e a s u r e d t h e s a m e c a n . " H e h a d m a d e a k e e n o b s e r v a t i o n . I s c o l d e d m y s e l f f o r h a v i n g t h o u g h t o f n o t l e t t i n g h i m p a r t i c i p a t e . T h e a c c u r a c y o f m e a s u r e m e n t w a s a n i m p o r t a n t i d e a a n d h i s o b s e r v a t i o n o f t h e i n a c c u r a c y o f m e a s u r e m e n t w a s i n s i g h t f u l . I s u s p e c t e d t h a t m a n y p e o p l e t u n e d o u t o f t h i s a c t i v i t y l o n g a g o . I r e p e a t e d w h a t S i p h o s a i d a n d a s k e d w h a t o t h e r s t h o u g h t a b o u t h i s o b s e r v a t i o n . R o n i n t e r p r e t e d S i p h o ' s o b s e r v a t i o n a s a q u e s t i o n a b o u t w h y i t w a s t h a t t h e c i r c u m f e r e n c e o f e a c h o f t h e c a n s w o u l d h a v e a d i f f e r e n t m e a s u r e m e n t a n d a t t r i b u t e d i t t o d i f f e r e n c e s a m o n g m a n u f a c t u r i n g c o m p a n i e s . M i k e s p o k e u p a n d d i s a g r e e d . T h i s w a s n o t h o w h e u n d e r s t o o d S i p h o ' s q u e s t i o n . H e p o i n t e d t o t h e c h a l k b o a r d a n d p a r a p h r a s e d w h a t h e s a w , " J e n n i f e r g o t 2 2 1 / 2 , F a r u q g o t 2 3 , L u k e g o t 2 1 , W u L e e g o t 2 6 a n d A r i f g o t 2 2 . T h e y g o t a l l d i f f e r e n t a n s w e r s f o r j u s t t h i s o n e l i t t l e c a n . " S t u d e n t s d m i d I r E a S L h i s S e e Y M o O U c a r t h e W r ; ( d i s t m e ; m e a I ' O i c l a s : { E C 0 1 h e s i t N O t O I I n t e l ‘ e ; $ 3 6 4 1 i n S l e a c 2 3 9 d i s c u s s e d S i p h o ’ s c o m m e n t . T h e y o f f e r e d t h e i r o w n r e a s o n s w h y t h e m e a s u r e m e n t s w e r e i n c o n s i s t e n t a n d s o m e o n e m a d e t h e s u g g e s t i o n t h a t t h e y m e a s u r e t h e i r o w n c a n s m o r e t h a n o n c e j u s t t o b e c e r t a i n o f t h e s i z e . I l o o k e d a r o u n d t h e r o o m a n d s a w t h e n e w l i f e t h a t S i p h o ' s c o m m e n t h a d b r o u g h t t o h i s c l a s s m a t e s a n d t h e a c t i v i t y o f t h e p r e v i o u s 2 0 m i n u t e s . m m I n m y i n t e r v i e w w i t h J i m ( 1 0 / 1 6 / 8 9 ) l a t e r t h a t d a y , I r e c o u n t e d w h a t h a d b e e n g o i n g o n j u s t p r i o r t o c a l l i n g o n S i p h o . I e x p l a i n e d m y h e s i t a t i o n t o d o s o . T h e r e w e r e k i d s t h a t w e r e u p o u t o f t h e i r d e s k s . I h a d o t h e r k i d s , l i k e J e n n i f e r , w h o w e r e p r a c t i c a l l y a s l e e p . I w a n t e d t o m o v e i t a n d g e t c a n s i n t o a l l o f t h e i r h a n d s . A n d t h i s i s w h y . . . I h e s i t a t e d a n d a h n o s t d i d n o t c a l l o n S i p h o f o r t h a t r e a s o n . . . y o u k n o w h e b r o u g h t u p a n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n a n d I a l m o s t d i d n o t c a l l o n h i m . . . a n d t h e t h i n g i s I w a s r e a d y t o b u l l d o z e a h e a d . I f I h a d , I w o u l d h a v e m i s s e d t h a t q u e s t i o n . . . I t h i n k i t i s a g o o d q u e s t i o n . . . w h y w e g o t a l l d i f f e r e n t a n s w e r s w h e n d i f f e r e n t p e o p l e h a v e b e e n m e a s u r i n g t h e s a m e c a n w i t h t h e s a m e s t r i n g . . . Y o u k n o w w h a t e l s e I f o u n d i n t e r e s t i n g a b o u t S i p h o ’ s q u e s t i o n ? D i d y o u n o t i c e t h a t t h e y t a l k e d t o e a c h o t h e r a n d d i d n o t g o t h r o u g h m e d u r i n g t h a t p a r t o f t o d a y ’ s d i s c u s s i o n ? N o t o n l y h a d S i p h o a s k e d a g o o d q u e s t i o n . I t a p p e a r e d t o g i v e o t h e r s s o m e t h i n g i n t e r e s t i n g t o t a l k a b o u t . A B e n d e b l e R u l e r N o t u n t i l S i p h o s t o p p e d m e o n t h e w a y i n t o c l a s s t h e n e x t d a y ( 1 0 / 1 7 / 8 9 ) , d i d I r e a l i z e t h a t h e t o o k h o m e w i t h h i m h i s w o r r i e s a b o u t t h e d i s c r e p a n c i e s i n m e a s u r e m e n t h e n o t i c e d t h e d a y b e f o r e . W i t h h i s f a c e b e a m i n g , h e l u n g e d o u t o f h i s s e a t w h e n h e s a w m e , d a s h e d a c r o s s t h e r o o m , a n d s a i d , ” M s . H e a t o n , I b e t y o u c a n ’ t g u e s s w h a t I b r o u g h t w i t h m e t o d a y . ” H e w a s r i g h t , I c o u l d n o t g u e s s n o r w a s I s u r e t h a t I w a n t e d t o . T h e r e w a s a n o t h e r l e s s o n g o i n g o n w i t h t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r a n d I t h o u g h t h e s h o u l d p a y c l o s e r a t t e n t i o n t o t h a t i n s t e a d o f t a l k i n g t o m e . F o r t h e s e c o n d t i m e i n t w o d a y s I w a s c o n f r o n t e d w i t h 2 4 0 m y f e e l i n g s a b o u t S i p h o . I c o u l d h a v e r e p r i m a n d e d h i m f o r s p r i n g i n g o u t o f h i s s e a t a n d t a l k i n g t o m e . M a t h c l a s s h a d n o t s t a r t e d a n d a c c o r d i n g t o t h e r u l e s h e w a s s u p p o s e d t o b e s i t t i n g d o w n a n d p a r t i c i p a t i n g i n w h a t e v e r t h e g r o u p w a s d o i n g w i t h t h e o t h e r t e a c h e r . I r e c a l l e d h i s c o n t r i b u t i o n o f y e s t e r d a y , s a w t h e e x c i t e m e n t o n h i s f a c e , a n d s u p p r e s s e d t h e u r g e t o s e n d h i m b a c k t o h i s s e a t . I w h i s p e r e d , ” L e t ’ s m o v e o v e r h e r e , ” a n d s h u f fl e d u s o v e r a s f a r t o t h e s i d e o f t h e r o o m a s w e c o u l d g e t . I t u r n e d t o f a c e h i m , c r o u c h e d s o I w a s a t h i s e y e l e v e l , a n d n o t i c e d t h a t h e h a d o n e h a n d b e h i n d h i s b a c k . T h e h a n d b e h i n d S i p h o ’ s b a c k b r o u g h t t o m y m i n d t h e a s s o r t m e n t o f t r i n k e t s t h a t h e h a d a t s c h o o l a l m o s t e v e r y d a y . H e d e f e n d e d t h e m a s f a l l i n g i n t o t h e s c h o o l s u p p l y c a t e g o r y w h e n e v e r I o b j e c t e d t o t h e i r p r e s e n c e o n t h e t o p o f h i s d e s k . F o r e x a m p l e , h e o w n e d e r a s e r s t h a t l o o k e d l i k e c i r c u s a n i m a l s , p e n s t h a t s p a r k l e d l i k e m a g i c w a n d s , p e n c i l S h a r p e n e r s t h a t r e s e m b l e d m i n i a t u r e a u t o m o b i l e s , a n d p e n c i l s t h a t b a l a n c e d t i n y c a r t o o n c h a r a c t e r s o n t h e e n d w h e r e n o r m a l l y s a t a n e r a s e r . A n y t i m e I s u g g e s t e d t h a t h e p u t h i s t o y s a w a y b e c a u s e t h e y a p p e a r e d t o m e a s d i s t r a c t i o n s , h e r e m i n d e d m e o f t h e i r r o l e i n s c h o o l w o r k a n d i m m e d i a t e l y p u t t h e m t o t h e i r i n t e n d e d u s e . W h i l e m y h i s t o r y w i t h S i p h o m a d e m e a b i t s k e p t i c a l a b o u t w h a t o c c u p i e d t h e h a n d b e h i n d h i s b a c k t h a t d a y , t h e s i t u a t i o n s e e m e d d i f f e r e n t . I n h i s i n t e r a c t i o n s w i t h m e , S i p h o u s u a l l y m a d e a n e f f o r t t o c o n c e a l r a t h e r t h a n r e v e a l h i s t r e a s u r e s . T h e f a c t t h a t h e h a d m a d e a m o v e t o s h o w m e w h a t h e b r o u g h t l e d m e t o t h i n k t h a t m a y b e w h a t h e h a d w a s n o t j u s t o n e o f h i s t r i n k e t s w h i c h , b y t h e s t r e t c h o f t h e i m a g i n a t i o n , w a s a u s e f u l t o o l . G i v e n t h e t i m e , I w a s a l s o a b i t h e s i t a n t t o p r o l o n g m y c o n v e r s a t i o n w i t h h i m . I n j u s t a f e w m i n u t e s I w a s s u p p o s e d t o s t a r t t e a c h i n g m a t h . S i p h o l o o k e d a s i f h e w o u l d b u r s t i f h e c o u l d n o t t e l l m e w h a t h e b r o u g h t . I t w a s c l e a r t o m e t h a t w h a t e v e r h e h a d w a s v e r y i m p o r t a n t t o h i m a n d h e t h o u g h t i t w a s g o i n g t o 2 4 1 b e t o m e , t o o . ” N o , S i p h o , " I s a i d , " I c a n ’ t g u e s s w h a t y o u b r o u g h t , w h y d o n ’ t y o u j u s t t e l l m e . ” S i p h o c o u l d h a r d l y c o n t a i n h i s e n t h u s i a s m . H e w a s n o l o n g e r w h i s p e r i n g . " W e l l , r e m e m b e r h o w w e w e r e m e a s u r i n g c a n s y e s t e r d a y a n d w e w e r e d o i n g i t w i t h s t r i n g s a n d r u l e r s a n d e v e r y b o d y w a s g e t t i n g d i f f e r e n t m e a s u r e m e n t s b e c a u s e i t w a s h a r d t r y i n g t o u s e t h e s t r i n g . W e l l , I w a s t a l k i n g t o m y d a d a n d h e h a s t h i s s p e c i a l k i n d o f r u l e r . I a s k e d a n d h e s a i d I c o u l d b r i n g i t t o d a y . I t h i n k i t ' s g o i n g t o h e l p u s . " T a k i n g h i s h a n d f r o m b e h i n d h i s b a c k , h e h e l d o u t a s h i n y g r a y g r e e n m e t a l r u l e r f o r m e t o a d m i r e . " S e e w h a t i t c a n d o , " h e s a i d a s h e b e n t i t i n t o a s e m i — c i r c l e . S i p h o w a s r i g h t . T h i s w a s n o o r d i n a r y s t r a i g h t e d g e . I t w a s a b e n d a b l e r u l e r . I i m m e d i a t e l y a l t e r e d m y p l a n s f o r m a t h c l a s s . I d e c i d e d t h a t S i p h o w o u l d b e g i n t h e c l a s s b y s h o w i n g e v e r y o n e t h i s n e w t o o l a n d d e m o n s t r a t e h o w h e t h o u g h t i t w o u l d b e u s e f u l i n m e a s u r i n g a c a n . T h e n , w e w o u l d d i s c u s s t h e m e a s u r e m e n t s s t u d e n t s m a d e o f t h e i r c a n s t h e d a y b e f o r e . I r e a l i z e d t h a t I r a r e l y g a v e S i p h o a n d h i s i d e a s t h i s s o r t o f a t t e n t i o n . H e w a s n e v e r t h e f i r s t t o b e c a l l e d o n a n d h e w a s l u c k y t o b e t h e l a s t . S o m e h o w , h e a n d I h a d s t a r t e d t h e y e a r o f f o n t h e w r o n g f o o t . 2 2 1 1 ' e n s i e n e B y t h e e n d o f t h e c l a s s p e r i o d ( 1 0 / 1 7 / 8 9 ) , a l l s t u d e n t s h a d f i g u r e d o u t h o w t o m e a s u r e t h e i r c a n s w i t h s t r i n g s a n d h a d d o n e s o s e v e r a l t i m e s . W e h a d d i s c u s s e d t h e i r m e a s u r e m e n t s . T h e t i m e h a d c o m e t o t r a n s f e r t h e m e a s u r e m e n t s o f e a c h c a n i n t o d i m e n s i o n s f o r m a k i n g l a b e l s o u t o f c o n s t r u c t i o n p a p e r . T h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e d i r e c t e d , t o r e c o r d t h e m e a s u r e m e n t s o f t h e i r c a n s n e a r t h e s i d e s o f | : s k t h e s t u d e n t s t o d r a w a r e c t a n g l e o n a s l i p o f p a p e r a n d t h e r e c t a n g l e s . ( p . 8 ) l a b e l e d t h T h e s t h a t l r e p r e r e c t a I d i f f i o e i t h e r m e a S L s o m e t i t h e h a t t h a t t h t h e i r c g d i m e n s w o u l d 3 0 b V o l C h a l k b c h e i g h t ( t 0 t h e r e H e S a i d , ' 2 4 2 T h e s e d i r e c t i o n s s e e m e d s i m p l e . T h e r e w a s n o i n d i c a t i o n i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e t h a t f o l l o w i n g t h i s p a r t o f t h e d i r e c t i o n s m i g h t c a u s e s o m e c o n f u s i o n . H o w t o r e p r e s e n t t h e h e i g h t o f t h e c a n — a t h r e e d i m e n s i o n a l o b j e c t u o n t h e d r a w i n g o f a r e c t a n g l e — a t w o d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l a b e l n t u m e d o u t t o b e a d i f f i c u l t t a s k f o r m a n y o f m y s t u d e n t s a n d m o r e c o n c e p t u a l l y c o m p l e x t h a n e i t h e r t h e t e a c h e r ’ s g u i d e o r I e x p e c t e d . R a t h e r t h a n j u s t h a v e m y s t u d e n t s g o o f f o n t h e i r o w n a n d r e c o r d t h e i r m e a s u r e m e n t s a s d i r e c t e d b y t h e t e a c h e r ' s g u i d e , I h a d a h u n c h t h e r e m i g h t b e s o m e t h i n g w e c o u l d d i s c u s s a b o u t t h e s e d i r e c t i o n s . I s t a r t e d t h e n e x t p h a s e o f t h e l a b e l m a k i n g p r o c e s s b y d r a w i n g a r e c t a n g l e o n t h e b o a r d . I t o l d s t u d e n t s t h a t t h e r e c t a n g l e r e p r e s e n t e d a l a b e l a n d t h e y n e e d e d t o t a k e t h e d i m e n s i o n s o f t h e i r c a n s a n d a p p l y t h e m t o t h e l a b e l . R e c o r d i n g t h e m e a s u r e m e n t o f t h e s e d i m e n s i o n s o n t h i s r e c t a n g l e w a s a n i n t e r m e d i a t e s t e p . I a s k e d i f s o m e o n e w o u l d r e c o r d t h e h e i g h t o f t h e i r c a n o n t h e r e c t a n g l e I h a d d r a w n o n t h e b o a r d . . B o b v o l u n t e e r e d a n d w e n t t o t h e c h a l k b o a r d . W e a l l w a t c h e d a s h e s t o o d a t t h e c h a l k b o a r d a n d l o o k e d p u z z l e d . H e c o u l d n o t f i g u r e o u t w h e r e t o r e c o r d t h e h e i g h t o f t h e c a n o n t h e r e c t a n g l e . H e t o o k a p i e c e o f c h a l k a n d a d d e d a f e w l i n e s t o t h e r e c t a n g l e t o m a k e s o m e t h i n g t h a t l o o k e d l i k e t h i s . I . - I H e s a i d , " I m a d e a 3 - D p i c t u r e o f a r e c t a n g l e s o y o u c a n s e e w h e r e t h e h e i g h t i s . . . b e c a u s e i t l o o k s m o r e r e a l i s t i c t h a n j u s t t h e r e c t a n g l e , " a s h e p o i n t e d t o a n d l a b e l e d t h e h e i g h t o f w h a t h e h a d j u s t d r a w n . " 1 1 c e n t i m e t e r s , " h e a n n o u n c e d . I h e a r d s o m e o n e s a y , ” O h , 3 - D , t h a t i s n e a t . ” I w a s n o t s u r e t h a t I t h o u g h t i t w a s s o n e a t . W h a t w e r e w e g e t t i n g o u r s e l v e s i n t o ? T h i n k i n g a b o u t t h e l a b e l a s s o m e t h i n g t h a t l o o k e d l i k e w h a t B o b d r e w w a s n o t g o i n g t o b e t o o h e l p f u l i n m a k i n g o n e b u t t h e s t u d e n t s s e e m e d i n t e r e s t e d i n t h e i d e a o f t h r e e d i m e n s i o n s . W h a t s h o u l d I d o ? I c o u l d u n d e r s t a n d B o b ’ s c o n f u s i o n a l t h o u g h t h e p o s s i b i l i t y o f t h i s i n t e r p r e t a t i o n w a s n o t h i n g I h a d c o n s i d e r e d b e f o r e c l a s s . A c a n h a s a h e i g h t , t h e r e c t a n g l e I d r e w h a s a l e n g t h a n d w i d t h . I h a d a s k e d h i m t o r e c o r d h i s c a n ’ s h e i g h t . I w a s c u r i o u s w h a t t h e s e s t u d e n t s u n d e r s t o o d a b o u t d i m e n s i o n s a n d d e c i d e d t h a t I w o u l d l e a d u s a w a y f r o m m a k i n g l a b e l s f o r a m o m e n t . I a s k e d , " W h a t d o y o u m e a n b y 3 - D ? " R o n r e s p o n d e d , " T h r e e d i m e n s i o n s . " I p u s h e d , " W h a t d o y o u m e a n b y t h r e e d i m e n s i o n s ? " A s I a s k e d , I w o n d e r e d h o w I w o u l d h a v e r e s p o n d e d t o t h e q u e s t i o n . R o n d i d n o t h e s i t a t e , " T h e fi r s t d i m e n s i o n i s j u s t a l i n e i n s p a c e . " W h i l e R o n t a l k e d , t h e b e l l r a n g t h a t m a r k e d t h e e n d o f m a t h a n d t h e s t a r t o f l u n c h . I s i g n a l e d f o r t h e c l a s s t o r e m a i n q u i e t . I h a d n o t r e a l i z e d i t w a s s o c l o s e t o l u n c h w h e n I s t a r t e d u s i n t h i s n e w d i r e c t i o n . R o n c o n t i n u e d , " T h e s e c o n d i s d e p t h . I t i s h o w w e c a n b e a b l e t o p i c k u p a p e n c i l . W i t h o u t i t , l e t ' s s a y o u r p e n c i l i s r i g h t t h e r e , y o u r h a n d w o u l d g o r i g h t t h r o u g h i t . W e w o u l d n ' t b e a b l e t o p i c k i t u p . A n d t h e t h i r d d i m e n s i o n i s . . . ” I n s i d e t h e c l a s s r o o m t h e s t u d e n t s w e r e r e s t l e s s a n d h u n g r y . O u t s i d e t h e c l a s s r o o m o t h e r s t u d e n t s w e r e t a l k i n g o n t h e i r w a y t o t h e l u n c h r o o m . A l l o f t h i s m a d e i t d i f fi c u l t t o h e a r R o n . H e c o n t i n u e d t o t a l k t h r o u g h t h e n o i s e , ” T h e y a r e a l s o w o r k i n g o n a f o u r t h d i m e n s i o n , w h i c h i s t i m e , I t h i n k . " 2 4 4 B e f o r e I d i s m i s s e d t h e s t u d e n t s f o r l u n c h , I a n n o u n c e d , p e r h a p s a b i t t o o h a s t i l y , t h a t w e w o u l d c o n t i n u e t h i s t a l k o f d i m e n s i o n s d u r i n g t h e n e x t m a t h c l a s s . C l a s s o f t e n e n d e d t h e w a y t h i s o n e d i d , a t t h e s o u n d o f t h e b e l l , i n t h e m i d s t o f a c o n v e r s a t i o n . L o t s o f t i m e s I s a i d w e w o u l d c o n t i n u e w h a t w e w e r e d o i n g b u t w e d i d n o t , a t l e a s t n o t i m m e d i a t e l y . T h i s t i m e I m e a n t i t . T h e t a l k o f d i m e n s i o n s s e e m e d t o h a v e s p a r k e d q u i t e a n i n t e r e s t a m o n g t h e s t u d e n t s a n d I w a s i m p r e s s e d b y R o n ’ s c o m p e t e n t d e fi n i t i o n o f t h e d i m e n s i o n s . O n t h e s e g r o u n d s , a l o n e , I d e c i d e d i t w a s w o r t h s p e n d i n g m o r e t i m e o n t h e n e x t d a y . T h e f o l l o w i n g d a y ( 1 0 / 1 8 / 8 9 ) , I a s k e d B o b t o d r a w t h e " 3 - D " p i c t u r e h e h a d m a d e d u r i n g t h e l a s t m a t h c l a s s . I r e t u r n e d t o R o n a n d a s k e d h i m t o t e l l u s , o n c e a g a i n , h o w h e u n d e r s t o o d d i m e n s i o n s . I t h o u g h t s t a r t i n g w i t h h i s d e fi n i t i o n w o u l d b e a g o o d p l a c e t o b e g i n a d i s c u s s i o n . R o n : M s . H e a t o n : R o n : B o b : O t h e r s t u d e n t s j o i n B o b : M s . H e a t o n : R o n : 3 — D m e a n s t h r e e d i m e n s i o n a l , t h a t ' s j u s t a s h o r t n a m e f o r i t . A n d a c o u p l e o f t h e o t h e r d i m e n s i o n s a r e [ p a u s e ] . C a n I g o u p t o t h e b o a r d ? W e l l , t h e s e c o n d d i m e n s i o n B o b a l r e a d y h a s u p t h e r e . B u t t h e fi r s t , h e d o e s n ' t . W h e r e i s t h e s e c o n d d i m e n s i o n ? T h e o n e t h a t B o b j u s t d r e w . N o , t h a t i s t h i r d d i m e n s i o n a l . T h a t ' s t h i r d , R o n . W h a t a r e y o u t h i n k i n g a b o u t , d o y o u w a n t t o t e l l u s m o r e ? T h e fi r s t d i m e n s i o n i s j u s t a l i n e t h r o u g h s p a c e . T h e s e c o n d d i m e n s i o n i s d e p t h . I f y o u a r e j u s t fl y i n g t h r o u g h 2 4 5 s p a c e a n d y o u j u s t k e e p o n t r y i n g t o g r a b a p e n c i l i t w o u l d , y o u r h a n d w o u l d j u s t g o r i g h t t h r o u g h i t s o i t h a s t o h a v e d e p t h . B o b i n t e r r u p t e d R o n , a g a i n , a n d s t a r t e d t o s a y w h a t h e t h o u g h t . I t o l d B o b t o l e t R o n t a l k a n d w h e n R o n w a s d o n e h e w a s m o r e t h a n w e l c o m e t o c o m m e n t o n w h a t h a d b e e n s a i d . B o b w a s a n n o y e d . R o n c o n t i n u e d , S e e , t h e s e c o n d d i m e n s i o n i s d e p t h . I f t h i s w a s j u s t a l i n e t h r o u g h s p a c e i t w o u l d n ' t h a v e d e p t h . D e p t h m e a n s h o w d e e p i t i s . B u t i f w e a d d d e p t h h e r e , e v e n p a p e r h a s a d e p t h o f a b o u t a o n e t h o f a c e n t i m e t e r , l e s s t h a n a m i l l i m e t e r . E v e r y t h i n g h a s a d e p t h i f w e j u s t l o o k . . . w i t h o u t i t w e c o u l d w a l k t h r o u g h w a l l s . W e c o u l d n ' t b u i l d h o u s e s . T h e m o r e R o n t a l k e d , t h e h a r d e r i t b e c a m e f o r m e t o f o l l o w w h a t h e w a s s a y i n g . W h a t w a s g o i n g o n h e r e ? M a y b e h i s u n d e r s t a n d i n g o f d i m e n s i o n s w a s n o t a s s o p h i s t i c a t e d a s w h a t h e fi r s t s a i d h a d l e d m e t o b e l i e v e . M a y b e i t w o u l d h e l p i f w e f o c u s e d o n o n e d i m e n s i o n a t a t i m e . M s . H e a t o n : R o n : M s . H e a t o n : R o n : M s . H e a t o n : R o n : M s . H e a t o n : D a v i d : C o u l d y o u t e l l m e a g a i n , w h a t y o u a r e t h i n k i n g w h e n y o u t h i n k o f t h e fi r s t d i m e n s i o n ? W h a t a r e y o u t h i n k i n g a b o u t ? T h e f i r s t d i m e n s i o n i s j u s t a l i n e t h r o u g h s p a c e . A n d t h e s e c o n d d i m e n s i o n ? D e p t h . A n d t h e t h i r d d i m e n s i o n ? I a m n o t s u r e o f t h a t . A r e t h e r e o t h e r p e o p l e t h a t w a n t t o c o m m e n t o n t h e s e d i m e n s i o n s ? D a v i d , w h a t a r e y o u t h i n k i n g ? C a n I g o u p t h e r e ? I w a n t t o c h a l l e n g e R o n o n w h a t h e s a i d . H e s a i d t h a t t h i s i s f r o m t h e s e c o n d d i m e n s i o n . T h i s i s t h e t h i r d d i m e n s i o n . M s . H e a t o n : D a v i d : M s . H e a t o n : J a m i l a : M s . H e a t o n : J a m i l a : R o n : 2 4 6 C a n y o u e x p l a i n ? I d o n ' t r e a l l y k n o w w h a t t h e t h i r d d i m e n s i o n i s I j u s t , I t h i n k t h e r e , t h e s e c o n d d i m e n s i o n l o o k s a l m o s t l i k e t h i s a n d R o n m i g h t h a v e g o t t h e m m i x e d u p o r I d o n ' t k n o w . B u t I d o k n o w t h i s i s t h r e e d i m e n s i o n a l b e c a u s e I u s e d t o w a t c h a T . V . s h o w a n d t h e g u y , h e a l w a y s t a l k e d w h i l e h e d r e w a n d h e w o u l d d r a w a 3 - D s q u a r e a n d h e w o u l d d o s o m e t h i n g l i k e t h i s . W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k ? J a m i l a ? I d o n ' t k n o w w h a t R o n s a i d . D o y o u w a n t t o a s k h i m a q u e s t i o n ? I j u s t d o n ' t u n d e r s t a n d w h a t y o u w e r e s a y i n g . C a n I g o t o t h e b o a r d ? T h e fi r s t d i m e n s i o n i s t h i s l i n e t h r o u g h s p a c e . I t l o o k s l i k e t h a t . T h e s e c o n d d i m e n s i o n i s d e p t h . [ H e d r e w t h e f o l l o w i n g o n t h e b o a r d . ] M s . H e a t o n : R o n : A n d h o w d o e s t h a t s h o w d e p t h ? Y o u k n o w h o w l i k e t h e d e p t h o f , t h e d e p t h o f a i r , a i r d o e s n ' t h a v e d e p t h . W e l l i t d o e s b u t n o t t h e d e p t h t h a t I m e a n . W h a t I a m t r y i n g t o s a y i s t h a t t h e t h i r d d i m e n s i o n i s k i n d o f l i k e t h e p o w e r t o p i c k t h i n g s u p . T h i s d r a w i n g i s t h e s e c o n d d i m e n s i o n b e c a u s e y o u c a n ' t r e a c h i n t h e r e a n d g r a b i t a n d p u l l i t o u t . . . I t m a y l o o k l i k e t h e t h i r d d i m e n s i o n b u t i t i s n o t . 2 4 7 T h e d i s c u s s i o n c o n t i n u e d . A h a n d f u l o f o t h e r p e o p l e j o i n e d i n . T h e r e w a s a s t r u g g l e w i t h t h e q u e s t i o n o f d i m e n s i o n s a n d a d e b a t e a b o u t t h e s e c o n d a n d t h i r d d i m e n s i o n s . A t t i m e s l i k e t h e s e I w o n d e r e d w h a t t h e s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g w h o w e r e n o t r a i s i n g t h e i r h a n d s . W e r e t h e y f e e l i n g l o s t ? S o m e o f t h e m m i g h t h a v e b e e n d a y d r e a m i n g b u t o t h e r s c o u l d h a v e b e e n r e a l l y t r y i n g t o m a k e s e n s e o f t h e i d e a s o f t h o s e w h o w e r e t a l k i n g . I w a s n e v e r q u i t e s u r e . I t h o u g h t o n e p a r t o f t h e d i f fi c u l t y w i t h w h a t w e w e r e d o i n g w a s t h a t e v e r y t h i n g t h a t w a s d r a w n o n t h e c h a l k b o a r d w a s t w o - d i m e n s i o n a l . S o m e o f t h e t h i n g s d r a w n o n t h e c h a l k b o a r d w e r e t w o d i m e n s i o n a l d r a w i n g s o f t h r e e - d i m e n s i o n a l o b j e c t s . T h e d r a w i n g s w e r e m a d e i n t w o - d i m e n s i o n s b u t l o o k e d t h r e e - d i m e n s i o n a l . I t h o u g h t t h i s a d d e d t o t h e c o n f u s i o n . A t l e a s t i t m a d e t h i n g s m o r e c o n f u s i n g f o r m e . I s a w J e n n i f e r , w h o h a d b e e n u n u s u a l l y q u i e t t o d a y , r a i s e h e r h a n d . I m a d e a s p a c e f o r h e r i n t h e c o n v e r s a t i o n , " J e n n i f e r , d o y o u h a v e s o m e t h i n g y o u w a n t t o s a y ? " " Y e a h , " s h e r e p l i e d , " I d o n ' t u n d e r s t a n d w h a t R o n a n d t h e o t h e r s a r e t a l k i n g a b o u t . W h a t i s a d i m e n s i o n ? " J e n n i f e r s o u n d e d s i n c e r e , a s t h o u g h s h e r e a l l y w a n t e d t o k n o w . I a d m i r e d h e r c o u r a g e f o r a s k i n g t h e q u e s t i o n . I a s k e d h e r t o ' r e p e a t i t . " I d o n ' t u n d e r s t a n d w h a t R o n a n d t h e o t h e r s a r e t a l k i n g a b o u t . T h e y s a i d a d i m e n s i o n . I w a n t t o k n o w w h a t a d i m e n s i o n i s . " J e n n i f e r a s k e d a f u n d a m e n t a l q u e s t i o n l , a t y p e t h a t r a r e l y g e t s a s k e d o r e x p l o r e d i n s c h o o l s . A f t e r g l a s s . B y t h e t i m e I t a l k e d w i t h J i m t h a t a f t e r n o o n , I w o n d e r e d w h a t i t w a s t h a t I u n d e r s t o o d a b o u t d i m e n s i o n s . W h e n I m e t u p w i t h h i m I s a i d , ” I d o n ’ t k n o w a b o u t y o u , b u t r i g h t n o w I f e e l s o c o n f u s e d a b o u t w h a t d i m e n s i o n s 1 T h i s i s a q u e s t i o n o f t h e t y p e t h a t I h a d a s k e d m y s e l f i n t h e t e a c h i n g d e s c r i b e d i n C h a p t e r 4 , w h a t i s a p a t t e r n ? I t i s a l s o s i m i l a r t o t h e q u e s t i o n , w h a t i s a w h o l e n u m b e r , w h i c h W u L e e a s k e d i n t h e l e s s o n f r o m m y t e a c h i n g d e s c r i b e d i n ” L e a r n i n g t o H e a r V o i c e s : I n v e n t i n g a N e w P e d a g o g y o f T e a c h e r E d u c a t i o n , ” ( H e a t o n & L a m p e r t , 1 9 9 3 ) . 2 4 8 a r e ” ( R e i n e k e i n t e r v i e w , 1 0 / 1 8 / 8 9 ) . I t a l s o s e e m e d t o m e a s i f I h a d l o s t t h e r e a s o n w h y w e w e r e p u r s u i n g a d i s c u s s i o n o f d i m e n s i o n s . I j u s t k n e w t h a t a s e a g e r a s I h a d b e e n t o p u r s u e d i m e n s i o n s , I w a s r e a d y t o d r o p t h e m . W h y h a d I f o l l o w e d R o n i n t h e fi r s t p l a c e ? H o w d o y o u d e c i d e w h i c h i d e a s t o p u r s u e ? I h a d n o t f i g u r e d o u t t h a t p a r t o f t h i s t e a c h i n g y e t . I t a l k e d t o J i m a b o u t h o w I t h o u g h t M a g g i e m i g h t h e l p m e . O n e o f t h i n g s t h a t I d i d w i t h M a g g i e w a s t o l o o k a t h e r t a p e s o f t e a c h i n g a n d I w o u l d s t o p t h e m a n d a s k h e r w h y s h e d i d t h i s o r w h a t s h e w a s t h i n k i n g w h e n s h e a s k e d t h a t q u e s t i o n . I t h i n k i t w o u l d b e r e a l l y i n t e r e s t i n g f o r h e r t o w a t c h a t a p e l i k e t h i s o n e o f t o d a y ’ s c l a s s a n d f o r h e r t o l i k e , m a y b e s h e h a s c l u e s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h a t s h e c o u l d s o r t o f h e l p m e w i t h t h i s d i s c u s s i o n a n d t e l l m e l i k e w h a t I c o u l d h a v e f o l l o w e d a n d w h a t w o u l d n ’ t h a v e b e e n a g o o d i d e a t o f o l l o w . I w o n d e r e d w h a t r o l e m y o w n k n o w l e d g e o f d i m e n s i o n s p l a y e d i n t h i s d i s c u s s i o n . W a s t h a t t h e p r o b l e m ? I s a i d t o J i m , I a m w o n d e r i n g i f t h e r e a s o n t h a t I a m fl o u n d e r i n g w i t h t h i s a n d I d o n ’ t k n o w w h a t t o d o , i s i t b e c a u s e m y o w n k n o w l e d g e o f d i m e n s i o n s i s n o t h e l p i n g m e , t h a t I a m m i s s i n g t h a t a n d i s t h a t w h y I d o n ’ t k n o w w h e r e t o s t e e r t h i s ? - D i m e n s i o n s h a d s e e m e d l i k e a g o o d i d e a t o p u r s u e t h e d a y b e f o r e . H a v i n g d o n e i t , I w a s n o t s o c e r t a i n a n y m o r e . L a 1 T h e n e x t d a y w e h a d m a t h c l a s s ( 1 0 / 2 3 / 8 9 ) , I d e c i d e d i t w a s t i m e t o m a k e t h e l a b e l s . I b e g a n c l a s s b y p l a c i n g f o u r s h e e t s o f b r i g h t l y c o l o r e d c o n s t r u c t i o n p a p e r i n t h e c e n t e r o f e a c h g r o u p o f d e s k s a s s t u d e n t s t o o k c a n s , s c i s s o r s , s t r i n g s , a n d r u l e r s f r o m t h e i r d e s k s . T h e r e w a s a l o t o f n o i s e i n t h e r o o m a s s t u d e n t s a s s e m b l e d t h e s e s u p p l i e s o n t h e i r d e s k s . O v e r t h e c l a n g i n g o f c a n s , I h e a r d s t u d e n t s c h o o s i n g t h e c o l o r o f c o n s t r u c t i o n p a p e r t h e y w a n t e d . D e a l s w e r e s t r u c k w h e n t w o p e o p l e w a n t e d t h e s a m e c o l o r . I d i d n o t i n v o l v e m y s e l f i n t h e e x c h a n g e . t h a n t h e n e h ' r h e n d a h s e e i t a g a i n e x c i t e - d . T h t e n t e d a n ) l o t o f m i l - e a 1 1 5 ‘ a t e r n l w e : m a l e l a b e l : f i m f e r e r t h e d a y b e t . M i n g l e ( 1 5 ‘ 2 8 O f t h e 1 h e . W u 1 M s . 1 2 4 9 e x c h a n g e . I j u s t w a t c h e d . I s a w t h a t S i p h o , a s u s u a l , w a s e q u i p p e d w i t h m o r e t h a n t h e n e c e s s a r y s u p p l i e s . H e n o t i c e d m e w a t c h i n g . H e s m i l e d a n d h e l d u p h i s b e n d a b l e r u l e r . I s m i l e d b a c k a n d s i l e n t l y w o n d e r e d i f h i s f a t h e r w o u l d e v e r s e e i t a g a i n . T h e p i t c h i n t h e r o o m s e e m e d h i g h . T h e s t u d e n t s w e r e v i s i b l y e x c i t e d . T h e y s e e m e d s a t i s fi e d t a l k i n g a n d l i s t e n i n g t h e l a s t f o u r d a y s b u t n o w s e e m e d a n x i o u s t o a c t u a l l y m a k e t h e l a b e l s . I t h o u g h t w e h a d a l r e a d y g o t t e n a l o t o f m i l e a g e o u t o f t h e c a n s . I b e g g e d s t u d e n t s t o p l e a s e k e e p t h e c a n s q u i e t f o r j u s t a f e w m o r e m o m e n t s . I w a n t e d t o d i s c u s s t h e i r p l a n s f o r m a k i n g t h e l a b e l s . I w a n t e d s t u d e n t s t o d r a w o n t h e i r e x p e r i e n c e s o v e r t h e l a s t f o u r d a y s t o m a k e l a b e l s . I a s s u m e d t h a t t h e y w o u l d e i t h e r m e a s u r e t h e h e i g h t a n d c i r c u m f e r e n c e o f t h e c a n a g a i n o r u s e t h e m e a s u r e m e n t s t h e y m a d e a n d r e c o r d e d t h e d a y b e f o r e . I w a n t e d t h e m t o m a k e a r e c o r d o f t h e m e a s u r e m e n t s o n a r e c t a n g l e t h e y d r e w i n t h e i r n o t e b o o k s a n d t h e n u s e t h e m e a s u r e m e n t s t o c u t t h e s i z e o f t h e l a b e l n e e d e d . T h e p r o c e s s , h o w e v e r , d i d n o t s e e m s o o b v i o u s t o W u L e e . W u L e e : D o y o u m a k e t h e m [ l a b e l s ] v e r y s m a l l o r v e r y b i g ? M s . H e a t o n : W h a t d o y o u t h i n k ? W u L e e : I t h i n k m a k e t h e m b i g b e c a u s e , d o w e h a v e t o c u t t h e m o u t ? M s . H e a t o n : W h a t d o y o u t h i n k ? W u L e e : I d o n ’ t k n o w . I c a l l e d o n B o b , w h o l o o k e d e a g e r t o r e s p o n d t o W u L e e . B o b s a i d , " W e l l , l i k e y o u c o u l d , l i k e w h e n y o u t a k e i t l i k e , y o u p u t i t t o t h e v e r y b o t t o m o f y o u r c a n a n d t o t h e v e r y t o p o f y o u r c a n a n d t h e n y o u t a k e i t a r o u n d a n d t h e n w h e n i t i s h e r e y o u g e t i t a n d t h e n y o u c u t a l l o f i t t h a t ' s a r o u n d i t a n d t h e n y o u f a s t e n i t t o t h e c a n . " H e w a s r i g h t . W r a p p i n g t h e p a p e r a r o u n d t h e c a n a n d c u t t i n g t h e e x t r a o f f w a s a w a y t o m a k e a l a b e l . B u t d o i n g i t t h i s w a y d i d n o t d r a w o n a n y o f t h e i d e a s w e h a d e x p l o r e d o v e r t h e l a s t f o u r d a y s . H e r e w a s s o m e t h i n g m o r e m e a s u r i n g o v e r t w h a t t h e y h a d 1 e p a p e r a r o u n d t h e t h e i r e x p e r i e n c e s w e r e d o i n g w a s ‘ p a p e r a r o u n d l l ' l t J e n n i f e r 5 1 y o u w r o t e , m e a s a l l b e m u c h e a s t h u g . " I a s s u m t W r a p t h e p a p e r a t h e c a n w i t h a p a a n d B o b h a d b u t s o m e t h i n g t h e y < 0 ' J fl u m f e r e n c e . J m e a s u r i n g . S i n c . w o r k e d o n i n t h e W i l l i a W a y O f U S h o w t o m a k e t h e ' 1 9 C ( ' Y ‘ I l e c fi o n s l t h e . P a r t O f m v : { I n . . “ W i r i n g S l u d e w H a v i n g P r . d a r O q u f 1 S h ; d e n t s W Q I - k e d 2 5 0 H e r e w a s a n e x a m p l e o f w h a t I m e a n t b y t h e p o i n t o f t h e l e s s o n b e i n g s o m e t h i n g m o r e t h a n j u s t m a k i n g t h e l a b e l . T h e s t u d e n t s h a d d o n e a l o t o f m e a s u r i n g o v e r t h e p a s t f e w d a y s . I t w a s i m p o r t a n t t o m e t h a t t h e y t r y t o u s e w h a t t h e y h a d l e a r n e d a b o u t m e a s u r i n g a c a n t o m a k e t h e i r l a b e l . W r a p p i n g t h e p a p e r a r o u n d t h e c a n w o u l d g e t t h e l a b e l m a d e b u t w o u l d n o t d r a w o n a n y o f t h e i r e x p e r i e n c e s o f t h e p a s t f e w d a y s . I f I t h o u g h t t h e o n l y p o i n t t o w h a t w e w e r e d o i n g w a s t o m a k e a l a b e l f o r t h e c a n , I c o u l d h a v e j u s t t o l d t h e m t o w r a p p a p e r a r o u n d t h e c a n d a y s a g o . J e n n i f e r s p o k e u p . " I d i s a g r e e . Y o u c a n j u s t l o o k o n y o u r p a p e r , s e e w h a t y o u w r o t e , m e a s u r e i t w i t h t h i s [ t h e r u l e r ] a n d c u t w h a t i s l e f t o v e r a n d t h e n i t w i l l b e m u c h e a s i e r t h a n h a v i n g t o w r a p i t [ t h e p a p e r ] a r o u n d a n d t r y t o c u t t h e t h i n g . " I a s s u m e d h e r w a y s e e m e d e a s i e r t o h e r a s s h e i m a g i n e d t h e s t r u g g l e t o w r a p t h e p a p e r a r o u n d t h e c a n , h o l d i t i n p l a c e w i t h o n e h a n d , a n d c u t a r o u n d t h e c a n w i t h a p a i r o f s c i s s o r s i n h e r o t h e r h a n d . I t o l d t h e s t u d e n t s t h a t J e n n i f e r a n d B o b h a d b o t h c o m e u p w i t h v i a b l e w a y s t o m a k e a l a b e l . B o b ' s w a y w a s s o m e t h i n g t h e y c o u l d h a v e d o n e w i t h o u t k n o w i n g a n y t h i n g a b o u t h e i g h t a n d c i r c u m f e r e n c e . J e n n i f e r ’ s w a y m a d e u s e o f w h a t w e h a d l e a r n e d a b o u t m e a s u r i n g . S i n c e m e a s u r i n g h e i g h t a n d c i r c u m f e r e n c e w e r e t h i n g s w e h a d w o r k e d o n i n t h e p a s t f e w c l a s s p e r i o d s , I s a i d , " I w a n t y o u t o t r y t o c o m e u p w i t h a w a y o f u s i n g t h e m e a s u r e m e n t s o f h e i g h t a n d c i r c u m f e r e n c e t o fi g u r e o u t h o w t o m a k e t h e l a b e l f o r t h e c a n . " I w a s l e a r n i n g t h a t I c o u l d n e v e r a s s u m e t h a t t h e c o n n e c t i o n s I s a w a c r o s s d a y s a n d w i t h i n a c t i v i t i e s w e r e o b v i o u s t o a n y o n e e l s e . P a r t o f m y r o l e w a s t o m a k e t h e m e x p l i c i t . S o m e t i m e s t h i s m e a n t i d e n t i f y i n g s t u d e n t s l i k e J e n n i f e r t o h e l p m e . H a v i n g p r o m i s e d t o m e a s u r e , s t u d e n t s b e g a n m a k i n g t h e i r l a b e l s . I w a l k e d a r o u n d f r o m o n e c l u s t e r o f d e s k s t o t h e n e x t . I w a t c h e d a n d l i s t e n e d a s s t u d e n t s w o r k e d . S o m e t h i n g I s a w a s t u d e n t d o r e m i n d e d m e t h a t I h a d theback," I s a i d i s t u d e n t s w e n t b a t f o r g o t t e n p a r t o f t a n o t h e r a n d s a i d , l b o r r o w s o m e o n t w h e n i t w r a p s 3 “ o v e r l a p . M a k e t h p a p e r a n d s a i d , " 5 l a k e a s k e d , " B u t h a v e i n t e r p r e t e d ' t h a t l w a s t r y i n g s t u d e n t s w e r e l e a I r e a l i z e d t l a b e l s w e r e a t t a c h a u t h o r i t a t i v e m i c S i p h o p u s h e d o n t h e m t o t h e c a n ? " 2 5 1 f o r g o t t e n p a r t o f t h e d i r e c t i o n s . I r a i s e d m y v o i c e a b o v e t h e s t u d e n t s ’ t a l k t o o n e a n o t h e r a n d s a i d , " I w a n t t o a d d o n e m o r e t h i n g . W h e n y o u m a k e y o u r l a b e l , c a n I b o r r o w s o m e o n e ' s p a p e r f o r a m i n u t e ? I w a n t y o u t o t r y t o m a k e i t s o t h a t w h e n i t w r a p s a r o u n d t h e c a n t h e e d g e s j u s t m e e t . I d o n o t w a n t t h e m t o o v e r l a p . M a k e t h e m s o t h e y j u s t m e e t , s o t h a t t h e y d o n ' t o v e r l a p . " I h e l d u p t h e p a p e r a n d s a i d , " S e e t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m j u s t m e e t i n g a n d o v e r l a p p i n g ? " L u k e a s k e d , " B u t w h y d o n ' t y o u w a n t u s t o o v e r l a p ? " B e f o r e t h i s y e a r , I w o u l d h a v e i n t e r p r e t e d L u k e ' s q u e s t i o n a s a s m a r t r e m a r k . B u t k n o w i n g L u k e a n d w h a t I w a s t r y i n g t o t e a c h h i m , I k n e w h e w a s s i n c e r e . I h o p e d t h a t t h e s e s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g n o t t o a c c e p t a n y t h i n g w i t h o u t r e a s o n s , e v e n f r o m m e . I r e a l i z e d t h a t w h a t I w a s i n s t r u c t i n g s t u d e n t s t o d o w a s n o t t h e w a y r e a l l a b e l s w e r e a t t a c h e d t o c a n s . T h e y o v e r l a p p e d . B u t I c o n t i n u e d a n d i n a n a u t h o r i t a t i v e v o i c e s a i d , " B e c a u s e I w o u l d l i k e y o u t o t r y t o g e t t h e m t o m e e t . " S i p h o p u s h e d o n m e . " W e l l , i f t h e y d o n o t o v e r l a p , h o w a r e w e g o i n g t o f a s t e n t h e m t o t h e c a n ? " H e h a d a . p o i n t . " Y o u w i l l b e a b l e t o p u t a p i e c e o f t a p e a c r o s s t h e b a c k , " I s a i d i n a t o n e t h a t i m p l i e d t h e r e w o u l d b e n o f u r t h e r d i s c u s s i o n . T h e s t u d e n t s w e n t b a c k t o w o r k . I w o n d e r e d i f I s h o u l d h a v e t o l d t h e m t h e r e a l r e a s o n w h y I w a n t e d t h e m t o m a k e l a b e l s t h a t d i d n o t o v e r l a p . I t w a s n o t m y i d e a , i t w a s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e . T h i s i s w h a t i t s a i d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e : ' 1 ‘ : T o d a y w e ’ r e g o i n g t o m a k e l a b e l s f o r c a n s y o u ' v e b r o u g h t . W e ' l l t r y t o m a k e t h e l a b e l s s o t h a t t h e y j u s t f i t t h e c a n s - 5 0 t h a t t h e y d o n ’ t : o v e r l a p t h e m s e l v e s . W h a t m e a s u r e m e n t s o f t h e c a n s w i l l w e n e e d t o m a k e ? ( p . 7 ) I t d i d n o t s a y w h y s t u d e n t s s h o u l d m a k e l a b e l s t h a t d i d n o t o v e r l a p . I c o n s t r u c t e d m y o w n r e a s o n . I f t h e y m a d e l a b e l s t h a t d i d n o t o v e r l a p i t i n c r e a s e d t h e l i k e l i h o o d t h a t t h e l a b e l s w o u l d n o t fi t . T h e p o i n t o f t h e l e s s o n w a s t o m e a s u r e t h e l a b e l s i n c e n t i m e t e r s a n d w h e n t h e y d i d n o t fi t , s e e t h a t m e a s u r i n g m e i m m a n e n t i n m i l l i m e t e r H e r e i s w h a t - - ~ 4 ‘ n ~ a A - N - a U s . I w a n t e d m y a i m m e a S u r e S E t ‘ m e d i m p o 0 f m i l l i m e t e r s t o “ 5 9 5 5 t h e i r I h a d a t h e H e x ] d a } . r t h e t o h a w S w e t h i n k i n g l i k e w e h a d t h s l u d e m s h a d 1 h a d a c C O m P l i s m o r e t o 1 9 a m . I t t O o k 1 b r o u g h t i t t o o m E a S U I E m E n t E 2 5 2 i n m i l l i m e t e r s , a s m a l l e r u n i t , w o u l d l e a d t o a m o r e a c c u r a t e , b e t t e r fi t t i n g l a b e l . H e r e i s w h a t w a s n o t e d a b i t l a t e r i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . A f t e r e v e r y o n e h a s c u t o u t a l a b e l , d i s c u s s p o s s i b l e p r o b l e m s w i t h s i z e . T : S o m e o f y o u f o u n d t h a t y o u r l a b e l s d i d n o t f i t q u i t e r i g h t . T h e l a b e l m i g h t h a v e b e e n t o o w i d e , t o o s h o r t , o r t o o l o n g . Y o u m a y o r m a y n o t h a v e t r i e d t o m a k e a n a d j u s t m e n t . W h a t m i g h t h a v e b e e n s o m e r e a s o n s f o r t h e s i z e d i f f e r e n c e s ? A c c e p t r e a s o n a b l e c o m m e n t s . I f n o o n e s u g g e s t s o r h i n t s a t s i z e p r o b l e m s c a u s e d b y m e a s u r i n g t o t h e n e a r e s t c e n t i m e t e r , m e n t i o n i t j o u r s e l f . ( p . 1 0 ) I w a n t e d m y s t u d e n t s t o m a k e l a b e l s a n d b e a b l e t o j u d g e t h e a c c u r a c y o f t h e i r o w n m e a s u r e m e n t s , s o f r o m t h a t p e r s p e c t i v e , m a k i n g l a b e l s t h a t d i d n o t o v e r l a p s e e m e d i m p o r t a n t . I w a s u n c e r t a i n w h e t h e r o r n o t w e w o u l d g e t t o a d i s c u s s i o n o f m i l l i m e t e r s . I w o u l d b e s a t i s f i e d i f e v e r y o n e g o t l a b e l s m a d e a n d w e t o o k t i m e t o a s s e s s t h e i r f i t . I h a d a l r e a d y d e c i d e d , t h o u g h , t h a t I w o u l d m o v e o n t o s o m e t h i n g n e w t h e n e x t d a y n o m a t t e r w h a t h a p p e n e d t h a t d a y . F i v e d a y s s e e m e d l i k e p l e n t y o f t i m e t o h a v e s p e n t o n t h i s . I w a n t e d t o s t o p b e f o r e w e g o t t o t h e p o i n t w h e r e I w a s t h i n k i n g t h a t t h i s h a d g o n e o n f o r t o o l o n g . I w a n t e d t o s t o p w h i l e i t s t i l l f e l t l i k e w e h a d t h i n g s t o t a l k a b o u t . I w a n t e d t o m o v e o n b e f o r e i t f e l t l i k e t h e s t u d e n t s h a d l o s t i n t e r e s t . I a l s o w a n t e d u s t o b e a t a p o i n t w h e r e i t f e l t l i k e w e h a d a c c o m p l i s h e d s o m e t h i n g . I w a n t e d t o e n d w i t h t h e f e e l t h a t t h e r e w a s s t i l l m o r e t o l e a r n . I t t o o k s t u d e n t s m o s t o f t h e c l a s s p e r i o d t o m a k e t h e l a b e l s . A f t e r S i p h o b r o u g h t i t t o o u r a t t e n t i o n a f e w d a y s e a r l i e r t h a t f i v e p e o p l e g o t fi v e d i f f e r e n t m e a s u r e m e n t s o f t h e s a m e c a n , i t l o o k e d a s i f m o s t p e o p l e d i d n o t t r u s t t h e i r fi r s t m e a s u r e m e n t . I s a w m a n y o f t h e s t u d e n t s m e a s u r e t h e i r c a n s m u l t i p l e t i m e s , t e f o r e m e a s u t h a t s t u d e n t s s t u d e n t s u s e d h e m t o t h e c a i d o s t r a t i o n s 0 ( l i t e r s p u t a s t a n k s , o u t d o o w a s t o r i n g , I c a n . I w a n t e d T h e a c t l a b e l s d i d n o t m i l l i m e t e r s . / W o r k . I h a d u d B a l ' l ‘ O i h t e d . t h e y h a d d o n e i t ‘ l l m e W h y l l ‘ . m a k e i t d i f f e r e S o u r c e O f t h e i r i t a g a i n . l t o ] d 2 5 3 b e f o r e m e a s u r i n g a n d c u t t i n g t h e c o n s t r u c t i o n p a p e r . T h e t e a c h e r ’ s g u i d e n o t e d t h a t s t u d e n t s m i g h t w a n t t o d e c o r a t e t h e i r l a b e l s i f t h e y h a d t h e t i m e . M o s t s t u d e n t s u s e d m a r k e r s o r c o l o r e d p e n c i l s t o d e c o r a t e t h e l a b e l s b e f o r e a t t a c h i n g t h e m t o t h e c a n . S o m e p e o p l e , l i k e W u L e e , s t r o v e t o r e p l i c a t e t h e l e t t e r i n g a n d i l l u s t r a t i o n s o f t h e l a b e l a s i t a p p e a r e d o n t h e c a n w h e n t h e y b r o u g h t i t i n . O t h e r s p u t a s i d e t h a t i d e a a n d m a d e p i c t u r e s o f t h e i r o w n c h o o s i n g . A r m y t a n k s , o u t d o o r s c e n e s , a n d a n i m a l s w e r e p o p u l a r . W i t h 1 5 m i n u t e s u n t i l t h e b e l l w a s t o r i n g , I p u s h e d s t u d e n t s t o fi n i s h o r a t l e a s t g e t t h e i r l a b e l a t t a c h e d t o t h e i r c a n . I w a n t e d t h e l a s t 1 0 m i n u t e s o f c l a s s t o d i s c u s s w h a t t h e y h a d d o n e . T h e a c t i v i t y t u r n e d o u t j u s t a s t h e t e a c h e r ' s g u i d e h a d p r e d i c t e d , m o s t l a b e l s d i d n o t fi t . S o m e w e r e o f f b y a f e w c e n t i m e t e r s w h i l e o t h e r s w e r e o f f b y m i l l i m e t e r s . A s I w a l k e d a r o u n d t h e r o o m , I e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o fi n i s h t h e i r w o r k . I h a d t o d o s o m e f a s t t a l k i n g w i t h s e v e r a l s t u d e n t s w h o l o o k e d d i s a p p o i n t e d a n d v i s i b l y u p s e t t h a t t h e i r l a b e l s d i d n o t q u i t e fi t . T h e y t h o u g h t t h e y h a d d o n e b a d w o r k . I n e e d e d t o c o n v i n c e t h e m o t h e r w i s e . I a s k e d t h e m t o t e l l m e w h y t h e y t h o u g h t t h e i r l a b e l w a s t h e w r o n g s i z e a n d h o w t h e y w o u l d m a k e i t d i f f e r e n t l y i f t h e y w e r e t o d o i t a g a i n . E a c h p e r s o n h a d i d e a s a b o u t t h e s o u r c e o f t h e i r e r r o r s a n d h a d a l r e a d y c o m e u p w i t h r e m e d i e s i f t h e y w e r e t o t r y i t a g a i n . I t o l d t h e m t h e i r a n s w e r s t o t h o s e q u e s t i o n s m a t t e r e d m o r e t o m e t h a n w h e t h e r o r n o t t h e i r l a b e l f i t . I d e c i d e d t o r e p e a t t h i s c o n v e r s a t i o n o f w h a t m a t t e r e d t o m e w i t h t h e w h o l e g r o u p a n d d i s m i s s e d t h e i d e a o f t a l k i n g a b o u t m i l l i m e t e r s . T h e r e w e r e o n l y 1 0 m i n u t e s r e m a i n i n g a n d I d i d n o t w a n t a n y o n e l e a v i n g t o d a y f e e l i n g l i k e t h e y w e r e n o t s u c c e s s f u l . F r o m m y p e r s p e c t i v e , t h e l a s t fi v e d a y s o f m a k i n g l a b e l s f o r c a n s h a d b e e n t h e b e s t m a t h c l a s s e s t h u s f a r t h i s y e a r . B u t I o n l y s a w i t t h a t w a y w h e n I r e d e fi n e d t h e m e a n i n g o f s u c c e s s . G i v e n t h e r i c h n e s s o f t h e d i s c u s s i o n s o f t h e l a s t f e w d a y s , I d i d n o t m i n d i f w e n e v e r d i s c u s s e d m i l l i m e t e r s e v e n t h o u g h g u i d e . I n a 5 t h e y h a d l e a r t i t . l b e g a : h a d a l r e a d y 5 T h e y t a l k e d a d e s c r i b e d w h m a k e l a b e l s a 0 1 m w o r k . I r s o m e o n e a s k m a d e . " N o " A f t e r c l a s s , I 5 p l a n s f o r m a r 8 0 , a t l e a s t n o I O I ‘ S E ‘ S t s u s t a t W 3 5 N o t r e a d y m m t a “ ( t i l t 0 h l m R U t h : J i m : R l l l h ; J i m : R u t ; J i m : R U l h ; J i m : R u t h : 2 5 4 e v e n t h o u g h i t w a s t h e p o i n t o f t h e l e s s o n f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f t h e t e a c h e r ' s g u i d e . I n a s i m i l a r w a y , I w a n t e d m y s t u d e n t s t o f e e l s u c c e s s f u l b e c a u s e o f w h a t t h e y h a d l e a r n e d i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t t h e l a b e l s t h e y j u s t m a d e d i d n o t q u i t e fi t . I b e g a n t h e w h o l e g r o u p d i s c u s s i o n b y a s k i n g t h e s t u d e n t s w i t h w h o m I h a d a l r e a d y s p o k e n t o s h a r e h o w t h e y w e r e n o w t h i n k i n g a b o u t t h e i r l a b e l s . T h e y t a l k e d a b o u t t h e p r o c e s s o f m a k i n g t h e i r l a b e l s , s h o w e d w h a t r e s u l t e d , a n d d e s c r i b e d w h a t t h e y w e r e t h i n k i n g t h e y w o u l d d o d i f f e r e n t l y i f t h e y w e r e t o m a k e l a b e l s a g a i n . I t w a s a t i m e t o s h a r e a n d l i s t e n a s s t u d e n t s e v a l u a t e d t h e i r o w n w o r k . I n t h e m i d s t o f t h e t a l k , t h e b e l l r a n g . B e f o r e I c o u l d s a y a n y t h i n g , s o m e o n e a s k e d i f t h e y c o u l d t a k e t h e c a n s h o m e n o w t h a t t h e l a b e l s h a d b e e n m a d e . " N o , " I s a i d , " P l e a s e k e e p t h e m i n y o u r d e s k . W e m i g h t u s e t h e m a g a i n . " A f t e r c l a s s , I a d m i t t e d t o t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r t h a t I h a d n o i m m e d i a t e p l a n s f o r m a k i n g u s e o f t h e c a n s a g a i n . I j u s t d i d n o t f e e l r i g h t a b o u t l e t t i n g t h e m g o , a t l e a s t n o t t h a t d a y . A t t h a t m o m e n t , t h e s e c a n s a n d l a b e l s r e p r e s e n t e d t h e l o n g e s t s u S t a i n e d f e e l i n g o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s I h a d e x p e r i e n c e d t h a t y e a r . I w a s n o t r e a d y t o p a r t w i t h t h e c a n s j u s t y e t . I w a n t e d t o h o l d o n t o t h e m . A fi e e e l a e g J i m d i d n o t o b s e r v e o n t h e d a y w e m a d e l a b e l s . W h e n I t a l k e d t o h i m t h e n e x t d a y ( 1 0 / 2 4 / 8 9 ) , I t r i e d t o e x p l a i n h o w I w a s f e e l i n g . R u t h : Y e s t e r d a y , t h a t w a s t h e e n d o f t h e c a n s . J i m : Y e a h ? R u t h : B u t , n o t r e a l l y t h e e n d o f t h e c a n s , I d o n ' t t h i n k . J i m : W h y ? R u t h : I d o n ' t f e e l l i k e i t h a s e n d e d . J i m : Y o u ' l l c o m e b a c k t o t h e c a n s ? R u t h : I t h i n k s o . I d o n ' t k n o w h o w o r w h a t I ' l l d o w i t h t h e m b u t I d o n ' t f e e l , I d o n ' t w a n t t o s e n d t h o s e c a n s h o m e . J i m : W h y ? R u t h : I m e a n I d o n ' t w a n t t o s e n d t h e m h o m e n o w b e c a u s e t h a t s o m e h o w t h a t s i g n a l s a n e n d . P e r r e t C l e r m r T r Y m i h e o e m n l e s a r ' d f , s e e n l a e o a l m p e W h a t i t t n n m d e r t . s d i e n g l o w i n g r o u ' 1 ( 1 t , h t I t f e l t m o r e l i l t e a c h i n g . M T h e e \ ' h a p p e n e d i n d i m p r o v i s e d r r E a c h t e W h i c h m e a n i r u n d e r s p a r t n e ' W M y G i f t 2 5 5 I t f e l t m o r e l i k e a b e g i n n i n g i n t e r m s o f t h e f e e l I w a s a c q u i r i n g f o r t h i s k i n d o f t e a c h i n g . r Y r L a t r z R v i i t i n e a n t f I m r v i a t i n T h e e v e n t s h i g h l i g h t e d i n t h e s e fi v e e p i s o d e s w e r e a l l i n t e r a c t i o n s t h a t h a p p e n e d i n d e p e n d e n t o f t h e s c r i p t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e y w e r e i m p r o v i s e d m o v e m e n t s c r e a t e d i n m o m e n t s o f i n t e r a c t i o n s w i t h m y s t u d e n t s . P e r r e t - C l e r m o n t ( 1 9 9 2 ) d e s c r i b e s e a c h c l a s s r o o m e n c o u n t e r a s a n e w e v e n t . E a c h t e a c h e r - s t u d e n t i n t e r a c t i o n i n a c l a s s r o o m r e m a i n s a n e w e v e n t , i n w h i c h e a c h p a r t n e r h a s a n a c t i v e r o l e a n d s p e c i fi c g o a l s a n d a t t r i b u t e s m e a n i n g a c c o r d i n g t o h i s o r h e r s p e c i fi c p a s t e x p e r i e n c e a n d p r e s e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n ( i n c l u d i n g u n d e r s t a n d i n g o f h i s o r h e r p a r t n e r ’ s a c t i o n s a n d r e a c t i o n s ) . ( p . 3 3 5 ) T h e f o l l o w i n g s e c t i o n i s a b o u t w h a t I a m l e a r n i n g a b o u t m y r o l e , t h e s t u d e n t s ’ r o l e s , a n d o u r i n t e r a c t i o n s a s I r e v i s i t t h e s e m o v e m e n t s f r o m a p e r s p e c t i v e t h r e e y e a r s l a t e r . T h r o u g h a r e v i e w o f t h e m o m e n t s a n d a r e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e m o v e m e n t s , I r e v e a l w h a t I a m l e a r n i n g a b o u t w h a t i s r e q u i r e d o f m e . T h i s i s n o t i n d e p e n d e n t o f w h a t i s r e q u i r e d o f m y s t u d e n t s a s t o g e t h e r w e w e r e l e a r n i n g w h a t i t m i g h t m e a n t o t e a c h a n d l e a r n m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . L a a r m i n g t h e M e a n i n g o f M a L h e m t i c a L fl g m M y e f f o r t s t o u n d e r s t a n d t h e e x c h a n g e a r o u n d r e c t a n g l e s h a s b e c o m e a n o c c a s i o n f o r m e , t h r e e y e a r s l a t e r , t o m o r e d e e p l y u n d e r s t a n d w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s a n d e n g a g e w i t h i n t e l l e c t u a l i d e a s a s s o c i a t e d w i t h t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . J o h n ’ s s t r u g g l e w i t h l a n g u a g e a s h e a t t e m p t e d t o d e fi n e a r e c t a n g l e a n d h i s i n t e r a c t i o n s w i t h o t h e r s a r o u n d h i s c o n j e c t u r e i s a n o c c a s i o n f o r m e t o f u r t h e r m y u n d e r s t a n d i n g o f p r o o f a n d w h a t i t m e a n s d o m a t h e m a t i c s . H i s i n t e r a c t i o n s w i t h L u k e a n d D a v i d i n t h e c o n t e x t o f t r y i n g t o d e fi n e a r e c t a n g l e g i v e s m e a n o p p o r t u n i t y t o e x p l o r e t h e m e a n i n g o f m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t , p a r t i c u l a r l y t h e r o l e o f d i s a g r e e m e n t . H o w d o e s t h e S i a n t h n . l h h é d o n t o k e n i n a W a y o w t h a t i f ‘ he initial collie ” g m p e r s 0 n t o d o i n g o f m d i s a g r e e m t a i m i s t o t e . t e a c h e r s a n t h e s o c i a l i n s o c i a l f a c t o r J o h n q u e s t i o n , W l i k e i f t w o e r c h a l l e n g e d h l i t t l e r t h a n t h W i l d b e , M h i s d e f i n i t i o n s t a r t o f a g o o < G e n e r a l l y , J o f h e P a r t i c i p a t e d a S S m a t e s C o t w i t h o m m y C C I n r e s P O I “ 5 6 l l t o e x p l a i n t o 2 5 6 d o i n g o f m a t h e m a t i c s i n w a y s t h a t a t t e n d t o m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t a n d d i s a g r e e m e n t i n t e r a c t w i t h t h e s o c i a l o r g a n i z a t i o n o f a c l a s s r o o m i n w h i c h t h e a i m i s t o t e a c h a n d l e a r n m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? W h a t i s r e q u i r e d o f t e a c h e r s a n d s t u d e n t s ? W h a t a m I l e a r n i n g a b o u t t h e d e m a n d s a n d m e a n i n g o f t h e s o c i a l i n t e r a c t i o n s w i t h i n t h e m a t h c l a s s a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s o c i a l f a c t o r s a n d t h e i n t e l l e c t u a l i d e a s ? : — J o h n o f f e r e d t h e f o l l o w i n g a s a d e f i n i t i o n o f a r e c t a n g l e i n r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n , W h a t m a k e s s o m e t h i n g a r e c t a n g l e ? ” I f t w o e n d s a r e t h e s a m e s i z e , l i k e i f t w o e n d s a r e l i t t l e a n d t w o e n d s a r e l i t t l e r t h a n t h e o t h e r t w o e n d s . ” L u k e . 1 - c h a l l e n g e d h i s i d e a w i t h t h e r e s p o n s e , ” I c h a l l e n g e . I t h i n k l i k e i f t w o e n d s a r e 1 : l i t t l e r t h a n t h e o t h e r t w o e n d s t h e n i t w o u l d b e g o i n g d o w n l i k e a t r i a n g l e . I t w o u l d b e , i t j u s t w o u l d n ' t b e a r e c t a n g l e . ” A t t h e t i m e , I w a n t e d J o h n t o w o r k o n h i s d e fi n i t i o n o f a r e c t a n g l e . I w a n t e d h i m t o t r y t o i m p r o v e o n w h a t w a s t h e s t a r t o f a g o o d c o n j e c t u r e . I t h o u g h t t h i s w o u l d b e a g o o d c l a s s a c t i v i t y . G e n e r a l l y , J o h n h a d m a n y g o o d i d e a s t h a t I t h o u g h t o t h e r s c o u l d b e n e fi t f r o m i f h e p a r t i c i p a t e d m o r e . I a l s o t h o u g h t t h a t i n t h i s p a r t i c u l a r s i t u a t i o n h i s c l a s s m a t e s c o u l d h e l p h i m r e v i s e h i s d e fi n i t i o n . T h i s w o u l d n o t o c c u r , t h o u g h , w i t h o u t m y c o n s i d e r a t i o n o f t h e c o m p l e x s o c i a l i n t e r a c t i o n s s u r r o u n d i n g t h e s i t u a t i o n . W h a t I k n e w a b o u t J o h n i n d i c a t e d t o m e t h a t t h e o n l y w a y t o k e e p h i m f r o m d r o p p i n g o u t o f t h e d i s c u s s i o n w a s i f t h e p u s h i n g o n h i s i d e a s c o u l d b e d o n e i n a w a y t h a t a l l o w e d h i m t o f e e l s e c u r e y e t o p e n t o c r i t i c i s m . J o h n n e e d e d t o k n o w t h a t t h e d i s a g r e e m e n t s w e r e w i t h h i s i d e a s f o r t h e p u r p o s e o f i m p r o v i n g h i s i n i t i a l c o n j e c t u r e , n o t w i t h h i m . I t h o u g h t L u k e w a s a g e n t l e s o u l a n d j u s t t h e r i g h t p e r s o n t o h e l p J o h n a r t i c u l a t e h i s i d e a s m o r e c l e a r l y . I n r e s p o n s e t o L u k e , J o h n a s k e d t o d r a w a p i c t u r e o n t h e c h a l k b o a r d a n d u s e i t t o e x p l a i n w h a t h e m e a n t t o s a y . " T h i s i s w h a t I m e a n , ” h e s a i d , ” T h e s e t w o e n d s a r e l i t t l e a n d t h e s e t w o e n d s a r e l o n g . ” f h i i o g w u r e e v e 6 r . , d e a s . H D i a 1 s v w i H s e d d i e n . i h d a o c a t . p e 0 ‘ 5 S d e e e t C S O S w w i e a t h a g r s t m n e E s S O O n f b o E O t h e D h a n m a r g o m a v j e . e n h l t t ‘ t a n h i m w g h t h e s e " 1 ' 0 e r l d s . 2 5 7 F i g u r e 6 . 1 J o h n ’ s d r a w i n g o f a r e c t a n g l e t o m a t c h h i s d e f i n i t i o n F i g u r e 6 . 1 s e e m e d t o h e l p L u k e s e e a l i t t l e m o r e c l e a r l y w h a t J o h n m e a n t . I t , h o w e v e r , d i d n o t l e a d J o h n t o f u r t h e r d e v e l o p h i s l a n g u a g e f o r e x p r e s s i n g h i s i d e a s . H i s e n c o u n t e r w i t h D a v i d p u s h e d h i m a b i t m o r e i n t h a t d i r e c t i o n . D a v i d w a s a m u c h d i f f e r e n t p e r s o n t h a n e i t h e r L u k e o r J o h n . H e w a s s o m e o n e w h o d i d n o t h e s i t a t e t o s p e a k h i s m i n d , e s p e c i a l l y t o J o h n . I n o t i c e d s i g n s o f a r i v a l r y b e t w e e n t h e s e t w o b o y s f r o m t h e s t a r t o f t h a t s c h o o l y e a r . T h e y w e r e b o t h a c a d e m i c a l l y s t r o n g a n d I t h i n k t h e y c o n t i n u a l l y c h e c k e d t o s e e w h o w a s s t r o n g e r . T h e y h a d b e e n t o g e t h e r i n c l a s s e s f o r s e v e r a l y e a r s . M y s e n s e w a s t h a t t h e c o m p e t i t i o n b e t w e e n t h e m h a d a h i s t o r y t h a t p r e d a t e d f o u r t h g r a d e . D a v i d o f f e r e d a c o u n t e r e x a m p l e a s a w a y t o r e f u t e J o h n ’ s d e f i n i t i o n o f a r e c t a n g l e . H e s a i d , ” C a n I s h o w s o m e t h i n g u p o n t h e b o a r d ? I d i s a g r e e w i t h J o h n w h e n h e s a i d t h a t b e c a u s e , l i k e , s e e , l i k e t h i s , i f y o u h a v e fi v e e n d s a n d t h e s e t w o e n d s a r e l o n g e r , i t i s n o t i n t h e s h a p e o f a r e c t a n g l e . " A F i g u r e 6 . 2 D a v i d ’ s d r a w i n g o f w h a t h e t h o u g h t J o h n h a d d e fi n e d l l e s p o n S e t o E r E S P O l ' l d e d ’ " I t 1 9 T h i s i s a p e r t j u s t i f y i n g , a n i m p o r t a n t a s ] o r i g i n a l c o n i c D a v i d h a d t o t h e r e w e r e t o o f m o n s t e r - h a e l i m i n a t e a n y a l i t ’ a y s a d h o c d e fi n i t i o n t h a t fl u “ l O l m i n t e d t i n i t i o n o f a w a s n o t t h r o u 1 M a n e r a s e r , A t t h e t i n D a v i d t h a n I W a : 2 5 8 T h i s i s a p e r f e c t l y d e f e n s i b l e m o v e , m a t h e m a t i c a l l y . P r o o f o r w a y s o f v e r i f y i n g , j u s t i f y i n g , a n d a c c e p t i n g s o m e t h i n g a s r e a s o n a b l e k n o w l e d g e ( L a k a t o s , 1 9 7 6 ) a r e i m p o r t a n t a s p e c t s o f d o i n g m a t h e m a t i c s . W h a t D a v i d c a m e u p w i t h fi t s J o h n ’ s o r i g i n a l c o n j e c t u r e b u t r e v e a l s s o m e h i d d e n a s s u m p t i o n s . A f t e r h e a r i n g w h a t D a v i d h a d t o s a y , J o h n r e v i s e d h i s i n i t i a l c o n j e c t u r e b y a d d i n g t h e c o n d i t i o n t h a t t h e r e w e r e f o u r , n o t fi v e , ” e n d s . ” L a k a t o s r e f e r s t o w h a t J o h n d i d a s ” t h e m e t h o d o f m o n s t e r - b a r r i n g ” ( p . 2 3 ) . ” U s i n g t h i s m e t h o d , ” L a k a t o s w r i t e s , ” o n e c a n e l i m i n a t e a n y c o u n t e r e x a m p l e t o t h e o r i g i n a l c o n j e c t u r e b y a s o m e t i m e s d e f t a n d a l w a y s a d h o c r e d e fi n i t i o n ” ( p . 2 3 ) . D a v i d p o s e d a n i n t e r p r e t a t i o n o f J o h n ’ s d e fi n i t i o n t h a t l e d t o a d i f f e r e n t fi g u r e ( w h a t L a k a t o s w o u l d c a l l a ” m o n s t e r ” ) t h a n J o h n i n t e n d e d . A s a w a y o f d e a l i n g w i t h t h i s ” m o n s t e r , ” J o h n r e v i s e d h i s d e fi n i t i o n o f a r e c t a n g l e t h e r e b y e l i m i n a t i n g t h e ” m o n s t e r . ” D a v i d , h o w e v e r , w a s n o t t h r o u g h . H e r e v e a l e d y e t a n o t h e r o f J o h n ’ s h i d d e n a s s u m p t i o n s . D a v i d t o o k a n e r a s e r , r e m o v e d t h e fi f t h s i d e a n d s a i d , " T h e r e , t h a t h a s f o u r e n d s . " F i g u r e 6 . 3 D a v i d ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f J o h n ’ s r e v i s e d d e fi n i t i o n I n r e s p o n s e t o D a v i d ' s d r a w i n g , J o h n a s k e d , " C a n y o u c o n n e c t i t ? " T o t h i s D a v i d r e s p o n d e d , " I t i s c o n n e c t e d , " a n d r a n h i s f i n g e r a r o u n d t h e s i d e s . A t t h e t i m e , I w a s l e s s c e r t a i n o f w h a t t o m a k e o f J o h n ’ s e x c h a n g e w i t h D a v i d t h a n I w a s a b o u t J o h n ’ s e x c h a n g e w i t h L u k e . I f e l t l i k e t h e e x c h a n g e w i t h L D u a k v e i c a l l s o h n ' w a s a g d a s d t i e d n t i i t c o n j e e y o f o s h e a p e s t h o d h a t i t b w j s m w s o c n u t e l g l r t i r h c o I i a A n s u u s , i p t s n . t h g i n c r i l h " m ( P b e c . h a a s e m p a b p e n . p e r s o a r r a s o f t h e k n o g a r b o o w d t o a u k l a w g e o s b e s o a d m n o w l e t m a t t e d r g e e d c l a k l C 0 D S t r u c t i v e T h e r e r a t a n 2 5 9 L u k e w a s a g o o d t h i n g . I w a s l e s s s u r e a b o u t D a v i d . O n e i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t D a v i d d i d i s t h a t h e p l a y e d t h e ” r e f u t a t i o n i s t ” ( L a k a t o s , 1 9 7 6 ) , s o m e o n e w h o c a l l s a t t e n t i o n t o p o s s i b l e ” u n i n t e n d e d i n t e r p r e t a t i o n s ” ( p . 