‘ e 1 1 3 : . . 9 . . . , . . 2 . . ! I c . . z . . I 1 . 5 ! 5 ’ : ‘ . . . . . s . . 3 3 ’ 2 . 1 . 1 5 . 3 . . 6 . - . . I 3 . ‘ 0 . l 3 2 . 3 . » . l - . { 5 . . 9 I . » 1 . . . . . a t . : 3 . . . . . . “ i . . 2 ! . . . g . J é i . r a i d ” . I ‘ | 3 . — 5 a . l 1 v . e . v . 3 V . . . a 9 n 5 _ v . 7 . i v . l : . . , é * h 1 c i ? J . i ‘ n 1 A w : i I ’ t v h v . “ , t I I 2 3 6 1 : u ' 1 I l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 1 H l l l l l l l l l l l l l l l l l l i l l l 3 1 2 9 3 0 1 4 2 0 1 6 7 T h i s i s t o c e r t i f y t h a t t h e d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d A n E x p l o r a t i o n o f t h e R o l e o f C o n t e x t i n H i g h S c h o o l S t u d e n t s ' C o n c e p t i o n s a n d R e p r e s e n t a t i o n s o f L i n e a r , Q u a d r a t i c , a n d E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s p r e s e n t e d b y G e o r g i a n n a T o n n e K l e i n h a s b e e n a c c e p t e d t o w a r d s f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r D o c t o r a l d e g r e e i n P h i l o s o p h y r / t h o r p r o f e s s o r D a t e 7 / / / / D I / q ‘ K M S U i s a n A f fi r m a t i v e A c t i o n / E q u a l O p p o r t u n i t y I n s t i t u t i o n 0 ‘ 1 2 7 7 1 M S U l e A n . “ “ “ ’ " . r “ . ' L I B R A R Y M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y P L A C E I t R E T U R N B O X t o r e m o v e t h b c h e c k o u t f r o m y o u r r e c o r d . T o A V O I D F I N E S r e t u r n o n o r b e t o r e d e t e d u e . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E ‘ t i " o ? m , A N E X P L O R A T I O N O F T H E R O L E O F C O N T E X T I N H I G H S C H O O L S T U D E N T S ’ C O N C E P T I O N S A N D R E P R E S E N T A T I O N S O F L I N E A R , Q U A D R A T I C , A N D E X P O N E N T I A L F U N C T I O N S B y G e o r g i a n n a T o n n e K l e i n A D I S S E R T A T I O N S u b m i t t e d t o M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y i n p a r t i a l f u l fi l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D O C T O R O F P H I L O S O P H Y D e p a r t m e n t o f T e a c h e r E d u c a t i o n 1 9 9 5 i n e x p ( I d a ” p r f o r 1 5 % 5 M : A B S T R A C T A N E X P L O R A T I O N O F T H E R O L E O F C O N T E X T I N H I G H S C H O O L S T U D E N T S ’ C O N C E P T I O N S A N D R E P R E S E N T A T I O N S O F L I N E A R , Q U A D R A T I C , A N D E X P O N E N T I A L F U N C T I O N S B y G e o r g i a n n a T o n n e K l e i n T h i s s t u d y e x a m i n e s w h a t s e n s e s t u d e n t s m a d e o f f u n c t i o n s d u r i n g a s u m m e r i n s t r u c t i o n a l p r o g r a m t h a t h a d f i m c t i o n a s a c e n t r a l c o n c e p t a n d t h a t p r o v i d e d r i c h e x p e r i e n c e s w i t h m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s . T h e r e s e a r c h f o c u s e s o n w h e t h e r a n d h o w s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s a r e t i e d t o s p e c i fi c m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ( l i n e a r , q u a d r a t i c , o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s ) o r r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s ( t a b l e s , g r a p h s , o r s y m b o l i c o r v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s ) . D a t a c o n s i s t o f i n t e r v i e w s o f 4 f o c a l s t u d e n t s i n a c l a s s t h a t w a s p a r t o f a R e g i o n a l M a t h a n d S c i e n c e C e n t e r f o r t h e U p w a r d B o u n d P r o g r a m , a l o n g w i t h p r e - a n d p o s t t e s t s , w r i t t e n h o m e w o r k , a n d fi e l d n o t e s a n d v i d e o t a p e s o f c l a s s r o o m o b s e r v a t i o n s . T h e d i s s e r t a t i o n p r e s e n t s c a s e s t u d i e s o f t w o o f t h e s e f o c a l s t u d e n t s . T h e s t u d y f o u n d a m i s m a t c h b e t w e e n t e a c h e r s ’ a n d s t u d e n t s ’ p e r s p e c t i v e s - - o n w h e t h e r t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t w a s a b o u t f u n c t i o n s , o n t h e p u r p o s e a n d f o c u s o f s t u d e n t - t e a c h e r i n t e r a c t i o n s , a n d o n w h a t c a n b e a s s u m e d o r i g n o r e d i n s o m e p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m i n i n g s t u d e n t s ’ t h i n k i n g , t h i s w o r k p r o p o s e s a f r a m e w o r k f o r f u n c t i o n s t h a t g o b e y o n d e x i s t i n g f r a m e w o r k s . I t i s a t w o - p a r t f r a m e w o r k t h a t s e p a r a t e s f u n c t i o n s f r o m f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s a n d r e fl e c t s a c t i v i t i e s s t u d e n t s f o u n d s a l i e n t . I n s o l v i n g a n d t a l k i n g a b o u t t h e p r o b l e m s p o s e d , s t u d e n t s l i e S u i 1 . m i m o h m C X i I a t t e n d e d p r i n c i p a l l y t o t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e m s e l v e s a n d o n l y i m p l i c i t l y t o f u n c t i o n s . T h e y w e r e s u c c e s s f u l i n m a n y t a s k s , b u t t h e i r t h i n k i n g w a s o f t e n f r a g m e n t e d . S t u d e n t s f o u n d d y n a m i c v e r s i o n s o f f u n c t i o n s s a l i e n t , p a r t i c u l a r l y i n t a b l e s a n d g r a p h s . T h e i r c h a r a c t e r i z a t i o n s o f f u n c t i o n c l a s s e s d e p e n d e d o n f u n c t i o n c l a s s , t a s k , a n d r e p r e s e n t a t i o n . T h e y u s e d s h a p e s o f g r a p h s o r p a t t e r n s o f c h a n g e a s o r g a n i z e r s f o r b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , b u t h a d n o o r g a n i z e r s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S t u d e n t s w e r e f a c i l e a t fi t t i n g g e n e r a l g r a p h s t o s i t u a t i o n s i f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e c o u l d b e t h o u g h t o f t e m p o r a l l y . S i t u a t e d p r o b l e m s s u p p o r t e d s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g , b u t h i n d e r e d i t w h e n p r o b l e m s c l a s h e d w i t h t h e s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s . A m a j o r i m p l i c a t i o n i s t h a t t e a c h e r s n e e d t o e x a m i n e w h a t a s s u m p t i o n s t h e y b r i n g t o t e a c h i n g a n d h o w i t s h a p e s h o w t h e y t h i n k a b o u t s t u d e n t a c t i v i t y , s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , a n d t e a c h i n g f u n c t i o n c o n c e p t s . C u r r i c u l a s h o u l d b e e x a m i n e d f o r t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y i n c l u d e a c t i v i t i e s w i t h f u n c t i o n t h a t s t u d e n t s fi n d s a l i e n t . 7 . x ; t 3 \ ‘ y . < $ t . - . i “ ' . ' - : > ” ( T i n N . \ C h i l i , i t ) ! 5 ‘ ' | U , 2 ' . _ : ' , . . _ . \ ; - 1 : , - — - , , - _ . " 1 r . ‘ C . 7 . - . _ : - M h d fi fl ” ' K X ' k I S i ‘ : I n ; 1 . . ~ 3 ‘ I . “ I . ' " L U . f “ j “ I . ‘ “ ' 2 ‘ " . a t . " A . . ‘ ‘ i ” l . , ‘ ” b e c a m e u m : U ‘ . ) 5 c u t - 3 ' ; ' 2 ' z c m r , , v w , m , 1 b m . T O M U 3 . . 6 h e ' - w a n , , . . I f } I ' m - " a k a _ ' " 7 3 ' . . , . 9 “ y o u f o r y o u r w a r . 0 . - . . n t ~ r r : t x - m m v w h e n l h a " . 1 . l , H - - - v . . . . 1 . " a n d t r o u n c e m M 1 . 0 m y m a m a . 1 H ‘ — . . ' . . ; ; g ‘ m i « . - « " 6 2 5 ! D ? ! ” a n d m m 0 ‘ w e . 4 : 4 a a t , . m ' x . m m : f e m u r , t o . “ n o t o ! I n : o n e : h i s r i m s m r a . m e : a s . a n d w t h e , W l ’ v o g n m t o t l c m n g m e m m r u v u ' m m x r o f m y ! C O B l i n u O A C K N O W L E D G E M E N T S T h i s w o r k w a s p o s s i b l e b e c a u s e o f m a n y p e o p l e . I w i s h t o t h a n k t h e m e m b e r s o f m y g u i d a n c e c o m m i t t e e : R a l p h P u t n a m , m y d i s s e r t a t i o n d i r e c t o r , f o r t h e c o u n t l e s s h o u r s o f l i s t e n i n g , c h a l l e n g i n g m y i d e a s , a n d i n s i s t i n g I l e a r n t o w r i t e ; P e r r y L a n i e r , m y c o m m i t t e e c h a i r , f o r g o o d a d v i c e , f o r g i v i n g m e h e a r t o n n u m e r o u s o c c a s i o n s , a n d f o r t e a c h i n g m e t o v a l u e m y o w n s t y l e ; G l e n d a L a p p a n , f o r h e l p i n g m e r e s p e c t m y i d e a s a n d f o r g e n e r o u s l y s h a r i n g h e r t i m e t o h e l p m e f o c u s ; f o r D a n C h a z a n a n d L y n n P a i n e f o r a s k i n g h a r d q u e s t i o n s a n d m a k i n g g o o d s u g g e s t i o n s ; a n d t h e c o m m i t t e e a s a w h o l e , f o r t h e i r f r i e n d s h i p , t i m e , a n d s u p p o r t t o h e l p m e g r o w . F o r t h e e n t i r e t i m e t h a t I e n g a g e d i n t h i s w o r k , m y f a m i l y m a d e m a n y s a c r i fi c e s . T o B r u c e , T o b i , D a v i d , B e t h , M i k e , L i s a , P h o e b e , J o s h , a n d m y e x t e n d e d f a m i l y : T h a n k y o u f o r y o u r l o v e a n d s u p p o r t , f o r b r i n g i n g m e s o m u c h h a p p i n e s s , a n d f o r u n d e r s t a n d i n g w h e n I h a d t o m i s s a c t i v i t i e s o r w a s n o t t h e r e f o r y o u b e c a u s e o f m y w o r k . T h a n k s t o m y m o t h e r a n d m y l a t e f a t h e r f o r t e a c h i n g m e t o d r e a m . T h a n k s t o t h e d i r e c t o r a n d s t a f f o f t h e R e g i o n a l M a t h a n d S c i e n c e C e n t e r , t o t h e m a r v e l o u s t e a c h e r , w h o l e t m e e n t e r h i s c l a s s r o o m d a y a f t e r d a y , a n d t o t h e s t u d e n t s o f t h e U p w a r d B o u n d P r o g r a m f o r l e t t i n g m e s h a r e t h e i r l i v e s o n e s u m m e r . F i n a l l y , t h a n k s t o m y c o l l e a g u e s a n d G r a n d V a l l e y S t a t e U n i v e r s i t y f o r c o n t i n u o u s s u p p o r t . v i T A B L E O F C O N T E N T S L I S T o f F I G U R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i C H A P T E R 1 - T H E S T U D Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 R e v i e w o f R e l e v a n t L i t e r a t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 T h e V i e w f r o m C o g n i t i v e S c i e n c e a n d M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . . . . . 4 R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 E x p e r i e n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 T h e C a s e o f F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 T h e S t u d y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 P u r p o s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 T h e Q u e s t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 C H A P T E R 2 - M E T H O D S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 M e t h o d o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 D a t a C o l l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 T h e S e t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 S u b j e c t S e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 T h e D a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 P r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 E v o l u t i o n o f R e s e a r c h Q u e s t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 R e v i s i t i n g S u b j e c t s : N a r r o w i n g t h e F o c u s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 S u b j e c t i v i t y o f t h e R e s e a r c h e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 v i i C H A P l C H A P T C H A P T E R 3 - T H E C A S E O F T O N I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 G e t t i n g t o K n o w T o n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 B a c k g r o u n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 A p p r o a c h e s t o P r o b l e m S o l v i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s - F a c i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 D i f fi c u l t i e s W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 S i t u a t e d P r o b l e m s C o n f o u n d P r o b l e m S o l v i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 C o n n e c t i o n s B e t w e e n C o n c e p t i o n s o f F u n c t i o n C l a s s e s a n d R e p r e s e n t a t i o n s . 1 1 5 F u n c t i o n C l a s s e s a n d S h a p e s o f G r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 P a t t e r n s o r R a t e s o f C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8 S y m b o l i c C o n n e c t i o n s t o F u n c t i o n C l a s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 C H A P T E R 4 - T H E C A S E O F S A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8 G e t t i n g t o K n o w S a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8 M o d e s o f O p e r a t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 P r o b l e m S o l v i n g a n d T e c h n o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 I n t e r a c t i o n a s P r o b l e m S o l v i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0 I n t e r a c t i o n D i f fi c u l t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7 W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 A C o r r e s p o n d e n c e A p p r o a c h t o F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1 A C o v a r i a t i o n A p p r o a c h t o F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1 D i f fi c u l t i e s i n S i t u a t e d P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2 S a m ’ s U n d e r s t a n d i n g o f F u n c t i o n C l a s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 L i n e a r F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 Q u a d r a t i c F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2 v i 1 i C H . - E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6 C H A P T E R 5 - C R O S S C A S E R E F L E C T I O N S : F I N D I N G S . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9 F u n c t i o n s a s M a t h e m a t i c a l C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0 T e a c h e r P e r c e p t i o n o f C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1 S t u d e n t P e r c e p t i o n o f C o n t e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4 P r o p o s i n g a n A l t e r n a t i v e F u n c t i o n P e r s p e c t i v e F r a m e w o r k . . . . . . . . . . . 2 1 8 S t u d e n t P e r s p e c t i v e s o n F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9 S t u d e n t A w a r e n e s s o f F u n c t i o n a n d o f F u n c t i o n W h o l e n e s s . . . . . . . 2 2 1 N a t u r e o f P e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 D o m a i n a n d R a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5 S t u d e n t s ’ C o n c e p t i o n s o f F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5 C o r r e s p o n d e n c e P e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5 C o v a r i a t i o n P e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 8 C o h e r e n c e a n d C o n n e c t i o n s i n F u n c t i o n s a n d F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s i n P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 S p e c i a l N a t u r e o f S i t u a t e d P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2 S i t u a t i o n s , I n f o r m a l M o d e l s , a n d R e a s o n i n g . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3 S i t u a t i o n s a n d t h e M o d e l C o n c e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5 S i t u a t i o n s a n d A s s u m p t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7 O t h e r F a c t o r s A f f e c t i n g S t u d e n t U n d e r s t a n d i n g o f F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s . . 2 7 0 S t u d e n t R e s o u r c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 0 I n t e r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 6 M i s m a t c h e s : T e a c h e r a n d S t u d e n t P e r s p e c t i v e s R e v i s i t e d . . . . . . . . 2 7 7 F u n c t i o n s a n d R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8 S i t u a t e d P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 0 i x C H A P T E R 6 - I M P L I C A T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1 S i t u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1 S t u d e n t C o n c e p t i o n s o f F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0 M i s m a t c h B e t w e e n T e a c h e r a n d S t u d e n t P e r s p e c t i v e s . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 3 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 6 A P P E N D I X A I n t e r v i e w Q u e s t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8 A P P E N D I X B P r e / P o s t t e s t Q u e s t i o n s w i t h C o v e r S h e e t f r o m P r e t e s t . . . . . . . . . 3 1 2 A P P E N D I X C S a m p l e C u r r i c u l u m M a t e r i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 A P P E N D I X D S y l l a b u s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 L I S T o f R E F E R E N C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 F i F i F i I I ; H . H ; I i F i g F i g F i g F i g F i g F i g F i g u r e 3 . 1 . F i g u r e 3 . 2 . F i g u r e 3 . 3 . F i g u r e 3 . 4 . F i g u r e 3 . 5 . F i g u r e 3 . 6 . F i g u r e 3 . 7 . F i g u r e 3 . 8 . F i g u r e 3 . 9 . F i g u r e 3 . 1 0 . F i g u r e 3 . 1 1 . F i g u r e 3 . 1 2 . F i g u r e 3 . 1 3 . F i g u r e 3 . 1 4 . F i g u r e 3 . 1 5 . F i g u r e 3 . 1 6 . F i g u r e 3 . 1 7 F i g u r e 3 . 1 8 F i g u r e 3 . 1 9 L I S T O F F I G U R E S T o n i ’ s H o m e w o r k f o r S i t u a t i o n 1 . 1 ( C I A , p . 5 - 2 ) . . . . . . . . . . . . 5 8 P r o b l e m 4 B - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 P r o b l e m l - l , G o i n g t o S c h o o l ( L F G , p . 2 8 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 G r a p h C h o i c e s f o r P r o b l e m s Z B ( L F G , p . 1 0 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 P r o b l e m 5 - 1 , T i m a n d D o n n a P r o b l e m ( E v e n , 1 9 8 9 ) . . . . . . . . . . . 7 0 P r e / P o s t t e s t P r o b l e m 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 T o n i ’ s G r a p h f o r P r o b l e m 1 — 2 ; G o i n g t o S c h o o l , P a r t 2 ( L F G , p . 2 9 ) . . 7 6 T a b l e f r o m S o r t C a r d R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 P r e / P o s t t e s t P r o b l e m 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 S o r t C a r d M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 S o r t C a r d s J a n d T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 T a b l e a n d T o n i ’ s G r a p h f o r P r o b l e m 5 c . ( C I A , p . 1 — 2 2 ) . . . . . . . . . 8 4 T a b l e a n d T o n i ’ s L a b e l s f o r A l i c e ’ s G r a p h i n P r o b l e m 2 A - 1 . . . . . . 8 7 T o n i ’ s G r a p h s f o r E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s , O r i g i n a l p l u s R e v i s i o n . . . . 9 0 P r o b l e m 4 A - 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8 P r o b l e m 2 A - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 P r o b l e m 3 , P r o fi t P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3 S o r t C a r d W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 S o r t C a r d s T a n d J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 x i F i g u r e 3 . 2 0 . F i g u r e 3 . 2 1 . F i g u r e 4 . 1 . F i g u r e 4 . 2 . F i g u r e 4 . 3 . F i g u r e 4 . 4 . F i g u r e 4 . 5 . F i g u r e 4 . 6 . F i g u r e 4 . 7 . F i g u r e 4 . 8 . F i g u r e 4 . 9 . F i g u r e 4 . 1 0 . F i g u r e 4 . 1 1 . F i g u r e 4 . 1 2 F i g u r e 4 . 1 3 . F i g u r e 4 . 1 4 . F i g u r e 4 . 1 5 . F i g u r e 4 . 1 6 . F i g u r e 4 . 1 7 . F i g u r e 4 . 1 8 . F i g u r e 4 . 1 9 . F i g u r e 5 . 1 . F i g u r e 5 . 2 . T o n i ’ s S k e t c h o f G r a p h s w i t h U n e q u a l C h a n g e . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 P r o b l e m 4 B - 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 S i t u a t i o n 1 - 3 , S w i m m i n g P o o l B a c t e r i a ( C I A , p . 5 - 6 ) . . . . . . . . . . . 1 3 2 S a m ’ s P r o fi t G r a p h D i s p l a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 A S a m p l e T R A C E D i s p l a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 S a m ’ s L a d d e r G r a p h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9 S a m ’ s W o r k o n P r o b l e m 2 A - 1 , A l i c e , B e a , a n d C a r o l i n a . . . . . . . . 1 4 2 P r o b l e m 2 A - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3 H o t A i r B a l l o o n P r o b l e m ( C I A , p . 1 - 2 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 T a b l e a n d S a m ’ s G r a p h f o r P r o b l e m 5 c . ( C I A , p . 1 - 2 2 ) . . . . . . . . . 1 5 5 G r a p h C h o i c e s f o r P r o b l e m 2 B ( L F G , p . 1 0 2 ) . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3 P r o b l e m 5 - 1 , T i m a n d D o n n a P r o b l e m ( E v e n , 1 9 8 9 ) . . . . . . . . . . . 1 6 5 G r a p h s f a n d k f r o m P r o b l e m 2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 P r o b l e m 3 , P r o f i t P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2 S a m ’ s G r a p h s o f E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 S a m ’ s P r e t e s t P r o b l e m 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1 P r e / P o s t T e s t P r o b l e m 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3 S a m ’ s P r e t e s t P r o b l e m 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4 S o r t C a r d s K a n d E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7 P r o b l e m 4 B - l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1 S o r t C a r d s M a n d D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3 P e r s p e c t i v e s S t u d e n t s T a k e w i t h E m o t i o n a l R e l a t i o n s h i p s i n P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 W h o l e n e s s a n d E x p l i c i t A w a r e n e s s o f F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 x i i ( A A A ! n e e d i s m d e n l c a m i r m a n i a a n d a d W i t h a ] a d t o c a a n i n k l i e s e 5 2 a m m a t h e r C o n s i s t : a f a d i c ; C a i P C m C H A P T E R 1 T H E S T U D Y R e c e n t l y , m a n y g r o u p s h a v e c a l l e d f o r m a j o r r e f o r m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ( A A A S , 1 9 8 9 ; N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l , 1 9 8 9 ; 1 9 8 9 ; N C T M , 1 9 9 1 ) . A l l p o i n t t o a n e e d f o r a n i n c r e a s i n g l y m a t h e m a t i c a l l y l i t e r a t e s o c i e t y a n d t h e n e e d t o e d u c a t e a l l s t u d e n t s . T o g e t h e r , t h e s e g r o u p s p r o p o s e n e w w a y s o f t h i n k i n g a b o u t t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 8 9 ) f o c u s o n m a t h e m a t i c s a s p r o b l e m s o l v i n g , c o m m u n i c a t i o n , r e a s o n i n g , a n d m a k i n g c o n n e c t i o n s , a n d a d v o c a t e t h e i n c r e a s e d u s e o f g r a p h i n g u t i l i t i e s , b y w h i c h t h e y m e a n a c o m p u t e r w i t h a p p r o p r i a t e g r a p h i n g s o f t w a r e o r a g r a p h i n g c a l c u l a t o r . F o r g r a d e s 9 — 1 2 t h e y a d v o c a t e u p d a t i n g t h e e x i s t i n g c u r r i c u l u m c o n t e n t t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h a t n e e d e d i n a n i n f o r m a t i o n s o c i e t y , w h i l e r e t a i n i n g a c e n t r a l r o l e f o r t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n s . T h e s e n e w g o a l s a n d t o o l s f o r t e a c h i n g a n d l e a r n i n g r e q u i r e f u n d a m e n t a l l y n e w w a y s o f t h i n k i n g a b o u t i n s t r u c t i o n a n d h o w s t u d e n t s l e a r n m a t h e m a t i c s . I n p a r t i c u l a r , t h e S t a n d a r d s d e p i c t l e a r n e r s a s a c t i v e l y e n g a g e d i n c o n s t r u c t i n g r i c h c o n n e c t i o n s i n t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h i s c o n s t r u c t i v i s t v i e w i s c o n s i s t e n t w i t h c u r r e n t t r e n d s i n l e a r n i n g a n d c o g n i t i o n , w h i c h R e s n i c k ( 1 9 8 9 ) s u m m a r i z e s : C u r r e n t c o g n i t i v e t h e o r y e m p h a s i z e s t h r e e i n t e r r e l a t e d a s p e c t s o f l e a r n i n g t h a t , t o g e t h e r , c a l l f o r f o r m s o f i n s t r u c t i o n t h e o r y v e r y d i f f e r e n t f r o m t h o s e t h a t g r e w o u t o f e a r l i e r a s s o c i a t i o n i s t a n d b e h a v i o r i s t p s y c h o l o g i e s . F i r s t , l e a r n i n g i s a p r o c e s s o f k n o w l e d g e c o n s t r u c t i o n , n o t o f k n o w l e d g e r e c o r d i n g o r a b s o r p t i o n . S e c o n d , l e a r n i n g i s k n o w l e d g e - d e p e n d e n t ; p e o p l e u s e c u r r e n t k n o w l e d g e t o c o n s t r u c t n e w k n o w l e d g e . T h i r d , l e a r n i n g i s h i g h l y t u n e d t o t h e s i t u a t i o n i n w h i c h i t t a k e s p l a c e . ( p . 1 , e m p h a s i s i n o r i g i n a l ) . W h i l e w e h a v e n e w g u i d e l i n e s f o r c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h l e a d i n g t h e o r i e s o f l e a r n i n g a n d c o g n i t i o n , t h e s e s g u i d e l i n e s r e p r e s e n t a r a d i c a l d e p a r t u r e f r o m c u r r e n t i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e ( G r o u w s , 1 9 9 2 ; R o m b e r g & C a r p e n t e r , 1 9 8 6 ; W e l c h , 1 9 7 8 ) . C u r r i c u l u m m a t e r i a l s a r e o n l y b e g i n n i n g t o a p p e a r , A S l i t ? c l a s v b c C u r s c h . i n t S I L K c o n “ h i f e n l l l l ‘ g fi l m S t u d T h e 2 a n d s i n c e g r a p h i c s c a l c u l a t o r s h a v e b e c o m e a v a i l a b l e r e l a t i v e l y r e c e n t l y , m u c h i n s t r u c t i o n t h a t u s e s t h e m i s i n a n e x p l o r a t o r y s t a t e . T h i s d i s j u n c t u r e b e t w e e n p r o p o s e d a n d e x i s t i n g p r a c t i c e p o s e s a n a d d i t i o n a l d i l e m m a f o r r e s e a r c h . I n o r d e r t o c o n s i d e r r e a l i s t i c i n s t r u c t i o n a l c o n t e x t s , r e s e a r c h e r s h a v e i n c r e a s i n g l y s i t u a t e d e d u c a t i o n a l r e s e a r c h w i t h i n c l a s s r o o m s r a t h e r t h a n t h e l a b o r a t o r y ( R e s n i c k , 1 9 8 9 ; S i l v e r , 1 9 8 5 ; W i t t r o c k , 1 9 8 6 ) . Y e t , w e h a v e h a d f e w s i t e s i n w h i c h t o d o c u m e n t w i t h r e s e a r c h t h e n a t u r e o f l e a r n i n g a n d t e a c h i n g i n c l a s s r o o m s t h a t a t t e m p t t o f o l l o w t h e S t a n d a r d s ( H i e b e r t , 1 9 9 1 ) . T h i s s t u d y e x p l o r e d m a t h e m a t i c s l e a r n i n g b y t e n t h a n d e l e v e n t h g r a d e s t u d e n t s w h o h a d p a r t i c i p a t e d i n a c l a s s r o o m w h e r e i n s t r u c t i o n a t t e m p t e d t o a d h e r e t o t h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s . S t u d e n t s w e r e p a r t i c i p a n t s i n a 6 - w e e k s u m m e r p r o g r a m a t a n U p w a r d B o u n d R e g i o n a l C e n t e r f o r M a t h e m a t i c s a n d S c i e n c e . T h i s p r o g r a m f o c u s e d o n i n c r e a s i n g t h e m a t h a n d s c i e n c e s k i l l s o f p r o m i s i n g h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o w e r e e i t h e r ' " , i i " : ‘ o ‘ o r w h o w o u l d b e t h e fi r s t i n t h e i r f a m i l y t o a t t e n d c o l l e g e . I n a d d i t i o n , t h e p r o g r a m w a s i n t e n d e d t o e n c o u r a g e s t u d e n t s t o s e l e c t c a r e e r s i n t h e s e d i s c i p l i n e s . U s i n g t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e x t o f f u n c t i o n s , t h i s s t u d y a i m e d t o e x p l o r e t h e c o n c e p t i o n s s t u d e n t s d e v e l o p w h e n t h e y w e r e p l a c e d i n a n i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g i n w h i c h a n a t t e m p t w a s m a d e t o u s e t a l k a n d v i s i b l e r e p r e s e n t a t i o n s , s u c h a s g r a p h s , f o r m u l a s , a n d t a b l e s , t o c o m m u n i c a t e t h e i r m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g s . T h e s t u d y i n v e s t i g a t e d w h a t r e p r e s e n t a t i o n s s t u d e n t s m a d e o r u s e d i n s o l v i n g p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s a n d h o w t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s s t r e n g t h e n e d o r l i m i t e d s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h e p r i n c i p a l q u e s t i o n i n f o r m i n g t h e s t u d y i s : W H A T S E N S E D 0 S T U D E N T S I N T H I S I N S T R U C T I O N A L S E T T I N G M A K E 0 F F U N C T I O N S A N D T 0 W H A T E X T E N T A R E T H E I R C O N C E P T I O N S T I E D T 0 S P E C I F I C M A T H E M A T I C A L 0 R R E P R E S E N T A T I O N A L C O N T E X T S ? M a : t i p 1 1 8 i t s f o r l i t : 3 M a t h e m a t i c a l c o n t e x t r e f e r s t o t h e c o n t e n t t o p i c , w h i c h i s l i n e a r , q u a d r a t i c , o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . R e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t r e f e r s t o t h e m a t h e m a t i c a l f o r m s t h a t ' a r e u s e d p r i m a r i l y t o p r e s e n t t h e s e f u n c t i o n s i n t h e i r e l e m e n t a r y f o r m s : v e r b a l d e s c r i p t i o n s , t a b l e s , C a r t e s i a n g r a p h s , o r l i t e r a l s y m b o l i c f o r m s . M e d i a u s e d f o r t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s w i l l b e p r i n c i p a l l y t a l k , p a p e r a n d p e n c i l ( o r c h a l k b o a r d ) , a n d g r a p h i c s c a l c u l a t o r s . I n o r d e r t o a n s w e r t h e p r i n c i p a l q u e s t i o n , s e v e r a l o t h e r s u b q u e s t i o n s w e r e f o r m e d t o g u i d e m y i n i t i a l t h i n k i n g . T h e y a r e b e s t u n d e r s t o o d a f t e r a r e v i e w o f t h e l i t e r a t u r e . R e v i e w o f R e l e v a n t L i t e r a t u r e T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s T h e C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s f o r g r a d e s 9 - 1 2 ( N C T M , 1 9 8 9 ) c a l l f o r s t u d e n t s t o b e e n g a g e d i n a c t i v e l y c o n s t r u c t i n g r i c h c o n n e c t i o n s i n t h e i r m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . T h e s u m m a r y o f c h a n g e s i n i n s t r u c t i o n a l p r a c t i c e a t t h e 9 - 1 2 l e v e l c a l l s f o r i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o g e t t i n g s t u d e n t s a c t i v e l y i n v o l v i n g i n s o l v i n g p r o b l e m s , c o m m u n i c a t i n g a n d j u s t i f y i n g i d e a s , m a k i n g c o n n e c t i o n s , a n d i n c o r p o r a t i n g a v a r i e t y o f i n s t r u c t i o n a l f o r m a t s ( p . 1 2 7 ) . U n d e r c o n t e n t t o p i c s , t h e S t a n d a r d s c a l l f o r f u n c t i o n s t o b e i n t e g r a t e d a c r o s s t o p i c s a t a l l g r a d e l e v e l s . U n d e r t h e s u m m a r y o f c h a n g e s i n c o n t e n t ( p . 1 2 6 ) t h e S t a n d a r d s r e c o m m e n d i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o , a m o n g o t h e r t o p i c s , t h e u s e o f r e a l - w o r l d p r o b l e m s t o m o t i v a t e a n d a p p l y t h e o r y , t h e u s e o f c o m p u t e r g r a p h i n g u t i l i t i e s t o d e v e l o p c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g , d e d u c t i v e a r g u m e n t s e x p r e s s e d o r a l l y a n d i n s e n t e n c e o r p a r a g r a p h f o r m s , i n t e g r a t i o n o f g e o m e t r y a c r o s s t o p i c s , a n d c o m p u t e r - b a s e d m e t h o d s f o r s o l v i n g e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s . R e g a r d i n g f u n c t i o n s , t h e S t a n d a r d s c a l l f o r i n c r e a s e d e m p h a s i s o n c o n n e c t i o n s a m o n g a p r o b l e m s i t u a t i o n , i t s m o d e l a s a f u n c t i o n i n s y m b o l i c f o r m , a n d t h e g r a p h s C O l a l l : 0 1 : C C R . 4 o f t h a t f u n c t i o n . S t a n d a r d 8 s e t s g o a l s f o r s t u d e n t s t o b e a b l e t o : m o d e l r e a l - w o r l d p h e n o m e n a w i t h a v a r i e t y o f f u n c t i o n s ; r e p r e s e n t a n d a n a l y z e r e l a t i o n s h i p s u s i n g t a b l e s , v e r b a l r u l e s , e q u a t i o n s , a n d g r a p h s ; t r a n s l a t e a m o n g t a b u l a r , s y m b o l i c , a n d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s ; r e c o g n i z e t h a t a v a r i e t y o f p r o b l e m s i t u a t i o n s c a n b e m o d e l e d b y t h e s a m e t y p e o f fi m c t i o n s , a n a l y z e t h e e f f e c t s o f p a r a m e t e r c h a n g e s o n t h e g r a p h s o f f u n c t i o n s ; a n d s o t h a t , i n a d d i t i o n , c o l l e g e - i n t e n d i n g s t u d e n t s c a n u n d e r s t a n d o p e r a t i o n s o n , a n d t h e g e n e r a l p r o p e r t i e s a n d b e h a v i o r o f , c l a s s e s o f f r m c t i o n s . ( p . 1 5 4 ) W h e r e v e r e x a m p l e s a r e g i v e n t o e x e m p l i f y c o n t e n t s t a n d a r d s , v a r i o u s l e v e l s o f a c t i v i t i e s a r e s u g g e s t e d . I n e a c h c a s e , t h e l e v e l s a p p e a r t o m o v e f r o m a c t i v i t i e s g r o u n d e d i n c o n c r e t e o r a p p l i c a t i o n s c o n t e x t s t o o t h e r s i n m o r e a b s t r a c t o r m a t h e m a t i c a l l y c o m p l e x c o n t e x t s . ( A b s t r a c t i s u s e d h e r e i n t h e s e n s e o f t h e d e g r e e t o w h i c h t h e m a t h e m a t i c s i s t i e d t o t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t . ) T h e V i e w f r o m C o g n i t i v e S c i e n c e a n d M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n N a t u r e o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g . C o g n i t i v e s c i e n t i s t s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e s e a r c h e r s c u r r e n t l y b e l i e v e t h a t s t u d e n t s a c t i v e l y c o n s t r u c t k n o w l e d g e ( D a v i s , 1 9 8 4 ; H i e b e r t & L e f e v r e , 1 9 8 6 ; R e s n i c k , 1 9 8 9 ; R e s n i c k & F o r d , 1 9 8 1 ; v o n G l a s e r f e l d , 1 9 8 7 ) . W h i l e t h e r e i s n o s i n g l e , e n c o m p a s s i n g d e s c r i p t i o n o f k n o w l e d g e a n d l e a r n i n g a m o n g c o g n i t i v e s c i e n t i s t s , t h e r e i s a s e t o f s h a r e d a s s u m p t i o n s ( P u t n a m , L a m p e r t , & P e t e r s o n , 1 9 9 0 ) . M e a n i n g r e s i d e s w i t h i n t h e i n d i v i d u a l a n d i s c o n s t r u c t e d b y t h e i n d i v i d u a l t h r o u g h i n t e r a c t i o n w i t h t h e e n v i r o n m e n t , b o t h p h y s i c a l a n d s o c i a l . K n o w l e d g e a n d c o m p e t e n c e a r e t h e p r o d u c t s o f s t u d e n t s ’ c o n c e p t u a l o r g a n i z a t i o n o f t h e i r i n d i v i d u a l e x p e r i e n c e s , n o t a t r a n s f e r a b l e c o m m o d i t y t h a t c a n b e c o n v e y e d b y c o m m u n i c a t i o n . E x p e r i e n c e d o e s n o t t a k e p l a c e i n a v a c u u m , s o c o g n i t i v e t h e o r i s t s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s a r e g i v i n g i n c r e a s e d a t t e n t i o n t o t h e s o c i a l a n d s i t u a t i o n a l c o n t e x t s o f l e a r n i n g ( B r o w n , C o l l i n s , & D u g u i d , 1 9 8 9 ; G r e e n o , 1 9 8 9 ; J a n v i e r , 1 9 9 0 ; R o g o f f & L a v e , 1 9 8 4 ) . G r e e n o ( 1 9 8 9 ) s u g g e s t s t h a t i t i s u s e f u l t o c o n s i d e r t h i n k i n g , k n o w i n g , a n d l e a r n i n g a s a r e l a t i o n i n v o l v i n g a n a g e n t i n a s i t u a t i o n , r a t h e r t h a n a s a n a c t i v i t y i n a n i n d i v i d u a l ’ s m i n d . T h i n k i n g a n d l e a r n i n g a r e s i t u a t e d i n c o n t e x t s o f ( h : 3 P ( 1 ‘ . P U B a C 0 5 b e l i e f s a n d u n d e r s t a n d i n g a b o u t c o g n i t i o n t h a t d i f f e r b e t w e e n p e o p l e a n d s o c i a l g r o u p s . B r o w n e t a l . ( 1 9 8 9 ) m a i n t a i n t h a t a l l k n o w l e d g e i s i n e x t r i c a b l y a p r o d u c t o f a c t i v i t y a n d s i t u a t i o n s . T h e y c l a i m : A c o n c e p t , f o r e x a m p l e , w i l l c o n t i n u a l l y e v o l v e w i t h e a c h n e w o c c a s i o n o f u s e , b e c a u s e n e w s i t u a t i o n s , n e g o t i a t i o n s , a n d a c t i v i t i e s i n e v i t a b l y r e c a s t i t i n a n e w , m o r e d e n s e l y t e x t u r e d f o r m . S o a c o n c e p t , l i k e t h e m e a n i n g o f a w o r d , i s a l w a y s u n d e r c o n s t r u c t i o n . ( p 3 3 . ) S i n c e t h i n k i n g a n d l e a r n i n g a r e a c t i v i t i e s i n w h i c h s t u d e n t s r e o r g a n i z e t h e i r p r e v i o u s k n o w l e d g e , w h a t t h e y a l r e a d y k n o w i s i m p o r t a n t . F u r t h e r , r e s e a r c h e r s h a v e b e g u n t o r e c o g n i z e t h a t c h i l d r e n b r i n g r i c h i n t u i t i v e o r i n f o r m a l k n o w l e d g e t o t h e e d u c a t i o n a l s e t t i n g , a n d t h i s k n o w l e d g e p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n c o g n i t i v e g r o w t h ( F i s c h b e i n , 1 9 8 2 ; G l a s e r , 1 9 8 4 ; G r e e n o , 1 9 8 9 ; S c h o e n f e l d , 1 9 8 5 ) . E d u c a t o r s a r e c o n c e r n e d w i t h m a k i n g c o n n e c t i o n s t o t h e i n f o r m a l k n o w l e d g e t h a t s t u d e n t s b r i n g t o t h e e d u c a t i o n a l s e t t i n g . S t u d i e s w i t h y o u n g s t u d e n t s h a v e s h o w n t h a t g i v e n a n a p p r o p r i a t e e n v i r o n m e n t , e v e n v e r y y o u n g s t u d e n t s c a n a c c e s s i n f o r m a l k n o w l e d g e b e f o r e t h e y h a v e s k i l l s t o r e p r e s e n t i t f o r m a l l y ( C a r p e n t e r , F e n n e m a , P e t e r s o n , C . C h i a n g , & L o e f , 1 9 8 8 ) . P u b l i c - p r i v a t e d i s t i n c t i o n s . A l t h o u g h m e a n i n g a r i s e s t h r o u g h e x p e r i e n c e a n d m a y b e t i g h t l y l i n k e d t o s i t u a t i o n s a n d a c t i v i t i e s , i t i s n e v e r t h e l e s s p e r s o n a l . J a n v i e r ( 1 9 8 7 b ) d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n a n i n d i v i d u a l ’ s p r i v a t e , p e r s o n a l c o n c e p t i o n s a n d t h e p u b l i c , s h a r e d n o t i o n s , f o r m a l c o n c e p t s , w h i c h m a k e c o m m u n i c a t i o n p o s s i b l e . B a u e r s f e l d ( 1 9 9 1 ) c a l l s t h e s e s h a r e d n o t i o n s , t a k e n - a s — s h a r e d . T a l l a n d V i n n e r ( 1 9 8 1 ) m a k e a s i m i l a r d i s t i n c t i o n b e t w e e n p r i v a t e c o n c e p t i o n s a n d p u b l i c , f o r m a l c o n c e p t s t h r o u g h " c o n c e p t i m a g e " a n d " c o n c e p t d e fi n i t i o n " w h i c h t h e y d e fi n e a s f o l l o w s . A c o n c e p t i m a g e i s : t h e t o t a l c o g n i t i v e s t r u c t u r e t h a t i s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n c e p t , w h i c h i n c l u d e s a l l t h e m e n t a l p i c t u r e s a n d a s s o c i a t e d p r o p e r t i e s a n d p r o c e s s . I t i s b u i l t u p o v e r t h e y e a r s t h r o u g h e x p e r i e n c e s o f a l l k i n d s , c h a n g i n g a s t h e i n d i v i d u a l m e e t s n e w s t i m u l i a n d m a t u r e s ( p . 1 5 2 ) . T h e f o r m a l c o n c e p t d e fi n i t i o n i s " a f o r m o f w o r d s u s e d t o s p e c i f y t h a t c o n c e p t . . . . w h C 0 1 U S E E l i i n f a t F u C 0 1 3 1 : 1 h : b } 6 w h i c h i s a c c e p t e d b y t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y a t l a r g e ” ( p . 1 5 2 ) . W h i l e t h e i r c o n c e p t d e fi n i t i o n i s s l i g h t l y m o r e n a r r o w l y d e fi n e d t h a n J a n v i e r ’ s f o r m a l c o n c e p t s s i n c e t h e y l i m i t i t t o v e r b a l d e fi n i t i o n s , i t i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e , s i n c e m o s t m a t h e m a t i c s c o n c e p t s c o u l d b e d e fi n e d v e r b a l l y w i t h t h e h e l p o f s y m b o l s ( b o t h l i t e r a l a n d p i c t o r i a l ) . W h i l e t h e c o n c e p t d e fi n i t i o n m u s t c o n t a i n o n l y t h e p r o p e r t i e s c o m m o n t o a l l i n s t a n c e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n , t h e c o n c e p t i m a g e i s l i k e l y t o r e t a i n o t h e r e l e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h o s e i n s t a n c e s t h a t m a y c o n s c i o u s l y o r u n c o n s c i o u s l y b e u s e d w h e n d e a l i n g w i t h t h e c o n c e p t . B e c a u s e n o t a l l a s p e c t s o f t h e c o n c e p t i m a g e a r e e v o k e d e a c h t i m e w e m a k e u s e o f i t ( V i n n e r , 1 9 8 3 ; 1 9 9 2 ) , t h e c o n c e p t i m a g e c a n b e i n c o h e r e n t w i t h o u t o u r b e i n g a w a r e o f i t . I n a r e c e n t p a p e r , V i n n e r ( 1 9 9 2 ) d e s c r i b e d t h i s p h e n o m e n o n a s c o m p a r t r n e n t a l i z a t i o n . I n p a r t i c u l a r , h e a n d D r e y f u s ( 1 9 8 9 ) f o u n d t h i s p h e n o m e n o n v e r y p e r s i s t e n t i n s t u d e n t s ’ c o n c e p t i m a g e o f f u n c t i o n s . F u r t h e r , t h e y s u g g e s t t h a t t h e c o n c e p t i m a g e i s f o r m e d a t t h e t i m e o f e x p o s u r e t o t h e c o n c e p t a n d r e l a t e d m a t e r i a l s , a v i e w c o n s i s t e n t w i t h B r o w n e t a l . ’ s ( 1 9 8 9 ) s i t u a t e d c o g n i t i o n . T e a c h e r / r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e s a n d s t u d e n t v o i c e . C o n c e p t d e fi n i t i o n s a r e b a s e d o n a n a s s u m p t i o n o f s h a r e d m e a n i n g i n a c o m m u n i t y . I t i s n o t u n r e a s o n a b l e t o a s s u m e h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a n d t h i s r e s e a r c h e r s h a r e s o m e l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c a l f t m c t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e i r p r o p e r t i e s , c o n c e p t s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s . F u r t h e r , o n e m i g h t e x p e c t s o m e r e a s o n a b l e a m o u n t o f s h a r e d e x p e c t a t i o n s a b o u t h o w e l e m e n t a r y p r o b l e m t a s k s m i g h t b e a p p r o a c h e d . I n b o t h t h e c u r r i c u l u m a n d i n t h e i n t e r v i e w s e t t i n g t h e s e s a m e a s s u m p t i o n s a r e l i k e l y t o b e s a l i e n t f o r t h e i n t e r v i e w e r , b u t m a y o r m a y n o t b e s a l i e n t f o r t h e i n t e r v i e w s u b j e c t . S t u d e n t s a r e , a f t e r a l l , i n t h e p r o c e s s o f a t t e m p t i n g t o c o n s t r u c t m e a n i n g f o r e n t i t i e s t h e i n t e r v i e w e r p e r s o n a l l y t a k e s f o r g r a n t e d . A n o t h e r d i s t i n c t i o n b e t w e e n i n t e r v i e w e r ’ s a n d s u b j e c t ’ s v i e w p o i n t c a n b e m a d e b y r e c o g n i z i n g t h a t i n t e r v i e w s t a k e p l a c e i n a b r o a d e r s o c i a l c o n t e x t . T h e i n t e r v i e w e r 7 a n d s t u d e n t i n t e r a c t a r o u n d a s e t o f t a s k s , w h i c h i s i t s e l f a s o c i a l i n t e r a c t i o n . C o n f r e y a n d S m i t h ( 1 9 9 4 ) s u g g e s t r e s u l t s n e e d t o b e i n t e r p r e t e d a s a p a r t i c u l a r k i n d o f d i s c o u r s e . C o n f r e y ( i n p r e s s ; C o n f r e y & S m i t h , 1 9 9 4 ) d e s c r i b e s t h e i n t e r v i e w e r a s t r y i n g t o u n d e r s t a n d w h a t t h e s t u d e n t f i n d s p r o b l e m a t i c a n d h o w t h e s t u d e n t i s a t t e m p t i n g t o r e s o l v e i t . A t t h e s a m e t i m e , t h e s t u d e n t i s c o n s t r u c t i n g a p r o b l e m i n c o n j u n c t i o n w i t h w h a t h e o r s h e v i e w s a s t h e i n t e r v i e w e r ’ s e x p e c t a t i o n s a n d a l s o v i e w s t h e r e s e a r c h e r a s m o r e e x p e r t . W h e n i n t e r v i e w e r s a n a l y z e t h e d a t a a n d a t t e m p t t o b u i l d a m o d e l o f w h a t t h e s t u d e n t s ’ a c t i o n s , w o r d s , s c h e m e s , a n d c o n c e p t s a r e l i k e , t h e i r o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e t a s k i n fl u e n c e s t h e m o d e l . C o n f r e y ( 1 9 9 4 ) h a s l a b e l e d t h i s a s a d i s t i n c t i o n b e t w e e n p e r s p e c t i v e a n d v o i c e : V o i c e i s u s e d t o d e s c r i b e t h e m o d e l o f t h e c h i l d a n d i n t e r v i e w i n g i s a n a t t e m p t t o g i v e v o i c e t o a c h i l d ’ s w a y s o f a p p r o a c h i n g a p r o b l e m . P e r s p e c t i v e s u r r o u n d s v o i c e , a s t h e c o n t e x t f r o m w h i c h t h e i n t e r v i e w e r h e a r s , p r o b e s a n d d e v e l o p s a n d s e t s n e w t a s k s . ( p . 1 3 6 ) C o n f r e y c l a i m s w h a t h a s b e e n n e g l e c t e d i n t h e p a s t i s t h a t w h a t t h e i n t e r v i e w e r l e a r n s a b o u t t h e s t u d e n t e v o l v e s t o g e t h e r w i t h t h e i n t e r v i e w e r ’ s o w n c h a n g i n g u n d e r s t a n d i n g o f t h e s u b j e c t m a t t e r . I n t e r v i e w e r s t e n d t o d e s c r i b e c h a n g e s b u i l t a r o u n d t h e i r m o d e l o f t h e s t u d e n t a n d n e g l e c t t h e i r o w n l e a r n i n g . I n a n a l y z i n g t h e d a t a , C o n f r e y s u g g e s t s t h a t t h e r e s e a r c h e r n e e d s t o t r y t o s e p a r a t e o u t t h e s e t w o d i f f e r e n t s t r a n d s a n d t o a c k n o w l e d g e t h e e x t e n t t o w h i c h t h e r e s e a r c h e r ’ s o w n p e r s p e c t i v e c h a n g e s . O n e ’ s o w n m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e e v o l v e s t h r o u g h i n t e r a c t i o n s w i t h t h e s t u d e n t a n d t h r o u g h a n a l y s i s o f s t u d e n t v o i c e . T h u s , i n a p p r o a c h i n g a n a l y s i s o f s t u d e n t i n t e r v i e w s , i t i s n e c e s s a r y t o a s s u m e t h a t s t u d e n t s a r e e n g a g e d i n m e a n i n g f u l a c t i v i t y c o n s t r a i n e d b y t h e b r o a d e r s o c i a l c o n t e x t , w h i l e a t t h e s a m e t i m e t r y i n g t o u n d e r s t a n d h o w t h e ( p o s s i b l y ) u n i q u e w a y s t h e y a p p r o a c h p r o b l e m t a s k s ( e s p e c i a l l y w h e n t h e i r a p p r o a c h e s d i f f e r s i g n i fi c a n t l y f r o m t h o s e s h a r e d b y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s ) p r o v i d e a n o p p o r t u n i t y t o c o n f r o n t t h e f r o r d i f f c o n 8 i n t e r v i e w e r ’ s p e r s p e c t i v e s o f w h a t c o n s t i t u t e t h e s h a r e d a s s u m p t i o n s o f t h e m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y . R e p r e s e n t a t i o n s D e fi n i t i o n . D e f i n i n g r e p r e s e n t a t i o n i s a c o m p l e x i s s u e . M a n y a u t h o r s ( S e e f o r e x a m p l e , J a n v i e r , 1 9 8 7 a ; W h i t s o n , 1 9 9 4 ) b o r r o w f r o m l i n g u i s t i c s a n d a t t e m p t t o l i n k a n d c o n t r a s t w h a t i s b e i n g r e p r e s e n t e d , a r e f e r e n t ( e . g . , a r e a l w o r l d s i t u a t i o n ) , f r o m s i g n s u s e d t o r e p r e s e n t i t , a n d i n t h e p r o c e s s c o n t r a s t s i g n i fi e r ( e . g . , g r a p h o r t a b l e ) w i t h w h a t i s s i g n i fi e d ( e . g . , r a t e o f c h a n g e ) . V e r g n a u d ( 1 9 8 7 ) p o i n t s o u t a d i f fi c u l t y w h e n o n e a t t e m p t s t o c o n n e c t t h e s e t o l e a r n i n g a n d p s y c h o l o g y : S y m b o l s u s e d i n c o m m u n i c a t i o n l i e a t t h e s i g n i fi e r l e v e l , w h e r e a s m e a n i n g l i e s a t t h e s i g n i fi e d l e v e l . T h i s m e a n s t h a t s y m b o l s a r e u s u a l l y p u b l i c ( o r s o c i a l ) , w h e r e a s m e a n i n g s a r e p r i v a t e ( o r i n d i v i d u a l ) . V e r y o f t e n t h e y a r e n o t t h e s a m e f r o m o n e i n d i v i d u a l t o t h e n e x t o n e , f o r i n s t a n c e f o r t h e t e a c h e r a n d t h e s t u d e n t . T h e c o r r e s p o n d e n c e p r o b l e m b e t w e e n t h e s i g n i fi e r a n d t h e s i g n i fi e d i s t h e p r o b l e m o f t h e u n i c i t y o f m e a n i n g . ( p . 2 2 9 , i t a l i c s i n t h e o r i g i n a l ) . W h i l e m a t h e m a t i c i a n s c a n c r e a t e i s o m o r p h i s m s b e t w e e n a c o n c e p t , s u c h a s a p a t t e r n o f v a r i a t i o n b e t w e e n t w o v a r i a b l e s , a n d a p h y s i c a l ( p u b l i c ) f o r m t o d i s p l a y i t , s u c h a s a g r a p h , a s V e r g n a u d p o i n t s o u t , r e p r e s e n t a t i o n i s h i g h l y i d i o s y n c r a t i c t o t h e i n d i v i d u a l . W e c a n n o t a s s u m e t h a t t h e ( p u b l i c ) s i g n i fi e r s d o i n d e e d s i g n i f y t h e s a m e t h i n g s ( t h e s i g n i fi e d ) , f o r d i f f e r e n t i n d i v i d u a l s . I n a d d i t i o n , m e a n i n g s h a v e m a n y f a c e t s t h a t m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t w h e n d e fi n i n g r e p r e s e n t a t i o n s . D a v i s , Y o u n g , a n d M c L o u g h l i n ( 1 9 8 2 ) , c i t e d i n ( J a n v i e r , 1 9 8 7 b ) d e fi n e a r e p r e s e n t a t i o n a s " a c o m b i n a t i o n o f s o m e t h i n g w r i t t e n o n p a p e r , s o m e t h i n g e x i s t i n g i n t h e f o r m o f p h y s i c a l o b j e c t s , a n d a c a r e f u l l y c o n s t r u c t e d a r r a n g e m e n t o f i d e a i n o n e ’ s m i n d " ( J a n v i e r , 1 9 8 7 b , p . 6 8 ) . J a n v i e r e x t e n d s t h i s d e fi n i t i o n b y s u g g e s t i n g t h a t a p h y s i c a l o b j e c t n e e d n o t b e p r e s e n t . H e g i v e s v e r b a l o r l a n g u a g e f e a t u r e s e q u a l i m p o r t a n c e t o t h e p u b l i c d i s p l a y , t h e o b j e c t , a n d w h a t i s i n t h e m i n d , d e fi n i n g v e r b a l a n d l a n g u a g e f e a t u r e s a s t h e l i n k s b e t w e e n t h e s e o t h e r e l e m e n t s . I n a d d i t i o n , o t h e r s p o i n t o u t t h a t c a r e u t i i " : 1 a l . i n t e r c o m i I t p i : p a r t 6 1 1 6 S t i l t s y n t a i l d e f f t p p r : t i l l “ I i t ; S i n i t ; P i c 9 " c a r e f u l l y c o n s t r u c t e d a r r a n g e m e n t o f i d e a i n o n e ’ s m i n d " i s t i g h t l y c o n n e c t e d t o t h e i r a c t i v i t i e s a n d s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e y h a v e e n c o u n t e r e d i t ( B r o w n e t a l . , 1 9 8 9 ; D a v i s e t a l . , 1 9 8 2 ; G r e e n o , 1 9 8 9 ; T a l l & V i n n e r , 1 9 8 1 ; V i n n e r , 1 9 8 3 ) . I n o r d e r t o i n t e r p r e t s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a n d t h e i r p r e s e n t a t i o n s o f i d e a s , w e n e e d t o t a k e t h i s c o m p l e x f r a m e w o r k f o r r e p r e s e n t a t i o n i n t o a c c o u n t . I w i l l c a l l t h i s b r o a d , c o m p l e x r e p r e s e n t a t i o n a s t u d e n t ’ s p e r s o n a l r e p r e s e n t a t i o n , e v e n t h o u g h i t i n c l u d e s b o t h p u b l i c p a r t s a s w e l l a s p r i v a t e m e a n i n g . I n o r d e r t o c o m m u n i c a t e o n e ’ s i n t e r n a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s , o n e a l s o m u s t u s e e x t e r n a l , p u b l i c f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n . I n t h i s d i s c u s s i o n , I w i l l u s e t h e w o r d r e p r e s e n t a t i o n s t o r e f e r o n l y t o t h o s e t h a t a r e i n s o m e e x t e r n a l , p u b l i c f o r m . I n h i g h s c h o o l , t h e p r i m a r y p u b l i c f o r m s t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l i d e a s a r e v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s , g r a p h s ( i n c l u d i n g d i a g r a m s a n d p i c t u r e s ) , l i t e r a l s t r i n g s o f s y m b o l s , a n d t a b l e s . T h e s e f o r m s , w h i c h c o u l d a l s o b e c a l l e d p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s o r e x t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n s , m a y b e p r e s e n t e d i n v a r i o u s m e d i a s u c h a s t a l k , p a p e r a n d p e n c i l , o r t h e s c r e e n o f a c o m p u t i n g d e v i c e . I n t h i s s t u d y , t h i s l i m i t e d d e fi n i t i o n w i l l b e u s e d f o r t h e w o r d r e p r e s e n t a t i o n . I w i l l u s e t h e w o r d p e r s o n a l r e p r e s e n t a t i o n t o r e f e r t o t h e b r o a d e r n o t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h , c o n n o t i n g b o t h p r i v a t e a n d p u b l i c f o r m s o f r e p r e s e n t a t i o n s e m p l o y e d b y a n i n d i v i d u a l . U n d e r s t a n d i n g a n d r e p r e s e n t a t i o n s . C o n c e p t s n e c e s s a r i l y e x i s t i n s o m e p e r s o n a l f o r m o f r e p r e s e n t a t i o n , a n d e a c h p e r s o n a l r e p r e s e n t a t i o n h i g h l i g h t s s o m e a s p e c t s o f t h e c o n c e p t a n d d o w n p l a y s o t h e r s . O n e a s p e c t o f t h e p e r s o n a l r e p r e s e n t a t i o n i s l i k e l y t o b e a n e x t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n a s d e fi n e d a b o v e . A p a r t i c u l a r s i t u a t i o n m a y c a l l u p a n a s p e c t o f t h e c o n c e p t i m a g e a s s o c i a t e d w i t h t h a t p e r s o n a l r e p r e s e n t a t i o n a n d n o o t h e r s . F o r e x a m p l e , f o r a n i n d i v i d u a l , t h e z e r o o f a p o l y n o m i a l fi m c t i o n ( w h i c h h a s a c o n c e p t d e fi n i t i o n ) m a y b e a s s o c i a t e d o n l y w i t h t h e p r o c e s s o f s e t t i n g a p o l y n o m i a l e q u a t i o n t o z e r o a n d s o l v i n g i t , o r i t m a y b e 1 0 a s s o c i a t e d w i t h p l o t t i n g a p o i n t o n a C a r t e s i a n g r a p h , a n d n o t b e a s s o c i a t e d a t a l l w i t h t h e i d e a t h a t t h e v a l u e s o u g h t i s o n e f o r w h i c h t h e v a l u e o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n c h a n g e s s i g n . I n a d d i t i o n , a t a n y p o i n t i n t i m e , e v e n i f w e c o n s i d e r t h a t w h i c h c o n s t i t u t e s o n e ’ s k n o w l e d g e o f a c o n c e p t ( t h e i r c o n c e p t i m a g e ) a s s i t u a t e d i n a n a c t i v i t y , p r o b l e m , o r e x t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n , t h a t k n o w l e d g e m u s t u l t i m a t e l y b e s u f fi c i e n t l y r i c h s o t h a t i t c a n t r a n s c e n d i n d i v i d u a l s i t u a t i o n s t o a d e g r e e t h a t i t i s u s e f u l a s a t o o l t o d o o r l e a r n m a t h e m a t i c s . I n d e e d , t h e r e c o r d o f m a t h e m a t i c s c o n s i s t s o f a l o n g h i s t o r y o f t h e c r e a t i o n o f n e w i d e a s t h r o u g h a b s t r a c t i n g s o m e a s p e c t s o f a g r o u p o f i d e a s . I n t h e c a s e o f e l e m e n t a r y f u n c t i o n s , i f s t u d e n t s a r e t o h a v e a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f f i m c t i o n s , t h e y m u s t d e v e l o p u n d e r s t a n d i n g s i n m u l t i p l e p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s . T h e y m u s t d e v e l o p c o n c e p t i o n s t h a t a r e i n m a n y w a y s i n d e p e n d e n t o f o r g o b e y o n d t h o s e a s s o c i a t e d w i t h i n d i v i d u a l t y p e s o f r e p r e s e n t a t i o n t h a t t h e y h a v e e x p e r i e n c e d i n l e a r n i n g , a n d t h a t a r e b e y o n d c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s p e c i fi c f u n c t i o n s e x p e r i e n c e d i n t h e fi r s t p l a c e . F o r e x a m p l e , t h e y m u s t r e c o g n i z e t h a t i f a c o n t i n u o u s fi m c t i o n i s i n c r e a s i n g a t d i f f e r e n t r a t e s o v e r t w o d i s t i n c t i n t e r v a l s , t h e n i n b o t h c a s e s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e s a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n c r e a s e s , b u t t h a t t h e s t e e p e r o f t h e t w o s e g m e n t s o f t h e g r a p h i n d i c a t e s a f a s t e r r a t e o f c h a n g e . F i n a l l y , t h e y n e e d t o r e c o g n i z e t h a t t h e s e f a c t s a r e a t t r i b u t e s o f m a n y f u n c t i o n c l a s s e s c o n s i d e r e d . W h i l e t h e y a r e p a r t o f t h e p r o p e r t i e s o f i n d i v i d u a l f u n c t i o n s , t h e y c a n a t t h e s a m e t i m e b e c o n s i d e r e d i n d e p e n d e n t o f i n d i v i d u a l f u n c t i o n s a s t h e y a r e c o n c e p t s t h a t t r a n s c e n d s i n g l e f t m c t i o n s o r f u n c t i o n c l a s s e s . F u r t h e r , s t u d e n t s m u s t b e fl u i d i n t h e i r m o v e m e n t b e t w e e n p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s a m e c o n c e p t , a n d b e a b l e t o u s e t h e c o n c e p t s t o s o l v e p r o b l e m s a b o u t s i t u a t i o n s w h e r e t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s o c c u r . T h e y m u s t b e a b l e t o r e c o g n i z e s i m i l a r i t i e s o r c o n n e c t i o n s b e t w e e n c o n c e p t s i n m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s a n d A ( 1 2 ‘ c 1 . 1 0 8 C c i I O I ‘ E 1 1 e x p l o i t t h e s e i d e a s t o c r e a t e e s s e n t i a l l y n e w , m o r e a b s t r a c t i d e a s t h a t c o o r d i n a t e a n d o r g a n i z e t h e c o n c e p t s . F o r e x a m p l e , i n a d v a n c e d m a t h e m a t i c s , s t u d e n t s m u s t d e v e l o p a c o n c e p t o f f u n c t i o n t h a t S f a r d ( 1 9 8 7 ; 1 9 9 1 ; 1 9 9 2 ) c a l l s s t r u c t u r a l a n d o t h e r s ( B r e i d e n b a c h , D u b i n s k y , H a w k s , & N i c h o l s , 1 9 9 2 ; D u b i n s k y & H a r e ] , 1 9 9 2 ) c a l l a n o b j e c t c o n c e p t , w h e r e a f l m c t i o n i s t r e a t e d a s i f i t r e f e r r e d t o a n o b j e c t - l i k e e n t i t y , w h i c h c a n i t s e l f b e a c t e d o n . F i n a l l y , s t u d e n t s m u s t b e a b l e t o r e c o g n i z e i n d i v i d u a l f u n c t i o n s o r s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s a s s i n g l e i n s t a n t i a t i o n s o f t h e l a r g e r i d e a . I n o t h e r w o r d s , w h e n s t u d e n t s h a v e a r i c h u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s , t h e y u l t i m a t e l y w i l l b e a b l e t o d e c o n t e x u a l i z e t h e i r t h i n k i n g a b o u t i n d i v i d u a l f t m c t i o n s f r o m s p e c i fi c p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s a n d r e a s o n a b o u t p r o p e r t i e s o f f r m c t i o n s i n a m o r e g e n e r a l w a y . T h i s d i s c u s s i o n d o e s n o t i m p l y , h o w e v e r , t h a t s t u d e n t s w i l l n o t u s e s p e c i fi c i n s t a n t i a t i o n s o f f u n c t i o n s o r s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s t o c o m m u n i c a t e t h e i r i d e a s . R a t h e r , i t m e a n s t h e y w i l l n o t b e l i m i t e d t o r e a s o n i n g o n l y w i t h i n a p a r t i c u l a r f t m c t i o n c l a s s o r a p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n a l f o r m . N e i t h e r d o e s t h i s d i s c u s s i o n i m p l y t h a t a t a n y p o i n t o n e c a n s a y a s t u d e n t " u n d e r s t a n d s f u n c t i o n s " n o r t h a t t h e r e i s s o m e u n i t a r y i d e a t h a t c a n b e s a i d t o b e t h e " m e a n i n g o f f u n c t i o n s . " U n d e r s t a n d i n g i s s e e n a s a n e v e r - d e e p e n i n g , i d i o s y n c r a t i c p r o c e s s , t a k i n g m a n y t w i s t a n d t u r n s . T h i s u n d e r s t a n d i n g c a n b e v e r y r i c h , e v e n i f f o r a p a r t i c u l a r c o n c e p t , t h e s t u d e n t ’ s c o n c e p t i m a g e i s n o t v e r y c o h e r e n t . T h e m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y , h o w e v e r , p a r t i c i p a t e s i n s e t t i n g g e n e r a l l y a c c e p t e d s t a n d a r d s f o r w h a t c o n s t i t u t e s e v i d e n c e o f u n d e r s t a n d i n g i n a p a r t i c u l a r s e t o f c i r c u m s t a n c e s . I n s c h o o l i n g , t h e s e g o a l s a r e u s u a l l y e x p r e s s e d i n t e r m s o f f o r m a l l y d e fi n e d c o n c e p t s a l o n g w i t h t h e i r p r o p e r t i e s . T h e s e f o r m a l d e fi n i t i o n c a t e g o r i e s , s u c h a s q u a d r a t i c f u n c t i o n s , C a r t e s i a n g r a p h s , o r v a r i a b l e s r e l a t e d b y t a b l e s , a l s o s e r v e a s o r g a n i z i n g f e a t u r e s t o s e t g o a l s f o r i n s t r u c t i o n , a n d i n t h i s c a s e , f o r r e s e a r c h . E x p e r i e n c e T h e k n o w l e d g e s t u d e n t s b r i n g t o i n s t r u c t i o n i s c o n s i d e r e d i m p o r t a n t , a n d t h i s k n o w l e d g e i s r e l a t e d t o t h e e x p e r i e n c e s t h e y h a v e h a d . P u t n a m , L a m p e r t , a n d P e t e r s o n ( 1 9 9 0 ) e x p l a i n : . . . t h e l e a r n e r p l a y s a n a c t i v e r o l e i n i n t e r p r e t i n g a n d s t r u c t u r i n g t h e e n v i r o n m e n t a l s t i m u l i . R a t h e r t h a n p a s s i v e l y r e c e i v i n g a n d r e c o r d i n g i n c o m i n g i n f o r m a t i o n , t h e l e a r n e r a c t i v e l y i n t e r p r e t s a n d i m p o s e s m e a n i n g t h r o u g h t h e l e n s e s o f h i s o r h e r e x i s t i n g k n o w l e d g e s t r u c t u r e , w o r k i n g t o m a k e s e n s e o f t h e w o r l d . ( p . 8 7 ) P a r t o f w h a t w e k n o w i s i n t u i t i v e . F i s c h b e i n ( 1 9 8 2 ) d e fi n e s t h i s k i n d o f " a f fi r r n a t o r y i n t u i t i o n " a s t h a t w h i c h c o n s i s t s o f r e p r e s e n t a t i o n s , n o t i o n s , i n t e r p r e t a t i o n s , o r s t a t e m e n t s t h a t a r e a c c e p t e d d i r e c t l y a s i n t r i n s i c a l l y m e a n i n g f u l w h i l e o t h e r s a r e n o t . I n t u i t i v e k n o w l e d g e s e r v e s t o a f fi r m t h e m e a n i n g f u l n e s s o f c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s o r i n t e r p r e t a t i o n s , t h a t i s , i t p r o v i d e s a " b a s i s o f b e l i e f " ( B e l l , c i t e d i n F i s c h b e i n , 1 9 8 2 ) f o r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . F i s c h b e i n c l a i m s t h a t s u c h k n o w l e d g e i s b u i l t u p t h r o u g h : t h e f r a m e o f p r a c t i c a l s i t u a t i o n s a s a r e s u l t o f p e r s o n a l i n v o l v e m e n t o f t h e l e a r n e r i n s o l v i n g g e n u i n e p r o b l e m s r a i s e d b y t h e s e p r a c t i c a l s i t u a t i o n s ( p . 1 2 ) . H e c l a i m s t h a t t o d e v e l o p a n u n d e r s t a n d i n g o f a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t , i t i s n o t s u f fi c i e n t t o e n g a g e i n v e r b a l e x p l o r a t i o n s n o r b l i n d l y p r a c t i c e s o l v i n g p r o c e d u r e s . R a t h e r " y o u m u s t l i v e t h e p r o c e s s " ( p . 1 2 ) . F o r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h i s m e a n s t h a t w e m u s t s e e k t o p r o v i d e e x p e r i e n c e s t h a t a l l o w t h e l e a r n e r t o b u i l d u p i n t u i t i v e k n o w l e d g e , t h a t i s , t o d e v e l o p a " b a s i s o f b e l i e f " f o r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . F r e u d e n t h a l ( 1 9 8 3 ) c l a i m s t h a t i n i t i a l l y m a n y n e w i d e a s , i n t h i s c a s e , f u n c t i o n s , a r e p e r c e i v e d a s e s s e n t i a l l y s e p a r a t e t h i n g s , t h a t i s , d i f f e r e n t p h e n o m e n a . O n l y t h r o u g h e x p e r i e n c e w i t h t h e s e d i f f e r e n t p h e n o m e n a c a n w e g a i n a n a c t i v e u n d e r s t a n d i n g a n d b e g i n t o s e e s i m i l a r i t i e s a n d i n v e n t o r g a n i z i n g s c h e m e s f o r o u r i d e a s , t h a t i s , t h r o u g h a c t i v e e n g a g e m e n t w i t h t h e c o n c e p t s p r i o r t o m a t h e m a t i c a l l y f o r m a l m a n i p u l a t i o n o f t h e i d e a s w e c a n e x p e c t t o h a v e a m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g t h a t i n c l u d e s F i s c h b e i n ’ s i n t u i t i o n . t i p t h e l I I l C 1 7 1 : C 0 1 c h : p r c O I . t h e H a 1 3 T h e p u r p o s e o f t e a c h i n g i s t o a s s i s t i n t h i s p r o c e s s . T h u s , w e s h o u l d p r o v i d e e x p e r i e n c e s t h a t a l l o w s t u d e n t s t o d e v e l o p a s e n s e o f t h e c o n c e p t w h i l e d e v e l o p i n g a t t h e s a m e t i m e t h e f o r m a l a s p e c t s o f t h e c o n c e p t . T h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s c h o s e n f o r t h i s c l a s s , a n d w h i c h f o r m e d a n e x p e r i e n c e b a s e f o r t h e c l i n i c a l i n t e r v i e w s o f t h e r e s e a r c h , w e r e o r g a n i z e d t o p r o v i d e e x p e r i e n c e s f o r s t u d e n t s t o d e v e l o p i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g s o f t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n . 1 T h e C a s e o f F u n c t i o n s C o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s . R e c e n t l y r e s e a r c h e r s h a v e b e g u n t o c a t e g o r i z e c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s t h a t c l o s e l y p a r a l l e l u n d e r s t a n d i n g s d e s i r e d b y m a t h e m a t i c i a n s ( B r e i d e n b a c h e t a l . , 1 9 9 2 ; D u b i n s k y & H a r e l , 1 9 9 2 ; H a r e l & K a p u t , 1 9 9 1 ; K i e r a n , 1 9 9 2 ; S f a r d , 1 9 8 7 ; S f a r d , 1 9 9 1 ) . M a n y m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s c h a r a c t e r i z e f i m c t i o n s b y b u i l d i n g b o t h o n P i a g e t i a n d i s t i n c t i o n s b e t w e e n o b j e c t s a n d p r o c e s s e s ( P i a g e t , 1 9 7 0 ) a n d t h e d u a l m a t h e m a t i c a l v i e w s o f f u n c t i o n s a s p r o c e s s e s o r , p a r t i c u l a r l y i n a d v a n c e d m a t h e m a t i c s , a s e n t i t i e s t h a t s e e m m o r e l i k e o b j e c t s t h a t c a n h a v e a c t i o n s p e r f o r m e d o n t h e m . S f a r d ( 1 9 8 7 , 1 9 9 2 ) d i s t i n g u i s h e s c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s a s " s t r u c t u r a l " , t h a t i s , a s s t a t i c c o n s t r u c t s t h a t a p p e a r t o t h e t h i n k e r a s i f t h e y w e r e o b j e c t s , o r " o p e r a t i o n a l l y " a s p r o c e s s e s r a t h e r t h a n o b j e c t s . D u b i n s k y a n d H a r e l ( 1 9 9 2 ) s u m m a r i z i n g c o n c e p t i o n s g i v e n i n B r e i d e n b a c h , D u b i n s k y , H a w k s , a n d N i c h o l s ( 1 9 9 2 ) h a v e c h a r a c t e r i z e d f o u r s t u d e n t c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s : p r e fi t n c t t ' o n . . . t h e s u b j e c t d o e s n o t d i s p l a y v e r y m u c h o f a f u n c t i o n c o n c e p t . W h a t e v e r t h e t e r m m e a n s t o s u c h a s u b j e c t , t h i s m e a n i n g i s n o t v e r y u s e f u l i n p e r f o r m i n g t h e t a s k s t h a t a r e c a l l e d f o r i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t i e s r e l a t e d t o f u n c t i o n s . A n a c t i o n . . . i s a r e p e a t a b l e m e n t a l o r p h y s i c a l m a n i p u l a t i o n o f o b j e c t s . . i t t i i . ¢ ; n t : : s t a t i c c o n c e p t i o n i n t h a t t h e s u b j e c t w i l l t e n d t o t h i n k a b o u t i t o n e s t e p a t A p r o c e s s c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n i n v o l v e s a d y n a m i c t r a n s f o r m a t i o n o f q u a n t i t i e s a c c o r d i n g t o s o m e r e p e a t a b l e m e a n s t h a t , g i v e n t h e s a m e o r i g i n a l 1 S e e A p p e n d i x C f o r s a m p l e a c t i v i t i e s . O I ( 2 0 $ 1 1 o f a d C C P e l 4 q u a n t i t y , w i l l a l w a y s p r o d u c e t h e s a m e t r a n s f o r m e d q u a n t i t y . T h e s u b j e c t i s a b l e t o t h i n k a b o u t t h e t r a n s f o r m a t i o n a s a c o m p l e t e a c t i v i t y b e g i n n i n g w i t h o b j e c t s o f s o m e k i n d , d o i n g s o m e t h i n g t o t h e s e o b j e c t s , a n d o b t a i n i n g n e w o b j e c t s a s a r e s u l t o f w h a t w a s d o n e . A f u n c t i o n i s c o n c e i v e d o f a s a n o b j e c t i f i t i s p o s s i b l e t o p e r f o r m a c t i o n s o n i t , i n g e n e r a l a c t i o n s t h a t t r a n s f o r m i t . ( p . 8 5 ) T h e s e c l a s s i fi c a t i o n s s e e m t o i m p l y t h a t f u n c t i o n i s a c o n c e p t t h a t s t u d e n t s e i t h e r h a v e o r d o n o t h a v e . F u r t h e r , t h e y d o n o t s e e m t o a c c o u n t f o r t h e c o m p l e x n a t u r e o f t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( J a n v i e r , 1 9 8 7 b ) . F o r e x a m p l e , a l i n e a r e q u a t i o n i n s l o p e - i n t e r c e p t f O r m , a s e q u e n c e o f g e o m e t r i c a l t r a n s f o r m a t i o n s , a n d a s e q u e n c e o f p a r t i a l s u m s o f a n i n fi n i t e s e r i e s ( a f u n c t i o n t h a t m a p s p a r t i a l s u m s o n t o t h e n a t u r a l n u m b e r s ) a r e v e r y d i f f e r e n t k i n d s o f e n t i t i e s . A l t h o u g h i n h i g h l y a d v a n c e d m a t h e m a t i c s i t m i g h t b e d e s i r a b l e t h a t a l l t h e s e w o u l d b e s e e n a s f u n c t i o n s , i t s e e m s t h a t s p e a k i n g o f s t u d e n t s a s h a v i n g a n o b j e c t c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n i s t o o c l o s e l y r e l a t e d t o m a t h e m a t i c a l g o a l s a n d t o o f a r f r o m s t u d e n t c o n c e p t i o n s o r a c t i o n s , p a r t i c u l a r l y t h o s e o f h i g h s c h o o l s t u d e n t s ( S e e , f o r e x a m p l e , L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n , 1 9 9 0 ) . I n a d d i t i o n , l a b e l i n g s o m e s t u d e n t c o n c e p t i o n s a s " p r e f u n c t i o n a l " d e n i e s e x i s t e n c e o f c o n c e p t i o n s s t u d e n t s d o h a v e w h i l e m a k i n g i t a p p e a r s t u d e n t s t h e m s e l v e s h a v e s o m e h o w n o t j o i n e d a p r i v i l e g e d g r o u p o f t h o s e w h o " u n d e r s t a n d f u n c t i o n s . " D u b i n s k y a n d H a r e l ( 1 9 9 2 ; S c h w i n g e n d o r f & D u b i n s k y , 1 9 9 0 ) d o a d m i t t h a t v e r y o f t e n i n m a t h e m a t i c s i t i s n e c e s s a r y t o g o b a c k a n d f o r t h b e t w e e n a n o b j e c t a n d p r o c e s s c o n c e p t i o n o f t h e s a m e e n t i t y . Y e t i t w o u l d s e e m b e t t e r t o a d o p t t h e l a n g u a g e o f M o s c h k o v i c h , S c h o e n f e l d , a n d A r c a v i ( 1 9 9 3 ) , w h o p r e f e r p e r s p e c t i v e s , r a t h e r t h a n c o n c e p t i o n s : F r o m t h e p r o c e s s p e r s p e c t i v e , a f u n c t i o n i s p e r c e i v e d o f a s l i n k i n g x a n d y v a l u e s : F o r e a c h v a l u e o f x , t h e f u n c t i o n h a s a c o r r e s p o n d i n g y v a l u e . F r o m t h e o b j e c t p e r s p e c t i v e , a f u n c t i o n o r r e l a t i o n a n d a n y o f i t s r e p r e s e n t a t i o n s a r e t h o u g h t o f a s e n t i t i e s - f o r e x a m p l e . . . i n t h e p l a n e a s g r a p h s t h a t , i n c o l l o q u i a l l a n g u a g e , a r e t h o u g h t o f a s b e i n g " p i c k e d u p w h o l e " a n d r o t a t e d a n d t r a n s l a t e d . ( p . 7 1 ) P e r s p e c t i v e s , t h e n , c a n b e a p p l i e d t o s p e c i fi c p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n s a n d b r i n g c h f e z d y V C ‘ d y V I : q u p r d i ‘ 1 5 t o l i g h t i s s u e s o f r e p r e s e n t a t i o n a s w e l l . U s i n g t h e e x a m p l e o f t w o f u n c t i o n s x + 3 a n d 4 + x - 1 , S c h w a r t z a n d Y e r u s h a l m y ( 1 9 9 2 ) p o i n t o u t t h a t d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s r e v e a l d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s . V i e w e d a s n u m b e r r e c i p e s , t h e p r o c e s s n a t u r e o f t h e s e t w o f u n c t i o n s i s h i g h l i g h t e d a n d t h e y a r e q u i t e d i f f e r e n t . P l o t t e d o n a C a r t e s i a n g r a p h , h o w e v e r , t h e y w o u l d a p p e a r m o r e e n t i t y - l i k e , a n d t h e y w o u l d b e i n d i s t i n g u i s h a b l e . O t h e r r e s e a r c h e r s h a v e a l s o e m p l o y e d s l i g h t l y d i f f e r e n t d i c h o t o m i e s t o c h a r a c t e r i z e t h i n k i n g a b o u t fi m c t i o n s , i n c l u d i n g s o m e c l o s e l y c o n n e c t e d t o s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s . J a n v i e r ( 1 9 7 8 ) c o n t r a s t s s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f l o c a l a n d g l o b a l f e a t u r e s o f g r a p h s ( o f f u n c t i o n s ) . G o l d e n b e r g , L e w i s , a n d O ’ K e e f e ( 1 9 9 2 ) s p e a k o f d y n a m i c v e r s u s s t a t i c i n t e r p r e t a t i o n s o f f u n c t i o n s a n d M o n k ( 1 9 9 2 ) u s e s p o i n t w i s e v e r s u s a c r o s s - t i m e c o n c e p t i o n s f o r c a t e g o r i e s f o r s t u d e n t s ’ w o r k w i t h f u n c t i o n s . T h e s e t h r e e v e r s i o n s h a v e c h a r a c t e r i s t i c s t h a t a r e b o t h l o c a l o r g l o b a l ( h o l i s t i c ) a n d d y n a m i c o r s t a t i c ( p r o c e s s / o b j e c t ) . I n t h e p r o c e s s / o b j e c t a p p r o a c h a b o v e , h o w e v e r , b o t h c o n c e p t i o n s e n t a i l v i e w i n g f u n c t i o n s a s c o r r e s p o n d e n c e s b e t w e e n v a l u e s . A p r o c e s s i s a p r o c e d u r a l m e a n s f o r p r o d u c i n g c o r r e s p o n d e n c e s b e t w e e n t w o v a l u e s . A f u n c t i o n c o n c e i v e d o f a s a n o b j e c t i s a s e t o f c o r r e s p o n d e n c e s . F o r e x a m p l e , i n t e a c h i n g , a r u l e f o r a q u a d r a t i c f u n c t i o n c o u l d b e s e e n a s a n a l g o r i t h m f o r p r o d u c i n g y ’ s f r o m x ’ s o r i t m i g h t b e s e e n a s o n e i n s t a n c e ( o b j e c t ) i n a f a m i l y o f f u n c t i o n s w i t h a p a r t i c u l a r s e t o f p r o p e r t i e s , s a y , o f i t s g r a p h . A n a l t e r n a t i v e , d y n a m i c a p p r o a c h w o u l d b e t o c o n s i d e r v a r i a b l e s c o v a r y i n g , a s i n a c r o s s - t i m e c o n c e p t i o n s ( J a n v i e r , 1 9 7 8 ; M o n k , 1 9 9 2 ) . C o n f r e y a n d S m i t h ’ s ( 1 9 9 4 ) d i v i s i o n o f t e a c h i n g t a c t i c s i n t o a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h a n d a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h s e e m s u s e f u l . T h e y d e s c r i b e t h e c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h a s o n e i n w h i c h : o n e i n i t i a l l y b u i l d s a r u l e t h a t a l l o w s o n e t o d e t e r m i n e a u n i q u e y - v a l u e f r o m a n y g i v e n x - v a l u e . T h u s , o n e b u i l d s a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n x a n d y . T h i s 3 1 1 1 6 a p p r o a c h i s e m p h a s i z e d i n c o n v e n t i o n a l a l g e b r a i c n o t a t i o n i n w h i c h w e w r i t e : y = f o r ) . A c o v a r i a t i o n a p p r o a c h , o n t h e o t h e r h a n d , e n t a i l s b e i n g a b l e t o m o v e o p e r a t i o n a l l y f r o m y m t o y m H c o o r d i n a t i n g m o v e m e n t f r o m x m t o x m + 1 . F o r t a b l e s , i t i n v o l v e s t h e c o o r d i n a t i o n o f t h e v a r i a t i o n i n t w o o r m o r e c o l u m n s a s o n e m o v e s d o w n ( o r u p ) t h e t a b l e . ( p . 1 3 7 ) . T h u s , e v e n a d y n a m i c p r o c e s s o f p r o d u c i n g y f r o m x i s a c o r r e s p o n d e n c e . A c o v a r i a t i o n a p p r o a c h o n t h e o t h e r h a n d , i n v o l v e s w o r k i n g w i t h t h e p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e f u n c t i o n a s a w h o l e . T h i s a p p r o a c h m e a n s t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e t a k e s o n a m o r e p r o m i n e n t r o l e . I n a d d i t i o n , t h i s a p p r o a c h p a r a l l e l s h i s t o r i c a l r o o t s o f f u n c t i o n s ( E u l e r ) a s a d e p e n d e n c y b e t w e e n v a r i a b l e s , r a t h e r t h a n t h e D i r i c h l e t - B o u r b a k i d e fi n i t i o n s o p r e v a l e n t i n t e a c h i n g f u n c t i o n s i n t h i s c e n t u r y . F i n a l l y , r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t e v e n y o u n g c h i l d r e n c a n u s e r a t e o f c h a n g e a s a w a y t o e x p l o r e f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ( C o n f r e y & S m i t h , 1 9 9 3 ; K a p u t & W e s t , 1 9 9 4 ; N e m i r o v s k y & R u b i n , 1 9 9 1 ; T h o m p s o n , 1 9 9 4 ) a n d s o t h i s a p p r o a c h m a y p a r a l l e l s t u d e n t p r o b l e m s o l v i n g a c t i o n s a s w e l l ( C o n f r e y , S m i t h , P i l i e r o , & R i z z u t i , 1 9 9 1 ; R i z z u t i , 1 9 9 1 ) . I n r e s e a r c h i n g s t u d e n t s ’ d r i n k i n g a n d a c t i v i t i e s i n p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s w e n e e d t o b e a l e r t , a t a m i n i m u m , t o a l l t h e s e p o s s i b i l i t i e s t o b u i l d m o d e l s o f o r t o d e s c r i b e t h e i r w o r k . l h f fi c u l t i e s w i t h l e a r n i n g f u n c t i o n s . M a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s h a v e b e e n c o n s i d e r e d a c e n t r a l c o n c e p t i n h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n s i n c e e a r l y i n t h e c e n t u r y ( J o n e s & C o x f o r d , 1 9 7 0 ) . C u r r e n t c u r r i c u l u m r e c o m m e n d a t i o n s ( M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k f o r C a l i f o r n i a P u b l i c S c h o o l s , 1 9 8 5 ; M i c h i g a n D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , 1 9 8 8 ; M i c h i g a n D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n , d r a f t ) c o n s i d e r f u n c t i o n s i m p o r t a n t a s w e l l . T h e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 8 9 ) r e c o m m e n d t h a t i n c r e a s e d a t t e n t i o n s h o u l d b e p a i d t o i n t e g r a t i n g f u n c t i o n s a c r o s s t o p i c s a t a l l g r a d e l e v e l s , 9 - 1 2 . A r e v i e w o f t h e r e s e a r c h i n d i c a t e s t h a t t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n i s d i f fi c u l t f o r s t u d e n t s ( L e i n h a r d t e t a l . , 1 9 9 0 ) . E v e n a f t e r a f a i r a m o u n t o f m a t h e m a t i c a l s t u d y , W I S I ] p r 1 7 s t u d e n t s o f t e n h a v e v e r y l i m i t e d v i e w s o f f u n c t i o n s ( A r t i g u e , 1 9 9 2 ; D r e y f u s & E i s e n b e r g , 1 9 8 3 ; E v e n , 1 9 8 9 ; H a r e l & D u b i n s k y , 1 9 9 2 ; V i n n e r , 1 9 9 2 ) . M i s c o n c e p t i o n s a b o u n d ( D r e y f u s & V i n n e r , 1 9 8 2 ; N o r m a n , 1 9 9 2 ; V i n n e r , 1 9 9 2 ; V i n n e r & D r e y f u s , 1 9 8 9 ) . M a n y s t u d i e s a b o u t f u n c t i o n s e x p l o r e a s p e c t s o f f u n c t i o n s t h a t a r e i n g e n e r a l m o r e a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l l y t h a n o n e w o u l d e x p e c t t o fi n d i n t h e e a r l y h i g h s c h o o l c u r r i c u l u m . F o r e x a m p l e , t h e i d e a t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e l e m e n t s o f t h e d o m a i n a n d r a n g e o f a f u n c t i o n c a n b e o f a n a r b i t r a r y n a t u r e ( E v e n , 1 9 8 9 ) i s l e s s r e l e v a n t f o r I O t h g r a d e r s t h a n f o r c o l l e g e m a t h e m a t i c s m a j o r s . O t h e r s t u d i e s , p a r t i c u l a r l y i n u n d e r g r a d u a t e m a t h e m a t i c s , c a t e g o r i z e f u n c t i o n s e i t h e r s t r u c t u r a l l y a s e n t i t i e s t h a t c a n s e r v e a s m a t h e m a t i c a l o b j e c t s t o b e o p e r a t e d o n a s i n t h e a l g e b r a o f f I m c t i o n s o r o p e r a t i o n a l l y a s p r o c e s s e s ( D u b i n s k y & H a r e l , 1 9 9 2 ; S c h w i n g e n d o r f , H a w k s , & B e i n e k e , 1 9 9 2 ; S f a r d , 1 9 8 7 ; 1 9 9 1 ; 1 9 9 2 ) . W h i l e t h e s e a r e w o r t h w h i l e c o n s t r u c t s , t h e y s e e m l e s s u s e f u l i n t h e c o n t e x t o f t h i s s t u d y t h a n i n s t u d i e s o f m o r e a d v a n c e d c l a s s e s . S o m e s t u d i e s o n u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s f o c u s p r i m a r i l y o n t h e f o r m a l d e fi n i t i o n o f f u n c t i o n s ( e . g . , M a r k o v i t s , E y l o n , & B r u c k h e i m e r , 1 9 8 6 ; V i n n e r , 1 9 8 3 ) . W h e n w e c o n s i d e r o n l y t h e t h r e e c l a s s e s o f e l e m e n t a r y f u n c t i o n s ( l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l ) , w e h a v e e l i m i n a t e d s e v e r a l c a t e g o r i e s o f f u n c t i o n s , s u c h a s t h o s e w h i c h a r e n o t c o n t i n u o u s , t h o s e w h i c h a r e p e r i o d i c i n n a t u r e , o r t h o s e f o r w h i c h d o m a i n s a r e n o n - n u m e r i c o r a r e d e fi n e d i n a p i e c e m e a l f a s h i o n . H o w e v e r , e v e n w h e n w e c o n s i d e r o n l y t h e l i t e r a t u r e a s s o c i a t e d s p e c i fi c a l l y w i t h t h e s e t h r e e c l a s s e s o f f u n c t i o n s , w e fi n d s t u d e n t s h a v e a g r e a t d e a l o f d i f fi c u l t y . Z a s l a v s k y ( 1 9 9 0 ) s t u d i e d o v e r 8 0 0 1 0 t h a n d 1 1 t h g r a d e I s r a e l i s t u d e n t s f r o m e c o n o m i c a l l y a d v a n t a g e d d i s t r i c t s . T h e s e s t u d e n t s h a d c o m p l e t e d t h e s t u d y o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s w i t h i n t h e p r e v i o u s 6 — m o n t h s . Z a s l a v s k y f o c u s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e a l g e b r a i c f o r m o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d i t s g r a p h i n a " n a k e d c o n t e x t " ( M o n k , 1 9 8 9 ) , a n a l g e b r a i c o r g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n w i t h o u t a n y a d d i t i o n a l c o n c r e t e c o n t e x t p a d 1 ; 1 8 a s s o c i a t e d w i t h i t . U s i n g n o n s t a n d a r d p r o b l e m s t h a t r e q u i r e d t h i n k i n g a b o u t t h e a b s t r a c t q u a l i t i e s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d t r a n s l a t i o n t a s k s , s h e f o u n d m a n y " c o n c e p t u a l o b s t a c l e s " t o s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g . T h e fi v e m a i n o b s t a c l e s w e r e r e l a t e d t o : l . i n t e r p r e t a t i o n o f g r a p h i c a l i n f o r m a t i o n ( p i c t o r i a l e n t a i l m e n t s ) ; f o r e x a m p l e , t h i n k i n g t h e g r a p h i s l i m i t e d t o t h a t w h i c h I s v i s i b l e o r e x p e c t i n g t h e g r a p h t o h a v e v e r t i c a l a s y m p t o t e s . 