3 ; " g f u , n llllllllllllllllllll / V v a fi é & M S U i u m A m - ' A n ' ‘ 1 , 1 0 m m " , 5 . 1 0 . 1 2 7 7 1 L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d A N A T U R A L I S T I C S T U D Y O F A L G E B R A I V E R B A L P R O B L E M I N S T R U C T I O N A N D L E A R N I N G p r e s e n t e d b y G a r y M i c h a e l K I i n g l e r ‘ h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r P H . D d e g r e e i n E d u c a t i o n M a j o r p r o f e s s o r D a t e J u n e 2 , 1 9 8 8 M S U L I B R A R I E S R E T U R N I N G M A T E R I A L S : P l a c e i n b o o k d r o p t o r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . F I N E S w i l l b e c h a r g e d i f b o o k i s r e t u r n e d a f t e r t h e d a t e s t a m p e d b e l o w . m m W A N A T U R A L I S T I C S T U D Y O F A L G E B R A I V E R B A L P R O B L E M I N S T R U C T I O N A N D L E A R N I N G V O L U M E l B Y G a r y M i c h a e l K l i n g l e r A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n 1 9 8 8 A B S T R A C T A N A T U R A L I S T I C S T U D Y O F A L G E B R A I V E R B A L P R O B L E M I N S T R U C T I O N A N D L E A R N I N G B Y G a r y M i c h a e l K l i n g l e r T h e s t u d y f o l l o w e d t h r e e A l g e b r a I t e a c h e r s ' u n i t o f i n s t r u c t i o n o f i n i t i a l v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t ( l i n e a r e q u a t i o n s t r u c t u r e d ) , a n d t h e n m e a s u r e d t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e i n s t r u c t i o n o n s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e , b o t h a t t h e e n d o f o b s e r v e d i n s t r u c t i o n ( p o s t t e s t ) a n d t e n w e e k s l a t e r ( r e t e n t i o n t e s t ) . N i n e s t u d e n t s w e r e i n t e r v i e w e d a f t e r t h e i n t e r v e n i n g i n s t r u c t i o n . E a c h t e a c h e r i s i n s t r u c t i o n w a s l a r g e l y l e c t u r e , e x p o s i t o r y o r i e n t e d , a n d f o l l o w e d p r e s c r i b e d s e g m e n t s g e n e r a l l y a s s o c i a t e d w i t h e f f e c t i v e t e a c h i n g . N o t a b l y a b s e n t f r o m a l l o b s e r v e d i n s t r u c t i o n w a s a d a i l y s e g m e n t d e v o t e d t o m e n t a l c o m p u t a t i o n , d r i l l , o r p r o b l e m s o l v i n g . T e a c h e r s ’ d e c i s i o n s r e l a t e d t o s e q u e n c i n g o f c o n t e n t , p a c e o f i n s t r u c t i o n , a n d s t u d e n t a s s i g n m e n t p a t t e r n s c o n f o r m e d t o g u i d e l i n e s e s t a b l i s h e d b y e m p l o y e d t e x t b o o k s . T e a c h e r s ' d a i l y i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s w e r e m o r e v a r i e d d u e t o d i f f e r i n g p e r c e p t i o n s o f t h e m a j o r a i m s f o r t h e c o u r s e , t h e p r i o r i t y o f v e r b a l p r o b l e m s w i t h i n t h e s e a i m s , t h e p r e f e r r e d t e a c h i n g r o l e , a n d t h e s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s . T w o t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n p r o c e e d e d f r o m a p r o c e d u r a l o r i e n t a t i o n t o t h e c o n t e n t , a n d e m p h a s i z e d t r a n s m i t t i n g t e x t b o o k s k i l l s a n d t e c h n i q u e s o f a l g e b r a . T h e s e t e a c h e r s ’ v e r b a l s u g g e s t i o n s w e r e p r i m a r i l y d e c l a r a t i v e s t a t e m e n t s , a n d t h e i r s t u d e n t s r e a c t e d p a s s i v e l y t o t h e p r o v i d e d i n s t r u c t i o n . T h e t h i r d t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n p r o c e e d e d f r o m a p r o b l e m s o l v i n g o r i e n t a t i o n , w h i c h e n c o u r a g e d m o r e a c t i v e s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n , o b s e r v a t i o n , a n d v e r b a l i z a t i o n o f t h i n k i n g p r o c e s s e s , a n d f a c i l i t a t e d o r d e r l y l e a r n i n g f r o m r e a l i s t i c p r o b l e m s e t t i n g s , a n d r e s u l t e d i n a n e v e n b a l a n c e o f i n t e r r o g a t i v e a n d d e c l a r a t i v e f o r m a t s o f v e r b a l s u g g e s t i o n s . S t u d e n t s ’ v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e f o r b o t h t e s t i n g i n s t r u m e n t s w a s g e n e r a l l y p o o r . T w o c l a s s e s o f s t u d e n t s ’ w r i t t e n s o l u t i o n s d e m o n s t r a t e d h e i g h t e n e d a w a r e n e s s a n d i n c o r p o r a t i o n o f t h e t e x t b o o k s ’ g e n e r a l p r o c e d u r e s . S t u d e n t e r r o r s w e r e m o s t l y t h e r e s u l t o f i n c o r r e c t l y c a r r y i n g o u t t h e a c t u a l p r o c e s s e s c a l l e d f o r b y t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . S t u d e n t s w e r e g e n e r a l l y m o s t s u c c e s s f u l a t s o l v i n g e q u a t i o n s , l e s s s u c c e s s f u l a t d e f i n i n g v a r i a b l e s , a n d l e a s t s u c c e s s f u l a t f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s . S t u d e n t p e r f o r m a n c e w a s l o w e r o n v e r b a l p r o b l e m s w h i c h r e q u i r e d r e c a l l a n d a p p l i c a t i o n o f k e y r e l a t i o n s h i p s . S t u d e n t p r o c e s s i n g w a s g e n e r a l l y a c c o m p l i s h e d b y m e c h a n i c a l l y a p p l y i n g d i r e c t t r a n s l a t i o n t e c h n i q u e s t o _ . _ _ r . _ , . _ _ _ . _ . , _ . , _ _ . . _ , _ - . , . l , p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h e p r o b l e m s o l v i n g o r i e n t e d c l a s s r o o m p e r f o r m e d b e s t o n t h e p o s t t e s t , w h i l e a d i f f e r e n t c l a s s r o o m , i n w h i c h s t u d e n t p r a c t i c e w a s e m p h a s i z e d , p e r f o r m e d b e s t o n t h e r e t e n t i o n t e s t . A C K N O W L E D G M E N T S I t h a n k t h e m e m b e r s o f m y d i s s e r t a t i o n c o m m i t t e e , P r o f e s s o r s W i l l i a m C o l e ( D i r e c t o r ) , C h r i s t o p h e r C l a r k , G l e n d a L a p p a n , a n d B e n B o h n h o r s t f o r t h e i r a b l e a s s i s t a n c e i n s h a p i n g t h i s i n v e s t i g a t i o n f r o m p r o p o s a l s t a g e t o f i n i s h e d p r o d u c t . I a m p a r t i c u l a r l y i n d e b t e d t o P r o f e s s o r C o l e f o r t h e t i m e s p e n t r e v i e w i n g m y p r e l i m i n a r y d r a f t s a n d f o r h i s i n s i g h t f u l s u g g e s t i o n s a l o n g t h e w a y . I t h a n k t h e s t u d y ’ s t h r e e t e a c h e r s a n d t h e i r s t u d e n t s , a n d t h e d i s t r i c t a d m i n i s t r a t i o n s f o r a l l o w i n g m e a c c e s s t o t h e i r c l a s s r o o m s , a n d e n t h u s i a s t i c a l l y c o o p e r a t i n g a s f e l l o w r e s e a r c h e r s i n t h e i n v e s t i g a t i o n . I t h a n k J a n e D u m k e a n d J e n n y S c h o c h a t t h e U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - S t e v e n s P o i n t f o r t h e i r a s s i s t a n c e i n p r e p a r i n g t h e f i n a l d r a f t o f t h e d i s s e r t a t i o n . L a s t l y , I t h a n k m y w i f e , C o l l e e n , m y s i x c h i l d r e n , a n d m y f a t h e r a n d m o t h e r f o r t h e i r c o n t i n u e d c o n f i d e n c e a n d s u p p o r t d u r i n g m y d i s a p p o i n t m e n t s , a n d f o r t h e i r p a t i e n c e i n . m y a b s e n c e f r o m t h e f a m i l y . T h e d i s s e r t a t i o n i s d e d i c a t e d , w i t h g r a t i t u d e a n d a f f e c t i o n , t o a l l o f t h e m . T A B L E O F C O N T E N T S L I S T O F T A B L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . i x L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . x i i i C H A P T E R I : S T A T E M E N T O F T H E P R O B L E M . . . . . . . 1 P u r p o s e s o f t h e S t u d y . . . . . . . . . . 7 A s s u m p t i o n s a n d L i m i t a t i o n s . . . . . . 1 0 H y p o t h e s e s o f t h e S t u d y . . . . . . i Z . . 1 9 O v e r v i e w o f t h e S t u d y . . . . . . . . 2 4 C H A P T E R I I : R E V I E W O F R E L A T E D L I T E R A T U R E . . . . 2 6 S t u d e n t P r o c e s s i n g . . . . . . . . . . . . . 2 7 L i n g u i s t i c a n d F a c t u a l K n o w l e d g e . . . . 3 0 S c h e m a K n o w l e d g e . . . . . . . . . . . . 4 4 A l g o r i t h m i c K n o w l e d g e . . . . . . . . . 5 6 S t r a t e g i c K n o w l e d g e . . . . . . . . . . 6 2 I n s t r u c t i o n a l S t u d i e s . . . . . . . . . . . 8 6 T r a n s l a t i o n T r a i n i n g . . . . . . . . . . 9 1 S c h e m a T r a i n i n g . . . . . . . . . . . . 9 8 S t r a t e g y T r a i n i n g . . . . . . . . . . 1 0 4 A l g o r i t h m A u t o m a t i c i t y . . . . . . . . . 1 1 7 C H A P T E R I I I : M E T H O D O L O G Y . . . . . . . . . . . . 1 2 4 P i l o t S t u d y P h a s e . . . . . . . 1 2 4 T e a c h e r a n d S i t e N e g o t i a t i o n / E n t r y . . . . . 1 3 3 D a t a C o l l e c t i o n a n d A n a l y s i s . . . . . . . . 1 3 6 T e x t b o o k A n a l y s i s . . . . . . . . . 1 3 7 O b s e r v a t i o n s o f T e a c h e r s ’ I n s t r u c t i o n . 1 4 4 S t u d e n t P e r f o r m a n c e M e a s u r e s . . . . . . 1 5 3 S t u d e n t I n t e r v i e w s . . . . . . . . . . . 1 6 6 C H A P T E R I V : I N S T R U C T I O N A L E N V I R O N M E N T P A T T E R N S 1 7 4 T e x t b o o k A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . 1 7 5 C o r e C o n t e n t . . . . . . . . . 1 7 8 V e r b a l P r o b l e m C l a s s i f i c a t i o n s . . . . . 1 8 2 v i o o I v A n a l y s i s o f S e l e c t e d T e x t b o o k s T e x t b o o k C o m p a r i s o n s . . . . . . A u t h o r I n p u t . . . . . . . . . T e a c h e r D e s c r i p t i o n s . . . . . . . . I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s . . . . V e r b a l P r o b l e m I n s t r u c t i o n a l P a t t e r n s S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R V : I N S T R U C T I O N A L S U G G E S T I O N S A N D E X A M P L E S I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s . . . . . . H o m o g e n a i t y T e s t s . . . . . . . . I n d e p e n d e n c e T e s t s . . . . . . . . R e a c t i o n . . . . . . . . . . I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s . . . . Q u a n t i t y / D i s t r i b u t i o n o f E x a m p l e s S o u r c e o f E x a m p l e s . . . . . . . C o n t e n t F o c u s o f E x a m p l e s . . S e q u e n t i a l C o d i n g A n a l y s i s . . . S e q u e n t i a l C o d i n g C h a r a c t e r i s t i c s S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . C H A P T E R V I : S T U D E N T P E R F O R M A N C E R E S U L T S P r e t e s t R e s u l t s . . . . . . . . . . . P o s t t e s t R e s u l t s . . . . . . . . . . . S u m m a r y C o m m e n t s . . . . . . . . R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s . . . Q u e s t i o n a i r e / S u r v e y S e c t i o n . . . E q u a t i o n S o l v i n g S e c t i o n . . . . . v e r b a l P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n . . T e s t C o r r e l a t i o n s . . . . . . S t u d e n t I n t e r v i e w R e s u l t s . . . . . S u r v e y S e c t i o n . . . . . . V e r b a l P r o b l e m P e r f o r m a n c e . . . . S u m m a r y C o m m e n t s . . . . . . . . C H A P T E R V I I : C O N C L U S I O N S / R E C O M M E N D A T I O N S / D I R E C T I O N S . . . . . . G e n e r a l P r o b l e m S o l v i n g M o d e l I n s t r u c t i o n a n d I n c o r p o r a t i o n . . . . . C o n c l u s i o n s . . . . . . . . R e c o m m e n d a t i o n s . . . . . . . . I n f l u e n c e o f T e x t b o o k o n T e a c h e r s ’ I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s . . . . . C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . R e c o m m e n d a t i o n s . . . . . . . . . 2 7 8 2 8 0 2 8 5 2 8 7 2 9 1 2 9 6 2 9 7 2 9 8 2 9 8 3 0 8 3 0 9 3 1 1 3 1 2 3 1 4 3 3 5 3 3 7 3 3 8 3 4 9 3 7 6 3 7 9 3 8 3 3 9 3 3 9 8 3 9 9 4 1 7 4 2 0 4 2 3 4 3 5 4 3 7 T e a c h e r s ’ C h a r a c t e r i s t i c s ’ I n f l u e n c e o n I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s . . . . . . . . C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . R e c o m m e n d a t i o n s . . T e a c h e r s ' V e r b a l S u g g e s t i o n s ’ I n f l u e n c e o n S t u d e n t A t t e n t i o n a n d P e r f o r m a n c e . . G e n e r a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e C h a r a c t e r i s t i c s C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . R e c o m m e n d a t i o n s . . . . C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . R e c o m m e n d a t i o n s . . . . . . . . . F u t u r e R e s e a r c h D i r e c t i o n s . . . . . . . . N a t u r a l i s t i c P e r s p e c t i v e . . . . . . . P r o b l e m S o l v i n g P r o c e s s e s . . . . . . I n s t r u c t i o n a l P r o g r a m s . . . . . . . . R o l e o f M e t a c o g n i t i o n . . . . . . . . A P P E N D I X A : P i l o t S t u d y I n s t r u m e n t a t i o n . . A P P E N D I X B : S t u d y C o d i n g F o r m s . . . . . . . . . A P P E N D I X C : T e x t b o o k A n a l y s i s M a t e r i a l s . . . A P P E N D I X D : T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t . . . . . A P P E N D I X E : P r e t e s t a n d S t u d e n t I n f o r m a t i o n F i l e A P P E N D I X F : P o s t t e s t a n d R e t e n t i o n T e s t I n s t r u m e n t a t 1 o n . . . . . . . . A P P E N D I X G : I n t e r v i e w R e l a t e d M a t e r i a l s . . . . A P P E N D I X : C o n t i n g e n c y T a b l e s : S u g g e s t i o n A n a l y s i s . . . . . . . . . . . A P P E N D I X I : P r o c e s s C o d i n g o f T e a c h e r E x a m p l e s A P P E N D I X J : I n d i v i d u a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e R e s u l t s . . . . . . . . . . A P P E N D I X K : S u m m a r y o f P o s t t e s t a n d R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s . . . . . . . . . A P P E N D I X : P o s t t e s t I t e m A n a l y s i s . . . . . . . A P P E N D I X M : R e t e n t i o n T e s t I t e m A n a l y s i s . . . A P P E N D I X N : I n t e r v i e w R e s u l t s . . . . . . . . . L I S T O F R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . v i i i 4 4 0 4 5 3 4 5 8 4 6 6 4 6 9 4 8 3 4 9 4 4 9 5 4 9 8 5 0 0 5 0 3 5 0 5 5 0 8 5 1 2 5 2 0 5 2 3 5 3 2 5 3 8 5 4 1 5 4 4 5 4 8 5 5 6 5 6 1 5 6 5 5 7 4 L I S T O F T A B L E S T a b l e P a g e 1 . 1 I n s t r u c t i o n a l G o a l s w i t h i n P o l y a ' s M o d e l . . 1 5 2 . 1 M a y e r ’ s K n o w l e d g e T y p e b y S t a g e C l a s s i f i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 . 2 M a y e r ’ s P r o b l e m S o l v i n g I n s t r u c t i o n a l M o d e l 9 0 3 . 1 S u m m a r y o f T e a c h e r O b s e r v a t i o n s C o m p l e t e d 1 4 8 4 . 1 T e x t b o o k R e v i e w S u m m a r y . . . . . . . . . . 1 7 5 4 . 2 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : S p a c e A l l o c a t i o n . . . 1 7 6 4 . 3 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : C o r e C o n t e n t o f V e r b a l P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . 1 7 9 4 . 4 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : S i m p l e / C o m p l e x E x e r c i s e s . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3 4 . 5 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : E x e r c i s e F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . 1 8 5 4 . 6 V e r b a l P r o b l e m D i f f i c u l t y : F o r m a t T y p e s . . 1 8 7 4 . 7 V e r b a l P r o b l e m D i f f i c u l t y : T e x t b o o k F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n s . . . . . . . . . 1 8 8 4 . 8 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : S u m m a r y F o r m a t s i n P e r c e n t a g e s . . . . . . . . . . . . . 1 8 9 4 . 9 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : F e a t u r e E v a l u a t i o n . . 1 9 2 4 . 1 0 T e a c h e r C o m p a r i s o n : S e g m e n t T i m e M e a n s . . . 2 3 1 4 . 1 1 T e a c h e r C o m p a r i s o n : L e s s o n D e v e l o p m e n t Q u a l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5 5 . 1 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : C l a s s i f i c a t i o n E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 3 i x T a b l e 5 . 2 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : S u m m a r y C l a s s i f i c a t i o n T y p e s . . . . . . . . . . A n a l y s i s o f V a r i a n c e f o r T e a c h e r s ’ S u g g e s t i o n Q u a n t i t y . . . . . . . . . . I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : S u m m a r y H o m o g e n a i t y T e s t s . . . . . . . . . . . I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : S u m m a r y o f I n d e p e n d e n c e T e s t s . . . . . . . . . I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : C o n t e n t / P l a c e m e n t I n d e p e n d e n c e . . . . . I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : C o n t e n t / F o r m a t I n d e p e n d e n c e . . . . . . I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : P l a c e m e n t / F o r m a t I n d e p e n d e n c e . . . . C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : Q u a n t i t y / D i s t r i b u t i o n . . . . . . . . C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : C o n t e n t F o c u s C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : P r o c e s s S u m m a r y S t a g e s 1 & 2 . . . . . . C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : P r o c e s s S u m m a r y S t a g e s 3 & 4 . . . . . P r e t e s t R e s u l t s : C l a s s r o o m C o m p a r i s o n s . . . C l a s s r o o m P r e t e s t D i f f e r e n c e s : A N O V A T a b l e P r o b l e m C h a r a c t e r i s t i c s o f P o s t t e s t I n s t r u m e n t . . . . . . . . . . . . . . . S c o r i n g T e c h n i q u e s f o r P o s t t e s t I t e m s . . P o s t t e s t R e s u l t s : S u m m a r y o f C l a s s r o o m P e r f o r m a n c e . . . . . . . . . . . P o s t t e s t R e s u l t s : F o r m P e r f o r m a n c e C o m p a r i s o n . . . . . . . . . . . . . P o s t t e s t R e s u l t s : C l a s s r o o m P e r f o r m a n c e b y T e s t I t e m . . . . . . . . . . . . . P a g e 2 8 4 2 8 5 2 8 6 2 8 8 2 9 0 2 9 0 2 9 1 2 9 8 3 0 0 3 0 3 3 0 5 3 1 3 3 1 3 3 1 5 3 1 7 3 1 8 3 1 9 3 2 1 T a b l e 6 . 8 6 . 2 0 P o s t t e s t R e s u l t s : C l a s s C o m p a r i s o n s b y P r o b l e m T y p e . . . . P o s t t e s t R e s u l t s : F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n C o m p a r i s o n s . . . . v e r b a l P r o b l e m D i f f i c u l t y : F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n s . . . P o s t t e s t R e s u l t s : P h a s e P r o p o r t i o n s ( M e t h o d P o s t t e s t R e s u l t s : P h a s e P r o p o r t i o n s ( M e t h o d R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e l a t i o n s h i p s I t e m s R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u m m a r y . . . . . R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : I t e m A n a l y s i s . . R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E r r o r A n a l y s i s . . E q u a t i o n P o s t t e s t S u c c e s s I ) . S u c c e s s I I ) . . . . . S u r v e y - I t e m # 1 S u r v e y - I t e m # 2 S u r v e y — I t e m # 3 S u r v e y - I t e m # 4 S u r v e y - 2 , 3 , 4 . . . . . S u r v e y - I t e m # 5 S u r v e y - I t e m # 6 E q u a t i o n S o l v i n g E q u a t i o n S o l v i n g S o l v i n g R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - I t e m C l a s s i f i c a t i o n s . R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u m m a r y . . . . . . I t e m P e r f o r m a n c e P r o b l e m T y p e C o m p a r i s o n s : P o s t t e s t / R e t e n t i o n T e s t R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : C l a s s P e r f o r m a n c e - F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n s . . x i 0 o o P a g e 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 9 3 3 2 3 3 9 3 4 1 3 4 2 3 4 2 3 4 4 3 4 6 3 4 7 3 5 0 3 5 1 3 5 3 3 5 7 3 5 8 3 6 0 3 6 2 : 1 g . . . T a b l e P a g e 6 . 2 7 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m D i f f i c u l t y F o r m a t S e q u e n c e s . . . . . . . . . . . . 3 6 3 6 . 2 8 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - F o r m a t C l a s s C o m p a r i s o n s . . . 3 6 4 6 . 2 9 R e t e n t i o n T e s t : S u m m a r y - C o n d i t i o n a l P r o p o r t i o n s o f P h a s e S u c c e s s ( M e t h o d I ) 3 6 6 6 . 3 0 R e t e n t i o n T e s t : S u m m a r y - P r o p o r t i o n s o f P h a s e S u c c e s s ( M e t h o d I I ) . . . . . . . 3 6 9 6 . 3 1 C o r r e l a t i o n M e a s u r e s b e t w e e n T e s t I n s t r u m e n t s . . . . . . . . . . . . . . 3 7 6 6 . 3 2 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E q u a t i o n S o l v i n g C o m p a r i s o n s . . . . . . . . . . . . . . 3 7 8 6 . 3 3 I n t e r v i e w R e s u l t s : S u b j e c t T e s t M e a s u r e P e r f o r m a n c e s . . . . . . . . . . . . . . 3 8 1 6 . 3 4 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : S t u d e n t H o m e w o r k P a t t e r n s 0 O O O O O O O O O O O O O O O 3 8 6 6 . 3 5 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s b y I t e m . . . . . . . . . . . . . 3 9 0 x i i T a b l e P a g e 6 . 2 7 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m D i f f i c u l t y F o r m a t S e q u e n c e s . . . . . . . . . . . . 3 6 3 6 . 2 8 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - F o r m a t C l a s s C o m p a r i s o n s . . . 3 6 4 6 . 2 9 R e t e n t i o n T e s t : S u m m a r y - C o n d i t i o n a l P r o p o r t i o n s o f P h a s e S u c c e s s ( M e t h o d I ) 3 6 6 6 . 3 0 R e t e n t i o n T e s t : S u m m a r y - P r o p o r t i o n s o f P h a s e S u c c e s s ( M e t h o d I I ) . . . . . . . 3 6 9 6 . 3 1 C o r r e l a t i o n M e a s u r e s b e t w e e n T e s t I n s t r u m e n t s . . . . . . . . . . . . . . 3 7 6 6 . 3 2 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E q u a t i o n S o l v i n g C o m p a r i s o n s . . . . . . . . . . . . . . 3 7 8 6 . 3 3 I n t e r v i e w R e s u l t s : S u b j e c t T e s t M e a s u r e P e r f o r m a n c e s . . . . . . . . . . . . . . 3 8 1 6 . 3 4 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : S t u d e n t H o m e w o r k P a t t e r n s 0 O O O O O O I O O O O O O O O 3 8 6 6 . 3 5 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s b y I t e m . . . . . . . . . . . . . 3 9 0 x i i L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 2 . 1 S c h e m a t i c O v e r v i e w o f t h e P r o b l e m S o l v i n g P r o c e s s . . . . . . . . . 2 . 2 A d a p t e d H e u r i s t i c P r o b l e m S o l v i n g M o d e l x i i i O P a g e 6 8 7 0 C H A P T E R I S t a t e m e n t o f t h e P r o b l e m M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g h a s b e e n i d e n t i f i e d a s t h e m a j o r f o c u s f o r c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n a l d e v e l o p m e n t e f f o r t s o f t h e 1 9 8 0 ’ s ( N C T M , 1 9 8 0 ) . T h e l a r g e n u m b e r o f r e c e n t b o o k s , a r t i c l e s , c o n f e r e n c e r e p o r t s , r e s e a r c h a n d c u r r i c u l u m d e v e l o p m e n t e f f o r t s a l s o a t t e s t s t o t h e i m p o r t a n c e o f p r o b l e m s o l v i n g w i t h i n t h e s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . T h e r e i s s u b s t a n t i a l s u p p o r t f o r t h e n o t i o n t h a t t h e u l t i m a t e a i m o f l e a r n i n g m a t h e m a t i c s a t e v e r y g r a d e l e v e l i s t h e a b i l i t y t o s o l v e p r o b l e m s , i n c l u d i n g t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s ( L e s t e r , l 9 8 0 ) . T h i s i m p o r t a n c e o f p r o b l e m s o l v i n g a l s o e x p l a i n s t h e r e a s o n f o r i n c l u s i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w i t h i n e v e r y m a t h e m a t i c a l t e x t b o o k , g r a d e l e v e l s 1 - 1 2 . D e s p i t e t h e r e c o g n i z e d i m p o r t a n c e o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g w i t h i n t h e c u r r i c u l u m , s p e c i f i c k n o w l e d g e o f h o w s t u d e n t a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h p r o b l e m s o l v i n g d e v e l o p , o r h o w i n s t r u c t i o n a s s i s t s s u c h d e v e l o p m e n t r e m a i n s l e s s c l e a r ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . P a r t l y r e s p o n s i b l e f o r t h e l a c k o f c l a r i t y o f c u r r e n t r e s e a r c h e f f o r t s r e g a r d i n g t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g h a s b e e n t h e d i v e r s i t y o f p r o b l e m s , o r t a s k v a r i a b l e s s e l e c t e d f o r r e s e a r c h s t u d y ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . M o s t r e s e a r c h e r s o p e r a t e u n d e r a b r o a d d e f i n i t i o n o f " p r o b l e m ” s i m i l a r t o t h a t p r o p o s e d b y L e s t e r ( 1 9 7 8 , p . 5 4 ) , w h e r e " a p r o b l e m i s a s i t u a t i o n i n w h i c h a n i n d i v i d u a l o r g r o u p i s c a l l e d u p o n t o p e r f o r m a t a s k f o r w h i c h t h e r e i s n o r e a d i l y a c c e s s i b l e a l g o r i t h m w h i c h d e t e r m i n e s c o m p l e t e l y t h e m e t h o d o f s o l u t i o n “ . I t i s a s s u m e d i n t h i s d e f i n i t i o n t h a t t h e i n d i v i d u a l o r g r o u p i n q u e s t i o n d e s i r e s o r i s m o t i v a t e d t o p e r f o r m t h e t a s k . M o s t m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h h a s u s e d p r o b l e m t y p e s c l a s s i f i e d a s " p u z z l e p r o b l e m s " , a s e x e m p l i f i e d b y p r o b l e m s s i m i l a r t o t h e T o w e r o f H a n o i , o r s i m p l e t r a n s l a t i o n s t o r y p r o b l e m v a r i e t i e s ( L e s h , 1 9 7 9 ) . T h e s e l e c t i o n o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s a s t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t f o r t h e i n v e s t i g a t i o n w a s i n p a r t d e t e r m i n e d b y i t s r e l a t i v e p o s i t i o n n e a r t h e b o t t o m o f t h e " p r o b l e m " s p e c t r u m , d e v e l o p m e n t a l l y a b o v e o n l y s i m p l e t r a n s l a t i o n s t o r y p r o b l e m s . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t p r e s e n t s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y f e w s t u d e n t o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e r e a l w o r l d p r o b l e m s , o r e v e n t o d i s c u s s c h a l l e n g i n g p u z z l e t y p e p r o b l e m s . T h e c l o s e s t s c h o o l s c o m e t o p r o v i d i n g o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o e x p e r i e n c e , r e c e i v e i n s t r u c t i o n , a n d d e v e l o p p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s r e s i d e s i n w h a t e v e r t h e t e x t b o o k p r o v i d e s i n t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s . B e s i d e s g r e a t e r a c c e s s i b i l i t y a n d o p p o r t u n i t y f o r r e s e a r c h s t u d y , v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l d e v e l o p m e n t a p p e a r s s o m e w h a t r e l a t e d t o h i g h e r o r d e r m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l d e v e l o p m e n t . T h e r e f o r e , t h e v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n w h i c h t e a c h e r s d e l i v e r i n a l g e b r a c l a s s r o o m s m i g h t a l s o i n d i c a t e g u i d e l i n e s f o r t h e d i r e c t i o n t h a t h i g h e r o r d e r p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n o u g h t t o p u r s u e . T h e p a r t i c u l a r c h o i c e o f A l g e b r a I v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t f o r t h e i n v e s t i g a t i o n i s a l s o b a s e d o n t h e i n v e s t i g a t o r ’ s b e l i e f t h a t e a r l i e r g r a d e l e v e l ( K - 8 ) s t u d y o f v e r b a l p r o b l e m s e m p h a s i z e s s i m p l e t r a n s l a t i o n s k i l l s l e a d i n g t o t h e c o r r e c t i d e n t i f i c a t i o n o f a n a p p r o p r i a t e o p e r a t i o n ( s ) , w h e r e a s a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s g e n e r a l l y r e q u i r e s t u d e n t s t o u t i l i z e g r e a t e r r e l a t i o n a l t h i n k i n g w i t h i n t h e p l a n n i n g a n d o r g a n i z a t i o n o f s o l u t i o n s t r a t e g i e s . A d d i t i o n a l l y , p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h e r s b e l i e v e c o n t e m p o r a r y h i g h s c h o o l a l g e b r a t e x t b o o k s a r e p r i m a r i l y c o n c e r n e d w i t h i m p a r t i n g a c o l l e c t i o n o f a l g o r i t h m i c t e c h n i q u e s f o r m a n i p u l a t i n g a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s a n d e q u a t i o n s , r e s u l t i n g i n t h e r e l a t i v e e x c l u s i o n o f a n y p r o b l e m s o l v i n g o p p o r t u n i t i e s f o r a l g e b r a s t u d e n t s ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . T h i s p a t t e r n o f a l g e b r a t e x t b o o k c o n s t r u c t i o n s o m e w h a t e x p l a i n s r e s u l t s o f t h e N a t i o n a l A s s e s s m e n t s w h i c h i n d i c a t e t h a t 1 7 y e a r o l d s p e r f o r m q u i t e w e l l o n s t a n d a r d a l g e b r a i c p r o c e d u r e i t e m s , a n d y e t p e r f o r m q u i t e p o o r l y w h e n t h e y a r e r e q u i r e d t o e m p l o y t h e s e s a m e p r o c e d u r e s w i t h i n v e r b a l p r o b l e m i t e m s ( C a r p e n t e r e t a l , 1 9 8 2 ) . T h e l o w e r v e r b a l p r o b l e m a s s e s s m e n t r e s u l t s a l s o i n d i c a t e a n e e d t o a d d r e s s t h e i s s u e o f w h y a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d s k i l l s a r e e i t h e r s l o w e r t o d e v e l o p , o r a r e m o r e q u i c k l y f o r g o t t e n o v e r t i m e t h a n a r e a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s . F o r a l g e b r a s t u d e n t s , v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t o c c u p i e s a m i d d l e g r o u n d i n t h e c o u r s e e x p e r i e n c e , s e r v i n g t o c o n n e c t t h e p a r a l l e l d e v e l o p m e n t s o f a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s a n d r e a l w o r l d p r o b l e m s o l v i n g o r a p p l i c a t i o n s k i l l s . v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i s a f o r m o f v i c a r i o u s p r o b l e m s o l v i n g , a s u b s t i t u t e f o r r e a l w o r l d p r o b l e m s o l v i n g , p a r t i c u l a r l y u s e f u l w i t h i n m a t h e m a t i c a l c u r r i c u l u m s w h e n m o r e c o m p l e x f o r m s o f p r o b l e m s o l v i n g o p p o r t u n i t i e s a r e n o t p r e s e n t . C u r r e n t t r e n d s i n t h e p l a c e m e n t o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w i t h i n a l g e b r a t e x t b o o k d e s i g n s s i m i l a r l y r e f l e c t s t h i s c o n c e r n t h a t s t u d e n t s a p p l y , a l m o s t i m m e d i a t e l y , t h e d e v e l o p i n g m a n i p u l a t i v e s k i l l s w i t h i n v e r b a l p r o b l e m c o n t e x t s . B a s e d o n i n v e s t i g a t o r e x p e r i e n c e u s i n g a l g e b r a t e x t b o o k s , i t a p p e a r s t h a t p r e s e n t d a y t e x t b o o k d e s i g n s t e n d t o d i s p e r s e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s m o r e e q u i t a b l y w i t h i n c h a p t e r s t h a n w a s p r e v i o u s l y t h e c a s e , a n d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s a r e p l a c e d m o r e c l o s e l y t o t h e j u s t c o m p l e t e d m a n i p u l a t i o n s k i l l s w h i c h a r e t o b e a p p l i e d i n t h e v e r b a l p r o b l e m s . E a r l i e r t e x t b o o k d e s i g n s t e n d e d t o c l u m p v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s i n t o o n e o r t w o c h a p t e r s i n i s o l a t i o n f r o m r e l a t e d m a n i p u l a t i o n s k i l l s . T h i s p l a c e m e n t t r e n d i n d i c a t e s t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t t h e i n c l u s i o n o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s i n t h e a l g e b r a c o u r s e s e r v e s p r i m a r i l y a n a p p l i c a t i o n a l f u n c t i o n f o r f u r t h e r d e v e l o p i n g , r e i n f o r c i n g a n d p r a c t i c i n g a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s . H o w e v e r a p r i m a r y a p p l i c a t i o n a l f u n c t i o n f o r v e r b a l p r o b l e m s a l s o i n d i c a t e s t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s , s e p a r a t e o r a p a r t f r o m m a n i p u l a t i o n s k i l l d e v e l o p m e n t , i s g i v e n l e s s i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o r i s b e i n g d o w n p l a y e d i n t o d a y ’ s a l g e b r a c l a s s r o o m s . T h i s t r e n d a l s o r u n s c o u n t e r t o t h e d e s i r e s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s w h o a r e c a l l i n g f o r g r e a t e r p r o b l e m s o l v i n g e x p e r i e n c e s f o r s t u d e n t s w i t h i n t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . I t s h o u l d b e n o t e d h o w e v e r , t h a t t h e t y p e s o f v e r b a l p r o b l e m s s t u d i e d i n t h e a l g e b r a c u r r i c u l u m h a s n o t c h a n g e d c o n s i d e r a b l y , a t l e a s t n o t i n t h e l a s t 2 0 y e a r s , b a s e d o n a r e v i e w o f t h e v e r b a l p r o b l e m s e m p l o y e d i n P a i g e a n d S i m o n ’ s ( 1 9 6 6 ) r e s e a r c h s t u d y . M a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h h a s b e e n c r i t i c i z e d f o r i t s c o n c e n t r a t i o n o n c u r r i c u l u m c o n t e n t a n d s t u d e n t s ’ l e a r n i n g o f t h a t c o n t e n t , w h i l e e x c l u d i n g f o r t h e m o s t p a r t , t h e e f f e c t o f t e a c h i n g p r a c t i c e s o n t h e l e a r n i n g o f s u c h c o n t e n t ( B r o p h y , 1 9 8 6 ) . M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h e r s h a v e a l s o n o t e d t h e l a c k o f i n s t r u c t i o n - r e l a t e d s t u d i e s , p a r t i c u l a r l y s t u d i e s o f a " t e a c h i n g e x p e r i m e n t " t y p e , w h e r e i n v e s t i g a t o r s o b s e r v e s t u d e n t p r o c e s s d e v e 1 0 p m e n t a s i t o c c u r s i n a c t u a l c l a s s r o o m s i n w h i c h t e a c h e r i n s t r u c t i o n i s p e r m i t t e d t o p r o g r e s s a s n a t u r a l l y a s p o s s i b l e ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . M o s t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h h a s i n s t e a d a t t e m p t e d t o c o n t r o l t h e t e a c h e r r o l e v a r i a b l e e i t h e r t h r o u g h t h e u s a g e o f s e l f i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s o r t h r o u g h o b s e r v a t i o n s o f s t u d e n t s ' n a t u r a l a b i l i t i e s w i t h i n a l a b o r a t o r y s e t t i n g . T h e t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a l r o l e i n t h e d e v e l o p m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s ( o f w h i c h v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s a r e a s u b s e t ) i s g e n e r a l l y a s s u m e d t o b e a t l e a s t o f e q u a l i m p o r t a n c e t o t h a t o f t e x t b o o k o r s e l f i n s t r u c t i o n a l p r e s e n t a t i o n s , a n d y e t t h e r e i s n e i t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n s o f c u r r e n t t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s w i t h i n r e s e a r c h , n o r h a v e t h e r e b e e n a t t e m p t s t o m e a s u r e t h e e f f e c t i v e n e s s t h a t i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s h a v e o n t h e l e a r n i n g o r d e v e l o p m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g r e l a t e d s k i l l s ( S i l v e r , 1 9 8 5 a n d G r o u w s , 1 9 8 5 ) . C l i n i c a l s t u d i e s , s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s " t e a c h i n g e x p e r i m e n t s " ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) , s u c h a s t h o s e c o n d u c t e d b y K a n t o w s k i ( 1 9 7 7 ) a n d P u t t ( 1 9 7 8 ) m o r e a d e q u a t e l y a d d r e s s t h e s h o r t a g e o f c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n - r e l a t e d d e s c r i p t i v e s t u d i e s , a n d m a k e p o s s i b l e t h e c o l l e c t i o n o f m o r e q u a l i t a t i v e d a t a r e g a r d i n g t h e e f f e c t i v e n e s s o f i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s o n s t u d e n t s ’ d e v e l o p m e n t , p e r f o r m a n c e , a n d r e t e n t i o n w h i c h r e s u l t s f r o m p r o b l e m s o l v i n g b e h a v i o r a n d p e r f o r m a n c e . I n s u m m a r y , n i n t h g r a d e s t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o d e v e l o p a n d d e m o n s t r a t e p r o f i c i e n c y i n a p p l y i n g a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s w i t h i n v e r b a l p r o b l e m c o n t e x t s d u r i n g t h e A l g e b r a I c o u r s e , a s a f o r e r u n n e r t o d e v e l o p i n g m o r e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s . N a t i o n a l A s s e s s m e n t s i n d i c a t e t h a t s u c h a p p l i c a t i o n p r o f i c i e n c y d o e s n o t o c c u r f o r m a n y s e c o n d a r y l e v e l s t u d e n t s , d u e e i t h e r t o t h e n a t u r e o f t h e r e c e i v e d i n s t r u c t i o n w i t h i n t h e A l g e b r a I c o u r s e , o r d u e t o q u i c k e r l o s s o f l e a r n i n g i n r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d s k i l l s t h a n f o r a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s ( C a r p e n t e r e t a l , 1 9 8 2 ) . I n e i t h e r c a s e , t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t b o o k a n d t e a c h e r p r e s e n t e d i n s t r u c t i o n n e e d s t o b e m o r e f u l l y d o c u m e n t e d , d e s c r i b e d , a n d c o m p a r e d a s i t i s d e v e l o p e d f o r s t u d e n t s i n A l g e b r a I c o u r s e s . S e c o n d l y t h e r e i s a n e e d t o d o c u m e n t , d e s c r i b e , a n d c o m p a r e h o w a l g e b r a s t u d e n t s t r a n s l a t e t h e r e c e i v e d i n s t r u c t i o n m e a n i n g f u l l y ( f o r t h e m ) i n t o p r o c e d u r a l s e q u e n c e s w h i c h l e a d t o i m p r o v e d v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e . P u r p o s e s o f t h e S t u d y T h e t w o m a j o r p u r p o s e s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n a r e t o d e s c r i b e a n d c h a r a c t e r i z e c u r r e n t i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s o r p r e s e n t a t i o n s o f A l g e b r a I v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , a n d t o a n a l y z e s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s u c h p r o v i d e d i n s t r u c t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h e s e t w o p u r p o s e s c a n b e a c h i e v e d t h r o u g h o b s e r v a t i o n s o f t y p i c a l , m i d d l e t r a c k , A l g e b r a I c l a s s r o o m t e a c h e r s , a n d t h r o u g h t e s t i n g t h e i r r e s p e c t i v e c l a s s e s o f s t u d e n t s . T h e c h o i c e o f m i d d l e t r a c k A l g e b r a I c l a s s e s f o r t h e i n v e s t i g a t i o n , r a t h e r t h a n a c c e l e r a t e d . A l g e b r a I s e c t i o n s , i s b a s e d o n a b e l i e f t h a t t e a c h e r p r o v i d e d i n s t r u c t i o n i s m o r e c e n t r a l t o t h e f o r m e r s t u d e n t g r o u p s ’ d e v e l o p m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s . I n a c c e l e r a t e d A l g e b r a I c l a s s e s , s t u d e n t s a r e g e n e r a l l y h e l d m o r e p e r s o n a l l y a c c o u n t a b l e f o r l e a r n i n g s u c h s k i l l s o n t h e i r o w n t h r o u g h g r e a t e r t i m e s p e n t p r a c t i c i n g v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s . S o m e c o n s i d e r a t i o n h a s b e e n g i v e n t o t h e d e v e l o p m e n t o f s e l f i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l p a c k e t s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s , a n d t o t h e e x c l u s i v e u s a g e o f s t u d e n t i n t e r v i e w s a n d t e s t i n g a s m e a s u r e s o f d e v e l O p i n g v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p r o f i c i e n c y . H o w e v e r b o t h c o n s i d e r a t i o n s m i n i m i z e t h e i m p a c t o f t e a c h e r a n d t e x t b o o k r o l e s , o r f a i l t o c a p t u r e t h e m o r e n a t u r a l d e v e l o p m e n t a l p r o c e s s p r o d u c e d i n s c h o o l e n v i r o n m e n t s . B o t h c o n s i d e r a t i o n s a l s o h i n d e r t h e d e v e l o p m e n t o f d e s c r i p t i o n s o f i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s a n d s t u d e n t l e a r n i n g p r o c e s s e s w h i c h r e p r e s e n t t h e t w o m a j o r p u r p o s e s o f t h e i n v e s t i g a t i o n . T h e f i r s t m a j o r p u r p o s e , o b s e r v a t i o n a n d d e s c r i p t i o n o f i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s , r e q u i r e s t h e r e v i e w o f c u r r e n t t e c h n i q u e s a n d p r a c t i c e s e m p l o y e d b y t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s w i t h i n t h e i r i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . O b s e r v a t i o n s o f s e v e r a l t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s p r o v i d e a b a s i s f o r c o m p a r i n g t e a c h e r a c t i o n s i n b l e n d i n g e l e m e n t s o f t e x t b o o k c o n s t r u c t i o n w i t h t h e i r o w n c o n c e p t u a l i z a t i o n s i n t o m e a n i n g f u l i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s . P r i m a r y e m p h a s i s i n t h e r e s u l t i n g d e s c r i p t i o n s i s g i v e n t o t h e d u r a t i o n a n d q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e d e v e l o p m e n t p o r t i o n o f t h e l e s s o n , w h e r e t e a c h e r s e x p l a i n a n d r e i n f o r c e n e w c o n c e p t s i n t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . S e c o n d a r y e m p h a s i s i n t h e r e s u l t i n g d e s c r i p t i o n s i s o n c o m p a r i n g d a i l y p a t t e r n s a n d r o u t i n e s o f t e a c h e r s . E a c h o f t h e s e e m p h a s e s r e q u i r e s t h e f u r t h e r d e v e l o p m e n t o f i n s t r u m e n t s , u s e d a f t e r o b s e r v a t i o n s , t h a t p e r m i t q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s o f t e x t b o o k a n d t e a c h e r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s a n d q u a n t i f y t e a c h e r s ’ d a i l y t i m e u s a g e . T h e s e b e c o m e s e c o n d a r y p u r p o s e s f o r t h i s i n v e s t i g a t i o n . S t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d r e t e n t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s r e l a t i v e t o r e c e i v e d t e x t b o o k a n d t e a c h e r p r o v i d e d i n s t r u c t i o n r e p r e s e n t s t h e s e c o n d m a j o r p u r p o s e o f t h i s i n v e s t i g a t i o n . A f r a m e w o r k f o r e v a l u a t i n g a g i v e n t e a c h e r a n d t e x t b o o k ’ s i n s t r u c t i o n a l g o a l s a n d p r e s e n t a t i o n s i s d e v e l o p e d b y f o l l o w i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e , t h r o u g h t h e a n a l y s i s o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s , o n t w o i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d t e s t s ( p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t ) . T h e r e l a t i v e e f f e c t i v e n e s s o f e a c h t e a c h e r ’ s 1 0 i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s c a n t h e n b e c o m p a r e d i n l i g h t o f r e s u l t i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . T h e i n c l u s i o n o f a s m a l l s a m p l e o f s t u d e n t i n t e r v i e w s a n d o r a l r e p o r t s o f s t u d e n t s s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s w i t h i n t h e i n v e s t i g a t i o n ’ s d e s i g n a d d d e t a i l t o i n v e s t i g a t o r d e s c r i p t i o n s g a i n e d f r o m t h e r e v i e w o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e w o r k s a m p l e s . H e n c e t h e d e s i g n o f t h r e e v a l i d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u m e n t s , p o s t t e s t , r e t e n t i o n t e s t a n d i n t e r v i e w i n s t r u m e n t r e p r e s e n t s a d d i t i o n a l s e c o n d a r y p u r p o s e s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n . A f i n a l m a j o r o b j e c t i v e o f t h e i n v e s t i g a t i o n i s t o s u g g e s t i m p l i c a t i o n s t h a t c u r r e n t i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s h a v e o n t h e d e v e 1 0 p m e n t o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s , a n d s p e c u l a t e , f r o m t h e v e r b a l p r o b l e m d a t a r e l a t e d t o i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e , o n t h e f o r m o f a n a p p r o p r i a t e m o d e l f o r t h e i n s t r u c t i o n o f h i g h e r l e v e l p r o b l e m s o l v i n g . W i t h i n t h i s o b j e c t i v e t h e r e i s a l s o t h e p o s s i b i l i t y o f f o r m u l a t i n g a s e q u e n t i a l m o d e l o f s t u d e n t p r o c e s s i n g d e v e l o p m e n t r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s , w h i c h i n t u r n m a y s u g g e s t a n a p p r o p r i a t e l y s e q u e n c e d m o d e l f o r t h e i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . A s s u m p t i o n s a n d L i m i t a t i o n s F o u r a s s u m p t i o n s h a v e g u i d e d t h e d e v e l o p m e n t o f t h i s i n v e s t i g a t i o n i n t o i t s p r e s e n t f o r m . T h e s e a s s u m p t i o n s r e l a t e t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s v i e w o f c l a s s r o o m l e a r n i n g , 1 1 t h e " n e w n e s s " o f a l g e b r a i c c o n t e n t f o r a l l s t u d e n t s , P o l y a ’ s f o u r s t a g e p r o b l e m s o l v i n g m o d e l a s a c o n n e c t i n g f r a m e w o r k , a n d t h e n e e d f o r n a t u r a l i s t i c , o b s e r v a t i o n a l r e s e a r c h i n t h i s c o n t e n t d o m a i n . T h i s i n v e s t i g a t o r ’ s v i e w o f c l a s s r o o m l e a r n i n g i s c o m p o s e d o f t w o p a r a l l e l e l e m e n t s . F i r s t s t u d e n t l e a r n i n g i s v i e w e d a s a c o n s t r u c t i v e p r o c e s s , i n w h i c h t h e l e a r n e r c o n t r o l s t h e p a c e o f l e a r n i n g a n d d i r e c t s t h e a s s i m i l a t i o n o f c o n t e n t . T h e s t u d e n t i n s u c h a f r a m e w o r k i s a s s u m e d t o b e a n a c t i v e a n d m o t i v a t e d p a r t i c i p a n t i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . K n o w l e d g e i s c o n s t r u c t e d i n a w a y t h a t m a k e s s e n s e t o t h e s t u d e n t , a n d w h i c h b u i l d s o n p r e v i o u s l e a r n i n g s i n a r e l a t i o n a l w a y . A c o n t i n u a l g o a l o f l e a r n i n g i s c o n s i s t e n c y a n d i n t e r i o r i t y o f a n d b e t w e e n d e v e l o p e d s c h e m a s ( S k e m p , 1 9 7 9 ) . S e c o n d , t h e c l a s s r o o m e x e r t s i n f l u e n c e o n l e a r n i n g w h e n v i e w e d a s a s o c i a l s i t u a t i o n j o i n t l y c o n s t r u c t e d b y t h e p a r t i c i p a n t s ( t e a c h e r s a n d s t u d e n t s ) . I n t e r p r e t a t i o n o r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c l a s s r o o m s e t t i n g i s d e p e n d e n t u p o n t h e n a t u r e o f s h a r e d t r a n s a c t i o n s , g o a l s , a n d a c t i v i t i e s o f t h e p a r t i c i p a n t s . I n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s , s u c h a s A l g e b r a I c l a s s r o o m s , p r o b l e m s a n d e x e r c i s e s r e p r e s e n t t h e s h a r e d t r a n s a c t i o n s o r c o m m o n l a n g u a g e s p o k e n h e r e . T h e m i d d l e t r a c k A l g e b r a I c l a s s r o o m i s d i f f e r e n t f r o m m o s t o t h e r c l a s s r o o m s w h e n v i e w e d f r o m t h i s s o c i a l 1 2 p e r s p e c t i v e . O n e c a n a s s u m e t h a t t h e c o m m o n l a n g u a g e o f a l g e b r a p r o b l e m s a n d e x e r c i s e s o f t h i s s e t t i n g i s " n e w " t o a l l p a r t i c i p a n t s e x c e p t o n e , t h e t e a c h e r . T h e s t u d e n t s e n t e r t h e s e t t i n g w i t h m i n i m u m e x p e r i e n c e s r e l a t e d t o t h e c o n t e n t a r e a , m a k i n g f o r a m o r e d i f f i c u l t s i t u a t i o n f o r s t u d e n t s t h a n i s t r u e f o r o t h e r c l a s s r o o m s e t t i n g s . T h i s a s p e c t o f t h e a l g e b r a c l a s s w a s d e m o n s t r a t e d i n a r e v i e w o f t h r e e t e x t b o o k s e r i e s i n w h i c h i t w a s f o u n d t h a t t h e a v e r a g e p e r c e n t a g e o f n e w c o n t e n t w a s 3 0 p e r c e n t f o r e i g h t h g r a d e t e x t b o o k s , a s o p p o s e d t o 9 0 p e r c e n t f o r A l g e b r a I t e x t b o o k s ( F l a n d e r s , 1 9 8 7 ) . T h e r e f o r e , t h e A l g e b r a I s e t t i n g r e q u i r e s s t u d e n t s t o g i v e g r e a t e r d a i l y a t t e n t i o n t o n e w c o n c e p t c o n s t r u c t i o n s , a n d t o o r g a n i z e m o r e i m m e d i a t e r e c o n s t r u c t i o n s i n t h e d e v e 1 0 p m e n t o f a c o n s i s t e n t k n o w l e d g e b a s e . F r o m a r e s e a r c h e r o r t e a c h e r p e r s p e c t i v e , t h e s i t u a t i o n i s s o m e w h a t a d v a n t a g e o u s . T h e r e s e a r c h e r o r t e a c h e r c a n a s s u m e a c e r t a i n e q u a l i t y b e t w e e n e n t e r i n g s t u d e n t s i n t e r m s o f t h e i r a l g e b r a i c k n o w l e d g e . A d m i t t e d l y , t h e r e a r e d i f f e r e n c e s b e t w e e n e n t e r i n g s t u d e n t s ’ c o m p u t a t i o n a l a b i l i t i e s . H o w e v e r t h e s e d i f f e r e n c e s a r e e a s i e r t o s e p a r a t e t h a n c o n c e p t u a l d i f f e r e n c e s w h e n a n a l y z i n g s t u d e n t w o r k s a m p l e s . T h e r e s e a r c h e r o r t e a c h e r c a n a l s o a s s u m e t h a t m o s t a l g e b r a i c c o n c e p t l e a r n i n g i s a d i r e c t r e s u l t o f r e c e i v e d c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n . F o r t h e t e a c h e r , t h i s l a s t a s s u m p t i o n p l a c e s 1 3 a d d e d p r e s s u r e a n d a c c o u n t a b i l i t y f o r t h e p l a n n i n g a n d i m p l e m e n t a t i o n o f e f f e c t i v e i n s t r u c t i o n a l l e s s o n s . I t i s n e c e s s a r y t o d e v e l o p a f r a m e w o r k w h i c h c o n n e c t s t e a c h e r a n d t e x t b o o k i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s w i t h s t u d e n t s ' p r o c e s s i n g a c t i o n s e m p l o y e d i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . G e o r g e P o l y a ’ s p r o b l e m s o l v i n g m o d e l p r o v i d e s s u c h a c o n n e c t i n g f r a m e w o r k ( P o l y a , 1 9 5 7 ) . P o l y a ’ s f o u r p h a s e m o d e l i s a p p r o p r i a t e f o r s e v e r a l r e a s o n s b e s i d e s c o n n e c t i n g i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s w i t h s t u d e n t p r o c e s s i n g p e r f o r m a n c e . T h e m o d e l i s i n c o r p o r a t e d i n t o m o s t a l g e b r a t e x t b o o k s ’ t e a c h i n g e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . T h e m o d e l a l s o a p p e a r s i n m o d i f i e d f o r m i n m o s t c o n t e m p o r a r y e l e m e n t a r y t e x t b o o k s e r i e s a s a r e m i n d i n g g u i d e i n v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s . I t h a s b e e n a r g u e d b y c u r r i c u l u m d e s i g n e r s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s t h a t g e n e r a l m o d e l s , s u c h a s P o l y a ’ s m o d e l , a r e l e s s e f f e c t i v e a n d e f f i c i e n t f o r l e a r n i n g t h a n i n s t r u c t i o n a l m o d e l s w h i c h f o c u s o n s p e c i f i c p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y d e v e l o p m e n t ( O h i o D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 0 ) . T h e f e w r e l a t e d r e s e a r c h r e s u l t s c o m p a r i n g m o d e l s h a v e b e e n i n c o n c l u s i v e a s t o w h i c h p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n a l m o d e l i s m o r e e f f e c t i v e f o r d e v e l o p i n g s t u d e n t a b i l i t i e s . P o l y a w r o t e H o w t o S o l v e I t p r i m a r i l y f o r a c o l l e g e s t u d e n t a u d i e n c e , a n d t o a l e s s e r d e g r e e f o r s e c o n d a r y t e a c h e r s . H e d o e s d e s c r i b e h o w h e e n v i s i o n s h i s m o d e l t o 1 4 b e a d a p t e d b y t e a c h e r s t o f i t i n s t r u c t i o n . H e b e l i e v e d p r o b l e m s o l v i n g r e q u i r e d s t u d e n t s t o d e v e l o p m e n t a l o p e r a t i o n s a n d s e l f q u e s t i o n i n g t e c h n i q u e s a p p r o p r i a t e f o r e a c h o f t h e f o u r p h a s e s . I n s t r u c t i o n a i d s t h e d e v e l o p m e n t o f s u c h t e c h n i q u e s t h r o u g h t e a c h e r m o d e l i n g o f t h e d e s i r e d o p e r a t i o n s w i t h i n i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s . T h e s e g e n e r a l , h e l p f u l p r o b l e m s o l v i n g s u g g e s t i o n s o r q u e s t i o n s a r e r e f e r r e d t o a s h e u r i s t i c s ( P o l y a , 1 9 5 7 ) . B a s e d o n t h e i n v e s t i g a t o r ’ s e x p e r i e n c e , t e a c h e r s t e n d t o r e l y o n a t e x t b o o k ’ s p r e s e n t a t i o n s a n d e x a m p l e s f o r v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n . A l g e b r a t e x t b o o k s g e n e r a l l y a d o p t a P o l y a m o d e l w i t h i n t h e i r p r e s e n t a t i o n s . T h e r e f o r e m o s t t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n c o n t a i n s P o l y a ' s p h a s e a p p r o a c h a s a g u i d i n g f r a m e w o r k f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . S e v e r a l r e s e a r c h e r s h a v e u s e d P o l y a ’ s m o d e l t o c o n s t r u c t p r o c e s s - s e q u e n c e c o d i n g f o r m s f o r a n a l y s i s o f p r o t o c o l s g a i n e d f r o m s t u d e n t p r o b l e m s o l v i n g i n t e r v i e w s , w i t h e i g h t h g r a d e r s s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a n d w i t h c a l c u l u s a n d g e o m e t r y s t u d e n t s s o l v i n g p r o b l e m s ( G o l d i n a n d M c C l i n t o c k , 1 9 8 4 ) . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t P o l y a ’ s m o d e l i s t h e r e f o r e t h e b e s t f r a m e w o r k a v a i l a b l e b e c a u s e o f i t s p o t e n t i a l t o c o n n e c t a l l t h r e e p a r t i c i p a n t s o f t h e c l a s s r o o m s e t t i n g . T a b l e 1 . 1 r e p r e s e n t s a p r e l i m i n a r y a t t e m p t b y t h e i n v e s t i g a t o r t o i d e n t i f y s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a l / s t u d e n t g o a l s t h a t 1 5 r e l a t e t o e a c h o f t h e f o u r p h a s e s o f P o l y a ’ s m o d e l . T a b l e 1 . 1 I n s t r u c t i o n a l G o a l s W i t h i n P o l y a ' s M o d e l P o l y a ’ s M o d e l V e r b a l P r o b l e m I n s t r u c t i o n a l G o a l 1 . U n d e r s t a n d t h e A b l e t o u s e a u x i l i a r y e l e m e n t s t o P r o b l e m a i d u n d e r s t a n d i n g / o r g a n i z a t i o n A b l e t o d e f i n e v a r i a b l e s / u n k n o w n s 2 . D e v i s e a P l a n A b l e t o w r i t e a p p r O p r i a t e e q u a - t i o n c a p t u r i n g r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s t a t e m e n t 3 . C a r r y o u t P l a n A b l e t o s o l v e c o n s t r u c t e d e q u a t i o n 4 . L o o k i n g B a c k A b l e t o i n t e r p r e t / r e l a t e s o l u t i o n t o p r o b l e m q u e s t i o n A b l e t o c h e c k a n s w e r w i t h p r o b l e m s t a t e m e n t S o m e e d u c a t i o n a l r e s e a r c h e r s b e l i e v e t h a t n a t u r a l i s t i c v a r i a t i o n r e s e a r c h s t u d i e s f o c u s i n g o n t h e e f f e c t s o f d i f f e r e n c e s i n q u a n t i t y o f i n s t r u c t i o n , t e a c h e r m a n a g e m e n t s k i l l s , a n d d e g r e e o f e m p h a s i s o n a c t i v e i n s t r u c t i o n s h o u l d b e r e p l a c e d b y e x p e r i m e n t a l s t u d i e s . S u c h e x p e r i m e n t a l s t u d i e s p e r m i t t i g h t e r c o n t r o l o v e r n a t u r a l i s t i c i n s t r u c t i o n a l v a r i a t i o n s , o r s t u d i e s i n w h i c h t e a c h e r s a r e t r a i n e d t o f o l l o w s t r u c t u r e d i n s t r u c t i o n a l g u i d e l i n e s ( B r o p h y , 1 9 8 6 ) . B r o p h y ’ s a r g u m e n t i s b a s e d u p o n a s e p a r a t i o n o f t h e i s s u e s o f q u a n t i t y a n d q u a l i t y o f i n s t r u c t i o n , a n d a p p e a r s t r u t h f u l f o r c e r t a i n m a t h e m a t i c a l 1 6 c o n t e n t a r e a s , s u c h a s f o r e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w h e r e n u m e r o u s n a t u r a l i s t i c i n v e s t i g a t i o n s h a v e u n c o v e r e d h o w s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s f r o m v a r i e d f o r m s o f i n s t r u c t i o n . H o w e v e r n a t u r a l i s t i c i n v e s t i g a t i o n s o f i n s t r u c t i o n i n v o l v i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , p a r t i c u l a r l y t h e q u a l i t y o f s u c h r e l a t e d i n s t r u c t i o n , h a s r e c e i v e d l e s s t r e a t m e n t . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t t h e c u r r e n t r e s e a r c h k n o w l e d g e b a s e r e l a t e d t o a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i n s t r u c t i o n i s i n s u f f i c i e n t t o c o n c e i v e o f t h e d e v e 1 0 p m e n t o f a r e l a t e d e x p e r i m e n t a l s t u d y . T h e i n v e s t i g a t o r r e c o g n i z e s , a n d i s w i l l i n g t o a c c e p t , t h e f a c t t h a t m o s t o f t h e l i m i t a t i o n s r e l a t e d t o t h i s i n v e s t i g a t i o n a r e t h e d i r e c t r e s u l t o f t h e d e c i s i o n t o i m p l e m e n t a n a t u r a l i s t i c , c l i n i c a l s t u d y m o d e l . I n s t e a d o f a n e x p e r i m e n t a l s t u d y w h e r e t h e q u a n t i t y o f i n s t r u c t i o n i s c a r e f u l l y c o n t r o l l e d a n d t h e q u a l i t y o f r e c e i v e d i n s t r u c t i o n i s c o n f i n e d t o a p r e p a r e d g u i d e l i n e , t h i s i n v e s t i g a t i o n c o n c e n t r a t e s o n d e s c r i p t i o n o f b o t h q u a n t i t i v e a n d q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f t e a c h e r a n d t e x t b o o k i n s t r u c t i o n . T h e r e a r e s e v e r a l p o s s i b l e p i t f a l l s w h i c h m i g h t u n d e r m i n e t h e i n v e s t i g a t i o n ' s a p p r o a c h t o d a t a g a t h e r i n g a n d i t s c o m p a r a t i v e a n a l y s i s o f i n s t r u c t i o n a l f o r m s . F i r s t , c e r t a i n o f t h e t e a c h e r s s e l e c t e d f o r o b s e r v a t i o n m i g h t l a c k e q u i v a l e n t c l a s s r o o m m a n a g e m e n t s k i l l s , s u b j e c t 1 7 m a t t e r k n o w l e d g e , o r e f f i c i e n t t i m e m a n a g e m e n t s k i l l s . C a r e f u l s e l e c t i o n o f t e a c h e r s f o r t h e i n v e s t i g a t i o n c o n t r o l s t h e s e v a r i a b l e s s o m e w h a t , a s d o e s t h e i n c l u s i o n o f i n s t r u m e n t s d e s i g n e d t o m e a s u r e t h e q u a n t i t y o f i n s t r u c t i o n a l t i m e g i v e n t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . S e c o n d , t h e p o s s i b i l i t y e x i s t s t h a t c e r t a i n o f t h e t e a c h e r s s e l e c t e d f o r o b s e r v a t i o n m i g h t b e s i m i l a r i n t h e i r i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h t o a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , a n d t h i s h u r t s t h e d e v e l o p m e n t o f c o m p a r a t i v e t e a c h e r a n d c l a s s r o o m . m o d e l s . A t h i r d d i f f i c u l t y e n c o u n t e r e d i n s t u d y i n g i n s t r u c t i o n a l q u a l i t y i n a c o h e r e n t f a s h i o n r e q u i r e s t h e d e v e l o p m e n t o f m o r e s o p h i s t i c a t e d c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n i n s t r u m e n t s w h i c h c a p t u r e q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a p a r t f r o m t h o s e d i f f e r e n c e s t h a t r e l a t e t o q u a n t i t y o f i n s t r u c t i o n . T o a d d r e s s t h i s l i m i t a t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r ’ s f i e l d n o t e t a k i n g d u r i n g c l a s s t i m e i s f o l l o w e d b y a q u a l i t a t i v e a s s e s s m e n t o f o b s e r v e d i n s t r u c t i o n w i t h a s e p a r a t e i n s t r u m e n t a f t e r r e v i e w o f t h e o b s e r v a t i o n a l n o t e s . A d m i t t e d l y t h i s s e q u e n c e d o e s n o t i n s u r e t h a t t h e i n v e s t i g a t o r ' s s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n s o f i n s t r u c t i o n a l q u a l i t y i s n o t e f f e c t e d b y q u a n t i t a t i v e v a r i a t i o n s , i n f a c t s u c h s e p a r a t i o n i s p r o b a b l y n o t r e a l i s t i c a l l y p o s s i b l e . T h e s e l e c t i o n o f a l o c a l g e o g r a p h i c u n i t a n d o b s e r v a t i o n s o f o n l y t h r e e c l a s s r o o m s w i t h i n t h a t 1 8 g e o g r a p h i c u n i t l i m i t s t h e g e n e r a l i z a b i l i t y o f t h e r e s u l t s t o o t h e r A l g e b r a I c l a s s r o o m s . T h e s e l e c t i o n w a s b a s e d o n i t s p r o x i m i t y t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s p l a c e o f e m p l o y m e n t a n d t h e e x p e c t e d e a s e o f e n t r y p o s s i b l e w i t h i n t h e g e o g r a p h i c u n i t ’ s a r e a s c h o o l s . T h e r e i s a l s o a n a w a r e n e s s t h a t s t u d e n t o r a l r e p o r t s o f t h e i r t h i n k i n g , s u c h a s t h o s e a n t i c i p a t e d w i t h i n t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s e s s i o n s , o f t e n d o n o t r e f l e c t e x a c t s t u d e n t p r o c e s s i n g o r t h i n k i n g ( N i s b i t t a n d W i l s o n , 1 9 7 7 ) , a n d a r e o f t e n i n f l u e n c e d b y a s p e c t s o f t h e i n t e r v i e w e n v i r o n m e n t o r s t u d e n t p r e c o n c e i v e d n o t i o n s o f t h e i n t e r v i e w p r o c e s s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 3 ) . T h e s e l i m i t a t i o n s o f t h e i n t e r v i e w p r o c e s s m a k e a l l c o l l e c t e d o r a l r e p o r t s m o r e s p e c u l a t i o n t h a n f a c t , a n d a r e t o b e a n a l y z e d a c c o r d i n g l y . T h e r e e x i s t s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e i n v e s t i g a t o r ' s o b s e r v a t i o n a l f i e l d n o t e s o f t e a c h e r i n s t r u c t i o n m a y r e f l e c t v a r i o u s b i a s e s m a i n t a i n e d d u e t o p r e v i o u s f a m i l i a r i t y w i t h t h e A l g e b r a I s e t t i n g a n d s e n s e d f r u s t r a t i o n s r e l a t e d t o t h e t e a c h i n g o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . I d e a l l y f i e l d w o r k d a t a c o l l e c t i o n s h o u l d b e u n d e r t a k e n b y n e u t r a l o b s e r v e r s , o r s o m e o n e u n f a m i l i a r w i t h t h e o b s e r v e d s e t t i n g . T h i s u n f a m i l i a r i t y w i t h t h e s e t t i n g p e r m i t s , a t l e a s t i n i t i a l l y , t h e o b s e r v e r t o n o t e m o r e g l o b a l d i v e r s i t y , a n d n o t b e h a n d i c a p p e d b y t h e s e l e c t i v e v i s i o n o f o n e f a m i l i a r w i t h t h e s e t t i n g . H o w e v e r t h e A l g e b r a I s e t t i n g d o e s h a v e a n e w n e s s a b o u t i t i n t h e l 9 m i n d o f t h e i n v e s t i g a t o r b e c a u s e i t h a s b e e n s i x y e a r s s i n c e h i s l a s t s e c o n d a r y t e a c h i n g e x p e r i e n c e . I n s o m e w a y s t h i s p r e v i o u s t e a c h i n g e x p e r i e n c e h a s s o m e a d v a n t a g e s , i n t h a t t h e i n v e s t i g a t o r i s m o r e a w a r e o f t e a c h e r s ’ f r u s t r a t i o n i n t h e i r p l a n n i n g a n d d e l i v e r y o f i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . T h i s i n v e s t i g a t i o n , a s a r e m o s t c l i n i c a l s t u d i e s , i s n o n p r e s c r i p t i v e i n n a t u r e , b u t r a t h e r f o c u s e s o n d e t a i l e d d e s c r i p t i o n s a n d c o m p a r i s o n s o f i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s . T h e s e d e v e l o p e d d e s c r i p t i o n s n e e d t o b e d o c u m e n t e d b y o b s e r v e d c l a s s r o o m e x a m p l e s o f t h e t e a c h e r b e h a v i o r p a t t e r n s d e s c r i b e d i n o r d e r f o r t h e d e s c r i p t i o n s t o b e c o n s i d e r e d v a l i d j u d g m e n t s a n d n o t j u s t i n v e s t i g a t o r o p i n i o n s . T h e u s a g e o f s e v e r a l q u a n t i t a t i v e a n d q u a l i t a t i v e i n s t r u m e n t s a f t e r c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s a i d s t h i s d a t a t r i a n g u l a t i o n p r o c e s s o f a n a l y s i s . S i m i l a r l y i n v e s t i g a t o r e v a l u a t i o n o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e t h r o u g h r e v i e w o f p r o v i d e d w o r k s a m p l e s i s p r i m a r i l y a s u b j e c t i v e p r o c e s s , a n d r e q u i r e s t h a t t h e i n v e s t i g a t o r d e t e r m i n e b e f o r e h a n d a n e x a c t d e f i n i t i o n o f s c o r i n g o p t i o n s a n d t h e n m a i n t a i n c o n s i s t e n c y i n t h e e v a l u a t i o n o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s . H y p o t h e s e s o f t h e S t u d y W i t h i n a m i d d l e t r a c k A l g e b r a I c o u r s e s e t t i n g , t h i s i n v e s t i g a t i o n a d d r e s s e s t h e e i g h t h y p o t h e s e s l i s t e d b e l o w . T h e h y p o t h e s e a r e l i s t e d u n d e r t w o g e n e r a l h e a d i n g s , 2 0 i n s t r u c t i o n a l e n v i r o n m e n t p a t t e r n s a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e p a t t e r n s . I n o r d e r t o i n d i c a t e t h e p u r p o s e s o f t h e s t u d y m o r e c l e a r l y , t h e h y p o t h e s e s a r e s t a t e d h e r e i n a p o s i t i v e f o r m . . A d d i t i o n a l l y , f o r e a c h l i s t e d h y p o t h e s i s , t h e i n t e n d e d d i r e c t i o n i n w h i c h t h e s t u d y w i l l p r o c e e d i s i n d i c a t e d i n a d e s c r i p t i v e f o r m . I . I n s t r u c t i o n a l E n v i r o n m e n t P a t t e r n s A . H y p o t h e s i s 1 : T h e i n c l u s i o n a n d r e i n f o r c e m e n t o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , s u c h a s P o l y a ' s o r a t e x t b o o k v e r s i o n , w i t h i n a t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n i m p r o v e s s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . C o m p a r e t e a c h i n g t e c h n i q u e s e m p l o y e d r e l a t e d t o i n i t i a l p r e s e n t a t i o n , s u b s e q u e n t r e i n f o r c e m e n t , a n d e v a l u a t i o n i n a c o n t e x t o f m e a n i n g r e l a t e d t o t h e t e x t b o o k p r o v i d e d g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l f o r v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . B . v a o t h e s i s _ ; : T h e e m p l o y e d t e x t b o o k h a s g r e a t i n f l u e n c e o n t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i n r e g a r d s t o s e q u e n c i n g , p l a n n i n g , l e s s o n d e v e l o p m e n t a n d p r e s e n t a t i o n . C o m p a r e t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l s e q u e n c i n g , p r e s e n t a t i o n s , a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s w i t h t h o s e p r o v i d e d w i t h i n r e s p e c t i v e t e x t b o o k s o f e a c h t e a c h e r . C . H y p o t h e s i s 3 : T e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l g o a l s , e x p e c t a t i o n s , a n d a t t i t u d e s t o w a r d v e r b a l p r o b l e m s h a v e a s u b s t a n t i a l i m p a c t o n t h e n a t u r e o f l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s a n d c l a s s r o o m r o u t i n e s . r e g p r a t o t e a 5 1 1 g : m o d : S t m p e r : r e l : P e r l a n d c O n t 2 1 U s e d a t a c o l l e c t e d f r o m t e a c h e r q u e s t i o n a i r e s i n r e g a r d s t o a t t i t u d e s , e x p e c t a t i o n s , a n d c l a s s r o o m p r a c t i c e s i n c o n j u n c t i o n w i t h i n s t r u c t i o n a l o b s e r v a t i o n s t o f o r m u l a t e i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n d e s c r i p t i o n s f o r e a c h t e a c h e r o f t h e s t u d y . D . H y p o t h e s i s 4 : C o n t i n u a l t e a c h e r r e f e r e n c e t o t h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , v i a t e a c h e r s u g g e s t i v e c o m m e n t s a n d / o r m o d e l i n g w i t h i n i n s t r u c t i o n o f d i v e r s e v e r b a l p r o b l e m t y p e s i s n e c e s s a r y f o r s t u d e n t s t o i n c o r - p o r a t e , g e n e r a l i z e , e m p l o y , a n d r e t a i n t h e g e n e r a l m o d e l w h e n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . R e l a t e a n d c o m p a r e t h e q u a n t i t y o f t e a c h e r s ’ o r a l s u g g e s t i o n s a n d e x a m p l e s m o d e l e d r e l a t e d t o t h e g e n e r a l m o d e l w i t h i n t h e c l a s s r o o m s e t t i n g w i t h t h e d e g r e e o f s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n s h o w n w i t h i n v a r i o u s s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . E . H y p o t h e s i s 5 : G r e a t e r q u a n t i t y o f t e a c h e r p r o - v i d e d s u g g e s t i o n s f o r s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m t y p e s p r o v i d e s g u i d e l i n e s f o r s t u d e n t c l a s s i f i c a - t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s b y t y p e , w h i c h i n t u r n i m p r o v e s s t u d e n t p e r f o r m a n c e o f f a m i l i a r p r o b l e m t y p e s a n d i n h i b i t s s t u d e n t p e r f o r m a n c e o f l e s s f a m i l i a r t y p e s . C o m p a r e q u a n t i t i e s o f t e a c h e r o r a l s u g g e s t i o n s r e l a t e d t o s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m t y p e s w i t h s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s o n t h e s e s a m e v e r b a l p r o b l e m t y p e s , a n d a l s o w i t h p e r f o r m a n c e o n l e s s f a m i l a i r p r o b l e m c o n t e x t s o r s i t u a t i o n s . s t a t t e r m p e r f a g e l r e s u ] t h e t P e r f c i n S t I 2 2 F . H y p o t h e s i s 6 : T h e f o r m a t i n w h i c h a t e a c h e r ’ s o r a l s u g g e s t i o n i s f r a m e d ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) d o e s h a v e a n i n f l u e n c e o n t h e d e g r e e o f s t u d e n t t h i n k i n g o r a c t i v e p r o c e s - s i n g . I n p a r t i c u l a r a s u g g e s t i o n p r e s e n t e d i n a q u e s t i o n f o r m a t h a s g r e a t e r i m p a c t o n s t u d e n t a t t e n t i o n a n d a c t i v e p r o c e s s i n g . C o m p a r e p e r c e n t a g e s o f t h e f o r m a t s ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) i n w h i c h t e a c h e r s ’ s u g g e s t i o n s a r e g i v e n i n t e r m s o f i m m e d i a t e a n d r e t e n t i v e i m p a c t o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . I I . S t u d e n t P e r f o r m a n c e P a t t e r n s A . H y p o t h e s i s 7 : I n a t t a c k i n g a n d s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a h i g h p r o p o r t i o n o f l s t u d e n t s w i l l d e m o n s t r a t e a n 1 a w a r e n e s s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w i t h i n t h e i r c o m p l e t e d w o r k s a m p l e s o n v a r i e d v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . D e s i g n c r i t e r i a i n d i c a t i v e o f t h e p r e v a l e n t u s a g e o f a g e n e r a l p r o c e d u r e , a n d c o m p a r e c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e r e s u l t s w h i c h i n d i c a t e d e g r e e o f s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n o f t h e t e a c h e r d e v e l o p e d p r o c e d u r a l m o d e l . R e l a t e c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e w i t h q u a l i t y a n d q u a n t i t y o f t e a c h e r p r o v i d e d i n s t r u c t i o n o f t h e g e n e r a l m o d e l . B . H y p o t h e s i s 8 : O f t h e t h r e e c e n t r a l s t u d e n t p r o c e s s i n g c o m p o n e n t s c o n t a i n e d w i t h i n t h e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l ( t h o s e b e i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s , a n d e q u a t i o n s o l u t i o n s ) , s t u d e n t s w i l l b e m o s t s u c c e s s f u l i n s o l v i n g e q u a t i o n s , l e s s s u c c e s s f u l i n d e r i v i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d l e a s t s u c c e s s f u l i n f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s . s u c c o f c w h i l p r O C = d e v e c o n n . s e t t . a r r a 1 t h i s t r e a l p r o b : P a r t i M a t h : n e e d e o f p ; s e g m e P r e p a g a i n w h i c h 9 9 n e r a n d t r e l a t P r e s e 2 3 C o m p a r e o v e r a l l s t u d e n t p r o c e s s i n g p e r f o r m a n c e s u c c e s s f o r t h e t h r e e c o m p o n e n t s , a n d a l s o n o t e p a t t e r n s o f c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o t h e t h r e e c o m p o n e n t s w h i l e c o m p a r i n g t e a c h e r s ’ p r o v i d e d i n s t r u c t i o n o f e a c h p r o c e s s s k i l l . T h e h y p o t h e s e s o f t h e s t u d y p r o v i d e a f r a m e w o r k f o r d e v e l o p i n g m e t h o d s r e l a t e d t o t h e i n v e s t i g a t i o n , a n d f o r c o n n e c t i n g t h e t h r e e c o m p o n e n t s o f a n i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g , t e a c h e r , t e x t b o o k , a n d s t u d e n t s , i n a m e a n i n g f u l a r r a n g e m e n t . T h e p o s s i b l e i m p l i c a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h i s i n v e s t i g a t i o n a n d i t s f o c u s o n i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t m i g h t a s s i s t a d i v e r s i t y o f i n t e r e s t e d p a r t i e s w i t h i n t h e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o m m u n i t y . M a t h e m a t i c s p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h e r s m i g h t r e c e i v e n e e d e d i n f o r m a t i o n o n h o w t e a c h e r s a d a p t t o t h e c o m p l e x i t y o f p r o b l e m s o l v i n g a n d f o r m u l a t e m e a n i n g f u l i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s w i t h i n a c l a s s r o o m s e t t i n g . E d u c a t o r s w h o p r e p a r e s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c o u r s e s m i g h t g a i n i n s i g h t s i n t o t h e c u r r e n t i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e m o r e e f f e c t i v e t e a c h i n g o f t h i s g e n e r a l l y d i f f i c u l t c o n t e n t a r e a . C u r r i c u l u m d e s i g n e r s a n d t e x t b o o k a u t h o r s m i g h t g a i n a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o t h e m o r e e f f e c t i v e s e q u e n c i n g a n d p r e s e n t a t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h t e a c h e r s a p p r e c i a t e a n d u s e w i t h i n i n s t r u c t i o n f r o m a n e m p l o y e d t e x t b o o k . d e i t w e e a t h r e V 8 p r 0 f C o i n ‘ 2 4 L a s t l y k n o w l e d g e g a i n e d o n t h e d e v e l o p m e n t o f s t u d e n t s ’ v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s a n d c o n s t r u c t i o n s , s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , h o l d s p r o m i s e f o r i m p r o v i n g c l a s s r o o m t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l t e c h n i q u e s a n d i m p r o v e d s t u d e n t l e a r n i n g a n d p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . O v e r v i e w o f t h e S t u d y T o a d d r e s s t h e e i g h t h y p o t h e s e s o f t h e s t u d y , t h e i n v e s t i g a t o r r e v i e w e d t e x t b o o k s a n d o b s e r v e d p o r t i o n s o f t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s e t s c o v e r e d i n t h r e e m i d d l e t r a c k A l g e b r a I c l a s s r o o m s 1 d u r i n g t h e f i r s t f o u r m o n t h s o f a n a c a d e m i c s c h o o l y e a r ( 1 9 8 6 - 8 7 ) . T h r e e s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s w e r e d e v e l o p e d a n d a d m i n i s t e r e d t o t h e t h r e e c l a s s e s b y t h e i n v e s t i g a t o r a t t h e o u t s e t ( p r e t e s t ) , a f t e r i n s t r u c t i o n w a s c o m p l e t e d ( p o s t t e s t ) , a n d s e v e r a l m o n t h s l a t e r ( r e t e n t i o n t e s t ) . I n a d d i t i o n n i n e s t u d e n t s ( t h r e e f r o m e a c h c l a s s r o o m ) w e r e i n t e r v i e w e d a f t e r a d m i n i s t r a t i o n o f t h e p o s t t e s t . S t u d e n t s i n t h e i n t e r v i e w s e s s i o n s o r a l l y r e p o r t e d t h e i r t h i n k i n g a s t h e y w o r k e d t h r o u g h a s e t o f v e r b a l p r o b l e m s r e p r e s e n t i n g m o d i f i c a t i o n s o f t e x t b o o k p r o v i d e d p r o b l e m s . C h a p t e r I I r e v i e w s r e s e a r c h r e l a t e d t o t h e h y p o t h e s e s o f t h e s t u d y . C h a p t e r I I I f o c u s e s o n t h e m e t h o d s o f d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s e m p l o y e d w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . C h a p t e r I v d i s c u s s e s r e s u l t s r e l a t e d t o t h e t t h e f C h a p t o b s e r w i t h i v a r i o r e c e i ‘ d e v e l l C h a p t l r e l a t . s t u d e 1 m a j o r 0 f t h e e f f o r 1 2 5 t h e t e x t b o o k r e v i e w a n d t e a c h e r o b s e r v a t i o n s r e l a t i n g t o t h e f o r m u l a t i o n o f i n s t r u c t i o n a l e n v i r o n m e n t p a t t e r n s . C h a p t e r V i d e n t i f i e s , d e s c r i b e s , a n d r e v i e w s r e s u l t s o f o b s e r v e d t e a c h e r p r o v i d e d s u g g e s t i o n s a n d t e c h n i q u e s u s e d w i t h i n i n s t r u c t i o n . C h a p t e r V I r e v i e w s r e s u l t s f r o m v a r i o u s s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s i n t h e l i g h t o f r e c e i v e d i n s t r u c t i o n a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o t h e d e v e l o p m e n t o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s . C h a p t e r V I I i n c l u d e s a g e n e r a l d i s c u s s i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p s f o u n d b e t w e e n i n s t r u c t i o n a n d r e s u l t a n t s t u d e n t l e a r n i n g , a n d i n c l u d e s a s u m m a r y o f t h e s t u d y ’ s m a j o r f i n d i n g s a n d c o n c l u d i n g c o m m e n t s o n t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e s t u d y o n i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e a n d f u t u r e r e s e a r c h e f f o r t s . s o l v i c o n t e r e v i e C h a r a v e r b a a b i l i ' W h i c h a i d t l S t u d e l r e q u i ] e f f 0 r 1 e x P l i c P r o b l e I E S u l t m a t h e n P r o b l e c ° g n i t R e s n i c a t t e m p C H A P T E R I I R e v i e w o f R e l a t e d L i t e r a t u r e T h i s c h a p t e r r e v i e w s t h e l i t e r a t u r e c o n c e r n i n g t h e s o l v i n g o f v e r b a l p r o b l e m s a n d p r o b l e m s o l v i n g i n c o n t e m p o r a r y m a t h e m a t i c s a n d a l g e b r a c l a s s r o o m s . T h i s r e v i e w i n c l u d e s s t u d i e s o f b o t h s t u d e n t p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s a n d i n s t r u c t i o n a l s t u d i e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . R e s e a r c h e f f o r t s h a v e i m p r o v e d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ’ a b i l i t y t o a n a l y z e a n d a s s e s s t h e d i v e r s i t y o f f a c t o r s w h i c h e f f e c t s c h o o l t a s k d i f f i c u l t y , a n d h a v e s e r v e d t o a i d t h e i d e n t i f i c a t i o n o f t y p i c a l s t r a t e g i e s e m p l o y e d b y s t u d e n t s w h e n s u c h r e s e a r c h t a s k s c a n b e r e l a t e d t o r e q u i r e d s c h o o l t a s k s . H o w e v e r , p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h e f f o r t s h a v e g e n e r a l l y n o t b e g u n t h e i r s t u d i e s w i t h a n e x p l i c i t f r a m e w o r k o r t h e o r y o f h o w s t u d e n t s p r o c e s s p r o b l e m s , n o r d o e s s u c h a f r a m e w o r k e m e r g e f r o m t h e r e s u l t s o f t h e s e s t u d i e s . T h e f e w t h e o r i e s o f s c h o o l m a t h e m a t i c s l e a r n i n g i n g e n e r a l , a n d s c h o o l m a t h e m a t i c s p r o b l e m s o l v i n g i n p a r t i c u l a r h a v e b e e n d e v e l O p e d b y c o g n i t i v e p s y c h o l o g i s t s , G r e e n o ( 1 9 7 8 ) , M a y e r ( 1 9 8 2 ) , a n d R e s n i c k ( R e s n i c k a n d F o r d , 1 9 8 1 ) . G r e e n o a n d R e s n i c k b o t h a t t e m p t e d t o e x t e n d r e s u l t s f r o m t h e i r s t u d i e s o f 2 6 e l e m e h i g h e m o r e p r o c e d i s c u i n i t i t h e f p r o c e c o m p o : 1 9 8 5 ) s t r a t : P r o c e : s o l v 1 1 S t U d i l i n f o r m a t i o n i n m e m o r y ( M a y e r : 1 9 3 2 ) - 2 7 e l e m e n t a r y a g e s t u d e n t s w i t h v e r b a l p r o b l e m t a s k s t o h i g h e r l e v e l s t u d e n t s i n v o l v i n g v e r b a l p r o b l e m t a s k s i n m o r e c o m p l e x c o n t e n t d o m a i n s , s u c h a s a l g e b r a . M a y e r ’ s ( 1 9 8 2 ) t h e o r e t i c a l m o d e l o f s t u d e n t p r o c e s s i n g i s t h e c e n t e r p i e c e f o r t h e f o l l o w i n g r e s e a r c h d i s c u s s i o n o f s t u d e n t p r o c e s s i n g a n d i s d e t a i l e d i n i t i a l l y . T h e n a r e v i e w o f r e s e a r c h r e l a t e d t o e a c h o f t h e f o u r k n o w l e d g e c o m p o n e n t s o f h i s m o d e l o f s t u d e n t p r o c e s s i n g i s u n d e r t a k e n . T w o o t h e r r e c e n t l y i n t r o d u c e d c o m p o n e n t s , m e t a c o g n i t i o n a n d s t u d e n t b e l i e f s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 ) , a r e d i s c u s s e d w i t h i n M a y e r ’ s f o u r t h c o m p o n e n t , s t r a t e g i c k n o w l e d g e , a n d c o n c l u d e t h e s e c t i o n o n s t u d e n t p r o c e s s i n g . M a y e r ’ s ( 1 9 8 5 ) i n s t r u c t i o n a l m o d e l o f p r o b l e m s o l v i n g i s t h e n i n t r o d u c e d a n d a n a l y z e d a n d r e s e a r c h s t u d i e s r e l a t e d t o i t s c o m p o n e n t p a r t s a r e d i s c u s s e d . S t u d e n t P r o c e s s i n g M a y e r b e l i e v e s t h a t t h e f i e l d o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y o f f e r s a n e w a p p r o a c h t o t h e d e v e l o p m e n t o f a p s y c h o l o g y o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . C o g n i t i v e p s y c h o l o g y i s t h e s t u d y o f h o w h u m a n s p r o c e s s i n f o r m a t i o n , i n c l u d i n g t h e a c q u i s i t i o n , s t o r a g e a n d r e t r i e v a l o f k n o w l e d g e . W i t h i n c o g n i t i v e p s y c h o l o g y i t i s a s s u m e d t h a t h u m a n s p o s s e s s v a r i o u s m e m o r y s t o r e s ( s h o r t t e r m , w o r k i n g , a n d l o n g t e r m m e m o r y ) a n d m e m o r y p r o c e s s e s f o r t r a n s f e r r i n g k n o w l e d g e b e t w e e n m e m o r y s t o r e s , a n d a l s o f o r m a n i p u l a t i n g M a y e r ’ s c o m m o n l y h e l l c o g n i t i v e p s : k n o w l e d g e , r e b e h a v i o r s , a 1 d o w n i n t o i t : t y p e s o f p r o ] a r e : l i n g u i : s e n t e n c e s ) , 5 r e l a t i o n s h i p : p r o c e d u r e s ) , p r o b l e m s ) , S e c o n d l y a s a S e r i e s C r e P r e s e n t a t i c S e r i e s o f l e a S t u d e n t s p r o c P r o b l e m 5 0 1 ‘ ” - s o l u t i o n S t a g t r a n s l a t e t h e r e p r e s e n t a t i c i n c l u d e s t h e o p e r a t 0 r s . 2 8 M a y e r ’ s t h e o r y o f s t u d e n t p r o c e s s i n g i s b u i l t o n t w o c o m m o n l y h e l d v i e w s o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y . F i r s t , c o g n i t i v e p s y c h o l o g y v i e w s l e a r n i n g a s t h e a c q u i s i t i o n o f k n o w l e d g e , r a t h e r t h a n b e i n g s o l e l y c o m p o s e d o f n e w b e h a v i o r s , a n d t h a t s u c h a c q u i r e d k n o w l e d g e c a n b e b r o k e n d o w n i n t o i t s c o m p o n e n t p a r t s ( M a y e r , 1 9 8 0 ) . H i s f o u r t y p e s o f p r o b l e m s o l v i n g k n o w l e d g e o r i t s c o m p o n e n t p a r t s a r e : l i n g u i s t i c a n d f a c t u a l k n o w l e d g e ( h o w t o e n c o d e s e n t e n c e s ) , s c h e m a k n o w l e d g e ( u s e o f p r o b l e m t y p e r e l a t i o n s h i p s ) , a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e ( h O W ' t O p e r f o r m p r o c e d u r e s ) , a n d s t r a t e g i c k n o w l e d g e ( h o w t o a t t a c k p r o b l e m s ) . S e c o n d l y , c o g n i t i v e p s y c h o l o g y v i e w s p r o b l e m s o l v i n g a s a s e r i e s o f m e n t a l o p e r a t i o n s t h a t t r a n s f o r m k n o w l e d g e r e p r e s e n t a t i o n s , r a t h e r t h a n v i e w i n g p r o b l e m s o l v i n g a s a s e r i e s o f l e a r n e d b e h a v i o r s . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t s t u d e n t s p r o c e e d t h r o u g h t w o d i s t i n c t s t a g e s d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g a c t i v i t y , a r e p r e s e n t a t i o n s t a g e a n d a s o l u t i o n s t a g e . I n t h e r e p r e s e n t a t i o n s t a g e , s u b j e c t s t r a n s l a t e t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i n t o a n i n t e r n a l m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n o r " p r o b l e m s p a c e " ( H a y e s , 1 9 8 1 ) w h i c h i n c l u d e s t h e g i v e n a n d g o a l s t a t e s a n d a l l o w a b l e o p e r a t o r s . T h e p r o b l e m s p a c e i s c o n s t r u c t e d o n t h e b a s i s o f a s u b j e c t ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m . I n t h e s o l u t i o n s t a g e , s u b j e c t s s e a r c h f o r a n d d e v i s e a p a t h t h r o u g h t h e p r o b l e m s p a c e , c o n t i n u a l l y a p p l y i n g o p e r a t o r s r e W i r e d f O r p “ ’ 0 ‘ 3 e ' s s i n g I a t o n e w l y d e w a c h i e v e d . A p r o b l e m s h a s o f t w o g e n e r a ( J e r m a n , 1 9 7 1 i n d i c a t e d t h e m o r e o f t e n t ] r e p r e s e n t a t i c s o l u t i o n p r o c e m p h a s i z e 0 0 1 r a p r e s e n t a t i c M a y e r ’ s k n o w l e d g e 0 0 1 1 h i s b e l i e f a s P r i m a r i l y u s e ( t a k e n f r o m I M a y e r ' 5 T y p e O f K n o w l L i n g u i s t . 1 C “ M a m i e M a Y e r S 2 9 t o n e w l y d e v e l O p e d p r o b l e m s t a t e s u n t i l t h e g o a l s t a t e i s a c h i e v e d . A s i m i l a r t w o s t a g e p r o c e s s f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s h a s b e e n d e s c r i b e d i n t h e l i t e r a t u r e , c o n s i s t i n g o f t w o g e n e r a l s t a g e s , t r a n s l a t i o n a n d c o m p u t a t i o n ( J e r m a n , 1 9 7 3 a n d P a i g e a n d S i m o n , 1 9 6 6 ) . R e s e a r c h h a s i n d i c a t e d t h a t m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g d i f f i c u l t i e s m o r e o f t e n t h a n n o t r e s u l t f r o m a n i n a d e q u a t e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m r a t h e r t h a n f r o m f a u l t y s o l u t i o n p r o c e d u r e s , a n d y e t i n s t r u c t i o n h a s t e n d e d t o e m p h a s i z e c o n t e n t r e l a t e d t o p r o c e d u r e s r a t h e r t h a n r e p r e s e n t a t i o n ( S i m o n , 1 9 8 0 ) . M a y e r ’ s t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k p l a c e s t h e f o u r k n o w l e d g e c o m p o n e n t s w i t h i n t h e t w o s t a g e s o n t h e b a s i s o f h i s b e l i e f a s t o h o w t h e f o u r k n o w l e g e c o m p o n e n t s a r e p r i m a r i l y u s e d b y s u b j e c t s , a n d i s i n d i c a t e d i n T a b l e 2 . 1 ( t a k e n f r o m M a y e r , 1 9 8 2 , p . 3 ) T a b l e 2 . 1 M a y e r ' s K n o w l e d g e T y p e b y S t a g e C l a s s i f i c a t i o n S t a g e i n P r o b l e m S o l v i n g P r o c e s s T y p e o f K n o w l e d g e R e p r e s e n t a t i o n S o l u t i o n ( U n d e r s t a n d i n g ) ( S e a r c h i n g ) L i n g u i s t i c & F a c t u a l X S c h e m a t i c X A l g o r i t h m i c X S t r a t e g i c X M a y e r s u g g e s t s t h a t a l l f o u r t y p e s o f k n o w l e d g e a r e r e q u i r e d f o r s u c c e s s f u l s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d p r o c e s s i n g , a n d i n d i c a t e s t h e c o m p l e x i t y i n v o l v e d i n W I n O r d e r t h e W O r d s i n s o l v i n g a l g e i w e a k n e s s e s 0 . r e s e a r c h h a s r o u t i n e p r o b h e u r i s t i c b e s u b j e c t b G I i l b e l i e v e s t h a ' b e h a v i o r s a r t p r o b l e m s , a m c a t e g o r y t o ; c o n v i n c i n g 1 : . s k i l l s 0 : s u l P e r f o r m a n c e c P I O b l e m s . I , a l i t i t u d e s a n c " e x p e r t " a c t j S t u d e n t p e r f c m e t a c o g n i t i o ; f r o m t h E i r r e m u s t k n o w C e : S p e e C h a n d p r f a c t s a b o u t t 3 0 s o l v i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . T h e r e a r e h o w e v e r t h r e e w e a k n e s s e s o r o m i s s i o n s w i t h i n M a y e r ’ s f r a m e w o r k w h i c h r e s e a r c h h a s s h o w n a r e i m p o r t a n t , a t l e a s t f o r l e s s r o u t i n e p r o b l e m s o l v i n g t a s k s , t h o s e o m i s s i o n s b e i n g h e u r i s t i c b e h a v i o r s , m e t a c o g n i t i v e c o n t r o l s k i l l s , a n d s u b j e c t b e l i e f s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 ) . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t b o t h g e n e r a l a n d s p e c i f i c h e u r i s t i c b e h a v i o r s a r e r e l e v a n t t o t h e t a s k o f s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a n d h a s b r o a d e n e d M a y e r ’ s s t r a t e g i c k n o w l e d g e c a t e g o r y t o i n c l u d e h e u r i s t i c b e h a v i o r s . T h e r e i s l e s s c o n v i n c i n g r e s e a r c h e v i d e n c e t h a t m e t a c o g n i t i v e c o n t r o l s k i l l s o r s u b j e c t b e l i e f s h a v e i m p a c t o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e o f r o u t i n e t a s k s , s u c h a s a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . I n s t e a d i t i s s p e c u l a t e d t h a t p o s i t i v e a t t i t u d e s a n d u s a g e o f m e t a c o g n i t i v e s k i l l s m a y s e p a r a t e " e x p e r t " a c t i v i t y f r o m r e c o g n i z e d s u c c e s s f u l o r p r o f i c i e n t s t u d e n t p e r f o r m a n c e . T h e s e t w o a r e a s o f r e s e a r c h , m e t a c o g n i t i o n a n d b e l i e f s a r e r e v i e w e d b r i e f l y w i t h i n t h e s t r a t e g i c k n o w l e d g e c a t e g o r y . L i n g p i s t i c a n d F a c t u a l K n o w l e d g e I n o r d e r f o r s t u d e n t s t o f o r m u l a t e a r e p r e s e n t a t i o n f r o m t h e i r r e a d i n g o f a v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t , t h e y m u s t k n o w c e r t a i n r u l e s o f l a n g u a g e , s u c h a s p a r t s o f s p e e c h a n d p r o n o u n r e f e r e n t s , a s w e l l a s k n o w i n g c e r t a i n f a c t s a b o u t t h e w o r l d r e l a t e d t o t h e s p e c i f i c m e a n i n g s o f t h e w o r d s i n a p r o b l e m s t a t e m e n t . I t i s o b v i o u s t h a t s u c h k n o w l e d g e n e a c t i v a t i o n w o c c u r a n d a f o r t h e e x t e e q u a t i o n f o r B e y o n d p r o b l e m i f t e v i d e n c e r e g P r o b l e m s o l v ( L e s t e r , 1 9 3 r e a d a b i l i t y I o n e s t u d y , L . 0 f t h e v e r b a j P I ‘ O b l e m $ 0 1 1 1 1 “ t a n ( 1 9 7 6 ; r e a d a b i l i t y ’ w e r e a l a r g e ] s o l u t i o n p e r j g a m e s i n w t m a t h e m a t i c s 5 c o r r e l a t i o n s t h e r e v i e w e d V ° C a b u l a r y u 5 v a r i a b l e s ) ’ N " S p e l l i n g . a l c o m p l i t a t i O n I 3 1 k n o w l e d g e n e e d s t o b e a c c e s s i b l e , c a p a b l e o f r e c a l l a n d a c t i v a t i o n w i t h i n w o r k i n g m e m o r y , f o r u n d e r s t a n d i n g t o o c c u r a n d a r e p r e s e n t a t i o n t o b e d e v e l o p e d , a n d i n o r d e r f o r t h e e x t e r n a l p r o c e s s e s o f v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n t o b e c o m p l e t e d b y s t u d e n t s . B e y o n d t h e o b v i o u s f a c t t h a t s t u d e n t s c a n n o t s o l v e a p r o b l e m i f t h e y a r e u n a b l e t o r e a d i t , t h e r e s e a r c h e v i d e n c e r e g a r d i n g t h e e f f e c t o f r e a d i n g a b i l i t y o n p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e h a s b e e n c o n f l i c t i n g ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . T h e t w o m o s t p r o m i n e n t s t u d i e s o f r e a d a b i l i t y w e r e d o n e w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l s u b j e c t s . I n o n e s t u d y , L i n v i l l e ( 1 9 7 0 ) f o u n d t h a t t h e d i f f i c u l t y l e v e l o f t h e v e r b a l p r o b l e m s y n t a x h a d a s i g n i f i c a n t e f f e c t o n p r o b l e m s o l u t i o n , w h e r e a s i n t h e s e c o n d s t u d y , K n i f o n g a n d H o l t a n ( 1 9 7 6 ) f o u n d n o s u c h s i g n i f i c a n t e f f e c t f o r r e a d a b i l i t y , i n s t e a d f i n d i n g t h a t c o m p u t a t i o n a l e r r o r s w e r e a l a r g e r f a c t o r i n a c c o u n t i n g f o r e f f e c t s o n p r o b l e m s o l u t i o n p e r f o r m a n c e . A i k e n ' s ( 1 9 7 2 ) r e v i e w o f r e s e a r c h s t u d i e s i n w h i c h r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n r e a d i n g a b i l i t y a n d m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t w e r e g i v e n , n o t e d t h a t c o r r e l a t i o n s b e t w e e n v a r i a b l e s r a n g e d f r o m . 4 0 t o . 8 6 i n t h e r e v i e w e d s t u d i e s . I t w a s a l s o n o t e d t h a t " R e a d i n g V o c a b u l a r y " a n d " R e a d i n g C o m p r e h e n s i o n " ( b o t h s e m a n t i c v a r i a b l e s ) , " M e c h a n i c s o f E n g l i s h " ( s y n t a x v a r i a b l e ) , a n d " S p e l l i n g " a l l h a d s i z a b l e c o r r e l a t i o n s w i t h a r i t h m e t i c c o m p u t a t i o n , a n d e v e n h i g h e r c o r r e l a t i o n s w i t h " A r i t h m e t i c f o r ° ° l l e g e s R e a s o n i n g " ( s o l v i n g ) . W i t h i n k n o w l e d g e r e s e c o n d a r i l y s y n t a x v a r i a s t a t e m e n t s , p r o b l e m s t a t - g r a m m a t i c a l i d e n t i f i e d 1 r e l a t e d t o 9 ; v a r i a b l e S t m S t u d i e s o f h . a l g e b r a v e r b ; l e a s t 2 S y n t a i n t o t h e r e g ] S t u d i e s I b u t a l l S t u d i e s , s y n t a x v a r i a } i n v e r b a l p r c i n v e s t i g é m O r t h a t l i n g u i S t g r a d e l e V e l . p r e d i c t o r s d e i n t e r m e d i a t e 3 2 R e a s o n i n g " ( a c o n s t r u c t b e l i e v e d r e l a t e d t o p r o b l e m s o l v i n g ) . W i t h i n t a s k v a r i a b l e a n a l y s i s , l i n g u i s t i c a n d f a c t u a l k n o w l e d g e r e l a t e s p r i m a r i l y t o s y n t a x v a r i a b l e s a n d s e c o n d a r i l y t o c o n t e n t v a r i a b l e s . C l a s s i f i c a t i o n s o f s y n t a x v a r i a b l e s h a v e f o c u s e d o n t w o c o m p o n e n t s o f p r o b l e m s t a t e m e n t s , s y n t a x v a r i a b l e s d e s c r i b i n g l e n g t h ( w o r d s a n d p r o b l e m s t a t e m e n t ) , a n d s y n t a x v a r i a b l e s d e s c r i b i n g g r a m m a t i c a l s t r u c t u r e . F o r e x a m p l e , B a r n e t t ( 1 9 8 4 ) i d e n t i f i e d 1 8 v a r i a b l e c o n s t r u c t s r e l a t e d t o l e n g t h a n d 1 9 r e l a t e d t o g r a m m a t i c a l s t r u c t u r e i n h i s r e v i e w o f s y n t a x v a r i a b l e s t u d i e s . I n h i s r e v i e w o f l i n e a r r e g r e s s i o n s t u d i e s o f h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e s t u d e n t s s o l v i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , B a r n e t t ( 1 9 8 4 ) n o t e d t h a t a t l e a s t 2 s y n t a x v a r i a b l e s r e l a t e d t o l e n g t h w e r e e n t e r e d i n t o t h e r e g r e s s i o n e q u a t i o n o n t h e f i r s t 1 2 s t e p s i n a l l s t u d i e s , b u t t h e c o n s t r u c t s w e r e b a s i c a l l y d i f f e r e n t i n a l l s t u d i e s . T h e o n l y c o n c l u s i o n h e r e a c h e d w a s t h a t s y n t a x v a r i a b l e s d e s c r i b i n g l e n g t h p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n v e r b a l p r o b l e m d i f f i c u l t y a n d d e s e r v e c o n t i n u e d i n v e s t i g a t i o n . J e r m a n ’ s ( 1 9 7 4 ) r e s e a r c h s t u d i e s i n d i c a t e d t h a t l i n g u i s t i c p r e d i c t o r v a r i a b l e s c h a n g e w i t h a g e a n d g r a d e l e v e l . F o r i n s t a n c e " c o m p u t a t i o n a l " v a r i a b l e s a s p r e d i c t o r s d e c r e a s e f r o m b e i n g v e r y i m p o r t a n t i n t h e i n t e r m e d i a t e g r a d e s t o h a v i n g l i t t l e v a l u e a s p r e d i c t o r s f o r c o l l e g e s t u d e n t s . t e c h n i c a l m a t T h e m o s r e l a t e d t o v c a t e g o r y w h i p h r a s e s i n a t e c h n i c a l v 0 r e s e a r c h , t h t h e m a t h e m a t s t a t e m e n t , a s e t t i n g o f t . S o m e w h a t d i s t Y P e " i s c o n . V a r i a b l e . ) 4 , " p r o b l e m t y p . s e P é l r a t e f r o ] i n v e l i t i g a t o r ( 1 9 8 4 ) a n d W e 0 r S G t t i n g , i t Y p e 0 f c o m : e d i c h o t o m i e S I c o n c r e t e / a b s 1 P r o b l e m t Y p e s “ t h e m a t i c , e s t a t e m e r I t s . E v e n W i t s e m a n t i c C o n t 3 3 T h e m o s t i m p o r t a n t s u b d i v i s i o n o f c o n t e n t v a r i a b l e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s i s t h e " s e m a n t i c c o n t e n t " c a t e g o r y w h i c h r e f e r s t o t h e m e a n i n g s o f c r i t i c a l w o r d s o r p h r a s e s i n a p r o b l e m s t a t e m e n t , p a r t i c u l a r l y k e y w o r d s o r t e c h n i c a l v o c a b u l a r y ( W e b b , 1 9 8 4 ) . I n t a s k v a r i a b l e r e s e a r c h , t h e r e i s a s u b t l e d i s t i n c t i o n b e t w e e n " c o n t e n t " , t h e m a t h e m a t i c a l s u b s t a n c e o r m e a n i n g o f a p r o b l e m s t a t e m e n t , a n d " c o n t e x t " , t h e n o n - m a t h e m a t i c a l f o r m o r s e t t i n g o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , v a r i a b l e t y p e s . S o m e w h a t d i s t u r b i n g t o t h e i n v e s t i g a t o r i s t h a t " p r o b l e m t y p e " i s c o n s i d e r e d a c o n t e n t r a t h e r t h a n a c o n t e x t v a r i a b l e . M a y e r ( 1 9 8 2 ) a n d S i l v e r ( 1 9 8 2 ) b o t h c o n s i d e r " p r o b l e m t y p e " a k n o w l e d g e t y p e ( s c h e m a k n o w l e d g e ) s e p a r a t e f r o m l i n g u i s t i c a n d f a c t u a l k n o w l e d g e . T h e i n v e s t i g a t o r ' s p o s i t i o n c a n a l s o b e j u s t i f i e d b y K u L m ' s ( 1 9 8 4 ) a n d W e b b ' s ( 1 9 8 4 ) o w n i n c l u s i o n o f v e r b a l c o n t e x t o r s e t t i n g , a s c o n t a i n e d i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , a s o n e t y p e o f c o n t e x t t a s k v a r i a b l e . W i t h i n t h i s c a t e g o r y d i c h o t o m i e s , s u c h a s f a m i l i a r / u n f a m i l i a r , c o n c r e t e / a b s t r a c t a r e i n c l u d e d , a n d i t i s c l a i m e d t h a t p r o b l e m t y p e s r e p r e s e n t a s i m i l a r p a r t i t i o n i n g o f t h e n o n - m a t h e m a t i c , e x t r a n e o u s i n f o r m a t i o n w i t h i n p r o b l e m s t a t e m e n t s . E v e n w i t h t h i s m o d i f i c a t i o n , t h e i m p o r t a n c e o f s e m a n t i c c o n t e n t v a r i a b l e s , p a r t i c u l a r l y k e y w o r d s a n d t e c h n i c a l m a t h e m a t i c a l v o c a b u l a r y , r e m a i n s s t r o n g . B y p r ( " ’ S E S S i o n s " k e y w o r d s " w o r d s i n t o 1 “ l e s s " , " d e c s t a t e m e n t i n s u b t r a c t i o n t h e r e s e e m s r e g a r d s t o t i n t h e t e a c h m o s t m a t h e m a w h o c a u t i o n a p p r o a c h ( K i s u c h a s S c h o a P P r o a c h " d e . P o s i t i o n i s ; S t u d e n t p r o m b y k e y W o r d s d e s k o v s t h e r e l a t i o n s h i p : t h e o t h e r 9 x 1 m a i n l Y : W h o ] h e l p i n g S t u d : 1 9 8 5 a r t i i t z l e S i x t h g r a d e 1 i n s t m e t i O n a ] a l s o “ O t e d a 3 4 " k e y w o r d s " i s m e a n t t h e d i r e c t t r a n s l a t i o n b y s t u d e n t s o f w o r d s i n t o r e s p e c t i v e o p e r a t i o n s . F o r e x a m p l e , w o r d s l i k e " l e s s " , " d e c r e a s e " , " m i n u s " a n d " b e l o w " w i t h i n a p r o b l e m s t a t e m e n t i n d i c a t e t h e l i k e l i h o o d f o r u s i n g t h e s u b t r a c t i o n o p e r a t i o n . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e r e s e e m s t o b e t w o o p p o s i t e p o s i t i o n s a t w o r k w i t h r e g a r d s t o t h e u s a g e o f a k e y w o r d s i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h i n t h e t e a c h i n g o f v e r b a l p r o b l e m s . . A t o n e e x t r e m e a r e m o s t m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ( i n c l u d i n g t h e i n v e s t i g a t o r ) w h o c a u t i o n a g a i n s t i t s u s e , c o n s i d e r i n g i t a n o n v i a b l e a p p r o a c h ( K i l p a t r i c k , 1 9 6 9 ) . S o m e e d u c a t o r s a r e m o r e v o c a l s u c h a s S c h o e n f e l d ( 1 9 8 2 ) w h o c a l l s u s a g e o f s u c h a n a p p r o a c h " d e c e p t i v e a n d f r a u d u l e n t " t e a c h i n g . T h i s p o s i t i o n i s b a s e d o n t h e b e l i e f t h a t e x a m p l e s a b o u n d w h e r e s t u d e n t p r o c e s s i n g c a n j u s t a s e a s i l y b e i n c o r r e c t l y c u e d b y k e y w o r d s , a n d t h a t s u c h a n i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h a l s o d e s t r o y s t h e n e c e s s i t y f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p s c o n t a i n e d i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . A t t h e o t h e r e x t r e m e a r e p r a c t i t i o n e r s , s c h o o l t e a c h e r s m a i n l y , w h o b e l i e v e k e y w o r d s h a v e a n e n o r m o u s i m p a c t f o r h e l p i n g s t u d e n t s c o m p r e h e n d v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . A 1 9 8 5 a r t i c l e i n A r i t h m e t i c T e a c h e r d e m o n s t r a t e d h o w o n e s i x t h g r a d e t e a c h e r f u l l y d e v e l o p e d s u c h a k e y w o r d s i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h ( H a v e l , 1 9 8 5 ) . S c h o e n f e l d ( 1 9 8 2 ) a l s o n o t e d a d i s t u r b i n g f i n d i n g g i v e n a t t h e r e s e a r c h p r e s e s s i o n s o f t h e 1 9 8 0 a n n u a l N C T M m e e t i n g w h i c h v e r b a l C u e v i i n d i c a t e d t h s e r i e s , 9 7 p a p p r o a c h w o u M o s t A l l u n i t s ( 2 - 4 u s i n g k e y w o . s o m e c a s e s a f o r m s o f t h e w i t h i n a n e q - g e n e r a l l y i n s t u d e n t p r a C ' e X p o s u r e r e q . l a n g u a g e p a t ‘ s o l v e t h e v e : W i l l g r a d u a l ; a P P r o a c h W h e 1 r e l a t i o n a l a 1 t r a n s l a t i o n 1 t r a n s f e i ‘ a b i l ‘ . P r O b l e m t Y p e : “ S a g e b Y S t u ¢ e m p h a S i s g i v v P r o v i d e d V e r ] W e b b ' s ( s t u d i e s W i t h 3 5 i n d i c a t e d t h a t i n a w i d e l y u s e d e l e m e n t a r y t e x t b o o k s e r i e s , 9 7 p e r c e n t o f t h e p r o b l e m s " s o l v e d " b y a k e y w o r d a p p r o a c h w o u l d y i e l d c o r r e c t a n s w e r s . M o s t A l g e b r a I t e x t b o o k s c o n t a i n 1 o r 2 i n s t r u c t i o n a l u n i t s ( 2 - 4 p a g e s i n l e n g t h ) i n w h i c h s t u d e n t s p r a c t i c e u s i n g k e y w o r d s t o f o r m u l a t e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s , a n d i n s o m e c a s e s a l s o p r o v i d e s p r a c t i c e i n t r a n s l a t i n g v a r i o u s f o r m s o f t h e v e r b , t o b e ( i s , w a s , a r e ) i n t o a n e q u a l s i g n w i t h i n a n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T h e s e i n s t r u c t i o n a l u n i t s g e n e r a l l y i m m e d i a t e l y p r e c e d e i n i t i a l i n s t r u c t i o n a n d s t u d e n t p r a c t i c e o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . T h i s i n i t i a l e x p o s u r e r e q u i r e s o n l y t h a t s t u d e n t s t r a n s l a t e E n g l i s h l a n g u a g e p a t t e r n s i n t o c o r r e c t m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s t o s o l v e t h e v e r b a l p r o b l e m s . I t i s a s s u m e d t h a t s t u d e n t s w i l l g r a d u a l l y d i s c a r d e m p h a s i s o n a d i r e c t t r a n s l a t i o n a p p r o a c h w h e n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s r e q u i r i n g a m o r e r e l a t i o n a l a n a l y s i s a r e i n t r o d u c e d . S u c h d i r e c t t r a n s l a t i o n t e c h n i q u e s s e e m t o h a v e v e r y l i m i t e d t r a n s f e r a b i l i t y , e v e n w i t h i n t h e s m a l l s a m p l e o f v e r b a l p r o b l e m t y p e s i n c l u d e d w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . I t s u s a g e b y s t u d e n t s w o u l d a l s o d e p e n d o n t h e d e g r e e o f e m p h a s i s g i v e n b y t e a c h e r s a n d e m p l o y e d t e x t b o o k s w i t h i n p r o v i d e d v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . W e b b ’ s ( 1 9 8 4 ) r e v i e w o f s e m a n t i c c o n t e n t v a r i a b l e s t u d i e s w i t h e l e m e n t a r y s c h o o l s u b j e c t s i n d i c a t e d t h a t v e r b a l c u e v a r i a b l e s d i d n o t h a v e a s i g n i f i c a n t e f f e c t o n v e r b a l p r o b l s e v e r a l e l e m v e r b a l p r o b l 1 9 7 2 ) , a l o n g L o c h h e a d a n d H e c o n c l u d e d v e r b a l p r o b l m e n t a l l y t h a R e l a t i o n a l p P r o b l e m s t a t S u b j e c t s ' f a b l o c k " t o s u s t a t e m e n t t o o t h e r w o r d s , t o a k e y w o r i n s t l ‘ u C t i o n a a r e l a r g e l y m e S o f v e r T h e r e h S u b c l a s s o f m a t h e m a t i c a l s u c h W o r d s a . i n t e g e r , m e a : t h e y a p p e a r . t o s t u d e n t a . 3 6 v e r b a l p r o b l e m d i f f i c u l t y . M a y e r ( 1 9 8 2 ) a l s o r e v i e w e d s e v e r a l e l e m e n t a r y l e v e l r e s e a r c h s t u d i e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s ( G r e e n o , 1 9 7 8 a n d L o f t u s a n d S u p p e s , 1 9 7 2 ) , a l o n g w i t h t h e c o l l e g e l e v e l s t u d i e s o f C l e m e n t a n d L o c h h e a d a n d h i s o w n s t u d i e s w i t h a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . H e c o n c l u d e d t h a t r e l a t i o n a l i n f o r m a t i o n p r e s e n t e d w i t h i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s i s m o r e d i f f i c u l t t o r e p r e s e n t m e n t a l l y t h a n o t h e r f o r m s o f p r e s e n t e d i n f o r m a t i o n . R e l a t i o n a l p r o p o s i t i o n s , e i t h e r e x p l i c i t l y g i v e n i n p r o b l e m s t a t e m e n t s o r i m p l i c i t l y r e q u i r e d t o b e d r a w n f r o m s u b j e c t s ’ f a c t u a l k n o w l e d g e b a n k s t e n d e d t o b e a " r o a d b l o c k " t o s u b j e c t s ' a t t e m p t s t o m o v e f r o m a v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t t o a n i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n ( M a y e r , 1 9 8 2 ) . I n o t h e r w o r d s , i t m a y b e t h a t s t u d e n t s b e c o m e s o c o n d i t i o n e d t o a k e y w o r d s , d i r e c t t r a n s l a t i o n a p p r o a c h b e c a u s e o f i n s t r u c t i o n a l h i s t o r y a n d e x p e r i e n c e d s u c c e s s , t h a t t h e y a r e l a r g e l y u n a b l e t o a d j u s t t o m o r e c o m p l e x , r e l a t i o n a l f o r m s o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h e r e h a s b e e n l e s s r e s e a r c h r e l a t e d t o W e b b ' s s e c o n d s u b c l a s s o f s e m a n t i c c o n t e n t v a r i a b l e s , t e c h n i c a l m a t h e m a t i c a l v o c a b u l a r y . T h e m a t h e m a t i c a l m e a n i n g s o f s u c h w o r d s a s s u m , p r o d u c t , f u n c t i o n , r a t e o r s p e e d , i n t e g e r , m e a s u r e s s u c h a s d e g r e e s , a r e a a n d p e r i m e t e r a s t h e y a p p e a r i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s a r e o f t e n c r u c i a l t o s t u d e n t a t t e m p t s t o u n d e r s t a n d , v i s u a l i z e , a n d r e p r e s e n t p r o b l e m i n f o r m a t i o n . T h e r e i s g e n e r a l a g r e e m e n t t e n d s t o S e n t h a t r e a d i n g r e q u i r e s a 5 1 r e a d i n g o r d i l o n p r o b l e m ( 1 : s u g g e s t i o n t ] r e i n f o r c e m e m o b v i o u s . A v a i l a b j t y p e o f c o n t < c l a s s i f i c a t i : t h e i n v e s t i g a C a l c u l a t o r s , V e r b a l p r o b l < a n d a c a l c u l i a l l i n t e r v i m l e v e l g e n e r a l u s a g e w i t h i n C a l c u l a t O r s ( P a r t i C u l a r l y t h a t c a l c u l m g e n e r a t e d V e ] c o m P U t a t i O H S n u l l b e r s 0 r 5 . ] i n t e g e r s . T ] 3 7 t h a t r e a d i n g m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s o r v e r b a l p r o b l e m s r e q u i r e s a s p e c i a l a b i l i t y , a p a r t f r o m t h a t r e q u i r e d o f r e a d i n g o r d i n a r y p r o s e ( K a n e , 1 9 6 8 ) . T h e s i z e o f e f f e c t o n p r o b l e m d i f f i c u l t y i s n o t k n o w n h o w e v e r , a n d t h e s u g g e s t i o n t h a t i n s t r u c t i o n n e e d s t o i n c l u d e r e v i e w a n d r e i n f o r c e m e n t o f s u c h m a t h e m a t i c a l v o c a b u l a r y s e e m s o b v i o u s . A v a i l a b l e e q u i p m e n t v a r i a t i o n s a r e a l s o c o n s i d e r e d a t y p e o f c o n t e n t t a s k v a r i a b l e w i t h i n W e b b ’ s ( 1 9 8 4 ) c l a s s i f i c a t i o n . T h i s a r e a n e e d s a b r i e f d i s c u s s i o n s i n c e t h e i n v e s t i g a t o r w i l l p e r m i t s t u d e n t s t o u s e t h e i r o w n c a l c u l a t o r s , i f t h e y h a v e t h e m w i t h t h e m , o n t h e d e s i g n e d v e r b a l p r o b l e m i n s t r u m e n t s ( p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t ) , a n d a c a l c u l a t o r w i l l b e p r o v i d e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f o r a l l i n t e r v i e w e d s t u d e n t s . T e a c h e r s a t t h i s s e c o n d a r y l e v e l g e n e r a l l y h a v e s i m i l a r g u i d e l i n e s f o r c a l c u l a t o r u s a g e w i t h i n t h e i r c l a s s r o o m s , m e a n i n g i f s t u d e n t s h a v e c a l c u l a t o r s w i t h t h e m d u r i n g c l a s s t h e y c a n b e u s e d , p a r t i c u l a r l y o n c l a s s a s s i g n m e n t s . M o s t s t u d e n t s r e a l i z e t h a t c a l c u l a t o r s a r e n o t e s s e n t i a l f o r t h e s o l v i n g o f g e n e r a t e d v e r b a l p r o b l e m e q u a t i o n s , s i n c e t h e r e l a t e d c o m p u t a t i o n s a r e g e n e r a l l y s i m p l e o p e r a t i o n s w i t h w h o l e n u m b e r s o r i n t e g e r s a n d r e s u l t i n g s o l u t i o n s t e n d t o b e i n t e g e r s . T h e u s a g e o f c a l c u l a t o r s i n a l g e b r a c l a s s r o o m s t e n d s t o s e r v e a c o n f i d e n c e e n h a n c i n g f u n c t i o n f o r s t u d e n t s w i t h w e a k e r a r i t h m e t i c s k i l l s , a n d r e s e a r c h h a s a n d b e i n g e i t s h o w n t h a t s t u d e n t s ’ c ( R e y s , 1 9 8 0 p r o b a b l y n e s t u d e n t s n o c o n f i d e n c e . c a l c u l a t o r s p r o b l e m s e t ‘ A n a l t c a n a l y s i s i s e x c e p t t h e < p r o b l e m s t u c 1 9 7 7 a n d C a ] s e c o n d a r y s c C a l d w e l l a n d P r i m a r i l y o n r e f e r e n c e t o t h e s e S t u d i e r e q u i r i n g a 1 c o n s t I ‘ u c t e d . c o n v i n c e d t h e e q u i v a l e n t w ; S t h t U r e , a ! i n a s e t t h e ; o f t h e P r o b l E 3 8 s h o w n t h a t u s i n g a c a l c u l a t o r d o e s g e n e r a l l y i n c r e a s e s t u d e n t s ' c o n f i d e n c e i n t h e i r a b i l i t y t o s o l v e p r o b l e m s ( R e y s , 1 9 8 0 ) . S t u d e n t s r e g u l a r l y u s i n g c a l c u l a t o r s p r o b a b l y n e e d t h e p r o v i d e d c o n f i d e n c e b o o s t , w h i l e s t u d e n t s n o t u s i n g c a l c u l a t o r s a l r e a d y p o s s e s s s u f f i c i e n t c o n f i d e n c e . O t h e r a d v a n t a g e s g a i n e d f r o m u s i n g c a l c u l a t o r s s e e m l e s s r e l e v a n t t o t h e A l g e b r a I v e r b a l p r o b l e m s e t t i n g o f t h i s i n v e s t i g a t i o n . A n a l t e r n a t e m e t h o d o l o g y t o l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s i s t o a t t e m p t t o h o l d a l l t a s k v a r i a b l e s c o n s t a n t e x c e p t t h e o n e v a r i a b l e u n d e r s t u d y a s w a s d o n e i n v e r b a l p r o b l e m s t u d i e s o f e l e m e n t a r y s c h o o l s u b j e c t s ( C a l d w e l l , 1 9 7 7 a n d C a l d w e l l a n d G o l d i n , 1 9 7 9 ) a n d s t u d i e s o f s e c o n d a r y s c h o o l s u b j e c t s ( G o l d i n a n d C a l d w e l l , 1 9 8 4 a n d C a l d w e l l a n d G o l d i n , 1 9 8 7 ) . D i s c u s s i o n i s f o c u s e d p r i m a r i l y o n t h e s e c o n d a r y s c h o o l s t u d i e s , w i t h s o m e r e f e r e n c e t o t h e e l e m e n t a r y s c h o o l s t u d i e s . I n a l l o f t h e s e s t u d i e s , s e t s o f f o u r v e r b a l p r o b l e m s e a c h , s o m e r e q u i r i n g a l g e b r a t e c h n i q u e s f o r s o l u t i o n , w e r e c o n s t r u c t e d a n d t e s t e d u n t i l t h e r e s e a r c h e r s w e r e c o n v i n c e d t h a t t h e f o u r v e r b a l p r o b l e m s o f a s e t w e r e e q u i v a l e n t w i t h r e g a r d s t o s y n t a x , c o n t e n t , m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e , a n d c o n t e x t s e t t i n g . T h e f o u r v e r b a l p r o b l e m s i n a s e t t h e n w e r e v a r i e d o n l y o n t h e b a s i s o f t h e c o n t e x t o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t b e i n g e i t h e r a b s t r a c t o r c o n c r e t e a n d b e i n g e i t h e r h y p o t h e t i c a l o r f a c t u a l . T h e p r o c e s s o f e x p l a i n S t u d t h e f i n a l < i n v o l v e d e : e d u c a t o r s a c o n s u m i n g e T h e e : f o l l o w s : I o r s y m b o l i c w h e r e a s a c s i t u a t i o n c d i s t a n c e 0 : d e s c r i b e d a h Y P O t h e t i c a i n i t i a l S i t t h e i n i t i a l C o n s i d e r e d c o m P U t a t i O n . P a i r s , p a r a . ‘ P r O b l e m s ’ W e o n e o f t h e 1 b e i n c l u d e d C o n t l ‘ O l l e d c e x p e r i m e n t a l A n o t h e I i n c l u s i 0 n a t S t u d e n t P r o c 3 9 t h e f i n a l d e s i g n o f t h e s e s e t s w a s d o n e c a r e f u l l y a n d i n v o l v e d e x t e n s i v e o u t s i d e j u d g m e n t o f m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a n d t e a c h e r s , a n d r e q u i r e d a r a t h e r t i m e c o n s u m i n g e f f o r t b y t h e r e s e a r c h e r s . T h e e x p e r i m e n t a l c l a s s i f i c a t i o n s w e r e d e f i n e d a s f o l l o w s : A n a b s t r a c t p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e d a b s t r a c t o r s y m b o l i c o b j e c t s ( s u c h a s n u m b e r s o r p l a n e f i g u r e s ) , w h e r e a s a c o n c r e t e p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e d a r e a l s i t u a t i o n c o m p o s e d o f r e a l o b j e c t s o r p e o p l e ( s u c h a s d i s t a n c e o r a g e ) . A f a c t u a l p r o b l e m s t a t e m e n t m e r e l y d e s c r i b e d a s i t u a t i o n a l r e l a t i o n s h i p , w h e r e a s a h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e d n o t o n l y a n i n i t i a l s i t u a t i o n , b u t a l s o d e s c r i b e d a p o s s i b l e c h a n g e i n t h e i n i t i a l s i t u a t i o n , a n d b o t h s i t u a t i o n s n e e d e d t o b e c o n s i d e r e d i n s o l v i n g t h e v e r b a l p r o b l e m . A d d i t i o n a l l y c o m p u t a t i o n a l s k i l l t e s t s w e r e c o n s t r u c t e d i n w h i c h i t e m p a i r s , p a r a l l e l t o t h e s k i l l s n e e d e d t o s o l v e t h e v e r b a l p r o b l e m s , w e r e i n c l u d e d . A s t u d e n t h a d t o c o r r e c t l y s o l v e o n e o f t h e t w o c o m p u t a t i o n a l i t e m s o f a p a i r i n o r d e r t o b e i n c l u d e d i n t h e v e r b a l p r o b l e m a n a l y s i s , a n d h e n c e c o n t r o l l e d o r r e m o v e d c o m p u t a t i o n a l d i f f e r e n c e s a s a n e x p e r i m e n t a l v a r i a b l e ( C a l d w e l l a n d G o l d i n , 1 9 8 7 ) . A n o t h e r p o s i t i v e a s p e c t o f t h e s e s t u d i e s w a s t h e i n c l u s i o n a t t h e o u t s e t o f t h r e e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k s o f s t u d e n t p r o c e s s i n g . T h e s e f r a m e w o r k s w o u l d l a t e r s e r v e t o e x p l a i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s a n d p e r m i t c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e s t u d e n t s ) . p r e d i c t i o n s F i r s t , c o n c r e t e p r t h a n a b s t r a r e s p e c t i v e l d i f f i c u l t s c o n c r e t e f a a b s t r a c t f a . S e c o n d . S u g g e s t s A 1 ? 0 f i n t e r m e d ; d i f f i c u l t . P r o c e s s ( t r a c ( W h i t e r p r c a p p l y d i r e c t s o l u t h n s . U n d e r g o a d d l o r d e r t o r e f d e s c r i b e d i n O b j e c t s t h e m d i f f i c u l t t h S i m i l a r l y h } ? - c o m p l e x t r a m t h i s m o d e l . 4 0 b e t w e e n t h e t w o s t u d e n t s a m p l e s ( e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y s t u d e n t s ) . E a c h t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k a n d r e l a t e d p r e d i c t i o n s i s t h e r e f o r e r e v i e w e d . F i r s t , a s t r i c t l y d e v e l o p m e n t a l m o d e l s u g g e s t s t h a t c o n c r e t e p r o b l e m s a n d f a c t u a l p r o b l e m s a r e l e s s d i f f i c u l t t h a n a b s t r a c t p r o b l e m s a n d h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s r e s p e c t i v e l y . I n o t h e r w o r d s , a p r e d i c t e d e a s i e s t t o m o s t d i f f i c u l t s e q u e n c e o f p r o b l e m s f o r t h i s m o d e l w o u l d b e c o n c r e t e f a c t u a l ( C F ) , c o n c r e t e h y p o t h e t i c a l ( C H ) - a b s t r a c t f a c t u a l ( A F ) , a n d a b s t r a c t h y p o t h e t i c a l ( A H ) . S e c o n d l y , a d i r e c t t r a n s l a t i o n o r k e y w o r d s a p p r o a c h s u g g e s t s A F p r o b l e m s a s e a s i e s t , A H a n d C F p r o b l e m s t o b e o f i n t e r m e d i a t e d i f i c u l t y , a n d C H p r o b l e m s a s m o s t d i f f i c u l t . T h e s e p r e d i c t i o n s a r e b a s e d o n t h e t w o s t a g e p r o c e s s ( t r a n s l a t i o n a n d c o m p u t a t i o n ) i n c o r p o r a t e d w i t h i n c o m p u t e r p r o g a m s s u c h a s S T U D E N T ( B o b r o w , 1 9 6 8 ) , w h i c h a p p l y d i r e c t t r a n s l a t i o n t e c h n i q u e s i n t h e i r g e n e r a t e d s o l u t i o n s . S T U D E N T r e q u i r e s t h a t c o n c r e t e p r o b l e m s u n d e r g o a d d i t i o n a l s u b s t i t u t i o n s d u r i n g p r o c e s s i n g i n o r d e r t o r e f e r e n c e t h e n u m b e r o r q u a n t i t y o f o b j e c t s d e s c r i b e d i n a p r o b l e m s t a t e m e n t a s d i s t i n c t f r o m t h e o b j e c t s t h e m s e l v e s , a n d h e n c e c o n c r e t e p r o b l e m s a r e m o r e d i f f i c u l t t h a n a b s t r a c t p r o b l e m s f o r t h i s r e a s o n . S i m i l a r l y h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s r e q u i r e c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l e x t r a n s l a t i o n p r o c e d u r e s t h a n d o f a c t u a l p r o b l e m s i n t h i s m o d e l . T h e t h i n d i c a t e s t c o n s t r u c t i o r e p r e s e n t a t r e p r e s e n t a t e a s i e s t , C H A F a n d A H p G o l d i n , 1 9 8 S u b j e c t a k e n f r o m ‘ a n d o n e h i g ] d i s t r i c t . 1 i n c l u d e r e p ] e n r o l l m e n t s R e s u l t s C o n c r e t e p r c l e a s t d i f f i c a b s t r a c t f a c s u P p o r t f o l . r e S u i t s a t t S t u d e n t f a m i t e x t b o o k a n a ‘ 8 0 P e I ‘ C e n t 4 1 T h e t h i r d f r a m e w o r k , a n i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g m o d e l i n d i c a t e s t h a t a c r u c i a l s t a g e i n p r o b l e m s o l v i n g i n v o l v e s c o n s t r u c t i o n o f a " n o n v e r b a l " o r " i m a g i s t i c " i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m . T h i s n o n v e r b a l i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n m o d e l s u g g e s t s t h a t C F p r o b l e m s a r e t h e e a s i e s t , C H p r o b l e m s a r e o f i n t e r m e d i a t e d i f f i c u l t y , a n d A F a n d A H p r o b l e m s a r e t h e m o s t d i f f i c u l t ( C a l d w e l l a n d G o l d i n , 1 9 8 7 ) . S u b j e c t s f o r t h e C a l d w e l l a n d G o l d i n s t u d i e s w e r e t a k e n f r o m t h e s e v e n e l e m e n t a r y s c h o o l s , o n e j u n i o r h i g h , a n d o n e h i g h s c h o o l o f a s u r b u r b a n P h i l a d e l p h i a s c h o o l d i s t r i c t . C a r e w a s t a k e n i n t h e s e c o n d a r y s t u d i e s t o i n c l u d e r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e s o f m a t h e m a t i c s c o u r s e e n r o l l m e n t s w i t h i n t h e s c h o o l s . R e s u l t s f r o m t h e e l e m e n t a r y s t u d y i n d i c a t e d t h a t c o n c r e t e p r o b l e m s ( f a c t u a l a n d h y p o t h e t i c a l ) w e r e t h e l e a s t d i f f i c u l t , f o l l o w e d b y a b s t r a c t h y p o t h e t i c a l a n d a b s t r a c t f a c t u a l p r o b l e m s . T h e s e r e s u l t s l e n d e d g e n e r a l s u p p o r t f o r t h e d e v e l o p m e n t a l m o d e l f r a m e w o r k . T h e r e s u l t s a t t h i s l e v e l a r e a t l e a s t p a r t l y d u e t o g r e a t e r s t u d e n t f a m i l i a r i t y w i t h c o n c r e t e v e r b a l p r o b l e m s , a s a t e x t b o o k a n a l y s i s d o n e b y C a l d w e l l ( 1 9 7 7 ) r e v e a l e d t h a t 7 5 - 8 0 p e r c e n t o f t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s a r e c o n c r e t e f a c t u a l p r o b l e m s . S u c h a t e x t b o o k a n a l y s i s w a s n o t d o n e f o r t h e s e c o n d a r y s c h o o l s t u d y h o w e v e r . D a t a f r o m t h e s e c o n d a r y s c h o o l s t u d y b e s t f i t t h e b a S e d O n a n v e r b a l P r o b l p r e d i c t i o n w i t h s o m e a a s w e l l . I d i f f i c u l t y d i m i n i s h e d w i t h t h e d e i n d i c a t i o n i n v o l v e d . i n t e r a c t e d h y p o t h e t i c a c o n c r e t e f a P r o b l e m s w e f a c t u a l p r o j l e v e l s . T h 1 h Y P O t h e t i c a ; C O n c r e t e c m C o n c r e t e C 0 ] t h e d i S t i n c l d e s c r i b e d 8 1 ' T h e r e s e a r c h f o r i n s t r u c t I n S e v e a n d G o l d i n a d a t a a n a l Y S i 4 2 p r e d i c t i o n m a d e w i t h i n t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n s m o d e l , w i t h s o m e a d d i t i o n a l s u p p o r t f o r t h e d e v e l o p m e n t a l m o d e l a s w e l l . A b s t r a c t p r o b l e m s w e r e c o n s i s t e n t l y o f g r e a t e r d i f f i c u l t y t h a n c o n c r e t e p r o b l e m s , t h o u g h d i f f e r e n c e s d i m i n i s h e d w i t h i n c r e a s i n g g r a d e l e v e l w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e d e v e l o p m e n t a l m o d e l , a n d a l s o g a v e s o m e i n d i c a t i o n t h a t f o r m a l o p e r a t i o n a l t h i n k i n g ( P i a g e t ) w a s i n v o l v e d . T h e f a c t u a l - h y p o t h e t i c a l v a r i a b l e s t r o n g l y i n t e r a c t e d w i t h t h e c o n c r e t e - a b s t r a c t v a r i a b l e . C o n c r e t e h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s w e r e m u c h m o r e d i f f i c u l t t h a n c o n c r e t e f a c t u a l p r o b l e m s , a n d y e t a b s t r a c t h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s w e r e a c t u a l l y l e s s d i f f i c u l t t h a n a b s t r a c t f a c t u a l p r o b l e m s a t t h e e l e m e n t a r y a n d j u n i o r h i g h s t u d e n t l e v e l s . T h e g r e a t e r d i f f i c u l t y a s s o c i a t e d w i t h h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s o c c u r r e d a l m o s t e x c l u s i v e l y i n c o n c r e t e c o n t e x t s . A n o f f e r e d e x p l a n a t i o n w a s t h a t i n c o n c r e t e c o n t e x t s , s t u d e n t s f i n d i t d i f f i c u l t t o m a i n t a i n t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e d e s c r i b e d s i t u a t i o n a n d t h e h y p o t h e t i c a l c h a n g e s i t u a t i o n . T h e r e s e a r c h e r s c o n c l u d e t h a t t h e i r f i n d i n g s l e n d s u p p o r t f o r i n s t r u c t i o n a l m o d e l s o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e b a s e d o n a n i m a g i s t i c i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n m o d e l . I n s e v e r a l r e s p e c t s , t h e a b o v e s t u d i e s o f C a l d w e l l a n d G o l d i n a r e c e n t r a l t o t h i s s t u d y , p a r t i c u l a r l y t h e d a t a a n a l y s i s e m p l o y e d . T h e p r i m a r y c l a s s i f i c a t i o n o f t h e v e r b a l p r o b l e m s w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n i s b y " p r o b l e m i n s t r u c t i o h . t y p e " , w h i c C a l d w e l l a 1 f a c t u a l / b y ; t e x t b o o k s t t o " p r o b l e n t e x t b o o k ’ s e a s y f o r t h P r o b l e m i n s t h e m s e l v e s t h e r e f o r e 1 1 0 n t h e b a s i C a l d w e l l a n a n a d d i t i o n a P p l i e d t o - i n s t r u m e n t s b a s e d o n p m A t e x t ] i n v e s t i g a t i t c e r t " t i n p r o } r e s u l t i n b e f a m i l i a r o l a e a r l i e r e l e l t o f P r o b l e m s t h e o r e t i c “ p a t t e r n s I a n 4 3 t y p e " , w h i c h i s a c o n t e x t s e t t i n g v a r i a b l e s i m i l a r t o C a l d w e l l a n d G o l d i n ' s a b s t r a c t / c o n c r e t e a n d f a c t u a l / h y p o t h e t i c a l v a r i a b l e c l a s s i f i c a t i o n s . A l g e b r a t e x t b o o k s t e n d t o o r g a n i z e v e r b a l p r o b l e m s e t s a c c o r d i n g t o " p r o b l e m t y p e " a n d t e a c h e r s t e n d t o f o l l o w t h e t e x t b o o k ’ s s e q u e n c e w i t h i n t h e i r i n s t r u c t i o n , m a k i n g i t e a s y f o r t h e i n v e s t i g a t o r t o i d e n t i f y a n d c l a s s i f y v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a n d t h e a c t u a l v e r b a l p r o b l e m s t h e m s e l v e s u s i n g a " p r o b l e m t y p e " c l a s s i f i c a t i o n . I t i s t h e r e f o r e n a t u r a l t o i n i t i a l l y a n a l y z e s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e b a s i s o f t h e v a r i o u s p r o b l e m t y p e c l a s s i f i c a t i o n s . C a l d w e l l a n d G o l d i n ' s c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m t h e n p r o v i d e s a n a d d i t i o n a l m e t h o d o f a n a l y z i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e , a p p l i e d t o t h e v e r b a l p r o b l e m s w h i c h a p p e a r o n d e v e l o p e d i n s t r u m e n t s , a f t e r s u c h i n s t r u m e n t s h a v e b e e n d e s i g n e d b a s e d o n p r o b l e m t y p e s . A t e x t b o o k a n a l y s i s w i l l b e c o m p l e t e d w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n t o d e t e r m i n e i f g r e a t e r f a m i l i a r i t y w i t h c e r t a i n p r o b l e m t y p e s a n d t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s d o e s r e s u l t i n b e t t e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e s e m o r e f a m i l i a r c l a s s i f i c a t i o n s , a s w a s d o n e i n C a l d w e l l ’ s ( 1 9 7 7 ) e a r l i e r e l e m e n t a r y s t u d y . A d d i t i o n a l l y t h e i r t h r e e m o d e l s o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e p r o v i d e p r e d i c t i v e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k s f o r a n a l y z i n g c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e p a t t e r n s , a n d h o w t h e s e p a t t e r n s r e l a t e t o p r o v i d e d i n s t r u c t i o n . W h e r e a s t h e i r r e s u l t s c a n b e s a i d t o i m p l i c i t l y o f r e c e i v e c i n c l u d e s 3 1 T h e 8 1 ( L e s t e r , 1 5 s c h e m e f o r i s a p p r o p r i c a t e g o r i z a t 0 f t h e p r o } ; m a t h e m a t i c a s o l v i n g t h e S t r u c t u r e / c a r e f i x e d , V a r i e d p e r m S t u d e n t s t r 5 9 1 9 m m M a y e r ' P r o b l e m s s u ‘ O r d e r t o f u ; r e p r e s e n t a t : l i n g u i s t i c a t o s t r u c t u r e w h o l e w h i c h s t a t e m e n t t c M a y e r , S c h e n a P r o b l e l n S c 4 4 i m p l i c i t l y r e l a t e t o p r o v i d e d i n s t r u c t i o n ( n o o b s e r v a t i o n s o f r e c e i v e d i n s t r u c t i o n w a s d o n e ) , t h i s i n v e s t i g a t i o n i n c l u d e s s u c h o b s e r v a t i o n . T h e s t a f f o f t h e M a t h e m a t i c a l P r o b l e m S o l v i n g P r o j e c t ( L e s t e r , 1 9 7 8 ) d e v e l o p e d a t h e o r e t i c a l c a t e g o r i z a t i o n s c h e m e f o r p r o b l e m s a t a n i n t e r m e d i a t e g r a d e l e v e l w h i c h i s a p p r o p r i a t e i n c l o s i n g t h i s s e c t i o n ' s d i s c u s s i o n . T h e c a t e g o r i z a t i o n s c h e m e c o n s i s t e d o f 4 d i m e n s i o n s : s e t t i n g o f t h e p r o b l e m , s t r u c t u r e a n d m a t h e m a t i c a l c o m p l e x i t y , m a t h e m a t i c a l c o n t e n t , a n d a p p l i c a b l e s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n , t h e s t r u c t u r e / c o m p l e x i t y d i m e n s i o n a n d t h e c o n t e n t d i m e n s i o n a r e f i x e d , w h i l e t h e s e t t i n g o f t h e p r o b l e m d i m e n s i o n i s v a r i e d p e r m i t t i n g o b s e r v a t i o n o f t h e v a r i e d a p p l i c a t i o n o f s t u d e n t s t r a t e g i e s o n t h e b a s i s o f t h e v a r i e d s e t t i n g s . S c h e m a K n o w l e d g e M a y e r ’ s ( 1 9 8 2 ) m o d e l o f s t u d e n t p r o c e s s i n g o f v e r b a l p r o b l e m s s u g g e s t s t h a t r e s e a r c h r e s u l t s i n d i c a t e t h a t i n o r d e r t o f u l l y u n d e r s t a n d a p r o b l e m a n d c o n s t r u c t a r e p r e s e n t a t i o n o r p r o b l e m s p a c e r e q u i r e s m o r e t h a n j u s t l i n g u i s t i c a n d f a c t u a l k n o w l e d g e . S t u d e n t s a l s o n e e d w a y s t o s t r u c t u r e t h e r e t r i e v e d i n f o r m a t i o n i n t o a m e a n i n g f u l w h o l e w h i c h i s a c c o m p l i s h e d b y r e l a t i n g t h e g i v e n p r o b l e m s t a t e m e n t t o a f a m i l i a r p r o b l e m t y p e , o r s c h e m a . T o M a y e r , s c h e m a a n d p r o b l e m t y p e m e a n t h e s a m e t h i n g , w h e r e a p r o b l e m s c h e m a i s a g e n e r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r a c l a s s verbal p r o b l o f p r o b l e m : S i l v e r ( 1 9 1 w h i c h a s c ] c o m p l e x a n : w h i c h i s " 1 n u m e r o u s e ) s c h e m a r e l e r e l a t e d n e s s r e l a t e d n e s s i n a t t e m p t - , 1 P o l y a ' s ( 1 9 r e l a t e d p r o S c h e m a W i t h i n t e r p r e c a l l i n g 0 t e r m m e m o r y “ t e n p e r m r b a s e d o n d i : p m b a b l Y a c : m a d e i n t h e S i l V e r b e l i e 9 1 1 0 1 1 1 1 0 “ e x ! d i f f e r i n g p e w i t h i n t h e s F r O m a 4 5 o f p r o b l e m s ( t y p e s ) , s u c h a s " m o t i o n “ o r " c o i n " p r o b l e m s . S i l v e r ( 1 9 8 2 ) u s e s a b r o a d e r d e f i n i t i o n o f s c h e m a , i n w h i c h a s c h e m a " r e p r e s e n t s a p r o t o t y p i c a l a b s t r a c t i o n o f a c o m p l e x a n d f r e q u e n t l y e n c o u n t e r e d c o n c e p t o r p h e n o m e n o n " w h i c h i s " u s u a l l y d e r i v e d f r o m p a s t e x p e r i e n c e w i t h n u m e r o u s e x e m p l a r s o f t h i s c o n c e p t " . B o t h n o t i o n s o f s c h e m a r e l a t e t o t h e m o r e g e n e r a l i d e a o f p r o b l e m r e l a t e d n e s s . R e s e a r c h o n s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f p r o b l e m r e l a t e d n e s s w i t h i n l a b o r a t o r y s e t t i n g s h a s b e e n e x t e n s i v e i n a t t e m p t i n g t o u n d e r s t a n d h o w s t u d e n t s d e v e l O p a n d a p p l y P o l y a ' s ( 1 9 5 7 ) m o s t b a s i c o f h e u r i s t i c s , " t h i n k o f a r e l a t e d p r o b l e m " . S c h e m a t a h a v e b e e n s h o w n t o b e a s s o c i a t e d n o t o n l y w i t h i n t e r p r e t i n g a n d e n c o d i n g p r o c e s s e s , b u t a l s o t h e r e c a l l i n g o f p r e v i o u s l y p r o c e s s e d i n f o r m a t i o n f r o m l o n g t e r m . m e m o r y . I t h a s a l s o b e e n d e m o n s t r a t e d t h a t s c h e m a t a o f t e n p e r m i t m u l t i p l e i n t e r p r e t a t i o n s o f t e x t p a s s a g e s b a s e d o n d i f f e r i n g p o s s e s s e d s c h e m a t a , a n d t h a t s c h e m a t a p r o b a b l y a c c o u n t f o r t h e d i f f e r i n g n a t u r e o f i n f e r e n c e s m a d e i n t h e f a c e o f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n ( S i l v e r , 1 9 8 2 ) . S i l v e r b e l i e v e s t h a t a s c h e m a b a s e d t h e o r y c o n t a i n s e n o r m o u s e x p l a n a t o r y p o w e r w i t h r e g a r d s t o s t u d e n t s ' d i f f e r i n g p e r f o r m a n c e o n r o u t i n e t a s k s , p a r t i c u l a r l y w i t h i n t h e s o l u t i o n o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . F r o m a t a s k v a r i a b l e a n a l y s i s p e r s p e c t i v e , r o u t i n e v e r b a l p r o b l e m t y p i n g a n d r e l a t e d s t u d e n t p r o c e s s i n g I 0 n f t o g 1 2 r a o l l p s l g e b l a n a l y s i s h . b e h a v i o r c a w h i c h s c h e l p l a n d e v e l c i n d i v i d u a l t e r m s , c o n : w h i c h a u g m e u n s t a t e d g i P r o b l e m s t : a l g e b r a i c 1 b e l i e v e s t l t Y P e i n f o r n u n d e r s t a n d l s t a t e m e n t , t e a c h e r s : a i s a n a s s u m d u r i n g t h e ; a S s l l l l l p t i o n 1 a n d l e s s c a ] T h e f i : t h e o r } ! a n d 1 s t u d i e s o f f S u b j e C t s ( 1 4 t o C a t e g o r i 2 4 6 a n a l y s i s h a s l e a d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t m o s t s u c h b e h a v i o r c a n b e c a l l e d " s c h e m a d r i v e n i n f e r e n c i n g " , i n w h i c h s c h e m a o r p r o b l e m t y p e i n f o r m a t i o n d r i v e s s t u d e n t p l a n d e v e l o p m e n t a n d e x e c u t i o n p r o c e s s e s ( L u g e r , 1 9 8 4 ) . A n i n d i v i d u a l s c h e m a i s a r a t h e r b r o a d c o n s t r u c t i o n i n t h e s e t e r m s , c o n s i s t i n g o f i t s o w n u n i q u e s e m a n t i c i n f o r m a t i o n w h i c h a u g m e n t s t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w i t h a d d i t i o n a l u n s t a t e d g i v e n s s u c h a s i m p l i c i t r e l a t i o n s h i p s , a n d a l s o p r o b l e m s t r u c t u r e i n f o r m a t i o n r e l a t i n g t o t h e u n d e r l y i n g a l g e b r a i c r e l a t i o n s h i p s ( a s s o c i a t e d e q u a t i o n s ) . L u g e r b e l i e v e s t h a t t h e l a c k o f e x p l i c i t d i s c u s s i o n o f p r o b l e m t y p e i n f o r m a t i o n , w h i c h l e a d s t o i n a d e q u a t e a n d i n c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e m a n t i c c o n t e n t o f a v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t , i s a m a j o r s h o r t c o m i n g o f m a n y s e c o n d a r y t e a c h e r s ’ a n d t e x t b o o k s ' i n s t r u c t i o n . H e n o t e s t h a t t h e r e i s a n a s s u m p t i o n t h a t s e m a n t i c c o n t e n t w i l l b e " p i c k e d u p " d u r i n g t h e p r o c e s s o f s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a n a s s u m p t i o n w h i c h i s g e n e r a l l y f a l s e , e s p e c i a l l y f o r s l o w e r a n d l e s s c a p a b l e s t u d e n t s . T h e f i r s t e x p l i c i t r e s e a r c h l i n k b e t w e e n s c h e m a t h e o r y a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g w a s m a d e i n t h e s t u d i e s o f H i n s l e y , H a y e s , a n d S i m o n ( 1 9 7 7 ) . T h e i r s u b j e c t s ( 1 4 h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e s t u d e n t s ) w e r e a s k e d t o c a t e g o r i z e a s e r i e s o f s t a n d a r d a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s i n t o g r o u p s o f r e l a t e d p r o b l e m s , a n d a l s o t o s o l v e a s e t o f 1 2 a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , s o m e s t a n d a r d t y p e s ( 3 ) a n d r e c e i v e d i n : t h e r e s t m s t u d e n t s c a ” r i v e r t r a i p r o b l e m t y ] S e c o n d l y , a i n t o " t y p e : o r r e a d a l l T h i r d l y , s t e a c h p r o b l e f o c u s i n g a t s t a t e m e n t a i n s t a n c e s t 5 1 1 0 1 1 p r o b l e r e s e a r c h e r s s c h e m a t a f o t h e P o s s e s s o f i n f o m a t N e v e r t . i 1 1 1 P a c t f o r . ( 1 4 ) , a n d d . t h e S u b j e c t : J i l l l l e l m i g a t i < 4 7 t h e r e s t n o n s t a n d a r d t y p e s . T h e r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s c a t e g o r i z e p r o b l e m s i n t o " t y p e s " , s u c h a s " a g e " , " r i v e r t r a v e l " a n d " w o r k " p r o b l e m t y p e s , w i t h 1 8 d i s t i n c t p r o b l e m t y p e s n o t e d w i t h i n s t u d e n t c l a s s i f i c a t i o n s . S e c o n d l y , s t u d e n t s t e n d e d t o c l a s s i f y t h e v e r b a l p r o b l e m s i n t o " t y p e s " e v e n b e f o r e t h e y h a d c o m p l e t e l y a s s i m i l a t e d o r r e a d a l l t h e i n f o r m a t i o n o f p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h i r d l y , s t u d e n t s p o s s e s s e d a b o d y o f i n f o r m a t i o n a b o u t e a c h p r o b l e m t y p e w h i c h w a s p o t e n t i a l l y u s e f u l f o r f o c u s i n g a t t e n t i o n o n i m p o r t a n t a s p e c t s o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t a n d f o r m u l a t i n g p r o b l e m s ' s o l u t i o n s . I n m a n y i n s t a n c e s t h e r e w a s e v i d e n c e o f s t u d e n t s t o t a l l y u s i n g s u c h p r o b l e m t y p e i n f o r m a t i o n i n t h e i r s o l u t i o n s . T h e r e s e a r c h e r s c o n c l u d e d t h a t t h e i r s u b j e c t s d i d p o s s e s s s c h e m a t a f o r s t a n d a r d a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , a n d t h a t t h e p o s s e s s e d s c h e m a t a i n f l u e n c e d e n c o d i n g a n d r e t r i e v a l o f i n f o r m a t i o n d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g . N e v e r t h e l e s s , t h e s e s t u d i e s h a d l i m i t e d p r a c t i c a l i m p a c t f o r s e v e r a l r e a s o n s : t h e l i m i t e d n u m b e r o f s u b j e c t s ( 1 4 ) , a n d d i v e r s e g r a d e l e v e l s a n d h i g h e r a b i l i t y l e v e l o f t h e s u b j e c t s . I n a d d i t i o n a s r e l a t e d t o t h i s i n v e s t i g a t i o n , t h e s e t t i n g w a s l a b o r a t o r y , w i t h n e i t h e r r e c e i v e d i n s t r u c t i o n o r i n s t r u c t i o n a l h i s t o r y o f t h e s u b j e c t s r e c o r d e d o r n o t e d i n a n y w a y . I n a d i s s e r t a t i o n s t u d y , C h a r t o f f ( 1 9 7 7 ) i n v e s t i g a t e d 5 0 0 s t u d e n t s ' p e r c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m d o n e t o s u n s i m i l a r i t y g r a d e r s t o a l g e b r a v e ; w h i c h r a n g ! s i m i l a r . l r e c o g n i z e d a ) h o w t h e b ) c o n t e x t ] p r o b l e m o f p r o b l e m . f o u r d i m e n s d i m e n s i o n , c o m P a r i s o n v o r i a n c e i t t h e f o u r d i i n v e s t i g a t j d i f f e r e n c e s d i f f e r e n c e s m a t h e m a t i c a l i n d i c a t e d a h i s t o l ‘ Y o f K r u t e t a s e v e n Y e a : M m e “ t v p . m a t h e m a t i c a l ; 4 8 s i m i l a r i t y , w i t h s u b j e c t s r a n g i n g i n a g e f r o m s e v e n t h g r a d e r s t o c o l l e g e f r e s h m e n . S t u d e n t s r a t e d p a i r s o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s o n a c o n t i n u o u s s i m i l a r i t y s c a l e w h i c h r a n g e d f r o m e x t r e m e l y d i s s i m i l a r t o e x t r e m e l y s i m i l a r . H e c o n c l u d e d t h a t s t u d e n t s a t a l l g r a d e l e v e l s r e c o g n i z e d f o u r f u n d a m e n t a l p r o b l e m s i m i l a r i t y d i m e n s i o n s : a ) h o w t h e p r o b l e m s a r e s o l v e d ( m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e ) , b ) c o n t e x t u a l s e t t i n g , c ) c o m p a r i s o n w i t h a g e n e r i c p r o b l e m o f t h e s a m e t y p e , a n d d ) t h e q u e s t i o n p o s e d b y t h e p r o b l e m . I t i s n o t c l e a r w h e r e p r o b l e m t y p e f i t s i n t o h i s f o u r d i m e n s i o n s , m o s t l i k e l y w i t h i n t h e c o n t e x t u a l s e t t i n g d i m e n s i o n , o r p o s s i b l y w i t h i n t h e g e n e r i c p r o b l e m t y p e c o m p a r i s o n d i m e n s i o n . H i s r e s u l t s d i d i n d i c a t e a l a r g e v a r i a n c e i n t h e d e g r e e t o w h i c h i n d i v i d u a l s t u d e n t s u s e d t h e f o u r d i m e n s i o n s w i t h i n t h e i r j u d g m e n t s . H i s i n v e s t i g a t i o n s h e d l i t t l e l i g h t o n t h e i s s u e o f i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s , e x c e p t t o n o t e t h a t s u c h i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s e x i s t , a n d n e i t h e r e x a m i n e d s t u d e n t s ’ m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s t o s o l v e t h e v e r b a l p r o b l e m s n o r i n d i c a t e d a n y i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g t h e i n s t r u c t i o n a l h i s t o r y o f t h e s t u d y ’ s s u b j e c t s . K r u t e t s k i i ’ s ( 1 9 7 6 ) s e r i e s o f s t u d i e s , c o m p l e t e d o v e r a s e v e n y e a r s p a n , d e v e l o p e d p r o b l e m s e t s t h a t v a r i e d p r o b l e m t y p e w i t h i n a s e t w h i l e m a i n t a i n i n g c o m m o n m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e w i t h i n a s e t . T h i s v a r i a t i o n w a s d o n e t o s t u d y t h e a b i l i t y o f s t u d e n t s t o g e n e r a l i z e f r o m m a t h e m a t i C a : r e l a t e d e x v a r i o u s p r t h e c o n t e n v a r i e d w i t j " p r o b l e m t j s t u d e n t s t . p r o b l e m s w . o f a g r a s p S t r u c t u r e < t h e t y p e a 1 t h e y h a d s < t h e p r o b l e n r e c a l l e d 0 1 s t a t e m e n t c 9 0 0 d a n d p r P o r c e p t i o n s S t r u c t U r e f i l n P l i c a t i o n K I U t e t s k i i . d u e t o t h e a n a l Y S J ' . s o f a n d h i s f o C . O f t e n " g i f t : B u i l d i ] E l i a - “ l i n e d S t ] 4 9 r e l a t e d e x a m p l e s o r s t u d e n t s o l v e d p r o b l e m s a c r o s s t h e v a r i o u s p r e s e n t a t i o n s w i t h i n a p r o b l e m s e t . O f t e n t i m e s t h e c o n t e n t ( a r i t h m e t i c , a l g e b r a , g e o m e t r y ) w a s a l s o v a r i e d w i t h i n a p r o b l e m s e t , w h i c h e x p a n d s t h e n o t i o n o f " p r o b l e m t y p e " c o n s i d e r a b l y . H e f o u n d t h a t m o r e c a p a b l e s t u d e n t s t e n d e d t o r a p i d l y g e n e r a l i z e ( a n d c l a s s i f y ) t h e p r o b l e m s w i t h i n a s e t , b e f o r e s o l v i n g t h e m , o n t h e b a s i s o f a g r a s p o f t h e g e n e r a l f e a t u r e s o f t h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h e p r o b l e m s . M o r e c a p a b l e s t u d e n t s r e c a l l e d t h e t y p e a n d g e n e r a l c h a r a c t e r o f a p r o b l e m ' s o p e r a t i o n s t h e y h a d s o l v e d , b u t n o t t h e s p e c i f i c d a t a o r n u m b e r s i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . L e s s c a p a b l e s t u d e n t s g e n e r a l l y r e c a l l e d o n l y t h e s p e c i f i c d a t a o r n u m b e r s i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t o r s u r f a c e f e a t u r e s . H i s r e s e a r c h s u g g e s t s t h a t g o o d a n d p o o r p r o b l e m s o l v e r s d i f f e r c o n s i d e r a b l y i n t h e i r p e r c e p t i o n s o f i m p o r t a n t p r o b l e m e l e m e n t s ( s u r f a c e o r s t r u c t u r e f o c u s e d ) , a n d t h a t t h i s f o c u s d i f f e r e n c e h a s i m p l i c a t i o n s f o r v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y . K r u t e t s k i i ’ s s t u d i e s h a v e r e c e i v e d c r i t i c i s m i n t h e W e s t d u e t o t h e e m p l o y e d m e t h o d o l o g y b e i n g p r i m a r i l y t h e a n a l y s i s o f s u b j e c t p r o t o c o l s w i t h i n i n t e r v i e w s e t t i n g s , a n d h i s f o c u s o n s u b j e c t s w h o a r e h i g h l y c a p a b l e , a n d o f t e n " g i f t e d " m a t h e m a t i c s s t u d e n t s . B u i l d i n g o n K r u t e t s k i i ' s s t u d i e s , S i l v e r ( 1 9 7 9 ) e x a m i n e d s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f r e l a t e d n e s s a m o n g m a t h e m a t i c a l v e r b a l p r o b l e m s ( s o m e a l g e b r a t y p e s ) , a n d a l s o a t t e n v e r b a l , m a s t u d e n t p e w e r e 9 5 e i a c c e l e r a t e r e s e a r c h e r p r e a l g e b r a f o r m a l a l g I n t h e f i r . w h i c h c o n s . a l o n g t w o , c o n t e x t u a l 9 r 0 l 1 p s o f I t h e n e X p l a i f o u n d t h a t t w o a d d i t i c d e s i g n o f t a n U e l y d e f P r o b l e m s o n ° ° n t a i n e d i t i m e . H i s V a r i a t i o n s s e c o n d C a r d o f V e r b a l , 1 D e s p i t e 5 0 a l s o a t t e m p t e d t o r e l a t e s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t e s t s o f v e r b a l , m a t h e m a t i c a l , a n d p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y t o s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f p r o b l e m s i m i l a r i t y . H i s s u b j e c t s w e r e 9 5 e i g h t h g r a d e r s i n r e g u l a r ( a s o p p o s e d t o a c c e l e r a t e d ) e i g h t h g r a d e c l a s s r o o m s t a u g h t b y t h e r e s e a r c h e r h i m s e l f . T h e c u r r i c u l u m c o n s i s t e d o f s t a n d a r d p r e a l g e b r a c o n t e n t , a n d s t u d e n t s w e r e n o t e x p o s e d t o f o r m a l a l g e b r a i c t e c h n i q u e s f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . I n t h e f i r s t s t u d y , s u b j e c t s c o m p l e t e d a c a r d s o r t i n g t a s k w h i c h c o n s i s t e d o f 2 4 v e r b a l p r o b l e m s , w h i c h w e r e v a r i e d a l o n g t w o d i m e n s i o n s , m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e a n d c o n t e x t u a l d e t a i l s . S u b j e c t s w e r e i n s t r u c t e d t o f o r m g r o u p s o f " m a t h e m a t i c a l l y r e l a t e d " v e r b a l p r o b l e m s , a n d t h e n e x p l a i n t h e b a s i s f o r t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s . S i l v e r f o u n d t h a t s t u d e n t s c l a s s i f i e d t h e v e r b a l p r o b l e m s a l o n g t w o a d d i t i o n a l d i m e n s i o n s h e h a d n o t c o n s i d e r e d i n h i s d e s i g n o f t h e f i r s t s t u d y , t h o s e b e i n g q u e s t i o n f o r m ( v e r y v a g u e l y d e f i n e d ) a n d p s e u d o s t r u c t u r e , w h i c h r e l a t e d p r o b l e m s o n t h e b a s i s o f c o m m o n m e a s u r a b l e q u a n t i t i e s c o n t a i n e d i n p r o b l e m s t a t e m e n t s s u c h a s a g e , w e i g h t o r t i m e . H i s s e c o n d s t u d y e x p a n d e d t h e v e r b a l p r o b l e m v a r i a t i o n s t o i n c l u d e t h e s e t w o n e w d i m e n s i o n s a n d a s e c o n d c a r d s o r t i n g t a s k w a s d o n e . I n a d d i t i o n a b a t t e r y o f v e r b a l , m a t h e m a t i c a l , a n d p r o b l e m s o l v i n g t e s t s w a s a d m i n i s t e r e d . D e s p i t e t h e c o n t r a s t i n g n a t u r e o f s u b j e c t p o p u l a t i o n a g r e e w i t h i n d i c a t e d d o m i n a t e d a l s o f o u n d p e r f o r m a n c c l a s s i f i c a s t r u c t u r e p e r c e n t a g e t h e c o n t e x - r e l a t i o n s h s c o r e s f o r r e l a t e d n e s : b u t n o t u m l e a s t u s e d S i l v e l P S e l l d o S t - x u < P s e u d o ' s t r u , P r o b l e m 8 0 ] m a t h e m a t i c a P s e u d o s t r u c t h e s o l u t i c A 1 8 0 ! n e a r ] ( a f t e r P r o b t h a t 8 0 1 1 1 8 9 5 1 p o p u l a t i o n s , t h e r e s u l t s o f S i l v e r ' s s t u d i e s g e n e r a l l y a g r e e w i t h K r u t e t s k i i ' s r e s u l t s . S i l v e r ' s r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t t h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e d i m e n s i o n d o m i n a t e d s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n s o f p r o b l e m r e l a t e d n e s s . H e a l s o f o u n d a s t r o n g p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e v a r i o u s a b i l i t y m e a s u r e s a n d s t u d e n t c l a s s i f i c a t i o n p r e f e r e n c e s a l o n g t h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e d i m e n s i o n . A s m a l l e r , y e t s u b s t a n t i a l p e r c e n t a g e o f s t u d e n t s p r e f e r r e d t o r e l a t e p r o b l e m s a l o n g t h e c o n t e x t u a l d e t a i l d i m e n s i o n , a n d a n e g a t i v e r e l a t i o n s h i p w a s f o u n d b e t w e e n t h e v a r i o u s a b i l i t y m e a s u r e s c o r e s f o r t h i s g r o u p o f s t u d e n t s . S t u d e n t p r o b l e m r e l a t e d n e s s a l o n g t h e p s e u d o s t r u c t u r e d i m e n s i o n w a s s m a l l , b u t n o t u n c o m m o n , w h i l e s o r t i n g b y q u e s t i o n f o r m w a s t h e l e a s t u s e d s t u d e n t d i m e n s i o n . S i l v e r a l s o c o n d u c t e d t w o s t u d i e s r e l a t e d t o t h e p s e u d o s t r u c t u r e d i m e n s i o n . H e f o u n d t h a t p r e s o l u t i o n p s e u d o s t r u c t u r e s c o r e s c o r r e l a t e d s i g n i f i c a n t l y w i t h t h e p r o b l e m s o l v i n g m e a s u r e , b u t n o t w i t h t h e g e n e r a l m a t h e m a t i c a l a b i l i t y m e a s u r e s , s u g g e s t i n g t h a t p s e u d o s t r u c t u r a l r e l a t i o n s h i p s a r e q u i t e v i s i b l e b e f o r e t h e s o l u t i o n o f p r o b l e m s , e v e n t o b e t t e r p r o b l e m s o l v e r s . A l s o , n e a r l y e q u i v a l e n t n u m b e r s o f s u b j e c t s i n c r e a s e d a n d d e c r e a s e d t h e i r p s e u d o s t r u c t u r e s c o r e s o n t h e s e c o n d s o r t ( a f t e r p r o b l e m s o l u t i o n s c o m p l e t e d ) . T h i s d a t a s u g g e s t e d t h a t s o m e g o o d p r o b l e m s o l v e r s a b a n d o n e d t h e t h a t s t u d E I j p s e u d o s t r u w h i l e s o m e t h e i r n u m b s e c o n d s o r p r o b l e m r e S i l v e e a s i l y e x p e q u a t i o n s , n o t b e e n t s o l v e r s ' s o f a s u c c e t h a t m o r e m a t h e m a t i c . d e S p i t e t n t h e C o m m o n S i m i l a r i t y L a s t l : s c h e m e k n o l ( M a i l e r . 1 9 : f r o m 1 0 a l ( P r o b l e m t Y l t e m p l a t e h i e q u a t i o n f c t e m p l a t e s c t e m p l a t e s C 5 2 p s e u d o s t r u c t u r e d i m e n s i o n a f t e r s o l v i n g t h e p r o b l e m s , w h i l e s o m e l e s s c a p a b l e p r o b l e m s o l v e r s a c t u a l l y i n c r e a s e d t h e i r n u m b e r o f p s e u d o s t r u c t u r e c l a s s i f i c a t i o n s i n t h e s e c o n d s o r t , i n d i c a t i n g a s o m e w h a t d e v e l o p m e n t a l n a t u r e o f p r o b l e m r e l a t e d n e s s . S i l v e r a l s o n o t e d s e v e r a l o f h i s v e r b a l p r o b l e m s w e r e e a s i l y e x p r e s s i b l e i n t e r m s o f o n e o r t w o l i n e a r e q u a t i o n s , o r r e q u i r e d m e t h o d s i n w h i c h h i s s u b j e c t s h a d n o t b e e n t r a i n e d . E x a m i n a t i o n o f s u c c e s s f u l p r o b l e m s o l v e r s ' s o l u t i o n s o f t h e s e p r o b l e m s i n d i c a t e d t h e u s a g e o f a s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s t r a t e g y . T h u s i t a p p e a r e d t h a t m o r e c a p a b l e p r o b l e m s o l v e r s w e r e a b l e t o p e r c e i v e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r a l s i m i l a r i t i e s a m o n g p r o b l e m s , d e s p i t e t h e a b s e n c e o f t h e s o l u t i o n s t r a t e g y t h a t e m b o d i e d t h e c o m m o n s t r u c t u r e , t h a t b e i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s i m i l a r i t y . L a s t l y M a y e r ' s o w n w o r k h a s f o c u s e d o n t h e i s s u e o f s c h e m a k n o w l e d g e o r p r o b l e m t y p e s . I n a f i r s t s t u d y ( M a y e r , 1 9 8 1 ) , h e r e v i e w e d h u n d r e d s o f v e r b a l p r o b l e m s f r o m 1 0 a l g e b r a t e x t b o o k s . H e i d e n t i f i e d 1 0 0 d i f f e r e n t p r o b l e m t y p e s , o r w h a t h e c a l l e d t e m p l a t e s , w h e r e e a c h t e m p l a t e h a s i t s o w n d i s t i n c t i v e s o l u t i o n p r o c e d u r e o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . F o r e x a m p l e h e i d e n t i f i e d 1 0 t e m p l a t e s o r v e r s i o n s o f “ c u r r e n t " p r o b l e m t y p e a n d 1 3 t e m p l a t e s o f " m o t i o n " p r o b l e m t y p e . I t i s n o t e x p e c t e d t h a t s t u d e n t s w i l l o r g a n i z e a n d s t o r e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a s d u e t o t h e a p p e a r s t h s t o r a g e t o " p r o b l e m t u m b r e l l a 0 r e l a t e d a 1 o n e u n k n o w I n a s u b j e c t s r r e c a l l t h e n o t e d f r e q t Y P e a n d t . f o u n d t h a t t e x t b o o k s ( l e s s C o m m O I t h e C o r r e l a r e a c h e d . 8 5 S Y S t e m a t i C ‘ s t a t e m e n t v v e r s l 0 n o f t h e i r o w n v a l 1 1 1 0 s 1 ; e l l f r e q u e n c y V f o u n d i n t e e x p e r i m e n t s 5 3 c o n t e n t a s d i s t i n c t i v e t e m p l a t e s w i t h i n l o n g t e r m m e m o r y d u e t o t h e s h e e r n u m b e r ( 1 0 0 ) o f s u c h t e m p l a t e s . I t a p p e a r s t h a t a m o r e e f f i c i e n t a n d e c o n o m i c a l w a y f o r s u c h s t o r a g e t o o c c u r w o u l d b e t o g r o u p t e m p l a t e s i n t o i s o l a t e d " p r o b l e m t y p e s " , w h i c h i n t u r n a r e g r o u p e d u n d e r a l a r g e r u m b r e l l a o r n e t b a s e d o n c o m m o n m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o r r e l a t e d a l g e b r a i c e l e m e n t s , s u c h a s l i n e a r e q u a t i o n s i n o n e u n k n o w n . I n a c o m p a n i o n s e t o f e x p e r i m e n t s ( M a y e r , 1 9 8 2 ) , s u b j e c t s r e a d a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s a n d l a t e r t r i e d t o r e c a l l t h e i r c o n t e n t . I n t h e e a r l i e r s t u d y , M a y e r h a d n o t e d f r e q u e n c y n o r m s f o r t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s b o t h b y t y p e a n d t e m p l a t e , a n d w i t h i n h i s s u b s e q u e n t e x p e r i m e n t s f o u n d t h a t p r o b l e m t y p e s t h a t o c c u r r e d m o r e f r e q u e n t l y i n t e x t b o o k s w e r e m o r e l i k e l y t o b e r e c a l l e d c o r r e c t l y t h a n l e s s c o m m o n p r o b l e m t y p e s . I n s e v e r a l s u b j e c t a n a l y s e s t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n f r e q u e n c y a n d c o r r e c t r e c a l l r e a c h e d . 8 5 . A d d i t i o n a l l y e r r o r s i n r e c a l l w e r e s y s t e m a t i c , i n t h a t a l o w f r e q u e n c y v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t w a s c h a n g e d t o a m o r e f a m i l i a r , h i g h e r f r e q u e n c y v e r s i o n o f t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t . S t u d e n t s m a d e u p t h e i r o w n v e r b a l p r o b l e m s i n a n o t h e r e x p e r i m e n t , a n d a l m o s t a l l s u c h " c r e a t e d " p r o b l e m s r e s e m b l e d h i g h f r e q u e n c y v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s , s i m i l a r t o t h o s e f o u n d i n t e x t b o o k s . T h e c o m b i n e d r e s u l t s o f M a y e r ' s e x p e r i m e n t s s u g g e s t t h a t i f a v e r b a l p r o b l e m i s u n u s u a l o r i n v e s t i g a t e d o e s n o t c s c h e m a t a , s t u d e n t , t s t a t e m e n t w h i c h i n a s o l u t i o n , I n a i n v e s t i g a t i m p o s s i b l e a p p r o a c h e d S o m e s t u d e i n c o n s i s t e t r a n s l a t e d n o t e d o r d . t h i r d g r o u ] t h e P r o b l e l a n d S O l u t i < i n d i c a t i v e i s S i m i l a r P r O C e S S i n g r e m a r k a b l e a c r o s s t h e s e c o n d ’ e q t W h e r e a s t h e G P P I O a C h W e 5 4 d o e s n o t c o r r e s p o n d t o a n y o f a s t u d e n t ' s l e a r n e d s c h e m a t a , o r s u c h a s c h e m a i s n o t a c c e s s i b l e t o t h e s t u d e n t , t h e n a s t u d e n t m a y c h a n g e t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t t o f i t a m o r e f a m i l i a r v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t , w h i c h i n a l l l i k e l i h o o d w i l l l e a d t o a n e r r o n e o u s s o l u t i o n , o f w h i c h t h e s t u d e n t m a y b e t o t a l l y u n a w a r e . I n a s i m i l a r v e i n , P a i g e a n d S i m o n ( 1 9 6 6 ) i n v e s t i g a t e d s t u d e n t s ' " s o l u t i o n s " f o r a s m a l l s e t o f i m p o s s i b l e a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . T h e i r s u b j e c t s a p p r o a c h e d t h e s e v e r b a l p r o b l e m s i n t h r e e d i s t i n c t w a y s . S o m e s t u d e n t s , a l m o s t i m m e d i a t e l y , n o t e d t h e i n c o n s i s t e n c i e s i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , o t h e r s t u d e n t s t r a n s l a t e d t h e p r o b l e m i n t o e q u a t i o n s , a n d o n l y l a t e r n o t e d o r d i d n o t n o t e t h e i n c o n s i s t e n c y p r e s e n t , a n d a t h i r d g r o u p , a r a t h e r l a r g e p r o p o r t i o n , a c t u a l l y c h a n g e d t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i n o r d e r t h a t a r e a s o n a b l e e q u a t i o n a n d s o l u t i o n ( e r r o n e o u s ) r e s u l t e d . T h e t h i r d a p p r o a c h , i n d i c a t i v e o f a l a c k o f a v a i l a b l e a n d a c c e s s i b l e s c h e m a , i s s i m i l a r t o w h a t M a y e r f o u n d t o b e t r u e o f s t u d e n t p r o c e s s i n g i n s u c h c a s e s . P a i g e a n d S i m o n , n o t i n g a r e m a r k a b l e d e g r e e o f c o n s i s t e n c y o f s t u d e n t b e h a v i o r a c r o s s t h e p r o b l e m s o f t h e " i m p o s s i b l e " s e t , l a b e l e d t h e s e c o n d , e q u a t i o n t r a n s l a t i o n a p p r o a c h , a n a l y t i c t h i n k i n g , w h e r e a s t h e f i r s t , i m m e d i a t e i n c o n s i s t e n c y r e c o g n i t i o n a p p r o a c h w a s l a b e l e d g e o m e t r i c o r r e a l w o r l d t h i n k i n g . T h e i n v e s t i g a t o r p r e d i c t s t h a t m o s t A l g e b r a I s t u d e n t s o f t h i s s t u d : t h i n k i n g a o f a f u n c 1 w i l l r e c o g p r o b l e m . i m p o s s i b l e e r r o r w a s p o i n t o r ; e f f o r t . 1 . i n c l u d e d c t h e s e p r e d I n s u S c h e m a k n o S m N e s t s t C e n t r a l , c P r o b l e m s . n a t u r a l l y , i n s t r u c t - . 