8 4 ) . H e i n t e r p r e t e d J o h n ’ s c o n j e c t u r e i n w a y s t h a t s t r e t c h e d t h e m e a n i n g o f t h e c o n j e c t u r e t o i n c l u d e s h a p e s b e y o n d w h a t J o h n i n t e n d e d . T h e o u t c o m e o f t h i s w a s t h a t D a v i d ’ s m e t h o d o f s u r f a c i n g u n i n t e n d e d m e a n i n g s m o v e d J o h n t o b e m o r e e x p l i c i t a b o u t w h a t i t w a s t h a t h e d i d i n t e n d . M a t h e m a t i c a l l y , t h i s w a s a g o o d t h i n g t o h a v e h a p p e n . A s e c o n d i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t D a v i d d i d w a s t h a t h e p i c k e d o n J o h n a s a p e r s o n , l o o k e d f o r w a y s t o p o i n t o u t h i s e r r o r s f o r t h e p u r p o s e o f e m b a r r a s s i n g h i m . I n o n e c a s e , t h e a i m w a s t o f u r t h e r t h e m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g o f t h e g r o u p . I n t h e o t h e r c a s e , t h e a i m w a s t o h u m i l i a t e J o h n . G i v e n w h a t I k n o w a b o u t t h e b o y s ’ r e l a t i o n s h i p a s w e l l a s t h e i r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y , b o t h c o u l d b e g o i n g o n a n d b o t h w e r e r e a s o n a b l e i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e s i t u a t i o n . L a k a t o s d e s c r i b e s s u c h d i f f e r e n c e s i n r e f u t a t i o n s a s ” r e f u t a t i o n s w h i c h o n l y r e v e a l a s i l l y m i s t a k e a n d r e f u t a t i o n s w h i c h a r e m a j o r e v e n t s i n t h e g r o w t h o f k n o w l e d g e ” ( p . 8 6 ) . H o w d o I k n o w w h i c h i s w h i c h ? W h a t w a s g o i n g o n h e r e ? I t m a t t e r e d b e c a u s e I w a n t e d t h e c r i t i c i s m i n m y m a t h c l a s s t o b e m a t h e m a t i c a l l y c o n s t r u c t i v e r a t h e r t h a n p e r s o n a l l y d e s t r u c t i v e . T h e r e a r e n o r u l e s t o f o l l o w w h i c h w o u l d g u a r a n t e e t h a t a s e t o f i n t e r a c t i o n s w o u l d l e a d t o o n e o r t h e o t h e r . S u c h c a l l s w e r e l e f t u p t o m y j u d g m e n t b a s e d o n m y o n g o i n g a s s e s s m e n t o f t h e s i t u a t i o n . W h a t d o I k n o w a b o u t t h e i n d i v i d u a l s i n v o l v e d ? D o I l e t t h e i n t e r a c t i o n c o n t i n u e ? D o I i n v i t e o t h e r s t u d e n t s t o j o i n i n ? D o I i n t e r f e r e ? D o I c a l l a h a l t t o t h e w h o l e t h i n g ? I n t h e s i t u a t i o n , I n e e d t o s e n s e t h e f e e l o f t h e i n t e r a c t i o n a n d b a s e d o n a c o m p l e x s e t o f v a r i a b l e s d e c i d e w h a t t o d o n e x t . A n y d e c i s i o n a n d s u b s e q u e n t a c t i o n i s b a s e d o n a h o s t o f r e a s o n s h a v i n g t o d o w i t h w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s , w h a t I k n o w a b o u t i n d i v i d u a l s , w h a t I s e n s e f r o m t h e i r i n t e r a c t i o n s a n d w h a t m y c o n c e r n s m o m e n t . A c m a t h e m a t i c s m a k e t h e m o s i t u a t i o n . T h e r e i d i s c o u r s e . T h t h e s e i n m y r e h i m o f t h e s e r fi l E S E i n m y i n - l h e d i s c o u r s e i G i l l O f m y C O D ] S t u d e n t t a k e 0 l l h y i s i i t l S a W a y f o r n b f " M E T t h a n t h 2 6 0 m y c o n c e r n s a r e f o r t h e m a t h e m a t i c a l p r o g r e s s o f t h e g r o u p a s a w h o l e a t a g i v e n m o m e n t . A c q u i r i n g a c l e a r e r s e n s e o f t h e r o l e o f d i s a g r e e m e n t i n d o i n g m a t h e m a t i c s a n d t h e p o t e n t i a l b e n e fi t s a n d r i s k s f o r t h e p a r t i c i p a n t s h e l p s m e t o m a k e t h e m o m e n t t o m o m e n t , s t u d e n t b y s t u d e n t d e c i s i o n s d e m a n d e d i n t h e s i t u a t i o n . T h e r e a r e t w o t h i n g s t h a t I a m t r y i n g t o m a n a g e h e r e - ~ t h e c o n t e n t a n d t h e d i s c o u r s e . T h e fi r s t t h i n g I n e e d e d t o l e a r n w a s w h a t i t m e a n t t o t a k e c o n t r o l o f t h e s e i n m y r e l a t i o n s h i p w i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I n e e d e d t o h a v e c o n t r o l o f b o t h o f t h e s e m y s e l f . N o w I a m l e a r n i n g w h a t i t m e a n s t o g i v e u p c o n t r o l o f t h e s e i n m y i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s . W h a t i s m y r o l e w h e n t h e s u b s t a n c e a n d t h e d i s c o u r s e i s i n t h e c o n t r o l o f m y s t u d e n t s ? D o e s i t m e a n t h a t i t i s c o m p l e t e l y o u t o f m y c o n t r o l ? I n e e d t o fi g u r e o u t w h e n t o i n t e r v e n e a n d w h e n t o l e t s t u d e n t s t a k e o v e r t h e l e a d . W h y i s i t i m p o r t a n t t o l e a r n h o w t o a r g u e ? I n t h e c o n t e x t o f m a t h e m a t i c s , i t i s a w a y f o r m a t h e m a t i c a l i d e a s t o d e v e l o p . B u t I a m l e a r n i n g t h e r e a s o n s a r e b r o a d e r t h a n t h a t . T h e s i m i l a r i t i e s i n t h e w a y I w a n t m y s t u d e n t s t o l e a r n t o d o m a t h e m a t i c s c o n n e c t s t o t h e w a y s i n w h i c h I w a n t t h e m t o e n g a g e w i t h i n t e l l e c t u a l i d e a s i n g e n e r a l . F a w c e t t ( 1 9 3 8 ) , w r i t i n g a b o u t t h e n a t u r e o f p r o o f , a d d r e s s e s s o m e b r o a d e r p u r p o s e s . W h a t t h e s e t e a c h e r s r e a l l y w a n t i s n o t o n l y t h a t t h e s e y o u n g p e o p l e u n d e r s t a n d t h e n a t u r e o f p r o o f b u t t h a t t h e i r w a y o f l i f e s h o u l d s h o w t h a t t h e y u n d e r s t a n d i t . O f w h a t v a l u e s i s i t f o r a p u p i l t o u n d e r s t a n d t h o r o u g h l y w h a t a p r o o f m e a n s i f i t d o e s n o t c l a r i f y h i s t h i n k i n g a n d m a k e h i m m o r e ” c r i t i c a l o f n e w i d e a s p r e s e n t e d ” ? T h e r e a l v a l u e o f t h i s s o r t o f t r a i n i n g t o a n y p u p i l i s d e t e r m i n e d b y i t s e f f e c t o n h i s b e h a v i o r , a n d f o r p u r p o s e s o f t h i s s t u d y w e s h a l l a s s u m e t h a t i f h e c l e a r l y u n d e r s t a n d s t h e s e a s p e c t s o f t h e n a t u r e o f p r o o f h i s b e h a v i o r w i l l b e m a r k e d b y t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s : 1 . H e w i l l s e l e c t t h e s i g n i fi c a n t w o r d s a n d p h r a s e s i n a n y s t a t e m e n t t h a t i s i m p o r t a n t t o h i m a n d a s k t h a t t h e y b e c a r e f u l l y d e fi n e d . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . ‘ e e c H a H H c e e m t e h m H o t e H e V H e v h e l i c - S o , o n o n e l o n m u o e r t n p O r . a r g a u t h e p r e p p a r a t i p e o t h e r o p l n o s / 1 9 1 6 ) . l e a r n i n g t o I n m S l i f e - “ U s e d t a s p o s s i b l e y o a h e r l e ‘ t s . o s o e n O o f t o e a t 1 p ; a f o l A n d i t l W a s t e . I“ m y l'f'tlrt l c e M o a n r y a t t t i n u a m ' n g 1 C m a t h e m a t i c a l O n a n e). 2 6 1 2 . H e w i l l r e q u i r e e v i d e n c e i n s u p p o r t o f a n y c o n c l u s i o n h e i s p r e s s e d t o a c c e p t . 3 . H e w i l l a n a l y z e t h a t e v i d e n c e a n d d i s t i n g u i s h f a c t f r o m a s s u m p t i o n . 4 . H e w i l l r e c o g n i z e s t a t e d a n d u n s t a t e d a s s u m p t i o n s e s s e n t i a l t o t h e c o n c l u s i o n . 5 . H e w i l l e v a l u a t e t h e s e a s s u m p t i o n s , a c c e p t i n g s o m e a n d r e j e c t i n g o t h e r s . 6 . H e w i l l e v a l u a t e t h e a r g u m e n t , a c c e p t i n g o r r e j e c t i n g t h e c o n c l u s i o n . 7 . H e w i l l c o n s t a n t l y r e - e x a m i n e t h e a s s u m p t i o n s w h i c h a r e b e h i n d h i s b e l i e f s a n d w h i c h g u i d e h i s a c t i o n s . ( p p . 1 1 - 1 2 ) . S o , o n o n e l e v e l , I a m l e a r n i n g h o w t o w o r k w i t h s t u d e n t s t o d e f i n e r e c t a n g l e s . O n a n o t h e r l e v e l , I a m l e a r n i n g h o w t o w o r k w i t h s t u d e n t s t o h a v e m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s . O n y e t a n o t h e r l e v e l , I a m l e a r n i n g h o w t o w o r k w i t h s t u d e n t s f o r t h e p u r p o s e o f e n g a g i n g i n i n t e l l e c t u a l i d e a s . W h a t i s l e a r n e d h e r e i s n o t p r e p a r a t i o n f o r s o m e t h i n g e l s e ; i t i s l e a r n i n g a w a y o f b e i n g , o f e n g a g i n g w i t h o t h e r p e o p l e a n d i d e a s , o f l i v i n g a s a m e m b e r i n a d e m o c r a c y ( D e w e y , 1 9 6 6 / 1 9 1 6 ) . L e a r n i n g t e A p p r e e i e t e I n d i v i d u a l s I n m y p a s t t e a c h i n g , I a l w a y s g a v e t h e d i r e c t i o n s a n d s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o f o l l o w t h e m . T h e p o i n t w a s t o g e t t h r o u g h t h e d i r e c t i o n s a s q u i c k l y a s p o s s i b l e a n d m o v e o n t o t h e t a s k . I c o n s i d e r e d t i m e s p e n t o n d i r e c t i o n s a w a s t e . M y a t t i t u d e s a b o u t w h a t i s w o r t h s p e n d i n g t i m e o n h a v e b e e n c h a n g i n g . I n m y c o n t i n u a l s e a r c h f o r i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s t o t a l k a b o u t , I h a v e b e e n l e a r n i n g t o h a v e a n e w a p p r e c i a t i o n o f t h e d i r e c t i o n s o f a t a s k a s a s i t e f o r m a t h e m a t i c a l e x p l o r a t i o n . I n o w s e e t h a t d i r e c t i o n s o f a t a s k a r e u s u a l l y b a s e d o n a n i m p l i c i t s e t o f a s s u m p t i o n s a b o u t a n a p p r o p r i a t e w a y t o p e r f o r m a t a s k a s w e l l a s a n a p p r o p r i a t e o u t c o m e o r p r o d u c t . W h a t h a p p e n s i f y o u s t a r t q u e s t i o n i n g t h e d i r e c t i o n s ? I f t h e d i r e c t i o n s a r e o p e n e d t o i n t e r p r e t a t i o n , t h e s e h i d d e n a s s u m p t i o n s g e t e x p l o r e d . T h e p r o c e s s b e c o m e s o p e n t o i n t e r p r e t a t i o n a n d p a r t o f t h e t a s k . T h e i d e a o f q u e s t i o n i n g t h e d i r e c t i o n s s u r f a c e s a s s u m p t i o n s i n w a y s s i m i l a b o u t p a t t e r r g u i d e b e c o m i i t i s a w a y t o . w a s l e a m i n g t h a t m a k e s e n T h e s t i ; w i t h S i p h o o v w h e r e S i p h o i s m o r e a u t h o r i t } l l h e n e x e r c i s e t h e m s e l v e s - - 5 0 g i v e n t o m e a r c P o s i t i o n w i t h t ] " m g l 0 l e a r n 1 b l i n d l y f O l l o w n w i t h t e a c h e r ' s 8 W e S P 9 “ d r a w n d e a l i n m e a s u r e a C a n v 2 6 2 i n w a y s s i m i l a r t o w h a t I l e a r n e d a b o u t t h e p o w e r o f q u e s t i o n i n g a q u e s t i o n a b o u t p a t t e r n s i n C h a p t e r 4 . Q u e s t i o n i n g q u e s t i o n s o r d i r e c t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e b e c o m e s a w a y f o r m e t o b e g i n t o t a k e s o m e c o n t r o l o f t h e c o n t e n t . T h a t i s , i t i s a w a y t o n o t a c c e p t q u e s t i o n s o r d i r e c t i o n s i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e a s g i v e n s . I w a s l e a r n i n g t h a t I h a v e t h e p o w e r a n d a b i l i t y t o u s e t h e t e a c h e r ’ s g u i d e i n w a y s t h a t m a k e s e n s e t o m e . T h e s t u d e n t s c a n d o t h e s a m e , i f t h e y a r e g i v e n t h e c h a n c e . T h e e x c h a n g e F w i t h S i p h o o v e r m a k i n g t h e l a b e l s s u c h t h a t t h e y d o n o t o v e r l a p i s a n e x a m p l e o f w h e r e S i p h o i s q u e s t i o n i n g m y d i r e c t i o n s . B u t b e c a u s e I a m t h e t e a c h e r , I h a v e m o r e a u t h o r i t y i n t h e s i t u a t i o n w h e n I w a n t t o m a k e u s e o f i t t h a n h e d o e s . ‘ F W h e n e x e r c i s e d , t h a t a u t h o r i t y c a n s t i fl e s t u d e n t s ’ a t t e m p t s t o m a k e m e a n i n g f o r t h e m s e l v e s - - s o m e t h i n g I a m l e a r n i n g t o d o a s I l e a r n t o q u e s t i o n t h e d i r e c t i o n s g i v e n t o m e a r o u n d m y w o r k . T h e w a y s i n w h i c h I a m t r y i n g t o r e n e g o t i a t e m y p o s i t i o n w i t h t h e t e x t b o o k a n d i t s a u t h o r i t y i s s i m i l a r t o w h a t t h e s t u d e n t s a r e t r y i n g t o l e a r n t o d o w i t h m e . I n a s e n s e , t h e i r w o r k o u g h t n o t b e a n y m o r e a b o u t b l i n d l y f o l l o w i n g d i r e c t i o n s t h a n m i n e i s . I a m n e g o t i a t i n g a n e w r e l a t i o n s h i p w i t h t e a c h e r ’ s g u i d e . T h e y a r e n e g o t i a t i n g a n e w r e l a t i o n s h i p w i t h m e . W e s p e n t m u c h o f t h e c l a s s p e r i o d f r o m w h i c h t h e e p i s o d e ” S t r i n g s ” i s d r a w n d e a l i n g w i t h t h e d i r e c t i o n s f o r m a k i n g t h e l a b e l . T h e q u e s t i o n o f h o w t o m e a s u r e a c a n w i t h a s t r i n g w a s t h e f o c u s . H e r e i s w h a t t h e d i r e c t i o n s i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e s a i d : R a t h e r t h a w e h a d a d d i f f e r e n t s t a f t e r s o m e r r u l e r w o u l d i m p l i c i t i n C t h a t t h e y C O L T h e r e m o v i n g a w a } c o m e f r o m t h . g u i d e w a s d 9 , - e m m i l e , I h a c i n t e r e s t i n g b u t i t w i t h m y S f U c m fi a s u d n g t h e . i n t e r e s t i n g 0 b s ( t o t h e d i r E C fi o n g S o m e t h i n g o f t h . d o ? W a s t h i s b e 2 6 3 M a s u r e t o t h e n e a r e s t c e n t i m e t e r t h e c i r c u m f e r e n c e f o r y o u r c a n a n d i t s h e i g h t . U s e a m e t r i c t a p e m e a s u r e , o r c u t p i e c e s o f s t r i n g i n t h e a p p r o p r i a t e l e n g t h s a n d t h e n m e a s u r e t h e s t r i n g . ( p . 8 ) R a t h e r t h a n j u s t g i v e s t u d e n t s a s t r i n g a n d s e n d t h e m o f f t o m e a s u r e t h e i r c a n s , w e h a d a d i s c u s s i o n w h i c h i n c l u d e d a s e r i e s o f d e m o n s t r a t i o n s b y s e v e r a l d i f f e r e n t s t u d e n t s o n h o w y o u c o u l d u s e a s t r i n g t o m e a s u r e a c a n . T h i s o c c u r r e d a f t e r s o m e o n e t r i e d m e a s u r i n g a c a n w i t h a r u l e r , a m o r e f a m i l i a r t o o l T h a t a r u l e r w o u l d p r e s e n t d i f f i c u l t i e s a n d t h e r e f o r e o t h e r t o o l s m i g h t b e n e e d e d i s i m p l i c i t i n C S M P ’ s d i r e c t i o n s . I w a n t e d m y s t u d e n t s t o s e e t h i s f o r t h e m s e l v e s s o t h a t t h e y c o u l d a p p r e c i a t e , f i r s t h a n d , t h e n e e d f o r a n o t h e r k i n d o f t o o l . T h e r e i s a r i s k i n o p e n i n g u p t h e d i r e c t i o n s t o i n t e r p r e t a t i o n . I t m e a n s m o v i n g a w a y f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e a n d h o p i n g t h a t s o m e t h i n g u s e f u l w i l l c o m e f r o m t h e v e n t u r e . I c o u l d f e e l t h a t a s m y d e p e n d e n c e o n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e w a s d e c r e a s i n g , m y d e p e n d e n c e o n t h e s t u d e n t s w a s i n c r e a s i n g . F o r e x a m p l e , I h a d a h u n c h t h a t t h e d i r e c t i o n s a n d t h e s t r i n g c o u l d l e a d t o s o m e t h i n g i n t e r e s t i n g b u t I c o u l d n o t b e c e r t a i n h o w t h e l e s s o n w o u l d t u r n o u t u n t i l I t r i e d i t w i t h m y s t u d e n t s . A l o t w a s r i d i n g o n h o w m y s t u d e n t s w o u l d m a k e s e n s e o f m e a s u r i n g t h e c a n . W o u l d t h e y b e i n t r i g u e d b y i t ? W o u l d t h e y b e a b l e t o m a k e i n t e r e s t i n g o b s e r v a t i o n s a b o u t t h e p r o c e s s ? W o u l d t h e y a p p r e c i a t e a n a t t e n t i o n t o t h e d i r e c t i o n s a s m u c h a s m e ? I t r u s t e d t h a t m y s t u d e n t s w o u l d m a k e s o m e t h i n g o f t h e a c t i v i t y a n d t h e y d i d . W a s t h i s b e c a u s e o f w h a t I a s k e d t h e m t o d o ? W a s t h i s b e c a u s e o f t h e w a y I p h r a s e d t h e t a s k ? W a s t h i s b e c a u s e o f w h o I c a l l e d o n a n d w h a t t h e y d i d ? I a m l e a r n i n g t o s e e m y s t u d e n t s a s i n t e g r a l p l a y e r s i n a l l t h a t I a t t e m p t t o d o a s a t e a c h e r . N o t o n l y d o I n e e d s o m e t h i n g i n t e r e s t i n g f o r m y s t u d e n t s t o t a l k a b o u t b u t I a m d e p e n d e n t o n t h e i r i n v o l v e m e n t . C o h e n ( 1 9 8 8 ) w r i t e s a b o u t h o w d e t - e l o p m e n t ‘ S t u d e n t s a s o n W h a t i d e a s I h s u c h a d v e n t u r t h a t t e a c h e r s " i n s t r u c t i o n " ( t t h a t t h e y e a c h m a t h e m a t i c a l l e a s t a s m u c h a n d i m p l i c i t l y i n t e r a c t i o n " ( l r e é p o n s i h i l i t y m e a n i n g f u l m I a m a l : l e a r n i n g W h a r e i ‘ e é i t e c l l y t h e w h a t t h e y h a y O d o b e r ’ W i t e r w e l l . I h a d a S P e r s o n a l i t i e s , . S e n s e f o r “ h e r t h a t I C a m e t o F L X e d e e x p e r i e n C e S b l m y E X P Q C t a t i O 2 6 4 s u c h a d v e n t u r o u s t e a c h i n g m a k e s d i s t i n c t i v e d e m a n d s o n t e a c h e r s . I t r e q u i r e s t h a t t e a c h e r s ” d e p e n d o n s t u d e n t s t o p r o d u c e a n u n u s u a l l y l a r g e s h a r e o f i n s t r u c t i o n ” ( p . 5 8 ) . L e a r n i n g t o d e p e n d o n m y s t u d e n t s m e a n s l e a r n i n g t o t r u s t t h a t t h e y e a c h h a v e s o m e t h i n g t o o f f e r a n d t h a t t o g e t h e r w e w i l l c o n s t r u c t m a t h e m a t i c a l m e a n i n g o u t o f a t a s k . I w a n t s t u d e n t s t o a p p r e c i a t e t h e p r o c e s s a t l e a s t a s m u c h a s t h e p r o d u c t . ” E a c h p a r t n e r p a r t i c i p a t e s m o s t l y u n c o n s c i o u s l y _ _ a n d i m p l i c i t l y i n t h e d e f i n i t i o n o f t h e t a s k a n d o f w h a t i s a t s t a k e i n t h e . i n t e r a c t i o n ” ( P e r r e t - C l e r m o n t , 1 9 9 2 , p . 3 3 5 ) . A s t h e t e a c h e r , I h a v e t h e r e s p o n s i b i l i t y t o l o o k f o r t a s k s t h a t h o l d p o t e n t i a l f o r e n g a g i n g m y s t u d e n t s i n m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s . I a m a l s o l e a r n i n g t h a t I h a v e t o r e c o g n i z e p o t e n t i a l i n m y s t u d e n t s . L e a r n i n g w h a t i t i s t h a t m y s t u d e n t s h a v e t o o f f e r i s a n o n g o i n g t a s k . I l e a r n e d r e p e a t e d l y t h a t y e a r t h a t m y s t u d e n t s h a v e m o r e t o o f f e r t h a n I e v e r k n e w a n d w h a t t h e y h a v e t o o f f e r i s i n c o n t i n u a l fl u x a n d d e v e l o p m e n t . B y t h e m i d d l e o f O c t o b e r , w h e n t h e s e l e s s o n s o c c u r r e d , I w a s g e t t i n g t o k n o w m y s t u d e n t s f a i r l y w e l l . I h a d a s e n s e o f w h o t h e y w e r e a s i n d i v i d u a l s , t h e n a t u r e o f t h e i r p e r s o n a l i t i e s , a n d t h e s h a p e o f t h e i r r e l a t i o n s h i p s w i t h o n e a n o t h e r . I a l s o h a d a s e n s e f o r w h a t t h e y u n d e r s t o o d a b o u t m a t h e m a t i c s . T h e r e w e r e c e r t a i n t h i n g s t h a t I c a m e t o e x p e c t o f e a c h o f t h e m . F i x e d e x p e c t a t i o n s d i d s o m e t h i n g t o e a s e m y u n c e r t a i n t y b u t a t t i m e s m y e x p e r i e n c e s b l i n d e d m e f r o m m y s t u d e n t s ’ g r o w i n g p o t e n t i a l . I n e e d e d t o s e e m y e x p e c t a t i o n s a s b e i n g a s d y n a m i c a n d e v o l v i n g a s t h e g r o w t h a n d d e v e l o p m e n t o f m y s t u d e n t s b e c a u s e I u s e d w h a t I k n e w a b o u t i n d i v i d u a l s t u d e n t s a s o n e m e a n s o f g u i d i n g m y a c t i o n s d u r i n g d i s c u s s i o n s . D e c i s i o n s a b o u t w h o t o c a l l w e r e b a s e d o n r e a s o n s t h a t i n c l u d e d t h e f e e l o f t h e m o m e n t , w h a t t h e o t h e r s t u d e n t s w e r e d o i n g , w h a t m a t h e m a t i c a l i d e a s I w a n t e d t o t e a c h , w h a t i d e a s I h a d f o r t e a c h i n g t h e m , h o w m u c h t i m e h a d p a s s e d a n d r e m a i n e d i n t w t s a t r o n m s h o e l h e e h e m w v a e a t h r r e i m a c h b e l e a s s a d l e s 1 i e t h i n g e x . w r e e r l e i n s a t r o a i e t h e n l s e g h a p a r t i c i p a n t s i 2 6 5 t h e m a t h c l a s s , w h e r e w e h a d b e e n , w h e r e w e w e r e a t t h e m o m e n t , a n d w h e r e w e w e r e h e a d e d . T h e q u e s t i o n o f w h o t o c a l l o n w a s c o n t i n u a l l y i n fl u x a s w e r e t h e v a r i a b l e s t h a t i n fl u e n c e d m y d e c i s i o n . F r o m w h a t I c a n t e l l t h e d y n a m i c s o f t h e t e a c h e r s t u d e n t i n t e r a c t i o n i s n o t s o m e t h i n g e x p l i c i t l y a d d r e s s e d i n C S M P . I n p l a c e s w h e r e t y p i c a l s t u d e n t s a n s w e r s a r e g i v e n i n r e s p o n s e t o a t e a c h e r q u e s t i o n , t h e r e i s n o i n d i c a t i o n t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t a n d a m o n g t h e s t u d e n t s p l a y s a r o l e i n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . H e r e i s h o w t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e p a r t i c i p a n t s i s r e p r e s e n t e d i n t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e : T : Q u e s t i o n S : R e s p o n s e S : R e s p o n s e S : R e s p o n s e T h i s m e a n s a t e a c h e r q u e s t i o n i s o f t e n f o l l o w e d b y t h r e e p o s s i b l e s t u d e n t r e s p o n s e s t o t h e q u e s t i o n . T h e r e s p o n s e s c o m e f r o m r e a l c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s o r w e r e c o n s i d e r e d m a t h e m a t i c a l l y i n t e r e s t i n g b y t h e c u r r i c u l u m d e s i g n e r s . W h i l e I a m c e r t a i n C S M P i n t e n d e d f o r t h e s e r e l a t i o n s h i p s t o b e m o r e c o m p l e x t h a n t h e y a p p e a r h e r e , I a m n o t c e r t a i n t h e y w o u l d a r g u e t h a t t h e y p l a y a s c e n t r a l a r o l e i n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s a s I p r o p o s e . W h a t d o e s C S M P a s s u m e a b o u t t h e s e r e l a t i o n s h i p s ? D o e s i t m a t t e r w h o t h e s e s t u d e n t s a r e a s p e o p l e a n d w h a t t h e i r r e l a t i o n s h i p s a r e t o o n e a n o t h e r ? I f s o , h o w c o u l d t h e c o m p l e x i t y o f t h e r e l a t i o n s h i p s a n d w a y s f o r d e a l i n g w i t h t h e m b e r e p r e s e n t e d i n a t e a c h e r ’ s g u i d e ? W h a t c o u l d b e d o n e t o h e l p t h e t e a c h e r l e a r n t o u n d e r s t a n d a n d r e s p o n d t o t h e s e i n t e r a c t i o n s ? I w a s n o t d e a l i n g w i t h g e n e r i c f o u r t h g r a d e r s . T h e s e w e r e r e a l s t u d e n t s w i t h r e a l g r o w i n g a n d c h a n g i n g p e r s o n a l i t i e s a n d a b i l i t i e s t h a t p l a y e d a c e n t r a l r o l e i n m y t e a c h i n g . T h e f a t o n e m y s e l f c c 1 9 8 3 ) . H o w b a c k t o t h e m ' S o m e t i m e s t l e n d s . S o m e t i t h e r e w a y s a m y s e l f m o y i r h e l p i n g m e d o d d l y e n o u g l l e a r n i n g t o S t i n t h i s t e a c h i : M y f i r t h e S a m e c a n w a s a n u n p n P r o d U C i i V e d 2 6 6 T h e f a c t t h a t I a m d e a l i n g w i t h g r o w i n g , c h a n g i n g h u m a n b e i n g s a n d I a m o n e m y s e l f c o n t r i b u t e s t o t h e i n h e r e n t u n c e r t a i n t y i n m y j o b a s a t e a c h e r ( C o h e n , 1 9 8 8 ) . H o w a r e m y s t u d e n t s g o i n g t o r e s p o n d a n d h o w a m I g o i n g t o r e s p o n d b a c k t o t h e m ? S o m e t i m e s s t u d e n t s r e s p o n d a s I p r e d i c t , o t h e r t i m e s t h e y d o n o t . S o m e t i m e s t h e u n p r e d i c t a b i l i t y l e a d s t o e x c i t i n g n e w p l a c e s , o t h e r t i m e s t o d e a d e n d s . S o m e t i m e s i t t a k e s m e l o n g e r t o s e e w h e r e w e a r e h e a d e d t h a n o t h e r s . A r e t h e r e w a y s a t e a c h e r ’ s g u i d e c a n h e l p m e d e a l w i t h t h e u n c e r t a i n t y ? I f o u n d m y s e l f m o v i n g a w a y f r o m t h e t e a c h e r ’ s g u i d e I w a s u s i n g . I t s c e r t a i n t y w a s n o t h e l p i n g m e d e a l w i t h t h e u n c e r t a i n t y o f t h i s k i n d o f t e a c h i n g . I f o u n d m y s e l f , o d d l y e n o u g h , l o o k i n g t o m y s t u d e n t s , t h e s o u r c e o f t h e u n c e r t a i n t y . I w a s l e a r n i n g t o s e e m y s t u d e n t s n o t o n l y a s t h e s o u r c e o f t h e d i f f i c u l t i e s I c o n f r o n t e d i n t h i s t e a c h i n g b u t a s r e s o u r c e s f o r d e a l i n g w i t h t h e m . M y fi r s t e x c h a n g e w i t h S i p h o o v e r t h e d i s c r e p a n c i e s i n m e a s u r e m e n t s o f t h e s a m e c a n i s a g o o d e x a m p l e o f m y c o m i n g t o s e e a s t u d e n t a s a r e s o u r c e . I t w a s a n u n p r e d i c t a b l e e x c h a n g e t h a t l e d i n a t o t a l l y u n e x p e c t e d , s u r p r i s i n g l y p r o d u c t i v e d i r e c t i o n t h a t a l m o s t d i d n o t h a p p e n b e c a u s e o f m y f i x e d e x p e c t a t i o n s o f S i p h o a n d m y m o m e n t a r y d r i v e t o m a k e p r o g r e s s o n t h e t a s k o f m a k i n g t h e l a b e l s . I h a p p e n e d t o m a k e t h e s p a c e f o r S i p h o ’ s i d e a a n d w a s a m a z e d b y h i s i n s i g h t f u l n e s s . I w o r r y a b o u t h o w m a n y t i m e s t h i s w a s n o t t h e c a s e . H o w m a n y t i m e s d i d I n o t g i v e S i p h o t h e o p p o r t u n i t y t o b e h e a r d ? H o w m a n y o f h i s i n s i g h t s w e n t u n n o t i c e d ? W e r e t h e r e o t h e r s t u d e n t s w h o w e r e n o t g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o b e h e a r d ? I w o r r y a b o u t t h e r e a s o n s w h y t h i s m i g h t h a v e h a p p e n e d . D i d i t h a v e t o d o w i t h t h e i r c o l o r , t h e i r g e n d e r , w h a t I p e r c e i v e d a s t h e i r m a t h e m a t i c a l a b i l i t y ? I a m n o t s u r e t h a t I k n o w t h e a n s w e r s t o t h e s e q u e s t i o n s b u t I a m l e a r n i n g t h a t t h e y a r e i m p o r t a n t q u e s t i o n s t o a s k a s I l e a r n t o c o n s i d e r t h e p o t e n t i a l o f a l l s t u d e n t s a s r e s o u r c e s . a g l o n g i n t h i s t e a o . S i p h o 1 w e n t u n n o t i c e c u r i o s i t y a n d b y b r i d g i n g O i w i t h t h e m e a s s t e p p e d i n t o t l s i m i l a r t o t h e 1 s t u d e n t s s a i d , m e a s u r e m e n t , t h O U g h t - p r o y o l i n e } ? t 0 0 , c o u l T o g i v e t o b e P r € p a r e d m y s e l f i n t h e r c p r e d i c t a s t u d e : l e a r n i n g , t h a t c . ‘ S U F P U S E S O f t e n t o a l l o w . f o r t h a w o r k i n w a y s i t 2 6 7 S i p h o n o t i c e d s o m e t h i n g a b o u t t h e m e a s u r e m e n t s o f h i s c l a s s m a t e s t h a t w e n t u n n o t i c e d u n t i l h e b r o u g h t i t t o o u r a t t e n t i o n t h r o u g h h i s q u e s t i o n . H i s c u r i o s i t y a n d w i l l i n g n e s s t o r a i s e t h e q u e s t i o n m o v e d t h e w h o l e g r o u p f o r w a r d b y b r i d g i n g o u r p a s t e x p e r i e n c e s o f m e a s u r i n g a n d t h e i n a c c u r a c y o f t h e p r o c e s s w i t h t h e m e a s u r i n g a l l o f t h e s t u d e n t s w e r e a b o u t t o d o . F o r a m o m e n t , S i p h o s t e p p e d i n t o t h e r o l e o f t h e t e a c h e r . F o r a m o m e n t , h e w a s t h e t e a c h e r i n w a y s s i m i l a r t o t h e m o m e n t I e x p e r i e n c e d w i t h A r i f i n C h a p t e r 5 . H e h e a r d w h a t t h e s t u d e n t s s a i d , c o n n e c t e d w h a t h e h e a r d t o t h e m a t h e m a t i c a l i d e a o f m e a s u r e m e n t , a n d h a d a w a y t o r e s p o n d . H i s w a y o f r e s p o n d i n g w a s w i t h a t h o u g h t - p r o v o k i n g q u e s t i o n . I w a s l e a r n i n g t h a t s t u d e n t s c o u l d b e t e a c h e r s . T h e y , t o o , c o u l d b e i m p r o v i s e r s . T h e y o n l y n e e d e d t o b e g i v e n t h e o p p o r t u n i t y . T o g i v e s t u d e n t s o p p o r t u n i t i e s t o b e t e a c h e r s m e a n s , a s t h e t e a c h e r , I n e e d t o b e p r e p a r e d t o b e r e s p o n s i v e , s p o n t a n e o u s , a n d w i l l i n g t o t a k e r i s k s , a n d p u t m y s e l f i n t h e r o l e o f a l e a r n e r . J u s t w h e n I t h i n k I m i g h t h a v e b e e n a b l e t o p r e d i c t a s t u d e n t ’ s r e s p o n s e , I w a s t a k e n b y s u r p r i s e . B u t i t i s t h e s u r p r i s e s , I a m l e a r n i n g , t h a t c a n b e o p p o r t u n i t i e s f o r t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . A n d t h o s e s u r p r i s e s o f t e n c o m e f r o m t h e s t u d e n t s I l e a s t e x p e c t w h e n I s t r u c t u r e m y w o r k t o a l l o w f o r t h a t t o h a p p e n . I n a s e n s e , w h a t I h a v e t o d o i s l e a r n t o s t r u c t u r e m y w o r k i n w a y s t h a t a l l o w s f o r u n c e r t a i n t y s u c h t h a t m y s t u d e n t s a n d I c a n m o v e a l o n g i n t h i s t e a c h i n g t o g e t h e r w i t h t h e d i r e c t i o n b e i n g j o i n t l y c o n s t r u c t e d a s w e g o . L e a m i n g j n fi h a r e t h e L e a d D e a l i n g w i t h t h e s u r p r i s e s t h a t I a m l e a r n i n g a r e a n i m p o r t a n t p a r t o f t h i s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g e v o k e a r a n g e o f e m o t i o n . A t t i m e s t h e s u r p r i s e s f e e l t h r e a t e n i n g , l i k e w h e n a s t u d e n t s e e s s o m e t h i n g I o v e r l o o k e d . T h i s w a s t h e c a s e w i t h S i p h o a n d w h a t h e m a d e o f h i s o b s e r v a t i o n s o f t h e s t u d e n t s ’ m e a s u r e m e n t s . A f i r s t i m p u l s e c o u l d h a v e b e e n t o s t i fl e h i m a n d h i d e t h e f a c t t h a t I w a s l e a r n i n g m s i g M h m t s , . e H m l d s a y t h r o a f u v l e e g o a r n e r f s r u a s i t o f y o f u n i h b t a e e n e e i c d w g v y , e b h T o c r t t e u n e r s n t s b e h e m e n r e r a e s c s p c e a c O m h e h e “ m M i c h o t p i p t m t m O S b P w P T P t n ( I t m n a a o m s e n e n ' P r h O d e W n O l l u a l l e n m e u h i a 9 s 0 p 3 l h Q o E O r b r e l o e c d n e s C S , i g 5 y g E a h e a n i d e . c i n u p h l i a s t o f S u o s n n 0 t d r d n n a t B l [ a m h h 5 1 h i e t it ( e i s . i l d ' a e C m C l t c l fi v h a d t r o u b 1 e s 2 6 8 f r o m h i m . H e s a w s o m e t h i n g I d i d n o t . I w a s c o m i n g t o s e e t h a t c e l e b r a t i n g i n s i g h t s , e v e n w h e n t h e y w e r e n o t m y o w n , c o u l d b e n e f i t t h e w h o l e g r o u p . I f I c o u l d s a y t h a t a s t u d e n t h a d h e l p e d m e t o s e e s o m e t h i n g t h a t o t h e r w i s e w o u l d h a v e g o n e u n n o t i c e d f o r m e , I w o u l d b e o f f e r i n g a p o w e r f u l m o d e l f o r t h e k i n d o f l e a r n i n g f r o m o n e a n o t h e r t h a t I w a n t e d m y s t u d e n t s t o b e d o i n g . T h e s u r p r i s e s o f t e a c h i n g a r e a l s o n o t a l w a y s t i m e d t h e w a y I m i g h t w a n t t h e m t o b e , a s w a s t h e c a s e w i t h S i p h o ’ s b e n d a b l e r u l e r . F r o m S i p h o ’ s p e r s p e c t i v e i t w a s p e r f e c t l y t i m e d . I t c a m e t h e d a y a f t e r h e n o t i c e d t h e i n a c c u r a c y o f t h e m e a s u r e m e n t s w i t h s t r i n g a n d u n d e r s t o o d t h e d i f f i c u l t i e s p r e s e n t e d b y a n o r d i n a r y r u l e r . A b e n d a b l e r u l e r i s i n g e n i o u s . B u t I k n o w f e w t e a c h e r s w h o w o u l d a p p r e c i a t e a n y s u r p r i s e , i n g e n i o u s o r n o t , w h e n r e v e a l e d m o m e n t s b e f o r e t h e y a r e a b o u t t o t e a c h , a t i m e w h e n t h e i r m i n d s a r e f i l l e d w i t h t h e i r o w n p l a n s f o r w h a t t h e y a r e a b o u t t o d o . I n t h i s c a s e , m y i n t e r a c t i o n s w i t h S i p h o t h e d a y b e f o r e a r e w h a t s a v e d t h e m o m e n t o f S i p h o ’ s s u r p r i s e f o r h i m a n d m e . A f t e r h e a r i n g S i p h o ’ s t h o u g h t f u l o b s e r v a t i o n t h a t d a y , I h a d n e w r e s p e c t f o r S i p h o t h e n e x t t i m e w e i n t e r a c t e d . S i p h o w a s a s t u d e n t w h o m I h a d e a r l i e r p e g g e d a s d i f f i c u l t t o u n d e r s t a n d a n d a b u r d e n o n t h e d i s c o u r s e . H e w a s s o m e o n e w h o s t r e t c h e d t h e l i m i t s o f m y p a t i e n c e . L e t t i n g S i p h o o p e n t h e c l a s s w i t h a d e m o n s t r a t i o n o f h i s b e n d a b l e r u l e r w a s a s i g n a l t o t h e g r o u p t h a t I w a s w i l l i n g t o s h a r e t h e l e a d w i t h h i m , o f a l l p e o p l e , s o m e o n e w i t h w h o m I h a d a l w a y s f e l t l i k e I w a s c o m p e t i n g f o r a t t e n t i o n . T h r o u g h t h i s e x c h a n g e , I c a m e t o s e e S i p h o i n a n e w l i g h t . I h a d a l w a y s p e r c e i v e d h i m a s a f o l l o w e r , d o i n g a n y t h i n g t o b e a c c e p t e d , w a n t i n g d e s p e r a t e l y t o b e h e a r d . G i v i n g u p t h e l e a d t o h i m s e e m e d l i k e a w a y t o b e g i n t o m e e t h i s n e e d s a n d a l l o w e d h i m t o c o n s t r u c t a d i f f e r e n t r o l e f o r h i m s e l f . I s i t j u s t a c o i n c i d e n c e t h a t S i p h o a n d I h a d a r e l a t i o n s h i p f i l l e d w i t h f r i c t i o n a n d h e a l s o h a d t r o u b l e s w i t h h i s p e e r s ? H o w m u c h i n fl u e n c e c a n I , a s t h e t e a c h e r , h a v e o v e r e d r 1 1 rr. h S r o w S n i d n i e p l h a O t i a o n s h i r p n h a l - L e e d a t a r n i n g n g i t e s p w a n w s h s m d s o h i y a : ; c e I i s l d t i l r e r w s e a o q u s m t o t a o n s l t e u a C d r e t h k S e M e n t s n i n l i r P . g w s i o d i m e i n t e r n e t h e h h r o n a e d v V o e r l e i e a b O U t b a S e d s t i n g r y R t i i f w h o o n s e n f g n ' f U . h l U p o n t h d i s q l S S l O n o f c t h e T ,i u t e p t u a l k r n e r U l i d e r s t a ] R a t h e r t h a n b e r i “ 3 s t 9 h 5 l i 9 a n 1 ] n t h h ” t d e I C a m e o f G i g ; ' C 0 n c e p 1 2 6 9 h o w s t u d e n t s a r e p e r c e i v e d b y t h e i r p e e r s ? W h a t d i d m y s h o w o f r e s p e c t f o r S i p h o a n d m y m o v e t o g i v e h i m t h e l e a d d o f o r o u r r e l a t i o n s h i p a n d h i s r e l a t i o n s h i p w i t h h i s p e e r s ? L e a r n i n g t o s h a r e t h e l e a d e r s h i p w i t h s t u d e n t s w a s n o t s o e a s y t o d o . I t r e q u i r e d t h a t I f e e l c o n f i d e n t e n o u g h i n w h a t I w a s d o i n g t o g i v e u p c o n t r o l . I w a s l e a r n i n g t h a t g i v i n g u p c o n t r o l w a s a c t u a l l y a s i g n o f b e i n g i n c o n t r o l , s o m e t h i n g i t s e e m s t h a t b o t h t e a c h e r s a n d s t u d e n t s n e e d t o l e a r n . I a m l e a r n i n g t o t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e c o n t e n t a n d d i s c o u r s e a n d n o t r e l y s o l e l y o r b l i n d l y o n C S M P w h i l e a l s o l e a r n i n g t o g i v e u p c o n t r o l f o r t h e c o n t e n t a n d d i s c o u r s e t o s t u d e n t s . m a m g w h i c h L e a d s a r e U s e f u l t o F o l l o w I w a s v e r y e x c i t e d w h e n I f i r s t h e a r d R o n ’ s e l a b o r a t e e x p l a n a t i o n o f d i m e n s i o n s a n d t h o u g h t t h a t h i s i d e a s m i g h t h o l d t h e p o t e n t i a l t o t a k e u s t o i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a l p l a c e s . 2 A t t h e t i m e , t h e t a l k o f d i m e n s i o n s c a m e u p a t t h e v e r y e n d o f a c l a s s p e r i o d . I d e c i d e d t h a t t o d o a n y j u s t i c e t o t h e i d e a , t o h o n o r R o n ’ s e x p l a n a t i o n , w e n e e d e d t o b e g i n t h e n e x t c l a s s p e r i o d w h e r e t h i s o n e h a d l e f t o f f . T h i s i s w h a t w e d i d . I s t a r t e d t h e n e x t c l a s s p e r i o d w i t h R o n r e v i e w i n g h i s d e f i n i t i o n o f t h e v a r i o u s d i m e n s i o n s . R o n s e e m e d m u c h l e s s c l e a r a b o u t h i s u n d e r s t a n d i n g o f d i m e n s i o n s t h a n I h a d f i r s t a s s e s s e d . A n d i t h a d b e e n b a s e d u p o n t h a t i n i t i a l a s s e s s m e n t t h a t I h a d d e c i d e d t o b e g i n t h e c l a s s w i t h a d i s c u s s i o n o f d i m e n s i o n s . I a s s u m e d i t w o u l d b e g r o u n d e d i n R o n ’ s e x p l a n a t i o n . T h e t a l k t u r n e d o u t t o b e c o n f u s i n g a n d I c a m e t o s e e t h a t w h a t I t h o u g h t w a s a d e e p u n d e r s t a n d i n g o f d i m e n s i o n s w a s a c t u a l l y q u i t e f r a g i l e a n d f o r m a l i s t i c . R a t h e r t h a n b e i n g a n o p p o r t u n i t y f o r R o n t o s h i n e , I s t a r t e d t o w o r r y t h a t h e w a s 2 R e c e n t l y , I c a m e a c r o s s a c h a p t e r b y T h o m a s B a n c h o f f e n t i t l e d , ” D i m e n s i o n s , " i n t h e b o o k , O n t h e S h o u l d e r o f G i a n t s , ( S t e e n , 1 9 9 0 ) w h i c h e x p l o r e s a r a n g e o f m a t h e m a t i c a l i d e a s c o n t a i n e d w i t h i n t h e c o n c e p t o f d i m e n s i o n . t h e d i s c u s s i o l o s i n g f a c e . h e u n d e r s t o A t t h e t i m e , b a c k i n g R o r A s I 1 t h a t s i t s o n t b e t w e e n t h e c o n v e r s a t i o n R u t h : l i m : R u t h : J i m : R U t h : J i m : 2 7 0 l o s i n g f a c e . I n t h e s i t u a t i o n , I n e e d e d t o t h i n k a b o u t w a y s t o h e l p R o n s a y w h a t h e u n d e r s t o o d a n d t r y t o u n d e r s t a n d f o r m y s e l f w h a t I t h o u g h t h e u n d e r s t o o d . A t t h e t i m e , I f e l t a s i f w e w e r e m o v i n g i n c i r c l e s w i t h t h e m a t h e m a t i c s a n d b a c k i n g R o n i n t o a c o r n e r . A s I l o o k b a c k o n t h i s n o w , I c a n m o r e c l e a r l y s e e a l a y e r o f s o c i a l i s s u e s t h a t s i t s o n t o p o f t h e t a l k o f d i m e n s i o n s . I w a s r e m i n d e d o f t h e i n t e r p l a y b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d s o c i a l i n t e r a c t i o n i n l o o k i n g b a c k o v e r t h e c o n v e r s a t i o n I h a d w i t h J i m a r o u n d t h i s l e s s o n ( 1 0 / 1 8 / 8 9 ) a n d R o n , w h o l e d o f f t h e d i s c u s s i o n o f d i m e n s i o n s . R u t h : J i m : R u t h : J i m : R u t h : D i d y o u n o t i c e h i s p o s t u r e ? I g u e s s t h a t ' s m a y b e w h a t I w o u l d w a n t t o l o o k a t t h e t a p e - - h o w i t c h a n g e s t h r o u g h o u t t h e c l a s s . A t a n o t h e r p o i n t h e i s s o r t o f s i t t i n g b a c k i n h i s c h a i r w i t h h i s a r m o n t h e c o u n t e r a n d m y t h o u g h t w h e n I s a w h i m l i k e t h a t w a s h e f e e l s , i t w a s a p o s t u r e l i k e h e w a s s a y i n g , ” I w i l l j u s t l e t t h e s e p e o p l e t a l k b u t I k n o w t h a t w h a t I a m s a y i n g i s r i g h t . ” T h e r e w a s s o m e t h i n g a b o u t h i s p o s t u r e t h e r e . O . K . , w h a t d o e s t h a t s a y a b o u t t h e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e ? T h a t m a y b e i t h a d e n d e d a t t h a t p o i n t f o r h i m . . . I a m j u s t n o t s u r e h o w m u c h o t h e r p e o p l e ' s i d e a s w e r e e f f e c t i n g h i s i d e a s . I s t h a t i m p o r t a n t ? I t h i n k t h a t i s i m p o r t a n t . B e c a u s e i t s e e m s l i k e t h e r e c o u l d b e a t w o - w a y t h i n g a l s o t o t h e d e g r e e t h a t h i s , o t h e r p e o p l e ' s i d e a s a r e a f f e c t i n g h i s a n d h o w a r e h i s i d e a s i n fl u e n c i n g s o m e o n e e l s e - i t s e e m e d l i k e t h a t s o r t o f s t o p p e d o r s o m e t h i n g . I j u s t f O u n d t h e w h o l e t h i n g r e a l l y i n t e r e s t i n g b o t h b o d y m o v e m e n t s a n d i d e a s . T h e w a y t h e y w e r e s h a r i n g t h e i r i d e a s a n d t h e i m p l i c a t i o n s u n d e r l y i n g t h e s e t h i n g s . W h a t d o e s R o n ’ s p o m p o u s n e s s , s i t t i n g b a c k i n h i s c h a i r p u t t i n g h i s e l b o w u p a n d t h i n g s l i k e t h a t a n d k i n d o f g a z i n g o v e r t h e m a s s e s . . . w h a t d o e s t h a t d o o r h o w d o e s t h a t e f f e c t c o n j e c t u r e a n d r e f u t a t i o n a s p a r t o f m a t h e m a t i c a l d i a l o g ? later r e c a l l e d a g a i n . a s w I . R u t h R u t h : l i y a s d i m e n s i o n s . fi g u r e o u t h c s a i d w h a t I i u n d e r s t a n d 1 m u l t i p l e d i n c o u r a g e t o s e t h e h e a r t o f t fi l m a f u n d u n d e r s t a n d i r g r a c e f u l l y o n w o u l d m e g i t h e y “ ’ O u l d n ( l i e , w e d i d I m u m t o m a p n o w h e r e i n p . C h a l l l 6 n g e . 2 7 1 R u t h : I t h i n k t h e n t h a t p e o p l e m i g h t b e a d d r e s s i n g t h a t f e e l i n g t h a t h e i s g i v i n g o f f r a t h e r t h a n r e a l l y t h i n k i n g a b o u t h i s i d e a s . J i m : D o e s i t s a y a n y t h i n g a b o u t R o n ' s a u t h o r i t y o f k n o w l e d g e ? R u t h : R o n t h i n k s h e h a s t h e a u t h o r i t y . . . r a t h e r t h a n , ’ w e a r e g o i n g t o f i g u r e t h i s o u t t o g e t h e r . ’ I t i s l i k e h e h a s t h e i d e a a n d h e i s j u s t w a i t i n g f o r p e o p l e t o p i c k i t u p . I w a s n o t s u r e w h a t t o d o . I d i d n o t f e e l l i k e I k n e w e n o u g h a b o u t d i m e n s i o n s a t t h e t i m e , m y s e l f , t o t a k e b a c k t h e l e a d I h a d g i v e n R o n . I c o u l d n o t f i g u r e o u t h o w t o m a k e a g r a c e f u l l i n k b a c k t o t h e c a n s . J e n n i f e r s a v e d u s . S h e s a i d w h a t I t h i n k m a n y o f u s w e r e t h i n k i n g a t t h e t i m e . S h e s a i d s h e d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t w a s b e i n g t a l k e d a b o u t . S h e w a s l o s t i n a d i s c u s s i o n o f m u l t i p l e d i m e n s i o n s w h e n s h e w a s n o t s u r e w h a t a d i m e n s i o n w a s . S h e h a d t h e c o u r a g e t o s a y s h e d i d n o t u n d e r s t a n d s o m e t h i n g a n d i n t h e p r o c e s s , s h e c u t t o t h e h e a r t o f t h e d i f f i c u l t y o f t h e d i s c u s s i o n a n d p u t a h a l t t o o u r s p i n n i n g . S h e a s k e d a f u n d a m e n t a l q u e s t i o n t h a t s i t s a t t h e c o r e o f t h e c o n f u s i o n a s w e l l a s u n d e r s t a n d i n g . H e r q u e s t i o n a l l o w e d m e t o p u t t h e q u e s t i o n o f d i m e n s i o n s g r a c e f u l l y o n h o l d . M a y b e w e w o u l d r e t u r n t o i t a s a g r o u p , m a y b e s t u d e n t s w o u l d m e e t i d e a s a b o u t d i m e n s i o n s o n t h e i r o w n . A n d , i f w e o r t h e y d i d , m a y b e t h e y w o u l d r e c a l l t h i s d i s c u s s i o n a n d b e a b l e t o m a k e n e w s e n s e o f i t . I n a n y c a s e , w e d i d n o t h a v e t o s p e n d a n y m o r e t i m e w i t h t h e i d e a t h e n a n d c o u l d r e t u r n t o m a k i n g l a b e l s f o r c a n s . S o m e i m p r o v i s e d m o m e n t s , l i k e t h i s o n e , l e a d n o w h e r e i n p a r t i c u l a r , o r a t l e a s t a t t h e t i m e t h e y a p p e a r t h i s w a y . S o m e m a y b e l a t e r r e c a l l e d a n d l e a d s o m e w h e r e i n t h e f u t u r e . O t h e r s w i l l n e v e r b e t o u c h e d a g a i n . I w a s l e a r n i n g t h a t d e c i d i n g w h e n a n d h o w t o d o w h a t w a s a n o n g o i n g c h a l l e n g e . W 1 3 5 “ Q t t h e 9 % O f w h a t t l e a r n u r g t o . ~ ‘ C S M I w h i c h s t u d e r m i l l i m e t e r s w p o i n t w a s a c t c a n s i n a p r i y a o n e d a y l e s : l e s s o n f r o m C C o u l d I s a y I d e f i n e d b y t h . w a y ? I V i e w a c c o m p l i s h e d s t a r t e d a s a g r o w n m e a n i n g m e a n i n g d i d I n e w M . " f o r r l e a c h i n g a n d t a n s w e r b O O l g a r e a b i t 1 9 5 5 a ; a n d m y S n i d e r S e l f - a S S w e l l . M a n y o f d i d n o t f i t . I n . 2 7 2 a ' A M P r r C S M P i n t e n d e d t h i s o n e d a y l e s s o n o n m a k i n g l a b e l s f o r c a n s t o b e o n e i n w h i c h s t u d e n t s w o u l d m a k e l a b e l s t h a t d i d n o t f i t a n d s e e t h a t m e a s u r i n g i n m i l l i m e t e r s w o u l d l e a d t o a m o r e a c c u r a t e m e a s u r e m e n t t h a n c e n t i m e t e r s . T h i s p o i n t w a s a c t u a l l y o n l y m a d e i n t h e m i d s t o f o u r f i f t h d a y o f w o r k i n g w i t h t h e s e c a n s i n a p r i v a t e c o n v e r s a t i o n w i t h o n e o f t h e s t u d e n t s . W e t o o k f i v e d a y s t o d o a o n e d a y l e s s o n i n C S M P a n d a s a g r o u p d i d n o t e v e n g e t t o t h e p o i n t o f t h e l e s s o n f r o m C S M P ’ s p e r s p e c t i v e . D o e s t h a t m e a n t h i s l e s s o n w a s a f a i l u r e ? C o u l d I s a y I w a s m a k i n g p r o g r e s s i f I n e v e r g o t t o t h e p o i n t o f t h e l e s s o n a s d e f i n e d b y t h e t e a c h e r ’ s g u i d e e v e n w h e n i n t e r e s t i n g t h i n g s h a p p e n e d a l o n g t h e w a y ? I v i e w t h e s e f i v e d a y s a s a s u c c e s s . I b a s e m y a s s e s s m e n t o n w h a t w a s a c c o m p l i s h e d i n t h e s e f i v e d a y s w i t h m y s t u d e n t s . I h a v e a s e n s e w h e r e w e s t a r t e d a s a g r o u p a n d a s i n d i v i d u a l s a n d w h e r e w e e n d e d u p . W e m a d e o u r o w n m e a n i n g o u t o f t h e a c t i v i t y o f m a k i n g l a b e l s f o r c a n s . T h e f a c t t h a t o u r m e a n i n g d i d n o t m a t c h C S M P ’ s d o e s n o t t a k e a w a y f r o m i t s s u c c e s s . T h i s w a s a n e w w a y f o r m e t o b e t h i n k i n g a b o u t s u c c e s s a n d p r o g r e s s . I m p r o v i s a t i o n a l t e a c h i n g a n d t h e p r o c e s s o f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g c a n n o t b e a s s e s s e d w i t h a n s w e r b o o k s . B u t a r e t h e r e w a y s a s s e s s m e n t s c a n b e c o n s t r u c t e d a n d g i v e n t h a t a r e a b i t l e s s a m b i g u o u s t h a n j u s t m y s e n s e t h a t s o m e t h i n g m e a n i n g f u l h a p p e n e d a n d m y s t u d e n t s m a d e p r o g r e s s ? S e l f - a s s e s s m e n t w a s s o m e t h i n g m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g t o d e a l w i t h a s w e l l . M a n y o f m y s t u d e n t s t h o u g h t t h e y h a d d o n e p o o r l y b e c a u s e t h e i r l a b e l s d i d n o t f i t . I n e e d e d t o c o n v i n c e t h e s e s t u d e n t s t h a t w h e t h e r o r n o t t h e i r l a b e l s f i t w a s n o t t h e p o i n t . A l o t h a d b e e n l e a r n e d t o g e t t o t h i s p o i n t a n d t h e y a l l h a d i d e a s o f w h a t t h e y w o u l d d o d i f f e r e n t l y , o r w h a t t h e y h a d l e a r n e d f r o m d o i n g 1 F m m a O t h e m a t i C S I m e m v s n o t t h i s t h a t w o f o u n d m y s e l e a r n i n g t h a A r e t i g e o m e t r y t h m u l t i p l i c a t i c t o t h i n k t h a t M e a s u r e m e r p r o v i d e s a l t c r e a s o n i n g i n a l t e m a t i y e a : C h a l l e n g e , b t l i s t e d h e r c I o n 8 t e r m e f f i n t h e w o r l d C S M P i m p } y S u c h g o a l s b e e x p e r i e n c e d I r 9 3 2 7 3 t h i s t h a t w o u l d i n f o r m t h e i r w o r k i f t h e y w e r e t o m a k e t h e s e l a b e l s o v e r a g a i n . I f o u n d m y s e l f t r y i n g t o c o n v i n c e m y s t u d e n t s o f w a y s o f a s s e s s i n g t h e i r o w n l e a r n i n g t h a t I w a s o n l y b e g i n n i n g t o u n d e r s t a n d i n t e r m s o f m y o w n t e a c h i n g . A r e t h e r e e x p e c t a t i o n s o f w h a t s t u d e n t s a r e t o l e a r n i n a n a r e a l i k e g e o m e t r y t h a t a r e d i f f e r e n t f r o m o t h e r a r e a s t h e y a r e t o l e a r n a b o u t , l i k e m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n , f o r e x a m p l e ? S o m e t h i n g I f o u n d i n C S M P l e a d s m e t o t h i n k t h a t C S M P s e e s a d i f f e r e n c e . A b e n e f i t o f t h e ” G e o m e t r y a n d M e a s u r e m e n t ” s t r a n d , f r o m C S M P ’ s p e r s p e c t i v e ( M c R E L , 1 9 8 6 ) , i s t h a t i t p r o v i d e s a l t e r n a t i v e o p p o r t u n i t i e s f o r m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . G e o m e t r i c r e a s o n i n g i n t h e c o n t e x t o f s p a t i a l a n d m e a s u r e m e n t a c t i v i t i e s p r o v i d e s a n a l t e r n a t i v e a r e a f o r t h e s u c c e s s o f s t u d e n t s f o r w h o m n u m e r i c a l r e a s o n i n g i s a c h a l l e n g e . ” T h e f o c u s o f t h i s s t r a n d i s o n e x p e r i e n c e . . . n o g o a l s f o r m a s t e r y c a n b e l i s t e d h e r e . T h e e f f e c t s o f s u c h a n i n f o r m a l a p p r o a c h m u s t b e j u d g e d b y t h e l o n g t e r m e f f e c t s o n t h e s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e , c o n f i d e n c e , i n t u i t i o n , a n d i n t e r e s t i n t h e w o r l d o f g e o m e t r y a n d m e a s u r e m e n t ” ( M c R E L , 1 9 8 6 , p . v i ) . W h y d o e s C S M P i m p l y t h a t g e o m e t r y i s a n a r e a t h a t c o u l d b e t a k e n l e s s s e r i o u s l y ? C o u l d s u c h g o a l s b e e x t e n d e d t o a l l a r e a s o f m a t h e m a t i c s ? C o u l d t h e i n t e r a c t i o n s t h a t I e x p e r i e n c e d h e r e h a p p e n i n t h e c o n t e x t o f a d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l t o p i c ? a r n i n D a n W h a t I a m l e a r n i n g h e r e i s t h a t m y i n t e r a c t i o n s w i t h t h e s t u d e n t s a n d t h e m a t h e m a t i c s a r e a b o u t b e i n g i n c o n t r o l a n d t a k i n g o r g i v i n g u p c o n t r o l a t a m o m e n t ’ s n o t i c e . W h a t d o e s t h i s m e a n ? W h a t d o e s i t i m p l y f o r m y r e s p o n s i b i l i t i e s ? W h a t d o e s i t i m p l y f o r t h e r e s p o n s i b i l i t i e s o f m y s t u d e n t s ? T h e d a n c e m e t a p h o r i s h e l p f u l i n e x p l a i n i n g w h a t I m e a n . I n t h e l a n g u a g e o f i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e , b e i n g i n c o n t r o l m e a n s ” b e i n g c e n t e r e d ” ( B l o m & C h a p l i n , 1 9 8 8 , p . 3 1 ) a n d t h i s m e a n s b e i n g ” r e s p o n s i v e a n d r e a d y ” ( B l o m & C h a p l i n , 1 9 8 8 , p . 3 1 ) , p r e p a r e d t o ” g i v e o r t a k e w e i g h t , t o s u p p o r t , t o r e s i s t , o r t o y i e l d , a s c a l a m l e a r n i n g d m g m g m s m e o f b e u ' a m i n t h e s i T r a d m u s i c p l a y s f a s h i o n . J a c c l o s e s t e x a m t o t h e w a y I l m p r m h h m n a h c t h e m s e l v e s - b a s e d o n t h , I h c o i c a n m i m p r i I ‘ E S p c S P O n t b O u n " l i s t e r P - 1 8 E 2 7 4 y i e l d , a s c a l l e d f o r b y t h e i n t e r a c t i o n ” ( N o v a c k , 1 9 9 0 , p . 1 2 8 ) . A s i n C h a p t e r 5 , I a m l e a r n i n g a b o u t a w a y o f b e i n g w i t h s t u d e n t s a n d s u b j e c t m a t t e r t h a t i s e v e r — c h a n g i n g a n d u n c e r t a i n . O n e o f t h e t h i n g s I n e e d t o d o i s l e a r n t o d e a l w i t h t h a t s t a t e o f b e i n g I n e e d t o l e a r n h o w t o d e a l w i t h t h e f a c t t h a t I c a n n o t d e c i d e u n t i l I a m i n t h e s i t u a t i o n w h a t m y n e x t m o v e w i l l b e . T r a d i t i o n a l d a n c e i s s u c h t h a t y o u l e a r n t h e m o v e s o r s t e p s a n d a s t h e m u s i c p l a y s y o u d o t h e r i g h t s t e p s , r e p e a t i n g t h e m o v e r a n d o v e r , i n a r o t e f a s h i o n . J a c k s o n ( 1 9 8 6 ) g i v e s t h e e x a m p l e o f d a n c e l e s s o n s , s u c h a s t h e s e , a s t h e c l o s e s t e x a m p l e h e c a n t h i n k o f t o ” p u r e m i m e t i c t e a c h i n g . ” T h i s i s m u c h c l o s e r t o t h e w a y I l e a r n e d m a t h e m a t i c s a n d t a u g h t i t w h e n I f o l l o w e d t h e t e x t b o o k . I m p r o v i s a t i o n a l d a n c e o f f e r s a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t i m a g e o f w h a t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g c a n b e . I m p r o v i s a t i o n a l d a n c e r s p r e p a r e t h e m s e l v e s t o b e i n t h e s i t u a t i o n w i t h o t h e r d a n c e r s a n d d e c i d e i n t h e m o m e n t , b a s e d o n t h e i r f e e l f o r t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h o t h e r d a n c e r s , w h a t t o d o n e x t . I n c o n t a c t i m p r o v i s a t i o n , e a c h p e r s o n i s c o n c e i v e d o f a s a n i n d i v i d u a l y e t c a n n o t d o t h e d a n c e u n l e s s i t i s s h a r e d w i t h a n o t h e r . C o n t a c t i m p r o v i s a t i o n d e f i n e s t h e s e l f a s t h e r e s p o n s i v e b o d y a n d a l s o a s t h e r e s p o n s i v e b o d y l i s t e n i n g t o a n o t h e r r e s p o n s i v e b o d y , t h e t w o t o g e t h e r s p o n t a n e o u s l y c r e a t i n g a t h i r d f o r c e t h a t d i r e c t s t h e d a n c e . T h e b o u n d a r i e s o f t h e i n d i v i d u a l a r e c r o s s e d b y " s e e i n g t h r o u g h t h e b o d y " a n d " l i s t e n i n g t h r o u g h t h e s k i n , " a l l o w i n g t h e d a n c e t o u n f o l d . ( N o v a c k , 1 9 9 0 , p . 1 8 9 ) T h i s k i n d o f r e a d i n g o f a n d r e s p o n d i n g t o t h e s i t u a t i o n i s s o m e t h i n g t h a t I a m l e a r n i n g t o d o . A s N o v a c k ’ s ( 1 9 9 0 ) t i t l e o f h e r b o o k , S h a r i n g t h e D a n c e , i m p l i e s , m y s t u d e n t s a n d I a r e n o t j u s t l e a r n i n g t o d a n c e a s i n d i v i d u a l s . C o l l e c t i v e l y , w e a r e l e a r n i n g t o s h a r e t h e d a n c e . U n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e o f t h i s p a r t n e r s h i p i s n o t e a s y , t h o u g h . F o r w h i l e i t i s t r u e t h a t w e a r e l e a r n i n g t o s h a r e t h e d a n c e , a s t h e l e a d e r , I h a v e r e s p o n s i b i l i t i e s w h i c h d i f f e r f r o m m y t h o s e o f m y s t u d e n t s . T h e i m a g e o f t h e r o l e o f t h e l e a d e r c u n d e r s t a n d i n ; Y o u r j o p r e s e n t e x p e r i r p e r s o n o r c o m ; t o m a k i 2 7 5 o f t h e l e a d e r o f a g r o u p o f i m p r o v i s a t i o n a l d a n c e r s s e e m s u s e f u l i n u n d e r s t a n d i n g c e r t a i n a s p e c t s o f m y r o l e a n d i t s r e s p o n s i b i l i t i e s . Y o u r j o b i s t o i n s u r e t h a t t h e c o n d i t i o n s c o n d u c i v e t o s u c h a r e s p o n s e a r e p r e s e n t . I t i s f o r y o u t o g e n e r a t e a n a t m o s p h e r e w h e r e e x p l o r a t i o n s , e x p e r i m e n t s , a n d r i s k s c a n t a k e p l a c e s a f e l y . Y o u m u s t s e e t h a t e a c h p e r s o n i s a c c e p t e d , r e s p e c t e d a n d d e a l t w i t h e q u a l l y ; t h a t n o o n e i s j u d g e d o r c o m p a r e d ; a n d t h a t e a c h m o v e r i s h e l p e d t o s h a p e h i s e x p e r i e n c e s o a s t o m a k e i t m e a n i n g f u l f o r h i m . ( B l o m & C h a p l i n , 1 9 8 8 , p . 5 4 ) C H A P T E R 7 W H A T S H O U L D I D O N E X T ? : E F F O R T S T O C O N S T R U C T T H E C U R R I C U L U M I n t r d c t i n E v e r y t e a c h e r i s f a c e d w i t h t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t . T h i s c h a p t e r l o o k s a t h o w I d e a l w i t h t h e q u e s t i o n d u r i n g f o u r l e s s o n s i n A p r i l ( 0 4 / 1 2 / 9 0 , 0 4 / 1 6 / 9 0 - 0 4 / 1 8 / 9 0 ) a n d t h e s e c o n d t o t h e l a s t d a y o f m a t h c l a s s d u r i n g t h e fi r s t w e e k o f J u n e ( 0 6 / 0 4 / 9 0 ) . I n d e a l i n g w i t h t h e q u e s t i o n , I f i n d m y s e l f l e a r n i n g t o i n t e g r a t e w h a t I h a v e l e a r n e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s . T h a t i s , I a m l e a r n i n g h o w t o l i s t e n a n d r e s p o n d t o s t u d e n t s i n t h e s i t u a t i o n . I a m d o i n g t h i s w h i l e I l e a r n t o t a k e t h e l e a d o f w h a t a n d h o w t o t e a c h a w a y f r o m t h e C S M P t e a c h e r ’ s g u i d e a n d g i v e u p s o m e c o n t r o l o f t h e c o n t e n t a n d c o n v e r s a t i o n t o m y s t u d e n t s . I d o t h i s a s I s t r u g g l e t o u n d e r s t a n d w h a t t h e r e i s b e s i d e s t h e r u l e f o r m y s t u d e n t s t o l e a r n a b o u t a d d i n g f r a c t i o n s . I k n o w t h e r e i s s o m e t h i n g m o r e o n t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n f o r s t u d e n t s t o l e a r n t h a n j u s t r u l e s a n d p r o c e d u r e s . I a m j u s t u n c e r t a i n w h a t . T h i s c h a p t e r i s m y s e a r c h . W h a t a r e t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s t h a t h e l p o n e t o u n d e r s t a n d w h y t h e r u l e s g o v e r n i n g o p e r a t i o n s o n f r a c t i o n s w o r k ? H o w d o e s m y s t r u g g l e t o u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s a n d t o s e e w h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n i n t e r a c t w i t h m y s e a r c h f o r a n a n s w e r t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t ? A n d h o w d o e s w h a t t r a n s p i r e s a s a r e s u l t o f m y d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t c o n t r i b u t e t o m y i n c r e a s i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s , m y g r o w i n g s e n s e o f t h e t e r r a i n ? N e a r l y s i x m o n t h s e l a p s e d b e t w e e n t h e s e r i e s o f l e s s o n s s t u d i e d i n t h i s c h a p t e r a n d t h o s e l e s s o n s d e s c r i b e d a n d a n a l y z e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r . T h o s e l e s s o n s o c c u r r e d i n t h e m i d d l e o f O c t o b e r . I c o n t i n u e d t o t e a c h f o u r t h g r a d e 2 7 6 s t u d e n t s t o leg m a t h t h r o r m i d d l e o f u n i v e r s i t y . t e a c h e r t a r s t a y s o m e y p r o g r e s s 0 : h a d b e e n b t h m u c h m o r e b e c a m e o n e s t o p p e d f o l t h e S p i r a l 0 ] S t r a n d t o a n l “ ( ’ O F g a n i Z e t 0 f d a i s a s 0 : S e v e r a l m o n I a m i t O p i c h o w t I c h o s t e a C h e r a n d e i n t h i s S e r i e s r u l e f o r a d d i r m a t h e m a t i c s l h i P O I t a n t t o l t h e r e l a t i o n s h 2 7 7 m a t h t h r o u g h D e c e m b e r . A s I e x p l a i n e d i n C h a p t e r 3 , f r o m J a n u a r y t h r o u g h t h e m i d d l e o f M a r c h I t a u g h t a n i n t r o d u c t o r y t e a c h e r e d u c a t i o n c o u r s e a t t h e u n i v e r s i t y . D u r i n g t h e t i m e I t a u g h t a t t h e u n i v e r s i t y , t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r t a u g h t m a t h e m a t i c s o n a d a i l y b a s i s . I o b s e r v e d o n c e a w e e k a s a w a y t o s t a y s o m e w h a t c o n n e c t e d t o t h e m a t h c o n t e n t m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g a n d t h e p r o g r e s s o f m y s t u d e n t s . A t t h e t i m e o f t h e l e s s o n f o c u s e d o n i n t h i s c h a p t e r , I h a d b e e n b a c k t e a c h i n g t h e m a t h c l a s s f o r t w o w e e k s . F - W h e n I r e t u r n e d , I n o l o n g e r u s e d C S M P e x c l u s i v e l y . I h a d b e g u n t o t a k e m u c h m o r e r e s p o n s i b i l i t y f o r a n s w e r i n g t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t . C S M P b e c a m e o n e o f s e v e r a l r e s o u r c e s f o r m a t h p r o b l e m s t o g i v e m y s t u d e n t s . I s t o p p e d f o l l o w i n g t h e C S M P s c r i p t f o r p a r t i c u l a r l e s s o n s . I w a s f r u s t r a t e d w i t h L t h e s p i r a l o r g a n i z a t i o n o f t h e C S M P c u r r i c u l u m - " s w i t c h i n g f r o m o n e c o n t e n t s t r a n d t o a n o t h e r f r o m o n e d a y t o t h e n e x t . I b e g a n t o c o n s i d e r w a y s I c o u l d r e o r g a n i z e t h e c u r r i c u l u m s u c h t h a t I c o u l d s t a y w i t h a s i n g l e t o p i c o v e r a s e r i e s o f d a y s a s o n e w a y t o d e a l w i t h t h e q u e s t i o n o f w h a t t o t e a c h i n t h e r e m a i n i n g s e v e r a l m o n t h s o f s c h o o l . A t t h e t i m e , I w r o t e , I a m v e r y f r u s t r a t e d w i t h C S M P a t t h i s p o i n t . T h i s j u m p i n g a r o u n d f r o m t o p i c t o t o p i c d o e s n ’ t f i t w i t h w h a t I a m t r y i n g t o d o . I a m t h i n k i n g a b o u t h o w t o r e o r g a n i z e i t . ( H e a t o n j o u r n a l , 0 4 / 1 0 / 9 0 ) I c h o s e t h i s s e r i e s o f l e s s o n s i n t h i s c h a p t e r b e c a u s e o f m y i n t e r e s t , a s a t e a c h e r a n d a l e a r n e r , i n t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m t h e s t u d e n t s w e r e w o r k i n g o n i n t h i s s e r i e s o f l e s s o n . I k n e w t h e r e w a s m o r e f o r m y s t u d e n t s t o l e a r n t h a n t h e r u l e f o r a d d i n g f r a c t i o n s . T h i s s e r i e s o f l e s s o n i s a b o u t t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w h i l e t r y i n g t o f i g u r e o u t w h a t m a t h e m a t i c s i s i m p o r t a n t t o l e a r n . T h i s s e r i e s o f l e s s o n s h a s b e c o m e a n o p p o r t u n i t y t o e x a m i n e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m y s t r u g g l e s t o f i g u r e o u t w h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n a n d h o w t o d e c i d e w h a t t o d o n e x t . t o l e a r n a n d T h e q u a n a l y s i s f o c u s 3 , 7 4 . [ u s e t h e u n d e r s t a n d i n o f l e s s o n a n d m y s t u d y o f l k n o w l e d g e . ? h l e r r i c k ' s ( 1 9 w h a t i t m e a n t e a C h i h g m a t l ’ h ' e r a n d m a A s I p ( O h t i n u e W i t e a r l i e r . I { 0 “ s t u d e n t S t o 5 t h o s e W h o I A d d i s o n - w , 1 9 8 6 ) w h i c h 2 7 8 T h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t p r o p e l s t h e s t o r y o f m y t e a c h i n g . M y a n a l y s i s f o c u s e s o n t h e m a t h p r o b l e m b e i n g w o r k e d o n i n t h e s e l e s s o n s : 2 / 4 + 3 / 4 . I u s e t h e p r o b l e m a s a w a y t o l o o k b a c k a t m y p a s t t e a c h i n g a n d u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . I c o n s i d e r t h e c h a n g e s I e x p e r i e n c e d i n t h i s s e r i e s o f l e s s o n a n d m y n e w c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g . I a l s o r e fl e c t o n m y s t u d y o f f r a c t i o n s a n d m y n e w a p p r e c i a t i o n o f t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . I r e t u m t o T w a i n ’ s a d v e n t u r e s o n t h e M i s s i s s i p p i ( 1 9 9 0 / 1 8 8 3 ) a n d M e r r i c k ’ s ( 1 9 8 7 ) w r i t i n g a b o u t t h e c r a f t o f n a v i g a t i n g a r i v e r b o a t t o c o n s i d e r w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d t h e n a t u r e o f w h a t i s t o b e k n o w n i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . W h a t i t m e a n s f o r a r i v e r b o a t p i l o t t o c o m e t o k n o w t h e r i v e r a n d m a k e u s e o f w h a t h e k n o w s o f f e r s i m a g e s o f t h e k n o w l e d g e I h a v e h a d t o l e a r n a n d m a k e u s e o f i n m y t e a c h i n g . T h e R e i n P r e b l e m A s I p l a n n e d f o r t h e n e x t d a y ’ s m a t h l e s s o n ( 0 4 / 1 2 / 9 0 ) , I w a n t e d t o c o n t i n u e w i t h t h e t o p i c o f f r a c t i o n s w e h a d b e g u n w o r k i n g o n s e v e r a l d a y s e a r l i e r . I f o u n d m y s e l f s e a r c h i n g f o r a m a t h p r o b l e m t h a t w o u l d r e q u i r e m y s t u d e n t s t o a d d f r a c t i o n s w i t h l i k e d e n o m i n a t o r s a n d p r o v i d e a c h a l l e n g e f o r t h o s e w h o I t h o u g h t c o u l d a l r e a d y a d d f r a c t i o n s . I f o u n d a p r o b l e m i n t h e A d d i s o n - W e s l e y t e x t b o o k ( E i c h o l z , O ’ D a f f e r , F e e l n o r , C h a r l e s , Y o u n g , 8 : B a r n e t t , 1 9 8 6 ) w h i c h s e e m e d a p p r o p r i a t e . T h e R a i n P r o b l e m O n S a t u r d a y i t r a i n e d 3 / 8 o f a n i n c h . O n S u n d a y i t r a i n e d 7 / 8 o f a n i n c h . H o w m u c h d i d i t r a i n i n t h e t w o d a y s ? ( p . 