2 . r e l a t i o n b e t w e e n t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n a n d t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n . 3 . a n a l o g i e s t o l i n e a r f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , a s s u m i n g t w o p o i n t s a r e s u f fi c i e n t t o d e t e r m i n e a q u a d r a t i c . 4 . t h e s e e m i n g c h a n g e i n f o r m o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n w h i c h h a s a p a r a m e t e r o f z e r o , f o r e x a m p l e , n o t c o n s i d e r i n g y = x + 4 a q u a d r a t i c . 5 . o v e r - e m p h a s i s o n o n l y o n e c o o r d i n a t e o f s p e c i a l p o i n t s s u c h a s t h e v e r t e x . T h e s e o b s t a c l e s o c c u r r e d i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t a r e v i e w o f t h e s t a n d a r d c u r r i c u l u m s h o w e d t h a t t h e s e t o p i c s w e r e i n c l u d e d . O t h e r d i f fi c u l t i e s t h a t s t u d e n t s e n c o u n t e r e d h a d t o d o w i t h l i n e o f s y m m e t r y . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s s h o w e d p r e f e r e n c e f o r t h e g e n e r a l f o r m y = a x 2 + b x + c a n d d i d a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s o n o t h e r f o r m s ( y = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) a n d y = a ( x - m ) 2 + n ) r a t h e r t h a n u s e g r a p h i c a l i n f o r m a t i o n s u p p l i e d b y t h e m , s u g g e s t i n g a p r o c e d u r a l a p p r o a c h t h a t l a c k s a n a t t e m p t t o v i s u a l i z e t h e g r a p h . D r e y f u s a n d H a l e v i ( 1 9 8 8 ) a l s o s t u d i e d t h e l i n k b e t w e e n a l g e b r a i c a n d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s w i t h 1 0 t h g r a d e s t u d e n t s u s i n g a c o m p u t e r e n v i r o n m e n t . T h e y r e p o r t e d t h a t o f t e n s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t h e v e r t e x a n d l i n e o f s y m m e t r y . S o m e s t u d e n t s c o u l d n o t p r o c e e d w h e n t h e t e a c h e r a s k e d t h e m t o c h e c k w h e t h e r a p a r t i c u l a r p o i n t w a s o n a p a r a b o l a g i v e n b y y — = x 2 - 3 x + 1 . A l t h o u g h a l l s t u d e n t s k n e w t h e p a r a m e t e r a i n y = a x 2 + b x + c d e t e r m i n e d t h e o p e n i n g o f a p a r a b o l a , t h e y h a d d i f fi c u l t i e s g i v i n g a n y m o r e d e t a i l s . S t u d e n t s a l s o f e l t a p a r a b o l a h a d t o h a v e a s t a n d a r d s h a p e a n d w o u l d n o t a g r e e t h a t a p a r a b o l a e x i s t e d b e t w e e n p o i n t s i f t h e 1 9 p o i n t s d i d n o t a p p e a r s y m m e t r i c . F i n a l l y , t h e y t h o u g h t t h e p a r a b o l a t e r m i n a t e d s o m e w h e r e , r a t h e r t h a n e x t e n d i n g i n d e fi n i t e l y . O t h e r s t u d i e s s h o w e d s t u d e n t s h a v e d i f fi c u l t y w i t h l i n e a r f u n c t i o n s ( K a p u t , 1 9 9 2 ) , p a r t i c u l a r l y s l o p e , i n t e r c e p t s , c o n n e c t i o n s w i t h t h e C a r t e s i a n p l a n e ( S c h o e n f e l d , S m i t h , & A r c a v i , 1 9 9 0 ) , a n d t h e c o n s t a n t f u n c t i o n ( M a r k o v i t s e t a l . , 1 9 8 6 ) . F u r t h e r , s t u d e n t s a t t r i b u t e l i n e a r i t y t o n o n l i n e a r f u n c t i o n s ( D r e y f u s & E i s e n b e r g , 1 9 8 3 ) . T h e r e i s l i t t l e r e s e a r c h o n t h e u n d e r s t a n d i n g o f e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s . R i z z u t i & C o n f r e y ( 1 9 8 8 ) r e p o r t p r e l i m i n a r y r e s u l t s o f a c a s e s t u d y o f o n e s t u d e n t ’ s c o n s t r u c t i o n o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . C o n f r e y a n d o t h e r s ( C o n f r e y , 1 9 8 8 ; C o n f r e y , 1 9 9 4 ; C o n f r e y & S m i t h , 1 9 9 3 ; C o n f r e y & S m i t h , 1 9 9 4 ) h a v e e x p l o r e d e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s , a n d s e e m p r i n c i p a l l y e n g a g e d i n c o n n e c t i n g n o t i o n s o f m u l t i p l i c a t i o n a s t h e y r e l a t e t o e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h e y b e l i e v e t h a t s t u d e n t s ’ d i f fi c u l t i e s w i t h e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s a r e g r o u n d e d i n a l i m i t e d v i e w o f r a t e o f c h a n g e a s a d d i t i v e , s u c h a s t h a t f o u n d i n s l o p e o f a l i n e o r t h a t d e fi n e d f o r c a l c u l u s . T h e y f o u n d t h a t w h e n s t u d e n t s w o r k w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , t h a t i s , i n m u l t i p l i c a t i v e s i t u a t i o n s , t h e y c o n s t r u c t r a t e s o f c h a n g e t h a t d i f f e r f r o m t h e a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e . T h e y s u g g e s t t h a t r a t e o f c h a n g e i s a s s o c i a t e d w i t h a u n i t p e r u n i t r a t e , t h a t m u l t i p l i c a t i v e u n i t s d i f f e r f r o m a d d i t i v e o n e s , a n d t h a t s t u d e n t s ’ c o n s t r u c t i o n o f n u m b e r i s a s s o c i a t e d w i t h t h e i r c o n c e p t i o n o f u n i t . T h u s , s t u d e n t s h a v e d i f fi c u l t y w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s b e c a u s e t h e y h a v e n o t h a d a p p r o p r i a t e e x p e r i e n c e s , s u c h a s w i t h s p l i t t i n g , s h a r i n g , a n d s i m i l a r i t y , t h a t m i g h t h e l p t o d e v e l o p m u l t i p l i c a t i v e u n i t s a n d r a t e s o f c h a n g e . I n g e n e r a l , a l t h o u g h t h e r e a r e s p e c i fi c s m a l l s t u d i e s ( s e e , f o r e x a m p l e , D u g d a l e , 1 9 8 9 ; K a p u t , 1 9 9 2 ; S c h o e n f e l d e t a l . , 1 9 9 0 ) , o t h e r t h a n Z a s l a v s k y ( 1 9 9 0 ) a n d t h o s e j u s t m e n t i o n e d f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , t h e r e i s v e r y l i t t l e r e s e a r c h o n s p e c i fi c c l a s s e s o f f t m c t i o n s . F u r t h e r , o t h e r t h a n t h a t m e n t i o n e d , t h e r e i s l i t t l e 0 F 2 0 r e s e a r c h i n h i g h s c h o o l s d e a l i n g p r i n c i p a l l y w i t h t o p i c s u s u a l l y c o v e r e d i n h i g h s c h o o l c l a s s e s a t t h e a d v a n c e d l e v e l . ” n o t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s . T h e r e p r e s e n t a t i o n s w e m a k e p r o v i d e a m e a n s o f h i g h l i g h t i n g s p e c i fi c f e a t u r e s o f a s i t u a t i o n , w h i l e o b s c u r i n g o t h e r s . T h u s r e p r e s e n t a t i o n s h a v e t h e p o t e n t i a l f o r a i d i n g p r o b l e m s o l v i n g b y m a k i n g c r i t i c a l f e a t u r e s s a l i e n t a n d d i s p l a y i n g t h e m i n a w a y t h a t m a k e s p r o p e r t i e s m o r e c l e a r . G r a p h s a r e a fi m d a m e n t a l m e a n s o f r e p r e s e n t i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , p a r t i c u l a r l y o f c o n t i n u o u s r e l a t i o n s h i p s , s i n c e t h e y m a k e s a l i e n t m a n y d e r i v e d q u a n t i t i e s , s u c h a s r a t e o f c h a n g e b e t w e e n v a r i a b l e s , o r t h e p r o p e r t y t h a t f o r c e r t a i n v a l u e s t h e f u n c t i o n i n c r e a s e s w i t h o u t b o u n d . I n t e r p r e t i n g g r a p h s , h o w e v e r , i s p a r t i c u l a r l y t r o u b l e s o m e f o r s t u d e n t s ( B e l l , 1 9 8 9 ; B e l l & J a n v i e r , 1 9 8 1 ; C l e m e n t s , 1 9 8 9 ; J a n v i e r , 1 9 7 8 ; K e r s l a k e , 1 9 8 1 ) . F o r e x a m p l e , s t u d e n t s s o m e t i m e s i n t e r p r e t g r a p h s a s p i c t u r e s o f s i t u a t i o n s o r fi x a t e o n o n e p a r t o f t h e g r a p h w h i l e i g n o r i n g o t h e r r e l e v a n t p a r t s . T h e y c o n f u s e h e i g h t a n d s l o p e ( J a n v i e r , 1 9 7 8 ) . S t u d e n t s t e n d t o d e a l w i t h f u n c t i o n s p i e c e m e a l r a t h e r t h a n d e a l i n g w i t h t h e m a s a w h o l e ( E v e n , 1 9 8 9 ) . O n e r e a s o n s t u d e n t s c a n n o t e a s i l y i n t e r p r e t g r a p h s m a y b e t h a t t h e y s i m p l y d o n o t g e t m u c h e x p e r i e n c e a t i t ( J a n v i e r , 1 9 7 8 ) . E i s e n b e r g ( 1 9 9 2 ) c l a i m s t h a t s t u d e n t s c a n n o t w o r k w i t h v i s u a l d i a g r a m s b e c a u s e t h e y l a c k e x p e r i e n c e . S i m i l a r l y , M a r k o v i t s , E y l o n , a n d B r u c k h e i m e r ( 1 9 8 8 ) r e c o m m e n d t h a t s t u d e n t s h a v e m o r e e x p e r i e n c e s w i t h g r a p h s . T r a n s l a t i n g f u n c t i o n s f r o m o n e r e p r e s e n t a t i o n t o a n o t h e r , a s k i l l c r i t i c a l t o m a k i n g u s e o f t h e p o w e r o f r e p r e s e n t a t i o n s d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g , g i v e s s t u d e n t s d i f fi c u l t y , t o o ( Z a s l a v s k y , 1 9 9 0 ) . T y p i c a l l y , s t u d e n t s a r e t a u g h t t o fi n d p a i r s o f n u m b e r s w h i c h s a t i s f y a f u n c t i o n a l e q u a t i o n , p l o t t h e s e a s p o i n t s , a n d c r e a t e a g r a p h . T h e y g e t l i t t l e p r a c t i c e w i t h p a p e r a n d p e n c i l s i n t r a n s l a t i n g r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . I n t h e p a s t , t e a c h e r s h a v e a s s u m e d t h a t t h e s e e x p e r i e n c e s h a v e 2 1 b e e n s u f fi c i e n t ( V i n n e r , 1 9 9 2 ) . Y e t t r a n s l a t i o n b e t w e e n t w o r e p r e s e n t a t i o n s i s d i r e c t i o n a l s i n c e i t i n v o l v e s , f o r e x a m p l e , a d i f f e r e n t p r o c e s s t o g o f r o m a g r a p h t o a n a l g e b r a i c f u n c t i o n r u l e t h a n f r o m t h e r u l e t o a g r a p h . I n s o m e c a s e s , a s d e s c r i b e d a b o v e , s o m e p r o c e s s e s i n v o l v e i n t e r m e d i a t e t r a n s l a t i o n s a s w e l l , s u c h a s a l g e b r a i c f o r m t o t a b l e t o g r a p h ( J a n v i e r , 1 9 8 7 c ) . A l i m i t e d n u m b e r o f r e s e a r c h e r s l i n k d i f fi c u l t i e s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s t o s t u d e n t s ’ p r e f e r e n c e s , a b i l i t i e s , o r s o c i o - e c o n o m i c s t a t u s . D r e y f u s a n d E i s e n b e r g ( 1 9 8 2 ; 1 9 8 4 ) f o u n d w h i l e s t u d y i n g f o r m a l f u n c t i o n c o n c e p t s t h a t l o w - a b i l i t y , l o w S E S , s e v e n t h - a n d e i g h t h - g r a d e s t u d e n t s p r e f e r r e d t a b l e s , w h e r e a s h i g h — a b i l i t y s t u d e n t s p r e f e r r e d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . F u r t h e r , l o w - a b i l i t y s t u d e n t s d i d b e t t e r o n i t e m s t h a t h a d a c o n c r e t e s i t u a t i o n t o f r a m e t h e t a s k . M a r k o v i t s e t a l . ( 1 9 8 6 ) a l s o f o u n d s t u d e n t s o f l o w e r a b i l i t y h a d a n e a s i e r t i m e d e a l i n g w i t h t a s k s t h a t w e r e g i v e n i n a s t o r y , r a t h e r t h a n w i t h t a s k s g i v e n m a t h e m a t i c a l l y . T h e s e s t u d i e s r a i s e q u e s t i o n s a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h e e x p e r i e n c e s t h a t s t u d e n t s b r i n g f r o m o u t s i d e s c h o o l . S o m e s t u d e n t s m a y fi n d c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s m o r e u s e f u l t h a n o t h e r s d e p e n d i n g o n t h e i r p e r s o n a l e x p e r i e n c e . I t m a y b e t h a t s o m e r e p r e s e n t a t i o n s a r e i n h e r e n t l y m o r e c o m p l e x t h a n o t h e r s , a n d t h u s t h e r e c o u l d b e a r e l a t i o n b e t w e e n h o w e a s y i t i s t o t m d e r s t a n d o r t o w o r k w i t h c e r t a i n k i n d s o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d h o w d e v e l o p e d i s a s t u d e n t ’ s u n d e r s t a n d i n g o f f r m c t i o n s . P r o b l e m s i t u a t i o n s h a v e t h e i r o w n c o m p l e x i t i e s , s u c h a s c o m p l e x i t i e s i n h o w t h e p r o b l e m i s s t a t e d , t h a t c a n i n h i b i t u n d e r s t a n d i n g w i t h i n t h e m ( B e l l & J a n v i e r , 1 9 8 1 ; C l a r k e & H e l m e , 1 9 9 4 ; J a n v i e r , 1 9 8 1 ) . J a n v i e r ( 1 9 8 1 ) , c i t i n g a n e x a m p l e o f c h i l d r e n w h o l i v e n e a r a h a r b o r s e e i n g t i d e a s g o i n g u p a n d d o w n w h i l e t h o s e l i v i n g n e a r a b e a c h s e e i n g i t a s g o i n g i n a n d o u t , p o i n t e d o u t t h e " r e m a r k a b l e d i v e r s i t y o f . p e r s o n a l p e r c e p t i o n s a n d / o r c o n c e p t i o n s " t h a t c h i l d r e n b r i n g t o e a c h s i t u a t i o n a n d w h i c h m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t e a c h i n g / l e a r n i n g s i t u a t i o n s . 2 2 M a t h e m a t i c s e d u c a t o r s h a v e l o n g b e e n u s i n g v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s t o p r e s e n t c o n c e p t s . H o w e v e r , t h e r e a r e s e v e r a l p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h a s s u m i n g t h a t s u c h e f f o r t s c a n b e s u c c e s s f u l ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 6 ) . F i r s t , t h e i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e c o n c e p t r e p r e s e n t e d m a y e x i s t o n l y w h e n b o t h a r e c o n s i d e r e d p u r e l y a s s y m b o l s y s t e m s , s u c h a s i n a p r o b l e m i n t h e d e c i m a l s y s t e m a n d i n a p a r t i c u l a r c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m 2 s u c h a s D i e n e s b l o c k s . I t m a y a l s o b e t h e c a s e , a s w i l l b e i n v e s t i g a t e d h e r e , t h a t g o o d r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m s a r e p o w e r f u l b e c a u s e t h e y a r e s o c o h e r e n t i n t h e i r o w n r i g h t a n d s u p p o r t r e a s o n i n g w i t h i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t o s u c h a n e x t e n t t h a t t h e y r e s i s t a t t e m p t s t o d e c o n t e x t u a l i z e t h e c o n c e p t s o r t o m o v e t h e m t o a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n . T e c h n o l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . T h e C u r r i c u l u m S t a n d a r d s ( N C T M , 1 9 8 9 ) a d v o c a t e s e x t e n s i v e u s e o f t e c h n o l o g y i n t h e c u r r i c u l u m . W i t h t h e i n c r e a s i n g a v a i l a b i l i t y o f c o m p u t e r g r a p h i n g u t i l i t i e s a t a f f o r d a b l e p r i c e s ( D i S e s s a , 1 9 8 7 ) , d y n a m i c r e p r e s e n t a t i o n s a r e w i t h i n r e a c h o f t h e c l a s s r o o m . G r a p h s , f o r e x a m p l e , c o u l d b e e x p e r i e n c e d a s a w h o l e , e v e n p r i o r t o p l o t t i n g o f p o i n t s . T h e u s e o f t h e s e t e c h n o l o g y - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n s m a k e s p o s s i b l e n e w i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h e s t h a t c o u l d a l l e v i a t e s o m e o f t h e d i f fi c u l t i e s d i s c u s s e d a b o v e . M o k r o s a n d T i n k e r ( 1 9 8 7 ) , w o r k i n g w i t h m i d d l e s c h o o l s t u d e n t s i n a m i c r o — c o m p u t e r b a s e d l a b o r a t o r y , f o u n d t h a t s t u d e n t s c o u l d l e a r n t o c o m m u n i c a t e t h r o u g h g r a p h s . T h r o u g h i n s t r u c t i o n , t h e y s u c c e s s f u l l y d i s p e l l e d s u c h s t u d e n t m i s c o n c e p t i o n s a s i n t e r p r e t i n g p i c t u r e s a s g r a p h s a n d t h e s l o p e - h e i g h t c o n f u s i o n . G o l d e n b u r g , L e w i s , a n d O ’ K e e f e ( 1 9 9 2 ) d e s c r i b e d u s i n g a c l a s s o f f u n c t i o n - v i s u a l i z i n g t o o l s c a l l e d D y n a G r a p h s , i n w h i c h t h e u s e r 2 R e p r e s e n t a t i o n s y s t e m i s u s e d h e r e t o i m p l y a b r o a d e r n o t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n , i n c l u d i n g a c o l l e c t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n s a n d p o s s i b l y o p e r a t i o n s o n t h e m . F o r e x a m p l e , D i e n e s b l o c k s a s a s y s t e m c a n b e u s e d t o r e p r e s e n t a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s o n n u m b e r s , w h e r e a s o n e c o n fi g u r a t i o n o f b l o c k s s t a n d i n g f o r a s i n g l e n u m b e r o r b e i n g u s e d t o r e a s o n a b o u t a s i n g l e a r i t h m e t i c p r o b l e m w o u l d c o n s t i t u t e a r e p r e s e n t a t i o n i n t h e l i m i t e d w a y i t i s u s e d i n t h i s s t u d y . C a r t e s i a n g r a p h s w o u l d b e a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m , w h i l e _ a _ s i n g l e C a r t e s i a n g r a p h w o u l d b e a r e p r e s e n t a t i o n . 2 3 d y n a m i c a l l y m a n i p u l a t e s t h e d o m a i n v a r i a b l e . T h e d o m a i n v a r i a b l e a n d i t s i m a g e u n d e r t h e f u n c t i o n a r e r e p r e s e n t e d e a c h i n i t s o w n s p a c e , f o r e x a m p l e , t w o v a r i a b l e s m o v i n g i n t w o s e p a r a t e l i n e s . T h i s t e c h n o l o g y a l l o w e d s t u d e n t s t o e x p l o r e d y n a m i c a l l y h o w v a r i a b l e s d e p e n d o n e a c h o t h e r . T w o n i n t h g r a d e s t u d e n t s s u c c e s s f u l l y d r e w t h e g r a p h o f f ( x ) = x + 4 / ( x - 3 ) a s a m e a n s o f d e s c r i b i n g b e h a v i o r t h e y o b t a i n e d s t r i c t l y f r o m o b s e r v a t i o n s . ( S e e a l s o D u g d a l e , 1 9 8 9 ; G o l d e n b e r g e t a l . , 1 9 9 2 ; R u b i n , 1 9 9 1 ; S c h w a r t z & Y e r u s h a l m y , 1 9 9 2 ; T h o m p s o n , 1 9 8 7 ; Y e r u s h a l m y & C h a z a n , 1 9 9 0 . ) W h i l e t h e s e t e c h n o l o g i e s s h o w g r e a t p r o m i s e , t h e s e d y n a m i c r e p r e s e n t a t i o n s b r i n g t h e i r o w n d i f fi c u l t i e s t o t e a c h i n g a n d l e a r n i n g . G o l d e n b u r g ( 1 9 8 7 ) , u s i n g c o m p u t e r s o f t w a r e t h a t d y n a m i c a l l y l i n k e d s y m b o l i c a n d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s , s h o w e d t h a t p e r c e p t u a l i l l u s i o n s a n d s h i f t s o f a t t e n t i o n f r o m o n e f e a t u r e t o a n o t h e r o b s c u r e d s o m e o f t h e e d u c a t i o n a l f e a t u r e s t h a t g r a p h s w e r e i n t e n d e d t o e l u c i d a t e . K a p u t ( 1 9 9 2 ) , r e p o r t i n g o n h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o h a d h a d o n e o r t w o y e a r s o f a l g e b r a a n d w h o w e r e w o r k i n g w i t h a c o m p u t e r p r o g r a m t o g u e s s t h e f u n c t i o n r u l e f o r a l i n e a r f u n c t i o n w h i l e g e t t i n g f e e d b a c k a f t e r e a c h r e s p o n s e , f o u n d t h a t s o m e s t u d e n t s a t t e n d e d o n l y t o t h e l a s t r e s p o n s e , r a t h e r t h a n m a k e u s e o f t h e r e s t o f t h e f e e d b a c k g i v e n e a r l i e r a n d s t i l l v i s i b l e o n t h e s c r e e n . I n a d d i t i o n , a t t h i s p o i n t w e k n o w l i t t l e a b o u t l e a r n i n g a n d t e a c h i n g w i t h g r a p h i c s c a l c u l a t o r s . C o n t e x t a n d l e a r n i n g . A n o t h e r a r e a o f p o t e n t i a l d i f fi c u l t y i s t h e c o n t e x t u a l i z e d n a t u r e o f l e a r n i n g . A s m o r e r e s e a r c h i s c o n d u c t e d i n s e t t i n g s w h e r e a s m a l l n u m b e r o f s u b j e c t s a r e s t u d i e d i n d e p t h , p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h c o n t e x t u a l i z a t i o n a r e b e i n g u n c o v e r e d . R e c e n t l y , S c h o e n f e l d , S m i t h , a n d A r c a v i ( 1 9 9 0 ) c o n d u c t e d a m i c r o a n a l y s i s o f o n e s t u d e n t ’ s l e a r n i n g o f l i n e a r f u n c t i o n s o n t h e c o m p u t e r . T h e y f o u n d t h a t t h e s t u d e n t ’ s u n d e r s t a n d i n g s o f g r a p h s o f l i n e a r f u n c t i o n s w a s m u c h m o r e c o n t e x t u a l i z e d t h a n p r e v i o u s l y t h o u g h t . E v e n i n a l a r g e s t u d y , Z a s l a v s k y ( 1 9 9 0 ) f o u n d t h a t s t u d e n t s a d h e r e d t o o n e r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t a n d d i d 2 4 n o t u s e t h e p o w e r o f r e p r e s e n t a t i o n s a v a i l a b l e t o t h e m . T h e y p r e f e r r e d t o s t i c k t o a l g e b r a i c f o r m s e v e n w h e n g r a p h i c a l f o r m s w o u l d h a v e p r o v i d e d e a s i e r s o l u t i o n s . J a n v i e r ( 1 9 8 1 ) f o u n d s t u d e n t s ’ i n t e r p r e t a t i o n o f g r a p h s o f s i t u a t i o n s d e p e n d e d b o t h o n p r o b l e m s t a t e m e n t c o n t e x t a n d t h e s i t u a t i o n c o n t e x t b e i n g r e p r e s e n t e d . F i n a l l y , C l a r k e a n d H e l m e ( 1 9 9 4 ) , i n a s m a l l s t u d y o f 9 a d u l t s t u d e n t s a n d t h e i r w o r k a n d p e r c e p t i o n s o f b o t h c o n t e x t u a l i z e d a n d d e c o n t e x t u a l i z e d p r o b l e m s , f o u n d o n a v e r a g e t h e y w e r e n o m o r e s u c c e s s f u l o n o n e t y p e t a s k t h a n t h e o t h e r , b u t t h a t i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s n e e d e d t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t t o u n d e r s t a n d t h e r o l e o f c o n t e x t . S t u d e n t s w h o p e r f o r m e d b e t t e r o n c o n t e x t u a l i z e d t a s k s a p p e a r e d t o b e n e fi t f r o m b e i n g a b l e t o u n d e r s t a n d m o r e p r e c i s e l y t h e p r o b l e m r e q u i r e m e n t s a n d t o v i s u a l i z e t h e s i t u a t i o n . T h o s e w h o h a d d i f fi c u l t y w i t h c o n t e x t u a l i z e d t a s k s p e r c e i v e d t h a t t h e y d i d s o b e c a u s e c o n t e x t m a d e i t m o r e d i f fi t h t o s e e t h e m a t h e m a t i c s t h a t w a s t o b e d o n e , t h e t a s k c o n t e x t w a s n o t f a m i l i a r , o r t h e y h a d l i n g u i s t i c d i f fi c u l t i e s . F i n a l l y , a l t h o u g h C l a r k e a n d H e l m e r e p o r t e d n o c l e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s o l u t i o n m e t h o d a n d c o n t e x t , i n t h e a r e a o f d i r e c t e d n u m b e r s a n d l i n e a r e q u a t i o n s t h e y f o u n d t h a t p r e s e n t i n g t h e p r o b l e m a s a n e q u a t i o n s t i m u l a t e d a f o r m a l a p p r o a c h , w h e r e a s a w o r d e d c o n t e x t t a s k t r i g g e r e d a n i n f o r m a l a p p r o a c h . T h e S t u d y P u r p o s e T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y w a s t o e x p l o r e t h e c o n c e p t i o n s a b o u t f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , a n d t h e i r v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s t h a t s t u d e n t s h a v e w h e n g i v e n a n o p p o r t u n i t y t o s t u d y l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n a n i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g t h a t w a s d e s i g n e d t o p r o v i d e e x p e r i e n c e s r e c o m m e n d e d b y t h e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) . T h e s e t t i n g w a s c h o s e n t o p r o v i d e a c c e s s t o s t u d e n t s o f d i v e r s e e t h n i c b a c k g r o u n d s f r o m d i s a d v a n t a g e d c o m m u n i t i e s i n a s u c h a c l a s s r o o m s e t t i n g . T h e m a t e r i a l s w e r e o r g a n i z e d a r o u n d t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n . T h e y i n t r o d u c e d f t m c t i o n c l a s s e s i n f o r m a l l y b y e x p l o r a t i o n s w i t h f r : 2 5 s i t u a t e d p r o b l e m s , a n d e m p h a s i z e d c o n n e c t i o n s b e t w e e n d i f f e r e n t p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s ( v e r b a l d e s c r i p t i o n s o r s i t u a t i o n s , s y m b o l i c , g r a p h i c a l , a n d t a b u l a r ) f o r f u n c t i o n s . G r a p h i c a l c a l c u l a t o r s w e r e u s e d t h r o u g h o u t . T h e s t u d y s o u g h t t o d e t e r m i n e w h a t c o n c e p t i o n s s t u d e n t s d e v e l o p e d a b o u t f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s i t u a t i o n s a n d h o w s t u d e n t s w o r k e d w i t h t h e p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s . I t s o u g h t t o d e s c r i b e c o n n e c t i o n s s t u d e n t s m a d e a c r o s s e i t h e r f u n c t i o n a l o r r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s a n d t o d i s c o v e r i f a n d t o w h a t e x t e n t p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s c o n t r i b u t e d o r h i n d e r e d s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s . F i n a l l y , i t a t t e m p t e d t o d e t e r m i n e i f t h e r e w e r e o t h e r f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s ’ t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s . T h e Q u e s t i o n T h e p r i n c i p a l q u e s t i o n i n f o r m i n g t h i s s t u d y w a s : W H A T S E N S E D 0 S T U D E N I ‘ S I N T H I S I N S T R U C T I O N A L S E T T I N G M A I Q E 0 F F U N C T I O N S A N D T O W H A T E X T E N T A R E T H E I R C O N C E P T I O N S T I E D T 0 S P E C I F I C M A T H E M A T I C A L 0 R R E P R E S E N T A T I O N A L C O N T E X T S ? M a t h e m a t i c a l c o n t e x t r e f e r s t o t h e c o n t e n t t o p i c , w h i c h i s l i n e a r , q u a d r a t i c , o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . R e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t r e f e r s t o t h e m a t h e m a t i c a l f o r m s t h a t a r e u s e d p r i m a r i l y t o p r e s e n t t h e s e f u n c t i o n s i n t h e i r e l e m e n t a r y f o r m s : v e r b a l d e s c r i p t i o n s , t a b l e s , C a r t e s i a n g r a p h s , o r l i t e r a l s y m b o l i c f o r m s . M e d i a u s e d f o r t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e p r i n c i p a l l y t a l k , p a p e r a n d p e n c i l ( o r c h a l k b o a r d ) , a n d g r a p h i c s c a l c u l a t o r s . I n o r d e r t o a n s w e r t h e p r i n c i p a l q u e s t i o n , s e v e r a l o t h e r q u e s t i o n s i n i t i a l l y f r a m e d m y t h i n k i n g . T h e y w e r e : A . I n w h a t k i n d s o f a c t i v i t i e s a n d e x p e r i e n c e s w i t h d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e t h r e e c l a s s e s o f f t m c t i o n s d o s t u d e n t s e n g a g e ? B . W h a t d o s t u d e n t s u n d e r s t a n d f t m c t i o n s t o b e ? H o w d o t h e y t a l k a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? 1 e : 2 6 C . I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t d o s t u d e n t s u s e r e p r e s e n t a t i o n s t o p r e s e n t t h e i r i d e a s o f f u n c t i o n s ? A r e s t u d e n t s a b l e t o c r e a t e s y m b o l i c , t a b u l a r , o r g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? H o w d o s t u d e n t s i n t e r p r e t s p e c i fi c p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n s a s t h e y a r e e m b o d i e d w i t h i n a p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t ? D o t h e y u n d e r s t a n d w h a t c o n s t i t u t e s s u f fi c i e n t » i n f o r m a t i o n t o d e fi n e a g i v e n f u n c t i o n w i t h i n a r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t ? D . I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t i s t h e i r s e n s e o f f u n c t i o n s s i m i l a r o r d i f f e r e n t b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s ? m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? D o s t u d e n t s ’ f a c i l i t y t o t r a n s l a t e b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s d i f f e r b e t w e e n f r m c t i o n c l a s s e s ? E . I n w h a t w a y s d o s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a b o u t f u n c t i o n s t r a n s c e n d u n d e r s t a n d i n g s w i t h i n a g i v e n m a t h e m a t i c a l o r r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t ? W h a t k i n d s o f c o n n e c t i o n s d o s t u d e n t s m a k e b e t w e e n p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s o f f u n c t i o n s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? T o w h a t e x t e n t a r e t h e y a w a r e o f t h e l i m i t a t i o n s o f i n d i v i d u a l r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s i n p o r t r a y i n g p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n s ? H o w a r e s t u d e n t s a f f e c t e d b y r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s w h e n s o l v i n g p r o b l e m s ? T o w h a t e x t e n t d o s t u d e n t s c o n s i d e r a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n s ? D o t h e y p r e f e r u s i n g o n e r e p r e s e n t a t i o n o v e r o t h e r s ? I b e g a n t h e s t u d y w i t h t h i s s e t o f q u e s t i o n s , b u t w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h e y w o u l d b e c o m e m o r e f o c u s e d a s I c o n t i n u e d a n a l y s i s . I n a d d i t i o n , i n t h e c o u r s e o f t h e s t u d y I e x p e c t e d n e w q u e s t i o n s t o e m e r g e . s i t d c c l a c l i 3 1 1 E P r o 8 p c fl e x D r u C H A P T E R 2 M E T H O D S T h i s c h a p t e r b e g i n s w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e r e s e a r c h m e t h o d o l o g y , f o l l o w e d b y d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s . D a t a c o l l e c t i o n i s b r o k e n i n t o f o u r p a r t s : t h e s e t t i n g f o r t h e s t u d y , t h e n a t u r e o f i n s t r u c t i o n , a d e s c r i p t i o n o f h o w s u b j e c t s w e r e c h o s e n , a n d d a t a c o l l e c t i o n p r o c e d u r e s , i n c l u d i n g a d e s c r i p t i o n o f u n e x p e c t e d e v e n t s t h a t r e q u i r e d a d j u s t i n g t h e s t u d y . T h e s e c t i o n o n a n a l y s i s i n c l u d e s a d e s c r i p t i o n o f t h e r e s e a r c h p r o c e s s a n d h o w e m e r g i n g t h e m e s i n t h e d a t a l e d t o a r e v i s i o n o f t h e r e s e a r c h s u b q u e s t i o n s . F i n a l l y , t h e c h a p t e r c o n c l u d e s w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e s u b j e c t i v i t y o f t h e r e s e a r c h e r . M e t h o d o l o g y T h i s s t u d y c o m b i n e d i n - d e p t h e x p l o r a t i o n o f s t u d e n t s ’ t h i n k i n g i n p r o b l e m s i t u a t i o n s i n a l a b o r a t o r y s e t t i n g w i t h fi e l d w o r k m e t h o d s ( J a c o b , 1 9 8 7 ) o f m a k i n g d e t a i l e d o b s e r v a t i o n s a n d r e c o r d i n g o f s t u d e n t s ’ a c t i v i t i e s a n d i n t e r a c t i o n s i n t h e c l a s s r o o m . T h e p r i m a r y f o c u s o f t h e s t u d y w a s o n d a t a c o l l e c t e d i n a s e q u e n c e o f c l i n i c a l i n t e r v i e w s , w i t h c l a s s r o o m d a t a p r o v i d i n g t h e b a c k d r o p f r o m w h i c h t o m a k e s e n s e o f s t u d e n t s ’ a c t i v i t i e s i n t h e i n t e r v i e w s . S t u d e n t s a r e a s s u m e d t o b e d i v e r s e i n t h e i r t h i n k i n g a n d i n t h e m e a n i n g s t h e y g i v e t o p r o b l e m s , s i t u a t i o n s , a n d e v e n t s . R e s e a r c h o n c h i l d r e n ’ s l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s i n d i c a t e s t h a t d e v e l o p i n g u n d e r s t a n d i n g m u s t t a k e i n t o a c c o u n t h o w l e a r n e r s t h i n k a b o u t a p r o b l e m o r a c o n c e p t ( R o m b e r g & C a r p e n t e r , 1 9 8 6 ) , s o s p e c i a l a t t e n t i o n m u s t b e p a i d t o t h e p r o c e s s e s t h a t s t u d e n t s e n g a g e i n . C l i n i c a l i n t e r v i e w s p r o v i d e i n - d e p t h i n f o r m a t i o n n e c e s s a r y t o e x p l o r e h o w i n d i v i d u a l s t u d e n t s t h i n k a b o u t s p e c i fi c c o n c e p t s a n d t o a c c e s s s t u d e n t s ’ p r i o r k n o w l e d g e . I n t e r v i e w s a l l o w t h e fl e x i b i l i t y t o p u r s u e s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f u n d e r l y i n g c o n c e p t s a n d t o e x p l o r e t h e p r o c e s s e s b y w h i c h a n s w e r s a r e f o r m e d . 2 7 A 2 8 T h e i n t e r v i e w s p r e s e n t e d s t u d e n t s w i t h s p e c i fi c m a t h e m a t i c a l a n d p r o b l e m s i t u a t i o n c o n t e x t s t h a t w e r e c l o s e l y r e l a t e d t o a c t i v i t i e s a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s t h a t w e r e p a r t o f c l a s s r o o m a c t i v i t i e s . ( S e e A p p e n d i x A f o r a c o m p l e t e s e t o f q u e s t i o n s . ) S e v e r a l o f t h e p r o b l e m s w e r e s i m i l a r t o t h o s e g i v e n i n c l a s s . O t h e r s w e r e d i f f e r e n t f r o m c l a s s t a s k s o r h a d a c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l e x t a s k s t r u c t u r e d e s i g n e d t o p r o b e u n d e r s t a n d i n g . C l i n i c a l i n t e r v i e w s t h a t u s e t a s k s o r s i t u a t i o n s t h a t a s t u d e n t fi n d s p r o b l e m a t i c b e c a u s e t h e y d o n o t m e e t e x p e c t a t i o n s a s t o w h a t s h o u l d c o n s t i t u t e t h e p r o b l e m o r w h a t t h e e x p e c t e d p a t h o f s o l u t i o n a r e p a r t i c u l a r l y g o o d a t g e t t i n g a t s t r o n g l y h e l d c o n v i c t i o n s ( G i n s b u r g , 1 9 7 7 ) . W h e n a r e s u l t w a s s u r p r i s i n g o r a s o l u t i o n r e q u i r e d a s t r u g g l e , s t u d e n t d i s c u s s i o n w a s e x p e c t e d t o r e v e a l w h i c h c o n c e p t s a n d b e l i e f s s t u d e n t s h e l d t e n a c i o u s l y a n d w h i c h t h e y r e a d i l y r e l i n q u i s h e d ( C o n f r e y , 1 9 8 0 ) . S u c h p r o b l e m s r e v e a l e d b o t h s t u d e n t s ’ w a y s o f t h i n k i n g a n d t h e i r p r i o r k n o w l e d g e , w h i c h w a s r e l e v a n t t o t h i s s t u d y . F i n a l l y , r e s e a r c h h a s s h o w n t h a t s o c i a l a n d i n s t r u c t i o n a l c o n t e x t s c o n t r i b u t e t o w h a t i s b e i n g l e a r n e d ( B r o w n , C o l l i n s , & D u g u i d , 1 9 8 9 ; C o b b , 1 9 8 6 ; C o o n e y , G r o u w s , & J o n e s , 1 9 8 8 ; G r e e n o , 1 9 8 7 ; S t e f f e & C o b b , 1 9 8 8 ) . T o m a k e s e n s e o f w h a t s t u d e n t s d i d i n i n t e r v i e w s , i t w a s n e c e s s a r y a l s o t o e x p l o r e t h e i r a c t i v i t i e s i n t h e c l a s s r o o m . S i n c e l e a r n i n g i s a s s u m e d n o t t o b e s t a t i c , s t u d y i n g i t o v e r t i m e g a v e i n s i g h t s i n t o i t s n a t u r e t h a t c o u l d n o t b e o b t a i n e d a t a s i n g l e p o i n t i n t i m e , a n d i n a d d i t i o n , p r o v i d e d t i m e f o r m e t o t e s t b u d d i n g h y p o t h e s e s a b o u t e m e r g i n g p a t t e r n s i n t h e d a t a . I t p r o v i d e d a n o p p o r t u n i t y t o o b s e r v e t h e c o n s t r u c t i v e p r o c e s s e s o f i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s t u d e n t a s a c o g n i t i v e a g e n t a n d t h e s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e y a c t e d ( C o n f r e y , 1 9 9 4 ; G r e e n o , 1 9 8 9 ) . F i n a l l y , t h i s c l a s s r o o m a s a r e s e a r c h s i t e p r o v i d e d a s o c i a l c o n t e x t m o r e l i k e t h a t o f a s t a n d a r d c l a s s r o o m t h a n d o e s t h e l a b o r a t o r y a n d t h u s p r o v i d e d a r i c h e r b a s i s f o r f o r m i n g h y p o t h e s e s a n d m o d e l s o f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g t h a n c o u l d b e d o n e f r o m i n t e r v i e w s a l o n e . 2 9 D a t a C o l l e c t i o n T h e S e t t i n g T h e P r o g r a m T h e s t u d y t o o k p l a c e a t T h e R e g i o n a l C e n t e r U p w a r d B o u n d P r o g r a m i n M a t h a n d S c i e n c e , a 6 — w e e k s u m m e r p r o g r a m a t a m i d w e s t e m u n i v e r s i t y f o c u s e d o n i n c r e a s i n g t h e m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e s k i l l s o f p r o m i s i n g h i g h s c h o o l s t u d e n t s w h o w e r e e i t h e r e c o n o m i c a l l y d i s a d v a n t a g e d o r w h o w o u l d b e t h e fi r s t i n t h e i r f a m i l y t o a t t e n d c o l l e g e . I n a d d i t i o n , t h e p r o g r a m w a s i n t e n d e d t o e n c o u r a g e s t u d e n t s t o s e l e c t c a r e e r s i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . S t u d e n t s c a m e f r o m s e v e r a l d i f f e r e n t s t a t e s . T h e o v e r a l l s c h e d u l e c o n s i s t e d o f o n e w e e k o f c o m m u n i t y a n d t r u s t b u i l d i n g a t a c a m p d e s i g n e d f o r t h a t p u r p o s e , f o l l o w e d b y fi v e w e e k s o f a c a d e m i c i n s t r u c t i o n . T h e m a t h e m a t i c s a n d w r i t i n g c l a s s e s m e t i n 2 - h o u r b l o c k s f r o m M o n d a y t h r o u g h T h u r s d a y . P h y s i c s a n d c o m p u t e r s m e t t w i c e a w e e k i n 2 - h o u r b l o c k s , w h i l e a n a t o m y , b i o l o g y , c h e m i s t r y , a n d m i c r o b i o l o g y m e t o n c e a w e e k f o r o n e 2 - h o u r b l o c k . T h e fi n a l d a y o f c l a s s i n c l u d e d a S c i e n c e O l y m p i a d . I n t e r s p e r s e d t h r o u g h o u t t h e p r o g r a m w e r e b o t h d a y a n d w e e k - e n d fi e l d t r i p s t o a r e a b u s i n e s s e s , r e s e a r c h s i t e s , a n d c u l t u r a l e v e n t s . S t u d e n t s w e r e i n c l a s s a l l d a y a n d u s u a l l y h a d s t u d y h a l l f o r a n h o u r a n d a h a l f a f t e r s u p p e r . O n s o m e e v e n i n g s s t u d y h a l l w a s s t a r t e d e a r l i e r s o s t u d e n t s c o u l d a t t e n d s o m e c u l t u r a l e v e n t . I f s t u d e n t s d i d t h e i r h o m e w o r k ( f o r f o u r c l a s s e s ) , t h e y d i d n o t g e t m u c h s l e e p . A b o u t m i d w a y t h r o u g h t h e p r o g r a m , t h e d i r e c t o r a s k e d t e a c h e r s t o r e d u c e t h e a m o u n t o f h o m e w o r k b e c a u s e i t w a s t o o h e a v y . I n o r d e r t o a t t e n d t h e C e n t e r , s t u d e n t s h a d t o b e ( w i t h f e w e x c e p t i o n s ) e n t e r i n g t h e 1 0 t h o r 1 1 t h g r a d e , h a v e c o m p l e t e d a t l e a s t o n e s u m m e r a n d o n e a c a d e m i c y e a r i n t h e i r h o m e U p w a r d B o u n d P r o g r a m , b e r e a d i n g a t g r a d e l e v e l , b e i n t e r e s t e d i n o r h a v e t h e p o t e n t i a l t o d o w e l l i n a n a c c e l e r a t e d m a t h a n d s c i e n c e c u r r i c u l u m , a n d h a v e a l r e a d y t a k e n a t l e a s t o n e y e a r o f m a t h e m a t i c s a t t h e a l g e b r a l e v e l o r a b o v e . 3 0 T h e r e w e r e 3 7 s t u d e n t s i n t h e p r o g r a m . T h e y w e r e d i v i d e d i n t o 3 s e c t i o n s o f a p p r o x i m a t e l y 1 2 e a c h b y t h e s i m i l a r i t y o f t h e i r m a t h e m a t i c a l p r e p a r a t i o n , b a s e d o n t h e i r m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d s a n d a w r i t t e n p r e t e s t o f m a t h e m a t i c a l c o m p e t e n c i e s . E a c h s e c t i o n f o r m e d a u n i t a n d s t a y e d t o g e t h e r a s a c l a s s f o r e a c h o f t h e e i g h t s u b j e c t s s t u d i e d . T h i s s t u d y f o c u s e d o n o n l y o n e s e c t i o n , f r o m w h i c h fi v e f o c a l s t u d e n t s w e r e i n i t i a l l y s e l e c t e d f o r i n t e n s i v e s t u d y . T h e I n s t r u c t i o n a l C o n t e x t I h a d p r i n c i p a l r e s p o n s i b i l i t y f o r i n s t r u c t i o n a n d p r o v i d e d b o t h t h e c u r r i c u l t u n m a t e r i a l s a n d t h e b r o a d f r a m e w o r k f o r i n s t r u c t i o n . I n d i v i d u a l d e c i s i o n s a b o u t i n s t r u c t i o n f o r e a c h w e e k , h o w e v e r , w e r e d e c i d e d j o i n t l y b y t h e t w o m a t h e m a t i c s t e a c h e r s i n t h e p r o g r a m a n d m e . W e m e t i n s e v e r a l p l a n n i n g m e e t i n g s b e f o r e t h e p r o g r a m b e g a n a n d m e t w e e k l y o n c e c l a s s e s w e r e u n d e r w a y . A d e t a i l e d l i s t o f a s s i g n m e n t s c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x D . P h i l o s o p h y . B r o a d i n s t r u c t i o n a l g o a l s w e r e b a s e d o n a h i e r a r c h i c a l m o d e l o f w h a t i t m e a n s t o k n o w m a t h e m a t i c s ( S c h r a m & W i l c o x , 1 9 8 8 ) . A t S c h r a m a n d W i l c o x ’ s h i g h e s t l e v e l o f k n o w i n g a r e ( a ) u s i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t o m a k e s e n s e o f n e w p r o b l e m s i t u a t i o n s , ( b ) e n g a g i n g i n m a t h e m a t i c a l i n q u i r y , ( c ) m a k i n g c o n n e c t i o n s a m o n g m a t h e m a t i c a l i d e a s , a n d ( d ) r e p r e s e n t i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s i n m e a n i n g f u l f o r m s . T h e y d e fi n e a u t h o r i t y f o r k n o w i n g a s b o t h i n t e r n a l t o t h e i n d i v i d u a l a n d c o l l e c t i v e i n t h a t i n d i v i d u a l s e v a l u a t e t h e r e s u l t s o f e x p l o r a t i o n b a s e d o n s t a n d a r d s o f t h e m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y . S c h r a m a n d W i l c o x ’ s m o d e l a l s o i n c l u d e s t h r e e h i e r a r c h i c a l l e v e l s o f o r i e n t a t i o n f o r s t u d e n t s a c q u i r i n g t h e r e c o r d o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . A t t h e h i g h e s t l e v e l i s ( a ) a c t i v e l y p a r t i c i p a t i n g i n t h e c o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , a n d ( b ) e x p l o r i n g , m a k i n g c o n j e c t u r e s , l o o k i n g f o r r e l a t i o n s h i p s , r e a s o n i n g a n d v a l i d a t i n g a r g u m e n t s a b o u t p r o b l e m s i t u a t i o n s . I n s t r u c t i o n i n t h i s c l a s s t o o k t h e s e a c t i v i t i e s a s g o a l s f o r t a s k s i n w h i c h s t u d e n t s s h o u l d b e e n g a g e d . 3 1 T h e c l a s s . M a t h e m a t i c s c l a s s m e t f o r fi v e w e e k s f r o m M o n d a y t h r o u g h T h u r s d a y f o r a 2 - h o u r b l o c k , e x c e p t f o r t h e l a s t d a y , w h i c h w a s g i v e n o v e r t o S c i e n c e O l y m p i a d . E a c h s t u d e n t h a d a c c e s s t o a T e x a s I n s t r u m e n t s T I - 8 1 g r a p h i c s c a l c u l a t o r d u r i n g c l a s s a n d s h a r e d a c c e s s d u r i n g s t u d y h a l l . T h e t e a c h e r u s e d a c o m p u t e r f o r d e m o n s t r a t i n g a s i m u l a t i o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s , a n d f o r t h e r e m a i n d e r o f c l a s s u s e d a p r o j e c t i o n s y s t e m f o r t h e T I - 8 1 c a l c u l a t o r . H o m e w o r k w a s a s s i g n e d d a i l y a n d s t u d y h a l l w a s h e l d M o n d a y t h r o u g h T h u r s d a y e v e n i n g f o r o n e a n d a h a l f h o u r s , e x c e p t i n a f e w i n s t a n c e s w h e n s t u d e n t s h a d s o m e a c t i v i t y , s u c h a s g o i n g t o a p l a y . A f t e r P r o g r a m t e a c h e r s w e r e a s k e d t o r e d u c e t h e h o m e w o r k a b o u t m i d w a y i n t h e p r o g r a m , m u c h o f t h e w o r k h a d t o b e d o n e i n c l a s s w i t h s h o r t h o m e w o r k a s s i g n m e n t s . T h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f t h e c o u r s e i n c l u d e d l i n e a r , e x p o n e n t i a l , a n d q u a d r a t i c f a m i l i e s o f f u n c t i o n s , i n t h a t o r d e r . O t h e r f u n c t i o n s s u c h a s a b s o l u t e v a l u e , q u o t i e n t , o r p o l y n o m i a l w e r e i n c l u d e d o n l y i n a m i n i m a l w a y . T h e r e p r e s e n t a t i o n a l f o r m s t h a t w e r e u s e d w e r e v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s a n d b o t h p a p e r a n d c a l c u l a t o r v e r s i o n s o f s y m b o l i c r u l e s , C a r t e s i a n g r a p h s , a n d t a b l e s o f d a t a . C a l c u l a t o r a n d p a p e r f o r m s o f s c a t t e r g r a p h s w e r e u s e d f o r c u r v e fi t t i n g . S i t u a t i o n s w e r e v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s o r v e r b a l d e s c r i p t i o n s t o p r o v i d e t h e s e t t i n g f o r s y m b o l i c , g r a p h i c a l , o r t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s o f f t m c t i o n s . A p p l i c a t i o n s w e r e d r a w n p r i m a r i l y f r o m p h y s i c s , e c o n o m i c s , c h e m i s t r y , h e a l t h , a n d b i o l o g y . M o d e l i n g r e a l w o r l d p h e n o m e n a w a s a t h e m e r u n n i n g t h r o u g h t h e m a t e r i a l s . I n a d d i t i o n t o s t u d y i n g p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s o f p r o t o t y p i c a l f u n c t i o n s i n e a c h o f t h e t h r e e f o c a l f u n c t i o n c l a s s e s , s t u d e n t s u s e d v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s t o s o l v e e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s . S t u d e n t s s t u d i e d f a m i l i e s o f f u n c t i o n s a n d t h e r o l e p l a y e d b y p a r a m e t e r s . P a r t i c u l a r a t t e n t i o n w a s p a i d t o r e c o g n i z i n g o r i n t e r p r e t i n g t h e s a m e f u n c t i o n c o n c e p t i n a l g e b r a i c , t a b u l a r , s y m b o l i c , a n d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . 3 2 T h e c l a s s c o v e r e d l a r g e p o r t i o n s o f c h a p t e r s 1 t h r o u g h 5 o f t h e C o m p u t e r I n t e n s i v e A l g e b r a ( C I A ) m a t e r i a l s ( F e y & H e i d , 1 9 8 9 ) ; A l g e b r a A c t i v i t i e s 4 1 - 4 3 , fi t t i n g l i n e s t o s c a t t e r g r a p h s f r o m U C S M P ( 1 9 9 0 ) ; a n d A c t i v i t i e s A l - A 3 , 8 2 , B 3 o f L a n g u a g e o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s ( L F G ) m a t e r i a l s ( S w a n , 1 9 8 5 ) c o n c e r n i n g i n t e r p r e t i n g p o i n t s , i n t e r p r e t i n g g l o b a l f e a t u r e s o f g r a p h s , m a t c h i n g g r a p h s w i t h s i t u a t i o n s , fi n d i n g e x p o n e n t i a l s i t u a t i o n s i n s i t u a t i o n s a n d e x p l o r i n g q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n s i t u a t i o n s . T h e t e a c h e r g e n e r a t e d s e v e r a l e x e r c i s e s t o e x p l o r e t h e r o l e o f p a r a m e t e r s i n f a m i l i e s o f l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d a t a b l e p r o d u c i n g p r o g r a m f o r t h e c a l c u l a t o r . ( S e e A p p e n d i x C f o r e x a m p l e s o f l e s s o n t a s k s . ) I n s t r u c t i o n . I n s t r u c t i o n w a s p r o b l e m c e n t e r e d a n d c o n c e p t u a l l y b a s e d , w i t h t h e f u n c t i o n c o n c e p t fi r s t i n t r o d u c e d t h r o u g h p r o b l e m s i n s i t u a t i o n s i n t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , o n D a y 1 s t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o v a r i a b l e s r e l a t e d b y t a b l e s . T h e y w e r e g i v e n a s i t u a t i o n w i t h a t a b l e o f v a l u e s r e l a t i n g a g e a n d a v e r a g e h e i g h t o f f e m a l e s . A s p a r t o f t h e d i s c u s s i o n , t h e y w e r e t o l d : A s y o u c a n s e e , t h e a v e r a g e h e i g h t c h a n g e s a s a g e i n c r e a s e s . I n m a t h e m a t i c a l t e r m s , w e c a l l a g e a n d h e i g h t n u m e r i c a l o r q u a n t i t a t i v e v a r i a b l e s a n d s a y t h a t h e i g h t d e p e n d s o n a g e o r h e i g h t i s a f u n c t i o n o f a g e . B e c a u s e h e i g h t d e p e n d s o n a g e i t s h o u l d s e e m r e a s o n a b l e t o t h i n k o f a g e a s t h e i n p u t v a r i a b l e a n d h e i g h t a s t h e o u t p u t v a r i a b l e i n t h e r e l a t i o n . ( C I A , p p . 1 - 7 , 1 - 8 , e m p h a s i s i n o r i g i n a l ) A f t e r e x p l o r i n g f u n c t i o n s i n g e n e r a l , t r a n s l a t i n g f r o m t a b l e s t o g r a p h s , a n d i n t e r p r e t i n g t a b l e s , g r a p h s , a n d s y m b o l i c f o r m s f o r i n s t a n c e s o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , l i n e a r f u n c t i o n s w e r e u s e d t o i n t r o d u c e t h e p r o c e s s o f p r o d u c i n g . f u n c t i o n r u l e s f r o m t a b l e s . A l l f u n c t i o n c l a s s e s w e r e i n t r o d u c e d v i a s i t u a t i o n s . F o r q u a d r a t i c f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , s t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o t h e f u n c t i o n c l a s s b y e x p l o r i n g a s i t u a t i o n u s i n g s t o p p i n g d i s t a n c e o n a d r y a s p h a l t r o a d o f a c a r o f a 3 3 p a r t i c u l a r m a s s a s a f u n c t i o n o f s p e e d , d ( s ) = . 0 0 5 3 2 + . 1 4 5 . T h e s e c o n d e x p l o r a t i o n i n v o l v e d O r i o l e s b a s e b a l l p l a y e r C a l R i p k i n a n d a h i g h p o p - u p w i t h h e i g h t o f t h e b a l l a s a f u n c t i o n o f t i m e . ( S e e A p p e n d i x C , C I A , p p . 4 - 2 t o 4 — 5 . ) F u n c t i o n n o t a t i o n w a s u s e d f r o m t h e fi r s t d a y o f c l a s s t o e x p r e s s i n d i v i d u a l c o r r e s p o n d e n c e s i n a r e l a t i o n . P r o b l e m s w e r e u s e d t o e x p l o r e a t t r i b u t e s o f a t y p i c a l f u n c t i o n i n a c l a s s o f f u n c t i o n s , s u c h a s t h e s h a p e o f i t s g r a p h o r t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n a t a b l e . I n a d d i t i o n t o t h e C o m p u t e r I n t e n s i v e A l g e b r a a c t i v i t i e s , b o t h e x p o n e n t i a l a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s w e r e e x p l o r e d u s i n g a c t i v i t i e s f r o m L a n g u a g e o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s ( L o o k i n g a t E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s , p . 3 7 , a n d F i n d i n g F u n c t i o n s i n S i t u a t i o n s , p . 3 5 ) , r e s p e c t i v e l y . A d d i t i o n a l c o n c e p t s a s s o c i a t e d w i t h t h e f u n c t i o n s i n a g i v e n f u n c t i o n c l a s s w e r e e x p l o r e d t h r o u g h m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e c o n c e p t s b y c r e a t i n g , i n t e r p r e t i n g , a n d t r a n s l a t i n g b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s , b o t h i n a p p l i e d p r o b l e m s a n d i n n a k e d c o n t e x t s . G u e s s a n d t e s t s t r a t e g i e s w e r e u s e d t o s o l v e e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s f o r e a c h f u n c t i o n c l a s s . E x p l i c i t a t t e n t i o n w a s p a i d t o n a m e s o f f u n c t i o n c l a s s e s . S t u d e n t s w e r e g i v e n p r o b l e m s s p e c i fi c a l l y d e s i g n e d t o m a k e l i n k s b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , o n e q u e s t i o n i n a n e x p l o r a t i o n i n v o l v i n g a s i t u a t i o n w i t h a t a b l e o f D a w n ’ s a g e i n y e a r s a n d h e r h e i g h t i n c e n t i m e t e r s a s k e d , " W h a t i n f o r m a t i o n i s c o n v e y e d b y " D ( 1 8 ) = 1 8 3 " ? ( C I A , p . 1 - 9 ) . T h i s p r o b l e m c o n n e c t e d s i t u a t e d t a b u l a r d a t a t o t h e s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n f o r a s i n g l e i n s t a n c e o f t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p . S o m e p r o b l e m s w e r e e x p l o r a t o r y s o t h a t m o r e t h a n o n e c o r r e c t p a t h c o u l d b e t a k e n a n d m o r e t h a n o n e c o n c e p t c o u l d a r i s e n a t u r a l l y . S t u d e n t s w e r e e n c o u r a g e d t o w o r k t o g e t h e r t o s h a r e t e n t a t i v e s o l u t i o n s . T h e y w e r e a s k e d t o m a k e c o n j e c t u r e s , j u s t i f y t h e i r t h i n k i n g , a n d t o w r i t e a b o u t t h e i r r e a s o n i n g . W h e r e v e r p o s s i b l e , s t u d e n t s w e r e g i v e n p r o b l e m s d e s i g n e d t o b r i n g t o l i g h t c o m m o n m i s c o n c e p t i o n s s o t h a t t h e y h a d a n o p p o r t u n i t y t o p u z z l e a b o u t c o n fl i c t s a n d t o r e s o l v e t h e m ( B e l l , 1 9 8 6 ; 1 9 8 9 ) . W 1 W 8 3 4 M o d e l i n g . M o d e l i n g w a s a c o n s t a n t t h e m e o f i n s t r u c t i o n . E a c h f u n c t i o n c l a s s w a s i n t r o d u c e d a s a m e a n s t o m o d e l s i t u a t i o n s . T h e t e a c h e r e m p h a s i z e d t h a t m o d e l s w e r e u s e d t o m a k e p r e d i c t i o n s . S t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o t h e m o d e l i n g c o n c e p t a n d s m o o t h i n g d a t a i n a p r o b l e m s i t u a t i o n i n v o l v i n g g r o w i n g 4 p l a n t s i n 2 l i g h t s i t u a t i o n s o v e r 7 d a y s . N e x t , t h e y g a t h e r e d t h e i r o w n d a t a , c o m p a r i n g r e b o u n d h e i g h t w i t h d r o p p i n g h e i g h t f o r v a r i o u s b a l l s , c r e a t e d t h e i r o w n l i n e a r f u n c t i o n s t o m o d e l t h e i r d a t a a n d a n s w e r e d q u e s t i o n s f r o m t h e m o d e l . O n o n e o t h e r o c c a s i o n t h e y g a t h e r e d t h e i r o w n d a t a b y t i m i n g p i n e r a c i n g c a r s r u n n i n g d o w n r a m p s o f v a r i o u s i n c l i n e s . O t h e r t i m e s t h e y w e r e g i v e n r a w d a t a a n d a s k e d t o fi t a c u r v e t o i t . F o r l i n e a r f u n c t i o n s t h e y " e y e b a l l e d " a l i n e t o fi t t h e d a t a , c h o s e t w o p o i n t s a n d c r e a t e d a n e q u a t i o n . F o r q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s t h e y u s e d g u e s s a n d t e s t f o r p a r a m e t e r s o n p r o t o t y p e f u n c t i o n s . C a l c u l a t o r s . C a l c u l a t o r s w e r e u s e d d a i l y t h r o u g h o u t t h e c l a s s a n d s t u d e n t s s e e m e d t o e n g a g e i n t h e a c t i v i t i e s a l o n g w i t h t h e t e a c h e r , w h o s e w o r k w a s d i s p l a y e d b y t h e c a l c u l a t o r p r o j e c t i o n d e v i c e . C a l c u l a t o r a c t i v i t i e s i n c l u d e d n u m e r i c c o m p u t a t i o n s ( e v a l u a t i n g f u n c t i o n s , c h e c k i n g h a n d c o m p u t a t i o n s , a n d g u e s s i n g a n d t e s t i n g s o l u t i o n s f o r e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s ) , g r a p h i n g f u n c t i o n s , fi n d i n g g r a p h i c a l s o l u t i o n s t o e q u a t i o n s i n v o l v i n g f u n c t i o n s b y fi n d i n g a n d i n t e r p r e t i n g c u r v e i n t e r s e c t i o n p o i n t s , c r e a t i n g s c a t t e r g r a p h s o f d a t a , g u e s s i n g a n d t e s t i n g c u r v e s t o fi t t h e m , a n d t h e u s e o f a p r o g r a m t o c r e a t e a t a b l e o f v a l u e s f o r a f u n c t i o n g i v e n t h e b e g i r m i n g a n d e n d o f a n i n t e r v a l o n w h i c h i t w a s t o b e e v a l u a t e d a n d t h e s t e p s i z e f o r i n c r e m e n t i n g x . W h e n s t u d e n t s h a d e x p l o r e d c u r v e fi t t i n g b y g u e s s a n d t e s t , t h e t e a c h e r i n t r o d u c e d a u t o m a t i c c u r v e fi t t i n g o n t h e c a l c u l a t o r , a n d s t u d e n t s u s e d i t t o c o m p a r e t h e i r o w n c h o i c e s f o r p a r a m e t e r s . F i n a l l y , t h e c a l c u l a t o r w a s u s e d t o e x p l o r e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l t r a n s l a t i o n s f o r b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s i n n a k e d c o n t e x t . E x c e p t f o r c r e a t i n g s c a t t e r g r a p h s a n d c a l c u l a t o r c u r v e fi t t i n g , a l l 3 | I n 3 5 t r a n s l a t i o n a c t i v i t i e s o n t h e c a l c u l a t o r r e l i e d o n g o i n g f r o m a r u l e t o e i t h e r a g r a p h o r a t a b l e . T h e t e a c h e r . T h e f o c a l c l a s s w a s t a u g h t b y a n e x p e r i e n c e d h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r , M r . B a i l e y ( n o t h i s r e a l n a m e ) , w h o h a d t a u g h t f o r s i x y e a r s i n t h e s t a n d a r d U p w a r d B o u n d P r o g r a m a t t h i s s a m e u n i v e r s i t y . H e h a d u s e d t h e U C S M P ( 1 9 9 0 ) m a t e r i a l s i n h i s o w n s c h o o l f o r t h e fi r s t t i m e t h a t y e a r a n d h a d t a u g h t w i t h t h e T I - 8 1 c a l c u l a t o r . B o t h t h e C o m p u t e r I n t e n s i v e A l g e b r a a n d L a n g u a g e o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s m a t e r i a l w e r e n e w t o h i m , b u t h e w a s e a g e r t o l e a r n n e w w a y s o f t e a c h i n g . S i t e S e l e c t i o n I s e l e c t e d t h i s s e t t i n g b e c a u s e i t g a v e m e a u n i q u e o p p o r t u n i t y t o s t u d y s t u d e n t s w h o c a m e f r o m e t h n i c a l l y d i v e r s e , e c o n o m i c a l l y d i s a d v a n t a g e d b a c k g r o u n d s a n d w h o w e r e i n t e n d i n g t o g o t o c o l l e g e . I n a d d i t i o n , I c o u l d s t u d y s t u d e n t s i n a c l a s s r o o m s e t t i n g w h e r e s p e c i fi c , e x e m p l a r y m a t e r i a l s t h a t a t t e m p t e d t o i m p l e m e n t t h e N C T M S t a n d a r d s w e r e b e i n g u s e d . F u r t h e r , t h e s e t t i n g g a v e m e a n o p p o r t u n i t y t o i n fl u e n c e t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t t o f o c u s o n t h r e e f u n c t i o n c l a s s e s b y u s i n g e x i s t i n g c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . T h u s , m y r o l e w a s n o t c o n f o u n d e d b y t h e n e e d t o c r e a t e n e w m a t e r i a l s . T h e s e t t i n g c h o i c e w a s i d e a l i n t h e t y p e o f s t u d e n t s p a r t i c i p a t i n g , m y a c c e s s t o o b s e r v i n g a c l a s s r o o m u s i n g p a r t i c u l a r c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , a n d m y b e i n g a b l e t o i n fl u e n c e t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . T h e s e t t i n g w o u l d h a v e b e e n b e t t e r h a d t h e t e a c h e r h a d e x p e r i e n c e w i t h t h e s p e c i fi c c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , b u t M r . B a i l e y s e e m e d c o m f o r t a b l e t e a c h i n g a l l s e g m e n t s . F u r t h e r , t h e c l a s s r o o m d i f f e r e d f r o m s t a n d a r d c l a s s r o o m s b e c a u s e t h e r e w a s n o t e s t i n g . E v e n t h o u g h s t u d e n t s r e c e i v e d a g r a d e a t . t h e e n d o f t h e p r o g r a m t h a t w a s s e n t b a c k t o t h e i r h o m e U p w a r d B o u n d P r o g r a m s , a n y i n fl u e n c e f r o m t e s t i n g a n d g r a d i n g p r o c e d u r e s t h a t m i g h t o c c u r i n s t a n d a r d c l a s s r o o m s w a s l a r g e l y a b s e n t f o r m o s t s t u d e n t s . T h e s i t e s e l e c t i o n a l s o i n fl u e n c e d 3 6 m y a c c e s s t o i n f o r m a t i o n a b o u t s t u d e n t s ’ p r i o r k n o w l e d g e . I k n e w t i t l e s o f c l a s s e s a n d s t u d e n t s ’ g r a d e s o n p r i o r w o r k b u t h a d l i t t l e a c c e s s t o t h e n a t u r e o f i t . T h u s , a c c e s s i n g t h e i r p r e v i o u s m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e w a s d i f fi c u l t e x c e p t t h r o u g h t h e i r s e l f - r e p o r t i n g a n d t h r o u g h i n f e r e n c e s I c o u l d m a k e w h e n t h e y d i s p l a y e d s c h o o l - l i k e a l g o r i t h m s i n i n t e r v i e w s . F i n a l l y , t h e 4 0 h o u r s o f i n s t r u c t i o n w e r e s p r e a d o v e r 5 w e e k s , r a t h e r t h a n w h a t l i k e l y w o u l d b e 8 w e e k s d u r i n g a r e g u l a r s c h o o l y e a r . T h i s t i m e f r a m e a f f o r d e d l e s s t i m e t h a n n o r m a l f o r s t u d e n t r e fl e c t i o n a n d h o m e w o r k b e t w e e n t o p i c s o f s t u d y . S u b j e c t S e l e c t i o n I c o l l e c t e d d a t a a t t h r e e l e v e l s : t h e p r o g r a m , t h e s e c t i o n , a n d fi v e f o c a l s t u d e n t s . P r o g r a m L e v e l A l l s t u d e n t s i n t h e p r o g r a m t o o k a w r i t t e n p r e - t e s t . ( S e e A p p e n d i x B f o r a c o p y o f t h e t e s t . ) S i n c e s t u d e n t s h a d d i f f e r i n g a m o u n t s o f m a t h e m a t i c s a n d w e r e o f d i f f e r e n t a g e s , I h a d p l a n n e d t o u s e t h i s s u r v e y t o a s s i s t m e i n p l a c i n g s t u d e n t s i n t h e t h r e e p r o g r a m c l a s s e s ( o f w h i c h I s t u d i e d o n l y o n e ) t o t r y t o m i n i m i z e d i v e r s i t y o f m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e w i t h i n a n y o n e c l a s s , w h i l e g i v i n g m e s o m e i n d i c a t i o n o f t h e i r p r i o r m a t h e m a t i c k n o w l e d g e a b o u t f u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . S i n c e i t w a s a d m i n i s t e r e d t o a l l s t u d e n t s a t b o t h t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f t h e p r o g r a m , I h a d h o p e d t o u s e i t f o r b o t h b e f o r e a n d a f t e r p r o g r a m c o m p a r i s o n s f o r i n d i v i d u a l s a n d t o h e l p d e fi n e t y p i c a l i t y o f t h e f o c a l g r o u p ’ s r e s p o n s e s . U n f o r t u n a t e l y , m a n y s t u d e n t s d i d n o t t a k e t h e i n i t i a l s u r v e y s e r i o u s l y . I t w a s o r i g i n a l l y i n t e n d e d t o b e g i v e n o n F r i d a y m o r n i n g a f t e r t h e s t u d e n t s h a d s p e n t a w e e k i n t h e p r o g r a m , b u t t h e d i r e c t o r o f t h e p r o g r a m m o v e d t h e t i m e f o r t h e fi r s t s u r v e y t o M o n d a y s o t h a t F r i d a y c o u l d b e u s e d f o r o r i e n t a t i o n t o c l a s s e s . I a g r e e d t o t h i s s w i t c h s i n c e i t s e e m e d i m p o r t a n t f o r t h e s t u d e n t s t o h a v e a n o r i e n t a t i o n c l o s e t o c l a s s s t a r t i n g t i m e a n d t h i s t i m e f r a m e g a v e m e m o r e t i m e t o p o n d e r t h e r e s p o n s e s a n d [ h t W a - 3 7 p o t e n t i a l l y m a k e a m o r e c a r e f u l s e l e c t i o n o f s t u d e n t s i n t o t h r e e c l a s s e s . T h i s d e c i s i o n m a y h a v e b e e n a m i s t a k e , h o w e v e r , s i n c e s t u d e n t s t o o k t h e s u r v e y o n t h e i r fi r s t m o r n i n g o n c a m p u s j u s t b e f o r e b o a r d i n g a b u s t o l e a v e f o r 3 d a y s a t t h e t r u s t - b u i l d i n g c a m p . T h e y w e r e v e r y e x c i t e d a b o u t m e e t i n g n e w p e o p l e a n d a b o u t t h e c o m i n g t r i p ; t h e y w e r e f o c u s e d o n t h e c o m i n g d a y , n o t t h e s u r v e y . E v e n t h o u g h t h e A c a d e m i c P r o g r a m C o o r d i n a t o r a n d I t o l d t h e s t u d e n t s t h e s u r v e y w a s i m p o r t a n t i n t r y i n g t o f o r m c l a s s e s b a s e d o n s i m i l a r i t i e s i n t h e i r m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e , m o s t s t u d e n t s d i d n o t f o c u s o n c o m p l e t i n g t h e s u r v e y , f a i l i n g t o a n s w e r a t l e a s t h a l f o f t h e q u e s t i o n s . O n c e o n e s t u d e n t b e g a n t o m a k e n o i s e a n d t a l k ( a f t e r a b o u t 1 5 m i n u t e s ) , a l a r g e n u m b e r o f s t u d e n t s s e e m e d t o t a k e t h i s a s p e r m i s s i o n n o t t o w o r k o n t h e s u r v e y . M o s t s t o p p e d w o r k i n g l o n g b e f o r e t h e a l l o t t e d t i m e b o t h w a s u p . W h i l e I h a d b e e n c o n c e r n e d a b o u t h o w s t u d e n t s m i g h t r e a c t t o s o m e o f t h e q u e s t i o n s b e c a u s e t h e y w e r e n o n t r a d i t i o n a l , t h e i r l a c k o f s e r i o u s c o n s i d e r a t i o n t o t h e s u r v e y w e n t b e y o n d w h a t c o u l d b e e x p l a i n e d i n t h i s w a y . T h e p o s t t e s t s u r v e y w a s a d m i n i s t e r e d b y t h e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s , a n d s t u d e n t s i n t h e f o c a l s e c t i o n t o o k i t s e r i o u s l y , c o m p l e t i n g o r a t t e m p t i n g m o s t i t e m s . S e c t i o n L e v e l : A s s i g n i n g C l a s s S e c t i o n M e m b e r s h i p 1 w a s n o t a b l e t o u s e t h e i n i t i a l s u r v e y a s a m e a s u r e o f t y p i c a l i t y , e x c e p t i n p e r h a p s t h e n u m b e r o f q u e s t i o n s t h a t w e r e o m i t t e d , n o r d i d t h e s u r v e y p r o v i d e a g e n e r a l b a s i s o f b e f o r e a n d a f t e r c o m p a r i s o n d a t a . I w a s , h o w e v e r , a b l e t o u s e t h e r e s u l t s s o m e w h a t i n c l a s s s e c t i o n f o r m a t i o n a n d t o s o m e e x t e n t i n c h o i c e o f f o c a l s t u d e n t s . T o f o r m t e n t a t i v e s e c t i o n s 1 h a d u s e d i n f o r m a t i o n a b o u t h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s c l a s s e s s t u d e n t s h a d t a k e n , a l o n g w i t h g r a d e s r e c e i v e d . I t h o u g h t o f t h e s e c t i o n s i n t e r m s o f l e v e l s o f e x p e r i e n c e a n d p e r f o r m a n c e b a s e d o n g r a d e s : n o v i c e , m o d e r a t e , a n d a d v a n c e d . A f t e r t h e s u r v e y 1 w a s a b l e t o u s e s t u d e n t s ’ p a r t i c i p a t i o n o n t h e s u r v e y t o c o n fi r m o r d i s c o n fi r m t e n t a t i v e a s s i g n m e n t s t o t h e t h r e e s e c t i o n s w h e n I w a s u n d e c i d e d a b o u t w h e r e t o p l a c e a s t u d e n t . T h e s u r v e y w a s a l s o u s e d i n a m i n a r e : 3 8 m i n i m a l w a y t o i n s u r e t h a t t h e f o c a l s e c t i o n h a d a t l e a s t s o m e s t u d e n t s w h o h a d a t t e m p t e d m a n y o f s u r v e y q u e s t i o n , b u t o v e r a l l , t h i s s t r a t e g y t u r n e d o u t n o t t o b e a s u s e f u l a s o r i g i n a l l y p l a n n e d . A t t h e s a m e t i m e , I a t t e m p t e d t o b a l a n c e t h e g r o u p s f o r g e n d e r a n d e t h n i c m a k e - u p . T h e r e w e r e 3 7 s t u d e n t s i n t h e p r o g r a m , 1 2 b o y s a n d 2 5 g i r l s . T h e r e w e r e 2 A s i a n - A m e r i c a n , 3 H i s p a n i c , 1 1 n o n - H i s p a n i c C a u c a s i a n , a n d 2 1 A f r i c a n - A m e r i c a n s . T h e f o c a l s e c t i o n b e g a n w i t h 1 2 s t u d e n t s : 2 A f r i c a n - A m e r i c a n b o y s , 4 A f r i c a n - A m e r i c a n g i r l s , 2 e a c h n o n - H i s p a n i c C a u c a s i a n g i r l s a n d b o y s , a n d 2 H i s p a n i c g i r l s . B y t h e e n d o f t h e p r o g r a m t h e f o l l o w i n g s t u d e n t s h a d d r o p p e d o u t o f t h e f o c a l s e c t i o n : 1 A f r i c a n - A m e r i c a n m a l e , 1 H i s p a n i c f e m a l e , 1 n o n - H i s p a n i c C a u c a s i a n f e m a l e , a n d 1 C a u c a s i a n m a l e . l I n d i v i d u a l L e v e l : C h o o s i n g a F o c a l G r o u p o f S t u d e n t s D u r i n g t h e fi r s t w e e k I o b s e r v e d c l a s s d a i l y , a n d I i n t e r v i e w e d a l l s t u d e n t s i n t h e f o c a l s e c t i o n f o r a p p r o x i m a t e l y 3 0 m i n u t e s e a c h . A t t h e e n d o f t h a t w e e k , I l i s t e n e d t o a u d i o t a p e s o f a l l i n t e r v i e w s , m a d e n o t e s a b o u t w h a t s t u d e n t s d i d , a n d c h o s e f o c a l s t u d e n t s b a s e d o n i n t e r v i e w s , m y c l a s s o b s e r v a t i o n s , a n d t o a l e s s e r e x t e n t w h e t h e r t h e y h a d m a d e a s e r i o u s a t t e m p t o n t h e p r e t e s t s u r v e y . I a i m e d f o r g r e a t e s t d i v e r s i t y p o s s i b l e b y s e x , e t h n i c b a c k g r o u n d , a n d o n h e t e r o g e n e i t y o f a p p a r e n t m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g a n d e x p e r i e n c e . I c o n s i d e r e d w h e t h e r a s t u d e n t w a s l i k e l y t o d i s c u s s p r o b l e m s o p e n l y w i t h m e a n d a t t e m p t e d t o m a x i m i z e t h r o u g h m y c h o i c e s t h e v a r i e t y o f k i n d s o f r e s p o n s e s t h a t s t u d e n t s g a v e i n c l a s s , f r o m t h o s e r e s p o n s e s t h a t w e r e r i c h m a t h e m a t i c a l l y t o t h o s e t h a t w e r e m o s t p u z z l i n g t o m e . l S t u d e n t s f o u n d t h e p r o g r a m e x t r e m e l y d e m a n d i n g a s t h e y w e r e i n c l a s s f o r 8 h o u r s , h a d s t u d y h a l l a t n i g h t f o r o n l y 1 . 5 h o u r s , a n d s o m e t i m e s h a d o t h e r a c t i v i t i e s a t n i g h t a s w e l l . Y e t t h e y w e r e e x p e c t e d t o p r e p a r e f o r c l a s s . I n a d d i t i o n , s i n c e s t u d e n t s c a m e f r o m g e o g r a p h i c a r e a s a s d i s s i m i l a r a s i n n e r c i t y a n d v e r y r u r a l a r e a s , s o m e s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y a d j u s t i n g t o b e i n g i n s u c h a d i v e r s e e n v i r o n m e n t , a w a y f r o m h o m e f o r s i x w e e k s , e t c . I n a d d i t i o n , s o m e s t u d e n t s a d m i t t e d t h e y w e r e p r e s s u r e d b y l o c a l U p w a r d B o u n d d i r e c t o r s t o p a r t i c i p a t e i n t h i s p r o g r a m , w h i c h w a s i n i t s fi r s t y e a r o f e x i s t e n c e . K e n , o n e o f t h e fi v e f o c a l s t u d e n t s d r o p p e d o u t a f t e r t h e t h i r d w e e k . 3 9 F i n a l l y , I c h o s e 2 g i r l s a n d 3 b o y s ( 3 A f r i c a n - A m e r i c a n s a n d 2 n o n - H i s p a n i c C a u c a s i a n s t u d e n t s ) i n t h e f o c a l g r o u p . I c a l l t h e m S a m , T o n i , E d y , B o b , a n d K e n , n o t t h e i r r e a l n a m e s . I n a d d i t i o n t o t h e g e n e r a l g u i d e l i n e s g i v e n a b o v e , I h a d s p e c i fi c r e a s o n s f o r c h o o s i n g o r n o t c h o o s i n g p a r t i c u l a r s t u d e n t s . I r e j e c t e d o n e s t u d e n t , w h o w a s p e r h a p s t h e m o s t v o c a l c l a s s p a r t i c i p a n t a n d u l t i m a t e l y w o n t h e t e a c h e r ’ s c h o i c e f o r o u t s t a n d i n g m a t h s t u d e n t i n t h i s c l a s s , b e c a u s e m y p e r c e p t i o n s d u r i n g h e r i n i t i a l i n t e r v i e w i n d i c a t e d t h a t s h e m i g h t h a v e t r o u b l e t r u s t i n g m e . I f e l t i t m i g h t t a k e t o o l o n g t o o d e v e l o p r a p p o r t w i t h h e r t o m a k e i n t e r v i e w s c o n s t r u c t i v e . I d e c i d e d a g a i n s t i n c l u d i n g a n H i s p a n i c g i r l b e c a u s e s h e h a d m i s s e d c l a s s d u r i n g t h e fi r s t w e e k a n d s i n c e I h a d n o i d e a w h e t h e r s h e w a s i l l a n d w a s a f r a i d t o r i s k w h a t m i g h t b e a r e c u r r i n g p a t t e r n . I w a s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n S a m b e c a u s e h e s e e m e d a s s e r t i v e a b o u t h i s a n s w e r s i n c l a s s a n d i n t h e s h o r t t i m e I h a d o b s e r v e d c l a s s , h e s e e m e d t o t h i n k a b o u t t h e m a t h e m a t i c s i n a n u n u s u a l w a y . I c h o s e E d y b e c a u s e s h e s e e m e d t o b e t h e w e a k e s t s t u d e n t m a t h e m a t i c a l l y . I c h o s e K e n b e c a u s e h e s e e m e d t o b e t h e s t r o n g e s t m a t h e m a t i c a l l y , o f t e n g i v i n g c o n c e p t u a l a n s w e r s . B o b a n d T o n i w e r e c h o s e n i n p a r t t o h e l p c r e a t e w i t h i n t h e f o c a l g r o u p a b a l a n c e o f c h a r a c t e r i s t i c s n a m e d a b o v e . A l l s t u d e n t s h a d h a d t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s , e i t h e r t w o y e a r s o f a l g e b r a o r a l g e b r a a n d p l a n e g e o m e t r y . T h e D a t a . D a t a c o n s i s t s o f a u d i o a n d v i d e o t a p e s a n d fi e l d n o t e s o f a l l c l a s s m e e t i n g s a n d c o p i e s o f s t u d e n t h o m e w o r k s h e e t s , a s w e l l a s a l l c u r r i c u l u m m a t e r i a l s u s e d , m e m o s , a n n o u n c e m e n t s , a n d s o f o r t h , a n d fi e l d n o t e s o f m e e t i n g s w i t h s t a f f a n d o t h e r t e a c h e r s r e l a t e d t o t h e p r o g r a m i t s e l f , i n c l u d i n g p r e l i m i n a r y m e e t i n g s w i t h t e a c h e r s t o p l a n t h e c u r r i c u l u m , a n d o f t h e f e w t i m e s I w a s a b l e t o a t t e n d s t u d y h a l l t o o b s e r v e s t u d e n t s . I n t e r v i e w d a t a c o n s i s t s o f o n e a u d i o t a p e d i n t e r v i e w f o r e a c h m e m b e r o f t h e f o c a l s e c t i o n , a n d a c o m b i n a t i o n o f a u d i o a n d v i d e o t a p e s o f f o u r a d d i t i o n a l i n t e r v i e w s o f a p p r o x i m a t e l y 4 5 m i n u t e s e a c h f o r e a c h o f t h e 4 f o c a l s t u d e n t s , a n d 3 a d d i t i o n a l S E a 1 4 0 i n t e r v i e w s f o r K e n , w h o d r o p p e d o u t . I n t e r v i e w d a t a a l s o i n c l u d e s w r i t t e n d o c u m e n t s u s e d d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g , fi e l d n o t e s t a k e n s h o r t l y a f t e r t h e i n t e r v i e w , a n d v e r b a t i m t r a n s c r i p t i o n s o f a l l i n t e r v i e w s f o r t h e 4 f o c a l s t u d e n t s , i n c l u d i n g d e s c r i p t i o n s o f a c t i o n s o n v i d e o t a p e s , s u c h a s p o i n t i n g . D u r i n g d a t a g a t h e r i n g i n c l a s s , I v i d e o t a p e d t h e c l a s s m y s e l f a n d w r o t e fi e l d n o t e s . I c h o s e n o t t o h a v e a v i d e o o p e r a t o r , a s h a v i n g a n o t h e r ” o u t s i d e r " s e e m e d t o o i n t r u s i v e . A c o l l e g e s t u d e n t s t a f f m e m b e r w h o w a s r e s p o n s i b l e f o r s u p e r v i s i n g s t u d y h a l l s o m e t i m e s a t t e n d e d c l a s s , b u t s a t i n t h e c o m e r a n d s t u d e n t s s e e m e d t o i g n o r e h i m c o m p l e t e l y . O u t s i d e o f c l a s s I m a d e n o t e s o f a n y t h i n g t h a t s e e m e d p e r t i n e n t a n d i n t e r e s t i n g , b u t b e c a u s e I h a d t o i n t e r v i e w d u r i n g e v e n i n g s , I w a s u n a b l e t o e x p a n d m y c l a s s r o o m fi e l d n o t e s o n a r e g u l a r b a s i s . I d u p l i c a t e d h o m e w o r k s h e e t s d a i l y . D u r i n g i n t e r v i e w s I g e n e r a l l y d i d n o t m a k e n o t e s t o a v o i d b e i n g i n t r u s i v e a n d t o a l l o w g r e a t e r c o n c e n t r a t i o n o n c o n d u c t i n g t h e i n t e r v i e w s . A f t e r t h e i n t e r v i e w s w i t h f o c a l s t u d e n t s , e i t h e r o n t h e s a m e n i g h t o r w i t h i n a d a y , I w a t c h e d t h e t a p e s a n d m a d e n o t e s a b o u t t h e s e n s e o f t h e d i s c u s s i o n , t h i n g s I w a s p u z z l e d a b o u t , g e n e r a l o b s e r v e r c o m m e n t s , m e t h o d o l o g y t h a t n e e d e d c h e c k i n g o r m i g h t i n fl u e n c e s u b s e q u e n t i n t e r v i e w s , a n d a n y t h i n g r e a l l y s t r i k i n g t h e s t u d e n t h a d d o n e . I w a s q u i t e m e t i c u l o u s a b o u t t h i s a s I w a s w o r r i e d a b o u t l o s i n g a c t i v i t i e s n o t v i s i b l e o n t a p e s u c h a s w h a t t h e s t u d e n t w a s d o i n g o n t h e c a l c u l a t o r . T h e fi r s t i n t e r v i e w w a s a u d i o t a p e d , a n d i n t e r v i e w 2 f o r b o t h T o n i a n d S a m w a s a u d i o t a p e d , r a t h e r t h a n v i d e o t a p e d , b e c a u s e o f a m i s c o m m u n i c a t i o n w i t h t h e c a m e r a d e l i v e r y p e r s o n . D u r i n g d a t a c o l l e c t i o n I c o n d u c t e d o n g o i n g a n a l y s i s t h r o u g h m o d i fi e d a n a l y t i c i n d u c t i o n ( B o g d a n & B i k l e n , 1 9 8 2 ; M e r r i a m , 1 9 9 1 ) . A s r e s e a r c h p r o g r e s s e d , I l o o k e d f o r p a t t e r n s a n d d e v e l o p e d r o u g h d e fi n i t i o n s a n d e x p l a n a t i o n s f o r p a r t i c u l a r p h e n o m e n a . T h r o u g h o u t t h e d a t a c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s , I s o u g h t t o c o n fi r m h y p o t h e s e s a n d l o o k e d f o r d i s c r e p a n t c a s e s i n a n a t t e m p t t o d i s p r o v e h y p o t h e s e s . I 4 1 a t t e m p t e d t o u s e e a c h n e g a t i v e c a s e t o r e d e fi n e t h e p h e n o m e n o n o r r e f o r m u l a t e t h e e x p l a n a t i o n . A s a w h o l e d u r i n g d a t a c o l l e c t i o n , a n a l y s i s w a s c o n s t r a i n e d b y t i m e a v a i l a b l e , a n d m u c h o f i t t o o k p l a c e d u r i n g t r a n s c r i p t i o n o f n o t e s a n d t a p e s . A n a l y s i s P r o c e s s A s d i s c u s s e d a b o v e , a n a l y s i s b e g a n d u r i n g d a t a c o l l e c t i o n w i t h m y e x p a n d i n g fi e l d n o t e s , v i e w i n g t a p e s , w r i t i n g a n a l y t i c m e m o s t o m y s e l f o f p a t t e r n s a n d t h e m e s I o b s e r v e d . M o s t a n a l y s i s , h o w e v e r , t o o k p l a c e d u r i n g a n d a f t e r t h e t a p e t r a n s c r i p t i o n p h a s e . I p e r s o n a l l y t r a n s c r i b e d a l l t a p e s b e c a u s e I f e l t i t i m p o r t a n t t o r e c o r d m y o b s e r v a t i o n s a n d i m p r e s s i o n s a s I w e n t . A l t h o u g h I e m p l o y e d a t y p i s t t o m a k e p r e l i m i n a r y t r a n s c r i p t i o n s o f t h e a u d i o p o r t i o n o f t h e s e v e r a l v i d e o t a p e s , I c o m p l e t e d t h e fi n a l v e r s i o n s , i n c l u d i n g d e t a i l e d d e s c r i p t i o n s o f s t u d e n t s ’ w r i t i n g a n d g e s t u r e s , w h i c h e n t a i l e d s e v e r a l p a s s e s a t e a c h t a p e . D u r i n g t h a t t i m e , w h i c h s p a n n e d m a n y m o n t h s , I w r o t e i n t e r p r e t a t i o n s , r e fl e c t i o n s , a n d s u m m a r i e s o f s t u d e n t s ’ a c t i o n s . O v e r t i m e , i t b e c a m e c l e a r t h a t I n e e d e d t o r e v i s e m y q u e s t i o n s b e c a u s e o f i n v a l i d a s s u m p t i o n s b u i l t i n t o t h e q u e s t i o n s t h e m s e l v e s a n d b e c a u s e t h e y d i d n o t s e e m a d e q u a t e t o d e s c r i b e s t u d e n t a c t i v i t y . I n a d d i t i o n , n e w i s s u e s a r o s e t h a t w e r e n o t a d d r e s s e d a t a l l . E v o l u t i o n o f R e s e a r c h Q u e s t i o n s O r i g i n a l R e s e a r c h Q u e s t i o n s I b e g a n t h e r e s e a r c h w i t h t h e f o l l o w i n g p r i n c i p a l r e s e a r c h q u e s t i o n : W H A T S E N S E D 0 S T U D E N T S I N T H I S I N S T R U C T I O N A L S E T T I N G M A K E 0 F F U N C T I O N S A N D T O W H A T E I U E N T A R E T H E I R C O N C E P T I O N S T I E D T 0 S P E C I F I C M A T H E M A T I C A L 0 R R E P R E S E N I ‘ A T I O N A L C O N T E X T ’ S ? M a t h e m a t i c a l c o n t e x t r e f e r r e d t o t h e c o n t e n t t o p i c : l i n e a r , q u a d r a t i c , o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . R e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t r e f e r r e d t o t h e m a t h e m a t i c a l f o r m s t h a t a r e u s e d p r i m a r i l y t o p r e s e n t t h e s e f u n c t i o n s i n t h e i r e l e m e n t a r y f o r m s : v e r b a l d e s c r i p t i o n s , t a b l e s , C a r t e s i a n g r a p h s , o r l i t e r a l s y m b o l i c f o r m s . M e d i a u s e d f o r t h e s e 4 2 r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t a l k , p a p e r a n d p e n c i l ( o r c h a l k b o a r d ) , a n d g r a p h i c s c a l c u l a t o r s . I b e g a n w i t h s e v e r a l s u b q u e s t i o n s t o f r a m e m y t h i n k i n g . T h e y w e r e : A . B . I n w h a t k i n d s o f a c t i v i t i e s a n d e x p e r i e n c e s w i t h d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e t h r e e c l a s s e s o f f r m c t i o n s d o s t u d e n t s e n g a g e ? W h a t d o s t u d e n t s u n d e r s t a n d f u n c t i o n s t o b e ? H o w d o t h e y t a l k a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t d o s t u d e n t s u s e r e p r e s e n t a t i o n s t o p r e s e n t t h e i r i d e a s o f f u n c t i o n s ? A r e s t u d e n t s a b l e t o c r e a t e s y m b o l i c , t a b u l a r , o r g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? H o w d o s t u d e n t s i n t e r p r e t s p e c i fi c p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n s a s t h e y a r e e m b o d i e d w i t h i n a p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t ? D o t h e y u n d e r s t a n d w h a t c o n s t i t u t e s s u f fi c i e n t i n f o r m a t i o n t o d e fi n e a g i v e n f u n c t i o n w i t h i n a r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t ? I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t i s t h e i r s e n s e o f f u n c t i o n s s i m i l a r o r d i f f e r e n t b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s ? m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? D o s t u d e n t s ’ f a c i l i t y t o t r a n s l a t e b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s d i f f e r b e t w e e n f u n c t i o n c l a s s e s ? I n w h a t w a y s d o s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s a b o u t f u n c t i o n s t r a n s c e n d u n d e r s t a n d i n g s w i t h i n a g i v e n m a t h e m a t i c a l o r r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t ? W h a t k i n d s o f c o n n e c t i o n s d o s t u d e n t s m a k e b e t w e e n p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s o f f u n c t i o n s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? T o w h a t e x t e n t a r e t h e y a w a r e o f t h e l i m i t a t i o n s o f i n d i v i d u a l r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s i n p o r t r a y i n g p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n s ? H o w a r e s t u d e n t s a f f e c t e d b y r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s w h e n s o l v i n g p r o b l e m s ? T o w h a t e x t e n t d o s t u d e n t s c o n s i d e r a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n s ? D o t h e y p r e f e r u s i n g o n e r e p r e s e n t a t i o n o v e r o t h e r s ? T h e s e q u e s t i o n s w e r e o r g a n i z e d a r o u n d c o n t e n t f r o m t h e c u r r i c u l u m f o r w h i c h i t i s i m p o r t a n t f o r s t u d e n t s t o g a i n u n d e r s t a n d i n g . A t t h e t i m e t h e q u e s t i o n s w e r e d e v e l o p e d , I h a d c r e a t e d c a t e g o r i e s t h a t m a d e s e n s e t o m e f o r e x p l o r i n g s t u d e n t s ’ I u n d e r s t a n d i n g a n d a c t i v i t i e s . B r o a d l y , Q u e s t i o n s A a n d B w e r e a b o u t f u n c t i o n s , f u n c t i o n c o n c e p t s , a n d t h e t h r e e c l a s s e s o f f u n c t i o n s . Q u e s t i o n A w a s a b o u t s t u d e n t s ’ 4 3 u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r i n c i p a l fi m c t i o n c l a s s e s t h e y s t u d i e d i n t h i s p r o g r a m . Q u e s t i o n B , w h e r e I h a d h o p e d t o c a p t u r e i d e a s c o n n e c t e d t o t h o s e p r e v a l e n t i n t h e l i t e r a t u r e s u c h a s f u n c t i o n a s a n i n p u t - o u t p u t m a c h i n e , a n e q u a t i o n , a p r o c e s s , o r a r e l a t i o n s h i p , w a s a b o u t h o w s t u d e n t s v i e w f u n c t i o n s . Q u e s t i o n C w a s i n t e n d e d t o g e t a t h o w s t u d e n t s u s e v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s t o r e p r e s e n t t h e i r i d e a s o f f u n c t i o n s . Q u e s t i o n D w a s t o c o m p a r e a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n c o n t e x t s a n d f u n c t i o n c l a s s c o n t e x t s t o d e s c r i b e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s , t h e r e b y p r o v i d i n g d a t a f o r q u e s t i o n E , w h i c h d e a l t p r i n c i p a l l y w i t h c o n t e x t u a l i z a t i o n i s s u e s . R e s h a p i n g R e s e a r c h Q u e s t i o n s D u r i n g a n a l y s i s i t b e c a m e c l e a r t h a t I n e e d e d t o r e v i s e t h e f r a m i n g q u e s t i o n s . T h e y w e r e o r i g i n a l l y w r i t t e n t o p r o v i d e e v i d e n c e f o r h o w s t u d e n t s t a l k e d o r r e a s o n e d a b o u t f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s t h a t c o u l d b e c o m p a r e d a n d c o n t r a s t e d t o d i s p l a y e v i d e n c e o f d e c o n t e x t u a l i z e d o r c o n t e x t u a l i z e d t h i n k i n g . Y e t d u r i n g t h e e a r l y s t a g e s o f a n a l y s i s , e v e n t h o u g h t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f t h e i n t e r v i e w t a s k s w a s f u n c t i o n s , i t w a s a p p a r e n t s t u d e n t s d i d n o t t a l k m u c h a b o u t f u n c t i o n s . T h e y s e e m e d a c t i v e l y e n g a g e d i n t r y i n g t o m a k e s e n s e o f a p r o b l e m o r i t s r e p r e s e n t a t i o n a n d i n s o l v i n g t h e p r o b l e m i n t h e b e s t w a y t h e y k n e w h o w , b u t t h e y o f t e n s e e m e d f o c u s e d m o r e o n o t h e r a s p e c t s o f t h e p r o b l e m s o l v i n g s i t u a t i o n a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f t h a n o n f u n c t i o n s p e r s e . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s t r e a t e d s i t u a t e d p r o b l e m s t h a t h a d r e a l i s t i c c o n t e x t s q u i t e d i f f e r e n t l y f r o m n o n - s i t u a t e d p r o b l e m s . F u r t h e r , t h e r e w e r e t i m e s d u r i n g i n t e r v i e w s w h e n t h e r e w e r e c l e a r m i s m a t c h e s i n c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n w h a t I , t h e i n t e r v i e w e r , t h o u g h t I h a d a s k e d a n d t h e q u e s t i o n t h a t s t u d e n t s a n s w e r e d . S o n e w i s s u e s h a d c o m e u p , a n d n e w q u e s t i o n s w o u l d b e n e e d e d . W h i l e t h e p r i n c i p a l q u e s t i o n s t i l l s e e m e d a p p r o p r i a t e , I n e e d e d a n a l t e r n a t i v e f r a m e w o r k i n o r d e r t o r e p l a c e t h e s u b s i d i a r y q u e s t i o n s . F u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s . I h a d t o r e v i s e h o w I t h o u g h t a b o u t f t m c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s . W h i l e I w a s t r a n s c r i b i n g 4 . 4 t h e t a p e s , I h a d k e p t m y r e s e a r c h q u e s t i o n s i n t h e b a c k o f m y m i n d w i t h o u t d i r e c t r e f e r e n c e t o t h e m . A t t h e t i m e t h e y w e r e w r i t t e n I h a d t r i e d t o m a k e t h e m , i n t h e s p i r i t o f e t h n o g r a p h y , a s fl e x i b l e a n d o p e n - e n d e d a s p o s s i b l e t o a l l o w s t u d e n t s ’ w o r k t o s h a p e w h a t I s a w . I w a s g e n u i n e l y c o m m i t t e d t o a b e l i e f t h a t s t u d e n t s e n g a g e i n p u r p o s e f u l a c t i v i t y a n d p a r t o f m y r o l e a s m a t h e m a t i c s t e a c h e r i s t o r e s p e c t t h a t a c t i v i t y a n d b u i l d o n w h a t e v e r c o n c e p t i o n s s t u d e n t s h a v e i n a n a t t e m p t t o h e l p t h e m d e v e l o p t h e f o r m a l c o n c e p t s t h a t I u n d e r s t a n d t o b e t a k e n - a s - s h a r e d i n t h e m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y . A l l t h r o u g h t h e t r a n s c r i b i n g , I t h o u g h t I h a d a s t r o n g s e n s e o f w h a t t h e f r a m i n g q u e s t i o n s w e r e , s o I d i d n o t r e v i s i t t h e m u n t i l t h e t r a n s c r i p t i o n w a s a l m o s t d o n e . W h e n I r e r e a d m y r e s e a r c h q u e s t i o n s , I w a s s h o c k e d s i n c e t h e y s e e m e d t o h a v e l i t t l e t o d o w i t h t h e s t u d e n t s ’ a c t i v i t i e s b e c a u s e t h e q u e s t i o n s h a d a s t r o n g u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n t h a t s t u d e n t s w o u l d s o m e h o w b e e n g a g e d i n w o r k i n g o n f u n c t i o n s p e r s e , t h a t t h e y w o u l d h a v e s o m e c o h e r e n t c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n o r o f e n t i t i e s t h a t h a d e n o u g h s i m i l a r i t y t o c o m p a r e a n d c o n t r a s t a c r o s s e i t h e r f u n c t i o n o r r e p r e s e n t a t i o n c o n t e x t s . W h i l e I e x p e c t e d s t u d e n t a c t i v i t i e s m i g h t b e t e n t a t i v e a n d t h e i r k n o w l e d g e f r a g i l e , I w a s n o t p r e p a r e d f o r t h e i m p a c t o f t h i s m i s m a t c h w i t h m y c u r r e n t t h i n k i n g . C l e a r l y t h e q u e s t i o n s w o u l d n w d m a j o r r e v i s i o n . I c a m e t o t h i n k o f t h i s d i s j u n c t u r e b e t w e e n m y s u b q u e s t i o n s a n d w h a t I w a s s e e i n g i n t h e d a t a a s a m i s m a t c h b e t w e e n t e a c h e r / c u r r i c u l u m d e v e l o p e r / r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e . A t e a c h e r n a t u r a l l y h a s c e r t a i n g o a l s f o r s t u d e n t s t o d e v e l o p a n u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s t h a t m i r r o r w h a t h e o r s h e t a k e s a s s h a r e d i n a m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y . I t i s n a t u r a l a n d e x p e c t e d f o r t e a c h e r s t o s e t t e a c h i n g o b j e c t i v e s t h a t w i l l a s s i s t s t u d e n t s t o c o m e t o s h a r e t h e s e a s s u m e d m e a n i n g s . L i k e w i s e , i t i s n a t u r a l f o r r e s e a r c h e r s t o b e g i n w i t h t h e i r o w n w a y o f t h i n k i n g a b o u t t h e c o n t e n t a r e a t o f r a m e q u e s t i o n s t h e y c o n s i d e r i m p o r t a n t t o a n s w e r . A t t e n d i n g o n l y t o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p u b l i c p r e s e n t a t i o n s o f t h e m ( r e p r e s e n t a t i o n s ) , h o w e v e r , i g n o r e s t h e i n t e r p r e t i v e a c t i v i t y t h a t s t u d e n t s e n g a g e i n 4 5 w h e n c o n s t r u c t i n g m e a n i n g ( C o b b , Y a c k e l , & W o o d , 1 9 9 2 ) . C o n f r e y ( 1 9 9 2 ) m a i n t a i n s w e s h o u l d r e c o g n i z e t h a t i n r e s e a r c h ” t e a c h e r p e r s p e c t i v e ” s u r r o u n d s " s t u d e n t v o i c e ” a s m o d e l s a r e b u i l t a b o u t s t u d e n t a c t i v i t y . S i n c e f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t h e f o c a l i s s u e s o f t h i s r e s e a r c h , r e s e a r c h q u e s t i o n s d i d i n d e e d n e e d t o b e a b o u t f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n c o n c e p t s , r e p r e s e n t a t i o n a n d r e p r e s e n t a t i o n c o n c e p t s , a n d i s s u e s r e l a t e d t o t h e e f f e c t o f v a r i o u s c o n t e x t s o n s t u d e n t t h i n k i n g . Q u e s t i o n s n e e d e d t o a d d r e s s w h a t a c t i v i t i e s s t u d e n t s e n g a g e d i n a n d h o w t h e y t a l k e d a b o u t o r w o r k e d w i t h f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s . H o w e v e r , t h e l a n g u a g e o f t h e s u b q u e s t i o n s fi t b e t t e r t h a t a s p e c t o f t h e t e a c h e r p e r s p e c t i v e t h a t i s r e l a t e d t o s e t t i n g m a t h e m a t i c a l g o a l s o f i n s t r u c t i o n a n d a s s o c i a t e d , d e s i r e d a c t i v i t i e s , r a t h e r t h a n f o c u s i n g o n a c t i v i t i e s , i n t e r a c t i o n s , o r w a y s o f r e a s o n i n g t h a t s t u d e n t s a c t u a l l y s e e m e d e n g a g e d i n . T h e q u e s t i o n s h a r b o r e d b u i l t - i n a s s u m p t i o n s a b o u t s t u d e n t a c t i v i t y t h a t w e r e i n v a l i d b e c a u s e t h e y w e r e i n c o n s i s t e n t w i t h s t u d e n t s ’ a c t u a l a c t i v i t i e s . F o r e x a m p l e , q u e s t i o n s s u c h a s C , " I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t d o s t u d e n t s u s e r e p r e s e n t a t i o n s t o p r e s e n t t h e i r i d e a s o f f u n c t i o n s ? " , i m p l i e s s t u d e n t s h a d s o m e s p e c i fi c c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n a n d t h a t t h e t a s k t h e y w e r e e n g a g e d i n w a s r e p r e s e n t i n g t h a t c o n c e p t i o n . S t u d e n t s d i d n o t a p p e a r t o h a v e s u c h a c o n c e p t i o n n o r t o b e e n g a g e d i n s u c h t a s k s . A l t h o u g h t e a c h e r s m a y c h a r a c t e r i z e a p r o b l e m a s a b o u t f u n c t i o n s , t h i s s e e m e d n o t t o b e t h e c a s e f o r t h e s e s t u d e n t s . T h e r e f o r e I n e e d e d t o r e m o v e t h e i m p l i c a t i o n i n q u e s t i o n s t h a t s t u d e n t s ’ f o c u s o f a t t e n t i o n w a s o n f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s , r a t h e r t h a n o n s o m e i d e a ( p o s s i b l y ) r e l a t e d t o f u n c t i o n s , t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f , o r s o m e t h i n g e l s e e n t i r e l y , s u c h a s i n t e r a c t i o n w i t h t h e i n t e r v i e w e r . S o I d e c i d e d t o b r o a d e n t h e s c o p e o f t h e q u e s t i o n s t o i n c l u d e a c t i v i t i e s w h e r e a w a r e n e s s o f f u n c t i o n w a s n o t r e q u i r e d . T o d i s t i n g u i s h c a t e g o r i e s f o r a w a r e n e s s o f f u n c t i o n s I r e s e r v e d fi t n c t i o n s t o a p p l y t o c a s e s w h e r e s t u d e n t s e x p l i c i t l y r e f e r r e d t o f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s o r w h e r e I c o u l d i n f e r s u c h a w a r e n e s s f r o m t h e i r a c t i v i t i e s . A l l o t h e r a c t i v i t i e s w i t h f u n c t i o n s , I c a l l e d fi t n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n 4 6 p r o b l e m s . F i n a l l y , t h e r e w e r e t i m e s w h e n s t u d e n t s w o r k e d w i t h c o n c e p t s t h a t I w o u l d c a l l f u n c t i o n c o n c e p t s , b u t w h e n I c o u l d n o t i n f e r t h a t s t u d e n t s w e r e a w a r e o f t h e s e b e i n g f u n c t i o n c o n c e p t s . I c a l l e d t h e s e a c t i v i t i e s w o r k i n g w i t h fi m c t i o n s i n d i r e c t l y o r h a v i n g i m p l i c i t c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s . Q u e s t i o n C ’ s s u b q u e s t i o n , ” D o t h e y u n d e r s t a n d w h a t c o n s t i t u t e s s u f fi c i e n t i n f o r m a t i o n t o d e fi n e a g i v e n f u n c t i o n w i t h i n a r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t ? " i m p l i e s a f u n c t i o n w a s v i e w e d w h o l e a s a n e n t i t y . Y e t s t u d e n t s o f t e n d i d n o t a t t e n d t o a f u n c t i o n o r i t s r e p r e s e n t a t i o n a s a w h o l e , b u t r a t h e r a t t e n d e d t o i n d i v i d u a l o r i s o l a t e d a s p e c t s o f p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s , t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t o f t h o s e p r o b l e m s t h a t h a d r e a l i s t i c c o n t e x t s , o r o n a s p e c t s o f p r o b l e m s o l v i n g t h a t s e e m m o r e r e l a t e d t o i n t e r a c t i o n s w i t h t h e i n t e r v i e w e r ( t e a c h e r ) o r e x p e c t a t i o n s o f w h a t i t m e a n s t o b e i n a m a t h e m a t i c s c l a s s . C l e a r l y t h e o l d f r a m i n g q u e s t i o n s w e r e n o l o n g e r a p p r o p r i a t e . A t a b o u t t h e s a m e t i m e , I b e g a n t o r e v i s i t t h e l i t e r a t u r e . A p r i n c i p a l t h e m e r u n n i n g t h r o u g h t h e f u n c t i o n l i t e r a t u r e ( H a r e l & D u b i n s k y , 1 9 9 2 ; K i e r a n , 1 9 9 2 ; M o s c h k o v i c h , S c h o e n f e l d , & A r c a v i , 1 9 9 3 ; S f a r d , 1 9 9 1 ) . i s t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n v i e w i n g f u n c t i o n s o p e r a t i o n a l l y ( a s p r o c e s s e s ) o r s t r u c t u r a l l y ( a s o b j e c t s ) . S i n c e t h e s e a r e s i g n i fi c a n t c h a r a c t e r i s t i c s o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e , i t s e e m e d i m p o r t a n t t o k e e p t h e m i n m i n d ; h o w e v e r t h e y d i d n o t s e e m t o m a t c h s t u d e n t a c t i v i t y . I n e e d e d t o fi n d a b e t t e r w a y t o d e s c r i b e s t u d e n t c o n c e p t i o n s . B e c a u s e m y p r i n c i p a l q u e s t i o n w a s a b o u t f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s a n d s i n c e s t u d e n t s s e e m e d t o h a v e l i t t l e a w a r e n e s s o f f u n c t i o n s , b u t a t t e n d e d p r i n c i p a l l y t o t h e r e p r e s e n t a t i o n s , I w a s r e m i n d e d o f M a s o n ’ s ( 1 9 8 7 ) a t t e n t i o n o n s y m b o l s a n d t h r o u g h s y m b o l s . I n d i s c u s s i n g w h a t s y m b o l s r e p r e s e n t , h e d i s t i n g u i s h e s a t t e n t i o n o n s y m b o l s t h e m s e l v e s f r o m a t t e n t i o n t h r o u g h s y m b o l s t o a l a r g e r w h o l e . H e d e s c r i b e s a ‘ p r o c e s s i n r e a d i n g a p i e c e o f m a t h e m a t i c a l t e x t w h e r e b y a t t e n t i o n m o v e s f r o m b e i n g f u l l y o n e a c h s y m b o l t o s k i p p i n g o v e r d e t a i l s n o t i n g m e r e l y t h e s h a p e o f t h e c a l c u l a t i o n s . T h u s a t t e n t i o n i s s p l i t b e t w e e n t h e d e t a i l a n d t h e s h a p e o f t h e w h o l e , 4 7 w h i l e y o u g u i d e y o u r s e l f t o w a r d a g o a l . I s a w s t u d e n t a t t e n t i o n a s b e i n g o n t h e r e p r e s e n t a t i o n , r a t h e r t h a n t h r o u g h t h e r e p r e s e n t a t i o n t o f u n c t i o n c o n c e p t s , s o i t s e e m e d i m p o r t a n t t o c h a r a c t e r i z e h o w s t u d e n t s t a l k e d a n d r e a s o n e d a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s t h e m s e l v e s . I t r i e d t o i d e n t i f y t o w h a t s t u d e n t s a t t e n d e d - - w h a t c o n s t i t u t e d t h e i r ” p i e c e s ” a n d ” w h o l e s ” . I l o o k e d f o r b o t h p r o c e s s e s a n d o b j e c t s t h a t c o u l d b e c o n n e c t e d t o t h e m a t h e m a t i c s , a s w e l l a s w h e t h e r s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n w a s o n , w i t h i n , a c r o s s , o r a m o n g r e p r e s e n t a t i o n s . S t u d e n t s e n s e - m a k i n g o r l a c k t h e r e o f h a d b e e n o n e o f m y e a r l y o r g a n i z i n g c a t e g o r i e s , b u t s t u d e n t s ’ s e n s e - m a k i n g s e e m e d l e s s l i k e t h a t i n t h e f u n c t i o n l i t e r a t u r e a n d m o r e r e l a t e d t o t h a t r e p o r t e d o n m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s a n d p r o b l e m s o l v i n g i n r a t i o n a l n u m b e r r e s e a r c h , w h e r e L e s h , P o s t , a n d B e h r ( 1 9 8 7 ) r e p o r t e d i t a s b e i n g p i e c e m e a l , e v o l v i n g , a n d p l u r a l . T h e y d e s c r i b e d t h e a c t s o f r e p r e s e n t i n g a s p l u r a l i n t w o w a y s . F i r s t , s o l u t i o n s o f t e n a r e c h a r a c t e r i z e d b y s e v e r a l p a r t i a l m a p p i n g s f r o m p a r t s o f t h e g i v e n s i t u a t i o n t o p a r t s o f s e v e r a l ( o f t e n p a r t l y i n c o m p a t i b l e ) r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m s . E a c h p a r t i a l m a p p i n g r e p r e s e n t s a s l i c e o f t h e p r o b l e m S i t u a t i o n u s i n g o n l y p a r t o f t h e a v a i l a b l e r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m . I t i s n o t a m a p p i n g f r o m t h e w h o l e " g i v e n ” s i t u a t i o n t o o n l y a s i n g l e r e p r e s e n t a t i o n a l s y s t e m . ( p . 3 8 ) T h e y d e s c r i b e d p l u r a l i n a s e c o n d s e n s e , a s a s t u d e n t b e g i n n i n g a s o l u t i o n i n o n e r e p r e s e n t a t i o n s y s t e m a n d t r a n s l a t i n g i t t o a n o t h e r a n d t h e n t o y e t a n o t h e r . M y s e n s e w a s t h a t i n m y s t u d y s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g fi t t h i s d e s c r i p t i o n w e l l a n d s e e m e d a l o n g w a y f r o m t h e c o h e r e n c e t h a t w a s i m p l i e d i n m y o r i g i n a l r e s e a r c h s u b q u e s t i o n s . S o I h a d t o fi n d a w a y t o d e s c r i b e t h e i r a c t i v i t i e s i n s e n s e - m a k i n g . U s i n g w h a t I h a d s e e n i n t h e d a t a , I t r i e d t o t h i n k a b o u t c a t e g o r i e s t h a t w o u l d w o r k . T h e c a t e g o r i e s : c o n n e c t i o n s , r e a s o n i n g , p r o b l e m s o l v i n g a n d c o m m u n i c a t i o n , ‘ 2 L e a h e t a l u s e t h e t e r m r e p r e s e n t a t i o n t o m e a n e x t e r n a l e m b o d i m e n t s o f s t u d e n t s ’ i n t e r n a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s , s p e c i fi c a l l y r e f e r r i n g t o s t a t i c p i c t u r e s , w r i t t e n s y m b o l s , s p o k e n l a n g u a g e , r e a l s c r i p t s , a n d m a n i p u l a t i v e m o d e l s . T h u s , t h e i r r e s t r i c t e d u s e o f t h e t e r m i s s i m i l a r t o m i n e . 4 8 f r o m t h e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) s e e m e d p a r t i c u l a r l y r e l e v a n t . E v a l u a t i o n s t a n d a r d s i n t h e s a m e d o c u m e n t h e l p e d m e t h i n k a b o u t w h a t w o u l d c o u n t f o r e v i d e n c e o f t h e s e f o u r c a t e g o r i e s o f s e n s e - m a k i n g , p a r t i c u l a r l y i n t r y i n g t o i d e n t i f y w h a t t a s k s s t u d e n t s w e r e e n g a g e d i n a n d c o n n e c t i n g t h e m t o t h e s e c a t e g o r i e s . C o n n e c t i o n s s e e m e d i m p o r t a n t b e c a u s e t h e y c o u l d p r o v i d e e v i d e n c e o f d e c o n t e x t u a l i z a t i o n o f c o n c e p t s , a m a j o r g o a l o f t h e r e s e a r c h . C o n n e c t i o n s a l s o s e e m e d i m p o r t a n t t o l o o k f o r s i n c e m y p e r c e p t i o n a t t h a t t i m e w a s t h a t s t u d e n t s w e r e m a k i n g s o f e w o f t h e m . R e a s o n i n g w a s i m p o r t a n t b e c a u s e s o m e c o n c e p t s s t o o d o u t a s b e i n g p a r t i c u l a r l y s a l i e n t a n d u s e f u l t o s t u d e n t s , a n d t h e r e w e r e p a t t e r n s i n r e a s o n i n g , p a r t i c u l a r l y a b o u t g r a p h s , t h a t b o t h c o n t r i b u t e d t o a n d o b s t r u c t e d s t u d e n t s ’ s u c c e s s i n p r o b l e m s o l v i n g . P r o b l e m s o l v i n g w a s a t t h e c o r e o f s t u d e n t a c t i v i t y . S t u d e n t s b r o u g h t a v a r i e t y o f s t r a t e g i e s a n d r e s o u r c e s t o p r o b l e m s o l v i n g , i n c l u d i n g o n e s n o t r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s ’ c o m m u n i c a t i o n w i t h m e w a s p r i m a r i l y t h r o u g h t a l k , w i t h a l e s s e r a m o u n t w r i t t e n o r d o n e o n t h e c a l c u l a t o r . F r o m t h e i r t a l k I c o u l d i n f e r w h a t c o n c e p t s w e r e s a l i e n t f o r t h e m a n d h o w t h e y t h o u g h t a b o u t a n d s o l v e d p r o b l e m s a b o u t f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , a n d r e p r e s e n t a t i o n s . Y e t i t w a s n o t a l w a y s p o s s i b l e t o s e p a r a t e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i c a t i o n f r o m t h a t w h i c h w a s n o n m a t h e m a t i c a l . S o m e t i m e s s t u d e n t s u s e d i n t e r a c t i o n w i t h m e a s a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y a s t h e y t r i e d t o c o n n e c t w h a t t h e y w e r e d o i n g i n t h e i n t e r v i e w t a s k s w i t h n o n m a t h e m a t i c a l t a s k s a n d t h e i r k n o w l e d g e o f e v e r y d a y l i f e a n d o f w h a t i t m e a n s t o b e i n a m a t h e m a t i c s c l a s s o r i n s c h o o l . I n a d d i t i o n , t h e r e w e r e c o m m u n i c a t i o n m i s m a t c h e s b e t w e e n t h e s t u d e n t s a n d m e . B e c a u s e t h e s e i s s u e s o f s t u d e n t s e n s e - m a k i n g b o t h c u t a c r o s s f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s a n d i n t r o d u c e d n o n - m a t h e m a t i c a l t o p i c s a s w e l l , i n a n a t t e m p t t o a d d r e s s w h a t w a s r e fl e c t e d i n s t u d e n t w o r k i n i n t e r v i e w s , I c r e a t e d a b r o a d , 4 9 c r o s s - c u t t i n g q u e s t i o n a b o u t f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s : W h a t c o n c e p t i o n s d o s t u d e n t s h a v e a b o u t f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? T h i s q u e s t i o n w a s a c c o m p a n i e d b y s u b s i d i a r y q u e s t i o n s : H o w d o t h e y t a l k o r r e a s o n a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s ? W h i c h c o n c e p t s a r e m o s t s a l i e n t ? O n w h a t d o t h e y f o c u s t h e i r a t t e n t i o n ? W h a t r e s o u r c e s d o s t u d e n t s b r i n g t o t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s ? W h a t k i n d s o f c o n n e c t i o n s d o t h e y m a k e b e t w e e n p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s o f f u n c t i o n s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? S i t u a t i o n s . D u r i n g a n a l y s i s i t b e c a m e i n c r e a s i n g l y o b v i o u s t h a t s i t u a t e d p r o b l e m s w e r e q u i t e c o m p l e x a n d r a i s e d a l l s o r t s o f i s s u e s a b o u t t h e i r r o l e i n t h e s t u d y o f f u n c t i o n s . S t u d e n t s u s e d s i t u a t i o n s s k i l l f u l l y t o s u p p o r t t h e i r r e a s o n i n g i n s o m e c a s e s , b u t i n o t h e r s t h e i r p r o b l e m s o l v i n g w a s s e v e r e l y h a m p e r e d b y t h e m . T h e i r d i f fi c u l t i e s r a i s e d q u e s t i o n s a b o u t t h e n a t u r e o f t h e t a s k a n d t h e c o n c e p t o f m o d e l i n g . I n a d d i t i o n , m y t h i n k i n g a b o u t w h a t c o n s t i t u t e s a s i t u a t e d p r o b l e m g o t m o r e c o m p l i c a t e d . I b e g a n t h e s t u d y u s i n g v e r b a l d e s c r i p t i o n s s y n o n y m o u s l y w i t h s i t u a t i o n s o r s i t u a t i o n a l c o n t e x t . Y e t d u r i n g t h e s t u d y , i t b e c a m e c l e a r t h e r e w e r e o t h e r k i n d s o f v e r b a l d e s c r i p t i o n s . F o r e x a m p l e , o n e i n t e r v i e w p r o b l e m d e s c r i b e d a s i t u a t i o n w h e r e t h r e e s t u d e n t s w e r e e a c h s u g g e s t i n g a g r a p h t o m a t c h a g i v e n t a b l e , b u t t h e n u m b e r s d i d n o t r e f e r t o a n y s p e c i fi c q u a n t i t y . T h a t p r o b l e m w o u l d n o t b e c o n s i d e r e d s i t u a t e d , n o r w o u l d i t b e c o n s i d e r e d a v e r b a l d e s c r i p t i o n ( a s a r e p r e s e n t a t i o n ) . A l s o , i n g e n e r a l , s t u d e n t s t r e a t e d a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p i n a n y r e p r e s e n t a t i o n t h a t w a s s i t u a t e d - w h e t h e r o r n o t i t w a s d e s c r i b e d v e r b a l l y - - s i g n i fi c a n t l y d i f f e r e n t l y f r o m t h o s e t h a t w e r e n o t . S o I n e e d e d t o c l a r i f y d e fi n i t i o n s f o r v e r b a l d e s c r i p t i o n a n d s i t u a t i o n a l c o n t e x t . E v e n t h o u g h a p r o b l e m m a y i n c l u d e s o m e k i n d o f v e r b a l d e s c r i p t i o n , i f t h e d e s c r i p t i o n i s n o t o f a f u n c t i o n o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p , i t w i l l n o t b e c o n s i d e r e d a v e r b a l d e s c r i p t i o n ( a s a r e p r e s e n t a t i o n ) . F u r t h e r , a p r o b l e m w i l l b e c a l l e d s i t u a t e d 5 0 o n l y i f t h e m a t h e m a t i c s o f t h e p r o b l e m r e p r e s e n t s q u a n t i t i e s , n o t j u s t n u m b e r a l o n e , t h a t i s , t h e m a t h e m a t i c s i s n o t s e t i n n a k e d c o n t e x t . R e f e r e n c e s t o s i t u a t i o n s o r s i t u a t i o n a l c o n t e x t i n c o n n e c t i o n t o r e p r e s e n t a t i o n s a r e u s e d i n t h i s l i m i t e d s e n s e o n l y . S i t u a t i o n a l c o n t e x t c a n b e p r o v i d e d t h r o u g h l a b e l s o n t a b l e s o r g r a p h s , n a m i n g q u a n t i t i e s f o r v a r i a b l e s i n s y m b o l i c r u l e s , a n d t h r o u g h v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s , o r a c o m b i n a t i o n o f t h e s e . S i t u a t i o n a l c o n t e x t s c u t a c r o s s t h e o t h e r k i n d s o f r e p r e s e n t a t i o n c a t e g o r i e s . T h e y s o m e t i m e s h e l p e d s t u d e n t s a n d s o m e t i m e s c a u s e t h e m d i f fi c u l t y i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g . S i t u a t i o n s s e e m e d t o a c t i v a t e p r o b l e m s o l v i n g r e s o u r c e s f r o m e v e r y d a y l i f e a n d t o r a i s e i s s u e s a b o u t a s s u m p t i o n s , b o t h a b o u t t h e s i t u a t i o n a n d a b o u t t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n p e r c e p t i o n s o f t h e r e s e a r c h e r a n d s t u d e n t s . T o a d d r e s s t h e s e i s s u e s r e l a t e d t o s i t u a t i o n s I a d d e d t h e q u e s t i o n : I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t d o e s t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t c o n t r i b u t e t o o r h i n d e r s t u d e n t s ’ a b i l i t i e s t o u n d e r s t a n d o r s o l v e p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? P e r s p e c t i v e s . F i n a l l y , a m a j o r t e n s i o n t h a t e m e r g e d d u r i n g a n a l y s i s w a s t h e c o n t r a s t b e t w e e n r e s e a r c h e r / t e a c h e r a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e s . I t s h o w e d u p fi r s t i n t h e a s s u m p t i o n s o f t h e o r i g i n a l r e s e a r c h q u e s t i o n s a n d a g a i n i n a m i s m a t c h b e t w e e n s t u d e n t a c t i v i t y a n d m a j o r t h e m e s i n t h e l i t e r a t u r e . I n a d d i t i o n , i t a p p e a r e d a s m i s m a t c h e s i n c o m m u n i c a t i o n a n d a s s u m p t i o n s i n i n t e r v i e w p r o b l e m s , p a r t i c u l a r l y i n t h o s e t h a t w e r e s i t u a t e d . S i n c e t h a t c o n t r a s t b e t w e e n t e a c h e r / r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e w a s a n o n g o i n g , o v e r a r c h i n g t h e m e , I n e e d e d a q u e s t i o n t o a d d r e s s t h e s e i s s u e s , a n d t h u s a d d e d a fi n a l q u e s t i o n ( w i t h s u b s i d i a r y q u e s t i o n s ) : I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t i s a t e a c h e r / r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e d i f f e r e n t f r o m o r c o n s i s t e n t w i t h s t u d e n t s ’ p e r s p e c t i v e s a b o u t c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? W h a t r o l e d o a s s u m p t i o n s p l a y ? H o w d o p e r s p e c t i v e s a f f e c t c o m m u n i c a t i o n ? H o w a r e p e r s p e c t i v e s r e l a t e d t o p r o b l e m s o l v i n g a c t i v i t y ? 5 1 R e v i s e d q u e s t i o n s . I n s u m m a r y , t h e p r i n c i p a l r e s e a r c h q u e s t i o n f o r t h i s s t u d y w a s : W H A T S E N S E D O S T U D E N T S I N T H I S I N S T R U C T I O N A L S E T T I N G M A K E O F F U N C T I O N S A N D T O W H A T E X T E N T A R E T H E I R C O N C E P T I O N S T I E D T O S P E C I F I C M A T H E M A T I C A L O R R E P R E S E N T A T I O N A L C O N T E X T S ? M a t h e m a t i c a l c o n t e x t r e f e r r e d t o t h e c o n t e n t t o p i c : l i n e a r , q u a d r a t i c , o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . R e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t r e f e r r e d t o t h e m a t h e m a t i c a l f o r m s t h a t a r e u s e d p r i m a r i l y t o p r e s e n t t h e s e f l m c t i o n s i n t h e i r e l e m e n t a r y f o r m s : v e r b a l d e s c r i p t i o n s o r s i t u a t i o n s , t a b l e s , C a r t e s i a n g r a p h s , o r l i t e r a l s y m b o l i c f o r m s . M e d i a u s e d f o r t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e t a l k , p a p e r a n d p e n c i l ( o r c h a l k b o a r d ) , a n d g r a p h i c s c a l c u l a t o r s . T h e r e v i s e d s e t o f q u e s t i o n s t h a t g u i d e d a n a l y s i s a r e : I A . W h a t c o n c e p t i o n s d o s t u d e n t s h a v e a b o u t f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? H o w d o t h e y t a l k o r r e a s o n a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s ? W h i c h c o n c e p t s a r e m o s t s a l i e n t ? O n w h a t d o t h e y f o c u s t h e i r a t t e n t i o n ? W h a t r e s o u r c e s d o s t u d e n t s b r i n g t o t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s ? W h a t k i n d s o f c o n n e c t i o n s d o t h e y m a k e b e t w e e n p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s o f f u n c t i o n s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? B . I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t d o e s t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t c o n t r i b u t e t o o r h i n d e r s t u d e n t s ’ a b i l i t i e s t o u n d e r s t a n d o r s o l v e p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? C . I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t i s a t e a c h e r / r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e d i f f e r e n t f r o m o r c o n s i s t e n t w i t h s t u d e n t s ’ p e r s p e c t i v e s a b o u t c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? W h a t r o l e d o a s s u m p t i o n s p l a y ? H o w d o p e r s p e c t i v e s a f f e c t c o m m u n i c a t i o n ? H o w a r e p e r s p e c t i v e s r e l a t e d t o p r o b l e m s o l v i n g a c t i v i t y ? R e v i s i t i n g S u b j e c t s : N a r r o w i n g t h e F o c u s F a r i n t o t h e s t u d y , a s I n e a r e d t h e e n d o f a n a l y s i s a n d b e c a u s e o f t h e p a r t i c u l a r t h e m e s t h a t h a d e m e r g e d , I d e c i d e d t o n a r r o w t h e f o c u s s t i l l f u r t h e r f r o m 4 t o 2 ' s t u d e n t s . F o r r e p o r t i n g p u r p o s e s I c o n c e n t r a t e d o n l y o n S a m a n d T o n i , e x p e c t i n g t o p e r i o d i c a l l y b r i n g i n s n i p p e t s o f i n f o r m a t i o n f r o m t h e o t h e r f o c a l s t u d e n t s t o s u p p o r t 5 2 t y p i c a l i t y o f o r t o c o n t r a s t r e s p o n s e s . A l l f o u r o f t h e f o c a l s t u d e n t s h a d t a k e n t h e p r e t e s t s e r i o u s l y . M o s t t h e m e s t h a t a r o s e d u r i n g d a t a g a t h e r i n g a n d a n a l y s i s c u t a c r o s s a l l s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , a l l s t u d e n t s h a d f r a g m e n t e d k n o w l e d g e a b o u t f u n c t i o n s a n d t h o u g h t a b o u t t h e m o n l y i m p l i c i t l y . T h e y r e l i e d h e a v i l y o n t h e s i t u a t i o n s f o r r e a s o n i n g a n d e n g a g e d i n t a s k s t h a t c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s m o r e c l o s e l y r e l a t i n g t o s c h o o l i n g t h a n t o m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , g o o d e x a m p l e s o f t h e m e s a p p e a r e d d i f f e r e n t i a l l y a m o n g t h e s t u d e n t s . I c h o s e S a m a n d T o n i o v e r t h e o t h e r s t u d e n t s b e c a u s e w r i t i n g a b o u t t h e m c o u l d b e s t i l l u s t r a t e w i t h i n t w o s t u d e n t s t h e m e s t h a t I f o u n d c u t t i n g a c r o s s a l l f o u r s t u d e n t s . I n a d d i t i o n , o n e t h e m e , t h e c o n t r a s t b e t w e e n r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e a n d s t u d e n t v o i c e t o o k o n p r o m i n e n c e . W r i t i n g a b o u t S a m a n d T o n i a l l o w e d m e t o d i s c u s s t w o d i m e n s i o n s o f t h a t t h e m e , m a t h e m a t i c s a n d a c t i v i t i e s o f s c h o o l , w i t h i n i n t e r v i e w p r o b l e m e x a m p l e s w h e r e s t u d e n t s w e r e a c t i v e l y e n g a g e d i n s e n s e - m a k i n g e i t h e r a b o u t m a t h e m a t i c s o r a c t i v i t i e s o f s c h o o l , b u t n o t a b l e t o a c c e s s t h e m a t h e m a t i c s s u c c e s s f u l l y . T h e s e c h o i c e s o f T o n i a n d S a m p r o v i d e d m e t h e b a c k d r o p f o r p r o v o c a t i v e r e fl e c t i o n a b o u t t h i s t h e m e . I n a d d i t i o n , t h e i r w o r k p r o v i d e d g o o d e x a m p l e s o f c o n t r a s t s f o r s i m i l a r m a t h e m a t i c a l t a s k s i n v o l v i n g s i m i l a r r e p r e s e n t a t i o n s w i t h s u b t l e , b u t i m p o r t a n t , d i f f e r e n c e s i n b o t h t h e m a t h e m a t i c s a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n . F i n a l l y , i t s e e m e d i m p o r t a n t t o i n c l u d e T o n i t o i l l u s t r a t e h e r f a c i l i t y w h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s a n d S a m f o r t h e q u e s t i o n s h e p r o v o k e d , p a r t i c u l a r l y a b o u t h i s u s e o f s i t u a t i o n s a n d s o c i a l i n t e r a c t i o n a s p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s . C h a p t e r s 3 a n d 4 w i l l p r e s e n t c a s e s o f T o n i a n d S a m , r e s p e c t i v e l y . C h a p t e r 5 w i l l r e fl e c t a c r o s s b o t h c a s e s a n d p r e s e n t t h e fi n d i n g s . S u b j e c t i v i t y o f R e s e a r c h e r B e c a u s e a m a j o r t h e m e u n d e r l y i n g t h e r e s e a r c h q u e s t i o n s i s c o m p a r i n g a n d c o n t r a s t i n g p e r s p e c t i v e s o f s t u d e n t s a n d r e s e a r c h e r / t e a c h e r , i t i s i m p o r t a n t t o s p e l l o u t w h a t p r o f e s s i o n a l b a c k g r o r m d I b r i n g t o t h i s s t u d y a n d m y p e r s o n a l b i a s e s a b o u t s t u d e n t l e a r n i n g a n d m a t h e m a t i c s t e a c h i n g . 5 3 P r o f e s s i o n a l B a c k g r o u n d M y v i e w o f w h a t m a t h e m a t i c s i s a n d w h a t s t u d e n t s s h o u l d l e a r n i s s h a p e d b y m y p r o f e s s i o n a l b a c k g r o u n d . I h a v e b e e n a m e m b e r o f a u n i v e r s i t y m a t h e m a t i c s d e p a r t m e n t f o r 2 0 y e a r s . I h a v e : 0 a m a s t e r s d e g r e e i n m a t h e m a t i c s , t h a t i s , m o r e m a t h e m a t i c s t h a n m o s t h i g h s c h o o l t e a c h e r s ; 0 m a n y y e a r s o f t e a c h i n g a l l l e v e l s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d t r i g o n o m e t r y t o c o l l e g e s t u d e n t s ( p a r t i c u l a r l y t o s t u d e n t s w h o h a v e f a i l e d i n h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s c l a s s e s ) , t h a t i s , e x p e r i e n c e t e a c h i n g s i m i l a r s u b j e c t s b u t t o a d i f f e r e n t a u d i e n c e a n d i n a d i f f e r e n t s e t t i n g f r o m m o s t h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s t e a c h e r s ; 0 s e v e r a l y e a r s o f t e a c h i n g c o m p u t e r s c i e n c e - p a r t i c u l a r l y c o m p u t e r p r o g r a m m i n g , t h a t i s , e x p e r i e n c e r e fl e c t i n g o n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g i t e r a t i v e p r o c e s s e s t h a t m u s t c o m e t o b e t h o u g h t o f a s e n t i t i e s , a s i n u n d e r s t a n d i n g t h e l o o p c o n c e p t ; 0 a g r e a t i n t e r e s t i n t h e p r o c e s s o f l e a r n i n g f r o m s o c i o l o g i c a l , p s y c h o l o g i c a l a n d p h i l o s o p h i c a l p o s i t i o n s b o t h f r o m b e f o r e a n d a s a r e s u l t o f m y d o c t o r a l s t u d i e s ; 0 e x p e r i e n c e t e a c h i n g 9 - 1 2 y e a r - o l d s i n a r e c r e a t i o n a l p r o g r a m f o r t h e g i f t e d a n d t a l e n t e d ; a n d 0 e x p e r i e n c e a s a r e s e a r c h e r f o r w e e k s i n a h i g h s c h o o l c l a s s r o o m ( o t h e r t h a n i n t h i s s t u d y ) ; t h a t i s , c o n s i d e r a b l y l e s s e x p e r i e n c e w i t h y o u n g p e o p l e o f h i g h s c h o o l a g e t h a n m o s t t e a c h e r s . A l t h o u g h I d o n o t h a v e m u c h e x p e r i e n c e t e a c h i n g i n a h i g h s c h o o l c l a s s r o o m , I h a v e e x p e r i e n c e t e a c h i n g t h i s s u b j e c t m a t t e r a t t h e s a m e I e v e l o f m a t h e m a t i c s a n d h a v e t h o u g h t d e e p l y a b o u t b o t h t h e m a t h e m a t i c s a n d h o w t o h e l p y o u n g p e o p l e u n d e r s t a n d i t . T h u s , I a m i n a u n i q u e p o s i t i o n t o c o n t r i b u t e a v a l i d p e r s p e c t i v e f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t e a c h e r , n o v i c e r e s e a r c h e r , a n d m a t h e m a t i c i a n . V i e w o f S t u d e n t L e a r n i n g A s i m p l i e d i n t h e l i t e r a t u r e r e v i e w , I s e e s t u d e n t s a s c r e a t i n g i n d i v i d u a l m e a n i n g w h i l e e n g a g e d i n p u r p o s e f u l a c t i v i t i e s i n s o c i a l s i t u a t i o n s . T h e s e m e a n i n g s I c a l l c o n c e p t i o n s . W h a t I c a l l m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a r e n o t i o n s p r e s u m e d t o b e s h a r e d b y a c o m m u n i t y w i t h e n o u g h c o n fi d e n c e t o m a k e c o m m u n i c a t i o n p o s s i b l e . T h e s e n o t i o n s I c a l l c o n c e p t s . W h i l e t h o s e w e l l - v e r s e d o r a c c u l t u r a t e d i n t o t h e 5 4 c o m m u n i t y m a y b e c o n fi d e n t t h a t t h e y s h a r e s i m i l a r m e a n i n g s w h e n w o r k i n g w i t h p u b l i c r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s , m e a n i n g s r e s i d e w i t h t h e i n d i v i d u a l a n d n o t t h e r e p r e s e n t a t i o n . W h a t a c t i v i t i e s a n i n d i v i d u a l e n g a g e s i n a n d t h e a m o u n t a n d k i n d s o f e x p e r i e n c e s t h e y h a v e w i l l i n fl u e n c e w h a t t h e y l e a r n . I b e l i e v e s t u d e n t s b u i l d m e a n i n g s c l o s e l y t i e d t o t h e s i t u a t i o n s , e x p e r i e n c e s , a n d i n t e r a c t i o n s i n w h i c h t h e y l e a r n e d t h e m , b u t a s t h e i r e x p e r i e n c e g r o w s o r a s t h e y r e fl e c t o n t h e i r k n o w l e d g e a n d a c t i v i t i e s , t h e y w i l l a d j u s t t h e s e m e a n i n g s , s o m e t i m e s i n c r e m e n t a l l y a n d s o m e t i m e s b y l e a p s . I t h i n k i n d i v i d u a l s o f t e n h a v e n a i v e , t e n t a t i v e n o t i o n s a b o u t f o r m a l c o n c e p t s t h a t c a n b e e x p l o r e d a n d u t i l i z e d i n f o r m a l l y o r i n t u i t i v e l y , s o m e t i m e s w i t h o u t a w a r e n e s s , s o m e t i m e s l o n g b e f o r e t h e y c a n w o r k w i t h f o r m a l i z e d s y m b o l i c ( g r a p h s , t a b l e s , r u l e s ) r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e i d e a s . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s i s a b i t l i k e l e a r n i n g l a n g u a g e i n t h e s e n s e t h a t t h e r e i s a h o l i s t i c c h a r a c t e r t o h o w i t i s a c q u i r e d , fi r s t f r a g i l e a n d n a i v e , s o m e t i m e s a w k w a r d , a n d t h e n g r a d u a l l y b e c o m i n g m o r e a n d m o r e r i c h a n d p o w e r f u l t h r o u g h u s e a n d a p p r o p r i a t e e x p e r i e n c e . T h e r e a r e c o n v e n t i o n s , t e r m s , a n d a w a y o f s p e a k i n g ( P i m m ’ s ( 1 9 8 7 ) m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r ) t h a t a r e s h a r e d w i t h i n t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y a n d w h i c h m u s t b e l e a r n e d , a l o n g w i t h c o n c e p t s , i n o r d e r t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y . V i e w o f T e a c h i n g W h i l e m y v i e w s o f l e a r n i n g a r e g r o u n d i n g i n c o n s t r u c t i v i s m v i e w e d a s a s o c i a l p r a c t i c e , m y v i e w s o f t e a c h i n g a r e t h a t o f a g u i d e w h o s e t s t a s k s a n d i n t e r a c t s w i t h s t u d e n t s t o a c c u l t u r a t e ( B i s h o p , 1 9 8 8 ; C o b b e t a l . , 1 9 9 2 ) t h e m i n t o a c o m m u n i t y . I b e l i e v e t h e t e a c h e r i s g u i d e d b y a s e t o f g o a l s f o r l e a r n i n g b a s e d o n h e r o w n u n d e r s t a n d i n g o f t h e p a r t i c u l a r g r o u p o f s t u d e n t s , m a t h e m a t i c s , t e a c h i n g / l e a r n i n g , a n d a c c e p t a b l e s o c i a l i n t e r a c t i o n s w i t h i n t h e p a r t i c u l a r c l a s s r o o m . T h e t e a c h e r s e t s t a s k s . a n d a c t i v i t i e s f o r s t u d e n t s t o e n g a g e i n , i n c l u d i n g a w i d e r a n g e o f s t r a t e g i e s v a r y i n g f r o m s h a r i n g h e r o w n u n d e r s t a n d i n g s t o g u i d e d e x p l o r a t i o n s , a n d h a s t h e 5 5 r e s p o n s i b i l i t y t o a d j u s t t h e m a s h e r o w n k n o w l e d g e a b o u t s t u d e n t s , s t u d e n t l e a r n i n g , t e a c h i n g , m a t h e m a t i c s , a n d c o m m u n i c a t i o n e v o l v e s . M y p r o f e s s i o n a l b a c k g r o u n d a s m a t h e m a t i c i a n , m a t h e m a t i c s t e a c h e r , a n d r e s e a r c h e r , a s w e l l a s m y v i e w s o f s t u d e n t l e a r n i n g a n d o f t e a c h i n g , a l l p r o v i d e p e r s o n a l b i a s e s t h a t a f f e c t m y r e s e a r c h . H o w I v i e w s t u d e n t a c t i v i t y , w h a t i n t e r p r e t a t i o n s I m a k e , a n d w h a t I f a i l t o s e e a r e i n g r e a t p a r t d u e t o t h e s p e c i fi c l e n s e s I b r i n g t o b e a r o n t h e r e s e a r c h . 5 0 , [ I n C H A P T E R 3 T H E C A S E O F T O N I T h e c a s e s o f t w o s t u d e n t s , T o n i a n d S a m , a r e p r e s e n t e d i n c h a p t e r s 3 a n d 4 , r e s p e c t i v e l y . T o n i ’ s c a s e i s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g b e c a u s e t h e r e i s a g r e a t d i s p a r i t y i n h e r f a c i l i t y t o w o r k w i t h f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s . A s w i l l b e s e e n , T o n i o f t e n a p p r o a c h e d p r o b l e m s p r o c e d u r a l l y , y e t d i s p l a y e d r e m a r k a b l e f a c i l i t y w i t h s o m e p r o b l e m s i n v o l v i n g g r a p h s . S h e a p p r o a c h e d s o m e p r o b l e m s b y r o t e e v e n w h e n t o d o s o w a s n o t s e n s i b l e w h e r e a s i n o t h e r s s h e w a s r e l u c t a n t t o c a r r y o u t a r o t e p r o c e s s b e c a u s e t h e p r o b l e m m a d e n o s e n s e t o h e r . T h e fi r s t s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r i n t r o d u c e s T o n i a n d i s f o l l o w e d w i t h t h r e e m a j o r s e c t i o n s d i s c u s s i n g h e r w o r k . M o s t o f T o n i ’ s a c t i v i t i e s w e r e d i r e c t e d a t p r o b l e m s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s , w i t h f t m c t i o n s g e n e r a l l y a c c e s s e d o n l y i m p l i c i t l y ; t h u s , t h e fi r s t s e c t i o n c o n c e n t r a t e s o n T o n i ’ s w o r k w i t h r e p r e s e n t a t i o n s . I t h a s t w o p a r t s , t h e fi r s t d i s c u s s i n g t h o s e p r o b l e m s i n w h i c h s h e a p p e a r e d t o h a v e f a c i l i t y a n d t h e s e c o n d , t h o s e i n w h i c h s h e h a d d i f fi c u l t y . S i n c e t h e s e c a t e g o r i e s w e r e n o t a l w a y s d i s j o i n t , a s i n g l e p r o b l e m m i g h t i n c l u d e a d i s c u s s i o n o f b o t h f a c i l i t y a n d d i f fi c u l t y . W i t h i n t h i s s e c t i o n , t h e p r o b l e m s a r e o r g a n i z e d b y p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n ( s ) a n d t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m t a s k . T h e d i s c u s s i o n i n c l u d e s h o w T o n i w e n t a b o u t w o r k i n g W i t h t h e p r o b l e m , a n d w h e n e v e r p o s s i b l e , d e s c r i b e s h e r p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s , m e t h o d s o f j u s t i fi c a t i o n o f h e r r e a s o n i n g , c o n n e c t i o n s s h e m a d e a c r o s s e i t h e r f u n c t i o n C l a s s e s o r r e p r e s e n t a t i o n c l a s s e s , a n d fi n a l l y , a n y f e a t u r e s o f h e r w o r k t h a t w e r e P u z z l i n g t o t h e r e s e a r c h e r . T h e s e s u b s e c t i o n s s u g g e s t , i f f e a s i b l e , p o s s i b l e C X p l a n a t i o n s f o r s o m e o f t h e s e d i f fi c u l t i e s . T h e s e c o n d m a j o r s e c t i o n p r e s e n t s T o n i ’ s C o n c e p t i o n s a b o u t t h e t h r e e f t m c t i o n c l a s s e s s h e s t u d i e d . F i n a l l y , t h e c h a p t e r C o n c l u d e s w i t h a s e c t i o n o n t h e s p e c i a l n a t u r e o f p r o b l e m s T o n i e n c o u n t e r e d w h e n f u n c t i o n s w e r e s i t u a t e d i n r e a l i s t i c c o n t e x t s . 5 6 5 7 G e t t i n g t o K n o w T o n i B a c k g r o u n d T o n i i s a s o f t - s p o k e n , p l e a s a n t g i r l f r o m a s m a l l m i d w e s t e m t o w n . W h e n s h e g r a d u a t e s f r o m h i g h s c h o o l , s h e h o p e s t o a t t e n d a s t a t e u n i v e r s i t y t o p u r s u e a c a r e e r i n t h e m e d i c a l fi e l d . W h e n T o n i w a s y o u n g e r , s h e l i v e d i n t h r e e s t a t e s o t h e r t h a n h e r c u r r e n t o n e , b u t h o p e s t o m o v e t o C h i c a g o a s a n a d u l t b e c a u s e " i t ’ s a b i g g e r p l a c e , a n d t h e r e a r e m o r e j o b s . " A t t h e t i m e o f t h e d a t a g a t h e r i n g , s h e w a s e n t e r i n g e l e v e n t h g r a d e . S h e h a d c o m p l e t e d A l g e b r a I h e r f r e s h m a n y e a r , r e c e i v i n g a C - . T h o u g h s h e t o o k A l g e b r a 1 1 h e r s o p h o m o r e y e a r , s h e p l a n n e d t o r e p e a t i t b e c a u s e , s h e s a i d s h e d i d n o t h a v e e n o u g h t i m e t o u n d e r s t a n d i t . S h e i n d i c a t e d s h e c o u l d d o b e t t e r i f s h e w e r e t e a c h i n g h e r s e l f , r a t h e r t h a n w i t h t e a c h e r s e x p l a i n i n g m a t h . A c c o r d i n g t o a c o m p o s i t e s c o r e o f 1 3 . 6 o n t h e N e l s o n - D e n n y r e a d i n g t e s t , T o n i c o u l d r e a d a b o v e t h e l e v e l o f a c o l l e g e f r e s h m a n . T o n i f o u n d t h i s c l a s s d i f f e r e n t f r o m t h o s e s h e h a d h a d b e f o r e a n d l i k e d i t b e t t e r b e c a u s e " I g e t t o t h i n k b y m y s e l f a n d s o m e o n e ’ s n o t e x p l a i n i n g . " S h e u s u a l l y s a t a t t h e b a c k o f t h e c l a s s r o o m , w h i c h w a s v e r y w i d e , b u t o n l y a b o u t fi v e s e a t s d e e p . T o n i a p p e a r e d t o b e a c o n s c i e n t i o u s s t u d e n t , a t t e m p t i n g t o d o h e r h o m e w o r k e v e n w h e n t i m e w a s l i m i t e d , s u c h a s a f t e r a l a t e n i g h t r e t u r n f r o m a w e e k e n d fi e l d t r i p . H e r t e a c h e r s o b v i o u s l y a g r w d s h e w a s a s e r i o u s s t u d e n t . A t t h e c l o s i n g b a n q u e t f o r t h e p r o g r a m , e a c h t e a c h e r g a v e a n a w a r d t o t h e o u t s t a n d i n g s t u d e n t f r o m e a c h s e c t i o n o f c l a s s t h e y t a u g h t . S i n c e t h e r e w e r e t h r e e s e c t i o n s , t h r e e s t u d e n t s s h a r e d t h e h o n o r f o r e a c h s u b j e c t t o p i c u n l e s s a t e a c h e r c h o s e t o a w a r d a t i e . T o n i w a s t h e o n l y o u t s t a n d i n g s t u d e n t c h o s e n i n h e r s e c t i o n i n C h e m i s t r y , C o m p u t e r s , a n d M i c r o b i o l o g y , t h r e e o f t h e e i g h t s u b j e c t s . I n a d d i t i o n , d u r i n g t h e l a s t w e e k o f c l a s s a m i n i - S c i e n c e O l y m p i a d w a s h e l d , u s i n g s t a n d a r d S c i e n c e O l y m p i a d e v e n t s . T o n i w o n fi r s t p l a c e i n b o t h t h e W a t e r Q u a l i t y a n d M e t r i c E s t i m a t i o n e v e n t s . 5 8 A p p r o a c h e s t o P r o b l e m S o l v i n g P r o c e d u r e s a n d m a n i p u l a t i o n . I n h e r m a t h e m a t i c s c l a s s , T o n i o f t e n u s e d a p r o c e d u r a l , m a n i p u l a t i v e a p p r o a c h t o p r o b l e m s o l v i n g , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e p r o b l e m i n v o l v e d s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , i n t h e P r o fi t P r o b l e m o f i n t e r v i e w 3 1 , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o m p a r e t w o s y m b o l i c f u n c t i o n r u l e s r e l a t i n g t i c k e t p r i c e t o p r o fi t f o r a s c h o o l e v e n t w i t h t w o d i f f e r e n t s e t s o f c i r c u m s t a n c e s a n d t o d i s c u s s w h e t h e r o r n o t t h e s e c o n d r u l e a c t u a l l y r e p r e s e n t e d w h a t a s t u d e n t i n t h e s i t u a t i o n c l a i m e d a b o u t i t . T o n i i m m e d i a t e l y b e g a n t o e x p a n d t h e p a r e n t h e s e s i n t h e s e c o n d r u l e , P ( t ) = - 1 0 0 ( t - 3 ) 2 + 7 0 0 a - 3 ) - 2 0 0 , s a y i n g , " I ’ m d o i n g t h i s o n e r i g h t h e r e , " a s i f s h e h a d a n e q u a t i o n t o s o l v e . S i t u a t i o n 1 . 1 . A s a w i n n e r i n t h e L o t t e r y e r i c a y o u h a v e t w o o p t i o n s f o r p a y o f f : ( 1 ) 5 1 0 0 . 0 0 0 p a i d i m m e d i a t e l y : o r @ a s p e c i a l s a v i n g s b o n d w r t h i n i t i a l v a l u e o f $ 1 t h a t d o u b l e s e a c h y e a r u m I i t p a y s o f f 2 0 y e a r s l a t e r . W h i c h p a y o f f w o u l d y o u p r e f e r ? W L W ’ 1 0 a r e 9 — 2 . . , 1 ' M \ S O I Q Q L i ' H W P , - - - * ' l u ’ 3 % \ § . w a O t . l $ § ‘ l 2 W ’ fi ’ } , O t W I N ” 1 4 0 % : fi é fl w ‘ 6 I “ ? 0 5 1 / ) 8 ‘ 5 0 “ “ 2 2 W “ 0 2 ’ ‘ 0 1 W e H 0 3 3 4 ” W W g r o w l s ” ? q b g ' l l o I / ‘ j e a fl ' o i f ) , “ U f a / ‘ 9 0 1 ) ” ) ‘ 2 1 ? q u 4 . ' 2 u % g j w o ‘ w F i g u r e 3 . 1 : T o n i ’ s H o m e w o r k f o r S i t u a t i o n 1 . 1 ( C I A , p . 5 - 2 ) 1 T h e f u l l s e t o f i n t e r v i e w p r o b l e m s c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x A . P r o b l e m n u m b e r s b e g i n w i t h t h e i n t e r v i e w n u m b e r , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e w e e k o f 5 - w e e k c l a s s i n w h i c h i t w a s g i v e n . F o r e x a m p l e , p r o b l e m 4 B - l w a s g i v e n d u r i n g w e e k 4 o f c l a s s . 5 9 O n t h e h o m e w o r k p r o b l e m S i t u a t i o n 1 . 1 f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , g i v e n i n F i g u r e 3 . 1 , T o n i m e t i c u l o u s l y w r o t e o u t ( i n c l u d i n g t h e w o r d ” y e a r s " ) t h e v a l u e o f t h e b o n d f o r e a c h y e a r b e t w e e n 2 a n d 2 0 , e v e n t h o u g h a c a l c u l a t o r w a s a v a i l a b l e . P e r h a p s s h e t h o u g h t i t w a s n e c e s s a r y t o d o c u m e n t h e r s o l u t i o n . A t h i r d e x a m p l e o f T o n i ’ s r e l i a n c e o n p r o c e d u r e s a s a m e a n s o f p r o b l e m s o l v i n g o c c u r r e d d u r i n g p r o b l e m 4 B - 1 , s h o w n i n F i g u r e 3 . 2 b e l o w . T o n i w a s u n a b l e B e l o w i s a g r a p h o f a f u n c t i o n f ( x ) = 3 ( 2 ) " . T h e p o i n t o n t h e g r a p h t h a t r e p r e s e n t s t h e f u n c t i o n v a l u e s f o r i n p u t b i s l a b e l e d w i t h a d o t . P l a c e a d o r o n t h e g r a p h t h a t r e p r e s e n t s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n f o r i n p u t b + 3 . F i g u r e 3 . 2 : P r o b l e m 4 B - 1 t o c o m p l e t e t h e p r o b l e m b e c a u s e s h e a s s o c i a t e d t h e c o n c e p t i n p u t w i t h a r o t e p r o c e d u r e f o r s u b s t i t u t i n g i n t o p a r e n t h e s e s . S h e b e c a m e c o n f u s e d b e c a u s e i t w a s t h e 2 , n o t x , t h a t w a s i n p a r e n t h e s e s . T o n i b e g a n b y a s k i n g i f i n p u t w a s ” w h a t ’ s i n t h e p a r e n t h e s e s . " S i n c e s h e d i d n o t s e e m c l e a r a b o u t t h e d e fi n i t i o n o f i n p u t , I m e n t i o n e d a f u n c t i o n t h a t w a s d i s c u s s e d i n c l a s s t h a t d a y - a f u n c t i o n a b o u t s t o p p i n g d i s t a n c e a s a f u n c t i o n o f s p e e d - « a n d a s k e d h e r h o w t h e a u t h o r h a d u s e d " i n p u t ” a n d " o u t p u t ” i n t h a t 6 0 f u n c t i o n r u l e . 2 S h e s a i d y o u h a d t o p u t i n p u t i n ” b o t h p l a c e s w h e r e t h e r e ’ s p a r e n t h e s e s . " I t h e n e x p l a i n e d t h a t i n p u t w a s t h e v a l u e o f t h e v a r i a b l e t h a t y o u w e r e p u t t i n g i n t o t h e f u n c t i o n r u l e a n d o u t p u t w a s t h e v a l u e y o u w e r e g e t t i n g o u t , a n d a s I d i d s o , s h e e c h o e d m y s p e e c h , a l m o s t s i m u l t a n e o u s l y , a s i f r e c a l l i n g t h e m e a n i n g . T o n i t h e n a n n o u n c e d t h a t b + 3 s h o u l d b e g o i n g i n t o t h e p a r e n t h e s e s , b u t w h e n I a s k e d h e r w h i c h p a r e n t h e s e s , s h e i n d i c a t e d t h o s e e n c l o s i n g t h e 2 : T : T h e s e , t h i s o n e r i g h t h e r e [ p o i n t s t o ( 2 ) ] 3 b e c a u s e t h i s i s t h e o u t p u t . G : I n p l a c e o f t h e 2 ? T : O r , w a i t . E q u a l s . I t s h o u l d b e g o i n g i n w h e r e t h e x — I d o n ’ t k n o w . Y o u c a n s w i t c h i t a r o u n d , s o m a y b e i t s h o u l d b e g o i n g w h e r e t h e x i s o v e r h e r e . [ p o i n t s t o f ( x ) ] T o n i s e e m e d t o c o n n e c t h e r p r o c e s s t o o n e v a l i d p a r t o f e v a l u a t i n g t h e f u n c t i o n , s u b s t i t u t i n g f o r t h e v a r i a b l e x i n f ( x ) . I d i d n o t w a n t t h e d i s c u s s i o n t o b e s i d e t r a c k e d b y c o n f u s i o n w i t h t h e f ( x ) p a r t o f t h e n o t a t i o n , a c o m m o n o c c u r r e n c e i n c l a s s r o o m s , s o I t r i e d t o h e a d o f f f u r t h e r d i f fi c u l t i e s b y w r i t i n g t h e f u n c t i o n u s i n g y , r a t h e r t h a n f ( x ) . I r e m i n d e d T o n i t h a t t h e t e a c h e r a l s o s o m e t i m e s d i d t h a t . H o w e v e r , s h e c o n t i n u e d t o a s s o c i a t e i n p u t w i t h r o t e l y s u b s t i t u t i n g i n p a r e n t h e s e s , " T h e i n p u t i s 2 , u m , t o t h e x . Y o u j u s t p u t a t w o b e c a u s e [ p o i n t s t o ( 2 ) ] a l l o f t h e m w o u l d b e t o t h e x a n d t h e o u t p u t i s y . " I t r i e d t o e x p l a i n t h e f u n c t i o n n o t a t i o n b y m e n t i o n i n g t h a t w h a t e v e r v a r i a b l e w a s i n p a r e n t h e s e s o n t h e l e f t n a m e d t h e i n p u t v a r i a b l e , b u t t h a t t h e w h o l e s i d e , f ( x ) , w a s c o n s i d e r e d a n a m e f o r t h e o u t p u t f r o m t h e f u n c t i o n . I e x p l a i n e d t h a t i t w a s n o t t h e e x i s t e n c e o f t h e p a r e n t h e s e s , b u t r a t h e r t h a t o n e s u b s t i t u t e s s o m e t h i n g f o r t h e v a r i a b l e , a n d s u g g e s t e d w e c o u l d g o o n t o a n o t h e r p r o b l e m i f s h e 2 A f t e r e x p l o r i n g t h e n a t u r e o f t h e f u n c t i o n d ( s ) = . 0 0 5 3 2 + . 1 4 3 v i a a t a b l e a n d c o m p a r i n g i t s ' t a b l e a n d g r a p h t o t h o s e f o r l i n e a r f u n c t i o n s , s t u d e n t s w e r e g i v e n e x e r c i s e s t h a t i n c l u d e d t h e i n s t r u c t i o n s ( i m m e d i a t e l y a f t e r t h e r u l e w a s r e p e a t e d ) , ' R e m m b e r t h e i n p u t v a r i a b l e , s , i s t h e s p e e d o f t h e v e h i c l e i n k i l o m e t e r s p e r h o u r a n d t h e o u t p u t , d ( s ) i s s t o p p i n g d i s t a n c e i n m e t e r s . " 3 W i t h i n t r a n s c r i p t s s q u a r e b r a c k e t s a r e d e s c r i p t i o n s o f a c t i o n s o r i n s e r t e d c o m m e n t s o f o t h e r s . P a r e n t h e s e s c o n n o t e i n t e r p r e t a t i o n . 6 1 w o u l d l i k e . I n s p i t e o f m y e x p l a n a t i o n s a n d s u g g e s t i o n t o l e a v e t h e p r o b l e m , T o n i c o n t i n u e d w i t h i t . S h e p e r s i s t e d i n u s i n g h e r o w n a l g o r i t h m t o s u b s t i t u t e i n p u t i n t o p a r e n t h e s e s , e v e n w h e n t h e y d i d n o t c o n t a i n a v a r i a b l e , a n d s u b s t i t u t e d b + 3 i n p l a c e o f t h e 2 i n t h e f u n c t i o n r u l e . T o n i ’ s a t t a c h m e n t t o t h e p r o c e s s o f s u b s t i t u t i o n " i n t h e p a r e n t h e s e s , " i n s t e a d o f ” f o r t h e v a r i a b l e " n o d o u b t w a s r e l a t e d t o c l a s s a c t i v i t i e s , w h e r e s t u d e n t s h a d h a d a l a r g e n u m b e r o f e x e r c i s e s t h a t i n t r o d u c e d t h e m t o t h e f u n c t i o n n o t a t i o n a n d o f t e n c a l l e d a t t e n t i o n t o d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e n o t a t i o n a s t h e y w e r e a s k e d t o i n t e r p r e t o r s o l v e p r o b l e m s u s i n g i t . F o r e x a m p l e , u s i n g a t a b l e o f d a t a o f a s i t u a t i o n , r e l a t i n g D a w n ’ s a g e t o D a w n ’ s h e i g h t , s t u d e n t s w e r e t o fi l l i n b l a n k s i n p r o b l e m s s u c h a s D ( 4 ) = _ _ o r D ( ) = 1 0 2 ( C I A , p . 1 - 9 ) . T o n i c l e a r l y h a d l e a r n e d a p r o c e d u r e f o r r o t e s u b s t i t u t i o n i n e x p r e s s i o n s w i t h f u n c t i o n n o t a t i o n a s s h e e x h i b i t e d a s h o r t t i m e l a t e r i n p r o b l e m , 4 B - 3 , w h e r e s h e w a s a s k e d t o g i v e a f u n c t i o n v a l u e f o r f ( x ) = 1 0 3 " f o r x = b a n d x = 4 . 5 w i t h o u t u s i n g t h e c a l c u l a t o r . S h e i m m e d i a t e l y c o r r e c t l y w r o t e 1 0 - 3 b a n d 1 0 3 “ ” , e v e n t h o u g h t h e p r o b l e m c o n t a i n e d n o p a r e n t h e s e s . I t i s u n f o r t t m a t e t h a t I d i v e r t e d h e r a t t e n t i o n f r o m a d e c i s i o n t o s u b s t i t u t e f o r t h e x i n f ( x ) b y e l i m i n a t i n g i t f r o m t h e p r o b l e m a n d s o c o u l d n o t f o l l o w u p o n i t . I s u g g e s t t h a t s h e , a s d o m a n y s t u d e n t s i n m y o w n a l g e b r a c l a s s e s , a d o p t e d a n a l g o r i t h m t o s u b s t i t u t e e v e r y w h e r e f o r x w h e n d e a l i n g w i t h t h i s n o t a t i o n . I n a d d i t i o n , i n m o s t c l a s s e s t h e r e i s d i s c u s s i o n o f s u b s t i t u t i n g f o r " w h a t ’ s i n p a r e n t h e s e s ” o n t h e f ( x ) s i d e . A t o n e l e v e l T o n i k n e w i n p u t w a s c o n n e c t e d t o " w h a t ’ s i n p a r e n t h e s e s , " b u t h a d c o n n e c t e d i t r o t e l y t o e x i s t e n c e o f p a r e n t h e s e s , w h i c h c a u s e d c o n f u s i o n i n t h i s p r o b l e m . U n t i l s h e w a s c o n f r o n t e d w i t h a n u n u s u a l s i t u a t i o n , w h i c h f o r h e r w a s t o c o n n e c t h e r k n o w l e d g e o f i n p u t t o t h i s p r o c e d u r e , b u t f o r w h i c h i n p u t ( b + 3 ) w a s . m o r e c o m p l i c a t e d t h a n s h e s e e m e d t o h a v e s e e n , t h e a l g o r i t h m i t s e l f w a s n o t c a l l e d i n t o q u e s t i o n . I n a n y c a s e , s h e a p p r o a c h e d t h i s p r o b l e m a l g o r i t h m i c a l l y . 6 2 T o n i o f t e n r e l i e d h e a v i l y o n p r o c e d u r e s . I f s h e p e r c e i v e d a p r o c e d u r e s h o u l d e x i s t , s u c h a s i n p r o b l e m 2 A - 2 t o fi n d a r u l e f o r a l i n e a r f u n c t i o n t h a t w a s g i v e n i n t a b u l a r f o r m , a n d s h e c o u l d n o t r e m e m b e r h o w t o d o i t , s h e b e c a m e " s t u c k . " I n t h a t p r o b l e m , s h e r e m a i n e d s t u c k i n s p i t e o f m y e f f o r t s t o h e l p h e r u s e t h e p a t t e r n s o f c h a n g e t h a t s h e s a w i n t h e t a b l e . F u r t h e r , b e c a u s e o f t h i s r e l i a n c e , T o n i w a s u n a b l e t o t a p t h e c r e a t i v e p r o b l e m s o l v i n g s h e u s e d a t o t h e r t i m e s , s u c h a s i n p r o b l e m 1 - 1 , G o i n g t o S c h o o l , s h o w n o n t h e n e x t p a g e i n F i g u r e 3 . 3 . F o r P r o b l e m 1 - 1 T o n i u s e d a s t r a t e g y t o o b t a i n f r o m t h e g r a p h a s i n g l e d i s t a n c e f o r t w o p o i n t s , fi n d t w o p e o p l e w i t h t h e s a m e r e l a t i v e d i s t a n c e f r o m s c h o o l , c o n s i d e r t h e i r t r a v e l m o d e a n d p l a c e t h e s t u d e n t s o n t h e g r a p h b y t h e i r t i m e s . S h e c o r r e c t l y p l a c e d t h e p a i r G r a h a m a n d S u s a n a n d t h e p a i r P e t e r a n d l a n e i n t h i s w a y . S h e p l a c e d P a u l b e c a u s e h e w a s t h e o n l y p e r s o n l e f t f o r t h e l a s t d o t . S h e a s s u m e d h e fi t p e r h a p s b e c a u s e i t w a s a s c h o o l p r o b l e m a n d t h e r e w e r e fi v e c h i l d r e n a n d fi v e d o t s . C l e a r l y , T o n i e x p e c t e d n o m a n i p u l a t i v e p r o c e d u r e f o r t h i s p r o b l e m , a n d , i n a d d i t i o n , s h e w a s a b l e t o m a k e g o o d u s e o f t h e v i s u a l ” o r d e r ” o f t h e p l a c e s o n t h e m a p . U s i n g p a t t e r n s a m o n g t a s k s a n d v i s u a l r e p r e s e n t a t i o n s . I n a d d i t i o n t o r e l y i n g o n p r o c e d u r e s i n p r o b l e m s o l v i n g , T o n i w a s o f t e n o r i e n t e d t o d e t e r m i n i n g o t h e r p a t t e r n s , s u c h a s p a t t e r n s o f c h a n g e i n t a b l e s o r s l o p e s o r s h a p e s o f g r a p h s . A s w i l l b e s e e n b e l o w , s h e u s e d t h i s t o h e r a d v a n t a g e w h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s a n d t a b l e s . S h e o f t e n o b s e r v e d v e r y s u b t l e d i s t i n c t i o n s i n b o t h v e r b a l a n d p i c t o r i a l a s p e c t s w i t h i n r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s . T h i s o r i e n t a t i o n t o p a t t e r n s w a s p a r t i c u l a r l y c l e a r d u r i n g i n t e r v i e w 5 , w h e r e s t u d e n t s w e r e g i v e n 1 7 c a r d s - w h i c h i n v o l v e d v a r i o u s r e l a t i o n s i n o n e o f s e v e r a l r e p r e s e n t a t i o n s — t o s o r t i n t o c a t e g o r i e s o f t h e i r c h o o s i n g . ( S e e A p p e n d i x A f o r a c o m p l e t e s e t o f c a r d s . ) T o n i m a d e a n e x t r e m e l y q u i c k fi r s t s o r t b a s e d o n t h e s u p e r fi c i a l f e a t u r e s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s , t h a t i s , o n t h e t a s k s e m b e d d e d i n t h e v e r b a l 6 3 G O I N G T O S C H O O L 9 l i 3 S c a l e ( m i l e s ) 0 G r a h a m 0 0 l a n e P a u l S c h o o l 0 S u s a n \ P e t e r J a n e , G r a h a m , S u s a n , P a u l a n d P e t e r a l l t r a v e l t o s c h o o l a l o n g t h e s a m e c o u n t r y r o a d e v e r y m o r n i n g . P e t e r g o e s i n h i s d a d ' s c a r . l a n e c y c l e s a n d S u s a n w a l k s . T h e o t h e r t w o c h i l d r e n v a r y h o w t h e y t r a v e l f r o m d a y t o d a y . T h e m a p a b o v e s h o w s w h e r e e a c h p e r s o n l i v e s . T h e f o l l o w i n g g r a p h d e s c r i b e s e a c h p u p i l ‘ s j o u r n e y t o s c h o o l l a s t M o n d a y . 6 ' 1 . . o f j o u r n e y t o s c h o o l ( m i l e s ) 2 - . . I J 3 0 2 0 4 0 T i m e t a k e n t o t r a v e l t o s c h o o l ( m i n u t e s ) i ) L a b e l e a c h p o i n t o n t h e g r a p h w i t h t h e n a m e o f t h e p e r s o n i t r e p r e s e n t s . i i ) H o w d i d P a u l a n d G r a h a m t r a v e l t o s c h o o l o n M o n d a y ? i i i ) D e s c r i b e h o w y o u a r r i v e d a t y o u r a n s w e r t o p a r t ( i i ) ( m o t i o n e d ) F i g u r e 3 . 3 : P r o b l e m 1 - 1 , G o i n g t o S c h o o l ( L F G , p . 2 8 ) C a t e g o r i e s a r e : 6 4 r e p r e s e n t a t i o n s a n d o n v i s u a l a t t r i b u t e s o f t h e c a r d s s u c h a s t a b l e s , g r a p h s , a n d w o r d p r o b l e m s . H e r fi r s t s o r t i n c l u d e d t w o c a t e g o r i e s r e l a t e d t o t a s k : w o r d p r o b l e m s f o r w h i c h y o u h a v e t o s u b s t i t u t e v a l u e s ( M , P , Q , B ) a n d c a r d s o n w h i c h " t h e y g i v e y o u v a l u e s t h a t i n c r e a s e a n d t h e y w a n t t h e n u m b e r ( A , 8 ) . " S h e h a d t h r e e p i c t o r i a l , t w o g r a p h i c a l ( g r a p h s t h a t d i d o r d i d n o t l o o k l i k e p a r a b o l a s ) , a n d o n e t a b u l a r c a t e g o r i e s . A l l c a t e g o r i e s w e r e b a s e d o n s u p e r fi c i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . T h r e e w e r e p r i n c i p a l l y n o n v e r b a l , a n d t h e t w o t a s k c a t e g o r i e s w e r e p r i n c i p a l l y v e r b a l . I n h e r fi r s t t a s k c a t e g o r y , T o n i d e s c r i b e d t h e p r o c e s s o f s o l u t i o n a n d f o r t h e s e c o n d , s h e a d d e d a t a s k t h a t w a s n o t t h e r e . C a r d s A a n d 8 s i m p l y s t a t e a r e l a t i o n s h i p . A s h e r f i r s t s o r t t o o k o n l y a b o u t 3 m i n u t e s t o c o m p l e t e , c o m p a r e d t o f r o m 7 t o 1 5 m i n u t e s f o r o t h e r s t u d e n t s , t h e s e c a t e g o r i e s c a m e r e a d i l y t o h e r a n d w e r e c l e a r l y s a l i e n t f e a t u r e s o f t h e v i s u a l r e p r e s e n t a t i o n s o n t h e s e c a r d s . F o r h e r s e c o n d s o r t , T o n i s o r t e d t h e c a r d s p r i n c i p a l l y b y w h a t t y p e o f i n f o r r n a t i o n w a s g i v e n a n d t h e n a t u r e o f t h e g i v e n t a s k . H e r d e s c r i p t i o n s o f t a s k s O f t e n i n c l u d e d t h e s p e c i fi c p r o c e s s n e e d e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . T o n i ’ s s u m m a r i e s o f h e r s o r t c a t e g o r i e s f o l l o w t h e l i s t i n g o f c a r d s i n a c a t e g o r y g i v e n b e l o w . ( 1 ) Q , Z : . . . g i v e y o u i n f o r m a t i o n a n d t h e n t e l l y o u t o d o s o m e t h i n g ( 2 ) J , M , R , T , H , B : . . . g i v e y o u d i a g r a m s o r g r a p h s t o l o o k a t a n d t h e n a s k y o u a q u e s t i o n a b o u t i t ( 3 ) Y , S , A , P : . . . g i v e y o u n u m b e r s a n d t h e n j u s t t e l l y o u s o m e t h i n g a b o u t i t a n d d o n ’ t a s k a n y t h i n g ( 4 ) W , G , K , D , E : T h e y ’ r e a l l g r a p h s . S o m e o f t h e m t e l l y o u s o m e t h i n g a b o u t t h e m , b u t n o n e o f t h e m a s k q u e s t i o n s . F o r t h o s e c a r d s w i t h a t a s k , T o n i h a d c r e a t e d v a l i d , b u t u n n a m e d c a t e g o r i e s : fi n d a f u n c t i o n r u l e ( g r o u p 1 ) o r fi n d a n a n s w e r , u s u a l l y n u m e r i c , t o t h e q u e s t i o n p o s e d ( g r o u p 2 ) . S h e s u c c e s s f u l l y s e p a r a t e d o u t t h o s e c a r d s t h a t s i m p l y g a v e a 6 5 r e l a t i o n s h i p w i t h o u t a p r o b l e m s o l v i n g t a s k , b u t f u r t h e r c l a s s i fi e d t h e m b y g r a p h s / d i a g r a m s a n d n o n g r a p h s . S h e m a d e o n e e r r o r i n t h i s c l a s s i fi c a t i o n . C a r d H a s k e d f o r a f u n c t i o n r u l e , b u t s h e g r o u p e d i t w i t h t a s k s t h a t a s k f o r i n f o r m a t i o n ( n u m e r i c a n s w e r s ) , r a t h e r t h a n w i t h r e q u e s t i n g a f u n c t i o n r u l e . T h i s e r r o r p r o b a b l y o c c u r r e d b e c a u s e , a t t h e t i m e s h e g r o u p e d i t w i t h B a n d T , s h e h a d b e e n w o r k i n g w i t h a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e w h e t h e r t h e c a r d j u s t g a v e i n f o r m a t i o n o r h a d a t a s k a s s o c i a t e d w i t h t h e i n f o r m a t i o n t h a t w a s g i v e n . I t w a s n o t u n t i l l a t e r t h a t s h e d i s t i n g u i s h e d t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t a s k o f fi n d i n g a f u n c t i o n ( Q a n d Z ) a n d t h a t o f fi n d i n g a n u m e r i c v a l u e . B y t h a t p o i n t , c a r d H w a s b u r i e d i n a p i l e o f c a r d s a n d m a y h a v e b e e n o v e r l o o k e d . O n t h e o t h e r h a n d , H a s k s , " W h a t k i n d o f f u n c t i o n b e s t fi t s t h e d a t a ? " , w h i c h T o n i m i g h t h a v e t a k e n a s r e q u i r i n g a d i f f e r e n t k i n d o f a n s w e r t h a n t h o s e o n c a r d s Q a n d 2 . C a r d Q a s k s y o u t o ” F i n d a f u n c t i o n , R , r e l a t i n g r e v e n u e t o t h e p r i c e , ” a n d c a r d 2 a s k s y o u t o ” G i v e t h i s f u n c t i o n ’ s g r a p h . " B o t h a s k y o u t o p r o d u c e s o m e r e p r e s e n t a t i o n , w h i l e H s e e m s m o r e t o b e s e e k i n g a n ” a n s w e r ” i n m u c h t h e s a m e w a y t h a t t h e m o r e n u m e r i c t a s k s d o . I n t h i s l a t t e r s o r t , T o n i u s e d i n c r e a s i n g l y s u b t l e d i s t i n c t i o n s b a s e d o n c a t e g o r i e s i n v o l v i n g a c o m b i n a t i o n o f h o w w o r d s a n d p i c t o r i a l i n f o r m a t i o n w e r e u s e d o n t h e c a r d s , r a t h e r t h a n r e l y i n g o n t h e m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s t h a t w e r e r e p r e s e n t e d t h e r e . I n s u m m a r y , T o n i o f t e n f o c u s e d h e r a t t e n t i o n o n w h a t p r o c e d u r e o r t a s k w a s s o u g h t i n p r o b l e m s o l v i n g . S h e w a s v e r y o b s e r v a n t a b o u t v i s u a l c u e s , b o t h v e r b a l a n d n o n v e r b a l . T o n i s o u g h t c l u e s f o r h o w t o p r o c e e d i n p r o b l e m s o l v i n g b y a t t e n d i n g t o s u c h f e a t u r e s , w i t h u n e v e n s u c c e s s , a s w i l l b e s e e n i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s . C a l c u l a t o r u s e . T h e c a l c u l a t o r w a s u s e d d a i l y i n c l a s s a s a t o o l t o s o l v e p r o b l e m s . W h i l e T o n i u s e d i t i n c l a s s a n d p e r i o d i c a l l y i n i n t e r v i e w s , s h e d i d n o t g e n e r a l l y t u r n t o t h e c a l c u l a t o r t o a s s i s t h e r w i t h p r o b l e m s e v e n t h o u g h i t w a s a l w a y s a v a i l a b l e a n d e a c h i n t e r v i e w s t a r t e d w i t h a n a n n o u n c e m e n t o f i t s a v a i l a b i l i t y . O n l y o n p r o b l e m s 4 B - 3 m e n t i o n e d a b o v e . a n d 4 B - 4 w e r e s t u d e n t s a s k e d n o t t o u s e i t . 6 6 W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s - F a c i l i t y P e r h a p s t h e m o s t n o t e w o r t h y f e a t u r e o f T o n i ’ s a c t i v i t i e s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e s e i n t e r v i e w s w a s h e r fl u i d i n t e r p r e t a t i o n o f g r a p h s o f s i t u a t e d v a r i a t i o n , a t a s k t h a t i s d i f fi c u l t f o r s t u d e n t s a t m a n y l e v e l s ( B e l l , B r e k k e , & S w a n , 1 9 8 7 a ; E v e n , 1 9 8 9 ; J a n v i e r , 1 9 7 8 ; K e r s l a k e , 1 9 8 1 ) . O n t h r e e o c c a s i o n s ( P r o b l e m s 2 B - 1 , 2 B - 2 , 5 - 1 ) s h e w a s g i v e n a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a p r o b l e m s i t u a t i o n ( a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p ) a n d a s k e d t o s e l e c t a g r a p h t o m a t c h i t a n d t o j u s t i f y h e r c o n c l u s i o n . T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s T o n i ’ s w o r k o n t h e s e t h r e e p r o b l e m s a n d a t t e m p t s t o c h a r a c t e r i z e p a t t e r n s i n h e r r e a s o n i n g a b o u t g r a p h s . I t c o n t i n u e s w i t h a d i s c u s s i o n o f o t h e r w a y s i n w h i c h s h e h a d f a c i l i t y w i t h g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s i n t a s k s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , s u c h a s c r e a t i n g g r a p h s f r o m s i t u a t i o n s o r c r e a t i n g s i t u a t i o n s f r o m g r a p h s . N e x t i t e x p l o r e s t a s k s i n w h i c h a t t e n t i o n w a s o n t h e r e p r e s e n t a t i o n a s a w h o l e , s u c h a s r e c o g n i z i n g p a t t e r n s o f c h a n g e i n a t a b l e , a n d fi n a l l y , d i s c u s s e s T o n i ’ s f a c i l i t y w i t h t a s k s t h a t i n v o l v e a p r o c e s s o r c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n s i n g l e i n s t a n c e s o f a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p , t h a t i s , w h e r e t h e a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n s p e c i fi c x ’ s a n d y ’ s . F l u i d M a t c h i n g o f G r a p h s a n d S i t u a t i o n s I n i n t e r v i e w 2 , T o n i w a s g i v e n a p r o b l e m f r o m T h e L a n g u a g e o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s ( S w a n , 1 9 8 5 ) a s k i n g h e r t o fi n d a g r a p h f r o m t h e fi g u r e b e l o w t o m a t c h t h e s i t u a t i o n g i v e n , u s i n g v a r i a b l e s s h o w n : W h e n I s t a r t e d t o l e a r n t h e g u i t a r , I i n i t i a l l y m a d e v e r y r a p i d p r o g r e s s . B u t I h a v e f o u n d t h a t t h e b e t t e r y o u g e t , t h e m o r e d i f fi c u l t i t i s t o i m p r o v e s t i l l f u r t h e r . ( P r o fi c i e n c y / a m o u n t o f p r a c t i c e . ) R ( a ) ( D ) ( C ) { Y 7 ( a ) ( c ) U ) l ( S ) : ( h ) ( 1 ) I U ) y ‘ ( U ( 0 F i g u r e 3 . 4 : G r a p h C h o i c e s f o r P r o b l e m s Z B ( L F G , p . 1 0 2 ) [ J l ? [ 7 I n i t i a l l y T o n i c h o s e g r a p h e , j u s t i fi e d i t , a n d t h e n q u i c k l y v o l u n t e e r e d w h y t h r e e o t h e r c a n d i d a t e g r a p h s f a i l e d t o m a t c h . S h e d e s c r i b e d t h e s p e e d o f p r o g r e s s a n d a c c u r a t e l y m a t c h e d i t t o t h e s h a p e o f t h e g r a p h c : H e o r s h e , o r w h a t e v e r , s a i d t h a t t h e y , u m , m a d e a v e r y r a p i d p r o g r e s s s o t h e l i n e s h o u l d g o u p w a r d , u h , r e a l l y , l i k e s t e e p l y . A n d t h e n u h [ p a u s e ] i t p r e t t y m u c h l o o k s l i k e e b e c a u s e i t s t a r t s f r o m t h e b o t t o m a n d t h e n i t g o e s u p p r e t t y f a s t a n d t h e n t h e p e r s o n s a y s t h a t t h e b e t t e r y o u g e t , t h e m o r e d i f fi c u l t i t i s t o i m p r o v e e v e n s t i l l f u r t h e r . S o t h e y ’ r e a l r e a d y a t t h e l e v e l i t w a s p r e t t y m u c h t h e i r b e s t , i f t h e y ’ r e s t i l l t r y i n g t o i m p r o v e s o i t ’ s p r e t t y m u c h s t e a d y - - . T o n i w a s i n fl u e n c e d b y a r a p i d r i s e a t t h e s t a r t o f t h e g r a p h a n d a fl a t t e n i n g o u t t o m a t c h t h e d i f fi c u l t y t o i m p r o v e . S h e s p o n t a n e o u s l y r e j e c t e d j b e c a u s e w h i l e i t m a t c h e d a r a p i d r i s e , i t d i d n o t fl a t t e n o u t , " j g o e s u p b u t t h e n i t k e e p s o n g o i n g u p , b u t t h e p e r s o n s a i d t h a t i t g e t s h a r d e r t o i m p r o v e s o i t w o u l d , t h e l i n e w o u l d fl a t t e n o u t . " S h e d i s m i s s e d k b e c a u s e , " i t g o e s b a c k d o w n a n d t h e p e r s o n w o u l d g e t w o r s e t h a n t h e y w e r e w h e n t h e y b e g a n . ” F i n a l l y , s h e r e j e c t e d i b e c a u s e i t s b e h a v i o r o n b o t h s i d e s c o n t r a d i c t e d t h e s i t u a t i o n b y i n d i c a t i n g t h e y s t a r t e d w e l l a n d t h e n g o t w o r s e . W h e n I a s k e d i f i t c o u l d b e g , s h e f e l t i t w a s a b e t t e r c h o i c e t h a n c b e c a u s e 6 8 e a r l i e r s h e h a d i n t e r p r e t e d r a p i d p r o g r e s s i n p r o fi c i e n c y a s i m m e d i a t e l y i m p r o v i n g , w h e r e a s i n e , t h e g r a p h i n d i c a t e s t h e r e w o u l d b e a s h o r t p e r i o d o f s l o w p r o g r e s s a t t h e b e g i n n i n g . T o n i h a d e f f e c t i v e r e a s o n i n g s t r a t e g i e s . T h r o u g h o u t t h e p r o b l e m , s h e d e s c r i b e d h e r c h o i c e i n t e r m s o f t h e s h a p e o f t h e g r a p h a n d h e r j u s t i fi c a t i o n s i n t e r m s o f t h e s i t u a t i o n . S h e w a s a b l e t o s e g m e n t t h e g r a p h a n d m a t c h t h e s l o p e s o f t h e s e g m e n t s w i t h a c o r r e s p o n d i n g s p e e d o f i m p r o v e m e n t . S h e h a d e q u a t e d s t e e p s l o p e w i t h " m a d e v e r y r a p i d p r o g r e s s , " a n d " m o r e d i f fi c u l t i t i s t o i m p r o v e " w i t h a fl a t g r a p h , t h a t i s , w i t h a c o n s t a n t p r o fi c i e n c y . B y c h o o s i n g t h i s l a b e l i n g o f t w o d i s t i n c t i v e s e g m e n t s o f t h e g r a p h , T o n i a v o i d e d a p o t e n t i a l c o n fl i c t b e t w e e n t h e g r a p h a n d h e r d e s c r i p t i o n o f c h a n g e t h a t m i g h t h a v e o c c u r r e d h a d s h e c o n t i n u e d t o t h i n k o f ” m o r e d i f fi c u l t i t i s t o i m p r o v e " a s p r o fi c i e n c y t h a t w a s c h a n g i n g , r a t h e r t h a n n o c h a n g e . S h e s a i d t h e p r o fi c i e n c y w a s l e v e l , ” s o t h e y ’ r e a l r e a d y a t t h e l e v e l i t w a s p r e t t y m u c h t h e i r b e s t , i f t h e y ’ r e s t i l l t r y i n g t o i m p r o v e s o i t ’ s p r e t t y m u c h s t e a d y - - " I n r e a l i t y , b y i g n o r i n g t h e s u b t l e c h a n g e i n p r o fi c i e n c y , s h e a v o i d e d a d e c r e a s i n g r a t e o f c h a n g e i n p r o fi c i e n c y , w h i c h m i g h t h a v e s e r v e d a s a c o n fl i c t f o r h o w t h e r i g h t s e g m e n t o f t h e g r a p h a p p e a r e d . T h e e x i s t e n c e o f s u c h d i s t r a c t o r s i n p u p i l s ’ i n c o r r e c t l y i n t e r p r e t i n g s i m i l a r g r a p h s i s w e l l - e s t a b l i s h e d ( B e l l e t a l . , 1 9 8 7 a ; E v e n , 1 9 8 9 ; J a n v i e r , 1 9 7 8 ; K e r s l a k e , 1 9 8 1 ) . T o n i ’ s u s e o f l a n g u a g e t o c o o r d i n a t e t h e fi t o f t h e s i t u a t i o n a n d g r a p h i n t h i s e x a m p l e w a s e n h a n c e d b e c a u s e o f h e r a b i l i t y t o c h o o s e a s u i t a b l e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h a t c o u l d b e e x p e r i e n c e d t e m p o r a l l y . I n t h i s p r o b l e m s h e l i t e r a l l y r e n a m e d a m o u n t o f p r a c t i c e , ” t i m e . " T h e n i n c r e a s i n g h o r i z o n t a l c h a n g e s w e r e c o n s i s t e n t w i t h p a s s a g e o f t i m e w h e n v i e w i n g o r s k e t c h i n g t h e g r a p h f r o m l e f t t o r i g h t . B o t h c h a n g e i n s i t u a t i o n v a r i a b l e a n d t h e p a s s a g e o f t i m e c o u l d b e e x p e r i e n c e d i n t u i t i v e l y a n d s i m u l t a n e o u s l y , w i t h o u t m u c h o v e r t a t t e n t i o n . T o n i e x h i b i t e d t h e s e s a m e r e a s o n i n g s t r a t e g i e s a n d fl u i d i n t e r p r e t a t i o n , w h e n w i t h l i t t l e h e s i t a t i o n , s h e p i c k e d o u t a n d j u s t i fi e d g r a p h k a s a n a p p r o p r i a t e g r a p h f o r 6 9 a s e c o n d s i t u a t i o n f r o m t h e s a m e p r o b l e m s e t , p r o b l e m 2 B — 2 : I f s c h o o l w o r k i s t o o e a s y , y o u d o n ’ t l e a r n a n y t h i n g f r o m d o i n g i t . O n t h e o t h e r h a n d , i f i t i s s o d i f fi c u l t t h a t y o u c a n n o t u n d e r s t a n d i t , a g a i n y o u d o n ’ t l e a r n . T h a t i s w h y i t i s s o i m p o r t a n t t o p i t c h w o r k a t t h e r i g h t l e v e l o f d i f fi c u l t y . ( e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k ) T o n i c h o s e d i f fi c u l t y o f w o r k f o r t h e h o r i z o n a l a x i s a n d e d u c a t i o n a l v a l u e f o r t h e v e r t i c a l a x i s . T h i s c h o i c e o f a x e s m a d e i t p o s s i b l e f o r h e r t o t h i n k o f d i f fi c u l t y o f w o r k a s c h a n g i n g o v e r t i m e f o r s o m e g r o u p ( o f s t u d e n t s ) , a n d t h u s , a g a i n e x p e r i e n c e t h e g r a p h t e m p o r a l l y . F u r t h e r , i t a l l o w e d h e r t o d e s c r i b e t h e c h a n g e s i n s e g m e n t s o f t h e g r a p h a n d c o n n e c t e a c h t o a p a r a l l e l d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , e d u c a t i o n a l v a l u e , w h i l e e s s e n t i a l l y i g n o r i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . A g a i n T o n i j u s t i fi e d h e r c h o i c e b y m a t c h i n g a d e s c r i p t i o n o f c h a n g e i n t h e s h a p e o f t h e g r a p h w i t h a c h a n g e i n t h e s i t u a t i o n . I n t h i s e x a m p l e , t h e g r a p h c o u l d b e v i e w e d a s a " p i c t u r e " o f c h a n g e i n e d u c a t i o n a l v a l u e a n d i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e , T o n i c h a n g e d t h e s i t u a t i o n a l d e s c r i p t i o n s l i g h t l y s o t h e g r a p h a l s o c o u l d b e v i e w e d a s a p i c t u r e o f c h a n g e i n p r o fi c i e n c y . T o n i c o u l d , h o w e v e r , i n t e r p r e t g r a p h s w h e r e t h e v a r i a t i o n i n t h e s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n d i f f e r e d f r o m a p i c t u r e o f t h e g r a p h , a s i n p r o b l e m 5 - 1 b e l o w i n F i g u r e 3 . 