1 0 ; o f t h e r e v . f a i l t o 9 1 ‘ r e c e i v e d i 1 i n s t r u C t i o , W o u l d a P P e a P r o b l e m r e ] 5 5 t h i s s t u d y w i l l g e n e r a l l y u s e t h e s e c o n d , a n a l y t i c t h i n k i n g a n d e q u a t i o n t r a n s l a t i o n a p p r o a c h i n i t i a l l y , k i n d o f a f u n c t i o n a l f i x e d n e s s ( L u c h i n s , 1 9 4 2 ) , w h i l e o n l y a f e w w i l l r e c o g n i z e a n i n c o n s i s t e n c y i n a n i m p o s s i b l e v e r b a l p r o b l e m . W h e n t h i s a p p r o a c h r e s u l t s i n a r i d i c u l o u s o r i m p o s s i b l e a n s w e r , m o s t o f t h e s e s t u d e n t s w i l l b e l i e v e t h e e r r o r w a s i n t h e i r w o r k , a n d m o s t l i k e l y w i l l q u i t a t t h i s p o i n t o r p o s s i b l y a d a p t t h e t h i r d a p p r o a c h i n a r e t r i a l e f f o r t . A s m a n y a s t w o s u c h p r o b l e m s w e r e p l a n n e d t o b e i n c l u d e d o n t h e p o s t t e s t f o r m b y t h e i n v e s t i g a t o r t o t e s t t h e s e p r e d i c t i o n s . I n s u m m a r y , t h i s r e v i e w o f r e s e a r c h p e r t a i n i n g t o s c h e m a k n o w l e d g e o r p r o b l e m t y p i n g o f v e r b a l p r o b l e m s s u g g e s t s t h a t s u c h k n o w l e d g e i s a n i m p o r t a n t , a n d p o s s i b l y c e n t r a l , c o m p o n e n t i n s t u d e n t p r o c e s s i n g o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . S t u d e n t s g e n e r a l l y m a k e s u c h c l a s s i f i c a t i o n s n a t u r a l l y , a n d s e e m i n g l y i n d e p e n d e n t o f p r o v i d e d i n s t r u c t i o n , t h o u g h t h i s l a s t a s p e c t w a s n o t t e s t e d i n a n y o f t h e r e v i e w e d s t u d i e s . A l l t h e r e v i e w e d s t u d i e s a l s o f a i l t o g i v e a d e q u a t e a t t e n t i o n t o a d e s c r i p t i o n o f t h e r e c e i v e d i n s t r u c t i o n o f t h e i r s u b j e c t s , o r i n c l u d e e v e n a n i n s t r u c t i o n a l h i s t o r y p r o f i l e o f s u b j e c t s , y e t i n s t r u c t i o n w o u l d a p p e a r t o h a v e a n i m p a c t o n s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n s o f p r o b l e m r e l a t e d n e s s . " " “ — # W A l g o r i t h m W i t h . r e f e r s t o a l g e b r a i c e q u a t i o n s i s s u e i n 1 p r o c e d u r e s r e q u i r e d I a p p l i c a t i c w a s l o c a t e s e c t i o n i s N e w e r m a s t e r y o f h a v i n g S t u a P p l i c a t i g d e l i b e r a t e a f t e r r e l a a n a S S u m p t ° ° n c e n t r a t W h o l e C h a p e q u a t t i o n s : P r a c t i C e d ‘ P r a c t i C e 1 ‘ t o r e l a t e d t r u e t h a t l a s s u m p t i O n g 5 6 A l g o r i t h m i c K n o w l e d g e W i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n , a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e r e f e r s t o s t u d e n t a b i l i t i e s t o s o l v e e q u a t i o n s o r a p p l y a l g e b r a i c p r o c e d u r e s t o d e f i n e v a r i a b l e s o r t o f o r m u l a t e e q u a t i o n s w h i c h l e a d t o v e r b a l p r o b l e m a n s w e r s . T h e m a j o r i s s u e i n t h i s a r e a i s w h e t h e r m a s t e r y o f a l g e b r a i c p r o c e d u r e s a p p l i e d w i t h i n t h e e q u a t i o n s o l v i n g p r o c e s s i s r e q u i r e d b e f o r e s t u d e n t s a r e e x p o s e d t o v e r b a l p r o b l e m a p p l i c a t i o n s o f s u c h p r o c e d u r e s . S i n c e l i t t l e r e s e a r c h w a s l o c a t e d w h i c h d e a l t w i t h t h i s p a r t i c u l a r i s s u e , t h i s s e c t i o n i s b r i e f . N e w e r a l g e b r a t e x t b o o k s s e e m t o a s s u m e t h a t s u c h m a s t e r y o f a l g e b r a i c p r o c e d u r e s i s n o t r e q u i r e d b e f o r e h a v i n g s t u d e n t s u s e t h e s e p r o c e d u r e s i n v e r b a l p r o b l e m a p p l i c a t i o n s . W i t h i n t h e s e d e s i g n s , t h e s p a c e d a n d d e l i b e r a t e p l a c e m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s e t s i m m e d i a t e l y a f t e r r e l a t e d p r o c e d u r a l p r a c t i c e e x e r c i s e s i n d i c a t e s s u c h a n a s s u m p t i o n . O l d e r a l g e b r a t e x t b o o k s t e n d e d t o c o n c e n t r a t e t h e p l a c e m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s e t s i n t o w h o l e c h a p t e r s , a f t e r c h a p t e r s o f a l l r e q u i r e d p r o c e d u r a l e q u a t i o n s k i l l s w e r e c o m p l e t e d , a n d i n w h i c h s t u d e n t s p r a c t i c e d t h e s e s k i l l s e x t e n s i v e l y , b e l i e v i n g s u c h p r a c t i c e l e a d t o m a s t e r y a n d w a s r e q u i r e d b e f o r e e x p o s u r e t o r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m a p p l i c a t i o n s . I t i s p r o b a b l y t r u e t h a t n e i t h e r p o s i t i o n i s t o t a l l y c o r r e c t i n t h e i r a s s u m p t i o n s . I t i s a l s o a n a r e a w h e r e t e a c h e r d e c i s i o n s w i t h r e g a ; d e v i a t e f 1 t e a c h e r b < t e x t b o o k ' : I n e i t h e r t h i s i n v e : c o m e f o r t } t e x t b o o k s ‘ i n s t r u c t i c a b l e t o r e v a r i a t i o n s P I O b l e m s e I t i s a n J l l l l p o r t a P I O b l e m s ( s u c h k n o w l ° ° m P l e t e l y h a s O f t e n . m e c h a n i c a l r e l a t i V e e : 1 9 8 0 ) . S i ] n o t s u S t a i l E l l s o k n o w . a p p l y t h e m . 5 7 w i t h r e g a r d s t o c o n t e n t s e q u e n c e i s s o m e w h a t l i k e l y t o d e v i a t e f r o m t h a t p r o v i d e d b y t h e t e x t b o o k , d e p e n d i n g o n t e a c h e r b e l i e f s , a n d b a s e d o n e x p e r i e n c e w i t h t h e t e x t b o o k ’ s o r g a n i z a t i o n a n d p l a c e m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s . I n e i t h e r c a s e t h e i s s u e i s n o t r e s o l v e d , t h o u g h w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n s o m e d i r e c t i o n s a n d i m p l i c a t i o n s m a y c o m e f o r t h f r o m t h e d a t a . I f d i f f e r e n c e s b e t w e e n t e x t b o o k s ' p r e s e n t a t i o n a l s e q u e n c e s a n d t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n i s s u f f i c i e n t , t h e n t h e i n v e s t i g a t o r m a y b e a b l e t o r e l a t e d i f f e r i n g c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e t o v a r i a t i o n s i n t h e i n s t r u c t i o n a l o r g a n i z a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s e t s . I t i s g e n e r a l l y a g r e e d t h a t a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e i s a n i m p o r t a n t c o m p o n e n t s k i l l r e q u i r e d t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s ( M a y e r , 1 9 8 2 ) . A s i t r e l a t e s t o v e r b a l p r o b l e m s , s u c h k n o w l e d g e i s n e c e s s a r y t o " c a r r y o u t t h e p l a n " c o m p l e t e l y , P o l y a ' s t h i r d s t a g e . M a t h e m a t i c s i n s t r u c t i o n h a s o f t e n o v e r e m p h a s i z e d a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e o f t h e m e c h a n i c a l p r o c e d u r e s i n a l g e b r a a n d a r i t h m e t i c t o t h e r e l a t i v e e x c l u s i o n o f o t h e r f o r m s o f k n o w l e d g e ( S i m o n , 1 9 8 0 ) . S i m o n a r g u e s t h a t a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e a l o n e w i l l n o t s u s t a i n c r e a t i v e p r o b l e m s o l v i n g , a n d s t u d e n t s m u s t a l s o k n o w " w h e n " t o a p p l y o p e r a t o r s a s w e l l a s " h o w " t o a p p l y t h e m . I n a s e t o f s t u d i e s , i t w a s d e t e r m i n e d t h a t t w o d i s t i n c t p r o c e s s e s w e r e r e q u i r e d t o s o l v e l i n e a r e q u a t i o n s o f t h e t y ] L a r k i n , a 1 w e r e c a l l : p r o c e s s i 1 b o t h s i d e s v a r i a b l e , O n e m i g h t c a l l e d " t 1 c o m b i n i n g t h e e q u a t j " S i m p l i f i c d i s t r i b u t i t h e s e p r o c ( M a y e r , L a S h o w n t h a t a 1 9 0 r i t h m i E X P e C t t h i a l g e b r a i c c h a I ‘ a c t e r . L e w i s e x p e r t s a n : o p e r a t o r s , m O r e C O m p l ‘ i n t o a S i n ; s u c h e x p e m t h a n t h e 1 ‘ 1 5 8 o f t h e t y p e f o r m u l a t e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n ( M a y e r , L a r k i n , a n d K a d a n e , 1 9 8 0 ) . T h e t w o c l a s s e s o f p r o c e s s e s w e r e c a l l e d " m o v e " a n d " c o m p u t e " p r o c e s s e s . T h e " m o v e " p r o c e s s i n v o l v e s a p p l y i n g o n e o f t h e f o u r O p e r a t i o n s t o b o t h s i d e s o f a n e q u a t i o n u s i n g t h e s a m e n u m b e r o r v a r i a b l e , s u c h a s a d d i n g 1 1 t o b o t h s i d e s o f a n e q u a t i o n . O n e m i g h t r e c o g n i z e t h i s p r o c e s s a s w h a t w a s f o r m e r l y c a l l e d " t r a n s p o s i n g " . T h e " c o m p u t e " p r o c e s s i n v o l v e s c o m b i n i n g n u m b e r s o r v a r i a b l e s , b o t h o n t h e s a m e s i d e o f t h e e q u a t i o n , a n d m a y b e e x p a n d e d t o i n c l u d e o t h e r “ s i m p l i f i c a t i o n " p r o c e s s e s , s u c h a s m u l t i p l y i n g o u t d i s t r i b u t i v e e x p r e s s i o n s . T h e r e s e a r c h e r s f o u n d t h a t t h e s e p r o c e s s e s w e r e f a i r l y a u t o m a t i c f o r c o l l e g e s t u d e n t s ( M a y e r , L a r k i n , a n d K a d a n e , 1 9 8 0 ) . S i n c e r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t i t t y p i c a l l y t a k e s f r o m 2 t o 3 y e a r s f o r s c h o o l a l g o r i t h m i c p r o c e s s e s t o b e c o m e a u t o m a t i z e d , o n e w o u l d n o t e x p e c t t h i s i n v e s t i g a t i o n ’ s s t u d e n t s f i r s t e x p o s u r e t o a l g e b r a i c t e c h n i q u e s t o c o n t a i n s u c h a n a u t o m a t i c c h a r a c t e r . L e w i s ( 1 9 8 1 ) f o u n d s e v e r a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n e x p e r t s a n d n o v i c e s i n t h e i r a p p l i c a t i o n o f a l g e b r a i c O p e r a t o r s , m o s t n o t a b l y t h e t e n d e n c y o f e x p e r t s t o u s e m o r e c o m p l e x p r o c e d u r e s , a n d t o c o l l a p s e s e v e r a l p r o c e s s e s i n t o a s i n g l e s t e p o f w r i t t e n w o r k . I t i s e x p e c t e d t h a t s u c h e x p e r t p r o c e s s t e n d e n c i e s w i l l b e m o r e t h e e x c e p t i o n t h a n t h e r u l e f o r t h e s u b j e c t s o f t h i s s t u d y . M o s t s t u d e n t s 1 p r o c e s s a ‘ I n g 1 N a t i o n a l 1 1 7 y e a r o . ‘ p e r f o r m e d p e r f o r m a m i t e m s ( C m t h a t t h e s e r a t h e r t h e a r e f r o m c c o u r s e e x ; r e v i e w e d a o l d s W i t h a d m i t t e d l y m a t h e m a t i c 0 n t w r e q U i I e d t p r o b l e m s t a n d e q u a t i r e s p e c t i v e t h r e e r e l a a l g e b r a i c e q u a t i o n 8 ‘ P e r c e n t C 0 : 5 9 s t u d e n t s w i l l t e n d t o a p p l y a s i n g l e a l g e b r a i c o p e r a t o r o r p r o c e s s a t a t i m e i n t h e i r s o l v i n g o f e q u a t i o n s . I n g e n e r a l t h e a l g e b r a r e l a t e d r e s u l t s o f t h e S e c o n d N a t i o n a l A s s e s s m e n t o f E d u c a t i o n a l P r o g r e s s i n d i c a t e d t h a t 1 7 y e a r o l d s t u d e n t s w i t h o n e y e a r o f a l g e b r a b a c k g r o u n d p e r f o r m e d a b o u t 1 0 p e r c e n t a g e p o i n t s a b o v e t h e m e a n p e r f o r m a n c e f o r a l l 1 7 y e a r o l d s t a k i n g t h e t e s t o n a l l i t e m s ( C a r p e n t e r e t a l , 1 9 8 2 ) . I t m u s t b e k e p t i n m i n d t h a t t h e s e r e s u l t s m o r e l i k e l y m e a s u r e a l g e b r a i c r e t e n t i o n r a t h e r t h a n a c q u i s i t i o n s i n c e m o s t s u b j e c t s ( 1 7 y e a r o l d s ) a r e f r o m o n e t o t w o y e a r s r e m o v e d f r o m t h e i r A l g e b r a I c o u r s e e x p e r i e n c e . T h e f o c u s o f t h i s d i s c u s s i o n o f t h e r e v i e w e d a s s e s s m e n t r e s u l t s i s o n t h i s g r o u p o f 1 7 y e a r o l d s w i t h o n e y e a r o f a l g e b r a b a c k g r o u n d , t h o u g h a d m i t t e d l y t h i s g r o u p c o n t a i n s s o m e s t u d e n t s w i t h m o r e m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d . O n t w o r e v i e w e d e x e r c i s e s w h e r e s t u d e n t s w e r e r e q u i r e d t o w r i t e s i m p l e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s f r o m g i v e n p r o b l e m s t a t e m e n t s ( a s k i l l r e l a t e d t o v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n ) 7 3 p e r c e n t a n d 5 7 p e r c e n t r e s p e c t i v e l y o f t h i s g r o u p h a d c o r r e c t r e s p o n s e s . O n t h r e e r e l a t e d e x e r c i s e s w h i c h i n v o l v e d s i m p l i f y i n g a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s ( " c o m p u t e " p r o c e s s s k i l l r e l a t e d t o e q u a t i o n s o l v i n g ) r e s u l t s r a n g e d f r o m 4 6 p e r c e n t t o 8 2 p e r c e n t c o r r e c t r e s p o n s e s , w h e r e t h e e a s i e r t w o e x e r c i s e s i n v o l v e d a d d i t i o n o n l y , a n d t h e m o s t d i f f i c u l t e x e r c i s e i n v o l v e d ( 7 - 8 ( 3 s o l v i n g a r e v i e w e r s t h e e q u a t . T h e : s t a t e m e n t f o r m u l a t e 1 7 3 = x ) , f 0 r m u 1 a t e < s o l v e d t h j f r o m t w o 5 F o r a S t a r o n e w a s 6 } a n d t h e S t s o l u t i o n s . P a p e r s w e : f O l ' m u l a t i o P r O b l e m W e t h e f i r s t T h e a O n e C o n s i d . h a d a t d d i t i . m a n Y f i r s t e v i d e n t I a : a b O u t 2 0 p a 6 0 i n v o l v e d s u b t r a c t i o n w i t h i n a d i s t r i b u t i v e f r a m e w o r k ( 7 - 8 ( 3 - y ) ) . O n t h e o n e e x a m i n e d e x e r c i s e r e l a t e d t o s o l v i n g a l i n e a r e q u a t i o n ( c o n s i d e r e d " t y p i c a l " b y t h e r e v i e w e r s ) o n l y 4 5 p e r c e n t o f t h i s g r o u p c o r r e c t l y s o l v e d t h e e q u a t i o n . T h e r e v i e w e r s a l s o n o t e d a s i m p l e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t o f t h r e e s e n t e n c e s w h i c h a s k e d s t u d e n t s t o f o r m u l a t e a n a p p r o p r i a t e e q u a t i o n ( 1 7 3 + x = 2 4 1 o r 2 4 1 - 1 7 3 = x ) . O n l y 5 4 p e r c e n t o f t h i s g r o u p c o r r e c t l y f o r m u l a t e d t h e e q u a t i o n , w h e r e a s 8 6 p e r c e n t c o r r e c t l y s o l v e d t h i s s a m e e q u a t i o n o n a d i f f e r e n t e x e r c i s e . R e s u l t s f r o m t w o s t a n d a r d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s w e r e g i v e n . F o r a s t a n d a r d n u m b e r p r o b l e m , i n v o l v i n g t w o n u m b e r s w h e r e o n e w a s e x p l i c i t l y g i v e n a s t h r e e t i m e s t h e o t h e r n u m b e r a n d t h e s u m g i v e n , o n l y 3 8 p e r c e n t f o u n d c o r r e c t s o l u t i o n s . I t w a s n o t e d f o r t h i s e x e r c i s e t h a t m a n y p a p e r s w e r e l e f t i n c o m p l e t e d e s p i t e c o r r e c t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s b e i n g n o t e d . P e r f o r m a n c e o n a s t a n d a r d ” a g e " p r o b l e m w a s a b o u t h a l f ( 2 0 p e r c e n t c o r r e c t ) f o r t h a t o f t h e f i r s t v e r b a l p r o b l e m ( C a r p e n t e r e t a l , 1 9 8 2 ) . T h e a s s e s s m e n t r e s u l t s a r e n o t v e r y e n c o u r a g i n g w h e n o n e c o n s i d e r s t h a t a s m a n y a s h a l f o f t h i s g r o u p m a y h a v e h a d a d d i t i o n a l m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e . T h e m a s t e r y o f m a n y f i r s t y e a r a l g e b r a t o p i c s a n d p r o c e d u r e s w a s n o t e v i d e n t , a n d v e r b a l p r o b l e m a p p l i c a t i o n s p e r f o r m a n c e w a s a b o u t 2 0 p e r c e n t a g e p o i n t s l o w e r y e t . T h e a u t h o r s c o n c l u d e d a n d s t u d e b e t t e r t o u n t i l s t u a b s t r a c t A l g e b r a I c o u r s e i n m a y s u g g e . O p p o r t u n i ' s e c o n d p o : i n t h e h i ; r u n s c o u m S o v i e t U n : a n d 8 a r e t h o u g h t h e m a t h e m a t i c C a p a b i l i t ) I n S t i m p o r t a n c e s o l v e e q u a i s b e l i e v e e q u a t i o n 8 t e s t i n g i n r e l a t e d C o b e c a F a b l e 6 1 c o n c l u d e d t h a t i f p r e s e n t i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s c o n t i n u e a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e m a i n s s t a b l e , t h e n i t m a y b e b e t t e r t o p o s t p o n e a l g e b r a f r o m t h e t y p i c a l f r e s h m a n l e v e l u n t i l s t u d e n t s a r e m o r e r e a d y t o d e a l w i t h a l g e b r a ' s a b s t r a c t n a t u r e . A n o t h e r v i e w e x p r e s s e d w a s t h a t t h e A l g e b r a I c o u r s e m i g h t b e c o n s i d e r e d a r i t e - o f - p a s s a g e c o u r s e i n t o m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n w h e r e i t s f o u n d a t i o n m a y s u g g e s t m o r e r a p i d l e a r n i n g o f a l g e b r a a t t h e n e x t o p p o r t u n i t y ( A l g e b r a I I ) ( C a r p e n t e r e t a l , 1 9 8 2 ) . T h e s e c o n d p o s i t i o n w o u l d s u g g e s t r e q u i r i n g 2 y e a r s o f a l g e b r a i n t h e h i g h s c h o o l c u r r i c u l u m , w h i l e t h e f i r s t p o s i t i o n r u n s c o u n t e r t o S o v i e t c u r r i c u l u m p r a c t i c e s . I n t h e S o v i e t U n i o n , i t h a s b e e n s h o w n t h a t s t u d e n t s i n l e v e l s 7 a n d 8 a r e c a p a b l e o f m a s t e r i n g a l g e b r a ’ s a b s t r a c t i o n , t h o u g h t h e d i f f e r i n g n a t u r e o f b o t h s y s t e m s ' e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s p r o g r a m s m a y a c c o u n t f o r t h i s e a r l i e r c a p a b i l i t y . I n s u m m a r y , t h e i n v e s t i g a t o r i s a w a r e o f t h e i m p o r t a n c e o f a l g o r i t h m i c k n o w l e d g e a n d s t u d e n t a b i l i t y t o s o l v e e q u a t i o n s i n t h e t o t a l v e r b a l p r o b l e m p r o c e s s . I t i s b e l i e v e d t h a t a s h o r t m e a s u r i n g i n s t r u m e n t r e l a t e d t o e q u a t i o n s o l v i n g b e i n c l u d e d w i t h i n o n e o f t h e t w o m a j o r t e s t i n g i n s t r u m e n t s ( p o s t t e s t o r r e t e n t i o n t e s t ) . A r e l a t e d c o n c e r n h o w e v e r i s t h a t b o t h t e s t d e s i g n s h a v e t o b e c a p a b l e o f c o m p l e t i o n b y m o s t s t u d e n t s w i t h i n a 4 0 m i n u t e c l a s s t i m e f r a m e . B o t h c o n c e r n s a r e h a n d l e d i n a u n i q u e w a S t r a t e g i c T h i s i n v e s t i g a w i t h i n M a j k n o w l e d g e p l a n s f o r s i n c e h i s r e l a t e d t : t e c h n i q u e : T h i s n o t e a I l a l y s i s . a r e s t r a t e P r o c e d u r e : w e l l d e f i r a g e n e r a l j a l g o r i t h m S e q u e n c e c t e r m , " h e r h i n t s W h i c P r o b l e m s c d e f i n i t i o n h e u r i s t i c s u g g e s t i O n ( G o l d i n , 1 T h e p 6 2 u n i q u e w a y , a n d w i l l b e d e s c r i b e d i n C h a p t e r I I I . S t r a t e g i c K n o w l e d g e T h i s c a t e g o r y o f k n o w l e d g e i s b r o a d e n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r a s c o m p a r e d t o i t s f o r m u l a t i o n a n d d i s c u s s i o n ‘ w i t h i n M a y e r ' s ( 1 9 8 2 ) m o d e l . . M a y e r d e f i n e s s t r a t e g i c k n o w l e d g e a s v a r i e d t e c h n i q u e s w h i c h h e l p s t u d e n t s d e v e l o p p l a n s f o r - s o l u t i o n . T h e r e i s a n i n c o n s i s t e n c y h o w e v e r s i n c e h i s d i s c u s s i o n f o c u s e s m a i n l y o n s o l u t i o n s t r a t e g i e s r e l a t e d t o e q u a t i o n s , a r a t h e r m i n o r p a r t o f t h e c l a s s o f t e c h n i q u e s w h i c h h e l p s t u d e n t s p l a n a n d p r o c e s s p r o b l e m s . T h i s n o t e d i n c o n s i s t e n c y i s r e s o l v e d w i t h i n t a s k v a r i a b l e a n a l y s i s . T h e s o l u t i o n s t r a t e g i e s o f M a y e r ' s d i s c u s s i o n a r e s t r a t e g i e s i n a t a s k v a r i a b l e s e n s e , b e c a u s e t h e y a r e p r o c e d u r e s w h i c h n a r r o w t h e s e t o f p o s s i b l e m o v e s t o a w e l l d e f i n e d s u b s e t f o r c o n s i d e r a t i o n . A s t r a t e g y t h e n i s a g e n e r a l i z a t i o n o f a n a l g o r i t h m , d i f f e r i n g f r o m a n a l g o r i t h m i n t h a t i t d o e s n o t s i n g l e o u t a u n i q u e m o v e o r s e q u e n c e o f m o v e s a s a n a l g o r i t h m d o e s ( G o l d i n , 1 9 8 4 ) . T h e t e r m , " h e u r i s t i c s " i s r e s e r v e d f o r g e n e r a l p r o c e d u r e s o r h i n t s w h i c h h e l p d i s c o v e r y a n d p l a n d e v e l o p m e n t d u r i n g p r o b l e m s o l u t i o n ( K u L m , 1 9 8 4 ) , w h i c h i s s i m i l a r t o M a y e r ' s d e f i n i t i o n o f t h i s k n o w l e d g e c a t e g o r y . I n m a n y c a s e s , a h e u r i s t i c p r o c e s s o f t e n t i m e s p r e c e d e s a n d i n i t i a t e s b y s u g g e s t i o n a p a r t i c u l a r s o l u t i o n s t r a t e g y o r a l g o r i t h m ( G o l d i n , 1 9 8 4 ) . T h e p r i m a r y f o c u s o f t h i s s e c t i o n i s o n r e s e a r c h r e n e r d r e w h i c h h a s o f h e u r i s s t a t e m e n t p r o c e s s e s r e l a t e d t p r o c e s s e s r e l a t e d t o u t o f h e t h e e n d 0 A b e " d e v i c e " , " p a t h " ( I n m e t h o d s " . a n d j ~ 1 1 1 p r 0 j V e r b a l p r c S u g g e s t i o l s k i l l , s t ] V a r i a b l e s S t a g e s , p a " 1 ° ° k i n g t p “ “ 9 1 1 1 s t a f f e c t i n g V a r i o u s m e ( K u h n , 1 9 8 T h e c 6 3 w h i c h h a s i d e n t i f i e d a n d d e s c r i b e d t h e n a t u r a l e x i s t e n c e o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s i n h e r e n t w i t h i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s a n d w h i c h s u b j e c t s u s e , a n d t h e e f f e c t s s u c h p r o c e s s e s h a v e o n p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . R e s e a r c h r e l a t e d t o t h e i n s t r u c t i o n a l d e v e l o p m e n t o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s i s r e v i e w e d l a t e r i n t h i s c h a p t e r . I s s u e s r e l a t e d t o m e t a c o g n i t i o n a n d s u b j e c t b e l i e f s , w h i c h g r e w o u t o f h e u r i s t i c p r o c e s s r e s e a r c h i s b r i e f l y r e v i e w e d a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n . . A h e u r i s t i c h a s b e e n v a r i o u s l y d e s c r i b e d a s a " d e v i c e " , " t e c h n i q u e " , " r u l e o f t h u m b " ( K i l p a t r i c k , 1 9 6 7 ) , " p a t h " ( K a n t o w s k i , 1 9 7 5 ) , a n d " e f f i c i e n t m e a n s a n d m e t h o d s " ( P o l y a , 1 9 6 2 ) w h i c h a c t i v a t e m e n t a l p r o c e s s i n g a n d i m p r o v e s p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . W i t h r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m s , i n h e r e n t h e u r i s t i c s s e r v e a s h i n t s o r s u g g e s t i o n s w h i c h i n i t i a t e s t u d e n t a c t i v i t y , a t e i t h e r a s k i l l , s t r a t e g y , o r a l g o r i t h m l e v e l . H e u r i s t i c b e h a v i o r v a r i a b l e s a r e c o n j e c t u r e d t o a f f e c t a l l f o u r o f P o l y a ' s s t a g e s , p a r t i c u l a r l y t h o s e o f " d e v i s i n g a p l a n " a n d " l o o k i n g b a c k " . H e u r i s t i c p r o c e s s e s b r i d g e t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t a n d p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n , a s w e l l a s a f f e c t i n g t r a n s i t i o n s b e t w e e n p r o b l e m s t a t e m e n t s a n d v a r i o u s m e n t a l a n d p h y s i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d s o l u t i o n s ( K u l m , 1 9 8 4 ) . T h e c o n c e p t o f h e u r i s t i c r e a s o n i n g h a s r e c e i v e d r e n e w e d r e s e a r c h i n t e r e s t s i n c e P o l y a ' s ( 1 9 5 7 ) p r O C e s S e s I r e i n t r o d u " i n f a n c y " o f t h i s d c l a s s i f i c t h e i n v e s c l a s s i f i c c o n t e n t . L e s t . c a t e g o r i e ; S p e c i f i c 1 g e n e r a l h . 0 f t a s k s ) d i S j o i n t , P r o c e s s r e A n 1 ! i n c o r p o r a j h e u r i s t i c s d G V e l o p e d t h r e e f a c e a n d t a s k s i s i t s b r c I n h i S c h O e n f e l d 6 4 r e i n t r o d u c t i o n o f t h e c o n c e p t , y e t i t r e m a i n s i n a n " i n f a n c y " s t a g e o f d e v e l o p m e n t ( M c C l i n t o c k , 1 9 8 4 ) . P a r t o f t h i s d i f f i c u l t y r e l a t e s t o t h e d e s c r i p t i o n a n d c l a s s i f i c a t i o n o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s . A n i n i t i a l t a s k o f t h e i n v e s t i g a t o r w a s t o b l e n d t h r e e l o c a t e d c l a s s i f i c a t i o n s w h i c h a l l r e l a t e t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . L e s t e r ( 1 9 8 0 ) c l a s s i f i e d h e u r i s t i c s i n t o t h r e e c a t e g o r i e s , s p e c i f i c t o o l s k i l l s ( p h y s i c a l a c t i o n s ) , t a s k S p e c i f i c h e u r i s t i c s ( a d v i c e t h a t i s p r o b l e m s p e c i f i c ) , a n d g e n e r a l h e u r i s t i c s ( a d v i c e a p p l i c a b l e t o a b r o a d e r r a n g e o f t a s k s ) . T h e t h r e e c l a s s e s a r e r a t h e r d i s t i n c t a n d d i s j o i n t , w h i c h h a s a d v a n t a g e s f o r t h e r e v i e w o f h e u r i s t i c p r o c e s s r e s e a r c h . A n i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g p e r s p e c t i v e w h i c h i n c o r p o r a t e d b o t h g e n e r a l h e u r i s t i c s a n d t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s w a s t h e " G e n e r a l P r o b l e m S o l v e r " ( G P S ) d e v e l o p e d b y N e w e l l , S h a w , a n d S i m o n ( 1 9 6 3 ) w h i c h h a d t h r e e f a c e t s ; p l a n n i n g h e u r i s t i c s , m e a n s - e n d s a n a l y s i s , a n d t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s . T h e a d v a n t a g e o f t h i s m o d e l i s i t s b r o a d c o v e r a g e o f t h e a r e a . I n h i s d i s c u s s i o n o f h e u r i s t i c p r o c e s s i n s t r u c t i o n , S c h o e n f e l d ( 1 9 8 4 ) i d e n t i f i e d t w o c l a s s e s o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s , " c u e d " h e u r i s t i c s a n d " s t a g e " h e u r i s t i c s . S u b j e c t a p p r o a c h e s t o p r o b l e m s o r c l a s s e s o f p r o b l e m s i n S t a g e s a n d w h i c h t h e p r o c e s s e s s u c h c u e i c o n s i s t e n p a r t i c u l a a n d t h e s e ( S c h o e n f e c l a s s i f i c s o l v i n g m i n v e s t i g a s t u d e n t h f o u r s t a g . A n a ' t h e t h r e e t h e o r y f 0 : v e r b a l p r < a n a l y s i s , r e p l a c e m e ] a n d w a s 1 1 I I I O V e m e n t 1 S t a t e s , w } s t a t e . p c a n d r e c o n n a n d ‘ 1 S i m i K a n t o w s k i 6 5 w h i c h t h e s u b j e c t i s c u e d t o t h e p a t t e r n e d u s e o f s p e c i f i c p r o c e s s e s a r e c a l l e d " c u e d " h e u r i S t i c s . I n t h e a b s e n c e o f s u c h c u e i n g , h e u r i s t i c p r o c e s s e s o f t e n c l u s t e r c o n s i s t e n t l y i n t o g r o u p s w h i c h a r e u s u a l l y a p p l i e d a t p a r t i c u l a r s t a g e s ( i n P o l y a ’ s s e n s e ) o f p r o b l e m s o l u t i o n s , a n d t h e s e c l u s t e r s a r e c a l l e d " s t a g e " h e u r i s t i c p r o c e s s e s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 4 ) . T h e p r i m a r y a d v a n t a g e o f S c h o e n f e l d ' s c l a s s i f i c a t i o n i s t h a t i t r e l a t e s t o P o l y a ' s p r o b l e m s o l v i n g m o d e l , w h i c h h a s b e e n c e n t r a l t o t h i s i n v e s t i g a t i o n ' s d e v e l o p m e n t , a n d a l s o s e r v e s t o e x p l a i n s t u d e n t h e u r i s t i c b e h a v i o r a n d p e r f o r m a n c e w i t h i n P o l y a ' s f o u r s t a g e s . A n a t t e m p t i s n o w m a d e t o i n t e g r a t e a n d i n t e r r e l a t e t h e t h r e e c l a s s i f i c a t i o n s i n o r d e r t o f o r m u l a t e a c o h e r e n t t h e o r y f o r h o w h e u r i s t i c p r o c e s s e s i n f l u e n c e a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m p r o c e s s i n g a n d p e r f o r m a n c e . B y m e a n s - e n d s a n a l y s i s , N e w e l l , S h a w , a n d S i m o n ( 1 9 6 3 ) m e a n t t h e r e p l a c e m e n t o f a g o a l b y a s e q u e n c e o f e a s i e r s u b g o a l s , a n d w a s i n d i c a t e d b y a s o m e w h a t g e n e r a l a n d p l a n n e d m o v e m e n t f r o m t h e i n i t i a l s i t u a t i o n t h r o u g h i n t e r m e d i a t e s t a t e s , w h i c h a r e g r a d u a l l y c l o s e r t o t h e f i n a l g o a l s t a t e . P o l y a ( 1 9 5 7 ) i d e n t i f i e s t h e i d e a o f d e c o m p o s i n g a n d r e c o m b i n i n g a s a g e n e r a l s t r a t e g y i n t h i s a p p r o a c h , a n d a s i m i l a r p a t t e r n o f a n a l y s i s / s y n t h e s i s w a s n o t e d b y K a n t o w s k i ( 1 9 7 7 ) . I n s u c h a f r a m e w o r k , P o l y a ' s f o u r s t a g e s a n d t h e i r c o m p l e t i o n a r e a n a l o g o u s t o s u b g o a l s l e a d i n g ‘ f o r m e a n : P l a J a r e c o n c e a l l o w f 0 : a b s t r a c t d e t a i l e d s t a g e s 0 1 e a c h r e q t " s t a g e " t f o r m a n d g e n e r a l h i n v e s t i g a h i n t s a p p h e u r i s t i c t 0 S c h o e n i s o l a t e d a c t i v a t e . 1 9 8 0 ) I s u . d e f i n i n g . t h e S X t e r : r e d s O l l i n g T o a < t w o f i g u r e d r a w n f r o m s c h e m a t i c 6 6 l e a d i n g t o a s o l u t i o n , a n d s e r v e a s a g u i d i n g f r a m e w o r k f o r m e a n s - e n d s a n a l y s i s o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . P l a n n i n g h e u r i s t i c s ( N e w e l l , S h a w , a n d S i m o n , 1 9 6 3 ) a r e c o n c e p t u a l i z e d a s s y s t e m s o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s w h i c h a l l o w f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f a p o t e n t i a l s o l u t i o n i n a n a b s t r a c t f o r m , p r i o r t o c a r r y i n g o u t t h e c o n c r e t e , d e t a i l e d s o l u t i o n a c t i o n s . I f o n e c o n s i d e r s t h e f o u r s t a g e s o f P o l y a ' s m o d e l a s s u b g o a l s , a s w a s d o n e a b o v e , e a c h r e q u i r i n g r e s o l u t i o n , t h e n p l a n n i n g h e u r i s t i c s a n d " s t a g e " h e u r i s t i c p r o c e s s e s b e a r c l o s e r e s e m b l a n c e b o t h i n f o r m a n d a p p l i c a t i o n . I t i s l e s s c l e a r w h e r e L e s t e r ' s g e n e r a l h e u r i s t i c s f i t i n t h i s f o r m u l a t i o n , t h o u g h t h e i n v e s t i g a t o r c o n s i d e r s b o t h P o l y a ' s m o d e l a n d g e n e r a l h i n t s a p p l i c a b l e f o r a l l v e r b a l p r o b l e m t y p e s a s g e n e r a l h e u r i s t i c s . L a s t l y t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s a r e s i m i l a r t o S c h o e n f e l d ' s ( 1 9 8 4 ) " c u e d " h e u r i s t i c s , i n t h a t t h e y a r e i s o l a t e d u n i t s a n d v e r b a l p r o b l e m s p e c i f i c h i n t s w h i c h a c t i v a t e v a r i o u s f o r m s o f s p e c i f i c t o o l s k i l l s ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) , s u c h a s m a k i n g t a b l e s , d r a w i n g d i a g r a m s , o r d e f i n i n g v a r i a b l e s . I n o t h e r w o r d s , t h e t o o l s k i l l s a r e t h e e x t e r n a l s u b j e c t a c t i o n s r e s u l t i n g f r o m h e u r i s t i c r e a s o n i n g . T o a d d i t i o n a l l y s u p p o r t t h i s t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k , t w o f i g u r e s , F i g u r e 2 . 1 a n d F i g u r e 2 . 2 a r e i n c l u d e d b o t h d r a w n f r o m S c h o e n f e l d ’ s w o r k . F i g u r e 2 . 1 i s a c o p y o f h i s s c h e m a t i c o v e r v i e w o f t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s ( S c h o e n f i n d i c a t e p r o c e s s e m o d e l . ' i n d i c a t e p r o d u c t 4 s t u d e n t 4 m o d e l i n S c h o e n f e l s t u d e n t 1 n e x t s e c 1 6 7 ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 4 , p . 4 4 7 ) , w h i c h u s e s a f l o w c h a r t t o i n d i c a t e t h e d y n a m i c n a t u r e o f t h e " s t a g e " h e u r i s t i c p r o c e s s e s , a n d t h e i r r e l a t i o n w i t h i n P o l y a ’ s 4 s t a g e m o d e l . T h e c i r c l e s r e p r e s e n t i n g v a r i o u s s o l u t i o n f o r m s i n d i c a t e t h e s u b g o a l n a t u r e o f e a c h s t a g e , a n d a l s o t h e p r o d u c t o r e x t e r n a l n a t u r e o f e a c h s t a g e ' s c o m p l e t i o n . T h e s t u d e n t a c t i o n s i n d i c a t e d w i t h i n e a c h s t a g e o f P o l y a ’ s m o d e l i n T a b l e 1 . 1 r e l a t e t o t h e s e p r o d u c t c i r c l e s o f S c h o e n f e l d ' s m o d e l . H i s o v e r v i e w a n d d i s c u s s i o n o f s t u d e n t p r o b l e m p r o c e s s i n g i s d i s c u s s e d m o r e f u l l y i n t h e n e x t s e c t i o n r e l a t e d t o i n s t r u c t i o n . U m S i : R e l U t e A c c e s s a n d t n l i e : S c h e T e n t s s P e c : G e n e ! V e r i f i E ; ( : i l € E n U S R n i e m d f e p o r l m t f s i u A a y N n i A d n L i g Y n S g t I h l a c i n g t S t e h e h P e S r o t P t a b r e l o n e b : m l c < V c O : f c “ A s r 6 c g a ‘ a 0 é f l “ e I f O 6 2 3 C i v c n P r o b l e m l V ' — U s c f u l F o r m u l a t i o n : A c c e s s t o P r i n c i p l e s a n d H c c h a n i l n s N e w I n f o r m a t i o n E X P L O R A I I O N . M i n o r - ; 3 3 1 3 1 5 0 1 5 3 5 ; p 5 5 1 “ F A L L — ' 2 2 . S t r u c t u r i n g t h e A r g u m e n t I ” £ 1 9 : - H i e r a r c h i c a l - D e c o m p o s i t i o n D i f f i c u l t i e s ’ g l o b a l g g o s p e c i f i c ' E s a e n t i a l l E q u i v a - l e n t P r o l e n s S l i g h t l y fl o d i f i c d P r o b l e m s B r o a d l y M o d i f i e d P r o b l e m s S c h e m a t i c S o l u t i o a O l I n a t a m m o w S t e p - b y - S t e p E x e c u t i o n L o c a l V e r i f i c a t i o n v r g r g r c a r r o n S p e c i f i c T e s t s G e n e r a l T e a r s T e n t a t i v e S o l u t i o n é V e r i f i e d S o l u t i o n F i g u r e . 2 . . l U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m D e v i s i n g A P l a n C a r r y i n g O u ' t h e P l a n L o o k i B a c z g S c h e m a t i c O v e r v i e w o f t h e P r o b l e m S o l v i n g P r o c e s s F i g ( 1 9 7 6 ) h : ( 1 9 8 4 , p i s e x p a n . c l a s s i f i u s e f u l f 4 s o l u t i o n a t w h i c h s u b j e c t 1 r e l a t e d 1 6 9 F i g u r e 2 . 2 r e p r e s e n t s a m o d i f i c a t i o n o f S c h o e n f e l d ’ s ( 1 9 7 6 ) h e u r i s t i c p r o b l e m s o l v i n g m o d e l d o n e b y L u c a s e t a l ( 1 9 8 4 , p . 3 5 7 ) . T h e n u m b e r o f p r o c e s s e s w i t h i n e a c h s t a g e i s e x p a n d e d a n d m a d e m o r e s p e c i f i c , w h i l e t h e s t a g e c l a s s i f i c a t i o n s a r e n e a r l y i d e n t i c a l . T h e f o u r o v a l s , u s e f u l f o r m u l a t i o n , s c h e m a t i c s o l u t i o n , t e n t a t i v e s o l u t i o n , a n d v e r i f i e d s o l u t i o n s u g g e s t t h e v a r i o u s p o i n t s a t w h i c h p r o b l e m s o l v i n g c a n b e m e a s u r e d , p a r t i c u l a r l y s u b j e c t w r i t t e n w o r k e x e m p l i f y i n g s p e c i f i c t o o l s k i l l s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n ( L u c a s e t a 1 , 1 9 8 4 ) . A N A L Y S ( G E N E - I R A T E I D E A S f c r a p p a a r t i o k r u o r p m c l p b h o a x a a u i t l m e t a F o r m u l c s f k e o a i t w r t m c e a o e e i n r a n ; v t o ; p G i d d a r a i a u t t a s V t e i i b u o t s o o l b r e s n ) n s e ’ r n a p k r ; s o f n b e ( d F l r I o e v n t c m a d e u s r u s s d c t t o i n o n o ) n e » A N A L O G . f Y . ‘ ‘ ( E X S S T r . x . a a t a R G r e e e r p I i e e e e l a n n a O M h h o f c r e e r r P S r r h n f f t d n p e n L I c c e s e o e u e r m d R I r o E L f f ; l e t r n a u e r e a s n p e m s . - . C A E R E O b N p l S r e E i A t e ; I e c m c d I d a o i C R S r a E I e p A T l p T U a l ; o A o m n R r r s l x M o o n p R r e o l b a i n s o c t i z t b e i t e a l s o a ; t e n b i a t l o e ; p s n f A d y u r u i b o g i x r o C a A ) o L b L l e m s n s ; t i i l o i l s I m a L Y S I @ S e D N S A S e b e p e - M a n I E E L E H E N E { V E R I F I C A T I A O T N ( w o R I e n f v i e n n e t s r o e l l A d a p r u a t I O N ( C A R R Y n O U C B ; p A r P L A N ) T K ) S o e b a l r e c m h ; f " e W r h a e t m s t t i e o d e d H e u r i s t i _ _ a e i g f n . c . e . I " P r o b l e l c . m , & r i f i e d S o l u t i o n 9 S o l v i n g M o d e l P ’ — 7 0 1 ’ @ v e n P r o b l e m 9 1 U n d e r s t a n d p r o b l e m S e p a r a t e ; s u m m a r i z e i n f b r m a t i o n C l a s s i f y p r o b l e m S i m p l i f y p r o b l e m R e f b r m u l a t e p r o b l e m R e s t a t e ; c h u n k M o d e l p r o b l e m ; C h a n g e r e p r e s e n t a t i o n F i g u r a t i v e , s c h e m a t i c , a l g e b r a i c c f ‘ i ’ 1 < / " ' ‘ i G e h e m a t i c S o l u t i o n ; I D E S I G N ( P L A N ) E x p l o i t s y m m e t r y A D e v e l o p s t e p w i s e V e r i f y l o c a l l y A n a l y z e e r r o r s x r i v I ( T e n t a t i v e S o l u t i o n i J V e r f y g l o b a l l y C h e c k r e s u l t C h e c k m e t h o d O u t l i n e ; C o n d e n s e ; S u m m a r i z e ; S t u d y s o l u t i o n D e v i s e a l t e r n a t e s o l u t i o n s l 3 ] L F i g u r e 2 . 2 - 9 h , _ R e s : i d e n t i f i ( n o n i n s t t o t h e e n w e r e c o n : a l l i n c l 1 t a s k v a r ‘ c o n t e n t 1 " t h i n k i m h e u r i s t i : f o r m s o r M u c ] t h e s e n s e a n a l y z i n g c l a s s i f i c h e u r i s t i c d e t e r m i n e h e u r i s t i c a p t i t u d e a n d r e f i r P o l Y a i n t S Y s t e m , a s u b j E C t s P I O C Q S S G S c “ a b l e . f i g u r e . 2 7 1 R e s e a r c h s t u d i e s i n w h i c h t h e n a t u r a l e x i s t e n c e , i d e n t i f i c a t i o n a n d d e s c r i p t i o n o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s ( n o n i n s t r u c t i o n a l s t u d i e s ) c a n n o w b e r e v i e w e d a n d r e l a t e d t o t h e e l e m e n t s o f t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k . . A l l s t u d i e s w e r e c o n s i d e r e d e x p l o r a t o r y , r a t h e r t h a n e x p e r i m e n t a l , a n d a l l i n c l u d e s o m e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a s t h e i r p r i m a r y t a s k v a r i a b l e , t h o u g h t h e s u b j e c t s ’ a g e s a n d m a t h e m a t i c a l c o n t e n t d o m a i n s v a r i e d c o n s i d e r a b l y . A l l s t u d i e s e m p l o y e d " t h i n k i n g a l o u d " t e c h n i q u e s f o r a c q u i r i n g d a t a o n h e u r i s t i c p r o c e s s i n g a n d d e v e 1 0 p e d p r o c e s s - s e q u e n c e c o d i n g f o r m s o r c h e c k l i s t s t o c o l l e c t t h e h e u r i s t i c p r o c e s s d a t a . M u c h o f K i l p a t r i c k ' s ( 1 9 6 7 ) w o r k w a s d e v e l o p m e n t a l i n t h e s e n s e o f c r e a t i n g m e c h a n i s m s ( m e t h o d o l o g y ) f o r a n a l y z i n g p r o t o c o l m a t e r i a l . H i s a i m w a s t o d e v e l o p c l a s s i f i c a t i o n s o f s t u d e n t s a c c o r d i n g t o t h e i r e m p l o y e d h e u r i s t i c p r o c e s s e s i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a n d t o d e t e r m i n e h o w t h e s e c l a s s i f i c a t i o n s o f s t u d e n t s b a s e d o n h e u r i s t i c p r o c e s s p a t t e r n s r e l a t e d t o a c h i e v e m e n t a n d a p t i t u d e v a r i a b l e s . M a j o r e f f o r t w a s g i v e n t o d e v e l o p i n g a n d r e f i n i n g t h e h e u r i s t i c p r o c e s s e s f r o m t h e w o r k o f P o l y a i n t o a p r o c e s s c h e c k l i s t a n d a p r o c e s s - c o d i n g s y s t e m , a p p l i c a b l e f o r t h e 5 6 a b o v e a v e r a g e e i g h t h g r a d e s u b j e c t s o f t h e s t u d y . H e i d e n t i f i e d s e v e n h e u r i s t i c p r o c e s s e s u s e d b y h i s s u b j e c t s w h i c h w e r e r e l i a b l y c o d a b l e . T h e s e v e n h e u r i s t i c p r o c e s s e s w e r e : 1 ) d r a w i n g a f i g u r e , 2 ) u s i n g s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n ( g u e s s a n d c h e c k ) , 3 4 ) u s i n g u s i n g t r i c a n e n v i s t h r e e m a j p r o d u c t i o r e p r e s e n t h i s r e v i e f o u r o f t f r e q u e n t l u n r e l a t e d 0 f o t h e r t r i a l a n d s u c c e s s 1 ' a n d e r r o r a c h i e v e m e o r t h r e e S u b J ' e c t s a t t e I l l p t e c e n d , w i t } b a s i s o f S u C C e s s i ‘ n o t e d t h e a c h i e v e “ W e b } h i s e x p l c 7 2 c h e c k ) , 3 ) q u e s t i o n i n g e x i s t e n c e / u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n , 4 ) u s i n g a d e d u c t i o n p r o c e s s , 5 ) u s i n g a n e q u a t i o n , 6 ) u s i n g t r i a l a n d e r r o r , a n d 7 ) c h e c k i n g t h e s o l u t i o n . O n e c a n e n v i s i o n w h e r e e a c h o f t h e s e p r o c e s s e s f i t i n t o h i s t h r e e m a j o r d i v i s i o n s o f p r o c e s s e s : p r e p a r a t i o n , p r o d u c t i o n , a n d e v a l u a t i o n , w h e r e p r e p a r a t i o n s e e m s t o r e p r e s e n t a c o l l a p s i n g o f P o l y a ’ s f i r s t t w o s t a g e s . I n h i s r e v i e w o f t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o t o c o l s h o w e v e r , o n l y f o u r o f t h e s e v e n h e u r i s t i c p r o c e s s e s o c c u r r e d m o r e f r e q u e n t l y , t h e d r a w i n g o f f i g u r e s , w h i c h w a s f o u n d t o u n r e l a t e d t o s u c c e s s i n p r o b l e m s o l v i n g o r s u b j e c t u s a g e o f o t h e r p r o c e s s e s , t h e u s e o f s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n t r i a l a n d e r r o r ( g u e s s a n d c h e c k ) , w h i c h d i d r e l a t e t o s u c c e s s i n s o l v i n g p r o b l e m s , t h e f r e q u e n t u s a g e o f t r i a l a n d e r r o r t e c h n i q u e s , w h i c h d i d c o r r e l a t e w i t h m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t , a n d c h e c k i n g w o r k , w h i c h w a s o n l y u s e d o n t w o o r t h r e e s p e c i f i c p r o b l e m s . F i n a l l y h e c l a s s i f i e d h i s s u b j e c t s i n t o f o u r e q u a l s i z e d g r o u p s a c c o r d i n g t o t h e i r a t t e m p t e d u s a g e o f a n e q u a t i o n a t l e a s t o n c e a t t h e u p p e r e n d , w i t h t h e t h r e e l o w e r g r o u p s d i f f e r e n t i a t e d o n t h e b a s i s o f d e c r e a s i n g u s a g e o f t r i a l a n d e r r o r a n d s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n h e u r i s t i c p r o c e s s e s . H e a l s o n o t e d t h a t , i n m o v i n g d o w n t h e f o u r g r o u p s , m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t a n d a p t i t u d e d e c r e a s e d a t e a c h l e v e l . W e b b ( 1 9 7 5 ) m o d i f i e d K i l p a t r i c k ’ s c o d i n g s y s t e m f o r h i s e x p l o r a t o r y s t u d y i n v o l v i n g 4 0 s t u d e n t s i n a s e c o n d y e a r a l g c K i l p a t r i e p r o b l e m . : c a t e g o r i : g e n e r a l , F r o m h i s m a t h e m a t : t o t h e p : o f t h e v a l a r g e r p 4 m a t h e m a t : P e r c e n t a q p e r c e n t ) ‘ h e u r i s t i c m o r e o f 1 P r o c e s s . P r o b l e m 5 t h a t b e t 1 e 1 t h p m f r fi t m e n t ] S u b l e c t s 7 3 y e a r a l g e b r a c l a s s . H i s a i m s w e r e s i m i l a r t o t h o s e o f K i l p a t r i c k ' s s t u d y , b e i n g t o d e t e r m i n e r e l a t i o n s h i p s a m o n g p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y a n d h e u r i s t i c p r o c e s s e s , c a t e g o r i z e h e u r i s t i c p r o c e s s e s a s p r o b l e m s p e c i f i c o r g e n e r a l , a n d c l u s t e r s t u d e n t s a c c o r d i n g t o p r o c e s s u s a g e . F r o m h i s r e g r e s s i o n a n a l y s i s r e s u l t s , W e b b f o u n d t h a t m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t w a s , b y c o m p a r i s o n , h i g h l y r e l a t e d t o t h e p r o b l e m s o l v i n g s c o r e s , a c c o u n t i n g f o r 5 0 p e r c e n t o f t h e v a r i a n c e i n t o t a l s c o r e s . H e f o u n d a r e l a t i v e l y l a r g e r p e r c e n t a g e o f v a r i a n c e s o l e l y a t t r i b u t a b l e t o m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t ( 2 0 p e r c e n t ) , a n d a s m a l l e r p e r c e n t a g e a t t r i b u t a b l e t o h e u r i s t i c p r o c e s s e s ( 1 3 p e r c e n t ) , w i t h a " c o m m o n s h a r e d “ , 4 0 p e r c e n t . T h e h e u r i s t i c p r o c e s s , p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n , a c c o u n t e d f o r m o r e o f t h e h e u r i s t i c p r o c e s s v a r i a n c e t h a n d i d a n y o t h e r p r o c e s s . W e b b a l s o f o u n d t h a t m o s t h e u r i s t i c s w e r e p r o b l e m s p e c i f i c ( a c c o r d i n g t o h i s c l a s s i f i c a t i o n ) , a n d t h a t b e t t e r p r o b l e m s o l v e r s u s e d a w i d e r r a n g e o f t h e e i g h t p r o b l e m s p e c i f i c h e u r i s t i c s h e i d e n t i f i e d a s u s e d f r e q u e n t l y b y s u b j e c t s a n d o f h i g h i n t e r c o d e r r e l i a b i l t y . S u b j e c t s p e r f o r m e d b e s t o n a v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u m e n t i f e q u a t i o n s a n d t r i a l a n d e r r o r p r o c e s s e s w e r e e a c h u s e d m o d e r a t e l y t o s u p p l e m e n t o n e a n o t h e r , a n d w h e r e f e w s t r u c t u r a l s o l u t i o n e r r o r s w e r e n o t e d . M o r e i n t e r m e d i a t e p e r f o r m a n c e w a s n o t e d f o r s u b j e c t s w h o u s e d e q u a t i o n s m o r e f r e q u e n t l y a n d t r i a l a n d e r r o r p r o c e s s e s l e s s f r e e r r o r p r f r e q u e n t K i l p a t r i p r o c e s s i a n d a c h i s u b j e c t s i n s t r u c t t e c h n i q u ‘ B l a j p r o c e s s e : o f a l g e b : s c h o o l s a w e r e S i m : t h e h e u r ; a s s o c i a t e V e r b a l P 1 h E U I i s t i ¢ f O r m s . l P o l y a ' s 1 d e f i n e d , T e m p l a t i c t h e i r r e s o f S C h e m e w a s d e f i n i s ° m ° r p h i 7 4 l e s s f r e q u e n t l y . T h e l e a s t a d e p t s u b j e c t s u s e d t r i a l a n d e r r o r p r o c e s s e s m o r e f r e q u e n t l y a n d e q u a t i o n s l e s s f r e q u e n t l y . T h i s l a s t r e s u l t , w h i c h c o n f l i c t s w i t h K i l p a t r i c k ' s f i n d i n g t h a t t h e f r e q u e n c y o f t r i a l a n d e r r o r p r o c e s s i n g w a s p o s i t i v e l y r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s a p t i t u d e a n d a c h i e v e m e n t , i s q u i t e u n d e r s t a n d a b l e g i v e n t h a t W e b b ’ s s u b j e c t s h a d r e c e i v e d t h r e e a d d i t i o n a l y e a r s o f i n s t r u c t i o n a n d p r a c t i c e i n t h e u s a g e o f a l g e b r a i c t e c h n i q u e s , i n c l u d i n g e q u a t i o n s . B l a k e ( 1 9 7 6 ) l i k e W e b b , e x a m i n e d t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s e s o f 4 0 e l e v e n t h g r a d e s u b j e c t s i n a s e c o n d c o u r s e o f a l g e b r a . T h e s u b j e c t s w e r e s e l e c t e d r a n d o m l y f r o m 1 4 s c h o o l s a n d h a d a n 1 . 0 . r a n g e o f 1 1 5 t o 1 2 5 . H i s a i m s w e r e s i m i l a r t o t h e e a r l i e r r e v i e w e d s t u d i e s , i d e n t i f y i n g t h e h e u r i s t i c p r o c e s s e s u s e d b y a l g e b r a s t u d e n t s a n d t h e a s s o c i a t e d p a t t e r n s o f s u c h u s a g e w i t h i n t h e s o l u t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s . H i s c o d i n g s y s t e m i n c l u d e d 1 2 b a s i c h e u r i s t i c p r o c e s s e s , e a c h c o n t a i n i n g s e v e r a l s u b d i v i d e d f o r m s . M o s t o f t h e s e h e u r i s t i c p r o c e s s e s w e r e t a k e n f r o m P o l y a ' s h e u r i s t i c l i s t , w i t h t h r e e " n e w " p r o c e s s e s d e f i n e d , t e m p l a t i o n , s m o o t h i n g , a n d p r e s e r v a t i o n . T e m p l a t i o n i n c l u d e d r e c a l l i n g o f r e l a t e d p r o b l e m s f o r t h e i r r e s u l t s a n d m e t h o d s ' i n c o r p o r a t i o n , a c t u a l l y a f o r m o f s c h e m a k n o w l e d g e w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . S m o o t h i n g w a s d e f i n e d a s a l t e r i n g a v e r b a l p r o b l e m t o p r o d u c e a n i s o m o r p h i c p r o b l e m , a n d p r e s e r v a t i o n d e a l t w i t h e x t e n d i n g " i n e f f e c t s y s t e m p f o r m l a i i n a n o r B l a a n d k n o w a c c o u n t e « a n d 4 0 p . p e r c e n t . a n d e r r o : c a s e s " , . t o c o r r e c C o n t r a s t : a n d r a n d y P r o c e s s e : o n e f o u r 1 d e c o m p o s ; A l l o t h e J i n f r e q u e , 0 f h e u r i s h e u r i s t i c V Q r b a l p ] m u m ” a n d t h e n t E m p l a t i c 7 5 s y s t e m p r o p e r t i e s i n a c o n s i s t e n t f a s h i o n . B l a k e ' s c o d i n g f o r m l a i d o u t t h e s e h e u r i s t i c p r o c e s s e s ( a n d s u b d i v i s i o n s ) i n a n o r d e r l y w a y a c c o r d i n g t o P o l y a ' s 4 s t a g e s . B l a k e ' s f i n d i n g s i n d i c a t e d t h a t h e u r i s t i c p r o c e s s e s a n d k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t ( " c o r e " k n o w l e d g e ) a c c o u n t e d f o r a p p r o x i m a t e l y e q u a l a m o u n t s o f v a r i a n c e ( 4 1 a n d 4 0 p e r c e n t r e s p e c t i v e l y ) w i t h a " c o m m o n - s h a r e d " 2 0 p e r c e n t o f v a r i a n c e . H e f o u n d c o n s i d e r a b l e u s a g e o f t r i a l a n d e r r o r p r o c e s s e s , p a r t i c u l a r l y w h a t h e c a l l e d " r a n d o m c a s e s " , a n d f o u n d t h a t s u c h p r o c e s s u s a g e r e l a t e d c l o s e l y t o c o r r e c t s o l u t i o n s o f t h e v e r b a l p r o b l e m s , w h i c h c o n t r a s t e d w i t h t h e r e s u l t s o f W e b b ' s s t u d y . T e m p l a t i o n a n d r a n d o m . c a s e s w e r e t h e t w o m o s t f r e q u e n t l y n o t e d p r o c e s s e s , u s e d b y t h r e e f o u r t h s o f t h e s u b j e c t s . A b o u t o n e f o u r t h o f t h e s u b j e c t s u s e d a n a l y s i s ( p r o b l e m d e c o m p o s i t i o n ) , s m o o t h i n g , a n d s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n . A l l o t h e r , i n c l u d e d h e u r i s t i c p r o c e s s e s w e r e o b s e r v e d i n f r e q u e n t l y . B l a k e c o n c l u d e d t h a t b o t h t h e t o t a l n u m b e r o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s u s e d a n d t h e n u m b e r o f d i f f e r e n t h e u r i s t i c p r o c e s s e s u s e d r e l a t e d p o s i t i v e l y t o s u c c e s s f u l v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g , a n d t h a t s u b j e c t s ' a t t e m p t s a t s o l u t i o n r e l i e d h e a v i l y o n " c o r e " ( m a t h e m a t i c a l c o n t e n t ) a n d t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d h e u r i s t i c p r o c e s s , t e m p l a t i o n . H e a l s o b e l i e v e d s t u d e n t s w e r e l a r g e l y " i n e f f e c t i v e " i n t h e i r u s a g e o f t e m p l a t i o n . T h e K a n t o w s k . t e a c h i n g i n s t r u c t . w a s g i v e ] e x p l o r a t c h e u r i s t i c i n c l u d e d K i l p a t r i < c o u l d b e a n a l y s i s f i r s t y e a P r o c e s s e s p r o b l e m , a n a l y s i s , g r e a t e r 1 N o S u c h e s u c h a s C a n d e r r o : ( r E l a t i o r K a n t f O r h e r . n i n t h g r e h e u r i s t i c T h e 8 S t u 7 6 T h e l a s t t w o r e v i e w e d s t u d i e s , L u c a s ( 1 9 7 2 ) a n d K a n t o w s k i ( 1 9 7 5 a n d 1 9 7 7 ) , b o t h i n v o l v e d a f o r m o f t e a c h i n g , l a b e l e d h e u r i s t i c t e a c h i n g , i n w h i c h e x p l i c i t i n s t r u c t i o n o f t h e m a x i m s a n d c o m p o n e n t s o f P o l y a ' s m o d e l w a s g i v e n . H o w e v e r s i n c e b o t h s t u d i e s w e r e c l i n i c a l e x p l o r a t o r y , r a t h e r t h a n e x p e r i m e n t a l s t u d i e s , a n d h a d h e u r i s t i c p r o c e s s i d e n t i f i c a t i o n a s a m a j o r g o a l , t h e y a r e i n c l u d e d i n t h i s s e c t i o n ’ s . r e v i e w . L u c a s f o u n d t h a t K i l p a t r i c k ' s p r o c e s s - s e q u e n c e c o d i n g f o r m a n d c h e c k l i s t c o u l d b e s a t i s f a c t o r i l y m o d i f i e d a n d e x t e n d e d f o r t h e a n a l y s i s o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g i n t h e c o n t e n t a r e a o f f i r s t y e a r c a l c u l u s . H e a l s o f o u n d t h a t f i v e h e u r i s t i c p r o c e s s e s ; k i n d o f n o t a t i o n , a p p l y i n g m e t h o d o f r e l a t e d p r o b l e m , a p p l y i n g r e s u l t o f r e l a t e d p r o b l e m , r e a s o n i n g b y a n a l y s i s , a n d o r g a n i z i n g d a t a w e r e s u b j e c t t o c h a n g e i n t o g r e a t e r u s a g e t h r o u g h h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n o r t e a c h i n g . N o s u c h e f f e c t w a s f o u n d f o r o t h e r h e u r i s t i c p r o c e s s e s s u c h a s d r a w i n g / m o d i f y i n g d i a g r a m s , l o o k i n g b a c k , t r i a l a n d e r r o r , r e a s o n i n g b y s y n t h e s i s , o r p r o d u c t i v i t y ( r e l a t i o n s h i p s , e q u a t i o n s , o r a l g o r i t h m i c p r o c e s s e s ) . K a n t o w s k i ( 1 9 7 7 ) u s e d g e o m e t r y a s a n e w c o n t e n t a r e a f o r h e r " t e a c h i n g e x p e r i m e n t " w i t h e i g h t h i g h a b i l i t y n i n t h g r a d e r s a s s u b j e c t s . T h e s t u d y h a d f o u r p h a s e s a n d h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n w a s u s e d f o r t h r e e u n i t s o f c o n t e n t . T h e 8 s t u d e n t s w e r e t e s t e d f r e q u e n t l y a n d w e r e e x t e n s i v e l y t r a i n e d t o " t h i n k a l o u d " w h i l e s o l v i n g p r o b l e m s d u r i n g t h e c o u r s e 0 s u b j e c t ( m o d i f i c p r o d u c t c h a p t e r ) t h e 4 4 p i n d i v i d u s e r v e d a s o l v i n g t i m e . K a n h e u r i s t i u s a g e o f d e v e l o p e . P r o c e s s e i n s o l v i ; i n d i c a t e r e g u l a r ] S Y n t h e s i : h e u r i s t i < a b O V e t h < o f t h e s 1 i n t e r r e l a g o a l o r i e s p e c i f i c ; h e u r i s t i c 7 7 c o u r s e o f t h e s t u d y . T h e a n a l y s i s o f " t h i n k i n g a l o u d " s u b j e c t p r o t o c o l s i n c l u d e d b o t h a p r o c e s s s e q u e n c e f o r m ( m o d i f i c a t i o n o f K i l p a t r i c k ' s s c h e m e ) a n d a p r o c e s s - p r o d u c t s c o r e ( d i s c u s s e d m o r e f u l l y i n m e t h o d o l o g y c h a p t e r ) . P r o c e s s - p r o d u c t s c o r e s w e r e a s s i g n e d t o e a c h o f t h e 4 4 p r o b l e m s s o l v e d b y e a c h o f t h e e i g h t s u b j e c t s . E a c h i n d i v i d u a l s u b j e c t ' s m e d i a n p r o c e s s - p r o d u c t s c o r e s e r v e d a s a b a s i s f o r j u d g i n g r e l a t i o n s h i p s a m o n g p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s u t i l i t y a n d a b i l i t y l e v e l d e v e l o p e d o v e r t i m e . K a n t o w s k i ’ s f i n d i n g s s u g g e s t e d t h a t s u b j e c t s g i v e n h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n w e r e o b s e r v e d t o i n c r e a s e t h e i r u s a g e o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s a s p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y d e v e l o p e d o v e r t i m e , a n d t h a t i n c r e a s e d u s a g e o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s w a s d i r e c t l y a n d p o s i t i v e l y r e l a t e d t o s u c c e s s i n s o l v i n g p r o b l e m s . S h e a l s o f o u n d s t r o n g e v i d e n c e t o i n d i c a t e t h a t s u c c e s s f u l p r o b l e m s o l v e r s e x h i b i t e d m o r e r e g u l a r p a t t e r n s o f a n a l y s i s ( p r o b l e m d e c o m p o s i t i o n ) a n d s y n t h e s i s ( p r o b l e m r e c o m b i n a t i o n ) , b o t h c o n s i d e r e d h e u r i s t i c p r o c e s s e s w i t h i n h e r s t u d y . F o r t h o s e s t u d e n t s a b o v e t h e m e d i a n p r o c e s s - p r o d u c t s c o r e , 7 7 t o 1 0 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s ' s o l u t i o n s s h o w e d s u c h p a t t e r n s . A n i n t e r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h i s b e h a v i o r p a t t e r n a n d o t h e r g o a l o r i e n t e d h e u r i s t i c p r o c e s s e s ( g e n e r a l o r t a s k s p e c i f i c ) w a s a l s o e v i d e n t . O f t e n a g o a l o r i e n t e d h e u r i s t i c p r o c e s s t e n d e d t o i n i t i a t e t h e r e g u l a r p a t t e r n o f a n a l : o c c u r r e 1 T h i s f l ] t h e o r e t : h e u r i s t : v e r b a l 1 r e g u l a r i n i t i a t e c h a r a c t e u s e o f 1 s o l u t i o r r e s u l t s e X p l i c i t b e h a v i o r u s a g e , n 9 V i d e n c e I n S t u d i e s g e n e r a l i c o n t e n t a b l e t o P I O C e s s P r o c e s s . t h e fi x e s : m o d i f i e d K i l p d t r i , 7 8 o f a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s , a n d s u c h c o m b i n a t i o n s o f t e n o c c u r r e d s e v e r a l t i m e s i n a s i n g l e s o l u t i o n t o a p r o b l e m . T h i s f i n d i n g r e l a t e s c l o s e l y w i t h S c h o e n f e l d ' s ( 1 9 8 4 ) t h e o r e t i c a l n o t i o n s o f " c u e d " h e u r i s t i c s a n d " s t a g e " h e u r i s t i c s w o r k i n g i n c o m b i n a t i o n t o w a r d s t h e s o l u t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s , w h e r e t h e " s t a g e " h e u r i s t i c s i n d i c a t e r e g u l a r p a t t e r n s o f s t u d e n t a c t i o n ( a n a l y s i s / s y n t h e s i s ) i n i t i a t e d a n d a i d e d b y " c u e d " o r t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c c h a r a c t e r i s t i c s . K a n t o w s k i f o u n d s o m e e v i d e n c e f o r t h e u s e o f r e l a t e d p r o b l e m s ( s c h e m a k n o w l e d g e ) i n p r o b l e m s o l u t i o n s , w h e r e s u b j e c t s w e r e o b s e r v e d t o u s e b o t h r e s u l t s a n d m e t h o d s o f r e l a t e d p r o b l e m s . F i n a l l y , d e s p i t e e x p l i c i t i n s t r u c t i o n o f " l o o k i n g b a c k " h e u r i s t i c b e h a v i o r s , s h e f o u n d l i t t l e e v i d e n c e o f s u c h p r o c e s s u s a g e , n o r w a s a n i n c r e a s e d u s a g e o f t h e s e p r o c e s s e s e v i d e n c e d d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e s t u d y . I n c o m b i n i n g t h e r e s u l t s o f t h e s e f i v e r e v i e w e d s t u d i e s w i t h r e g a r d s t o h e u r i s t i c p r o c e s s e s , t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n s s e e m a p p a r e n t . F i r s t , d e s p i t e t h e v a r i e d c o n t e n t a n d s u b j e c t a g e s o f t h e s t u d i e s , r e s e a r c h e r s w e r e a b l e t o a d a p t p r o c e s s c o d i n g f o r m s a n d i n s o m e c a s e s p r o c e s s c h e c k l i s t s c a p a b l e o f i d e n t i f y i n g h e u r i s t i c p r o c e s s u s a g e w i t h p r i m a r i l y v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . W i t h t h e e x c e p t i o n o f B l a k e ' s s t u d y , a l l r e v i e w e d s t u d i e s m o d i f i e d K i l p a t r i c k ' s ( 1 9 6 7 ) m o d e l a n d m a i n t a i n e d K i l p a t r i c k ' s o r i e n t a t i o n o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s w i t h i n P o l y a ’ s i n c l u d e c d e s i g n < a n a l y s i s 1 9 8 4 ) . t h e i n v e h e u r i s t j p r o b l e m i n s t r u c t p r o c e s s j S e c S m a l l s e e m p l o y e c ‘ i n v e s t i g t h e p a t t h e u r i s t j A l g e b r a n u m b e r 0 t h e S e p r S p e c i f i c T h i t h a t P r o I n b o t h f u r t h e r " t h i n k i n S C Q r i n g 7 9 P o l y a ’ s 4 s t a g e m o d e l . A t a s k f o r c e m e e t i n g w h i c h i n c l u d e d s e v e r a l o f t h e s e r e s e a r c h e r s r e s u l t e d i n t h e d e s i g n o f a g e n e r a l p r o c e s s c o d i n g f o r m a n d s y s t e m f o r a n a l y s i s o f " t h i n k i n g a l o u d " p r o t o c o l s ( L u c a s e t a 1 , 1 9 8 4 ) . T h i s d e s i g n e d s y s t e m p r o v i d e s a s t a r t i n g p o i n t f o r t h e i n v e s t i g a t o r ' s d e s i g n o f a n i n s t r u m e n t t o m e a s u r e h e u r i s t i c p r o c e s s c h a r a c t e r i s t i c s o f A l g e b r a I v e r b a l p r o b l e m t e x t b o o k i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s , t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s , a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d p r o c e s s i n g w i t h i n t h e i n t e r v i e w s . S e c o n d l y i n e a c h s t u d y , r e s e a r c h e r s i d e n t i f i e d a s m a l l s e t o f h e u r i s t i c p r o c e s s e s w h i c h m o s t s t u d e n t s e m p l o y e d o n a f r e q u e n t b a s i s . T h e s e r e s u l t s e n c o u r a g e t h e i n v e s t i g a t o r t o c o n f i n e t h e s e a r c h s o m e w h a t a n d f o c u s o n t h e p a t t e r n s a n d c o m b i n a t i o n s o f f r e q u e n t , s t u d e n t h e u r i s t i c p r o c e s s u s a g e f o r t h i s s a m p l e o f s u b j e c t s i n t h e A l g e b r a I v e r b a l p r o b l e m d o m a i n . T h e e x p e c t e d s m a l l n u m b e r o f e m p l o y e d h e u r i s t i c p r o c e s s e s a l s o i n d i c a t e s t h a t t h e s e p r o c e s s e s m a y b e s e p a r a b l e i n t o g e n e r a l , t a s k s p e c i f i c , a n d t o o l s k i l l c a t e g o r i e s . T h i r d l y t h e s t u d i e s o f K a n t o w s k i a n d w e b b d e m o n s t r a t e t h a t p r o c e s s - p r o d u c t s c o r i n g i n s t r u m e n t a t i o n i s p o s s i b l e . I n b o t h s t u d i e s , t h e s c o r i n g s y s t e m s w e r e u s e d t o m a k e f u r t h e r q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n s b e t w e e n s u b j e c t s ' " t h i n k i n g a l o u d " p r o t o c o l s . S u c h a p r o c e s s - p r o d u c t s c o r i n g s y s t e m h a s a l s o b e e n u s e d t o a n a l y z e a n d e v a l u a t e h o w e V e r I s t u d e n t 1 9 8 0 ) , s i m i l a r t h e v e r i n s t r u m p e r f o r m e a c h v e F 0 t h e h e n p r o b l e m S O p h i s t . h e u r i s t ; a s t u d y P a i r s 0 3 m a t h e m a 1 g r a d e 5 1 ( i n a p j s a m e h e x T h e y S u g o f t h e s f O u n d i t F o r b o t h P r O C e S S G p r o b l e m s n o t i C E a b 8 0 s t u d e n t w o r k s a m p l e s o n v e r b a l p r o b l e m t e s t s ( Z a l e w s k i , 1 9 8 0 ) , a n d t h e i n t e n t i o n o f t h e i n v e s t i g a t o r i s t o s i m i l a r l y c o n s t r u c t a p r o c e s s - p r o d u c t s c o r i n g s y s t e m f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s u s e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n ’ s i n s t r u m e n t s , r e l a t i n g t h e v a r y i n g d e g r e e s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e w i t h i n f i v e s t a g e s o f w r i t t e n e x p r e s s i o n f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m t e s t i t e m . F o u r t h l y , m o s t o f t h e r e v i e w e d s t u d i e s i n d i c a t e t h a t t h e h e u r i s t i c p r o c e s s e s e m p l o y e d b y s u b j e c t s o n v e r b a l p r o b l e m t a s k s s e l d o m a p p r o a c h t h e l e v e l o f h e u r i s t i c s o p h i s t i c a t i o n s u g g e s t e d b y P o l y a ’ s ( 1 9 5 7 ) w r i t i n g s o n h e u r i s t i c t e c h n i q u e s . T h i s f a c t w a s a l s o d e m o n s t r a t e d i n a s t u d y b y D a y s , W h e a t l y , a n d K u l m ( 1 9 7 9 ) . T h e y d e s i g n e d p a i r s o f s i m i l a r v e r b a l p r o b l e m t a s k s , w h i c h d i f f e r e d i n m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e ( s i m p l e a n d c o m p l e x ) f o r e i g h t h g r a d e s u b j e c t s . T h e y f o u n d t h a t b o t h c o n c r e t e a n d f o r m a l ( i n a P i a g e t i a n s e n s e ) s u b j e c t s f o r t h e m o s t p a r t u s e d t h e s a m e h e u r i s t i c p r o c e s s e s o n t h e s i m p l e s t r u c t u r e p r o b l e m s . T h e y s u g g e s t e d t h a t t h e s i m p l e s t r u c t u r e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e s t u d y w e r e t y p i c a l o f m a n y o f t h e v e r b a l p r o b l e m s f o u n d i n s e v e n t h a n d e i g h t h g r a d e m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s . F o r b o t h c l a s s e s o f s u b j e c t s , t h e u s e o f " h i g h e r l e v e l " p r o c e s s e s w a s s e l d o m n o t e d f o r t h e s i m p l e s t r u c t u r e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e s t u d y . T h e f o r m a l s u b j e c t s ’ a d v a n t a g e w a s n o t i c e a b l e f o r t h e c o m p l e x s t r u c t u r e v e r b a l p r o b l e m s h o w e v e r , p a r t i c u l a r l y t h e i r g r e a t e r u s a g e o f m o r e s o p h i s t p r o c e s s a s s e s s m l c a p a b l e a p p l i c a ‘ w h i c h r e s o l v i n g S t l ‘ l l C t l l J F 0 1 v a r i a b l e m e t a c o g x s o l v i n g v a r i a b l e e X P G I ‘ i m e S i l v e r I m e t a C O g r e x p e r t i s P r i m a r i l m a t h e m a t M e t O n e ' 5 0 w r e l a t e d i n f o r m a t b e l i e v e s f u n c t i O n 8 1 s o p h i s t i c a t e d p r o d u c t i o n a n d e v a l u a t i o n h e u r i s t i c p r o c e s s e s . T h e s t u d y ' s r e s u l t s m a y a l s o e x p l a i n s o m e w h a t a s s e s s m e n t r e s u l t s w h i c h i n d i c a t e t h a t s t u d e n t s a r e m o r e c a p a b l e o f s o l v i n g r o u t i n e , o n e - s t e p v e r b a l p r o b l e m a p p l i c a t i o n s ( t y p i c a l o f t e x t b o o k s , s i m p l e s t r u c t u r e ) w h i c h r e q u i r e l o w e r l e v e l p r o c e s s e s , t h a n t h e y a r e a t s o l v i n g m u l t i - s t e p , n o n r o u t i n e v e r b a l p r o b l e m s ( c o m p l e x s t r u c t u r e ) w h i c h r e q u i r e " h i g h e r l e v e l " p r o c e s s e s . F o r t h e m o s t p a r t c o g n i t i v e p s y c h o l o g i s t s a n d t a s k v a r i a b l e r e s e a r c h e r s s h y a w a y f r o m d i s c u s s i o n o f m e t a c o g n i t i o n a n d b e l i e f s / v a l u e s w i t h i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g f o r m u l a t i o n s s i n c e t h e y a r e p e r c e i v e d a s a f f e c t i v e v a r i a b l e s , a n d h e n c e l e s s c a p a b l e o f c o n t r o l w i t h i n e x p e r i m e n t a l s t u d i e s . T h r e e m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s , S i l v e r , S c h o e n f e l d , a n d L e s t e r h o w e v e r a l l b e l i e v e t h a t m e t a c o g n i t i o n p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n p r o b l e m s o l v i n g e x p e r t i s e . T h e d i s c u s s i o n h e r e w i l l b e b r i e f a n d p r i m a r i l y t h e o r e t i c a l , s i n c e l i t t l e f o r m a l r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c a l m e t a c o g n i t i o n h a s b e e n c o m p l e t e d t o d a t e . M e t a c o g n i t i o n " r e f e r s t o o n e ' s k n o w l e d g e c o n c e r n i n g o n e ' s o w n c o g n i t i v e p r o c e s s e s a n d p r o d u c t s o r a n y t h i n g r e l a t e d t o t h e m " o r " t h e l e a r n i n g - r e l e v a n t p r o p e r t i e s o f i n f o r m a t i o n o r d a t a " ( F l a v e l l , 1 9 7 6 ) . L e s t e r ( 1 9 8 2 ) b e l i e v e s t h a t s u c c e s s f u l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g i s a f u n c t i o n o f a t l e a s t f i v e c o m p o n e n t a b i l i t i e s , o f w h i c h t w o c o m p o n e n t a b i l i t i e s a r e r e l a t e d t o m e t a c o g n i t i o n : 1 ) k n o w d u r i n g m a i n t a i e m p l o y e w i t h t h A d a m s ( i g n o r e d b e l i e v e 1 9 8 2 ) . S i r e s e a r c l r e l a t i o : a b i l i t y S t u d e n t : C o n s i d e j i n w h i c ] O r g a n i z ; 0 f t h e i J t o t h e m a r g u m e n t l u n g e r I d i f f e r e r r e g u l a t e L a S t l y . P r o c e s S e 8 2 1 ) k n o w l e d g e a b o u t o n e ' s o w n c o g n i t i o n , b e f o r e , a f t e r , a n d d u r i n g a p r o b l e m s o l v i n g e p i s o d e , a n d 2 ) t h e a b i l i t y t o m a i n t a i n e x e c u t i v e c o n t r o l ( m o n i t o r a n d r e g u l a t e ) o f t h e e m p l o y e d p r o c e d u r e s d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g . H e n o t e s t h a t w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e w o r k o f S i l v e r , B r a n c a , a n d A d a m s ( 1 9 8 0 ) , p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h e r s h a v e l a r g e l y i g n o r e d m e t a c o g n i t i v e b e h a v i o r s , b e c a u s e t h e y e i t h e r b e l i e v e t h e m t o b e u n i m p o r t a n t o r u n r e s e a r c h a b l e ( L e s t e r , 1 9 8 2 ) . S i l v e r , B r a n c a , a n d A d a m s r e v i e w e d t h e a v a i l a b l e r e s e a r c h r e l a t e d t o m e t a c o g n i t i o n , a n d g e n e r a t e d s e v e r a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n m e t a c o g n i t i o n a n d m a t h e m a t i c a l a b i l i t y . T h e i r r e v i e w s u g g e s t s t h a t h i g h a b i l i t y s t u d e n t s ' b e t t e r a p p r e h e n s i o n o f p r o b l e m s t r u c t u r e m a y b e c o n s i d e r e d m e t a c o g n i t i v e p l a n n i n g a n d m e m o r y r e g u l a t i o n , i n w h i c h s t u d e n t s p r e p a r e f o r e l i c i t e d r e t r i e v a l b y b e t t e r o r g a n i z i n g i n c o m i n g i n f o r m a t i o n i n t o “ c h u n k s " o n t h e b a s i s o f t h e i r e x p e r i e n c e o f w h a t i s i m p o r t a n t a n d m o s t u s e f u l t o t h e m i n t h e f u t u r e ( p r o b l e m s t r u c t u r e a n d g e n e r a l i z e d a r g u m e n t s ) . T h e y a l s o n o t e t h a t h i g h a b i l i t y s t u d e n t s ’ l o n g e r r e t e n t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n t e n t i s l i k e l y d u e t o d i f f e r e n c e s i n t h e w a y s t u d e n t s o r g a n i z e i n f o r m a t i o n a n d r e g u l a t e s t o r a g e i n m e m o r y , b o t h m e t a c o g n i t i v e f u n c t i o n s . L a s t l y , t h e y n o t e t h a t i t a p p e a r s t h a t a w a r e n e s s o f m e n t a l p r o c e s s e s a p p e a r s t o b e a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a t t a i n i n g e x p e r t i s e i n a t a s k d o m a i n . O n c e i t a p p e a r s t h a t a s o l v i n g b e c o m e b e l a r g d e v e l o p s i g n i f i S c i w i t h n o : e d u c a t e : e f f e c t s c o l l e g e t a s k s w : h e c a l l : S i m i l a r j i n " s t a g P r o c e s s e n o t e x p ] e p i S O d e g d e C i s i o r m e t a C O g n a b i l i t y V a r i o u s a b a n d o n s u b j e c t ' w o r k w e l 8 3 t h a t a s t u d e n t h a s a t t a i n e d a h i g h l e v e l o f e x p e r t i s e i n s o l v i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , m e t a c o g n i t i v e b e h a v i o r s b e c o m e s o i n t e g r a t e d i n t o p r o b l e m s o l v i n g r o u t i n e s a s t o b e l a r g e l y u n o b s e r v a b l e , t h o u g h t h e i r r o l e i n t h e d e v e l o p m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y i s l i k e l y t o b e s i g n i f i c a n t . S c h o e n f e l d ' s s t u d i e s o f c o l l e g e l e v e l p r o b l e m s o l v i n g w i t h n o n r o u t i n e t a s k s p r o b a b l y i n s t i g a t e d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s t o t a k e a c l o s e r l o o k a t m e t a c o g n i t i o n a n d i t s e f f e c t s o n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . H e f o u n d t h a t c o l l e g e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s a n d f a c u l t y a t t a c k e d s u c h t a s k s w i t h i n a s e r i e s o f s e l f - c o n t a i n e d s e q u e n c e s , o r w h a t h e c a l l e d e p i s o d e s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 3 ) . T h e r e i s s o m e s i m i l a r i t y b e t w e e n h i s n o t i o n s o f e p i s o d e s a n d s t a g e s ( a s i n " s t a g e " h e u r i s t i c s ) . H e f o u n d t h a t h e u r i s t i c p r o c e s s e s , s u c h a s c u e d o r t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s , c o u l d n o t e x p l a i n t r a n s i t i o n s o r d e c i s i o n p o i n t s b e t w e e n e p i s o d e s , b u t r a t h e r t h a t m a n a g e r i a l a n d e x e c u t i v e d e c i s i o n s w e r e b e i n g m a d e , w h i c h h e e q u a t e d w i t h m e t a c o g n i t i o n . T h e s e e x e c u t i v e d e c i s i o n s r e q u i r e d a n a b i l i t y t o k n o w w h e n t o a p p l y a n d w h e n n o t t o a p p l y v a r i o u s h e u r i s t i c r e a s o n i n g t e c h n i q u e s , a n d a l s o w h e n t o a b a n d o n s u c h t e c h n i q u e s . H e a l s o n o t e d t h a t w h e n a s u b j e c t ' s p r o b l e m s o l v i n g s c h e m a t a ( o r p r o d u c t i o n s ) d o n o t w o r k w e l l o n a t a s k , t h e n e c e s s a r y m a n a g e r i a l s k i l l s t a k e o v e r a n s o l v i n g S c e x p e r t i ( S c h o e n p o s s e s s c l a s s e s s p e c i f i n o n r o u t t h o u g h t h a s a c c . d e m o n s t e x p e r t i : a c c e s s - b Y t h e < m a n a g e e a n d h e n ] e x p l i c i 1 d i S t i n c 1 m i n i m a l t o t h i s t h e C o n t n e c e s S a I i n s t r u c t i n t e r e s t e x p e r t i s 8 4 o v e r a n d s e r v e t o c o n s t i t u t e w h a t h e m e a n s b y p r o b l e m s o l v i n g e x p e r t i s e ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 3 ) . S c h o e n f e l d d i f f e r e n t i a t e s b e t w e e n p r o b l e m s o l v i n g e x p e r t i s e a s o p p o s e d t o p r o b l e m s o l v i n g p r o f i c i e n c y ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 2 ) . H e c o n s i d e r s p r o f i c i e n c y t o m e a n t h e p o s s e s s i o n o f a l a r g e n u m b e r o f s c h e m a t a f o r g e n e r i c c l a s s e s o f t a s k s i n a d o m a i n , o r w h a t h e c a l l s d o m a i n s p e c i f i c p r o f i c i e n c y . M o s t t a s k s , i n c l u d i n g e v e n s o m e n o n r o u t i n e t a s k s c a p a b l e o f h e u r i s t i c s o l u t i o n , c a n b e t h o u g h t o f a s s c h e m a d r i v e n t y p e s , i n w h i c h t h e s u b j e c t h a s a c c e s s t o t h e a p p r o p r i a t e s c h e m a , a n d h e n c e i s d e m o n s t r a t i n g p r o f i c i e n c y . O n t h e o t h e r h a n d , d e f i n i n g e x p e r t i s e r e q u i r e s t h a t t h e s u b j e c t d o e s n o t h a v e r e a d y a c c e s s t o a s o l u t i o n s c h e m a . E x p e r t i s e i s m e a s u r e d r a t h e r b y t h e q u a l i t a t i v e a b i l i t y o f t h e s u b j e c t t o u t i l i z e a n d m a n a g e a v a i l a b l e r e s o u r c e s , i n c l u d i n g c o n t e n t k n o w l e d g e a n d h e u r i s t i c p r o c e s s e s i n d e r i v i n g s o l u t i o n s . T h o u g h n o t e x p l i c i t l y s t a t e d b y S c h o e n f e l d , o n e c a n i m p l y f r o m t h e s e d i s t i n c t i o n s t h a t m e t a c o g n i t i v e b e h a v i o r p r o b a b l y h a s m i n i m a l i m p a c t o n t h e v e r b a l p r o b l e m p r o f i c i e n c y r e l a t e d t o t h i s i n v e s t i g a t i o n , d u e t o t h e s c h e m a d r i v e n n a t u r e o f t h e c o n t e n t a n d t h e a s s u m e d a c c e s s a n d a v a i l a b i l i t y t o n e c e s s a r y s c h e m a t a p r o v i d e d b y t e a c h e r a n d t e x t b o o k i n s t r u c t i o n . T h i s i n v e s t i g a t i o n i s t h e n p r i m a r i l y i n t e r e s t e d i n m e a s u r i n g s t u d e n t p r o f i c i e n c y , r a t h e r t h a n e x p e r t i s e . T h e u s a g e o f m e t a c o g n i t i v e b e h a v i o r s i s n o t e x p e c t e s t u d e n t p r o f i c i b e h a v i o s u c h m e a l o u d " e a c h c l S c s e p a r a t p r o f i c i ( 1 9 8 2 ) . c o n s i d e : m a t h e m a - a b r o a d . t h e o r e t . m e t a c o g ] b e e n d e w O u t l i n e : i m P l i c a 1 a n d a l s c q u e s t i o , P r o m p t s ! S c h o e n f E e x P e t i m e m e t h O d o ] 8 5 e x p e c t e d f o r t h e m a j o r i t y o f t h i s i n v e s t i g a t i o n ' s s t u d e n t s , b u t r a t h e r i t i s a s s u m e d t h a t o n l y t h e m o s t p r o f i c i e n t a n d s u c c e s s f u l s t u d e n t s m i g h t e n g a g e i n s u c h b e h a v i o r s . T h e r e f o r e i n v e s t i g a t o r a t t e m p t s t o i d e n t i f y s u c h m e t a c o g n i t i v e b e h a v i o r s i s l i m i t e d t o t h e " t h i n k i n g a l o u d " i n t e r v i e w s o f t h e t h r e e m o s t c a p a b l e s t u d e n t s o f e a c h c l a s s r o o m . S c h o e n f e l d ( 1 9 8 5 ) v i e w s b e l i e f s / v a l u e s a s a t o t a l l y s e p a r a t e v a r i a b l e e f f e c t i n g p r o b l e m s o l v i n g e x p e r t i s e a n d p r o f i c i e n c y , w h e r e a s o t h e r r e s e a r c h e r s s u c h a s S i l v e r ( 1 9 8 2 ) a n d C a l l a h a n a n d G a r o f a l o ( 1 9 8 7 ) h a v e t e n d e d t o c o n s i d e r p e r s o n a l l y h e l d k n o w l e d g e a n d b e l i e f s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d p r o b l e m s o l v i n g a s b e i n g c o n t a i n e d w i t h i n a b r o a d e r d e f i n i t i o n o f m e t a c o g n i t i o n . I n f a c t , a t h e o r e t i c a l s t u d e n t p r o c e s s i n g m o d e l w h i c h i n c o r p o r a t e s m e t a c o g n i t i v e b e h a v i o r s a t e a c h s t a g e o f p r o c e s s i n g h a s b e e n d e v e l o p e d ( G a r o f a l o a n d L e s t e r , 1 9 8 5 ) . S i l v e r ( 1 9 8 2 ) o u t l i n e s f o u r p o s s i b l e b e l i e f s w h i c h m i g h t h a v e i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n s f o r h o w o n e a p p r o a c h e s m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , a n d a l s o s u g g e s t s t h a t m a n y o f P o l y a ’ s h e u r i s t i c s a n d q u e s t i o n i n g r o u t i n e s m i g h t b e c o n s i d e r e d m e t a c o g n i t i v e p r o m p t s . Y e t s t u d e n t b e l i e f s , s u c h a s S i l v e r a n d S c h o e n f e l d ( 1 9 8 5 ) s u g g e s t , r e m a i n l a r g e l y u n t e s t a b l e i n e x p e r i m e n t a l r e s e a r c h s e t t i n g s w i t h p r e s e n t d a y m e t h o d o l o g y . I t a p p e a r s t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t t h e o n l y h o p e o f i d e n t i f y i n g a n d a n a l y z i n g b e l i e f s a n d v a l u e s w i t h i n i n t e r v i i m m e d i a o f s u c h s o l v i n g I t o f o b s e i n s t r u c r e s e a r c i n s t r u c t h e d e v e v e n b e e d u c a t o . 0 f p r o b . i n s t r u c g e n e r a l b e a b e 1 w h i c h a n o f m o s t o n m a t h ; l a r g e l y a n d t h e ( L e s t E r , S o l v i n g P O I Y a I S 8 6 w i t h i n t h i s i n v e s t i g a t i o n w o u l d b e i n t h e " t h i n k i n g a l o u d " i n t e r v i e w s e t t i n g s , w h e r e s t u d e n t o r a l c o m m e n t s c a n b e i m m e d i a t e l y p r o b e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o r e v e a l t h e d e p t h o f s u c h b e l i e f s a n d t h e i r i m p a c t o n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . I n s t r u c t i o n a l S t u d i e s I t a p p e a r s t h a t t h i s i n v e s t i g a t i o n b y i t s i n c l u s i o n o f o b s e r v a t i o n s o f t e a c h e r s ' v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n i s m o v i n g i n t o r a t h e r v i r g i n t e r r i t o r y . S o m e r e s e a r c h e r s b e l i e v e t h a t a " w e l l f o u n d e d t h e o r y o f i n s t r u c t i o n " f o r m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g i s s t i l l i n t h e d e v e 1 0 p m e n t a l s t a g e ( W e b b , 1 9 7 9 ) . T h i s c o n c l u s i o n m a y e v e n b e a n o v e r s t a t e m e n t , s i n c e s e v e r a l m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ( S i l v e r , L e s t e r , a n d G r o u w s ) h a v e n o t e d t h e l a c k o f p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h s t u d i e s i n w h i c h t e a c h i n g a n d i n s t r u c t i o n o c c u p y t h e c e n t r a l f o c u s o f s t u d y . T h e r e i s a g e n e r a l b e l i e f t h a t a s u b j e c t c a n b e t a u g h t o r t r a i n e d t o b e a b e t t e r p r o b l e m s o l v e r , a n d i d e n t i f y i n g i n s t r u c t i o n w h i c h e n h a n c e s s t u d e n t p r o b l e m s o l v i n g s u c c e s s i s a n a i m o f m o s t p r o b l e m s o l v i n g r e s e a r c h . H o w e v e r , t h e l i t e r a t u r e o n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n r e m a i n s l a r g e l y b a s e d o n f o l k l o r e , g r o u n d e d i n t e a c h e r i n t u i t i o n s , a n d t h e s a g e a d v i c e o f m a s t e r t e a c h e r s , s u c h a s P o l y a ( L e s t e r , 1 9 8 2 ) . B e s i d e s i n f l u e n c i n g t h e s t u d y o f p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s e s , a s w a s n o t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , P o l y a ' s w o r k h a s i t s m o s t p r o f o u n d i m p a c t o n t h e s t u d y o f i n s t r u c a r e b e ] s o l v e r s h a s a p p T h p r e s e n t b e h a v i o a u t o m a t r e p r e s e ( S c h o e n p r o b l e m p r o b l e m r e p r e s e : t o W h a t b e h a v i o : a c c e s s e < b e h a v i O J b e h a v i o ] P r o c e s s j f O r m o s t v e r b a l i n o t a v a j t h a t 0 t } . s t u d e n t r e S o l e r e b r i n g t h 8 7 i n s t r u c t i o n i n h e u r i s t i c m e t h o d s . H i s p r e s c r i p t i v e i d e a s a r e b e l i e v e d t o h e l p s t u d e n t s b e c o m e b e t t e r p r o b l e m s o l v e r s b y s u g g e s t i n g a s i m p l i f i e d f o u r s t a g e m o d e l w h i c h h a s a p p l i c a b i l i t y f o r i n s t r u c t i o n ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . T h e m o d e l o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m p r o c e s s i n g , p r e s e n t e d i n t h e l a s t s e c t i o n , a s s u m e s t h a t m o s t s t u d e n t s ’ b e h a v i o r s a n d p e r f o r m a n c e a r e a t t r i b u t a b l e t o a n a l m o s t a u t o m a t i c a n d m e c h a n i c a l a c c e s s i n g o f " s i t u a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d a s s o c i a t e d s e t s o f r e s p o n s e s " ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 , p . 3 6 5 ) , o r w h a t M a y e r t e r m s s c h e m a o r p r o b l e m . t y p e k n o w l e d g e . C e r t a i n f e a t u r e s o f t h e v e r b a l p r o b l e m . s t a t e m e n t s e e m t o a u t o m a t i c a l l y a c t i v a t e a t y p i c a l r e p r e s e n t a t i o n w h i c h b r i n g s a l o n g a s e t o f e x p e c t a t i o n s a s t o w h a t a r e r o u t i n e , o r d i n a r y , a n d p r o d u c t i v e h e u r i s t i c b e h a v i o r s . S u c h r o u t i n e a c c e s s h a s b e e n c a l l e d " s c h e m a a c c e s s e d " ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 ) , a n d s u c h s t u d e n t m e c h a n i c a l b e h a v i o r a s " s c h e m a d r i v e n " ( S i l v e r , 1 9 8 2 ) . S u c h s t u d e n t b e h a v i o r s a v e s t i m e a n d t r o u b l e , a n d a l l o w s f o r e f f i c i e n t p r o c e s s i n g , a n d i s b e l i e v e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o a c c o u n t f o r m o s t s t u d e n t s ' b e h a v i o r s i n t h e i r a t t e m p t s t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s . I t i s o n l y w h e n s u c h d i r e c t a c c e s s i s n o t a v a i l a b l e , s u c h a s w i t h l e s s f a m i l i a r v e r b a l p r o b l e m s , t h a t o t h e r h e u r i s t i c p r o c e s s e s , m e t a c o g n i t i v e s k i l l s , a n d s t u d e n t b e l i e f s a s s i s t s t u d e n t s i n g a t h e r i n g a l l t h e r e s o u r c e s a t t h e i r d i s p o s a l i n a n e f f i c i e n t m a n n e r , a n d b r i n g t h i s k n o w l e d g e t o b e a r o n a v e r b a l p r o b l e m . T h i s a s s u m p 1 ( 1 9 8 5 ) f o r r e x f r o m h i p r o c e s s F t c o m p a r i s u c c e s s p o o r l y b e n e f i c i n a p p l a s w a s ( A M P S ) P O S s e s s S y s t e m s R a t h e r ; h e u r i s t ; C o n s t r u ( I n M a Y e r ( 3 t r a n s l a t a n d a l g c i n s t r u c t l i s t e d 1 m a i n l y r m 0 d e l 0 f 8 8 a s s u m p t i o n i s t h e p r i m a r y r e a s o n f o r s e l e c t i n g M a y e r ’ s ( 1 9 8 5 ) i n s t r u c t i o n a l t r a i n i n g m o d e l a s a f o c u s i n g p o i n t f o r r e v i e w i n g i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h , s i n c e i t f o l l o w s f r o m h i s e a r l i e r ( M a y e r , 1 9 8 2 ) m o d e l o f s t u d e n t p r o c e s s i n g . F u r t h e r m o r e , t h i s i n v e s t i g a t i o n i n v o l v e s a n a l y z i n g c o m p a r i s o n s b e t w e e n a v e r a g e - a b i l i t y n o v i c e s w h o p e r f o r m s u c c e s s f u l l y a n d a v e r a g e - a b i l i t y n o v i c e s w h o p e r f o r m p o o r l y o n g i v e n v e r b a l p r o b l e m t a s k s , w h i l e f o c u s i n g o n b e n e f i c i a l a n d n o n b e n e f i c i a l b e h a v i o r s o f t h e t w o g r o u p s i n a p p l y i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s t o v e r b a l p r o b l e m s , m u c h a s w a s d o n e i n t h e A p p l i e d M a t h e m a t i c a l P r o b l e m S o l v i n g ( A M P S ) p r o j e c t ( L e s h , 1 9 8 5 ) . A s n o v i c e s , t h e y d o n o t y e t p o s s e s s t h e w e l l o r g a n i z e d c o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l s y s t e m s f o r p r o d u c i n g a s o l u t i o n a s e x p e r t s m i g h t p o s s e s s . R a t h e r s u c h s y s t e m s o f u n d e r s t a n d i n g s , s k i l l s , a n d h e u r i s t i c s a r e " u n s t a b l e " , o r i n v a r i o u s s t a g e s o f c o n s t r u c t i o n o r d e v e 1 0 p m e n t ( L e s h , 1 9 8 5 ) . I n w h a t m i g h t b e c l a s s i f i e d a s a p o s i t i o n p a p e r , M a y e r ( 1 9 8 5 ) o u t l i n e d f o u r a r e a s o f i n s t r u c t i o n : t r a n s l a t i o n t r a i n i n g , s c h e m a t r a i n i n g , s t r a t e g y t r a i n i n g , a n d a l g o r i t h m a u t o m a t i c i t y . W i t h i n e a c h a r e a o f i n s t r u c t i o n , h e b r i e f l y r e v i e w e d r e l a t e d r e s e a r c h a n d l i s t e d i n s t r u c t i o n a l i m p l i c a t i o n s . T h e r e v i e w e d r e s e a r c h m a i n l y r e s t a t e d t h a t g i v e n f o r h i s e a r l i e r t h e o r e t i c a l m o d e l o f s t u d e n t p r o c e s s i n g ( M a y e r , 1 9 8 2 ) , a n d i n c l u d e d f e w i n : h i s f o : l o c a t e ¢ m o d e l . r e l a t i < i m p l i c a h y p o t h e i n s t r u c s u g g e s t 8 9 f e w i n s t r u c t i o n a l s t u d i e s o f a n y s o r t . T h i s w e a k n e s s o f h i s f o r m u l a t i o n h a m p e r e d i n v e s t i g a t o r a t t e m p t s t o c l a s s i f y l o c a t e d i n s t r u c t i o n a l s t u d i e s w i t h i n h i s i n s t r u c t i o n a l m o d e l . S i n c e h i s c i t e d r e s e a r c h h a d l i t t l e i n s t r u c t i o n a l r e l a t i o n s h i p t o t h e p r o p o s e d , l i s t e d i m p l i c a t i o n s , s u c h i m p l i c a t i o n s w o u l d b e b e t t e r t e r m e d , i n t u i t i o n s o r h y p o t h e s e s . T a b l e 2 . 2 i s a r e p r i n t o f M a y e r ’ s i n s t r u c t i o n a l m o d e l , a n d i n c l u d e s h i s i m p l i c a t i o n s a s s u g g e s t i o n s ( M a y e r , 1 9 8 5 , p . 1 2 6 ) . I s s u e s T r a n s l a c o m p ] s o l u 1 S c h e m a u n d e e x e c S t r a t e g p r o c p r o d A l 9 0 r i t ] P r o c e I S S p r I n t h a t M a y 9 0 T a b l e 2 . 2 M a y e r ' s P r o b l e m S o l v i n g I n s t r u c t i o n a l M o d e l I s s u e s T r a n s l a t i o n T r a i n i n g : c o m p r e h e n s i o n v e r s u s s o l u t i o n S c h e m a T r a i n i n g : u n d e r s t a n d i n g v e r s u s e x e c u t i n g S t r a t e g y T r a i n i n g : p r o c e s s v e r s u s p r o d u c t A l g o r i t h m . A u t o m a t i c i t y : p r o c e d u r e s v e r s u s r e s p o n s e S u g g e s t i o n s / I m p i c a t i o n s L e t s t u d e n t s d r a w p i c t u r e s o r m o v e b l o c k s t o r e p r e - s e n t p r o p o s i t i o n s . A s k s t u d e n t s t o r e p h r a s e p r o p o s i t i o n s . A s k s t u d e n t s t o r e w o r d p r o - p o s i t i o n s i n t o a n o t h e r c o n t e x t . A s k s t u d e n t s t o d e r i v e e q u a - t i o n s o r n u m b e r s e n t e n c e s f o r p r o b l e m s e n t e n c e s . M i x p r o b l e m t y p e s i n e x e r c i s e s . A s k s t u d e n t s t o r e c o g n i z e p r o b l e m t y p e s . A s k s t u d e n t s t o s e l e c t r e l e v a n t a n d i r r e l e v a n t i n f o r m a t i o n . A s k s t u d e n t s t o d r a w o r s t a t e p r o b l e m s . L e t s t u d e n t s d e s c r i b e t h e i r s o l u t i o n s t r a t e g i e s . L e t s t u d e n t s c o m p a r e t h e i r s o l u t i o n p r o c e s s t o t h a t o f " e x p e r t s " s u c h a s i n w o r k e d o u t e x a m p l e s . P r o v i d e d i r e c t i n s t r u c t i o n i n s t r a t e g i e s f o r s p e c i f i c p r o b l e m s . P r o v i d e p r a c t i c e i n b a s i c a l g o r i t h m s b e f o r e m o v i n g t o c o m p l e x a l g o r i t h m s . E v a l u a t e a n d r e m e d i a t e p e r f o r m a n c e i n a l g o r i t h m s i n t e r m s o f b u g s i n s u b p r o c e s s e s . I n a f o l l o w - u p r e a c t i o n p a p e r , S o w d e r ( 1 9 8 5 ) n o t e s t h a t M a y e r ' s f o c u s o n v e r b a l p r o b l e m s a n d o n s t u d i e s i n I n t h a t M a w h i c h s s e v e r e l m o d e l f s o l v i n g i m p o r t a p r o b l e m b e t w e e n S o w d e r p r o c e s s m a j o r d S C h e m a s e a r c h P r 0 b l e m b e t w e e n % T h r e v i e w e l i n g u i s a n d S y n m o d e l , S h o w n i f i e l d d S O m e m e a n d P r i 9 1 I n a f o l l o w - u p r e a c t i o n p a p e r , S o w d e r ( 1 9 8 5 ) n o t e s t h a t M a y e r ' s f o c u s o n v e r b a l p r o b l e m s a n d o n s t u d i e s i n w h i c h s u b j e c t s h a v e h a d s i g n i f i c a n t t r a i n i n g i n a l g e b r a s e v e r e l y l i m i t s t h e u s e f u l n e s s o f M a y e r ’ s i n s t r u c t i o n a l m o d e l f o r t h e b r o a d e r a r e a o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . S o w d e r d o e s b e l i e v e t h a t v e r b a l p r o b l e m s a r e a n i m p o r t a n t c l a s s o f t a s k s , a n d r e p r e s e n t a n " i n - b e t w e e n " p r o b l e m c a t e g o r y o r s u b s e t o f r o u t i n e p r o b l e m s , l y i n g b e t w e e n e x e r c i s e s a n d w h a t h e c a l l s " g e n u i n e " p r o b l e m s . S o w d e r d e v e l o p e d t w o d i a g r a m s o f s i m p l i f i e d s e q u e n c e s o f p r o c e s s i n g f o r r o u t i n e a . ; g e n u i n e p r o b l e m s , w i t h t h e m a j o r d i f f e r e n c e b e i n g t h a t g e n u i n e p r o b l e m s r e q u i r e d a s c h e m a s e a r c h , a s o p p o s e d t o r o u t i n e p r o b l e m s w h e r e s u c h a s e a r c h i s u n n e c e s s a r y d u e t o t h e f i n d i n g o f a r e l a t e d p r o b l e m s c h e m a . H e a l s o n o t e s a s i m i l a r d i s t i n c t i o n b e t w e e n p r o f i c i e n c y a n d e x p e r t i s e m u c h a s S c h o e n f e l d d o e s . T r a n s l a t i o n T r a i n i n g T h i s s e c t i o n i s s u b d i v i d e d i n t o t h r e e c l u s t e r s o f r e v i e w e d i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h r e l a t e d t o : p r e r e q u i s i t e l i n g u i s t i c a n d f a c t u a l k n o w l e d g e ( m a t h e m a t i c a l v o c a b u l a r y a n d s y n t a x ) , a l t e r n a t e a p p r o a c h e s t o P o l y a ’ s 4 s t a g e m o d e l , a n d s p e c i f i c t o o l s k i l l i n s t r u c t i o n . I t h a s b e e n s h o w n i n e x p e r t - n o v i c e s t u d i e s t h a t p r o b l e m s o l v i n g i n a n y f i e l d d e m a n d s s o m e m i n i m a l g r o u n d i n g i n c o n t e n t , i n c l u d i n g s o m e m e m o r i z a t i o n o f v o c a b u l a r y , c o n c e p t s , r e l a t i o n s h i p s , a n d p r i n c i p l e s , a n d t h a t s u c h m e m o r i z e d k n o w l e d g e i s a n e c e s s a s o l v i n g g e o m e t r e x p l a n a t o s o l v l i t t l e p r i n c i ; b o t h o f K a n t o w s c o n t e n t a n d s h e t h e u s e p r o b l e m W e b b ’ s P r o b l e m o r d e r f C o n c e p t I n t h e i r b f O r m s . c O m n i t t U S a g e , . u s e d d e S h e e t s . s k e t c h e , t e a c h e r 9 2 n e c e s s a r y , b u t n o t s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r p r o b l e m s o l v i n g t o o c c u r ( L a r k i n , 1 9 8 1 ) . L a r k i n n o t e d t h a t g e o m e t r y a n d p h y s i c s t e x t b o o k s c o n t a i n e d a d e q u a t e e x p l a n a t i o n s o f p r i n c i p l e s i n i t s i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s t o s o l v e a s s o c i a t e d p r o b l e m s , y e t t h e t e x t b o o k s p r e s e n t e d l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t h o w t o s e a r c h f o r a u s e f u l p r i n c i p l e o r h o w t o d e t e r m i n e p r i n c i p l e a p p l i c a b i l i t y , b o t h o f w h i c h c a n b e c o n s i d e r e d h e u r i s t i c b e h a v i o r s . K a n t o w s k i ( 1 9 7 9 ) n o t e d t h a t s u c h m i n i m a l g r o u n d i n g i n c o n t e n t w o u l d h a v e t o b e s p e c i f i c t o t h e c o n t e n t i n v o l v e d , a n d s h e b e l i e v e d t h a t s u c h g r o u n d i n g w a s n e c e s s a r y b e f o r e t h e u s e o f h e u r i s t i c t e c h n i q u e s s e r v e d a n y v a l u e t o t h e p r o b l e m s o l v e r . T h i s l i n e o f r e a s o n i n g r u n s c o u n t e r t o W e b b ' s ( 1 9 7 9 ) c o n t e n t i o n t h a t s o m e s o r t o f h e u r i s t i c p r o b l e m s o l v i n g c a p a b i l i t i e s m u s t e x i s t b e f o r e a n d i n o r d e r f o r c o n c e p t s t o b e a c q u i r e d , o r t h a t a c q u i s i t i o n o f c o n c e p t u a l k n o w l e d g e i s d e p e n d e n t u p o n h e u r i s t i c s . I n K a n t o w s k i ' s s t u d y , s t u d e n t s w e r e a l l o w e d t o u s e t h e i r b o o k s a n d r e f e r e n c e s h e e t s o n t h e v a r i o u s t e s t f o r m s . S h e f o u n d h o w e v e r t h a t o n t h e s e t e s t s , t h e o r e m s c o m m i t t e d t o m e m o r y w e r e e a s i l y a c t i v a t e d f o r s o l u t i o n u s a g e , w h e r e a s t h o s e t h e o r e m s n o t r e c a l l e d w e r e o f t e n n o t u s e d d e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e t e x t b o o k s a n d r e f e r e n c e s h e e t s w e r e a v a i l a b l e f o r s t u d e n t u s e . T h o u g h o n l y s k e t c h e d b r i e f l y , t h e a v a i l a b l e r e s e a r c h i n d i c a t e s t h a t t e a c h e r s n e e d t o r e v i e w i n a d v a n c e t h e m a t h e m a t i c a l a l s o n 6 e x p l i c j t o d a t e m e m o r i z T l s t a t e n m r e g r e s s v e r b a l s t r u c t u a m o u n t s c o r r e c t r e v i e w f o u n d h P r O b l e m i t i s g P r O b l e m t e a c h e r S i m p l e s g e n e r a l 1 9 8 4 ) , t h e n b e V e r b a l c h a r a c t e a S i n g M a : a s c h a r . 9 3 a l s o n e e d t o r e v i e w a n d d i s c u s s t h i s i n f o r m a t i o n e x p l i c i t l y w i t h t h e i r s t u d e n t s , t h e r e b y h e l p i n g s t u d e n t s t o d e t e r m i n e w h i c h a s p e c t s o f t h i s i n f o r m a t i o n s h o u l d b e m e m o r i z e d p r i o r t o h e u r i s t i c a n d t o o l s k i l l i n s t r u c t i o n . T h e l i n g u i s t i c a n d s y n t a c t i c n a t u r e o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s w a s i n v e s t i g a t e d b y J e r m a n ( 1 9 7 1 ) . U s i n g r e g r e s s i o n a n a l y s i s t e c h n i q u e s , h e f o u n d t h a t f o r a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s p o s s e s s i n g a s t a n d a r d u n d e r l y i n g s t r u c t u r e , s y n t a x v a r i a b l e s a c c o u n t e d f o r s i g n i f i c a n t a m o u n t s o f v a r i a n c e i n t h e n u m b e r o f s u b j e c t s a c h i e v i n g c o r r e c t n u m e r i c a l s o l u t i o n s . B a r n e t t ( 1 9 8 4 ) , i n h i s r e v i e w o f t w o a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s t u d i e s , s i m i l a r l y f o u n d h i g h l o a d i n g s f o r s y n t a x v a r i a b l e s r e l a t e d t o p r o b l e m s t a t e m e n t l e n g t h a n d w o r d l e n g t h . I n t h i s r e g a r d , i t i s g e n e r a l l y a g r e e d t h a t t e x t b o o k a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s , w h i c h m a k e u p t h e p r i m a r y c o n t e n t f o r t e a c h e r i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s , u s e t h e s h o r t e s t , s i m p l e s t , a n d m o s t d i r e c t l a n g u a g e p o s s i b l e , a n d a r e g e n e r a l l y d e v o i d o f i r r e l e v a n t i n f o r m a t i o n ( C a l d w e l l , 1 9 8 4 ) . T h e o n l y i m p l i c a t i o n o n t e a c h e r i n s t r u c t i o n w o u l d t h e n b e t h a t t e a c h e r s e x h i b i t s o m e c a r e t h a t t e s t a n d q u i z v e r b a l p r o b l e m d e s i g n s e x h i b i t t h e s a m e s y n t a x c h a r a c t e r i s t i c s o f s t u d i e d v e r b a l p r o b l e m s , t h e r e f o r e e a s i n g s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . M a n y y e a r s o f e x p o s u r e t o v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s a s c h a r a c t e r i z e d a b o v e o f t e n l e a d s t o s t u d e n t s b e l i e v i n g M a s c h a t h a t a s t a t e m A p r o g b e l i e f s t r e s s o f v a r d i r e c t a l g e b r o f t h e f o r m u l . o r S Y S ' a r e p r . a d e v e j D a h m u s P e r c e i x u s e d i 1 i n s t r u c v e r b a l S t u d e n t B e e f f e c t j t o P o l y p r O C Q s S i n d i v i d 9 4 M a n y y e a r s o f e x p o s u r e t o v e r b a l p r o b l e m . s t a t e m e n t s a s c h a r a c t e r i z e d a b o v e o f t e n l e a d s t o s t u d e n t s b e l i e v i n g t h a t a l l g i v e n i n f o r m a t i o n o r d a t a o f a v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t m u s t b e u s e d i n f o r m u l a t i n g a c o r r e c t s o l u t i o n . A . p r o g r a m w h i c h a t t e m p t e d t o c a p i t a l i z e o n t h i s s t u d e n t b e l i e f w a s d e v e 1 0 p e d b y D a h m u s ( 1 9 7 0 ) . H i s a p p r o a c h s t r e s s e s a " d i r e c t - p u r e - p i e c e m e a l — c o m p l e t e " ( D P P C ) a t t a c k o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . A s t u d e n t i s e n c o u r a g e d t o d i r e c t l y t r a n s l a t e p r o b l e m s t a t e m e n t i n f o r m a t i o n i n t o a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s b y c o n c e n t r a t i n g o n o n l y a f e w w o r d s o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t a t a t i m e . E v e n t u a l l y t h e s e f o r m u l a t e d e x p r e s s i o n s a r e p u t t o g e t h e r t o f o r m e q u a t i o n s , o r s y s t e m s o f e q u a t i o n s . T h e d i r e c t t r a n s l a t i o n p r o c e s s e s a r e p r i m a r i l y d r i v e n b y i n s t r u c t i o n o f " k e y w o r d s " . F r o m a d e v e l o p m e n t a l a n d i n s t r u c t i o n a l h i s t o r y p e r s p e c t i v e , D a h m u s ' s a p p r o a c h h a s a p p e a l , s i n c e i t b u i l d s o n w h a t i s p e r c e i v e d t o b e t h e k e y w o r d s a p p r o a c h t o v e r b a l p r o b l e m s u s e d i n e a r l i e r g r a d e s . D a h m u s ( 1 9 7 0 ) c l a i m e d t h a t h i s i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h w a s s u c c e s s f u l i n i m p r o v i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e w i t h a s m a l l s a m p l e o f s t u d e n t s . B a s s l e r , B e e r s , a n d R i c h a r d s o n ( 1 9 7 5 ) t e s t e d t h e e f f e c t i v e n e s s o f D a h m u s ' s i n s t r u c t i o n a l m o d e l a s o p p o s e d t o P o l y a ’ s 4 s t a g e i n s t r u c t i o n a l m o d e l a n d r e l a t e d p r o c e s s e s w i t h 4 8 n i n t h g r a d e s t u d e n t s a s s u b j e c t s . S e v e n i n d i v i d u a l i z e d , i n s t r u c t i o n a l u n i t s f o r e a c h a p p r o a c h w e r e d e v i s e m e a s u r - e q u a t i i n s t r u ' c r i t e r o n t h e v a r i a b l e s s 5 ' r e l a t e . c o n c l u ; e i g h t h 0 f P O L t h a t i ; r e p r e s « t h e s e ; s G e m s ' f r o m a P e r 5 p e ¢ 9 9 1 3 m m t h e S a x T ] a P P I ‘ o a c a l g e b r e r e l a t i c e x P l i c j O n e a l c 9 5 d e v i s e d a n d i m p l e m e n t e d . F o r t h e v e r b a l p r o b l e m p o s t t e s t m e a s u r e a n a l y s i s , t w o c r i t e r i o n s c o r e s w e r e d e v e 1 0 p e d , a n e q u a t i o n s c o r e a n d a s o l u t i o n s c o r e . T h e P o l y a i n s t r u c t i o n a l g r o u p s c o r e d n o t a b l y h i g h e r o n t h e e q u a t i o n c r i t e r i o n , w h i l e n o d i f f e r e n c e s w e r e n o t e d b e t w e e n g r o u p s o n t h e s o l u t i o n c r i t e r i o n . B o t h g r o u p s c a p a b l y d e f i n e d v a r i a b l e s , y e t t h e D a h m u s i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h g r o u p w a s l e s s s u c c e s s f u l i n c o m b i n i n g d a t a a n d v a r i a b l e s i n t o r e l a t e d e q u a t i o n s . T h e r e s e a r c h e r s t e m p e r e d t h e i r c o n c l u s i o n s o m e w h a t a f t e r e x a m i n a t i o n o f s e v e n t h a n d e i g h t h g r a d e t e x t b o o k s , w h i c h r e v e a l e d e x p l i c i t t r e a t m e n t o f P o l y a ’ s m o d e l w i t h i n t h e s e t e x t b o o k s . T h e y c o n c l u d e d t h a t i n s t r u c t i o n u s i n g D a h m u s ' s a p p r o a c h m a y h a v e r e p r e s e n t e d a n e w , a n d p o s s i b l y c o n f l i c t i n g t e c h n i q u e f o r t h e s e s t u d e n t s b a s e d o n t h e i r i n s t r u c t i o n a l h i s t o r i e s . I t s e e m s t h a t b o t h i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h e s h a v e s o m e a p p e a l f r o m a d e v e l o p m e n t a l a n d i n s t r u c t i o n a l h i s t o r y p e r s p e c t i v e , a n d e x p l a i n s s o m e w h a t w h y a s p e c t s o f b o t h a p p r o a c h e s a r e g e n e r a l l y i n c l u d e d a n d c a n c o - e x i s t w i t h i n t h e s a m e A l g e b r a I t e x t b o o k . T h e b i g g e s t d i f f i c u l t y f o r s t u d e n t s w i t h i n D a h m u s ' s a p p r o a c h i s t h e t r a n s i t i o n o r t r a n s f e r o f h i s m e t h o d s t o a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s i n w h i c h t h e e q u a t i o n r e l a t i o n s h i p s a n d r e q u i r e d c o n t e n t k n o w l e d g e i s n o t g i v e n e x p l i c i t l y , b u t i s r a t h e r i m p l i c i t l y a s s u m e d t o b e k n o w n . O n e a l g e b r a t e x t b o o k a t t e m p t e d t o s m o o t h t h i s t r a n s i t i o n s e n t e n < t h e i r : e q u a t i < e x p l i c : a d d i t i c p r o b l e 1 T h i s i 1 i n s t r u : a n d c c ] 0 1 ' d i n V 1 t h r e e . p r o b l e J f i v e b . a p p r o x ; d a t a , a t o o l 8 ] t h a n h . d e f i n i ‘ C o n s i d ‘ E x P e r i ] c O n t r o j i n s t r u , e x a m p l c s u b j e m P r O b l e , 9 6 s e n t e n c e s a s t o t h e i r " c o n d i t i o n " ( 1 o r 2 ) r e l a t e d t o t h e i r i m p a c t o n v a r i a b l e d e f i n i t i o n f o r m u l a t i o n s ( 1 ) o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n ( 2 ) . I t i s p o s s i b l e t h a t s u c h e x p l i c i t a n d e x t e r n a l w r i t t e n s t u d e n t w o r k m a y a d d i t i o n a l l y h e l p a n d i m p r o v e s t u d e n t r e a d i n g o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s , t h o u g h i t s m e r i t h a s n o t b e e n t e s t e d . T h i s i n v e s t i g a t i o n ’ s d e s i g n i n c o r p o r a t e s b o t h i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h e s , g i v i n g p r i m a c y t o P o l y a ' s m o d e l , a n d c o n s i d e r i n g b o t h a p p r o a c h e s t o b e g e n e r a l h e u r i s t i c s , o r d i r e c t o r s o f m e a n s - e n d s a n a l y s i s . V O s ( 1 9 7 6 ) i n v e s t i g a t e d t h e r e l a t i v e e f f e c t i v e n e s s o f t h r e e i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t s o n t h e a c q u i s i t i o n o f f i v e p r o b l e m s o l v i n g b e h a v i o r s a c r o s s g r a d e s 9 , 1 0 , a n d 1 1 . T h e f i v e b e h a v i o r s w e r e : a ) d r a w i n g d i a g r a m s , b ) a p p r o x i m a t i n g , c ) c o n s t r u c t i n g e q u a t i o n s , d ) c l a s s i f y i n g d a t a , a n d e ) c o n s t r u c t i n g c h a r t s , w h i c h r e p r e s e n t m o s t l y t o o l s k i l l s o r s t u d e n t s ' w r i t t e n c o n s t r u c t i o n s , r a t h e r t h a n h e u r i s t i c s o r t h e p r o c e s s e s i n v o l v e d i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n a n d s o l u t i o n , w h i c h a r e c o n s i d e r e d m o r e a l g o r i t h m i c i n n a t u r e . T h e t w o e x p e r i m e n t a l i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t s ( t h i r d t r e a t m e n t a c o n t r o l g r o u p ) i n v o l v e d v a r y i n g t h e p r e s e n c e o f w r i t t e n i n s t r u c t i o n s w h i c h i n c l u d e d a r e l e v a n t , w o r k e d o u t e x a m p l e , a n d a c h e c k l i s t o f p o s s i b l e b e h a v i o r s g i v e n t o s u b j e c t s a s t h e y a t t e m p t e d t o s o l v e a s e r i e s o f v e r b a l p r o b l e m t a s k s . T h e t w o a l g e b r a c l a s s e s o f t h e s t u d y s u b j e c - p r o b l e J e x h i b i t s k i l l s T r e a t m ; i n s t r u c T ] d e s i g n : t e s t s ] s k i l l . g r a d e s o f t h e s t u d e n 1 C o n t r o j l e a s t a ( W e b b 4 S k i l l s e n t i t i e V k t o o l 3 ] w i t h e : i n s t r u c S t u d e n t e x P l i c j i s n o t S P e C i f j 9 7 s u b j e c t s a s t h e y a t t e m p t e d t o s o l v e a s e r i e s o f v e r b a l p r o b l e m t a s k s . T h e t w o a l g e b r a c l a s s e s o f t h e s t u d y e x h i b i t e d t h e g r e a t e s t u s a g e o f t h e f i v e b e h a v i o r s ( t o o l s k i l l s ) , a n d p e r f o r m a n c e w a s b e s t f o r t h e B e h a v i o r T r e a t m e n t g r o u p s , w h i c h r e c e i v e d o n l y t h e w r i t t e n i n s t r u c t i o n s / e x a m p l e p r e s e n t a t i o n a n d n o c h e c k l i s t . T h e M a t h e m a t i c a l P r o b l e m S o l v i n g P r o j e c t ( M P S P ) d e s i g n e d 3 i n s t r u c t i o n a l s k i l l s ' b o o k l e t s , f o r a g u e s s a n d t e s t s k i l l , a t a b l e m a k i n g s k i l l , a n d a o r g a n i z e d l i s t i n g s k i l l . . A f t e r i m p l e m e n t a t i o n w i t h o v e r 7 0 0 s t u d e n t s i n g r a d e s 4 , 5 , a n d 6 p a r t i c i p a t i n g , a s u m m a t i v e e v a l u a t i o n o f t h e b o o k l e t s w a s c o m p l e t e d . T h e r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s u s i n g t h e s k i l l s ’ b o o k l e t s p e r f o r m e d b e t t e r t h a n c o n t r o l s t u d e n t s i n s o l v i n g " p r o c e s s " p r o b l e m s , a n d a t l e a s t a s w e l l i n s o l v i n g s t a n d a r d t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s ( W e b b a n d C h a r l e s , 1 9 7 7 ) . O n e m i g h t r e c o g n i z e t h e t h r e e s k i l l s d e v e l o p e d i n t h e b o o k l e t s a s r e p r e s e n t a t i v e o f e n t i t i e s g e n e r a l l y l a b e l e d p r o b l e m s o l v i n g " s t r a t e g i e s " . V o s ' s s t u d y i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s c a n a p p l y t h e s e t o o l s k i l l s w h e n t h e y a r e p r o m p t e d b y w r i t t e n i n s t r u c t i o n w i t h e x a m p l e s , w h i c h i s a s s u m e d t o b e t r u e o f c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n . H o w e v e r i t i s l e s s c l e a r a s t o w h e t h e r s t u d e n t s c o n s i d e r u s i n g s u c h t o o l s k i l l s w h e n s u c h e x p l i c i t p r e s e n t a t i o n o f w r i t t e n i n s t r u c t i o n a n d e x a m p l e s i s n o t i m m e d i a t e l y p r o v i d e d . A l s o l e f t u n c l e a r i s w h e t h e r s p e c i f i c i n s t r u c t i o n i n h o w , w h e n , a n d w h y s u c h t o o l s k i l l s i m p r o v e i m p r o v c s k i l l s § g h § p g _ M o n e t o h a v i n g t y p e s , a n d r e ] a s p h y : l a n g u a . t h e C e : w h i c h . i m p a c t i s s u e k n o w l e ‘ P r o b l e 1 v e r b a l l o c a t e . t h i s i : S . f O u n d ; ( 1 9 8 3 ) s t u d e m d e V e l o l 9 8 s k i l l s a r e a p p r o p r i a t e f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s i m p r o v e s s t u d e n t p e r f o r m a n c e , o r e v e n i f s u c h i n s t r u c t i o n i m p r o v e s s t u d e n t a w a r e n e s s o f t h e p u r p o s e s w h i c h t o o l s k i l l s s e r v e i n t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . S c h e m a T r a i n i n g M a y e r ' s ( 1 9 8 5 ) d i s c u s s i o n o f s c h e m a t r a i n i n g l e a d s o n e t o b e l i e v e t h a t s u c h t r a i n i n g c o n s i s t s s o l e l y o f h a v i n g s t u d e n t s p r a c t i c e r e c o g n i t i o n o f v e r b a l p r o b l e m t y p e s , n a m i n g a n d c a t e g o r i z i n g v e r b a l p r o b l e m s b y t y p e , a n d r e p r e s e n t i n g v e r b a l p r o b l e m s i n a l t e r n a t e f o r m s s u c h a s p h y s i c a l , p i c t o r i a l , s y m b o l i c , o r i n a l t e r n a t e l a n g u a g e . T h i s i n s t r u c t i o n a l f o r m u l a t i o n s e v e r e l y l i m i t s t h e c e n t r a l p o s i t i o n o c c u p i e d b y p r o b l e m t y p e s c h e m a t a , w h i c h i s c l a i m e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o h a v e t h e g r e a t e s t i m p a c t o n s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e . A . g r e a t e r i s s u e f o r t h e i n v e s t i g a t o r i s t h e c o n t a i n e d d e p t h o f k n o w l e d g e a n d r e l a t e d a c t i o n h e u r i s t i c s a t t a c h e d t o s i n g l e p r o b l e m t y p e s c h e m a t a , d u e t o t h e b e l i e f t h a t m o s t a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m p r o c e s s i n g i s l a r g e l y s c h e m a d r i v e n . N o l o c a t e d r e s e a r c h s t u d i e s h a s b e e n f o u n d t h a t a d d r e s s e d t h i s i s s u e . S o m e s u p p o r t f o r t h e i n v e s t i g a t o r ' s p o s i t i o n w a s f o u n d i n t w o s t u d i e s , G r e e n o ( 1 9 8 0 ) a n d R i l e y e t a l ( 1 9 8 3 ) , w h i c h i n v e s t i g a t e d e a r l y e l e m e n t a r y s c h o o l s t u d e n t s ' v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s . B o t h s t u d i e s f o u n d a d e v e l o p m e n t a l p a t t e r n o c c u r r e d i n w h i c h c h i l d r e n b e g i n w i t h t i a n d o n g r a d u a s c h e m a ‘ c o n t e x g r a d e r i n s t r u - m a t h e m . M p r o b l e i n s t r u l s u p p e r t h e t h g r a d e P r o b l e a t a t O S i g n i r P r o b l e l W i t h i n t e a c h e ; i n s t r u . B r o d e r ° f P r o ] a n d D r ; 0 0 1 1 9 9 . 9 9 w i t h t h e i d e a t h a t a l l v e r b a l p r o b l e m s a r e o f o n e t y p e , a n d o n l y l a t e r , p o s s i b l y d u e t o i n s t r u c t i o n , d o c h i l d r e n g r a d u a l l y b e g i n t o d i f f e r e n t i a t e a m o n g d i f f e r e n t t y p e s o f s c h e m a t a . . A d d i t i o n a l l y , Z i m m e r m a n ( 1 9 7 9 ) f o u n d t h a t c o n t e x t u a l c u e s c a r r i e d a n i n o r d i n a t e i n f l u e n c e o n s i x t h g r a d e r s v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s , e v e n w h e n t h e i n s t r u c t i o n a l p r o b l e m s i n v o l v e d a v a r i e t y o f u n d e r l y i n g m a t h e m a t i c s . M a y e r ' s s u g g e s t i o n o f t r a i n i n g s t u d e n t s t o r e c o g n i z e p r o b l e m t y p e s , u s i n g a m i x t u r e o f p r o b l e m t y p e s w i t h i n i n s t r u c t i o n , s o m e t h i n g t e x t b o o k s s e l d o m d o , h a s r e c e i v e d s u p p o r t . S u m a g a y s a y ( 1 9 7 2 ) f o u n d t h a t a g r a d u a l m i x o f t h e t h r e e t y p e s o f p e r c e n t a g e p r o b l e m s w i t h i n s e v e n t h g r a d e i n s t r u c t i o n r e s u l t e d i n b e t t e r p e r f o r m a n c e o n s u c h p r o b l e m s t h a n e i t h e r i n s t r u c t i o n w h i c h f o c u s e d o n o n e t y p e a t a t i m e o r i n s t r u c t i o n o f a l l t h r e e t y p e s a t o n c e . O n e a s p e c t o f i n s t r u c t i o n w h i c h m i g h t h a v e s i g n i f i c a n t i m p a c t o n s t u d e n t d e v e l o p m e n t o f e n r i c h e d p r o b l e m t y p e s c h e m a t a i s t h e u s e o f w o r k e d o u t e x a m p l e s ‘ w i t h i n i n s t r u c t i o n ( b o t h t e x t b o o k a n d t e a c h e r ) , a n d t e a c h e r m o d e l i n g o f s a m p l e s d u r i n g v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . T h e c l a s s i c i n s t r u c t i o n a l s t u d y o f B l o e m a n d B r o d e r ( 1 9 5 0 ) s h o w e d t h a t l i k e o t h e r " h a b i t s " , t h e h a b i t s o f p r o b l e m s o l v i n g c a n b e a l t e r e d b y a p p r o p r i a t e t r a i n i n g a n d p r a c t i c e . B l o o m a n d B r o d e r r e c r u i t e d a g r o u p o f c o l l e g e f r e s h m e n , c a l l e d t h e " r e m e d i a l g r o u p “ , w h o p a s s e s : f o r s u « f a i l e d p r o b l e i m i t a t . s t u d e n ‘ o n e x m r e m e d i t h e i r 1 p r o b l e t r a n s c : r e s u l t : r e t a k i ; r e m e d i r e t a k i : H o w e v e ; m o r e t : t h e i n : r e c e i n a n d b e « s o l v i n l t h e i r 1 t h e t r a a n d 0 p 1 l e a r n e ( 1 0 0 p o s s e s s e d t h e a b i l i t y , k n o w l e d g e , a n d m o t i v a t i o n n e e d e d f o r s u c c e s s o n c o m p r e h e n s i v e e x a m i n a t i o n s , a n d y e t s o m e h o w f a i l e d t o c o r r e c t l y s o l v e m a n y o f t h e e x a m i n a t i o n s ' p r o b l e m s . T h i s r e m e d i a l g r o u p o f s t u d e n t s w e r e t a u g h t t o i m i t a t e a n d m a k e u s e o f t h e p r o c e s s e s u s e d b y " m o d e l " s t u d e n t s , a g r o u p s i m i l a r i n a p t i t u d e , b u t m o r e s u c c e s s f u l o n e x a m i n a t i o n p r o b l e m s . I n 1 0 — 1 2 t r a i n i n g s e s s i o n s , r e m e d i a l s t u d e n t s w e r e a s k e d t o " t h i n k a l o u d " a n d d e s c r i b e t h e i r p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s e s a s t h e y w o r k e d t h r o u g h p r o b l e m s , a n d t h e n c o m p a r e d t h e i r e m p l o y e d p r o c e s s e s w i t h t r a n s c r i p t s o f t h e p r o c e s s e s u s e d b y t h e m o d e l g r o u p . T h e r e s u l t s s h o w e d i m p r o v e d p e r f o r m a n c e i n a d d i t i o n a l r e t a k i n g s o f t h e c o m p r e h e n s i v e e x a m i n a t i o n s b y t h e r e m e d i a l g r o u p a s c o m p a r e d w i t h a m a t c h e d g r o u p ' s r e t a k i n g s w h o d i d n o t p a r t i c i p a t e i n t h e t r a i n i n g . H o w e v e r , t h e p o s i t i v e e f f e c t s o f t h e t r a i n i n g w e r e d u e t o m o r e t h a n j u s t t h e i n c o r p o r a t i o n o f w o r k e d e x a m p l e s w i t h i n t h e i n s t r u c t i o n a l t r a i n i n g . T h e r e m e d i a l g r o u p a l s o r e c e i v e d a d d i t i o n a l p r a c t i c e w i t h e x a m i n a t i o n p r o b l e m s , a n d b e c a m e m o r e s k i l l f u l a t a n a l y z i n g t h e i r o w n p r o b l e m s o l v i n g b e h a v i o r s ( w h i c h r e l a t e s t o m e t a c o g n i t i o n ) t h a n t h e i r m a t c h e d g r o u p c o u n t e r p a r t s . I t w a s a l s o n o t e d t h a t t h e t r a i n e d s t u d e n t s e x p r e s s e d h i g h l e v e l s o f c o n f i d e n c e a n d O p t i m i s m ( m e t a c o g n i t i v e a s p e c t s ) c o n c e r n i n g t h e i r l e a r n e d p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s . B l o o m a n d B r o d e r a l s o c o n c l u d e d t h a t a c e r t a i n a m o u n t o f s p e c i f i c b a c k g r o u n d i n f o r m a s o l v i n g b a s i c k A o f i n f o ( e q u i v a r e l a t e d s o l u t i c p r o b l e m v o l u n t e m a t h e m a D a t a w e S U b j e c 1 P r 0 b 1 e 1 c o m p l e ' p r o b l e F O r t h V e r b a l S t a t e m T h e f i m e a n i n t O g e t h S O l v i n s o l v ] ; n s ° 1 V i n t h e t a 1 0 1 i n f o r m a t i o n w a s e s s e n t i a l , a n d t h a t m e t h o d s o f p r o b l e m s o l v i n g , b y t h e m s e l v e s , c a n n o t s e r v e a s a s u b s t i t u t e f o r b a s i c k n o w l e d g e o f s u b j e c t m a t t e r . A s t u d y b y K u l m a n d D a y s ( 1 9 7 9 ) e x p l o r e d t h e t r a n s f e r o f i n f o r m a t i o n a c q u i r e d i n s o l v i n g e a c h o f f o u r c a t e g o r i e s ( e q u i v a l e n t , s p e c i a l c a s e , s i m i l a r , a n d g e n e r a l i z a t i o n ) o f r e l a t e d p r o b l e m s , a n d o n e u n r e l a t e d p r o b l e m o n t h e s o l u t i o n o f t w o t a r g e t p r o b l e m s , o n e a l g e b r a i c v e r b a l p r o b l e m a n d o n e p u z z l e p r o b l e m . T h e s u b j e c t s w e r e 3 5 v o l u n t e e r p r o s p e c t i v e e l e m e n t a r y s c h o o l t e a c h e r s f r o m f o u r m a t h e m a t i c s c l a s s e s , w i t h a l l b u t t w o s u b j e c t s f e m a l e . D a t a w a s c o l l e c t e d i n s e v e n s e p a r a t e s e s s i o n s , f i v e s u b j e c t s p e r s e s s i o n , i n w h i c h s u b j e c t s s o l v e d a n a s s i g n e d p r o b l e m f r o m o n e o f t h e f i v e c a t e g o r i e s , a n d t h e n c o m p l e t e d a " g u e s s i n g " b o o k l e t c o n t a i n i n g t h e t a r g e t p r o b l e m s , i n w h a t a p p e a r e d t o b e a " c l o z e " t y p e p r o c e d u r e . F o r t h e a n a l y s i s o f s u b j e c t p e r f o r m a n c e , t h e a l g e b r a i c v e r b a l p r o b l e m w a s d i v i d e d i n t o t h r e e p a r t s : t h e s t a t e m e n t , t h e s o l u t i o n s e t - u p , a n d t h e s o l u t i o n i t s e l f . T h e f i n d i n g s s h o w e d t h a t t h e s o l u t i o n s e t - u p ( p o s s i b l y m e a n i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n t o g e t h e r ) w a s t h e m o s t d i f f i c u l t o f t h e t h r e e p r o b l e m s o l v i n g s t a g e s . M e r e l e a r n i n g o r t r a n s f e r w a s g a i n e d b y s o l v i n g a m o r e g e n e r a l o r s i m i l a r p r o b l e m f o r m t h a n b y s o l v i n g a s i m p l e r c a s e o r a n e q u i v a l e n t p r o b l e m f o r m f o r t h e t a r g e t a l g e b r a i c p r o b l e m , a n d t h i s s u p e r i o r i t y w a s e s p e c i s t a g e . v e r b a l c o m p l e m o r e e w e r e 5 p r o d u c p l a y e d t h a t t p r o b l e a l g e b r n e c e s s e x t r a c S u s i n g e f f e c t a C Q u i s W h i l e e q u a t i e x p e r i e X a m p l t h e t a P r o b l e ° W n u r T h e e n 3 C 0 1 1 1 0 2 e s p e c i a l l y n o t e w o r t h y i n t h e c r u c i a l s o l u t i o n s e t - u p s t a g e . T h e r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t s o l v i n g a l g e b r a i c v e r b a l p r o b l e m s i s d i f f e r e n t f r o m r u l e l e a r n i n g i n t h a t a c o m p l e x — s i m p l e s e q u e n c e o f p r o b l e m p r e s e n t a t i o n a p p e a r e d m o r e e f f e c t i v e . B o t h t y p e s , a l g e b r a i c a n d p u z z l e p r o b l e m s w e r e s i m i l a r i n t h a t t h e g e n e r a l - s p e c i f i c s e q u e n c e p r o d u c e d s i g n i f i c a n t t r a n s f e r o f i n f o r m a t i o n , a n d c o n t e x t p l a y e d a n i m p o r t a n t r o l e i n t h i s t r a n s f e r . T h e y c o n c l u d e d t h a t t h e p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o t y p e s o f p r o b l e m s i n d i c a t e d t h a t t h e s t r a t e g i e s u s e d f o r s o l v i n g a l g e b r a i c v e r b a l p r o b l e m s m a y b e m o r e s p e c i f i c , n e c e s s i t a t i n g t h a t s t u d e n t s s o l v e a p r o b l e m w h e r e e x t r a c t i o n o f t h e s e s p e c i f i c a l g e b r a i c m e t h o d s c a n o c c u r . S w e l l e r a n d C o o p e r ( 1 9 8 5 ) t e s t e d t h e a p p l i c a b i l i t y o f u s i n g w o r k e d e x a m p l e s a s a n i n s t r u c t i o n a l t o o l , a n d i t s e f f e c t s o n s c h e m a a c q u i s i t i o n a n d h e u r i s t i c p r o c e s s a c q u i s i t i o n . T h e s u b j e c t s w e r e l e v e l 8 a n d 9 s t u d e n t s , w h i l e t h e c o n t e n t w a s a l g e b r a i c t e c h n i q u e s ( s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s ) r a t h e r t h a n v e r b a l p r o b l e m s . I n e a c h e x p e r i m e n t , t h e e x p e r i m e n t a l g r o u p r e c e i v e d a w o r k e d e x a m p l e o r e x a m p l e s t o s t u d y p r i o r t o t h e p r e s e n t a t i o n o f t h e t a r g e t t a s k . T h e c o n t r o l g r o u p s w e r e g i v e n a s i m i l a r p r o b l e m o r p r o b l e m s t o s o l v e f r o m w h i c h t o d e v e l o p t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g p r i o r t o t h e t a r g e t t a s k p r e s e n t a t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l g r o u p s o u t p e r f o r m e d t h e c o n t r o l g r o u p s o n a c o l l e c t i o n o f t a r g e t t a s k p r o b l e m s , b o t h i n t e r m s o f d i s s i n a c q u i s m e t h o d i n s t r u a c q u i s t h a t v t h e r e m o v e s , T h e y a d o m a i n i n d i c a p r o b l e t h r o u g l q u a n t i o f t e a P r o b l e S t u d e n r e t e n t w o r k e d f r o m Q 1 0 3 d i s s i m i l a r c h a r a c t e r . T h e y c o n c l u d e d t h a t s c h e m a a c q u i s i t i o n w a s e n h a n c e d b y s u c h a n i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e m e t h o d , a n d t h a t h e a v i e r u s e o f w o r k e d e x a m p l e s w i t h i n i n s t r u c t i o n r e d u c e s t h e t i m e p e r i o d f o r s c h e m a a c q u i s i t i o n . T h e r e a s o n f o r t h i s a d v a n t a g e a p p e a r s t o b e t h a t w o r k e d e x a m p l e s t e n d t o f o c u s s t u d e n t a t t e n t i o n o n t h e r e l a t i o n s b e t w e e n r e l e v a n t p r o b l e m s t a t e s a n d r e l e v a n t m o v e s , a n d a w a y f r o m t h e i m m e d i a t e g o a l o f t h e p r o b l e m . T h e y a l s o c o n j e c t u r e d t h a t i f p r o b l e m s o l v i n g s k i l l i s d o m a i n s p e c i f i c , a s t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e s e e m s t o i n d i c a t e , t h e n l e a r n i n g h o w t o s o l v e p a r t i c u l a r t y p e s o f p r o b l e m s m a y b e t h e o n l y s k i l l t h a t c a n b e a c q u i r e d t h r o u g h s c h o o l i n g . ‘ T h e a b o v e r e v i e w e d s t u d i e s i n d i c a t e t h a t t h e q u a n t i t y , s e q u e n t i a l n a t u r e o f p r e s e n t a t i o n , a n d q u a l i t y o f t e a c h e r m o d e l i n g o f w o r k e d e x a m p l e s o f v a r i o u s v e r b a l p r o b l e m t y p e s w i t h i n i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s e a c h e f f e c t s t u d e n t s ' p r o b l e m t y p e s c h e m a t a a c q u i s i t i o n , a n d p o s s i b l y r e t e n t i o n . A l l t h r e e a s p e c t s o f t e a c h e r p r e s e n t a t i o n s o f w o r k e d e x a m p l e s a p p e a r c a p a b l e o f i n v e s t i g a t o r d e s c r i p t i o n f r o m o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s . m ' 1 m o s t c t h e b 1 r e s e a i k n o w l e s o l v i r s t u d i e c o m p o : a n d w l h e u r i s t e a c h e l e x e m p l c o m p u 1 F o r e } S O l V i I o f C O ! r e c o g l W h i c h f 0 r m u l t 0 a m i n s t r t t h a t . a r e n c s o ) , 1 0 4 S t r a t e g y T r a i n i n g T h i s a r e a o f i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h i s c l e a r l y t h e m o s t d i f f i c u l t o f t h e f o u r a r e a s t o r e v i e w , d u e b o t h t o t h e b r o a d n a t u r e o f t h e c a t e g o r y a n d t h e e x t e n s i v e r e s e a r c h e f f o r t s s p a w n e d b y a b e l i e f t h a t s t r a t e g i c k n o w l e d g e i s o f c e n t r a l i m p o r t a n c e i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . H e n c e t h e i n v e s t i g a t o r h a s s e l e c t e d t h o s e s t u d i e s f o r r e v i e w w h i c h c o n t a i n a n i n s t r u c t i o n a l c o m p o n e n t ( e i t h e r s e l f - i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s o r t e a c h e r ) a n d w h i c h r e l a t e d i r e c t l y t o t h e t h r e e s t r a t e g y a r e a s : h e u r i s t i c p r o c e s s i n g b e h a v i o r s , m e t a c o g n i t i o n , o r t e a c h e r / s t u d e n t b e l i e f s . T h e i m p o r t a n c e o f s t r a t e g i c k n o w l e d g e h a s b e e n b e s t e x e m p l i f i e d b y c o g n i t i v e p s y c h o l o g i s t s ' a t t e m p t s t o b u i l d c o m p u t e r p r o g r a m m o d e l s o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . F o r e x a m p l e , G r e e n o ( 1 9 7 8 ) d e v e 1 0 p e d a c o m p u t e r m o d e l f o r s o l v i n g g e o m e t r i c p r o o f s . B e s i d e s i n c o r p o r a t i n g a s p e c t s o f c o n c e p t u a l a n d l i n g u i s t i c k n o w l e d g e a n d c o n c e p t r e c o g n i t i o n w i t h i n h i s m o d e l , h e i n c l u d e d a c o m p o n e n t , w h i c h h e c a l l e d s t r a t e g i c k n o w l e d g e , w h i c h s e t g o a l s a n d f o r m u l a t e d s o l u t i o n p l a n s . H e n o t e d t h a t t r a i n i n g i n h o w t o a p p r o a c h p r o b l e m s i s n o t g e n e r a l l y a p a r t o f f o r m a l i n s t r u c t i o n . I n h i s r e v i e w o f t e x t b o o k s , G r e e n o n o t e d t h a t " p r i n c i p l e s u s e d i n s e t t i n g g o a l s a n d f o r m i n g p l a n s a r e n o t m e n t i o n e d i n a n y t e x t t h a t I h a v e e x a m i n e d " ( p . 6 0 ) . Y e t h e g o e s o n t o p r e s e n t e v i d e n c e t h a t s u c h s t r a t l e a r I r e f e r t h e y t o " t g e n e : 1 9 8 0 ) c o m p a t a s k s o l v i h y p o t i n t a t r a i n t r a n s t h e u h Y p o t P l a n n P e r f o S p e c i r e s u l i n s t r P r o v i . t e C h n . r E S u l . 1 0 5 s t r a t e g i c k n o w l e d g e i s r e q u i r e d f o r p r o b l e m s o l v i n g t o b e l e a r n e d . G r e e n o ’ s c o n c e p t i o n o f s t r a t e g i c k n o w l e d g e p r i m a r i l y r e f e r s t o w h a t a r e k n o w n a s " g e n e r a l " h e u r i s t i c s , s i n c e t h e y i n v o l v e p l a n n i n g a n d s u b g o a l g e n e r a t i o n , a s o p p o s e d t o " t a s k s p e c i f i c " h e u r i s t i c s , w h i c h a r e l e s s g e n e r a l i z a b l e a n d h e n c e m o r e p r o b l e m s p e c i f i c ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . E a r l y i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h s t u d i e s a t t e m p t e d t o c o m p a r e w h i c h o f t h e t w o k i n d s o f h e u r i s t i c s , g e n e r a l o r t a s k s p e c i f i c , h a d g r e a t e r i m p a c t o n s t u d e n t p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . F o r e x a m p l e , W i l s o n ( 1 9 6 7 ) h y p o t h e s i z e d t h a t h i g h s c h o o l s t u d e n t s g i v e n i n s t r u c t i o n i n t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s w o u l d p e r f o r m b e t t e r o n h i s t r a i n i n g t a s k s ( n e a r t r a n s f e r ) , a n d m o r e p o o r l y o n h i s f a r t r a n s f e r t a s k s t h a n s i m i l a r s t u d e n t s g i v e n i n s t r u c t i o n i n t h e u s e o f p l a n n i n g a n d m e a n s - e n d s h e u r i s t i c s . T h e h y p o t h e s i s w a s n o t c o n f i r m e d , a n d W i l s o n f o u n d t h a t t h e p l a n n i n g h e u r i s t i c s g r o u p a c t u a l l y d e m o n s t r a t e d b e t t e r p e r f o r m a n c e o n t h e t r a i n i n g t a s k s , t h a n d i d t h e t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s g r o u p . . A p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e r e s u l t s w a s t h e s h o r t d u r a t i o n o f t h e i n s t r u c t i o n ( s e l f - i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s ) b e i n g o n l y t w o , 3 h o u r s e s s i o n s . S m i t h ( 1 9 7 3 ) e x p a n d e d u p o n W i l s o n ' s i n s t r u c t i o n t o p r o v i d e g r e a t e r s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e g e n e r a l h e u r i s t i c t e c h n i q u e s w i t h i n m o r e d i v e r s e t a s k e n v i r o n m e n t s . H i s r e s u l t s h o w e v e r w e r e s b m i l a r t o t h o s e o f W i l s o n ' s s t u d y . B o t h o f t e n w i t h i t h e v s t u d e o f a s u b j e c o n s i s t a g e i n s t r q u e s t S p e c i i n s t r e x p e c d i c t a s t u d y i n s t r i n s t r S i g n i s t u d y e x p e l : C l a s s t a u g h P r o b l 1 0 6 B o t h s t u d i e s i n d i c a t e d t h a t t h e s t r o n g t r a n s f e r p o w e r o f t e n a t t r i b u t e d t o g e n e r a l h e u r i s t i c s w a s n o t e v i d e n t w i t h i n t h e i r s u b j e c t s ' p e r f o r m a n c e . P o s t a n d B r e n n a n ( 1 9 7 6 ) , i n a n i n s t r u c t i o n a l s t u d y o f t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s o f t e n t h g r a d e s t u d e n t s f o u n d s i m i l a r r e s u l t s w i t h r e g a r d s t o i n s t r u c t i o n o f a g e n e r a l h e u r i s t i c p r o c e d u r e . T h e e x p e r i m e n t a l s u b j e c t s w e r e t a u g h t a g e n e r a l h e u r i s t i c p r o c e d u r e c o n s i s t i n g o f f o u r p h a s e s , w h i c h w e r e s i m i l a r t o P o l y a ' s 4 s t a g e s . W i t h i n e a c h p h a s e , s u b j e c t s w e r e g i v e n s p e c i f i c i n s t r u c t i o n s o r s u g g e s t i o n s , w h i c h r e l a t e d t o P o l y a ' s q u e s t i o n s f o r e a c h s t a g e , o r m i g h t b e r e f e r r e d t o a s t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e i r i n s t r u c t i o n a l m o d e l c l o s e l y r e s e m b l e s t h e i n v e s t i g a t o r ' s e x p e c t a t i o n s a s t o t h e n a t u r e o f t e a c h e r i n s t r u c t i o n d i c t a t e d b y A l g e b r a I t e x t b o o k s ' f o r m u l a t i o n , t h o u g h t h i s s t u d y u s e d s e l f - i n s t r u c t i o n a l b o o k l e t s a s t h e m o d e o f i n s t r u c t i o n . H e n c e t h e r e i s s o m e i n d i c a t i o n t h a t i n s t r u c t i o n i n a g e n e r a l h e u r i s t i c p r o c e d u r e h a d n o s i g n i f i c a n t e f f e c t o n p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . M o r e e n c o u r a g i n g r e s u l t s w e r e f o u n d i n a d i s s e r t a t i o n s t u d y d o n e b y A s h t o n ( 1 9 6 2 ) , i n w h i c h a n i n s t r u c t i o n a l e x p e r i m e n t w a s p e r f o r m e d i n v o l v i n g t e n n i n t h g r a d e a l g e b r a c l a s s e s . O n e o f t w o c l a s s e s i n e a c h o f f i v e s c h o o l s w a s t a u g h t t o u s e h e u r i s t i c m e t h o d s f o r s o l v i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , w h i l e t h e o t h e r c l a s s o f t h e p a i r w a s t a u g h t t h e " t e x t t a u g h h e u r i d i s c o s u g g e i n c o r p r o v i a n d p . t e a c h v h e u r i : o u t p e : w i t h < o n e ( I t h e s \ E t r a n s j w a s S c i d e n t j t o p r o r e s u l t C ° n C l u s u b s t a C O n t e n I n a d d i d e a s 1 0 7 " t e x t b o o k " m e t h o d . I n e a c h s c h o o l , t h e s a m e t e a c h e r t a u g h t b o t h c o n t r a s t i n g m e t h o d s f o r a t e n w e e k p e r i o d . T h e h e u r i s t i c m e t h o d c o n s i s t e d o f a i d i n g s t u d e n t s i n t h e d i s c o v e r y o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s t h r o u g h t h e s u g g e s t i v e q u e s t i o n s f r o m P o l y a ’ s l i s t , a n d e x p l i c i t l y i n c o r p o r a t e d P o l y a ' s 4 s t a g e m o d e l . T h e " t e x t b o o k " m e t h o d p r o v i d e d m o d e l s o l u t i o n s o r p r o b l e m t y p e s f o r i m i t a t i o n a n d p r a c t i c e , w i t h m o d e l s o l u t i o n s p r e s e n t e d b y b o t h t h e t e a c h e r a n d t e x t b o o k . T h e r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t t h e h e u r i s t i c m e t h o d c l a s s i n e a c h o f t h e f i v e s c h o o l s o u t p e r f o r m e d t h e i r " t e x t b o o k " m e t h o d c o u n t e r p a r t c l a s s , w i t h d i f f e r e n c e s s i g n i f i c a n t ( p = . 0 5 ) i n a l l s c h o o l s b u t o n e ( p = . 0 7 ) . A l i m i t a t i o n o f t h i s s t u d y w a s t h a t a l l t h e s u b j e c t s w e r e f e m a l e . S i n c e i n i t i a l r e s u l t s i n t e r m s o f p e r f o r m a n c e a n d t r a n s f e r w i t h r e g a r d s t o i n s t r u c t i o n o f g e n e r a l h e u r i s t i c s w a s s o m e w h a t d i s c o u r a g i n g , r e s e a r c h a t t e n t i o n t u r n e d t o i d e n t i f y i n g a n d r e l a t i n g u s a g e o f t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s t o p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . F o r i n s t a n c e , f r o m t h e r e s u l t s o f t h e A M P S p r o j e c t e v a l u a t i o n , L e s h ( 1 9 8 3 ) c o n c l u d e d t h a t g o o d p r o b l e m s o l v e r s i n g e n e r a l b r i n g b o t h s u b s t a n t i v e c o n t e n t i d e a s i n c o m b i n a t i o n w i t h p o w e r f u l c o n t e n t r e l a t e d p r o c e s s e s t o b e a r o n a p r o b l e m s o l u t i o n . I n a d d i t i o n , i t w a s f o u n d t h a t s t u d e n t s w i t h o u t r e l e v a n t i d e a s i n a p a r t i c u l a r d o m a i n w e r e i n g e n e r a l p o o r p r o b l e m s o l v e r s i n t h a t d o m a i n , e v e n w h e n e x t e n s i v e t r a i n i n g i n t h e I s t r a t p e r i c P o l y a r e c e i h e u r i t h a t s t r a t t h e u s t u d e a P P I O t h e h s o l v e h e u r i c o n t e i n s t r t h e e t h e 1 S t u d y d G V e l t e c h n P r o g r . u n i t . i n s t r 1 1 0 8 t h e u s e o f g e n e r a l , c o n t e n t - i n d e p e n d e n t h e u r i s t i c s a n d s t r a t e g i e s w a s p r o v i d e d . L u c a s ’ s ( 1 9 7 2 ) c a l c u l u s s t u d y i n v o l v e d a n e i g h t w e e k p e r i o d o f i n s t r u c t i o n u s i n g a h e u r i s t i c s t y l e b a s e d o n P o l y a ' s w r i t i n g s w i t h o n e c l a s s , w h i l e a s e c o n d c l a s s r e c e i v i n g " n o r m a l " i n s t r u c t i o n s e r v e d a s a c o n t r o l . T h e h e u r i s t i c s c l a s s a l s o r e c e i v e d , a n d a s s u m e d l y r e a d , p a p e r s t h a t d e f i n e d a n d d e m o n s t r a t e d t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s t r a t e g i e s , a s w e l l a s p r o b l e m a s s i g n m e n t s t h a t e n c o u r a g e d t h e u s e o f t h e s e h e u r i s t i c s . B a s e d o n h i s r e v i e w o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n t h e t h r e e s c o r e d p h a s e s o f a p p r o a c h , p l a n , a n d r e s u l t , h e c o n c l u d e d t h a t s u b j e c t s i n t h e h e u r i s t i c t r e a t m e n t w e r e s u p e r i o r i n t h e i r a b i l i t y t o s o l v e c a l c u l u s p r o b l e m s . L u c a s f u r t h e r i n d i c a t e d t h a t h e u r i s t i c s c a n b e t a u g h t w i t h o u t i n f r i n g i n g o n n o r m a l c o n t e n t , a l t h o u g h h e n o t e d t h a t t h e r e a d i n g o f w r i t t e n i n s t r u c t i o n s i n h e u r i s t i c s r e q u i r e d e x t r a c l a s s t i m e f o r t h e e x p e r i m e n t a l g r o u p . T h e i m p o r t a n c e o f K a n t o w s k i ’ s ( 1 9 7 5 ) s t u d y r e s t s w i t h t h e l o n g i t u d i n a l n a t u r e o f o b s e r v a t i o n s w h i c h a l l o w e d t h e s t u d y o f v a r i a t i o n s i n s t u d e n t p r o c e s s i n g a s t h e y d e v e l o p e d , a n d a l s o p e r m i t t e d h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n a l t e c h n i q u e s t o b e v a r i e d a s s t u d e n t l e a r n i n g w a s i n p r o g r e s s . T h r e e g e o m e t r y u n i t s w e r e t a u g h t , w h e r e e a c h u n i t c o n t a i n e d t w o i n s t r u c t i o n a l p h a s e s , a r e a d i n e s s i n s t r u c t i o n p h a s e a n d a n i n s t r u c t i o n a l p h a s e u s i n g h e u r i i n s t r v a g u e t a s k o f g c t h e ; i n s t r o f f i s t u d s o f s t W i t h h e u r i c o n t : v a r i a h e u r i i n s t : g a i n s O b s e x d e v e ] m u s t a n d a W E r e r e m a j r e a l j a p p r c 1 0 9 h e u r i s t i c t e c h n i q u e s . T h e n a t u r e o f t h e s e h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n a l t e c h n i q u e s u s e d b y K a n t o w s k i i s s o m e w h a t v a g u e , b u t s e e m i n g l y i n c l u d e d g e n e r a l ( g o a l — o r i e n t e d ) a n d t a s k S p e c i f i c h e u r i s t i c s . T h e m a r k e d i n c r e a s e i n t h e u s e o f g o a l - o r i e n t e d h e u r i s t i c s f o r t h e e i g h t s u b j e c t s f r o m t h e p r e t e s t t o t h e p o s t t e s t w a s a t t r i b u t e d t o t h e t w o i n s t r u c t i o n a l p h a s e s o f t h e s t u d y . S c h o e n f e l d ( 1 9 7 9 ) s t u d i e d t h e i m p a c t o f i n s t r u c t i o n o f f i v e h e u r i s t i c b e h a v i o r s o n u p p e r d i v i s i o n c o l l e g e s t u d e n t s ' ( N = 4 ) p e r f o r m a n c e i n c o m p a r i s o n w i t h a g r o u p o f s t u d e n t s ( N = 3 ) w h o d i d n o t r e c e i v e s u c h i n s t r u c t i o n . W i t h t h e e x c e p t i o n o f " d r a w i n g a d i a g r a m " , t h e o t h e r f o u r h e u r i s t i c b e h a v i o r s o f t h e s t u d y , i n d u c t i o n , p r o o f b y c o n t r a d i c t i o n , s i m p l e r c a s e s ( r e d u c e t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s ) , a n d e s t a b l i s h i n g s u b g o a l s r e p r e s e n t g e n e r a l h e u r i s t i c s r e l a t e d t o m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e i n s t r u c t i o n a l g r o u p ' s p e r f o r m a n c e w a s s u p e r i o r i n t e r m s o f g a i n s f r o m p r e t e s t t o p o s t t e s t . M o r e s i g n i f i c a n t l y , h e o b s e r v e d t h a t s t u d e n t s c a n n o t b e e x p e c t e d t o n a t u r a l l y d e v e l o p u s e f u l h e u r i s t i c s o n t h e i r o w n , b u t r a t h e r t h e y m u s t r e c e i v e e x p l i c i t i n s t r u c t i o n b o t h i n c h a r a c t e r i z i n g a n d a p p l y i n g h e u r i s t i c s . H e f o u n d t h a t e v e n w h e n s t u d e n t s w e r e a b l e t o r e c o g n i z e s u c h h e u r i s t i c s , t h e y o f t e n r e m a i n e d u n a b l e t o a p p l y t h e m , d u e t o t h e i r f a i l u r e t o r e a l i z e s i t u a t i o n s w h e n u s i n g s u c h h e u r i s t i c s w a s a p p r o p r i a t e . s t u d y v a r i a t e a c t h a d C i n s t r s o l v i i n s t r a c t i r t e a c h s t r a t P o l y a t e a c h s t u d s S i m p l C l a r i f e e d k g r o u p s t u d e r e l a t a n d t q u e s t s t r a t d i f f e i n s t r 1 1 0 A n i m p o r t a n t f e a t u r e o f P u t t ' s ( 1 9 7 8 ) d i s s e r t a t i o n s t u d y w a s t h a t h e m a d e n o a t t e m p t t o c o n t r o l t h e t e a c h e r v a r i a b l e b y u s i n g e i t h e r s e l f - i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s o r t e a c h e r s c r i p t s , a s m o s t o f t h e a l r e a d y r e v i e w e d s t u d i e s h a d d o n e . P u t t c o m p a r e d t w o m e t h o d s o f p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n o n t h e b e h a v i o r o f f i f t h g r a d e s t u d e n t s s o l v i n g " p r o c e s s " ( n o n a l g o r i t h m i c ) p r o b l e m s . B o t h i n s t r u c t i o n a l m e t h o d s w e r e b a s e d o n P o l y a ' s 4 s t a g e m o d e l a c t i n g a s a g e n e r a l h e u r i s t i c . O n e t r e a t m e n t r e q u i r e d t e a c h e r s t o m a k e s t u d e n t s a w a r e o f P o l y a ' s h e u r i s t i c s t r a t e g i e s o r q u e s t i o n s w i t h i n e a c h o f t h e f o u r s t a g e s o f P o l y a ' s m o d e l . T h e s e c o n d t r e a t m e n t i n v o l v e d n o d i r e c t t e a c h i n g o f h e u r i s t i c s t r a t e g i e s , n o r d i d t e a c h e r s h e l p s t u d e n t s r e a l i z e g e n e r a l i z a t i o n s . I n s t e a d s t u d e n t s w e r e s i m p l y g i v e n p r o b l e m s t o s o l v e a n d t e a c h e r s p r i m a r i l y c l a r i f i e d w o r d s a n d t e r m s , a n d p r o v i d e d s t u d e n t s w i t h f e e d b a c k o n h o w t h e y w e r e d o i n g i n t h e s e c o n d t r e a t m e n t g r o u p . P u t t ' s m a j o r c o n c l u s i o n s w e r e t h a t f i f t h g r a d e s t u d e n t s c a n l e a r n t o s o l v e p r o c e s s p r o b l e m s i n a r e l a t i v e l y s h o r t p e r i o d o f i n s t r u c t i o n a l t i m e ( 4 w e e k s ) , a n d t h a t s t u d e n t s c a n b e t a u g h t t o a s k t h e m s e l v e s q u e s t i o n s t o a i d p r o b l e m u n d e r s t a n d i n g a n d t o u s e s p e c i f i c s t r a t e g i e s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . S e v e r a l q u a l i t a t i v e d i f f e r e n c e s w e r e a l s o n o t e d b e t w e e n s t u d e n t s i n t h e t w o i n s t r u c t i o n a l g r o u p s . S t u d e n t s i n t h e h e u r i s t i c i n s t ] s t e p s s t r a 1 q u e s 1 p r o b l g r o u } s t e p : t h a n ( L e s 1 r e v i e i n v e s p r o b l t a r g e n o t a ] P r o b j C a p e ] t a s k r e g u ; e n V i l l e a r ] u s e 1 S i t u e V e r b ; I S S u : 1 1 1 i n s t r u c t i o n a l g r o u p n a m e d P o l y a ' s 4 s t a g e s a s h e l p f u l s t e p s i n s o l v i n g p r o b l e m s , u s e d m o r e o f t h e h i g h l i g h t e d s t r a t e g i e s , a n d w e r e g e n e r a l l y m o r e a c t i v e ( a s k i n g q u e s t i o n s ) i n t h e i r a t t e m p t s t o a t t a c k a n d u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m s . S t u d e n t s i n t h e n o n - h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n a l g r o u p n a m e d t h e f o u r a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s a s h e l p f u l s t e p s , a n d a c t u a l l y u s e d a w i d e r v a r i e t y o f s t r a t e g i e s t h a n t h e h e u r i s t i c g r o u p i n t h e i r p r o b l e m s o l u t i o n s ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) . I n a t t e m p t i n g t o s u m m a r i z e t h e r e s u l t s o f t h e s e r e v i e w e d s t u d i e s o f h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r n o t e s t h a t m o s t o f t h e s t u d i e s u s e d v e r b a l p r o b l e m s , v a r i e d a c c o r d i n g t o c o n t e n t a n d g r a d e l e v e l , a s t a r g e t t a s k s i n m e a s u r i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e . T h e n o t a b l e e x c e p t i o n b e i n g P u t t ’ s u s a g e o f " p r o c e s s " p r o b l e m s . T h e s t u d i e s i n d i c a t e t h a t s t u d e n t s a r e i n d e e d c a p a b l e o f l e a r n i n g h e u r i s t i c s t r a t e g i e s , b o t h g e n e r a l a n d t a s k s p e c i f i c , t h r o u g h p r o v i d e d t e a c h e r i n s t r u c t i o n w i t h r e g u l a r d o m a i n c o n t e n t a n d i n r e g u l a r c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t s . I t a l s o a p p e a r s c l e a r t h a t o n c e s t u d e n t s l e a r n h o w t o i d e n t i f y , a p p l y , a n d w h e n t o a p p r o p r i a t e l y u s e t h e s e h e u r i s t i c p r o c e s s e s i n v e r b a l p r o b l e m s i t u a t i o n s , t h e r e i s e v e r y r e a s o n t o e x p e c t i m p r o v e d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e o r p r o f i c i e n c y a s a r e s u l t o f s u c h t r a i n i n g . s t a g e t o a i h e u r i m o d e ] c e n t : a n d i i n s t r i m a g j d e s i g f o r e t e a c l n o t i c b e l i e s o l v i i s o l e C a l l e S t a g e i n c l t S c h o e l e a s t f r a m e r e q u j S t u d s h e l p : s u e g e 1 1 2 T h e r e v i e w e d s t u d i e s a l s o t e n d e d t o u s e P o l y a ' s 4 s t a g e m o d e l a s a f r a m e w o r k o r u m b r e l l a ( g e n e r a l h e u r i s t i c ) t o a i d t h e o r g a n i z e d s t u d y a n d p l a c e m e n t o f t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s w i t h i n t h e s t a g e s . T h i s n o t i o n o f P o l y a ' s m o d e l a s a f r a m e w o r k o r o r g a n i z e r f o r s t r a t e g y s t u d y i s c e n t r a l t o t h i s i n v e S t i g a t i o n ' s d e s i g n . I t a l s o e x p l a i n s a n d f i t s w e l l w i t h S c h o e n f e l d ' s ( 1 9 8 4 ) h e u r i s t i c i n s t r u c t i o n a l m o d e l d e t a i l e d e a r l i e r . T h e i n v e s t i g a t o r i m a g i n e s t h a t S c h o e n f e l d s t r u g g l e d w i t h t h e p r o b l e m o f d e s i g n i n g a p r a c t i c a l , d o w n - t o - e a r t h i n s t r u c t i o n a l m o d e l f o r e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y s c h o o l t e a c h e r s t o u s e i n t e a c h i n g h e u r i s t i c s . H i s i n s t r u c t i o n a l d i s c u s s i o n n o t i c e a b l y d e p a r t s f r o m a n y m e n t i o n o f m e t a c o g n i t i o n a n d b e l i e f s / v a l u e s , b o t h c e n t r a l c o m p o n e n t s o f h i s p r o b l e m s o l v i n g m o d e l . R a t h e r h e f o c u s e s h i s d i s c u s s i o n o n i s o l a t e d " c u e d " h e u r i s t i c s , a n d c l u s t e r s o f h e u r i s t i c s c a l l e d " s t a g e " h e u r i s t i c s a n d t h e i r i n s t r u c t i o n , w h e r e s t a g e c o n n o t a t e s h i s n a m e s f o r P o l y a ' s s t a g e s , a n d i n c l u d e s o n e a d d i t i o n a l s t a g e , a n a l o g y e x p l o r a t i o n . S c h o e n f e l d v i e w s s t u d e n t s a n d t e a c h e r s a s o p e r a t i n g , a t l e a s t i n v e r b a l p r o b l e m s i t u a t i o n s , w i t h i n a g e n e r a l f r a m e w o r k ( t e x t b o o k v e r s i o n o f P o l y a ' s m o d e l ) , w h i c h r e q u i r e s c o n s t a n t t e a c h e r e x p l a n a t i o n a n d r e v i e w w i t h i n s t u d e n t p r a c t i c e s e t t i n g s , a n d t h a t t e a c h e r s a r e m o s t h e l p f u l w h e n t h e y p r o v i d e s t u d e n t s w i t h h i n t s a n d s u g g e s t i o n s ( t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s ) w h i c h c a n b e C O D S l s t u d s b e l i e o f " 1 s t u d s m a t h s s a m e p e r c e a b i l i c o n c e p r e s s e x p e l f o r a u n d e : O n e 6 i n c o : a n d 1 i n c h a n d 1 h e a v } d e S i g o f t } 1 1 3 c o n s t r u c t e d i n t o s t a g e h e u r i s t i c p r o c e d u r e s b y t h e s t u d e n t s t h e m s e l v e s . S c h o e n f e l d ’ s c o n c e p t i o n s o f m e t a c o g n i t i o n a n d s t u d e n t b e l i e f s g r e w o u t o f h i s 1 9 7 9 s t u d y a n d c o m p a r i s o n r e v i e w s o f " t h i n k i n g a l o u d " p r o t o c o l s o f h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e s t u d e n t s ( c o n s i d e r e d n o v i c e s ) w i t h e f f o r t s o f c o l l e g e m a t h e m a t i c s p r o f e s s o r s ( c o n s i d e r e d e x p e r t s ) s o l v i n g t h e s a m e s e t o f n o n r o u t i n e p r o b l e m s . I n t h e s e c o m p a r i s o n s , h e p e r c e i v e d g r e a t d i f f e r e n c e s b e t w e e n g r o u p s i n t h e i r a b i l i t y t o m o n i t o r a n d u s e t h e a v a i l a b l e r e s o u r c e s a n d c o n c e p t u a l k n o w l e d g e a t t h e i r d i s p o s a l . H o w e v e r , a t t h e p r e s e n t t i m e s c h o o l i n s t r u c t i o n a l s t u d i e s , p a r t i c u l a r l y e x p e r i m e n t a l s t u d i e s , o f m e t a c o g n i t i o n s e e m t o b e w a i t i n g f o r a m o r e p r e c i s e d e f i n i t i o n a n d f o r m u l a t i o n o f t h e u n d e r l y i n g c o m p o n e n t s o f m e t a c o g n i t i o n t o b e d e v e l o p e d . O n e e x c e p t i o n t o t h i s l a c k o f i n s t r u c t i o n a l s t u d i e s i n c o r p o r a t i n g m e t a c o g n i t i o n i s t h e w o r k o f S i l v e r , B r a n c a , a n d A d a m s ( 1 9 8 0 ) w h o s u g g e s t t h a t i n s t r u c t i o n n e e d s t o i n c l u d e c o n s i d e r a b l e c l a s s t i m e b e i n g s p e n t i n d i s c u s s i n g a n d t h i n k i n g a b o u t p r o c e s s e s s t u d e n t s e m p l o y , a n d p l a c e a h e a v y e m p h a s i s o n p l a n n i n g o r “ t h i n k i n g b e f o r e d o i n g " , d e s i g n e d t o i m p r o v e b o t h s t u d e n t a w a r e n e s s a n d m o n i t o r i n g o f t h e i r o w n p r o c e s s e s a n d t h i n k i n g . I n r e g a r d s t o b e l i e f s , S c h o e n f e l d ( 1 9 8 5 ) i d e n t i f i e d s e v e r a l s t u d e n t b e l i e f s a n d c o r o l l a r i e s w h i c h t o g e t h e r m a d e s t u d e t o w h o n l y b e l i e g e o n m t h a t a r g u n s o l v i s u r r < a n d I o n b c S a m p i E x a m : c o n f : m a t h < S i t u i a b o u t w h e n t e a c ] d e V e . g a t h ( t e a c 1 1 4 m a d e u p w h a t h e c a l l e d a " m a k e s e n s e " e p i s t e m o l o g y . T h e s e s t u d e n t b e l i e f s w e r e d e f i n e d i n v e r y p r a c t i c a l t e r m s , a n d t o w h i c h m o s t s e c o n d a r y t e a c h e r s c a n r e l a t e a n d a g r e e . H i s o n l y e x p l a n a t i o n f o r t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s e s t u d e n t b e l i e f s w a s b a s e d o n h i s o w n o b s e r v a t i o n s o f h i g h s c h o o l g e o m e t r y s t u d e n t s ' c l a s s r o o m e x p e r i e n c e , w h e r e h e n o t e d t h a t r e c e i v e d i n s t r u c t i o n t e n d e d t o e x c l u d e m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t a t i o n a n d d e d u c t i o n a s u s e f u l t e c h n i q u e s f o r s o l v i n g p r o b l e m s . R e c e n t l y t h e r e h a s b e e n a g r o w i n g b o d y o f r e s e a r c h s u r r o u n d i n g t e a c h e r s ’ b e l i e f s a n d c o n c e p t i o n s o f t e a c h i n g a n d m a t h e m a t i c s , a n d t h e i n f l u e n c e t h e s e c o n c e p t i o n s h a v e o n b o t h i n s t r u c t i o n a n d t e a c h i n g p e r f o r m a n c e . A s m a l l s a m p l e o f t h a t r e s e a r c h i s r e v i e w e d h e r e . S h r o y e r ( 1 9 7 8 ) e x a m i n e d e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ d e c i s i o n m a k i n g w h e n c o n f r o n t e d w i t h " c r i t i c a l m o m e n t s " i n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s , a n d f o u n d t h a t t e a c h e r s r e s p o n d e d t o s u c h s i t u a t i o n s i n e x p e c t e d w a y s t h a t r e f l e c t e d t h e i r b e l i e f s a b o u t t e a c h i n g . S h e w a s a b l e t o i s o l a t e s e v e r a l e x a m p l e s w h e r e i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n m a k i n g w a s d r i v e n b y t e a c h e r s ' p r e v i o u s c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s , w h i c h h a d d e v e l o p e d i n t o t e a c h e r b e l i e f s . S h i r k ( 1 9 7 2 ) d e v e l o p e d c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s , g a t h e r e d f r o m a v a r i e t y o f s o u r c e s , f o r f o u r p r e s e r v i c e t e a c h e r s e n r o l l e d i n a m a t h e m a t i c s m e t h o d s c o u r s e , a n d t h e n h i s c g r o u p t e a c h t e a c h w a y s m a t h e a l s o c o n c e f r o m i n d 1 t h e i i f o r 1 P r a 0 1 b e l h t e a c ] t e a c ] b e h w a S p e q m a t h n o t a m a n n ‘ C e n t t e a c 1 1 5 t h e n a t t e m p t e d t o r e l a t e t h e s e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s t o h i s o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n o f s m a l l g r o u p s o f j u n i o r h i g h s t u d e n t s . H e o b s e r v e d t h a t t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s a p p e a r e d t o b e " a c t i v a t e d " i n t e a c h i n g s i t u a t i o n s , " c a u s i n g " t h e t e a c h e r s t o b e h a v e i n w a y s t h a t w e r e c o n s i s t e n t w i t h t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d t h e i r r o l e s a s t e a c h e r s . S h i r k a l s o f o u n d n o d i s c e r n i b l e c h a n g e i n t h e t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s a s t h e y w e n t t h r o u g h t h e m e t h o d s c o u r s e , o r f r o m t h e i r p a r t i c i p a t i o n i n t h e s t u d y . T h o m p s o n ( 1 9 8 2 ) c o n d u c t e d c a s e s t u d i e s ( e a c h 4 w e e k s i n d u r a t i o n ) o f t h r e e e x p e r i e n c e d j u n i o r h i g h t e a c h e r s a n d t h e i r c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g f o r p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p s t o t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s . H e r f i n d i n g s i n d i c a t e d t h a t t e a c h e r s ’ v i e w s , b e l i e f s , a n d p r e f e r e n c e s a b o u t m a t h e m a t i c s a n d i t s t e a c h i n g h a d a s i g n i f i c a n t , t h o u g h s u b t l e , r o l e i n s h a p i n g t e a c h e r s ' c h a r a c t e r i s t i c p a t t e r n s o f i n s t r u c t i o n a l b e h a v i o r s . S h e f o u n d b e l i e f s t h a t r e l a t e d t o b o t h g e n e r a l a s p e c t s o f t e a c h i n g a s w e l l a s t o s p e c i f i c s o f t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . T h o m p s o n a l s o o b s e r v e d t h a t t h e r e w a s a n o t a b l e c o n s i s t e n c y b e t w e e n t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s a n d t h e m a n n e r i n w h i c h t h e y t y p i c a l l y p r e s e n t e d m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . L a s t l y , a s t u d y b y C o o n e y ( 1 9 8 5 ) d e m o n s t r a t e d t h a t a t e a c h e r ' s c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s 1 1 6 t e a c h i n g c a n c h a n g e d r a m a t i c a l l y u p o n i n i t i a l e n t r y i n t o t h e r e a l i t y o f t h e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . T h e c a s e s t u d y f o l l o w e d a s i n g l e t e a c h e r , F r e d , f r o m h i s p r e s e r v i c e s t u d e n t d a y s t h r o u g h h i s f i r s t y e a r o f t e a c h i n g s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s . D u r i n g h i s p r e s e r v i c e d a y s , F r e d p a r t i c i p a t e d i n s i x e x t e n s i v e i n t e r v i e w s , s o m e i n v o l v i n g s t a t e m e n t s o r t i n g t a s k s , a n d f r o m w h i c h C o o n e y c o m p i l e d a p i c t u r e o f F r e d ' s c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s . A f t e r t e n w e e k s o f t e a c h i n g i n h i s f i r s t s e c o n d a r y p o s i t i o n i n a r u r a l s c h o o l , F r e d w a s o b s e r v e d f o r n i n e c o n s e c u t i v e d a y s t e a c h i n g a d i v e r s i t y o f m a t h e m a t i c s c o u r s e s . F r e d d e m o n s t r a t e d a p a r t i c u l a r l y s t r o n g b e l i e f i n a p r o b l e m s o l v i n g o r i e n t a t i o n d u r i n g t h e p r e s e r v i c e i n t e r v i e w s . F r e d b e l i e v e d s o l v i n g p r o b l e m s w a s t h e p r i n c i p a l a c t i v i t y a n d e s s e n c e o f m a t h e m a t i c s . H e e n j o y e d w o r k i n g r e c r e a t i o n a l m a t h e m a t i c s p r o b l e m s h i m s e l f , a n d b e l i e v e d s u c h p r o b l e m s h a d m o t i v a t i n g p o t e n t i a l f o r h i s f u t u r e s t u d e n t s . A p p l i c a t i o n s a n d t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s w e r e i m p o r t a n t t o F r e d o n l y t o t h e e x t e n t t h a t t h e y c o u l d b e u s e d t o d e v e l o p h e u r i s t i c t e c h n i q u e s , w h i c h w e r e t o h i m t h e c e n t r a l f o c u s o f t e a c h i n g p r o b l e m s o l v i n g . T h e o b s e r v a t i o n s o f F r e d ’ s a c t u a l f i r s t y e a r t e a c h i n g r e v e a l e d a n e n t i r e l y d i f f e r e n t p i c t u r e o f F r e d ’ s c o n c e p t i o n s o f p r o b l e m s o l v i n g . T h e t e x t b o o k b e c a m e f o r F r e d t h e p r i m a r y d e t e r m i n e r o f c u r r i c u l u m , a n d f o r t h e m o s t p a r t , h i s m e t h o d o f p r e s e n t a t i o n a l s o , w h i c h w a s 1 1 7 c o n s i d e r e d " t y p i c a l " ( h o m e w o r k r e v i e w , n e w m a t e r i a l e x p l a i n e d , a s s i g n e d s e a t w o r k ) b y C o o n e y . F r e d ’ s d a i l y l e s s o n p l a n s c o n s i s t e d o f a b r i e f l i s t o f c o n t e n t t o b e c o v e r e d , a p p r o p r i a t e e x a m p l e s , a n d t h e d a y ' s a s s i g n m e n t . F r e d h a d q u i c k l y b e c o m e c o n s c i o u s l y a w a r e o f t h e t i m e d e m a n d s r e q u i r e d f o r a p r o b l e m s o l v i n g o r i e n t a t i o n , c o n f e s s i n g t h a t " i t i s e a s i e r t o t e a c h b y t h e b o o k a n d l e a v e h e u r i s t i c s o u t c o m p l e t e l y " . F r o m h i s o b s e r v a t i o n s o f F r e d , C o o n e y c o n c l u d e d t h a t F r e d c a m e t o b e l i e v e t h a t r e c r e a t i o n a l a n d n o n r o u t i n e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s s e r v e d o n l y a m o t i v a t i n g f u n c t i o n i n t h e c l a s s r o o m , t o s e t o f f a " s p a r k " o f s t u d e n t a t t e n t i o n a n d i n t e r e s t . W h e n i n s o m e o f h i s c l a s s e s , t h e r e w a s n o s t u d e n t r e a c t i o n t o t h e s e " s p a r k " p r o b l e m s , F r e d c a m e t o b e l i e v e t h a t s t u d e n t s l a c k e d i n t e r n a l m o t i v a t i o n , w h i c h r e s u l t e d i n h i s a d o p t i o n o f a t y p i c a l m e t h o d o f c o n t e n t p r e s e n t a t i o n . I n s u m m a r y , t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f c o n t e n t a n d t e a c h e r r o l e a p p e a r t o e f f e c t m a n y a s p e c t s o f i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e . I n a d d i t i o n , t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s a n d i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s a r e s h a p e d b y t h e i r s t u d e n t s a n d e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t . A l g o r i t h m A u t o m a t i c i p y I n s o l v i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , s t u d e n t s g e n e r a l l y p a s s t h r o u g h t h r e e p h a s e s w h i c h i n v o l v e a p p l i c a t i o n o f p r e v i o u s l y s t u d i e d m a n i p u l a t i o n s k i l l s o r 1 1 8 p r o c e d u r e s . T h e t h r e e p h a s e s w h i c h a l l r e s u l t i n s t u d e n t w r i t t e n w o r k , a n d h e n c e c a n b e c o n s i d e r e d p r o d u c t s o f t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s a r e : v a r i a b l e d e f i n i t i o n , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , a n d e q u a t i o n s o l u t i o n . I t i s c l e a r t h a t e q u a t i o n s o l v i n g r e q u i r e s a p p l i c a t i o n o f a s s o c i a t e d m a n i p u l a t i o n s k i l l s w h i c h t o g e t h e r c o n s t i t u t e a p r o c e d u r e o r a l g o r i t h m . I t i s l e s s c l e a r t h a t t h e o t h e r t w o p h a s e s , p a r t i c u l a r l y e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , c o n s t i t u t e p r o c e d u r e s o r a l g o r i t h m s . T h e i r i n c l u s i o n a s a l g o r i t h m s i s b a s e d o n t h e i r p r o d u c t n a t u r e , a n d t h e b e l i e f t h a t t h e y r e p r e s e n t a l g e b r a i c s u b s k i l l s n e c e s s a r i l y m a s t e r e d b e f o r e t h e i n t r o d u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . I n m o s t r e s e a r c h , v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n a r e c o n s i d e r e d f r o m a p r o c e s s p e r s p e c t i v e , a n d t o g e t h e r c o n s t i t u t e a " s e t t i n g u p " p h a s e . T h e p r i m a r y a d v a n t a g e o f s e p a r a t i n g t h e s e t w o s t u d e n t a c t i o n s o r p r o d u c t s i n v o l v e s t h e a n a l y s i s o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s b y t h e i n v e s t i g a t o r , a n d t h e f a c t t h a t b a s e d o n t h e i r t r a i n i n g i n t h e t e x t b o o k p r o c e d u r e f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , s t u d e n t s c o m e t o c o n c e p t u a l i z e t h e s e t w o p r o c e s s e s a s t o t a l l y d i s t i n c t p h a s e s . I n v e s t i g a t o r a n a l y s i s o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s c a n u n c o v e r e r r o r p a t t e r n s , a n d a l s o l o c a t e i n w h i c h o f t h e t h r e e p h a s e s s t u d e n t e r r o r s a r e m o s t l i k e l y t o o c c u r . I t i s a s s u m e d t h a t s t u d e n t s r e c e i v e e x t e n s i v e p r a c t i c e i n s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s , s o m e l i m i t e d p r a c t i c e i n 1 1 9 d e f i n i n g v a r i a b l e s , a n d a l m o s t n o p r a c t i c e i n f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s w i t h i n c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n . T h e r e a p p e a r s t o b e a n a b s e n c e o f r e s e a r c h e f f o r t s t h a t a n a l y z e A l g e b r a I s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e o f a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s , s u c h a s s i m p l i f y i n g a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s o r s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s , o t h e r t h a n t h e a n a l y s i s d o n e o f N a t i o n a l A s s e s s m e n t r e s u l t s , r e v i e w e d e a r l i e r . M a t z ( 1 9 8 2 ) f o c u s e d o n s t u d e n t s ' a l g e b r a i c e r r o r p a t t e r n s r e l a t e d t o a l g e b r a i c e x p r e s s i o n a n d e q u a t i o n m a n i p u l a t i o n i n h e r d e v e l o p m e n t o f a n e x p l a n a t o r y t h e o r y o f a l g e b r a i c c o m p e t e n c e . H e r f r a m e w o r k i s h e l p f u l f o r t h e i n v e s t i g a t o r ' s a n a l y s i s o f s t u d e n t e r r o r p a t t e r n s , b u t i s o t h e r w i s e n o t v e r y p r a c t i c a l f o r t h i s i n v e s t i g a t i o n . S h e p r O p o s e s t h a t s t u d e n t k n o w l e d g e i n a d d r e s s i n g u n f a m i l i a r a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n t a s k s h a s t w o c o m p o n e n t s , b a s e r u l e s w h i c h a r e e x t r a c t e d f r o m p r o t o t y p e e x a m p l e s ( t e x t b o o k , t e a c h e r , o r s t u d e n t g e n e r a t e d ) , a n d e x t r a p o l a t i o n t e c h n i q u e s w h i c h b r i d g e t h e g a p b e t w e e n b a s e r u l e s a n d u n f a m i l i a r t a s k s . M a t z c l a i m s t h a t m o s t c o m m o n l y o b s e r v e d m a n i p u l a t i o n e r r o r s a r e d u e t o e i t h e r i n c o r r e c t g e n e r a t i o n o f a n e x t r a p o l a t i o n t e c h n i q u e , o r c o r r e s p o n d t o u n m a d e d e v e l o p m e n t a l , c o n c e p t u a l c h a n g e s r e q u i r e d i n m o v i n g f r o m a r i t h m e t i c t o a l g e b r a c o n t e n t . A t h i r d c l a s s o f e r r o r s , c a l l e d p r o c e s s i n g e r r o r s , i n c l u d e 1 2 0 c o m p u t a t i o n a l m i s t a k e s w h i c h a r e n o t c o n s i s t e n t i n n a t u r e , a n d o f t e n t i m e s a r e c o r r e c t e d b y s t u d e n t s u p o n r e f l e c t i o n . T h e t w o m a j o r e x t r a p o l a t i o n t e c h n i q u e s i d e n t i f i e d b y M a t z a s o f t e n m i s u s e d i n a l g e b r a a r e r e v i s i n g r u l e s u s i n g a l i n e a r i t y a r g u m e n t a n d o v e r g e n e r a l i z e d a c c o m o d a t i o n o f r u l e s . E x a m p l e s o f t h e f i r s t t y p e o f e r r o r i n c l u d e ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 . E x a m p l e s o f t h e s e c o n d t y p e o f e r r o r i n c l u d e n o t r e a l i z i n g t h a t t h e z e r o i s a c r u c i a l e l e m e n t i n s o l v i n g e q u a t i o n s l i k e ( x - 3 ) ( x - 4 ) = 0 a s o p p o s e d t o e q u a t i o n s l i k e ( x - 3 ) ( x - 4 ) = k , w h e r e k d o e s n o t e q u a l 0 . M a t z c a l l s t h e t h e s e c o n d c l a s s o f e r r o r s , c a u s e d b y u n m a d e d e v e l o p m e n t a l c h a n g e s r e q u i r e d o f a l g e b r a c o n t e n t a n d i t s a s s o c i a t e d b a s e r u l e s , p l a n n i n g e r r o r s . S h e n o t e s t h a t w o r k i n g a r i t h m e t i c p r o b l e m s m e a n s e x e c u t i n g a l g o r i t h m s , w h e r e a s a d j u s t i n g t o a l g e b r a i n v o l v e s t h e c o m p o s i t i o n o f a p l a n , a s w e l l a s c a r r y i n g o u t t h e p l a n . F u r t h e r m o r e , s u c h p l a n s a r e o f t e n p i e c e d t o g e t h e r o n t h e f l y , w h e r e t h e n e x t s t e p i n a p l a n i s a t t i m e s n o t d e t e r m i n e d u n t i l t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s t e p a r e c o m p l e t e d . T h i s f a c t i s p a r t i c u l a r l y n o t e w o r t h y i n t h e s o l v i n g o f l i n e a r e q u a t i o n s , w h e r e t h e r e i s a c o n s t a n t n e e d f o r s t u d e n t s t o a s s e s s p r o g r e s s t o w a r d s t h e g o a l s t a t e , t o k e e p t h e g o a l s t a t e i n m i n d , a n d a l s o t o j u d g e w h e n t o d i s c o n t i n u e t h e p r o c e d u r e . I n M a t z ' s m o d e l t h i s c l a s s o f p l a n n i n g e r r o r s n o r m a l l y l e a d s t o t h e p r o d u c t i o n 1 2 1 o f " b u g g y " a l g o r i t h m s o f e q u a t i o n s o l v i n g s o o f t e n w i t n e s s e d o n s t u d e n t w o r k s a m p l e s o f e q u a t i o n s o l v i n g . O n e S o v i e t s t u d y b y D o b l a e v ( 1 9 6 9 ) p r o v i d e s i n f o r m a t i o n r e l a t e d t o t h e m e t h o d s s t u d e n t s u s e i n t h e i r c o n s t r u c t i o n s o f v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s . H i s s u b j e c t s w e r e 1 6 0 l e v e l 7 a n d l e v e l 9 a l g e b r a s t u d e n t s . T h e t a s k w a s a s e t o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , s o m e o f w h i c h w e r e r o u t i n e t e x t b o o k p r o b l e m t y p e s , w h i c h w a s c o m p l e t e d i n " t h i n k i n g a l o u d " i n t e r v i e w s . I n h i s a n a l y s i s o f t h e p r o t o c o l s , D o b l a e v i d e n t i f i e d t w o d i s t i n c t m e t h o d s , c a l l e d A a n d B , w h i c h s u b j e c t s u s e d t o s e t u p e q u a t i o n s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s . M e t h o d A s u b j e c t s b e g a n d e f i n i n g v a r i a b l e s a l m o s t i m m e d i a t e l y a f t e r a c o m p l e t e r e a d i n g o f t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t , a n d s u b j e c t s ’ v a r i a b l e d e f i n i t i o n s u s e d t h e s t a t e m e n t ' s q u e s t i o n a s t h e b e g i n n i n g p o i n t f o r d e f i n i n g a l l v e r b a l p r o b l e m v a r i a b l e s . E q u a t i o n f o r m u l a t i o n f o r t h i s g r o u p i n v o l v e d a " p i e c i n g t o g e t h e r " o r b l e n d i n g p r o c e s s o f t h e d e f i n e d v a r i a b l e e x p r e s s i o n s a n d a r e r e a d i n g o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t t o p u l l o u t n e c e s s a r y r e l a t i o n s h i p s . M e t h o d B s u b j e c t s ' b e h a v i o r e x h i b i t e d g r e a t e r r e f l e c t i v i t y i n t h e i r i n i t i a l r e a d i n g o f t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t , a n d s u b j e c t s o f t e n p o n d e r e d q u i e t l y d u r i n g t h i s t i m e . F r o m h i s p r o b i n g o f s t u d e n t s d u r i n g t h i s q u i e t t i m e , D o b l a e v f o u n d t h a t m o s t s t u d e n t s w e r e d e v e l o p i n g a g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m ’ s e l e m e n t s , a n d b e g i n n i n g 1 2 2 c o n s t r u c t i o n o f a n i m a g i n e d f o r m o r r e p r e s e n t a t i o n t h a t t h e r e q u i r e d e q u a t i o n w o u l d t a k e . O n l y w h e n s u c h a r e p r e s e n t a t i o n w a s a c c o m p l i s h e d i n t e r n a l l y d i d t h e s e s u b j e c t s f o r m a l l y d e f i n e v a r i a b l e s a n d f o r m u l a t e t h e e q u a t i o n . H e f o u n d t h a t t h e e x t e r n a l , w r i t t e n e q u a t i o n s w e r e g e n e r a l l y c o n s i s t e n t w i t h t h e s u b j e c t s ' d e s c r i p t i o n s o f i m a g i n e d f o r m s o f p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n . T h e f o l l o w i n g a s p e c t s o f D o b l a e v ' s ( 1 9 6 9 ) a n a l y s i s o f m e t h o d ( A o r B ) d i f f e r e n c e s a r e c o n s i d e r e d n o t e w o r t h y f o r t h i s i n v e s t i g a t i o n . H e f o u n d t h a t a b o u t 2 / 5 o f h i s s u b j e c t s c o n s i s t e n t l y p r e f e r r e d m e t h o d A , a n d t h e r e m a i n i n g 3 / 5 o f h i s s u b j e c t s c o n s i s t e n t l y u s e d a m e t h o d B a p p r o a c h . M e t h o d s e l e c t i o n f o r 5 o f t h e 9 v e r b a l p r o b l e m s o f t h e t a s k w a s h i g h l y d e p e n d e n t o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e v e r b a l p r o b l e m s , t h r e e f a v o r i n g a m e t h o d B a p p r o a c h a n d t w o f a v o r i n g m e t h o d A . D o b l a e v a l s o f o u n d a d e v e l o p m e n t a l t r e n d i n h i s s u b j e c t s w h e r e i n l e v e l 7 a l m o s t e q u a l p r o p o r t i o n s p r e f e r r e d b o t h m e t h o d s , w h i l e l e v e l 9 s u b j e c t s p r e f e r r e d m e t h o d B o v e r m e t h o d A b y a 2 t o 1 m a r g i n . T h e t w o m e t h o d s a l s o r e l a t e d t o l e v e l o f a c h i e v e m e n t , d e f i n e d s u b j e c t i v e l y i n t h e s t u d y , w h e r e w e a k e r s t u d e n t s p r e f e r r e d m e t h o d A ( 2 : 1 r a t i o ) a n d b e t t e r s t u d e n t s p r e f e r r e d m e t h o d B ( 2 . 