2 5 1 ) T h e f r a c t i o n s w e r e o f a r e a s o n a b l e s i z e a n d t h e n u m b e r s w e r e m a n a g e a b l e . I t h o u g h t a n i n t e r p r e t a t i o n o f h o w t o s o l v e t h e p r o b l e m w o u l d b e s t r a i g h t f o r w a r d . l l [ w a n t e d m y : a n i n t e r p r e t a t c o u l d h a v e y a o f w h a t I w r o I c h o s e I ' v e b e s u b t r a c c h a H e r w h o a r n u m e r I t a l s o . n u m b c l w a s 5 f r a c t i o n s t h a t f o u n d m y s e l f m y S h i d e n t s 1 f r a c t i o n s ? I t l P r O b l E m a n d W 0 1 1 ] d d r a w ; a t 3 / 8 ’ a d d 0 ] 2 7 9 I w a n t e d m y s t u d e n t s t o f o c u s o n t h e m e a n i n g o f t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s , n o t o n a n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o b l e m , e v e n t h o u g h t h a t w a s s o m e t h i n g I w a s l e a r n i n g c o u l d h a v e v a l u e . M y r e a s o n f o r c h o o s i n g a p a r t i c u l a r p r o b l e m h a d b e c o m e p a r t o f w h a t I w r o t e i n m y j o u r n a l a s I p l a n n e d f o r t h e n e x t l e s s o n . 1 I c h o s e t h e p r o b l e m b e c a u s e I w a n t t o s t i c k w i t h f r a c t i o n s . I n t h e l e s s o n s I ’ v e b e e n d o i n g o n f i n d i n g f r a c t i o n s o f a w h o l e n u m b e r , a d d i t i o n a n d _ s u b t r a c t i o n o f f r a c t i o n s h a s c o m e u p . S o , I t h i n k t h e y n e e d a b i t m o r e o f a T - c h a l l e n g e . T h i s p r o b l e m a l l o w s t h e m t o a d d f r a c t i o n s b u t a l s o g i v e s t h o s e w h o a r e r e a d y t h e o p p o r t u n i t y t o t h i n k a b o u t s o m e t h i n g m o r e - t h e n u m e r a t o r l a r g e r t h a n t h e d e n o m i n a t o r , l e a d i n g u s i n t o m i x e d n u m b e r s . I t a l s o s e e m s l i k e t h e o p p o r t u n i t y t o t a l k a b o u t w h e r e f r a c t i o n s f a l l o n t h e n u m b e r l i n e . ( H e a t o n j o u r n a l , 0 4 / 1 1 / 9 0 ) H e y W e g l d I S e l v e t h e P r e b l e m ? L I w a s a s k i n g s t u d e n t s t o m a k e s e n s e o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s a b o u t f r a c t i o n s t h a t I c o u l d r e c a l l a n d a p p l y b u t d i d n o t u n d e r s t a n d . C o n s e q u e n t l y , I f o u n d m y s e l f r e t h i n k i n g m y o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s I w a s a s k i n g m y s t u d e n t s t o l e a r n . H o w w o u l d I m a k e s e n s e o f t h e m e a n i n g o f t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s ? I t h o u g h t a p i c t u r e w o u l d h e l p s t u d e n t s f i n d a s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m a n d c o m m u n i c a t e t h e i r i d e a s t o o t h e r s . I i m a g i n e d t h a t m y s t u d e n t s w o u l d d r a w a r a i n g a u g e . I i m a g i n e d t h a t t h e y w o u l d d i v i d e i t i n t o e i g h t h s , s t a r t a t 3 / 8 , a d d o n 7 / 8 m o r e , a n d e n d u p w i t h 1 0 / 8 a s t h e s o l u t i o n . 1 T h i s w a s a n o t h e r c h a n g e — t h a t m y p l a n s w e r e n o w p a r t o f m y j o u r n a l . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , I h a d o n e n o t e b o o k i n w h i c h I w r o t e m y p l a n s a n d a n o t h e r n o t e b o o k w h e r e I k e p t m y r e fl e c t i o n s o n t h e l e s s o n . B y t h e t i m e o f t h i s l e s s o n , m y p l a n s a n d j o u r n a l w e r e i n t e g r a t e d i n t o a s i n g l e n o t e b o o k a n d I w a s i n t h e m i d s t o f c o l l e c t i n g a n d a n a l y z i n g d a t a o n m y p l a n n i n g f o r a r e s e a r c h c o u r s e I w a s t a k i n g . S e e H e a t o n ( 1 9 9 1 ) f o r w h a t I l e a r n e d f r o m t h a t r e s e a r c h . n o t d o a s l h a d I h o u g h t d g r e a t e r t h a i S t u d t h e y w o r k e r h a s a b o u t t t h e b u z z o f 1 u n t i l I l i s t e n . b u t m a t h e m m l . S t U d e n t s S i l e n t . S i l e n c a b O U t m a t h e i T h e n a t h a t w e n t b e ) ” t h e ? W o r k e d 1 S t r u m l t e t h a t d e c i s i o n m a k j h m g h m s h h W o r k o n i t a l o r h o w t h i s w a s r . l i l t t l t t t l l l t t l t t t U 2 8 0 2 i n c h e s ‘ 5 5 0 — o f a n i n c h 1 i n c h 0 i n c h e s R A I N G A U G E I t h o u g h t t h e c h a l l e n g e f o r m y s t u d e n t s w o u l d b e t o s e e 1 0 / 8 a s a n a m o u n t g r e a t e r t h a n a n i n c h o r e q u i v a l e n t t o o n e w h o l e i n c h o f r a i n p l u s 2 / 8 o f a n i n c h . S t u d e n t s s a t a t d e s k s a r r a n g e d i n g r o u p s o f f o u r , a n d t a l k e d q u i e t l y a s t h e y w o r k e d o n t h e p r o b l e m . O n t h a t p a r t i c u l a r d a y , t h e i r t a l k s o u n d e d l i k e i t w a s a b o u t t h e m a t h p r o b l e m . T h i s w a s n o t a l w a y s t h e c a s e . S o m e d a y s I h e a r d t h e b u z z o f t h e i r v o i c e s a n d w a s f o o l e d i n t o t h i n k i n g t h e y w e r e w o r k i n g t o g e t h e r u n t i l I l i s t e n e d m o r e c l o s e l y a n d h e a r d t h e m d i s c u s s i n g a n y t h i n g a n d e v e r y t h i n g b u t m a t h e m a t i c s . I n t h e p a s t i t h a d b e e n m u c h e a s i e r t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t m y s t u d e n t s ’ e n g a g e m e n t . T h e y w e r e e i t h e r t a l k i n g a n d o f f t a s k o r w o r k i n g a n d s i l e n t . S i l e n c e , h o w e v e r , w a s n o l o n g e r a g o a l . T a l k i n g i n m e a n i n g f u l w a y s a b o u t m a t h e m a t i c s h a d t a k e n i t s p l a c e . T h e r e w e r e r e a s o n s f o r l i s t e n i n g c l o s e l y t o w h a t m y s t u d e n t s w e r e d o i n g t h a t w e n t b e y o n d j u d g i n g o n - t a s k a n d o f f — t a s k b e h a v i o r . I u s e d w h a t I h e a r d a s t h e y w o r k e d t h e p r o b l e m t o h e l p m e t o d e c i d e w h a t t o d o n e x t . I b o r r o w e d a s t r u c t u r e t h a t I h a d o b s e r v e d i n M a g g i e ’ s c l a s s t h a t s u p p o r t e d t h e l i s t e n i n g a n d d e c i s i o n m a k i n g i n a c t i o n t h a t I w a s l e a r n i n g t o d o . M a g g i e s t a r t e d e a c h c l a s s b y g i v i n g h e r s t u d e n t s t i m e t o w o r k o n a m a t h p r o b l e m i n s m a l l g r o u p s . T h e y c o u l d w o r k o n i t a l o n e o r t a l k w i t h t h e p e o p l e i n t h e i r g r o u p . I w a s b e g i n n i n g t o s e e h o w t h i s w a s m o r e t h a n j u s t a n a l t e r n a t i v e w a y t o o r g a n i z e a m a t h c l a s s . I c o u l d n o t d o a s I h a d i n t h e p a s t a n d p l a n e v e r y t h i n g I d i d a h e a d o f t i m e . M y w o r k d e p e n d e d c w h i l e s t u d c u n d e r s t a n d M u l t i p l e R c A s I I w a s a m a z c o l l e c t i o n 0 g a u g e I h a d g a u g e s a s l r a i n f a l l ? I t i t m a d e S e n I m a g i n i n g a P T O b l e m b u A s a r o o m , I a s k n 0 t 9 b 0 0 1 ' 6 . d i s C t l s s i o n i 2 8 1 d e p e n d e d o n m y s t u d e n t s ’ p a r t i c i p a t i o n . R o a m i n g t h e r o o m a n d e a v e s d r o p p i n g w h i l e s t u d e n t s w o r k e d i n s m a l l g r o u p s w a s a w a y t o g e t s o m e s e n s e o f s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m . M u l t i p l e R e p r e s e n t a t i e n s A s I w a n d e r e d a r o u n d t h e r o o m a n d l o o k e d o v e r m y s t u d e n t s ’ s h o u l d e r s , I w a s a m a z e d b y t h e v a r i e t y o f p i c t u r e s I s a w . T h e p i c t u r e s w e r e m a i n l y a c o l l e c t i o n o f s h a d e d r e c t a n g l e s a n d c i r c l e s t h a t l o o k e d d i f f e r e n t f r o m t h e r a i n g a u g e I h a d i m a g i n e d . M a y b e f o u r t h g r a d e r s w e r e n o t q u i t e a s f a m i l i a r w i t h r a i n g a u g e s a s I w a s . W h a t d i d t h e y u n d e r s t a n d a b o u t t h e p r o c e s s o f m e a s u r i n g r a i n f a l l ? I t w a s a c o n t e x t t h a t m a d e s e n s e t o t h e w r i t e r s o f t h e w o r d p r o b l e m a n d i t m a d e s e n s e t o m e b u t w h a t s e n s e d i d i t m a k e t o t h e s e f o u r t h g r a d e r s ? I m a g i n i n g a p i c t u r e I m i g h t d r a w f o r c e d m e t o c o n s i d e r m y o w n s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m b u t d i d n o t p r e p a r e m e f o r t h e s e o t h e r p o i n t s o f v i e w . A s a w a y t o b u i l d o n t h e v a r i e t y o f s t u d e n t s ’ w o r k I s a w a s I c i r c l e d t h e r o o m , I a s k e d f i v e s t u d e n t s t o d r a w o n t h e c h a l k b o a r d w h a t w a s i n t h e i r n o t e b o o k s . W e w o u l d d i s c u s s t h e i r s o l u t i o n s f o r 7 / 8 + 3 / 8 i n a l a r g e g r o u p d i s c u s s i o n i n t h e r e m a i n i n g 2 0 m i n u t e s o f c l a s s . l 2 8 2 t h e « 4 0 : G a b e < m | E J o h n W e d i s c u s s e d f o u r d i f f e r e n t w a y s o f t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m i n t h e t i m e t h a t r e m a i n e d i n t h e c l a s s p e r i o d . T h r e e o f t h e f o u r e x p l a n a t i o n s d i s c u s s e d h a d b e e n a m o n g t h e f i v e i n i t i a l l y d r a w n o n t h e c h a l k b o a r d . W h a t f o l l o w s a r e t h e f o u r w e d i s c u s s e d . W 1 1 A s t r a n g e r m i g h t w o n d e r w h a t N a r u j ’ s p i c t u r e h a d t o d o w i t h f i g u r i n g o u t t h e r a i n p r o b l e m b u t I r e c o g n i z e d w h e r e i t c a m e f r o m . I t a i h e o a e g s i m r l u r c h e i s i e h a t e r n s e m o w d w h i m i i u a w a l t s o g t h n a t r f r h t ; l c f t l r r t T o f i n a m u n c e r t a w f w w s e s l s h o w s 8 / 8 0 : 9 " ' i 8 0 t 1 6 i s f . 1 0 / 8 0 f 1 6 i s N a m l ' S S l a t e M W h y . 2 8 3 w a s s i m i l a r t o t h e d r a w i n g s t h a t s t u d e n t s h a d d o n e o v e r t h e p a s t s e v e r a l d a y s t o f i g u r e o u t f r a c t i o n s o f w h o l e n u m b e r s . N a r u j s a i d t h e a n s w e r w a s 1 0 / 8 o f 1 6 w h i c h w a s t h e s a m e a s 2 0 . H e w o r k e d t h i s p r o b l e m i n a s i m i l a r w a y t o t h e o n e s w e h a d w o r k e d o n i n t h e p a s t s e v e r a l d a y s . I u n d e r s t o o d t h a t N a r u j h a d d o n e s o m e t h i n g r e a s o n a b l e g i v e n w h a t I k n e w a b o u t w h a t w e h a d b e e n w o r k i n g o n i n e a r l i e r m a t h c l a s s e s . H e g o t a r i g h t a n s w e r b u t h i s w a s n o t a n a n s w e r t h a t m a d e s e n s e w i t h t h e r a i n p r o b l e m . T o f i n d 1 0 / 8 o f 1 6 , d i v i d e 1 6 i n t o e i g h t e q u a l g r o u p s o f t w o e a c h , a l t h o u g h I a m u n c e r t a i n w h e r e h e g o t t h e 1 6 f r o m . O n e e i g h t h o f 1 6 i s 2 . N a r u j ’ s p i c t u r e s h o w s 8 / 8 o f 1 6 , 8 g r o u p s o f 2 , o r 1 6 . E a c h c i r c l e r e p r e s e n t s o n e e i g h t h o f 1 6 . 9 / 8 o f 1 6 i s f o u n d b y a d d i n g a n o t h e r o n e e i g h t h o f 1 6 o r 2 t o 1 6 w h i c h e q u a l s 1 8 . 1 0 / 8 o f 1 6 i s f o u n d b y a d d i n g a n o t h e r o n e e i g h t h o f 1 6 o r 2 t o 1 8 w h i c h e q u a l s 2 0 . N a r u j ’ s s t a t e m e n t t h a t 1 0 / 8 o f 1 6 e q u a l s 2 0 w a s c o r r e c t b u t i t w a s u n c l e a r t o m e h o w h e s a w t h i s r e l a t e d t o t h e r a i n p r o b l e m . B _ o _ b _ ’ 1 p 1 r _ s p e e t _ i 1 1 B o b t h o u g h t t h e s o l u t i o n w a s 1 0 / 1 6 a n d e x p l a i n e d w h y . W e l l , I k n e w i t s a y s t h r e e e i g h t h s o f a n i n c h a n d s e v e n e i g h t h s o f a n i n c h a n d I k n e w i t c o u l d n o t b e h i g h e r t h a n t w o i n c h e s b e c a u s e i t s a y s t h r e e e i g h t h s o f a n i n c h . I m e a n t h e r e a r e 1 6 m i l l i m e t e r s i n a n i n c h a n d I m e a n t h e r e a r e o n l y t h r e e m i l l i m e t e r s t h a t w e a r e u s i n g i n o n e e i g h t h s o I k n e w i t c o u l d n o t b e h i g h e r t h a n o n e i n c h . A c t u a l l y , I t h o u g h t i t c o u l d n ’ t b e h i g h e r t h a n a n i n c h b e c a u s e w e W h o l e a s k e d , a r i d " W h e t a h t a r e o n l y 1 0 . A s I h e a r d B o b f n r s t r a t e d . W t p l a n n e d t h e l e : m e t r i c m e a s u r m e t r i c a n d s t a ' c e n t i m e t e r s , r r . i n c h ) t e n d e d t c S i x t e e n m i g h t d e n o m i n a t o r i s h o r t e s t l i n e s 1 s i x t e e n t h s a n d d r e w t h e f o l i o I l l / { l 6 M H Q S a i d , " v v r e l . 2 8 4 a r e o n l y u s i n g t h r e e o u t o f 1 6 a n d s e v e n o u t o f 1 6 a n d t h a t i s o n l y 1 0 . A s I h e a r d B o b ’ s m i x o f i n c h e s , m i l l i m e t e r s , a n d f r a c t i o n s o f i n c h e s , I f e l t f r u s t r a t e d . W h y d i d n ’ t I c o n s i d e r t h e u s e o f a r u l e r f o r t h i s p r o b l e m w h e n I p l a n n e d t h e l e s s o n ? I f I h a d , I w o u l d h a v e w a r n e d s t u d e n t s t o s t a y c l e a r o f t h e m e t r i c m e a s u r e m e n t s o n t h e i r r u l e r s . S t u d e n t s w e r e a l w a y s c o n f u s e d b y t h e m e t r i c a n d s t a n d a r d u n i t s . T h e d i f f e r e n t u n i t s e m b e d d e d i n e a c h o f t h e s e ( i . e . , c e n t i m e t e r s , m i l l i m e t e r s , i n c h e s , h a l f i n c h e s , q u a r t e r i n c h e s , a n d e i g h t h s o f a n i n c h ) t e n d e d t o c o n f u s e t h e m e v e n f u r t h e r . W h e r e d i d B o b g e t t h e 1 6 f r o m ? S i x t e e n m i g h t h a v e s e e m e d r e a s o n a b l e t o h i m b e c a u s e i t m a t c h e d t h e d e n o m i n a t o r i f t h e 8 ’ s w e r e a d d e d t o g e t h e r . H e m i g h t a l s o h a v e c o u n t e d t h e s h o r t e s t l i n e s b e t w e e n t h e 0 a n d 1 o n t h e i n c h s i d e o f h i s r u l e r a n d h i t u p o n 1 6 s i x t e e n t h s a n d c a l l e d t h e m m i l l i m e t e r s . W A r i f a g r e e d w i t h B o b t h a t t h e a n s w e r w a s 1 0 / 1 6 . H e d r e w t h e f o l l o w i n g p i c t u r e o n t h e c h a l k b o a r d a n d e x p l a i n e d h o w l o o k i n g a t h i s p i c t u r e o n e w a y r e p r e s e n t e d 1 g , w h i l e l o o k i n g a t i t a n o t h e r w a y r e p r e s e n t e d 1 0 / 1 6 . a i m e d i i i A l a n d 8 H e s a i d , ” W e l l , t h e y a d d u p t o b e t h e s a m e . L i k e I h a d s e v e n e i g h t h s r i g h t h e r e . W e l l , I h a d t o g e t t h r e e m o r e e i g h t h s s o I c o l o r e d t h i s s p a c e i n a n d t h a t i s o n e w h o l e a n d t h e n I c o l o r e d t w o h e r e a n d t h a t i s o n e w h o l e a n d t w o e i g h t h s . ” I a s k e d , ” W h a t a b o u t t e n s i x t e e n t h s ? ” A r i f s a i d , ” W e l l , I d i d t h e s a m e t h i n g e x c e p t I d i d n o t p u t t l l t l E d t h a t t h P r o b l e m d e l e i E l j i t i s 1 6 s p a c e s . _ — l w a s a m a z e d s i x t e e n t h s . I f 1 h i s s e c o n d e x p c o u l d s e e 1 0 r i g h t t o a d d t b 1 0 l 8 o r 1 ‘ ; r a t l l a s t h e r e a W d e n o m ‘ m a m r 5 S o l u t i o n ? S h o M t h e 5 0 1 m M i T h i s W a s fi n e N a r u j , Y O U C ; h a v e o n e W h o S e v e n e i g h t h s w o u l d b e O n e l O / g W a s e c l u ; ( h i g h s t o h e i i i m d l 1 2 8 5 I d i d n o t p u t t h i s l i n e h e r e . I p u t i t o v e r h e r e a n d j u s t a d d e d t h e m l i k e I s a i d , l i k e i t i s 1 6 s p a c e s a l l o v e r h e r e a n d t e n a r e c o l o r e d i n . ” _ 0 1 6 I w a s a m a z e d t h a t A r i f w a s a b l e t o v i e w h i s p i c t u r e i n t e r m s o f e i g h t h s a s w e l l a s s i x t e e n t h s . I f I v i e w e d t h e t w o r e c t a n g l e s t o g e t h e r a s t h e w h o l e , a s h e d i d i n t h e h i s s e c o n d e x p l a n a t i o n , I c o u l d s e e 1 0 / 1 6 . I f I s a w e a c h r e c t a n g l e a s o n e w h o l e , I c o u l d s e e 1 f ; o f t w o r e c t a n g l e s . F r o m m y o w n m a s t e r y o f r u l e s , I k n e w i t w a s n o t r i g h t t o a d d t h e d e n o m i n a t o r s b u t h o w w o u l d I e x p l a i n w h y t h e a n s w e r w a s 1 0 / 8 o r 1 e r a t h e r t h a n 1 0 / 1 6 ? O n w h a t g r o u n d s w o u l d I m a k e m y a r g u m e n t ? W a s t h e r e a w a y t o u s e A r i f ’ s p i c t u r e t o e x p l a i n w h y y o u d i d n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s ? W h a t s h o u l d I d o w i t h A r i f ’ s s o u n d e x p l a n a t i o n o f a w r o n g s o l u t i o n ? S h o u l d I p r o c e e d a s u s u a l a n d a c c e p t a l l a n s w e r s ? C o u l d I l e t s t u d e n t s t h i n k t h e s o l u t i o n w a s 1 0 / 1 6 ? W M i k e a g r e e d w i t h A r i f a n d d i s a g r e e d w i t h N a r u j . T h i s w a s f i n e u n t i l I r e a l i z e d t h a t h e t h o u g h t N a r u j ’ s a n s w e r w a s 1 0 / 8 . H e s a i d , ” N a r u j , y o u c a n ’ t g e t t e n e i g h t h s b e c a u s e i f y o u g e t t e n e i g h t h s y o u a r e g o i n g t o h a v e o n e w h o l e a n d t w o e i g h t h s j u s t l i k e m e a n d A r i f g o t . B e c a u s e i f y o u h a v e s e v e n e i g h t h s a l l y o u n e e d i s o n e m o r e e i g h t h , o n e e i g h t h t o f i l l t h a t i n a n d t h a t w o u l d b e o n e w h o l e . Y o u c a n ’ t g o o v e r e i g h t e i g h t h s . ” H e s e e m e d t o t h i n k t h a t 1 0 / 8 w a s e q u i v a l e n t t o 1 e a n d I w a s g l a d o f t h a t b u t w h e r e h a d h e g o t t e n t h e i d e a t h a t t h e a n s w e r c o u l d n o t ” g o o v e r e i g h t e i g h t h s ” ? I h a d c h o s e n t h i s p r o b l e m d e l i b e r a t e l y b e c a u s e t h e a n s w e r w a s m o r e t h a n 8 / 8 o r o n e w h o l e . I w a s c u r i o u s t o h e a r m o r e o f w h a t M i k e t h o u g h t s o , I a s k e d h i m t o e l a b o r a t e . H e s a i d , " I t h i n k i t i s o n p o i n t e d t o t h e l H e c o n t i n u e d , i s y o u r w h o l e 0 t i n c h e s o f r e P i e c e s a r e C O l i e a t t h a t o t h e r h e w a s s a y i n g O f P i e - I a s k e . c i r c l e W i t h 3 / n O d d e d a n d 5 p i e . T h e n y g E i g h t h s . " W } 2 8 6 ” I t h i n k i t i s o n e a n d t w o e i g h t h s b e c a u s e l i k e e i g h t e i g h t h s i s y o u r w h o l e . ” H e p o i n t e d t o t h e p i c t u r e h e h a d d r a w n . H e c o n t i n u e d , ” I a m t a l k i n g a b o u t m y p i c t u r e . I t i s a b o u t p i e s a n d e i g h t e i g h t h s i s y o u r w h o l e . ” H e d i d n o t s e e m t o n o t i c e t h a t h e h a d s l i p p e d f r o m t h e l a n g u a g e o f i n c h e s o f r a i n t o p i e c e s o f p i e . ” W e l l y o u h a v e e i g h t p i e c e s i n e a c h p i e . S e v e n p i e c e s a r e c o l o r e d i n f o r o n e o f t h e p i e s . S o y o u t a k e o n e o f t h e m p i e c e s a n d y o u e a t t h a t o t h e r p i e c e b u t y o u d o n ’ t . Y o u a d d t h a t i n t h e r e . ” I t r i e d t o f o l l o w w h a t h e w a s s a y i n g b y m o v i n g m y f i n g e r s f r o m c i r c l e t o c i r c l e a n d p i e c e o f p i e t o p i e c e o f p i e . I a s k e d , " P u t t h i s o n e i n h e r e ? ” a s I p r e t e n d e d t o t a k e o n e p i e c e f r o m t h e c i r c l e w i t h 3 / 8 s h a d e d i n a n d m o v e i t t o t h e c i r c l e w i t h 7 / 8 s h a d e d i n . H e n o d d e d a n d s a i d , ” A n d t h a t ’ s y o u r w h o l e . T h a t ’ s e i g h t h e i g h t h s o f t h e w h o l e p i e . T h e n y o u h a v e t w o e i g h t h s l e f t o v e r h e r e o f t h a t p i e s o , i t i s o n e a n d t w o e i g h t h s . ” W h a t d i d h e m e a n ? H o w c o u l d h e s a y t h a t t h e a n s w e r w a s 1 2 fi b u t u s e t h e a r g u m e n t t h a t i t w a s n o t 1 0 / 8 b e c a u s e i t c o u l d n o t g o o v e r 1 ? W h a t d i d h e t h i n k w a s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 1 0 / 8 a n d 1 fi ? W h y w a s h e u n a b l e t o s e e i t w a s p o s s i b l e t o h a v e a f r a c t i o n g r e a t e r t h a n o n e ? W h a t d i d 1 0 / 8 m e a n t o h i m ? T h e c l a s s e n d e d w h e n t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r m o t i o n e d t o m e t h a t i t w a s a l r e a d y p a s t t h e t i m e t o g o t o l u n c h . N o n e o f u s h e a r d t h e b e l l . L a t e r i n m y j o u r n a l , I w r o t e , l t h i n l n o t a t l t h i n l ( H e a t : l t h a t S h o u l c C i y i n i n t e n d e d t o 1 f r a c t i o n s . I n q u e s t i o n w h f r a c t i o n s . I f u n d e r s t o o d “ ; t h e r a i n p r o l W h a t I p l a n r a c t u a l l y d i d W a s t o m 0 “ W a s “ 0 t r e a l c O I l S G C u t i y e b u t f i n d a m I f e l t t i m e I h a d 8 t r i e d t o f O l l c w i t h i d e a S r h a d n o t W 0 ] c o n t e n t a n d a n e x a m p l e a r o u n d a P r i n d e p e n d e r f o u n d m y S e 2 8 7 I t h i n k i t i s i n t e r e s t i n g t h a t I d i d n ’ t h e a r t h e b e l l r i n g f o r l u n c h a n d I w a s n o t a b l e t o p i c k u p f r o m t h e k i d s t h a t t h e y w e r e i n t e r e s t e d i n e n d i n g c l a s s . I t h i n k t h i s s a y s s o m e t h i n g a b o u t t h e i r e n g a g e m e n t a s w e l l a s m y o w n . ( H e a t o n j o u r n a l , 0 4 / 1 2 / 9 0 ) W h a t 5 1 1 9 1 1 ; ! I D e N e x t ? G i v i n g t h e s t u d e n t s a p r o b l e m w i t h a n a n s w e r g r e a t e r t h a n o n e w h o l e w a s i n t e n d e d t o p r e s e n t a c h a l l e n g e f o r a n y o n e w h o t h o u g h t t h e y k n e w h o w t o a d d f r a c t i o n s . I n s t e a d , i t s e e m e d t o b e v i e w e d a s a n i m p o s s i b i l i t y . I b e g a n t o q u e s t i o n w h a t i t w a s t h a t a n y o n e u n d e r s t o o d w h o I a s s u m e d w a s a b l e t o a d d f r a c t i o n s . I f t h e y u n d e r s t o o d s o m e t h i n g m o r e t h a n t h e r u l e , w h a t w a s i t t h a t t h e y u n d e r s t o o d ? I c o n s i d e r e d m y o p t i o n s f o r w h a t t o d o n e x t . I c o u l d c o n t i n u e w i t h t h e r a i n p r o b l e m b u t c o u l d I r e a l l y b r i n g m y s e l f t o d o t h a t ? I w a s s o f a r o f f i n w h a t I p l a n n e d s t u d e n t s w o u l d d o w i t h t h a t p r o b l e m c o m p a r e d t o w h a t t h e y a c t u a l l y d i d . T h e r u l e r s s e e m e d t o o n l y a d d t o t h e c o n f u s i o n . A s e c o n d o p t i o n w a s t o m o v e t o a n e n t i r e l y n e w t o p i c , l e a v e t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s b e h i n d . T h i s w a s n o t r e a l l y w h a t I w a n t e d t o d o . I w a n t e d t o t r y t o s t i c k w i t h o n e t o p i c o v e r c o n s e c u t i v e d a y s . A t h i r d o p t i o n w a s t o s t a y w i t h t h e t o p i c o f a d d i n g f r a c t i o n s b u t f i n d a n e w p r o b l e m t o w o r k o n . W h a t s h o u l d I d o n e x t ? I f e l t t h i s w a y b e f o r e - - n o t k n o w i n g w h a t t o d o . B u t i t s e e m e d t h a t t h i s t i m e I h a d g o t t e n m y s e l f i n t o t h i s s p o t d i f f e r e n t l y . E a r l i e r i n t h e y e a r w h e n I t r i e d t o f o l l o w t h e s c r i p t o f t h e t e a c h e r ’ s g u i d e c l o s e l y a n d m y s t u d e n t s c a m e u p w i t h i d e a s n o t i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , I f o u n d m y s e l f n o t k n o w i n g w h a t t o d o . I t h a d n o t w o r k e d w h e n I t r i e d t o f o l l o w t h e t e a c h e r ’ s g u i d e c l o s e l y a n d c o n t r o l t h e c o n t e n t a n d c o n v e r s a t i o n w i t h t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h i s w a s d i f f e r e n t . H e r e w a s a n e x a m p l e o f w h e r e I h a d o p e n e d u p t h e c o n t e n t a n d c o n v e r s a t i o n w i d e r a r o u n d a p r o b l e m t h a n I h a d d o n e b e f o r e . A n d I w a s d o i n g i t o n m y o w n , i n d e p e n d e n t o f a n y t e a c h e r ’ s g u i d e . B u t w a s i t t h a t I o p e n e d t h i n g s u p t o o f a r ? I f o u n d m y s e l f o v e r w h e l m e d b y t h e d e e p d i f f e r e n c e s i n w h a t a n d h o w s t u d e n t s w o r k e d t h e 1 t h e p u r p o s e I h a d a n d 7 / 8 . I n k e e p i n g t h e 1 a n s w e r i s o b l e a r n e d t h e r l a s s u m e d t h 1 : . I n s t e a d , e q u i y a l e n t t c l t h y ? i t h a t W e r e t h e y n o n o t e q u i i ' a l e r o n e ? I d e c i d e f r o m r u l e r s a O n a I W i t h e r p r o b i n c h e s 0 f r a i r d e c i d e d t o r e a n y t h i n g 0 t h w a n t e d t o h e n o t W a n t t o C b e f o r e . I s e r i I n c h e s o f f a i r I h O p e u m c h , 2 8 8 w o r k e d t h e p r o b l e m . W h a t w a s i m p o r t a n t f o r m y s t u d e n t s t o l e a r n ? W h a t w a s t h e p u r p o s e o f w h a t w e w e r e d o i n g ? I h a d a s s u m e d 1 0 / 8 w a s a g i v e n , a n o b v i o u s a n s w e r t o t h e a d d i t i o n o f 3 / 8 a n d 7 / 8 . I w a s w r o n g . I f y o u k n o w t h e r u l e a b o u t a d d i n g n u m e r a t o r s a n d k e e p i n g t h e d e n o m i n a t o r s t h e s a m e w h e n y o u h a v e l i k e d e n o m i n a t o r s , t h e a n s w e r i s o b v i o u s . B u t , w h a t i f y o u w e r e l i k e m a n y o f m y s t u d e n t s a n d h a d n o t l e a r n e d t h e r u l e y e t ? W h a t w e r e w a y s t o r e a s o n a b o u t t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s ? I a s s u m e d t h e c h a l l e n g e f o r s t u d e n t s w a s t o s e e h o w 1 0 / 8 c o u l d b e e q u i v a l e n t t o 1 g . I n s t e a d , s o m e s t u d e n t s r e a s o n e d t h a t t h e a n s w e r w a s 1 fi b u t s a w i t a s e q u i v a l e n t t o 1 0 / 1 6 . C o n c e p t u a l i z i n g 1 0 / 8 s e e m e d t r o u b l e s o m e t o m y s t u d e n t s . W h y ? W h a t d i d t h e n u m e r a t o r s a n d d e n o m i n a t o r s m e a n t o m y s t u d e n t s ? W h a t w e r e t h e y n o t s e e i n g t h a t w o u l d h a v e h e l p e d t h e m t o u n d e r s t a n d t h a t 1 fi w a s n o t e q u i v a l e n t t o 1 0 / 1 6 - - t h a t o n e a n s w e r w a s m o r e a n d t h e o t h e r w a s l e s s t h a n o n e ? I d e c i d e d I w a n t e d t o c o n t i n u e w i t h a d d i n g f r a c t i o n s b u t m o v e a s f a r a w a y f r o m r u l e r s a n d l i n e a r m e a s u r e m e n t a s p o s s i b l e . O n a p a g e n e i g h b o r i n g t h e r a i n p r o b l e m i n A d d i s o n - W e s l e y , I f o u n d a a n o t h e r p r o b l e m . I t s i t u a t e d t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s i n c u p s o f fl o u r r a t h e r t h a n i n c h e s o f r a i n . T h e p r o b l e m , a s i t a p p e a r e d i n t h e t e x t b o o k , u s e d e i g h t h s . I d e c i d e d t o r e p l a c e t h e e i g h t h s w i t h f o u r t h s r a t h e r t h a n r i s k t h e c h a n c e o f a n y t h i n g o t h e r t h a n t h e i d e a o f a d d i t i o n c a r r y i n g o v e r f r o m t h e r a i n p r o b l e m . I w a n t e d t o k e e p a b i t m o r e c o n t r o l o n w h a t s t u d e n t s d i d w i t h t h i s p r o b l e m . I d i d n o t w a n t t o o p e n t h i n g s u p a s m u c h w i t h t h i s p r o b l e m a s I h a d d o n e t h e d a y b e f o r e . I s e r i o u s l y h o p e d t h a t c u p s o f fl o u r w e r e g o i n g t o b e l e s s m e s s y t h a n i n c h e s o f r a i n . I w r o t e i n m y j o u r n a l ( 0 4 / 1 5 / 9 0 ) , I h o p e t h a t t h e u n i t ” c u p o f fl o u r ” w i l l n o t c o m p l i c a t e t h e p r o b l e m l i k e ” i n c h ” d i d l a s t t i m e , b r i n g i n g i n m i l l i m e t e r s a n d r u l e r s . T h i s g o t m e s s y . M a y b e t h e H e r e i s t h e n e e c 1 ) H 2 ) H b a t c F o r I w e c l a s s p e r i o c o m p u t a t i . I t h a t w o n 0 f e a c h t h e O t h e r s . 1 n t h i n k i n g q p r o b l e m 8 ' S t u d e n t s i , T o j P r o b l e m a S t r u C t U r e t S O t t l t i o n t C r e a c h C 0 1 1 5 c o n j E c t L l r e v a r i a b i l i t y 4 2 8 9 H e r e i s t h e p r o b l e m I m o d i fi e d t o u s e t h e n e x t d a y a s i t a p p e a r e d i n m y j o u r n a l . T h e M u f fi n P r o b l e m O n e b a t c h o f m u f fi n s n e e d e d 3 / 4 c u p o f fl o u r . T h e s e c o n d b a t c h n e e d e d 2 / 4 c u p o f fl o u r . 1 ) H o w m u c h fl o u r w a s u s e d i n b o t h b a t c h e s ? 2 ) H o w m u c h m o r e fl o u r w a s u s e d i n t h e fi r s t b a t c h t h a n t h e s e c o n d b a t c h ? F o r e a c h p r o b l e m : H o w d o y o u k n o w ? D r a w a p i c t u r e . T h e M u f fi n P r e b l e m : D a y 1 I w a t c h e d a n d l i s t e n e d a s s t u d e n t s w o r k e d o n t h e p r o b l e m i n t h e n e x t c l a s s p e r i o d ( 0 4 / 1 6 / 9 0 ) . W h a t s o r t o f p i c t u r e s w e r e t h e y d r a w i n g ? W h a t s o r t o f c o m p u t a t i o n w e r e t h e y d o i n g ? W h a t w e r e t h e y d o i n g w i t h t h e d e n o m i n a t o r s ? W h a t w o r d s w e r e t h e y u s i n g t o e x p l a i n t h e i r r e a s o n i n g ? S t u d e n t s h a d s p e n t p a r t o f e a c h m a t h c l a s s w o r k i n g i n s m a l l g r o u p s . S o m e d a y s t h e y t a l k e d m o r e t h a n o t h e r s . I n o t i c e d t h a t p e o p l e w i t h i n t h e s a m e s m a l l g r o u p o n t h i s d a y w e r e t h i n k i n g q u i t e d i f f e r e n t l y . I t h o u g h t i f s t u d e n t s t a l k e d w i t h e a c h o t h e r a b o u t t h e p r o b l e m t h e y m i g h t b e a b l e t o p u s h e a c h o t h e r ’ s t h i n k i n g . I h a d w a t c h e d s t u d e n t s i n fl u e n c e e a c h o t h e r ’ s t h i n k i n g o n a d a i l y b a s i s i n M a g g i e ’ s c l a s s . T o i n i t i a t e t h i s i n t e r a c t i o n , I i n t e r r u p t e d s t u d e n t s a s t h e y w o r k e d o n t h e p r o b l e m a n d t o l d t h e m t o t a l k w i t h t h e o t h e r p e o p l e i n t h e i r g r o u p . T o h e l p s t r u c t u r e t h e i r t a l k , I s u g g e s t e d t h e y s e e i f t h e i r s m a l l g r o u p c o u l d a g r e e u p o n a s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m . I s t r e s s e d t h e w o r d " a g r e e " a n d h o p e d t h a t t r y i n g t o r e a c h c o n s e n s u s w i t h i n a s m a l l g r o u p w o u l d h e l p t o l i m i t t h e r a n g e o f p o s s i b l e c o n j e c t u r e s i n t r o d u c e d o n c e t h e w h o l e g r o u p d i s c u s s i o n b e g a n . I a p p r e c i a t e d t h e v a r i a b i l i t y o f s t u d e n t s ’ i d e a s b u t I d i d n o t a l w a y s k n o w w h a t t o d o w i t h t h e m . M a y b e t h e s t u d e n t s c o u l d b e g i n t o e l i m i n a t e s o m e o f o n e a n o t h e r ’ s ” w r o n g ” . i o t a p T h e 5 1 c g e i r r l G g o u C v o n m e u s c o r r p l e i d h M w a d i a u h n a e d s n e t v l o d r e p r e s e i h i m t o c o p y I I 2 9 0 i d e a s . T h e s m a l l g r o u p s n e v e r r e a c h e d c o n s e n s u s . W h e n I i n t r o d u c e d t h i s t a s k , I d i d n o t c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e s t u d e n t s w i t h ” w r o n g ” a n s w e r s m i g h t h a v e a r g u m e n t s a s p e r s u a s i v e a s t h o s e w i t h t h e ” r i g h t ” a n s w e r s . W W G i v e n t h e r a n g e o f i d e a s t h a t s u r f a c e d i n e a r l i e r c l a s s p e r i o d s , I b e g a n t h i s w h o l e g r o u p d i s c u s s i o n w i t h a s i n g l e d r a w i n g w h i c h I t h o u g h t w a s s i m p l e , c l e a r , a n d r e p r e s e n t a t i v e o f t h e ” r i g h t ” a n s w e r . D a v i d ’ s w o r k c a u g h t m y e y e . I a s k e d h i m t o c o p y h i s w o r k o n t h e c h a l k b o a r d , a s i t a p p e a r e d i n h i s n o t e b o o k . % c u p o f f l o u r 3 c u p o f f l o u r 4 1 0 7 p o f f l o u r l e f t o v e r A f r a i d t h a t w e m i g h t e n d u p i n a m e s s s i m i l a r t o t h e o n e c r e a t e d b y t h e r a i n p r o b l e m , I d e c i d e d t o g o t h r o u g h t h e f e a t u r e s o f D a v i d ' s p i c t u r e i n a d e l i b e r a t e m a n n e r w i t h t h e s t u d e n t s . I d i d t h i s i n a n a t t e m p t t o k e e p t h i n g s f r o m o p e n i n g u p t o o m u c h a n d t h e d i s c u s s i o n i n m y c o n t r o l . I v e r i f i e d t h a t t h e s q u a r e s r e p r e s e n t e d c u p s o f fl o u r e v e n t h o u g h t h e y d i d n o t l o o k l i k e c u p s o f fl o u r . W e a l s o d i s c u s s e d w h y i t m a d e s e n s e , g i v e n t h e c o n t e x t o f t h e w o r d p r o b l e m , t o a d d t h e c u p s . W h e n I t h o u g h t w e w e r e c l e a r o n t h e s q u a r e s a n d t h e r e a s o n f o r a d d i n g , I a s k e d i f a n y o n e c o u l d e x p l a i n h o w t h e y k n e w t h a t f o u r f o u r t h s w a s t h e s a m e a s o n e . I a s k e d t h i s b e c a u s e i f t h e s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d t h a t o n e w a s t h e s a m e a s f o u r f o u r t h s , t h e n t h e y m i g h t b e a b l e t o s e e t h a t fi v e f o u r t h s w a s o n e f o u r t h m o r e t h a n o n e . A n z t i m e . I c a l l r e l a t i o n s h i j o u t o f f o u r e f f o r t s t o c : c a l l e d o n B c o m p l e t e l y R e l i A n a w h e n w a n t e d t o i w o u l d n o t ; b e s i d e s , t h i a b o u t U n d e l i b c l a s s m a d i f f e r e n t m t 0 u r f o u r t h M y l w h o l e ? W } “ “ 3 1 9 c i r c l e p l C t ' U r e O n I 2 9 1 A n a h a d t h e ” r i g h t ” a n s w e r w h e n I t a l k e d t o h e r d u r i n g t h e s m a l l g r o u p t i m e . I c a l l e d o n h e r h o p i n g s h e c o u l d e x p l a i n h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f o u r f o u r t h s a n d o n e . S h e s a i d , " B e c a u s e i f y o u h a v e f o u r o u t o f f o u r y o u h a v e a w h o l e . " B o b s h o t h i s h a n d i n t h e a i r . I c o u l d s e e t h a t m y e f f o r t s t o c o n s t r a i n t h e d i s c u s s i o n w e r e a b o u t t o b e t h w a r t e d . T h e m o m e n t I c a l l e d o n B i l l , I k n e w t h e p o s s i b i l i t i e s o f w h e r e t h i s m i g h t l e a d w e r e n o l o n g e r c o m p l e t e l y i n m y c o n t r o l . R e l u c t a n t l y , I n o d d e d i n B o b ’ s d i r e c t i o n a n d h e s a i d , " I a m c h a l l e n g i n g A n a w h e n s h e s a y s f o u r f o u r t h s e q u a l s a c u p . " W h y w a s B o b d o i n g t h i s ? I w a n t e d t o d i s a g r e e w i t h h i m . I k n e w , h o w e v e r , t h a t t e l l i n g h i m h e w a s w r o n g w o u l d n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h a t h e w o u l d c h a n g e t h e w a y h e t h o u g h t . A n d b e s i d e s , t h i s t e a c h i n g w a s n o t a b o u t r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s , a l o n e . I t w a s a b o u t u n d e r s t a n d i n g w h y a n s w e r s w e r e r i g h t o r w r o n g . I l e t B o b t a l k a n d h o p e d h i s c l a s s m a t e s w e r e l i s t e n i n g . H e c o n t i n u e d , " I a m t h i n k i n g , w e l l i t c a n b e a l o t o f d i f f e r e n t n u m b e r s b e c a u s e o f , i f y o u h a v e a c i r c l e a n d y o u c u t i t i n t o e i g h t p i e c e s , f o u r f o u r t h s i s n ' t t h e w h o l e o f t h a t . " M y p a t i e n c e w a s f a d i n g . W h a t d i d h e m e a n f o u r f o u r t h s w a s n o t t h e w h o l e ? W h y w a s h e b r i n g i n g u p e i g h t h s ? W h y c o u l d n ’ t h e s e e t h a t i t w a s s t i l l a w h o l e c i r c l e w h e t h e r t h e w a s c u t i n t o f o u r o r e i g h t p i e c e s ? I d r e w t h e f o l l o w i n g p i c t u r e o n t h e b o a r d . W h e t h e r I a s k e d , " W r e s p o n d e d , ' f r u s t r a t e d o : i s e i g h t e i g b w h e n t h e w r e l a t i o n s h i p b o t h e q u i v : l w a a n a t t e m p t c i r c l e , I w e b e ? " B o b 5 e i g h t h s w e a b o u t h i s i h e a l w a y s b e c a u s e f c C O l o r e d i n b e i n g h a l f c a l l e d o n S a i d , " 1 h a S e e m e d t c h a d a 8 0 c B C t h i n k i n g s a i d f O r t f O U r t h s b H e a r i n g 2 9 2 I a s k e d , " W h a t w o u l d f o u r f o u r t h s o f t h i s c i r c l e b e ? " B o b , i n a l l s i n c e r i t y r e s p o n d e d , ” T h a t w o u l d b e h a l f o f t h e w h o l e . " I a s k e d c a l m l y o n t h e o u t s i d e b u t f r u s t r a t e d o n t h e i n s i d e , " T h e n , w h a t i s t h e w h o l e ? " H e r e s p o n d e d , " O n e w h o l e i s e i g h t e i g h t h s . " D i d B o b r e a l l y t h i n k f o u r f o u r t h s w a s h a l f o f t h e w h o l e c i r c l e w h e n t h e w h o l e c i r c l e w a s c u t i n t o e i g h t h s . W h a t d i d h e t h i n k w a s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f o u r f o u r t h s a n d e i g h t e i g h t h s ? C o u l d h e i m a g i n e t h e m b o t h e q u i v a l e n t t o o n e w h o l e c i r c l e ? W h a t s h o u l d I d o n e x t ? I w a n t e d t o p u s h h i m o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f o u r t h s a n d e i g h t h s . I n a n a t t e m p t t o h a v e h i m d e s c r i b e t h e i r r e l a t i o n s h i p t o t h e w h o l e a n d p a r t s o f t h i s c i r c l e , I w e n t b a c k t o t h e c i r c l e I d r e w a n d a s k e d , " W h a t w o u l d h a l f o f t h i s c i r c l e b e ? " B o b s a i d , " F o u r e i g h t h s . " D i d t h a t m e a n h e t h o u g h t f o u r f o u r t h s a n d f o u r e i g h t h s w e r e t h e s a m e t h i n g ? C o u l d a n o t h e r s t u d e n t h e l p m e r a i s e q u e s t i o n s a b o u t h i s i d e a ? I s a w A s i m ' s h a n d . A s i m d i d n o t s p e a k o f t e n b u t w h e n h e d i d , h e a l w a y s m a d e t h o u g h t f u l c o n t r i b u t i o n s . I c a l l e d o n h i m . H e s a i d , " I a g r e e b e c a u s e f o u r e i g h t h s m e a n s l i k e f o u r t h i n g s , l i k e f o u r p i e c e s o f c a k e o r p i e c o l o r e d i n o u t o f e i g h t . " I w a n t e d A s i m t o s p e a k t o t h e i d e a o f f o u r f o u r t h s n o t b e i n g h a l f o f t h e w h o l e c i r c l e . R a t h e r t h a n f o l l o w u p d i r e c t l y o n A s i m ’ s i d e a s , I c a l l e d o n M i k e w h o h a d h i s h a n d i n t h e a i r a n d a p u z z l e d l o o k o n h i s f a c e . H e s a i d , " I h a v e s o m e t h i n g f o r B o b . B o b , w e r e y o u t h i n k i n g a b o u t t h e r a i n ? ” M i k e s e e m e d t o b e r e a l l y t r y i n g t o u n d e r s t a n d B o b ’ s p o i n t o f v i e w . M i k e a s s u m e d B o b h a d a g o o d r e a s o n f o r t h i n k i n g w h a t h e d i d a n d h e w a n t e d t o u n d e r s t a n d i t . B o b r e s p o n d e d t o M i k e , " I k n o w . I r e v i s e d w i t h A n a . B e c a u s e I w a s j u s t t h i n k i n g t h a t s h e m i g h t h a v e s a i d t h a t a l l t h e t i m e [ i t ' s f o u r t h s ] b u t n o w s h e o n l y s a i d f o r t h i s o n e s o I t h i n k f o u r f o u r t h s w o u l d b e t h e w h o l e w h e n y o u h a v e f o u r t h s b u t i f y o u w e r e u s i n g e i g h t h s t h e w h o l e w o u l d b e e i g h t e i g h t h s . " H e a r i n g t h i s , I w a n t e d t o t h i n k t h a t , a t l e a s t f o r t h e m o m e n t , t h i s q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e w h o l e c i r c l e w a s f o u r f o u r t h s o r f o u r e i g h t h s w a s s e t t l e d . W e c o u l d e t t u o n o t a a m s b a c d e n s o e e n t h t t n e I h e x p l a i n , k s ' t c a s u s a a i n h s s ? n a g e g s c g s w e a n d d i v i d e H e c o n t i m E i g h t p i e c e I i u s t a d d i a n d t h a t w t h o u g h h e a n d m o t i f t h e a n s W e ] S i m i l a r t o ‘ r a i n P Y O b l g H i s 5 / 4 . B u t , I 2 9 3 g e t b a c k t o t h e q u e s t i o n o f 3 / 4 p l u s 2 / 4 . W h a t s o r t o f d i f f e r e n c e s e x i s t e d i n s t u d e n t s ' a n s w e r s t o t h i s q u e s t i o n n o w ? H o w c l o s e w e r e w e t o r e a c h i n g a c o n s e n s u s ? I a s k e d , " D i d a n y o n e c o m e u p w i t h s o m e t h i n g d i f f e r e n t t h a n D a v i d w h o g o t o n e a n d o n e f o u r t h ? " A r i f ' s a r m w a s s t r e t c h e d i n t h e a i r . " I t h i n k t h i s i s t h e s a m e t h i n g . I c a m e u p w i t h f i v e e i g h t h s , " h e a n n o u n c e d . D i d h e r e a l l y t h i n k 1 . 1 , - w a s t h e s a m e a s 5 / 8 ? H o w c o u l d h e b e t h i n k i n g t h a t ? W h e n I a s k e d h i m t o e x p l a i n , h e a s k e d i f h e c o u l d d r a w s o m e t h i n g o n t h e b o a r d . H e d r e w t w o c i r c l e s a n d d i v i d e d e a c h i n t o f o u r s e c t i o n s . H e c o n t i n u e d w i t h h i s e x p l a n a t i o n , " S e e t o g e t h e r t h e r e ' s e i g h t p i e c e s i n b o t h . E i g h t p i e c e s o f p i e i n b o t h a n d I c o l o r e d i n t h r e e f r o m h e r e a n d t w o f r o m h e r e s o I j u s t a d d t h e t h r e e p l u s t w o i s fi v e a n d i f y o u l i k e , y o u c a n u s e t h i s f r o m h e r e a n d t h a t w o u l d b e f o u r f o u r t h s a n d o n e f o u r t h . " H e m o t i o n e d w i t h h i s h a n d a s t h o u g h h e w a s t a k i n g o n e o f t h e t w o f o u r t h s t h a t h a d b e e n s h a d e d i n t h e c i r c l e a n d m o v i n g i t o v e r t o fi l l i n t h e c i r c l e w i t h 3 / 4 a l r e a d y s h a d e d i n . A r i f t h o u g h t t h e a n s w e r w a s 5 / 8 1 r 1 . 1 7 ! D i d h e r e a l l y b e l i e v e t h a t w a s p o s s i b l e ? T h i s w a s s i m i l a r t o w h a t h e d i d t h e d a y b e f o r e w h e n h e d e c i d e d t h a t t h e s o l u t i o n t o t h e r a i n p r o b l e m w a s 1 0 / 1 6 o r 1 i . H i s p i c t u r e w a s c o n v i n c i n g . L o o k i n g a t t h e s e c i r c l e s a s t w o w h o l e s , I s a w 5 / 4 . B u t , l o o k i n g a t i t a s o n e w h o l e ( t w o c i r c l e s ) , I c o u l d s e e e i g h t p i e c e s w i t h fi v e s h a e d i 4 m x i , o e t g ? h r a s S t " 5 , 2 " a e r s n “ 5 / 4 a n d s o 1 t a t l h t e a i r m e l g e a t 0 " “ e 0 n k h m y a q t u i t n h e b u c e d 1 1 h a h B m g s m e 1 o n n i o e i . b , I u o b n r n e fi m a o i v . n r n d 0 a l s w e t k a S r v e l 5 a h t l o t o e r e n 5 I d r ; s l n e l w f t s s 0 . t i t g w h o h f a n d h e r e a l l y fl . W h a t h 2 9 4 f i v e s h a d e d i n . W i t h t h a t l a t e s t c o n j e c t u r e , t h e r e w e r e n o w s t u d e n t s w h o t h o u g h t 5 / 4 , o r 1 z } , o r 5 / 8 . T h e r e w e r e a l s o s o m e s t u d e n t s w h o t h o u g h t t h a t 5 / 4 w a s t h e s a m e a s 1 l - a n d o t h e r s w h o t h o u g h t 5 / 8 w a s t h e s a m e a s 1 r } . W h a t s h o u l d I d o n e x t ? S h o u l d I j u s t t e l l t h e m t h e ” r i g h t ” a n s w e r ? H o w w o u l d I e x p l a i n t h e ” r i g h t ” a n s w e r u s i n g A r i f ’ s p i c t u r e ? W h a t w a s t h e r e a s o n t h a t t h e a n s w e r w a s 5 / 4 a n d n o t 5 / 8 ? I w a s n ’ t s u r e . B o b h a d m o r e t o s a y . H e s a i d , " W e l l , I s o r t o f c h a l l e n g e A r i f o n t h i s i n t h a t a l s o I t h i n k I h a v e a h y p o t h e s i s . I c h a l l e n g e A r i f b e c a u s e I a g r e e w i t h t h e f i v e f o r t h e n u m e r a t o r b u t I c h a l l e n g e w h a t h e p u t f o r t h e d e n o m i n a t o r b e c a u s e w e ' r e t a l k i n g i n f o u r t h s r i g h t n o w , s o w h e n y o u ' r e t a l k i n g i n f o u r t h s w e ' r e n o t u s i n g e i g h t h s . S o I t h i n k i t i s f i v e f o u r t h s a n d a l s o m y h y p o t h e s i s i s I t h i n k , I c a n ' t r e m e m b e r w h a t t h e n a m e i s b u t t h o s e n u m b e r s t h a t c o n n e c t t w o o f t h e m . I t h i n k m a y b e f i v e f o u r t h s a n d o n e a n d o n e f o u r t h m i g h t b e t h e s a m e . " H e w a s r e f e r r i n g t o a c o n v e r s a t i o n w e h a d t h e w e e k b e f o r e a b o u t e q u i v a l e n t f r a c t i o n s . I s a i d ” e q u i v a l e n t f r a c t i o n s , ” h e n o d d e d a n d c o n t i n u e d , " W e a r e t a l k i n g w i t h f o u r t h s , n o t e i g h t h s . I m e a n t h e n w e ' d h a v e t o s w i t c h t h e t h r e e f o u r t h s t o t h r e e e i g h t h s a n d t w o f o u r t h s t o t w o e i g h t h s s o I t h i n k i t w o u l d h a v e t o b e fi v e f o u r t h s . " D i d h e r e a l l y t h i n k 3 / 8 w a s e q u i v a l e n t t o 3 / 4 a n d 2 / 4 e q u i v a l e n t t o 2 / 8 ? W h a t h a d h e l e a r n e d i n o u r d i s c u s s i o n s o f e q u i v a l e n t f r a c t i o n s t h e w e e k b e f o r e ? l r e t u r t a l k i n g a b o u t w e ' r e i n c l u d i l i k e t w o f o u r w h i c h A r i f n a d d i n g t h e n “ g e t t i n g e i g h t e i g h t h s . S o ' e i g h t h s . ” A W h a t d o V O I 2 9 5 I r e t u r n e d t o A r i f , w h o l o o k e d a t B o b a n d s a i d , ” W e l l , B o b , o k a y , w e ' r e t a l k i n g a b o u t i f , l i k e t h e fi r s t b a t c h , i n t h e f i r s t b a t c h t h e r e ' s t h r e e f o u r t h s , s o w e ' r e i n c l u d i n g f o u r t h s a n d t h e n t h e s e c o n d b a t c h t h a t ' s l i k e t o t a l l y d i f f e r e n t , i t ' s l i k e t w o f o u r t h s . ” B o b r e s p o n d e d , ” Y e s , b u t w e ' r e s t i l l t a l k i n g f o u r t h s . " T o w h i c h A r i f r e p l i e d , ” I k n o w w e ' r e s t i l l t a l k i n g a b o u t f o u r t h s e x c e p t w e ' r e j u s t a d d i n g t h e m . ” B o b c o n t i n u e d , “ Y e s , b u t w h e n y o u a d d f o u r t h s , I m e a n y o u ‘ r e g e t t i n g e i g h t h s s o t h e n y o u ' r e g o i n g t o h a v e t o h a v e t h r e e e i g h t h s a n d t w o e i g h t h s . S o t h e n t h a t w o u l d g e t f i v e e i g h t h s b u t w e ' r e t a l k i n g a b o u t f o u r t h s , n o t e i g h t h s . ” A r i f s a i d , ” Y e s , b u t y o u ' r e j u s t a d d i n g t h e f o u r t h s . L i k e o v e r t h e r e , w h a t d o y o u t h i n k t h e a n s w e r i s t o t h i s ? ” H e p o i n t e d t o h i s p i c t u r e . “ I t h i n k i t w o u l d e i t h e r b e o n e a n d o n e f o u r t h o r fi v e e i g h t h s . ” I i n t e r r u p t e d a n d s a i d i n a q u e s t i o n i n g t o n e , ” o r f i v e e i g h t h s , " h o p i n g t h a t h e m e a n t 5 / 4 . H e s a i d , ” fi v e f o u r t h s . ” I a d d r e s s e d t h e w h o l e g r o u p , ” W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k h e r e ? W e ' v e g o t t w o i d e a s n A r i f ' s i d e a t h a t t h i s i s fi v e e i g h t h s a n d B o b ' s i d e a t h a t t h i s i s f i v e f o u r t h s . ” I i n t e n d e d t o o p e n u p t h e c o n v e r s a t i o n t o o t h e r s b u t I n o t i c e d A r i f . H i s w a v i n g h a n d t o l d m e h e h a d m o r e t o s a y a n d I g a v e h i m a n o t h e r c h a n c e t o s p e a k . A r i f a d d r e s s e d B o b d i r e c t l y , a g a i n , ” W e l l , B o b , fi r s t o f a l l i t c a n ' t b e fi v e f o u r t h s b e c a u s e t h e r e ' s f o u r p i e c e s a n d y o u h a v e t o c o l o r i n f i v e o f t h e m . H o w c a n y o u d o t h a t ? Y o u ’ v e g o t f o u r p i e c e s a n d y o u ' r e c o l o r i n g fi v e o f t h e m ? ” H o w c o u l d I s h o w A r i f w h a t w a s p o s s i b l e ? H i s u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t i o n s a s s h a d e d 2 9 6 r e g i o n s o v e r t o t a l n u m b e r o f r e g i o n s c o n v i n c e d h i m t h e a n s w e r w a s 5 / 8 a n d k e p t h i m f r o m s e e i n g 5 / 4 a s a p o s s i b i l i t y . B o b a n d A r i f j u s t c a r r i e d o n a c o n v e r s a t i o n w i t h o u t m e . E a c h o f t h e m t o o k a s e r i e s o f t u r n s a d d r e s s i n g o n e a n o t h e r d i r e c t l y . I w a s c u r i o u s w h a t o t h e r s m a d e o f t h e i r e x c h a n g e . I s t a r t e d t o d e t e c t a b i t o f t e n s i o n b e t w e e n t h e t w o b o y s . I c o u l d f e e l o u r s e l v e s a p p r o a c h i n g o n e o f t h o s e m o m e n t s w h e n I h a d t o d e c i d e w h e t h e r w e w e r e e n g a g e d i n a n a r g u m e n t o f i d e a s o r p e r s o n a l i t i e s . P i l i ' s h a n d w a s i n t h e a i r . S h e o f t e n a s k e d i n s i g h t f u l q u e s t i o n s . I c a l l e d o n h e r t o e a s e t h e t e n s i o n . P i l i s a i d , " I t h i n k i t i s fi v e f o u r t h s . " T h i s w a s j u s t w h a t I h o p e d s h e w o u l d s a y . M a y b e B o b ' s r e a s o n i n g d i d m a k e s o m e s e n s e t o o t h e r s b e s i d e s B o b . W e n e e d e d t o d e v e l o p a s o u n d a r g u m e n t t o c o u n t e r A r i f ’ s . I h a d m y h o p e s s e t o n P i l i ’ s r e a s o n i n g . " P i l i , w h y d o y o u t h i n k i t i s fi v e f o u r t h s ? " I a s k e d . S h e s a i d , " B e c a u s e y o u s a i d y o u a r e n ' t s u p p o s e d t o a d d t h e d e n o m i n a t o r s s o I d o n ' t t h i n k y o u a d d t h e m . " C o u l d I r e a l l y h a v e s a i d t h a t ? I r e s p o n d e d , " I d o n ' t r e m e m b e r i f I e v e r s a i d t h a t , b u t w h y d o e s t h a t m a k e s e n s e o r w h y d o y o u t h i n k s o m e b o d y w o u l d s a y t h a t ? C o u l d y o u e x p l a i n w h y y o u w o u l d n ' t a d d t h o s e d e n o m i n a t o r s ? " P i l i s h r u g g e d h e r s h o u l d e r s a n d i n a q u i e t v o i c e s a i d s h e d i d n o t k n o w w h y y o u d i d n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s . M y h o p e s q u i c k l y v a n i s h e d . P i l i m a d e n o c o n n e c t i o n t o B o b ' s r e a s o n i n g a n d w h e r e d i d s h e g e t t h e i d e a t h a t I h a d g i v e n h e r t h e r u l e ? I w a s c e r t a i n l y t e m p t e d . I h a d t o r e m i n d m y s e l f w h y I h a d m a d e t h e c h o i c e n o t t o t e l l m y s t u d e n t s t h e r u l e . I w a n t e d P i l i a n d t h e o t h e r s t o a p p r e c i a t e w h a t i t m e a n t t o a d d f r a c t i o n s . T h i s w a s a n i c e e x a m p l e o f a p r o b l e m t h a t c o u l d b e e a s i l y d o n e b y f o l l o w i n g a r u l e b u t n o t o n e e a s i l y u n d e r s t o o d . I t w a s a l s o a n i n t e r e s t i n g p r o b l e m b e c a u s e t h e c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s t h a t p e o p l e u s e d t o r e p r e s e n t t h e p r o b l e m c o u l d b e r e a d i n t w o w a y s , e i t h e r a s 5 / 4 o r 5 / 8 . W h y w a s t h a t ? W h y w a s i t t h a t t h i s r u l e m a d e s e n s e ? W h a t d i d i t m e a n t o u n d e r s t a n d h o w t o a d d f r a c t i o n s ? ' t h e r a i n p r t d e n o r n i n a t s i g n i f i c a n c g h a n g i n g 1 A 5 1 w h a t . T h i s H o w m a n } w a t c h e d i t s a w r a i s e d w e n t l i p . f c t h a t I d i d r t h a t t h e c l e f e w p e o p h 1 w ; e i g h t h s . \ w t h i s , a n d ) ' “ U r n e r a t m S m d e n t s r ; ' O u r t h s c o : 2 9 7 f r a c t i o n s ? W h a t w e r e y o u u n d e r s t a n d i n g i f y o u c o u l d d o t h e m u f fi n p r o b l e m o r t h e r a i n p r o b l e m i n d e p e n d e n t o f f o l l o w i n g a r u l e ? H o w w o u l d I e x p l a i n w h y t h e d e n o m i n a t o r s w e r e n o t a d d e d ? H o w c o u l d I h e l p m y s t u d e n t s s e e t h e s i g n i fi c a n c e o f k e e p i n g t h e d e n o m i n a t o r s t h e s a m e ? 9 m m A s l u n c h t i m e d r e w n e a r , I s u r v e y e d t h e g r o u p t o s e e w h o w a s t h i n k i n g w h a t . T h i s i n f o r m a t i o n w a s h e l p f u l i n t h i n k i n g a b o u t w h a t t o d o t h e n e x t d a y . H o w m a n y p e o p l e s t i l l n e e d e d t o b e c o n v i n c e d t h a t t h e a n s w e r w a s 5 / 4 ? A s I w a t c h e d w h o s e h a n d s r a i s e d f o r w h a t s o l u t i o n s , I w a s a s t o n i s h e d b y t h e h a n d I s a w r a i s e d f o r 5 / 8 . M o m e n t s a g o B o b h a d b e e n a r g u i n g f o r 5 / 4 b u t h i s h a n d j u s t w e n t u p f o r 5 / 8 . W h a t w a s g o i n g o n ? I w a s s o t h r o w n b y B o b ’ s c h a n g e o f h e a r t t h a t I d i d n o t p a y c l o s e a t t e n t i o n t o w h o , e x a c t l y , w a s t h i n k i n g w h a t . I d i d n o t i c e t h a t t h e c l a s s , a s a g r o u p , w a s f a i r l y e v e n l y d i v i d e d b e t w e e n 5 / 8 a n d 5 / 4 w i t h a f e w p e o p l e o p t i n g t o r e m a i n u n s u r e . I w a n t e d t o h e a r w h a t B o b w a s t h i n k i n g . H e s a i d , " I t h i n k I r e v i s e t o fi v e e i g h t h s . W e l l , I t h i n k i t ' s fi v e e i g h t h s b e c a u s e w h e n y o u h a v e l i k e , a t h i n g l i k e t h i s , a n d y o u r w h o l e i s f o u r t h s w h i c h i s t h e d e n o m i n a t o r a n d fi v e i s t h e n u m e r a t o r w h i c h y o u h a v e t o s h a d e i n . ” H e t u r n e d i n h i s c h a i r a n d f a c e d t h e s t u d e n t s r a t h e r t h a n m e a n d c o n t i n u e d , ” W i l l s o m e o n e w h o t h i n k s t h a t i t i s fi v e f o u r t h s c o m e u p h e r e a n d s h a d e i n fi v e o u t o f t h e s e f o u r ? ” B e f o r e I h a - e r p l a i n w h y o u h a v e f : a n d t h e n y c a n ' t s h a d e a n s w e r w a A s t h e b e l l n e x t d a y . I w r o t h e r c l a s s A f t t a m ; t h e i n t l A r i : W h t W I g o , w h e t h e r “ W i t h r i g h t W h a t I S h o S t u d e r i t s 1 1 8 0 0 d i s t h e u n d E r s t a n . w o n d e r h ( I E p r e S e m a u n d e r s t a m w a s ] a f t e r 2 9 8 B e f o r e I h a d a c h a n c e t o c a l l o n a n y o n e t o r e s p o n d t o B o b ’ s q u e s t i o n , h e s t a r t e d t o e x p l a i n w h y h e t h o u g h t w h a t h e h a d p r o p o s e d c o u l d n o t b e d o n e . ” A n d w h e n y o u h a v e fi v e e i g h t h s , l i k e , o k a y a n d w h e n y o u h a v e fi v e e i g h t h s , y o u h a v e e i g h t a n d t h e n y o u j u s t h a v e t o c o l o r i n fi v e a n d y o u c a n ' t d o t h a t h e r e b e c a u s e y o u c a n ' t s h a d e i n fi v e o u t o f t h i s f o u r . " A r i f ’ s p i c t u r e h a d c o n v i n c e d B o b t h a t t h e a n s w e r w a s 5 / 8 . I h a d n o t a n t i c i p a t e d t h a t r e v i s i o n s m i g h t g o i n t h i s d i r e c t i o n . A s t h e b e l l r a n g , I d e c i d e d t h a t w e h a d t o c o n t i n u e w i t h t h i s s a m e p r o b l e m t h e n e x t d a y . I w r o t e i n m y j o u r n a l a f t e r c l a s s ( 0 4 / 1 6 / 9 0 ) a b o u t t h e c o n v e r s a t i o n t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r a n d I h a d o n c e t h e s t u d e n t s w e n t t o l u n c h , A f t e r c l a s s , w e s t o o d s t a r i n g a t t h e b o a r d , s h a k i n g o u r h e a d s i n a m a z e m e n t . T h i s d i s c u s s i o n w a s fi l l e d w i t h i d e a s . T h e c l a s s e n d e d w i t h t h e u n r e s o l v e d i s s u e o f w h e t h e r 3 / 4 + 2 / 4 = 5 / 4 o r 5 / 8 . . . t h e d i f fi c u l t y i s i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t t h e w h o l e i s — i t o c c u r s t o m e t h a t m a y b e A r i f a n d c o m p a n y d o n o t r e c o g n i z e t h a t a s o l u t i o n c a n b e m o r e t h a n o n e w h o l e . W h a t S h o u l d I D Q N e x t ? I g o t v e r y n e r v o u s w h e n B o b c h a n g e d h i s m i n d . I s t a r t e d q u e s t i o n i n g w h e t h e r w e w e r e g e t t i n g a n y w h e r e w i t h l e a r n i n g m a t h e m a t i c s w h e n p e o p l e w i t h r i g h t a n s w e r s r e v i s e d t o w r o n g a n s w e r s . I c o n t e m p l a t e d t h e q u e s t i o n o f w h a t I s h o u l d d o n e x t ? W h a t w a s t h e r e s p o n s i b l e t h i n g t o d o ? S h o u l d I a l l o w s t u d e n t s l i k e B o b t o b e p e r s u a d e d t o r e v i s e t o a ” w r o n g ” a n s w e r ? B u t , w h a t g o o d i s t h e r i g h t a n s w e r , i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , i f y o u h a v e n o i d e a w h y i t i s r i g h t ? A n d , I w a s e v e n b e g i n n i n g t o w o n d e r h o w ” w r o n g ” 5 / 8 w a s i n t e r m s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . R e a d i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n a s r e g i o n s s h a d e d i n o v e r t o t a l n u m b e r o f r e g i o n s , I c o u l d u n d e r s t a n d A r i f ’ s a r g u m e n t t h a t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 8 . M a t h e m a t i c a l l y , w h a t w a s I a f t e r ? P e d a g o g i c a l l y , w h a t w a s t h e r i g h t t h i n g t o d o ? l b e g a r u n d e r s t o o d I t w e w e r e c o n s t h e s e c o n t e x t m e a n f o r s t u t t h a n o n e w h t t o u n d e r s t a n b e a n a p p r o r U n f o r a s s i s t a n c e i n d o a b o u t i t . l U S t i f y l W o \ S t u d e n t s h a t e x P l a n a t i o n . 5 0 m g m i x 0 1 l i m i t a t i o n s . f r a c t i o n s . A r e a u s e d a s r e p P r i m a r y g r ; P T O b l e m S a b a n a n a s a r s t u d e n t s , F r e P T E S Q M a b e 1 1 n d E r s t S h a d e d i n 2 9 9 I b e g a n t o t h i n k t h e r e m u s t b e s o m e u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c a l i d e a t o b e u n d e r s t o o d r e l a t e d t o t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s t h a t w a s i n d e p e n d e n t o f w h e t h e r w e w e r e c o n s i d e r i n g i n c h e s o f r a i n o r c u p s o f fl o u r . W e r e t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e c o n t e x t s a s s h a d e d r e c t a n g l e s o r c i r c l e s c o n f u s i n g s t u d e n t s ? W h a t w o u l d i t m e a n f o r s t u d e n t s t o s e e t h a t o n e w h o l e w a s t h e s a m e a s 4 / 4 a n d 5 / 4 g r e a t e r t h a n o n e w h o l e ? W h a t w o u l d t h e y b e s e e i n g ? W h a t w a s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d a b o u t t h e m e a n i n g o f 4 / 4 a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o 5 / 4 ? W h a t w o u l d b e a n a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n t o i l l u s t r a t e t h i s ? U n f o r t u n a t e l y , M a g g i e h a d n o t o b s e r v e d o n t h e s e t w o d a y s . I w a n t e d h e r a s s i s t a n c e i n u n d e r s t a n d i n g b o t h t h e d i f fi c u l t y w e w e r e h a v i n g a n d w h a t I c o u l d d o a b o u t i t . W h y w a s i t t h a t m y s t u d e n t s c o u l d u s e t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n t o j u s t i f y t w o v e r y d i f f e r e n t s o l u t i o n s ? I m e t w i t h h e r a n d e x p l a i n e d h o w m y s t u d e n t s h a d u s e d t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n t o c o n s t r u c t t w o d i f f e r e n t e x p l a n a t i o n s f o r t w o d i f f e r e n t s o l u t i o n s . F r o m h e r p e r s p e c t i v e , t h e d i f fi c u l t y w a s s o m e m i x o f t h e s t u d e n t s ’ p a r t - w h o l e i n t e r p r e t a t i o n o f f r a c t i o n s a n d t h e l i m i t a t i o n s o f s h a d e d r e g i o n s o f c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s a s r e p r e s e n t a t i o n s o f f r a c t i o n s . A r e a m o d e l s , c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s w i t h p a r t s s h a d e d i n a r e c o m m o n l y u s e d a s r e p r e s e n t a t i o n s w h e n s t u d e n t s a r e fi r s t i n t r o d u c e d t o f r a c t i o n s i n t h e p r i m a r y g r a d e s . M y s t u d e n t s u s e d c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s i n t h e r a i n a n d m u f fi n p r o b l e m s a n d h a d f o u n d f r a c t i o n s o f w h o l e n u m b e r s u s i n g d i s c r e t e o b j e c t s ( i . e . b a n a n a s a n d d o l l a r s ) i n e a r l i e r p r o b l e m s . I n t h e r a i n a n d m u f fi n p r o b l e m s , t h e s t u d e n t s ’ p a r t / w h o l e i n t e r p r e t a t i o n s t o g e t h e r w i t h t h e i r g e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s s e r v e d t o r e i n f o r c e t h e i r s o l u t i o n s . F o r e x a m p l e , 3 / 4 + 2 / 4 c o u l d b e u n d e r s t o o d a s 5 / 8 b y c o n s i d e r i n g t h e f o l l o w i n g r e p r e s e n t a t i o n a s fi v e r e g i o n s s h a d e d i n o u t o f t h e e i g h t t o t a l n u m b e r o f r e g i o n s . s ( w 0 i 4 t / c 1 h 6 i / n 9 g 0 ) 0 , T h e o n l y r s t h e u n i t o f f o u r t h s o r w h o l e d i r ‘ i S t u d e n t s i t e i g h t h s . l l T h e r e i s n o S t u d e n t s c a O n c e b i g g e r t h a n T h e o n l y w a y t o r e c o g n i z e t h e a b o v e r e p r e s e n t a t i o n a s 5 / 4 i s t o r e c o g n i z e t h a t t h e u n i t o f t h e f r a c t i o n s b e i n g a d d e d i s f o u r t h s . T h i s p i c t u r e r e p r e s e n t s fi v e o n e - f o u r t h s o r 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 . A d d i n g t w o f r a c t i o n s t h a t a r e p a r t o f a w h o l e d i v i d e d i n t o f o u r t h s s h o u l d r e s u l t i n a s o l u t i o n i n t e r m s o f f o u r t h s . S t u d e n t s w h o s e e t h e a n s w e r i n e i g h t h s a r e c h a n g i n g t h e u n i t f r o m f o u r t h s t o e i g h t h s . T h e u n i t i s w h a t g i v e s t h e f r a c t i o n m e a n i n g b u t i t i s o f t e n i m p l i c i t . T h e r e i s n o t h i n g w i t h i n t h i s r e p r e s e n t a t i o n t h a t u n q u e s t i o n a b l y d e fi n e s t h e u n i t . S t u d e n t s c a n e a s i l y u s e t h i s r e p r e s e n t a t i o n t o j u s t i f y 5 / 8 o r 5 / 4 . O n c e I f i g u r e d o u t t h a t t h e p r o b l e m s t u d e n t s w e r e s t r u g g l i n g w i t h w a s b i g g e r t h a n i n c h e s o f r a i n o r c u p s o f f l o u r , I m o v e d a w a y f r o m t h e i d e a o f s w i t c h i n g c o n t e x t s a s a w a y t o s o l v e t h e p r o b l e m . I w r o t e i n m y j o u r n a l ( 0 4 / 1 6 / 9 0 ) , I g u e s s I w a s s u r p r i s e d t h a t w e e n d e d u p i n t h e s a m e p l a c e w i t h t h i s p r o b l e m a s w e d i d w i t h t h e r a i n p r o b l e m . I t h o u g h t t h e c o n f u s i o n w a s w i t h t h e u n i t u b e c a u s e i t w a s a n i n c h - - b u t n o w I t h i n k i t i s w i t h a n y u n i t - - b e c a u s e t h e y a r e c o n f u s e d a b o u t t h e w h o l e - w h a t t h a t m e a n s . W h e t h e r w e a r e t a l k i n g a b o u t i n c h e s o r c u p s o f fl o u r , i t d o e s n ’ t m a t t e r . I n e e d e d t o c o m e u p w i t h a w a y t o h e l p t h e s t u d e n t s w h o t h o u g h t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 8 u n d e r s t a n d t h i s i s s u e o f t h e u n i t . I w a s n o t s u r e w h a t t o d o . F r o m p r e v i o u s c l a s s e s , I r e m e m b e r e d h o w p e r s u a s i v e p e e r s c o u l d b e . M a y b e s o m e o f t h e s t r o n g a d v o c a t e s o f 5 / 4 w o u l d b e a b l e t o e x p l a i n w h a t t h e y u n d e r s t o o d a b o u t t h e u n i t a n d c o n v i n c e t h o s e w h o t h o u g h t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 8 t o c h a n g e t h e i r m i n d s . 