5 . A s u i t a b l e g r a p h f o r t h i s p r o b l e m w a s i d e n t i c a l t o T o n i ’ s c h o i c e i n t h e g u i t a r p r o b l e m , b u t t h i s t i m e s h e c o u l d n o t r e a d i l y r e v i s e t h e s i t u a t i o n a l d e s c r i p t i o n a s s h e h a d d o n e i n t h a t p r o b l e m . F o r D o n n a , a f t e r a b r i e f c o n s i d e r a t i o n o f c , T o n i s w i t c h e d t o f a n d g a v e a r e a s o n a b l e d e s c r i p t i o n o f t h e m a t c h . S h e s a i d : C i s D o n n a ’ s . [ P i c k s u p p e n a n d s t a r t s t o w r i t e ] . O h , w a i t . [ S h e s t u d i e s t h e s h e e t f o r a b i t . ] I t h i n k f i s D o m r a ’ s [ w r i t e s f o n s h e e t ] b e c a u s e s h e s t a r t e d o u t r u n n i n g a n d i t g o e s u p k i n d o f f a s t . T h e n i t k i n d o f l e v e l s o f f [ t r a c e s g r a p h w i t h p e n ] w h e r e s h e s t a r t e d w a l k i n g . 7 0 T i m a n d D o n n a l i v e 1 k m f r o m t h e i r s c h o o l . U s u a l l y t h e y w a l k t o g e t h e r t o s c h o o l . Y e s r e r d a y t h e y b o r h l e f t t h e i r h o u s e s 1 0 m i n u t e s b e f o r e s c h o o l S t a r t e d . T i m s t a r t e d t o w a l k b u t D o n n a w a s a f r a i d t o b e l a t e a n d s t a r t e d t o r u n . A f t e r a w h i l e T i m r e a l i z e d t h a t a l t h o u g h h e t r i e d t o w a l k f a s t e r a n d f a s t e r . h e h a d t o m n i f h e d i d n o r w a n t t o b e l a t e , a n d s t a r t e d t o r u n . A t t h e s a m e t i m e . D o n n a b e c a m e t i r e d a n d h a d t o w a l k i n s t e a d o f r u n . T h e y b o t h r e a c h e d s c h o o l e x a c t l y o n t i m e . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g g r a p h s i s T i m ’ 5 a n d w h i c h o n e i s D o n n a ' s ' ? g r J 3 a . ) o ) - c ) 4 L i n - t A ‘ 4 ‘ “ : C a ) l k / a ) J 5 ” ) 3 2 2 l a “ \ s e . : fi 7 4 . ; — F i g u r e 3 . 5 : P r o b l e m 5 - 1 , T i m a n d D o n n a P r o b l e m ( E v e n , 1 9 8 9 ) A f t e r s h e c h o s e b f o r T i m ’ s g r a p h a n d d e s c r i b e d t h e m a t c h c o r r e c t l y , I a s k e d h e r h o w s h e c o u l d t e l l f r o m t h e g r a p h t h a t D o n n a w a s r u n n i n g . S h e e x p l a i n e d : T : B e c a u s e i t ’ s g o i n g u p f a s t e r . I t ’ s a l m o s t g o i n g s t r a i g h t u p i n a l i t t l e a m o u n t o f t i m e , a n d s h e i s c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e . W h a t i s g o i n g u p i n a l i t t l e r a m o u n t o f t i m e ? T : T h e d i s t a n c e i s g o i n g u p . O h , o k a y . S o a d i s t a n c e g o i n g u p i n a l i t t l e r t i m e m e a n s t h a t s h e ’ s r u n n i n g ? T : Y e s , b e c a u s e s h e ’ s c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e i n l e s s t i m e . W h e n a s k e d w h y s h e h a d r e j e c t e d c , T o n i c o r r e c t l y e x p l a i n e d t h a t t h e g r a p h ’ s g o i n g d o w n t o z e r o o n t h e r i g h t w o u l d i n d i c a t e D o n n a w a s r e t u r n i n g h o m e . A s s h e j u s t i fi e d t h i s m a t c h , T o n i r e f e r r e d t o s p e e d o n l y i n d i r e c t l y b y m e n t i o n i n g m o d e o f t r a v e l . S h e a s s o c i a t e d a s t e e p p o r t i o n o f t h e g r a p h w i t h a f a s t m o d e , r u n n i n g , a n d a fl a t t e r p o r t i o n w i t h w a l k i n g . T o n i d e s c r i b e d t h e s t e e p p a r t a s c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e i n l e s s t i m e 7 1 ( t h a n fl a t t e r p o r t i o n s o f t h e g r a p h ) , a d y n a m i c r e l a t i o n b e t w e e n d i s t a n c e a n d t i m e , t h a t i s , a c o v a r i a t i o n o f t h e t w o v a r i a b l e s , a s u b j e c t a b o u t w h i c h I w i l l s a y m o r e l a t e r . I n i t i a l l y , w h e n T o n i c h o s e c , s h e w a s t e m p t e d t o i n t e r p r e t t h e g r a p h a s a p i c t u r e o f t h e c h a n g e i n s p e e d , t h a t i s , t o s w i t c h v a r i a b l e s w h e n t h e c h a n g e i n t h e g r a p h w a s a t o d d s w i t h t h e c h a n g e i n s p e e d , a p h e n o m e n o n s i m i l a r t o t h a t r e p o r t e d i n r e s e a r c h f o r p u p i l s o f a w i d e r a n g e o f a g e s ( B e l l e t a l . , 1 9 8 7 a ; 1 9 8 1 ; E v e n , 1 9 8 9 ; J a n v i e r , 1 9 7 8 ) . I f o n e r e a s o n s a b o u t t h i s g r a p h a s a d e s c r i p t i o n o f r a t e o f c h a n g e ( s p e e d ) , r a t h e r t h a n a s c h a n g e i n d i s t a n c e , t h e l a n g u a g e d e s c r i b i n g s p e e d i s s o m e w h a t c o n s i s t e n t w i t h l a n g u a g e d e s c r i b i n g t h e r a t e o f c h a n g e f o r t h e l e f t p a r t o f t h e g r a p h , a s s u m i n g t h a t o n e s t a r t s f r o m r e s t a n d o n e ’ s s p e e d g o e s u p . B u t f o r t h e r i g h t p a r t o f t h e g r a p h , t h e r a t e o f c h a n g e ( s p e e d ) i s d e c r e a s i n g a n d d o e s n o t m a t c h t h e g r a p h , w h i c h i s s t i l l g o i n g u p . T o n i ’ s d e c i s i o n t o r e a s o n d i r e c t l y w i t h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a m o u n t o f d i s t a n c e c o v e r e d o v e r t i m e s u p p o r t e d h e r a b i l i t y t o o v e r c o m e h e r i n i t i a l p u l l t o c o n s i d e r a d e c r e a s i n g g r a p h b e c a u s e s p e e d d e c r e a s e d . S h e c o u l d t h i n k o f d i s t a n c e i t s e l f a s g o i n g u p m o r e s l o w l y , r a t h e r t h a n a s c h a n g i n g w i t h d e c r e a s i n g s p e e d . H e r s t r a t e g y o f r e a s o n i n g i n t h i s f a s h i o n m e a n t s h e c o u l d g i v e o n l y t a c i t a t t e n t i o n t o t i m e a n d s i m p l y c o n s i d e r o n l y h e r ” m o t i o n " a s s h e s w e p t a c r o s s t h e g r a p h f r o m l e f t t o r i g h t . H e r c h o i c e o f f w h i l e d e s c r i b i n g o n l y c h a n g e s i n s p e e d a n d h e r r e a s o n s f o r r e j e c t i n g c i n d i c a t e t h a t a t s o m e l e v e l s h e u n d e r s t o o d a s u b t l e d i s t i n c t i o n b e t w e e n a f u n c t i o n ( t ) t h a t i n c r e a s e s o v e r a n i n t e r v a l , b u t w h i c h h a s a d e c r e a s i n g r a t e o f c h a n g e ( s p e e d ) , a n d o n e ( o ) i n w h i c h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( d i s t a n c e ) d e c r e a s e s o v e r s o m e i n t e r v a l . H e r i n t e r p r e t a t i o n h e r e i s c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l e x t h a n t h a t i n t h e g u i t a r p r o b l e m w h e r e p r o fi c i e n c y , t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , s i m p l y l e v e l e d o f f a n d c o u l d b e t h o u g h t o f a s n o c h a n g e , s o t h a t p r o fi c i e n c y , r a t h e r t h a n i t s c h a n g e , c o u l d b e m a t c h e d d i r e c t l y w i t h t h e s h a p e o f t h e g r a p h . T h e l a n g u a g e d e s c r i p t i o n i n t h a t p r o b l e m a l l o w e d T o n i t o r e a s o n e s s e n t i a l l y w i t h o n l y t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( p r o fi c i e n c y ) 7 2 c h a n g i n g o v e r t i m e , w h i c h d i d n o t s e e m p o s s i b l e f o r h e r i n t h e T i m / D o n n a p r o b l e m , w h e r e c o n t i n u o u s a t t e n t i o n t o t h e v a r i a b l e s p w d w a s r e q u i r e d . I n t h a t p r o b l e m T o n i u s e d m o d e o f t r a v e l f o r i n d i r e c t s p e e d a n d r e l i e d o n b e i n g a b l e t o c o o r d i n a t e s i m u l t a n e o u s v a r i a t i o n s , t h a t i s , a c o v a r i a t i o n t o fi t g r a p h s t o s i t u a t i o n . T i m e w a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , a n d T o n i u s e d n a t u r a l l a n g u a g e d e s c r i p t i o n s t o c o n n e c t t h e k i n d o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e t o t h e s t e e p n e s s o f t h e g r a p h . C o o r d i n a t i n g s i m u l t a n e o u s v a r i a t i o n i n t w o d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s , a s i t u a t i o n a l d e s c r i p t i o n a n d a g r a p h , c l e a r l y i s a c o m p l e x p r o b l e m . T o n i m a n a g e d q u i t e w e l l b e c a u s e s h e w a s a b l e t o v i e w t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t e m p o r a l l y , t o t h i n k o f t h e g r a p h i n s e g m e n t s , a s s o c i a t e s t e e p g r a p h s w i t h f a s t c h a n g e a n d fl a t t e r g r a p h s w i t h s l o w c h a n g e , r e c o g n i z e t h a t a d e c r e a s i n g g r a p h m e a n t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w a s g o i n g d o w n , a n d t o a t t a c h n a t u r a l l a n g u a g e d e s c r i p t o r s f o r t h e c h a n g e i n t h e s i t u a t i o n t h a t fi t t h e d e s c r i p t o r s o f c h a n g e s i n t h e s t e e p n e s s o f t h e g r a p h . T h e s e s t r a t e g i e s s e e m e d c r i t i c a l t o h e r s u c c e s s a n d w e r e e c h o e d b y o t h e r s t u d e n t s w h e n t h e y w e r e s u c c e s s f u l i n t h e s e t a s k s . I n a d d i t i o n , a s w i l l b e s e e n i n C h a p t e r 4 , S a m u s e d t h e s a m e s t r a t e g i e s , b u t h a d a g r e a t d e a l o f t r o u b l e w h e n h e c h o s e a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h a t c o u l d n o t b e v i e w e d t e m p o r a l l y . R e a s o n i n g a b o u t S i t u a t e d G r a p h s D i r e c t l y i n t h e S i t u a t i o n W h e n a p r o b l e m w a s s i t u a t e d , T o n i r e l i e d o n t h e s i t u a t i o n i t s e l f t o s u p p o r t h e r r e a s o n i n g . F o r e x a m p l e , i n p r o b l e m l - l , G o i n g t o S c h o o l ( s e e F i g u r e 3 . 3 a b o v e ) d i s c u s s e d a b o v e , T o n i r e a s o n e d d i r e c t l y i n t h e s i t u a t i o n b y c o o r d i n a t i n g v a l u e s o f d a t a p a i r s i n t h e r e l a t i o n s h i p . S h e u s e d t h e r e l a t i o n s h i p s o f t h e s i t u a t i o n t h a t s h e h a d . e x t r a c t e d f r o m t h e m a p , g r a p h , a n d t h e v e r b a l d e s c r i p t i o n o f t h e s i t u a t i o n t o g u i d e a n d j u s t i f y h e r s o l u t i o n . D u r i n g t h e fi r s t p r o b l e m t a s k , w h i c h w a s t o m a t c h i n f o r m a t i o n e m b e d d e d i n a m a p w i t h p o i n t s o n a C a r t e s i a n g r a p h , s h e r e c o g n i z e d f r o m t h e g r a p h t h a t t h e t w o l o w e s t d o t s h a d t o g o w i t h S u s a n a n d G r a h a m , w h o l i v e d c l o s e s t t o s c h o o l . T o n i c o r r e c t l y p l a c e d b o t h c h i l d r e n o n t h e g r a p h b a s e d o n k n o w i n g o n l y 7 3 S u s a n ’ s m o d e o f t r a v e l , w a l k i n g . S h e r e a s o n e d 4 0 m i n u t e s w o u l d b e a p p r o p r i a t e f o r t w o m i l e s , a n d p l a c e d G r a h a m , w h o v a r i e d h o w h e t r a v e l e d f r o m d a y t o d a y , o n t h e o t h e r d o t . T o n i h a d r e a s o n e d w i t h o n e s e t o f n u m b e r s i n t h e s i t u a t i o n t o d e c i d e S u s a n ’ s p l a c e m e n t , b u t w i t h o u t c h e c k i n g t h a t t h e o t h e r w o u l d w o r k o u t w e l l f o r G r a h a m . S h e r e a d i l y p l a c e d P e t e r a n d J a n e b e c a u s e t h e y h a d t h e l o n g e s t d i s t a n c e a n d m u s t b e t h e t o p t w o p o i n t s o n t h e g r a p h . F o r t h e i r s p e c i fi c p l a c e m e n t , T o n i s a i d , ” A n d t h e n J a n e a n d P e t e r l i v e t h e f a r t h e s t f r o m t h e s c h o o l s o b o t h o f t h e i r p o i n t s w o u l d b e t h e s a m e , u h , i n m i l e s . " S h e t h e n p l a c e d P e t e r c o r r e c t l y b e c a u s e h e w e n t b y c a r , ” s o i t w o u l d t a k e h i m a s h o r t e r a m o u n t o f t i m e s o P e t e r ’ s w o u l d b e t h e fi r s t p o i n t o n t h e g r a p h , o n t h e t o p . " I n n a m i n g t h e b o t t o m t w o d o t s , s h e h a d r e a s o n e d w h e t h e r t h e s p e c i fi c d a t a , 2 m i l e s a n d 4 0 m i n u t e s , w a s r e a s o n a b l e . I n t h e s e c o n d c a s e , T o n i h a d r e a s o n e d t h a t s a m e d i s t a n c e a n d f a s t e r s p w d i m p l i e d a s h o r t e r t i m e . S h e d i d n o t c o m p u t e s p e e d , b u t h a d r e a s o n e d b y c o m p a r i s o n o f r e l a t i v e t r a v e l m o d e s , t h a t i s , s h e r e l i e d h e a v i l y o n t h e " t h i n k i n g i n t h e s i t u a t i o n " t o p r o d u c e r e l a t i v e o r d e r s f o r q u a n t i t i e s t o s o l v e t h i s p r o b l e m . T h e s e c o n d p r o b l e m t a s k w a s t o e x t r a c t m o d e o f t r a v e l f o r t w o o f t h e c h i l d r e n . A g a i n T o n i r e a s o n e d d i r e c t l y i n t h e s i t u a t i o n . I n d e c i d i n g t r a v e l m o d e s , T o n i d e c i d e d P a u l ’ s m o d e w a s b i k i n g s i m p l y b y r e a d i n g o f f h i s t i m e a s 3 0 m i n u t e s . S h e h a d j u s t p l a c e d P a u l a t t h i s s p o t a n d h a d p r e v i o u s l y a n n o u n c e d t h a t h e w a s c l o s e r t o s c h o o l t h a n J a n e , o r s h e m a y h a v e n o t e d f r o m t h e g r a p h t h a t h i s d i s t a n c e w a s 4 m i l e s . S h e h a d n o t c o m p u t e d h i s s p e e d , b u t a g a i n s e e m e d t o r e a s o n d i r e c t l y a b o u t a s e n s i b l e t r a v e l m o d e f o r t h a t d i s t a n c e . F o r G r a h a m , T o n i s u g g e s t e d h e w a l k e d , c o n t r a d i c t i n g a n e a r l i e r s u g g e s t i o n s h e h a d m a d e t h a t h e r o d e a b i k e . A s t h e r e w a s a l o n g p a u s e , I j u d g e d h e r t o b e s o m e w h a t s t u c k . S i n c e p a r t o f t h e o f t h i s fi r s t i n t e r v i e w w a s t o b u i l d r a p p o r t , I a s k e d h o w S u s a n t r a v e l e d , a n d T o n i r e s p o n d e d b y p l a c i n g t h e t i m e i n o p p o s i t e o r d e r o f s p e e d ( t r a v e l m o d e ) f o r t h e s a m e d i s t a n c e . T : S u s a n w a l k e d , a n d i t t o o k h e r 4 0 m i n u t e s a n d G r a h a m , u m , o h , I t h i n k 7 4 G r a h a m r o d e h i s b i c y c l e b e c a u s e G r a h a m a n d S u s a n l i v e t h e s a m e d i s t a n c e . A n d i t t o o k S u s a n 4 0 m i n u t e s t o g e t t o s c h o o l , a n d i t o n l y t o o k G r a h a m a r o u n d p r o b a b l y 1 7 o r 1 8 m i n u t e s . S o h e p r o b a b l y r o d e h i s b i c y c l e , t o o . W h e n t h e t a s k o f c o m p a r i n g t r a v e l m o d e ( s p w d ) f o r t w o s t u d e n t s w h o s e d i s t a n c e w a s n o t t h e s a m e , s h e s i m p l y r e a s o n e d d i r e c t l y i n t h e s i t u a t i o n , j u d g i n g w h e t h e r a p a r t i c u l a r t i m e a n d t r a v e l m o d e s e e m e d s e n s i b l e . H o w d o y o u k n o w t h a t P a u l a n d G r a h a m d i d n o t g o b y c a r ? G : B e c a u s e G r a h a m o n l y l i v e d t w o m i l e s f r o m t h e s c h o o l , s o i t w o u l d n ’ t T : t a k e h i m 1 8 m i n u t e s t o g e t t h e r e i f h e w e n t b y c a r . A n d P a u l l i v e s a r o u n d 4 m i l e s f r o m t h e s c h o o l a n d i t t o o k h i m a b o u t 2 5 m i n u t e s , 2 5 o r 3 0 m i n u t e s t o g e t t o s c h o o l a n d i t w o u l d n ’ t t a k e t h a t l o n g b y c a n - u n l e s s t h e y s t o p p e d a l o n g t h e w a y . S h e c o u l d r e a d i l y e x t r a c t u s e f u l i n f o r m a t i o n f r o m i n d i v i d u a l c o o r d i n a t e s o f t h e g r a p h a n d c o u l d u s e t h a t i n f o r m a t i o n t o r e a s o n a b o u t a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t i m e a n d s p e e d g i v e n i n d i r e c t l y b y t r a v e l m o d e . A t n o t i m e d i d s h e c o m p u t e o r d i s c u s s s p e e d d i r e c t l y , b u t a s i n t h e T i m a n d D o n n a p r o b l e m , s h e s p o k e o f i t i n d i r e c t l y t h r o u g h t r a v e l m o d e . S h e d i d n o t s e e m t o r e a s o n w i t h s p e e d a s a n e x p l i c i t r a t i o o f d i s t a n c e a n d t i m e , t h a t i s , a s a s i n g l e q u a n t i t y , b u t s e e m e d r a t h e r t o r e a s o n b y c o o r d i n a t i n g t w o q u a n t i t i e s ( t h a t m a k e u p s u c h a r a t i o f o r s p e e d ) . S h e s e e m e d t o b e m a k i n g d e c i s i o n s b a s e d s i m p l y o n a t t r i b u t e s o f a f a m i l i a r s i t u a t i o n . T o n i ’ s fl u i d r e a s o n i n g i n t h i s p r o b l e m s i t u a t i o n i s i n c o n t r a s t t o s o m e o f t h e o t h e r s t u d e n t s 4 a n d S a m , w h o a t t a c k e d t h i s p r o b l e m i n a v e r y s c h o o l - l i k e , p r o c e d u r a l w a y . S a m m a d e a r u l e r a l o n g t h e e d g e o f t h e p a p e r , m e a s u r e d , a n d a c c u m u l a t e d t o t a l d i s t a n c e s a l o n g t h e m a p , l o c a t e d o n t h e g r a p h p o i n t s w i t h t h a t s a m e d i s t a n c e , a n d t h e n p l a c e d t w o s t u d e n t s w i t h t h e s a m e d i s t a n c e , s o m e t i m e s t o t a l l y w i t h o u t r e g a r d t o e i t h e r t r a v e l m o d e o r t i m e . T o n i a l s o o f t e n a p p r o a c h e d p r o b l e m s t h a t w e r e n o t s i t u a t e d i n a 4 A l l s t u d e n t s i n t h e f o c a l g r o u p p a r t i c i p a t e d i n i n t e r v i e w 1 a n d w e r e g i v e n t h i s p r o b l e m . 7 5 p r o c e d u r a l f a s h i o n , b u t t h i s p r o b l e m w a s b o t h s i t u a t e d a n d h a d p i c t o r i a l o r g r a p h i c a l f e a t u r e s . S h e c l e a r l y r e l i e d o n b o t h . G e n e r a t i n g a G r a p h f o r a S i t u a t i o n a n d a S i t u a t i o n f o r a G r a p h I n t h e fi r s t s e c t i o n , t h e p r o b l e m t a s k s i n v o l v e d m a t c h i n g v a r i a t i o n i n t w o e x i s t i n g r e p r e s e n t a t i o n s , a g r a p h a n d a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a s i t u a t i o n . I n e a c h o f t h o s e c a s e s , T o n i d i s p l a y e d f a c i l i t y w i t h c o o r d i n a t i n g t h e s e v a r i a t i o n s . I n t h i s s e c t i o n , w h e r e t h e t a s k d i f f e r s , T o n i d i s p l a y s t h e s a m e f a c i l i t y w i t h t h e s e t w o r e p r e s e n t a t i o n s . H e r e t h e t a s k i s t o g e n e r a t e a n e w r e p r e s e n t a t i o n f o r a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p , fi r s t , g o i n g f r o m a g r a p h t o c r e a t e d e t a i l s o f a s i t u a t i o n t o fi t i t a n d t h e n t a k i n g a s i t u a t i o n d e p i c t e d m a i n l y p i c t o r i a l l y a n d c r e a t i n g a g r a p h f o r i t . T o n i a c c u r a t e l y g e n e r a t e d a s i t u a t i o n f o r t h e g r a p h i n p r o b l e m 1 0 o n t h e p r e t e s t . S h e w r o t e : I t h i n k s h e g o t 5 m i l e s f r o m h o m e a n d t h e n s h e g o t l o s t a n d w a s j u s t w a l k i n g i n c i r c l e s a n d t h e n s h e f o u n d [ t ] h e w a y h o m e s o t h e n s h e w a l k e d h o m e . 1 0 . T h i s g r a p h s h o w s J a n e ' s p r o g r e s s a s s h e g o e s f o r a c o u n t r y w a l k . D e s c r i b e a s c a r e f u l l y a s y o u c a n w h a t n i g h t h a v e h a p p e n e d . B a a s s p e c i f i c a s y o u c a n . 4 \ c u t . - D i s t a n c e 5 ‘ “ f r o m h o m e q a ( m i l e s ) T i m e ( h o u r s ) F i g u r e 3 . 6 : P r e / P o s t t e s t P r o b l e m 1 0 S h e g a v e a s i m i l a r r e s p o n s e t o t h e s a m e q u e s t i o n o n t h e p o s t t e s t : J a n e c o u l d h a v e g o n e o n h e r c o u n t r y w a l k a n d g o t l o s t a n d k e p t g o i n g i n 7 6 c i r c l e s o r s h e c o u l d h a v e r e s t e d o u t i n a fi e l d o r s o m e t h i n g a n d t h e n f o u n d h e r w a y h o m e . I n b o t h c a s e s , s h e g a v e a c o m p l e t e l y p l a u s i b l e a n d c o r r e c t s i t u a t i o n t o m a t c h t h e g r a p h , i n c o n t r a s t t o t h a t o f t e n g i v e n b y m a n y s t u d e n t s i n o t h e r s t u d i e s ( B e l l , B r e k k e , & S w a n , 1 9 8 7 b ; B r e k k e , 1 9 8 7 ) . T o n i f a i l e d t o i d e n t i f y s p e c i fi c q u a n t i t i e s s u c h a s 5 m i l e s a n d 5 h o u r s a n d t o d i s t i n g u i s h d i f f e r e n c e s i n t r a v e l i n g r a t e s b e t w e e n g o i n g o u t a n d c o m i n g b a c k . E a c h o f t h e s e o m i s s i o n s c o u l d b e e x p l a i n e d p e r h a p s b y h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e l e v e l o f s p e c i fi c i t y r e q u i r e d . O n t h e o t h e r h a n d , h e r r e s p o n s e s s u g g e s t t h a t s h e a t t e n d e d p r i n c i p a l l y t o t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n l y , w h i l e p a y i n g o n l y t a c i t a t t e n t i o n t o t i m e , w h i c h c o u l d b e e x p e r i e n c e d " i n t u i t i v e l y " a s o n e s w e e p s a c r o s s t h e g r a p h l e f t t o r i g h t a s s h e d i d i n p r e v i o u s l y d i s c u s s e d p r o b l e m s . I n P r o b l e m 1 - 2 , t h e s e c o n d p a r t o f t h e G o i n g t o S c h o o l P r o b l e m , T o n i d e m o n s t r a t e d t h a t , w i t h m i n o r d i f fi c u l t i e s , s h e c o u l d c r e a t e a r e a s o n a b l e g r a p h o f s p e e d a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e . A f t e r a b r i e f s i d e t r a c k i n w h i c h I c l a r i fi e d t h a t t h e i v ) ' P e t e r ' s f a t h e r i s a b l e t o d r i v e a t 3 0 m p h o n t h e s t r a i g h t s e c t i o n s o f t h e r o a d , b u t h e h a s t o s l o w d o w n f o r t h e c o r n e r s . S k e t c h a g r a p h o n t h e a x e s b e l o w t o s h o w h o w t h e c a r ’ s s p e e d v a r i e s a l o n g t h e r o u t e . l P e t e r ’ s j o u r n e y t o S c h o o l 3 0 - 4 » # — C a r ’ s S p e e d 2 0 . ( E v i l ) l O - t ; 3 T 5 8 fl D i s t a n c e f r o m P e t e r ' s h o m e ( M i l e s ) F i g u r e 3 . 7 : T o n i ’ s G r a p h f o r P r o b l e m 1 - 2 ; G o i n g t o S c h o o l , P a r t 2 ( L F G , p . 2 9 ) m a p , b u t n o t t h e g r a p h , g i v e n i n t h e fi r s t h a l f o f t h e p r o b l e m ( l - l , s h o w n e a r l i e r i n 7 7 F i g u r e 3 . 3 ) w a s p e r t i n e n t t o t h i s p r o b l e m ( 1 - 2 ) , T o n i w a s a b l e t o s k e t c h a r e a s o n a b l e r o u g h g r a p h o f t h e s i t u a t i o n . S h e a c c o u n t e d f o r s t a r t i n g a t h o m e f r o m s t o p ( o r i g i n ) , p e r i o d s o f a c c e l e r a t i o n , s l o w i n g d o w n f o r c o r n e r s ( d i p s ) , s t r a i g h t a w a y s m a k i n g c o n s t a n t s p e e d ( l e v e l p o r t i o n s o n t h e g r a p h ) a n d c o m i n g t o a s t o p a t t h e s c h o o l a t r o u g h l y 6 . 5 m i l e s . W h i l e T o n i j u d g e d t h e n u m b e r o f m i l e s f o r t h e s e c o n d s e g m e n t o f t h e j o u r n e y a s 4 i n s t e a d o f 3 , s h e r e c o g n i z e d P e t e r ’ s t o t a l m i l e a g e f r o m t h e g r a p h i n P r o b l e m 1 - 1 a n d s o a d j u s t e d t h e l a s t s e g m e n t s l i g h t l y t o a t t e m p t e n d i t a t a r o u n d 6 m i l e s . S h e d e d u c e d t h e v a l u e f o r t h e s p e e d a t t h e c o r n e r s f r o m p e r s o n a l e x p e r i e n c e a n d w h e n q u e s t i o n e d a b o u t t h e c l i p s i n t h e g r a p h , a d m i t t e d t h e s e c o n d c o r n e r w a s s h a r p e r a n d w o u l d r e q u i r e a g r e a t e r s l o w i n g d o w n a n d t h u s a d e e p e r d i p i n t h e g r a p h . U n l i k e m a n y o t h e r s t u d e n t s w h o h a d m e t i c u l o u s l y c o m p u t e d l e n g t h o f j o u r n e y s e g m e n t s o n t h e m a p f o r P r o b l e m 1 - 1 , T o n i h a d s o l v e d t h e fi r s t p a r t o f t h i s p r o b l e m w i t h o u t a s s i g n i n g m e a s u r e s t o i n d i v i d u a l m a p s e g m e n t s . S o i n s o l v i n g t h i s p r o b l e m , s h e j u s t e s t i m a t e d t h e m w h i l e s h e w a s s k e t c h i n g t h e g r a p h . T h u s , h e r e r r o r o f f o u r m i l e s i n s t e a d o f t h r e e f o r t h e s e c o n d s e g m e n t i s u n d e r s t a n d a b l e . T o n i c h e c k e d t h e d i s t a n c e f o r t h e fi n a l d e s t i n a t i o n b y r e a d i n g o f f t h e s e c o n d c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t l a b e l e d P e t e r o n t h e p r e v i o u s g r a p h . W h i l e h e r p e r i o d s o f a c c e l e r a t i o n w e r e t o o l o n g , h e r f a i l u r e t o c r e a t e a m o r e r e fi n e d g r a p h c o u l d h a v e r e fl e c t e d a l a c k o f k n o w l e d g e a b o u t s u b t l e t i e s o f a c c e l e r a t i o n o r t h a t s h e i n t e r p r e t e d t h e i n s t r u c t i o n s a s r e q u i r i n g o n l y a r o u g h s k e t c h . I n a n y c a s e , T o n i c r e a t e d t h e g r a p h i n a v e r y q u i c k , fl u i d w a y . I r e m a r k e d i n m y n o t e s i m m e d i a t e l y a f t e r t h e i n t e r v i e w t h a t s h e ” s e e m e d t o d o g r a p h b y d e d u c t i o n - - o n l y c u r s o r y g l a n c e s a t s c a l e ( m a p ) . " S h e s e e m e d t o b e i m a g i n i n g d r i v i n g a l o n g t h a t m a p , k e e p i n g i n h e r m i n d t h a t m o s t o f t h e t i m e t h e s p e e d w a s 3 0 m p h , a n d c o o r d i n a t i n g t h e s p e e d w i t h h e r p o s i t i o n . - N o t e t h a t t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e h e r e i s d i s t a n c e f r o m h o m e , b u t s i n c e t i m e a n d d i s t a n c e a r e p r o p o r t i o n a l w h e n s p e e d i s c o n s t a n t , T o n i c o u l d j u s t a s e a s i l y h a v e b e e n t h i n k i n g a b o u t d i s t a n c e i n a t e m p o r a l w a y a l o n g t h e h o r i z o n t a l a x i s , a t e c h n i q u e 7 8 t h a t s h e u s e d o n o t h e r o c c a s i o n s . R e c a l l t h a t i n t h e g u i t a r p r o b l e m a b o v e , T o n i e x p l i c i t l y r e f e r r e d t o ” a m o u n t o f p r a c t i c e " a s " t i m e , " a n d s e e m e d t o e x p e r i e n c e t h e g r a p h s i n a fl u i d k i n d o f w a y t h a t d e p e n d e d o n p a y i n g l i t t l e d i r e c t a t t e n t i o n t o t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n d e e d , i n t h e p r e / p o s t t e s t p r o b l e m 1 0 a b o u t a c o u n t r y w a l k , s h e i g n o r e d t i m e ’ s i n t e r a c t i o n w i t h d i s t a n c e , a n d t r e a t e d i t o n l y a s h a v i n g p a s s e d . T h i s l a s t p h e n o m e n o n a p p e a r e d i n p r o b l e m s t o fi t s i t u a t i o n s t o g r a p h s , t o c r e a t e a s i t u a t i o n f o r a g r a p h , a n d t o c r e a t e a g r a p h f r o m a m a i n l y p i c t o r i a l l y p r e s e n t e d s i t u a t i o n . I t s u g g e s t s t h a t a n i m p o r t a n t c o m p o n e n t o f T o n i ’ s s u c c e s s f u l w o r k w i t h s i t u a t e d g r a p h i n g p r o b l e m s w a s b e i n g a b l e t o v i e w g r a p h s a s c o v a r i a t i o n , w i t h p r i m a r y a t t e n t i o n o n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d o n l y m i n i m a l , p o s s i b l y i n t u i t i v e a t t e n t i o n t o t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I t a l s o s e e m s t h a t b e i n g a b l e t o r e a s o n d i r e c t l y w i t h i n t h e s i t u a t i o n , w i t h o u t c o m p u t i n g c e r t a i n m a t h e m a t i c a l q u a n t i t i e s s u c h a s r a t e , a s s i s t e d h e r i n t h e s e p r o b l e m s . R e c o g n i z i n g a L i n e a r E t n c t i o n i n a T a b l e T h e d i s c u s s i o n s u p t o t h i s p o i n t h a v e d e a l t o n l y w i t h t h o s e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t h a v e i n v o l v e d g r a p h s i n s o m e w a y . W h i l e t h e fi r s t h a l f o f t h e G o i n g t o S c h o o l p r o b l e m ( 1 - 1 ) i n v o l v e d o n l y s i n g l e p o i n t s o r c o m p a r i s o n o f p o i n t s , t h e r e m a i n i n g p r o b l e m s i n v o l v e d p e r c e i v i n g o r w o r k i n g w i t h v a r i a t i o n o v e r m a n y p o i n t s , a n d a t t e n t i o n w a s g e n e r a l l y f o c u s e d o n t h e v a r i a t i o n i n t h e p r o b l e m a s a w h o l e , r a t h e r F u n c t i o n s d e fi n e d i n t a b l e s t h a n o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p e c i fi c x ’ s a n d y ’ s . l e n d t h e m s e l v e s t o t h i s k i n d o f v a r i a t i o n a s w e l l , i f o n e m o v e s u p a n d d o w n t h e t a b l e , r a t h e r t h a n a c r o s s . T o n i w a s a b l e t o t a k e s u c h a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h t o t a b l e s w i t h s o m e f a c i l i t y . S h e c o u l d r e c o g n i z e a l i n e a r f u n c t i o n w h e n i t w a s g i v e n i n t a b l e f o r m . I n t h e e x a m p l e a b o u t t o b e d i s c u s s e d , T o n i s p o n t a n e o u s l y j u s t i fi e d a t a b l e a s l i n e a r w h i l e i n t h e m i d s t o f g i v i n g a n a r g u m e n t t o t h e c o n t r a r y . D u r i n g t h e c a r d s o r t i n i n t e r v i e w 5 , d i s c u s s e d a b o v e , T o n i w a s g i v e n 1 7 c a r d s t o s o r t . T h e c a r d s r e p r e s e n t e d l i n e a r , 7 9 q u a d r a t i c , e x p o n e n t i a l , a n d o t h e r f u n c t i o n s a s g r a p h s , t a b l e s , s y m b o l i c f o r m s , b o t h s i t u a t e d a n d n o n s i t u a t e d . O n e t a b l e w a s a n o n f u n c t i o n . A f t e r T o n i h a d s o r t e d t h e c a r d s t w i c e w i t h o u t r e f e r e n c e t o f u n c t i o n c l a s s e s p e r s e , a s d e s c r i b e d e a r l i e r , I a s k e d h e r t o s o r t t h e m b y f u n c t i o n s w e h a d s t u d i e d i n c l a s s . S h e s e p a r a t e d o u t a n d c a l l e d s e v e r a l t h a t h a d c u r v e d g r a p h s o n t h e m ( M , T , J ) 5 p a r a b o l a s a n d n e x t m a d e a n e w c a t e g o r y , q u a d r a t i c s , f o r c a r d W , a s c a t t e r g r a p h . I t w a s c l e a r s h e b e l i e v e d q u a d r a t i c s w e r e a s s o c i a t e d w i t h a d i f f e r e n t f u n c t i o n c l a s s t h a n p a r a b o l a s , a n d w h e n I i n d i c a t e d w e n e e d e d t o s t r a i g h t e n o u t t h e f t m c t i o n c l a s s n a m e s , s h e i m m e d i a t e l y w a n t e d t o k n o w i f t h e y ( q u a d r a t i c s ) ” w e r e t h e ( n a m e s o f ) o n e s t h a t c h a n g e d e q u a l l y ” ( i n t a b l e e n t r i e s ) . S h e t h e n r e c a l l e d o n h e r o w n t h a t t a b l e s w i t h e q u a l ( r a t e o f ) c h a n g e h a d g r a p h s t h a t w e r e s t r a i g h t l i n e s . T h e n i n t h e c o u r s e o f t r y i n g t o s t r a i g h t e n o u t o t h e r n a m e s o f f u n c t i o n c l a s s e s , T o n i a t t e m p t e d t o fi n d a t a b l e w i t h u n e q u a l c h a n g e i n o u t p u t . S h e s e l e c t e d c a r d R , w h i c h c o n t a i n e d t h e t a b l e i n F i g u r e 3 . 8 . T o n i a t t e m p t e d t o i l l u s t r a t e u n e q u a l c h a n g e . S h e s a i d : O r t h e k i n d o f f u n c t i o n t h a t i s n ’ t e q u a l - h o w t h i s o n e - - [ p o i n t i n g t o t h e t a b l e R ] W e l l , t h i s o n e [ p a u s e a s s h e r e a d s c a r d ] t h i s o n e ’ s r i g h t . T h i s o n e w o u l d b e a l i n e a r f u n c t i o n . [ p i c k s u p R ] b e c a u s e i t ’ s a n e q u a l c h a n g e f r o m 4 t o 5 t h e r e i s 2 ( a d i f f e r e n c e o f 2 ) a n d i f t h e r e w a s a 6 h e r e ( i n t h e i n p u t l i s t ) , i t w o u l d b e 4 8 ( a n o t h e r d e c r e a s e o f 2 ) a n d 7 i s 4 6 [ G z o k a y ] a n d 8 i s 4 4 . S o , t h i s o n e w o u l d b e l i n e a r . i n p u t o u t p u t 4 5 2 5 5 0 7 4 6 8 4 4 1 0 4 0 2 0 2 0 3 0 0 3 5 - 1 0 F i g u r e 3 . 8 : T a b l e f r o m S o r t C a r d R 5 ] a n d T a r e a c t u a l l y g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . M h a s a q u a d r a t i c e q u a t i o n a s w e l l a s a p i c t u r e o n i t t h a t i s m a d e t o a p p e a r v e r y g r a p h l i k e . c . w h a t t i c k e t p r i c e i s p r e d i c t e d t o g i v e t h e n a x i n u m p r o f i t ? ' 8 0 A t fi r s t T o n i l o o k e d o n l y a t t h e o u t p u t e n t r i e s a n d j u d g e d i t u n e q u a l , b u t s o o n r e c o v e r e d : ” t h i s o n e ’ s r i g h t . ” S h e h a d q u i c k l y r e c o g n i z e d i t a s l i n e a r . H e r p r o c e s s o f fi l l i n g i n m i s s i n g e n t r i e s s h o w e d t h a t s h e c o n n e c t e d e q u a l c h a n g e i n o u t p u t f o r e q u a l c h a n g e i n t h e i n p u t w i t h l i n e a r g r a p h s . S h e h a d g r e a t e r d i f fi c u l t y s o r t i n g o u t o t h e r k i n d s o f c h a n g e r e p r e s e n t e d i n t a b u l a r f o r m . A s w i l l b e s e e n b e l o w u n d e r f u n c t i o n c l a s s e s , s h e s e e m e d t o h a v e o n l y t w o c l a s s i fi c a t i o n c a t e g o r i e s , e q u a l c h a n g e a n d u n e q u a l c h a n g e . T o n i f o u n d t h i n k i n g a b o u t t h e t a b l e a s a c o v a r i a t i o n u s e f u l i n r e c o g n i z i n g t h a t i t r e p r e s e n t e d a l i n e a r g r a p h . W h e t h e r i t w a s fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , g e n e r a t i n g g r a p h s f o r s i t u a t i o n s , g e n e r a t i n g s i t u a t i o n s f o r g r a p h s , o r w o r k i n g w i t h p a t t e r n s g o i n g d o w n t a b l e s , T o n i f o u n d a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h t o f u n c t i o n s b o t h u s e f u l a n d s a l i e n t . F a c i l e I n t e r p r e t a t i o n o f V a l u e s f m r n P o i n t s o n t h e G r a p h N o t a l l t a s k s i n v o l v e w h o l e r e p r e s e n t a t i o n s . O n e t a s k s t u d e n t s m u s t e n g a g e i n w h i l e s o l v i n g p r o b l e m s f o r s i t u a t e d f u n c t i o n s r e p r e s e n t e d b y g r a p h s i s t o i n t e r p r e t p o i n t s o n t h e g r a p h . E v e n b e f o r e t h i s c l a s s b e g a n T o n i c o u l d i n t e r p r e t p o i n t s o n s i t u a t e d g r a p h s . O n t h e p r e t e s t p r o b l e m 9 , s h o w n b e l o w i n F i g u r e 3 . 9 , s h e a c c u m m e 9 . T h e p r o f i t f r o m a r o c k c o n c e r t d e p e n d s o n t h e t i c k e t p r i c e . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t t h e g r a p h i n F i g u r e 2 g i v e s p r o f i t i n t e r m s o f t h e t i c k e t p r i c e . I n e a c h c a s e e x p l a i n h o w y o u g o t y o u r a n s w e r , a . W h a t p r o f i t c a n b e e x p e C t e d w h e n t i c k e t s c o s t 1 8 ? b . w h a t i s t h e n a x i n u n p r o f i t t h a t c a n b e e x p e c t e d ? 9 a ( D o g i fl r ‘ 3 . d i s e a s e — J 5 ) L ‘ a . I f l o 5 ’ I S ‘ o o a n o a f e o A ( 4 m m ) F i g u r e 3 . 9 : P r e / P o s t t e s t P r o b l e m 9 8 1 r e a d o f f 2 7 a s b e i n g a s s o c i a t e d w i t h a t i c k e t p r i c e o f 8 , i d e n t i fi e d t h e p o i n t ( 1 5 , 4 5 ) a s r e p r e s e n t i n g a m a x i m u m p r o fi t o f 4 5 a n d o c c u r r i n g w h e n a t i c k e t c o s t 1 5 d o l l a r s . W h i l e s h e f a i l e d t o a c c o u n t f o r " d o l l a r s i n t h o u s a n d s , " s h e d e m o n s t r a t e d t h a t , n o t o n l y c o u l d s h e r e a d o f f v a l u e s , b u t s h e c o u l d i n t e r p r e t t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n a m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e a n d w h e r e i t o c c u r r e d . O n t h e p o s t t e s t , T o n i a n s w e r e d p r o b l e m 9 i n e s s e n t i a l l y t h e s a m e w a y , e s t i m a t i n g h e r m a x i m u m p o i n t s l i g h t l y m o r e a c c u r a t e l y a t 4 2 o r 4 3 a n d a c c o u n t i n g t h i s t i m e f o r t h e d o l l a r s i n t h o u s a n d s . T o n i d e m o n s t r a t e d t h a t s h e h a d a fi r m p r o c e d u r e f o r i n t e r p r e t i n g p o i n t s o n o t h e r p r o b l e m s a s w e l l . O n c e d u r i n g t h e s o r t p r o b l e m s h e v o l u n t e e r e d t h a t a s o l u t i o n f o r M ( F i g u r e 3 . 1 0 ) w o u l d b e r e a d i l y a v a i l a b l e i f y o u m a d e a g r a p h f o r i t . W h e n I a s k e d h o w t h e g r a p h h e l p e d , s h e s a i d : T : B e c a u s e , i f y o u h a v e a g r a p h , a n d t h e y a s k a q u e s t i o n , a l l y o u h a v e t o d o i s fi n d t h e i n f o r m a t i o n o n t h e g r a p h . E a s i l y j u s t p o i n t r i g h t t o t h e a n s w e r » . A c l i f f d i v e r j u m p s o f f a c l i f f w h i e h i s n m e t e r s a b o v e t h e w a t e r . l f t h e d i v e r ’ s p o s i t i o n i s x m e t e r s a w a y f r o m t h e e d g e o f t h e c l i f f w h e n h e d i v e s a n d y m e t e r s a b o v e t h e w a t e r m n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , y = - x ’ + 2 x + 2 8 d e s c r i b e s t h e p a t h o f h i s d i v e . D o e s t h e d i v e r e v e r y r e a c h a h e i g h t o f 2 9 m e t e r s ? F i g u r e 3 . 1 0 : S o r t C a r d M I a s k e d T o n i i f t h e p r o c e s s w o u l d b e t h e s a m e a s t h a t f o r c a r d s I a n d T , w h e r e a g r a p h w a s g i v e n ( s e e F i g u r e 3 . 1 1 b e l o w ) . S h e i n s i s t e d i t w a s a n d w e n t o n t o e x p l a i n n o ' c ’ I ‘ Q N P o P . ( i n ( i W h a t ' l s t h e p r e d l e t e d . n e o ( l ' 1 l o y t e e g a r m a e ? i " t a o i » n f o r t h e y e a r Z O O O ? 8 2 a p r o c e s s o f p i c k i n g o u t t h e g i v e n n u m b e r o n o n e a x i s , g o i n g e i t h e r o v e r o r u p t o t h e g r a p h a n d t h e n t o t h e o t h e r a x i s t o r e a d o f f t h e d e s i r e d v a l u e . N o t e t h a t o n c a r d s M a n d l , t h e p r o c e s s i n v o l v e s g o i n g f r o m y t o x a n d o n T , f r o m x t o y . ' I ' h e g n p h b e l o w r e l a t e s a n i n s e c t p o p u l a t i o n i n a s p e c i fi c a r e a a n d t h e t i m e p a s s e d s i n e e a n i n s e e t i e i d e w a s s p r a y e d . A t w h a t t i m e w i l l t h e i n s e c t p O p u l a t i o n b e I O O O ? I a r u n . y o u n o . 4 5 “ ! . 1 . . . I f ” c o l l e g e t u i t i o n / y e a r F i g u r e 3 . 1 1 : S o r t C a r d s 1 a n d T T h a t T o n i s a w t h e s e a s i n s t a n c e s o f t h e s a m e p r o c e s s , r a t h e r t h a n t w o d i f f e r e n t p r o c e s s e s , a n d s o r e a d i l y e x t r a c t e d i n f o r m a t i o n a b o u t m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e s f r o m a p o i n t o n a g r a p h i n p r o b l e m 9 o f t h e p r e t e s t i n d i c a t e s s h e w a s f a c i l e w i t h e x t r a c t i n g s p e c i fi c i n f o r m a t i o n e m b e d d e d i n a g r a p h . I n t h e G o i n g t o S c h o o l p r o b l e m , d i s c u s s e d 8 3 e a r l i e r , s h e r e a d i l y r e a d o f f c o o r d i n a t e s o f p o i n t s o n t h e g r a p h , c o u l d i n t e r p r e t e a c h c o o r d i n a t e i n d e p e n d e n t l y , a n d r e c o g n i z e d t h a t b o t h c o o r d i n a t e s a r e n e c e s s a r y t o d e fi n e a p o i n t . A t o n e l e v e l e a c h o f t h e s e t a s k s c o u l d b e v i e w e d a s a p r o c e d u r e , b u t a t t h e i n t e r p r e t i v e l e v e l f o r t h e s i t u a t i o n t h e y c o u l d n o t , e s p e c i a l l y i n t h e G o i n g t o S c h o o l p r o b l e m a n d t h e m a x i m i z a t i o n o f p r o fi t o n t h e p r e t e s t . T h o s e p r o b l e m s r e q u i r e d a d d i t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n t o d e c i d e w h a t i s m e a n t b y i n d i v i d u a l c o o r d i n a t e s i n t h e s i t u a t i o n , o r i n t h e c a s e o f t h e m a x i m i z a t i o n , k n o w i n g w h e r e t o l o o k a s w e l l . T h e i n a b i l i t y t o i n t e r p r e t t h e v e r t e x o f a p a r a b o l a c o r r e c t l y a s a m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e a n d t o d e t e r m i n e w h e r e t h e m a x i m u m o c c u r s i n b o t h n a k e d a n d s i t u a t e d c o n t e x t s i s q u i t e c o m m o n a m o n g s t u d e n t s i n m y o w n i n t e r m e d i a t e a n d c o l l e g e a l g e b r a c l a s s e s . P a i n t P l o t t i n g A n o t h e r t a s k i n v o l v i n g i n d i v i d u a l p a r t s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f a f u n c t i o n t h a t s t u d e n t s n e e d t o e n g a g e i n i s p o i n t p l o t t i n g t o c r e a t e a g r a p h f r o m e i t h e r a f u n c t i o n r u l e o r a t a b l e . N o r m a l l y , p l o t t i n g p o i n t s f r o m a t a b l e i s s e e n b y s c h o o l c h i l d r e n a s a r o t e p r o c e s s . T o n i ’ s f a c i l i t y w i t h t h i s t a s k i s d i s c u s s e d h e r e b e c a u s e h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p r o c e s s a n d i t s c o n n e c t i o n t o g r a p h s i s u n e v e n . S h e u n d e r s t o o d o n e f a i r l y s o p h i s t i c a t e d c o n c e p t w h i l e f a i l i n g t o u n d e r s t a n d o t h e r s . E m b e d d e d i n t h e p r o c e s s o f p o i n t p l o t t i n g a r e s e v e r a l c o n v e n t i o n s , s u c h a s g i v i n g t h e h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e fi r s t , p l a c i n g n u m b e r s a l o n g a x e s i n a s c e n d i n g o r d e r f r o m l e f t t o r i g h t o r f r o m b o t t o m t o t o p , a n d n o t i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n f o r e i t h e r a x i s . A n o t h e r c o n c e r n s t h e c o n n e c t i o n o f a x i s c h o i c e t o t h e s e c o n v e n t i o n s . U n l i k e i n a d v a n c e d m a t h e m a t i c s c l a s s e s , e s p e c i a l l y w h e r e f u n c t i o n s m i g h t b e d e fi n e d i m p l i c i t l y , s c h o o l c h i l d r e n d o n o t n o r m a l l y e n c o u n t e r m u c h fl e x i b i l i t y i n a x i s c h o i c e . T h u s , i f y i s a f u n c t i o n o f x , t h e n x i s o n t h e h o r i z o n t a l a x i s . O n e f u n d a m e n t a l c o n c e p t t h a t ’ m u s t b e u n d e r s t o o d a b o u t t r a n s l a t i n g f r o m t a b l e s o f f u n c t i o n s t o C a r t e s i a n g r a p h s i s t h a t l a b e l s f o r t a b l e c o l u m n h e a d e r s f o r c o o r d i n a t e p a i r s m u s t b e c o n s i s t e n t w i t h t h e a x e s l a b e l s a l o n g w h i c h t h e y a r e m e a s u r e d . W h i l e n o r m a l l y t h e h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e 8 4 i s g i v e n fi r s t i n a n o r d e r e d p a i r o f n u m b e r s t o b e p l o t t e d , i f t h e fi r s t n u m b e r i s l a b e l e d t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e v e r t i c a l a x i s , t h e n i t m u s t b e c o n s i d e r e d t h e v e r t i c a l m e a s u r e . T o n i e x h i b i t e d a f a i r l y r o b u s t u n d e r s t a n d i n g o f t h i s c o n c e p t e v e n t h o u g h s h e h a d g r e a t d i f fi c u l t y k e e p i n g s t r a i g h t c o n v e n t i o n s f o r o r i e n t i n g a x e s , a s w i l l b e s e e n i n t h e n e x t s e g m e n t o f t h i s c h a p t e r . T o n i c o u l d r e a d i l y p l o t p o i n t s f o r e n t r i e s i n a t a b l e a n y t i m e b o t h i t s c o l u m n s w e r e l a b e l e d w i t h v a r i a b l e n a m e s a n d t h e a x e s w e r e l a b e l e d a s w e l l , e v e n i f t h e y d e fi e d t h e n o r m a l c o n v e n t i o n o f p u t t i n g t h e h o r i z o n t a l m e a s u r e i n t h e fi r s t c o l u m n . S h e u n d e r s t o o d t h a t t h e r e m u s t b e a c o n s i s t e n c y w i t h t h e n a m e s . F o r e x a m p l e , a f t e r t h e s e c o n d d a y o f c l a s s , i n h e r h o m e w o r k s h e c r e a t e d t h r e e g r a p h s f o r d a t a g i v e n i n h o r i z o n t a l t a b l e s . T o n i ’ s w o r k o n o n e o f t h e p r o b l e m s i s g i v e n b e l o w . W h i l e m o s t s t u d e n t s u s e d t h e h o r i z o n t a l a x i s f o r t h e t o p l i n e o f d a t a ( c ) S i t u a t i o n : A n i m a l p o p u l a t i o n s t e n d t o r i s e a n d [ a l l i n c y c l e s . S u p p o s e t h e f o l l o w i n g d a t a s h o w h o w s q u i r r e l p o p u l a t i o n s i n a c e n t r a l P e n n s y l v a n i a c i t y v a r i e d f r o m 1 9 7 5 t o 1 9 8 5 . . l . O o I I l l O . P o p u l a t i o n 7 5 0 7 0 0 5 2 0 6 8 0 7 3 0 6 5 0 $ 5 0 6 % 7 8 0 7 0 0 S S ) F i g u r e 3 . 1 2 : T a b l e a n d T o n i ’ s G r a p h f o r P r o b l e m 5 c ( C I A . P - 1 ' 2 2 ) 8 5 a n d v e r t i c a l a x i s f o r t h e b o t t o m l i n e , T o n i c h o s e t h e o p p o s i t e o r i e n t a t i o n f o r a l l t h r e e o f h e r g r a p h s . H e r p o i n t p l o t t i n g w a s c o n s i s t e n t l y c o r r e c t w i t h h e r c h o i c e s . S t u d e n t s w e r e l e a r n i n g t o p l o t s c a t t e r g r a p h s o n t h e i r c a l c u l a t o r s a n d h a d b e e n i n s t r u c t e d t o c r e a t e a g r a p h o n t h e c a l c u l a t o r b e f o r e p l o t t i n g i t b y h a n d , w h i c h c o u l d a c c o u n t f o r T o n i ’ s g r a p h o r i e n t a t i o n o n t h i s d a y s i n c e i t m a y r e fl e c t s i m p l y t h e o r d e r d a t a w a s e n t e r e d i n t h e c a l c u l a t o r . I n a d d i t i o n , i t p e r h a p s w a s t o o e a r l y i n t h e c o u r s e f o r t h e s t u d e n t s t o t h i n k o f o n e v a r i a b l e a s d e p e n d e n t o n t h e o t h e r o r , e v e n i f t h e y d i d , t o r e a l i z e t h a t t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e c o n v e n t i o n a l l y i s g r a p h e d o n t h e h o r i z o n t a l a x i s . N o t e t h a t T o n i a p p a r e n t l y f o u n d h e r g r a p h h a r d t o r e a d a n d a d d e d n o t a t i o n s o i t c o u l d b e t u r n e d a n d r e a d i n a n a l t e r n a t i v e d i r e c t i o n . I n t h i s p r o b l e m , t h e t a s k w a s t o c r e a t e a g r a p h g i v e n a t a b l e . T o n i w a s s u c c e s s f u l a s l a b e l s w e r e p r o v i d e d f o r t h e t a b l e , a n d s h e w a s a t l i b e r t y t o c h o o s e a x i s o r i e n t a t i o n . H e r w o r k s h o w e d t h a t s h e u n d e r s t o o d t h e n e c e s s a r y c o n s i s t e n c y b e t w e e n t h e t w o s e t s o f l a b e l s f o r t h i s t r a n s l a t i o n t a s k . I n s u m m a r y , T o n i h a d f a c i l i t y w i t h s e v e r a l r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s a n d a s s o c i a t e d t a s k s . S h e c o u l d p i c k o u t s u i t a b l e g r a p h s a n d fl u i d l y m a t c h t h e m t o a s i t u a t i o n , i n c l u d i n g t h o s e w h e r e d i r e c t i o n f o r r a t e o f c h a n g e w a s o p p o s i t e t h a t o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . S h e h a d e f f e c t i v e r e a s o n i n g s t r a t e g i e s f o r m a t c h i n g s i t u a t i o n s a n d g r a p h s t h a t i n c l u d e d t h i n k i n g o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t e m p o r a l l y s o h e r a t t e n t i o n c o u l d b e o n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n l y . F u r t h e r , s h e r e g u l a r l y r e a s o n e d d i r e c t l y i n t h e s i t u a t i o n . T o n i c o u l d r e a d o f f p o i n t s o n a g r a p h a n d c o u l d r e a d i l y s o l v e p r o b l e m s t h a t r e q u i r e d i n t e r p r e t i n g p o i n t s o n a g r a p h , s t a r t i n g e i t h e r w i t h x o r y . T o n i w a s a b l e t o t a k e a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h t o t a b l e s w i t h s o m e f a c i l i t y a n d r e c o g n i z e a l i n e a r f u n c t i o n w h e n i t w a s g i v e n i n t a b l e f o r m . F i n a l l y , s h e c o u l d r e a d i l y p l o t p o i n t s f o r e n t r i e s i n a t a b l e a n y t i m e b o t h c o l u m n s a n d a x e s w e r e : l a b e l e d , h a d a f a i r l y r o b u s t u n d e r s t a n d i n g o f t h e n e e d f o r c o n s i s t e n c y i n l a b e l i n g , b u t o f t e n r e v e r s e d o r i e n t a t i o n o f a x e s i f t h e y w e r e n o t l a b e l e d . 8 6 D i f fi c u l t i e s W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s T h r e e a r e a s o f d i f fi c u l t y s t a n d o u t i n T o n i ’ s a b i l i t y t o w o r k w i t h g r a p h , t a b l e , a n d f u n c t i o n r u l e r e p r e s e n t a t i o n s . T w o i n v o l v e g r a p h s o r f u n c t i o n r u l e s : T o n i r e g u l a r l y h a d t r o u b l e w i t h o r i e n t a t i o n o f a x e s ’ l a b e l s , a n d s h e w a s u n a b l e t o c o n s t r u c t a g r a p h b y h a n d f r o m a f u n c t i o n r u l e o r e q u a t i o n . T h e fi r s t d i f fi c u l t y i s s i m p l y a c o n v e n t i o n t h a t m u s t b e l e a r n e d . T h e l a t t e r i s m o r e c o m p l e x a n d s o m e w h a t p u z z l i n g , s i n c e i t c o u l d b e c o n s i d e r e d b y t e a c h e r s a s a f a i r l y s i m p l e e x t e n s i o n o f p l o t t i n g p o i n t s f r o m a t a b l e . S i n c e T o n i c o u l d a c c u r a t e l y p l o t a n d i n t e r p r e t p o i n t s i n t h e c o o r d i n a t e p l a n e , a s s u m i n g a x e s a n d t a b l e s w e r e l a b e l e d , i t i s s u r p r i s i n g s h e w a s u n a b l e t o c r e a t e g r a p h s b y h a n d , t h a t i s , b y p o i n t p l o t t i n g . T h e t h i r d d i f fi c u l t y i s c o n s t r u c t i n g a f u n c t i o n r u l e f r o m a t a b l e . A fi n a l d i f fi c u l t y , w o r k i n g w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s , s e e m s t o b e o f a d i f f e r e n t n a t u r e f r o m t h e s e t h r e e a n d w i l l b e d i s c u s s e d i n a d i f f e r e n t s e c t i o n . C o n v e n t i o n s f o r O r i e n t a t i o n o f A x e s T o c o o r d i n a t e o r t r a n s l a t e b e t w e e n t a b l e s o r f u n c t i o n r u l e s a n d g r a p h s , o n e m u s t u n d e r s t a n d c o n v e n t i o n s a b o u t c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s . A s d i s c u s s e d a b o v e u n d e r f a c i l i t y w i t h r e p r e s e n t a t i o n s , T o n i u n d e r s t o o d h o w t o p l o t p o i n t s r o t e l y a n d a l s o u n d e r s t o o d t h e c o n v e n t i o n t h a t c o n s i s t e n c y m u s t e x i s t b e t w e e n l a b e l s o n t a b l e s a n d a x e s f o r g r a p h s o f t h e t a b l e s . T h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s , h o w e v e r , T o n i r e g u l a r l y d i s p l a y e d c o n f u s i o n o v e r c o n v e n t i o n s f o r o r i e n t i n g a x e s . I n i n t e r v i e w 2 , a s c a n b e s e e n i n h e r l a b e l s f o r A l i c e ’ s g r a p h i n p r o b l e m 2 A - 1 ( F i g u r e 3 . 1 3 ) , s h e h a d g r e a t d i f fi c u l t y k e e p i n g s t r a i g h t w h i c h a x e s s h o u l d b e l a b e l e d x a n d y a n d w h i c h s h o u l d b e l a b e l e d i n p u t a n d o u t p u t . T h i s p r o b l e m g a v e t h e t a b l e a n d t h r e e g r a p h s a s p o t e n t i a l l y b e i n g c o r r e c t . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o d i s c u s s w h y t h e y a g r e e d o r d i s a g r e e d w i t h e a c h c h o i c e o r t o c r e a t e t h e i r o w n m o r e s u i t a b l e g r a p h . 8 7 . ® . w e : F i g u r e 3 . 1 3 : T a b l e a n d T o n i ’ s l a b e l s f o r A l i c e ’ s G r a p h i n P r o b l e m 2 A - l T o n i b e g a n b y e x p l a i n i n g w h y s h e t h o u g h t A l i c e ’ s g r a p h m i g h t b e a m a t c h s i n c e s h e fi r s t s a w t h e t a b l e a s h a v i n g a c o n s t a n t p a t t e r n o f c h a n g e . ( T h e p a t t e r n , b u t n o t r a t e , o f c h a n g e w a s c o n s t a n t . ) S h e c a l l e d t h e o u t p u t c o l u m n x a n d t h e n h e s i t a t e d : T : G : B u t i t ’ s g o t 4 o n t h e x - T h i s i s x , x ? [ l a b e l s v e r t i c a l a x i s x ] Y o u c o u l d p u t x - - t h i s ( h o r i z o n t a l ) i s t h e i n p u t a x i s a n d t h i s ( v e r t i c a l ) i s t h e o u t p u t a x i s . O k . S o t h a t - - a r e y o u u s i n g x f o r i n p u t o r x f o r o u t p u t ? X f o r i n p u t . O k . T h e n , t h i s w o u l d b e t h e , t h e h o r i z o n t a l w o u l d b e t h e x a x i s . [ T c r o s s e s o u t x a n d l a b e l s x a n d y a x i s a s d i r e c t e d ] O k a y . U m , t h e , o r n o , i t w o u l d h a v e t o b e , x w o u l d h a v e t o b e t h e [ p a u s e ] i n p u t b e c a u s e i t s t a r t s w i t h z e r o . N o - - [ l a u g h i n g ] o k , i t w o u l d - - x i s r i g h t d o w n h e r e a n d t h e n y u p h e r e , u p t h e t o p b e c a u s e i t ’ s z e r o h e r e [ p a u s e ] a n d i t ’ s g o i n g u p 4 ( v e r t i c a l ) . 8 8 I h a d b e e n u n s u r e w h e t h e r T o n i u n d e r s t o o d t h e a r b i t r a r y n a t u r e o f n a m i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e x , s o d i d n o t w a n t t o p r e c l u d e h e r n a m i n g t h e o u t p u t x , b u t s h e h a d n e e d e d t o k n o w t h e p r o b l e m c o n s i d e r e d i n p u t o n h o r i z o n t a l , s o I t o l d h e r . I n a d d i t i o n , I h a d n w d e d t o k n o w h o w s h e i n t e n d e d t o u s e x . Y e t e v e n a f t e r w e h a d e s t a b l i s h e d t h a t x w o u l d b e h o r i z o n t a l , a f e w m i n u t e s l a t e r s h e a g a i n b e c a m e c o n f u s e d a n d d e c i d e d t o l a b e l t h e a x e s i n p u t a n d o u t p u t t o c u t d o w n o n t h e c o n f u s i o n o f d e a l i n g w i t h b o t h x a n d y a n d i n p u t a n d o u t p u t . A g a i n s h e r e v e r s e d t h e n a m e s : T : U m , n o . H e r y - a x i s i s u m , [ p a u s e ] i s , i t ’ s b e t t e r t o s c a l e t h a n t h e x — a x i s b e c a u s e u m , [ p a u s e ] I ’ d h a v e t o l a b e l t h e s e i n p u t - o u t p u t , [ l a u g h s ] I k e e p g e t t i n g c o n f u s e d . [ s t a r t s l a b e l i n g a x e s w i t h i n p u t o n v e r t i c a l a n d o u t p u t o n h o r i z o n t a l , w h i c h i s b a c k w a r d s ] Y e a h , s e e t h i s u p h e r e a t t h e t o p ? ( o f t h e t a b l e ) U h - h u h . T h a t ’ s w h y 1 l a b e l e d t h e m i n p u t - o u t p u t . O k , t h i s i s o u t p u t [ p a u s e ] O k . [ s i g h , l a u g h s ] D i d I d o t h a t w r o n g a g a i n ? U m , [ p a u s e ] l e t m e t h i n k . Z e r o a n d u p f o u r . O u t p u t , i n p u t . [ s i g h ] A p p a r e n t l y , T o n i h a d a n e a s i e r t i m e r e m e m b e r i n g o r i e n t a t i o n f o r x — y l a b e l s , b u t s h e r e v e r s e d t h e l a b e l s a g a i n a n d g o t c o n f u s e d . W h e n s h e p u t i n p u t o n t h e v e r t i c a l a x i s , s h e u s e d h e r k n o w l e d g e o f p l o t t i n g a r o t e v a l u e ( 0 , 4 ) a s h o r i z o n t a l , t h e n v e r t i c a l , a n d t h e c o n c e p t t h a t l a b e l s m u s t b e c o n s i s t e n t , t o d e t e r m i n e t h a t i n p u t h a d t o b e o n t h e h o r i z o n t a l . T h u s , s h e e x h i b i t e d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n v e n t i o n t h a t f o r a g i v e n o r d e r e d p a i r , t h e fi r s t i s f o r h o r i z o n t a l a n d t h e s e c o n d , v e r t i c a l . T h e c o m m e n t , " o u t p u t , i n p u t ” a t t h e e n d w a s s i m p l y h e r c a l l i n g o u t t h e c o r r e c t e d l a b e l s a s s h e w r o t e t h e m o n h e r p a p e r , n o t t h a t t h e y w e r e a m a t c h t o 0 a n d 4 , r e s p e c t i v e l y . I n t h i s e x a m p l e , s h e h a d t w o d i f fi c u l t i e s . S h e f o u n d i t s o m e w h a t h a r d t o r e m e m b e r x w e n t o n t h e h o r i z o n t a l a n d i n a d d i t i o n , s h e h a d n o a s s o c i a t i o n o f " i n p u t " w i t h x t o h e l p h e r o u t w h e n s h e d e t e r m i n e d w h e r e t h e l a b e l x a c t u a l l y w a s s u p p o s e d t o g o . S h e d i d t a p 8 9 a f a i r l y s o p h i s t i c a t e d c o n c e p t o f c o n s i s t e n c y b e t w e e n l a b e l s , p l u s a r o t e p r o c e d u r e f o r p l o t t i n g a n i s o l a t e d p a i r , t o h e l p h e r r e a s o n a b o u t t h e p r o b l e m . W h i l e p a r t o f h e r c o n f u s i o n i n t h i s e a r l y , s e c o n d i n t e r v i e w w a s c l e a r l y a l a c k o f a s s o c i a t i n g i n p u t w i t h x , a s l a t e a s t h e f o u r t h w e e k o f c l a s s s h e s t i l l h a d d i f fi c u l t y w i t h o r i e n t a t i o n , e v e n w h e n x a n d y w e r e b e i n g u s e d r a t h e r t h a n i n p u t / o u t p u t . I n i n t e r v i e w p r o b l e m 4 B - l , w h e r e a x e s o f t h e g r a p h w e r e n o t l a b e l e d i n t h e o r i g i n a l p r o b l e m a n d s h e a s s i g n e d n a m e s h e r s e l f , s h e a s s i g n e d y t o t h e h o r i z o n t a l a n d x t o t h e v e r t i c a l , b u t c o r r e c t l y p l a c e d t h e m i n a t a b l e l a b e l e d y | x t o a c c o u n t f o r h o r i z o n t a l fi r s t . S h o r t l y a f t e r w a r d s i n p r o b l e m 4 B - 2 , s h e a g a i n l a b e l e d a t a b l e b a c k w a r d s w i t h y fi r s t , t h e n r e a d o f f t h e p o i n t c o r r e c t l y . O n c e I l a b e l e d t h e h o r i z o n t a l a x i s a s x , s h e w a s a b l e t o c o o r d i n a t e t h e d a t a i n t h e t a b l e ( w i t h a r e v e r s e d t a b l e h e a d e r ) c o n s i s t e n t l y w i t h t h a t i n t h e p r o b l e m w i t h o u t r e w r i t i n g t h e h e a d e r . ( S e e A p p e n d i x A f o r t h e s e p r o b l e m s . ) I n t h e s e p r o b l e m s T o n i h a d m a d e u n e v e n a s s o c i a t i o n s t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s b e t w e e n t a b l e s , g r a p h a x e s , a n d l a b e l s . S h e d i d n o t u n d e r s t a n d t h e c o n v e n t i o n t h a t i n p u t , o r w h a t e v e r v a r i a b l e i s u s e d f o r a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n a f u n c t i o n , i s t r a d i t i o n a l l y g r a p h e d o n t h e h o r i z o n t a l . S h e s e e m e d n o t t o a s s o c i a t e t h e w o r d i n p u t w i t h i t s c o n c e p t a s e i t h e r a v a l u e o n w h i c h s o m e o t h e r v a l u e d e p e n d s o r a s a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i n a f u n c t i o n . ( F u n c t i o n s w e r e t r e a t e d a s d e p e n d e n c i e s i n t h i s c l a s s , b u t t h e l a n g u a g e , i n d e p e n d e n t / d e p e n d e n t v a r i a b l e s , w a s n o t u s e d . ) P a r t o f h e r d i f fi c u l t y m i g h t b e a t t r i b u t e d t o t h e f e w , e a r l y e x e r c i s e s i n w h i c h s h e c h o s e t h e o r i e n t a t i o n o f a x e s . I t m a y h a v e j u s t s e e m e d m o r e s e n s i b l e t o h e r t o l i s t t h e fi r s t l i n e o f a t a b l e a s v e r t i c a l . I n e a c h o f t h e p r o b l e m s j u s t d i s c u s s e d h e r e , t a b l e s w e r e g i v e n v e r t i c a l l y , a n d I h a v e l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t w h e t h e r t h i s m a d e a n y d i f f e r e n c e . W h i l e s h e r e v e r s e d a x e s i n m a n y p r o b l e m s , s h e m a y h a v e u n d e r s t o o d t h e i r c o r r e c t o r i e n t a t i o n , b u t h a d j u s t a d o p t e d s o m e m e m o r y c u e t h a t i t s e l f g o t d i s t o r t e d . A t a n y r a t e , t h e o n l y c o n s i s t e n t f a c t o r i n T o n i ’ s l a b e l i n g o f t h e s e a x e s i s t h a t s h e a l w a y s 9 0 l a b e l e d t h e v e r t i c a l o n e fi r s t , w h i c h m i g h t b e i n c o n fl i c t w i t h v e r t i c a l t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s , i n w h i c h t h e h o r i z o n t a l i s g i v e n fi r s t . I n a b i l i t y t o C o n s t r u c t a G r a p h f r o m a n E q u a t i o n A n e x a m p l e . I n c l a s s h o m e w o r k a n d i n s o m e i n t e r v i e w s , T o n i e a s i l y c r e a t e d a g r a p h f r o m a t a b l e w h e n t h e t a b l e h e a d i n g w a s g i v e n , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e a x e s w e r e l a b e l e d . S e v e r a l t i m e s , h o w e v e r , T o n i d i s p l a y e d d i f fi c u l t i e s w i t h c o n s t r u c t i n g g r a p h s f r o m a n e q u a t i o n o r f u n c t i o n r u l e . O n e d i f fi c u l t y w a s o r i e n t a t i o n o f t h e a x e s d i s c u s s e d a b o v e , b u t t h e r e w e r e o t h e r p u z z l i n g d i f fi c u l t i e s . A t t h e b e g i n n i n g o f i n t e r v i e w 4 , w e d i s c u s s e d g r a p h s s h e h a d m a d e i n c l a s s f o r y = . 1 " , y = . 5 " , y = 2 " , a n d y = 5 " . T o n i h a d g r a p h e d e a c h a s a s i n g l e p o i n t ( F i g u r e 3 . 1 4 ) . T h i s F i g u r e 3 . 1 4 : T o n i ’ s G r a p h s f o r E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s , O r i g i n a l p l u s R e v i s i o n e x a m p l e i s s i g n i fi c a n t b e c a u s e i t w a s p r o b l e m a t i c f o r t h e e n t i r e f o c a l g r o u p . N o n e ' o f t h e s t u d e n t s , e x c e p t o n e , g r a p h e d a n y o f t h e s e f u n c t i o n s c o r r e c t l y , a n d h e g r a p h e d o n l y t h e l a s t t w o c o r r e c t l y . A l l o t h e r s g r a p h e d e i t h e r s i n g l e p o i n t s o n o n e a x i s o r p r o m i n e n t p o i n t s o n a s i n g l e a x i s w i t h s t r a i g h t l i n e s t h r o u g h t h e m . 9 1 W h e n fi r s t a s k e d t o r e c a l l w h a t s h e h a d t h o u g h t a t t h e t i m e , T o n i t h o u g h t o f x a s a v e r t i c a l a x i s o n c e m o r e , s a y i n g : C a u s e i t w a s p o i n t 5 x a n d t h i s w a s m y x a x i s [ p o i n t i n g t o t h e v e r t i c a l ] a n d i t h a d n o y s o I j u s t p u t w h a t , I p u t i t o n t h e x - a x i s b e c a u s e i t w a s j u s t t h e x . W h e n I q u i z z e d T o n i a b o u t w h a t s h e m e a n t b y n o t h a v i n g a y , s h e s a i d : L i k e , u h , a y , 2 y - - a n d l i k e 5 x . [ T p o i n t s t o y i n t o p e q u a t i o n , y = 5 " , t o t h e x a n d b a c k t o y , t h e n p o i n t s t o a s p o t o n r i g h t h o r i z o n t a l a x i s ( 2 ) , t h e n t o p t a b o v e i t ( 5 ) , f o r t h e p o i n t ( 2 , 5 ) ] I d i d n ’ t h a v e a n y t h i n g l i k e t h a t . S o I d i d n ’ t t h i n k I c o u l d g o a n y w h e r e o v e r o n t h e y - a x i s [ p o i n t i n g t o t h e h o r i z o n t a l a x i s ] b e c a u s e I d i d n ’ t h a v e a n y t h i n g f o r y . T o n i h a d p o i n t e d t o y = 5 " i n d i c a t i n g t h e y h a d n o c o e f fi c i e n t l i k e a 2 i n 2 y a n d t h e n i l l u s t r a t e d h o w h a v i n g a 2 a n d 5 ( f o r y a n d x ) w o u l d g i v e h e r a p o i n t a t ( 2 , 5 ) . R e c a l l s h e h a d l a b e l e d h e r v e r t i c a l a x i s a s x . S h e s e e m e d t o b e s a y i n g a n u m b e r w r i t t e n w i t h t h e v a r i a b l e d e t e r m i n e d i t s v a l u e , a n d s i n c e t h e r e h a d b e e n n o n e i n f r o n t o f t h e y , s h e c o u l d n o t m o v e t o t h e r i g h t ( o r l e f t ) o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ( w i t h l a b e l y ) . T h e x d i d h a v e a n u m b e r w i t h i t , 5 , a n d s o s h e j u s t m a r k e d a d o t a t 5 o n t h e x - a x i s . T o n i h a d a s s i g n e d a n i n v a l i d m e a n i n g t o t h e c o n s t a n t s i n t h e f u n c t i o n r u l e . I c o n fi r m e d T o n i ’ s t h i n k i n g t h a t t h e n u m b e r i n t h i s e q u a t i o n w a s a v a l u e f o r x t o b e p l o t t e d w h e n I a s k e d h e r t h e m e a n i n g o f t h e d o t a t 5 o n t h e v e r t i c a l a x i s : G : Y o u p u t a d o t h e r e b e c a u s e y o u - - [ p o i n t i n g t o t h e d o t a t 5 o n t h e t o p g r a p h ] T : T h a t w a s 5 x . Y , b u t I t h i n k m a y b e - - s i n c e t h i s w a s m y y ( t h e h o r i z o n t a l a x i s ) , i t d i d n ’ t g o o v e r a n y w h e r e o n t h e y , s o I j u s t t h o u g h t I ’ d p u t i t u p o n t h e - [ p o i n t s t o t h e d o t a t 5 ] . [ a b r i e f i n t e r l u d e w h e r e s h e d e s c r i b e s t h e r i g h t g r a p h a s a r e p r o d u c t i o n o f t h e l e f t o n e f o r c l a r i t y ] G : O k a y , s o l e t ’ s l o o k a t t h a t o n e ( r i g h t g r a p h ) f o r a m o m e n t ? W h e n - ‘ T h i s d o t , t h e n , r e p r e s e n t e d ? [ p o i n t i n g t o t h e d o t a t 5 o n v e r t i c a l a x i s . ] T : F i v e x . F i v e x ? T : U m - h u h . G : S o w h a t ’ s t h e v a l u e o f x ? T : 5 . G : S o , t h i s , u h , I h e a r d t w o d i f f e r e n t t h i n g s . I h e a r d t h e d o t w a s 5 x a n d I h e a r d t h a t x w a s 5 . A r e t h o s e t h e s a m e t h i n g s o r a r e t h o s e d i f f e r e n t t h i n g s i n h o w y o u w e r e t h i n k i n g a b o u t i t ? T : I j u s t u s e d t h e n u m b e r b e f o r e x a n d p u t i t o n t h e g r a p h . I n t h i s e x c h a n g e , T o n i a d m i t t e d d i r e c t l y t h a t s h e u s e d 5 f o r t h e v a l u e o f t h e x c o o r d i n a t e . A g a i n s h e s e e m e d t o c o n s i d e r t h e y - c o o r d i n a t e a s z e r o , s a y i n g h e r y d i d n ’ t g o a n y w h e r e ( a w a y f r o m t h e a x i s ) . W h e n I s w i t c h e d t o a s i m p l e r f u n c t i o n ( f r o m m y p e r s p e c t i v e ) , y = 5 x 3 , a t fi r s t s h e e n t e r e d 5 x 3 o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n o f t h e c a l c u l a t o r , g e t t i n g a y v a l u e o f - 5 . P e r h a p s s h e h a d i n t e n d e d t o p r o d u c e a c a l c u l a t o r g r a p h b y e n t e r i n g i t u n d e r t h e Y = k e y ( f t m c t i o n d e fi n i t i o n k e y ) a n d g r a p h i n g i t . B o t h T o n i a n d I w e r e c o n f u s e d b y t h i s o u t p u t . I d i d n o t s t o p t o t h i n k t h a t t h e v a r i a b l e x w a s a c o m p u t e r v a r i a b l e t h a t h a d a p r e v i o u s v a l u e s t o r e d i n i t s m e m o r y l o c a t i o n . W h e n I a s k e d w h a t t h e - 5 _ w a s , T o n i s a i d i t w o u l d b e t h e y b e c a u s e ” i t ” s a i d y = 5 x 3 . S o s h e s e e m e d a l s o t o b e c o m p u t i n g a y v a l u e . S h e w e n t o n t o s a y s h e h a d n o v a l u e f o r x , s o s h e d i d n ’ t k n o w w h a t t o d o ( a b o u t a g r a p h ) . I t h e n a s k e d h e r t o g r a p h y = 5 x 2 a n d y = 5 x + 2 b e c a u s e I t h o u g h t t h e y m i g h t b e m o r e f a m i l i a r . S h e h a d s e e n m a n y g r a p h s o f l i n e a r f u n c t i o n s a n d a t l e a s t o n e g r a p h o f y = x 2 i n t h e 3 w e e k s p r i o r t o t h i s c l a s s . T o n i a g a i n s t a r t e d t o u s e t h e c a l c u l a t o r , a n d u n f o r t u n a t e l y b e c a u s e o f c o n f u s i o n c r e a t e d b y h e r u s i n g t h e v a r i a b l e x o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n a n d s i n c e t h i s w a s a t t h e b e g i n n i n g o f a n i n t e r v i e w w i t h m a n y p r o b l e m s , I o p t e d n o t t o p u r s u e t h e i s s u e e x c e p t t o a s k i n g e n e r a l a b o u t h e r e x p e r i e n c e w i t h t h e t h r e e p o l y n o m i a l s . I n s p i t e o f h e r e x p e r i e n c e s i n t h i s c l a s s , s h e s a i d s h e h a d n e v e r h a d t o g r a p h p r o b l e m s l i k e t h e s e . I t a p p e a r e d f r o m T o n i ’ s c o m m e n t s a b o u t t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s t h a t s h e w a s s i m p l y u s i n g n u m b e r s t h a t w e r e g i v e n a s p a r t o f t h e e q u a t i o n f o r v a l u e s o f x a n d y . 9 3 S h e h a d s e e m e d n o t t o d i s t i n g u i s h t h e r o l e o f 5 i n 5 " f r o m t h a t i n 5 x . N o t i c e t h a t s h e b a r e l y r a i s e d t h e e x p o n e n t w h e n s h e w r o t e h e r e q u a t i o n s , a n d s h e h a d r e a d i t a s fi v e x . T h e r e i s o t h e r e v i d e n c e s h e i n t e r p r e t e d c o n s t a n t s i n f u n c t i o n r u l e s g i v e n a s e q u a t i o n s i n t h i s w a y . S h e u s e d n u m b e r s i n t h e e q u a t i o n f o r v a l u e s t o g r a p h o n t h e p o s t t e s t , q u e s t i o n 6 , a q u e s t i o n s h e h a d l e f t b l a n k o n t h e p r e t e s t . I n t h a t c a s e , T o n i s k e t c h e d o n l y t h e p o i n t ( 3 , 4 ) f o r t h e e q u a t i o n y = 3 x + 4 , l e f t t h e g r a p h o f y = - x 2 - 2 x + 1 b l a n k , b u t s k e t c h e d t h e p o i n t ( 3 , 0 ) f o r t h e g r a p h o f y = 3 " . I n t h e s e e x a m p l e s f r o m t h e p o s t t e s t , a p p a r e n t l y s h e u s e d t h e s a m e a l g o r i t h m a s s h e d i d i n t h i s d i s c u s s i o n , b u t p e r h a p s b y t h i s t i m e h a d s t r a i g h t e n e d o u t t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a x e s t o p u t x o n t h e h o r i z o n t a l . I n a d d i t i o n , h e r f a i l u r e t o r e s p o n d o n t h e p r e t e s t s u p p o r t e d h e r c l a i m t h a t s h e h a d n o t h a d t h e s e k i n d s o f p r o b l e m s b e f o r e . Y e t e a r l i e r w h e n I h a d a s k e d h e r t o g r a p h y = 5 x 3 , a n d s h e h a d c o m p u t e d a n u m b e r , - 5 , o n t h e c a l c u l a t o r , s h e s a i d i t w a s y a n d c o u l d n ’ t g r a p h b e c a u s e s h e h a d n o x . T h a t e q u a t i o n h a d a 5 r i g h t n e x t t o t h e x , s o s h e c o u l d n o t h a v e b e e n t h i n k i n g o n l y t h a t t h e e x i s t e n c e o f t h e 5 n e a r t h e x i n a n e q u a t i o n w o u l d g i v e t h e v a l u e o f x . T h e r e w a s o n e o t h e r i n s t a n c e w h e n T o n i a t t e m p t e d t o a s s i g n d i r e c t m e a n i n g t o i n d i v i d u a l n u m b e r s i n a f u n c t i o n r u l e d e fi n i t i o n . I n i n t e r v i e w 3 , s h e a t t e m p t e d t o i n t e r p r e t i n d i v i d u a l t e r m s o f a p o l y n o m i a l a s s e p a r a t e q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n . I n t h a t p r o b l e m , p r o fi t w a s g i v e n a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e . S h e w a s n o t , h o w e v e r , i m m e d i a t e l y e n g a g e d i n g r a p h i n g , a n d i n a d d i t i o n , a n a t t r i b u t e o f t h e p r o b l e m i t s e l f s u g g e s t e d t h i s i n t e r p r e t a t i o n . T h i s p r o b l e m w i l l b e d i s c u s s e d a t l e n g t h u n d e r t h e s e c t i o n , S p e c i a l N a t u r e o f S i t u a t e d P r o b l e m s . I n e x p e r i e n c e a s a n e x p l a n a t i o n f o r g r a p h i n g d i f fi c u l t y . T h e r e c o u l d b e s e v e r a l e x p l a n a t i o n s f o r T o n i ’ s i n a b i l i t y t o g r a p h b y h a n d a f u n c t i o n g i v e n a s a r u l e o r a n e q u a t i o n . R e c a l l T o n i ’ s i n c l i n a t i o n t o l o o k f o r p r o c e d u r e s t o s o l v e p r o b l e m s , e s p e c i a l l y w i t h s y m b o l i c f o r m s . H e r e s h e w a s c o n f r o n t e d w i t h a t a s k , g r a p h i n g a r e l a t i v e l y n e w c l a s s o f f t m c t i o n s f o r w h i c h s h e h a d n o p r o c e d u r e , a n d m a d e s e n s e o f 9 4 i t t h e b e s t w a y s h e c o u l d . W h e n I a s k e d h e r t o g r a p h m o r e f a m i l i a r e q u a t i o n s a n d s h e a t t e m p t e d t o u s e t h e c a l c u l a t o r , s h e m i g h t h a v e i n t e n d e d t o u s e t h e g r a p h e r , a p r o c e d u r e s h e h a d u s e d m a n y t i m e i n c l a s s , b u t h a d s i m p l y c h o s e n t h e w r o n g s c r e e n i n w h i c h t o e n t e r 5 x 3 . T h e c o n f u s i n g r e s u l t s , i n c l u d i n g m y t e m p o r a r i l y n o t k n o w i n g w h y s h e g o t t h e r e s u l t s s h e d i d , m i g h t h a v e u n d e r m i n e d h e r a b i l i t y t o p r o d u c e a g r a p h o n t h e c a l c u l a t o r . I t i s a l s o p o s s i b l e T o n i w a s a t t e m p t i n g t o c r e a t e a p a i r o f n u m b e r s b y u s i n g t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n , b u t d i d n o t k n o w w h a t t o s u b s t i t u t e f o r x . W h e n t h e t e a c h e r g a v e t h e s t u d e n t s t h i s t a s k t o g r a p h e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s , h e s t r e s s e d t h a t h e w a n t e d t o k n o w w h a t t h e y t h o u g h t , w h i c h t h e y ( c o r r e c t l y ) t o o k a s m e a n i n g t o g r a p h b y h a n d r a t h e r t h a n u s i n g t h e c a l c u l a t o r . I n T o n i ’ s c a s e , I h a d t h e s t r o n g s e n s e t h a t s h e d i d n o t k n o w s h e w a s a l l o w e d t o c h o o s e a n a r b i t r a r y v a l u e f o r x a n d t h e n c o m p u t e t h e y f r o m i t . I f e l t s h e d i d n o t k n o w h o w t o p r o c w d b e c a u s e s h e w a s m i s s i n g o n e s t e p i n a p r o c e d u r e , t h e n e e d t o c r e a t e a t a b l e . S e v e r a l t i m e s s h e s a i d s h e h a d n o v a l u e f o r x , a n d o n c e n o v a l u e f o r y ( e i t h e r t h e y d i d n o t e x i s t , o r s h e d i d n o t k n o w h o w t o fi n d t h e m ) . I t i s q u i t e p o s s i b l e T o n i c o u l d n o t m a k e s e n s e o f t h e s e t r a n s l a t i o n p r o b l e m s b e c a u s e s h e l a c k e d t h e e x p e r i e n c e n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d s h e c o u l d a r b i t r a r i l y c h o o s e v a l u e s f o r x i n t h e d o m a i n o f t h e f u n c t i o n . T o n i h a d t o l d m e d u r i n g t h i s i n t e r v i e w t h a t s h e h a d h a d n o p r e v i o u s e x p e r i e n c e g r a p h i n g t h e s e e q u a t i o n s , y = 5 " , y = 5 x 3 , y = 5 x 2 a n d y = 5 x + 2 . A s a t e a c h e r I w a s s u r p r i s e d b y t h i s c o m m e n t , g i v e n t h e a m o u n t o f e x p e r i e n c e I t h o u g h t I h a d s e e n i n t h e i r c l a s s . T o n i w a s c o r r e c t , h o w e v e r , i n t h e s e n s e t h a t s t u d e n t s h a d h a d e x p e r i e n c e p l o t t i n g p o i n t s f o r n u m e r o u s g r a p h s , b u t h a d n o t , i n f a c t , c r e a t e d g r a p h s b y h a n d f r o m e q u a t i o n s w i t h o u t g u i d a n c e f r o m t h e t e a c h e r . P r i o r t o t h e c l a s s i n w h i c h t h e s e e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s w e r e g r a p h e d , s t u d e n t s o f t e n p l o t t e d p o i n t s o f d a t a r e l a t i n g t w o v a r i a b l e s i n s i t u a t i o n s , b u t a x e s w e r e a l w a y s l a b e l e d b y t h e q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n , n o t s i n g l e v a r i a b l e n a m e s . A l t h o u g h t h e s t u d e n t s o b s e r v e d t h e t e a c h e r g e n e r a t i n g a r b i t r a r y v a l u e s i n t h e p r o c e s s o f c c i t l [ 1 0 1 l fi X w h w e W C r e ] : i n c p r t A n V a l d e a b V a m ; W h i n t : 9 5 o f c r e a t i n g a g r a p h f o r a n e q u a t i o n , w h e n s t u d e n t s c r e a t e d g r a p h s b y h a n d , t h e y w e r e e i t h e r g i v e n l i s t s o f t h e fi r s t c o o r d i n a t e s o r t o l d h o w t o e x t e n d e x i s t i n g l i s t s . I t w a s n o t u n t i l t h e w e e k a f t e r t h i s i n t e r v i e w , w h e n s t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o q u a d r a t i c f u n c t i o n s , t h a t t h e y w e r e a s k e d t o g e n e r a t e t h e i r o w n l i s t s o f p a i r s . E v e n t h e n , t h e t e x t a d m o n i s h e d t h e m t o c h o o s e a v a l u e t h a t w a s s e n s i b l e i n t h e s i t u a t i o n a n d s a i d w h a t i n c r e m e n t t o u s e b e t w e e n n u m b e r s . W h e n t h e s e e x e r c i s e s w e r e g i v e n , t h e y w e r e o f t e n d o n e t o g e t h e r i n c l a s s w i t h t h e t e a c h e r , s o t h e t e a c h e r o r o t h e r s t u d e n t s w o u l d s u g g e s t n u m b e r s . T o n i o f t e n r e l i e d o n r e m e m b e r i n g a p r o c e d u r e w h e n w o r k i n g w i t h s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s , a n d w h e n s h e c o u l d n o t r e m e m b e r i t o r d i d n o t k n o w i t , s h e o f t e n b e c a m e s t u c k . H e r c l a i m i n g n o t t o h a v e e x p e r i e n c e w i t h t h e s e k i n d s o f p r o b l e m s m a y i n d e e d h a v e b e e n a c c u r a t e b e c a u s e s h e h a d n o t e x p e r i e n c e d o n e a s p e c t o f t h i s p r o c e d u r e . S h e m i g h t n o t h a v e r e a l i z e d c h o o s i n g o n e ’ s o w n x ’ s w a s " a l l o w e d . " A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t h e r d i f fi c u l t i e s h e r e c o u l d b e a s s o c i a t e d w i t h h e r c o n c e p t o f v a r i a b l e . C o n c e p t i o n o f v a r i a b l e a s e x p l a n a t i o n f o r g r a p h i n g d i f fi c u l t y . I n o r d e r t o d e t e r m i n e i f s t u d e n t s ’ d i f fi c u l t y w i t h g r a p h i n g t h e s e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s w a s r e l a t e d t o t h e i r c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e s , i n i n t e r v i e w 4 6 I a d d e d q u e s t i o n s o n v a r i a b l e s m o d i fi e d f r o m t h e C S M S s t u d y ( H a r t , 1 9 8 1 ; K u c h e m a n n , 1 9 8 1 ) . F o r s t u d e n t s t o b e a b l e t o g r a p h e q u a t i o n s , t h e y w o u l d n e e d t o k n o w t h a t v a r i a b l e s c a n t a k e o n m a n y v a l u e s , t h a t i s , s e r v e a s a g e n e r a l i z e d n u m b e r . R e s u l t s f r o m t h o s e q u e s t i o n s i n d i c a t e t h a t T o n i h a d a r e l a t i v e l y n a i v e , o r t e n t a t i v e , c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e , b u t t h a t s h e u n d e r s t o o d v a r i a b l e s c o u l d t a k e o n m a n y v a l u e s . I n p r o b l e m 4 A - 2 , " x + y + z = x + p + z i s a l w a y s , s o m e t i m e s , 6 l ' h e e x p o n e n t i a l g r a p h i n g p r o b l e m s w e r e d i s c u s s e d w i t h s o m e s t u d e n t s a t t h e e n d o f w e e k 3 , w h i c h a c c o u n t s f o r h o w t h e d i s c u s s i o n w i t h T o n i a n d t h e p r o b l e m s o n v a r i a b l e s b o t h t o o k p l a c e i n i n t e r v i e w 4 . o r n e v e r t r u e ? E x p l a i n . " S h e s a i d , I t h i n k i t w o u l d h e s o m e t i m e s b e c a u s e i t c o u l d h a v e t h e s a m e v a l u e . T h e x a n d x c o u l d b e a l i k e , a n d t h e z a n d 2 w o u l d a l i k e , b u t y a n d p c o u l d s t i l l h a v e t h e s a m e v a l u e s , b u t i f t h e y d i d n ’ t , t h e n i t w o u l d n ’ t b e t h e s a m e . W h e n I a s k e d i f t h e t w o x ’ s w o u l d a l w a y s h a v e t h e s a m e v a l u e , s h e r e p l i e d t h e y w o u l d : " I f t h e y a r e i n t h e s a m e p r o b l e m . " S o s h e a l s o u n d e r s t o o d a c o n s t r a i n t o n v a r i a b l e s w i t h i n a n e q u a t i o n . S h e g a v e f u r t h e r e v i d e n c e t h a t v a r i a b l e s c o u l d t a k e o n m a n y v a l u e s i n p r o b l e m 4 A - 7 , t h e c l a s s i c b l u e a n d r e d p e n c i l p r o b l e m : B l u e p e n c i l s c o s t 5 c e n t s e a c h a n d r e d p e n c i l s c o s t 6 c e n t s e a c h . I b u y s o m e b l u e p e n c i l s a n d s o m e r e d p e n c i l s , w h i c h c o s t m e 9 0 c e n t s . I f b i s t h e n u m b e r o f b l u e p e n c i l s b o u g h t a n d i f r i s t h e n u m b e r o f r e d p e n c i l s b o u g h t , w h a t c a n y o u w r i t e d o w n a b o u t b a n d r ? ( K u c h e m a n n , 1 9 8 1 , p . 