5 : 1 r a t i o ) , a n d a v e r a g e s t u d e n t s h a d e q u a l p r o p o r t i o n s o f p r e f e r e n t i a l m e t h o d s . L a s t l y D o b l a e v w a s a b l e t o d e m o n s t r a t e a c l e a r - c u t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r e f e r r e d s t u d e n t m e t h o d a n d t h e t w o t e a c h e r s a n d t h e i r 1 2 3 i n s t r u c t i o n , f r o m w h o s e c l a s s e s t h e s u b j e c t s w e r e d r a w n . F o r o n e t e a c h e r , s u b j e c t s p r e f e r r e d m e t h o d A ( 2 : 1 r a t i o ) , w h i l e f o r t h e o t h e r t e a c h e r t h e r a t i o w a s r e v e r s e d i n f a v o r o f m e t h o d B . T h i s c o n c l u d e s t h e r e v i e w o f t h e l i t e r a t u r e . C h a p t e r I I I d e s c r i b e s t h e e m p l o y e d m e t h o d o l o g y f o r t h e s t u d y , b o t h i t s d e v e 1 0 p m e n t a n d f i n a l f o r m . C H A P T E R I I I M e t h o d o l o g y A n i m p o r t a n t a s p e c t o f t h i s i n v e s t i g a t i o n i s t h e d e v e l o p m e n t a n d d e s i g n o f i n s t r u m e n t s f o r a n a l y z i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m p r e s e n t a t i o n s a n d e x a m p l e s , t e a c h e r i n s t r u c t i o n a n d c o n c e p t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a n d r e l a t e d e x a m p l e s , a n d s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e a n d p r o c e s s i n g a t v a r i o u s p o i n t s i n t i m e . T h e r e f o r e t h i s m e t h o d o l o g y c h a p t e r i s c o m p o s e d o f t h r e e d i s t i n c t s e c t i o n s . T h e s e s e c t i o n s a r e t h e P i l o t S t u d y P h a s e , T e a c h e r a n d S i t e N e g o t i a t i o n / E n t r y , a n d D a t a C o l l e c t i o n a n d A n a l y s i s T e c h n i q u e s . T h e D a t a C o l l e c t i o n a n d A n a l y s i s T e c h n i q u e s s e c t i o n i n c l u d e s d i s c u s s i o n o f t h e f o u r d i m e n s i o n s o f t h e s t u d y , t e x t b o o k r e v i e w , t e a c h e r o b s e r v a t i o n s , s t u d e n t w r i t t e n p e r f o r m a n c e m e a s u r e s , a n d s t u d e n t i n t e r v i e w s . P i l o t S t u d v P h a s e T h r e e m a i n p u r p o s e s w e r e s e r v e d b y c o n d u c t i n g a P i l o t S t u d y P h a s e t o t h i s i n v e s t i g a t i o n : t o r e f a m i l i a r i z e t h e i n v e s t i g a t o r w i t h t h e A l g e b r a I i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g , t o t e s t r e l a t e d o b s e r v a t i o n a l a n d i n t e r v i e w t e c h n i q u e s w i t h i n t h e s e t t i n g , a n d t o b e c o m e a w a r e o f a d d i t i o n a l n e e d s 1 2 4 1 2 5 r e l a t e d t o d a t a c o l l e c t i o n i n s t r u m e n t a t i o n f o r t h e a c t u a l s t u d y . T h e s e p u r p o s e s w e r e a c c o m p l i s h e d w i t h i n t h e p i l o t s t u d y t h r o u g h o b s e r v a t i o n s o f o n e A l g e b r a I t e a c h e r , A l i c e a n d h e r c l a s s d u r i n g a t h r e e m o n t h p e r i o d , F e b r u a r y 1 - M a y 1 , 1 9 8 6 . . A l i c e ' w a s a l s o o n e o f t h e t h r e e t e a c h e r s p a r t i c i p a t i n g i n t h e a c t u a l s t u d y . A l i c e w a s o b s e r v e d b y t h e i n v e s t i g a t o r o n t w e l v e o c c a s i o n s d u r i n g t h i s p e r i o d t e a c h i n g v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . F i e l d n o t e s w e r e t a k e n a n d l a t e r r e w r i t t e n a n d r e v i e w e d b y t h e i n v e s t i g a t o r o f e a c h o f t h e s e o b s e r v a t i o n s o f A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n . A d d i t i o n a l l y a n h o u r p e r w e e k w a s g i v e n t o i n f o r m a l d i a l o g u e b e t w e e n A l i c e a n d t h e i n v e s t i g a t o r r e g a r d i n g q u e s t i o n s a r i s i n g f r o m t h e i n v e s t i g a t o r ' s o b s e r v a t i o n s o f A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n , a n d a l s o r e g a r d i n g A l i c e ' s c o n c e p t i o n s o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s , a l g e b r a t e a c h i n g , a n d s t u d e n t s ' v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e p a t t e r n s . A l i c e w a s a l w a y s c o o p e r a t i v e i n t h e s e d i s c u s s i o n s , a n d e x h i b i t e d a k e e n a b i l i t y t o v e r b a l i z e h e r v i e w s i n t h e s e m a t t e r s i n c l e a r a n d c o n c i s e t e r m s b a s e d o n h e r e x t e n s i v e e x p e r i e n c e ( o v e r 2 0 y e a r s ) t e a c h i n g a l g e b r a a t t h e n i n t h g r a d e l e v e l . I n m o s t c a s e s , t h e i n v e s t i g a t o r f o u n d t h a t t h e f i e l d n o t e s a n d w e e k l y d i a l o g u e w i t h A l i c e a d e q u a t e l y c a p t u r e d t h e r e g u l a r i t y o f A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s , a n d t h e u n d e r l y i n g b a s i s o r t e a c h e r b e l i e f s u p o n w h i c h h e r i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s a n d p r a c t i c e s w e r e c o n s t r u c t e d . 1 2 6 T h e s e c o n d a n d t h i r d p u r p o s e s o f t h e p i l o t s t u d y , t e s t i n g , d e s i g n , a n d r e f i n e m e n t o f d a t a c o l l e c t i o n i n s t r u m e n t a t i o n f o r t h e a c t u a l s t u d y p r e s e n t e d a g r e a t e r c h a l l e n g e . A n i n i t i a l c o n c e r n i n v o l v e d t h e d e v e l o p m e n t a n d t e s t i n g o f a p r o c e s s c o d i n g i n s t r u m e n t c a p a b l e o f c h a r a c t e r i z i n g e m p l o y e d p r o c e s s i n g o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t p r e s e n t e d i n t e x t b o o k e x a m p l e s , t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s , a n d i n t e r v i e w e d s t u d e n t s ’ " t h i n k a l o u d " p r o t o c o l s o f p r o b l e m s o l u t i o n s . I t w a s a s s u m e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f s u c h a p r o c e s s c o d i n g i n s t r u m e n t w i t h b r o a d c a p a b i l i t i e s w a s f e a s i b l e , g i v e n t h a t t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s g e n e r a l l y c o n f o r m t o t e x t b o o k e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , a n d s t u d e n t s ' s o l u t i o n p a t h s g e n e r a l l y c o n f o r m t o r e c e i v e d t e a c h e r a n d t e x t b o o k i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . A d d i t i o n a l l y , r e v i e w e d r e s e a r c h i n d i c a t e d t h a t s e v e r a l p r o c e s s c o d i n g f o r m s f o r r e l i a b l y c h a r a c t e r i z i n g s t u d e n t p r o c e s s a c t i v i t y h a d b e e n d e v e l o p e d a n d w e r e c a p a b l e o f m o d i f i c a t i o n w i t h i n a n a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t f o c u s . T h e p r o c e s s c o d i n g f o r m d e v e l o p e d f o r t h e p i l o t s t u d y , l a b e l e d S u g g e s t i o n / H e u r i s t i c C o d i n g F o r m , c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x A . B l a k e ’ s ( 1 9 7 6 ) P r o c e s s - S e q u e n c e C o d i n g S y s t e m , t a k e n f r o m G o l d i n a n d M c C l i n t o c k ( 1 9 8 4 , T a b l e 5 . 9 , p . 2 0 8 ) , w a s u s e d a s a f r a m e w o r k b y t h e i n v e s t i g a t o r t o d e v e l o p t h i s i n s t r u m e n t . B l a k e ’ s s y s t e m o f 3 9 p r o c e s s e s w a s s e l e c t e d a s a f r a m e w o r k b e c a u s e o f i t s r e l a t i o n s h i p t o a l g e b r a v e r b a l 1 2 7 p r o b l e m c o n t e n t , a n d i t s s e q u e n t i a l l i s t i n g o f p r o c e s s e s a c c o r d i n g t o P o l y a ' s 4 s t a g e m o d e l . T h e p i l o t s t u d y ’ s c o d i n g f o r m d e l e t e d s e v e r a l o f B l a k e ’ s p r o c e s s e s , d u e t o t h e i r n o n a p p l i c a b i l i t y i n A l g e b r a I , s u b d i v i d e d o t h e r o f B l a k e ' s p r o c e s s e s i n t o a d d i t i o n a l , m o r e d e t a i l e d c o m p o n e n t s , a n d e x p l i c i t l y o r g a n i z e d t h e r e s u l t i n g 4 7 p r o c e s s e s i n t o P o l y a ’ s 4 s t a g e s a c c o r d i n g t o t h e p r i m a r y f u n c t i o n e a c h p r o c e s s s e r v e d i n t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . T h e i n v e s t i g a t o r a s s u m e d a n d e x p e c t e d t h e t e s t i n g o f t h i s i n s t r u m e n t i n t h e p i l o t s t u d y t o r e s u l t i n a r e f i n e d f o r m c o m p o s e d o f f e w e r p r o c e s s c a t e g o r i e s ( l e s s t h a n 3 0 ) b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n s o f p r o c e s s u s a g e b y t e x t b o o k s , t e a c h e r s , a n d s t u d e n t s . I t w a s a l s o e x p e c t e d t h a t o t h e r m o d i f i c a t i o n s t o t h i s p r o c e s s c o d i n g f o r m m i g h t b e n e c e s s a r y t o f a c i l i t a t e i t s d i v e r s e a p p l i c a t i o n s i n t h e i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g . T h i s i n i t i a l p r o c e s s c o d i n g f o r m w a s t e s t e d d u r i n g t h e p i l o t s t u d y t o a n a l y z e t e n t e x t b o o k i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s , t e n t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s , a n d f o r e a c h o f t h e f i f t e e n v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s g e n e r a t e d w i t h i n t h e t h r e e s t u d e n t i n t e r v i e w s c o n d u c t e d . T h e o n l y o t h e r i n s t r u m e n t d e s i g n e d f o r t h e p i l o t s t u d y w a s a n a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m t e s t , w h i c h w a s a d m i n i s t e r e d t o t h e w h o l e c l a s s o f s t u d e n t s n e a r t h e e n d o f t h e p i l o t s t u d y . T h e v e r b a l p r o b l e m t e s t w a s c o m p o s e d o f f i v e p r o b l e m s w h i c h r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t c o v e r e d b y A l i c e d u r i n g t h e p i l o t s t u d y p e r i o d , a n d n o t t h e c o n t e n t 1 2 8 r e l a t e d t o t h e a c t u a l i n v e s t i g a t i o n ' s t i m e p e r i o d . T h e i n v e s t i g a t o r ' s m a j o r p u r p o s e s f o r c o n s t r u c t i n g t h i s i n s t r u m e n t w a s t o e v a l u a t e t h e d e g r e e o f s t u d e n t l e a r n i n g a n d t r a n s f e r r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t o n e c o u l d e x p e c t o f t h i s l e v e l o f s t u d e n t , a n d a l s o f o r t h e i n v e s t i g a t o r t o p r a c t i c e t h e d e s i g n i n g o f v e r b a l p r o b l e m s e t s t h a t w e r e w i t h i n s t u d e n t s ’ a b i l i t i e s t o s o l v e . T h e f i v e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e t e s t i n s t r u m e n t w e r e p r i n t e d o n a s i n g l e p a g e , a n d p r e s e n t e d t o t h e c l a s s o f s t u d e n t s w i t h e x p l i c i t i n v e s t i g a t o r i n s t r u c t i o n s t o s h o w a l l t h e i r s o l u t i o n w o r k ( a n d a l s o t o n o t e r a s e a n y w r i t t e n w o r k ) o n s e p a r a t e p a p e r p r o v i d e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . T h e t e s t w a s a d m i n i s t e r e d d u r i n g o n e o f A l i c e ' s r e g u l a r c l a s s p e r i o d s , a n d a l l s t u d e n t s c o m p l e t e d ( w i t h i n t h e i r c a p a b i l i t i e s ) w o r k o n t h e t e s t i n l e s s t h a n 3 0 m i n u t e s . T h e a c t u a l t e s t f o r m c a n b e f o u n d i n A p p e n d i o n . O n e w e e k a f t e r t h e c l a s s r o o m t e s t a d m i n i s t r a t i o n , t h r e e v o l u n t e e r s t u d e n t s f r o m A l i c e ’ s c l a s s c o m p l e t e d t h e s a m e e x a c t s e t o f v e r b a l p r o b l e m s i n s e p a r a t e i n t e r v i e w s w i t h t h e i n v e s t i g a t o r . I n t e r v i e w e d s t u d e n t s d i d n o t h a v e a c c e s s t o t h e i r p r e v i o u s w r i t t e n w o r k o n t h e s a m e t e s t f o r m . I n t h e i n t e r v i e w s , e a c h o f t h e f i v e v e r b a l p r o b l e m s w a s p r e s e n t e d i n d i v i d u a l l y b y t h e i n v e s t i g a t o r i n t h e s a m e o r d e r o f a p p e a r a n c e a s t h e c l a s s t e s t f o r m . T h e i n t e r v i e w s t h e n i n v o l v e d a m i x o f s t u d e n t r e t r o s p e c t i o n a n d i n t r o s p e c t i o n , w h e r e s t u d e n t s w e r e d i r e c t e d b y t h e 1 2 9 i n v e s t i g a t o r t o v e r b a l i z e t h e i r t h o u g h t s a n d w r i t t e n a c t i o n s a s t h e y w e r e s o l v i n g t h e s a m e v e r b a l p r o b l e m s a s e c o n d t i m e . E a c h i n t e r v i e w w a s a u d i o t a p e d f o r l a t e r r e v i e w b y t h e i n v e s t i g a t o r . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s e s s i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r r e m a i n e d m o s t l y p a s s i v e , e x c e p t t o p r o v i d e m i n i m a l f e e d b a c k t o d i r e c t q u e s t i o n s a s k e d b y t h e s t u d e n t o r t o p r o v i d e e n c o u r a g e m e n t t o t h e s t u d e n t t o c o n t i n u a l l y v e r b a l i z e w h e n l e n g t h y p e r i o d s o f s t u d e n t q u i e t w a s e v i d e n t . W h i l e t h e s t u d e n t s w e r e w o r k i n g o n t h e v e r b a l p r o b l e m s , t h e i n v e s t i g a t o r w a s a l s o c o m p l e t i n g a p r o c e s s c o d i n g f o r m f o r t h a t p r o b l e m , n o t i n g t h e s e q u e n c e o f o b s e r v e d p r o c e s s e s b e i n g e m p l o y e d b y t h e s t u d e n t s . E a c h i n t e r v i e w s e s s i o n c l o s e d w i t h a s e r i e s o f q u e s t i o n s r e q u e s t i n g s t u d e n t s t o v e r b a l i z e t h e i r a t t i t u d e s t o w a r d s m a t h e m a t i c s a n d a l g e b r a , v e r b a l p r o b l e m s , t h e i r A l g e b r a I t e a c h e r , a n d h o m e w o r k p a t t e r n s . T h e d u r a t i o n o f e a c h i n t e r v i e w w a s 4 5 m i n u t e s . T h e p i l o t s t u d y i n d i c a t e d t h a t t h e i n v e s t i g a t o r ’ s p r e s e n c e i n t h e c l a s s r o o m , a c t i v e l y c o m p i l i n g f i e l d n o t e s d u r i n g t e a c h e r i n s t r u c t i o n , d i d n o t s i g n i f i c a n t l y d i s t u r b e i t h e r t h e t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s o r s t u d e n t s ' b e h a v i o r o r c l a s s r o o m p a r t i c i p a t i o n . S t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d v e r b a l p r o b l e m t e s t w a s p o o r h o w e v e r , i n d i c a t i n g t h a t t h e i n v e s t i g a t o r h a d o v e r e s t i m a t e d s t u d e n t a b i l i t y t o t r a n s f e r s k i l l s t o v e r b a l p r o b l e m s c o n s i s t i n g o f n e w a n d v a r i e d c o n t e x t s d i f f e r e n t f r o m 1 3 0 f a m i l i a r t e x t b o o k c o n t e x t s . T h e t e s t w a s t o o d i f f i c u l t f o r m o s t s t u d e n t s , a n d l e d t h e i n v e s t i g a t o r t o c o n c l u d e t h a t a n y v e r b a l p r o b l e m c o n s t r u c t i o n s f o r s t u d e n t t e s t s i n t h e a c t u a l s t u d y w o u l d n e e d t o c o n f o r m c l o s e l y t o t h o s e v e r b a l p r o b l e m c o n t e x t s e x p e r i e n c e d i n t h e r e s p e c t i v e c l a s s r o o m s . T h e p i l o t s t u d y d e m o n s t r a t e d t h e f e a s i b i l i t y o f u s i n g o n e p r o c e s s c o d i n g f o r m f o r a n a l y z i n g t e a c h e r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , t e x t b o o k e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , a n d s t u d e n t p r o c e s s i n g o f v e r b a l p r o b l e m s . T h e p i l o t s t u d y c o d i n g f o r m c o n s i s t e n t l y c a p t u r e d p r o c e s s f e a t u r e s o f t h e t h r e e e l e m e n t s ' p r e s e n t a t i o n s . A d d i t i o n a l l y , t h e c o d i n g f o r m r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t a l l t h r e e e l e m e n t s ’ p r e s e n t a t i o n s w e r e p r o c e d u r a l l y s i m i l a r b o t h i n t e r m s o f t h e c h o i c e o f p r o c e s s e s u s e d a n d s e q u e n c e o f u s a g e . T h e i n v e s t i g a t o r d e c r e a s e d t h e l a r g e n u m b e r o f p r o c e s s e s o n t h e c o d i n g f o r m f r o m 4 7 t o 2 7 p r o c e s s e s f o r t h e a c t u a l s t u d y ' s c o d i n g f o r m . E a c h o f t h e r e s u l t i n g 2 7 p r o c e s s e s h a d b e e n o b s e r v e d t o b e u s e d a t l e a s t o n c e i n t h e v a r i o u s a n a l y s e s w h e r e t h e c o d i n g f o r m h a d b e e n e m p l o y e d i n t h e p i l o t s t u d y . T h e i n v e s t i g a t o r a l s o f e l t i t w a s n e c e s s a r y t o a d d a s p a c e f o r c o m m e n t s n e x t t o e a c h l i s t e d p r o c e s s t o d e t a i l e i t h e r a t e x t b o o k ' s e x p l a n a t i o n o f a p r o c e s s , o r a t e a c h e r ’ s v e r b a l e x p l a n a t i o n o f a s p e c i f i c p r o c e s s , o r a s t u d e n t ' s v e r b a l i z a t i o n r e l a t e d t o a s p e c i f i c p r o c e s s . T h e m o d i f i e d p r o c e s s c o d i n g f o r m t o b e u s e d i n t h e a c t u a l s t u d y w a s l a b e l e d C o d i n g F o r m 1 , a n d c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x B . 1 3 1 T h e p i l o t s t u d y e x p o s e d s e v e r a l w e a k n e s s e s w i t h r e g a r d s t o t h e p l a n n e d d e s i g n f o r t h e a c t u a l s t u d y ' s d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s . I t b e c a m e e v i d e n t t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t m a n y o f t h e p r O p o s e d m e t h o d s o f d a t a c o l l e c t i o n w e r e t o o s i m p l i s t i c t o c a p t u r e a n y m o r e t h a n s u r f a c e f e a t u r e s o f t h e i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e , a n d o f m i n i m a l s e r v i c e i n a n s w e r i n g t h e p r o p o s e d q u e s t i o n s o f t h e s t u d y . I n m o s t c a s e s , t h e i n v e s t i g a t o r a t t e n d e d t o t h e s e p e r c e i v e d w e a k n e s s e s b y d e v e l o p i n g a d d e d i n s t r u m e n t a t i o n , b o r r o w e d o r m o d i f i e d f r o m o t h e r s o u r c e s t o p r o v i d e a g r e a t e r d e g r e e o f d e p t h t o t h e T h i s a d d e d i n s t r u m e n t a t i o n a n d r e l a t e d s t u d y ' s d a t a . a n a l y s i s t e c h n i q u e s a r e d i s c u s s e d i n d e t a i l w i t h i n t h e d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s s e c t i o n . T h e p i l o t s t u d y r e v e a l e d f i v e m a j o r w e a k n e s s e s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d o l o g y f o r t h e a c t u a l s t u d y , a n d t h e s e w e a k n e s s e s c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s : 1 . T h e u s a g e o f i n v e s t i g a t o r f i e l d n o t e s o f t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n t o f u l l y c h a r a c t e r i z e t h e v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a l e n v i r o n m e n t w a s i n a d e q u a t e . O t h e r i n s t r u m e n t s w h i c h p r o v i d e b o t h q u a n t i t a t i v e a n d q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n , a n d w h i c h c a n b e c o m p l e t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r q u i c k l y a f t e r t e a c h e r o b s e r v a t i o n s a r e n e e d e d . 2 . T h e t e x t b o o k a n a l y s i s u n d e r t a k e n b y t h e i n v e s t i - g a t o r d u r i n g t h e p i l o t s t u d y d i d n o t c o n t a i n a d e q u a t e d e t a i l f o r m a k i n g t e x t b o o k c o m p a r i s o n s ( a s i s r e q u i r e d i n t h e a c t u a l s t u d y ) , n o r d i d i t c o n t a i n a u t h o r i n p u t o f a n y k i n d o n t h e n a t u r e o f t h e i r t e x t b o o k d e s i g n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . . M b r e s t r u c t u r e d a n d c o m p a r a t i v e i n s t r u m e n t a t i o n i s a n d t e x t b o o k a u t h o r s n e e d t o b e q u e r i e d n e e d e d , f o r t h e r a t i o n a l e s o f t h e i r d e s i g n s . 1 3 2 3 . T h e p i l o t s t u d y c l e a r l y i n d i c a t e d t h a t t h e i n v e s - t i g a t o r h a d n o t g i v e n a d e q u a t e c o n s i d e r a t i o n i n t h e p r o p o s a l o f h o w s t u d e n t p e r f o r m a n c e , i n t h e f o r m o f s t u d e n t s ’ w r i t t e n s o l u t i o n s , w a s t o b e e v a l u a t e d a n d a n a l y z e d . A s c o r i n g s y s t e m i s n e e d e d f o r t h e i n v e s t i g a t o r ' s r e v i e w o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s . 4 . T h e s m a l l s a m p l e ( 3 ) o f s t u d e n t s i n t e r v i e w e d i n d i c a t e d t h a t l e s s c a p a b l e A l g e b r a I s t u d e n t s c a n n o t b e e x p e c t e d t o v e r b a l i z e t h e i r t h o u g h t p r o c e s s e s v e r y w e l l i n t h e i n t e r v i e w s e t t i n g . T h e i n v e s t i g a t o r s h o u l d f o c u s o n i d e n t i f y i n g m o r e c a p a b l e a n d m o r e v e r b a l o r i e n t e d s t u d e n t s f o r t h e i n t e r v i e w s d u r i n g t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s . T h e s t u d e n t a t t i t u d e / b a c k g r o u n d s e c t i o n o f t h e i n t e r v i e w a l s o n e e d s g r e a t e r s p e c i f i c s t r u c t u r i n g . 5 . T h e a c t u a l s t u d y o f 3 t e a c h e r s , a s o p p o s e d t o t h e p i l o t s t u d y o f o n e t e a c h e r , w i l l n o t p e r m i t t h e o n e h o u r w e e k l y d i s c u s s i o n s b e t w e e n i n v e s t i g a t o r a n d t e a c h e r s a s w a s d o n e w i t h t h e o n e t e a c h e r o f I n s t e a d t h e d e v e l o p m e n t o f a n t h e p i l o t s t u d y . a l t e r n a t e f o r m o f i n s t r u m e n t a t i o n ( s u r v e y ) i s n e e d e d w h i c h r e l a t e s t o t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s a n d c o n c e p t i o n s o f t h e s e t t i n g a n d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . I n s u m m a r y , t h e p i l o t s t u d y ’ s m a j o r p u r p o s e s , i n v e s t i g a t o r r e f a m i l i a r i z a t i o n w i t h t h e . A l g e b r a I s e t t i n g a n d t h e c a p a b i l i t i e s o f i t s s t u d e n t s a n d t e s t i n g a n d r e f i n e m e n t o f p r o p o s e d i n s t r u m e n t a t i o n p r o c e e d e d a b o u t a s e x p e c t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . T h e p i l o t s t u d y h o w e v e r w a s m o r e e f f e c t i v e i n i t s a b i l i t y t o i d e n t i f y s p e c i f i c w e a k n e s s e s o f t h e i n v e s t i g a t o r ’ s p r o p o s e d m e t h o d o l o g y f o r t h e a c t u a l s t u d y , w h i c h w a s n o t e x p e c t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r , b u t d e f i n i t e l y i n d i c a t e d t h e v a l u e o f t h e , p i l o t s t u d y p h a s e f o r t h e f i n a l f o r m u l a t i o n o f t h e m e t h o d o l o g y u s e d i n t h e a c t u a l s t u d y . 1 3 3 T e a c h e r a n d S i t e N q u t i a t i o n / E n t r y T h e s t u d y r e q u i r e d t h e p a r t i c i p a t i o n a n d c o o p e r a t i o n o f t h r e e . A l g e b r a I t e a c h e r s a n d o n e o f t h e i r r e s p e c t i v e A l g e b r a I c l a s s e s . T h e i n v e s t i g a t o r i n i t i a l l y c o n c e i v e d t h e t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y t o b e c o m p o s e d o f t w o t e a c h e r s f r o m t h e s a m e p u b l i c j u n i o r h i g h s i t e a s t h e p i l o t s t u d y s i t e , w i t h t h e t h i r d t e a c h e r s e l e c t e d f r o m t h e l o c a l p a r o c h i a l h i g h s c h o o l . T h i s d e s i g n w o u l d p e r m i t i n v e s t i g a t o r c o m p a r i s o n s b e t w e e n t w o o f t h e t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , w h e r e a c o m m o n t e x t b o o k o r i e n t a t i o n w a s u s e d . T h i s d e s i g n p r o v e d u n w o r k a b l e h o w e v e r , w h e n t h e o n l y o t h e r t e a c h e r o f A l g e b r a I a t t h e p u b l i c j u n i o r h i g h s c h o o l s i t e , b e s i d e s A l i c e , r e f u s e d t o p a r t i c i p a t e i n t h e a c t u a l s t u d y . A l i c e , t h e t e a c h e r o f t h e p i l o t s t u d y , h a d a l r e a d y a g r e e d t o p a r t i c i p a t e . T h e r e f o r e t h e o t h e r p u b l i c j u n i o r h i g h s c h o o l o f t h e d i s t r i c t w a s a p p r o a c h e d , a n d a l l t h r e e A l g e b r a I t e a c h e r s a t t h i s s c h o o l v o l u n t e e r e d t o p a r t i c i p a t e i n t h e a c t u a l s t u d y . O n e t e a c h e r w a s s e l e c t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f r o m t h i s s i t e o n t h e b a s i s o f t h e t i m e o f h i s A l g e b r a I c l a s s d u r i n g t h e d a y , w h i c h b e s t f i t t h e i n v e s t i g a t o r ’ s a v a i l a b l e t i m e c o m m i t m e n t s . T h e o n l y t e a c h e r o f A l g e b r a I i n t h e l o c a l p a r o c h i a l s c h o o l a g r e e d t o t h e p a r t i c i p a t i o n o f o n e o f h e r t w o c l a s s e s f o r t h e s t u d y . A t e a c h s i t e , t h e i n v e s t i g a t o r c o m p l e t e d n e c e s s a r y f o r m s s p e c i f i e d b y t h e 1 3 4 r e s p e c t i v e s c h o o l s y s t e m s f o r p r o p o s e d s c h o o l r e l a t e d r e s e a r c h , a n d f o l l o w e d d e s i g n e d c h a n n e l s w h i c h m o v e d f r o m c e n t r a l a d m i n i s t r a t i o n , t o l o c a l s c h o o l a d m i n i s t r a t i o n ( p r i n c i p a l s ) , a n d f i n a l l y t o t h e t e a c h e r s t h e m s e l v e s . T h i s n e g o t i a t i o n p r o c e s s w a s b e g u n i n e a r l y A u g u s t , 1 9 8 6 a n d w a s c o m p l e t e d i n l a t e A u g u s t , 1 9 8 6 . T h e s e l e c t i o n o f t h r e e t e a c h e r s i n t h r e e d i f f e r e n t s c h o o l s i t e s , a n d w h o e m p l o y e d t h r e e d i f f e r e n t t e x t b o o k s h a d s e v e r a l a d v a n t a g e s . F i r s t , i t c o u l d b e a s s u m e d t h a t t h e t h r e e t e a c h e r s w o u l d p r o b a b l y n o t c o m m u n i c a t e a b o u t t h e s t u d y w i t h e a c h o t h e r d u r i n g t h e d a t a c o l l e c t i o n p h a s e o f t h e s t u d y . S e c o n d l y , t h e a d d i t i o n o f a t h i r d t e x t b o o k s e r i e s f o r t h e s t u d y i n c r e a s e d t h e d i v e r s i t y o f o r g a n i z a t i o n a n d p r e s e n t a t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s , i m p r o v i n g i n v e s t i g a t o r c o m p a r i s o n c a p a b i l i t i e s u n d e r t a k e n i n t h e t e x t b o o k r e v i e w , T h e t h i r d A l g e b r a I t e x t b o o k c o n t a i n e d a v e r y d i f f e r e n t o r g a n i z a t i o n a l s t r u c t u r e f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i n c o m p a r i s o n t o t h e s t u d y ’ s o t h e r t w o t e x t b o o k s , a n d s u c h d i v e r s i t y a l s o r e l a t e d w e l l t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s h y p o t h e s e s r e l a t e d t o t e x t b o o k c o n s t r u c t i o n s . T h e a d d i t i o n o f a t h i r d t e x t b o o k d i d n e c e s s i t a t e a r a t h e r q u i c k r e v i e w a n d a n a l y s i s p r i o r t o t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r . T h e o t h e r t w o t e x t b o o k s u s e d i n t h e s t u d y h a d b e e n t h o r o u g h l y r e v i e w e d d u r i n g t h e s u m m e r ( 1 9 8 6 ) , a n d t h e i r r e v i e w a t l e a s t p r o v i d e d t h e g u i d e l i n e s a n d i n s t r u m e n t a t i o n t o m a k e s u c h a n a n a l y s i s p o s s i b l e . 1 3 5 T h e i n v e s t i g a t o r m e t i n d i v i d u a l l y w i t h e a c h o f t h e t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y a t t h e i r r e s p e c t i v e s c h o o l s j u s t p r i o r t o t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r ( S e p t e m b e r , 1 9 8 6 ) . T h e p u r p o s e s a n d m e t h o d o l o g y o f t h e i n v e s t i g a t i o n w e r e e x p l a i n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r , a s w e l l a s c l a r i f i c a t i o n a n d r e a s s u r a n c e o f i t s o b s e r v a t i o n a l a n d n o n - i n t e r v e n t i o n i s t n a t u r e . E a c h t e a c h e r a g r e e d t o t h e m i n i m a l d e m a n d s o n t h e i r c l a s s p r e p a r a t i o n t i m e , t o n o t i f y t h e i n v e s t i g a t o r w h e n i n s t r u c t i o n r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s w a s p l a n n e d , a n d t o r e l i n q u i s h t h r e e c l a s s p e r i o d s f o r i n v e s t i g a t o r t e s t i n g p u r p o s e s . E a c h t e a c h e r e x p r e s s e d t h e i r e n t h u s i a s m f o r t h e i n v e s t i g a t i o n ’ s p u r p o s e s a n d t h e p o t e n t i a l h e l p t h e r e s u l t s o f t h e i n v e s t i g a t i o n m i g h t p r o v i d e f o r t h e i r o w n t e a c h i n g m e t h o d s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . N o n e o f t h e t h r e e t e a c h e r s e x p r e s s e d a n y c o n c e r n a t t h e s e m e e t i n g s a b o u t h a v i n g t h e i r t e a c h i n g o b s e r v e d b y t h e i n v e s t i g a t o r , o r b e l i e v e d t h a t t h e i n v e s t i g a t o r ' s p r e s e n c e m i g h t e f f e c t c l a s s r o o m b e h a v i o r . A t t h e c l o s e o f t h e s e m e e t i n g s , e a c h t e a c h e r w a s r e q u e s t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o c o m p l e t e t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t ( s u r v e y i n s t r u m e n t r e l a t e d t o t e a c h e r c o n c e p t i o n s ) p r i o r t o t h e i n v e s t i g a t o r ' s i n i t i a l c o n t a c t w i t h e a c h t e a c h e r ' s c l a s s . T h e t h r e e t e a c h e r s w e r e a s s i g n e d c o d e n a m e s , A l i c e , B e t t y , a n d C a r l . A l i c e a n d C a r l t a u g h t i n t h e t w o d i f f e r e n t , p u b l i c j u n i o r h i g h s c h o o l ( g r a d e s 7 - 9 ) 1 3 6 s e t t i n g s o f t h e s a m e s c h o o l d i s t r i c t , a n d B e t t y t a u g h t i n t h e s a m e d i s t r i c t ’ s p a r o c h i a l h i g h s c h o o l ( g r a d e s 9 - 1 2 ) . T h e s c h o o l d i s t r i c t s e r v e s a n a r e a p o p u l a t i o n o f a p p r o x i m a t e l y 4 0 , 0 0 0 p e o p l e , l i v i n g i n b o t h r e s i d e n t i a l a n d r u r a l s e t t i n g s , a n d i n c l u d e s s e v e r a l s m a l l , b o r d e r i n g c i t i e s . T h e m a j o r c i t y w i t h i n t h e d i s t r i c t h a s a p o p u l a t i o n o f 2 5 , 0 0 0 p e o p l e , a n d i s a l s o h o m e f o r a s t a t e u n i v e r s i t y c a m p u s ( e n r o l l m e n t : 9 0 0 0 s t u d e n t s ) a n d h e a d q u a r t e r s f o r a m a j o r n a t i o n w i d e i n s u r a n c e o p e r a t i o n , F a r m i n g , w h i c h a r e t h e a r e a ' s t w o m a j o r e m p l o y e r s . p a r t i c u l a r l y p o t a t o f a r m i n g , i s t h e m a j o r i n d u s t r y o f t h e s u r r o u n d i n g r u r a l a r e a s . A l l n i n t h g r a d e r s o f t h e s c h o o l d i s t r i c t a t t e n d s c h o o l a t o n e o f t h e t h r e e r e s e a r c h s i t e s . T h e s t u d e n t b o d y a n d s t a f f s a r e p r e d o m i n a n t l y w h i t e C a u c a s i a n , w i t h m i n o r i t y r e p r e s e n t a t i o n i n t h e s c h o o l s a t l e s s t h a n 5 p e r c e n t . D a t a C o l l e c t i o n a n d A n a l y s i s T h i s s e c t i o n i s d i v i d e d a c c o r d i n g t o t h e f o u r m a j o r p h a s e s o f d a t a c o l l e c t i o n : t e x t b o o k a n a l y s i s , o b s e r v a t i o n s o f t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n , s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s , a n d t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t ( s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e ) g i v e n i n e a r l y M a r c h , 1 9 8 7 , a l l d a t a f o r t h e a c t u a l s t u d y w a s c o l l e c t e d b e t w e e n A u g u s t a n d D e c e m b e r , 1 9 8 6 . 1 3 7 T g p r o o k A n a l y s i s U n a b l e t o l o c a t e w i t h i n t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e a n y e v a l u a t i o n s c h e m e s f o r a n a l y s i s o f s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s , t h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d s e v e r a l i n s t r u m e n t s w h i c h p r o v i d e d i n c r e a s i n g d e g r e e s o f s p e c i f i c i t y r e l a t e d t o q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n s o f t h e t h r e e A l g e b r a I t e x t b o o k s o f t h e s t u d y . A . q u a l i t a t i v e e v a l u a t i o n i n s t r u m e n t w a s a l s o d e v e l o p e d b y t h e i n v e s t i g a t o r , t h o u g h a d m i t t e d l y t h i s i n s t r u m e n t r e f l e c t s i n v e s t i g a t o r b i a s f o r w h a t a r e c o n s i d e r e d i m p o r t a n t q u a l i t i e s o f t e x t b o o k s ' c o n s t r u c t i o n s , a n d a l s o i n v o l v e d i n v e s t i g a t o r s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n s , b a s e d o n t e x t b o o k c o m p a r i s o n s , f o r e a c h t e x t b o o k i n e a c h i n c l u d e d c a t e g o r y . I n i t i a l l y t h e i n v e s t i g a t o r r e v i e w e d t h e t h r e e t e x t b o o k s , w h i c h w e r e c o d e d A , B , C a s r e l a t e d t o t h e t e a c h e r s o f t h e s t u d y ( A l i c e , B e t t y , a n d C a r l ) , t o d e t e r m i n e h o w m a n y p a g e s i n e a c h t e x t b o o k w e r e n e c e s s a r y t o r e a c h a p o i n t w h e r e c o m m o n l i n e a r e q u a t i o n v e r b a l p r o b l e m t y p e s w a s c o m p l e t e d , a n d a l s o t o w h e r e i t w a s a n t i c i p a t e d t h a t t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n w o u l d f i n i s h p r i o r t o t h e C h r i s t m a s b r e a k , 1 9 8 6 . T h e r e w a s a n o t e d s i m i l a r i t y b e t w e e n e a c h t e x t b o o k ’ s c o n s t r u c t i o n a n d o r g a n i z a t i o n o f t h e f i r s t f o u r o r f i v e c h a p t e r s , w h i c h a i d e d t h i s p r o c e s s . T h e r e w a s g r e a t e r o r g a n i z a t i o n a l d i f f e r e n c e s a m o n g t h e t h r e e t e x t b o o k s i n t h e c h a p t e r s b e y o n d t h i s p o i n t . T h e r e s t o f t h e i n v e s t i g a t o r ' s t e x t b o o k a n a l y s i s h o w e v e r w a s 1 3 8 c o n f i n e d t o o n l y t h e s e f i r s t f o u r o r f i v e c h a p t e r s o f e a c h t e x t b o o k w h e r e t h e o r g a n i z a t i o n a l d i f f e r e n c e s w e r e l e s s a p p a r e n t . F o r e a c h t e x t b o o k , a p a g e b y p a g e r e v i e w w a s c o m p l e t e d o f t h e s e i n i t i a l f o u r o r f i v e c h a p t e r s , w i t h t h e i n v e s t i g a t o r n o t i n g t h e a m o u n t o f s p a c e ( p a g e s ) g i v e n t o f o u r p u r p o s e s : e x p l a n a t i o n , o r a l ( c l a s s r o o m ) e x e r c i s e s , w r i t t e n e x e r c i s e s , a n d " o t h e r " . T h e “ o t h e r " c a t e g o r y i n c l u d e d c h a p t e r r e v i e w s a n d t e s t s , s k i l l s h a r p e n e r ( r e v i e w ) s e c t i o n s , a n d o p t i o n a l a p p l i c a t i o n s e c t i o n s . T h e f i r s t t h r e e c a t e g o r i e s o f p u r p o s e s w e r e a l s o f u r t h e r d e l i n e a t e d a s t o w h e t h e r t h e a l g e b r a c o n t e n t r e f e r r e d t o m a n i p u l a t i o n s k i l l s , v e r b a l e x p r e s s i o n s k i l l s , o r v e r b a l p r o b l e m s . A . c l o s e r r e v i e w o f v e r b a l p r o b l e m e x p l a n a t i o n s e c t i o n s a n d r e l a t e d e x e r c i s e s w a s t h e n u n d e r t a k e n b y t h e i n v e s t i g a t o r . T h e i n v e s t i g a t o r i d e n t i f i e d f i v e d i s t i n c t p r o b l e m t y p e s w h i c h t h e t h r e e t e x t b o o k s c o v e r e d t o s o m e d e g r e e w i t h i n t h e r e v i e w e d p a g e s . T h e f i v e v e r b a l p r o b l e m t y p e s w e r e g e o m e t r i c f o r m u l a t y p e s ( s u c h a s p e r i m e t e r o r s u m o f a n g l e s i n a t r i a n g l e ) , c o n s e c u t i v e i n t e g e r p r o b l e m t y p e s , a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s , d i s t a n c e / r a t e / t i m e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s , a n d c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e s . A s i x t h , b r o a d c a t e g o r y w a s a d d e d , c a l l e d s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e s , w h i c h i n c l u d e d a l l v e r b a l p r o b l e m s p o t e n t i a l l y s o l v a b l e b y d i r e c t t r a n s l a t i o n t e c h n i q u e s o f 1 3 9 t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s i n t o v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d t h e r e q u i s i t e l i n e a r e q u a t i o n . T h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e c a t e g o r i e s t o g e t h e r c o m p o s e d w h a t t h e i n v e s t i g a t o r c l a s s i f i e d a s t h e c o r e c o n t e n t o f t h e s t u d y . F o r e a c h t e x t b o o k , t h e i n v e s t i g a t o r r e c o r d e d t h e n u m b e r o f p a g e s o f t e x t b o o k e x p l a n a t i o n a n d t h e n u m b e r o f w r i t t e n e x e r c i s e s r e l a t e d t o t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s o f t h e c o r e c o n t e n t . W i t h i n t h e c o r e c o n t e n t o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s , t h e i n v e s t i g a t o r p e r f o r m e d t w o o t h e r q u a n t i t a t i v e t e x t b o o k c o m p a r i s o n s a c c o r d i n g t o t w o o t h e r r e s e a r c h c l a s s i f i c a t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s . C h a r l e s a n d L e s t e r ( 1 9 8 2 ) c l a s s i f i e d p r o b l e m s i n t o o n e o f s i x t y p e s : d r i l l e x e r c i s e , s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m , c o m p l e x t r a n s l a t i o n p r o b l e m , p r o c e s s p r o b l e m , a p p l i e d p r o b l e m , o r p u z z l e p r o b l e m . T e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s a r e e i t h e r s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e s o r c o m p l e x t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e s w i t h i n t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m . W i t h i n t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m , t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n s i m p l e a n d c o m p l e x p r o b l e m t y p e s i s b a s e d o n a c o m p l e x t r a n s l a t i o n p r o b l e m r e q u i r i n g a t l e a s t t w o s t e p s ( m u l t i - s t e p ) o f t r a n s l a t i o n i n t o m a t h e m a t i c a l s e n t e n c e s ( e q u a t i o n s ) . S i n c e a l l v e r b a l p r o b l e m s o f t h e i d e n t i f i e d c o r e c o n t e n t r e q u i r e d t h e f o r m u l a t i o n o f o n l y o n e l i n e a r e q u a t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r ' s a n a l y s i s i n s t e a d c o n s i d e r e d c o m p l e x t r a n s l a t i o n v e r b a l p r o b l e m s t o b e o n e s w h i c h r e q u i r e d 1 4 0 s t u d e n t p r o c e s s i n g o f i n f e r r e d r e l a t i o n s h i p s c o n t a i n e d w i t h i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h e s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e t h e n r e l a t e d t o t h o s e v e r b a l p r o b l e m s w h e r e t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t h a t a n a p p r o p r i a t e e q u a t i o n c o u l d b e a c c o m p l i s h e d b y d i r e c t t r a n s l a t i o n o f t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t . T h e s e c o n d c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e o f v e r b a l p r o b l e m s l o c a t e d w i t h i n t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e a n d e m p l o y e d i n t h e t e x t b o o k a n a l y s i s w a s t h a t d e v e l o p e d b y C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) . T h e i r c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e i s b a s e d u p o n c a t e g o r i z i n g v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s a l o n g t w o d i m e n s i o n s , c o n c r e t e a s o p p o s e d t o a b s t r a c t , a n d f a c t u a l a s o p p o s e d t o h y p o t h e t i c a l . D e f i n i t i o n s f o r t h e s e d i m e n s i o n s h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d i n t h e r e s e a r c h r e v i e w ( C h a p t e r I I ) . W i t h i n t h e i r s c h e m e , e v e r y v e r b a l p r o b l e m i s o n e o f f o u r t y p e s : a b s t r a c t f a c t u a l ( A F ) , a b s t r a c t h y p o t h e t i c a l ( A H ) , c o n c r e t e f a c t u a l ( C F ) , o r c o n c r e t e h y p o t h e t i c a l ( C H ) . C o u n t s w e r e n o t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r o f e a c h o f t h e f o u r c l a s s i f i c a t i o n s w i t h i n t h e v e r b a l p r o b l e m s ( e x e r c i s e s ) o f t h e c o r e c o n t e n t a c c o r d i n g t o t h e s i x p r o b l e m t y p e s . T h e i n v e s t i g a t o r a l s o r e v i e w e d a l l t e x t b o o k e x a m p l e s r e l a t e d t o t h e c o r e c o n t e n t , a n d a n a l y z e d e a c h e x a m p l e ’ s p r e s e n t a t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s a n d s u g g e s t e d s e q u e n t i a l p r o c e s s i n g u s i n g C o d i n g F o r m 1 . N o d i r e c t a n a l y s i s w a s d o n e o f t h i s i n v e s t i g a t o r c o d i n g o f t e x t b o o k e x a m p l e s , b u t r a t h e r i t w a s c o m p l e t e d f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s a s r e l a t e d 1 4 1 t o t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e p r e s e n t a t i o n o f t h e s a m e c o n t e n t m a t e r i a l , w h e r e c o m m o n a l i t i e s o f s u g g e s t e d p r o c e s s e s a n d s e q u e n c e c o u l d b e n o t e d d u r i n g t e a c h e r o b s e r v a t i o n s . T h e i n v e s t i g a t o r d e v e l o p e d a F e a t u r e E v a l u a t i o n F o r m f o r t h e s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n o f t h e t e x t b o o k s ' v e r b a l p r o b l e m c o r e c o n t e n t . T h e d e v e l o p e d f o r m c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x C . T h e f o r m h a s f o u r m a j o r s u b d i v i s i o n s : A . G e n e r a l M o d e l , B . T e x t b o o k E x p l a n a t i o n s , C . T e x t b o o k E x a m p l e s , a n d D . E x e r c i s e S e t s . E a c h m a j o r s u b d i v i s i o n h a s a t l e a s t t h r e e l i s t e d f e a t u r e s w h i c h r e c e i v e d i n v e s t i g a t o r e v a l u a t i o n , a n d t h e t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s u b d i v i s i o n ( B . ) h a s t h e m o s t s u c h f e a t u r e s e v a l u a t e d , s i x . T h e i n v e s t i g a t o r e v a l u a t e d e a c h o f t h e r e s u l t i n g 1 6 f e a t u r e s f o r e a c h t e x t b o o k u s i n g a s c a l e o f 1 t o 5 , w h e r e 1 = l o w e s t r a t i n g a n d 5 = h i g h e s t r a t i n g . R a t i n g s u b t o t a l s w i t h i n t h e m a j o r s u b d i v i s i o n s , a s w e l l a s t h e g r a n d t o t a l o f r a t i n g s w e r e c o m p u t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . L a s t l y a n A u t h o r Q u e s t i o n a i r e w a s d e s i g n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r a n d s e n t i n d i v i d u a l l y t o e a c h o f t h e l i s t e d a u t h o r s o f t h e t h r e e r e v i e w e d A l g e b r a I t e x t b o o k s i n A u g u s t , 1 9 8 6 . T h e t h r e e p a g e s u r v e y c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x C . T h e f i r s t p a g e o f t h e s u r v e y w a s i d e n t i c a l t o t h e l a s t p a g e o f t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t , a n d r e q u e s t e d a u t h o r s t o r a t e t h e i m p o r t a n c e ( a c c o r d i n g t o o n e o f 5 l e v e l s ) o f e i g h t g i v e n p u r p o s e s f o r t h e s t u d y o f A l g e b r a I , a n d a l s o t o r a n k o r d e r t h e e i g h t p u r p o s e s f r o m t h e i r p e r s p e c t i v e i n r e g a r d s t o i m p o r t a n c e . A u t h o r s w e r e a l s o a s k e d t o a n s w e r s e v e n o t h e r q u e s t i o n s r e l a t e d t o t h e i r o r g a n i z a t i o n a l p r e f e r e n c e s f o r v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s a n d e x p l a n a t i o n s , t h e a b i l i t y l e v e l f o r w h o m t h e t e x t w a s d e s i g n e d , t h e i n t e n d e d g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l e m p l o y e d , a n d t h e i r t h o u g h t s o n f u t u r e d e s i g n m o d i f i c a t i o n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t p r e s e n t a t i o n . S i n c e o n l y o n e A u t h o r Q u e s t i o n a i r e w a s r e t u r n e d a s o f D e c e m b e r 1 , 1 9 8 6 , a n d n o q u e s t i o n a i r e s w e r e r e t u r n e d d u e t o i n c o r r e c t a d d r e s s i n g , a s e c o n d m a i l i n g t o t h e a u t h o r s w a s d o n e i n e a r l y D e c e m b e r , 1 9 8 6 . T h e a n a l y s i s o f t h e d a t a c o l l e c t e d f r o m t h e t e x t b o o k r e v i e w w a s d o n e o n t h e b a s i s o f c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e t h r e e t e x t b o o k s ( A , B , C ) o f t h e s t u d y i n a l l c a s e s . T h e t h r e e t e x t b o o k s a r e n e v e r m e n t i o n e d b y n a m e o r p u b l i s h e r . A n i n i t i a l c o m p a r i s o n r e l a t e s t h e n u m b e r o f p a g e s a n d p e r c e n t o f r e v i e w e d p a g e s g i v e n t o e a c h o f t h e f o u r p u r p o s e s : e x p l a n a t i o n , o r a l e x e r c i s e s , w r i t t e n e x e r c i s e s , a n d " o t h e r " c a t e g o r y . S e c o n d l y , t h e c o r e c o n t e n t o f s i x c a t e g o r i e s o f v e r b a l p r o b l e m t y p e s i s d e v e l o p e d , a n d t h e n u m b e r o f r e l a t e d e x p l a n a t o r y p a g e s a n d w r i t t e n e x e r c i s e s f o r e a c h c a t e g o r y i s c o m p a r e d a m o n g t h e t h r e e t e x t b o o k s . T h e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s w h i c h c o m p o s e d t h e c o r e c o n t e n t a r e t h e n a n a l y z e d a c c o r d i n g t o t h e t w o a l t e r n a t e c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m s i n t r o d u c e d : s i m p l e v e r s u s c o m p l e x 1 4 3 c l a s s i f i c a t i o n s , a n d t h e f o u r w a y c l a s s i f i c a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h e a b s t r a c t / c o n c r e t e a n d f a c t u a l / h y p o t h e t i c a l d i s t i n c t i o n s . N u m e r i c a l c o u n t s o f e a c h o f t h e s e c l a s s i f i c a t i o n s i s c o m p a r e d b y t e x t b o o k w i t h i n t h e c o n f i n e s o f t h e s i x i d e n t i f i e d v e r b a l p r o b l e m t y p e c a t e g o r i e s . T h e r e i s a l s o m o r e e x t e n s i v e d i s c u s s i o n o f t h e t h r e e p r e d i c t i v e m o d e l s o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e i n t r o d u c e d b y C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) , a n d i n t h e a n a l y s i s t h e i n v e s t i g a t o r c o m p a r e s a s p e c t s o f s t u d e n t f a m i l i a r i t y a n d p r a c t i c e w i t h t h e f o u r v e r b a l p r o b l e m c l a s s i f i c a t i o n s w i t h i n t h e t h r e e m o d e l s o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e . W i t h i n e a c h q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n o f t h e t e x t b o o k s ' v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , t h e i n v e s t i g a t o r h i g h l i g h t s b o t h t h e c o m m o n o r g a n i z a t i o n a l e l e m e n t s s h a r e d b y t h e t e x t b o o k s a n d t h e m o s t o b v i o u s d i f f e r e n c e s b e t w e e n t e x t b o o k s ' d e s i g n a n d o r g a n i z a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w i t h i n t h e d i s c u s s i o n . T h e i n v e s t i g a t o r ' s a n a l y s i s o f t h e s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n s o f t h e t h r e e t e x t b o o k s , g e n e r a t e d b y t h e F e a t u r e E v a l u a t i o n F o r m , r e c e i v e s g r e a t e r d i s c u s s i o n r e l a t e d p a r t i c u l a r l y t o t h e i n v e s t i g a t o r ' s r a t i o n a l e f o r t h e a s s i g n e d r a t i n g s . I n t h e c l o s i n g s u m m a r y s e c t i o n , e a c h o f t h e t h r e e t e x t b o o k s i s d i s c u s s e d s e p a r a t e l y , a n d t h e i n v e s t i g a t o r ' s p e r c e p t i o n s o f e a c h t e x t b o o k s ' c o m p a r a t i v e s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t p r e s e n t a t i o n a r e r e v e a l e d . M o s t o f t h e t e x t b o o k r e v i e w a n d 1 4 4 a n a l y s i s w a s c o m p l e t e d p r i o r t o t h e b e g i n n i n g o f t h e t e a c h e r a n d c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s . T h e a n a l y s i s o f t h e s u r v e y i n f o r m a t i o n f r o m t h e t e x t b o o k a u t h o r s ' c o m p l e t i o n o f t h e A u t h o r Q u e s t i o n a i r e i s r e v i e w e d a l o n g c o m p a r a t i v e l i n e s a l s o , b o t h d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e s e v e r a l a u t h o r s o f a s i n g l e t e x t b o o k , a n d a l s o b e t w e e n t h e g r o u p s o f a u t h o r s f o r e a c h t e x t b o o k . M o s t o f t h e i n v e s t i g a t o r ' s a t t e n t i o n i s o n t h e a u t h o r s ' p e r c e p t i o n s o f i m p o r t a n c e ( r a t i n g s a n d r a n k i n g s ) r e l a t e d t o t h e e i g h t p o s s i b l e p u r p o s e s o f A l g e b r a I i n s t r u c t i o n ( p a g e 1 o f t h e s u r v e y ) . T h e i n v e s t i g a t o r c a n a l s o c o m p a r e t h e s e r a t i n g s a n d r a n k i n g s o f p u r p o s e s w i t h t h o s e o f t h e t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y , c o m p l e t e d i n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t . O b s e r v a t i o n s o f T e a c h e r I n s t r u c t i o n T h e t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y w e r e t o c o m p l e t e t h e s e v e n p a g e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d , T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t p r i o r t o t h e i n v e s t i g a t o r ' s i n t r o d u c t i o n t o t h e r e s p e c t i v e c l a s s e s . T h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t w a s d e s i g n e d t o a i d t h e i n v e s t i g a t o r ' s c h a r a c t e r i z a t i o n s o f t e a c h e r c o n c e p t i o n s a n d i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s t h r o u g h t h e s u r v e y i n f o r m a t i o n p r o v i d e d b y e a c h t e a c h e r . T h e p a c k e t h a d f o u r d i s t i n c t s e c t i o n s , a n d i t s c o n t e n t s c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x D . T h e f i r s t t h r e e p a r t s ( s i x p a g e s ) i n v o l v e d m o d i f y i n g m a n y o f t h e q u e s t i o n s a n d f o r m a t s o f a t e a c h i n g s u r v e y u s e d b y G o o d , G r o u w s , a n d E b m e i e r ( 1 9 8 3 ) s o t h a t t h e y r e l a t e d t o a l g e b r a c o n t e n t o r a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t 1 4 5 i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s . P a r t I r e q u e s t e d t e a c h e r s t o r a t e t h e i r c l a s s r o o m p r a c t i c e s b e t w e e n t w o g i v e n o p p o s i t e , p a i r e d d e s c r i p t i o n s , a n d t h e r e w e r e 1 7 o f t h e s e t o c o m p l e t e . P a r t I I r e l a t e d t o t e a c h e r o p i n i o n o f c o n f i d e n c e , c h a l l e n g e , a n d s a t i s f a c t i o n r e l a t e d t o t h e t e a c h i n g o f a l g e b r a c o n t e n t , a n d a s k e d t e a c h e r s t o e x p r e s s t h e i r d e g r e e o f a g r e e m e n t w i t h s e v e n s t a t e m e n t s . P a r t I I I w a s c o m p o s e d o f 1 9 o p e n e n d e d q u e s t i o n s r e q u i r i n g s h o r t t e a c h e r r e s p o n s e s a n d o p i n i o n s , o r e s t i m a t i o n o f t i m e a n d p e r c e n t a l l o t m e n t s r e l a t e d t o c l a s s r o o m p r a c t i c e s . P a r t I V ( l a s t p a g e ) r e q u e s t e d t e a c h e r s t o r a t e a n d r a n k o r d e r t h e I e i g h t p o s s i b l e p u r p o s e s o f A l g e b r a I i n s t r u c t i o n , a s w a s ‘ i n c l u d e d i n t h e A u t h o r Q u e s t i o n a i r e . T h e d a t a c o l l e c t e d f r o m t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t w a s t o b e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e t e a c h e r o b s e r v a t i o n s i n t h e d e v e l o p m e n t o f c o m p a r a t i v e d e s c r i p t i o n s o f e a c h t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s a n d c o n c e p t i o n s o f t h e A l g e b r a I c l a s s r o o m s e t t i n g . I n i t i a l i n v e s t i g a t o r c o n t a c t w i t h e a c h o f t h e s t u d y ' s t h r e e c l a s s e s w a s d o n e e i t h e r d u r i n g t h e s e c o n d o r t h i r d w e e k o f t h e s c h o o l y e a r ( S e p t e m b e r , 1 9 8 6 ) . T h e r e s p e c t i v e t e a c h e r o f e a c h c l a s s i n t r o d u c e d t h e i n v e s t i g a t o r a s a m a t h e m a t i c s i n s t r u c t o r a t t h e l o c a l u n i v e r s i t y , a n d e x p l a i n e d t h a t t h e i n v e s t i g a t o r w a s i n t e r e s t e d i n t h e i r c l a s s a s a r e s e a r c h s i t e . T h e i n v e s t i g a t o r i n t u r n e x p l a i n e d t h e g e n e r a l p u r p o s e s o f t h e s t u d y a n d i t s v e r b a l 1 4 6 p r o b l e m c o n t e n t f o c u s , t h e j o i n t r o l e s o f t h e i n v e s t i g a t o r a s r e s e a r c h e r a n d c l a s s r o o m a i d e , t h e o b s e r v a t i o n a l n o t e - t a k i n g p o s t u r e t o b e e m p l o y e d d u r i n g t h e t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n , a n d a l s o a w i l l i n g n e s s t o h e l p s t u d e n t s o n t h e i r a s s i g n m e n t s d u r i n g s e a t w o r k t i m e . S t u d e n t s w e r e t h e n d i r e c t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o c o m p l e t e b o t h a g e n e r a l i n f o r m a t i o n s h e e t ( o n e p a g e ) a n d a n i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d v e r b a l p r o b l e m p r e t e s t . B o t h m a t e r i a l s c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x E . T h e S t u d e n t I n f o r m a t i o n F i l e a s k e d s t u d e n t s t o p r o v i d e s o m e b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n ( n a m e , g r a d e l e v e l , l a s t y e a r ' s m a t h e m a t i c s c l a s s a n d t e a c h e r ) , t h e i r p r e s e n t c l a s s s c h e d u l e , a n d a l s o t o w r i t e b r i e f s t a t e m e n t s r e l a t e d t o t w o q u e s t i o n s . O n e q u e s t i o n a s k e d s t u d e n t s t o c o m m e n t o n t h e i r f e e l i n g s a n d c o n c e r n s a b o u t t a k i n g t h e A l g e b r a I c l a s s , w h i l e t h e s e c o n d q u e s t i o n a s k e d s t u d e n t s t o d e s c r i b e t h e i r a b i l i t y a n d p a s t e x p e r i e n c e i n d o i n g t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s . I n v e s t i g a t o r r e v i e w o f t h e s e c o m p l e t e d i n f o r m a t i o n s h e e t s w a s b r i e f , a n d c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f c o m m o n r e s p o n s e t o t h e t w o q u e s t i o n s w e r e n o t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . T h e v e r b a l p r o b l e m p r e t e s t c o n t a i n e d s i x v e r b a l p r o b l e m s , t h r e e p e r p a g e , w i t h s p a c e p r o v i d e d f o r s t u d e n t w o r k a n d a n s w e r s . F i v e o f t h e s i x p r o b l e m s r e l a t e d t o t h e f i v e d i s t i n c t p r o b l e m t y p e s o f t h e c o r e c o n t e n t ( s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e e x c l u d e d ) , w h i l e t h e s i x t h v e r b a l p r o b l e m r e q u i r e d s t u d e n t s t o m a n i p u l a t e a f o r m u l a ( t r a p e z o i d a r e a ) 1 4 7 f o r a m i s s i n g p i e c e o f i n f o r m a t i o n ( s h o r t e r b a s e ) . S i n c e n o a l g e b r a i c p r o c e d u r e s f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s h a d b e e n t a u g h t y e t i n t h e c l a s s r o o m s , t h e p r e t e s t i n s t r u m e n t p r i m a r i l y m e a s u r e d s t u d e n t a n d c l a s s r o o m a b i l i t i e s t o u s e g u e s s a n d c h e c k s t r a t e g i e s . I t s i n t e n d e d p u r p o s e w a s t o a s c e r t a i n w h e t h e r t h e t h r e e c l a s s r o o m s o f s t u d e n t s w e r e o f a p p r o x i m a t e l y e q u a l n a t u r a l i n t e l l i g e n c e a n d a b i l i t y . T h e i n v e s t i g a t o r s c o r e d e a c h i t e m o f t h e p r e t e s t b y e x a m i n i n g t h e s t u d e n t ' s p r o v i d e d a n s w e r , a n d a s s i g n i n g e i t h e r t w o p o i n t s ( t o t a l l y c o r r e c t a n s w e r ) , o n e p o i n t ( p a r t i a l l y c o r r e c t a n s w e r ) o r z e r o p o i n t s o t h e r w i s e . H e n c e a p e r f e c t s c o r e o f 1 2 w a s p o s s i b l e . M e a n s o f e a c h c l a s s ’ s p e r f o r m a n c e w e r e t h e n c o m p a r e d a s t o w h e t h e r c l a s s r o o m d i f f e r e n c e s w e r e s i g n i f i c a n t . A f t e r t h i s i n i t i a l s e s s i o n w i t h e a c h c l a s s , t h e i n v e s t i g a t o r a t t e m p t e d t o a t t e n d e a c h c l a s s m e e t i n g w h e r e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i n s t r u c t i o n w a s t h e f o c u s o f t h e d a y ' s l e s s o n . T h e r e w e r e o c c a s i o n s w h e n s u c h c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s w e r e n o t p o s s i b l e , d u e e i t h e r t o t h e i n v e s t i g a t o r ' s o w n t e a c h i n g c o m m i t m e n t s , o r w h e n b o t h B e t t y a n d C a r l ' s v e r b a l p r o b l e m l e s s o n s l a n d e d o n t h e s a m e d a y , s i n c e t h e i r c l a s s m e e t i n g t i m e s o v e r l a p p e d s o m e w h a t . O n t h e s e f e w l a t t e r o c c a s i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r s e l e c t e d w h i c h s c h o o l s i t e ' s i n s t r u c t i o n a n d o b s e r v a t i o n w a s m o r e c r i t i c a l t o t h e n e e d s o f t h e s t u d y . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t t h e d a i l y o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s v e r b a l p r o b l e m 1 4 8 i n s t r u c t i o n p r o b a b l y r e p r e s e n t e d b e t w e e n 6 5 a n d 8 0 p e r c e n t o f e a c h t e a c h e r ’ s c l a s s d a y s d e v o t e d t o t h e i d e n t i f i e d c o r e c o n t e n t o f v e r b a l p r o b l e m s . O n f i v e o c c a s i o n s , u n k n o w n t o t h e i n v e s t i g a t o r p r i o r t o a r r i v a l a t t h e s c h o o l s i t e , t e a c h e r s h a d r e v i s e d t h e i r d a i l y l e s s o n p l a n s i n o r d e r t o p r o v i d e a d d i t i o n a l r e v i e w o f n o n v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d c o n t e n t , r a t h e r t h a n t h e s c h e d u l e d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . F i e l d n o t e s w e r e s t i l l c o m p l e t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r d u r i n g t h e s e i n s t r u c t i o n a l r e v i e w s e s s i o n s , a n d u s e d f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s i n t h e a n a l y s i s o f t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s . T a b l e 3 . 1 p r e s e n t s a s u m m a r y o f t h e n u m b e r a n d t y p e o f i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n . T a b l e 3 . 1 S u m m a r y o f C o m p l e t e d T e a c h e r O b s e r v a t i o n s T e a c h e r v e r b a l P r o b l e m O t h e r C o n t e n t T o t a l C o n t e n t F o c u s F o c u s O b s e r v a t i o n s A l i c e 1 1 1 1 2 B e t t y 8 2 1 0 C a r l 7 2 9 T o t a l s 2 6 5 3 1 T h e i n v e s t i g a t o r u s e d p r e p a r e d f o r m s f o r t h e t a k i n g o f f i e l d n o t e s d u r i n g t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s . T h e p r e p a r e d f o r m s c o n t a i n e d s p a c e f o r p l a c e m e n t o f f i v e m i n u t e t i m e i n t e r v a l s a l o n g t h e l e f t h a n d m a r g i n , a n d g e n e r a l l y 1 4 9 t w o t o t h r e e p a g e s o f f i e l d n o t e s w e r e g a t h e r e d d u r i n g e a c h c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r a d d i t i o n a l l y n o t e d t h e t i m e e x p l i c i t l y i n t h e f i e l d n o t e s w h e r e i t w a s f e l t t h a t a c h a n g e i n a t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a l f o c u s w i t h r e g a r d s t o v a r i o u s s e g m e n t s o f t h e l e s s o n w a s o b s e r v e d , a n d a l s o w h e n a t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s b e g a n a n d e n d e d . E a c h d a y ' s f i e l d n o t e s w e r e r e w r i t t e n a n d r e v i e w e d t h e s a m e d a y a s t h e o b s e r v a t i o n s . T e a c h e r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s f o r a g i v e n d a y w e r e r e v i e w e d f r o m t h e f i e l d n o t e s a l o n g w i t h i n v e s t i g a t o r r e c o l l e c t i o n s o f s u c h p r e s e n t a t i o n s , a n d t h e r e v i s e d p r o c e s s c o d i n g f o r m ( C o d i n g F o r m 1 ) w a s c o m p l e t e d f o r e a c h p r e s e n t e d i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e . T h e o r i g i n o f t h e e x a m p l e , t h e s e q u e n c e o f t e a c h e r p r o c e s s e s e m p l o y e d i n t h e e x a m p l e , a n d s p e c i f i c c o m m e n t s / h i n t s / s u g g e s t i o n s p r o v i d e d b y t h e t e a c h e r d u r i n g e x a m p l e p r e s e n t a t i o n w e r e a l l n o t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r o n C o d i n g F o r m 1 . G e n e r a l l y t h r e e i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s w e r e r e v i e w e d o n a s i n g l e c o d i n g f o r m u s i n g d i f f e r e n t p e n c o l o r s f o r e a c h e x a m p l e . T h e p i l o t s t u d y h a d i n d i c a t e d t h a t t h e u s a g e o f o n l y f i e l d n o t e s f o r t h e t e a c h e r o b s e r v a t i o n s l i k e l y w o u l d b e i n s u f f i c i e n t t o s e r v e i n v e s t i g a t o r p u r p o s e s r e l a t e d t o c o m p a r i n g t e a c h e r s ' u s a g e o f i n s t r u c t i o n a l t i m e , c o m p a r i n g t h e q u a l i t y o f d e l i v e r e d t e a c h e r i n s t r u c t i o n , a n d a l s o t h e r e s u l t i n g d e s c r i p t i o n s o f e a c h t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . A n a d d i t i o n a l 1 5 0 c o d i n g f o r m , C o d i n g F o r m 2 ( s e e A p p e n d i x B ) , w a s d e v e l o p e d b y t h e i n v e s t i g a t o r a n d c o m p l e t e d a f t e r e a c h t e a c h e r o b s e r v a t i o n , t o p r o v i d e a d d i t i o n a l q u a n t i t a t i v e a n d q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n t o a i d t h i s p r o c e s s o f i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e d e s c r i p t i o n . O n e s e c t i o n o f C o d i n g F o r m 2 p e r m i t t e d t h e i n v e s t i g a t o r t o n o t e t h e a m o u n t a n d p e r c e n t o f c l a s s r o o m t i m e a t e a c h e r ' s a t t e n t i o n w a s g i v e n t o e i g h t d i f f e r e n t p u r p o s e s o r s e g m e n t s o f i n s t r u c t i o n . I t i s a s s u m e d t h a t t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l a c t i o n s d e f i n e a r e g u l a r r o u t i n e o r p a t t e r n , a n d t h a t t h i s p a t t e r n c a n b e d e c o m p o s e d i n t o d i s t i n g u i s h a b l e s e g m e n t s o r p u r p o s e s . T h e e i g h t s e g m e n t s : o r g a n i z a t i o n / a d m i n i s t r a t i v e , d r i l l / m e n t a l m a t h , h o m e w o r k r e v i e w , c o n c e p t r e v i e w , l e s s o n d e v e l o p m e n t , c o n t r o l l e d p r a c t i c e , s e a t w o r k / h o m e w o r k , a n d t r a n s i t i o n / o t h e r a d e q u a t e l y c o v e r t h e r a n g e o f t e a c h e r a c t i o n s r e l a t e d t o p u r p o s e s , t h o u g h a d m i t t e d l y t h e r e m a y b e s o m e o v e r l a p p i n g o f t i m e c o m m i t m e n t s d u r i n g a t e a c h e r ' s l e s s o n . A s e c o n d s e c t i o n o f C o d i n g F o r m 2 p e r m i t t e d t h e i n v e s t i g a t o r t o s u b j e c t i v e l y e v a l u a t e t h e q u a l i t y o f t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t ( i n t r o d u c t i o n o f n e w m a t e r i a l ) o f t h e d a i l y l e s s o n s w i t h i n a c o m m o n s t r u c t u r e f o r a l l t e a c h e r s . T e a c h e r s ’ v e r b a l p r o b l e m l e s s o n d e v e l o p m e n t w a s e v a l u a t e d o n t h e b a s i s o f n i n e a t t r i b u t e s c o n s i d e r e d c h a r a c t e r i s t i c o f e f f e c t i v e e x p l i c i t i n s t r u c t i o n , w h e r e t h e i n v e s t i g a t o r e v a l u a t e d t e a c h e r p e r f o r m a n c e o f e a c h 1 5 1 a t t r i b u t e o n a f i v e p o i n t s c a l e ( 1 = l o w , a n d 5 = h i g h ) . F o u r o f t h e a t t r i b u t e s , t a s k o r i e n t a t i o n , c l a r i t y , e n t h u s i a s m , a n d f r e q u e n c y o f t e a c h e r t a l k w e r e t a k e n f r o m G o o d a n d B r o p h y ’ s ( 1 9 8 4 ) s u m m a r y o f e f f e c t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n . T h e o t h e r f i v e a t t r i b u t e s r e p r e s e n t e d t h e d e g r e e o f t e a c h e r a t t e n t i o n t o p r e r e q u i s i t e s , r e l a t i o n s h i p s , c o n c r e t e o r a l t e r n a t e r e p r e s e n t a t i o n s , d i s c r i m i n a t i o n p e r c e p t i o n s , a n d c o n c e p t g e n e r a l i t y , w h i c h a r e a l l c o n s i d e r e d c h a r a c t e r i s t i c o f a c t i v e a n d m o r e s u c c e s s f u l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s ( G o o d , G r o u w s , a n d E b m e i e r , 1 9 8 3 ) . A t h i r d s e c t i o n o f t h e s a m e f o r m p e r m i t t e d i n v e s t i g a t o r c a t e g o r i z a t i o n s o f t e a c h e r v e r b a l i z a t i o n s a n d b e h a v i o r w h e n i n t r o d u c i n g n e w a c t i v i t y o r c o n t e n t o r w h e n m a k i n g a s s i g n m e n t s . I t s p u r p o s e w a s t o s i g n a l t o t h e i n v e s t i g a t o r t e a c h e r d i f f e r e n c e s w i t h r e g a r d s t o e n t h u s i a s m , e n j o y m e n t , a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s . T h i s t h i r d s e c t i o n w a s t a k e n i n n e a r l y e x a c t f o r m f r o m G o o d a n d B r o p h y ’ s F o r m 4 . 1 ( 1 9 8 4 , p g . 1 2 4 ) . A T h e a n a l y s i s o f t h e d a t a c o l l e c t e d f r o m t h e i n v e s t i g a t o r ' s t e a c h e r o b s e r v a t i o n s a n d c o m p l e t i o n o f t h e r e l a t e d , d e v e l o p e d i n s t r u m e n t a t i o n r e s u l t e d i n i n v e s t i g a t o r f o r m u l a t i o n s o f d e s c r i p t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a t t h r e e d i f f e r e n t l e v e l s . A t t h e m o s t g e n e r a l l e v e l , e a c h t e a c h e r ' s c l a s s r o o m a n d s t u d e n t s w e r e d e s c r i b e d . A t a s e c o n d l e v e l , e a c h t e a c h e r ’ s p a t t e r n o f d a i l y i n s t r u c t i o n o r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e i s 1 5 2 c h a r a c t e r i z e d f u l l y a n d a t e a c h e r ' s a c t i o n s a n d p r a c t i c e s w i t h i n t h e r o u t i n e a r e r e l a t e d t o t h e i r c o n c e p t i o n s o f t h e A l g e b r a I c o n t e n t a n d v e r b a l p r o b l e m s , t h e i r s t u d e n t s , a n d t h e i r e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h i s c o u r s e t o t h i s l e v e l o f s t u d e n t . { A t t h e t h i r d l e v e l , b o t h q u a n t i t a t i v e a n d q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f e a c h t e a c h e r ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s r e l a t e d s p e c i f i c a l l y t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i s f o c u s e d u p o n a n d d e s c r i b e d i n g r e a t e r d e t a i l . T h e i n v e s t i g a t o r a l s o d a i l y r e v i e w e d t h e f i e l d n o t e s o f t h e t e a c h e r o b s e r v a t i o n s s p e c i f i c a l l y s e a r c h i n g f o r i n s t a n c e s w h e n t h e t e a c h e r p r o v i d e d s t u d e n t s w i t h v e r b a l s u g g e s t i o n s a n d a s s o c i a t e d m o d e l i n g o f a b e h a v i o r w i t h i n t h e i r i n s t r u c t i o n d e s i g n e d t o s o m e h o w a i d s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . E a c h s u c h i d e n t i f i e d t e a c h e r s u g g e s t i o n w a s c l a s s i f i e d a c c o r d i n g t o f o r m a t ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) , i n w h a t s e g m e n t o f t h e l e s s o n i t a p p e a r e d ( h o m e w o r k r e v i e w , l e s s o n d e v e l o p m e n t , o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e / s e a t w o r k ) , a n d w h e t h e r i t r e l a t e d t o t h e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l , o r w a s g e n e r a l l y a p p l i c a b l e a d v i c e ( g e n e r a l h e u r i s t i c ) , o r w a s s p e c i f i c a l l y a p p l i c a b l e t o o n e v e r b a l p r o b l e m t y p e ( t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c ) , o r w a s r e l a t e d t o s p e c i f i c t o o l s k i l l d e v e l o p m e n t o r u s a g e . Q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e t h r e e t e a c h e r s w e r e t h e n c o m p i l e d a c c o r d i n g t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s s c h e m e s o f s u g g e s t i o n c a t e g o r i z a t i o n s . T h e i n v e s t i g a t o r a d m i t s t h a t t h e r e i s l i m i t e d u s e f u l n e s s t o 1 5 3 t h i s a n a l y s i s o f t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s . T h e r e i s l i t t l e a v a i l a b l e r e s e a r c h t o i n d i c a t e i f d i f f e r e n c e s i n t h e f o r m a t i n w h i c h a s u g g e s t i o n i s p o s e d , o r t h e s u g g e s t i o n ’ s s e g m e n t p l a c e m e n t i n t h e l e s s o n , o r t h e s u g g e s t i o n ' s i n t e n d e d p u r p o s e h a v e a n y s u b s t a n t i a l o r d i f f e r e n t i a l i m p a c t o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e o r i t s i m p r o v e m e n t r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . S t u d e n t P e r f o r m a n c e M e a s u r e s T h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d t h r e e i n s t r u m e n t s , p r e t e s t , p o s t t e s t , a n d r e t e n t i o n t e s t i n t e n d e d t o m e a s u r e s t u d e n t a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s r e l a t e d t o t h e c o r e c o n t e n t o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . T h e c o n t e n t s o f t h e p r e t e s t a n d t h e s c o r i n g m e t h o d u s e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f o r i t s e v a l u a t i o n w e r e d e s c r i b e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . I t s i n t e n d e d p u r p o s e w a s t o i n s u r e t h a t e a c h s c h o o l ' s m e t h o d s o f s t u d e n t s e l e c t i o n f o r A l g e b r a I o r A l g e b r a I - A ( a c c e l e r a t e d t r a c k ) w e r e s o m e w h a t e q u i v a l e n t w i t h r e g a r d s t o s t u d e n t s ' e n t e r i n g c a p a b i l i t i e s a n d c h a r a c t e r i s t i c s . T h e s t u d y ’ s p o s t t e s t d e v e l o p m e n t r e f l e c t e d f i v e i n v e s t i g a t o r c o n c e r n s . F i r s t , t h e p o s t t e s t h a d t o i n c l u d e p r o b l e m e x a m p l e s o f a l l s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s i d e n t i f i e d a s c o r e c o n t e n t f o r t h e s t u d y , a n d w h i c h h a d r e c e i v e d i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t i n a l l t h r e e c l a s s r o o m s . S e c o n d l y , t h e i n v e s t i g a t o r w a s i n t e r e s t e d i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d p r o c e s s i n g o f u n s o l v a b l e v e r b a l p r o b l e m s , a n d i n t h e a b i l i t y o f s t u d e n t s t o i d e n t i f y c o n t r a d i c t i o n s w i t h i n 1 5 4 p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h i r d l y , t h e r e w a s i n t e r e s t i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s d u e t o v a r i a t i o n s i n n u m e r i c a l d a t a t y p e s p r e s e n t e d i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s a n d t o v a r i a t i o n s i n t h e s e q u e n c e o f s e n t e n c e p r e s e n t a t i o n i n p r o b l e m s t a t e m e n t s . F o u r t h l y , i t w a s b e l i e v e d t h a t o n e n o n r o u t i n e , m u l t i - s t e p v e r b a l p r o b l e m b e i n c l u d e d t o o b s e r v e i f a n y s t u d e n t s w e r e c a p a b l e o f t r a n s f e r r i n g a n d e x t e n d i n g t h e i r v e r b a l p r o b l e m s k i l l s . F i f t h l y , t h e p o s t t e s t ’ s l e n g t h h a d t o b e c a r e f u l l y c o n t r o l l e d i n o r d e r t h a t a l a r g e p e r c e n t a g e o f a c l a s s ' s s t u d e n t s c o u l d c a p a b l y c o m p l e t e t h e t e s t w i t h i n t h e 4 0 m i n u t e s o f a c l a s s p e r i o d . T h e s e d i v e r s e c o n c e r n s l e a d t h e i n v e s t i g a t o r t o d e v e l o p t w o p o s t t e s t f o r m s , A a n d B . T h e u s a g e o f t w o t e s t f o r m s a l s o d i s c o u r a g e d s t u d e n t c h e a t i n g o r c o p y i n g , t h o u g h t h i s w a s n o t a m a j o r c o n c e r n o f t h e i n v e s t i g a t o r . T h e t w o p o s t t e s t f o r m s , l a b e l e d A a n d B , c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x F . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t h e t w o p o s t t e s t f o r m s o f 1 0 v e r b a l p r o b l e m s e a c h r e p r e s e n t e d e q u a l d i f f i c u l t y f o r t h e s t u d e n t s o f t h e s t u d y . I n t e r m s o f t h e c o r e c o n t e n t ' s s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s , b o t h p o s t t e s t f o r m s c o n t a i n e d o n e s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e ( i d e n t i c a l o n b o t h f o r m s ) , t w o g e o m e t r i c o r i e n t e d t y p e s , o n e c o n s e c u t i v e i n t e g e r t y p e , t w o a g e r e l a t e d t y p e s , t w o d i s t a n c e / r a t e / t i m e t y p e s , a n d t w o c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e s . T h e s e q u e n c e o f p r o b l e m t y p e s w a s t h e s a m e f o r b o t h t e s t f o r m s . T h e f i r s t t w o v e r b a l p r o b l e m s , a s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e a n d a g e o m e t r i c 1 5 5 o r i e n t e d p r o b l e m t y p e w e r e i d e n t i c a l o n b o t h f o r m s a n d p r e s e n t e d o r a l l y b y t h e i n v e s t i g a t o r t o t h e c l a s s e s a t t h e b e g i n n i n g o f t e s t a d m i n i s t r a t i o n , w h i l e t h e r e m a i n d e r o f p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d i n a w r i t t e n f o r m a t . T h e t h i r d i d e n t i c a l p r o b l e m ( # 5 ) o f b o t h f o r m s w a s a n a g e r e l a t e d p r o b l e m w h i c h h a d n o s o l u t i o n . T h e p a i r o f p r o b l e m s ( # 3 a n d # 4 ) w e r e r e s p e c t i v e l y a c o i n / m o n e y p r o b l e m t y p e i n v o l v i n g w a g e c o m p u t a t i o n a n d h e n c e l e s s f a m i l i a r , a n d a s t a n d a r d d i s t a n c e / r a t e / t i m e p r o b l e m t y p e . T h e w o r d i n g f o r t h i s p a i r o f p r o b l e m s w a s i d e n t i c a l o n b o t h f o r m s , a n d v a r i a t i o n i n v o l v e d t h e i n c l u s i o n o f o n e d e c i m a l n u m b e r , r a t h e r t h a n a l l w h o l e n u m b e r s , i n t h e d a t a o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t f o r o n e o f t h e p a i r o f p r o b l e m s o n e a c h f o r m . T h e p a i r o f p r o b l e m s ( # 6 a n d # 7 ) w e r e s i m i l a r l y w o r d e d , b u t u s e d v a r i a t i o n i n w o r d i n g ( # 6 ) o r n u m e r i c a l d a t a ( # 7 ) w h i c h r e s u l t e d i n o n e o f t h e p a i r o f p r o b l e m s o n e a c h f o r m t o h a v e n o s o l u t i o n . O n b o t h f o r m s , p r o b l e m s i x w a s a c o n s e c u t i v e i n t e g e r p r o b l e m t y p e a n d p r o b l e m s e v e n a g e o m e t r i c o r i e n t e d p r o b l e m t y p e i n v o l v i n g t h e f i n d i n g o f t h e d i m e n s i o n s o f a r e c t a n g l e g i v e n i t s p e r i m e t e r a n d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i t s l e n g t h a n d w i d t h d i m e n s i o n s . P r o b l e m e i g h t u s e d a m o r e f a m i l i a r c o i n / m o n e y c o n t e x t ( f i n d t h e n u m b e r o f d i m e s a n d q u a r t e r s i n a c o l l e c t i o n ) , a n d t h e v a r i a t i o n b e t w e e n f o r m s r e l a t e d t o t h e s e q u e n t i a l o r d e r o f p r e s e n t e d s e n t e n c e s i n t h e v e r b a l p r o b l e m 1 5 6 s t a t e m e n t . P r o b l e m n i n e e m p l o y e d a n a g e r e l a t e d c o n t e x t , ‘ w a s i d e n t i c a l o n b o t h f o r m s w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e f i r s t n a m e s u s e d i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , t h o u g h t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w o r d i n g u s e d w a s m o r e d i f f i c u l t t o c o m p r e h e n d o r a n a l y z e t h a n t y p i c a l t e x t b o o k a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s . P r o b l e m t e n r e q u i r e d t w o a p p l i c a t i o n s ( n o n r o u t i n e ) o f t h e d i s t a n c e / r a t e / t i m e r e l a t i o n s h i p , a n d e a c h f o r m ’ s p r o b l e m s h a r e d a c o m m o n s o l u t i o n p a t h f r o m b e g i n n i n g t o e n d . T h e p r o b l e m i n f o r m a t i o n ( d a t a a n d n a m e s ) w e r e v a r i e d o n e a c h f o r m a n d r e s u l t e d i n d i f f e r e n t s o l u t i o n s , t h o u g h b o t h p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d i n a s i m i l a r l y r e a l i s t i c p r o b l e m s i t u a t i o n . T h e t w o t e s t f o r m s w e r e t y p e d i n t o a t w o p a g e f o r m a t , f i v e v e r b a l p r o b l e m s p e r p a g e , w i t h s p a c e p r o v i d e d b e t w e e n p r o b l e m s f o r s t u d e n t w o r k a n d b l a n k s p r o v i d e d f o r s t u d e n t e n t r y o f t h e i r s o l u t i o n s f o r e a c h p r o b l e m . T h e p o s t t e s t s w e r e a d m i n i s t e r e d t o e a c h c l a s s d u r i n g o n e r e g u l a r l y s c h e d u l e d c l a s s m e e t i n g b y t h e i n v e s t i g a t o r w i t h i n t w o w e e k s a f t e r t h e r e s p e c t i v e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n o f t h e c o r e c o n t e n t h a d b e e n c o m p l e t e d . T h e p o s t t e s t a d m i n i s t r a t i o n s w e r e d o n e d u r i n g t h r e e d i f f e r e n t w e e k s o f D e c e m b e r d u e t o d i f f e r e n c e s i n t e a c h e r p a c i n g a n d t e x t b o o k s e q u e n c i n g o f t h e c o r e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . A d j a c e n t s t u d e n t s r e c e i v e d a l t e r n a t e f o r m s o f t h e p o s t t e s t , a n d t h e i n v e s t i g a t o r m a d e n o c o m m e n t r e g a r d i n g t h e r e b e i n g t w o d i f f e r e n t f o r m s o f t h e p o s t t e s t . C a l c u l a t o r u s a g e w a s p e r m i t t e d , t h o u g h c a l c u l a t o r s w e r e n o t p r o v i d e d b y t h e 1 5 7 i n v e s t i g a t o r o r r e s p e c t i v e t e a c h e r s . T h e f i r s t t w o p r o b l e m s w e r e r e a d a l o u d b y t h e i n v e s t i g a t o r a s o f t e n a s s t u d e n t s r e q u e s t e d , u s u a l l y f o u r o r f i v e t i m e s p e r p r o b l e m . T h e s t u d e n t s t h e n w o r k e d i n d i v i d u a l l y o n t h e e i g h t r e m a i n i n g p r o b l e m s o f t h e p o s t t e s t d u r i n g t h e c l a s s p e r i o d . N o c a s e s w e r e n o t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r o f t i m e b e i n g a c o n s t r a i n t o n s t u d e n t c o m p l e t i o n o f t h e p o s t t e s t f o r m s . M o S t s t u d e n t s f i n i s h e d w h a t t h e y w e r e c a p a b l e o f c o m p l e t i n g w i t h i n t h i r t y - f i v e m i n u t e s , a n d a l l t e s t f o r m s w e r e c o l l e c t e d d u r i n g t h e c l a s s p e r i o d s . W i t h t h e e x c e p t i o n o f A l i c e ' s c l a s s , a l l s t u d e n t s s h o w e d t h e i r s o l u t i o n w o r k r i g h t o n t h e t e s t f o r m s . A l i c e ' s s t u d e n t s u s e d t h e i r o w n p a p e r i n s o l v i n g t h e t e n p r o b l e m s s i n c e A l i c e f e l t t h e p r o v i d e d w o r k s p a c e o n t h e t e s t f o r m s w a s i n s u f f i c i e n t , a f a c t s h e e x p r e s s e d t o t h e i n v e s t i g a t o r p r i o r t o t h e p o s t t e s t a d m i n i s t r a t i o n . I n h e r c l a s s , s t u d e n t p a p e r s w e r e c o l l e c t e d w i t h t h e t e s t f o r m s , a n d i n v o l v e d o n l y m i n o r i n c o n v e n i e n c e i n t h e i n v e s t i g a t o r ' s a n a l y s i s . I n v e s t i g a t o r s c o r i n g o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s f o r t h e i n d i v i d u a l t e s t i t e m s a n d f o r t h e t e s t f o r m a s a w h o l e w a s a p r o b l e m r e v e a l e d b y t h e p i l o t s t u d y . T w o r e s e a r c h s t u d i e s ( W e b b , 1 9 7 9 a n d K a n t o w s k i , 1 9 7 7 ) h a d d e m o n s t r a t e d t h e f e a s i b i l i t y o f e m p l o y i n g a s c o r i n g s y s t e m b a s e d o n l e v e l s o f s a t i s f a c t o r y c o m p l e t i o n o f s e v e r a l p h a s e s f o r a s i n g l e v e r b a l p r o b l e m . W e b b ’ s ( 1 9 7 9 ) s c o r i n g s y s t e m h a d 1 5 8 t h r e e p h a s e s : A p p r o a c h , P l a n , a n d R e s u l t , w i t h z e r o o r o n e p o i n t s a w a r d e d i n t h e A p p r o a c h p h a s e , a n d z e r o , o n e , o r t w o p o i n t s a w a r d e d f o r t h e s t u d e n t ' s P l a n a n d R e s u l t . K a n t o w s k i ' s ( 1 9 7 7 ) p r o c e s s p r o d u c t s c o r e s w e r e b a s e d o n a w a r d s o f z e r o o r o n e p o i n t f o r e a c h o f t h e f o l l o w i n g : s u g g e s t i n g a p l a n o f s o l u t i o n , p e r s i s t e n c e , l o o k i n g b a c k , a b s e n c e o f s t r u c t u r a l e r r o r s , a b s e n c e o f e x e c u t i v e e r r o r s , a b s e n c e o f s u p e r f l u o u s d e d u c t i o n s , a n d c o r r e c t n e s s o f r e s u l t . T h e i n v e s t i g a t o r ' s s c o r i n g s c h e m e f o r a n a l y s i s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n v o l v e d s e p a r a t i n g a v e r b a l p r o b l e m ' s s o l u t i o n p a t h i n t o i t s c o m p o n e n t p a r t s a c c o r d i n g t o t h e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l a d v o c a t e d b y t h e t e x t b o o k s , a n d a s s u m e d i n c o r p o r a t e d a n d f o l l o w e d b y t h e s t u d y ' s s t u d e n t s . F i v e c o m p o n e n t p a r t s w e r e i d e n t i f i e d : v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , e q u a t i o n s o l v i n g , i n t e r p r e t a t i o n / c h e c k i n g , a n d c o r r e c t n e s s o f r e s u l t . S c o r e s o f z e r o , o n e , o r t w o w e r e a s s i g n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f o r e a c h o f t h e f i v e p h a s e s b a s e d o n t h e r e v i e w o f s t u d e n t w o r k f o r a p a r t i c u l a r v e r b a l p r o b l e m . A c o r r e c t l y c o m p l e t e d s o l u t i o n p a t h w o u l d t h e n r e s u l t i n a s t u d e n t s c o r e o f 1 0 f o r a n i t e m . A m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s c o n s i d e r e d i n p a r t i a l s c o r i n g f o r a g i v e n p h a s e i s p r o v i d e d i n C h a p t e r V I , w i t h t h e a c t u a l s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s . A d d i t i o n a l l y , t h e i n v e s t i g a t o r n o t e d i n t h e r e v i e w o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s a n y i n d i c a t i o n o f a s t u d e n t a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s f o r a v e r b a l 1 5 9 p r o b l e m , w h i c h s u g g e s t e d t h a t t h e s t u d e n t w a s a w a r e o f t h e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l , w h e r e c o n s t r u c t i o n o f v a r i a b l e d e f i n i t i o n s r e p r e s e n t s a s t u d e n t ' s f i r s t w r i t t e n o u t p u t . T h e i n v e s t i g a t o r ’ s d e v e l o p e d s c o r i n g s c h e m e p r o v i d e d a w e a l t h o f i n f o r m a t i o n f o r a n a l y s i s a n d d i s c u s s i o n . A l l a n a l y s e s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e w e r e d o n e a t a c l a s s r o o m l e v e l . C o m p a r i s o n s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e b y m e a n s c o r e s , f o r i n d i v i d u a l t e s t i t e m s , f o r t h e t w o f o r m s , f o r t h e s i x p r o b l e m t y p e s , a n d f o r o t h e r i n t r o d u c e d c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m s w e r e c o m p l e t e d . I n a l l c a s e s , t h e s e c o m p a r i s o n s s e r v e d t o i n i t i a t e i n v e s t i g a t o r t h o u g h t a s t o w h a t a s p e c t s o f t h e o b s e r v e d t e a c h e r i n s t r u c t i o n w i t h i n t h e c l a s s r o o m s m a y h a v e a c c o u n t e d f o r t h e s e n o t i c e a b l e d i f f e r e n c e s o r p a t t e r n s o f c l a s s r o o m s t u d e n t p e r f o r m a n c e . T h e i n v e s t i g a t o r a l s o a n a l y z e d s t u d e n t e r r o r p a t t e r n s w i t h p a r t i c u l a r a t t e n t i o n g i v e n t o a l t e r n a t e ( a n d i n c o r r e c t ) v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s . T h e i n v e s t i g a t o r w a s a l s o i n t e r e s t e d i n w h i c h o f t h e f i v e c o m p o n e n t p h a s e s s t u d e n t s e x p e r i e n c e d t h e g r e a t e s t d i f f i c u l t y , a n d w h a t p e r c e n t o f a c l a s s ' s s t u d e n t s w e r e a b l e t o n a v i g a t e t h e i r w a y f r o m t h e c o r r e c t c o m p l e t i o n o f o n e p h a s e a n d m o v e i n t o t h e n e x t p h a s e . T h e r e f o r e a n a n a l y s i s w a s d e v e l o p e d a r o u n d t h e n o t i o n o f c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y , s u c h t h a t a t e a c h o f t h e f i v e p h a s e s a c l a s s ' s s u c c e s s r a t e ( p r o p o r t i o n ) w a s c a l c u l a t e d f o r t h o s e w h o h a d 1 6 0 d e m o n s t r a t e d s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n o f t h e i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g p h a s e . A n e x a m p l e i s t h e p r o p o r t i o n o f a c l a s s o f s t u d e n t s w h o c o r r e c t l y f o r m u l a t e d a n e q u a t i o n f o r a p r o b l e m g i v e n t h a t t h i s s a m e s u b s e t o f s t u d e n t s h a d a l l c o n s t r u c t e d c o r r e c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . A g a i n t h e s e p r o p o r t i o n a l c o m p a r i s o n s w e r e c a r r i e d o u t a t a c l a s s r o o m l e v e l , b o t h f o r i n d i v i d u a l i t e m s a n d f o r t h e p o s t t e s t a s a w h o l e . T h e l a s t c l a s s r o o m m e a s u r e o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e d e v e l o p e d b y t h e i n v e s t i g a t o r w a s a r e t e n t i o n t e s t i n s t r u m e n t . B e s i d e s s e r v i n g a s a r e t e n t i o n m e a s u r e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s a n d a b i l i t i e s , t h e r e t e n t i o n t e s t c o n t a i n e d t w o o t h e r s e c t i o n s , a n a t t i t u d e s u r v e y a n d a n e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n c o n s i d e r e d i m p o r t a n t t o t h e i n v e s t i g a t o r ' s o v e r a l l p u r p o s e s . T h e r e t e n t i o n t e s t f o r m i s f o u n d i n A p p e n d i x F . T h e a t t i t u d e s u r v e y w a s c o m p o s e d o f s e v e n i t e m s , s i x r e q u i r i n g s t r u c t u r e d r e s p o n s e s a n d o n e o p e n e n d e d i t e m . T h e o n e o p e n e n d e d i t e m a p p e a r e d l a s t i n t h e s e c t i o n , a n d r e q u e s t e d s t u d e n t s t o i n d i c a t e w h a t t h e y m i g h t s a y t o a n e i g h t h g r a d e s t u d e n t w h o q u e s t i o n e d t h e m a b o u t t h e . A l g e b r a I c l a s s a n d t h e i r r e s p e c t i v e t e a c h e r . T h e i n i t i a l i t e m o f t h i s s e c t i o n a s k e d s t u d e n t s t o r a n k o r d e r f i v e c o n c e r n s ( 1 = m o s t i m p o r t a n t t o 5 = l e a s t i m p o r t a n t ) a c c o r d i n g t o s t u d e n t s ' p e r c e p t i o n s o f t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f e a c h c o n c e r n . I n t h i s i t e m , t h e 1 6 1 i n v e s t i g a t o r a t t e m p t e d t o g e t a t t h e m o t i v a t i o n a l s t r u c t u r e f o r s t u d e n t s ’ p a r t i c i p a t i o n i n t h e c l a s s a n d r e l a t e d l e a r n i n g o r i e n t a t i o n s . T h e f i r s t t w o l i s t e d c o n c e r n s r e l a t e d t o i m m e d i a t e s t u d e n t c o n c e r n s f o r p a s s i n g t h e c o u r s e a n d a c h i e v i n g a g o o d g r a d e . T h e t h i r d c o n c e r n , u n d e r s t a n d i n g t h e c o u r s e c o n t e n t o n a d a y t o d a y b a s i s w a s l e s s i m m e d i a t e a n d r e p r e s e n t e d s t u d e n t a w a r e n e s s o f a l e a r n i n g o r i e n t a t i o n . T h e f o u r t h a n d f i f t h c o n c e r n s t e n d e d t o a d d r e s s m o r e f u t u r e o r i e n t e d p u r p o s e s f o r c l a s s p a r t i c i p a t i o n , o n e c o g n i t i v e ( s o l i d k n o w l e d g e b a s e ) a n d o n e a f f e c t i v e ( i n c r e a s e d c o n f i d e n c e ) . T h e a n a l y s i s o f t h i s i t e m f o c u s e d o n t h e i m m e d i a t e / f u t u r e d i s t i n c t i o n o f o r i e n t a t i o n a n d a s s o c i a t e d p a t t e r n s o f s t u d e n t s ' c o n c e r n r a n k i n g s . F o r t h e o t h e r f i v e i t e m s o f t h e a t t i t u d e s u r v e y , s t u d e n t s w e r e t o c i r c l e o n e o f t h e l i s t e d s t a t e m e n t s w h i c h b e s t r e f l e c t e d t h e i r p e r c e p t i o n s w i t h r e g a r d t o t h e p o s e d a r e a o f q u e s t i o n i n g . F o u r i t e m s r e l a t e d t o s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f a b i l i t y a n d a t t i t u d e t o w a r d s t h e a l g e b r a c l a s s a s a w h o l e a n d t o w a r d s v e r b a l p r o b l e m s s p e c i f i c a l l y . T h e f i f t h i t e m r e q u e s t e d s t u d e n t s t o e s t i m a t e h o w u s e f u l t h e y b e l i e v e d t h e A l g e b r a I c l a s s w o u l d b e f o r t h e i r f u t u r e h i g h s c h o o l p r o g r a m . T h e t h r e e i t e m s r e l a t e d t o a l g e b r a C l a s s a b i l i t y , v e r b a l p r o b l e m a b i l i t y , a n d a l g e b r a c l a s s a t t i t u d e w e r e s i m i l a r i n t h a t e a c h i t e m ' s f i v e p o s s i b l e r e s p o n s e s e l e c t i o n s r a n g e d f r o m v e r y p o s i t i v e t o v e r y 1 6 2 n e g a t i v e a s p e c t s i n e q u i v a l e n t s t e p s . T h i s p a r a l l e l i s m o f r e s p o n s e s e l e c t i o n w a s d o n e d e l i b e r a t e l y i n o r d e r t h a t c l a s s r o o m c o r r e l a t i o n s a m o n g p a i r s o f t h e t h r e e i t e m s m i g h t b e c o m p u t e d w i t h i n t h e d a t a a n a l y s i s . T h e s e c o r r e l a t i o n s s e r v e d t o i n d i c a t e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n s o f a b i l i t y i n t h e t w o a r e a s , a n d a l s o r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a b i l i t y i n t h e t w o d o m a i n s a n d g e n e r a l c l a s s r o o m a t t i t u d e . T h e v e r b a l p r o b l e m a t t i t u d e i t e m h a d s i x p o s s i b l e c h o i c e s f o r s t u d e n t r e s p o n s e , i n w h i c h f o u r o f t h e c h o i c e s i n v o l v e d v a r i a t i o n s i n t h e d e g r e e o f d i f f i c u l t y ( e a s y o r c h a l l e n g i n g ) a n d t h e d e g r e e o f s a t i s f a c t i o n ( e n j o y a b l e o r n o t e n j o y a b l e ) i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . T h e o t h e r t w o c h o i c e s w e r e a n e u t r a l , l a c k i n g o p i n i o n c h o i c e a n d a t o t a l d i s l i k e c h o i c e . T h e i t e m r e l a t e d t o f u t u r e c o u r s e u s e f u l n e s s h a d f o u r c h o i c e s o f r e s p o n s e , v a r y i n g f r o m v e r y u s e f u l t o n o u s e f u l n e s s w h a t s o e v e r . C l a s s c o u n t s o f s t u d e n t r e s p o n s e s f o r t h e s e t w o i t e m s w e r e u s e d t o c o m p a r e t h e t h r e e c l a s s e s ’ p e r c e p t i o n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m a t t i t u d e s a n d c o u r s e u s e f u l n e s s . T h e i n v e s t i g a t o r a d d i t i o n a l l y a n a l y z e d s e p a r a t e l y t h o s e s t u d e n t s w h o e x p r e s s e d t o t a l d i s l i k e f o r v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s i n e a c h c l a s s b y r e v i e w i n g t h e i r r e s p o n s e s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m a b i l i t y i t e m a n d t h e a l g e b r a c l a s s a t t i t u d e i t e m . I n t h i s w a y t h e i n v e s t i g a t o r s e a r c h e d f o r w h e t h e r t h e r e a s o n s a s s o c i a t e d w i t h t h i s t o t a l d i s l i k e o f v e r b a l 1 6 3 p r o b l e m s w a s m o r e d u e t o p o o r s u c c e s s o r a b i l i t y w i t h v e r b a l p r o b l e m s , a n d a l s o w h e t h e r t h i s n e g a t i v e a t t i t u d e w a s m o r e s p e c i f i c t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . T h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t f o r m w a s c o m p o s e d o f s e v e n l i n e a r e q u a t i o n s f o r t h e s t u d e n t s t o s o l v e . E a c h o f t h e s e v e n e q u a t i o n s w e r e m o d i f i c a t i o n s o f t h e e q u a t i o n s t h e i n v e s t i g a t o r e x p e c t e d s t u d e n t s t o f o r m u l a t e f o r t h e s e v e n v e r b a l p r o b l e m s o f t h e f o l l o w i n g v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n . M o d i f i c a t i o n s t o t h e e x p e c t e d e q u a t i o n s i n v o l v e d t r a n s p o s i n g c e r t a i n t e r m s o f e a c h e q u a t i o n , w h i l e m a i n t a i n i n g t h e s a m e n u m e r i c a l c o n s t a n t s a n d p a r e n t h e t i c a l c o n s t r u c t i o n s . T h e s e v e n e q u a t i o n s w e r e n o t i n t h e s a m e o r d e r a s t h e y w o u l d b e f o r m u l a t e d i n t h e v e r b a l p r o b l e m s , a n d a p p e a r e d o n p a g e s s e p a r a t e f r o m t h e v e r b a l p r o b l e m s . N o t a s i n g l e s t u d e n t n o t e d t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n s e c t i o n s t o t h e i n v e s t i g a t o r e i t h e r d u r i n g o r a f t e r r e t e n t i o n t e s t a d m i n i s t r a t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r a n a l y z e d e a c h s t u d e n t ’ s w o r k s a m p l e s f o r t h e s e v e n e q u a t i o n s , a n d a w a r d e d o n e p o i n t f o r e a c h c o r r e c t l y d e r i v e d s o l u t i o n , s o t h a t s t u d e n t s c o r e s f o r t h i s s e c t i o n r a n g e d f r o m z e r o t o s e v e n . S e c o n d l y , s t u d e n t e q u a t i o n s o l v i n g e r r o r s w e r e r e v i e w e d , w i t h t h e i n v e s t i g a t o r c a t e g o r i z i n g s t u d e n t s ' i n i t i a l e r r o r s a s e i t h e r c o m p u t a t i o n ( r e a l n u m b e r s ) , c o m p u t a t i o n ( v a r i a b l e t e r m s ) , d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y r e l a t e d , o r p r o c e d u r a l ( t r a n s p o s i t i o n ) e r r o r . T h e f e w u n c o d a b l e e r r o r s n o t 1 6 4 f i t t i n g w i t h i n t h i s c a t e g o r i z a t i o n s c h e m e w e r e o m i t t e d f r o m t h e a n a l y s i s , a s w e r e o c c a s i o n s w h e r e s t u d e n t s m a d e n o w r i t t e n a t t e m p t t o s o l v e a g i v e n e q u a t i o n . C l a s s r o o m c o m p a r i s o n s w e r e t h e n m a d e f o r t h e m e a n s o f t h e t h r e e c l a s s e s f o r t h i s s e c t i o n , a s w e l l a s f o r s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e i n d i v i d u a l e q u a t i o n s a n d q u a n t i t i e s o f e r r o r s w i t h i n t h e v a r i o u s e r r o r c a t e g o r i e s . T h e u n i q u e d e s i g n o f t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n , a s m o d i f i c a t i o n s o f t h e e x p e c t e d e q u a t i o n s o f t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n , p e r m i t t e d t h e i n v e s t i g a t o r t o c o m p a r e s t u d e n t a b i l i t i e s t o s o l v e s i m i l a r l i n e a r e q u a t i o n s a s t h e y a p p e a r i n t h e t w o f o r m a t s . T h e i n v e s t i g a t o r n o t e d t h e o c c a s i o n s w h e r e s t u d e n t s h a d c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s a n d t h e n c o m p a r e d s t u d e n t s u c c e s s r a t e s i n s o l v i n g b o t h t h e f o r m u l a t e d v e r b a l p r o b l e m e q u a t i o n a n d t h e r e l a t e d e q u a t i o n o f t h e e a r l i e r e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n . B a s e d o n t h e r e l a t i v e l y p o o r s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d v e r b a l p r o b l e m s o f t h e p o s t t e s t , t h e s e v e n v e r b a l p r o b l e m s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t w e r e t a k e n d i r e c t l y f r o m t h e t h r e e t e x t b o o k s o f t h e s t u d y , a n d r e f l e c t e d a n i n t e r m e d i a t e l e v e l o f d i f f i c u l t y . T h e r e w e r e t w o v e r b a l p r o b l e m s o f a g e o m e t r i c f o r m u l a p r o b l e m t y p e i n c l u d e d , a n d o n e p r o b l e m e a c h o f t h e o t h e r f i v e v e r b a l p r o b l e m t y p e s . T h e s c o r i n g o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n , o n t h e b a s i s o f s t u d e n t p r o v i d e d 1 6 5 w o r k s a m p l e s , w a s i d e n t i c a l t o t h a t m e t h o d u s e d f o r t h e p o s t t e s t , w i t h z e r o , o n e , o r t w o p o i n t s a w a r d e d f o r e a c h o f t h e f i v e p h a s e s ’ d e g r e e o f c o m p l e t i o n a n d c o r r e c t n e s s , m a k i n g 1 0 t h e m a x i m u m p o s s i b l e s c o r e f o r o n e v e r b a l p r o b l e m , a n d 7 0 t h e t o t a l p o s s i b l e s c o r e f o r t h i s s e c t i o n . C l a s s r o o m c o m p a r a t i v e a n a l y s e s o f t h e s e r e s u l t s f o l l o w e d s i m i l a r l i n e s d e v e l o p e d f o r t h e p o s t t e s t a n a l y s i s . A d d i t i o n a l l y c o r r e l a t i o n s w e r e c o m p u t e d r e l a t i n g c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e s o n t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n a n d t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t a n d f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s o f t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t . A l l r e t e n t i o n t e s t f o r m s w e r e s i x p a g e s i n l e n g t h , i d e n t i c a l i n c o n t e n t , a n d s e q u e n c e d w i t h t h e a t t i t u d e s u r v e y f i r s t , e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n s e c o n d , a n d t h e v e r b a l p r o b l e m s e t l a s t . T h e r e t e n t i o n t e s t f o r m p r o v i d e d a d e q u a t e w o r k s p a c e f o r t h e s t u d e n t s t o w r i t e o u t t h e i r s o l u t i o n a t t e m p t s o n t h e t e s t f o r m i t s e l f f o r b o t h s e c t i o n s , t h e e q u a t i o n s a n d t h e v e r b a l p r o b l e m s . S t u d e n t s w e r e e n c o u r a g e d t o s h o w a l l t h e i r w r i t t e n w o r k a n d n o t t o e r a s e a n y w o r k , b o t h w i t h i n t h e o r a l i n s t r u c t i o n s g i v e n b y t h e i n v e s t i g a t o r a t t h e b e g i n n i n g o f t e s t a d m i n i s t r a t i o n a n d a l s o w i t h i n t h e w r i t t e n i n s t r u c t i o n s c o n t a i n e d o n t h e t e s t f o r m . A f t e r t h e s t u d e n t s h a d r e c e i v e d t h e r e t e n t i o n t e s t f o r m a n d l i s t e n e d t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s i n s t r u c t i o n s r e g a r d i n g t h e t e s t ’ s t h r e e s e c t i o n s a n d t h e t i m e a v a i l a b l e 1 6 6 f o r c o m p l e t i o n , s t u d e n t s c o m p l e t e d t h e e n t i r e t e s t f o r m a t t h e i r o w n p a c e w i t h o u t a n y f u r t h e r i n v e s t i g a t o r i n t e r r u p t i o n s . T h e r e t e n t i o n t e s t w a s a d m i n i s t e r e d t o b o t h o f B e t t y ’ s A l g e b r a I c l a s s e s ( h e n c e 4 t o t a l t e s t a d m i n i s t r a t i o n s ) , s i n c e s t u d e n t s i n h e r t w o c l a s s e s h a d b e e n i n t e r m i x e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e c o n d s e m e s t e r ( J a n u a r y , 1 9 8 7 ) . T h e t w o a d m i n i s t r a t i o n s f o r h e r c l a s s e s d i d n o t c r e a t e a n y p r o b l e m f o r t h e r e t e n t i o n t e s t a n a l y s i s s i n c e b o t h c l a s s e s h a d t a k e n t h e e a r l i e r p o s t t e s t ( a t B e t t y ’ s r e q u e s t ) a n d r e s u l t s w e r e e a s i l y s e p a r a b l e b y s t u d e n t n a m e . T h e r e t e n t i o n t e s t w a s a d m i n i s t e r e d i n a l l f o u r c l a s s r o o m s b y t h e i n v e s t i g a t o r d u r i n g t h e f i r s t t w o w e e k s o f M a r c h , 1 9 8 7 . A p p r o x i m a t e l y t e n w e e k s o f i n s t r u c t i o n h a d t a k e n p l a c e s i n c e t h e p o s t t e s t a d m i n i s t r a t i o n s . . A l l t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y i n d i c a t e d t o t h e i n v e s t i g a t o r d u r i n g t h e r e t e n t i o n t e s t a d m i n i s t r a t i o n t h a t l i t t l e i n s t r u c t i o n o r r e v i e w o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t h a d t a k e n p l a c e s i n c e t h e p o s t t e s t a d m i n i s t r a t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r d i d n o t e i n a l l f o u r c l a s s e s s o m e s t u d e n t d i s c o m f o r t a n d f r u s t r a t i o n d u r i n g t h e i r c o m p l e t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t , p a r t i c u l a r l y w i t h i n t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n . S t u d e n t I n t e r v i e w s T h e n i n e i n d i v i d u a l s t u d e n t i n t e r v i e w s ( t h r e e s t u d e n t s f r o m e a c h c l a s s ) w e r e a l l c o n d u c t e d d u r i n g t h e s a m e s c h o o l w e e k , j u s t p r i o r t o t h e D e c e m b e r , 1 9 8 6 C h r i s t m a s v a c a t i o n . 1 6 7 T h e e l a p s e d t i m e b e t w e e n c l a s s p o s t t e s t a d m i n i s t r a t i o n s a n d t h e i n t e r v i e w s r a n g e d f r o m t w o d a y s t o t w o w e e k s . E a c h s t u d e n t i n t e r v i e w l a s t e d a p p r o x i m a t e l y 4 5 m i n u t e s ( o n e c l a s s p e r i o d ) , a n d w a s a u d i o t a p e d a n d l a t e r r e p l a y e d w h i l e t h e i n v e s t i g a t o r c o m p l e t e d C o d i n g F o r m 1 r e l a t e d t o s t u d e n t p r o c e s s u s a g e f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m . E i g h t o f t h e n i n e i n t e r v i e w s w e r e c o n d u c t e d i n i s o l a t e d s m a l l r o o m s w i t h i n t h e r e s p e c t i v e s c h o o l b u i l d i n g s d u r i n g r e g u l a r s c h o o l h o u r s . T h e o n l y e x c e p t i o n t o t h i s f o r m a t w a s t h e i n t e r v i e w i n g o f o n e o f B e t t y ’ s s t u d e n t s a f t e r s c h o o l i n a n e m p t y u n i v e r s i t y c l a s s r o o m . T h e p r o c e s s o f i d e n t i f y i n g s t u d e n t s f o r t h e i n t e r v i e w s w a s f o c u s e d o n s e l e c t i n g m o r e c a p a b l e s t u d e n t s w i t h r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y . B e c a u s e i t w a s i m p o s s i b l e t o c o m p l e t e t h e a n a l y s i s o f t h e p o s t t e s t r e s u l t s p r i o r t o t h i s s e l e c t i o n p r o c e s s , t h e i n v e s t i g a t o r r e l i e d o n p e r c e p t i o n s o f s t u d e n t a b i l i t y b a s e d o n t h e c o m p l e t e d o b s e r v a t i o n s o f s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n i n e a c h c l a s s r o o m . F o r e a c h c l a s s r o o m , t h e i n v e s t i g a t o r i d e n t i f i e d f i v e s t u d e n t s w h o w e r e b e l i e v e d t o b e m o r e c a p a b l e v e r b a l p r o b l e m s o l v e r s a n d w h o s e s c h e d u l e s a l l o w e d o p p o r t u n i t y f o r i n - s c h o o l i n t e r v i e w i n g . E a c h p r o p o s e d l i s t w a s d o u b l e c h e c k e d w i t h t h e r e s p e c t i v e t e a c h e r s t o i n s u r e t h a t e a c h s t u d e n t o n t h e l i s t s w a s p e r f o r m i n g a t a n a b o v e a v e r a g e l e v e l ( B g r a d e o r h i g h e r ) w i t h i n t h e A l g e b r a I c o u r s e . T h e f i v e s t u d e n t s i n e a c h c l a s s w e r e t h e n g i v e n a t w o p a g e f o r m 1 6 8 t o d e l i v e r t o t h e i r p a r e n t s w h i c h d e s c r i b e d t h e e l e m e n t s o f t h e s t u d y a n d t h e i n t e r v i e w f o r m a t , a n d r e q u e s t e d p a r e n t a l p e r m i s s i o n t o c o n d u c t t h e i n t e r v i e w w i t h t h e i r s o n o r d a u g h t e r . T h e c o n s e n t f o r m ’ s c o n t e n t , p u r p o s e , a n d f o r m a t h a d r e c e i v e d t h e e a r l i e r a p p r o v a l o f t h e U n i v e r s i t y ’ s C o m m i s s i o n o n R e s e a r c h w i t h H u m a n S u b j e c t s , a n d h a d a l s o r e c e i v e d n e c e s s a r y a d m i n i s t r a t i o n ( p r i n c i p a l ) a p p r o v a l a t e a c h s c h o o l s i t e . T h e C o n s e n t F o r m c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x G . W i t h i n t w o d a y s o f c o n s e n t f o r m d i s t r i b u t i o n t o t h e s t u d e n t s , 1 2 o f t h e 1 5 f o r m s h a d b e e n r e t u r n e d t o t h e i n v e s t i g a t o r . O n e s t u d e n t ’ s p a r e n t d e n i e d p e r m i s s i o n f o r h e r d a u g h t e r t o b e i n t e r v i e w e d , w h i l e t h e o t h e r 1 1 r e t u r n e d f o r m s i n d i c a t e d p a r e n t a l c o n s e n t f o r t h e i n v e s t i g a t o r t o i n t e r v i e w t h e i r c h i l d . I n v e s t i g a t o r q u e s t i o n i n g o f t h e t h r e e s t u d e n t s w h o f a i l e d t o r e t u r n t h e c o n s e n t f o r m a l l r e v e a l e d s t u d e n t d i s i n t e r e s t i n b e i n g i n t e r v i e w e d . A t a l l t h r e e s c h o o l s i t e s , t h e t h r e e s t u d e n t s e v e n t u a l l y i n t e r v i e w e d w e r e a m o n g t h e i n v e s t i g a t o r ’ s i n i t i a l l i s t s o f p o t e n t i a l i n t e r v i e w c a n i d a t e s . T h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t ( A p p e n d i x G ) h a d t h r e e c o m p o n e n t s , a b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n s u r v e y , a p e r c e i v e d c o n f i d e n c e l e v e l m e a s u r e , a n d a v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n . T h e b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n s u r v e y i n c l u d e d q u e s t i o n s r e l a t e d t o p r e v i o u s m a t h c o u r s e t a k i n g s , A l g e b r a I g r a d e s t o t h a t p o i n t , s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f t h e i r t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a l 1 6 9 s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s a n d t h e a l g e b r a c o n t e n t i n a g e n e r a l w a y , a n d s t u d e n t s ’ a n a l y s e s o f t h e i r s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s r e l a t e d t o s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . T h e s u r v e y c o n c l u d e d w i t h a h y p o t h e t i c a l l y p o s e d v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t f o r w h i c h s t u d e n t s w e r e t o c o n j e c t u r e o n t h e t i m e a n d p l a c e o f c o m p l e t i o n , a n d d e s c r i b e h o w t h e y t y p i c a l l y c o m p l e t e d s u c h h o m e w o r k a s s i g n m e n t s . T h e i n v e s t i g a t o r r e c o r d e d s t u d e n t r e s p o n s e s o n a p r e p a r e d f o r m a s t h e y w e r e g i v e n b y t h e s t u d e n t . T h i s f i r s t c o m p o n e n t t o o k a p p r o x i m a t e l y f i v e m i n u t e s p e r i n t e r v i e w t o c o m p l e t e . T h e i n v e s t i g a t o r ' s a n a l y s i s o f t h i s c o m p o n e n t f o c u s e d p r i m a r i l y o n c o m p a r i s o n s o f s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o t h e h y p o t h e t i c a l h o m e w o r k a s s i g n m e n t a n d s t u d e n t s ’ p a t t e r n s o f h o m e w o r k c o m p l e t i o n , w i t h s o m e d i s c u s s i o n a n d d e s c r i p t i o n r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n . T h e s e c o n d c o m p o n e n t o f t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t w a s a o n e p a g e f o r m o n w h i c h t h e i n v e s t i g a t o r f i l l e d i n p e r c e n t a g e e s t i m a t e s p r o v i d e d b y t h e s t u d e n t o f t h e i r p e r c e i v e d a b i l i t y t o c o r r e c t l y s e t u p a g i v e n v e r b a l p r o b l e m t y p e ’ s v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , t o c o r r e c t l y f o r m u l a t e a r e l a t e d e q u a t i o n ( a s s u m i n g c o r r e c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s ) , a n d t o c o r r e c t l y s o l v e t h e f o r m u l a t e d e q u a t i o n . T h i s p r o c e s s w a s c o m p l e t e d s i x t i m e s , f o r f i v e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s u n d e r s t u d y ( s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e e x c l u d e d ) a n d a l a s t c l a s s i f i c a t i o n d e s c r i b e d a s a n o n r o u t i n e , m u l t i — s t e p v e r b a l p r o b l e m t y p e . T h e r e s u l t i n g 1 7 0 a n a l y s i s f o c u s e d o n d i f f e r e n c e s f o r e a c h s t u d e n t w i t h r e g a r d s t o c o n f i d e n c e l e v e l s a s s o c i a t e d w i t h t h e t h r e e p h a s e s ( v a r i a b l e d e f i n i t i o n , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , a n d e q u a t i o n s o l v i n g ) o f v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n , a n d a l s o h o w s t u d e n t s o r d e r e d t h e v e r b a l p r o b l e m t y p e s i n t e r m s o f p e r c e i v e d d i f f i c u l t y . C o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e n i n e s t u d e n t s ’ m e a n c o n f i d e n c e l e v e l s f o r t h e t h r e e p h a s e s w e r e d e v e 1 0 p e d , a n d l a t e r c o m p a r e d f o r p e r c e i v e d a c c u r a c y w i t h t h e a c t u a l p e r f o r m a n c e o f s t u d e n t s i n t h e t h r e e p h a s e s o n t h e v e r b a l p r o b l e m s e t . T h i s s e c o n d c o m p o n e n t o f t h e i n t e r v i e w w a s g e n e r a l l y c o m p l e t e d i n t e n m i n u t e s , l e a v i n g 3 0 m i n u t e s f o r t h e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s t o c o n s i d e r a n d c o m p l e t e t h e t h i r d c o m p o n e n t , t h e v e r b a l p r o b l e m s e t . T h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d t h r e e d i f f e r e n t v e r b a l p r o b l e m s e t s f o r t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t , o n e s e t f o r e a c h o f t h e t h r e e c l a s s r o o m s o f t h e s t u d y . T h e i n v e s t i g a t o r c o n s i d e r e d t h e t h r e e d e s i g n e d s e t s t o b e o f e q u a l d i f f i c u l t y , w i t h f i v e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m s o f e a c h s e t c o m i n g f r o m t h e r e s p e c t i v e c l a s s ' s e m p l o y e d t e x t b o o k . I t w a s a s s u m e d t h a t e a c h s e t ’ s d e s i g n t h e n b e t t e r r e f l e c t e d p r o b l e m s t a t e m e n t w o r d i n g t o w h i c h t h e s t u d e n t s w e r e m o r e f a m i l i a r . T h e s i x t h v e r b a l p r o b l e m o f e a c h s e t w a s i d e n t i c a l , b e i n g n o n r o u t i n e i n n a t u r e , a g e r e l a t e d i n c o n t e n t , a n d r e q u i r e d s t u d e n t s t o m o r e c a r e f u l l y a n a l y z e a n d s e p a r a t e r e l a t i o n s h i p s a n d g i v e n i n f o r m a t i o n w i t h i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t b e f o r e p r o c e e d i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s a n d 1 7 1 f o r m u l a t e e q u a t i o n s . M o r e i n f o r m a t i o n t h a n n e c e s s a r y t o s o l v e t h e p r o b l e m w a s g i v e n , a n d t h e p r o b l e m r e q u i r e d t h e f i n d i n g o f t h r e e a g e s f o r t h r e e m e m b e r s o f a f a m i l y . T h e s i x v e r b a l p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d t o t h e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s , o n e a t a t i m e , w i t h e a c h p r o b l e m s t a t e m e n t o n a s e p a r a t e s h e e t o f p a p e r . I n e a c h i n t e r v i e w , t h e i n v e s t i g a t o r p r e s e n t e d t h e s i x v e r b a l p r o b l e m s i n t h e s a m e o r d e r a c c o r d i n g t o p r o b l e m t y p e , w i t h t h e o n e c o m m o n n o n r o u t i n e v e r b a l p r o b l e m a l w a y s p r e s e n t e d l a s t . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r i n s t r u c t e d t h e s t u d e n t t o r e a d e a c h v e r b a l p r o b l e m s i l e n t l y , a n d t h e n t o v e r b a l i z e t h e i r t h o u g h t s a n d w r i t t e n a c t i o n s a s t h e y w o r k e d t o w a r d s c o m p l e t i n g a w r i t t e n s o l u t i o n f o r t h e p r o b l e m . W h i l e a s t u d e n t w a s w o r k i n g a p a r t i c u l a r v e r b a l p r o b l e m , t h e i n v e s t i g a t o r r e m a i n e d q u i e t l y a n d a t t e n t i v e l y l i s t e n i n g t o t h e s t u d e n t ' s v e r b a l i z a t i o n s , o c c a s i o n a l l y n o d d i n g a f f i r m a t i v e l y t o a s t u d e n t ' s d i r e c t q u e s t i o n s o r g e n t l y r e m i n d i n g s t u d e n t s t o r e s u m e v e r b a l i z i n g w h e n l a p s e s o f 3 0 s e c o n d s w i t h o u t s t u d e n t v e r b a l i z a t i o n w e r e n o t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . T w o o f t h e n i n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s d i d r e q u i r e c o n s t a n t r e m i n d e r s t o c o n t i n u e v e r b a l i z i n g . S t u d e n t s d e t e r m i n e d w h e n t o s t o p w o r k o n a p a r t i c u l a r v e r b a l p r o b l e m , e i t h e r w h e n t h e y b e l i e v e d t h e p r o b l e m s o l u t i o n w a s f i n i s h e d o r w h e r e a s t u d e n t ' s p r o g r e s s w a s s t a l l e d . S t u d e n t s w e r e t h e n p r e s e n t e d w i t h t h e n e x t v e r b a l 1 7 2 p r o b l e m o f t h e s e t . A f t e r s t u d e n t s h a d a t l e a s t r e a d a n d a t t e m p t e d s o l u t i o n s f o r e a c h o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m s a n d i f s u f f i c i e n t t i m e r e m a i n e d i n t h e i n t e r v i e w , s t u d e n t s w e r e p e r m i t t e d t o r e s e l e c t p r o b l e m s f o r f u r t h e r s t u d y a n d a t t e m p t s a t s o l u t i o n . I n t e r v i e w e d s t u d e n t s ' w o r k s a m p l e s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s e t s w e r e r e v i e w e d b y t h e i n v e s t i g a t o r w i t h t h e a u d i o t a p e o f t h e i n t e r v i e w p l a y i n g , a n d t h e s c o r i n g m e t h o d e m p l o y e d w a s i d e n t i c a l t o t h a t u s e d f o r s c o r i n g t h e s t u d e n t w o r k s a m p l e s o f t h e p o s t t e s t a n d t h e r e t e n t i o n t e s t . P o i n t s ( 0 , l , o r 2 ) w e r e a w a r d e d f o r e a c h o f t h e f i v e p h a s e s ' c o m p l e t i o n a n d d e g r e e o f c o r r e c t n e s s , r e s u l t i n g i n 1 0 p o i n t s p o s s i b l e p e r p r o b l e m a n d 6 0 p o i n t s p o s s i b l e f o r t h e i n s t r u m e n t . F o r e a c h v e r b a l p r o b l e m a t t e m p t e d , s t u d e n t s ’ p r o c e s s u s a g e w a s n o t e d o n C o d i n g F o r m 1 , t h o u g h t h i s i n f o r m a t i o n w a s n o t i n c l u d e d i n t h e i n v e s t i g a t o r ' s a n a l y s i s s i n c e i t a d d e d n o n e w o r r e l e v a n t i n f o r m a t i o n t o t h e s t u d y ’ s d i r e c t i o n . C o m p a r i s o n s o f t h e n i n e s t u d e n t s ' o v e r a l l p e r f o r m a n c e a n d i n d i v i d u a l i t e m p e r f o r m a n c e w e r e c o m p l e t e d , a n d p a t t e r n s o f r e l a t i v e s u c c e s s n o t e d f o r t h e v a r i o u s p r o b l e m t y p e s . T h e a u d i o t a p e s w e r e r e v i e w e d a s e c o n d t i m e i n w h i c h t h e i n v e s t i g a t o r n o t e d t h e a m o u n t o f t i m e s t u d e n t s w e r e a c t i v e l y a t t e m p t i n g t o s o l v e e a c h p r o b l e m a n d a l s o r e c o r d e d s p e c i f i c s t u d e n t v e r b a l c o m m e n t s m a d e d u r i n g t h e i n t e r v i e w w h i c h r e l a t e d t o f e a t u r e s o f s t u d e n t t h i n k i n g a n d p r o c e s s i n g p a t t e r n s . O n t h e b a s i s o f 1 7 3 t h e s e v e r b a l c o m m e n t s a n d s t u d e n t s ' d e m o n s t r a t e d w r i t t e n p e r f o r m a n c e , t e n t a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f v a r i o u s d e v e l o p m e n t a l l e v e l s o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e w e r e c o n s t r u c t e d . T h e r e s u l t s o f t h e v a r i o u s i n v e s t i g a t o r a n a l y s e s a r e e a c h - d o n e s e p a r a t e l y , w i t h C h a p t e r I V f o c u s i n g o n t h e t e x t b o o k a n a l y s i s a n d t h e d e s c r i p t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e g a i n e d f r o m t h e i n v e s t i g a t o r ' s o b s e r v a t i o n o f e a c h t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a n d t h e t e a c h e r r e s p o n s e s o n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t , w i t h C h a p t e r V f o c u s i n g o n t h e r e s u l t s o f t h e i n v e s t i g a t o r ’ s a n a l y s i s o f t e a c h e r s ' v e r b a l s u g g e s t i o n s , a n d w i t h C h a p t e r V I f o c u s i n g o n t h e r e s u l t s o f t h e i n v e s t i g a t o r ’ s a n a l y s i s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e d e s i g n e d i n s t r u m e n t s o f t h e s t u d y , i n c l u d i n g t h e i n t e r v i e w r e s u l t s . I n C h a p t e r V I I , t h e r e s u l t s c o m p i l e d i n t h e t h r e e p r e c e d i n g c h a p t e r s a r e d i s c u s s e d a n d i n t e r r e l a t e d a c c o r d i n g t o t h e e i g h t h y p o t h e s e s f o r t h e s t u d y , a n d r e l a t e d c o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s a r e f o r m u l a t e d . C H A P T E R I V I n s t r u c t i o n a l E n v i r o n m e n t P a t t e r n s T h i s c h a p t e r f o c u s e s o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s a n d e n v i r o n m e n t a l p a t t e r n s o f t h e t h r e e A l g e b r a I c l a s s r o o m s w h i c h f o r m e d t h e b a s i s f o r t h i s s t u d y . T h e i n v e s t i g a t o r h a s a n a l y z e d t h e d a t a t o d e s c r i b e t h e r e g u l a r i t i e s w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e t w o m a j o r i n s t r u c t i o n a l c o m p o n e n t s ’ f u n c t i o n i n g w i t h i n t h e s e t t i n g . T h e f i r s t c o m p o n e n t , t h e t h r e e t e x t b o o k s , w i l l r e c e i v e i n i t i a l t r e a t m e n t . T h e s e c o n d c o m p o n e n t c o n s i s t s o f t h r e e s e c t i o n s f o c u s i n g o n t h e t h r e e t e a c h e r s i n t h e s t u d y . T h e s e t h r e e s e c t i o n s w i l l p r o c e e d f r o m g e n e r a l t e a c h e r d e s c r i p t i o n s a n d c o n c e p t i o n s , t o g e n e r a l i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s , a n d f i n a l l y t o s p e c i f i c g l i m p s e s o f v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d i n s t r u c t i o n . F o r m u l a t e d c o n c e p t i o n s w e r e d e r i v e d f r o m c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s a n d t e a c h e r r e s p o n s e s o n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t d i s c u s s e d i n C h a p t e r I I I . T e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s w e r e f o r m u l a t e d f r o m i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s . L a s t l y t h e d e v e l o p m e n t a l s e g m e n t o f e a c h o b s e r v e d l e s s o n w a s r e v i e w e d f o r i n s t r u c t i o n a l s t y l e s w h i c h c h a r a c t e r i z e d e a c h r e s p e c t i v e t e a c h e r ’ s l e s s o n s o n v e r b a l p r o b l e m s . 1 7 4 T t u i s m e t l b b r s r h u r c w o f e m f . a l e s i s r y d t e a s l a r a i e a e d t e i a n n p o l e m i z n e w i t n t r a s b e r f t i h o o a p S o e a t n n s v x o i a v i o t i e t l c e u a o l e v e u p x o b n o e h s l m f n l e m m n d e e e n t i p d i d e s k e r i r l n i n o t o , n n c n m m i f g s a e h f f w n o t i g i o a t i n d e t a t v w s l t r a a n s f t w h t e n e o l t u 1 i a e h e s . s r o o c t c n s 9 n s e d t g w 8 o t t e h e . a i 6 m u i c r p x T p d a i n g t s d o - m d e e r e r i h d a h s e o e n 8 e r s e o f i t e u E n a 7 n n s s c b f v r o m a t c l t e e l i e a d r e t c i c s ’ r r n r e s r , ’ d e t c h f o s e m b i t e y s x r h y r a . t e n ’ a s t i t r y c c s r e o e t t a i e o s e r e d n t s l h b v a o l n r u i e o g a e t o i i g e s l A i a p v o e t r m f t n a n g q o t r i s h e x a l a t l e t t t n l t r v e a a w n e a s a u o w b k b y b e i e u l i e o t i s f i w a r f v p r e s v m h e n t o d o o e r e x u a e e u s e u u p r v o r r q p m a t d n r l r b e b m i u r m n e e r . r e r w e i o i e q p t d e b r e r d o b f o m t u e r u x a c i n e n s h e x o r p l m t i t t e . . r n t i b T e s e t w h w a e c l b n h r p e t e e a e c e e e r o g e i . n e T T s h t i k t b n a o e t i b t s l e n h F s c h r f s v e l e i e a e i i e e e x e c t t n m c l p n s r r t s s h h f o s a 4 i i b b i t e e t w n c n u s a . o t r y i s g r i h w t g t l 1 o , s s p t i g r e h o k m o o e w d h n a i t e r h d e t o c s i o e h f s i f h a r e t n l e a e d d 1 7 5 T e x t b o o k A n a l y s i s t h e a n a l y s i s . T a b l e 4 . 1 T e x t b o o k R e v i e w S u m m a r y T e x t b o o k T e a c h e r S e c t i o n s R e v i e w e d p a g e s A A l i c e 1 . 1 - 5 . 2 1 — 1 6 8 B B e t t y 1 0 1 - 4 0 1 0 l - 1 5 3 C C a r l 1 . 1 - 5 . 1 1 l - 1 8 9 1 7 6 T h e p a g e b y p a g e r e v i e w o f e a c h t e x t b o o k i n i t i a l l y s e p a r a t e d p a g e c o n t e n t i n t o f o u r c a t e g o r i e s : e x p l a n a t i o n s , o r a l e x e r c i s e s , w r i t t e n e x e r c i s e s , a n d o t h e r . " o t h e r " c a t e g o r y i n c l u d e d c h a p t e r s e p a r a t o r s , c h a p t e r r e v i e w s a n d t e s t s , s k i l l S h a r p e n e r s , a n d o t h e r o p t i o n a l a p p l i c a t i o n s e c t i o n s . F r a c t i o n s o f a p a g e t o t w e l f t h s w a s u s e d t o c a t e g o r i z e e a c h p a g e . E a c h t e x t b o o k s e c t i o n w a s f u r t h e r c o d e d t o i n d i c a t e i t s s k i l l o r c o n t e n t f o c u s a m o n g t h r e e c o n t e n t s : m a n i p u l a t i o n , v e r b a l e x p r e s s i o n , o r v e r b a l p r o b l e m . T h e n u m b e r o f e x e r c i s e s a n d v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s i n e a c h s e c t i o n w e r e c o u n t e d a n d c o d e d a c c o r d i n g l y . T a b l e 4 . 2 d i s p l a y s t h e n u m b e r o f p a g e s a n d p e r c e n t o f r e v i e w e d p a g e s i n e a c h o f t h e f o u r s p a c e a l l o c a t i o n c a t e g o r i e s . T e x t b o o k C o m p a r i s o n : S p a c e A l l o c a t i o n S p a c e P u r p o s e E x p l a n a t i o n s O r a l e x e r c i s e s W r i t t e n e x e r c i s e s O t h e r T o t a l s T a b l e 4 . 2 A 4 9 3 / 4 ( 2 9 . 6 % ) 1 1 1 1 / 1 2 ( 7 . 1 % ) 4 8 1 / 6 ( 2 8 . 7 % ) 5 8 1 / 6 ( 3 4 . 6 % ) 1 6 8 ( 1 0 0 % ) T e x t b o o k p a g e s B 5 1 1 / 1 2 ( 3 3 . 4 % ) 1 3 1 / 4 ( 8 . 7 % ) 4 7 5 / 1 2 ( 3 1 . 0 % ) 4 1 1 / 2 ( 2 6 . 9 % ) 1 5 3 ( 1 0 0 % ) C 9 1 1 / 1 2 ( 4 8 . 2 % ) 1 3 3 / 4 ( 7 . 3 % ) 3 8 1 / 6 ( 2 0 . 2 % ) 4 6 ( 2 4 . 3 % ) 1 8 9 ( 1 0 0 % ) e o i c f e p r m c s a o f r a c l p S t r o l c w c b e e a t t r a i a l r x h h o c l o l T o a o e h a i r T r u e o o t n e u o w s h o o l a t a n s e h n e c n t o h t n c o t n g e k l t e k n e e t t w n k . e a t k s o p c r m o x s o l e d s c s c e i y o g i e . , e e o a a x C e o c r e i s . s n s p t u u e s n t . c e a a p i l e i i e e c t o o f i T n W s h n s r a o w l s a l t t t s i c n r o a e d l w r e b r r t s e n n o p ' s e r x , o i s e t t l s r e i w l i e e s t o a o o a t e b l n e a o . k g c a b o e e t t s t s a w d e s o e p o l r x i e d i t o t t p i w t r n c i n o t e h e n r e e o h e x m x a l i e f c f s h x a r s i x v t r f t t f t e t t c t t t i h t o e t c o b r b e w c t c e i e r w r b t e r b e i a l l e f i g o a n n s m l . d e c m i n s t m o h t d e o g n t d i s f e a t o t s , c u l n T b d a t i e f s t e e k e l r e o o t e y i e f x c D h x e s e s a e e x t t c t e f t n s e d g n r c e i x e r t x e o t C a a o t i r u t v r t r r b o a c h i e l s r t s e b e u n b e c o n a p c e p s r o x s r a i d i e o t c s b o f d n t o t n e o a e y o c i i o e s , d n n r k e o c k d t t e c s t c k b i a e r m o s n A o e a g b t a x t a i h r e e e f o e o s d e l a s n e s c o a h o a r t d s , r l i h h k m k i e e i A o l n a n a o d n b t v s d m p c l e l w e s h a C r o r w i a e t p t o e s . e w t a e n i n h n l e n a r s c h i g e o r i t e i t h x t a i f p m t t g e h t W u r i i e h s e r b l e l o t n e o i l n h o t e d n e o e r s s e c n f e c u t d i o n B " l s p r m o r t d n o t u r k e e m e t e i i t i d e i v r o a o S r e b t s e n n a s o m t y e s e x f n h o e s l i d r e n . t k o t n n x t f c e e l a e e x u l s e d p b e l l t s r n p w r t f e p m B a t n e l o r u e S . . n " t p s m a o e d h s a l . t p r h c r e w e e o n k c n e a s t i i i a i c r a x r r n T I a c o r i c n v c t s s i e e e e h o i e t n r t e s C h t g n I o p a t e o s r t n t e t i e t t f c n s r t a a r e e s i n t n e i t g p e n s t i t n d p t , t t r o n s i d a h e i f i n p a y a n e c o s m o r g f i t t a r a a t e o e e s e h r n n o a y k e e f w s e e s d r o i l v h s a e e h f e e e s h n s a t t , n g i d e s t n n r e s , 1 7 7 f o r m a t , a n d a t t r a c t i v e n e s s , t e x t b o o k C c l e a r l y e m p h a s i z e s 1 7 8 i t s i n s t r u c t i o n a l p u r p o s e s a n d i n t e n t i o n s . A s t r i k i n g s i m i l a r i t y e x i s t e d b e t w e e n t h e t h r e e t e x t b o o k s i n r e g a r d s t o t h e t h r e e c o n t e n t c a t e g o r i e s n o t e d e a r l i e r . E a c h t e x t b o o k a l l o c a t e d a p p r o x i m a t e l y 6 0 p e r c e n t o f i t s i n s t r u c t i o n a l s p a c e t o m a n i p u l a t i o n s k i l l s , 2 0 p e r c e n t t o v e r b a l e x p r e s s i o n s k i l l s , a n d 2 0 p e r c e n t t o v e r b a l p r o b l e m s . F o r e a c h c o n t e n t c a t e g o r y , t e x t b o o k v a r i a n c e w a s l e s s t h a n t h r e e p e r c e n t f r o m t h e s e f i g u r e s . C o r e C o n t e n t F o l l o w i n g s p a c e a l l o c a t i o n s , t h e n e x t f o c u s w a s t h e i d e n t i f i c a t i o n o f t h e c o r e c o n t e n t o f v e r b a l p r o b l e m s a n d t h e c o m p a r a t i v e t r e a t m e n t o f t h i s c o n t e n t . S e v e n d i s t i n c t p r o b l e m t y p e s w e r e i n i t i a l l y n o t e d f o r t h e c o r e c o n t e n t . B e c a u s e t e x t b o o k B c o n t a i n e d n o p e r c e n t r e l a t e d p r o b l e m t y p e s i n t h e r e v i e w e d p a g e s ( a p p e a r s l a t e r i n t h i s t e x t b o o k ) , s i x p r o b l e m t y p e s r e m a i n e d f o r a n a l y s i s . T h e s i x p r o b l e m t y p e s a r e n o t e d i n T a b l e 4 . 3 , w i t h t h e n u m b e r o f p a g e s o f e x p l a n a t i o n , a n d t h e n u m b e r o f p r a c t i c e ( w r i t t e n ) e x e r c i s e s f o r e a c h p r o b l e m t y p e b y t e x t b o o k . 1 7 9 T a b l e 4 . 3 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : C o r e C o n t e n t o f V e r b a l P r o b l e m s P r o b l e m T y p e T e x t b o o k s A B C P a g e s E x e r . P a g e s E x e r . P a g e s E x e r . 1 . S i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e 4 1 / 8 5 2 4 1 / 4 1 3 5 3 1 / 4 3 9 2 . G e o m e t r i c f o r m u l a t y p e s 2 1 / 8 4 7 1 1 2 6 1 / 4 4 3 3 . I n t e g e r p r o b l e m s 1 1 / 2 2 2 0 1 6 1 1 / 2 1 9 4 . A g e r e l a t e d 2 2 8 * 1 1 / 2 1 3 l 1 6 5 . D i s t a n c e / r a t e / t i m e r e l a t e d 1 1 / 2 1 8 2 1 6 2 1 / 2 1 5 6 . C o i n / m o n e y r e l a t e d 2 1 9 * * 3 / 4 1 5 3 1 / 2 2 4 T o t a l s 1 3 1 / 4 1 8 6 9 1 / 2 2 0 7 1 8 1 5 6 * i n c l u d e s 1 0 e x e r c i s e s f r o m s u p p l e m e n t a r y t e x t ( A l i c e ) * * i n c l u d e s 1 5 e x e r c i s e s f r o m s u p p l e m e n t a r y t e x t ( A l i c e ) I t a p p e a r s f r o m T a b l e 4 . 3 t h a t s t u d e n t s u s i n g t h e t h r e e t e x t b o o k s r e c e i v e a p p r o x i m a t e l y e q u a l e x p o s u r e t o t h e s i x p r o b l e m t y p e s w h i c h m a k e u p t h e c o r e c o n t e n t . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e f o r e x e r c i s e c o u n t s r e l a t e d t o t h e l a s t f o u r p r o b l e m t y p e s . S t u d e n t s d o n o t r e c e i v e e q u a l e x p o s u r e t o t h e f i r s t t w o p r o b l e m t y p e s h o w e v e r . T h e r e a r e t w o r e a s o n s , b e s i d e s d i f f e r e n c e s i n q u a n t i t i e s o f p r o b l e m t y p e s , w h y s t u d e n t s i n t h e t h r e e c l a s s r o o m s d i d n o t r e c e i v e e q u a l e x p o s u r e t o t h e s i x p r o b l e m t y p e s . O n e r e a s o n r e l a t e s t o t h e d i f f i c u l t y i n a n a l y z i n g t e x t b o o k B b y p r o b l e m t y p e , a n d t h e s e c o n d r e a s o n r e l a t e s t o t h e i n s t r u c t i o n a l a s s i g n m e n t p a t t e r n s o f 1 8 0 t h e t h r e e s t u d y t e a c h e r s . T e x t b o o k B h a s g r e a t e r c o n t e x t d i v e r s i t y a n d m u l t i p l e p r o b l e m t y p e s i n s o m e o f i t s e x e r c i s e s e t s . A l s o i t s v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s e t s a r e m o r e e v e n l y d i s t r i b u t e d a n d i n g r e a t e r n u m b e r s w i t h i n i t s d e s i g n . I t s p l a c e m e n t o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s a f t e r r e l e v a n t m a n i p u l a t i o n s k i l l e x p l a n a t i o n s , n o t d o n e i n t h e o t h e r t w o t e x t b o o k s , a c c o u n t s f o r t h e l a r g e n u m b e r o f e x e r c i s e s i n t h e s i m p l e t r a n s l a t i o n c a t e g o r y . I n c o n c l u s i o n , s e v e r a l d e s i g n f e a t u r e s o f t h i s t e x t b o o k l i m i t e d t h e i n v e s t i g a t o r ’ s a b i l i t y t o c l a s s i f y w r i t t e n e x e r c i s e s i n t o t h e s i x p r o b l e m t y p e s . T h e s e c o n d , m o r e i m p o r t a n t r e a s o n f o r u n e q u a l c l a s s r o o m f a m i l i a r i t y t o t h e s i x p r o b l e m t y p e s r e l a t e s t o t h e i n s t r u c t i o n a l a s s i g n m e n t p a t t e r n s e m p l o y e d b y e a c h c l a s s r o o m t e a c h e r . B a s e d o n c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t A l i c e ’ s s t u d e n t s w e r e a s s i g n e d 9 0 p e r c e n t o f t h e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s , o r h e r s t u d e n t s a t t e m p t e d 1 6 7 p r o b l e m s o f t h e c o r e c o n t e n t . B e t t y a s s i g n e d h e r c l a s s 5 0 p e r c e n t o f t e x t b o o k B ’ s v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s , o r s t u d e n t s a t t e m p t e d 1 0 4 p r o b l e m s o f t h e c o r e c o n t e n t . C a r l a s s i g n e d h i s c l a s s 6 0 p e r c e n t o f t e x t b o o k C ’ s v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s , o r s t u d e n t s a t t e m p t e d 9 4 p r o b l e m s o f t h e c o r e c o n t e n t . T h i s e x p o s u r e o r f a m i l i a r i t y c o m p o n e n t t o t h e s i x p r o b l e m t y p e s i s a s s u m e d a c c u r a t e f o r A l i c e ’ s a n d C a r l ’ s c l a s s e s o f s t u d e n t s . A l l s t u d e n t s i n t h e s e r e s p e c t i v e c l a s s e s d i d 1 8 1 a t t e m p t t o s o l v e t h e a s s i g n e d t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s d a i l y . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t h a t a m a j o r i t y o f B e t t y ’ s s t u d e n t s h o w e v e r d i d n o t a t t e m p t t o s o l v e a s s i g n e d s e t s o f v e r b a l p r o b l e m s . R e a s o n s f o r t h i s b e l i e f w i l l b e d i s c u s s e d m o r e f u l l y l a t e r i n t h i s c h a p t e r . I n g e n e r a l , t h e i n v e s t i g a t o r w a s a b l e t o i d e n t i f y s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s t o s e r v e a s a c o m m o n c o r e o f v e r b a l p r o b l e m s f o r t h e t h r e e c l a s s e s o f t h e s t u d y . T h e t h r e e t e x t b o o k s d o p r o v i d e a p p r o x i m a t e l y e q u a l c o v e r a g e o f t h e s i x p r o b l e m t y p e s . C l a s s e s o f s t u d e n t s i n t h e s t u d y h o w e v e r , d i d n o t r e c e i v e e q u a l e x p o s u r e t o t h e s i x t y p e s . I t a p p e a r s t h a t A l i c e ’ s s t u d e n t s w i l l h a v e t h e g r e a t e s t f a m i l i a r i t y w i t h t h e c o r e c o n t e n t o f v e r b a l p r o b l e m s , a n d B e t t y ’ s s t u d e n t s t h e l e a s t f a m i l i a r i t y . T h e e x p l a n a t o r y o r i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t e a c h t e x t b o o k p r o v i d e s o f t h e c o r e c o n t e n t v e r b a l p r o b l e m s i s a l s o i n d i c a t e d i n T a b l e 4 . 3 . T e x t b o o k B h a s t h e f e w e s t p a g e s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f t h e c o r e c o n t e n t , a n d a l s o t h e f e w e s t i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s , 1 1 . T e x t b o o k A i s m i d r a n g e o n b o t h m e a s u r e s w i t h 1 9 i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s . T e x t b o o k C h a s t h e m o s t p a g e s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f t h e c o r e c o n t e n t , a n d t h e m o s t i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s , 4 0 . T h e e f f e c t o f t h e s e d i f f e r i n g i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t s i s l e s s c l e a r f r o m r e s e a r c h t h a n t h e f a m i l i a r i t y o r e x p o s u r e f a c t o r . W h i l e r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t t h e a b i l i t y o f s t u d e n t s t o s o l v e v a r i o u s p r o b l e m 1 8 2 t y p e s i s d e p e n d e n t o n s t u d e n t f a m i l i a r i t y w i t h d i f f e r e n t p r o b l e m t y p e s ( S t i g l e r e t a l , 1 9 8 6 ) , t h e i m p a c t o f d i f f e r i n g q u a n t i t i e s o f t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s i s p o s s i b l y i m p r o v e d o r d i m i n i s h e d b a s e d o n m e d i a t i o n w i t h i n i n d i v i d u a l t e a c h e r s ’ p r e s e n t a t i o n s o f t e x t b o o k m a t e r i a l . V e r b a l P r o b l e m C l a s s i f i c a t i o n s A d e t a i l e d a n a l y s i s w a s p e r f o r m e d o n t h e c o r e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o f e a c h t e x t b o o k . T h e c l a s s i f i c a t i o n t e c h n i q u e u t i l i z e d c a t e g o r i z e d a p r o b l e m i n t o o n e o f s i x t y p e s : d r i l l e x e r c i s e , s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m , c o m p l e x t r a n s l a t i o n p r o b l e m , p r o c e s s p r o b l e m , a p p l i e d p r o b l e m , o r p u z z l e p r o b l e m ( C h a r l e s a n d L e s t e r , 1 9 8 2 ) . A t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m i s e i t h e r a s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e o r a c o m p l e x t r a n s l a t i o n t y p e w i t h i n t h i s c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m , V e r b a l p r o b l e m s f o r w h i c h e q u a t i o n f o r m u l a t i o n c o u l d b e a c c o m p l i s h e d b y d i r e c t t r a n s l a t i o n o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w e r e c l a s s i f i e d s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m s . V e r b a l p r o b l e m s f o r w h i c h e q u a t i o n f o r m u l a t i o n r e q u i r e d s t u d e n t p r o c e s s i n g o f i n f e r r e d r e l a t i o n s h i p s w i t h i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w e r e c l a s s i f i e d c o m p l e x t r a n s l a t i o n t y p e s . C o m p l e x t r a n s l a t i o n t y p e s w e r e d e f i n e d d i f f e r e n t l y i n t h i s a n a l y s i s f r o m t h a t p r o p o s e d b y C h a r l e s a n d L e s t e r . P r o b l e m s w h i c h i n v o l v e d a t l e a s t t w o s t e p s o f t r a n s l a t i o n i n t o m a t h e m a t i c a l s e n t e n c e s w e r e d e f i n e d c o m p l e x t r a n s l a t i o n t y p e s i n t h e i r c l a s s i f i c a t i o n s . S i n c e n o 1 8 3 e x e r c i s e s o f t h e r e v i e w e d c o r e o f t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s i n v o l v e d m o r e t h a n o n e e q u a t i o n f o r s o l u t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r a d j u s t e d t h e t w o t y p e s a c c o r d i n g l y . T a b l e 4 . 4 s h o w s t h e r e s u l t s o f t h i s c l a s s i f i c a t i o n a p p l i e d b y p r o b l e m t y p e t o t h e c o r e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o f e a c h t e x t b o o k . T a b l e 4 . 4 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : S i m p l e / C o m p l e x E x e r c i s e s A B C P r o b l e m t y p e S i m p . C o m p . S i m p . C o m p . S i m p . C o m p . 1 . S i m p l e 4 8 4 1 0 0 3 5 3 7 2 t r a n s l a t i o n 2 . G e o m e t r i c 3 0 1 7 2 1 0 3 2 1 1 f o r m u l a 3 . I n t e g e r 1 0 1 2 1 0 6 1 3 6 r e l a t e d 4 . A g e r e l a t e d 1 8 1 0 5 8 1 0 6 5 . D i s t a n c e / 5 1 3 1 0 6 9 6 R a t e / T i m e 6 . C o i n / M o n e y 1 0 9 7 8 5 1 9 T o t a l s 1 2 1 6 5 1 3 4 7 3 1 0 6 5 0 P e r c e n t ( 6 5 % ) ( 3 5 % ) ( 6 5 % ) ( 3 5 % ) ( 6 8 % ) ( 3 2 % ) F r o m T a b l e 4 . 4 , t h e t o t a l p e r c e n t a g e s o f e a c h c l a s s i f i c a t i o n , s i m p l e o r c o m p l e x , f o r e a c h t e x t b o o k i s n e a r l y i d e n t i c a l . T h e r e a r e a b o u t t w o s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e s f o r e a c h c o m p l e x t r a n s l a t i o n t y p e e x e r c i s e a c r o s s t e x t b o o k s . D i f f e r e n c e s a r e g r e a t e s t f o r p r o b l e m t y p e s r e l a t e d t o g e o m e t r i c f o r m u l a s , a g e r e l a t e d , a n d 1 8 4 D i s t a n c e / R a t e / T i m e r e l a t e d e x e r c i s e s . S i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e e x e r c i s e s g e n e r a l l y d o m i n a t e t h e f i r s t h a l f o f a n e x e r c i s e s e t , w h i l e c o m p l e x t y p e s a p p e a r i n t h e l a s t p o r t i o n o f a n e x e r c i s e s e t . I t c a n b e a s s u m e d t h a t s t u d e n t s a r e m o r e f a m i l i a r w i t h s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e s f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , t h e s h e e r n u m b e r o f e x e r c i s e s f a v o r s s i m p l e t y p e s , a n d s e c o n d l y t h e o r d e r o f p r e s e n t a t i o n s u g g e s t s s t u d e n t s c o m p l e t e m o r e o f t h e s i m p l e t y p e s . A s e c o n d c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e f o r v e r b a l p r o b l e m s d e v e l o p e d b y t h e i n v e s t i g a t o r c l o s e l y p a r a l l e l s t h e w o r k o f C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) . A v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e w a s l a b e l e d o n e o f f o u r f o r m a t s o f p r o b l e m d e p e n d e n t u p o n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t o f t h e v e r b a l p r o b l e m . T h e f o u r f o r m a t s a r e : a b s t r a c t f a c t u a l ( A F ) , a b t r a c t h y p o t h e t i c a l ( A H ) , c o n c r e t e f a c t u a l ( C F ) , a n d c o n c r e t e h y p o t h e t i c a l ( C H ) . A n a b s t r a c t p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e s s y m b o l i c o b j e c t s , s u c h a s n u m b e r s o r f i g u r e s , w h i l e a c o n c r e t e p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e s a r e a l s i t u a t i o n . A f a c t u a l p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e s d e c l a r a t i v e l y a s i t u a t i o n , w h i l e a h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s t a t e m e n t d e s c r i b e s a d d i t i o n a l l y a p o s s i b l e c h a n g e i n t h e s i t u a t i o n . A h y p o t h e t i c a l p r o b l e m r e q u i r e s t h e p r o b l e m s o l v e r t o c o n s i d e r b o t h t h e d e s c r i b e d s i t u a t i o n , a n d a l s o t h e c h a n g e e l e m e n t r e l a t i o n s h i p . T h e i n v e s t i g a t o r c l a s s i f i e d e a c h c o r e c o n t e n t e x e r c i s e o f e a c h t e x t b o o k a c c o r d i n g t o t h i s 1 8 5 c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e . T h e s u m m a r y r e s u l t s o f t h i s a n a l y s i s a p p e a r i n T a b l e 4 . 5 . T a b l e 4 . 5 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : E x e r c i s e F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n T e x t b o o k s A B C P r o b . T y p e A F A H C F C H A F A H C F C H A F A H C F C H 1 . S i m . T r . 1 0 6 3 6 0 4 7 3 7 6 9 3 7 0 2 0 2 2 . G e o m . F m . 3 1 9 7 O 2 0 6 4 3 4 5 2 3 . I n t . P r . 1 0 1 2 O 0 9 4 2 l 1 6 3 0 0 4 . A g e R e l . 0 0 0 2 8 0 0 9 4 O 0 2 1 4 5 . D / R / T 0 O 6 1 2 0 0 1 1 5 0 0 1 5 0 6 . C o i n R e . 0 0 1 2 7 O 0 1 2 3 0 0 1 4 1 0 T o t a l s 5 1 2 7 6 1 4 7 5 8 7 1 1 6 2 6 8 7 5 3 8 2 6 P e r c e n t 2 7 1 4 . 5 3 3 2 5 . 5 2 8 3 5 6 1 3 5 6 3 2 4 1 7 T h e m o s t n o t a b l e d i s t i n c t i o n i s t h a t a b s t r a c t / c o n c r e t e c l a s s i f i c a t i o n s a r e h e a v i l y d e p e n d e n t u p o n t h e s i x p r o b l e m t y p e s . A g e r e l a t e d , D / R / T r e l a t e d , a n d c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e s a r e p r e s e n t e d e x c l u s i v e l y w i t h c o n c r e t e p r o b l e m s t a t e m e n t f o r m a t s i n a l l t h r e e t e x t b o o k s . G r e a t e r d i f e r e n c e s b e t w e e n t e x t b o o k s a r e a p p a r e n t f o r t h e s i m p l e t r a n s l a t i o n a n d g e o m e t r i c f o r m u l a e x e r c i s e t y p e s . T e x t b o o k C p a r t i c u l a r l y e m p h a s i z e s a b s t r a c t p r o b l e m s t a t e m e n t s o v e r c o n c r e t e p r o b l e m s t a t e m e n t s f o r t h e s e t w o p r o b l e m t y p e s . 1 8 6 C a l d w e l l ( 1 9 7 7 ) f o u n d 7 5 — 8 0 p e r c e n t o f e l e m e n t a r y t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s t o h a v e c o n c r e t e f a c t u a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h e t h r e e a l g e b r a t e x t b o o k s d o e x h i b i t a g r e a t e r d i v e r s i t y o f t h e f o u r v e r b a l p r o b l e m f o r m a t s t h a n f o u n d i n C a l d w e l l ’ s s t u d y . T h i s r e s u l t i s n o t s u r p r i s i n g s i n c e f r o m a d e v e l o p m e n t a l p e r s p e c t i v e i t i s a s s u m e d t h a t s t u d e n t s a r e m o v i n g f r o m a c o n c r e t e o p e r a t i o n a l l e v e l t o a f o r m a l o p e r a t i o n a l l e v e l d u r i n g t h i s a g e t r a n s i t i o n . Y e t t e x t b o o k B s t i l l m a i n t a i n s a h i g h p e r c e n t a g e ( 5 6 p e r c e n t ) o f c o n c r e t e f a c t u a l f o r m a t s i n i t s e x e r c i s e s e t s . C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) h y p o t h e s i z e d t h a t d e p e n d e n t u p o n o n e ’ s p e r s p e c t i v e f o r t h e d e v e l o p m e n t o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e , d i f f e r i n g s e q u e n c e s o f p r o b l e m d i f f i c u l t y i n v o l v i n g t h e f o u r f o r m a t t y p e s r e s u l t . T h e s e p r o b l e m d i f f i c u l t y s e q u e n c e s a r e s e t f o r t h f o r t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e a l o n g w i t h C a l d w e l l a n d G o l d i n ’ s r e s u l t s f o r t h e e l e m e n t a r y s t u d y ( g r a d e s 1 - 6 ) a n d s e c o n d a r y s t u d y ( g r a d e s 7 - 1 2 ) i n T a b l e 4 . 6 . T h e t h r e e p e r s p e c t i v e s a r e d e s c r i b e d i n g r e a t e r d e t a i l i n C h a p t e r I I I . D D I E S e n i l e v t r e c e e e m o l r c e n o t n n d n y a R p a a t m T l a r e r r y t n e S a s p t S l l r t u o n n t i e y a e u d t s d y C C A C F F F — F C H a t i o n C F A C F F C A H H - - H H H C A C A C A H H F - - A A H F A A F H 1 8 7 T a b l e 4 . 6 V e r b a l P r o b l e m D i f f i c u l t y : F o r m a t T y p e s M o d e l s / R e s u l t s L e a s t I n t e r m e d i a t e M o s t D i f f i c u l t D i f f i c u l t y D i f f i c u l t I n b o t h o f C a l d w e l l a n d G o l d i n ’ s s t u d i e s o f v e r b a l ) p r o b l e m s o l u t i o n s , c o n c r e t e p r o b l e m s t a t e m e n t s w e r e l e s s ' d i f f i c u l t t h a n a b s t r a c t p r o b l e m s t a t e m e n t s . H o w e v e r t h i s d i f f e r e n c e i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e t w o k i n d s d i m i n i s h e d w i t h i n c r e a s i n g s t u d e n t a g e . F o r e l e m e n t a r y s t u d e n t s , t h e d i f f e r e n c e w a s 1 4 p e r c e n t m o r e c o r r e c t , f o r j u n i o r h i g h s t u d e n t s 1 3 p e r c e n t m o r e c o r r e c t , a n d f o r s e n i o r h i g h s t u d e n t s 3 p e r c e n t m o r e c o r r e c t . T h e a u t h o r s c o n c l u d e d t h a t t h e e l e m e n t a r y r e s u l t s b e s t f i t t h e p r e d i c t i o n s o f t h e d e v e l o p m e n t a l p e r s p e c t i v e , a n d a r e p a r t i a l l y e x p l a i n e d b y g r e a t e r s t u d e n t e x p o s u r e t o c o n c r e t e p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h e d a t a o f t h e s e c o n d a r y s t u d y f i t t h e p r e d i c t i o n s m a d e b y t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n p e r s p e c t i v e , w i t h s o m e s u p p o r t f o r t h e d e v e l o p m e n t a l p e r s p e c t i v e a s w e l l . T h e i n v e s t i g a t o r c o n s i d e r e d t h e q u a n t i t y o r p e r c e n t a g e o f e a c h o f t h e f o u r f o r m a t s t o i n d i c a t e 1 8 8 t e x t b o o k a u t h o r s ’ c o n c e p t i o n s o f p r o b l e m d i f f i c u l t y . T h e r e f o r e i t w a s a s s u m e d t h a t s t u d e n t f a m i l i a r i t y o r e x p o s u r e t o t h e f o u r f o r m a t s w a s d i r e c t l y r e l a t e d t o p r o b l e m . d i f f i c u 1 t y . T h e r e s u l t i n g v e r b a l p r o b l e m d i f f i c u l t y s e q u e n c e s f o r t h e t h r e e t e x t b o o k s b a s e d o n p e r c e n t a g e e x p o s u r e t o t h e f o u r f o r m a t s i s d i s p l a y e d i n T a b l e 4 . 7 . T a b l e 4 . 7 V e r b a l P r o b l e m D i f f i c u l t y : T e x t b o o k F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n T e x t b o o k L e a s t I n t e r m e d i a t e M o s t D i f f i c u l t D i f f i c u l t y D i f f i c u l t A C F A F - C H A H B C F A F C H - A H C A F C F - C H A H T e x t b o o k s A a n d B a r e s i m i l a r t o o n e a n o t h e r i n r e g a r d s t o f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m d i f f i c u l t y . B o t h t e x t b o o k s r e s e m b l e t h e d e v e l o p m e n t a l m o d e l s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y ( s e e T a b l e 4 . 6 ) . T e x t b o o k C m o r e c l o s e l y r e s e m b l e s t h e d i r e c t t r a n s l a t i o n m o d e l s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y . T h e s e c o n d a r y s t u d y r e s u l t s ( C a l d w e l l a n d G o l d i n , 1 9 8 7 ) i n d i c a t e t e x t b o o k s A a n d B m o r e c l o s e l y c o n f o r m i n f o r m a t s w i t h g e n e r a t e d s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n v e r b a l p r o b l e m s . T h e r e l a t i v e t r e a t m e n t s e a c h t e x t b o o k p r o v i d e s o f t h e f o u r f o r m a t s a l s o p e r m i t s p r e d i c t i o n s o f d i f f e r i n g 1 8 9 c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e o n v e r b a l p r o b l e m s o f t h e f o u r f o r m a t s . A g a i n i t w a s a s s u m e d s t u d e n t e x p o s u r e o r f a m i l i a r i t y w i t h t h e f o u r f o r m a t s w o u l d r e l a t e t o s t u d e n t p e r f o r m a n c e l e v e l s . T h e s u m m a r y p e r c e n t a g e o f e a c h f o r m a t k i n d f o r e a c h t e x t b o o k a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 4 . 8 . T a b l e 4 . 8 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : S u m m a r y F o r m a t s i n P e r c e n t a g e s F o r m a t T e x t b o o k s C l a s s i f i c a t i o n s A B C A F 2 7 2 8 5 6 . A H 1 4 . 5 3 3 C F 3 3 5 6 2 4 C H 2 5 . 5 1 3 1 7 T o t a l 1 0 0 1 0 0 1 0 0 I t i s p r e d i c t e d t h a t C a r l ’ s c l a s s ( t e x t b o o k C ) w i l l p e r f o r m b e t t e r o n A F f o r m a t v e r b a l p r o b l e m s t h a n t h e o t h e r c l a s s e s b a s e d o n g r e a t e r A F f o r m a t f a m i l i a r i t y . S i m i l a r l y A l i c e ’ s c l a s s ( t e x t b o o k A ) w i l l p e r f o r m b e t t e r o n C H a n d A H f o r m a t v e r b a l p r o b l e m s , o r i n g e n e r a l o n a l l h y p o t h e t i c a l f o r m a t s b a s e d o n g r e a t e r s t u d e n t f a m i l i a r i t y . B e t t y ’ s c l a s s ( t e x t b o o k B ) w i l l p e r f o r m b e t t e r o n C F f o r m a t v e r b a l p r o b l e m s t h a n t h e o t h e r c l a s s e s . T h e s e p r e d i c t i o n s w i l l b e c h e c k e d u s i n g i t e m a n a l y s i s o f t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s . T h e c o r e o f s i x v e r b a l p r o b l e m s t y p e s f o r t h e s t u d y s h a r e a c o m m o n u n d e r l y i n g e q u a t i o n s t r u c t u r e . E a c h v e r b a l 1 9 0 p r o b l e m t y p e r e q u i r e s t h e c o n s t r u c t i o n a n d s o l v i n g o f a s i n g l e l i n e a r e q u a t i o n i n o n e u n k n o w n , o r v a r i a b l e . J u n i o r h i g h s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s i m i l a r i t y o r r e l a t e d n e s s w a s s t u d i e d e x t e n s i v e l y u s i n g p r o b l e m s o r t s b y S i l v e r ( 1 9 7 9 ) . R e s u l t s i n d i c a t e d h i g h a b i l i t y s t u d e n t s c a t e g o r i z e p r o b l e m s b a s e d o n m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e c h a r a c t e r i s t i c s , p a r t i c u l a r l y u n d e r l y i n g e q u a t i o n s t r u c t u r e . L o w e r a b i l i t y s t u d e n t s g e n e r a l l y c a t e g o r i z e p r o b l e m s b a s e d o n s h a r e d c o n c e p t u a l p r o b l e m i n f o r m a t i o n , c l u s t e r i n g v e r b a l p r o b l e m s i n t o v a r i o u s c o n t e n t t y p e s , s i m i l a r t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s p r o b l e m t y p e s . T h e a u t h o r s o f t e x t b o o k s A a n d C e x p l i c i t l y l a b e l a l l e x e r c i s e s e t s a n d r e l a t e d e x p l a n a t i o n s b y p r o b l e m t y p e . T h i s e x p l i c i t " t y p e " l a b e l i n g a p p e a r s i n t e n t i o n a l b y t h e s e a u t h o r s . A c c o r d i n g t o S i l v e r ’ s r e s u l t s , e x p l i c i t n e s s w o u l d a i d n a t u r a l c a t e g o r i z a t i o n p r o c e s s e s o f m i d d l e a n d l o w a b i l i t y s t u d e n t s , p o s s i b l y i t s i n t e n d e d a u d i e n c e s . T e x t b o o k B p r o v i d e s e x p l i c i t l a b e l s f o r t h r e e p r o b l e m t y p e s : i n t e g e r p r o b l e m s , a g e r e l a t e d p r o b l e m s , a n d D / R / T p r o b l e m s . C o n t e x t a n d c o n c e p t u a l p r o b l e m i n f o r m a t i o n w i t h i n i t s e x e r c i s e s i s m o r e v a r i e d . T h e a u t h o r s o f t e x t b o o k B a t t e m p t t o l i m i t s t u d e n t c a t e g o r i z a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s i n t o s p e c i f i c p r o b l e m t y p e s , p o s s i b l y i n t e n d i n g t h e i r t e x t b o o k f o r a h i g h e r a b i l i t y a u d i e n c e . T h e s t u d y ’ s f o c u s i s o n m i d d l e a b i l i t y s t u d e n t s , a n d r e s e a r c h r e s u l t s i n d i c a t e t h e s e s t u d e n t s a r e 1 9 1 m o r e l i k e l y t o c a t e g o r i z e p r o b l e m s i n t o p r o b l e m t y p e s . T h e r e f o r e t h e d e s i g n o f t e x t b o o k s A a n d C a p p e a r m o r e d i r e c t e d a t A l g e b r a I s t u d e n t s , a n d p o s s i b l y m o r e b e n e f i c i a l t o t h e s e s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e o n v e r b a l p r o b l e m s . Q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n s o f v e r b a l p r o b l e m e x p l a n a t i o n s a n d e x e r c i s e s f a i l t o d i s t i n g u i s h q u a l i t a t i v e t e x t b o o k d i f f e r e n c e s r e l a t e d t o o r g a n i z a t i o n a n d c o n t e n t . A n e v a l u a t i o n f o r m w a s d e s i g n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r w h i c h i n c o r p o r a t e d b o t h q u a n t i t a t i v e a n d q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f t e x t b o o k d e s i g n r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . T h e d e s i g n e d i n s t r u m e n t s e r v e d t o c l a r i f y i n v e s t i g a t o r p r e f e r e n c e s o f t e x t b o o k c o n s t r u c t i o n . T h e s e p r e f e r e n c e s i n c l u d e : c l e a r a n d c o n s i s t e n t u s a g e o f a g e n e r a l m o d e l , c l e a r , c o n s i s t e n t a n d c o n n e c t e d e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s , a n d a d e q u a t e q u a n t i t i e s o f e x p l a n a t i o n s , e x a m p l e s , a n d e x e r c i s e s . T h e i n s t r u m e n t a l s o p e r m i t t e d f o r m u l a t i o n o f d e s c r i p t i o n s o f e a c h t e x t b o o k ’ s d e s i g n c h a r a c t e r i s t i c s , a l o n g w i t h r e s p e c t i v e s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s . T a b l e 4 . 9 l i s t s t h e s u b j e c t i v e r a t i n g s a s s i g n e d t o e a c h o f t h e s i x t e e n f e a t u r e s s e l e c t e d f o r e v a l u a t i o n u n d e r f o u r h e a d i n g s . T h e f o u r h e a d i n g s w e r e g e n e r a l m o d e l , e x p l a n a t i o n s , e x a m p l e s , a n d e x e r c i s e s e t s . A s c a l e o f o n e t o f i v e w a s u s e d t o r a t e e a c h l i s t e d f e a t u r e ( o n e l o w e s t , f i v e h i g h e s t ) . N H W I w P o I ' U I ' 1 U . I U D - d e \ ( h N b r h t u l ' U b u w I ' w U w fi L I fl - L M u h w I h w u o N o l ' U H h t N m H 1 1 1 U U u o » n r ( t m w Hm b - w N N I — 1 U 1 U ) . 0 I & ‘ U I ‘ U 5 - n u l O m 1 9 2 T a b l e 4 . 9 T e x t b o o k C o m p a r i s o n : F e a t u r e E v a l u a t i o n { 1 5 O F e a t u r e A . G e n e r a l M o d e l 1 . Q u a l i t y o f m o d e l 2 . M a i n t a i n e d c o n s i s t . 3 . S t u d e n t u s a g e c l a r . s u b t o t a l 1 . 1 B . T e x t b o o k E x p l a n a t i o n 1 . Q u a n t i t y 2 . C l a r i t y o b j e c t i v e s 3 . C o n s i s t e n c y / c o n n e c t . 4 . L a y o u t a p p e a l 5 . S t u d e n t r e a d a b i l i t y 6 . S u g g e s t e d s e g u e n c e s u b t o t a l N ( . 1 N C . T e x t b o o k E x a m p l e s 1 . Q u a n t i t y 2 . C l a r i t y / c o n s i s t e n c y 3 . D i v e r s i t y / c o m p l e t e . s u b t o t a l D . E x e r c i s e S e t s . Q u a n t i t y . C l a r i t y / r e a d a b i l t y . D i v e r s i t y / c o m p l e t e . D e g r e e o f d i f f i c u l t y s u b t o t a l ( . 4 G r a n d T o t a l : 4 9 6 1 6 7 A n a l y s i s o f S e l e c t e d T e x t b o o k s T h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n s w i l l f o c u s u p o n a s i n g l e t e x t b o o k a t a t i m e , a n d t h e r a t i o n a l e f o r t h e r a t i n g s d e s i g n a t e d i n T a b l e 4 . 