3 0 1 T h ' P r 1 : D a 2 T h e n e x t d a y ( 4 / 1 7 / 9 0 ) , I a s k e d s t u d e n t s t o f i g u r e o u t t h e a n s w e r , f o r m u l a t e r e a s o n s t h r o u g h p i c t u r e s a n d w o r d s , a n d t h e n s e e i f t h e m e m b e r s o f t h e i r s m a l l g r o u p c o u l d c o m e t o s o m e a g r e e m e n t . T h e s t u d e n t s w o r k e d o n t h i s t o g e t h e r i n s m a l l g r o u p s f o r q u i t e a w h i l e . I w a s e x c i t e d t o s e e s t u d e n t s i n v e s t e d i n i d e a s e v e n i f w h a t t h e y w e r e i n v e s t e d i n h a p p e n e d t o b e 5 / 8 . I h a d w o r k e d f o r m o n t h s t o a c h i e v e s o m e t h i n g t h a t r e s e m b l e d a m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t w i t h m y s t u d e n t s . G r a p p l i n g w i t h t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 o r 5 / 8 w a s t h e c l o s e s t w e h a d c o m e . S t u d e n t s d i d n o t r e a c h c o n s e n s u s w i t h i n t h e i r s m a l l g r o u p s b u t t h e t a s k d i d s e r v e t o g e t s t u d e n t s t a l k i n g w i t h e a c h o t h e r a b o u t t h e p r o b l e m . A M a t h e m a t i c a l A r g u m e n t I s t a r t e d t h e w h o l e c l a s s d i s c u s s i o n w i t h a s u r v e y s i m i l a r t o t h e o n e I d i d a t t h e e n d o f t h e l a s t c l a s s . W e r e w e a n y c l o s e r t o r e a c h i n g a c o n s e n s u s ? A s I a s k e d s t u d e n t s t o r a i s e t h e i r h a n d s , I c o u l d n o t k e e p t r a c k o f w h a t e v e r y o n e t h o u g h t i n t h e b r i e f m o m e n t t h e i r h a n d s w e r e i n t h e a i r . B u t I d i d n o t i c e t h a t B o b w a s b a c k t o t h i n k i n g 5 / 4 , a l o n g w i t h W u L e e , J o h n , A n a , L u k e , K a t r i n a , a n d R o n a n d t h o s e t h a t t h o u g h t 5 / 8 i n c l u d e d A r i f , S i p h o , F a r u q , a n d M i k e . N a r u j , a l o n e , h e l d fi r m l y t o 1 i a s t h e o n l y p o s s i b l e s o l u t i o n . W T h e c l a s s d i s c u s s i o n e v o l v e d i n t o a s e r i e s o f p e o p l e , i n c l u d i n g m e , t r y i n g t o c o m m u n i c a t e p o i n t s o f V i e w w e b a r e l y u n d e r s t o o d o u r s e l v e s . L a n g u a g e , p i c t u r e s , e x a m p l e s , a n d c o u n t e r e x a m p l e s a l l b e c o m e p a r t o f t h e e f f o r t . A s I h e a r d e a c h r e s p o n s e , I h a d t o t h i n k a b o u t w h a t t o d o n e x t . F o r e x a m p l e B o b p r o p o s e d , W e l l , I w a s t h i n k i n g t h a t I c h a l l e n g e e v e r y b o d y t h a t t h i n k s o n e a n d o n e f o u r t h a n d fi v e f o u r t h s b e c a u s e y o u h a v e o n e c u p a n d o n l y o n e c u p o f fl o u r , n o t t w o c u p s o r a n y t h i n g , a n d s o l i k e , s a y t h i s i s o n e c u p , I t h i n k i t 3 0 2 i s fi v e e i g h t h s , a n d i f t h i s i s t h e o n l y c u p t h a t y o u u s e b e c a u s e y o u o n l y h a v e o n e c u p t h e n I t h i n k i t i s fi v e e i g h t h s b e c a u s e w h e n y o u h a v e t h i s , y o u c a n d o t h i s w i t h o n e c u p , y o u c a n s h a d e i n f i v e . Y o u c a n d o t h a t . [ H e d i v i d e d a c i r c l e i n t o 8 a n d s h a d e d i n 5 . ] B u t y o u c a n ’ t d o o n e a n d o n e f o u r t h o r f i v e f o u r t h s w i t h o n l y o n e [ H e d i v i d e d a n o t h e r c i r c l e i n t o f o u r . ] b e c a u s e y o u w o u l d h a v e t o h a v e t w o [ c i r c l e s ] t o g e t fi v e f o u r t h s . H o w c o u l d I e x p l a i n t o B o b t h a t y o u c o u l d u s e t w o w h o l e s o r t w o c i r c l e s , e a c h d i v i d e d i n t o f o u r t h s a n d t h a t w a s d i f f e r e n t t h a n l o o k i n g a t t w o c i r c l e s t o g e t h e r a s o n e w h o l e , e a c h d i v i d e d i n t o f o u r t o m a k e e i g h t h s ? H o w c o u l d I e x p l a i n t h e i m p o r t a n c e o f t h e u n i t a n d a t t h e s a m e t i m e e x p l a i n t h a t t h e r e c o u l d b e m o r e t h a n o n e w h o l e o f a p a r t i c u l a r u n i t — t w o c i r c l e s , e a c h r e p r e s e n t i n g f o u r t h s ? A n a ’ s e e n j e e t u r e . I a s k e d A n a , w h o h a d h e r h a n d u p , t o c o m m e n t o n w h a t B o b h a d j u s t s a i d . S h e i m m e d i a t e l y d i s a g r e e d , " I t h i n k y o u c a n ’ t c h a n g e t h e d e n o m i n a t o r . Y o u a r e n o t [ p a u s e ] , c a n I g o u p t h e r e ? ” A n a w a s a t a l o s s f o r w o r d s a n d w a n t e d t o u s e t h e c h a l k b o a r d . A s A n a w e n t t o t h e b o a r d , B o b r e s p o n d e d d i r e c t l y t o h e r , ” Y o u a r e n o t c h a n g i n g t h e d e n o m i n a t o r w h e n y o u 3 0 3 h a v e fi v e e i g h t h s . Y o u a r e n o t c h a n g i n g i t . ” S e v e r a l o f t h e o t h e r s t u d e n t s j u m p e d i n , ” Y e s , y o u a r e . ” I d i d n o t w a n t B o b t o f e e l l i k e p e o p l e w e r e g a n g i n g u p o n h i m a n d I w a n t e d t o h e a r w h a t A n a h a d t o s a y . I k n e w f r o m w a t c h i n g w h a t s h e d i d i n h e r s m a l l g r o u p t h a t s h e u n d e r s t o o d t h e a n s w e r a s 5 / 4 B u t c o u l d s h e e x p l a i n i t ? ” L e t ’ s s e e w h a t A n a h a s t o s a y , ” I s a i d . A n a r e s p o n d e d t o B o b , ” Y o u s t a r t e d o u t w i t h t h r e e f o u r t h s p l u s t w o f o u r t h s a n d n o w y o u h a v e g o t f i v e e i g h t h s . ” B o b a d m i t t e d , ” O . K . , W e l l , y e a h , y o u d i d c h a n g e t h e d e n o m i n a t o r b u t l e t ’ s s e e y o u w i t h o n e , o n l y o n e c u p , m a k e fi v e f o u r t h s . ” I w a n t e d t o h e a r w h a t A n a h a d t o s a y a b o u t 5 / 4 a n d d i d n o t w a n t h e r t o g e t s i d e - t r a c k e d b y B o b ’ s q u e s t i o n . I t r i e d o n c e a g a i n t o g i v e s p a c e f o r A n a t o t a l k . I s a i d , ” L e t ’ s s e e w h a t A n a ’ s e x p l a n a t i o n i s . C o u l d y o u t e l l u s w h a t y o u a r e t h i n k i n g a n d w h y ? ” A n a s a i d , ” W e l l , u m , I t h i n k , l i k e y o u c a n ’ t a d d t w o d e n o m i n a t o r s y o u c a n ’ t m a k e t h e s e t w o t o g e t h e r a n d h a v e e i g h t f o r a d e n o m i n a t o r . ” I g e n t l y a s k e d , ” A n d w h y c a n ’ t y o u ? W h y d o y o u t h i n k y o u c a n ’ t ? ” I w a n t e d h e r t o fi n d t h e l a n g u a g e t h a t I f e l t I l a c k e d a t t h a t m o m e n t . T h e r e w a s a l o n g p a u s e w h i l e A n a s t o o d a t t h e c h a l k b o a r d a n d m a d e a f e w a t t e m p t s t o s t a r t t a l k i n g . H e r l i p s m o v e d b u t n o w o r d s c o m e o u t . S h e s t a r t e d t o d r a w a p i c t u r e a n d t h e n e r a s e d w h a t s h e d r e w . S h e l e t o u t a n e n o r m o u s s i g h . I u n d e r s t o o d e x a c t l y h o w s h e f e l t . I d i d n o t k n o w h o w t o e x p l a i n w h y y o u d i d n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s b e y o n d t h e r u l e a t t h i s p o i n t e i t h e r . P e d a g o g i c a l l y , I d i d n o t k n o w h o w t o e x p l a i n o r s h o w s t u d e n t s w h a t I w a n t e d t h e m t o s e e . W h a t w a s i t I w a n t e d t h e m t o s e e ? T h e o n l y t h i n g I f e l t I c o u l d d o w a s r e a s s u r e h e r t h a t t h i s w a s , i n d e e d , a h a r d q u e s t i o n f o r e v e r y o n e . I s a i d , ” I t ’ s t o u g h . I t r e a l l y i s h a r d a n d y o u a r e d o i n g a r e a l l y g o o d j o b o f t r y i n g t o t h i n k t h i s t h r o u g h . ” W I w a s c u r i o u s w h a t A r i f w a s t h i n k i n g . W e h a d n o t h e a r d f r o m h i m y e t t h a t d a y . W a s t h i s d i s c u s s i o n h a v i n g a n y i n fl u e n c e o n h i s 3 0 4 t h i n k i n g ? I c a l l e d o n h i m a n d h e s a i d , ” I s t i l l t h i n k i t i s 5 / 8 a n d I h a v e a p i c t u r e t o s h o w . ” H e d r e w t w o s q u a r e s a n d d i v i d e d t h e m e a c h i n t o f o u r t h s a n d s a i d , ” T h e s e a r e t h e c u p s o f fl o u r a n d I w i l l d i v i d e i t i n t o f o u r t h s . W e l l , n o w fi r s t c o l o r i n h e r e . S o m e p e o p l e c o l o r t h i s i n a n d c a l l t h i s t h r e e f o u r t h s a n d t h i s i s t w o f o u r t h s . T h e n y o u a r e s u p p o s e d t o m o v e i t l i k e t h i s . ” H e s h a d e d i n t h r e e o f t h e f o u r p a r t s i n o n e s q u a r e a n d t w o o f t h e f o u r p a r t s i n t h e o t h e r s q u a r e . H e s a i d , ” I f y o u g e t t h i s o n e f o u r t h a n d p u t i t r i g h t h e r e , y o u h a v e f o u r p i e c e s , a n d t h e n I s a i d y o u g o t i t l i k e c u t i t i n h a l f a n d t h a t i s o n e w h o l e b u t y o u h a v e t o a d d o n e m o r e f o u r t h t o g e t fi v e f o u r t h s . A n a r e s p o n d e d t o h i m , ” I f y o u a r e a d d i n g , i f y o u a r e t a k i n g , i f y o u a r e t a k i n g t h i s o n e f r o m h e r e , y o u a r e n o t p u t t i n g t h i s w h o l e t h i n g t o g e t h e r y o u a r e j u s t t a k i n g t h i s p a r t t o h e r e . A n d t h a t m a k e s o n e a n d o n e f o u r t h . ” A r i f s a i d , ” S o m e p e o p l e a r e d o i n g t h a t . B u t I a m n o t t a l k i n g a b o u t o n e f o u r t h . S o m e p e o p l e a r e j u s t g o i n g , p u t t h i s o n e f o u r t h o v e r h e r e a n d t h e n t h e y h a v e o n e f o u r t h l e f t r i g h t t h e r e . B u t i t i s o n e w h o l e r i g h t t h e r e . ” A r i f s a w a d d i n g 1 / 4 t o 4 / 4 a s a d d i n g a n o t h e r w h o l e w h i c h i s r i g h t a s l o n g a s y o u k e e p t h e w h o l e a s f o u r t h s n o m a t t e r h o w m a n y w h o l e s y o u h a v e . 3 0 5 I t r i e d a n o t h e r a p p r o a c h . A t t h a t m o m e n t , i t o c c u r r e d t o m e t h a t c o m p a r i n g t h e s i z e o f 5 / 8 a n d 3 / 4 a s t h e y w e r e d r a w n a n d l a b e l e d h e r e m i g h t b e a w a y t o s e e t h a t t h e r e w a s l e s s a r e a s h a d e d i n s o m e t h i n g t h a t w a s 5 / 8 o f a w h o l e c i r c l e t h a n 3 / 4 o f t h e s a m e w h o l e c i r c l e . H o w c o u l d 5 / 8 b e t h e a n s w e r t o a d d i n g t w o f r a c t i o n s t o g e t h e r w h e n o n e w a s 3 / 4 ? 3 / 4 w a s l a r g e r t h a n 5 / 8 . I s a i d , " O . K . , I h a v e a q u e s t i o n . I h a v e s e e n p e o p l e d r a w t h r e e f o u r t h s a n d t w o f o u r t h s a n d c o m e u p w i t h t h i s p i c t u r e . I r e a l l y w o n d e r , I a m q u e s t i o n i n g w h e n y o u d r a w , a n d h e r e i s a c i r c l e w i t h f i v e e i g h t h s i n i t , c o u l d y o u s h o w m e h o w y o u u s e t w o f o u r t h s p l u s t h r e e f o u r t h s i n t h e s e p i c t u r e s t o c o m e u p w i t h f i v e e i g h t h s ? B e c a u s e i n a d d i t i o n , t h i s i s l i k e t h e t o t a l w h e n I a d d t h e s e t w o p i e c e s t o g e t h e r , s o c o u l d y o u s h o w m e h o w y o u c o u l d a d d t h r e e f o u r t h s a n d t w o f o u r t h s a n d g e t a p i c t u r e t h a t l o o k s l i k e t h i s ? ” I s t r u g g l e d w i t h l a n g u a g e a n d g r o p e d f o r w o r d s . 3 0 6 M i k e v o l u n t e e r e d t o d r a w a p i c t u r e t o m a t c h h i s c o n j e c t u r e o f f i v e e i g h t h s . H e d r e w t h i s . ” H e s a i d , ” T h e r e i s t h r e e f o u r t h s r i g h t t h e r e . ” I a s k e d , ” W h y i s n ’ t t h a t e i g h t h s ? ” H e s a i d , ” B e c a u s e t h i s i s o n e , t h i s i s o n e c u p o f fl o u r a n d t h i s i s a n o t h e r c u p o f fl o u r a n d t h i s i s t w o f o u r t h s a n d i f y o u a d d t h e m t o g e t h e r i t i s j u s t l i k e o n t h i s p i c t u r e , y o u h a v e t h e s e t w o c u p s o f fl o u r a n d t h e r e i s e i g h t o n e f o u r t h s p a c e s o f fl o u r a n d i f y o u , s o i t i s e i g h t a n d t h r e e p l u s t w o i s f i v e s o i t w o u l d b e f i v e e i g h t h s . ” W h a t M i k e s a i d w a s f u r t h e r e v i d e n c e t o m e t h a t t h e u n i t w a s i m p l i c i t a n d s l i p p e r y . H e s a i d t h a t t h e r e w e r e e i g h t o n e f o u r t h s p a c e s , y e t , c o n c l u d e d t h a t t h e a n s w e r w a s f i v e e i g h t h s . H o w c o u l d t h i s b e ? S c o t t e n t e r t a i n e d t h e p o s s i b i l i t y o f m a k i n g u s e o f m o r e t h a n o n e c u p . H e s a i d , ” I c o u l d c h a l l e n g e b e c a u s e o f w h a t B o b s a i d . B o b s a i d i f y o u , y o u c a n ’ t h a v e t w o c u p s o f fl o u r b e c a u s e i t s a y s c u p o f f l o u r . ” B o b j o i n e d i n , ” Y e a h , c u p o f f l o u r . T h a t i s o n l y o n e c u p . ” B o b i n t e r r u p t e d . I w a n t e d t o h e a r S c o t t . I s a i d , ” A n d w h a t a r e y o u t h i n k i n g , S c o t t ? ” S c o t t s a i d , ” W e l l , M i k e u s e d t w o c u p s t o g e t t h e a n s w e r . ” B o b s a i d , ” I k n o w b u t I o n l y u s e d , o n t h a t p i c t u r e , I o n l y u s e d o n e b e c a u s e I c u t i t u p i n t o e i g h t h s i n s t e a d o f f o u r t h s a n d b e s i d e s t h e w a y I g o t i t w i t h e i g h t h s i s b e c a u s e w i t h o n e c u p o f fl o u r , w h o e v e r t h i n k s i t i s fi v e f o u r t h s , w i t h o n e c u p o f f l o u r , b e c a u s e i t o n l y s a y s c u p o f fl o u r , fi v e f o u r t h s o f a c u p o f f l o u r , t h e n l e t ’ s s e e s o m e o n e d r a w fi v e o u t o f f o u r . ” W e w e r e b a c k t o w h e r e t h e 3 0 7 c l a s s b e g a n - - h i n d e r e d b y t h e p a r t / w h o l e i n t e r p r e t a t i o n o f f r a c t i o n s . T h e d i s c u s s i o n h a d g o n e n o w h e r e . W e w e r e n o f u r t h e r a l o n g i n r e a c h i n g a c o n s e n s u s b y t h e e n d o f t h e c l a s s t h a n w e h a d b e e n a t t h e b e g i n n i n g . W e s e e m e d s t a l l e d i n t h e a r g u m e n t o f w h e t h e r t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 o r 5 / 8 . L o o k i n g a t f o u r t h s a n d e i g h t h s i n t h e c o n t e x t o f c i r c l e s a n d s q u a r e s w a s t a k i n g u s n o w h e r e . H e m e w e r k W h e n I h e a r d t h e b e l l r i n g , a l l I c o u l d t h i n k w a s t h a t m a y b e t h e h o m e w o r k , w h i c h I a l w a y s g a v e o n T u e s d a y s , w o u l d m a k e a d i f f e r e n c e . I a s s i g n e d s t u d e n t s a p a g e o f c o m p u t a t i o n o n t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s ( A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 8 7 , p . 2 4 7 ) . T h e y w e r e t o fi n d t h e a n s w e r t o e a c h p r o b l e m a n d I a s k e d t h e m t o d r a w a p i c t u r e t o s h o w h o w t h e y t h o u g h t a b o u t i t . T h e f r a c t i o n s a l l h a d l i k e d e n o m i n a t o r s a n d a d d e d u p t o l e s s t h a n o n e . I c o n s i d e r e d g i v i n g t h e m p r o b l e m s i n w h i c h t h e a n s w e r s w o u l d b e s o m e t h i n g g r e a t e r t h a n o n e b u t s i n c e I w a s n o l o n g e r s u r e w h a t a n y o n e u n d e r s t o o d a b o u t a d d i n g f r a c t i o n s , I w e n t b a c k t o e a s i e r p r o b l e m s . S a m p l e s f r o m t h e H o m e w o r k 1 / 3 + 1 / 3 3 / 6 + 2 / 6 4 / 8 + 3 / 8 2 / 4 + 1 / 4 2 / 6 + 2 / 6 3 0 8 D x ? I c o u l d a f f o r d t o s p e n d o n e m o r e d a y o n t h e m u f fi n p r o b l e m . I w a s b e g i n n i n g t o f e e l t h e p r e s s u r e o f t i m e a n d t h e n e e d t o m o v e o n t o a n e w p r o b l e m a n d t o p i c . I w r o t e i n m y j o u r n a l ( 0 4 / 1 7 / 9 0 ) , H o w l o n g i s t h e o t h e r t e a c h e r ( o r a m I f o r t h a t m a t t e r ) g o i n g t o h a v e p a t i e n c e f o r t h i s ? I t h i n k s h e w o n d e r s w h y I d o n ’ t j u s t t e l l t h e m . S o m e t i m e s , s o d o I . W o u l d p a r e n t s s a y t h e s a m e t h i n g ? W h a t w i l l t h e s t u d e n t s h a v e f o u n d o u t f r o m t h e i r p a r e n t s a b o u t f r a c t i o n s i n t h e p r o c e s s o f w o r k i n g o n t h e h o m e w o r k ? I h a d r u n o u t o f i d e a s f o r h o w t o h e l p s t u d e n t s s e e w h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n . W h a t d i d I w a n t t h e m t o l e a r n ? H o w c o u l d I h e l p s t u d e n t s s e e t h a t t h e s o l u t i o n i n v o l v e s t w o w h o l e s a n d t h a t s o m e t h e m w e r e c h a n g i n g t h e u n i t ? C o u n t i n g t h e n u m b e r o f p a r t s s h a d e d i n a n d t h e t o t a l n u m b e r o f p a r t s d i d n o t h i n g t o d e fi n e t h e w h o l e o r e n s u r e t h a t i t w o u l d r e m a i n c o n s i s t e n t . I k n e w t h e a n s w e r t o t h e m u f fi n p r o b l e m w a s 5 / 4 a n d w a s n o t c o n t e n t t o l e a v e t h e p r o b l e m i n a s t a t e w h e r e w e a g r e e d t o d i s a g r e e . Y e t , I w a s n o t c o n t e n t w i t h j u s t t e l l i n g s t u d e n t s t h e r u l e a n d m o v i n g o n . A p p l y i n g r u l e s t o g e t r i g h t a n s w e r s w a s n o t t h e s a m e t h i n g a s h a v i n g r e a s o n s f o r w h y a n a n s w e r s e e m e d r i g h t . I w r o t e i n m y j o u r n a l b e f o r e c l a s s t h e n e x t d a y , I w a n t t o t r y t o h e l p t h e s t u d e n t s r e a s o n w h y y o u d o n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s w i t h o u t t e l l i n g t h e m t h a t y o u d o n ’ t a d d t h e m . I f I t e l l t h e m a n d t h e y d o n ’ t u n d e r s t a n d w h a t g o o d i s i t ? I t w o u l d h e l p t h e m d o t h e p r o b l e m s i n t h e A d d i s o n - W e s l e y t e x t b o o k a n d I t h i n k t h a t w o u l d m a k e b o t h o f u s f e e l b e t t e r . B u t , w o u l d i t ? I d e c i d e d t o s e e h o w s t u d e n t s d i d o n t h e h o m e w o r k a n d b u i l d o n t h a t i n t h e c l a s s . N o m a t t e r w h a t h a p p e n e d t h e n e x t d a y , i t w o u l d b e o u r l a s t o n e o n t h i s p r o b l e m f o r a w h i l e . I p l a n n e d t o u s e t h e t i m e w e w o r k e d o n d i f f e r e n t p r o b l e m s a n d n e w t o p i c s t o l e a r n m o r e a b o u t f r a c t i o n s , m y s e l f , a n d t h e n t r y t o r e t u r n t o t h i s p r o b l e m b e f o r e t h e s c h o o l y e a r w a s o v e r . I w a s n o t g o i n g t o l a y t h i s p r o b l e m 3 0 9 t o r e s t u n t i l I h a d r e a s o n a b l e w a y s t o e x p l a i n t o m y s e l f a n d o t h e r s w h y t h e a n s w e r w a s 5 / 4 . [ h e M u f fi n P r e b l e m : D a y 3 I a r r i v e d a t s c h o o l a b i t e a r l y t h e n e x t d a y ( 0 4 / 1 8 / 9 0 ) t o l o o k a t t h e i r h o m e w o r k a s s i g n m e n t s b e f o r e m a t h c l a s s . A s I l o o k e d t h r o u g h t h e i r p a p e r s , I n o t i c e d s e v e r a l t h i n g s . N o o n e h a d a d d e d t h e d e n o m i n a t o r s . E v e r y o n e h a d ” r i g h t ” a n s w e r s . W h y w a s i t t h a t t h e y c o u l d g e t t h e s e p r o b l e m s r i g h t b u t t h e y s a w i t a s r e a s o n a b l e t o a d d t h e d e n o m i n a t o r s f o r 3 / 4 + 3 / 4 a n d g e t 5 / 8 ? A s I e x a m i n e d t h e i r p a p e r s m o r e c a r e f u l l y , I r e a l i z e d t h a t a l l o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s w e r e i n t h e f o r m o f c i r c l e s o r r e c t a n g l e s . T h e o n l y v a r i a t i o n w a s i n h o w t h e s h a p e s w e r e u s e d . F o r e x a m p l e , 1 / 4 + 2 / 4 w a s r e p r e s e n t e d i n o n e o f t w o w a y s w i t h e i t h e r s q u a r e s o r c i r c l e s . I d e c i d e d t o s t a r t w i t h 1 / 4 + 2 / 4 a n d t r y t o m o v e u s f r o m t h e r e t o 3 / 4 + 2 / 4 . T o s t a r t t h e c l a s s , I a s k e d i f s o m e o n e w o u l d s h a r e h o w t h e y t h o u g h t a b o u t 1 / 4 + 2 / 4 . O l i v i a r a i s e d h e r h a n d . T h i s w a s a f i r s t ! W h a t g a v e h e r t h e c o n fi d e n c e t o fi n a l l y s p e a k ? O l i v i a , l i k e s e v e r a l o t h e r s t u d e n t s i n m y c l a s s , e n t e r e d a s a n o n - E n g l i s h s p e a k e r . F o r t h e l a s t c o u p l e o f m o n t h s , I n o t i c e d h e r 3 1 0 t a l k i n g i n E n g l i s h t o t h e p e o p l e w h o s a t n e a r h e r . T h i s w a s t h e fi r s t t i m e s h e v o l u n t e e r e d t o s p e a k i n m a t h c l a s s i n f r o n t o f t h e w h o l e g r o u p . I c a l l e d o n h e r a n d s h e t o l d t h e g r o u p t h a t t h e a n s w e r w a s 3 / 4 b e c a u s e " y o u c a n ' t c h a n g e t h e d e n o m i n a t o r s . " I f o u n d m y s e l f i n a p r e c a r i o u s s i t u a t i o n . J u s t a b o u t a n y o n e e l s e i n t h e c l a s s w o u l d b e f a c e d w i t h m y u s u a l q u e s t i o n o f w h y , b u t i n t h i s c a s e , I d i d n o t w a n t t o t a k e t h e r i s k o f s i l e n c i n g h e r . I n s t e a d , I c o m p l e m e n t e d h e r o n h e r ~ r e s p o n s e , s o m e t h i n g I r a r e l y d i d t h e s e d a y s , t h e n s a i d , ” C a n a n y o n e a d d t o w h a t O l i v i a s a i d a b o u t n o t a d d i n g t h e d e n o m i n a t o r s ? S i p h o , w h a t d o y o u t h i n k a b o u t t h i s ? " S i p h o , w h o s e h a n d w a s r a i s e d w h i l e O l i v i a s p o k e , r e l a y e d a c o n v e r s a t i o n h e h a d w i t h h i s f a t h e r t h e n i g h t b e f o r e . W e l l , l a s t n i g h t w h e n I w a s d o i n g m y h o m e w o r k , I w a s d o i n g a p r o b l e m t h a t I g o t s t u c k o n s o I a s k e d m y d a d a b o u t t h e d e n o m i n a t o r s , j u s t l i k e w h a t e v e r y b o d y s a y s a b o u t t h e d e n o m i n a t o r s . A s w e w e r e t a l k i n g I j u s t r e a l i z e d t h a t y o u c a n n e v e r [ H e s h a k e s h i s h e a d b a c k a n d f o r t h . ] a d d t h e d e n o m i n a t o r s . E v e n i f i t i s t h e s a m e , y o u s t i l l n e v e r a d d t h e m . P a r e n t i n v o l v e m e n t a n d s t u d e n t i n t e r e s t i n m a t h e m a t i c s o u t s i d e o f m a t h c l a s s w a s s o m e t h i n g I w a n t e d t o e n c o u r a g e . I c o u l d n o t h e l p b u t b e a b i t w o r r i e d , h o w e v e r , t h a t S i p h o ’ s f a t h e r m i g h t n o t h a v e a p p r e c i a t e d t h e t i m e w e w e r e s p e n d i n g o n 3 / 4 + 2 / 4 . S i p h o e x p l a i n e d h i s u n d e r s t a n d i n g a s t o w h y y o u d o n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s . W e l l , i f y o u u s e t w o b i g n u m b e r s , r e a l b i g n u m b e r s , a n d y o u a d d t h e d e n o m i n a t o r s i t i s g o i n g t o s e e m t o c o m e o u t t o s o m e b i g h u g e n u m b e r a n d i t w o u l d n ’ t s e e m r e a s o n a b l e f o r a s m a l l n u m b e r a t t h e t o p a n d a h u g e , h u g e n u m b e r a t t h e b o t t o m a n d i f y o u a d d t h e n i t g e t s t o o l a r g e o f a n u m b e r . W h a t r e a s o n w o u l d y o u h a v e t o d o i t l i k e t h a t ? W a s S i p h o t r y i n g t o r e a s o n a b o u t t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r a s a s i n g l e q u a n t i t y o r w a s h e t a l k i n g j u s t a b o u t t h e d e n o m i n a t o r ? I f h e m e a n t t h e q u a n t i t y , c o u l d i t b e t h a t h e u n d e r s t o o d t h a t t h e b i g g e r t h e d e n o m i n a t o r t h e s m a l l e r t h e 3 1 1 q u a n t i t y ? F o r e x a m p l e , t h e q u a n t i t y 1 / 8 i s l e s s t h a n t h e q u a n t i t y 1 / 4 e v e n t h o u g h 8 i s l a r g e r t h a n 4 . D i d h e u n d e r s t a n d t h a t w h e n y o u a d d f r a c t i o n s t h e s u m s h o u l d b e b i g g e r n o t s m a l l e r ? A d d i n g t w o f r a c t i o n s a n d g e t t i n g a b i g g e r a s t h e d e n o m i n a t o r ( o r a s m a l l e r f r a c t i o n ) d o e s n o t m a k e s e n s e . O r , w a s h e t h i n k i n g o f a d d i n g j u s t t h e d e n o m i n a t o r s ? S i p h o w a s c e r t a i n t h a t y o u d i d n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s . I w a s u n c e r t a i n w h e t h e r h e h a d a m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g o f w h y . I w a s n ’ t s u r e w h y m y s e l f . D a v i d r e p o r t e d o n a c o n v e r s a t i o n h e h a d w i t h h i s f a t h e r . H e d r e w t h i s o n t h e b o a r d . H e a s k e d , " O k a y , M i k e , w h a t i s t h i s ? " D a v i d d i r e c t e d h i s c o m m e n t t o M i k e , w h o j u s t a n n o u n c e d t h a t w h e n y o u d r a w t w o s q u a r e s a n d d i v i d e t h e m e a c h i n t o f o u r t h s , t o g e t h e r y o u h a v e e i g h t . D a v i d m o v e d h i s fi n g e r f r o m o n e f o u r t h t o t h e n e x t . A s h e d i d t h i s , M i k e c o u n t e d f o u r t h s , " O n e f o u r t h , t w o f o u r t h s , t h r e e f o u r t h s , f o u r f o u r t h s . " H e p a u s e d b r i e fl y a s D a v i d m o v e d h i s fi n g e r t o t h e fi n a l f o u r t h s h a d e d i n a n d a n n o u n c e d , " F i v e e i g h t h s . " M a n y o f t h e s t u d e n t s , i n c l u d i n g M i k e a n d D a v i d , l a u g h e d . I t s e e m e d t h a t t o m a n y s t u d e n t s , a n d p e r h a p s e v e n M i k e , i t m a d e s e n s e t h a t t h e n e x t f r a c t i o n w o u l d b e 5 / 4 . I w a s u n c e r t a i n w h y M i k e c l u n g , i n s p i t e o f t h i s e v i d e n c e , t o 5 / 8 . D a v i d p r e s e n t e d a c o n v i n c i n g r e p r e s e n t a t i o n b u t M i k e d i d n o t c h a n g e h i s m i n d . I a s k e d D a v i d t o s a y s o m e t h i n g a b o u t h o w h e w o u l d c o u n t t h e s e f r a c t i o n s . D a v i d s a i d , " O n e f o u r t h , t w o f o u r t h s , t h r e e f o u r t h s , f o u r f o u r t h s , f i v e f o u r t h s . E i t h e r t h a t o r o n e a n d o n e f o u r t h . " T h r o u g h t h i s e x c h a n g e , D a v i d h a d c o n v i n c e d m e t h a t h e k n e w t h a t t h e 3 1 2 a n s w e r t o t h e m u f fi n p r o b l e m w a s 5 / 4 a n d c o u l d a r t i c u l a t e a r e a s o n w h y . H i s f a t h e r t a u g h t h i m t o c o u n t a n d a d d o n f r a c t i o n s a s a w a y t o r e a s o n a b o u t a d d i t i o n . W a s M i k e b e i n g s t u b b o r n o r d i d D a v i d ’ s r e p r e s e n t a t i o n r e a l l y n o t m a k e s e n s e t o h i m ? A r i f a n n o u n c e d t h a t h e a l s o t a l k e d w i t h h i s f a t h e r . H e s h a r e d w h a t h i s f a t h e r t o l d h i m . ” I t w o u l d e q u a l o n e a n d o n e f o u r t h b u t , t h e n I a s k e d i f i t w a s fi v e e i g h t h s o r fi v e f o u r t h s . F i r s t , h e t h o u g h t f i v e e i g h t h s a n d t h e n h e s a i d i t w a s f i v e f o u r t h s . I t i s j u s t l i k e D a v i d s a i d [ A r i f c o u n t e d t h e f o u r t h s o n h i s fi n g e r s ] o n e f o u r t h , t w o f o u r t h s , t h r e e f o u r t h s , f o u r f o u r t h s , fi v e f o u r t h s . ” W a s A r i f r e a l l y c o n v i n c e d t h a t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 ? W e r e t h e e x p l a n a t i o n s m y s t u d e n t s g a v e m e t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e p r o b l e m o r t h e i r p a r e n t s ’ ? I f a c e d n e w i s s u e s . C o u l d I c o n c l u d e t h a t a s t u d e n t u n d e r s t o o d s o m e t h i n g b e c a u s e h i s f a t h e r t o l d h i m ? W a s t h a t r e a s o n e n o u g h ? H o w w a s a p a r e n t ’ s a u t h o r i t y a n y d i f f e r e n t t h a n t h e a u t h o r i t y o f t h e t e a c h e r o r t h e t e x t b o o k w h e n i t c a m e t o t h e ” t e l l i n g ” o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ? I w a s t e a c h i n g t h e s t u d e n t s t o t h i n k o f t h e m s e l v e s a s a u t h o r i t i e s f o r w h a t m a d e s e n s e . D i d t h a t m e a n t h e y s h o u l d q u e s t i o n t h e a u t h o r i t y o f t h e i r p a r e n t s ? H o w c o u l d I s h o w r e s p e c t f o r t h e i r p a r e n t s ’ i d e a s y e t a t t h e s a m e t i m e p u s h m y s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s i n w a y s t h e i r p a r e n t s n e v e r e x p e r i e n c e d ? T h e b e l l r a n g . I t o l d t h e s t u d e n t s o f m y p l a n s t o m o v e o n t o s o m e t h i n g e l s e t h e n e x t d a y . I t s e e m e d t h a t m a n y o f t h e m h a d t h e i d e a t h a t t h e d e n o m i n a t o r s w e r e n o t t o b e a d d e d t o g e t h e r . I w a n t e d t h e m t o p u s h h a r d e r o n r e a s o n s w h y t h a t w a s t h e c a s e . I s u g g e s t e d t h a t t h e y m i g h t e v e n w a n t t o t h i n k t h i s t h r o u g h w i t h t h e i r p a r e n t s a g a i n . D a v i d , w h o I t h o u g h t l e a r n e d a r e a s o n f r o m h i s f a t h e r f o r t h i n k i n g 5 / 4 , m a d e a s t r i k i n g r e m a r k . H e s a i d , " I t h i n k I k n o w w h a t t h e a n s w e r i s b u t I j u s t d o n ' t k n o w w h e t h e r o r n o t t o c h a n g e t h e d e n o m i n a t o r . I t h i n k i t i s f i v e f o u r t h s . " E v e n t h o u g h D a v i d t h o u g h t t h e a n s w e r w a s f i v e f o u r t h s , 3 1 3 a n d h i s f a t h e r h a d a r e a s o n , h e a p p a r e n t l y s t i l l d i d n o t f e e l l i k e h e u n d e r s t o o d o r c o u l d a r t i c u l a t e h i s o w n r e a s o n i n g . W e r e m y s t u d e n t s l e a r n i n g t o v a l u e t h e i r o w n r e a s o n s ? W h h l x t ? A f t e r c l a s s I w r o t e i n m y j o u r n a l , I w a s s u r p r i s e d t h a t s t u d e n t s w e r e s t i l l e n g a g e d i n t h e d i s c u s s i o n e v e n a f t e r s o m e o f t h e m w e r e t o l d b y t h e i r p a r e n t s n o t t o a d d t h e d e n o m i n a t o r s . F i g u r i n g o u t w _ h y w a s t r u l y t h e f o c u s . ( H e a t o n j o u r n a l , 0 4 / 1 8 / 9 0 ) I n e e d e d t o g e t a b e t t e r g r i p o n t h i s m a t h p r o b l e m m y s e l f b e f o r e w e c o n t i n u e d . I f e l t a l l y e a r l i k e I n e e d e d t o l e a r n m o r e m a t h e m a t i c s . I fi n a l l y f e l t l i k e I h a d a r e a l m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n t h a t c a m e f r o m m y s t u d e n t s a n d i n t r i g u e d m e . I h a d a s p e c i fi c a r e a o f m a t h e m a t i c s I w a n t e d t o l e a r n m o r e a b o u t . I n m y j o u r n a l ( 0 4 / 1 8 / 9 0 ) , I w r o t e a b o u t m y d e c i s i o n t o s t i c k w i t h o n e t o p i c o v e r t i m e a n d w h a t I t h o u g h t t h e b e n e f i t s w e r e t o t h i s w a y o f t h i n k i n g a b o u t c u r r i c u l u m . T h i s i s t r u l y a n i n t r i g u i n g p r o b l e m t o m e . I t h i n k w e g o t a s f a r a s w e d i d b e c a u s e o f t h e i n t e n s i t y o f t h e d i s c u s s i o n o v e r t h e l a s t f e w d a y s . I t h i n k i f I h a d d r o p p e d i t a n d t r i e d t o p i c k i t u p a t a l a t e r d a t e t h e o u t c o m e m a y h a v e b e e n d i f f e r e n t . I t h i n k t h e r e i s s o m e t h i n g a b o u t w h a t h a s b e e n b u i l d i n g o v e r t h e l a s t f e w d a y s . T w o p r o b l e m s i n f o u r d a y s - - t h i s i s a fi r s t f o r m e . I t w a s c l e a r t h a t s o m e s t u d e n t s h a d d i s c u s s e d t h e p r o b l e m a t h o m e . W o u l d t h i s h a v e h a p p e n e d i f t h e y h a d n o t b e e n g i v e n h o m e w o r k d e a l i n g w i t h f r a c t i o n s ? D u r i n g t h e n e x t s i x w e e k s , I m o v e d o n t o o t h e r m a t h e m a t i c a l t o p i c s w i t h m y s t u d e n t s , p u r s u i n g a s i n g l e t o p i c o v e r a s e r i e s o f d a y s . I m a d e a p r o m i s e t o m y s e l f t o r e t u r n t o f r a c t i o n s , s p e c i fi c a l l y t h i s p r o b l e m , b e f o r e t h e s c h o o l y e a r e n d e d . I n t h e m e a n t i m e , I w a n t e d t o t h i n k a b o u t w h y w e w e r e s t u c k . I t s e e m e d t o m e t h a t I n e e d e d a l t e r n a t i v e w a y s t o t h i n k a b o u t t h e p r o b l e m , a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n s , o r I n e e d e d a w a y t o c o n s t r u c t a n a r g u m e n t f o r t h e c o r r e c t s o l u t i o n w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e s t u d e n t s h a d b e e n u s i n g . 3 1 4 ' 1 h e M u f fi n P r e b l e m : S i x W e e k s L a t e r I t w a s t h e fi r s t w e e k o f J u n e a n d t h e r e w e r e o n l y t w o m a t h c l a s s e s l e f t i n t h e s c h o o l y e a r . D u r i n g t h e l a s t f e w d a y s o f m a t h c l a s s , w e r e t u r n e d t o t h e t o p i c o f f r a c t i o n s a n d I w a s c o m m i t t e d t o fi n d i n g a w a y t o r e t u r n t o 3 / 4 + 2 / 4 . M o s t r e c e n t l y w e f o l d e d p a p e r s t r i p s t o r e p r e s e n t d i f f e r e n t f r a c t i o n s a n d c o m p a r e d t h e i r s i z e s . F o r e x a m p l e , w e f o l d e d a p a p e r s t r i p i n t o a f o u r t h s a n d a n o t h e r i n t o t h i r d s a n d t h e n a s k e d , w h i c h i s l a r g e r , o n e f o u r t h o r o n e t h i r d ? W h e n I c u t t h e p a p e r s t r i p s f o r t h i s a c t i v i t y , I d i d n o t m a k e t h e m a p a r t i c u l a r l e n g t h . I d i d m a k e s u r e , h o w e v e r , f o r t h e p u r p o s e s o f c o m p a r i n g u n i t s t h a t t h e s t r i p s w e r e a l l t h e s a m e l e n g t h . W h e n s t u d e n t s f o l d e d t h e s t r i p s , s o m e j u s t m o v e d t h e f o l d s i n t h e s t r i p a r o u n d u n t i l t h e p a r t s w e r e e v e n . O t h e r s u s e d a r u l e r fi r s t , d i v i d e d t h e l e n g t h o f t h e s t r i p i n t o e q u a l p a r t s , m a r k e d w h e r e t h e f o l d s o u g h t t o g o , a n d t h e n f o l d e d t h e s t r i p . S o m e s t u d e n t s w e r e c h a l l e n g e d w h e n I a s k e d t h e m t o d i v i d e a p a p e r s t r i p t h a t w a s a b i t l o n g e r t h a n n i n e i n c h e s i n t o t h i r d s . S o m e s t u d e n t s u s i n g r u l e r s f o l d e d b a c k t h e p o r t i o n o f t h e s t r i p t h a t w a s g r e a t e r t h a n n i n e i n c h e s s o t h a t e a c h t h i r d s w o u l d c o m e o u t a n e v e n t h r e e i n c h e s l o n g . I w r o t e i n m y j o u r n a l ( 0 5 / 3 1 / 9 0 ) a f t e r t h e c l a s s i n w h i c h t h i s o c c u r r e d . R o n t o o k a r u l e r a n d m e a s u r e d t h e s t r i p — 9 1 5 i n c h e s . H e t u r n e d b a c k t h e e x c e s s a n d d i v i d e d n i n e b y t h r e e . I t h o u g h t h e g a v e a g r e a t e x p l a n a t i o n w h y h e d i d i t . I t w a s t o o m e s s y . H e w a n t e d t o g e t t h e w o r k d o n e . H e w a n t e d i t t o t u r n o u t e v e n . . . I a s k e d p e o p l e t o r e s p o n d t o R o n . A n a s a i d , ” I d o n ’ t t h i n k h e c a n d o t h a t . Y o u c a n ’ t c h a n g e t h e w h o l e . ” T h i s i s t h e 3 1 5 p o i n t . T h i s i s o n e o f t h o s e s t a t e m e n t s t h a t p e o p l e m i g h t t h i n k y o u p a i d o r p l a n t e d a c h i l d t o s a y . I t w a s w o n d e r f u l . I a s k e d s t u d e n t s h o w t h e y w o u l d h a v e d o n e i t i f t h e y c o u l d n o t c h a n g e t h e l e n g t h o f t h e s t r i p o r t h e w h o l e . I t o l d t h e m t h a t f o l d i n g b a c k p a r t o f t h e s t r i p a n d n o t u s i n g i t w a s , a s A n a s a i d , c h a n g i n g t h e s i z e o f t h e w h o l e . T o f o l l o w u p o n t h i s i d e a , I g a v e e a c h s t u d e n t a n e i g h t i n c h s t r i p o f y e l l o w p a p e r a n d a s k e d t h e m , f o r h o m e w o r k , t o t r y t o d i v i d e i t i n t o t e n t h s a n d w r i t e a b o u t h o w t h e y d i d i t . I w a n t e d t o b e g i n t h e n e x t c l a s s w i t h a d i s c u s s i o n o f w h a t t h e y h a d d o n e . I h a d b e e n w a i t i n g a n d w a t c h i n g f o r a n o p p o r t u n e t i m e t o c o n n e c t b a c k t o t h e p r o b l e m o f 3 / 4 + 2 / 4 . T a l k a r o u n d w h e t h e r o r n o t y o u c o u l d c h a n g e t h e w h o l e s e e m e d l i k e i t m i g h t b e t h e o p p o r t u n i t y . R e l a t i n g 3 / 4 + 2 / 4 t o t h e i d e a o f n o t c h a n g i n g t h e w h o l e s e e m e d l i k e a r e a s o n a b l e c o n n e c t i o n t o m a k e . T h e s c h o o l y e a r w a s q u i c k l y d r a w i n g t o a c l o s e a n d I w a n t e d t o r e t u r n o n c e m o r e t o t h e p r o b l e m . I d e c i d e d t h a t i n t h e s e c o n d p a r t o f t h e n e x t c l a s s , I w o u l d g i v e s t u d e n t s p a p e r s t r i p s a n d a s k t h e m t o s h o w t h e i r s o l u t i o n s t o 3 / 4 + 2 / 4 . I t h o u g h t t h e y w o u l d m a k e t w o s t r i p s t h a t l o o k e d l i k e t h i s . T h e s t r i p c o u l d b e u s e d t o c o n s i d e r w h a t i t w o u l d m e a n t o a d d f r a c t i o n s t o g e t h e r a n d n o t c h a n g e t h e w h o l e w i t h t h e w h o l e b e i n g o n e p a p e r s t r i p o r f o u r f o u r t h s . I w r o t e t h e f o l l o w i n g i n m y n o t e s a s t h e p l a n f o r t h e n e x t m a t h c l a s s : 1 ) W h a t d i d y o u d o w i t h t h e y e l l o w s t r i p s ? W e r e y o u a b l e t o m a k e t e n t h s o u t o f a n 8 i n c h s t r i p ? I f s o , h o w ? I f n o t , w h y n o t ? 3 1 6 2 ) I s t h e r e a w a y t o u s e p a p e r s t r i p s t o s h o w 3 / 4 + 2 / 4 ? I f s o , h o w ? I f n o t , w h y n o t ? H o w m a n y f o u r t h s a r e i n o n e w h o l e ? W h e n t h e c l a s s b e g a n , s t u d e n t s t o o k o u t t h e i r y e l l o w s t r i p s o f p a p e r a n d t a l k e d a b o u t w a y s t h e y f o u n d t o d i v i d e t h e s t r i p i n t o 1 0 e q u a l p i e c e s . S o m e h a d f o l d e d t h e p a p e r , o t h e r s h a d m e a s u r e d . I o p t e d n o t t o s p e n d t o o m u c h t i m e o n t h i s p r o b l e m . I w a s e a g e r t o m o v e o n t o 3 / 4 + 2 / 4 . S t u d e n t s p u t a w a y t h e y e l l o w s t r i p s a n d t o o k o u t t w o o f t h e w h i t e p a p e r s t r i p s w e u s e d i n c l a s s t h e d a y b e f o r e . I r e i n t r o d u c e d t h e p r o b l e m o f 3 / 4 + 2 / 4 . I w a s p r e p a r e d t o h e a r m o a n s a n d g r o a n s o f f o u r t h g r a d e s t u d e n t s b e i n g a s k e d t o r e c o n s i d e r s o m e t h i n g t h e y t h o u g h t t h e y h a d f i n i s h e d a n d p u t t o r e s t l o n g a g o . T h i s w a s n o t t h e c a s e a t a l l . T h e r e w e r e n o s i g n s o f r e s i s t a n c e . I t a p p e a r e d t h a t I w a s n o t t h e o n l y o n e w h o s t i l l c a r e d a b o u t t h i s q u e s t i o n . I t o l d s t u d e n t s t o t r y t o u s e p a p e r s t r i p s t o e x p l a i n t h e i r s o l u t i o n s . S t u d e n t s i m m e d i a t e l y s t a r t e d t a l k i n g w i t h o n e a n o t h e r a b o u t t h e p r o b l e m . I s t o o d b a c k a n d w a t c h e d . I f e l t n o n e e d t o d i r e c t t h e i r t a l k t o b e a b o u t m a t h e m a t i c s o r t o p r o v i d e a n y a d d i t i o n a l s t r u c t u r e t o t h e t a s k . T h e y w e r e d o i n g f i n e t h e m s e l v e s . S t u d e n t s s e e m e d i n t r i g u e d b y t h e q u e s t i o n a n d i n v e s t e d i n fi g u r i n g o u t h o w t o u s e p a p e r s t r i p s t o r e p r e s e n t t h e i r t h i n k i n g . T h e r e w a s a l i f e w i t h i n t h e s e s m a l l g r o u p s t h a t I w i t n e s s e d o n o n l y a f e w o t h e r o c c a s i o n s . W i t h a b o u t fi f t e e n m i n u t e s r e m a i n i n g i n c l a s s , I d e c i d e d t o b e g i n a w h o l e g r o u p d i s c u s s i o n e v e n t h o u g h i t l o o k e d a s i f s t u d e n t s c o u l d c a r r y o n t a l k i n g a b o u t t h i s a m o n g t h e m s e l v e s f o r m u c h l o n g e r . W L u k e w a s o n h i s k n e e s , a l m o s t o n t o p o f h i s d e s k w i t h h i s h a n d i n t h e a i r , w h e n I a s k e d i f t h e r e w a s s o m e o n e w h o w a n t e d t o b e g i n . " I t h i n k i t i s fi v e 3 1 7 f o u r t h s , " h e s a i d . I a s k e d , " A n d d o y o u h a v e a w a y t o t a l k a b o u t i t ? " L u k e s t a r t e d w i t h , " M y d a d . . . " I a b r u p t l y i n t e r r u p t e d . W e h a d h e a r d f a t h e r s ' t h o u g h t s o n t h i s p r o b l e m t h e l a s t t i m e w e w o r k e d t o g e t h e r o n t h i s . I w a n t e d t o d i s c o u r a g e a n a p p e a l t o o u t s i d e a u t h o r i t i e s . I t m a t t e r e d t o m e t h a t t h e s t u d e n t s l e a r n t o c o n s t r u c t t h e i r o w n r e a s o n s . I r e m i n d e d L u k e o f t h e p a p e r s t r i p s . " D o y o u h a v e a w a y t o t a l k a b o u t i t w i t h p a p e r s t r i p s ? ” L u k e w a s w i l l i n g t o p u t a s i d e h i s f a t h e r ' s i d e a s a n d t a l k a b o u t h i s o w n . " I t o o k t w o s t r i p s . O n e w i t h t w o f o u r t h s c o l o r e d . I m a d e f o u r p i e c e s o u t o f o n e a n d f o u r p i e c e s o u t o f t h e o t h e r . I c o l o r e d i n t w o f o r t w o f o u r t h s . I c o l o r e d i n t h r e e t o m a k e t h r e e f o u r t h s o n t h e o t h e r s t r i p . I a d d e d t h e c o l o r e d i n o n e s , t w o p l u s t h r e e i s fi v e . A n d w h e n y o u h a v e t w o d e n o m i n a t o r s t h a t a r e t h e s a m e , a d d i n g o n e f r a c t i o n t o a n o t h e r f r a c t i o n , y o u d o n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s . " H e h a d s l i p p e d i n t o t h e r u l e . I r e a l l y w a n t e d s t u d e n t s t o t r y t o r e a s o n a b o u t t h e d e n o m i n a t o r s w i t h t h e p a p e r s t r i p s a n d w i t h o u t u s i n g t h e r u l e . I a s k e d , a g a i n , " O . K . , h o w c a n y o u m a k e s e n s e o f t h a t w i t h p a p e r s t r i p s ? W h a t d o e s t h e f o u r i n t h e d e n o m i n a t o r h a v e t o d o w i t h t h o s e p a p e r s t r i p s ? " L u k e s a i d , " T h e y s h o w y o u h o w m a n y p i e c e s y o u a r e s u p p o s e d t o d i v i d e i t i n t o . " I r e p l a c e d h i s " i t " w i t h t h e w o r d , " w h o l e " a n d r e p e a t e d w h a t h e h a d s a i d , " T h e y s h o w y o u h o w m a n y p i e c e s y o u a r e s u p p o s e d t o d i v i d e t h e w h o l e i n t o . " I w a s t r y i n g t o e m p h a s i z e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e f o u r t h s t h a t t h e s t r i p w a s d i v i d e d i n t o a n d t h e f o u r t h s a s a u n i t o r t h e w h o l e . I a s k e d , " O . K . , d o e s s o m e o n e w a n t t o c o m m e n t o r a d d t o L u k e ' s i d e a ? " I w a s c u r i o u s w h a t A r i f , w h o h a d e a r l i e r b e e n t h e l e a d i n g p r o p o n e n t f o r 5 / 8 , w a s 3 1 8 t h i n k i n g . H e s a i d , " W e l l , I a m n o t s u r e b u t I t h i n k I a g r e e w i t h L u k e , o n e a n d o n e f o u r t h . B u t , I t h i n k fi v e f o u r t h s a n d o n e a n d o n e f o u r t h a r e t h e s a m e . I a m n o t s u r e a b o u t fi v e e i g h t h s . ” A f e w s t u d e n t s s h o t t h e i r h a n d s i n t o t h e a i r a n d s t a r t e d g a s p i n g i n w a y s t h a t i n t e r r u p t e d A r i f . I a s k e d s t u d e n t s t o p u t t h e i r h a n d s d o w n a n d l e t h i m fi n i s h w h a t h e w a s s a y i n g . A r i f c o n t i n u e d , " W e l l , I l i k e , I h a d f o u r f o u r t h s a n d t h a t w a s o n e w h o l e a n d t h e n l i k e I a d d e d a n o t h e r s t r i p j u s t l i k e L u k e d i d . I g o t l i k e o n e a n d o n e f o u r t h b u t t h e r e w e r e e i g h t p a r t s i n a l l o f t h e s t r i p s t h a t w e u s e d , t h e r e w e r e e i g h t p a r t s . " I t r i e d t o s a y b a c k t o A r i f w h a t i t w a s t h a t I t h o u g h t h e s a i d h e u n d e r s t o o d , " S o y o u t h i n k fi v e f o u r t h s i s t h e s a m e a s o n e a n d o n e f o u r t h b u t t h e n y o u a r e w o n d e r i n g a b o u t t h i s fi v e e i g h t h s . " A r i f a d d e d , " T h e y m i g h t a l l b e t h e s a m e . " A r i f h a d r e a s o n s f o r t h i n k i n g 5 / 4 a n d 1 i a n d y e t h e d i d n o t s e e m c o n v i n c e d t o a b a n d o n t h e p o s s i b i l i t y o f 5 / 8 . I h a d w a t c h e d M a g g i e t e a c h fi f t h g r a d e r s a l l y e a r a n d b e e n p a y i n g a t t e n t i o n t o h o w i t w a s s h e r e s p o n d e d t o s t u d e n t s ’ i d e a s . O n e o f t h e t h i n g s t h a t I n o t i c e d s h e d i d w a s r e p e a t o r p a r a p h r a s e w h a t s h e h e a r d s t u d e n t s s a y a n d i n d o i n g s o a d d e d o r r e p l a c e d w o r d s i n s u b t l e w a y s t o a l t e r t h e i r m e a n i n g . H e r c h a n g e s w e r e s u b t l e b u t s u b s t a n t i v e . T h e y p u s h e d t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s b y b u i l d i n g o n t h e i d e a s o f s t u d e n t s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s s h e i n t e n d e d t o t e a c h . I t s e e m e d l i k e a w a y t o w o r k w i t h t h e s t u d e n t s ’ i d e a s t h a t w a s r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s a s w e l l a s t h e m a t h e m a t i c s s h e w a n t e d t o t e a c h . I c a l l e d o n A n a , " W h a t d o y o u t h i n k ? " S h e s a i d , " I t h i n k i t i s fi v e f o u r t h s o r o n e a n d o n e f o u r t h . " R a t h e r t h a n h a v e h e r e x p l a i n w h y s h e t h o u g h t t h e s e w e r e t h e s o l u t i o n s , I h o p e d s h e m i g h t b e a b l e t o h e l p A r i f a n d s o I a s k e d , " A n d w h y n o t fi v e e i g h t h s ? " S h e r e s p o n d e d , " B e c a u s e y o u a r e a d d i n g t w o f o u r t h s a n d t h r e e f o u r t h s . A n d w h e n y o u d o , t h i s w o u l d b e o n e w h o l e a n d t h i s w o u l d a l i t t l e b i t b i g g e r . " I t r i e d t o s a y w h a t I t h o u g h t s h e m e a n t t o s a y , " I t s o u n d s l i k e w h e n y o u a r e a d d i n g t w o f o u r t h s p l u s t h r e e f o u r t h s y o u a r e g e t t i n g s o m e t h i n g b i g g e r 3 1 9 t h a n t h e w h o l e . A r e y o u g e t t i n g s o m e t h i n g l o n g e r t h a n o n e p a p e r s t r i p ? " A n a n o d d e d i n a g r e e m e n t . I f w e c o u l d t a l k a b o u t t h e s o l u t i o n a s b e i n g s o m e t h i n g m o r e t h a n o n e p a p e r s t r i p , I t h o u g h t i t m i g h t h e l p s t u d e n t s t o s e e t h a t t h e a n s w e r w a s g r e a t e r t h a n o n e w h o l e . I t a l s o s e e m e d l i k e o n e w a y t o a d d r e s s B o b ' s i s s u e o f l o n g a g o t h a t t h e a n s w e r c o u l d o n l y b e i n t e r m s o f o n e w h o l e , a n i n c h o r a c u p o f f l o u r . I w o n d e r e d w h a t h e t h o u g h t n o w . I c a l l e d o n h i m . H e s a i d , " I t h i n k i t i s fi v e f o u r t h s . F o u r f o u r t h s e q u a l s a w h o l e . S i n c e i t i s f o u r f o u r t h s a n d t h a t i s y o u r w h o l e a n d t h e n y o u h a v e o n e m o r e f o u r t h . F i v e f o u r t h s i s o n e f o u r t h m o r e t h a n y o u r w h o l e . " T w o p a p e r s t r i p s , e a c h d i v i d e d i n t o f o u r t h s , g a v e a w a y t o v i s u a l i z e t h e a n s w e r a s m o r e t h a n o n e w h o l e , a s s o m e n u m b e r o f f o u r t h s m o r e t h a n f o u r f o u r t h s o r t h e l e n g t h o f o n e p a p e r s t r i p , o n e w h o l e . N a r u j c a u g h t m y e y e . H e s a i d , " I d o n ' t t h i n k fi v e e i g h t h s s h o u l d b e u p t h e r e b e c a u s e w h e n I l o o k o n m y p a p e r , o n e w h o l e i s m u c h b i g g e r t h a n fi v e e i g h t h s a n d I d o n ' t t h i n k t h a t fi v e e i g h t h s s h o u l d b e t h e r e . " I s a w t h a t h e h a d t w o p a p e r s t r i p s i n h i s h a n d s a n d s a i d , " Y o u m a d e u p t w o s t r i p s h e r e , c a n I h o l d t h e s e u p . ” I h e l d u p h i s p a p e r s t r i p s . I c o n t i n u e d t o t a l k , " Y o u h a v e o n e d i v i d e d i n t o f o u r t h s a n d o n e d i v i d e d i n t o e i g h t h s . I a m g o i n g t o f o l d i t b a c k t o w h e r e h e h a s u p t o h e r e i s fi v e e i g h t h s a n d h e r e i s t h e w h o l e . W h a t d o y o u t h i n k a b o u t t h a t ? N a r u j , w o u l d y o u t e l l t h e m a g a i n w h y y o u d o n ' t t h i n k i t c o u l d b e fi v e e i g h t h s ? " N a r u j r e s p o n d e d , " B e c a u s e 3 2 0 f i v e e i g h t h s i s s m a l l e r t h a n t h r e e f o u r t h s o r a w h o l e . B e c a u s e i t s a y s t h r e e f o u r t h s p l u s t w o f o u r t h s s o I d o n ' t t h i n k i t c a n b e o n e o f t h e n u m b e r s . " I r e p e a t e d w h a t I t h o u g h t N a r u j w a s s a y i n g , " S o , y o u a r e s a y i n g o n e o f t h e n u m b e r s i s t h r e e f o u r t h s a n d y o u a r e a d d i n g s o m e t h i n g t o i t s o i t i s g o i n g t o b e b i g g e r t h a n t h r e e f o u r t h s b u t h e r e w h e n y o u l o o k a t t h e s e t w o s t r i p s , t h r e e f o u r t h s , a l l b y i t s e l f , w i t h o u t a d d i n g a n y t h i n g t o i t , i s b i g g e r t h a n fi v e e i g h t h s . W h a t d o o t h e r p e o p l e t h i n k ? " T h e b e l l r a n g . I w i s h e d w e h a d m o r e t i m e . I t s e e m e d a s i f w e w e r e fi n a l l y g e t t i n g s o m e w h e r e . S t u d e n t s w e r e b e g i n n i n g t o c o m p a r e t h e s i z e o f f r a c t i o n s . T h e y a l s o s e e m e d t o b e t r y i n g t o w r a p t h e i r m i n d s a r o u n d t h e i d e a l t h a t t h e u n i t w a s f o u r t h s n o t e i g h t h s a n d t h a t t h e s o l u t i o n w a s m o r e t h a n o n e w h o l e . ! I h g e e Y e a r s L a t e r : R e v i s i t i n g t h e m e s t i e n e f W h a t t e D e N e x t D u r i n g t h e p a s t t h r e e y e a r s , w h e n s o m e o n e a s k e d m e a q u e s t i o n a b o u t w h a t m y m a t h t e a c h i n g e x p e r i e n c e s i n f o u r t h g r a d e h a d b e e n l i k e , I o f t e n r e l a y e d t h i s s e r i e s o f l e s s o n s a n d m y s t r u g g l e s w i t h t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t a s a n e x a m p l e o f w h a t I w a s l e a r n i n g a b o u t t h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e m a t h p r o b l e m , 2 / 4 + 3 / 4 , i s a p o w e r f u l e x a m p l e f o r m e b e c a u s e I c a n u s e m y u n d e r s t a n d i n g o f i t o v e r t i m e t o t r a c e a n d e x p l a i n h o w m y c o n c e p t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g h a v e c h a n g e d . I n t h i s p a r t o f t h e c h a p t e r , I e x a m i n e t h i s m a t h p r o b l e m a n d w h a t i t r e p r e s e n t s i n t e r m s o f w h a t I a m l e a r n i n g a b o u t a c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m y c h a n g i n g c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s a n d m y u n d e r s t a n d i n g o f t e a c h i n g . I c a n t r a c e m y a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t f r o m p r i o r t o t h i s y e a r o f t e a c h i n g , d u r i n g t h e t e a c h i n g o f t h e s e r i e s o f l e s s o n s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r , a n d f r o m m y p e r s p e c t i v e n o w , t h r e e y e a r s l a t e r . 3 2 1 W I n m y p a s t e x p e r i e n c e s , t e a c h i n g s t u d e n t s h o w t o fi n d t h e s o l u t i o n t o a p r o b l e m l i k e 2 / 4 + 3 / 4 w o u l d n o t h a v e b e e n d i f fi c u l t . T h e y p r o b a b l y w o u l d h a v e m a s t e r e d w o r k i n g s i m i l a r p r o b l e m s w i t h i n a c o u p l e o f d a y s . I w o u l d h a v e t o l d m y s t u d e n t s t h e r u l e f o r a d d i n g t w o f r a c t i o n s w i t h l i k e d e n o m i n a t o r s - - a d d t h e n u m e r a t o r s , k e e p t h e d e n o m i n a t o r s t h e s a m e - a n d t h e y w o u l d h a v e a p p l i e d i t t o n u m e r o u s c a l c u l a t i o n s . M y h o p e w o u l d h a v e b e e n t h a t w h e n n e e d e d , t h e y c o u l d r e c a l l t h e r u l e t h e y h a d l e a r n e d t h r o u g h p r a c t i c e . M y c h a l l e n g e a s t h e t e a c h e r w a s t o fi n d w a y s t o h e l p m y s t u d e n t s m e m o r i z e n o t o n l y t h i s r u l e b u t t h e o t h e r r u l e s t h a t g o v e r n e d o p e r a t i o n s o n f r a c t i o n s a n d w h o l e n u m b e r s a n d d e v e l o p s t r a t e g i e s f o r s t o r i n g a n d r e c a l l i n g t h e r u l e s a s n e e d e d . I w a s a l w a y s o n t h e l o o k o u t f o r t h e b e s t m a n i p u l a t i v e , o r t r i c k t o h e l p m y s t u d e n t s l e a r n . T h e p o i n t w a s t o g e t t h e r i g h t a n s w e r . S t u d e n t s d i d n o t h a v e t o u n d e r s t a n d w h y r u l e s m a d e s e n s e o n l y t h a t t h e y w o r k e d . W h a t m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g w a s a p r o c e d u r a l k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s , c o n s i s t e n t w i t h m y c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s a t t h e t i m e . H i e b e r t a n d L e f e v r e ( 1 9 8 6 ) d e fi n e p r o c e d u r a l k n o w l e d g e a s h a v i n g t w o p a r t s , ” k n o w l e d g e o f s y m b o l s a n d s y n t a x a n d k n o w l e d g e o f r u l e s , a l g o r i t h m s , o r p r o c e d u r e s u s e d t o s o l v e m a t h e m a t i c a l t a s k s ” ( p . 6 ) . T h e p r o c e d u r e s a r e h i e r a r c h i c a l l y o r g a n i z e d a n d s t o r e d i n t e x t b o o k s a s a fi x e d b o d y o f k n o w l e d g e . J a c k s o n ( 1 9 8 6 ) d e s c r i b e s i t a s k n o w l e d g e t h a t ” c a n b e ” p a s s e d ” f r o m o n e p e r s o n t o a n o t h e r o r f r o m o n e t e x t t o a p e r s o n ; t h u s w e c a n s e e i t a s ” d e t a c h a b l e ” f r o m p e r s o n s . . . p r e s e r v e d i n b o o k s . . . i t c a n b e f o r g o t t e n b y t h o s e w h o o n c e k n e w i t ” ( p . 1 1 8 ) . Y o u e i t h e r k n o w s o m e t h i n g o r y o u d o n ’ t . H e d e s c r i b e s t h e t e a c h i n g t h a t a c c o m p a n i e s t h i s v i e w o f k n o w l e d g e a s t e a c h i n g i n t h e m i m e t i c t r a d i t i o n . M i r n e t i c t e a c h i n g ” g i v e s a c e n t r a l p l a c e t o t h e t r a n s m i s s i o n o f f a c t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e f r o m o n e p e r s o n t o a n o t h e r , t h r o u g h a n e s s e n t i a l l y 3 2 2 i m i t a t i v e p r o c e s s ” ( p . 1 1 7 ) . I t i s k n o w l e d g e t h a t i s e a s i l y a s s e s s e d a n d o f f e r s a c e r t a i n t y t o q u e s t i o n s o f p u r p o s e a n d p r o g r e s s i n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . I t c a n b e j u d g e d r i g h t o r w r o n g , a c c u r a t e o r i n a c c u r a t e , c o r r e c t o r i n c o r r e c t o n t h e b a s i s o f a c o m p a r i s o n w i t h t h e t e a c h e r ’ s o w n k n o w l e d g e o r w i t h s o m e o t h e r m o d e l a s f o u n d i n a t e x t b o o k o r o t h e r i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l . N o t o n l y d o j u d g m e n t s o f t h i s s o r t y i e l d a m e a s u r e o f t h e s u c c e s s o f t e a c h i n g w i t h i n t h i s t r a d i t i o n , t h e y a l s o a r e t h e c h i e f c r i t e r i o n b y w h i c h l e a r n i n g i s m e a s u r e d . ( J a c k s o n , 1 9 8 6 , p . 1 1 8 ) T h i s m a t c h e s m y v i e w s o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g a n d l e a r n i n g p r i o r t o m y l e a r n i n g a b o u t t h e r e f o r m s i n m a t h e d u c a t i o n . I t a l k e d a b o u t m y v i e w s w i t h J i m i n m y i n i t i a l i n t e r v i e w w i t h h i m b e f o r e t h i s s c h o o l y e a r b e g a n . A t t h e t i m e o f t h i s i n t e r v i e w , I h a d b e e n i n g r a d u a t e s c h o o l f o r a f u l l y e a r , a y e a r i n w h i c h , a s I e x p l a i n e d i n C h a p t e r 1 , I w a s i n t r o d u c e d t o t h e r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . J i m : R u t h : J i m : R u t h : H a s y o u r t h i n k i n g o n w h a t i t m e a n s t o k n o w s o m e t h i n g m a t h e m a t i c a l l y c h a n g e d s i n c e y o u w e r e l a s t i n t h e c l a s s r o o m ? ( a y e a r e a r l i e r ) Y e s . C a n y o u d e s c r i b e t h a t c h a n g e ? I n t h e p a s t , t o k n o w d i v i s i o n w o u l d b e f o r a c h i l d t o b e a b l e t o d o t h e c o m p u t a t i o n , g e t t h e r i g h t a n s w e r a n d n o t h a v e t o e x p l a i n h o w t h e y d i d i t . I m e a n w h a t ’ s r e a l l y h a p p e n i n g w i t h t h o s e n u m b e r s a n d n o t j u s t t h e s t e p s t h a t t h e y h a v e d o t o g e t t h e a n s w e r . A n o t h e r t h i n g t h a t h a s c h a n g e d i s p r o b a b l y t h e a m o u n t o f r e a s o n i n g t h a t I w o u l d a s k k i d s t o d o t o e x p l a i n h o w t h e y c o m e u p w i t h a n a n s w e r . I n t h e p a s t , I w o u l d h a v e b e e n l o o k i n g f o r t h e r i g h t a n s w e r a n d p r o b a b l y w o u l d n ’ t h a v e a s k e d t h e m v e r y o f t e n h o w t h e y g o t t h e a n s w e r . ( R e i n e k e i n t e r v i e w , 0 8 / 8 9 ) T h e s e a r e t h e v i e w s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , t e a c h i n g , a n d l e a r n i n g t h a t d o m i n a t e d m y p a s t e x p e r i e n c e s a s a l e a r n e r a n d t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s a n d a c c o m p a n i e d m e i n t o t h i s f o u r t h g r a d e m a t h c l a s s a t t h a t s t a r t o f t h e s c h o o l y e a r . 3 2 3 W I n t h e s e r i e s o f l e s s o n s d e s c r i b e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , I w a s n o t c o n t e n t t o t e a c h s t u d e n t s t o s o l v e t h e p r o b l e m o f 2 / 4 + 3 / 4 t h e w a y I w o u l d h a v e d o n e i n t h e p a s t . I w a n t e d t o t e a c h m y s t u d e n t s s o m e t h i n g m o r e t h a n t h e r u l e s a n d p r o c e d u r e s f o r o p e r a t i n g w i t h f r a c t i o n s b u t I w a s u n s u r e j u s t w h a t w a s i m p o r t a n t f o r m y s t u d e n t s t o l e a r n . W h a t w a s t h e r e b e s i d e s r u l e s f o r s t u d e n t s t o k n o w ? O n w h a t c o n c e p t u a l m a t h e m a t i c a l i d e a s w a s t h i s r u l e b a s e d ? W h y a n d h o w d i d t h e r u l e w o r k ? T h e r e h a d t o b e s o m e u n d e r l y i n g m e a n i n g f o r t h e s e r u l e s a n d t h a t w a s w h a t I w a s t r y i n g t o fi g u r e o u t . H i e b e r t a n d L e f e v r e ( 1 9 8 6 ) s u p p o r t t h e l o g i c o f w h a t I w a s a i m i n g t o d o , ” I f p r o c e d u r e s a r e r e l a t e d t o t h e u n d e r l y i n g r a t i o n a l e o n w h i c h t h e y a r e b a s e d , t h e p r o c e d u r e s b e g i n t o l o o k r e a s o n a b l e . I t i s p o s s i b l e t o u n d e r s t a n d h o w a n d w h y t h e p r o c e d u r e s w o r k ” ( p . 1 0 ) . A t t h e t i m e , I d i d n o t u n d e r s t a n d w h y t h e s e r u l e s w o r k e d . I n t h i s s e r i e s o f l e s s o n s , I w a s s t r u g g l i n g b e t w e e n t w o d i f f e r e n t c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e - l o o s e n i n g m y h o l d o n r u l e s a n d p r o c e d u r e s w h i l e s e a r c h i n g f o r s o m e d e e p e r m e a n i n g . T h i s s t a t e o f b e i n g u n c e r t a i n , k n o w i n g t h a t I d i d n o t k n o w s o m e t h i n g , w a s u n s e t t l i n g . I k n e w a w a y t o p u t a n e n d t o m u c k i n g a b o u t w i t h t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s a n d m o v e o n . I c o u l d t e a c h m y s t u d e n t s t h e r u l e , h a v e t h e m p r a c t i c e i t u n t i l t h e y w e r e p r o f i c i e n t a t g e t t i n g r i g h t a n s w e r s , a n d g o o n t o t h e n e x t t o p i c . T h i s w a s w h a t I w o u l d h a v e d o n e p r i o r t o t h i s y e a r . I n t h e m i d s t o f t h e m e s s I f e l t l i k e I w a s i n , t h e c e r t a i n t y o f t h a t v i e w o f m a t h e m a t i c s a n d t e a c h i n g p r a c t i c e a p p e a l e d t o m e . I f I t h o u g h t a b o u t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a s s o m e t h i n g c o n s t r u c t e d , h o w e v e r , I c o u l d n o t s o e a s i l y d e a l w i t h t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t . L e a r n i n g a r u l e f o r h o w t o { a d d f r a c t i o n s w a s n o t m y u l t i m a t e g o a l . T h e r e h a d t o b e m o r e t o t h i s . B u t w h a t ? H o w c o u l d I t e a c h s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d w h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n ? W h a t , e x a c t l y , w a s i t t h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n ? I f r e a s o n i n g w a s w h a t I w a s a f t e r , t h e 3 2 4 s t u d e n t s w h o w e r e t h i n k i n g 5 / 8 h a d t h o u g h t f u l e x p l a n a t i o n s f o r w h y t h e y t h o u g h t s o . W a s I t o v a l u e t h e i r r e a s o n s e v e n i f t h e y s u p p o r t e d a w r o n g s o l u t i o n ? I d i d n o t k n o w h o w t o p u s h s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g t o h e l p t h e m s e e t h a t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 a n d n o t 5 / 8 . I c o u l d n o t q u i t e p u t m y fi n g e r o n w h a t m a d e t h e d i f f e r e n c e , e s p e c i a l l y w h e n I l o o k e d a t t h e r e a s o n a b l e n e s s o f e i t h e r s o l u t i o n a s r e p r e s e n t e d b y t h e s e a r e a m o d e l s . F i g u r e 7 . 