1 0 7 ) T o n i fi r s t t r e a t e d b a n d r a s s p e c i fi c u n k n o w n s , a n d b y t e s t i n g c a s e s , s u c c e s s f u l l y f o u n d a p a i r o f n u m b e r s f o r b a n d r t h a t w o u l d w o r k . W h e n I a s k e d w h a t e l s e s h e c o u l d s a y , s h e s a i d b a n d r c o u l d h a v e d i f f e r e n t v a l u e s a n d p r o d u c e d a c o r r e c t e x a m p l e . T h e n I a s k e d T o n i w h a t s h e c o u l d w r i t e d o w n a b o u t b a n d r ; s h e w r o t e b + r = 9 0 . S h e e x p l a i n e d : T : Y o u c a n h a v e , u h , y o u c o u l d h a v e d i f f e r e n t n u m b e r s f o r b , a n d y o u c o u l d h a v e d i f f e r e n t n u m b e r s f o r r a n d i t w o u l d c o m e o u t . S o i t w o u l d b e b + r = 9 0 [ w r i t e s i t ] , b u t y o u c a n a l w a y s h a v e , y o u c a n h a v e d i f f e r e n t n u m b e r s i n t h e r e . G : A n d b s t a n d s f o r ? T : B l u e p e n c i l s a n d r s t a n d s f o r r e d p e n c i l s . A s t h i s w a s t h e l a s t v a r i a b l e q u e s t i o n a n d w e n e e d e d t o g o o n t o t h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s m o r e d i r e c t l y r e l a t e d t o c l a s s , I d i d n o t p u r s u e w h a t s h e m e a n t b y t h e l a s t s t a t e m e n t . I t i s c l e a r f r o m t h i s e x a m p l e , h o w e v e r , t h a t T o n i r e a l i z e d t h a t v a r i a b l e s c o u l d t a k e o n m a n y v a l u e s , a s w e l l a s s t a n d f o r s p e c i fi c u n k n o w n s i n e q u a t i o n s . A p p a r e n t l y , k n o w i n g t h a t v a r i a b l e s c a n t a k e o n m a n y v a l u e s w a s n o t s u f fi c i e n t f o r - T o n i t o g e n e r a t e o r d e r e d p a i r s f o r g r a p h i n g . A n o t h e r p o s s i b i l i t y f o r d i f fi c u l t y i n g r a p h i n g t h a t i s r e l a t e d t o v a r i a b l e s i s t h e a b i l i t y t o s e e t h e f u n c t i o n r u l e ( e q u a t i o n ) a s r e p r e s e n t i n g a w h o l e s e t o f p a i r s . S e e i n g ' 9 7 a f u n c t i o n a s a w h o l e s e t r e q u i r e s r e c o g n i z i n g t h a t a v a r i a b l e e x p r e s s i o n s t a n d s f o r a s i n g l e n u m b e r . T o n i ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h i s c o n c e p t w a s w e a k . I n p r o b l e m 4 A - 3 , ” I f a + 6 = 2 5 , w h a t c a n y o u s a y a b o u t w h a t i s a + 6 + c ? " , T o n i s o l v e d f o r a , w r i t i n g ” 1 9 + 6 + c " a n d s a i d , " b u t I w o u l d n ’ t k n o w w h a t t o p u t i n f o r c b e c a u s e I d i d n ’ t h a v e a v a l u e f o r i t . ” I t i s n o t c l e a r w h e t h e r s h e w a s s i m p l y s t a t i n g t h a t w a s a l l o n e c o u l d w r i t e o r w h e t h e r s h e t h o u g h t o f c o n l y a s a s p e c i fi c u n k n o w n t o w h i c h s h e h a d n o a c c e s s . S h e d i d n o t , h o w e v e r , c o n s i d e r t h e e x p r e s s i o n a + 6 a s a s i n g l e n u m b e r ; o t h e r w i s e , s u r e l y s h e w o u l d h a v e s u b s t i t u t e d 2 5 i n t o a + 6 + c a n d w r i t t e n 2 5 + c , r a t h e r t h a n s o l v i n g a n e q u a t i o n a n d m a k i n g a s u b s t i t u t i o n o f 1 9 . B e i n g a b l e t o t h i n k o f a + 6 a s a l e g i t i m a t e n u m b e r r e q u i r e s a c c e p t i n g a " l a c k o f c l o s u r e " ( S u t h e r l a n d , 1 9 8 9 ) o n t h e v a l u e o f a , t h a t i s , y o u c a n c r e a t e o r u s e a i n s y m b o l i c e x p r e s s i o n s e v e n t h o u g h y o u d o n o t k n o w w h a t n u m b e r i t s t a n d s f o r . A c c e p t i n g l a c k o f c l o s u r e m a y b e r e l a t e d t o s e e i n g t h e e q u a t i o n a s r e p r e s e n t i n g a w h o l e s e t o f y - v a l u e s , o n e f o r e a c h x . T o n i ’ s r e s p o n s e t o p r o b l e m 4 A - 4 , " W h i c h i s l a r g e r , 2 n o r n + 2 ? " m i g h t m a k e i t a p p e a r t h a t s h e a c c e p t e d l a c k o f c l o s u r e . H e r c o m m e n t : U m . 2 I t w o u l d b e l a r g e r b e c a u s e i f b o t h n ’ s a r e t h e s a m e v a l u e , t h e n t h i s ( 2 n ) i s m u l t i p l i e d b y n a n d t h i s [ p o i n t i n g t o n + 2 ] i s o n l y a d d e d t o . i n d i c a t e s s h e s e e m e d t o a t t e n d p r i n c i p a l l y t o t h e e x i s t e n c e o f t w o d i f f e r e n t o p e r a t i o n s a n d j u d g e d ” m u l t i p l i c a t i o n m a k e s b i g g e r t h a n a d d i t i o n . " T o a n s w e r t h i s q u e s t i o n s u c c e s s f u l l y , o n e n e e d s t o v i e w b o t h 2 n a n d n + 2 a s r e p r e s e n t i n g v a r i a b l e e x p r e s s i o n s a n d t h e n c o n s i d e r a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e i r v a l u e s f o r a p a r t i c u l a r I t . K u c h e m a n n ( 1 9 8 1 ) c a l l e d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n r e l a t i o n s h i p s t h a t c o u l d i t s e l f b e e v a l u a t e d a s e c o n d - o r d e r r e l a t i o n s h i p ( a c o m m o n t e r m a m o n g m a t h e m a t i c i a n s ) . S u c h a r e l a t i o n s h i p c a n b e , i n g e n e r a l , a f a i r l y s o p h i s t i c a t e d o n e . T o n i s a w t h i s p r o b l e m a s t w o e x p r e s s i o n s t o c o m p a r e , b u t n o t w i t h t h e s o p h i s t i c a t i o n K u c h e m a n n p r e d i c t e d . 9 8 S h e e v i d e n t l y s a w i t o n l y a s a c o m p a r i s o n o f t w o p r o c e s s e s , o n e w i t h m u l t i p l i c a t i o n a n d o n e w i t h a d d i t i o n , a r e s u l t c o n s i s t e n t w i t h h e r p r o c e d u r a l o r i e n t a t i o n . F i n a l l y , p r o b l e m 4 A - 6 g i v e s f a i r l y fi r m e v i d e n c e t h a t T o n i w a s u n a b l e t o a c c e p t l a c k o f c l o s u r e i n v a r i a b l e s . T h e p r o b l e m s t a t e d : S a m d r e w t h e fi g u r e b e l o w w h i l e b a b y s i t t i n g f o r t h e n e i g h b o r . I t h a s n s i d e s ; e a c h h a s l e n g t h 3 . U n f o r t u n a t e l y , t h e b a b y s p i l l e d p a i n t o n t h e d r a w i n g j u s t a s S a m w a s c a l c u l a t i n g t h e p e r i m e t e r o f t h e fi g u r e . W h a t i s t h e p e r i m e t e r ? F i g u r e 3 . 1 5 : P r o b l e m 4 A - 6 T o n i c o u n t e d u p t h e 1 3 v i s i b l e s i d e s , a d d e d 1 3 3 ’ 5 t o g e t h e r a n d s a i d t h a t w a s a s m u c h a s s h e c o u l d d o s i n c e s h e c o u l d n o t s e e t h e o t h e r s i d e s . T o n i s a w n a t b e s t a s a s p e c i fi c u n k n o w n . S h e c l e a r l y d i d n o t c o n s i d e r i t a q u a n t i t y t h a t c o u l d b e a c t e d o n o r w r i t t e n i n a r e l a t i o n s h i p . I n s u m m a r y , a l t h o u g h T o n i c o u l d s e e a v a r i a b l e a s a g e n e r a l i z e d n u m b e r i n a n e q u a t i o n , t h i s k n o w l e d g e w a s n o t s u f fi c i e n t t o h e l p h e r c r e a t e o r d e r e d p a i r s f o r t h e f o u r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n a d d i t i o n , t h a t s h e s a w v a r i a b l e s a s s p e c i fi c u n k n o w n s m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o h e r b e l i e f t h a t n o t k n o w i n g a v a l u e f o r x p r o h i b i t e d f u r t h e r a c t i v i t y i n t h e g r a p h i n g p r o c e s s . F i n a l l y , T o n i c o u l d n o t a c c e p t l a c k o f c l o s u r e , t h a t i s , s h e c o u l d n o t u s e a v a r i a b l e t o r e p r e s e n t a q u a n t i t y a n d o p e r a t e o n i t o r b u i l d e x p r e s s i o n s w i t h i t w h i l e t h e v a l u e o f t h e v a r i a b l e w a s u n k n o w n . T h a t s h e c o u l d n o t t h i n k o f v a r i a b l e e x p r e s s i o n s a s s i n g l e e n t i t i e s , w h i c h t h e m s e l v e s c o u l d h a v e m a n y v a l u e s , m a y h a v e l i m i t e d h e r a b i l i t y t o s e e t h e s e e q u a t i o n s a s r e p r e s e n t i n g w h o l e s e t s o f r e l a t e d n u m b e r s . 9 9 C r e a t i n g a F u n c t i o n R u l e f o r T a b l e R e p r e s e n t a t i o n o f a L i n e a r F u n c t i o n A t h i r d a r e a w h e r e T o n i h a d d i f fi c u l t y w i t h r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s w a s i n p r o b l e m 2 A - 2 , w h e r e t h e t a s k w a s t o c r e a t e a f u n c t i o n r u l e f r o m a t a b l e o f i n p u t / o u t p u t v a l u e s . T h i s p r o b l e m w a s s i m i l a r t o t h o s e g i v e n i n c l a s s , a n d I e x p e c t e d T o n i t o m o r e r e a d i l y m i m i c p r o c e d u r e s t h a t h a d b e e n g o n e o v e r s e v e r a l t i m e s . T h i s t u r n e d o u t n o t t o t h e c a s e . T o n i c o u l d r e a d i l y c o m p u t e p a t t e r n s o f c h a n g e f o r l i n e a r f u n c t i o n s g i v e n i n t a b u l a r f o r m , b u t c o u l d n o t t r a n s l a t e t h e m i n t o t h e i r s y m b o l i c f o r m . P r o b l e m 2 A - 2 , w h i c h g i v e s t h e t a b l e f o r t h e f u n c t i o n y = - 5 x + 1 5 , i s g i v e n i n F i g u r e 3 . 1 6 . F o r t h e t a b l e b e l o w , w h a t i s t h e f u n c t i o n r u l e ? W h a t i s t h e o u t p u t f o r i n p u t 1 5 ? i n p u t 3 0 ? i n p u t o u t p u t 1 1 0 2 5 3 0 5 - 1 0 1 0 - 3 5 F i g u r e 3 . 1 6 : P r o b l e m 2 A - 2 T o n i q u i c k l y d e t e r m i n e d t h e p a t t e r n : f o r i n p u t g o i n g u p b y o n e , o u t p u t d e c r e a s e d b y fi v e . S h e m e n t i o n e d t h e n u m b e r o f d e c r e m e n t s b e t w e e n - 1 0 a n d - 3 5 , fi r s t a s s e v e n a n d t h e n c o r r e c t l y a s fi v e . S h e w a s a b l e t o fi l l i n t h e i n t e r m e d i a t e e n t r i e s b e t w e e n - 1 0 a n d — 3 5 a n d t o d e s c r i b e t h e c h a n g e a s , ” t h e o u t p u t i s d e c r e a s i n g . T h e f a r t h e r t h a t y o u g o u p i n i n p u t , t h e o u t p u t i s d e c r e a s i n g b y fi v e s . ” T o n i w a s s t u c k , h o w e v e r , w h e n i t c a m e t o g e n e r a t i n g a f u n c t i o n r u l e b e c a u s e s h e c o u l d n o t r e c a l l t h e p r o c e s s d o n e i n c l a s s . I t r i e d t o h e l p h e r fi r s t b y c a l l i n g h e r a t t e n t i o n t o i n p u t g o i n g u p b y o n e , a s t h e o u t p u t d e c r e a s e d b y fi v e . A f t e r s h e c h e c k e d t h a t ” f u n c t i o n r u l e " m e a n t " h o w y o u fi n d t h e o u t p u t , ” T o n i w a s s t i l l s t u c k . T h i n k i n g s h e m a y b e h a v i n g t r o u b l e w i t h d i s c e r n i n g t h e m u l t i p l i e r b e c a u s e i t w a s n e g a t i v e , I t r i e d 1 0 0 t o h e l p h e r b y s u g g e s t i n g a d i f f e r e n t p r o b l e m , w h i c h I t h o u g h t w a s s i m p l e r . I t w e n t u p , r a t h e r t h a n d o w n , b y fi v e s . T o n i fi r s t s u g g e s t e d " i n p u t p l u s fi v e , ” a n a d d i t i o n , b u t r e j e c t e d i t b e c a u s e i t d i d n o t g i v e 1 0 f o r i n p u t 1 , n o r 1 5 f o r i n p u t 2 . C l e a r l y , s h e h a d n o t u n d e r s t o o d I w a s p r o p o s i n g a d i f f e r e n t p r o b l e m , s o I n e x t t r i e d t o g e t h e r t o t h i n k a b o u t w h a t i t m e a n t t o g o d o w n b y fi v e b y a s k i n g h o w w e u s u a l l y w r i t e g o i n g d o w n b y fi v e . W h e n s h e s u g g e s t e d ” n e g a t i v e " a n d I e c h o e d " n e g a t i v e fi v e , " s h e s a i d s h e s t i l l d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t t o d o . S h e h a d a c c u r a t e l y c o n n e c t e d n e g a t i v e fi v e w i t h d e c r e a s i n g , b u t n o t t o m u l t i p l i c a t i o n . F i n a l l y , t h i n k i n g t h a t t o f o c u s m o r e d i r e c t l y o n t h e c o m p u t a t i o n t h a t w a s r e q u i r e d , I a s k e d e x p l i c i t l y a b o u t w h a t n e e d s t o b e d o n e t o t h e x : G : I f y o u c a l l t h e i n p u t x , w h a t d o y o u h a v e t o d o t o x t o m a k e i t g o d o w n fi v e e v e r y t i m e y o u m a k e x g o u p o n e . T : S u b t r a c t fi v e ? S u b t r a c t fi v e . S o , h o w w o u l d y o u w r i t e t h a t ? T : X m i n u s 5 . T o n i h a d c o n n e c t e d t h e p a t t e r n o f c h a n g e t o s u b t r a c t i o n , a v a l i d o p e r a t i o n f o r g o i n g d o w n t h e t a b l e , b u t a n i n v a l i d o n e f o r g o i n g a c r o s s t h e t a b l e , a b o u t w h i c h I w a s a s k i n g . F i n a l l y , t o h e l p h e r r e a l i z e t h a t m u l t i p l i c a t i o n , r a t h e r t h a n s u b t r a c t i o n , w a s r e q u i r e d , I h a d h e r c r e a t e h e r o w n o u t p u t s f o r i n p u t s , 1 , 2 , a n d 3 t o h e r s u g g e s t e d f u n c t i o n , y = x - 5 . S h e r e a d i l y s a w t h a t t h e o u t p u t w a s i n c r e a s i n g b y o n e s , n o t d e c r e a s i n g b y fi v e s . T o n i d i d n o t fi n d m y e x e r c i s e s u s e f u l i n fi n d i n g t h i s f u n c t i o n r u l e . T h i n k i n g t h a t a n o u t p u t o f 0 f o r i n p u t 1 m i g h t b e e a s i e r f o r h e r t o s e e t h e p a t t e r n a c r o s s t h e t a b l e , I t r i e d o n c e m o r e a n d g a v e h e r a n o t h e r t a b l e o f v a l u e s ( f o r y = - 5 x + 5 ) . I t w a s j u s t a s h a r d f o r h e r , s o I r e a s s u r e d h e r t h a t i t w a s o k a y n o t t o s o l v e t h e p r o b l e m , a n d w e l e f t i t . T o n i r e a d i l y s a w t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h i s t a b l e . S h e w a s a b l e t o c o n n e c t c h a n g e s i n o u t p u t w i t h i n c r e m e n t s o f o n e i n t h e i n p u t , w h i c h s o m e o t h e r s t u d e n t s 1 0 1 i g n o r e d . Y e t s h e c o u l d n o t c o n n e c t t h e a d d i t i v e c h a n g e g o i n g d o w n t h e t a b l e e n t r i e s w i t h t h e m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e g o i n g a c r o s s t h e t a b l e , a p p a r e n t l y a n e x t r e m e l y d i f fi c u l t t a s k u n l e s s o n e h a s a n a l g o r i t h m t o d o s o . T h e r e c o u l d b e s e v e r a l r e a s o n s t h a t m a d e t h i s s p e c i fi c t a s k h a r d e r t h a n s o m e o t h e r s . I n c l a s s s t u d e n t s h a d h a d p r a c t i c e w i t h fi n d i n g f u n c t i o n r u l e s f r o m t a b l e s , b u t o n l y o n e h a d b e e n f o r a d e c r e a s i n g l i n e a r f u n c t i o n . L a c k o f e x p e r i e n c e m i g h t h a v e c o n t r i b u t e d t o T o n i ’ s d i f fi c u l t i e s , b u t s h e s e e m e d t o h a v e t h e m o s t d i f fi c u l t y b e c a u s e s h e n e e d e d b o t h t o c o n n e c t c h a n g e w i t h m u l t i p l i c a t i o n a n d c o n s i d e r a n e g a t i v e a t t h e s a m e t i m e . W h i l e s h e t e n t a t i v e l y c o n s i d e r e d - 5 , i t i s u n c l e a r t o w h a t o p e r a t i o n s h e i n t e n d e d t o c o n n e c t i t . I t i s p o s s i b l e t h a t s h e c o n n e c t e d d e c r e a s i n g o n l y w i t h s u b t r a c t i o n , a s t e x t h e r e s u g g e s t s . W h e n I w a s d i s c u s s i n g a f u n c t i o n t h a t i n c r e a s e d , s h e h a d c o n n e c t e d " i n c r e a s e ” w i t h a d d i t i o n . I n t h i s c a s e , T o n i ’ s e v e r y d a y l a n g u a g e a s s o c i a t i o n s w i t h s p e c i fi c ( a n d l i m i t e d ) o p e r a t i o n s i n h i b i t e d h e r fi n d i n g a s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m , a s i t d i d f o r s o m e o t h e r s t u d e n t s a s w e l l . G i v e n T o n i ’ s i n c l i n a t i o n t o l o o k f o r p a t t e r n s a n d a l s o t o u s e p r o c e d u r e s , i t i s s u r p r i s i n g t h a t s h e h a d n o t d e v e l o p e d a r o t e p r o c e d u r e f o r t h i s p r o b l e m t a s k , s i n c e s e v e r a l w e r e d o n e i n c l a s s w i t h i n t h e t w o d a y s p r e c e d i n g t h i s i n t e r v i e w . P a r t o f t h e d i f fi c u l t y m a y h a v e b e e n c o m m u n i c a t i o n p r o b l e m s b e t w e e n T o n i a n d m e , p a r t l y b e c a u s e w e h a d d i f f e r e n t p o i n t s o f v i e w . B e c a u s e t h i s w a s h e r fi r s t i n t e r v i e w a s a f o c a l s t u d e n t , I f e l t i t w a s n e c e s s a r y t h a t s h e s u c c e e d t o s o m e e x t e n t . S o w h e n T o n i b e c a m e s t u c k , I a t t e m p t e d t o h e l p h e r . Y e t e a c h a l t e r n a t i v e p r o b l e m I p r o p o s e d c o n t r i b u t e d i n s o m e w a y t o h e r d i f fi c u l t i e s . F i r s t , w h e n I d e c i d e d T o n i w a s h a v i n g t r o u b l e w i t h t h e n e g a t i v e n u m b e r a n d I s w i t c h e d t o a n a l t e r n a t i v e p r o b l e m , s h e d i d n o t s w i t c h b e c a u s e I f a i l e d t o m a k e c l e a r i t w a s a n e n t i r e l y d i f f e r e n t p r o b l e m . - T h e n w h e n I a s k e d f o r a n o p e r a t i o n f o r x t o m a k e i t d e c r e a s e b y 5 , I w a s t h i n k i n g ” a c r o s s t h e t a b l e . " T o n i g a v e a c o r r e c t a n s w e r f o r e v a l u a t i n g s u c c e s s i v e t a b l e e n t r i e s , b u t n o t f o r a c o m p u t a t i o n o n x t o p r o d u c e y . F i n a l l y , I m a d e a b a d c h o i c e o f 1 0 2 a n e w p r o b l e m i n a n a t t e m p t t o h e l p h e r m o r e r e a d i l y s e e t h e p a t t e r n a c r o s s t h e t a b l e . I n s h o r t , I h a d u n d e r e s t i m a t e d t h e d i f fi c u l t y T o n i w o u l d h a v e i n s e e i n g t h e p a t t e r n s w h e n g o i n g f r o m c o v a r i a t i o n d o w n t h e t a b l e t o a s i n g l e s y m b o l i c r u l e t h a t e n c a p s u l a t e d t h e p r o c e s s o f c o m p u t a t i o n s o n x t o p r o d u c e t h e t a b l e . F r o m h e r p o i n t o f v i e w , s h e w a s a c t i v e l y a t t e m p t i n g t o m a k e s e n s e o f t h e r e l a t i o n s h i p s i n t h e p r o b l e m , a n d c l e a r l y s a w t h e p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e t w o s e t s a s s a l i e n t f e a t u r e s a s s h e r e s p o n d e d i n t e r m s o f t h e m s e v e r a l t i m e s . S h e m u s t h a v e f o u n d m y s u g g e s t e d p r o b l e m s p u z z l i n g a t b e s t . I n a n y c a s e , m y r e p e a t e d a t t e m p t s a t g e t t i n g h e r t o f o c u s o n t h e r e l a t i o n s h i p a c r o s s t h e t a b l e f a i l e d , n o d o u b t p a r t l y b e c a u s e t h i s i s n o t t h e s t r a i g h t f o r w a r d p r o b l e m t h a t w e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s t h i n k i t i s . T h a t T o n i s a w t h i s p r o b l e m s o d i f f e r e n t l y f r o m m e i n d i c a t e s t h a t t h e r e w a s a m i s m a t c h i n w h a t f e a t u r e s o f t h i s p r o b l e m w e s a w a s e a s y . T o n i f o u n d d y n a m i c f e a t u r e s , i n c l u d i n g d i r e c t i o n a n d a m o u n t o f c h a n g e , e s p e c i a l l y s a l i e n t . Y e t t o c o m p l e t e t h i s p r o b l e m , s h e n e e d e d t o s e e c h a n g e e n c a p s u l a t e d i n t o a s i n g l e q u a n t i t y , - 5 , t h a t w o u l d b e c o m e a m u l t i p l i e r i n a s t a t i c r e p r e s e n t a t i o n , t h e f u n c t i o n r u l e . A p p a r e n t l y , m a k i n g t h i s t r a n s i t i o n w a s q u i t e d i f fi c u l t f o r h e r ( a s i t w a s f o r o t h e r s t u d e n t s a s w e l l ) . I d i d n o t r e c o g n i z e t h e m a g n i t u d e o f t h e d i f fi c u l t y a t t h e t i m e . O u r s t r u g g l e r a i s e d q u e s t i o n s a b o u t w h a t a c t i v i t i e s I m i g h t h a v e g i v e n h e r h a d I b e e n p r e p a r e d f o r h e r p o i n t o f v i e w . S i t u a t e d P r o b l e m C o n f o u n d P r o b l e m S o l v i n g S t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o a l l f u n c t i o n s t h r o u g h s i t u a t e d p r o b l e m s . I n p r e v i o u s s e c t i o n s , e x a m p l e s w e r e g i v e n t h a t i l l u s t r a t e d h o w t h e p r o b l e m s i t u a t i o n s u p p o r t e d T o n i ’ s r e a s o n i n g . S h e r e l i e d h e a v i l y o n t h e s i t u a t i o n i t s e l f w h e n w o r k i n g w i t h g r a p h s o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s a n d f o r p r o v i d i n g e v e r y d a y k n o w l e d g e t o m a k e d e c i s i o n s a b o u t r e l a t i o n s h i p s i n t h e G o i n g t o S c h o o l p r o b l e m . Y e t s i t u a t i o n a l c o n t e x t s o f p r o b l e m s c a n i n v o k e i n f o r m a l k n o w l e d g e t h a t c o n f o u n d s p r o b l e m s o l v i n g , a s w i l l I I I 1 0 3 b e s e e n i n t h e p r o b l e m b e l o w . T h i s s e c t i o n d i s c u s s e s t h e p r o b l e m , t h e n a t u r e o f t h e s p e c i fi c d i f fi c u l t i e s t h a t T o n i e n c o u n t e r e d , a n d u n d e r s t a n d i n g m o d e l s i n g e n e r a l . T h e P r o fi t P r o b l e m T h e p r o b l e m i n F i g u r e 3 . 1 7 b e l o w w a s g i v e n d u r i n g t h e t h i r d i n t e r v i e w . C a r l h a s b e e n a s s i g n e d t o c o m e u p w i t h t h e p r i c e t o c h a r g e f o r t i c k e t s f o r a c o n c e r t t h e s e n i o r c l a s s i s u s i n g f o r a f u n d r a i s e r . F r o m p r e v i o u s y e a r s , C a r l h a s l e a r n e d t h a t i f t h e y h i r e a c e l e b r i t y e m c e e , t h e f u n c t i o n r e l a t i n g t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t w a s P ( t ) = - 1 0 0 t 2 + 7 0 0 t - 2 0 0 . C a r l r e a s o n e d t h a t i f t h e y d i d n ’ t h i r e t h e e m c e e , t h e y c o u l d s a v e h i s $ 2 0 0 f e e . H i s f r i e n d B e t h s a i d h e s h o u l d r e c o n s i d e r t h e p r o b l e m b e c a u s e h e w o u l d n e e d t o l o w e r t h e t i c k e t p r i c e b y a t l e a s t 3 d o l l a r s t o g e t a n y o n e t o c o m e i f n o e m c e e w a s h i r e d . S h e t o l d h i m h e c o u l d c o n s i d e r t h i s n e w s i t u a t i o n b y u s i n g t h e f u n c t i o n P ( t ) = - 1 0 0 ( t - 3 ) 2 + 7 0 0 a - 3 ) W a s s h e c o r r e c t ? W h i c h p l a n s h o u l d h e f o l l o w ? D o e s t h e s i z e o f t h e a u d i t o r i u m m a k e a n y d i f f e r e n c e ? F i g u r e 3 . 1 7 : P r o b l e m 3 , T h e P r o fi t P r o b l e m I h a d i n t e n d e d t h i s i n t e r v i e w p r o b l e m t o a l l o w t h e p o s s i b i l i t y f o r s t u d e n t s t o d i s c u s s a n y o f s e v e r a l a s p e c t s o f t h e i r u n d e r s t a n d i n g a b o u t q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s w i t h w h i c h t h e y h a d g a i n e d e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s . T h e y h a d s t u d i e d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , e x p l o r e d t h e s h a p e s o f t h e i r g r a p h s , p a t t e r n s o f c h a n g e i n d a t a , a n d h a d h a d s e v e r a l e x e r c i s e s t r a n s l a t i n g q u a d r a t i c ( a n d l i n e a r ) f u n c t i o n s i n n a k e d c o n t e x t h o r i z o n t a l l y o r v e r t i c a l l y . S t u d e n t s h a d s e e n m a n y e x a m p l e s o f f u n c t i o n s i n t h e c o n t e x t o f s c h o o l e v e n t s , w h i c h i n v o l v e d p r o fi t , a t t e n d a n c e , a n d t i c k e t p r i c e . S t u d e n t s h a d s e e n o n l y o n e h o m e w o r k e x e r c i s e i n v o l v i n g p r o fi t a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e d i r e c t l y , a n d i t i s u n c l e a r i f t h e y d i d t h i s e x e r c i s e . W h e n I w r o t e t h e i n t e r v i e w p r o b l e m I h a d i n t e n d e d t o m a k e a c o m p l e x p r o b l e m t o fl u s h o u t w h a t i d e a s t h e y h e l d s t r o n g l y a s s u g g e s t e d b y G i n s b u r g ( 1 9 7 7 ) a n d g i v e t o m t o m r e p n t h o u c a l m a n d i n t o m e a w a p h o a c r c W O U C O U i n d t ‘ O L h c ‘ 1 0 4 a n d C o n f r e y ( 1 9 8 0 ) ; h e n c e , I m a d e i t a c o m p a r i s o n o f t w o p o s i t i o n s . I w a n t e d t o g i v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o u s e s e v e r a l s t r a t e g i e s o f p r o b l e m s o l v i n g : p r o p o s e c o m p u t a t i o n a l s o l u t i o n s t o c o m p a r e , m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n g r a p h s a n d s y m b o l i c f o r m s a n d t r a n s l a t i o n c o n c e p t s , d i s c u s s p r o p e r t i e s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s , u s e t h e c a l c u l a t o r , o r s o m e t h i n g e l s e a l t o g e t h e r . F o r e x a m p l e , I t h o u g h t s o m e o n e m i g h t c r e a t e a n d e x p l o r e g r a p h s o f t h e t w o f u n c t i o n s o n t h e c a l c u l a t o r . I c h o s e v a l u e s f o r t h e p o l y n o m i a l t h a t w e r e s i m i l a r t o s o m e i n t h e t e x t a n d w h i c h w o u l d m a k e t i c k e t p r i c e s r e a s o n a b l e t o w h a t s c h o o l e v e n t s m i g h t c o s t . I i n t e n d e d t h e 2 0 0 a s a c o s t t o m a t c h t h a t f o r t h e e m c e e i n t h e r u l e b e c a u s e i t w a s r e c o g n i z a b l e a n d w o u l d a l l o w a d i s c u s s i o n o f o t h e r p o t e n t i a l c o s t s . F i n a l l y , I w a s a w a r e t h a t a s t u d e n t m i g h t s e e ( t - 3 ) a s a n e w t i c k e t p r i c e , w h e r e t w a s t h e o l d t i c k e t p r i c e , w h i c h w o u l d m a k e t h e u s e o f t i n P ( t ) i n t h e s e c o n d f o r m u l a i n c o m p a t i b l e a c r o s s t h e e q u a t i o n . O n t h e l e f t t w o u l d b e n e w t i c k e t p r i c e , w h i l e o n t h e r i g h t , t w o u l d b e o l d t i c k e t p r i c e . B u t s t u d e n t s h a d n o t s e e n P ( t - 3 ) n o t a t i o n , a n d w r i t i n g t h e f u n c t i o n s t h e w a y I d i d g a v e a s t u d e n t t h e o p t i o n o f r a i s i n g t h i s i s s u e . I r e a s o n e d c o r r e c t l y t h a t , i n g e n e r a l , s t u d e n t s w o u l d i g n o r e t h e t o n t h e l e f t . M y c h o i c e s d i d i n d e e d a l l o w T o n i t o d i s p l a y w h a t i s s u e s s h e h e l d s t r o n g l y , b u t m y c h o i c e s , a s w i l l b e s e e n , a l s o c o n t r i b u t e d i n s o m e w a y s t o m a k i n g t h e p r o b l e m d i f fi c u l t f o r h e r a n d o t h e r s . F i n a l l y , I a d d e d t h e o b l i q u e q u e s t i o n a b o u t t h e a u d i t o r i u m s i z e t o a l l o w s t u d e n t s t o d i s c u s s i t s i m p a c t , i f a n y , o n t h e f u n c t i o n a n d t o a l l o w d i s c u s s i o n t h a t t h e a u d i t o r i u m s i z e w a s r e l e v a n t o n l y i n t h e c r e a t i o n o f t h e m o d e l a n d w a s n o t a n i s s u e h e r e . I w a n t e d t o g i v e t h e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o s a y ( a l t h o u g h I d i d n o t e x p e c t i t ) t h a t t h e m o d e l w a s b a s e d o n o l d d a t a a n d w i t h o u t n e w d a t a , o n e c o u l d n o t c h a n g e t h e m o d e l . I c e r t a i n l y d i d n o t e x p e c t t h e d i s c u s s i o n o n v a l i d i t y o f t h e m o d e l t o t a k e t h e t u r n t h a t i t t o o k f o r T o n i , a s o u t l i n e d b e l o w . D i f f S h e s t r a i S h e W 8 0 1 1 q u 1 0 5 D i f fi c u l t i e s i n I n t e r p r e t a t i o n T h a t t h e p r o b l e m w a s s i t u a t e d a f f e c t e d T o n i ’ s p r o b l e m s o l v i n g i n m a n y w a y s . S h e o p e r a t e d w i t h a n i n f o r m a l m o d e l f o r p r o fi t t h a t m a d e i t d i f fi c u l t f o r h e r t o k e e p s t r a i g h t t h e m e a n i n g o f v a r i a b l e s a n d t o i n t e r p r e t c o r r e c t l y t h e f u n c t i o n s g i v e n . I n f o r m a l m o d e l a n d m e a n i n g s o f v a r i a b l e s . T o n i h a d d i f fi c u l t y r e m e m b e r i n g w h a t m e a n i n g t h e v a r i a b l e h a d . S h e b e g a n t h e p r o b l e m b y m u l t i p l y i n g o u t t h e s e c o n d f u n c t i o n r u l e a n d , a f t e r m a k i n g s e v e r a l e r r o r s , w r o t e t h e f u n c t i o n r u l e P ( t ) = 6 0 0 t - 1 4 0 0 . S h e t h e n a t t e m p t e d " t o s o l v e i t " b y a d d i n g t h e 1 4 0 0 t o b o t h s i d e s . W h e n I a s k e d h e r w h a t s h e w a s d o i n g , s h e i d e n t i fi e d p a s p r o fi t , b u t w h i l e s h e k n e w t w a s a s s o c i a t e d w i t h t i c k e t s , s h e f o r g o t w h a t t s t o o d f o r : T : F o u r t e e n h u n d r e d , t h e p r o fi t , t h e p s t a n d s f o r p r o fi t e r , [ p a u s e ] . I t h i n k i t ’ s p r o fi t a n d t i c k e t o r p r i c e o f t i c k e t . [ p a u s e ] U m , I t h i n k i t ’ s p r o fi t a n d t h e n t i c k e t p r i c e o r . [ p a u s e ] Y o u t h i n k p i s p r o fi t ? I s t h a t w h a t y o u s a i d ? Y e a h . A n d t i s ? T i c k e t s . T i c k e t s s o l d o r t i c k e t p r i c e o r . T i c k e t s s o l d o r t i c k e t p r i c e . T : Y e a h . U m , l e t ’ s s e e . S h e r e r e a d t h e s e c o n d p a r a g r a p h a n d c o r r e c t l y d e d u c e d f r o m t h e v e r b a l d e s c r i p t i o n o f d r o p p i n g t h e t i c k e t p r i c e t h r e e d o l l a r s t h a t t i n t - 3 s t o o d f o r t i c k e t p r i c e . S u r p r i s e d t h a t s h e d i d n o t l o o k a t t h e p h r a s e i n t h e fi r s t p a r a g r a p h t h a t s t a t e d P w a s a ” f u n c t i o n r e l a t i n g t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t , " I a s k e d i f s h e c o u l d t e l l i n s o m e o t h e r w a y , b u t s h e d i d n o t u n d e r s t a n d m y q u e s t i o n . F i n a l l y , I a s k e d h e r w h e t h e r t h e t i n t h e b o t t o m r u l e w a s t h e s a m e t a s i n t h e t o p r u l e . A t fi r s t s h e t h o u g h t n o t , b u t q u i c k l y r e c o n s i d e r e d , c i t i n g s i m i l a r i t y o f t h e c o e f fi c i e n t s i n t h e t w o r u l e s . F o r t h e s e c o n d t i m e s h e i n t r o d u c e d t h e p o s s i b l e i n t e r p r e t a t i o n o f t a s t h e n u m b e r o f t i c k e t s : N o , b e c a u s e t h a t t s e e m s , w e l l i t w o u l d h a v e t o b e b e c a u s e t h i s i s 7 0 0 t d o w n 1 0 6 h e r e a n d t h e n i t ’ s 7 0 0 t u p t h e r e b u t . [ p a u s e ] u h , i t w o u l d n ’ t b e t h a t m u c h f o r a t i c k e t . [ p a u s e ] I t c o u l d m a y b e b e t o t a l o f p e o p l e , e r — - . H e r e f o r t h e fi r s t t i m e , T o n i c o n s i d e r e d 7 0 0 t a s a m o d e l f o r e i t h e r p r o fi t o r i n c o m e , c o n s i d e r i n g 7 0 0 a s t i c k e t p r i c e a n d t i m p l i c i t l y a s n u m b e r o f t i c k e t s . S h e r e j e c t e d t h i s i n t e r p r e t a t i o n b e c a u s e 7 0 0 w a s n o t s e n s i b l e f o r a t i c k e t p r i c e . T h e n a f t e r r e fl e c t i n g o n h e r a n s w e r , s h e g u e s s e d a g a i n t h a t t w a s t h e n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g ( n u m b e r o f t i c k e t s ) . A t t h i s p o i n t , I s u g g e s t e d s h e r e r e a d t h e p r o b l e m . S h e d i d s o a n d q u i c k l y d e t e r m i n e d a g a i n t h a t P w a s t h e p r o fi t a n d t w a s t i c k e t p r i c e , b u t v o l u n t e e r e d t h a t " T h i s m i n u s 2 0 0 [ p o i n t i n g t o t o p r u l e ] i s m o n e y t h a t h e fi g u r e s h e c a n s a v e i f t h e y d o n ’ t h i r e a n e m c e e , ” a p o i n t c r i t i c a l t o l a t e r d i s c u s s i o n . T o n i h a d t r o u b l e s o r t i n g o u t w h a t t h e v a r i a b l e l e t t e r s s t o o d f o r . S h e k n e w t h e p r o b l e m w a s a b o u t p r o fi t , b u t t h e m e a n i n g o f t k e p t e l u d i n g h e r . F i r s t s h e h a d s a i d s h e a s s o c i a t e d t w i t h t i c k e t s o r t i c k e t p r i c e , t h e n h a d f o u n d o u t t h e m e a n i n g i n t h e s e c o n d p a r a g r a p h o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . A f t e r I a s k e d h e r w h e t h e r t h e t ’ s w e r e t h e s a m e i n b o t h r u l e s , s h e h a d d e c i d e d t h e y w e r e b e c a u s e o f t h e s i m i l a r i t y o f t h e r u l e s , b u t h a d i n t r o d u c e d f o r a s e c o n d t i m e t h a t t w a s n u m b e r o f t i c k e t s , a d m i t t i n g s h e w a s a t t e m p t i n g t o i n t e r p r e t 7 0 0 t a s p r i c e t i m e s t i c k e t s . H e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s q u a n t i t y i m p l i e s s h e w a s o p e r a t i n g w i t h a n i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t a s p r i c e t i m e s t i c k e t , a m o d e l t h a t s h o w e d u p o v e r a n d o v e r i n t h i s s e c t i o n . I n a d d i t i o n , e v e n t h o u g h s h e h a d i d e n t i fi e d P , t h e f u n c t i o n n a m e , a s s t a n d i n g f o r p r o fi t , s h e a s s i g n e d o n e t e r m o f t h e p o l y n o m i a l , 7 0 0 t , a s p r o fi t . I n a d d i t i o n , s h e p o i n t e d o u t t h e 2 0 0 a s a c o s t , i m p l y i n g s h e w a s a l s o c o n f u s i n g i n c o m e w i t h p r o fi t . T o n i ’ s i n f o r m a l m o d e l f o r p r o fi t i n t e r f e r e d w i t h h e r a b i l i t y t o a c c u r a t e l y m a t c h v a r i a b l e s i n t h e f u n c t i o n r u l e s w i t h q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n . . A t t a c h i n g s e p a r a t e m e a n i n g t o i n d i v i d u a l t e r m s i n t h e p o l y n o m i a l . T o n i ’ s i n f o r m a l m o d e l g e n e r a t e d d i f fi c u l t i e s w i t h i n t e r p r e t i n g t h e f u n c t i o n r u l e i t s e l f , t h a t i s , w i t h t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f a n a s p e c t o f t h e p r o b l e m s i t u a t i o n . I n t h e t i I n 1 0 7 p r e c e d i n g t e x t p a s s a g e , T o n i g a v e , f o r t h e fi r s t t i m e , i n d i v i d u a l t e r m s o r c o e f fi c i e n t s o f t h e p o l y n o m i a l s e p a r a t e m e a n i n g a s q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n . T h i s p h e n o m e n o n s e e m e d t o b e p r o v o k e d b o t h b y t h e s u g g e s t i o n i n t h e p r o b l e m o f 2 0 0 d o l l a r s f o r t h e e m c e e a n d a l s o b y h e r i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t ( o r i n c o m e ) a s p r i c e t i m e s n u m b e r o f t i c k e t s , w h i c h s h e s a w a s a r e a s o n a b l e i n t e r p r e t a t i o n f o r t h e m i d d l e t e r m o f t h e p o l y n o m i a l u n t i l s h e r e a l i z e d t h e 7 0 0 w a s t o o h i g h f o r a t i c k e t p r i c e . T o n i c o n t i n u e d t o t r y t o i n t e r p r e t i n d i v i d u a l t e r m s a s s e p a r a t e q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n . A f t e r a 1 5 m i n u t e d i v e r s i o n t o p u r s u e q u e s t i o n s a b o u t h e r a l g e b r a c o m p u t a t i o n s t h a t h a d l e d t o h e r fi r s t f u n c t i o n r u l e , P ( t ) = 6 0 0 t - 1 4 0 0 , I a s k e d T o n i w h a t s h e h a d b e e n d o i n g b e f o r e t h e d i v e r s i o n . S h e s a i d , ” U m , I t r i e d t o fi n d h o w m a n y t i c k e t s , o r t h e t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t b u t , I ’ m n o t r e a l s u r e h o w t o d o i t . " S h e a g a i n s p o k e o f t a s " h o w m a n y t i c k e t s , " b u t q u i c k l y c o r r e c t e d h e r s e l f t o r e p e a t a n e a r l i e r r e s p o n s e t h a t t h e p r o b l e m w a s a b o u t t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t . F i n a l l y , s h e s a i d w a s s t u c k . J u d g i n g t h a t t h e p r o b l e m t a s k m i g h t b e t o o c o m p l e x , I d e c i d e d t o n a r r o w t h e f o c u s t o o n l y o n e p o l y n o m i a l a n d a s k e d w h a t s h e c o u l d t e l l f r o m t h e fi r s t r u l e . S h e r e s p o n d e d : U m , [ l o n g p a u s e a s s h e l o o k s a t p r o b l e m ] t h i s ( - 1 0 0 t 2 ) w a s m a y b e t h e c o s t t o t h e m f o r t i c k e t s a n d t h i s ( + 7 0 0 t ) c o u l d h a v e b e e n t h e p r o fi t t h a t t h e y m a d e o r [ p a u s e ] u m . I f o r g o t w h a t I w a s t h i n k i n g . [ p a u s e ] t h i s ( + 7 0 0 t ) c o u l d b e t h e , u h , p r o fi t t h a t t h e y m a k e i n t i c k e t s a n d t h i s ( - 2 0 0 ) w o u l d b e t h e 2 0 0 d o l l a r s y o u ’ r e t a k i n g a w a y f o r t h e e m c e e t h a t t h e y h i r e d . [ l o n g p a u s e ] I d o n ’ t r e a l l y k n o w h o w t o p u t i t t o g e t h e r t o — - . T o n i h a d a g a i n a t t e m p t e d t o a s s i g n s i t u a t i o n v a r i a b l e s t o t h e i n d i v i d u a l t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l , i d e n t i f y i n g 7 0 0 t a s p r o fi t , 2 0 0 a s t h e m o n e y t o p a y t h e e m c e e , a n d - 1 0 0 t 2 a s p e r h a p s t h e c o s t o f t h e t i c k e t s . S h e r e c o g n i z e d t h a t c o s t s s h o u l d b e s u b t r a c t e d w h e n c o m p u t i n g p r o fi t , b u t s e e m e d t o c o n f u s e i n c o m e , 7 0 0 t i n h e r m o d e l , w i t h p r o fi t . H e r r e f e r e n c e t o - 1 0 0 t 2 p r o b a b l y r e f e r s t o a s i m u l a t i o n a b o u t a t a l e n t s h o w t h a t h a d b e e n c a r r i e d o u t o n t h e fi r s t d a y o f c l a s s . I n t h a t s i t u a t i o n , t h e r e w e r e n u m e r o u s c o s t s , i n c l u d i n g a f e e f o r p r i n t i n g t i c k e t s . I n a n y c a s e , T o n i a s s o c i a t e d t e r m s o r 1 0 8 c o e f fi c i e n t s o f t h e p o l y n o m i a l w i t h q u a n t i t i e s f r o m t h e s i t u a t i o n , a n d s h e d e fi n e d 7 0 0 t a s p r o fi t , i m p l y i n g a p r o fi t m o d e l o f n u m b e r o f t i c k e t s t i m e s t i c k e t p r i c e . I n a d d i t i o n , s h e s e e m e d t o b e t r y i n g t o c o n n e c t t h i s p r o b l e m t o a p r o b l e m s h e h a d h a d i n c l a s s . T o n i ’ s a t t e m p t s t o g i v e e a c h t e r m o r c o e f fi c i e n t a s e p a r a t e m e a n i n g a s a s i t u a t i o n q u a n t i t y s u r e l y i s s u g g e s t e d b y t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i t s e l f . O n e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o s i t u a t i o n s d e s c r i b e d , a s s h e h e r s e l f p o i n t e d o u t , w a s t h a t t h e c o s t o f t h e e m c e e i n t h e fi r s t w a s 2 0 0 d o l l a r s . I t i s t h e o n l y c o s t g i v e n , a n d 2 0 0 d o e s a p p e a r e x p l i c i t l y i n t h e r u l e . T o n i s e e m e d u n a b l e t o p r o c e e d , h o w e v e r , b e c a u s e o f h e r i n a b i l i t y t o r e c o n c i l e t h e r u l e g i v e n w i t h h e r i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t . A t t a c h i n g p a r t i c u l a r m e a n i n g s t o p i e c e s o f s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n s w a s n o t c o n fi n e d t o t h i s i n t e r v i e w . I n s t a n c e s o c c u r r e d , a s d i s c u s s e d e a r l i e r , w h e n T o n i a s s i g n e d t h e 5 i n y = 5 " t o x a s a c o o r d i n a t e v a l u e f o r g r a p h i n g a n d o n t h e p o s t t e s t w h e n s h e g r a p h e d y = 3 x + 4 a s a s i n g l e p o i n t ( 3 , 4 ) a n d y = 3 " a s ( 3 , 0 ) . T e a c h e r s o f b e g i n n i n g a l g e b r a s o m e t i m e s s e e i n t e r p r e t a t i o n s o f c o e f fi c i e n t s a s v a l u e s f o r v a r i a b l e s i n g r a p h i n g , y e t T o n i ’ s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t e r m s i n t h e P r o fi t P r o b l e m h e r e s e e m e d i n fl u e n c e d m o r e b y t h e s i t u a t i o n a n d t h e p r o b l e m s t a t e m e n t t h a n t h e f o r m o f t h e p o l y n o m i a l . H e r a c t i v i t y o n t h e s e o c c a s i o n s c o n fi r m s a t e n d e n c y t o ( w r o n g l y ) i n t e r p r e t t h e c o n s t a n t s s e p a r a t e l y , b u t h e r t h i n k i n g o f 7 0 0 t a s p r o fi t m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o o r a t l e a s t s u p p o r t e d t h i s e r r o n e o u s t h i n k i n g s i n c e s h e h a d , o n o c c a s i o n s p r i o r t o t h i s , e v a l u a t e d o r i n t e r p r e t e d s e c o n d d e g r e e p o l y n o m i a l s c o r r e c t l y i n o t h e r s i t u a t e d p r o b l e m s . R e c a l l u n d e r t h e e a r l i e r d i s c u s s i o n o f T o n i ’ s f a c i l i t y t o i n t e r p r e t p o i n t s o n a g r a p h t h a t o n p r o b l e m 9 o n t h e p r e t e s t s h e h a d i n t e r p r e t e d c o r r e c t l y ( a s s h e d i d o n t h e p o s t t e s t ) t h r e e q u e s t i o n s a s k e d a b o u t t h e p r o fi t f r o m a r o c k c o n c e r t a s a fi m c t i o n o f t i c k e t p r i c e . T h e r e t h e f u n c t i o n w a s g i v e n a s a g r a p h . O n t h e p o s t t e s t ( o n l y ) p r o b l e m 1 3 s h e c o r r e c t l y a n s w e r e d q u e s t i o n s a b o u t p r o fi t f o r a s c h o o l p l a y a s a fi t n c t i o n o f t i c k e t p r i c e g i v e n i n s y m b o l i c f o r m , P ( t ) = - 5 0 t 2 + 8 0 0 t ~ 1 9 5 0 . O f c o u r s e , s h e 1 0 9 m i g h t h a v e ” l e a r n e d " h o w t o d o t h e l a t t e r a s a r e s u l t o f t h i s i n t e r v i e w q u e s t i o n , a n d i n t h e p r e t e s t s h e w a s c l e a r l y i n fl u e n c e d b y t h e g r a p h i c a l f o r m . I n a d d i t i o n , t h e p r o b l e m s t a t e m e n t m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o T o n i ’ s c o n f u s i o n b e c a u s e i t w a s c o m p l e x . Y e t t h e d i f fi c u l t i e s p r o d u c e d b y h e r i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t m i g h t n o t h a v e b e e n b r o u g h t t o l i g h t w i t h o u t a p r o b l e m t a s k s u f fi c i e n t l y c o m p l e x t o r e q u i r e t h a t a t t e n t i o n r e m a i n o n t h e s i t u a t i o n i t s e l f , r a t h e r t h a n b e i n g t e m p o r a r i l y i g n o r e d b e c a u s e a p r o b l e m s o l u t i o n p a t h w a s i m m e d i a t e l y c l e a r . I n t h e p r e - a n d p o s t t e s t p r o b l e m s o n p r o fi t , t h e p r o b l e m c o u l d b e i n t e r p r e t e d d i r e c t l y a s a g e n e r i c p r o b l e m w i t h o u t r e g a r d t o w h e t h e r t h e p r o b l e m w a s a b o u t p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e , c o s t a s a f t m c t i o n o f w i d g e t s p r o d u c e d , o r h e i g h t o f a r o c k e t a f t e r t s e c o n d s . U n l i k e i n p r o b l e m s w h e r e T o n i e x p e c t e d t o h a v e a w o r k i n g p r o c e d u r e a n d b e c a m e s t u c k w h e n s h e c o u l d n o t r e m e m b e r i t , h e r e s h e t r i e d t o u n d e r s t a n d t h e c o m p l e x p r o b l e m a s a w h o l e . I n t h e p r o c e s s , h e r t h i n k i n g w a s m o r e v i s i b l e b e c a u s e t h e p r o b l e m w a s s i t u a t e d a n d t h e t a s k c o m p l e x . N o t u n d e r s t a n d i n g t h e f u n c t i o n d e p e n d e n c y . P a r t o f u n d e r s t a n d i n g f u n c t i o n s i s k n o w i n g t h a t a f u n c t i o n r u l e r e p r e s e n t s t w o q u a n t i t i e s , o n e o f w h i c h d e p e n d s o n t h e o t h e r . T h a t t h e p r o b l e m w a s s i t u a t e d a l s o c o n t r i b u t e d t o T o n i ’ s d i f fi c u l t y u n d e r s t a n d i n g t h e f u n c t i o n r u l e a s a r e l a t i o n s h i p o r d e p e n d e n c y b e t w e e n t w o v a r i a b l e s , t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t . A s c a n b e s e e n b e l o w , I r e p e a t e d l y f a i l e d t o g e t T o n i t o a c c e p t t h e f t m c t i o n r u l e a s a g i v e n r e l a t i o n s h i p t h a t c o u l d b e i n t e r p r e t e d i n d e p e n d e n t l y f r o m i t s s p e c i fi c s i t u a t i o n a l o r i g i n : G : A r e y o u t r y i n g t o fi g u r e o u t w h e r e t h i s f u n c t i o n c a m e f r o m ? O r w h e r e t h e n u m b e r s i n t h e f u n c t i o n c a m e f r o m ? T : Y e a h . O k . W h y d o n ’ t y o u j u s t a s s u m e t h a t t h e y h a v e a l o n g h i s t o r y a t t h i s s c h o o l f o r m a k i n g , f o r h a v i n g t h e s e s h o w s a n d t h e y k n o w t h a t t h i s f u n c t i o n r u l e i s w h a t t h e p r o fi t w i l l b e i f t h e y ’ r e g i v e n t h e t i c k e t p r i c e a n d t h e y h i r e a n e m c e e f o r 2 0 0 d o l l a r s , o k ? T h e y k n o w t h a t . T h a t ’ s j u s t i n f o r m a t i o n t h a t ’ s g i v e n t o t h e m . O k ? S o , h o w , c a n y o u fi n d o u t a n y t h i n g a b o u t p r o fi t f r o m , u m , f r o m a n y t i c k e t p r i c e ? 1 1 0 T : [ T p o i n t s t o t h e t o p f o r m u l a ] C o u l d t h i s m a y b e b e f r o m t h e y e a r b e f o r e ? G : B u t l i k e t h e w h o l e f o r m u l a c o u l d b e f r o m t h e y e a r b e f o r e . N o t t h e i n d i v i d u a l p i e c e s b u t m a y b e t h e y k e e p a fi l e t o h e l p t h e p e o p l e t h e n e x t y e a r a n d t h e y s a y t h i s i s t h e f o r m u l a y o u s h o u l d u s e i f y o u h i r e a n e m c e e f o r 2 0 0 d o l l a r s . O k , s o i f l i k e a t i c k e t c o s t s 1 0 d o l l a r s , i f t h e y c h a r g e d 1 0 d o l l a r s , c a n y o u t e l l m e w h a t k i n d o f p r o fi t t h e y m i g h t m a k e ? [ p o i n t s t o t o p r u l e ] I f t h e y h i r e a n e m c e e f o r 2 0 0 d o l l a r s a n d i f t h e y c h a r g e 1 0 d o l l a r s f o r a t i c k e t , d o y o u k n o w h o w m u c h p r o fi t t h e y w i l l m a k e ? T : Y o u h a v e t o k n o w h o w m a n y p e o p l e a r e g o i n g t o b e t h e r e a n d h o w m u c h t h e t i c k e t s c o s t t o t h e m t o — Y o u h a v e t o k n o w h o w m a n y p e o p l e a r e g o i n g t o b e t h e r e ? T : T o k n o w t h e p r o fi t t h a t t h e y ’ r e g o i n g t o m a k e . T w i c e I h a d t r i e d t o e x p l a i n w h e r e t h e r u l e m i g h t h a v e c o m e f r o m a n d i n d i c a t e d i t s g e n e r a t i o n c o u l d b e i g n o r e d s o T o n i m i g h t a c c e p t i t . I h a d t r i e d t o f o c u s t h e t a s k o n u s i n g t h e r u l e b y s u g g e s t i n g fi r s t t h a t s h e c o n s i d e r a s i n g l e t i c k e t p r i c e a n d t h e n l a t e r a s p e c i fi c t i c k e t p r i c e , b u t T o n i r e m a i n e d u n c e r t a i n a b o u t h o w t o i n t e r p r e t t h e r u l e . E v e n a f t e r I h a d e x p l i c i t l y s t a t e d t h a t " t h e y s a y ” t o j u s t u s e t h i s f o r m u l a , s h e r e s i s t e d . T o n i c o n t e n d e d y o u c o u l d n o t d e t e r m i n e t h e p r o fi t w i t h o u t k n o w i n g t h e n u m b e r o f p e o p l e a n d t h e t i c k e t c o s t , a g a i n i m p l y i n g h e r i n f o r m a l p r o fi t m o d e l . T o n i ’ s i n s i s t e n c e t h a t t h e r u l e m u s t r e f e r t o t h e p a s t a n d t h a t t h e n u m b e r o f p e o p l e c o m i n g , t h a t i s , t h e n u m b e r o f t i c k e t s s o l d , m u s t b e k n o w n b e f o r e y o u c a n c o m p u t e p r o fi t i n d i c a t e s s h e w a s u n a b l e t o c o n s i d e r t h i s f u n c t i o n a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e . S h e s e e m e d t o b e t h i n k i n g o f i t a s a f o r m u l a w h e r e v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h p r o fi t m u s t b e k n o w n b e f o r e p r o fi t c o u l d b e c o m p u t e d . I t r i e d a t h i r d t i m e t o h e l p h e r u n d e r s t a n d t h e f t m c t i o n d e p e n d e n c y b y f o c u s i n g h e r a t t e n t i o n o n t h e r u l e i t s e l f . G : I f y o u l o o k a t t h a t p r o fi t r u l e , w h a t d o e s t h a t p r o fi t f u n c t i o n r u l e d o ? W h a t d o e s t h a t , w h a t ’ s i t a f u n c t i o n o f ? [ l o n g p a u s e a s T l o o k s a t p r o b l e m ] T : I t ’ s p r i c e a n d p r o fi t ? 1 1 1 G : I t ’ s p r i c e a n d p r o fi t , r i g h t ? D o e s t h a t m e a n y o u h a v e t o k n o w h o w m a n y p e o p l e a r e c o m i n g ? T : U m , [ p a u s e ] n o t r e a l l y , b u t y o u d o n ’ t , y o u w o n ’ t r e a l l y k n o w i f a n y o n e w i l l b u y t h e t i c k e t s t h o u g h , f o r t h e t i c k e t p r i c e a n d t h e p r o fi t , o r t h i s h a s a l r e a d y b e e n d o n e s o i t c o u l d b e f r o m t h e y e a r b e f o r e . U m - h u h , s o i t ’ s l i k e a r e c o r d o f t h e i r e x p e r i e n c e f r o m t h e y e a r b e f o r e . T : I d o n ’ t k n o w w h e r e t h i s i s c o m i n g f r o m . T h i s [ p o i n t s t o m i d d l e t e r m ] c o u l d m e a n t h a t m a y b e t h e y s o l d 7 0 0 t i c k e t s , b u t I ’ m n o t s u r e w h a t t h i s i s [ p o i n t s t o - 1 0 0 ] , t h e n e g a t i v e . E v e n t h o u g h s h e w a s a b l e t o i d e n t i f y t h e v a r i a b l e s a n d a g r e e d t h a t n u m b e r o f t i c k e t s w a s n o t a m o n g t h e m , T o n i s t i l l c o u l d n o t a c c e p t t h a t i t w a s p o s s i b l e t o c o m p u t e t h e p r o fi t w i t h o u t k n o w i n g h o w m a n y p e o p l e w o u l d c o m e . S h e h a d a g a i n r e f e r r e d t o t h e r u l e a s r e l a t i n g t o t h e p a s t a n d h a d e x p r e s s e d t h e n w d t o k n o w b o t h h o w m a n y p e o p l e c a m e a n d t h e t i c k e t p r i c e b e f o r e p r o fi t c o u l d b e c o m p u t e d . H e r i d e a t h a t s h e c o u l d n o t m a k e s e n s e o f t h e s o u r c e o f t h e r u l e , c o u p l e d w i t h t h i s i n f o r m a l m o d e l f o r p r o fi t , w a s s o s t r o n g t h a t , i n s p i t e o f m y s u g g e s t e d d i r e c t i o n s t o p r o c e e d w i t h t h e r u l e a s g i v e n a n d m y e a r l i e r a d m o n i t i o n s t o t h e c o n t r a r y , s h e h a d a g a i n a t t e m p t e d t o i n t e r p r e t i n d i v i d u a l t e r m s a s s e p a r a t e q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n . T o n i ’ s i n a b i l i t y t o m a k e s e n s e o f t h e s i t u a t i o n i n h i b i t e d h e r a b i l i t y t o s e e t h i s f u n c t i o n a s a d e p e n d e n c y b e t w e e n t w o q u a n t i t i e s , p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e . D i f f i c u l t y u n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e o f a m o d e l . T h a t t h e p r o b l e m w a s s i t u a t e d c o n t r i b u t e d t o T o n i ’ s i n a b i l i t y t o u n d e r s t a n d t h e n a t u r e o f t h i s f u n c t i o n . S i n c e s h e c o u l d n o t u n d e r s t a n d i t a s a r e l a t i o n s h i p o r d e p e n d e n c y b e t w e e n p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e , s h e w a s u n a b l e t o c o n s i d e r i t a s a m o d e l f o r p r e d i c t i n g p r o fi t f o r a g i v e n t i c k e t p r i c e . I n i t i a l l y s h e h a d t r e a t e d o n e o f t h e f u n c t i o n r u l e s a s a n e q u a t i o n t o b e s o l v e d , a n d h e r i n s i s t e n c e t h a t t h e p r o b l e m c o u l d n o t b e d o n e e x c e p t a f t e r t h e e v e n t s u g g e s t s s h e w a s t r e a t i n g t h e f u n c t i o n r u l e a s a f o r m u l a i n t o w h i c h o n e s u b s t i t u t e d n u m b e r s . S i n c e h e r i n f o r m a l m o d e l f o r p r o fi t i n c l u d e d n u m b e r o f t i c k e t s , t h e f o r m u l a c o u l d n o t b e u s e d u n t i l t h a t n u m b e r w a s k n o w n . T h i s h y p o t h e s i s i s c o n s i s t e n t w i t h T o n i ’ s 1 1 2 p r o c e d u r a l o r i e n t a t i o n t o s o l v i n g s y m b o l i c p r o b l e m s , a s d i s c u s s e d e a r l i e r . T h i s f u n c t i o n r u l e m a d e n o s e n s e t o h e r b e c a u s e s h e c o u l d n o t a c c o u n t f o r t h e o t h e r p a r t s o f t h e f o r m u l a i n t e r m s o f t h e s i t u a t i o n i n a w a y c o n s i s t e n t w i t h h e r i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t a s t i c k e t s t i m e s p r i c e , a n d s h e b e l i e v e d s h e c o u l d n o t c o m p u t e p r o fi t u n t i l s h e h a d v a l u e s f o r a l l q u a n t i t i e s i n h e r m o d e l . I n t h e p a s t , w h e n e v e r s h e c o u l d n o t r e c a l l a p r o c e d u r e o r f e l t i t w a s i n c o m p l e t e , s h e b e c a m e s t u c k . A n a l t e r n a t i v e h y p o t h e s i s i s t h a t T o n i m i g h t h a v e b e e n c o n s i d e r i n g p r o fi t a s a q u a n t i t y t h a t c o u l d n e v e r b e c o m p u t e d b e f o r e a n e v e n t h a d t a k e n p l a c e a n d t h u s m i g h t h a v e h a d d i f fi c u l t y w i t h t h e i d e a o f a m o d e l f o r p r o fi t a s a p r e d i c t o r p e r s e , b u t i t s e e m s m o r e l i k e l y t h a t s h e w a s h i n d e r e d b y h e r n o t i o n t h a t t o c o m p u t e p r o fi t , b e s i d e s t i c k e t p r i c e o n e n e e d e d a l s o t o k n o w t h e n u m b e r o f t i c k e t s , w h i c h w a s n o t a v a i l a b l e u n t i l a f t e r t h e e v e n t . I n a n y e v e n t , s h e w a s u n a b l e t o a p p l y t h e r u l e d i r e c t l y o r t o r e s o l v e i t s r o l e a s p r e d i c t o r o f f u t u r e p r o fi t s w i t h e i t h e r h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u n c t i o n r u l e a s a f o r m u l a o r h e r e v e r y d a y k n o w l e d g e t h a t p r o fi t f o r a n e v e n t c a n n o t b e c o m p u t e d a p r i o r i , p a r t i c u l a r l y b e c a u s e o n e n e e d s t o k n o w t h e n u m b e r o f t i c k e t s s o l d , a s w e l l a s t h e t i c k e t p r i c e , i n o r d e r t o d o s o . I n e a c h c a s e , h e r e v e r y d a y k n o w l e d g e a b o u t t h e s i t u a t i o n i n t e r f e r e d w i t h h e r a b i l i t y t o u n d e r s t a n d t h i s f u n c t i o n . F i n a l l y , a f t e r I t r i e d a g a i n t o e x p l a i n I w a s n o t i n t e r e s t e d i n t h e s o u r c e o f t h e n u m b e r s a n d t h r e e t i m e s r e p e a t e d m y r e q u e s t f o r p r o fi t b a s e d o n a t i c k e t p r i c e o f $ 1 0 , s h e ” c a u g h t o n ” t h a t a l l I w a s a s k i n g h e r t o d o w a s t o u s e t h a t f u n c t i o n t o c o m p u t e a p r o fi t f r o m a $ 1 0 t i c k e t p r i c e . A g a i n s h e a n n o u n c e d t h a t t h e d a t a h a d t o r e f e r t o t h e p a s t a n d e v e n a f t e r I h a d e x p l i c i t l y t o l d h e r t o t r u s t t h e f o r m u l a , s h e q u e s t i o n e d w h e t h e r o r n o t w h a t s h e w a s t o d o w a s t o s u b s t i t u t e 1 0 f o r t . W h a t i s s o s t r i k i n g a b o u t t h i s e x a m p l e i s t h a t u s u a l l y , g i v e n a n o p p o r t u n i t y t o c o m p u t e a v a l u e i n a n e x p r e s s i o n , T o n i w o u l d d o s o . S h e c e r t a i n l y w a s c a p a b l e o f i t s i n c e i n o t h e r i n t e r v i e w s a n d i n c l a s s s h e h a d d e m o n s t r a t e d h e r a b i l i t y t o c o m p u t e f u n c t i o n v a l u e s f r o m a f u n c t i o n r u l e g i v e n i n a s i m i l a r f o r m . Y e t h e r p e r s o n a l l 1 3 u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p r o b l e m u t h a t s h e n w d e d a n o t h e r i n t e r m e d i a r y v a r i a b l e , t h e . n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g — w a s s o fi r m t h a t s h e c o u l d n o t b e p e r s u a d e d f o r m o s t o f t h e i n t e r v i e w t o " g o i n t o s c h o o l m o d e ” a n d j u s t w o r k w i t h t h e f u n c t i o n a s s h e d i d d u r i n g t h e p o s t t e s t o n t w o p r o fi t p r o b l e m s , b o t h f u n c t i o n s o f t i c k e t p r i c e . O n c e T o n i u n d e r s t o o d m y g o a l , s h e c o n t i n u e d t h e p r o b l e m . S h e c o m p u t e d o n t h e c a l c u l a t o r t h e p r o fi t f o r s e v e r a l d i f f e r e n t t i c k e t p r i c e s , $ 6 , $ 4 , a n d $ 3 , b u t s e e m e d t o d o s o b e c a u s e s h e p e r c e i v e d c o r r e c t l y t h a t t h i s w a s w h a t I w a s s u g g e s t i n g , n o t b e c a u s e s h e u n d e r s t o o d w h y s h e w a s t o d o i t . S h e c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d e a c h p r o fi t a n d c o n c l u d e d t h a t a t $ 3 a n d $ 4 , t h e p r o fi t w a s t h e s a m e , s a y i n g , " S o , m a y b e t h a t m e a n s t h e m a x i m u m p e o p l e t h a t c o u l d g o , d i d g o , a t t h o s e p r i c e s . " A g a i n s h e r a i s e d t h e i s s u e o f t h e n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g . H o p i n g t h a t s h e m i g h t m a k e a c o n n e c t i o n t o a C a r t e s i a n g r a p h , I a s k e d T o n i i f t h e r e w a s s o m e o t h e r w a y t o d e t e r m i n e t h e m a x i m u m p r o fi t . I n h e r r e s p o n s e , s h e d i s p l a y e d s e v e r a l d i f fi c u l t i e s t h a t w e r e c o n s i s t e n t w i t h t h o s e d i s c u s s e d e a r l i e r . S h e s u g g e s t e d g r a p h i n g t h e p o i n t s , a n d w h e n I a s k e d w h a t s h e w o u l d g r a p h , s h e s a i d , ” U m , t h e p r i c e o f t h e t i c k e t s a n d h o w m a n y p e o p l e , e r , e r , t h e p r i c e a n d t h e p r o fi t . " , a n o t h e r r e f e r e n c e t o p e o p l e a t t e n d i n g . T o n i c h o s e t h e S T A T m e n u t o g r a p h d i s c r e t e d a t a p o i n t s , b u t w h i l e t r y i n g t o d e c i d e w h a t q u a n t i t y x a n d y s t o o d f o r , s h e c h o s e l a b e l s t h a t w e r e r e v e r s e d f r o m s t a n d a r d c o n v e n t i o n a n d a s s i g n e d a p r o fi t o f 1 0 0 0 t o x f o r t h e fi r s t p o i n t . A s s h e s t r u g g l e d t o d e t e r m i n e t h e y v a l u e , s h e s a i d : A n d y w o u l d b e [ p a u s e ] w h a t , u m , I ’ m n o t s u r e w h a t . I u n d e r s t a n d t h e o t h e r p a r t . [ p o i n t s t o t h e t o p f u n c t i o n r u l e ] . I d o n ’ t k n o w w h a t t h e y m e a n i n h e r e [ p o i n t i n g b a c k a n f o r t h t o t h e t e r m s o f t h e f u n c t i o n r u l e ] f o r p e o p l e o r - - . I t m u l d n ’ t m a t t e r , u h . A t h o u s a n d s h o u l d b e t h e p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e w a s - O n c e a g a i n s h e a t t e m p t e d t o m a k e s e n s e o f t h e c o e f fi c i e n t s i n t h e p o l y n o m i a l , b u t c a u g h t h e r s e l f b e c a u s e s h e h a d ” l e a r n e d " d u r i n g t h i s i n t e r v i e w t h a t y o u c o u l d c o m p u t e p r o fi t w i t h o u t l m o w i n g t h e n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g . l 1 4 B e c a u s e w e w e r e o u t o f t i m e , I a s k e d h e r h o w s u c h a g r a p h c o u l d h e l p h e r fi n d t h e m a x i m u m p r o fi t i n a w a y t h a t w a s d i f f e r e n t f r o m w h a t s h e a l r e a d y k n e w , a n d s h e i n d i c a t e d y o u c o u l d l o o k a t t h e p o i n t s a n d s e e w h e r e i t w a s m a x i m u m . I q u i c k l y s k e t c h e d a n x - a x i s ( o n l y ) , m a d e a g r a p h o f t h e f o u r p o i n t s a b o v e i t , c a l l i n g o u t t h e t i c k e t p r i c e s a s I s k e t c h e d t h e p o i n t s a n d w e j o i n t l y r e c a l l e d e a c h p r o fi t v a l u e . I a s k e d T o n i w h a t s h e w o u l d h a v e d o n e n e x t . S h e s u g g e s t e d s w i t c h i n g t h e a x e s s o t h a t t i c k e t p r i c e s w e r e o n t h e v e r t i c a l a n d p r o fi t o n t h e h o r i z o n t a l . I n a d d i t i o n , s h e m e a s u r e d p r o fi t f r o m r i g h t t o l e f t , t h u s m a k i n g t h e p r o fi t f o r t i c k e t p r i c e s , $ 3 a n d $ 4 a p p e a r i n a v e r t i c a l l i n e s o s h e c o u l d s e e t h e y w e r e t h e s a m e d i s t a n c e ( t o w a r d t h e l e f t ) f r o m t h e v e r t i c a l a x i s . T h e r e m a i n d e r o f t h e i n t e r v i e w w a s t a k e n u p i n o u r t r y i n g t o r e c o n c i l e t h i s o r i e n t a t i o n o f a x e s w i t h a s t a n d a r d o n e s i n c e s h e h a d m e a s u r e d p o s i t i v e v a l u e s t o t h e l e f t , r a t h e r t h a n t o t h e r i g h t , o f t h e a x i s . T o n i h a d a n s w e r e d m y q u e s t i o n b y d e s c r i b i n g h o w s h e w o u l d o r i e n t a g r a p h t o m a k e h e r r e s u l t s m o r e v i s i b l e , r a t h e r t h a n t h e q u e s t i o n I w a s a s k i n g , w h i c h w a s w h a t n e w i n f o r m a t i o n i t w o u l d p r o v i d e . I n t h e p r o c e s s , s h e s w i t c h e d b o t h a x e s l a b e l s a n d o r i e n t a t i o n o f n u m b e r s . I n s u m m a r y , T o n i ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n c o n f o u n d e d h e r a b i l i t y t o s o l v e t h i s p r o b l e m . E v e n w h e n t h e p r o b l e m t a s k w a s n a r r o w e d t o f o c u s o n o n l y o n e o f t h e f u n c t i o n s a n d i n s p i t e o f p r o fi t b e i n g d e fi n e d e x p l i c i t l y a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e , s h e a s s o c i a t e d p r o fi t w i t h t h e p r o d u c t o f p r i c e p e r t i c k e t a n d n u m b e r o f t i c k e t s ( n u m b e r a t t e n d i n g ) . O v e r a n d o v e r s h e i n t e r p r e t e d t a s t h e n u m b e r o f t i c k e t s i n s p i t e o f m y f o c u s i n g a t t e n t i o n o n t h e m e a n i n g o f t a n d h e r o w n e x p l i c i t c o r r e c t i o n s o f i t s d e fi n i t i o n . T h i n k i n g o f t a s n u m b e r o f t i c k e t s a n d p r o fi t a s a p r o d u c t o f t i c k e t s a n d p r i c e p e r s i s t e d t h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w , m a n i f e s t i n g i t s e l f i n T o n i ’ s n e e d t o i n t e r p r e t t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l a s q u a n t i t i e s f r o m t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t a n d m a k i n g i t s e e m t o h e r i m p o s s i b l e t o c o m p u t e p r o fi t w i t h o u t k n o w i n g t h e n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g . 1 1 5 T h i s c o n f u s i o n m a d e i t a l m o s t i m p o s s i b l e f o r h e r t o m a k e s e n s e o f t h e p r e d i c t i v e n a t u r e o f t h e m o d e l e v e n a f t e r s h e c o m p u t e d p r o fi t v a l u e s f o r s p e c i fi c t i c k e t p r i c e s . C o n n e c t i o n s B e t w e e n C o n c e p t i o n s o f h m c t i o n C l a s s e s a n d R e p r e s e n t a t i o n s F u n c t i o n c l a s s e s h a v e a t t r i b u t e s t h a t a r e p e c u l i a r t o e a c h c l a s s . R e c o g n i z i n g t h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n c l a s s e s i s p a r t o f u n d e r s t a n d i n g f u n c t i o n s . S e v e r a l c o n c e p t s o f f u n c t i o n s w e r e i m p l i c i t i n T o n i ’ s u n d e r s t a n d i n g o f r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e t h r e e c l a s s e s : l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S h e h a d c o n n e c t e d a s p e c t s o f l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s w i t h s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s o r s a l i e n t f e a t u r e s o f r e p r e s e n t a t i o n s . S o m e f u n c t i o n s w e r e a s s o c i a t e d w i t h s h a p e s o f g r a p h s , o t h e r s w i t h p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e i r o u t p u t o r d e s c r i p t i v e p h r a s e s a b o u t o u t p u t , a n d s t i l l o t h e r s w i t h s p e c i fi c s y m b o l i c f o r m s . F u n c t i o n C l a s s e s a n d S h a p e s o f G r a p h s L i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . O n e w a y T o n i c l a s s i fi e d l i n e a r a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n c l a s s e s w a s b y t h e i r g r a p h s , a l t h o u g h s h e k n e w q u a d r a t i c f u n c t i o n s o n l y b y t h e t e r m p a r a b o l a . F o r T o n i p a r a b o l a s w e r e U - s h a p e d g r a p h s . I n i n t e r v i e w 5 , w h e n s h e w a s g i v e n t h e s o r t p r o b l e m , t h e fi r s t c a t e g o r y s h e c r e a t e d w a s a b o u t p a r a b o l a s . A f t e r l o o k i n g a t t h e fi r s t s e v e n c a r d s ( G , E , R , B , S , J , K ) a n d c o m i n g t o c a r d D , a p a r a b o l a , s h e m a t c h e d i t w i t h G , a g e n e r a l , U - s h a p e d g r a p h . S h e s a i d , " I ’ m p u t t i n g t h e s e t o g e t h e r b e c a u s e t h e i r s h a p e s a r e k i n d o f l i k e a p a r a b o l a . " A s s h e s o r t e d t h e r e m a i n i n g c a r d s , s h e d i s t i n g u i s h e d a l l c a r d s w i t h g r a p h s , e x c e p t M , w h i c h c o u l d h a v e b e e n i n t e r p r e t e d a s a p i c t u r e r a t h e r t h a n a g r a p h , e i t h e r a s " g r a p h s t h a t l o o k l i k e t h e y ’ r e p a r a b o l a s ( T , J , D , G ) , " o r g r a p h s t h a t a r e n o t p a r a b o l a s ( W , E , K ) . C a r d s T a n d J a r e o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , b u t T o n i e x p l a i n e d t h a t b o t h T a n d J l o o k e d l i k e t h e y m i g h t b e p a r a b o l a s , p r e s u m a b l y b e c a u s e t h e g r a p h s c o u l d b e e x t e n d e d i n t o . p a r a b o l a s i f a n o t h e r q u a d r a n t o f t h e g r a p h w e r e s h o w n . L a t e r i n t h e s a m e i n t e r v i e w , T o n i g a v e b o t h a v e r b a l a n d m o t i o n d e s c r i p t i o n o f p a r a b o l a s a s U - s h a p e d . I h a d a s k e d h e r t o t r y s o r t t h e c a r d s i n w a y s t h a t ” r e l a t e d t o T A F V m u c l 1 6 t h e k i n d s o f f u n c t i o n s t h a t w e h a d s t u d i e d i n c l a s s . " S h e a g a i n p i c k e d o u t J a n d T a s p a r a b o l a s , a d d e d M , b u t i d e n t i fi e d W ( F i g u r e 3 . 1 8 ) , a s a q u a d r a t i c . A f t e r a b r i e f d i v e r s i o n t o d i s c u s s e q u a l c h a n g e i n a f u n c t i o n ( s e e b e l o w ) , I h e l p e d h e r u n d e r s t a n d t h a t q u a d r a t i c w a s t h e n a m e o f t h e f u n c t i o n c l a s s a n d t h a t p a r a b o l a w a s t h e n a m e o f t h e g r a p h a s s o c i a t e d w i t h i t . W “ o u t ! I n d i v i d u a l s e r v i n g s a t s o m e f a s t f o o d r e s t a u r a n t s F i g u r e 3 . 1 8 : S o r t C a r d W I n t h e p r o c e s s o f t r y i n g t o d e t e r m i n e w h i c h g r a p h s w e r e c o n n e c t e d t o t h e n a m e e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s , T o n i g a v e a c l e a r d e s c r i p t i o n o f h o w s h e c l a s s i fi e d g r a p h s o f b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . S h e h a d j u s t i d e n t i fi e d W , t h e s c a t t e r g r a p h , a s a p o s s i b l e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n ( n o n - l i n e a r / n o n - q u a d r a t i c ) : ” b e c a u s e i t ( t h e g r a p h ) d o e s n ’ t g o u p a n d c o m e d o w n , i t j u s t g o e s u p h e r e . I t g o e s , i t j u s t g o e s a l l o v e r . ” A s I c o n t i n u e d t o q u e s t i o n h e r , s h e c o n t r a s t e d i t w i t h b o t h a p a r a b o l a a n d t h e g r a p h o f a l i n e a r f u n c t i o n . S h e s a i d : I t h i n k i t j u s t c h a n g e s a l l o v e r b e c a u s e t h e l i n e a r o n e s t a y s s t r a i g h t , a n d t h e p a r a b o l a g o e s u p - - [ t r a c i n g a U - s h a p e i n t h e a i r ] . I t c a n g o d o w n ; i t h a s a c u r v e , [ 6 : U m — h u h ] , b u t t h i s o n e , t h i s o n e j u s t g o e s a l l o v e r . I t d o e s n ’ t h a v e a c u r v e . r a e y / n o i t i u t e g e l l o c m . " ' 0 ‘ ( n o u s e 4 0 3 5 ‘ . ' n o ’ c l ‘ o l i r e P 1 1 7 E x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T o n i s e e m e d n o t t o h a v e a s h a p e a s s o c i a t e d w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S e v e r a l t i m e s I a s k e d h e r t o r e c a l l f r o m c l a s s a g r a p h t h a t w a s d i f f e r e n t f r o m a l i n e o r a p a r a b o l a . O n c e s h e s u g g e s t e d t h e r e m i g h t b e a n a m e f o r s o m e o f t h e g e n e r a l , i r r e g u l a r g r a p h s t h a t w e h a d s t u d i e d e a r l y i n t h e c l a s s . A t o n e p o i n t s h e i n d i c a t e d t h a t g r a p h s w i t h u n e q u a l c h a n g e i n o u t p u t f o r e q u a l c h a n g e i n i n p u t h a d a n a m e , b u t i n g e n e r a l d i d n o t s e e m t o r e c a l l a p r o t o t y p i c a l g r a p h f o r a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . T o w a r d t h e v e r y e n d o f t h e s o r t p r o b l e m , a f t e r a l o n g 1 m _ , m : 7 5 “ ( 3 ' s 0 . Y e " W h t h e ‘ p r e d l e t e d e o l l e g e u d t i o n f o r t h e y e a r m I A T h e g r a p h b e l o w r e l a t e s a o l n a e e t p o p u l a t l e o l n a s p e e l fi c a m a n d 1 t h e t i m e p a s s e d s i n c e a n i n s e e t i c i d e w a s a p n y e d . A t w h a t t i m e w l l l t h e l n s e e t p o p u l a t i o n b e l m J F i g u r e 3 . 1 9 : S o r t C a r d s T a n d J d i s c u s s i o n a b o u t r a t e s o f c h a n g e a n d s y m b o l i c f o r m s o f b o t h e x p o n e n t i a l a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d a f t e r I h a d d r a w n e x a m p l e s o f g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , I a s k e d h e r i f s h e c o u l d t e l l w h e t h e r o r n o t g r a p h s o n c a r d s T a n d J ( F i g u r e 1 1 8 3 . 1 9 ) w e r e o f q u a d r a t i c o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n t h a t d i s c u s s i o n , a f t e r fi r s t c o m p u t i n g e x a m p l e s o f r a t e o f c h a n g e i n y f o r c h a n g e s i n s o m e x ’ s , s h e t a l k e d o f J h a v i n g a fl a t p o r t i o n o n o n e , s i d e a n d s u g g e s t e d i t m i g h t b e a n e x p o n e n t i a l , b u t s a i d t h e g r a p h o n c a r d T l o o k e d l i k e i t w o u l d g o b a c k u p a n d t h u s b e a q u a d r a t i c . I t a p p e a r e d t h a t b y t h i s t i m e s h e m i g h t h a v e a s s o c i a t e d a c l e a r fl a t t e n i n g o u t o n o n e s i d e w i t h t h e n a m e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S i n c e c a r d T s h o w e d n o n e o f t h e fl a t p a r t o f t h e g r a p h , a n d c a r d J s h o w e d o n l y a s m a l l p o r t i o n o f i t , i t i s p o s s i b l e t h e r e w a s n o t e n o u g h o f t h e g r a p h o n t h e s e t w o c a r d s t o s u g g e s t t h e y w e r e e x p o n e n t i a l . I n s u m m a r y , s h a p e o f g r a p h w a s a s a l i e n t o r g a n i z e r f o r T o n i f o r t w o o f t h e t h r e e f u n c t i o n c l a s s e s . T o n i u s e d i t s u c c e s s f u l l y t o c l a s s i f y b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . T h e r e i s l i t t l e e v i d e n c e t o s h o w t h a t s h e c l a s s i fi e d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s b y s h a p e . P a t t e r n s o r R a t e s o f C h a n g e T h e f u n c t i o n c o n c e p t , r a t e o f c h a n g e , s h o w s u p r e a d i l y i n r e p r e s e n t a t i o n s a s s l o p e s o f g r a p h s a n d a s p a t t e r n s o f c h a n g e i n t a b l e s . P a t t e r n s o r r a t e s o f c h a n g e , p a r t i c u l a r l y d y n a m i c v e r s i o n s , w e r e a l s o s a l i e n t c o n c e p t s f o r T o n i . I n t h e T i m / D o n n a p r o b l e m , w h e r e t h e p r o b l e m r e q u i r e d s e l e c t i n g a g r a p h o f d i s t a n c e a s a f u n c t i o n o f t i m e , b u t t h e w o r d s d e s c r i b e d t r a v e l m o d e ( s p e e d ) , T o n i e x p l a i n e d t h e r e a s o n f o r w h y a s t e e p s l o p e i n t h e g r a p h m a t c h e d a c h i l d r u n n i n g b y d e s c r i b i n g c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e i n l e s s t i m e . S h e h a d i n f o r m a l l y c o n n e c t e d s l o p e t o r a t e o f c h a n g e i n a g e n e r a l g r a p h . R a t e o f c h a n g e c a n b e d e t e r m i n e d i n t a b l e s f r o m t h e p a r a l l e l p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e t w o c o l u m n s , t h a t i s , t h e i r c o v a r i a t i o n . F o r T o n i t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n o u t p u t f o r e q u a l i n p u t w a s a s a l i e n t f e a t u r e o f l i n e a r f u n c t i o n s . S h e s e e m e d t o h a v e c a t e g o r i e s " e q u a l c h a n g e ” a n d " u n e q u a l c h a n g e . " A s e a r l y a s t h e s e c o n d w e e k o f c l a s s , T o n i u s e d b o t h e q u a l a n d u n e q u a l c h a n g e i n t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s t o c l a s s i f y t h e g r a p h a s s t r a i g h t o r c u r v e d r e s p e c t i v e l y . I n i n t e r v i e w p r o b l e m 2 A - l , t h e A l i c e , 1 1 9 B e a , C a r o l i n a p r o b l e m d i s c u s s e d a b o v e u n d e r t h e s e c t i o n o n o r i e n t a t i o n o f a x e s , T o n i w a s a s k e d t o m a t c h a n i n p u t / o u t p u t t a b l e w i t h e n t r i e s , ( 0 , 4 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 0 ) , ( 5 , - 2 ) , ( 1 0 , - 4 ) t o o n e o f t h r e e g r a p h s . R e c a l l t h a t T o n i fi r s t h a d j u d g e d i n c o r r e c t l y t h a t t h e t a b l e r e p r e s e n t e d e q u a l c h a n g e a n d h a d s u g g e s t e d A l i c e ’ s g r a p h , t h e o n l y l i n e , c o u l d p o s s i b l y b e r i g h t b e c a u s e : " i t ( t h e t a b l e e n t r i e s ) s l o w l y d e c r e a s e s b y 2 ’ s . S o , i t w o u l d b e c o n s t a n t ( r a t e o f c h a n g e ) ; s o i t w o u l d b e a p r e t t y s t r a i g h t l i n e . " S h e r e j e c t e d A l i c e ’ s g r a p h b e c a u s e o f s c a l e , b u t s t i l l t h i n k i n g o f e q u a l c h a n g e , s u g g e s t e d B e a ’ s g r a p h m i g h t b e b e t t e r t h a n A l i c e ’ s . S h e c o n t i n u e d b y e x p l a i n i n g h o w B e a ’ s g r a p h d i d n o t fi t e q u a l c h a n g e b e c a u s e t h e g r a p h s h o u l d n o t b e c u r v e d : B e a i s p r e t t y m u c h r i g h t . . . . E x c e p t t h e b o t t o m o f h e r l i n e r i g h t h e r e s h o u l d b e g o i n g o v e r m o r e a n d i t s h o u l d n ’ t c u r v e b e c a u s e i t ’ s l i k e a c o n s t a n t ( c h a n g e i n t h e t a b l e ) . U m , i t l i k e g o e s r i g h t f r o m 2 t o 4 s o i t s h o u l d n ’ t c u r v e a t a l l . I t s h o u l d b e a s t r a i g h t l i n e . T h e n T o n i s u d d e n l y d i s c o v e r e d t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n e n t r i e s w i t h i n t h e i n p u t c o l u m n w e r e n o t e q u a l a n d e v e n t h o u g h t h e d i f f e r e n c e s w i t h i n t h e o u t p u t c o l u m n w e r e e q u a l , t h e r a t e o f c h a n g e f o r t h e f u n c t i o n w a s n o t e q u a l . H o w e v e r , s h e j u d g e d t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e i n p u t n u m b e r s a s s l i g h t e n o u g h t o c o n s i d e r t h e m a l m o s t t h e s a m e , s a y i n g : B e c a u s e n o w I l o o k e d a t i n p u t a n d i t g o e s p r e t t y m u c h , i t g o e s f r o m 1 t o 2 , 5 t o 1 0 b u t t h o s e n u m b e r s a r e s t i l l p r e t t y m u c h a l i k e . S h e p l o t t e d p o i n t s o n t h e g r a p h w i t h a r a t h e r c r u d e s c a l e a n d c o n c l u d e d t h e g r a p h w o u l d b e n e a r l y s t r a i g h t : S o t h a t k e e p s a p r e t t y m u c h a s t r a i g h t l i n e i n s t e a d o f c u r v i n g o r 1 0 w o u l d b e d o w n f o u r o v e r h e r e , s o i t s t a y s , [ l a u g h i n g ] t h e p o i n t s a r e r i g h t a n d e v e r y t h i n g . I t w o u l d p r o b a b l y s t a y i n a s t r a i g h t l i n e . A l t h o u g h s h e h a d s u g g e s t e d i n c o r r e c t l y t h a t b e c a u s e t h e ( d i f f e r e n c e b e t w e e n ) i n p u t n u m b e r s w e r e n e a r l y t h e s a m e , a n d t h u s , t h e g r a p h w o u l d s t i l l b e p r e t t y s t r a i g h t , s h e h a d a s s o c i a t e d e q u a l c h a n g e w i t h a l i n e a r g r a p h . ( A t t h e e n d o f t h i s p r o b l e m , T o n i p l o t t e d h e r o w n g r a p h , a n d e v e n t h o u g h i t h a d a n a l m o s t i d e n t i c a l s h a p e t o B e a ’ s 1 2 0 g r a p h , s h e r e j e c t e d B e a ’ s a s a v a l i d m a t c h f o r t h e t a b l e . S h e i n s i s t e d B e a ’ s s c a l e w a s w r o n g u e v e n t h o u g h n o s c a l e w a s g i v e n . ) I n t h e s o r t p r o b l e m , r e c a l l f r o m a n e a r l i e r d i s c u s s i o n o n l i n e a r f u n c t i o n s t h a t T o n i a t fi r s t t h o u g h t c a r d R , a t a b l e o f a l i n e a r f u n c t i o n , h a d a n u n e q u a l r a t e o f c h a n g e b e c a u s e s h e h a d l o o k e d o n l y a t o u t p u t . S h e q u i c k l y r e a l i z e d i t h a d e q u a l c h a n g e a n d s p o n t a n e o u s l y u s e d t h i s i n f o r m a t i o n t o j u s t i f y t h a t t h e f u n c t i o n w a s l i n e a r . I n b o t h t h e s e p r o b l e m s , 2 A - 1 a n d s o r t c a r d R , T o n i a t fi r s t a t t e n d e d o n l y t o t h e o u t p u t c o l u m n , b u t d u r i n g p r o b l e m 2 A - 1 , d u r i n g t h e s e c o n d w e e k , s h e h a d a s t r o n g e n o u g h a s s o c i a t i o n o f e q u a l c h a n g e w i t h a l i n e t o t r y t o " m a s s a g e ” a t a b l e f o r a n o n l i n e a r f u n c t i o n i n t o a l i n e g r a p h . B y t h e t i m e s h e c a m e t o t h e s o r t p r o b l e m i n w e e k 5 , s h e s t i l l h a d a fi r m c o n n e c t i o n b e t w e e n t h o s e t w o c o n c e p t s , b u t w a s m u c h b e t t e r p r e p a r e d t o j u s t i f y t h e m a t c h . T h i s p h e n o m e n o n c o u l d b e e x p l a i n e d b y h e r a t t e n t i o n t o p r o c e d u r e s a n d h a v i n g a p r o c e d u r e t o c h e c k t h e o u t p u t c o l u m n t o m a k e c a t e g o r i e s o f e q u a l / u n e q u a l t o c l a s s i f y t a b l e s . I t c o u l d a l s o b e a n o t h e r m a n i f e s t a t i o n o f t h e i n c l i n a t i o n t o a t t e n d t o o n l y o n e v a r i a b l e i n f u n c t i o n s , t h a t w h i c h " t h e f u n c t i o n i s a b o u t " - - t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T o n i h a d d i s p l a y e d h e r a b i l i t y t o t h i n k w i t h a d y n a m i c v e r s i o n o f g r a p h s b y a t t e n d i n g p r i n c i p a l l y t o t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . W i t h t a b l e s , s h e d i s p l a y e d t h e s a m e p r o p e n s i t y t o t h i n k a b o u t v a r i a t i o n d y n a m i c a l l y a n d p e r h a p s h a d t o c o n s c i o u s l y f o r c e h e r s e l f t o t h i n k a b o u t t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a s w e l l . B e s i d e s h a v i n g e q u a l c h a n g e a s a s a l i e n t f e a t u r e f o r t h i n k i n g a b o u t l i n e a r g r a p h s , T o n i a l s o f o u n d u n e q u a l c h a n g e s a l i e n t . S h e u n d e r s t o o d i t l e s s w e l l , h o w e v e r . I n a d d i t i o n , s h e m a y h a v e h a d a c a t e g o r y o f f u n c t i o n s , ” t h o s e w i t h u n e q u a l c h a n g e , " b u t t h i s i s n o t c l e a r . R e c a l l a t fi r s t T o n i t h o u g h t " q u a d r a t i c " a n d " p a r a b o l a " w e r e a s s o c i a t e d w i t h d i f f e r e n t k i n d s o f f u n c t i o n s . S h e h a d s u g g e s t e d W , a s c a t t e r g r a p h , w a s a q u a d r a t i c , b u t a s I s t a r t e d t o t e l l h e r q u a d r a t i c s a n d p a r a b o l a s r e f e r r e d t o t h e s a m e k i n d o f f u n c t i o n , s h e p r o p o s e d q u a d r a t i c a s a f u n c t i o n c l a s s t h a t 1 2 1 h a d u n e q u a l c h a n g e . S h e h a d r e m e m b e r e d o n e c o n n e c t i o n b e t w e e n c h a n g e a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , b u t d i d n o t h a v e n a m e s o f f u n c t i o n c l a s s e s s t r a i g h t . I t h i n k a t t h a t t i m e s h e h a d p e r h a p s a s s o c i a t e d u n e q u a l c h a n g e w i t h s o m e s p e c i fi c f u n c t i o n c l a s s , b u t j u s t c o u l d n o t r e m e m b e r t h e n a m e . S h e d e s c r i b e d t h e v a l u e s a s " g o i n g u p a n d d o w n a n d a l l o v e r , " b u t w h e n I a s k e d w h a t s h e m e a n t , s h e d e s c r i b e d u n e q u a l i n c r e m e n t s i n a t a b l e : T : L i k e y o u h a v e t h e i n p u t h e r e [ s h e p u l l s o v e r a t a b l e ] a n d i f i t a l w a y s i n c r e a s e d t h e s a m e a m o u n t [ p o i n t s a l o n g t h e i n p u t c o l u m n ] , a n d t h e o u t p u t w a s a l w a y s j u m p i n g d i f f e r e n t n u m b e r s a n d d i d n ’ t h a v e a n e q u a l c h a n g e i n t h e o u t p u t . G : Y o u m e a n b e t w e e n n u m b e r s ? T : U m - h u h . A t t h i s p o i n t s h e s a i d s h e h a d f o r g o t t e n t h e n a m e s o f f u n c t i o n s , s o I a s k e d h e r t o g i v e m e s h a p e s o f t h e g r a p h a n d s a i d I w o u l d h e l p h e r w i t h t h e n a m e s . T o n i t h e n c r e a t e d t h e s t r a i g h t l i n e i n F i g u r e 3 . 2 0 b e l o w a n d c o n n e c t e d i t t o c o n s t a n t c h a n g e . I s a i d t h e y w e r e c a l l e d l i n e a r f u n c t i o n s a n d a s k e d i f s h e k n e w w h a t q u a d r a t i c s w e r e . S h e s u g g e s t e d t h e y c o u l d g o i n z i g z a g s , a n d d r e w t h e r e m a i n i n g g r a p h s i n F i g u r e 3 . 2 0 . F i g u r e 3 . 2 0 : T o n i ’ s S k e t c h o f G r a p h s w i t h U n e q u a l C h a n g e I e x p l a i n e d t h a t ” q u a d r a t i c s a n d p a r a b o l a s a r e t h e s a m e k i n d , " a n d a s k e d i f s h e h a d q u e s t i o n s a b o u t a n y o t h e r k i n d . T o n i a g a i n m e n t i o n e d " t h e o n e s t h a t j u s t k i n d a g o u p a n d d o w n a n d a l l o v e r . " I a s k e d i f s h e m e a n t t h e g r a p h o n c a r d W , a n d s h e a g r e e d , b u t w h e n I t r i e d t o s o l i c i t t h e n a m e s c a t t e r g r a p h , s h e a g a i n r a i s e d u n e q u a l 1 2 2 c h a n g e . A t t h a t p o i n t s h e g a v e t h e e x p l a n a t i o n g i v e n a b o v e t h a t t h e t a b l e o n c a r d , R , w a s f o r a l i n e a r f u n c t i o n . A s s h e fi n i s h e d , T o n i s a i d , ” B u t ’ s t h e r e ’ s a n o t h e r ” . I d r i n k t h e r e ’ s a n o t h e r f u n c t i o n n a m e t h a t g o e s u p a n d d o e s n ’ t h a v e a c o n s t a n t ( p a t t e r n o f c h a n g e ) . " S h e c l e a r l y w a s t h i n k i n g a b o u t a n o t h e r g r a p h a s s o c i a t e d w i t h u n e q u a l c h a n g e . I m i s u n d e r s t o o d h e r a n d t h o u g h t s h e w a s t r y i n g t o c l a s s i f y a l l n o n l i n e a r f u n c t i o n s u n d e r o n e p a r t i c u l a r f u n c t i o n c l a s s . S i n c e n o n l i n e a r w a s n o t a t e r m t h a t h a d b e e n u s e d a n y w h e r e i n t h e c l a s s , I w e n t i n t o a d i g r e s s i o n w i t h h e r w h e r e I t r i e d t o u n d e r s t a n d h e r t h i n k i n g , b u t g o t i n v o l v e d i n t r y i n g t o g e t h e r t o s e e t h a t u n e q u a l c h a n g e w a s n o t a s u f fi c i e n t c a t e g o r y t o d i s t i n g u i s h n o n l i n e a r f u n c t i o n s f r o m e a c h o t h e r . N o w , a f t e r e x a m i n i n g c a r e f u l l y t h e v i d e o t a p e a n d t r a n s c r i p t , I t h i n k s h e m a y h a v e b e e n t h i n k i n g o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n c l a s s , t h e t e a c h e r h a d c o n t r a s t e d c l m n g e i n e x p o n e n t i a l s w i t h t h e e q u a l c h a n g e i n l i n e a r f t m c t i o n s . O n J u l y 1 6 , s t u d e n t s h a d c r e a t e d a t a b l e f o r y = 4 - ( 0 . 8 3 ) " , u s i n g b o t h t h e f o r m u l a a n d r e p e a t e d m u l t i p l i c a t i o n f o r x = 1 t h r o u g h 1 0 . T h e c l a s s c o m p u t e d t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n s u c c e s s i v e y - e n t r i e s t o s h o w t h a t t h e f u n c t i o n w a s n o t l i n e a r b y s h o w i n g t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n e n t r i e s c h a n g e d . T h e y a s s o c i a t e d l a r g e d i f f e r e n c e s w i t h s t e e p p a r t s o f t h e g r a p h a n d s m a l l d i f f e r e n c e s w i t h m o r e h o r i z o n t a l p a r t s . O n J u l y 2 2 , w h e n r a t e o f c h a n g e f o r q u a d r a t i c f t m c t i o n s w a s b e i n g e x p l o r e d f o r t h e f u n c t i o n d ( s ) = . 0 0 5 s 2 + . 