9 . T e x t b o o k B w a s r a t e d h i g h e s t u n d e r t h e G e n e r a l M o d e l h e a d i n g . I t s f i v e s t e p p r o c e d u r e f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s i s c l o s e s t t o P o l y a ’ s m o d e l , a n d i s i n t r o d u c e d e a r l y i n t h e t e x t b o o k ( C h a p t e r 1 ) . T h e f i v e s t e p s a r e l a b e l e d e x p l i c i t l y a n d c o n s i s t e n t l y i n 1 9 3 e v e r y e x a m p l e a n d s a m p l e r e v i e w e d . I t p r e s e n t s t o t h e s t u d e n t a c l e a r m o d e l f o r p r o c e s s i n g v e r b a l p r o b l e m s , a n d r e i n f o r c e s t h e i m p o r t a n c e o f a g e n e r a l m o d e l f o r a t t a c k i n g a l l v e r b a l p r o b l e m s t y p e s . G e n e r a l m o d e l d e v e l o p m e n t i m p l i c i t l y a s s u m e s v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g d e m a n d s a c o m b i n a t i o n o f t r a n s l a t i o n s k i l l s a n d r e l a t i o n a l t h i n k i n g s k i l l s . A n o t h e r s t r e n g t h o f t h i s t e x t b o o k i s t h e e x e r c i s e s e t s . T h e q u a l i t y , c l a r i t y , d i v e r s i t y , a n d d e g r e e o f d i f f i c u l t y w i t h i n i t s e x e r c i s e s i s s u p e r i o r t o t h e o t h e r t e x t b o o k s ' e x e r c i s e s . Q u a n t i t y o f e x e r c i s e s i s s u f f i c i e n t . P a r t i c u l a r l y n o t e w o r t h y i s t h e p r e s e n c e o f m u l t i p l e c o n t e x t s w i t h i n a s i n g l e e x e r c i s e s e t , a n d t h e g r e a t e r c h a l l e n g e o f i t s B a n d C l e v e l e x e r c i s e s . T e x t b o o k B ’ s m a j o r w e a k n e s s e s a r e r o o t e d i n i t s i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s . V e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s e t s a r e o r g a n i z e d i n t h r e e d i f f e r e n t w a y s . M o s t o f t e n , t h e y a p p e a r i m m e d i a t e l y a f t e r m a n i p u l a t i o n s k i l l e x e r c i s e s e t s , a n d a r e d e s i g n a t e d a s “ P r o b l e m s " w i t h a s i n g l e s a m p l e i l l u s t r a t i o n . S e c o n d l y , s o m e v e r b a l p r o b l e m s e t s a p p e a r a s s e p a r a t e e n t i t i e s , g i v e n a p r o b l e m t y p e l a b e l , w i t h n o w o r k e d s a m p l e p r o v i d e d . T h i r d l y , s o m e v e r b a l p r o b l e m s e t s r e c e i v e g r e a t e r i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t i n s e p a r a t e t e x t b o o k s e c t i o n s . T h e f i r s t t w o l o c a t i o n s a r e p r o b l e m a t i c f o r a t e a c h e r b e c a u s e t h e a u t h o r s ’ i n t e n t i o n f o r i n s t r u c t i o n a l 1 9 4 t r e a t m e n t i s n o t c l e a r l y s p e c i f i e d . A t e a c h e r m u s t d e c i d e w h e t h e r t h e s e p r o b l e m s e t s a r e t o b e a s s i g n e d w i t h t h e p r e c e d i n g m a n i p u l a t i o n e x e r c i s e s e t s , o r a r e t o r e c e i v e s e p a r a t e i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d a s s i g n m e n t . T h i s l o c a t i o n a l d i v e r s i t y c o u p l e d w i t h a n i n a d e q u a t e q u a n t i t y o f v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s a n d e x p l a n a t i o n s d a m a g e s t h i s t e x t b o o k ’ s r e a d a b i l i t y , c o n n e c t e d n e s s , a n d c o m p l e t e n e s s r a t i n g s . T e x t b o o k A ’ s d e s i g n s t r e n g t h s e m a n a t e f r o m i t s c o n c e r n f o r s u p e r f i c i a l c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h i t s a u t h o r s b e l i e v e a r e a p p e a l i n g t o t e a c h e r s a n d s t u d e n t s . I t s i n s t r u c t i o n a l e x p l a n a t i o n s a r e c l e a r , c o l o r f u l , a n d g e n e r a l l y a p p e a l i n g t o t h e e y e o f t h e i n v e s t i g a t o r . B o x e d f o r m a t s a r e u s e d f r e q u e n t l y i n e a c h s e c t i o n f o r e m p h a s i s o f m a j o r p o i n t s . T h e l a r g e p r i n t a n d s i m p l e v o c a b u l a r y i m p r o v e s t u d e n t r e a d a b i l i t y o f t h e t e x t b o o k . A l i c e m e n t i o n e d t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t t h e i n c l u s i o n o f s k i l l s h a r p e n e r s w i t h i n c h a p t e r s a s m i n i - r e v i e w s o f e a r l i e r c o n c e p t s , a n d t h e l a r g e n u m b e r o f p r a c t i c e e x e r c i s e s i n c l u d e d i n t h i s t e x t b o o k w e r e p r i m a r y r e a s o n s f o r i t s s e l e c t i o n a s a t e x t b o o k f o r m i d d l e a b i l i t y a l g e b r a s t u d e n t s . B a s e d o n h e r y e a r s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e , A l i c e b e l i e v e d t h e s e f e a t u r e s w e r e e s s e n t i a l f o r t h i s l e v e l o f s t u d e n t s . S h e b e l i e v e d t h e s e s t u d e n t s r e q u i r e d g r e a t e r p r a c t i c e e x p e r i e n c e s t o g a i n s k i l l m a s t e r y , a n d t h a t s t u d e n t r e t e n t i o n o f t h e m a t e r i a l c o u l d b e 1 9 5 s t r e n g t h e n e d t h r o u g h m o r e f r e q u e n t r e v i e w w i t h i n c h a p t e r s . T h i s t e x t b o o k a l s o c o n t a i n e d a d e q u a t e c l a r i t y a n d c o n s i s t e n c y w i t h i n i t s e x p l a n a t i o n s a n d i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s . T h e m a j o r w e a k n e s s o f t e x t b o o k A i s i t s i n a b i l i t y t o d e v e l o p a c o n s i s t e n t g e n e r a l m o d e l / p r o c e d u r e f o r p r o c e s s i n g v e r b a l p r o b l e m s . E a c h t i m e a n e w v e r b a l p r o b l e m t y p e i s e n c o u n t e r e d , a n e w o r m o d i f i e d p r o c e d u r e i s i d e n t i f i e d f o r u s a g e o n t h a t p a r t i c u l a r p r o b l e m t y p e . F i v e s u c h p r o c e d u r e s w e r e n o t e d w i t h i n t h e r e v i e w e d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . E a c h i d e n t i f i e d p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n c o n t a i n s s u c h a p r o c e d u r e w h i c h i s b o x e d f o r e m p h a s i s . T h e c o m m o n a l i t i e s b e t w e e n t h e s e p r o c e d u r e s s u g g e s t e d t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t t h e p r i m a r y s k i l l s r e q u i r e d f o r v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a r e t r a n s l a t i o n o r i e n t e d s k i l l s . I n t h r e e o f t h e s e b o x e d p r o c e d u r e s , i n s t r u c t i o n f o c u s e s o n f i n d i n g t h e t w o c o n d i t i o n s w i t h i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w h i c h l e a d d i r e c t l y t o t h e d e f i n i n g o f v a r i a b l e s , a n d t o t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e p r o b l e m ' s e q u a t i o n r e s p e c t i v e l y . T h e r e l a t i o n a l n a t u r e o f e q u a t i o n f o r m u l a t i o n r e c e i v e s m i n i m a l i n s t r u c t i o n a l c o n s i d e r a t i o n . T h e v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s a n d e x e r c i s e s e t s r e f l e c t a s i m i l a r l o w e x p e c t a t i o n o f s t u d e n t s ’ a b i l i t i e s t o r e l a t i o n a l l y t h i n k a n d t r a n s f e r d e v e 1 0 p e d s k i l l s . T h e r e i s m i n i m a l c o n t e x t d i v e r s i t y w i t h i n a n e x e r c i s e s e t , a n d t h e i n c r e a s i n g d e g r e e o f d i f f i c u l t y w i t h i n a s e t i s a c c o m p l i s h e d i n s m a l l 1 9 6 i n c r e m e n t s . I n i t i a l p r o b l e m s i n a n e x e r c i s e s e t c o n t a i n a n i d e n t i c a l s t r u c t u r e t o t h e i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s p r o v i d e d . I n a n a l y z i n g t h e e x e r c i s e s e t s o f t h i s t e x t b o o k ( A ) , t h e i n v e s t i g a t o r n o t e d a d e f i n i t e p a t t e r n . P a i r s o f c o n s e c u t i v e p r o b l e m s ( o n e o d d , o n e e v e n ) c o n t a i n e d a l m o s t i d e n t i c a l c o n t e x t s . I t c o u l d n o t b e d e t e r m i n e d w h e t h e r t h i s p a t t e r n w a s d e l i b e r a t e o r n o t . T h e p a t t e r n , i f r e c o g n i z e d b y t e a c h e r s , w o u l d w o r k w e l l f o r c l a s s r o o m a s s i g n m e n t p r a c t i c e s . A t e a c h e r m i g h t a s s i g n a l l o d d o r e v e n p r o b l e m s o f a s e t o n e d a y , a n d t h e r e m a i n i n g p r o b l e m s t h e f o l l o w i n g d a y . T h i s p r a c t i c e w o u l d i n s u r e c o n t e x t d i v e r s i t y w i t h i n e a c h a s s i g n m e n t . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t t h e c o m b i n a t i o n o f m a n y d i v e r s e p r o c e d u r e s o r g a n i z e d a r o u n d p r o b l e m t y p e c a t e g o r i e s a n d p r o b l e m s e t s o f l i m i t e d c o n t e x t d i v e r s i t y s o m e w h a t i n h i b i t s v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y d e v e l o p m e n t . T h i s c o m b i n a t i o n c o u l d a l s o n u r t u r e a c o m m o n s t u d e n t b e l i e f t h a t a l g e b r a l e a r n i n g i s p i e c e - m e a l , a n d u n c o n n e c t e d t o p r e v i o u s l e a r n i n g . T h e o r g a n i z a t i o n o f t e x t b o o k A f a c i l i t a t e s s t u d e n t p r a c t i c e a n d t e a c h e r t e s t i n g t e c h n i q u e s o n a n a r r o w b a n d o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s . H o w e v e r i t s o r g a n i z a t i o n a l d e s i g n f a i l s t o e n c o u r a g e t h e b r o a d e r p o w e r a l g e b r a i c t e c h n i q u e s p o s s e s s f o r s o l v i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s . F u r t h e r m o r e , i n s o m e c a s e s v e r b a l p r o b l e m s e t s w e r e l o c a t e d w i t h i n m a n i p u l a t i o n e x e r c i s e s e t s u n d e r t h e 1 9 7 l a b e l , " A p p l i c a t i o n " . U s u a l l y a n e w r e l a t i o n s h i p o r f o r m u l a i s i n t r o d u c e d w i t h a n e x a m p l e , a n d s e v e r a l v e r b a l p r o b l e m s w h i c h d i r e c t l y e m p l o y e d t h e r e l a t i o n s h i p f o l l o w e d . A t t h i s p o i n t i n t h e a n a l y s i s , i t b e c a m e a p p a r e n t t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t t e x t b o o k A p o s s e s s e d a l l t h e i m p o r t a n t d e s i g n f e a t u r e s g e n e r a l l y a s s o c i a t e d w i t h i n d i v i d u a l i z e d l e a r n i n g p r o g r a m s . H o w e v e r t h e t e x t b o o k i s i n t e n d e d f o r u s a g e i n w h o l e c l a s s i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g s . T e x t b o o k C i s o r g a n i z e d a n d d e s i g n e d m a r k e d l y d i f f e r e n t f r o m t h e t w o p r e v i o u s l y r e v i e w e d t e x t b o o k s . I t s d e s i g n r e c e i v e d m o r e f a v o r a b l e i n v e s t i g a t o r r a t i n g s . I n v e s t i g a t o r p r e f e r e n c e f o r i t s o r g a n i z a t i o n a n d d e s i g n w a s b a s e d u p o n t h e a u t h o r s ’ i n c l u s i o n o f s e v e r a l u n i q u e f e a t u r e s . T h e s e f e a t u r e s m a k e e x p l i c i t a c o n c e p t u a l m o d e l o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e m o s t s i m i l a r t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s c o n c e p t u a l i z a t i o n . T h i s c o n c e p t u a l m o d e l h y p o t h e s i z e s t h a t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y i n v o l v e s p r i m a r i l y r e l a t i o n a l t h i n k i n g m i x e d w i t h t r a n s l a t i o n s k i l l s . T h e f i r s t u n i q u e i n c l u s i o n i s a n e n t i r e c h a p t e r o n f o r m u l a s , a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s . T h e c h a p t e r i s l o c a t e d a p p r o p r i a t e l y b e t w e e n a c h a p t e r w h i c h c o n t a i n s v e r b a l p r o b l e m s r e q u i r i n g o n l y s i m p l e t r a n s l a t i o n s k i l l s , a n d a c h a p t e r c o m p o s e d o f t w e l v e v e r b a l p r o b l e m . s e c t i o n s r e q u i r i n g r e l a t i o n a l t h i n k i n g s k i l l s . T h e t w o o t h e r t e x t b o o k s e a c h c o n t a i n o n l y o n e s e c t i o n r e l a t e d t o 1 9 8 e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T h e s e c o n d u n i q u e i n c l u s i o n a p p e a r s i n t h e i r g e n e r a l m o d e l f o r " u s i n g e q u a t i o n s t o s o l v e p r o b l e m s " p r o c e d u r e . T h e a u t h o r s i n c l u d e a s t e p , " f i n d a w o r d s e n t e n c e t o s u g g e s t a n e q u a t i o n " b e f o r e a n y s t u d e n t w r i t i n g i s t o b e g i n , a c k n o w l e d g i n g t h e i m p o r t a n c e o f a n e a r l y r e l a t i o n a l p e r s p e c t i v e . T r a n s l a t i o n s s k i l l s a r e s u g g e s t e d l a t e r o n l y a f t e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u n k n o w n s . T h e g e n e r a l m o d e l a l s o i n c l u d e s a s e p a r a t e i n t e r p r e t a t i o n s t e p , " w r i t e t h e c o n c l u s i o n t h a t s e t t l e s t h e p r o b l e m " , b e f o r e t h e f i n a l c h e c k i n g s t e p . D u e t o t h e m o d e l ’ s l e n g t h a n d w o r d i n e s s , t h e p r o c e d u r e i s c l u m s y , a n d n o t l i k e l y t o b e r e c a l l e d b y s t u d e n t s i n i t s e n t i r e t y . Y e t w i t h i n i t s e x a m p l e c o n s t r u c t i o n s , t h e a u t h o r s e x h i b i t e x t r e m e c a r e a n d c o n s i s t e n c y t o i n c l u d e e a c h s t e p , w i t h o u t e x p l i c i t l i s t i n g , o f t h e g e n e r a l m o d e l i n t h e i r s o l u t i o n d i s c u s s i o n s . T h e t h i r d u n i q u e d e s i g n f e a t u r e i s t h e s e p a r a t i o n o f m o s t v e r b a l p r o b l e m t y p e s i n t o a s i n g l e c h a p t e r . T h i s s e p a r a t e p l a c e m e n t p o s s i b l y s u g g e s t s a n a u t h o r i n t e n t i o n t h a t v e r b a l p r o b l e m . s o l v i n g d e v e l o p m e n t r e q u i r e s s e p a r a t e a n d d i f f e r e n t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t f r o m t h a t p r o v i d e d f o r o t h e r a l g e b r a c o n t e n t . P r e s e n t l y , i t i s n o t c l e a r w h a t i m p a c t t h i s t e x t b o o k ’ s u n i q u e d e s i g n h a s o n s t u d e n t l e a r n i n g , r e t e n t i o n , o r a t t i t u d e . V e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o f t e x t b o o k C a r e a d e q u a t e 1 9 9 i n t e r m s o f q u a n t i t y a n d c o n t e x t d i v e r s i t y . I t s e x p l a n a t i o n s e c t i o n s a r e d r a b , c o l o r l e s s , a n d n e e d l e s s l y l e n g t h y . I t s l a y o u t c h a r a c t e r i s t i c s a n d s t u d e n t r e a d a b i l i t y f e a t u r e s r e c e i v e d l o w e r i n v e s t i g a t o r r a t i n g s . T e x t b o o k C o m p a r i s o n T h e t h r e e t e x t b o o k s o f t h e s t u d y d i d c o n t a i n a n i d e n t i f i a b l e c o r e o f s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s w i t h i n i n i t i a l i n s t r u c t i o n a l c h a p t e r s . F i v e p r o b l e m t y p e s r e l a t e t o t h e p r o b l e m s t a t e m e n t c o n t e n t o r c o n t e x t u a l p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n . T h e s i x t h p r o b l e m t y p e , s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m s , c o n t a i n v a r i e d c o n t e n t a n d p r o b l e m s t a t e m e n t s , b u t s h a r e a t r a n s l a t i o n s k i l l o r i e n t a t i o n f o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T h e s i x p r o b l e m t y p e s r e c e i v e e q u a l t r e a t m e n t i n t e x t b o o k s A a n d C . F o u r p r o b l e m t y p e s a l s o r e c e i v e e q u a l t r e a t m e n t i n t e x t b o o k B , w h i l e i t c o n t a i n s f e w e r g e o m e t r i c f o r m u l a t y p e p r o b l e m s a n d c o n s i d e r a b l y m o r e s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e s . S p a c e a l l o c a t i o n c o m p a r i s o n s r e v e a l e d t h a t v e r b a l p r o b l e m s r e p r e s e n t e d a t w e n t y p e r c e n t s p a c e c o m m i t m e n t i n e a c h t e x t b o o k ’ s d e s i g n . V e r b a l p r o b l e m s r e p r s e n t e d o n e t h i r d t h e s p a c e d e v o t e d t o a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s k i l l s . S u b s t a n t i a l d i f f e r e n c e i n i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w a s n o t e d . T e x t b o o k C h a s n e a r l y t w i c e a s m a n y p a g e s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t , a n d n e a r l y f o u r t i m e s a s m a n y e x a m p l e s a s d o e s t e x t b o o k B . T e x t b o o k A i s b e t w e e n t h e s e t w o t e x t b o o k s o n b o t h m e a s u r e s , b u t 2 0 0 c o n t a i n s l e s s t h a n h a l f t h e i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s t h a t t e x t b o o k C c o n t a i n s . S t u d e n t e x p o s u r e o r p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s w a s a l s o n o t e q u a l f o r t h e t h r e e c l a s s e s . O b s e r v a t i o n s o f t e a c h e r s ’ a s s i g n m e n t p a t t e r n s l e d t o i n v e s t i g a t o r e s t i m a t e s o f s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s f o r e a c h c l a s s . T h e s e e s t i m a t e s i n d i c a t e d A l i c e ’ s c l a s s h a d m o r e p r a c t i c e o n t h e e x e r c i s e s t h a n B e t t y ’ s o r C a r l ’ s c l a s s e s w h i c h h a d a b o u t e q u a l p r a c t i c e o f r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s . S e v e r a l c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m s w e r e e m p l o y e d t o c o m p a r e t h e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o f t h e t h r e e t e x t b o o k s . W i t h i n t h e s i m p l e / c o m p l e x t r a n s l a t i o n s y s t e m , t h e t h r e e t e x t b o o k s e x h i b i t e d s i m i l a r i t y o n t h e c o r e c o n t e n t e x e r c i s e s . O v e r a l l e a c h t e x t b o o k c o n t a i n s t w o s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e s f o r e v e r y o n e c o m p l e x t r a n s l a t i o n t y p e . W i t h i n t h r e e p r o b l e m t y p e s , s o m e d i f f e r e n c e s w e r e n o t e d b e t w e e n t e x t b o o k s . W i t h i n t h e f o u r f o r m a t t y p e c l a s s i f i c a t i o n , c o r e c o n t e n t e x e r c i s e s o f t e x t b o o k s A a n d B a r e f a i r l y s i m i l a r . T e x t b o o k C h a s a m u c h h i g h e r p e r c e n t a g e o f a b s t r a c t f a c t u a l f o r m a t s , a n d a l s o a m u c h l o w e r p e r c e n t a g e o f c o n c r e t e f a c t u a l f o r m a t s t h a n t h e o t h e r t w o t e x t b o o k s . T h e i n v e s t i g a t o r r e l a t e d t h e s e r e s u l t s t o C a l d w e l l a n d G o l d i n ’ s ( 1 9 8 7 ) h y p o t h e t i c a l m o d e l s o f p r o b l e m d i f f i c u l t y , a n d t h e r e s u l t s o f t h e i r e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y s t u d i e s . F r o m t h e d i f f e r i n g p a t t e r n s o f t e x t b o o k f o r m a t _ " " ' ; - - = . - _ — _ * _ . — — - — - — - — . . - . _ - — ; - — . . . — . - g , _ _ e - — ; — r — T - . - . . . . - _ . - — — — , ~ . A _ , , . . . . . — — — — - — — 2 0 1 c l a s s i f i c a t i o n s , s e v e r a l p r e d i c t i o n s o f d i f f e r i n g c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e w e r e g e n e r a t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f o r l a t e r t e s t i n g a n d d i s c u s s i o n r e l a t e d t o s t u d e n t p e r f o r m a n c e p a t t e r n s . T h e t h r e e t e x t b o o k s w e r e c o m p a r e d f o r e x p l i c i t l a b e l i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r r e s p e c t i v e e x e r c i s e s e t s . E x p l i c i t l a b e l s f o r a l l b u t o n e p r o b l e m t y p e a r e p r o v i d e d i n t e x t b o o k s A a n d C , w h e r e a s o n l y t h r e e p r o b l e m t y p e s o f t h e c o r e c o n t e n t a r e e x p l i c i t l y l a b e l e d i n t e x t b o o k B . T h e s u b j e c t i v e f e a t u r e e v a l u a t i o n o f t h e t h r e e t e x t b o o k s i n d i c a t e d i n v e s t i g a t o r p r e f e r e n c e o f t e x t b o o k C . T h i s p r e f e r e n c e w a s b a s e d u p o n i t s e x p l i c i t e x p e c t a t i o n t h a t s t u d e n t s w i l l n e e d t o u s e a c o m b i n a t i o n o f r e l a t i o n a l c o n s t r u c t i o n s o f c o n c e p t u a l k n o w l e d g e a n d s o m e t r a n s l a t i o n s k i l l s t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s . T e x t b o o k C m a k e s t h i s e x p e c t a t i o n c l e a r w i t h i n i t s u n i q u e o r g a n i z a t i o n a n d i t s i n c o r p o r a t e d r e l a t i o n a l t h i n k i n g s u g g e s t i o n s . T h i s r e l a t i o n a l p e r s p e c t i v e o f a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a g r e e s w i t h c u r r e n t r e s e a r c h r e s u l t s w h i c h i n d i c a t e s t u d e n t s d o c o n s t r u c t p r o b l e m r e l a t i o n s h i p s b a s e d o n a v a i l a b l e c o n c e p t u a l k n o w l e d g e ( R i l e y e t a l , l 9 8 3 ) . T e x t b o o k B m a i n t a i n s a s i m i l a r p e r s p e c t i v e b u t p r e s e n t s i t s p e r s p e c t i v e l e s s e x p l i c i t l y i n i t s d e s i g n a n d o r g a n i z a t i o n . T e x t b o o k A m a i n t a i n s a n o p p o s i t e p e r s p e c t i v e i n w h i c h t o t a l d e p e n d e n c e f o r e q u a t i o n 2 0 2 f o r m u l a t i o n i s b a s e d o n s t u d e n t a b i l i t y t o t r a n s l a t e w r i t t e n p r o b l e m . i n f o r m a t i o n i n t o a p p r o p r i a t e s y m b o l i c a n d a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n s . ~ T h e o t h e r d i f f e r e n c e a m o n g t e x t b o o k s w a s t h e t r e a t m e n t a c c o r d e d a n d t h e d e v e l o p m e n t o f a g e n e r a l m o d e l f o r v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . T h e i n v e s t i g a t o r p r e f e r r e d t h e d e v e l o p m e n t o f a s i n g l e g e n e r a l m o d e l f o r s t u d e n t s t o s o l v e a l l v e r b a l p r o b l e m t y p e s , a n d t h a t t h e g e n e r a l m o d e l i n c o r p o r a t e P o l y a ’ s f o u r s t e p m o d e l . A l l t h r e e t e x t b o o k s ’ g e n e r a l m o d e l s d o i n c o r p o r a t e t h e f o u r s t e p s o f P o l y a ' s m o d e l . T w o t e x t b o o k s , B a n d C , d e v e l o p a s i n g l e g e n e r a l m o d e l w h i l e t e x t b o o k A c o n t i n u a l l y m o d i f i e s i t s g e n e r a l m o d e l f o r e a c h p r o b l e m t y p e e n c o u n t e r e d . T h e i n v e s t i g a t o r ' s p r e f e r e n c e i s b a s e d o n a b e l i e f t h a t t h e m o d e l i t s e l f i s m o r e l i k e l y t o b e i n c o r p o r a t e d a n d r e t a i n e d w i t h i n s t u d e n t c o n s t r u c t i o n s w h e n t h e s a m e m o d e l i s c o n t i n u a l l y p r a c t i c e d a n d r e i n f o r c e d d u r i n g i n s t r u c t i o n . H o w e v e r i t i s p o s s i b l e t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f s e p a r a t e m o d e l s f o r e a c h p r o b l e m t y p e c o u l d l e a d t o m o r e e f f e c t i v e l e a r n i n g w i t h i n t h i s p a r t i c u l a r s t u d e n t p o p u l a t i o n . S i l v e r ( 1 9 7 9 ) d e m o n s t r a t e d t h a t m i d d l e a n d l o w a b i l i t y s t u d e n t s ( s u c h a s t h o s e i n t h i s s t u d y ) c l u s t e r v e r b a l p r o b l e m s o n t h e b a s i s o f c o n t e x t o r p r o b l e m t y p e s i m i l a r i t i e s . T h e i n s t r u c t i o n a l i n c l u s i o n o f a s e p a r a t e p r o c e d u r e f o r e a c h p r o b l e m t y p e t h e n p r o v i d e s t h e s t u d e n t a m o r e c o m p l e t e p a c k a g e o f c o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l 2 0 3 k n o w l e d g e r e l a t e d t o a p a r t i c u l a r p r o b l e m t y p e . E a c h p r o b l e m t y p e s c h e m a t a i s t h e n s t o r e d i n m e m o r y s e p a r a t e l y , a n d c a n b e r e c a l l e d o n c e t h e p r o b l e m t y p e o f a v e r b a l p r o b l e m . i s r e c o g n i z e d . P a i g e a n d S i m o n ( 1 9 6 6 ) f o u n d t h a t m o s t s t u d e n t s c a n i d e n t i f y s p e c i f i c a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m t y p e s f r o m t h e r e a d i n g o f a s i n g l e s e n t e n c e o f a p r o b l e m s t a t e m e n t . H o w e v e r t h e y a l s o f o u n d t h a t s u c h a n i m m e d i a t e i d e n t i f i c a t i o n a b i l i t y d i d n o t t r a n s l a t e i n t o a n y s i g n i f i c a n t p e r f o r m a n c e a d v a n t a g e . S e v e r a l w e a k n e s s e s o f t h i s i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h m a y h e l p t o e x p l a i n P a i g e a n d S i m o n ’ s r e s u l t s . F i r s t , m e m o r y r e q u i r e m e n t s a r e g r e a t e r i n t h i s a p p r o a c h s i n c e p r o b l e m t y p e p r o c e d u r e s m u s t b e h i g h l y a u t o m a t i z e d a n d t h e q u a n t i t y o f t h e s e p r o c e d u r e s i s r a t h e r l a r g e . S e c o n d l y , t h e r e i s n o c e n t r a l c o n t r o l f r a m e w o r k i n t h i s a p p r o a c h t o a i d s t u d e n t m o n i t o r i n g o f p r o g r e s s . A n i n c o m p l e t e o r i n c o r r e c t r e c a l l o f a p r o c e d u r e i s f a t a l f o r s t u d e n t p r o c e s s i n g . T h i r d l y , s u c h p r o b l e m . t y p e c l a s s i f i c a t i o n s h a v e l i m i t e d t r a n s f e r c a p a b i l i t y t o p r o b l e m s w h e r e c o n t e x t s i m i l a r i t y i s l e s s o b v i o u s o r p o s s i b l y e v e n i n a p p r o p r i a t e . A u t h o r I n p u t A f i n a l p h a s e o f t h e t e x t b o o k a n a l y s i s w a s a s u r v e y o f t e x t b o o k a u t h o r s ' v i e w s o n t h e p u r p o s e s o f t h e A l g e b r a I c o u r s e , a n d t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f v e r b a l p r o b l e m s w i t h i n t h e i r t e x t b o o k d e s i g n s . A t h r e e p a g e q u e s t i o n a i r e w a s d e s i g n e d a n d m a i l e d t o t h e t e n l i v i n g a u t h o r s w i t h a 2 0 4 r e t u r n , s t a m p e d e n v e l o p e . T h e m a j o r q u e s t i o n o f t h e s u r v e y r e q u i r e d t h e r a n k i n g o f e i g h t p o t e n t i a l p u r p o s e s o f t h e A l g e b r a I c o u r s e . T h i s s a m e q u e s t i o n w a s i n c l u d e d i n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s . T h e o r i g i n a l m a i l i n g i n A u g u s t , 1 9 8 6 r e s u l t e d i n o n e r e t u r n . A s e c o n d m a i l i n g i n l a t e N o v e m b e r , 1 9 8 6 r e s u l t e d i n o n e a d d i t i o n a l c o m p l e t e d q u e s t i o n a i r e . B o t h r e s p o n d e n t s w e r e a u t h o r s o f t h e s a m e t e x t b o o k s e r i e s . G i v e n t h e l o w r a t e o f r e t u r n o f t h e A u t h o r Q u e s t i o n a i r e , n o f u r t h e r a n a l y s i s o f t h e t e x t b o o k a u t h o r s ’ v i e w s w a s c o m p l e t e d . T e a c h e r D e s c r i p t i o n s T h i s f i r s t , t e a c h e r r e l a t e d s e c t i o n i s v e r y g e n e r a l , a n d c h a r a c t e r i z e s e a c h t e a c h e r ’ s c l a s s r o o m s e t t i n g , d a i l y r o u t i n e , a t t i t u d e s , a n d p e r c e p t i o n s r e l a t e d t o a l g e b r a a n d i t s t e a c h i n g . T h e f o r m u s e d i s n a r r a t i v e d e s c r i p t i o n . G e n e r a l d e s c r i p t i o n s o f t h e s t u d e n t s o f e a c h c l a s s r o o m a r e a l s o i n c l u d e d i n t h i s s e c t i o n . C h a r a c t e r i z a t i o n s w e r e d e v e l o p e d f r o m t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t r e s u l t s , c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s , a n d o c c a s i o n s o f i n f o r m a l d i a l o g u e b e t w e e n t e a c h e r s a n d t h e i n v e s t i g a t o r . E a c h t e a c h e r r e c e i v e s i n d i v i d u a l t r e a t m e n t , f o l l o w e d b y i n v e s t i g a t o r c o m p a r i s o n s o f t h e t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y . A l i c e A l i c e ’ s c l a s s w a s c o m p o s e d o f 1 8 n i n t h g r a d e r s i n a p u b l i c j u n i o r h i g h s e t t i n g . T h i s c l a s s w a s d e s i g n a t e d 2 0 5 A l g e b r a I , a s o p p o s e d t o A l g e b r a I — A ( a c c e l e r a t e d t r a c k ) . T h i s c l a s s w a s t h e o n l y A l g e b r a I c l a s s A l i c e t a u g h t d u r i n g t h e 1 9 8 6 - 8 7 s c h o o l y e a r . I n a d d i t i o n , A l i c e t a u g h t t w o A l g e b r a I - A s e c t i o n s , t w o e i g h t h g r a d e m a t h e m a t i c s c l a s s e s ( l e v e l 1 ) , a n d s u p e r v i s e d a s t u d y h a l l . S h e w a s t h e e l d e r s t a t e s m a n o f a n e i g h t m e m b e r m a t h e m a t i c s a n d c o m p u t e r d e p a r t m e n t . T h e m a t h e m a t i c s o f f i c e a n d t h e c l a s s r o o m w h e r e s h e t a u g h t a l l h e r m a t h e m a t i c s c l a s s e s w e r e b o t h l o c a t e d o n t h e t h i r d f l o o r . A l i c e ’ s m a i n e x t r a c u r r i c u l a r r o l e , a r o l e s h e e n j o y e d i m m e n s e l y , w a s t o s e r v e a s c o o r d i n a t o r a n d m e n t o r f o r a s m a l l g r o u p o f s e l e c t e d s t u d e n t s a n d t h e i r t r a i n i n g f o r M a t h C o u n t s , a n a t i o n a l m a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o n . A l i c e h a d t a u g h t a l g e b r a f o r 2 0 y e a r s , p r i m a r i l y a t t h e j u n i o r h i g h l e v e l . W i t h i n a n d a r o u n d h e r t e a c h i n g s c h e d u l e s h e h a d r a i s e d a f a m i l y w i t h i n t h i s s a m e c o m m u n i t y , a n d w a s s e r i o u s l y c o n s i d e r i n g r e t i r e m e n t a t t h e e n d o f t h e c u r r e n t s c h o o l y e a r . T h e A l g e b r a I c l a s s m e t f i v e d a y s a w e e k i n t h e m o r n i n g f o r f o r t y - f i v e m i n u t e s . A l i c e h a d a p r e p a r a t i o n p e r i o d b e f o r e t h i s c l a s s , a n d m o n i t o r e d t h e s t u d y h a l l i m m e d i a t e l y a f t e r t h i s c l a s s . A c l a s s s i z e o f 1 8 w a s s m a l l i n c o m p a r i s o n t o h e r o t h e r c l a s s e s . T h e r e w e r e n o c h a n g e s i n t h i s c l a s s ' s c o m p o s i t i o n d u r i n g t h e e n t i r e s c h o o l y e a r . T h e c l a s s r o o m h a d a s i n g l e e n t r y d o o r w h i c h l e d t o 2 0 6 t h e f r o n t s e c t i o n o f t h e c l a s s r o o m w h e r e a t e a c h e r d e s k w a s l o c a t e d . T h e r e w a s a n e i g h t f o o t w a l k w a y b e t w e e n t h e f r o n t c h a l k b o a r d a n d t h e s t u d e n t d e s k s . S t u d e n t d e s k s w e r e n e a t l y a r r a n g e d i n f i v e r o w s o f s i x d e s k s f a c i n g t h e f r o n t c h a l k b o a r d . T w o o t h e r w a l l s c o n t a i n e d a d d i t i o n a l c h a l k b o a r d s r u n n i n g a l m o s t t h e i r e n t i r e l e n g t h s . T h e o u t s i d e w a l l w a s d o m i n a t e d b y e i g h t f o o t w i n d o w s a n d s h a d e s . T h e v i e w b e l o w f r o m t h e c l a s s r o o m w a s o f a b u s y r e s i d e n t i a l s t r e e t a n d p r i v a t e h o u s i n g . I n t h e d i s t a n c e , b u i l d i n g s o f a l o c a l u n i v e r s i t y c a m p u s a n d h o s p i t a l w e r e v i s i b l e . T w e n t y l a r g e , c o l o r f u l p o s t e r s w e r e p l a c e d a r o u n d t h e t h r e e i n t e r i o r w a l l s a b o v e t h e c h a l k b o a r d s . E a c h p o s t e r c o n t a i n e d a c u t e s a y i n g o r c a r t o o n r e l a t e d t o l e a r n i n g , a n d u s e d v a r i o u s a n i m a l s t o m a k e t h e i r p o i n t s . T h e s e p o s t e r s r e m a i n e d u p t h e e n t i r e s c h o o l y e a r . T h e r e a r w a l l b u l l e t i n b o a r d c o n t a i n e d m a t h e m a t i c a l r e l a t e d m a t e r i a l s w h i c h d i d n o t d i r e c t l y r e l a t e t o t h e c o n t e n t o f a n y o f A l i c e ’ s c l a s s e s ( e n r i c h m e n t i d e a s ) . T h e s m a l l , f r o n t b u l l e t i n b o a r d c o n t a i n e d f i v e e n v e l o p e s ( o n e f o r e a c h o f A l i c e ’ s c l a s s e s ) i n t o w h i c h m a k e - u p w o r k o r s p e c i a l a s s i g n m e n t s w e r e t o b e p l a c e d b y s t u d e n t s f o r g r a d i n g . A l i c e a l w a y s t a u g h t f r o m t h e f r o n t o f t h e c l a s s r o o m , a n d p l a c e d h e r t e a c h e r ' s m a n u a l o n a t h r e e f o o t h i g h , f l a t t o p p e d , w o o d e n p e d e s t a l a t t h e b e g i n n i n g o f c l a s s . H e r i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s c o n s i s t e d s i m p l y o f c h a l k , t h e 2 0 7 f r o n t c h a l k b o a r d , a n d a w o o d e n d o w e l r o d s t o r e d o n t h e c h a l k b o a r d t r a y . A l i c e ’ s s u p p l i e s , r e c o r d s , a n d o t h e r i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s w e r e k e p t i n h e r m a t h e m a t i c s o f f i c e d e s k , r a t h e r t h a n i n h e r c l a s s r o o m d e s k s i n c e o t h e r t e a c h e r s u s e d h e r c l a s s r o o m d u r i n g t h e s c h o o l d a y . D u r i n g o b s e r v a t i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r s a t i n a n u n o c c u p i e d d e s k i n t h e m i d d l e o f t h e r o w o f s t u d e n t d e s k s n e a r e s t t h e w i n d o w . A l i c e a l l o w e d h e r s t u d e n t s t o s e a t t h e m s e l v e s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r , a n d t h a t b e c a m e t h e i r f i x e d s e a t i n g a r r a n g e m e n t f o r t e n w e e k s . A t t h e e n d o f t e n w e e k m a r k i n g p e r i o d s , s t u d e n t s w e r e a l l o w e d t o s e a t t h e m s e l v e s f o r a n o t h e r t e n w e e k p e r i o d . E a r l y i n t h e s c h o o l y e a r m o s t s t u d e n t s s a t i n t h e f r o n t h a l f o f t h e c l a s s r o o m . T h e i n v e s t i g a t o r d i d n o t e i n h i s l a s t v i s i t ( M a r c h , 1 9 8 7 ) t h a t a m a j o r i t y o f t h e s t u d e n t s w e r e s e a t e d i n t h e r e a r h a l f o f t h e c l a s s r o o m . A l i c e e x p r e s s e d a h i g h l e v e l o f c o n f i d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m s , e v e n t o t h e p o i n t o f b e l i e v i n g t h a t t h i s a r e a i s a p e r s o n a l s t r e n g t h . A s s u c h , s h e f o u n d a l g e b r a t e a c h i n g t o b e c h a l l e n g i n g , p e r s o n a l l y r e w a r d i n g , a n d e n j o y a b l e . S h e p r e f e r r e d t e a c h i n g a c l a s s c o m p o s e d o f m i x e d a b i l i t y l e v e l s t u d e n t s , w h i c h w a s t r u e o f A l g e b r a I s t u d e n t s . A l i c e h a d h i g h a n d c o n s i s t e n t e x p e c t a t i o n s o f h e r s t u d e n t s . S h e e x p e c t e d 7 5 p e r c e n t o f h e r s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l a n d e a r n B l e v e l g r a d e s o r h i g h e r o n a l l a l g e b r a c o u r s e w o r k , i n c l u d i n g 2 0 8 v e r b a l p r o b l e m s . A l i c e w a s b u s i n e s s l i k e i n h e r m a n a g e m e n t o f t h e c l a s s r o o m , a n d i n h e r i n t e r a c t i o n s w i t h b o t h t h e e n t i r e c l a s s a n d w i t h i n d i v i d u a l s t u d e n t s . T e a c h e r i n i t i a t e d q u e s t i o n s f o c u s e d e x c l u s i v e l y o n a l g e b r a r e l a t e d c o n t e n t . S t u d e n t i n i t i a t e d i n t e r a c t i o n s w e r e m a i n l y c o n f i n e d t o s p e c i f i c q u e s t i o n s o f t h e d a y ’ s h o m e w o r k r e v i e w , o r i n d i v i d u a l q u e r i e s f o r a s s i s t a n c e d u r i n g s e a t w o r k t i m e . A l i c e w a s v e r y c o n c e r n e d t h a t e a c h s t u d e n t m a d e d a i l y p r o g r e s s i n t h e l e a r n i n g o f a l g e b r a s k i l l s . A t a l l t i m e s , A l i c e w a s c o m f o r t a b l e , c o n f i d e n t , a n d r e l a x e d i n h e r h o m e w o r k r e v i e w a n d i n d i v i d u a l t u t o r i n g r o l e s . Y e t , o f t e n A l i c e a p p e a r e d l e s s c o m f o r t a b l e a n d c o n f i d e n t d u r i n g l e s s o n d e v e l o p m e n t i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t y . T h e i n v e s t i g a t o r i n f e r r e d f r o m t h i s b e h a v i o r p a t t e r n a n d f r o m t h e s h o r t n e s s o f h e r l e s s o n d e v e l o p m e n t s , t h a t A l i c e p r e f e r r e d c e r t a i n t e a c h i n g f u n c t i o n s , h o m e w o r k r e v i e w a n d s e a t w o r k h e l p i n g , o v e r o t h e r f u n c t i o n s , s u c h a s w h o l e c l a s s , n e w m a t e r i a l p r e s e n t a t i o n s . I n d i s c u s s i o n s w i t h s t u d e n t s , t h e y e x p r e s s e d t h a t t h e i r r e s p e c t f o r A l i c e w a s b a s e d o n t h e i r p e r c e p t i o n o f h e r d e m o n s t r a t e d c o n c e r n f o r t h e i r l e a r n i n g , a n d o n t h e e q u i t a b l e a n d n o n c r i t i c a l t r e a t m e n t t h e y r e c e i v e d i n h e r c l a s s . A l i c e s e l d o m c r i t i c i z e d i n d i v i d u a l s t u d e n t s , t h o u g h o n o c c a s i o n s h e w o u l d s c o l d t h e e n t i r e c l a s s f o r p o o r q u i z o r t e s t p e r f o r m a n c e , o r f o r t h e i r i n a b i l i t y t o c o m p l e t e 2 0 9 w h a t s h e c o n s i d e r e d e a s y a s s i g n m e n t s . P r a i s e w a s g i v e n o r a l l y t o i n d i v i d u a l s t u d e n t s f o r d e m o n s t r a t e d p r o g r e s s i n l e a r n i n g c o n t e n t , o r i n t h e f o r m o f p o s i t i v e c o m m e n t s ‘ w r i t t e n o n t e s t s o r g r a d e d a s s i g n m e n t s . A l i c e s e l d o m h a d t o r e m i n d s t u d e n t s t o p a y a t t e n t i o n d u r i n g h e r e x p l a n a t i o n s a n d i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s . H o w e v e r t h e i n v e s t i g a t o r w a s n o t c o n v i n c e d t h a t s u c h f a c i a l a t t e n t i o n w a s s y n o n o m o u s w i t h a n a c t i v e l e a r n i n g p o s t u r e . S t u d e n t s s e l d o m i n i t i a t e d q u e s t i o n s d u r i n g t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t , a n d t h e f e w s u c h i n i t i a t e d q u e s t i o n s r e l a t e d t o s p e c i f i c , s u r f a c e f e a t u r e s o f t h e s o l v i n g p r o c e d u r e s u s e d i n h e r e x a m p l e s . D u r i n g t h e s e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s , t h e r e w a s a l s o a s e n s e o f t e n s i o n a n d q u i e t , p o s s i b l y s y m p t o m s o f a n x i e t y w i t h i n A l i c e ’ s s t u d e n t s w h i c h d i s a p p e a r e d w h e n l e s s o n d e v e l o p m e n t e n d e d a n d t h e s e a t w o r k s e g m e n t b e g a n . T h e i n v e s t i g a t o r s e n s e d t h e n a t u r e o f a n i m p l i c i t a g r e e m e n t b e t w e e n p a r t i e s , t e a c h e r a n d s t u d e n t s , i n w h i c h s t u d e n t s g a v e a t t e n t i o n a n d e f f o r t d u r i n g i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s w i t h m i n i m a l s t u d e n t i n p u t , i n e x c h a n g e f o r r e c e i v i n g a d e q u a t e t i m e t o c o m p l e t e a s s i g n m e n t s a n d r e c e i v e a n y n e c e s s a r y t e a c h e r a s s i s t a n c e r e q u i r e d . T h e i n v e s t i g a t o r o b s e r v e d a m i n i m a l l e v e l o f s t u d e n t e n e r g y a n d e n t h u s i a s m i n t h i s c l a s s ’ s s t u d e n t s . L i k e A l i c e , t h e y t o o w e r e b u s i n e s s l i k e i n t h e i r a p p r o a c h t o l e a r n i n g a l g e b r a . W h e n t h e w h o l e c l a s s w a s i n s e s s i o n f e w 2 1 0 s t u d e n t i n i t i a t e d q u e s t i o n s w e r e o b s e r v e d . Y e t d u r i n g p r o v i d e d s e a t w o r k t i m e , A l i c e a n d t h e i n v e s t i g a t o r w e r e k e p t a c t i v e a n s w e r i n g s t u d e n t q u e s t i o n s r e l a t e d s p e c i f i c a l l y t o t h e a s s i g n e d h o m e w o r k . A m a j o r i t y o f t h i s c l a s s ’ s s t u d e n t s r e q u i r e d c o n s t a n t t e a c h e r o r i n v e s t i g a t o r p r e s e n c e , r e i n f o r c e m e n t , a n d f e e d b a c k o n t h e i r p r o g r e s s w i t h t h e i n d i v i d u a l p r o b l e m s o f a n a s s i g n m e n t . T h e s e s t u d e n t s w e r e n e i t h e r s e c u r e , n o r c o n f i d e n t i n t h e i r l e a r n i n g o f a l g e b r a . H o w e v e r , t h e s e s t u d e n t s d i d p u t f o r t h e x c e l l e n t e f f o r t o n a l l t h e i r a s s i g n m e n t s , a n d d i d d e m o n s t r a t e a w i l l i n g n e s s t o p e r s e v e r e i n t h e i r e f f o r t s . D e s p i t e a l a c k o f o b s e r v e d s t u d e n t e n t h u s i a s m i n A l i c e ’ s c l a s s , t h e i n v e s t i g a t o r i n f e r r e d f r o m s t u d e n t c o n v e r s a t i o n s t h a t s t u d e n t s e n j o y e d A l i c e ' s c l a s s , d u e t o t h e s u p p o r t i v e a n d n u r t u r i n g e n v i r o n m e n t t h e y e x p e r i e n c e d t h e r e . B e t t y B e t t y ’ s c l a s s w a s c o m p o s e d o f 2 7 s t u d e n t s i n a p a r o c h i a l h i g h s c h o o l ( g r a d e s 9 - 1 2 ) . O f t h e 2 7 s t u d e n t s , 2 1 w e r e n i n t h g r a d e r s a n d s i x w e r e t e n t h g r a d e r s . O n e s t u d e n t w a s d e m o t e d t o a p r e a l g e b r a c l a s s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e c o n d s e m e s t e r ( J a n u a r y , 1 9 8 7 ) . T h i s d e m o t i o n p r e v e n t e d t h e s t u d e n t f r o m t a k i n g t h e r e t e n t i o n t e s t . B e t t y t a u g h t b o t h s e c t i o n s o f r e g u l a r A l g e b r a I o f f e r e d b y t h e s c h o o l . A d i f f e r e n t t e a c h e r t a u g h t t h e o n e s e c t i o n o f a c c e l e r a t e d A l g e b r a I o f f e r e d . B e t t y w a s t h e 2 1 1 j u n i o r m e m b e r o f a t h r e e p e r s o n m a t h e m a t i c s a n d c o m p u t e r d e p a r t m e n t . B e s i d e s t h e t w o s e c t i o n s o f A l g e b r a I , B e t t y t a u g h t a l l t h r e e s e m e s t e r c o m p u t i n g c o u r s e s ( t w o i n t r o d u c t o r y c o u r s e s a n d o n e a d v a n c e d c o u r s e ) , a n d s u p e r v i s e d a s t u d y h a l l . B e t t y w a s i n v o l v e d i n m a n y e x t r a c u r r i c u l a r a c t i v i t i e s a t t h e s c h o o l . T h e s e a c t i v i t i e s i n c l u d e d b e i n g t h e c o o r d i n a t o r o f t h e c o m p u t i n g c l u b , a f o r e n s i c s a i d e , a n d a c l a s s s p o n s o r . S h e e n j o y e d t h e d i v e r s i t y t h e s e a c t i v i t i e s e n t a i l e d , a n d s h e a t t e n d e d m o s t s c h o o l s p o n s o r e d f u n c t i o n s . T h i s c l a s s m e t i n a f i r s t f l o o r c l a s s r o o m w h e r e b u s i n e s s r e l a t e d c o u r s e s w e r e m o s t l y t a u g h t d u r i n g t h e s c h o o l d a y . T h e r o o m w a s a d j a c e n t t o t h e m a i n e n t r y a r e a o f t h e s c h o o l a n d t h e h a l l w a y i n c l u d e d e n t r y d o o r s f o r t h e g y m a n d s c h o o l o f f i c e . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h i s c l a s s a n d t h e s t u d y h a l l , B e t t y ’ s c l a s s e s m e t i n a s e c o n d f l o o r c l a s s r o o m w h i c h h o u s e d t h e m i c r o c o m p u t e r l a b o r a t o r y . B o t h A l g e b r a I c l a s s e s m e t i n t h i s s e c o n d f l o o r c l a s s r o o m d u r i n g t h e s e c o n d s e m e s t e r . B e t t y w a s b e g i n n i n g h e r t h i r d y e a r o f t e a c h i n g , a n d a l l h e r t e a c h i n g e x p e r i e n c e w a s i n t h i s s a m e s c h o o l . H e r f a t h e r a l s o t a u g h t m a t h e m a t i c s a t a h i g h s c h o o l l e v e l i n a s u b u r b a n s c h o o l d i s t r i c t 1 2 5 m i l e s a w a y . B e t t y h a d r e c e i v e d h e r t e a c h i n g d e g r e e f r o m t h e u n i v e r s i t y l o c a t e d i n t h e s a m e c i t y i n w h i c h s h e w a s p r e s e n t l y t e a c h i n g . H e r s t u d e n t t e a c h i n g h a d b e e n d o n e w i t h i n t h e p u b l i c s y s t e m 2 1 2 t h e r e . S h e i s s i n g l e , a n d s h a r e s l i v i n g a r r a n g e m e n t s i n t h e c o m m u n i t y w i t h a n o t h e r s i n g l e t e a c h e r f r o m t h e s a m e h i g h s c h o o l . T h e o b s e r v e d A l g e b r a I c l a s s m e t f i v e d a y s a w e e k f o r f o r t y - f i v e m i n u t e s i n t h e e a r l y a f t e r n o o n . T h e s c h o o l h a d t h r e e a l t e r n a t e s c h e d u l e s t o a c c o m o d a t e i n t e r r u p t i o n s t o t h e r e g u l a r s c h o o l d a y . A l t e r n a t e s c h e d u l i n g e f f e c t e d o n e o b s e r v a t i o n , l i m i t i n g c l a s s t i m e i n t h i s i n s t a n c e t o f o r t y m i n u t e s . D e s p i t e t h i s c l a s s r o o m n o t b e i n g h e r n o r m a l o n e , B e t t y w a s a l w a y s r e a d y t o b e g i n c l a s s o n t i m e d u e t o t h e p r e v i o u s t i m e p e r i o d b e i n g h e r l u n c h p e r i o d . T h e f o l l o w i n g h o u r s h e t a u g h t t h e a d v a n c e d c o m p u t i n g c l a s s . H e r o t h e r A l g e b r a I c l a s s m e t i n t h e m o r n i n g , a n d b o t h c l a s s e s c o n t a i n e d t h e s a m e n u m b e r o f s t u d e n t s . C l a s s s c h e d u l i n g p r o c e d u r e s o f t h e s c h o o l d i c t a t e d t h a t s t u d e n t s h a v e d i f f e r e n t s c h e d u l e s f o r t h e f i r s t a n d s e c o n d s e m e s t e r s . A s a r e s u l t , B e t t y ’ s t w o A l g e b r a I c l a s s e s w e r e i n t e r m i x e d i n e q u a l p r o p o r t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e c o n d s e m e s t e r ( J a n u a r y , 1 9 8 7 ) , a n d b o t h s e c t i o n s w e r e a d m i n i s t e r e d t h e r e t e n t i o n t e s t d u r i n g t h e s e c o n d s e m e s t e r . A s o n e e n t e r e d t h e c l a s s r o o m , t h e t e a c h e r d e s k w a s o n t h e r i g h t a n d t h e s t u d e n t d e s k a r e a w a s t o t h e l e f t . T h e f r o n t o f t h e c l a s s r o o m w a s t h e l o n g e r w a l l , b e h i n d w h i c h w a s t h e m a i n h a l l w a y . T h i s f r o n t w a l l c o n t a i n e d t w o c h a l k b o a r d s a n d a b u s i n e s s o r i e n t e d b u l l e t i n b o a r d . 2 1 3 T h i r t y - f i v e d e s k s ( s e v e n r o w s o f f i v e d e s k s e a c h ) w e r e c r a m m e d i n t o a n a r e a f a c i n g t h e f r o n t w a l l . O p p o s i t e t h e f r o n t w a l l w a s t h e o u t e r w a l l c o m p o s e d o f w i n d o w s a n d l e d g e o n l y . A l a r g e l a w n s p a c e , a b u s y t w o l a n e s t r e e t , a n d t h e g r o u n d s o f a c o n v e n t d o m i n a t e d t h e v i e w o u t s i d e . T h e s h o r t w a l l t o t h e s t u d e n t s ’ r i g h t w a s g l a s s e d i n a n d c o n t a i n e d a b u s i n e s s e q u i p m e n t l a b w o r k a r e a . A d o o r c o n n e c t e d t h e c l a s s r o o m t o t h i s w o r k a r e a . T h e w a l l t o t h e s t u d e n t s ’ l e f t h a d t w o a d d i t i o n a l c h a l k b o a r d s . T h i s a r e a w a s m o r e o p e n a n d c o n t a i n e d a t e a c h e r d e s k , a f i l e c a b i n e t , a n d t h e p e n c i l s h a r p e n e r . B e t t y f o r m u l a t e d a s e a t i n g c h a r t b a s e d o n i n i t i a l s t u d e n t s e l f - s e a t i n g p a t t e r n s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s c h o o l y e a r . S t u d e n t s s a t i n t h e s a m e s e a t s f o r a t e n w e e k m a r k i n g p e r i o d . I n t h e i n i t i a l s e a t i n g c h a r t , m a l e s d o m i n a t e d t o B e t t y ’ s l e f t a s s h e f a c e d t h e c l a s s a n d f e m a l e s d o m i n a t e d t o h e r r i g h t . F o r t h e s u b s e q u e n t t h r e e m a r k i n g p e r i o d s , B e t t y d e s i g n e d t h e c l a s s r o o m s e a t i n g a r r a n g e m e n t s , a n d h e r d e s i g n s r e f l e c t e d a g r e a t e r i n t e r m i x i n g o f s e x e s . D u r i n g o b s e r v a t i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r s a t n e a r t h e b a c k o f t h e r o w o f s t u d e n t d e s k s n e a r e s t t o t h e d o o r a n d t o B e t t y ’ s r i g h t a s s h e f a c e d t h e c l a s s . B e t t y t a u g h t f r o m t h e f r o n t o f t h e c l a s s r o o m , a n d p l a c e d h e r t e a c h e r ' s m a n u a l , c l a s s s e a t i n g c h a r t , a n d r e c o r d b o o k o n a p o d i u m p o s i t i o n e d a g a i n s t t h e c e n t e r r o w 2 1 4 o f s t u d e n t d e s k s . O n l y f i v e f e e t s e p a r a t e d t h e f r o n t c h a l k b o a r d s a n d t h e s t u d e n t d e s k s . A d d i t i o n a l m a t e r i a l s w e r e p l a c e d o n a s m a l l t a b l e u n d e r t h e f r o n t b u l l e t i n b o a r d t o B e t t y ’ s r i g h t . E x c e p t f o r t w o o b s e r v a t i o n s w h e n B e t t y u s e d t h e s i d e c h a l k b o a r d s i n h e r e x p l a n a t i o n s , a l l w r i t t e n i n s t r u c t i o n w a s d o n e o n t h e f r o n t c h a l k b o a r d s . N o o t h e r i n s t r u c t i o n a l a i d s , b e s i d e s c h a l k a n d c h a l k b o a r d s , w e r e o b s e r v e d t o b e u s e d i n B e t t y ' s c l a s s . B e t t y e x p r e s s e d a h i g h l e v e l o f c o n f i d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h a l g e b r a c o n c e p t s , b u t a l o w e r l e v e l o f c o n f i d e n c e i n h e r a b i l i t y t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . S h e b e l i e v e d h e r b a c k g r o u n d a n d k n o w l e d g e b a s e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s w a s w e a k e r . ( F o r B e t t y , t h i s l o w e r c o n f i d e n c e l e v e l r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n r e s u l t e d i n a d i f f e r i n g e x p e c t a t i o n f o r s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e . B e t t y e x p e c t e d 7 0 p e r c e n t o f h e r s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l w i t h m a n i p u l a t i o n s k i l l s , y e t s h e e x p e c t e d o n l y 5 0 p e r c e n t o f h e r s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l w i t h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . B e t t y p r e f e r r e d t e a c h i n g h i g h a b i l i t y m a t h e m a t i c s s t u d e n t s . H e r j u s t i f i c a t i o n f o r t h i s p r e f e r e n c e i n v o l v e d t h e d e c r e a s e d i n s t r u c t i o n a l t i m e t h e s e s t u d e n t s r e q u i r e d t o r e a c h a u t o m a t i z e d a n d m a s t e r y l e v e l p e r f o r m a n c e . T h i s c o n c e p t u a l i z a t i o n o f d i f f e r i n g s t u d e n t a b i l i t y l e v e l s w a s r e f l e c t e d i n B e t t y ’ s t e a c h i n g o f t h e A l g e b r a I c l a s s . S h e b e l i e v e d t h a t t h e s e a v e r a g e a b i l i t y s t u d e n t s r e q u i r e d 2 1 5 c o n s i d e r a b l y m o r e s t r u c t u r e d a n d e x p l i c i t p r o c e d u r e s f o r e v e r y c o n c e p t w i t h i n t h e c o n t e n t . S h e a l s o o p e r a t e d o n a n a s s u m p t i o n t h a t a v e r a g e a b i l i t y s t u d e n t s ’ l e a r n i n g w a s m o r e d e p e n d e n t o n h e r i n s t r u c t i o n a n d r e l a t e d e x p l a n a t i o n s . B y i n c r e a s i n g t h e l e n g t h o f t e a c h e r d i r e c t e d i n s t r u c t i o n a l t i m e , B e t t y b e l i e v e d s h e c o u l d o v e r c o m e p e r c e i v e d w e a k n e s s e s i n t h e s e s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s . S h e m a i n t a i n e d t i g h t c o n t r o l o f t h e c l a s s d u r i n g i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s r e l a t e d t o c o n c e p t r e v i e w , h o m e w o r k r e v i e w , a n d n e w c o n t e n t d e v e l o p m e n t . S t u d e n t s w e r e i n c o n t r o l o f t h e i r l e a r n i n g o n l y d u r i n g s e a t w o r k t i m e . I n s u m m a r y , B e t t y p e r c e i v e d h e r i n s t r u c t i o n a l r o l e t o b e d i r e c t o r , d i s s e m i n a t o r , a n d c o n t r o l l e r o f l e a r n i n g i n a l l i t s a s p e c t s . A m a j o r i t y o f B e t t y ’ s s t u d e n t s w e r e n o t a t t e n t i v e d u r i n g h e r e x p l a n a t i o n s , n o r d i d t h e y p a r t i c i p a t e i n c l a s s d i s c u s s i o n s o r b o a r d w o r k . B a s e d o n t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s , o n l y n i n e s t u d e n t s ( o n e t h i r d o f t h e c l a s s ) g a v e c o n s i s t e n t a t t e n t i o n t o B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n a n d p a r t i c i p a t e d f u l l y i n c l a s s r o o m i n t e r a c t i o n s . B e t t y n o t i c e d t h a t s t u d e n t e f f o r t w a s l o w b a s e d o n a s s i g n m e n t c o m p l e t i o n r a t e s e a r l y i n t h e s c h o o l y e a r . S h e a d j u s t e d h e r h o m e w o r k e v a l u a t i o n p r o c e d u r e s i n N o v e m b e r o f t h e s c h o o l y e a r . A t t h i s p o i n t , s h e b e g a n t a k i n g t e n m i n u t e s d a i l y t o c h e c k s t u d e n t s ’ h o m e w o r k c o m p l e t i o n s , g o i n g a r o u n d t h e c l a s s a n d r e c o r d i n g s c o r e s f o r d e g r e e o f 2 1 6 c o m p l e t e n e s s i n h e r r e c o r d b o o k . O f t e n t h i s p r o c e s s w a s f o l l o w e d b y B e t t y ' s c r i t i c i s m o f t h e c l a s s f o r i t s l a c k o f e f f o r t . . A f u r t h e r a d j u s t m e n t w a s m a d e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e c o n d s e m e s t e r . S t u d e n t s w e r e t h e n r e q u i r e d t o c o m p l e t e t h e i r h o m e w o r k i n n o t e b o o k s w h i c h B e t t y p e r i o d i c a l l y c o l l e c t e d a n d e v a l u a t e d . T h i s s e c o n d a d j u s t m e n t i m p r o v e d s t u d e n t s ’ d a i l y p r e p a r a t i o n a n d h o m e w o r k c o m p l e t i o n r a t e s . I t w a s n o t c l e a r t o t h e i n v e s t i g a t o r w h e t h e r t h e c l a s s ' s l a c k o f e f f o r t r e s u l t e d i n B e t t y ’ s g r e a t e r t e a c h e r c o n t r o l l e d i n s t r u c t i o n , o r w h e t h e r B e t t y ’ s t e a c h e r - c e n t e r e d i n s t r u c t i o n l e d t o t h e s e s t u d e n t s ’ g e n e r a l l a c k o f e f f o r t . T h i s c l a s s o f s t u d e n t s r e s p o n d e d m o s t l y t o g r a d e s , a n d t h e p a s s i n g o f t h i s r e q u i r e d c o u r s e . B e t t y s e n s e d t h i s s t u d e n t c o n c e r n f o r g r a d e s , a n d a t t e m p t e d t o i m p r o v e e f f o r t a n d l e a r n i n g a t t i t u d e s o f t h e s e s t u d e n t s b y i n c o r p o r a t i o n o f g r a d e s r e l a t e d t o h o m e w o r k c o m p l e t i o n . S h e e x p r e s s e d s e v e r a l t i m e s t o t h e i n v e s t i g a t o r h e r c o n c e r n a s t o w h e t h e r s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g t h e c o n t e n t . I n t h e l i g h t o f s u c h c o m m e n t s , t h e c r e a t i o n o f a t e a c h e r — c e n t e r e d e n v i r o n m e n t r e p r e s e n t e d t o t h e i n v e s t i g a t o r a r a t i o n a l r e a c t i o n t o t h i s p a r t i c u l a r c l a s s o f s t u d e n t s . I n t e r a c t i o n p a t t e r n s w e r e l i m i t e d i n B e t t y ’ s c l a s s , a n d m o s t i n t e r a c t i o n s w e r e t e a c h e r i n i t i a t e d . B e t t y a s k e d q u e s t i o n s o f s t u d e n t s w h o m s h e b e l i e v e d w e r e a t t e n t i v e , p r e p a r e d d a i l y , a n d m o s t l i k e l y t o r e s p o n d c o r r e c t l y . 2 1 7 O c c a s i o n a l l y w h e n s h e s e l e c t e d a n o n v o l u n t e e r ( w h e r e o n e o f t h e a b o v e c r i t e r i a w a s a b s e n t ) , c a l l i n g t h e s t u d e n t b y n a m e , s h e u s u a l l y r e c e i v e d a n i n c o r r e c t o r e v a s i v e r e s p o n s e . T h e s e s i t u a t i o n s c o n f i r m e d a n d r e i n f o r c e d h e r p e r c e p t i o n s o f t h e s e " o t h e r " s t u d e n t s . B e t t y a p p e a r e d f r u s t r a t e d b y h e r s t u d e n t s ' g e n e r a l i n a t t e n t i v e n e s s , u n c a r i n g a t t i t u d e s , a n d l a c k o f e f f o r t . B e t t y ’ s s t u d e n t s e x p r e s s e d t o t h e i n v e s t i g a t o r v a r y i n g d e g r e e s o f r e s p e c t f o r B e t t y a s a p e r s o n a n d a s a t e a c h e r . A l l q u e s t i o n e d s t u d e n t s r e s p e c t e d h e r a s a p e r s o n b e c a u s e o f h e r y o u n g a g e , h e r e x t e n s i v e s c h o o l a c t i v i t y p a r t i c i p a t i o n , a n d a s s o c i a t e d c h a r a c t e r i s t i c s o f w i t h - i t - n e s s . O n l y h e r b e t t e r s t u d e n t s s e n s e d h e r c o n c e r n f o r t h e i r l e a r n i n g a n d r e s p e c t e d h e r t e a c h i n g m e t h o d s . W h e n B e t t y ’ s d a i l y l e c t u r i n g w a s c o m p l e t e d a n d a n a s s i g n m e n t g i v e n f o r t h e n e x t d a y , a c l a m o r o f a c t i v i t y f o l l o w e d w h i c h s e l d o m r e l a t e d t o t h e a s s i g n e d m a t h e m a t i c a l t a s k . S t u d e n t s r e q u e s t e d l e a v e f o r t h e l a v a t o r y , o r f o r a d r i n k o f w a t e r , o r r e q u e s t e d s p e c i f i c g r a d e i n f o r m a t i o n o f B e t t y . M o s t s t u d e n t s d i d n o t b e g i n t h e a s s i g n m e n t i n c l a s s , i n s t e a d l e a v i n g i t f o r h o m e w o r k , a n d u s i n g t h e a v a i l a b l e t i m e f o r c o n v e r s a t i o n w i t h c l a s s m a t e s . B e t t y , o n o c c a s i o n , f r e e d h e r s e l f i n o r d e r t o c i r c u l a t e a r o u n d t h e r o o m a n d h e l p i n d i v i d u a l s t u d e n t s w h e n r e q u e s t e d t o b y w o r k i n g s t u d e n t s . B e t t y r e l i e d m a i n l y o n i n f r e q u e n t t e s t a n d q u i z e v a l u a t i o n s t o p r o v i d e i n f o r m a t i o n o n s t u d e n t 2 1 8 l e a r n i n g . T h i s p r a c t i c e l i m i t e d h e r u n d e r s t a n d i n g o f s t u d e n t s ’ d a i l y l e a r n i n g p r o g r e s s . I n c o n c l u s i o n , B e t t y ’ s c l a s s o f s t u d e n t s w a s e n e r g e t i c a n d e n t h u s i a s t i c . Y e t t h i s e n e r g y a n d e n t h u s i a s m d i d n o t c a r r y o v e r i n t o t h e i r m o t i v a t i o n t o l e a r n t h e a l g e b r a c o n t e n t . T h e y a p p e a r e d c o n f i d e n t o f t h e i r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s , y e t t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t h e y o v e r e s t i m a t e d t h e i r c a p a b i l i t i e s . B a s e d o n c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s a n d l i m i t e d s t u d e n t c o n v e r s a t i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d a t t i t u d e s r e l a t e d t o t h e i r A l g e b r a I e x p e r i e n c e w e r e g e n e r a l l y n e g a t i v e . S t u d e n t s a c c e p t e d t h e f a c t t h a t t h i s c l a s s w a s r e q u i r e d i n t h e i r h i g h s c h o o l p r o g r a m , t o l e r a t e d B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n a l a t t e m p t s , b u t w i t h h e l d a c t i v e p a r t i c i p a t i o n a n d e f f o r t . R e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s e t s , t h i s n e g a t i v i s m w a s m o r e p r o n o u n c e d a s s t u d e n t s o r a l l y e x p r e s s e d t h e i r d i s l i k e e v e r y t i m e B e t t y b e g a n h e r i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . C a r l C a r l ’ s c l a s s w a s c o m p o s e d o f 2 2 n i n t h g r a d e r s o f a p u b l i c j u n i o r h i g h s c h o o l . O n e s t u d e n t s w i t c h e d d i s t r i c t s c h o o l s e a r l y i n t h e s t u d y , a n d w a s n o t i n c l u d e d i n t h e c o u n t o f 2 2 s t u d e n t s . T h e c l a s s w a s d e s i g n a t e d A l g e b r a I , a n d h a d t h e s a m e c o n n o t a t i o n a s t h a t u s e d i n A l i c e ’ s s c h o o l . C a r l t a u g h t o n e o t h e r A l g e b r a I c l a s s , t w o s e c t i o n s o f G e o m e t r y I - A , o n e g e n e r a l m a t h c l a s s , a n d 2 1 9 m o n i t o r e d a s t u d y h a l l . A l l h i s m a t h e m a t i c s c l a s s e s m e t i n t h e s a m e e n d r o o m o n t h e s e c o n d f l o o r . C a r l h a d a n a d d i t i o n a l d e s k a n d w o r k s p a c e a r e a i n t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t o f f i c e o n t h e s a m e f l o o r . T h e s e v e n p e r s o n m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t w a s r e s p e c t e d a n d s t a b l e i n i t s c o m p o s i t i o n . T h e b u i l d i n g p r i n c i p a l e m p h a s i z e d t o t h e i n v e s t i g a t o r t h e h i g h s t a t u s h e a c c o r d e d t h e m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t b a s e d o n h i s p e r c e p t i o n s o f i t s t e a c h i n g . e x p e r t i s e . C a r l ' s m a i n e x t r a c u r r i c u l a r r o l e w a s a s c o a c h o f t h e s c h o o l ' s n i n t h g r a d e f o o t b a l l a n d b a s k e t b a l l p r o g r a m s . H e e n j o y e d b e i n g a p a r t o f a s p o r t s p r o g r a m w h e r e d i s t r i c t e m p h a s i s w a s o n s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n a n d p h y s i c a l a b i l i t y d e v e l o p m e n t , r a t h e r t h a n s o l e l y o n w i n n i n g . S e v e r a l o f h i s s t u d e n t s a d d r e s s e d h i m a s " c o a c h " , t h o u g h C a r l d i s c o u r a g e d t h i s p r a c t i c e . C a r l h a d t e n y e a r s e x p e r i e n c e t e a c h i n g a l g e b r a , p r i m a r i l y i n t h e s a m e j u n i o r h i g h s c h o o l . H e a l s o h a s a f a m i l y ( t w o e l e m e n t a r y a g e d c h i l d r e n ) , a n d l i v e d w i t h i n t h e s c h o o l d i s t r i c t . T h e A l g e b r a I c l a s s u n d e r c o n s i d e r a t i o n m e t f i v e d a y s a w e e k i n t h e e a r l y a f t e r n o o n f o r f o r t y - f i v e m i n u t e s . C a r l h a d a p r e p a r a t i o n p e r i o d b e f o r e t h i s c l a s s , a n d m o n i t o r e d t h e s t u d y h a l l a f t e r t h i s c l a s s . T h e c l a s s s i z e w a s s m a l l e r t h a n h i s m o r n i n g A l g e b r a I c l a s s o f 2 6 s t u d e n t s . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h r e e s t u d e n t s w h o t r a n s f e r r e d i n t o t h e s c h o o l a t t h e b e g i n n i n g o f n i n t h 2 2 0 g r a d e , s t u d e n t s s h a r e d t w o y e a r s o f m a t h e m a t i c s a t t h e s a m e s c h o o l a t a l e v e l 2 d e s i g n a t i o n . T h e c l a s s r o o m h a d o n e e n t r y d o o r a n d a s h o r t w a l k w a y w h i c h l e d t o t h e r e a r s e c t i o n o f t h e c l a s s r o o m . A b u l l e t i n b o a r d c o v e r e d t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e r e a r w a l l . C a r l i n i t i a l l y p l a c e d o p t i c a l i l l u s i o n c a r d s a n d e x p l a n a t i o n s o n t h i s b u l l e t i n b o a r d . L a t e r c a r t o o n s a n d i n t e r e s t i n g p r o b l e m s w e r e a d d e d . T h e c l a s s r o o m h a d a c o n t e m p o r a r y d e s i g n w i t h f i v e s m a l l w i n d o w p o r t s a l o n g t h e o u t e r w a l l w h i c h o v e r l o o k e d t h e l a w n a r e a a n d f r o n t e n t r y o f t h e s c h o o l b u i l d i n g . T h e f r o n t s e c t i o n h a d a t e a c h e r d e s k a n d a f i l e c a b i n e t a g a i n s t t h e o u t e r w a l l . A s e v e n f o o t w a l k w a y e x i s t e d b e t w e e n t h e f r o n t w a l l a n d t h e s t u d e n t d e s k s . T w o c h a l k b o a r d s d o m i n a t e d t h e f r o n t w a l l a n d a n a d d i t i o n a l c h a l k b o a r d r a n a l o n g t h e i n t e r i o r w a l l . T h e r e a r s e c t i o n o f t h e i n t e r i o r w a l l c o n t a i n e d a s m a l l b u l l e t i n b o a r d o n w h i c h C a r l p l a c e d a d a i l y c l a s s r o o m t i m e s c h e d u l e a n d s c h o o l r e l a t e d a n n o u n c e m e n t s . T h e r e w e r e 3 0 s t u d e n t d e s k s a r r a n g e d i n f i v e r o w s o f s i x d e s k s f a c i n g t h e f r o n t o f t h e c l a s s r o o m . C a r l t a u g h t f r o m t h e f r o n t o f t h e c l a s s r o o m f r o m a c e n t e r e d f o u r f o o t h i g h w o o d e n t a b l e . T h e t a b l e h e l d a n o v e r h e a d p r o j e c t o r , t e a c h e r m a n u a l , r e c o r d b o o k , a n d s e a t i n g c h a r t . H e f o c u s e d t h e o v e r h e a d p r o j e c t o r o n a s c r e e n h u n g a b o v e a n d c o v e r i n g t h e f r o n t c h a l k b o a r d f o r m o s t o f h i s i n s t r u c t i o n . H e t a u g h t m o s t l y f r o m a s t a n d i n g 2 2 1 o r l e a n i n g p o s i t i o n a r o u n d t h e o v e r h e a d . T h e f r o n t a n d s i d e c h a l k b o a r d s w e r e u s e d o n l y o c c a s i o n a l l y w i t h i n h i s i n s t r u c t i o n . S t u d e n t s e a t i n g a r r a n g e m e n t s w e r e d e t e r m i n e d b y t h e s t u d e n t s , a n d m a i n t a i n e d f o r t e n w e e k p e r i o d s . D u r i n g o b s e r v a t i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r s a t i n t h e r e a r o f t h e c l a s s i n t h e r o w o f s t u d e n t d e s k s n e a r e s t t h e d o o r . S t u d e n t s g e n e r a l l y s a t i n t h e d e s k s c l o s e s t t o t h e f r o n t o f t h e r o o m a n d a l o n g t h e o u t e r w a l l . C a r l e x p r e s s e d a h i g h l e v e l o f c o n f i d e n c e i n h i s a b i l i t i e s t o t e a c h a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m s . H i s f e e l i n g s a n d a t t i t u d e s r e l a t e d t o t h e e n j o y m e n t a n d c h a l l e n g e o f a l g e b r a t e a c h i n g w e r e s l i g h t l y l o w e r . C a r l p r e f e r r e d t e a c h i n g m i d d l e a b i l i t y s t u d e n t s , a s t h i s c l a s s s u p p o s e d l y c o n t a i n e d . H e e x p e c t e d 8 0 p e r c e n t o f h i s s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l a n d e a r n B l e v e l g r a d e s o r h i g h e r o n b o t h a l g e b r a m a n i p u l a t i o n s k i l l s a n d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . C a r l ’ s c l a s s r o o m p r e s e n t a t i o n s w e r e w e l l o r g a n i z e d a n d r e f l e c t e d h i s b e l i e f ( e x p r e s s e d t o t h e i n v e s t i g a t o r ) t h a t l e a r n i n g w a s a c o m b i n e d r e s p o n s i b i l i t y o f t h e t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t . H e e x p e c t e d s t u d e n t s ’ a c t i v e a t t e n t i o n a n d i n v o l v e m e n t d u r i n g h i s p r e s e n t a t i o n s . M o s t s t u d e n t s c o n f o r m e d t o t h e s e e x p e c t a t i o n s . H e o f t e n r e q u e s t e d t h e w h o l e c l a s s t o r e s p o n d t o h i s q u e s t i o n s . C a r l p e r m i t t e d s t u d e n t s t o b l u r t o u t a n s w e r s t o h i s q u e s t i o n s w h e n a 2 2 2 s i n g l e s t u d e n t w a s n o t t h e f o c u s o f h i s q u e s t i o n , o r t o e v e n a s k q u e s t i o n s d u r i n g h i s p r e s e n t a t i o n s . H i s b e h a v i o r e n c o u r a g e d s t u d e n t — i n i t i a t e d q u e s t i o n s , p a r t i c u l a r l y q u e s t i o n s r e l a t e d t o i n c o m p l e t e s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o r p r o c e d u r a l j u s t i f i c a t i o n s . C a r l a l s o e n c o u r a g e d s t u d e n t e x a m p l e s o f c r e a t i v i t y , m e t h o d d i v e r s i t y a n d e f f i c i e n c y . H e l i s t e n e d c a r e f u l l y t o s t u d e n t s u g g e s t e d a l t e r n a t e m e t h o d s , a n d e x a m i n e d w h y o r w h y n o t s u c h m e t h o d s w e r e g e n e r a l i z a b l e o r j u s t i f i a b l e . S t u d e n t s o f t e n c h a l l e n g e d C a r l w i t h t h e i r c u r i o s i t y a n d t h e i r d e s i r e f o r c l a r i t y a n d c o n s i s t e n c y . C a r l d e m o n s t r a t e d p a t i e n c e w h i l e l i s t e n i n g t o a s t u d e n t ’ s q u e s t i o n o r e x p l a n a t i o n b e f o r e a t t e m p t i n g t o i n t e r p r e t f o r t h e c l a s s i t s n a t u r e . O c c a s i o n a l l y s u c h e x c h a n g e s b e t w e e n C a r l a n d h i s s t u d e n t s l e a d t o c h a o t i c a n d b o i s t e r o u s e p i s o d e s w h e r e s o m e s t u d e n t s d r i f t e d a w a y a n d t a l k e d w i t h e a c h o t h e r . C a r l e x h i b i t e d a k e e n s e n s e f o r w h e n t h e c l a s s w a s g e t t i n g a w a y f r o m h i m o n t h e s e o c c a s i o n s , a n d i m m e d i a t e l y c a l l e d f o r t h e c l a s s t o r e t u r n t h e i r a t t e n t i o n s t o t h e p r e s e n t t a s k . E a c h i n d i v i d u a l s t u d e n t ’ s l e a r n i n g p r e f e r e n c e w a s t r e a t e d r e s P e c t f u l l y b y C a r l i n h i s t e a c h i n g . F i v e o r s i x s t u d e n t s p r e f e r r e d l e s s a c t i v e p a r t i c i p a t o r y r o l e s , a n d w e r e n o t f o r c e d b y C a r l t o b e c o m e l i k e t h e i r m o r e a c t i v e c l a s s m a t e s . I n s t e a d C a r l p r o v i d e d t h e s e s t u d e n t s g r e a t e r i n d i v i d u a l a s s i s t a n c e d u r i n g t h e s e a t w o r k s e g m e n t , s h o w i n g 2 2 3 r e s p e c t f o r t h e i r p r e f e r r e d l e a r n i n g o r i e n t a t i o n . H e p r o v i d e d s u f f i c i e n t t i m e d a i l y f o r s t u d e n t s t o b e g i n t h e i r a s s i g n m e n t s , a n d w i t h t h e i n v e s t i g a t o r c i r c u l a t e d a b o u t t h e c l a s s e n c o u r a g i n g s t u d e n t s o f t h e c o r r e c t n e s s o f t h e i r m e t h o d s , o r e x p l a i n i n g m i s t a k e s i n t h e i r m e t h o d s . A s a r e s u l t , C a r l a c q u i r e d s u f f i c i e n t i n f o r m a t i o n t o e v a l u a t e t h e d a y ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t , h i s r e l a t e d t e a c h i n g , a n d h i s s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o c o m p l e t e t h e a s s i g n m e n t . A l l s t u d e n t s e x p r e s s e d o p e n l y t o t h e i n v e s t i g a t o r t h e i r e n j o y m e n t o f C a r l ' s c l a s s . T h e m o r e a c t i v e s t u d e n t s a p p r e c i a t e d t h e r e c e p t i v i t y a n d t h e n o n c r i t i c a l a n a l y s i s t h e i r i d e a s r e c e i v e d f r o m C a r l . T h e l e s s a c t i v e s t u d e n t s a p p r e c i a t e d t h e r e s p e c t C a r l g a v e t h e i r l e a r n i n g p o s t u r e . A l l s t u d e n t s w e r e g e n e r a l l y e n t h u s i a s t i c a n d c o n f i d e n t o f t h e i r a b i l i t i e s . P a r t i c u l a r l y , t h e m o r e a c t i v e s t u d e n t s p u s h e d C a r l f o r c l a r i t y , c o n s i s t e n c y , a n d j u s t i f i c a t i o n w i t h i n t h e i r u n d e r s t a n d i n g s . S t u d e n t s w e r e m o t i v a t e d t o l e a r n , a n d m o r e t h a n w i l l i n g t o p u t f o r t h s u f f i c i e n t , d a i l y e f f o r t t o c o m p l e t e a s s i g n m e n t s . C o m p a r i s o n s T h e c l a s s r o o m e n v i r o n m e n t s o f t h e s t u d y w e r e s t r u c t u r a l l y s i m i l a r , a n d r e p r e s e n t t y p i c a l s e c o n d a r y c l a s s r o o m s e t t i n g s . T h e s t r u c t u r e o f B e t t y ' s c l a s s r o o m i s s l i g h t l y d i f f e r e n t i n t h a t t h e f r o n t o f i t s c l a s s r o o m . i s a l o n g t h e l o n g e r d i m e n s i o n . A l s o B e t t y ’ s c l a s s m e t i n a b u s i n e s s c o u r s e c l a s s r o o m , n o t h e r r e g u l a r c l a s s r o o m , 2 2 4 w h i c h r e q u i r e d t e a c h e r m o v e m e n t o f m a t e r i a l s e v e r y d a y . T i m e a l o t t e d d a i l y f o r A l g e b r a I w a s n e a r l y i d e n t i c a l f o r e a c h c l a s s , e i t h e r 4 4 o r 4 5 m i n u t e s . T w o c l a s s e s ( B e t t y a n d C a r l ) m e t i n t h e a f t e r n o o n , w h i l e A l i c e ’ s c l a s s m e t i n t h e m o r n i n g . T h e t e a c h i n g s c h e d u l e s o f A l i c e a n d C a r l w e r e s i m i l a r , r e q u i r i n g t h r e e m a t h e m a t i c a l l y r e l a t e d p r e p a r a t i o n s d a i l y . O n t h e o t h e r h a n d , B e t t y ’ s p r i m a r y r e s p o n s i b i l i t i e s w e r e c o m p u t e r s c i e n c e r e l a t e d w i t h h e r t w o c l a s s e s o f A l g e b r a I . B e t t y a n d C a r l t a u g h t t w o s e c t i o n s o f A l g e b r a I d a i l y , w h i l e A l i c e t a u g h t o n e s e c t i o n . A l g e b r a t e a c h i n g e x p e r i e n c e v a r i e d g r e a t l y , B e t t y w i t h t h r e e y e a r s e x p e r i e n c e , C a r l w i t h t e n y e a r s e x p e r i e n c e , a n d A l i c e w i t h 2 0 y e a r s e x p e r i e n c e . M o s t o f t h e i r t e a c h i n g e x p e r i e n c e w a s g a i n e d i n t h e s a m e s c h o o l s i n w h i c h t h e y w e r e p r e s e n t l y t e a c h i n g . A l l t h r e e t e a c h e r s w e r e a c t i v e i n t h e i r r e s p e c t i v e s c h o o l ’ s a c t i v i t i e s . E a c h t e a c h e r e x p r e s s e d t h e h i g h e s t c o n f i d e n c e l e v e l p o s s i b l e i n r a t i n g t h e i r a b i l i t y t o t e a c h a l g e b r a c o n c e p t s . A l i c e a n d C a r l a l s o r a t e d t h e i r a b i l i t y t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a t t h e s a m e h i g h l e v e l , w h i l e B e t t y r a t e d h e r a b i l i t y t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t s l i g h t l y l o w e r , t h o u g h s t i l l a b o v e a v e r a g e . E a c h t e a c h e r e x p e c t e d a h i g h p e r c e n t a g e o f t h e i r s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l w i t h m a n i p u l a t i o n s k i l l s , t h e a c t u a l p e r c e n t a g e s b e i n g A l i c e 7 5 p e r c e n t , B e t t y 7 0 p e r c e n t , a n d 2 2 5 C a r l 8 0 p e r c e n t . B e t t y e x p e c t e d a l o w e r s u c c e s s r a t e , 5 0 p e r c e n t , r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , w h i l e A l i c e a n d C a r l e x p e c t e d t h e s a m e s u c c e s s r a t e f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a s f o r m a n i p u l a t i o n s k i l l s . T o g e t h e r t h e s e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t A l i c e a n d C a r l b e l i e v e t h e i r k n o w l e d g e b a s e a n d t e a c h i n g e x p e r i e n c e i s s u f f i c i e n t t o r e f l e c t a c o n f i d e n t a t t i t u d e t o w a r d s t h e t e a c h i n g o f v e r b a l p r o b l e m . c o n t e n t . P o s s i b l y d u e t o l e s s e x p e r i e n c e , B e t t y i s l e s s c o n f i d e n t o f h e r a b i l i t y t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , a n d a l s o f o r i t s s u c c e s s f u l l e a r n i n g b y h e r s t u d e n t s . E a c h t e a c h e r e x p r e s s e d e n j o y m e n t o f a n d c h a l l e n g e w i t h t h e t e a c h i n g o f a l g e b r a . I n t e r e s t i n g l y , e a c h t e a c h e r ' s i n d i c a t e d p r e f e r e n c e o f s t u d e n t a b i l i t y l e v e l w a s d i f f e r e n t . A l i c e p r e f e r r e d m i x e d a b i l i t y g r o u p i n g s o f s t u d e n t s , B e t t y p r e f e r r e d h i g h a b i l i t y g r o u p i n g s , a n d C a r l p r e f e r r e d m i d d l e a b i l i t y g r o u p i n g s . F o r A l i c e ' s a n d C a r l ’ s p r e f e r e n c e s , r a m i f i c a t i o n s o n t h e i r t e a c h i n g a s s i g n m e n t s i s m i n i m a l , w h i l e B e t t y ’ s p r e f e r e n c e f o r h i g h a b i l i t y g r o u p i n g s m a y h i n d e r h e r a b i l i t y t o t e a c h l o w e r a n d m i d d l e a b i l i t y a l g e b r a s t u d e n t s . E a c h t e a c h e r u s e d a m i n i m u m n u m b e r o f a v a i l a b l e i n s t r u c t i o n a l r e s o u r c e s i n t h e i r t e a c h i n g . A l l e x p l a n a t i o n s , h o m e w o r k r e v i e w , a n d c o n s t r u c t e d e x a m p l e s w e r e d o n e o n t h e c h a l k b o a r d b y A l i c e a n d B e t t y . C a r l u s e d a n o v e r h e a d p r o j e c t o r 8 0 p e r c e n t o f t h e t i m e a n d t h e 2 2 6 c h a l k b o a r d 2 0 p e r é e n t o f t h e t i m e i n h i s i n s t r u c t i o n a l f u n c t i o n s . . A l l t h r e e t e a c h e r s u s e d a w h o l e c l a s s i n s t r u c t i o n a l f o r m a t , d i r e c t i n g t h e c l a s s f r o m t h e f r o n t o f t h e r o o m . E a c h t e a c h e r , t o s o m e e x t e n t , i n c o r p o r a t e d m o s t t e x t b o o k e x a m p l e s i n t o t h e i r i n s t r u c t i o n a l l e s s o n s , a n d s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s w a s m a i n l y c o n f i n e d t o t h e t e x t b o o k e x e r c i s e s e t s . A l i c e d i f f e r e d f r o m t h e o t h e r t e a c h e r s i n h e r u s a g e o f s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s . S h e u s e d a n o l d t e x t b o o k f o r f u r t h e r r e v i e w o f t w o p r o b l e m t y p e s , a n d o n t h r e e o c c a s i o n s u s e d a d d i t i o n a l w o r k s h e e t s o f v e r b a l p r o b l e m s d r a w n f r o m s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s a s a q u i z o r h o m e w o r k . C a r l d e s i g n e d a n d a s s i g n e d h i s s t u d e n t s a t w o p a g e w o r k s h e e t o f m i x e d p r o b l e m t y p e s a s a c h a p t e r r e v i e w . B e t t y u s e d n o s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s . B a s e d o n i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s o f t h e t e a c h e r s a n d i n f o r m a l c o n v e r s a t i o n s w i t h t h e m , d i f f e r e n c e s w e r e n o t e d b e t w e e n t e a c h e r s ’ d e g r e e o f e x e r t e d i n s t r u c t i o n a l c o n t r o l a n d p e r m i t t e d s t u d e n t i n t e r a c t i o n p a t t e r n s . A t t e m p t s w e r e m a d e t o d r a w i n f e r e n c e s f r o m t h e s e d i f f e r e n c e s , a n d r e l a t e t h e m t o d i f f e r i n g t e a c h e r p e r c e p t i o n s o f t h e l e a r n i n g p r o c e s s . F o r B e t t y , t h e m a j o r r e s p o n s i b i l i t y f o r l e a r n i n g r e s i d e s w i t h t h e t e a c h e r . S h e m a i n t a i n e d t h e t i g h t e s t t e a c h e r c o n t r o l o v e r h e r s t u d e n t s d u r i n g a l l o c a t e d c l a s s t i m e . L i t t l e c l a s s t i m e w a s p r o v i d e d f o r s t u d e n t s t o w o r k v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o r 2 2 7 f o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e . D u r i n g t h e s c h o o l y e a r , s h e d e v e l o p e d d i f f e r e n t p r o c e d u r e s t o c o e r c e s t u d e n t s i n t o c o m p l e t i n g h o m e w o r k a s s i g n m e n t s . T e a c h e r - s t u d e n t e x c h a n g e s w e r e p r i m a r i l y t e a c h e r i n i t i a t e d , a n d i n c l u d e d o n l y a s m a l l p o r t i o n ( 1 / 3 ) o f h e r s t u d e n t s o n a r e g u l a r b a s i s . A l i c e , o n t h e o t h e r h a n d , b e l i e v e s t h e m a j o r r e s p o n s i b i l i t y f o r l e a r n i n g r e s i d e s i n t h e s t u d e n t . A l i c e ’ s v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n w a s s h o r t , a n d i n v o l v e d d i r e c t m o d e l i n g o f t h e d e s i r e d p r o c e d u r a l s t e p s i n a c o u p l e o f e x a m p l e s t h a t s t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o f o l l o w . D u r i n g A l i c e ’ s p r e s e n t a t i o n s s t u d e n t s l i s t e n e d p a s s i v e l y a n d c o p i e d t h e e x a m p l e s . T h e v a s t m a j o r i t y o f s t u d e n t i n i t i a t e d q u e s t i o n s a r o s e d u r i n g s e a t w o r k / p r a c t i c e t i m e w h e n r e s p o n s i b i l i t y f o r u n d e r s t a n d i n g r e s i d e s w i t h t h e s t u d e n t . S t u d e n t s i n A l i c e ’ s c l a s s w e r e p r a c t i c i n g v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s e i t h e r a t t h e c h a l k b o a r d d u r i n g h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s , o r a t t h e i r s e a t s i n d i v i d u a l l y o v e r 7 5 p e r c e n t o f a l l o c a t e d c l a s s t i m e . C a r l o c c u p i e s a p o s i t i o n , b e t w e e n A l i c e a n d B e t t y , w h i c h h o l d s t h a t l e a r n i n g i s a s h a r e d r e s p o n s i b i l i t y b e t w e e n p a r t i e s , t e a c h e r a n d s t u d e n t s . S t u d e n t s a r e e x p e c t e d t o p u t f o r t h s u f f i c i e n t e f f o r t , a c t i v e l y c o n t r i b u t e d u r i n g t e a c h e r p r e s e n t a t i o n s , a n d p u s h f o r u n d e r s t a n d i n g . C a r l b o t h d i r e c t s t h e d a i l y p l a n a n d o b j e c t i v e s , a n d f a c i l i t a t e s l e a r n i n g b y a p p r o p r i a t e u s a g e s o f e x a m p l e s a n d q u e s t i o n s . H e n c e , t h e i n c l u s i o n o f a d a i l y c o n t r o l l e d p r a c t i c e 2 2 8 s e g m e n t s e r v e s a s a t r a n s i t i o n f r o m t e a c h e r r e s p o n s i b i l i t y t o s t u d e n t r e s p o n s i b i l i t y . S t u d e n t s ’ m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s w i t h i n A l i c e ’ s a n d C a r l ’ s c l a s s e s ( b o t h p u b l i c j u n i o r h i g h s c h o o l s ) w e r e n e a r l y i d e n t i c a l . A l l s t u d e n t s i n t h e i r c l a s s e s w e r e n i n t h g r a d e r s , a n d 8 5 p e r c e n t o f t h e i r s t u d e n t s h a d , a t t h e s a m e s c h o o l , t w o y e a r s o f p r e v i o u s e q u i v a l e n t m a t h e m a t i c a l i n s t r u c t i o n , o f w h i c h A l i c e a n d C a r l w e r e f a m i l i a r . A l i c e a n d C a r l w e r e l e s s f a m i l i a r w i t h t h e b a c k g r o u n d s o f t h e t w o o r t h r e e e x c e p t i o n s p e r c l a s s w h o t r a n s f e r r e d f o r m t h e l o c a l p a r o c h i a l s c h o o l s y s t e m a t t h e b e g i n n i n g o f t h e n i n t h g r a d e . B e t t y ' s s t u d e n t s h a d m o r e d i v e r s e b a c k g r o u n d s a n d i n c l u d e d t w o g r a d e l e v e l s . O f B e t t y ’ s 2 7 s t u d e n t s , 2 1 w e r e n i n t h g r a d e r s a n d s i x w e r e t e n t h g r a d e r s . H e r s t u d e n t s c a m e t o t h e h i g h s c h o o l a t g r a d e 9 f r o m t h e f o u r a r e a p a r o c h i a l g r a d e s c h o o l m a t h e m a t i c a l p r o g r a m s , a n d 2 s t u d e n t s c a m e f r o m t h e p u b l i c s y s t e m ’ s p r o g r a m . S t u d e n t p l a c e m e n t i n A l g e b r a I , A c c e l e r a t e d A l g e b r a I , o r G e n e r a l M a t h w a s n o t r e g u l a t e d b y B e t t y o r t h e h i g h s c h o o l s t a f f . P l a c e m e n t w a s d e t e r m i n e d a t t h e e n d o f t h e e i g h t h g r a d e b y t h e r e s p e c t i v e g r a d e s c h o o l t e a c h e r s ’ r e c o m m e n d a t i o n s . A l l C a r l ’ s s t u d e n t s e x p r e s s e d t o t h e i n v e s t i g a t o r a b e l i e f i n t h e i r a b i l i t y t o l e a r n a l g e b r a s k i l l s a n d t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s . A b o u t o n e t h i r d o f A l i c e ’ s a n d B e t t y ’ s s t u d e n t s e x p r e s s e d u n c e r t a i n t y i n r e g a r d s t o t h e i r 2 2 9 a b i l i t y t o l e a r n h o w t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s . O n l y s t u d e n t s o f B e t t y ’ s c l a s s o p e n l y e x p r e s s e d d i s p l e a s u r e ' w i t h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . S t u d e n t s o f A l i c e ' s a n d C a r l ' s c l a s s e s w e r e m o r e e n t h u s i a s t i c t o w a r d s a n d c h a l l e n g e d b y m a t h e m a t i c a l t a s k s , a n d d e m o n s t r a t e d c o n s i s t e n t e f f o r t a n d p e r s e v e r e n c e . B e t t y ’ s s t u d e n t s w e r e a c t i v e a n d e n t h u s i a s t i c , b u t n o t i n r e g a r d s t o t h e i r a l g e b r a i c l e s s o n s a n d a s s i g n m e n t s . I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s T h e f o c u s o f t h i s s e c t i o n i s o n c h a r a c t e r i z i n g e a c h t e a c h e r ' s d a i l y i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . T e a c h e r d e s c r i p t i o n s w e r e f o r m u l a t e d f r o m i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r , a n d q u a n t i t a t i v e d a t a f r o m C o d i n g F o r m 2 ( f o u n d i n A p p e n d i x B ) , c o m p l e t e d a f t e r e a c h o b s e r v a t i o n . T h e t o p s e c t i o n o f i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d C o d i n g F o r m 2 c o n t a i n s a l i s t o f e i g h t a c t i v i t y s e g m e n t s , w i t h s p a c e s p r o v i d e d t o i n d i c a t e m i n u t e s a n d p e r c e n t a g e o f c l a s s t i m e d e v o t e d t o e a c h l i s t e d s e g m e n t . T h e s e g m e n t s r e p r e s e n t d i f f e r e n t t e a c h e r p u r p o s e s w h i c h o c c u p y t e a c h e r t i m e d u r i n g a c l a s s p e r i o d . ” A s i m i l a r f o r m w a s u s e d i n o b s e r v a t i o n s o f e f f e c t i v e a n d l e s s e f f e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s i n s t u d i e s d o n e b y G o o d , G r o u w s , a n d E b m e i e r ( 1 9 8 3 ) . T h e e i g h t s e g m e n t c a t e g o r i e s a r e i d e n t i c a l t o t h o s e u s e d i n t h e i r s t u d i e s , a n d a r e : a d m i n i s t r a t i v e , d r i l l / m e n t a l m a t h , h o m e w o r k r e v i e w , c o n c e p t r e v i e w , l e s s o n d e v e l o p m e n t , c o n t r o l l e d p r a c t i c e , s e a t w o r k , a n d 2 3 0 t r a n s i t i o n / o t h e r . T h e r e l a t i v e t i m e c o m p o s i t i o n s o f t h e s e l e s s o n s e g m e n t s f o r m w h a t t h e i n v e s t i g a t o r m e a n s b y a t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . S p e c i f i c t e a c h e r c h a r a c t e r i s t i c s a n d b e l i e f s a l s o i n f l u e n c e a t e a c h e r ' s t i m e m a n a g e m e n t , a n d t h e s e a r e i n c l u d e d , w h e r e a p p r o p r i a t e , i n t h e i n d i v i d u a l t e a c h e r d e s c r i p t i o n s . T e a c h e r r e s p o n s e s r e l a t e d t o i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s o n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t f o r m t h e b a s i s f o r t e a c h e r b e l i e f s , a l o n g w i t h t h e t e a c h e r o b s e r v a t i o n s . A c o m p a r i s o n s u m m a r y o f e a c h t e a c h e r ’ s m e a n t i m e s p e r c l a s s p e r i o d f o r t h e e i g h t l e s s o n s e g m e n t s w a s c o m p l e t e d , a n d i s d i s p l a y e d i n T a b l e 4 . 1 0 . T h e s u m m a r y i n c l u d e s o n l y o b s e r v a t i o n s w h e r e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g w a s t h e c o n t e n t f o c u s f o r t h e d a y , a n d n e w c o n t e n t w a s d e v e l o p e d d u r i n g t h e c l a s s p e r i o d . T h e e n t r i e s i n p a r e n t h e s e s i n d i c a t e t h e r a n g e o f t i m e f o r e a c h s e g m e n t b y t e a c h e r . 2 3 1 T a b l e 4 . 1 0 T e a c h e r C o m p a r i s o n : S e g m e n t T i m e M e a n s ( m i n u t e s ) N u m b e r o f O b s e r v a t i o n s C l a s s P e r i o d L e n g t h A d m i n i s t r a t i v e / M a n a g e m e n t D r i l l / M e n t a l M a t h H o m e w o r k R e v i e w C o n c e p t R e v i e w L e s s o n D e v e l o p m e n t C o n t r o l l e d P r a c t i c e S e a t w o r k / H o m e w o r k T r a n s i t i o n / O t h e r A l i c e 1 0 4 4 2 . 9 ( 1 - 6 ) 0 7 . 4 ( 0 - 1 5 ) 4 . 3 ( 0 - 1 8 ) 8 . 3 ( 3 - 1 6 ) 5 . 4 ( 0 - 1 3 ) 1 5 . 3 ( 0 - 2 5 ) . 4 ( 0 - 3 ) B e t t y 8 4 3 . 5 4 . 6 ( 2 - 1 1 ) 0 1 4 . 9 ( 0 - 2 5 ) 3 . 6 ( 0 - 1 0 ) 1 1 ( 5 - 1 7 ) 1 . 1 ( 0 - 9 ) 7 . 3 ( 1 - 1 6 ) 1 ( 0 - 3 ) C a r l 7 4 5 2 . 6 ( 2 - 5 ) 0 8 . 7 ( 0 - 2 0 ) 1 . 1 ( 0 - 4 ) 1 9 . 9 ( 1 3 - 2 5 ) 5 . 9 ( 3 - 1 3 ) 6 ( 0 - 1 4 ) . 9 ( 0 - 4 ) T h e r e a r e s e v e r a l c o m m o n a l i t i e s w i t h i n t h e t h r e e t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s w h i c h w i l l b e e x a m i n e d b e f o r e a d d r e s s i n g d i f f e r e n c e s . F r o m T a b l e 4 . 1 0 o n e n o t e s t h a t e a c h t e a c h e r r e q u i r e d l e s s t h a n f i v e m i n u t e s p e r c l a s s p e r i o d f o r a d m i n i s t r a t i v e a n d m a n a g e m e n t f u n c t i o n s . C l a s s e s f o r t h e m o s t p a r t w e r e w e l l b e h a v e d a n d r e q u i r e d m i n i m u m t e a c h e r t i m e o r a c t i o n t o m a i n t a i n s t u d e n t a t t e n t i o n . T e a c h e r s o f t h e s t u d y m a n a g e d t i m e e f f i c i e n t l y . 2 3 2 T h e r e w a s n o t a s i n g l e o c c u r r e n c e o f a t e a c h e r p r o v i d i n g t i m e f o r m e n t a l m a t h o r a d d i t i o n a l d r i l l i n n u m e r i c r e l a t e d s k i l l s . A l l t h r e e t e a c h e r s e x p r e s s e d t o t h e i n v e s t i g a t o r t h e i r b e l i e f t h a t t h e t i m e u s e d f o r t h i s s e g m e n t c o u l d b e b e t t e r u s e d i n f o c u s i n g o n t h e d a i l y l e s s o n c o n t e n t . W h i l e e a c h t e a c h e r l i s t e d , o n t h e t e a c h e r s u r v e y , t w e n t y m i n u t e s a s t h e o p t i m u m t i m e d e v o t e d d a i l y t o l e s s o n d e v e l o p m e n t o f n e w c o n t e n t , o n l y C a r l c a m e c l o s e t o t h i s o p t i m u m t i m e f r a m e f o r l e s s o n d e v e l o p m e n t . T h e c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t m e a n s f a i l t o d i s t i n g u i s h t h e n u m b e r o f o c c a s i o n s t h e s e s e g m e n t s w e r e o b s e r v e d i n e a c h c l a s s r o o m . C a r l u s e d a c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t w i t h i n e a c h o b s e r v e d d a y . C o n t r o l l e d p r a c t i c e w a s u s e d i n A l i c e ’ s c l a s s n i n e o u t o f t h e t e n o b s e r v e d d a y s . O n t h e o t h e r h a n d , B e t t y w a s o b s e r v e d i n c l u d i n g a c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t i n h e r i n s t r u c t i o n o n l y o n c e ( f o r n i n e m i n u t e s ) . T h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n f o c u s e s o n t h e i n v e s t i g a t o r d e s c r i p t i o n s o f e a c h t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . A l i c e A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e w a s s t a b l e a n d e a s y f o r t h e i n v e s t i g a t o r t o f o l l o w a n d s e p a r a t e i n t o s e g m e n t s d u r i n g o b s e r v a t i o n s . H e r r o u t i n e f o r t e a c h i n g m a n i p u l a t i o n s k i l l s c o n t e n t , o b s e r v e d o n o n e o c c a s i o n , w a s n e a r l y i d e n t i c a l t o h e r r o u t i n e f o r t e a c h i n g v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . 2 3 3 A l i c e t o o k a t t e n d a n c e d a i l y a t t h e b e g i n n i n g o f c l a s s , s o m e t i m e s e v e n b e f o r e t h e b e l l r a n g . S h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o h a v e y e s t e r d a y ’ s a s s i g n m e n t o u t o n t h e i r d e s k s r e a d y f o r c o r r e c t i o n w h e n s h e r e t u r n e d a f t e r p o s t i n g t h e a t t e n d a n c e i n t h e h a l l w a y . S h e t h e n r e a d a n s w e r s t o t h e e v e n p r o b l e m s a s s i g n e d ( o d d p r o b l e m a n s w e r s w e r e i n t h e b a c k o f t h e b o o k ) . S t u d e n t s c o r r e c t e d t h e i r o w n a s s i g n m e n t s . A l i c e c o l l e c t e d s t u d e n t a s s i g n m e n t s o n c e d u r i n g o b s e r v e d d a y s . F o r s e v e r a l o b s e r v a t i o n s , A l i c e g a i n e d a s e n s e o f h o w s t u d e n t s h a d d o n e o n a n a s s i g n m e n t b y r e q u e s t i n g a s h o w o f h a n d s i n d i c a t i n g t h e n u m b e r o f p r o b l e m s m i s s e d . A l i c e t h e n a s k e d s t u d e n t s w h i c h p r o b l e m s o f t h e a s s i g n m e n t d e s e r v e d f u r t h e r r e v i e w . S h e w r o t e a l i s t o f p r o b l e m n u m b e r s t h a t s t u d e n t s r e q u e s t e d o n t h e c h a l k b o a r d . S h e i m p l i c i t l y r e q u i r e d t h a t a s t u d e n t r e q u e s t i n g a p r o b l e m s o l u t i o n h a d a t t e m p t e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . F o r t w o o b s e r v a t i o n s , A l i c e d i d a l l r e q u e s t e d p r o b l e m s o n e b y o n e o n t h e f r o n t c h a l k b o a r d , p r o v i d i n g c l e a r j u s t i f i c a t i o n s a n d m o d e l i n g o f t h e r e q u i r e d s t e p s . F o r t h e s e v e n o t h e r o b s e r v a t i o n s ( n o h o m e w o r k r e v i e w f o r o n e o b s e r v a t i o n ) , i n d i v i d u a l s t u d e n t s d i d t h e r e q u e s t e d p r o b l e m s o n t h e f r o n t a n d s i d e c h a l k b o a r d s . A l i c e h a d a n e f f i c i e n t p r o c e d u r e f o r i n v o l v i n g s t u d e n t s i n t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s . A s t h e p r o b l e m s w e r e r e q u e s t e d , A l i c e w r o t e t h e p r o b l e m n u m b e r s a t t h e t o p 2 3 4 o f t h e c h a l k b o a r d s , w i t h a d e q u a t e w o r k s p a c e p r o v i d e d . S h e t h e n w e n t d o w n h e r c l a s s r o s t e r a s k i n g s t u d e n t s b y n a m e , i f t h e y c o u l d d o o n e o f t h e r e m a i n i n g n u m b e r e d p r o b l e m s . I f a s t u d e n t i n d i c a t e d a f f i r m a t i v e l y , t h e s t u d e n t c o p i e d t h e p r o b l e m s o l u t i o n f r o m t h e i r w o r k o n t o t h e c h a l k b o a r d , a n d r e c e i v e d f i v e e x t r a c r e d i t p o i n t s f o r t h e i r e f f o r t . I f a s t u d e n t r e p l i e d n e g a t i v e l y , A l i c e m o v e d o n d o w n t h e c l a s s r o s t e r . I f n o s t u d e n t s h a d t a k e n a p r o b l e m o r p r o b l e m s w h e n s h e h a d c o m p l e t e d a r o s t e r s e q u e n c e , A l i c e a s k e d f o r v o l u n t e e r s f r o m t h e c l a s s . O n t w o o b s e r v e d d a y s , n o s t u d e n t h a d a p r o b l e m s o l u t i o n f o r a r e q u e s t e d p r o b l e m , r e s u l t i n g i n A l i c e d o i n g t h e p r o b l e m s . O n s u b s e q u e n t d a y s , A l i c e s t a r t e d t h e p r o c e d u r e a t t h e n e x t n a m e l a c k i n g t h e f i v e p o i n t e n t r y i n h e r g r a d e b o o k , a n d o n l y a s k e d s t u d e n t s w i t h o u t t h e f i v e p o i n t e n t r y f i r s t . T h i s p r o c e s s i n s u r e d t h a t m o s t s t u d e n t s r e c e i v e d a n o p p o r t u n i t y t o d i s p l a y h o m e w o r k p r o b l e m s o l u t i o n s o n t h e c h a l k b o a r d . A l i c e b e l i e v e d t h e s e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s w e r e i m p o r t a n t , a n d t h a t s t u d e n t s a p p r e c i a t e d t h e a c t i v e i n v o l v e m e n t t h e y e n t a i l e d . S h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o c o p y p r o b l e m s o l u t i o n s f r o m t h e b o a r d w h i c h t h e y h a d b e e n u n a b l e t o s o l v e c o r r e c t l y . O n s e v e r a l o c c a s i o n s A l i c e e x p l i c i t l y r e m i n d e d t h e c l a s s o f t h e i m p o r t a n c e o f t h i s d a i l y p r a c t i c e . A l i c e t h e n r e v i e w e d e a c h s t u d e n t ’ s b o a r d w o r k , o n e p r o b l e m a t a t i m e , n o t i n g t h e i m p o r t a n c e o f v a r i o u s s t e p s , 2 3 5 a n d h e r e x p e c t a t i o n s o f i n c l u d e d s t u d e n t w r i t i n g f o r e a c h p r o b l e m . T h e i n v e s t i g a t o r c o d e d t h i s e x p l i c i t r e v i e w b y A l i c e a s c o n c e p t r e v i e w . A l i c e m o v e d b r i s k l y t h r o u g h t h i s s e g m e n t u s u a l l y t a k i n g l e s s t h a n f o u r m i n u t e s t o c o m p l e t e . O n o n e o c c a s i o n A l i c e h a d i n d i v i d u a l s t u d e n t s e x p l a i n t h e i r p r o b l e m s o l u t i o n s . S h e w a s n o t h a p p y w i t h t h e s t u d e n t s ’ e x p l a n a t i o n s o n t h i s o c c a s i o n , a n d a p p e a r e d a n x i o u s d u e t o t h e l o n g e r t i m e r e q u i r e d t o c o m p l e t e t h i s p a r t i c u l a r h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t . T h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t , r e l a t e d t o i n t r o d u c i n g n e w c o n t e n t , w a s a r e l a t i v e l y s h o r t s e g m e n t o f A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . F o r s i x o f t h e t e n o b s e r v a t i o n s , n e w c o n t e n t r e c e i v e d f i v e o r l e s s m i n u t e s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t . A l i c e d e l i b e r a t e l y k e p t h e r i n s t r u c t i o n o f n e w c o n t e n t b r i e f . S e v e r a l t i m e s s h e m e n t i o n e d t o t h e i n v e s t i g a t o r h e r c o n c e r n t h a t s t u d e n t s n o t b e c o m e f r u s t r a t e d c o m p l e t i n g a s s i g n m e n t s , p a r t i c u l a r l y v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . S h e b e l i e v e d t h e p r o v i s i o n o f c l a s s t i m e f o r c o m p l e t i o n o f h a l f a n a s s i g n m e n t , a n d a l s o w h e r e s t u d e n t r e c e p t i o n o f i m m e d i a t e t e a c h e r a s s i s t a n c e w a s p o s s i b l e , l o w e r e d s t u d e n t f r u s t r a t i o n . T h i s p a t t e r n o f A l i c e ’ s r o u t i n e i s r e f l e c t e d i n t h e h i g h e r m e a n t i m e g i v e n t o s e a t w o r k , o v e r t w i c e t h a t o f t h e o t h e r t e a c h e r s . T h e m e a n s e a t w o r k t i m e o f 1 5 . 3 m i n u t e s d a i l y i s s o m e w h a t m i s r e p r e s e n t a t i v e o f a v e r a g e s e a t w o r k t i m e , s i n c e f o r o n e o b s e r v a t i o n n o a s s i g n m e n t w a s m a d e a n d h e n c e z e r o m i n u t e s 2 3 6 o f s e a t w o r k t i m e w a s c o d e d . T h e a d j u s t e d m e a n s e a t w o r k t i m e ( m i n u s t h i s o n e o b s e r v a t i o n ) w a s 1 7 m i n u t e s . H o w e v e r , o n o n e p a r t i c u l a r o b s e r v a t i o n , A l i c e d e v i a t e d f r o m h e r n o r m a l i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . O n t h i s d a y A l i c e s e n s e d c o r r e c t l y , b a s e d o n t h e h o m e w o r k r e v i e w , t h a t s t u d e n t s h a d n o t u n d e r s t o o d t h e p r e v i o u s d a y ' s a s s i g n m e n t . S h e c h a n g e d h e r d a i l y p l a n , a n d s p e n t 1 8 m i n u t e s r e t e a c h i n g t h e i n v o l v e d c o n c e p t s . S h e s t i l l c a r r i e d o u t h e r p l a n n e d l e s s o n d e v e l o p m e n t o f n e w c o n t e n t , t h o u g h s h e s h o r t e n e d i t t o 4 m i n u t e s . A l i c e r e a l i z e d o n l y 1 3 m i n u t e s o f c l a s s t i m e r e m a i n e d . A l l 1 3 m i n u t e s r e m a i n i n g w a s d e v o t e d t o a c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t , a n d a s n o t e d a b o v e , n o h o m e w o r k a s s i g n m e n t w a s m a d e . I n t e r e s t i n g l y o n t h e f o l l o w i n g d a y w i t h n o h o m e w o r k a s s i g n m e n t t o r e v i e w , A l i c e ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t w a s 1 6 m i n u t e s ( h e r l o n g e s t ) . T h e s e t w o d a y s d e m o n s t r a t e d t o t h e i n v e s t i g a t o r t h e i m p o r t a n c e A l i c e p l a c e d o n p r o v i d i n g s u f f i c i e n t s e a t w o r k t i m e d a i l y , w h i c h a p p e a r e d t o b e 1 5 m i n u t e s . F o r A l i c e , t h i s b e l i e f b e c a m e t h e c e n t r a l f r a m e w o r k w h i c h d i c t a t e d t h e r e s t o f h e r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . T i m e f o r l e s s o n d e v e l o p m e n t o f n e w c o n t e n t w a s d e p e n d e n t o n t h e c l a s s t i m e r e m a i n i n g a f t e r h o m e w o r k a n d c o n c e p t r e v i e w l e s s t h e 1 5 m i n u t e r e q u i r e d s e a t w o r k t i m e a t t h e e n d o f t h e c l a s s p e r i o d . T h e p a t t e r n o f l o w l e s s o n d e v e l o p m e n t t i m e a n d a f i x e d , h i g h s e a t w o r k t i m e d a i l y s u g g e s t e d t o t h e 2 3 7 i n v e s t i g a t o r t h a t . A l i c e p r e f e r r e d i n t e r a c t i n g w i t h s t u d e n t s d u r i n g s e a t w o r k t i m e o n a o n e - t o - o n e b a s i s . T h i s p r e f e r e n c e c o u l d b e j u s t b e a p r a c t i c a l m a t t e r , i n t h a t t h e s h o r t l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s , d o m i n a t e d b y t e a c h e r t a l k a n d m o d e l i n g , f a i l e d t o p e r m i t s u f f i c i e n t t e a c h e r - s t u d e n t i n t e r a c t i o n , o r p o s s i b l y i n d i c a t e d t h a t A l i c e d i d n o t e n j o y t h e c e n t e r s t a g e , l e c t u r i n g r o l e t h a t n e w l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s g e n e r a l l y d e m a n d o f t e a c h e r s . A l i c e c o n c l u d e d h e r l e s s o n d e v e l o p m e n t o n n i n e o c c a s i o n s ( o f t e n o b s e r v a t i o n s ) w i t h a c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t . S t u d e n t s p r a c t i c e d o n e o r t w o p r o b l e m s f r o m t h e w r i t t e n e x e r c i s e s f r o m w h i c h t h e d a i l y a s s i g n m e n t w o u l d c o m e . S t u d e n t s w e r e t o d o t h e s e p r o b l e m s ( t o l d e x p l i c i t l y ) i n t h e i r n o t e b o o k s , a n d u s e t h e m a s c o m p l e t e d m o d e l p r o b l e m s . T i m e w a s p r o v i d e d f o r s t u d e n t s t o a t t e m p t t o w o r k t h e p r o b l e m ( s ) i n d i v i d u a l l y , a n d . A l i c e t h e n g a v e a c o m p l e t e d e m o n s t r a t i o n o f t h e w r i t t e n s o l u t i o n . T h i s s e g m e n t w a s u s u a l l y f i n i s h e d i n l e s s t h a n f i v e m i n u t e s . B e t t y B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e w a s t h e m o s t v a r i a b l e o f t h e t h r e e t e a c h e r s . T h e i n v e s t i g a t o r f o u n d i t d i f f i c u l t t o s e p a r a t e t h e h o m e w o r k r e v i e w a n d c o n c e p t r e v i e w s e g m e n t s o f B e t t y ’ s d a i l y l e s s o n s . B e t t y ’ s a d m i n i s t r a t i v e / m a n a g e m e n t t i m e i s s l i g h t l y h i g h e r d u e t o m o r e o c c a s i o n s w h i c h r e q u i r e d t e a c h e r e f f o r t t o r e g a i n 2 3 8 a t t e n t i o n a n d c o r r e c t s t u d e n t m i s b e h a v i o r . T h i s s e g m e n t c a t e g o r y a l s o i n c l u d e d t h i r t y s e c o n d s d a i l y g i v e n t o c l a s s p r a y e r . B e t t y t o o k a t t e n d a n c e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c l a s s p e r i o d , a n d p o s t e d t h e f o r m o n t h e h a l l w a y w a l l . E a c h d a y s e v e r a l s t u d e n t s a r r i v e d j u s t b e f o r e t h e b e l l s i g n a l i n g t h e b e g i n n i n g o f c l a s s . S t u d e n t s w e r e g e n e r a l l y b o i s t e r o u s a n d c o n v e r s a t i o n a l d u r i n g t h e f i r s t m i n u t e s o f c l a s s . T h e r e w a s n o t a n e x p r e s s e d e x p e c t a t i o n o n B e t t y ’ s p a r t t h a t s t u d e n t s b e r e a d y t o b e g i n . B e t t y d a i l y t o l d s t u d e n t s t o t a k e o u t t h e i r h o m e w o r k f o r c o r r e c t i o n , a n d s h e r e a d t h e a n s w e r s t o t h e a s s i g n e d e v e n e x e r c i s e s . T h i s s e q u e n c e c h a n g e d a t m i d - s e m e s t e r w h e n B e t t y b e g a n h e r i n s t r u c t i o n b y c h e c k i n g f o r a s s i g n m e n t c o m p l e t i o n b y c i r c u l a t i n g t h r o u g h o u t t h e c l a s s r o o m . B e t t y t h e n l i s t e d s t u d e n t r e q u e s t s f o r p r o b l e m s o l u t i o n s b y n u m b e r o n t h e c h a l k b o a r d . S h e d i d n o t p l a c e a n y r e q u i r e m e n t s o n s t u d e n t s ’ r e q u e s t s o f p r o b l e m s . I t w a s f a i r l y o b v i o u s t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t s o m e s t u d e n t s r e q u e s t i n g p r o b l e m s h a d n o t a t t e m p t e d t h e m , o r i n s o m e c a s e s o n l y a s i n g l e s t u d e n t h a d d i f f i c u l t y o n a r e q u e s t e d p r o b l e m . T h e r e s u l t i n g l i s t w a s u s u a l l y l a r g e , a b o u t 7 5 p e r c e n t o f t h e a s s i g n e d p r o b l e m s . O n m o s t o b s e r v e d d a y s , B e t t y d i d t h e r e q u e s t e d p r o b l e m s o n e b y o n e o n t h e f r o n t c h a l k b o a r d . O n t w o o b s e r v e d d a y s , v o l u n t e e r s d i d t h r e e o r f o u r p r o b l e m s ( o n e e a c h ) a t a t i m e o n t h e c h a l k b o a r d . S i n c e t h e r e w a s n o t h i n g t o g a i n f r o m a s t u d e n t p e r s p e c t i v e 2 3 9 ( e x t r a c r e d i t o r o t h e r w i s e ) , i t w a s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e s a m e s i x o r s e v e n s t u d e n t s d i d a l l t h e r e q u e s t e d b o a r d w o r k . O n o n e d a y , B e t t y a s k e d t h e s t u d e n t s t o v o t e t h e i r p r e f e r e n c e f o r h a v i n g s t u d e n t s o r t e a c h e r ( h e r ) d o t h e r e q u e s t e d p r o b l e m s . T h e i n v e s t i g a t o r s e n s e d t h a t B e t t y a l r e a d y k n e w w h a t t h e r e s p o n s e w o u l d b e b e f o r e s h e a s k e d t h e q u e s t i o n , y e t a s k e d a n y w a y o u t o f o b l i g a t i o n . O n m o s t o c c a s i o n s , B e t t y p r e f e r r e d n o t t o r e l i n q u i s h c o n t r o l t o s t u d e n t s , b u t r a t h e r t o m a i n t a i n c o n t r o l o f t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t . B e t t y v i e w e d t h e h o m e w o r k r e v i e w a n d t h e i n t e r m i x i n g o f c o n c e p t r e v i e w a s c e n t r a l t o h e r i n s t r u c t i o n . P o s s i b l y t o o m u c h t i m e w a s g i v e n t o t h e s e s e g m e n t s , o v e r o n e t h i r d o f h e r c l a s s t i m e . B e t t y m e n t i o n e d t o t h e i n v e s t i g a t o r o n t w o o c c a s i o n s t h a t m o s t o f h e r h o m e w o r k a n d c o n c e p t r e v i e w w a s a c t u a l l y l e s s o n d e v e l o p m e n t , t h o u g h o b v i o u s l y n o n e w c o n t e n t w a s d e v e l o p e d . T h e i n v e s t i g a t o r i n f e r r e d t h a t B e t t y ’ s p e r s p e c t i v e o n t h e c e n t r a l i t y o f t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t r e l a t e d t o t h e l o w e x p e c t a t i o n B e t t y h a d f o r t h e p r e v i o u s d a y ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t . I t w a s a s i f B e t t y w a s t h i n k i n g , " I e x p e c t m y l e s s o n o f y e s t e r d a y t o h a v e f a i l e d , b u t t h e h o m e w o r k r e v i e w t o d a y w i l l p e r m i t m e t o p i c k u p t h e p i e c e s " . T h e o r e t i c a l l y , i t a p p e a r s p o s s i b l e t o a c c o m p l i s h . H o w e v e r s u c h t h o u g h t s m i g h t r e s u l t i n s t u d e n t p e r s p e c t i v e s , s u c h a s " I d o n ’ t n e e d t o p a y a t t e n t i o n t o d a y , f o r t o m o r r o w B e t t y w i l l c l a r i f y t h i s m e s s f o r m e " . T h e n e t e f f e c t o f s u c h a s t u d e n t p e r s p e c t i v e i s t h a t s t u d e n t s a r e a l w a y s o n e d a y b e h i n d t h e c o n t e n t p a c e . S t u d e n t a t t i t u d e s a n d a t t e n t i o n d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s c h a n g e d . M o s t s t u d e n t s w e r e e n t h u s i a s t i c d u r i n g t h e f o r m a t i o n o f t h e l i s t o f r e q u e s t e d p r o b l e m s . Y e t o n c e e x p l a n a t i o n s o f t h e r e q u e s t e d p r o b l e m s w a s b e g u n b y B e t t y o r s t u d e n t s , s t u d e n t a t t e n t i o n w a s a w a y f r o m t h e f r o n t c h a l k b o a r d . I n f a c t , s t u d e n t s w h o r e q u e s t e d a s p e c i f i c p r o b l e m o f t e n f a i l e d t o a t t e n d t o t h e s o l u t i o n o f t h a t v e r y p r o b l e m . B e t t y s e l d o m m e n t i o n e d t o s t u d e n t s t o c o p y b o a r d w o r k , a n d o n l y a f e w s t u d e n t s c o p i e d s u c h s o l u t i o n s . T h e r e f o r e , t h e n e t e f f e c t o f t h e h o m e w o r k a n d c o n c e p t r e v i e w s e g m e n t s h a d m i n i m a l i m p a c t o n a i d i n g s t u d e n t l e a r n i n g . B e t t y ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s d e p e n d e d o n t h e n u m b e r o f p r o v i d e d s a m p l e s o r e x a m p l e s c o n t a i n e d i n t h e t e x t b o o k r e l a t e d t o t h e u p c o m i n g a s s i g n m e n t . D e s p i t e a s u f f i c i e n t q u a n t i t y o f t i m e f o r t h i s s e g m e n t ( m e a n : 1 1 m i n u t e s ) , B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n w a s j u s t a r e w o r k i n g o n t h e c h a l k b o a r d o f t h e t e x t b o o k p r o v i d e d s o l u t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s . O n l y o n t h r e e o c c a s i o n s d i d B e t t y i n c l u d e a n u n s o l v e d p r o b l e m , e a c h o n e t a k e n f r o m . a n e x e r c i s e s e t , i n h e r l e s s o n d e v e 1 0 p m e n t . A c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t w a s o b s e r v e d o n l y o n c e i n e i g h t o b s e r v a t i o n s . L e s s o n d e v e l o p m e n t l e d d i r e c t l y 2 4 1 i n t o t h e a s s i g n m e n t f o r t h e d a y o n t h e s e v e n o t h e r o b s e r v a t i o n s . T h e m o s t l o g i c a l r e a s o n f o r t h i s l a c k o f c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t s w a s r e l a t e d t o t i m e c o n s t r a i n t s , i n t h a t n o r m a l l y l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s c o n c l u d e d w i t h i n s e v e n m i n u t e s o f t h e c l a s s ’ s e n d . T h e p o s t i n g o f t h e a s s i g n m e n t s i g n a l e d t o m o s t s t u d e n t s t h a t c l a s s w a s o v e r . A . s m a l l g r o u p o f s t u d e n t s ( 6 — 9 ) u t i l i z e d t h e f e w m i n u t e s o f a v a i l a b l e t i m e t o b e g i n t h e i r a s s i g n m e n t s . I n c o n c l u s i o n , d e s p i t e h e r c o n t r o l a n d c a r e f u l d i r e c t i o n o f t h e h o m e w o r k a n d c o n c e p t r e v i e w s e g m e n t s , a n d s u f f i c i e n t t i m e d e v o t e d t o n e w c o n t e n t d e v e l o p m e n t , B e t t y l a c k e d d a i l y i n f o r m a t i o n o f s t u d e n t p r o g r e s s a n d l e a r n i n g . G r a d e s w e r e n o t t a k e n o n t h e d a i l y a s s i g n m e n t s , h o m e w o r k ' w a s n o t c o l l e c t e d o r r e v i e w e d b y B e t t y , a n d c l a s s r e s u l t s w e r e n o t r e q u e s t e d b y B e t t y . M o s t o f B e t t y ’ s e f f o r t s d u r i n g t h e f i r s t s e m e s t e r w e r e d i r e c t e d a t g e t t i n g s t u d e n t s t o c o m p l e t e a s s i g n m e n t s , w i t h l e s s c o n c e r n d i r e c t e d t o w a r d s t h e c o r r e c t n e s s o f s u c h l e a r n i n g . C a r l C a r l h a d a s t a b l e i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e h e f o l l o w e d d a i l y . S t u d e n t s e n t e r e d h i s c l a s s r o o m b o i s t e r o u s l y , a n d t o o k t h e i r a s s i g n e d s e a t s . H e a l l o w e d s t u d e n t s t o r e m a i n c o n v e r s a t i o n a l a s h e r e c o r d e d a n d p o s t e d t h e a t t e n d a n c e . W h e n h e r e t u r n e d t o t h e f r o n t t a b l e , a s i m p l e c o m m e n t , s u c h a s " L e t ’ s g e t d o w n t o w o r k " i n s t r u c t e d s t u d e n t s t o 2 4 2 q u i e t d o w n a n d t a k e o u t t h e p r e v i o u s d a y ' s a s s i g n m e n t . S t u d e n t s c o r r e c t e d t h e i r o w n a s s i g n m e n t s o r e x c h a n g e d a s s i g n m e n t s w i t h a n e i g h b o r i n g s t u d e n t f o r c o r r e c t i o n a s C a r l d i r e c t e d . . A l l a n s w e r s o f a n a s s i g n m e n t w e r e g i v e n b y C a r l , a s t h e t e x t b o o k d i d n o t p r o v i d e a n y a n s w e r s . O n r a n d o m l y s e l e c t e d d a y s , a b o u t t w i c e p e r w e e k , C a r l r e c o r d e d s t u d e n t s c o r e s ( p e r c e n t a g e s ) , g i v e n o r a l l y b y t h e s t u d e n t s , i n t o h i s g r a d e b o o k . H e a l s o c o l l e c t e d a n d r e v i e w e d s t u d e n t s ’ a s s i g n m e n t s a b o u t o n c e p e r w e e k . T h e s e m e t h o d s p r o v i d e d C a r l w i t h e x p l i c i t d a t a r e l a t e d t o s t u d e n t s ’ d a i l y p e r f o r m a n c e . O n d a y s w h e n n o r e c o r d i n g o f s c o r e s o r c o l l e c t i o n w a s d o n e , C a r l r e q u e s t e d a s h o w o f h a n d s f o r v a r i o u s p e r f o r m a n c e l e v e l s . C a r l u s e d t h e o v e r h e a d p r o j e c t o r t o g o o v e r r e q u e s t e d s t u d e n t p r o b l e m s f r o m t h e a s s i g n m e n t . S t u d e n t i n v o l v e m e n t w a s l i m i t e d t o s t u d e n t v e r b a l i z a t i o n s o f t h e i r i d e a s m a d e f r o m t h e i r s e a t s . I n a n a s s i g n m e n t o f t e n p r o b l e m s , t h r e e o r f o u r p r o b l e m s r e c e i v e d a d d i t i o n a l r e v i e w b y C a r l . O n e p r o b l e m a t a t i m e w o u l d b e s t u d e n t r e q u e s t e d a n d t r e a t e d b y C a r l . W h e n a p r o b l e m w a s s u g g e s t e d , C a r l a s k e d f o r a s h o w O f h a n d s t o i n d i c a t e h o w m a n y s t u d e n t s h a d d i f f i c u l t y o n t h e r e q u e s t e d p r o b l e m . T h r e e o r f o u r h a n d s w e r e n e c e s s a r y b e f o r e C a r l p e r c e i v e d a n e e d t o r e v i e w a p r o b l e m f o r t h e w h o l e c l a s s . C a r l ’ s t r e a t m e n t o f a r e q u e s t e d p r o b l e m w a s i n t e r e s t i n g , i n t h a t h e b e c a m e a p a s s i v e l i s t e n e r t o a 2 4 3 s t u d e n t ' s e x p l a n a t i o n o f p r o g r e s s , a n d t h e n r e c o r d e d t h e s t u d e n t ’ s t h o u g h t s o n t h e o v e r h e a d . P r o b l e m d i s c u s s i o n b e g a n w i t h t h e s t u d e n t r e q u e s t i n g t h e p r o b l e m , i n s u r i n g t h a t t h e s t u d e n t h a d i n d e e d a t t e m p t e d t h e p r o b l e m . W h e n a s t u d e n t r e a s o n i n g o r p r o c e s s i n g e r r o r o c c u r r e d , C a r l f i r s t a t t e m p t e d t o g e t t h e f o c u s e d s t u d e n t t o i d e n t i f y t h e e r r o r . I f s u c h a t t e m p t s f a i l e d , C a r l r e q u e s t e d v o l u n t e e r s t o f i n d t h e e r r o r , a n d t o j u s t i f y i t s n a t u r e . S t u d e n t s w e r e h i g h l y a t t e n t i v e a n d p a r t i c i p a t o r y d u r i n g t h i s s e g m e n t . E v e n t u a l l y C a r l c o m p l e t e d a l l s t e p s o f t h e p r o b l e m i n o n e f r a m e w i t h a l l e r r o r s r e m o v e d . A t t h i s t i m e C a r l e n c o u r a g e d o t h e r s t u d e n t s t o s h a r e a l t e r n a t e s o l u t i o n p a t h s t h e y h a d u s e d . A s a s t u d e n t e x p l a i n e d a d i f f e r i n g p r o c e d u r e , C a r l e v a l u a t e d i t s c o r r e c t n e s s a n d j u s t i f i c a t i o n s , o r n o t e d t h e r e a s o n s f o r i t s f a i l u r e . F o r t w o p r o b l e m s , o n t w o d i f f e r e n t d a y s , C a r l v a r i e d t h i s p r o c e s s o f h o m e w o r k r e v i e w . S t u d e n t s w h o h a d c o r r e c t a n s w e r s f o r a r e q u e s t e d p r o b l e m w e r e p e r m i t t e d t o d i s p l a y t h e i r s o l u t i o n o n t h e o v e r h e a d a n d e x p l a i n t h e i r p r o c e s s e s , w h i l e C a r l p a s s i v e l y o b s e r v e d . S p e c i f i c c o n t e n t r e v i e w w a s p r a c t i c a l l y n o n e x i s t e n t , o r c o n s i s t e d o f a b r i e f s u m m a r y g i v e n b y C a r l a f t e r t h e h o m e w o r k r e v i e w . L e s s o n d e v e l o p m e n t b e g a n q u i c k l y a f t e r t h e h o m e w o r k r e v i e w w a s c o m p l e t e d , a n d w a s t h e l o n g e s t s e g m e n t o f C a r l ’ s d a i l y i n s t r u c t i o n . T h e s h o r t e s t t i m e g i v e n t o l e s s o n d e v e l o p m e n t w a s 1 3 m i n u t e s , w h i l e o n t w o 2 4 4 o b s e r v a t i o n s i t s p a n n e d 2 5 m i n u t e s . T h e d a y o f t h e 1 3 m i n u t e l e s s o n d e v e l o p m e n t h a d t h e l o n g e s t h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t ( 2 0 m i n u t e s ) . T h e t w o , 2 5 m i n u t e d a y s o f l e s s o n d e v e l o p m e n t h a d t w o o r l e s s m i n u t e s g i v e n t o h o m e w o r k r e v i e w . T h e s e f i g u r e s i n d i c a t e d a p a t t e r n , w h e r e b y h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t t i m e s t o g e t h e r a p p r o a c h e d 3 0 m i n u t e s d a i l y , o r t w o t h i r d s o f a v a i l a b l e c l a s s t i m e . A l l s e v e n o b s e r v a t i o n s o f C a r l ’ s i n s t r u c t i o n i n c l u d e d a c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t a t t h e e n d o f l e s s o n d e v e l o p m e n t . A m i n i m u m o f t w o e x a m p l e s p e r d a y w e r e u s e d i n t h e s e s e g m e n t s . U s u a l l y o n e e x a m p l e w a s m a d e u p b y C a r l , a n d t h e s e c o n d e x a m p l e c a m e f r o m t h e p r o b l e m s e t o f t h e u p c o m i n g a s s i g n m e n t , t h e r e b y a i d i n g t r a n s i t i o n t o t h e a s s i g n e d p r o b l e m t y p e . S t u d e n t s w e r e t o l d t o d o t h e p r o b l e m s o n s c r a p p a p e r , w h i l e C a r l c i r d u l a t e d a r o u n d t h e c l a s s a n d o b s e r v e d t h e i r e f f o r t s . T h e n a s t u d e n t w a s c h o s e n a m o n g v o l u n t e e r s t o g i v e t h e i r a n s w e r s . I f a s t u d e n t w a s c o r r e c t ( a s w a s u s u a l l y t h e c a s e ) t h a t s t u d e n t ' s e x p l a n a t i o n w a s r e c o r d e d b y C a r l o n t h e o v e r h e a d , a s t h e s t u d e n t v e r b a l i z e d t h e i r s o l u t i o n p r o c e s s . A s h o w o f h a n d s w a s r e q u e s t e d , s o C a r l k n e w h o w m a n y s t u d e n t s w e r e a b l e t o d e r i v e a c o r r e c t a n s w e r . M e r e t i m e a n d e x a m p l e s w e r e d o n e d u r i n g t h i s s e g m e n t i f C a r l p e r c e i v e d i n c o m p l e t e s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . C a r l t h e n m a d e t h e d a i l y a s s i g n m e n t , a n d m o s t o f h i s I ' . " $ 4 2 . 1 ” ? - _ ~ _ . , - 7 - 2 4 5 s t u d e n t s s t a r t e d t h e a s s i g n m e n t i n c l a s s . T h o u g h m e a n s e a t w o r k t i m e w a s s h o r t ( s i x m i n u t e s ) , s t u d e n t s r e a l i z e d t h e i m p o r t a n c e o f t h i s t i m e f o r r e c e i v i n g s p e c i f i c h e l p f r o m e i t h e r C a r l o r t h e i n v e s t i g a t o r . I f t h e y c o m p l e t e d t w o p r o b l e m s c o r r e c t l y d u r i n g t h i s t i m e , t h e y w e r e q u i t e c o n f i d e n t t h e y c o u l d c o m p l e t e t h e w h o l e a s s i g n e m n t . C a r l ’ s d a i l y a s s i g n m e n t s w e r e r e l a t i v e l y s h o r t e r ( s o m e t i m e s a s f e w a s 5 o r 6 p r o b l e m s w e r e a s s i g n e d ) , b u t C a r l s h o w e d g r e a t c a r e i n h i s s e l e c t i o n o f p r o b l e m s f o r a n a s s i g n m e n t . H e m a d e s u r e t h e a s s i g n e d p r o b l e m s c o n t a i n e d a w i d e d i v e r s i t y o f c o n t e x t s . I f s t u d e n t s b e g a n w o r k o n a n a s s i g n m e n t i n c l a s s , t h e y c o u l d b e a s s u r e d o n l y 1 5 - 2 0 m i n u t e s o f h o m e w o r k t i m e w o u l d b e n e c e s s a r y t o c o m p l e t e t h e a s s i g n m e n t . m e p a r i s o n s T h i s s e c t i o n w i l l f o c u s o n c l a r i f y i n g a n d s u m m a r i z i n g t e a c h e r d i f f e r e n c e s w i t h r e s p e c t t o t h e d a i l y i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e e a c h t e a c h e r f o l l o w s . T h e l e s s o n s e g m e n t d e s i g n a t i o n s s e r v e a s a f r a m e w o r k f o r t h e d i s c u s s i o n w h i c h f o l l o w s . T h e i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s o f A l i c e a n d C a r l w e r e r e l a t i v e l y s t a b l e a n d e a s y f o r t h e i n v e s t i g a t o r t o c o d e i n t o t h e v a r i o u s s e g m e n t s . B e t t y ’ s r o u t i n e w a s s t a b l e y e t p r e s e n t e d d i f f i c u l t i e s t o t h e i n v e s t i g a t o r ’ s c o d i n g b y l e s s o n s e g m e n t s , p a r t i c u l a r l y t h e s e p a r a t i o n o f h o m e w o r k a n d c o n c e p t r e v i e w s e g m e n t s . B e t t y a l s o h a d a m i s g u i d e d 2 4 6 b e l i e f t h a t c o n t e n t r e v i e w o f p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d m a t e r i a l s r e p r e s e n t e d n e w l e s s o n d e v e l o p m e n t . T i m e g i v e n f o r h o m e w o r k r e v i e w w a s s i m i l a r f o r A l i c e a n d C a r l , w h i l e B e t t y s p e n t a l m o s t t w i c e a s m u c h t i m e r e v i e w i n g h o m e w o r k t h a n t h e o t h e r t e a c h e r s . P r o c e d u r e s f o r h o m e w o r k r e v i e w w e r e s i m i l a r f o r A l i c e a n d B e t t y , t h o u g h A l i c e r e q u i r e d g r e a t e r s t u d e n t i n v o l v e m e n t d u r i n g t h i s s e g m e n t . C a r l ’ s h o m e w o r k r e v i e w p r o c e d u r e s r e q u i r e d l e s s a c t i v e , p h y s i c a l i n v o l v e m e n t a n d m o r e s t u d e n t v e r b a l i n t e r a c t i o n . C a r l ’ s m a j o r i n s t r u c t i o n a l f o c u s d u r i n g a c l a s s p e r i o d w a s o n l e s s o n d e v e l o p m e n t o f n e w c o n t e n t . A l i c e s p e n t t h e l e a s t a m o u n t o f t i m e d a i l y f o r l e s s o n d e v e l o p m e n t . F o r A l i c e , l e s s o n d e v e l o p m e n t t i m e w a s d e p e n d e n t o n t h e a v a i l a b l e t i m e b e t w e e n t h e h o m e w o r k a n d c o n c e p t r e v i e w s e g m e n t s a n d t h e 1 5 - 2 0 m i n u t e s o f t i m e d e e m e d n e c e s s a r y f o r s t u d e n t s e a t w o r k a t t h e e n d o f a c l a s s p e r i o d . B e t t y ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t w a s d e t e r m i n e d b y t h e q u a n t i t y o f p a g e s a n d e x a m p l e s h e r t e x t b o o k p r o v i d e d o f n e w c o n t e n t , a n d w a s s l i g h t l y m o r e t h a n A l i c e ' s t i m e f o r t h i s s e g m e n t . A l i c e a n d C a r l ' s i n s t r u c t i o n r e g u l a r l y i n c l u d e d c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t s , w h i l e B e t t y ’ s r o u t i n e i n c l u d e d o n e s u c h s e g m e n t i n e i g h t o b s e r v a t i o n s . T h e a p p a r e n t r e a s o n f o r t h e e x c l u s i o n o f c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t s i n B e t t y ’ s r o u t i n e w a s t h e l i m i t e d t i m e a v a i l a b l e 2 4 7 f o r s u c h p r a c t i c e a f t e r l e s s o n d e v e l o p m e n t . T h e i n v e s t i g a t o r i n f e r r e d , f r o m o b s e r v a t i o n s a n d t e a c h e r c o m m e n t s , d i f f e r e n t t e a c h e r p e r s p e c t i v e s o n w h o b e a r s r e s p o n s i b i l i t y f o r s t u d e n t l e a r n i n g . . A l i c e p l a c e d p r i m a r y r e s p o n s i b i l i t y f o r l e a r n i n g o n h e r s t u d e n t s , b e l i e v i n g t h a t s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s i s m o r e v a l u a b l e t o l e a r n i n g t h a n t e a c h e r d e l i v e r e d i n s t r u c t i o n . B e t t y p l a c e d p r i m a r y r e s p o n s i b i l i t y o n t h e t e a c h e r a n d t e x t b o o k f o r l e a r n i n g , b e l i e v i n g h e r c o n t r o l a n d e x p l i c i t d e l i v e r y o f i n s t r u c t i o n f a c i l i t a t e d l e a r n i n g . C a r l t o o k a m o r e b a l a n c e d p o s i t i o n i n w h i c h h e a c c e p t e d h i s i n s t r u c t i o n a l r e s p o n s i b i l i t i e s s e r i o u s l y , b u t a l s o s a w t h e n e e d f o r d a i l y s t u d e n t d i s c u s s i o n a n d p r a c t i c e t o i m p r o v e s t u d e n t l e a r n i n g . L a s t l y i n t h i s s e c t i o n , s e v e r a l t e a c h e r d i f f e r e n c e s r e l a t e d t o s p e c i f i c i t e m s o f t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t ( s e e A p p e n d i x D ) w i l l b e r e v i e w e d . I t a p p e a r e d m o r e a p p r o p r i a t e t o d i s c u s s t h e s e s p e c i f i c d i f f e r e n c e s w h e r e d i r e c t c o m p a r i s o n s o f t e a c h e r s w a s a d d r e s s e d . F o r i n s t a n c e , B e t t y a n d C a r l e x p r e s s e d c o n f i d e n c e t h e y c o u l d p r e d i c t a t t h e s t a r t o f t h e s c h o o l y e a r w h e r e i n t h e t e x t b o o k t h e i r c l a s s e s w o u l d b e i n J a n u a r y . B e t t y ' s c o n f i d e n c e w a s b a s e d o n h e r p r a c t i c e o f c o v e r i n g e a c h t e x t b o o k s e c t i o n s e q u e n t i a l l y a s l a i d o u t , a n d s h o w e d l i t t l e r e g a r d f o r s t u d e n t s ’ l e a r n i n g p r o g r e s s . C a r l ’ s c o n f i d e n c e w a s b a s e d o n h i s f o u r y e a r s o f t e a c h i n g 2 4 8 e x p e r i e n c e w i t h t h e s a m e t e x t b o o k . A l i c e ’ s l o w e r c o n f i d e n c e m i g h t r e f l e c t h e r r e a l i z a t i o n , b a s e d o n e x p e r i e n c e , o f t h e w i d e d i v e r s i t y o f s t u d e n t c o m p e t e n c i e s t h e s e c l a s s e s g e n e r a l l y e x h i b i t e d . T h e p r e v i o u s d e s c r i p t i o n s r e l a t e c l o s e l y t o t e a c h e r e x p e c t a t i o n s f o r t h e a m o u n t o f t i m e d a i l y s t u d e n t s s h o u l d p r a c t i c e s k i l l s o n w r i t t e n a s s i g n m e n t s . C a r l i n d i c a t e d 1 5 m i n u t e s w a s s u f f i c i e n t , w h i l e B e t t y i n d i c a t e d 3 0 m i n u t e s w a s n e c e s s a r y , a n d A l i c e 4 0 m i n u t e s . O f t h e s e a m o u n t s C a r l b e l i e v e d h a l f a n a s s i g n m e n t s h o u l d b e c o m p l e t e d i n c l a s s , A l i c e a b o u t f i v e s e v e n t h s , a n d B e t t y a b o u t t h r e e e i g h t h s o f a n a s s i g n m e n t . E a c h t e a c h e r ’ s s e a t w o r k s e g m e n t s c o n f o r m e d c l o s e l y t o t h e i r i n d i c a t e d e x p e c t a t i o n s . A l i c e a n d B e t t y b e l i e v e d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s a n d p r o c e d u r e s w e r e t h e s a m e f o r a l l s t u d e n t s , w h i l e C a r l i n d i c a t e d t h e r e w e r e o c c a s i o n s w h e n i t w a s n e c e s s a r y t o m o d i f y s t a n d a r d s s o m e w h a t f o r p a r t i c u l a r s t u d e n t s . A s i m i l a r d i f f e r e n c e w a s n o t e d i n r e g a r d s t o s t a n d a r d s e a c h t e a c h e r u s e s i n m a k i n g a d e c i s i o n t o r e t e a c h a w h o l e u n i t o n t h e b a s i s o f u n i t e x a m r e s u l t s . T e a c h e r s w e r e a s k e d w h a t p e r c e n t o f t h e i r c l a s s d o i n g p o o r l y o n a n e x a m w o u l d r e s u l t i n t h e r e t e a c h i n g o f t h e u n i t . F o r C a r l t h i s p e r c e n t w a s l o w e s t a t 4 0 p e r c e n t , f o r B e t t y 5 0 p e r c e n t , a m d f o r A l i c e 6 0 p e r c e n t . C a r l , i n p a r t i c u l a r , w a s m o r e s e n s i t i v e t o i n d i v i d u a l l e a r n i n g d i f f e r e n c e s . 2 4 9 T e a c h e r b e l i e f s a b o u t s t u d e n t s h e l p i n g o n e a n o t h e r i n t h e c l a s s w e r e d i f f e r e n t . C a r l e x p e c t e d s t u d e n t s t o h e l p o n e a n o t h e r w i t h t h e i r a s s i g n m e n t s . A l i c e e x p e c t e d l i t t l e s u c h s t u d e n t t u t o r i n g t o o c c u r . B y c h o o s i n g a n e u t r a l r e s p o n s e t o t h i s i t e m , B e t t y r e v e a l e d a l a c k o f a w a r e n e s s o f t h e s i t u a t i o n i n h e r c l a s s . E a c h t e a c h e r b e l i e v e d h e l p w a s i n i t i a t e d b y b o t h s t u d e n t s a n d t h e m s e l v e s , t h o u g h i n d i f f e r i n g d e g r e e s . E a c h t e a c h e r e n c o u r a g e d t h e i r s t u d e n t s t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s a l o n g l i n e s d e m o n s t r a t e d i n c l a s s . E a c h t e a c h e r l i s t e d t h e m s e l v e s a s t h e p r i m a r y p e r s o n a s t u d e n t s h o u l d a p p r o a c h i n s e e k i n g h e l p . S t u d e n t s r e c o g n i z e d t h i s h i e r a r c h y o f h e l p i n g p e r s o n s . I n a l l n i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s , s t u d e n t s a c k n o w l e d g e d t h e i r r e s p e c t i v e t e a c h e r s a s t h e p r i m a r y p e r s o n t h e y a p p r o a c h f o r h e l p . I t i s o n l y w h e n s u c h h e l p i s n o t p o s s i b l e o r a v a i l a b l e , t h a t s t u d e n t s a p p r o a c h a f e l l o w s t u d e n t o r f a m i l y m e m b e r w i t h t h e i r p r o b l e m . V e r b a l P r o b l e m I n s t r u c t i o n a l P a t t e r n s T h e p r e v i o u s s e c t i o n f o c u s e d o n c h a r a c t e r i z i n g e a c h t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e i n t e r m s o f s e g m e n t d i f f e r e n c e s . T h i s s e c t i o n f o c u s e s o n o n e s e g m e n t , l e s s o n d e v e l o p m e n t , r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . I n i t i a l l y c e r t a i n q u e s t i o n s o f t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t ( s e e A p p e n d i x D f o r a c o m p l e t e l i s t i n g o f q u e s t i o n s ) a r e a n a l y z e d w h i c h r e l a t e d t o t e a c h e r p e r c e p t i o n s o f a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . T h e p u r p o s e o f t h i s a n a l y s i s 2 5 0 i s t o u n c o v e r d i f f e r e n c e s i n t e a c h e r p e r c e p t i o n s w h i c h r e l a t e t o d i f f e r e n c e s i n v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s . S e c o n d l y , t h e s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n o f e a c h t e a c h e r ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t i s d i s c u s s e d b r i e f l y . T h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n c o n t a i n s c h a r a c t e r i z a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ’ s v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t d e v e l o p m e n t . Q u e s t i o n s o f P a r t I o f t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t r e q u i r e d t e a c h e r s t o m a r k a p o s i t i o n w h i c h m o s t a c c u r a t e l y d e s c r i b e d t h e i r i n s t r u c t i o n b e t w e e n t w o g i v e n s t a t e m e n t s . I t e m s n u m b e r e d 1 1 , 1 4 , a n d 1 7 a r e g i v e n b e l o w , a n d t o g e t h e r a t t e m p t e d t o i d e n t i f y a t e a c h e r ' s p o s i t i o n o n w h e t h e r i n s t r u c t i o n f o c u s e d m o r e o n m a n i p u l a t i o n / p r o c e d u r a l s k i l l s o r m o r e o n t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s , u n d e r s t a n d i n g , a n d j u s t i f i c a t i o n . l 2 3 4 5 1 1 . A l g e b r a i s t a u g h t A l g e b r a i s t a u g h t s t r i c t l y a s a m a n i p u l a t i o n _ ’ _ , _ _ ‘ _ w i t h e m p h a s i s o n o r i e n t e d s u b j e c t . t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s . 1 4 . I n m y a l g e b r a c l a s s , I I n m y a l g e b r a c l a s s e m p h a s i z e b a s i c a l g e b r a i c _ _ _ _ . _ ‘ _ I e m p h a s i z e t h e m a n i p u l a t i o n p r o c e d u r e s . u n d e r l y i n g r e a s o n s f o r v a r i o u s p r o c e d u r e s . 1 7 . U n d e r s t a n d i n g t h e U n d e r s t a n d i n g t h e m e t h o d o l o g y u s e d i s n o t _ _ _ _ _ _ m e t h o d o l o g y o f w h y c r i t i c a l . a m e t h o d g i v e s c o r r e c t a n s w e r s i s i m p o r t a n t . T h e t h r e e t e a c h e r s c h o s e n o e x t r e m e ( 1 o r 5 ) p o s i t i o n s f o r t h e s e t h r e e i t e m s , i n d i c a t i n g t e a c h e r 2 5 1 d i f f e r e n c e s t o b e o f m i n o r d e g r e e . B e t t y f a v o r e d t h e l e f t s i d e c o n s i s t e n t l y ( m a n i p u l a t i o n / p r o c e d u r e o r i e n t e d ) , w h i l e C a r l c o n s i s t e n t l y f a v o r e d t h e r i g h t s i d e ( t h e o r e t i c a l / u n d e r s t a n d i n g o r i e n t e d ) . A l i c e ’ s r e s p o n s e s w e r e n o t c o n s i s t e n t i n e i t h e r d i r e c t i o n . A s i m i l a r p u r p o s e w a s i n t e n d e d f o r t h e l a s t p a g e o f t h e p a c k e t w h i c h r e q u e s t e d t e a c h e r s t o r a n k e i g h t g i v e n p u r p o s e s o f a l g e b r a i n s t r u c t i o n ( s a m e p u r p o s e s a n d f o r m a t a s a u t h o r s u r v e y c o n t a i n e d ) . T h e r a n k i n g o f t h e e i g h t p u r p o s e s i n d i c a t e s i n d i r e c t l y a t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e a n d p r i o r i t i e s i n t h e t e a c h i n g o f a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . D i f f e r e n c e s b e t w e e n t e a c h e r s w e r e m o r e p r o n o u n c e d o n t h i s r a n k i n g i t e m . A l i c e a n d B e t t y r a n k e d v e r b a l p r o b l e m s h i g h ( 2 a n d 3 ) a n d a l l m a n i p u l a t i o n o r i e n t e d o b j e c t i v e s i n t h e i r t o p f i v e . B o t h t e a c h e r s r a n k e d " s o l u t i o n s o f f i r s t a n d s e c o n d d e g r e e e q u a t i o n s " o f h i g h e s t i m p o r t a n c e ( 1 ) . C a r l , o n t h e o t h e r h a n d , r a n k e d v e r b a l p r o b l e m s l o w ( 7 ) , a n d r a n k e d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a l g e b r a i c r u l e s a n d a r i t h m e t i c , a n d u n d e r s t a n d i n g / j u s t i f i c a t i o n o f a l g e b r a i c p r o c e d u r e s , o n e a n d t w o r e s p e c t i v e l y . A l l t h r e e t e a c h e r s g a v e t h e p u r p o s e , a l g e b r a i c t e c h n i q u e s a s p o w e r f u l t o o l s f o r p r o b l e m s o l v i n g , a m i d d l e r a n k i n g ( 3 , 4 , o r 5 ) . B e t t y a n d A l i c e s i m i l a r l y p r i o r i t i z e d t h e p u r p o s e s a c c o r d i n g t o s p e c i f i c s k i l l e m p h a s i s , w h i l e C a r l p l a c e d g r e a t e r e m p h a s i s o n u n d e r s t a n d i n g / j u s t i f i c a t i o n p u r p o s e s , o r w h a t m i g h t b e w ” . _ _ 7 7 7 1 7 ‘ 7 , : 7 2 5 2 c o n s i d e r e d h i g h e r o r d e r o b j e c t i v e s . P a r t I I I o f t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t c o n t a i n e d i t e m s w h i c h w e r e m o r e o p e n e n d e d , r e q u i r i n g t e a c h e r w r i t i n g o f r e s p o n s e s o r p e r c e n t a g e e s t i m a t e s i n m o s t c a s e s . S e v e r a l i t e m s w e r e s e l e c t e d f o r t h e i r r e l e v e n c e i n c h a r a c t e r i z i n g d i f f e r e n t t e a c h e r p e r s p e c t i v e s . O n e i t e m r e q u e s t e d t h r e e r e a s o n s f o r t h e i n c l u s i o n o f v e r b a l p r o b l e m s i n t h e A l g e b r a I c o u r s e . C a r l l i s t e d o n l y o n e r e a s o n , s t a t i n g t h a t v e r b a l p r o b l e m s " g e t s t u d e n t s t o t h i n k l o g i c a l l y a n d a b s t r a c t l y i n u s i n g d e d u c t i v e a n d i n d u c t i v e r e a s o n i n g " . C a r l d i d n o t m e n t i o n t h e a p p l i c a t i o n a l n a t u r e o f v e r b a l p r o b l e m s . B e t t y s t a t e d t h a t f i r s t , v e r b a l p r o b l e m s " f o s t e r a p r o b l e m — s o l v i n g - t h i n k i n g t h r o u g h a b i l i t y " . S e c o n d l y , s h e n o t e d t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n a n d p r a c t i c e n a t u r e o f v e r b a l p r o b l e m s , a n d l a s t l y n o t e d t h e p r a c t i c e o f s p e c i f i c t r a n s l a t i o n a l s k i l l s r e q u i r e d i n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . A l i c e s u g g e s t e d v e r b a l p r o b l e m s f i r s t , " i m p r o v e r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n " , a n d s e c o n d l y a i d d e v e l o p m e n t o f " o r d e r e d a n d s t r u c t u r e d p r o c e s s i n g a n d t h i n k i n g " . A l l t h r e e t e a c h e r s r e f e r r e d t o v e r b a l p r o b l e m s a s a i d i n g o r g a n i z e d t h i n k i n g . C a r l b e s t e x p r e s s e d a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o m p l e x i t y i n v o l v e d i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a n d t h e a s s o c i a t e d r e l a t i o n a l r e q u i r e m e n t s o n s t u d e n t t h i n k i n g . C a r l a l s o h a d t h e b e s t u n d e r s t a n d i n g o f t h e i m p o r t a n c e t h a t v o c a b u l a r y a n d i m p l i c i t r e l a t i o n s h i p s 2 5 3 w i t h i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s h a v e o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e . H e s t a t e d t h a t h e r e v i e w e d p r o b l e m s e t s f o r v o c a b u l a r y a n d i m p l i c i t r e l a t i o n s h i p s p r i o r t o a s s i g n m e n t , a n d e x p l i c i t l y c o v e r e d t h e s e a r e a s w i t h i n l e s s o n d e v e l o p m e n t . . A l i c e s t a t e d s h e g a v e l i t t l e a t t e n t i o n t o s u c h t h i n g s , a n d B e t t y s t a t e d s h e d i d a b o u t h a l f t h e t i m e . O b s e r v a t i o n s v e r i f i e d t h e a c c u r a c y o f t h e s e r e s p o n s e s f r o m t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t . T e a c h e r s w e r e a l s o r e q u e s t e d i n P a r t I I I t o l i s t s p e c i f i c c a u s e s o f s t u d e n t d i f f i c u l t y w i t h v e r b a l p r o b l e m s . E a c h t e a c h e r l i s t e d r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n a n d a n a l y s i s ( a t t a c k ) s k i l l s a s t h e p r i m a r y c a u s e o f s t u d e n t d i f f i c u l t y . A l i c e a n d B e t t y m e n t i o n e d a f f e c t i v e t r a i t s o f s t u d e n t s a s a s e c o n d a r y c a u s e . B o t h t e a c h e r s m e n t i o n e d a n u n w i l l i n g n e s s o n t h e p a r t o f s o m e s t u d e n t s t o t h i n k , w h i l e B e t t y a l s o s t a t e d t h a t t h e r e w a s a n " i n b r e d a n x i e t y a n d f e a r a b o u t w o r d p r o b l e m s " . C a r l b e l i e v e d s t u d e n t i n a b i l i t y t o t r a n s l a t e w o r d s o r p h r a s e s i n t o a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s w a s a s e c o n d a r y c a u s e . I n t h e r e m e d i a t i o n o f s t u d e n t d i f f i c u l t y w i t h v e r b a l p r o b l e m s , e a c h t e a c h e r s u g g e s t e d s t u d e n t r e r e a d i n g o f t h e p r o b l e m m o r e c a r e f u l l y t o w a r d s u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m ’ s k e y e l e m e n t s . B e t t y a d d e d " t e l l t h e m t o r e l a x " b e f o r e r e r e a d i n g . A l i c e n o t e d o n a d i f f e r e n t i t e m t h a t m i d d l e a b i l i t y s t u d e n t s ’ b i g g e s t b a r r i e r t o S U C C G S S ‘ W i t h v e r b a l p r o b l e m s w a s " f e a r o f f a i l u r e " . A s w a s n o t e d 2 5 4 e a r l i e r , t h i s b e l i e f d o m i n a t e d t h e s t r u c t u r e o f A l i c e ’ s d a i l y r o u t i n e . E a c h t e a c h e r t h e n s u g g e s t e d a r e t u r n t o t h e s t e p s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l p r e s e n t e d i n t h e i r r e s p e c t i v e t e x t b o o k . B e t t y s t a t e d " r e f e r t h e m b a c k t o t h e f i v e s t e p s i n t h e b o o k " . O n l y C a r l m e n t i o n e d h e l p i n g s t u d e n t s " b r e a k d o w n " s e n t e n c e p h r a s e s a n d t r a n s l a t i n g p h r a s e s . C a r l e x h i b i t e d a k e e n s e n s e o f s p e c i f i c s t u d e n t w e a k n e s s e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s , p a r t i c u l a r l y w i t h i n t h e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p h a s e . S u b j e c t i v e E v a l u a t i o n A f t e r e a c h t e a c h e r o b s e r v a t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r e v a l u a t e d t h e q u a l i t y o f t h e t e a c h e r ’ s d e l i v e r e d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t u s i n g t h e l o w e r r i g h t s e c t i o n o f C o d i n g F o r m 2 . T h i s f o r m i s d e s c r i b e d i n d e t a i l i n C h a p t e r I I I , a n d c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x B . E a c h o f t h e n i n e c a t e g o r i e s w a s e v a l u a t e d o n a s c a l e o f 1 ( p o o r ) t h r o u g h 5 ( e x c e l l e n t ) . T h e m e a n r a t i n g s o f l e s s o n d e v e l o p m e n t q u a l i t y a r e g i v e n i n T a b l e 4 . 1 1 f o r t h e n i n e c a t e g o r i e s a n d e a c h t e a c h e r . T h e f e w n o n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g l e s s o n d e v e l o p m e n t s o b s e r v e d w e r e i n c l u d e d i n t h e s e r e s u l t s . 2 5 5 T a b l e 4 . 1 1 T e a c h e r C o m p a r i s o n : L e s s o n D e v e l o p m e n t Q u a l i t y A l i c e B e t t y C a r l N u m b e r o f o b s e r v a t i o n s 1 1 9 8 C a t e g o r y 1 . T a s k O r i e n t a t i o n 4 . 2 2 . 4 4 . 6 2 . C l a r i t y 4 . 3 3 . 0 4 . 9 3 . E n t h u s i a s m 3 . 3 2 . 3 3 . 8 4 . F r e q u e n t T e a c h e r T a l k 4 . 2 4 . 1 4 . 4 5 . A t t e n d i n g P r e r e q u i s i t e s 3 . 1 2 . 4 4 . 5 6 . A t t e n d i n g R e l a t i o n s h i p s 3 . 3 3 . 0 4 . 0 7 . A t t e n d i n g R e p r e s e n t a t i o n s 2 . 5 2 . 4 3 . 1 8 . A t t e n d i n g D i s c r i m i n a t i o n 2 . 2 2 . 6 4 . 0 9 . G e n e r a l i t y o f C o n c e p t s 3 . 0 2 . 2 3 . 5 T o t a l R a t i n g 3 0 . 1 2 4 . 4 3 6 . 8 T h e r e s u l t s o f t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t e v a l u a t i o n s i n d i c a t e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s b e t w e e n t e a c h e r s . F o r i n s t a n c e , t h e h i g h r a t i n g s f o r f r e q u e n t t e a c h e r t a l k i n d i c a t e a l l t h r e e t e a c h e r s l e c t u r e d , a n d d o m i n a t e d i n t e r a c t i o n s d u r i n g l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s . T h e l a s t f i v e c a t e g o r i e s w e r e m o r e e f f e c t e d b y d i f f e r e n c e s i n t h e q u a n t i t y o f t i m e g i v e n t o l e s s o n d e v e l o p m e n t b y e a c h t e a c h e r . F o r t h e s e c a t e g o r i e s t h e i n v e s t i g a t o r j u d g e d s u f f i c i e n c y o f e x a m p l e s a n d e x p l a n a t i o n s a c c o r d i n g t o w h a t t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d w a s p o s s i b l e f o r t h e t e a c h e r t o a c c o m p l i s h . T e a c h e r d i f f e r e n c e s a r e d e v e l o p e d i n t h e f o l l o w i n g 2 5 6 d e s c r i p t i o n s o f e a c h t e a c h e r ’ s p l a n n i n g , o r g a n i z a t i o n , a n d d e l i v e r y o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . F o r e a c h t e a c h e r , t h e t e x t b o o k w a s t h e p r i m a r y d e t e r m i n a n t f o r p l a n n i n g a n d l e s s o n d e l i v e r y . Y e t e a c h t e a c h e r a p p r o a c h e d t h i s t a s k f r o m a d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e w h i c h r e s u l t e d i n d i f f e r i n g p r e s e n t a t i o n s o f t h e s a m e c o n t e n t . A g e s I n A l i c e ’ s t e x t b o o k , c o r e v e r b a l p r o b l e m s a r e n e a t l y o r g a n i z e d i n t o n i n e c h a p t e r s e c t i o n s o f t h i s t e x t b o o k , e a c h s e c t i o n d e s i g n a t e d : P r o b l e m S o l v i n g a n d A p p l i c a t i o n s . F o r t w o s u c h s e c t i o n s , a d d i t i o n a l r e l a t i o n s h i p s a r e i n c l u d e d w i t h i n s e c t i o n e x e r c i s e s e t s . I n o n e e x e r c i s e s e t , t h e f o r m u l a : A + B + C + D = 3 6 0 i s i n t r o d u c e d , a n d i n t h e o t h e r e x e r c i s e s e t , t h e s t u d e n t i s a s k e d t o r e c a l l ( i n t r o d u c e d e a r l i e r ) t h a t " t h e s u m o f t h e m e a s u r e s o f a n g l e s o f a t r i a n g l e i s 1 8 0 " . T h r e e o f t h e n i n e c h a p t e r s e c t i o n s c o r r e s p o n d w i t h t h r e e i n v e s t i g a t o r d e s i g n a t e d p r o b l e m t y p e s : i n t e g e r p r o b l e m s , a g e r e l a t e d p r o b l e m s , a n d D / R / T p r o b l e m s . T w o o t h e r s e c t i o n s t o g e t h e r c o r r e s p o n d w i t h t h e g e o m e t r i c f o r m u l a p r o b l e m t y p e . T h e f o u r o t h e r s e c t i o n s ( i n c l u d i n g t h e p e r c e n t r e l a t e d p r o b l e m s ) w e r e c l a s s i f i e d s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e s . F o u r e x e r c i s e s o f o n e s e c t i o n a n d f i f t e e n e x e r c i s e s f r o m a s u p p l e m e n t a r y t e x t b o o k w e r e c l a s s i f i e d c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m s t y p e . T o s o m e e x t e n t , a l l s i x i d e n t i f i e d p r o b l e m t y p e s r e c e i v e d c o v e r a g e i n A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n . 2 5 7 v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s a r e l o c a t e d w i t h i n c h a p t e r s ‘ w i t h t h e i n t e n t i o n t h a t s u c h s e c t i o n s p r o v i d e s t u d e n t p r a c t i c e o f i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g m a n i p u l a t i o n s k i l l s . . A l i c e i g n o r e d t h e a u t h o r s ’ s e q u e n c i n g i n t e n t i o n s , a n d i n s t e a d s h e f i r s t c l u m p e d t o g e t h e r a n d t a u g h t a c h a p t e r ’ s m a n i p u l a t i o n s k i l l s e c t i o n s . T h e n t h e r e m a i n i n g t h r e e o r f o u r v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s w e r e t a u g h t s e p a r a t e l y i n o r d e r o f t e x t b o o k a p p e a r a n c e . E x e r c i s e s e t s o f v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s r e c e i v e d a l m o s t t o t a l c o v e r a g e b y A l i c e i n h e r e x p l a n a t i o n s a n d a s s i g n m e n t s i n t w o s u c c e s s i v e c l a s s p e r i o d s . S h e a s s i g n e d e x e r c i s e s e t s i n o n e o f t w o p a t t e r n s . E i t h e r t h e o d d e x e r c i s e s o f a s e t w e r e a s s i g n e d , f o l l o w e d b y t h e e v e n e x e r c i s e s t h e n e x t d a y , o r t h e f i r s t h a l f o f a n e x e r c i s e s e t w a s a s s i g n e d w i t h t h e r e m a i n d e r o f t h e s e t t h e f o l l o w i n g d a y . A l i c e ’ s d a i l y a n d w e e k l y p l a n n i n g f o r t h i s c l a s s r e q u i r e d m i n i m a l e f f o r t . S h e p l a n n e d a n d w r o t e t h e t o p i c s e q u e n c e f o r a w e e k ’ s l e s s o n s a t a t i m e , i n c l u d i n g t h e a s s i g n e d e x e r c i s e s s h e w o u l d m a k e e a c h d a y . Q u i z z e s a n d t e s t s w e r e t a k e n d i r e c t l y f r o m s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s p r o v i d e d b y t h e t e x t b o o k p u b l i s h e r s . Q u i z z e s a n d t e s t s l a c k e d t h e s a m e d i v e r s i t y o f c o n t e x t s n o t e d e a r l i e r i n t h e t e x t b o o k a n a l y s i s . O n t w o o c c a s i o n s A l i c e d e s i g n e d s u p p l e m e n t a r y p r a c t i c e w o r k s h e e t s o f v e r b a l p r o b l e m s t a k e n f r o m o t h e r s o u r c e s . T h e s e m a t e r i a l s e x h i b i t e d g r e a t e r c o n t e x t d i v e r s i t y , a n d e n c o u r a g e d t h e c o m b i n e d r e v i e w o f 2 5 8 s e v e r a l p r o b l e m t y p e s s i m u l t a n e o u s l y . A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n d i d a v o i d o n e w e a k n e s s o f t h i s t e x t b o o k n o t e d e a r l i e r b y t h e i n v e s t i g a t o r . T h e t e x t b o o k i d e n t i f i e s a n e w g e n e r a l p r o c e d u r e f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m t y p e e n c o u n t e r e d w i t h i n e a c h c h a p t e r s e c t i o n . A l i c e a v o i d e d t h i s w e a k n e s s b y n o t c a l l i n g s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e b o x e d s u m m a r i e s f o u n d i n e a c h s e c t i o n . I n s t e a d s h e d r e w s t u d e n t a t t e n t i o n t o t h e f a c t t h a t a d d i t i o n a l f e a t u r e s c o u l d b e i n c o r p o r a t e d i n t o t h e f o u r s t e p m o d e l s h e r e q u i r e d s t u d e n t s t o f o l l o w i n t h e i r w r i t t e n s o l u t i o n s . A c h a p t e r s e c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s r e c e i v e d t w o d a y s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t b y A l i c e . O n t h e f i r s t d a y , A l i c e i n i t i a l l y f o c u s e d o n t h e i n h e r e n t r e l a t i o n s h i p ( s ) c o n t a i n e d i n t h e v e r b a l p r o b l e m s u n d e r s t u d y . S h e u s e d c o n c r e t e e x a m p l e s i n h e r d i s c u s s i o n t o a i d r e c a l l o f t h e r e l a t i o n s h i p ( s ) . A l i c e a s s u m e d a l l s t u d e n t s h a d b e e n e x p o s e d t o t h e s t u d i e d r e l a t i o n s h i p s i n t h e i r p r e v i o u s m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e s . O n e o r t w o e x a m p l e p r o b l e m s w e r e s e l e c t e d f r o m t h e e x e r c i s e s e t o f a s e c t i o n f o r c l a s s r o o m d i s c u s s i o n a n d c o m p l e t i o n . . A l i c e i n c l u d e d e x p l a n a t i o n a n d p u r p o s e s r e l a t e d t o t e x t b o o k s u g g e s t i o n s f o r t h e i n c l u s i o n o f a u x i l i a r y d e v i c e s ( c h a r t s , t a b l e s , a n d d i a g r a m s ) . S h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o w r i t e t h e s e e x a m p l e s o l u t i o n s i n t h e i r n o t e b o o k s , a s s h e w r o t e t h e s o l u t i o n s t e p s o n t h e c h a l k b o a r d . S t e p s w e r e 2 5 9 c l e a r l y a n d e x p l i c i t l y d e f i n e d i n h e r p r e s e n t a t i o n s , a n d A l i c e c o n s i s t e n t l y f o l l o w e d t h e s e s t e p s i n a l l v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . T h e w e l l o r d e r e d p a t t e r n o f s t e p s b e g a n w i t h t h e d e f i n i n g o f v a r i a b l e s , t h e n f i n d i n g t h e r e l a t e d e q u a t i o n , t h e n s o l v i n g t h e e q u a t i o n , a n d f i n a l l y , p o s t i n g t h e r e s u l t s n e x t t o t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . O b s e r v e d s t u d e n t b o a r d w o r k , d u r i n g h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s , i n d i c a t e d g e n e r a l c o n f o r m a n c e w i t h A l i c e ’ s e x p e c t a t i o n s f o r w r i t t e n s o l u t i o n s . A l i c e e v a l u a t e d s t u d e n t w r i t t e n w o r k b a s e d o n t h e c o r r e c t c o m p l e t i o n o f t h e f o u r s t e p s , a n d a w a r d e d p a r t i a l c r e d i t f o r t h e d e g r e e o f s t u d e n t p r o g r e s s o n a p r o b l e m . I n h e r i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s , A l i c e ’ s p r i m a r y o b j e c t i v e w a s s t u d e n t d e v e l o p m e n t o f a n o r d e r l y s e q u e n c e o f p r o c e s s e s t o f o l l o w i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . S h e b e l i e v e d t h e d e v e l o p m e n t o f o r g a n i z e d m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g w a s t h e g r e a t e s t n e e d o f t h e s e s t u d e n t s . A l i c e ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t i n c l u d e d m a n y s t u d e n t - t e a c h e r i n t e r a c t i o n s , a n d i n v o l v e d s t u d e n t s i n e v e r y p h a s e o f a n e x a m p l e ’ s s o l u t i o n . A s m a n y a s f i v e o r s i x s t u d e n t s c o n t r i b u t e d i n p u t t o t h e s o l u t i o n o f a s i n g l e e x a m p l e . A l i c e p r o v i d e d s t u d e n t s t i m e t o r e a d t h e e x a m p l e ( e x e r c i s e ) s i l e n t l y , a n d t h e n c h o s e a s t u d e n t t o r e a d t h e p r o b l e m a l o u d . T h a t s t u d e n t h a d t o i d e n t i f y w h a t t h e p r o b l e m w a s a s k i n g f o r , a n d p o s s i b l y a t t e m p t t o d e f i n e v a r i a b l e s f o r t h e p r o b l e m ’ s e l e m e n t s . A s e c o n d s t u d e n t , 2 6 0 a s s i g n e d o r s e l e c t e d f r o m v o l u n t e e r s b y . A l i c e , w a s r e q u e s t e d t o l o c a t e t h e s e n t e n c e o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t ‘ w h i c h r e l a t e d t o t h e p r o b l e m ’ s e q u a t i o n , a n d r e a d i t o r a l l y . T h i s s t u d e n t t h e n s u g g e s t e d a p o s s i b l e e q u a t i o n . . A l i c e w r o t e t h e s u g g e s t e d e q u a t i o n o n t h e c h a l k b o a r d , p a u s e d a m o m e n t t o s t u d y i t , a n d t h e n a s k e d t h e c l a s s t h e i r o p i n i o n o f t h e p r o p o s e d e q u a t i o n . S t u d e n t p o s i t i v e n o d s o r q u i e t i n d i c a t e d t o A l i c e c l a s s r o o m a g r e e m e n t w i t h t h e f o r m u l a t e d e q u a t i o n , w h i l e s t u d e n t h a n d r a i s i n g i n d i c a t e d d i s a g r e e m e n t o r s u g g e s t i o n s f o r a l t e r n a t i v e o r m o d i f i e d e q u a t i o n s . A l i c e s e l d o m c r i t i c i z e d s t u d e n t s ’ s u g g e s t i o n s , a n d s t u d e n t s d i s p l a y e d a n o p e n n e s s t o c o n j e c t u r e g u e s s e s . N o r m a l l y i t r e q u i r e d t w o o r t h r e e s t u d e n t a t t e m p t s b e f o r e a c o r r e c t e q u a t i o n w a s f o r m u l a t e d . O n c e a g r e e m e n t o n a n e q u a t i o n w a s r e a c h e d , a d i f f e r e n t s t u d e n t w a s c h o s e n t o s o l v e t h e e q u a t i o n , v e r b a l l y s t a t i n g t h e p r o c e d u r e f o l l o w e d a s A l i c e r e c o r d e d t h e w o r k o n t h e c h a l k b o a r d . O t h e r s t u d e n t s a i d e d i n t h i s p r o c e s s , s p e a k i n g o u t w h e n i n d i s a g r e e m e n t o r a s c a l l e d u p o n b y . A l i c e w h e n p r o g r e s s s t a l l e d . A s a l a s t s t e p a s t u d e n t w a s i d e n t i f i e d t o i n t e r p r e t t h e e q u a t i o n ' s s o l u t i o n . F o r t h i s p r o c e s s A l i c e w r o t e t h e n u m e r i c a l a n s w e r s i n d i c a t e d b y t h e s t u d e n t n e x t t o t h e d e f i n i t i o n s o f t h e v a r i a b l e s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e p r o b l e m . A b o u t h a l f t h e t i m e a c h e c k o f t h e s o l u t i o n s w a s c a r r i e d o u t b y A l i c e , a n d i n v o l v e d a q u i c k r e v i e w a s t o w h e t h e r t h e s o l u t i o n s s a t i s f i e d t h e 2 6 1 p r o b l e m s t a t e m e n t . F o r t h e f i r s t e x a m p l e , s t u d e n t s w e r e t o l d t o r e c o r d a l l w r i t t e n w o r k f r o m t h e c h a l k b o a r d i n t o t h e i r n o t e b o o k s a f t e r a s o l u t i o n w a s c o m p l e t e d . F o r a s e c o n d e x a m p l e s t u d e n t s w e r e t o l d t o r e c o r d s o l u t i o n s t e p s w h i l e c l a s s d i s c u s s i o n w a s p r o c e e d i n g . A l i c e t h e n s e l e c t e d o n e o r t w o p r o b l e m s f r o m t h e e x e r c i s e s e t t o b e d o n e a s c o n t r o l l e d p r a c t i c e b y t h e c l a s s . S t u d e n t s s e l d o m m a d e e r r o r s d u r i n g t h e s e p r a c t i c e s e s s i o n s , a n d w h e n e r r o r s o c c u r r e d t h e y w e r e i n d i v i d u a l l y r e m e d i a t e d b y A l i c e . C o r r e c t s o l u t i o n s f o r t h e s e p r o b l e m s w e r e q u i c k l y s k e t c h e d o n t h e c h a l k b o a r d w i t h m i n i m a l c o m m e n t b y A l i c e . T h e s e c o n d d a y o f i n s t r u c t i o n f o r a c h a p t e r s e c t i o n g e n e r a l l y i n c l u d e d o n e a d d i t i o n a l e x a m p l e t a k e n f r o m t h e r e m a i n i n g p r o b l e m s o f t h e e x e r c i s e s e t , a n d o n e c o n t r o l l e d p r a c t i c e e x e r c i s e . L e s s o n d e v e l o p m e n t t i m e w a s g r e a t e r f o r t h e f i r s t d a y o f a c h a p t e r s e c t i o n , a b o u t t w i c e a s l o n g , a s f o r t h e s e c o n d d a y o f i n s t r u c t i o n . S u m m a r y / R e a c t i o n A l i c e ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s l a c k e d c r e a t i v i t y , y e t r e l a t e d t o s p e c i f i c o b j e c t i v e s a n d p u r p o s e s A l i c e d e s i r e d t o b e a c o m p l i s h e d . T w o o b j e c t i v e s w e r e a c c o m p l i s h e d i n A l i c e ’ s p r e s e n t a t i o n s . F i r s t , s t u d e n t s w e r e p r o v i d e d a w e l l s t r u c t u r e d a n d s e q u e n t i a l p a t t e r n f o r t h e p r o c e s s i n g o f v e r b a l p r o b l e m s . A l i c e ’ s f o u r s t e p m o d e l r e s e m b l e s P o l y a ’ s m o d e l , a n d r e c e i v e d 2 6 2 c o n s i s t e n t a n d e x p l i c i t t r e a t m e n t . S e c o n d l y , A l i c e ' s s h o r t p r e s e n t a t i o n s a l l o w e d s t u d e n t s t o c o m p l e t e a s s i g n m e n t s e f f i c i e n t l y i n a s h o r t a m o u n t o f t i m e , a n d w i t h a m i n i m u m a m o u n t o f f r u s t r a t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d A l i c e c o u l d h a v e m a d e g r e a t e r u s e o f c o n c r e t e a n d p r a c t i c a l e x a m p l e s , a n d s p e n t m o r e t i m e d e v e l o p i n g e n c o u n t e r e d r e l a t i o n s h i p s . H e r t r e a t m e n t o f r e l a t i o n s h i p s w a s s k e t c h y a n d c o n c e r n e d w i t h r e l a t e d f o r m u l a s , r a t h e r t h a n w i t h r e l a t i o n a l u n d e r s t a n d i n g . A l i c e m a d e l i t t l e a t t e m p t t o c o n n e c t n e w c o n c e p t s w i t h p r e v i o u s l y l e a r n e d c o n c e p t s i n h e r i n s t r u c t i o n . H e r t e x t b o o k s t r e s s e s t h a t t r a n s l a t i o n a l p r o c e s s e s a r e t o b e u s e d i n f o r m u l a t i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n s . A l i c e a c c e p t e d t h i s a p p r o a c h , a n d h e r i n s t r u c t i o n r e f l e c t e d t h i s a p p r o a c h t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . I n t h i s a p p r o a c h t h e f i r s t g o a l i s t o s e p a r a t e t h e s e n t e n c e s o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t a s t o w h e t h e r t h e y a d d r e s s t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n o r t h e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T h e i n d i v i d u a l s e n t e n c e s a r e t h e n a n a l y z e d , a n d t r a n s l a t i o n p r o c e s s e s a r e a p p l i e d t o e a c h s e n t e n c e . T h e i n v e s t i g a t o r n o t e d t h a t m a n y s t u d e n t e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n r e m a i n e d , d e s p i t e A l i c e ’ s g r e a t e r a t t e n t i o n a n d t i m e g i v e n t o t h e t e a c h i n g o f t r a n s l a t i o n p r o c e s s e s . H o w e v e r , r e l i a n c e o n t r a n s l a t i o n a l p r o c e s s e s t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s a p p e a r e d s u f f i c i e n t f o r a l l v e r b a l p r o b l e m t y p e s e n c o u n t e r e d d u r i n g t h e s t u d y . 