1 5 / 4 o r 5 / 8 ? M y s t r u g g l e s w i t h m y c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s t h r o u g h o u t t h a t s e t o f l e s s o n s a r e r e l a t e d t o m y q u e s t i o n s o f w h a t t o d o n e x t . I w a n t e d w h a t m y s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g a b o u t m a t h e m a t i c s t o b e d i f f e r e n t b u t I d i d n o t q u i t e k n o w w h a t i t i s t h a t t h e y s h o u l d b e l e a r n i n g . I f I d i d n o t k n o w w h a t i t w a s t h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n , h o w w o u l d I k n o w w h a t I w a n t e d t o t e a c h t h e m ? H o w d o I d e c i d e w h a t t o d o n e x t ? I h a d a l r e a d y fi g u r e d o u t t h a t t h e a n s w e r w a s n o t t o b e f o u n d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . T h r o u g h o u t t h i s s e r i e s o f l e s s o n s , I d i d m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t b a s e d o n m y b e s t g u e s s a t t h e t i m e a s t o w h a t w a s g o i n g o n w i t h m y s t u d e n t s a n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c s a s I s t r u g g l e d t o fi g u r e o u t w h a t i t w a s t h a t I w a n t e d t h e m t o l e a r n . W h a t a r e t h e v a r i o u s w a y s I r e s p o n d e d t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t a n d w h a t w a s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m y r e s p o n s e a n d w h a t I u n d e r s t o o d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h r o u g h o u t t h e s e r i e s o f l e s s o n s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r ? I n t h e s e c t i o n t h a t 3 2 5 f o l l o w s , I e x a m i n e t h i s r e l a t i o n s h i p i n t h e c o n t e x t o f s e v e r a l o f m y d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t i n t h i s s e r i e s o f l e s s o n s a n d w h a t I l e a r n e d f r o m l o o k i n g b a c k o n t h o s e d e c i s i o n s f r o m m y p e r s p e c t i v e n o w , t h r e e y e a r s l a t e r . M W B e t w e e n t h e d a y I g a v e t h e r a i n p r o b l e m a n d p l a n n e d t o g i v e t h e m u f fi n p r o b l e m , I t h o u g h t t h a t l i n e a r m e a s u r e m e n t a n d t h e u s e o f r u l e r s p r o m p t e d b y t h e c o n t e x t o f m e a s u r i n g i n c h e s o f r a i n w e r e t h e m a i n d i f fi c u l t i e s . I w a n t e d t o g e t a s f a r a w a y f r o m l i n e a r m e a s u r e m e n t a s p o s s i b l e . T h a t i s w h e n I d e c i d e d t o m o v e t o t h e m u f f i n p r o b l e m a n d c u p s o f f l o u r . A f t e r s w i t c h i n g c o n t e x t s f r o m i n c h e s o f r a i n t o c u p s o f fl o u r a n d s e e i n g w h a t s t u d e n t s d i d w i t h t h e m u f fi n p r o b l e m , I r e a l i z e d t h a t t h e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s w e r e g r a p p l i n g w i t h w a s n o t s o m e t h i n g t h a t w o u l d b e r e s o l v e d b y a t t e n d i n g t o fl o u r r a t h e r t h a n r a i n . T h e d i f fi c u l t y w a s w i t h s h i f t i n g u n i t s a n d i t d i d n o t m a t t e r w h e t h e r t h e c o n t e x t w a s r a i n o r fl o u r o r t h e u n i t w a s a n i n c h o f r a i n o r a c u p o f fl o u n T h e i r o n y t o t h i s s e q u e n c e o f e v e n t s a n d m y d e c i s i o n o f w h a t t o d o n e x t t h a t l e d m e t o m o v e a w a y f r o m l i n e a r m e a s u r e m e n t w a s t h a t i t w a s p r o b a b l y c o u n t e r t o w h a t p e o p l e m i g h t h a v e d o n e w h o h a v e a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i f fi c u l t y m y s t u d e n t s w e r e f a c i n g . W h a t I h a v e s i n c e l e a r n e d i s t h a t a c o n t e x t t h a t p u s h e d m y s t u d e n t s t o c o n s i d e r t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f l i n e a r m e a s u r e m e n t m i g h t h a v e b e e n q u i t e u s e f u l . ” A n u m b e r l i n e c a n b e u s e d t o m o d e l r a t i o n a l n u m b e r s g r e a t e r t h a n o n e ( m i x e d n u m b e r s ) p r o v i d e d t h e c h i l d a l r e a d y u n d e r s t a n d s c e r t a i n b a s i c c o n c e p t s a b o u t f r a c t i o n s b e f o r e s t a r t i n g t h e n u m b e r l i n e ” ( B e h r & P o s t , 1 9 8 8 , p . 2 2 1 ) . E a c h f r a c t i o n o n t h e n u m b e r l i n e r e p r e s e n t s a d i s t a n c e . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f a d d i t i o n i s fi n d i n g t h e s u m o f t w o d i s t a n c e s ( B e h r & : P o s t , 1 9 8 8 ) . Y o u c a n l o c a t e t h e d i s t a n c e 3 / 4 o n t h e n u m b e r l i n e a n d a d d a d i s t a n c e o f 2 / 4 t o i t . m l e J ) - u c r - - o o u l l b s 3 2 6 F i g u r e 7 . 2 3 / 4 + 2 / 4 r e p r e s e n t e d o n a n u m b e r l i n e T h e s o l u t i o n i s 5 / 4 w h i c h c a n a l s o b e t h o u g h t o f a s t h e i t e r a t i o n o f t h e u n i t f r a c t i o n , 1 / 4 , f i v e t i m e s o r 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 . H e l p i n g e a e h e t h e r s e e . O n c e I fi g u r e d o u t t h a t t h e m y s t u d e n t s ’ d i f fi c u l t y w i t h a d d i n g f r a c t i o n s w a s s o m e t h i n g b i g g e r t h a n r a i n o r fl o u r , I g a v e u p o n t h e i d e a o f s w i t c h i n g c o n t e x t s a s t h e s o l u t i o n . I s t u c k w i t h t h e s a m e m u f f i n p r o b l e m o v e r s e v e r a l d a y s b u t w a s a t a l o s s f o r h o w t o p u s h m y s t u d e n t s t h i n k i n g o n i t . I h o p e d s t u d e n t s w o u l d p u s h o n e a n o t h e r . ” I n t e r a c t i n g w i t h c l a s s m a t e s h e l p s c h i l d r e n c o n s t r u c t k n o w l e d g e , l e a r n o t h e r w a y s t o t h i n k a b o u t i d e a s , a n d c l a r i f y t h e i r o w n t h i n k i n g ” ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 , p . 2 6 ) . W h a t I w a s n ’ t p r e p a r e d f o r w a s t h a t m y s t u d e n t s h a d c o n v i n c i n g a r g u m e n t s f o r b o t h 5 / 8 a n d 5 / 4 . W h e n I h o p e d t h a t s t u d e n t s w o u l d h e l p o n e a n o t h e r s e e , I d i d n o t c o n s i d e r t h a t t h e y m i g h t p e r s u a d e o n e a n o t h e r t o s e e 5 / 8 a s t h e s o l u t i o n . I w a s a t a l o s s f o r w h a t t o d o w i t h t h e i r i d e a s a n d I d i d n o t k n o w w h a t k i n d o f p r o b l e m t o g i v e t h e m i f I m o v e d a w a y f r o m t h e m u f f i n p r o b l e m . I t h o u g h t I s h o u l d h a v e s o m e s e n s e o f w h a t I w a n t e d s t u d e n t s t o l e a r n b e f o r e I p i c k e d a n o t h e r p r o b l e m . I d i d n o t k n o w w h a t m a t h e m a t i c s I w a n t e d t o t e a c h e v e n t h o u g h I h a d a s e n s e t h e r e w a s s o m e t h i n g m o r e t o b e l e a r n e d b e s i d e s t h e 3 2 7 r u l e . W h y w a s t h i s s u c h a h a r d t h i n g t o a r t i c u l a t e ? W h a t A n a t r i e d t o c o m m u n i c a t e w a s t h a t y o u n e e d t o h o l d t h e u n i t c o n s t a n t w h e n y o u a d d t o g e t h e r t w o f r a c t i o n s a n d t h a t p e o p l e w h o t h i n k t h a t t h e a n s w e r i s 5 / 8 a r e c h a n g i n g t h e u n i t . I w a s n o t a s c l e a r t h e n a s I a m n o w h o w t h e a r e a r e p r e s e n t a t i o n s r e i n f o r c e d t h i s i d e a a n d m a d e i t d i f fi c u l t t o e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e s i n h o w p e o p l e w e r e t h i n k i n g o f t h e u n i t . I f e l t l i k e t h e p r o b l e m o f t r y i n g t o e x p l a i n t h e i s s u e o f t h e u n i t w i t h m y s t u d e n t s ’ r e p r e s e n t a t i o n s p u s h e d a t t h e l i m i t s o f u n d e r s t a n d i n g f o r a n y o n e w h o t h o u g h t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 , i n c l u d i n g m y s e l f . W h a t d o y o u d o w h e n y o u r e a c h t h e l i m i t s o f w h a t y o u u n d e r s t a n d ? I n t h e s i t u a t i o n , I h o p e d m y s t u d e n t s c o u l d h e l p e a c h o t h e r b e c a u s e I d i d n o t h a v e a n a r t i c u l a t e d s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n i n t o w h i c h w e h a d v e n t u r e d . H e m e w e r k . M y l a c k o f u n d e r s t a n d i n g a b o u t t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n a n d h o w t a s k s c o u l d m o v e s t u d e n t s i n t o o r o u t o f c e r t a i n p a r t s o f t h e t e r r a i n i s s o m e t h i n g I l e a r n e d t h r o u g h t h e h o m e w o r k a s s i g n m e n t I g a v e . T h e h o m e w o r k , a s a r e s p o n s e t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t , d i d n o t r e a l l y w o r k a s I h a d p l a n n e d . S t u d e n t s g o t p l e n t y o f p r a c t i c e w i t h r i g h t a n s w e r s b y a d d i n g f r a c t i o n s t h a t t o t a l e d l e s s t h a n o n e b u t t h e p r o b l e m s I g a v e t h e m d i d n o t p u s h t h e m i n t o t h e s a m e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y a s t h e f r a c t i o n s t o t a l i n g m o r e t h a n o n e . I d i d n o t r e a l i z e t h i s u n t i l I h a d a s t a c k o f p a p e r s w i t h a l l r i g h t a n s w e r s i n m y h a n d s . A s I l o o k b a c k o n t h i s n o w , I a m n o t c e r t a i n j u s t w h a t d i f f e r e n c e I w a s h o p i n g t h e h o m e w o r k w o u l d m a k e . P e r h a p s a p a r t o f m e h o p e d t h a t j u s t d o i n g t h e c o m p u t a t i o n , r e p e a t e d l y , w o u l d s o m e h o w l e a d t o u n d e r s t a n d i n g a n d d r a w i n g p i c t u r e s w o u l d b e s o m e a d d i t i o n a l g u a r a n t e e t h a t s o m e t h i n g w a s l e a r n e d . A s i t w a s , s t u d e n t s d i d n o t c o n f r o n t t h e s a m e d i f fi c u l t i e s t h e y h a d w i t h p r o b l e m s w h e r e t h e f r a c t i o n s , a d d e d t o g e t h e r , w e r e g r e a t e r t h a n o n e . I n t h e h o m e w o r k , s t u d e n t s n e v e r h a d t o d e a l w i t h w h a t t o d o w h e n a l l o f t h e r e g i o n s o f o n e w h o l e h a d b e e n s h a d e d i n . T h e p a r t / w h o l e i n t e r p r e t a t i o n a n d t h e c i r c u l a r 3 2 8 a n d r e c t a n g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s t h e y k n e w s o w e l l w o r k e d w i t h o u t a h i t c h f o r a l l o f t h e s e p r o b l e m s a n d r e p e a t e d l y t h e y c a m e u p w i t h t h e c o r r e c t s o l u t i o n s . T h e d e c o n t e x t u a l i z e d c o m p u t a t i o n p r o b l e m s I g a v e t h e m d i d n o t e n c o u r a g e t h e u s e o f a n y n e w s o r t s o f r e p r e s e n t a t i o n s . M a y b e m y c h o i c e o f h o m e w o r k w a s n o t s u c h a g o o d i d e a . T h e s t u d e n t s h a d u s e d t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t w e r e c r e a t i n g t h e d i f f i c u l t y w i t h m a k i n g d i s t i n c t i o n s b e t w e e n 5 / 8 a n d 5 / 4 a n d t h e y w e r e n o t b e i n g c o n f r o n t e d w i t h t h e s a m e i s s u e s t h a t t h e y f a c e d w h e n t h e y t r i e d t o a d d t w o f r a c t i o n s t h a t t o t a l e d m o r e t h a n o n e . A n e w m p r e s e n t a t i e n . T h e a r e a m o d e l s o f t h e c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s w e r e p r o b l e m a t i c i n t h a t t h e r e w a s n o t h i n g a b o u t t h e r e p r e s e n t a t i o n t h a t e x p l i c i t l y h e l d t h e u n i t c o n s t a n t . T h e m o d e l s r e p r e s e n t e d a p a r t - w h o l e i n t e r p r e t a t i o n o f f r a c t i o n s a n d t h e r e w a s n o t h i n g t o c l e a r l y i d e n t i f y t h e w h o l e . A s I e x p l a i n e d e a r l i e r , t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s c a n b e r e a d a s 5 / 4 o r 5 / 8 d e p e n d i n g o n w h e t h e r y o u s e e t h e w h o l e a s d i v i d e d i n t o f o u r t h s a n d t h e r e a r e t w o w h o l e s o r i f y o u s e e t h e w h o l e a s d i v i d e d i n t o e i g h t h s a n d t h e r e i s j u s t o n e w h o l e ( t w o s q u a r e s ) h e r e w i t h fi v e s h a d e d i n . F i g u r e 7 . 3 5 / 4 o r 5 / 8 ? 3 2 9 U n d e r s t a n d i n g t h e d i f f e r e n c e s i n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n a s 5 / 8 o r 5 / 4 h i n g e s o n u n d e r s t a n d i n g w h a t t h e u n i t i s a s w e l l a s u n d e r s t a n d i n g t h e i n t e r p r e t a t i o n o f f r a c t i o n s s u p p o r t e d b y t h e s e s h a d e d i n c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s . 1 I w a s e x c i t e d w h e n w e r e t u r n e d t o t h e p r o b l e m o f 2 / 4 + 3 / 4 n e a r t h e e n d o f t h e s c h o o l y e a r . T h e p a p e r s t r i p s s e e m e d u s e f u l . H o w e v e r , s i n c e t h e n I h a v e c o m e t o r e a l i z e t h a t p a p e r s t r i p s r e a l l y f a l l i n t o t h e s a m e f a m i l y o f r e p r e s e n t a t i o n s a s c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s . T h e y a r e a l l a r e a m o d e l s a n d a l l i n v o l v e p a r t i t i o n i n g a w h o l e i n t o e q u a l p a r t s . W h a t I t h i n k w a s s o m e w h a t d i f f e r e n t w i t h t h e p a p e r s t r i p s w a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n s a y i n g ” s h a d e 5 o u t o f f o u r ” a n d ” s h a d e fi v e o n e f o u r t h p a r t s " o r r e c o g n i z i n g t h a t w i t h t h e p a p e r s t r i p s y o u a r e w o r k i n g w i t h fi v e o n e f o u r t h p a r t s . W h a t t h e s e c o n d p h r a s i n g d o e s i s m a k e t h e w h o l e - f o u r t h s - - e x p l i c i t . W h e n w e w e r e u s i n g c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s , w e w e r e a l l t a l k i n g a b o u t f r a c t i o n s i n t e r m s o f w h o l e s a n d p a r t s s h a d e d i n . F o r e x a m p l e , B o b ’ s i n i t i a l a r g u m e n t f o r w h y t h e s o l u t i o n c o u l d n o t b e 5 / 4 w a s , ” W i l l s o m e o n e w h o t h i n k s t h a t i t i s 5 / 4 c o m e u p h e r e a n d s h a d e i n fi v e o u t o f t h e s e f o u r ? ” W h e r e a s , s i x w e e k s l a t e r , B o b w a s t h i n k i n g d i f f e r e n t l y a b o u t f r a c t i o n s . " 1 t h i n k i t i s f i v e f o u r t h s . F o u r f o u r t h s e q u a l s a w h o l e . S i n c e i t i s f o u r f o u r t h s a n d t h a t i s y o u r w h o l e a n d t h e n y o u h a v e o n e m o r e f o u r t h . F i v e f o u r t h s i s o n e f o u r t h m o r e t h a n y o u r w h o l e . " S t u d e n t s , l i k e B o b , w h o c o u l d n o w s e e t h a t t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 a p p e a r e d t o u n d e r s t a n d t h a t fi v e o n e f o u r t h p a r t s c o v e r e d m o r e a r e a t h a n o n e 1 W h a t I fi g u r e d o u t a t t h e t i m e i s s i m i l a r t o w h a t S i l v e r ( 1 9 8 6 ) d i s c u s s e s i n a n e x a m p l e o f p e o p l e c o m i n g u p w i t h s i m i l a r s o l u t i o n s f o r 1 / 2 + 1 / 3 . S i l v e r w r i t e s , ” w e r e a l i z e d t h e r e s i l i e n c e o f t h i s e r r o r w a s d u e i n l a r g e m e a s u r e t o a n u n d e r l y i n g c o n c e p t u a l s u p p o r t s y s t e m t h a t r e i n f o r c e d n o t o n l y t h e e r r o n e o u s a n s w e r b u t a l s o t h e s t r a t e g y u s e d t o o b t a i n t h e a n s w e r . I n p a r t i c u l a r , t h e s t u d e n t s w e r e c h a r a c t e r i z e d b y a n o v e r d e p e n d e n c e o n a s i n g l e m e n t a l a n d p h y s i c a l m o d e l f o r t h e f r a c t i o n c o n c e p t . A l m o s t u n i v e r s a l l y , t h e s t u d e n t s h a d o n e a v a i l a b l e m o d e l f o r a f r a c t i o n - t h e p a r t / w h o l e m o d e l e x p r e s s e d a s s e c t o r s o f a c i r c l e . . . t h e d o m i n a n c e o f t h i s m o d e l c o m b i n e d w i t h o t h e r e l e m e n t s o f t h e i r k n o w l e d g e b a s e ( e g . a s t a t i c i n t e r p r e t a t i o n o f f r a c t i o n a d d i t i o n , l a c k o f d i s t i n c t i o n b e t w e e n f r a c t i o n a d d i t i o n a n d r a t i o c o m b i n a t i o n s i t u a t i o n s ) t o e s t a b l i s h a c o n c e p t u a l k n o w l e d g e b a s e t h a t w a s i n d i r e c t s u p p o r t o f t h e e r r o r ” ( p . 1 8 9 ) . 3 3 0 w h o l e u n i t a n d r e q u i r e d t h e u s e o f a s e c o n d u n i t r e g i o n ( B e h r & P o s t , 1 9 8 8 ) . ” F i v e o n e - f o u r t h p a r t s ” i s a d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i o n o f 5 / 4 t h a n ” F i v e s h a d e d i n o u t o f f o u r . ” S o m e s t u d e n t s h a d a n e w u n d e r s t a n d i n g a b o u t w h y t h e s o l u t i o n w a s 5 / 4 a n d n o t 5 / 8 . A t t h e t i m e , I t h o u g h t i t h a d t o d o w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n . W h a t I s e e n o w i s t h a t p a p e r s t r i p s a n d t h e i n t e r p r e t a t i o n s t h e y s u p p o r t a b o u t f r a c t i o n s a r e n o t t h a t m u c h d i f f e r e n t t h a n c i r c l e s a n d r e c t a n g l e s . W h a t s e e m s m o r e i m p o r t a n t i s t h a t s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g s o m e s u b t l e a n d i m p o r t a n t v a r i a t i o n s a n d d i s t i n c t i o n s i n t h e m e a n i n g o f f r a c t i o n s t h a t w o u l d a l l o w t h e m t o s e e n e w t h i n g s . N e w g e h c e p t i e n s c f M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g I h a v e s p e n t m u c h t i m e i n t h e l a s t t h r e e y e a r s e x p l o r i n g t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n r e l a t e d t o t h e p r o b l e m o f 2 / 4 + 3 / 4 . W h a t a r e t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t u a l i d e a s a n d i s s u e s t h a t a r e e m b e d d e d w i t h i n t h i s p r o b l e m ? W h a t i s t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y i t l e a d s m e i n t o ? W h a t I h a v e l e a r n e d f a l l s i n t o t w o m a i n c a t e g o r i e s - m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s o f f r a c t i o n s a n d t h e h i s t o r y o f r a t i o n a l n u m b e r s . W h a t i s i t t h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t r a t i o n a l n u m b e r s , i n p a r t i c u l a r , a n d h o w h a s t h a t i n f o r m e d m y r e c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ? M u l t i p l e i n t e c p r e t a t i e h s a n d L e p r e s e n t e u ' e n s e f f r e c h ’ e n s : O n e o f t h e w a y s I p u r s u e d m y i n t e r e s t i n f r a c t i o n s w a s t o d e l v e i n t o t h e r e s e a r c h i n m a t h e d u c a t i o n o n t h e t o p i c o f f r a c t i o n s . F r a c t i o n s a r e a n a r e a i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h a t i s k n o w n f o r t h e d i f fi c u l t y i t c a u s e s s t u d e n t s ( B e h r , L e s h , P o s t , 8 1 ; S i l v e r , 1 9 8 3 ) a n d t e a c h e r s ( P o s t , B e h r , & L e s h , 1 9 8 8 ) . S o m e r e s e a r c h e r s a r g u e t h a t t h e d i f fi c u l t y s t e m s f r o m t h e m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s o f r a t i o n a l n u m b e r s ( B e h r , L e s h , P o s t , & S i l v e r , 1 9 8 3 ) . T h e s e a u t h o r s n o t e a s m a n y a s s i x d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s o f f r a c t i o n s i n c l u d i n g ” a p a r t - t o - w h o l e c o m p a r i s o n , a d e c i m a l , a 3 3 1 r a t i o , a n i n d i c a t e d d i v i s i o n ( q u o t i e n t ) , a n o p e r a t o r , a n d a m e a s u r e o f c o n t i n u o u s o r d i s c r e t e q u a n t i t i e s ” ( p . 9 3 ) . R a t i o n a l n u m b e r s a r e a l s o p a r t o f a l a r g e r m a t h e m a t i c a l c a t e g o r y c a l l e d m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s ( V e r g n a u d , 1 9 8 8 ) . M u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s i n c l u d e t h e m o r e c o m m o n m a t h e m a t i c a l t o p i c s o f m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n , f r a c t i o n a n d r a t i o ( V e r g n a u d , 1 9 8 3 ) a n d a r e c o n c e p t u a l l y d i s t i n c t f r o m a d d i t i v e s t r u c t u r e s o r t h e m o r e c o m m o n t o p i c s o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n ( V e r g n a u d , 1 9 8 3 ) . C h i l d r e n b r i n g t h e i r w h o l e n u m b e r u n d e r s t a n d i n g e m b e d d e d i n a d d i t i v e s t r u c t u r e s t o f r a c t i o n s . I d r a w o n a n e x a m p l e u s e d b y B e h r a n d P o s t ( 1 9 8 8 ) . T a k e t h e f r a c t i o n 3 / 5 . T h e r e a r e a t l e a s t t w o i m p o r t a n t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n 3 a n d 5 ; o n e i s a d d i t i v e , t h e o t h e r i s m u l t i p l i c a t i v e . T h e a d d i t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 5 a n d 3 i s w h a t t h e c h i l d a l r e a d y k n o w s ; i t i s e x p r e s s e d b y t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n 5 a n d 3 - - 2 . T h e m u l t i p l i c a t i v e r e l a t i o n s h i p i s s o m e t h i n g t h e c h i l d d o e s n ’ t k n o w , a n d t h i s r e l a t i o n s h i p i s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d i n g t h a t 3 / 5 i s a s i n g l e n u m b e r , t h a t i t h a s a s i z e , a n d w h a t t h e s i z e a c t u a l l y i s . ( p . 1 9 6 ) W h y t r y t o u n d e r s t a n d f r a c t i o n s a s s i n g l e n u m b e r s ? W h e n s t u d e n t s a d d 3 / 4 + 2 / 4 a n d g e t 5 / 8 , d o t h e y s e e e a c h o f 3 / 4 a n d 2 / 4 a s o n e o r t w o n u m b e r s ( B e h r & P o s t , 1 9 8 8 ) ? D o t h e y h a v e a n u n d e r s t a n d i n g o f ” t h r e e f o u r t h s ” o r d o t h e y s e e t h i s a s t h e w h o l e n u m b e r t h r e e o v e r t h e w h o l e n u m b e r f o u r ? B o b ’ s i n i t i a l i n t e r p r e t a t i o n o f f i v e p a r t s s h a d e d i n o u t o f f o u r w a s m o r e l i k e s e e i n g 5 / 4 a s t w o w h o l e n u m b e r s w h i l e t h e v i e w o f 5 / 4 a s fi v e o n e - f o u r t h p a r t s s e e m s m o r e l i k e u n d e r s t a n d i n g 5 / 4 a s a n u m b e r , a q u a n t i t y . I n m y s t u d y o f f r a c t i o n s , I c a m e a c r o s s s e v e r a l w a y s o f i n t e r p r e t i n g t h e p r o b l e m o f 2 / 4 + 3 / 4 t h a t w o u l d m a k e t h e s o l u t i o n o f 5 / 8 r e a s o n a b l e . F o r e x a m p l e , s u p p o s e y o u a r e p l a y i n g s o f t b a l l a n d y o u g e t t h r e e h i t s i n f o u r t i m e s u p t o b a t . T h i s c a n b e w r i t t e n a s t h r e e h i t s o u t o f f o u r t i m e s a t t h e b a t o r 3 / 4 . T h e n e x t t i m e y o u g e t t w o h i t s i n f o u r t i m e s y o u a r e u p t o b a t o r 2 / 4 . W h a t y o u d i d 3 3 2 a l t o g e t h e r i s l i k e 3 / 4 + 2 / 4 o r 5 / 8 . T h e s e b a t t i n g a v e r a g e s a r e r a t i o s a n d c o m b i n i n g t h e s e r a t i o s i s n o t t h e s a m e a s a d d i n g t h e q u a n t i t i e s . I n t h e c a s e o f a d d i n g b a t t i n g a v e r a g e s , t h e t o t a l n u m b e r o f h i t s i s p l a c e d o v e r t h e n u m b e r o f t i m e s a t b a t . T h i s i s a c a s e w h e r e t h e ” d e n o m i n a t o r s ” a r e a d d e d . A s e c o n d w a y t o j u s t i f y t h e s o l u t i o n o f 5 / 8 i s b y s a y i n g t h a t t w o - f o u r t h s o f o n e p l u s t h r e e - f o u r t h s o f o n e i s f i v e - e i g h t h s o f t w o . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s c e n a r i o . J o h n n y h a s a c a k e a n d h i s c a k e i s c u t i n t o f o u r p i e c e s . H e e a t s t w o o f t h e m . M a r y h a s t h e s a m e s i z e c a k e a n d a l s o c u t s i t i n t o f o u r p i e c e s . S h e e a t s t h r e e o f t h e m . H o w m u c h c a k e h a v e t h e y e a t e n a l l t o g e t h e r ? T h e y h a v e e a t e n o n e a n d o n e f o u r t h p i e c e s o f o n e c a k e . T h e d i f fi c u l t y w i t h t h i s s o l u t i o n i s t h a t y o u h a d t o h a v e t w o c a k e s t o s t a r t i n o r d e r f o r t h e s e c o n d p e r s o n t o g e t t h r e e p i e c e s . E v e n i f t h e c a k e s h a p p e n t o b e t h e s a m e s i z e , t h e y c a n e a s i l y b e c o n c e i v e d o f a s d i f f e r e n t u n i t s o r w h o l e s . F i g u r e 7 . 4 T w o w h o l e s d i v i d e d i n t o f o u r t h s o r o n e w h o l e d i v i d e d i n t o e i g h t h s ? A h i s t e r i c e l c c n t e x t . M y s t u d y o f f r a c t i o n s a l s o l e d m e i n t o t h e h i s t o r y o f r a t i o n a l n u m b e r s . I w a s l e d t h e r e t h r o u g h a m a t h e m a t i c i a n ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e d i f fi c u l t y m y s t u d e n t s h a d w i t h a d d i n g f r a c t i o n s . H e d r e w c o n n e c t i o n s b e t w e e n m y s t u d e n t s ’ s t r u g g l e s a n d t h e h i s t o r y o f f r a c t i o n s . Y o u k n o w y o u ’ r e t r y i n g t o t e a c h t h e m a d d i t i o n a f t e r a l l a n d n o t j u s t w a y s o f p u t t i n g f r a c t i o n s t o g e t h e r . Y o u h a v e t o t h i n k , h o w d i d a d d i t i o n s t a r t 3 3 3 h i s t o r i c a l l y ? H o w d i d f r a c t i o n s fi r s t g e t a d d e d ? T h e y w e r e n ’ t a l w a y s a d d e d . I m e a n p e o p l e , G r e e k s , d i d n o t l i k e t o d o a r i t h m e t i c o f a n y s o r t w i t h f r a c t i o n s . T h e y f e l t j u s t l i k e o u r k i d s . T h e y h a t e d t h e m . T h e f r a c t i o n s w e r e r a t i o s . I m e a n y o u s h o u l d r e a d w h a t t h e y w r o t e a b o u t a r i t h m e t i c w i t h r a t i o s , h o w t h e y t h o u g h t o f i t . T h e y d r e w l i n e s a n d s a i d w e l l i t s a l l m e a s u r e m e n t w i t h n u m b e r s . I m e a n t h e y s t a r t e d t o t h i n k a b o u t m e a s u r e m e n t s . T h e r e i s n o w a y t o a d d f r a c t i o n s w i t h o u t t h i n k i n g o f t h e m a s m e a s u r e m e n t . . . S o I g u e s s w i t h l i t t l e k i d s y o u w o u l d h a v e t o t h i n k c u l t u r a l l y , o n e h a s t o t h i n k c u l t u r a l l y a b o u t h o w t h i n g s d o p r o g r e s s . . . ( K u t z k o , p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , 0 5 / 1 7 / 9 0 ) C u l t u r a l l y , h o w d i d t h e i d e a o f f r a c t i o n s p r o g r e s s ? I h a v e s e l e c t e d s e v e r a l o f t h e p a r t i c u l a r s o f t h e h i s t o r y o f f r a c t i o n s t o i n c l u d e h e r e . ” M o s t o f t h e a n c i e n t t h e o r y o f f r a c t i o n s c e n t e r e d a b o u t t h e c o n c e p t o f r a t i o ” ( S m i t h , 1 9 5 8 , p . 2 1 0 ) . T h e E g y p t i a n s a n d t h e B a b y l o n i a n s w e r e t h e fi r s t t w o c i v i l i z a t i o n s t o c o n t r i b u t e o u r p r e s e n t d a y u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s ( K l i n e , 1 9 7 2 ) . B o t h o f t h e s e c u l t u r e s u s e d m a t h e m a t i c s t o a n s w e r q u e s t i o n s t h a t a r o s e f o r t h e m i n t h e i r d a i l y l i v e s . T h e E g y p t i a n s , f o r e x a m p l e , w a n t e d a m e a n s o f b e i n g m o r e p r e c i s e i n t h e i r m e a s u r e m e n t o f q u a n t i t i e s - - l e n g t h , w e i g h t , a n d t i m e . T h u s , a r o s e t h e n e e d a n d t h e d e v e l o p m e n t o f t h e c o n c e p t o f a f r a c t i o n i n t h e c o n t e x t o f m e a s u r e m e n t ( S c o t t , 1 9 6 9 ; S m i t h , 1 9 5 8 ) , f o r ” s e l d o m w i l l a l e n g t h a p p e a r t o c o n t a i n a n e x a c t n u m b e r o f l i n e a r u n i t s ” ( E v e s , 1 9 6 9 , p . 5 8 ) . I f y o u t h i n k b a c k t o m y c l a s s , w h a t R o n d i d w i t h h i s p a p e r s t r i p w h e n h e t r i e d t o d i v i d e a s t r i p l o n g e r t h a n n i n e i n c h e s i n t o t h i r d s i s t h a t h e t u r n e d b a c k t h e p o r t i o n o f t h e s t r i p t h a t w a s g r e a t e r t h a n n i n e . H i s r e a s o n f o r n o t d e a l i n g w i t h t h e e x t r a w a s t h a t i t w a s t o o m e s s y . T h e E g y p t i a n s i n v e n t e d f r a c t i o n s t o d e a l w i t h t h a t e x t r a h e f o l d e d b a c k . T h e E g y p t i a n s t r i e d t o a v o i d s o m e o f t h e c o m p u t a t i o n a l p r o b l e m s o f f r a c t i o n s b y r e p r e s e n t i n g a l l f r a c t i o n s , e x c e p t 2 / 3 , a s t h e s u m o f u n i t f r a c t i o n s , o r f r a c t i o n s w i t h u n i t n u m e r a t o r s . F o r e x a m p l e , 2 / 7 i s t h e s a m e a s 1 / 4 a n d 1 / 2 8 o r 2 / 9 7 i s t h e s a m e a s 1 / 5 6 , 1 / 6 7 9 , a n d 1 / 7 7 6 . T h e B a b y l o n i a n s w e r e t h e fi r s t t o i n t r o d u c e f r a c t i o n s w i t h n u m e r a t o r s g r e a t e r t h a n o n e . T h e y w e r e a l s o t h e o n e s t o 3 3 4 i n t r o d u c e f r a c t i o n s w r i t t e n a r o u n d t h e s c a l e o f 6 0 — t h e m e a s u r e s o f t i m e , a n g l e s , a n d a r c s ( S m i t h , 1 9 5 8 ) . F o r e x a m p l e , S m i t h p o i n t s o u t t h a t t w o h o u r s , t w e n t y m i n u t e s , a n d 4 5 s e c o n d s c o u l d b e t h o u g h t o f a s 2 + 2 0 / 6 0 + 4 5 / 3 6 0 0 w i t h h o u r a s t h e u n i t , 6 0 m i n u t e s i n a n h o u r , a n d 3 6 0 0 s e c o n d s i n a n h o u r . W h i l e t h e h i s t o r i c a l ” f a c t s ” a s s o c i a t e d w i t h f r a c t i o n s o r t h e p a r t i c u l a r s o f m a t h e m a t i c a l h i s t o r y o f f r a c t i o n s m a y b e i n t e r e s t i n g , I t h i n k t h e r e i s s o m e t h i n g m o r e i m p o r t a n t t h a t a s t u d y o f a h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s r e p r e s e n t s . F o r m e , i t h a s b e e n a p o w e r f u l m e a n s o f s e e i n g t h a t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s c o n s t r u c t e d a n d d e v e l o p e d b y h u m a n s , i n a s o c i a l a n d c u l t u r a l c o n t e x t . A r c a v i , B r u c k h e i r n e r , a n d B e n s - z v i ( 1 9 8 7 ) d i s c u s s t h e b e n e fi t s o f l o o k i n g h i s t o r i c a l l y a t m a t h e m a t i c s , T h e h i s t o r i c a l c o n t e x t m a y f o s t e r t h e c r e a t i o n o f a r e a s o n a b l e i m a g e o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y a s a h u m a n , c r e a t i v e , a n d d y n a m i c e n d e a v o r , a s o p p o s e d t o t h e m o r e c o m m o n v i e w o f m a t h e m a t i c s d r o p p i n g ” r e a d y - m a d e - f r o m — t h e - s k i e s . ” ( p . 1 9 ) M a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s a h u m a n c o n s t r u c t i o n . T h e p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s o f f r a c t i o n s a r e n u m e r o u s a n d v a r y i n w a y s t h a t l e a d t o s u b t l e a n d n o t s o s u b t l e d i f f e r e n c e s i n m e a n i n g . T h e r e i s n o s u c h t h i n g a s t h e p e r f e c t r e p r e s e n t a t i o n w i t h r e p r e s e n t a t i o n s b e i n g ” t h e m o s t p o w e r f u l a n a l o g i e s , i l l u s t r a t i o n s , e x a m p l e s , e x p l a n a t i o n s , a n d d e m o n s t r a t i o n s — i n a w o r d , t h e w a y s o f r e p r e s e n t i n g a n d f o r m u l a t i n g t h e s u b j e c t t h a t m a k e s i t c o m p r e h e n s i b l e t o o t h e r s ” ( S h u l r n a n , 1 9 8 6 , p . 9 ) . T h e r e a r e m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s f o r f r a c t i o n s . S i n c e t h e r e a r e n o s i n g l e m o s t p o w e r f u l f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n , t h e t e a c h e r m u s t h a v e a t h a n d a v e r i t a b l e a r m a m e n t a r i u m o f a l t e r n a t i v e f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n , s o m e o f w h i c h d e r i v e f r o m r e s e a r c h w h e r e a s o t h e r s o r i g i n a t e i n t h e w i s d o m o f p r a c t i c e . ( S h u l m a n , 1 9 8 6 , p . 9 ) 3 3 5 C h o o s i n g t h e a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n m e a n s w e i g h i n g i t s s t r e n g t h s a n d l i m i t a t i o n s f o r a g i v e n c o n c e p t , a t a g i v e n m o m e n t , w i t h a g i v e n g r o u p o f s t u d e n t s . A n d t h e n , w h a t o n e p e r s o n m a y b e a b l e t o s e e i n t h e r e p r e s e n t a t i o n m a y n o t b e v i s i b l e t o s o m e o n e e l s e . W h a t m y s t u d y o f r a t i o n a l n u m b e r s i n t h e t h r e e y e a r s s i n c e I t a u g h t h a s d o n e i s p u s h m e t o b e g i n t o s e e t h a t t h e r e a r e m u l t i p l e w a y s t o c o n s t r u c t , i n t e r p r e t , r e p r e s e n t , a n d c o m m u n i c a t e t h e m e a n i n g o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . I t h a p p e n s i n c l a s s r o o m s a m o n g t e a c h e r s a n d s t u d e n t s , i n u n i v e r s i t i e s a m o n g m a t h e m a t i c i a n s , a n d i n t h e f i e l d o f m a t h e d u c a t i o n a m o n g r e s e a r c h e r s . U n d e r s t a n d i n g a n a r e a o f m a t h e m a t i c s i s o n g o i n g w o r k . F r a c t i o n s , r a t i o n a l n u m b e r s , a n d m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s a r e a r e a s o f m a t h e m a t i c s w h o s e c o m p l e x i t y o f m e a n i n g c o n t i n u e s t o b e e x p l o r e d b y p e o p l e w h o c o n t i n u e t o l e a r n n e w t h i n g s . F u s o n ( 1 9 8 8 ) n o t e s h o w a s a c o m m u n i t y o f m a t h e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s ” w e h a v e n o t b e e n a b l e t o a g r e e o n s i n g l e w a y t o s t r u c t u r e t h e s e c o n c e p t u a l f i e l d s , e i t h e r f o r m u l t i p l i c a t i o n o r r a t i o n a l n u m b e r s i t u a t i o n s ” ( p . 2 6 0 ) . T h e s e a r e c o m p l e x m a t h e m a t i c a l i d e a s , a t e r r a i n o f d e e p u n c e r t a i n , u n s e t t l e d m a t h e m a t i c a l i s s u e s . H i e b e r t a n d B e h r ( 1 9 8 8 ) , e d i t o r s o f N u m b e r C o n c e p t s a n d O p e r a t i o n s i n t h e M i d d l e G r a d e s , r e m i n d t h e i r r e a d e r s o f t h e t e n t a t i v e n e s s o f k n o w l e d g e a n d t h a t e v e n k n o w l e d g e t h a t s e e m s c e r t a i n i s s u b j e c t t o c h a n g e . B u t w e m u s t r e m e m b e r t h a t t h e o r i e s a l w a y s a r e t e n t a t i v e a n d s o m e t i m e s w r o n g . T h e y c a n n e v e r b e c a s t i n s t o n e . T h e y m u s t b e t r e a t e d a s w o r k i n g h y p o t h e s e s , t e s t e d a n d r e fi n e d a n d t e s t e d a g a i n . I t i s o n l y t h o u g h t h e c y c l i c a l p r o c e s s o f b u i l d i n g a n d t e s t i n g t h e o r i e s t h a t s i g n i fi c a n t p r o c e s s c a n b e m a d e . ( p . 1 6 ) A s I l o o k b a c k o n m y i n i t i a l i n t e r v i e w w i t h J i m , b e f o r e I s t a r t e d t e a c h i n g t h a t y e a r , I a m s u r p r i s e d b y m y v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d h o w I t h o u g h t I w a s g o i n g t o g o a b o u t l e a r n i n g w h a t I d i d n o t k n o w . I s t a r t e d t h e y e a r t h i n k i n g t h a t I d i d n o t k n o w e n o u g h m a t h e m a t i c s . J i m a s k e d m e h o w I s a w 3 3 6 m y s e l f g e t t i n g o v e r t h e h u r d l e s b e f o r e m e , t h i s h u r d l e o f n o t k n o w i n g e n o u g h m a t h e m a t i c s . T h i s i n t e r v i e w w a s d o n e a t t h e e n d o f A u g u s t , 1 9 8 9 , b e f o r e I s t a r t e d t e a c h i n g . I t h i n k t h e h u r d l e o f m y o w n k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s - - I d o n ’ t f e e l l i k e t h a t ’ s s o m e t h i n g I ’ v e b e e n a b l e t o d o a h e a d o f t i m e , t h a t i t ’ s n o t p o s s i b l e f o r m e t o l e a r n e v e r y t h i n g I n e e d t o k n o w a b o u t m a t h e m a t i c s b e f o r e I t e a c h i n g t h i s . A n d t h a t I h a v e t o d e a l w i t h i t a s i t c o m e s u p a n d f i g u r e o u t w h a t i t i s I d o n ’ t k n o w a n d t r y t o l e a r n m o r e a b o u t i t . ( i n t e r v i e w , 0 8 / 8 9 ) . T h r e e y e a r s l a t e r , I a g r e e t h a t m y o n g o i n g w o r k a s a t e a c h e r i s t o fi g u r e o u t w h a t i t i s t h a t I d o n ’ t k n o w a n d l e a r n m o r e a b o u t i t . T h e d i f f e r e n c e n o w i s t h a t I h a v e a n e w a p p r e c i a t i o n f o r w h a t I d o a n d d o n o t u n d e r s t a n d . A n d , n o t k n o w i n g a t t h i s p o i n t i n m y w o r k a s a t e a c h e r , i s n o t a s h o r t c o m i n g . K n o w i n g w h a t I d o n ’ t k n o w a n d h a v i n g a n i n t e r e s t i n a n d m e a n s f o r i n v e s t i g a t i n g w h a t I d o n ’ t k n o w i s w h a t k e e p s m e d e v e l o p i n g a s a t e a c h e r . M o r e o v e r , i t i s w h a t k e e p s m e g r o w i n g a s a p e r s o n . L e a r n i n g t h e R i v e r I n t h e s e r i e s o f l e s s o n s i n t h i s c h a p t e r , I k n e w t h e r e w a s s o m e m a t h e m a t i c s t h a t I d i d n o t k n o w . I k n e w t h e r e w a s a m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y w i t h w h i c h I w a s u n f a m i l i a r . I k n e w t h e r e w a s a t e r r a i n o r a s p e c t s o f a t e r r a i n I c o u l d l e a r n . I h a v e l e a r n e d s o m e p a r t i c u l a r s o f t h e t e r r a i n a s W e l l a s h o w k n o w l e d g e a b o u t t h e t e r r a i n i s c o n s t r u c t e d . T h e w a y I l e a r n e d a b o u t t h e t e r r a i n w a s t o g o e x p l o r i n g i n i t m y s e l f . H o w d o e s h a v i n g a s e n s e o f t h e t e r r a i n h e l p y o u t o n a v i g a t e t h r o u g h i t ? G e o r g e B y r o n M e r r i c k ( 1 9 8 7 ) i n O l d T i m e s o n t h e U p p e r M i s s i s s i p p i r e fl e c t s o n t h e k n o w l e d g e o f r i v e r b o a t p i l o t s d u r i n g T w a i n ’ s t i m e o n t h e r i v e r . T h e p i l o t o f t h a t d a y w a s a b s o l u t e l y d e p e n d e n t u p o n h i s k n o w l e d g e o f a n d f a m i l i a r i t y w i t h t h e n a t u r a l l a n d m a r k s o n e i t h e r b a n k o f t h e r i v e r f o r g u i d a n c e i n w o r k i n g h i s w a y t h r o u g h a n d o v e r t h e i n n u m e r a b l e s a n d - b a r s a n d c r o s s i n g s . ( p . 7 8 ) e d u c a t i o n . T w a i n w r i t e s , 3 3 7 N a v i g a t i o n d e m a n d s l e a r n i n g t h e r i v e r i n w a y s t h a t h e l p s y o u t o m o v e a b o u t e a s i l y o n i t , n o m a t t e r w h a t y o u m a y e n c o u n t e r . M e r r i c k ( 1 9 8 7 ) w r i t e s , T o ’ k n o w t h e r i v e r ’ u n d e r t h o s e c o n d i t i o n s m e a n t t o k n o w a b s o l u t e l y t h e o u t l i n e o f e v e r y r a n g e o f b l u f f s a n d h i l l s , a s w e l l a s e v e r y i s o l a t e d k n o b o r e v e n t r e e - t o p . I t m e a n t t h a t t h e m a n a t t h e w h e e l m u s t k n o w t h e s e o u t l i n e s a b s o l u t e l y , u n d e r t h e c o n s t a n t l y c h a n g i n g p o i n t o f V i e w o f t h e m o v i n g s t e a m e r ; s o t h a t h e m i g h t c o n fi d e n t l y p o i n t h i s s t e a m e r a t a s o l i d w a l l o f b l a c k n e s s , a n d g u i d e d o n l y b y t h e s h a p e o f d i s t a n t h i l l s , a n d b y t h e m e n t a l p i c t u r e w h i c h h e h a d o f t h e m , k n o w t h e e x a c t m o m e n t a t w h i c h t o p u t h i s w h e e l o v e r a n d s h e e r h i s b o a t a w a y f r o m a n i m p e n d i n g b a n k . ( 1 3 - 7 9 ) T h e r e i s a p a r a d o x h e r e a b o u t k n o w l e d g e a n d k n o w i n g . H o w c a n a p i l o t e v e r k n o w t h e r i v e r a b s o l u t e l y - - i f h i s p o i n t o f v i e w i s c o n s t a n t l y c h a n g i n g a n d t h e r i v e r i s e v e r - c h a n g i n g ? D o e s n ’ t t h i s m e a n t h a t w e n e e d t o r e c o n s i d e r w h a t i t m e a n s t o k n o w s o m e t h i n g ? W h a t T w a i n t r i e d t o l e a r n , t h e r i v e r , i s s o m e t h i n g t h a t c a n n e v e r , g i v e n i t s n a t u r e , b e e n t i r e l y k n o w n . M a n y t i m e s o n t h e r i v e r T w a i n t h o u g h t h e h a d l e a r n e d t h e r i v e r o r t h a t h e c o u l d k n o w e v e r y t h i n g a b o u t t h e r i v e r n e c e s s a r y f o r n a v i g a t i o n — o n c e a n d f o r a l l h e t h o u g h t h e h a d l e a r n e d t h e r i v e r . A t o n e p o i n t , h e e v e n t r i e d t o m a k e a l i s t o f w h a t h e h a d l e a r n e d u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t h e h a d f i n a l l y c o m p l e t e d h i s W h e n I h a d l e a r n e d t h e n a m e a n d p o s i t i o n o f e v e r y v i s i b l e f e a t u r e o f t h e r i v e r ; w h e n I h a d s o m a s t e r e d i t s s h a p e t h a t I c o u l d s h u t m y e y e s a n d t r a c e i t f r o m S t . L o u i s t o N e w O r l e a n s ; w h e n I h a d l e a r n e d t o r e a d t h e f a c e o f t h e w a t e r a s o n e w o u l d c u l l t h e n e w s f r o m t h e m o r n i n g p a p e r ; a n d fi n a l l y , w h e n I h a d t r a i n e d m y d u l l m e m o r y t o t r e a s u r e u p a n e n d l e s s a r r a y o f s o u n d i n g a n d c r o s s - m a r k s , a n d k e e p f a s t h o l d o f t h e m , I j u d g e d m y e d u c a t i o n w a s c o m p l e t e : s o I g o t t o t i l t i n g m y c a p t o t h e s i d e o f m y h e a d , a n d w e a r i n g a t o o t h p i c k i n m y m o u t h a t t h e w h e e l . ( p . 6 7 ) I t W a s n o t t o o l o n g b e f o r e M r . B i x b y a s k e d h i m a q u e s t i o n a b o u t t h e r i v e r f o r w h i c h h e d i d n o t h a v e a n a n s w e r . T w a i n a d d r e s s e d M r . B i x b y , ” B u t w h a t I w a n t t o k n o w i s , i f I h a v e g o t t o k e e p u p a n e v e r l a s t i n g m e a s u r i n g o f t h e b a n k s o f t h i s 3 3 8 r i v e r , t w e l v e h u n d r e d m i l e s , m o n t h i n a n d m o n t h o u t ? ” ( p . 6 9 ) . T o w h i c h M r . B i x b y r e p l i e d , ” O f c o u r s e . ” T h e s a m e i n f i n i t y o f t h e t a s k t h a t T w a i n f o u n d w i t h l e a r n i n g t o n a v i g a t e t h e r i v e r a p p l i e s t o w h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t t h e n a t u r e o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a n d l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . L e a r n i n g i s i n h e r e n t t o t h e w o r k . T h e a c c o u n t o f m y l e a r n i n g I o f f e r i n t h i s d i s s e r t a t i o n , l i k e T w a i n ’ s a c c o u n t o f h i s o w n l e a r n i n g i n L i f e o n t h e M i s s i s s i p p i , i s u n i q u e . L i k e T w a i n , t h i s w a s m y fi r s t t i m e o n t h e r i v e r . N e x t t i m e I w i l l k n o w f r o m t h e s t a r t t h a t ” t h e w h o l e r i v e r i s b r i s t l i n g w i t h e x i g e n c i e s i n a m o m e n t ” ( T w a i n , 1 9 9 0 / 1 8 8 3 , p . 9 2 ) a n d g i v e n w h a t I h a v e l e a r n e d f r o m t h i s fi r s t j o u r n e y , I w i l l b e p r e p a r e d . C H A P T E R 8 L E A R N I N G T O T E A C H W H I L E I N V E N T I N G A P R A C T I C E I n v e n m g e P r a c t i c e 1 n o w r e t u r n t o t h e q u e s t i o n w i t h w h i c h I b e g a n t h i s s t u d y : W h a t d o e s i t t a k e f o r a n e x p e r i e n c e d a n d s u c c e s s f u l e l e m e n t a r y t e a c h e r t o m a k e c h a n g e s i n ' t e a c h i n g m a t h e m a t i c s ? I n t h i s c h a p t e r , I d r a w o n t h e a n a l y s e s o f t h i s s t u d y t o m a k e c o n j e c t u r e s a b o u t w h a t i t m i g h t t a k e t o c h a n g e o n e ’ s m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e d i r e c t i o n o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I a r g u e t h a t l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g e n t a i l s , s i m u l t a n e o u s l y , l e a r n i n g t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w h i l e y o u d o i t . T h e i n t e r t w i n i n g o f l e a r n i n g a n d i n v e n t i o n i s p r o m i n e n t t h r o u g h o u t m y e f f o r t s ' t o e m b r a c e t h e r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h r o u g h t h e e x p l o r a t i o n o f t h i s t h e m e o f t h e i n h e r e n t i n t e r c o n n e c t i o n o f l e a r n i n g t o t e a c h a n d c o n t i n u o u s l y i n v e n t i n g t h e v e r y t h i n g o n e i s t r y i n g t o l e a r n , I p r e s e n t a n d d i s c u s s a m o r e t h e o r e t i c a l u n d e r s t a n d i n g o f w h a t i s i n v o l v e d i n t e a c h e r c h a n g e . T h e a i r i s fi l l e d t h e s e d a y s w i t h t a l k o f ” n e w ” k i n d s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g , o f t e a c h i n g ” f o r u n d e r s t a n d i n g , ” o f a m b i t i o u s o r a d v e n t u r o u s p e d a g o g y . T h a t s u c h a p e d a g o g y r e q u i r e s c o n t i n u o u s i n v e n t i o n i s t r u e f o r n o v i c e s a s w e l l a s e x p e r t s w h o m a y h a v e y e a r s o f e x p e r i e n c e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I d i s c u s s e v i d e n c e f o r t h i s c l a i m a n d e x p l o r e h o w t h e m e t a p h o r o f i n v e n t i o n s h a p e s u n d e r s t a n d i n g w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . L o o k i n g b a c k o n m y o w n e x p e r i e n c e , I r e a l i z e n o w t h a t I d i d n o t s e t o u t e x p e c t i n g t h a t c h a n g i n g m y p r a c t i c e w o u l d e n t a i l c o n t i n u o u s l y i n v e n t i n g a p r a c t i c e . I n t h i s c h a p t e r , I a n a l y z e t h e e x p e c t a t i o n s f o r t h e c h a n g e s I a n t i c i p a t e d m a k i n g a t t h e s t a r t o f t h a t y e a r . I l o o k a t t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n m y e x p e c t a t i o n s a n d t h e r e a l i t i e s o f m y e f f o r t s t o l e a r n t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . A n a l y z i n g t h e s e d i s c r e p a n c i e s , 3 3 9 3 4 0 I d e r i v e a n e w s e t o f e x p e c t a t i o n s f o r w h a t i t m i g h t t a k e t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d s u g g e s t i m p l i c a t i o n s f o r e d u c a t i n g t e a c h e r s . h i n w h i l m i n t T a h T h e q u e s t i o n w h i c h d r o v e t h i s s t u d y w a s f o c u s e d o n w h a t i t t a k e s t o c h a n g e t e a c h i n g p r a c t i c e i n t h e d i r e c t i o n o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . W h i l e t h e a n a l y s e s i n C h a p t e r s 4 t h r o u g h 7 r e v e a l n e w u n d e r s t a n d i n g s o f t h e p r o c e s s o f c h a n g e , t h e y a l s o i m p l y n e w u n d e r s t a n d i n g s o f t h e p r a c t i c e i t s e l f . T h r o u g h e f f o r t s t o e n a c t m y v i s i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , t h a t v i s i o n i t s e l f w a s r e v i s e d a n d r e c o n s t r u c t e d . B e c a u s e o f t h e c h a n g e s I w a s t r y i n g t o m a k e , I f o u n d I n e e d e d t o s i m u l t a n e o u s l y c h a n g e , t e a c h , l e a r n , a n d d e v e l o p t h e v e r y t h i n g I w a s l e a r n i n g . F o r e x a m p l e , t o b e g i n t o f a c i l i t a t e p r o d u c t i v e d i s c u s s i o n s , I h a d t o d e v e l o p c o n c r e t e p a r t i c u l a r s a b o u t w h a t m i g h t c o u n t a s " p r o d u c t i v e " w h i l e t h e d i s c u s s i o n w a s h a p p e n i n g , w a y s t o m a k e s u c h p r o d u c t i v i t y p o s s i b l e o n a m o m e n t - t o - m o m e n t b a s i s , a n d w h a t i t t o o k f o r m y s t u d e n t s t o e n g a g e i n d i s c u s s i o n s . I n i t i a t i n g a m a t h e m a t i c a l d i s c u s s i o n , I g r e w t o s e e , i s d e p e n d e n t o n h a v i n g i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s t o t a l k a b o u t . W h a t c o u n t s a s a n " i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a l i d e a " i s , i n p a r t , s i t u a t i o n - s p e c i fi c . I w a s a l s o l e a r n i n g t h a t t h e r e w a s m o r e t o s u s t a i n i n g a d i s c u s s i o n t h a n m e r e l y a s k i n g r e p e a t e d l y w h a t s t u d e n t s t h o u g h t , a s i m p l i s t i c i m a g e I h a d h a d g o i n g i n t o t h i s t e a c h i n g . A s t h e t e a c h e r , i t w a s m y r e s p o n s i b i l i t y t o d o s o m e t h i n g w i t h s t u d e n t s ' i d e a s . O n a m o m e n t - t o - m o m e n t b a s i s , I n e e d e d t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t w h a t I c o u l d d o t h a t w o u l d h e l p s t u d e n t s t o c o n s t r u c t t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . M y a b i l i t y t o d o t h i s w a s c o n n e c t e d t o w h a t I u n d e r s t o o d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s I w a s a i m i n g t o t e a c h a s w e l l a s m y c a p a c i t y t o h e a r a n d i n t e r p r e t m y s t u d e n t s ' i d e a s . I n t h e c o n t e x t o f t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g , p e d a g o g i c a l s k i l l s a n d m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a r e c o n n e c t e d t o o n e a n o t h e r a n d c o n t i n u a l l y c o n s t r u c t e d a n d r e c o n s t r u c t e d i n t h e c o u r s e o f t e a c h i n g . 3 4 1 C o n t i n u o u s i n v e n t i o n o f a p r a c t i c e i s i n h e r e n t t o t h e w o r k o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . E v e n t e a c h e r s p e r c e i v e d b y s o m e a s ” e x p e r t s ” a t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g m u s t i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g a s t h e y w o r k . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s n o t s o m e t h i n g t h a t i s e v e r c o m p l e t e l y l e a r n e d . O n e c a n g e t b e t t e r a t i t b u t i t i s n o t s o m e t h i n g t h a t c a n b e m a s t e r e d f o r t h e " i t , " t h e t e a c h i n g , i s i n h e r e n t l y u n d e r c o n s t r u c t i o n . M a g d a l e n e L a m p e r t ( e . g . , 1 9 8 6 , 1 9 9 0 ) a n d D e b o r a h B a l l ( e . g . , 1 9 9 3 a , 1 9 9 3 b ) , t w o e x p e r i e n c e d t e a c h e r s o f m a t h e m a t i c s , o f f e r i n - d e p t h a n a l y s e s , b a s e d o n t h e i r o w n p r a c t i c e s , o f w h a t i t m e a n s t o i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . L i k e L a m p e r t a n d B a l l , m y w o r k o f f e r s i n s i g h t i n t o w h a t i t m e a n s t o d o t h e w o r k o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g b u t d o e s s o f r o m t h e p e r s p e c t i v e o f a b e g i n n e r , s o m e o n e n e w t o t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d t o t h e i d e a o f t e a c h i n g a s i n v e n t i o n , b u t n o t n e w t o t e a c h i n g . 1 T h e L e g j c e n d L i m i t s Q f I n v e n t i e n T h e i d e a o f t e a c h i n g a s c o n t i n u o u s i n v e n t i o n i s a n a n a l o g y t h a t I w o u l d n e v e r h a v e u s e d t o c h a r a c t e r i z e m y t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s p r i o r t o t h i s y e a r o f t e a c h i n g . M y p a s t p r a c t i c e w a s p r e s c r i b e d , d e f i n e d , a n d p r e d i c t a b l e . T h e r e w a s n o t h i n g c r e a t i v e a n d i n v e n t i v e a b o u t i t . T o s a y t h a t t h e n e w w a y o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t I w a s t r y i n g t o e n a c t w a s o n e b a s e d o n i d e a s o f i n v e n t i o n e v o k e s h e l p f u l i m a g e s o f w h a t i t c o u l d m e a n t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d t h e c h a n g e s t h a t m i g h t b e n e c e s s a r y t o m o v e o n e ' s t e a c h i n g i n t h a t d i r e c t i o n . T h e m e t a p h o r i s o n l y u s e f u l , h o w e v e r , a s l o n g a s t h e g r o u n d s 1 T h e i d e a t h a t i n v e n t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g i s a n i n h e r e n t p a r t o f t e a c h i n g i s f o u n d i n t h e w o r k o f t h o s e i n t h e fi e l d o f e d u c a t i o n w h o h a v e m a d e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t e a c h i n g a n d i m p r o v i s a t i o n — m o s t n o t a b l y , t h a t o f R o b e r t Y i n g e r ( 1 9 8 8 ) . Y i n g e r r e c a s t s p l a n n i n g , i m p l e m e n t a t i o n , a n d r e fl e c t i o n i n t o t h e l a n g u a g e o f p r e p a r a t i o n , i m p r o v i s a t i o n , a n d c o n t e m p l a t i o n . H e w r i t e s i n g e n e r a l t e r m s a b o u t t e a c h i n g a s i m p r o v i s a t i o n w h i l e m y w o r k c o n c e p t u a l i z e s t h e i m p r o v i s a t i o n a l u s e o f s u b j e c t m a t t e r d u r i n g a n d b e t w e e n l e s s o n s . 3 4 2 o n w h i c h I m a k e c o n n e c t i o n s a s w e l l a s t h e l i m i t s o f a n y a p p l i c a t i o n s I i n t e n d a r e u n d e r s t o o d . W S e v e r a l f a c t o r s u n d e r l i e t h e a r g u m e n t t h a t l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g m u s t b e u n d e r s t o o d a s e n t a i l i n g i n v e n t i o n a s w e l l a s l e a r n i n g . F i r s t o f a l l , t h e v i s i o n o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g o f f e r e d b y t h e r e f o r m d o c u m e n t s i s u n d e r d e t e r m i n e d . T h i s p o i n t i s s u p p o r t e d w h e t h e r o n e l o o k s a t d i f f e r e n t p o l i c y d o c u m e n t s t h a t c l a i m t o r e p r e s e n t t h e r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o r a t t h e w o r k o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s w h o s e p e r s p e c t i v e s o n t e a c h i n g a r e b a s e d o n t h e i r s t u d i e s o f s t u d e n t s ’ l e a r n i n g . P o l i c y d o c u m e n t s o f f e r f a i r l y c l e a r v i s i o n s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d t h e o r i e s o f l e a r n i n g , b u t a r e l e s s c l e a r a b o u t t h e d e t a i l s o f a p r a c t i c e o f t e a c h i n g r o o t e d i n t h e s e i d e a s a b o u t k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . O n e s u c h d o c u m e n t , t h e M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k ( C a l i f o r n i a D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 9 2 ) , d o e s n o t p r e s c r i b e a w a y t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e a u t h o r s n o t e t h e n e e d f o r t e a c h e r e x p l o r a t i o n a n d e x p e r i m e n t a t i o n a s a m e a n s o f i m p l e m e n t i n g t h e s e r e f o r m s . A n o t h e r s u c h d o c u m e n t , t h e P r o f e s s i o n a l S t a n d a r d s f o r T e a c h i n g M a t h e m a t i c s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 9 1 ) , a l s o d o e s n o t p r e s c r i b e a w a y t o t e a c h . I n s t e a d , i t o f f e r s a v a r i e t y o f v i g n e t t e s t h a t " d o e x e m p l i f y s o m e s p e c i fi c w o r t h w h i l e p r a c t i c e s " ( p . 1 1 ) b u t " t h e y d o n o t s u g g e s t o n e " c o r r e c t " a p p r o a c h t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s " ( p . 1 1 ) . S o m e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s , t h r o u g h s t u d y i n g s t u d e n t s ' l e a r n i n g , h a v e r e a c h e d s i m i l a r c o n c l u s i o n s w i t h r e g a r d t o t h e l a c k o f a s i n g l e w a y t o t e a c h . F o r e x a m p l e , r e s e a r c h e r s w h o h a v e d o n e e x t e n s i v e s t u d y o f c h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g s o f a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a s p a r t o f t h e C o g n i t i v e l y G u i d e d I n s t r u c t i o n p r o j e c t ( C a r p e n t e r & F e n n e m a , 1 9 8 8 ) h a v e c o n s i d e r e d h o w t o u s e k n o w l e d g e o f c h i l d r e n ’ s c o g n i t i o n s i n t e a c h i n g i n w a y s t h a t a r e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s . ” A l t h o u g h i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s h a v e n o t b e e n p r e s c r i b e d , t h e r e a r e 3 4 3 b r o a d p r i n c i p l e s o f i n s t r u c t i o n t h a t u n d e r l i e o u r a p p r o a c h ” ( p . 1 2 ) . A s i m i l a r a s s u m p t i o n u n d e r l i e s t h e w o r k o f Y a c k e l , C o b b , a n d W o o d ( 1 9 9 2 ) , r e s e a r c h e r s i n c l a s s r o o m s w h e r e t e a c h e r s a r e t r y i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n c o n c e p t u a l w a y s . T h e y n o t e t h e n a t u r e o f t h e i n t e r a c t i o n s i n t h e s e c l a s s r o o m s , ” w e s p e a k n o t o n l y o f t h e n e g o t i a t i o n o f n o r m s b u t t h e i r c o n t i n u a l r e n e g o t i a t i o n ” ( p . 3 9 7 ) . T h u s t e a c h i n g e n t a i l s a c o n t i n u o u s n e g o t i a t i o n o f s o c i a l r e l a t i o n s h i p s t h a t d e t e r m i n e t h e n a t u r e o f t h e t e a c h i n g i n t h e s i t u a t i o n . T h e r e f o r e , t e a c h i n g i s d e t e r m i n e d b y t h e s i t u a t i o n r a t h e r t h a n d e f i n e d a n d p r e s c r i b e d i n a d v a n c e . T h i s w a y o f u n d e r s t a n d i n g t e a c h i n g i s i n s h a r p c o n t r a s t t o t h e p r e s c r i p t i v e V i e w o f t e a c h i n g u n d e r l y i n g t h e d e v e l o p m e n t o f ” t e a c h e r p r o o f ” c u r r i c u l u m m a t e r i a l s o f t h e 1 9 6 0 ’ s w h e r e l i t t l e w a s i n t e n d e d t o b e l e f t t o t h e t e a c h e r ' s d i s c r e t i o n . E v e n p e o p l e w h o m i g h t b e c o n s i d e r e d b y s o m e t o b e m o r e e x p e r i e n c e d i n e n a c t i n g t h e s e r e f o r m s ( e . g . L a m p e r t a n d B a l l ) a r e h a v i n g t o i n v e n t t h e i r p r a c t i c e a s t h e y g o a l o n g a n d t h e i r a c t u a l p r a c t i c e s a r e n o t i d e n t i c a l t o o n e a n o t h e r . T h e y a r e n o t i m p l e m e n t i n g a fi x e d o r p r e d e t e r m i n e d m o d e l o f p r a c t i c e n o r d o t h e y c o n s i d e r t h e m s e l v e s m o d e l s o f a p r a c t i c e . W h a t t h e s e i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d p r a c t i c e s s h a r e i s a c o m m i t m e n t t o a c o m m o n s e t o f i d e a s a b o u t m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , l e a r n i n g , a n d c u r r i c u l u m ( L a m p e r t , B a l l , R o s e n b e r g , & S u z u k a , 1 9 9 3 ) . 2 A t t h e l e v e l o f r h e t o r i c , t h e r e i s g e n e r a l c o n s e n s u s a b o u t t h e a i m s o f t h e r e f o r m s . A t t h e p r a c t i c e l e v e l , t h e r e a r e m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o e n a c t t h e m . B e c a u s e o f t h e k i n d o f t e a c h i n g t h i s i s , p r a c t i c e w i l l a l w a y s r e m a i n u n d e t e r m i n e d . 2 I h a v e h a d t h e o p p o r t u n i t y t o n o t e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s i n L a m p e r t ' s a n d B a l l ’ s m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i n t h e c o n t e x t o f m y fi v e y e a r s o f w o r k o n t h e M a t h e m a t i c s a n d T e a c h i n g t h r o u g h H y p e r m e d i a P r o j e c t , a r e s e a r c h p r o j e c t f u n d e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n . S e e ( L a m p e r t , H e a t o n , & B a l l , 1 9 9 1 ; B a l l , L a m p e r t , 8 : R o s e n b e r g , 1 9 9 1 ) f o r a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h i s r e s e a r c h p r o j e c t . 3 4 4 A s e c o n d r e a s o n w h y i t m a k e s s e n s e t o v i e w t h e p r o c e s s o f t e a c h e r c h a n g e a s e n t a i l i n g i n v e n t i o n i s t h a t t h i s k i n d o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i s s o f u n d a m e n t a l l y d e p e n d e n t o n b e i n g r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s . O f c o u r s e o n e c a n l e a r n h o w t o a n t i c i p a t e w h a t s t u d e n t s m i g h t s a y . O n e c a n i n c r e a s e o n e ' s a b i l i t y t o p r e d i c t w h a t m i g h t h a p p e n . O n e c a n e v e n l e a r n t o t h i n k t h r o u g h p o s s i b l e r e s p o n s e s . B u t a l l t h i s w o u l d s t i l l b e i n s u f fi c i e n t t o p l a n e x a c t l y w h a t s t u d e n t s w i l l s a y , w h a t o n e ' s r e s p o n s e s a s a t e a c h e r m i g h t b e i n a n y g i v e n m o m e n t i n t e a c h i n g . T h i s m a k e s t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i t s e l f u n p r e d i c t a b l e , u n c e r t a i n , s u b j e c t t o s u r p r i s e s , a n d r e q u i r i n g i m p r o v i s a t i o n . W h a t t h i s m e a n s i s t h a t t e a c h i n g t h a t i n t e n d s t o b e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s m u s t b e i n v e n t e d l o c a l l y , i n t h e a c t o f t e a c h i n g . I n v e n t i o n a l l o w s t h e t e a c h e r t o a c t w i t h i m m e d i a c y o n a n d i n w a y s s p e c i fi c t o t h e i d e a s a n d i n t e r a c t i o n s o f t h e p a r t i c u l a r s t u d e n t s w i t h w h o m s h e i s w o r k i n g . A t h i r d r e a s o n w h y t h e i d e a o f i n v e n t i n g a p r a c t i c e i s r e a s o n a b l e c e n t e r s o n t h e n a t u r e o f w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d c o m e t o k n o w t h e c o n t e n t b e i n g t a u g h t . I t m a t t e r s t h a t w h a t i s b e i n g l e a r n e d i s m a t h e m a t i c s a n d t h a t t h e V i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e u n d e r l y i n g t h e s e r e f o r m s i s a c o n s t r u c t i v i s t o n e . B o t h w h a t m a t h e m a t i c s g e t s l e a r n e d a n d h o w i t g e t s l e a r n e d i s s t r o n g l y d e t e r m i n e d b y s o c i a l i n t e r a c t i o n w h i c h c a n n o t b e p r e s c r i b e d . A n u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i s c o n s t r u c t e d t h r o u g h a s e r i e s o f p r o o f s a n d r e f u t a t i o n s ( L a k a t o s , 1 9 7 6 ) w i t h i n a c o m m u n i t y o f l e a r n e r s ( T y m o c z k o , 1 9 8 6 ) . I n o t h e r w o r d s , ” a m a t h e m a t i c i a n fi g u r e s o u t w h a t h e o r s h e i s t a l k i n g a b o u t i n t h e p r o c e s s o f t r y i n g t o t a l k a b o u t i t , n o t b e f o r e h a n d b y s o m e m a g i c a l i n t u i t i o n ” ( L a m p e r t , 1 9 9 2 a , p . 