1 4 s , s t o p p i n g d i s t a n c e a s a f u n c t i o n o f s p e e d , t h e t e a c h e r a s k e d T o n i h o w t o t e l l f r o m a t a b l e t h a t t h e f u n c t i o n w a s n o t l i n e a r a n d s h e s a i d , ” i f t h e d i s t a n c e ( i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ) d o e s n ’ t h a v e t h e s a m e a m o u n t b e t w e e n n u m b e r s , t h e n w e k n o w i t i s n o t l i n e a r . " O n h e r c l a s s w o r k s h e e t t h a t d a y , a l t h o u g h a n o t h e r s t u d e n t h a d g i v e n t h i s r e s p o n s e i n c l a s s , T o n i a l s o h a d w r i t t e n , " I t d o e s n ’ t h a v e o n e s l o p e ; t h e s l o p e i s a l w a y s d i f f e r e n t . " A t a n y r a t e , T o n i a s s o c i a t e d a t l e a s t o n e f u n c t i o n c l a s s w i t h u n e q u a l c h a n g e . I t w a s n o t c l e a r , h o w e v e r , w h e t h e r s h e u n d e r s t o o d t h i s t o b e a n 1 2 3 a t t r i b u t e o f m a n y f u n c t i o n s , o r w h e t h e r s h e u n d e r s t o o d i t a s a p a r t i c u l a r o n e , p o s s i b l y e x p o n e n t i a l . S y m b o l i c C o n n e c t i o n s t o F u n c t i o n C l a s s e s F u n c t i o n c l a s s e s c a n a l s o b e i d e n t i fi e d b y t h e i r s y m b o l i c f o r m s . E x c e p t f o r q u a d r a t i c s , t h e r e i s l e s s e v i d e n c e t o s u g g e s t T o n i c o n n e c t e d s y m b o l i c f o r m s f o r f u n c t i o n s t o t h e t h r e e f u n c t i o n c l a s s e s t h a n t h e r e i s f o r c o n n e c t i o n s b e t w e e n f u n c t i o n c l a s s e s a n d s h a p e s o f g r a p h s o r p a t t e r n s o f c h a n g e . I n t h e s o r t p r o b l e m , a s I c o n t i n u e d t o p r o b e t o s e e i f T o n i r e m e m b e r e d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , I r e m i n d e d h e r t h a t i n c l a s s t h a t d a y w e h a d d i s c u s s e d a f u n c t i o n f o r t h e r a c i n g c a r e x p e r i m e n t . ( T h e d i s c u s s i o n i n c l u d e d q u i t e a b i t o f t i m e m o d e l i n g t h e d a t a w i t h a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . ) W h e n s h e d i d n o t r e m e m b e r t h e f t m c t i o n n a m e , I fi r s t s k e t c h e d t h e d a t a p o i n t s t h a t h a d b e e n g a t h e r e d i n c l a s s , t h e n a c u r v e f o r a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l a s a m o d e l f o r t h e m . W h e n s h e s t i l l d i d n o t r e m e m b e r t h e n a m e , I a s k e d i f s h e r e m e m b e r e d a n e q u a t i o n f o r t h e g r a p h , b u t s h e c o u l d o n l y r e m e m b e r o n e t h a t i n v o l v e d d i v i d i n g b y a s q u a r e r o o t . W h e n I a s k e d f o r f u n c t i o n s w e h a d s t u d i e d i n c l a s s , T o n i p r o d u c e d y = a x 2 + b x + c a n d c o r r e c t l y i d e n t i fi e d i t a s q u a d r a t i c a n d a s h a v i n g a U - s h a p e d g r a p h . S i n c e t h e c l a s s h a d s p e n t a l o n g t i m e g u e s s i n g a n d t e s t i n g p a r a m e t e r s f o r a g e n e r a l f u n c t i o n , y = a - b " , I c o n t i n u e d t o e l i c i t a n e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s b y a s k i n g i f s h e c o u l d r e c a l l a n y o t h e r k i n d s o f f u n c t i o n s . S h e fi r s t s u g g e s t e d u s i n g t w o t e r m s o f a q u a d r a t i c i n s t e a d o f t h r e e a n d fi n a l l y , t h e fi r s t t e r m o f t h e q u a d r a t i c . N o t u n t i l I h a d s p e c i fi c a l l y a s k e d i f s h e r e m e m b e r e d a n e x p o n e n t i a l h a d t h e v a r i a b l e i n a d i f f e r e n t p l a c e , a n d s h e h a d m a d e a n o t h e r i n c o r r e c t g u e s s , d i d t h e f o l l o w i n g o c c u r : G : W h y d o y o u t h i n k t h e y c a l l a f u n c t i o n e x p o n e n t i a l ? T : B e c a u s e i t h a s l i k e t o t h e p o w e r o f , a b o v e i t . G : U m - h u h . S o , c a n y o u g i v e m e a n e x a m p l e ? 1 2 4 T : [ d r a w i n g a b o x a r o u n d a x 2 ] T h i s i s k i n d o f l i k e p a r t o f o n e , I t h i n k . O n l y a f t e r I t o l d h e r t h e p o w e r i n t h a t o n e w a s t w o , d i d s h e w r i t e a x " . A f t e r f u r t h e r p r o m p t i n g f o r a n e x a m p l e , s h e w r o t e 2 ‘ 3 . F i n a l l y , a f t e r I a s k e d a g a i n f o r a f u n c t i o n r u l e , s h e w r o t e y = 2 " . T o n i ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s y m b o l i c f o r m f o r a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n w a s w e a k . S h e h a d d i f fi c u l t y r e m e m b e r i n g i t a n d , a l t h o u g h s h e h a d a s s o c i a t e d i t w i t h o n e t e r m , o n l y a f t e r l e a d i n g q u e s t i o n i n g o n m y p a r t c o u l d s h e d i s t i n g u i s h i t f r o m a s i n g l e t e r m q u a d r a t i c . C l e a r l y , t h e n u m b e r o f t e r m s w a s m o r e s a l i e n t t h a n t h e p o s i t i o n o f t h e e x p o n e n t . I t i s p o s s i b l e t h a t s i n c e t h e f o c u s o f a t t e n t i o n w a s o n a a n d b i n h e r s e a r c h f o r p a r a m e t e r s i n t h e e x p r e s s i o n , a - b " i n c l a s s , i t b l u r r e d t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n e x p o n e n t i a l a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . T h e i n t e r v i e w q u e s t i o n s w e r e i n s u f fi c i e n t f o r fi n d i n g o u t T o n i ’ s c o n c e p t i o n o f t h e s y m b o l i c f o r m o f a l i n e a r f u n c t i o n . A s d i s c u s s e d a b o v e i n p r o b l e m 2 A - 2 , w h e r e T o n i w a s t o fi n d a f u n c t i o n r u l e f o r a t a b l e o f v a l u e s , s h e c o u l d fi n d t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e t a b l e , b u t c o u l d n o t m a k e p r o g r e s s t o w a r d fi n d i n g t h e r u l e , a n d s o w e h a d a b a n d o n e d t h e p r o b l e m . I n p r o b l e m 4 B - 4 ( F i g u r e 3 . 2 1 ) w h e r e a f u n c t i o n r u l e f o r W i t h o m u s i n g t h e c a l c u l a t o r d e t e r m i n e w h i c h fi m c t i o n b e s t fi t s t h e g r a p h b e l o w ? a . f ( x ) = 1 0 x b g ( x ) = l + x c h ( x ) = 1 0 - x d . j ( x ) = 1 0 " e . k ( x ) = 9 + ( . l ) " F i g u r e 3 . 2 1 : P r o b l e m 4 B - 4 1 2 5 a g r a p h w a s t o b e c h o s e n f r o m a l i s t o f p o t e n t i a l r u l e s c o n t a i n i n g b o t h l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s , T o n i a t fi r s t c h o s e p a r t a b e c a u s e s h e t h o u g h t x w a s o n t h e v e r t i c a l a n d t h e r u l e h a d y = 1 0 x . S h e w a s p r o b a b l y i n t e r p r e t i n g t h e c o e f fi c i e n t a s t h e v a l u e o f x a s s h e d i d i n o t h e r p r o b l e m s . I c l a r i fi e d t h e a x e s o r i e n t a t i o n a n d d e t e r m i n e d t h a t T o n i h a d x o n h o r i z o n t a l . N e x t , s h e s a i d s h e c h o s e e b e c a u s e o f m a n y y v a l u e s a t 9 b u t s a i d s h e w a s u n s u r e w h a t t h e . 1 " w o u l d b e . A s w e w e r e o u t o f t i m e , I c o u l d n o t p u r s u e h e r t h i n k i n g . S h e s e e m e d a g a i n t o a s s o c i a t e n u m b e r s i n t h e r u l e w i t h v a l u e s o f t h e f u n c t i o n a n d , i n a d d i t i o n , i t w a s u n c l e a r w h e t h e r s h e h a d a g r a p h s h a p e c o n n e c t e d t o e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I f n o t , e v e n i f s h e k n e w t h e s y m b o l i c f o r m , s h e w o u l d n o t h a v e b e e n a b l e t o c o n n e c t t h e t w o f o r m s . I n t h e t w o i n t e r v i e w t a s k s f o r l i n e a r f u n c t i o n s , t a b l e t o r u l e , a n d r u l e t o g r a p h , T o n i h a d d i f fi c u l t y . O n t h e p r e - a n d p o s t t e s t s h e c o r r e c t l y e v a l u a t e d a l i n e a r e x p r e s s i o n , 3 x + 4 , f o r x = 1 0 . O n p o s t t e s t p r o b l e m 1 2 , w h e r e T o n i h a d t o s e l e c t t h e g e n e r a l s y m b o l i c f o r m , y = a x + b f r o m a m o n g t h o s e f o r q u a d r a t i c s a n d e x p o n e n t i a l s , s h e s a w t h e t a b l e a s r e p r e s e n t i n g a d i f f e r e n t l i n e a r f u n c t i o n f o r e a c h t a b l e e n t r y , w o r k t h a t w a s i n c o n s i s t e n t w i t h h e r i n t e r p r e t i n g t a b l e s o n o t h e r o c c a s i o n s . T h e r e i s l i t t l e o t h e r e v i d e n c e t o s u g g e s t o n e w a y o r t h e o t h e r w h e t h e r s h e r e c o g n i z e d a f u n c t i o n i n t h e f o r m y = m x + b a s a l i n e a r f u n c t i o n . I n c o n c l u s i o n , T o n i h a d s t r o n g a s s o c i a t i o n s w i t h t h e s y m b o l i c f o r m o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s , fi n d i n g t h e n u m b e r o f t e r m s a n d t h e e x i s t e n c e o f e x p o n e n t s s a l i e n t . S h e c o u l d n o t d i s t i n g u i s h e x p o n e n t i a l f o r m s f r o m o n e - t e r m q u a d r a t i c s , a n d t h e r e w a s n o t e n o u g h e v i d e n c e t o d e t e r m i n e h e r u n d e r s t a n d i n g o f s y m b o l i c f o r m s o f l i n e a r f u n c t i o n s . S u m m a r y T o n i ’ s a p p r o a c h t o p r o b l e m s o l v i n g d e p e n d e d o n t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d t a s k . W h e n p r o b l e m s w e r e s y m b o l i c o r a p p e a r e d a s s c h o o l p r o b l e m s , s h e a t t e m p t e d t o m a n i p u l a t e s y m b o l s o r s o l v e e q u a t i o n s . S h e p a i d c l o s e a t t e n t i o n t o w h a t t a s k w a s 1 2 6 b e i n g s u g g e s t e d b y a p r o b l e m . T o n i h a d a n a i v e c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e t h a t a l l o w e d h e r t o r e c o g n i z e t h a t v a r i a b l e s c o u l d t a k e o n m a n y v a l u e s o r c o u l d s t a n d f o r u n k n o w n s i n a n e q u a t i o n , b u t s h e c o u l d n o t r e a d i l y r e p r e s e n t q u a n t i t i e s w i t h v a r i a b l e e x p r e s s i o n s . W h e n s h e c o u l d n o t r e m e m b e r a p r o c e d u r e , s h e g o t s t u c k . O n t h e o t h e r h a n d , w h e n v i s u a l o r g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s w e r e u s e d , s h e d i s p l a y e d t m u s u a l f a c i l i t y o n s o m e t a s k s . S h e c o u l d a c c u r a t e l y r e a d o f f p o i n t s a n d i n t e r p r e t t h e m i n t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t . S h e i n t e r p r e t e d g l o b a l f e a t u r e s w i t h c a s e w h e n fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , b o t h c h o o s i n g s u i t a b l e g r a p h s o r m o d i f y i n g t h e d e s c r i p t i o n o f t h e s i t u a t i o n s o t h a t s h e c o u l d i n t e r p r e t t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t e m p o r a l l y a n d m a t c h e v o l v i n g r a t e s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h t h e s l o p e o f t h e g r a p h . W h e n p r o b l e m s w e r e s i t u a t e d , T o n i r e l i e d h e a v i l y o n t h e s i t u a t i o n t o s u p p o r t h e r r e a s o n i n g , o f t e n t h i n k i n g i n t h e s i t u a t i o n d i r e c t l y , w i t h o u t a p p a r e n t a w a r e n e s s o f t h e m a t h e m a t i c s . I n b o t h v i s u a l l y r e p r e s e n t e d p r o b l e m s a n d s i t u a t e d p r o b l e m s , s h e a c t i v e l y p u r s u e d p r o b l e m s o l v i n g e v e n w h e n s t u c k . T o n i h a d d i f fi c u l t y w h e n h e r i n f o r m a l m o d e l d i f f e r e d w i t h t h a t g i v e n i n a s i t u a t e d p r o b l e m . S h e i n t e r p r e t e d t e r m s o f p o l y n o m i a l s a s q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n , c o u l d n o t k e e p v a r i a b l e q u a n t i t i e s s t r a i g h t , a n d c o u l d n o t a c c e p t t h a t a m o d e l c o u l d b e u s e d t o p r e d i c t v a l u e s p r i o r t o a n e v e n t . T o n i f o u n d s h a p e s o f g r a p h s a n d p a t t e r n s o r r a t e s o f c h a n g e s a l i e n t c o n c e p t s w h e n o r g a n i z i n g h e r t h i n k i n g a b o u t l i n e a r o r q u a d r a t i c f u n c t i o n s . S h e h a d a r o b u s t u n d e r s t a n d i n g o f t a b l e s t h a t r e p r e s e n t e d l i n e a r f u n c t i o n s a n d k n e w t h e i r g r a p h w a s a l i n e , b u t c o u l d n o t t r a n s l a t e s u c h a t a b l e t o a f u n c t i o n r u l e . T o n i r e c o g n i z e d q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n s y m b o l i c f o r m . S h e d i d n o t s e e m t o h a v e p a r a l l e l o r g a n i z e r s , s h a p e o f g r a p h o r s y m b o l i c f o r m , f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a n d h a d d i f fi c u l t y s o r t i n g o u t t h e c o n c e p t u a l c a t e g o r y t h a t s h e h a d c r e a t e d " u n e q u a l c h a n g e . " F u r t h e r , T o n i h a d d i f fi c u l t y r e m e m b e r i n g o r i e n t a t i o n o f a x e s , b u t u n d e r s t o o d c o n s i s t e n c y o f g r a p h a x e s 1 2 7 l a b e l i n g c o n v e n t i o n s . S h e d i d n o t c o n n e c t t h e c o n c e p t o f i n p u t t o i t s r o l e i n g r a p h i n g a n d w a s n o t a b l e t o g r a p h f u n c t i o n s b y h a n d . G e n e r a l l y , T o n i h a d k n o w l e d g e o f s o m e c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s f o r f u n c t i o n s , b u t , e x c e p t f o r h e r w o r k w i t h g r a p h s , h e r k n o w l e d g e w a s f r a g m e n t e d . F u r t h e r , i t w a s g e n e r a l l y n e c e s s a r y t o i m p l y h e r u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s a s s h e a t t e n d e d p r i n c i p a l l y t o t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e m s e l v e s a n d g a v e l i t t l e e v i d e n c e t h a t s h e w a s a t t e n d i n g t o f u n c t i o n s p e r s e . C H A P T E R 4 T H E C A S E O F S A M T h e fi r s t s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r i n t r o d u c e s S a m a n d i s f o l l o w e d b y t h r e e m a j o r s e c t i o n s d i s c u s s i n g h i s w o r k . T h e fi r s t o f t h e s e d i s c u s s e s S a m ’ s m o d e s o f o p e r a t i n g d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g , i n c l u d i n g w o r k w i t h t h e c a l c u l a t o r , i n t e r a c t i o n s w i t h t h e r e s e a r c h e r r e l a t e d t o p r o b l e m s o l v i n g , a n d c o m m u n i c a t i o n d i f fi c u l t i e s . L i k e T o n i , S a m ’ s w o r k w i t h f u n c t i o n s i s i m p l i c i t t h r o u g h h i s a c t i v i t i e s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s , s o r e p r e s e n t a t i o n s a r e t h e f o c u s o f t h e s e c o n d m a j o r s e c t i o n . T h e s e c t i o n o n r e p r e s e n t a t i o n s b e g i n s w i t h p r o b l e m s w h e r e g r a p h s fi g u r e p r o m i n e n t l y a n d i s d i v i d e d i n t o t w o s e g m e n t s a c c o r d i n g t o w h e t h e r t h e p r o b l e m s t a k e a c o r r e s p o n d e n c e o r c o v a r i a t i o n a l a p p r o a c h t o f u n c t i o n s . A t h i r d s e g m e n t o f w o r k i n g w i t h r e p r e s e n t a t i o n s r e v i s i t s h o w S a m ’ s r e a s o n i n g a b o u t f u n c t i o n s i n s i t u a t e d p r o b l e m s c a u s e d h i m d i f fi c u l t i e s i n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s a s w e l l a n d r a i s e s m a n y q u e s t i o n s a b o u t t h e d i s c r e p a n c y b e t w e e n h i s p e r s p e c t i v e a n d t h a t o f t h e t e a c h e r . F i n a l l y , t h e l a s t m a j o r s e c t i o n d i s c u s s e s S a m ’ s c o n c e p t i o n s o f t h e t h r e e f u n c t i o n c l a s s e s : l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l . T h e fi r s t s u b s e c t i o n u s e s l i n e a r f u n c t i o n s t o d i s p l a y h o w d i s j o i n t a n d i n c o h e r e n t S a m ’ s w o r k o n f u n c t i o n s a p p e a r s t o b e . G e t t i n g t o K n o w S a m S a m i s a t a l l , s l e n d e r b o y f r o m a s m a l l m i d w e s t e m c i t y , w h e r e , e x c e p t f o r b r i e f i n t e r v a l s w h e n h e l i v e d i n a n o t h e r s t a t e , h e h a s l i v e d a l l h i s l i f e . W h e n I a s k e d h i m t o t a l k a b o u t h i m s e l f , h e t o l d m e f o r a s l o n g a s h e c o u l d r e m e m b e r h e h a d b e e n g e t t i n g g o o d g r a d e s i n s c h o o l . H e t h e n r e p o r t e d t h a t h e w a s f r o m t h e ” g h e t t o ” a n d w a s n o t u s e d t o ” r i c h s t u f f . " A n o t h e r t e a c h e r h a d t o l d m e t h a t , b a s e d o n s t o r i e s S a m h a d t o l d h i m , h e t h o u g h t S a m ’ s f a m i l y w a s q u i t e p o o r . I n o u r fi r s t i n t e r v i e w S a m d e s c r i b e d h i m s e l f a s b e i n g s e l f - m o t i v a t e d : T h e r e a s o n I ’ m d o i n ’ w h a t I ’ m d o i n ’ i s f o r m y s e l f . I d o n ’ t l i k e t o g e t r e w a r d s f o r w h a t I ’ m d o i n ’ . I t ’ s i n m e , ’ c a u s e I k n o w t h a t I w a n t t o d o i t . I g e t B ’ s 1 2 8 1 2 9 i n m a t h . S o m e t i m e s I g e t A ’ s d e p e n d i n ’ o n w h a t t h e s u b j e c t i s w e d o i n ’ . S o I ’ d s a y I w a s a B s t u d e n t i n m a t h . A t t h e t i m e o f d a t a g a t h e r i n g , S a m h a d c o m p l e t e d t w o y e a r s o f a l g e b r a , r e c e i v i n g a n A f o r t h e fi r s t y e a r . H i s r e a d i n g l e v e l w a s s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h e e l e v e n t h g r a d e h e w o u l d b e e n t e r i n g i n t h e f a l l , a c c o r d i n g t o t h e c o m b i n e d s c o r e o f 1 1 . 5 o n t h e N e l s o n - D e n n y R e a d i n g t e s t . D u r i n g t h e a w a r d s c e r e m o n y a t t h e c l o s i n g b a n q u e t f o r t h e p r o g r a m , S a m w a s c h o s e n b y h i s t e a c h e r s a s o u t s t a n d i n g s t u d e n t i n h i s s e c t i o n i n B i o l o g y , P h y s i c s , a n d A n a t o m y . I n S c i e n c e O l y m p i a d h e p l a c e d fi r s t i n t h e A n a t o m y e v e n t . I n a d d i t i o n , h e r e c e i v e d a C i t i z e n s h i p o f M e r i t A w a r d , g i v e n o u t b y t h e s t a f f t o s t u d e n t s w h o r e c e i v e d t h e h i g h e s t v o t e s i n t w o o f t h r e e c a t e g o r i e s : D o r m , S t u d y H a l l , a n d A c t i v i t i e s . A p p a r e n t l y , S a m e x h i b i t e d q u a l i t i e s b e y o n d a c a d e m i c s f o r w h i c h h e w a s b o t h r e s p e c t e d a n d l i k e d . S a m p l a n s t o b e a z o o l o g i s t a s h e h a s a s p e c i a l i n t e r e s t i n i c h t h y o l o g y , t h e s t u d y o f fi s h . H e h a d c o n s i d e r e d a c a r e e r i n e n t o m o l o g y , t h e s t u d y o f i n s e c t s , a s w e l l . H e s a i d h e h a d b e e n f a s c i n a t e d w i t h a n i m a l s a n d s t a r s s i n c e c h i l d h o o d a n d r e p o r t e d b e i n g a B s t u d e n t i n s c i e n c e . S a m s e e m e d t o h a v e a l o t o f i n t e r e s t s s i n c e h e s a i d h e l i k e d a n c i e n t h i s t o r y , t o o . W h e n I a s k e d S a m d u r i n g t h e fi r s t i n t e r v i e w i f h e l i k e d t h e a n a t o m y c l a s s ( i n t h e s u m m e r p r o g r a m ) w h e r e s t u d e n t s h a d a n o p p o r t u n i t y t o w o r k w i t h a c a d a v e r , h e s a i d i t w a s n o t h i s f a v o r i t e c l a s s , t h e n w e n t o n t o d i s p l a y a d r y s e n s e o f h u m o r w i t h t h e f o l l o w i n g s t o r y : O h , t h e h u m a n b o d y ’ s o k a y , e x c e p t t h e y d r i e d o u t . T h e y n o t r e a l , I m e a n , i t ’ s n o t , l i k e f r e s h . ’ C a u s e u h , l a s t y e a r i n t h e t e n t h g r a d e , u h , m y t e a c h e r - - o n e o f h i s s t u d e n t s c a m e b a c k , a n d s h e w a n t e d t o d i s s e c t t h e h u m a n b o d y w h i l e t h e y w a s s t i l l l i v i n ’ . [ l a u g h i n g ] S o t h e y a s k e d u s d o w e w a n t t o d o i t . A n d I w a n t e d t o v o l u n t e e r . S a m ’ s s e n s e o f h u m o r s o m e t i m e s c a m e o u t w h i l e h e w o r k e d i n t e r v i e w p r o b l e m s . 1 3 0 O n c e , d u r i n g t h e f o u r t h w e e k i n t e r v i e w , h e w o r k e d p r o b l e m 4 A - 7 : B l u e p e n c i l s c o s t 5 c e n t s e a c h a n d r e d p e n c i l s c o s t 6 c e n t s e a c h . I b u y s o m e b l u e p e n c i l s a n d s o m e r e d p e n c i l s , w h i c h c o s t m e 9 0 c e n t s . I f b i s t h e n u m b e r o f b l u e p e n c i l s b o u g h t a n d i f r i s t h e n u m b e r o f r e d p e n c i l s b o u g h t , w h a t c a n y o u w r i t e d o w n a b o u t b a n d r ? S a m fi r s t i n t e r p r e t e d t h i s p r o b l e m a s m e a n i n g a n e q u a l n u m b e r o f r e d a n d b l u e p e n c i l s w e r e r e q u i r e d , s o b e d i v i d e d 1 1 i n t o 9 0 t o c o m p u t e t h e n u m b e r o f p a i r s t h a t c o u l d b e b o u g h t . W h e n i t d i d n o t c o m e o u t e v e n , h e p l a y f u l l y e n h a n c e d t h e s i t u a t i o n : ” T h a t ’ s 8 8 a n d y o u ’ v e g o t t w o c e n t s l e f t o v e r , b u t i t ’ s 9 0 c e n t s . I ’ m g o n n a a d d s o m e t a x o n t h e r e . " A s w i l l b e s e e n l a t e r , S a m s o m e t i m e s a d d e d t o o r e n h a n c e d s i t u a t e d p r o b l e m s a s a m e a n s o f r e s o l v i n g a " g l i t c h " b e t w e e n h i s w o r k a n d t h e p r o b l e m . O n e o f t h e r e a s o n s I s e l e c t e d S a m a s a f o c a l s t u d e n t w a s t h a t h e o f t e n g a v e u n u s u a l a n s w e r s s u c h a s t h i s o n e a b o u t t a x a n d s h o w e d i n d e p e n d e n c e i n h i s w a y o f w o r k i n g . I n m y n o t e s a f t e r t h e fi r s t i n t e r v i e w I h a d w r i t t e n , " s l o w , c a r e f u l t h i n k e r - - v e r y s u r e o f w o r k i n g h i s o w n w a y i n h i s o w n t i m e . " H e o f t e n w a s s l o w e r t o c o m p l e t e p r o b l e m s t h a n s o m e o f t h e o t h e r f o c a l s t u d e n t s . F o r e x a m p l e , b e c a u s e h e r a n o u t o f t i m e , h e d i d n o t g e t t o w o r k o n i n t e r v i e w p r o b l e m s 1 - 2 , 4 B - 3 a n d 4 B - 4 ( s e e A p p e n d i x A ) , a l l o f w h i c h w e r e c o m p l e t e d b y a l l o t h e r f o c a l s t u d e n t s . O n t h e s o r t p r o b l e m , d u r i n g i n t e r v i e w 5 , h e w a s o n l y a b l e t o c o m p l e t e o n e f u l l s o r t , w h i l e a l l o t h e r s t u d e n t s c o m p l e t e d t w o a n d T o n i w o r k e d o n a t h i r d . O n t h e o t h e r h a n d , S a m w a s o n e o f t h e t w o f o c a l s t u d e n t s w h o w e r e a b l e t o c o m p l e t e t h e t w o p r o b l e m s m a t c h i n g g r a p h s a n d s i t u a t i o n s f r o m p a r t B o f i n t e r v i e w 2 . S a m s e e m e d t o ” d o h i s o w n t h i n g ” a n d n o t t o c a r e w h e t h e r o t h e r s i n t h e c l a s s a p p r o v e d . O n c e w h e n h e p u t a p r o b l e m o n t h e b o a r d , f o u r o f t h e g i r l s g i g g l e d a n d m a d e c o m m e n t s . W h e n I a s k e d h i m i n t h e n e x t i n t e r v i e w h o w i t m a d e h i m f e e l , h e s a i d h e d i d n o t m i n d a n d t h a t h e d i d n o t p a y a n y a t t e n t i o n t o t h e m . i I n c l a s s , S a m w a s o f t e n a l i v e l y p a r t i c i p a n t , o f f e r i n g s u g g e s t i o n s , a s k i n g q u e s t i o n s , o r a n n o u n c i n g d i f fi c u l t i e s w i t h h i s c a l c u l a t o r c o m p u t a t i o n s . O n o t h e r d a y s 1 3 1 h e w a s q u i t e q u i e t , p o s s i b l y b e c a u s e h e w a s b o r e d . O n c e o n a d a y h e h a d b e e n q u i e t f o r t h e fi r s t h o u r , h e t o l d m e a t b r e a k h e t h o u g h t t h e t o p i c , c o m p o u n d i n t e r e s t , h a d b e e n b o r i n g . P e r h a p s w h e n S a m w a s q u i e t i n c l a s s , i t w a s b e c a u s e h e w a s t i r e d , a c h r o n i c p r o b l e m w i t h s t u d e n t s i n t h e p r o g r a m . O n s e v e r a l d a y s t h e s t u d e n t s h a d t r o u b l e s t a y i n g a w a k e , i n p a r t b e c a u s e t h e c l a s s w a s i m m e d i a t e l y a f t e r l u n c h , b u t a l s o b e c a u s e t h e i r w o r k l o a d w a s s o h e a v y a n d t h e i r s c h e d u l e s w e r e s o f u l l . I t i s q u i t e p o s s i b l e S a m w a s t i r e d o n s o m e o f t h o s e d a y s t h a t h e d i d n o t p a r t i c i p a t e m u c h . M o d e s o f O p e r a t i n g S a m h a d s e v e r a l w a y s o f i n t e r a c t i n g w i t h p e o p l e , p r o b l e m s , a n d t h e t e c h n o l o g y i n t h i s c l a s s . T h i s s e c t i o n d i s c u s s e s h i s u s e o f t h e g r a p h i c s c a l c u l a t o r , b o t h h i s p o s i t i v e a t t i t u d e t o w a r d u s i n g i t a n d h i s d i f fi c u l t i e s w i t h i t . T h e s e c t i o n a l s o d i s c u s s e s h i s w a y s o f i n t e r a c t i n g w i t h m e , t h e r e s e a r c h e r , a n d a s p e c t s o f t h e d i s c o u r s e t h a t h e s e e m e d t o u s e i n a s t r a t e g i c w a y t o s o l v e p r o b l e m s , i n c l u d i n g t h o s e t h a t w e r e n o t e f f e c t i v e . F i n a l l y , t h e s e c t i o n d i s c u s s e s c o m m u n i c a t i o n m i s m a t c h e s b e t w e e n u s . P r o b l e m S o l v i n g a n d T e c h n o l o g y S a m ’ s A t t i t u d e T o w a r d t h e C a l c u l a t o r S a m e n j o y e d t h e c a l c u l a t o r . L i k e m o s t o f t h e s t u d e n t s , h e p a r t i c i p a t e d w h e n c a l c u l a t o r e x e r c i s e s w e r e d o n e i n c l a s s . W h e n h e w a s s t u c k o r g o t s u r p r i s i n g r e s u l t s , h e w o u l d a n n o u n c e i t a l o u d u a s d i d m a n y o t h e r s t u d e n t s . D u r i n g t h e i n t e r v i e w s , h e u s e d t h e c a l c u l a t o r a s m u c h a s a n y o f t h e s t u d e n t s a n d s o m e t i m e s t u r n e d t o i t t o e x p l o r e t h e p r o b l e m a t h a n d w h e n h e s e e m e d n o t t o k n o w h o w e l s e t o p r o c e e d . O t h e r t i m e s b e e x p l o r e d t h e c a l c u l a t o r i t s e l f . O n c e d u r i n g t h e c a r d s o r t p r o b l e m a f t e r h e h a d e n t e r e d d a t a p a i r s f r o m a t a b l e i n t o t h e c a l c u l a t o r u s i n g t h e s t a t i s t i c s m e n u , S a m s p o n t a n e o u s l y c h o s e t h e x y — l i n e g r a p h o p t i o n i n s t e a d o f t h e s c a t t e r g r a p h c h o i c e I e x p e c t e d . X y - l i n e h a d n o t b e e n d i s c u s s e d i n e i t h e r c l a s s o r i n t e r v i e w s , w h e r e a s s t u d e n t s w e r e t a u g h t t o u s e t h e s c a t t e r g r a p h o p t i o n . O f t h e o t h e r t h r e e f o c a l s t u d e n t s , o n l y o n e c h o s e t o e x p l o r e t h e x y - l i n e o p t i o n i n i n t e r v i e w s . 1 3 2 C a l c u l a t o r D i f f i c u l t i e s a s I n h i b i t o r i n P r o b l e m S o l v i n g C o n c e p t u a l d i f fi c u l t i e s : C a l c u l a t o r s c r e e n u s e . P e r i o d i c a l l y , S a m h a d d i f fi c u l t i e s w i t h t h e c a l c u l a t o r . U s u a l l y , h i s d i f fi c u l t i e s w e r e o f a c o n c e p t u a l n a t u r e o r a c o m b i n a t i o n o f c o n c e p t u a l a n d t e c h n i c a l , r a t h e r t h a n a t e c h n i c a l d i f fi c u l t y o n l y , s u c h a s f o r g e t t i n g h o w t o d o a s e q u e n c e o f k e y s t r o k e s . F o r e x a m p l e , s o m e t i m e s S a m d i d n o t d i s t i n g u i s h t h e c o n c e p t u a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e e d i t i n g s c r e e n u s e d f o r d e fi n i n g a f t m c t i o n t o b e g r a p h e d a n d t h a t u s e d f o r e v a l u a t i n g a f u n c t i o n f o r s o m e p a r t i c u l a r x . I n s o m e c a s e s h i s r e s u l t s w e r e u n e x p e c t e d , d i d n o t m a k e s e n s e , a n d t h u s c a u s e d h i m c o n f u s i o n . D u r i n g t h e t h i r d w e e k , t h e c l a s s w a s e x p l o r i n g e x p o n e n t i a l f l m c t i o n s . M r . B a i l e y h a d j u s t fi n i s h e d l e n d i n g t h e c l a s s i n c r e a t i n g a t a b l e o f v a l u e s f o r x f r o m 0 t o 7 f o r t h e p r o b l e m i n F i g u r e 4 . 1 T h e c l a s s h a d d e v e l o p e d t h e r u l e y = 1 5 0 0 - 2 ‘ f o r t h e s i t u a t i o n b y i d e n t i f y i n g t h e b a c t e r i a a t t i m e O a n d b y c o m p u t i n g S i t u a t i o n 1 . 3 . S u p p o s e t h a t a s a m p l e o f w a t e r f r o m a « t i m i n g p o o l s h o w s 1 5 0 0 b a c t e r i a p e r c u b i c c e n t i m e t e r a t 8 r u n . o n a M o n d a y m o r n i n g a n d t h a t t h e b a c t e r i a i n t h a t p o o l d o u b l e e v e r y d a y ‘ t h e r e a l t e r . C o m p l e t e t h e f o l l o w i n g t a b l e s h o w i n g n u m b e r o f b a c t e r i a a s a ( m o t i o n o f t i m e . T h e n p l o t t h e ( t i m e , p o p u l a t i o n ) p a i r s u s i n g a u n i t o f $ 0 0 0 o n t h e N ( d ) ° a x i s . T l m e N u m b e r " ( 4 ) “ W I / 4 1 : . . . . . . . . . . . 9 0 1 . 5 0 0 é . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 0 0 0 ” . . . . . . . . . . . . 2 [ , Q O O 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 . . . 3 m . . . . . . . . . . . $ 5 7 9 9 ‘ ° ° ° ° . : : : : : : : : . . . - . . . . . . 5 — 9 — 0 9 : 2 : : : : : : : : : : 2 : : : : : 6 a n z z z z z z é z z z z n g ’ - 3 ’ — ° H m ' . % 2 3 1 i . . . . : : 1 2 : 2 2 : : 5 , 0 0 0 . 5 0 ’ - . . . . . . . . . . . - v V v v ‘ v V V v v v v F i g u r e 4 . 1 : S i t u a t i o n 1 - 3 , S w i m m i n g P o o l B a c t e r i a ( C I A , p . 5 - 6 ) 1 3 3 t h e v a l u e f o r e a c h n e w d a y b y d o u b l i n g t h e o l d v a l u e . M r . B a i l e y t h e n u s e d t h e i d e a o f " t h e a m o u n t o f b a c t e r i a i n t h e p o o l t h e d a y b e f o r e " t o i n t r o d u c e n e g a t i v e e x p o n e n t s a s g o i n g b a c k w a r d s i n t i m e . H e n c e , h e i n t r o d u c e d a n o p e r a t i o n o p p o s i t e f r o m d o u b l i n g , t h a t i s , d i v i d i n g , b y 2 . T h e c l a s s e x t e n d e d t h e t a b l e b a c k w a r d s f r o m 0 . N e x t M r . B a i l e y a s k e d t h e s t u d e n t s t o c o n t i n u e w i t h t h e p r o b l e m o n t h e i r o w n . S a m e n t e r e d t h e p o i n t s f r o m t h e t a b l e o n t h e b o a r d a s d a t a p a i r s i n t h e c a l c u l a t o r , m a d e a s c a t t e r g r a p h , a n d s a i d h e w a n t e d t o g e t t h e g r a p h o f t h e f t m c t i o n s o h e c o u l d s e e h o w c l o s e t h e y c a m e , n o t r e a l i z i n g i f t h e r u l e w a s g e n e r a t e d f r o m t h e p a t t e r n i n t h e s e p a i r s , t h e p o i n t s w o u l d i n d e e d b e o n t h e g r a p h . T h e n w h i l e S a m t r i e d t o e n t e r t h e r u l e , h e m a d e a d d i t i o n a l c o n c e p t u a l e r r o r s t h a t c a u s e d h i m c o n f u s i o n a b o u t t h e c a l c u l a t o r r e s u l t s . F i r s t , h e u s e d t h e w r o n g r u l e , N ( 5 ) = 1 0 0 0 - 2 5 i n s t e a d o f 1 5 0 0 - 2 “ . S e c o n d , h e e n t e r e d t h e e n t i r e r u l e , i n c l u d i n g t h e " N ( 5 ) = " o n t h e c a l c u l a t o r f u n c t i o n d e fi n i t i o n l i s t ( u n d e r t h e k e y , Y = ) . S i n c e I w a s w a l k i n g a r o u n d t h e r o o m , I a s k e d h i m w h a t t h e N ( 5 ) s t o o d f o r , a n d b e c o r r e c t l y a n s w e r e d i t w a s t h e y . S i n c e h e w a s s t u c k , I s u g g e s t e d t h a t y w a s a l r e a d y t h e r e o n t h e Y = s c r e e n ] . H e d e l e t e d t h e " N ( 5 ) = , " b u t l e f t t h e 5 i n p l a c e o f t h e x a n d g o t a h o r i z o n t a l l i n e g r a p h . A f t e r I q u e s t i o n e d h i m a b i t m o r e , h e u n d e r s t o o d t h e 5 w a s a c o n s t a n t a n d s a i d h e n e e d e d a n x . H e t h e n s u c c e s s f u l l y c o m p l e t e d t h e g r a p h h e w a s a f t e r . O f c o u r s e , i t d i d n o t m a t c h t h e p o i n t s h e h a d s k e t c h e d b e c a u s e h e h a d u s e d t h e w r o n g r u l e , o n e w i t h a c o n s t a n t o f 1 0 0 0 i n s t e a d o f 1 5 0 0 . C h o o s i n g t h e w r o n g f u n c t i o n m a y s i m p l y h a v e b e e n a n o v e r s i g h t , b u t S a m m a d e s e v e r a l o t h e r e r r o r s . H e a t t e m p t e d t o c r e a t e a C a r t e s i a n g r a p h f r o m t h e f u n c t i o n r u l e t o d e t e r m i n e i f t h e p o i n t s t h e c l a s s h a d j u s t p r o d u c e d f o r t h e s a m e r u l e w e r e , i n f a c t , o n t h e c u r v e . S a m m a d e t w o c o n c e p t u a l e r r o r s i n u s i n g t h e c a l c u l a t o r , l Y 1 = , Y 2 = , Y 3 = , a n d Y 4 = a r e g i v e n b y t h e c a l c u l a t o r w h e n y o u c h o o s e t h e Y = k e y t o d e fi n e a f u n c t i o n . A l l f u n c t i o n d e fi n i t i o n s f o r g r a p h i n g m u s t u s e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , x . 1 3 4 i n c l u d i n g N ( 5 ) = w h e n i t w a s n o t n e c e s s a r y t o i n c l u d e t h e f u n c t i o n n a m e a n d m i s t a k i n g 1 0 0 0 - 2 5 , a n i n s t a n c e o f t h e f u n c t i o n , f o r t h e g e n e r a l f u n c t i o n r u l e , 1 0 0 0 - 2 " . H a d h e u n d e r s t o o d t h e c o n c e p t u a l d i s t i n c t i o n s i n t h e s e a c t i v i t i e s w i t h f u n c t i o n s , h e m i g h t h a v e b e e n a b l e t o s o r t o u t h i s d i f fi c u l t i e s h i m s e l f s i n c e h e h a d o n o t h e r o c c a s i o n s d e m o n s t r a t e d t h a t h e c o u l d u s e b o t h s c r e e n s c o r r e c t l y b y e n t e r i n g f u n c t i o n s t o b e g r a p h e d a n d b y e v a l u a t i n g f u n c t i o n s o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n . S a m w a s n o t a l o n e i n h a v i n g t r o u b l e k e e p i n g s t r a i g h t t h e p u r p o s e s o f s p e c i fi c e d i t i n g s c r e e n s . P e r i o d i c a l l y , o t h e r s t u d e n t s d i s p l a y e d t h e s a m e b e h a v i o r . R e c a l l t h a t a t o n e p o i n t T o n i a l s o c o n f u s e d s c r e e n s a n d e n t e r e d a r u l e o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n . S h e w a s t r y i n g e i t h e r t o c o m p u t e a f u n c t i o n v a l u e u s i n g t h e l e t t e r x i n s t e a d o f a v a l u e f o r x o r t o a g r a p h p o l y n o m i a l f t m c t i o n b y e n t e r i n g t h e f u n c t i o n d e fi n i t i o n o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n , j u s t t h e o p p o s i t e o f w h a t S a m w a s d o i n g h e r e . C o n c e p t u a l d i f fi c u l t i e s : v i e w i n g w i n d o w s a n d n u m b e r s i z e . S o m e t i m e s S a m ’ s t r o u b l e w i t h t h e c a l c u l a t o r i n h i b i t e d h i s p r o b l e m s o l v i n g a b i l i t y b e c a u s e i t m u d d l e d c o n c e p t s h e w a s a t t e m p t i n g t o a p p l y i n a v a l i d w a y t o t h e p r o b l e m a t h a n d . F o r e x a m p l e , d u r i n g t h e s o r t p r o b l e m , S a m c h o s e d i m e n s i o n s f o r t h e v i e w i n g w i n d o w f o r t h e g r a p h o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n a n d g o t r e s u l t s h e d i d n o t u n d e r s t a n d . Y e t h e d i d n o t s e e t h e d i m e n s i o n s a s b e i n g a p o o r c h o i c e ; r a t h e r , h e c o n t i n u e d t o t r y t o m a k e s e n s e o f t h e n u m b e r s h e s a w , w h i c h l e d h i m t o f u r t h e r d i f fi c u l t y . A A A A A A A A A A A A A A A A A - - - A A A A A F i g u r e 4 . 2 : S a m ’ s P r o fi t G r a p h D i s p l a y F i g u r e 4 . 3 : A S a m p l e T R A C E S a m h a d d e c i d e d t h e g r a p h o f a r u l e o n c a r d B , P r o fi t = ~ 3 0 0 p 2 + 3 6 0 0 p — 1 5 0 0 , w a s a p a r a b o l a , b u t w h e n h e g r a p h e d t h e f u n c t i o n , b e g o t a v e r t i c a l l i n e ( F i g u r e 1 3 5 4 . 2 ) b e c a u s e t h e y - d i m e n s i o n s f o r t h e v i e w i n g w i n d o w w e r e t o o s m a l l r e l a t i v e t o t h e s p e c i fi c x - d i m e n s i o n s c h o s e n z : S : I s i t a p a r a b o l a ? [ t u r n s o n t r a c e 3 a n d m o v e s t h e c u r s o r a l o n g t h e g r a p h ] I t d o n ’ t l o o k l i k e i t ’ s e v e r g o i n g t o g o d o w n . G : Y o u ’ r e o n t r a c e a n d l o o k i n g a t ( v a l u e s o f ) t h e x a n d y ? [ S : U m - h u h . ] W h a t a r e t h e n u m b e r s d o i n g ? 8 : K e e p g o i n g u p . S a m c o r r e c t l y t h o u g h t t h a t t h i s g r a p h w a s a n i n v e r t e d p a r a b o l a , a n d h e e x p e c t e d t o fi n d t h e v e r t e x b y fi n d i n g a p l a c e w h e r e t h e y - v a l u e s r e v e r s e d d i r e c t i o n s . T h i s s t r a t e g y c o u l d h a v e h e l p e d h i m fi n d a n a p p r o p r i a t e v i e w i n g w i n d o w b y l o c a t i n g a m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e o r , t h r o u g h t h e p a t t e r n i n t h e d a t a , c o n fi r m e d h i s t h i n k i n g t h a t t h e g r a p h w a s a p a r a b o l a . H o w e v e r , s i n c e t h e v e r t e x w a s t o t h e r i g h t o f t h e c u r s o r a n d S a m w a s m o v i n g t h e c u r s o r t o t h e l e f t , t h e c u r s o r f a i l e d t o r e a c h t h e v e r t e x . A s h e m o v e d t h e c u r s o r d o w n t h e l e f t h a n d b r a n c h o f t h e p a r a b o l a , b o t h t h e x - a n d y - v a l u e s c o n t i n u e d t o g o d o w n . S a m t h o u g h t b e c a u s e t h e m a g n i t u d e o f h i s n e g a t i v e n u m b e r s w a s g o i n g u p , t h e c u r s o r o n t h e c a l c u l a t o r o u g h t t o g o u p a s w e l l a n d t h u s u l t i m a t e l y r e a c h t h e v e r t e x o f t h e p a r a b o l a . H e w a s t r y i n g t o c o o r d i n a t e a c h a n g e i n m a g n i t u d e ( s i z e ) w i t h a n u p w a r d d i r e c t i o n a l o n g t h e y - a x i s a n d t h u s w i t h a n u p w a r d c h a n g e i n p o s i t i o n o f t h e c u r s o r a l o n g t h e g r a p h . A l t h o u g h t h e s e t h r e e k i n d s o f c h a n g e a r e o r d e r e d i n t h e s a m e w a y f o r p o s i t i v e n u m b e r s , t h e d i r e c t i o n o f c h a n g e i n m a g n i t u d e f o r n e g a t i v e n u m b e r s i s e x a c t l y b a c k w a r d s f r o m t h a t o f b o t h y - v a l u e s o n t h e a x i s a n d t h e r e l a t i v e v e r t i c a l p o s i t i o n o f t h e c u r s o r . 2 I f t h e y - v a l u e s v a r y g r e a t l y f o r a s m a l l x - i n t e r v a l , t h e g r a p h w i l l a p p e a r v e r t i c a l . - 3 r t a c e m o v e s t h e c u r s o r a l o n g t h e p o i n t s o n a g r a p h ( b o t h w i t h i n a n d o u t s i d e t h e v i e w i n g w i n d o w ) a n d d i s p l a y s t h e v a l u e s o f t h e x a n d y c o o r d i n a t e s o f t h e c u r r e n t p o i n t . I f t h e p o i n t i s o f f t h e s c r e e n , t h e c u r s o r i t s e l f i s n o t d i s p l a y e d . T h e i m a g e s c r o l l s l e f t o r r i g h t i f o n e t r a c e s b e y o n d t h e x - v a l u e s o f t h e w i n d o w c u r r e n t l y d i s p l a y e d . 1 3 6 S t u d e n t s a n d t e a c h e r s s o m e t i m e s r e f e r i n f o r m a l l y t o c h a n g i n g n e g a t i v e n u m b e r s t h a t h a v e l a r g e m a g n i t u d e s a s " g e t t i n g l a r g e , " a s s u m i n g t h a t " o r d e r " a n d " m a g n i t u d e " a r e d i s t i n g u i s h a b l e f r o m t h e c o n t e x t o f t h e c o m m e n t s . C l e a r l y , S a m u s e d t h i s i n f o r m a l l a n g u a g e , b u t d i d n o t d i s t i n g u i s h t h e s e c o n c e p t s h e r e . H i s c o m m e n t s t h a t t h e g r a p h w a s a p a r a b o l a a n d t h a t h e s a w t h e y ’ s a s g o i n g u p , y e t e x p e c t e d t h e m t o c o m e d o w n , i n d i c a t e h e u n d e r s t o o d t h i s f u n c t i o n r u l e t o h a v e a n i n v e r t e d p a r a b o l a a s i t s g r a p h . A s b e t r a c e d l e f t , h a d b e s e e n t h e y - v a l u e s a s d e c r e a s i n g , r a t h e r t h a n i n c r e a s i n g , h e m i g h t h a v e t r a c e d i n s t e a d t o t h e r i g h t t o a r e g i o n w h e r e t h e y - v a l u e s b e c a m e p o s i t i v e . A t t h a t t i m e t h e c h a n g e i n m a g n i t u d e , o r d e r o f y - v a l u e s ( d i r e c t i o n a l o n g t h e y - a x i s ) , a n d o r d e r o f p o i n t s ( v e r t i c a l d i r e c t i o n o f c u r s o r m o v e m e n t ) w o u l d h a v e b e e n s y n o n y m o u s , a n d t h u s e a s i e r t o i n t e r p r e t . I n a d d i t i o n , h a d b e s e e n h i s w i n d o w c h o i c e a s u n s u i t a b l e a n d h a d a c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p o f w i n d o w s i z e t o d o m a i n a n d f u n c t i o n v a l u e s , h e m i g h t h a v e r e c t i fi e d h i s p r o b l e m b y c h a n g i n g t h e d i m e n s i o n s o f t h e w i n d o w t o d i s p l a y a m o r e f a m i l i a r p o r t i o n o f a p a r a b o l a . I n s t e a d , e a c h s t e p l e d h i m f u r t h e r a fi e l d f r o m c o n c e p t s t h a t h e k n e w : t h a t q u a d r a t i c f u n c t i o n s s h o u l d h a v e g r a p h s t h a t a r e p a r a b o l a s , t h o s e w i t h n e g a t i v e l e a d i n g c o e f fi c i e n t s i n t h e f u n c t i o n r u l e o p e n d o w n w a r d , a n d y - v a l u e s r e v e r s e d i r e c t i o n a t t h e v e r t e x . I n t h e e x a m p l e j u s t d i s c u s s e d , S a m u s e d i n f o r m a l l a n g u a g e t h a t w a s s i m i l a r t o t h a t o f t e n u s e d b y t e a c h e r s t o d e s c r i b e i n v a l i d c o n c l u s i o n s a b o u t b e h a v i o r o f n u m b e r s f o r y - c o o r d i n a t e s a n d t h e p o s i t i o n o f t h e i r a s s o c i a t e d p o i n t s o n t h e g r a p h . T h i s e x a m p l e r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t w h a t t e a c h e r s c a n a s s u m e a b o u t s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f t h e o r d e r i n g o f n u m b e r s w h e n t e a c h e r s t h e m s e l v e s u s e e v e r y d a y l a n g u a g e t o d e s c r i b e c h a n g e s i n n e g a t i v e n u m b e r s . S a m ’ s p e r c e p t i o n s a n d l a n g u a g e t o d e s c r i b e m a g n i t u d e o n l y h e r e c o n t r i b u t e d t o c o n c e p t u a l p r o b l e m s . T h e y p r e v e n t e d h i s m a k i n g s e n s e o f a c a l c u l a t o r t a s k w i t h w h i c h h e w a s f a m i l i a r , i n w h i c h h e w a s u s i n g a g o o d s t r a t e g y , a n d i n w h i c h h e h a d v a l i d e x p e c t a t i o n s a b o u t t h e o u t c o m e . 1 3 7 A s w e c o n t i n u e d t h i s p r o b l e m , m y e f f o r t s t o s t r a i g h t e n o u t t h e n u m b e r c o n f u s i o n l e d t o c o n t i n u i n g d i f fi c u l t i e s w i t h t h e v i e w i n g w i n d o w , i n p a r t b e c a u s e o f S a m ’ s s t y l e o f r e s p o n d i n g . I s t a r t e d b y d e c i d i n g t o h e l p S a m d i s c o v e r h i s e r r o r a n d a s k e d i f t h e n u m b e r s w e r e p o s i t i v e o r n e g a t i v e . H e s a i d t h e y w e r e b o t h n e g a t i v e . T h e n I t r i e d t o c a l l h i s a t t e n t i o n t o t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e m a g n i t u d e ( a b s o l u t e v a l u e ) o f a n u m b e r a n d t h e r e l a t i v e o r d e r o f t w o s i g n e d n u m b e r s : G : A r e t h e y g o i n g u p i n a b s o l u t e v a l u e o r a r e t h e y g o i n g d o w n ? A r e t h e y g o i n g u p i f i t ’ s n e g a t i v e ? S : I f i t ’ s a b s o l u t e v a l u e , i t ’ s g o i n ’ t o b e p o s i t i v e a l l t h e t i m e . G : I m e a n t t h e s i z e o f t h e n u m b e r , i s t h e s i z e o f t h e n u m b e r g o i n g u p ? S : D o w n . [ H e c o n t i n u e s t r a c i n g ] G : I t ’ s g o i n g d o w n . I f I s a i d - 2 0 0 i s g o i n g t o - 3 0 0 , i s i t g o i n g u p o r g o i n g d o w n ? S : S a y t h a t a g a i n . G : I f I w e n t f r o m - 2 0 0 t o - 3 0 0 , w o u l d y o u s a y t h a t ’ s g o i n g u p o r g o i n g d o w n ? 8 : U p . G : I t ’ s g o i n g u p i n s i z e , b u t t h e n u m b e r i t s e l f i s a c t u a l l y g o i n g d o w n , i s n ’ t i t ? I s n ’ t - 3 0 0 l e s s t h a n - 2 0 0 ? S : U m - h u h . D u r i n g t h i s e x c h a n g e , S a m w a s v e r y b u s y t r a c i n g o n t h e c a l c u l a t o r . H e a p p e a r e d t o b e p a y i n g o n l y c u r s o r y a t t e n t i o n t o m e . ( A s w i l l b e n o t e d b e l o w , i t i s p o s s i b l e h i s i n a t t e n t i o n t o m e s e r v e d i n p a r t a s a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y t o g e t m e t o n a r r o w t h e f o c u s o f m y q u e s t i o n s t o o n e s h e w a s r e a d y t o a n s w e r . ) W h e n I r a i s e d a b s o l u t e v a l u e , h e g a v e a ” t e x t b o o k ” a n s w e r a b o u t a b s o l u t e v a l u e b e i n g p o s i t i v e a l l t h e t i m e , n o t a t t e m p t i n g t o a n s w e r e i t h e r o f t h e q u e s t i o n s I a s k e d . T h i n k i n g p e r h a p s t h a t t h e d i f fi c u l t y w a s m y p o o r q u e s t i o n i n g , I r e c o n s i d e r e d a n d a s k e d o n l y a b o u t t h e s i z e o f t h e n u m b e r . I h o p e d h e w o u l d u n d e r s t a n d t h i s i n f o r m a l d e s c r i p t i o n t h a t i s s o m e t i m e s u s e d w i t h a b s o l u t e v a l u e , b u t h e a n s w e r e d m y q u e s t i o n a s i f i t w e r e a b o u t t h e o r d e r o f 1 3 8 s i g n e d n u m b e r s w h e n I h a d a s k e d a b o u t u n s i g n e d n u m b e r s . I e c h o e d t h a t h e h a d s a i d " d o w n , " t h i n k i n g p e r h a p s h e h a d fi g u r e d o u t t h e d i s c r e p a n c y b e t w e e n m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n . T o c o n fi r m w h i c h q u e s t i o n h e w a s a n s w e r i n g , I a s k e d a m o r e f o c u s e d q u e s t i o n a b o u t h o w h e p e r c e i v e d c h a n g e b e t w e e n t w o s p e c i fi c n u m b e r s , f r o m - 2 0 0 t o - 3 0 0 . H i s a n s w e r c o n fi r m e d t h a t h e h a d n o t s o r t e d o u t t h e c o n c e p t , b u t p e r c e i v e d t h e s e n u m b e r s a s i n c r e a s i n g , r a t h e r t h a n d e c r e a s i n g . H i s a s k i n g m e t o r e p e a t t h e q u e s t i o n m e a n t h e h a d p a i d o n l y p a r t i a l a t t e n t i o n t o m y q u e s t i o n i n g , a n d o n l y w h e n I p e r s i s t e d d i d h e a t t e n d t o i t . S a m o f t e n a n s w e r e d q u e s t i o n s i n t h i s w a y . H e w o u l d c o n c e n t r a t e o n h i s w o r k a n d g i v e m e a n s w e r s t h a t s e e m e d o n l y p a r t i a l l y c o n n e c t e d t o t h e q u e s t i o n I h a d a s k e d . W h e n I p e r s i s t e d , h e a t t e n d e d t o m y q u e s t i o n a n d a n s w e r e d . S a m ’ s u s e o f d i s c o u r s e i n t h i s w a y a s a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n . A s w e c o n t i n u e d t h e p r o b l e m , S a m a g a i n i g n o r e d i n f o r m a t i o n t h a t h e h a d d e m o n s t r a t e d o n o t h e r o c c a s i o n s . A f t e r h e a n s w e r e d d i r e c t l y t h a t h e s a w t h e c h a n g e f r o m - 2 0 0 t o - 3 0 0 a s g o i n g u p , I e x p l a i n e d t h a t - 3 0 0 w a s l e s s t h a n - 2 0 0 . S a m c o n t i n u e d t o t r a c e . B y t h i s t i m e h e h a d a n x - v a l u e o f - 5 4 a n d g a v e a y - v a l u e o f - 7 0 3 , 0 0 0 . ( S i n c e P ( - 5 4 ) = — 1 , 0 7 0 , 7 0 0 , b e e i t h e r r e a d t h e n u m b e r w r o n g o r h a d e n t e r e d t h e p r o b l e m i n c o r r e c t l y . I n e i t h e r c a s e , t h e s i z e a n d p o s i t i o n o f t h e n u m b e r s i s r o u g h l y t h e s a m e . ) I a s k e d S a m i f i t w a s a l o w n u m b e r o r a h i g h n u m b e r , a n d h e s a i d l o w , b u t w a s s t i l l c o n f u s e d a b o u t w h y h i s g r a p h w a s s t r a i g h t . F i n a l l y , b e r e s e t t h e c a l c u l a t o r t o t h e s t a n d a r d v i e w i n g w i n d o w o f [ - 1 0 , 1 0 ] b y { - 1 0 , 1 0 ] , a c o m m o n s t r a t e g y t o " s t a r t o v e r . " T h e r e s u l t i n g g r a p h , s h o w n i n F i g u r e 4 . 4 b e l o w , a p p e a r e d l i k e a l a d d e r m a d e u p o f t h e s m a l l s e g m e n t o f t h e g r a p h , t h e y - a x i s , a n d t h e t i c k m a r k s f o r s c a l e . S a m c o u l d n o t u n d e r s t a n d t h i s g r a p h , y e t h e d i d n o t u s e a n y i n f o r m a t i o n a b o u t t h e g r a p h o r t h e f u n c t i o n r u l e t o c h o o s e a n a p p r o p r i a t e w i n d o ~ - i n f o r m a t i o n t h a t m i g h t h a v e g i v e n h i m a g r a p h h e r e c o g n i z e d . 1 3 9 F i g u r e 4 . 4 : S a m ’ s L a d d e r G r a p h S a m ’ s o r i g i n a l d e c i s i o n t o t u r n o n t r a c e h a d b e e n a g o o d s t r a t e g y t o e x p l o r e t h e n a t u r e o f t h e c o o r d i n a t e s i n t h e p r o b l e m a n d c o u l d h a v e h e l p e d h i m c h o o s e a s u i t a b l e v i e w i n g w i n d o w , e s p e c i a l l y i f h e h a d t r a c e d i n a n o p p o s i t e d i r e c t i o n t o w a r d 0 , g e t t i n g p o s i t i v e n u m b e r s . I n s t e a d , h i s u s e o f e v e r y d a y l a n g u a g e t o d e s c r i b e d e c r e a s i n g n e g a t i v e v a l u e s a s g e t t i n g l a r g e r c o n f u s e d h i m . E v e n a f t e r I h a d a s k e d s e v e r a l q u e s t i o n s t o t r y t o h e l p h i m , h e d i d n o t u s e t h e i n f o r m a t i o n h e h a d t o g e t u n s t u c k . W h e n S a m d e c i d e d t o s t a r t o v e r w i t h t h e s t a n d a r d v i e w i n g w i n d o w , h e d i d n o t a t t e m p t t o m a k e a n y c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e v i e w i n g w i n d o w a n d t h e n a t u r e o f t h e d a t a i n v o l v e d i n t h e p r o b l e m , a n d b e c a u s e o f t h e u n u s u a l n a t u r e o f t h e g r a p h d i s p l a y e d , h e g o t e v e n m o r e c o n f u s e d . A t n o t i m e d i d h e u s e k n o w l e d g e h e h a d t h a t t h e g r a p h w a s a n i n v e r t e d p a r a b o l a . I m m e d i a t e l y a f t e r w a r d s i n t h e s o r t p r o b l e m , S a m i g n o r e d k n o w l e d g e t h a t h e h a d a b o u t l i n e a r f u n c t i o n s a n d a g a i n r a n i n t o p r o b l e m s w i t h t h e c a l c u l a t o r v i e w i n g w i n d o w . H e f a i l e d t o c o n n e c t a s t r a i g h t l i n e g r a p h t o a l i n e a r f u n c t i o n r u l e , w h i c h o n s e v e r a l o t h e r o c c a s i o n s h e h a d b e e n a b l e t o d o . W h e n S a m t r i e d t o g r a p h t h e f u n c t i o n , s ( p ) = - 3 0 0 p + 2 7 0 ( o n c a r d Q ) , b e a l s o g o t a v e r t i c a l l i n e b e c a u s e o f t h e p a r t i c u l a r w i n d o w d i m e n s i o n s . H e g r o u p e d t h i s c a r d w i t h c a r d B , d i s c u s s e d a b o v e . L a t e r b e g r o u p e d t h e m b o t h w i t h c a r d W “ , a s c a t t e r g r a p h , i n a c a t e g o r y h e c a l l e d , 4 P r i o r t o t h i s , S a m h a d c o n s i d e r e d a g r o u p i n g f o r b o t h B a n d W b a s e d o n r e f e r e n c e s t o " f a s t f o o d r e s t a u r a n t ' o n W a n d “ c o m p a n y “ o n B . S o w h e n b e e x p l o r e d B , W w a s r e a d i l y a v a i l a b l e w i t h i n v i e w , p e r h a p s i n fl u e n c i n g h i s c h o i c e o f ' c o u l d b e a n y w h e r e ' . 1 4 0 ” t h e s e d o t s c o u l d b e a n y w h e r e . " ( A t l e a s t t h r e e o f t h e f o u r f o c a l s t u d e n t s u s e d " i t c o u l d b e a n y w h e r e " o r " i t g o e s a l l o v e r " a s a d e s c r i p t o r f o r s c a t t e r g r a p h s o r n o n - w e l l - b e h a v e d g r a p h s , t h a t i s , a n y t h i n g o t h e r t h a n l i n e s o r p a r a b o l a s . ) S a m g r o u p e d t h e s e t w o c a r d s i n s u c h a c a t e g o r y b e c a u s e h e w a s u n a b l e t o m a k e s e n s e o f t h e g r a p h s p r o d u c e d , m a i n l y b e c a u s e h e c o u l d n o t fi n d a s u i t a b l e v i e w i n g w i n d o w a n d d i d n o t u s e a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y t o s t e p b a c k a n d r e fl e c t o n l e s s i m m e d i a t e k n o w l e d g e h e p o s s e s s e d . O f t e n , h e m a d e d e c i s i o n s b a s e d o n l y o n t h e m o s t r e c e n t r e s u l t o r r e s p o n s e e v e n w h e n t h e y w e r e n o t s e n s i b l e , a s w i l l b e s h o w n i n l a t e r p a s s a g e s . S a m d i d v o i c e c o n c e r n , h o w e v e r , a b o u t h o w s e n s i b l e h i s c h o i c e w a s . A t t h e e n d o f t h e s o r t w h e n h e r e a d o f f h i s s o r t c a t e g o r i e s f o r r e c o r d i n g , h e s a i d h e d i d n o t b e l i e v e t h e g r a p h o f Q . S o a t l e a s t h e r e c o g n i z e d s o m e t h i n g w a s w r o n g w i t h h i s t h i n k i n g . I n t e r a c t i o n a s P r o b l e m S o l v i n g T h r o u g h o u t t h e i n t e r v i e w s S a m i n t e r a c t e d w i t h m e i n w a y s t h a t w e r e , i n t h e i r e f f e c t , p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s . S o m e w e r e h e l p f u l t o h i m , w h i l e o t h e r s h i n d e r e d h i s p r o b l e m s o l v i n g . N a r r o w i n g t h e F o c u s o f Q u e s t i o n s I n t h e p a r a b o l a e x a m p l e a b o v e , S a m d i s p l a y e d a m o d e o f i n t e r a c t i n g i n w h i c h h e p a i d o n l y l i p s e r v i c e t o m y q u e s t i o n s u n t i l t h e y w e r e f o c u s e d o n a h i g h l y s p e c i fi c p i e c e o f i n f o r m a t i o n . A t t h e t i m e o f t h e i n t e r v i e w s , I f e l t h e w a s s i m p l y c o n c e n t r a t i n g o n t h e p r o b l e m h e w a s s o l v i n g a n d p e r h a p s c o n s i d e r e d m y q u e s t i o n s a n i n t r u s i o n o r d i s t r a c t i o n . S e v e r a l t i m e s i n i n t e r v i e w s w h e n I a s k e d a q u e s t i o n t o c o n fi r m s o m e t h i n g h e h a d j u s t s a i d a n d g a v e t w o a l t e r n a t i v e s , S a m a g r e e d w i t h t h e l a s t o n e , e v e n i f i t c o u n t e r e d w h a t h e h a d j u s t s a i d . A l l t h e w h i l e h e a p p e a r e d t o p a y m o r e a t t e n t i o n t o t h e p r o b l e m t h a n m y q u e s t i o n . S o m e t i m e s I f e l t h e w a s a n s w e r i n g o n l y b e c a u s e h e t h o u g h t I e x p e c t e d a n a n s w e r . O n l y w h e n I p e r s i s t e d i n q u e s t i o n i n g w o u l d S a m a t t e n d t o t h e q u e s t i o n a n d g i v e a t h o u g h t f u l a n s w e r . A t o n e p o i n t I w r o t e i n m y n o t e s t h a t h e m a y h a v e a n a t t e n t i o n s p a n p r o b l e m a s t h e r e w e r e s e v e r a l 1 4 1 i n s t a n c e s i n h i s i n t e r v i e w s o f h i s s a y i n g o n e t h i n g a n d w r i t i n g a n o t h e r . S o m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s s i t u a t i o n s e e m e d r e a s o n a b l e a t t h e t i m e . O n r e fl e c t i o n , h o w e v e r , a n o t h e r p o s s i b i l i t y c o m e s t o m i n d . T h e q u e s t i o n S a m s k i r t e d a r o u n d h e r e o n c a r d B a n d t h e m a g n i t u d e o f n e g a t i v e n u m b e r s w a s a c o n c e p t u a l q u e s t i o n a b o u t h o w n u m b e r s a r e o r d e r e d . I n t h e p a s s a g e a b o v e o n q u e s t i o n i n g w h e t h e r n u m b e r s w e r e i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g , S a m c o n t i n u e d t o g i v e m e p a r t i a l o r m i s l e a d i n g a n s w e r s . H i s r e s p o n s e s t o m y q u e s t i o n s h a d a n e f f e c t o n t h e i n t e r v i e w i n g p r o c e s s . T h e y c a u s e d m e t o n a r r o w t h e q u e s t i o n s f r o m o n e a b o u t a g e n e r a l c o n c e p t t o o n e i n v o l v i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a s i n g l e p a i r o f n u m b e r s . A l t h o u g h S a m m i g h t h a v e b e e n i g n o r i n g m e s o m e w h a t a s b e c o n c e n t r a t e d o n t h e p r o b l e m , t h e n e t e f f e c t o f t h e i n t e r a c t i o n w a s t h a t u l t i m a t e l y I a s k e d a q u e s t i o n t h a t h e c o u l d r e a d i l y a n s w e r . T h i s s t y l e o f d e l a y i n g o r d e fl e c t i n g r e s p o n s e s , i f i n t e n t i o n a l , w a s a r e a s o n a b l e p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y o n h i s p a r e - s h a p i n g m y b e h a v i o r a s a n i n t e r v i e w e r t o s i m p l i f y t h e t a s k . S e e k i n g C l u e s A n o t h e r s t y l e o f i n t e r a c t i n g w i t h m e t h a t s e e m e d t o a d v a n c e S a m ’ s p r o b l e m s o l v i n g w a s h i s u s e o f q u e s t i o n s t o g a i n c l u e s f o r h o w t o p r o c e e d . S a m b e g a n 7 o f t h e 1 7 p r o b l e m s h e w o r k e d o n d u r i n g i n t e r v i e w s w i t h a s e q u e n c e o f q u e s t i o n s t h a t s o u g h t a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p r o b l e m . O n t w o o f t h e s e o c c a s i o n s ( P r o b l e m s 1 - 1 , 4 A - 1 ) , h i s q u e s t i o n s w e r e o n l y t o fi n d o u t w h a t I e x p e c t e d o f h i m , m u c h a s a c o o p e r a t i v e s t u d e n t w o u l d a s k a t e a c h e r i n c l a s s . F o r e x a m p l e , a t t h e b e g i n n i n g o f t h e f o u r t h i n t e r v i e w h e a s k e d i f I w a n t e d h i m t o t h i n k a l o u d a n d w h e t h e r I w a n t e d h i m t o w r i t e h i s r e s p o n s e . O n e a c h i n t e r v i e w p r i o r t o t h a t p o i n t , I h a d a s k e d h i m t o t h i n k a l o u d a n d h a d l e t h i m g i v e s o m e l e n g t h y r e s p o n s e s o r a l l y . C l e a r l y , h e s i m p l y w a n t e d t o c o m p l y w i t h m y w i s h e s . S o m e t i m e s S a m w a n t e d c l a r i fi c a t i o n o f t e r m s o r o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t t h a t m i g h t b e n e c e s s a r y t o s o l v e t h e p r o b l e m . F o r e x a m p l e i n p r o b l e m 2 A - 1 i n F i g u r e i t i s a b e t t e r c h o i c e . B a g fi n B fi L a n . - . H a U S . , E s E \ l ‘ Y i m 1 4 2 4 . 5 , a f t e r h e h a d s a i d h e d i d n o t u n d e r s t a n d i t , b u t w o u l d t r y , I a s k e d w h a t h e d i d n o t u n d e r s t a n d , i n v i t i n g a q u e s t i o n . H e a s k e d a b o u t t h e m e a n i n g o f i n p u t a n d o u t p u t , a A . 1 . B e l o w i s a t a b l e f o r a f u n c t i o n r u l e . A f t e r s e e i n g o n l y t h e t a b l e , A l i c e , B e n , a n d C a r o l i n a e a c h s k e t c h e d a g r a p h . T h e i r g r a p h s a r e l a b e l e d a . b , a n d c . a n d a r e s h o w n b e l o w . i n p u t o u t p u t 0 4 l 2 2 0 5 - 2 1 0 - 4 A \ l o n - A ? ‘ I 5 . s . Q a D i s c u s s w h y Y o u a g r e e o r d i s a g r e e w i t h e a c h c h o i c e . E x p l a i n y o u r r e a s o n i n g . I ! y o u d o n o t a g r e e w i t h a n y o f t h e c h o i c e s . p l e a s e u n k - y o u r o w n g r a p h a n d e x p l a i n i n w h a t w a y F i g u r e 4 . 5 : S a m ’ s W o r k o n P r o b l e m 2 A - l , A l i c e , B e a , a n d C a r o l i n a c l a r i f y i n g q u e s t i o n . A f t e r I h a d e x p l a i n e d t h e i r m e a n i n g , h e a s k e d a n o t h e r c l a r i f y i n g q u e s t i o n a n d o n e t o c h e c k i f h e h a d u n d e r s t o o d c o r r e c t l y : S : G : A n d I g o t t a m a t c h ’ e m u p w i t h t h e s e ? ( t h e g r a p h s ) W h a t w e ’ r e s a y i n g h e r e i s t h e s e a r e t h r e e g i r l s . T h r e e g i r l s h a v e m a d e t h i s a s a t e n t a t i v e s o l u t i o n . A l i c e t h i n k s t h i s i s t h e g r a p h . B e a t h i n k s t h i s i s t h e g r a p h , a n d C a r o l i n a t h i n k s t h i s i s t h e g r a p h . S o I w a n t y o u t o c r i t i q u e t h e i r w o r k [ 8 : O h , o k a y . ] t o s a y w h e t h e r y o u a g r e e o r d i s a g r e e a n d s o o n . W h i c h o n e I a g r e e w i t h ? G : S : 1 4 3 Y e s , a n d w h y d o y o u t h i n k i t . S o d o w n h e r e i s r e a l l y w h a t I w a n t y o u t o d o . O h , o k a y . S i n c e t h e a c t u a l q u e s t i o n f o r t h e p r o b l e m w a s w r i t t e n b e l o w t h e g r a p h s , I r e a s o n e d h e m i g h t n o t h a v e r e a d t h e q u e s t i o n i t s e l f , s o I p o i n t e d i t o u t t o h i m . H i s q u e s t i o n i n g h e r e , b o t h a b o u t t h e m e a n i n g o f t h e t e r m s i n p u t a n d o u t p u t a n d w h a t t a s k h e w a s t o p e r f o r m , w a s n e c e s s a r y f o r h i m t o t a c k l e t h e p r o b l e m . A t o t h e r t i m e s , h o w e v e r , S a m s e e m e d t o b e s e e k i n g h i n t s f o r h o w t o p r o c e e d . I n p r o b l e m 2 A - 2 ( s e e F i g u r e 4 . 6 b e l o w ) h e a s k e d a n u m b e r o f q u e s t i o n s : S : G : Y o u w a n t m e t o d r a w t h i s ? I w a n t y o u t o r e a d w h a t t h i s p r o b l e m i s a n d s e e w h a t y o u c a n d o w i t h t h i s p r o b l e m . N o w , I ’ m g o i n g t o l o o k o v e r t h i s a g a i n . O k a y . [ h e r e a d s t h e p r o b l e m ] T h i s i s l i k e t h a t x + l s t u f f e q u a l y . Y o u g o t i t . S o t h a t ’ s w h a t t h e f u n c t i o n r u l e i s ? T h e f u n c t i o n r u l e i s l i k e w h a t y o u w e r e d o i n g i n c l a s s w h e n y o u w e r e t r y i n g t o fi n d t h e f u n c t i o n r u l e . [ p a u s e ] O k a y , n o w I r e m e m b e r . I t ’ d b e l i k e x [ p a u s e ] , t w o x e q u a l [ p a u s e ] y . [ w r i t e s 2 x = y ] I d o n ’ t k n o w . I d o n ’ t k n o w i f I ’ m r i g h t . I c a n ’ t r e m e m b e r . F o r t h e t a b l e b e l o w , w h a t i s t h e f u n c t i o n r u l e ? W h a t i s t h e o u t p u t f o r i n p u t 1 5 ? i n p u t 3 0 ? i n p u t o u t p u t 1 1 0 2 5 3 0 5 - 1 0 1 0 - 3 5 F i g u r e 4 . 6 : P r o b l e m 2 A - 2 1 4 4 S a m h a d s e e m e d t o c o n n e c t t h i s p r o b l e m t o t h e g r a p h s o f t h e p r e c e d i n g p r o b l e m ( 2 A - l ) , d i s c u s s e d a b o v e , s o h e a s k e d i f I w a n t e d a g r a p h , a c l a r i f y i n g q u e s t i o n . A f t e r I t o l d h i m t o j u s t r e a d t h e p r o b l e m , h e c h e c k e d h i s u n d e r s t a n d i n g t h a t a f u n c t i o n m l e w a s a n e q u a t i o n w r i t t e n y e q u a l s a n e x p r e s s i o n i n v o l v i n g x . W h e n I a g r e e d w i t h h i m , h e a s k e d a g a i n a b o u t w h a t t h e f u n c t i o n r u l e w a s . A t t h e t i m e I s e n s e d h e w a s fi s h i n g f o r a d i r e c t i o n t o p r o c e e d , a n d s o s i m p l y m e n t i o n e d w e h a d d o n e f u n c t i o n r u l e s i n c l a s s a n d g a v e c o m p l e t e l y r e d u n d a n t i n f o r m a t i o n . M y r e s p o n s e n o l o n g e r a d d e d a n y t h i n g u s e f u l t o t h e p r o b l e m s o l u t i o n . S a m t h e n m a d e a g u e s s , b u t h i s a n n o u n c e m e n t t h a t h e d i d n o t r e a l l y k n o w i f h i s g u e s s w a s r i g h t i n d i c a t e d h e w a s s t u c k a n d h i n t i n g f o r a d d i t i o n a l h e l p . T h i s s t r a t e g y w a s w i s e s i n c e w h e n s t u d e n t s w e r e s t u c k , I u s u a l l y p r o v i d e d s o m e q u e s t i o n o r b i t o f i n f o r m a t i o n t h a t w o u l d h e l p t h e m g e t g o i n g a g a i n . W e c o n t i n u e d t h e p r o b l e m w i t h m y g i v i n g h i m h e l p b y a s k i n g i f h i s r u l e fi t t h e t a b l e . B y t h a t t i m e S a m h a d fi g u r e d o u t t o l o o k f o r a p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e d a t a a n d i m m e d i a t e l y c o m p u t e d t h e p a t t e r n o f c h a n g e . O u r q u e s t i o n a n d a n s w e r s e s s i o n h a d g i v e n h i m e n o u g h i n f o r m a t i o n , o r p o s s i b l y j u s t t i m e t o t h i n k , a b o u t t h e p r o b l e m t o g e t h i m s t a r t e d . T h e w r i t t e n t r a n s c r i p t a p p e a r s t o l e n d i t s e l f t o a n a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f m y c o m m e n t , ” y o u g o t i t , " a s a s t a t e m e n t t h a t h i s a n s w e r w a s c o r r e c t a n d t h u s , h e w a s a s k i n g i n d i s b e l i e f t h a t i t w a s t h e c o r r e c t f u n c t i o n r u l e . I d o n o t t h i n k t h i s i s a v a l i d i n t e r p r e t a t i o n b e c a u s e o f t h e i n t o n a t i o n s w e b o t h u s e d a n d b e c a u s e h e u s e d t h e w o r d ” s t u f f , " w h i c h h e o f t e n d i d t o r e f e r t o a c a t e g o r y o f t h i n g s , i n t h i s c a s e f u n c t i o n m l e s , r a t h e r t h a n a s i n g l e i t e m . I n t h e P r o fi t P r o b l e m f r o m i n t e r v i e w 3 , a l o n g c o m p l e x , s i t u a t e d p r o b l e m i n v o l v i n g c o m p a r i s o n o f t w o p o l y n o m i a l f u n c t i o n s , t o b e d i s c u s s e d l a t e r , S a m a l s o e n g a g e d i n a l o n g s e q u e n c e o f q u e s t i o n s a n d c o m m e n t s b e f o r e h e c h o s e a n y p l a n o f a c t i o n . A t t h e b e g i n n i n g o f i n t e r v i e w s , S a m a s k e d a t o t a l o f 1 7 q u e s t i o n s a b o u t t h e p r o b l e m s t h e m s e l v e s a n d 4 a b o u t w h a t I w a n t e d f r o m h i m . T w i c e h e s t a t e d t h a t h e 1 4 5 w o u l d t r y t o d o t h e p r o b l e m , a n d i n a t l e a s t t h r e e c a s e s s t a t e d e i t h e r h e d i d n o t k n o w h o w t o d o t h e p r o b l e m o r t h o u g h t h e w o u l d h a v e d i f fi c u l t y d o i n g i t . T o n i , o n t h e o t h e r h a n d , a s k e d o n l y t h r e e q u e s t i o n s a b o u t t h e p r o b l e m s t h e m s e l v e s i n a l l i n t e r v i e w p r o b l e m s , a n d t w o o f t h e s e w e r e a b o u t i n f o r m a t i o n m i s s i n g o n a d i a g r a m , s u c h a s w h i c h a x i s w a s c o n s i d e r e d t h e x - a x i s . S h e a s k e d w h a t I w a n t e d o n t h r e e o c c a s i o n s , o n c e s a i d s h e w o u l d t r y t o d o t h e p r o b l e m , a n d o n l y o n c e s t a t e d s h e w a s u n s u r e s h e c o u l d d o i t a t t h e b e g i n n i n g o f a n i n t e r v i e w p r o b l e m . R e s e a r c h e r ’ s C o m m e m a n d Q u e s t i o n s D i g g e r i n g R e s p o n s e s S a m s e e m e d a t t u n e d t o m y q u e s t i o n s a s w e l l , s o m e t i m e s t a k i n g t h e m d i r e c t l y a s h i n t s . A t o t h e r t i m e s t h e y s e e m e d t o t r i g g e r a c h a n g e i n t h e d i r e c t i o n o f h i s p r o b l e m s o l v i n g . A s w e c o n t i n u e d p r o b l e m 2 A - 2 , o n e o f m y q u e s t i o n s h e l p e d h i m a g a i n . H e h a d j u s t d e s c r i b e d t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e t a b l e a n d c o n j e c t u r e d a r u l e , y = - 5 x , w h i c h m a t c h e d t h e c h a n g e p a t t e r n i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , b u t n o t t h e t a b l e a s a w h o l e . S a m q u i c k l y s c r a t c h e d i t o u t . I t o l d h i m t o j u s t p u t a n x t h r o u g h h i s w o r k s o I h a d a r e c o r d o f h i s t h i n k i n g a n d t h e n a s k e d h i m w h y h e s c r a t c h e d o u t t h e - 5 x . H e e x p l a i n e d t h a t w h e n h e h a d s u b s t i t u t e d 1 f o r x , t h e r e s u l t d i d n o t m a t c h t h e t a b l e e n t r y . U n b e k n o w n s t t o m e , a s w i l l b e s e e n b e l o w , t h i s q u e s t i o n c a u s e d h i m t o r e c o n s i d e r h i s c h o i c e a n d q u i c k l y a d d t h e n e c e s s a r y 1 5 t o v e r b a l l y g i v e t h e c o r r e c t r u l e . A s h e c o n t i n u e d , h e m a d e a n u m b e r o f r e c o r d i n g e r r o r s , b u t fi n a l l y w r o t e t h e r u l e c o r r e c t l y a s y = - 5 x + 1 5 a n d c h e c k e d i t s a c c u r a c y w i t h x = 2 a n d x = 3 . W h e n I a s k e d S a m i f h e w a s s u r e a b o u t i t , h e c h e c k e d t h e r e s t o f t h e t a b l e e n t r i e s i n h i s r u l e . H e t o o k m y q u e s t i o n t o i n d i c a t e t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e r u l e c o u l d b e w r o n g . A t t h e e n d o f t h e p r o b l e m h e a n n o u n c e d t h a t h e d i d t h e p r o b l e m w i t h " t h a t h i m " f r o m m e . W h e n I a s k e d w h a t h i n t , h e s a i d , " W h e n y o u s a i d w h y d i d y o u s c r a t c h o u t t h a t fi v e , n e g a t i v e fi v e . " T h i s q u e s t i o n b e c a m e a h i n t n o t t o a b a n d o n y = - 5 x . S a m h a d s t a r t e d t h i s p r o b l e m w i t h s e v e r a l q u e s t i o n s t h a t g a v e h i m a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n . W h e n h e w a s s t u c k , h e g o t a s u g g e s t i o n a b o u t h o w t o 1 4 6 p r o c e e d . H e w a s e x p l i c i t a b o u t h o w m y q u e s t i o n c a u s e d h i m t o r e c o n s i d e r h i s fi r s t c h o i c e . F i n a l l y , w h e n I a s k e d i f h e w e r e s u r e a b o u t a r e s p o n s e , i t t r i g g e r e d a d d i t i o n a l c h e c k i n g f o r a c o r r e c t s o l u t i o n o f t h e t a b l e v a l u e s . U n t i l I h a d a s k e d , S a m h a d o m i t t e d c h e c k i n g t h e r e m a i n i n g t a b l e e n t r i e s i n t h e r u l e , a s t e p t h a t w a s n e c e s s a r y u n l e s s h e g a v e s o m e o t h e r a r g u m e n t t o c o n fi r m t h e m a t c h b e t w e e n t h e e q u a t i o n a n d a l l t a b l e e n t r i e s . S o m e t i m e s m y q u e s t i o n s a b o u t w h e t h e r h e w a s s u r e a b o u t a r e s p o n s e t r i g g e r e d c h e c k s t h a t w e r e n o t n e c e s s a r y . I n w o r k i n g o n t h e A l i c e , B e a , C a r o l i n a p r o b l e m , d i s c u s s e d a b o v e ( 2 A - l i n F i g u r e 4 . 5 ) , S a m h a d u s e d t h e u n i t s f r o m a s h e e t o f g r a p h p a p e r t o p l o t t h e p o i n t s i n t h e t a b l e o n t h e a x e s f o r A l i c e ’ s g r a p h . H e t h e n c h o s e B e a ’ s g r a p h a s c o r r e c t , a n d w h e n I a s k e d w h y , h e e x p l a i n e d h i s c h o i c e w e l l : S : B e c a u s e t h e f o r m r i g h t t h e r e f o l l o w s t h e p a t t e r n t h a t s h e g o t . G : T h e p a t t e r n o f t h e d o t s t h a t y o u d r e w [ T : u m - h u h ] l o o k s m o r e l i k e B e a ’ s p a t t e r n ? S : Y e a h . S o I ’ m g o i n g t o s a y h e r c h a r t i s m o r e a c c u r a t e t h a n t h e i r s . N o w , I ’ m g o n n a r e c h e c k m y s t u f f t o s e e i f I ’ m r i g h t . H e r e w h e n I s i m p l y e c h o e d h i s r e s p o n s e , s u b s t i t u t i n g ” B e a ” f o r ” s h e , " h e h a d r e p e a t e d t h e p o i n t p l o t t i n g w i t h t h e s a m e u n i t s , t h i s t i m e o n B e a ’ s a x i s . H e h a d j u d g e d t h e m a t c h c o r r e c t l y b y t h e s h a p e , s o t h e r e w a s n o n e e d t o r e p e a t t h i s p l o t t i n g . M y q u e s t i o n h a d s e e m e d t o t r i g g e r t h e c h e c k . S a m ’ s b e i n g t u n e d i n t o m y r e s p o n s e s w a s a f r e q u e n t o c c u r r e n c e , a n d a s a n o v i c e i n t e r v i e w e r , I h a d t o w o r k v e r y h a r d t o r e f r a i n f r o m g i v i n g c l u e s t o S a m i n a d v e r t e n t l y . I a s s u m e S a m h a d l e a r n e d a s t r a t e g y o f p a y i n g c a r e f u l a t t e n t i o n t o t e a c h e r s ’ r e s p o n s e s . I t i s l i k e l y t h a t a s k i n g a l a r g e n u m b e r o f q u e s t i o n s o r g e t t i n g a p r o b l e m r e p h r a s e d c o u l d r e s u l t i n s u b t l e d i f f e r e n c e s i n a p r o b l e m s t a t e m e n t t h a t m a d e i t . c l e a r e r . A n s w e r s c o u l d a l s o c l a r i f y ” w h a t t h e t e a c h e r w a n t e d . " I n a d d i t i o n , i t i s l i k e l y s t u d e n t s a r e f a m i l i a r w i t h a s t y l e o f q u e s t i o n i n g i n m a t h e m a t i c s c l a s s e s w h e r e , w h e n s t u d e n t s g i v e w r o n g o r i n c o m p l e t e r e s u l t s , t h e i r t e a c h e r s e c h o s t u d e n t s ’ 1 4 7 r e s p o n s e s o r a s k i f t h e y a r e s u r e o f a n a n s w e r s p e c i fi c a l l y t o i n d i c a t e t h e s t u d e n t s ’ a n s w e r s a r e w r o n g w i t h o u t s a y i n g s o d i r e c t l y . T h u s , t h e y g i v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o t h i n k h a r d e r a b o u t t h e p r o b l e m b y e x t e n d i n g t h e t i m e . I h a d t h e s t r o n g s e n s e i n w o r k i n g w i t h S a m t h a t s o m e t i m e s h i s q u e s t i o n s w e r e " b u y i n g t i m e " t o t h i n k , a s w e l l a s t o g e t h i n t s , w h i l e h e t h o u g h t a b o u t h o w t o p r o c e e d . I n t e r a c t i o n D i f fi c u l t i e s L i v i n g i n t h e M o m e n t o r I l i g g e r i n g Y o u r O w n R e s p o n s e s S a m ’ s r e s p o n s e s t o m y c o m m e n t s o r q u e s t i o n s o f t e n s e e m e d a s m u c h a b o u t o u r s o c i a l i n t e r a c t i o n a s t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t . B e s i d e s s k i l l f u l l y q u e s t i o n i n g m e t o g e t i n f o r m a t i o n f o r h i s p r o b l e m s o l v i n g a n d l i s t e n i n g f o r c u e s a m o n g m y a n s w e r s , h e a l s o e n g a g e d i n a s t y l e o f i n t e r a c t i n g d u r i n g i n t e r v i e w s t h a t I c a m e t o t h i n k o f a s " l i v i n g i n t h e m o m e n t , " t h a t i s , h e s e e m e d s o m e t i m e s t o j u s t r e a c t t o t h e l a s t i t e m m e n t i o n e d , w h e t h e r i t m a d e a n y s e n s e m a t h e m a t i c a l l y o r w a s r e l e v a n t t o t h e c u r r e n t i s s u e b e i n g d i s c u s s e d . F o r e x a m p l e , h i s r e s p o n s e a b o v e , w h e n I w a s q u e s t i o n i n g h i m a b o u t m a g n i t u d e o f d e c r e a s i n g n e g a t i v e n u m b e r s a n d u s e d t h e t e r m , a b s o l u t e v a l u e , w a s t h a t i t w a s a l w a y s p o s i t i v e . T h i s a n s w e r w a s n e a r l y c o r r e c t , b u t w a s a n a n s w e r t o a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t q u e s t i o n f r o m t h e o n e s I h a d a s k e d . H e h a d j u s t r e s p o n d e d t o t h e w o r d s , a b s o l u t e v a l u e , t h a t i s , t o t h e l a n g u a g e o n l y . L a t e r i n i n t e r v i e w 2 , d u r i n g a p r o b l e m t o fi t a g r a p h t o a s i t u a t i o n a b o u t e d u c a t i o n a l v a l u e a s a f u n c t i o n o f d i f fi c u l t y o f w o r k ( 2 B - 2 ) , a n d w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d a t c o n s i d e r a b l e l e n g t h b e l o w , S a m a n s w e r e d m a n y q u e s t i o n s . M a n y t i m e s h e s i m p l y u s e d h i s l a s t r e s p o n s e a b o u t t h e s i t u a t i o n a s a t r i g g e r f o r h i s n e x t a c t i o n - 4 0 c r e a t e a n e w a s p e c t o f t h e s i t u a t i o n - - w i t h o u t a p p a r e n t r e g a r d t o t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d a t a l l . W h e n t h a t e x a m p l e i s d i s c u s s e d , e m p h a s i s w i l l b e o n h i s r e a s o n i n g w i t h i n t h e s i t u a t i o n , r a t h e r t h a n a b o u t t h e m a t h e m a t i c s . O n e a s p e c t o f h i s r e a s o n i n g i s t h i s l i v i n g i n t h e m o m e n t b y " c h a i n i n g a n s w e r s , ” t h a t i s , b y u s i n g a r e c e n t o r t h e l a s t r e s p o n s e f o r a n a c t i o n o r j u s t i fi c a t i o n , w h e t h e r i t m a k e s s e n s e t o d o s o o r n o t . F i n a l l y , i n t h e s o r t p r o b l e m , 1 4 8 w h e r e S a m h a d d i f fi c u l t y c o m i n g u p w i t h c a t e g o r i e s , a n a n a l y s i s o f h i s s t r a t e g i e s t o d e t e r m i n e s o r t c l a s s e s r e v e a l e d t h a t s o m e t i m e s h e b a s e d n e w c a t e g o r i e s o n a n i m m e d i a t e l y p r i o r i d e a . C r e a t i v e p r o b l e m s o l v e r s o f t e n r e l y o n o n e i d e a g e n e r a t i n g t h e n e x t , a n d t h i s s t r a t e g y c a n b e q u i t e p r o d u c t i v e i f e a c h n e w a p p l i c a t i o n i s c h e c k e d f o r s e n s i b l e n e s s . S a m s e e m e d s i m p l y t o c h a i n t o g e t h e r h i s i d e a s w i t h o u t s u f fi c i e n t c h e c k s . F o r e x a m p l e , a t o n e p o i n t h e w a s t r y i n g t o p a i r u p c a r d s h a v i n g g r a p h s w i t h t h o s e h a v i n g e i t h e r v e r b a l d e s c r i p t i o n s o r t a b l e s b y m a t c h i n g t h e s a m e n u m b e r s w i t h i n a p r o b l e m . T h i s w a s a g o o d i n i t i a l s t r a t e g y , s i n c e n o n - m a t c h i n g n u m b e r s c o u l d s e r v e a s a c o u n t e r e x a m p l e f o r a m a t c h b e t w e e n t w o d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s a m e p r o b l e m . W h e n S a m d i d n o t fi n d a n y s u c h m a t c h e s , b e a b a n d o n e d t h i s p u r p o s e o f t w o r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e s a m e d a t a a n d s i m p l y m a t c h e d c a r d s t h a t h a d s i m i l a r n u m b e r s . H e m a t c h e d t w o c a r d s ( E a n d S ) t h a t h a d s i m i l a r p a i r s , 5 0 0 a n d 1 0 0 0 , a n d 5 a n d 1 0 , b u t l i t t l e e l s e i n c o m m o n e x c e p t t h a t t h e n u m b e r s w e r e d o u b l e e a c h o t h e r i n p a i r s . C a r d S w a s a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n x a n d y : F o r e a c h 5 u n i t s x i n c r e a s e s , y i n c r e a s e s 1 0 . C a r d E w a s a g r a p h g r i d w i t h a s i n g l e p o i n t a t 1 5 0 0 o n t h e y - a x i s w i t h 5 0 0 , 1 0 0 0 , a n d 1 5 0 0 a s y - a x i s l a b e l s . S a m s u r e l y w a s c o n n e c t i n g t h i s b a c k t o a n e a r l i e r , t e n t a t i v e m a t c h o f c a r d S t o c a r d A ( ” A s t h e n u m b e r o f w o r k e r s d o u b l e s , t h e a m o u n t o f t i m e t o d o t h e w o r k i s c u t i n h a l f " ) , w h i c h b e j u s t i fi e d b y s a y i n g , ” b e c a u s e i t t a l k a b o u t t h a t d o u b l i n g a n d s t u f f . " T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n n u m b e r s w i t h i n c a r d s E a n d S w e r e i n d e e d d o u b l e s , a n d b o t h i n v o l v e d 5 ’ s a n d 1 0 ’ s . H i s j u s t i fi c a t i o n , h o w e v e r , d i d n o t m a k e s e n s e m a t h e m a t i c a l l y . H e h a d j u s t c h a i n e d t h e s e i d e a s t o g e t h e r . H i s s o r t i n g c o n t a i n e d o t h e r e x a m p l e s o f t h i s s a m e b e h a v i o r . K a p u t ( 1 9 9 2 ) , i n a n e x p e r i m e n t a l s t u d y w i t h U p w a r d B o u n d s t u d e n t s a n d u s i n g a v e r s i o n o f a c o m p u t e r p r o g r a m , G u e s s M y R u l e , m o d i fi e d s o t h a t s t u d e n t s h a d a c c e s s t o t h e r e s u l t s o f p r e v i o u s g u e s s e s , r e p o r t e d s i m i l a r b e h a v i o r i n a s t u d e n t , K G . K G o f t e n u s e d t h e c o m p u t e r ’ s l a t e s t r e s p o n s e t o h e r p r e v i o u s g u e s s a s a s t r a t e g y t o 1 4 9 f o r m h e r n e x t g u e s s , i g n o r i n g m u c h o t h e r i n f o r m a t i o n t h a t w a s i m m e d i a t e l y a v a i l a b l e o n t h e s c r e e n a n d w h i c h w o u l d r e f u t e t h e g u e s s s h e h a d j u s t m a d e , h a d s h e c o n s i d e r e d i t . S a m ’ s i n t e r a c t i o n s t y l e t o l i v e i n t h e m o m e n t a n d c h a i n t o g e t h e r r e s p o n s e s g e n e r a l l y m o v e d t h e i n t e r v i e w a l o n g , b u t d i d n o t u s u a l l y h e l p h i s p r o b l e m s o l v i n g . I n g e n e r a l , i t h i n d e r e d h i s s u c c e s s , a s w i l l b e s e e n i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s . T a l k i n g P a s t E a c h O t h e r : R e s e a r c h e r a n d S t u d e n t C o m m u n i c a t i o n M i s m a t c h N o t a l l d i s c o u r s e i n t e r a c t i o n s c o u l d b e c o n n e c t e d t o p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s . S o m e m i g h t b e m o r e a c c u r a t e l y c a l l e d c h a r a c t e r i z e d a s c o m m u n i c a t i o n m i s m a t c h e s . S o m e t i m e s d u r i n g a n i n t e r v i e w S a m w o u l d a n s w e r a d i f f e r e n t q u e s t i o n f r o m t h e o n e I h a d a s k e d . T h i s s a m e p h e n o m e n o n h a p p e n e d w i t h o t h e r f o c a l s t u d e n t s a s w e l l , b u t n o t s o f r e q u e n t l y a s w i t h S a m . F o r e x a m p l e , w h e n w e h a d a l m o s t fi n i s h e d p r o b l e m 2 A — 2 , t h e p r o b l e m j u s t d i s c u s s e d a b o v e t o m a t c h a t a b l e t o a l i n e a r f u n c t i o n r u l e , = - 5 x + 1 5 , I a t t e m p t e d t o fi n d o u t h o w S a m d e c i d e d o n m u l t i p l i c a t i o n , r a t h e r t h a n s u b t r a c t i o n : G : - t h e n y o u s a i d - 5 x . W h a t m a d e y o u m u l t i p l y r a t h e r t h a n , s a y , s u b t r a c t , i s w h a t I ’ m t h i n k i n g a b o u t ? S : B e c a u s e , s e e w h e n I m u l t i p l y t h a t 5 [ G : u m - h u h . ] i t g e t t h e r e f a s t e r , t h a n a d d i n g . S o w h e n y o u m u l t i p l y , w h e n I m u l t i p l i e d i t , i t g o t m e t h a t 1 0 q u i c k e r . [ G z u m - h u h . ] A n d t h e n I c o u l d j u s t s u b t r a c t t h e 1 5 f r o m i t a n d i t ’ l l m a k e i t e a s i e r . G : . A n d y o u n e e d e d t h i s 1 5 t o “ ? [ S : t o fi n i s h t h e p r o b l e m ] t o fi n i s h t h e p r o b l e m - - [ 8 : y e a h ] S a m h a d a n s w e r e d m y fi r s t q u e s t i o n b y c o n t r a s t i n g t h e r e l a t i v e c h a n g e s c a u s e d b y m u l t i p l i c a t i o n a n d s u b t r a c t i o n . H e s e e m e d t o o r d e r t h e o p e r a t i o n s b y s o m e i n f o r m a l r a t e o f c h a n g e . I n d i s c u s s i n g t h e 1 5 , h o w e v e r , h e g a v e t w o u n e x p e c t e d a n s w e r s . H i s fi r s t , ” t o m a k e t h e p r o b l e m e a s i e r ” m a d e n o s e n s e t o m e a t t h e t i m e a n d s o u n d e d l i k e a fi l l e r o f s o m e s o r t . I t i s p o s s i b l e h e m e a n t t h e 1 5 w a s n e c e s s a r y t o m a k e t h e r u l e a n d t a b l e m a t c h , b u t I t h i n k n o t b e c a u s e i n h i s r e s p o n s e t o w h a t t h e 1 5 w a s n e e d e d f o r , h e s i m p l y s t a t e d h i s g o a l , w h i c h w a s t o fi n i s h t h e p r o b l e m . I h a d e x p e c t e d a 1 5 0 m a t h e m t i c s r e l a t e d a n s w e r s u c h a s t h e 1 5 w a s n e c e s s a r y s o t h e n u m b e r s i n t h e t a b l e s a t i s fi e d t h e r u l e , o r s o m e p o r t i o n o r v a r i a t i o n o f t h i s i d e a . O t h e r s t u d e n t s r e s p o n d e d b y a n s w e r i n g q u e s t i o n s i n a w a y t h a t m i s m a t c h e d m y i n t e n t i o n s , t o o . S o m e a n s w e r e d " w h y ” q u e s t i o n s w i t h m o t i v a t i o n o r p u r p o s e a n d " h o w d o y o u k n o w t h i s ” q u e s t i o n s w i t h w h e r e t h e y h a d l e a r n e d i t . C l e a r l y , i n c i d e n c e s l i k e t h e s e , w h e r e t h e r e i s a m i s m a t c h b e t w e e n w h a t i s a s k e d a n d h o w i t i s h e a r d , c a n b e a t t r i b u t e d i n p a r t t o m y n o v i c e s t a t u s a s a r e s e a r c h e r . O t h e r i n c i d e n c e s w e r e s u r e l y b e c a u s e I a m a m a t h t e a c h e r . I a s s u m e d t h e p h r a s e , " h o w d o y o u k n o w t h a t , " w o u l d b e i n t e r p r e t e d a s n e e d i n g a m a t h e m a t i c a l j u s t i fi c a t i o n , b u t t h e s t u d e n t i n t e r p r e t e d t h e p h r a s e i n a v a l i d w a y a s " w h e r e d i d y o u l e a r n i t ” o r " f r o m w h o m d i d y o u g e t t h a t i n f o r m a t i o n , " b o t h o f w h i c h w o u l d l i k e l y h a v e b e e n h a r d t o r e c a l l . T h e s e i n s t a n c e s o f c o m m u n i c a t i o n m i s m a t c h o c c u r r e d o f t e n e n o u g h , h o w e v e r , f o r b o t h t h e c l a s s r o o m t e a c h e r a n d m e , t h a t I b e g a n t o w o n d e r h o w o f t e n m a t h e m a t i c s t e a c h e r s a r e a s k i n g m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n s a n d s t u d e n t s a r e h e a r i n g q u e s t i o n s a b o u t m o t i v a t i o n t o d o t h e p r o b l e m , g o a l s t h e y h a v e i n s o l v i n g t h e p r o b l e m , o r o t h e r s o c i a l p u r p o s e s , f o r w h i c h t h e l a n g u a g e i s e q u a l l y w e l l - s u i t e d . I n s u m m a r y , S a m h a d s e v e r a l m o d e s o f o p e r a t i n g t h a t c o u l d b e c o n s i d e r e d p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s : d e fl e c t i n g o r i g n o r i n g q u e s t i o n s u n t i l q u e s t i o n s w e r e f o c u s e d e n o u g h f o r h i m t o a n s w e r , s e e k i n g c l u e s a n d c o m m e n t s f r o m t h e i n t e r v i e w e r , a n d u s i n g o n e o f h i s r e s p o n s e s t o t r i g g e r t h e n e x t . F i n a l l y t h e r e w e r e c o m m u n i c a t i o n m i s m a t c h e s b e t w e e n w h a t I , t h e i n t e r v i e w e r , t h o u g h t I w a s a s k i n g a n d w h a t S a m a n d o t h e r s t u d e n t s a p p a r e n t l y h e a r d . W o r k i n g w i t h R e p r e s e n t a t i o n s L i k e T o n i , S a m ’ s w o r k w i t h f u n c t i o n s w a s m a i n l y i m p l i e d b y h i s w o r k w i t h r e p r e s e n t a t i o n s , s o I e x p l o r e h i s a c t i v i t i e s w i t h r e p r e s e n t a t i o n s i n d e t a i l . U n l i k e T o n i , h o w e v e r , w h o s e w o r k c o u l d g e n e r a l l y b e d i v i d e d i n t o t w o g e n e r a l c a t e g o r i e s , h a v i n g f a c i l i t y o r h a v i n g d i f fi c u l t y , S a m ’ s w o r k w i t h r e p r e s e n t a t i o n s v a r i e d a g r e a t d e a l . 