2 6 3 1 3 6 — t i ! V e r b a l p r o b l e m s e t s w i t h i n B e t t y ' s t e x t b o o k a p p e a r e d i n a d i v e r s i t y o f l o c a t i o n s . S i n c e B e t t y f o l l o w e d t h e t e x t b o o k s e q u e n c e e x a c t l y i n h e r i n s t r u c t i o n a l p l a n n i n g , s u c h l o c a t i o n d i v e r s i t y m i g h t n o t a p p e a r p r o b l e m a t i c f o r B e t t y . H o w e v e r , B e t t y ’ s s o l e r e l i a n c e o n t e x t b o o k e x a m p l e s f o r h e r i n s t r u c t i o n a l p r e s e n t a t i o n s i n c r e a s e d t h e d i f f i c u l t i e s a s s o c i a t e d w i t h d i v e r s e v e r b a l p r o b l e m l o c a t i o n s . A s t h e t e x t b o o k a n a l y s i s n o t e d , t e x t b o o k B c o n t a i n s a s m a l l n u m b e r o f i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s ( 1 1 ) . T h i s p a u c i t y o f e x a m p l e s l i m i t e d s t u d e n t s ' e x p o s u r e t o v e r b a l p r o b l e m t y p e s a n d a s s o c i a t e d m e t h o d s o f s o l u t i o n i n B e t t y ’ s c l a s s . T h e c o m b i n a t i o n o f t e x t b o o k c h a r a c t e r i s t i c s a n d B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s r e l e g a t e d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t t o a s e c o n d a r y s t a t u s p o s i t i o n i n t h e t o t a l c o n t e n t p a c k a g e . B e t t y p l a n n e d f o r t h i s c l a s s a w e e k a t a t i m e , n o t i n g t h e s e c t i o n n u m b e r , t h e c o n t e n t f o c u s o r s k i l l , a n d t h e r e l a t e d a s s i g n m e n t o f e x e r c i s e s f o r e a c h d a y i n h e r p l a n b o o k . W r i t t e n d e t a i l o f e a c h d a y ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t w a s n o t r e c o r d e d , n o r w a s i t n e c e s s a r y s i n c e e a c h d a y ’ s d e v e l o p m e n t r e v i e w e d t h e t e x t b o o k ’ s e x p l a n a t i o n s c o m p l e t e l y p o i n t b y p o i n t . V e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s a p p e a r e d i n t h r e e f o r m s , a t t h e e n d o f a m a n i p u l a t i o n s k i l l s e t , a s a n i s o l a t e d p r o b l e m t y p e d s e t , o r a s a n e n t i r e s e c t i o n w i t h i n a 2 6 4 c h a p t e r . E a c h l o c a t i o n a l f o r m r e c e i v e d d i f e r e n t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t b y B e t t y . A s a c h a p t e r s e c t i o n , v e r b a l p r o b l e m s e t s r e c e i v e d o n e d a y o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t . A t t h e b e g i n n i n g o f t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t , s t u d e n t s w e r e t o l d t o o p e n t h e i r t e x t b o o k s t o t h e a p p r o p r i a t e c h a p t e r s e c t i o n . B e t t y t h e n r e a d t h e s e n t e n c e s w h i c h e x p l a i n e d t h e f o c u s a n d c e n t r a l r e l a t i o n s h i p ( s ) o f t h e s e c t i o n . E a c h t e x t b o o k e x a m p l e w a s d i s c u s s e d ( w i t h s t u d e n t s ’ b o o k s r e m a i n i n g o p e n ) w i t h t h e c l a s s a n s w e r i n g q u e s t i o n s t h a t B e t t y b r o u g h t f o r t h . M o s t l y , B e t t y ’ s q u e s t i o n s w e r e d i r e c t e d t o s t u d e n t s b y n a m e w h o B e t t y b e l i e v e d w e r e e a s i l y d i s t r a c t e d d u r i n g t h e s e d i s c u s s i o n s . S u c h d i r e c t e d q u e s t i o n s a l l o w e d B e t t y t o m a i n t a i n a l i m i t e d d e g r e e o f c l a s s a t t e n t i o n . D u r i n g t h e s e d i s c u s s i o n s , s t u d e n t s w e r e n o t v e r y a t t e n t i v e o r i n t e l l e c t u a l l y c h a l l e n g e d , s i n c e a q u i c k g l a n c e a t t h e o p e n t e x t b o o k g e n e r a l l y r e v e a l e d t o t h e s t u d e n t t h e a n s w e r t h a t B e t t y e x p e c t e d . B e t t y ' s t o t a l r e l i a n c e o n t h e t e x t b o o k f o r h e r i n s t r u c t i o n a l p r e s e n t a t i o n s a n d e x a m p l e s w a s t r u e f o r a l l c o n t e n t i n c h a p t e r s e c t i o n s , n o t j u s t v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s . W h e n v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s a p p e a r e d i n a n i s o l a t e d , p r o b l e m t y p e d s e t , n o t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s o r e x a m p l e s w e r e p r o v i d e d . W h e n t h e s e s e t s a p p e a r e d i n t h e t e x t b o o k , B e t t y u s e d t h e f i r s t p r o b l e m o f t h e e x e r c i s e s e t a s t h e o n l y e x a m p l e w i t h i n h e r i n s t r u c t i o n . T h e e x e r c i s e 2 6 5 s e t w a s a d d e d t o t h e a s s i g n m e n t o f t h e p r e v i o u s c h a p t e r s e c t i o n . S t u d e n t s p a i d g r e a t e r a t t e n t i o n t o B e t t y ' s d e m o n s t r a t i o n i n t h e s e i n s t a n c e s , a n d B e t t y w a s m o r e w i l l i n g t o c a l l o n s t u d e n t v o l u n t e e r s i n t h e s e d i s c u s s i o n s . I f u n a b l e t o f i n d a s t u d e n t v o l u n t e e r , B e t t y c a l l e d o n h e r m o r e a t t e n t i v e a n d b e t t e r s t u d e n t s . W h e n v e r b a l p r o b l e m s a p p e a r e d a t t h e e n d o f a m a n i p u l a t i o n s k i l l s e t , a t e x t b o o k s a m p l e p r o b l e m w a s p r o v i d e d . I n h e r l e s s o n d e v e l o p m e n t , B e t t y c o v e r e d t h e s e c t i o n ’ s m a n i p u l a t i o n e x a m p l e s , a n d t h e n j u m p e d t o t h e s a m p l e i n t h e v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s e t . C l a s s r o o m d i s c u s s i o n o f t h e s a m p l e p r o b l e m c l o s e l y r e s e m b l e d t h a t w h i c h c h a r a c t e r i z e d e x a m p l e s o f a c h a p t e r s e c t i o n . T h e s e s e t s o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s w e r e a s s i g n e d w i t h t h e a s s o c i a t e d m a n i p u l a t i o n e x e r c i s e s o f t h e d a y ’ s l e s s o n . F o r a l l t h r e e l o c a t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s e t s , g e n e r a l l y h a l f ( o d d o r e v e n n u m b e r s ) o f a n e x e r c i s e s e t w a s a s s i g n e d f o r h o m e w o r k . I t w a s o b s e r v e d t h a t a m a j o r i t y o f s t u d e n t s u s u a l l y f a i l e d t o c o m p l e t e a s s i g n m e n t s . S t u d e n t s g e n e r a l l y a t t e m p t e d t o s o l v e t h e v e r b a l p r o b l e m s o f a c h a p t e r s e c t i o n , s i n c e t h a t r e p r e s e n t e d t h e e n t i r e t y o f a n a s s i g n m e n t . H o w e v e r , b e c a u s e v e r b a l p r o b l e m s i n t h e o t h e r t w o l o c a t i o n s w e r e a t t h e e n d o f u s u a l l y l o n g a s s i g n m e n t s , s t u d e n t a t t e m p t s t o s o l v e t h e s e v e r b a l p r o b l e m s w a s m i n i m a l . O n e p a t t e r n o f B e t t y ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t d e s e r v e s 2 6 6 f u r t h e r d i s c u s s i o n . B e t t y l i k e d t o c o n s t r u c t w e l l s t r u c t u r e d , e x p l i c i t , a n d s e q u e n t i a l s t e p s f o r a l g e b r a i c p r o c e d u r e s . F o r i n s t a n c e , s o l v i n g a l i n e a r e q u a t i o n h a d a s e v e n s t e p s e q u e n c e . B e t t y b e l i e v e d t h e s e s t r u c t u r e d , e x p l i c i t p r o c e d u r e s s e r v e d a s u m m a r y f u n c t i o n p u r p o s e f o r s t u d e n t s , a n d a i d e d s t u d e n t r e c a l l . S t u d e n t s o b l i g i n g l y c o p i e d t h e m f r o m t h e c h a l k b o a r d i n t o t h e i r n o t e s . H o w e v e r t h e i n v e s t i g a t o r d i d n o t o b s e r v e s t u d e n t s u s i n g t h e i r n o t e s i n c o m p l e t i n g a s s i g n m e n t s , a l t h o u g h B e t t y r e f e r r e d e x p l i c i t l y t o t h e v a r i o u s s t e p n u m b e r s i n b o t h h e r r e v i e w o f h o m e w o r k a n d e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . T h e s a m e p a t t e r n o f e x p l i c i t s t e p p r o c e d u r e s w a s e v i d e n t i n B e t t y ’ s d e v e l o p m e n t o f a g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l . T h e t e x t b o o k ’ s f i v e s t e p m o d e l i n c o r p o r a t e s t h e f o u r s t e p s o f P o l y a ’ s m o d e l . B e t t y e x p l i c i t l y i n t r o d u c e d t h e f i v e s t e p s , i n c l u d i n g t h e l a s t c h e c k i n g s t e p , e a r l y i n t h e s c h o o l y e a r b e c a u s e o f i t s l o c a t i o n i n C h a p t e r 1 o f t e x t b o o k B . S t u d e n t s t h e n c o n t i n u o u s l y r e v i e w e d e x a m p l e s u s i n g t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , t h o u g h i t w a s n o t r e f o r m a l i z e d b y B e t t y i n h e r i n s t r u c t i o n f o r a t w o m o n t h p e r i o d . A t t h i s t i m e B e t t y r e v i e w e d t h e m o d e l ' s f i v e s t e p s a n d t o l d s t u d e n t s t o s h o w s t e p s n u m b e r e d 2 - 5 o n t h e i r p a p e r f o r e v e r y v e r b a l p r o b l e m ( s t e p 1 i n v o l v e d r e a d i n g t h e p r o b l e m ) . I n i t i a l l y s h e r e q u i r e d s t u d e n t s t o r e c o r d t h e n u m b e r f o r e a c h s t e p a l s o . L i m i t e d o b s e r v e d c h a l k b o a r d w o r k o f s t u d e n t s i n d i c a t e d 2 6 7 t h e s e s t u d e n t s c o m p l e t e d a l l s t e p s o f t h e p r o c e d u r e i n t h e i r s o l u t i o n s . H o w e v e r , s i n c e t h e s a m e t e n s t u d e n t s d i d a l l t h e h o m e w o r k r e v i e w b o a r d w o r k , i t w a s l e s s c l e a r w h e t h e r t h e o t h e r s e v e n t e e n s t u d e n t s h a d a d o p t e d t h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l . B e t t y ’ s e v a l u a t i o n o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m w o r k o n t e s t s o r q u i z z e s d i d n o t f o c u s o n t h e g e n e r a l m o d e l e m p l o y e d , b u t r a t h e r a w a r d e d f u l l c r e d i t f o r a c o r r e c t a n s w e r , o r h a l f c r e d i t w h e r e a c o m p u t a t i o n a l o r p r o c e d u r a l e r r o r w a s a p p a r e n t . S u m m a r y / R e a c t i o n B e t t y ’ s l e s s o n s f o l l o w e d a r e g u l a r r o u t i n e e a c h d a y . S e q u e n c e a n d p r e s e n t a t i o n w e r e t o t a l l y d e p e n d e n t u p o n t h e e m p l o y e d t e x t b o o k . T h e c l a r i t y o f h e r e x p l a n a t i o n s w a s d e p e n d e n t u p o n t h e c l a r i t y o f t h e t e x t b o o k p r e s e n t a t i o n s , w h i c h t h e i n v e s t i g a t o r d i d n o t r a t e h i g h l y o r c o n s i d e r o f s u f f i c i e n t q u a n t i t y t o b e e f f e c t i v e l e a r n i n g a i d s . B e t t y w a s c o n s i s t e n t i n e m p l o y i n g a s i n g l e , g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l f o r v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . S h e a t t e m p t e d t o h a v e s t u d e n t s i n t e r n a l i z e t h i s m o d e l t h r o u g h t e a c h e r m o d e l i n g a n d b y e x p l i c i t l y r e q u i r i n g s t u d e n t s t o u s e t h e m o d e l o n t h e i r a s s i g n m e n t s . T w o w e a k n e s s e s o f B e t t y ' s v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n w e r e a p p a r e n t . v e r b a l p r o b l e m s r e c e i v e d i n s u f f i c i e n t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t i n c o m p a r i s o n t o o t h e r c o n t e n t , a n d B e t t y ’ s s t u d e n t s l a c k e d n e c e s s a r y e x p e r i e n c e p r o c e s s i n g u n s o l v e d v e r b a l p r o b l e m s . P a r t i a l b l a m e f o r 2 6 8 i n s u f f i c i e n t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s l i e s w i t h t h e t e x t b o o k a u t h o r s , i n t h e s e n s e t h a t t h e r e a r e n o t e n o u g h e x a m p l e s p r e s e n t e d , a n d w a s d i s c u s s e d e a r l i e r . Y e t B e t t y m i g h t h a v e a l t e r e d h e r f i x e d i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i f s h e h a d r e a l i z e d t h e l i m i t a t i o n s o f t e x t b o o k p r e s e n t a t i o n s , p r i m a r i l y t h e q u a n t i t y o f s u c h p r e s e n t a t i o n s . H e r i n s e c u r i t i e s w i t h r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a n d / o r h e r i n a b i l i t y t o e v a l u a t e h e r t e a c h i n g o r p o s s i b l e a l t e r n a t i v e s p r e v e n t e d h e r f r o m . m o d i f y i n g o r e m b e l l i s h i n g t e x t b o o k p r e s e n t a t i o n s . B e t t y ' s v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n d e m o n s t r a t e s a c a s e o f t e a c h e r - t e x t b o o k m i s m a t c h . I f B e t t y p e r s i s t s i n m a i n t a i n i n g h e r p r e s e n t i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e , h e r s t u d e n t s m i g h t b e b e t t e r s e r v e d i f B e t t y a d o p t e d a t e x t b o o k s i m i l a r t o t e x t b o o k A . I t s m o r e e x t e n s i v e n u m b e r o f e x a m p l e s a n d g r e a t e r c h a p t e r s e c t i o n t r e a t m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s p r o v i d e s t u d e n t s g r e a t e r c o n t e n t e x p o s u r e a n d o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t l e a r n i n g f r o m t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s . O n e m i g h t a r g u e t h a t B e t t y ' s m o r e m o t i v a t e d s t u d e n t s l e a r n p r i m a r i l y f r o m t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s p r e s e n t l y . T h e s e c o n d w e a k n e s s , a l a c k o f s t u d e n t e x p e r i e n c e i n p r o c e s s i n g u n s o l v e d p r o b l e m s , r e s u l t s d i r e c t l y f r o m B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . E x c e p t f o r t h r e e p r o b l e m s u s e d a s e x a m p l e s f r o m t h e t h r e e i s o l a t e d v e r b a l p r o b l e m s e t s , a l l o f B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s w e r e s o l v e d 2 6 9 c o m p l e t e l y f o r s t u d e n t s w i t h i n t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s . S t u d e n t s c o n t i n u a l l y e x p o s e d t o w o r k e d o u t e x a m p l e s d o n o t r e c e i v e a n o p p o r t u n i t y t o d e v e l o p o r p r a c t i c e t h e n e c e s s a r y t h i n k i n g p r o c e s s e s , o r e v e n t o o b s e r v e s u c h p r o c e s s e s i n t e a c h e r m o d e l i n g i n t h e s o l v i n g o f v e r b a l p r o b l e m s . T h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s c o n d u c t e d b y B e t t y a l s o f a i l e d t o p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s t o p r a c t i c e t h e s e p r o c e s s e s f o r t h e l e s s m o t i v a t e d s t u d e n t s . T h e l a c k o f c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t s f u r t h e r i n h i b i t e d s t u d e n t o p p o r t u n i t y . O n l y t h e m o r e m o t i v a t e d s t u d e n t s , w h o a c t i v e l y a t t e m p t e d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o n t h e i r o w n d a i l y , g a i n e d s u f f i c i e n t e x p e r i e n c e a n d p r a c t i c e o f n e c e s s a r y t h i n k i n g p r o c e s s e s . C a r l I n C a r l ’ s t e x t b o o k , v e r b a l p r o b l e m s a p p e a r e d o n l y i n s e p a r a t e c h a p t e r s e c t i o n s . T w o s e c t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s f o r w h i c h t r a n s l a t i o n s k i l l s l e a d d i r e c t l y t o e q u a t i o n f o r m u l a t i o n a r e i n t h e t h i r d c h a p t e r o f t h i s t e x t b o o k . T h e f o u r t h c h a p t e r c o n t a i n s o n e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n f o r w h i c h g e o m e t r i c f o r m u l a s / r e l a t i o n s h i p s l e a d t o e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s . W i t h o n e e x c e p t i o n , t h e f i f t h c h a p t e r c o n t a i n s a l l v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s o f m o r e r e l a t i o n a l e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s . T h e o n e e x c e p t i o n i n v o l v e s e q u a t i o n s o l v i n g w i t h p a r e n t h e s e s ( d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y ) , w h i c h C a r l c o v e r e d e a r l i e r i n t h e s c h o o l y e a r w i t h C h a p t e r 3 m a t e r i a l r e l a t e d t o e q u a t i o n s o l v i n g . C a r l 2 7 0 t o l d t h e i n v e s t i g a t o r d u r i n g t h e s t u d y t h a t h e h a d s p e n t a n a d d i t i o n a l t w o w e e k s o f c l a s s t i m e t h i s y e a r a s s u r i n g s t u d e n t m a s t e r y o f a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n a n d e q u a t i o n s o l v i n g s k i l l s . H e b e l i e v e d t h e a d d i t i o n a l t i m e s p e n t o n t h e s e c o n t e n t a r e a s w o u l d l e a d t o i m p r o v e d p e r f o r m a n c e o n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p r o b l e m s a n d o n v e r b a l p r o b l e m s . O b s e r v a t i o n s o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s o f v e r b a l p r o b l e m s a n d s t u d e n t i n p u t d u r i n g C a r l ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s c o n f i r m e d t h e c o r r e c t n e s s o f C a r l ’ s b e l i e f s . F e w e r c a r e l e s s o r p r o c e d u r a l e r r o r s r e l a t e d t o e q u a t i o n s o l v i n g w e r e n o t e d i n t h i s c l a s s ’ s w o r k . C l a s s r o o m d i s c u s s i o n s i n d i c a t e d t h a t f o r m o s t s t u d e n t s t h e l i n e a r e q u a t i o n s o l v i n g p r o c e s s w a s a u t o m a t i c , e f f i c i e n t a n d a c c u r a t e . C a r l ’ s l e s s o n p l a n n i n g r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w a s d e t a i l e d a n d p o l i s h e d , a l t h o u g h n o t w r i t t e n o u t e x p l i c i t l y . H e h a d o b v i o u s l y s t u d i e d t h e e x p l a n a t o r y p a g e s , e x a m p l e s , a n d t h e e x e r c i s e s e t o f a t e x t b o o k s e c t i o n c a r e f u l l y . O n m o s t d a y s o n e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n r e c e i v e d i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d a s s i g n m e n t . T h e l a s t f o u r s e c t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s ( C h a p t e r 5 ) w e r e c o v e r e d i n t w o d a y s , t w o s e c t i o n s p e r d a y . F o r e a c h d a y ’ s p l a n n i n g , C a r l c o n s t r u c t e d a r e a l i s t i c p r o b l e m s i t u a t i o n t o w h i c h h e f e l t s t u d e n t s c o u l d r e l a t e a n d t a k e o n a h y p o t h e t i c a l r o l e p o s e d w i t h i n t h e s i t u a t i o n . T h e c o n s t r u c t e d s i t u a t i o n a l s o d e m o n s t r a t e d t h e e s s e n t i a l r e l a t i o n s h i p s o f t h e t e x t b o o k s e c t i o n . F o r e x a m p l e , s u c h 2 7 1 r e a l i s t i c s i t u a t i o n s i n c l u d e d d e f i n i n g s t u d e n t r o l e s a s a s t o r e m a n a g e r ( p e r c e n t m a r k u p , s a l e s ) , a p r o d u c t i o n m a n a g e r ( m o n e y / e a r n i n g r e l a t e d ) , a f a m i l y m e m b e r ( a g e r e l a t e d ) , a n d a s c h e d u l i n g s u p e r v i s o r ( D / R / T t y p e s ) . C a r l b e g a n l e s s o n d e v e l o p m e n t b y d e f i n i n g t h e r o l e h e w a n t e d e a c h s t u d e n t t o i m a g i n e p r e s e n t l y . H e t h e n p l a c e d t h e s t u d e n t s i n a r e a l i s t i c s i t u a t i o n b y i d e n t i f y i n g a f a m i l i a r , l o c a l c o m p a n y o r i n d u s t r y i n w h i c h t h e s t u d e n t s w e r e e m p l o y e d . H y p o t h e t i c a l s i t u a t i o n s w e r e t h e n d i s c u s s e d r e l a t e d t o t h e s t u d e n t s ’ p o s i t i o n i n t h e c o m p a n y . C a r l t h e n a d d e d n u m b e r s t o t h e s i t u a t i o n , a n d p o s e d a r e l a t e d p r o b l e m . C a r l c o n s t r u c t e d t h e n u m b e r s o n t h e s p o t , d u r i n g l e s s o n d e l i v e r y , s i n c e s o l u t i o n s s e l d o m c a m e o u t e v e n l y ( u n l e s s t h i s t o o w a s d e l i b e r a t e l y p l a n n e d ) . S t u d e n t s w e r e a l l o w e d t o t h i n k a l o u d , a n d s h a r e t h e i r i d e a s a n d a n s w e r s w i t h c l a s s m a t e s f o r s e v e r a l m i n u t e s . W h e n c o n v i n c e d t h a t s e v e r a l s t u d e n t s h a d d e t e r m i n e d h y p o t h e t i c a l a n s w e r s t o t h e p o s e d p r o b l e m , C a r l s e l e c t e d o n e s t u d e n t w h o i n d i c a t e d t h e y b e l i e v e d t h e y h a d a c o r r e c t s o l u t i o n . H e l i s t e n e d t o t h e s t u d e n t ’ s a n s w e r , a n d r e q u e s t e d t h e s t u d e n t t o e x p l a i n ( j u s t i f y ) t h e s o l u t i o n p a t h . O n c e t h e e x p l a n a t i o n w a s c o m p l e t e d , C a r l r e v i e w e d t h e s t u d e n t ’ s a r g u m e n t s s t e p b y s t e p f o r t h e c l a s s , a n d d i s c u s s i o n c e n t e r e d o n i t s m e r i t s o r i m p e r f e c t i o n s . T h i s q u e s t i o n i n g p r o c e s s m i g h t c o n t i n u e w i t h s e v e r a l s t u d e n t s m o d i f y i n g t h e s o l u t i o n p a t h u n t i l 2 7 2 C a r l s e n s e d t h e c l a s s a g r e e d u p o n t h e p o s e d p r o b l e m ’ s s o l u t i o n a n d e m p l o y e d r e a s o n i n g . C a r l t h e n m o v e d t o t h e o v e r h e a d a n d a s k e d s t u d e n t s t o s u g g e s t a l g e b r a i c w a y s t o s o l v e t h e p o s e d p r o b l e m , i f t h e s e m e t h o d s h a d n o t c o m e f o r t h i n t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n . V a r i a b l e s w e r e d e f i n e d a n d t h e e q u a t i o n w a s f o r m u l a t e d w i t h s t u d e n t a s s i s t a n c e , a n d s h o w n o n t h e o v e r h e a d . C a r l t h e n s o l v e d t h e e q u a t i o n , p o s t e d t h e r e s u l t s b y t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d e x p l i c i t l y c h e c k e d t h e s o l u t i o n s w i t h t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t . E q u a t i o n s o l v i n g a n d c h e c k i n g w e r e d o n e q u i c k l y , a n d w i t h l e s s s t u d e n t i n t e r a c t i o n . U s u a l l y h e p o s e d o n e o r t w o a d d i t i o n a l p r o b l e m s r e l a t e d t o t h e i n i t i a l l y c o n s t r u c t e d s i t u a t i o n a n d d e v i s e d r o l e . E a c h n e w p o s e d p r o b l e m r e q u i r e d g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e u n d e r l y i n g r e l a t i o n s h i p ( s ) , a n d c o m m a n d e d g r e a t e r a t t e n t i o n t o u s i n g a l g e b r a i c t e c h n i q u e s t o a c h i e v e s o l u t i o n . C a r l g a v e c a r e f u l a t t e n t i o n t o t h e s e q u e n c i n g o f t h e s e p o s e d p r o b l e m s . C a r l t h e n s o u g h t t o f o r m a l i z e t h e r e l a t i o n s h i p ( s ) b y r e v i e w i n g t h e t e x t b o o k e x p l a n a t i o n o f t h e f o c u s e d v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n w i t h t h e s t u d e n t s . H e s e l e c t i v e l y r e v i e w e d s o m e o r a l l o f t h e p r o v i d e d t e x t b o o k e x a m p l e s , d e p e n d i n g o n w h e t h e r a n e x a m p l e h a d a v a r i e d c o n t e x t o r r e q u i r e d a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T e x t b o o k e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s w e r e c o v e r e d q u i c k l y 2 7 3 ( 5 - 7 m i n u t e s ) w i t h C a r l t a l k i n g a n d w r i t i n g o n t h e o v e r h e a d t h e s t e p s h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o i n c l u d e i n t h e i r a s s i g n m e n t s . L e s s o n d e v e l o p m e n t e n d e d a n d t h e c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t b e g a n w h e n C a r l r e q u e s t e d s t u d e n t s t o t a k e o u t a s h e e t o f s c r a p p a p e r t o w o r k s o m e p r o b l e m s t h e m s e l v e s . U s u a l l y t w o p r o b l e m s w e r e a s s i g n e d f o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e , a n d w e r e s e l e c t e d f r o m t h e w r i t t e n e x e r c i s e s e c t i o n o f t h e u p c o m i n g a s s i g n m e n t . O n t w o o c c a s i o n s , C a r l o r a l l y p o s e d a p r a c t i c e p r o b l e m h e h a d d e s i g n e d b e f o r e c l a s s . O n c e s t u d e n t s h a d a t t e m p t e d b o t h p r o b l e m s , C a r l d i d e a c h p r o b l e m o n t h e o v e r h e a d w i t h s t u d e n t a s s i s t a n c e . S t u d e n t t r a n s i t i o n t o t h e d a y ’ s a s s i g n m e n t o f e x e r c i s e s w a s r e l a t i v e l y e a s y . T h e f e w s t u d e n t q u e s t i o n s g e n e r a t e d d u r i n g s e a t w o r k r e l a t e d t o s p e c i f i c c o n c e p t s c o n t a i n e d w i t h i n p r o b l e m s t a t e m e n t s o f t h e e x e r c i s e s . T h e m o s t a c t i v e a n d p a r t i c i p a t i v e s t u d e n t s s a t d i r e c t l y i n f r o n t o f C a r l a s h e f a c e d t h e c l a s s , a n d f o r m e d a " V " w i t h h i m s e l f a s t h e v e r t e x . T h e m o r e q u i e t f i v e o r s i x s t u d e n t s s a t n e a r t h e f r o n t a n d w i n d o w a r e a s , o r t o C a r l ’ s l e f t a s h e f a c e d t h e c l a s s . T h i s a r r a n g e m e n t ‘ w a s n o t i c e a b l e , b u t m a y h a v e j u s t b e e n c o i n c i d e n t a l . S u m m a r y / R e a c t i o n C a r l ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s w e r e c o n s i d e r a b l y d i f f e r e n t f r o m t h e o t h e r t e a c h e r s q u a l i t a t i v e l y , a n d i n t e r m s o f q u a n t i t y o f t i m e a n d e x a m p l e s . B e s i d e s b e i n g 2 7 4 l o n g e r , t h e s e s e g m e n t s c o n t a i n e d m o r e r e a l i s t i c e x a m p l e s b e y o n d t h o s e c o n t a i n e d i n t h e t e x t b o o k . E x a m p l e s w e r e t h e p r i m a r y m e a n s f o r t h e d e v e l o p m e n t o f e a c h s e c t i o n ’ s c e n t r a l r e l a t i o n s h i p ( s ) . S t u d e n t s w e r e e n c o u r a g e d t o b e a c t i v e p a r t i c i p a n t s i n C a r l ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s , a n d s t u d e n t - t e a c h e r i n t e r a c t i o n s w e r e l i v e l y a n d r e l e v a n t e x c h a n g e s . C a r l ' s p u r p o s e s a n d t h o s e o f h i s e m p l o y e d t e x t b o o k w e r e h a r m o n i o u s . S o m e v e r b a l p r o b l e m s e t s s t r e s s e d t r a n s l a t i o n a l s k i l l s , w h i l e m o s t v e r b a l p r o b l e m s e t s s u g g e s t e d a m o r e r e l a t i o n a l f o r m u l a t i o n . T h e s e t w o l e v e l s o f v e r b a l p r o b l e m s w e r e c l e a r l y i n s e p a r a t e l o c a t i o n s o f t h e t e x t b o o k . C a r l ' s i n s t r u c t i o n s i m i l a r l y s e p a r a t e d v e r b a l p r o b l e m l e v e l s a n d t h e a s s o c i a t e d s k i l l s f o r e a c h l e v e l . C a r l d e v e l o p e d a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l o f w r i t t e n e x p e c t a t i o n s f o r h i s s t u d e n t s m o r e b y m o d e l i n g t h e d e s i r e d s t e p s t h a n b y e x p l i c i t l y d e f i n i n g t h e p r o c d u r e . H i s f o u r s t e p m o d e l c l o s e l y m a t c h e d P o l y a ’ s m o d e l , a n d w a s a s i m p l i f i c a t i o n o f t h e t e x t b o o k ’ s s e v e n s t e p p r o c e d u r e . T h r e e " t h i n k i n g " s t e p s w e r e d r o p p e d f r o m t h e t e x t b o o k p r o c e d u r e , y e t t h e s e s t e p s r e c e i v e d c o n t i n u e d m o d e l i n g b y C a r l i n h i s i n s t r u c t i o n . C a r l a s s u m e d s t u d e n t s w o u l d i n t e r n a l i z e t h e s e s t e p s f r o m h i s m o d e l i n g o f t h e m , a n d u s e t h e m i n t h e i r a n a l y s i s o f p r o b l e m s t a t e m e n t s . H e a l s o s t r e s s e d t h e c h e c k i n g ( l o o k i n g b a c k ) s t e p i n h i s 2 7 5 i n s t r u c t i o n . C a r l ' s a s s i g n m e n t s w e r e s h o r t e r t h a n f o r t h e o t h e r t e a c h e r s , g e n e r a l l y r e p r e s e n t i n g h a l f o f a t e x t b o o k e x e r c i s e s e t . T h e l a c k o f a p a t t e r n i n C a r l ’ s a s s i g n m e n t s i n d i c a t e d C a r l r e v i e w e d e x e r c i s e s e t s c a r e f u l l y , a n d s e l e c t e d e x e r c i s e s w h i c h r e p r e s e n t e d a d i v e r s i t y o f p r o b l e m c o n t e x t s . C o m p a r i s o n s L e s t e r ( 1 9 8 0 ) h a s d e s c r i b e d t w o c a t e g o r i z a t i o n s o f p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n w h i c h a r e r e l e v a n t f o r c o m p a r i n g t h e s t u d y ’ s t h r e e t e a c h e r s ’ v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . T h e f i r s t c a t e g o r i z a t i o n d i s t i n g u i s h e s t h r e e t y p e s o f i n s t r u c t i o n : t e a c h i n g f o r p r o b l e m s o l v i n g , t e a c h i n g a b o u t p r o b l e m s o l v i n g , a n d t e a c h i n g v i a p r o b l e m s o l v i n g . T h e f i r s t t y p e , o f t e n e m p h a s i z e d i n c u r r e n t a l g e b r a t e x t b o o k s , f o c u s e s o n s t u d e n t a c q u i s i t i o n o f s p e c i f i c t o o l s k i l l s u s e f u l f o r p r o b l e m s o l v i n g , s u c h a s t r a n s l a t i o n o r e q u a t i o n s o l v i n g s k i l l s . T h e s e c o n d t y p e t y p i c a l l y i n v o l v e s a t e a c h e r m o d e l i n g a p p r o p r i a t e b e h a v i o r a n d / o r d i r e c t i n g s t u d e n t a t t e n t i o n t o s a l i e n t p r o c e d u r e s a n d s t r a t e g i e s . T h e t h i r d t y p e p r e s e n t s a l g e b r a i c c o n t e n t / r e l a t i o n s h i p s i n t h e c o n t e x t o f p r o b l e m s t o b e s o l v e d . . A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n w a s m o s t l y o f t h e f i r s t t y p e ( t e a c h i n g f o r p r o b l e m s o l v i n g ) , t h o u g h s h e a l s o m o d e l e d p r o b l e m s o l v i n g b e h a v i o r a n d d i r e c t e d s t u d e n t a t t e n t i o n t o i m p o r t a n t p o i n t s . B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n c l o s e l y f o l l o w e d 2 7 6 t e x t b o o k l i n e s , a n d w a s o f t h e f i r s t t y p e e x c l u s i v e l y . C a r l ’ s i n s t r u c t i o n w a s m o s t l y o f t h e s e c o n d t y p e ( t e a c h i n g a b o u t p r o b l e m s o l v i n g ) . H o w e v e r , t h r o u g h t h e u s e o f c o n s t r u c t e d s i t u a t i o n s a n d r e l a t e d p r o b l e m s , C a r l o f t e n t a u g h t m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s v i a p r o b l e m s o l v i n g ( t y p e t h r e e ) . I f t h i s f i r s t c a t e g o r i z a t i o n s c h e m e i s c o n s i d e r e d a c o n t i n u u m ( n o t L e s t e r ’ s i n t e n t i o n ) , t h e t h r e e t e a c h e r s a r e l o c a t e d i n q u i t e d i f f e r e n t p o s i t i o n s . P o l y a ( 1 9 5 7 ) a n d W i c k e l g r e n ( 1 9 7 4 ) e n c o u r a g e t e a c h e r s t o m o v e t o w a r d s t h e t h i r d t y p e o f i n s t r u c t i o n , t e a c h i n g v i a p r o b l e m s o l v i n g . T e a c h i n g v i a p r o b l e m s o l v i n g , e v e n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g , p r e s e n t s s t u d e n t s g r e a t e r o p p o r t u n i t i e s t o a c c e s s a n d e v a l u a t e k n o w l e d g e , t o m o n i t o r p r o g r e s s , t o j u s t i f y p r o c e d u r e s , a n d t o d e v e l o p c o n t r o l s t r a t e g i e s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 3 ) . T h e t h r e e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n d i f f e r e d m a r k e d l y i n p r e s e n t i n g o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o d e v e l o p t h e s e c o g n i t i v e a n d m e t a c o g n i t i v e s k i l l s . T h e s e c o n d c a t e g o r i z a t i o n f o c u s e s o n t h e p u r p o s e s o f t h e p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n . P r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n c a n b e d e s i g n e d t o : d e v e l o p s p e c i f i c t o o l s k i l l s , d e v e l o p m a s t e r t h i n k i n g p r o c e s s e s , t e a c h t a s k — s p e c i f i c h e u r i s t i c s ( n o t r e a d i l y g e n e r a l i z a b l e a d v i c e ) , t e a c h g e n e r a l h e u r i s t i c s ( w i d e l y a p p l i c a b l e a d v i c e ) , a n d i n v o l v e s t u d e n t s e x t e n s i v e l y i n s o l v i n g p r o b l e m s w i t h o u t d i r e c t t e a c h e r i n t e r v e n t i o n . U n l e s s o n e c o n s i d e r s P o l y a ’ s 2 7 7 m o d e l a s a m a s t e r t h i n k i n g p r o c e s s o r g e n e r a l h e u r i s t i c , l i t t l e o f t h e t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n i s d e s i g n e d t o a c c o m p l i s h t h e s e t w o p u r p o s e s . B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n i s f o c u s e d o n d e v e l o p i n g s p e c i f i c t o o l s k i l l s o n l y . A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n i s i n t e n d e d t o d e v e l o p t a s k — s p e c i f i c h e u r i s t i c s a n d s p e c i f i c t o o l s k i l l s i n a n e n v i r o n m e n t o f h e a v y s t u d e n t i n v o l v e m e n t w i t h o u t d i r e c t t e a c h e r i n t e r v e n t i o n . C a r l ’ s i n s t r u c t i o n a l p u r p o s e s r e s e m b l e A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l p u r p o s e s , b u t a r e a c c o m p l i s h e d i n a n e n v i r o n m e n t w h e r e t e a c h e r m o d e l i n g o f t o o l s k i l l s a n d h e u r i s t i c s i s o f g r e a t e r i m p o r t a n c e t h a n s t u d e n t p r a c t i c e . S u m m a p y T h i s c h a p t e r h a s r e v i e w e d t h e t w o c o m p o n e n t s , t e x t b o o k a n d t e a c h e r , w h i c h r e p r e s e n t t h e i n s t r u c t i o n a l v a r i a b l e s o f t h e s t u d y . T h e t e x t b o o k r e v i e w d e m o n s t r a t e d l a r g e d i f f e r e n c e s i n o r g a n i z a t i o n , l o c a t i o n , a n d i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s . M i n o r d i f f e r e n c e s w e r e f o u n d i n e a c h t e a c h e r ’ s d a i l y i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . G r e a t e r d i f f e r e n c e s w e r e n o t e d i n t e a c h e r s ’ l e s s o n d e v e 1 0 p m e n t s e g m e n t s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . T h e i m p l i c a t i o n s o f t e a c h e r a n d t e x t b o o k d i f f e r e n c e s o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d l e a r n i n g w i l l b e d o n e i n C h a p t e r V I I . C h a p t e r V w i l l l o o k a t t h e n a t u r e o f s p e c i f i c t e a c h e r s u g g e s t i o n s g i v e n t o i m p r o v e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . " 1 1 0 1 1 1 4 1 7 0 1 ) W i l l i s . 5 “ “e , ‘ ‘ ~ ‘ 1 " } “ A 4 : - . , : x 5 5 ? r : 2 : 7 l 4 1 ' 1 5 ( 3 . I . % 4 1 ? é ' } ‘ T b . . y € ) % m 7‘ d ; % fi _, m ‘ 5 , . . . K , ‘ . L ‘ L _ I , r ’ . ; 5 I ‘ ‘ v “ ‘ . W m y . 3 " m : 1 . ’ 5 I ‘ ? “ v y V ’ 7 ‘ . ¢ q 2 \ " ' . ‘ ‘ w fl . 1 g ’ “ 1 ‘ ¢ » ' i " i 3 7 ‘ k ¢ $ 3 v ' . 5 u ? 9 , - fi 1 § g ? y i ; ’ “ y « : “ 4 1 . . ! " . V \ . fi * \ . ? ‘ ‘ m y “ a m " . 1 " \ r ‘ a - 2 ‘ 1 W ' M s “ 1 3 r , " w " 3 J fi , ‘ . 1 ) 3 2 _, fi “ 2 N A “ 4 . 2 . 7 1 } . I ' $ 3 7 4 . I T ; , 3 , : " _ 9 “ . ' I . I \ e « “ , a N . I . . n : , 3 9 , £ ‘ " y ' ( - . . - , . \ , x u '1‘)! . 5 2 % : u L 3 \ w r . - . f ‘ L = ‘ . v ~ : . 5 r ’ i . 1 ! - ‘ ‘ ~ ( ‘ - 1 1 . , t 5 1 I ' 9 1 I ' 7 ~ C ' ‘ ‘ ” 1 : . 3 r " f a " ( 4 . ? I 4 ' ‘ - v 1 1 1 ' w Y ' “ w - ‘ L 3 ‘ x % " § v y y ' a # f . . V - . x I . . 7 - 1 - ? ? 2 ‘ 1 , ‘ c . r . , “ . _ ‘ ' ; 1 ~ v " 2 y ‘ n 7 f : T . s : ” H 1 4 " 2 . , : . fi i 1 1 fl , ' 5 . fi 1 x r , ‘ . . s 1 x 4 m i ‘ " . I 4 t 1 3 ‘ : 3 : . 9 . I $ x . { : 4 ‘ ) . x . “ T “ h i . 3 ’ 7 1 " 7 3 4 % ? “ ‘ 1 7 * ? L y r w y . . . x 3 ; ” . 7 1 . ‘ n . { 5 1 “ , a 5 - 1 u h 1 ) . ) » _ ’ 3 ' u i ! g “ : a N 5 9 5 " 3 1 ; “ ! J ‘ 1 ‘ » r u “ h a d " , m . r u r h ‘ 3 ~ , . ‘ , r H . m 2 . m » # 1 » , ' 1 2 , . w - z ‘ 4 ' 1 ‘ 4 " a . , . 2 . v ; , . ' . : ‘ r { h i s } 1 . ) “ ) ; ‘ I # 4 1 r : - r r 3 . ! - v _ . { J ’ [ 2 r , . . y 1 , . I ' 3 7 C 1 5 ” V w » 5 7 3 ‘ ‘ ’ 2 ‘ ; « n » ? \ l J - v . . I 3 . e r ' r x v . m J - ' x 1 " 7 , J G “ 1 " : y r . ‘ 4 4 , ; ( ' I \ ' ' 1 ‘ 8 ' v . , . ‘ ’ ~ I L L . V ” V I ' t ‘ \ , r " . 5 3 " \ ‘ ( “ " ~ “ ” ‘ J V 5 5 3 . " M - ’ , 1 : , ) 9 . “ W , " a I « a ’ . \ \ ‘ 4 ‘ ; i n s e a m " \ " I a w r y . ) M 9 3 1 % ) ' M L 1 , V g 4 ) ‘ ‘ i h ‘ ' r S m ’ u . 3 , 9 2 : » u . ' 2 3 R ) ? ! J 5 " v ’ x , 3 1 a , ” - ' ' - Q ‘ ~ ‘ w . “ g y m fi g h t 4 3 x . 3 u y ? I ‘ 3 : 3 “ “ ? t h $ 9 3 - “ I E ’ y " u ; : ‘ . ; 5 ' ; u . } ~ x . ) 3 ‘ I d . ‘ ) : g x ' g ‘ z ‘ v é u i ' K ‘ y ‘ v ” i i ; ‘ 3 ' 4 3 : 3 0 . ? “ ‘ - ~ ‘ ‘ 3 ' ’ 4 ‘ 1 1 ‘ 1 2 ‘ 4 . * N fi b f w fi : 2 ~ . M I I 3 % K ‘ 3 ' v . a ' w ~ a : 7 1 : “ ' ‘ : { u ‘ ' 1 5 r y j ‘ ? ; ~ . ‘ { fl . 4 0 2 8 ? 7 ‘ " “ I . . m y ‘ 3 5 ' G ’ E L ‘ ~ . . . . ‘ y ' 1 ' ? » ' 3 . , # 7 5 ; V . I n ‘ 2 . “ : N “ . c h “ r “ W $ $ 2 3 3 r M { $ 3 7 4 . w . . 1 3 f ) " : 1 “ ” 5 ’ 3 : 3 a i f ) ? " ‘ N m e ? ? ? m y : . ~ ‘ i ' ' u x } . A , “ . Y ‘ ) ’ 7 : ' \ - ‘ 3 : 3 . ‘ ; ’ : § 7 \ : ‘ 1 ’ ; " r 1 1 " » - . . 2 ' 2 7 4 , 3 , x i , ‘ ‘ ” " " » " ' 2 s . . “ A . “ F i fi ' y i f i ’ n : l ‘ “ - a ' , - * 5 3 : $ § I : 2 ' 2 ~ . v I . , fi fi ' fl u v - s ‘ 7 1 . . . y y " # 7 y , 3 1 7 - ) i t ) : x i x . , m i g v g fl - _ + . r 2 - M y y . . . “ ” 1 . . 3 ’ { 9 ' 3 ‘ _ I , x i v ; { , 4 J ' 3 ' ‘ 3 9 ‘ } ' : 3 » K - r Y $ 5 1 } . 3 3 3 7 ’ y v " ( = 3 ‘ 1 : é b q r fi r " r ; v ? ‘ - . y o 9 " 5 7 k g : p 2 , ‘ 5 ’ ‘ u 1 : 1 1 M . v m k v u , 2 , : 7 3 % V ‘ 2 “ ! 3 5 ‘ 1 { ’ 1 9 “ " : 2 7 : I f r z é z g fi g f T a s » z 5 ' J : 7 ' 3 “ 3 3 3 : 3 : L ) i v . ' ~ . u " ‘ 3 ‘ " E h " ~ ” , 4 " - u . » W r f l u x : 4 l . " W h V . m , » , . i ’ v a . r ' . ‘ 1 £ 4 3 , - \ " . ‘ v a ' . . ' . _ I r I y " n V , . i ' ~ ) 1 J _ ' , V - . . h 3 ? w a i f - J a n J r ‘ 1 ' . ) v a - { z ‘ t l t j I T q é $ 5 f é § fi z f " " 3 ! E K / ‘ r fi ‘ f ' f a y ‘ g fl fl f fi ‘ 7 , V ” H I - 3 * . 1 ‘ a o ' , H M } ; 0 3 $ " I r l " . 7 » ' , ' ~ " i f . v ’ , r ' 7 ‘ ‘ V , r ' , ' , l : I w _ l : " f f } 7 - , ” . J . ’ > r , I , 1 . . 1 2 , ( x 1 7 w w . r 3 “ ” ' 4 2 : ’ 3 ‘ ' 4 , 2 . ” ' I ‘ h ' i n fl J " J x ‘ i r v r x d . . . . ‘ i ‘ fi ’ W M F Q L n k ’ y 5 7 W 3 3 9 $ ‘ ‘ \ w g . y . r ’ . 3 . 2 ! , , l w » . ‘ M u . 2 H f ? ’ L r u - . 2 . 4 . _ 2 2 , 1 " . n , 4 i . ‘ \ W A ) 1 . . f v " L " . . 2 , u . y V ‘ J ' 4 ’ ] . v I a \ f ( E 4 1 2 5 4 : I V . . I . " ’ 3 . . 9 1 5 5 1 ‘ . 4 1 } ; I ' y r _ u . . “ . , h , J ' L a l . . - fi ’ v ‘ V ’ y c y ' q t fi w g f f ' w ‘ ' ‘ ' ‘ " . 3 , ~ 3 4 2 . V , « - J k " r m - w a x , ‘ V ‘ ¥ - i i n ‘ i ‘ I ~ ‘ ‘ 1 ‘ 2 ) , . 7 ‘ . , { 7 2 ' 2 N b 4 ‘ “ . I W “ . ' y ‘ ‘ I ‘ ' 1 ~ " . I I , [ a ‘ I . 1 : : \ * 9 2 1 1 ' 5 * ¢ « . 3 h \ w “ i n “ ? “ ‘ “ ' . . A ‘ . y ; > 2 " » ‘ - n 2 ‘ w » 3 ; . \ - m w . ' “ 1 \ I ‘ L y ‘ , \ , » : e I - s a z ‘ . J r : g n a w . g m a y . _ r 1 “ ‘ 1 ‘ w ; r . . . “ J G " N a n . * W u “ . 4 ‘ “ w k - u ’ ; M I } ; “ I ” . ' J L ' X ‘ E ‘ ; 3 : W h x ‘ , ‘ . 4 . “ W W : . . u m , w v - , - ~ ” 3 ' ‘ - . X { 5 % \ I 9 1 y » u . 3 ‘ . ) ' 5 i n u ’ 7 . I ) . 3 1 2 9 3 0 1 5 6 9 8 3 6 M i L c U h n I i i B g v R a e A n r s R S i Y t t a y t e I I H I l l l l l l W I l H l l l l l ‘ “ l l l H I I I H H I I ‘ \ l l l fl l l l l l l l fl l l l l l l l ) V 1 5 3 1 3 } R E T U R N I N G M A T E R I A L S : P i a c e i n b o o k d r o p t o L 1 8 R A R J E S r e m o v e t h i s c h e c k o u t f r o m w y o u r r e c o r d . F I N E S w i H ' b e c h a r g e d i f b o o k i s r e t u r n e d a f t e r t h e d a t e s t a m p e d b e l o w . A N A T U R A L I S T I C S T U D Y O F A L G E B R A I V E R B A L P R O B L E M I N S T R U C T I O N A N D L E A R N I N G V O L U M E l l B Y G a r y M i c h a e l K l i n g l e r A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n 1 9 8 8 i n " C H A P T E R V I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s a n d E x a m p l e s T h e p r e v i o u s c h a p t e r f o c u s e d o n d e s c r i p t i o n s o f t h e i n s t r u c t i o n a l c o m p o n e n t s , e m p l o y e d t e x t b o o k s , a n d t e a c h e r s o f . t h e s t u d y . T h e s e d e s c r i p t i o n s d e t a i l e d c h a r a c t e r i s t i c s o f e a c h c l a s s r o o m ’ s e x p o s i t o r y c o n t e n t p r e s e n t a t i o n a l o n g o r g a n i z a t i o n a l a n d s e q u e n t i a l d i m e n s i o n s . T h e s e d e s c r i p t i o n s p r i m a r i l y c h a r a c t e r i z e i n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e a n d c o m p r e h e n s i o n l e v e l o b j e c t i v e s . Y e t r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t i n s t r u c t i o n o f h i g h e r l e v e l o b j e c t i v e s , s u c h a s a p p l i c a t i o n a n d a n a l y s i s , w h i c h i n v o l v e c o g n i t i v e s k i l l s , s u c h a s f o r m u l a t i n g a n d s o l v i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , r e q u i r e s s u p p l e m e n t a l i n s t r u c t i o n d e s i g n e d t o a d d r e s s s t u d e n t s ’ m e t a c o g n i t i o n ( B r o p h y , 1 9 8 6 ) . B r o p h y c a l l e d s u c h s u p p l e m e n t a l i n s t r u c t i o n " s t r a t e g y t r a i n i n g " . S t r a t e g y t r a i n i n g a d d s t o t h e k n o w l e d g e a b o u t s k i l l s w i t h i n s t r u c t i o n i n o p e r a t i v e k n o w l e d g e ( h o w t o u s e t h e s k i l l s ) a n d c o n d i t i o n a l k n o w l e d g e ( w h e n a n d w h y t o u s e t h e s k i l l s ) . H o w e v e r , t h e o b s e r v e d c o n t e n t o f t e a c h e r d i a l o g u e a n d s u g g e s t i o n s i n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g d i d n o t l e n d i t s e l f t o t h e t h r e e f o l d ( s k i l l , o p e r a t i v e , a n d c o n d i t i o n a l ) k n o w l e d g e c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e B r o p h y p r o p o s e d . 2 7 8 2 7 9 A . m o d e l s p e c i f i c t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g w a s i n s t e a d s e l e c t e d f o r t h e a n a l y s i s o f o b s e r v e d t e a c h e r i n i t i a t e d s u g g e s t i o n s ( R i l e y e t a 1 , 1 9 8 3 ) . T h e m o d e l w a s d e v e l o p e d a n d f o u n d a p p r o p r i a t e f o r a n a l y z i n g a n d e x p l a i n i n g e l e m e n t a r y s t u d e n t s ' d i f f i c u l t i e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . T h e a u t h o r s b e l i e v e t h e m o d e l i s a l s o a p p l i c a b l e f o r e x p l a i n i n g s t u d e n t a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e . T h e m o d e l c o n j e c t u r e s t h a t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g r e q u i r e s t h r e e k i n d s o f k n o w l e d g e : p r o b l e m s c h e m a t a , a c t i o n s c h e m a t a , a n d s t r a t e g i c k n o w l e d g e . P r o b l e m s c h e m a t a o r g a n i z e , e x p a n d , a n d d e v e l o p a c o h e r e n t s t r u c t u r e f o r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . A c t i o n s c h e m a t a m e d i a t e a n d c a r r y o u t t h e c h o i c e o f a n a c t i o n , o p e r a t i o n , o r p r o c e d u r e r e q u i r e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . S t r a t e g i c k n o w l e d g e i s c o m p o s e d o f p r o d u c t i o n r u l e s o r g a n i z e d t o s e r v e a p l a n n i n g f u n c t i o n f o r t h e s t u d e n t . T h e p r o d u c t i o n r u l e s g u i d e a n d c l a r i f y s t u d e n t p l a n n i n g a n d p r o c e e d f r o m t h e g e n e r a l t o t h e s p e c i f i c i n a t o p - d o w n m a n n e r ( R i l e y e t a 1 , 1 9 8 3 ) . O n e w a y t h a t t e a c h e r s d e v e l o p t h e s e t h r e e k i n d s o f k n o w l e d g e i s t h r o u g h t h e u s e o f v e r b a l s u g g e s t i o n s w i t h i n t h e i r i n s t r u c t i o n . O n e m e t h o d o f c l a s s i f y i n g t e a c h e r s ' v e r b a l s u g g e s t i o n s i s a c c o r d i n g t o t h e i r f u n c t i o n o r c o n t e n t p u r p o s e w i t h i n t h e m o d e l ' s t h r e e c o m p o n e n t s o f k n o w l e d g e , a n d t h i s c l a s s i f i c a t i o n m e t h o d i s d e v e l o p e d i n i t i a l l y . T w o o t h e r m e t h o d s o f c a t e g o r i z i n g t e a c h e r s ' 2 8 0 ‘ v e r b a l s u g g e s t i o n s a r e d e v e l o p e d , b y f o r m a t ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) a n d p l a c e m e n t w i t h i n i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s . T h e k e y i s s u e a d d r e s s e d i s h o w t e a c h e r s ' v e r b a l s u g g e s t i o n s a n d e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s p o s s i b l y i n f l u e n c e s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e i n a p o s i t i v e ‘ w a y . T h e c h a p t e r h a s t w o s e c t i o n s , t h e f i r s t s e c t i o n a n a l y z e s t e a c h e r s u g g e s t i o n s a n d t h e s e c o n d s e c t i o n a n a l y z e s t e a c h e r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . I n e a c h s e c t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r s e a r c h e s f o r w a y s t e a c h e r s ’ v e r b a l s u g g e s t i o n s o r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s p o s s i b l y i m p a c t o n s t u d e n t s ' d e v e l o p m e n t o f p r o b l e m s c h e m a t a , a c t i o n s c h e m a t a , a n d s t r a t e g i c k n o w l e d g e . T h e a n a l y s e s c o m p a r e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l e f f o r t s t o p r o m o t e a n d a s s i s t t h i s d e v e l o p m e n t a l p r o c e s s r e l a t e d t o t r a i n i n g s t u d e n t s i n p r o c e s s i n g a n d s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . _ n § t r u c t i o n a l S u q a g s t i o n g A m a j o r i n s t r u c t i o n a l r o l e o f t e a c h e r s i s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h e x p l i c i t s u g g e s t i o n s o r h i n t s w h i c h m a y a s s i s t s t u d e n t s ' s o l v i n g o f p r o b l e m s o r e x e r c i s e s . I n v e s t i g a t o r r e v i e w o f o b s e r v a t i o n f i e l d n o t e s r e v e a l e d 1 8 2 i n s t a n c e s o f t e a c h e r o r a l e x p r e s s i o n i n t e n d e d t o s u g g e s t h e l p f o r t h e s t u d e n t s , o r a n a v e r a g e o f a b o u t s i x s u g g e s t i o n s p e r c l a s s p e r i o d . A n a l y s i s f o c u s e d o n i d e n t i f i c a t i o n a n d c l a s s i f i c a t i o n o f e a c h n o t e d t e a c h e r s u g g e s t i o n . E a c h s u g g e s t i o n w a s c l a s s i f i e d a c c o r d i n g t o 2 8 1 i t s c o n t e n t f o c u s , l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t , a n d o r a l f o r m a t . O r a l f o r m a t r e f e r r e d t o a s u g g e s t i o n ' s p r e s e n t a t i o n a s a s t a t e m e n t o r a q u e s t i o n . L e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t r e f e r r e d t o t h e s u g g e s t i o n ' s l o c a t i o n i n t h e d a i l y l e s s o n . T h r e e l e s s o n s e g m e n t c a t e g o r i e s w e r e u s e d : h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t , l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t , a n d s e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t . T h e c o n t e n t f o c u s c l a s s i f i c a t i o n i n v o l v e d c o m b i n i n g e l e m e n t s o f t h e e a r l i e r d i s c u s s e d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l o f R i l e y e t a l ( 1 9 8 3 ) a n d t h e p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n a l v a r i a b l e c l a s s i f i c a t i o n s o f L e s t e r ( 1 9 8 0 ) . T h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l c o n j e c t u r e s t h e n e e d f o r t h r e e k i n d s o f k n o w l e d g e : s t r a t e g i c , a c t i o n s c h e m a t a , a n d p r o b l e m s c h e m a t a . T h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l ( s i m i l a r t o P o l y a ' s m o d e l ) d e v e l o p e d i n e a c h c l a s s s e r v e d a s a f r a m e w o r k f o r s t u d e n t p l a n n i n g , m o n i t o r i n g , a n d a s s e s s m e n t . T h e s t e p s o f P o l y a ' s m o d e l ( u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m , d e v i s e a p l a n , c a r r y o u t t h e p l a n , a n d l o o k b a c k ) i n d i c a t e s u b g o a l s o f t h e p l a n n i n g p r o c e s s . H e n c e o n e c o n t e n t c a t e g o r y i n c l u d e d t e a c h e r r e f e r e n c e s t o a g e n e r a l m o d e l . I n s t r u c t i o n a l r e f e r e n c e s t o t h e s t e p s o f P o l y a ' s m o d e l u s u a l l y w e r e g i v e n i n t h e f o r m o f a c t i o n s s u c h a s : r e a d a n d u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m , d e f i n e t h e v a r i a b 1 e ( s ) , f o r m u l a t e t h e e q u a t i o n , s o l v e t h e e q u a t i o n , o r c h e c k t h e r e s u l t s . T e a c h e r s u g g e s t i o n s w h i c h f o c u s e d o n p a r t i c u l a r a c t i o n s ( s t e p s ) o r r e l a t e d s u b s k i l l s n e c e s s a r y t o 2 8 2 a c c o m p l i s h t h e s e a c t i o n s w e r e c a t e g o r i z e d s p e c i f i c t o o l s k i l l s ( L e s t e r , 1 9 8 0 ) , a n d a r e r e l a t e d t o t h e a c t i o n s c h e m a t a c l a s s i f i c a t i o n o f R i l e y e t a 1 ( 1 9 8 3 ) . T e a c h e r s u g g e s t i o n s i n t e n d e d t o i m p r o v e p r o b l e m p e r c e p t i o n a n d r e p r e s e n t a t i o n ( p r o b l e m s c h e m a t a ) w e r e d i v i d e d i n t o t w o c a t e g o r i e s , e i t h e r t a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c s o r g e n e r a l h e u r i s t i c s . T a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c s w e r e i n t e n d e d t o a d d r e s s a s p e c i f i c c l a s s o f p r o b l e m s , w h e r e a s g e n e r a l h e u r i s t i c s h a d a p p l i c a b i l i t y a c r o s s c l a s s e s o f p r o b l e m s . E a c h t e a c h e r s u g g e s t i o n t h e n w a s c l a s s i f i e d f o r a s i n g l e c o n t e n t f o c u s o f t h e f o u r t y p e s : g e n e r a l m o d e l , s p e c i f i c t o o l s k i l l , t a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c , o r g e n e r a l h e u r i s t i c . P r i o r t o t h e a n a l y s i s o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s a c c o r d i n g t o t h e a b o v e d e s c r i b e d c a t e g o r i z a t i o n s c h e m e , s i x e x a m p l e s ( t w o f o r e a c h t e a c h e r ) a r e d i s p l a y e d w i t h i n v e s t i g a t o r c l a s s i f i c a t i o n i n T a b l e 5 . 1 . E a c h c l a s s i f i c a t i o n i s o r d e r e d f i r s t b y c o n t e n t f o c u s , s e c o n d l y b y l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t , a n d l a s t l y b y o r a l f o r m a t . 2 8 3 T a b l e 5 . 1 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : C l a s s i f i c a t i o n E x a m p l e s T e a c h e r / D a t e T e a c h e r D i a l o g g e C l a s s i f i c a t i o n A l i c e 1 0 / 9 / 8 6 W i l l , r e a d s e n t e n c e r i g h t o u t t o o l s k i l l o f t h e b o o k . P i c k i t u p j u s t s e a t w o r k / c p l i k e y o u r e a d i t . ( t r a n s l a t e ) s t a t e m e n t A l i c e 1 0 / 2 7 / 8 6 M a k e a p i c t u r e o r c h a r t , t h e n g e n e r a l m o d e l a n e q u a t i o n , s o l v e i t , t h e n l e s s o n d e v e l . a n s w e r t h e q u e s t i o n . s t a t e m e n t B e t t y 1 0 / 8 / 8 6 W h a t v a r i a b l e s h a l l w e u s e ? t o o l s k i l l W h a t s h a l l i t s t a n d f o r ? A n y l e s s o n d e v e l . o t h e r v a r i a b l e s d e f i n e d ? q u e s t i o n B e t t y 9 / 9 / 8 6 D o 2 t h i n g s , c h o o s e v a r i a b l e g e n e r a l h e u r . a n d r e p r e s e n t f a c t s , a n d k n o w h o m e w o r k r e v . P = 2 1 + 2 w s o w r i t e e q u a t i o n , s t a t e m e n t n e e d e q u a t i o n . C a r l 1 2 / 3 / 8 6 A p a r t a f t e r 2 1 / 2 h o u r s . ( u s e s t a s k - s p e c i f i c c h a r t ) . B a s i c a l l y a l l y o u d o l e s s o n d e v e l . i s f i l l i n c h a r t a n d f i n d s t a t e m e n t e q u a t i o n . C a r l 1 1 / 1 0 / 8 6 W h a t a r e w e t o f i n d ? S z a n u m b . t o o l s k i l l H o w m a n y ? W h a t k i n d ? S : 3 h o m e w o r k r e v . c o n s e c u t i v e i n t e g e r s . q u e s t i o n E a c h t e a c h e r d i a l o g u e c o n s i d e r e d a s u g g e s t i o n f a l l s i n t o o n e o f 2 4 c l a s s i f i c a t i o n s ( 4 c o n t e n t f o c i x 3 l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t s x 2 o r a l f o r m a t s ) . I n i t i a l l y t o t a l s f o r e a c h o f t h e n i n e m a j o r c a t e g o r i e s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 5 . 2 . S u b s e q u e n t l y s e v e r a l c o n t i n g e n c y t a b l e s w e r e c o n s t r u c t e d t o t e s t p a i r s o f i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ( t e a c h e r s , c o n t e n t f o c u s , l e s s o n s e g m e n t , a n d o r a l f o r m a t ) f o r i n d e p e n d e n c e o r h o m o g e n a i t y . 2 8 4 T a b l e 5 . 2 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : S u m m a r y C l a s s i f i c a t i o n T y p e s A l i c e B e t t y C a r l N u m b e r o f o b s e r v a t i o n s 1 2 1 0 9 M e a n s u g g e s t i o n s p e r c l a s s p e r i o d 5 . 9 5 . 3 6 . 4 M e d i a n s u g g e s t i o n s p e r c l a s s 6 . 5 5 . 5 6 A . C o n t e n t f o c u s c l a s s i f i c a t i o n 1 . G e n e r a l m o d e l 7 9 3 2 . T o o l s k i l l s 3 0 2 2 3 3 3 . T a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c 1 8 7 1 0 4 . G e n e r a l h e u r i s t i c 1 6 1 5 1 2 B . S e g m e n t p l a c e m e n t c l a s s i f i c a t i o n 1 . H o m e w o r k r e v i e w 2 3 2 6 1 9 2 . L e s s o n d e v e l o p m e n t 3 4 2 6 3 8 3 . S e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e 1 4 1 1 C . O r a l f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n 1 . Q u e s t i o n 1 0 1 2 2 9 2 . S t a t e m e n t 6 1 4 1 2 9 T o t a l s e a c h c l a s s i f i c a t i o n 7 1 5 3 5 8 A r e v i e w o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s b y c l a s s i f i c a t i o n t y p e s f r o m T a b l e 5 . 2 i n d i c a t e s t h e f o l l o w i n g : f o r c o n t e n t f o c u s , d i f f e r e n c e s a p p e a r e d r e l a t i v e l y m i n o r , f o r s e g m e n t p l a c e m e n t , A l i c e w a s n o t i c e a b l y d i f f e r e n t i n m a k i n g m o r e s u g g e s t i o n s d u r i n g t h e s e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t s , a n d f o r o r a l f o r m a t , C a r l w a s n o t i c e a b l y d i f f e r e n t s h o w i n g a g r e a t e r p e r c e n t a g e u s a g e o f q u e s t i o n f o r m a t t e d s u g g e s t i o n s t h a n h i s c o u n t e r p a r t s . T a b l e 5 . 2 a l s o i n d i c a t e s t h a t t h e m e a n n u m b e r o f c o d e d s u g g e s t i o n s p e r c l a s s p e r i o d f o r t h e t h r e e t e a c h e r s i s s i m i l a r , r a n g i n g f r o m B e t t y ’ s 5 . 3 p e r c l a s s p e r i o d t o C a r l ' s 6 . 4 p e r c l a s s p e r i o d . T h e n u m b e r o f o b s e r v e d 2 8 5 s u g g e s t i o n s i n a c l a s s p e r i o d r a n g e d f r o m a l o w o f t w o s u g g e s t i o n s w h i c h o c c u r r e d o n c e ( B e t t y ) t o e l e v e n s u g g e s t i o n s w h i c h a l s o o c c u r r e d o n c e ( C a r l ) . A o n e w a y . A N O V A . w a s p e r f o r m e d f o r c o m p a r i n g t h e t e a c h e r s ’ m e a n n u m b e r o f s u g g e s t i o n s p e r c l a s s p e r i o d . T h e r e s u l t s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 5 . 3 . T a b l e 5 . 3 A n a l y s i s o f V a r i a n c e f o r T e a c h e r s ’ S u g g e s t i o n Q u a n t i t y d f M S F T r e a t m e n t s ( t e a c h e r s ) 2 3 . 1 2 0 . 5 9 3 E r r o r 2 8 5 . 2 6 T h e l O W ' F r a t i o o f 0 . 5 9 3 i n d i c a t e d a c l o s e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e t h r e e t e a c h e r s ’ d a i l y d i s t r i b u t i o n o f s u g g e s t i o n s . H o m o g e n a i t y T e s t s I n a d d r e s s i n g t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e t h r e e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s : c o n t e n t f o c u s , l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t , a n d o r a l f o r m a t o c c u r r e d i n r o u g h l y e q u a l p r o p o r t i o n s i n t h e t h r e e t e a c h e r p o p u l a t i o n s , t h r e e h y p o t h e s e s w e r e t e s t e d . T h e t h r e e h y p o t h e s e s t e s t e d f o r h o m o g e n a i t y t h e t h r e e t e a c h e r s ’ v e r b a l s u g g e s t i o n s ’ c o n t e n t f o c u s , s e g m e n t p l a c e m e n t , a n d o r a l f o r m a t , a n d i n v o l v e d c o n t i n g e n c y t a b l e s , a n d t h e X 2 s t a t i s t i c . T h e i n d i v i d u a l c o n t i n g e n c y t a b l e s a p p e a r i n A p p e n d i x H , w h e r e e x p e c t e d c e l l v a l u e s a r e g i v e n i n p a r e n t h e s e s . A l e v e l o f 2 8 6 s i g n i f i c a n c e o f . 0 5 w a s a r b i t r a r i l y c h o s e n f o r e a c h t e s t s t a t i s t i c . T a b l e 5 . 4 p r o v i d e s a s u m m a r y o f t h e r e s u l t s r e l a t e d t o t h e t e s t s f o r h o m o g e n a i t y a c r o s s t h e t e a c h e r p o p u l a t i o n s . T a b l e 5 . 4 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : S u m m a r y H o m o g e n a i t y T e s t s I n d e p e n d e n t V a r i a b l e C o m p u t e d T a b l e C o n c l u s i o n 1 . C o n t e n t f o c u s 8 . 9 3 1 2 . 5 9 F a i l t o r e j e c t 2 . S e g m e n t p l a c e m e n t 2 0 . 9 4 9 . 4 9 R e j e c t 3 . S e g m e n t p l a c e m e n t 3 . 1 4 5 . 9 9 F a i l t o r e j e c t ( e x c l u d i n g S W / C P s e g m e n t ) 4 . O r a l f o r m a t s 2 1 . 1 3 5 . 9 9 R e j e c t T h e t e s t o f h o m o g e n a i t y f o r l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t s r e s u l t e d i n r e j e c t i o n o f t h e n u l l h y p o t h e s i s ( r o w 2 , T a b l e 5 . 4 ) . T h e o b v i o u s r e a s o n f o r t h e r e j e c t i o n w a s t h e d i s p r o p o r t i o n i n t h e n u m b e r o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s i n t h e s e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t ( A l i c e 1 4 , B e t t y a n d C a r l 1 , T a b l e 5 . 2 ) . A s e c o n d a r y h y p o t h e s i s w a s t h a t t h e p r o p o r t i o n o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s w i t h i n t h e h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s w a s t h e s a m e f o r a l l t h r e e t e a c h e r s . R o w 3 o f T a b l e 5 . 4 r e f l e c t s t h e r e s u l t s o f t h i s s e c o n d a r y h y p o t h e s i s t e s t . T h e r e s u l t s o f t h e t e s t s o f h o m o g e n a i t y f o r t h e t h r e e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n d i c a t e t h a t t h e p r o p o r t i o n o f s u g g e s t i o n s b y c o n t e n t f o c u s t y p e s a n d b y p l a c e m e n t i n t h e h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s a r e 2 8 7 s i m i l a r f o r t h e t h r e e t e a c h e r p o p u l a t i o n s . O r a l f o r m a t s ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) o f s u g g e s t i o n s i s n o t h o m o g e n e o u s a c r o s s t h e t h r e e p o p u l a t i o n s ' h o w e v e r . I n d e p e n d e n c e T e s t s I n v e s t i g a t o r a t t e n t i o n t h e n t u r n e d t o t e s t i n g i n d e p e n d e n c e o f p a i r s o f v a r i a b l e s : c o n t e n t f o c u s , l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t , a n d o r a l f o r m a t f o r e a c h f i x e d t e a c h e r p o p u l a t i o n . I n s e v e r a l t e s t s , v a r i a b l e p a i r a n a l y s e s r e q u i r e d m o d i f i c a t i o n o f i n c l u d e d v a r i a b l e c a t e g o r i e s a n d / o r t e s t a b a n d o n m e n t d u e t o e x p e c t e d c e l l f r e q u e n c i e s b e i n g l e s s t h a n f i v e i n m o r e t h a n o n e c e l l o f t h e c o n t i n g e n c y t a b l e s ( G o l d m a n a n d W e i n b e r g , 1 9 8 5 ) . T h e r e s u l t s o f t h e v a r i a b l e i n d e p e n d e n c e t e s t s f o r i n d i v i d u a l t e a c h e r s i s s u m m a r i z e d i n T a b l e 5 . 5 . F o r e a c h t e s t , a w a s a r b i t r a r i l y s e t a t . 0 5 a n d d e g r e e s o f f r e e d o m w a s f o u n d a s ( t h e n u m b e r o f r o w s - 1 ) t i m e s ( t h e n u m b e r o f c o l u m n s - 1 ) f o r t h e c o n t i n g e n c y t a b l e s c o n s t r u c t e d . T h e i n d i v i d u a l c o n t i n g e n c y t a b l e s f o r t h e f i v e t e s t s c a p a b l e o f c o m p l e t i o n a r e g i v e n i n A p p e n d i x H . 2 8 8 T a b l e 5 . 5 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : S u m m a r y o f I n d e p e n d e n c e T e s t s T e s t o f T e a c h e r E x c l u s i o n o r C o m p u t e d T a b l e C o n c l u s i o n V a r i a b l e s n o t p o s s i b l e X 2 X 2 A . C o n t e n t A g e n . m o d . & S W C P 7 . 6 2 5 . 9 9 R e j e c t i n d e p . f o c u s & l e s . B n o t p o s s i b l e - - - s e g . p l a c e . C n o t p o s s i b l e - - - B . C o n t e n t A n o t p o s s i b l e - - - F o c u s a n d B n o t p o s s i b l e - — - o r a l f o r m C g e n e r a l m o d . 2 . 6 3 5 . 9 9 F a i l t o r e j . C . L e s . S e g . A S W / C P 3 . 1 7 3 . 8 4 F a i l t o r e j . a n d o r a l B S W / C P . 4 4 3 . 8 4 F a i l t o r e j . f o r m a t C S W / C P 1 . 6 7 3 . 8 4 F a i l t o r e j . T a b l e 5 . 5 i n d i c a t e s t h e d i f f i c u l t y e n c o u n t e r e d i n t r y i n g t o t e s t f o r i n d e p e n d e n c e o f v a r i a b l e s i n t h e i n d i v i d u a l t e a c h e r p o p u l a t i o n s . I n f o u r c a s e s , t h e t e s t w a s n o t p o s s i b l e , a n d i n t h e o t h e r f i v e t e s t s a t l e a s t o n e c l a s s i f i c a t i o n h a d t o b e e x c l u d e d . A l i c e ’ s p l a c e m e n t o f s u g g e s t i o n s i n h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s o r l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s w a s n o t i n d e p e n d e n t o f h e r c o n t e n t f o c u s b e i n g t o o l s k i l l s , t a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c s , o r g e n e r a l h e u r i s t i c s . T h e o r a l f o r m a t o f C a r l ' s s u g g e s t i o n s w a s n o t i n f l u e n c e d b y h i s c o n t e n t f o c u s ( w i t h t h e g e n e r a l m o d e l c l a s s i f i c a t i o n e x c l u d e d ) . F o r a l l t h r e e t e a c h e r s , t h e o r a l f o r m a t e m p l o y e d ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) w a s n o t d e p e n d e n t u p o n i t s l o c a t i o n i n t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t o r l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t . T h e i n a b i l i t y t o t e s t f o r v a r i a b l e i n d e p e n d e n c e l e d t h e i n v e s t i g a t o r t o c o n s i d e r t h e s u g g e s t i o n d a t a a s a 2 8 9 s a m p l e f r o m a s i n g l e p o p u l a t i o n , A l g e b r a I c l a s s r o o m s , a n d t o p e r f o r m t e s t s o f v a r i a b l e i n d e p e n d e n c e o n t h e c o m b i n e d t e a c h e r d a t a . T h r e e t a b l e s w e r e c o n s t r u c t e d t o r e f l e c t t h i s a l t e r n a t e p e r s p e c t i v e . T a b l e 5 . 6 d i s p l a y s t h e c o n t i n g e n c y t a b l e f o r v a r i a b l e s : c o n t e n t f o c u s a n d t w o l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t s ( s e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t e x c l u d e d ) . T h e r e q u i r e m e n t o n e x p e c t e d c e l l c o u n t s i z e w a s v i o l a t e d o t h e r w i s e . T a b l e 5 . 7 d i s p l a y s t h e c o n t i n g e n c y t a b l e f o r v a r i a b l e s : c o n t e n t f o c u s a n d o r a l f o r m a t . T a b l e 5 . 8 d i s p l a y s t h e c o n t i n g e n c y t a b l e f o r v a r i a b l e s : l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t ( s e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t e x c l u d e d ) a n d o r a l f o r m a t . T h e i n c l u s i o n o f t h e s e a t w o r k / c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t r e s u l t s i n r e j e c t i o n o f i n d e p e n d e n c e f o r t h e s e l a s t t w o v a r i a b l e s . F o r a l l t h r e e t a b l e s n u m b e r s i n p a r e n t h e s e s r e p r e s e n t e x p e c t e d c e l l c o u n t s . 2 9 0 T a b l e 5 . 6 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : C o n t e n t / P l a c e m e n t I n d e p e n d e n c e C o n t e n t F o c u s S e g m e n t P l a c e m e n t T o t a l s H o m e w o r k R e v . L e s s o n D e v e l . é é fi é i é i ’ fi é é é i ‘ ' E ' Z I B T ' " 1 2 ( 1 0 . 0 ) 1 7 T o o l S k i l l s 3 8 ( 3 1 . 5 ) 3 9 ( 4 5 . 5 ) 7 7 T a s k - s p e c i f i c H e u r . 1 0 ( 1 3 . 9 ) 2 4 ( 2 0 . 1 ) 3 4 G e n e r a l H e u r i s t i c s 1 5 ( 1 5 . 6 ) 2 3 ( 2 2 . 4 ) 3 8 T o t a l s 6 8 9 8 1 6 6 H o : C o n t e n t F o c u s a n d S e g m e n t P l a c e m e n t i n d e p e n d e n t H A : C o n t e n t F o c u s a n d S e g m e n t P l a c e m e n t n o t i n d e p e n d e n t C o m p u t e d X 2 = 5 . 1 3 T a b l e X 2 3 . 0 5 = 7 8 1 C o n c l u s i o n : F a i l t o r e j e c t H 0 . ' T a b l e 5 . 7 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : C o n t e n t / F o r m a t I n d e p e n d e n c e C o n t e n t F o c u s O r a l F o r m a t T o t a l s Q u e s t i o n S t a t e m e n t G e n e r a l M o d e l 2 ( 5 . 3 ) 1 7 ( 3 . 7 ) 1 9 T o o l S k i l l s 3 2 ( 2 3 . 8 ) 5 3 ( 6 1 . 2 ) 8 5 T a s k - s p e c i f i c H e u r . 8 ( 9 . 8 ) 2 7 ( 2 5 . 2 ) 3 5 G e n e r a l H e u r i s t i c s 9 ( 1 2 . 1 ) 3 4 ( 3 0 . 9 ) 4 3 T o t a l s 5 1 1 3 1 1 8 2 H O : C o n t e n t F o c u s a n d O r a l F o r m a t a r e i n d e p e n d e n t . H A : C o n t e n t f o c u s a n d O r a l F o r m a t a r e n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d X 2 = 8 . 3 3 T a b l e X 2 3 0 5 = 7 . 8 1 C o n c l u s i o n : R e j e c t H 0 " 2 9 1 T a b l e 5 . 8 I n s t r u c t i o n a l S u g g e s t i o n s : P l a c e m e n t / F o r m a t I n d e p e n d e n c e L e s s o n S e g m e n t O r a l F o r m a t T o t a l s Q u e s t i o n S t a t e m e n t H o m e w o r k R e v i e w 2 5 ( 2 0 . 5 ) 4 3 ( 4 7 . 5 ) 6 8 L e s s o n D e v e l o p m e n t 2 5 ( 2 9 . 5 ) 7 3 ( 6 8 . 5 ) 9 8 T o t a l s 5 0 1 1 6 1 6 6 H O : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e i n d e p e n d e n t . H A : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d X 2 = 2 . 4 1 T a b l e X 2 1 . 0 5 = 3 . 8 4 C o n c l u s i o n : F a i l t o r e j e c t H 0 ' T h e f o l l o w i n g b r i e f c o m m e n t s c a n b e m a d e r e g a r d i n g t h e i n d e p e n d e n c e o f v a r i o u s p a i r s o f v a r i a b l e s r e l a t e d t o c l a s s i f i c a t i o n s o f s u g g e s t i o n s . A s u g g e s t i o n ' s i n t e n t o r c o n t e n t f o c u s a n d i t s o r a l f o r m a t w a s n o t d e p e n d e n t u p o n w h e t h e r t h e t e a c h e r w a s i n t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t o r t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t o f t h e d a y ’ s l e s s o n . H o w e v e r , a s u g g e s t i o n ’ s o r a l f o r m a t w a s d e p e n d e n t u p o n t h e s u g g e s t i o n ’ s c o n t e n t f o c u s . R e a c t i o n T h e a b o v e a n a l y s i s o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s o r h e l p f u l d i a l o g u e i s l i m i t e d i n i t s a b i l i t y t o a d d r e s s t h e m a j o r q u e s t i o n s r e l a t e d t o i n s t r u c t i o n a l v a r i a b l e s . T e a c h e r s u g g e s t i o n s a r e i n t e n d e d t o a i d s t u d e n t s o r g a n i z e c o n c e p t s , f a c t s , a n d p r o c e d u r e s i n m e a n i n g f u l w a y s . H o w e v e r , t h e s p e c i f i c d i m e n s i o n s a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f e f f e c t i v e i n s t r u c t i o n w h i c h a i d s t u d e n t s i n s t r u c t u r i n g 2 9 2 t h e i r k n o w l e d g e r e m a i n e d e l u s i v e . S e v e r a l r e s e a r c h e r s , m o s t n o t a b l y C o o n e y a n d H e n d e r s o n ( 1 9 7 2 ) a n d H e n d e r s o n ( 1 9 6 7 , 1 9 6 9 ) h a v e d e v e l o p e d d e s c r i p t i o n s o f v a r i o u s i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s t h a t t e a c h e r s e m p l o y i n c l a s s r o o m s i n t e n d e d t o a i d s t u d e n t o r g a n i z a t i o n o f k n o w l e d g e . C o o n e y a n d H e n d e r s o n ( 1 9 7 2 ) i d e n t i f i e d n i n e o r g a n i z i n g r e l a t i o n s w h i c h c h a r a c t e r i z e d s e c o n d a r y ( g r a d e s 7 - 1 2 ) t e a c h i n g d i a l o g u e . T h e n i n e o r g a n i z i n g r e l a t i o n s w e r e d e v e l o p e d t h r o u g h a n i n t e r a c t i o n o f l o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s a n d a n a l y s e s o f v i d e o t a p e t r a n s c r i p t s . A l i m i t a t i o n o f t h e p r e s e n t s t u d y w a s a n i n a b i l i t y t o d e v e l o p s u c h d e t a i l e d c l a s s i f i c a t i o n s o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s , s i n c e f i e l d n o t e s o f t e n f a i l e d t o c a p t u r e s u f f i c i e n t c o n t e x t o f t e a c h e r d i a l o g u e w h i c h v i d e o t a p i n g d i d f o r t h e m . H o w e v e r , C o o n e y a n d H e n d e r s o n ( 1 9 7 2 ) w e r e u n a b l e t o d e t e r m i n e t h e m o s t e f f e c t i v e t e a c h e r m e a n s t o a i d - s t u d e n t k n o w l e d g e o r g a n i z a t i o n i n t h e i r s t u d y . B a s e d o n r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h , B r o p h y ( 1 9 8 6 ) b e l i e v e d " s t r a t e g y t r a i n i n g " i n s t r u c t i o n i n m a t h e m a t i c s n e e d e d t o b e u n u s u a l l y e x p l i c i t a n d d e t a i l e d , a n d i n c l u d e c o n s i d e r a b l e c o g n i t i v e m o d e l i n g ( w h e r e t e a c h e r s o v e r t l y v e r b a l i z e t h o u g h t p r o c e s s e s ) i n a d d i t i o n t o m o r e t y p i c a l e x p o s i t o r y p r e s e n t a t i o n s . T h a t s u c h i n s t r u c t i o n m u s t b e d e t a i l e d a n d e x p l i c i t w a s s h o w n i n s t u d i e s b y S c h o e n f e l d ( 1 9 7 9 ) a n d P u t t ( 1 9 7 8 ) . P u t t ’ s s t u d y i s p a r t i c u l a r l y n o t e w o r t h y ( d e s p i t e i t s 2 9 3 f i f t h g r a d e s u b j e c t s ) s i n c e i t i s o n e o f t h e f e w i n s t r u c t i o n a l v a r i a b l e s t u d i e s d o n e i n a c t u a l c l a s s r o o m s w i t h s t u d e n t s l e a r n i n g f r o m t e a c h e r s r a t h e r t h a n s e l f i n s t r u c t i o n a l m a t e r i a l s . L e s t e r ( 1 9 8 0 ) c a l l e d s u c h r e s e a r c h " t e a c h i n g e x p e r i m e n t s " , a n d s a w a g r o w i n g t r e n d i n t h e i r e m p l o y m e n t f o r i n s t r u c t i o n a l v a r i a b l e r e s e a r c h . P u t t d e s i g n e d t w o i n s t r u c t i o n a l m e t h o d s , b o t h b a s e d o n a P o l y a ’ s f o u r s t a g e m o d e l f o r i n s t r u c t i o n o f p r o c e s s p r o b l e m s ( v e r b a l p r o b l e m s n o t l e n d i n g t h e m s e l v e s t o d i r e c t a l g o r i t h m i c p r o c e d u r e s ) . I n t h e h e u r i s t i c t r e a t m e n t g r o u p s , t e a c h e r s m a d e s t u d e n t s a w a r e o f h e u r i s t i c q u e s t i o n i n g s t r a t e g i e s s u g g e s t e d b y P o l y a i n e a c h o f t h e f o u r s t a g e s ( c o g n i t i v e m o d e l i n g ) . T h e c o n t r o l g r o u p s r e c e i v e d n o e x p l i c i t h e u r i s t i c t r a i n i n g , t h o u g h s t u d e n t s w e r e g i v e n i d e n t i c a l s e t s o f p r o b l e m s t o s o l v e . T e a c h e r s i n t h e s e g r o u p s a n s w e r e d s t u d e n t q u e s t i o n s r e l a t e d t o t o o l s k i l l s , s u c h a s c l a r i f y i n g t e r m s , w o r d s , a n d p r o c e d u r e s . R e s u l t s i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s c a n , i n a s h o r t t i m e ( f o u r w e e k s ) , l e a r n t o a s k t h e m s e l v e s q u e s t i o n s w h i c h a i d u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m , a n d t o u s e s p e c i f i c s t r a t e g i e s t o s o l v e p r o b l e m s . S t u d e n t s o f t h e h e u r i s t i c t r e a t m e n t g r o u p s a l s o h a d a g r e a t e r a w a r e n e s s o f P o l y a ’ s f o u r s t a g e m o d e l , a n d i n d i c a t e d t h e m o d e l w a s h e l p f u l f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . S e v e r a l c o m m e n t s r e g a r d i n g t e a c h e r s u g g e s t i o n s o f t h e p r e s e n t s t u d y a p p e a r r e l e v a n t i n l i g h t o f t h e a b o v e 2 9 4 f r a m e w o r k . E a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n w a s s u f f i c i e n t l y e x p l i c i t a n d d e t a i l e d , a n d f o c u s e d a d e q u a t e l y o n t h e f o u r c o n t e n t a r e a s ( g e n e r a l m o d e l , t o o l s k i l l s , t a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c s , a n d g e n e r a l h e u r i s t i c s ) w h i c h a l l r e l a t e t o e f f e c t i v e i n s t r u c t i o n o f h i g h e r l e v e l c o g n i t i v e o b j e c t i v e s . C a r l ’ s f e w e r s u g g e s t i o n s ( 3 ) r e l a t e d t o t h e g e n e r a l m o d e l , a l l g i v e n o n t h e d a y o f i t s i n t r o d u c t i o n , w e r e c o m p e n s a t e d f o r b y h i s c o n s i s t e n t a n d i m p l i c i t m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l m o d e l i n a l l i n s t r u c t i o n a l p r e s e n t a t i o n s . W i t h i n c o g n i t i v e m o d e l i n g a l l t e a c h e r s s e l d o m a d d r e s s e d m o n i t o r i n g s t r a t e g i e s ( a s k i n g q u e s t i o n s o f o n e s e l f ) o r r e p a i r s t r a t e g i e s ( k n o w i n g w h a t t o d o w h e n o n e i s c o n f u s e d o r a n e r r o r i s m a d e ) , b o t h c r i t i c a l c o m p o n e n t s o f s t u d e n t s ’ m e t a c o g n i t i v e a w a r e n e s s a s s u g g e s t e d b y B r o p h y ( 1 9 8 6 ) . T e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n g e n e r a l l y t r a i n e d s t u d e n t s t o p r o c e s s p r o b l e m s t h o u g h t f u l l y , t o i d e n t i f y r e l e v a n t d o m a i n s p e c i f i c k n o w l e d g e , s k i l l s , a n d p r o c e d u r e s w i t h i n a g e n e r a l m o d e l f r a m e w o r k , a n d t o d e v e l o p s c h e m a t a f o r p a r t i c u l a r p r o b l e m t y p e s . T h e o t h e r t w o c l a s s i f i c a t i o n s o f t e a c h e r s u g g e s t i o n s , l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t a n d o r a l f o r m a t , l e n d t h e m s e l v e s t o c o m m o n s e n s i c a l n o t i o n s o f t e a c h i n g p r a c t i c e s . A t e a c h e r s u g g e s t i o n h a s g r e a t e s t i m p a c t i f g i v e n d u r i n g t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t , l o w e r i m p a c t i f g i v e n d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t , a n d t h e l e a s t i m p a c t i f g i v e n 2 9 5 d u r i n g t h e s e a t w o r k s e g m e n t . I t i s a s s u m e d t h a t s t u d e n t s a r e p a y i n g g r e a t e r a t t e n t i o n t o t h e t e a c h e r ' s d i a l o g u e d u r i n g l e s s o n d e v e l o p m e n t , a n d l e s s a t t e n t i o n d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s i n c e s o m e o f t h e s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n i s d i r e c t e d t o c o r r e c t i n g t h e i r w o r k . T h e p r a c t i c e o f t e a c h e r d i a l o g u e d u r i n g t h e s e a t w o r k s e g m e n t t e n d s t o i n t e r r u p t a n d d i s t u r b s t u d e n t w o r k p r o g r e s s , a n d i s e x p l i c i t l y d i s c o u r a g e d w i t h i n G o o d , G r o u w s , a n d E b m e i e r ' s ( 1 9 8 3 ) i n s t r u c t i o n a l m o d e l . T h e h i g h n u m b e r ( 1 4 ) o f s u c h s e a t w o r k s u g g e s t i o n s f o r A l i c e c a n b e c o n s i d e r e d o f m i n i m a l h e l p f o r s t u d e n t s . B e t t y g a v e a n e q u a l n u m b e r o f s u g g e s t i o n s i n t h e h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s , A l i c e 5 0 p e r c e n t m o r e i n t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t , a n d C a r l t w i c e a s m a n y i n t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t . W h i l e n o t a b l e t o v a l i d a t e w i t h r e s e a r c h , t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t a q u e s t i o n f o r m a t f o r a s u g g e s t i o n i s a m o r e v a l u a b l e a i d t o s t u d e n t p r o c e s s i n g t h a n a s t a t e m e n t f o r m a t . R e s e a r c h h a s s h o w n t h a t m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r s t e n d t o u s e g r e a t e r q u a n t i t i e s o f i n t e r r o g a t i v e ( q u e s t i o n ) f o r m a t s t h a n d o l e s s e f f e c t i v e t e a c h e r s ( E v e r t s o n e t a 1 . , 1 9 8 0 a n d F r i e d m a n a n d S t o m p e r , 1 9 8 8 ) . P r e s e n t e d a s a s t a t e m e n t , a s u g g e s t i o n d o e s n o t e n c o u r a g e s t u d e n t r e s p o n s e , o r c a l l f o r t h a n y f u r t h e r p r o c e s s i n g o r r e c a l l . A q u e s t i o n , o n t h e o t h e r h a n d , g e n e r a l l y d e m a n d s a r e s p o n s e , r e f l e c t i o n a n d p r o c e s s i n g , 2 9 6 a n d m o r e a c t i v e l y i n v o l v e s t h e l e a r n e r . C a r l h a d t h e h i g h e s t p e r c e n t a g e ( 5 0 p e r c e n t ) o f q u e s t i o n f o r m a t s a s c o m p a r e d w i t h B e t t y , 2 2 . 6 p e r c e n t q u e s t i o n f o r m a t s , a n d A l i c e , 1 4 . 1 p e r c e n t q u e s t i o n f o r m a t s . O n b o t h o f t h e s e l a t t e r m e a s u r e s , C a r l e m e r g e s a s a " b e t t e r " t e a c h e r o r s i m i l a r t o m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r s d u e t o h i s g r e a t e r p l a c e m e n t o f s u g g e s t i o n s i n t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t a n d g r e a t e r u s a g e o f q u e s t i o n f o r m a t s f o r h i s s u g g e s t i o n s . I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s A f t e r e x i t i n g t h e c l a s s r o o m o n d a y s o f t e a c h e r o b s e r v a t i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r r e v i e w e d t h e d a y ’ s f i e l d n o t e s f o r v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d e x a m p l e s p r e s e n t e d d u r i n g t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t s . F o r e a c h s u c h e x a m p l e p r e s e n t e d , t h e t e a c h e r ’ s p r o c e s s s e q u e n c e w a s c o d e d b y n u m b e r s s e q u e n t i a l l y a c c o r d i n g t o t h e p r o c e s s c a t e g o r y l a b e l s e s t a b l i s h e d o n C o d i n g F o r m 1 ( s e e A p p e n d i x B ) . T o b e c a t e g o r i z e d , a p r o c e s s h a d t o b e e x p l i c i t l y m o d e l e d o r v e r b a l i z e d b y t h e t e a c h e r . T h e r e l a t e d v e r b a l i z a t i o n s o r t e a c h e r a c t i o n s w e r e a l s o n o t e d n e x t t o t h e r e l a t e d p r o c e s s c a t e g o r y i n t h e d e s c r i p t i o n c o l u m n p r o v i d e d . E x a m p l e s w e r e e x c l u d e d f r o m i n v e s t i g a t o r c o d i n g w h i c h l a c k e d d e t a i l e d t e a c h e r t r e a t m e n t o r w h e n t h e y w e r e p r e s e n t e d d u r i n g h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s . S u c h e x c l u s i o n s w e r e w a r r a n t e d s i n c e i n t h e f i r s t i n s t a n c e , t h e r e w a s i n s u f f i c i e n t t e a c h e r i n p u t f o r i n v e s t i g a t o r c o d i n g , a n d i n t h e s e c o n d i n s t a n c e , e x a m p l e s s e r v e d m o r e 2 9 7 o f a r e i n f o r c e m e n t p u r p o s e a s o p p o s e d t o a n i n s t r u c t i o n a l p u r p o s e . T h i s s e c t i o n ’ s r e s u l t s r e l a t e d t o i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s p r o c e e d s f r o m g e n e r a l i s s u e s s u c h a s d a i l y q u a n t i t y a n d d i s t r i b u t i o n o f c o d e d t e a c h e r e x a m p l e s t o s p e c i f i c p a t t e r n s o f t e a c h e r p r o c e s s u s a g e w i t h i n e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . A n a l y s e s i n c l u d e d q u a n t i t y / d i s t r i b u t i o n c h a r a c t e r i s t i c s , t e a c h e r s o u r c e s o f e x a m p l e s , c o n t e n t f o c u s o f c o d e d t e a c h e r e x a m p l e s , p r o c e s s c o n t e n t s u m m a r i e s , a n d p a t t e r n s o f t e a c h e r p r o c e s s i n g . F o r e a c h e x a m p l e p r e s e n t e d , t h e i n v e s t i g a t o r n o t e d t h e d a t e , s o u r c e , v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t f o c u s , a n d i t s s e q u e n t i a l p r o c e s s c o d i n g . A h y p o t h e t i c a l s e q u e n t i a l p r o c e s s c o d i n g m i g h t b e : 1 A , H , I . 2 H . B B . 4 A ( n o c h e c k ) w h i c h m e a n t ( r e f e r t o A p p e n d i x B ) : r e a d s p r o b l e m , i d e n t i f i e s w a n t e d / g i v e n / n e e d e d , d e f i n e s v a r i a b l e s , e q u a t i o n c o n s t r u c t e d r e l a t i o n a l l y , a l g e b r a i c p r o c e d u r e s c a r r i e d o u t , c o r r e c t l y i n t e r p r e t s s o l u t i o n , a n d n o e x p l i c i t c h e c k . S o u r c e r e f e r r e d t o t h e e x a m p l e ' s t e x t l o c a t i o n o r w h e t h e r i t w a s t e a c h e r d e v e l o p e d , w h i l e c o n t e n t n o t e d t o w h i c h o n e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s ( c o n t e n t c o r e ) o r a n " o t h e r " c a t e g o r y ( f o r p e r c e n t t y p e s ) a n e x a m p l e w a s r e l a t e d . Q u a n t i t y / D i s t r i b u t i o n o f E x a m p l e s A s u m m a r y o f t h e q u a n t i t y a n d d a i l y d i s t r i b u t i o n o f c o d e d e x a m p l e s f o r e a c h t e a c h e r i s d i s p l a y e d i n T a b l e 5 . 9 . 2 9 8 A s u m m a r y o f t h e q u a n t i t y a n d d a i l y d i s t r i b u t i o n o f c o d e d e x a m p l e s f o r e a c h t e a c h e r i s d i s p l a y e d i n T a b l e 5 . 9 . I t s p u r p o s e i s t o p r o v i d e a c o m p a r i s o n o f t e a c h e r s ' e x a m p l e p r e s e n t a t i o n p a t t e r n s . T a b l e 5 . 9 C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : Q u a n t i t y / D i s t r i b u t i o n C a t e g o r y A l i c e B e t t y C a r l T o t a l n u m b e r c o d e d e x a m p l e s 1 9 1 1 2 2 N u m b e r o f d a y s w h e n : 1 e x a m p l e c o d e d l 7 0 2 e x a m p l e s c o d e d 4 2 3 3 e x a m p l e s c o d e d 2 0 2 4 e x a m p l e s c o d e d 1 0 0 5 e x a m p l e s c o d e d 0 0 2 T o t a l n u m b e r o f d a y s 8 9 7 N u m b e r o f c o d e d e x a m p l e s p e r d a y ( m e a n ) 2 . 4 1 . 2 3 . 1 T a b l e 5 . 9 i n d i c a t e s t h a t , e x c e p t f o r o n e d a y , A l i c e a n d C a r l p r e s e n t e d m o r e t h a n o n e v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e p e r d a y i n t h e i r o b s e r v e d i n s t r u c t i o n , w h e r e a s B e t t y g e n e r a l l y p r e s e n t e d a s i n g l e e x a m p l e d a i l y ( 7 o f 9 o b s e r v e d d a y s ) . O n t h e a v e r a g e , A l i c e p r e s e n t e d t w i c e a s m a n y a n d C a r l t w o a n d a h a l f t i m e s a s m a n y e x a m p l e s p e r d a y a s c o m p a r e d t o B e t t y . T h e r e l a t i v e l y l o w n u m b e r ( 1 1 ) o f c o d e d e x a m p l e s f o r B e t t y w a s d u e p a r t i a l l y t o t h e l o w n u m b e r o f t e x t b o o k p r o v i d e d i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s , a n d p a r t i a l l y t o h e r i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n o f t r e a t i n g v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a n d m a n i p u l a t i v e s k i l l d e v e l o p m e n t w i t h i n L . — 2 9 9 m i n u t e s , w i t h A l i c e a v e r a g i n g a b o u t 3 m i n u t e s p e r e x a m p l e , B e t t y 4 m i n u t e s p e r e x a m p l e , a n d C a r l 5 m i n u t e s p e r e x a m p l e . S o u r c e o f E x a m p l e s T h e s o u r c e o f c o d e d t e a c h e r e x a m p l e s r e i n f o r c e d t h e i n v e s t i g a t o r ' s c l a i m , a l l u d e d t o i n C h a p t e r I V , t h a t C a r l ' w a s t h e m o r e c r e a t i v e o r o r i g i n a l o f t h e t h r e e t e a c h e r s i n h i s p l a n n e d i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . O f t h e 2 2 c o d e d e x a m p l e s o b s e r v e d i n C a r l ' s c l a s s r o o m , 1 2 w e r e t e a c h e r d e v e l o p e d a n d v e r b a l l y p r e s e n t e d t o t h e c l a s s , a n d 1 0 w e r e s e l e c t e d f r o m t h e e m p l o y e d t e x t b o o k . A l l o f A l i c e ’ s 1 9 e x a m p l e s a n d B e t t y ' s 1 1 e x a m p l e s w e r e s e l e c t e d f r o m t e x t b o o k p r o v i d e d e x a m p l e s , s a m p l e s , o r e x e r c i s e s . C o n t e n t F o c u s o f E x a m p l e s A s u m m a r y o f c o d e d e x a m p l e s b y c o n t e n t f o c u s i s d i s p l a y e d i n T a b l e 5 . 1 0 . T h e " o t h e r " c a t e g o r y w a s n e c e s s i t a t e d b y i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s o f C a r l o n t w o d a y s i n w h i c h p e r c e n t t y p e v e r b a l p r o b l e m s ( w h i c h d i d n o t f i t t h e s i x d e f i n e d c o r e p r o b l e m t y p e s ) w a s t h e d a y ' s i n s t r u c t i o n a l f o c u s . l U O é e l ‘ — l I D \ m Q ‘ O - O l N O N N J O U O D I C H N 3 0 0 T a b l e 5 . 1 0 C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : C o n t e n t F o c u s A l i c e B e t t y C a r l V e r b a l P r o b l e m T y p e . S i m p l e T r a n s l a t i o n . G e o m e t r i c T y p e . I n t e g e r T y p e . A g e R e l a t e d . D / R / T R e l a t e d . C o i n / M o n e y R e l a t e d " o t h e r " N T o t a l s i - l H A z e r o e n t r y i n T a b l e 5 . 1 0 d o e s n o t i n d i c a t e t h a t a t e a c h e r d i d n o t p r o v i d e e x a m p l e s r e l a t e d t o t h e s e p r o b l e m t y p e s , b u t r a t h e r i n d i c a t e d t h a t t h e i n v e s t i g a t o r w a s n o t a b l e t o o b s e r v e t h a t t e a c h e r w h e n s u c h e x a m p l e s w e r e p r e s e n t e d . T h e i n v e s t i g a t o r d e t e r m i n e d t h r o u g h t e a c h e r q u e s t i o n i n g t h a t A l i c e p r e s e n t e d t w o e x a m p l e s i n o n e d a y o f g e o m e t r i c t y p e v e r b a l p r o b l e m s a n d a n a d d i t i o n a l t w o e x a m p l e s o f c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e s . B e t t y p r e s e n t e d o n e e x a m p l e o n e a c h o f t w o d a y s r e s p e c t i v e l y f o r i n t e g e r a n d c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e v e r b a l p r o b l e m s , a n d t w o e x a m p l e s i n o n e d a y o f D / R / T r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m t y p e s . C a r l p r e s e n t e d t h r e e e x a m p l e s r e l a t e d t o g e o m e t r i c t y p e v e r b a l p r o b l e m s a n d t w o e x a m p l e s o f i n t e g e r t y p e s d u r i n g t w o s e p a r a t e d a y s ’ i n s t r u c t i o n . I n s u m m a r y , s t u d e n t s i n a l l t h r e e c l a s s e s a t t e n d e d t o a t l e a s t a m i n i m u m o f o n e e x a m p l e o f e a c h p r o b l e m t y p e d u r i n g c l a s s t i m e . S t u d e n t e x p o s u r e t o s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e e x a m p l e s , b o t h i n t e r m s o f q u a n t i t y a n d i n s t r u c t i o n a l d a y s , w a s g e n e r a l l y 3 0 1 g r e a t e r t h a n f o r t h e o t h e r f i v e e x a m p l e t y p e s , w i t h t h e e x c e p t i o n b e i n g A l i c e ' s e x t e n s i v e t h r e e d a y t r e a t m e n t o f a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s . B e t t y p r e s e n t e d s t u d e n t s o n e e x a m p l e f o r t h r e e p r o b l e m t y p e s a n d t w o e x a m p l e s f o r t w o v e r b a l p r o b l e m t y p e s . A l i c e a n d C a r l p r e s e n t e d a m i n i m u m o f t w o e x a m p l e s f o r e a c h o f t h e f i v e o t h e r c o r e c o n t e n t v e r b a l p r o b l e m t y p e s b e s i d e s s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e s . S e g p e n t i a l C o d i n g A n a l y s i s T h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n f o c u s e s o n t h e r e s u l t s o f t h e i n v e s t i g a t o r ’ s s e q u e n t i a l c o d i n g o f i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s g e n e r a t e d u s i n g C o d i n g F o r m 1 a n d f o l l o w - u p p a t t e r n a n a l y s e s o f t h e s e g e n e r a t e d s e q u e n c e c o d e s . I n i t i a l l y s u m m a r y c o u n t s w e r e g e n e r a t e d f o r e a c h t e a c h e r ’ s e m p l o y e d p r o c e s s e s , e i t h e r m o d e l e d a c t i o n s o r v e r b a l i z a t i o n s , o b s e r v e d d u r i n g e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . A l l o b s e r v e d t e a c h e r a c t i o n s a n d v e r b a l i z a t i o n s w e r e c o d a b l e u s i n g t h e l i s t o f p r o c e s s e s d e v e l o p e d f o r C o d i n g F o r m 1 . T h e i n v e s t i g a t o r e l i m i n a t e d s e v e r a l p r o c e s s e s w h i c h w e r e l i s t e d o n C o d i n g F o r m 1 f r o m t h e s u m m a r y a n a l y s i s t o p r o v i d e a b e t t e r o v e r a l l p i c t u r e o f a c t u a l t e a c h e r a c t i o n s o r p r o c e s s e s . P r o c e s s e s l a b e l e d 2 A , 2 B , 2 C , a n d 2 E w e r e n o t o b s e r v e d i n a s i n g l e t e a c h e r ’ s e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , a n d h e n c e w e r e e l i m i n a t e d f r o m f u r t h e r a n a l y s i s . C e r t a i n p r o c e s s e s i n p a r t s 3 a n d 4 o f C o d i n g F o r m 1 ( C a r r y i n g o u t t h e P l a n a n d L o o k i n g B a c k / I n t e r p r e t a t i o n s t a g e s ) w e r e n o t p r o c e s s e s o r a c t i o n s a t a l l , b u t r a t h e r r e p r e s e n t e d a l a c k 3 0 2 o f a c t i o n o r a t e r m i n a l s t a t e . P r o c e s s e s l a b e l e d 3 D , 3 E , 3 F , 4 3 , 4 C w e r e e l i m i n a t e d f r o m f u r t h e r a n a l y s i s f o r t h i s r e a s o n . R e f e r t o A p p e n d i x B f o r s p e c i f i c e x p l i c a t i o n o f e a c h o f t h e s e e l i m i n a t e d p r o c e s s c a t e g o r i e s . T h e a n a l y s i s o f e m p l o y e d t e a c h e r p r o c e s s e s w i t h i n i n s t r u c t i o n a l e x a m p l e s i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . F i r s t , p r o c e s s e s w i t h i n t h e f i r s t a n d s e c o n d s t a g e s o f P o l y a ' s m o d e l ( U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m a n d D e v i s i n g a P l a n ) a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 5 . 1 1 , a n d s e c o n d l y p r o c e s s e s w i t h i n t h e t h i r d a n d f o u r t h s t a g e s o f P o l y a ' s m o d e l ( C a r r y i n g o u t t h e P l a n a n d L o o k i n g B a c k ) a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 5 . 1 2 . T h i s s e p a r a t i o n p e r m i t s b e t t e r i n t e r p r e t a t i o n a n d t e a c h e r c o m p a r i s o n s w i t h i n t h e s e p a r a t e s t a g e s o f P o l y a ’ s m o d e l . A p r o c e s s c a t e g o r y c o u l d b e c o d e d m o r e t h a n o n c e i n a s i n g l e e x a m p l e , i f a t e a c h e r r e t u r n e d t o a p a r t i c u l a r p r o c e s s a f t e r a n i n t e r v e n i n g p r o c e s s w a s o b s e r v e d a n d c o d e d . S u c h m u l t i p l e c o d i n g o f t h e s a m e p r o c e s s d i d o c c u r w i t h i n s e v e r a l e x a m p l e s , p a r t i c u l a r l y f o r A l i c e . 3 0 3 T a b l e 5 . 1 1 C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : P r o c e s s S u m m a r y S t a g e s 1 @ 2 A l i c e B e t t y C a r l N u m b e r o f C o d e d E x a m p l e s 1 9 1 1 2 2 1 . S t a g e : U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m A . R e a d s P r o b l e m 1 8 1 1 1 4 B . R e r e a d s f o r e s s e n t i a l s 0 2 2 C . R e s t a t e s p r o b . s t a t e m e n t 1 0 6 D . R e q u e s t s / s t a t e s c l a r i f i c . 6 0 1 E . R e c a l l s r e l a t e d n e e d 0 0 4 F . E x p l o r a t o r y m a n i p u l a t i o n 0 0 2 G . D i a g r a m / c h a r t c o n s t r u c t e d 8 2 9 H . I d e n t i f i e s w a n t . / g i v . / n d . 1 6 7 8 I . D e f i n e s v a r i a b l e s 2 5 1 3 1 2 s u b t o t a l 7 4 3 5 5 8 2 . S t a g e : D e v i s i n g a P l a n D . C h a r t c o n s t r u c t i o n 2 0 3 G . E q u a t i o n c o n s t r . ( t r a n s . ) 1 2 8 1 7 H . E q u a t i o n c o n s t r . ( r e l a t . ) 9 3 3 s u b t o t a l 2 3 1 1 2 3 W i t h i n t h e U n d e r t a n d i n g t h e P r o b l e m S t a g e , A l i c e g e n e r a l l y m o d e l e d o r v e r b a l i z e d m o r e p r o c e s s e s p e r e x a m p l e t h a n B e t t y o r C a r l d i d . T h e m e a n n u m b e r o f p r o c e s s e s p e r e x a m p l e w i t h i n t h i s s t a g e w a s A l i c e 3 . 9 p r o c e s s e s , B e t t y 3 . 2 p r o c e s s e s , a n d C a r l 2 . 6 p r o c e s s e s . . A l l o f B e t t y ’ s e x a m p l e s a n d a l l b u t o n e o f A l i c e ' s e x a m p l e s b e g a n w i t h t e a c h e r o r s t u d e n t r e a d i n g o f t h e p r o b l e m t o t h e c l a s s . S i n c e 1 2 o f C a r l ' s e x a m p l e s w e r e d e v e l o p e d a n d p r e s e n t e d o r a l l y t o t h e c l a s s b y C a r l , e x p l i c i t r e a d i n g o f t h e p r o b l e m w a s l e s s e v i d e n t . C a r l s h o w e d t h e g r e a t e s t d i v e r s i t y o f p r o c e s s u s a g e w i t h i n t h i s s t a g e , u s i n g a l l 9 l i s t e d p r o c e s s e s a t l e a s t o n c e . B e t t y w a s t h e l e a s t 3 0 4 d i v e r s i f i e d t e a c h e r , a n d f o l l o w e d t h e m o s t c o n s i s t e n t p r o c e s s s e q u e n c e i n t h i s s t a g e , 1 A , H , I . . A l i c e a n d B e t t y ‘ w e r e v e r y c o n s c i o u s o f c l o s i n g t h i s s t a g e w i t h a d e f i n i n g t h e v a r i a b l e p r o c e s s , a n d i n c l u d e d t h i s p r o c e s s i n e v e r y c o d e d e x a m p l e . A l l t e a c h e r e x a m p l e s c o d e d b y t h e i n v e s t i g a t o r r e a c h e d a p o i n t w h e r e a n e q u a t i o n w a s c o n s t r u c t e d e i t h e r b y u s e o f a c h a r t , t r a n s l a t i o n p r o c e s s e s , o r r e l a t i o n a l t h i n k i n g , o r s o m e c o m b i n a t i o n o f t h e s e p r o c e s s e s a s i n d i c a t e d w i t h i n t h e D e v i s i n g a P l a n s t a g e o f T a b l e 5 . 1 1 . B o t h A l i c e a n d C a r l t e n d e d t o c o n s t r u c t a n d u s e c h a r t s a n d d i a g r a m s t o a i d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n i n s o m e i n s t a n c e s , w h e r e a s B e t t y d i d n o t . A l l t h r e e t e a c h e r s f a v o r e d u s i n g t r a n s l a t i o n a l p r o c e s s e s f o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n o v e r r e l a t i o n a l p r o c e s s e s , t h o u g h t h e p r o p o r t i o n s v a r i e d . I n p a r t i c u l a r , t h e c o d i n g o f C a r l ' s e x a m p l e s a s t o e q u a t i o n c o n s t r u c t i o n , t r a n s l a t i o n a l ( 2 G ) o r r e l a t i o n a l ( 2 H ) , a p p e a r e d t o c o n t r a d i c t t h e p a t t e r n s r e l a t e d t o C a r l ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t n o t e d i n C h a p t e r I V . C a r l ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t t e n d e d t o w a r d s a r e l a t i o n a l e m p h a s i s r a t h e r t h a n a t r a n s l a t i o n a l f o c u s . A c l o s e r r e v i e w o f t h e f i e l d n o t e s r e v e a l e d t h a t b o t h p o s i t i o n s c o e x i s t e d i n C a r l ’ s i n s t r u c t i o n . I n i t i a l t e a c h i n g o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w a s r e l a t i o n a l l y o r i e n t e d t o d e v e l o p t h e c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s o f t h e c o n t e n t s e c t i o n . T h e s e r e l a t i o n s h i p s 3 0 5 ' w e r e t h e n d e v e l o p e d i n t o f o r m u l a f o r m a t s , s u c h a s v a l u e c o i n t y p e l + v a l u e c o i n t y p e 2 = t o t a l v a l u e , o r o r i g i n a l p r i c e - d i s c o u n t = s a l e p r i c e . H o w e v e r , w h e n e x a m p l e s w e r e d o n e f o r t h e c l a s s , C a r l f o c u s e d m o r e o n t r a n s l a t i n g t h e p r o b l e m s t a t e m e n t ' s c o n t e n t i n t o n u m e r i c v a l u e s a n d v a r i a b l e s , f i l l i n g t h e s l o t s o f t h e d e v e l o p e d f o r m u l a s , a n d h e n c e w e r e c o d e d t r a n s l a t i o n o r i e n t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . T a b l e 5 . 1 2 C o d e d I n s t r u c t i o n a l E x a m p l e s : P r o c e s s S u m m a r y S t a g e s 3 Q 4 A l i c e B e t t y C a r l N u m b e r o f c o d e d e x a m p l e s 1 9 1 1 2 2 3 . S t a g e : C a r r y i n g O u t P l a n A - P l a n i n 2 c a r r i e d f o r t h 4 0 4 B . A l g o . / a r i t h . p r o c e d u r e u s e 4 7 1 6 C . L o g i c a l j u s t i f i c . p r o v i d e d 0 0 2 s u b t o t a l 8 7 2 2 4 . S t a g e : L o o k i n g B a c k / I n t e r p . A . C o r r e c t l y i n t e r p r e t s s o l u . 6 4 1 4 D ( b ) . C h e c k b y : p r o b l e m s t a t e . 3 2 9 D ( c ) . C h e c k b y : e q u a t i o n s 0 4 1 s u b t o t a l 9 1 0 2 4 T h e r e s u l t s o f T a b l e 5 . 1 2 r e v e a l d i s t i n c t l y d i f f e r e n t t e a c h e r p a t t e r n s o f e x a m p l e t r e a t m e n t i n t h e t h i r d a n d f o u r t h s t a g e s o f P o l y a ' s m o d e l . C a r l c o m p l e t e d t h e C a r r y i n g O u t t h e P l a n s t a g e i n a l l 2 2 o f h i s c o d e d e x a m p l e s . I n o t h e r w o r d s , a l l C a r l ' s 2 2 f o r m u l a t e d e q u a t i o n s w e r e s o l v e d b y s o m e m e a n s d u r i n g e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . B e t t y s o l v e d 7 o f t h e 1 1 f o r m u l a t e d 3 0 6 e x a m p l e e q u a t i o n s . F o r t h e r e m a i n i n g f o u r e x a m p l e s , B e t t y t e r m i n a t e d d i s c u s s i o n a f t e r t h e e q u a t i o n w a s f o r m u l a t e d , a n d s t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o c o m p l e t e o r f o l l o w t h e t e x t b o o k ’ s c o m p l e t i o n o f t h e e x a m p l e t h r o u g h t h e t h i r d a n d f o u r t h s t a g e s . M o r e t h a n h a l f ( 1 1 o f 1 9 ) o f A l i c e ' s e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s w e r e t e r m i n a t e d a f t e r t h e e x a m p l e s ’ e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s w e r e p r e s e n t e d t o t h e c l a s s . O n c e a n e q u a t i o n w a s s o l v e d ( e n d o f S t a g e 3 ) , a l l t e a c h e r s e x p l i c i t l y i n t e r p r e t e d a n d p o s t e d p r o b l e m s o l u t i o n s f o r o v e r h a l f t h e i r e q u a t i o n - d e r i v e d s o l u t i o n s . C a r l c h e c k e d 1 0 o f t h e 1 4 p r o b l e m s o l u t i o n s , m a i n l y b y i n s e r t i n g t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t a n d v a l i d a t i n g t h e t r u t h o r f a l s e n e s s o f t h e r e s u l t i n g s t a t e m e n t s . B e t t y c h e c k e d a l l f o u r p r o b l e m s o l u t i o n s , b u t p r e f e r r e d t o r e p l a c e v a r i a b l e s o f t h e e q u a t i o n w i t h s o l u t i o n v a l u e s , a n d t h e n v e r i f y t h e c o r r e c t n s s o f t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s t a t e m e n t s . A l i c e c h e c k e d p r o b l e m s o l u t i o n s h a l f t h e t i m e ( 3 o f 6 ) , a n d u s e d t h e p r o b l e m s t a t e m e n t t o v a l i d a t e t h e s o l u t i o n i n e a c h c a s e . C e r t a i n e m p h a s e s a n d s e q u e n t i a l p a t t e r n s w e r e e v i d e n t f o r e a c h t e a c h e r ' s e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . A l i c e e m p h a s i z e d t h e U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m s t a g e t h e m o s t i n h e r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . H e r s e q u e n c e t h r o u g h t h i s s t a g e w a s p r e d i c t a b l e . G e n e r a l l y , r e a d i n g t h e p r o b l e m w a s f o l l o w e d b y i d e n t i f i c a t i o n o f g i v e n q u a n t i t i e s a n d n e e d e d 3 0 7 i n f o r m a t i o n , a n d t h e n m o v e d t o t h e e x p l i c i t d e f i n i n g o f v a r i a b l e s . W h e n t h e t e x t b o o k s u g g e s t e d t h e u s e o f c h a r t s o r d i a g r a m s t o a i d i n f o r m a t i o n o r g a n i z a t i o n , A l i c e i n c l u d e d t h e s e p r o c e s s e s i n e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . A l i c e a s s u m e d s t u d e n t s h a d m a s t e r e d t h e e q u a t i o n s o l v i n g , i n t e r p r e t a t i o n a n d c h e c k i n g p r o c e s s e s , a n d g a v e l e s s a t t e n t i o n t o t h e s e p r o c e s s e s i n e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . B e t t y ' s e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s c o n f o r m e d c l o s e l y w i t h t h e t e x t b o o k ’ s s u g g e s t e d s t e p s f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . T h e s e s t e p s w e r e t o r e a d t h e p r o b l e m , d e f i n e t h e u n k n o w n s , s e t u p t h e e q u a t i o n , s o l v e t h e e q u a t i o n , a n d c h e c k t h e r e s u l t s . T h e o n l y m a j o r p r o c e s s a d d i t i o n t o t h i s s e q u e n c e w a s B e t t y ' s v e r b a l i z i n g a n d m o d e l i n g t h e h e l p f u l n e s s o f i d e n t i f y i n g w a n t e d a n d g i v e n i n f o r m a t i o n o f a p r o b l e m s t a t e m e n t , a n d t h a t a l l p r o b l e m i n f o r m a t i o n w a s u s u a l l y u s e d i n t h e f i n d i n g o f t h e p r o b l e m ’ s s o l u t i o n . B e t t y t e r m i n a t e d s e v e r a l e x a m p l e s o n c e t h e e q u a t i o n w a s f o r m u l a t e d , a n d n e g l e c t e d c h e c k i n g e q u a t i o n s ’ s o l u t i o n s w h e n t i m e c o n s t r a i n t s d i c t a t e d s u c h a c t i o n . C a r l ' s e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s s h o w e d t h e g r e a t e s t d i v e r s i t y o f p r o c e s s u s a g e i n a l l f o u r s t a g e s . S t u d e n t s w e r e p r o v i d e d a b r o a d e r e x p o s u r e t o t h e v a r i e t y o f p o s s i b l e s o l u t i o n p a t h s a n d p o t e n t i a l p r o c e s s e s w h i c h m i g h t a i d u n d e r s t a n d i n g t h e p r o b l e m . H e w a s a l s o m o r e l i k e l y t o w o r k a n e x a m p l e t o c o m p l e t i o n a n d m o d e l p r o c e s s e s i n a l l f o u r s t a g e s . T h i s c o n s i s t e n t m o d e l i n g o f 3 0 8 t h e w h o l e p r o c e s s s e q u e n c e t h r o u g h t h e f o u r s t a g e s , a n d f o r m o r e e x a m p l e s m i g h t a l s o e x p l a i n w h y C a r l ’ s s t u d e n t s r e c e i v e d a n d r e q u i r e d f e w e r e x p l i c t s u g g e s t i o n s r e l a t e d t o t h e g e n e r a l m o d e l ( s e e T a b l e 5 . 3 ) , s i n c e t h e m o d e l i n g p r o v i d e d s u f f i c i e n t r e i n f o r c e m e n t o f t h e g e n e r a l m o d e l u s e d . S e g p e n t i a l C o d i n g C h a r a c t e r i s t i c s T h e s e q u e n t i a l c o d i n g o f a l l 5 2 t e a c h e r p r e s e n t e d e x a m p l e s i s g i v e n i n A p p e n d i x I . A s m a l l n u m b e r o f t e a c h e r p r o c e s s p a t t e r n s a r e n o t e d i n t h i s a n a l y s i s . A l i c e a n d B e t t y f o l l o w e d t h e f o u r s t a g e s s e q u e n t i a l l y ( l t o 2 t o 3 t o 4 ) , w i t h n o r e v e r s i o n s b a c k t o e a r l i e r s t a g e s i n a l l t h e i r e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s . I n f o u r o f C a r l ' s 2 2 e x a m p l e s , t h e r e w a s a r e v e r s i o n b a c k t o a n e a r l i e r s t a g e p r o c e s s w i t h i n a n e x a m p l e ’ s p r e s e n t a t i o n . B e c a u s e s t a g e s l a b e l e d 2 , 3 , 4 g e n e r a l l y i n c l u d e d o n e o r a t m o s t t w o d i s t i n c t p r o c e s s e s w i t h i n e a c h s t a g e , p a t t e r n s b e y o n d t h o s e a l r e a d y d i s c u s s e d w e r e l i m i t e d . H o w e v e r , t e a c h e r s e x h i b i t e d s e q u e n t i a l d i f f e r e n c e s i n t h e i r u s a g e o f t h e n i n e p r o c e s s e s f o r S t a g e 1 : U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m . O n l y f o u r d i f f e r e n t p r o c e s s s e q u e n c e s w e r e o b s e r v e d f o r B e t t y i n t h i s s t a g e , w i t h l A , H , I . t h e m o s t c o m m o n s e q u e n c e ( 5 t i m e s i n 1 1 e x a m p l e s ) . A l i c e f o l l o w e d e i g h t d i f f e r e n t p r o c e s s s e q u e n c e v a r i a t i o n s w i t h i n t h i s s t a g e ( g r e a t e r d i v e r s i t y ) , y e t t h e l A , H , I . s e q u e n c e w a s s t i l l t h e m o s t c o m m o n s e q u e n c e ( 9 t i m e s i n 1 9 3 0 9 e x a m p l e s ) . C a r l h a d t h e g r e a t e s t d i v e r s i t y o f p r o c e s s s e q u e n c e s i n t h i s s t a g e ( 1 5 d i f f e r e n t s e q u e n c e s ) w i t h l A , H , I . a n d 1 C . o c c u r r i n g m o s t f r e q u e n t l y ( 3 t i m e s e a c h i n 2 2 e x a m p l e s ) . E x a m i n a t i o n o f s e q u e n t i a l p r o c e s s p a t t e r n s r e v e a l e d t h e s a m e p a t t e r n s o f u s e d p r o c e s s d i v e r s i t y a s d i d t h e a n a l y s i s o f t h e q u a n t i f i c a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f p r o c e s s e s . S u m m a g y T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r w a s t o d e s c r i b e a n d c o m p a r a t i v e l y a n a l y z e i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s a n d e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e i r a b i l i t y t o a i d s t u d e n t m e t a c o g n i t i o n a n d s t r a t e g y t r a i n i n g , w h i c h a r e b e l i e v e d i m p o r t a n t f o r d e v e l o p i n g c o g n i t i v e s k i l l s , s u c h a s v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . R e s u l t s s h o u l d b e i n t e r p r e t e d i n l i g h t o f t h e f a c t t h a t t h i s a r e a o f r e s e a r c h s t i l l r e m a i n s r a t h e r v i r g i n t e r r i t o r y f o r r e s e a r c h , a n d t h e s t u d y ' s n a t u r e i n t h i s a r e a e x p l o r a t o r y . A w e a k n e s s o f t h e s t u d y w a s a l a c k o f i n t e r - c o d e r r e l i a b i l i t y m e a s u r e s r e l a t e d t o s u g g e s t i o n c l a s s i f i c a t i o n s a n d p r o c e s s c o d i n g , s i n c e t h e i n v e s t i g a t o r a l o n e c o m p l e t e d a l l c l a s s i f i c a t i o n s a n d p r o c e s s c o d i n g . B a s e d o n c o m m o n s e n s i c a l n o t i o n s o f " g o o d " t e a c h i n g p r a c t i c e s , C a r l w a s r a t e d a s o m e w h a t m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r i n h i s d e l i v e r y o f o r a l s u g g e s t i o n s . H i s g r e a t e r u s a g e o f q u e s t i o n f o r m a t s a n d g r e a t e r p l a c e m e n t o f s u g g e s t i o n s i n t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t l e d t o t h i s 3 1 0 c o n c l u s i o n . T h e c o d i n g o f t e a c h e r p r o c e s s e s e m p l o y e d i n t h e p r e s e n t a t i o n o f e x a m p l e s w a s s h o w n t o b e a f e a s i b l e o b j e c t i v e f o r r e s e a r c h s t u d y , a n d t h e p r o c e s s l i s t ( C o d i n g F o r m 1 ) d e v i s e d f o r t h e s t u d y w o r k e d w e l l i n a s s i s t i n g t h e p r o c e s s c o d i n g o f t e a c h e r e x a m p l e s . W i t h i n e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , s e v e r a l p a t t e r n s w e r e r e v e a l e d i n r e g a r d s t o t e a c h e r p r o c e s s d i v e r s i t y , t e a c h e r a t t e n t i o n t o t h e f o u r s t a g e g e n e r a l m o d e l , a n d t e a c h e r t e r m i n a t i o n d e c i s i o n s . T h e r e s u l t s o f t h e v a r i o u s s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d a t t i t u d e m e a s u r e s a r e d i s c u s s e d n e x t i n C h a p t e r V I . C H A P T E R V I S t u d e n t P e r f o r m a n c e R e s u l t s T h i s c h a p t e r f o c u s e s o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s a n d r e l a t e d d a t a a n a l y s i s o n t h e f o u r i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d i n s t r u m e n t s f o r t h e s t u d y . E a c h s t u d e n t p a r t i c i p a t i n g i n t h e s t u d y c o m p l e t e d a p r e t e s t , a p o s t t e s t , a n d a r e t e n t i o n t e s t . I n a d d i t i o n n i n e s t u d e n t s , t h r e e f r o m e a c h c l a s s , p a r t i c i p a t e d i n a n i n d i v i d u a l i n t e r v i e w w i t h t h e i n v e s t i g a t o r , a n d c o m p l e t e d a n i n s t r u m e n t d e s i g n e d f o r t h e i n t e r v i e w s . T h e a n a l y s i s f o c u s e d o n t h e m a i n q u e s t i o n s o f t h e s t u d y l i s t e d i n C h a p t e r I , a n d t h e q u e s t i o n s w h i c h e m e r g e d i n C h a p t e r I V w h i c h r e l a t e d t o t h e t e x t b o o k a n d i n s t r u c t i o n a l a n a l y s e s . T h e c h a p t e r h a s f o u r m a j o r s e c t i o n s r e l a t e d t o : p r e t e s t r e s u l t s , p o s t t e s t r e s u l t s , r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s , a n d i n t e r v i e w r e s u l t s . P r i m a r y e m p h a s i s w i t h i n t h e c h a p t e r i s g i v e n t o t h e d i s p l a y a n d d i s c u s s i o n o f s u m m a r y r e s u l t s o f e a c h c l a s s r o o m ’ s p e r f o r m a n c e . I n d i v i d u a l s t u d e n t r e s u l t s a n d d e t a i l s o f e m p l o y e d s t a t i s t i c a l t e c h n i q u e s c a n g e n e r a l l y b e f o u n d i n v a r i o u s a p p e n d i c e s . 3 1 1 3 1 2 P r e t e s t R e s u l t s A . p r e t e s t f o r m ( A p p e n d i x E ) c o m p o s e d o f s i x v e r b a l p r o b l e m s w a s a d m i n i s t e r e d i n t h e t h r e e c l a s s r o o m s d u r i n g t h e f i r s t t w o w e e k s o f s c h o o l ( S e p t e m b e r , 1 9 8 6 ) . T h e r e w e r e t h r e e p r o b l e m s o n e a c h o f 2 p a g e s . T h e p r o b l e m t y p e s o f t h e v e r b a l p r o b l e m s w e r e : g e o m e t r i c o r i e n t e d ( # 1 a n d # 2 ) , c o n s e c u t i v e i n t e g e r ( # 3 ) , m o n e y o r i e n t e d ( # 4 ) , a g e r e l a t e d ( # 5 ) a n d d i s t a n c e / r a t e / t i m e o r i e n t e d ( # 6 ) . S t u d e n t s w e r e i n s t r u c t e d t o u s e a n y m e t h o d , i n c l u d i n g g u e s s i n g , t o f i n d t h e s o l u t i o n t o e a c h p r o b l e m . S i n c e n o a l g e b r a i c t e c h n i q u e s h a d y e t b e e n t a u g h t , i t w a s a s s u m e d m o s t s t u d e n t s w o u l d u s e g u e s s a n d c h e c k s t r a t e g i e s a n d i n t u i t i v e l o g i c t o s o l v e t h e p r o b l e m s . G e n e r a l l y t h i s w a s t h e c a s e b a s e d o n i n v e s t i g a t o r r e v i e w o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s . Z e r o , o n e o r t w o p o i n t s w e r e a w a r d e d p e r p r o b l e m d e p e n d e n t u p o n s t u d e n t p r o v i d e d a n s w e r s t o e a c h v e r b a l p r o b l e m . T w o p o i n t s w e r e a w a r d e d f o r a c o m p l e t e l y c o r r e c t a n s w e r t o a l l p a r t s o f a q u e s t i o n . O n e p o i n t w a s a w a r d e d i f o n e p a r t o f a m u l t i p l e p a r t a n s w e r w a s c o r r e c t , a n d z e r o w a s a w a r d e d i f n o r e s p o n s e w a s g i v e n o r a n s w e r w a s t o t a l l y i n c o r r e c t . I n g e n e r a l s t u d e n t s c o r e s o n t h e p r e t e s t w e r e l o w a s e x p e c t e d , a n d a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 1 . T h e m a i n p u r p o s e f o r u s i n g a p r e t e s t w a s t o c h e c k t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e t h r e e c l a s s r o o m s o f s t u d e n t s i n t h e t h r e e d i f f e r e n t s c h o o l s ( a n d t h r e e d i f f e r e n t a l g e b r a 3 1 3 p r o g r a m s ) h a d s i m i l a r p r e v i o u s e x p e r i e n c e a n d a b i l i t y r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a t t h e o u t s e t o f t h e s t u d y . N u m b e r s i n p a r e n t h e s e s i n d i c a t e t h e n u m b e r o f s t u d e n t s a t t a i n i n g p a r t i c u l a r s c o r e s w i t h t w e l v e b e i n g t h e : m a x i m u m p o s s i b l e s c o r e . T a b l e 6 . 1 P r e t e s t R e s u l t s : C l a s s r o o m C o m p a r i s o n s C l a s s r o o m A l i c e B e t t y C a r l T o t a l G r o u p N u m b e r o f S t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 6 7 H i g h S c o r e 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) 1 1 ( 1 ) 1 1 L o w S c o r e 0 ( 2 ) 0 ( 4 ) 0 ( 1 ) 0 M e d i a n S c o r e 3 ( 4 ) 4 ( 2 ) 6 ( 2 ) 4 M e a n S c o r e 3 . 6 7 4 . 4 8 5 . 5 9 4 . 6 3 v a r i a n c e 6 . 9 4 1 2 . 1 8 7 . 9 7 9 . 6 9 A o n e w a y a n a l y s i s o f v a r i a n c e ( A N O V A ) w a s d o n e t o d e t e r m i n e i f c l a s s r o o m d i f f e r e n c e s w e r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t ( n u l l h y p o t h e s i s : u a = u b = u C , a = . 0 5 ) . T h e s u m m a r y A N O V A t a b l e i s s h o w n i n T a b l e 6 . 2 . T a b l e 6 . 2 C l a s s r o o m P r e t e s t D i f f e r e n c e s : A N O V A T a b l e S o u r c e o f V a r i a b i l i t y § § g ; M g 3 B e t w e e n C l a s s r o o m s 3 7 . 6 2 2 1 8 . 8 1 2 . 0 0 W i t h i n C l a s s r o o m s 6 0 2 . 0 5 6 4 9 . 4 1 T o t a l v a r i a t i o n 6 3 9 . 6 7 6 6 L _ _ _ _ 3 1 4 C l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s w e r e n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t o n t h e p r e t e s t i n s t r u m e n t ( F 2 , 6 0 , . 0 5 = 3 . 1 5 ) , i n d i c a t i n g t h a t p r i o r t o i n s t r u c t i o n s t u d e n t s ' b a c k g r o u n d s a n d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s w e r e n o t s i g n i f i c a n t l y d i s s i m i l a r . N o i t e m a n a l y s i s w a s p e r f o r m e d o n t h e p r e t e s t r e s u l t s s i n c e t h e s c o r e s w e r e q u i t e l o w , a n d s u c h a n a n a l y s i s w a s n o t r e l a t e d t o t h e s t u d y ' s q u e s t i o n s . I n d i v i d u a l s t u d e n t r e s u l t s f o r t h e p r e t e s t a r e l i s t e d i n A p p e n d i x J b y c l a s s r o o m t e a c h e r . E p s t t e s t R e s u l t s T h e p o s t t e s t w a s a d m i n i s t e r e d t o t h e t h r e e c l a s s e s o f s t u d e n t s w i t h i n t w o w e e k s o f e a c h t e a c h e r ’ s c o m p l e t i o n o f t h e i d e n t i f i e d c o r e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . T h e t h r e e g r o u p s c o m p l e t e d t h e p o s t t e s t d u r i n g t h r e e d i f f e r e n t w e e k s o f D e c e m b e r , 1 9 8 6 , i n t h e o r d e r o f A l i c e ' s c l a s s , B e t t y ' s c l a s s , a n d l a s t l y C a r l ' s c l a s s . T w o p o s t t e s t f o r m s , A a n d B , w e r e d e v e l o p e d , a n d e a c h c l a s s o f s t u d e n t s c o m p l e t e d e q u a l p r o p o r t i o n s o f e a c h f o r m . E n t i r e c o p i e s o f t h e t w o p o s t t e s t f o r m s c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x F . T h e f o r t y - f i v e m i n u t e s a l l o c a t e d f o r t e s t a d m i n i s t r a t i o n w a s s u f f i c i e n t f o r a l l s t u d e n t s t o c o m p l e t e t h e p o s t t e s t . T a b l e 6 . 3 d i s p l a y s a s u m m a r y o f p r o b l e m c h a r a c t e r i s t i c s r e l a t e d t o t h e p o s t t e s t i t e m s . ‘ > 3 1 5 T a b l e 6 . 3 P r o b l e m C h a r a c t e r i s t i c s o f P o s t t e s t I n s t r u m e n t P r o b l e m C o n t e n t N u m b e r T y p e 1 . S i m p l e T r a n s l a t i o n 2 . G e o m e t r i c T y p e 3 . M o n e y / C o i n R e l a t e d 4 . D / R / T R e l a t e d 5 . A g e R e l a t e d 6 . I n t e g e r T y p e 7 . G e o m e t r i c T Y P e 8 . M o n e y / C o i n R e l a t e d 9 . A g e R e l a t e d 1 0 . D / R / T R e l a t e d F o u r - w a y F o r m s A / B F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n v a r i a t i o n s p r e s e n t e d A b s t r a c t / F a c t u a l A b s t r a c t / F a c t u a l C o n c r e t e / F a c t u a l C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l A b s t r a c t / F a c t u a l C o n c r e t e / F a c t u a l C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l M u l t i - s t e p C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l S a m e O r a l S a m e O r a l D i f f e r e n t W r i t t e n ( D e c i m a l D a t a ) D i f f e r e n t W r i t t e n ( D e c i m a l D a t a ) S a m e W r i t t e n D i f f e r e n t W r i t t e n ( N o S o l u t i o n ) D i f f e r e n t W r i t t e n ( N o S o l u t i o n ) D i f f e r e n t W r i t t e n ( S t a t e m e n t S e q u e n c e ) D i f f e r e n t W r i t t e n ( n a m e s u s e d ) D i f f e r e n t W r i t t e n ( r o l e r e v e r s a l o f 2 n a m e s ) P o s t t e s t i t e m s n u m b e r e d 1 , 2 , a n d 5 w e r e i d e n t i c a l o n b o t h f o r m s o f t h e p o s t t e s t , w i t h n u m b e r s 1 a n d 2 r e a d o r a l l y f o u r t i m e s b y t h e i n v e s t i g a t o r i n e a c h c l a s s r o o m . F o r i t e m s n u m b e r e d 3 a n d 4 , t h e p r o v i d e d d a t a c o n t a i n e d o n e e n t r y o n e a c h f o r m w h i c h w a s n o t a w h o l e n u m b e r i n i t s w r i t t e n f o r m ( $ 7 . 5 0 i n p r o b l e m 3 , F o r m A a n d 1 . 8 k p h i n 3 1 6 p r o b l e m 4 , F o r m B ) . T h e c o n t e n t w a s o t h e r w i s e s i m i l a r f o r t h e s e t w o i t e m s . F o r i t e m s n u m b e r e d 6 a n d 7 , t h e c o n t e n t w a s n e a r l y i d e n t i c a l , b u t t h e i n c l u s i o n o f d i f f e r e n t n u m b e r s a s d a t a f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s r e s u l t e d i n o n e p r o b l e m o f e a c h f o r m ( # 7 , F o r m A a n d # 6 , F o r m B ) w h i c h h a d n o s o l u t i o n . P r o b l e m # 8 c o n t a i n e d i d e n t i c a l d a t a o n b o t h f o r m s , b u t t h e o r d e r i n g o f t h e f i r s t t w o s e n t e n c e s o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w a s r e v e r s e d o n t h e t w o f o r m s . v e r b a l p r o b l e m s # 9 a n d # 1 0 w e r e i d e n t i c a l l y w o r d e d , e x c e p t t h e f i r s t n a m e s u s e d o n t h e t w o f o r m s w e r e d i f f e r e n t . T h e f i r s t n i n e p r o b l e m s w e r e d e s i g n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o c l o s e l y r e s e m b l e t h e v e r b a l p r o b l e m t y p e s s t u d e n t s h a d e n c o u n t e r e d i n t h e i r c l a s s r o o m e x p e r i e n c e s , a n d w e r e t y p i c a l o f t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s . P r o b l e m n u m b e r 1 0 , b e i n g m u l t i - s t e p , r e p r e s e n t e d a n i n v e s t i g a t o r a t t e m p t t o e v a l u a t e w h e t h e r s t u d e n t s c o u l d g o b e y o n d t e x t b o o k e x e r c i s e s i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s . S i n c e o n l y t w o o r t h r e e s t u d e n t s p e r c l a s s s h o w e d a n y m e a s u r a b l e p r o g r e s s o n t h i s i t e m , r e s u l t s r e l a t e d t o t h i s p r o b l e m w e r e n o t i n c l u d e d i n t h e p o s t t e s t a n a l y s i s . T h e s c o r i n g o f s t u d e n t w o r k o n t h e p o s t t e s t i n s t r u m e n t w a s b a s e d o n i n v e s t i g a t o r a w a r d i n g o f z e r o , o n e , o r t w o p o i n t s i n e a c h o f f i v e d i s t i n c t p h a s e s o f p r o b l e m p r o g r e s s a n d c o m p l e t i o n . E a c h p r o b l e m t h e n h a d a p o s s i b l e s c o r e o f 1 0 p o i n t s . T h e e m p l o y e d s c o r i n g s y s t e m i s d e t a i l e d f o r e a c h o f t h e f i v e p h a s e s i n T a b l e 6 . 4 . 3 1 7 T a b l e 6 . 4 S c o r i n g T e c h n i q u e f o r P o s t t e s t I t e m s P h a s e 1 : V a r i a b l e D e f i n i t i o n s S c o r e 0 i f n o d e f i n i n g a t t e m p t e d o r m o r e t h a n o n e e r r o r i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . S c o r e 1 i f e x a c t l y o n e e r r o r m a d e i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n . S c o r e 2 i f e x p l i c i t , w r i t t e n v a r i a b l e d e f i n i t i o n s c o r r e c t . P h a s e 2 : E q u a t i o n F o r m u l a t i o n S c o r e 0 i f n o e q u a t i o n f o r m u l a t e d o r e r r o r i n c o n n e c t e d r e l a t i o n s h i p s . S c o r e 1 i f c o r r e c t l y f o r m u l a t e d r e l a t i o n s h i p f o r i n c o r r e c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n . S c o r e 2 i f w r i t t e n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n c o r r e c t . P h a s e 3 : E q u a t i o n S o l v i n g S c o r e 0 i f e r r o r w i t h a n y f o r m u l a t e d e q u a t i o n n o t e d o r p r o c e s s i n g d i s c o n t i n u e d . S c o r e 1 i f c o r r e c t l y s o l v e d a n e r r o n e o u s l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n . S c o r e 2 i f c o r r e c t l y s o l v e d a c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n . P h a s e 4 : I n t e r p r e t a t i o n / C h e c k i n g P r o c e s s S c o r e 0 i f e r r o r i n i n t e r p r e t i n g e q u a t i o n r e s u l t o r t e r m i n a t i o n w i t h n o a n s w e r g i v e n . S c o r e 1 i f i n t e r p r e t a t i o n o f r e s u l t d o n e c o r r e c t l y w i t h v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , b u t a n s w e r n o t c o r r e c t a n d c h e c k n o t p e r f o r m e d , w h i c h m i g h t i n d i c a t e e r r o r . S c o r e 2 i f i n t e r p r e t a t i o n o f r e s u l t d o n e c o r r e c t l y w i t h v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d c o r r e c t a n s w e r s r e s u l t ( n o c h e c k r e q u i r e d ) . P h a s e 5 : C o r r e c t A n s w e r s S c o r e 0 i f i n c o r r e c t a n s w e r s t o a n y o f q u e s t i o n e d p a r t s o f t h e p r o b l e m . S c o r e 1 i f c o r r e c t a n s w e r s g i v e n , y e t l a c k o f w o r k t o i n d i c a t e n a t u r e o f d e r i v a t i o n . S c o r e 2 i f a l l r e q u e s t e d a n s w e r s c o r r e c t a n d w o r k p r e s e n t t o i n d i c a t e d e r i v a t i o n . F o r e a c h s t u d e n t , c o u n t s w e r e a l s o n o t e d o f s t u d e n t a t t e m p t s a t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m . 3 1 8 W h i l e t h e a b o v e s c o r i n g s y s t e m m i g h t a p p e a r c o m p l e x , i t ' w a s f o u n d t o b e a w o r k a b l e s y s t e m f o r a n a l y z i n g s t u d e n t p o s t t e s t w o r k s a m p l e s . T h i s s c o r i n g s y s t e m w a s a l s o u s e d t o s c o r e t h e p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t a n d f o r s c o r i n g t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t . W i t h i t e m n u m b e r 1 0 e x c l u d e d f r o m t h e s c o r i n g , t h e h i g h e s t a t t a i n a b l e s c o r e w a s 9 0 o n t h e p o s t t e s t i n s t r u m e n t . I n d i v i d u a l s t u d e n t p o s t t e s t s c o r e s , l i s t e d b y c l a s s r o o m t e a c h e r , a p p e a r i n A p p e n d i x J . A . s u m m a r y o f t h e p o s t t e s t r e s u l t s f o r e a c h c l a s s r o o m a n d f o r t h e t o t a l g r o u p o f a l l 6 7 s t u d e n t s i n t h e s t u d y i s d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 5 . N u m b e r s i n p a r e n t h e s e s r e f e r t o s t u d e n t c o u n t s o f t h o s e p a r t i c u l a r s c o r e s . T a b l e 6 . 5 P o s t t e s t R e s u l t s : S u m m a r y o f C l a s s r o o m P e r f o r m a n c e A l i c e B e t t y C a r l T o t a l G r o u p N u m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 6 7 H i g h S c o r e 4 2 ( 1 ) 5 1 ( 1 ) 6 7 ( 1 ) 6 7 L o w S c o r e 1 4 ( 1 ) 0 ( 3 ) 9 ( 1 ) 0 M e d i a n S c o r e 2 7 . 5 1 5 3 8 2 5 M e a n S c o r e 2 7 . 7 2 1 6 . 8 5 3 7 . 3 2 2 6 . 4 9 ( P e r c e n t E q u i v a l e n t ) ( 3 0 . 8 0 ) ( 1 8 . 7 2 ) ( 4 1 . 4 6 ) ( 2 9 . 4 3 ) V a r i a n c e 4 6 . 2 1 1 9 3 . 4 4 2 2 7 . 0 8 2 3 7 . 8 6 A o n e w a y a n a l y s i s o f v a r i a n c e w a s d o n e t o d e t e r m i n e i f c l a s s r o o m d i f f e r e n c e s w e r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t . 3 1 9 B e t w e e n c l a s s r o o m d i f f e r e n c e s w e r e s i g n i f i c a n t ( F = 1 5 . 9 2 , a s o p p o s e d t o F 2 , 6 0 , . 0 1 = 4 . 9 8 ) a t a n a l e v e l = . 0 1 . A t w o t a i l t - t e s t b e t w e e n A l i c e a n d C a r l ’ s c l a s s e s s h o w e d s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s a t a . 0 5 l e v e l , b u t n o t a t a . 0 1 l e v e l . T h e v a r i a n c e f o r A l i c e ' s c l a s s w a s c o n s i d e r a b l y l o w e r , i n d i c a t i n g h e r s t u d e n t s ’ p o s t t e s t s c o r e s w e r e m o r e c l o s e l y g r o u p e d t o g e t h e r . I n f a c t 1 4 o f h e r 1 8 s t u d e n t s s c o r e d b e t w e e n 2 0 a n d 3 1 o n t h e p o s t t e s t . C a r l ’ s c l a s s p e r f o r m e d n o t i c e a b l y b e t t e r t h a n t h e o t h e r c l a s s e s , w h i l e A l i c e ’ s c l a s s o u t p e r f o r m e d B e t t y ' s c l a s s . D i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o w h i c h f o r m ( A o r B ) w a s c o m p l e t e d a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 6 . M e a n r e s u l t s a r e g i v e n f o r e a c h f o r m b y t e a c h e r a n d f o r t h e t o t a l g r o u p . A n a l y s i s i n d i c a t e d v e r y l i t t l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o f o r m s . T a b l e 6 . 6 P o s t t e s t R e s u l t s : F o r m P e r f o r m a n c e C o m p a r i s o n F o r m A l i c e B e t t y C a r l T o t a l G r o u p A 2 7 . 7 8 1 6 . 8 6 3 7 . 9 1 2 6 . 5 6 2 7 . 6 7 1 6 . 8 5 3 6 . 7 3 2 6 . 4 2 A c l o s e r l o o k a t t h e p e r f o r m a n c e f o r t h e i n d i v i d u a l i t e m s w h i c h m o r e g r e a t l y d i f f e r e n t i a t e d t h e t w o f o r m s ( i t e m s # 3 , 4 , 6 , 7 ) f o r e a c h c l a s s r o o m r e s u l t e d i n o n l y o n e i n s t a n c e w h e r e a s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e ( a = . 0 1 ) w a s n o t e d , t h a t b e i n g C a r l ' s c l a s s p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o i t e m 3 2 0 n u m b e r 6 ( c o n s e c u t i v e i n t e g e r p r o b l e m ) . D i f f e r i n g i n v e s t i g a t o r d e s i g n o f i t e m s 6 a n d 7 o n t h e t w o f o r m s w a s d o n e t o d e t e r m i n e i f v e r b a l p r o b l e m s n o t h a v i n g a s o l u t i o n h a d a n e g a t i v e i n f l u e n c e o n s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . B y p a i r i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e t w o , n o s o l u t i o n p r o b l e m s ( 6 3 a n d 7 A ) o f t h e p o s t t e s t , a n d c o m p a r i n g t h a t p e r f o r m a n c e w i t h t h a t o n t h e t w o , o n e s o l u t i o n p r o b l e m s ( 6 A a n d 7 B ) o f t h e p o s t t e s t f o r m s , a n i n d i c a t i o n o f t h i s i n f l u e n c e w a s t e s t e d . W h i l e s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e t w o , o n e s o l u t i o n v e r b a l p r o b l e m s w a s b e t t e r ( m e a n = 3 . 3 4 ) a s c o m p a r e d t o p e r f o r m a n c e o n t h e t w o , n o s o l u t i o n v e r b a l p r o b l e m s ( m e a n = 2 . 5 2 ) , t h e d i f f e r e n c e w a s n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t ( a = . 0 5 ) . S i m i l a r l y , d a t a v a r i a t i o n s i n t h e t w o f o r m s r e l a t e d t o q u e s t i o n s 3 a n d 4 w e r e d e s i g n e d t o d e t e r m i n e i f t h e i n c l u s i o n o f d e c i m a l f o r m d a t a ( o n e e n t r y ) h i n d e r e d s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . A g a i n c o m b i n i n g r e s u l t s f o r p a i r e d i t e m s 3 A a n d 4 B ( d e c i m a l f o r m d a t a ) a n d i t e m s 3 B a n d 4 A ( w h o l e n u m b e r d a t a ) w a s c o m p l e t e d a n d t h e r e s u l t s c o m p a r e d . A l t h o u g h s t u d e n t r e s u l t s f a v o r e d w h o l e n u m b e r d a t a ( m e a n = 2 . 6 6 ) o v e r d e c i m a l f o r m d a t a ( m e a n = 2 . 0 9 ) , t h e d i f f e r e n c e w a s n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t ( a = . 0 5 ) . C o n s i d e r a t i o n w a s g i v e n t o c o m p a r i n g o r a l a n d w r i t t e n f o r m a t p r e s e n t a t i o n s o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e , w h i c h w a s n o t 3 2 1 C o n s i d e r a t i o n w a s g i v e n t o c o m p a r i n g o r a l a n d w r i t t e n f o r m a t p r e s e n t a t i o n s o n s t u d e n t p e r f o r m a n c e , w h i c h w a s n o t p a r t o f t h e p o s t t e s t d e s i g n , a n d w a s n o t p o s s i b l e s i n c e n o n e o f t h e s e v e n w r i t t e n f o r m a t p r o b l e m s w a s s i m i l a r e n o u g h i n p r o b l e m t y p e o r l e v e l t o p e r f o r m s u c h a c o m p a r i s o n . A n i t e m a n a l y s i s w a s c o m p l e t e d c o m p a r i n g c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o s p e c i f i c p r o b l e m t y p e s a n d c l a s s i f i c a t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s . T a b l e 6 . 7 d i s p l a y s t h e c o m p a r i s o n o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n t h e t h r e e c l a s s r o o m s o n t h e n i n e s c o r e d i t e m s o f t h e p o s t t e s t . T a b l e 6 . 7 P o s t t e s t R e s u l t s : C l a s s P e r f o r m a n c e b y T e s t I t e m P r o b l e m M e a n M e a n M e a n M e a n A N O V A N u m b e r G r o u p A l i c e B e t t y C a r l L e v e l 1 . 6 . 5 7 7 . 5 0 4 . 1 1 8 . 8 2 p < . 0 1 2 . 3 . 0 4 4 . 3 9 1 . 6 7 3 . 6 4 p < . 0 1 3 . 0 . 8 7 0 . 2 2 1 . 1 5 1 . 0 5 N S 4 . 3 . 8 8 2 . 2 8 3 . 4 8 5 . 6 8 p < . 0 5 5 . 1 . 8 2 1 . 6 1 0 . 8 5 3 . 1 8 p < . 0 1 6 . 3 . 1 6 3 . 6 1 0 . 2 6 6 . 3 6 p < . 0 1 7 . 2 . 7 0 3 . 0 0 1 . 3 0 4 . 1 8 p < . 0 1 8 . 2 . 9 4 2 . 2 8 3 . 3 0 3 . 0 5 N S 9 . 1 . 4 5 2 . 6 1 0 . 7 4 1 . 3 6 p < . 0 1 C a r l ' s c l a s s o u t p e r f o r m e d t h e o t h e r t w o c l a s s e s o n f i v e i t e m s ( n u m b e r s 1 , 4 , 5 , 6 , 7 ) , a n d d i d n o t h a v e t h e 3 2 2 a n d l o w e s t o n t h r e e i t e m s ( n u m b e r s 3 , 4 , 8 ) . B e t t y ' s c l a s s p e r f o r m e d h i g h e s t o n t w o i t e m s ( n u m b e r s 3 a n d 8 ) , a n d l o w e s t o n s i x i t e m s ( n u m b e r s 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 9 ) . B e t t y ' s h i g h e s t c l a s s p e r f o r m a n c e o n i t e m s 3 a n d 8 i s n o t e w o r t h y s i n c e b o t h v e r b a l p r o b l e m s w e r e c o i n / m o n e y r e l a t e d , a n d c l a s s r o o m d i f f e r e n c e s w e r e n o t s i g n i f i c a n t o n l y f o r t h e s e t w o i t e m s . M o s t o f t h e a p p r e c i a b l e d i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s r o o m s c a n b e a t t r i b u t e d t o t h e e x c e e d i n g l y l o w e r s c o r e s o f B e t t y ’ s c l a s s o n m o s t i t e m s . D i f f e r e n c e s i n p e r f o r m a n c e b e t w e e n A l i c e a n d C a r l ’ s c l a s s e s w e r e o n l y s i g n i f i c a n t f o r t w o i t e m s ( n u m b e r s 5 a n d 6 ) a t a a = 0 . 0 1 l e v e l o f s i g n i f i c a n c e . T h e i n d i v i d u a l p o s t t e s t i t e m s w e r e c l a s s i f i e d i n t o t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s w h i c h c o m p o s e d t h e c o r e c u r r i c u l u m f o r t h e s t u d y . T o t a l g r o u p p e r f o r m a n c e o n t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s w a s u s e d t o o r d e r t h e i n f o r m a t i o n f o r T a b l e 6 . 8 , w h i c h d i s p l a y s t h e c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e f o r e a c h o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s . 3 2 3 T a b l e 6 . 8 P o s t t e s t R e s u l t s : C l a s s C o m p a r i s o n b y P r o b l e m T y p e s C o n t e n t I t e m M e a n M e a n M e a n M e a n A N O V A T y p e N u m b e r G r o u p A l i c e B e t t y C a r l L e v e l S i m p l e 1 6 . 5 7 7 . 5 0 4 . 1 1 8 . 8 2 p < . 0 1 T r a n s l a t i o n D / R / T 4 3 . 8 8 2 . 2 8 3 . 4 8 5 . 6 8 p < . 0 5 R e l a t e d I n t e g e r 6 3 . 1 6 3 . 6 1 0 . 2 6 6 . 3 6 p < . 0 1 T y p e G e o m e t r i c 2 , 7 2 . 8 7 3 . 7 0 1 . 4 9 3 . 9 1 p < . 0 1 T y p e s C o i n / M o n e y 3 , 8 1 . 9 1 1 . 2 5 2 . 2 3 2 . 0 5 N S A g e r e l a t e d 5 , 9 1 . 5 4 2 . 1 1 0 . 8 0 2 . 2 7 p < . 0 1 C l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s b a s e d o n p r o b l e m t y p e w e r e s i g n i f i c a n t f o r f i v e o f t h e s i x p r o b l e m t y p e s . O n l y f o r c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e s w e r e d i f f e r e n c e s n o t s i g n i f i c a n t . W h i l e i n A l i c e a n d C a r l ’ s c l a s s e s c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e s r e p r e s e n t e d t h e l o w e s t p e r f o r m a n c e o f a n y p r o b l e m t y p e , B e t t y ’ s c l a s s s h o w e d t h i s p r o b l e m t y p e a s a r e l a t i v e s t r e n g t h . T h e s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e w a s t h e l e a s t d i f f i c u l t v e r b a l p r o b l e m t y p e f o r a l l t h r e e c l a s s e s , a n d t h e a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s h a d l o w e r r e s u l t s i n a l l t h r e e c l a s s e s . R e l a t i v e s e c o n d a r y s t r e n g t h s d i f f e r e d a p p r e c i a b l y f o r t h e t h r e e c l a s s e s o f s t u d e n t s . C a r l ' s s t u d e n t s s o l v e d i n t e g e r t y p e s a n d D / R / T r e l a t e d t y p e s a t a h i g h e r l e v e l o f s u c c e s s . A l i c e ' s s t u d e n t s h a d g r e a t e r s u c c e s s o n L _ _ — g e o m e t r i c a n d i n t e g e r t y p e s . f a v o r a b l y o n t h e D / R / T r e l a t e d p r o b l e m t y p e . 3 2 4 B e t t y ’ s s t u d e n t s d i d m o r e T h e o t h e r v e r b a l p r o b l e m c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m d e v e l o p e d f o r t h e s t u d y i n C h a p t e r I V i n v o l v e d f o r m a t s o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s i n t o a b s t r a c t / c o n c r e t e a n d f a c t u a l / h y p o t h e t i c a l d i s t i n c t i o n s . S t u d e n t p o s t t e s t r e s u l t s w e r e a n a l y z e d w i t h i n t h i s r e s u l t i n g f o u r w a y c l a s s i f i c a t i o n t o c o m p a r e c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e s f o r s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s , a n d t o c o m p a r e s t u d e n t r e s u l t s w i t h t h e s p e c u l a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h e t e x t b o o k a n a l y s i s d e v e l o p e d i n C h a p t e r I V . T h e s u m m a r y o f c l a s s r o o m p o s t t e s t r e s u l t s f o r t h e f o u r f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s i s d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 9 . T a b l e 6 . 9 P o s t t e s t R e s u l t s : F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n s C o m p a r i s o n R e l a t e d F o r m a t I t e m s A b s t r a c t / 1 , 2 , 7 F a c t u a l A b s t r a c t / 6 H y p o t h e t i c a l C o n c r e t e / 3 , 8 F a c t u a l C o n c r e t e / 4 , 5 , 9 H y p o t h e t i c a l M e a n G r o u p A l i c e 4 . 1 0 3 . 1 6 1 . 9 1 2 . 3 8 M e a n 4 . 9 6 3 . 6 1 1 . 2 5 2 . 1 7 M e a n B e t t y 2 . 3 6 0 . 2 6 2 . 2 3 1 . 6 9 M e a n C a r l 5 . 5 5 6 . 3 6 2 . 0 5 3 . 4 1 A N O V A L e v e l p < . 0 1 p < . 0 1 N S p < . 0 1 A o n e w a y a n a l y s i s o f v a r i a n c e f o r t h e g r o u p m e a n s o f t h e f o u r f o r m a t t y p e s r e v e a l e d n o s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e ( F = 2 . 5 3 ) . T h e i n d i v i d u a l c l a s s r e s u l t s a n d t h e t o t a l g r o u p m e a n s c o r e s o f t h e f o u r f o r m a t t y p e s w e r e u s e d t o 3 2 5 c o n s t r u c t t a b l e s f o r a n a l y z i n g t h e d e g r e e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y f o r t h e f o u r f o r m a t s b y c l a s s r o o m , s i m i l a r t o t h a t d o n e i n C h a p t e r I V ( T a b l e s 4 . 6 a n d 4 . 7 ) . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 1 0 , t o g e t h e r w i t h t h e h y p o t h e s i z e d r e s u l t s g e n e r a t e d i n C h a p t e r I v ( T a b l e 4 . 7 ) f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s . T h e f o u r f o r m a t t y p e s a r e l i s t e d i n a b b r e v i a t e d f o r m : A F = A b s t r a c t / F a c t u a l , A H = A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l , C F = C o n c r e t e / F a c t u a l , a n d C H = C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l . T a b l e 6 . 1 0 V e r b a l P r o b l e m D i f f i c u l t y : P o s t t e s t F o r m a t C o m p a r i s o n s L e a s t I n t e r m e d i a t e M o s t D i f f i c u l t D i f f i c u l t y D i f f i c u l t P o s t t e s t - G r o u p A F A H C H - C F A l i c e - H y p o t h e s i z e d C F A F - C H A H . A l i c e - P o s t t e s t A F A H C H - C F B e t t y - H y p o t h e s i z e d C F A F C H - A H B e t t y - P o s t t e s t A F - C F C H A H C a r l - H y p o t h e s i z e d A F C F - C H A H C a r l - P o s t t e s t A H - A F C H C F O f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s o f p r o b l e m s o l v i n g c o m p e t e n c e o u t l i n e d b y C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) , t h e t o t a l g r o u p ’ s p e r f o r m a n c e a n d A l i c e a n d C a r l ’ s c l a s s e s ' p e r f o r m a n c e m o s t c l o s e l y r e s e m b l e d t h e d i r e c t t r a n s l a t i o n p e r s p e c t i v e . T h e s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y f o r t h i s p e r s p e c t i v e ( d i r e c t t r a n s l a t i o n ) f r o m l e a s t t o m o s t d i f f i c u l t w a s A F , A H , C F , C H ( s e e T a b l e 4 . 6 ) . B e t t y ’ s s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y , b a s e d o n t h e p o s t t e s t 3 2 6 r e s u l t s , m o r e c l o s e l y r e s e m b l e d t h e d e v e l o p m e n t a l p e r s p e c t i v e , w h i c h h a d a s e q u e n c e o f C F , C H , A F , a n d A H . T h e i n v e s t i g a t o r a l s o d e v e l o p e d s e q u e n c e s o f h y p o t h e t i c a l p e r f o r m a n c e b a s e d o n t e x t b o o k e x e r c i s e e x p o s u r e c o u n t s f o r t h e f o u r f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s ( s e e T a b l e 4 . 7 ) . T h e s e h y p o t h e s i z e d s e q u e n c e s w e r e r e a s o n a b l y a c c u r a t e f o r B e t t y , n o t a s a c c u r a t e f o r C a r l , a n d a l m o s t c o m p l e t e l y r e v e r s e d f o r A l i c e . I n c o m p a r i n g t h e t o t a l g r o u p ’ s p e r f o r m a n c e r e s u l t s w i t h t h o s e o f C a l d w e l l a n d G o l d i n ' s ( 1 9 8 7 ) e l e m e n t a r y a n d s e c o n d a r y s t u d i e s , o n e f i n d s a c o m p l e t e r e v e r s a l o f p r o b l e m d i f f i c u l t y , w i t h a b s t r a c t t y p e s p r e f e r r e d o v e r c o n c r e t e t y p e s , o p p o s i n g t h e i r r e s u l t s . P e r f o r m a n c e o f t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s o n a n a b s t r a c t i t e m h a d a m e a n o f 3 . 8 7 a s c o m p a r e d t o a m e a n p e r f o r m a n c e o f 2 . 1 9 f o r a c o n c r e t e i t e m . T h i s d i f f e r e n c e b e t w e e n a b s t r a c t a n d c o n c r e t e i t e m p e r f o r m a n c e w a s s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t a t a n a l e v e l o f . 0 1 ( t = 4 . 7 9 ) . I n a n a l y z i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e p o s t t e s t i t e m s , t h e i n v e s t i g a t o r w a s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n w h i c h p h a s e s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l s t u d e n t p r o c e s s i n g e r r o r s w e r e m o s t l i k e l y t o o c c u r , a n d t h e r e l a t i v e s u c c e s s p r o b a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h e a c h p h a s e . B y p h a s e s t h e i n v e s t i g a t o r i s r e f e r r i n g t o t h e s u b s t e p s o f t h e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l : v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , e q u a t i o n s o l v i n g , 3 2 7 i n t e r p r e t i n g / c h e c k i n g r e s u l t s , a n d d e n o t i n g t h e c o r r e c t p r o b l e m s o l u t i o n . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e s e f i v e p h a s e s w e r e t h e c e n t r a l f e a t u r e s a r o u n d w h i c h t h e s c o r i n g s y s t e m f o r t h e p o s t t e s t w a s d e r i v e d . T h i s p a r t o f t h e p o s t t e s t a n a l y s i s o f s t u d e n t r e s u l t s w a s d o n e i n t w o d i f f e r e n t w a y s . F o r o n e m e t h o d , c o u n t s w e r e d o n e w h e r e s t u d e n t s w e r e a w a r d e d t w o p o i n t s i n a p h a s e ( i n d i c a t i n g c o m p l e t e c o r r e c t n e s s ) f o r e a c h i t e m , a n d t h e n t h e s e c o u n t s w e r e u s e d t o g e n e r a t e p r o p o r t i o n s ( c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s ) f o r t h e d e g r e e o f p r o g r e s s f o r e a c h p h a s e . T h e s e c o n d m e t h o d i n v o l v e d t h e t o t a l i n g o f p r o c e s s s c o r e s ( b y c l a s s ) a w a r d e d i n e a c h p h a s e c a t e g o r y , d e t e r m i n i n g m e a n s f o r e a c h c l a s s a n d p h a s e , a n d f o r m u l a t i n g p r o p o r t i o n s o f t h e t o t a l p o s s i b l e e a r n e d s c o r e f o r e a c h p h a s e c a t e g o r y . B o t h m e t h o d s , i n d i f f e r e n t w a y s , a r e i n d i c a t i o n s o f t h e a p p a r e n t s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s d e m o n s t r a t e d i n s t u d e n t p r o c e s s i n g o f v e r b a l p r o b l e m s . T h e e m p l o y e d m e t h o d s h e r e a f t e r w i l l b e r e f e r r e d t o a s M e t h o d I ( c o n d i t i o n a l p r o p o r t i o n s ) a n d M e t h o d I I ( p r o c e s s s c o r e p r o p o r t i o n s ) . I n M e t h o d I t h e t w o p h a s e c a t e g o r i e s , i n t e r p r e t i n g / c h e c k i n g a n d c o r r e c t s o l u t i o n , w e r e c o l l a p s e d i n t o o n e p h a s e , s i n c e c o r r e c t i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s o l u t i o n f o r a n e q u a t i o n u s u a l l y l e a d s t o a c o r r e c t a n s w e r ( s ) . I n t h i s m e t h o d , t h e i n v e s t i g a t o r a l s o j u d g e d w h e t h e r a s t u d e n t ’ s w o r k s a m p l e i n d i c a t e d a n a t t e m p t t o d e f i n e v a r i a b l e s . T h i s a d d i t i o n p e r m i t t e d a m o r e a c c u r a t e 3 2 8 a p p r a i s a l o f s t u d e n t a b i l i t i e s t o c o r r e c t l y d e f i n e t h e v a r i a b l e s f o r a p r o b l e m , a n d a l s o a m e a s u r e o f s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n o f t h e a d v o c a t e d g e n e r a l , p r o c e d u r a l m o d e l o f p r o c e s s i n g , s i n c e t h e f i r s t w r i t t e n s t e p o f t h e m o d e l i s v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . T h e s u m m a r y t a b l e s w h i c h f o l l o w w e r e d e r i v e d f r o m s i x i n d i v i d u a l c l a s s r o o m t a b l e s ( 3 f o r e a c h m e t h o d ) d i s p l a y e d i n A p p e n d i x K . T h e f i r s t t h r e e t a b l e s o f A p p e n d i x K ( o r g a n i z e d b y c l a s s r o o m ) i n d i c a t e c o u n t s f o r e a c h o f t h e n i n e i t e m s o f c a s e s w h e r e s t u d e n t s e a r n e d t w o p o i n t s i n a p h a s e . T h e s e c o n d t h r e e t a b l e s i n A p p e n d i x K i n d i c a t e p r o c e s s s c o r e s f o r e a c h i t e m i n t h e f i v e p h a s e s , b y c l a s s r o o m . I n M e t h o d I , p r o p o r t i o n s a r e c o m p u t e d b a s e d o n t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d a p h a s e , g i v e n t h a t t h e y h a d a l r e a d y s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d t h e i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g p h a s e . F o r i n s t a n c e , t h e p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s w h o h a d c o r r e c t l y f o r m u l a t e d t h e e q u a t i o n f o r a p r o b l e m , g i v e n t h a t a c o r r e c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n h a d b e e n m a d e . T a b l e 6 . 1 1 d i s p l a y s t h e s e p r o p o r t i o n s f o r t h e v a r i o u s p h a s e s f o r e a c h c l a s s , a n d f o r t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s i n t h e s t u d y . 3 2 9 T a b l e 6 . 1 1 P o s t t e s t R e s u l t s : P h a s e S u c c e s s P r o p o r t i o n s ( M e t h o d I ) P h a s e D e s c r i p t i o n T o t a l A l i c e B e t t y C a r l G r o u p V a r i a b l e D e f i n i t i o n A t t e m p t e d . 7 3 . 7 9 . 5 6 . 8 7 C o r r e c t v a r i a b l e D e f i n i t i o n . 5 4 . 5 8 . 5 0 . 5 4 C o r r e c t E q u a t i o n F o r m u l a t i o n . 5 4 . 4 1 . 4 9 . 6 9 C o r r e c t E q u a t i o n S o l v i n g . 8 3 . 7 7 . 7 0 . 9 4 C o r r e c t I n t e r p r e t a t i o n a n d S o l u t i o n . 8 4 . 7 4 . 9 1 . 8 5 P r o b a b i l i t y o f C o r r e c t C o m p l e t i o n S e q u e n c e . 1 4 8 . 1 0 7 . 0 8 7 . 2 5 9 T h e a t t e m p t a t v a r i a b l e d e f i n i t i o n c a t e g o r y i n d i c a t e d h o w w e l l t h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l ( P o l y a ’ s m o d e l ) h a d b e e n i n c o r p o r a t e d i n t o s t u d e n t p r o c e s s i n g . F o r A l i c e a n d C a r l ' s s t u d e n t s , t h e m o d e l a p p e a r e d w e l l i n g r a i n e d i n s t u d e n t t h i n k i n g , a s a t t e m p t s a t v a r i a b l e d e f i n i t i o n f o r a p r o b l e m o c c u r r e d a l m o s t 8 0 p e r c e n t o f t h e t i m e . A . f u r t h e r i n d i c a t i o n o f t h e d e g r e e o f t h i s i n g r a i n e d n e s s w a s t h a t a l l 1 8 o f A l i c e ’ s s t u d e n t s a n d 2 1 o f C a r l ’ s 2 2 s t u d e n t s a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r f i v e o r m o r e o f t h e n i n e v e r b a l p r o b l e m s . T h e o n e s t u d e n t e x c e p t i o n i n C a r l ’ s c l a s s w a s n o t i c e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o q u i t w o r k i n g o n t h e p o s t t e s t a f t e r t h e f i f t h p r o b l e m , a t w h i c h t i m e f o u r o f t h e f i v e p r o b l e m s t r i e d i n d i c a t e d a n a t t e m p t a t 3 3 0 v a r i a b l e d e f i n i t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , t e n o f B e t t y ’ s 2 7 s t u d e n t s f a i l e d t o m e e t t h i s c r i t e r i a o f f i v e a t t e m p t s a t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r t h e n i n e p r o b l e m s , i n d i c a t i n g l e s s i n c o r p o r a t i o n o f t h e s u g g e s t e d g e n e r a l , p r o c e d u r a l m o d e l . S t u d e n t a b i l i t i e s t o c o r r e c t l y d e f i n e t h e v a r i a b l e s f o r a p r o b l e m a n d c o r r e c t l y f o r m u l a t e t h e p r o b l e m ' s e q u a t i o n w e r e e q u i v a l e n t w h e n t h e t o t a l g r o u p w a s c o n s i d e r e d , i n d i c a t i n g t h e s e t w o p h a s e s p o s e d t h e g r e a t e s t d i f f i c u l t y i n s t u d e n t p r o c e s s i n g . W h i l e t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n c l a s s e s i s s m a l l f o r t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n p r o c e s s , C a r l ’ s c l a s s s h o w e d a n o t i c e a b l e a d v a n t a g e i n t h e i r a b i l i t y t o f o r m u l a t e t h e c o r r e c t e q u a t i o n s . A l i c e ’ s c l a s s s h o w e d a p r e c i p i t o u s d r o p i n t h i s s a m e a b i l i t y , w h i l e B e t t y ’ s c l a s s r e m a i n e d a t a 5 0 p e r c e n t l e v e l o f a b i l i t y . I n a l l c l a s s e s , t h e r e i s m a r k e d i m p r o v e m e n t i n s t u d e n t a b i l i t i e s t o c o r r e c t l y s o l v e e q u a t i o n s , a n d i n i n t e r p r e t i n g t h e r e s u l t s i n t o c o r r e c t s o l u t i o n s . P a r t i c u l a r l y n o t a b l e i s C a r l ’ s c l a s s r o o m o b t a i n i n g a 9 4 p e r c e n t s u c c e s s r a t e i n s o l v i n g e q u a t i o n s . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t r e m e d i a l i n s t r u c t i o n a l e f f o r t s i n A l i c e ' s c l a s s s h o u l d f o c u s o n i m p r o v i n g s t u d e n t a b i l i t i e s t o f o r m u l a t e e q u a t i o n s , a n d i n C a r l ’ s c l a s s o n i m p r o v i n g s t u d e n t a b i l i t i e s t o c o r r e c t l y d e f i n e t h e p r o b l e m s ' v a r i a b l e s . I n B e t t y ' s c l a s s i n i t i a l i n s t r u c t i o n a l e f f o r t s n e e d t o r e f o c u s o n t h e c e n t r a l i t y o f 3 3 1 f o l l o w i n g a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , f o l l o w e d b y i n s t r u c t i o n a l e f f o r t s t o i m p r o v e s p e c i f i c v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s k i l l s . T h e l a s t r o w o f e n t r i e s ( p r o b a b i l i t y o f c o m p l e t i n g s e q u e n c e ) o f T a b l e 6 . 1 1 w a s c o m p u t e d b y m u l t i p l y i n g t h e f i v e e n t r i e s a b o v e i n e a c h c o l u m n , a s t h e s e p r o p o r t i o n s w e r e c o n s i d e r e d c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s f o r e a c h p h a s e . T h e s e c o m p u t e d s e q u e n c e p r o b a b i l i t i e s i n d i c a t e t h a t a s t u d e n t s e l e c t e d f r o m A l i c e o r B e t t y ' s c l a s s h a d a b o u t a 1 i n 1 0 c h a n c e t o c o m p l e t e t h e e n t i r e s e q u e n c e c o r r e c t l y , w h i l e a s t u d e n t i n C a r l ' s c l a s s h a d a b o u t a 1 i n 4 c h a n c e o f s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n o f t h e s e q u e n c e . T h e s e c o n d m e t h o d o f a n a l y s i s ( M e t h o d I I ) o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e w i t h i n t h e v a r i o u s p h a s e s u s e d t h e p r o c e s s s c o r e s a w a r d e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f o r e a c h s t u d e n t s ’ w o r k s a m p l e . P r o p o r t i o n s f o r e a c h p h a s e a n d c l a s s w e r e d e t e r m i n e d b y d i v i d i n g t h e c l a s s e s ' m e a n p r o c e s s s c o r e f o r a p h a s e c a t e g o r y b y t h e p o s s i b l e s c o r e 1 ( 1 8 i n a l l 5 p h a s e s , 9 p r o b l e m s x 2 p o i n t s e a c h ) f o r a p h a s e c a t e g o r y . T h e p r o p o r t i o n o f a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s i s f o u n d b y d i v i d i n g a c l a s s ' s m e a n n u m b e r o f a t t e m p t s b y n i n e ( t h e p o s s i b l e n u m b e r o f a t t e m p t s ) . T h e r e s u l t i n g p r o p o r t i o n s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 1 2 f o r e a c h c l a s s a n d t h e t o t a l g r o u p , a n d r e p r e s e n t c l a s s s u c c e s s r a t e s f o r e a c h p h a s e o f s t u d e n t w o r k . 3 3 2 T a b l e 6 . 1 2 P o s t t e s t R e s u l t s : P h a s e S u c c e s s P r o p o r t i o n s ( M e t h o d I I ) P h a s e D e s c r i p t i o n T o t a l A l i c e B e t t y C a r l G r o u p A t t e m p t V a r i a b l e D e f i n i t i o n . 7 2 . 7 8 . 5 7 . 8 7 V a r i a b l e D e f i n i t i o n . 4 5 . 5 3 . 3 4 . 5 2 E q u a t i o n F o r m u l a t i o n . 2 9 . 2 5 . 1 8 . 4 4 I n t e r p r e t a t i o n / C h e c k . 2 5 . 2 7 . 1 5 . 3 7 C o r r e c t A n s w e r ( s ) . 1 8 . 1 6 . 1 1 . 2 8 O v e r a l l P e r f o r m a n c e . 2 9 . 3 1 . 1 9 . 4 2 W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n p h a s e , i n w h i c h C a r l a n d A l i c e ’ s s t u d e n t s w e r e e q u a l l y s u c c e s s f u l , C a r l ' s s t u d e n t s m a i n t a i n a p e r f o r m a n c e s u p e r i o r i t y o v e r A l i c e ' s s t u d e n t s f o r a l l s u b s e q u e n t p r o c e s s p h a s e s . T h e p r o p o r t i o n r a t e s f o r t h e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p h a s e f a l l m o r e d r a m a t i c a l l y f o r A l i c e a n d B e t t y ' s s t u d e n t s t h a n f o r C a r l ’ s s t u d e n t s . A b o u t 4 0 p e r c e n t o f C a r l ’ s s t u d e n t s , 3 0 p e r c e n t o f A l i c e ’ s s t u d e n t s , a n d l e s s t h a n 2 0 p e r c e n t o f B e t t y ’ s s t u d e n t s w e r e a b l e t o s u c c e s s f u l l y n a v i g a t e t h r o u g h t h e p r o c e d u r a l p h a s e s . A d e t a i l e d i t e m a n a l y s i s w a s p e r f o r m e d o n t h e n i n e i t e m s o f t h e p o s t t e s t . A s u m m a r y o f r e l a t e d i n f o r m a t i o n f o r e a c h i t e m c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x L . T h e i n v e s t i g a t o r l i s t e d s e p a r a t e c o m m e n t s f o r e a c h o f t h e n i n e 3 3 3 i t e m s o f t h e p o s t t e s t r e g a r d i n g p a t t e r n s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e . I t e m # 1 : I t e m # 2 : I t e m # 3 : I t e m # 4 : v e r b a l p r o b l e m w a s p r e s e n t e d o r a l l y b y t h e i n v e s t i g a t o r . H i g h e s t s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n a l l 3 c l a s s e s f o r t h i s s i m p l e t r a n s l a t i o n t y p e . E v e n h e r e o n t h i s s i m p l e s t o f v e r b a l p r o b l e m s , 1 1 o f B e t t y ' s 2 7 s t u d e n t s d i d n o t a t t e m p t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . N o t a b l e a l s o i s C a r l ' s s t u d e n t s b e t t e r p e r f o r m a n c e o n c e t h e v a r i a b l e s w e r e c o r r e c t l y d e f i n e d . P r o b l e m w a s p r e s e n t e d o r a l l y b y t h e i n v e s t i g a t o r . A l l 3 c l a s s e s o f s t u d e n t s w e r e u n s u c c e s s f u l i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n s ( o v e r a l l s u c c e s s r a t e : 3 5 % ) . S i n c e 2 8 o f t h e 3 9 r e l a t e d e r r o r s u s e d n , 2 n , 2 n - 4 r a t h e r t h a n n , 2 n , n - 4 , t h i s m a y b e d u e t o t h e o r a l p r e s e n t a t i o n . A l l 9 o f B e t t y ' s s t u d e n t s e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s w e r e d u e t o t h e l a c k o f a w a r e n e s s o f t h e c o n c e p t u a l r e l a t i o n s h i p n e e d e d ( 1 8 0 d e g r e e s = s u m o f a n g l e s ) . L o w e s t s t u d e n t p e r f o r m a n c e i t e m . S t u d e n t s ' i n a b i l i t y t o e v e n a t t e m p t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s i n d i c a t e d t o t a l u n f a m i l i a r i t y w i t h t h i s p r o b l e m t y p e . T h e r e a p p e a r e d a l a c k o f c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f w a g e c o m p u t a t i o n , a n d t h a t 2 4 h o u r s t o t a l i m p l i e s v a r i a b l e d e f i n i t i o n s o f n a n d 2 4 - n f o r n u m b e r o f h o u r s . F a m i l i a r i t y w i t h t h i s D / R / T r e l a t e d p r o b l e m o b v i o u s i n n u m b e r o f a t t e m p t s a t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s ( 8 0 % u s e d a c h a r t ) . L a r g e n u m b e r o f e r r o r s i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n s ( 1 8 ) s h o w e d j u s t p o o r t r a n s l a t i o n s k i l l s , p a r t i c u l a r l y f o r B e t t y a n d C a r l ' s s t u d e n t s . E r r o r s r e l a t e d t o e q u a t i o n f o r m u l a t i o n ( 2 0 ) s h o w e d a n i n a b i l i t y t o c o n c e p t u a l i z e t h e r e a l s i t u a t i o n a n d / o r t h e d i s t a n c e , r a t e , t i m e r e l a t i o n s h i p . I t e m # 5 : I t e m 6 : I t e m # 7 : 3 3 4 T h i s a g e r e l a t e d p r o b l e m h a d n o s o l u t i o n . O n l y 4 s t u d e n t s r e a l i z e d t h e r e w a s n o s o l u t i o n ( a l l f r o m C a r l ’ s c l a s s ) . S t u d e n t s , p a r t i c u l a r l y i n A l i c e a n d B e t t y ' s c l a s s e s t r i e d t o u s e t h e " t w i c e " i n f o r m a t i o n i n t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n , r a t h e r t h a n f o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . F o r 8 o f t h e 1 6 e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s , s t u d e n t s r e v e r s e d t h e p r o v i d e d d a t a i n f o r m a t i o n , s o t h a t a p o s i t i v e n u m e r i c a l a g e w o u l d r e s u l t f r o m e q u a t i o n s o l v i n g , a f i n d i n g i n c o m m o n w i t h P a i g e a n d S i m o n ’ s ( 1 9 6 6 ) w o r k o n n o n s o l v a b l e a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . T h i s c o n s e c u t i v e i n t e g e r p r o b l e m w a s t o t a l l y u n f a m i l i a r t o B e t t y ' s s t u d e n t s . T h i s w a s p r i m a r i l y d u e t o t h e m i n i m u m i n s t r u c t i o n a l t i m e g i v e n t o t h i s p r o b l e m t y p e b y B e t t y a n d t h e t e x t b o o k . E q u a t i o n f o r m u l a - t i o n e r r o r s f o r A l i c e a n d C a r l ’ s s t u d e n t s i n d i c a t e d p o o r t r a n s l a t i o n s k i l l s i n w r i t i n g t h e e q u a t i o n a s s t a t e d i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , f r o m l e f t t o r i g h t , o r p l a i n o v e r s i g h t o f c e r t a i n p r o b l e m i n f o r m a t i o n ( 2 t i m e s ) . T h i s g e o m e t r i c p r o b l e m t y p e i n v o l v e d t h e c o n c e p t o f p e r i m e t e r o f a r e c - t a n g l e . A l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s i n a l l 3 c l a s s e s ( 2 0 ) f a i l e d t o r e a d t h e p r o b l e m s t a t e m e n t c a r e f u l l y e n o u g h t o c o r r e c t l y t r a n s l a t e v a r i a b l e d e f i n i - t i o n s . A b o u t h a l f t h e s t u d e n t s h a d a n i n c o r r e c t c o n c e p t o f p e r i m e t e r h e r e , t h o u g h i t i s p o s s i b l e t h a t t h e n o s o l u t i o n v e r s i o n o f F o r m A c a u s e d s o m e s t u d e n t s t o u s e t h e i n c o r r e c t r e l a t i o n : l e n g t h + w i d t h = p e r i m e t e r , w h i c h a t l e a s t r e s u l t e d i n a p o s i t i v e l e n g t h a n d w i d t h . ' * — - \ _ _ - 3 3 5 I t e m # 8 : B e t t y ’ s s t u d e n t s d i d c o m p a r a t i v e l y w e l l o n t h i s c o i n r e l a t e d i t e m , w h i l e A l i c e ’ s c l a s s d i d r e l a t i v e l y p o o r . A g a i n t h e r e i s e v i d e n c e t h a t d i r e c t t r a n s l a t i o n s k i l l s n e e d e d f o r v a r i a b l e d e f i n i t i o n a r e r e l a t i v e l y w e a k i n a l l 3 c l a s s e s . A l i c e ' s s t u d e n t s w e r e p a r t i c u l a r l y w e a k i n f o r m u l a t i n g t h e e q u a t i o n , i n m o s t c a s e s f o r g e t t i n g t o i n c l u d e v a l u e s f o r t h e c o i n s . T h i s s h o w s a c o n c e p t u a l m i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e b a s i c n o t i o n o f e q u a t i o n . I t e m 9 : T h i s a g e r e l a t e d , B l e v e l p r o b l e m p r o v e d e x t r e m e l y d i f f i c u l t f o r a l l 3 c l a s s e s , p a r t i c u l a r l y t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . M o s t s t u d e n t s ( 4 4 o f t h e 4 6 ) w h o a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s u s e d t h e f i r s t s e n t e n c e o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t t o d e f i n e v a r i a b l e s w h i c h m o r e n o r m a l l y w o u l d b e e x p e c t e d t o b e u s e d f o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . O f t h e 4 4 a t t e m p t s t h i s w a y , 3 9 r e s u l t e d i n e r r o r s . O n l y 2 s t u d e n t s c o r r e c t l y d e f i n e d t h e v a r i a b l e s a s n , 5 4 - n a s w a s e x p e c t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . S u m m a g y C o m m e n t s W i t h t h e e x c e p t i o n o f i t e m n u m b e r 3 ( t h e w a g e r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m ) , s t u d e n t s g e n e r a l l y w e r e a b l e t o r e l a t e t o t h e v e r b a l p r o b l e m t y p e s o f t h e p o s t t e s t p r o b l e m s , r e c o g n i z i n g t h e m a s s i m i l a r t o p r e v i o u s v e r b a l p r o b l e m w o r k i n c l a s s . T h i s p r o b l e m r e c o g n i t i o n w a s e v i d e n c e d b y t h e n u m b e r o f s t u d e n t s a b l e t o a t t e m p t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r t h e g i v e n p r o b l e m s t a t e m e n t s , a n d w a s n o t a b l y h i g h e r f o r A l i c e a n d C a r l ’ s s t u d e n t s . O n l y a b o u t V 6 0 p e r c e n t o f B e t t y ' s s t u d e n t s r e g u l a r l y a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r t h e p r o b l e m s , a s c o m p a r e d t o a b o u t 8 5 p e r c e n t o f A l i c e a n d C a r l ' s s t u d e n t s . L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 3 6 P a r t i c u l a r l y f o r t h e i n t e g e r t y p e p r o b l e m ( i t e m # 6 ) , B e t t y ’ s s t u d e n t s l a c k e d a l m o s t t o t a l r e c o g n i t i o n o f i t s c o n t e n t t y p e , a s o n l y f o u r o f 2 7 s t u d e n t s e v e n a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . S t u d e n t r e c o g n i t i o n o f p r o b l e m t y p e s g e n e r a l l y l e a d t o s t u d e n t p r o c e s s i n g a n d a t t e m p t e d d e f i n i t i o n o f v a r i a b l e s f o r t h e p r o b l e m s . T w o t y p e s o f k n o w l e d g e a p p e a r r e q u i s i t e f o r v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n t o o p e r a t e c o r r e c t l y . O n e t y p e o f k n o w l e d g e i s a t r a n s l a t i n g a b i l i t y f r o m w r i t t e n E n g l i s h w o r d s a n d p h r a s e s i n t o a l g e b r a i c s y m b o l i z a t i o n , w h i l e t h e o t h e r t y p e o f k n o w l e d g e d e m a n d s r e c a l l o f s t o r e d c o n c e p t s a n d r e l a t i n g t h e s e i n t o a p p l i e d r e l a t i o n s h i p s . G e n e r a l l y t r a n s l a t i o n s k i l l s s e r v e a s u s e f u l t o o l s i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d c o n c e p t u a l a p p l i c a t i o n s a r e m o r e u s e f u l f o r t h e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s . E x c e p t i o n s t o t h i s g e n e r a l p a t t e r n f o r t h e p o s t t e s t i t e m s i n c l u d e t h e a g e r e l a t e d p r o b l e m s ( i t e m s # 5 a n d 9 ) , w h e r e c o n c e p t u a l a p p l i c a t i o n s k i l l s a r e n o t r e q u i r e d i n e i t h e r p h a s e , a n d t h e i n t e g e r t y p e p r o b l e m ( i t e m # 6 ) w h e r e t h e p a t t e r n o f u s a g e o f t h e s e t w o t y p e s o f k n o w l e d g e i s r e v e r s e d . M o m e n t a r i l y e x c l u d i n g i t e m n u m b e r 1 f r o m c o n s i d e r a t i o n , d u e t o i t s m i n i m a l n e c e s s i t y o f t r a n s l a t i o n s k i l l s ( o n e n u m b e r 1 4 m o r e t h a n a n o t h e r ) a n d t h e s i m p l e c o n c e p t ( s u m ) r e q u i r e d , t h e i n v e s t i g a t o r r e v i e w e d s t u d e n t e r r o r s m a d e o n t h e r e s t o f t h e p o s t t e s t i t e m s m o r e c a r e f u l l y . F o r p r o b l e m s w h e r e t r a n s l a t i o n 3 3 7 s k i l l s w e r e r e q u i s i t e i n e i t h e r p h a s e , 7 0 . 6 p e r c e n t ( 1 6 8 o f 2 3 8 ) o f t h e n o t e d e r r o r s w e r e d u e t o i n c o r r e c t t r a n s l a t i o n o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . F o r p r o b l e m s w h e r e c o n c e p t u a l a p p l i c a t i o n s w e r e n e c e s s a r y i n e i t h e r p h a s e , 7 4 . 6 % ( 5 0 o f 6 7 ) o f t h e e r r o r s m a d e w e r e d u e t o e i t h e r n o t k n o w i n g t h e k e y r e l a t i o n s h i p o r t o a n i m p r o p e r a p p l i c a t i o n o f t h e k e y r e l a t i o n s h i p . I t a p p e a r s t h a t n e i t h e r t y p e o f k n o w l e d g e i s a d e q u a t e l y d e v e l o p e d i n s t u d e n t ’ s p r o c e s s i n g t o e n a b l e s t u d e n t s t o n a v i g a t e t h e i r w a y t h r o u g h t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p h a s e s . R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s T h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d a m o r e c o m p r e h e n s i v e i n s t r u m e n t f o r t h e r e t e n t i o n t e s t w h i c h i n c l u d e d a q u e s t i o n n a i r e / s u r v e y s e c t i o n , a n d a n e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n , b e s i d e s a v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n . A c o p y o f t h e e n t i r e r e t e n t i o n t e s t f o r m c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x F . T h e s a m e r e t e n t i o n t e s t w a s a d m i n i s t e r e d t o a l l t h r e e c l a s s e s o f s t u d e n t s d u r i n g t h e s a m e w e e k ( M a r c h 9 - 1 3 , 1 9 8 7 ) , a n d d u r i n g n o r m a l c l a s s t i m e . I t w a s n e c e s s a r y t o a d m i n i s t e r t h e t e s t f o r b o t h o f B e t t y ' s A l g e b r a I s e c t i o n s s i n c e s t u d e n t s o f t h e o r i g i n a l c l a s s h a d b e e n i n t e r m i x e d w i t h s t u d e n t s o f h e r o t h e r s e c t i o n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s e c o n d s e m e s t e r ( J a n u a r y , 1 9 8 7 ) . O f t h e 6 7 s t u d e n t s w h o c o m p l e t e d t h e p o s t t e s t , 6 6 s t u d e n t s a l s o t o o k t h e r e t e n t i o n t e s t . T h e o n e e x c e p t i o n w a s o n e o f B e t t y ' s s t u d e n t s w h o w a s d e m o t e d t o a p r e a l g e b r a c l a s s a t t h e 3 3 8 b e g i n n i n g o f t h e s e c o n d s e m e s t e r . T h e e l a p s e d t i m e b e t w e e n p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t a d m i n i s t r a t i o n s v a r i e d f r o m 1 0 w e e k s ( C a r l ’ s c l a s s ) t o 1 2 w e e k s f o r A l i c e ' s c l a s s . . A l l t h r e e t e a c h e r s f e l t c o m p e l l e d t o i n f o r m t h e i n v e s t i g a t o r a t t h e t i m e o f t h e r e t e n t i o n t e s t a d m i n i s t r a t i o n t h a t v e r y l i t t l e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t h a d b e e n c o v e r e d d u r i n g t h e i n t e r v e n i n g t i m e a f t e r t h e p o s t t e s t ( w h i c h t h e i n v e s t i g a t o r w a s a l r e a d y a w a r e o f f r o m t h e t e x t b o o k a n a l y s i s ) , a n d t h o u g h s u c h i n f o r m a t i o n w a s n o t r e q u e s t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . Q u e s t i o n n a i r e / S u r v e y S e c t i o n T h i s s e c t i o n w a s c o m p o s e d o f s e v e n i t e m s . T h e f i r s t i t e m r e q u i r e d s t u d e n t s t o r a n k o r d e r a l i s t o f f i v e p r o v i d e d c o n c e r n s t h a t t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d s t u d e n t s c o u l d u n d e r s t a n d a n d r a t e f o r t h e i r p e r s o n a l i m p o r t a n c e . T h e n e x t f i v e i t e m s u s e d a m u l t i p l e c h o i c e f o r m a t , a n d t h e l a s t i t e m w a s o p e n - e n d e d , a s k i n g s t u d e n t s t o r e s p o n d w i t h a s e n t e n c e o r p a r a g r a p h t o a q u e s t i o n . S i n c e a m a j o r i t y o f s t u d e n t s l e f t t h e l a s t s u r v e y q u e s t i o n b l a n k , a n d h e n c e l i t t l e i n f o r m a t i o n w a s g a i n e d f r o m t h i s i t e m , r e s u l t s f o r t h i s i t e m w e r e e x c l u d e d f r o m t h e a n a l y s i s . T w o o f t h e m u l t i p l e c h o i c e i t e m s ( n u m b e r s 2 a n d 4 ) r e l a t e d t o s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n s o f t h e i r a b i l i t y r e l a t e d t o a l g e b r a c o n t e n t a n d v e r b a l p r o b l e m s , r e s p e c t i v e l y , a n d t w o o f t h e s e i t e m s ( n u m b e r s 3 a n d 5 ) r e l a t e d t o a t t i t u d e 3 3 9 p e r c e p t i o n s t o w a r d s t h e a l g e b r a c l a s s a n d v e r b a l p r o b l e m s r e s p e c t i v e l y . T h e l a s t m u l t i p l e c h o i c e i t e m ( n u m b e r 6 ) a s k e d s t u d e n t s t o e v a l u a t e t h e p e r c e i v e d u s e f u l n e s s o f t h e i r a l g e b r a c l a s s f o r t h e i r f u t u r e h i g h s c h o o l p r o g r a m . F o r t h e f i r s t i t e m , t h e r a n k o r d e r i n g o f t h e f i v e c o n c e r n s , t h e i n v e s t i g a t o r i n i t i a l l y c o m p u t e d t h e m e a n c l a s s r a n k i n g s f o r e a c h l i s t e d c o n c e r n a n d t a l l i e d c o u n t s o f e x t r e m e p o s i t i o n s ( 1 o r 5 ) f o r e a c h l i s t e d c o n c e r n b y c l a s s a n d f o r t h e t o t a l g r o u p o f 6 6 s t u d e n t s . R e s u l t s a r e p o s t e d i n T a b l e 6 . 1 3 . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a l o w e r m e a n r a n k i n g f o r a c o n c e r n i n d i c a t e s g r e a t e r r e l a t i v e i m p o r t a n c e f o r t h a t c o n c e r n . T a b l e 6 . 1 3 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u r v e y - I t e m # 1 A l i c e B e t t y C a r l G r o u p M e a n 1 5 M e a n 1 5 M e a n 1 5 M e a n 1 5 C o n c e r n P a s s C o u r s e 2 . 8 3 7 6 2 . 5 0 9 5 3 . 0 5 6 7 2 . 7 7 2 2 1 8 G o o d G r a d e 2 . 5 6 4 2 2 . 3 5 7 0 2 . 0 0 8 0 2 . 2 9 1 9 2 D a i l y W O r k 2 . 8 3 3 1 2 . 2 7 8 0 2 . 6 8 3 2 2 . 5 6 1 4 3 S o l i d B a s e 3 . 6 1 3 8 3 . 6 9 1 8 3 . 5 0 3 5 3 . 6 1 7 2 1 G a i n C o n f i d e n c e 3 . 1 7 1 1 4 . 1 9 1 1 3 3 . 7 7 2 8 3 . 7 7 4 2 2 T h e p r e s e n t c o n c e r n o f g r e a t e s t i m p o r t a n c e t o A l i c e a n d C a r l ' s s t u d e n t s , a n d f o r t h e t o t a l g r o u p w a s g e t t i n g a g o o d g r a d e i n t h e c o u r s e . F o r B e t t y ' s s t u d e n t s a l m o s t e q u a l i m p o r t a n c e w a s g i v e n t o t h e f i r s t t h r e e c o n c e r n s . 3 4 0 T h e l a r g e n u m b e r o f e x t r e m e r a n k i n g s f o r t h e f i r s t c o n c e r n , p a s s t h e c o u r s e , w a s e x p e c t e d i n t h a t s t u d e n t s c a n m o s t r e a d i l y e v a l u a t e t h e i r p r e s e n t p o s i t i o n f o r t h i s c o n c e r n , a n d h e n c e r e s p o n d e d b a s e d o n t h e i r p e r c e p t i o n s o f p r e s e n t c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e . O n e m i g h t c o n s i d e r a d i c h o t o m y w h e r e t h e f i r s t t h r e e c o n c e r n s r e l a t e t o a s t u d e n t w h o i s p r e s e n t / c o n c r e t e o r i e n t e d , a n d t h e l a s t t w o c o n c e r n s r e l a t e t o a s t u d e n t w h o i s f u t u r e / d e p t h o r i e n t e d . F o r t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s , a n d i n e a c h c l a s s , a b o u t 8 0 p e r c e n t o f t h e s e s t u d e n t s w o u l d b e c l a s s i f i e d a s p r e s e n t / c o n c r e t e o r i e n t e d a n d t h e o t h e r 2 0 p e r c e n t f u t u r e / d e p t h o r i e n t e d , o r i n a r a t i o o f 4 : 1 . P a t t e r n s o f c o m p l e t e r a n k i n g s w e r e l i m i t e d i n n a t u r e . E i g h t p a t t e r n s a p p e a r e d m o r e t h a n t w i c e a n d a c c o u n t e d f o r 4 5 p e r c e n t o f s t u d e n t r a n k i n g s ( 3 0 o f 6 6 ) . T h e m o s t a n y p a t t e r n e d r a n k i n g o c c u r r e d w a s f i v e t i m e s , w h i c h h a p p e n e d f o r t w o p a t t e r n s . T h e m o s t a n y p a t t e r n e d r a n k i n g o c c u r r e d i n o n e c l a s s w a s t h r e e t i m e s . I t e m s n u m b e r e d 2 , 3 , 4 w e r e s i m i l a r i n n a t u r e , e a c h h a v i n g f i v e s e l e c t i o n s f r o m w h i c h t o c h o o s e , a n d t h e f i v e c h o i c e s ( a , b , c , d , e ) r e p r e s e n t e d a c o n t i n u u m f r o m h i g h a b i l i t y o r v e r y p o s i t i v e a t t i t u d e t o v e r y p o o r a b i l i t y o r v e r y n e g a t i v e a t t i t u d e . F o r a l l t h r e e i t e m s , c h o i c e c r e p r e s e n t e d a v e r a g e a b i l i t y o r a n e u t r a l a t t i t u d e . D u e t o t h e s e s i m i l a r i t i e s , a n u m e r i c a l s c a l e w a s c o n s t r u c t e d T 4 r , i o r s f e a h s s e i r c o n c o s u l e s s t a u b = d i t a 3 , o r f r e s n e l d n i ( a d c i o r m e p d i s p t i h t e e d e s m c = r 5 , b o c a t i c u t t l t a h y r a i s b s e k e e e d d m o t n h c = p a s e l t t h e u t m u N S a b c d e ) ) ) ) ) b d v s a e e e l b b v e e r n r i o l r t y g u o y m e R e t e n t i o n e o a a s n c v v a f R c t o h t w w a e n p f o e e k i o i n r r n d f a a s s e i g g k e n d e e i t e m s t e n ( ( t 3 2 l s l c s o ( 5 ) ) r e s A 4 ) ( ( 1 ) T e t t ) l a : B e t 1 t 1 6 2 6 l 3 . 0 y 0 i t l i R e s u l t s e c 3 3 9 3 0 3 . 3 3 h a e 2 i n c d i o h t f a e p l e l r o m w i e t t e d m o r e d T a r b v l e e y 4 6 f . o 1 r s u e p a o m n o n u a r l c d t a o e t r t h = m i e t i o n 2 r , e s o i n t t s e o c m t i t h e i l f s y = e l s n m g e g b r 1 ) s e , r o t u h g e b w a t h p e r m t s h . e d s t c u e o c f h c o l i a S u r v e y - C a e w n h t i s c . h T e h s e t b s t . e l s I r 8 2 6 5 l m # 2 G r o u 1 1 2 1 p 2 1 7 4 2 3 . 5 0 3 . 2 6 T b a b o i u n e e d i c o g e u t h n h e 6 . 1 4 l t t e a i a n t i c a n s m e v l e x f b t h l a g e o r r a e C e a i r e n n d f t h e a a w e e r a g e . , a a g r a e k t i c , d y a e n i n c d n s r m s t A v l e a b o e a e l i s n y ’ a d b s b m a i s c t a u t d e e i p l o i s s t i t y t u , i d i m l e i t t r l s o i i a s n e c t s a n n t s o e t e 5 e F u t h a d p ( n t s . t a b h o e a r l ’ s c l a s s e s t h m r r i s C n e w i r e B a e n r o t A v s 1 a h ) s e l e t . s t a g i c d u e r e t v d a d y e r p r r f t a x o c e o v b e t e h n I t n a ' r ( s a 3 g . e 0 t e d m h a i c l r g a a k h s b 0 t ) h . e d s a e n m s e i B l n t t y ’ t s o t h e r e e e s i d l e v s i e t v h e l e y l i t c l a s a s v e e b c e l c o o f f r a n e s s t c q r o u a n e s f n r a t S s t o u m i d e n e w g n h , t a I m s e l v e s 1 4 3 4 1 T a b l e 6 . 1 4 3 4 2 S i m i l a r s u m m a t i o n t a b l e s w e r e c o n s t r u c t e d f o r i t e m s n u m b e r e d 3 a n d 4 , a n d t h e r e s u l t s a r e d i s p l a y e d a s T a b l e 6 . 1 5 a n d T a b l e 6 . 1 6 r e s p e c t i v e l y . I t e m n u m b e r 3 a s k e d s t u d e n t s t o c i r c l e t h e c h o i c e w h i c h b e s t d e s c r i b e d t h e i r a t t i t u d e t o w a r d s t h e a l g e b r a c l a s s , a n d i t e m n u m b e r 4 a s k e d t h e s a m e q u e s t i o n a s i t e m n u m b e r 2 f o r t h e i r a b i l i t y w i t h v e r b a l p r o b l e m s . T a b l e 6 . 1 5 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u r v e y - I t e m # 3 N u m b e r o f A l i c e B e t t y C a r l G r o u p S t u d e n t R e s p o n s e s a ) h i g h e n j o y m e n t ( 5 ) 4 1 4 9 b ) p o s i t i v e e x p e r i e n c e ( 4 ) 4 7 8 1 9 c ) n e u t r a l f e e l i n g ( 3 ) 7 1 1 8 2 6 d ) d i s l i k e c l a s s ( 2 ) 3 5 2 1 0 e ) h a t e a t t e n d i n g ( 1 ) 0 2 0 2 m e a n i t e m s c o r e 3 . 5 0 3 . 0 0 3 . 6 3 3 . 3 5 T a b l e 6 . 1 6 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u r v e y - I t e m # 4 N u m b e r o f A l i c e B e t t y C a r l G r o u p S t u d e n t R e s p o n s e s a ) e x c e l l e n t a b i l i t y ( 5 ) 0 0 0 0 b ) a b o v e a v e r a g e a b i l i t y ( 4 ) 3 2 2 7 c ) a v e r a g e a b i l i t y ( 3 ) 1 1 1 3 1 5 3 9 d ) b e l o w a v e r a g e a b i l i t y ( 2 ) 2 6 3 1 1 e ) v e r y p o o r a b i l i t y ( 1 ) 2 5 2 9 m e a n i t e m s c o r e 2 . 8 3 2 . 4 6 2 . 7 7 2 . 6 7 T h e r e i s a d r o p i n s t u d e n t p e r c e p t i o n o f v e r b a l p r o b l e m a b i l i t y a s c o m p a r e d t o g e n e r a l a l g e b r a a b i l i t y , t o 3 4 3 a s l i g h t l y b e l o w a v e r a g e r a t i n g . T h i s d r o p i s r a t h e r c o n s i s t e n t f o r a l l t h r e e c l a s s e s , f r o m . 5 0 f o r A l i c e ’ s c l a s s t o . 7 3 f o r C a r l ’ s c l a s s . T h e r e w e r e a l s o n o s t u d e n t s i n t h e s t u d y w h o c o n s i d e r e d t h e m s e l v e s " e x c e l l e n t a b i l i t y " v e r b a l p r o b l e m s o l v e r s , d e s p i t e 1 2 s t u d e n t s w h o i n d i c a t e d t h e y c o n s i d e r e d t h e m s e l v e s v e r y c o n f i d e n t o f t h e i r a l g e b r a a b i l i t i e s . O n l y 1 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s e v e n c o n s i d e r e d t h e m s e l v e s a s " a b o v e a v e r a g e a b i l i t y " w i t h r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m s . S t u d e n t s ' a t t i t u d e s t o w a r d s t h e a l g e b r a c l a s s e s s h o w e d m i n i m u m d i f f e r e n c e s w i t h t h e r a t i n g s o f a l g e b r a a b i l i t y , b e i n g o n l y s l i g h t l y h i g h e r r a t i n g s , o r t h e s a m e r a t i n g ( B e t t y ’ s c l a s s ) . T h i s l a s t p o i n t d i c t a t e d f u r t h e r e x a m i n a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s t u d e n t r e s p o n s e s t o t h e s e t h r e e i t e m s ( n u m b e r s 2 , 3 , a n d 4 ) , p a r t i c u l a r l y t h e d e g r e e o f c o n s i s t e n c y o f r e s p o n s e s h o w n . C o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t s w e r e c o m p u t e d b e t w e e n i t e m s f o r t h e g r o u p a n d e a c h c l a s s s e p a r a t e l y , a n d v a r i a t i o n s , a n d t h e d i r e c t i o n o f v a r i a t i o n w a s n o t e d f o r e a c h s t u d e n t . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 1 7 . 3 4 4 T a b l e 6 . 1 7 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u r v e y - I t e m s 2 a n d 3 N u m b e r o f s t u d e n t s w h i c h : s a m e a b i l i t y a n d a t t i t u d e a l g e b r a a b i l i t y h i g h e r a l g e b r a a b i l i t y l o w e r c o r r e l a t i o n b e t w e e n i t e m s I t e m s 2 a n d 4 N u m b e r o f s t u d e n t s w h i c h : s a m e a b i l i t y r a t i n g s a l g e b r a a b i l i t y h i g h e r a l g e b r a a b i l i t y l o w e r c o r r e l a t i o n b e t w e e n i t e m s I t e m s 3 a n d 4 N u m b e r o f s t u d e n t s w h i c h : a b i l i t y a n d a t t i t u d e s a m e v e r b a l p r o b l e m a b i l i t y h i g h e r v e r b a l p r o b l e m a b i l i t y l o w e r c o r r e l a t i o n b e t w e e n i t e m s T h e c o m p u t e d c o r r e l a t i o n f o r A l i c e . 7 8 1 0 . 5 6 B e t t y 1 7 5 4 . 7 3 l l 1 4 . 7 4 1 1 1 3 . 5 9 e a c h p a i r o f i t e m s C a r l . 5 1 1 1 . 4 0 1 6 . 5 7 I t e m s 2 , 3 , a n d 4 G r o u p 3 3 1 6 1 7 . 5 7 3 7 3 3 . 6 1 2 3 3 9 . 5 9 s h o w e d a c o n s i s t e n c y w i t h r e g a r d s t o t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s f o r t h e s t u d y , w i t h e a c h c o r r e l a t i o n a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o . 6 0 . Y e t d e s p i t e t h i s c o n s i s t e n c y o f t h e t o t a l g r o u p , o n l y f o r i t e m s 3 a n d 4 ( g e n e r a l c l a s s a t t i t u d e a n d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y ) d i d t h i s c o n s i s t e n c y m a i n t a i n i t s e l f a c r o s s t h e t h r e e c l a s s e s . 3 4 5 H e n c e g e n e r a l a t t i t u d e s a n d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y r a t i n g s a r e m o r e s t a b l e a c r o s s c l a s s e s . F o r A l i c e ' s c l a s s t h e g r e a t e s t l i n e a r r e l a t i o n s h i p ( . 7 8 ) e x i s t e d b e t w e e n t h e t w o a b i l i t y l e v e l r a t i n g s ( a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g ) . B o t h c o r r e l a t i o n s , r e l a t e d t o a t t i t u d e , w e r e l o w e r i n h e r c l a s s t h a n i n t h e o t h e r t w o c l a s s e s , a n d t h i s i n d i c a t e d t h a t g e n e r a l c l a s s a t t i t u d e h a d l e s s i n f l u e n c e o n s t u d e n t a b i l i t y r a t i n g s , a n d v i c e v e r s a . I t a l s o i n d i c a t e d t h a t A l i c e ’ s c l a s s i s m o r e h o m o g e n e o u s i n r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s , a f a c t n o t e d i n t h e p o s t t e s t r e s u l t s w h e r e A l i c e ’ s c l a s s h a d a l o w e r v a r i a n c e ( 4 6 . 2 1 , a s c o m p a r e d t o 1 9 3 . 4 4 a n d 2 2 7 . 0 8 ) . F o r B e t t y ' s c l a s s , t h e r e w a s a s t r o n g e r l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c l a s s a t t i t u d e a n d g e n e r a l a l g e b r a a b i l i t i e s t h a n i n t h e o t h e r t w o c l a s s e s . A s i m i l a r m o d e r a t e c o r r e l a t i o n w a s f o u n d " b e t w e e n " t h e r a t i n g s f o r t h e t w o a b i l i t i e s ( g e n e r a l a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m s ) . H e r s t u d e n t s a p p e a r e d a w a r e t h a t t h e t w o a b i l i t i e s c o m p l e m e n t e a c h o t h e r o r w e r e r e l a t e d . Y e t s t u d e n t a t t i t u d e w a s m o r e i n f l u e n c e d b y p e r c e i v e d g e n e r a l a l g e b r a a b i l i t y t h a n b y v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y , w h i c h c o n t r a s t e d h e r g r o u p f r o m t h e o t h e r t w o c l a s s e s . T h e r e l a t i v e l y l o w e r c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o a b i l i t y l e v e l r a t i n g s f o r C a r l ’ s c l a s s , i n m a r k e d c o n t r a s t t o t h e o t h e r t w o c l a s s e s , i n d i c a t e d t h a t h i s s t u d e n t s p e r c e i v e d t h e s e t w o s k i l l a r e a s a s m o r e i s o l a t e d , o r l e s s 3 4 6 r e l a t e d . S o m e o f t h i s p e r c e i v e d s k i l l i s o l a t i o n m a y b e d u e t o t h e e m p l o y e d t e x t b o o k ' s o r g a n i z a t i o n a l p r a c t i c e w h i c h t r e a t e d a b o u t 7 5 p e r c e n t o f t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s i n a s i n g l e u n i t o r c h a p t e r . I n t h e o t h e r t w o c l a s s e s , v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w a s m o r e e v e n l y d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e e m p l o y e d t e x t b o o k s . I t e m n u m b e r 5 o f t h e s u r v e y a s k e d s t u d e n t s t o s e l e c t a r e s p o n s e f r o m t h e s i x c h o i c e s w h i c h b e s t d e s c r i b e d t h e i r a t t i t u d e t o w a r d s d o i n g a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s . T h e a c t u a l c h o i c e s a r e g i v e n i n t h e f o l l o w i n g t a b l e . T w o d i m e n s i o n s w e r e i n c l u d e d w i t h i n t h e s e l e c t i o n s , d e g r e e o f d i f f i c u l t y ( e a s y o r c h a l l e n g i n g ) a n d d e g r e e o f e n j o y m e n t . T a b l e 6 . 1 8 i n d i c a t e s t h e t o t a l n u m b e r o f r e s p o n s e s f o r e a c h s e l e c t i o n b y c l a s s a n d f o r t h e t o t a l g r o u p . T a b l e 6 . 1 8 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u r v e y - I t e m # 5 A l i c e B e t t y C a r l G r o u p S t u d e n t R e s p o n s e s a ) e a s y / e n j o y a b l e 0 0 1 1 b ) c h a l l e n g i n g / e n j o y a b l e 6 3 4 1 3 c ) n e u t r a l / n o o p i n i o n 5 7 9 2 1 d ) c h a l l e n g i n g / n o t e n j o y 5 9 7 2 1 e ) e a s y / n o t e n j o y a b l e 0 0 0 0 f ) t o t a l d i s l i k e 2 7 1 1 0 A r a t h e r l a r g e p e r c e n t a g e o f s t u d e n t s ( 2 1 o f 6 6 ) s e l e c t e d t h e n e u t r a l o r n o o p i n i o n r e s p o n s e , p a r t i c u l a r l y i n C a r l ' s c l a s s ( 9 o f 2 2 ) . I n a s s e s s i n g t h e d e g r e e o f d i f f i c u l t y d i m e n s i o n , o n l y o n e s t u d e n t s e l e c t e d a n " e a s y " r e l a t e d r e s p o n s e ( a o r e ) . A b o u t 2 0 p e r c e n t o f t h e 3 4 7 g r o u p ' s s t u d e n t s f o u n d v e r b a l p r o b l e m s e n j o y a b l e . B e t t y ’ s c l a s s p a r t i c u l a r l y e x p r e s s e d t h e l e a s t e n j o y m e n t o f ( 3 o f 2 6 ) a n d t h e g r e a t e s t d i s l i k e ( 7 o f 2 6 ) o f v e r b a l p r o b l e m s . I t a p p e a r s t h a t A l i c e ’ s c l a s s h a d t h e m o s t p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d s v e r b a l p r o b l e m s , a n d B e t t y ’ s c l a s s t h e l e a s t p o s i t i v e a t t i t u d e s , w h i l e C a r l ' s c l a s s h a d a n e u t r a l ( t o l e r a n t ) a t t i t u d e t o w a r d s v e r b a l p r o b l e m s . O f t h e t e n s t u d e n t s w h o e x p r e s s e d t o t a l d i s l i k e f o r v e r b a l p r o b l e m s , n i n e s t u d e n t s i n d i c a t e d b e l o w a v e r a g e a b i l i t y w i t h v e r b a l p r o b l e m s ( i t e m 4 , r e s p o n s e d o r e ) , a n d s i x o f t h o s e n i n e r a t e d t h e i r a b i l i t y v e r y p o o r ( r e s p o n s e e ) . I t e m n u m b e r 6 o f t h e s u r v e y a s k e d s t u d e n t s t o r a t e o n o n e o f f o u r l e v e l s h o w u s e f u l t h e y b e l i e v e d t h e a l g e b r a c o u r s e w a s f o r t h e i r h i g h s c h o o l p r o g r a m a n d b e y o n d . T a b l e 6 . 1 9 i n d i c a t e s t h e t o t a l n u m b e r o f s t u d e n t r e s p o n s e s f o r e a c h s e l e c t i o n b y c l a s s a n d f o r t h e t o t a l g r o u p . T a b l e 6 . 1 9 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : S u r v e y - I t e m # 6 A l i c e B e t t y C a r l G r o u p S t u d e n t R e s p o n s e s a ) v e r y u s e f u l 3 8 1 1 2 2 b ) s o m e u s e f u l n e s s 1 3 1 1 8 3 2 c ) l i t t l e u s e f u l n e s s 2 6 3 1 1 d ) n o u s e f u l n e s s 0 l 0 1 O v e r 8 0 p e r c e n t o f t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s p e r c e i v e d s o m e u s e f u l n e s s f o r t h e a l g e b r a c o u r s e , a n d t h e p e r c e n t a g e s w e r e h i g h e r f o r A l i c e a n d C a r l ’ s s t u d e n t s , a p p r o a c h i n g a 9 0 p e r c e n t l e v e l . S e v e n o f t h e t e n s t u d e n t s 3 4 8 w h o e x p r e s s e d t o t a l d i s l i k e f o r v e r b a l p r o b l e m s ( i t e m 5 ) s t i l l p e r c e i v e d s o m e u s e f u l n e s s f o r t h e c o u r s e . E x a c t l y o n e t h i r d o f t h e s t u d e n t s p e r c e i v e d t h e a l g e b r a c o u r s e a s v e r y u s e f u l t o t h e i r f u t u r e p l a n s . A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e l a s t i t e m o f t h e s u r v e y ( i t e m # 7 ) , w h i c h r e q u i r e d a w r i t t e n r e s p o n s e , w a s d r o p p e d f r o m t h e d a t a a n a l y s i s f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s . A m a j o r i t y o f t h e s t u d e n t s s k i p p e d t h e i t e m a l t o g e t h e r , a n d t h o s e t h a t d i d r e s p o n d i n w r i t i n g t o t h e q u e s t i o n g e n e r a l l y f o c u s e d o n t h e i r t e a c h e r f o r t h e c o u r s e r a t h e r t h a n t h e a l g e b r a c o n t e n t , a s w a s i n t e n d e d b y t h e i n v e s t i g a t o r . S u m m a g y C o m m e n t s T h e s u r v e y s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s i n t h e t h r e e c l a s s e s s h a r e s i m i l a r p e r c e p t i o n s w i t h r e g a r d s t o c o n c e r n s , a b i l i t y r a t i n g s , c o u r s e a t t i t u d e s , a n d c o u r s e u s e f u l n e s s . A b o u t 8 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s c a n b e c a t e g o r i z e d a s p r e s e n t / c o n c r e t e o r i e n t e d i n t h e i r c o n c e r n s r e l a t e d t o t h e c o u r s e . T h i s i m p l i e s t h a t p a s s i n g t h e c o u r s e , g r a d e s , a n d d a y t o d a y l e a r n i n g a r e t h e i r p r i m a r y m o t i v e f o r c o u r s e p a r t i c i p a t i o n . T h e i r p e r c e p t i o n s o f t h e i r g e n e r a l a l g e b r a a b i l i t y a n d c o u r s e a t t i t u d e s a r e s l i g h t l y a b o v e a v e r a g e . H o w e v e r t h e r e w a s a n o t a b l e d r o p i n a l l t h r e e c l a s s e s f o r t h e i r r a t i n g s o f p e r c e i v e d a b i l i t i e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m g 3 4 9 c o n t e n t . O n l y o n e s t u d e n t p e r c e i v e d v e r b a l p r o b l e m s a s e a s y , w h i l e a b o u t h a l f o f t h e s t u d e n t s p e r c e i v e d v e r b a l p r o b l e m s i n a n e g a t i v e l i g h t , a s n o t e n j o y a b l e . O v e r 8 0 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s d i d p e r c e i v e t h e a l g e b r a c o u r s e t o b e u s e f u l w i t h i n t h e i r h i g h s c h o o l p r o g r a m . T h e f e w d i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s p e r c e p t i o n s w h i c h d i d o c c u r r e l a t e d t o t h e t w o a b i l i t y r a t i n g s a n d g e n e r a l a t t i t u d e t o w a r d s t h e a l g e b r a c o u r s e . I t a p p e a r e d t h a t A l i c e a n d B e t t y ’ s c l a s s e s h a d m o r e g r e a t l y i n t e g r a t e d t h e i r p e r c e p t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y w i t h g e n e r a l a l g e b r a i c a b i l i t y , w h i l e C a r l ' s c l a s s r a t e d t h e s e s a m e a b i l i t i e s i n g r e a t e r i s o l a t i o n t o o n e a n o t h e r . C o u r s e a t t i t u d e c o r r e s p o n d e d m o r e c l o s e l y t o s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y f o r A l i c e a n d C a r l ’ s c l a s s e s , w h i l e g e n e r a l a l g e b r a i c a b i l i t y w a s a b e t t e r p r e d i c t o r o f c o u r s e a t t i t u d e f o r B e t t y ’ s c l a s s . E g p a t i o n S o l v i n g S e c t i o n T h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t w a s c o m p o s e d o f s e v e n e q u a t i o n s . T h e s e v e n e q u a t i o n s w e r e r e w r i t t e n v e r s i o n s o f t h e s a m e s e v e n e q u a t i o n s t h a t s t u d e n t s w e r e e x p e c t e d t o e m p l o y i n t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r w a s e v i d e n t l y s u c c e s s f u l i n t h i s " d i s g u i s i n g " e f f o r t , s i n c e n o t a s i n g l e s t u d e n t n o t i c e d a n y r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o s e c t i o n s . T h e e x a c t n a t u r e o f t h e s e v e n e q u a t i o n s a p p e a r s i n A p p e n d i x F , a s p a r t o f t h e r e t e n t i o n t e s t f o r m . E a c h 3 5 0 s t u d e n t c o m p l e t e d t h e s a m e s e v e n e q u a t i o n s p r e s e n t e d i n t h e s a m e o r d e r , t h o u g h t h i s o r d e r d i d n o t c o r r e s p o n d w i t h t h a t u s e d i n t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n . T h e d e r i v e d s o l u t i o n t o t h e e q u a t i o n s w a s t h e o n l y c r i t e r i o n u s e d f o r e v a l u a t i n g s t u d e n t s ' e q u a t i o n s o l v i n g a b i l i t y . O n e p o i n t w a s a w a r d e d f o r a c o r r e c t s o l u t i o n , a n d z e r o p o i n t s o t h e r w i s e . . A s c o r e o f 7 i s t h e n a p e r f e c t s t u d e n t s c o r e . A . s u m m a r y o f t h e r e s u l t s o f t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n f o r e a c h c l a s s a n d t h e t o t a l g r o u p i s g i v e n i n T a b l e 6 . 2 0 . I n d i v i d u a l s t u d e n t r e s u l t s f o r t h i s s e c t i o n a r e p o s t e d i n A p p e n d i x J . T a b l e 6 . 2 0 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E q u a t i o n S o l v i n g S u m m a r y S t a t i s t i c A l i c e B e t t y C a r l G r o u p M e a n S c o r e 4 . 9 4 4 . 4 2 4 . 5 9 4 . 6 2 V a r i a n c e 2 . 2 9 4 . 0 1 3 . 3 0 3 . 2 5 A s c a n b e n o t e d , t h e t h r e e c l a s s e s p e r f o r m e d a b o u t e q u a l l y w e l l o n t h i s s e c t i o n , a n d d i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s e s , u s i n g a n a l y s i s o f v a r i a n c e ( A N O V A ) w e r e n o t s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t ( F = . 4 4 ) . T h e i n i t i a l s c o r i n g e v a l u a t i o n w a s f o l l o w e d b y a n i t e m a n a l y s i s , w h o s e r e s u l t s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 2 1 . P r o p o r t i o n s o f c o r r e c t s o l u t i o n s w e r e u s e d t o e n a b l e c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e t h r e e c l a s s e s ’ p e r f o r m a n c e . 3 5 1 T a b l e 6 . 2 1 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E q u a t i o n S o l v i n g - I t e m A n a l y s i s I t e m n u m b e r / E q u a t i o n A l i c e B e t t y C a r l G r o u p 1 . x + x - 1 8 0 = - 3 x - 8 0 . 8 9 . 5 0 . 5 9 . 6 4 2 . 5 ( x - 2 ) + 1 0 ( x + 1 ) = 9 0 . 7 2 . 8 1 . 7 3 . 7 6 3 . 6 4 x = 4 8 ( 7 - x ) . 7 2 . 8 5 . 6 8 . 7 6 4 . x + 2 5 - 4 x = 1 0 . 8 3 . 5 0 . 7 3 . 6 7 5 . - 3 ( x + 3 ) = 7 - 4 x . 6 1 . 6 5 . 7 3 . 6 7 6 . 3 x + 6 0 = 8 x . 8 9 . 8 5 . 8 6 . 8 6 7 . x + ( x + 2 ) - 2 6 = 4 x - ( x + 4 ) . 2 7 . 2 3 . 2 3 . 2 4 P r o p o r t i o n c o r r e c t - 7 i t e m s . 7 1 . 6 3 . 6 5 . 6 6 S u c c e s s P r o p o r t i o n - S o l v i n g E q u a t i o n P h a s e o f P o s t t e s t . 7 7 . 7 0 . 9 4 . 8 3 . A c o m p a r i s o n o f t h e t o t a l g r o u p ’ s s u c c e s s r a t e o n t h e s e e q u a t i o n s w i t h t h e c o n d i t i o n a l s u c c e s s r a t e o n t h e p o s t t e s t ’ s p h a s e s c o r i n g i n d i c a t e d t h a t t h e r e w a s a d r o p i n s t u d e n t e q u a t i o n s o l v i n g p e r f o r m a n c e d u r i n g t h e e l a p s e d t i m e b e t w e e n t e s t s i n s o l v i n g t h e s e t y p e s o f l i n e a r e q u a t i o n s . T h e d r o p s i n p e r f o r m a n c e w e r e s i m i l a r f o r A l i c e a n d B e t t y ’ s s t u d e n t s , a n d m o r e p r o n o u n c e d f o r C a r l ' s s t u d e n t s . I t e m . n u m b e r 6 w a s c l e a r l y t h e e a s i e s t o f t h e s e v e n e q u a t i o n s , r e q u i r i n g o n l y t w o s t e p s t o s o l u t i o n . I t e m n u m b e r 7 w a s c l e a r l y t h e m o s t d i f f i c u l t i t e m , w i t h o n l y o n e i n f o u r s t u d e n t s a b l e t o c o r r e c t l y d e r i v e t h e s o l u t i o n . T h e m o s t c o m m o n e r r o r p a t t e r n f o r t h i s i t e m ( 2 1 o f 5 0 s t u d e n t e r r o r s ) w a s a n i n a b i l i t y t o r e m o v e t h e p a r e n t h e s e s f o r t h e t e r m - ( x + 4 ) c o r r e c t l y , a d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y r e l a t e d e r r o r . T h e r e i s a m a r k e d 3 5 2 s i m i l a r i t y i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e o t h e r f i v e i t e m s , w i t h p e r f o r m a n c e p r o p o r t i o n s r a n g i n g f r o m . 6 4 t o . 7 6 f o r t h e t o t a l g r o u p . G r e a t e s t c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s a p p e a r e d w i t h r e s p e c t t o i t e m s n u m b e r e d 1 a n d 4 . B e t t y ’ s s t u d e n t s s c o r e d a p p r e c i a b l y l o w e r o n t h e s e t w o i t e m s , a s o n l y 5 0 p e r c e n t o f h e r s t u d e n t s c o r r e c t l y s o l v e d t h e s e t w o e q u a t i o n s . A t t h e s a m e t i m e , h e r s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e o n i t e m s n u m b e r e d 2 a n d 3 w a s b e t t e r t h a n t h e o t h e r c l a s s e s . I t e m s n u m b e r e d 1 a n d 4 r e q u i r e o n l y c o m b i n i n g l i k e t e r m s a n d t r a n s p o s i t i o n o f t e r m s . P a r t o f t h i s d i f f e r i n g p e r f o r m a n c e o n t h e s e i t e m s r e l a t e s t o B e t t y ’ s i n s t r u c t i o n w h i c h m a i n t a i n e d a n a p p r o a c h o f c h a n g i n g a l l e q u a t i o n s u b t r a c t i o n s i n t o r e l a t e d a d d i t i o n s , d e s p i t e t h e f a c t t h a t h e r t e x t b o o k l a t e r r e m o v e d t h i s a p p r o a c h f r o m i t s i n s t r u c t i o n . S i n c e h e r a p p r o a c h a d d s m o r e m u l t i p l e s i g n e d n u m b e r s i n t o t h e e q u a t i o n , r e s u l t i n g i n g r e a t e r c o m p l e x i t y a n d s t u d e n t c o n f u s i o n a p p l y i n g t h e t r a n s p o s i t i o n p r o c e s s , t h e e q u a t i o n s o l v i n g r e s u l t s f o r h e r c l a s s a r e n o t s u r p r i s i n g . F o r i t e m s n u m b e r e d 2 a n d 3 , w h i c h b o t h r e q u i r e d a p p l i c a t i o n s o f t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y , B e t t y ' s s t u d e n t s o u t p e r f o r m e d t h e i r c o u n t e r p a r t s , d e m o n s t r a t i n g s o l i d s t u d e n t f a m i l i a r i t y w i t h t h i s p r o p e r t y ’ s a p p l i c a t i o n w i t h i n e q u a t i o n s . A n e r r o r a n a l y s i s w a s c o n d u c t e d b y r e v i e w i n g s t u d e n t w o r k s a m p l e s f o r e a c h e q u a t i o n i t e m . O f t h e 1 5 9 s t u d e n t 3 5 3 e r r o r s , 2 4 o f t h e e r r o r s r e v i e w e d ( 2 2 i n B e t t y ' s c l a s s ) s h o w e d n o s t u d e n t a t t e m p t t o s o l v e , a n d 2 e r r o r s w e r e c o n s i d e r e d u n c o d a b l e w i t h i n t h e i n v e s t i g a t o r ' s c l a s s i f i c a t i o n s . T h e r e m a i n i n g 1 3 3 s t u d e n t e r r o r s w e r e c l a s s i f i e d i n t o o n e o f f i v e c a t e g o r i e s : 1 ) c o m p u t a t i o n ( r e a l n u m b e r e d v a l u e s ) , 2 ) c o m p u t a t i o n ( v a r i a b l e t e r m s ) , 3 ) d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y e r r o r s , 4 ) p r o c e d u r a l e r r o r s ( t r a n s p o s i t i o n ) , a n d 5 ) q u a d r a t i c f o r m e r r o r s . T h i s l a s t c a t e g o r y o f e r r o r s w e r e c a s e s w h e r e s t u d e n t s m a d e t h e g i v e n l i n e a r e q u a t i o n s i n t o q u a d r a t i c e q u a t i o n s , a n d w a s u n d o u b t e d l y d u e t o m o r e r e c e n t l e a r n i n g s r e l a t e d t o q u a d r a t i c e q u a t i o n s . I n c a s e s w h e r e m o r e t h a n o n e s t u d e n t e r r o r w a s e v i d e n t , t h e f i r s t a p p e a r a n c e o f a n e r r o r w a s t h e c a t e g o r y t o w h i c h t h e e r r o r w a s a s s i g n e d . T a b l e 6 . 2 2 d i s p l a y s t h e p r o p o r t i o n o f e r r o r s c l a s s i f i e d i n e a c h e r r o r c a t e g o r y f o r t h e c l a s s e s a n d f o r t h e t o t a l g r o u p . T a b l e 6 . 2 2 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E q u a t i o n S o l v i n g E r r o r A n a l y s i s E r r o r C l a s s i f i c a t i o n A l i c e B e t t y C a r l G r o u p C o m p u t a t i o n ( R e a l N u m b e r s ) . 2 9 . 2 4 . 3 5 . 2 9 C o m p u t a t i o n ( v a r i a b l e T e r m s ) . 2 0 . 2 2 . 1 3 . 1 8 D i s t r i b u t i v e P r o p e r t y T y p e s . 2 9 . 2 0 . 1 9 . 2 2 P r o c e d u r a l / T r a n s p o s i t i o n . 2 2 . 2 4 . 3 1 . 2 6 Q u a d r a t i c F o r m e d T y p e s . 0 0 . 1 0 . 0 2 . 0 5 T o t a l N u m b e r o f E r r o r s C l a s s i f i e d 3 5 4 6 5 2 1 3 3 3 5 4 A l m o s t e q u a l p r o p o r t i o n s ( 4 7 p e r c e n t a n d 4 8 p e r c e n t ) o f c o d a b l e e r r o r s w e r e d u e t o c o m p u t a t i o n a l r e l a t e d e r r o r s a n d t o c o n c e p t u a l m i s u n d e r s t a n d i n g s ( d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y a n d p r o c e d u r a l t y p e s ) . C o m b i n i n g t h e t w o c o m p u t a t i o n a l e r r o r c a t e g o r i e s f o r t h e t h r e e t e a c h e r s i n d i c a t e d n e a r l y e q u a l p r o p o r t i o n s f o r e a c h c l a s s . A l i c e ' s c l a s s m a d e r e l a t i v e l y m o r e e r r o r s r e l a t e d t o t h e a p p l i c a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y t h a n s t u d e n t s i n t h e o t h e r t w o c l a s s e s . O n t h e o t h e r h a n d , C a r l ' s s t u d e n t s m a d e r e l a t i v e l y m o r e p r o c e d u r a l e r r o r s , a r e s u l t w h i c h r u n s c o n t r a r y t o t h e g r e a t e r i n s t r u c t i o n a l t i m e h e d e v o t e d t o l i n e a r e q u a t i o n s o l v i n g i n t h e f i r s t p a r t o f t h e s c h o o l y e a r . g u m m a r v C o m m e n t s T h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s f o r t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s i n t h e t h r e e c l a s s e s d e m o n s t r a t e d e q u a l a b i l i t y t o s o l v e l i n e a r e q u a t i o n s . D i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s e s w e r e c o n f i n e d t o s p e c i f i c e q u a t i o n t y p e s e n c o u n t e r e d . W h i l e s t u d e n t s i n A l i c e a n d C a r l ' s c l a s s e s p e r f o r m e d q u i t e s i m i l a r l y o n a l l e q u a t i o n i t e m s , B e t t y ’ s s t u d e n t s f l o u n d e r e d s o m e w h a t o n e q u a t i o n s w h e r e o n l y t r a n s p o s i t i o n s a n d c o m b i n i n g l i k e t e r m s w e r e r e q u i r e d . H o w e v e r h e r c l a s s d i d r e l a t i v e l y b e t t e r o n l i n e a r e q u a t i o n s w h i c h r e q u i r e d a p p l i c a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y . T h e e r r o r a n a l y s i s s h o w e d a h i g h d e g r e e o f c o n s i s t e n c y f o r t h e t h r e e c l a s s e s , a n d 3 5 5 i n d i c a t e d t h a t n e a r l y e q u a l p r o p o r t i o n s o f e r r o r s w e r e a t t r i b u t a b l e t o c o m p u t a t i o n d i f f i c u l t i e s a s t o c o n c e p t u a l m i s u n d e r s t a n d i n g s . v e r b a l P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n T h i s s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t i s c o m p o s e d o f s e v e n v e r b a l p r o b l e m s t a k e n d i r e c t l y f r o m t h e t e x t b o o k s u s e d b y t h e t h r e e c l a s s e s . I t w a s f e l t t h a t t h e i n c l u s i o n o f t e x t b o o k f o r m u l a t e d v e r b a l p r o b l e m s m i g h t i m p r o v e s t u d e n t p e r f o r m a n c e o v e r t h a t o f t h e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d v e r b a l p r o b l e m s c o n t a i n e d i n t h e p o s t t e s t f o r m . T w o o f t h e s e l e c t e d p r o b l e m s w e r e B l e v e l d i f f i c u l t y a n d f i v e w e r e A l e v e l d i f f i c u l t y . A l l t e s t f o r m s w e r e i d e n t i c a l , c o n t a i n i n g t w o v e r b a l p r o b l e m s s e l e c t e d f r o m t w o o f t h e e m p l o y e d t e x t b o o k s a n d t h r e e f r o m t h e r e m a i n i n g t e x t b o o k . T h e n u m b e r o f p r o b l e m s i n t h i s s e c t i o n w a s d e c r e a s e d t o s e v e n , f r o m t h e t e n o f t h e p o s t t e s t , i n a n e f f o r t t o p e r m i t c o m p l e t i o n o f t h e e n t i r e r e t e n t i o n t e s t w i t h i n a f o r t y - f i v e m i n u t e t i m e f r a m e . I n h i n d s i g h t , i t p r o b a b l y w o u l d h a v e b e e n b e t t e r i f t h e r e t e n t i o n t e s t f o r m w a s r e s t r u c t u r e d i n t o a n o r d e r e d s e q u e n c e o f v e r b a l p r o b l e m s , e q u a t i o n s o l v i n g , a n d s u r v e y q u e s t i o n s , r a t h e r t h a n t h e e m p l o y e d s e q u e n c e . W h i l e t i m e w a s n o t a f a c t o r i n a n y s t u d e n t b e i n g a b l e t o c o m p l e t e t h e e n t i r e r e t e n t i o n f o r m , i t w a s o b v i o u s t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t s t u d e n t m o t i v a t i o n a n d e f f o r t r e l a t e d t o t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n w a s 3 5 6 d i m i n i s h e d b y t h e i r p r e v i o u s c o m p l e t i o n o f t h e o t h e r t w o s e c t i o n s f i r s t . T h e a n a l y s i s u s e d f o r t h i s s e c t i o n ’ s v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e w a s s i m i l a r t o t h a t d e v e l o p e d f o r t h e p o s t t e s t f o r m . I t e m s c o r i n g w a s b a s e d o n i n v e s t i g a t o r a w a r d s o f z e r o , o n e , o r t w o p o i n t s f o r e a c h o f f i v e p h a s e s , o r a t o t a l p o s s i b l e s c o r e o f 1 0 p o i n t s p e r p r o b l e m . S e v e n t y t h e n r e p r e s e n t e d a p e r f e c t s c o r e f o r t h i s s e c t i o n . T h e i n d i v i d u a l t e s t i t e m s f o r t h i s s e c t i o n a r e l i s t e d w i t h t h e e n t i r e r e t e n t i o n t e s t f o r m i n A p p e n d i x F , a n d i n d i v i d u a l s t u d e n t s c o r e s f o r t h i s s e c t i o n a r e l i s t e d w i t h o t h e r p e r f o r m a n c e r e s u l t s , b y c l a s s r o o m , i n A p p e n d i x J . v e r b a l p r o b l e m s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t w e r e s e l e c t e d c a r e f u l l y i n o r d e r t h a t e a c h o f t h e s i x p r o b l e m t y p e s w e r e r e p r e s e n t e d a n d t h a t e a c h o f t h e f o u r f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s w e r e r e p r e s e n t e d a t l e a s t o n c e i n t h e v e r b a l p r o b l e m s e t . T h e r e s u l t i n g s t r u c t u r e o f t h e s e c l a s s i f i c a t i o n s i s s h o w n f o r e a c h o f t h e s e v e n v e r b a l p r o b l e m i t e m s i n T a b l e 6 . 2 3 . 3 5 7 T a b l e 6 . 2 3 R e t e n t i o n T e s t : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - I t e m C l a s s i f i c a t i o n s I t e m N u m b e r P r o b l e m T y p e F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n 1 . G e o m e t r i c T y p e A b s t r a c t / F a c t u a l 2 . S i m p l e T r a n s l a t i o n A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l 3 . D / R / T R e l a t e d C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l 4 . G e o m e t r i c T y p e A b s t r a c t / F a c t u a l 5 . I n t e g e r T y p e A b s t r a c t / F a c t u a l 6 . A g e R e l a t e d C o n c r e t e / F a c t u a l 7 . C o i n / M o n e y R e l a t e d C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l R e s u l t s w e r e t a b u l a t e d f o r e a c h i n d i v i d u a l t e s t i t e m a n d f o r t h e t o t a l t e s t p e r f o r m a n c e b y c l a s s . A n a l y s e s o f v a r i a n c e t e s t s w e r e c o n d u c t e d t o i n d i c a t e a n y d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e b e t w e e n c l a s s e s o n i n d i v i d u a l i t e m s . T a b l e 6 . 2 4 p r o v i d e s a s u m m a r y o f i t e m m e a n s c o r e s a n d r e l a t e d s i g n i f i c a n t r e s u l t s f o r e a c h c l a s s a n d t h e t o t a l g r o u p . 3 5 8 T a b l e 6 . 2 4 I t e m P e r f o r m a n c e S u m m a r y R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - I t e m M e a n M e a n M e a n M e a n P - V a l u e S i g n i f i c a n t N u m b e r G r o u p A l i c e B e t t y C a r l D i f f e r e n c e s 1 . 1 . 3 8 1 . 7 2 1 . 4 6 1 . 0 0 0 . 7 5 N S 2 . 4 . 0 2 5 . 3 3 2 . 9 2 4 . 2 3 1 . 9 6 N S 3 . 0 . 3 0 0 . 7 8 0 . 1 9 0 . 0 5 2 . 2 0 N S 4 . 1 . 3 9 2 . 2 8 0 . 9 6 1 . 1 8 1 . 9 7 N S 5 . 3 . 3 9 6 . 0 6 0 . 8 8 4 . 1 8 1 6 . 5 3 p < . 0 1 6 . 1 . 8 2 3 . 6 1 1 . 3 8 0 . 8 6 4 . 9 7 p < . 0 5 7 . 1 . 7 3 2 . 3 3 1 . 8 8 1 . 0 5 2 . 1 4 N S a l l i t e m s 1 4 . 0 3 2 2 . 1 1 9 . 6 7 1 2 . 5 5 6 . 7 4 p < . 0 1 % o f t o t a l 2 0 . 0 4 3 1 . 5 8 1 3 . 8 1 1 7 . 9 3 O n e i m m e d i a t e c o n c l u s i o n i s t h e o v e r a l l l o w s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e s e v e r b a l p r o b l e m s . T h e m e a n s c o r e f o r t h e w h o l e g r o u p w a s 1 4 . 0 3 , o r a t a 2 0 p e r c e n t c o r r e c t l e v e l . C o n s i d e r i n g t h e s e p r o b l e m s w e r e t a k e n d i r e c t l y f r o m t h e e m p l o y e d t e x t b o o k s , t h e r e s u l t s d e m o n s t r a t e t h a t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s e r o d e f a i r l y q u i c k l y i f n o t s u p p l e m e n t e d b y r e g u l a r r e v i e w o r p r a c t i c e i n s u b s e q u e n t i n s t r u c t i o n . A n o t h e r m a j o r d e v e l o p m e n t w h i c h o c c u r r e d w a s t h e s e q u e n t i a l o r d e r i n g o f t h e t h r e e c l a s s e s ' p e r f o r m a n c e f r o m t h a t f o u n d f o r t h e p o s t t e s t r e s u l t s . O n b o t h v e r b a l p r o b l e m t e s t s , B e t t y ' s c l a s s s c o r e d l o w e s t . H o w e v e r A l i c e a n d C a r l ' s c l a s s e s f l i p - f l o p p e d p o s i t i o n s o n t h e t w o t e s t s , w i t h C a r l ' s c l a s s s i g n i f i c a n t l y o u t p e r f o r m i n g A l i c e ' s c l a s s o n t h e p o s t t e s t a n d A l i c e ' s c l a s s p e r f o r m i n g s u b s t a n t i a l l y b e t t e r o n t h e r e t e n t i o n t e s t . O n e p o s s i b l e 3 5 9 e x p l a n a t i o n f o r t h i s r e v e r s a l m i g h t b e t h e d i f f e r i n g i n s t r u c t i o n a l c e n t r a l i t y p l a c e d o n s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s e x h i b i t e d i n t h e s e t w o c l a s s r o o m s . T h i s i s s u e w i l l r e c e i v e f u r t h e r t r e a t m e n t i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r . T h e r e w e r e o n l y t w o i t e m s ( n u m b e r s 5 a n d 6 ) f o r w h i c h c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s w e r e s i g n i f i c a n t . I t e m n u m b e r 5 w a s a c o n s e c u t i v e i n t e g e r t y p e p r o b l e m , a n d B e t t y ' s c l a s s s c o r e d a p p r e c i a b l y l o w e r o n t h i s p r o b l e m t y p e i n c o m p a r i s o n w i t h t h e o t h e r t w o c l a s s e s , a s w a s t h e c a s e f o r t h e p o s t t e s t r e s u l t s . T h e r e l a t i v e l y b e t t e r p e r f o r m a n c e o f A l i c e ' s s t u d e n t s f o r i t e m n u m b e r 6 , t h e a g e r e l a t e d p r o b l e m , i s l e s s e x p l a i n a b l e i n t e r m s o f t h e p o s t t e s t r e s u l t s . I t m a y b e t h a t t h e n o n — s o l u t i o n n a t u r e o f t h e a g e r e l a t e d p r o b l e m o f t h e p o s t t e s t s o m e w h a t o b s c u r e d h e r s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o s o l v e t h i s t y p e o f p r o b l e m . I t w a s a l s o i n t e r e s t i n g t h a t t h e e n t i r e g r o u p o f s t u d e n t s p e r f o r m e d a l m o s t i d e n t i c a l l y o n t h e t w o g e o m e t r y t y p e i t e m s ( n u m b e r s 1 a n d 4 ) . A n o r d e r i n g o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e s c o r e s w a s d o n e f o r t h e s i x p r o b l e m t y p e s , a n d c o m p a r e d w i t h p e r f o r m a n c e r e s u l t s f o r t h e s a m e s i x p r o b l e m t y p e s u s e d f o r t h e p o s t t e s t . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e 6 . 2 5 . 3 6 0 T a b l e 6 . 2 5 P r o b l e m T y p e C o m p a r i s o n s : P o s t t e s t / R e t e n t i o n T e s t P r o b l e m R a n k i n g M e a n S c o r e M e a n S c o r e R a n k i n g C o n t e n t R e t e n t i o n R e t e n t i o n P o s t t e s t P o s t t e s t T y p e T e s t T e s t S i m p l e T r a n s l a t i o n 1 4 . 0 2 6 . 5 7 1 I n t e g e r T y p e 2 3 . 3 9 3 . 1 6 3 A g e R e l a t e d 3 1 . 8 2 1 . 6 4 6 C o i n / M o n e y R e l a t e d 4 1 . 7 3 1 . 9 1 5 G e o m e t r i c T y p e 5 1 . 3 9 2 . 8 7 4 D / R / T R e l a t e d 6 0 . 3 0 3 . 8 8 2 S t u d e n t p e r f o r m a n c e a c t u a l l y i m p r o v e d s l i g h t l y f o r t w o p r o b l e m t y p e s , i n t e g e r t y p e s a n d a g e r e l a t e d p r o b l e m s . F o r b o t h p r o b l e m t y p e s , t h e i m p r o v e d p e r f o r m a n c e w a s m o s t l i k e l y d u e t o t h e n o n - s o l u t i o n n a t u r e o f t h e s e p r o b l e m s o n t h e p o s t t e s t f o r m . T h e r e w a s a l s o n o t m u c h d i f f e r e n c e b e t w e e n t e s t s f o r t h e c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e , m o s t l i k e l y d u e t o t h e s i m i l a r c o n t e x t o f o n e r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m o n e a c h t e s t f o r m . T h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s r e l a t e d t o t h e o t h e r t h r e e p r o b l e m t y p e s w e r e m o r e p r o n o u n c e d . T h e s e l e c t e d v e r b a l p r o b l e m s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t r e l a t e d t o t h e g e o m e t r i c a n d D / R / T t y p e s w e r e a t a h i g h e r l e v e l o f d i f f i c u l t y ( B l e v e l p r o b l e m s ) t h a n t h o s e u s e d f o r t h e p o s t t e s t , a n d t h i s p a r t l y e x p l a i n s t h e d i s c r e p a n c y i n p e r f o r m a n c e . O n e m i g h t a l s o a r g u e t h a t t h e s e t w o p r o b l e m 3 6 1 t y p e s r e q u i r e g r e a t e r c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g a n d r e t r i e v a l o f n e c e s s a r y r e l a t i o n s h i p s t h a n o t h e r p r o b l e m t y p e s . H e n c e l o w e r p e r f o r m a n c e m a y i n d i c a t e a d i m i n i s h i n g r e t e n t i o n o f t h e s e c o n c e p t s / r e l a t i o n s h i p s o v e r t i m e . T h e r e d o e s n o t a p p e a r t o b e a n y r e a s o n f o r t h e l o w e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m o f t h e r e t e n t i o n t e s t s i n c e t h e p r o b l e m s o n e a c h t e s t w e r e n e a r l y i d e n t i c a l i n c o n t e x t a n d d e g r e e o f d i f f i c u l t y . A c l o s e r l o o k a t c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e s h o w e d t h a t . A l i c e ' s s t u d e n t s i m p r o v e d p e r f o r m a n c e f r o m t h e p o s t t e s t f o r t h r e e p r o b l e m t y p e s : i n t e g e r t y p e s , a g e r e l a t e d t y p e s , a n d c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e s . B e t t y ' s s t u d e n t s s i m i l a r l y s h o w e d i m p r o v e m e n t f o r t h e f i r s t t w o l i s t e d p r o b l e m t y p e s o f . A l i c e ’ s s t u d e n t s , i n t e g e r t y p e s a n d a g e r e l a t e d t y p e s . C a r l ’ s s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e d e c r e a s e d s u b s t a n t i a l l y f o r a l l s i x p r o b l e m t y p e s . T h e o v e r a l l d e c r e a s e i n s t u d e n t m e a n s c o r e s f o r e a c h t e a c h e r w e r e a t w o p e r c e n t d e c r e a s e f o r A l i c e ' s c l a s s , a 3 2 p e r c e n t d e c r e a s e f o r B e t t y ' s c l a s s , a n d a 6 1 p e r c e n t d e c r e a s e f o r C a r l ' s c l a s s . S t u d e n t p e r f o r m a n c e i n t h e p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n w i t h r e g a r d s t o t h e a l t e r n a t e , f o u r w a y f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n ( a b s t r a c t / f a c t u a l , a b s t r a c t / h y p o t h e t i c a l , c o n c r e t e / f a c t u a l , c o n c r e t e / h y p o t h e t i c a l ) w a s d o n e s i m i l a r l y t o t h a t c o n d u c t e d f o r t h e p r o b l e m t y p e c l a s s i f i c a t i o n . T h e r e s u l t s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 2 6 . R e t e n t i o n T e s t : C l a s s i f i c a t i o n A b s t r a c t / F a c t u a l A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l C o n c r e t e / F a c t u a l C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l T a b l e 6 . 2 6 C l a s s P e r f o r m a n c e — F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n M e a n M e a n M e a n M e a n F p G r o u p A l i c e B e t t y C a r l V a l u e V a l u e 2 . 0 5 3 . 3 5 1 . 1 0 2 . 1 2 1 0 . 7 1 p < . 0 1 5 . 3 3 2 . 9 2 4 . 2 3 1 . 9 6 ‘ N S 3 . 6 1 1 . 3 8 0 . 8 6 4 . 9 7 p < . 0 5 1 . 5 6 1 . 0 4 0 . 5 5 3 . 1 3 p < . 0 5 T h e p r i m a r y p u r p o s e f o r t h e i n c l u s i o n o f t h i s c l a s s i f i c a t i o n w a s t o c o m p a r e t h e s t u d y ’ s s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s w i t h t h e h y p o t h e t i c a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l s d e v e l o p e d b y C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) . T h e c o m p o s i t e p o s t t e s t r e s u l t s m o s t c l o s e l y r e s e m b l e d t h e h y p o t h e s i z e d d i r e c t t r a n s l a t i o n m o d e l ( A F , A H - C F , C H ) s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y . T h e s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y f o r t h e r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s i s s h o w n i n T a b l e 6 . 2 7 , w i t h t h e r e s u l t s o f t h e p o s t t e s t s h o w n i n p a r e n t h e s e s . 3 6 3 T a b l e 6 . 2 7 R e t e n t i o n T e s t : P r o b l e m D i f f i c u l t y F o r m a t S e q u e n c e T e a c h e r L o w e s t I n t e r m e d i a t e H i g h e s t L e v e l L e v e l L e v e l A l i c e A H ( A F ) C F - A F ( A H ) C H ( C H - C F ) B e t t y A H ( A F - C F ) C F - A F - C H ( C H ) - - ( A H ) C a r l A H ( A H - A F ) A F ( C H ) C F - C H ( C F ) G r o u p A H ( A F ) A F - C F ( A H ) C H ( C H - C F ) O n t h e r e t e n t i o n t e s t , t h e s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y f o r A l i c e ' s s t u d e n t s m o s t c l o s e l y r e s e m b l e d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e e n t i r e g r o u p . T h e s e q u e n c e o f p r o b l e m d i f f i c u l t y f o r B e t t y ' s s t u d e n t s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t w a s a l m o s t t o t a l l y r e v e r s e d f r o m t h a t d e v e l o p e d f r o m t h e p o s t t e s t r e s u l t s , w h i l e f o r C a r l ’ s s t u d e n t s t h e o r d e r w a s n e a r l y i d e n t i c a l f o r b o t h t e s t r e s u l t s . T h e i n c l u s i o n o f o n l y o n e e x e r c i s e o f a n a b s t r a c t h y p o t h e t i c a l c l a s s i f i c a t i o n o n e a c h t e s t f o r m s e v e r e l y l i m i t e d t h e u s e f u l n e s s o f t h e t e s t r e s u l t s i n m a k i n g c o m p a r i s o n s w i t h C a l d w e l l a n d G o l d i n ' s ( 1 9 8 7 ) m o d e l s o f p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e , a n d i n g e n e r a l t h e v a l i d i t y o f c l a s s i f y i n g v e r b a l p r o b l e m s a c c o r d i n g t o t h e s e f o u r f o r m a t s . W h e r e a s t h e p o s t t e s t r e s u l t s i n d i c a t e d s o m e s i m i l a r i t y w i t h t h e p r o p o s e d d i r e c t t r a n s l a t i o n m o d e l , t h e r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s i n d i c a t e d n o s i m i l a r i t y w i t h a n y o f t h e h y p o t h e s i z e d p r o b l e m s o l v i n g m o d e l s , o r w i t h a c t u a l r e s u l t s f r o m t h e i r s t u d i e s . A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l p r o b l e m 3 6 4 t y p e s d o n o t a p p e a r e a s i e s t i n a n y o f t h e i r m o d e l s o r r e s u l t s . T h e p o s i t i o n o f t h e a b s t r a c t / h y p o t h e t i c a l f o r m a t a s e a s i e s t w a s a l s o n o t e x p l a i n a b l e i n t e r m s o f t e x t b o o k e x p o s u r e o r t r e a t m e n t s i n c e t h i s f o r m a t t y p e r e c e i v e d t h e l e a s t e x p o s u r e o r p r a c t i c e o f t h e f o u r t y p e s i n a l l t h r e e t e x t b o o k s ( C h a p t e r I V ) . A n o t h e r p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e r e l a t i v e l y l o w e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n c o n c r e t e f o r m a t t y p e s m a y h a v e b e e n t h e i r l o c a t i o n n e a r t h e e n d o f t h e r e t e n t i o n t e s t i n s t r u m e n t w h e n s t u d e n t e f f o r t a n d m o t i v a t i o n w a s d i m i n i s h e d . T h e f o u r i n d i v i d u a l f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s : a b s t r a c t , c o n c r e t e , f a c t u a l , a n d h y p o t h e t i c a l w e r e t e s t e d f o r s i g n i f i c a n t s t a t i s t i c a l d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e t h r e e c l a s s e s o f s t u d e n t s , a n d f o r p a i r e d o p p o s i t e s . T h e r e s u l t s a r e i n d i c a t e d i n T a b l e 6 . 2 8 . T a b l e 6 . 2 8 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - F o r m a t C l a s s C o m p a r i s o n s I n d i v i d u a l R e l a t e d M e a n M e a n M e a n M e a n F - V a l u e D i f - F o r m a t t e s t i t e m s G r o u p A l i c e B e t t y C a r l f e r e n c e A b s t r a c t 1 , 2 , 4 , 5 2 . 5 5 3 . 8 5 1 . 5 6 2 . 6 5 1 0 . 9 1 p < . 0 1 C o n c r e t e 3 , 6 , 7 1 . 2 8 2 . 2 4 1 . 1 5 0 . 6 5 7 . 5 9 p < . 0 1 F a c t u a l 1 , 4 , 5 , 6 2 . 0 0 3 . 4 2 1 . 1 7 1 . 8 1 1 4 . 0 9 p < . 0 1 H y p o t h e t i c a l 2 , 3 , 7 2 . 0 2 2 . 8 1 1 . 6 7 1 . 7 7 2 . 5 1 N S P e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s e s w e r e s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t f o r t h r e e o f t h e f o r m a t s , w i t h 3 6 5 t h e h y p o t h e t i c a l f o r m a t b e i n g t h e o n l y e x c e p t i o n . P e r f o r m a n c e c o m p a r i s o n s o f o p p o s i t e f o r m a t s ( a b s t r a c t v s . c o n c r e t e , a n d f a c t u a l v s . h y p o t h e t i c a l ) r e v e a l e d n o s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n f a c t u a l a n d h y p o t h e t i c a l f o r m a t s ( t = - . 0 7 ) , a n d s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n a b s t r a c t a n d c o n c r e t e f o r m a t s ( t = 4 . 5 9 ) . G r e a t e r p r o b l e m i n c l u s i o n o f t h e f o u r f o r m a t s a n d a m o r e e q u i t a b l e d i s t r i b u t i o n o f t h e f o u r i n d i v i d u a l t y p e s m i g h t h a v e p r o v i d e d g r e a t e r s t a b i l i t y o f r e s u l t s . T h e a n a l y s i s i n d i c a t e d t h a t a b s t r a c t f o r m a t v e r b a l p r o b l e m s , r e g a r d l e s s o f f a c t u a l o r h y p o t h e t i c a l f o r m a t w e r e e a s i e r f o r t h e s t u d e n t s t o s o l v e . T h e o n l y t h e o r e t i c m o d e l o f C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) f o r w h i c h a b s t r a c t v e r b a l p r o b l e m t y p e s e m e r g e a s e a s i e s t i s t h e d i r e c t t r a n s l a t i o n m o d e l . . A c o m p l e t e i t e m b r e a k d o w n , s i m i l a r t o t h a t d o n e f o r t h e p o s t t e s t v e r b a l p r o b l e m s , w a s c o m p l e t e d f o r t h e s e v e n v e r b a l p r o b l e m s o f t h e r e t e n t i o n t e s t . C o u n t s o f t h e n u m b e r o f s t u d e n t s w h o s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d e a c h o f t h e f i v e p h a s e s w e r e t a l l i e d b y t e a c h e r , i n a n t i c i p a t i n g d e v e l o p m e n t o f s t u d e n t p r o p o r t i o n s a c c o m p l i s h i n g e a c h s u b s e q u e n t p h a s e s u c c e s s f u l l y , g i v e n s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n o f t h e p r e v i o u s p r o b l e m s o l v i n g p h a s e . T h e i t e m b r e a k d o w n i s d i s p l a y e d i n A p p e n d i x K , a n d a l s o i n c l u d e s n o t e s r e l a t e d t o t h e e r r o r a n a l y s i s f o r e a c h i t e m i n t w o o f t h e p h a s e s , v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T a b l e 6 . 2 9 d i s p l a y s t h e s u m m a r y o f c o n d i t i o n a l p r o p o r t i o n s 3 6 6 f o r e a c h p h a s e ' s s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n f o r e a c h t e a c h e r a n d t h e t o t a l g r o u p . T h e p r o p o r t i o n s i n p a r e n t h e s e s r e p r e s e n t t h e s a m e v a l u e s f o r t h e p o s t t e s t r e s u l t s . T a b l e 6 . 2 9 R e t e n t i o n T e s t : S u m m a r y - C o n d i t i o n a l P r o p o r t i o n s o f P h a s e S u c c e s s ( M e t h o d I ) P r o p o r t i o n W h o : G r o u p A l i c e B e t t y C a r l A t t e m p t e d v a r i a b l e D e f i n i t i o n . 6 0 ( . 7 3 ) . 8 4 ( . 7 9 ) . 4 7 ( . 5 6 ) . 5 6 ( . 8 7 ) C o r r e c t v a r i a b l e D e f i n i t i o n . 6 0 ( . 5 4 ) . 6 3 ( . 5 8 ) . 5 8 ( . 5 0 ) . 5 9 ( . 5 4 ) C o r r e c t E q u a t i o n F o r m u l a t i o n . 4 5 ( . 5 4 ) . 4 9 ( . 4 1 ) . 4 0 ( . 4 9 ) . 4 3 ( . 6 9 ) C o r r e c t E q u a t i o n S o l v i n g . 7 7 ( . 8 3 ) . 8 2 ( . 7 7 ) . 7 5 ( . 7 0 ) . 7 3 ( . 9 4 ) I n t e r p r e t / A n s w e r C o r r e c t l y . 7 1 ( . 8 4 ) . 7 0 ( . 7 4 ) . 6 7 ( . 9 1 ) . 7 5 ( . 8 5 ) P r o b a b i l i t y C o m p l e t i n g E n t i r e P h a s e S e q u e n c e C o r r e c t l y . 0 9 ( . 1 5 ) . 1 5 ( . 1 1 ) . 0 6 ( . 0 9 ) . 0 8 ( . 2 6 ) F o r t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s , t h e r e w e r e d r o p s i n p e r f o r m a n c e f r o m t h e p o s t t e s t r e s u l t s f o r e a c h p h a s e e x c e p t t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n p h a s e . S i n c e e a c h c l a s s r o o m s h o w e d a s i m i l a r i m p r o v e m e n t f o r t h i s p h a s e b e t w e e n t e s t s , o n e c a n c o n c l u d e t h a t v a r i a b l e d e f i n i t i o n i s a s t u d e n t s k i l l w h i c h d o e s i m p r o v e w i t h l o n g e r p a r t i c i p a t i o n i n t h e a l g e b r a c o u r s e . . A l i c e ' s s t u d e n t s ' s k i l l s i m p r o v e d i n e v e r y p h a s e c a t e g o r y , w i t h t h e e x c e p t i o n o f i n t e r p r e t i n g / a n s w e r 3 6 7 c o r r e c t l y . I t a p p e a r s t h a t a n i n c r e a s e d e m p h a s i s o n s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s d u r i n g i n i t i a l i n s t r u c t i o n r e s u l t s i n i m p r o v e d r e t e n t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s , a n d i m p r o v e d s t u d e n t p e r f o r m a n c e d u r i n g t h e a l g e b r a c o u r s e o f n e c e s s a r y s u b s k i l l s . B e t t y ' s s t u d e n t s i m p r o v e d i n t h e i r a b i l i t y t o c o r r e c t l y d e f i n e v a r i a b l e s , a n d t o c o r r e c t l y s o l v e f o r m u l a t e d e q u a t i o n s . B o t h g a i n s r e l a t e t o s k i l l s w h i c h p r o b a b l y r e c e i v e d i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d s t u d e n t p r a c t i c e , o u t s i d e o f a v e r b a l p r o b l e m c o n t e x t , d u r i n g t h e i n t e r v e n i n g t i m e s p a n b e t w e e n t e s t a d m i n i s t r a t i o n s . T h e l o w e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e o f C a r l ' s g r o u p i n a l l p h a s e a r e a s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , l e a d s o n e t o c o n j e c t u r e t h a t i n i t i a l s t u d e n t l e a r n i n g r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s w a s s o m e w h a t s u p e r f i c i a l , i s o l a t e d , a n d t e m p o r a r y i n n a t u r e . T h e i r l e a r n i n g s e e m s t o h a v e l a c k e d i n t e r i o r i t y , o r r e a c h e d a r e l a t i o n a l c o m p r e h e n s i o n l e v e l . T h e e m p l o y e d t e x t b o o k ’ s o r g a n i z a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s i n t o a l m o s t a s i n g l e c h a p t e r o f t h e t e x t b o o k s o m e w h a t a c c o u n t s f o r t h i s h a p p e n i n g i n C a r l ' s c l a s s o n l y . A d r o p i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e t w o t e s t s w a s e x p e c t e d , b a s e d o n t h e i n v e s t i g a t o r ’ s e x p e r i e n c e i n s i m i l a r c l a s s r o o m s . T h i s e x p e c t e d d r o p w a s g r e a t e r i n t h e c a s e o f C a r l ' s s t u d e n t s , a n d t h e i m p r o v e d p e r f o r m a n c e o f A l i c e ' s s t u d e n t s w a s n o t e x p e c t e d . T h e i m p r o v e d p e r f o r m a n c e o f A l i c e ' s s t u d e n t s a p p e a r s e x p l a i n a b l e i n t h e 3 6 8 c o n t e x t o f a d i f f e r i n g i n i t i a l i n s t r u c t i o n a l f o c u s , t h a t b e i n g g r e a t e r e m p h a s i s o n s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s , u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h a t e x t b o o k w h i c h u s e d a d i s t r i b u t e d v e r b a l p r o b l e m o r g a n i z a t i o n . C o r r e c t l y f o r m u l a t i n g a v e r b a l p r o b l e m ' s r e l a t e d e q u a t i o n r e m a i n e d t h e m o s t d i f f i c u l t s t u d e n t s k i l l ( i t w a s o f e q u a l d i f f i c u l t y w i t h t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s k i l l o n t h e p o s t t e s t ) . S t u d e n t a b i l i t y t o s o l v e e q u a t i o n s r e m a i n e d s t a b l e b e t w e e n t e s t s , a n d e m e r g e d a s t h e h i g h e s t l e v e l p e r f o r m a n c e s k i l l o n t h e r e t e n t i o n t e s t . C o n s i d e r i n g t h e s e p r o p o r t i o n s a s c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s f o r e a c h p h a s e o f c o m p l e t i o n , a n d c o m b i n i n g t h e m t o f o r m a p r o b a b i l i t y f o r t h e s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n o f t h e e n t i r e p r o c e s s r e s u l t e d i n A l i c e ' s s t u d e n t s b e i n g t w i c e a s l i k e l y a s C a r l ' s s t u d e n t s , a n d t h r e e t i m e s a s l i k e l y a s B e t t y ' s s t u d e n t s , t o c o m p l e t e t h e e n t i r e p r o c e s s c o r r e c t l y . A s w a s d o n e f o r t h e p o s t t e s t , a n a l t e r n a t e m e t h o d ( M e t h o d I I ) i n v o l v e d t h e p r o c e s s s c o r e s a w a r d e d b y t h e i n v e s t i g a t o r f o r e a c h s t u d e n t s ' w o r k s a m p l e . P r o p o r t i o n s o f t h e t o t a l p o s s i b l e s c o r e , 1 4 ( 7 p r o b l e m s a t 2 p o i n t s ) f o r e a c h p h a s e w e r e d e v e l o p e d f o r e a c h c l a s s r o o m a n d t h e w h o l e g r o u p . T h e r e s u l t i n g p r o p o r t i o n s a r e d i s p l a y e d f o r e a c h c l a s s r o o m a n d t h e w h o l e g r o u p i n T a b l e 6 . 3 0 . T h e p r o p o r t i o n s i n p a r e n t h e s e s r e l a t e t h e s a m e m e a s u r e s f o r t h e p o s t t e s t r e s u l t s ( s e e T a b l e 6 . 1 2 ) . 3 6 9 T a b l e 6 . 3 0 R e t e n t i o n T e s t : P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n - S u m m a r y P r o p o r t i o n s o f P h a s e S u c c e s s ( M e t h o d I I ) E a r n e d P r o p o r t i o n P r o c e s s S c o r e G r o u p A l i c e B e t t y C a r l 1 . V a r i a b l e D e f i n i t i o n . 3 9 ( . 4 5 ) . 5 7 ( . 5 3 ) . 2 9 ( . 3 4 ) . 3 6 ( . 5 2 ) 2 . E q u a t i o n F o r m u l a t i o n . 1 8 ( . 2 9 ) . 2 8 ( . 2 5 ) . 1 3 ( . 1 8 ) . 1 5 ( . 4 4 ) 3 . E q u a t i o n S o l v i n g . 1 8 ( . 3 0 ) . 3 1 ( . 3 2 ) . 1 2 ( . 1 7 ) . 1 5 ( . 4 5 ) 4 . I n t e r p r e t a t i o n C h e c k i n g . 1 4 ( . 2 5 ) . 2 5 ( . 2 7 ) . 0 8 ( . 1 5 ) . 1 1 ( . 3 7 ) 5 . C o r r e c t A n s w e r . 1 2 ( . 1 8 ) . 1 7 ( . 1 6 ) . 0 8 ( . 1 1 ) . 1 3 ( . 2 8 ) O v e r a l l P e r f o r m a n c e . 2 0 ( . 2 9 ) . 3 2 ( . 3 1 ) . 1 4 ( . 1 9 ) . 1 8 ( . 4 2 ) I n v e s t i g a t o r s c o r i n g b y p h a s e s s h o w e d t h a t A l i c e ' s c l a s s s u c c e s s r a t e o n t h e r e t e n t i o n t e s t w a s s i m i l a r t o t h a t f o r t h e p o s t t e s t r e s u l t s , w i t h l o s s e s i n a n y o n e p h a s e b e i n g m i n i m a l , a n d s o m e i m p r o v e m e n t n o t e d i n s e v e r a l p h a s e c a t e g o r i e s . T h e d e c r e a s e i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r B e t t y ’ s c l a s s w a s a b o u t w h a t t h e i n v e s t i g a t o r e x p e c t e d f o r a l l t h r e e c l a s s e s . C a r l ' s d e c r e a s e i n p e r f o r m a n c e w a s m o r e t h a n e x p e c t e d , t h o u g h s t u d e n t a b i l i t y t o f o r m u l a t e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s r e m a i n e d r e l a t i v e l y h i g h , w h i c h i n d i c a t e d h i s s t u d e n t s w e r e a b l e t o b e g i n s o l u t i o n o f t h e v e r b a l p r o b l e m s . A s w a s d o n e f o r t h e p o s t t e s t v e r b a l p r o b l e m s , t h e i n v e s t i g a t o r s t u d i e d s t u d e n t e r r o r p a t t e r n s m a d e o n t h e s e v e n i t e m s , p a r t i c u l a r l y f o c u s i n g o n t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p h a s e s . T h e s e r e s u l t s a r e l i s t e d i n 3 7 0 A p p e n d i x M . F r o m t h i s e r r o r a n a l y s i s , s e v e r a l s u m m a r y c o m m e n t s r e l a t e d t o t h e i n d i v i d u a l t e s t i t e m s f o l l o w s . I t e m 1 : I t e m 2 : T h i s g e o m e t r i c t y p e p r o b l e m i n v o l v e d a r a t h e r s i m p l e v a r i a b l e d e f i n i t i o n ( x , 2 x ) , w h i l e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n r e q u i r e d r e l a t i n g t h e p e r i m e t e r s o f 2 p o l y g o n s ( s q u a r e , e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ) . F e w e r t h a n o n e t h i r d o f C a r l ’ s s t u d e n t s e v e n a t t e m p t e d a v a r i a b l e d e f i n i t i o n , i n d i c a t i n g a l a c k o f u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . V a r i a b l e d e f i n i t i o n e r r o r s w e r e n o t p a t t e r n e d ( 6 d i v e r s e e r r o r t y p e s n o t e d ) , w h i l e 1 7 o f t h e 2 2 e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s w e r e d u e t o a n i n a b i l i t y t o a p p l y t h e c o n c e p t o f p o l y g o n p e r i m e t e r . O n l y 3 ( 1 i n e a c h c l a s s ) o f 2 5 w e r e a b l e t o f o r m u l a t e t h e e q u a t i o n c o r r e c t l y . T h i s s i m p l e t r a n s l a t i o n , n u m b e r t y p e p r o b l e m w a s s t r a i g h t f o r w a r d i n i t s s e n t e n c e s t r u c t u r e , w h e r e t h e f i r s t s e n t e n c e i s u s e d f o r v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d t h e s e c o n d s e n t e n c e u s e d f o r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . Y e t a l m o s t h a l f o f B e t t y ' s s t u d e n t s f a i l e d t o a t t e m p t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . T h e i n t e r v e n i n g s t u d y o f t w o v a r i a b l e s y s t e m s i n t e r f e r e d s o m e w h a t i n A l i c e a n d B e t t y ’ s c l a s s e s , a s 5 s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o d e r i v e t h e t w o n e c e s s a r y r e l a t i o n s h i p s t h e n r e q u i r e d i n a t w o v a r i a b l e s y s t e m . E q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s w e r e m a i n l y d u e t o a n i n a b i l i t y t o i n c l u d e o r a p p l y t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y c o r r e c t l y w i t h i n t h e i r e q u a t i o n c o n s t r u c t i o n s . I t e m 3 : I t e m 4 : I t e m 5 : 3 7 1 O n l y a b o u t 3 0 % o f t h e s t u d e n t s w e r e a b l e t o e v e n b e g i n w o r k o n t h i s d i s t a n c e / r a t e / t i m e ( B ) p r o b l e m , p r o b a b l y b e c a u s e d i s t a n c e w a s a s k e d f o r a n d y e t t i m e w a s t h e v a r i a b l e n e e d i n g t o b e d e f i n e d . O n l y 1 5 % o f t h o s e b e g i n n i n g t h e v e r b a l p r o b l e m w e r e a b l e t o c o r r e c t l y d e f i n e t h e v a r i a b l e ( x , 7 - x ) , a n d e r r o r s i n t h i s p h a s e r e f l e c t e d a n i n c o r r e c t f o c u s o n t h e d i s t a n c e a s v a r i a b l e . T h e i t e m ' s c o n s t r u c t i o n d i d n o t p e r m i t e v a l u a t i o n o f s t u d e n t c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e D / R / T r e l a t i o n s h i p s i n c e s o f e w s t u d e n t s m a d e s u f f i c i e n t p r o g r e s s o n t h i s v e r b a l p r o b l e m . T h i s g e o m e t r i c t y p e p r o b l e m a p p e a r e d l e s s f a m i l i a r t o B e t t y a n d C a r l ' s s t u d e n t s a s l e s s t h a n h a l f o f t h e i r c o m b i n e d g r o u p s e v e n a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . T h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r t h e 3 a n g l e s o f t h e t r i a n g l e r e q u i r e d s e p a r a t i o n o f l a n g u a g e i n t o r e l a t i o n s h i p s , a w e a k a r e a f o r t h e s e s t u d e n t s . A g a i n t h e u s a g e o f t w o v a r i a b l e l e t t e r s w a s a p p a r e n t ( a s i n i t e m 2 ) , y e t p r o g r e s s w a s n o t a i d e d w i t h i n s u c h a c o n s t r u c t i o n a s n e c e s s a r y r e l a t i o n s h i p s w e r e n o t a d d r e s s e d . N i n e o f t h e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s c e n t e r e d o n i n a d e q u a t e c o m p r e h e n s i o n o r r e c a l l o f t h e a n g l e s u m r e l a t i o n s h i p f o r a t r i a n g l e b e i n g 1 8 0 d e g r e e s . B e t t y ' s c l a s s i n p a r t i c u l a r w a s u n a b l e t o r e c o g n i z e o r r e c a l l t h i s c o n s e c u t i v e i n t e g e r t y p e p r o b l e m , o r e v e n b e g i n w o r k ( a s w a s t r u e o f t h e s i m i l a r p o s t t e s t i t e m ) . V a r i a b l e d e f i n i t i o n e r r o r s w e r e m a i n l y d u e t o d e f i n i n g c o n s e c u t i v e i n t e g e r s , r a t h e r t h a n c o n s e c u t i v e e v e n i n t e g e r s , a n d s t u d e n t s i n e a c h c l a s s m a d e t h i s e r r o r . I t i s l e s s c l e a r w h e t h e r t h i s e r r o r p a t t e r n i s d u e t o c a r e l e s s r e a d i n g o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t o r i s c o n c e p t u a l l y b a s e d . E q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s w e r e t o o d i v e r s e t o f i n d p a t t e r n s . I t e m 6 : I t e m 7 : 3 7 2 T h i s a g e r e l a t e d p r o b l e m p r o v e d e x t r e m e l y d i f f i c u l t f o r C a r l ' s s t u d e n t s t o b e g i n , a s o n l y 5 o f 2 2 s t u d e n t s a t t e m p t e d t o d e f i n e v a r i a b l e s f o r t h e p r o b l e m , w h i c h m a y h a v e b e e n d u e t o t h e i m p l i c i t n a t u r e o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i n r e g a r d s t o v a r i a b l e d e f i n i t i o n , s o m e t h i n g o f w h i c h s t u d e n t s w e r e l e s s f a m i l i a r . T h i s i n a b i l i t y w a s r e f l e c t e d i n t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n e r r o r s , w h e r e 7 o f 1 1 e r r o r s i n c l u d e d t h e 4 t i m e s ( e x p l i c i t l y g i v e n ) i n v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . E q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s g e n e r a l l y s h o w e d a l a c k o f l o g i c a l t h o u g h t , a n d a p p e a r e d t o b e m e a n i n g l e s s c o m b i n a t i o n s o f p i e c e s o f p r o b l e m i n f o r m a t i o n . A l l 3 g r o u p s s h o w e d a g r e a t e r r e s p o n s e t o t h e r e a l , c o n c r e t e n a t u r e o f t h i s c o i n r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m . T h e s e n t e n c e s t r u c t u r e o f t h i s p r o b l e m w a s s i m p l e t o f o l l o w , f i r s t s e n t e n c e v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d s e c o n d s e n t e n c e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . Y e t o v e r o n e t h i r d o f t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n e r r o r s u s e d n a n d 4 n , r a t h e r t h a n n a n d n + 4 . T o r e c e i v e f u l l c r e d i t f o r v a r i a b l e d e f i n i t i o n , t h e a d j u s t e d c o i n a m o u n t s h a d t o b e i n d i c a t e d s o m e w h e r e , a n d i n 3 c a s e s t h i s a d j u s t m e n t w a s n o t s p e c i f i e d . M a n y s t u d e n t s a g a i n e m p l o y e d t w o v a r i a b l e l e t t e r s , a n d i n 3 c a s e s , n o r e l a t i o n s h i p w a s d e v e l o p e d b e t w e e n t h e t w o v a r i a b l e l e t t e r s e m p l o y e d . O n l y 4 o f 3 0 s t u d e n t s w e r e a b l e t o f o r m u l a t e t h e c o r r e c t e q u a t i o n f o r t h i s i t e m , w i t h 1 2 e r r o r s d u e t o t h e e x c l u s i o n o f v a l u e s f o r t h e c o i n s ( a s w a s s i m i l a r t o t h e p o s t t e s t r e s u l t s ) , w h i l e 9 o t h e r s t u d e n t s m a d e n o a t t e m p t a t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . I t a l s o a p p e a r s t h a t t r i a l a n d e r r o r t e c h n i q u e s a r e m o r e s u c c e s s f u l f o r d e r i v i n g c o r r e c t a n s w e r s f o r t h i s t y p e o f v e r b a l p r o b l e m t h a n e x p e c t e d t e c h n i q u e s ( 1 0 c o r r e c t s o l u t i o n s a s o p p o s e d t o 2 c o r r e c t s o l u t i o n s ) . m m I t c a n b e a s s u m e d t h a t l i t t l e i n s t r u c t i o n r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w a s u n d e r t a k e n d u r i n g t h e t i m e i n t e r v a l b e t w e e n t e s t a d m i n i s t r a t i o n s , a p e r i o d r a n g i n g 3 7 3 f r o m 1 0 t o 1 2 w e e k s f o r t h e t h r e e c l a s s e s . T h i s a s s u m p t i o n i s b a s e d o n t h e i n v e s t i g a t o r r e v i e w o f e m p l o y e d t e x t b o o k s f o r t h e c l a s s e s , a n d p a r t l y o n t e a c h e r r e p o r t s t o t h e i n v e s t i g a t o r a t t h e t i m e o f r e t e n t i o n t e s t a d m i n i s t r a t i o n . . A l l t h r e e t e a c h e r s i n d i c a t e d t h e r e w a s n o r e v i e w o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s c o n s t i t u t i n g t h e c o r e c o n t e n t o f t h e s t u d y . O n e w o u l d t h e n e x p e c t s t u d e n t s ' v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d s k i l l s t o b e c o m e " r u s t y " o v e r t i m e d u e t o l a c k o f u s a g e o r r e v i e w . I n d e e d t h e o v e r a l l m e a n s c o r e p e r c e n t f o r t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s d r o p p e d f r o m 2 9 p e r c e n t t o 2 0 p e r c e n t o f t h e t o t a l p o s s i b l e p o i n t s f o r t h e t w o t e s t s , w h i c h r e p r e s e n t e d a 3 1 p e r c e n t d e c r e a s e i n p e r f o r m a n c e . Y e t w i t h i n t h e s e p a r a t e c l a s s e s , s t u d e n t p e r f o r m a n c e c h a n g e s w e r e q u i t e d i f f e r e n t . C a r l ’ s s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e w a s h i g h e s t f o r t h e p o s t t e s t ( 4 1 . 5 p e r c e n t o f t o t a l p o s s i b l e p o i n t s ) , a n d y e t o n t h e r e t e n t i o n t e s t t h e y e a r n e d o n l y a b o u t 1 8 p e r c e n t o f t h e t o t a l p o s s i b l e p o i n t s w h i c h r e p r e s e n t e d a 5 7 p e r c e n t d e c r e a s e i n p e r f o r m a n c e . A d m i t t e d l y h i s s t u d e n t s h a d t h e m o s t t o l o s e b e c a u s e o f t h e i r b e t t e r p o s t t e s t p e r f o r m a n c e . B e t t y ' s s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e w a s l o w e s t o n t h e p o s t t e s t ( 1 8 . 7 p e r c e n t o f t o t a l p o s s i b l e p o i n t s ) , a n d o n t h e r e t e n t i o n t e s t a l s o ( 1 3 . 8 p e r c e n t ) , w h i c h r e p r e s e n t e d a 2 6 p e r c e n t d e c r e a s e i n p e r f o r m a n c e . H o w e v e r A l i c e ' s s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e a c t u a l l y i m p r o v e d o n t h e r e t e n t i o n t e s t , t h o u g h o n l y r I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I - I l l ! ! ! ! ! ! : - a l l l = = = r * . . H 1 _ 3 7 4 s l i g h t l y , u n d e r a o n e p e r c e n t i n c r e a s e i n p e r f o r m a n c e . O n e c a n c o n j e c t u r e t h a t A l i c e ' s u n i q u e f o r m o f v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n , w h i c h e m p h a s i z e d e x t e n s i v e s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s a n d p r o v i d e d g r e a t e r c l a s s t i m e f o r s u c h p r a c t i c e , p a i d d i v i d e n d s f o r s t u d e n t s ' r e t e n t i o n o f s u c h c o n t e n t . O t h e r e x p l a n a t i o n s f o r t h e i m p r o v e d p e r f o r m a n c e o f A l i c e ' s c l a s s a p p e a r l e s s p l a u s i b l e . F o r i n s t a n c e , t h e t e x t b o o k o r g a n i z a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s i n t o a s i n g l e c h a p t e r s o m e w h a t e x p l a i n s t h e s i g n i f i c a n t d r o p i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r C a r l ' s c l a s s , w h e r e a s t u d e n t f o c u s o f d a y t o d a y p r e p a r a t i o n w o u l d l e a d t o b e t t e r i m m e d i a t e r e s u l t s , b u t h a v e l e s s r e t e n t i v e p o w e r . Y e t . A l i c e ' s s c o r e s i m p r o v e d a n d B e t t y ' s d r o p p e d d e s p i t e t h e f a c t t h a t b o t h e m p l o y e d t e x t b o o k s c o n t a i n e d s i m i l a r l y s p a c e d p l a c e m e n t s o f v e r b a l p r o b l e m s i n t h e i r c o n t e n t o r g a n i z a t i o n s . T h e p o o r r e t e n t i o n r e s u l t s f o r C a r l ' s c l a s s a l s o r e s u l t e d i n t h e t h r e e c l a s s e s ’ p e r f o r m a n c e b e c o m i n g m o r e e q u i v a l e n t . O n t h e p o s t t e s t , s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s w e r e n o t e d f o r f i v e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s ( c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e b e i n g t h e o n l y e x c e p t i o n ) . O n t h e r e t e n t i o n t e s t s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s w e r e n o t e d f o r o n l y t w o o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s , a g e r e l a t e d a n d i n t e g e r t y p e p r o b l e m s . F o r t h e i n t e g e r t y p e p r o b l e m s , t h i s d i f f e r e n c e w a s m a i n l y d u e t o B e t t y ' s c l a s s , w h i c h h a d 3 7 5 e x t r e m e l y p o o r s c o r e s o n b o t h i t e m s o f t h i s p r o b l e m t y p e o n b o t h t e s t s . F o r t h e t o t a l g r o u p , s t u d e n t p e r f o r m a n c e i m p r o v e d s l i g h t l y f o r t w o v e r b a l p r o b l e m t y p e s , i n t e g e r p r o b l e m t y p e s a n d a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s , a n d d e c r e a s e d a p p r e c i a b l y f o r g e o m e t r i c p r o b l e m t y p e s a n d t h e D / R / T r e l a t e d p r o b l e m t y p e . T h i s d e c r e a s e i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e s e t w o p r o b l e m t y p e s w a s m o s t l i k e l y d u e t o t h e g r e a t e r c o n c e p t u a l a n d r e l a t i o n a l k n o w l e d g e r e q u i r e d f o r t h e s e p r o b l e m t y p e s . H o w e v e r , i t c a n b e a r g u e d t h a t t h e m o r e c o m p l e x n a t u r e o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t s u s e d o n t h e r e t e n t i o n t e s t , p a r t i c u l a r l y t h a t u s e d f o r t h e D / R / T t y p e p r o b l e m , a c c o u n t f o r s o m e o f t h i s d e c r e a s e i n p e r f o r m a n c e . I t w a s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a l l t h r e e c l a s s e s i m p r o v e d i n t h e i r a b i l i t y t o c o r r e c t l y c o m p l e t e v a r i a b l e d e f i n i t i o n s o n t h e r e t e n t i o n t e s t , a s c o m p a r e d t o t h e i r r e s u l t s f o r t h e p o s t t e s t . T h i s r e s u l t i n d i c a t e d t h a t a l l t h r e e c l a s s e s p r o b a b l y h a d m o r e e x p e r i e n c e s i n a l g e b r a i c e x p r e s s i o n m a n i p u l a t i o n d u r i n g t h e t i m e i n t e r v a l b e t w e e n t e s t a d m i n i s t r a t i o n s w h i c h r e s u l t e d i n i m p r o v e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n c a p a b i l i t i e s . F o r a l l o t h e r p h a s e p r o c e s s e s , s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n B e t t y a n d C a r l ’ s c l a s s e s d e c r e a s e d f r o m t h a t o f t h e p o s t t e s t r e s u l t s . H o w e v e r , b a s e d o n b o t h a n a l y s i s m e t h o d s e m p l o y e d , A l i c e ' s s t u d e n t s i m p r o v e d t h e i r p r o c e s s p e r f o r m a n c e f o r e a c h p h a s e b e t w e e n t e s t s , w i t h t h e 3 7 6 e x c e p t i o n o f c o r r e c t l y i n t e r p r e t i n g e q u a t i o n s o l u t i o n s i n t o p r o b l e m a n s w e r s . T e s t C o r r e l a t i o n s T w o P e a r s o n c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t s w e r e c o m p u t e d f o r t h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s o f t h e t w o t e s t s , p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t . O n e c o e f f i c i e n t r e l a t e d s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e e q u a t i o n s o l v i n g a n d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n s o f t h e r e t e n t i o n t e s t , a n d t h e o t h e r c o e f f i c i e n t r e l a t e d s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t w i t h t h e r e s u l t s o f t h e p o s t t e s t . T h e s e c o r r e l a t i o n s w e r e c o m p u t e d f o r e a c h c l a s s a n d t h e t o t a l g r o u p . T h e r e s u l t s a r e d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 3 1 . T a b l e 6 . 3 1 C o r r e l a t i o n M e a s u r e s B e t w e e n T e s t I n s t r u m e n t s C o r r e l a t i o n b e t w e e n : A l i c e B e t t y C a r l G r o u p E q u a t i o n S o l v i n g a n d v e r b a l P r o b l e m S o l v i n g . 4 2 2 . 4 3 6 . 3 2 3 . 4 0 4 S e c t i o n s o f R e t e n t i o n T e s t v e r b a l P r o b l e m S o l v i n g S e c t i o n o f R e t e n t i o n T e s t . 1 9 4 . 8 0 6 . 6 2 3 . 4 8 8 a n d P o s t t e s t T h e w i d e d i v e r g e n c e s f o r t h e c l a s s r o o m c o r r e l a t i o n s r e l a t i n g t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n a n d t h e p o s t t e s t r e s u l t s w a s i n d i c a t i v e o f t h e t o t a l l y d i f f e r e n t s t u d e n t p e r f o r m a n c e p a t t e r n s o f t h e t h r e e c l a s s e s o n t h e 3 7 7 r e t e n t i o n t e s t ' s v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n . T h e c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e t w o s e c t i o n s o f t h e r e t e n t i o n t e s t w e r e c o n s i s t e n t a c r o s s c l a s s e s , a n d i n d i c a t e d t h a t e q u a t i o n s o l v i n g a b i l i t y i s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y , t h o u g h n o t t o a s g r e a t a n e x t e n t a s o n e m i g h t e x p e c t . T h e l o w e r c o r r e l a t i o n f o r C a r l ' s c l a s s o n t h i s m e a s u r e m a y i n d i c a t e f u r t h e r t h e c o m p a r t m e n t a l i z e d n a t u r e o f s t u d e n t a l g e b r a l e a r n i n g s w h i c h a p p e a r e d t o h a v e t a k e n p l a c e f o r v e r b a l p r o b l e m s , a n d w h i c h w a s a l s o n o t e d e a r l i e r f o r t h e r e t e n t i o n t e s t a n d s u r v e y r e s u l t s . I n t h i s c a s e , s t u d e n t f o c u s o n d a y t o d a y l e a r n i n g a n d a c h i e v e m e n t t e n d t o b l o c k o u t c o n n e c t e d r e l a t i o n s h i p s w h i c h e x i s t b e t w e e n v a r i o u s a l g e b r a c o n t e n t s s t u d i e d . I t w a s n o t e d e a r l i e r t h a t t h e e q u a t i o n s g i v e n f o r t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n w e r e r e w r i t t e n v e r s i o n s o f t h e e x p e c t e d e q u a t i o n s s t u d e n t s w o u l d u s e f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n . T h i s d e s i g n p e r m i t t e d t h e i n v e s t i g a t o r t o a n a l y z e s t u d e n t e q u a t i o n s o l v i n g a b i l i t y u n d e r t w o d i f f e r e n t f o r m a t s , w i t h i n v e r b a l p r o b l e m s a n d o u t s i d e v e r b a l p r o b l e m s f o r t h e s a m e b a s i c e q u a t i o n . I n c a s e s w h e r e s t u d e n t s c o r r e c t l y f o r m u l a t e d a n e q u a t i o n i n t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n , o n e w o u l d e x p e c t a h i g h d e g r e e o f c o n f o r m i t y i n t h e i r a b i l i t y t o s o l v e e a c h o f t h e t w o n e a r l y i d e n t i c a l l i n e a r e q u a t i o n s . T h e r e w e r e 7 6 c a s e s w h e r e s t u d e n t s o f t h e s t u d y c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e r e t e n t i o n t e s t . F o r t h e s e 3 7 8 c a s e s , t h e i n v e s t i g a t o r c h e c k e d s t u d e n t a b i l i t y t o s o l v e t h e e q u a t i o n f o r t h e v e r b a l p r o b l e m a n d t h e r e l a t e d e q u a t i o n f r o m t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n o f t h e t e s t . T h e s u m m a r y r e s u l t s f o r e a c h c l a s s a n d t h e t o t a l g r o u p , g i v e n i n p r o p o r t i o n s , i s d i s p l a y e d i n T a b l e 6 . 3 2 . T a b l e 6 . 3 2 R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s : E q u a t i o n S o l v i n g C o m p a r i s o n s A l i c e B e t t y C a r l G r o u p N u m b e r C o r r e c t l y F o r m u l a t e d E q u a t i o n s - V e r b a l P r o b l e m s 3 3 2 1 2 2 7 6 P r o p o r t i o n B o t h E q u a t i o n s S o l v e d C o r r e c t l y . 4 9 . 6 2 . 5 0 . 5 3 P r o p o r t i o n O n l y S o l v i n g V e r b a l P r o b l e m E q u a t i o n C o r r e c t l y . 3 3 . 1 0 . 2 3 . 2 4 P r o p o r t i o n O n l y S o l v i n g E q u a t i o n S e c t i o n C o r r e c t l y . 0 6 . 1 4 . 2 3 . 1 3 P r o p o r t i o n S o l v i n g N e i t h e r E q u a t i o n C o r r e c t l y . 1 2 . 1 4 . 0 4 . 1 0 P r o p o r t i o n S o l v i n g V e r b a l P r o b l e m E q u a t i o n s C o r r e c t l y . 8 2 . 7 1 . 7 3 . 7 6 P r o p o r t i o n S o l v i n g R e l a t e d E q u a t i o n S e c t i o n C o r r e c t l y . 5 5 . 7 6 . 7 3 . 6 6 T h e r e s u l t s o f t h e a n a l y s i s i n d i c a t e d s e v e r a l p a t t e r n s o f s t u d e n t l i n e a r e q u a t i o n s o l v i n g a b i l i t y . S t u d e n t s a c t u a l l y h a d g r e a t e r e q u a t i o n s o l v i n g s u c c e s s w h e n s o l v i n g t h e i r o w n f o r m u l a t e d e q u a t i o n s d e r i v e d f r o m v e r b a l p r o b l e m s , t h a n w h e n t h e e q u a t i o n w a s g i v e n i n a n a l t e r e d f o r m i n i s o l a t i o n f r o m a v e r b a l p r o b l e m c o n t e x t . T h i s p a t t e r n w a s t r u e o n l y f o r A l i c e ' s c l a s s , a n d w a s 3 7 9 s u b s t a n t i a l l y d i f f e r e n t . T h e p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s s o l v i n g b o t h e q u a t i o n f o r m s c o r r e c t l y w a s s o m e w h a t s m a l l e r t h a n e x p e c t e d , o n l y s l i g h t l y b e t t e r t h a n 5 0 p e r c e n t ( . 5 3 o f t h e t o t a l g r o u p ) , a n d w a s f a i r l y c o n s i s t e n t a c r o s s c l a s s e s . S t u d e n t s h a d t h e g r e a t e s t s u c c e s s f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s f o r v e r b a l p r o b l e m i t e m s n u m b e r e d 2 a n d 5 ( 2 9 a n d 2 6 c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n s , r e s p e c t i v e l y , o r 7 2 p e r c e n t o f a l l c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n s ) . F o r i t e m n u m b e r 2 , a l m o s t e q u a l p r o p o r t i o n s o f s t u d e n t s s o l v e d t h e t w o e q u a t i o n f o r m s c o r r e c t l y ( 2 0 / 2 9 , v e r b a l p r o b l e m a n d 2 2 / 2 9 , e q u a t i o n s e c t i o n ) , b u t l e s s t h a n h a l f ( 4 8 p e r c e n t ) s o l v e d b o t h e q u a t i o n f o r m s c o r r e c t l y . F o r i t e m n u m b e r 5 , a g r e a t e r p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s c o r r e c t l y s o l v e d t h e v e r b a l p r o b l e m e q u a t i o n f o r m ( 1 9 / 2 6 ) t h a n t h e e q u a t i o n s e c t i o n f o r m ( 8 / 2 6 ) , a n d o n l y 3 1 p e r c e n t c o r r e c t l y s o l v e d b o t h e q u a t i o n f o r m s . T a b l e 6 . 3 2 a l s o i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s i n t h e s t u d y c a n s u c c e s s f u l l y s o l v e t h e s e l i n e a r e q u a t i o n t y p e s i n a t l e a s t o n e o f t h e i r t w o g i v e n f o r m s 9 0 p e r c e n t o f t h e t i m e , y e t w e r e o n l y a b l e t o c o r r e c t l y s o l v e b o t h e q u a t i o n f o r m s o n t h e s a m e t e s t 5 3 p e r c e n t o f t h e t i m e . S t u d e n t I n t e r v i e w R e s u l t s N i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s , t h r e e s t u d e n t s f r o m e a c h c l a s s , w e r e c o n d u c t e d d u r i n g t h e s a m e s c h o o l w e e k , D e c e m b e r 1 5 - 1 9 , 1 9 8 6 . E l a p s e d t i m e f r o m t h e p o s t t e s t 3 8 0 a d m i n i s t r a t i o n r a n g e d f r o m s e v e r a l d a y s f o r C a r l ’ s s t u d e n t s t o a b o u t 2 1 / 2 w e e k s f o r A l i c e ’ s s t u d e n t s . T h e p o s t t e s t r e s u l t s w e r e n o t c o m p l e t e d p r i o r t o t h e n e c e s s i t y o f t h e s e l e c t i o n p r o c e s s f o r t h e i n t e r v i e w s , a n d h e n c e r e q u i r e d t h e i n v e s t i g a t o r t o d e v e l o p a n a l t e r n a t e p r o c e s s f o r t h e s e l e c t i o n o f s t u d e n t s f o r t h e i n t e r v i e w s . O n t h e b a s i s o f v e r b a l p r o b l e m c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s o f e a c h c l a s s , t h e i n v e s t i g a t o r d e v e l o p e d a l i s t o f f i v e p o s s i b l e s u b j e c t s f r o m e a c h c l a s s f o r t h e i n t e r v i e w s . E a c h p o s s i b l e s u b j e c t w a s b e l i e v e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o b e o f a b o v e a v e r a g e a b i l i t y w i t h r e g a r d s t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . E a c h o f t h e f i f t e e n l i s t e d s t u d e n t s r e c e i v e d a t w o p a g e f o r m c o n s i s t i n g o f a d e s c r i p t i o n o f t h e s t u d y a n d i t s p u r p o s e s , a n d a r e q u e s t f o r p a r e n t a l p e r m i s s i o n t o c o n d u c t t h e i n t e r v i e w w i t h t h e i r s o n o r d a u g h t e r . O n e s t u d e n t i n e a c h c l a s s f a i l e d t o r e t u r n t h e s i g n e d p e r m i s s i o n s l i p w i t h i n t h e t h r e e d a y s g i v e n , a n d o n e s t u d e n t ' s p a r e n t ( A l i c e ' s c l a s s ) d e n i e d p e r m i s s i o n t o i n t e r v i e w t h e i r c h i l d . F o r A l i c e ’ s c l a s s t h e n , t h e t h r e e s t u d e n t s r e t u r n i n g a f f i r m a t i v e p a r e n t a l p e r m i s s i o n s l i p s w e r e u s e d , a n d f o r B e t t y a n d C a r l ' s c l a s s e s , t h e i n v e s t i g a t o r s e l e c t e d t h r e e o f t h e f o u r s t u d e n t s i n t h e p o o l , b a s e d o n e a s e o f s c h e d u l i n g a n d w h i c h s t u d e n t s w e r e f e l t t o b e t h e b e s t c a n d i d a t e s f o r t h e i n t e r v i e w s . 3 8 1 T h e n i n e s t u d e n t s i n t e r v i e w e d w e r e l a b e l e d A 1 , A 2 , . A 3 , B 1 , B 2 , B B , C 1 , C 2 , a n d C 3 , w h e r e t h e A , B , C d e s i g n a t e d t h e i r c l a s s r o o m o r t e a c h e r ( A l i c e , B e t t y , C a r l ) a n d t h e 1 , 2 , 3 o r d e r i n g d e s i g n a t e d t h e s e q u e n c e i n w h i c h t h e y w e r e i n t e r v i e w e d . T a b l e 6 . 3 3 i n d i c a t e s e a c h s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e a n d c l a s s r a n k i n g f o r t h e p o s t t e s t a n d f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t . T a b l e 6 . 3 3 I n t e r v i e w R e s u l t s : S u b j e c t T e s t M e a s u r e P e r f o r m a n c e s S t u d e n t P o s t t e s t C l a s s R e t e n t i o n C l a s s S c o r e ( 9 0 ) R a n k T e s t S c o r e ( 7 0 ) R a n k A 1 3 5 3 4 8 2 . A 2 2 5 1 1 ( t i e ) 1 6 1 1 ( t i e ) . A 3 2 3 1 5 1 9 8 B 1 5 1 1 4 2 1 B 2 2 4 8 1 4 8 B 3 7 1 9 ( t i e ) 3 1 6 ( t i e ) C 1 6 7 1 3 9 1 C 2 5 5 3 8 1 4 C 3 5 7 2 2 6 2 M e a n S c o r e a n d R e l a t e d R a n k 3 8 . 2 2 1 6 o f 6 7 2 3 . 8 9 1 4 o f 6 6 T h e i n v e s t i g a t o r ’ s a b i l i t y t o s e l e c t a b o v e a v e r a g e p e r f o r m i n g s t u d e n t s b a s e d o n c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s w a s q u e s t i o n a b l e f o r A l i c e a n d B e t t y ' s c l a s s e s , t h o u g h t h e 3 8 2 t h r e e s t u d e n t s w i t h t h e b e s t p e r f o r m a n c e o n t h e p o s t t e s t w e r e s e l e c t e d i n C a r l ’ s c l a s s . T h e m e a n s c o r e s o f t h e i n t e r v i e w g r o u p f o r t h e p o s t t e s t a n d t h e r e t e n t i o n t e s t ( v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n ) r a n k e d i n t h e t o p q u a r t e r ( 7 5 t h p e r c e n t i l e ) i n e a c h c a s e . T h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n m e a s u r e s f o r t h i s g r o u p o f s t u d e n t s ‘ w a s . 5 3 , o r s l i g h t l y h i g h e r t h a n w a s f o u n d f o r a l l s t u d e n t s o f t h e s t u d y . A s i t t u r n e d o u t , t h e i n v e s t i g a t o r s e l e c t e d a h i g h , a m i d d l e , a n d a l o w p e r f o r m i n g s t u d e n t i n e a c h o f A l i c e a n d B e t t y ’ s c l a s s e s . W i t h o n e e x c e p t i o n ( B 1 ) , e a c h s t u d e n t w a s i n t e r v i e w e d f o r 4 5 m i n u t e s d u r i n g s c h o o l h o u r s , i n a n i s o l a t e d r o o m a t t h e s c h o o l s i t e . S u b j e c t B 1 w a s i n t e r v i e w e d a f t e r s c h o o l f o r 6 0 m i n u t e s i n a u n i v e r s i t y c l a s s r o o m . E a c h i n t e r v i e w w a s a u d i o t a p e d i n i t s e n t i r e t y , t h o u g h f o r t w o o f t h e i n t e r v i e w s ( A 3 a n d B 2 ) t h e a u d i o r e c o r d i n g w a s g a r b l e d a n d n o t i n t e r p r e t a b l e . T h e i n v e s t i g a t o r t o o k e x t e n s i v e n o t e s o n p r e p a r e d f o r m s d u r i n g e a c h i n t e r v i e w . T h e a u d i o r e c o r d i n g s s e r v e d t h r e e f u n c t i o n s : t o v a l i d a t e s t u d e n t w o r k s a m p l e s a n d i n v e s t i g a t o r n o t e s t a k e n d u r i n g t h e i n t e r v i e w , t o a i d i n v e s t i g a t o r r e c a l l o f s t u d e n t c o m m e n t s m a d e d u r i n g t h e i n t e r v i e w w h i c h t h e i n v e s t i g a t o r f a i l e d t o n o t e , a n d t o d e v e l o p t i m e f r a m e s f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m ' s c o m p l e t i o n . O b v i o u s l y t h e t w o g a r b l e d r e c o r d i n g s d i d n o t p e r m i t s u c h v a l i d a t i o n , m i s s e d c o m m e n t s , o r t i m e f r a m e d e v e l o p m e n t s t o b e c o m p l e t e d f o r t h e s e t w o s t u d e n t s . 3 8 3 E a c h i n t e r v i e w f o l l o w e d t h e s a m e s e q u e n t i a l f o r m a t . T h i s f o r m a t i n c l u d e d a s e r i e s o f s e v e n e n t r y r e l a t e d q u e s t i o n s ( b a c k g r o u n d , 1 0 m i n u t e s ) , a d e v e l o p m e n t o f p e r c e n t c o n f i d e n c e a s s e s s m e n t s f o r t h r e e p r o c e s s s k i l l s f o r e a c h o f s i x h y p o t h e t i c a l v e r b a l p r o b l e m t y p e s ( 1 0 m i n u t e s ) , a n d t h e c o m p l e t i o n o f s i x v e r b a l p r o b l e m s , p r e s e n t e d o n e a t a t i m e ( 2 0 t o 2 5 m i n u t e s ) . A . o o m p l e t e c o p y o f t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t f o r e a c h c l a s s o f s t u d e n t s , l i s t e d b y t e a c h e r , c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x G . T h e r e s u l t s f o r t h e f i r s t s e c t i o n s ( b a c k g r o u n d ) a r e t r e a t e d b r i e f l y i n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s , f o l l o w e d b y a m o r e d e t a i l e d r e v i e w o f s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s . D i s c u s s i o n o f s t u d e n t s ’ c o n f i d e n c e a s s e s s m e n t s ( A p p e n d i x N ) i s l i m i t e d , s i n c e t h e r e s u l t s d i d n o t r e l a t e t o t h e p u r p o s e s a n d q u e s t i o n s o f t h e s t u d y . S u r v e y S e c t i o n T h e s e v e n q u e s t i o n s o f t h e b a c k g r o u n d s e c t i o n d e a l t w i t h s t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s , e a r n e d a n d p e r c e i v e d g r a d e s , a l g e b r a s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , v e r b a l p r o b l e m s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , p e r c e i v e d p u r p o s e s o f v e r b a l p r o b l e m s , a n d s t u d e n t h o m e w o r k p a t t e r n s . S t u d e n t s ' m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s w e r e m o r e v a r i e d f o r t h e p a r o c h i a l s c h o o l s t u d e n t s , t h a n f o r t h e p u b l i c s c h o o l s t u d e n t s . F i v e o f t h e s i x p u b l i c s c h o o l s t u d e n t s h a d b e e n t r a c k e d u p o n e n t r y i n t o t h e s e v e n t h g r a d e a t t h e j u n i o r h i g h s c h o o l t h e y w e r e p r e s e n t l y a t t e n d i n g . T h e o n e 3 8 4 e x c e p t i o n h a d t r a n s f e r r e d a t t h e n i n t h g r a d e l e v e l f r o m a n a r e a p a r o c h i a l g r a d e s c h o o l ( K - 8 ) , a n d a s s t a n d a r d s c h o o l p r o c e d u r e h a d n o t b e e n t e s t e d u p o n e n t r y , b u t r a t h e r h a d b e e n p l a c e d i n t o A l g e b r a I ( r a t h e r t h a n A l g e b r a I - A ) . F i r s t q u a r t e r g r a d e s f o r t h e n i n e s t u d e n t s r a n g e d f r o m A ( f o u r s t u d e n t s ) t o C + ( t w o s t u d e n t s ) , w i t h t h e t w o s t u d e n t s e a r n i n g C + g r a d e s b o t h c o m i n g f r o m C a r l ' s c l a s s ( C 2 a n d C 3 ) . S t u d e n t s w e r e a s k e d w h i c h c o n t e n t a r e a s o f a l g e b r a c o n t e n t a l r e a d y s t u d i e d w e r e e a s i e s t f o r t h e m a n d w h i c h a r e a s p o s e d g r e a t e r d i f f i c u l t y f o r t h e m . S i x s t u d e n t s m e n t i o n e d e q u a t i o n s o l v i n g o r s i m p l i f y i n g e x p r e s s i o n s a s e a s i e r a r e a s o f a l g e b r a c o n t e n t . T w o s t u d e n t s m e n t i o n e d g r a p h i n g ( t h e c u r r e n t t o p i c o f s t u d y ) a n d o n e s t u d e n t s u r p r i s i n g l y m e n t i o n e d v e r b a l p r o b l e m s a s e a s i e r a r e a s . T w o s t u d e n t s c o u l d t h i n k o f n o p a r t i c u l a r c o n t e n t a r e a a s m o r e d i f f i c u l t , w h i l e f o u r s t u d e n t s b e l i e v e d v e r b a l p r o b l e m s w e r e t h e m o s t d i f f i c u l t c o n t e n t a r e a f o r t h e m . T h e o t h e r t h r e e s t u d e n t s e a c h l i s t e d a d i f f e r e n t c o n t e n t a r e a a s m o s t d i f f i c u l t ( " t o u g h " e q u a t i o n s ( m u l t i - s t e p t y p e s ) , g r a p h i n g , a n d p o l y n o m i a l s ) . O n e q u e s t i o n o f t h i s s e c t i o n a s k e d s t u d e n t s t o e v a l u a t e t h e i r p e r c e p t i o n s o f t h e i r o n e g r e a t e s t s t r e n g t h a n d o n e g r e a t e s t w e a k n e s s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . I n r e g a r d s t o p e r c e i v e d s t r e n g t h s , f o u r s t u d e n t s 3 8 5 r e s p o n d e d e q u a t i o n s o l v i n g , f o u r s t u d e n t s r e s p o n d e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d o n e s t u d e n t w a s u n a b l e t o i d e n t i f y a s i n g l e s t r e n g t h . I n r e g a r d s t o p e r c e i v e d w e a k n e s s e s , s i x s t u d e n t s m e n t i o n e d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n a s t h e m o s t d i f f i c u l t a s p e c t , a n d t h r e e s t u d e n t s g a v e v a r i o u s f o r m s o f e x p r e s s i o n r e l a t e d t o t h e r e a d i n g o r " i m a g i n i n g " o f a p r o b l e m s i t u a t i o n , a n d t h e u n d e r s t a n d i n g o r " i n t e n t " o f a p r o b l e m s t a t e m e n t . O n e q u e s t i o n a s k e d s t u d e n t s t o d e s c r i b e t h e i r p e r c e p t i o n s o f t h e r e a s o n s f o r t h e p r e s e n c e o f v e r b a l p r o b l e m s w i t h i n t h e A l g e b r a I c o n t e n t . E v i d e n t l y f o u r o f t h e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s h a d n e v e r c o n s i d e r e d t h e q u e s t i o n b e f o r e , s i n c e t h e y d i d n o t e x p r e s s a s i n g l e r e a s o n , o r r e s p o n d e d w e a k l y , " s a m e a s t h e r e a s o n t h e r e s t i s t h e r e " . T h e o t h e r f i v e s t u d e n t s a l l m e n t i o n e d t h e r e a l l i f e , a p p l i c a t i o n a l n a t u r e o f v e r b a l p r o b l e m s , g i v i n g p u r p o s e f o r t h e s t u d y o f o t h e r a l g e b r a i c s k i l l s . T h e l a s t q u e s t i o n o f t h i s s e c t i o n a s k e d s t u d e n t s t o a n s w e r f i v e q u e s t i o n s r e l a t e d t o a h y p o t h e t i c a l a s s i g n m e n t o f e i g h t v e r b a l p r o b l e m s ( p r o b l e m t y p e u n s p e c i f i e d ) g i v e n b y t h e i r r e s p e c t i v e t e a c h e r . T h e q u e s t i o n s w e r e d e s i g n e d t o i n v e s t i g a t e s t u d e n t h o m e w o r k p a t t e r n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s . T h e f i v e q u e s t i o n s w e r e a s f o l l o w s : a ) H o w m a n y o f t h e 8 p r o b l e m s w o u l d y o u c o m p l e t e i n c l a s s ? b ) W h e r e w o u l d y o u m o s t l i k e l y c o m p l e t e t h e r e m a i n d e r o f t h e a s s i g n m e n t ? c ) E s t i m a t e t h e t o t a l t i m e i t w o u l d t a k e y o u t o c o m p l e t e t h e e i g h t v e r b a l p r o b l e m s . 3 8 6 d ) W O u l d y o u l i k e l y n e e d a s s i s t a n c e t o c o m p l e t e t h e a s s i g n m e n t ? e ) T o w h o m o r w h e r e w o u l d y o u g o i f y o u n e e d e d a s s i s t a n c e w i t h a p r o b l e m o f t h e a s s i g n m e n t ? U s i n g t h e s e l e t t e r d e s i g n a t i o n s f o r t h e q u e s t i o n s , T a b l e 6 . 3 4 i n d i c a t e s t h e n i n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s ' r e s p o n s e s f o r t h e f i v e q u e s t i o n s . T a b l e 6 . 3 4 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : S t u d e n t H o m e w o r k P a t t e r n s S t u d e n t Q u e s t i o n Q u e s t i o n Q u e s t i o n Q u e s t i o n Q u e s t i o n a ) b ) c ) d ) e ) A 1 6 s t u d y h a l l 1 h o u r p o s s i b l y t e a c h e r A 2 a l l 8 s t u d y h a l l 2 0 m i n . n o t l i k e l y t e a c h e r A 3 4 a t h o m e 1 h o u r n o t l i k e l y m o m B 1 4 o r 5 a t h o m e 3 0 m i n . m a y b e s i s t e r B 2 2 o r 3 a t h o m e 1 - 1 . 5 h o u r s n o t l i k e l y t e a c h e r B 3 4 a t h o m e 4 5 m i n . p o s s i b l y d a d / a n o t h e r s t u d e n t C 1 3 o r 4 s t u d y h a l l 4 5 m i n . o c c a s i o n a l l y t e x t / n o t e s C 2 3 s t u d y h a l l / 2 0 - 3 0 m i n . p o s s i b l y d a d a t h o m e C 3 3 o r 4 s t u d y h a l l 3 0 m i n . y e s t e a c h e r / d a d n o t e s T h e e s t i m a t e s f o r c l a s s r o o m c o m p l e t i o n ( q u e s t i o n a ) o f t h e a s s i g n m e n t w e r e a c c u r a t e b a s e d o n i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s o f c l a s s r o o m t i m e g i v e n f o r a s s i g n m e n t s , a n d i n d i c a t e d a s h a r p s t u d e n t a w a r e n e s s o f i n s t r u c t i o n a l t i m e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r r e s p e c t i v e c l a s s e s . A b o u t h a l f t h e s t u d e n t s c o m p l e t e t h e i r a s s i g n m e n t s i n s c h o o l p r o v i d e d 3 8 7 s t u d y h a l l s a n d h a l f c o m p l e t e a s s i g n m e n t s a t h o m e . S i n c e t h e p u b l i c s c h o o l s o f t h e s t u d y g e n e r a l l y p r o v i d e n i n t h g r a d e s t u d e n t s a t l e a s t o n e s t u d y h a l l p e r d a y i n s t u d e n t s c h e d u l e s a n d t h e r e i s g r e a t e r v a r i a b i l i t y f o r t h e p a r o c h i a l s c h o o l i n i t s p r o v i s i o n o f s t u d e n t s t u d y h a l l s , o n e c a n e a s i l y g u e s s w h i c h i s t h e p a r o c h i a l s c h o o l f r o m t h e d a t a p r o v i d e d . M o s t s t u d e n t s b e l i e v e d t h a t f r o m 3 0 m i n u t e s t o o n e h o u r w a s s u f f i c i e n t t i m e t o c o m p l e t e t h e a s s i g n m e n t . A m a j o r i t y o f t h e s t u d e n t s ( 6 o f 9 ) b e l i e v e d t h e r e w a s a l i k e l i h o o d t h a t t h e y w o u l d n e e d a s s i s t a n c e o n a t l e a s t o n e v e r b a l p r o b l e m o f t h e a s s i g n m e n t . I n f o u r c a s e s s t u d e n t s w o u l d i n i t i a l l y s e e k a s s i s t a n c e f r o m t h e i r r e s p e c t i v e t e a c h e r ( 2 o f 3 , f o r A l i c e ) , a n d f o u r o t h e r s t u d e n t s w o u l d f i r s t s e e k a s s i s t a n c e f r o m a f a m i l y m e m b e r ( d a d , m o m , o r s i s t e r ) . O n l y o n e s t u d e n t ( C 1 ) t h o u g h t a b o u t r e v i e w i n g c l a s s r o o m n o t e s o r t h e t e x t b o o k a s a f i r s t s o u r c e o f a s s i s t a n c e . T h i s l a s t f i n d i n g i n d i c a t e s t h a t t h e s e s t u d e n t s a r e o v e r l y d e p e n d e n t o n o t h e r p e o p l e i n t h e i r e n v i r o n m e n t s a s s o u r c e s o f a s s i s t a n c e , r a t h e r t h a n d e m o n s t r a t i n g a m o r e i n d e p e n d e n t a n d p e r s i s t e n t s t y l e o f l e a r n i n g . I n g e n e r a l , t h e d a t a i n d i c a t e d a w i d e d i v e r s i t y o f h o m e w o r k O p t i o n s a n d p a t t e r n s a v a i l a b l e a n d e m p l o y e d b y s t u d e n t s o f t h e s t u d y . S t u d e n t s ’ q u i c k r e s p o n s e s t o t h e i n t e r v i e w e r ’ s q u e s t i o n s o f t h i s e n t i r e s e c t i o n 3 8 8 d e m o n s t r a t e d a w e l l d e v e l o p e d s t u d e n t a w a r e n e s s o f a b i l i t y a n d t i m e m a n a g e m e n t ( a p a r t o f s t u d e n t m e t a c o g n i t i o n ) f o r t h i s l e v e l o f f o r m a l s c h o o l i n g . V e r b a l P r o b l e m P e r f o r m a n c e T h e c o m p l e t i o n o f t h e f i r s t t w o s e c t i o n s o f t h e i n t e r v i e w g e n e r a l l y r e q u i r e d t w e n t y m i n u t e s . T h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n b e g a n w i t h t h e i n v e s t i g a t o r d i r e c t i n g e a c h s t u d e n t t o s h o w a l l w o r k a n d v e r b a l i z e t h e i r t h o u g h t s a s m u c h a s p o s s i b l e w h i l e c o m p l e t i n g t h e s i x v e r b a l p r o b l e m s o f t h i s s e c t i o n . E a c h v e r b a l p r o b l e m w a s w r i t t e n a t t h e t o p o f a s e p a r a t e s h e e t o f p a p e r a n d p r e s e n t e d o n e a t a t i m e b y t h e i n v e s t i g a t o r , a n d i n t h e s a m e s e q u e n c e f o r a l l n i n e s t u d e n t s . S t u d e n t s d e t e r m i n e d w h e n t o d i s c o n t i n u e w o r k o n a p r o b l e m a n d m o v e t o t h e n e x t p r e s e n t e d v e r b a l p r o b l e m . O n c e s t u d e n t s h a d r e a d a n d a n a l y z e d e a c h o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m s o n c e , t h e y w e r e a l l o w e d t o s e l e c t o n e o r m o r e p r o b l e m s f o r f u r t h e r t h o u g h t a n d w o r k , i f s u f f i c i e n t t i m e r e m a i n e d a t t h e e n d o f a n i n t e r v i e w . T h e v e r b a l p r o b l e m s u s e d f o r t h i s s e c t i o n w e r e d i f f e r e n t f o r e a c h c l a s s r o o m ’ s s e t o f t h r e e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s . I n o t h e r w o r d s , t h e t h r e e s t u d e n t s i n t e r v i e w e d f r o m A l i c e ' s c l a s s c o m p l e t e d i d e n t i c a l s e t s o f s i x v e r b a l p r o b l e m s , b u t t h e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s f r o m B e t t y a n d C a r l ' s c l a s s e s c o m p l e t e d d i f f e r e n t s e t s o f s i x v e r b a l p r o b l e m s . T h e i n v e s t i g a t o r c a r e f u l l y s e l e c t e d t h e t h r e e s e t s o f v e r b a l p r o b l e m s t o b e o f e q u a l d i f f i c u l t y , w i t h 3 8 9 f i v e p r o b l e m s o f e a c h s e t t a k e n a l m o s t v e r b a t i m f r o m t h e e m p l o y e d t e x t b o o k s o f e a c h c l a s s , a n d t h e s i x t h v e r b a l p r o b l e m , c o m m o n t o a l l t h r e e i n t e r v i e w t e s t f o r m s w a s a n i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d n o n r o u t i n e , a g e r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m t y p e . T h e p u r p o s e o f t h i s d e s i g n w a s t o l e s s e n t h e i n f l u e n c e o f p r o b l e m s t a t e m e n t v a r i a t i o n s u s e d i n t h e t h r e e t e x t b o o k s , a n d t o u s e l a n g u a g e w h i c h w a s m o r e f a m i l i a r t o t h e s t u d e n t s ' p r e v i o u s e x p o s u r e a n d p r a c t i c e . T h e s c o r i n g f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m f o l l o w e d t h e f o r m a t d e v e l o p e d f o r t h e p o s t t e s t a n d t h e p r o b l e m s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t . I n v e s t i g a t o r a w a r d s o f z e r o , o n e , o r t w o p o i n t s i n e a c h o f t h e f i v e p h a s e c a t e g o r i e s m a d e 1 0 p o i n t s t h e p o s s i b l e s c o r e f o r e a c h v e r b a l p r o b l e m , a n d 6 0 p o i n t s t h e p o s s i b l e s c o r e f o r t h i s s e c t i o n . P r o c e s s s c o r e s o f t h e n i n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s f o r t h e s i x v e r b a l p r o b l e m s a r e g i v e n i n T a b l e 6 . 3 5 . 3 9 0 T a b l e 6 . 3 5 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s b y I t e m I t e m I t e m I t e m I t e m I t e m I t e m T o t a l S t u d e n t # 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 P r o c e s s S c o r e . A l 1 0 3 1 0 4 2 1 3 0 . A 2 4 2 3 2 1 3 1 5 A 3 2 1 2 2 4 9 2 0 B 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 6 0 B 2 2 3 1 0 4 4 1 2 4 B 3 0 0 2 2 0 0 4 C 1 1 0 1 0 4 1 0 1 0 3 4 7 C 2 1 0 4 4 3 1 0 3 3 4 C 3 1 0 0 4 1 0 1 0 1 0 4 4 M e a n P r o c e s s S c o r e 6 . 4 3 . 7 5 . 4 5 . 2 5 . 7 4 . 4 3 0 . 8 C o r r e l a t i o n s b e t w e e n s t u d e n t p r o c e s s s c o r e s o f t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t , p o s t t e s t r e s u l t s a n d t h e v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s c o r e s o f t h e r e t e n t i o n t e s t f o r t h i s s u b g r o u p o f n i n e s t u d e n t s w e r e c o m p u t e d . T h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e p r o c e s s s c o r e s o f t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t a n d t h e p o s t t e s t w a s . 8 7 6 , a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t a n d r e t e n t i o n t e s t w a s . 6 9 4 . T h e s e h i g h e r c o r r e l a t i o n s i n d i c a t e d t h a t t h e t h r e e i n v e s t i g a t o r d e s i g n e d i n s t r u m e n t s d i d i n d e e d m e a s u r e t h e s a m e s e t o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s , a n d t h a t i n v e s t i g a t o r p r o c e s s s c o r i n g e x h i b i t e d c o n s i s t e n c y f o r a l l t h r e e t e s t s . 3 9 1 T h e r e w a s s o m e s i m i l a r i t y b e t w e e n s t u d e n t e s t i m a t e d c o n f i d e n c e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e s i x p r o b l e m t y p e s . T h e n o t a b l e e x c e p t i o n t o t h i s s i m i l a r a r r a n g e m e n t w a s t h e c o i n / m o n e y r e l a t e d t y p e ( i t e m # 2 ) f o r w h i c h s t u d e n t p e r f o r m a n c e w a s l o w e r t h a n t h a t f o r t h e n o n r o u t i n e v e r b a l p r o b l e m t y p e ( i t e m # 6 ) . A p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h i s p e r c e p t i o n d i f f e r e n c e m i g h t b e t h a t t h e r e a l a n d c o n c r e t e ( m o n e t a r y ) n a t u r e o f t h i s p r o b l e m t y p e o b s c u r e s f r o m s t u d e n t s i g h t t h e r e l a t i o n a l k n o w l e d g e r e q u i s i t e f o r s o l v i n g t h i s v e r b a l p r o b l e m t y p e . I t w a s a l s o n o t e w o r t h y t h a t e i g h t o f t h e n i n e s t u d e n t s i n t e r v i e w e d a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r a l l s i x p r o b l e m s o f t h e s e t . O n e s t u d e n t ( B 3 ) o n l y a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r 2 o f t h e 6 v e r b a l p r o b l e m s . A v e r a g e t i m e p e r p r o b l e m f o r t h e s e v e n s t u d e n t s f o r w h o m t h e a u d i o t a p e f u n c t i o n e d p r o p e r l y d i d n o t i n d i c a t e a n y r e l a t i o n s h i p t o s t u d e n t s ' e a r n e d p r o c e s s s c o r e s . S t u d e n t B 1 , w h o e a r n e d a p e r f e c t s c o r e ( 6 0 ) , a v e r a g e d s i x m i n u t e s p e r p r o b l e m , a n d y e t s t u d e n t C 1 , w h o e a r n e d t h e s e c o n d h i g h e s t s c o r e , a v e r a g e d l e s s t h a n t w o m i n u t e s p e r p r o b l e m . T h e o t h e r f i v e s t u d e n t s a l l a v e r a g e d b e t w e e n t h r e e a n d f o u r m i n u t e s p e r p r o b l e m . I t e m n u m b e r 1 r e q u i r e d t h e l e a s t a v e r a g e a m o u n t o f t i m e p e r s t u d e n t ( 2 : 3 0 ) , a n d i t e m s n u m b e r e d 5 a n d 6 t h e g r e a t e s t a m o u n t o f t i m e p e r s t u d e n t ( 3 : 5 1 a n d 4 : 1 8 r e s p e c t i v e l y ) . T h e o t h e r 3 9 2 t h r e e i t e m s a l l a v e r a g e d a b o u t 3 1 / 2 m i n u t e s p e r s t u d e n t t o c o m p l e t e . T h e n i n e s t u d e n t s e s t i m a t e d t h e i r a b i l i t i e s t o f o r m c o r r e c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d c o r r e c t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s a l m o s t e q u a l l y , a n d t h e i r a c t u a l p e r f o r m a n c e c l o s e l y m a t c h e s t h e i r e s t i m a t e s f o r t h e v a r i a b l e d e f i n i t i o n p h a s e , w i t h t h e e x c e p t i o n o f s t u d e n t B 3 . Y e t t h i s g r o u p o f n i n e s t u d e n t s a s a w h o l e c o n s i d e r a b l y o v e r e s t i m a t e d t h e i r a b i l i t y t o f o r m u l a t e v e r b a l p r o b l e m e q u a t i o n s . I n f a c t t h e n i n e s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o e q u a t i o n f o r m u l a t i o n w a s n o b e t t e r t h a n t h a t f o r t h e e n t i r e g r o u p o f s t u d e n t s ( 6 7 ) o n t h e p o s t t e s t f o r m ( . 5 4 ) . F o u r o f t h e s t u d e n t s ( B 1 , C 1 , C 2 , a n d C 3 ) w e r e m o r e a c c u r a t e i n t h e i r e s t i m a t e s r e l a t e d t o e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , a n d t h e s e f o u r s t u d e n t s a t t a i n e d t h e f o u r h i g h e s t s c o r e s o n t h e i n t e r v i e w ' s v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n . I t w a s a l s o e v i d e n t t h a t o n c e s t u d e n t s w e r e a b l e t o f o r m u l a t e a c o r r e c t e q u a t i o n , t h e r e w a s a l m o s t c o m p l e t e a s s u r a n c e t h a t s t u d e n t s w o u l d d e r i v e c o r r e c t a n s w e r s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s ( 2 0 o f 2 1 c a s e s ) . T h i s r e s u l t d e m o n s t r a t e d t h a t s t u d e n t s ' e q u a t i o n a n d i n t e r p r e t i v e s k i l l s w e r e h i g h l y d e v e l o p e d a n d a u t o m a t i z e d . W h i l e a l l . A l g e b r a I s t u d e n t s i n t e r v i e w e d a p p e a r e d a b l e t o p r o j e c t r e a l i s t i c a p p r a i s a l s o f t h e i r a b i l i t i e s t o d e f i n e v a r i a b l e s a n d t o f i n d c o r r e c t a n s w e r s f r o m c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n s , o n l y h i g h e r a b i l i t y s t u d e n t s 3 9 3 d e m o n s t r a t e d a r e a l i s t i c a w a r e n e s s o f t h e i r a b i l i t y t o f o r m u l a t e e q u a t i o n s . A v e r a g e o r b e l o w a v e r a g e s t u d e n t s t e n d e d t o c o n s i d e r a b l y o v e r e s t i m a t e t h i s s a m e a b i l i t y . S u m m a m y C o m m e n t s O n t h e b a s i s o f t h e a b o v e a n a l y s i s , o n e m i g h t b e d i s c o u r a g e d b y t h e l a c k o f n e w i n s i g h t s o r d e e p e r u n d e r s t a n d i n g w h i c h t h e i n t e r v i e w s a p p e a r e d t o p r o v i d e . T h i s a p p e a r a n c e i s d e c e i v i n g , a n d i s p a r t l y d u e t o t h e w a y t h e i n t e r v i e w r e s u l t s w e r e d e v e l o p e d i n t h e a n a l y s i s , m o r e a l o n g g r o u p t e n d e n c i e s t h a n a l o n g i n d i v i d u a l s t u d e n t t e n d e n c i e s . I n d i v i d u a l s t u d e n t s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s c a m e c l e a r l y i n t o f o c u s f o r e a c h a n d e v e r y s t u d e n t i n t e r v i e w e d . A t t h e e n d o f e a c h 4 5 m i n u t e o b s e r v a t i o n o f a s t u d e n t w o r k i n g o n v e r b a l p r o b l e m s , a n d l i s t e n i n g t o t h e i r r e l a t e d c o m m e n t s , t h e i n v e s t i g a t o r w a s a b l e t o c o n s t r u c t a d e t a i l e d a n d c o m p o s i t e r e p r e s e n t a t i o n o f e a c h s t u d e n t ' s v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y . T h e s e i n v e s t i g a t o r p e r c e p t i o n s w e r e w r i t t e n d o w n a n d n o t e d o n t h e a u d i o t a p e a f t e r e a c h i n t e r v i e w s e s s i o n f o r l a t e r r e v i e w a n d t h o u g h t . D u r i n g a v a i l a b l e t i m e a t t h e e n d o f t h r e e o r f o u r o f t h e i n t e r v i e w s e s s i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r s h a r e d s o m e o f t h e s e p e r c e p t i o n s w i t h t h e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s , a n d r e q u e s t e d f e e d b a c k f r o m t h e s t u d e n t s . I n e a c h c a s e t h e r e w a s g e n e r a l a f f i r m a t i o n t h a t t h e p e r c e p t i o n s w e r e c o r r e c t . I n a w a y i t w a s f o r t u n a t e t h a t s e l e c t e d s t u d e n t s f o r t h e 3 9 4 i n t e r v i e w w e r e a t d i f f e r e n t d e v e l o p m e n t a l l e v e l s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s , b e c a u s e t h e y a p p e a r e d t o b e a g o o d r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e o f t h e e n t i r e g r o u p o f A l g e b r a I s t u d e n t s , b a s e d o n t h e i r p e r f o r m a n c e l e v e l s f o r t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t . T h e s e i n v e s t i g a t o r p e r c e p t i o n s w e r e n o t d i s c u s s e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s i n c e t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t h e m t o b e h i g h l y s p e c u l a t i v e i n n a t u r e , a n d b a s e d o n t o o s m a l l a s a m p l e t o m e r i t d i s c u s s i o n t h e r e . F o r s t u d e n t s o f a v e r a g e o r b e l o w a v e r a g e a b i l i t y , t h e i n t e r v i e w s e s s i o n s b r o u g h t f o r t h e x c e l l e n t d i a g n o s t i c p r o f i l e s o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s . I t w a s e a s y t o p e r c e i v e , f o r e x a m p l e , t h a t s t u d e n t B 3 d i d n o t h a v e a n o p e r a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f a g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l o r p r o c e d u r e t o b e g i n w o r k i n g o n t h e v e r b a l p r o b l e m s . H e s e l d o m w a s a b l e t o b e g i n w o r k o n a p r o b l e m , a n d h i s a c t i o n s w e r e m o s t l y r a n d o m a n d m i s g u i d e d , i n d i c a t i n g n o t h o u g h t o f a p r e d e s i g n e d p l a n . S t u d e n t s A 1 a n d C 2 b o t h b e g a n w r i t t e n w o r k o n t h e v e r b a l p r o b l e m s w i t h o u t a d e q u a t e r e f l e c t i o n u p o n t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t o r t h e d e v e l o p m e n t o f a n u n d e r s t a n d a b l e i m a g e o f t h e p r o b l e m s ' r e l a t i o n s h i p s . F r o m a n o b s e r v e r ' s s t a n d p o i n t , i t a p p e a r e d t h a t e a c h s t u d e n t i m m e d i a t e l y r e a l i z e d a r e l a t e d p r o b l e m t y p e , r e c a l l e d a p r e v i o u s l y d o n e m o d e l o f t h a t p r o b l e m t y p e , a n d b e g a n m a t c h i n g p r o b l e m i n f o r m a t i o n w i t h t h e r e c a l l e d m o d e l . 3 9 5 O t h e r s t u d e n t s , s u c h a s A 3 a n d B 2 c o n s i d e r e d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a s a k i n d o f t r i a l a n d e r r o r m a n i p u l a t i v e g a m e . T h e y u s u a l l y f o l l o w e d t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i n a t t e m p t i n g t o w r i t e o u t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s , b u t l a c k e d p r a c t i c a l s k i l l s f o r h o w t h e s e ‘ t w o p r o c e s s e s w e r e t o b e a c c o m p l i s h e d , a s e v i d e n c e d b y ' t h e i r l o w e r s c o r e s f o r t h e s e t w o p h a s e s . T h e y g e n e r a l l y : r e s o r t e d t o t r y i n g v a r i o u s r a n d o m a n d i l l o g i c a l ( c o m b i n a t i o n s u n t i l t h e y s e e m e d t o " l o o k " c o r r e c t o r w o r k e d ‘ t o g i v e a n a n s w e r , a n y a n s w e r . S t u d e n t A 2 w a s t h e i a n a l y z e r o f t h i s g r o u p o f s t u d e n t s , a b l e t o t r a n s l a t e . j s o l a t e d p h r a s e s o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i n t o v a r i a b l e < d e f i n i t i o n s q u i t e s u c c e s s f u l l y . H o w e v e r t h e t r a n s l a t i o n ‘ t e c h n i q u e s h e h a d d e v e l o p e d w e r e l e s s u s e f u l f o r e q u a t i o n : f o r m u l a t i o n s w h e r e a r e l a t i o n a l s y n t h e s i s w a s m o r e n e c e s s a r y . T h e i n t e r v i e w s e s s i o n s a l s o s e r v e d t o h i g h l i g h t s m a l l « d e t a i l s o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n b e t t e r s t u d e n t s . S t u d e n t s C 1 a n d C 3 d e m o n s t r a t e d a n e x c e l l e n t a b i l i t y t o p e r f o r m a l l r e l a t e d p r o c e s s e s r e q u i r e d w i t h i n a g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g p r o c e d u r e , w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f e x p l i c i t l y c h e c k i n g o r l o o k i n g b a c k . T h e y w e r e a l s o a b l e t o r e c o g n i z e w h e n d e r i v e d a n s w e r s w e r e p r o b a b l y i n e r r o r b a s e d o n a p p e a r a n c e s a n d t e s t s o f r e a s o n a b l e n e s s . T h e y w e r e h o w e v e r l e s s f l e x i b l e i n t h e i r a b i l i t y t o r e p a i r e r r o r s . T h e y g e n e r a l l y f a i l e d t o l o c a t e t h e s o u r c e o f 3 9 6 t h e i r e r r o r s d e s p i t e e x t e n s i v e b a c k t r a c k i n g a n d r e v i e w o f t h e i r w o r k s a m p l e s . I n m o s t c a s e s t h e y w o u l d g i v e u p t h e s e a r c h i n g p r o c e s s a f t e r a s h o r t t i m e , r e r e a d t h e p r o b l e m a n d b e g i n a w h o l e n e w s o l u t i o n p r o c e s s . F o r C 1 j p a r t i c u l a r l y , i f t h e d e r i v e d a n s w e r t o a p r o b l e m w a s n o t ( d e e m e d c o r r e c t o n h i s f i r s t a t t e m p t , h e p r e f e r r e d t o j u s t m o v e o n t o t h e n e x t v e r b a l p r o b l e m a n y w a y . S t u d e n t B 1 , o n t h e o t h e r h a n d , k n e w t h a t t i m e w o u l d : n o t b e a c o n s t r a i n t f o r h e r i n t e r v i e w s e s s i o n , a n d w a s « d e t e r m i n e d a t t h e o u t s e t t o c o r r e c t l y s o l v e a l l s i x v e r b a l p r o b l e m s . T h i s p e r s e v e r a n c e w a s n e c e s s a r y s i n c e f o u r o f I h e r s i x i n i t i a l s o l u t i o n a t t e m p t s e n d e d i n e r r o r . T w o o f ‘ t h e s e e r r o r s w o u l d h a v e e s c a p e d n o t i c e h a d s h e n o t c h e c k e d I h e r s o l u t i o n s w i t h t h e p r o b l e m s t a t e m e n t s . I n a n y c a s e , ‘ w h e r e s o l u t i o n s w e r e d e r i v e d , s h e m e t h o d i c a l l y c h e c k e d h e r s o l u t i o n s w i t h t h e p r o b l e m s t a t e m e n t s . I n r e p a i r i n g . I e c o g n i z e d e r r o r s , s h e w o u l d r e r e a d a n d p o n d e r t h e p r o b l e m s t a t e m e n t f o r 1 5 o r m o r e s e c o n d s , a n d t h e n r e v i e w e a c h p r o c e s s s t e p f r o m t h e t o p o f t h e p r e v i o u s l y c o m p l e t e d ‘ w o r k , c h e c k i n g i t s l o g i c a l c o r r e c t n e s s . O b v i o u s l y t h e s e r e p a i r s t r a t e g i e s e v e n t u a l l y r e s u l t e d i n c o r r e c t a n s w e r s f o r a l l v e r b a l p r o b l e m s . W h i l e h e r p r o c e s s s k i l l s m a y n o t h a v e b e e n a s w e l l d e v e l o p e d a s s o m e o f t h e o t h e r s t u d e n t s i n t e r v i e w e d , h e r p e r s e v e r a n c e , c o n f i d e n c e a n d c h e c k i n g / r e p a i r s k i l l s c o m p e n s a t e d f o r t h e w e a k n e s s e s i n a b i l i t y o f w h i c h s h e a p p e a r e d c o m p l e t e l y a w a r e . 3 9 7 T h e i n t e r v i e w s e s s i o n s t h e n w e r e o f p r a c t i c a l v a l u e f o r d i a g n o s i n g s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g w e a k n e s s e s o f a v e r a g e o r b e l o w a v e r a g e p e r f o r m i n g s t u d e n t s , a n d a l s o i n h i g h l i g h t i n g c e r t a i n m e t a c o g n i t i v e a s p e c t s o f b e t t e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e . I n C h a p t e r V I I ( S u m m a r y a n d C o n c l u s i o n s ) , t h e i n v e s t i g a t o r w i l l d e t a i l a c o n j e c t u r e d m o d e l o f f i v e l e v e l s o f s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e , a n d r e l a t e d s t u d e n t c h a r a c t e r i s t i c s f o r e a c h l e v e l o f p e r f o r m a n c e . T h e i n t e r v i e w d a t a p r o v i d e s t h e p r i m a r y b a s i s f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f t h i s m o d e l . C H A P T E R V I I C o n c l u s i o n s / R e c o m m e n d a t i o n s / D i r e c t i o n s T h e t h r e e p r e v i o u s c h a p t e r s d i s c u s s e d t h e i n d i v i d u a l r e s u l t s r e l a t e d t o e a c h o f t h e t h r e e a s p e c t s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n : i n s t r u c t i o n a l p a t t e r n s o f t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s , t e a c h e r v e r b a l s u g g e s t i o n p a t t e r n s , a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e p a t t e r n s . T h i s c h a p t e r r e l a t e s t h e s e t h r e e a s p e c t s a n d p r o v i d e s a n s w e r s t o t h e e i g h t h y p o t h e s e s g e n e r a t e d f o r t h e s t u d y i n C h a p t e r I . T h e e i g h t h y p o t h e s e s a r e g r o u p e d a c c o r d i n g t o s i m i l a r i t y o f h y p o t h e s i s f o c u s i n t o f i v e m a j o r s u b d i v i s i o n s f o r t h i s d i s c u s s i o n . T h e f i v e m a j o r s u b d i v i s i o n s a r e : G e n e r a l P r o b l e m S o l v i n g M o d e l I n s t r u c t i o n a n d I n c o r p o r a t i o n ( h y p o t h e s e s 1 , 4 , a n d 7 ) , T e x t b o o k I n f l u e n c e o n T e a c h e r s ' I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s ( h y p o t h e s i s 2 ) , T e a c h e r C h a r a c t e r i s t i c s ’ I n f l u e n c e o n I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s ( h y p o t h e s i s 3 ) , T e a c h e r v e r b a l S u g g e s t i o n s ' I n f l u e n c e o n S t u d e n t A t t e n t i o n a n d P e r f o r m a n c e ( h y p o t h e s e s 5 a n d 6 ) , a n d G e n e r a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e C h a r a c t e r i s t i c s ( h y p o t h e s i s 8 ) . I n e a c h o f t h e f i v e s u b d i v i s i o n s , t h e i n v e s t i g a t o r r e s t a t e s t h e r e l e v a n t h y p o t h e s i s o r h y p o t h e s e s , s u m m a r i z e s t h e r e l a t e d f i n d i n g s o f t h e s t u d y , f o r m u l a t e s c o n c l u s i o n s 3 9 8 3 9 9 b a s e d o n t h e f i n d i n g s , a n d n o t e s r e c o m m e n d a t i o n s b a s e d o n t h e f o r m u l a t e d c o n c l u s i o n s . T h e l a s t s e c t i o n o f t h e c h a p t e r d i s c u s s e s d i r e c t i o n s f o r f u t u r e r e s e a r c h e f f o r t s . G e n e r a l P r o b l e m S o l v i n g M o d e l I n s t r u c t i o n a n d I n c o r p o r a t i o n A t t h e o u t s e t o f t h e s t u d y , t h e i n v e s t i g a t o r a s s u m e d t h a t a m a j o r o b j e c t i v e o f t e x t b o o k a n d t e a c h e r i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w a s s t u d e n t l e a r n i n g a n d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , d e s i g n e d t o a s s i s t s t u d e n t s i n s o l v i n g a n y a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m . H e n c e t h r e e o f t h e e i g h t h y p o t h e s e s o f t h e s t u d y r e l a t e d t o s u c h i n s t r u c t i o n a n d s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n / u s a g e o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l . T h e t h r e e h y p o t h e s e s r e l a t e d t o a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l w e r e : H y p o t h e s i s 1 : T h e i n c l u s i o n a n d r e i n f o r c e m e n t o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , s u c h a s P o l y a ' s o r a t e x t b o o k v e r s i o n , w i t h i n a t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n i m p r o v e s s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . H y p o t h e s i s 4 : C o n t i n u a l t e a c h e r r e f e r e n c e t o t h e g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , v i a t e a c h e r s u g g e s t i v e c o m m e n t s a n d / o r m o d e l i n g w i t h i n i n s t r u c t i o n o f d i v e r s e v e r b a l p r o b l e m t y p e s i s n e c e s s a r y f o r s t u d e n t s t o i n c o r p o r a t e , g e n e r a l i z e , e m p l o y a n d r e t a i n t h e g e n e r a l m o d e l w h e n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . H y p o t h e s i s 7 : I n a t t a c k i n g a n d s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , a h i g h p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s w i l l d e m o n s t r a t e a n a w a r e n e s s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w i t h i n t h e i r c o m p l e t e d w o r k s a m p l e s o n v a r i e d v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . 4 0 0 F i n d i n g s T h e t h r e e t e x t b o o k s o f t h e s t u d y e a c h c o n t a i n e d e x p l i c i t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l c o m p o s e d o f s p e c i f i c s t e p s t o f o l l o w w h e n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . T h e s e s t e p s i n t h e t e x t b o o k s ' m o d e l s c l o s e l y r e s e m b l e d t h e s t e p s o f P o l y a ' s m o d e l a n d i n v e s t i g a t o r e x p e c t a t i o n s r e g a r d i n g c o n s t r u c t i o n a n d s e q u e n c e , i n t h a t t h e y a l l c o n t a i n e d s t e p s r e l a t e d t o r e a d i n g a n d u n d e r s t a n d i n g p r o b l e m e l e m e n t s ( a s s u m e d i n t e x t b o o k A ) , t o d e v i s i n g a p l a n w h i c h i n c l u d e d f o r m u l a t i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d a n e q u a t i o n , t o c a r r y i n g o u t t h e p l a n b y s o l v i n g t h e f o r m u l a t e d e q u a t i o n , a n d t o l o o k i n g b a c k b y i n t e r p r e t i n g a n d c h e c k i n g t h e e q u a t i o n ' s s o l u t i o n . D e s p i t e t h e p r e s e n c e o f t h e s e c o m m o n a l i t i e s w i t h i n e a c h t e x t b o o k ' s t r e a t m e n t o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t e x t b o o k s ' m o d e l s w e r e n o t e d a l o n g t h r e e d i m e n s i o n s , d e g r e e o f d e t a i l , c o n s i s t e n c y o f p o r t r a y a l , a n d i n t r o d u c t o r y p l a c e m e n t l . O p p o s e d t o t e x t b o o k A a n d B ' s s k e l e t a l f o u r a n d f i v e s t e p g e n e r a l p r o c e d u r e s , t e x t b o o k C ' s g e n e r a l p r o c e d u r e i n c l u d e d t w o a d d i t i o n a l s t e p s , o n e r e l a t e d t o l o c a t i n g a w o r d s e n t e n c e s u g g e s t i v e o f a n e q u a t i o n p r i o r t o a n y w r i t t e n f o r m u l a t i o n s , a n d a s e p a r a t e i n t e r p r e t i v e s t e p i n w h i c h c o n c l u s i o n s a r e d r a w n f r o m t h e e q u a t i o n ' s s o l u t i o n b e f o r e t h e f o r m a l c h e c k i n g s t e p . I n b o t h t e x t b o o k s A a n d B , t h e i n t e r p r e t i v e s t e p i s s u b s u m e d u n d e r t h e c h e c k i n g s t e p . 4 0 1 T h e l o c a t i n g o f a p r o b l e m s e n t e n c e s u g g e s t i v e o f a n e q u a t i o n w a s n o t e x p l i c i t l y t r e a t e d i n t e x t b o o k B , w h e r e a s t e x t b o o k A h a d s e v e r a l v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s i n w h i c h s t u d e n t s w e r e t r a i n e d t o l o c a t e a n d i d e n t i f y c o n d i t i o n s w i t h i n t h e s e n t e n c e s o f a p r o b l e m s t a t e m e n t w h i c h r e l a t e d t o v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n r e s p e c t i v e l y . S u c h e x p l i c i t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a p p e a r e d t o a s s u m e t h a t s u c h a n a b i l i t y t o i d e n t i f y c o n d i t i o n s i s a s e p a r a t e t o o l s k i l l a p a r t f r o m t h e s t e p s o f a g e n e r a l m o d e l , a n d f u r t h e r a s s u m e d t h a t s t u d e n t s w i l l i n c o r p o r a t e t h i s t o o l s k i l l d u r i n g t h e i r i n i t i a l r e a d i n g a n d u n d e r s t a n d i n g o f a v e r b a l p r o b l e m . P o s s i b l y b e c a u s e t h e i r g e n e r a l p r o c e d u r e s w e r e s h o r t e r , t e x t b o o k s A a n d B c o n s i s t e n t l y l a b e l e d n u m e r i c a l l y e a c h s t e p o r a c t i o n w i t h i n s o l v e d e x a m p l e p r o b l e m s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s t e p s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . I n i t s s o l v e d e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , t e x t b o o k C r e f r a i n e d f r o m m a k i n g s u c h n u m e r i c a l c o r r e s p o n d e n c e s , b u t r a t h e r c o n c e n t r a t e d i t s e x p l a n a t i o n o n t h e s t e p s o f i t s g e n e r a l p r o c e d u r e w h i c h r e q u i r e d s t u d e n t s ’ w r i t t e n a c t i o n s . B o t h t e x t b o o k s B a n d C w e r e h i g h l y c o n s i s t e n t i n t h e i r p o r t r a y a l a n d r e i n f o r c e m e n t o f a s i n g l e , g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l i n a l l e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s , w h e r e a s t e x t b o o k A i n t r o d u c e d m o d i f i e d a n d s p e c i f i c p r o c e d u r e s ( b o x e d a n d h i g h l i g h t e d i n r e d ) w i t h i n e v e r y n e w v e r b a l 4 0 2 p r o b l e m c h a p t e r s e c t i o n . A l i c e ' s d e l i v e r e d i n s t r u c t i o n a v o i d e d a n y r e f e r e n c e t o t h e s e h i g h l i g h t e d t e x t b o o k p r o c e d u r e s , b u t r a t h e r f o c u s e d s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n o n t h e a p p r o p r i a t e n e s s a n d a p p l i c a b i l i t y o f a s i n g l e , f o u r s t e p g e n e r a l p r o c e d u r e , s i n c e s h e b e l i e v e d s u c h h i g h l i g h t e d p r o c e d u r e s l e a d t o g r e a t e r s t u d e n t c o n f u s i o n . T e x t b o o k s A a n d C i n t r o d u c e d t h e i r r e s p e c t i v e g e n e r a l p r o c e d u r e s f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s o n c e i t w a s c l e a r t h a t s t u d e n t s w e r e a b o u t t o b e g i n m o r e f o r m a l a n d r e g u l a r i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . O n t h e o t h e r h a n d , t e x t b o o k B i n t r o d u c e d i t s g e n e r a l p r o c e d u r e e a r l y i n t h e s c h o o l y e a r ( f i r s t c h a p t e r ) a n d s t u d e n t s a l s o i m m e d i a t e l y p r a c t i c e d t h e m o d e l w i t h o n e s e t o f s i m p l e t r a n s l a t i o n v e r b a l p r o b l e m s . T h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s t h e n r e g u l a r l y r e i n f o r c e d i n s u b s e q u e n t v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s a n d s e t s a s t h e y o c c u r r e d i n t h e t e x t b o o k ' s o r g a n i z a t i o n . T w o o f t h e t h r e e h y p o t h e s e s ( 4 a n d 7 ) r e q u i r e d t h e i n v e s t i g a t o r t o e s t a b l i s h c r i t e r i a f o r w h a t c o n s t i t u t e d s t u d e n t a w a r e n e s s a n d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l o n t h e b a s i s o f t h e r e v i e w o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s . S i n c e t h e f i r s t w r i t t e n s t e p i n a l l t h r e e t e x t b o o k s ' g e n e r a l p r o c e d u r e s w a s d e f i n i n g v a r i a b l e s , t h e i n v e s t i g a t o r c o n c l u d e d t h a t a s t u d e n t h a d d e m o n s t r a t e d a w a r e n e s s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i f a s t u d e n t ’ s r e v i e w e d w o r k s a m p l e f o r a v e r b a l p r o b l e m i n c l u d e d a n a t t e m p t t o d e f i n e v a r i a b l e s ( c o r r e c t l y o r i n c o r r e c t l y ) f o r t h a t 4 0 3 v e r b a l p r o b l e m . U s i n g t h i s c r i t e r i a f o r s t u d e n t a w a r e n e s s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , i t w a s a s i m p l e m a t t e r t o e s t a b l i s h t h a t a s t u d e n t d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i f t h e s t u d e n t d e m o n s t r a t e d a w a r e n e s s f o r a m a j o r i t y o f t h e v e r b a l p r o b l e m s o f a n i n s t r u m e n t ' s s e t ( 5 o f 9 f o r t h e p o s t t e s t i n s t r u m e n t a n d 4 o f 7 f o r t h e r e t e n t i o n i n s t r u m e n t ) . U s i n g t h e s e e s t a b l i s h e d c r i t e r i a , t h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s ( p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t ) s u p p o r t t h e h y p o t h e s i s t h a t a h i g h p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d a w a r e n e s s a n d i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w i t h i n t h e i r w o r k s a m p l e s o l u t i o n s . F o r t h e p o s t t e s t , 8 3 . 5 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s ( 5 6 o f 6 7 s t u d e n t s ) d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , a n d 7 3 p e r c e n t o f a l l r e v i e w e d w o r k s a m p l e s i n d i c a t e d s t u d e n t a t t e m p t s t o d e f i n e v a r i a b l e s . T h e c o r r e s p o n d i n g f i g u r e s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t w e r e s o m e w h a t l o w e r , 6 8 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s ( 4 5 o f 6 6 s t u d e n t s ) d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n a n d 6 0 p e r c e n t o f r e v i e w e d w o r k s a m p l e s i n d i c a t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n a t t e m p t s . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t a b o u t 1 5 p e r c e n t o f t h e s t u d e n t s h a d f o r g o t t e n t h e g e n e r a l p r o c e d u r e d u r i n g t h e i n t e r v e n i n g t e n w e e k t i m e s p a n , d u r i n g w h i c h t h e g e n e r a l p r o c e d u r e h a d n o t b e e n p r a c t i c e d w i t h i n t h e i r c l a s s e s . T h e r e w e r e h o w e v e r d i f f e r e n c e s i n t h e d e g r e e o f s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n a n d a w a r e n e s s b e t w e e n t h e t h r e e 4 0 4 c l a s s e s o f t h e s t u d y . F o r t h e p o s t t e s t , a l l 1 8 o f A l i c e ' s s t u d e n t s a n d 2 1 o f C a r l ’ s 2 2 s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , w h e r e a s o n l y 1 7 o f B e t t y ’ s 2 7 s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d s u c h i n c o r p o r a t i o n . P r o p o r t i o n s o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s o l u t i o n s i n d i c a t i n g s t u d e n t a w a r e n e s s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w e r e 8 7 p e r c e n t f o r C a r l ' s s t u d e n t s , 7 9 p e r c e n t f o r A l i c e ' s s t u d e n t s , a n d 5 6 p e r c e n t f o r B e t t y ' s s t u d e n t s . F o r t h e r e t e n t i o n t e s t , a l l 1 8 o f A l i c e ’ s s t u d e n t s a g a i n d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e i n t h e i r w o r k s a m p l e s , a n d s o m e w h a t s u r p r i s i n g l y d e m o n s t r a t e d i n c r e a s e d a w a r e n e s s , a s 8 4 p e r c e n t o f t h e i r w o r k s a m p l e s o l u t i o n s i n c l u d e d a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , 1 5 o f C a r l ' s 2 2 s t u d e n t s a n d 1 2 o f B e t t y ' s 2 6 s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n o n t h e r e t e n t i o n t e s t , a n d 5 6 p e r c e n t a n d 4 7 p e r c e n t r e s p e c t i v e l y o f s t u d e n t w o r k s a m p l e s i n c l u d e d a t t e m p t e d v a r i a b l e d e f i n i t i o n s . A n a p p a r e n t l a c k o f s t u d e n t e f f o r t a n d p e r s e v e r a n c e , a s c o m p a r e d w i t h p o s t t e s t e f f o r t , i n c o m p l e t i n g t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t o n t h e d a y o f t e s t a d m i n i s t r a t i o n a p p e a r e d p a r t l y r e s p o n s i b l e f o r t h e r a t h e r l a r g e p e r c e n t a g e d r o p s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t i n b o t h c a t e g o r i e s ( i n c o r p o r a t i o n a n d a w a r e n e s s ) f o r C a r l ' s c l a s s . O t h e r a s p e c t s o f C a r l ' s i n s t r u c t i o n a n d t h e d e s i g n o f h i s e m p l o y e d t e x t b o o k ( d i s c u s s e d l a t e r i n t h i s s e c t i o n ) m a y h a v e a l s o r e s u l t e d 4 0 5 i n h i s s t u d e n t s ' p o o r e r r e t e n t i o n t e s t p e r f o r m a n c e . T h e s t u d y ’ s m e t h o d o f s c o r i n g s t u d e n t w o r k s a m p l e s o f v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s , b a s e d o n t h e d e g r e e o f c o m p l e t e n e s s a n d c o r r e c t n e s s o f t h e f i v e p h a s e s o f a g e n e r a l p r o c e d u r a l m o d e l , f a v o r e d s t u d e n t s w h o d e m o n s t r a t e d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n a n d p e n a l i z e d s t u d e n t s w h o f a i l e d t o d e m o n s t r a t e s u c h i n c o r p o r a t i o n . S t u d e n t s w h o u s e d a l t e r n a t e p r o c e d u r e s a n d y e t d e r i v e d c o r r e c t s o l u t i o n s w i t h o u t s u p p o r t i n g w o r k w e r e o n l y a w a r d e d o n e p o i n t f o r e a c h c o r r e c t s o l u t i o n . O n e o f B e t t y ' s s t u d e n t s c o r r e c t l y d e r i v e d s o l u t i o n s f o r f o u r o f t h e n i n e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e p o s t t e s t u s i n g a g u e s s a n d c h e c k s t r a t e g y , t h o u g h t h i s w a s r a t h e r e x c e p t i o n a l f o r t h i s g r o u p o f s t u d e n t s . E x c l u d i n g t h i s o n e s t u d e n t , n o o t h e r s t u d e n t w h o f a i l e d t o d e m o n s t r a t e g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n , a n d h e n c e t e n d e d t o r e l y o n a l t e r n a t e p r o c e d u r e s , c o r r e c t l y s o l v e d m o r e t h a n t w o v e r b a l p r o b l e m s o n e i t h e r t e s t i n s t r u m e n t . O n e m i g h t p r e d i c t t h a t b e c a u s e m o r e o f B e t t y ’ s s t u d e n t s u s e d a l t e r n a t e p r o c e d u r e s t h a n d i d t h e s t u d e n t s o f t h e o t h e r t w o c l a s s e s t h a t m o s t c o r r e c t l y d e r i v e d s o l u t i o n s r e s u l t i n g f r o m a l t e r n a t e p r o c e d u r e s w e r e a c c o m p l i s h e d b y B e t t y ' s s t u d e n t s . H o w e v e r t h e a c t u a l r e s u l t s c o n t r a d i c t e d t h i s e x p e c t a t i o n i n t h a t C a r l ' s c l a s s h a d t h e g r e a t e s t n u m b e r o f s u c h a l t e r n a t e p r o c e d u r e , c o r r e c t s o l u t i o n s , 2 0 , f o l l o w e d b y . A l i c e ’ s c l a s s w i t h 1 5 s u c h s o l u t i o n s , a n d B e t t y ' s c l a s s w i t h 1 3 4 0 6 s u c h s o l u t i o n s . T h i s f i n d i n g s e e m e d t o i n d i c a t e t h a t s t u d e n t s w h o h a v e b e e n m o r e s u c c e s s f u l a t l e a r n i n g t o i n c o r p o r a t e t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i n t o t h e i r v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n p l a n s w e r e a l s o m o r e l i k e l y t o b e s u c c e s s f u l i n t h e i r a t t e m p t s t o d e r i v e s o l u t i o n s u s i n g a l t e r n a t e p r o c e d u r e s , t h a n w e r e s t u d e n t s w h o h a d f a i l e d t o a c c o m p l i s h s u c h g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n . T h e r e w e r e a l s o c e r t a i n v e r b a l p r o b l e m t y p e s f o r ‘ w h i c h s t u d e n t s u s i n g a l t e r n a t e p r o c e d u r e s t e n d e d t o h a v e b e t t e r s u c c e s s r a t e s i n d e r i v i n g s o l u t i o n s . F o r i n s t a n c e f r o m t h e p o s t t e s t r e s u l t s , e i g h t s u c h s t u d e n t s d e r i v e d a c o r r e c t s o l u t i o n f o r t h e c o n s e c u t i v e i n t e g e r p r o b l e m t y p e , a n d f o r t h e r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s , s e v e n s t u d e n t s a n d t e n s t u d e n t s d e r i v e d c o r r e c t s o l u t i o n s f o r t h e a g e r e l a t e d p r o b l e m a n d t h e c o i n / m o n e y p r o b l e m t y p e s r e s p e c t i v e l y , u s i n g a l t e r n a t e p r o c e d u r e s . O n e c a n n o t h o w e v e r c o n c l u d e f r o m t h e s t u d y ' s f i n d i n g s t h a t s t u d e n t s ’ d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e a l o n e i n s u r e d i m p r o v e d v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e o v e r t h o s e s t u d e n t s f o r w h o m s u c h i n c o r p o r a t i o n d i d n o t o c c u r . T h i s w a s m o s t a p p a r e n t w h e n o n e e x a m i n e d t h e b o t t o m h a l f ( l o w e r 5 0 p e r c e n t ) o f s t u d e n t s c o r e s f o r t h e p o s t t e s t a n d t h e r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s f o r B e t t y ' s c l a s s a n d t h e r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s f o r C a r l ' s c l a s s . I n a l l t h r e e c a s e s , a l m o s t e q u a l n u m b e r s o f s t u d e n t s ' s c o r e s w e r e n o t e d w h o d e m o n s t r a t e d g e n e r a l 4 0 7 p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n a s t h o s e w h o d i d n o t d e m o n s t r a t e i n c o r p o r a t i o n , t h o u g h t h e m e a n s c o r e s f o r t h e i n c o r p o r a t i o n s u b g r o u p w a s h i g h e r i n a l l t h r e e c a s e s . A d d i t i o n a l l y i n A l i c e ’ s c l a s s w h e r e a l l 1 8 s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n o n b o t h t e s t i n g i n s t r u m e n t s , t h e r a n g e o f s t u d e n t s c o r e s w a s l e s s t h a n t h a t o f t h e o t h e r t w o c l a s s e s i n d i c a t i n g t h a t s u c h i n c o r p o r a t i o n t e n d e d t o e q u a l i z e s t u d e n t a b i l i t y t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s . I t i s a l s o r e c o g n i z e d h o w e v e r t h a t A l i c e ' s c l a s s h a d t h e f e w e s t n u m b e r o f s t u d e n t s o f t h e s t u d y ' s t h r e e c l a s s e s , a n d t h i s m a y a l s o a c c o u n t s o m e w h a t f o r t h e l o w e r r a n g e o f s c o r e s o n b o t h t e s t i n g i n s t r u m e n t s . A t t h e o u t s e t o f t h e s t u d y , t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t w o f a c t o r s , t e a c h e r s ’ v e r b a l s u g g e s t i o n s a n d t e a c h e r s ’ m o d e l i n g ( s e e H y p o t h e s i s 4 ) w e r e t h e t w o p r i m a r y d e t e r m i n i n g f a c t o r s w h i c h e f f e c t e d t h e d e g r e e o f s t u d e n t a w a r e n e s s a n d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . T h e s t u d y ' s f i n d i n g s i n d i c a t e d t h a t a t l e a s t t w o o t h e r f a c t o r s , e x t e n t o f s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e a n d l e v e l o f s t u d e n t a t t e n t i v e n e s s d u r i n g t e a c h e r h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s n e e d i n c l u s i o n . B o t h a d d e d f a c t o r s a r e m o r e s t u d e n t c o n t r o l l e d t h a n t e a c h e r c o n t r o l l e d , t h o u g h t e a c h e r s , t h r o u g h t h e i r e x p e c t a t i o n s a n d c l a s s r o o m m a n a g e m e n t p r a c t i c e s c a n e x e r t i n f l u e n c e o n t h e s e f a c t o r s . B a s e d o n t h e c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r , 4 0 8 t h e i n v e s t i g a t o r ’ s f i n d i n g s r e l a t e d t o t h e r e l a t i v e i n f l u e n c e o f t h e s e f o u r f a c t o r s a r e d i s c u s s e d i n c o m p a r i n g t h e t h r e e c l a s s r o o m s o f t h e s t u d y . I n t e r m s o f v e r b a l s u g g e s t i o n s d i r e c t e d t o w a r d s e n c o u r a g i n g t h e u s e o f a g e n e r a l p r o c e d u r e , b o t h B e t t y a n d A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n i n c l u d e d a g r e a t e r q u a n t i t y ( 9 a n d 7 v e r b a l s u g g e s t i o n s r e s p e c t i v e l y ) , a n d a l s o a m o r e e x t e n d e d r e i n f o r c i n g t r e a t m e n t t h a n d i d C a r l ’ s t h r e e v e r b a l s u g g e s t i o n s a l l g i v e n t h e s a m e d a y i n w h i c h C a r l i n t r o d u c e d t h e g e n e r a l p r o c e d u r e t o h i s s t u d e n t s . I n v e s t i g a t o r r a t i n g o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s d o n e a l o n g t w o d i m e n s i o n s , q u a n t i t y o f s u c h m o d e l i n g a n d t h e q u a l i t a t i v e c o n s i s t e n c y d e m o n s t r a t e d w i t h i n t e a c h e r p r e s e n t a t i o n s . C a r l ’ s i n s t r u c t i o n a l m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s b e s t a l o n g b o t h d i m e n s i o n s . T h e q u a n t i t y o f e x a m p l e s r e v i e w e d d a i l y i n h i s h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s f a r e x c e e d e d ( a b o u t 3 t i m e s a s m a n y ) t h a t o f t h e o t h e r t w o t e a c h e r s . H i s p r e s e n t a t i o n s c l e a r l y a n d c o n s i s t e n t l y e m p h a s i z e d t h e s t e p n a t u r e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , a n d h i s m o d e l i n g o f t e n i n c l u d e d d i s c u s s i o n o f r e l a t e d t h i n k i n g p r o c e s s e s s t u d e n t s s h o u l d p r a c t i c e i n a n a l y z i n g a n d u n d e r s t a n d i n g r e l a t i o n a l p r o p o s i t i o n s c o n t a i n e d i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . C a r l ' s i n s t r u c t i o n g e n e r a l l y i n c l u d e d s o m e n o n - t e x t b o o k e x a m p l e s a l o n g w i t h a l l t e x t b o o k p r o v i d e d e x a m p l e s , a n d t h i s t e n d e d 4 0 9 t o b r o a d e n s t u d e n t e x p o s u r e t o m o r e v a r i e d v e r b a l p r o b l e m c o n t e x t s o f t h e c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s a n d r e s u l t e d i n g r e a t e r s t u d e n t i n t e r e s t a n d p a r t i c i p a t i o n w i t h i n h i s i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s . A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s b o t h h i g h l y c o n s i s t e n t a n d e x p l i c i t i n i t s r e i n f o r c e m e n t o f t h e s t e p n a t u r e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , t h o u g h h e r m o d e l i n g w a s s e l d o m r e m o v e d f r o m t h e t e x t b o o k p r o v i d e d v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s o r e x e r c i s e s . T h e q u a n t i t y o f e x a m p l e s m o d e l e d d a i l y g e n e r a l l y i n c l u d e d t h e r e v i e w o f t w o o r t h r e e p r o b l e m s o f t h e p r e v i o u s d a y ' s a s s i g n m e n t , a n d t h e m o d e l i n g o f o n e o r t w o e x a m p l e p r o b l e m s d u r i n g t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t . G e n e r a l l y B e t t y d a i l y m o d e l e d t w o v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t a n d t h e o n e p r o v i d e d t e x t b o o k e x a m p l e o r s a m p l e o f a v e r b a l p r o b l e m s e t d u r i n g t h e l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t . S h e a l s o m a d e e x p l i c i t r e f e r e n c e t o t h e s t e p s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e a s s h e m o d e l e d e a c h v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n . B e t t y ' s i n s t r u c t i o n a l m o d e l i n g w a s t h e l e a s t , b o t h i n t e r m s o f q u a n t i t y a n d q u a l i t y , t h o u g h s t i l l i t a p p e a r e d t o b e p o t e n t i a l l y a d e q u a t e . T e a c h e r s e x e r t s o m e c o n t r o l o v e r t h e e x t e n t o f s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , b o t h b y t h e q u a n t i t y o f v e r b a l p r o b l e m s t h e y a s s i g n a n d b y t h e i r e x p e c t a t i o n s r e g a r d i n g s t u d e n t e f f o r t t o w a r d s c o m p l e t i n g . . _ . - _ — — . . _ - . _ ' . . . . . ‘ _ g . . _ _ - 4 1 0 t h e s e a s s i g n m e n t s . T h e e x t e n t o f s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i n A l i c e ' s c l a s s e x c e e d e d t h a t o f t h e o t h e r t w o t e a c h e r s . I n a d d i t i o n t o f o u r a s s i g n m e n t s o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s t a k e n f r o m s u p p l e m e n t a r y c o u r s e m a t e r i a l s , A l i c e a s s i g n e d o v e r 9 0 p e r c e n t o f a l l v e r b a l p r o b l e m s c o n t a i n e d i n t h e t e x t b o o k . S h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o d a i l y a t t e m p t c o m p l e t i o n o f t h e s e a s s i g n m e n t s a n d d a i l y p r o v i d e d c l a s s t i m e f o r s t u d e n t s t o b e g i n t h e s e a s s i g n m e n t s , t h e r e b y i n s u r i n g t h a t a l l a s s i g n m e n t s w e r e c a p a b l e o f c o m p l e t i o n w i t h i n r e a s o n a b l e t i m e f r a m e s . I t a p p e a r e d t o t h e i n v e s t i g a t o r t h a t A l i c e ' s e x p e c t a t i o n s w e r e g e n e r a l l y a c c o m p l i s h e d b y h e r s t u d e n t s , i n t h a t a l l s t u d e n t s g e n e r a l l y d e r i v e d s o l u t i o n s f o r a t l e a s t 7 5 p e r c e n t o f a l l v e r b a l p r o b l e m s i n e v e r y d a i l y a s s i g n m e n t . C a r l ’ s d a i l y v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s g e n e r a l l y r e p r e s e n t e d 5 0 p e r c e n t o f a l l t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s . H e s e l e c t e d t h e a s s i g n e d p r o b l e m s f r o m a v e r b a l p r o b l e m s e t c a r e f u l l y h o w e v e r , s o t h a t t h e y r e p r e s e n t e d a d i v e r s i t y o f c o n t e x t s a n d v a r i a b l e d e m a n d s o n s t u d e n t t h i n k i n g a n d p r o c e s s i n g . H o m e w o r k a s s i g n m e n t s w e r e o f m a n a g e a b l e l e n g t h , c o m p o s e d o f l e s s t h a n t e n p r o b l e m s , a n d d e p e n d e n t o n s t u d e n t s ’ a b i l i t i e s w e r e g e n e r a l l y c a p a b l e o f a t t e m p t e d c o m p l e t i o n i n l e s s t h a n o n e h o u r ' s t i m e . A l l C a r l ' s s t u d e n t s a p p e a r e d t o h a v e a t t e m p t e d s o l u t i o n s f o r a l l v e r b a l p r o b l e m s a s s i g n e d d a i l y , a n d C a r l k e p t h i s s t u d e n t s a c c o u n t a b l e f o r t h i s 4 1 1 e x p e c t e d d a i l y e f f o r t i n c o m p l e t i n g h o m e w o r k a s s i g n m e n t s b y r e c o r d i n g g r a d e s f o r h o m e w o r k s c o r e s a t u n a n n o u n c e d p o i n t s d u r i n g t h e s e m e s t e r a n d c o l l e c t i n g s t u d e n t s ' h o m e w o r k p e r i o d i c a l l y . B e t t y ' s d a i l y v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s s i m i l a r l y r e p r e s e n t e d 5 0 p e r c e n t o f a l l t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s . Y e t b a s e d u p o n t h e i n v e s t i g a t o r ' s c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s o f s t u d e n t s ’ a s s i g n m e n t s a n d B e t t y ’ s c o m m e n t s t o h e r s t u d e n t s a n d t h e i n v e s t i g a t o r , t h e c o m p o s i t i o n a n d l e n g t h o f h e r d a i l y a s s i g n m e n t s g e n e r a l l y r e s u l t e d i n a m a j o r i t y o f s t u d e n t s n o t e v e n a t t e m p t i n g s o l u t i o n o f t h e a s s i g n e d v e r b a l p r o b l e m s . M o s t o f t h e c o r e c o n t e n t ' s v e r b a l p r o b l e m s e t s w i t h i n B e t t y ' s t e x t b o o k f o l l o w e d i n s t r u c t i o n a l c h a p t e r s e c t i o n s w h i c h w e r e f o c u s e d o n e q u a t i o n s o l v i n g m a n i p u l a t i o n s k i l l s . I n s u c h c a s e s , t h e f o l l o w i n g v e r b a l p r o b l e m s e t ' s p u r p o s e w a s t o h a v e s t u d e n t s p r a c t i c e a n d a p p l y t h e n e w l y i n t r o d u c e d e q u a t i o n s o l v i n g s k i l l s i n a v e r b a l p r o b l e m s e t t i n g . S i n c e B e t t y a p p e a r e d u n w i l l i n g t o d e v i a t e f r o m h e r i n s t r u c t i o n a l p a c i n g p a t t e r n o f c o v e r i n g a p p r o x i m a t e l y o n e c h a p t e r s e c t i o n p e r d a y , h e r d a i l y h o m e w o r k a s s i g n m e n t s g e n e r a l l y i n c l u d e d b o t h p r a c t i c e o f t h e r e l e v a n t m a n i p u l a t i o n s k i l l s o f a c h a p t e r s e c t i o n a n d a l s o a s a m p l i n g o f t h e v e r b a l p r o b l e m s e t w h i c h f o l l o w e d w i t h i n a c h a p t e r s e c t i o n . T h e r e s u l t i n g l e n g t h o f s u c h a s s i g n m e n t s a p p e a r e d t o b e b e y o n d t h e t i m e l i m i t s w h i c h m o s t s t u d e n t s w e r e w i l l i n g t o c o m m i t 4 1 2 d a i l y t o a l g e b r a , a n d a p p e a r e d t o r e s u l t i n a p a t t e r n e d h a b i t , i n w h i c h a m a j o r i t y o f s t u d e n t s n e g l e c t e d t o a t t e m p t t h e v e r b a l p r o b l e m p o r t i o n o f t h e a s s i g n m e n t , a n d y e t d i d a t t e m p t t o c o m p l e t e t h e m a n i p u l a t i o n p o r t i o n o f t h e a s s i g n m e n t . T h i s s t u d e n t h a b i t w a s s o m e w h a t r e i n f o r c e d b y B e t t y ' s o w n d i s l i k e o f v e r b a l p r o b l e m s a n d l o w e x p e c t a t i o n s f o r h e r s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o s u c c e s s f u l l y c o m p r e h e n d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , a n d a l s o b y a l a c k o f a n y t e a c h i n g p r a c t i c e s , a t l e a s t i n i t i a l l y , d e s i g n e d t o h o l d s t u d e n t s a c c o u n t a b l e f o r a t t e m p t i n g c o m p l e t i o n o f v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . N o t u n t i l w e l l i n t o t h e s e m e s t e r w h e n s h e b e g a n d a i l y c h e c k i n g f o r h o m e w o r k c o m p l e t i o n d i d s h e a p p e a r a w a r e t h a t h e r s t u d e n t s h a d d e v e l o p e d t h i s h a b i t o f n e g l e c t i n g c o m p l e t i o n o f v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . A d d i t i o n a l l y , h e r s t u d e n t s s e e m e d t o r e a l i z e t h a t B e t t y ’ s t e s t a n d q u i z d e s i g n s c o n t a i n e d o n l y a s m a l l n u m b e r o f v e r b a l p r o b l e m s , a n d h e n c e t h e i r i n a b i l i t y t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s w o u l d n o t h a v e a n y s u b s t a n t i a l i m p a c t o n t h e i r g r a d e f o r t h e c o u r s e . B e t t y ’ s a w a r e n e s s o f t h e p r o b l e m a n d h e r i n i t i a t i n g a t t e m p t s a t r e m e d i a t i n g t h i s s t u d e n t h a b i t o f n e g l e c t i n g v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s m a y h a v e c o m e t o o l a t e i n t h e c o u r s e t o i m p r o v e s o m e s t u d e n t s ' a w a r e n e s s a n d i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . T h e p o s t t e s t r e s u l t s f o r B e t t y ' s c l a s s s u p p o r t t h e i n v e s t i g a t o r ' s o b s e r v a t i o n s d e s c r i b e d a b o v e . F o u r v e r b a l 4 1 3 p r o b l e m t y p e s , s i m p l e t r a n s l a t i o n , i n t e g e r , g e o m e t r i c a n d a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s w e r e t r e a t e d a s a p p l i c a t i o n s w i t h i n t e x t b o o k m a n i p u l a t i o n s e c t i o n s . F o r a l l f o u r o f t h e s e p r o b l e m t y p e s , B e t t y ' s c l a s s p e r f o r m a n c e w a s s i g n i f i c a n t l y l o w e r t h a n w a s t h e p e r f o r m a n c e f o r t h e o t h e r t w o c l a s s e s . O n t h e o t h e r h a n d , d i s t a n c e / r a t e / t i m e a n d c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e s r e c e i v e d s e p a r a t e c h a p t e r s e c t i o n t r e a t m e n t i n B e t t y ' s t e x t b o o k , a n d t h e r e s u l t s f o r B e t t y ’ s c l a s s f o r t h e s e p r o b l e m t y p e s w e r e m o r e s i m i l a r t o t h e r e s u l t s f o r t h e o t h e r t w o c l a s s e s . B o t h . A l i c e a n d C a r l e x p e c t e d a n d r e c e i v e d r a t h e r c o m p l e t e s t u d e n t a t t e n t i o n d u r i n g t h e i r d a i l y i n s t r u c t i o n , m o d e l i n g a n d r e v i e w o f e x a m p l e s a n d e x e r c i s e s . F o r A l i c e ’ s c l a s s , t h i s s t u d e n t a t t e n t i o n w a s p r i m a r i l y a p a s s i v e a t t e n t i v e n e s s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f s t u d e n t s a c t i v e i n t h e w r i t i n g u p o n t h e c h a l k b o a r d o f t h e i r v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t . A m a j o r i t y o f C a r l ' s s t u d e n t s r e m a i n e d m o r e a c t i v e l y a t t e n t i v e , a n d o f t e n h i g h l y p a r t i c i p a t o r y d u r i n g a l l i n s t r u c t i o n a l l e s s o n s e g m e n t s . O n t h e o t h e r h a n d , B e t t y ' s i n s t r u c t i o n , m o d e l i n g a n d r e v i e w o f v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s a n d e x a m p l e s f a i l e d t o m o t i v a t e a m a j o r i t y o f s t u d e n t s t o e v e n l i s t e n a t t e n t i v e l y , a n d s a d l y b u t n o t s u r p r i s i n g l y , t h e n o n a t t e n t i v e s t u d e n t s t e n d e d t o b e t h e s a m e o n e s w h o h a d n o t a t t e m p t e d c o m p l e t i o n o f t h e p r e v i o u s d a y ' s v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t . I n e f f e c t t h e 4 1 4 n o n a t t e n t i v e n e s s o f t h i s g r o u p o f s t u d e n t s p r e v e n t e d t h e m f r o m m a k i n g a n y p r o g r e s s o r i m p r o v e m e n t r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t o r f o r t h e l e a r n i n g a n d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e . T h e f a c t t h a t 1 5 o f B e t t y ' s 2 7 s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n o n t h e p o s t t e s t a t t e s t e d t o t h e f a c t t h a t B e t t y ’ s u s a g e o f v e r b a l s u g g e s t i o n s a n d h e r i n s t r u c t i o n a l m o d e l i n g r e l a t e d t o t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s a d e q u a t e f o r t h e s e s t u d e n t s . T h e s e 1 5 s t u d e n t s w e r e a l s o m o r e l i k e l y t o b e a t t e n t i v e d u r i n g B e t t y ' s i n s t r u c t i o n a n d h a d a d e q u a t e l y p r a c t i c e d t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o m p l e t i n g t h e a s s i g n e d v e r b a l p r o b l e m s . T h e f a c t t h a t t h e 1 2 s t u d e n t s w h o d e m o n s t r a t e d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n o n t h e r e t e n t i o n t e s t w e r e a s u b s e t o f t h e 1 5 s t u d e n t s d e m o n s t r a t i n g i n c o r p o r a t i o n o n t h e p o s t t e s t a d d s f u r t h e r c r e d e n c e t o t h e a r g u m e n t t h a t B e t t y ’ s a d j u s t m e n t s t o i m p r o v e s t u d e n t a c c o u n t a b i l i t y h a d m i n i m a l i m p a c t , o r c a m e t o o l a t e i n t h e c o u r s e t o e f f e c t s t u d e n t l e a r n i n g a n d i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . T h e r e t e n t i o n r a t e , 1 2 o f 1 5 s t u d e n t s o r 8 0 p e r c e n t , w a s q u i t e h i g h a n d p r o v i d e s a d d i t i o n a l e v i d e n c e t h a t B e t t y ' s i n i t i a l i n s t r u c t i o n a n d m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s s u f f i c i e n t f o r t h i s g r o u p o f s t u d e n t s w h o d e m o n s t r a t e d p e r s o n a l e f f o r t a n d d a i l y a t t e n t i v e n e s s t o B e t t y ' s i n s t r u c t i o n . A t t e m p t i n g t o i d e n t i f y w h i c h o f t h e f o u r f a c t o r s 4 1 5 a c c o u n t e d f o r t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n A l i c e a n d C a r l ' s s t u d e n t s ' i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e f o r t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s i s m o r e d i f f i c u l t . I n b o t h c l a s s e s , a l l s t u d e n t s w e r e m o t i v a t e d t o b e a t t e n t i v e d u r i n g c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n a n d t o a t t e m p t c o m p l e t i o n o f v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . S t u d e n t s i n b o t h c l a s s e s g e n e r a l l y a c c e p t e d t h e s e r e s p o n s i b i l i t i e s w i t h o u t m u c h t e a c h e r e n c o u r a g e m e n t o r t h r e a t . T h e f a c t t h a t C a r l ' s s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d g r e a t e r a w a r e n e s s a n d u s a g e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e t h a n A l i c e ' s s t u d e n t s w i t h i n t h e i r s o l u t i o n s o n t h e p o s t t e s t s u g g e s t e d t h a t m o r e e x t e n s i v e t e a c h e r m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e c o m b i n e d w i t h a g r e a t e r q u a n t i t y a n d v a r i e t y o f c o n t e x t u a l e x a m p l e s l e a d t o g r e a t e r s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , a t l e a s t f o r t h i s a c q u i s i t i o n p h a s e o f l e a r n i n g . I n e f f e c t C a r l ’ s b e t t e r i n s t r u c t i o n a l m o d e l i n g a p p e a r e d t o c o m p e n s a t e f o r t h e f e w e r e x p l i c i t v e r b a l s u g g e s t i o n s h e e m p l o y e d a n d t h e l e s s e x t e n s i v e p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s h i s s t u d e n t s e x p e r i e n c e d . A l i c e ’ s g r e a t e r u s a g e o f v e r b a l r e m i n d e r s r e l a t e d t o t h e g e n e r a l p r o c e d u r e a n d t h e g r e a t e r e x t e n t o f s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s d u r i n g t h e a c q u i s i t i o n p h a s e i n h e r c l a s s a p p e a r e d t o e x p l a i n t h e b e t t e r r e t e n t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e b y h e r s t u d e n t s , t h o u g h t h e s e p a r a t i o n o f e a c h f a c t o r ' s e f f e c t w a s n o t p o s s i b l e f r o m t h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s . I t w o u l d s e e m m o r e 4 1 6 l o g i c a l h o w e v e r , t h a t t h e b e t t e r r e t e n t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s d u e t o g r e a t e r s t u d e n t p r a c t i c e i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . A n a l t e r n a t e , y e t p o s s i b l e , e x p l a n a t i o n f o r t h e d i f f e r i n g d e g r e e o f g e n e r a l p r o c e d u r e u s a g e f o r . A l i c e a n d C a r l ' s c l a s s e s o n t h e t w o i n s t r u m e n t s , r e l a t e d t o t h e a c t u a l v e r b a l p r o b l e m s u s e d i n e a c h i n s t r u m e n t ' s d e s i g n . T h e n i n e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e p o s t t e s t w e r e d e s i g n e d b y t h e i n v e s t i g a t o r a n d t h e c o n t e x t s i t u a t i o n f o r t w o o f t h e s e v e r b a l p r o b l e m s w a s p o s e d d i f f e r e n t l y f r o m t h o s e e n c o u n t e r e d w i t h i n t e x t b o o k e x e r c i s e s . T h e r e w e r e o n l y s m a l l d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e s e t w o i t e m s , s l i g h t l y f a v o r i n g C a r l ' s s t u d e n t s o v e r A l i c e ' s s t u d e n t s , a n d C a r l ' s i n c l u s i o n o f e x a m p l e s d e m o n s t r a t i n g g r e a t e r c o n t e x t d i v e r s i t y w i t h i n h i s i n s t r u c t i o n m a y h a v e a c c o u n t e d f o r t h e s e m i n o r d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t s ' p o s t t e s t p e r f o r m a n c e . T h e s e v e n v e r b a l p r o b l e m s o f t h e r e t e n t i o n t e s t h o w e v e r w e r e d r a w n f r o m t h e s t u d y ' s t h r e e t e x t b o o k s . A l i c e ' s s t u d e n t s p e r f o r m e d b e t t e r a n d d e m o n s t r a t e d g r e a t e r r e t e n t i o n o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e o n t h i s i n s t r u m e n t , p o s s i b l y b e c a u s e A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n a n d m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e t r i e d t o d e v e l o p c l e a r l y s e p a r a b l e s c h e m a f o r e a c h t e x t b o o k p r o b l e m t y p e b a s e d o n t h e c o n t e x t u a l s e t t i n g s o f t h e v a r i o u s p r o b l e m t y p e s , a n d s t u d e n t s p r a c t i c e d s u c h t e x t b o o k p r o b l e m t y p e s m o r e e x t e n s i v e l y . 