3 0 6 ) . O n e d o e s n o t fi r s t l e a r n t h e m a t h e m a t i c s a n d t h e n t r y t o c o m m u n i c a t e i t . O n e l e a r n s m a t h e m a t i c s t h r o u g h e f f o r t s t o s i m u l t a n e o u s l y c r e a t e a n d c o m m u n i c a t e a p l a u s i b l e a r g u m e n t , a n a r g u m e n t i n v e n t e d i n p r a c t i c e . 3 4 5 T h e l i m i t s c f i n y e n t i e n . M e t a p h o r s a n d a n a l o g i e s o f f e r n e w w a y s t o l o o k a t i d e a s . I n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , t h e i d e a o f i n v e n t i o n h e l p s t o r e v e a l t h e m o m e n t - t o — m o m e n t , c o m p o s i t i o n a l p r o c e s s o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g t o t e a c h t h a t m i g h t o t h e r w i s e g o u n n o t i c e d . M e t a p h o r s a n d a n a l o g i e s c a n a l s o , t h r o u g h t h e i r s e d u c t i v e n e s s , b e o b s t a c l e s a s w e l l a s t o o l s t o u n d e r s t a n d i n g . I n t h i s s e c t i o n I r a i s e t w o p o i n t s o f c a u t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e ” i n v e n t i o n ” m e t a p h o r . O n t h e o n e h a n d , i n v e n t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s w h i l e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s i m p l i e s t h a t t h e r e i s n o r e h e a r s a l f o r t h e w o r k o f t e a c h i n g . T h a t i s , o n e c a n n o t r e h e a r s e p r e c i s e l y t h e e x a c t t e a c h i n g , t h e d e c i s i o n m a k i n g , o r { I . . . t h e a c t i o n s t h a t w i l l o c c u r a t a f u t u r e p o i n t . B e c a u s e o n e c a n n o t p r e d i c t w i t h c e r t a i n t y w h a t w i l l h a p p e n i n i n t e r a c t i o n w i t h s t u d e n t s , t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g i s n o t a b o u t e x e c u t i n g a s e t o f p r e p l a n n e d d e c i s i o n s a n d m o v e s . B u t a s s t a t e d a b o v e , t h e r e a r e c e r t a i n t h i n g s , l i k e a n t i c i p a t i n g w h a t s t u d e n t s m i g h t s a y o r d o i n t h e c o n t e x t o f a p a r t i c u l a r m a t h p r o b l e m , f o r e x a m p l e , t h a t c a n b e l e a r n e d o u t s i d e t h e s i t u a t i o n . S u c h l e a r n i n g s m i g h t h e l p i n a n t i c i p a t i n g h o w t o a c t o r t e a c h i n t h e s i t u a t i o n . L e a r n i n g t h i s k i n d o f t e a c h i n g a n d d o i n g t h i s k i n d o f t e a c h i n g i s l e a r n i n g t o f i g u r e o u t w h a t n e e d s t o b e c o n s i d e r e d t o m a k e a n d a c t o n m o m e n t - t o - m o m e n t d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t i n t h e m i d s t o f t e a c h i n g . O n e o f t h e d i f fi c u l t i e s i s t h a t t h e s e d e c i s i o n s c a n n o t b e r e h e a r s e d o u t o f t h e s i t u a t i o n . L e a r n i n g t o m a k e c r u c i a l d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t — t o i m p r o v i s e a n d i n v e n t — d u r i n g t h e a c t o f t e a c h i n g i s a t t h e h e a r t o f t h i s w o r k . O n t h e o t h e r h a n d , o n e m u s t n o t m i s t a k e n l y a s s u m e t h a t t h i s m e a n s t h a t t h e r e i s n o t h i n g t h a t t e a c h e r s c a n l e a r n . Q u i t e t h e c o n t r a r y . L a t e r i n t h e c h a p t e r , I w i l l r e t u r n t o t h e q u e s t i o n o f w h a t t h i s i m p l i e s f o r e d u c a t i n g t e a c h e r s . T h e i m a g e o f i n v e n t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g c o u l d a l s o s u g g e s t , e r r o n e o u s l y , t h a t a l l p r a c t i c e i s e q u a l , t h a t t h e r e a r e n o t b e t t e r o r w o r s e w a y s o f w o r k i n g , n o 3 4 6 s t a n d a r d s o f q u a l i t y o r w o r t h . A s i s c o m m o n w h e n d e v e l o p i n g c r i t e r i a f o r a s s e s s i n g a n e w p r a c t i c e , i t i s o f t e n t i m e s e a s i e r t o r e c o g n i z e a n d a r t i c u l a t e w h a t i s n o t a c c e p t a b l e r a t h e r t h a n w h a t i t i s . W h i l e t h e s t a n d a r d s f o r g o o d p r a c t i c e r e m a i n i l l - d e fi n e d , j u d g m e n t i s b o t h p o s s i b l e a n d n e c e s s a r y . S t a n d a r d s u s e d t o j u d g e p r a c t i c e a r e n o t e q u i v a l e n t t o r e c i p e s f o r h o w t o d o i t . I n o w r e t u r n t o w h a t t h i s a l l m e a n s f o r l e a r n i n g t o t e a c h . I n m y c a s e , I d i d n o t e m b a r k o n t h i s y e a r o f t e a c h i n g w i t h a s e t o f e x p e c t a t i o n s t h a t c o r r e s p o n d e d t o t h e i d e a o f i n v e n t i o n n o r d i d I a n t i c i p a t e t h a t w h a t I w a s a i m i n g t o d o w a s t o l e a r n t o i n v e n t a p r a c t i c e . I n t h i s n e x t s e c t i o n , I e x a m i n e t h e e x p e c t a t i o n s I h e l d f o r w h a t I t h o u g h t I w o u l d b e l e a r n i n g t o d o t h a t y e a r a n d t h e r e l a t e d s e t s o f e x p e c t a t i o n s a b o u t w h a t I t h o u g h t I w o u l d n e e d t o c h a n g e . I c o n c l u d e w i t h a n e w s e t o f e x p e c t a t i o n s , a s e t w h i c h r e fl e c t s w h a t I l e a r n e d f r o m m y e f f o r t s t o e n a c t a n d s t u d y t h e e n a c t m e n t o f m y e x p e c t a t i o n s i n p r a c t i c e . E x t a t i n f r r a t i n a P r a t i f T a h i n M a m a ' M y e f f o r t s t o c h a n g e h o w I t a u g h t m a t h e m a t i c s w a s a c o n t i n u o u s p r o c e s s o f p l a n n i n g f o r t e a c h i n g a n d n o t h a v i n g t h i n g s g o a s p l a n n e d . I n t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , t h i s w a s a s o u r c e o f g r e a t f r u s t r a t i o n . I w a s c o n t i n u a l l y c a u g h t o f f g u a r d w h e n I s t a r t e d e a c h c l a s s t h i n k i n g t h a t I w a s p r e p a r e d b u t f o u n d t h a t o n c e I s t a r t e d i n t e r a c t i n g w i t h s t u d e n t s I w a s a t a l o s s f o r w h a t t o d o n e x t . T h e l e s s o n a r o u n d t h e q u e s t i o n o f p a t t e r n s i s r e p r e s e n t a t i v e o f t h o s e e a r l y f r u s t r a t i o n s . I d i d n o t e n t e r t h i s y e a r o f t e a c h i n g e x p e c t i n g t h a t w h a t I n e e d e d t o l e a r n t o d o w a s i n v e n t a p r a c t i c e . R a t h e r , I e x p e c t e d t h a t I w a s l e a r n i n g t o i m p l e m e n t a w a y o f t e a c h i n g t h a t w a s r a d i c a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e t e a c h i n g I h a d d o n e i n t h e p a s t , b u t a w a y t h a t w a s i t s e l f d e fi n e d a n d a r t i c u l a t e d . M y t a s k , o r s o I i m a g e d , w a s t o l e a r n t o d o i t . I n t i m e a n d w i t h e x p e r i e n c e I e x p e c t e d t o l e a r n i t . W h a t f o l l o w s i s a c l o s e r l o o k a t m y f u n d a m e n t a l e x p e c t a t i o n o f i m p l e m e n t a t i o n a s i t p l a y e d o u t i n t h r e e m a j o r a r e a s u s k i l l s , k n o w l e d g e , a n d d i s p o s i t i o n s - a r e a s i n w h i c h I 3 4 7 p e r c e i v e d t h e n e e d t o m a k e m a j o r c h a n g e s . 3 I l o o k a t h o w m y u n d e r s t a n d i n g o f w h a t w a s d e m a n d e d o f m e i n e a c h o f t h e s e a r e a s w a s r e v i s e d t h r o u g h m y e f f o r t s t o i m p l e m e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . A W I e x p e c t e d t h e c h a n g e s I n e e d e d t o m a k e i n t e a c h i n g t o b e d r a m a t i c o n e s . F o r e x a m p l e , I t h o u g h t I w o u l d h a v e t o a b a n d o n m a n y o f m y p a s t c l a s s r o o m r o u t i n e s a n d w a y s o f b e i n g w i t h s t u d e n t s t h a t h a d a l w a y s d e fi n e d m y r o l e a s a t e a c h e r . I b a s e d m y p e r c e p t i o n o f t h e d e g r e e o f c h a n g e n e c e s s a r y o n o b s e r v a t i o n s o f o t h e r s ’ e f f o r t s t o t e a c h m a t h e m a t i c s i n w a y s a l i g n e d w i t h t h e r e f o r m s , a s w e l l a s m y o w n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e f o r m s . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g s e e m e d t o b e a r l i t t l e r e s e m b l a n c e t o m y p a s t t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . A s a w a y o f m a k i n g c o n c r e t e f o r m y s e l f t h e c h a n g e s i n p r a c t i c e t h a t I i m a g i n e d i m p l e m e n t i n g t h e s e r e f o r m s w o u l d e n t a i l , I c o n s i d e r e d t h e s o r t s o f b e h a v i o r s a n d s k i l l s t h a t c h a r a c t e r i z e d m y p a s t p r a c t i c e a n d t r i e d t o i m a g i n e w h a t i t w a s e x a c t l y t h a t I w o u l d n e e d t o c h a n g e . I n m a n y i n s t a n c e s , I a s s u m e d t h a t w h a t I n e e d e d t o d o w a s t h e e x a c t o p p o s i t e o f w h a t I h a d b e e n d o i n g . I m a g e s o f t h e c h a n g e s I t h o u g h t n e c e s s a r y a r e a r r a y e d b e l o w a l o n g s i d e p a t t e r n s c e n t r a l t o m y f o r m e r p r a c t i c e . T h e s t a t e m e n t s i n c o l u m n A a r e b a s e d o n a s s u m p t i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e b e h a v i o r s t h a t c h a r a c t e r i z e d m y o l d p r a c t i c e w h i l e t h e s t a t e m e n t s i n c o l u m n B a r e b a s e d o n a s s u m p t i o n s a b o u t t h e p r a c t i c e I i m a g i n e d m y s e l f i m p l e m e n t i n g . 3 T h e s e t h r e e c a t e g o r i e s , s k i l l s , k n o w l e d g e , a n d d i s p o s i t i o n s , c o r r e s p o n d t o t h r e e a l t e r n a t i v e c o n c e p t u a l o r i e n t a t i o n s t o t e a c h e r p r e p a r a t i o n ( F e i m a n - N e m s e r , 1 9 9 0 ) : t h e t e c h n o l o g i c a l o r i e n t a t i o n , t h e a c a d e m i c o r i e n t a t i o n , a n d t h e p e r s o n a l o r i e n t a t i o n . T o g e t h e r t h e y r e p r e s e n t a n e c l e c t i c v i e w o f w h a t m i g h t b e e n t a i l e d i n l e a r n i n g t o t e a c h . 3 4 8 A B o l d p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s g o a l — t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g T e a c h e r s t e l l . T e a c h e r s d o n o t t e l l . T e a c h e r s f o l l o w a p r e s c r i b e d c u r r i c u l u m . T e a c h e r s d o n o t f o l l o w a p r e s c r i b e d c u r r i c u l u m . M a t h p r o b l e m s h a v e a s i n g l e r i g h t a n s w e r . M a t h p r o b l e m s h a v e n o s i n g l e r i g h t a n s w e r . S t u d e n t s a l w a y s w o r k a l o n e t o d o m a t h . S t u d e n t s d o n o t w o r k a l o n e t o d o m a t h . F i g u r e 8 . 1 D i c h o t o m i e s o f a c h a n g i n g p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s T o e n v i s i o n c h a n g e i n t e r m s o f e x t r e m e b e h a v i o r a l d i c h o t o m i e s i s n o t u n u s u a l . D i e t e r s , s e e k i n g n e w s v e l t e n e s s , d o i t w h e n t h e y r e s o l v e t o e l i m i n a t e e n t i r e l y c e r t a i n f o o d s - - c o o k i e s , i c e c r e a m , b u t t e r n f r o m t h e i r d i e t s . T h o s e w h o w i s h t o m a k e f a s t ” c r a s h ” c h a n g e i n t h e i r w e i g h t s m a y s o m e t i m e s c h o o s e t o c u t o u t e n t i r e f o o d g r o u p s - — d a i r y p r o d u c t s , f o r i n s t a n c e - e v e n t h o u g h t h e s e f o o d g r o u p s c a n h a v e n u t r i t i o n a l b e n e fi t s w h e n c o n s u m e d i n m o d e r a t i o n . C h a r a c t e r i z i n g t h e n e e d e d c h a n g e i n s u c h s i m p l e t e r m s s e r v e s t o m a k e b e h a v i o r a l c h a n g e b o t h i m a g i n a b l e a n d m a n a g e a b l e . I t d o e s n o t h i n g , h o w e v e r , t o p r e p a r e o n e f o r d i s c r e p a n c i e s t h a t t e n d t o e x i s t b e t w e e n t h e i m a g e o f c h a n g e a n d t h e r e a l i t i e s o f e f f o r t s n e e d e d t o m a k e c h a n g e . T w o i m p o r t a n t p o i n t s a b o u t t e a c h e r c h a n g e h a v e e m e r g e d f r o m a s t u d y o f m y e f f o r t s t o c h a n g e m y m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . O n e m a j o r i d e a i s t h a t c h a n g i n g m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a s a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r d o e s n o t c o m e a b o u t b y a b a n d o n i n g a l l p a s t p r a c t i c e s a n d t r y i n g t o b e g i n a g a i n a s t h o u g h o n e h a d n e v e r t a u g h t b e f o r e . I t i s i m p l a u s i b l e t o t h i n k t h a t c h a n g i n g t e a c h i n g i s a s i m p l e m a t t e r o f a b a n d o n i n g o l d p r a c t i c e s o r r e p l a c i n g o l d p r a c t i c e s w i t h n e w p r a c t i c e s . M o s t c u r r e n t n o t i o n s o f l e a r n i n g s u g g e s t t h a t p e o p l e l e a r n b y b u i l d i n g o n p r i o r e x p e r i e n c e s a n d b r i n g i n g t o b e a r w h a t t h e y a l r e a d y k n o w a s t h e y m a k e s e n s e o f I r a A . . - : - 3 4 9 n e w s i t u a t i o n s . D i s r e g a r d i n g p r e v i o u s t e a c h i n g e x p e r i e n c e s a s s u m e s t h a t i t i s p o s s i b l e t o m a k e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s i n t o b l a n k s l a t e s w h o c a n b e g i n c r e a t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g a l l o v e r a g a i n w i t h e a c h n e w i d e a a b o u t t e a c h i n g t h a t c o m e s a l o n g w h i c h t h e y w i s h t o e m b r a c e . T h i s , h o w e v e r , i s i m p o s s i b l e . A s e c o n d m a j o r i d e a i s t h a t c h a n g i n g p r a c t i c e d o e s n o t c o m e a b o u t b y m a k i n g a n n o u n c e m e n t s a b o u t w h a t o n e s h o u l d n o l o n g e r d o . S a y i n g t h a t o n e s h o u l d d o t h e o p p o s i t e o f w h a t o n e h a s b e e n d o i n g d o e s n o t h i n g t o r e s p e c t t h e c o m p l e x i t y o f w h a t i t i s t h a t o n e n e e d s t o l e a r n . I f a l i s t o f ” d o n ’ t s ” i s o f f e r e d i t m a y i m p l y t h a t w h a t i s n e e d e d i s s i m p l y a n e w a n d b e t t e r l i s t o f ” d o s . ” I t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d t h a t m y s t r u g g l e w i t h c h a n g e w a s n o t b e c a u s e I w a s o p e r a t i n g f r o m a w r o n g o r i n a d e q u a t e l i s t o f " t h i n g s t o d o . " T h e d i f f i c u l t y w a s t h a t c o n c e p t u a l i z i n g c h a n g e i n t e r m s o f a fi x e d v i e w o f t e a c h i n g - d i c h o t o m i e s a n d l i s t s o f d o s a n d d o n ’ t s - - s e r i o u s l y u n d e r e s t i m a t e d t h e p r o c e s s o f c h a n g e a s w e l l a s t h e c o m p l e x , c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f t h e p r a c t i c e b e i n g l e a r n e d . I t u r n n o w t o a c l o s e r l o o k a t t w o s p e c i fi c e f f o r t s t o a b a n d o n e n t i r e l y p a s t p r a c t i c e s a n d t o r e p l a c e t h o s e p r a c t i c e s w i t h n e w o n e s . A h a n d e n p a s t p r a c t i c e s . T h e r e w e r e s o m e t e a c h i n g b e h a v i o r s I e x p e c t e d t h a t I w o u l d n e e d t o a b a n d o n e n t i r e l y : " T e l l i n g , " f o r e x a m p l e . B y t h i s m e a n , I t h o u g h t I n e e d e d t o s t o p t e l l i n g s t u d e n t s h o w t o w o r k t h e m a t h p r o b l e m s I g a v e t h e m . I t h o u g h t I n e e d e d t o s t o p t e l l i n g s t u d e n t s w h e t h e r t h e i r a n s w e r s t o t h e p r o b l e m s t h e y w o r k e d w e r e r i g h t o r w r o n g . T r y i n g n o t t o t e l l , I f o c u s e d o n fi n d i n g a n a l t e r n a t i v e t o t e l l i n g . F o r e x a m p l e , r a t h e r t h a n t e l l s t u d e n t s e x a c t l y h o w t o d o a p a r t i c u l a r p r o b l e m , I a s k e d s t u d e n t s q u e s t i o n s t o h e l p t h e m i n t e r p r e t t h e t a s k . T h e l e s s o n o n m a k i n g l a b e l s f o r c a n s i s a n e x a m p l e o f t h i s . O t h e r t i m e s I a s k e d s t u d e n t s q u e s t i o n s i n h o p e s o f h e l p i n g t h e m t o d e c i d e w h e t h e r t h e i r a n s w e r s m a d e s e n s e . T h e s e r i e s o f l e s s o n s a r o u n d a d d i n g f r a c t i o n s i s a g o o d e x a m p l e o f s t u d e n t s l e a r n i n g t o e x p r e s s a n d c o n s i d e r t h e r e a s o n a b l e n e s s o f 3 5 0 s e v e r a l d i f f e r e n t s o l u t i o n s t o t h e s a m e p r o b l e m a n d d e c i d e f o r t h e m s e l v e s w h i c h w a s t h e r i g h t a n s w e r a n d w h y . E f f o r t s t o c o m p l e t e l y e l i m i n a t e a p a r t i c u l a r t e a c h i n g b e h a v i o r w e r e e x t r e m e l y d i f fi c u l t a n d d i d n o t l e a d t o t h e p r a c t i c e I i m a g i n e d . F a i l e d e f f o r t s t o e l i m i n a t e t e l l i n g c o m p l e t e l y f r o m m y p r a c t i c e a n d p r o d u c e t h e i m a g e o f t e a c h i n g I w a s a f t e r f o r c e d m e t o r e c o n s i d e r t h e p l a c e o f t e l l i n g i n m y p a s t t e a c h i n g a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a p a r t i c u l a r t e a c h e r b e h a v i o r a n d p a s t a n d n e w v i e w s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , t h e o r i e s o f l e a r n i n g , a n d i m a g e s o f t e a c h i n g . I g a i n e d a n e w a p p r e c i a t i o n f o r t h e c o m p l e x i t i e s o f t e l l i n g a n d a s k i n g q u e s t i o n s . T h e b o u n d a r i e s o f t e l l i n g a n d n o t t e l l i n g b e g a n t o b l u r a s I m o v e d a w a y f r o m s e e i n g t h e m a s o p p o s i t e e l e m e n t s o f a t e a c h e r ’ s p r a c t i c e t h a t c o u l d b e e a s i l y s w i t c h e d o n o r o f f l i k e e a t i n g d a i r y p r o d u c t s o r n o t w o u l d b e f o r a d i e t e r . J u s t a s t h e i n t o n a t i o n o f a s t a t e m e n t c a n d e n o t e a q u e s t i o n , s o c a n a q u e s t i o n b e c o n s t r u c t e d i n a w a y s o a s t o i n d i c a t e t e l l i n g . M a n y o f t h e q u e s t i o n s a r o u n d t h e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r f o r w o r k i n g m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s c o u l d b e s a i d t o b e o f a " t e l l i n g n a t u r e , " i n t h a t t h e y p r e s s e d f o r c o n v e r g e n c e . M a n y h a d a s i n g l e r i g h t a n s w e r a n d w e r e n o t a t a l l a b o u t e x p l o r i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s . A n o t h e r e x a m p l e o f t e l l i n g i s f o u n d i n S i p h o ’ s o b s e r v a t i o n o f t h e d i s c r e p a n c i e s o f m u l t i p l e m e a s u r e m e n t s o f a s i n g l e c a n i n t h e m i d s t o f a s e r i e s o f l e s s o n s a r o u n d m a k i n g l a b e l s f o r c a n s . I n t h i s e x a m p l e , S i p h o ’ s o b s e r v a t i o n n a r r o w s t h e f o c u s b u t d o e s s o i n w a y t h a t h i g h l i g h t s a m a t h e m a t i c a l i d e a a n d m o v e s t h e w h o l e g r o u p f o r w a r d i n t h i n k i n g a b o u t m e a s u r e m e n t . T h e t e l l i n g I d i d i n m y i n t e r a c t i o n s w i t h A r i f a r o u n d t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f m u l t i p l i c a t i o n a n d t h e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r i s a n o t h e r e x a m p l e o f u s i n g t e l l i n g t o n a r r o w t h e f o c u s a n d , i n d o i n g s o , i l l u s t r a t e s o m e t h i n g i m p o r t a n t a b o u t t h e m a t h e m a t i c s . T h e s e l a t t e r t w o e x a m p l e s , w i t h s i m i l a r o n e s o c c u r r i n g i n o t h e r l e s s o n s t h r o u g h o u t t h e y e a r , a r e 3 5 1 w h a t h a v e h e l p e d m e t o r e c o n s i d e r t h e r o l e o f t e l l i n g i n t e a c h i n g . T e l l i n g w a s m o r e c o m p l e x t h a n I u n d e r s t o o d i t t o b e i n t h e c o n t e x t o f m y p a s t p r a c t i c e . I t w a s n o t s i m p l y a n e v i l a c t t o b e s h u n n e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . A t t h e t i m e , I d i d n o t a p p r e c i a t e t h e c o m p l e x i t i e s o f " t e l l i n g " a n d " n o t t e l l i n g . " M y v i e w a t t h e t i m e w a s t h a t i f I d i d n o t t e l l , t h e a l t e r n a t i v e w a s t o a s k o n l y q u e s t i o n s . I n t r y i n g t o d o t h i s , I l e a r n e d m u c h a b o u t w h a t i t t a k e s t o a s k q u e s t i o n s i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I fi g u r e d o u t t h a t q u e s t i o n s d e s i g n e d t o p r o m o t e a d i s c u s s i o n o f i d e a s a r e n o t g e n e r i c . T h e r e i s m o r e , f o r e x a m p l e , t o i n i t i a t i n g a d i s c u s s i o n t h a n a s k i n g w h a t p e o p l e t h i n k . W a y s t o g e t p e o p l e t o t a l k a b o u t i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d w h a t I w a s t o d o w i t h s t u d e n t s ’ i d e a s w a s c l o s e l y t i e d t o w h a t I u n d e r s t o o d a b o u t w h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s a n d w h a t I w a n t e d s t u d e n t s t o l e a r n . A s k i n g b e t t e r q u e s t i o n s , o n e s t h a t c o n n e c t e d t o t h e m a t h e m a t i c s , w a s t e a c h i n g ; m a y b e e v e n t e l l i n g , b e c a u s e i t i s a w a y o f t e l l i n g p e o p l e w h a t t o t h i n k a b o u t . K n o w i n g w h a t q u e s t i o n s t o a s k , o f w h o m , w h e n , a n d f o r w h a t p u r p o s e s i s i n t i m a t e l y c o n n e c t e d t o m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s . E x a m p l e s o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m y o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s a n d m y a b i l i t y o r i n a b i l i t y t o a s k u s e f u l q u e s t i o n s c a n b e f o u n d t h r o u g h o u t a l l f o u r o f t h e a n a l y s i s c h a p t e r s o f t h i s t h e s i s . A l t h o u g h I e n t e r e d t h a t s c h o o l y e a r e x p e c t i n g n o t t o t e l l , I h a d n o t t h o u g h t f a r e n o u g h a h e a d t o b e a b l e t o a n t i c i p a t e t h e c o n s e q u e n c e s o f a s k i n g s t u d e n t s q u e s t i o n s i n t e n d i n g t o p r o b e t h e i r t h i n k i n g r a t h e r t h a n c h e c k i n g t h e i r a b i l i t y t o h a v e f o u n d t h e r i g h t a n s w e r . I h a d t o f i g u r e o u t h o w t o r e s p o n d t o s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o m y q u e s t i o n s . I t w a s n o t a s i m p l e m a t t e r o f n o t t e l l i n g s t u d e n t s w h e t h e r t h e y w e r e r i g h t o r w r o n g . O n e m i g h t t h i n k t h a t a s k i n g q u e s t i o n s i s a w a y f o r t e a c h e r s t o h i d e t h e m a t h e m a t i c s t h e y d o n o t u n d e r s t a n d . I f o u n d , 3 5 2 h o w e v e r , t h a t a s k i n g g o o d q u e s t i o n s r e q u i r e d m e t o u n d e r s t a n d m o r e m a t h e m a t i c s t h a n d i d t e l l i n g s t u d e n t s t h e r i g h t a n s w e r s . I c o u l d r e l y o n t h e t e x t b o o k ' s u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s f o r t h e a n s w e r s , b u t m y o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s w a s e s s e n t i a l f o r a s k i n g g o o d q u e s t i o n s . M y f r u s t r a t i o n s w i t h o n l y a s k i n g q u e s t i o n s l e d m e t o r e c o n s i d e r t e l l i n g i n m y p r a c t i c e i n c l u d i n g w h a t i t m e a n s t o t e l l a n d w h e n i t m i g h t b e a p p r o p r i a t e t o t e l l . A s a t e a c h e r , I n e e d e d t o b e c o m e a c t i v e l y e n g a g e d i n d e c i d i n g f r o m m o m e n t t o m o m e n t w h e t h e r o r n o t i t m a d e s e n s e t o t e l l . I f s o , w h a t c o u l d I t e l l t h a t w o u l d m a k e a d i f f e r e n c e ? D e c i d i n g w h e t h e r t o t e l l , w h a t t o t e l l , t o w h o m , a n d w h e n w a s a c h a l l e n g e t h r o u g h o u t m y t e a c h i n g . T h e s e r i e s o f l e s s o n s a r o u n d t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s i s a g o o d e x a m p l e o f w h a t i t m e a n s f o r a t e a c h e r t o s t r u g g l e t o fi g u r e o u t w h a t t o t e l l t h a t w i l l m a k e a d i f f e r e n c e . I n t h a t s e r i e s o f l e s s o n s , m y d i f fi c u l t i e s w i t h fi g u r i n g o u t w h a t t o d o n e x t w e r e c o n n e c t e d i n i m p o r t a n t w a y s t o w h a t i t w a s t h a t I u n d e r s t o o d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s a n d w h a t i t w a s t h a t I u n d e r s t o o d a b o u t w h a t m y s t u d e n t s u n d e r s t o o d . D e c i s i o n s t o t e l l d e p e n d o n l e a r n i n g h o w t o a s s e s s s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g a s a n o n g o i n g p a r t o f t e a c h i n g i n w a y s t h a t i l l u s t r a t e w h e t h e r w h a t w a s t o l d m a d e a d i f f e r e n c e i n s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g . I w a s l e a r n i n g h o w t o i m p r o v i s e a s I m a d e d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o s a y o r d o n e x t . T e l l i n g w a s o n e o f t h e p a t h w a y s I c o u l d c h o o s e t o t a k e i n a m o m e n t w h e n I h a d t o a c t . A s I l e a r n e d t o s e e t e l l i n g a s a c h o i c e , I w a s a l s o l e a r n i n g t h a t I n e e d e d t o b e c o m e t h o u g h t f u l a b o u t t h e o c c a s i o n s i n w h i c h I c h o s e t o t e l l . T h e y w e r e n o t n e c e s s a r i l y m o m e n t s I c o u l d p r e d i c t p r i o r t o b e i n g i n t h e m . T h e p r o c e s s o f c o m p l e t e l y a b a n d o n i n g p a s t p r a c t i c e s a s a w a y o f c h a n g i n g t e a c h i n g d i d n o t m a k e s e n s e i n t h e c o n t e x t o f t h e t e a c h i n g I w a s a i m i n g t o d o . E f f o r t s t o a b a n d o n t h i s e l e m e n t o f t e a c h i n g d i d p u s h m e t o r e c o n s i d e r t h e p l a c e o f t e l l i n g i n m y o l d p r a c t i c e a s w e l l a s t h e n e w o n e I w a s t r y i n g t o c r e a t e . I n c o n t r a s t t o m y p a s t p r a c t i c e w h e r e I n e v e r c o n s i d e r e d w h e t h e r o r n o t t o t e l l , I j u s t 3 5 3 d i d i t , I w a s l e a r n i n g t h a t i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g I c o u l d n o t p r e d i c t o u t o f t h e s i t u a t i o n w h a t I n e e d e d t o d o i n t h e s i t u a t i o n . I h a d t o d e c i d e i n t h e m o m e n t w h a t I c o u l d d o t h a t w o u l d m a k e a d i f f e r e n c e . S o m e t i m e s t h a t m i g h t b e t e l l i n g a n d o t h e r t i m e s i t m i g h t b e s o m e t h i n g e l s e . W h a t e v e r I d e c i d e d t o d o , I l e a r n e d t h a t I n e e d e d t o b e c l e a r o n t h e r e a s o n g i v e n t h e s u r p r i s e s t h a t m i g h t a r i s e a s a c o n s e q u e n c e o f m y a c t i o n s . W m W h i l e t h e r e w e r e s o m e t e a c h i n g p r a c t i c e s , l i k e t e l l i n g , I t h o u g h t I n e e d e d t o c o m p l e t e l y a b a n d o n , t h e r e w e r e o t h e r e l e m e n t s o f m y p r a c t i c e I t h o u g h t I n e e d e d t o r e p l a c e . F o r e x a m p l e , I e n v i s i o n e d t h a t t h e a s s u m p t i o n f r o m m y o l d p r a c t i c e t h a t a t e a c h e r f o l l o w s a p r e s c r i b e d c u r r i c u l u m a s r e p r e s e n t e d b y a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k w o u l d b e r e p l a c e d b y t h e e x p e c t a t i o n t h a t a t e a c h e r c o n s t r u c t t h e c u r r i c u l u m w i t h h e r s t u d e n t s . I n a c o n t e x t w h e r e s t u d e n t s w e r e s u p p o s e d t o c o n s t r u c t t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s a s a m e a n s o f l e a r n i n g , I e x p e c t e d t h a t s u c h a c h a n g e i n t e a c h i n g w o u l d m e a n t h a t a u t h o r i t y f o r t h e c u r r i c u l u m w o u l d b e t r a n s f e r r e d f r o m t h e t e x t b o o k t o t h e s t u d e n t s . _ I w a s , h o w e v e r , f r i g h t e n e d a t t h e t h o u g h t o f g i v i n g s t u d e n t s a n y c o n t r o l o v e r t h e c u r r i c u l u m w h e n I f e l t s o u n c e r t a i n a b o u t e v e r y t h i n g m y s e l f . A t t h e t i m e , a r e a s o n a b l e a l t e r n a t i v e w a s t o m a k e u s e o f a n e w m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , o n e i n w h i c h t h e p e d a g o g y a n d c o n t e n t w a s i n t e n d e d t o b e m o r e l i k e w h a t t h e r e f o r m e r s h a d i n m i n d t h a n o t h e r m o r e r u l e b a s e d a n d c o m p u t a t i o n d r i v e n t e x t s . F o l l o w i n g a n e w t e x t b o o k s e e m e d l i k e a r e a s o n a b l e w a y t o b e g i n t o c h a n g e m y p r a c t i c e . I t s e e m e d u s e f u l t o h a v e a t e x t t h a t w o u l d b e g i n t o h e l p m e c o n s i d e r c o n t e n t a n d p e d a g o g y i n n e w w a y s . T h i s l i n e o f t h i n k i n g i s n o t u n l i k e t h e t h o u g h t s o f m a n y p o l i c y m a k e r s a n d s c h o o l r e f o r m e r s w h o p r o m o t e t h e a d o p t i o n o f n e w t e x t b o o k s a s a m e a n s o f c h a n g i n g t e a c h i n g . C h a n g i n g p r a c t i c e , h o w e v e r , d i d n o t t u r n o u t t o b e a s e a s y a s c h a n g i n g t e x t b o o k s . 3 5 4 I h a d t w o e x p e c t a t i o n s f o r t h i s n e w t e a c h e r ’ s g u i d e w h e n I s t a r t e d u s i n g i t . O n e w a s t h a t I t h o u g h t t h e t e x t b o o k c o u l d c o v e r f o r t h e m a t h e m a t i c s I d i d n o t u n d e r s t a n d . A n o t h e r w a s t h a t I t h o u g h t t h e t e x t b o o k w o u l d h e l p m e t o r e s p o n d t o s t u d e n t s . I n r e a l i t y , I c a m e t o s e e t h a t t h e t e x t b o o k c o u l d n o t b e u l t i m a t e l y r e s p o n s i b l e f o r e i t h e r o f t h e s e c e n t r a l t a s k s o f t e a c h i n g ( F e i m a n — N e m s e r 8 : B u c h m a n n , 1 9 8 6 ) . R e l y i n g t o o h e a v i l y o n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e d i d n o t p r o d u c e t h e t e a c h i n g I i m a g i n e d I w a s a f t e r . T h e n e e d f o r m y o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s i n t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g b e c a m e e v i d e n t t h r o u g h i t s a b s e n c e . W i t h o u t a d e e p u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s I w a n t e d s t u d e n t s t o l e a r n , I d i d n o t f e e l l i k e I h a d t h e i n t e l l e c t u a l fl e x i b i l i t y t o i n t e r p r e t a n d b u i l d o n a v a r i e t y o f s t u d e n t s ’ i d e a s . C l i n g i n g t o t h e t e x t c o n s t r a i n e d w h a t I f e l t I w a s a b l e t o d o f r o m m o m e n t t o m o m e n t . L o o s e n i n g m y g r i p o n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e , l e f t m e f r e e t o r e s p o n d t o s t u d e n t s i n w a y s t h a t m a d e s e n s e t o m e r a t h e r t h a n i n w a y s t h a t m a d e s e n s e t o t h e a u t h o r o f a t e x t b o o k l e s s o n w h o d i d n o t k n o w m y s t u d e n t s . P e d a g o g i c a l t a s k s s u c h a s a s k i n g q u e s t i o n s o r g u i d i n g c l a s s d i s c u s s i o n s , t h a t o n t h e s u r f a c e l o o k e d g e n e r i c , w e r e a c t u a l l y c o n n e c t e d i n d e e p w a y s t o m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t m a t t e r . T o b e a b l e t o c a r r y o u t t h e s e t a s k s p r o d u c t i v e l y I n e e d e d t o l e a r n t o b e c o n n e c t e d t o w h a t w a s h a p p e n i n g w i t h m y s t u d e n t s a n d t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f i d e a s i n w a y s t h a t a l l o w e d m e t o b e c o n s t a n t l y t r y i n g t o l e a r n w h a t s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g o r f e e l i n g a t p a r t i c u l a r p o i n t s i n t i m e . T h i s k i n d o f t e a c h i n g p l a c e d i n t e l l e c t u a l a n d s e n s o r y d e m a n d s o n m e i n w a y s t h a t n o t e x t b o o k c o u l d r e p l a c e . U s i n g a n i n n o v a t i v e t e x t b o o k d i d n o t m a k e m u c h o f a d i f f e r e n c e w h e n I a t t e m p t e d t o u s e i t a s a s u b s t i t u t e f o r m y o w n p e d a g o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s . R a t h e r t h a n c o m p l e t e l y t h r o w i n g o u t a l l t e x t b o o k s , I s t a r t e d a s k i n g n e w q u e s t i o n s . F o r e x a m p l e , i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , w h a t i s t h e t e a c h e r ’ s g u i d e 3 5 5 i n t e n d e d t o g u i d e ? C o u l d ” f o l l o w ” m e a n s o m e t h i n g n e w ? W h a t w o u l d i t m e a n t o t r y t o u s e a t e x t b o o k a s a r e s o u r c e i n s t e a d o f a s c r i p t ? W h a t w o u l d i t m e a n t o r e c o n s i d e r m y e x p e c t a t i o n s o f a t e x t b o o k ? W h a t n e w c o n s i d e r a t i o n s c o u l d b e e n t e r t a i n e d f o r t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f a t e a c h e r ' s g u i d e ? A l l i m p o r t a n t i s s u e s : I w i l l r e t u r n t o c o n s i d e r w h a t t h e s e m i g h t s u g g e s t f o r t h e d e v e l o p m e n t o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a t t h e e n d o f t h i s c h a p t e r . A s t h e s c h o o l y e a r p r o g r e s s e d , I b e c a m e l e s s r e l i a n t o n t h e t e x t b o o k a n d m o r e s e l f - s u f fi c i e n t i n t e r m s o f d e c i d i n g f o r m y s e l f w h a t t o d o n e x t . L o o k i n g o v e r a n d t h i n k i n g t h r o u g h h o w I w o u l d i m p l e m e n t t h e p r e p l a n n e d l e s s o n s i n t h e t e x t b o o k w a s i n a d e q u a t e p r e p a r a t i o n f o r t h e s p o n t a n e o u s s o r t o f d e c i s i o n m a k i n g a n d a c t i o n d e m a n d e d i n t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . I s a w t h e n e e d t o l e a r n t o a c q u i r e a n d a c t o n m y o w n s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c s , m y o w n s e n s e o f w h a t m y s t u d e n t s u n d e r s t o o d , a n d m y o w n s e n s e o f p u r p o s e f o r w h a t w e w e r e d o i n g . W h a t I w a s b e g i n n i n g t o s e e a s a m a j o r p a r t o f m y r o l e a s a t e a c h e r i n v o l v e d t h e s o r t o f i n t e r a c t i o n s a n d s u b s e q u e n t d e c i s i o n m a k i n g a n d r e s p o n s i v e n e s s t h a t c o u l d n o t b e w h o l l y d e t e r m i n e d b y a t e x t b o o k . 1 , n o t t h e t e x t b o o k , n e e d e d t o b e i n c o n t r o l o f w h a t t o d o n e x t . I w a s l e a r n i n g h o w t o t a k e a n a c t i v e r o l e i n c o n s t r u c t i n g t h e c u r r i c u l u m w i t h s t u d e n t s o n a d a y t o d a y a n d m o m e n t - t o - m o m e n t b a s i s . T h e m a k i n g o f l a b e l s f o r c a n s i s a n e x a m p l e o f m y s t u d e n t s a n d I t a k i n g c o n t r o l o v e r t h e c u r r i c u l u m o n a d a y t o d a y b a s i s . W h a t w a s i n t e n d e d a s a o n e d a y l e s s o n b y t h e t e a c h e r ’ s g u i d e e v o l v e d i n t o a s e r i e s o f l e s s o n s a s I f o l l o w e d s t u d e n t s ’ i n t e r e s t s i n t h e p r o b l e m . T h e l e s s o n a b o u t m u l t i p l i c a t i o n i n t h e c o n t e x t o f t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i s a n e x a m p l e o f h o w I w a s l e a r n i n g t o t a k e c o n t r o l o f t h e c u r r i c u l u m i n t h e m o m e n t - t o - m o m e n t w o r k o f t e a c h i n g a s I c o n t i n u a l l y fi g u r e d o u t h o w t o i n t e r p r e t a n d b u i l d o n s t u d e n t s ’ i d e a s . F o l l o w i n g t h e m a t h e m a t i c s t e x t b o o k t w o p a g e s a t a t i m e , p r o b l e m b y p r o b l e m , a s I h a d d o n e f o r m a n y y e a r s a s a t e a c h e r , 3 5 6 a n d b e f o r e t h a t , a s a s t u d e n t w a s n o l o n g e r a n a p p r o p r i a t e t h i n g t o d o . I w a s l e a r n i n g t o p u t m y s e l f i n a d i f f e r e n t r e l a t i o n s h i p t o t h e c u r r i c u l u m . T h e c u r r i c u l u m w a s n o t s o m e t h i n g d i s c o n n e c t e d f r o m m e , m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i m m e d i a t e s i t u a t i o n , m y u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c s , o r m y s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s . I n e e d e d t o l e a r n t o s e e m y s e l f a s c a p a b l e o f c o n s t r u c t i n g k n o w l e d g e a b o u t c o n t e n t a n d p e d a g o g y . I n e e d e d , h o w e v e r , t o d o m o r e t h a n j u s t b e l i e v e I w a s c a p a b l e . I h a d t o l e a r n t o t h i n k a n d r e a s o n a b o u t w h a t m a d e m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l s e n s e t o d o n e x t . M a k i n g t h e c h a n g e f r o m f o l l o w i n g a p r e s c r i b e d c u r r i c u l u m t o o n e i n w h i c h t h e s t u d e n t s ’ i d e a s a n d m i n e p l a y e d a m a j o r r o l e i n c u r r i c u l u m c o n s t r u c t i o n w a s n o t a s i m p l e m a t t e r o f t r a n s f e r r i n g a u t h o r i t y f r o m t h e t e x t b o o k t o t h e s t u d e n t s . I n e e d e d t o s e e m y s e l f a s a n d a c t a s a k e y p l a y e r w h o m e d i a t e d t h e u s e o f a t e x t a s w e l l a s s t u d e n t s ’ i d e a s i n t h e m o m e n t t o m o m e n t a n d d a y t o d a y d e c i s i o n m a k i n g d e m a n d e d b y t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . R e c e u s i d e r Q l d p r a c t i c e s . e n t e c t e i n n e w c n e s . I n e a c h c a s e , t h e r e a l i t i e s o f p r a c t i c e c h a n g e d m y u n d e r s t a n d i n g o f w h a t w a s e n t a i l e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d r e v i s e d m y e x p e c t a t i o n s f o r w h a t i t m i g h t t a k e t o m a k e c h a n g e s i n m y p r a c t i c e . F r a m i n g t h e c o n t r a s t s b e t w e e n o l d a n d n e w p r a c t i c e i n t e r m s o f d i c h o t o m i e s o f s k i l l s w a s n o t u s e f u l . A b a n d o n i n g o r r e p l a c i n g e l e m e n t s o f t e a c h i n g w a s a f a r t o o s i m p l e w a y t o v i e w t e a c h e r c h a n g e . W h e n I r e a l i z e d t h e i n a d e q u a c y o f t h e d i c h o t o m i e s , I f o u n d m y s e l f h a v i n g t o c a r v e o u t a n d i n v e n t a p r a c t i c e . I n e e d e d t o l e a r n t o fi g u r e o u t w a y s t o d e c i d e i n t h e m o m e n t w h a t t o d o n e x t . S o m e t i m e s t h e w o r k w a s a s s p e c i f i c a s fi g u r i n g o u t w h a t t o s a y o r d o n e x t . O t h e r t i m e s , t h e w o r k e n t a i l e d t h i n k i n g i n m o r e g e n e r a l t e r m s a b o u t p u r p o s e s a n d p o s s i b l e n e x t m o v e s a s I w o r k e d t o c o n s t r u c t t h e 3 5 7 c u r r i c u l u m b a s e d o n w h a t m y s t u d e n t s u n d e r s t o o d a n d m y s e n s e o f t h e p u r p o s e s o f w h a t I w a s t e a c h i n g . I h a v e a n e w a p p r e c i a t i o n f o r a c h a r t I b o r r o w e d f r o m t h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r S c h o o l M a t h e m a t i c s ( N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 9 ) a n d u s e d i n t h e i n t r o d u c t o r y c h a p t e r o f t h i s d i s s e r t a t i o n . G r a d e l e v e l I n c r e a s e d A t t e n t i o n D e c r e a s e d A t t e n t i o n u s e o f m a n i p u l a t i v e m a t e r i a l s r o t e p r a c t i c e c o o p e r a t i v e w o r k r o t e m e m o r i z a t i o n o f r u l e s d i s c u s s i o n o f m a t h e m a t i c s o n e a n s w e r a n d o n e m e t h o d q u e s t i o n i n g u s e o f w o r k s h e e t s K — 4 j u s t i fi c a t i o n o f t h i n k i n g w r i t t e n p r a c t i c e w r i t i n g a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g b y t e l l i n g p r o b l e m - s o l v i n g a p p r o a c h t o i n s t r u c t i o n c o n t e n t i n t e g r a t i o n u s e o f c a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r s a c t i v e l y i n v o l v i n g s t u d e n t s t e a c h i n g c o m p u t a t i o n s o u t o f c o n t e x t i n d i v i d u a l l y a n d i n g r o u p s i n d r i l l i n g o n p a p e r - a n d - p e n c i l e x p l o r i n g , c o n j e c t u r i n g , a n a l y z i n g , a l g o r i t h m s a n d a p p l y i n g m a t h e m a t i c s i n b o t h a t e a c h i n g t o p i c s i n i s o l a t i o n 5 - 8 m a t h e m a t i c a l a n d a r e a l - w o r l d c o n t e x t s t r e s s i n g m e m o r i z a t i o n u s i n g a p p r o p r i a t e t e c h n o l o g y f o r b e i n g t h e d i s p e n s e r o f k n o w l e d g e c o m p u t a t i o n a n d e x p l o r a t i o n t e s t i n g f o r t h e s o l e p u r p o s e o f u s i n g c o n c r e t e m a t e r i a l s a s s i g n i n g g r a d e s b e i n g a f a c i l i t a t o r o f l e a r n i n g a s s e s s i n g l e a r n i n g a s a n i n t e g r a l p a r t o f i n s t r u c t i o n ( p p . 2 0 , 2 1 , 7 2 , 7 3 ) F i g u r e 8 . 2 P r a c t i c e s t o i n c r e a s e a n d d e c r e a s e t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g W i t h o u t l o o k i n g c a r e f u l l y , o n e c o u l d e a s i l y c o n s t r u e t h e l e f t h a n d c o l u m n t o b e r e p r e s e n t a t i v e o f n e w p r a c t i c e a n d t h e r i g h t h a n d c o l u m n t o b e r e p r e s e n t a t i v e o f o l d p r a c t i c e . I n s h o r t , t h i s c h a r t c o u l d b e s e e n a s a l i s t o f s h o u l d s a n d s h o u l d n o t s . W h a t I n o w h a v e a n a p p r e c i a t i o n f o r a r e t h e h e a d i n g s - i n c r e a s e d a t t e n t i o n , d e c r e a s e d a t t e n t i o n n a n d h o w t h e y r e l a t e t o e a c h o f t h e c o l u m n s . T h e s e a r e n o t a l i s t o f d o s a n d d o n ’ t s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e y a r e n o t 3 5 8 s i m p l y w a y s o f a c t i n g a s a t e a c h e r t h a t o n e c a n e i t h e r d o o r n o t d o . T h e y a r e n e w a n d o l d i d e a s a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s t h a t t e a c h e r s l e a r n t o c o m p o s e i n a v a r i e t y o f w a y s t o v a r y i n g d e g r e e s a t d i f f e r e n t p o i n t s d u r i n g t e a c h i n g . C h a n g i n g t e a c h i n g i s a b o u t l e a r n i n g t o m a k e j u d g m e n t s a b o u t w h a t t o d o w h e n i n t h e a c t o f t e a c h i n g . R a t h e r t h a n a b a n d o n i n g t h e o l d o r r e p l a c i n g t h e o l d w i t h t h e n e w , c h a n g i n g t e a c h i n g i n t h e d i r e c t i o n o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g r e q u i r e s a s k i l l f u l m e r g i n g o f o l d a n d n e w p r a c t i c e s . T h i s e n t a i l s l e a r n i n g t o e n a c t n e w s k i l l s , r o u t i n e s , a n d b e h a v i o r s a s a t e a c h e r i n w a y s t h a t a c k n o w l e d g e , r a t h e r t h a n i g n o r e , p r e v i o u s p r a c t i c e s . A m fi c i t M e d e l Q f S u b j e c t M a t t e r K n e w l e d g e T h e n e e d f o r t e a c h e r s t o h a v e m o r e s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i s a c o m m o n r e f r a i n i n t e a c h e r e d u c a t i o n ( e . g . , B a l l , 1 9 8 8 a ; B a l l & M c D i a r m i d , 1 9 9 0 ; G r o s s m a n , 1 9 9 0 ; G u d m u n d s d o t t i r , 1 9 9 0 ; W i l s o n & W i n e b e r g , 1 9 8 8 ) . F e w r e s e a r c h e r s , h o w e v e r , h a v e c o n f r o n t e d h e a d o n w h a t m a t h e m a t i c s i t i s t h a t t e a c h e r s n e e d t o k n o w . D o i n g t h e a n a l y s e s o f t e a c h i n g f o r m y t h e s i s , i n p a r t , w a s a n o p p o r t u n i t y f o r m e t o e x p l o r e , i n - d e p t h , t h e m a t h e m a t i c s i t m i g h t h a v e b e e n u s e f u l t o h a v e k n o w n a t t h e t i m e I t a u g h t t h o s e l e s s o n s . L o o k i n g b a c k o n t h o s e c h a p t e r s , I c o n t e m p l a t e w h a t I l e a r n e d a b o u t t h e n a t u r e o f t h e m a t h e m a t i c s t h a t I n e e d e d t o l e a r n . S h u l m a n ( 1 9 8 6 ) i d e n t i fi e s t h e o r e t i c a l l y t h e i n t e r s e c t i o n b e t w e e n s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e a n d t e a c h i n g a s " p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . " H e c l a i m s t h a t i t i s o n e o f s e v e r a l c o m p o n e n t s o f t h e b r o a d e r c o n s t r u c t o f s t r a t e g i c k n o w l e d g e ( S h u l m a n , 1 9 8 6 ) — a t h e o r e t i c a l c o n s t r u c t f o r t h e k n o w l e d g e n e e d e d t o m a k e m o m e n t - t o - m o m e n t d e c i s i o n s i n s i t u a t i o n s w h e r e p r i n c i p l e s o f p r a c t i c e a r e n o t h e l p f u l . M a n y o f t h e p r e v i o u s s t u d i e s o n s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n t e a c h i n g l o o k e d a t n o v i c e s ' d e v e l o p m e n t o f t h e s e k i n d s o f t e a c h e r k n o w l e d g e , n o v i c e s w h o h a d h a d o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n t h e s u b j e c t m a t t e r f o l l o w e d b y o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n h o w t o u s e t h e i r s u b j e c t m a t t e r k n o w l e d g e i n t e a c h i n g . 3 5 9 M y s t u d y t a c k l e s i s s u e s r e l a t e d t o t h e s i m u l t a n e o u s a c q u i s i t i o n a n d u s e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i n t h e c o u r s e o f t e a c h i n g . N e t e n e u g h a n w l e d g e . I b e g a n t h i s t e a c h i n g e x p e c t i n g t h a t w h a t I w o u l d h a v e t o l e a r n w a s m o r e m a t h e m a t i c s t h a n w h a t I k n e w . Y e a r s e a r l i e r , i n c o l l e g e , I t o o k m a t h e m a t i c s c l a s s e s t h r o u g h c a l c u l u s t h o u g h I c o u l d n o t r e c a l l m u c h o f w h a t I h a d l e a r n e d n o r c o u l d I s e e e x p l i c i t c o n n e c t i o n s b e t w e e n h i g h e r l e v e l m a t h e m a t i c s a n d t h e m a t h e m a t i c s I w o u l d b e t e a c h i n g t o f o u r t h g r a d e r s . I i m a g i n e d t h a t a s I t a u g h t I w o u l d d i s c o v e r w h a t I n e e d e d t o l e a r n . I e x p e c t e d t h e d a y t o c o m e , a d m i t t e d l y , p e r h a p s n o t d u r i n g t h a t y e a r , w h e n I c o u l d s a y t h a t I u n d e r s t o o d t h e m a t h e m a t i c s I n e e d e d t o k n o w a n d t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w o u l d , h e n c e f o r t h , b e c o m e e a s i e r . I n t h e m e a n t i m e , I w o u l d t a k e c o m f o r t i n k n o w i n g t h a t I w a s g o i n g t o s t a r t o f f u s i n g a m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m t h a t a t t e m p t e d t o t e a c h a n d r e p r e s e n t m a t h e m a t i c s i n w a y s l e s s t r a d i t i o n a l a n d m o r e c o n c e p t u a l t h a n t h e p r e v i o u s m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s I h a d e n c o u n t e r e d i n t h e p a s t . E v e n i f I d i d n o t f u l l y u n d e r s t a n d a l l o f t h e m a t h e m a t i c s I t h o u g h t I n e e d e d t o k n o w , a t l e a s t I c o u l d fi n d s o m e s e c u r i t y i n a t e x t b o o k t h a t d i d . H o w e v e r , I s o o n c a m e t o r e v i s e m y e x p e c t a t i o n s o f t h e t e x t a s I r e c o n s i d e r e d h o w r e a s o n a b l e i t r e a l l y w a s t o a t t r i b u t e t o t h e t e x t a l l c o n t e n t a n d p e d a g o g i c a l a u t h o r i t y , g i v e n t h e k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g I w a s a i m i n g t o d o . A s I m a d e m y w a y t h r o u g h t h e l e s s o n s i n t h e m a t h e m a t i c s t e x t b o o k , m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n s a r o s e f o r m e a s I t r i e d t o d i s c u s s m a t h p r o b l e m s a n d s o l u t i o n s w i t h m y s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , I s t a r t e d b e i n g c o n c e r n e d t h a t I d i d n o t u n d e r s t a n d t h e r e l e v a n c e o f p a t t e r n s a s t h e y r e l a t e d t o f u n c t i o n s . T h e c o n n e c t i o n a n d i m p o r t a n c e w a s i m p l i e d w i t h i n t h e t e x t b u t i t w a s n o t a n y t h i n g I c o u l d u n d e r s t a n d a t t h e t i m e . W h a t w a s a f u n c t i o n ? W h a t d i d i t m e a n t o c o m p o s e t w o f u n c t i o n s ? W h y l o o k f o r p a t t e r n s i n t h e c o n t e x t o f f u n c t i o n s ? W h a t d i d o n e n e e d t o u n d e r s t a n d t o m a k e s e n s e o f t h e r u l e s a n d p r o c e d u r e s t h a t g o v e r n e d w o r k 3 6 0 w i t h f r a c t i o n s ? T h e s e q u e s t i o n s c o u l d n o t n e c e s s a r i l y b e a n s w e r e d b y l e a r n i n g m o r e m a t h . R a t h e r , t h e m a t h e m a t i c s I n e e d e d t o l e a r n i n v o l v e d t a k i n g a n e w l o o k a t t h e m a t h e m a t i c s I t h o u g h t I u n d e r s t o o d . T h e d i f fi c u l t i e s o f t h e c h a n g e s I t r i e d t o m a k e i n m y t e a c h i n g w e r e n o t c l e a r l y b e c a u s e I d i d n o t k n o w e n o u g h m a t h e m a t i c s . R a t h e r , t h e d i f f i c u l t i e s a r o s e b e c a u s e i t s e e m e d t h a t t h e m a t h e m a t i c s I n e e d e d t o u n d e r s t a n d w a s q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t f r o m t h e m a t h e m a t i c s I t h o u g h t I u n d e r s t o o d . A d i f f e r e n t k i n d e f k n e w l e d g e . W h e n I e x p e c t e d t h a t w h a t I n e e d e d t o k n o w w a s m o r e m a t h e m a t i c s , I a l s o e x p e c t e d t h a t s o m e d a y I w o u l d b e a b l e t o s a y I h a d l e a r n e d t h e m a t h e m a t i c s I n e e d e d t o k n o w t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . W h e n m y e x p e c t a t i o n s s h i f t e d f r o m t h e n e e d t o k n o w m o r e m a t h e m a t i c s t o t h e n e e d t o k n o w a q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t k i n d o f m a t h e m a t i c s , m y e x p e c t a t i o n o f e v e r k n o w i n g o r m a s t e r i n g a l l t h e m a t h e m a t i c s I n e e d e d t o k n o w v a n i s h e d . N o t , h o w e v e r , b e c a u s e t h e q u a n t i t y s e e m e d i n s u r m o u n t a b l e . R a t h e r , t h e n a t u r e o f w h a t I w a s l e a r n i n g I n e e d e d t o u n d e r s t a n d w a s a t a l e v e l o f i d e a s f u n d a m e n t a l t o t h e s t u d y o f m a t h e m a t i c s . I w a s l e a r n i n g t o l o o k f o r a n d a s k f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s - q u e s t i o n s w i t h o u t c l e a r r i g h t o r w r o n g a n s w e r s w h i c h p e o p l e w i t h v a r y i n g d e g r e e s o f m a t h e m a t i c a l i n t e r e s t a n d e x p e r t i s e h a v e s t r u g g l e d , a r g u e d a b o u t , a n d d e b a t e d o v e r t h r o u g h h i s t o r y . A n e x a m p l e o f t h e c o m p l e x i t y o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s t o w h i c h I a m r e f e r r i n g c a n b e f o u n d a t t h e h e a r t o f t h e i s s u e s t h a t a r o s e i n t h e c o n t e x t o f t h e p r o b l e m I g a v e s t u d e n t s t h a t d e a l t w i t h t h e a d d i t i o n o f t w o f r a c t i o n s w i t h l i k e d e n o m i n a t o r s : 3 / 4 + 2 / 4 . I w e n t i n t o t h i s l e s s o n k n o w i n g t h a t t h e a n s w e r w a s 5 / 4 b a s e d o n m y p a s t e x p e r i e n c e s w i t h l e a r n i n g a n d t e a c h i n g t h e r u l e n e e d e d t o s o l v e t h i s p r o b l e m : W h e n a d d i n g f r a c t i o n s w i t h l i k e d e n o m i n a t o r s , y o u a d d o n l y t h e n u m e r a t o r s a n d k e e p t h e d e n o m i n a t o r s t h e s a m e . I a l s o a n t i c i p a t e d t h a t a c o m m o n e r r o r s t u d e n t s m i g h t m a k e w o u l d b e t o a d d t h e d e n o m i n a t o r s . 3 6 1 T h e r e f o r e , 5 / 8 m i g h t b e a c o m m o n a n s w e r a m o n g m y s t u d e n t s b u t i t o b v i o u s l y w o u l d b e w r o n g . I t h o u g h t t h a t l e a r n i n g t h i s m a t h p r o b l e m " f o r u n d e r s t a n d i n g " w o u l d m e a n b e i n g a b l e t o c o m e U p w i t h a r e a s o n w h y i t m a d e s e n s e t o n o t a d d t h e d e n o m i n a t o r s . I w o r k e d f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e w a s a s i n g l e r i g h t a n s w e r a n d i t w a s m y r e s p o n s i b i l i t y i n t h e c o n t e x t o f t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o h e l p s t u d e n t s c o m e u p w i t h r e a s o n s t o e x p l a i n w h y t h a t w a s t h e c a s e . M u c h t o m y s u r p r i s e , t h e a n s w e r t h a t I t h o u g h t w a s u n d e n i a b l y w r o n g - - 5 / 8 - w a s , u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , a r e a s o n a b l e a n s w e r . W h e n a d d i n g t w o p r o b a b i l i t i e s , s u c h a s b a t t i n g a v e r a g e s , o n e a d d s t h e d e n o m i n a t o r s . F i v e e i g h t h s a l s o c o u l d b e c o n s t r u e d a s r e a s o n a b l e w h e n e x p l a i n e d w i t h c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s w h e r e t h e u n i t i s q u e s t i o n a b l e . F o r e x a m p l e , 5 / 4 o f o n e l a r g e s q u a r e i s e q u i v a l e n t t o 5 / 8 o f t w o l a r g e s q u a r e s . S e e F i g u r e 8 . 2 . F i g u r e 8 . 3 3 / 4 + 2 / 4 i s 5 / 4 o f o n e l a r g e s q u a r e o r 5 / 8 o f t w o l a r g e s q u a r e s I n t h i s r e p r e s e n t a t i o n , s i m i l a r t o w h a t m y s t u d e n t s a r g u e d , t h e w h o l e o r t h e u n i t i s n o t o b v i o u s . T a k i n g o n e l a r g e s q u a r e a s t h e w h o l e , t h e u n i t i s f o u r t h s . T a k i n g b o t h l a r g e s q u a r e s a s t h e w h o l e , t h e u n i t i s e i g h t h s . M y u n d e r s t a n d i n g o f w h a t i t c o u l d m e a n t o u n d e r s t a n d t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s b e c a m e m o r e c o m p l e x a s I l i s t e n e d a n d o b s e r v e d t h e w a y m y s t u d e n t s i n t e r p r e t e d t h i s p r o b l e m . T r y i n g t o c o m e u p w i t h r e a s o n s w h y t h e a n s w e r i s 5 / 4 i s f r a m i n g t h e p r o b l e m d i f f e r e n t l y t h a n t r y i n g t o u n d e r s t a n d u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e s o l u t i o n c o u l d b e 5 / 4 a n d 3 6 2 u n d e r w h a t c o n d i t i o n s 5 / 8 c o u l d m a k e s e n s e . U n d e r s t a n d i n g a r o u n d w h a t c e n t r a l m a t h e m a t i c a l i d e a s e i t h e r a r g u m e n t h i n g e d w a s a n i n t r i g u i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m f o r m e a n d m y s t u d e n t s . U n d e r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n , I l e a r n e d t h a t w h a t m y s t u d e n t s a n d I w e r e t r y i n g t o u n d e r s t a n d - - i s s u e s a b o u t t h e u n i t - w a s a m a j o r t h e m e i n t h e h i s t o r y o f t h e d e v e l o p m e n t o f r a t i o n a l n u m b e r s . I n t h e p r o c e s s o f w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m w i t h s t u d e n t s , I h a d h i t u p o n a k e y t o u n d e r s t a n d i n g f r a c t i o n s - w h a t i s t h e w h o l e ? T h r o u g h i n t e r a c t i o n s w i t h m y s t u d e n t s , I a l s o e x p a n d e d m y e x p e c t a t i o n s a n d s p a r k e d m y o w n c u r i o s i t i e s o f w h a t i t c o u l d m e a n t o u n d e r s t a n d t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s " f o r u n d e r s t a n d i n g " a n d m o r e g e n e r a l l y w h a t w o u l d i t m e a n t o u n d e r s t a n d r a t i o n a l n u m b e r s . N e w e x p e c t a t i e n s f e r k n e w i n g s u b j e c t m a t t e r . O n e o f t h e m a j o r t h i n g s I l e a r n e d a b o u t s u b j e c t m a t t e r t h r o u g h t h a t y e a r o f t e a c h i n g a n d t h e s u b s e q u e n t a n a l y s i s o f m y e x p e r i e n c e i s t h a t a c q u i r i n g i t a n d u s i n g i t i s g o i n g t o b e a n o n g o i n g i n t e l l e c t u a l c h a l l e n g e i n t e a c h i n g . K n o w i n g m a t h e m a t i c s i s n e v e r s o m e t h i n g I w i l l m a s t e r a n d b e a b l e t o p u t a s i d e a n d j u s t t e a c h ( K l i n e , 1 9 8 0 ; L a m p e r t , 1 9 9 2 a ; P u t n a m , L a m p e r t , & P e t e r s o n , 1 9 8 9 ) . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s i n t i m a t e l y c o n n e c t e d t o t h i s k i n d o f t e a c h i n g . I g i v e t h r e e r e a s o n s t o s u p p o r t t h i s c l a i m . F i r s t , I l e a r n e d t h a t t h e r e i s a m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y d e fi n e d b y f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s a n d i d e a s t o b e c o n s t r u c t e d a n d r e c o n s t r u c t e d t h r o u g h i n v e s t i g a t i o n s b y t e a c h e r s a n d s t u d e n t s i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g t h a t i s q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t f r o m a n y t h i n g I l e a r n e d i n t h e p a s t . S e c o n d , t h e p r o b l e m s , a c t i v i t i e s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s I u s e d w i t h m y s t u d e n t s w e r e d e r i v a t i v e s o f o r t o o l s f o r l e a r n i n g t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s t h a t w e r e i m p o r t a n t . T h e y w e r e n o t i m p o r t a n t i n a n d o f t h e m s e l v e s . T h e r e f o r e , p a r t o f t h e i n t e l l e c t u a l w o r k o f t e a c h i n g r e l a t e d t o s u b j e c t m a t t e r b e c o m e s t r y i n g t o s e e t h e f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l i d e a s i n t e x t b o o k p r o b l e m s , a c t i v i t i e s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s w h e r e t h e c o n n e c t i o n s t o l a r g e r m a t h e m a t i c a l i d e a s a r e n o t 3 6 3 n e c e s s a r i l y m a d e e x p l i c i t . A t h i r d p i e c e o f i n t e l l e c t u a l w o r k i s l e a r n i n g t o h e a r t h e s e f u n d a m e n t a l i d e a s i n s t u d e n t s ' e f f o r t s t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s t h e y m a y b e o n t h e e d g e o f u n d e r s t a n d i n g . I t t a k e s a k e e n e a r a n d a fl e x i b l e m i n d t o i n t e r p r e t a n d b u i l d c o n n e c t i o n s f r o m w h a t m a y b e s t u d e n t s ' v a g u e n o t i o n s o f m a t h e m a t i c a l s e n s e t o a v a s t t e r r i t o r y o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h a t i s d y n a m i c a n d fl u i d i n n a t u r e . A s I l o o k b a c k a c r o s s m y a n a l y s e s o f t e a c h i n g i n t h e p r e v i o u s f o u r c h a p t e r s , I c a n s e e t h a t I p u s h e d m y u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s i n e a c h l e s s o n t o a p l a c e w h e r e I b u m p e d u p a g a i n s t a f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n o r i d e a t h r o u g h c l o s e a n a l y s i s o f t h e a c t i v i t y I d i d w i t h s t u d e n t s a n d m y s t u d e n t s ' r e s p o n s e s t o t h e p r o b l e m o r t h e a c t i v i t y . I c o n f r o n t e d t h e f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l i d e a s u n d e r l y i n g p a t t e r n s a n d f u n c t i o n s , m u l t i p l i c a t i o n , a n d f r a c t i o n s , i n t h e a n a l y s e s o f t h r e e d i f f e r e n t t e a c h i n g e p i s o d e s . I n t h e a n a l y s i s o f a f o u r t h s e r i e s o f l e s s o n s , I c o n f r o n t e d a n i s s u e a t t h e h e a r t o f d o i n g m a t h e m a t i c s w i t h i n a m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y - ~ t h e i n t e r m i n g l i n g o f t h e s o c i a l a n d i n t e l l e c t u a l u a n d t h e t e n s i o n s a n d i s s u e s t h a t a r i s e a s t h e t w o i n t e r a c t a s a m e a n s o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T h i s v i e w o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ( D a v i s & H e r s h , 1 9 8 1 ; K i t c h e r , 1 9 8 4 ; L a k a t o s , 1 9 7 6 ) - b o t h w h a t i s t o b e k n o w n a n d h o w o n e c o m e s t o k n o w — r e v i s e d m y e x p e c t a t i o n t h a t o n e c o u l d e v e r c o m p l e t e l y k n o w m a t h e m a t i c s . O n e ' s k n o w l e d g e o f t h e t e r r i t o r y i s t e n t a t i v e — c o n t i n u a l l y c o n s t r u c t e d a n d r e c o n s t r u c t e d a s o n e i n t e r a c t s w i t h o t h e r s a r o u n d m a t h e m a t i c a l i d e a s . T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g n e c e s s i t a t e s t h e i n fl u e n c e o n w h a t o n e k n o w s m a t h e m a t i c a l l y t o t r a v e l i n m u l t i p l e d i r e c t i o n s — f r o m t e a c h e r s t o s t u d e n t s , s t u d e n t s t o t e a c h e r s , a n d s t u d e n t s t o s t u d e n t s . A l l p a r t i c i p a n t s i n a c l a s s a i m i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g n e e d t o e x p e c t t o l e a r n f r o m o n e a n o t h e r . T e a c h e r s w o u l d s t i l l n e e d t o p r e p a r e f o r t h e s i t u a t i o n b y l e a r n i n g w h a t 3 6 4 t h e y c a n a b o u t t h e m a t h e m a t i c s t h e y a r e a b o u t t o t e a c h p r i o r t o t h e s i t u a t i o n . Q u e s t i o n s s t i l l r e m a i n a b o u t w h e r e a n d h o w t e a c h e r s a r e g o i n g t o g e t t h e h e l p l e a r n i n g w h a t t h e y n e e d t o k n o w . I w i l l r e t u r n t o t h i s i n t h e s e c t i o n o n e d u c a t i n g t e a c h e r s a t t h e e n d o f t h i s c h a p t e r . P r e p a r e d w i t h s o m e s e n s e o f t h e t e r r i t o r y i n w h i c h t h e y m i g h t e x p l o r e w i t h s t u d e n t s , t e a c h e r s w o u l d e n t e r t h e c l a s s r o o m c u r i o u s a b o u t t h e s e n s e s t u d e n t s m a k e o f i d e a s e x p e c t i n g t h a t w h a t t h e y l e a r n a b o u t t h e i r s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s m a y r e s h a p e t h e w a y t h e y s e e t h i n g s , r a i s e n e w q u e s t i o n s a b o u t w h a t i t i s t h a t t h e y t h i n k t h e y u n d e r s t a n d , r e s h a p e t h e p u r p o s e s o f w h a t e v e r i t i s t h e y t h o u g h t t h e y w e r e d o i n g , a n d c h a n g e a n y t h i n g t h a t t h e y m a y h a v e h a d i n m i n d t o d o . T e a c h e r s n e e d t o e x p e c t t o r e v i s e a n d r e c o n s t r u c t t h e i r o w n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s a s t h e y t r y t o m a k e u s e o f w h a t t h e y a n d t h e i r s t u d e n t s u n d e r s t a n d i n t h e a c t o f t e a c h i n g . T h i s i s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f r o m t h i n k i n g o f m a t h e m a t i c s a s r u l e s a n d p r o c e d u r e s f o r d o i n g p r o b l e m s w i t h r i g h t a n d w r o n g a n s w e r s . t 1 1 1 E n a v r I e x p e c t e d m y e f f o r t s t o m a k e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s t o b e a n i n t e l l e c t u a l c h a l l e n g e , g i v e n m y s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e I l a c k e d . T h e r e w a s n o d o u b t i n m y m i n d w h e n I b e g a n t e a c h i n g t h a t y e a r , t h a t t h e c h a n g e s I w o u l d f a c e w o u l d b e d i f fi c u l t t o m a k e . I w o u l d b e t r y i n g t o t e a c h i n a w a y t h a t s e e m e d r a d i c a l l y d i f f e r e n t f r o m w h a t I h a d b e e n d o i n g . O n t h e o n e h a n d , I h a d t r i e d n e w w a y s o f t e a c h i n g i n t h e p a s t a n d s o I w a s n o t t o o w o r r i e d a t t h e p r o s p e c t o f c h a n g i n g t h e w a y I d i d t h i n g s . O n t h e o t h e r h a n d , I w a s d e e p l y c o n c e r n e d a b o u t h o w I w a s t o g o i n g g e t b y w i t h t h e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s I k n e w I l a c k e d . W h a t I d i d n o t e x p e c t , b u t s o o n c a m e t o l e a r n , w a s t h a t m a k i n g c h a n g e i n t e a c h i n g i n v o l v e d m o r e t h a n d e a l i n g w i t h t h e i n t e l l e c t u a l c h a l l e n g e s o f m y o w n k n o w i n g a n d n o t k n o w i n g o f s u b j e c t m a t t e r . I 3 6 5 d i d n o t e x p e c t t h a t m a k i n g c h a n g e s i n p r a c t i c e w o u l d r a i s e q u e s t i o n s f o r m e a n d o t h e r s a b o u t w h o I t h o u g h t I w a s a n d w h a t I t h o u g h t I k n e w a b o u t t e a c h i n g . T h e r i s k s c f h e i n g e l e a r n e r . I t f e l t l i k e a n e n o r m o u s r i s k - t o b e h e a d e d i n t o a f o u r t h g r a d e m a t h e m a t i c s c l a s s w h e n I k n e w I h a d m u c h t o l e a r n a b o u t w h a t I w a s s u p p o s e d t o b e t e a c h i n g . T h e r i s k f e l t m a g n i fi e d b y t h e f a c t t h a t I w o u l d n o t b e t r y i n g t o m a k e t h e s e c h a n g e s a l o n e , w i t h s t u d e n t s , b e h i n d t h e c l o s e d d o o r o f m y c l a s s r o o m . I n s t e a d , t h e r e w o u l d b e p e o p l e w a t c h i n g — t h e t e a c h e r w h o t a u g h t m y s t u d e n t s a l l o f t h e o t h e r s u b j e c t s , a r e s e a r c h e r , a n d a t e a c h e r e d u c a t o r . A t fi r s t i t h a d f e l t t h r e a t e n i n g . W o u l d I b e a b l e t o t a k e s u c h r i s k s i n f r o n t o f o t h e r p e o p l e , p e o p l e w h o r e p r e s e n t e d b r o a d e r c a t e g o r i e s o f p e o p l e w h o a r e t r a d i t i o n a l l y c o n s i d e r e d k n o w e r s a b o u t t e a c h i n g - e x p e r i e n c e d t e a c h e r s , r e s e a r c h e r s , t e a c h e r e d u c a t o r s ? W h a t w o u l d t h e y t h i n k o f m e ? W h a t w o u l d t h e y s a y a b o u t m e t o o t h e r s ? T h e o n l y t i m e I h a d h a d p e o p l e w a t c h m e t e a c h i n t h e p a s t , t h e p u r p o s e h a d b e e n e v a l u a t i o n . T h e p e o p l e w h o h a d p l a n n e d t o o b s e r v e m e t e a c h t h a t y e a r h a d a l l p r o m i s e d t h a t e v a l u a t i o n w a s n o t t h e i r p u r p o s e . C o u l d I t r u s t t h e m ? W o u l d t h e y a p p r e c i a t e t h e p r o b l e m s I f a c e d ? T h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r h a d t w i c e t h e n u m b e r o f y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e t h a t I d i d . W o u l d s h e v i e w m e a s a r o o k i e w h o s e p r o b l e m s c o u l d e a s i l y b e s o l v e d b y e x p e r i e n c e ? J i m , t h e r e s e a r c h e r , h a d b e e n i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g t h e s t u d e n t s ' a n d m y c h a n g i n g c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . A t t h e t i m e , I d i d n o t u n d e r s t a n d h i s q u e s t i o n — m a t h w a s m a t h , w a s n ' t i t ? W o u l d h e V i e w m e a s l e s s t h a n q u a l i fi e d p r a c t i t i o n e r b e c a u s e I w a s u n f a m i l i a r w i t h t h e t h e o r i e s t h a t u n d e r g i r d e d h i s w o r k a s a r e s e a r c h e r ? M a g g i e , t h e t e a c h e r e d u c a t o r , h a d o f f e r e d t o h e l p m e t e a c h d i f f e r e n t l y , t o t h i n k t h r o u g h t h e p e d a g o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s I w o u l d f a c e a s I t r i e d t o m a k e c h a n g e s . S h e h a d a s s u r e d m e s h e w o u l d n o t b e t h e r e t o j u d g e m e . C o u l d I b e l i e v e h e r ? S h e w a s a u n i v e r s i t y p r o f e s s o r . I w a s 3 6 6 h e r s t u d e n t . E v a l u a t i o n w a s a l w a y s w r a p p e d u p i n t e a c h e r - s t u d e n t r e l a t i o n s h i p s , w a s n ’ t i t ? M u c h t o m y s u r p r i s e , o v e r t i m e , I l e a r n e d t h a t I c o u l d t r u s t e a c h o f t h e s e p e O p l e . I l e a r n e d t o d r O p m y d e f e n s e s , r e l a x , a n d c o n f e s s t o l e a r n i n g o r n e e d i n g t o l e a r n i n f r o n t o f e a c h o f t h e m . F o r e x a m p l e , t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r s u p p o r t e d m y e f f o r t s o n e h u n d r e d p e r c e n t i n f r o n t o f t h o s e t o w h o m m y p e r f o r m a n c e m i g h t h a v e m a t t e r e d n t h e s t u d e n t s , t h e s t u d e n t s ' p a r e n t s , o t h e r t e a c h e r s , a n d t h e s c h o o l ' s a d m i n i s t r a t o r . I n o u r p r i v a t e c o n v e r s a t i o n s , s h e s o m e t i m e s q u e s t i o n e d w h a t I d i d . S h e w o u l d w o n d e r a l o u d a b o u t w h y I m i g h t h a v e m a d e o n e c h o i c e o v e r a n o t h e r . B u t i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r s , s h e h a d v o i c e d a d m i r a t i o n f o r t h e c h a n g e s I t r i e d t o m a k e , s y m p a t h i z e d w i t h m y s t r u g g l e s , a n d w a n t e d o t h e r s t o u n d e r s t a n d w h a t s h e a n d I w e r e l e a r n i n g f r o m m y e f f o r t s . A t a n y g i v e n m o m e n t , I f e l t a s i f w e s h a r e d t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r w h a t o u r s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g . J i m , t h e r e s e a r c h e r , q u i c k l y a b a n d o n e d h i s i n i t i a l a g e n d a o f k e e p i n g a d i s t a n c e d p o s i t i o n a s h e " r e s e a r c h e d " m y c h a n g i n g c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . M y i n t e r v i e w s w i t h h i m b e c a m e c o n v e r s a t i o n s i n w h i c h w e p o n d e r e d t o g e t h e r q u e s t i o n s o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a n d p e d a g o g y . 4 H e e n t e r e d g r a d u a t e s c h o o l w h e n I d i d a n d w a s n o f u r t h e r a l o n g i n u n d e r s t a n d i n g t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t h a n m e . M a g g i e w a s a t o n c e a w i s e t e a c h e r i n t h e r o l e o f a t e a c h e r e d u c a t o r a n d a n e m p a t h e t i c c o l l e a g u e w h o t a u g h t m a t h e m a t i c s i n t h e fi f t h g r a d e c l a s s r o o m n e x t - d o o r t o m e . I f o u n d t h a t s h e t o o k m y q u e s t i o n s s e r i o u s l y a n d r e s p e c t e d m y p a s t t e a c h i n g e x p e r i e n c e s a s w e l l a s a l l o f m y e f f o r t s t o t r y s o m e t h i n g n e w . O d d l y e n o u g h , s h e h a d s e e m e d e x c i t e d w h e n I r e c o g n i z e d t h i n g s I d i d n o t k n o w , w h e n s h e a n d I c o u l d d i s c u s s q u e s t i o n s I w a s a b l e t o a r t i c u l a t e . 5 4 S e e H e a t o n , R e i n e k e , a n d F r e s e ( 1 9 9 1 ) f o r a d d i t i o n a l a n a l y s i s o f o u r r e l a t i o n s h i p . 5 S e e H e a t o n a n d L a m p e r t ( 1 9 9 3 ) f o r a d d i t i o n a l a n a l y s i s o f o u r r e l a t i o n s h i p . 3 6 7 I n a s t r a n g e w a y , o v e r t i m e w i t h i n t h e s e r e l a t i o n s h i p s w i t h p e o p l e w h o I e x p e c t e d w o u l d i n t i m i d a t e m e , p e o p l e w h o I i n i t i a l l y t h o u g h t e x p e c t e d m e t o k n o w , I f o u n d m y s e l f p r o t e c t e d a n d s h e l t e r e d , a p p r e c i a t e d a n d c e l e b r a t e d f o r b e i n g a l e a r n e r . E a c h g r e w s y m p a t h e t i c t o m y s t r u g g l e s a n d , t o g e t h e r , w e d e v e l o p e d s h a r e d u n d e r s t a n d i n g s o f w h a t w a s g o i n g o n i n m y t e a c h i n g . T h e w a y m y t e a c h i n g w a s o r g a n i z e d , t e a c h i n g o n l y m a t h e m a t i c s , f o u r d a y s p e r w e e k , g a v e m e t i m e t o f o c u s o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t h a t m o s t e l e m e n t a r y t e a c h e r s n e v e r h a v e . M y s c h e d u l e a l l o w e d m e t o t a k e a d v a n t a g e o f fi v e m i n u t e u n p l a n n e d c o n v e r s a t i o n s w i t h t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r b e f o r e a n d a f t e r m y t e a c h i n g . I t a l l o w e d m e t o s c h e d u l e b i - w e e k l y c o n v e r s a t i o n s w i t h J i m i n c o n j u n c t i o n w i t h h i s o b s e r v a t i o n s . I t e n a b l e d m e t o o b s e r v e i n M a g g i e ' s f i f t h g r a d e m a t h e m a t i c s c l a s s a t l e a s t a s o f t e n a s s h e o b s e r v e d i n m i n e a n d t a l k w i t h h e r s e v e r a l t i m e s a w e e k . T o g e t h e r , t h e s e r e l a t i o n s h i p s p r o v i d e d a r i c h c o n t e x t f o r s u s t a i n e d c o n v e r s a t i o n s a b o u t m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y w i t h p e o p l e , w h o f o r a v a r i e t y o f r e a s o n s , w e r e c l o s e l y c o n n e c t e d t o m y p r a c t i c e . 6 T h e r i s k s c f c l a i m i n g t Q b e a l e a r n e r a n d s t e a c h e r . I f e l t s o a c c e p t e d a s a l e a r n e r b y t h e s e t h r e e d i f f e r e n t p e o p l e t h a t y e a r , t h a t I w a s p a i n f u l l y s u r p r i s e d t h e fi r s t f e w t i m e s I t r i e d t o t a l k a b o u t m y e f f o r t s t o m a k e c h a n g e s i n m y t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s w i t h o t h e r t e a c h e r s , r e s e a r c h e r s , a n d t e a c h e r e d u c a t o r s l e s s f a m i l i a r w i t h m e a n d m y e x p e r i e n c e s . I f o u n d t h a t m a n y o f t h e s e p a r t i c i p a n t s o f t h e l a r g e r c u l t u r e o f t e a c h i n g d i d n o t h a v e t h e s a m e a p p r e c i a t i o n f o r t h e p r o b l e m s o f p r a c t i c e I e n c o u n t e r e d t h a t t h e o t h e r c l a s s r o o m t e a c h e r , J i m , M a g g i e , a n d I h a d c o m e t o s h a r e . 6 T h e i n t e n s i t y o f c o n v e r s a t i o n a r o u n d m y t e a c h i n g e x p e r i e n c e i s n o t s o m e t h i n g o n e c u r r i c u l u m s p e c i a l i s t i n a d i s t r i c t o r s c h o o l c o u l d r e p l i c a t e f o r a n y m a s s o f p e o p l e . F o r a n e x a m p l e o f t h e w o r k a n d c h a l l e n g e s c o n f r o n t i n g s o m e o n e i n a s c h o o l d i s t r i c t t r y i n g t o h e l p t e a c h e r s m a k e c h a n g e s i n p r a c t i c e , s e e M c C a r t h e y a n d P e t e r s o n ( 1 9 9 3 ) . I n t h i s c h a p t e r , M c C a r t h e y a n d P e t e r s o n c o n t r a s t t h e e f f o r t s o f t w o t e a c h e r s i n t h e s a m e s c h o o l , o n e m a k i n g c h a n g e s i n l i t e r a c y i n s t r u c t i o n , t h e o t h e r i n m a t h e m a t i c s , a n d t h e s u p p o r t s a n d l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s p r o v i d e d f o r e a c h o f t h e m . 3 6 8 F o r e x a m p l e , o n s e v e r a l d i f f e r e n t o c c a s i o n s , s h o r t l y a f t e r I fi n i s h e d t h a t y e a r o f t e a c h i n g , I t o l d t h e s t o r y o f w h a t h a p p e n e d a s m y s t u d e n t s t r i e d t o r e a s o n a b o u t t h e a d d i t i o n o f 3 / 4 a n d 2 / 4 . I w a s i n t r i g u e d b y t h e c o m p l e x m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d p e d a g o g i c a l i s s u e s t h a t t h i s p r o b l e m a n d m y s t u d e n t s ' d i v e r s e u n d e r s t a n d i n g s o f t h e p r o b l e m r a i s e d . I t r i e d t o i n i t i a t e a c o n v e r s a t i o n a b o u t c h a n g i n g p r a c t i c e a r o u n d w h a t I t h o u g h t w e r e s e v e r a l d i f fi c u l t a n d c o m p l e x m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l i s s u e s t h a t I s a w a s k e y t o t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . M u c h t o m y s u r p r i s e , n o o n e w a n t e d t o t a l k a b o u t t h e p r o b l e m s I e n c o u n t e r e d . E v e r y o n e w a n t e d t o o f f e r m e s o l u t i o n s . O n e b y o n e , t h o s e w h o h a d l i s t e n e d t o m e u n v e i l m y p r o b l e m s o f f e r e d m e s u g g e s t i o n s f o r w h a t I s h o u l d h a v e d o n e d i f f e r e n t l y . M y p r o b l e m s w e r e v i e w e d a s s i m p l e , t h e s o l u t i o n s w e r e s e e n a s o b v i o u s . M y f e l l o w e d u c a t o r s w a n t e d t o b e s u p p o r t i v e b u t w e v i e w e d m y t e a c h i n g d i f f e r e n t l y . O n t h e o n e h a n d , t h e y s a w 5 / 4 a s r i g h t a n d f e l t i t w a s t h e i r r e s p o n s i b i l i t y t o g i v e m e w a y s t o g e t m y s t u d e n t s t o s e e t h a t . O n t h e o t h e r h a n d , I w a s b e g i n n i n g t o s e e t h e " s e n s e " i n 5 / 8 a n d w a n t e d t o t a l k a b o u t t h e d i f fi c u l t i e s w i t h t h a t . W h a t I w a s c o n c e r n e d a b o u t c o u l d n o t b e fi x e d b y s u g g e s t i n g t h a t I t r y t h i s o r d o t h a t . N o o n e b u t m e s e e m e d t o s e e t h e t e a c h i n g o r t h e m a t h e m a t i c s I w a s t r y i n g t o h e l p s t u d e n t s l e a r n a s i n h e r e n t l y d i f fi c u l t . A t t h e t i m e , I c o u l d n o t u n d e r s t a n d w h a t w a s h a p p e n i n g . I f o u g h t b a c k f e e l i n g s o f i n a d e q u a c y a n d f r u s t r a t i o n . P a r t o f m e f e l t b a d l y f o r n o t k n o w i n g , t h i n k i n g t h a t I s h o u l d h a v e k n o w n , w h i l e a n o t h e r p a r t ' o f m e h a d s p e n t a y e a r l e a r n i n g t o a p p r e c i a t e t h e v a l u e o f n o t k n o w i n g , o f n e v e r b e i n g c e r t a i n , i n a p r a c t i c e t h a t w a s i m p r o v i s e d . W h y c o u l d n ' t t h e s e p e o p l e s e e t h e c o m p l e x i t y I c o u l d ? I f e a r e d I a p p e a r e d t o o t h e r s a s i n c o m p e t e n t f o r h a v i n g q u e s t i o n s a b o u t p r a c t i c e , t h e s a m e q u e s t i o n s t h a t I h a d b e e n p r a i s e d f o r r e c o g n i z i n g a n d o t h e r s h a d p o n d e r e d w i t h m e d u r i n g t h e y e a r I t a u g h t . C o n s e q u e n t l y , o n t h o s e s e v e r a l o c c a s i o n s , I w a l k e d a w a y f r o m 3 6 9 t h e s e e x p e r i e n c e s fi g h t i n g b a c k t e a r s a s I q u e s t i o n e d w h o I w a s , w h a t I k n e w , a n d w h a t i t w a s I w a s s u p p o s e d t o k n o w . I w o r r i e d t h a t p e o p l e h a d j u s t e x p l a i n e d a w a y t h e d i f f i c u l t i e s I h a d m a k i n g c h a n g e s i n m y p r a c t i c e t h i n k i n g t h a t t h e r e a l p r o b l e m w a s t h a t I w a s a n i n c o m p e t e n t t e a c h e r . I i m a g i n e d q u e s t i o n s p e o p l e m u s t h a v e b e e n a s k i n g t h e m s e l v e s . H o w c o u l d s h e b e s u c h a b a d t e a c h e r a n d b e a l l o w e d t o b e c o m e a t e a c h e r e d u c a t o r ? H o w c o u l d s h e e v e r b e q u a l i fi e d t o e a r n a P h . D . i n t e a c h e r e d u c a t i o n ? P a i n f u l a s t h e s e e x p e r i e n c e s w e r e , t h e y h e l p e d m e t o s e e t w o a d d i t i o n a l t h i n g s t h a t a r e n e c e s s a r y t o m a k e c h a n g e s i n t h e p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . O n e i s t o b e g i n t o r e p h r a s e t h e q u e s t i o n s w e a s k a b o u t t e a c h i n g , t o m o v e f r o m p e d a g o g i c a l q u e s t i o n s t h a t h a v e s i n g l e r i g h t a n s w e r s , i m p l y a p e r f e c t m e t h o d , t e c h n i q u e , o r s t r a t e g y t o q u e s t i o n s t h a t i m p l y a c o m p l e x p r a c t i c e fi l l e d w i t h i n t e l l e c t u a l , p e d a g o g i c a l , a n d m o r a l d i l e m m a s . 7 S e c o n d , t h o s e w h o t e a c h , t e a c h o t h e r s t o t e a c h , d o r e s e a r c h o n t h o s e w h o t e a c h , o r e v a l u a t e t h o s e w h o t e a c h n e e d t o l e a r n t o t a l k a n d a c t w h i l e p e r f o r m i n g e a c h o f t h e i r r o l e s i n w a y s t h a t a c k n o w l e d g e t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a s i n h e r e n t l y c o m p l e x a n d u n c e r t a i n . A s a c o m m u n i t y o f e d u c a t o r s w e n e e d t o a c k n o w l e d g e t o o n e a n o t h e r a n d t o o u r s e l v e s t h a t i n t h e c a s e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w e a r e i n v e n t i n g a p r a c t i c e t h a t i s c o m p l e x a n d u n c e r t a i n f o r w h i c h t h e r e i s n o r e c i p e , m o d e l , o r p r e s c r i p t i o n . T h e r e i s m u c h w e d o n o t k n o w a n d c a n n e v e r k n o w f o r c e r t a i n a b o u t i n v e n t i n g a p r a c t i c e . T h e c h a l l e n g e , i t s e e m s , i s t o r e c o n s t r u c t a c u l t u r e o f t e a c h i n g w h e r e b y i t b e c o m e s i n t e l l e c t u a l l y p o s s i b l e a n d e m o t i o n a l l y f e a s i b l e f o r t e a c h e r s , a d m i n i s t r a t o r s , r e s e a r c h e r s , a n d t e a c h e r e d u c a t o r s , t h o s e w h o h a v e t r a d i t i o n a l l y b e e n e x p e c t e d t o b e a u t h o r i t i e s o n t e a c h i n g , t o a p p r e c i a t e t h e i n h e r e n t c o m p l e x i t i e s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r 7 S e e L a m p e r t ( 1 9 8 6 ) f o r a n i n - d e p t h l o o k a t d i l e m m a m a n a g e m e n t i n t e a c h i n g . E m b r a c i n g t e a c h i n g d i l e m m a s r e q u i r e s a t o l e r a n c e f o r a n d u s e o f u n c e r t a i n t y . 3 7 0 u n d e r s t a n d i n g a n d t o v i e w t h e m s e l v e s a n d b e v i e w e d b y o t h e r s a s c e r t i fi e d l e a r n e r s r a t h e r t h a n k n o w e r s o f t e a c h i n g - - l i f e l o n g c o n s t r u c t o r s o f k n o w l e d g e o f a n u n c e r t a i n p r a c t i c e . E d u c a t i n g T e a c h e r s f e r U n c e r t a i n t y 8 H a v i n g e x a m i n e d c l o s e l y f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e t o e n d e m i c u n c e r t a i n t i e s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , i n t h i s s e c t i o n I l o o k a t h o w t e a c h e r s m i g h t b e e d u c a t e d t o d e a l w i t h u n c e r t a i n t y . I c o n t e n d t h a t t h e n a t u r e o f w h a t I w a s t r y i n g t o l e a r n - - t h a t o f t r y i n g t o i n v e n t a p r a c t i c e w h i l e l e a r n i n g a p r a c t i c e — i s i t s e l f u n c e r t a i n . T o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s n o t a b o u t l e a r n i n g a d e fi n e d m e t h o d o r t e c h n i q u e t h a t c a n f i r s t b e l e a r n e d a n d l a t e r i m p l e m e n t e d . T h e r e f o r e , i t i s i m p o s s i b l e t o s a y t h a t o n e h a s e v e r " l e a r n e d " t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s t o e n g a g e i n a n a c t i v i t y t h a t i s c o n s t r u c t i v e i n n a t u r e , a p r o c e s s o f c o n t i n u o u s i n v e n t i o n , w h e r e b y t e a c h i n g , i t s e l f i s d e f i n e d a n d r e d e f i n e d , o v e r t i m e , a n d i n i n t e r a c t i o n w i t h s t u d e n t s . T o s a y t h a t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s u n c e r t a i n a n d c o n t i n u o u s l y u n d e r c o n s t r u c t i o n m i g h t i m p l y t o s o m e t h a t I a m a r g u i n g t h a t t h e r e i s n o t h i n g t h a t c a n b e d o n e t o s u p p o r t t h e e d u c a t i o n o f t e a c h e r s . I t m u s t a l l b e l e a r n e d b y t r i a l a n d e r r o r . N o t s o . T h e r e a r e t h i n g s t h a t c a n b e d o n e t o e d u c a t e t e a c h e r s i n s u p p o r t o f c o n s t r u c t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T o u n d e r s t a n d w h a t , i t i s h e l p f u l t o c o m p a r e t h e s t u d y o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w i t h l e a r n i n g a f i e l d , s u c h a s i s d o n e i n t h e a r t s a n d s c i e n c e s . L e a r n i n g a fi e l d e n t a i l s n o t j u s t l e a r n i n g p a r t i c u l a r i d e a s a n d t h e o r i e s , b u t a l s o l e a r n i n g i t s c h a r a c t e r i s t i c w a y s o f k n o w i n g a n d o f c o n s t r u c t i n g n e w k n o w l e d g e . T h i s m e a n s l e a r n i n g t o g e n e r a t e c o n j e c t u r e s a n d s e e k 8 1 b o r r o w t h i s i d e a o f p r e p a r i n g f o r u n c e r t a i n t y f r o m a n a r t i c l e b y F l o d e n a n d C l a r k ( 1 9 8 8 ) w h e r e t h e y d i s c u s s , i n g e n e r a l t e r m s , p r e p a r i n g t e a c h e r s f o r u n c e r t a i n t y . 3 7 1 e v i d e n c e , t o f o r m u l a t e q u e s t i o n s a n d m a k e a r g u m e n t s , t o p l a y o u t i d e a s , a n d m a k e r e v i s i o n s . ( L a m p e r t , B a l l , R o s e n b e r g , & S u z u k a , 1 9 9 3 , p . 5 ) T h e w a y s o f k n o w i n g a n d c o n s t r u c t i n g n e w k n o w l e d g e i n a fi e l d a r e p a r a l l e l t o w h a t i t t a k e s t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T e a c h e r s l e a r n t o c o m p o s e a n d r e c o m p o s e p r a c t i c e s b y d r a w i n g o n p a r t i c u l a r i d e a s a n d t h e o r i e s a n d w o r k i n g w i t h t h e m i n w a y s t h a t s u g g e s t a t e n t a t i v e v i e w o f k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g . T h i s i s n o t u n l i k e t h e w a y s i n w h i c h s t u d e n t s l e a r n i n g m a t h e m a t i c s m a k e c o n j e c t u r e s , c o n s t r u c t a r g u m e n t s , a n d r e v i s e i d e a s . J u s t a s k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s i s s o c i a l l y c o n s t r u c t e d , s o t o o , I a r g u e , i s k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g . H o w c o u l d t e a c h e r s b e h e l p e d t o c o n s t r u c t a n d r e c o n s t r u c t t h e i r o w n k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g ? C o n t e m p l a t i n g h o w t o e d u c a t e t e a c h e r s t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g e n t a i l s t h i n k i n g a b o u t h o w t o p r e p a r e t e a c h e r s t o p e r f o r m a n u n c e r t a i n a c t i v i t y . N o t o n l y h a s t e a c h i n g b e e n r e d e fi n e d t h r o u g h t h e r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , a s e v i d e n c e d b y t h e a n a l y s e s h e r e a n d i n e a r l i e r c h a p t e r s . W a y s o f h e l p i n g t e a c h e r s m u s t a l s o b e r e v i s i o n e d t o i n c l u d e t h e u n c e r t a i n , s p o n t a n e o u s n a t u r e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T o d o t h i s I d r a w o n Y i n g e r ' s ( 1 9 8 8 ) n o t i o n o f p r e p a r a t i o n . I t s e e m s a n a p p r o p r i a t e c o n s t r u c t f o r d e fi n i n g w h a t i t w o u l d m e a n t o h e l p s o m e o n e p r e p a r e f o r t h e u n c e r t a i n t i e s o f c o n t i n u o u s l y i n v e n t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T o e x p l a i n w h a t h e m e a n s b y p r e p a r a t i o n , Y i n g e r c o n t r a s t s t h e m o r e c o n v e n t i o n a l n o t i o n o f " p l a n n i n g " w i t h t h a t o f " p r e p a r a t i o n " : P l a n n i n g s e e k s t o d e a l w i t h u n c e r t a i n t y b y c o n t r o l l i n g a c t i o n a n d o u t c o m e s . T h e g o a l i s t o c o n s t r a i n t h e u n p r e d i c t a b l e , t h e r a n d o m , a n d t h e w i l d . O n t h e o t h e r h a n d , p r e p a r a t i o n a c k n o w l e d g e s o u r l i m i t e d a b i l i t y t o p r e d i c t a n d t h e c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f l i f e . P r e p a r a t i o n e x p e c t s d i v e r s i t y , s u r p r i s e , t h e r a n d o m , a n d t h e w i l d . T o p r e p a r e i s t o g e t r e a d y , t o b e c o m e e q u i p p e d , a n d t o b e c o m e r e c e p t i v e . T h e f o c u s o f p r e p a r a t i o n i s o n 3 7 2 o n e s e l f , n o t o n a f r a m e w o r k t o c o n s t r a i n p o s s i b i l i t y . I n a s e n s e , p r e p a r a t i o n e n l a r g e s t h e f u t u r e . ( p . 8 8 ) P r e p a r a t i o n f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s a b o u t l e a r n i n g w h a t t o e x p e c t f r o m a n d d u r i n g p r a c t i c e a n d b e i n g p r e p a r e d t o a c t o n w h a t e v e r h a p p e n s , e v e n t h e u n e x p e c t e d . B a s e d o n m y n e w u n d e r s t a n d i n g s o f w h a t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g e n t a i l s a n d w h a t i t d e m a n d s o f a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r , I e x a m i n e b e l o w w h a t i t m i g h t m e a n t o e d u c a t e t e a c h e r s f o r i t s u n c e r t a i n t i e s . H o w c o u l d o n e b e p r e p a r e d t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? F o r e x a m p l e , w h a t c o u l d b e d o n e t o p r e p a r e s o m e o n e t o e n t e r t h e c l a s s r o o m w i t h a w i d e r a n g e o f p o s s i b l e o p t i o n s f o r w h a t t o d o n e x t a n d c o n s t r u c t n e w o n e s i n t h e s i t u a t i o n ? W h a t c o u l d b e d o n e t o p r e p a r e s o m e o n e w i t h a q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s t h a n w h a t t h e y h a v e e x p e r i e n c e d a s t e a c h e r s o r l e a r n e r s ? W h a t c o u l d b e d o n e t o a l t e r t h e c u l t u r e o f t e a c h i n g t o m a k e i t a s a f e p l a c e f o r t e a c h e r s t o t a l k a b o u t t h e c o m p l e x i t i e s o f p r a c t i c e ? H o w c o u l d o n e e x p a n d t h e r e a l m o f e d u c a t i n g t e a c h e r s t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e n e e d t o p r e p a r e t e a c h e r s f o r t h e u n c e r t a i n n a t u r e o f c o n t i n u o u s l y i n v e n t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g ? W I w a s t h r i l l e d a t t h e o n s e t o f m y t e a c h i n g t o h a v e t h e C S M P c u r r i c u l u m a t m y d i s p o s a l . I t r e p r e s e n t e d m a t h e m a t i c s a n d p e d a g o g y i n w a y s t h a t s e e m e d c o n s o n a n t w i t h t h e r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h e m a t h e m a t i c s l o o k e d d i f f e r e n t f r o m w h a t I h a d l e a r n e d a s a s t u d e n t a n d t h e p e d a g o g y w a s d e s i g n e d a r o u n d a s e t o f p r o b l e m s i n t e n d e d f o r s t u d e n t s t o s o l v e t h a t d i d n o t l o o k a n y t h i n g l i k e t h e c o m p u t a t i o n I h a d h a d s t u d e n t s d o i n g f o r y e a r s . I e x p e c t e d t h a t t h e t e a c h e r ' s g u i d e w o u l d t a k e c a r e o f t h e m a t h e m a t i c s I d i d n o t u n d e r s t a n d a n d t h e s c r i p t e d d i a l o g u e w o u l d s e r v e a s a g u i d e f o r h o w t o r e s p o n d t o m y 3 7 3 s t u d e n t s . A t t h e t i m e , g i v e n t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f C S M P , t h e s e s e e m e d l i k e r e a s o n a b l e e x p e c t a t i o n s . W h a t I f o u n d w a s t h a t w h i l e t h e m a t h e m a t i c s w a s , i n d e e d , r e p r e s e n t e d i n c o n c e p t u a l w a y s , t h i s d e e p e r m e a n i n g o f m a t h e m a t i c s w a s n o t i n a f o r m t h a t w a s a c c e s s i b l e t o m e . I c o u l d n o t u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s a s p r e s e n t e d i n w a y s t h a t e n a b l e d m e t o c o n s t r u c t m y o w n u n d e r s t a n d i n g s o f p a r t i c u l a r i d e a s . W h i l e I s t a r t e d o u t b e l i e v i n g t h a t b y f o l l o w i n g t h e t e x t b o o k I c o u l d c a r r y t h e m a t h e m a t i c s I d i d n o t u n d e r s t a n d , I s o o n c h a n g e d m y m i n d . I t w a s i n s u f fi c i e n t f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s t o b e c o n t a i n e d w i t h i n t h e t e x t b o o k a n d n o t w i t h i n m e . I q u i c k l y s a w t h e n e e d t o p o s s e s s a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s m y s e l f a n d m a k e u s e o f t h a t u n d e r s t a n d i n g i n t e a c h i n g . I s a w t h e s a m e n e e d w i t h r e s p e c t t o u n d e r s t a n d i n g s t u d e n t s . W h i l e h a v i n g p o s s i b l e s t u d e n t r e s p o n s e s r e p r e s e n t e d i n a s c r i p t e d d i a l o g u e w i t h i n t h e t e a c h e r ' s g u i d e g a v e m e s o m e i d e a o f w h a t t o e x p e c t f r o m s t u d e n t s , m y s t u d e n t s ’ i d e a s w e r e o f t e n f o r m u l a t e d d i f f e r e n t l y f r o m t h e r e s p o n s e s p r e d i c t e d i n t h e t e a c h e r ’ s g u i d e . I q u i c k l y f o u n d m y s e l f a t a p e d a g o g i c a l d i s a d v a n t a g e a s I t r i e d t o h e a r t h o s e r e s p o n s e s i n t h e l a n g u a g e o f m y s t u d e n t s . W i t h o u t a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s o r t h e r e l e v a n c e o f p a r t i c u l a r r e s p o n s e s , I c o u l d n o t d i s c e r n t h e m a t h e m a t i c a l s i g n i f i c a n c e o f m y s t u d e n t s ' r e s p o n s e s . W i t h o u t i n t e r p r e t i v e r e s o u r c e s t o h e l p m e u n d e r s t a n d t h e i m p o r t a n c e o f p a r t i c u l a r s t u d e n t s r e s p o n s e s o f h o w t h e y m i g h t v a r y , I o f t e n fl o u n d e r e d a s I c o n t e m p l a t e d w h a t t o d o n e x t . W h i l e t h e t e x t b o o k c o u l d n o t c a r r y t h e m a t h e m a t i c s o r b e t h e s o l e g e n e r a t o r o f w a y s t o r e s p o n d t o s t u d e n t s , m y e x p e r i e n c e r a i s e s t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e r e a r e w a y s t h a t c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c o u l d h e l p m e u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c s b e t t e r s o t h a t I c o u l d r e l y m o r e o n m y o w n u n d e r s t a n d i n g s i n t e a c h i n g . A r e t h e r e w a y s t h a t a t e x t b o o k c o u l d h e l p m e t o t h i n k a b o u t h o w t o 3 7 4 r e s p o n d t o s t u d e n t s ? T h e s e t w o r e s p o n s i b i l i t i e s fi u n d e r s t a n d i n g t h e c o n t e n t a n d r e s p o n d i n g t o s t u d e n t s — w h i c h I i n i t i a l l y s a w a s r e s i d i n g w i t h t h e t e x t b o o k , I n o w s e e a s i n h e r e n t l y t h e t e a c h e r ' s . R a t h e r t h a n d i s m i s s t h e n o t i o n o f a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k e n t i r e l y , h o w e v e r , i t i s s e n s i b l e t o r e t h i n k w h a t i t c o u l d m e a n f o r a t e x t b o o k t o h e l p t e a c h e r s m e e t t h e s e r e s p o n s i b i l i t i e s . T h i s i s a t l e a s t a t w o - p a r t a g e n d a . O n e a s p e c t i n v o l v e s r e t h i n k i n g h o w t o m a k e u s e o f t h e t e x t b o o k . W h a t i n s t r u c t i v e u s e s m i g h t t h e r e b e f o r a t e x t b o o k ? U s e s t h a t r e s p e c t t h e s i t u a t e d n a t u r e o f t e a c h i n g b u t t h a t a l s o o f f e r r e s o u r c e s f o r m a n a g i n g t h o s e s i t u a t i o n s . A s e c o n d p a r t o f t h e c h a n g e i n v o l v e s r e t h i n k i n g t h e c o n t e n t s o f t h e t e x t b o o k . H o w m i g h t t e x t b o o k s m i g h t b e r e v i s e d t o b e c o m e a r e s o u r c e f o r h e l p i n g e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o m a k e s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c s , w h a t t h e i r s t u d e n t s u n d e r s t a n d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s , h o w t o r e s p o n d t o t h e i r s t u d e n t s , a n d w h i c h d i r e c t i o n t o h e a d a s t h e y w o r k t o c o n s t r u c t t h e c u r r i c u l u m ? W h a t w o u l d a r e s o u r c e l o o k l i k e t h a t w a s i n t e n d e d t o h e l p t e a c h e r s d e t e r m i n e , f o l l o w , a n d a c t o n t h e i r o w n m a t h e m a t i c a l a n d p e d a g o g i c a l s e n s e o f w h a t t o d o n e x t ? W h a t w o u l d i t m e a n f o r a c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s t o b e t i e d t o a c u r r i c u l u m f o r s t u d e n t s ( C o h e n 8 : B a r n e s , 1 9 9 3 ) 9 ? M a t h e m a t i c a l c e n t e n t . W h a t i s n e e d e d i s a c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s t h a t i s b a s e d o n t h e p r e m i s e t h a t m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e i s s o c i a l l y c o n s t r u c t e d w h i l e a t t h e s a m e t i m e r e c o g n i z i n g t h a t t h e r e a r e p a r t i c u l a r p r o b l e m s , q u e s t i o n s , a n d i d e a s t h a t a r e i m p o r t a n t w i t h w h i c h t o g r a p p l e i f o n e i s t o l e a r n m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d h a v e s o m e s e n s e o f w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s . P r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s i n c l u d e d i n a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s h o u l d b e w r i t t e n f o r s t u d e n t s y e t e x p l a i n e d t o t e a c h e r s i n w a y s t h a t m a k e e x p l i c i t t h i s i n t e r s e c t i o n b e t w e e n c o n v e n t i o n a l a g r e e d - u p o n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d i d e a s t h a t a r e 9 S e e C o h e n a n d B a r n e s ( 1 9 9 3 ) f o r d i s c u s s i o n i n m o r e g e n e r a l t e r m s a b o u t w h a t i t c o u l d m e a n f o r c u r r i c u l a t o b e e d u c a t i v e f o r t e a c h e r s . 3 7 5 o p e n t o i n t e r p r e t a t i o n . T h e t e x t s h o u l d b e w r i t t e n i n w a y s t h a t m a k e m a t h p r o b l e m s a c c e s s i b l e s i t e s o f e x p l o r a t i o n a n d i n t e r p r e t a t i o n f o r s t u d e n t s w h i l e s i m u l t a n e o u s l y b e i n g r e p r e s e n t a t i o n s o f l a r g e r m a t h e m a t i c a l i s s u e s f o r t e a c h e r s . M o s t t e x t b o o k s a r e d e s i g n e d t o f o c u s o n w h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n . W h a t i s n e e d e d i s a t e x t b o o k d e s i g n e d t o h e l p t e a c h e r s l e a r n . W h a t i s n e e d e d i s a t e x t b o o k t h a t h e l p s t e a c h e r s u n d e r s t a n d t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s i n t e n d e d f o r s t u d e n t s a n d t h e i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l i d e a s t h e p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s a r e i n t e n d e d t o t e a c h . F o r i t i s c o n n e c t i o n s , o r t h e p o t e n t i a l f o r c o n s t r u c t i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e s e n s e s t u d e n t s m a k e o f t h e p r o b l e m a n d t h e i d e a s t h e y a r e t r y i n g t o t e a c h , t h a t t e a c h e r s m u s t h a v e i n m i n d a s t h e y w o r k t o h e l p s t u d e n t s c o n s t r u c t u n d e r s t a n d i n g s o f t h e m a t h e m a t i c s u s i n g p r o b l e m s a n d a c t i v i t i e s a s m e a n s , n o t e n d s , f o r u n d e r s t a n d i n g . G i v e n t h a t t h e r e i s s u c h a s t r o n g n e e d i n t h i s k i n d o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g t o b e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s ' i d e a s , i t i s h e l p f u l f o r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s t o p r o v i d e l i k e l y s t u d e n t r e s p o n s e s , a s C S M P h a s d o n e . B u t i n a d d i t i o n , g u i d a n c e s h o u l d b e p r o v i d e d t o a l l o w t e a c h e r s t o i n t e r p r e t w h a t t h e y h e a r t h e i r o w n s t u d e n t s s a y . V e r b a t i m q u o t e s o f l i k e l y s t u d e n t r e s p o n s e s a r e n o t v e r y u s e f u l w i t h o u t s o m e u n d e r s t a n d i n g o f w h y t h e s e m i g h t b e t y p i c a l r e s p o n s e s . W h a t m a t h e m a t i c s w o u l d s o m e o n e u n d e r s t a n d w h o w o u l d s a y t h e s e t h i n g s ? W h a t m i g h t s o m e o n e s a y w h o d i d n o t h a v e a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s ? W h a t m i g h t b e r e a s o n a b l e a l t e r n a t e r e s p o n s e s ? W h a t s u c h a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i n a t e x t w o u l d p r o v i d e i s a c o n t e x t f o r t e a c h e r s t o a s s e s s a n d m a k e u s e o f t h e i r s t u d e n t s ' r e s p o n s e s r e l a t i v e t o t h e m a t h e m a t i c s t h e y a r e t r y i n g t o t e a c h n a n i n t e g r a l p a r t o f w h a t i s d e m a n d e d i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . I n s h o r t , t e a c h e r s n e e d t o h a v e a c c e s s t o t h e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o f i d e a s a n d c o n n e c t i o n s a n d r e l a t i o n s h i p s i n t e x t b o o k s t h a t c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s 3 7 6 p o s s e s s , w h o n o w t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r c o n s t r u c t i n g p e d a g o g i c a l p a t h s t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n w h i c h t e a c h e r s f o l l o w . C u r r i c u l a r m a t e r i a l s a r e n e e d e d t h a t m a k e v i s i b l e h o w p a t h w a y s t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c a l t e r r a i n a r e c o n s t r u c t e d b y s u c h t h i n g s a s c h o i c e s o f p r o b l e m s t o g i v e s t u d e n t s a n d t e a c h e r s ' n e x t m o v e s . T e a c h e r s n e e d t o u n d e r s t a n d t h e g r o u n d s o n w h i c h d e c i s i o n s a b o u t p o s s i b l e p r o b l e m s o r a c t i v i t i e s t o d o w i t h s t u d e n t s a r e m a d e . T h e y a l s o n e e d t o l e a r n w h a t g o e s i n t o d e c i s i o n s a b o u t w h a t t o d o n e x t s o t h a t c a n l e a r n t o m a k e t h e i r o w n d e c i s i o n s a n d c o n s t r u c t t h e i r o w n p a t h s , o n e s t h a t a r e r e s p o n s i v e t o t h e i r p a r t i c u l a r s t u d e n t s . A s m o s t m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s c u r r e n t l y e x i s t , t h e t e a c h e r ' s g u i d e s p r o v i d e a s i n g l e p a t h t h r o u g h t h e t e r r a i n o f m a t h e m a t i c s w i t h f e w o f t h e c u r r i c u l a r d e c i s i o n s o f t h e d e v e l o p e r s m a d e v i s i b l e t o u s e r s . A u e n t i e n t e t e a c h e r s ’ l e a r n i n g . T h e s e s u g g e s t i o n s f o r w h a t a n d h o w m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o u g h t t o b e r e p r e s e n t e d f o r t e a c h e r s i n t e x t s w o u l d r e s u l t i n a c u r r i c u l u m t h a t i s e d u c a t i v e f o r t e a c h e r s . I n e a r l i e r r e f o r m s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s h a v e g o n e t o g r e a t l e n g t h s t o d e s i g n " t e a c h e r p r o o f " m a t e r i a l s , c u r r i c u l u m m a t e r i a l s i n t e n d e d t o k e e p t e a c h e r s d i s t a n c e d f r o m t e a c h i n g , l e a r n i n g , a n d c o n t e n t ( S a r a s o n , 1 9 8 2 ) . W h a t m y w o r k s h o w s i s t h a t b e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , t h e t e a c h e r m u s t b e i n t i m a t e l y c o n n e c t e d t o t h e d e c i s i o n s t h a t g o v e r n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f c o n t e n t . C u r r i c u l u m d e v e l o p e r s m u s t fi n d w a y s t o g u i d e t e a c h e r s ' p e d a g o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l d e c i s i o n s n o t m a k e d e c o n t e x t u a l i z e d d e c i s i o n s f o r t h e m . O n e p r i m a r y w a y t o h e l p t e a c h e r s t o d o t h i s i s b y fi n d i n g w a y s t o i n c r e a s e t e a c h e r s ' u n d e r s t a n d i n g s o f t h e c o n t e n t . F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e o f r a t i o n a l n u m b e r s , c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c o u l d o f f e r a t e a c h e r h e l p i n t h i n k i n g t h r o u g h t h e m a t h e m a t i c a l i s s u e s r e l a t e d t o t h e a d d i t i o n o f f r a c t i o n s . T e a c h e r s c o u l d b e a l e r t e d t o t h e d i f fi c u l t i e s s t u d e n t s m i g h t e n c o u n t e r i n i d e n t i f y i n g a n d k e e p i n g t h e u n i t c o n s t a n t b y e x p l a i n i n g t h e r e a s o n a b l e n e s s b e h i n d s u c h d i f fi c u l t i e s . T h e y 3 7 7 c o u l d a l s o b e h e l p e d t o u n d e r s t a n d t h e u s e f u l n e s s o f p a r t i c u l a r c o n t e x t s o r r e p r e s e n t a t i o n s f o r u n d e r s t a n d i n g p a r t i c u l a r i d e a s . T o t h i n k o f t e a c h e r s a s l e a r n e r s w h e n d e s i g n i n g c u r r i c u l u m i s s o m e t h i n g t h a t o c c u r r e d t o B r u n e r ( 1 9 7 7 ) m a n y y e a r s a g o , i n t h e c o n t e x t o f e a r l i e r r e f o r m s i n e d u c a t i o n , b u t f e w t e x t b o o k d e v e l o p e r s h a v e h e e d e d . B r u n e r ( 1 9 7 7 ) , i n a p r e f a c e t o a n e w e d i t i o n o f t h e P r o c e s s o f E d u c a t i o n , w r o t e , L e t m e t u r n fi n a l l y t o t h e l a s t o f t h e t h i n g s t h a t h a v e k e p t m e b r o o d i n g a b o u t t h i s b o o k - - t h e p r o d u c t i o n o f c u r r i c u l u m . W h o e v e r h a s u n d e r t a k e n s u c h a n e n t e r p r i s e w i l l p r o b a b l y h a v e l e a r n e d m a n y t h i n g s . B u t w i t h l u c k , h e w i l l a l s o h a v e l e a r n e d o n e b i g t h i n g . A c u r r i c u l u m i s m o r e f o r t e a c h e r s t h a n i t i s f o r p u p i l s . I f i t c a n n o t c h a n g e , m o v e , p e r t u r b , i n f o r m t e a c h e r s , i t w i l l h a v e n o e f f e c t o n t h o s e w h o m t h e y t e a c h . I t m u s t b e fi r s t a n d f o r e m o s t a c u r r i c u l u m f o r t e a c h e r s . I f i t h a s a n y e f f e c t o n p u p i l s , i t w i l l h a v e i t b y v i r t u e o f h a v i n g h a d a n e f f e c t o n t e a c h e r s . ( p . x v ) P e r h a p s o n e o f t h e r e a s o n s w h y B r u n e r ' s a d v i c e h a s n o t b e e n f o l l o w e d i s t h a t f e w c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s h a v e u n d e r s t o o d w h y i t w a s i m p o r t a n t o r w h a t i t m i g h t m e a n t o a t t e n d t o t e a c h e r ' s l e a r n i n g a n d f e w e d u c a t o r s h a v e t a k e n s e r i o u s l y t h e n e e d f o r e l e m e n t a r y t e a c h e r s t o u n d e r s t a n d s u b j e c t m a t t e r - - i n t h i s c a s e , m a t h e m a t i c s . I f o n e t h i n k s t e a c h i n g i s a b o u t p a r t i c u l a r b e h a v i o r s t h e n t e l l i n g t h r o u g h t e x t b o o k s i s a s u f fi c i e n t a n d e f f i c i e n t w a y t o h e l p t e a c h e r s . C u r r i c u l u m m a t e r i a l s h a v e b e e n d i r e c t i n g t e a c h e r s a b o u t w h a t t o d o f o r y e a r s . H o p e f u l l y , w h a t m y s t u d y d o e s i s b e g i n t o i l l u s t r a t e t h e i m p o r t a n c e o f l o o k i n g a t w a y s t o b e e d u c a t i v e r a t h e r t h a n d i r e c t i v e i n t h e d e v e l o p m e n t o f c u r r i c u l u m m a t e r i a l s f o r h e l p i n g t e a c h e r s t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . 1 0 A s C o h e n a n d B a r n e s 1 0 D o w ( 1 9 9 1 ) , C h a p t e r 4 , g i v e s a n a c c o u n t o f e f f o r t s b y c u r r i c u l u m d e v e l o p e r s t o c o n s t r u c t M A C O S m a t e r i a l s i n w a y s t h a t w e r e e d u c a t i v e f o r t e a c h e r s . D o w d e s c r i b e s e a r l y c o n v e r s a t i o n s a b o u t w h a t t h e t e a c h e r ' s g u i d e s o u g h t t o b e l i k e . " A s c h o l a r s h o u l d w r i t e i t , a n d i t s h o u l d c o n v e y d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s a n d p e r s p e c t i v e s o n t h e s u b j e c t a s w e l l a s s u g g e s t u s e f u l s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s " ( p . 1 4 0 ) . 3 7 8 ( 1 9 9 3 ) n o t e , t e a c h e r s n e e d o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n f r o m n e w c u r r i c u l a t h a t a r e s i m i l a r t o t h e l e a r n i n g r e f o r m e r s i n t e n d f o r s t u d e n t s . E d u c a j i n g l e a c h e i s B e s i d e s h a v i n g a c u r r i c u l u m t h a t i s e d u c a t i v e f o r t e a c h e r s , w h a t e l s e c o u l d b e d o n e t o e d u c a t e t e a c h e r s t o m e e t t h e n e e d t o i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g w h i l e t e a c h i n g ? H o w d o e s t h e i d e a o f c o n t i n u o u s l y i n v e n t i n g a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s r e v i s e c u r r e n t c o n c e p t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o e d u c a t e t e a c h e r s ? W h a t m i g h t i t m e a n t o e d u c a t e t e a c h e r s w h i l e t a k i n g s e r i o u s l y t h e n e e d f o r t h e m t o b e c o n t i n u o u s l y l e a r n i n g ? A p r i m a r y c h a l l e n g e i s t o c r e a t e l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s t h a t a l l o w t e a c h e r s t o c o n s t r u c t t e n t a t i v e k n o w l e d g e o f p e d a g o g y , s t u d e n t s , a n d m a t h e m a t i c s “ , t o g a i n a n u n d e r s t a n d i n g o f w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d c o m e t o k n o w , t o a c q u i r e a s e n s e o f w h a t i t m e a n s u s e w h a t o n e t e n t a t i v e l y k n o w s , a n d t o c o m e u p w i t h n e w i d e a s . M y s t u d y i m p l i e s t h a t t h e e m p h a s i s o f h e l p i n g t e a c h e r s c h a n g e t h e i r p r a c t i c e s h o u l d s h i f t a w a y f r o m h e l p i n g t e a c h e r s l e a r n n e w s k i l l s o r s t r a t e g i e s a n d a w a y f r o m s u p p l y i n g t h e m w i t h n e w m a t h p r o b l e m s a n d m a n i p u l a t i v e s - - s p e c i fi c s o f w h a t o r h o w t o t e a c h — t o w a r d l e a r n i n g h o w t o c r e a t e a n d r e c o g n i z e c h o i c e s a n d m a k e d e c i s i o n s a b o u t a p p r o p r i a t e m a t h p r o b l e m s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d r e s p o n s e s t o f u r t h e r s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g s . P r e p a r i n g f o r a n u n c e r t a i n a n d c o m p l e x p r a c t i c e m e a n s s t r e n g t h e n i n g o n e ' s c a p a c i t y t o c o n s t r u c t , j u d g e , a n d d e c i d e a m o n g d i f f e r e n t o p t i o n s . W h i l e t e a c h e r s n e e d o p p o r t u n i t i e s t o l e a r n s p e c i fi c s r e l a t e d t o c o n t e n t a n d p e d a g o g y , a t e a c h e r ' s p o w e r t o t e a c h - - t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e - c o m e s a t l e a s t a s m u c h f r o m w h a t i s l e a r n e d h e m l e a r n i n g a n y p a r t i c u l a r i d e a s a b o u t 1 1 T h e t h r e e k n o w l e d g e c a t e g o r i e s o f m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y c o r r e s p o n d t o D a v i d H a w k i n ' s ( 1 9 7 4 ) w a y o f t h i n k i n g a b o u t w h a t g o e s i n t o t e a c h i n g : I ( p e d a g o g u e ) , T h o u ( s t u d e n t s ) , I t ( m a t h e m a t i c s ) . 3 7 9 m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y . W h a t m y t h e s i s i m p l i e s i s a n e e d f o r t e a c h e r e d u c a t i o n w h i c h a c c o m o d a t e s b o t h t h e l e a r n i n g o f p a r t i c u l a r i d e a s a n d l e a r n i n g h o w t o c o m e u p w i t h n e w i d e a s . W h a t c a n b e l e a r n e d ? C o n v e n t i o n a l t e a c h e r e d u c a t i o n h a s l o n g f o c u s e d o n t e a c h i n g t e c h n i q u e s , s t r a t e g i e s , a n d m e t h o d s f o r t e a c h i n g . W h i l e m y s t u d y c o n fi r m s t h e n e e d t o a t t e n d t o s u b j e c t m a t t e r i n t e a c h e r e d u c a t i o n ( e . g . , B a l l 1 9 8 8 a ; B a l l 8 : M c D i a r m i d , 1 9 9 0 ) , w h i c h h a s r e c e n t l y r e c e i v e d a l o t o f a t t e n t i o n , i t a l s o s u g g e s t s t h e n e e d t o d e s i g n w a y s t o l a y e r w h a t i t m e a n s t o k n o w a n d c o m e t o k n o w o v e r a n y p a r t i c u l a r d o m a i n o f l e a r n i n g - - m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y - - a n d l e a r n h o w t o u s e w h a t o n e i s l e a r n i n g w h i l e t e a c h i n g . A c o n c e p t i o n o f k n o w l e d g e a s u n fi n i s h e d a n d t e n t a t i v e i s n e c e s s a r y t o b e a b l e t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g a n d i m p l i e s t h e n e e d f o r i n q u i r y i n t o m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y a s a n i n h e r e n t p a r t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . L e a r n i n g w h a t i s e n t a i l e d i n l e a r n i n g i n a n y o f t h e s e a r e a s , t h e r e f o r e , i s a s i m p o r t a n t a s l e a r n i n g p a r t i c u l a r s i n e a c h a r e a . l e a r n i n g t o s e e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d k n o w l e d g e a b o u t s t u d e n t s a n d p e d a g o g y a s c o n s t r u c t e d a n d r e c o n s t r u c t e d i s n o t s o m e t h i n g t h a t y e a r s o f t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n w o u l d h a v e p r e p a r e d a n y o n e f o r . I f k n o w l e d g e i s n e c e s s a r i l y t e n t a t i v e a n d c h a n g i n g , w h a t d o e s i t m e a n t o l e a r n t o t e a c h ? O n e c a n n e v e r c o m p l e t e l y k n o w t e a c h i n g o r d e c l a r e w i t h a n y fi n a l i t y t h a t o n e h a s ” l e a r n e d t o t e a c h . ” T h e p u r p o s e o f e d u c a t i n g t e a c h e r s i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g , t h e r e f o r e , i s n o t t o h e l p t e a c h e r s m a s t e r a w a y o f t e a c h i n g . R a t h e r , e d u c a t i n g t e a c h e r s e n t a i l s , i n l a r g e p a r t , h e l p i n g t e a c h e r s l e a r n w a y s t o t h i n k a b o u t w h a t i t m e a n s t o c o n s t r u c t k n o w l e d g e a n d m a k e d e c i s i o n s a b o u t a c t i o n t h a t e n a b l e o n e t o i m p r o v i s e r e s p o n s i v e l y i n t h e m i d s t o f t e a c h i n g . W h e n t a k i n g a t e n t a t i v e , c o n d i t i o n a l 3 8 0 s t a n c e t o w a r d k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g , o n e a s s u m e s t h a t p a s t t e a c h i n g e x p e r i e n c e s - b o t h t h e p a r t i c u l a r s o f w h a t o n e h a s l e a r n e d t o d o a n d w h a t o n e h a s l e a r n e d a b o u t c o m i n g u p w i t h w h a t t o d o — w i l l i n f o r m t h e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e i n n e w t e a c h i n g e x p e r i e n c e s . I n w h a t f o l l o w s , I l o o k a t w h a t t e a c h e r e d u c a t i o n s h o u l d t e a c h . I d e s c r i b e w h a t i t m i g h t m e a n t o k n o w m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y i n w a y s t h a t i n c l u d e b u t m o v e b e y o n d s p e c i fi c u n d e r s t a n d i n g s i n e a c h o f t h e s e a r e a s a n d p r e p a r e o n e t o t e a c h i n c o n t i n u o u s l y n e w w a y s t h a t a r e r e s p o n s i v e t o s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s a n d o n e ' s e v o l v i n g u n d e r s t a n d i n g s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s t h a t a r e i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n . 1 2 W h i l e m y t h e s i s h a s f o c u s e d o n w h a t i t m i g h t t a k e f o r a n e x p e r i e n c e d t e a c h e r t o m a k e c h a n g e s i n p r a c t i c e , i n t h i s c o n c l u s i o n I p u r p o s e f u l l y m a k e n o d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e e d u c a t i o n o f p r e s e r v i c e a n d p r a c t i c i n g t e a c h e r s . T h e r e a r e t w o r e a s o n s f o r t h i s . T h e fi r s t r e a s o n i s a s u b s t a n t i v e o n e . W h i l e I r e m a i n u n c e r t a i n a b o u t t h e e x a c t d i f f e r e n c e s t h a t y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e m i g h t m a k e a s o n e a t t e m p t s t o t e a c h i n w a y s a l i g n e d w i t h t h e r e f o r m s , I b e l i e v e t h a t w h a t I h a v e l e a r n e d w o u l d a p p l y e q u a l l y t o p r e s e r v i c e t e a c h e r s . T h e n a t u r e o f t h e t e a c h i n g o n e i s c o n t i n u o u s l y a i m i n g t o i n v e n t i s t h e s a m e w h e t h e r y o u a r e a n o v i c e o r a v e t e r a n t e a c h e r . P r e s e r v i c e t e a c h e r s , a d m i t t e d l y , w i l l n e e d a d d i t i o n a l u n d e r s t a n d i n g s t o c o m p e n s a t e f o r w h a t t h e y m i g h t l a c k w i t h o u t t h e b e n e fi t o f p a s t t e a c h i n g e x p e r i e n c e s . J u s t w h a t t h e y m i g h t n e e d i s b e y o n d t h e s c o p e o f m y s t u d y . T h e s e c o n d r e a s o n I d o n o t d i s t i n g u i s h h e r e b e t w e e n p r e s e r v i c e a n d i n s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n r e l a t e s t o t h e q u e s t i o n o f h o w t e a c h e r s a r e g o i n g t o l e a r n w h a t t h e y n e e d t o w h i c h , a d m i t t e d l y , c o u l d v a r y c o n s i d e r a b l y w h e t h e r o n e i s r e f e r r i n g t o p r e s e r v i c e o r 1 2 S h u l m a n ( 1 9 8 6 ) r e f e r s t o t h e k n o w l e d g e t h a t b r i d g e s k n o w l e d g e o f t h e s u b j e c t w i t h k n o w l e d g e o f t h e s t u d e n t s a s k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g o r " p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . " M y w o r k r e p r e s e n t s a w a y t o c o n c e i v i n g o f t h e n a t u r e o f t h i s k n o w l e d g e a s d y n a m i c - c o n s t r u c t e d a n d r e c o n s t r u c t e d d u r i n g t h e a c t o f t e a c h i n g . B a l l ( 1 9 8 8 a ) , C h a p t e r 6 , m a k e s t h i s s a m e p o i n t . 