1 5 1 T h i s s e c t i o n h a s t h r e e s u b s e c t i o n s . T h e fi r s t t a k e s a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h t o f u n c t i o n s a n d t h e s e c o n d , a c o v a r i a t i o n a l a p p r o a c h . W i t h i n t h e c o v a r i a t i o n s e g m e n t , w h i c h i s p r i n c i p a l l y a b o u t fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , S a m ’ s s o l u t i o n s t o t h r e e p r o b l e m s a r e c o m p a r e d a n d c o n t r a s t e d . T h e t h i r d s u b s e c t i o n f o c u s e s o n h o w S a m u s e d t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t i n r e a s o n i n g . I n g e n e r a l , w h e n e v e r p o s s i b l e , t h i s s e c t i o n o n w o r k i n g w i t h r e p r e s e n t a t i o n s r a i s e s i s s u e s a b o u t t e a c h i n g , p a r t i c u l a r l y c o n c e r n i n g a s s u m p t i o n s t e a c h e r s c a n m a k e a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . A C o r r e s p o n d e n c e A p p r o a c h t o F u n c t i o n s S a m ’ s w o r k w i t h f u n c t i o n s d e p e n d e d o n t h e p r o b l e m t a s k a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n . T h i s s e c t i o n u s e s a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h t o f u n c t i o n s t o i l l u s t r a t e b o t h s u c c e s s e s a n d i n c o n s i s t e n c i e s i n S a m ’ s t h i n k i n g w h e n t h e g e n e r a l t a s k w a s t h e s a m e , b u t t h e p r o b l e m v a r i e d s l i g h t l y . T h e fi r s t s u b s e c t i o n d i s c u s s e s S a m ’ s s u c c e s s i n fi n d i n g a n d i n t e r p r e t i n g f u n c t i o n v a l u e s f o r e s s e n t i a l l y t h e s a m e f u n c t i o n i n a s i m i l a r s i t u a t i o n a l c o n t e x t , b u t w i t h d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . T h e n e x t t h r e e s u b s e c t i o n s u s e a s a u n i f y i n g t h e m e t r a n s l a t i o n s b y h a n d f r o m o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s t o g r a p h s . T h e fi r s t t w o e x p l o r e t r a n s l a t i n g a t a b l e t o a g r a p h a n d t h e t h i r d , S a m ’ s i n a b i l i t y t o t r a n s l a t e f r o m a s y m b o l i c f o r m t o a g r a p h . T h e s e l a s t t h r e e s u b s e c t i o n s d e s c r i b e S a m ’ s a c t i v i t i e s , m a t h e m a t i c a l c o n v e n t i o n s , a n d a p p a r e n t f a m i l i a r i t y w i t h p o i n t - p l o t t i n g . T h e y p o s i t s o m e e x p l a n a t i o n s f o r t h e u n e v e n n e s s o f S a m ’ s w o r k . S a m ’ s c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e , o n e e x p l a n a t i o n , i s d i s c u s s e d a t l e n g t h i n t h e fi n a l s u b s e c t i o n . F i n d i n g a n d I n t e r p r e t i n g F u n c t i o n V a l u e s S a m u n d e r s t o o d t h a t p o i n t s t h a t s a t i s f y a n e q u a t i o n o r f u n c t i o n r u l e s h o u l d g i v e p o i n t s o n a g r a p h . O n c e d u r i n g i n t e r v i e w 4 , h e h a d m i s c a l c u l a t e d t h e c o o r d i n a t e s f o r a f r m c t i o n a n d w h e n t h e p o i n t d i d n o t c o m e o u t o n t h e g r a p h , h e r e c o g n i z e d t h i s a s p r o b l e m a t i c . D u r i n g b o t h t h e p r e - a n d p o s t t e s t p r o b l e m 9 , h e s u c c e s s f u l l y r e a d o f f c o o r d i n a t e s f o r p o i n t s o n a g r a p h o f p r o fi t a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e f o r a r o c k c o n c e r t ( a q u a d r a t i c f u n c t i o n ) . O n p r o b l e m 1 3 o f t h e p o s t t e s t , w h e r e a s i m i l a r r u l e 1 5 2 f o r p r o fi t f o r a s c h o o l p l a y w a s g i v e n a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e , S a m s u c c e s s f u l l y c a l c u l a t e d b o t h t h e t i c k e t p r i c e t h a t w o u l d g i v e t h e m a x i m u m p r o fi t , t h e m a x i m u m p r o fi t ( w i t h m i n o r c o m p u t a t i o n e r r o r s ) , a n d t h e p r o fi t f o r a n o t h e r t i c k e t p r i c e . O n t h e p r e t e s t , S a m i n t e r p r e t e d t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l a s a n s w e r s f o r m a x i m u m p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e t o g i v e i t . I n b o t h t h e s e p r o b l e m s o n t h e p o s t t e s t , b e c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d b o t h t h e m a x i m u m p r o fi t a n d t h e p r i c e t h a t w o u l d y i e l d t h a t p r o fi t . T h u s , S a m c o u l d n o t o n l y r e a d o f f p o i n t s , b u t w a s a b l e t o i n t e r p r e t a g l o b a l f e a t u r e o f a g r a p h b o t h c o n c e p t u a l l y ( m a x i m u m f t m c t i o n v a l u e ) a n d i n t h e s i t u a t i o n . N o t e t h a t i n t h e s e p r o b l e m s , S a m s e e m e d n o t t o b e u n d u l y i n fl u e n c e d b y t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t s a s h e w a s w h e n w o r k i n g w i t h a s i m i l a r f u n c t i o n a n d s i t u a t i o n i n i n t e r v i e w 3 , w h e r e h e w a s a s k e d t o r e s p o n d t o t h e s a m e t a s k , b u t w h e r e t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t a n d t h e o r i g i n a l t a s k c o m p l e x i t y o v e r s h a d o w e d i t . T h a t p r o b l e m w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r u n d e r d i f fi c u l t i e s i n s i t u a t e d p r o b l e m s . C r e a t i n g G r a p h s f r o m T a b l e s : I g n o r i n g C o n v e n t i o n s . T h e s e n e x t t h r e e s e c t i o n s d i s c u s s S a m ’ s w o r k w i t h c r e a t i n g g r a p h s w h e n i t r e q u i r e d u s i n g o r c r e a t i n g t a b l e s . D u r i n g t h e fi r s t t w o d a y s o f c l a s s , s t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o c r e a t i n g g r a p h s f r o m t a b l e s . A s w i l l b e s e e n b e l o w , S a m w a s f a m i l i a r w i t h p o i n t - p l o t t i n g , b u t h i s h o m e w o r k f o r t h e s e c o n d d a y v i o l a t e d s e v e r a l m a t h e m a t i c a l c o n v e n t i o n s f o r g r a p h i n g ( s e e F i g u r e [ 4 . 7 ) . F i r s t , h e d i d n o t p l a c e t h e o r i g i n w h e r e t h e t w o a x e s i n t e r s e c t e d . Z e r o b e g a n o n t h e fi r s t s c a l e m a r k a b o v e t h e o r i g i n a n d o n t h e fi r s t t i c k m a r k t o t h e r i g h t o f i t . B e y o n d t h a t , h i s h o r i z o n t a l u n i t s w e r e a p p r o p r i a t e l y l a b e l e d w i t h e a c h t i c k m a r k r e p r e s e n t i n g 1 5 u n i t s . S e c o n d , a l t h o u g h S a m c a r e f u l l y p l a c e d h i s v e r t i c a l u n i t s i n i n c r e a s i n g o r d e r , t h e y w e r e n o t c o n s i s t e n t l y s p a c e d . H e u s e d i n t e r v a l s 2 0 , 2 5 , 3 0 , 1 0 0 , 1 2 5 , a n d 2 0 0 . T h i r d , o n t h e h o r i z o n t a l a x i s h e a d d e d a n e x t r a p o i n t a t ( 1 5 0 , 1 0 0 ) a n d t h e n s e e m e d t o p l o t p o i n t s f o r b o t h 1 5 0 a n d 1 6 5 o n e d o t t o o f a r t o t h e r i g h t . A l t h o u g h i t i s d i f fi c u l t t o e x p l a i n t h e e x t r a p o i n t , t h e p o s i t i o n o f t h e r e m a i n i n g t w o p o i n t s c o u l d b e e x p l a i n e d b y l o s i n g ' L i ‘ a l F i g i h t a ' T i z m e i n m m s 1 3 . 5 - L 5 5 1 5 3 o n e ’ s p l a c e w h i l e p l o t t i n g p o i n t s f r o m l e f t t o r i g h t a n d m i s i n t e r p r e t i n g w h i c h t i c k m a r k w e n t w i t h 1 6 5 . S i t u a t i o n : S a p p o s e a h o t a i r b a l l o o n i s t t a k e s o f f a t n o o n a n d r e c o r d s a l t i t u d e i n m e t e r s e v e r y 1 5 m i n u t e s i n t o t h e fl i g h t . T y p i c a l ( t i m e . a l t i t u d e ) d a t a a r e g i V e n ' i n t h e f o l l o w i n g t a b l e . 3 I o t o r , a l t i t u d e 0 1 0 0 7 5 0 8 7 5 9 0 0 9 5 0 0 0 9 2 0 5 0 0 6 2 5 3 0 0 0 ' W a n W M ( 3 ) P l o t t h e s e d a t a o n t h e d i a g r a m b e l o w } o n w i i fi r s t h a v e t o c h o o s e r e a s o n a b l e s c a l e s f o r t h e h o r i z o n t a l ( t i m e ) a n d v e r t i c a l ( a l t i t u d e ) a x e s . E n t e r y o u r c h o i c e s o n t h e d i a g r a m . 1 f . . . . . . . 2 5 0 0 e . . . . . . . . g [ a J » a a o e . . . . . . A l d m d c m - 4 , l a e a . 7 ‘ . . \ e . . . . i n m 0 o a e I . ' s . . \ \ . . . . . m . e . . . ' . . . \ . . . . . I n fi g : ‘ a s q 0 e g a a ' a a a e . o ' . . . . : 0 2 n a o r e : e . / . \ . . . : ‘ l O 0 O I ' . e ' o . . a , . . l u g o a p . ‘ l . . . ~ ’ ‘ . _ a _ 0 ' 4 ' - l l e F i g u r e 4 . 7 : H o t A i r B a l l o o n P r o b l e m ( C I A , p . 1 - 2 1 ) S a m ’ s m a t h e m a t i c s h e r e t o c r e a t e a x e s l a b e l s f r o m t h e t a b l e e n t r i e s s e e m e d h e a v i l y i n fl u e n c e d b y t h e r e p r e s e n t a t i o n s . F i r s t , h e b e g a n w i t h z e r o o n t h e l o w e s t l i n e , f e e l i n g p e r h a p s s i n c e l i n e s w e r e p r o v i d e d , i t w a s n e c e s s a r y t o u s e t h e m . H e s e e m e d t o h a v e c h o s e n h i s ( 0 , 0 ) p o i n t a n d p l a c e d 1 5 a p p r o p r i a t e l y . H e c l e a r l y r e c o g n i z e d t h a t t h e v e r t i c a l l a b e l s s h o u l d b e o r d e r e d s i n c e h e h a d t o p r o d u c e t h e o r d e r i n g . S a m a l s o a t t e m p t e d t o p r o d u c e a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t a b l e v a l u e s a n d e i t h e r l a b e l l i n e s o r t i c k m a r k s o n a x e s ( u n t i l h e r a n o u t o f n u m b e r s ) . I f o n e p l a c e s 0 o n t h e b o t t o m l i n e a n d p u t s t h e a l t i t u d e n u m b e r s i n i n c r e a s i n g o r d e r u p t h e v e r t i c a l a x i s w h i l e o m i t t i n g t h e s e c o n d o c c u r r e n c e o f 9 0 0 , o n e w o u l d g e t e x a c t l y 1 5 4 t h e l a b e l i n g S a m d i d . T h i s c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t a b l e e n t r i e s a n d l a b e l l i n e s w a s s t r o n g e r t h a n a n y k n o w l e d g e a b o u t t h e n e e d f o r e q u a l u n i t s b e t w e e n t i c k m a r k s . F o r t h e t i m e a x i s , t h e r e w e r e f e w e r l a b e l l i n e s t h a n d i s t i n c t t a b l e e n t r i e s , a l t h o u g h t h e t a b l e e n t r i e s c o r r e s p o n d t o o n e t i c k m a r k p e r e a c h t a b l e e n t r y . I n b o t h l a b e l i n g s , t h e r e a r e e x t r a t i c k m a r k s a t t h e e n d . H i s m a r k i n g o f f e v e r y o t h e r e n t r y i n t h e t a b l e i n d i c a t e s h e w a s i n d e e d t r y i n g t o k e e p t r a c k o f w h i c h o f t h e n u m b e r s t o u s e a s l a b e l s . S a m h a d g e n e r a l l y c r e a t e d a c o r r e c t l a b e l i n g , b u t h a d t o v i o l a t e p l a c i n g ( 0 , 0 ) a t t h e o r i g i n a n d e q u a l u n i t s w i t h i n a n a x i s t o d o s o . H i s c h o i c e s s e e m e d i n fl u e n c e d b y t h e l i n e s p r o v i d e d n e x t t o t h e g r a p h , t h a t i s b y t h e p r o b l e m p r e s e n t a t i o n . O n t h e s a m e h o m e w o r k s e t , w h e n S a m h a d t o c r e a t e g r a p h s f o r t h r e e s i t u a t i o n s g i v e n i n h o r i z o n t a l t a b l e s , b e i g n o r e d c o n v e n t i o n s a g a i n ( s e e F i g u r e 4 . 8 f o r o n e o f t h e p r o b l e m s ) . I n e a c h p r o b l e m , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c h o o s e r e a s o n a b l e s c a l e s f o r g r a p h a x e s , t o p l o t t h e g i v e n d a t a u s i n g t h e i r c a l c u l a t o r s ( s c a t t e r g r a p h f e a t u r e ) , a n d o n g r a p h p a p e r t o m a k e a r o u g h s k e t c h o f t h e g r a p h t h e y g o t o n t h e c a l c u l a t o r . O n e a c h g r a p h , S a m e i t h e r i g n o r e d w h i c h v a r i a b l e m i g h t b e c o n s i d e r e d t o d e p e n d o n t h e o t h e r o r t h e c o n v e n t i o n t h a t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s g r a p h e d h o r i z o n t a l l y o r b o t h . H e c o u l d s i m p l y h a v e l a b e l e d t h e v e r t i c a l a x i s w i t h t h e l a b e l f r o m t h e t o p l i n e a n d t h e h o r i z o n t a l w i t h t h a t o f t h e b o t t o m l i n e . Y e t , i n e a c h o f t h e e x e r c i s e s l e a d i n g u p t o t h i s o n e , s t u d e n t s w e r e i n t r o d u c e d t o g r a p h i n g a n d t o d e p e n d e n c y l a n g u a g e f o r f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , S i t u a t i o n 2 . 1 , a p r o b l e m a b o u t t h e a v e r a g e h e i g h t o f f e m a l e s b y a g e , e x p l i c i t l y s t a t e d " h e i g h t d e p e n d s o n a g e o r h e i g h t i s a f u n c t i o n o f a g e . " ( C I A , p . 1 - 7 , e m p h a s i s i n t h e o r i g i n a l ) . S a m ’ s a p p a r e n t l a c k o f a t t e n t i o n t o d e p e n d e n c y w a s n o d o u b t a n a r t i f a c t o f h i s u s i n g t h e c a l c u l a t o r t o e n t e r d a t a p a i r s , a s s u m i n g h e e n t e r e d t h e t o p l i n e fi r s t . R e c a l l t h a t T o n i a l s o r e v e r s e d t h e s e a x e s , a s d i d s o m e o t h e r s t u d e n t s . A g r a p h o f a r e l a t i o n s h i p c o u l d b e g i v e n c o r r e c t l y t h i s w a y a n d u n d e r s t o o d m a t h e m a t i c a l l y , a s l o n g a s e i t h e r t h e s p e c i fi c d e p e n d e n c y g i v e n o r t h e c o n v e n t i o n t o p u t i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o n t h e h o r i z o n t a l a x i s w a s i g n o r e d . R e v e r s i n g 1 5 5 t h e d e p e n d e n c y f o r p r o b l e m 5 c g i v e s a r e l a t i o n t h a t i s n o t a f r m c t i o n , w h e r e a s t h e fi r s t t w o p a r t s o f t h e p r o b l e m ( 5 a a n d 5 b , n o t s h o w n ) w e r e o n e - t o - o n e f u n c t i o n s , a n d t h u s r e v e r s i b l e . W h i l e a t t h i s e a r l y s t a g e i n t h e c l a s s , i t s e e m s r e a s o n a b l e t h a t s t u d e n t s m i g h t n o t a t t e n d h e a v i l y t o t h e i s s u e o f d e p e n d e n c y , S a m i g n o r e d o t h e r c o n v e n t i o n s w h e n i t s e e m e d u n r e a s o n a b l e t o d o s o . I n p a r t s a a n d b ( n o t s h o w n ) o f t h i s s a m e p r o b l e m h e c r e a t e d g r a p h s w i t h t h e n u m b e r s o n t h e a x e s i n p r o p e r o r d e r , b u t w i t h a o n e t o o n e m a t c h b e t w e e n l a b e l s f o r t i c k s o n a x e s a n d n u m b e r s i n t h e t a b l e f o r b o t h a x e s . T h u s , h e a g a i n i g n o r e d t h e c o n v e n t i o n t h a t s c a l e t i c k m a r k s s h o u l d s t a n d f o r e q u a l m e a s u r e s . I n p r o b l e m S o ( F i g u r e 4 . 8 ) , S a m a l s o c r e a t e d a o n e t o o n e m a t c h b e t w e e n t a b l e S i t u a t i o n : A n i m a l p o p u l a t i o n s t e n d t o r i s e a n d [ a l l i n c y c l e s . S u p p o s e t h e f o l l o w i n g d a t a s h o w h o w s q u i r r e l p o p u l a t i o n s i n a . c e n t r a l P e n n s y l v a n i a c i t y v a r i e d f r o m 1 9 7 5 t o 1 9 8 5 . I g u ‘ 7 5 ' 7 5 ' 7 7 ' 7 § 7 2 ' 5 0 ’ § | ‘ 2 2 ' 3 3 ' 4 8 ' fi fi P o p u l a t i o n 7 5 0 7 0 0 5 2 0 6 8 0 7 3 0 6 5 0 5 5 0 6 2 . 5 7 8 0 7 0 0 $ 8 0 F i g u r e 4 . 8 : T a b l e a n d S a m ’ s G r a p h f o r P r o b l e m 5 c . ( C I A , p . 1 - 2 2 ) e n t r i e s a n d a x e s t i c k m a r k s , b u t n u m b e r e d h i s v e r t i c a l a x i s w i t h l o w e s t n u m b e r s o n t h e t o p a n d i n c r e a s i n g t o w a r d t h e o r i g i n . A l t h o u g h n u m b e r s g i v e n f o r t h e d e p e n d e n t 1 5 6 v a r i a b l e s i n p r o b l e m s a a n d b w e r e i n i n c r e a s i n g o r d e r , i n p a r t c t h e y w e r e n o t . T h e s e n u m b e r s , w h i c h S a m p l a c e d a l o n g t h e b o t t o m a x i s i n p a r t c w e r e n o t o r d e r e d a t a l l . H e s i m p l y l i s t e d t h e m i n t h e o r d e r t h e y w e r e g i v e n , s u p p o r t i n g t h e h y p o t h e s i s a b o v e t h a t h e u s e d a o n e t o o n e l a b e l i n g s c h e m e b e t w e e n t a b l e e n t r i e s a n d a x e s l a b e l s . S u c h a z i g - z a g l a b e l i n g s c h e m e v i o l a t e s c o n s i s t e n t s c a l e u n i t s o n a n a x i s a s w e l l a s t h e o r d e r i n g o f n u m b e r s . F u r t h e r , i n t h i s g r a p h , o n l y s o m e o f t h e p o i n t s p l o t t e d m a t c h t h e t a b l e e n t r i e s f o r p r o b l e m c . E v e n i f y o u a c c o u n t f o r s l i g h t l y i n a c c u r a t e r e c o r d i n g f r o m t h e c a l c u l a t o r , t h e p a t t e r n o f d o t s o n t h e c a l c u l a t o r w o u l d n o t r e s e m b l e t h i s p a t t e r n . S a m ’ s w o r k c l e a r l y d i s p l a y e d t h a t h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e t a s k t o t r a n s l a t e a t a b l e r e p r e s e n t a t i o n t o a g r a p h i c a l o n e i n t h e s e p r o b l e m s w a s i n c o n s i s t e n t . S a m ’ s d i f fi c u l t i e s i n t h e s e p r o b l e m s m i g h t h a v e b e e n i n fl u e n c e d b y t h e r e p r e s e n t a t i o n s a n d h i s u n d e r s t a n d i n g o f t a s k . H i s c o n v e n t i o n s f o r l a b e l i n g a x e s w e r e i n c o n s i s t e n t b e t w e e n t h e t w o p r o b l e m s i n F i g u r e s 4 . 7 a n d 4 . 8 , j u s t d i s c u s s e d . I n t h e h o t a i r b a l l o o n p r o b l e m , t h e a p p e a r a n c e o f b l a n k l i n e s f o r s c a l e l a b e l s m a y h a v e i n fl u e n c e d c h o o s i n g 0 a w a y f r o m t h e o r i g i n . I n t h e a n i m a l p o p u l a t i o n p r o b l e m , s i n c e t h e t a s k r e q u i r e d u s i n g t h e c a l c u l a t o r t o fi r s t c r e a t e a g r a p h , t h e t a b l e s b e c a m e c a l c u l a t o r l i s t s t h a t S a m m i g h t h a v e p e r c e i v e d a s d a t a l i s t s . H e n c e b e t r a n s l a t e d t h e m i n t h e o r d e r t h e y w e r e e n t e r e d i n t h e c a l c u l a t o r , a s s u m i n g S a m e n t e r e d d a t a p a i r s i n t o t h e c a l c u l a t o r r e a d i n g t h e t a b l e l e f t t o r i g h t , n o t a n u n r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n . P o i n t - p l o t t i n g : A F a m i l i a r T a s k I n c o n t r a s t , r e c a l l t h a t d u r i n g i n t e r v i e w 2 a w e e k l a t e r , w h e n S a m w o r k e d o n m a t c h i n g t h e g r a p h s o f A l i c e , B e a , a n d C a r o l i n a t o a t a b l e o f v a l u e s , h e s i m p l y t o o k t h e g r a p h p a p e r a n d p l o t t e d o r d e r e d p a i r s o f t h e t a b l e c o r r e c t l y . H e s a i d , ” I ’ m g o n n a u s e t h i s g r a p h p a p e r a n d s o l c a n p l o t s o m e p o i n t s . S e e i f l c a n l i n e i t u p l i k e a r e a l g r a p h . I ’ m g o n n a d o l i k e r e g u l a r o r d e r e d p a i r s , " i n d i c a t i n g t h a t h e h a d s o m e k n o w l e d g e a b o u t p o i n t - p l o t t i n g a n d o r d e r e d p a i r s . U n l i k e t h e a n i m a l p o p u l a t i o n p r o b l e m a b o v e , h o w e v e r , i n t h i s p r o b l e m t h e t a b l e w a s g i v e n v e r t i c a l l y a n d t h e 1 5 7 q u a n t i t i e s w e r e n o t s i t u a t e d i n a c o n t e x t . T h e r e i s n o o t h e r e v i d e n c e t h a t t h e d i r e c t i o n o f t h e t a b l e m i g h t h a v e i n fl u e n c e d p l o t t i n g , b u t i t r a i s e s a q u e s t i o n a b o u t w h e t h e r t h i s o r i e n t a t i o n o f t h e t a b l e m i g h t h a v e h a d a n i n fl u e n c e a s w e l l . B e s i d e s b e i n g a b l e t o p l o t p o i n t s a c c o r d i n g t o m a t h e m a t i c a l c o n v e n t i o n s i n A l i c e ’ s a n d B e a ’ s g r a p h s , S a m w a s a b l e t o c o n n e c t t h e a p p r o p r i a t e t a b l e e n t r i e s w i t h t h e x a n d y i n t e r c e p t s a s w e l l , a m o r e c o m p l e x t a s k . I n d i s c u s s i n g C a r o l i n a ’ s g r a p h , I h a d j u s t a s k e d S a m w h e t h e r t h e s c a l e c o u l d d i f f e r o n t h e t w o a x e s . H e a g r e e d i t c o u l d a n d c r e a t e d a s c a l e m a t c h i n g t h e t a b l e e n t r i e s w i t h z e r o e s , ( 2 , 0 ) a n d ( 0 , 4 ) , t o t h e i n t e r c e p t s o n t h e g r a p h . T h i s t a s k r e q u i r e d a c c e p t i n g d i f f e r i n g s c a l e s o n t h e a x e s s i n c e t h e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n t o t h e y - i n t e r c e p t ( 4 ) w a s l e s s t h a n t w i c e t h e d i s t a n c e t o t h e x - i n t e r c e p t ( 2 ) . O n l y o n e o t h e r s t u d e n t i n t e r v i e w e d , B o b , c o n s i d e r e d t h i s p o s s i b i l i t y . T o h o l d i n v a r i a n t t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t a b l e e n t r i e s w i t h z e r o a n d t h e i n t e r c e p t s , e v e n i f i t m e a n t a c c e p t i n g d i f f e r e n t s c a l e s o n t h e t w o a x e s , i s a f a i r l y s o p h i s t i c a t e d i d e a . R e c a l l t h a t T o n i h a d r e j e c t e d o n e g r a p h a s u n a c c e p t a b l e s t r i c t l y o n t h e b a s i s t h a t i t w o u l d r e q u i r e d i f f e r e n t s c a l e s o n t h e t w o a x e s . T h i s t a s k o f c o o r d i n a t i n g t a b l e e n t r i e s o f 0 w i t h i n t e r c e p t s o n a g r a p h o f t h e t a b l e i s d i f f e r e n t f r o m p o i n t p l o t t i n g , w h i c h r e q u i r e s a s i m p l e p r o c e d u r e t r a n s l a t i n g a n a t t r i b u t e o f o n e r e p r e s e n t a t i o n t o a n a t t r i b u t e o f a n o t h e r , o n e b y o n e . I n c o n t r a s t , t h i s a c t r e q u i r e s c o o r d i n a t i n g a t t r i b u t e s o f t w o r e p r e s e n t a t i o n s c o n n e c t e d t h r o u g h t h e i n t e r c e p t c o n c e p t . S a m w a s f a m i l i a r w i t h t h e t a s k o f p o i n t p l o t t i n g f o r t a b l e s , t h a t i s , t r a n s l a t i n g t a b l e s t o g r a p h s . H i s k n o w l e d g e w a s u n e v e n l y a p p l i e d , d e p e n d i n g o n t h e r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e t a s k . A s t h e s e e x a m p l e s s h o w , S a m c o u l d m e c h a n i c a l l y p l o t p o i n t s g i v e n o r d e r e d p a i r s i n a v e r t i c a l t a b l e a n d h a d h a d e n o u g h e x p e r i e n c e a t s o m e p o i n t t o u n d e r s t a n d a b i t a b o u t t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n i n t e r c e p t s a n d z e r o e n t r i e s i n c o o r d i n a t e p a i r s . Y e t w h e n h e p l o t t e d p o i n t s w i t h d a t a p r e s e n t e d i n a h o r i z o n t a l t a b l e a n d s i t u a t e d i n a r e a l - w o r l d c o n t e x t , h e d i d n o t a d h e r e t o t h e c o n v e n t i o n s , s o m e o f w h i c h h e h a d c l e a r l y l e a r n e d p r e v i o u s l y . S a m h a d d i f fi c u l t y i n t e r p r e t i n g p o i n t s i n 1 5 8 s o m e s i t u a t i o n s a s w e l l , a s w i l l b e s h o w n i n t h e d i s c u s s i o n o f p r o b l e m 2 B - 2 u n d e r m a t c h i n g g r a p h s a n d s i t u a t i o n s b e l o w . P o i n t - p l o t t i n g : A n U n f a m i l i a r T a s k E v e n t h o u g h S a m w a s f a m i l i a r w i t h p o i n t p l o t t i n g i n g e n e r a l , h e h a d d i f fi c u l t y c r e a t i n g a g r a p h f r o m a n e q u a t i o n . H e d i d n o t u n d e r s t a n d t h e t a s k i n c l u d e d c r e a t i n g o r d e r e d p a i r s o f n u m b e r s t o b e u s e d a s c o o r d i n a t e s o n t h e g r a p h . L i k e T o n i , h e w a s u n a b l e t o p r o d u c e s u i t a b l e g r a p h s f o r t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s y = 5 " , y = 2 " , y = . 5 " , a n d y = . 1 " . I n c l a s s S a m h a d p r o d u c e d s t r a i g h t l i n e g r a p h s t h r o u g h t h e y - i n t e r c e p t s 5 , 2 , . 5 a n d . l f o r t h e s e r u l e s . ( A f u l l d i s c u s s i o n o f t h e s e p r o b l e m s i s i n t h e s e c t i o n o n u n d e r s t a n d i n g f u n c t i o n c l a s s e s . ) D u r i n g i n t e r v i e w 3 , w h e n w e d i s c u s s e d t h e s e g r a p h s , S a m c o u l d e x p l a i n h o w h e p r o d u c e d t h e g r a p h s o f l i n e a r e q u a t i o n s i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m b y u s i n g a p r o c e d u r e o f p l o t t i n g t h e y - i n t e r c e p t a n d fi n d i n g a s e c o n d p o i n t o n t h e l i n e u t i l i z i n g t h e s l o p e , b u t h e w a s n o t a b l e t o g r a p h b y h a n d e i t h e r a s i m p l e q u a d r a t i c , y = x 2 , o r a n e x p o n e n t i a l e q u a t i o n . A s w i l l b e d i s c u s s e d i n d e t a i l l a t e r i n t h e s e c t i o n o n f u n c t i o n c l a s s e s , S a m w a s e x p l i c i t a b o u t r e p e a t i n g t h e t e a c h e r ’ s w o r d s t h a t " x c o u l d b e a n y t h i n g , " a n d h e d e m o n s t r a t e d t h a t h e u n d e r s t o o d t h i s t o m e a n a n a r b i t r a r y s i n g l e v a l u e . I n t h e g r a p h s h e h a d d o n e i n c l a s s h e h a d u s e d x = 1 . I n t h e t w o a d d i t i o n a l e x p o n e n t i a l g r a p h s I a s k e d h i m t o g r a p h ( y = - 5 + 2 " a n d y = 2 " + 4 ) d u r i n g t h e i n t e r v i e w , h e c h o s e x = 2 , p r o b a b l y t o s h o w m e h e u n d e r s t o o d x c o u l d b e s o m e t h i n g o t h e r t h a n 1 . I n y = 2 " + 4 h e w a s e x p l i c i t a b o u t t h e e x p o n e n t b e i n g a b l e t o t a k e o n o n l y o n e v a l u e : S : I ’ m g o i n g t o m a k e t h a t m y n u m b e r . G : W h a t d o y o u m e a n , y o u r n u m b e r ? S : T h e n u m b e r I w a n t i t t o b e , s o I ’ m g o i n g t o m a k e i t e q u a l t o a n u m b e r 2 . G : Y o u a r e g o i n g t o m a k e i t a n u m b e r 2 ? C a n i t h a v e a n y o t h e r v a l u e s ? S : N o t a s a n e x p o n e n t . 1 5 9 A t t h e e n d o f t h e d i s c u s s i o n , I d e c i d e d t o s e e i f h e c o u l d g r a p h a q u a d r a t i c , t h i n k i n g p e r h a p s h e w a s c o n f u s e d b e c a u s e t h e v a r i a b l e w a s i n t h e e x p o n e n t a n d b e c a u s e h e h a d s h o w n n o k n o w l e d g e o f b e i n g a b l e t o s e l e c t p a i r s f o r t h e g r a p h . I a s k e d h i m t o g r a p h y = x 2 : G : S : W o u l d y o u k n o w h o w t o g r a p h t h i s w i t h o u t t h e c a l c u l a t o r ? Y e q u a l s x s q u a r e d . T h a t ’ s g o t a n e q u a l s i g n . I w o u l d n ’ t k n o w h o w t o g r a p h i t . O k a y . U m m m , c a n y o u t e l l m e s o m e p a i r s o f x a n d y t h a t w o u l d m a k e t h i s e q u a t i o n t r u e ? Y o u k n o w a p a i r o f n u m b e r s , x a n d y , t h a t w o u l d m a k e t h i s a t r u e e q u a t i o n ? O n e . O n e ? O n e f o r w h a t ? x . O n e f o r x a n d t h e n y w o u l d b e ? O n e . O n e , o k a y . C a n y o u t e l l m e a n y o t h e r p a i r s ? A n y n u m b e r s . L i k e ? L i k e w h a t ? J u s t g i v e m e a n e x a m p l e ? - 5 f o r o n e . F o r ? - 5 f o r ? w o u l d b e f o r ? y , I m e a n x . x , o k a y , i f - 5 w a s f o r x , t h e n w h a t w o u l d y b e ? - 2 5 . W a i t , i t ’ d b e 2 5 . 2 5 ? S o y o u s a i d 1 a n d 1 , a n d y o u s a i d 5 , 2 5 , r i g h t ? C a n y o u g i v e m e a t h i r d p a i r ? [ G w r i t e s t h e s e o n t h e s h e e t . 5 s h o u l d h a v e b e e n - 5 . ] H m m m . l a n d 0 , 2 a n d 0 , 3 a n d 0 . S a m c l e a r l y d i d n o t k n o w w h a t w a s g o i n g o n . H e w a s a b l e t o p r o d u c e c o m p u t a t i o n s w h e n a s k e d w h a t e a c h v a l u e w a s , b u t w h e n I a s k e d f o r m o r e p a i r s , h e fi r s t s a i d ” a n y n u m b e r s ” a n d i n t h e e n d j u s t m a d e u p n u m b e r s i n p a i r s w i t h n o c o n n e c t i o n a t a l l t o 1 6 0 t h e e q u a t i o n . W h e n I a s k e d h i m i f t h e s e p a i r s f o r x a n d y h a d a n y t h i n g t o d o w i t h t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n r u l e , h e s a i d , ” T h e y d e p e n d o n w h e r e i t i s - w h e r e t h e p o i n t o n y i s . I d o n ’ t k n o w i f I r e m e m b e r h o w t o g r a p h t h a t . I p r o b a b l y d i d n ’ t . I d o n ’ t k n o w i f w e d i d i t i n a l g e b r a . " H e w e n t o n t o s a y t h e c a l c u l a t o r k n e w h o w t o d o i t , b u t h e d i d n o t . I n a d d i t i o n , w h i l e w e w e r e d i s c u s s i n g t h e s e e x p o n e n t i a l g r a p h s a n d h i s c a l c u l a t o r g a v e a d i f f e r e n t g r a p h f r o m o n e h e h a d p r o d u c e d , S a m i n d i c a t e d t h a t t h e c o r r e c t n e s s o f t h e g r a p h d e p e n d e d o n w h a t t h e t e a c h e r w a n t e d . C o n c e p t i o n o f V a r i a b l e a s E x p l a n a t i o n f o r G r a p h i n g D i f fi c u l t y A s w i t h T o n i , S a m ’ s d i f fi c u l t y w i t h t h i s g r a p h i n g p r o b l e m m a y h a v e b e e n i n p a r t r e l a t e d t o h i s c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e . O n e p o s s i b l e r e a s o n h e c o u l d n o t c r e a t e o r d e r e d p a i r s w a s t h a t h e d i d n o t s e e t h e e x p r e s s i o n s a s r e p r e s e n t i n g m a n y p a i r s o f v a l u e s . O v e r a l l , S a m h a d a n a i v e c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e . H e r e c o g n i z e d t h a t a v a r i a b l e c o u l d t a k e o n m o r e t h a n o n e v a l u e . P r o b l e m 4 A - 7 w a s : B l u e p e n c i l s c o s t 5 c e n t s e a c h a n d r e d p e n c i l s c o s t 6 c e n t s e a c h . I b u y s o m e b l u e p e n c i l s a n d s o m e r e d p e n c i l s , w h i c h c o s t m e 9 0 c e n t s . I f b i s t h e n u m b e r o f b l u e p e n c i l s b o u g h t a n d i f r i s t h e n u m b e r o f r e d p e n c i l s b o u g h t , w h a t c a n y o u w r i t e d o w n a b o u t b a n d r ? S a m f o u n d m o r e t h a n o n e c o r r e c t s e t o f v a l u e s f o r b a n d r . H e w a s n o t a b l e t o w r i t e t h e r e l a t i o n s h i p , 5 b + 6 r = 9 0 , h o w e v e r . S a m a l s o c o u l d s e e t h a t a v a r i a b l e e x p r e s s i o n c o u l d b e e q u i v a l e n t t o a n u m b e r , b u t c o u l d n o t u s e t h a t r e l a t i o n s h i p i n a n o t h e r e x p r e s s i o n . I n p r o b l e m 4 A — 5 , ” I f e + f = 5 0 , w h a t c a n y o u s a y a b o u t e + f + g ? " , h e a c k n o w l e d g e d t h a t e + f w a s 5 0 , b u t s e e m e d t o s e e i t a s a r e s u l t o r e q u i v a l e n c e , n o t a n e x p r e s s i o n t h a t c o u l d b e u s e d i n o t h e r e x p r e s s i o n s . H e s a i d h e c o u l d d o n o t h i n g m o r e b e c a u s e h e d i d n o t k n o w t h e v a l u e o f g . S a m w a s u n s u r e t h a t d i f f e r e n t v a r i a b l e s w i t h i n o n e e x p r e s s i o n c o u l d h a v e t h e s a m e v a l u e s . P r o b l e m 4 A - 2 w a s : " x + y + z = x + p + z i s a l w a y s , s o m e t i m e s , o r n e v e r t r u e ? E x p l a i n . ” S a m fi r s t s a i d h e t h o u g h t t h e y c o u l d n o t b e e q u a l b e c a u s e t h e a d d i t i o n p r o c e s s w o u l d 1 6 1 l e a d t o d i f f e r e n t r e s u l t s : I d o n ’ t k n o w i f I c a n b e l i e v e t h a t . S o m e t h i n ’ s g o t t a e q u a l . [ p o i n t i n g t o t h e t w o s i d e s o f t h e e q u a t i o n , i n t u r n . ] T h a t ’ s g o t t a e q u a l s o m e t h i n g o t h e r t h a n t h a t . W h e n y o u a d d ’ e m t o g e t h e r , a i n ’ t g o n n a e q u a l t h a t . O n r e fl e c t i o n , h e r e v i s e d h i s a n s w e r t o b e ” s o m e t i m e s , ” a c o r r e c t r e s p o n s e . F i n a l l y , S a m c o u l d n o t a c c e p t l a c k o f c l o s u r e a n d c r e a t e a v a r i a b l e e x p r e s s i o n a s r e p r e s e n t i n g a n u m b e r , w h i l e n o t k n o w i n g t h e v a r i a b l e ’ s v a l u e . I n p r o b l e m 4 A - 6 , w h e r e t h e p e r i m e t e r w a s s o u g h t f o r a p o l y g o n w i t h n s i d e s o f l e n g t h 3 , b u t i n w h i c h t h e fi g u r e f o r t h e p o l y g o n w a s p a r t i a l l y c o v e r e d w i t h p a i n t , S a m d e m o n s t r a t e d t h a t h e k n e w a p r o c e s s f o r fi n d i n g t h e p e r i m e t e r b y a d d i n g u p t h e l e n g t h s o f t h e s i d e s . H e c o u l d n o t , h o w e v e r , fi n d t h e p e r i m e t e r w i t h o u t k n o w i n g t h e n u m b e r o f s i d e s . C l e a r l y , h e s a w t h e n a s a n u n k n o w n , n o t a w a y t o r e p r e s e n t t h e n u m b e r o f s i d e s i n a n e x p r e s s i o n f o r p e r i m e t e r . A l t h o u g h S a m c o u l d s e e v a r i a b l e s a s g e n e r a l i z e d n u m b e r s a n d a s u n k n o w n s i n a p r o c e s s o r e q u a t i o n , h i s u n d e r s t a n d i n g t h a t d i s t i n c t v a r i a b l e s w i t h i n a n e x p r e s s i o n c o u l d h a v e d i f f e r e n t v a l u e s w a s f r a g i l e . F i n a l l y , h e h a d d i f fi c u l t y u s i n g v a r i a b l e s t o g e n e r a t e e x p r e s s i o n s r e p r e s e n t i n g n u m b e r s , w h i c h r e q u i r e d s e e i n g t h e e x p r e s s i o n a s a w h o l e a s r e p r e s e n t i n g a n u m b e r . A C o v a r i a t i o n A p p r o a c h t o F u n c t i o n s R a t e a n d P a t t e r n s o f C h a n g e A s d i s c u s s e d a b o v e , S a m w a s s u c c e s s f u l i n p r o b l e m 2 A - 2 t o t r a n s l a t e a t a b l e o f a l i n e a r f u n c t i o n t o i t s s y m b o l i c f o r m ( y = - 5 x + 1 5 ) . I n t h a t p r o b l e m S a m c o n n e c t e d a p a t t e r n o f o u t p u t o f d e c r e a s i n g b y 5 a s i n p u t i n c r e a s e d b y 1 t o t h e - 5 m u l t i p l i e r o n x b e c a u s e h e h a d o r d e r e d t h e ” s p e e d ” o f t h e o p e r a t i o n s . W h e n I a s k e d h i m w h y h e h a d c h o s e n m u l t i p l i c a t i o n i n s t e a d o f s u b t r a c t i o n f o r g o i n g d o w n b y 5 , h e fi r s t s a i d i t ( y ) g o t t h e r e f a s t e r t h a n ( b y ) a d d i n g . H e a d d e d , ” W h e n I m u l t i p l i e d i t , i t g o t m e t h a t 1 0 ( t h e y v a l u e f o r x = 1 ) q u i c k e r . " O n o n e o t h e r o c c a s i o n , S a m a t t r i b u t e d a n o r d e r t o t h e s p e e d o f a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s . 1 6 2 S o m e t i m e s S a m a t t e n d e d o n l y t o p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i n t a b l e s , a n o n - r o b u s t v e r s i o n o f c o v a r i a t i o n . A s w i l l b e s e e n b e l o w i n t h e n e x t s e c t i o n a n d u n d e r t h e d i s c u s s i o n o f f u n c t i o n c l a s s e s a n d r e p r e s e n t a t i o n s , h e f o u n d p a t t e r n s o f c h a n g e a s a l i e n t f e a t u r e t o c l a s s i f y f u n c t i o n s a s l i n e a r o r q u a d r a t i c . fi t t i n g G r a p h s a n d S i t u a t i o n s T h i s s e c t i o n d i s c u s s e s fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , t h a t i s , o n e v e r s i o n o f S a m ’ s c o v a r i a t i o n a l a p p r o a c h t o f u n c t i o n s . A f t e r d i s c u s s i n g s e v e r a l e x a m p l e s a n d S a m ’ s r e a s o n i n g p a t t e r n s , i n c l u d i n g r e s o u r c e s h e b r o u g h t t o p r o b l e m s o l v i n g , t h e s e c t i o n r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t t h e r o l e o f s i t u a t i o n s i n s o l v i n g p r o b l e m s . L i k e S a m ’ s p e r f o r m a n c e o n c r e a t i n g g r a p h s f r o m t a b l e s , h i s w o r k o n fi t t i n g g r a p h s w i t h s i t u a t i o n s v a r i e d w i t h t h e p r o b l e m . I n t h e t h r e e i n t e r v i e w p r o b l e m s ( 2 B - l , 2 B - 2 , a n d 5 - 1 ) i n w h i c h S a m h a d t o fi n d a n d j u s t i f y a g r a p h t o m a t c h a g i v e n s i t u a t i o n , h i s w o r k w a s i n c o n s i s t e n t . T h e fi r s t t w o s e g m e n t s p r e s e n t S a m ’ s w o r k w i t h t w o p r o b l e m s ( 2 B - 1 , 5 - 1 ) t h a t h a d t h e s a m e g r a p h , b u t h a d d i f f e r e n t s i t u a t i o n s . S a m ’ s p e r f o r m a n c e w a s a l s o q u i t e d i f f e r e n t . I n e a c h s e g m e n t h i s r e a s o n i n g s t r a t e g i e s a r e d i s c u s s e d . I n t h e t h i r d s e g m e n t , S a m ’ s s o l u t i o n a n d r e a s o n i n g f o r p r o b l e m 2 B - 2 a r e d i s c u s s e d . F i n a l l y , t h e t h i r d s e g m e n t a l s o d i s c u s s e s h o w t h e s i t u a t i o n c o n n o t e d b y t h e m a t h e m a t i c s , a l o n g w i t h S a m ’ s s t r a t e g i e s , r a i s e s i n t e r e s t i n g q u e s t i o n s a b o u t t e a c h i n g g r a p h s o f s i t u a t e d p r o b l e m s . P r o b l e m Z B - I : A v a l i d i n t e r p r e t a t i o n . S a m w a s fl u i d i n h i s i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b l e m 2 B - l . I n t h a t p r o b l e m h e w a s t o s e l e c t a m a t c h f r o m s e v e r a l g r a p h s ( s e e F i g u r e 4 . 9 b e l o w ) f o r t h e s i t u a t i o n : W h e n I s t a r t e d t o l e a r n t h e g u i t a r , I i n i t i a l l y m a d e v e r y r a p i d p r o g r e s s . B u t I h a v e f o u n d t h a t t h e b e t t e r y o u g e t , t h e m o r e d i f fi c u l t i t i s t o i m p r o v e s t i l l f u r t h e r . ( P r o fi c i e n c y / a m o u n t o f p r a c t i c e . ) ' S a m q u i c k l y c h o s e a s u i t a b l e g r a p h , g , g i v i n g t h e f o l l o w i n g d e s c r i p t i o n t o j u s t i f y h i s c h o i c e : O k a y , u m m , h e s a y h e s t a r t e d — i t u s e d t o b e e a s y t o g o w h e n h e p l a y e d . H e Q Q Q Q Q Q [ i 1 [ E Q 1 6 3 u s e d t o g o u p f a s t a n d t h e n b e s l o w e d d o w n . O k a y , i t w a s v e r y f a s t a n d t h e n i t w e n t d o w n . H e d i d n ’ t s a y i t d e c r e a s e d , u m , h e j u s t s a i d i t g o t m o r e d i f fi c u l t t o g e t b e t t e r . S o I ’ m g o n n a s a y t h a t h e s t i l l i s g o o d [ G z o k a y ( s o f t l y ) . ] a n d I l i k e , I l i k e g . [ p a u s e ] B e c a u s e i t w e n t u p f a s t f o r a w h i l e a n d t h e n i t e v e n e d i t o u t l i k e i t w a s g e t t i n g m o r e d i f fi c u l t . I t ’ s s t i l l n o t f a l l i n g . I m e a n , a l l h e s a i d w a s i t g e t h a r d e r t o g e t b e t t e r . W h e n I a s k e d h i m t o d e s c r i b e h i s a x e s l a b e l s , h e p l a c e d ” t i m e " o n t h e h o r i z o n t a l a x i s a n d ” t h e b e t t e r h e g o t " o n t h e v e r t i c a l a x i s . H e c h a n g e d t h e v e r t i c a l l a b e l t o " r a p i d p r o g r e s s , ” a n d a s k e d i f p r o g r e s s a n d g e t t i n g b e t t e r w e r e t h e s a m e t h i n g . W h e n I a g r e e d t h e y w e r e a n d s a i d t h e p r o b l e m h a d s a i d " p r o fi c i e n c y , " h e c h a n g e d t h e h o r i z o n t a l l a b e l t o ” a m o u n t o f p r a c t i c e , " r a t h e r t h a n t i m e . [ _ Q L L E F i g u r e 4 . 9 : G r a p h C h o i c e s f o r P r o b l e m 2 B ( L F G , p . 1 0 2 ) S a m h a d d e s c r i b e d t h e c h a n g e i n t h i s g r a p h i n t e r m s o f o n l y o n e v a r i a b l e , h o w m u c h b e t t e r h e g o t ( i m p r o v e m e n t ) a n d h a d a c c u r a t e l y m a t c h e d a d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g e i n t h i s v a r i a b l e t o t h e s l o p e o f t h e g r a p h . A t t h e b e g i n n i n g w h e r e t h e s l o p e i s s t e e p , h e s a i d , " g o u p f a s t , " t h a t i s , t h e r a t e o f i m p r o v e m e n t w a s r a p i d . T h e n [ h e u s e d " b e s l o w e d d o w n ” t o d e s c r i b e i m p r o v e m e n t a s g o i n g u p m o r e s l o w l y . ” O k a y , i t w a s v e r y f a s t a n d t h e n i t w e n t d o w n ” c o u l d b e i n t e r p r e t e d e i t h e r a s a t e m p o r a r y 1 6 4 i n c l i n a t i o n t o t h i n k o f i m p r o v e m e n t i t s e l f g o i n g d o w n o r p o s s i b l y a s r e f e r r i n g t o t h e r a t e o f c h a n g e i n p r o fi c i e n c y a s g o i n g d o w n . I n a n y c a s e , S a m i n t e r p r e t e d i t c o r r e c t l y i n t h e n e x t s e n t e n c e b y e x p l a i n i n g t h a t t h e g r a p h w e n t u p m o r e s l o w l y , t h a t i s , i t e v e n e d o u t b e c a u s e i m p r o v e m e n t w a s g e t t i n g m o r e d i f fi c u l t . H e h a d m a t c h e d a s l o w e r c h a n g e i n p r o fi c i e n c y ( i m p r o v e m e n t ) t o a l e s s s t e e p s l o p e . S a m r e i n f o r c e d t h i s j u s t i fi c a t i o n b y d e s c r i b i n g t h e g r a p h a s n o t f a l l i n g b e c a u s e t h e p l a y e r w a s c o n t i n u i n g t o i m p r o v e , j u s t a t a s l o w e r r a t e . H e r e j e c t e d g r a p h j w h e n I a s k e d i f i t w e r e a p o s s i b l e c h o i c e . A g a i n h e d e s c r i b e d t h e c h a n g e i n t h e g r a p h d i r e c t l y : ” L o o k a t i t . I t ’ s g o i n g u p f a s t , a n d t h e n i t ’ s e v e n i n ’ o u t , a n d t h e n i t ’ s g o i n ’ b a c k u p . I t d o n ’ t l o o k l i k e i t . " W h e n I a s k e d h i m w h a t t h e t a i l e n d o f t h e g r a p h m e a n t , h e a g a i n d e s c r i b e d t h e g r a p h i t s e l f i n t e r m s o n l y o f t h e r a t e o f c h a n g e i n p r o g r e s s : " T h a t ’ s t h e e n d i t ’ s i n c r e a s i n ’ m o r e . G o i n ’ u p f a s t . I t ’ s g o i n ’ u p r a p i d r i g h t t h e r e . T h a t r a p i d p r o g r e s s . ” I n h i s j u s t i fi c a t i o n s , S a m s p o k e o n l y o f i m p r o v e m e n t o r p r o g r e s s , w h i c h h e s e e m e d t o u s e f o r p r o fi c i e n c y . N o t e t h a t h e u s e d s i m i l a r l a n g u a g e t o T o n i , w h o s p o k e o f p r o fi c i e n c y b e i n g " p r e t t y m u c h l e v e l . " S a m s e e m e d t o fl u i d l y m o v e a c r o s s t h e g r a p h ( i n c r e a s i n g t i m e ) , b u t w i t h o n l y t a c i t a t t e n t i o n t o t i m e . A l l r e f e r e n c e s t o t i m e w e r e i n d i r e c t , s u c h a s t h r o u g h t h e u s e o f t h e w o r d s , ” t h e n " a n d " f o r a w h i l e . " L i k e T o n i , h e r e a s o n e d w i t h o n e v a r i a b l e , w i t h a t e m p o r a l a s p e c t i n c o r p o r a t e d i n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e b y s w e e p i n g a c r o s s t h e g r a p h f r o m l e f t t o r i g h t . T i m a n d D o n n a : C o v a r i a t i o n d i f fi c u l t i e s . A s u i t a b l e g r a p h f o r D o n n a i n t h e T i m a n d D o n n a p r o b l e m ( 5 - 1 ) , g i v e n b e l o w i n F i g u r e 4 . 1 0 , w a s i d e n t i c a l t o t h a t i n t h e g u i t a r p r o b l e m , a s t h e y r e p r e s e n t e d t h e s a m e p a t t e r n o f v a r i a t i o n . W h e n S a m i n t e r p r e t e d t h i s m a t c h b e t w e e n a s i t u a t i o n a n d a g r a p h , h o w e v e r , h e h a d m o r e d i f fi c u l t y . S a m b e g a n b y r e a d i n g t h e p r o b l e m a l o u d a n d m e n t i o n e d m o d e s o f t r a v e l a n d t h a t t h e c h i l d r e n s w i t c h e d m o d e s a t t h e s a m e t i m e . H e s t a r t e d w i t h T i m a n d c o n s i d e r e d b , c , a n d a , t h r e e o f t h e f o u r g r a p h s t h a t h a d s e g m e n t s t h a t i n c r e a s e d . H e e i x s a c D t o l n y n o a f i ' { 7 a . ) a ) t i m e n s i r ' ‘ ‘ ' M m “ W h i c h o f t h e I . ) Q ) . A ? ‘ " o i f t 3 s i s T i m l l o w i n g g r a p P “ h A - M ‘ 4 ' s ’ ) ) c K - i 3 j 1 a n d w h i c h o n e a : ° 1 6 5 f a i r l y q u i c k l y c h o s e b f o r T i m a n d j u s t i fi e d h i s c h o i c e ( w h i l e p o i n t i n g t o b a n d m o v i n g h i s fi n g e r u p w a r d a l o n g t h e g r a p h ) : ” H e s t a r t e d w a l k i n g , t h e n h e s t a r t e d w a l k i n g f a s t e r , t h e n s t a r t e d r u r m i n g . " I t a p p e a r e d S a m w a s i l l u s t r a t i n g a m a t c h i n s p e e d w i t h t h e s l o p e o f t h e g r a p h , b u t c o u l d j u s t a s e a s i l y h a v e b e e n t h i n k i n g o f t h e g r a p h a s a g r a p h o f s p e e d , i n w h i c h c a s e , i t i s a l s o a c o r r e c t m a t c h . T i m a n d D o n n a l i v e 1 k m f r o m t h e i r s c h o o l . U s u a l l y t h e y w a l k t o g e t h e r t o s c h o o l . Y e s t e r d a y t h e y b o t h l e f t t h e i r h o u s e s 1 0 m i n u t e s b e f o r e s c h o o l s t a r t e d . T i m S t a r t e d t o w a l k b u t D o n n a w a s a f r a i d t o b e l a t e a n d s t a r t e d t o r u n . A f t e r a w h i l e T i m r e a l i z e d t h a t a l t h o u g h h e u i e d t o w a l k f a s t e r a n d f a s t e r . h e h a d t o r u n i f h e d i d n O t w a n t t o b e l a t e , a n d s t a r t e d t o r u n . A t t h e s a m e t i m e , D o n n a b e c a m e t i r e d a n d h a d t o w a l k i m t c a d o f r u n . T h e y b o r h r e a c h e d s c h o o l F i g u r e 4 . 1 0 : P r o b l e m 5 - 1 , T i m a n d D o n n a P r o b l e m N e x t , a f t e r c o n s i d e r i n g e a n d c , S a m c h o s e d f o r D o n n a : O k , s h e r a n . [ p o i n t s t o e , r u n n i n g fi n g e r d o w n g r a p h l e f t t o r i g h t , t h e n m o v e s t o c . ] S h e s t a r t e d r u n n i n g t h e n s h e g o t t o s t o p . [ m o v e s o v e r t o d ] W h e n h e s t a r t e d r u n n i n g , s h e s t a r t e d w a l k i n g . [ s t i l l o n d , b u t l o o k s t o w a r d c o r f ] H m m m . S h e d i d n ’ t e x a c t l y s t o p e i t h e r ; s h e j u s t - H m m m m . [ H e g l a n c e s a t c o r f ] I t h i n k h e g e t b a n d s h e g e t d . T h e s e t h r e e g r a p h s , c , e , a n d d , a r e t h e o n l y g r a p h s w i t h d e c r e a s i n g s e g m e n t s . C l e a r l y , b y t h i s t i m e , S a m w a s c o n s i d e r i n g a g r a p h o f s p e e d o v e r t i m e , r a t h e r t h a n 1 6 6 d i s t a n c e o v e r t i m e , a f a c t h e e x p l i c i t l y a d m i t t e d l a t e r i n t h e i n t e r v i e w . I n a d d i t i o n , h i s a t t e n t i o n w a s f o c u s e d o n t h e n e e d t o fi n d a s p o t o n t h e t w o g r a p h s w h e r e T i m a n d D o n n a c h a n g e d t r a v e l m o d e s s i m u l t a n e o u s l y . T h i s n e e d i s p r o b a b l y w h y h e t e n t a t i v e l y s w i t c h e d t o d f r o m c , w h i c h h a d n o c l e a r c h a n g e . W h e n I a s k e d S a m w h y h e t h o u g h t b f o r T i m a n d d f o r D o n n a , h e i m m e d i a t e l y c h a n g e d h i s r e s p o n s e f r o m d t o c f o r D o n n a b e f o r e fi n a l l y s e t t l i n g o n f : S : S h e w a s r u n n i n ’ a n d s h e s t o p p e d r u n n i n ’ [ H e p o i n t s b r i e fl y t o c , r u n n i n g h i s fi n g e r a l o n g t h e g r a p h , b e f o r e m o v i n g t o f . ] ( i n a u d i b l e ) I t h i n k i t ’ s f n o w . ‘ G : F ? N o w c o u l d y o u t e l l m e h o w y o u r e a s o n e d t h a t T i m w o u l d b e b a n d D o n n a f ? S : O k . H e s t a r t e d w a l k i n ’ , t h e n h e g o t f a s t e r ’ c a u s e h e s t a r t e d t o r u n . T h e n t h e s p w d a c c e l e r a t e d . S h e s t a r t e d r u n n i n ’ a n d s h e - a s s h e r a n , s h e g o t t i r e d t h e n s h e h a d t o s t o p . P l u s i t s a i d " a t t h e s a m e t i m e ” t h e y s t a r t e d d o i n ’ w h a t e v e r t h e y d i d , w a l k i n ’ o r s o m e t h i n ’ ( c h a n g i n g m o d e s ) . [ G z u m - h u h ] S o r i g h t t h e r e [ m a r k s g r a p h s b a n d f w i t h v e r t i c a l l i n e a b o u t h a l f w a y a c r o s s t h e g r a p h ] t h e y b o t h s t a r t e d d o i n ’ w h a t t h e y w a s d o i n ’ , d o t h e - d o t h e - — t h e w a l k i n ’ o r t h e r u n n i n ’ t h a t t h e y w a s d o i n ’ a t t h a t p o i n t . H e r e S a m h a d j u s t i fi e d h i s g r a p h s w i t h a d e s c r i p t i o n o f s p e e d a n d a c c e l e r a t i o n ( r a t e o f c h a n g e o f s p e e d ) a n d t h e c o i n c i d e n c e o f c h a n g i n g t r a v e l m o d e s , w h i c h h e m a r k e d w i t h v e r t i c a l l i n e s o n t h e t w o g r a p h s . I c o n t i n u e d b y q u e s t i o n i n g S a m ’ s u s e o f a c c e l e r a t i o n . H e s u d d e n l y n o t i c e d ” d i s t a n c e " o n t h e a x i s a n d s a i d h e h a d t h o u g h t i t w a s s p w d . T h e n h e q u i c k l y d e s c r i b e d T i m ’ s g r a p h a s ” g e t t i n g h i s d i s t a n c e f a s t e r . " S a m s a i d , ” h e c o v e r e d m o r e d i s t a n c e r i g h t t h e r e " w h i l e p o i n t i n g t o t h e s t e e p p a r t o f t h e g r a p h b a n d ” h e c o v e r e d l e s s t h a t w a y [ t h a n ] w h e n h e s t a r t g o i n ’ f a s t e r " w h i l e p o i n t i n g t o t h e l e s s s t e e p p a r t . A g a i n , a s i n p r o b l e m 2 B - l a b o v e , S a m h a d a s s o c i a t e d s t e e p n e s s o f t h e g r a p h w i t h t h e r a t e o f c h a n g e ( s p e e d ) i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( d i s t a n c e ) a n d j u s t i fi e d h i s g r a p h b y m a t c h i n g a d e s c r i p t i o n o f t h e g r a p h w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h i s r a t e o f c h a n g e w h i l e ” e x p e r i e n c i n g " t h e v a r i a b l e , t i m e , a s s i m p l y p a s s i n g . 1 6 7 B e i n g a b l e t o m a t c h c h a n g e i n t h e s i t u a t i o n a n d c h a n g e i n s h a p e o f t h e g r a p h ( s l o p e ) w a s c r i t i c a l t o S a m ’ s r e a s o n i n g i n t h i s p r o b l e m . I n T i m ’ s c a s e , b o t h s p e e d a n d d i s t a n c e i n c r e a s e . W h i l e s w e e p i n g a c r o s s t h e g r a p h f r o m l e f t t o r i g h t , t h a t i s , i n i n c r e a s i n g t i m e , o n e c o u l d d e s c r i b e e i t h e r s p e e d , d i s t a n c e , o r t h e g r a p h , a n d t h e d e s c r i p t i o n w o u l d b e e s s e n t i a l l y t h e s a m e : i n t h e b e g i n n i n g t h e _ w e n t u p s l o w l y , a n d a f t e r a w h i l e t h e _ _ w e n t u p m o r e r a p i d l y . I n D o n n a ’ s c a s e , h o w e v e r , w h e n S a m fi r s t t r i e d t o c o o r d i n a t e t h e s l o p e o f t h e g r a p h w i t h s p e e d , h e r a n i n t o d i f fi c u l t y b e c a u s e h e n e e d e d a g r a p h t h a t w e n t d o w n . D u r i n g t h e fi r s t p a r t o f t h e i n t e r v i e w , b e c o o r d i n a t e d t h e s h a p e o f t h e g r a p h w i t h s p e e d a n d s o o n b e g a n t a l k i n g d i r e c t l y a b o u t s p e e d a n d a c c e l e r a t i o n ( r a t e o f c h a n g e i n s p e e d ) , r a t h e r t h a n d i s t a n c e a n d s p w d ( r a t e o f c h a n g e i n d i s t a n c e ) . H e t e n t a t i v e l y c h o s e c , s o t h e g r a p h w o u l d m a t c h a d e s c r i p t i o n o f s p e e d fi r s t i n c r e a s i n g ( t o g o f r o m r e s t t o r u n n i n g ) a n d t h e n d e c r e a s i n g ( t o s l o w d o w n f o r w a l k i n g ) , a n d f o r m u c h o f t h e t i m e s e e m e d t o r e c o n s i d e r c . E v e n ( 1 9 8 9 ) , w h o d e v e l o p e d t h e T i m / D o n n a p r o b l e m f o r h e r P h d d i s s e r t a t i o n , r e p o r t e d s i m i l a r r e s p o n s e s . F o u r t e e n o f t h e 1 5 2 u n d e r g r a d u a t e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w h o a n s w e r e d t h i s p r o b l e m c h o s e g r a p h c f o r D o n n a . S e v e r a l o f t h o s e i n t e r v i e w e d a t t e n d e d t o s u p e r fi c i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e g r a p h a n d e i t h e r i g n o r e d l a b e l s o r s w i t c h e d t h e a x i s l a b e l f r o m d i s t a n c e t o s p e e d , e i t h e r i n i t i a l l y o r m i d w a y t h r o u g h w h e r e t h e g r a p h d i d n o t m a t c h a d e s c r i p t i o n o f s p e e d . S a m h a d s t a r t e d o u t u s i n g s p e e d a s h i s ( i m p l i c i t ) l a b e l , a n d e v e n a f t e r h e s u c c e s s f u l l y j u s t i fi e d t h e g r a p h f a b o v e , b e h a d d i f fi c u l t y r e s i s t i n g g r a p h c , w h i c h m a t c h e d s p e e d a s g o i n g u p t h e n d o w n : N o w t h i s o n e ( 0 , I ’ d h a v e t o u s e d i s t a n c e b e c a u s e s e e s h e w a s c o v e r i n ’ m o r e d i s t a n c e — r i g h t t h e r e t h e n i t s t a r t e d l e v e l i n g o f f , a n d t h e n i t k i n d a c a m e - a n d y o u c a n t e l l i t ’ s g o i n g t o c o m e t o a d r o p ( b e y o n d w h a t i s s h o w n o n t h e g r a p h ) . I n t h i s p r o b l e m S a m a t t e n d e d t o t i m e d i r e c t l y w h e n h e t r i e d t o fi n d a p l a c e w h e r e t h e g r a p h s c h a n g e d s i m u l t a n e o u s l y . Y e t w h e n b e j u s t i fi e d t h e m a t c h , a s i n t h e g u i t a r p r o b l e m , h e s e e m e d t o f o c u s a l m o s t e x c l u s i v e l y o n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e d i s t a n c e 1 6 8 a n d e x p e r i e n c e d t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t i m e , b y a t t e n d i n g t o i t v e r y l i t t l e , e x c e p t t o c o n s i d e r i t a s p a s s i n g a s h e m o v e d a c r o s s t h e g r a p h . H a d h e n o t s w i t c h e d t o s p e e d , b u t h a d c o n s i d e r e d d i s t a n c e , r a t h e r t h a n s p e e d , t o b e g i n w i t h , h e c o u l d h a v e s o l v e d t h i s p r o b l e m i m m e d i a t e l y e x a c t l y l i k e t h e g u i t a r p r o b l e m b y d e s c r i b i n g D o n n a ’ s r a t e o f c h a n g e i n d i s t a n c e ( s p e e d ) a n d c o o r d i n a t i n g t h e c h a n g e w i t h t h e s h a p e o f t h e g r a p h a s h e m o v e d a c r o s s t h e g r a p h f r o m l e f t t o r i g h t . N o t e t h a t S a m u l t i m a t e l y u s e d s i m i l a r l a n g u a g e , ” e v e n e d o u t ” a n d ” l e v e l i n g o f f , " t o a c c o u n t f o r t h e f a r r i g h t s i d e o f t h e g r a p h . I t i s n o t c l e a r w h e t h e r S a m b e g a n t h e p r o b l e m t h i n k i n g o f t h e v e r t i c a l l a b e l a s d i s t a n c e o r s p e e d . H a d h e m i s r e a d t h e p r o b l e m i n i t i a l l y a s s p e e d / t i m e , i t s e e m s h e w o u l d h a v e i m m e d i a t e l y c h o s e n a n d s t u c k t o e i t h e r c o r e , d e p e n d i n g o n w h e t h e r o r n o t h e c o n s i d e r e d t i m e a s fi r s t m e a s u r e d f r o m w h e n D o n n a w a s a t r e s t ( c ) o r w h e n s h e w a s a l r e a d y r u n n i n g ( e ) . T h a t h e d i d c o n s i d e r t h e s e fi r s t i n d i c a t e s h e w a s s o o n c o n c e r n e d w i t h s p e e d , h o w e v e r . S a m ’ s c o n c e r n w i t h t h e s i m u l t a n e o u s c h a n g e a n d h i s i n t r o d u c t i o n o f D o n n a s t o p p i n g , r a t h e r t h a n c e a s i n g t o r u n , m i g h t h a v e c a u s e d h i m e n o u g h c o n f u s i o n t h a t h e r e s o r t e d t o r e i n t e r p r e t i n g t h e a x e s a s s p e e d / t i m e a l m o s t i m m e d i a t e l y . I n a n y c a s e , S a m u s e d t h e s a m e s t r a t e g i e s a s i n 2 B - l , t h e g u i t a r p r o b l e m , t o d e s c r i b e t h e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e d i r e c t l y a n d c o o r d i n a t e t h i s r a t e w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h e s l o p e o f t h e g r a p h , w h i l e a c c e s s i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , t i m e , o n l y i m p l i c i t l y . T h e s e r e a s o n i n g s t r a t e g i e s c l e a r l y c o n t r i b u t e d t o h i s s u c c e s s o n t h e s e t w o p r o b l e m s . O n e d i f f e r e n c e i n t h e t w o p r o b l e m s i s S a m ’ s u s e o f l a n g u a g e . I n e a c h c a s e , b e c o o r d i n a t e d a d e s c r i p t i o n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h a d e s c r i p t i o n o f c h a n g e ( s l o p e ) i n t h e g r a p h , w i t h o n l y t a c i t a t t e n t i o n t o t i m e a s t h e i n d e p e n d e n t - v a r i a b l e . I n t h e g u i t a r p r o b l e m , h e d e s c r i b e d c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i t s e l f ( p r o fi c i e n c y o r i m p r o v e m e n t ) . I n t h e D o n n a p r o b l e m , h o w e v e r , h e h a d a n a m e , t r a v e l m o d e ( s p e e d ) , f o r t h e r a t e i t s e l f . I n t h e l a t t e r c a s e , S a m h a d m o r e t r o u b l e w i t h 1 6 9 h i s c o o r d i n a t i o n a n d h e s t r u g g l e d n o t t o s l i p i n t o g r a p h i n g s p e e d , r a t h e r t h a n d i s t a n c e a s a f u n c t i o n o f t i m e . P e r h a p s t h e l a c k o f a r e a d i l y a v a i l a b l e l a b e l f o r s p e e d o f c h a n g e i n p r o fi c i e n c y h e l p e d h i m m a i n t a i n h i s f o c u s o n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i t s e l f , r a t h e r t h a n t h e r a t e o f c h a n g e a s a v a r i a b l e , w h i c h i n t e r f e r e d w i t h h i s m a t c h i n g g r a p h t o s i t u a t i o n . P r o b l e m 2 3 - 2 : S i t u a t i o n a l c o n f u s i o n . A l t h o u g h S a m w a s a b l e , w i t h m i n o r t r o u b l e , t o c o r r e c t l y m a t c h g r a p h s w i t h t h e p r o b l e m s j u s t d i s c u s s e d ( 2 B - l a n d 5 - 1 ) , h e h a d m u c h g r e a t e r d i f fi c u l t y m a t c h i n g a g r a p h i n F i g u r e 4 . 9 g i v e n a b o v e w i t h t h e s i t u a t i o n ( 2 8 - 2 ) : I f s c h o o l w o r k i s t o o e a s y , y o u d o n ’ t l e a r n a n y t h i n g f r o m d o i n g i t . O n t h e o t h e r h a n d , i f i t i s s o d i f fi c u l t t h a t y o u c a n n o t u n d e r s t a n d i t , a g a i n y o u d o n ’ t l e a r n . T h a t i s w h y i t i s s o i m p o r t a n t t o p i t c h w o r k a t t h e r i g h t l e v e l o f d i f fi c u l t y . ( e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k ) A s w i l l b e s e e n , S a m m i s i n t e r p r e t e d t h e s i t u a t i o n s t a t e m e n t a n d c o n f o u n d e d h i s p r o b l e m s o l v i n g b y a n i n a p p r o p r i a t e g r a p h c h o i c e . F u r t h e r , h i s c h o i c e o f e d u c a t i o n a l v a l u e , a v a r i a b l e t h a t d i d n o t i n c r e a s e o v e r t i m e , f o r t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e m a d e i t i m p o s s i b l e t o t a p s t r a t e g i e s h e h a d u s e d e a r l i e r i n t h e g u i t a r a n d T i m a n d D o n n a p r o b l e m s . S a m r e a d t h e p r o b l e m a n d h a d d i f fi c u l t y t h i n k i n g o f i t a s a d e s c r i p t i o n t h a t r e p r e s e n t e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o q u a n t i t i e s . H e c o n f u s e d t w o i n s t a n c e s o f t h e r e l a t i o n s h i p f o r t w o r e l a t i o n s h i p s a n d s a w t h e s i t u a t i o n a s r e q u i r i n g t w o g r a p h s b e c a u s e t h e r e w e r e t w o v a l u e s f o r d i f fi c u l t y o f w o r k t h a t h a d t h e s a m e e d u c a t i o n a l v a l u e : S : O k a y , t h i s s h o u l d b e t w o g r a p h s r i g h t t h e r e . G : T h i s s h o u l d b e t w o g r a p h s ? S : T h e y g a v e y o u t w o d i f f e r e n t - w e l l - - [ r e a d i n g a l o u d ] I f s c h o o l w o r k i s t o o e a s y , y o u d o n ’ t l e a r n a n y t h i n g f r o m i t , w e l l - I ’ m p o i n t i n g t h a t o u t b e c a u s e h e d o i n ’ g o o d , b u t h e a i n ’ t g e t t i n ’ n o t h i n g — o r s h e . [ p a u s e ] W h i c h o t h e r o n e m i g h t w o r k ? I ’ m t h i n k i n ’ f r i g h t n o w . E v e n t h o u g h h e s a w t h i s p r o b l e m a s t w o s i t u a t i o n s , h e c h o s e a s i n g l e g r a p h , f , 1 7 0 a n y w a y ( F i g u r e 4 . 1 1 b e l o w ) . S i n c e S a m w a s c a r e f u l l y a t t u n e d t o m y c o m m e n t s , p e r h a p s h e h a d c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d t h e p r o b l e m i n s t r u c t i o n s g i v e n s h o r t l y b e f o r e d u r i n g t h e g u i t a r p r o b l e m , " y o u h a v e t o t r y t o fi n d t h e b e s t - fi t t i n g g r a p h a n d t h e n s a y h o w i t fi t s i t , " t o i m p l y a s i n g l e g r a p h e x i s t e d . ( f ) l ( k ) F i g u r e 4 . 1 1 : G r a p h s f a n d k f r o m P r o b l e m 2 B I a s k e d S a m w h a t h e w o u l d c a l l h i s a x e s . H e fi r s t l a b e l e d t h e v e r t i c a l a x i s a s d i f fi c u l t y o f w o r k a n d t h e n s w i t c h e d i t t o e d u c a t i o n a l v a l u e . I a s k e d w h a t t h e h o r i z o n t a l ( a x i s ) l a b e l w o u l d b e , a n d h e s a i d , " t h e d i f fi c u l t y , " b u t t h i s l a b e l i n g c a u s e d h i m c o n c e r n : O h , n o . T h a t ’ d b e h a r d . L e t m e s e e , i f i t ’ s d i f fi c u l t , i t w o u l d b e w a y d o w n h e r e ( o n x - i n t e r c e p t ) . B u t t h i s s a y i n ’ - B e c a u s e i f h e g o t d i f fi c u l t y , h e f a i l e d . N a w , I c a n ’ t s a y t h a t . [ p a u s e ] H m m m . O k a y , n o w , l e t m e t h i n k . [ p a u s e ] T h i s ( x - i n t e r c e p t ) c o u l d b e t h e e d u c a t i o n a l v a l u e . I t a i n ’ t n o t h i n ’ r i g h t t h e r e . I l i k e t h a t b e t t e r . " O h , n o ” m e a n t S a m i m m e d i a t e l y h a d s e c o n d t h o u g h t s a b o u t l a b e l i n g t h e h o r i z o n t a l a x i s a s d i f fi c u l t y o f w o r k . H i s s t a t e m e n t s , " T h a t ’ d b e h a r d ” a n d ” L e t m e s e e , i f i t ’ s d i f fi c u l t , i t w o u l d b e h e r e ( o n x - i n t e r c e p t ) ” i n d i c a t e h e w a s t r y i n g t o p l a c e a s i t u a t i o n a l v a l u e o f h a r d f o r d i f fi c u l t y o f w o r k a t t h e x — i n t e r c e p t . H e t h e n c h e c k e d o u t h i s r e a s o n i n g b y r e f e r r i n g b a c k t o t h e s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n o f w o r k b e i n g t o o h a r d a n d n o t l e a r n i n g i t . S a m r e j e c t e d , o r a t l e a s t d o u b t e d , h i s l a b e l c h o i c e o f d i f fi c u l t y o n t h e h o r i z o n t a l b e c a u s e i t d i d n o t s e e m t o fi t t h e s i t u a t i o n . H e h a d a s s o c i a t e d a ' s i n g l e v a l u e o f z e r o w i t h t h e x - i n t e r c e p t ( ” I t a i n ’ t n o t h i n ’ r i g h t t h e r e " ) , a n d s i n c e t h i s v a l u e m a t c h e d t h e s i t u a t i o n v a l u e f o r n o t l e a r n i n g , h e c h o s e e d u c a t i o n a l v a l u e a s t h e l a b e l f o r t h e x - a x i s o n t h e b a s i s o f t h i s o n e v a l u e f o r t h e x - i n t e r c e p t . 1 7 1 A l t h o u g h m y i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s s e g m e n t m a y n o t b e f u l l y e v i d e n t f r o m S a m ’ s s t a t e m e n t h e r e , i t i s s u p p o r t e d i n t h e r e s t o f t h e i n t e r v i e w f o r t h i s p r o b l e m . A s S a m ’ s w o r k o n t h i s p r o b l e m i s d i f fi t h t o f o l l o w , t h i s p a r a g r a p h i s m e a n t t o p r o v i d e a f r a m e o r o v e r v i e w o f w h a t w i l l b e s h o w n b e l o w . F o r m u c h o f t h e r e s t o f t h i s p r o b l e m , S a m r e p e a t e d l y a c t e d i n t h e f o l l o w i n g w a y s . H e i n t e r p r e t e d p o i n t s o n e a c h a x i s a s m e a s u r i n g o n l y o n e q u a n t i t y . W h e n t h e p o i n t w a s t h e y - i n t e r c e p t , h e r e f e r r e d t o d i f fi c u l t y o f w o r k , t h e l a b e l f o r t h e y - a x i s , a n d w h e n t h e p o i n t w a s t h e x - i n t e r c e p t , h e u s e d e d u c a t i o n a l v a l u e , t h e l a b e l f o r t h e x - a x i s . A t t h e s a m e t i m e , S a m i n t e r p r e t e d t h e v a l u e s o f t h e s e q u a n t i t i e s o n l y i n t e r m s o f t h e v e r t i c a l m e a s u r e o n t h e g r a p h , t h a t i s , t h e m e a s u r e o f t h e s e c o n d c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t . F u r t h e r , h e s e e m e d t o j u s t i f y h i s a c t i o n s o r r e a s o n o n l y w i t h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s i t u a t i o n i t s e l f , e v e n w h e n i t c o n fl i c t e d w i t h t h e m a t h e m a t i c s , w h a t h e h a d s a i d p r e v i o u s l y , o r w h e n i n f o r m a t i o n h a d t o b e i n v e n t e d t o e x p a n d t h e s i t u a t i o n t h a t w a s g i v e n . I n t h e s e g m e n t o f t r a n s c r i p t j u s t g i v e n a b o v e , S a m w a s t r y i n g t o r e s o l v e a c o n fl i c t b e t w e e n h i s a x i s l a b e l , h i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e x - i n t e r c e p t , a n d h i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s i t u a t i o n . I n g r a p h f , i f o n e c o n s i d e r s o n l y t h e v e r t i c a l m e a s u r e , t h e n t h e g r a p h h a s a h i g h v a l u e a t t h e y - a x i s a n d a l o w v a l u e a t t h e x - a x i s . I n t h i s s e g m e n t , I b e l i e v e S a m s a w a c o n fl i c t b e t w e e n a l o w v a l u e o n t h e g r a p h ( a t t h e x - i n t c r c e p t ) a n d a h i g h v a l u e f o r t h e q u a n t i t y i n t h e s i t u a t i o n ( w o r k b e i n g h a r d ) h e w a n t e d t o p l a c e t h e r e . S i n c e h i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e x - i n t e r c e p t a s z e r o w a s c o n s i s t e n t w i t h a l o w v a l u e ( n o t l e a r n i n g ) , h e r e s o l v e d h i s c o n fl i c t o v e r a x i s l a b e l s b y a s s i g n i n g e d u c a t i o n a l v a l u e t o t h e h o r i z o n t a l a x i s . R e c a l l , t h a t n o t l e a r n i n g w a s m e n t i o n e d t w i c e i n t h e p r o b l e m a n d w a s a s a l i e n t p o i n t f o r S a m . W h i l e r e a d i n g t h e p r o b l e m , h e h a d p o i n t e d o u t h i s c o n c e r n f o r h o w t o d e a l w i t h t w o v a l u e s f o r d i f fi c u l t y o f w o r k a s s o c i a t e d w i t h n o t l e a r n i n g . I n t h i s p r o b l e m S a m c o n s i s t e n t l y u s e d o n l y t h e v e r t i c a l m e a s u r e o n t h e g r a p h t o m a k e d e c i s i o n s . W h e n h e w o r k e d w i t h t h e g u i t a r o r T i m / D o n n a p r o b l e m s , h e 1 7 2 a l s o h a d r e l i e d o n h i s a b i l i t y t o ” t h i n k w i t h ” t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n l y s o t h a t h e c o u l d c o o r d i n a t e i t s c h a n g e w i t h t h e g r a p h ’ s g o i n g u p a n d d o w n o v e r t i m e . M y i n t e r p r e t a t i o n o f S a m ’ s a c t i o n s h e r e a r e c o n s i s t e n t w i t h s t r a t e g i e s h e u s e d t o m a t c h g r a p h s a n d s i t u a t i o n s i n t h e g u i t a r a n d T i m a n d D o n n a p r o b l e m . S a m h a d d i f fi c u l t y i n t e r p r e t i n g t h i s p r o b l e m b e c a u s e h e h a d c h o s e n h i s a x e s i n s u c h a w a y t h a t h e c o u l d n o t r e a s o n i n t h i s s a m e f a s h i o n . H i s i n a b i l i t y t o l a b e l h i s a x e s i n a r e a s o n a b l e w a y w a s p r o b a b l y d u e t o h i s q u i c k c h o i c e f o r a g r a p h t h a t h e s a w a s fi t t i n g t h e s i t u a t i o n e a s i l y b e c a u s e i t h a d o n e h i g h v a l u e ( a t y - a x i s ) a n d o n e l o w v a l u e ( a t x — a x i s ) t h a t h e h a d a t t e n d e d t o i m m e d i a t e l y o n r e a d i n g t h e d e s c r i p t i o n o f t h e s i t u a t i o n . H a d S a m n o t m a d e a b a d c h o i c e o f g r a p h t o b e g i n w i t h , h e m i g h t n o t h a v e f o u n d t h i s p r o b l e m s o t r o u b l e s o m e . M u c h l a t e r i n t h e i n t e r v i e w , w h e n h e c h o s e a s u i t a b l e g r a p h k ( F i g u r e 4 . 1 1 a b o v e ) , b e w a s a b l e t o c h o o s e a p p r o p r i a t e a x e s a n d t o j u s t i f y a fi t _ w i t h t h e s i t u a t i o n - a t l e a s t f o r t h e t w o x - i n t e r c e p t s a n d t h e v e r t e x . A s w e c o n t i n u e d t h e p r o b l e m , I t r i e d t o a s k q u e s t i o n s f r o m w h i c h I e x p e c t e d S a m t o r e c o g n i z e t h e m a t h e m a t i c a l c o n fl i c t w i t h i n h i s r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s s i t u a t i o n a n d e x p e c t e d h i m t o r e c o n s i d e r h i s g r a p h c h o i c e . H e d i d n o t , h o w e v e r . I n s t e a d , a s w i l l b e s e e n i n t h e f o l l o w i n g s e g m e n t s , S a m c r e a t e d g r e a t e r p r o b l e m s b y i n t r o d u c i n g n e w v a r i a b l e s t o t h e s i t u a t i o n . S i n c e S a m h a d f o c u s e d h i s a t t e n t i o n o n t h e x - i n t e r c e p t , I t r i e d t o e l i c i t h o w h e t h o u g h t a b o u t i t : G : T h e h o r i z o n t a l o n e w o u l d b e t h e e d u c a t i o n a l v a l u e ? a n d t h i s p o i n t ( x - i n t e r c e p t ) w a y o v e r h e r e t o t h e e d g e w o u l d b e w h a t t h e n ? W o u l d t h a t b e a b i g e d u c a t i o n a l v a l u e o r a s m a l l e d u c a t i o n a l v a l u e ? S : I ’ m g o n n a s a y i t ’ s - [ p a u s e ] I ’ m g o n n a s a y i t ’ s b o t h [ 6 : b o t h ? ] U m - h u h , b e c a u s e i t g i v e m e t w o s t u f f , t w o o f ’ e m . I f i t ’ s t o o e a s y o r i f i t ’ s t o o h a r d . . G : T o o e a s y a n d t o o h a r d w o u l d b c t h e s a m e s p o t o n t h e g r a p h ? S : I t ’ s d e p e n d i n ’ o n t h e p e r s o n ’ s m i n d . W h e n S a m s a i d t h e x - i n t e r c e p t w o u l d r e p r e s e n t b o t h a l a r g e o r s m a l l e d u c a t i o n a l 1 7 3 v a l u e , I w a s s u r p r i s e d , n o t b e c a u s e h e h a d a n s w e r e d a q u e s t i o n u s i n g v a l u e s f o r d i f fi c u l t y o f w o r k r a t h e r t h a n e d u c a t i o n a l v a l u e a s I h a d a s k e d , b u t b e c a u s e h e h a d p u t t w o d i s t i n c t v a l u e s f o r o n e o f t h e v a r i a b l e s o n o n l y o n e s p o t o n t h e g r a p h . B a s e d o n h i s w o r k w i t h p r o b l e m 2 A - 1 e a r l i e r i n t h e s a m e i n t e r v i e w , I h a d a s s u m e d h e u n d e r s t o o d p o i n t s h a d t w o v a l u e s ( c o o r d i n a t e s ) a s s o c i a t e d w i t h t h e m . Y e t , h e r e h e d i d n o t . S a m h a d s e e n t h e x - i n t e r c e p t a s z e r o e d u c a t i o n a l v a l u e o n l y , a n d h a d s i m p l y s u p p l i e d a n s w e r s f r o m t h e s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n t o a n s w e r m y q u e s t i o n . W h e n a s k e d t o j u s t i f y h i s c h o i c e o f " t o o e a s y " a n d " t o o h a r d ” b e i n g o n t h e s a m e s p o t o n t h e g r a p h , S a m i n t r o d u c e d a t h i r d s i t u a t i o n a l v a r i a b l e t h a t w a s n o t d i s c u s s e d i n t h e p r o b l e m a t a l l . W h e n h e s a i d i t d e p e n d e d o n t h e p e r s o n ’ s m i n d , h e r a i s e d t h e p o s s i b i l i t y o f m o r e t h a n o n e p e r s o n o r o f m o r e t h a n o n e p e r c e p t i o n b y a s i n g l e p e r s o n ( w h i c h w o u l d d e p e n d o n t h e t i m e o r s i t u a t i o n ) . S i n c e S a m ’ s t h i n k i n g w a s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e r e p r e s e n t a t i o n , I t r i e d t o b r i n g t h e i n c o n s i s t e n c y t o l i g h t . A s w e c o n t i n u e d , S a m a g a i n r e f e r r e d t o t h e x - i n t e r c e p t a s h a v i n g a l o w e d u c a t i o n a l v a l u e a n d a s b e i n g b o t h t o o e a s y a n d t o o h a r d . I d e c i d e d t o f o c u s o n t h i s d i s c r e p a n c y o f t w o v e r t i c a l m e a s u r e s a t a s i n g l e p o i n t . S i n c e h e h a d c a l l e d t h e h o r i z o n t a l a x i s , e d u c a t i o n a l v a l u e , I r e m i n d e d h i m t h a t " h o w h a r d i t i s " w a s t h e l a b e l f o r t h e v e r t i c a l a x i s a n d a s k e d w h e t h e r t o o e a s y a n d t o o h a r d w o u l d b e o n t h e s a m e s p o t . S a m a g a i n r a i s e d t h e i s s u e o f m u l t i p l e p e o p l e : S : H m m m . L e t m e s e e . O k a y . T h i s m i g h t b e t o o h a r d f o r s o m e b o d y , b u t i t m i g h t b e t o o e a s y f o r t h e o t h e r p e r s o n . G : O h h h h . O k a y . N o w I u n d e r s t a n d w h a t y o u m e a n b y i t c o u l d b e t o o e a s y o r t o o h a r d . N o w l e t ’ s b a c k u p a s e c o n d . C a n o n e g r a p h b e - [ p a u s e ] f o r t h i s p r o b l e m , c a n o n e g r a p h b e m u l t i p l e p e o p l e ? O r i s i t j u s t f o r o n e p e r s o n ? S : Y e p , y e p , i t c o u l d b e m u l t i p l e p e o p l e . A w h o l e b u n c h o f p e o p l e - ' - o n o n e g r a p h . I w a s n ’ t t h i n k i n ’ a b o u t t h a t . I t c o u l d b e a w h o l e b u n c h o f p e o p l e , a n d r i g h t t h e r e i s a h i g h e d u c a t i o n a l v a l u e f o r s o m e p e o p l e a n d a l o w e d u c a t i o n a l v a l u e f o r o t h e r s . I h a d t r i e d t o c a l l S a m ’ s a t t e n t i o n t o h i s d i s c r e p a n c y i n i n t e r p r e t i n g t h e x - i n t e r c e p t a s 1 7 4 h a v i n g d i s t i n c t v a l u e s f o r d i f fi c u l t y o f w o r k , b u t h e h a d a g a i n i n t r o d u c e d a t h i r d v a r i a b l e , p e o p l e . E a r l i e r w h e n h e h a d s a i d , " I t ’ s d e p e n d i n ’ o n t h e p e r s o n ’ s m i n d , ” I h a d t h o u g h t h e w a s t a l k i n g a b o u t d i f f e r e n t t i m e s f o r o n e p e r s o n a t a s i n g l e p o i n t o n t h e g r a p h , r a t h e r t h a n d i f f e r e n t p e o p l e . H e r e , w h e n h e c l e a r l y t a l k e d a b o u t m u l t i p l e p e o p l e a t e a c h p o i n t , I t h o u g h t t h e c o n f u s i o n w o u l d c l e a r u p i f I s a i d t h e g r a p h w a s f o r o n l y o n e p e r s o n . S o I e x p l a i n e d d i r e c t l y t h a t w e r e a l l y c o u l d n o t t e l l t h e m e a n i n g o f o n e p o i n t i f i t r e f e r r e d t o m o r e t h a n o n e p e r s o n a n d t h a t h e s h o u l d . t h i n k o f t h e g r a p h a s b e i n g o n l y f o r o n e p e r s o n . N o t e t h a t i n h i s e a g e r n e s s t o r e s p o n d t o m y q u e s t i o n a b o u t m u l t i p l e p e o p l e , h e i n t r o d u c e d m u l t i p l e l e v e l s o f e d u c a t i o n a l v a l u e a s o c c u r r i n g a t o n e p o i n t , w h e r e a s e a r l i e r , h e h a d s p o k e n o n l y o f m u l t i p l e v a l u e s f o r w o r k d i f fi c u l t y . S a m w a s c l e a r l y c o n f u s e d a b o u t i n t e r p r e t i n g p o i n t s o n t h i s g r a p h , a n d I h a d t r i e d t o m a k e s e n s e o f h i s i n t e r p r e t a t i o n s a n d t o f o c u s h i s a t t e n t i o n o n t h e d i f fi c u l t y v a r i a b l e i n a n e f f o r t t o h e l p h i m s e e t h a t h e h a d a s s i g n e d t w o d i f f e r e n t v e r t i c a l m e a s u r e s t o t h e s a m e p o i n t . T w i c e h e a n s w e r e d m y q u e s t i o n s b y i n t r o d u c i n g n e w a t t r i b u t e s o f t h e s i t u a t i o n t h a t c o u l d e x p l a i n w h a t w a s p r o b l e m a t i c i n t h e r e p r e s e n t a t i o n , i n t h i s c a s e , t o o e a s y a n d t o o h a r d a t o n e p o i n t o n t h e g r a p h . I n s i t u a t i o n s , c e r t a i n l y t h i n g s c a n b e t o o e a s y o r t o o h a r d f o r a p e r s o n , d e p e n d i n g o n t h e d a y o r t h e s o m e o t h e r a s p e c t o f t h e s i t u a t i o n , a n d t h e y c a n b e t o o e a s y o r t o o h a r d , d e p e n d i n g o n t h e p e r s o n . Y e t ' i n S a m ’ s e x p l a n a t i o n s , h e a t t e n d e d o n l y t o t h e s e s i t u a t i o n a l a s p e c t s , n o t t o w h a t i m p l i c a t i o n s t h e y h a d f o r t h e g r a p h . A l t h o u g h I h a d p e r c e i v e d S a m a s h a v i n g d i f fi c u l t y u n d e r s t a n d i n g t h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n p o i n t s o n t h e g r a p h , h e w a s n o t a t t e n d i n g t o t h i s i s s u e a t a l l . T h e r e w a s a c l e a r d i f f e r e n c e i n o u r a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t o p i c o n w h i c h w e w e r e f o c u s i n g . I h a d c o n t i n u e d t o a s k q u e s t i o n s t o c l a r i f y t h e m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s o n t h e s i t u a t i o n , a n d h e h a d i g n o r e d t h e c o n s t r a i n t s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f . I n s t e a d , h e s i m p l y i n v e n t e d a n e x p l a n a t i o n b y e x p a n d i n g t h e s i t u a t i o n ( a d d i n g p e o p l e ) t o m a t c h t h e s i t u a t i o n a l 1 7 5 a t t r i b u t e s ( b o t h h a r d a n d e a s y w i t h e d u c a t i o n n o t v a l u e d ) t h a t h e h a d a s s i g n e d t o a s i n g l e p o i n t o n t h e g r a p h . W h e n S a m a d m i t t e d h e h a d n o t e v e n t h o u g h t o f t h e p o s s i b i l i t y o f a g r a p h f o r m u l t i p l e p e o p l e , h e i n d i r e c t l y a d m i t t e d t h a t h e h a d n o t c o n s i d e r e d t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f e v e n t h o u g h h e h a d u s e d m u l t i p l e p e o p l e a s a r e a s o n t o j u s t i f y h i s p o i n t d e s c r i p t i o n . P r e s u m a b l y i n d i f f e r e n t s i t u a t i o n s , f o r o n e p e r s o n , s o m e t h i n g c o u l d b e t o o e a s y a t o n e t i m e a n d t o o h a r d a t a n o t h e r , o r a t o n e t i m e , s o m e t h i n g c o u l d b e t o o e a s y o r t o o h a r d d e p e n d i n g o n t h e s i t u a t i o n o r t h e p e r s o n . G e n e r a l l y , s u c h s i t u a t i o n a l v a r i a b l e s w o u l d b e i g n o r e d i n a g r a p h i c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d i f fi c u l t y o f w o r k a n d e d u c a t i o n a l v a l u e b e c a u s e t h e b r o a d e r c o n t e x t t h a t s i t u a t e s t h e s p e a k e r i s e i t h e r u n d e r s t o o d o r i s i r r e l e v a n t t o t h e m a t h e m a t i c s d i s c u s s i o n a t h a n d . E a c h p o i n t o n t h e g r a p h i s s e e n a s a ” c h o i c e " o r " p o t e n t i a l r e a l i z a t i o n ” f o r t h e r e l a t i o n s h i p , t h a t i s , a n i n s t a n c e o f t h e r e l a t i o n s h i p , r e p r e s e n t i n g a n e d u c a t i o n a l v a l u e f o r a p a r t i c u l a r l e v e l o f d i f fi c u l t y . T h i s i n s t a n c e o f t h e r e l a t i o n s h i p c o u l d b e p e r c e i v e d a s o c c u r r i n g a t d i f f e r e n t t i m e s o r i n d i f f e r e n t s i t u a t i o n a l c o n t e x t s , s u c h a s t h e s t a t e o f a p e r s o n ’ s m o o d o r a s b e t w e e n d i f f e r e n t p e r s o n s , b u t t h o s e s i t u a t i o n a l f a c t o r s a r e n o t u n d e r d i s c u s s i o n a t t h e m o m e n t . W h e n o n e d i s c u s s e s t h e m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s o f t h i s s i t u a t i o n , t h e s e o t h e r v a r i a b l e s a r e c o n s i d e r e d i r r e l e v a n t . W h e t h e r a p r e s u m e d s p e a k e r o f t h i s s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n i s a n a l g e b r a t e a c h e r o r t h e U . S . S e c r e t a r y o f E d u c a t i o n h a s n o d i r e c t b e a r i n g o n t h e m a t h e m a t i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s s i t u a t i o n , n o r d o e s t h e f a c t t h a t t h e s p e a k e r m i g h t h a v e b e e n t a l k i n g a b o u t a l g e b r a , s c h o o l s , o r t e a c h i n g s i t u a t i o n s i n g e n e r a l . W h a t i s a s s u m e d , w h e t h e r o r n o t i t i s m a d e e x p l i c i t , i s t h a t t h e r e e x i s t s s o m e s e n s i b l e c o n t e x t t o w h i c h t h e s p e a k e r r e f e r s , a n d m o s t o f i t i s i n v a r i a n t d u r i n g t h e d i s c u s s i o n . T h e r e i s a l s o a n u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n t h a t s o m e s u b s e t o f t h i s c o n t e x t c a n v a r y , m a k i n g p o s s i b l e t h e d i s t i n c t i o n s f r o m i n s t a n c e t o i n s t a n c e o f t h e s p e c i fi e d r e l a t i o n s h i p , t h a t i s , f r o m p o i n t t o p o i n t o n t h e g r a p h . F o r e x a m p l e , f o r t h e s a m e c o n t e n t a r e a t h e a m o u n t o f r e a d i n g o r c o m p l e x i t y o f h o m e w o r k 1 7 6 p r o b l e m s d o e s i n d e e d m a k e w o r k l e s s o r m o r e d i f fi c u l t ; t h a t i s , t h e r e e x i s t f a c t o r s t h a t c a n a c c o u n t f o r t h e e x i s t e n c e o f d i f f e r e n t l e v e l s o f w o r k a n d t h u s t h e e x i s t e n c e o f d i s t i n c t p o i n t s o n t h e g r a p h . W h a t e v e r t h e s e a s p e c t s o f t h e c o n t e x t a r e , t h e y , t o o , a r e i r r e l e v a n t t o t h e m a t h e m a t i c a l t r a n s l a t i o n o f t h e s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n t o a g r a p h . T h e y n e e d n o t b e m a d e e x p l i c i t i n t h e d i s c u s s i o n . A s t u d e n t w h o i s t r y i n g t o m a k e s e n s e o f t h i s d e s c r i p t i o n m a y , a s S a m d i d , p o n d e r t h e s e f a c t o r s a n d c o n c l u d e f r o m d a i l y l i f e t h a t d i f fi c u l t y o f w o r k o n a g i v e n p r o b l e m o r s e t o f p r o b l e m s c o u l d v a r y f r o m p e r s o n t o p e r s o n , a s c o u l d t h e e d u c a t i o n a l v a l u e . E a c h p o i n t o n a g r a p h o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d i f fi c u l t y o f w o r k a n d e d u c a t i o n a l v a l u e c o u l d i n d e e d r e p r e s e n t a d i f f e r e n t p e r s o n . I f t h e s o m e l e v e l o f e d u c a t i o n a l v a l u e i s a t t a i n e d f o r w o r k t h a t i s e a s y f o r s o m e a n d h a r d f o r o t h e r s b e c a u s e o f i n d i v i d u a l d i f f e r e n c e s a m o n g p e o p l e , t h e s i t u a t i o n c o u l d b e c o r r e c t l y r e p r e s e n t e d b y t w o d i s t i n c t p o i n t s o n t h e g r a p h . A s s i g n i n g d i f fi c u l t y o f w o r k , r a t h e r t h a n e d u c a t i o n a l v a l u e , t o t h e h o r i z o n t a l a x i s w o u l d a l l o w a c o r r e c t fi t n c t i o n s g r a p h t o r e p r e s e n t t h e p r o b l e m s i t u a t i o n , a n d e a c h p o i n t c o u l d r e p r e s e n t a d i f f e r e n t p e r s o n . I f o n t h e o t h e r h a n d , o n e w i s h e d t o u s e a s i n g l e p o i n t f o r t h i s s a m e s i t u a t i o n a s S a m d i d , a t h i r d v a r i a b l e , p e r s o n , m u s t b e i n t r o d u c e d . S u c h a s i t u a t i o n c a n n o t b e s h o w n i n t w o d i m e n s i o n s ; o t h e r w i s e w e h a v e r e p r e s e n t e d a t t h e s a m e s p o t , t h e p o i n t s ( x 1 , ( 1 1 ) a n d ( x 1 , d 2 ) , w h e r e d , a t d 2 . A t h i r d d i m e n s i o n , p , i s r e q u i r e d , w i t h p o i n t s , ( x 1 , d 1 , p l ) a n d ( x 1 , d 2 , p 2 ) , w h e r e t i l a t d 2 a n d p 1 ¢ p 2 . I n t h i s p r o b l e m S a m h a d m a d e e x p l i c i t t w o s u c h i n s t a n c e s o f t h e r e l a t i o n s h i p , d i f fi c u l t y o f w o r k b e i n g t o o h a r d w i t h e d u c a t i o n a l v a l u e b e i n g l o w , a n d d i f fi c u l t y o f w o r k b e i n g t o o e a s y w i t h e d u c a t i o n a l v a l u e b e i n g l o w . H e h a d a t t e m p t e d t o p l a c e t h e m a t o n e p o i n t . I d o n o t t h i n k S a m w a s a w a r e o f t h e d i m e n s i o n a l i s s u e t h i s a c t i o n r a i s e d , b u t i n s t e a d , s i m p l y 5 1 f a x i s l a b e l s a r e r e v e r s e d , a l e g i t i m a t e r e l a t i o n i s d e fi n e d , b u t t h e g r a p h w o u l d m a t c h n o n e o f t h o s e s h o w n a s c h o i c e s . 