4 1 7 C o n c l u s i o n s 1 . A l l t h r e e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n c o n t a i n e d s u f f i c i e n t t r e a t m e n t a n d r e i n f o r c e m e n t o f a t e x t b o o k ’ s g e n e r a l p r o c e d u r e f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s t o l e a d t h e i n v e s t i g a t o r t o c o n c l u d e t h a t e a c h t e a c h e r c o n s i d e r e d s t u d e n t i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e a n i m p o r t a n t o b j e c t i v e o f t h e i r v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . A d d i t i o n a l l y e a c h t e a c h e r c o n s i s t e n t l y u t i l i z e d a g e n e r a l p r o c e d u r e a s a g u i d i n g f r a m e w o r k f o r t h e i r d i s c u s s i o n s o f s o l u t i o n s t o v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s a n d e x e r c i s e s . I t i s p r o b a b l e t h a t a g e n e r a l p r o c e d u r e w i l l b e c o m e a p a r t o f s t u d e n t s ' w o r k i n g r e p e r t o i r e f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , i f s t u d e n t s d e m o n s t r a t e r e a s o n a b l e a t t e n t i v e n e s s t o t e a c h e r s ’ v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a n d f o l l o w t h e r e c e p t i o n o f t h i s i n s t r u c t i o n w i t h a r e a s o n a b l e e f f o r t a i m e d a t c o m p l e t i n g t e a c h e r a s s i g n e d v e r b a l p r o b l e m s e t s . G e n e r a l p r o c e d u r e r e t e n t i o n h o w e v e r i s m o r e d e p e n d e n t o n b o t h t h e e x t e n t o f s t u d e n t p r a c t i c e a n d t h e d e g r e e o f s t u d e n t e f f o r t a n d a t t e n t i o n p u t f o r t h d u r i n g t h e i n i t i a l l e a r n i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . O f t h e t h r e e t e a c h e r s o f t h e s t u d y , A l i c e ' s i n s t r u c t i o n w a s t h e o n e m o s t s p e c i f i c a l l y 5 . 4 1 8 t a r g e t e d t o w a r d t h i s o b j e c t i v e , a n d a l l h e r s t u d e n t s d e m o n s t r a t e d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n a t b o t h t e s t i n g p o i n t s . T e a c h i n g f a c t o r s w h i c h i n f l u e n c e d A l i c e ' s s u c c e s s i n c l u d e d h e r c o n s t a n t a n d e x p l i c i t r e m i n d e r s t o i n d i v i d u a l s t u d e n t s t o a l w a y s s h o w a l l s t e p s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w i t h i n t h e i r w r i t t e n v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s , a d e q u a t e q u a n t i t y a n d e x c e l l e n t c o n s i s t e n c y o f t e a c h e r m o d e l i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , a n d p r o v i s i o n f o r e x t e n s i v e s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . C a r l ' s d a i l y i n s t r u c t i o n a l p a c e a n d a s s i g n m e n t p a t t e r n s f o r v e r b a l p r o b l e m s e t s w e r e p r o b a b l y m o r e t y p i c a l o f m o s t A l g e b r a I t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n t h a n w a s A l i c e ' s p a t t e r n o f a s s i g n i n g n e a r l y a l l t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s o f a s e t o v e r a t w o d a y p e r i o d . C a r l ' s c a r e f u l s e l e c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s f o r h o m e w o r k a s s i g n m e n t s a n d h i s m o r e e x t e n s i v e m o d e l i n g o f a g e n e r a l p r o c e d u r e i n s o l v i n g b o t h t e x t b o o k a n d n o n t e x t b o o k e x a m p l e s s o m e w h a t c o m p e n s a t e d f o r l e s s s t u d e n t p r a c t i c e i n h i s c l a s s , a n d s t i l l r e s u l t e d i n a h i g h d e g r e e o f s t u d e n t d e m o n s t r a t e d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e . A l a r g e n u m b e r o f B e t t y ' s s t u d e n t s f a i l e d t o a c c o m p l i s h g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n , a n d 4 1 9 r e a s o n s f o r t h i s f a i l u r e w e r e i n l a r g e p a r t d u e t o t h e s e s t u d e n t s o p e r a t i n g a t l o w l e v e l s o f a t t e n t i v e n e s s a n d e f f o r t d u r i n g B e t t y ' s i n i t i a l v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n w h e n t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w a s i n t r o d u c e d a n d r e i n f o r c e d w i t h p r a c t i c e e x e r c i s e s . B e t t y a p p e a r e d u n a w a r e t h a t t h e s e s t u d e n t s w e r e f a i l i n g t o p r a c t i c e t h e p r o c e d u r e w i t h i n t h e i r a s s i g n m e n t s a n d w e r e n o t c o m p r e h e n d i n g t h e c o n c e p t o f a g e n e r a l p r o c e d u r e d u r i n g t h e s e i n i t i a l p h a s e s o f i n s t r u c t i o n . O n c e s h e b e c a m e a w a r e o f t h e s e s t u d e n t s ’ p r e d i c a m e n t , h e r t e a c h i n g a d j u s t m e n t s f o c u s e d o n l y o n m a k i n g s t u d e n t s a c c o u n t a b l e f o r c o m p l e t i n g h e r v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s , a n d d i d n o t a t t e m p t t o r e m e d i a t e s t u d e n t c o m p r e h e n s i o n d i f f i c u l t i e s r e l a t e d t o a g e n e r a l p r o c e d u r e . S t u d e n t s a d j u s t e d t o t h e s e n e w t e a c h e r d e m a n d s b y c o n t i n u i n g t o l e a v e s u c h e x e r c i s e s l a r g e l y i n c o m p l e t e , o r c o p y i n g o t h e r s t u d e n t s ' s o l u t i o n s ( g i v i n g u p p e r s o n a l r e s p o n s i b i l i t y i n a s e n s e ) , o r r e s o r t i n g t o n o n a l g e b r a i c s t r a t e g i e s w h i c h w e r e l e s s l i k e l y t o b e s u c c e s s f u l a s t h e l e v e l o f p r o b l e m d i f f i c u l t y i n c r e a s e d d u r i n g t h e c o u r s e . 4 2 0 R e c o m m e n d a t i o n s 1 . A l g e b r a I t e a c h e r s ' i n i t i a l v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n i s c r u c i a l i n i t s e f f e c t s f o r s t u d e n t l e a r n i n g a n d i n c o r p o r a t i o n o f a g e n e r a l p r o c e d u r e . I n i t i a l i n s t r u c t i o n s h o u l d s t r e s s a g e n e r a l p r o c e d u r e ' s i m p o r t a n c e a s a p l a n n i n g s t r u c t u r e o r g u i d i n g f r a m e w o r k t o f O l l O W ' i n s o l v i n g m o s t v e r b a l p r o b l e m s . A d d i t i o n a l l y , t e a c h e r s n e e d t o s i m p l i f y t h e t e x t b o o k p r o v i d e d p r o c e d u r e i n t o i t s c e n t r a l , w r i t t e n a l g e b r a i c c o m p o n e n t s t o f a c i l i t a t e s t u d e n t e n c o d i n g a n d l a t e r i t s r e c a l l w i t h r e g a r d s t o i t s f o r m a n d s e q u e n c e , a n d a l s o s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f i t s i n c l u s i o n a n d r e l a t i o n s h i p t o o t h e r l e a r n e d a l g e b r a s k i l l s . D u r i n g t h i s i n i t i a l p h a s e o f v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n , t e a c h e r s a r e p r i m a r i l y s h a p i n g s t u d e n t b e h a v i o r t o c o n f o r m t o t h e s t e p b y s t e p p r o c e s s i n g o f a g e n e r a l p r o c e d u r e , a n d s h o u l d r e a l i z e t h a t t h i s m a y b e t h e f i r s t s u c h o c c a s i o n f o r s o m e s t u d e n t s w h e r e a m a t h e m a t i c s t e a c h e r h a s e x p r e s s e d i n t e r e s t a n d c o n c e r n f o r t h e e n t i r e s o l u t i o n p r o c e s s r a t h e r t h a n j u s t t h e a n s w e r t o a v e r b a l p r o b l e m . T e a c h e r s s h o u l d g e n t l y e n c o u r a g e s t u d e n t s a n d c a r e f u l l y m o n i t o r s t u d e n t s ' p r o g r e s s t o i n s u r e t h a t s t u d e n t s s h o w a l l n e c e s s a r y 4 2 1 w r i t t e n w o r k f o r e a c h s t e p o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , e v e n f o r t h e s i m p l e s t o f v e r b a l p r o b l e m s , a n d a r e e x p e r i e n c i n g s o m e s u c c e s s i n a p p l y i n g a n d f o l l o w i n g t h e s t e p s o f a g e n e r a l p r o c e d u r e . B e t t y w a s t h e l e a s t e f f e c t i v e t e a c h e r i n c a r r y i n g o u t t h e s e t w o t e a c h i n g f u n c t i o n s d u r i n g t h i s i n i t i a l p h a s e , a n d t h e r e s u l t s f o r h e r c l a s s c l e a r l y d e m o n s t r a t e d t h e i r r e s p e c t i v e i m p o r t a n c e . O n c e t h i s i n i t i a l p h a s e o f i n s t r u c t i o n h a s s u c c e s s f u l l y l a i d t h e g r o u n d w o r k f o r f u t u r e v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a n d g e n e r a l p r o c e d u r e i n c o r p o r a t i o n , t e a c h e r s h a v e s e v e r a l a v a i l a b l e o p t i o n s f o r s o l i d i f y i n g a n d r e i n f o r c i n g l e a r n i n g r e l a t e d t o a g e n e r a l p r o c e d u r e . . A t e a c h e r , s u c h a s A l i c e , w h o s t r o n g l y b e l i e v e s i n t h e p o w e r o f s t u d e n t p r a c t i c e f o r s t u d e n t l e a r n i n g a n d i n c o r p o r a t i o n , a n d w h o a p p e a r s t o p r e f e r o n e t o o n e d i a g n o s t i c - r e m e d i a t i o n t e a c h i n g r a t h e r t h a n w h o l e c l a s s i n s t r u c t i o n s h o u l d p r o v i d e g r e a t e r s t u d e n t o p p o r t u n i t i e s f o r p r a c t i c e , a n d a d d i t i o n a l l y s e t a s i d e b l o c k s o f c l a s s t i m e d a i l y f o r s t u d e n t s t o b e g i n t h e s e a s s i g n m e n t s w h e r e t h e t e a c h e r o r c l a s s a i d e c a n a s s i s t s t u d e n t s i n d i v i d u a l l y i n t h e i r p r o c e s s i n g a t t e m p t s . S o m e t e a c h e r e x p l a n a t i o n a n d c o n s i s t e n t m o d e l i n g o f 4 2 2 t h e g e n e r a l p r o c e d u r e i s s t i l l r e q u i r e d f o r e a c h n e w v e r b a l p r o b l e m t y p e e n c o u n t e r e d , s o t h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d t h e c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s e m p l o y e d i n e a c h v e r b a l p r o b l e m s e t , a n d a l s o a r e a w a r e o f t e a c h e r e x p e c t a t i o n s f o r t h e c o n t e n t s o f t h e i r w r i t t e n s o l u t i o n f o r m u l a t i o n s . M o r e t e a c h e r s p r o b a b l y s h a r e C a r l ' s b e l i e f t h a t s t u d e n t v e r b a l p r o b l e m l e a r n i n g i s e n h a n c e d i n a w h o l e c l a s s i n s t r u c t i o n a l f o r m a t . I n t h i s c a s e , t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n s h o u l d h i g h l i g h t ( m u c h a s C a r l ' s i n s t r u c t i o n d i d ) a g e n e r a l p r o c e d u r e b y p r o v i d i n g e x p l i c i t a n d e x t e n s i v e d e m o n s t r a t i o n o f i t s u s e f u l n e s s i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s a n d e x e r c i s e s , i n w h i c h s t u d e n t s c o m e t o k n o w t e a c h e r e x p e c t a t i o n s , a n d w h i c h a l s o e n c o u r a g e s g r e a t e r s t u d e n t i n t e r a c t i o n a n d p a r t i c i p a t i o n i n t h e p r o c e s s . T e a c h e r s s h o u l d e x h i b i t c a r e i n t h e i r s e l e c t i o n o f t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s f o r s t u d e n t h o m e w o r k a s s i g n m e n t s , a n d a l s o c o n t r o l t h e l e n g t h o f t h e s e a s s i g n m e n t s s o t h a t s t u d e n t s c a n c o m p l e t e t h e m i n a r e a s o n a b l e p e r i o d o f t i m e . B e t t y ' s p r a c t i c e o f c o m b i n i n g b o t h m a n i p u l a t i o n a n d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s o f a c h a p t e r s e c t i o n i n t o a s i n g l e a n d o f t e n l e n g t h y h o m e w o r k a s s i g n m e n t r e s u l t e d i n g e n e r a l l y d i m i n i s h e d 4 2 3 s t u d e n t e f f o r t a n d e v e n s o m e i n d i f f e r e n c e t o c o m p l e t i n g t h e v e r b a l p r o b l e m p o r t i o n o f t h e a s s i g n m e n t s . H e n c e i t i s s u g g e s t e d t h a t t e a c h e r s e m u l a t e t h e p r a c t i c e s o f t h e t w o o t h e r t e a c h e r s o f t h e s t u d y w h o s t r u c t u r e d t h e l e n g t h a n d v a r i a b i l i t y o f t h e i r a s s i g n m e n t s m o r e r e a s o n a b l y , p o s s i b l y b a s e d o n t h e i r g r e a t e r e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h i s l e v e l o f s t u d e n t , a n d w h o a l s o a v o i d e d m i x i n g m a n i p u l a t i o n a n d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s i n t h e s a m e a s s i g n m e n t . I n f l u e n c e s o f T e x t b o o k o n T e a c h e r s ' I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s T e x t b o o k s s e r v e d i s t i n c t f u n c t i o n s f o r t h e t w o p a r t i c i p a n t s ( t e a c h e r a n d s t u d e n t ) o f a n A l g e b r a I c l a s s r o o m . F o r s t u d e n t s , t e x t b o o k s a r e p o t e n t i a l l y a s o u r c e f o r w r i t t e n e x p l a n a t i o n s , d e m o n s t r a t i o n s o f s a m p l e s o l u t i o n s , a n d p r a c t i c e e x e r c i s e s . F o r t h e t e a c h e r , t e x t b o o k s s e r v e a c e n t r a l r o l e , i n t h a t t h e y p r o v i d e a c o m p l e t e c o u r s e c a t a l o g o f c o n t e n t o b j e c t i v e s i n a n o r g a n i z e d f r a m e w o r k w h i c h t e a c h e r s u s e t o d e t e r m i n e t h e s e q u e n c e , p l a n n e d d e s i g n , a n d d e l i v e r e d f o r m o f t h e i r i n s t r u c t i o n . T h e s e c o n d h y p o t h e s i s f o r t h e s t u d y a d d r e s s e d t h e q u e s t i o n o f w h a t a s p e c t s o f t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e a r e m o s t i n f l u e n c e d b y e m p l o y e d t e x t b o o k s . 4 2 4 H y p o t h e s i s 2 : T h e e m p l o y e d t e x t b o o k h a s g r e a t i n f l u e n c e o n t e a c h e r i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t i n r e g a r d s t o s e q u e n c i n g , p l a n n i n g , l e s s o n d e v e l o p m e n t , a n d p r e s e n t a t i o n . F i n d i n g s B e t t y ' s s e q u e n c i n g o f c o n t e n t n e v e r o n c e d e v i a t e d f r o m t h e e m p l o y e d t e x t b o o k ' s s e q u e n c i n g , a s s h e d a i l y w o r k e d h e r w a y t h r o u g h t h e t e x t b o o k , s e c t i o n b y s e c t i o n , i n h e r i n s t r u c t i o n . S h e b e l i e v e d h e r t e x t b o o k c o n t a i n e d a d e q u a t e c o v e r a g e o f a l l c o n t e n t , a n d h e n c e n o s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s w e r e e v e r u s e d i n h e r c l a s s r o o m . S h e a l s o i n d i c a t e d o n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t t h a t i t w a s i m p o r t a n t t o h e r a n d h e r s t u d e n t s t h a t t h e y k n o w e x a c t l y w h e r e i n t h e t e x t b o o k t h e y w o u l d b e a t a n y p o i n t i n t i m e d u r i n g t h e s c h o o l y e a r . H e r r i g i d a d h e r e n c e t o t h e t e x t b o o k ' s c o n t e n t s e q u e n c i n g w a s o n e w a y t o i n s u r e s t u d e n t s k n e w s u c h i n f o r m a t i o n . S u c h c o n s i s t e n t s e q u e n c i n g a l s o h a d a d v a n t a g e s f o r t h e m a n a g e m e n t o f b o t h d a i l y a n d w e e k l y s t u d e n t a b s e n c e s w h i c h w e r e m o r e l i k e l y t o o c c u r i n B e t t y ' s l a r g e r c l a s s . I t w a s a l s o p o s s i b l e t h a t l e s s f a m i l i a r i t y w i t h t h e c o u r s e ' s t e x t b o o k , l e s s e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h i s c o u r s e , o r t h e e a s e o f p l a n n i n g w h i c h r e s u l t e d f r o m s u c h s e q u e n c i n g w e r e o t h e r r e a s o n s f o r B e t t y ' s d e c i s i o n t o s e q u e n c e h e r i n s t r u c t i o n e x a c t l y a c c o r d i n g t o t h a t s u g g e s t e d b y t h e t e x t b o o k . A l i c e a n d C a r l d i d d e v i a t e m o r e f r o m t h e t e x t b o o k ' s 4 2 5 s e q u e n c i n g t h a n d i d B e t t y , t h o u g h b o t h t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l s e q u e n c i n g p r i m a r i l y f o l l o w e d t h e s u g g e s t e d t e x t b o o k s e q u e n c e . C a r l o c c a s i o n a l l y b r o u g h t t o g e t h e r s e c t i o n s f r o m d i f f e r e n t c h a p t e r s t o f o r m u n i t s o f i n s t r u c t i o n w h i c h h a d a c o m m o n f o c u s , s u c h a s a l l e q u a t i o n s o l v i n g t e c h n i q u e s e c t i o n s . A l i c e ' s f e w r e o r g a n i z a t i o n s i n v o l v e d r e o r d e r i n g t h e s e c t i o n s o f a s i n g l e c h a p t e r , s o t h a t i n i t i a l l y a l l m a n i p u l a t i o n r e l a t e d s e c t i o n s w e r e t r e a t e d a n d t h e n w e r e f o l l o w e d b y t r e a t m e n t o f t h e c h a p t e r ' s v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s . B o t h A l i c e a n d C a r l a p p e a r e d m o r e a w a r e o f t h e i r r e s p e c t i v e t e x t b o o k s ' i n s t r u c t i o n a l a n d e x e r c i s e l i m i t a t i o n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . A l i c e u s e d a d i f f e r e n t s e t o f o l d e r t e x t b o o k s t o p r o v i d e s t u d e n t s w i t h a d d i t i o n a l p r a c t i c e o n t w o v e r b a l p r o b l e m t y p e s , a n d a l s o g r a d e d h e r s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e o n t h r e e i n s t r u m e n t s o f t e n v e r b a l p r o b l e m s e a c h t a k e n f r o m a d d i t i o n a l s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s . B e s i d e s C a r l ' s u s a g e o f n o n t e x t b o o k e x a m p l e s i n l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s w h i c h h e c r e a t e d , h e a l s o d e v e l o p e d a r e v i e w s h e e t o f 1 2 v e r b a l p r o b l e m s , t a k e n f r o m o l d t e s t s , c o m p o s e d o f m i x e d p r a c t i c e o f a l l s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s s i n c e h i s t e x t b o o k f a i l e d t o p r o v i d e s u c h m i x e d p r a c t i c e . T h e o r g a n i z a t i o n o f a t e x t b o o k a l s o e x e r t e d i n f l u e n c e o n t h e p a c e o r s p e e d o f i n s t r u c t i o n e a c h t e a c h e r d e c i d e d t o e m p l o y i n t h e i r c l a s s e s . T h e p a c e o f A l i c e ' s 4 2 6 i n s t r u c t i o n w a s t h e m o s t s t a b l e a n d c o n s i s t e n t o f t h e t h r e e t e a c h e r s . M o s t v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s i n A l i c e ' s t e x t b o o k w e r e o r g a n i z e d i n t o c h a p t e r s e c t i o n s . T h e s e v e r b a l p r o b l e m c h a p t e r s e c t i o n s w e r e c o v e r e d b y A l i c e o v e r a t w o d a y p e r i o d , a n d i n c l u d e d t w o s h o r t e x p l a n a t o r y l e c t u r e s , o n e e a c h d a y , t w o v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s , o d d n u m b e r e d e x e r c i s e s t h e f i r s t d a y a n d e v e n n u m b e r e d e x e r c i s e s t h e s e c o n d d a y , a n d t w o h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t s , o n e p e r a s s i g n m e n t . A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l p a c e t h e n g u a r a n t e e d a m i n i m u m o f t w o d a y ' s w o r t h o f c l a s s t i m e f o r f i v e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s o f t h e s t u d y . T h e o n e e x c e p t i o n , t h e c o i n / m o n e y p r o b l e m t y p e c a m e l a t e r i n A l i c e ' s t e x t b o o k , w i t h s y s t e m s o f l i n e a r e q u a t i o n s . A l i c e ' s s t u d e n t s p r a c t i c e d t h i s o n e v e r b a l p r o b l e m t y p e o n l y o n e d a y , i n w h i c h A l i c e r e v i e w e d t h e t w o e x a m p l e s a n d a s s i g n e d t e n p r o b l e m s f r o m a n o t h e r t e x t b o o k . A l i c e g e n e r a l l y c o v e r e d n o n v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s o f h e r t e x t b o o k i n o n e d a y , a n d h e r a b i l i t y t o a c c o m m o d a t e t h i s d o u b l e d o s a g e f o r v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s w a s a c c o u n t e d f o r b y h e r r a p i d c o v e r a g e o f t h e f i r s t t w o c h a p t e r s o f t h e t e x t b o o k , b a s e d o n h e r a s s u m p t i o n t h a t t h i s i n i t i a l c o u r s e c o n t e n t r e p r e s e n t e d a r e v i e w o f t h a t c o v e r e d i n t h e e i g h t h g r a d e p r o g r a m o f t h e s e s t u d e n t s . B e t t y ' s i n s t r u c t i o n a l p a c i n g w a s h i g h l y d e p e n d e n t o n h e r t e x t b o o k ’ s s e c t i o n a l o r g a n i z a t i o n , a n d e x h i b i t e d n o d i f f e r e n t i a t i o n b e t w e e n v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s a n d 4 2 7 m a n i p u l a t i o n o r i e n t e d s e c t i o n s . B e t t y a t t e m p t e d t o c o v e r o n e t e x t b o o k s e c t i o n o f c o n t e n t p e r d a y , r e g a r d l e s s o f i t s s i z e o r c o n t e n t . G e n e r a l l y f o u r t e x t b o o k s e c t i o n s p e r w e e k w e r e c o v e r e d , s i n c e u s u a l l y o n e d a y p e r w e e k t h e l e n g t h o f h e r h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t d i d n o t p e r m i t s u f f i c i e n t t i m e f o r l e s s o n d e v e l o p m e n t o f t h e n e x t s e c t i o n . H o w e v e r s t u d e n t s ' l a c k o f c o m p r e h e n s i o n o f c e r t a i n v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t n e v e r a p p e a r e d t o e f f e c t o r c h a n g e B e t t y ' s p a c e o f i n s t r u c t i o n . T h r e e o f t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s o f t h e s t u d y , a g e r e l a t e d , d i s t a n c e / r a t e / t i m e r e l a t e d , a n d c o i n / m o n e y p r o b l e m t y p e s , w e r e c o n t a i n e d i n s e p a r a t e s e c t i o n s o f t h e t e x t b o o k , a n d h e n c e r e c e i v e d t h e e q u i v a l e n t o f o n e d a y ’ s i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t . A s p a r t o f a m a n i p u l a t i o n t e x t b o o k s e c t i o n , t h e c o n s e c u t i v e i n t e g e r p r o b l e m t y p e r e c e i v e d l e s s t h a n 1 5 m i n u t e s i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t . W h i l e s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e o t h e r t w o v e r b a l p r o b l e m t y p e s w a s g r e a t e r t h a n o n e d a y , t h e p l a c e m e n t o f t h e s e e x e r c i s e s w a s d i v e r s e a n d r e c e i v e d l e s s e x p l i c i t a n d s t r u c t u r e d i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t b y e i t h e r B e t t y o r h e r t e x t b o o k . C a r l g e n e r a l l y p a c e d h i s i n s t r u c t i o n t o t r e a t o n e c o n t e n t s e c t i o n o f h i s t e x t b o o k e a c h d a y . H i s t e x t b o o k h a d t h e g r e a t e s t n u m b e r o f d i s t i n c t s e c t i o n s d e v o t e d t o v e r b a l p r o b l e m s a n d n e v e r c o m b i n e d v e r b a l p r o b l e m a p p l i c a t i o n s w i t h r e l a t e d m a n i p u l a t i o n s k i l l s i n t h e s a m e t e x t b o o k s e c t i o n . I n t w o o b s e r v e d c a s e s C a r l d i d c o m b i n e 4 2 8 t w o v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s i n t o o n e d a y ’ s i n s t r u c t i o n , w h e r e c o n s e c u t i v e t e x t b o o k s e c t i o n s i n v o l v e d o n l y m i n o r v a r i a t i o n o f a p p l i e d c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s . O n o n e o b s e r v e d d a y h e d i d n o t b e g i n a n e w s e c t i o n o f c o n t e n t w h e n i t b e c a m e a p p a r e n t d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t t h a t a m a j o r i t y o f s t u d e n t s h a d f a i l e d t o c o m p r e h e n d t h e p r e v i o u s d a y ' s a s s i g n m e n t a n d a d d i t i o n a l r e v i e w w a s n e c e s s a r y . C a r l e x h i b i t e d t h e m o s t f l e x i b i l i t y i n h i s d a i l y p a c i n g o f i n s t r u c t i o n , b a s e d i n l a r g e p a r t o n h o w s t u d e n t s w e r e p r o g r e s s i n g i n c o r r e c t l y c o m p l e t i n g a s s i g n m e n t s . A l i c e a l s o d e m o n s t r a t e d s u c h a w a r e n e s s o f s t u d e n t p r o g r e s s a n d f l e x i b l e p a c i n g , b u t t o a l e s s e r e x t e n t . T h e t e x t b o o k s e r v e d a s e a c h t e a c h e r ' s m a j o r r e s o u r c e f o r t h e i r w r i t t e n f o r m u l a t i o n o f l e s s o n p l a n s . T h e s e w e e k l y w r i t t e n p l a n s w e r e b r i e f a n d n o t e d t h e r e l e v a n t t e x t b o o k s e c t i o n , t h e m a j o r c o n c e p t s o r r e l a t i o n s h i p s d e v e l o p e d , a b r i e f n o t e o n t h e n u m b e r a n d t y p e o f t e x t b o o k e x a m p l e s p r e s e n t , a n d t h e i n t e n d e d a s s i g n m e n t f r o m t h e s e c t i o n ' s e x e r c i s e s e t . A s s i g n m e n t p a t t e r n s f o r B e t t y a n d A l i c e d e m o n s t r a t e d a m a z i n g c o n s i s t e n c y f r o m d a y t o d a y , l e a d i n g t h e i n v e s t i g a t o r t o c o n c l u d e t h a t n e i t h e r t e a c h e r c l o s e l y r e v i e w e d e x e r c i s e s e t s f o r p o t e n t i a l d i f f i c u l t i e s r e l a t e d t o v o c a b u l a r y o r d i f f e r i n g p r o b l e m c o n t e x t , a s C a r l ' s m o r e i r r e g u l a r s e l e c t i o n o f a s s i g n e d p r o b l e m s a n d h i s i n s t r u c t i o n o f d i f f i c u l t i e s a p p e a r e d t o i n d i c a t e . 4 2 9 C a r l ’ s l e s s o n p l a n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s a l s o i n c l u d e d r e f e r e n c e t o a r e a l w o r l d s i t u a t i o n h e i n t e n d e d t o i n t r o d u c e i n t h e d a y ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t w h i c h h e b e l i e v e d h a d g r e a t e r p o t e n t i a l t h a n t h e t e x t b o o k e x a m p l e s t o m o t i v a t e a n d i n t e r e s t h i s s t u d e n t s i n t h e c o n t e n t . T e x t b o o k s A a n d B ' s o c c a s i o n a l p l a c e m e n t o f b o t h m a n i p u l a t i o n s k i l l a n d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s t o g e t h e r i n t h e s a m e c h a p t e r s e c t i o n o f a t e x t b o o k h a d t h e p o t e n t i a l t o p r e s e n t p l a n n i n g d i f f i c u l t i e s f o r t h e s e t e a c h e r s . A l i c e s p l i t s u c h c h a p t e r s e c t i o n s i n t o t w o d a y s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t , o n e d a y f o r e a c h s k i l l f o c u s , a n d i n a s e n s e a l w a y s m a i n t a i n e d s e p a r a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t f r o m a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n c o n t e n t . O n t h e o t h e r h a n d , B e t t y a t t e m p t e d t o c o v e r t h e e n t i r e s e c t i o n i n o n e d a y , i n c l u d i n g c o v e r a g e o f e x a m p l e s f o r b o t h f o c u s e s , a n d m a d e a s i n g l e a n d g e n e r a l l y l o n g e r a s s i g n m e n t f o r t h e s e s e c t i o n s c o m p o s e d o f b o t h m a n i p u l a t i o n a n d v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s . E a c h t e a c h e r ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t f o r v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s b e g a n w i t h o n e o r t w o m i n u t e s d e v o t e d t o d i s c u s s i n g t h e c e n t r a l r e l a t i o n s h i p u s e d w i t h i n t h e a s s o c i a t e d v e r b a l p r o b l e m t y p e s o l u t i o n s ( f o r f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s ) . B e t t y s i m p l y r e s t a t e d t h e t e x t b o o k ’ s p r o v i d e d e x p l a n a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p a s t h e c l a s s r e a d a l o n g w i t h t h e i r t e x t b o o k s o p e n t o t h e r e q u e s t e d p a g e . C a r l a n d 4 3 0 A l i c e d e m o n s t r a t e d a n d b r i e f l y e x p l a i n e d t h e r e l a t i o n s h i p w i t h s t u d e n t s h a v i n g t h e i r t e x t b o o k s c l o s e d , t h o u g h g e n e r a l l y . A l i c e ' s e x p l a n a t i o n m o r e c l o s e l y r e s e m b l e d t h a t p r e s e n t e d b y t h e t e x t b o o k . I n b o t h t h e s e c l a s s e s , s t u d e n t a t t e n t i o n w a s d i r e c t e d t o t h e t e a c h e r , a n d n o t d i v i d e d b e t w e e n t e x t b o o k a n d t e a c h e r a s i n B e t t y ' s c l a s s . O n c e t h i s i n t r o d u c t i o n o f c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s w a s c o m p l e t e d , A l i c e t h e n d i r e c t e d s t u d e n t s t o o p e n t h e i r t e x t b o o k s t o t h e r e l e v a n t s e c t i o n , a n d t o r e a d t h e f i r s t p r o v i d e d s o l v e d e x a m p l e s i l e n t l y . W i t h m i n i m a l s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n , A l i c e t h e n m o d e l e d t h e l o g i c a l t h i n k i n g a n d p r o c e s s i n g s t e p s s h e w a n t e d h e r s t u d e n t s t o f o l l o w i n a s e c o n d r e a d i n g o f t h e e x a m p l e . I f m o r e t h a n o n e s o l v e d e x a m p l e w a s p r o v i d e d i n a s e c t i o n , t h e y w e r e c o v e r e d i n a s i m i l a r m a n n e r . O n c e t h i s p r o c e s s w a s c o m p l e t e d , A l i c e s e l e c t e d a n u n s o l v e d v e r b a l p r o b l e m f r o m t h e e x e r c i s e s e t f o r c l a s s d i s c u s s i o n a n d s o l u t i o n . S t u d e n t s s i l e n t l y r e a d t h e e x e r c i s e , a n d t h e n A l i c e g u i d e d t h e d i s c u s s i o n o f s e v e r a l s e l e c t e d s t u d e n t s , s e e k i n g c l a s s c o n s e n s u s f o r w h a t s h e w r o t e o f t h e s o l u t i o n p r o c e s s o n t h e c h a l k b o a r d . F o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e , A l i c e a s s i g n e d a n a d d i t i o n a l e x e r c i s e f r o m t h e s e t f o r w h i c h e a c h s t u d e n t a t t e m p t e d t h e s o l u t i o n p r o c e s s i n d i v i d u a l l y . A f t e r a d e q u a t e w a i t t i m e , A l i c e d e m o n s t r a t e d h o w s h e e x p e c t e d s t u d e n t s t o w r i t e t h e i r s o l u t i o n s , a n d r e i n f o r c e d t h e s t e p n a t u r e o f p r o c e s s i n g a n d t h i n k i n g s h e r e q u i r e d o f h e r s t u d e n t s . 4 3 1 C a r l ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s b o r e s o m e r e s e m b l a n c e t o A l i c e ’ s , b u t w e r e m o r e e x t e n s i v e a n d o r d e r e d d i f f e r e n t l y . C a r l m o v e d f r o m c l a s s d i s c u s s i o n o f t h e c e n t r a l r e l a t i o n s h i p , t o c l a s s d i s c u s s i o n a n d m u l t i p l e s t u d e n t p a r t i c i p a t i o n i n t h e s u g g e s t e d s o l u t i o n p r o c e s s e s r e l a t e d t o n o n t e x t b o o k e x a m p l e s c r e a t e d f r o m t h e p r o p o s e d , s i m u l a t e d s e t t i n g h e d e v e l o p e d . T h r e e o r f o u r s u c h e x a m p l e s w e r e t r e a t e d a t t h i s t i m e w i t h a c t i v e c l a s s p a r t i c i p a t i o n i n t h e d e r i v e d s o l u t i o n s . C a r l t h e n d i r e c t e d s t u d e n t s t o o p e n t h e i r t e x t b o o k s t o t h e r e l a t e d s e c t i o n , a n d h e e x p l i c i t l y r e v i e w e d t h e w r i t t e n s t e p s a n d t h e j u s t i f i c a t i o n f o r e a c h w r i t t e n t e x t b o o k a c t i o n f o r t h e t h r e e t o f i v e t e x t b o o k p r o v i d e d e x a m p l e s i n e a c h s e c t i o n . F o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e , o n e e x e r c i s e w a s s e l e c t e d f r o m t h e p r o b l e m s e t f o r s t u d e n t s t o d o i n d i v i d u a l l y . S t u d e n t s t h e n e x p l a i n e d t h e i r s o l u t i o n p r o c e s s f o r t h e e x e r c i s e , a n d C a r l r e c o r d e d t h e a s s o c i a t e d w r i t t e n a c t i o n s o n t h e o v e r h e a d a s t h e s t u d e n t d i r e c t e d h i m . O n c e a c o r r e c t s o l u t i o n w a s d e r i v e d i n t h i s w a y , C a r l t h e n e n c o u r a g e d s t u d e n t s w h o m a y h a v e u s e d a l t e r n a t e s o l u t i o n p a t h s ( c o r r e c t o r i n c o r r e c t ) t o s h a r e t h e i r p r o c e s s e s w i t h t h e c l a s s . C a r l a n d t h e c l a s s t h e n a n a l y z e d t h e s e a l t e r n a t e m e t h o d s f o r t h e i r r e l a t i v e e f f i c i e n c y i f t h e m e t h o d l e d t o c o r r e c t s o l u t i o n s , o r f o r l o g i c a l w e a k n e s s e s i f t h e m e t h o d l e d t o a n i n c o r r e c t r e s u l t . T h e i n v e s t i g a t o r s e n s e d t h a t t h e s e d i s c u s s i o n s c o n c l u d e d w i t h m o s t s t u d e n t s s h a r i n g a 4 3 2 c o m m o n p e r s p e c t i v e f o r h o w t o e f f i c i e n t l y a n d c o r r e c t l y p r o c e e d w i t h t h e d a y ' s v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t . B e t t y ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s f o l l o w e d e x a c t l y t h e t e x t b o o k p r o v i d e d e x p l a n a t i o n o f a s e c t i o n . S h e o r s t u d e n t s r e a d a l l t e x t b o o k m a t e r i a l a n d t h e p r o b l e m s t a t e m e n t s f o r p r o v i d e d e x a m p l e s . B e t t y e n c o u r a g e d , t h r o u g h q u e s t i o n s d i r e c t e d t o i n d i v i d u a l s t u d e n t s , a s s i s t a n c e i n t h e s o l u t i o n p r o c e s s f o r e x a m p l e s a s s h e d e m o n s t r a t e d t h e w r i t t e n s t e p s o f t h e p r o c e s s o n t h e c h a l k b o a r d . S t u d e n t s a p p e a r e d m o s t l y a p a t h e t i c t o h e r d e s i r e f o r t h e i r p a r t i c i p a t i o n , s i n c e t h e q u e s t i o n s w e r e m a i n l y a i m e d a t n o n a t t e n t i v e s t u d e n t s a n d o n l y r e q u i r e d a n a b i l i t y t o r e s t a t e t h e s t e p s o f t h e s o l u t i o n p r o c e s s w h i c h t h e o p e n t e x t b o o k p r o v i d e d . H e r t e x t b o o k ' s r e l a t i v e s m a l l q u a n t i t y o f v e r b a l p r o b l e m e x a m p l e s g e n e r a l l y m e a n t o n l y o n e e x a m p l e o r s a m p l e w a s c o v e r e d p r i o r t o a s s i g n m e n t . O n t w o o c c a s i o n s , n o t e x t b o o k e x a m p l e w a s p r o v i d e d f o r a v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s e t . B e t t y p r o c e e d e d t o s e l e c t t h e f i r s t e x e r c i s e f r o m t h e s e t f o r c l a s s d i s c u s s i o n , a n d s t u d e n t a t t e n t i o n a n d p a r t i c i p a t i o n w a s n o t a b l y b e t t e r w i t h i n t h e s e t w o d i s c u s s i o n s t h a n t h a t e x h i b i t e d f o r t h e s o l v e d t e x t b o o k e x a m p l e s ' d i s c u s s i o n . O n l y o n e i n s t a n c e o f a c o n t r o l l e d p r a c t i c e s e g m e n t w a s n o t e d i n B e t t y ' s c l a s s . E x c e p t f o r a f e w a d d i t i o n s b y A l i c e , a l l v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s f o r e a c h t e a c h e r c a m e f r o m t h e i r 4 3 3 r e s p e c t i v e t e x t b o o k s . T h i s p a t t e r n i n d i c a t e d t h a t t h e t e a c h e r s w e r e g e n e r a l l y p l e a s e d w i t h t h e q u a l i t y a n d q u a n t i t y o f e a c h t e x t b o o k ' s v e r b a l p r o b l e m e x e r c i s e s . H o w e v e r t h i s a l s o i m p l i e d t h a t t h e q u a l i t y o f t e x t b o o k p r o v i d e d e x e r c i s e s l a r g e l y d e t e r m i n e d t h e u p p e r b o u n d o f t e a c h e r s ' e x p e c t a t i o n s o f s t u d e n t s w i t h r e g a r d s t o p r o b l e m s o l v i n g c o n t e n t f o r t h e c o u r s e . A p r i o r i t y f o r t h e s t a t e i n w h i c h t h e s t u d y w a s c o n d u c t e d i s t h a t t e a c h e r s i n c o r p o r a t e i n t h e i r i n s t r u c t i o n t h e p r i n c i p l e s o f a n " e f f e c t i v e t e a c h i n g " m o d e l , a n d a l l t h r e e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n i n d i c a t e d s o m e a w a r e n e s s o f e f f e c t i v e t e a c h i n g ’ s m a j o r e l e m e n t s . H o w e v e r n o t a s i n g l e o c c a s i o n w a s o b s e r v e d w h e r e a t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n i n c l u d e d a s e p a r a t e d r i l l r e v i e w , m e n t a l m a t h e m a t i c s e x e r c i s e , o r p r o b l e m s o l v i n g s e g m e n t a s i s r e c o m m e n d e d b y t h e m o d e l . A p r o b a b l e e x p l a n a t i o n f o r t h i s o m i s s i o n f r o m t h e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n w a s t h e l a c k o f s u c h i n c l u d e d m a t e r i a l s w i t h i n t h e r e s p e c t i v e t e x t b o o k s o r t e a c h e r m a n u a l s , t h o u g h A l i c e d i d i n c l u d e t h e m a n i p u l a t i o n s k i l l s h a r p e n e r s h e r t e x t b o o k p r o v i d e d w i t h i n h e r i n s t r u c t i o n . S i n c e a l l t h r e e t e a c h e r s g e n e r a l l y b e l i e v e d t h a t s u c h s e g m e n t s r e p r e s e n t e d a n i n e f f i c i e n t u s a g e o f c l a s s t i m e a n d t e n d e d t o d e t r a c t f r o m t h e f o c u s o f t h e d a i l y l e s s o n p l a n , i t i s s o m e w h a t q u e s t i o n a b l e w h e t h e r t h e s e t e a c h e r s w o u l d h a v e i n c l u d e d t h i s s e g m e n t e v e n i f t h e t e x t b o o k p r o v i d e d s u c h a i d s i n i t s d e v e l o p m e n t . 4 3 4 L a s t l y n o t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n o r a s s i g n m e n t s e v e r r e q u i r e d a l l s t u d e n t s t o r e a d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s e c t i o n s o r r e v i e w s o l v e d t e x t b o o k e x a m p l e s o n t h e i r o w n . R a t h e r e a c h t e a c h e r ’ s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s i n c l u d e d e x p l i c i t t r e a t m e n t o f a l l t e x t b o o k p r o v i d e d e x p l a n a t i o n s a n d r e v i e w o f a l l e x a m p l e s o f a c h a p t e r s e c t i o n , e s s e n t i a l l y m a k i n g s t u d e n t r e a d i n g o f a l g e b r a c o n t e n t e x p l a n a t i o n s a n d t e x t u n n e c e s s a r y . O n l y s t u d e n t s w h o m i s s e d a t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n f o r a g i v e n d a y w e r e e v e r e n c o u r a g e d t o r e a d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s p r i o r t o b e g i n n i n g r e l a t e d a s s i g n m e n t s , a n d i t c a n b e a s s u m e d t h a t m o s t s u c h s t u d e n t s p r o b a b l y o n l y r e a d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s a f t e r t h e y h a d b e c o m e s t u c k o n a v e r b a l p r o b l e m o f a n a s s i g n m e n t . I n e f f e c t , t h e t h r e e t e a c h e r s w e r e n o t t r a i n i n g t h e i r s t u d e n t s i n h o w t o r e a d a n d c o m p r e h e n d m a t h e m a t i c a l t e x t , a s i s r e q u i r e d i n o t h e r d i s c i p l i n e s s u c h a s s c i e n c e o r h i s t o r y . S u c h a t e a c h i n g p r a c t i c e p r e c l u d e s a n y p o s s i b i l i t y t h a t t h e s e s t u d e n t s w i l l c o n s t r u c t a n d i n c o r p o r a t e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o n t h e i r o w n , o r b e c o m e i n d e p e n d e n t l y r e s p o n s i b l e f o r t h e i r l e a r n i n g . R a t h e r i n a l l t h r e e c l a s s e s , s t u d e n t s d a i l y a p p e a r e d t o b e c o m e m o r e d e p e n d e n t o n t h e t e a c h e r ' s p r o v i d e d i n s t r u c t i o n , m o r e m e c h a n i z e d a n d c o n f o r m i n g t o t e a c h e r s ' e x p e c t a t i o n s i n t h e i r v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s , a n d l a r g e l y f a i l i n g t o g a i n a n a p p r e c i a t i o n f o r t h e l o g i c a l , i n t e r c o n n e c t e d s t r u c t u r e o f a l g e b r a m a t e r i a l a n d 4 3 4 L a s t l y n o t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n o r a s s i g n m e n t s e v e r r e q u i r e d a l l s t u d e n t s t o r e a d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s e c t i o n s o r r e v i e w s o l v e d t e x t b o o k e x a m p l e s o n t h e i r o w n . R a t h e r e a c h t e a c h e r ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s i n c l u d e d e x p l i c i t t r e a t m e n t o f a l l t e x t b o o k p r o v i d e d e x p l a n a t i o n s a n d r e v i e w o f a l l e x a m p l e s o f a c h a p t e r s e c t i o n , e s s e n t i a l l y m a k i n g s t u d e n t r e a d i n g o f a l g e b r a c o n t e n t e x p l a n a t i o n s a n d t e x t u n n e c e s s a r y . O n l y s t u d e n t s w h o m i s s e d a t e a c h e r ’ s i n s t r u c t i o n f o r a g i v e n d a y w e r e e v e r e n c o u r a g e d t o r e a d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s p r i o r t o b e g i n n i n g r e l a t e d a s s i g n m e n t s , a n d i t c a n b e a s s u m e d t h a t m o s t s u c h s t u d e n t s p r o b a b l y o n l y r e a d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s a f t e r t h e y h a d b e c o m e s t u c k o n a v e r b a l p r o b l e m o f a n a s s i g n m e n t . I n e f f e c t , t h e t h r e e t e a c h e r s w e r e n o t t r a i n i n g t h e i r s t u d e n t s i n h o w t o r e a d a n d c o m p r e h e n d m a t h e m a t i c a l t e x t , a s i s r e q u i r e d i n o t h e r d i s c i p l i n e s s u c h a s s c i e n c e o r h i s t o r y . S u c h a t e a c h i n g p r a c t i c e p r e c l u d e s a n y p o s s i b i l i t y t h a t t h e s e s t u d e n t s w i l l c o n s t r u c t a n d i n c o r p o r a t e m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o n t h e i r o w n , o r b e c o m e i n d e p e n d e n t l y r e s p o n s i b l e f o r t h e i r l e a r n i n g . R a t h e r i n a l l t h r e e c l a s s e s , s t u d e n t s d a i l y a p p e a r e d t o b e c o m e m o r e d e p e n d e n t o n t h e t e a c h e r ' s p r o v i d e d i n s t r u c t i o n , m o r e m e c h a n i z e d a n d c o n f o r m i n g t o t e a c h e r s ' e x p e c t a t i o n s i n t h e i r v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s , a n d l a r g e l y f a i l i n g t o g a i n a n a p p r e c i a t i o n f o r t h e l o g i c a l , i n t e r c o n n e c t e d s t r u c t u r e o f a l g e b r a m a t e r i a l a n d 4 3 5 i t s a p p l i c a t i o n i n v e r b a l p r o b l e m s . O n l y C a r l ' s i n s t r u c t i o n i n d i c a t e d a n y t e a c h e r a t t e m p t t o b r o a d e n s t u d e n t s ' p e r c e p t i o n s o f t h e i r o w n c a p a b i l i t y t o c o n s t r u c t a n d l o g i c a l l y i n t e r r e l a t e t h e i r a l g e b r a k n o w l e d g e . H i s p r o b i n g d i s c u s s i o n s o f r e a l i s t i c , n o n t e x t b o o k e x a m p l e s r e q u i r e d s t u d e n t s t o e x p l a i n j u s t i f i c a t i o n s f o r t h e i r s u g g e s t e d a c t i o n s a n d e n c o u r a g e d d i v e r g e n t t h i n k i n g o f p r o c e d u r a l a l t e r n a t i v e s . B o t h A l i c e a n d B e t t y a p p e a r e d t o o p e r a t e u n d e r a n a s s u m p t i o n t h a t s t u d e n t s a t t h i s l e v e l o f m a t h e m a t i c a l c o m p e t e n c e w e r e l a r g e l y i n c a p a b l e o f r e a d i n g a n d c o m p r e h e n d i n g m a t h e m a t i c a l t e x t , a n d h e n c e s t r u c t u r e d t h e i r i n s t r u c t i o n m o r e c l o s e l y t o t h a t p r o v i d e d b y t h e i r r e s p e c t i v e t e x t b o o k s t o o v e r c o m e t h i s b e l i e v e d d e f i c i e n c y . N o t s u r p r i s i n g l y , t h e n i n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s a l l i n d i c a t e d t h a t t h e i r f i r s t c h o i c e f o r a s s i s t a n c e i n c o m p l e t i n g a n a s s i g n m e n t w o u l d b e a n a u t h o r i t y p e r s o n , m o s t l i k e l y t h e i r t e a c h e r , b u t a l s o a p a r e n t o r o l d e r s i b l i n g . O n l y o n e o f t h e n i n e s t u d e n t s m e n t i o n e d t h e t e x t b o o k a s a p o s s i b l e s o u r c e f o r a s s i s t a n c e , a n d i t w a s t h a t s t u d e n t ’ s t h i r d l i s t e d s o u r c e . C o n c l u s i o n s 1 . T h e g e n e r a l l y h e l d b e l i e f t h a t s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s t e a c h e r s r e l y h e a v i l y u p o n t e x t b o o k s f o r t h e d e v e l o p m e n t o f t h e i r i n s t r u c t i o n w a s s u b s t a n t i a t e d f o r t h e t h r e e A l g e b r a I t e a c h e r s o f t h e s t u d y . S p e c i f i c a l l y , t h e c o n t e n t s e q u e n c i n g , 4 3 6 t h e p a c e o f i n s t r u c t i o n , t h e c o n t e n t a n d l e n g t h o f t e a c h e r s ' l e s s o n d e v e l o p m e n t p r e s e n t a t i o n s , a n d t h e a s s i g n m e n t p a t t e r n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w e r e a l l l a r g e l y d e t e r m i n e d b y t h e o r g a n i z a t i o n a n d c o n t e n t s o f t h e e m p l o y e d t e x t b o o k s . W h e t h e r s u c h i n f l u e n c e e x t e n d s t o o t h e r a l g e b r a c o n t e n t b e s i d e s v e r b a l p r o b l e m s w a s l e s s c l e a r , t h o u g h t h e l i m i t e d o b s e r v a t i o n s o f s u c h o t h e r c o n t e n t i n s t r u c t i o n g a v e e v e r y i n d i c a t i o n o f a s i m i l a r p a t t e r n o f i n f l u e n c e . T e a c h e r a d j u s t m e n t s t o t e x t b o o k p r o v i d e d e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s , i n c l u d i n g p r o v i s i o n s f o r s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l s , w a s n o n e x i s t e n t f o r B e t t y ' s i n s t r u c t i o n , a t a m i n i m a l l e v e l f o r A l i c e ' s i n s t r u c t i o n , a n d s o m e w h a t g r e a t e r f o r C a r l ’ s i n s t r u c t i o n , p a r t i c u l a r l y h i s d a i l y l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t . T h e l i m i t e d n a t u r e o f t e a c h e r s ’ m o d i f i c a t i o n s t o t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t m e a n t t h a t t h e s e s t u d e n t s ' e x p o s u r e t o m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g w a s m o s t l y c o n f i n e d t o t h e l e a r n i n g o f h o w t 0 p r o c e s s s o l u t i o n s f o r t y p i c a l t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s . S i n c e t h e t h r e e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n i n c l u d e d e x p l i c i t t r e a t m e n t o f a l l t e x t b o o k p r o v i d e d e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s , s t u d e n t s w e r e n e v e r r e q u i r e d t o r e a d o r c o m p r e h e n d m a t h e m a t i c a l t e x t 4 3 7 e x p l a n a t i o n s o r s o l v e d e x a m p l e p r e s e n t a t i o n s o n t h e i r o w n . A s a r e s u l t , s t u d e n t s t e n d e d t o b e c o m e m o r e d e p e n d e n t a s t h e y e a r p r o g r e s s e d o n t h e i r t e a c h e r o r o t h e r a u t h o r i t y f i g u r e s i n t h e i r f a m i l i e s f o r c o n s t r u c t i n g t h e n a t u r e o f t h e i r l e a r n i n g f o r t h e m , r a t h e r t h a n b e c o m i n g m o r e i n d e p e n d e n t l e a r n e r s , r e s p o n s i b l e f o r t h e i r o w n c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e . P a r t i c u l a r l y i n A l i c e a n d B e t t y ' s c l a s s e s , s t u d e n t s a l s o b e c a m e m o r e m e c h a n i c a l i n t h e i r t h i n k i n g r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m s , a n d i n t h e i r a t t e m p t s t o c o n f o r m t o t e a c h e r e x p e c t a t i o n s f o r w r i t t e n f o r m u l a t i o n s o f s o l u t i o n s . R e c o m m e n d a t i o n s 1 . A l g e b r a I t e a c h e r s s h o u l d p r o v i d e s o m e o p p o r t u n i t i e s f o r t h i s l e v e l o f s t u d e n t t o r e a d m a t h e m a t i c a l t e x t a n d f o l l o w t h e m a t h e m a t i c a l l o g i c a n d a l g e b r a i c t e c h n i q u e s e m p l o y e d i n s o l v e d t e x t b o o k e x a m p l e s , t h e r e b y e n a b l i n g t h e i r s t u d e n t s t o b e c o m e m o r e i n d e p e n d e n t l e a r n e r s o f c o n t e n t a n d m o r e f l e x i b l e a n d d i v e r s i f i e d i n t h e i r s o l u t i o n p r o c e s s e s w i t h i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s i t u a t i o n s . T e a c h e r s i n t h e i r i n s t r u c t i o n c a n a n d s h o u l d b r o a d e n s t u d e n t p e r c e p t i o n s o f t h e r e a l w o r l d a p p l i c a b i l i t y o f v e r b a l p r o b l e m t e c h n i q u e s w i t h a m i n i m a l a m o u n t 4 3 8 o f e f f o r t a n d c r e a t i v i t y r e q u i r e d , m u c h a s C a r l ' s i n s t r u c t i o n i n d i c a t e d . M a t h e m a t i c s e d u c a t o r s r e s p o n s i b l e f o r m e t h o d s c o u r s e s f o r p r e s e r v i c e s e c o n d a r y t e a c h e r s s h o u l d i n c l u d e a d d i t i o n a l t r a i n i n g i n h o w t o p r o p e r l y a n a l y z e a n d c r i t i q u e t e x t b o o k s ' o r g a n i z a t i o n a l p a t t e r n s , a n d p r a c t i c e d e s i g n i n g d a i l y l e s s o n s a n d a s s i g n m e n t s w h i c h b u i l d u p o n t e x t b o o k p r o v i d e d i n s t r u c t i o n , r a t h e r t h a n m e r e l y r e s t a t e s u c h i n s t r u c t i o n . W i t h o u t s u c h s p e c i f i c t r a i n i n g d i r e c t e d a t f o r m i n g t e a c h e r s t o b e r e f l e c t i v e c r i t i c s a n d e v a l u a t o r s o f t h e i r o w n a n d t e x t b o o k s ' i n s t r u c t i o n , t h e r e i s a g r e a t e r t e n d e n c y f o r b e g i n n i n g t e a c h e r s t o d e v e l o p h a b i t s o f t o t a l d e p e n d e n c y o n t e x t b o o k s f o r t h e c o n t e n t a n d p r e s e n t a t i o n a l f o r m o f i n s t r u c t i o n . S i n c e t h e c u r r i c u l u m f o r t h e A l g e b r a I c o u r s e a p p e a r e d l a r g e l y d e t e r m i n e d b y t h e s e l e c t e d t e x t b o o k f o r t h e c o u r s e , r e s p o n s i b i l i t y f o r w h a t c o n s t i t u t e s t h e c o u r s e c o n t e n t , i t s s e q u e n c i n g a n d p a c i n g , t h e f o r m o f i t s i n s t r u c t i o n a l d e l i v e r y , a n d t h e d e g r e e o f c h a l l e n g e p r e s e n t e d l a r g e l y r e s i d e s w i t h t e x t b o o k a u t h o r s a n d p u b l i s h e r s . A d m i t t e d l y r e s e a r c h h a s p r o v i d e d l i t t l e d i r e c t a s s i s t a n c e t o a u t h o r s i n t h e i r a t t e m p t s t o c a r r y o u t t h e s e c u r r i c u l u m 4 3 9 r e s p o n s i b i l i t i e s w i t h r e g a r d s t o p l a c e m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s , h o w t h e y s h o u l d b e d e s i g n a t e d , o r e v e n t h e i n t e n d e d p u r p o s e s t h e y s h o u l d s e r v e f o r t h e c o u r s e m a t e r i a l . P r e s e n t A l g e b r a I t e x t b o o k c o n s t r u c t i o n s s e v e r e l y l i m i t s t u d e n t s ’ o p p o r t u n i t y t o b e c o m e a n y m o r e t h a n m e c h a n i c a l t h i n k e r s a n d p r o c e s s o r s o f v e r b a l p r o b l e m s , r a t h e r t h a n t h e i n d e p e n d e n t a n d f l e x i b l e r e a l w o r l d p r o b l e m s o l v e r s d e s i r e d f o r a l l c i t i z e n s o f o u r c u l t u r e . A t a m i n i m u m , t e x t b o o k a u t h o r s s h o u l d i n c l u d e p r a c t i c a l , r e a l w o r l d s i t u a t i o n s ( a s C a r l d i d ) , a n d s a m p l e s o f d r i l l r e v i e w , m e n t a l m a t h e m a t i c s , o r p r o b l e m s o l v i n g s e g m e n t s i n t h e i r t e a c h e r e d i t i o n s , s o t h a t t e a c h e r s c a n b e c o m e m o r e a w a r e o f a v a i l a b l e a l t e r n a t i v e s t h e y m i g h t a d d o r d e v e l o p i n t h e i r i n s t r u c t i o n . S o m e t e a c h e r s , s u c h a s A l i c e a n d B e t t y , w o u l d l i k e l y i g n o r e s u c h a l t e r n a t i v e s u g g e s t i o n s s i n c e t h e y b e l i e v e p r o v i d e d t e x t b o o k e x p l a n a t i o n s a n d e x a m p l e s a r e s u f f i c i e n t f o r t h e i r p u r p o s e s a n d f i t w e l l w i t h t h e i r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s a n d m e t h o d s . O t h e r t e a c h e r s , p a r t i c u l a r l y b e g i n n i n g t e a c h e r s w o u l d m o r e l i k e l y a p p r e c i a t e t h e f l e x i b i l i t y p r o v i d e d b y a l t e r n a t i v e s u g g e s t i o n s i n t h e i r p l a n n i n g a c t i v i t i e s , a n d w o u l d b e m o r e l i k e l y t o e x p e r i m e n t w i t h d i f f e r i n g i n s t r u c t i o n a l 4 4 0 f o r m a t s a n d m e t h o d s g e a r e d t o w a r d s i m p r o v i n g b o t h s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d t e a c h i n g e f f e c t i v e n e s s . T e a c h e r C h a r a c t e r i s t i c s ' I n f l u e n c e o n I n s t r u c t i o n a l R o u t i n e s A n a s s u m p t i o n m a d e a t t h e o u t s e t o f t h e s t u d y w a s t h a t t e a c h e r s ' d a i l y i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s a n d t e a c h i n g p r a c t i c e s b e c o m e h i g h l y s t a b l e t h r o u g h t h e i r e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h e A l g e b r a I c o u r s e o v e r a n u m b e r o f y e a r s . B a s e d o n t h i s e x p e r i e n c e , t e a c h e r s d e v e l o p p e r s o n a l g o a l s , a t t i t u d e s , a n d b e l i e f s a b o u t b o t h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a n d t h e c a p a b i l i t i e s o f t h i s l e v e l o f s t u d e n t w h i c h i n f l u e n c e t e a c h e r d e c i s i o n s w i t h r e g a r d s t o t h e f o r m , d u r a t i o n , a n d c o n t e n t s o f i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s g e n e r a l l y , a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t c h a r a c t e r i s t i c s s p e c i f i c a l l y . T h e p r i m a r y s o u r c e f o r t h e f i n d i n g s r e g a r d i n g t e a c h e r s ' b e l i e f s a b o u t v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , t e a c h i n g p r a c t i c e s , a n d s t u d e n t c a p a b i l i t i e s c a m e f r o m t e a c h e r r e s p o n s e s o n t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t , w h i l e i n v e s t i g a t o r o b s e r v a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n p r o v i d e d d a t a f o r t h e f o r m u l a t e d c o m p o s i t i o n o f e a c h t e a c h e r ’ s d a i l y i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e . T h e o n l y h y p o t h e s i s o f t h e s t u d y w h i c h r e f l e c t e d t h e i n f l u e n c e o f t e a c h e r c h a r a c t e r i s t i c s o n i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e w a s t h e f o l l o w i n g : 4 4 1 H y p o t h e s i s 3 : T e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l g o a l s , e x p e c t a t i o n s , a n d a t t i t u d e s t o w a r d v e r b a l p r o b l e m s h a v e a s u b s t a n t i a l i m p a c t o n t h e n a t u r e o f l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s a n d c l a s s r o o m r o u t i n e s . F i n d i n g s A l l t h r e e t e a c h e r s b e l i e v e d t h a t a t e a c h e r c e n t e r e d , t r a d i t i o n a l e x p o s i t o r y s t y l e o f c o n t e n t p r e s e n t a t i o n a n d d e m o n s t r a t i o n w a s t h e m o s t e f f e c t i v e f o r m a t f o r v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . G r e a t e r v a r i a t i o n s o c c u r r e d b e t w e e n t e a c h e r s w i t h r e g a r d s t o t h e i r p e r c e p t i o n s f o r t h e p u r p o s e s o f a l g e b r a a n d v e r b a l p r o b l e m s , c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s o f t h e i r s t u d e n t s , a n d t h e i r r o l e i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . D e s p i t e a c o m m o n b e l i e f i n t h e e f f e c t i v e n e s s o f w h o l e c l a s s i n s t r u c t i o n d o n e i n a n e x p o s i t o r y m o d e , t h e t h r e e t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s w e r e q u i t e d i f f e r e n t , a n d t e a c h e r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s i n t h e s e t h r e e a r e a s l a r g e l y a c c o u n t e d f o r m o s t o f t h e s e d i f f e r e n c e s . W i t h i n t h i s s e c t i o n , t h e f i n d i n g s r e l a t e d t o t e a c h e r s ' c o n c e p t u a l i z a t i o n s i n t h e s e t h r e e a r e a s a r e r e v i e w e d i n i t i a l l y , a n d t h e n t h e i n v e s t i g a t o r s p e c u l a t e s o n h o w t h e s e t e a c h e r c o n c e p t u a l i z a t i o n s t r a n s l a t e d i n t o e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s a n d r o u t i n e s . A l i c e a n d B e t t y p e r c e i v e d t h e p r i m a r y p u r p o s e o f A l g e b r a I t o b e e q u i p p i n g t h e i r s t u d e n t s w i t h t h e n e c e s s a r y a l g e b r a i c t e c h n i q u e s d e e m e d i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o f u n c t i o n i n t h e a b s t r a c t w o r l d o f m a t h e m a t i c a l s y m b o l i z a t i o n . B o t h t e a c h e r s r a t e d s o l u t i o n s o f f i r s t a n d 4 4 2 s e c o n d d e g r e e e q u a t i o n s a n d s i m p l i f i c a t i o n s o f a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s / a b s t r a c t s y m b o l i z a t i o n s a s h i g h p r i o r i t y o b j e c t i v e s , a l o n g w i t h t h e s o l u t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s / a p p l i c a t i o n s . A d d i t i o n a l l y , b o t h t e a c h e r s l i s t e d s t u d e n t a p p l i c a t i o n o f a l g e b r a i c t e c h n i q u e s a n d i m p r o v e m e n t o f s t u d e n t s ' r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n a n d t r a n s l a t i o n s k i l l s a s p r i m a r y p u r p o s e s f o r t h e i n c l u s i o n o f v e r b a l p r o b l e m s i n t h e c o u r s e . S e c o n d a r i l y , b o t h t e a c h e r s n o t e d t h a t v e r b a l p r o b l e m s f o s t e r o r d e r e d a n d s t r u c t u r e d t h i n k i n g a b i l i t i e s . C a r l , o n t h e o t h e r h a n d , r a t e d a l l s p e c i f i c a l g e b r a i c t e c h n i q u e o b j e c t i v e s , i n c l u d i n g t h e s o l u t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s , l o w e r a n d b e l i e v e d r a t h e r t h a t a l g e b r a s e r v e d p r i m a r i l y t o c o n n e c t a n d e x p a n d s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f r u l e s e s t a b l i s h e d i n a r i t h m e t i c , a n d a s s i s t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g a n d j u s t i f i c a t i o n c a p a b i l i t i e s f o r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . F o r C a r l , v e r b a l p r o b l e m s w e r e i n c l u d e d i n t h e c o u r s e t o " g e t s t u d e n t s t o t h i n k l o g i c a l l y , a b s t r a c t l y , a n d d e d u c t i v e l y " . A l i c e ' s p e r c e p t i o n s o f e n t e r i n g s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s w e r e t h e m o s t c l e a r a n d a p p a r e n t o f t h e t h r e e t e a c h e r s , p o s s i b l y b e c a u s e s h e w a s t h e o n l y o n e o f t h e t h r e e t e a c h e r s t o r e g u l a r l y t e a c h t h i s l e v e l o f s t u d e n t i n e i g h t h g r a d e c o n t e n t c o u r s e s . S h e b e l i e v e d t h a t t h i s l e v e l o f s t u d e n t e n t e r e d A l g e b r a I o p e r a t i n g ' w i t h g e n e r a l l y w e a k e r a n d h i g h l y m e c h a n i c a l a r i t h m e t i c 4 4 3 s k i l l s , o r a t a r o t e l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g . S e c o n d l y , s h e s e n s e d t h a t a m a j o r o b s t a c l e t o t h e s e s t u d e n t s ' a l g e b r a l e a r n i n g w a s t h e i r i n a b i l i t y t o r e c a l l p r e v i o u s k n o w l e d g e a n d r e l a t e i t t o n e w c o n t e n t i n a m e a n i n g f u l w a y . T h i r d l y , s h e p e r c e i v e d t h e s e s t u d e n t s t o b e l e s s c o n f i d e n t , a n d m o r e a w a r e o f t h e i r l i m i t a t i o n s w i t h r e g a r d t o t h e i r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s , a n d h e n c e l e s s p a r t i c i p a t o r y i n w h o l e c l a s s s e t t i n g s f o r f e a r o f t e a c h e r a n d p e e r r i d i c u l e . R a t h e r s h e p e r c e i v e d t h e s e s t u d e n t s a s b e c o m i n g m o r e a c c u s t o m e d a n d d e p e n d e n t o n o n e t o o n e t e a c h e r a t t e n t i o n a s a p r e f e r r e d l e a r n i n g s t y l e . F o u r t h l y , s h e b e l i e v e d a n d e x p e c t e d a l l t h e s e s t u d e n t s t o b e c o m e s u c c e s s f u l a t s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s , p r o v i d e d t h e y r e c e i v e d s u f f i c i e n t , s t r u c t u r e d g u i d a n c e a n d r e i n f o r c e m e n t f r o m t h e t e a c h e r . A s t h e i r t e a c h e r , h e r r e s p o n s i b i l i t i e s i n c l u d e d p r o v i d i n g s u c h s t r u c t u r e d g u i d a n c e t h r o u g h m o d e l i n g a n d v e r b a l i z a t i o n s , p r o v i d i n g e x t e n s i v e p r a c t i c e t o c o m b a t d e f i c i e n c i e s i n s t u d e n t r e c a l l a b i l i t i e s , a n d p r o v i d i n g a d e q u a t e s e a t w o r k t i m e d a i l y f o r s t u d e n t s t o r e c e i v e p e r s o n a l t e a c h e r a s s i s t a n c e i n t h e i r l e a r n i n g . H e r t e a c h i n g r o l e s d u r i n g c l a s s t i m e w e r e t o o r g a n i z e a n d s t r u c t u r e s t u d e n t l e a r n i n g , a n d b e a h e l p e r o r m e n t o r i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . B e t t y a p p e a r e d t h e l e a s t c o n f i d e n t o f t h e t h r e e t e a c h e r s w i t h r e g a r d s t o a l l s t u d e n t s h a v i n g t h e p o t e n t i a l t o b e c o m e s u c c e s s f u l a t s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . A s 4 4 4 c o m p a r e d w i t h o t h e r a l g e b r a c o n t e n t , s h e r a t e d h e r a b i l i t y t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t s o m e w h a t l o w e r . S h e a l s o c o m m e n t e d t h a t s t u d e n t s ' d i f f i c u l t i e s w i t h v e r b a l p r o b l e m s w e r e o f t e n d u e t o " a n i n b r e d a n x i e t y a n d f e a r a b o u t w o r d p r o b l e m s " . T h e i n v e s t i g a t o r ’ s o b s e r v a t i o n s o f h e r i n s t r u c t i o n g a v e e v e r y i n d i c a t i o n t h a t B e t t y a p p e a r e d t o e x p e c t o n l y h e r b e t t e r s t u d e n t s t o b e c a p a b l e o f s u c c e s s f u l l y u n d e r s t a n d i n g a n d c o m p l e t i n g v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . H e r b e t t e r s t u d e n t s ' d a i l y v e r b a l p r o b l e m p e r f o r m a n c e l a r g e l y d e t e r m i n e d h e r i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s t o m o v e o n t o n e w c o n t e n t , a p a t t e r n n o t e v i d e n t f o r o t h e r a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n c o n t e n t w h e r e s h e e x p e c t e d a h i g h e r s u c c e s s r a t e o f a l l h e r s t u d e n t s . A d d i t i o n a l l y h e r c o u r s e e v a l u a t i o n i n s t r u m e n t s ( p r i m a r i l y t e s t s ) i n c l u d e d o n l y m i n o r a s s e s s m e n t o f v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s , l e s s t h a n 1 5 p e r c e n t o f c o n t e n t a n d s c o r e f o r a l l i n s t r u m e n t s . B e t t y a p p e a r e d w e l l a w a r e o f t h e s e s t u d e n t s ' g e n e r a l l y l o w e r m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s a n d t h e w i d e r r a n g e o f t h e s e a b i l i t i e s , a s c o m p a r e d w i t h a c c e l e r a t e d s t u d e n t s , b u t s h e a p p e a r e d l a r g e l y u n a w a r e a n d u n c o n c e r n e d a b o u t t h e s p e c i f i c n a t u r e o f h e r s t u d e n t s ’ l e a r n i n g w e a k n e s s e s , n e e d s , o r p r e f e r r e d l e a r n i n g s t y l e s . S h e e x p r e s s e d a w i l l i n g n e s s t o h e l p s t u d e n t s w i t h t h e i r d i f f i c u l t i e s , b u t r e q u e s t i n g s u c h h e l p w a s t h e s t u d e n t s ' r e s p o n s i b i l i t y , a n d w a s d o n e g e n e r a l l y o u t s i d e o f c l a s s t i m e . S t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l i n h e r A l g e b r a I c o u r s e b a s e d o n t h e d e g r e e o f 4 4 5 p e r s o n a l r e s p o n s i b i l i t y t h e y t o o k f o r l e a r n i n g t h e c o u r s e c o n t e n t . H e r m a j o r r o l e a s t e a c h e r w a s t o s e r v e a s t r a n s m i t t e r a n d m e d i a t o r f o r t h e c o u r s e c o n t e n t b e t w e e n t e x t b o o k a n d s t u d e n t s , i n s u r i n g t h a t a l l c o n t e n t w a s c o v e r e d a n d p r e s e n t e d i n a m a n a g e a b l e f o r m . H e r s e c o n d a r y r o l e w a s t o g r a d e s t u d e n t s a n d e v a l u a t e t h e i r l e a r n i n g a n d e f f o r t i n t h e c o u r s e . A l t h o u g h h i s p e r c e p t i o n s w e r e l e s s a p p a r e n t t o t h e i n v e s t i g a t o r , C a r l a p p e a r e d t o o p e r a t e u n d e r a s s u m p t i o n s s i m i l a r t o t h o s e o f A l i c e w i t h r e g a r d s t o t h e s e s t u d e n t s ’ m a t h e m a t i c a l a n d l e a r n i n g l i m i t a t i o n s . H e a l s o r e a l i z e d t h a t h i s s t u d e n t s h a d d e v e l o p e d a v a r i e t y o f w a y s a n d s t y l e s o f l e a r n i n g , a n d h e s h o w e d r e s p e c t f o r t h e s e i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s , r a t h e r t h a n a t t e m p t i n g t o b r i n g a b o u t s t u d e n t c o n f o r m a n c e t o h i s e x p e c t a t i o n s a n d w a y s . W h e r e a s A l i c e l a r g e l y a d a p t e d h e r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e t o h e r p e r c e p t i o n s o f s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s , C a r l d e s i g n e d h i s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e t o a d d r e s s a n d b r i n g a b o u t i m p r o v e m e n t i n s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s . I f h i s s t u d e n t s w e r e l a r g e l y m e c h a n i c a l i n t h e i r m a t h e m a t i c a l p r o c e s s e s , t h e n h i s i n s t r u c t i o n s h o u l d e n c o u r a g e s t u d e n t d i s c u s s i o n n o t o n l y o f w h a t t h e y d i d , b u t a l s o t h e r e a s o n s a n d r a t i o n a l e f o r t h e i r a c t i o n s . I f t h e s e s t u d e n t s w e r e l a r g e l y p a s s i v e a n d d e p e n d e n t o n a t e a c h e r a s t h e a u t h o r i t y f o r m a t h e m a t i c a l c o r r e c t n e s s , t h e n h i s i n s t r u c t i o n s h o u l d e n c o u r a g e s t u d e n t s t o t a k e a m o r e 4 4 6 a c t i v e a n d p a r t i c i p a t o r y r o l e i n t h e p r o c e s s o f a c q u i r i n g k n o w l e d g e , v e r b a l i z i n g a n d r e f l e c t i n g d a i l y u p o n t h e i r l e a r n i n g , a n d b e c o m i n g m o r e i n d e p e n d e n t d i r e c t o r s o f t h e i r o w n t h i n k i n g a n d r a t e o f l e a r n i n g . C a r l ’ s p e r c e i v e d r o l e f o r a t e a c h e r w a s a s f a c i l i t a t o r o f m e a n i n g f u l l e a r n i n g , l e a r n i n g w h i c h c o n t a i n e d b o t h d e p t h a n d a p p l i c a b i l i t y . I n t h i s r e g a r d , v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t t o o k o n a d d e d m e a n i n g i n C a r l ' s i n s t r u c t i o n s i n c e i t c o n t a i n e d g r e a t e r p o t e n t i a l , t h a n d i d o t h e r a l g e b r a c o n t e n t , f o r c l a s s d i s c u s s i o n o f a l t e r n a t e f o r m s o f r e a s o n i n g a n d p r o c e s s i n g a n d g r e a t e r i m m e d i a t e a p p l i c a b i l i t y . C a r l ' s l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t w e r e b o t h l o n g e r a n d i n v o l v e d g r e a t e r s t u d e n t i n t e r a c t i o n t h a n f o r o t h e r a l g e b r a c o n t e n t , a n d i n d i c a t e d C a r l ’ s a w a r e n e s s f o r s u c h a d d e d f u n c t i o n s f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . H e d i d n o t h o w e v e r f o r c e h i s t e a c h i n g m e t h o d s a n d b e l i e f s o n t h o s e s t u d e n t s w h o s e b e h a v i o r i n d i c a t e d a p r e f e r e n c e f o r a m o r e p a s s i v e p o s t u r e t o l e a r n i n g t h e c o u r s e c o n t e n t . H e w a s n e v e r o b s e r v e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t o c a l l o n a s t u d e n t w h o d i d n o t v o l u n t e e r t o p a r t i c i p a t e i n c l a s s d i s c u s s i o n s , a n d h e g e n e r a l l y u s e d d a i l y s e a t w o r k t i m e t o a s s i s t t h e s e m o r e p a s s i v e s t u d e n t s i n d i v i d u a l l y , w h i l e a l s o i n s u r i n g t h a t e a c h o f t h e s e s t u d e n t s h a d c o m p r e h e n d e d t h e m a i n p o i n t s o f t h e d a y ’ s l e s s o n a n d c o u l d s u c c e s s f u l l y b e g i n t h e i r a s s i g n m e n t s . - . - fl F “ - * — l - — ‘ — " " _ a _ _ _ _ - . - ‘ v — * 4 4 7 I n s u m m a r y , t h e s t r u c t u r e o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e w a s l a r g e l y d e t e r m i n e d b y t h e i r c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e p u r p o s e s f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , t h e i r s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s , a n d t h e i r p e r c e i v e d r o l e i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . A l i c e a d a p t e d h e r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e t o f i t h e r p e r c e p t i o n s o f t h e s e s t u d e n t s ' l e a r n i n g l i m i t a t i o n s a n d d e p e n d e n c e , w h i l e p l a c i n g a h i g h p r i o r i t y o n v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . H e r s t u d e n t s w e r e m o s t a c t i v e d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w s e g m e n t , w h i c h r e p r e s e n t e d a n o n t h r e a t e n i n g s i t u a t i o n f o r t h e s e s t u d e n t s . L e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s w e r e d e l i b e r a t e l y k e p t b r i e f t o p e r m i t e v e r y s t u d e n t t o r e c e i v e s o m e o n e t o o n e p e r s o n a l t e a c h e r a s s i s t a n c e d u r i n g t h e l o n g e r s e a t w o r k s e g m e n t s , w h i c h w e r e n e v e r l e s s t h a n 1 5 m i n u t e s . L a s t l y t h e t i m e s t u d e n t s s p e n t p r a c t i c i n g v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s w a s t w i c e t h a t f o r o t h e r s e c t i o n s o f c o n t e n t . B e t t y p l a c e d a l o w e r p r i o r i t y o n d e v e l o p i n g s t u d e n t s ' v e r b a l p r o b l e m a b i l i t i e s i n h e r i n s t r u c t i o n t h a n s h e d i d f o r o t h e r a l g e b r a c o n t e n t , a n d i n a s e n s e r e l e g a t e d v e r b a l p r o b l e m s t o a n a c c o m p l i s h a b l e o b j e c t i v e f o r o n l y h e r b e t t e r s t u d e n t s . H e r i n s t r u c t i o n i n d i c a t e d l e s s a w a r e n e s s a n d c o n c e r n f o r s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s , d i f f i c u l t i e s , a n d n e e d s . W i t h i n h e r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e , s h e c a r r i e d o u t h e r r o l e a s m e d i a t o r o f t e x t b o o k p r o v i d e d c o n t e n t , a n d r a t h e r o b l i g i n g l y a n d s o m e w h a t u n e n t h u s i a s t i c a l l y c a r r i e d 4 4 8 o u t o t h e r t e a c h i n g f u n c t i o n s s u c h a s h o m e w o r k r e v i e w a n d c h e c k i n g , e v a l u a t i o n o f s t u d e n t l e a r n i n g , a n d c l a s s r o o m m a n a g e m e n t . I n B e t t y ' s c l a s s m o r e t h a n t h e o t h e r t w o c l a s s e s , r e s p o n s i b i l i t y f o r l e a r n i n g v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t r e s t e d i n l a r g e p a r t o n s t u d e n t s ' s h o u l d e r s , a n d t h e i r w i l l i n g n e s s t o s e e k o u t a d d i t i o n a l h e l p , p a y a t t e n t i o n t o B e t t y ' s l e c t u r e s , r e s t u d y t e x t b o o k e x a m p l e s , a n d p u t f o r t h e f f o r t o n t h e i r v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . C o m p a r e d t o A l i c e a n d B e t t y , C a r l h a d h i g h e r p u r p o s e s , b e y o n d t h e t e x t b o o k c o n t e n t , f o r t h e A l g e b r a I c o u r s e . E v e n i f C a r l d i s l i k e d v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t a n d i t s t e x t b o o k p r e s e n t a t i o n , h e d i d r e c o g n i z e a n d u s e v e r b a l p r o b l e m s ' p o t e n t i a l f o r d e v e l o p i n g t h e k i n d o f m e a n i n g f u l a n d a p p l i e d l e a r n i n g s i t u a t i o n s h e w i s h e d t o e n c o u r a g e t h r o u g h o u t t h e c o u r s e . H i s s k i l l f u l l y d i r e c t e d c l a s s d i s c u s s i o n s a n d p o s e d q u e s t i o n s d u r i n g t h e h o m e w o r k r e v i e w a n d l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s d e m o n s t r a t e d t h a t t e a c h e r s c a n i m p r o v e t h i s l e v e l o f s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s t o l e a r n f r o m a c t i v e a n d r e f l e c t i v e t e a c h e r - s t u d e n t i n t e r a c t i o n s . T h e i n v e s t i g a t o r s e n s e d t h a t o n c e t h e s e d a i l y d i s c u s s i o n s w e r e c o n c l u d e d , m o s t s t u d e n t s h a d c o m p r e h e n d e d t h e v e r b a l p r o b l e m m a t e r i a l a d e q u a t e l y t o c o n f i d e n t l y a n d e v e n e n t h u s i a s t i c a l l y c o m p l e t e t h e i r h o m e w o r k a s s i g n m e n t s i n d i v i d u a l l y . I n C a r l ’ s c l a s s , t h e r e w a s a l s o a s e n s e t h a t s t u d e n t s w e r e t a k i n g g r e a t e r r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r o w n l e a r n i n g a s t h e s c h o o l y e a r p r o g r e s s e d , t o w a r d s a n 4 4 9 a c c e p t a n c e o f a m u t u a l r e s p e c t f o r e a c h p a r t i c i p a n t s ' ( t e a c h e r a n d s t u d e n t ) r o l e i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . C o n c l u s i o n s 1 . T h e h y p o t h e s i s t h a t t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l g o a l s , e x p e c t a t i o n s , a n d a t t i t u d e s t o w a r d v e r b a l p r o b l e m s h a v e s u b s t a n t i a l i m p a c t o n t h e n a t u r e o f i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s , r e c e i v e d s u p p o r t f r o m t h e f i n d i n g s . T e a c h e r ’ s p e r c e p t i o n s f o r t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f v e r b a l p r o b l e m s i n r e l a t i o n s h i p t o o t h e r o b j e c t i v e s f o r t h e e n t i r e A l g e b r a I c o u r s e r e s u l t e d i n d i f f e r e n t l e v e l s o f i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d c o v e r a g e o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . . A l i c e r a n k e d v e r b a l p r o b l e m s a m o n g o t h e r m a n i p u l a t i o n s k i l l o b j e c t i v e s , a n d h e r i n s t r u c t i o n a l t i m e f o r v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s w a s t w i c e t h a t f o r o t h e r c o n t e n t s e c t i o n s . B e t t y r a n k e d v e r b a l p r o b l e m s r i g h t b e l o w t h e t w o m a n i p u l a t i o n s k i l l o b j e c t i v e s , a n d i n a s e n s e v e r b a l p r o b l e m s s e r v e d p r i m a r i l y a n a p p l i c a t i o n o r f i n i s h e d p r o d u c t f u n c t i o n f o r m a n i p u l a t i o n s k i l l c o n t e n t . H e r i n s t r u c t i o n d o w n p l a y e d t h e i m p o r t a n c e o f v e r b a l p r o b l e m s k i l l d e v e l o p m e n t a s a c o u r s e o b j e c t i v e , b a s e d l a r g e l y o n h e r b e l i e f t h a t n o t a l l s t u d e n t s w e r e c a p a b l e o f s u c c e s s w i t h v e r b a l p r o b l e m s . T h o u g h C a r l r a n k e d v e r b a l p r o b l e m s l o w a s a c o u r s e o b j e c t i v e , h i s 4 5 0 i n s t r u c t i o n w a s b o t h l o n g e r a n d m o r e i n t e r a c t i v e f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , b e c a u s e t h e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t p r o v i d e d a b e t t e r e n v i r o n m e n t f o r a c c o m p l i s h i n g t h o s e o b j e c t i v e s h e r a n k e d h i g h e s t . T h e s t u d y i d e n t i f i e d t w o o t h e r c l a s s e s o f t e a c h e r p e r c e p t i o n s w h i c h h a d i m p l i c a t i o n s f o r d e v e l o p e d i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s , n a m e l y t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s o f s t u d e n t c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s , a n d t h e t e a c h e r s ' r o l e i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . B e t t y ' s e x p e c t a t i o n s f o r s t u d e n t s w e r e l o w f o r v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , a n d c o m b i n e d w i t h h e r p e r c e i v e d r o l e a s m e d i a t o r o f t e x t b o o k c o n t e n t r e s u l t e d i n p r e d i c t a b l e i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s b u i l t a r o u n d t e x t b o o k p r e s e n t a t i o n s . A l i c e a n d C a r l ' s p e r c e p t i o n s o f s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s w e r e s i m i l a r , t h o u g h m o r e a p p a r e n t a n d o p e r a b l e f o r A l i c e . H o w e v e r b e c a u s e o f d i f f e r i n g p e r c e p t i o n s o f t h e i r r o l e s i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s , t h e i r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s w e r e n o t a b l y d i f f e r e n t . A l i c e m o l d e d h e r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e t o f i t h e r r o l e a s h e l p e r a n d m e n t o r a n d t o a c c o m m o d a t e p e r c e i v e d s t u d e n t w e a k n e s s e s a n d n e e d s . O n t h e o t h e r h a n d , C a r l d e s i g n e d h i s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e t o e n c o u r a g e c h a n g e a n d i m p r o v e m e n t i n p e r c e i v e d a r e a s o f s t u d e n t w e a k n e s s , a n d f a c i l i t a t e g r e a t e r s t u d e n t a w a r e n e s s o f t h e i r 4 5 1 t h i n k i n g p r o c e s s e s , a n d t h e r e f o r e b e c o m e m o r e r e s p o n s i b l e f o r t h e i r l e a r n i n g . O f t h e t h r e e t e a c h e r s , o n l y B e t t y e x p r e s s e d s o m e u n c e r t a i n t y a n d i n s e c u r i t y i n h e r a b i l i t y t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , a n d a l s o m e n t i o n e d a n e f f e c t i v e r e a s o n ( i n b r e d a n x i e t y ) f o r s t u d e n t s ' d i f f i c u l t y i n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . G e n e r a l l y h e r i n s t r u c t i o n r e f l e c t e d a n e u t r a l a t t i t u d e t o w a r d s v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , s o m e - t h i n g s h e w a s o b l i g a t e d t o t e a c h b e c a u s e i t w a s i n t h e t e x t b o o k . H o w e v e r t h e r e w e r e s e v e r a l o b s e r v e d o c c a s i o n s , w h e n i n b e g i n n i n g n e w v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , h e r s u b t l e c o m m e n t s i n d i c a t e d a m o r e n e g a t i v e a t t i t u d e , a n d s h e n e v e r s c o l d e d o r c o r r e c t e d s t u d e n t s w h o i n d i c a t e d t h e i r d i s p l e a s u r e f o r v e r b a l p r o b l e m s b y h o w l i n g o r o t h e r w i s e c o m m e n t i n g o u t l o u d . H e r c l a s s ' s a t t i t u d e t o w a r d s v e r b a l p r o b l e m s w a s m o r e n e g a t i v e t h a n t h e o t h e r t w o c l a s s e s , a n d s u g g e s t e d t h a t t e a c h e r s ' a t t e m p t s t o m a s k t h e i r a t t i t u d e s a n d b e l i e f s f r o m s t u d e n t s , a n d a v o i d t r a n s m i t t i n g t h e m t o t h e i r s t u d e n t s , e v e n w h e n t h e y a r e a w a r e o f t h e m ( w h i c h i n B e t t y ' s c a s e w a s s o m e w h a t q u e s t i o n a b l e ) , i s n o t l i k e l y t o b e s u c c e s s f u l . 4 5 2 T h e s t u d y ’ s f i n d i n g s s u g g e s t e d a p o s s i b l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l e n g t h o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e a n d t h e d o m i n a n c e a m o n g v a r i o u s c o n c e p t u a l i z a t i o n s t e a c h e r s u s e i n d e s i g n i n g t h e s p e c i f i c n a t u r e o f t h e i r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s . W i t h t h e l e a s t t e a c h i n g e x p e r i e n c e , B e t t y ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e w a s l a r g e l y d e t e r m i n e d b y h e r p e r c e p t i o n s o f t h e c o n t e n t p u r p o s e s f o r t h e c o u r s e , a n d s h o w e d m i n i m a l a w a r e n e s s o r c o n c e r n f o r s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s . W i t h g r e a t e r t e a c h i n g e x p e r i e n c e , C a r l w a s m o r e a w a r e o f s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s , t h o u g h t h e s e b e l i e f s w e r e s t i l l p r o n e t o f l u c t u a t i o n s g a i n e d f r o m n e w e x p e r i e n c e , a n d r e m a i n e d a t a n u n c o n s c i o u s l e v e l o f t h o u g h t . H i s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e r e p r e s e n t e d a b l e n d i n g o f h i s p e r c e p t i o n s o f c o u r s e o b j e c t i v e s a n d p u r p o s e s w i t h h i s b e l i e f s a b o u t s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s . W i t h t h e m o s t t e a c h i n g e x p e r i e n c e , A l i c e ’ s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e w a s m o s t l y s h a p e d b y h e r p e r c e p t i o n s o f s t u d e n t s ' c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s , w h i c h w e r e h i g h l y c o n s c i o u s a n d s o l i d i f i e d t o t h e p o i n t t h a t n e w l y e n c o u n t e r e d e x p e r i e n c e w a s n o t l i k e l y t o c h a n g e o r m o d i f y t h e m . T h e s u g g e s t i o n i s t h a t t e a c h e r s ' p e r c e p t i o n s c h a n g e w i t h g a i n e d t e a c h i n g e x p e r i e n c e i n p r e d i c t a b l e w a y s , t h o u g h d u e t o 4 5 3 t h e s m a l l s a m p l e o f t e a c h e r s i n t h e s t u d y , i t i s e q u a l l y p l a u s i b l e t h a t t h e s e d i f f e r i n g c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s o f t e a c h e r o p e r a t i o n d e v e l o p e d i n d e p e n d e n t l y o f e x p e r i e n c e . R e c o m m e n d a t i o n s 1 . T h e p u r p o s e a n d r e l a t e d i n s t r u c t i o n a l o b j e c t i v e s f o r t h e i n c l u s i o n o f v e r b a l p r o b l e m s i n t h e . A l g e b r a I c o u r s e r e m a i n s a t r o u b l e s o m e i s s u e f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s , t e x t b o o k a u t h o r s , a n d p r a c t i t i o n e r s ( t e a c h e r s ) , a n d n e e d s f u r t h e r c l a r i f i c a t i o n a n d r e s o l u t i o n . E d u c a t o r s b e l i e v e v e r b a l p r o b l e m s o c c u p y a b r o a d m i d d l e g r o u n d b e t w e e n e x e r c i s e s a n d " g e n u i n e " p r o b l e m s o l v i n g . T e x t b o o k d e s i g n s b a s e d o n p l a c e m e n t a n d o r g a n i z a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s e t s i n d i c a t e d d i f f e r i n g d e g r e e s o f p r i m a c y g i v e n f o r a p p l i c a t i o n a n d p r o b l e m s o l v i n g f u n c t i o n s . T h e A l g e b r a I t e a c h e r s b e l i e v e d t h a t v e r b a l p r o b l e m s i m p r o v e d s t u d e n t s ' r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n a n d m a t h e m a t i c a l t r a n s l a t i o n a b i l i t i e s , a s w e l l a s t h e i r a b i l i t y t o t h i n k l o g i c a l l y a n d s e q u e n t i a l l y , t h o u g h s p e c i f y i n g h o w t h e s e o b j e c t i v e s a r e a c c o m p l i s h e d b y v e r b a l p r o b l e m s r e m a i n s l e s s c l e a r . I f i m p r o v i n g s t u d e n t s ' r e a d i n g c o m p r e h e n s i o n w a s a n i m p o r t a n t o b j e c t i v e f o r t h e t e a c h e r s , o n e w o n d e r s w h y t e a c h e r s 4 5 4 p r o v i d e d n o o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o r e a d m a t h e m a t i c a l t e x t o t h e r t h a n v e r b a l p r o b l e m s . T h e s t u d y ' s f i n d i n g s s u p p o r t e d o t h e r r e s e a r c h r e s u l t s i n d i c a t i n g m i n i m a l t r a n s f e r e f f e c t s f r o m v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n s t o " g e n u i n e " p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n s . T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t C a r l ' s v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n p r o v i d e s a p o s s i b l e g u i d e l i n e f o r t h e d i r e c t i o n t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n s h o u l d a t t e m p t t o m o v e . T e a c h e r s s h o u l d c o n n e c t t h e c o n t e x t s a n d c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s c o n t a i n e d i n v e r b a l p r o b l e m s e t s t o m o r e r e a l i s t i c s i t u a t i o n s i n t h e i r i n s t r u c t i o n , a n d i n v o l v e t h e i r s t u d e n t s m o r e a c t i v e l y i n t h e s o l u t i o n p r o c e s s , a n d i n w h i c h t e a c h e r s c a n t h e n r e i n f o r c e t h e n e e d f o r a n d i m p o r t a n c e o f " t h i n k i n g a l g e b r a i c a l l y " i n p r o b l e m s i t u a t i o n s . S i n c e o n l y o n e t e a c h e r a p p e a r e d c o n s c i o u s l y a w a r e o f t h e i r p e r c e p t i o n s a n d a s s o c i a t e d i n f l u e n c e o n t h e i r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s , t e a c h e r s s h o u l d p e r i o d i c a l l y b e p r o v i d e d o p p o r t u n i t i e s t o p a r t i c i p a t e i n t r a i n i n g a c t i v i t i e s w h i c h a i d t h e i r a b i l i t i e s t o i d e n t i f y a n d r e f l e c t u p o n t h e i r d e v e l o p e d c o n c e p t u a l i z a t i o n s o f t h e i n s t r u c t i o n a l g o a l s f o r t h e c o u r s e s t h e y t e a c h , o f t h e c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s o f s t u d e n t s t h e y t e a c h , a n d o f t h e i r r o l e a n d p r e f e r r e d t e a c h i n g 4 5 5 s t y l e . I n s o m e o f t h e s e a r e a s , s u c h i d e n t i f i c a t i o n a n d a w a r e n e s s i n s t r u m e n t s a r e p r e s e n t l y a v a i l a b l e , w h i l e f o r o t h e r a r e a s t h e y a r e n o t . T h e s e s u g g e s t e d t r a i n i n g a c t i v i t i e s s h o u l d b e c a r r i e d o u t i n a c o n f i d e n t i a l a n d n o n t h r e a t e n i n g m a n n e r , a n d b e d i r e c t e d b y e i t h e r d e s i g n a t e d " m a s t e r t e a c h e r s " o f a s c h o o l d i s t r i c t o r b y c o n s u l t i n g t e a m s f r o m o u t s i d e t h e s c h o o l d i s t r i c t a t r e g u l a r t w o o r t h r e e y e a r i n t e r v a l s , w i t h v o l u n t a r y t e a c h e r p a r t i c i p a t i o n , a n d a l s o s h o u l d b e d o n e i n p r e s e r v i c e m e t h o d s c o u r s e s . T h e t r a i n i n g s h o u l d i n c r e a s e t e a c h e r s ’ a w a r e n e s s o f t h e i r o p e r a t i o n a l f r a m e w o r k s , a n d t e a c h i n g s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s , w h i l e t o a l e s s e r e x t e n t , e n c o u r a g i n g t e a c h e r s t o c o n s t a n t l y r e f l e c t u p o n a n d e v a l u a t e t h e i r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e , a n d c o n s i d e r c h a n g e s t h e y m i g h t i n s t i t u t e d u e t o t h e i r i n c r e a s e d a w a r e n e s s . I n s e r v i c e p r o g r a m s d e s i g n e d t o b r i n g a b o u t c h a n g e i n t e a c h e r s ' u s a g e o f i n s t r u c t i o n a l m e t h o d s h a v e b e e n o n l y m a r g i n a l l y s u c c e s s f u l , a n d t h e r e i s s o m e q u e s t i o n w h e t h e r e s t a b l i s h e d t e a c h e r c o n c e p t i o n s c a n b e m o d i f i e d a t a l l ( T h o m p s o n , 1 9 8 5 ) , y e t t h e s u g g e s t e d t r a i n i n g a c t i v i t i e s a p p e a r a l o g i c a l f i r s t s t e p i n b r i n g i n g a b o u t c h a n g e . 4 . 4 5 6 . A s a n e x t e n s i o n o f t h e a b o v e r e c o m m e n d a t i o n , t e a c h e r e v a l u a t o r s ( p r i m a r i l y b u i l d i n g p r i n c i p a l s ) s h o u l d b e a d d i t i o n a l l y t r a i n e d i n h o w t o c h a r a c t e r i z e t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s , r a t h e r t h a n j u s t f o c u s i n g o n t e a c h e r a c t i o n s a n d p e r f o r m a n c e o f d u t i e s . F o l l o w u p d i s c u s s i o n s c o u l d t h e n b e b r o a d e n e d b e y o n d i d e n t i f i c a t i o n o f t e a c h e r s ' s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s t o i n c l u d e w h y t e a c h e r s r a t i o n a l l y s e l e c t t h e r o u t i n e s t h e y u s e , a n d h o w s u c h r o u t i n e s c o u l d b e m a d e m o r e e f f i c i e n t t o i m p r o v e s t u d e n t l e a r n i n g , a n d e v e n m o d i f i e d i f b o t h p a r t i e s f e l t s u c h a c t i o n w a s n e c e s s a r y . L e s s e x p e r i e n c e d t e a c h e r s , s u c h a s B e t t y , a r e l i k e l y t o m a i n t a i n s t a b l e a n d l a r g e l y i n e f f e c t i v e r o u t i n e s u n l e s s i n t e r v e n t i o n s m a k e t h e m a w a r e o f t h e i r c o n c e p t i o n s ’ i m p a c t o n t h e i r i n s t r u c t i o n a n d p r o v i d e t h e m r e a l i s t i c a l t e r n a t i v e s t o c o n s i d e r . T h e r o l e t h a t t e a c h i n g e x p e r i e n c e e x e r t s o n t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s a n d t h e r e s u l t i n g i m p a c t o n i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e d e s i g n n e e d s f u r t h e r s t u d y . T h e s t u d y ' s f i n d i n g s i n d i c a t e d a m i n o r t r e n d w h e r e i n s e r v i c e t e a c h e r s w e r e d o m i n a t e d b y o n e c o n c e p t i o n f o r a p e r i o d o f y e a r s , w e r e t h e n s o m e w h a t m o r e f l e x i b l e f o r a p e r i o d o f y e a r s , a n d 4 5 7 “ t h e n b e c a m e m o r e i n f l e x i b l e a s t h e y n e a r e d r e t i r e m e n t . A l i c e m a y h a v e p a s s e d t h r o u g h s u c h s t a g e s , a n d t h o u g h h e r i n s t r u c t i o n a p p e a r e d e f f e c t i v e f o r s t u d e n t l e a r n i n g ( p a r t i c u l a r l y r e t e n t i o n ) , t h e i n v e s t i g a t o r c o u l d n o t h e l p b u t s e n s e p e s s i m i s t i c o v e r t o n e s o f r e s i g n a t i o n w i t h i n A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e , w h e r e h e r t e a c h i n g w a s d i r e c t e d a t a c c o m p l i s h i n g s i m p l i s t i c g o a l s . T h e r e f o r e i n s e r v i c e i n t e r v e n t i o n s s h o u l d b e d i f f e r e n t i a l l y s t r u c t u r e d f o r t e a c h e r s w i t h d i f f e r i n g a m o u n t s o f t e a c h i n g e x p e r i e n c e . E a r l y i n t e r v e n t i o n s s h o u l d f o c u s o n b r o a d e n i n g t e a c h e r s ' c o n c e p t i o n a w a r e n e s s , a n d t r a i n t e a c h e r s t o b e m o r e r e f l e c t i v e e v a l u a t o r s o f t h e i r l e s s o n d e s i g n s . M o r e e x p e r i e n c e d t e a c h e r s s h o u l d g a i n m o r e f r o m a d i s c u s s i o n o f a n d r a t i o n a l e s f o r a l t e r n a t i v e i n s t r u c t i o n a l m e t h o d s , a n d y e t r e m a i n f l e x i b l e e n o u g h t o e x p e r i m e n t w i t h i n n o v a t i v e i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s a n d t e a c h i n g m e t h o d s . T h e i n v e s t i g a t o r h a s w i t n e s s e d s o m e d r a m a t i c c h a n g e s i n e x p e r i e n c e d e l e m e n t a r y t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n g a i n e d f r o m t h e i r p a r t i c i p a t i o n i n a s u m m e r p r o b l e m s o l v i n g w o r k s h o p , a n d a s i m i l a r l y t i m e d i n t e r v e n t i o n f o r s e c o n d a r y t e a c h e r s m i g h t h a v e s i m i l a r e f f e c t s . I n t e r v e n t i o n s f o r t h e m o s t e x p e r i e n c e d t e a c h e r s . 5 - 4 5 8 s h o u l d f o c u s o n r e n e w i n g t h e e x c i t e m e n t f o r t e a c h i n g t h e y o n c e p o s s i b l y e x h i b i t e d b y d e m o n s t r a t i n g h o w t h e i r d e v e l o p e d c o n c e p t i o n s a n d i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s m a y b e i n h i b i t i n g s t u d e n t s ' p o t e n t i a l t o g r o w a n d l e a r n i n d e p e n d e n t l y o f a t e a c h e r . T e a c h e r V e r b a l S u g g e s t i o n s ' I n f l u e n c e o n S t u d e n t A t t e n t i o n a n d P e r f o r m e p e e T h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e d t h a t t e a c h e r s ' v e r b a l s u g g e s t i o n s , g i v e n d u r i n g i n s t r u c t i o n a l e p i s o d e s , i n f l u e n c e d s t u d e n t a t t e n t i o n a n d r e s u l t i n g p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . P o l y a ( 1 9 5 7 ) b e l i e v e d p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n s h o u l d a s s i s t s t u d e n t s i n i n t e r n a l i z i n g t h e q u e s t i o n s w i t h i n t h e p h a s e s o f h i s m o d e l a n d r e s u l t i n s t u d e n t s o p e r a t i n g u n d e r t h e i r i n f l u e n c e i n p r o b l e m s o l v i n g s e t t i n g s . v y g o t s k y ( 1 9 7 8 ) s i m i l a r l y e m p h a s i z e d e x t e r n a l t o i n t e r n a l d i m e n s i o n s o f c o n c e p t u a l e v o l u t i o n , a n d s o u g h t w a y s t h a t t e a c h e r s c o u l d e n h a n c e s t u d e n t s ' p r o b l e m s o l v i n g c a p a b i l i t i e s b y m o d e l i n g h e u r i s t i c s u g g e s t i o n s t h a t w o u l d g r a d u a l l y b e i n t e r n a l i z e d b y t h e s t u d e n t s . H e n c e i t a p p e a r s t h a t t e a c h e r s d o e n h a n c e t h i s t r a n s i t i o n f r o m e x t e r n a l t o i n t e r n a l d i m e n s i o n t h r o u g h s o m e c o m b i n a t i o n o f e x p l i c i t v e r b a l s u g g e s t i o n s a n d t e a c h e r m o d e l i n g . T h e r o l e o f t e a c h e r s ’ v e r b a l s u g g e s t i o n s i n t h i s t r a n s i t i o n p r o c e s s w a s o n e f o c u s f o r t h i s i n v e s t i g a t i o n a n d t w o r e l a t e d h y p o t h e s e s 4 5 9 w e r e s u g g e s t e d . H y p o t h e s i s 5 : G r e a t e r q u a n t i t y o f t e a c h e r p r o v i d e d s u g g e s t i o n s f o r s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m t y p e s p r o v i d e s g u i d e l i n e s f o r s t u d e n t c l a s s i f i c a t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s b y t y p e , w h i c h i n t u r n i m - p r o v e s s t u d e n t p e r f o r m a n c e o f f a m i l i a r p r o b l e m t y p e s , a n d i n h i b i t s s t u d e n t p e r f o r m a n c e o f l e s s f a m i l i a r t y p e s . H y p o t h e s i s 6 : T h e f o r m a t i n w h i c h a t e a c h e r ' s o r a l s u g g e s t i o n i s f r a m e d ( q u e s t i o n o r * s t a t e m e n t ) d o e s h a v e a n i n f l u e n c e o n t h e d e g r e e o f s t u d e n t t h i n k i n g o r a c t i v e p r o c e s s i n g . I n p a r t i c u l a r , a s u g g e s t i o n p r e s e n t e d i n a q u e s t i o n f o r m a t h a s g r e a t e r i m p a c t o n s t u d e n t a t t e n t i o n a n d a c t i v e p r o c e s s i n g . T h e t w o h y p o t h e s e s f o c u s o n t w o a s p e c t s o f t e a c h e r s ’ o r a l s u g g e s t i o n s , t h e q u a n t i t y a n d p r e f e r r e d f o r m a t ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) e m p l o y e d . I t w a s b e l i e v e d t h a t t h e q u a n t i t y o f a t e a c h e r ' s s u g g e s t i o n s p o s i t i v e l y i n f l u e n c e d t h e q u a l i t y o f s t u d e n t s ' d e v e l o p e d s c h e m a t a f o r t h e v a r i o u s v e r b a l p r o b l e m t y p e s , w h i l e a g r e a t e r q u a n t i t y o f q u e s t i o n f o r m a t s w a s b e l i e v e d t o e n h a n c e s t u d e n t a t t e n t i o n a n d p a r t i c i p a t i o n a n d h e n c e r e s u l t i n b e t t e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e a n d l e a r n i n g . R e s e a r c h s t u d i e s b y E v e r t s o n e t a l ( 1 9 8 0 ) a n d F r i e d m a n a n d S t o m p e r ( 1 9 8 8 ) i n d i c a t e d t h a t m o r e e f f e c t i v e j u n i o r h i g h s c h o o l a n d c o l l e g e t e a c h e r s a s k e d m o r e p r o c e s s q u e s t i o n s a n d e l i c i t e d m o r e c o r r e c t r e s p o n s e s t o a l l t y p e s o f q u e s t i o n s i n t h e i r i n s t r u c t i o n , a n d t h a t m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r s u s e d a g r e a t e r p e r c e n t a g e o f i n t e r r o g a t i v e f o r m a t s ( q u e s t i o n s ) a s t h e i r i n s t r u c t i o n a l m o d e o f c h o i c e d u r i n g a l l p h a s e s o f a 4 6 0 l e s s o n . T h e r e l a t e d p e r c e n t a g e f i g u r e s o f i n t e r r o g a t i v e f o r m a t s u s e d b y m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r s w a s 4 6 p e r c e n t i n t h e j u n i o r h i g h s e t t i n g ( E v e r t s o n e t a 1 , 1 9 8 0 , p . 1 7 2 ) a n d 7 1 p e r c e n t i n t h e c o l l e g e s e t t i n g ( F r i e d m a n a n d S t o m p e r , 1 9 8 8 , p . 1 7 2 ) . F i n d i n g s T h e a n a l y s i s o f t e a c h e r s ’ o r a l s u g g e s t i o n s i s n o t a w e l l d e f i n e d d o m a i n a t p r e s e n t , a n d t h e i n v e s t i g a t o r ' s w o r k i n t h i s a r e a c a n b e s t b e d e s c r i b e d a s e x p l o r a t o r y . T e a c h e r s ' o r a l s u g g e s t i o n s w e r e t a k e n f r o m t h e i n v e s t i g a t o r ' s f i e l d n o t e s a n d c l a s s i f i e d a l o n g t h r e e d i m e n s i o n s , c o n t e n t f o c u s ( g e n e r a l m o d e l , t o o l s k i l l s , t a s k - s p e c i f i c h e u r i s t i c o r g e n e r a l h e u r i s t i c ) , l e s s o n s e g m e n t p l a c e m e n t ( h o m e w o r k r e v i e w , l e s s o n d e v e l o p m e n t , o r c o n t r o l l e d p r a c t i c e / s e a t w o r k ) , a n d o r a l f o r m a t ( q u e s t i o n o r s t a t e m e n t ) . T h e s t u d y ’ s r e s u l t s p r o v i d e d l i t t l e s u p p o r t f o r t h e h y p o t h e s i s t h a t r e l a t i v e q u a n t i t i e s o f t e a c h e r s ’ o r a l s u g g e s t i o n s r e l a t e d t o s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m t y p e s i n f l u e n c e d s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e s e s a m e v e r b a l p r o b l e m t y p e s , p r i m a r i l y b e c a u s e s o f e w o f t e a c h e r s ’ o r a l s u g g e s t i o n s w e r e c l a s s i f i e d a s t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s . T h e g r e a t e s t q u a n t i t y o f e a c h t e a c h e r s ’ s u g g e s t i o n s ( o v e r 4 0 p e r c e n t f o r a l l t h r e e t e a c h e r s ) r e l a t e d t o t o o l s k i l l s s u c h a s h O W ' t O u s e a d i a g r a m , c h a r t , o r t a b l e o r t o w a r d s i m p r o v i n g s p e c i f i c p r o c e s s e s o f t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e . 4 6 1 T h e q u a n t i t i e s o f t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s w e r e m u c h l o w e r f o r t h e t h r e e t e a c h e r s , 1 8 f o r A l i c e , 7 f o r B e t t y , a n d 1 0 f o r C a r l , a n d s o s e p a r a t i n g t h e m a c c o r d i n g t o v e r b a l p r o b l e m t y p e s w a s r a t h e r m e a n i n g l e s s . A l i c e ' s g r e a t e r q u a n t i t y o f t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s u g g e s t i o n s m i g h t h a v e a c c o u n t e d f o r s o m e o f t h e i m p r o v e d p e r f o r m a n c e n o t e d f o r h e r c l a s s o n t h e r e t e n t i o n t e s t . H o w e v e r t h e e x t e n t o f t h i s e f f e c t c a n n o t b e s e p a r a t e d f r o m t h a t r e s u l t i n g f r o m t h e a d d i t i o n a l s t u d e n t p r a c t i c e o f a l l v e r b a l p r o b l e m t y p e s p r o v i d e d o n l y w i t h i n A l i c e ' s i n s t r u c t i o n . T h e f i n d i n g s o f f e r e d g r e a t e r s u p p o r t f o r t h e n o t i o n t h a t g r e a t e r t e a c h e r m o d e l i n g a n d e x p l i c i t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m t y p e s o f t h e c o r e c o n t e n t , r e s u l t e d i n b e t t e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e p o s t t e s t f o r t h o s e s a m e v e r b a l p r o b l e m t y p e s . A l l t h r e e c l a s s e s d i d p o o r l y o n t h e a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e , d u e t o t h e i n c l u s i o n o f a n " i m p o s s i b l e " a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e o n a l l p o s t t e s t f o r m s , a n d h e n c e t h i s p r o b l e m t y p e i s n o t c o n s i d e r e d i n t h e s e c l a s s r o o m c o m p a r i s o n s . T h e c o i n / m o n e y r e l a t e d a n d d i s t a n c e / r a t e / t i m e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s p r e s e n t e d t h e m o s t d i f f i c u l t y f o r A l i c e ' s s t u d e n t s o n t h e p o s t t e s t . T h e c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e r e c e i v e d t h e l e a s t i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d m o d e l i n g ( o n e d a y ) o f t h e s i x p r o b l e m t y p e s i n A l i c e ' s i n s t r u c t i o n . A n o t h e r p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r s t u d e n t s ' l o w e r e d p e r f o r m a n c e o n t h e s e t w o p r o b l e m t y p e s r e l a t e d t o A l i c e ' s i n s t r u c t i o n a l 4 6 2 e m p h a s i s o n m e c h a n i c a l t r a n s l a t i o n m e a n s f o r f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s , w h e r e a s t h e s e t w o v e r b a l p r o b l e m t y p e s r e q u i r e d g r e a t e r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e c e n t r a l r e l a t i o n s h i p s t o f a c i l i t a t e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T h e i n t e g e r r e l a t e d a n d g e o m e t r i c o r i e n t e d p r o b l e m t y p e s p r e s e n t e d t h e m o s t d i f f i c u l t y f o r B e t t y ' s s t u d e n t s o n b o t h t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t . T h e i n t e g e r r e l a t e d p r o b l e m t y p e r e c e i v e d m i n i m a l i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t ( o n e e x a m p l e d e m o n s t r a t e d ) , a n d B e t t y ' s i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f t h e g e o m e t r i c o r i e n t e d p r o b l e m t y p e w a s m o s t l y d i s o r g a n i z e d , m u c h i n t h e s a m e w a y h e r e m p l o y e d t e x t b o o k t r e a t e d t h i s v e r b a l p r o b l e m t y p e . S t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r c o i n / m o n e y r e l a t e d , d i s t a n c e / r a t e / t i m e r e l a t e d a n d a g e r e l a t e d p r o b l e m t y p e s w a s s o m e w h a t b e t t e r , a n d i n t e r e s t i n g l y a l l t h r e e o f t h e s e p r o b l e m t y p e s w e r e o r g a n i z e d i n t o s e p a r a t e t e x t b o o k s e c t i o n s , a n d h e n c e r e c e i v e d g r e a t e r a n d m o r e o r g a n i z e d t r e a t m e n t b y B e t t y . W i t h t h e e x c e p t i o n o f s i m p l e t r a n s l a t i o n p r o b l e m t y p e s , C a r l ’ s i n s t r u c t i o n g a v e e q u a l t r e a t m e n t f o r t h e o t h e r f i v e v e r b a l p r o b l e m t y p e s , a n d h e n c e i t w a s s o m e w h a t s u r p r i s i n g t h a t h i s s t u d e n t s s c o r e d l o w e r o n t h e c o i n / m o n e y r e l a t e d p r o b l e m t y p e . L o w e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h i s v e r b a l p r o b l e m t y p e w a s m o s t l i k e l y d u e t o t h e d i f f e r e n t c o n t e x t u s e d i n o n e o f t h e t w o d e s i g n e d p r o b l e m s o f t h e p o s t t e s t r e l a t e d t o t h i s p r o b l e m 4 6 3 t y p e , w h i c h c o m p a r a t i v e l y l o w e r e d s t u d e n t s c o r e s m o r e t h a n f o r t h e o t h e r p r o b l e m t y p e s . T h e r e w a s g r e a t e r v a r i a t i o n b e t w e e n t e a c h e r s ' o r a l s u g g e s t i o n s w i t h r e g a r d s t o t h e r e l a t i v e f r e q u e n c y o f q u e s t i o n o r s t a t e m e n t f o r m a t s f o r t h e i r s u g g e s t i o n s . O r a l s u g g e s t i o n s w e r e p h r a s e d a s q u e s t i o n s 1 4 p e r c e n t o f t h e t i m e b y A l i c e , 2 9 p e r c e n t o f t h e t i m e b y B e t t y , a n d 5 0 p e r c e n t o f t h e t i m e b y C a r l . I n e v a l u a t i n g s t u d e n t a t t e n t i o n p a t t e r n s f o r t h e t h r e e c l a s s e s , t h e i n v e s t i g a t o r s e n s e d t h a t m o s t o f C a r l ' s s t u d e n t s w e r e a c t i v e l y a t t e n t i v e t o h i s i n s t r u c t i o n , m o s t o f A l i c e ' s s t u d e n t s w e r e p a s s i v e l y a t t e n t i v e t o h e r i n s t r u c t i o n , a n d m o s t o f B e t t y ' s s t u d e n t s w e r e i n a t t e n t i v e , a n d t h o s e s t u d e n t s w h o w e r e a t t e n t i v e t o h e r i n s t r u c t i o n w e r e p r i m a r i l y p a s s i v e . H e n c e t h e f i n d i n g s f o r C a r l ' s c l a s s i n d i c a t e d t h a t a g r e a t e r u s a g e o f q u e s t i o n f o r m a t s w i t h i n h i s i n s t r u c t i o n e n c o u r a g e d m o r e a c t i v e s t u d e n t a t t e n t i o n a n d i n v o l v e m e n t i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s . O n t h e o t h e r h a n d , t e a c h e r s ' s u g g e s t i o n s c o m p o s e d m a i n l y o f d e c l a r a t i v e f o r m a t s r e s u l t e d i n m o r e p a s s i v e s t u d e n t a t t e n t i o n ( A l i c e ' s c l a s s ) o r e v e n a h i g h d e g r e e o f s t u d e n t i n a t t e n t i o n ( B e t t y ' s c l a s s ) , p o s s i b l y b e c a u s e d e c l a r a t i v e f o r m a t s f a i l t o s t i m u l a t e s t u d e n t a t t e n t i o n , a n d a c t u a l l y d i s c o u r a g e f u r t h e r s t u d e n t i n t e r a c t i o n a n d d i s c u s s i o n . R e g a r d l e s s o f w h e t h e r o n e u s e s t h e s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n s o f e a c h t e a c h e r ' s i n s t r u c t i o n a l s e g m e n t s o r 4 6 4 t h e s t u d e n t s ’ p o s t t e s t r e s u l t s a s m e a s u r e s o f t e a c h i n g e f f e c t i v e n e s s , C a r l e m e r g e s a s t h e m o s t e f f e c t i v e o f t h e t h r e e t e a c h e r s i n t h e s t u d y . T h e r e f o r e t h e f i n d i n g s s u p p o r t o t h e r r e s e a r c h r e s u l t s i n d i c a t i n g t h a t m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r s u s e a h i g h e r p e r c e n t a g e o f i n t e r r o g a t i v e f o r m a t s i n t h e i r i n s t r u c t i o n . I t i s a l s o n o t e w o r t h y t h a t C a r l u s e d a s l i g h t l y h i g h e r p e r c e n t a g e o f i n t e r r o g a t i v e f o r m a t s ( 5 0 p e r c e n t o f t h e t i m e ) i n h i s i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s t h a n d i d t h e m o r e e f f e c t i v e t e a c h e r s i n t h e E v e r t s o n s t u d y o f j u n i o r h i g h s t u d e n t s ( 4 6 p e r c e n t o f t h e t i m e , E v e r t s o n e t a l , 1 9 8 0 ) . C o n c l u s i o n s 1 . T h e r e w e r e o n l y m i n o r v a r i a t i o n s b e t w e e n b o t h t e a c h e r s ’ d a i l y q u a n t i t y o f o r a l s u g g e s t i o n s a n d t h e q u a n t i t y o f s u g g e s t i o n s d i r e c t e d s p e c i f i c a l l y t o w a r d s i m p r o v i n g s c h e m a d e v e l o p m e n t ( t a s k s p e c i f i c h e u r i s t i c s ) f o r t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s o f t h e c o r e c o n t e n t . T h e r e f o r e , c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s f o r t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s w e r e m o r e l i k e l y d u e t o r e s p e c t i v e t e a c h e r s a n d t e x t b o o k s p r o v i d i n g l e s s i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t o f c e r t a i n v e r b a l p r o b l e m t y p e s , a n d h e n c e l e s s s t u d e n t e x p o s u r e a n d p r a c t i c e . O t h e r m i n o r i n f l u e n c e s s u c h a s s p e c i f i c c h a r a c t e r i s t i c s o f c e r t a i n o f t h e p o s t t e s t i t e m s a n d o n e t e a c h e r ' s e m p h a s i s o n 4 6 5 m e c h a n i c a l m e a n s f o r f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s a d d i t i o n a l l y e x p l a i n e d c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s f o r t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s . S i n c e A l i c e ' s c l a s s o u t p e r f o r m e d t h e o t h e r t w o c l a s s e s f o r e v e r y v e r b a l p r o b l e m t y p e o n t h e r e t e n t i o n t e s t , a n d A l i c e p r o v i d e d t h e g r e a t e s t n u m b e r o f t a s k s p e c i f i c s u g g e s t i o n s o f t h e t h r e e t e a c h e r s , a m i n o r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n q u a n t i t y a n d s t u d e n t r e t e n t i o n o f v e r b a l p r o b l e m t y p e s e e m s t o b e w a r r a n t e d . T h e s t u d y ' s f i n d i n g s i n d i c a t e d t h a t t h e w a y a t e a c h e r f r a m e s t h e i r o r a l s u g g e s t i o n s , e i t h e r a s a q u e s t i o n o r s t a t e m e n t , s t r o n g l y i n f l u e n c e d s t u d e n t a t t e n t i o n a n d i n t e r a c t i o n d u r i n g t h e i n s t r u c t i o n a l l e a r n i n g p r o c e s s . B a s e d o n s u b j e c t i v e e v a l u a t i o n s o f e a c h t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a n d b e t t e r c l a s s p o s t t e s t p e r f o r m a n c e , C a r l w a s c o n s i d e r e d t h e m o s t e f f e c t i v e o f t h e t h r e e t e a c h e r s . H i s i n s t r u c t i o n c o n t a i n e d t h e h i g h e s t r e l a t i v e p e r c e n t a g e o f i n t e r r o g a t i v e f o r m a t s f o r h i s s u g g e s t i o n s , a n d h i s c l a s s w a s h i g h l y i n t e r a c t i v e a n d i n v o l v e d . G r e a t e r u s a g e o f m o s t l y d e c l a r a t i v e f o r m a t s f o r s u g g e s t i o n s r e s u l t e d i n s t u d e n t s b e i n g m o s t l y p a s s i v e l y a t t e n t i v e d u r i n g t h e o t h e r t w o t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n , a n d r e q u i r e d 4 6 6 t e a c h e r s t o m o r e c a r e f u l l y m o n i t o r t h e i r c l a s s e s t o m a i n t a i n s t u d e n t a t t e n t i o n . T h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t s t o o d i n o p p o s i t i o n t o t h e g e n e r a l l y h e l d a s s u m p t i o n t h a t g r e a t e r s t u d e n t i n v o l v e m e n t a n d i n t e r a c t i o n d u r i n g t h e i n t r o d u c t o r y a n d e n c o d i n g p h a s e s o f c o n c e p t a c q u i s i t i o n r e s u l t s i n b e t t e r r e t e n t i o n a n d e a s i e r r e c a l l o f t h e r e l e v a n t c o n c e p t s . F o r t h i s s t u d y o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , t h e a s s u m p t i o n w a s f a l s e . C a r l ’ s c l a s s h a d t h e h i g h e s t l e v e l o f s t u d e n t i n t e r a c t i o n , y e t p e r f o r m e d l o w e r o n t h e r e t e n t i o n t e s t t h a n d i d A l i c e ' s c l a s s o f p a s s i v e l e a r n e r s . T h e r e f o r e , i t a p p e a r s t h a t f o r a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , g r e a t e r i n s t r u c t i o n a l t r e a t m e n t a n d s t u d e n t p r a c t i c e o f v e r b a l p r o b l e m s r e s u l t s i n b e t t e r s t u d e n t r e t e n t i o n o f t h i s c o n t e n t . R e c o m m e n d a t i g n s 1 . T h e l i m i t e d u s a g e o f t a s k s p e c i f i c s u g g e s t i o n s w a s n o t l i k e l y t o a s s i s t s t u d e n t s i n c o n s t r u c t i n g w e l l s t r u c t u r e d a n d d e t a i l e d s c h e m a t a f o r t h e s i x v e r b a l p r o b l e m t y p e s . T h e r e f o r e s t u d e n t p r o b l e m t y p e s c h e m a t a p r o b a b l y w e r e b a s e d m o s t l y o n c o m m o n s u r f a c e a n d c o n t e x t u a l f e a t u r e s o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s a n d a s s o c i a t e d t o o l s k i l l s , s u c h a s u s i n g a t a b l e f o r t h e D / R / T p r o b l e m t y p e . 4 6 7 D u e t o t h e n a t u r e o f r e c e i v e d i n s t r u c t i o n , s t u d e n t s n e i t h e r r e a l i z e d t h e b i g g e r p i c t u r e o f t h e i r e f f o r t s , n a m e l y t h e c o m m o n a l g e b r a i c s t r u c t u r e u n d e r l y i n g a l l s t u d i e d v e r b a l p r o b l e m t y p e s , n o r d e v e l o p e d d e t a i l e d p r o b l e m t y p e s c h e m a t a . I n s t e a d t h e y t e n d e d t o r e l y p r i m a r i l y o n t h e i r a b i l i t y t o m e c h a n i c a l l y t r a n s l a t e p r o b l e m s t a t e m e n t s i n t o v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n s , w h i c h f o r c e r t a i n o f t h e v e r b a l p r o b l e m t y p e s w a s m o r e d i f f i c u l t . T e a c h e r s s h o u l d b r o a d e n t h e i r i n s t r u c t i O n t o i n c l u d e s o m e r e f e r e n c e t o t h e c o m m o n e q u a t i o n s t r u c t u r e f o u n d i n c l a s s e s o f v e r b a l p r o b l e m s , a n d a l s o i n c l u d e d i s c u s s i o n o f t h e p u r p o s e s f o r i n t r o d u c i n g v a r i o u s t o o l s k i l l s , s u c h a s m a k i n g a d i a g r a m o r c o n s t r u c t i n g a t a b l e . T h e i r i n s t r u c t i o n s h o u l d b e t t e r a s s i s t s t u d e n t s i n d e v e l o p i n g m o r e d e t a i l e d a n d c o m p l e t e s c h e m a t a f o r s p e c i f i c v e r b a l p r o b l e m t y p e s . O n e w a y t e a c h e r s c o u l d a c c o m p l i s h t h e s e o b j e c t i v e s w o u l d b e t o h a v e s t u d e n t s c o n s t r u c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s a n d e q u a t i o n s f o r a l l v e r b a l p r o b l e m s o f a s e t , a n d a c t u a l l y d e r i v e s o l u t i o n s f o r a l i m i t e d n u m b e r o f i t e m s i n t h e i r v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s . R e s e a r c h , i n c l u d i n g t h i s s t u d y ' s f i n d i n g s s u p p o r t t h e n e e d f o r t e a c h e r s t o m o r e g r e a t l y 4 6 8 b a l a n c e t h e i r p e d a g o g i c a l m o v e s b e t w e e n d e c l a r a t i v e a n d i n t e r r o g a t i v e f o r m a t s . S u c h b a l a n c e i n c r e a s e d s t u d e n t a t t e n t i o n a n d i n t e r a c t i v e i n v o l v e m e n t , l e a d t o m o r e e f f e c t i v e a n d p r o d u c t i v e i n s t r u c t i o n a l e p i s o d e s , a n d r e s u l t e d i n b e t t e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e . T e a c h e r s s h o u l d b e t r a i n e d t o p o s e b o t h m o r e q u e s t i o n s i n t h e i r i n s t r u c t i o n a n d m o r e p r o c e s s o r i e n t e d q u e s t i o n s t h a t r e q u i r e f u r t h e r i n t e r a c t i v e d i s c u s s i o n a n d e l a b o r a t i o n . S u c h q u e s t i o n s s e e m p a r t i c u l a r l y a p p r o p r i a t e f o r a n y k i n d o f p r o b l e m s o l v i n g c o n t e n t , i n w h i c h t e a c h e r s a l l o w s t u d e n t s t o d i r e c t t h e t e a c h e r ' s m o d e l i n g o f p r o b l e m s o l u t i o n s a s t h e s t u d e n t s v e r b a l i z e t h e i r t h i n k i n g a n d a c t i o n s . C a r l ' s i n s t r u c t i o n a n d c l a s s d e m o n s t r a t e d t h a t t h i s l e v e l o f s t u d e n t w a s c a p a b l e o f s u c h i n t e r a c t i o n a n d d i s c u s s i o n o f s t u d e n t s ' t h i n k i n g p r o c e s s e s . I t a p p e a r s u n r e a l i s t i c t o e x p e c t s t u d e n t s t o p r a c t i c e v e r b a l p r o b l e m s t o t h e e x t e n t A l i c e w a s a b l e t o a c c o m p l i s h i n h e r i n s t r u c t i o n , a n d s t i l l b e a t t e n t i v e l y r e c e p t i v e t o t h e q u a l i t y o f l e s s o n s r e c o m m e n d e d a b o v e . T e a c h e r s ' d a i l y p r a c t i c e a s s i g n m e n t s s h o u l d b e b r i e f ( 3 0 m i n u t e s t o o n e h o u r ) , f o c u s e d o n a l i m i t e d n u m b e r o f c o n c e p t s a n d s k i l l s , a n d b e c a p a b l e o f h i g h r a t e s 4 6 9 o f s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n . v e r b a l p r o b l e m s o r o t h e r a p p l i c a t i o n s s h o u l d n o t b e m i x e d w i t h o t h e r a l g e b r a c o n t e n t i n p r a c t i c e a s s i g n m e n t s . O n e w a y f o r t e a c h e r s t o k e e p v e r b a l p r o b l e m a s s i g n m e n t s m a n a g e a b l e w o u l d b e t o a d o p t t h e f i r s t r e c o m m e n d a t i o n o f h a v i n g s t u d e n t s c o n s t r u c t p a r t i a l s o l u t i o n s f o r a l l v e r b a l p r o b l e m s o f a s e t a n d c o m p l e t e s o l u t i o n s f o r s o m e v e r b a l p r o b l e m s . T e a c h e r s c a n t h e n s t i l l m a i n t a i n t h e i r i n s t r u c t i o n a l p a c e f o r c o v e r i n g t h e c o u r s e c o n t e n t , a n d a l s o p r o v i d e s u f f i c i e n t s t u d e n t p r a c t i c e o f a s s o c i a t e d p r o c e s s e s w i t h i n v e r b a l p r o b l e m s . G e n e r a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e C h a r a c t e r i s t i c s D e s p i t e t h e f a c t t h a t o n l y o n e h y p o t h e s i s r e l a t e d t o s t u d e n t p e r f o r m a n c e , s t u d e n t p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s w e r e a n i m p o r t a n t a s p e c t o f t h e s t u d y . C e r t a i n a s p e c t s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e h a v e a l r e a d y b e e n n o t e d i n p r e v i o u s s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r t o d e m o n s t r a t e p o i n t s r e l a t e d t o t e a c h e r s ' a n d t e x t b o o k s ' p r o v i d e d i n s t r u c t i o n . T h e o n e h y p o t h e s i s a l s o l e n d s i t s e l f t o a b r o a d e r d i s c u s s i o n o f o t h e r s p e c i f i c a b i l i t i e s d e m o n s t r a t e d b y s t u d e n t s o f t h e s t u d y . T h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s r e l a t e d t o s t u d e n t p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s . 4 7 0 H y p o t h e s i s 8 : O f t h e t h r e e c e n t r a l s t u d e n t p r o c e s s i n g c o m p o n e n t s c o n t a i n e d w i t h i n t h e g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g m o d e l ( t h o s e b e i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s , a n d e q u a t i o n s o l u t i o n s ) , s t u d e n t s w i l l b e m o s t s u c c e s s f u l i n s o l v i n g e q u a t i o n s , l e s s s u c c e s s f u l i n d e r i v i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n s , a n d l e a s t s u c c e s s f u l i n f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s . T h e p r i m a r y d a t a s o u r c e s f o r c o n s t r u c t i n g t h e f i n d i n g s r e l a t e d t o s t u d e n t p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s w e r e t h e s t u d e n t s ' w r i t t e n w o r k o n t h e t w o m a j o r i n s t r u m e n t s o f t h e s t u d y , t h e p o s t t e s t c o m p o s e d o f t e n v e r b a l p r o b l e m s a n d t h e r e t e n t i o n t e s t c o m p o s e d o f s e v e n e q u a t i o n s a n d s e v e n v e r b a l p r o b l e m s . A n a l y s i s p r o c e e d e d a l o n g c l a s s r o o m d i m e n s i o n s a n d f o r t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s . R e s u l t s f r o m t h e n i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s a r e a l s o u s e d t o s u p p l e m e n t t h e r e s u l t s f r o m t h e o t h e r s t u d e n t p e r f o r m a n c e m e a s u r e s , a n d a r e a l s o r e v i e w e d s e p a r a t e l y s i n c e t h e y p r o v i d e d g r e a t e r d e t a i l i n t o s t u d e n t t h i n k i n g a n d p r o c e s s i n g b e c a u s e o f t h e c o m b i n e d . v e r b a l a n d w r i t t e n f e a t u r e s o f t h e s i t t i n g s . F i n d i n g s T h e p r o c e s s s c o r i n g s y s t e m d e v e l o p e d f o r a n a l y z i n g s t u d e n t s ' w r i t t e n s o l u t i o n w o r k f o r v e r b a l p r o b l e m s w a s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t m o s t s t u d e n t s w e r e a w a r e o f a n d f o l l o w e d t h e p h a s e s o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . T h i s a s s u m p t i o n w a s m o s t v a l i d f o r A l i c e a n d C a r l ’ s c l a s s , w h i l e l e s s v a l i d f o r B e t t y ' s c l a s s , a n d w a s d i s c u s s e d i n a 4 7 1 p r e v i o u s s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r . F o r t h e p o s t t e s t , 7 3 p e r c e n t o f s t u d e n t s ' w r i t t e n s o l u t i o n s i n d i c a t e d s t u d e n t f o l l o w i n g o f t h e g e n e r a l p r o c e d u r e , w h i l e t h e f i g u r e w a s o n l y 6 0 p e r c e n t f o r t h e r e t e n t i o n t e s t ' s v e r b a l p r o b l e m s . T h e i n v e s t i g a t o r c o m p e n s a t e d f o r t h e s e g e n e r a l p r o c e d u r e d i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s e s b y c o n s i d e r i n g p h a s e s u c c e s s r a t e s , p h a s e s b e i n g v a r i a b l e d e f i n i t i o n , e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , e q u a t i o n s o l v i n g , a n d i n t e r p r e t a t i o n / a n s w e r , a s c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s d e p e n d e n t o n s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n o f e a c h p r e v i o u s p h a s e i n t h e d a t a a n a l y s i s . T h i s m e t h o d o l o g y a l l o w e d b e t t e r c o m p a r i s o n s b e t w e e n c l a s s e s w i t h r e g a r d s t o s t u d e n t s ’ c a p a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e f o u r s t u d e n t p r o c e s s i n g c o m p o n e n t s . T h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s a n d e a c h c l a s s o f s t u d e n t s w e r e m o r e s u c c e s s f u l a t c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s a n d c o r r e c t l y i n t e r p r e t i n g t h e i r r e s u l t s t h a n t h e y w e r e f o r t h e o t h e r t w o p r o c e s s e s , v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , b o t h f o r t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t r e s u l t s . I n f a c t f o r t h e r e t e n t i o n t e s t , t h e p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s c o r r e c t l y s o l v i n g t h e i r o w n f o r m u l a t e d e q u a t i o n s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s e t e x c e e d e d t h e p r o p o r t i o n o f s t u d e n t s c o r r e c t l y s o l v i n g t h e e q u i v a l e n t e q u a t i o n p r e s e n t e d i n i s o l a t i o n i n t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n ( . 7 6 a s o p p o s e d t o . 6 6 ) , t h o u g h t h i s e f f e c t m a i n l y r e s u l t e d f r o m A l i c e ' s c l a s s p e r f o r m a n c e , i n w h i c h s t u d e n t s w e r e 1 1 / 2 t i m e s m o r e l i k e l y t o s o l v e t h e i r 4 7 2 o w n f o r m u l a t e d e q u a t i o n s ( . 8 2 a s o p p o s e d t o . 5 5 ) . B e t t y ' s c l a s s w a s m o r e s u c c e s s f u l s o l v i n g t h e e q u a t i o n s p r e s e n t e d i n i s o l a t i o n , w h e r e a s C a r l ’ s s t u d e n t s w e r e e q u a l l y s u c c e s s f u l f o r b o t h f o r m a t s . F o r s t u d e n t s ' e q u a t i o n s o l v i n g s k i l l s , o n l y o n e e r r o r a n a l y s i s w a s c o m p l e t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r , a n d t h a t w a s d o n e f o r t h e e q u a t i o n s o l v i n g s e c t i o n o f t h e r e t e n t i o n t e s t . F o r t h i s s e c t i o n , c l a s s r o o m p e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s w e r e n o t s i g n i f i c a n t , a n d s t u d e n t s ’ e q u a t i o n s o l v i n g s k i l l s w e r e n o t a b l y c o n s i s t e n t b e t w e e n c l a s s e s , b o t h i n t e r m s o f w h i c h e q u a t i o n s p o s e d t h e g r e a t e s t d i f f i c u l t y a n d i n t h e e r r o r p a t t e r n s s t u d e n t s c o m m i t t e d . . A l l t h r e e c l a s s e s s c o r e d l o w e s t o n t h e o n e e q u a t i o n w h i c h r e q u i r e d a p p l i c a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y f o r a q u a n t i t y p r e c e d e d o n l y b y a s u b t r a c t i o n s i g n ( n o c o n s t a n t c o e f f i c i e n t p r e s e n t ) , a n d s c o r e d b e s t o n t h e o n e e q u a t i o n w h i c h r e q u i r e d o n l y o n e t r a n s p o s i t i o n a n d o n e c o m p u t a t i o n . B e t t y ' s s t u d e n t s w e r e s o m e w h a t m o r e s u c c e s s f u l t h a n o t h e r c l a s s e s o n e q u a t i o n s r e q u i r i n g t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y a p p l i c a t i o n , a n d s o m e w h a t l e s s s u c c e s s f u l o n m o r e d i r e c t t r a n s p o s i t i o n i t e m s . B o t h p a t t e r n s w e r e m o s t l i k e l y t h e r e s u l t o f B e t t y ' s p r e s e n t a t i o n o f d i f f e r i n g m e t h o d s f o r s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s , w h i c h i n o n e c a s e i s a d v a n t a g e o u s a n d f o r t h e o t h e r c a s e i s m o r e l i k e l y t o r e s u l t i n m o r e c o m p u t a t i o n a l t y p e e r r o r s . S t u d e n t s ' e q u a t i o n s o l v i n g e r r o r s w e r e p a r t i t i o n e d 4 7 3 i n t o f i v e c a t e g o r i e s , t w o r e l a t e d t o c o m p u t a t i o n ( r e a l n u m b e r a n d v a r i a b l e t y p e s ) , t w o r e l a t e d t o c o n c e p t u a l i z a t i o n ( t r a n s p o s i t i o n a n d d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y t y p e s ) a n d o n e r e l a t e d t o a l t e r n a t e q u a d r a t i c f o r m u l a t i o n . T h e p r o p o r t i o n o f s t u d e n t e r r o r s r e l a t e d t o c o n c e p t u a l i z a t i o n a n d c o m p u t a t i o n w e r e n e a r l y e q u a l , 4 7 a n d 4 8 p e r c e n t r e s p e c t i v e l y , w i t h d i f f e r e n c e s a g a i n s m a l l b e t w e e n c l a s s e s , a n d i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t e r r o r s w e r e e q u a l l y l i k e l y t o b e d u e t o c o m p u t a t i o n a l c a r e l e s s n e s s a s t o c o n c e p t u a l m i s u n d e r s t a n d i n g . C o n s i d e r i n g t h a t t h e r e t e n t i o n t e s t w a s a d m i n i s t e r e d a f t e r t h r e e q u a r t e r s o f t h e s c h o o l y e a r h a d b e e n c o m p l e t e d , t h e l a r g e p e r c e n t a g e o f e r r o r s r e l a t e d t o c o m p u t a t i o n w a s n o t e x p e c t e d . T h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s w e r e l e s s c o n c l u s i v e i n d e t e r m i n i n g w h i c h o f t h e t w o o t h e r c e n t r a l p r o c e s s e s , v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n , p o s e d t h e g r e a t e s t d i f f i c u l t y f o r s t u d e n t s . A l s o d i f f e r e n c e s b e t w e e n c l a s s e s a n d d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e s t u d y ’ s t w o i n s t r u m e n t s w e r e m o r e s u b s t a n t i a l . F o r t h e t o t a l g r o u p o f s t u d e n t s , t h e p r o p o r t i o n c o r r e c t l y c o m p l e t i n g b o t h p h a s e s f o r t h e p o s t t e s t w a s i d e n t i c a l ( . 5 4 ) , w h e r e a s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t , s t u d e n t s i m p r o v e d i n t h e i r a b i l i t y t o c o r r e c t l y d e f i n e v a r i a b l e s ( f r o m . 5 4 t o . 6 0 ) w h i l e t h e i r a b i l i t y t o c o r r e c t l y f o r m u l a t e e q u a t i o n s d e c r e a s e d ( f r o m . 5 4 t o . 4 5 ) . A l l t h r e e c l a s s e s i m p r o v e d b e t w e e n t h e p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t i n t h e i r 4 7 4 a b i l i t y t o d e f i n e v a r i a b l e s , s u g g e s t i n g t h a t s t u d e n t s ' a b i l i t y t o t r a n s l a t e w r i t t e n t e x t ( t h e p r i m a r y s k i l l r e l a t e d t o v a r i a b l e d e f i n i t i o n ) i n t o a l g e b r a i c f o r m a t s d e v e l o p e d i n c r e m e n t a l l y , a n d p o s s i b l y a p a r t f r o m p r o v i d e d i n s t r u c t i o n . C a r l ’ s s t u d e n t s w e r e n o t a b l y m o r e s u c c e s s f u l i n c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s f o r t h e p o s t t e s t i t e m s ( . 6 9 p h a s e s u c c e s s r a t e ) , y e t t h i s c l a s s a d v a n t a g e f a i l e d t o c a r r y t h r o u g h o n t h e r e t e n t i o n t e s t , w h e r e h i s s t u d e n t s p e r f o r m e d o n l y s l i g h t l y b e t t e r t h a n t h e l o w e s t c l a s s ( B e t t y ) . T h e . 6 9 s u c c e s s r a t e f o r t h e p o s t t e s t a p p e a r e d d u e t o t h e i n c l u s i o n o f a c h a p t e r i n C a r l ’ s t e x t b o o k , j u s t b e f o r e t h e m a j o r v e r b a l p r o b l e m c h a p t e r , w h i c h a i m e d i t s i n s t r u c t i o n a t i m p r o v i n g s t u d e n t s ' e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s k i l l s t h r o u g h t h e u s e o f g e o m e t r i c f o r m u l a s . N e i t h e r o f t h e o t h e r t w o e m p l o y e d t e x t b o o k s p r o v i d e d s u c h a d d i t i o n a l d e v e l o p m e n t a n d s t u d e n t p r a c t i c e o f t h i s p r o c e s s . Y e t i t a p p e a r e d t h a t d u e t o l a c k o f s t u d e n t u s a g e i n t h e i n t e r v e n i n g t i m e p e r i o d b e t w e e n p o s t t e s t a n d r e t e n t i o n t e s t a d m i n i s t r a t i o n , t h e e n h a n c e m e n t o f t h i s p r o c e s s b y t h e t e x t b o o k w a s l a r g e l y w a s h e d a w a y f r o m s t u d e n t s ' m e m o r y a n d l e a r n i n g . . A l i c e ’ s s t u d e n t s i m p r o v e d i n t h e i r a b i l i t y t o f o r m u l a t e e q u a t i o n s f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s o f t h e r e t e n t i o n t e s t , a n d t h i s w a s n o t a n t i c i p a t e d b y t h e i n v e s t i g a t o r , p r i m a r i l y d u e t o t h e n a t u r e o f A l i c e ’ s 4 7 5 o b s e r v e d i n s t r u c t i o n w h i c h e m p h a s i z e d t h e m e c h a n i c a l a n d t r a n s l a t i o n a l a s p e c t s o f h o w t o f o r m u l a t e e q u a t i o n s f r o m v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s . B e c a u s e t h e p o s t t e s t r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t 7 5 p e r c e n t o f s t u d e n t e r r o r s i n f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s w e r e d u e t o i n c o r r e c t c o m p r e h e n s i o n o r a p p l i c a t i o n o f c o n c e p t u a l r e l a t i o n s h i p s , a n d A l i c e h a d n o t e m p h a s i z e d t h e s e c o n c e p t u a l r e l a t i o n s h i p s i n h e r i n s t r u c t i o n , i t w a s a s s u m e d b y t h e i n v e s t i g a t o r t h a t m o s t o f h e r s t u d e n t s w o u l d f o r g e t o r f a i l t o r e t a i n t h e s e k e y r e l a t i o n s h i p s , a n d w o u l d r e s u l t i n s o m e d r o p i n s t u d e n t r e t e n t i o n p e r f o r m a n c e . A p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h i s i m p r o v e d p e r f o r m a n c e a p p e a r e d t o b e t h e g r e a t e r e x t e n t o f s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e s e k e y r e l a t i o n s h i p s a p a r t f r o m r e c e i v e d i n s t r u c t i o n . I t m a y h a v e b e e n t h a t t h e t i m e r e q u i r e d f o r t h e s e s t u d e n t s t o c o n s o l i d a t e t h e i r l e a r n i n g o f t h e k e y r e l a t i o n s h i p s f r o m t h i s m o r e e x t e n s i v e p r a c t i c e w a s g r e a t e r t h a n t h a t a l l o w e d f o r b y t h e p o s t t e s t . T h e r e f o r e , o n e c a n c o n c l u d e t h a t s t u d e n t s a r e m o r e l i k e l y t o r e t a i n a n d e v e n i m p r o v e t h e i r s u c c e s s a t d e f i n i n g v a r i a b l e s , w h e r e a s s t u d e n t a b i l i t y t o s u c c e s s f u l l y f o r m u l a t e e q u a t i o n s d i m i n i s h e s o v e r t i m e . H o w e v e r , s t u d e n t r e s u l t s f o r A l i c e ' s c l a s s c o n t r a d i c t e d t h i s s e c o n d t r e n d . A d d i t i o n a l l y t h e h i g h c o r r e l a t i o n s ( . 8 1 f o r B e t t y ' s c l a s s a n d . 6 2 f o r C a r l ’ s c l a s s ) b e t w e e n t h e v e r b a l p r o b l e m s e c t i o n s c o r e s f o r t h e t w o i n s t r u m e n t s i n d i c a t e d t h a t t h i s d e c r e a s i n g r e t e n t i o n i n a l l a r e a s w a s 4 7 6 f a i r l y u n i f o r m a c r o s s a l l s t u d e n t s i n t h e s e t w o c l a s s e s , w h e r e a s t h i s w a s n o t t h e c a s e f o r A l i c e ' s s t u d e n t s . T h e e r r o r a n a l y s i s f o r t h e p o s t t e s t r e s u l t s i d e n t i f i e d c e r t a i n p a t t e r n s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e w h i c h p r e v e n t e d t h e s e s t u d e n t s f r o m . m o r e s u c c e s s f u l c o m p l e t i o n o f t h e s e t w o p r o c e s s e s . O v e r 7 0 p e r c e n t o f s t u d e n t s ' v a r i a b l e d e f i n i t i o n e r r o r s w e r e t h e r e s u l t o f p o o r l y d e v e l o p e d o r i n a p p r o p r i a t e l y a p p l i e d t r a n s l a t i o n s k i l l s . P a r t i c u l a r l y t r o u b l e s o m e i n a l l t h r e e c l a s s e s w e r e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s w h e r e a w h o l e a m o u n t o f a m e a s u r e w a s g i v e n , a n d s t u d e n t s w e r e t o c o n s t r u c t v a r i a b l e d e f i n i t i o n s f o r t w o p a r t i a l a m o u n t s w h i c h t o g e t h e r t o t a l e d t h e w h o l e a m o u n t . T w o v e r b a l p r o b l e m s o f t h e p o s t t e s t s u g g e s t e d s u c h a v a r i a b l e d e f i n i t i o n c o n s t r u c t i o n . F o r o n e v e r b a l p r o b l e m , o n l y 4 o f 2 3 s t u d e n t a t t e m p t s t o d e f i n e v a r i a b l e s w e r e c o r r e c t , w i t h e i g h t e r r o r s d u e t o s t u d e n t s i n f e r r i n g e q u a l v a l u e s f o r t h e t w o v a r i a b l e s t o b e d e f i n e d . F o r t h e s e c o n d v e r b a l p r o b l e m , 2 o f 4 6 s t u d e n t a t t e m p t s t o d e f i n e v a r i a b l e s p a i d a n y a t t e n t i o n t o t h e w h o l e a m o u n t g i v e n a s a m e a n s f o r d e f i n i n g t h e i r v a r i a b l e s . T h e o t h e r 4 4 s t u d e n t s a t t e m p t e d t o d e f i n e v a r i a b l e s u s i n g t h e f i r s t s e n t e n c e o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , w h i c h a p p e a r e d t o b e d e s i g n e d f o r f o r m u l a t i n g t h e e q u a t i o n f o r t h e v e r b a l p r o b l e m . S i m i l a r r e s u l t s w e r e n o t e d f o r t h e o n e p r o b l e m o f t h e r e t e n t i o n t e s t w h e r e s u c h v a r i a b l e d e f i n i t i o n s w e r e r e q u i r e d ( o n l y 3 o f 2 0 c o r r e c t d e f i n i t i o n s ) . A d m i t t e d l y , 4 7 7 t h i s t y p e o f v a r i a b l e d e f i n i t i o n r e q u i r e s s t u d e n t s t o i n f e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v a r i a b l e s r a t h e r t h a n d i r e c t l y t r a n s l a t e t h e g i v e n r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v a r i a b l e s n o r m a l l y p r o v i d e d i n m o s t v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s , a n d f o r w h i c h s t u d e n t p e r f o r m a n c e w a s a p p r e c i a b l y b e t t e r . S t u d e n t e r r o r s a n d d e f i c i e n c i e s r e l a t e d t o e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p r o c e s s i n g w e r e p r i m a r i l y t h e r e s u l t o f s t u d e n t s ' i n a b i l i t y t o c o r r e c t l y r e c a l l a n d a p p l y c o n c e p t u a l r e l a t i o n s h i p s t h e y s u p p o s e d l y h a d l e a r n e d a n d p r a c t i c e d . A . o o m m o n l y o b s e r v e d p a t t e r n i n s t u d e n t s ’ e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s w a s w h e r e s t u d e n t s a p p e a r e d t o g a t h e r a n y l e f t o v e r d a t a i n t h e v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t ( a f t e r v a r i a b l e d e f i n i t i o n w a s c o m p l e t e ) , a n d p u t t h e s e n u m b e r s a n d v a r i a b l e s i n t o r a t h e r m e a n i n g l e s s c o m b i n a t i o n s , b u t w h i c h h a d a n a c c e p t a b l e a p p e a r a n c e t o t h e s t u d e n t . T h i s p a t t e r n w a s m o s t a p p a r e n t i n t w o o f t h e s t u d e n t i n t e r v i e w s , w h e r e p r o b i n g q u e s t i o n s r e v e a l e d t h a t n e i t h e r s t u d e n t h a d a n y u n d e r s t a n d i n g f o r t h e c o n c e p t o f a n e q u a t i o n , o r e v e n w h a t t h e y m e a n t w h e n t h e y r e p l i e d t w o e q u a l q u a n t i t i e s b e i n g a n e q u a t i o n . S t u d e n t s ' i n a b i l i t y t o r e c a l l k e y r e l a t i o n s h i p s w a s m o s t n o t i c e a b l e f o r t h e t w o g e o m e t r i c p r o b l e m t y p e s i n c l u d e d o n b o t h i n s t r u m e n t s , w h i c h r e q u i r e d r e c a l l o f t w o r e l a t i o n s h i p s , o n e f o r p e r i m e t e r o f a s q u a r e o r r e c t a n g l e , a n d o n e f o r t h e s u m o f t h e a n g l e s o f a t r i a n g l e . A d d i t i o n a l l y a b o u t h a l f t h e 4 7 8 s t u d e n t s f o r g o t t o i n c l u d e v a l u e s f o r t h e c o i n s i n t h e i r f o r m u l a t e d e q u a t i o n s f o r t h e t w o c o i n / m o n e y p r o b l e m t y p e s ( o n e o n e a c h i n s t r u m e n t ) . T h r e e o t h e r a s p e c t s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s , s t u d e n t s ’ t r a n s f e r c a p a b i l i t i e s , s t u d e n t s ’ s o l u t i o n s t r a t e g i e s f o r " i m p o s s i b l e " v e r b a l p r o b l e m s , a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s f o r t h e a l t e r n a t e f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s y s t e m , a r e r e v i e w e d b r i e f l y . T h e i n v e s t i g a t o r h a d c o n s i d e r e d i n c l u s i o n o f a n i n s t r u m e n t s p e c i f i c a l l y d e s i g n e d t o m e a s u r e s t u d e n t s ’ t r a n s f e r c a p a b i l i t i e s e i t h e r i n a d d i t i o n t o o r i n p l a c e o f t h e r e t e n t i o n t e s t . H o w e v e r b e c a u s e t h e p i l o t s t u d y r e s u l t s h a d i n d i c a t e d o n l y m i n o r t r a n s f e r e f f e c t s f r o m t h e r e c e i v e d v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r d e c i d e d i n s t e a d t o i n c l u d e t w o v e r b a l p r o b l e m s o n t h e p o s t t e s t , o n e w i t h a l e s s f a m i l i a r c o n t e x t u a l s e t t i n g ( o n e ' s w a g e e a r n i n g s ) a n d o n e w h i c h r e q u i r e d t w o d i f f e r e n t i a l a p p l i c a t i o n s o f t h e D / R / T r e l a t i o n s h i p . B o t h t h e s e v e r b a l p r o b l e m s w e r e f r a m e d i n m o r e r e a l i s t i c s e t t i n g s t h a n t y p i c a l t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s . S i n c e s t u d e n t p e r f o r m a n c e f o r t h e s e t w o i t e m s w a s p o o r , n o f u r t h e r c o n s i d e r a t i o n w a s g i v e n t o m e a s u r i n g t r a n s f e r e f f e c t s o n t h e r e t e n t i o n t e s t , t h o u g h o n e v e r b a l p r o b l e m o f t h e i n t e r v i e w i n s t r u m e n t c o n t a i n e d s u p e r f l u o u s d a t a f o r t h e f i n d i n g o f t h r e e p e r s o n s ’ a g e s w h o b e l o n g e d t o t h e s a m e f a m i l y . 4 7 9 T h r e e s t u d e n t s , a l l u s i n g a n a l t e r n a t e g u e s s a n d c h e c k t e c h n i q u e , c o r r e c t l y s o l v e d t h e l e s s f a m i l i a r c o n t e x t u a l s e t t i n g , e a r n i n g s p r o b l e m o f t h e p o s t t e s t , w i t h o n l y o n e o t h e r s t u d e n t e v e n r e a c h i n g t h e p o i n t o f c o r r e c t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n . T h r e e s t u d e n t s a l s o c o r r e c t l y s o l v e d t h e m u l t i - a p p l i c a t i o n p r o b l e m o f t h e p o s t t e s t , o n e u s i n g s t a n d a r d a l g e b r a i c t e c h n i q u e s a n d t h e o t h e r t w o u s i n g g u e s s a n d c h e c k t e c h n i q u e s w i t h a d r a w i n g a s a m o d e l . F o u r o t h e r s t u d e n t s c o m p l e t e d t h e f i r s t a p p l i c a t i o n c o r r e c t l y , b u t w e r e u n a b l e t o p r o c e e d w i t h t h e s e c o n d a p p l i c a t i o n . T h i s m u l t i - a p p l i c a t i o n i t e m w a s r e m o v e d f r o m c o n s i d e r a t i o n i n t h e s c o r i n g o f t h e p o s t t e s t r e s u l t s , d u e t o s o f e w s t u d e n t s e v e n a t t e m p t i n g t o s o l v e i t . A l l n i n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s e x p r e s s e d c o n f u s i o n i n t h e i r i n i t i a l r e a d i n g o f t h e s u p e r f l u o u s d a t a p r o b l e m , a s i f t h e y s e n s e d s o m e t h i n g w a s n o t q u i t e r i g h t o r f a m i l i a r a b o u t t h e p r o b l e m . E i g h t o f t h e n i n e s t u d e n t s t h e n f o c u s e d o n s p e c i f i c a s p e c t s o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t w h i c h b e s t f i t t h e i r s c h e m a f o r a g e r e l a t e d p r o b l e m s w h i l e t e m p o r a r i l y i g n o r i n g t h e o t h e r s u p e r f l u o u s a n d i n t e r f e r i n g d a t a o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , a n d p r o c e e d e d t o d e r i v e a s o l u t i o n f o r t h e v e r b a l p r o b l e m . T h r e e s t u d e n t s , o n e f r o m e a c h c l a s s , c o r r e c t l y s o l v e d t h e p r o b l e m u s i n g s t a n d a r d a l g e b r a i c t e c h n i q u e s , b u t o n l y o n e s t u d e n t v e r b a l l y n o t e d t h e p r e s e n c e o f e x t r a a n d u n n e e d e d i n f o r m a t i o n a n d s a w h o w 4 8 0 t h i s o t h e r i n f o r m a t i o n c o u l d b e d e v e l o p e d a s a n a l t e r n a t i v e w a y t o d e r i v e t h e s o l u t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r e x p e c t e d A l i c e a n d B e t t y ’ s s t u d e n t s t o p e r f o r m p o o r l y o n t h e s e f e w t r a n s f e r i t e m s s i n c e t h e i r i n s t r u c t i o n w a s c o n f i n e d e n t i r e l y t o t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m t y p e s , w h e r e a s m o r e w a s e x p e c t e d o f C a r l ’ s s t u d e n t s b e c a u s e o f g r e a t e r i n s t r u c t i o n a l e x p o s u r e t o m o r e r e a l i s t i c a n d l e s s f a m i l i a r c o n t e x t u a l s e t t i n g s f o r v e r b a l p r o b l e m s . W h i l e m o r e o f C a r l ’ s s t u d e n t s a t t e m p t e d s o l u t i o n s f o r t h e s e t r a n s f e r i t e m s , t h e i r e f f o r t s f a i l e d t o r e s u l t i n a n y d i f f e r e n c e i n p e r f o r m a n c e a s c o m p a r e d t o s t u d e n t s i n t h e o t h e r t w o c l a s s e s . S i n c e t h e s t u d e n t s h a d n e v e r e n c o u n t e r e d v e r b a l p r o b l e m s w h i c h h a d n o s o l u t i o n i n t h e i r p r a c t i c e o f t e x t b o o k v e r b a l p r o b l e m s , o n e s u c h a g e r e l a t e d v e r b a l p r o b l e m w a s i n c l u d e d o n a l l p o s t t e s t f o r m s . T h e i n v e s t i g a t o r w a s i n t e r e s t e d i n h o w s t u d e n t s w o u l d r e a c t o r c h a n g e t h e i r e q u a t i o n f o r m u l a t i o n s w h e n t h e i r c o r r e c t a l g e b r a i c s o l u t i o n t e c h n i q u e s r e s u l t e d i n a n i m p o s s i b l e a n s w e r , s u c h a s t h e a g e o f a p e r s o n b e i n g n e g a t i v e o n e . T h i s i n c l u s i o n a l s o p e r m i t t e d t h e i n v e s t i g a t o r t o c o m p a r e r e s u l t s w i t h t h o s e f o u n d i n P a i g e a n d S i m o n ’ s ( 1 9 6 6 ) s t u d y o f s t u d e n t s ’ v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g t e c h n i q u e s f o r s u c h " i m p o s s i b l e " p r o b l e m s . T w o s t u d e n t s , b o t h f r o m C a r l ' s c l a s s , r e c o g n i z e d t h e c o n t r a d i c t o r y n a t u r e o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i n f o r m a t i o n 4 8 1 i n t h e i r i n i t i a l r e a d i n g o f t h e v e r b a l p r o b l e m a n d w r o t e " n o s o l u t i o n " f o r t h e i r a n s w e r a n d e x p l a i n e d w h y . O f t h e r e m a i n i n g 6 5 s t u d e n t s , 5 9 a t t e m p t e d t o s o l v e t h e p r o b l e m u s i n g a l g e b r a i c m e t h o d s , w i t h 2 0 s t u d e n t s c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s f o r t h e r e q u e s t e d a g e s a t b o t h t i m e p e r i o d s , a n d o n l y f o u r s t u d e n t s c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s . T h r e e o f t h e s e f o u r s t u d e n t s c o r r e c t l y s o l v e d t h e f o r m u l a t e d e q u a t i o n , b u t o n l y t w o s t u d e n t s r e c o g n i z e d t h a t t h e n e g a t i v e r e s u l t i m p l i e d t h a t t h e p r o b l e m h a d n o s o l u t i o n . M o r e r e m a r k a b l e w a s t h e f a c t t h a t e i g h t o f t h e 1 6 i n c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n s i n v o l v e d r e v e r s i n g r o l e s w i t h i n t h e p r o b l e m i n f o r m a t i o n t o m a k e t h e f o r m u l a t e d e q u a t i o n r e s u l t i n a p o s i t i v e a n d m o r e r e a l i s t i c s o l u t i o n . T h e i n v e s t i g a t o r ’ s l a t e r r e v i e w o f t h e s e e i g h t s t u d e n t s ’ w o r k s a m p l e s n o t e d f o u r c a s e s w h e r e s t u d e n t s h a d e r a s e d p a r t o f t h e i r w o r k f o r t h i s i t e m , p o s s i b l y i n d i c a t i n g t h a t t h e r e v e r s a l c a m e a b o u t a f t e r a " c o r r e c t " n e g a t i v e a n s w e r w a s d e r i v e d . A s i m i l a r p a t t e r n o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e w a s f o u n d f o r a s e c o n d " i m p o s s i b l e " v e r b a l p r o b l e m r e l a t e d t o t h e p e r i m e t e r o f a r e c t a n g l e o n o n e f o r m o f t h e p o s t t e s t , a n d h e n c e c o m p l e t e d b y h a l f t h e s t u d e n t s . N o s t u d e n t r e a l i z e d t h e i m p o s s i b l e n a t u r e o f t h e s i t u a t i o n d u r i n g t h e i r i n i t i a l r e a d i n g o f t h e v e r b a l p r o b l e m , w h i c h w a s s o m e w h a t e x p e c t e d , s i n c e t h e i n c o n s i s t e n c y w a s l e s s a p p a r e n t . F o u r o f t h e 3 4 s t u d e n t s c o m p l e t i n g t h i s f o r m r e a c h e d t h e p o i n t 4 8 2 o f c o r r e c t l y s o l v i n g a c o r r e c t l y f o r m u l a t e d e q u a t i o n f o r t h e p r o b l e m ( s o l u t i o n = - 1 = r e c t a n g l e w i d t h ) , a n d y e t n o n e o f t h e f o u r s t u d e n t s r e a l i z e d t h a t t h i s m e a n t t h a t t h e p r o p o s e d s i t u a t i o n w a s i m p o s s i b l e . H e n c e n o n e o f t h e 3 4 s t u d e n t s a c h i e v e d a " c o r r e c t " a n s w e r o f n o s o l u t i o n . A g a i n i n t e r e s t i n g l y e i g h t o f t h e n i n e s t u d e n t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s u s e d o n e l e n g t h + o n e w i d t h = p e r i m e t e r , w h i c h d o e s r e s u l t i n a m o r e s e n s i b l e p o s i t i v e a n s w e r , w h e r e a s o n l y t w o o f t h e f i v e s t u d e n t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n e r r o r s o n t h e o p p o s i t e f o r m s h o w e d a s i m i l a r e r r o r p a t t e r n . I n s u m m a r y , s t u d e n t s o f t h e s t u d y e x h i b i t e d s o m e o f t h e s a m e b e h a v i o r p a t t e r n s i d e n t i f i e d b y P a i g e a n d S i m o n ( 1 9 6 6 ) i n t h e i r a t t e m p t s t o s o l v e " i m p o s s i b l e " v e r b a l p r o b l e m s w h e r e a p p r o p r i a t e s c h e m a w a s a p p a r e n t l y l a c k i n g . T h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s r e l a t e d t o t h e f o u r f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s : a b s t r a c t h y p o t h e t i c a l , a b s t r a c t f a c t u a l , c o n c r e t e h y p o t h e t i c a l , a n d c o n c r e t e f a c t u a l f o r v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s i d e n t i f i e d b y C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 7 9 ) m o s t l y c o n t r a d i c t e d t h e r e s u l t s o f t h e i r s e c o n d a r y s t u d y . O n b o t h i n s t r u m e n t s , t h e s t u d e n t s p e r f o r m e d s i g n i f i c a n t l y b e t t e r f o r v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s w i t h a b s t r a c t f o r m a t s o v e r c o n c r e t e f o r m a t s , w i t h n o s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n f a c t u a l a n d h y p o t h e t i c a l f o r m a t s o f p r o b l e m s t a t e m e n t s . T h e s e q u e n c i n g o f t h e f o u r f o r m a t s a c c o r d i n g t o p r o b l e m 4 8 3 d i f f i c u l t y l e v e l s f o r t h e s t u d e n t s d i d n o t d i r e c t l y f i t a n y o f t h e r e s e a r c h e r s ’ t h r e e h y p o t h e t i c a l p e r s p e c t i v e s , t h o u g h s t u d e n t p e r f o r m a n c e m o s t c l o s e l y r e s e m b l e d t h e d i r e c t t r a n s l a t i o n p e r s p e c t i v e o f t h e t h r e e p e r s p e c t i v e s . T h i s s t o o d i n o p p o s i t i o n t o t h e r e s e a r c h e r s ’ f i n d i n g s t h a t a p r e d o m i n a n c e o f a n i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g p e r s p e c t i v e w a s f o u n d f o r t h e i r s e c o n d a r y s c h o o l s u b j e c t s . C o n c l u s i o n s 1 . T h e s t u d e n t p e r f o r m a n c e r e s u l t s s u p p o r t t h e h y p o t h e s i s f o r t h i s s e c t i o n , i n t h a t s t u d e n t s w e r e m o s t s u c c e s s f u l a t s o l v i n g f o r m u l a t e d e q u a t i o n s f o r v e r b a l p r o b l e m s a t b o t h t e s t i n g p o i n t s , a n d d e m o n s t r a t e d e q u a l a b i l i t y t o d e f i n e v a r i a b l e s a n d f o r m u l a t e e q u a t i o n s f o r t h e p o s t t e s t ’ s v e r b a l p r o b l e m s . H o w e v e r t h e s e s t u d e n t s w e r e m o r e s u c c e s s f u l a t d e f i n i n g v a r i a b l e s t h a n f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s f o r t h e r e t e n t i o n t e s t ’ s v e r b a l p r o b l e m s . A d d i t i o n a l l y t h e s e r e s u l t s c o n f o r m e d w i t h t h e a m o u n t o f s e p a r a t e a n d s p e c i f i c i n s t r u c t i o n p r o v i d e d b y t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s , a n d s t u d e n t p r a c t i c e o f t h e t h r e e p r o c e s s i n g c o m p o n e n t s . T h e f i n d i n g s f o r t h e t h r e e c l a s s e s i n d i c a t e d t h a t s t u d e n t s ’ p r o f i c i e n c y i n s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s w a s m a i n t a i n e d a n d r e l a t i v e l y s t a b l e t h r o u g h o u t t h e s t u d e n t s ’ e x p e r i e n c e i n t h e c o u r s e . 4 8 4 S t u d e n t s ’ a b i l i t i e s t o d e f i n e v a r i a b l e s a c t u a l l y i n c r e a s e d t h r o u g h g r e a t e r e x p e r i e n c e i n t h e c o u r s e , t h o u g h i t w a s l e f t u n e x p l a i n a b l e w h y t h i s e f f e c t o c c u r r e d i n a l l t h r e e c l a s s e s . S t u d e n t s ' e q u a t i o n f o r m u l a t i o n a b i l i t i e s d e t e r i o r a t e d s o m e w h a t o v e r t i m e f o r s t u d e n t s i n t w o o f t h e c l a s s e s , m a i n l y d u e t o i n a b i l i t i e s t o r e c a l l t h e k e y r e l a t i o n s h i p s r e q u i r e d , s i n c e t h e y w e r e n o t u s e d b y t h e s t u d e n t s d u r i n g t h e l o n g p e r i o d o f t i m e b e t w e e n t e s t a d m i n i s t r a t i o n s . T h e t h i r d c l a s s m o r e e x t e n s i v e l y p r a c t i c e d t h e k e y r e l a t i o n s h i p s d u r i n g a c q u i s i t i o n , w h i c h p r o b a b l y s t r e n g t h e n e d t h e l e a r n i n g o f t h e s e k e y r e l a t i o n - s h i p s , a n d f a c i l i t a t e d b e t t e r r e c a l l w h e n n e e d e d d u r i n g t h e r e t e n t i o n t e s t . T h e r e w a s l i t t l e d i r e c t t e s t i n g f o r t r a n s f e r e f f e c t s o f t h e v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . F o r t h e t w o i t e m s o f t h e p o s t t e s t r e q u i r i n g t r a n s f e r h o w e v e r , t h e r e s u l t s w e r e n o t e n c o u r a g i n g . E x p e c t e d d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e o n t h e s e t w o i t e m s d u e t o d i f f e r e n c e s i n r e c e i v e d i n s t r u c t i o n d i d n o t o c c u r , a s t h e r e w e r e n o s i g n i f i c a n t c l a s s d i f f e r e n c e s o n t h e s e i t e m s . T h e r e s u l t s f o r t h e t w o " i m p o s s i b l e " v e r b a l p r o b l e m s , o n e p r o b l e m c o m m o n t o b o t h p o s t t e s t f o r m s , s u g g e s t e d t h a t m o s t s t u d e n t s w e r e h i g h l y 4 8 5 m e c h a n i c a l i n t h e i r o r i e n t a t i o n f o r s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . E v e n i n t h e f e w c a s e s w h e r e s t u d e n t s c o r r e c t l y s o l v e d c o r r e c t e q u a t i o n s , t h e y w e r e u n a b l e t o i n t e r p r e t w h a t t h e i r u n u s u a l r e s u l t i m p l i e d , a n d a g o o d n u m b e r o f s t u d e n t s a c t u a l l y r e v e r s e d o r c h a n g e d r e l a t i o n s h i p s u s e d i n v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s s o t h a t m o r e r e a l i s t i c a n d p o s s i b l e s o l u t i o n s w e r e d e r i v e d . I n t e r v i e w e d s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e o n t h e s u p e r f l u o u s d a t a v e r b a l p r o b l e m w a s s o m e w h a t b e t t e r , a s m o s t s t u d e n t s j u s t i g n o r e d t h e e x t r a d a t a a n d o p e r a t e d w i t h t h e p a r t o f t h e d a t a t h a t f i t t h e i r s c h e m a f o r t h e p r o b l e m t y p e . T h e r e s u l t s f o r t h e f o u r f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n s o f v e r b a l p r o b l e m s t a t e m e n t s s u g g e s t e d t h a t s t u d e n t s ' l e a r n i n g a n d o p e r a t i o n m o s t c l o s e l y r e s e m b l e d t h e d i r e c t t r a n s l a t i o n p e r s p e c t i v e o f t h e t h r e e h y p o t h e s i z e d p e r s p e c t i v e s o f C a l d w e l l a n d G o l d i n ( 1 9 8 7 ) . T h i s c o n c l u s i o n f i t s w e l l w i t h o t h e r o b s e r v e d c h a r a c t e r i s t i c s o f s t u d e n t s ' p e r f o r m a n c e , i n s u g g e s t i n g h i g h l y m e c h a n i c a l b e h a v i o r w h e n s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s . H o w e v e r i t m a y a l s o h a v e r e s u l t e d f r o m a n i n s u f f i c i e n t q u a n t i t y o f t h e f o u r f o r m a t s o n t e s t i n g i n s t r u m e n t s , l i m i t i n g t h e e f f e c t a n d u s e f u l n e s s o f t h i s c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e , o r w a s p o s s i b l y R e c o m m e n d a t i o n s 1 . 