3 8 1 i n s e r v i c e t e a c h e r s . H o w e v e r , t h i s , t o o , i s n o t t h e f o c u s o f m y t h e s i s . Q u e s t i o n s o f h o w t e a c h e r s a r e g o i n g t o l e a r n t o t e a c h a d v e n t u r o u s l y a r e b e i n g e x a m i n e d b y o t h e r s ( i . e . , L a c e y 8 : M e r s e t h , 1 9 9 3 ; S y k e s 8 : B i r d , 1 9 9 2 ) . I Q k n e w m a m e m a t i c s . I t w o u l d b e i m p o s s i b l e w i t h i n t h e c o n fi n e s o f a n y s i n g l e t e a c h e r e d u c a t i o n e x p e r i e n c e , w h e t h e r i t b e a p r e s e r v i c e m e t h o d s c o u r s e o r a o n e s h o t i n s e r v i c e w o r k s h o p , t o h e l p t e a c h e r s c o n s t r u c t a q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t k i n d o f u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s i n a l l t o p i c s o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s t o m e e t t h e s u b j e c t m a t t e r n e e d s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . T h e r e f o r e , o n e i s f a c e d w i t h i s s u e s o f b r e a d t h v e r s u s d e p t h i n c o n t e m p l a t i n g h o w t o a t t e n d t o t h e n e e d f o r t e a c h e r s t o l e a r n s u b j e c t m a t t e r . I s t h e g o a l t o e x p l o r e a m u l t i t u d e o f m a t h e m a t i c a l t o p i c s i n l i m i t e d d e p t h o r a f e w t o p i c s i n g r e a t e r d e p t h ? T i m e c o n s t r a i n t s o f p r e s e r v i c e o r i n s e r v i c e t e a c h e r e d u c a t i o n d o n o t a l l o w f o r t h e i d e a l — t o e x a m i n e m a n y t o p i c s , a l l i n d e p t h . G i v e n t h e p a s t m a t h e m a t i c a l l e a r n i n g e x p e r i e n c e s o f m o s t t e a c h e r s a n d t h e n a t u r e o f t h e t e a c h i n g t h e y a r e a i m i n g t o d o i n t h e c o n t e x t o f t h e c u r r e n t r e f o r m s , I a r g u e t h a t i t i s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o h a v e t h e e x p e r i e n c e o f l e a r n i n g a f e w a r e a s o f m a t h e m a t i c s i n d e p t h . T o l e a r n h o w t o t e a c h a n a r e a o f m a t h e m a t i c s i n d e p t h m e a n s a c q u i r i n g p a r t i c u l a r u n d e r s t a n d i n g s o f t h e t o p i c a s w e l l a s g a i n i n g a p e r s p e c t i v e o n w h a t i t m e a n s t o l e a r n a n d c o n s t r u c t n e w m a t h e m a t i c a l i d e a s . G i v e n t h e d y n a m i c n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , i t m a k e s s e n s e t o l e a r n w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d a n y a r e a o f m a t h e m a t i c s i n d e p t h a n d a p p l y w h a t w a s l e a r n e d f r o m t h a t e x p e r i e n c e t o l e a r n i n g s o m e t h i n g n e w . F o r e x a m p l e , w h a t w o u l d i t m e a n t o t a k e w h a t o n e u n d e r s t a n d s a b o u t f r a c t i o n s f r o m a s t u d y o f t h e t o p i c a n d a p p l y t h a t e x p e r i e n c e t o e f f o r t s t o l e a r n a n o t h e r a r e a o f m a t h e m a t i c s , l i k e p r o b a b i l i t y ? H o w d o e s l e a r n i n g o n e t o p i c i n d e p t h p r e p a r e o n e t o l e a r n a n o t h e r ? W h a t c a n o n e l e a r n t o e x p e c t t h e s t u d y o f a m a t h e m a t i c a l t o p i c t o e n t a i l ? I n m y c a s e , w h a t d i d I l e a r n t h r o u g h m y s t u d y o f 3 8 2 f r a c t i o n s , b e y o n d s p e c i fi c c o n c e p t s o f f r a c t i o n s , t h a t w o u l d h e l p m e t o l e a r n t o t e a c h p r o b a b i l i t y ? F i r s t , I l e a r n e d w a y s t o b e g i n a n e x p l o r a t i o n o f a n a r e a o f m a t h e m a t i c s f o r w h i c h I h a v e l i t t l e u n d e r s t a n d i n g . I l e a r n e d t h a t o n e w a y t o b e g i n i s b y s e e i n g w h a t o t h e r s h a v e l e a r n e d w h o h a v e a l r e a d y s p e n t t i m e e x p l o r i n g t h e t e r r i t o r y f r o m o t h e r p e r s p e c t i v e s , f o r o t h e r p u r p o s e s . T h i s c o u l d m e a n fi n d i n g p e o p l e t o t a l k w i t h : m a t h e m a t i c i a n s w h o u n d e r s t a n d t h e s u b j e c t m a t t e r o r t e a c h e r s w h o h a v e t a u g h t t h e t o p i c i n d e p t h . I t c o u l d a l s o m e a n r e a d i n g r e s e a r c h i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n d o n e m a i n l y b y c o g n i t i v e p s y c h o l o g i s t s , w h o d o r e s e a r c h o n h o w s t u d e n t s u n d e r s t a n d p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s , o r w h a t h a s b e e n w r i t t e n a b o u t p r o b a b i l i t y i n t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s . A fi n a l s t r a t e g y c o u l d b e l o o k i n g u p a n y e x p l a n a t i o n o f t h e t o p i c i n a m a t h e m a t i c s t e x t b o o k . G i v e n m y e x p e r i e n c e s w i t h t e x t b o o k s , t h e s o r t o f u n d e r s t a n d i n g s I a m a f t e r m i g h t n o t b e a c c e s s i b l e i n o n e s t h a t c u r r e n t l y e x i s t . H o w e v e r , t h e c o n t e n t a n d d e s i g n o f t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s I d e s c r i b e d e a r l i e r h a v e t h e p o t e n t i a l t o b e a n e d u c a t i v e v e h i c l e f o r t e a c h e r s . I n a n y c a s e , w h a t o n e i s a f t e r i n p u r s u i n g t h e s e s o u r c e s a r e s o m e t e n t a t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f t h e d i f f i c u l t i e s , p r o b l e m s , a n d m a i n c h a l l e n g e s p e o p l e h a v e c o n f r o n t e d i n t h e i r e f f o r t s t o m a k e s e n s e o f a p a r t i c u l a r a r e a o f m a t h e m a t i c s . I t i s n o t a m a t t e r o f fi n d i n g a b o o k o r a p e r s o n w h o w i l l t e l l y o u h o w t o d o i t . A s o n e e x a m i n e s t h e s e p r o b l e m s a n d d i f fi c u l t i e s o t h e r s h a v e f a c e d , o n e i s l o o k i n g f o r f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s a n d m a i n i d e a s a r o u n d w h i c h a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e a r e a h i n g e s . F o r e x a m p l e , i n t h e a r e a o f f r a c t i o n s , q u e s t i o n s o f t h e w h o l e a n d i s s u e s r e l a t e d t o t h e u n i t a r e t h e f u n d a m e n t a l i d e a s a r o u n d w h i c h a n u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t i o n s d e p e n d s . I n t r y i n g t o u n d e r s t a n d t h e s e d i f f i c u l t i e s , o n e s h o u l d p a y a t t e n t i o n t o t h e c o n t e x t i n w h i c h t h e y a r i s e a n d t h e d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s u s e d . W h a t m a t h e m a t i c a l i d e a s a r e a c c e s s i b l e t h r o u g h p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s ? W h a t a r e t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s w i t h 3 8 3 p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n s ? W h e r e d o q u e s t i o n s o f p r o b a b i l i t y a r i s e i n r e a l l i f e ? W h a t i n f o r m a t i o n c a n b e g l e a n e d a b o u t p r o b a b i l i t y b y l o o k i n g a c r o s s t h o s e c o n t e x t s ? U n d e r w h a t c o n d i t i o n s o r a s s u m p t i o n s d o v a r i o u s u n d e r s t a n d i n g s o f p r o b a b i l i t y r e s t ? T o h a v e a n u n d e r s t a n d i n g o f a m a t h e m a t i c a l t o p i c m e a n s h a v i n g a s e n s e , a t s o m e f u n d a m e n t a l l e v e l , o f w h a t i t i s t h a t o n e u n d e r s t a n d s , a n d w h a t i t m i g h t m e a n t o u n d e r s t a n d , a n d w h a t o n e h a s l e f t t o l e a r n . M y s t u d y o f t h e m a t h e m a t i c s i n t h e c o n t e x t o f o n e l e s s o n - - t h e i d e n t i fi c a t i o n o f m a i n i d e a s a n d f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s a s w e l l a s i n t e r p r e t a t i o n s o f a n d p u r p o s e s f o r s p e c i fi c m a t h p r o b l e m s - h a s h e l p e d m e e x p l o r e t h e m a t h e m a t i c s i n o t h e r l e s s o n s . I h a v e n o t o n l y g a i n e d a s e n s e f o r h o w t o u s e r e s o u r c e s b u t I h a v e a l s o l e a r n e d h o w t o a s k q u e s t i o n s o f m y s e l f a n d o t h e r s t o g e t a t t h e h e a r t o f t h e m a t h e m a t i c s f o u n d i n m a t h p r o b l e m s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s . S i m p l e q u e s t i o n s , l i k e w h a t i s a p a t t e r n o r w h a t d o e s i t m e a n t o m u l t i p l y , h a v e c o m p l e x s o l u t i o n s , g r o u n d e d i n a s s u m p t i o n s a n d c o n d i t i o n s , w h i c h , w h e n o n e t r i e s t o u n d e r s t a n d t h e m , p l a c e o n e a t t h e c e n t e r o f w h a t i t m e a n s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c a l i d e a s i n a d e e p a n d f u n d a m e n t a l w a y . T e k n e w s t u d e n t s . H o w d o y o u p r e p a r e t e a c h e r s f o r a k i n d o f t e a c h i n g t h a t i s i n t e n d e d t o b e r e s p o n s i v e t o p a r t i c u l a r s t u d e n t s ? H o w c a n w h a t o n e l e a r n s a b o u t p a r t i c u l a r s t u d e n t s a s t h e y w o r k o n a p a r t i c u l a r m a t h e m a t i c a l t o p i c h e l p o n e t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e w h e n o n e m o v e s o n t o a n e w t o p i c o r n e w s t u d e n t s ? I o f f e r t h r e e d i f f e r e n t a n d b r i e f e x a m p l e s o f s i t u a t i o n s i n w h i c h I l e a r n e d w h a t I s h o u l d b e c o n c e r n e d a b o u t i n m y r e l a t i o n s h i p w i t h s t u d e n t s t h r o u g h m y r e l a t i o n s h i p w i t h s t u d e n t s . I h a v e l e a r n e d t o b e c o n c e r n e d a b o u t s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g i n r e l a t i o n t o m y o w n . I h a v e l e a r n e d t h e n e e d f o r t r u s t i n g t h e r e a s o n a b l e n e s s o f a l l s t u d e n t s ' i n t u i t i o n s , e s p e c i a l l y t h o s e w h o f o r a 3 8 4 v a r i e t y o f r e a s o n s , I m a y l e a s t e x p e c t t o h a v e h e l p f u l i n t e r p r e t a t i o n s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . F i r s t , t h e i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s a r o u n d p a t t e r n s , p a r t i c u l a r l y m y i n t e r a c t i o n s w i t h H e a t h e r , h a v e h e l p e d m e s e e t h a t w h a t a t e a c h e r c a n h e a r i n w h a t s t u d e n t s s a y m a y b e a s i n d i c a t i v e o f w h a t a t e a c h e r u n d e r s t a n d s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s a s w h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d . T h a t i s , w h a t t e a c h e r s a r e a b l e t o i n t e r p r e t f r o m w h a t s t u d e n t s s a y i s h i g h l y d e p e n d e n t o n w h a t t e a c h e r s t h e m s e l v e s u n d e r s t a n d a b o u t t h e m a t h e m a t i c s . W h e n a t e a c h e r h a s d i f fi c u l t y i n t e r p r e t i n g w h a t a p a r t i c u l a r s t u d e n t i s t r y i n g t o c o m m u n i c a t e , t h e n o r m i s f o r t h e t e a c h e r t o q u e s t i o n t h e s t u d e n t ' s u n d e r s t a n d i n g . A n e q u a l l y i m p o r t a n t t h i n g t o d o i s f o r t e a c h e r s t o q u e s t i o n t h e i r o w n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s . I t i s n o t t h e s t u d e n t s ' r e s p o n s i b i l i t y t o m a t c h t h e i r u n d e r s t a n d i n g s w i t h t h e t e a c h e r ' s . I t i s t h e t e a c h e r ' s r e s p o n s i b i l i t y t o p u s h t h e m s e l v e s t o m a k e s e n s e o f w h a t i t i s t h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d . S e c o n d , t h e s e r i e s o f l e s s o n s a r o u n d 2 / 4 + 3 / 4 i s a g o o d e x a m p l e o f m a k i n g a n e f f o r t t o t r y t o u n d e r s t a n d t h e a s s u m p t i o n s a n d c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e " o b v i o u s l y w r o n g a n s w e r , " 5 / 8 , c o u l d m a k e s e n s e . F o r t h i s t o h a p p e n , i t m e a n s t h a t a t e a c h e r n e e d s t o l e a r n t o w o r k f r o m t h e p r e m i s e t h a t w h a t s t u d e n t s s a y m a k e s s e n s e , a n d t o l e a r n t o u n d e r s t a n d h o w . T h i r d , m y i n t e r a c t i o n s w i t h S i p h o h e l p t o i l l u s t r a t e w h a t I l e a r n e d a b o u t t h e p o t e n t i a l o f a l l s t u d e n t s , e v e n t h o s e o n e m a y l e a s t e x p e c t , t o m a k e m e a n i n g f u l c o n t r i b u t i o n s t o t h e i r o w n l e a r n i n g a n d t h e l e a r n i n g o f o t h e r s . E x p e c t i n g t o b e s u r p r i s e d b y w h a t a s t u d e n t u n d e r s t a n d s r a t h e r t h a n d i s a p p o i n t e d b y w h a t t h e y d o n o t u n d e r s t a n d i s a u s e f u l s t a n c e t o t a k e t o w a r d s t u d e n t s d u r i n g t e a c h i n g . W h i l e k n o w i n g h o w p a r t i c u l a r s t u d e n t s h a v e m a d e s e n s e o f i d e a s w i l l n o t l e a d t o a n e x a c t p r e d i c t i o n o f t h e s e n s e f u t u r e s t u d e n t s w i l l m a k e o f p a r t i c u l a r i d e a s , l o o k i n g w i t h a c r i t i c a l e y e a t w h a t c a n b e l e a r n e d f r o m b e i n g i n r e l a t i o n t o s t u d e n t s d o e s h e l p a t e a c h e r k n o w w h a t t o e x p e c t a b o u t w h a t m i g h t o c c u r w h i l e i n t e r a c t i n g w i t h a n e w g r o u p 3 8 5 o f s t u d e n t s a r o u n d s i m i l a r m a t h e m a t i c a l i d e a s o r t h e s a m e g r o u p o f s t u d e n t s a r o u n d a n e w t o p i c . H a v i n g a s e n s e o f w h a t t o e x p e c t a n d b e i n g a b l e t o i n t e r p r e t s t u d e n t s ' u n d e r s t a n d i n g s h e l p s a t e a c h e r t o b u i l d o n s t u d e n t s ’ i d e a s i n t e a c h i n g . F o r e x a m p l e , i f I h a d h a d a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e m e a n i n g o f m u l t i p l i c a t i o n a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o t h e u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r , I m i g h t h a v e b e e n a b l e t o m a k e u s e o f s t u d e n t s ' m e n t a l s t r a t e g i e s f o r c o m p u t i n g t h e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s I g a v e t h e m . A t t h e t i m e , I d i s m i s s e d s t u d e n t s ' r e s p o n s e s a n d g r e w f r u s t r a t e d w i t h s t u d e n t s w h o f o l l o w e d t h e i r o w n s e n s e m a k i n g r a t h e r t h a n p r o d u c i n g r i g h t a n s w e r s i n b y m a k i n g u s e o f t h e M i n i c o m p u t e r i n t h e w a y s d e fi n e d b y t h e t e x t b o o k . O n l y i n r e t r o s p e c t , d i d I a p p r e c i a t e t h e w a y s i n w h i c h s t u d e n t s c o m p o s e d a n d d e c o m p o s e d n u m b e r s t o c o m p u t e m u l t i p l i c a t i o n p r o b l e m s . H a d I b e e n a t t u n e d t o t h e i r w a y s o f s e n s e m a k i n g , I m i g h t h a v e f o u n d w a y s t o r e p r e s e n t a n d m a k e u s e o f s o m e o f t h e i r m e n t a l s t r a t e g i e s a s a l t e r n a t i v e w a y s t o u n d e r s t a n d m u l t i p l i c a t i o n a n d t h e c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . T e k n e w p e d a g e g y . W h a t d o e s i t m e a n t o k n o w p e d a g o g y ? U n d e r s t a n d i n g m e a n s h a v i n g a s e n s e o f p e d a g o g i c a l p r o b l e m s o r d i l e m m a s t o e x p e c t i n t h e c o n t e x t o f t e a c h i n g a n d , o v e r t i m e , a c c r u i n g i n s i g h t a n d e x p e r i e n c e t h a t e n a b l e o n e t o c o n s t r u c t a n d r e c o n s t r u c t t e n t a t i v e s o l u t i o n s . I o f f e r t w o e x a m p l e s o f t h i n g s t h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t p e d a g o g y t h a t h a v e h e l p e d m e l e a r n w h a t t o e x p e c t . O n e f o c u s e s o n t h i n g s I h a v e l e a r n e d t o b e c o n c e r n e d a b o u t i n h o l d i n g a d i s c u s s i o n . T h e o t h e r c e n t e r s o n w h a t I h a v e l e a r n e d a b o u t w h a t i t m e a n s t o ” c o v e r ” c u r r i c u l u m . I t i s n o t t h a t I h a v e m a s t e r e d l e a d i n g a d i s c u s s i o n o r t h a t I h a v e l e a r n e d h o w t o c o n s t r u c t t h e p e r f e c t c u r r i c u l u m . R a t h e r , I h a v e l e a r n e d t h i n g s I n e e d t o b e a w a r e o f , q u e s t i o n s I n e e d t o a s k a s I t r y t o l e a d a d i s c u s s i o n a n d r e c o n s i d e r w h a t i t m e a n s t o c o v e r t h e c u r r i c u l u m . 3 8 6 T h r o u g h m y e f f o r t s t o h o l d a d i s c u s s i o n , I h a v e l e a r n e d s o m e i m p o r t a n t i d e a s a b o u t w h a t d i s c u s s i o n s d e m a n d o f t e a c h e r s . F o r e x a m p l e , a t e a c h e r n e e d s a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c s s h e i s t r y i n g t o t e a c h s t u d e n t s s o t h a t s h e h a s s o m e s e n s e o f w h a t t h e r e i s t o t a l k a b o u t . T h i s k n o w l e d g e o f w h a t t h e r e i s t o t a l k a b o u t c o m e s f r o m a s t u d y o f t h e m a t h e m a t i c a l t e r r i t o r y , a s d e s c r i b e d i n a n e a r l i e r s e c t i o n , w h e r e o n e b e g i n s t o l e a r n w h a t f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s a n d i d e a s a r e w o r t h s p e n d i n g t i m e t a l k i n g a b o u t . R e l a t e d t o t h i s , o n e n e e d s a n o n g o i n g s e n s e o f p u r p o s e . W h a t i s i t t h a t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o l e a r n ? H a d I u n d e r s t o o d t h i s , I m i g h t h a v e d o n e a b e t t e r j o b s u s t a i n i n g a w o r t h w h i l e d i s c u s s i o n o f p a t t e r n s . I h a v e a l s o l e a r n e d t o t h i n k d i f f e r e n t l y a b o u t p e d a g o g y i n t h e c o n t e x t o f c u r r i c u l u m . I h a v e l e a r n e d t o r e c o n s i d e r t h e q u e s t i o n o f w h a t i t m e a n s t o ” c o v e r t h e c u r r i c u l u m . ” I h a v e l e a r n e d t o t h i n k a b o u t c u r r i c u l u m m o r e a s l a y e r s o f c o n c e p t s o r a w e b o f r e l a t i o n s h i p s w i t h s i n g l e p r o b l e m s c u t t i n g t h r o u g h l a y e r s o r s i t t i n g i n t h e c e n t e r o f a w e b o f i d e a s t h a n a s c o p e a n d s e q u e n c e o f b e h a v i o r a l o b j e c t i v e s . I f I h a d t h o u g h t a b o u t c u r r i c u l u m l i k e t h i s a t t h e t i m e o f m y t e a c h i n g , I w o u l d h a v e s t a r t e d o u t w i t h a d i f f e r e n t p u r p o s e f o r d o i n g t h e p r o b l e m 2 / 4 + 3 / 4 w i t h m y s t u d e n t s . I w o u l d h a v e s e e n T h e M u f fi n P r o b l e m a s a r i c h c o n t e x t f o r s t u d e n t s t o e x p l o r e t h e i s s u e s o f u n d e r s t a n d i n g a n d r e p r e s e n t i n g t h e u n i t r a t h e r t h a n m e r e l y a n o c c a s i o n t o r e a s o n a b o u t t h e r u l e o f n o t a d d i n g t h e d e n o m i n a t o r s . T e k n e w e n e s e l f . L e a r n i n g t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e m e a n s l e a r n i n g t o r e g a r d o n e s e l f a s t h e i n v e n t o r o f a p r a c t i c e . W h a t i t t a k e s t o b e a n i n v e n t o r o f p r a c t i c e e n c o m p a s s e s l e a r n i n g a l l o f t h e s e t h i n g s - - m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s , a n d p e d a g o g y - s i m u l t a n e o u s l y , n o n e o f w h i c h c a n b e k n o w n b y s o m e o n e t e l l i n g y o u . T h i s m e a n s f a c i n g o n e s e l f a s a t h i n k e r , s o m e o n e c a p a b l e o f fi g u r i n g o u t w h a t m a k e s s e n s e . I t e n t a i l s c o n s i d e r i n g w h a t o n e k n o w s a n d 3 8 7 t r u s t i n g o n e s e l f t o m a k e d e c i s i o n s b a s e d o n w h a t o n e k n o w s , h o w e v e r t e n t a t i v e . I t m e a n s l e a r n i n g t h a t i t i s o n e ' s r o l e t o t h i n k f o r o n e s e l f a s a t e a c h e r . I f o n e c o m e s t o s e e o n e s e l f i n t h i s l i g h t , t h e n l e a r n i n g a l l o f t h e s e t h i n g s t a k e s o n a d i f f e r e n t c h a r a c t e r . E x p e c t a t i o n s f o r w h a t i t m e a n s t o b e e d u c a t e d a s a t e a c h e r a r e a l t e r e d . F o r e x a m p l e , h a d I e n t e r e d t h i s y e a r o f t e a c h i n g s e e i n g m y s e l f a s t h e i n v e n t o r o f a p r a c t i c e , I w o u l d h a v e e x p e c t e d m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n s t o a r i s e f o r w h i c h I d i d n o t h a v e a n a n s w e r . A q u e s t i o n l i k e , w h a t i s a p a t t e r n , w o u l d h a v e b e e n v i e w e d a s t h e s o u r c e o f a l i v e l y d i s c u s s i o n r a t h e r t h a n a s a s i m p l e q u e s t i o n f o r w h i c h t h e r e i s a n i d e n t i f i a b l e r i g h t a n s w e r t h a t I j u s t d i d n o t k n o w . I w o u l d h a v e e x p e c t e d t o w o n d e r a b o u t s t u d e n t s ’ i n t u i t i o n s w h e n s o l v i n g p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , I w o u l d h a v e c a p i t a l i z e d o n t h e m a t h e m a t i c a l s e n s e b e h i n d s t u d e n t s ' u s e o f a r u l e r t o t r y t o a d d f r a c t i o n s r a t h e r t h a n b r u s h i n g o f f t h e i r e f f o r t s a s c o n f u s i n g n o n s e n s e o r a v e n t u r e o f f t h e t r a c k . A n d , fi n a l l y , I w o u l d h a v e a p p r e c i a t e d t h a t c o n t i n u o u s l y a s k i n g t h e q u e s t i o n o f w h a t t o d o n e x t i s w h a t p r o p e l s m y t e a c h i n g . I t d o e s n o t r e p r e s e n t a s h o r t c o m i n g o r a q u e s t i o n f o r w h i c h t h e r e w i l l e v e r b e a s i n g l e r i g h t a n s w e r . I t r e p r e s e n t s m y u n d e r s t a n d i n g t h a t k n o w l e d g e a b o u t t e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g i s t e n t a t i v e a n d u n c e r t a i n . I t i s s o m e t h i n g I a m r e s p o n s i b l e f o r a n d c a p a b l e o f c o n s t r u c t i n g a n d r e c o n s t r u c t i n g i n t h e a c t o f t e a c h i n g a n d l i e s a t t h e h e a r t o f m y c l a i m t h a t w h a t I h a v e l e a r n e d i s t o c o n t i n u o u s l y i n v e n t a p r a c t i c e . L i s t o f R e f e r e n c e s L I S T O F R E F E R E N C E S A b r a h a m s , R . D . ( 1 9 7 2 ) . F o l k l o r e a n d l i t e r a t u r e a s p e r f o r m a n c e . J o u r n a l o f t h e F o l k l o r e I n s t i t u t e , 9 , 7 5 - 9 4 . A d a m s , H . ( 1 9 7 1 / 1 9 1 8 ) . T h e e d u c a t i o n o f H e n r y A d a m s . B o s t o n : H o u g h t o n M i f fl i n . A r c a v i , A . , B r u c k h e i m e r , M , 8 : B e n s - z v i , R . ( 1 9 8 7 ) . H i s t o r y o f m a t h e m a t i c s f o r t e a c h e r s : T h e c a s e o f i r r a t i o n a l n u m b e r s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 7 ( 2 ) , 1 8 - 2 3 . A s h t o n - W a r n e r , S . ( 1 9 6 3 ) . T e a c h e r . N e w Y o r k : S i m o n a n d S c h u s t e r . B a k e r , R . ( 1 9 8 7 ) . L i f e w i t h m o t h e r . I n W . Z i n s s e r ( E d . ) , T h e a r t a n d c r a f t o f m e m o i r ( p p . 3 1 - 5 2 ) . B o s t o n : H o u g h t o n M i f fl i n . B a l l , D . L . ( 1 9 8 8 a ) . K n o w l e d g e a n d r e a s o n i n g i n m a t h e m a t i c a l p e d a g o g y : E x a m i n i n g w h a t p r o s p e c t i v e t e a c h e r s b r i n g t o t e a c h e r e d u c a t i o n . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . B a l l , D . L . ( 1 9 8 8 b ) . U n l e a m i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 8 ( 1 ) , 4 0 - 4 8 . B a l l , D . L . ( 1 9 9 0 ) . R e fl e c t i o n s a n d d e fl e c t i o n s o f p o l i c y : T h e c a s e o f C a r o l T u r n e r . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 , ( 3 ) , 2 3 7 - 2 4 9 . B a l l , D . L . ( 1 9 9 3 a ) . W i t h a n e y e o n t h e m a t h e m a t i c a l h o r i z o n : D i l e m m a s o f t e a c h i n g e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . E l e m e n t a r y S c h o o l J o u r n a l , 9 3 ( 4 ) , 3 7 3 - 3 9 7 . B a l l , D . L . ( 1 9 9 3 b ) . H a l v e s , p i e c e s , a n d t w o t h s : C o n s t r u c t i n g r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s i n t e a c h i n g f r a c t i o n s . I n T . C a r p e n t e r , E . F e n n e m a , 8 : T , R o m b e r g , ( E d s ) , R a t i o n a l n u m b e r s : A n i n t e g r a t i o n o f r e s e a r c h ( p p . 1 5 7 - 1 9 6 ) . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . B a l l , D . L . , L a m p e r t , M . , 8 : R o s e n b e r g , M . ( 1 9 9 1 , A p r i l ) . U s i n g h y p e r m e d i a t o i n v e s t i g a t e a n d c o n s t r u c t k n o w l e d g e a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . P r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , C h i c a g o , I L . 3 8 8 3 8 9 B a l l , D . L . , 8 : M c D i a r m i d , G . W . ( 1 9 9 0 ) . T h e s u b j e c t m a t t e r p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s . I n W . R . H o u s t o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n ( p p . 4 3 7 - 4 4 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . B a r o n e , T . E . ( 1 9 9 2 ) . A n a r r a t i v e o f e n h a n c e d p r o f e s s i o n a l i s m : E d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r s a n d p o p u l a r s t o r y b o o k s a b o u t s c h o o l p e o p l e . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 2 1 ( 8 ) , 1 5 - 2 4 . B a r r a t t a - L o r t o n , M . ( 1 9 7 7 ) . M a t h e m a t i c s . . . a w a y o f t h i n k i n g . R e a d i n g , M A : A d d i s o n - W e s l e y . B e h r , M . J . , L e s h , R . , P o s t , T . R . , 8 : S i l v e r , E . A . ( 1 9 8 3 ) . R a t i o n a l - n u m b e r c o n c e p t s . I n R . L e s h , 8 : M . L a n d a u ( E d s ) , A c q u i s i t i o n o f m a t h e m a t i c s c o n c e p t s a n d p r o c e s s e s ( p p . 9 1 - 1 2 6 ) . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . B e h r , M . J . , 8 : P o s t , T . R . ( 1 9 8 8 ) . T e a c h i n g r a t i o n a l n u m b e r a n d d e c i m a l c o n c e p t s . I n T . R . P o s t ( E d . ) , T e a c h i n g m a t h e m a t i c s i n g r a d e s K - 8 ( p p . 1 9 0 - 2 3 1 ) . B o s t o n : A l l y n 8 : B a c o n . B e r g e r , B . M . ( 1 9 9 0 ) . I n t r o d u c t i o n . I n B . M . B e r g e r ( E d . ) , A u t h o r s o f t h e i r o w n l i v e s : I n t e l l e c t u a l a u t o b i o g r a p h i e s b y 2 0 A m e r i c a n s o c i o l o g i s t s ( p p . x i i i - x x v i i i ) . B e r k e l e y , C A : U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a P r e s s . B l o m , L . A . , 8 : C h a p l i n , L . T . ( 1 9 8 8 ) . T h e m o m e n t o f m o v e m e n t . P i t t s b u r g h : U n i v e r s i t y o f P i t t s b u r g h P r e s s . B o g d a n , R . C . , 8 : B i k l e n , S . K . ( 1 9 8 2 ) . Q u a l i t a t i v e r e s e a r c h f o r e d u c a t i o n : A n i n t r o d u c t i o n t o t h e o r y a n d m e t h o d s . B o s t o n : A l l y n 8 : B a c o n . B o r k o , H . , 8 : L i v i n g s t o n , C . ( 1 9 8 9 ) . C o g n i t i o n a n d i m p r o v i s a t i o n : D i f f e r e n c e s i n m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n b y e x p e r t a n d n o v i c e t e a c h e r s . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h J o u r n a l , 2 6 ( 4 ) , 4 7 3 - 4 9 8 . B o r k o , H . , 8 : P u t n a m , R . T . ( i n p r e s s ) . L e a r n i n g t o t e a c h . I n D . C . B e r l i n e r 8 : R . C . C a l f e e ( E d s ) , H a n d b o o k o f e d u c a t i o n a l p s y c h o l o g y . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . B r o p h y , J . E . , 8 : G o o d , T . L . ( 1 9 8 6 ) . T e a c h e r b e h a v i o r a n d s t u d e n t a c h i e v e m e n t . I n M . C . W i t t r o c k ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( 3 r d e d . , p p . 3 2 8 - 3 7 5 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . B r u n e r , J . ( 1 9 7 7 / 1 9 6 0 ) . T h e p r o c e s s o f e d u c a t i o n . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . 3 9 0 B r u n e r , J . ( 1 9 8 5 ) . N a r r a t i v e a n d p a r a d i g m a t i c m o d e s o f t h o u g h t . I n E . E i s n e r ( E d . ) , L e a r n i n g a n d t e a c h i n g t h e w a y s o f k n o w i n g ( p p . 9 7 - 1 1 5 ) . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . B r u n e r , J . ( 1 9 9 0 ) . A c t s o f m e a n i n g . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . B u c k l e y , J . H . ( 1 9 8 4 ) . T h e t u r n i n g k e y . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . ( 1 9 9 2 ) . M a t h e m a t i c s f r a m e w o r k f o r C a l i f o r n i a p u b l i c s c h o o l s , k i n d e r g a r t e n t h r o u g h g r a d e t w e l v e . S a c r a m e n t o , C A : A u t h o r . C a l i f o r n i a S t a t e D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . ( 1 9 8 5 ) . M a t h e m a t i c s f r a m e w o r k f o r C a l i f o r n i a p u b l i c s c h o o l s , k i n d e r g a r t e n t h r o u g h g r a d e t w e l v e . S a c r a m e n t o , C A : A u t h o r . C a l k i n s , L . M . ( 1 9 8 3 ) . L e s s o n s f r o m a c h i l d : O n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f w r i t i n g . M e l b o u r n e : H e i n e m a n n . C a r p e n t e r , T . P . , 8 : F e n n e m a , E . ( 1 9 8 8 ) . R e s e a r c h a n d c o g n i t i v e l y g u i d e d i n s t r u c t i o n . I n E . F e n n e m a , T . P . C a r p e n t e r , 8 : S . J . L a m o n ( E d s ) , I n t e g r a t i n g r e s e a r c h o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ( p p . 2 - 1 9 ) . M a d i s o n : U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , W i s c o n s i n C e n t e r f o r E d u c a t i o n R e s e a r c h . C a r t e r , K . ( 1 9 9 0 ) . T e a c h e r s ’ k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g t o t e a c h . I n R . H o u s t o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n . ( p p . 2 9 1 - 3 1 0 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . C a r t e r , K . ( 1 9 9 3 ) . T h e p l a c e o f s t o r y i n t h e s t u d y o f t e a c h i n g a n d t e a c h e r e d u c a t i o n . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 2 2 ( 1 ) , 5 - 1 2 . C E M R E L . ( 1 9 8 1 a ) . P r o b l e m s o l v i n g i n a C S M P m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . S t . L o u i s : A u t h o r . C E M R E L . ( 1 9 8 1 b ) . T h e C S M P a p p r o a c h t o c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t . S t . L o u i s : A u t h o r . C E M R E L ( 1 9 8 2 ) . C o m p r e h e n s i v e s c h o o l m a t h e m a t i c s p r o g r a m . R e p o r t t o t h e j o i n t d i s s e m i n a t i o n r e v i e w p a n e l . S t . L o u i s : A u t h o r . C l a r k , C . M . , 8 : P e t e r s o n , P . ( 1 9 8 6 ) . T e a c h e r s ’ t h o u g h t p r o c e s s e s . I n M . C . W i t t r o c k ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( 3 r d e d . , p p . 2 5 5 - 2 9 6 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . 3 9 1 C o b b , P . ( 1 9 8 8 ) . T h e t e n s i o n b e t w e e n t h e o r i e s o f l e a r n i n g a n d i n s t r u c t i o n i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g i s t , 2 3 , 8 7 - 1 0 3 . C o b b , R , W o o d , T . , Y a c k e l , E . , 8 : M c N e a l , B . ( 1 9 9 2 ) . C h a r a c t e r i s t i c s o f c l a s s r o o m m a t h e m a t i c s t r a d i t i o n s : A n i n t e r a c t i o n a l a n a l y s i s . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h J o u r n a l , 2 9 ( 3 ) , 5 7 3 - 6 0 4 . C o c h r a n - S m i t h , M . , 8 : L y t l e , S . L . ( 1 9 9 0 ) . R e s e a r c h o n t e a c h i n g a n d t e a c h e r r e s e a r c h : T h e i s s u e s t h a t d i v i d e . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 9 ( 2 ) , 2 - 1 1 . C o h e n , D . K . ( 1 9 8 8 ) . T e a c h i n g p r a c t i c e : P l u s c a c h a n g e . . . . I n P . W . J a c k s o n ( E d . ) , C o n t r i b u t i n g t o e d u c a t i o n a l c h a n g e : P e r s p e c t i v e s o n r e s e a r c h a n d p r a c t i c e ( p p . 2 7 - 8 4 ) . B e r k e l e y , C A : M c C u t c h a n . C o h e n , D . K . ( 1 9 9 0 ) . A r e v o l u t i o n i n o n e c l a s s r o o m : T h e c a s e o f M r s . O u b l i e r . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 3 1 1 - 3 2 9 . C o h e n , D . K . , 8 : B a l l , D . L . ( 1 9 9 0 ) . R e l a t i o n s b e t w e e n p o l i c y a n d p r a c t i c e : A c o m m e n t a r y . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 3 3 1 - 3 3 8 . C o h e n , D . K . , 8 : B a r n e s , C . A . ( 1 9 9 3 ) . P e d a g o g y a n d p o l i c y . I n M . M c L a u g h l i n , J . T a l b e r t , 8 : D . C o h e n ( E d s ) , T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g : C h a l l e n g e s f o r p r a c t i c e , r e s e a r c h , a n d p o l i c y ( p p . 2 4 0 - 2 7 5 ) . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y B a s s . C o h e n , D . K . , P e t e r s o n , P . , W i l s o n , S . , B a l l , D . , P u t n a m , R . , P r a w a t , R . , H e a t o n , R . , R e m i l l a r d , J . , 8 : W i e m e r s , N . ( 1 9 9 0 ) . E f f e c t s o f s t a t e - l e v e l r e f o r m o f e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m o n c l a s s r o o m p r a c t i c e ( F i n a l r e p o r t , U S . D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , O E R I G r a n t N o . R 1 1 7 P 8 0 0 4 ) . E a s t L a n s i n g , M I : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , C e n t e r f o r t h e L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s a n d N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . C o n n e l l y , F . M . , 8 : C l a n d i n i n , D . J . ( 1 9 9 0 ) . S t o r i e s o f e x p e r i e n c e a n d n a r r a t i v e i n q u i r y . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 9 ( 4 ) , 2 - 1 4 . C o n w a y , J . K . ( 1 9 9 2 ) . W r i t t e n b y h e r s e l f . N e w Y o r k : V i n t a g e B o o k s . C u b a n , L . ( 1 9 9 0 ) . W h a t I l e a r n e d f r o m w h a t I h a d f o r g o t t e n a b o u t t e a c h i n g : N o t e s f r o m a p r o f e s s o r . P h i D e l t a K a p p a n , 7 1 ( 6 ) , 4 7 9 - 4 8 2 . C u l l e y , M . ( 1 9 9 2 ) . A m e r i c a n w o m e n a u t o b i o g r a p h i e s : P e a ( s ) t s o f m e m o r y . M a d i s o n : U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n P r e s s . D a v i s , P . J . 8 : H e r s h , R . ( 1 9 8 1 ) . T h e m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e . B o s t o n : H o u g h t o n M i f fl i n C o m p a n y . 3 9 2 D e a n , R . T . ( 1 9 8 9 ) . C r e a t i v e i m p r o v i s a t i o n . S t r a t f o r d : O p e n U n i v e r s i t y P r e s s . D e n n i s o n , G . ( 1 9 6 9 ) . T h e l i v e s o f c h i l d r e n : T h e s t o r y o f t h e F i r s t S t r e e t S c h o o l . N e w Y o r k : V a n t a g e B o o k s . D e w e y , J . ( 1 9 6 6 / 1 9 1 6 ) . D e m o c r a c y a n d e d u c a t i o n . N e w Y o r k : T h e F r e e P r e s s . D o u g l a s s , F . ( 1 9 6 8 / 1 8 4 5 ) . N a r r a t i v e o f t h e l i f e o f F r e d e r i c k D o u g l a s s . N e w Y o r k : P e n g u i n B o o k s . D o w , P . B . ( 1 9 9 1 ) . S c h o o l h o u s e p o l i t i c s . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . D u B o i s , W . E . B . ( 1 9 9 0 / 1 9 0 3 ) . T h e s o u l s o f b l a c k f o l k s . N e w Y o r k : F i r s t V i n t a g e B o o k s . E g g l e s t o n , E . ( 1 8 9 9 ) . T h e H o o s i e r s c h o o l m a s t e r . N e w Y o r k : G r o s s e t 8 : D u n l a p . E i c h o l z , R . E . , O ’ D a f f e r , P . G . , F e e l n o r , C . R . , C h a r l e s , R . 1 . , Y o u n g , S . , 8 : B a r n e t t , C . ( 1 9 8 7 ) . A d d i s o n - W e s l e y m a t h e m a t i c s . M e n l o P a r k , C A : A d d i s o n - W e s l e y . E i s e n h a r t , M . , B o r k o , H . , U n d e r h i l l , R . , B r o w n , C . , J o n e s , D . , 8 : A g a r d , P . ( 1 9 9 3 ) . C o n c e p t u a l k n o w l e d g e f a l l s t h r o u g h t h e c r a c k s : C o m p l e x i t i e s o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 4 ( 1 ) , 8 - 4 0 . E i s n e r , E . W . ( 1 9 8 8 ) . T h e p r i m a c y o f e x p e r i e n c e a n d t h e p o l i t i c s o f m e t h o d . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 7 ( 5 ) , 1 5 - 2 0 . E i s n e r , E . W . ( 1 9 9 2 ) . W h a t a p r o f e s s o r l e a r n e d i n t h e t h i r d g r a d e . I n F . K . O s e r , A . D i c k , 8 : J . L . P a t r y ( E d s ) , E fi ‘ e c t i v e a n d r e s p o n s i b l e t e a c h i n g ( p p . 2 6 1 - 2 7 7 ) . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . E i s n e r , E . W . ( 1 9 9 3 ) . F o r m s o f u n d e r s t a n d i n g a n d t h e f u t u r e o f e d u c a t i o n a l r e s e a r c h . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 2 2 ( 7 ) , 5 - 1 1 . E l b a z , F . ( 1 9 8 3 ) . T e a c h e r t h i n k i n g : A s t u d y o f p r a c t i c a l k n o w l e d g e . L o n d o n : C r o o m H e l m . E r i c k s o n , F . ( 1 9 8 2 ) . C l a s s r o o m d i s c o u r s e a s i m p r o v i s a t i o n : R e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a c a d e m i c t a s k s t r u c t u r e a n d s o c i a l p a r t i c i p a t i o n s t r u c t u r e i n l e s s o n s . I n L . C . W i l k i n s o n ( E d . ) , C o m m u n i c a t i n g i n t h e c l a s s r o o m ( p p . 1 5 3 - 1 8 1 ) . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . 3 9 3 E v e s , H . ( 1 9 6 9 ) . A n i n t r o d u c t i o n t o t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s . N e w Y o r k : H o l t , R e i n h a r d t , a n d W i n s t o n . F a w c e t t , H . P . ( 1 9 3 8 ) . T h e n a t u r e o f p r o o f . N e w Y o r k : B u r e a u o f P u b l i c a t i o n s T e a c h e r s C o l l e g e . F e a t h e r s t o n e , H . ( 1 9 9 3 ) . L e a r n i n g f r o m t h e fi r s t y e a r s o f c l a s s r o o m t e a c h i n g . T e a c h e r s C o l l e g e R e c o r d , 9 5 ( 1 ) , 9 3 - 1 1 2 . ‘ F e a t h e r s t o n e , H . ( 1 9 8 0 ) . A d i f f e r e n c e i n t h e f a m i l y . N e w Y o r k : B a s i c B o o k s . F e a t h e r s t o n e , H . , P f e i f f e r , L . , 8 : S m i t h , S . P . ( 1 9 9 3 ) . L e a r n i n g i n g o o d c o m p a n y : R e p o r t o n a p i l o t s t u d y ( R e s e a r c h R e p o r t 9 3 - 2 ) . E a s t L a n s i n g , M I : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r L e a r n i n g . F e i m a n - N e m s e r , S . ( 1 9 9 0 ) . T e a c h e r p r e p a r a t i o n : S t r u c t u r a l a n d c o n c e p t u a l a l t e r n a t i v e s . I n W . R . H o u s t o n ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n ( p p . 2 1 2 - 2 3 3 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . F e i m a n - N e m s e r , S . ( 1 9 8 3 ) . L e a r n i n g t o t e a c h . I n L . S h u l r n a n 8 : G . S y k e s ( E d s ) , H a n d b o o k o f t e a c h i n g a n d p o l i c y ( p p . 1 5 0 - 1 7 0 ) . N e w Y o r k : L o n g m a n . F e i m a n - N e m s e r , S . 8 : B u c h m a n n , M . ( 1 9 8 6 ) . T h e fi r s t y e a r o f t e a c h e r p r e p a r a t i o n : T r a n s i t i o n t o p e d a g o g i c a l t h i n k i n g ? J o u r n a l o f C u r r i c u l u m S t u d i e s , 1 8 ( 3 ) , 2 3 9 - 2 5 6 . F l o d e n , R . E . 8 : C l a r k , C . M . ( 1 9 8 8 ) . P r e p a r i n g t e a c h e r s f o r u n c e r t a i n t y . T e a c h e r s C o l l e g e R e c o r d , 8 9 ( 4 ) , 5 0 5 - 5 2 4 . F u l l e r , F . F . ( 1 9 6 9 ) . C o n c e r n s f o r t e a c h e r s : A d e v e l o p m e n t a l c o n c e p t u a l i z a t i o n . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h J o u r n a l , 6 , 2 0 7 - 2 2 6 . F u s o n , K . ( 1 9 8 8 ) . S u m m a r y c o m m e n t s : M e a n i n g i n m i d d l e g r a d e n u m b e r c o n c e p t s . I n N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , N u m b e r c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s i n t h e m i d d l e g r a d e s ( p p . 2 6 0 - 2 6 4 ) . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . G a l l w e y , W . T . , 8 : K r i e g e l , B . ( 1 9 7 7 ) . I n n e r s k i i n g . N e w Y o r k : R a n d o m H o u s e . G a l l w e y , W . T . ( 1 9 7 4 ) . T h e i n n e r g a m e o f t e n n i s . N e w Y o r k : B a n t a m B o o k s . G e i s t , P . K . ( i n p r e p a r a t i o n ) . S t u d y i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c u r r e n t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m a g e n d a , a t e a c h e r ’ s l e a r n i n g , a n d t e a c h i n g p r a c t i c e . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . 3 9 4 G l a s e r , B . G . , 8 : S t r a u s s , A . L . ( 1 9 6 7 ) . T h e d i s c o v e r y o f g r o u n d e d t h e o r y . N e w Y o r k : A l d i n e d e G r u y t e r . G o f f m a n , E . ( 1 9 6 1 ) . E n c o u n t e r s : T w o s t u d i e s i n t h e s o c i o l o g y o f i n t e r a c t i o n . I n d i a n a p o l i s : B o b b s - M e r r i l l E d u c a t i o n a l P u b l i s h i n g . G o o d l a d , J . I . ( 1 9 8 4 ) . A p l a c e c a l l e d s c h o o l . N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l . G r a n t , 5 . G . ( i n p r e p a r a t i o n ) . M a n a g i n g t h e c a l l t o r e f o r m : C a s e s t u d i e s o f f o u r e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . G r e e n o , I . ( 1 9 8 9 ) . A p e r s p e c t i v e o n t h i n k i n g . A m e r i c a n P s y c h o l o g i s t , 4 4 ( 2 ) , 1 3 4 - 1 4 1 . G r o s s m a n , P . L . ( 1 9 9 0 ) . T h e m a k i n g o f a t e a c h e r : T e a c h e r k n o w l e d g e a n d t e a c h e r e d u c a t i o n . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . G u d m u n d s d o t t i r , S . ( 1 9 9 0 ) . V a l u e s i n p e d a g o g i c a l c o n t e n t k n o w l e d g e . j o u r n a l o f T e a c h e r E d u c a t i o n , 4 1 ( 3 ) , 4 4 - 5 2 . H a l p e m , D . ( 1 9 8 8 ) . W r i t e r s o n a r t i s t s . S a n F r a n c i s c o : N o r t h P o i n t P r e s s . H a m m e r s l e y , M . , 8 : A t k i n s o n , P . ( 1 9 8 9 ) . E t h n o g r a p h y p r i n c i p l e s a n d p r a c t i c e . N e w Y o r k : R o u t l e d g e . H a r p e r , D . ( 1 9 8 7 ) . W o r k i n g k n o w l e d g e . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . H a r t , L . C . ( 1 9 9 1 ) . A s s e s s i n g t e a c h e r c h a n g e i n t h e A t l a n t a M a t h P r o j e c t . I n R . G . U n d e r h i l l ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T h i r t e e n t h A n n u a l M e e t i n g N o r t h A m e r i c a n C h a p t e r o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 , 7 8 - 8 4 . H a w k i n s , D . ( 1 9 7 4 ) . I , t h o u , i t . I n T h e i n f o r m e d v i s i o n : E s s a y s o n l e a r n i n g a n d h u m a n n a t u r e ( p p . 4 8 - 6 2 ) . N e w Y o r k : A g a t h o n P r e s s . H e a t o n , R . M . ( 1 9 9 1 , F e b r u a r y ) . C o n t i n u i t y a n d c o n n e c t e d n e s s i n t e a c h i n g a n d r e s e a r c h : A s e l f s t u d y o f l e a r n i n g t o t e a c h m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a E t h n o g r a p h y i n E d u c a t i o n R e s e a r c h F o r u m , P h i l a d e l p h i a , U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a . H e a t o n , R . M . , 8 : L a m p e r t M . ( 1 9 9 3 ) . L e a r n i n g t o h e a r v o i c e s : I n v e n t i n g a n e w p e d a g o g y o f t e a c h e r e d u c a t i o n . I n M . M c L a u g h l i n , I . T a l b e r t , 8 : D . C o h e n 3 9 5 ( E d s ) , T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g : C h a l l e n g e s f o r p r a c t i c e , r e s e a r c h , a n d p o l i c y ( p p . 4 3 - 8 3 ) . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y B a s s . H e a t o n , R . M . , R e i n e k e , I . W . , 8 : F r e s e , I . D . * ( 1 9 9 1 , A p r i l ) . C o l l e c t i v e r e fl e c t i o n : A n a c c o u n t o f c o l l a b o r a t i v e r e s e a r c h . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , C h i c a g o , I L . H e a t o n , R . M . ( 1 9 9 2 ) . ? W h o i s m i n d i n g t h e m a t h e m a t i c s c o n t e n t ? A c a s e s t u d y o f a f i f t h - g r a d e t e a c h e r . E l e m e n t a r y S c h o o l I o u r n a l , 9 3 , 1 5 3 - 1 6 2 . H e r b e r t , M . ( 1 9 8 4 ) . C o m p r e h e n s i v e S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o g r a m : F i n a l E v a l u a t i o n R e p o r t . A u r o r a , C O : M c R E L . H i e b e r t , J . , 8 : B e h r , M . ( 1 9 8 8 ) . I n t r o d u c t i o n : C a p t u r i n g t h e m a j o r t h e m e s . I n N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , N u m b e r c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s i n t h e m i d d l e g r a d e s ( p p . 1 - 1 8 ) . H i l l s d a l e , N ] : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . H i e b e r t , J . , 8 : L e f e v r e , P . ( 1 9 8 6 ) . C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s : A n i n t r o d u c t o r y a n a l y s i s . I n ] . H i e b e r t ( E d . ) , C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e : T h e c a s e o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 - 2 7 ) . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . H i e b e r t , J . , 8 : W e a r n e , D . ( 1 9 8 8 ) . M e t h o d o l o g i e s f o r s t u d y i n g l e a r n i n g t o i n f o r m t e a c h i n g . I n E . F e n n e m a , T . P . C a r p e n t e r , 8 : S . I . L a m o n ( E d s ) , I n t e g r a t i n g r e s e a r c h o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ( p p . 1 6 8 - 1 9 2 ) . M a d i s o n : U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , W i s c o n s i n C e n t e r f o r E d u c a t i o n R e s e a r c h . H i e b e r t , J . , 8 : W e a m e , D . ( 1 9 9 2 ) . L i n k s b e t w e e n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g p l a c e v a l u e w i t h u n d e r s t a n d i n g i n f i r s t g r a d e . j o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 3 ( 2 ) , 9 8 - 1 2 2 . H o f f m a n , M . ( 1 9 9 2 ) . T h e s o u l o f t e a c h i n g . P a t h w a y s , 8 ( 2 ) , 3 - 6 . H o l m e s G r o u p . ( 1 9 9 0 ) . T o m o r r o w ’ s s c h o o l s : P r i n c i p l e s f o r t h e d e s i g n o f p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t s c h o o l s . E a s t L a n s i n g : A u t h o r . H u b e r m a n , M . ( 1 9 8 8 ) . T e a c h e r c a r e e r s a n d s c h o o l i m p r o v e m e n t . I o u r n a l o f C u r r i c u l u m S t u d i e s , 2 0 ( 2 ) , 1 1 9 - 1 3 2 . J a c k s o n , P . ( 1 9 8 6 ) . T h e p r a c t i c e o f t e a c h i n g . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . J e n n i n g s , N . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r s l e a r n i n g f r o m p o l i c y : C a s e s f r o m t h e M i c h i g a n r e a d i n g r e f o r m . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . 3 9 6 J o h n s o n , S . M . ( 1 9 9 0 ) . T e a c h e r s a t w o r k . N e w Y o r k : B a s i c B o o k s . K a p u t , I . J . ( 1 9 8 7 ) . T o w a r d s a t h e o r y o f s y m b o l u s e i n m a t h e m a t i c s . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 9 - 2 6 ) . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . K a r u s h , W . ( 1 9 8 9 ) . W e b s t e r ’ s n e w w o r l d d i c t i o n a r y o f m a t h e m a t i c s . N e w Y o r k : P r e n t i c e H a l l P r e s s . K a u f m a n n , B . , 8 : S t e r l i n g , N . ( 1 9 8 1 ) . T h e C S M P e l e m e n t a r y s c h o o l p r o g r a m . S t . L o u i s , M O : C E M R E L . K i t c h e r , P . ( 1 9 8 4 ) . T h e n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . K l i n e , M . ( 1 9 8 0 ) . M a t h e m a t i c s : T h e l o s s o f c e r t a i n t y . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . K l i n e , M . ( 1 9 7 2 ) . M a t h e m a t i c a l t h o u g h t f r o m a n c i e n t t o m o d e r n t i m e s ( V o l . 1 ) . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . K o h l , H . ( 1 9 6 7 ) . 3 6 c h i l d r e n . N e w Y o r k : P l u m e B o o k s . K o h l , H . ( 1 9 8 4 ) . G r o w i n g m i n d s . N e w Y o r k : H a r p e r 8 : R o w . K r i e g e r , S . ( 1 9 9 1 ) . S o c i a l s c i e n c e a n d t h e s e l f . N ] : R u t g e r s U n i v e r s i t y P r e s s . L a c e y , C . A . , 8 : M e r s e t h , K . K . ( 1 9 9 3 ) . C a s e s , h y p e r m e d i a a n d c o m p u t e r n e t w o r k s : T h r e e c u r r i c u l a r i n n o v a t i o n s f o r t e a c h e r e d u c a t i o n . j o u r n a l o f C u r r i c u l u m S t u d i e s , 2 5 ( 6 ) , 5 4 3 - 5 5 1 . L a k a t o s , I . ( 1 9 7 6 ) . P r o o f s a n d r e f u t a t i o n s . C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . L a k o f f , G . , 8 : j o h n s o n , M . ( 1 9 8 0 ) . M e t a p h o r s w e l i v e b y . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . L a m p e r t , M . ( 1 9 8 6 ) . H o w d o t e a c h e r s m a n a g e t o t e a c h ? H a r v a r d E d u c a t i o n a l R e v i e w , 5 5 ( 2 ) , 1 7 8 - 1 9 4 . L a m p e r t , M . ( 1 9 8 7 ) . K n o w i n g , d o i n g , a n d t e a c h i n g m u l t i p l i c a t i o n . C o g n i t i o n a n d I n s t r u c t i o n , 3 , 3 0 5 - 3 4 2 . 3 9 7 L a m p e r t , M . ( 1 9 8 8 ) . C o n n e c t i n g m a t h e m a t i c a l t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . I n E . F e n n e m a , T . P . C a r p e n t e r 8 : S . I . L a m o n ( E d s ) , I n t e g r a t i n g r e s e a r c h o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ( p p . 1 3 2 - 1 6 7 ) . M a d i s o n : U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , W i s c o n s i n C e n t e r f o r E d u c a t i o n a l R e s e a r c h . L a m p e r t , M . ( 1 9 8 9 ) . C h o o s i n g a n d u s i n g m a t h e m a t i c a l t o o l s i n c l a s s r o o m d i s c o u r s e . I n ] . B r o p h y ( E d . ) , A d v a n c e s i n r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( V o l . 1 , p p . 2 2 3 - 2 6 4 ) . C T : I A I P r e s s . L a m p e r t , M . ( 1 9 9 0 ) . W h e n t h e p r o b l e m i s n o t t h e q u e s t i o n a n d t h e s o l u t i o n i s n o t t h e a n s w e r : M a t h e m a t i c a l k n o w i n g a n d t e a c h i n g . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h j o u r n a l , 2 7 ( 1 ) , 2 9 - 6 3 . L a m p e r t , M . ( 1 9 9 2 a ) . P r a c t i c e s a n d p r o b l e m s i n t e a c h i n g a u t h e n t i c m a t h e m a t i c s . I n F . K . O s e r , A . D i c k , 8 : ] . P a t r y ( E d s ) , E f f e c t i v e a n d r e s p o n s i b l e t e a c h i n g ( p p . 2 9 5 - 3 1 4 ) . S a n F r a n c i s c o : I o s s e y - B a s s . L a m p e r t , M . ( 1 9 9 2 b ) . T e a c h i n g a n d l e a r n i n g l o n g d i v i s i o n f o r u n d e r s t a n d i n g i n s c h o o l . I n G . L e i n h a r d t , R . P u t n a m , 8 : R . H a t t r u p ( E d s ) , A n a l y s i s o f a r i t h m e t i c f o r m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ( p p . 2 2 1 - 2 8 2 ) . H i l l s d a l e , N ] : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . L a m p e r t , M . , B a l l , D . L . , R o s e n b e r g , M . , 8 : S u z u k a , K . ( 1 9 9 3 ) . U s i n g h y p e r m e d i a t e c h n o l o g y t o s u p p o r t a n e w p e d a g o g y o f t e a c h e r e d u c a t i o n . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a l E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , A t l a n t a , G A . L a m p e r t , M . , 8 : C l a r k , C . M . ( 1 9 9 0 ) . E x p e r t k n o w l e d g e a n d e x p e r t t h i n k i n g i n ~ t e a c h i n g : A r e s p o n s e t o F l o d e n a n d K l i n z i n g . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 9 ( 4 ) , 2 1 - 2 3 . L a m p e r t , M . , H e a t o n , R . M . , 8 : B a l l , D . L . ( 1 9 9 1 , M a y ) . U s i n g t e c h n o l o g y t o s u p p o r t a n e w p e d a g o g y o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r e d u c a t i o n . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e U n i v e r s i t y o f D e l a w a r e , N e w a r k , D E . L a n i e r , 1 . , 8 : L i t t l e , 1 . W . ( 1 9 8 6 ) . R e s e a r c h o n t e a c h e r e d u c a t i o n . I n M . C . W i t t r o c k ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( 3 r d e d . , p p . 5 2 7 - 5 6 9 ) . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . L e i n h a r d t , G . , Z a s l a v s k y , O . , 8 : S t e i n , M . ( 1 9 9 0 ) . F u n c t i o n s , g r a p h s , a n d g r a p h i n g : T a s k s , l e a r n i n g , a n d t e a c h i n g . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h , 6 0 ( 1 ) , 1 - 6 4 . L i e b e r m a n , A . , 8 : M i l l e r , L . ( 1 9 7 9 ) . S t a fi ‘ d e v e l o p m e n t . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . 3 9 8 L i t t l e , J . , G a l a g r a n , P . , 8 : O ’ N e a l , R . ( 1 9 8 4 ) . P r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t r o l e s a n d r e l a t i o n s h i p s : P r i n c i p l e s a n d s k i l l s o f ” a d v i s i n g . ” S a n F r a n c i s c o , C A : F a r W e s t L a b o r a t o r y f o r E d u c a t i o n a l R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t . L i t t l e , I . ( 1 9 8 5 ) . W h a t s c h o o l s c o n t r i b u t e t o t e a c h e r s ’ p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t . S a n F r a n c i s c o , C A : F a r W e s t L a b o r a t o r y f o r E d u c a t i o n a l R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t . L o r t i e , D . ( 1 9 7 5 ) . S c h o o l t e a c h e r . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . L y o n s , R . ( 1 9 8 4 ) . A u t o b i o g r a p h y : A r e a d e r f o r w r i t e r s . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . L y t l e , S . L . , 8 : C o c h r a n - S m i t h , M . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r r e s e a r c h a s a w a y o f k n o w i n g . H a r v a r d E d u c a t i o n a l R e v i e w , 6 2 ( 4 ) , 4 4 7 - 4 7 4 . M a c k , G . ( 1 9 7 0 ) . A d v e n t u r e s i n i m p r o v i s a t i o n a t t h e k e y b o a r d . E v a n s t o n , I L : S u m m y - B i r c h a r d C o m p a n y . M c C a r t h e y , S . 1 . , 8 : P e t e r s o n , P . ( 1 9 9 3 ) . C r e a t i n g c l a s s r o o m p r a c t i c e w i t h i n t h e c o n t e x t o f a r e s t r u c t u r e d p r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t s c h o o l . I n M . M c L a u g h l i n , ] . T a l b e r t , 8 : D . C o h e n ( E d s ) , T e a c h i n g f o r u n d e r s t a n d i n g : C h a l l e n g e s f o r p r a c t i c e , r e s e a r c h , a n d p o l i c y ( p p . 1 3 0 - 1 6 3 ) . S a n F r a n c i s c o : I o s s e y B a s s . M c D a d e , L . A . ( 1 9 8 8 ) . K n o w i n g t h e ” r i g h t s t u f f ” : A t t r i t i o n , g e n d e r , a n d s c i e n t i f i c l i t e r a c y . A n t h r o p o l o g y 8 E d u c a t i o n Q u a r t e r l y , 1 9 , 9 3 - 1 1 4 . M c L a u g h l i n , M . ( 1 9 7 6 ) . I m p l e m e n t a t i o n a s m u t u a l a d a p t a t i o n : C h a n g e i n c l a s s r o o m o r g a n i z a t i o n . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 9 , 1 7 1 - 1 7 8 . M c R E L . ( 1 9 8 6 ) . C o m p r e h e n s i v e s c h o o l m a t h e m a t i c s p r o g r a m f o r t h e I n t e r m e d i a t e G r a d e s . A u r o r a , C O : A u t h o r . M c R E L . ( 1 9 9 2 a ) . C o m p r e h e n s i v e S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o g r a m . S u b m i s s i o n t o t h e p r o g r a m e f f e c t i v e n e s s p a n e l , U S . D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . A u r o r a , C O : A u t h o r . M c R E L . ( 1 9 9 2 b ) . M c R E L I n s t i t u t e 1 9 9 2 M a t h e m a t i c s C a t a l o g . A u r o r a , C O : M c R E L . M e h e g a n , I . ( 1 9 5 9 ) . j a z z i m p r o v i s a t i o n . N e w Y o r k : W a t s o n - G u p t i l l P u b l i c a t i o n s . 3 9 9 M e r r i c k , G . B . ( 1 9 8 7 ) . O l d t i m e s o n t h e u p p e r M i s s i s s i p p i . S t . P a u l : M i n n e s o t a H i s t o r i c a l S o c i e t y . N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n . ( 1 9 9 0 ) . A p r o p o s a l f o r a c e n t e r o n l e a r n i n g t o t e a c h , V o l u m e 1 : P r o p o s a l n a r r a t i v e . E a s t L a n s i n g , M I : M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h o n T e a c h e r E d u c a t i o n N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 9 1 ) . P r o f e s s i o n a l s t a n d a r d s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . ( 1 9 8 9 ) . C u r r i c u l u m a n d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . ( 1 9 8 9 ) . E v e r y b o d y c o u n t s . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l . ( 1 9 9 0 ) . R e s h a p i n g s c h o o l m a t h e m a t i c s . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N o v a c k , C . ( 1 9 9 0 ) . S h a r i n g t h e d a n c e . M a d i s o n : U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n P r e s s . O l s o n , D . R . , 8 : A s t i n g t o n , I . W . ( 1 9 9 3 ) . T h i n k i n g a b o u t t h i n k i n g : L e a r n i n g h o w t o t a k e s t a t e m e n t s a n d h o l d b e l i e f s . E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g i s t , 2 8 ( 1 ) , 7 - 2 3 . P a l e y , V . ( 1 9 7 9 ) . W h i t e t e a c h e r . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . P a l e y , V . ( 1 9 8 1 ) . W a l l y ’ s s t o r i e s . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . P a l e y , V . ( 1 9 9 0 ) . T h e b o y w h o w o u l d b e a h e l i c o p t e r . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . P e r r e t - C l e r m o n t , A . N . ( 1 9 9 2 ) . T r a n s m i t t i n g k n o w l e d g e : I m p l i c i t n e g o t i a t i o n s i n t h e s t u d e n t - t e a c h e r r e l a t i o n s h i p . I n F . K . O s e r , A . D i c k , 8 : ] . L . P a t r y ( E d s ) , E f f e c t i v e a n d r e s p o n s i b l e t e a c h i n g ( p p . 3 2 9 - 3 4 1 ) . S a n F r a n c i s c o : j o s s e y - B a s s . P e t e r s o n , P . ( 1 9 9 0 ) . D o i n g m o r e i n t h e s a m e a m o u n t o f t i m e : C a t h y S w i f t . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 2 6 1 - 2 8 0 . P l i m p t o n , G . ( 1 9 8 4 ) . W r i t e r s a t w o r k . N e w Y o r k : P e n g u i n B o o k s . P o s t , T . R . , B e h r , M . ] . , 8 : L e s h , R . ( 1 9 8 8 ) . A p o t p o u r r i f r o m t h e r a t i o n a l n u m b e r p r o j e c t . M a d i s o n , W I : U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n , N a t i o n a l C e n t e r f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s E d u c a t i o n . 4 0 0 P r a w a t , R . S . ( 1 9 9 2 ) . A r e c h a n g e s i n v i e w s a b o u t m a t h e m a t i c s t e a c h i n g s u f fi c i e n t ? T h e c a s e o f a fi f t h - g r a d e t e a c h e r . E l e m e n t a r y S c h o o l j o u r n a l , 9 3 , 1 9 5 - 2 1 1 . . P r a w a t , R . S . , R e m i l l a r d , I . , P u t n a m , R . T . , 8 : H e a t o n , R . M . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g : C a s e s t u d i e s o f f o u r fi f t h - g r a d e t e a c h e r s . E l e m e n t a r y S c h o o l j o u r n a l , 9 3 , 1 4 5 - 1 5 2 . P u t n a m , R . T . , H e a t o n , R . M . , P r a w a t , R . S . , 8 : R e m i l l a r d , I . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g : D i s c u s s i n g c a s e s t u d i e s o f f o u r fi f t h - g r a d e t e a c h e r s . E l e m e n t a r y S c h o o l j o u r n a l , 9 3 ( 2 ) , 2 1 3 - 2 2 8 . P u t n a m , R . , L a m p e r t , M . , 8 : P e t e r s o n , P L . ( 1 9 8 9 ) . A l t e r n a t i v e p e r s p e c t i v e s o n k n o w i n g m a t h e m a t i c s i n e l e m e n t a r y s c h o o l s . I n C . C a z d e n ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h a n d e d u c a t i o n ( V o l . 1 6 , p p . 5 7 - 1 5 0 ) . W a s h i n g t o n : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . P u t n a m , R . T . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g t h e ” h o w s ” o f m a t h e m a t i c s f o r e v e r y d a y l i f e : A c a s e s t u d y o f a fi f t h - g r a d e t e a c h e r . E l e m e n t a r y S c h o o l j o u r n a l , 9 3 , 1 6 3 - 1 7 7 . R e i n e k e , I . W . ( 1 9 9 3 ) . M a k i n g c o n n e c t i o n s : T a l k i n g a n d l e a r n i n g i n a f o u r t h - g r a d e c l a s s . E a s t L a n s i n g , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , T h e C e n t e r f o r t h e L e a r n i n g a n d T e a c h i n g o f E l e m e n t a r y S u b j e c t s . R e m i l l a r d , I . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h i n g m a t h e m a t i c s f o r u n d e r s t a n d i n g : A fi f t h - g r a d e t e a c h e r ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f p o l i c y . E l e m e n t a r y S c h o o l j o u r n a l , 9 3 , 1 7 9 - 1 9 3 . R e m i l l a r d , I . ( i n p r e p a r a t i o n ) . C h a n g i n g t e x t s , t e a c h e r s , a n d t e a c h i n g : T h e r o l e o f t e x t b o o k s i n r e f o r m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . R e s n i c k , L . ( 1 9 8 7 ) . E d u c a t i o n a n d l e a r n i n g t o t h i n k . W a s h i n g t o n , D . C . : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . R i c h a r d s o n , V . ( 1 9 9 0 ) . S i g n i fi c a n t a n d w o r t h w h i l e c h a n g e i n t e a c h i n g p r a c t i c e . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 9 ( 7 ) , 1 0 - 1 8 . R o s e n , H . ( 1 9 8 8 ) . T h e a u t o b i o g r a p h i c a l i m p u l s e . I n D . T a n n e n ( E d . ) , L i n g u i s t i c s i n c o n t e x t : C o n n e c t i n g o b s e r v a t i o n a n d u n d e r s t a n d i n g ( p p . 6 9 - 8 8 ) . N o r w o o d , N I : A b l e x . S a r a s o n , S . B . ( 1 9 8 2 ) . T h e c u l t u r e o f t h e s c h o o l a n d t h e p r o b l e m o f c h a n g e . B o s t o n : A l l y n 8 : B a c o n . 4 0 1 S c h a t z m a n , L . , 8 : S t r a u s s , A L . ( 1 9 7 3 ) . F i e l d r e s e a r c h . E n g l e w o o d C l i f f s , N I : P r e n t i c e H a l l . S c h i f t e r , D . , 8 : F o s n o t , C T . ( 1 9 9 3 ) . R e c o n s t r u c t i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . S c h o n , D . ( 1 9 8 3 ) . T h e r e fl e c t i v e p r a c t i t i o n e r . N e w Y o r k : B a s i c B o o k s . S c h o e n f e l d , A . H . ( 1 9 8 8 ) . I d e a s i n t h e a i r : S p e c u l a t i o n s o n s m a l l g r o u p l e a r n i n g , e n v i r o n m e n t a l a n d c u l t u r a l i n fl u e n c e s o n c o g n i t i o n , a n d e p i s t e m o l o g y . I n t e r n a t i o n a l j o u r n a l o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h , 1 3 ( 1 ) , 7 1 - 8 8 . S c h o e n f e l d , A . H . ( i n p r e s s ) . R e fl e c t i o n s o n d o i n g a n d t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I n A . H . S c h o e n f e l d ( E d . ) , M a t h e m a t i c a l t h i n k i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . H i l l s d a l e , N I : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . S c h r a m , P . W . ( 1 9 9 2 ) . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s t o t e a c h : W h a t s t u d e n t s l e a r n a b o u t m a t h e m a t i c s c o n t e n t a n d r e a s o n i n g i n a c o n c e p t u a l l y o r i e n t e d m a t h e m a t i c s c o u r s e . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . S c o t t , I . F . ( 1 9 6 9 ) . A h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s . N e w Y o r k : B a r n e s a n d N o b l e . S h u h n a n , L . S . ( 1 9 8 6 ) . T h o s e w h o u n d e r s t a n d : K n o w l e d g e g r o w t h i n t e a c h i n g . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 5 ( 2 ) , 4 - 1 4 . S h u l m a n , L . S . ( 1 9 8 7 ) . K n o w l e d g e a n d t e a c h i n g : F o u n d a t i o n s o f t h e n e w r e f o r m . H a r v a r d E d u c a t i o n a l R e v i e w , 5 7 ( 1 ) , 1 - 2 2 . S i l v e r , E . A . ( 1 9 8 6 ) . U s i n g c o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e : A f o c u s o n r e l a t i o n s h i p s . I n I . H i e b e r t ( E d . ) , C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e : T h e c a s e o f m a t h e m a t i c s ( p p . 1 8 1 - 1 9 8 ) . H i l l s d a l e , N I : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . S i m o n , M . A . , 8 : S c h i f t e r , D . ( 1 9 9 1 ) . T o w a r d s a c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e : A n i n t e r v e n t i o n s t u d y o f m a t h e m a t i c s t e a c h e r d e v e l o p m e n t . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 2 2 , 3 0 9 - 3 3 1 . S m i t h , D . E . ( 1 9 5 8 ) . H i s t o r y o f m a t h e m a t i c s , ( V o l . 2 ) . N e w Y o r k : D o v e r P u b l i c a t i o n s . S p i l l a n e , I . ( 1 9 9 3 ) . I n t e r a c t i v e p o l i c y - m a k i n g : S t a t e i n s t r u c t i o n a l p o l i c y a n d t h e r o l e o f t h e s c h o o l d i s t r i c t . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . 4 0 2 S p r a g u e - M i t c h e l l , L . ( 1 9 6 3 ) . Y o u n g g e o g r a p h e r s . N e w Y o r k : B a n k S t r e e t C o l l e g e o f E d u c a t i o n . S t a k e , R . , 8 : E a s l e y , I . ( 1 9 7 8 ) . D e s i g n , o v e r v i e w , a n d g e n e r a l fi n d i n g s ( V o l . 2 ) . U r b a n a , I L : C e n t e r f o r I n s t r u c t i o n a l R e s e a r c h a n d C u r r i c u l u m E v a l u a t i o n a n d C o m m i t t e e o n C u l t u r e a n d C o g n i t i o n . S t e e n , L . A . ( 1 9 9 0 ) . P a t t e r n . I n L . A . S t e e n ( E d . ) , O n t h e s h o u l d e r s o f g i a n t s , n e w a p p r o a c h e s t o n u m e r a c y . W a s h i n g t o n , D C : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . S t e i n , M . K . , G r o v e r , B . W . 8 : S i l v e r , E . A . ( 1 9 9 1 ) . C h a n g i n g i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e : A c o n c e p t u a l f r a m e w o r k f o r c a p t u r i n g t h e d e t a i l s . I n R . G . U n d e r h i l l ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T h i r t e e n t h A n n u a l M e e t i n g N o r t h A m e r i c a n C h a p t e r o f t h e I n t e r n a t i o n a l G r o u p f o r t h e P s y c h o l o g y o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 , 3 6 — 4 9 . S t e i n b e c k , I . ( 1 9 9 0 ) . j o u r n a l o f a n o v e l . N e w Y o r k : P e n g u i n B o o k s . S t e m b e r g , I . ( 1 9 9 2 ) . T h e w r i t e r o n h e r w o r k . N e w Y o r k : N o r t o n . S t o d o l s k y , S . S . ( 1 9 8 8 ) . T h e s u b j e c t m a t t e r s . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s . S t o r m e n , W . ( 1 9 5 5 ) . M o d e r n p i a n o i m p r o v i s a t i o n . N e w Y o r k : P r o g r e s s M u s i c . S t r a y e r , G . D . ( 1 9 1 9 ) . A b r i e f c o u r s e i n t h e t e a c h i n g p r o c e s s . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . S t u a r t , I . ( 1 9 4 9 ) . T h e t h r e a d t h a t r u n s s o t r u e . N e w Y o r k : C h a r l e s S c r i b n e r ’ s S o n s . S u d n o w , D . ( 1 9 7 8 ) . W a y s o f t h e h a n d . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . S y k e s , G . , 8 : B i r d , T . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r e d u c a t i o n a n d t h e c a s e i d e a . I n G . G r a n t , ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h i n e d u c a t i o n ( p p . 4 5 7 - 5 2 1 ) . T h o m p s o n , A . ( 1 9 8 5 ) . T e a c h e r ' s c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g o f p r o b l e m s o l v i n g . I n E . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s ( p p . 2 8 1 - 2 9 4 ) . H i l l s d a l e , N I : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . T w a i n , M . ( 1 9 9 0 / 1 8 8 3 ) . L i f e o n t h e M i s s i s s i p p i . . N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s . T y m o c z k o , T . ( 1 9 8 6 ) . M a k i n g r o o m f o r m a t h e m a t i c i a n s i n t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s . T h e M a t h e m a t i c a l I n t e l l i g e n c e r , 8 ( 3 ) , 4 4 - 5 0 . 4 0 3 V e r g n a u d , G . ( 1 9 8 3 ) . M u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s . I n R . L e s h 8 : M . L a n d a u ( E d s ) , A c q u i s i t i o n o f m a t h e m a t i c s c o n c e p t s a n d p r o c e s s e s ( p p . 1 2 7 - 1 7 4 ) . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . V e r g n a u d , G . ( 1 9 8 8 ) . M u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e s . I n N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , N u m b e r c o n c e p t s a n d o p e r a t i o n s i n t h e m i d d l e g r a d e s ( p p . 1 4 1 - 1 6 1 ) . H i l l s d a l e , N I : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s . W i e m e r s , N . I . ( 1 9 9 0 ) . T r a n s f o r m a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n : A c a s e s t u d y o f I o e S c o t t . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 2 8 1 - 2 9 2 . W i g g i n g t o n , E . ( 1 9 8 6 ) . S o m e t i m e s a s h i n i n g m o m e n t . N e w Y o r k : A n c h o r B o o k s . W i l l o u g h b y , S . S . , B e r e i t e r , C . , H i l t o n , P . , 8 : R u b e n s t e i n , I . H . ( 1 9 8 7 ) . R e a l m a t h . L a S a l l e , I L : O p e n C o u r t . W i l s o n , S . M . ( 1 9 9 0 ) . A c o n fl i c t o f i n t e r e s t s : T h e c a s e o f M a r k B l a c k . E d u c a t i o n a l E v a l u a t i o n a n d P o l i c y A n a l y s i s , 1 2 ( 3 ) , 2 9 3 - 3 1 0 . W i l s o n , S . M . , 8 : W i n e b u r g , S . S . ( 1 9 8 8 ) . P e e r i n g a t h i s t o r y t h r o u g h d i f f e r e n t l e n s e s : T h e r o l e o f d i s c i p l i n a r y p e r s p e c t i v e s i n t e a c h i n g h i s t o r y . T e a c h e r s C o l l e g e R e c o r d , 8 9 , 5 2 5 - 5 3 9 . W o o d , T . , C o b b , P . , 8 : Y a c k e l , E . ( 1 9 9 1 ) . C h a n g e i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s : A c a s e s t u d y . A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h j o u r n a l , 2 8 ( 3 ) , 5 8 7 — 6 1 6 . Y a c k e l , E . , C o b b , P . , 8 : W o o d , T . ( 1 9 9 1 ) . S m a l l - g r o u p i n t e r a c t i o n s a s a s o u r c e o f l e a r n i n g o p p o r t u n i t i e s i n s e c o n d - g r a d e m a t h e m a t i c s . j o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 2 ( 5 ) , 3 9 0 - 4 0 8 . Y i n g e r , R . ( 1 9 8 8 ) . T h e c o n v e r s a t i o n o f p r a c t i c e . I n P . P . G r i m m e t a n d G . L . E r i c k s o n ( E d s ) , R e fl e c t i o n i n t e a c h e r e d u c a t i o n . ( p p . 7 3 - 9 4 ) . N e w Y o r k : T e a c h e r s C o l l e g e P r e s s . Z i n s s e r , W . ( 1 9 8 7 ) . I n v e n t i n g t h e t r u t h . B o s t o n : H o u g h t o n M i f fl i n . ' - 4 ” J J ‘ 9 ' » ? v . - . m a m a . s t a g ; $ 5 3 1 . 9 : ~ - fi r i n g ; a . ~ ; ° - ~ ‘ ~ ’ : r ‘ - * . . ‘ ' » fi s h i ‘ v f ’ ' - r , r , U ‘ ’ 4 ' ‘ ’ r ' r M r . . ‘ . A . , I “ . 2 ; ' - ‘ . i r ‘ ' . ‘ " P . . a - ’ l " i 5 “ ’ l s . " g ; a fi i y c g g f m m 3 . . . “ - ’ , 1 ; , ' . . H : - - > . z : r ‘ s ’ a n . ‘ 1 . w ’ 5 ' } ! - ~ n 3 ? “ - - . 4 . , - ~ V . { 3 & 0 [ t i j : “ 5 : , N { ‘ 5 5 } : - ' . . 4 ‘ ' l 1 . . ’ l ‘ ~ 4 7 ‘ . . . a . 7 . . . . . 1 ' . a “ - - . . . 3 : ‘ ~ I . e , 5 ; ‘ H ‘ b i . 5 . v h e ? ” . 3 ‘ f fi R f - t h ‘ ' 4 3 ] 5 w ‘ ( 5 1 . 3 . . f ) ? 3 9 [ a : 3 1 . 3 . 1 . o . Y " 2 1 : 4 - ‘ . . . “ n ' , . g a n g - fi x ' . ~ " ~ = ~ ' . ~ 1 W fi s t s . t A § u " " ‘ ' “ . , . i A - - _ . I n , ” . , . W m i r v g i g - g a y “ : 1 N . “ . r ‘ fi V L ' 0 “ % M : 1 3 , 5 : ? q u ~ o ' V