4 8 6 d u e t o a n u n e q u a l d e g r e e o f d i f f i c u l t y f o r t h e v e r b a l p r o b l e m s u s e d o f t h e f o u r f o r m a t s . T h e r e s u l t s s t o o d i n o p p o s i t i o n t o C a l d w e l l a n d G o l d i n ' s f i n d i n g s f o r t h e i r s e c o n d a r y s t u d y , t h o u g h i t i s l i k e l y t h a t t h e s t u d y ’ s r e s u l t s a r e s p e c i f i c f o r t h i s l e v e l o f s t u d e n t ’ s m a t h e m a t i c a l C o m p e t e n c e . E a r l i e r i t w a s s h o w n t h a t t e x t b o o k s l a r g e l y d e t e r m i n e d t e a c h e r s ’ s e l e c t i o n o f c o n t e n t , a n d t e x t b o o k s p r o v i d e d m u c h l e s s p r a c t i c e , w i t h o n e e x c e p t i o n , o f t h e t w o p r o c e s s e s ( v a r i a b l e d e f i n i t i o n a n d e q u a t i o n f o r m u l a t i o n ) s h o w n t o b e i n g r e a t e s t n e e d o f i m p r o v e m e n t . T h e r e f o r e i t i s r e c o m m e n d e d t h a t t e x t b o o k a u t h o r s c o n s i d e r w a y s t o i n c r e a s e p r a c t i c e o f t h e s e t w o p r o c e s s e s i n t h e i r c o n s t r u c t i o n s . I t w a s s h o w n t h a t t h e o n e t e x t b o o k w h i c h c o n t a i n e d s u c h a d d i t i o n a l p r a c t i c e o f t h e e q u a t i o n f o r m u l a t i o n p r o c e s s d i d r e s u l t i n b e t t e r p r o c e s s p e r f o r m a n c e f o r t h i s c l a s s o n t h e p o s t t e s t , b u t n o t t h e r e t e n t i o n t e s t . S i n c e p r e s e n t t e x t b o o k d e s i g n s m a i n l y c o n f i n e s t u d e n t d e v e l o p m e n t a n d p r a c t i c e o f t h e s e t w o p r o c e s s e s p r i m a r i l y t o v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n s , t h e e a r l i e r m a d e r e c o m m e n d a t i o n t h a t t e a c h e r s s h o u l d h a v e s t u d e n t s 4 8 7 d e f i n e v a r i a b l e s a n d f o r m u l a t e e q u a t i o n s f o r a l l v e r b a l p r o b l e m s o f a n a s s i g n m e n t , b u t a c t u a l l y s o l v e e q u a t i o n s f o r o n l y a s a m p l e o f t h e s e f o r m u l a t i o n s a p p e a r s a p p l i c a b l e h e r e a l s o . T h a t A l i c e ’ s s t u d e n t s p r a c t i c e d t h e s e t w o p r o c e s s e s m o r e e x t e n s i v e l y w i t h m o r e v e r b a l p r o b l e m s , w h i c h r e s u l t e d i n i m p r o v e d p e r f o r m a n c e f o r b o t h p r o c e s s e s o n t h e r e t e n t i o n t e s t w a s n o t e w o r t h y , a n d l e n d s f u r t h e r s u p p o r t t o t h i s r e c o m m e n d a t i o n . S t u d e n t s ’ a b i l i t y t o f o r m u l a t e e q u a t i o n s f o r v e r b a l p r o b l e m s d e c r e a s e d o v e r t i m e , p o s s i b l y b e c a u s e s t u d e n t s f a i l e d t o r e c a l l k e y r e l a t i o n - s h i p s , s i n c e t h e s e r e l a t i o n s h i p s w e r e n e v e r u s e d o r p r a c t i c e d a f t e r i n i t i a l v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n . T h e r e f o r e t e a c h e r s s h o u l d i n c l u d e m o r e r e g u l a r r e v i e w d u r i n g t h e s c h o o l y e a r o f v e r b a l p r o b l e m s i n t h e i r i n s t r u c t i o n , p r i m a r i l y t a r g e t i n g s u c h r e v i e w t o r e i n f o r c e t h e r e q u i r e d k e y r e l a t i o n s h i p s , a n d t h e r e b y i m p r o v e s t u d e n t r e c a l l c a p a b i l i t i e s o f t h e k e y r e l a t i o n s h i p s . T h i s l e v e l o f s t u d e n t e x h i b i t e d h i g h l y m e c h a n i c a l b e h a v i o r i n t h e i r a l g e b r a v e r b a l p r o b l e m s o l u t i o n s , a n d p r o b a b l y f o r o t h e r a l g e b r a c o n t e n t a s w e l l , t h o u g h n o t a n i s s u e a d d r e s s e d b y t h i s s t u d y . P a r t o f t h i s m e c h a n i c a l b e h a v i o r o f s t u d e n t s w a s a t t r i b u t a b l e t o t e a c h e r s ’ 4 8 8 i n s t r u c t i o n , w h i c h f o r t w o c l a s s e s e m p h a s i z e d s t u d e n t l e a r n i n g o f a s s o c i a t e d p r o c e d u r e s f o r e v e r y v e r b a l p r o b l e m t y p e . S u c h a p r o c e d u r a l o r i e n t a t i o n t o i n s t r u c t i o n h a d c e r t a i n p o s i t i v e b e n e f i t s f o r s t u d e n t s , b u t i t a l s o d e n i e d s t u d e n t s a n y p o s s i b i l i t y t o d i s c o v e r a n d c o n s t r u c t t h e i r o w n t e c h n i q u e s a n d p r o c e d u r e s , a n d t h e r e f o r e m a k e t h e m m o r e m e a n i n g f u l a n d c a p a b l e o f g r e a t e r t r a n s f e r p o t e n t i a l t o m o r e r e a l i s t i c p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n s . B o t h r e s e a r c h e r s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s b e l i e v e a n d d e s i r e t h a t v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s l e a d t o i m p r o v e d t h i n k i n g a n d r e a s o n i n g a b i l i t i e s , a n d p o s s i b l y o t h e r p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s . F o r s u c h t o o c c u r i n t h e A l g e b r a I c l a s s r o o m , m a j o r m o d i f i c a t i o n s i n t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a n d p e d a g o g i c a l o r i e n t a t i o n , a s w e l l a s i n t e x t b o o k p r e s e n t a t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s w o u l d b e r e q u i r e d . M o s t t e a c h e r s w o u l d h a v e t o b e r e t r a i n e d t o p l a n a n d d e l i v e r i n s t r u c t i o n w h i c h c o n t a i n s m o r e e l e m e n t s o f a p r o b l e m s o l v i n g o r i e n t a t i o n , a n d t e x t b o o k a u t h o r s w o u l d h a v e t o r e t h i n k t h e i r c o n t e n t p r e s e n t a t i o n s , i n o r d e r t o c h a l l e n g e s t u d e n t s ’ p e r c e p t i o n s o f a l g e b r a a n d m a t h e m a t i c s a s l a r g e l y p r o c e d u r a l l y o r i e n t e d , a n d i n i t i a t e g r e a t e r s t u d e n t t h i n k i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . A t 4 8 9 t h e p r e s e n t t i m e , b o t h t a s k s a p p e a r i n s u r m o u n t a b l e g i v e n t h e c o s t i n v o l v e d a n d t h e s l w r a t e a t w h i c h c h a n g e s i n t h e s e c o n d a r y s c h o o l s e t t i n g b e c o m e a c c e p t e d p r a c t i c e . A d d i t i o n a l l y , i t i s r e c o m m e n d e d t h a t f u r t h e r r e s e a r c h s t u d i e s o f i n s t r u c t i o n b e c a r r i e d o u t i n A c c e l e r a t e d A l g e b r a I s e t t i n g s a n d o t h e r s e c o n d a r y m a t h e m a t i c a l s e t t i n g s t o a s c e r t a i n w h e t h e r t h i s p r o c e d u r a l o r i e n t a t i o n o f i n s t r u c t i o n i s s p e c i f i c a l l y d i r e c t e d t o t h i s l e v e l o f s t u d e n t a n d / o r t h i s p a r t i c u l a r c o u r s e . I d e a l l y t h i s r e s e a r c h w o u l d i n c l u d e m a t c h e d c a s e s t u d i e s o f t h e s a m e t e a c h e r u s i n g t h e s a m e t e x t b o o k , a n d h e n c e t e a c h i n g h i g h l y s i m i l a r c o n t e n t t o t w o c l a s s e s o f d i f f e r e n t a b i l i t y l e v e l d e s i g n a t i o n s . C o m p a r e d t o B e t t y , A l i c e a n d C a r l p o s s e s s e d g r e a t e r d a i l y a w a r e n e s s o f h o w t h e i r s t u d e n t s w e r e p r o g r e s s i n g i n t h e i r l e a r n i n g o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . T h o u g h o n e c a n n o t d i s m i s s t h e e f f e c t o f g r e a t e r t e a c h i n g e x p e r i e n c e , i t a l s o a p p e a r e d t h a t b o t h t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e s w e r e d e s i g n e d t o m o r e a c t i v e l y i n t e r a c t w i t h t h e i r s t u d e n t s d u r i n g c l a s s t i m e , a n d i n a s e n s e i n t e r v i e w a n d q u e s t i o n t h e i r s t u d e n t s , w h i c h i n t u r n a i d e d t h e i r a w a r e n e s s . T h e 4 9 0 i n v e s t i g a t o r n o t e d a s i m i l a r g r e a t e r a w a r e n e s s o f s t u d e n t s ’ s t r e n g t h s , w e a k n e s s e s , p r o c e s s i n g , a n d t h i n k i n g f r o m t h e n i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s o f t h e s t u d y t h a n w a s g a i n e d f r o m t h e e n t i r e r e v i e w o f 6 6 s t u d e n t s ’ w o r k s a m p l e s . T h i s a w a r e n e s s o f s t u d e n t p r o g r e s s a n d a s s e s s m e n t o f l e a r n i n g a r e o b v i o u s l y i m p o r t a n t f o r d e s i g n i n g f u t u r e i n s t r u c t i o n a l e p i s o d e s , a n d f o r k e e p i n g t h e c l a s s s o m e w h a t p r o g r e s s i n g t o g e t h e r i n t h e i r l e a r n i n g , r a t h e r t h a n i n c r e a s i n g i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s a m o n g s t u d e n t s a s t h e s c h o o l y e a r p r o g r e s s e s . T h i s s i t u a t i o n w a s n o t e d i n B e t t y ’ s c l a s s w h e r e s h e r e l i e d a l m o s t s o l e l y o n s t u d e n t s ’ w r i t t e n t e s t p e r f o r m a n c e f o r h e r a s s e s s m e n t o f l e a r n i n g p r o g r e s s . T h e r e f o r e t e a c h e r s s h o u l d b e e n c o u r a g e d t o i n c o r p o r a t e o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t i n t e r a c t i o n a n d i n t e r v i e w i n g w i t h i n t h e i r i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s a n d d e s i g n s . A l i c e a n d C a r l ' s i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e r e a r e a v a r i e t y o f t i m e s d u r i n g c l a s s w h e n s u c h o p p o r t u n i t i e s p r e s e n t t h e m s e l v e s , a n d c a n b e d e v e l o p e d . G r e a t e r o p p o r t u n i t y f o r i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s s h o u l d i m p r o v e b o t h t e a c h e r s ’ a w a r e n e s s a n d a s s e s s m e n t o f s t u d e n t s ’ c a p a b i l i t i e s a n d l e a r n i n g p r o g r e s s , a s w e l l a s s t u d e n t s ’ o w n a w a r e n e s s o f t h e i r c a p a b i l i t i e s a n d 4 9 1 l e a r n i n g , t h e r e b y a d d i t i o n a l l y s e r v i n g a m e t a c o g n i t i v e f u n c t i o n f o r s t u d e n t s . T h e w i d e v a r i e t y o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e e x h i b i t e d i n t h e n i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s l e d t h e i n v e s t i g a t o r t o s p e c u l a t e t h a t s t u d e n t s ’ v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e m i g h t b e s t b e d e s c r i b e d b y a s e r i e s o f f i v e l e v e l s t h a t r e l a t e t o m o v e m e n t f r o m a " n o v i c e " p o s i t i o n t o t h a t o f a r e l a t i v e " e x p e r t " i n t h e f i e l d . I t i s l e f t q u i t e u n c l e a r w h e t h e r t h e p r o p o s e d s e q u e n c e o f l e v e l s m a t c h e s s t u d e n t s ’ d e v e l o p m e n t , o r e v e n w h e t h e r s t u d e n t s m u s t p r o g r e s s t h r o u g h a l l l e v e l s . S l i g h t l y e x a g g e r a t e d d e s c r i p t i o n s o f s t u d e n t s ' c h a r a c t e r i s t i c b e h a v i o r s a n d m o d e o f o p e r a t i o n a t e a c h l e v e l a r e g i v e n , a n d t h e i n v e s t i g a t o r f o u n d a t l e a s t o n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t w h o f i t e a c h l e v e l o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e . S i n c e t h r e e s t u d e n t s i n t h e s e c o n d l e v e l d i s p l a y e d t w o r a t h e r d i s t i n c t i v e o r i e n t a t i o n s w h i c h r e s u l t e d i n h i g h l y s i m i l a r p e r f o r m a n c e , t h e s e c o n d l e v e l w a s s u b d i v i d e d i n t o A . a n d B c o m p o n e n t s . L e v e l 1 : G e n e r a l p r o c e d u r e f o r s o l v i n g v e r b a l " N o v i c e " p r o b l e m s o n l y o c c a s i o n a l l y o p e r a t i v e , a l l ( 3 3 ) t h r e e p h a s e s u b s k i l l s i n d e v e l o p m e n t a n d n o t a u t o m a t i z e d , l a r g e l y u n a b l e t o v e r b a l i z e t h i n k i n g o r r a t i o n a l e f o r p r o c e s s i n g a c t i o n s . L e v e l 2 A : " R a n d o m O p e r a t o r " ( A 3 a n d B 2 ) L e v e l 2 B : " A n a l y z e r / T r a n s l a t o r " ( A 2 ) L e v e l 3 : " M e c h a n i c a l O p e r a t o r " ( A 1 a n d C 2 ) L e v e l 4 : " P r o f i c i e n t O p e r a t o r " ( C 1 a n d C 3 ) 4 9 2 W e l l a w a r e o f g e n e r a l p r o c e d u r e ’ s i m p o r t a n c e a s a g u i d i n g s t r u c t u r e , a n d f o l l o w s r i g i d l y , s t r o n g e q u a t i o n s o l v e r , w e a k e s t a t d e f i n i n g v a r i a b l e s a n d f o r m u l a - t i n g e q u a t i o n s , o f t e n g u i l t y o f g a t h e r i n g a l l p r o b l e m s t a t e m e n t i n f o r m a t i o n i l l o g i c a l l y a n d w i t h o u t m e a n i n g i n a t r i a l a n d e r r o r f a s h i o n . J u d g m e n t s o f c o r r e c t n e s s b a s e d m o s t l y o n p e r c e p t u a l a p p e a r a n c e c h a r a c t e r i s t i c s . L a c k s c o n f i d e n c e i n a b i l i t i e s , d u e t o a w a r e n e s s o f p e r c e i v e d w e a k n e s s e s . A w a r e n e s s o f g e n e r a l p r o c e d u r e l e s s c l e a r s i n c e s e l d o m i s a b l e t o p r o c e e d a n y f a r t h e r t h a n d e f i n i n g v a r i a b l e s . W e l l d e v e l o p e d a n a l y s i s a n d t r a n s l a t i o n s k i l l s f o r v a r i a b l e d e f i n i t i o n p h a s e , y e t l a r g e l y u n a b l e t o t h i n k r e l a t i o n a l l y w h e n s u c h s y n t h e s i s i s r e q u i r e d f o r f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s . S u r p r i s i n g l y c o n f i d e n t o f a b i l i t y d e s p i t e a p p a r e n t w e a k n e s s e s . W e l l a w a r e o f g e n e r a l p r o c e d u r e a n d f o l l o w s i t s s e q u e n c e m e c h a n i c a l l y , b e h a v i o r a p p e a r s s c h e m a d r i v e n ( w r i t t e n a c t i o n i m m e d i a t e l y f o l l o w s r e a d i n g ) , w i t h n o t i m e g i v e n t o r e f l e c t i o n o r p r o b l e m u n d e r s t a n d i n g , p h a s e s u b s k i l l s g e n e r a l l y a u t o m a t i z e d , u n a b l e t o j u d g e r e a s o n a b l e n e s s o f i n t e r m e d i a t e o r f i n a l r e s u l t s i n r e a l i s t i c t e r m s . C o n f i d e n c e l e v e l f l u c t u a t e s c o n s i d e r a b l y d e p e n d i n g o n v e r b a l p r o b l e m t y p e . Q u i t e s i m i l a r t o " m e c h a n i c a l o p e r a t o r " i n t e r m s o f m e c h a n i c a l l y f o l l o w i n g g e n e r a l p r o c e d u r e a n d h i g h l y d e v e l o p e d p h a s e s k i l l s y e t d i f f e r e n t i n a b i l i t y t o r e f l e c t u p o n a n d m o n i t o r o p e r a t i o n w i t h i n p h a s e s , a n d h a s e s t a b l i s h e d " c r i t i c s " f o r r e a s o n a b l e - n e s s a n d r e a l i s t i c e x p e c t a t i o n s . D e s p i t e a h i g h a n d s t a b l e l e v e l o f c o n f i d e n c e i n a b i l i t i e s , f a i l s t o d e m o n s t r a t e f l e x i b i l i t y i n r e p a i r i n g e r r o r s a n d n o t v e r y p e r s e v e r i n g i n o v e r c o m i n g r e a l i z e d e r r o r s . 4 9 3 L e v e l 5 : S e l d o m m a k e s p r o c e d u r a l e r r o r s o f a n y k i n d , " E x p e r t " v e r y r e f l e c t i v e a t e v e r y p h a s e a n d h i g h l y ( B l ) c a p a b l e o f v e r b a l i z i n g t h i n k i n g a n d r a t i o n a l e f o r a l l a c t i o n s . F o r m a l l y c h e c k s e v e r y d e r i v e d s o l u t i o n w i t h p r o b l e m e l e m e n t s , a n d a n t i c i p a t e s c o n c e p t u a l e r r o r s . D e m o n s t r a t e s w e l l d e v e l o p e d s e n s e o f s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s . B e l i e v e s c a p a b l e o f s u c c e s s f u l l y s o l v i n g a n y v e r b a l p r o b l e m i f g i v e n s u f f i c i e n t t i m e , a n d l e a d s t o h i g h l e v e l s o f c o n f i d e n t o p e r a t i o n a n d p e r s e v e r a n c e . A b l e t o f l e x i b l y r e v i e w a n d r e p a i r w o r k , a n d l o c a t e c o n c e p t u a l e r r o r s i n r e a s o n i n g . T h o u g h b a s e d o n o n l y a s m a l l s a m p l e o f n i n e i n t e r v i e w e d s t u d e n t s , t h e i n v e s t i g a t o r i s s u f f i c i e n t l y c o n f i d e n t i n t h e s e f o r m u l a t e d l e v e l s o f s t u d e n t p e r f o r m a n c e t o c o n j e c t u r e t h a t i f t w o t e a c h e r s e a c h c a r e f u l l y r e v i e w e d t e n v e r b a l p r o b l e m w o r k s a m p l e s f o r t h e s a m e s t u d e n t , a n d t h e n s t u d i e d t h e c h a r a c t e r i s t i c s f o r e a c h l e v e l d e s c r i p t i o n , t h e r e w o u l d b e c o m m o n a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t w o t e a c h e r s r e g a r d i n g w h e r e t h i s s t u d e n t w a s l o c a t e d w i t h i n t h e f i v e l e v e l s . A t t h e t i m e o f t h e p o s t t e s t a d m i n i s t r a t i o n , t h e i n v e s t i g a t o r b e l i e v e s t h a t 9 0 p e r c e n t o f C a r l ' s s t u d e n t s w e r e o p e r a t i n g a t e i t h e r l e v e l 3 o r 4 , w i t h t h e o t h e r t e n p e r c e n t s o m e w h e r e i n l e v e l 2 . A t t h e s a m e t i m e a b o u t e q u a l p r o p o r t i o n s o f A l i c e ’ s c l a s s w e r e o p e r a t i n g a t l e v e l s 2 a n d 3 . A b o u t h a l f o f B e t t y ’ s s t u d e n t s w e r e o p e r a t i n g a t l e v e l 1 w i t h a b o u t f o u r s t u d e n t s e a c h i n l e v e l s 2 , 3 , a n d 4 . A d m i t t e d l y , t h e r e m a y b e s t u d e n t s 4 9 4 w h o s h i f t b e t w e e n t h e o p e r a t i o n a l m o d e s d e s c r i b e d i n t h e f i v e l e v e l s , b u t t h e r e d o e s a p p e a r t o b e r e m a r k a b l e c o n s i s t e n c y i n s t u d e n t s ’ c a p a b i l i t i e s , b e h a v i o r p a t t e r n s , a n d o p e r a t i o n a l o r i e n t a t i o n , w h e n i t c o m e s t o s o l v i n g v e r b a l p r o b l e m s o f a n y t y p e . F u t u r e R e e e a r c h D i r e c t i o n e A s m i g h t b e e x p e c t e d f r o m t h e e x p l o r a t o r y n a t u r e o f t h i s i n v e s t i g a t i o n a n d t h e s m a l l s a m p l e o f t e a c h e r s ’ o b s e r v e d i n s t r u c t i o n , t h e r e s u l t s p o i n t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s i n c e r t a i n d i r e c t i o n s , w i t h o u t p r o v i d i n g m u c h c o n c r e t e , d i r e c t i o n a l s i g n p o s t s o r d e f i n i t i v e a n s w e r s . L e s t e r ( 1 9 8 5 ) r a i s e d f o u r i s s u e s i n n e e d o f s p e c i a l a t t e n t i o n f o r f u t u r e r e s e a r c h o n p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n w h i c h p r o v i d e a m o d e l f o r t h i s s e c t i o n ’ s d i s c u s s i o n . T h e s e f o u r i s s u e s a r e t h e f o l l o w i n g : 1 . S h i f t a w a y f r o m e x p e r i m e n t a l a n d t o w a r d n a t u r a l i s t i c m e t h o d o l o g i e s . 2 . I n c r e a s e d i n t e r e s t i n p r o b l e m - s o l v i n g p r o c e s s e s i n a d d i t i o n t o v a r i o u s p r o d u c t v a r i a b l e s . 3 . I n c r e a s e d i n t e r e s t i n t h e d e v e l o p m e n t o f p r o b l e m - s o l v i n g i n s t r u c t i o n a l p r o g r a m s t h a t a r e " c l a s s r o o m r e a d y " . 4 . G r o w i n g i n t e r e s t i n t h e r o l e o f m e t a c o g n i t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g . 4 9 5 N a t u r a l i s t i c P e r s p e c t i v e O v e r t h e p a s t s e v e r a l y e a r s , t h e r e h a s b e e n a n o t a b l e i n c r e a s e i n t h e q u a n t i t y o f p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h p r o c e e d i n g f r o m a n a t u r a l i s t i c p e r s p e c t i v e , m u c h a s L e s t e r p r e d i c t e d . A n a t u r a l i s t i c p e r s p e c t i v e i m p o s e s m i n i m u m c o n s t r a i n t s o n i n d e p e n d e n t , m e d i a t i n g , a n d d e p e n d e n t v a r i a b l e s , a n d s t u d i e s t h e f a c t o r s i n f l u e n c i n g t e a c h i n g a n d l e a r n i n g b e h a v i o r h o l i s t i c a l l y , a s o p p o s e d t o a t o m i s t i c a l l y . T h i s r e s e a r c h p a r a d i g m , b y i t s v e r y a s s u m p t i o n s , p r e s e n t s f o u r p r e d i c t a b l e d i f f i c u l t i e s f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s , d u e t o i t s r e l i a n c e o n q u a l i t a t i v e m e t h o d s , i t s a t t e m p t s t o b a l a n c e r i g o r w i t h r e l e v a n c e , i t s e x p a n s i o n i s t s t a n c e , a n d i t s p u r p o s e t o d i s c o v e r , r a t h e r t h a n v e r i f y t h e o r y . T h e i n v e s t i g a t o r w a s s o m e w h a t s u r p r i s e d b y t h e l a c k o f g e n e r a l a v a i l a b i l i t y t o q u a l i t a t i v e i n s t r u m e n t a t i o n f r o m t h e r e s e a r c h c o m m u n i t y f o r s u c h n e e d s o f t h e s t u d y a s e v a l u a t i n g t h e q u a l i t y o f t e x t b o o k s ’ c o n s t r u c t i o n s , o r e v a l u a t i n g t e a c h e r s ’ i n s t r u c t i o n , o r c l a s s i f y i n g t e a c h e r s ' v e r b a l s u g g e s t i o n s . I n m a n y o f t h e s e i n s t a n c e s , l a c k o f a v a i l a b i l i t y m e a n t t h e i n v e s t i g a t o r h a d t o d e s i g n t h i s i n s t r u m e n t a t i o n , w h i c h o b v i o u s l y d o e s n o t b u i l d o n t h e r e s e a r c h r e s u l t s o f o t h e r s , o r p e r m i t m u c h r e p l i c a t i o n o f r e s u l t s w i t h i n t h i s p a r a d i g m . T h e r e p o r t i n g o f r e s e a r c h r e s u l t s g e n e r a l l y g i v e s o n l y s c a n t r e f e r e n c e t o e m p l o y e d m e t h o d o l o g y a n d i n s t r u m e n t a t i o n , a n d p r o v i d e s l i t t l e 4 9 6 a s s i s t a n c e t o o t h e r n a t u r a l i s t i c r e s e a r c h e r s f o r w h o m s u c h i n f o r m a t i o n i s c r u c i a l i n o r d e r t o c o m p a r e r e s u l t s f r o m t h e g e n e r a l l y s m a l l s a m p l e o f c a s e s t u d i e s w h i c h e a c h r e s e a r c h e r i s c a r r y i n g o u t . T h e r e a p p e a r s a n e e d f o r g r e a t e r c o l l e g i a l i t y a n d s h a r i n g o f i n s t r u m e n t a t i o n a m o n g r e s e a r c h e r s w h o w o r k f r o m t h i s p e r s p e c t i v e , p o s s i b l y e v e n i n c l u d i n g a f o r u m ( c o n f e r e n c e , b o o k , o r j o u r n a l ) i n w h i c h q u a l i t a t i v e m e t h o d o l o g y d e v e l o p m e n t s i s t h e f o c u s e d t o p i c . T h e i n v e s t i g a t o r w o u l d a p p r e c i a t e o t h e r r e s e a r c h e r s u s i n g a n d t e s t i n g h i s d e s i g n e d i n s t r u m e n t a t i o n i n o t h e r a r e a s , i n o r d e r t o a s c e r t a i n w h e t h e r t h e s e i n s t r u m e n t s a r e v a l i d a n d m o r e g e n e r a l l y a p p l i c a b l e . T h e i n v e s t i g a t o r a l s o r e c o m m e n d s t h a t f u r t h e r r e s e a r c h b e c o m p l e t e d t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e d e v e l o p e d d e s c r i p t i o n s o f t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s a n d s t u d e n t p e r f o r m a n c e p a t t e r n s r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t r e m a i n v a l i d f o r d i f f e r e n t l o c a t i o n s a n d s e t t i n g s , f o r d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l c o n t e n t a r e a s , a n d f o r d i f f e r i n g l e v e l s o f s t u d e n t s . A n i n i t i a l r e c o m m e n d a t i o n f o r f u t u r e r e s e a r c h w o u l d b e t o s t u d y t w o A l g e b r a I t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n o f v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , p r e f e r a b l y i n t w o d i v e r g e n t s c h o o l s e t t i n g s , u s i n g t h e s a m e t e x t b o o k f o r t h e i r i n s t r u c t i o n o f t w o c l a s s e s e a c h , w h e r e t h e s t u d e n t s a r e o f d i f f e r e n t d e s i g n a t e d a b i l i t y l e v e l s . T h i s r e c o m m e n d e d r e s e a r c h m i g h t u n c o v e r t h e d i f f e r e n t w a y s t e a c h e r s m o d i f y a n d s h a p e t h e i r i n s t r u c t i o n 4 9 7 t o f i t t h e i r p e r c e p t i o n s o f s t u d e n t s ’ c a p a b i l i t i e s a n d n e e d s w i t h i n t h e i r a i m s f o r t h e c o u r s e , f o r w h i c h t e a c h e r d i f f e r e n c e s w e r e q u i t e p r o f o u n d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . A d d i t i o n a l l y , s u c h r e s e a r c h i n c r e a s e s c o n t r o l o f c o n t e n t c o v e r a g e ( s a m e t e x t b o o k ) a n d i n s t r u c t i o n a l o r i e n t a t i o n ( s a m e t e a c h e r ) , w h i l e p e r m i t t i n g c l o s e r c o m p a r i s o n s o f t e a c h e r s ’ d e s i g n e d i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e f o r e a c h l e v e l o f s t u d e n t , a n d r e s u l t i n g d i f f e r e n c e s i n s t u d e n t p e r f o r m a n c e . N a t u r a l i s t i c r e s e a r c h r e l i e s h e a v i l y u p o n t h e i n v e s t i g a t o r ’ s a b i l i t y t o i n f e r r e l e v a n t r e l a t i o n s h i p s a n d " d i s c o v e r " p a t t e r n s o f b e h a v i o r f r o m o b s e r v a t i o n s a n d c o l l e c t e d d a t a , o r i n a s e n s e i s m o r e c o n c e r n e d w i t h d e s c r i b i n g r e l e v a n t f e a t u r e s o f t h e s e t t i n g i n a n u n d e r s t a n d a b l e w a y . T h i s l e a v e s t o f u t u r e r e s e a r c h e r s t h e t a s k o f s o r t i n g o u t t h e s e r e l a t i o n s h i p s a n d b e h a v i o r s i n t o m o r e c a r e f u l l y c o n t r o l l e d a n d r i g o r o u s l y d e s i g n e d e x p e r i m e n t s . T h e i n s t r u c t i o n a l c l a s s r o o m s e t t i n g c o n t a i n s a d i v e r s i t y o f v a r i a b l e s c a p a b l e o f i n f l u e n c i n g s t u d e n t p e r f o r m a n c e , a n d c o n t r o l l i n g s o m e o f t h e s e v a r i a b l e s i n d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s m i g h t p r o v i d e a c o n t i n u a l f l o w o f n e w i n s i g h t s a b o u t p r o b l e m s o l v i n g i n s t r u c t i o n . T w o r e l a t e d c o n c e r n s e x p e r i e n c e d b y t h e i n v e s t i g a t o r i n a d o p t i n g a n a t u r a l i s t i c p e r s p e c t i v e i n v o l v e d b a l a n c i n g e x p a n s i o n i s t t e n d e n c i e s w i t h r e d u c t i o n i s t t e n d e n c i e s , a n d a t e n s i o n o f w h e t h e r t o f o c u s o n d i s c o v e r i n g o r i n i t i a t i n g t h e o r y o r r e l a t i n g r e s u l t s t o e x i s t i n g t h e o r y a n d r e s e a r c h 4 9 8 r e s u l t s . I n o r d e r t o r e l a t e t h i s i n v e s t i g a t i o n t o o t h e r m o r e e x p e r i m e n t a l o r i e n t e d p r o b l e m s o l v i n g a n d i n s t r u c t i o n a l r e s e a r c h r e s u l t s o f t e n m e a n t e x p a n d i n g a s p e c t s o f t h e s t u d y ' s i n s t r u m e n t s , s u c h a s i n c l u s i o n o f " i m p o s s i b l e " p r o b l e m s o r a n a l y s i s o f s t u d e n t f o r m a t c l a s s i f i c a t i o n p e r f o r m a n c e , a s t h e s t u d y w a s d e v e l o p i n g a n d i n p r o g r e s s . I n m o s t c a s e s , s u c h e x p a n s i o n d u e t o c o n c e r n f o r r e s e a r c h r e l a t e d n e s s h a d m i n i m a l s u c c e s s , t e n d e d t o d e t r a c t f r o m t h e i n v e s t i g a t i o n ' s m a i n p u r p o s e s a n d q u e s t i o n s , a n d d i d r e s u l t i n s o m e m a n a g e m e n t p r o b l e m s . T h e r e f o r e f u t u r e r e s e a r c h e r s , o p e r a t i n g f r o m t h i s p e r s p e c t i v e w o u l d b e w e l l a d v i s e d t o f o c u s m o r e o f t h e i r e f f o r t s o n i n i t i a t i n g i s s u e s a n d d i s c o v e r i n g t h e o r y f o r f u r t h e r r e s e a r c h , r a t h e r t h a n v e r i f y i n g a n d r e l a t i n g t h e i r r e s u l t s t o e x i s t i n g r e s e a r c h . T h e i n v e s t i g a t o r d i d s e t o u t a h y p o t h e t i c a l m o d e l o f s t u d e n t b e h a v i o r a n d p e r f o r m a n c e a t t h e o u t s e t o f t h e s t u d y , a n d k e p t t h i s p e r s p e c t i v e d u r i n g t h e s t u d y . F u t u r e r e s e a r c h e r s m i g h t l o o k a t a l t e r n a t e w a y s s t u d e n t s p r o c e s s v e r b a l p r o b l e m s d e s p i t e p r o v i d e d i n s t r u c t i o n i n s t a n d a r d t e c h n i q u e s , o r f o c u s t h e i r e f f o r t s o n s t u d e n t s ’ n a t u r a l p e r f o r m a n c e a n d s o l u t i o n s t o v e r b a l p r o b l e m s w h e r e n o i n s t r u c t i o n w a s o r i s p r o v i d e d . P r o b l e m S o l v i n g P r o c e s s e s T h e i n v e s t i g a t o r ’ s p a p e r a n d p e n c i l i n s t r u m e n t s a n d m e t h o d o l o g y w a s m o r e s u c c e s s f u l a t i d e n t i f y i n g g l o b a l 4 9 9 a s p e c t s o f t e a c h e r a n d t e x t b o o k e x a m p l e p r o c e s s i n g a n d s t u d e n t p r o c e s s i n g , t h a n i t w a s i n i d e n t i f y i n g t h e s p e c i f i c t h i n k i n g p r o c e s s e s b e h i n d s u c h s t u d e n t a n d t e a c h e r b e h a v i o r . T h e i n v e s t i g a t o r w a s a b l e t o a n a l y z e w h a t w e n t w r o n g , w i t h o u t k n o w i n g w h y o r w h a t l e d t o e i t h e r s t u d e n t e r r o r o r s u c c e s s . S i m i l a r g l o b a l a s p e c t s o f t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s w e r e p o s s i b l e f r o m t h e w r i t t e n r e s p o n s e f o r m a t o f t h e T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t . T h e n i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s , l i m i t e d a s t h e y w e r e , p r o v i d e d a g r e a t e r d e g r e e o f d e p t h t o t h e s p e c i f i c t h i n k i n g p r o c e s s e s s t u d e n t s w e r e u s i n g d u r i n g t h e i r s o l u t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s . T h e r e f o r e , i t i s r e c o m m e n d e d t h a t f u t u r e r e s e a r c h e f f o r t s , a i m e d a t i d e n t i f y i n g p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s e s , i n c l u d e g r e a t e r i n t e r v i e w i n g o f b o t h s t u d e n t s a n d t e a c h e r s i n t h e i r d e s i g n s . O t h e r w i s e s p e c i f i c t h i n k i n g p r o c e s s e s w i l l r e m a i n m o s t l y m i s s e d b y t h e o b s e r v i n g r e s e a r c h e r , a n d m u c h b e h a v i o r a n d p r o c e s s i n g l e f t u n e x p l a i n a b l e . P a p e r a n d p e n c i l i n s t r u m e n t a t i o n i s s t i l l r e q u i r e d a n d i m p o r t a n t i n t h a t i t p r o v i d e s a d e q u a t e m e a s u r e m e n t f o r t h e p r o d u c t s o f s t u d e n t l e a r n i n g . I p e t r u c t i o n a l P r o g r a m e T h e g e n e r a l l y a s s u m e d p o s i t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a b i l i t y t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s a n d t h e a b i l i t y t o s o l v e m o r e " g e n u i n e " o r p r o c e s s p r o b l e m s w a s n o t s u p p o r t e d b y t h i s i n v e s t i g a t i o n ’ s r e s u l t s , t h o u g h i t m a y b e s p e c i f i c t o t h i s l e v e l o f s t u d e n t w h o e x h i b i t e d p r e d o m i n a n t l y 5 0 0 m e c h a n i c a l b e h a v i o r a n d p r o c e s s i n g i n t h e i r s o l v i n g o f v e r b a l p r o b l e m s . F u t u r e r e s e a r c h e f f o r t s n e e d t o e x p l o r e t h i s a s s u m e d r e l a t i o n s h i p m o r e c a r e f u l l y w i t h d i f f e r i n g l e v e l s o f s t u d e n t s . T h e d e v e l o p m e n t o f " c l a s s r o o m r e a d y " i n s t r u c t i o n a l p r o g r a m s f o r t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g w i l l r e q u i r e r a t h e r r a d i c a l r e o r i e n t a t i o n o f b o t h t e a c h e r s ' a n d s t u d e n t s ' b e h a v i o r p a t t e r n s . W h e n o n e c o n s i d e r s t h a t C a r l ’ s i n s t r u c t i o n w a s h i g h l y c r e a t i v e , m o t i v a t i n g , a n d i n t e r a c t i v e , a n d y e t r e s u l t e d i n m i n i m a l c h a n g e s i n s t u d e n t s ’ p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e a n d t h i n k i n g c a p a b i l i t i e s , t h e p r o b l e m s f a c i n g i n s t r u c t i o n a l p r o g r a m d e s i g n e r s r e m a i n s l a r g e . A d d i t i o n a l l y s o m e o f t h e e a r l i e r m a d e r e c o m m e n d a t i o n s f o r t e x t b o o k a u t h o r s , t e a c h e r s , a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s m i g h t p o s s i b l y i m p r o v e v e r b a l p r o b l e m i n s t r u c t i o n a n d p e r f o r m a n c e , w i t h o u t h a v i n g a n y s i g n i f i c a n t i m p a c t o n d e s i r e d i m p r o v e m e n t o f s t u d e n t s ’ g e n e r a l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t i e s . R o l e o f M e t a c o q n i t i o n E v e n i f o n e e x p a n d s m e t a c o g n i t i o n t o i n c l u d e s t u d e n t s ’ b e l i e f s a n d a t t i t u d e s , s t u d y e f f e c t s d u e t o m e t a c o g n i t i o n w e r e r a t h e r m i n i m a l i n c o m p a r i s o n t o t h e c o g n i t i v e c a p a b i l i t i e s r e q u i r e d f o r s u c c e s s f u l v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g p e r f o r m a n c e . A g a i n , t h i s m i n i m a l e f f e c t f o r m e t a c o g n i t i o n m a y b e d u e t o t h e m e c h a n i c a l b e h a v i o r o b s e r v e d f o r b o t h t h e t e a c h e r s a n d t h e s t u d e n t s o f t h i s l e v e l o f c o u r s e , a n d n e e d s f u r t h e r r e s e a r c h , b o t h w i t h i n 5 0 1 o t h e r c o u r s e s a n d w i t h d i f f e r e n t l e v e l s o f s t u d e n t s . T h e s t u d y ’ s s t u d e n t s w e r e n e v e r r e q u i r e d t o e v a l u a t e a l t e r n a t i v e s a s i n m o r e r e a l w o r l d p r o b l e m s o l v i n g , b u t r a t h e r w e r e o n l y r e q u i r e d t o m o n i t o r p r o g r e s s a n d c o n t r o l m o v e m e n t t h r o u g h t h e g e n e r a l p r o c e d u r e . S t u d e n t s ’ a b i l i t y t o m o n i t o r t h e i r p r o g r e s s o n l y h a d m i n o r i n f l u e n c e o n s t u d e n t b e h a v i o r , i n c o m p a r i s o n t o s t u d e n t a b i l i t y t o p e r f o r m t h e t h r e e m a j o r p r o c e s s e s . T h e n i n e s t u d e n t i n t e r v i e w s r e v e a l e d g r e a t e r m e t a c o g n i t i v e d i f f e r e n c e s b e t w e e n b e t t e r p e r f o r m i n g s t u d e n t s , i n t e r m s o f g r e a t e r a w a r e n e s s o f a b i l i t y a n d l i m i t a t i o n s , r e l a t e d c o m p e n s a t i o n a n d r e p a i r s t r a t e g y d e v e l o p m e n t , a n d p e r s e v e r a n c e t r a i t s . T h e l i m i t e d i n s t r u c t i o n a l s u g g e s t i o n s r e l a t e d t o m e t a c o g n i t i v e a c t i o n s l a r g e l y f e l l o n d e a f s t u d e n t e a r s , w h o f o r t h e m o s t p a r t w e r e j u s t s t r u g g l i n g t o m a s t e r m o r e b a s i c c o g n i t i v e p r o c e s s e s . F u t u r e r e s e a r c h e f f o r t s w i l l n e e d t o c l a r i f y w h i c h s p e c i f i c a s p e c t s o f m e t a c o g n i t i o n a r e m o s t d e s i r a b l e a n d i n f l u e n t i a l f o r s u c c e s s f u l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( i n c l u d i n g v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g ) , a n d a l s o w h e n t h e o p t i m u m t i m e f o r i n t r o d u c t i o n o f m e t a c o g n i t i v e p r o c e s s i n g m a y b e , a l o n g w i t h c o g n i t i v e i n s t r u c t i o n , o r a f t e r c o g n i t i v e i n s t r u c t i o n h a s r e s u l t e d i n a c e r t a i n l e v e l o f c o n t e n t m a s t e r y . T h e s t u d y i d e n t i f i e d a n d d e t a i l e d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n a d i v e r s i t y o f v a r i a b l e s w i t h i n t h e A l g e b r a I 5 0 2 s e t t i n g . I t w a s s h o w n t h a t b o t h t h e o r g a n i z a t i o n o f t e x t b o o k s a n d t e a c h e r s ’ c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s i n f l u e n c e t e a c h e r s ’ d e c i s i o n s r e l a t e d t o t h e v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t s t u d i e d , t h e t e a c h i n g m e t h o d o l o g y e m p l o y e d , t h e i n s t r u c t i o n a l r o u t i n e s d e s i g n e d , a n d t h e o r i e n t a t i o n u s e d i n l e s s o n d e v e l o p m e n t s e g m e n t s . I t w a s a l s o d e m o n s t r a t e d t h a t t h e s e i n s t r u c t i o n a l d e c i s i o n s o f t e a c h e r s l e d t o p r e d i c t a b l e p a t t e r n s o f s t u d e n t p r o c e s s i n g a n d p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t . F u t u r e r e s e a r c h i s n e e d e d t o v a l i d a t e a n d r e p l i c a t e t h e n a t u r e o f t h e s e r e l a t i o n s h i p s , a n d m a y r e q u i r e s t u d y i n g t h e s e r e l a t i o n s h i p s i n g r e a t e r i s o l a t i o n a n d d e t a i l . T h e s t u d y a l s o d e s c r i b e d b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f A l g e b r a I t e x t b o o k s , t e a c h e r s ' i n s t r u c t i o n , a n d s t u d e n t s ’ p e r f o r m a n c e r e l a t e d t o v e r b a l p r o b l e m c o n t e n t , a n d t h e r e f o r e i t i s s u g g e s t e d t h a t r e s e a r c h e r s c o n s i d e r i m p l e m e n t a t i o n o f c e r t a i n o f t h e s t u d y ’ s r e c o m m e n d a t i o n s a s i n t e r v e n t i o n i s t s t r a t e g i e s w i t h i n t h e i r f u t u r e d e s i g n s . A P P E N D I C E S » v ! " v 0 0 v - O D ( v v ’ D v ‘ U v 0 v Q v D v ‘ H v H v Q U v - H v - v U W v A P P E N D I X A P i l o t S t u d y I n s t r u m e n t a t i o n S u g g e s t i o n Z H e u r i s t i c C o d i n g F o r m D a t e : T y p e : T e x t / T e a c h e r / S t u d e n t D e s c r i p t i o n : P r o c e s s e s 3 1 . A . a ) R e a d s p r o b l e m b ) R e r e a d s f o r e s s e n t i a l s c ) R e s t a t e s p r o b l e m s t a t e m e n t d ) S e p a r a t e s , a n a l y s i s c o m p o n e n t s e ) R e q u e s t s d e f i n i t i o n s o f t e r m s B . a ) R e c a l l s r e l a t e d p r o b l e m t y p e b ) R e c a l l s r e l a t e d r e l a t i o n s h i p c ) R e c a l l s r e l a t e d m e t h o d / r e s u l t s C . a ) E x p l o r a t o r y m a n i p u l a t i o n s b ) D r a w s d i a g r a m c ) M o d i f i e s d i a g r a m d ) I d e n t i f i e s u n k n o w n s e ) D e f i n e s v a r i a b l e s D e d u c t i v e a l g o r i t h m i c a p p r o a c h S y s t e m a t i c t r i a l a n d e r r o r R a n d o m t r i a l a n d e r r o r E q u a t i o n c o n s t r u c t i o n ( p i e c e m e a l ) E q u a t i o n c o n s t r u c t i o n ( r e l a t i o n a l ) E s t i m a t e s T e m p l a t i o n / r e c a l l m a t c h S m o o t h i n g / m o d i f y p r o b l e m s t a t e m e n t C a s e s t u d i e s D e d u c t i o n I n v e r s e d e d u c t i o n A n a l o g y O r g a n i z a t i o n a l c h a r t c o n s t r u c t i o n E l e m e n t a l a n a l y s i s R e l a t i o n a l l i n k s n o t e d S e t s u p e q u a t i o n ( s ) 5 0 3 A . a ) C h e c k s s o l u t i o n i n e q u a t i o n B . a ) R e f e r s t o q u e s t i o n o f p r o b . s t a t e . 5 0 4 S u g g e s t i o n / H e u r i s t i c C o d i n g F o r m - C o n t i n u e d a ) G u e s s a n d c h e c k c a r r i e d f o r t h b ) A l g o r i t h m s - a l g e b r a i c c ) A l g o r i t h m s - a r i t h m e t i c d ) O b t a i n s s o l u t i o n e ) W o r k d i s c o n t i n u e d d u e t o e r r o r f ) W o r k d i s c o n t i n u e d d u e l a c k p r o g r e s s g ) L o g i c a l j u s t i f i c a t i o n b ) C h e c k s s o l u t i o n r e t r a c i n g s t e p s c ) C h e c k s w i t h a l g o r i t h m i c p r o c e s s e s d ) C h e c k s u s i n g r e a s o n a b l e n e s s s t a n d s . e ) D o e s n o t c h e c k f ) C h e c k s w i t h l o g i c a l r e v i e w o f w o r k b ) C o r r e c t i n t e r p r e t a t i o n / r e s u l t s c ) I n c o r r e c t i n t e r p r e t a t i o n / r e s u l t d ) N o s o l u t i o n d e t e r m i n e d e ) E x p r e s s e s c o n c e r n / c o m m e n t s P i l o t S t u d y V e r b a l P r o b l e m I n e t r u m e n t ( C l a s s a n d I n t e r v i e w s ) T h e s u m o f t w o i n t e g e r s i s s e v e n . T h e s u m o f t h e i r r e s p e c t i v e s q u a r e s i s 8 5 . F i n d t h e t w o i n t e g e r s . T h e l e n g t h o f a r e c t a n g l e i s 2 c m l o n g e r t h a n i t s w i t h . T h e a r e a o f t h e r e c t a n g l e i s n u m e r i c a l l y 2 0 c m m o r e t h a n i t s p e r i m e t e r i n c m . D e t e r m i n e t h e d i m e n s i o n s ( l e n g t h a n d w i d t h ) o f t h e r e c t a n g l e . J e r r y h a s t h r e e t i m e s a s m a n y d i m e s a s n i c k e l s i n h i s c o l l e c t i o n . T h e t o t a l v a l u e o f t h e c o i n s i s $ 4 . 5 5 . H o w m a n y o f e a c h c o i n ( n i c k e l s a n d d i m e s ) d o e s h e h a v e ? T w o f e r t i l i z e r b r a n d s , A a n d B , c o n t a i n r e s p e c t i v e l y 8 % a n d 1 2 % n i t r o g e n b y w e i g h t . H o w m u c h o f e a c h b r a n d s h o u l d b e m i x e d t o o b t a i n 3 0 p o u n d s o f a 9 % n i t r o g e n m i x t u r e ? T w o t r a i n s l e a v e t h e s a m e s t a t i o n i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s , t h e p a s s e n g e r t r a i n a t 1 : 0 0 P M a n d t h e f r e i g h t t r a i n a t 2 : 0 0 P M . T h e p a s s e n g e r t r a i n ’ s a v e r a g e r a t e i s 8 m i l e s p e r h o u r f a s t e r t h a n t h e f r e i g h t t r a i n ’ s r a t e . A t 5 : 0 0 P M t h e t w o t r a i n s a r e 2 2 1 m i l e s a p a r t . F i n d e a c h t r a i n ’ s a v e r a g e r a t e . A P P E N D I X B S t u d y C o d i n g F o r m s C o d i n g F o r m 1 : P r o c e s s C o d i n g o f E x a m p l e s D a t e : T y p e : T e x t : T e a c h e r : S e l f / b o r r o w e d S t u d e n t : P a g e : T e x t : P a g e : R e f e r e n c e : D e s c r i p t i o n : 1 . U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m S e g m e n c e ( fi ) C o m m e n t s Z H i n t W A . R e a d s P r o b l e m B . R e r e a d s , e s s e n t i a l s s e p a r a t e d C . R e s t a t e s p r o b l e m s t a t e m e n t D . R e q u e s t s o r s t a t e s c l a r i f i c a t i o n E . R e c a l l s r e l a t e d n e e d ( s p e c i f y ) F . E x p l o r a t o r y m a n i p u l a t i o n G . D i a g r a m / c h a r t c o n s t r u c t e d H . I d e n t i f i e s w a n t e d / g i v e n / n e e d e d I . D e f i n e s v a r i a b l e s / u n k o w n 2 . D e v i s i n q , a P l a n A . E s t i m a t e s s o l u t i o n B . T e m p l a t i o n / m a t c h r e c a l l C . S m o o t h i n g / a n a l o g y D . C h a r t c o n s t r u c t i o n 5 0 5 5 0 6 C o d i n g F o r m 1 - C o n t i n u e d E . R a n d o m t r i a l a n d e r r o r F . S y s t e m a t i c t r i a l & e r r o r G . E q u a t i o n c o n s t r u c t i o n ( e l e m e n t a l t r a n s l a t i o n ) H . E q u a t i o n c o n s t r u c t i o n ( r e l a t i o n a l w h o l e ) C a r m y i n g o u t t h e P l a n A . P l a n i n 2 c a r r i e d f o r t h B . A l g e b r a / a r i t h m e t i c p r o c e d u r e s u s e d c o r r e c t l y C . L o g i c a l j u s t i f i c a t i o n p r o v i d e d D . C o r r e c t s o l u t i o n o b t a i n e d E . W o r k d i s c o n t i n u e d / e r r o r F . W o r k d i s c o n t i n u e d / o t h e r L o o k i n g B a c k / I n t e r p r e t i n g R e s u l t e . A . C o r r e c t l y i n t e r p r e t s s o l u t i o n B . I n c o r r e c t l y i n t e r p r e t s s o l u t i o n C . N o s o l u t i o n i d e n t i f i e d D . C h e c k s s o l u t i o n b y : a . b . c . d . e . r e a s o n a b l e n e s s s t a n d a r d s o n l y w i t h p r o b l e m s t a t e m e n t i n e q u a t i o n ( s ) a l g e b r a i c p r o c e d u r e s r e v i e w e n t i r e l o g i c a l d e v e l o p m e n t 5 0 7 C o d i n g F o r m 2 : T e a c h i n g E v a l u a t i o n I n s t r u m e n t U s e : T o b e c o m p l e t e d a f t e r e v e r y t e a c h e r o b s e r v a t i o n P u r p o s e : T o j u d g e t i m e u s a g e / e v a l u a t e q u a l i t y l e s s o n d e v e l o p m e n t D a t e : T e a c h e r : R e f e r r i n g t o o b s e r v a t i o n a l n o t e s : D e t e r m i n e a m o u n t o f t i m e i n m i n u t e s f o r e a c h c l a s s r o o m a c t i v i t y . P e r i o d = m i n . M i n u t e s % p e r i o d A c t i v i t y O r g a n i z a t i o n / A d m i n i s t r a t i o n D r i l l / M e n t a l M a t h H o m e w o r k R e v i e w C o n c e p t R e v i e w ( n o n — d e v e l o p m e n t ) L e s s o n D e v e l o p m e n t C o n t r o l l e d P r a c t i c e S e a t w o r k / H o m e w o r k . A s s i g n m e n t T r a n s i t i o n / O t h e r T o t a l s W h e n t e a c h e r i n t r o d u c e d E v a l u a t o r r a t i n g s o f l e s s o n n e w a c t i v i t y o r m a k e s d e v e l o p m e n t , s c a l e 1 - 5 ( 1 = a s s i g n m e n t p o o r , 5 = e x c e l l e n t ) Q u a l i t y B e h a v i o r C a t e g o r i e s C o d e D a v R a t i n g 1 . G u s h e s , d r a m a t i c 1 . T a s k o r i e n t a t i o n b u i l d - u p 2 . C l a r i t y 2 . P r e d i c t s g r o u p 3 . E n t h u s i a s m e n j o y m e n t 4 . F r e q u e n t t e a c h e r 3 . M e n t i o n s i n f o o r t a l k s k i l l s t o b e l e a r n _ _ _ 5 . A t t e n d i n g t o 4 . N o a t t e m p t t o p r e r e q u i s i t e s m o t i v a t e i n t o a c t . 6 . A t t e n d i n g t o 5 . A p o l o g i z e s o r r e l a t i o n s h i p s S y m p a t h e s i z e s 7 . A t t e n d i n g r e p r e s e n - 6 . B r i b e s , p r o m i s e s t a t i o n s , m o d e l s f o r g o o d w o r k 8 . A t t e n d i n g t o p e r c e p t i o n 7 . W a r n s / r e m i n d s d i s c r i m i n a t i o n g r o u p o f t e s t 9 . G e n e r a l i t y o f 8 . T h r e a t e n s c o n c e p t s p u n i s h m e n t 9 . P r e s e n t s a c t i v i t y a s p u n i s h m e n t 1 0 . O t h e r ( s p e c i f y ) A P P E N D I X C T e x t b o o k A n a l y s i s M a t e r i a l s T e x t b o o k F e a t u r e E v a l u a t i o n F o r m R a t i n g s ( 1 - 5 ) c a t e g o r y s u b t o t a l B . T e x t b o o k E x p l a n a t i o n l . 2 . 3 . 4 5 6 Q u a n t i t y C l a r i t y : o b j e c t i v e s C o n s i s t e n c y / c o n n e c t e d n e s s L a y o u t a p p e a l S t u d e n t r e a d a b i l i t y S u g g e s t e d s e q u e n c e c a t e g o r y s u b t o t a l C . T e x t b o o k E x a m p l e s 1 . 2 . 3 . Q u a n t i t y C l a r i t y / c o n s i s t e n c y D i v e r s i t y / c o m p l e t e n e s s c a t e g o r y s u b t o t a l D . E x e r c i s e S e t s 1 . 2 . 3 . 4 . G r a n d Q u a n t i t y C l a r i t y / r e a d a b i l i t y D i v e r s i t y / C o m p l e t e n e s s D e g r e e o f d i f f i c u l t y c a t e g o r y s u b t o t a l t o t a l r a t i n g s 5 0 8 F e a t u r e T e x t A T e x t B T e x t C . A . G e n e r a l M o d e l 1 . Q u a l i t y o f m o d e l 2 . M a i n t a i n e d c o n s i s t e n c y 3 . S t u d e n t u s a g e c l a r i t y 5 0 9 T e x t b o o k A u t h o r S u r v e v N a m e : P u b l i s h e r : A l g e b r a T e x t : D a t e : C o n s i d e r f o r a m o m e n t t h e p l a n n i n g a n d d e s i g n o f y o u r r e s p e c t i v e t e x t b o o k f o r u s e w i t h t y p i c a l n i n t h g r a d e a l g e b r a s t u d e n t s . B e l o w a r e l i s t e d s e v e r a l p o s s i b l e p u r p o s e s , e x p e c t a t i o n s , o r a b i l i t i e s o n e m i g h t e x p e c t s t u d e n t s u s i n g y o u r t e x t b o o k t o a c c o m p l i s h i n v a r y i n g d e g r e e s d u r i n g a o n e y e a r A l g e b r a I c o u r s e . F o r e a c h l i s t i n g , d e s c r i b e i n t h e s c a l e a t t h e r i g h t y o u r p o s i t i o n o n i t s r e l a t i v e i m p o r t a n c e t o y o u i n t h e d e s i g n o f t h i s t e x t b o o k . v e r y S o m e L e s s L i t t l e I m p o r . I m p o r . N e u t r . I m p o r . I m p o r . S i m p l i f i c a t i o n o f a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s S o l u t i o n l s t a n d 2 n d d e g r e e e q u a t i o n s U n d e r s t a n d i n g / j u s t i f i - c a t i o n p r o c e d u r e s S o l u t i o n t e x t b o o k w o r d p r o b l e m s / a p p l i c a t i o n s R e l a t i o n s h i p s a l g e b r a g e o m e t r i c i n t e r p r e t s . R e l a t i o n s h i p s a l g e b r a a r i t h m e t i c r u l e s R e l a t i o n s h i p s o f a l g e b r a i c s y m b o l f o r m s e q u i v a l e n c e s ( i . e . e q u a t i o n s & f u n c t i o n s ) _ _ _ A l g e b r a i c t e c h n i q u e s a s t o o l s f o r g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g u s e . O t h e r ( s p e c i f y ) I n t h e l e f t h a n d c o l u m n a b o v e , r a n k o r d e r t h e 8 ( o r 9 ) i t e m s g i v e n a s t o t h e i r r e l a t i v e i m p o r t a n c e i n t h e d e s i g n o f t h i s t e x t b o o k . ( 1 = m o s t i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n , 8 = l e a s t i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n ) 5 1 0 T e x t b o o k A u t h o r S u r v e y - C o n t i n u e d W h e n y o u d e s i g n e d t h i s p a r t i c u l a r t e x t b o o k , w h a t m a t h a b i l i t y l e v e l d i d y o u t a r g e t f o r i t s u s e ? ( c h e c k a l l t h a t a p p l y ) h i g h a b i l i t y l e v e l c l a s s e s m i x e d a b i l i t y l e v e l c l a s s e s l o w a b i l i t y l e v e l c l a s s e s m i x e d a b i l i t y l e v e l c l a s s e s o t h e r ( s p e c i f y ) n o p a r t i c u l a r t a r g e t c l a s s D e s c r i b e b r i e f l y y o u r p r e f e r e n c e f o r t h e o r g a n i z a t i o n o f t e x t b o o k w o r d p r o b l e m e x e r c i s e s . ( E x a m p l e s : b y c a t e g o r y t y p e , s e p a r a t e s e c t i o n s p r e s e n t a t i o n o r a s a p p l i c a t i o n s f o r i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g m a n i p u l a t i v e s k i l l s ) I a s s u m e y o u b e l i e v e y o u r s t a t e d p r e f e r e n c e a b o v e i s a l s o t h e m o s t e f f e c t i v e o r g a n i z a t i o n f o r s t u d e n t s t o g a i n s k i l l s i n s o l v i n g w o r d p r o b l e m s . U p o n w h a t k n o w l e d g e i s t h i s b e l i e f b a s e d ? ( R e s e a r c h , p e r s o n a l e x p e r i e n c e , t e s t i n g , o t h e r ) . D o e s y o u r t e x t b o o k c o n t a i n a n d m a i n t a i n a n i d e n t i f i a b l e , s e q u e n t i a l g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g p a t t e r n o r o r i e n t a t i o n f o r s o l v i n g i t s w o r d p r o b l e m s o r e x e r c i s e s ? I f y e s , d e s c r i b e i t . F r o m w h o s e i d e a s d i d t h i s o r i e n t a t i o n o r i g i n a t e ? A s s u m e t h a t t o d a y y o u w e r e a s k e d t o d e s i g n a t e x t b o o k f o r . A l g e b r a I , w o u l d t h e r e b e a n y c h a n g e s ( a d d i t i o n s o r d e l e t i o n s ) o f c o n t e n t , p l a c e m e n t , o r o r d e r o f p r e s e n t a t i o n ? D e s c r i b e . 5 1 1 T e x t b o o k A u t h o r S u r v e y - C o n t i n u e d W o u l d t h e r e b e a n y r e t h i n k i n g o r r e o r i e n t a t i o n o n t h e i n c l u s i o n o f w o r d p r o b l e m s o r i n t h e i r i n s t r u c t i o n a l s i g n i f i c a n c e o r p r e s e n t a t i o n ? D e s c r i b e . O t h e r c o m m e n t s r e l a t e d t o t h i s s u r v e y : T h a n k y o u f o r y o u r h e l p a n d c o o p e r a t i o n i n c o m p l e t i n g t h i s s u r v e y f o r m y s t u d y . P l e a s e r e t u r n t h e c o m p l e t e d s u r v e y i n t h e p r e a d d r e s s e d s t a m p e d e n v e l o p e p r o v i d e d . P a r t I : A P P E N D I X D T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t C l a s s r o o m P r o c e d u r e s N a m e S c h o o l P l e a s e c h e c k t h e p o i n t w i t h i n e a c h o f t h e f o l l o w i n g s c a l e s w h i c h m o s t a c c u r a t e l y d e s c r i b e s y o u r A l g e b r a I c l a s s e s . P l e a s e r e s p o n d a c c o r d i n g t o w h a t a c t u a l l y h a p p e n s , n o t w h a t y o u t h i n k s h o u l d h a p p e n o r w h a t y o u w o u l d l i k e t o h a p p e n . 1 . 2 . l I g i v e a n A l g e b r a _ _ t e s t o n c e e v e r y 3 w e e k s . . A l g e b r a l e a r n i n g o b j e c t i v e s a r e t h e — — s a m e f o r a l l s t u d e n t s i n t h e c l a s s . S t u d e n t s a r e e n c o u r a g e d t o g e t _ _ a l o t o f h e l p w i t h t h e i r a l g e b r a p r o b l e m s . . A l m o s t a l l h e l p i s i n i t i a t e d b y 2 s t u d e n t s a s k i n g f o r i t . D a i l y l e s s o n p l a n s a r e s t a b l e , H E t _ _ u s u a l l y s u b j e c t t o c h a n g e . E v a l u a t i o n s t a n d a r d s / p r o c e d u r e s a r e t h e s a m e f o r a l l s t u d e n t s . 5 1 2 3 P l e a s e a n s w e r a l l q u e s t i o n s . 4 5 I g i v e a t e s t o n c e e v e r y w e e k . A l g e b r a l e a r n i n g o b e c t i v e s a r e s e t f o r e a c h s t u d e n t s e p a r a t e l y . S t u d e n t s a r e e n - c o u r a g e d t o s o l v e a l g e b r a p r o b l e m s w i t h o u t a l o t o f t e a c h e r h e l p . A l m o s t a l l h e l p i s i n i t i a t e d b y m y s e e i n g t o i t . D a i l y l e s s o n p l a n s a r e c h a n g e d v e r y f r e q u e n t l y . E v a l u a t i o n s t a n d - a r d s / p r o c e d u r e s a r e d i f f e r e n t f o r e a c h s t u d e n t . 7 . 8 . 9 . 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 5 1 3 T e a c h e r I n v e n t o r y 1 2 O n a t y p i c a l d a y , _ _ I g i v e a l e c t u r e p r e s e n t a t i o n d u r i n g 3 / 4 o f c l a s s t i m e . S t u d e n t s _ _ _ f r e q u e n t l y h e l p o n e a n o t h e r d u r i n g A N D a f t e r a l g e b r a c l a s s . I e n c o u r a g e _ _ _ _ s t u d e n t s t o s o l v e w o r d o r s t o r y p r o b l e m s t h e w a y t h a t I h a v e d e m o n s t r a t e d . I p r e s e n t a n _ _ a n a l g e b r a c o n c e p t , t h e n i l l u s t r a t e t h e c o n c e p t b y w o r k i n g s e v e r a l p r o b l e m s ( d e d u c t i v e ) . A l g e b r a i s t a u g h t _ _ s t r i c t l y a s a m a n i p u l a t i o n o r i e n t e d s u b j e c t . W o r d p r o b l e m s _ _ o r s t o r i e s a r e t a u g h t a s a p p l i c a t i o n s o f a l g e b r a i c p r o c e d u r e s . I c a n u s u a l l y p r e d i c t w h e r e m y s t u d e n t s w i l l b e i n t h e t e x t b o o k i n J a n u a r y . I n m y a l g e b r a _ _ c l a s s , I e m p h a s i z e b a s i c a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n p r o c e d u r e s . P a c k e t - C o n t i n u e d 3 4 I a l m o s t n e v e r g i v e a l e c t u r e p r e s e n t a t i o n . S t u d e n t s s e l d o m h e l p o n e a n o t h e r d u r i n g A N D a f t e r a l g e b r a c l a s s . I e n c o u r a g e s t u d e n t s t o s o l v e w o r d o r s t o r y p r o b l e m s a n y w a y t h a t t h e y d e s i r e . I p r e s e n t t h e c l a s s w i t h a s e r i e s o f p r o b l e m s , t h e n t o g e t h e r w e d e v e l o p c o n c e p t s a n d m e t h o d o f s o l n ( i n d u c t i v e ) A l g e b r a i s t a u g h t w i t h e m p h a s i s o n t h e o r e t i c a l f o u n - d a t i o n s . W o r d p r o b l e m s o r s t o r i e s a r e t a u g h t a s p r o b l e m s o l v i n g o p p o r t u n i t i e s o r c h a l l e n g e s . _ _ I c a n ' t u s u a l l y p r e d i c t w h e r e m y s t u d e n t s w i l l b e i n t h e t e x t b o o k i n J a n u a r y . _ _ I n m y a l g e b r a c l a s s , I e m p h a s i z e u n d e r s t a n d i n g t h e u n d e r l y i n g r e a s o n s f o r v a r i o u s a l g e - b r a i c p r o c e d u r e s . v m n o m 1 5 . A p p r e c i a t i o n o f 5 1 4 T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t - C o n t i n u e d 1 2 3 4 5 _ _ A p p r e c i a t i o n o f a l g e b r a ' s p o w e r f o r — a l g e b r a ’ s p o w e r f o r s o l v i n g p r o b l e m s i s s o l v i n g p r o b l e m s i s o f h i g h i m p o r t a n c e . n o t v i t a l . 1 6 . H e a v y e m p h a s i s _ _ L i t t l e e m p h a s i s i s i s p l a c e d o n t e x t b 3 3 k — _ p l a c e d o n t e x t b o o k w o r d p r o b l e m s o r w o r d p r o b l e m s o r p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . p r a c t i c a l a p p l i c a . 1 7 . U n d e r s t a n d i n g _ _ _ t h e m e t h o d o l o g y o f w h y t h e _ _ U n d e r s t a n d i n g t h e m e t h o d o l o g y u s e d i s a g i v e n m e t h o d g i v e s n o t c r i t i c a l t o m e . c o r r e c t a n s w e r i s i m p o r t a n t t o m e . P a r t I I : T e a c h e r O p i n i o n S e l e c t t h e a p p r o p r i a t e c h o i c e f o r e a c h s t a t e m e n t . A g r e e S o m e w h a t a g r e e U n d e c i d e d S o m e w h a t d i s a g r e e D i s a g r e e H f e e l c o n f i d e n t t e a c h i n g a l g e b r a . I f e e l c o n f i d e n t t e a c h i n g a l g e b r a w o r d p r o b l e m t e c h n i q u e s . I f i n d t e a c h i n g a l g e b r a c h a l l e n g i n g a n d s t i m u l a t i n g I f i n d t e a c h i n g a l g e b r a r e w a r d i n g a n d e n j o y a b l e . I n t e r m s o f t e a c h i n g s k i l l , a l g e b r a i n c o m p a r i s o n t o o t h e r m a t h s u b j e c t s I h a v e t a u g h t i s a p e r s o n a l s t r e n g t h . M y b a s i c f u n c t i o n a s a n a l g e b r a t e a c h e r i s t o c o n v e y m y k n o w l e d g e o f a l g e b r a t o t h e s t u d e n t s i n a d i r e c t m a n n e r . I f e e l I h a v e a g o o d s o u n d b a c k g r o u n d a n d k n o w l e d g e b a s e a b o u t a l g e b r a w o r d p r o b l e m s . 5 1 5 T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t - C o n t i n u e d P a r t I I I : C o m p l e t i o n F o r e a c h b l a n k c o m p l e t e w i t h m o s t l y n u m e r i c a l e s t i m a t i o n s . 1 . M o s t o f m y s t u d e n t s c o m p l e t e % o r m o r e o f a l l t h e w o r d p r o b l e m s i n t h e i r t e x t b o o k a s s o c i a t e d w i t h e a c h l e s s o n t h a t i s t a u g h t . W h e n y o u u s e p r a c t i c e e x e r c i s e s t o r e i n f o r c e a l g e b r a s k i l l s , a p p r o x i m a t e l y w h a t p e r c e n t a g e a r e : % o r a l w o r k o r c h a l k b o a r d w o r k . % w r i t t e n w o r k t o b e d o n e i n c l a s s . % w r i t t e n w o r k t o b e d o n e o u t s i d e o f c l a s s . % o t h e r ( s p e c i f y ) 1 0 0 % t o t a l B e f o r e y o u w o u l d r e t e a c h a u n i t o r c h a p t e r , w h a t p e r c e n t o f y o u r c l a s s w o u l d h a v e h a d t o h a v e d o n e p o o r l y o n a n e x a m ? % W h e n s o m e s t u d e n t s d o p o o r l y o n t e s t s o r o t h e r w i s e i n d i c a t e t h a t t h e y h a v e n o t u n d e r s t o o d a u n i t i n a l g e b r a , w h a t a r e t h r e e ( 3 ) t h i n g s y o u d o t o i m p r o v e t h e s i t u a t i o n . 1 . 2 . 3 . O n t h e a v e r a g e , I s p e n d a b o u t m i n u t e s a d a y d e v e l o p i n g a l g e b r a c o n c e p t s a n d s k i l l s , a n d h a v e s t u d e n t s p r a c t i c e t h e s e s k i l l s t h r o u g h h o m e w o r k a n d p r o b l e m a s s i g n m e n t s m i n u t e s a d a y . S o m e t i m e s s t u d e n t s h a v e d i f f i c u l t y s o l v i n g a l g e b r a w o r d p r o b l e m s o r s t o r i e s . B r i e f l y d e s c r i b e o r r e l a t e s u g g e s t i o n s y o u g i v e t o h e l p s t u d e n t s s o l v e w o r d p r o b l e m s . 1 . 2 . 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 5 1 6 T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t - C o n t i n u e d W h e n I i n t r o d u c e a n d a s s i g n s t u d e n t s a l g e b r a w o r d p r o b l e m s , I g o o v e r t h e v o c a b u l a r y a n d r e l a t i o n s h i p s w i t h i n a p r o b l e m a n d p o i n t o u t w h a t v a r i o u s w o r d s m e a n a b o u t % o f t h e t i m e . B e f o r e I s t a r t p r e s e n t i n g t h e a l g e b r a l e s s o n f o r t h e d a y , I s p e n d a b o u t m i n u t e s p e r d a y g o i n g o v e r t h e p r e v i o u s l e s s o n . W h e n a l g e b r a h o m e w o r k a s s i g n m e n t s a r e c h e c k e d , w h a t p e r c e n t a g e w o u l d f a l l i n t o t h e f o l l o w i n g c a t e g o r i e s ? % I c h e c k t h e s t u d e n t s ’ p a p e r s . % A n a i d e c h e c k s t h e s t u d e n t s ' p a p e r s . % S t u d e n t s c h e c k t h e i r o w n w o r k . % S t u d e n t s c h e c k e a c h o t h e r s ’ w o r k . 1 0 0 % t o t a l I f y o u h a d y o u r c h o i c e , w h a t t y p e a b i l i t y l e v e l i n a l g e b r a w o u l d y o u p r e f e r t o t e a c h ? ( c h e c k o n e ) M o s t l y h i g h a b i l i t y M o s t l y a v e r a g e a b i l i t y M o s t l y l o w a b i l i t y A . m i x t u r e o f a b i l i t y l e v e l s I e x p e c t a b o u t % o f m y s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l o n a l g e b r a m a n i p u l a t i o n s k i l l s a n d p r o c e d u r e s ( s u c c e s s f u l = 8 0 % = B ) . I e x p e c t a b o u t % o f m y s t u d e n t s t o b e s u c c e s s f u l o n a l g e b r a w o r d p r o b l e m s o l v i n g ( s a m e s u c c e s s l e v e l ) . H o w m a n y y e a r s ( i n c l u d i n g t h i s y e a r ) h a v e y o u t a u g h t A l g e b r a I a t a m i d d l e a b i l i t y l e v e l ? y e a r s A t a h i g h e r o r a c c e l e r a t e d a b i l i t y l e v e l ? y e a r s W h a t d i f f e r e n c e s a r e y o u a w a r e o f i n y o u r t e a c h i n g o f a l g e b r a w o r d p r o b l e m s o l v i n g t o A l g e b r a I ( m i d d l e t r a c k ) v s . A l g e b r a I ( h i g h a b i l i t y t r a c k ) ? 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 5 1 7 T e a c h i n g I n v e n t o r y P a c k e t - C o n t i n u e d W h a t p u r p o s e s o r r e a s o n s d o y o u s e e f o r t h e i n c l u s i o n o f e x t e n s i v e w o r d p r o b l e m s o r a p p l i c a t i o n s i n t h e A l g e b r a I c o u r s e ? ( R a n k 1 , 2 , 3 ) W h a t r e a s o n s w o u l d y o u p u t f o r t h t o e x p l a i n t h e a p p a r e n t i n a b i l i t y o f s o m e s t u d e n t s t o s u c c e s s f u l l y s o l v e w o r d p r o b l e m s d e s p i t e t h e s e s a m e s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o s u c c e s s f u l l y e m p l o y n e c e s s a r y m a n i p u l a t i o n s k i l l s a n d p r o c e d u r e s ? ( R a n k 1 , 2 , 3 ) H o w m u c h e m p h a s i s ( i m p o r t a n c e ) d o y o u t h i n k y o u r t e x t b o o k a u t h o r s p u t o n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s i n A l g e b r a I . ( p l a c e c h e c k ) v e r y e q u a l i m p o r t . l i t t l e i m p o r t a n t w i t h m a n i p u l a t i v e i m p o r t a n c e s k i l l s G i v e a n y r e a s o n s y o u h a v e f o r t h i s j u d g m e n t ? H o w m u c h i n a g r e e m e n t a r e y o u w i t h t h e a u t h o r s ' e m p h a s i s o r i m p o r t a n c e p l a c e d o n v e r b a l p r o b l e m s o l v i n g . ( p l a c e c h e c k ) s u f f i c i e n t e m p h a s i s t o o m u c h e m p h a s i s o n v e r b a l p r o b l e m s i n s u f f i c i e n t e m p h a s i s ( c u r r i c u l u m r e q u i r e s m o d i f i c a t i o n s / a d d i t i o n s ) 5 1 8 T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t - C o n t i n u e d 1 9 . H O W ' m U C h i n a g r e e m e n t o r d i s a g r e e m e n t a r e y o u w i t h t h e t e x t b o o k ' s h a n d l i n g o f v e r b a l p r o b l e m s w i t h r e g a r d s t o ( f o r e a c h c a t e g o r y , p l a c e c h e c k ) T o t a l T o t a l a g r e e - U n d e - d i s a g r e e - m e n t c i d e d m e n t a ) s e q u e n c i n g / o r g a n i z a t i o n / l o c a t i o n b ) e x a m p l e p r o b l e m s u s e d c ) p r e s e n t a t i o n s l e x p l a n a t i o n s d ) a s s o c i a t e d p r o b l e m s e t s ( a m o u n t ) e ) a s s o c i a t e d p r o b l e m s e t s ( d e g r e e o f d i f f i c u l t y ) f ) e x t e n s i v e n e s s / s u f f i c i e n c y 5 1 9 T e a c h e r I n v e n t o r y P a c k e t - C o n t i n u e d B e l o w a r e l i s t e d 8 p o s s i b l e p u r p o s e s , e x p e c t a t i o n s , o r o b j e c t i v e s o n e m i g h t e x p e c t A l g e b r a I s t u d e n t s t o a c c o m p l i s h i n v a r y i n g d e g r e e s d u r i n g a o n e y e a r c o u r s e . R e f l e c t i n g u p o n y o u r e x p e r i e n c e i n t e a c h i n g t h i s l e v e l c o u r s e a n d o t h e r s , m a r k t h e s c a l e a t r i g h t f o r e a c h i t e m w i t h y o u r p e r s o n a l o p i n i o n o f t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e y o u g i v e i n y o u r t e a c h i n g t o e a c h i t e m l i s t e d . ( p l a c e c h e c k ) V e r y S o m e L e s s L i t t l e I m p o r . I m p o r . N e u t r . I m p o r . I m p o r . S i m p l i f i c a t i o n o f a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s S o l u t i o n l s t a n d 2 n d d e g r e e e q u a t i o n s U n d e r s t a n d i n g / j u s t i f i - c a t i o n p r o c e d u r e s S o l u t i o n t e x t b o o k w o r d p r o b l e m s / a p p l i c a t i o n s R e l a t i o n s h i p s a l g e b r a g e o m e t r i c i n t e r p r e t s . R e l a t i o n s h i p s a l g e b r a a r i t h m e t i c r u l e s R e l a t i o n s h i p s o f a l g e b r a i c s y m b o l f o r m s e q u i v a l e n c e s ( i . e . e q u a t i o n s & f u n c t i o n s ) _ _ _ A l g e b r a i c t e c h n i q u e s a s t o o l s f o r g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g u s e . O t h e r ( s p e c i f y ) I n t h e l e f t h a n d c o l u m n a b o v e , r a n k o r d e r t h e 8 ( o r 9 ) i t e m s g i v e n a s t o t h e i r r e l a t i v e i m p o r t a n c e a n d i n c o r p o r a t i o n i n t o y o u r t e a c h i n g a n d i n s t r u c t i o n o f A l g e b r a I . ( l = m o s t i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n , 8 = l e a s t i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n ) A P P E N D I X E P r e t e s t a n d S t u d e n t I n f o r m a t i o n F i l e S t u d e n t I n f o r m a t i o n F i l e C l a s s : A l g e b r a I ( T e a c h e r : ) G r a d e L e v e l : N a m e : P r e s e n t C o m p l e t e S c h e d u l e : L a s t Y e a r ’ s M a t h C l a s s : H o u r C l a s s / T e a c h e r s c h o o l t e a c h e r g r a d e 1 2 3 A n t i c i p a t e d g r a d e f o r 4 t h i s c l a s s : 5 6 7 8 W h a t a r e y o u r f e e l i n g s / c o n c e r n s a b o u t t a k i n g t h i s a l g e b r a c l a s s ? D e s c r i b e y o u r a b i l i t y a n d e x p e r i e n c e i n d o i n g t e x t b o o k w o r d p r o b l e m s ? 5 2 0 5 2 1 v e r b a l P r o b l e m S o l v i n g P r e t e e t I n s t r u m e n t N a m e : S c h o o l : T e a c h e r / H o u r : F o r e a c h o f t h e 6 p r o b l e m s g i v e n , t r y t o s o l v e t h e p r o b l e m s u s i n g a n y m e t h o d s i n c l u d i n g g u e s s i n g , a n d s h o w a l l w o r k d o n e i n t h e s p a c e s p r o v i d e d . P l a c e a n s w e r i n s p a c e p r o v i d e d . I f u n a b l e t o s o l v e , m o v e o n t o t h e n e x t p r o b l e m . 1 . T h e f i g u r e b e l o w i s a t r a p e z o i d . T h e f o r m u l a f o r t h e a r e a o f a t r a p e z o i d i s A = 1 / 2 h ( b 1 + b 2 ) b o r A . = . 5 x h x ( b + b 2 ) w h e r e h = h e i g h t , b a n d b 2 a r e t h e t w o b a s e s 0 t h e 2 t r a p e z o i d . F i n d h e e n g t h o f t h e ? b a s e , g i v e n t h e a r e a i s 1 9 5 c m . D r a w i n g : T r a p e z o i d F I G U R E h = 1 0 c m a n d 1 b a s e = 2 4 c m l a b e l e d . 2 . A r e c t a n g u l a r b u l l e t i n b o a r d h a s a p e r i m e t e r m e a s u r e o f 6 0 i n c h e s . T h e l e n g t h o f t h e b o a r d i s 4 i n c h e s m o r e t h a n t h e w i d t h . F i n d t h e l e n g t h a n d w i d t h o f t h e r e c t a n g u l a r b o a r d . l e n g t h = i n c h e s w i d t h = i n c h e s 3 . F i n d 3 c o n s e c u t i v e o d d n u m b e r s w h o s e s u m i s 9 3 . 3 n u m b e r s a r e , , 5 2 2 P r e t e s t I n s t r u m e n t - C o n t i n u e d A t a r e f r e s h m e n t s t a n d , h o t d o g s c o s t $ 0 . 8 0 e a c h a n d s o f t d r i n k s c o s t $ 0 . 5 0 e a c h . I f a p e r s o n b o u g h t t w i c e a s m a n y h o t d o g s a s s o f t d r i n k s a n d t h e t o t a l b i l l ( w i t h o u t s a l e s t a x ) w a s $ 1 2 . 6 0 , h o w m a n y o f e a c h w e r e p u r c h a s e d ? # h o t d o g s = # s o f t d r i n k s = 5 . S u e i s t e n y e a r s o l d e r t h a n h e r b r o t h e r L a r r y . S i x y e a r s f r o m n o w , S u e w i l l b e t w i c e a s o l d a s L a r r y . H o w o l d i s e a c h p e r s o n n o w ? S u e - y e a r s o l d L a r r y = y e a r s o l d A t 1 : 0 0 p . m . , a f r e i g h t t r a i n a v e r a g i n g 3 0 m i l e s p e r h o u r l e a v e s t h e s t a t i o n i n o n e d i r e c t i o n . A n h o u r l a t e r ( 2 : 0 0 p . m . ) a p a s s e n g e r t r a i n l e a v e s t h e s a m e s t a t i o n i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . A t 5 : 0 0 p . m . t h e t r a i n s ’ e n g i n e s a r e 2 4 9 m i l e s a p a r t . F i n d t h e a v e r a g e s p e e d o r r a t e o f t h e p a s s e n g e r t r a i n ? P a s s e n g e r t r a i n = A P P E N D I X F P o s t t e s t a n d R e t e n t i o n T e s t I n s t r u m e n t a t i o n P o s t t e s t - F o r m A N a m e S c h o o l D a t e 1 ) ( R e a d o u t l o u d ) . " O n e i n t e g e r i s 2 6 m o r e t h a n a s e c o n d i n t e g e r . T h e s u m o f t h e 2 i n t e g e r s i s 1 4 . F i n d t h e 2 i n t e g e r s . " 2 i n t e g e r s a r e & _ _ 2 ) ( R e a d o u t l o u d ) . " O n e a n g l e o f a t r i a n g l e i s t w i c e t h e m e a s u r e o f a s e c o n d a n g l e . T h e t h i r d a n g l e i s 4 d e g r e e s l e s s t h a n t h e s e c o n d a n g l e . F i n d t h e d e g r e e m e a s u r e o f a l l 3 a n g l e s o f t h e t r i a n g l e . " l s t a n g l e = d e g r e e s 2 n d a n g l e = d e g r e e s 3 r d a n g l e = d e g r e e s 3 ) . A s a s t o c k b o y , J o h n e a r n s $ 4 p e r h o u r w h e n h e w o r k s d u r i n g t h e w e e k a n d $ 7 . 5 0 p e r h o u r o n w e e k e n d s . O n e w e e k ’ s c h e c k w a s f o r $ 1 2 4 . 0 0 f o r 2 4 h o u r s o f w o r k . F i n d t h e n u m b e r o f h o u r s J o h n w o r k e d o n t h e w e e k e n d ? h o u r s 4 ) T w o j o g g e r s , M a r y a n d T o m e a t l u n c h a n d t h e n b e g i n j o g g i n g i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s , s t a r t i n g a t t h e s a m e t i m e . T o m ’ s r a t e o r s p e e d i s 2 k m / h o u r f a s t e r t h a n M a r y ’ s r a t e . A f t e r 5 h o u r s , T o m a n d M a r y a r e 6 0 k m a p a r t . F i n d t h e s p e e d o r r a t e o f e a c h j o g g e r . M a r y = k m / h r . T o m = k m / h r . 5 2 3 5 ) 5 ) 7 ) 8 ) 9 ) 1 0 ) 5 2 4 P o s t t e s t F o r m A - C o n t i n u e d J e a n i s s e v e n y e a r s o l d e r t h a n h e r s i s t e r , H e l e n . F i v e y e a r s a g o , H e l e n w a s t w i c e a s o l d a s J e a n w a s t h e n . F i n d J e a n ' s a n d H e l e n ’ s p r e s e n t a g e s . J e a n = y e a r s o l d H e l e n = y e a r s o l d F i n d 3 c o n s e c u t i v e o d d i n t e g e r s s u c h t h a t t w i c e t h e s u m o f t h e f i r s t t w o i n t e g e r s i s 1 2 l e s s t h a n f o u r t i m e s t h e t h i r d i n t e g e r . i n t e g e r s a r e , , T h e l e n g t h o f a r e c t a n g l e i s 1 2 i n c h e s m o r e t h a n t w i c e i t s w i d t h . I f t h e p e r i m e t e r i s 1 8 i n c h e s , f i n d t h e l e n g t h a n d w i d t h o f t h e r e c t a n g l e . l e n g t h = i n c h e s w i d t h = i n c h e s A . c o l l e c t i o n o f d i m e s a n d q u a r t e r s h a s a t o t a l v a l u e o f $ 5 . 0 5 . T h e n u m b e r o f d i m e s i n t h e c o l l e c t i o n i s o n e m o r e t h a n t w i c e t h e n u m b e r o f q u a r t e r s . H o w m a n y d i m e s a n d q u a r t e r s d o e s t h e c o l l e c t i o n c o n t a i n ? # d i m e s = # q u a r t e r s = J e r e m y ' s a g e n e x t y e a r w i l l b e t w i c e P a u l ’ s a g e o f l a s t y e a r . T h e i r p r e s e n t a g e s t o t a l 5 4 y e a r s . H o w o l d i s e a c h b o y n o w ? J e r e m y = y e a r s , P a u l = y e a r s J o h n ’ s s i s t e r , M a r y , l e a v e s S t e v e n s P o i n t h e a d i n g n o r t h o n 0 8 5 1 a t 9 : 0 0 A M a v e r a g i n g 4 0 m i l e s p e r h o u r . A t 1 0 : 0 0 A M J o h n r e a l i z e s M a r y h a s h i s k e y s w i t h h e r , a n d s e t s o u t a t 6 0 m p h t o c a t c h h e r . O n c e h e c a t c h e s h e r , J o h n r e a l i z e s h e m u s t b e b a c k i n P o i n t b y 2 : 3 0 P M A t w h a t s p e e d w o u l d h e n e e d t o t r a v e l t o b e b a c k a t e x a c t l y 2 : 3 0 P M ? J o h n ’ s s p e e d = m p h 5 2 5 P o s t t e s t - F o r m B N a m e S c h o o l D a t e 1 ) ( R e a d o u t l o u d ) . " O n e i n t e g e r i s 2 6 m o r e t h a n a s e c o n d i n t e g e r . T h e s u m o f t h e 2 i n t e g e r s i s 1 4 . F i n d t h e 2 i n t e g e r s . " 2 i n t e g e r s a r e & { _ _ 2 ) ( R e a d o u t l o u d ) . " O n e a n g l e o f a t r i a n g l e i s t w i c e t h e m e a s u r e o f a s e c o n d a n g l e . T h e t h i r d a n g l e i s 4 d e g r e e s l e s s t h a n t h e s e c o n d a n g l e . F i n d t h e d e g r e e m e a s u r e o f a l l 3 a n g l e s o f t h e t r i a n g l e . " l s t a n g l e = d e g r e e s 2 n d a n g l e = d e g r e e s 3 r d a n g l e = d e g r e e s 3 ) A s a s t o c k b o y , J o h n e a r n s $ 4 p e r h o u r w h e n h e w o r k s d u r i n g t h e w e e k a n d $ 6 p e r h o u r o n w e e k e n d s . O n e w e e k ’ s c h e c k w a s f o r $ 1 2 4 . 0 0 f o r 2 4 h o u r s o f w o r k . F i n d t h e n u m b e r o f h o u r s J o h n w o r k e d o n t h e w e e k e n d ? h o u r s 4 ) T w o j o g g e r s l e a v e t h e s a m e p o i n t i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s , a n d a t t h e s a m e t i m e . J o g g e r A r u n s a t a r a t e o f 1 . 8 k m p e r h o u r f a s t e r t h a n j o g g e r B . A f t e r e a c h j o g g e r h a s r u n f o r 5 h o u r s , A a n d B a r e 5 1 k m a p a r t . F i n d t h e s p e e d o r r a t e o f e a c h j o g g e r . M a r y = k m / h r . T o m = k m / h r . 5 2 6 P o s t t e s t F o r m B - C o n t i n u e d 5 ) J e a n i s s e v e n y e a r s o l d e r t h a n h e r s i s t e r , H e l e n . F i v e y e a r s a g o , H e l e n w a s t w i c e a s o l d a s J e a n w a s t h e n . F i n d J e a n ’ s a n d H e l e n ’ s p r e s e n t a g e s . J e a n = y e a r s o l d H e l e n = y e a r s o l d 6 ) F i n d 3 c o n s e c u t i v e e v e n i n t e g e r s s u c h t h a t t w i c e t h e s u m o f t h e f i r s t t w o i n t e g e r s i s 1 2 l e s s t h a n f o u r t i m e s t h e t h i r d i n t e g e r . i n t e g e r s a r e , , 7 ) T h e l e n g t h o f a r e c t a n g l e i s 1 2 i n c h e s m o r e t h a n t w i c e i t s w i d t h . I f t h e p e r i m e t e r i s 6 6 i n c h e s , f i n d t h e l e n g t h a n d w i d t h o f t h e r e c t a n g l e . l e n g t h = i n c h e s w i d t h = i n c h e s 8 ) A c o i n c o l l e c t i o n i s m a d e u p o f d i m e s a n d q u a r t e r s . T h e n u m b e r o f d i m e s i n t h e c o l l e c t i o n i s o n e m o r e t h a n t w i c e t h e n u m b e r o f q u a r t e r s . T h e c o l l e c t i o n h a s a t o t a l v a l u e o f $ 5 . 0 5 . H o w m a n y d i m e s a n d q u a r t e r s d o e s t h e c o l l e c t i o n c o n t a i n ? # d i m e s = # q u a r t e r s = 9 ) M a r t h a ’ s a g e n e x t y e a r w i l l b e t w i c e S u s a n ’ s a g e o f l a s t y e a r . T h e i r p r e s e n t a g e s t o t a l 5 4 y e a r s . H o w o l d i s e a c h g i r l n o w ? M a r t h a = y e a r s , S u s a n = y e a r s 1 0 ) M a r y ' s b r o t h e r , J o h n , l e a v e s S t e v e n s P o i n t h e a d i n g n o r t h o n U 5 5 1 a t 9 : 0 0 A M a v e r a g i n g 4 5 m i l e s p e r h o u r . A t 1 0 : 0 0 A M M a r y r e a l i z e s J o h n h a s h e r k e y s w i t h h i m , a n d s e t s o u t a t 6 0 m p h t o c a t c h h i m . O n c e s h e c a t c h e s h i m , M a r y r e a l i z e s s h e m u s t b e b a c k i n P o i n t b y 3 : 3 0 P M . A t w h a t s p e e d w o u l d s h e n e e d t o t r a v e l t o b e b a c k a t e x a c t l y 2 : 3 0 P M ? M a r y ' s s p e e d = m p h 5 2 7 R e t e n t i o n T e s t F o r m N a m e : S c h o o l / T e a c h e r : Q u e s t i o n n a i r e S e c t i o n : A n s w e r e a c h o f t h e s e v e n q u e s t i o n s h o n e s t l y a n d r e f l e c t i n g y o u r o w n p e r s o n a l b e l i e f s . 1 . O r d e r t h e f o l l o w i n g l i s t o f c o n c e r n s f r o m 1 ( m o s t i m p o r t a n t ) , 2 , 3 , 4 , 5 ( l e a s t i m p o r t a n t ) f o r y o u t o a t t a i n i n t h i s a l g e b r a c o u r s e . ( R e a d a l l 5 b e f o r e p l a c i n g # ‘ s 1 - 5 n e x t t o e a c h ) . M y m a i n c o n c e r n i s t o p a s s t h i s r e q u i r e d c o u r s e . M y m a i n c o n c e r n i s t o g e t a g o o d g r a d e i n t h i s c l a s s . M y m a i n c o n c e r n i s t o u n d e r s t a n d t h e m a t e r i a l o n a d a y t o d a y b a s i s . M y m a i n c o n c e r n i s t o a c q u i r e a s o l i d k n o w l e d g e b a s e f o r m y f u t u r e m a t h c o u r s e s . M y m a i n c o n c e r n i s t o g a i n c o n f i d e n c e i n m y m a t h a b i l i t i e s . 2 . C i r c l e o n e w h i c h b e s t d e s c r i b e s y o u r a b i l i t y a n d s u c c e s s i n t h i s a l g e b r a c l a s s . a ) I a m v e r y c o n f i d e n t o f m y a l g e b r a s k i l l s . b ) I a m s l i g h t l y c o n f i d e n t o f m y a l g e b r a s k i l l s . c ) M y a l g e b r a s k i l l s a r e a b o u t a v e r a g e . d ) M y a l g e b r a s k i l l s a r e b e l o w a v e r a g e . e ) M y a l g e b r a s k i l l s a r e v e r y w e a k . 3 . C i r c l e o n e w h i c h b e s t d e s c r i b e s y o u r a t t i t u d e a b o u t t h i s a l g e b r a c l a s s . a ) I h a v e r e a l l y e n j o y e d t h i s c l a s s . b ) T h e c l a s s h a s b e e n a s o m e w h a t p o s i t i v e e x p e r i e n c e f o r m e . c ) I h a v e r a t h e r n e u t r a l f e e l i n g s a b o u t t h e c l a s s e x p e r i e n c e . d ) I n g e n e r a l , I h a v e d i s l i k e d t h i s c l a s s e x p e r i e n c e . e ) I r e a l l y h a t e a t t e n d i n g t h i s c l a s s . 4 . C i r c l e g p e w h i c h b e s t d e s c r i b e s y o u r a b i l i t y a n d s u c c e s s o n w o r d p r o b l e m s f r o m t h i s c o u r s e . a ) v e r y g o o d , e x c e l l e n t a b i l i t y t o d o . b ) A b o v e a v e r a g e a b i l i t y t o d o . c ) A b o u t a v e r a g e a b i l i t y t o d o . d ) B e l o w a v e r a g e a b i l i t y t o d o . e ) v e r y p o o r , w e a k a b i l i t y t o d o . 5 2 8 R e t e n t i o n T e s t F o r m - C o n t i n u e d 5 . C i r c l e o n e w h i c h b e s t d e s c r i b e s y o u r a t t i t u d e t o w a r d s d o i n g a l g e b r a w o r d p r o b l e m s . a ) E a s y , y e t e n j o y a b l e b ) C h a l l e n g i n g , y e t e n j o y a b l e c ) N e u t r a l - l a c k i n g o p i n i o n d ) C h a l l e n g i n g , y e t n o t e n j o y a b l e e ) E a s y , b u t n o t e n j o y a b l e f ) T o t a l d i s l i k e f o r s u c h e x e r c i s e s 6 . C i r c l e o n e a s t o h o w u s e f u l y o u f e e l t h i s c o u r s e w i l l b e i n y o u r f u t u r e h i g h s c h o o l p r o g r a m a n d b e y o n d . a ) v e r y u s e f u l b ) S o m e u s e f u l n e s s c ) L i t t l e r e a l u s e f u l n e s s d ) N o u s e f u l n e s s w h a t s o e v e r 7 . S u p p o s e a n e i g h t h g r a d e r a s k e d y o u a b o u t t a k i n g a n a l g e b r a c l a s s n e x t f a l l w i t h y o u r p r e s e n t t e a c h e r , w h a t w o u l d y o u t e l l t h e m a b o u t t h e c l a s s a n d y o u r t e a c h e r . E q u a t i o n S o l v i n g S e c t i o n : S o l v e e a c h e q u a t i o n f o r x , s h o w a l l w o r k a n d s t e p s i n s p a c e p r o v i d e d . 1 . x + x - 1 8 0 = - 3 x - 8 0 2 . 5 ( x - 2 ) + 1 0 ( x + 1 ) = 9 0 3 . 6 4 x 4 8 ( 7 - x ) 4 . x + 2 5 - 4 x 1 0 5 . 7 . 5 2 9 R e t e n t i o n T e s t F o r m - C o n t i n u e d - 3 ( x + 3 ) = 7 - 4 x 6 . 3 x + 6 0 x + ( x + 2 ) - 2 6 = 4 x - ( x + 4 ) 8 x 5 3 0 R e t e n t i o n T e s t F o r m - C o n t i n u e d v e r b a l P r o b l e m S e c t i o n : R e a d a n d s o l v e e a c h w o r d p r o b l e m f o r w h a t i s c a l l e d f o r . W r i t e y o u r n u m e r i c a l a n s w e r s i n s p a c e s p r o v i d e d . S h o w a l l w o r k o n t h i s s h e e t , a n d d o n o t e r a s e a n y w o r k . 1 . T h e s i d e o f a s q u a r e i s t w i c e a s l o n g a s t h e s i d e o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ( a t r i a n g l e w i t h a l l s i d e s e q u a l ) . T h e p e r i m e t e r o f t h e s q u a r e i s 6 0 c m m o r e t h a n t h e p e r i m e t e r o f t h e t r i a n g l e . W h a t a r e t h e l e n g t h s o f t h e s i d e s o f t h e s q u a r e a n d t r i a n g l e ? C I D c m e a c h s i d e s q u a r e e a c h s i d e t r i a n g l e 2 . T w o n u m b e r s d i f f e r b y 3 . F o u r t i m e s t h e s m a l l e r n u m b e r d e c r e a s e d b y t h r e e t i m e s t h e l a r g e r n u m b e r i s 7 . F i n d t h e t w o n u m b e r s . n u m b e r s a r e & 3 . H o w f a r i n k i l o m e t e r s c a n a p e r s o n d r i v e i n t o t h e c o u n t r y a t a n a v e r a g e s p e e d o f 6 4 k m / h r a n d r e t u r n o v e r t h e s a m e r o a d s a t a n a v e r a g e s p e e d o f 4 8 k m / h r i f t h e t o t a l t r i p t a k e s 7 h o u r s ? d i s t a n c e = k m 4 . I n t r i a n g l e A B C , t h e m e a s u r e o f a n g l e C i s t h r e e t i m e s t h e m e a s u r e o f a n g l e A , a n d t h e m e a s u r e o f a n g l e A i s 8 0 d e g r e e s l e s s t h a n t h e m e a s u r e o f a n g l e B . F i n d t h e m e a s u r e o f e a c h a n g l e . a n g l e A . = d e g r e e s a n g l e B = d e g r e e s a n g l e C = d e g r e e s 5 3 1 R e t e n t i o n T e s t F o r m - C o n t i n u e d 5 . F i n d 3 c o n s e c u t i v e e v e n i n t e g e r s w h o s e s u m i s 2 6 m o r e t h a n 4 t i m e s t h e s m a l l e s t i n t e g e r . N u m b e r s a r e , 6 . A w o m a n w a s 2 5 y e a r s o l d w h e n h e r d a u g h t e r w a s b o r n . T h e m o t h e r ’ s p r e s e n t a g e i s 1 0 y e a r s m o r e t h a n 4 t i m e s h e r d a u g h t e r ’ s p r e s e n t a g e . F i n d t h e p r e s e n t a g e o f m o t h e r a n d d a u g h t e r . M o t h e r D a u g h t e r y e a r s o l d y e a r s o l d 7 . J o h n h a s 4 m o r e d i m e s t h a n n i c k e l s . . A f t e r s p e n d i n g 2 n i c k e l s a n d 3 d i m e s , h e h a s c o i n s w o r t h 9 0 c e n t s l e f t . H o w m a n y o f e a c h c o i n d o e s h e h a v e l e f t ? N i c k e l s l e f t = D i m e s l e f t = A P P E N D I X G I n t e r v i e w R e l a t e d M a t e r i a l s P a r e n t a l C o n s e n t F o r m D e c e m b e r 1 0 , 1 9 8 6 D e a r P a r e n t s : T h i s s e m e s t e r a s p a r t o f m y d i s s e r t a t i o n r e s e a r c h t h r o u g h M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E . L a n s i n g , M i c h i g a n , I h a v e b e e n o b s e r v i n g y o u r s o n ’ s o r d a u g h t e r ’ s m a t h e m a t i c s ( A l g e b r a I ) c l a s s a t ( r e s p e c t i v e s c h o o l ) . I h a v e r e c e i v e d t h e n e c e s s a r y a p p r o v a l f r o m t h e ( r e p e c t i v e s c h o o l d i s t r i c t ) A d m i n i s t r a t i o n a n d ( t e a c h e r ’ s n a m e ) , t h e t e a c h e r i n v o l v e d . M y p u r p o s e i s t o a n a l y z e t h e i n s t r u c t i o n s t u d e n t s r e c e i v e i n r e g a r d s t o v e r b a l o r w o r d p r o b l e m s ( s t o r i e s ) , a n d t h e i r a b i l i t y t o m a k e s e n s e o u t o f s u c h i n s t r u c t i o n a n d p r a c t i c e , a n d u s e t h i s k n o w l e d g e e f f e c t i v e l y t o s o l v e v e r b a l p r o b l e m s . I h a v e s a t i n o n a b o u t 1 0 s u c h c l a s s e s s i n c e S e p t e m b e r , o b s e r v i n g a n d r e c o r d i n g t e a c h i n g s e q u e n c e s , a n d s e r v i n g a s a n a i d e w h e n s t u d e n t s a r e w o r k i n g o n v e r b a l p r o b l e m s . ' I a m p r e s e n t l y a t t h e p o i n t w h e r e I n e e d t o a s s e s s a n d a n a l y z e w h a t a b i l i t i e s t h e s t u d e n t s h a v e d e v e l o p e d . T o a c c o m p l i s h t h i s g o a l , I w o u l d l i k e t o i n t e r v i e w 3 s t u d e n t s f o r a p e r i o d o f 4 5 m i n u t e s e a c h , o n e a t a t i m e . S t u d e n t s w i l l b e c h o s e n i n c o n s u l t a t i o n w i t h ( t e a c h e r n a m e ) a n d d o n e a t ( r e s p e c t i v e s c h o o l ) d u r i n g s c h o o l h o u r s . P r e f e r a b l y t h e y w i l l b e d o n e d u r i n g a s t u d e n t ’ s s t u d y h a l l p e r i o d , o r d u r i n g r e g u l a r c l a s s t i m e . T h e i n t e r v i e w s w i l l b e c o n d u c t e d i n a s m a l l t u t o r i n g r o o m , t h e s t u d e n t a n d I a l o n e , a n d w i l l b e a u d i o t a p e d . I w i l l f i r s t e x p l o r e s t u d e n t p e r c e p t i o n s a n d a t t i t u d e s a b o u t a l g e b r a , v e r b a l p r o b l e m s , a n d h o m e w o r k , a s k i n g s t u d e n t s t o c o m m e n t o n e a c h a r e a w i t h o p e n - e n d e d q u e s t i o n s . T h e n I w i l l a s k t h e s t u d e n t t o a t t e m p t t o s o l v e 5 v e r b a l p r o b l e m s s i m i l a r t o t h o s e h e o r s h e h a s s e e n d u r i n g t h e s e m e s t e r ' s w o r k . . A s t h e s t u d e n t i s w o r k i n g , I w i l l a s k t h e m t o v e r b a l i z e a l o u d a s m u c h a s p o s s i b l e o f t h e i r t h i n k i n g a s t h e y p r o c e e d . M i n i m a l h e l p w i l l b e p r o v i d e d t o t h e s t u d e n t . 5 3 2 5 3 3 P a r e n t a l C o n s e n t F o r m - C o n t i n u e d A t a n y t i m e d u r i n g t h e i n t e r v i e w , t h e s t u d e n t h a s t h e r i g h t t o s t o p w o r k o n a p r o b l e m , d i s c o n t i n u e t h e i n t e r v i e w p r o c e s s f o r w h a t e v e r r e a s o n w i t h o u t i n t e r v i e w e r q u e s t i o n i n g o f t h e r e a s o n s , o r t o r e m o v e t h e m s e l v e s f r o m t h e r e s e a r c h s t u d y c o m p l e t e l y . I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t I d i d s e v e n s i m i l a r i n t e r v i e w s l a s t y e a r w i t h A l g e b r a I s t u d e n t s , a n d f o u n d t h e m v e r y c o o p e r a t i v e t o t h e d e s c r i b e d p r o c e d u r e s . T h e r e s e a r c h e r w i l l b e t h e o n l y p e r s o n a l l o w e d a c c e s s t o t h e p r o d u c e d a u d i o t a p e s a n d t h e w r i t t e n w o r k d o n e b y t h e s t u d e n t s d u r i n g t h e i n t e r v i e w . A n y r e f e r e n c e t o t h e i n t e r v i e w r e s u l t s w i l l u s e a c o d i n g s y s t e m t o p r e s e r v e t o t a l a n o n y m i t y o f t h e s u b j e c t s i n v o l v e d . A l l d a t a c o l l e c t e d w i l l r e m a i n i n t h e p o s s e s s i o n o f t h e r e s e a r c h e r . P a r e n t s h a v e t h e r i g h t t o r e q u e s t t h a t t h e i r s o n o r d a u g h t e r ' s i n t e r v i e w r e s u l t s b e e x c l u d e d f r o m t h e s t u d y , a n d t h e r e s e a r c h e r w i l l a b i d e b y t h e i r d e c i s i o n a t a n y t i m e i n t h i s m a t t e r . I f y o u d e s i r e m o r e d e t a i l s o f t h e s t u d y o r w i s h t o c l a r i f y s o m e t h i n g , f e e l f r e e t o c o n t a c t m e a t U W S P ( 3 4 6 - 4 1 5 1 ) o r a t h o m e ( 3 4 4 - 2 5 3 3 ) . S i n c e r e l y , G a r y K l i n g l e r M a t h a n d C o m p u t i n g M y s o n o r d a u g h t e r , a n d I h a v e c a r e f u l l y r e a d t h e d e s c r i p t i o n p r o v i d e d a b o v e , a n d h a v e a g r e e d t h a t h e o r s h e w i l l b e w i l l i n g t o p a r t i c i p a t e i n t h e i n t e r v i e w d e s c r i b e d , i f h e o r s h e i s c h o s e n t o b e . s t u d e n t s i g n a t u r e d a t e p a r e n t / g u a r d i a n s i g n . S t u d e n t H o u r 1 2 3 4 I 5 6 7 8 S c h e d u l e C l a s s I d o n o t w i s h m y s o n o r d a u g h t e r t o p a r t i c i p a t e i n t h e p r o p o s e d i n t e r v i e w a t t h i s t i m e . p a r e n t / g u a r d i a n s i g n a t u r e 5 3 4 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t D e s i g n S e c t i o n A . E n t r y Q u e s t i o n s - a l l 9 s t u d e n t s 1 . 2 . D e s c r i b e y o u r m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d , s c h o o l s a t t e n d e d a n d t e a c h e r s y o u h a v e h a d s i n c e s i x t h g r a d e . W h a t w a s t h e g r a d e y o u r e c e i v e d f o r t h e a l g e b r a c o u r s e f o r t h e f i r s t q u a r t e r ? E s t i m a t e y o u r g r a d e f o r t h e p r e s e n t q u a r t e r . . W h a t t y p e s o f a l g e b r a e x e r c i s e s o r c o n t e n t d o y o u f i n d e a s i e s t ? W h a t t y p e s d o y o u f i n d m o s t d i f f i c u l t ? T h i n k o f y o u r p r e s e n t a l g e b r a t e a c h e r . H o w d o e s h e / s h e c o m p a r e w i t h o t h e r m a t h t e a c h e r s y o u h a v e h a d ? I s h e / s h e b e s t , b e t t e r , a b o u t t h e s a m e , w o r s e , o r w o r s t ? F o c u s o n w o r d p r o b l e m s o r s t o r y p r o b l e m s i n a l g e b r a . I n d o i n g w o r d p r o b l e m s , w h a t d o y o u t h i n k a r e y o u r s t r e n g t h s ? W h a t a r e y o u r w e a k n e s s e s ? W h a t p u r p o s e s d o y o u t h i n k t h e r e a r e f o r d o i n g w o r d p r o b l e m s i n a l g e b r a , o r w h y d o y o u t h i n k t h e y a r e i n c l u d e d i n t h e a l g e b r a c o n t e n t ? S u p p o s e y o u r t e a c h e r e x p l a i n s a w o r d p r o b l e m s e c t i o n i n c l a s s , a n d t h e n a s s i g n s 8 w o r d p r o b l e m s f o r y o u t o c o m p l e t e f o r c l a s s t o m o r r o w . a ) H o w m a n y o f t h e 8 p r o b l e m s w o u l d y o u l i k e l y f i n i s h i n c l a s s ? b ) W h e r e w o u l d y o u f i n i s h t h e r e s t o f t h e a s s i g n m e n t ? ( s t u d y h a l l , a t h o m e , l i b r a r y , o t h e r s ) c ) H o w l o n g w o u l d y o u e s t i m a t e i t w o u l d t a k e y o u t o c o m p l e t e a l l 8 w o r d p r o b l e m s ? d ) W o u l d i t b e l i k e l y t h a t y o u w o u l d n e e d a n y h e l p t o f i n i s h a l l 8 p r o b l e m s o f t h e a s s i g n m e n t ? e ) I f o n e p r o b l e m p r o v e d t r o u b l e s o m e , w h e r e w o u l d y o u l i k e l y s e e k a d d i t i o n a l h e l p ? ( t e x t b o o k , n o t e s , b r o t h e r / s i s t e r , m o m / d a d , t e a c h e r , s c h o o l f r i e n d , o r j u s t n o t d o ) 5 3 5 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t D e s i g n - C o n t i n u e d S e c t i o n B . S k i l l C o n f i d e n c e A s s e s s m e n t S u p p o s e a s t o r y o r w o r d p r o b l e m c a m e f r o m y o u r t e x t b o o k f r o m a p a r t i c u l a r s e c t i o n : . A ( e a s i e s t ) , B o r C . F o r e a c h c o n t e n t t y p e d e s c r i b e d o f a p r o b l e m , t e l l m e t h e p e r c e n t o f t h e t i m e o r t h e p r o b a b i l i t y t h a t y o u c o u l d s e t - u p t h e p r o b l e m , f i n d t h e c o r r e c t e q u a t i o n ( a s s u m i n g a c o r r e c t s e t - u p ) , a n d s o l v e t h e e q u a t i o n c o r r e c t l y a n d d e r i v e a c o r r e c t a n s w e r ( a s s u m i n g c o r r e c t e q u a t i o n f o r m u l a t i o n ) . C o n t e n t T y p e S e c t i o n % P r o b a b i l i t y 1 . N u m b e r , c o n s e c u t i v e B S e t - u p _ _ _ _ _ % i n t e g e r t y p e E q u a t i o n _ _ _ _ _ % C o r r e c t A n s w e r _ _ _ _ % 2 . C o i n , m o n e y r e l a t e d A S e t - u p _ _ _ _ _ % E q u a t i o n _ _ _ _ _ % C o r r e c t A n s w e r _ _ _ _ % 3 . M e a s u r e m e n t / g e o m e t r i c A S e t - u p _ _ _ _ _ % E q u a t i o n _ _ _ _ _ % C o r r e c t A n s w e r _ _ _ _ % 4 . A g e r e l a t e d A S e t - u p _ _ _ _ _ % E q u a t i o n ' _ _ _ _ _ % C o r r e c t A n s w e r _ _ _ _ % 5 . D i s t a n c e / r a t e / t i m e A S e t - u p _ _ _ _ _ % E q u a t i o n ‘ _ _ _ _ _ % C o r r e c t A n s w e r _ _ _ _ % 6 . N o n - t e x t , n o n r o u t i n e A S e t - u p . _ _ _ _ _ % m u l t i - s t e p p r o b l e m E q u a t i o n _ _ _ _ _ % C o r r e c t A n s w e r % 5 3 6 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t D e s i g n - C o n t i n u e d S e c t i o n C . v e r b a l P r o b l e m S e t s : B y T e a c h e r a n d T e x t b o o k 1 . 2 . 1 . A l i c e - c o m p l e t e d b y s t u d e n t s , A l , A 2 , . A 3 F i n d 3 c o n s e c u t i v e o d d i n t e g e r s s u c h t h a t t h e i r s u m d e c r e a s e d b y t h e s e c o n d i n t e g e r e q u a l s 5 0 . J o e s e t s a s i d e d i m e s a n d q u a r t e r s t o p a y t o l l s ( r e q u i r e s 3 5 c e n t s ) . H e h a s f o u r m o r e q u a r t e r s t h a n d i m e s c o l l e c t e d s o f a r . T h e t o t a l v a l u e o f h i s c o l l e c t i o n i s $ 7 . 3 0 . H o w m a n y d i m e s a n d q u a r t e r s h a s h e c o l l e c t e d s o f a r ? T h e l e n g t h o f a r e c t a n g l e i s 8 i n c h e s m o r e t h a n t w i c e i t s w i d t h . T h e p e r i m e t e r o f t h e r e c t a n g l e i s 1 1 2 i n c h e s . F i n d t h e l e n g t h a n d w i d t h o f t h e r e c t a n g l e . M r s . M o n t e z i s 2 0 y e a r s o l d e r t h a n M r s . C o o k e . S i x t e e n y e a r s a g o , M r s . M o n t e z w a s 3 t i m e s a s o l d a s M r s . C o o k e w a s t h e n . H o w O l d a r e M r s . M o n t e z a n d M r s . C o o k e p r e s e n t l y ? T w o b i c y c l i s t s , J a c k a n d H a r r y s t a r t e d a t t h e s a m e t i m e f r o m o p p o s i t e e n d s o f a b i k e t r a i l , a n d r o d e t o w a r d s e a c h o t h e r . H a r r y r i d e s a t a s p e e d o f 4 m i l e s p e r h o u r f a s t e r t h a n J a c k r i d e s . T h e t r a i l i s 1 1 2 m i l e s l o n g a n d t h e y m e e t a f t e r 4 h o u r s o f r i d i n g . F i n d t h e s p e e d s o r r a t e s o f J a c k a n d H a r r y . N a n c y h a s 2 m a l e c h i l d r e n , S e t h a n d B e n . S e t h w a s 6 y e a r s o l d w h e n B e n w a s b o r n . P r e s e n t l y N a n c y i s t w i c e a s o l d a s S e t h a n d t h r e e t i m e s a s o l d a s B e n . T h e s u m o f t h e i r a g e s p r e s e n t l y i s 6 6 y e a r s . H o w o l d a r e N a n c y , S e t h a n d B e n t o d a y ? 2 . B e t t y - c o m p l e t e d b y s t u d e n t s , B 1 , B 2 , B 3 F i n d f o u r c o n s e c u t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t t h e s u m o f t h e t w o g r e a t e s t i n t e g e r s s u b t r a c t e d f r o m t w i c e t h e s u m o f t h e t w o s m a l l e s t i n t e g e r s i s 1 5 . S u s a n m a k e s $ 3 a n h o u r w o r k i n g a f t e r s c h o o l a n d $ 4 a n h o u r w o r k i n g o n S a t u r d a y . L a s t w e e k s h e w o r k e d a t o t a l o f 1 2 h o u r s a n d m a d e $ 4 2 . 5 0 . H o w m a n y h o u r s d i d s h e w o r k o n S a t u r d a y ? T h e l e n g t h o f a r e c t a n g l e i s 8 i n c h e s m o r e t h a n t w i c e i t s w i d t h . T h e p e r i m e t e r o f t h e r e c t a n g l e i s 1 1 2 i n c h e s . F i n d t h e l e n g t h a n d w i d t h o f t h e r e c t a n g l e . 5 3 7 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t D e s i g n - C o n t i n u e d . L e n i s 1 0 y e a r s o l d e r t h a n M a r i e . I n s i x y e a r s , L e n w i l l b e t w i c e a s o l d a s M a r i e . H o w o l d i s e a c h n o w ? B a r r y a n d J u a n l i v e 7 2 k m a p a r t . A t n o o n e a c h l e a v e s h i s h o u s e a n d b i c y c l e s t o w a r d t h e o t h e r . J u a n r i d e s a t a r a t e 2 k m p e r h o u r f a s t e r t h a n B a r r y . T h e y m e e t a t e x a c t l y 3 : 0 0 P M . F i n d t h e r a t e o r s p e e d o f e a c h b o y . N a n c y h a s 2 m a l e c h i l d r e n , S e t h a n d B e n . S e t h w a s 6 y e a r s o l d w h e n B e n w a s b o r n . P r e s e n t l y N a n c y i s t w i c e a s o l d a s S e t h a n d t h r e e t i m e s a s o l d a s B e n . T h e s u m o f t h e i r a g e s p r e s e n t l y i s 6 6 y e a r s . H o w o l d a r e N a n c y , S e t h a n d B e n t o d a y ? 3 . C a r l - c o m p l e t e d b y s t u d e n t s , C 1 , C 2 , C 3 T h r e e n u m b e r s h a v e t h e s u m o f 1 1 9 . T h e s e c o n d n u m b e r i s 8 g r e a t e r t h a n t h e f i r s t n u m b e r , a n d t h e t h i r d n u m b e r i s 3 g r e a t e r t h a n t h e f i r s t n u m b e r . F i n d t h e t h r e e n u m b e r s . . T w e n t y - o n e n i c k e l s a n d d i m e s a r e w o r t h $ 1 . 6 5 . F i n d t h e n u m b e r ( h o w m a n y ) o f e a c h t y p e o f c o i n . T h e l e n g t h o f a r e c t a n g l e i s t w i c e i t s w i d t h . I f t h e l e n g t h m e a s u r e i s i n c r e a s e d b y 6 m e t e r s , a n d t h e w i d t h i s d e c r e a s e d b y 2 m e t e r s , t h e p e r i m e t e r i s 4 4 m e t e r s . F i n d t h e d i m e n s i o n s o f t h e o r i g i n a l r e c t a n g l e . O t t o i s 1 0 y e a r s o l d e r t h a n Y u s e f . I n 8 y e a r s , t w i c e O t t o ’ s a g e w i l l e q u a l 3 t i m e s Y u s e f ’ s a g e . H o w O l d i s e a c h c h i l d p r e s e n t l y ? T w o f r e i g h t t r a i n s s t a r t a t t h e s a m e t i m e f r o m t w o p o i n t s 4 8 0 k m a p a r t , a n d t r a v e l t o w a r d e a c h o t h e r . O n e t r a i n t r a v e l s a t a r a t e o r s p e e d 1 0 k m p e r h o u r f a s t e r t h a n t h e s e c o n d t r a i n . T h e y m e e t i n 6 h o u r s ( n o t a c o l l i s i o n ) . F i n d t h e r a t e o r s p e e d o f e a c h t r a i n . N a n c y h a s 2 m a l e c h i l d r e n , S e t h a n d B e n . S e t h w a s 6 y e a r s o l d w h e n B e n w a s b o r n . P r e s e n t l y N a n c y i s t w i c e a s o l d a s S e t h a n d t h r e e t i m e s a s o l d a s B e n . T h e s u m o f t h e i r a g e s p r e s e n t l y i s 6 6 y e a r s . H o w O l d a r e N a n c y , S e t h a n d B e n t o d a y ? A P P E N D I X H C o n t i n g e n c y T a b l e s : S u g g e s t i o n A n a l y s i s I n d e p e n d e n c e T e s t s T e a c h e r : A l i c e V a r i a b l e s : C o n t e n t F o c u s a n d S e g m e n t P l a c e m e n t E x c l u s i o n s : G e n e r a l M o d e l ( C o n t e n t F o c u s ) S e a t w o r k / C o n t r o l l e d P r a c t i c e ( S e g m e n t P l a c e . ) S e g m e n t P l a c e m e n t H o m e w o r k L e s s o n T o t a l R e v i e w D e v e l o p m e n t T o o l S k i l l 1 4 ( 9 . 4 7 ) 9 ( 1 3 . 5 3 ) 2 3 C o n t e n t T a s k S p e c i f i c F o c u s H e u r i s t i c 3 ( 7 ) 1 4 ( 1 0 ) 1 7 G e n e r a l H e u r i s t i c 4 ( 4 . 5 3 ) 7 ( 6 . 4 7 ) 1 1 T o t a l 2 1 3 0 5 1 H 0 : C o n t e n t F o c u s a n d S e g m e n t P l a c e m e n t a r e i n d e p e n d e n t . H A : C o n t e n t F o c u s a n d S e g m e n t P l a c e m e n t n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d X 2 = 7 . 6 2 T a b l e X 2 ( . 0 5 d e ) = 5 . 9 9 C o n c l u s i o n : R e j e c t N u l l H y p o t h e s i s . ' T e a c h e r : C a r l V a r i a b l e s : C o n t e n t F o c u s a n d O r a l F o r m a t E x c l u s i o n s : G e n e r a l M o d e l ( C o n t e n t F o c u s ) O r a l F o r m a t Q u e s t i o n S t a t e m e n t T o t a l T o o l S k i l l 2 0 ( 1 7 . 4 ) 1 3 ( 1 5 . 6 ) 3 3 T a s k S p e c i f i c C o n t e n t H e u r i s t i c 5 ( 5 . 2 7 ) 5 ( 4 . 7 3 ) 1 0 F o c u s G e n e r a l H e u r . 4 ( 6 . 3 2 ) 8 ( 5 . 6 8 ) 1 2 T o t a l 2 9 2 6 5 5 H o : C o n t e n t F o c u s a n d O r a l F o r m a t a r e i n d e p e n d e n t . H A : C o n t e n t F o c u s a n d O r a l F o r m a t a r e n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d X 2 = 2 . 6 3 T a b l e X 2 . 0 5 d e ) = 5 . 9 9 C o n c l u s i o n : F a i l t o r e j e c t N u l l H y p o t h e s 5 3 8 5 3 9 I n d e p e n d e n c e C o n t i n g e n c y T a b l e s - C o n t i n u e d T e a c h e r : A l i c e V a r i a b l e s : E x c l u s i o n : Q u e s t i o n O r a l F o r m a t S t a t e m e n t T o t a l S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t S e a t w o r k / C o n t r o l l e d P r a c t i c e ( S e g m e n t P l a c e . ) S e g m e n t P l a c e m e n t H o m e w o r k L e s s o n T o t a l R e v i e w D e v e l o p m e n t 6 ( 3 . 6 3 ) 3 ( 5 . 3 7 ) 9 1 7 ( 1 9 . 3 7 ) 3 1 ( 2 8 . 6 3 ) 4 8 2 3 3 4 5 7 H 0 : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e i n d e p e n d e n t . H : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d X 3 = 3 . 1 7 C o n c l u s i o n : F a i l t o r e j e c t N u l l H y p o t T e a c h e r : B e t t y V a r i a b l e s : E x c l u s i o n : Q u e s t i o n O r a l F o r m a t S t a t e m e n t T o t a l T a b l e X 2 { 1 . 0 5 l d f ) = 3 . 8 4 e s 1 é S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t S e a t w o r k / C o n t r o l l e d P r a c t i c e ( S e g m e n t P l a c e . ) S e g m e n t P l a c e m e n t H o m e w o r k L e s s o n T o t a l R e v i e w D e v e l o p m e n t 7 ( 6 ) 5 ( 5 ) 1 2 1 9 ( 2 0 ) 2 1 ( 2 0 ) 4 0 2 6 2 6 5 2 H 0 : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e i n d e p e n d e n t . H A : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d X 2 = 0 . 4 4 C o n c l u s i o n : F a i l t o r e j e c t N u l l H y p o t T a b l e X 2 £ 0 0 5 l d f ) = 3 . 8 4 e 8 1 5 5 4 0 I n d e p e n d e n c e C o n t i n g e n c y T a b l e s - C o n t i n u e d T e a c h e r : C a r l v a r i a b l e s : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t E x c l u s i o n : S e a t w o r k / C o n t r o l l e d P r a c t i c e ( S e g m e n t P l a c e . ) S e g m e n t P l a c e m e n t H o m e w o r k L e s s o n T o t a l R e v i e w D e v e l o p m e n t Q u e s t i o n 1 2 ( 9 . 6 7 ) 1 7 ( 1 9 . 3 3 ) 2 9 O r a l F o r m a t S t a t e m e n t 7 ( 9 . 3 3 ) 2 1 ( 1 8 . 6 7 ) 2 8 T o t a l 1 9 3 8 5 7 H 0 : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e i n d e p e n d e n t . H A : S e g m e n t P l a c e m e n t a n d O r a l F o r m a t a r e n o t i n d e p e n d e n t . C o m p u t e d . X 2 = 1 . 6 7 T a b l e X “ 2 . 0 5 1 d f ) = 3 . 8 4 C o n c l u s i o n : F a i l t o r e j e c t N u l l H y p o t h e s 1 s H ‘ - l ‘ - l H H N H ‘ — l ‘ — I ‘ — l A P P E N D I X I P r o c e s s C o d i n g o f T e a c h e r E x a m p l e s P a r t 1 : D i s t i n c t P r o c e s s S e g m e n c e s T e a c h e r : . A l i c e N u m b e r o f C o d e d E x a m p l e s : 1 9 P r o c e s s S e q u e n c e s ( s e e C o d i n g F o r m 1 ) 1 A , H , I . 2 H . 3 A . 4 A 1 A , H , I . 2 H . 3 A . 4 A , D ( b ) 1 A , H , I . 2 G . 3 F 1 A , H , I . 2 G . 3 B 1 A , I , H , I . 2 G 1 A , D , H , I 2 G 1 G , A , D , G , G , I , I . 2 D , G 1 A , G , H , I . 2 G , H 1 A , H , I . 2 G . 3 B . 4 A , D ( b ) 1 A , G , I . 2 H 1 H , I . 2 G . 3 B . 4 A , D ( b ) l A , H , D , I , I . 2 G 1 A , H , D , I ( b e l l ) 1 A , C , H , I , I , I . 2 H T o t a l T e a c h e r : B e t t y N u m b e r o f C o d e d E x a m p l e s : 1 1 P r o c e s s S e q u e n c e s ( s e e C o d i n g F o r m 1 ) 1 A , G , I . 2 H 1 A , G , I . 2 G 1 A , H , I . 2 H . 3 B . 4 A 1 A , H , I . 2 H . 3 B . 4 D ( b ) 1 A , H , I . 2 G 1 A , H , I . 2 G . 3 B 1 A , I . 2 G . 3 B . 4 D ( b a n d c ) 1 A , I . 2 G . 3 B . 4 A , D ( c ) 1 A . 2 A . 1 H , B , I , I . 2 G . 3 D . 4 A , D ( c ) 1 A , H , I , B , I . 2 G . 3 B , D . 4 A , D ( c ) T o t a l 5 4 1 Q u a n t i t y H H N H H H H N H H I — I t o r - a w H \ 0 Q u a n t i t y H H v H H w N o O o O m w m m H O O M Q W 5 4 2 D i s t i n c t P r o c e s s S e q u e n c e s - C o n t i n u e d T e a c h e r : C a r l N u m b e r o f C o d e d E x a m p l e s : 2 2 P r o c e s s S e q u e n c e s ( s e e C o d i n g F o r m 1 ) Q u a n t i t y 1 A , I . 2 G . 3 B . 4 A , D ( b ) 1 A , H , I . 2 G . 3 B . 4 A , D ( b ) 1 A , , G , H . 2 D . 3 C , D A , , G , H , I . 2 D , H . 3 B , D . 4 A 1 A , H , F . 3 D . 4 A A E G I a H , , F , I . 2 H . 3 C . 4 A , D ( b a n d c ) 1 A , . 2 D , H . 3 B , D . 4 A , D ( b ) 1 A , E 2 G . 3 B . 4 A 1 A , E , I . 2 G . 3 B , D . 4 A l C , E . 3 D . 2 G 1 C . 3 B , B . 4 A . 2 G . 4 A l B . 2 B , G . 3 A . 2 G . 3 A 1 G . 2 G . 1 H . 3 B 1 6 . 2 3 . 3 8 1 C , G , I . 2 G . 3 B 1 C , C . 2 G . 3 A 1 C . 3 A 1 A , H , I . 2 G . 3 B , D . 4 A , D ( b ) 1 A , G , H , I . 2 G . 3 B , D . 4 A , D ( b ) 1 A , I . 3 D . 4 D ( b ) . l I . 2 G . B B . 4 A G G E D H I I I o H r a o a w r a h a H r d h » H r a h a w r d h a H + 4 h J H r a T o t a l N N S u m m a m y E x a m p l e P r o c e s s Q u a n t i t i e s ( s e e C o d i n g F o r m 1 ) A l i c e B e t t y C a r l N u m b e r o f e x a m p l e s 1 9 1 1 2 2 P r o c e s s C a t e g o r y 1 . U n d e r s t a n d i n g t h e P r o b l e m H N U " H N m t D N J - ‘ b i - ‘ O N N - b H S u b t o t a l : P h a s e 1 7 4 L A . ) U 1 U 1 ( D T o t a l 5 2 - : t n u o c e O Q O N r W m w o O k H a w o 5 4 3 S u m m a r y E x a m p l e P r o c e s s Q u a n t i t i e s - C o n t i n u e d 2 . D e v i s i n g a P l a n D G H S u b t o t a l : P h a s e 2 A l i c e 2 1 2 9 2 3 3 . C a r r y i n g O u t t h e P l a n A , B C D F S u b t o t a l : P h a s e 3 4 . L o o k i n g B a c k A D ( b ) D ( C ) S u b t o t a l : T o t a l P r o c e s s e s u s e d P h a s e 4 ( a l l e x a m p l e s ) M e a n N u m b e r o f P r o c e s s e s p e r e x a m p l e P e r c e n t o f p e r p h a s e P h a s e P h a s e P h a s e P h a s e p r o c e s s e s 1 2 4 5 9 . 7 % 1 8 . 5 % 1 4 . 5 % 7 . 3 % B e t t y 0 8 3 1 1 1 2 u h N u b 1 0 6 8 5 1 . 5 % 1 6 . 2 % 1 7 . 6 % 1 4 . 7 % , C a r l 3 1 7 3 2 3 1 6 1 1 3 3 1 3 8 4 2 . 1 6 . 2 3 . 1 7 . 2 7 0 % 7 % 9 % . 4 % T o t a l 5 3 7 1 5 5 7 2 6 1 3 1 4 6 3 2 4 1 4 4 3 3 3 0 6 . 5 0 5 0 . 6 % 1 7 . 2 % 1 9 . 1 % 1 3 . 1 % A P P E N D I X J I n d i v i d u a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e R e s u l t s T e a c h e r : A l i c e P r e t e s t P o s t t e s t R e t e n t i o n T e s t S t u d e n t S c o r e F o r m S c o r e E q . S c o r e P . S . S c o r e ( 1 2 ) ( 9 0 ) ( 7 ) ( 7 0 ) 1 . 5 B 2 8 3 3 1 2 . 3 B 1 4 4 1 2 3 . 3 A 2 5 6 3 3 4 . 1 1 A 4 0 6 1 6 5 . 0 B 2 8 5 9 6 . 4 A . 3 5 6 4 8 7 . 3 B 2 3 4 1 9 2 A 3 0 5 1 6 9 . 6 B 3 1 7 2 2 1 0 . 2 A 2 0 4 1 3 1 1 . 3 B 3 1 7 9 1 2 . 5 B 2 5 6 1 6 1 3 . 1 A 2 2 5 1 7 1 4 . 2 A 3 0 6 3 7 1 5 . 4 B 2 7 5 2 1 1 6 . 6 . A 2 4 2 1 7 1 7 . 0 B 4 2 6 5 0 1 8 . 6 A 2 4 2 1 2 T o t a l s 6 6 4 9 9 8 9 3 9 8 M e a n 3 . 6 7 2 7 . 7 2 4 . 9 4 2 . 1 1 v a r i a n c e 6 . 9 4 4 6 . 2 1 2 . 2 9 1 5 7 . 2 8 5 4 4 5 4 5 I n d i v i d u a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e R e s u l t s - C o n t i n u e d T e a c h e r : B e t t y P r e t e s t P o s t t e s t R e t e n t i o n T e s t S t u d e n t S c o r e F o r m S c o r e E q . S c o r e P . S . S c o r e ( 1 2 ) ( 9 0 ) ( 7 ) ( 7 0 ) 1 . 0 B 7 4 3 2 . 3 B 1 1 4 2 3 . 1 A 3 5 5 7 4 . 8 A 2 7 7 3 7 5 . 6 B 3 9 6 2 6 6 . 4 B 3 4 5 1 6 7 . 2 B 3 2 0 8 . 1 B 2 4 4 1 4 9 1 0 B 0 0 1 1 0 . 2 A 0 5 0 1 1 . 6 A . 1 6 6 1 1 2 . 7 B 2 0 6 8 1 3 . 5 B 9 4 4 1 4 . 0 A 3 5 0 1 5 . 0 A 2 7 6 1 6 . 2 A 2 0 1 1 7 . 0 A 2 0 5 1 1 1 8 . 8 B 3 6 4 2 2 1 9 . 1 1 . A 3 0 6 1 7 2 0 . 1 A 1 5 4 7 2 1 . 6 B 7 4 3 2 2 . 9 A 5 1 6 4 2 m W w n t 1 G 5 : ! U p ’ 3 w ’ 3 F 5 4 6 I n d i v i d u a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e R e s u l t s - C o n t i n u e d S t u d e n t 2 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 7 . T o t a l s M e a n V a r i a n c e S t u d e n t 1 0 . T e a c h e r : B e t t y ( c o n t i n u e d ) P r e t e s t S c o r e 4 5 1 1 1 2 1 4 . 4 8 1 2 . 1 8 P r e t e s t S c o r e ( 1 2 ) 8 4 N . c - o o a s c o q . A > F o r m F o r m P o s t t e s t S c o r e 2 2 1 2 1 7 1 3 0 4 5 5 1 6 . 8 5 1 9 3 . 4 4 T e a c h e r : P o s t t e s t S c o r e ( 9 0 ) 5 1 4 0 3 7 3 4 2 1 2 4 5 7 4 4 1 6 9 R e t e n t i o n T e s t E q . S c o r e P . S . S c o r e 7 7 0 2 5 0 4 1 6 n o t t a k e n / d e m o t e d 1 1 5 2 5 3 4 . 4 2 9 . 7 3 4 . 0 1 1 2 9 . 6 4 R e t e n t i o n T e s t E q . S c o r e P . S . S c o r e ( 7 ) ( 7 0 ) C h 2 1 5 2 2 1 5 4 4 2 6 1 3 m e m w m e w U 1 0 5 4 7 I n d i v i d u a l S t u d e n t P e r f o r m a n c e R e s u l t s - C o n t i n u e d T e a c h e r : C a r l ( c o n t i n u e d ) P r e t e s t P o s t t e s t R e t e n t i o n T e s t S t u d e n t S c o r e F o r m S c o r e E q . S c o r e P . S . S c o r e 1 1 . 7 A 3 2 4 3 1 2 . 4 A 4 9 6 1 0 1 3 . 6 B 3 4 4 0 1 4 . 1 0 B 1 5 6 8 1 5 . 5 B 3 9 4 1 3 1 6 . 7 A . 5 0 6 1 2 1 7 . 0 B 4 7 7 2 4 1 8 . 2 B 3 0 5 1 3 1 9 . 8 B 4 6 6 2 6 2 0 . 3 A 2 4 3 1 3 2 1 . 1 1 A 6 7 6 3 9 2 2 . 6 A 5 5 0 8 T o t a l s 1 2 3 8 2 1 1 0 1 2 7 6 M e a n 5 . 5 9 3 7 . 3 2 4 . 5 9 1 2 . 5 5 v a r i a n c e 7 . 9 7 2 2 7 . 0 8 3 . 3 0 9 7 . 5 9 A P P E N D I X K S u m m a r y o f P o s t t e s t a n d R e t e n t i o n T e s t R e s u l t s P o s t t e s t S u m m a p y : C o n d i t i o n a l C o u n t s T e a c h e r : A l i c e N u m b e r C o u n t s A t t e m p t s v a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r - D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g p r e t a t i o n I t e m A n s w e r N u m b e r 1 . 1 8 1 6 1 6 1 6 1 3 1 3 2 . 1 8 1 7 7 5 3 3 3 . 1 8 2 0 0 0 0 4 . 1 8 1 5 1 2 1 1 1 5 . 1 8 1 7 5 0 0 0 6 . 1 8 1 8 1 4 2 1 0 7 . 1 8 1 4 8 4 3 1 8 . 1 8 1 5 8 1 1 1 9 . 1 8 1 4 4 1 1 1 T o t a l s 1 6 2 1 2 8 7 4 3 0 2 3 2 0 T e a c h e r : B e t t y N u m b e r C o u n t s A t t e m p t s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r - D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g p r e t a t i o n I t e m . A n s w e r N u m b e r 1 . 2 7 1 6 1 5 1 1 8 8 2 . 2 7 2 1 1 0 1 1 1 3 2 7 7 3 0 0 0 4 . 2 7 2 0 1 2 8 7 5 5 . 2 7 2 1 4 1 0 0 6 . 2 7 4 3 0 0 0 5 4 8 5 4 9 P o s t t e s t S u m m a r y : C o n d i t i o n a l C o u n t s - C o n t i n u e d T e a c h e r : B e t t y ( c o n t i n u e d ) N u m b e r C o u n t s v a r i a b l e E q u a t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n 7 2 1 3 9 1 1 6 8 3 3 T e a c h e r : C a r l N u m b e r C o u n t s V a r i a b l e E q u a t i o n D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A t t e m p t s D e f i n i t i o n I t e m N u m b e r 7 . 2 7 1 4 8 . 2 7 1 9 9 . 2 7 1 5 T o t a l s 2 4 3 1 3 7 A t t e m p t s I t e m N u m b e r 1 . 2 2 2 1 2 . 2 2 2 2 3 . 2 2 1 4 4 2 2 2 1 5 . 2 2 2 1 6 . 2 2 2 2 7 2 2 1 9 8 . 2 2 1 6 9 . 2 2 1 7 T o t a l s 1 9 8 1 7 3 1 9 1 9 4 4 1 1 1 4 1 0 1 1 3 2 2 1 4 1 2 7 9 6 1 0 9 3 6 4 E q u a t i o n I n t e r - S o l v i n g p r e t a t i o n A n s w e r 1 1 6 6 0 0 2 3 2 1 E q u a t i o n I n t e r - S o l v i n g p r e t a t i o n A n s w e r 1 9 1 9 4 3 0 0 9 9 3 2 1 3 9 7 4 5 5 0 0 6 0 5 1 5 5 0 P o s t t e s t S u m m a r y : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s T e a c h e r : A l i c e T o t a l P r o c e s s S c o r e s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l I t e m C h e c k 1 . ' 3 0 3 2 2 7 2 4 2 2 1 3 5 2 . 2 4 2 1 1 4 1 4 6 7 9 3 . 3 0 1 0 0 4 4 . 1 4 1 3 l 0 1 9 5 . 1 7 1 4 7 0 2 9 6 . 2 8 5 9 1 0 1 3 6 5 7 . 1 7 9 1 6 1 0 2 5 4 8 . 1 7 2 1 3 5 4 4 1 9 . 1 1 8 1 3 1 1 4 4 7 T o t a l s 1 6 1 7 9 1 0 0 8 2 5 1 4 7 3 P o s s i b l e 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 1 6 2 0 T e a c h e r : B e t t y T o t a l P r o c e s s S c o r e s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e — C o r r e c t I t e m D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l I t e m C h e c k . 1 . 3 1 2 2 2 1 2 1 1 6 1 1 1 2 . 2 8 5 5 5 2 4 5 3 . 1 0 5 7 5 4 3 1 4 . 2 7 2 1 1 8 1 5 1 3 9 4 5 . 1 3 2 4 4 0 2 3 6 . 6 0 0 0 1 7 7 . 1 7 5 6 5 2 3 5 5 5 1 P o s t t e s t S u m m a r y : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s - C o n t i n u e d V a r i a b l e D e f i n i t i o n I t e m 9 . 4 T o t a l s 1 6 3 P o s s i b l e 4 8 6 v a r i a b l e D e f i n i t i o n I t e m 1 . 3 8 2 . 2 6 3 O 2 4 . 2 8 5 . 2 5 6 . 4 4 7 . 2 4 1 8 9 0 2 T o t a l s 2 0 7 P o s s i b l e 3 9 6 T e a c h e r : B e t t y ( c o n t i n u e d ) T o t a l P r o c e s s S c o r e s E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l C h e c k 7 6 2 1 8 8 8 2 7 1 5 1 4 8 6 4 8 6 4 8 6 4 8 6 T e a c h e r : C a r l T o t a l P r o c e s s S c o r e s 2 0 4 5 5 2 4 3 0 E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r C h e c k 4 0 3 8 3 9 3 9 1 9 1 5 1 4 6 1 1 6 3 1 2 7 2 5 2 6 1 9 7 1 8 1 3 7 2 8 3 1 1 9 1 8 1 9 2 3 1 8 8 1 4 1 3 1 1 l l 1 1 1 1 4 2 1 7 6 1 8 0 1 4 7 1 1 1 3 9 6 3 9 6 3 9 6 3 9 6 T o t a l 1 9 4 8 0 2 3 1 2 5 7 0 1 4 0 9 2 6 7 3 0 8 2 1 1 9 8 0 5 5 2 B e t e n t i o n T e § t S u m m a m y : C o n d i t i o n a l C o u n t s T e a c h e r : A l i c e N u m b e r C o u n t s . A t t e m p t s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r - D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g p r e t a t i o n I t e m A n s w e r N u m b e r 1 . 1 8 1 4 8 1 1 0 2 1 8 1 8 1 4 9 8 7 3 . 1 8 5 2 2 2 0 4 . 1 8 1 8 5 2 2 2 5 . 1 8 1 8 1 6 1 4 9 5 6 . 1 8 1 5 1 0 4 4 4 7 . 1 8 1 8 1 2 1 1 1 T o t a l s 1 2 6 1 0 6 6 7 3 3 2 7 1 9 T e a c h e r : B e t t y N u m b e r C o u n t s A t t e m p t s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r - D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g p r e t a t i o n I t e m A n s w e r N u m b e r 1 . 2 6 1 6 1 1 l 1 0 2 . 2 6 1 4 9 9 6 6 3 . 2 6 9 1 0 0 0 4 . 2 6 1 0 5 2 1 1 5 . 2 6 6 4 3 2 0 6 . 2 6 1 3 9 2 2 2 7 . 2 6 1 8 1 1 3 3 1 T o t a l s 1 8 2 8 6 5 0 2 0 1 5 1 0 5 5 3 R e t e n t i o n T e s t S u m m a r y : C o n d i t i o n a l C o u n t s - C o n t i n u e d T e a c h e r : C a r l N u m b e r C o u n t s A t t e m p t s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r - D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g p r e t a t i o n I t e m A n s w e r N u m b e r 1 . 2 2 7 6 1 1 1 2 2 2 1 9 1 5 1 0 6 5 3 2 2 6 0 0 0 0 4 . 2 2 1 3 6 1 0 0 5 . 2 2 2 0 1 4 9 8 6 6 . 2 2 5 3 1 1 l 7 . 2 2 1 6 7 0 0 0 T o t a l s 1 5 4 8 6 5 1 2 2 1 6 1 2 5 5 4 R e t e n t i o n T e e t S u m m e r v : S t u d e m t P r o c e s s S c o r e s T e a c h e r : A l i c e T o t a l P r o c e s s S c o r e s v a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l I t e m C h e c k 1 . 1 7 3 6 5 0 3 1 2 . 2 8 1 9 1 9 1 6 1 4 9 6 3 . 4 4 4 1 1 1 4 4 1 4 4 1 0 9 4 4 1 5 3 4 2 7 2 1 1 7 1 0 1 0 9 6 2 0 1 1 1 2 1 1 1 1 6 5 7 . 2 7 3 5 4 3 4 2 T o t a l s 1 4 4 7 1 7 7 6 3 4 3 3 9 8 P o s s i b l e 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 1 2 6 0 5 5 5 R e t e n t i o n T e s t S u m m a r y : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s - C o n t i n u e d T e a c h e r : B e t t y T o t a l P r o c e s s S c o r e s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l I t e m C h e c k 1 . 2 3 3 8 3 1 3 8 2 . 1 9 2 0 1 2 1 3 1 2 7 6 3 . 2 0 2 0 1 5 4 . 1 3 4 2 3 3 2 5 5 . 8 7 6 2 0 2 3 6 . 1 8 4 6 4 5 3 7 7 . 2 2 8 9 3 7 4 9 T o t a l s 1 0 5 4 6 4 5 2 8 2 9 2 5 3 P o s s i b l e 3 6 4 3 6 4 3 6 4 3 6 4 3 6 4 1 8 2 0 T e a c h e r : C a r l T o t a l P r o c e s s S c o r e s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l I t e m C h e c k 1 . 1 3 2 3 2 2 2 2 2 3 0 2 1 1 6 1 6 1 0 9 3 3 0 0 0 0 0 1 4 . 1 8 3 2 0 3 2 6 5 2 8 1 9 1 8 1 4 1 3 9 2 6 6 2 3 2 6 1 9 7 . 1 5 0 3 l 4 2 3 T o t a l s 1 1 0 4 7 4 5 3 5 3 9 2 7 6 P o s s i b l e 3 0 8 3 0 8 3 0 8 3 0 8 3 0 8 1 5 4 0 A P P E N D I X L P o s t t e s t I t e m A n a l y s i s I t e m 1 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : S i m p l e T r a n s l a t i o n T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l M e m b e r o f s t u d e n t s 1 8 _ 2 7 4 4 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 6 1 6 2 2 1 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 1 6 1 5 1 9 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s 1 6 1 1 1 9 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e g p a t i o n s 1 3 8 1 9 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . 1 3 8 1 9 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 0 0 P r o c e s s M e a n S c o r e 7 . 5 0 4 . 1 1 8 . 8 2 _ m I t e m v a r i a n c e 1 0 . 7 4 1 7 . 5 6 9 . 3 9 3 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : n , 2 6 - n ( 2 ) 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : n + 2 6 = 1 4 ( 2 ) I t e m 2 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : G e o m e t r i c T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l A l i c e i B e t t y C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 7 2 1 2 2 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 7 1 0 4 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s 5 1 4 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g p e g u a t i o n s 3 1 4 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n g a n d c o r r e c t a n e . 3 1 3 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 0 0 P r o c e s s M e a n S c o r e 4 . 3 9 1 . 6 7 3 . 6 4 I t e m V a r i a n e e 7 . 9 0 4 . 3 1 8 . 7 2 _ “ 3 9 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : n , 2 n , 2 n - 4 ( 2 8 ) 1 1 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : u n a w a r e s u m = 1 8 0 d e g . ( 1 0 ) 5 5 6 l \ u h » O H O < 3 O < 3 N ‘ I P H ‘ I P \ H 5 5 P o s t t e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 3 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : 7 A l i c e M e n e y / c o i n r e l a t e d C o n c r e t e / F a c t u a l B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 2 1 4 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 0 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n C O C O P r o c e s s M e a n S c o r e 0 . 2 2 I t e m 7 V a r i a n c e 0 . 3 0 . 1 5 . 4 8 ( D O U ' I U ' I 1 9 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r 1 L a b l e s P a t t e r n s : a s s u m e d e q u a l t i m e s n a n d n ( 8 ) o n e v a r i a b l e o n l y u s e d i n p r o b l e m 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : c a r e l e s s c o m p u t a t i o n a l e r r o r ( 2 ) I t e m 4 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : ( 4 ) D i s t a n c e / R a t e / T i m e r e l a t e d C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l N m m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 2 2 7 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 5 2 0 2 1 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e e 1 2 1 2 1 4 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n e 1 8 1 0 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 1 7 9 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . 1 5 9 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 2 1 P r o c e s s M e a n S c o r e 2 . 2 8 3 . 4 8 5 . 6 8 I t e m V a r i a n g e 4 . 8 0 1 5 . 4 1 1 4 . 7 9 1 8 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : P a t t e r n s : i n c o m p l e t e ( 8 ) , x c o n s t a n t b y v a r i a b l e , r a t h e r t h a n + 2 0 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n a d d s r a t e s o n l y = d i s t a n c e ( 6 ) ( 1 5 ) 5 5 P o s t t e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 5 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : 8 A g e r e l a t e d C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l N p m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 7 2 1 2 1 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 5 4 1 1 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e g p a t i o n s 0 1 3 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n e 0 0 3 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n e . 0 0 2 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 0 2 P r o c e s s M e a n S c o r e 1 . 6 1 0 . 8 5 3 . 1 8 I t e m V a r i a n c e 1 . 9 0 1 . 7 5 7 . 5 8 3 9 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : u s i n g " t w i c e " i n d e f i n g v a r i a b l e s ( 2 0 ) i n c o m p l e t i o n o f a g e s 5 y e a r s a g o ( 8 ) 1 6 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : r e l a t i o n s h i p r e v e r s e d t o b e p o s s i b l e ( 8 ) H e l e n = 2 x J e a n ’ s o r i g i n a l a g e ( 2 ) I t e m 6 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : I n t e g e r T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l m e m b e r o f e t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 8 4 2 2 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 1 4 3 4 4 2 2 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s 2 , 0 1 4 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n e j 1 0 1 3 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n g a n d c o r g e c t a n e . 0 0 9 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 7 1 0 P r o c e s s M e a n S c o r e 3 . 6 1 0 . 2 6 6 . 3 6 I t e m V a r i a n c e , 6 . 8 4 0 . 4 3 1 1 . 4 8 5 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : u s e d c o n s e c u t i v e i n t e g e r s n , n + 1 , n + 2 2 3 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : r e v e r s a l p l a c e m e n t o f 4 9 ( 1 1 ) , f o r g o t 2 x l e f t ( 5 ) ( 2 ) 5 5 9 P o s t t e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 7 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : G e o m e t r i c t y p e ( p e r i m e t e r ) F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l m e m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 4 1 4 1 9 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 8 7 1 2 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s 4 2 7 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 3 1 7 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . 1 1 4 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 0 0 P r o c e s s M e a n S c o r e 3 . 0 0 1 . 3 0 4 . 1 8 I t e m V a r i a n c e 7 . 6 5 4 . 9 9 1 1 . 2 Q _ y 2 0 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : u s e d n a n d n + 1 2 ( 9 ) u s e d 2 n a n d n + 1 2 ( 4 ) 1 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : u s e d l e n g t h + w i d t h = p e r i m e t e r ( 1 0 ) I t e m 8 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : M o n e y / c o i n r e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : C o n c r e t e / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l m e m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 7 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 5 1 9 1 6 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 8 1 3 9 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o p e 1 9 6 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n e 1 6 5 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . 1 6 5 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 2 0 1 P r o c e s s M e a n S c o r e 2 . 2 8 3 . 3 0 3 . 0 5 I t e m V a r i a n c e 5 . 6 1 5 . 4 5 1 6 . 6 2 _ “ 2 0 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : n a n d 2 n u s e d ( 6 ) , 2 n a n d 2 n + 1 u s e d ( 4 ) l 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : f o r g o t c o i n v a l u e s ( 7 ) , e r r o r s i n d i s t r i b u t i n g ( 3 ) 5 6 0 P o s t t e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 9 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : A g e r e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l Y . — c o r r e c t a n s . 4 0 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : u s e d n a n d Z n f o r p r e s e n t a g e s ( 9 ) u s e d n - 1 a n d 2 n + 1 f o r p r e s e n t a g e s ( 6 ) u s e d n + 1 a n d Z n - 1 f o r p r e s e n t a g e s ( 6 ) 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : n o n e , 4 d i f f e r e n t e r r o r t y p e s A P P E N D I X M R e t e n t i o n T e s t I t e m A n a l y s i s I t e m 1 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : G e o m e t r i c T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l t o Y c o r r e c t a n s . e r r o r s P a t t e r n s : n , 2 n n o t a s s i d e s i n f i g u r e ( 3 ) 2 2 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : f a i l u r e t o r e l a t e p e r i m e t e r s o f 2 f i g u r e s ( 1 3 ) I t e m 2 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : S i m p l e T r a n s l a t i o n T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l t o Y Y Y y i n t e r - c o r r e c t a n s . e r r o r s P a t t e r n s : i n c l u d e 4 n ( 5 ) , x a n d y u s e d n o t r e l a t e d ( 5 ) 1 0 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y e r r r o r s ( 7 ) 5 6 1 5 6 2 R e t e n t i o n T e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 3 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : D i s t a n c e / R a t e / T i m e r e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 6 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 5 9 6 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 2 1 0 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n e 2 2 0 0 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 2 0 0 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n g a n d c o r r e c t a n s . 0 0 0 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 1 1 1 P r o c e s s M e a n S c o r e 0 . 7 8 0 . 1 9 0 . 0 5 I t e m V a r i a n c e 4 . 4 2 0 . 3 2 0 . 0 5 1 7 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : t i m e v a r i a b l e n o t d e f i n e d ( 6 ) , e q u a l t i m e s u s e d ( a s s u m e d ) ( S ) 1 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : d i s t a n c e s n o t e q u a t e d ( 1 ) I t e m 4 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : G e o m e t r i c T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l m e m b e r o f e t u d e n t s 1 8 2 6 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 8 1 0 1 3 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 5 5 6 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s 2 2 2 1 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 2 l 0 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . 2 2 l 0 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 1 3 P r o c e s s M e a n S c o r e 2 . 2 8 0 . 9 6 1 . 1 8 I t e m V a r i a n c e 1 0 . 0 9 4 . 5 2 2 1 . 5 8 2 5 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : f a i l u r e t o r e l a t e 3 a n g l e s t o 1 v a r i a b l e ( 1 3 ) 1 1 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : u n a w a r e s u m o f 3 a n g l e s o f t r i a n g l e = 1 8 0 ( 6 ) 5 6 3 R e t e n t i o n T e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 5 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : I n t e g e r P r o b l e m T y p e F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l . A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 6 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 8 6 2 0 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e e l 6 4 1 4 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s 1 4 3 9 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n e 9 4 4 2 8 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n q a n d c o r r e c t a n s . 5 0 6 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 0 0 1 P r o c e s s M e a n S c o r e 6 . 0 6 0 . 8 8 4 . 1 8 I t e m V a r i a n c e 8 . 1 7 3 . 7 9 1 6 . 5 4 1 0 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : x , x + 1 , x + 2 u s e d ( 7 ) 8 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : n o n e , 6 d i f f e r e n t e r r o r t y p e s n o t e d I t e m 6 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : A g e r e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : C o n c r e t e / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l m e m b e r o f e t u d e n t e 1 8 2 6 2 Q ; N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 5 1 3 5 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 1 0 9 3 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s 4 2 2 1 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n § 2 2 4 2 1 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n g a n d c o r r e c t a n s . 4 2 1 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 3 0 4 P r o c e s s M e a n S c o r e 3 . 6 1 1 . 4 2 0 . 8 6 I t e m V a r i a n c e 1 3 . 9 0 7 . 4 5 4 . 7 9 1 1 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : x , 4 x u s e d ( 4 ) , 4 x a n d 4 x + 1 0 u s e d ( 3 ) 1 5 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : i n c o m p l e t e o r n o a t t e m p t ( 6 ) 5 6 4 R e t e n t i o n T e s t I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 7 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : M o n e y / c o i n r e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c i a t i o n : C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 1 8 2 6 2 2 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 1 8 1 8 1 6 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e e 1 2 1 1 7 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n q e q u a t i o n s 1 3 0 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 1 3 0 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r - p r e t i n g a n d c o r r e c t a n e . 1 1 0 N u m b e r o t h e r c o r r e c t a n s . n o n s t a n d a r d d e r i v a t i o n 1 5 4 P r o c e s s M e a n S c o r e 2 . 3 3 1 . 8 8 1 . 0 5 I t e m V a r i a n c e 5 . 1 8 5 . 7 1 1 : 2 8 2 2 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s P a t t e r n s : n , 4 n u s e d ( 7 ) 2 6 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n P a t t e r n s : n o v a l u e s u s e d ( 1 2 ) , n o e q u a t i o n a t t e m p t ( 9 ) A P P E N D I X N I n t e r v i e w ' R e s u l t s S t u d e n t P h a s e C o n f i d e n c e E s t i m a t e s ( a l l d a t a e n t r i e s i n p e r c e n t s ) S t u d e n t : A 1 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 7 5 7 5 8 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A 7 5 7 5 8 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - . A 8 5 8 5 9 0 4 . A g e R e l a t e d - A 7 5 7 5 8 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A 8 0 8 0 8 5 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A . 7 0 7 0 7 5 M e a n p h a s e e s t i m a t e 7 6 . 7 7 6 . 7 8 1 . 7 S t u d e n t : . A 2 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 6 0 8 5 9 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A 9 0 1 0 0 9 5 3 . G e o m e t r i c T y p e - A 7 5 7 5 7 5 4 . A g e R e l a t e d - A 6 0 7 0 9 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A . 8 0 8 5 9 5 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A 8 0 9 0 9 5 M e a n p h a s e e s t i m a t e 7 4 . 2 8 4 . 2 9 0 5 6 5 5 6 6 S t u d e n t P h a s e C o n f i d e n c e E s t i m a t e s - C o n t i n u e d S t u d e n t : A 3 V a r i a b l e ' E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 9 0 8 5 1 0 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A . 6 0 5 0 7 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - A 2 0 3 0 7 5 4 . A g e R e l a t e d - A 1 0 1 0 2 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A 5 0 6 0 8 0 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A . 2 5 3 0 5 5 M e a n p h a s e e s t i m a t e 4 2 . 5 4 4 . 2 6 6 . 7 S t u d e n t : B 1 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 9 5 9 5 1 0 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A 9 5 9 5 1 0 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - . A 9 0 9 0 9 5 4 . A g e R e l a t e d - A 9 5 9 5 1 0 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A . 9 5 9 5 1 0 0 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A . 9 0 9 0 9 5 M e a n p h a s e e s t i m a t e 9 3 . 3 9 3 . 3 9 8 . 3 5 6 7 S t u d e n t P h a s e C o n f i d e n c e E s t i m a t e s - C o n t i n u e d S t u d e n t : B 2 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 8 5 7 0 9 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A . 9 0 8 7 9 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - . A 8 7 8 7 9 0 4 . A g e R e l a t e d - . A 9 0 9 0 9 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A . 8 5 8 5 9 0 6 . N o n r o u t i n e M u l t i — s t e p - A . 7 5 7 5 9 0 M e a n p h a s e e s t i m a t e 8 5 . 3 8 2 . 3 9 0 S t u d e n t : B 3 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 6 0 6 0 8 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - . A 8 5 9 0 1 0 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - A . 4 0 3 5 6 0 4 . A g e R e l a t e d - A 7 0 7 0 9 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A . 8 0 8 0 9 0 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A . 5 0 4 0 5 0 M e a n p h a s e e s t i m a t e 6 4 . 2 6 2 . 5 7 8 . 3 5 6 8 S t u d e n t P h a s e C o n f i d e n c e E s t i m a t e s - C o n t i n u e d S t u d e n t : C 1 v a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 9 0 8 5 9 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - . A 6 0 4 0 6 5 3 . G e o m e t r i c T y p e - A . 7 5 6 0 7 5 4 . . A g e R e l a t e d - A 8 0 8 5 8 5 5 . D / R / T R e l a t e d - A . 9 0 8 5 8 5 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A 5 0 4 5 5 0 M e a n p h a s e e s t i m a t e 7 4 . 2 6 6 . 7 7 5 S t u d e n t : C 2 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 8 0 7 5 7 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A . 8 5 8 5 9 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - . A 6 5 6 0 7 0 4 . A g e R e l a t e d - A . 9 5 9 0 9 5 5 . D / R / T R e l a t e d - . A 6 0 6 0 6 5 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A . 5 0 5 0 5 0 M e a n p h a s e e s t i m a t e 7 2 . 5 7 0 7 3 . 3 5 6 9 S t u d e n t P h a s e C o n f i d e n c e E s t i m a t e s - C o n t i n u e d S t u d e n t : C 3 V a r i a b l e E q u a t i o n C o r r e c t D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n A n s w e r C o n t e n t T y p e 1 . C o n s e c u t i v e I n t e g e r - B 9 5 9 5 1 0 0 2 . C o i n / M o n e y R e l a t e d - A . 9 0 9 0 1 0 0 3 . G e o m e t r i c T y p e - A 9 5 9 5 1 0 0 4 . A g e R e l a t e d - A 9 0 9 0 1 0 0 5 . D / R / T R e l a t e d - A 8 0 8 0 1 0 0 6 . N o n r o u t i n e M u l t i - s t e p - A . 6 0 6 0 1 0 0 M e a n p h a s e e s t i m a t e 8 5 8 5 1 0 0 I n t e r v i e w I n e t r u m e n t : C o n d i t i o n a l C o u n t e N i n e I n t e r v i e w e d S t u d e n t s N u m b e r C o u n t s A t t e m p t s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r - D e f i n i t i o n D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g p r e t a t i o n I t e m A n s w e r N u m b e r 1 . 9 8 5 5 5 5 2 . 9 8 6 3 2 2 3 . 9 8 7 4 3 3 4 . 9 9 7 3 3 3 5 . 9 9 7 4 4 4 6 . 9 8 4 3 3 3 T o t a l s 5 4 5 0 3 6 2 2 2 0 2 0 5 7 0 I n t e r v i e w I n e t r u m e n t : S t u d e n t P r o c e s s S c o r e s N i n e I n t e r v i e w e d S t u d e n t s T o t a l P r o c e s s S c o r e s V a r i a b l e E q u a t i o n E q u a t i o n I n t e r p r e - C o r r e c t I t e m D e f i n i t i o n F o r m u l a t i o n S o l v i n g t a t i o n & A n s w e r T o t a l I t e m C h e c k 1 . 1 6 1 0 1 1 1 1 1 0 5 8 2 . 1 2 6 7 4 4 3 3 3 . 1 4 6 1 1 1 2 6 4 9 4 . 1 6 6 1 0 9 6 4 7 5 . 1 4 8 1 0 1 1 8 5 1 6 . 1 1 7 8 8 6 4 0 T o t a l s 8 3 4 3 5 7 5 5 4 0 2 7 8 P o s s i b l e 1 0 8 1 0 8 1 0 8 1 0 8 1 0 8 5 4 0 I n t e r v i e w I n s t r u m e n t : P r o b l e m S o l v i n g I t e m A n a l y s i s I t e m 1 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : C o n s e c u t i v e I n t e g e r T y p e F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n : A b s t r a c t / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 3 3 3 y N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 3 2 3 “ N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 3 2 3 “ N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s 1 1 3 " N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n e 1 l 3 “ N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r p r e t . a n d c o r r e c t a n s w e r 1 1 3 _ P r o c e s s M e a n s c o r e 5 . 3 3 4 . 0 0 1 0 . 0 0 2 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s 3 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n 5 7 1 I n t e r v i e w P r o b l e m S o l v i n g I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 2 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : C o i n / M o n e y R e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n : C o n c r e t e / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l N p m b e r o f s t u d e n t s 3 3 3 m N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e e 3 2 2 3 y N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 2 2 2 2 _ “ N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s 0 1 2 _ 2 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 0 1 1 “ N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r p r e t . a n d c o r r e c t a n e w e r 0 l l y P r o c e s s M e a n s c o r e 2 2 0 0 4 . 3 3 4 . 6 7 2 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s 3 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n I t e m 3 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : G e o m e t r i c T y p e ( P e r i m e t e r ) F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n : A b s t r a c t / F a c t u a l A l i c e B e t t y . C a r l m e m b e r o f s t u d e n t s 3 3 3 v N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s 3 4 2 3 “ N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 2 2 3 “ N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n e l 2 O " N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 1 2 0 " N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r p r e t . a n d c o r r e c t a n s w e r 1 2 0 + P r o c e s s M e a n s c o r e 5 . 0 0 7 . 3 3 4 . 0 0 2 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n : u » 1 a h ) H \ l 5 7 2 I n t e r v i e w P r o b l e m S o l v i n g I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 4 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : A g e R e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n : C o n c r e t e / H y p o t h e t i c a l A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s 3 3 N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e e N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e e N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o p e N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r p r e t . a n d c o r r e c t a n e w e r P r o c e e e M e a n e c o r e 5 . 3 3 l m \ 2 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s I t e m 5 4 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : D / R / T R e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n : C o n c r e t e / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f s t u d e n t s N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e v a r i a b l e s N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n s N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n e N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r p r e t . a n d c o r r e c t a n s w e r P r o c e s s M e a n s c o r e 2 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s 3 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n 5 7 3 I n t e r v i e w P r o b l e m S o l v i n g I t e m A n a l y s i s - C o n t i n u e d I t e m 6 C o n t e n t C l a s s i f i c a t i o n : N o n r o u t i n e , A g e R e l a t e d F o r m a t C l a s s i f i c a t i o n : C o n c r e t e / F a c t u a l A l i c e B e t t v C a r l N u m b e r o f e t u d e n t e 3 3 3 _ N u m b e r a t t e m p t i n g t o d e f i n e 1 v a r i a b l e § 3 2 2 2 2 3 2 N u m b e r c o r r e c t l y d e f i n i n g v a r i a b l e s 1 1 2 _ 2 N u m b e r c o r r e c t l y f o r m u l a t i n g e q u a t i o n e 1 1 1 2 N u m b e r c o r r e c t l y s o l v i n g e q u a t i o n s 1 1 1 2 N u m b e r c o r r e c t l y i n t e r p r e t . a n d c o r r e c t a n s w e r 1 1 1 2 P r o c e s s M e a n s c o r e 4 . 3 3 3 . 6 7 5 . 3 3 5 e r r o r s i n d e f i n i n g v a r i a b l e s 1 e r r o r s i n e q u a t i o n f o r m u l a t i o n L I S T O F R E F E R E N C E S L I S T O F R E F E R E N C E S A i k e n , L . R . L a n g u a g e f a c t o r s i n l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n R e p o r t s . C o l u m b u s , O h i o , 1 9 7 2 . ( E R I C D o c u m e n t R e p r o d u c t i o n S e r v i c e N o . E D 0 6 8 3 4 0 ) A s h t o n , M . R . H e u r i s t i c m e t h o d s i n p r o b l e m s o l v i n g i n n i n t h g r a d e a l g e b r a . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 6 2 . B a r n e t t , J . T h e s t u d y o f s y n t a x v a r i a b l e s . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e e i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . B a s s l e r , O . C . , B e e r s , M . I . a n d R i c h a r d s o n , L . I . C o m p a r i s o n o f t w o i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s f o r t e a c h i n g t h e s o l u t i o n o f v e r b a l p r o b l e m s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 5 , Q : 1 7 0 - 1 7 7 . B l a k e , R . N . T h e e f f e c t o f 2 p r o b l e m c o n t e m t u p o n t h e p r o b l e m s o l v i n q p r o c e s s e s u s e d b y f i e l d d e p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t s t u d e n t s : a c l i n i c a l s t u d y . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1 9 7 6 . B l o o m , B . S . a n d B r o d e r , L . J . P r o b l e m - s o l v i n q p r o c e e s e s o f c o l l e g e s t u d e n t s . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , 1 9 5 0 . B o b r o w , D . N a t u r a l l a n g u a g e i n p u t f o r a c o m p u t e r p r o b l e m - s o l v i n g s y s t e m . I n M . M i n s k y ( E d . ) , S e m a n t i c i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g . C a m b r i d g e , M a s s . : M I T P r e s s , 1 9 6 8 . B r o p h y , J . T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s : W h e r e r e s e a r c h s h o u l d b e g o i n g . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 8 6 , 2 1 ( 5 ) , 3 2 3 - 3 4 6 . C a l d w e l l , J . T h e e f f e c t s o f a b s t r a c t a n d h y p o t h e t i c a l f a c t o r s o n w o r d p r o b l e m d i f f i c u l t y i n s c h o o l m a t h e m a t i c s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a , 1 9 7 7 . 5 7 4 5 7 5 C a l d w e l l , J . S y n t a x , c o n t e n t , a n d c o n t e x t v a r i a b l e s i n i n s t r u c t i o n . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . C a l d w e l l , J . H . a n d G o l d i n , G . A . v a r i a b l e s a f f e c t i n g w o r d p r o b l e m d i f f i c u l t y i n e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . J o u r n a l f o r R e e e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 9 , 2 9 , 3 2 3 - 3 3 6 . C a l d w e l l , J . H . a n d G o l d i n , G . A . V a r i a b l e s a f f e c t i n g w o r d p r o b l e m d i f f i c u l t y i n s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . J o u r n a l f o r R e e e a r c h i n 2 M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 8 7 , 2 2 ( 3 ) , 1 8 7 - 1 9 6 . C a l l a h a n , L . G . a n d G a r o f a l o , J . M e t a c o g n i t i o n a n d s c h o o l m a t h e m a t i c s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , M a y , 1 9 8 7 , 2 2 - 2 3 . C a r p e n t e r , T . P . , C o r b i t t , M . R . , K e p n e r , H . S . , L i n d q u i s t , M . R . , a n d R e y s , R . E . S t u d e n t p e r f o r m a n c e i n a l g e b r a : R e s u l t s f r o m t h e n a t i o n a l a s s e s s m e n t . S c h o o l S c i e n c e a n d M a t h e m a t i c s , 1 9 8 2 , 2 2 ( 6 ) , 5 1 4 - 5 7 2 . C h a r l e s , R . a n d L e s t e r , F . T e a c h i n q p r o b l e m s o l v i n q : W h a t w h y a n d h o w . P a l o A l t o , C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s , 1 9 8 2 . C h a r t o f f , B . T . A n e x p l o r a t o r y i n v e s t i g a t i o n u t i l i z i n g a m u l t i d i m e n s i o n a l s c a l i n g p r o c e d u r e t o d i s c o v e r c l a s s i f i c a t i o n c r i t e r i a f o r a l g e b r a w o r d p r o b l e m s u s e d b y s t u d e n t s i n g r a d e s 7 - 1 3 . ( D o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y , 1 9 7 6 ) . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 1 9 7 7 , 2 1 , 7 0 0 6 A . C o o n e y , T . J . A b e g i n n i n g t e a c h e r ’ s v i e w o f p r o b l e m s o l v i n g . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 8 5 , 2 § ( 5 ) , 3 2 4 - 3 3 6 . C o o n e y , T . J . a n d H e n d e r s o n , K . B . W a y s m a t h e m a t i c s t e a c h e r s h e l p s t u d e n t s o r g a n i z e k n o w l e d g e . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 2 , 2 ( 1 ) , 2 1 - 3 1 0 D a h m u s , M . E . H o w t o t e a c h v e r b a l p r o b l e m s . S c h o o l S c i e n c e a n d M a t h e m a t i c s , 1 9 7 0 , 1 9 , 1 2 1 - 1 3 8 . 5 7 6 D a y s , H . C . , W h e a t l e y , G . H . , a n d K u l m , G . P r o b l e m s t r u c t u r e , c o g n i t i v e l e v e l , a n d p r o b l e m - s o l v i n g p e r f o r m a n c e . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 9 , 2 2 ( 2 ) , 1 3 5 - 1 4 5 . D o b l a e v , L . P . T h o u g h t p r o c e s s e s i n v o l v e d i n s e t t i n g u p e q u a t i o n s . I n J . K i l p a t r i c k a n d I . W i r z u p ( E d s . ) , S o v i e t s t u d i e s i n t h e p s y c h o l o g y o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n m a t h e m a t i c s , ( V o l u m e I I I ) . C h i c a g o : T h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , 1 9 6 9 . E v e r t s o n , C . M . , E m m e r , E . T . , a n d B r o p h y , J . E . P r e d i c t o r s o f e f f e c t i v e t e a c h i n g i n j u n i o r h i g h m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 8 0 , 2 2 , 1 6 7 - 1 7 8 . F l a n d e r s , J . R . H o w m u c h o f t h e c o n t e n t i n m a t h e m a t i c s t e x t b o o k s i s n e w ? A r i t h m e t i c T e a c h e r , 1 9 8 7 , 2 2 ( 1 ) , 1 8 - 2 3 . F r i e d m a n , M . a n d S t o m p e r , C . E f f e c t i v e c o l l e g e i n s t r u c t i o n i n b a s i c m a t h e m a t i c s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 8 8 , 2 2 ( 2 ) , 1 6 9 - 1 7 4 . G a r o f a l o , J . a n d L e s t e r , F . K . M e t a c o g n i t i o n , c o g n i t i v e m o n i t o r i n g , a n d m a t h e m a t i c a l p e r f o r m a n c e . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 8 5 , 2 2 ( 5 ) , 1 6 3 - 1 7 6 . G o l d i n , G . A . S t r u c t u r e v a r i a b l e s i n p r o b l e m s o l v i n g . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . G o l d i n , G . A . a n d C a l d w e l l , J . S y n t a x , c o n t e n t , a n d c o n t e x t v a r i a b l e s e x a m i n e d i n a r e s e a r c h s t u d y . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s . G o l d i n , G . A . a n d M c C l i n t o c k , C . E . T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . G o l d m a n , R . N . a n d W e i n b e r g , J . S . S t a t i s t i c s , a n i n t r o d u c t i o n . E n g l e w o o d C l i f f s , N J : P r e n t i c e - H a l l , I n c . , 1 9 8 5 . G o o d , T . L . a n d B r o p h y , J . E . L o o k i n g i n c l a s s r o o m s ( T h i r d E d i t i o n ) . N e w Y o r k : H a r p e r & R o w , P u b l i s h e r s , 1 9 8 4 . 5 7 7 G o o d , T . L . , G r o u w s , D . , a n d E b m e i e r , H . A c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h i n g : E m p i r i c a l r e e e a r c h i n e l e m e n t a m y a n d s e c o n d a p y c l a s s r o o m s . N e w Y o r k : L o n g m a n , 1 9 8 3 . G r e e n o , J . G . A s t u d y o f p r o b l e m s o l v i n g . I n R . G l a s e r ( E d . ) , A d v a n c e s i n i n s t r u c t i o n a l p s v c h o l o q v . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 7 8 . . S o m e e x a m p l e s o f c o g n i t i v e t a s k a n a l y s i s w i t h i n s t r u c t i o n a l i m p l i c a t i o n s . I n R . E . S n o w , P . F r e d e r i c o , a n d W . E . M o n t a g u e ( E d s . ) , A p t i t u d e , l e a r n i n g a n d i n s t r u c t i o n . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 8 0 . G r o u w s , D . A . T h e t e a c h e r a n d c l a s s r o o m i n s t r u c t i o n : N e g l e c t e d t h e m e s i n p r o b l e m - s o l v i n g r e s e a r c h . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n q a n d l e a r n i n q m e t h e m a t i c a l p r o b l e m _ § o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s , 1 9 8 5 . H a v e l , P . S t u d e n t s c a t e g o r i z e , t h e n s o l v e p r o b l e m s . A r i t h m e t i c T e a c h e r , 1 9 8 5 , 2 2 ( 3 ) , 1 9 - 2 3 . H a y e s , J . R . T h e c o m p l e t e p r o b l e m s o l v e r . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 1 . H e n d e r s o n , K . B . A . m o d e l f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . M a t h e m a t i c s T e a c h e r , 1 9 6 7 2 2 , 5 7 3 - 5 7 7 . . A b s t r a c t i n g , g e n e r a l i z i n g a n d e x p l a i n i n g - p r o c e s s e s o r r e l a t i o n s ? M a t h e m a t i c s T e a c h e r , 1 9 6 9 , 2 2 , 6 0 0 - 6 0 5 . H i n s l e y , D . , H a y e s , J . R . , a n d S i m o n , H . A - F r o m . w o r d s i n e q u a t i o n s . I n P . C a r p e n t e r a n d M . J u s t ( E d s . ) , C o g n i t i v e p r o c e s s e s i n c o m p r e h e n s i o n . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 7 7 . J e r m a n , M . I n s t r u c t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g a n d a n a n a l y s i s o f s t r u c t u r a l v a r i a b l e s t h a t c o n t r i b u t e t o p r o b l e m s o l v i n g d i f f i c u l t y ( T e c h n i c a l R e p o r t N o . 1 8 0 ) . S t a n f o r d U n i v e r s i t y : I n s t i t u t e f o r M a t h e m a t i c a l S t u d i e s i n t h e S o c i a l S c i e n c e s , N o v e m b e r , 1 9 7 1 . . I n d i v i d u a l i z e d i n s t r u c t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g i n e l e m e n t a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 3 , 2 , 6 - 1 9 . 5 7 8 J e r m a n , M . P r o b l e m l e n g t h a s a s t r u c t u r a l v a r i a b l e i n v e r b a l a r i t h m e t i c p r o b l e m s . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 1 9 7 4 , 2 , 1 0 9 - 1 2 3 . K a n e , R . B . T h e r e a d a b i l i t y o f m a t h e m a t i c a l E n g l i s h . J o u r n a l o f R e s e a r c h i n S c i e n c e T e a c h i n g , 1 9 6 8 , 2 , 2 9 6 - 2 9 8 . K a n t o w s k i , M . G . P r o c e s s e s i n v o l v e d i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g ( D o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f G e o r g i a , 1 9 7 4 ) . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 1 9 7 5 2 2 , 2 7 3 4 A . ( U n i v e r s i t y M i c r o f i l m s N o . 7 5 - 2 3 7 6 4 ) . . P r o c e s s e s i n v o l v e d i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 7 , 2 ( 3 ) , 1 6 3 - 1 8 0 . . T h e t e a c h i n g e x p e r i m e n t a n d s o v i e t s t u d i e s o f p r o b l e m s o l v i n g . I n L . L . H a t f i e l d ( E d . ) , M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : P a p e r s f r o m a r e s e a r c h w o r k e h o p , E R I C , 1 9 7 8 . K i l p a t r i c k , J . A n a l y z i n g t h e e e o l u t i o n o f w o r d p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s : a n e x p l o r a t o r v s t u d v . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 6 7 . . P r o b l e m s o l v i n g i n m a t h e m a t i c s . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h , 1 9 6 9 2 2 , 5 2 3 - 5 3 4 . K n i f o n g , J . D . a n d H o l t o n , B . A n a n a l y s i s o f c h i l d r e n ’ s w r i t t e n s o l u t i o n s t o w o r d p r o b l e m s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 6 , 1 , 1 0 6 - 1 1 2 . K r u t e t s k i i , V . A . T h e p s y c h o l o g y o f m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s i n s c h o o l - c h i l d r e n . C h i c a g o : U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , 1 9 7 6 . K u l m , G . T h e c l a s s i f i c a t i o n o f p r o b l e m - s o l v i n g r e s e a r c h v a r i a b l e s . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . K u l m , G . a n d D a y s , H . I n f o r m a t i o n t r a n s f e r i n s o l v i n g p r o b l e m s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 9 , 2 2 ( 2 ) , 9 4 - 1 0 2 . 5 7 9 L a r k i n , J . E n r i c h i n g f o r m a l k n o w l e d g e : a m o d e l f o r l e a r n i n g t o s o l v e t e x t b o o k p h y s i c s p r o b l e m s . I n J . R . A n d e r s o n ( E d . ) , C o g n i t i v e s k i l l s a n d t h e i r a c q u i s i t i o n . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 8 1 . L e s h , R . M a t h e m a t i c a l l e a r n i n g d i s a b i l i t i e s : C o n s i d e r a t i o n s f o r i d e n t i f i c a t i o n , d i a g n o s i s , a n d r e m e d i a t i o n . I n R . L e s h , D . M i e r k i e w i c z , a n d M . G . K a n t o w s k i ( E d s . ) , A p p l i e d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . C o l u m b u s , O H : E R I C C l e a r i n g h o u s e f o r S c i e n c e , M a t h e m a t i c s , a n d E n v i r o n m e n t a l E d u c a t i o n , 1 9 7 9 . . M o d e l i n q s t u d e n t s ’ m o d e l i n g b e h a v i o r s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , M o n t r e a l , A p r i l 1 9 8 3 . . C o n c e p t u a l a n a l y s e s o f p r o b l e m - s o l v i n g p e r f o r m a n c e . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n q a n d l e a r n i n q m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e e . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s , 1 9 8 5 . L e s t e r , F . K . M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g i n t h e e l e m e n t a r y s c h o o l : S o m e e d u c a t i o n a l a n d p s y c h o l o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s . I n L . L . H a t f i e l d a n d D . A . B r a d f o r d ( E d s . ) , M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : P a p e r s f r o m a r e s e a r c h w o r k s h o p . C o l u m b u s , O H : E R I C / S M E A C , 1 9 7 8 . . R e s e a r c h i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n R . S h u m w a y ( E d . ) , R e s e a r c h i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , 1 9 8 0 . . B u i l d i n g b r i d g e s b e t w e e n p s y c h o l o g i c a l a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h o n p r o b l e m s o l v i n g . I n F . K . L e s t e r a n d J . G a r o f a l o ( E d s . ) , M a t h e m a t i c a l p r o b l e m 2 s o l v i n q : I s s u e s i n r e s e a r c h . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 2 . L e w i s , C . S k i l l i n a l g e b r a . I n J . R . A n d e r s o n ( E d . ) , C o g n i t i v e s k i l l s a n d t h e i r a c g p i s i t i o n . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m . A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 8 1 . 5 8 0 L i n v i l l e , W . J . T h e e f f e c t s o f s y n t a x a n d v o c a b u l a r y u p o n t h e d i f f i c u l t y o f v e r b a l a r i t h m e t i c p r o b l e m s w i t h f o u r t h g r a d e s t u d e n t s ( D o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , I n d i a n a U n i v e r s i t y , 1 9 7 0 ) . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 1 9 7 0 , 2 2 , 4 3 1 0 A . ( U n i v e r s i t y M i c r o f i l m s N o . 7 0 - 7 9 5 7 ) . L o f t u s , E . F . a n d S u p p e s , P . S t r u c t u r a l v a r i a b l e s t h a t d e t e r m i n e p r o b l e m - s o l v i n g d i f f i c u l t y i n c o m p u t e r - a s s i s t e d i n s t r u c t i o n . J o u r n a l o f E d u c a t i o n a l P s v c h o l o q v , 1 9 7 2 2 2 , 5 3 1 - 5 4 2 . L u c a s , J . E . A n e x p l o r a t o r y s t u d y i n t h e d i a g n o s t i c t e a c h i n g o f e l e m e n t a r y c a l c u l u s ( D o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n , 1 9 7 2 ) . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 1 9 7 2 , 2 2 , 6 8 2 5 A . ( U n i v e r s i t y M i c r o f i l m s N o . 7 2 - 1 5 , 3 6 8 ) . L u c a s , J . E . , B r a n c a , N . , G o l d b e r g , D . , K a n t o w s k i , M . G . , K e l l o g g , H . a n d S m i t h , J . P . A . p r o c e s s - s e q u e n c e c o d i n g s y s t e m f o r b e h a v i o r a l a n a l y s i s o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . L u c h i n s , A . S . M e c h a n i z a t i o n i n p r o b l e m s o l v i n g . P s y c h o l o g i c a l M e n o g r a p h s , 1 9 4 2 , 2 2 ( 6 ) , W h o l e N o . 2 4 8 . . L u g e r , G . F . A p p l i c a t i o n s o f p r o b l e m s t r u c t u r e . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . M a t z , M . T o w a r d s a c o m p u t a t i o n a l t h e o r y o f a l g e b r a i c c o m p e t e n c e . J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B e h a v i o r , 1 9 8 2 , 2 ( 1 ) , 9 3 - 1 6 7 . M a y e r , R . E . F r e q u e n c y n o r m s a n d s t r u c t u r a l a n a l y s i s o f a l g e b r a s t o r y p r o b l e m s i n t o f a m i l i e s , c a t e g o r i e s , a n d t e m p l a t e s . I n s t r u c t i o n a l S c i e n c e , 1 9 8 1 , 2 2 , . T h e p s y c h o l o g y o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n F . K . L e s t e r a n d J . G a r o f a l o ( E d s . ) , M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n q : 2 § s u e s i n r e s e a r c h . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 2 . 5 8 1 M a y e r , R . E . I m p l i c a t i o n s o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y f o r i n s t r u c t i o n i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e e . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s , 1 9 8 5 . M a y e r , R . E . , L a r k i n , J . H . , a n d K a d a n e , J . A n a l y s i s o f t h e s k i l l o f s o l v i n g e q u a t i o n e . S a n t a B a r b a r a : D e p a r t m e n t o f P s y c h o l o g y , S e r i e s i n L e a r n i n g a n d C o g n i t i o n , R e p o r t N o . 8 0 - 2 , 1 9 8 0 . M c C l i n t o c k , C . E . H e u r i s t i c p r o c e s s e s a s t a s k v a r i a b l e s . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . A n a g e n d a f o r a c t i o n : R e c o m m e n d a t i o n s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s o f t h e 1 9 8 0 ' s . R e s t o n , V A : T h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s , I n c . , 1 9 8 0 . N e w e l l , A . , S h a w , J . C . , a n d S i m o n , H . A . E m p i r i c a l e x p l o r a t i o n s w i t h t h e l o g i c t h e o r y m a c h i n e : a c a s e s t u d y i n h e u r i s t i c s . I n E . A . F e i g e n b a u m a n d J . F e l d m a n ( E d s . ) , g e m p u t e r s a n d t h o u q h t . N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 3 . N i s b e t t , R . E . a n d W i l s o n , T . D . T e l l i n g m o r e t h a n w e c a n k n o w : v e r b a l r e p o r t s o n m e n t a l p r o c e s s e s . P s v c h o l o i c a l R e v i e w , 1 9 7 7 , 2 2 , 2 3 1 - 2 7 9 . O h i o D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n . P r o b l e m s o l v i n q : a b a s i c m a t h e m a t i c s g o a l ( B o o k 2 ) . C o l u m b u s , O H : O h i o D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 0 . P a i g e , J . M . a n d S i m o n , H . A . C o g n i t i v e p r o c e s s e s i n s o l v i n g a l g e b r a w o r d p r o b l e m s . I n B . K l e i n m u n t z ( E d . ) , P r o b l e m s o l v i n g : R e s e a r c h , m e t h o d a n d t h e o m y . N e w Y o r k : J o h n W i l e y a n d S o n s I n c . , 1 9 6 6 . P o l y a , G . H o w t o s o l v e i t ( 2 n d E d i t i o n ) . G a r d e n C i t y , N Y : D o u b l e d a y a n d C o m p a n y , I n c . , 1 9 5 7 . . M a t h e m a t i c a l d i s c o v e p y : O n u n d e r s t a n d i n g , l e a r n i n g a n d t e a c h i n g p r o b l e m s o l v i n g ( 2 v o l u m e s ) , N e w Y o r k : J o h n W i l e y a n d S o n s I n c . , 1 9 6 2 . 5 8 2 P o s t , T . R . a n d B r e n n a n , M . L . A n e x p e r i m e n t a l s t u d y o f t h e e f f e c t i v e n e s s o f a f o r m a l v e r s u s a n i n f o r m a l p r e s e n t a t i o n o f a g e n e r a l h e u r i s t i c p r o c e s s o n p r o b l e m s o l v i n g i n t e n t h - g r a d e g e o m e t r y . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 6 , 1 ( 1 ) , 5 9 - 6 4 . P u t t , L . J . A n e g p l o r a t o r v i n v e s t i q a t i o n o f t w o m e t h o d e o f i n s t r u c t i o n i n e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n q a t t h e f i f t h q r a d e l e v e 2 . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , I n d i a n a U n i v e r s i t y , 1 9 7 8 . R e s n i c k , L . B . a n d F o r d , W . W . T h e p s y c h o l o g y o f m a t h e m a t i c s f o r i n s t r u c t i o n . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 8 1 . R e y s , R . E . C a l c u l a t o r s i n t h e e l e m e n t a r y c l a s s r o o m : H o w c a n w e g o w r o n g ? A r i t h m e t i c T e a c h e r , 1 9 8 0 , 2 1 ( 3 ) , 3 8 - 4 0 0 R i l e y , M . S . , G r e e n o , J . G . a n d H e l l e r , J . I . D e v e l o p m e n t o f c h i l d r e n ’ s p r o b l e m - s o l v i n g a b i l i t y i n a r i t h m e t i c . I n H . P . G i n s b e r g ( E d . ) , T h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 3 . S c h o e n f e l d , A . C a n h e u r i s t i c s b e t a u q h t ? U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t ( S E S A M E P r o j e c t ) , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , 1 9 7 6 . . T e a c h i n g p r o b l e m s o l v i n g i n c o l l e g e m a t h e m a t i c s : t h e e l e m e n t s o f a t h e o r y a n d a r e p o r t o n t h e t e a c h i n g o g g e n e r a l p r o b l e m s o l v i n g s k i l l s . I n R . L e s h , D . M i e r k i e w i c z , a n d M . K a n t o w s k i ( E d s . ) , A p p l i e d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . C o l u m b u s , O H : E R I C / S M E A C , 1 9 7 9 . . S o m e t h o u g h t s o n p r o b l e m - s o l v i n g r e s e a r c h a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n F . K . L e s t e r a n d J . G a r o f a l o ( E d s . ) , M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : I s s u e s i n r e s e a r c h . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 2 . . E p i s o d e s a n d e x e c u t i v e d e c i s i o n s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n R . L e s h a n d M . L a n d a u ( E d s . ) , A c g p i s i t i o n o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r o c e s s e s . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 3 . . H e u r i s t i c b e h a v i o r v a r i a b l e s i n i n s t r u c t i o n . I n G - A . G o l d i n a n d C . E . M c C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m 2 s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . 5 8 3 S c h o e n f e l d , A . M e t a c o g n i t i v e a n d e p i s t e m o l o g i c a l i s s u e s i n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n q a n d l e a r n i n q m a t h e m a t i c a l p r o b l e m e o l v i n q : M u l t i p l e r e e e a r c h p e r s p e c t i v e e . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I N c . , 1 9 8 5 . S h i r k , G . B . A n e x a m i n a t i o n o f c o n c e p t u a l f r a m e w o r k s o f b e g i n n i n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , U r b a n a - C h a m p a i g n , 1 9 7 2 . S h r o y e r , J . C . C r i t i c a l m o m e n t s i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e a n n u a l m e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , T o r o n t o , M a r c h 1 9 7 8 . S i l v e r , E . A . S t u d e n t p e r c e p t i o n s o f r e l a t e d n e s s a m o n g m a t h e m a t i c a l v e r b a l p r o b l e m s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 9 2 2 , 1 9 5 - 2 1 0 . . K n o w l e d g e o r g a n i z a t i o n a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . I n F . K . L e s t e r a n d J . G a r o f a l o ( E d s . ) , M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n q : I s s u e s i n r e s e a r c h . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 2 . . R e s e a r c h o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : S o m e u n d e r r e p r e s e n t e d t h e m e s a n d n e e d e d d i r e c t i o n s . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n q a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p 2 e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m . A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s , 1 9 8 5 . S i l v e r , E . A . , B r a n c a , N . A . , a n d A d a m s , V . M . M e t a c o g n i t i o n : t h e m i s s i n g l i n k i n p r o b l e m s o l v i n g ? I n R . K a r p l u s ( E d . ) , P r o c e e d i n q e 2 o f t h e f o u r t h i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e f o r t h e p s y c h o l o q v o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . B e r k e l e y , C A , 1 9 8 0 . S i m o n , H . A . P r o b l e m s o l v i n g a n d e d u c a t i o n . I n D . T . T u m a a n d F . R e i f ( E d s . ) , P r o b l e m s o l v i n g a n d e d u c a t i o n : 2 e s u e e 2 i n t e a c h i n q a n d r e s e a r c h . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s I n c . , 1 9 8 0 . S k e m p , R . R . I n t e l l i g e n c e , l e a r n i n g a n d a c t i o n . N e w Y o r k : J o h n W i l e y a n d S o n s , 1 9 7 9 . S m i t h , J . P . T h e e f f e c t o f g e n e r a l v e r s u s s p e c i f i c h e u r i s t i c s i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m - s o l v i n g t a e M e . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C o l u m b i a U n i v e r s i t y , 1 9 7 3 . 5 8 4 S o w d e r , L . K . C o g n i t i v e p s y c h o l o g y a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m . s o l v i n g : a d i s c u s s i o n o f M a y e r ’ s p a p e r . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s , 1 9 8 5 . S u m a g a y s a y , L . A . T h e e f f e c t s o f v a r y i n g p r a c t i c e e x e r c i s e s a n d r e l a t i n g m e t h o d s o f s o l u t i o n i n m a t h e m a t i c s p r o b l e m s o l v i n g . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 3 2 , 6 7 5 1 A , 1 9 7 2 . S w e l l e r , J . a n d C o o p e r , G . A . T h e u s e o f w o r k e d e x a m p l e s a s a s u b s t i t u t e f o r p r o b l e m s o l v i n g i n l e a r n i n g a l g e b r a . C o g n i t i o n a n d I n s t r u c t i o n , 1 9 8 5 , 2 ( 1 ) , 5 9 - 8 9 . T h o m p s o n , A . G . T e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g : T h r e e c a s e s t u d i e s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f G e o r g i a , 1 9 8 2 . T e a c h e r s ' c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d t h e t e a c h i n g o f p r o b l e m s o l v i n g . I n E . A . S i l v e r ( E d . ) , T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : L a w r e n c e E r l b a u m A s s o c i a t e s , P u b l i s h e r s , 1 9 8 5 . v y g o t s k y , L . S . M i n d i n s o c i e t y : t h e d e v e l o p m e n t o f h i g h e r p s y c h o l o g i c a l p r o c e s s e s . C a m b r i d g e , M A : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 7 8 . V 0 8 , K . E . T h e e f f e c t s o f t h r e e i n s t r u c t i o n a l s t r a t e g i e s o n p r o b l e m - s o l v i n g b e h a v i o r i n s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . J o u r n a l f o r R e e e a r c h i n M a t h e m a t i c e E d u c a t i o n , 1 9 7 6 , 1 , 2 6 4 - 2 7 5 . W e b b , N . L . A n e m p l o r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m - s o l v i n g p r o c e s s e s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 7 5 . . P r o c e s s e s , c o n c e p t u a l k n o w l e d g e , a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m - s o l v i n g a b i l i t y . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 9 7 9 , 2 2 ( 2 ) , 8 3 - 9 3 . . C o n t e n t a n d c o n t e x t v a r i a b l e s i n p r o b l e m t a s k s . I n G . A . G o l d i n a n d C . E . M C C l i n t o c k ( E d s . ) , T a s k v a r i a b l e e i n m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . P h i l a d e l p h i a : T h e F r a n k l i n I n s t i t u t e P r e s s , 1 9 8 4 . 5 8 5 W e b b , N . L . a n d C h a r l e s , R . I . M o d u l e d e v e l o p m e n t a n d f o r m a t i v e e v a l u a t i o n ( T e c h . R e p . 3 ) M a t h e m a t i c a l P r o b l e m S o l v i n g P r o j e c t . B l o o m i n g t o n , I N : M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n D e v e l o p m e n t C e n t e r , 1 9 7 7 . W i c k e l g r e n , W . A . H o w t o s o l v e p r o b l e m s . S a n F r a n c i s c o : W . H . F r e e m a n a n d C o m p a n y , 1 9 7 4 . W i l s o n , J . W . G e n e r a l i t y o f h e u r i s t i c s a s a n i n s t r u c t i o n a l v a r i a b l e . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 6 7 . Z a l e w s k i , D . L . A s t u d y o f p r o b l e m - s o l v i n g p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . I n J . G . H a r v e y a n d T . A . R o m b e r g ( E d s . ) , P r o b l e m - s o l v i n g s t u d i e s i n m a t h e m a t i c s . M a d i s o n , W I : W i s c o n s i n R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t C e n t e r f o r I n d i v i d u a l i z e d S c h o o l i n g , 1 9 8 0 . Z i m m e r m a n , C . W . C o n t e x t u a l d e t a i l s a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m d i f f i c u l t y . D i s s e r t a t i o n A b s t r a c t s I n t e r n a t i o n a l , 1 9 7 9 , 2 2 , 1 4 3 - 4 4 A . . . 1 | \ I . I ‘ | . I . I I | | . I I I I I . I . I ' ‘ I l l “ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1