1 7 7 h a d l o o k e d t o t h e s i t u a t i o n a l o n e f o r a p l a u s i b l e e x p l a n a t i o n f r o m e v e r y d a y l i f e f o r h o w t h e s e t w o d i f f e r e n t ” s i t u a t i o n s ” c o u l d o c c u r a t t h e s a m e p o i n t ( s i m u l t a n e o u s l y ) , w i t h o u t r e g a r d f o r t h e i m p l i c a t i o n s f o r a g r a p h o f a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s . I n t h e b e g i n n i n g , s i n c e S a m h a d j u s t c o m p l e t e d p r o b l e m 2 A - 1 w h e r e h e h a d p l o t t e d p o i n t s a n d h a d c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d o r d e r e d p a i r s , I h a d a s s u m e d t h a t h e c o n s i d e r e d e a c h p o i n t a s h a v i n g t w o c o o r d i n a t e s . B e c a u s e o f t h e s e a s s u m p t i o n s , I b e l i e v e d S a m w o u l d r e c o g n i z e d i s c r e p a n c i e s i n t h i s k n o w l e d g e i f t h e y w e r e b r o u g h t t o h i s a t t e n t i o n . S o a f t e r m y e f f o r t s t o h e l p h i m r e c o g n i z e t h e d i f fi c u l t y o f t w o v e r t i c a l m e a s u r e s f o r o n e p o i n t f a i l e d , I c o n t i n u e d t o q u i z S a m a b o u t h i s a x i s l a b e l s a n d t r i e d t o c a l l h i s a t t e n t i o n t o a d i s c r e p a n c y i n h i s h o r i z o n t a l m e a s u r e ( e d u c a t i o n a l v a l u e ) b e c a u s e i t h a d h i g h v a l u e s f o r x a t t h e o r i g i n a n d l o w v a l u e s s o m e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n . I c o n t i n u e d t o p r o b e , a n d o n c e m o r e h e a n s w e r e d i n a w a y t h a t i n d i c a t e d h e w a s n o t c o n s i d e r i n g o r d e r e d p a i r s , s o I s w i t c h e d t o t h e w o r d m e a s u r e a n d a s k e d d i r e c t l y a b o u t b o t h c o o r d i n a t e s o f a p o i n t : G : O k a y , t h e n w h a t a r e y o u m e a s u r i n g a l o n g t h e h o r i z o n t a l ? S : W h a t a m I m e a s u r i n ’ ? G : U m — h u h , w h a t w o u l d b e t h e o t h e r t h i n g t h a t a r e y o u m e a s u r i n g t h e r e ? S : T h i s i s t h e d i f fi c u l t y . ( y - a x i s ) G : U m — h u h , y o u p u t d i f fi c u l t y o n t h e v e r t i c a l . S : A n d t h i s t h e e d u c a t i o n a l v a l u e . ( x - a x i s ) G : O k a y . E d u c a t i o n a l v a l u e o n t h e h o r i z o n t a l , d i f fi c u l t y o n t h e v e r t i c a l . [ S w r i t e s l a b e l s ] Y e a h , t h a t ’ s a g o o d i d e a t o w r i t e i t d o w n s o t h e n w e c a n r e m e m b e r . O k a y , n o w . T h i s p o i n t w h e r e t h e g r a p h t o u c h e s h e r e ( y — i n t e r c e p t ) . [ S : u m - h u h . ] W i t h t h e s e t w o a x e s , h o w w o u l d y o u i n t e r p r e t t h a t p o i n t f o r t h i s p e r s o n ? D i f fi c u l t . G : I t ’ s d i f fi c u l t . W h a t k i n d o f e d u c a t i o n a l v a l u e i s i t ? S : T o h i m i t ’ s n o t h i n ’ b e c a u s e h e f a i l e d . 5 ’ . ’ 1 7 8 G : E d u c a t i o n a l v a l u e i s n o t h i n g b u t t h e w o r k i s d i f fi c u l t . S : U m — h u h . S e e t h e w o r k i s d i f fi c u l t a n d t h e e d u c a t i o n a l v a l u e , h e d o n ’ t c a r e a b o u t i t n o m o r e . G : O k a y , a n d h o w a b o u t t h i s p o i n t o v e r h e r e w h e r e t h e g r a p h t o u c h e s ( x - i n t e r c e p t ) . S : N o w t h a t ’ s t h e e d u c a t i o n a l v a l u e . S a m w a s s u r p r i s e d b y m y q u e s t i o n a b o u t m e a s u r i n g a n d r e p e a t e d h i s e a r l i e r c o n t e n t i o n t h a t d i f fi c u l t y w a s o n t h e v e r t i c a l a n d e d u c a t i o n a l v a l u e w a s o n t h e h o r i z o n t a l , p o s s i b l y r e f e r r i n g t o s p e c i fi c p o i n t s r a t h e r t h a n t h e a x e s . A f t e r I h a d r e p e a t e d t h e a x e s l a b e l s , h a d e x p l i c i t l y m e n t i o n e d t w o a x e s , a n d h a d a s k e d a b o u t t h e y - i n t e r c e p t , h e a g a i n h a d i n t e r p r e t e d i t w i t h o n l y o n e v a r i a b l e , " d i f fi c u l t . " W h e n I a s k e d a b o u t i t s e d u c a t i o n a l v a l u e , S a m h a d a n s w e r e d w i t h w o r d s d e s c r i b i n g t h e s i t u a t i o n , ” t o h i m i t ’ s n o t h i n ’ b e c a u s e h e f a i l e d , " e v e n t h o u g h i t c o n t r a d i c t e d h i s m e a s u r e o f i t a l o n g t h e x - a x i s . R e c a l l t h a t h i s s c a l e w a s r e v e r s e d , s o h i g h e d u c a t i o n a l v a l u e s w o u l d b e n e a r o r t o w a r d s t h e o r i g i n . F i n a l l y , w h e n I a s k e d a g a i n a b o u t t h e x - i n t e r c e p t , S a m h a d a g a i n i d e n t i fi e d i t w i t h o n l y o n e v a r i a b l e , e d u c a t i o n a l v a l u e . I n b o t h i n s t a n c e s h e r e , h e h a d a s s o c i a t e d o n l y o n e v a r i a b l e w i t h e a c h p o i n t , a n d w h e n I p u s h e d f o r a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a t t h e y - i n t e r c e p t , S a m h a d s u p p l i e d i t o n l y f r o m t h e s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n . S i n c e S a m h a d a t l a s t i d e n t i fi e d a s e c o n d v a l u e f o r t h e y - i n t e r c e p t , l o w e d u c a t i o n a l v a l u e , a t t h e t i m e I t h o u g h t i t p o s s i b l e h e h a d fi n a l l y c o r r e c t e d h i s h o r i z o n t a l s c a l e b y p l a c i n g z e r o a t t h e o r i g i n . B u t a s I c o n t i n u e d a n d q u e s t i o n e d h i m a b o u t t h e s c a l e f o r e d u c a t i o n a l v a l u e , h e s a i d a h i g h e d u c a t i o n a l v a l u e w a s i n t h e l o w n u m b e r s , 1 , 2 , o r 3 . I r e m i n d e d h i m t h a t h e h a d t o l d m e t h e y — i n t e r c e p t h a d n o e d u c a t i o n a l v a l u e a n d w a s v e r y h a r d w o r k a n d a s k e d i f t h a t w a s c o n s i s t e n t w i t h w h a t h e h a d j u s t s a i d , a n d h e a d m i t t e d d i r e c t l y t h a t h e h a d b e e n t a l k i n g a b o u t o n l y o n e v a r i a b l e : S : O k a y , w a i t , I w a s t a l k i n ’ a b o u t d i f fi c u l t y o f t h e w o r k . I t ’ s t o o h a r d . 1 7 9 G : W h a t a b o u t t h e e d u c a t i o n a l v a l u e a t t h i s p o i n t ? S : T h a t ’ s d o w n t h e r e , r i g h t ? ( t h e x - i n t e r c c p t ) G : N o , j u s t t h i s p o i n t o n t h e g r a p h ( y - i n t e r c e p t ) , n o t t h a t p o i n t o n t h e g r a p h ( x — i n t e r c e p t ) , b u t t h i s p o i n t u p h e r e a t t h e v e r y t o p o f t h e l i n e . S : T h a t ’ s t h e d i f fi c u l t y o f w o r k . G : I t ’ s o n l y o n e , i t ’ s o n l y m e a s u r i n g o n e t h i n g ? S : U m - h u h . I n t h e s e t w o p a s s a g e s , S a m c o n t i n u o u s l y c a t e g o r i z e d e a c h i n t e r c e p t b y a s e p a r a t e v a r i a b l e . W h e n a s k e d t o j u s t i f y h i s r e s p o n s e s , h e u s e d l a n g u a g e a b o u t t h e s i t u a t i o n f r o m t h e d e s c r i p t i o n e v e n t h o u g h i t c o n t r a d i c t e d w h a t h e h a d j u s t s a i d a b o u t t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f - t h a t a t t h e y - i n t e r c e p t i t ( t h e w o r k ) w a s d i f fi c u l t a n d t h e e d u c a t i o n a l v a l u e w a s l o w ( ” t o h i m i t ’ s n o t h i n ’ " ) . A s t h e i n t e r v i e w w e n t o n , s e v e r a l t i m e s S a m r e f e r r e d t o p o i n t s a s h a v i n g o n l y o n e m e a s u r e , b u t fi n a l l y h e g o t t h e i d e a f r o m m y c o n t i n u e d q u e s t i o n i n g t h a t s o m e t h i n g w a s w r o n g . H e s e e m e d n o t t o b e a b l e t o d e t e r m i n e w h a t i t w a s a n d s o b e g a n t o c h a n g e t h e l a n g u a g e o f t h e s i t u a t i o n t o r e d e fi n e t h e m e a n i n g o f e d u c a t i o n a l v a l u e . H e s a i d h a r d w o r k m a d e a p e r s o n n o t " l i k e s c h o o l , " r a t h e r t h a n s c h o o l n o t h a v i n g v a l u e . A t o n e p o i n t h e a s k e d w h e t h e r e d u c a t i o n a l v a l u e m e a n t w h e t h e r a p e r s o n v a l u e s t h e e d u c a t i o n . I t o l d h i m y e s , b u t r e p h r a s e d i t a s h o w m u c h v a l u e s c h o o l w a s t o t h e p e r s o n . F o r m o s t o f t h e r e s t o f t h e i n t e r v i e w S a m c o n t i n u e d t o t a l k o f l i k i n g o r v a l u i n g e d u c a t i o n , u n t i l n e a r t h e e n d w h e r e h e w a s t r y i n g t o j u s t i f y h ( a b o w l - s h a p e d p a r a b o l a ) a s a p o s s i b l e fi t . H e h a d r e c o g n i z e d t h e r i g h t m o s t p o i n t a s d i f fi c u l t w o r k , b u t h i g h e d u c a t i o n a l v a l u e a n d s a i d , ” B u t h e d i d n ’ t l e a r n . W a i t , h e d i d n ’ t ; w a i t i f h e d o n ’ t l i k e - - . I f i t d i f fi c u l t u n d e r s t a n d i n g , y o u d o n ’ t l e a r n a n y t h i n g . B u t i t d i d n ’ t s a y h e d i d n ’ t v a l u e i t . ” ' S a m h a d r e s o r t e d t o a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y t o r e d e fi n e t h e s i t u a t i o n i n a n a t t e m p t t o m a k e p r o g r e s s i n t h e p r o b l e m . I n t h e r e m a i n d e r o f t h e i n t e r v i e w , t w i c e 1 8 0 m o r e h e r a i s e d t h e p o s s i b i l i t y o f m u l t i p l e p e o p l e . U l t i m a t e l y , w h e n w e d i s c u s s e d a p o i n t o n t h e g r a p h t h a t w a s n o t o n a n a x i s , h e s t i l l a s s i g n e d a s i n g l e n u m b e r , i t s v e r t i c a l m e a s u r e , t o i t . O n l y w h e n I e x p l i c i t l y a s k e d f o r i t s s e c o n d m e a s u r e , d i d S a m r e a l i z e t h a t t w o n u m b e r s s h o u l d b e u s e d . H e t h e n i d e n t i fi e d t h e t w o a s " l i k e a n o r d e r e d p a i r , ” c o n n e c t i n g t h i s k n o w l e d g e t o t h a t h e h a d d i s p l a y e d e a r l i e r i n t h e i n t e r v i e w d u r i n g p r o b l e m 2 A - l . F i n a l l y , I s u g g e s t e d t h e p o s s i b i l i t y o f a g r a p h d i f f e r e n t f r o m f a n d t h a t S a m r e r e a d t h e p r o b l e m . H e n e x t c o n s i d e r e d b o t h h ( a b o w l - s h a p e d p a r a b o l a ) a n d k ( a n i n v e r t e d p a r a b o l a ) . H e c h o s e k o v e r h b e c a u s e t h e r i g h t p a r t o f h w a s n o t f a l l i n g . T h i s t i m e S a m p u t d i f fi c u l t y o n t h e h o r i z o n t a l a n d e d u c a t i o n a l v a l u e o n t h e v e r t i c a l a n d q u i c k l y j u s t i fi e d t h e g r a p h b y a c c u r a t e l y i n t e r p r e t i n g b o t h x - i n t e r c e p t s a n d t h e v e r t e x o f t h e g r a p h . A l t h o u g h b e j u s t i fi e d g r a p h k b y t h e t h r e e e x t r e m e p o i n t s , S a m c o u l d h a v e t h o u g h t a b o u t d i f fi c u l t y o f w o r k o n a c o n t i n u u m o f i n c r e a s i n g f r o m e a s y t o h a r d a n d c o u l d h a v e p i c t u r e d e d u c a t i o n a l v a l u e a s b e i n g l o w i n t h e b e g i n n i n g a n d r i s i n g a n d f a l l i n g a s h e w e n t a c r o s s t h e g r a p h . O v e r t h e c o u r s e o f t h e d i s c u s s i o n o f t h i s p r o b l e m , S a m h a d c h a n g e d t h e m e a n i n g o f e d u c a t i o n a l v a l u e t o l i k i n g s c h o o l , w h i c h h e t h e n t h o u g h t o f a s c h a n g i n g o v e r t i m e . W h e n h e j u s t i fi e d h i s c h o i c e o f g r a p h k , S a m h a d s t a r t e d a t t h e o r i g i n , b u t t h e n h a d p l a c e d t o o h a r d a t t h e o t h e r x - i n t e r c e p t s a y i n g , " t h e y d o n ’ t l i k e i t n o m o r e , ” a s i f t i m e h a d p a s s e d . H e u s e d t h e s a m e l a n g u a g e a t t h e e n d o f t h e p a s s a g e , r e p e a t i n g ” n o m o r e " t w i c e , a s i f h e h a d t h o u g h t o f t h e p r o b l e m a s a b o y ’ s a t t i t u d e ( l i k i n g i t ) a b o u t s c h o o l c h a n g i n g o v e r t i m e . S a m a p p a r e n t l y u s e d h i s p r e v i o u s p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s t o c o r r e c t l y m a t c h g r a p h k a n d t h e s i t u a t i o n . E v e n s o , a s i n t h e T i m / D o n n a p r o b l e m , h i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s m a t c h w a s f r a g i l e . A f t e r h e h a d j u s t i fi e d g r a p h k , I w e n t o n t o a s k i f t h e g r a p h c o u l d b e h , t h e b o w l - s h a p e d p a r a b o l a t h a t h e h a d t e n t a t i v e l y s e l e c t e d e a r l i e r . S a m c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d t h e u p p e r l e f t p o i n t o n t h e g r a p h a s d i f fi c u l t , b u t n o t v a l u e d , a n d t h e l o w p o i n t i n t h e m i d d l e a s e a s y a n d s o m e w h a t v a l u e d . H o w e v e r , w h e n h e 1 8 1 c a m e t o t h e u p p e r r i g h t p o i n t h e c a l l e d i t h a r d w o r k a n d n o t v a l u e d , w o r d s f r o m t h e d e s c r i p t i o n t h a t w e r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e g r a p h , w h i c h s h o u l d h a v e b e e n i n t e r p r e t e d b o t h h a r d w o r k a n d h i g h v a l u e : S a m h a d a g a i n i n t e r p r e t e d t h e t w o h i g h e s t p o i n t s a n d t h e v e r t e x c o r r e c t l y i n t e r m s o f h i s c h o i c e f o r t h e v e r t i c a l m e a s u r e , d i f fi c u l t y o f w o r k , b u t h a d t r o u b l e i n t e r p r e t i n g t h e i r h o r i z o n t a l m e a s u r e s c o r r e c t l y . R e a s o n i n g s t r a t e g i e s . S a m h a d a t t e m p t e d t o u s e t h e s a m e s t r a t e g i e s f o r m a t c h i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s i n a l l t h r e e o f t h e s e e x a m p l e s , t h e g u i t a r p r o b l e m , T i m a n d D o n n a p r o b l e m , a n d t h e s c h o o l w o r k p r o b l e m . H e w a s q u i t e s u c c e s s f u l i n t h e fi r s t b e c a u s e t h e l a n g u a g e h e u s e d f o r t h e g r a p h , ” e v e n e d o u t , " m a t c h e d h i s d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g e i n p r o fi c i e n c y . S a m r a n i n t o m o r e d i f fi c u l t y w i t h t h e D o n n a p r o b l e m b e c a u s e t h e d e s c r i p t i o n o f t h e i r m o d e o f t r a v e l r e i n f o r c e d h i s d i s p o s i t i o n t o u s e s p e e d i n s t e a d o f d i s t a n c e a s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n t h e s c h o o l w o r k p r o b l e m , b e c o n f u s e d t h e d e s c r i p t i o n o f t w o v a l u e s f o r t h e s i t u a t i o n a l v a r i a b l e s a s d e t e r m i n i n g t w o s e p a r a t e s i t u a t i o n s r e q u i r i n g t w o g r a p h s . H e m a d e a p o o r fi r s t c h o i c e f o r a g r a p h . W h e n h e j u s t i fi e d h i s d e c i s i o n s b y u s i n g a t t r i b u t e s o f t h e s i t u a t i o n w h i l e i g n o r i n g a n y m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s o f t h e p r o b l e m , t h e d i s c u s s i o n w a s l e d f a r a fi e l d a s I a t t e m p t e d t o u n d e r s t a n d h o w h e w a s t h i n k i n g o r t o g e t h i m t o r e a l i z e h i s i n c o n s i s t e n c i e s . I n e a c h o f t h e s e d i f fi c u l t i e s , t h e p r o b l e m d e s c r i p t i o n s e e m e d t o a c c o u n t f o r h i s i n i t i a l d i f fi c u l t i e s . S i n c e h e c h o s e n o t t o u s e a s t r a t e g y o f c h e c k i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r c o n s i s t e n c i e s , b u t r e a s o n e d o n l y i n t h e s i t u a t i o n , t h e s t e p s t h a t h e t o o k d i d n o t a p p e a r t o h i m a s i n c o n s i s t e n c i e s . I n a d d i t i o n , t h e r e i s a d i s t i n c t p o s s i b i l i t y t h a t h e w a s u n a b l e t o r e a s o n a b o u t s u c h g r a p h s u n l e s s o n e v a r i a b l e c o u l d b e t h o u g h t o f t e m p o r a l l y . I n b o t h t h e g u i t a r p r o b l e m a n d T i m a n d D o n n a p r o b l e m , S a m e i t h e r h a d p l a c e d o r f o u n d t i m e o n . t h e h o r i z o n t a l a x i s , b u t n o s u c h p o s s i b i l i t y w a s a v a i l a b l e f o r t h e s c h o o l w o r k p r o b l e m . S i n c e S a m c o n s i s t e n t l y i n t e r p r e t e d g r a p h s b y t h i n k i n g w i t h t h e q u a n t i t y m e a s u r e d v e r t i c a l l y , t h e r e w a s n o o b v i o u s c h o i c e f o r a x i s l a b e l s . H i s p o o r c h o i c e o f 1 8 2 e d u c a t i o n a l v a l u e o n t h e h o r i z o n t a l p r e v e n t e d h i s " m a s s a g i n g ” t h i s p r o b l e m i n t o o n e i n w h i c h h e c o u l d t h i n k p r i n c i p a l l y w i t h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d c o o r d i n a t e i t s c h a n g e s w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h e s h a p e o f t h e g r a p h . I n e a c h c a s e , b o t h t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t , i t s d e s c r i p t i o n , a n d t h e a v a i l a b i l i t y o f t i m e ( o r a v a r i a b l e t h a t c o u l d b e v i e w e d t e m p o r a l l y ) a s o n e o f t h e v a r i a b l e s m a d e a d i f f e r e n c e t o h o w S a m c o u l d m a t c h g r a p h s t o s i t u a t i o n s . D i f fi c u l t i e s i n S i t u a t e d P r o b l e m s I n t h e e x a m p l e j u s t d i s c u s s e d , S a m m a d e h e a v y u s e o f s i t u a t i o n d e s c r i p t i o n s i n h i s r e a s o n i n g , w h i c h b o t h s u p p o r t e d a n d h i n d e r e d h i s p r o b l e m s o l v i n g . H e u s e d t h e s i t u a t i o n t o s u p p o r t h i s r e a s o n i n g i n fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s . I n t h e s c h o o l w o r k p r o b l e m , h i s r e l i a n c e a l m o s t e x c l u s i v e l y o n t h e s i t u a t i o n , r a t h e r t h a n m a t h e m a t i c s , c a u s e d h i m t r o u b l e w i t h h i s p r o b l e m s o l v i n g . S a m ’ s d i f fi c u l t y i n t e r p r e t i n g p r o b l e m s t h a t w e r e s i t u a t e d c o n t i n u e d i n t h e P r o fi t P r o b l e m i n i n t e r v i e w 3 ( F i g u r e 4 . 1 2 ) b e c a u s e h i s i n f o r m a l k n o w l e d g e i n t e r f e r e d w i t h h i s u n d e r s t a n d i n g t h e m a t h e m a t i c s o f t h e p r o b l e m . S a m ’ s w o r k w i t h t h e p r o b l e m a l s o i l l u s t r a t e s h i s q u e s t i o n i n g t e c h n i q u e s t o s e e k c l u e s a b o u t h o w t o p r o c e e d . C a r l h a s b e e n a s s i g n e d t o c o m e u p w i t h t h e p r i c e t o c h a r g e f o r t i c k e t s f o r a c o n c e r t t h e s e n i o r c l a s s i s u s i n g f o r a f u n d r a i s e r . F r o m p r e v i o u s y e a r s , C a r l h a s l e a r n e d t h a t i f t h e y h i r e a c e l e b r i t y e m c e e , t h e f r m c t i o n r e l a t i n g t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t w a s P ( t ) = 4 0 0 : 2 + 7 0 0 : - 2 0 0 . C a r l r e a s o n e d t h a t i f t h e y d i d n ’ t h i r e t h e e m c e e , t h e y c o u l d s a v e h i s $ 2 0 0 f e e . H i s f r i e n d B e t h s a i d h e s h o u l d r e c o n s i d e r t h e p r o b l e m b e c a u s e h e w o u l d n e e d t o l o w e r t h e t i c k e t p r i c e b y a t l e a s t 3 d o l l a r s t o g e t a n y o n e t o c o m e i f n o e m c e e w a s h i r e d . S h e t o l d h i m h e c o u l d c o n s i d e r t h i s n e w s i t u a t i o n b y u s i n g t h e f u n c t i o n P ( t ) = - 1 0 0 “ - 3 ) 2 + 7 0 0 ( t - 3 ) W a s s h e c o r r e c t ? W h i c h p l a n s h o u l d h e f o l l o w ? D o e s t h e s i z e o f t h e a u d i t o r i u m m a k e a n y d i f f e r e n c e ? F i g u r e 4 . 1 2 : P r o b l e m 3 , P r o fi t P r o b l e m 1 8 3 S a m b e g a n t h i s p r o b l e m b y s p e n d i n g t h e fi r s t s e v e n m i n u t e s c l a r i f y i n g i t s s t a t e m e n t a n d fi g u r i n g o u t w h a t h e w a s t o d o . F i r s t , h e r e a d t h e p r o b l e m , a s k e d f o r c l a r i fi c a t i o n o f t h e w o r d ” e m c e e " a n d w h e t h e r t h e t o p r t r l e w a s t h e f u n c t i o n r u l e . H e e n t e r e d t h e t o p f u n c t i o n r u l e i n v a r i a b l e f o r m i n t h e c a l c u l a t o r o n t h e c a l c u l a t o r c o m p u t a t i o n s c r e e n s o h e w o u l d n o t " h a v e t o d o a l l t h a t w r i t i n g . " N e x t , b e c a u s e t h e r e w e r e t w o r u l e s , b e a s k e d i f t h e r e w e r e t w o s e p a r a t e p r o b l e m s . H e t h e n f o c u s e d o n t h e q u e s t i o n a b o u t t h e a u d i t o r i u m s i z e . S i n c e h e d i d n o t k n o w t h e s i z e a n d I d i d n o t g i v e i t w h e n h e s a i d h e w i s h e d h e k n e w w h a t i t w a s , h e a n s w e r e d t h a t y e s , t h e s i z e d i d m a k e a d i f f e r e n c e b e c a u s e i t a f f e c t e d t h e n u m b e r o f t i c k e t s t h a t c o u l d b e s o l d . L i k e T o n i , h e w a s c o n c e r n e d a b o u t n o t k n o w i n g t h e n u m b e r o f t i c k e t s s o l d . H e a n n o u n c e d , ” A n d I d o n ’ t k n o w h o w m a n y t i c k e t s , h o w m a n y s e a t s , s o I c a n ’ t t e l l h o w m a n y t i c k e t s . " N e x t S a m r e s t a t e d t h e t o p f o r m u l a w a s w i t h a D J , b u t t h a t s i n c e t h e p r o b l e m w a n t e d t o k n o w w h a t h a p p e n e d w i t h o u t a D J , h e n e e d e d t o u s e t h e b o t t o m f o r m u l a . H e t y p e d i t i n o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n o f t h e c a l c u l a t o r . T h e n h e t r i e d t o fi g u r e o u t w h a t P 6 a n d t s t o o d f o r i n t h e t o p f o r m u l a : O k a y , n o w , I w o n d e r w h a t t h e t s t a n d s f o r . [ P o i n t s t o P i n t o p f o r m u l a ] O k a y , t h i s i s p e o p l e ? [ p a u s e ] I ’ l l d o t h i s p e o p l e . U h h . O r p r i c e ? a n d n u m b e r o f t i c k e t s ? I a s k e d h i m t o c l a r i f y w h a t h e s a i d a n d b y r e a d i n g t h e p r o b l e m , b e d e t e r m i n e d p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e . S a m w a s a g a i n b o t h e r e d b y n o t k n o w i n g t h e t i c k e t p r i c e : O k a y . P r i c e a n d n u m b e r o f t i c k e t s s o l d . B u t I s e e r i g h t n o w , i t ’ s t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t . P r o fi t a n d t i c k e t p r i c e . [ p a u s e ] I t h i n k . O k a y , s o t h e p r o - - , y e a h , y e a h , t i c k e t p r i c e i s r i g h t t h e r e [ p o i n t i n g t o t h e t i n t 2 o f t h e t o p f o r m u l a ] . O k a y , n o w h e g o n n a l o w e r t h e t i c k e t s $ 3 . I t h i n k i t s a y s - [ r e a d i n g ] C a r l r e a s o n e d t h a t i f t h e y d i d n ’ t h i r e t h e e m c e e , t h e y c o u l d s a v e $ 2 0 0 . [ p a u s e ] I w i s h I k n e w h o w m u c h t h e t i c k e t s w a s . L e t m e l o o k , o k a y , n o w . N e x t S a m s t a t e d t h a t h e d i d n o t k n o w h o w m u c h t h e y w a n t e d t o r a i s e , a n d a s I 6 P w a s t h e n a m e o f t h e f t m c t i o n , n o t a f u n c t i o n v a r i a b l e , b u t s e v e r a l o f t h e s t u d e n t s , i n c l u d i n g T o n i , r e f e r r e d t o i t a s a v a r i a b l e . 1 8 4 i n t e r p r e t e d h i s c o m m e n t a s n o t u n d e r s t a n d i n g t h e a s s u m p t i o n t h e y w a n t e d t o m a x i m i z e p r o fi t , I s u g g e s t e d t h e y t r y t o r a i s e a s m u c h a s p o s s i b l e . F i n a l l y , w i t h o u t d o i n g a n y c o m p u t a t i o n s a n d b a s e d o n l y o n h i s o w n i d e a s a b o u t t h e s i t u a t i o n , S a m g u e s s e d t h e t o p f o r m u l a w a s b e s t b e c a u s e o f h i r i n g a D J . B y t h i s t i m e , S a m h a d s p e n t c o n s i d e r a b l e e f f o r t i n t r y i n g t o u n d e r s t a n d t h i s c o m p l e x p r o b l e m . I n t h e p r o c e s s , h e h a d t r i e d t o s o r t o u t t h e m e a n i n g o f v a r i a b l e n a m e s , P a n d t . H e h a d r e p e a t e d l y r a i s e d t h e i s s u e o f n e e d i n g t o k n o w b o t h t h e n u m b e r o f t i c k e t s s o l d a n d t h e t i c k e t p r i c e . L i k e T o n i , S a m p e r h a p s h a d t h o u g h t o f p r o fi t a s n u m b e r o f t i c k e t s t i m e s t i c k e t p r i c e . E v e n a f t e r h e u n d e r s t o o d t h e r u l e h a d t o d o w i t h p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e , h e h a d n o t s e e n i t a s a r e l a t i o n s h i p o r m o d e l f o r t h e r e l a t i o n s h i p . R a t h e r , h e s e e m e d t o r m d e r s t a n d t h e f u n c t i o n r u l e s a s f o r m u l a s t h a t r e q u i r e d a s p e c i fi c t i c k e t p r i c e b e f o r e a n y c o m p u t a t i o n c o u l d b e d o n e . S a m s e e m e d n o t t o k n o w h o w t o p r o c e e d a n d h a d j u s t c h o s e n t h e t o p r u l e , s o a s I h a d d o n e w i t h T o n i , I n a r r o w e d t h e p r o b l e m t o f o c u s o n o n e r u l e . I a s k e d i f h e c o u l d fi g u r e o u t w h a t t i c k e t p r i c e t o u s e i n o r d e r t o m a k e t h e m o s t p r o fi t w i t h t h e t o p r u l e ( w i t h t h e D J ) . I h o p e d a t l e a s t t o l e a r n h o w h e t h o u g h t a b o u t a s i n g l e q u a d r a t i c f u n c t i o n . T h i s a c t i o n a l l o w e d S a m t o m o m e n t a r i l y s h e l v e h i s c o n c e r n s a b o u t n o t k n o w i n g t h e n u m b e r o f t i c k e t s s o l d o r t h e i r p r i c e s i n c e h e h a d a n e w p r o b l e m : W h i c h t i c k e t p r i c e g a v e t h e m a x i m u m p r o fi t ? T h i s p r o b l e m i m p l i e d t h a t h e w a s t o c o m p a r e t i c k e t p r i c e s , a n d t h u s w a s f r e e t o a r b i t r a r i l y c h o o s e t i c k e t p r i c e s a n d c o m p u t e p r o fi t . H i s i n a b i l i t y t o d i s t i n g u i s h i n c o m e f r o m p r o fi t i n h i s c o m p u t a t i o n s , h o w e v e r , s o o n l e d t o d i f fi c u l t y w i t h h i s i n f o r m a l m o d e l : p r o fi t = i n c o m e - c o s t s . S a m e d i t e d t h e r u l e a l r e a d y o n t h e c a l c u l a t o r f o r a t i c k e t p r i c e o f $ 5 a n d c a l c u l a t e d P a s $ 8 0 0 . W h e n I a s k e d w h a t t h e $ 8 0 0 w a s , h e c l a i m e d i t w a s p r o fi t , b u t q u i c k l y c h a n g e d h i s m i n d : i S : T h a t s h o u l d b e t h e p r o fi t , [ G z U m - h u h . ] t h e p r o fi t t h e y m a d e , b u t n o w t h e y g o t t a p a y $ 2 0 0 t o t h e D J . S o l e t ’ s s u b t r a c t t h a t f r o m t h e 8 0 0 d o l l a r s a l r e a d y a n d u h - l e t ’ s - [ s u b t r a c t s 2 0 0 f r o m 8 0 0 o n t h e p a p e r 1 8 5 a n d g e t s 6 0 0 . ] S a m s a i d p r o fi t h e r e , n o d o u b t b e c a u s e h e h a d j u s t s o r t e d o u t a m e a n i n g f o r P , b u t h e s w i t c h e d f r o m p r o fi t t o i n c o m e b y i m m e d i a t e l y s u b t r a c t i n g $ 2 0 0 f r o m p r o fi t t o p a y t h e D J . I d e c i d e d t o p u r s u e S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f p r o fi t a n d t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n i n c o m e a n d p r o fi t b y f o c u s i n g o n w h e n e x p e n s e s a r e p a i d , r e l a t i v e t o d e c i d i n g a q u a n t i t y i s c o n s i d e r e d p r o fi t : G : W h a t ’ s t h e m e a n i n g o f t h e w o r d p r o fi t ? S : H o w m u c h t h e y m a d e . G : S o d i d t h e y p a y t h e D J a f t e r t h e p r o fi t w a s c a l c u l a t e d o r b e f o r e t h e p r o fi t w a s c a l c u l a t e d ? S : O h , b e f o r e i t . B u t s e e t h e y , w h e n , o k a y — I f t h e y m a d e 8 0 0 , t h e y r e a l l y m a d e 6 0 0 n o m a t t e r w h a t . I f t h e y p a i d h i m b e f o r e , a n d t h e y m a d e 8 0 0 , n o m a t t e r w h a t , t h e y m a d e 6 0 0 . B e c a u s e t h e y g a v e h i m t h a t b e f o r e t h e y m a d e t h e p r o fi t . H e r e , S a m d e fi n e d p r o fi t a s " h o w m u c h t h e y m a d e ” a n d s a i d " t h e y m a d e 8 0 0 . ” H e h a d a g a i n i n t e r p r e t e d 8 0 0 a s p r o fi t , t h e n c h a n g e d h i s i n t e r p r e t a t i o n f r o m p r o fi t t o i n c o m e . I n a d d i t i o n , b e i n t e r p r e t e d m y q u e s t i o n s a b o u t t i m e a s b e i n g a b o u t t h e t i m e o f d a y t h e D J w a s p a i d , n o t w h e n i n t h e c o u r s e o f a c o m p u t a t i o n a q u a n t i t y w a s c o n s i d e r e d p r o fi t . I t r i e d a g a i n t o c l a r i f y w h e t h e r h e w a s t h i n k i n g o f $ 8 0 0 a s p r o fi t o r i n c o m e , b u t t h i s t i m e s u b s t i t u t e d $ 8 0 0 i n s t e a d o f t h e w o r d , p r o fi t . G : S o t h e y g a v e h i m t h e 2 0 0 b e f o r e t h e y c a l c u l a t e d t h e 8 0 0 o r a f t e r t h e y c a l c u l a t e d t h e 8 0 0 ? S : U m , I w o u l d ’ v e s a i d t h e y d o n e i t b e f o r e . G : T h e y p a i d h i m t h e 2 0 0 b e f o r e t h e y c a l c u l a t e d t h e p r o fi t , s o t h e i r p r o fi t w o u l d b e ? S : U n l e s s h e w a s a g e n e r o u s o n e . I t ’ d b e 8 0 0 , b u t l o o k a t w h a t h a p p e n e d . T h e y p a i d 2 0 0 t o g e t t h e D J , s o t h e y m i g h t a s w e l l h a v e t a k e n t h a t o f f t h c 8 0 0 . [ h e a g a i n c o m p u t e s 8 0 0 - 2 0 0 a n d g e t s 6 0 0 . ] S a m i m p l i e d t h e D J d o n a t e d h i s f e e w h e n h e s a i d , ” U n l e s s h e w a s a g e n e r o u s o n e . " H e s a i d i n t h a t c a s e , p r o fi t w o u l d b e $ 8 0 0 ; o t h e r w i s e i t w o u l d $ 6 0 0 b e c a u s e t h e $ 2 0 0 n e e d e d t o b e s u b t r a c t e d . T h e s e s e n t e n c e s m a k e s e n s e o n l y i f S a m w a s u s i n g h i s 1 8 6 i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t a s i n c o m e m i n u s c o s t s a n d c o n s i d e r e d $ 8 0 0 t o b e i n c o m e , w h i c h t h e n b e c a m e p r o fi t i f t h e r e w e r e n o e x p e n s e s . I n a d d i t i o n , h e a p p a r e n t l y i n t e r p r e t e d t i m e d i f f e r e n t l y f r o m m e . P a y i n g t h e D J b e f o r e t h e y c a l c u l a t e d t h e $ 8 0 0 m a k e s s e n s e i n t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t i f y o u c o n s i d e r $ 8 0 0 i n c o m e a n d t h a t y o u p a i d t h e D J b e f o r e c o m p u t i n g y o u r r e c e i p t s a n d p r o fi t . F u r t h e r , e a c h o f t h e s e s t a t e m e n t s i s c o n t r a d i c t o r y t o h i s e a r l i e r i d e n t i fi c a t i o n o f P ( a n d $ 8 0 0 ) a s p r o fi t o r i f i n t e r p r e t e d a s a n s w e r s t o t h e q u e s t i o n s I i n t e n d e d a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r o fi t , i n c o m e , a n d c o s t s . P r o fi t c a n n o t b e b o t h $ 8 0 0 a n d $ 6 0 0 . L i k e w i s e , c o s t s s h o u l d n o t b e s u b t r a c t e d b o t h b e f o r e a n d a f t e r p r o fi t i s c o m p u t e d . I n s p i t e o f i d e n t i f y i n g P a s p r o fi t , S a m c l e a r l y d i d n o t c o n s i d e r t h i s f u n c t i o n r u l e a s a r u l e f o r p r o fi t . F u r t h e r , h e d i d m o s t o f h i s r e a s o n i n g i n t h e s i t u a t i o n w i t h h i s o w n p r o fi t m o d e l . W h i l e a t fi r s t i t l o o k e d a s i f h e s i m p l y h a d c h a n g e d h i s m i n d a b o u t t h e a m o u n t o f p r o fi t , t w i c e h e s a w n o c o n t r a d i c t i o n i n c a l l i n g p r o fi t $ 8 0 0 a n d t h e n $ 6 0 0 . S a m a p p a r e n t l y u n d e r s t o o d p r o fi t a n d i n c o m e c o n c e p t s , b u t u s e d t h e t e r m s i n t e r c h a n g e a b l y . I n a d d i t i o n , h e i n t e r j e c t e d a s p e c t s o f t h e s i t u a t i o n i n t o h i s i n t e r p r e t a t i o n o f m y q u e s t i o n s a b o u t p a y i n g t h e D J . H e c o n s i d e r e d t i m e o n l y i n t e r m s o f b e i n g b e f o r e a n d a f t e r t h e c o n c e r t , n o t i n t e r m s o f t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n w h e t h e r a n a m o u n t w a s c o n s i d e r e d i n c o m e o r p r o fi t a n d n o t i n t e r m s o f t h e f u n c t i o n r u l e g i v e n , w h e r e i t w a s i r r e l e v a n t . A g a i n , I h a d t r i e d t o a s k S a m a s e t o f q u e s t i o n s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s I s a w i n t h e s i t u a t i o n , a n d h e h a d a n s w e r e d m e w i t h h i s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n , b r i n g i n g i n h i s m o d e l f o r p r o fi t a n d i n c o m e - e v e n t h o u g h i t m e a n t u s i n g t e r m s a n d q u a n t i t i e s i n c o n s i s t e n t l y . W e c o n t i n u e d t h e p r o b l e m , a n d a f t e r m o r e d i s c u s s i o n a b o u t t h e m e a n i n g o f p r o fi t , S a m g e n e r a t e d a n e x a m p l e o f h i s o w n t h a t c o n fi r m e d h i s i n f o r m a l m o d e l f o r p r o fi t . I fi n a l l y e x p l a i n e d t o h i m t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n h i s m o d e l a n d t h e f u n c t i o n r u l e g i v e n . O n c e h e h a d l e a r n e d t h a t t h e f o r m u l a s t o o d f o r p r o fi t a n d t h a t h e d i d n o t n e e d t o c o m p u t e a n y c o s t s , h e w e n t o n t o fi n i s h t h e p r o b l e m b y t r y i n g o u t s e v e r a l 1 8 7 t i c k e t p r i c e s i n b o t h f o r m u l a s a n d fi n a l l y c o n c l u d i n g t h a t a $ 2 t i c k e t w i t h o u t u s i n g t h e D J g a v e h i m t h e m o s t p r o fi t , $ 1 0 0 0 . H i s fi n a l s e g m e n t i n c l u d e d a n u m b e r o f e r r o r s a n d s o m e c o n f u s i o n a b o u t h o w t o d e a l w i t h t h e t - 3 i n t h e b o t t o m r u l e , b u t t h e s e c o u l d b e e x p l a i n e d b e c a u s e h e w a s p r e t t y t i r e d b y t h a t p o i n t . H e d i d s u c c e s s f u l l y d e t e r m i n e t h e s i t u a t i o n t h a t g a v e h i m t h e m a x i m u m p r o fi t f o r t h e t i c k e t p r i c e s h e c h o s e t o e x p l o r e . I n t h e P r o fi t P r o b l e m , S a m i n v o k e d a n i n f o r m a l m o d e l o f p r o fi t , w h i c h m a d e i t d i f fi c u l t t o u n d e r s t a n d t h e p r o b l e m g i v e n . H e r e p e a t e d l y i n t e r p r e t e d a n d a n s w e r e d m y q u e s t i o n s i n t e r m s o f t h e s i t u a t i o n o n l y , w h i c h s o m e t i m e s l e d t o c o n t r a d i c t o r y r e s u l t s . A s w i t h t h e s c h o o l w o r k p r o b l e m , t h e p r o b l e m ’ s s i t u a t i o n a l c o n t e x t p r o v i d e d S a m w i t h a s o u r c e o f a n s w e r s t o m y q u e s t i o n s t h a t , t h o u g h s e n s i b l e i n t h e s i t u a t i o n , i g n o r e d m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s . S a m ’ s U n d e r s t a n d i n g o f F r m c t i o n C l a s s e s T h e fi n a l m a j o r s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r e x p l o r e s S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n c l a s s e s , b o t h w i t h i n r e p r e s e n t a t i o n s a n d a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s . I n g e n e r a l , t h e c l a s s e s a r e d i s c u s s e d s e p a r a t e l y , b u t s o m e c o n c e p t s , s u c h a s y - i n t e r c e p t s , a r e d i s c u s s e d a c r o s s b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s . S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s w a s f r a g m e n t e d . A l t h o u g h b e a s s o c i a t e d s o m e s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s w i t h s p e c i fi c k i n d s o f f u n c t i o n s , h i s w o r k w i t h a n y c l a s s o f r e p r e s e n t a t i o n s o r f u n c t i o n c l a s s e s w a s u n e v e n a n d o f t e n i n c o h e r e n t . T h i s s e c t i o n h a s t h r e e s u b s e c t i o n s . T h e fi r s t u s e s S a m ’ s c o n c e p t i o n s a n d a c t i v i t i e s w i t h l i n e a r f u n c t i o n s t o h i g h l i g h t h o w f r a g m e n t e d h i s t h i n k i n g w a s . S u b s e q u e n t s h o r t s e c t i o n s f o c u s o n q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . L i n e a r h n c t i o n s S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n c l a s s e s w a s f r a g m e n t e d . H e c l e a r l y h a d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f l i n e a r f r m c t i o n s , b u t h i s w o r k w i t h t h e m w a s u n e v e n , e v e n w i t h i n t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n t y p e . D u r i n g i n t e r v i e w 3 , i n t h e c o n t e x t o f a d i s c u s s i o n a b o u t 1 8 8 g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , y = 5 " , y = 2 " , y = . 5 " , a n d y = . 1 " , t h a t h e h a d c r e a t e d d u r i n g c l a s s t h e d a y b e f o r e , S a m d i s p l a y e d k n o w l e d g e a b o u t g r a p h s o f l i n e a r f u n c t i o n s . H e h a d d r a w n e a c h o f t h e f o u r f t m c t i o n s ( S e e F i g u r e 4 . 1 3 ) a s a s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h o r n e a r t h e o r i g i n , e a c h w i t h a d i f f e r e n t s l o p e . T h e g r a p h s a p p e a r e d t o b e e i t h e r t h e l i n e a r f u n c t i o n s , y = 5 x , y = 2 x , y = . 5 x , a n d y = . l x , o r a s o t h e r l i n e a r f u n c t i o n s w i t h y - i n t e r c e p t s 5 , 2 , . 5 a n d . 1 , r e s p e c t i v e l y . F i g u r e 4 . 1 3 : S a m ’ s G r a p h s o f E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s I n t h e i n t e r v i e w , I a s k e d S a m w h a t h e h a d b e e n t h i n k i n g a t t h e t i m e h e m a d e t h e s e g r a p h s , e v e n t h o u g h I d i d n o t h a v e h i s c l a s s n o t e s w i t h m e . H e b e g a n b y i n d i c a t i n g t h a t t h e g r a p h s w e r e s l a n t e d l i n e s t h r o u g h t h e y - a x i s a t y = 5 , 2 , . 5 a n d . 1 , a n d s a i d h e w a s " g o i n g b y t h e y - a x i s . ” H e h a d t r e a t e d e a c h c o n s t a n t a s t h e y - i n t e r c e p t a n d t h e s l o p e s a s a r b i t r a r y . W h e n I p r o b e d , h e s a i d h e h a d l o o k e d a t t h e e q u a t i o n a n d s i n c e t h e t e a c h e r h a d s a i d , " x c o u l d b e a n y t h i n g , " h e h a d m a d e x = l , w h i c h i n t h e fi r s t e q u a t i o n g a v e h i m y = 5 . W h e n I a s k e d i f h e m i g h t d o i t d i f f e r e n t l y a f t e r t h e c u r r e n t d a y ’ s c l a s s d i s c u s s i o n ( w h e r e t h e c l a s s h a d c o m p a r e d g r a p h s o f e x p o n e n t i a l a n d l i n e a r e q u a t i o n s ) , h e c h a n g e d t h e g r a p h o f y = 5 " t o a h o r i z o n t a l l i n e ( y = 5 ) . W h e n I a s k e d h o w h e k n e w t h a t , h e s a i d t h a t a f t e r h e h a d m a d e x = l , h e w a s t h r o u g h w i t h i t ( x ) , a n d h e d i d n o t s e e a n y x - c o o r d i n a t e s ( x v a r i a b l e s r e m a i n i n g i n t h e e q u a t i o n ) . 1 8 9 B e c a u s e S a m ’ s g r a p h w a s g e t t i n g c l u t t e r e d , I d r e w a n d l a b e l e d a n e w s e t o f a x e s a n d a s k e d f o r a f r e s h g r a p h o f y = 5 " . H e r e p e a t e d t h e e n t i r e p r o c e s s , i n c l u d i n g fi r s t m a k i n g t h e s l a n t e d g r a p h , r e v i s i n g i t t o b e h o r i z o n t a l , a n d j u s t i f y i n g t h e l a s t g r a p h b y t h e a b s e n c e o f ” x — v a l u e s " i n t h e e q u a t i o n . W h e n I a s k e d w h a t h e m e a n t b y n o t h a v i n g a n y x - v a l u e s i n t h e e q u a t i o n , h e a d d e d - 3 x t o t h e e q u a t i o n , m a k i n g i t y = 5 " - 3 x . W h e n a s k e d f o r i t s g r a p h , a s b e f o r e , b e s u b s t i t u t e d 1 f o r t h e e x p o n e n t a n d p r o d u c e d a c o r r e c t g r a p h f o r y = 5 - 3 x . H e h a d u s e d a s t a n d a r d s c h o o l a l g o r i t h m f o r g r a p h i n g l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e s l o p e c i n t e r c e p t f o r m : g r a p h t h e y - i n t e r c e p t a t 5 , t h e n s t a r t i n g a t 5 a n d u s i n g t h e s l o p e o f - 3 , c o u n t d o w n 3 a n d t o t h e r i g h t 1 t o l o c a t e a s e c o n d p o i n t , a n d d r a w a s t r a i g h t l i n e b e t w e e n t h e t w o p o i n t s . I c h e c k e d h i s t h i n k i n g b y a s k i n g h i m d i r e c t l y t o g r a p h y = 5 - 3 x , w h i c h h e d i d c o r r e c t l y u s i n g t h e s a m e a l g o r i t h m . I n o u r d i s c u s s i o n S a m h a d m e n t i o n e d s l o p e , a n d w h e n a s k e d f o r i t , w r o t e a 1 u n d e r t h e 3 x a n d c i r c l e d a l l o f 3 x / l a s c o n s t i t u t i n g t h e s l o p e . A t o n e p o i n t h e v o l u n t e e r e d t h a t h i s fi r s t l i n e f o r y = 5 " , w h i c h h a d a p o s i t i v e s l o p e , w a s i n e r r o r b e c a u s e h i s e q u a t i o n ( y = 5 " - 3 x ) h a d a m i n u s i n t h e - 3 x ( a n d t h u s a n e g a t i v e s l o p e ) . A l t h o u g h h e h a d f o r g o t t e n t h i s p r e v i o u s g r a p h a c t u a l l y w a s o f a d i f f e r e n t e q u a t i o n , y = 5 " , h i s s t a t e m e n t i n d i c a t e d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e s i g n o f t h e c o e f fi c i e n t o f x a n d s l o p e o f t h e l i n e . 7 I g a v e S a m f o u r m o r e e q u a t i o n s t o g r a p h , y = 2 + 4 x , = - 2 + 4 x , y = 2 " + 4 , a n d y = - 5 + 2 " . W i t h m i n o r e r r o r s , b e c o r r e c t l y g r a p h e d t h e fi r s t t w o u s i n g t h e s a m e p r o c e d u r e a s a b o v e . H e c h o s e 2 f o r t h e v a l u e o f x i n e a c h o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , a n d g r a p h e d y = 2 " + 4 a n d y = - 5 + 2 " a s h o r i z o n t a l l i n e s , y = 8 a n d y = - 1 , r e s p e c t i v e l y . 7 I n c l a s s t h a t d a y , M r . B h a d u s e d s l o p e s 3 a n d - 3 t o i l l u s t r a t e t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s l o p e , s o i t i s p o s s i b l e t h a t S a m s i m p l y r e c a l l e d t h i s . 1 9 0 C l e a r l y , S a m k n e w a p r o c e d u r e f o r g r a p h i n g l i n e a r e q u a t i o n s i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m , w h i c h i s a l s o t h e s y m w l i c f o r m r e q u i r e d f o r e x p r e s s i n g l i n e a r f u n c t i o n s . H e h a d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f t h e o r i e n t a t i o n o f l i n e s , h a v i n g r e c o g n i z e d t h a t a n e q u a t i o n w i t h o u t a n x g a v e a h o r i z o n t a l l i n e a n d h a v i n g d i s t i n g u i s h e d d i f f e r e n c e s b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s l o p e s f r o m t h e c o e f fi c i e n t o f x i n t h e l i n e a r t e r m . S a m w a s c o n f u s e d , h o w e v e r , a b o u t t h e r o l e o f t h e v a r i a b l e , x , i n t h e e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s . H e h a d m i s i n t e r p r e t e d t h e v a r i a b l e i n h i s " d e r i v e d ” l i n e a r e q u a t i o n w h e n h e f a i l e d t o s e p a r a t e t h e x f r o m - 3 i n - 3 x i n d i s c u s s i n g s l o p e . I n a d d i t i o n , h e h a d i n t e r p r e t e d M r . B a i l e y ’ s s t a t e m e n t t h a t x c o u l d b e a n y t h i n g t o m e a n a s i n g l e , a r b i t r a r y v a l u e , w h i c h s h o u l d b e s u b s t i t u t e d i n t o t h e e q u a t i o n , r a t h e r t h a n a s a n a r b i t r a r y c h o i c e o f o n e o f m a n y v a l u e s t h a t x c o u l d t a k e o n . H e s e e m e d t o t a k e t h i s s t a t e m e n t a s p e r m i s s i o n t o t u r n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n t o l i n e a r o n e s . I w i l l s a y m o r e a b o u t h i s u n d e r s t a n d i n g o f v a r i a b l e s b e l o w . A l l o t h e r s t u d e n t s i n t h e c l a s s e x c e p t t w o g r a p h e d t h e s e e q u a t i o n s a s d o t s , o r a s h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l l i n e s t h r o u g h 5 , 2 , a n d e i t h e r p l u s o r m i n u s . 5 a n d . 1 . O n e s t u d e n t g r a p h e d s l a n t e d l i n e s w i t h y = . 1 " a n d y = . 5 " b e l o w t h e x - a x i s . T h e l a s t s t u d e n t g r a p h e d y = 5 " a n d y = 2 " c o r r e c t l y , b u t t h e r e m a i n i n g t w o g r a p h s i n c o r r e c t l y a s i n c r e a s i n g . S u r e l y S a m h a d l e a r n e d t h i s l i n e a r g r a p h i n g p r o c e d u r e p r i o r t o c o m i n g t o t h i s c l a s s a s i t h a d n o t b e e n d i s c u s s e d e x p l i c i t l y h e r e , e v e n t h o u g h c o n n e c t i o n s w e r e m a d e b e t w e e n c o e f fi c i e n t s , i n t e r c e p t s , a n d s l o p e s . F u r t h e r , o n t h e p r e t e s t , w h i c h w a s t a k e n b e f o r e c l a s s e s b e g a n , h e a p p e a r e d t o u s e t h e s a m e a l g o r i t h m . O n p r o b l e m 6 ( F i g u r e 4 . 1 4 b e l o w ) h e g r a p h e d b o t h y = 3 x + 4 a n d y = x 2 - 2 x + 1 a s d o t s i n a s t r a i g h t l i n e . S a m ’ s l i n e a r g r a p h f o r t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n c o n s i s t e d o f p o i n t s o n a g r a p h o f y = - 2 x + 1 ; h e h a d s i m p l y d r o p p e d t h e x 2 , m a k i n g i t l i n e a r a n d v i o l a t i n g t h e e q u a l i t y . R a t h e r t h a n u s e t h e a l g o r i t h m s u g g e s t e d , i t i s p o s s i b l e t h a t S a m h a d s u b s t i t u t e d v a l u e s f o r x , c a l c u l a t e d c o r r e s p o n d i n g y ’ s , a n d t h e n p l o t t e d p o i n t s . I d o n o t t h i n k h e d i d t h i s , h o w e v e r , b e c a u s e i t s e e m s u n l i k e l y h e w o u l d h a v e c h o s e n a . y - 3 x + 4 b . 1 9 1 n e g a t i v e x ’ s f o r s u b s t i t u t i o n , a n d h a d h e u s e d t h i s m e t h o d , i t s e e m s m o r e p r o b a b l e h e w o u l d h a v e p r o d u c e d a m o r e a c c u r a t e g r a p h f o r t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n . I n a n y c a s e , S a m u s e d s o m e c o r r e c t m e t h o d f o r g r a p h i n g l i n e a r e q u a t i o n s o n q u e s t i o n 6 o f t h e p r e t e s t . 6 . G r a p h t h e f o l l o w i n g : y - x z - i n ' l c . y - J " F i g u r e 4 . 1 4 : S a m ’ s P r e t e s t P r o b l e m 6 S a m ’ s t h i n k i n g a b o u t t h e s e s a m e t w o p r o b l e m s c h a n g e d d r a m a t i c a l l y o n t h e p o s t t e s t . T h e r e , f o r b o t h e q u a t i o n s h e g r a p h e d t h e y - i n t e r c e p t c o r r e c t l y a n d t h e n m a d e t h e g r a p h s a p p e a r a s p a r a b o l a s o p e n i n g u p w a r d . I n y = 3 x + 4 h e h a d n o t a c c e s s e d w h a t h e k n e w a b o u t g r a p h i n g l i n e a r f u n c t i o n s . T h u s , a l t h o u g h S a m s e e m e d t o k n o w a n a l g o r i t h m f o r g r a p h i n g l i n e a r e q u a t i o n s i n t h i s f o r m , h e a p p l i e d h i s k n o w l e d g e o n l y i n t e r m i t t e n t l y a n d i n a d d i t i o n , h a d a g a i n i n t e r p r e t e d t h e v a r i a b l e s i n a n e q u a t i o n i n a n i n v a l i d w a y . 1 9 2 Y - i n t e r c e p t s s . T h e y - i n t e r c e p t s e e m e d t o b e a p a r t i c u l a r l y s a l i e n t c o n c e p t f o r S a m ; h e w a s a b l e t o u s e i t f o r d i f f e r e n t k i n d s o f f l m c t i o n s a n d i n s e v e r a l r e p r e s e n t a t i o n c o n t e x t s . R e c a l l t h a t i n t h e A l i c e , B e a , C a r o l i n a p r o b l e m ( 2 A - 1 ) t o m a t c h a t a b l e t o a g r a p h , a f t e r h i s a t t e n t i o n w a s c a l l e d t o s c a l e , S a m c o o r d i n a t e d t h e t a b l e e n t r y f o r t h e y - i n t e r c e p t w i t h a g r a p h , e v e n w h e n i t r e q u i r e d c h o o s i n g a s c a l e f o r t h e y - a x i s d i f f e r e n t f r o m t h e x — a x i s . A s c a n b e s e e n f r o m t h e d i s c u s s i o n a b o v e , h e h a d r e l i e d h e a v i l y o n t h e y — i n t e r c e p t i n g r a p h i n g f u n c t i o n s , e v e n w h e n o t h e r p a r t s o f t h e g r a p h i n g w e r e i n e r r o r . Q u e s t i o n 8 o f t h e p r e - a n d p o s t t e s t s , c o n c e r n i n g y - i n t e r c e p t s , w a s t h e o n l y q u e s t i o n o n b o t h t e s t s t h a t S a m g o t c o r r e c t i n i t s e n t i r e t y . P r o b l e m 8 ( S e e A p p e n d i x B f o r p r e - a n d p o s t t e s t ) r e q u i r e d s t u d e n t s t o fi n d t h e y - i n t e r c e p t f o r b o t h q u a d r a t i c e q u a t i o n s i n s y m b o l i c f o r m s a n d l i n e a r f u n c t i o n s g i v e n i n t a b u l a r f o r m . T h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s w e r e g i v e n i n g e n e r a l f o r m ( y = — 3 x 2 - 4 x + 5 ) w h e r e t h e i n t e r c e p t , 5 , c o u l d b e r e a d d i r e c t l y f r o m t h e e q u a t i o n , a n d i n f a c t o r e d f o r m ( y = 2 ( x - 7 ) ( x + 1 ) ) , w h e r e s o m e t r a n s f o r m a t i o n o r a n a l y s i s w a s n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e i n t e r c e p t , ~ 1 4 . T h e y - i n t e r c e p t a p p e a r e d e x p l i c i t l y i n o n e o f t h e t a b l e s , b u t h a d t o b e c o m p u t e d f o r t h e o t h e r . O n t h e p r e t e s t , S a m i d e n t i fi e d t h e y - i n t e r c e p t s f o r t h e q u a d r a t i c s d i r e c t l y i n t h e fi r s t c a s e a n d b y m u l t i p l y i n g t h e p o l y n o m i a l o u t t o r e a d o f f t h e i n t e r c e p t i n t h e s e c o n d . H e f o u n d b o t h t h e e x p l i c i t a n d i m p l i c i t y - i n t e r c e p t s f o r t h e t a b l e s b y p l o t t i n g p o i n t s o n a g r a p h . O n t h e p o s t t e s t , f o r t h e q u a d r a t i c s , b e r e p e a t e d h i s a c t i o n s f r o m t h e p r e t e s t , a n d f o r t h e l i n e a r f u n c t i o n s , i d e n t i fi e d o n e y - i n t e r c e p t d i r e c t l y f r o m a t a b l e e n t r y , ( 0 , 1 ) , a n d p l o t t e d p o i n t s t o fi n d t h e o t h e r o n e . I n a d d i t i o n t o i d e n t i f y i n g o r c o m p u t i n g y - i n t e r c e p t s , S a m u s e d t h e y - i n t e r c e p t c o n c e p t t o r e a s o n a b o u t q u a d r a t i c f u n c t i o n s . I n p r o b l e m 1 4 o f t h e p o s t t e s t , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o a c c e p t o r r e j e c t e q u a t i o n s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s g i v e n a g r a p h t h a t 8 1 1 1 i : d i s c u s s i o n o v e r l a p s b o t h f u n c t i o n l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n c l a s s e s . 1 9 3 s h o w e d a q u a d r a t i c e q u a t i o n , o r i e n t e d d o w n w a r d , a n d a p p e a r i n g c o m p l e t e l y w i t h i n q u a d r a n t I V . S a m u s e d t h e y - i n t e r c e p t a s h i s r e a s o n t o r e j e c t t h e fi r s t t w o , y = x 2 - 4 x + 5 a n d y = - x 2 + 4 x - 1 0 , e v e n t h o u g h f o r t h e s e c o n d , t h e v a l u e o f y - i n t e r c c p t w a s n o t s u f f i c i e n t r e a s o n t o d o s o . I n s u m m a r y , S a m u s e d t h e y - i n t e r c e p t c o n c e p t w h i l e g r a p h i n g l i n e a r e q u a t i o n s . H e r e c o g n i z e d i t i n s y m b o l i c f o r m s f o r t w o c l a s s e s o f f u n c t i o n s , l i n e a r a n d q u a d r a t i c . H e c o u l d r e c o g n i z e i t i n a t a b l e o f a l i n e a r f u n c t i o n a n d c o u l d fi n d i t b y c r e a t i n g a g r a p h o f a l i n e a r f u n c t i o n , g i v e n a t a b l e w i t h o u t t h e y - i n t e r c e p t . S a m h a d s u c c e s s f u l l y u s e d t h e y - i n t e r c e p t c o n c e p t i n s e v e r a l t a s k s i n v o l v i n g t h r e e r e p r e s e n t a t i o n s , s y m b o l i c , t a b u l a r a n d g r a p h i c a l . A s w i l l b e s e e n b e l o w u n d e r t h e d i s c u s s i o n o f s l o p e , h o w e v e r , w h e n S a m h a d t o c r e a t e t h e e q u a t i o n o f a l i n e f r o m a g r a p h , h e w a s l e s s a b l e t o u s e t h e y - i n t e r c e p t c o r r e c t l y . S l o p e . S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s l o p e c o n c e p t w a s l e s s r o b u s t t h a n t h a t o f y - i n t e r c e p t . A l t h o u g h h e h a d a s s o c i a t e d 3 a n d - 3 w i t h a c o r r e c t g r a p h o r i e n t a t i o n f o r l i n e a r f l m c t i o n s a b o v e a n d h a d r e c o g n i z e d h o r i z o n t a l l i n e s i n t h e i r s y m b o l i c f o r m , h e h a d d i f fi c u l t y i d e n t i f y i n g a l i n e w i t h a n e g a t i v e s l o p e i n p r o b l e m 4 ( F i g u r e 4 . 1 5 ) o n 4 . y - e x + 7 I t a i s a n e g a t i v e n u m b e r , t h e g r a p h o f v i n F i g u r e 1 l o o k s l i k e I , I I . o r I I I b e l o w ? / \ Y I X b F i g u r e 1 F i g u r e 4 . 1 5 : P r e / P o s t t e s t P r o b l e m 4 t h e p r e - a n d p o s t t e s t s . O n t h e p r e t e s t h e c h o s e b o t h I a n d I I I , a n d o n t h e p o s t t e s t , b e o m i t t e d t h e p r o b l e m a l t o g e t h e r . I n a d d i t i o n , S a m f a i l e d t o u s e e i t h e r y - i n t e n c e p t o r 1 9 4 s l o p e c o r r e c t l y w h e n a s k e d t o c r e a t e a n e q u a t i o n f o r a l i n e , g i v e n i t s g r a p h o n p r o b l e m 7 o f t h e p r e - a n d p o s t t e s t s . ( F i g u r e 4 . 1 6 ) . I n b o t h c a s e s , h e u s e d t h e s l o p e - i n t e r c e p t f o r m t o g e t t h e e q u a t i o n . O n t h e p r e t e s t , b e c a l c u l a t e d t h e $ 1 0 p e a s 1 / 2 x l 7 . a . T h e s l o p e o f t h i s g r a p h i s [ 9 1 2 5 - E X p l a i n y o u r a n s w e r . A - 1 3 . . ( 0 , 1 ) [ _ f v / l i 3 ~ l § c e x l b . A n e q u a t i o n f o r t h e g r a p h i s ) / ’ A Y r I - g ; . E x p l a i n h o w y o u f a u n d i t . F i g u r e 4 . 1 6 : S a m ’ s P r e t e s t P r o b l e m 7 ( i n c l u d i n g t h e x ) a n d t h e y - i n t e r c e p t a s 2 , t h e y - v a l u e o f t h e o n l y p o i n t l a b e l e d , ( 6 , 2 ) . H e h a d a g a i n c o n f u s e d t h e r o l e o f t h e v a r i a b l e . S i n c e t h e p o i n t ( 6 , 2 ) w a s l a b e l e d o n t h e g r a p h a n d S a m h a d d r a w n l i n e s m a r k i n g s t e p s a l o n g t h e g r a p h , i t a p p e a r s t h a t h e a t t e m p t e d t o c a l c u l a t e t h e r e l a t i v e c h a n g e s i n x a n d y , u s i n g t h e p o i n t ( 4 , 1 ) , w h i c h w a s c l o s e t o , b u t n o t o n , t h e g r a p h , t o c a l c u l a t e 1 / 2 f o r t h e s l o p e . O n t h e p o s t t e s t b e c a l c u l a t e d s l o p e a s 1 / 5 a n d t h e e q u a t i o n a s y = 1 / 5 x + 1 , u s i n g t h e x , n o t y , i n t e r c e p t i n t h e e q u a t i o n . H e h a d m a r k e d a s h o r t v e r t i c a l l i n e a t x = 5 , w h i c h m i g h t h a v e i n fl u e n c e d h i s c h o i c e o f s l o p e . T h e c o r r e c t s l o p e w a s 2 / 5 , a n d t h e c o r r e c t e q u a t i o n i s y = 2 / 5 x - 2 / 5 . I n a n y c a s e , h i s t h i n k i n g o n b o t h t e s t s w a s a c c u r a t e f o r n e i t h e r s l o p e n o r y - i n t e r c e p t . T h i s p r o b l e m t a s k t o c r e a t e a l i n e a r e q u a t i o n f r o m a g r a p h i s m o r e c o m p l e x t h a n fi r s t i d e n t i f y i n g s l o p e a n d y - i n t e r c e p t f r o m a n e q u a t i o n i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m a n d t h e n c r e a t i n g a g r a p h f r o m i t . I n o r d e r t o c r e a t e a n e q u a t i o n f r o m a g r a p h , o n e m u s t c o m p u t e t h e r a t e o f c h a n g e f r o m a t t r i b u t e s o f t h e g r a p h , d e t e r m i n e t h e 1 9 5 y - i n t e r c e p t , a n d t h e n u s e t h e s l o p e - i n t e r c e p t f o r m o f t h e e q u a t i o n . T h i s t a s k r e q u i r e s i d e n t i f y i n g a t t r i b u t e s o f t h e g r a p h a n d a c o m p u t a t i o n . T h e t a s k t o g r a p h a n e q u a t i o n r e q u i r e s o n l y i d e n t i f y i n g v a l u e s t h a t c a n b e s e e n r a t h e r d i r e c t l y i n t h e e q u a t i o n a n d c a r r y i n g o u t a n a l g o r i t h m f o r g r a p h i n g . A l t h o u g h m a n y s t u d e n t s d o i n f a c t l e a r n a l g o r i t h m s f o r fi n d i n g a n e q u a t i o n f r o m a g r a p h , S a m c l e a r l y h a d n o t . T h e r e w a s a g r e a t d e a l o f e m p h a s i s i n t h i s c l a s s o n r a t e o f c h a n g e , a n d S a m h a d e a r l i e r u s e d i t d u r i n g i n t e r v i e w p r o b l e m 2 A - 2 , d i s c u s s e d a b o v e , t o c o r r e c t l y d e t e r m i n e t h e - 5 w h e n h e f o r m d a n e q u a t i o n , y = - 5 x + 1 5 , f o r a d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n , a t a b l e o f v a l u e s . I n t h a t c a s e , t h e p r o b l e m w a s a t l e a s t a s d i f fi c u l t , i f n o t m o r e c o m p l e x , t h a n t h i s o n e . I n a d d i t i o n , a l t h o u g h S a m h a d a t t e m p t e d t o u s e r a t e o f c h a n g e i n t h i s p r o b l e m o n t h e p r e t e s t , h e s e e m e d n o t e v e n t o t r y t o u s e i t i n h i s s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m 7 o n t h e p o s t t e s t . S a m ’ s w o r k w i t h t h e p r o b l e m s j u s t d i s c u s s e d w a s i n c o n s i s t e n t . T h e v a r i a t i o n i n S a m ’ s w o r k h e r e c o u l d i n p a r t b e e x p l a i n e d b y h o w h e f e l t t h a t d a y o r b y w h a t h e p e r c e i v e d t h e t e a c h e r ( o r i n t e r v i e w e r ) w a n t e d . H e a d m i t t e d t h a t w h a t h e d i d i n s c h o o l d e p e n d e d o n w h a t w a s r e q u i r e d a t t h e m o m e n t . D u r i n g i n t e r v i e w 3 a t t h e e n d o f o u r d i s c u s s i o n ( r e p o r t e d a b o v e ) a b o u t g r a p h i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , S a m h a d d i s c o v e r e d t h e r e w a s a d i s c r e p a n c y b e t w e e n w h a t h e h a d g r a p h e d , y = - 1 ( f o r y = - 5 + 2 1 ) , a n d t h e c a l c u l a t o r g r a p h f o r y = - 5 + 2 " . I a s k e d w h i c h w a s c o r r e c t , a n d h e s a i d i t d e p e n d e d o n t h e t e a c h e r , w h a t h e w a s t e a c h i n g a n d w h a t h e w a n t e d . I c o n t i n u e d . W h i l e q u i z z i n g S a m a b o u t w h a t i t m e a n t t o g r a p h a n e q u a t i o n b y a s k i n g w h a t w o u l d h e d o i f I a s k e d h i m t o g r a p h i t , h e s a i d j u s t d o i t . S o I a s k e d i f i t w o u l d c o m e o u t s t r a i g h t o r c u r v e d . H e s a i d : I t d e p e n d i n ’ o n h o w I w a s t h i n k i n ’ . I f I w a s t i r e d a n d w a n t e d t o g e t o u t o f i t , I d o t h a t [ p o i n t i n g t o t h e 2 h e h a d s u b s t i t u t e d f o r x ] . A d d t h a t 2 u p i n t h e r e . S a m h a d a d m i t t e d h i s w o r k d e p e n d e d o n h i s m o o d . P e r h a p s h e w a s t i r e d o n . t h e d a y o f t h e p o s t t e s t w h e n b e o m i t t e d p r o b l e m s . T h e s e c o m m e n t s a l s o s u p p o r t t h e h y p o t h e s i s t h a t S a m w a s l i v i n g i n t h e m o m e n t . 1 9 6 R a t e o f c h a n g e . I n t h e s o r t p r o b l e m i n i n t e r v i e w 5 , e v e n t h o u g h S a m m a d e a d d i t i o n a l c o n n e c t i o n s b e t w e e n c o n c e p t s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s , h i s w o r k w i t h l i n e a r f l m c t i o n s i n v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s w a s a s f r a g m e n t e d a s i n t h e p r o b l e m s d i s c u s s e d a b o v e . R e c a l l t h a t h e h a d c o n n e c t e d c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e t o l i n e a r e q u a t i o n s i n p r o b l e m 2 A - 2 . H e a l s o a s s o c i a t e d c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e w i t h g r a p h s o f l i n e s , b u t h e w a s n o t a b l e t o u s e t h i s i n f o r m a t i o n c o n s t r u c t i v e l y , a s w i l l b e s e e n b e l o w . A l t h o u g h o n e o f h i s fi n a l s o r t c a t e g o r i e s w a s s t r a i g h t l i n e s , i t i n c l u d e d o n l y c a r d s R a n d K , a n d n o t t h e o t h e r t h r e e c a r d s i n v o l v i n g l i n e a r f u n c t i o n s , P , Q , a n d S . ( S e e A p p e n d i x A f o r a l l c a r d s ) E v e n t h o u g h l i n e s a n d c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e w e r e s a l i e n t c o n c e p t s f o r S a m , l i n e a r f u n c t i o n s w e r e n o t a s a l i e n t c a t e g o r y i n h i s s o r t p r o c e s s . S a m h a d b e g u n b y s o r t i n g c a r d s i n t o c a t e g o r i e s b y s u p e r fi c i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . A f t e r s t u d y i n g e a c h c a r d a n d m a k i n g t e n t a t i v e g r o u p i n g s , h e h a d c r e a t e d s t a c k s o f c a r d s t h a t c o u l d b e c h a r a c t e r i z e d a s C a r t e s i a n g r a p h s w i t h g r i d s ( E , J , K , T , W ) , t a b l e s ( H , R , Y , Z ) , v e r b a l d e s c r i p t i o n o f r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s ( A , S ) , v e r b a l d e s c r i p t i o n o f p r o b l e m s t o b e s o l v e d ( B , P , Q ) , a n d t h r e e u n g r o u p e d c a r d s ( G , D , a n d M ) . A c t u a l l y P i s o n l y a v e r b a l s t a t e m e n t o f a r e l a t i o n s h i p b u t a p p e a r s m o r e l i k e a w o r d p r o b l e m t h a n A o r S , w h i c h c o n t a i n o n l y o n e l i n e e a c h . G a n d D a r e C a r t e s i a n g r a p h s w i t h o u t g r i d s a n d M h a s w h a t l o o k s l i k e a w o r d p r o b l e m , a n e q u a t i o n , a n d a p i c t u r e t h a t c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s a g r a p h . A f t e r S a m h a d c r e a t e d t h e s e p i l e s o f c a r d s a n d w i t h o u t a n y p r o m p t i n g f r o m m e , h e a d o p t e d a s t r a t e g y o f t r y i n g t o p a i r u p g r a p h s w i t h g r i d s w i t h e i t h e r v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f p r o b l e m s o r t a b l e s . H e s e e m e d t o a s s u m e s u c h p a i r s e x i s t e d , n o t a n u n r e a s o n a b l e j u d g m e n t s i n c e t h i s i s o f t e n t h e c a s e i n s c h o o l . H e b e g a n b y c o m p a r i n g n u m b e r s o n t h e c a r d s w i t h g r i d s w i t h t h o s e o n c a r d s w i t h t a b l e s , a c l e v e r s t r a t e g y s i n c e h e w a s l o o k i n g f o r e x a c t m a t c h e s , b u t s o o n g a v e i t u p s i n c e h e f o u n d f e w m a t c h e s . 1 9 7 K E F i g u r e 4 . 1 7 : S o r t C a r d s K a n d B A f t e r a s h o r t w h i l e , I c o u l d s o o n s e e t h a t S a m t h o u g h t a b o u t l i n e a r f u n c t i o n s a s h a v i n g c o n s t a n t r a t e ( o r p a t t e r n ) o f c h a n g e . H e a s s o c i a t e d a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e o n c a r d S , ” F o r e a c h 5 u n i t s x i n c r e a s e s , y i n c r e a s e s 1 0 , " w i t h a l i n e a r g r a p h o n c a r d K ( S e e F i g u r e 4 . 1 7 a b o v e f o r c a r d s K a n d E ) : S : [ R e a d i n g f r o m S ] F o r e a c h 5 u n i t s x i n c r e a s e s , y i n c r e a s e s 1 0 — O h , o k a y . I p r o b a b l y c o u l d fi n d o n e n o w . [ F i r s t l o o k s a t J , r e j e c t s i t a n d t h e n l o o k s a t K . P o i n t s t o 3 0 , a n d a c o u p l e o f p l a c e s t o t h e l e f t o f 3 0 ] T h a t ( y ) i n c r e a s e . L e t m e t h i n k , [ l o o k s a t c a l c u l a t o r ] t h a t h a v e t o i n c r e a s e 3 0 t i m e s , 3 0 t i m e s 5 [ p o i n t s t o 3 0 a g a i n ] a n d y o u ’ d h a v e t o i n c r e a s e 1 0 t i m e s f o r e v e r y 5 . [ l o o k s a t t h e c a l c u l a t o r a g a i n ] H m m m . [ H e p u t s K u n d e r t h e s t a c k a n d l o o k s c a r d T , t h e n E . ] I l i k e t h i s o n e b e t t e r f o r t h a t [ g r o u p s B ( g r a p h w i t h s i n g l e p o i n t ) w i t h S a n d p u t s t h e m a s i d e ] T h a t ’ s B ? S o w h y d o y o u l i k e t h a t o n e b e t t e r ? C a u s e i t ’ s g o t t h o s e s t r a i g h t n u m b e r s r i g h t t h e r e , [ 6 : u m - h u h . ] a n d i t l i k e , u h , f o r t h a t 5 [ p o i n t s t o x - a x i s ] i t i n c r e a s e d 5 0 0 . M a y b e f o r 1 0 m o r e [ p o i n t s f a r t h e r o u t o n x - a x i s ] , i t i n c r e a s e d a 1 0 0 0 - s o I w a n t i t t h e r e . S o I l i k e t h e m . [ P u t s S a n d E t o g e t h e r o n s i d e . ] S a m h a d c h o s e n a l i n e a r g r a p h , c a r d K , t o m a t c h t o t h e c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e o n c a r d S , b u t r e j e c t e d t h e m a t c h e i t h e r b e c a u s e i t d i d n o t w o r k o r b e c a u s e h e c o u l d n o t s e e h o w t o w o r k i t o u t . A t fi r s t h e h a d c h o s e n a n x - v a l u e o f 3 0 o n c a r d K a n d s e e m e d t o b e c o u n t i n g c h a n g e s a l o n g t h e x - a x i s , b u t i n o r d e r t o m a t c h t h e g r a p h o n K 1 9 8 w i t h t h e w o r d " i n c r e a s e " o n S , S a m h a d c o u n t e d i n t h e w r o n g d i r e c t i o n ( t o w a r d , r a t h e r t h a n a w a y f r o m t h e y - a x i s ) . A s b e c o u n t e d l e f t , h e s a i d , ” T h a t ( y ) i n c r e a s e ” a n d r e p e a t e d t h e c h a n g e d e s c r i b e d o n c a r d S . C l e a r l y h e w a s t r y i n g t o w o r k o u t t h e s a m e r e l a t i v e c h a n g e o n t h e t w o c a r d s . S a m h a d , h o w e v e r , d e s c r i b e d t h e c h a n g e i n 3 0 a s m u l t i p l y i n g b y 5 ( r a t h e r t h a n d i v i d i n g , i f h e w e r e c o u n t i n g n u m b e r o f c h a n g e s ) a n d c o n s i d e r e d u s i n g t h e c a l c u l a t o r , p o s s i b l y b e c a u s e t h e n u m b e r s w e r e s o l a r g e . B y t h i s t i m e , h e m i g h t a l s o h a v e s e e n t h e g r a p h a s d e c r e a s i n g , a c o n f l i c t w i t h t h e w o r d i n c r e a s i n g o n c a r d S , a l t h o u g h h e s a i d n o t h i n g a b o u t t h i s . I n a n y c a s e , h e r e j e c t e d c a r d K . S a m s w i t c h e d t o m a t c h i n g c a r d E w i t h c a r d S b e c a u s e h e s a w g r e a t e r c o m p a t i b i l i t y b e t w e e n t h e p a i r s o f n u m b e r s o n t h e c a r d s , 5 a n d 1 0 ( c a r d S ) , a n d 5 0 0 a n d 1 0 0 0 ( c a r d E ) , a s t r a t e g y h e h a d t r i e d t o u s e e a r l i e r . T h e n u m b e r 5 a p p e a r e d o n c a r d E , a s w e l l a s c a r d S . S a m s p e c i fi c a l l y r e f e r r e d t o t h e 5 o n c a r d E a s a s t a r t i n g x v a l u e ( f r o m w h i c h t o d e s c r i b e h i s c h a n g e ) , s o i t s u r e l y i n f l u e n c e d h i s c h o i c e . I n a d d i t i o n , S a m w a s a b l e t o m a k e a s t a t e m e n t a b o u t i n c r e a s i n g , u s i n g t h e s e t w o p a i r s a s a p r o p o r t i o n . H o w e v e r , h i s s t a t e m e n t , ” C a u s e i t ’ s g o t t h o s e s t r a i g h t n u m b e r s r i g h t t h e r e , [ 6 : u m - h u h . ] a n d i t l i k e , u h , f o r t h a t 5 ( o n c a r d B ) i t i n c r e a s e d 5 0 0 . M a y b e f o r 1 0 m o r e , i t i n c r e a s e d a 1 0 0 0 » , " m a d e n o s e n s e m a t h e m a t i c a l l y b e c a u s e h e h a d t r e a t e d a c h a n g e f r o m 5 t o 1 0 a s a c h a n g e i n x a l o n e , n o t a s a d e s c r i p t i o n o f r a t e o f c h a n g e b e t w e e n v a l u e s o f y a n d v a l u e s o f x . S i n c e c a r d E c o n s i s t e d o f t h e g r a p h o f a s i n g l e p o i n t , t h e r e w a s n o l i n e o r p a i r o f p o i n t s t o r e p r e s e n t a n y k i n d o f c h a n g e . S a m h a d s t a r t e d o u t w i t h a c o r r e c t c o n c e p t : a r e l a t i o n s h i p w i t h a c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e h a s a g r a p h t h a t i s a l i n e . T h e s t a t e m e n t o n c a r d S a n d t h e g r a p h o n c a r d K ( h i s fi r s t c h o i c e ) d i d n o t , h o w e v e r , r e p r e s e n t e x a c t l y t h e s a m e f u n c t i o n ( h i s g o a l ) . T h e r a t e o f c h a n g e d i f f e r e d ; t h e r e f o r e , t h e n u m b e r s d i d n o t w o r k o u t . I n a d d i t i o n , t o m a t c h t h e w o r d ” i n c r e a s e , " h e h a d t o t h i n k o f c h a n g e a s b e i n g i n a d i r e c t i o n o p p o s i t e t o t h a t f o r i n c r e a s i n g x ’ s , t h o u g h i t i s n o t c l e a r h e u n d e r s t o o d t h i s . A l t h o u g h t h e 5 o n 1 9 9 c a r d E m i g h t i n i t i a l l y h a v e a t t r a c t e d S a m t o i t , t w o o t h e r n u m b e r s o n c a r d E , 5 0 0 a n d 1 0 0 0 , c o u l d b e p u t i n t o t h e s a m e r a t i o a s t h e fi v e a n d t e n o n c a r d S , a l l o w i n g h i m t o c h a n g e h i s f o c u s t o a s t a t i c p r o p o r t i o n b e t w e e n n u m b e r p a i r s o n t h e t w o c a r d s ( 5 / 1 0 = 5 0 0 / 1 0 0 0 ) . T o j u s t i f y h i s c h o i c e , h e u s e d t h e w o r d " i n c r e a s e ” f r o m c a r d S t o d e s c r i b e a p r o p o r t i o n b e t w e e n t h e p a i r s o f n u m b e r s . T h e p r o p o r t i o n w a s c o r r e c t , b u t i t w a s i n v a l i d i n t h i s p r o b l e m c o n t e x t b e c a u s e i t d i d n o t t a k e i n t o a c c o u n t t h e p r o b l e m c o n s t r a i n t s : t h e n u m b e r s , fi v e a n d t e n , i n t h e v e r b a l d e s c r i p t i o n r e p r e s e n t e d a r a t e o f c h a n g e b e t w e e n t w o v a r i a b l e s , n o t a p o t e n t i a l c h a n g e i n a s i n g l e v a r i a b l e , x . S a m h a d c h a n g e d t h e r o l e o f t h e n u m b e r s i n t h e p r o p o r t i o n t o j u s t i f y t h e m a t c h . F u r t h e r , t h e g r a p h o n E h a d o n l y o n e p o i n t , s o d i d n o t r e p r e s e n t c h a n g e a t a l l . A f e w m i n u t e s l a t e r S a m a g a i n t r i e d t o u s e r a t e s o f c h a n g e t o g r o u p c a r d s . H e p l a c e d c a r d A , w h i c h c o n t a i n e d o n l y t h e s t a t e m e n t , " A s t h e n u m b e r o f w o r k e r s d o u b l e s , t h e a m o r m t o f t i m e t o d o t h e w o r k i s c u t i n h a l f , " i n t h e s a m e g r o u p w i t h E a n d S . S a m r e p e a t e d a p h r a s e t h a t h e h a d u s e d i n t h e p r e l i m i n a r y s o r t t o g r o u p A a n d S a n d s a i d t h a t b e c a u s e c a r d A w a s " t a l k i n g a b o u t t h a t d o u b l i n g s t u f f " i t s h o u l d b e g r o u p e d w i t h E . H e w e n t o n t o e x p l a i n : O k a y , s a y t h e y h a v e t o d o a t h o u s a n d h o u r s , a n d t h e y h a v e t h r e e w o r k e r s . T h e y h a v e s i x a n d t h e y o n l y g o t t o d o 5 0 0 , s o I t h i n k t h a t w i l l w o r k o u t r i g h t t h e r e . [ P u t s A i n a s t a c k w i t h E a n d 8 . ] S a m h a d i n t e r p r e t e d t h e t w o p a i r s o f n u m b e r s , ( 3 , 1 0 0 0 ) a n d ( 6 , 5 0 0 ) , c o r r e c t l y f o r t h e r e l a t i o n s h i p o n c a r d A , u s i n g t w o n u m b e r s t h a t a p p e a r e d o n c a r d E . Y e t n e i t h e r w e r e c o o r d i n a t e s f o r p o i n t s o n c a r d E . I n t h i s e x a m p l e , w h e n S a m ’ s a t t e m p t s t o u s e h i s k n o w l e d g e o f l i n e a r f u n c t i o n s t o m a t c h a c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e w i t h a l i n e a r g r a p h g a v e h i m d i f fi c u l t y b e c a u s e t h e n u m b e r s d i d n o t g i v e a n e x a c t m a t c h , h e s w i t c h e d s t r a t e g i e s . R e t u r n i n g t o a n e a r l i e r s t r a t e g y t o t r y t o m a t c h c a r d s b y n u m b e r s o n l y , h e f o u n d p a i r s o f n u m b e r s t h a t c o u l d b e r e l a t e d i n a w a y t h a t m a d e s e n s e t o h i m e v e n t h o u g h t h e y d i d n o t r e p r e s e n t c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t i e s o n t h e c a r d s . H e u s e d t h e w o r d i n c r e a s e a n d a n u m e r i c a l l y 2 0 0 c o r r e c t p r o p o r t i o n ( 5 / 1 0 = 5 0 0 / 1 0 0 0 ) t o j u s t i f y a n i n v a l i d m a t c h b e t w e e n t h e c a r d s . I n d o i n g s o , S a m u s e d o n l y a p o r t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n , 5 0 0 a n d 1 0 0 0 o n t h e y - a x i s , a n d i g n o r e d t h e r e s t o f i t . H e h a d i n v e n t e d a r e l a t i o n s h i p b u i l t o u t o f b i t s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h a t m a d e s e n s e t o h i m , a d e s c r i p t i o n o f c h a n g e a n d a p r o p o r t i o n b e t w e e n p a i r s o f n u m b e r s , r a t h e r t h a n a t t e n d t o t h e m a t h e m a t i c s t h a t w a s a c t u a l l y r e p r e s e n t e d o n c a r d E , n a m e l y , a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a s i n g l e p a i r o f n u m b e r s , 0 a n d 1 5 0 0 . S a m h a d u s e d t h i s p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y b e f o r e . ( S e e p a r t i c u l a r l y t h e e d u c a t i o n a l v a l u e p r o b l e m ( 2 B - 2 ) , t h a t w a s d i s c u s s e d e a r l i e r . ) F u r t h e r , S a m t r e a t e d a r e c i p r o c a l f l m c t i o n , ” A s t h e n u m b e r o f w o r k e r s d o u b l e s , t h e a m o u n t o f t i m e t o d o t h e w o r k i s c u t i n h a l f ” a s a l i n e a r f u n c t i o n b e c a u s e t h e e x i s t e n c e o f t h e w o r d , d o u b l e s . H e h a d a t t e m p t e d t o fi n d p a i r s o f c a r d s t h a t m a t c h e d h i s s e n s e o f c h a n g e o r p a t t e r n s i n t h e d a t a i n v o l v e d . U l t i m a t e l y , S a m c a l l e d t h e c a t e g o r y i n t o w h i c h h e h a d p l a c e d A , E , a n d S , ” a l l u s e d t o i n c r e a s e o r d e c r e a s e . " W h e n I q u e s t i o n e d h i m a b o u t h o w t h e r e c o u l d b e c h a n g e o n c a r d B w h e n i t h a d o n l y o n e p o i n t , S a m a d m i t t e d h e h a d n o t c o n s i d e r t h i s f a c t . H e s a i d : O o h , I d i d n ’ t l o o k a t t h a t . I w a s j u s t u s i n g t h i s l i k e , i f I w e n t 5 t i m e s t h i s w a y ( d e c r e a s i n g x ) [ G : u m - h u h ] I w o u l d ’ v e w e n t u p 1 0 t i m e s f o r e v e r y 5 a n d g o t 5 0 0 ( f o r y ) . S a m h a d n o t u s e d a n y a t t r i b u t e s o f t h e g r a p h o n c a r d E o t h e r t h a n t h e a x e s a n d t h e i r s c a l e m a r k i n g s t o m a t c h t h e s e t w o c a r d s , E a n d 8 . B y t a l k i n g o f p o s s i b i l i t i e s o f c h a n g e i n s t e a d o f c h a n g e i t s e l f , h e i g n o r e d a f u n d a m e n t a l a s p e c t o f r e p r e s e n t a t i o n s , t h a t t h e y d o r e p r e s e n t s o m e t h i n g a n d a r e c o n s t r a i n e d b y i t . W i t h o u t r e a l i z i n g i t , h e h a d m a d e h i s s o r t c l a s s , p o s s i b l e o r p o t e n t i a l r e l a t i o n s h i p s , s o g e n e r a l t h a t i t w a s t r i v i a l . T h i s p a t t e r n o f a t t e n d i n g o n l y t o a s m a l l p o r t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n , w h i l e i g n o r i n g c r i t i c a l a s p e c t s , o c c u r r e d f r e q u e n t l y d u r i n g S a m ’ s i n t e r v i e w s . I t o f t e n l e d t o h i s b e i n g i n n o v a t i v e i n e n h a n c i n g t h e s t a t e d p r o b l e m t o m a k e i t fi t h i s p r o b l e m s o l v i n g g o a l s . l r B r t e e h p e o e g w s r e a i n p s t h a s a g h a r e t t h t p f r h u e n p o c r f t e i s a o e n n f t u v s n a c l t t u h i e e ) i o s v n f a f o l ( r u x e n o - p f u t t 3 h ( b e 2 ) " i f s u . l n c T e h l e e o n d f a t b i p w o o r i i n t t i h n p n d o a u t 0 b t t h . e + g P 3 r l . a a p c h e t a h a d t o r o n 2 0 1 S a m h a d s e e m e d t o a s s o c i a t e c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e w i t h l i n e a r e q u a t i o n s a s s t a t e d a b o v e . I n a d d i t i o n , h e s u c c e s s f u l l y u s e d s h a p e o f g r a p h a s a n o r g a n i z e r f o r l i n e a r f u n c t i o n s o n o n e o c c a s i o n . H e c o r r e c t l y m a t c h e d R , a t a b l e o f a l i n e a r f u n c t i o n , w i t h a l i n e a r g r a p h o n c a r d K l a t e r i n t h e i n t e r v i e w a f t e r h e h a d u s e d t h e c a l c u l a t o r t o c r e a t e a s c a t t e r g r a p h f r o m R a n d h a d s e e n t h a t t h e p o i n t s w e r e i n a l i n e . A t o t h e r t i m e s , h e r e c o g n i z e d s y m b o l i c f o r m s o f l i n e a r e x p r e s s i o n s , e q u a t i o n s , o r f u n c t i o n r u l e s . F o r e x a m p l e , i n p r o b l e m 4 B - 1 ( F i g u r e 4 . 1 8 ) S a m h a d t r o u b l e u n d e r s t a n d i n g w h a t w a s r e q u i r e d o f h i m b e c a u s e h e c o u l d s e e b + 3 o n l y a s a l i n e a r f u n c t i o n i t s e l f , r a t h e r t h a n a s a n e x p r e s s i o n f o r a n u m b e r t h a t i s t h r e e m o r e t h a n b . F i g u r e 4 . 1 8 : P r o b l e m 4 B - l Y e t , i n t h e s o r t p r o b l e m S a m d i d n o t u s e l i n e a r f u n c t i o n s a s a c l a s s t o c l a s s i f y c a r d s . C a r d s Q a n d P , t h e r e m a i n i n g c a r d s t h a t i n v o l v e d l i n e a r f u n c t i o n s , g o t c l a s s i fi e d a s " g r a p h s c o u l d b e a n y w h e r e ” a n d t h e ” s t r a n g e p i l e , " r e s p e c t i v e l y . R e c a l l S a m h a d m a d e a c a l c u l a t o r g r a p h f o r Q t h a t l o o k e d l i k e a l a d d e r a n d h a d p l a c e d t h e c a r d w i t h 2 0 2 B a n d W . H e p l a c e d P , a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a l i n e a r r e l a t i o n s h i p , w i t h t h e s t r a n g e p i l e , a g r o u p t h a t h e c o n s i d e r e d a s d e f y i n g g r o u p i n g b e c a u s e t h e y w e r e " a l l d i f f e r e n t , " f r o m e a c h o t h e r a n d a l l o t h e r c a r d s . I n t h e c o u r s e o f t h e s o r t , S a m h a d a c c e s s e d t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e d a t a , t h e n a t u r e o f t h e d a t a a s i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g , a n d t h e s h a p e o f t h e g r a p h . H e s e e m e d t o h a v e a s s o c i a t e d e a c h c o n c e p t w i t h l i n e a r f u n c t i o n s , a n d i n p r e v i o u s i n t e r v i e w s , h a d a s s o c i a t e d l i n e a r f l m c t i o n r u l e s w i t h t h e g r a p h o f a s t r a i g h t l i n e . I n t h e s o r t p r o b l e m , h o w e v e r , h e w a s , i n g e n e r a l , n o t a b l e t o u s e t h i s i n f o r m a t i o n i n a n y p a r t i c u l a r l y c o n s t r u c t i v e w a y . H i s t h i n k i n g w a s f r a g m e n t e d , a n d h e w a s e a s i l y d i s t r a c t e d b y o t h e r a t t r i b u t e s o f t h e c a r d s , s u c h a s t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t o r t h e n u m b e r s t h e m s e l v e s , p r o p o r t i o n s b e t w e e n s c a l e l a b e l s o n a x e s , o r t h e e x i s t e n c e o f b e h a v i o r h e d i d n o t u n d e r s t a n d , s u c h a s o u t p u t o n a c a l c u l a t o r s c r e e n . Q u a d r a t i c F u n c t i o n s S a m h a d s o m e u n d e r s t a n d i n g o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s , b u t i t , t o o , w a s f r a g m e n t e d . L i k e T o n i , h e d i d n o t m e n t i o n q u a d r a t i c , b u t t a l k e d m a i n l y o f g r a p h s a n d t h e i r s y m b o l i c f o r m s a s p a r a b o l a s . A s j u s t d i s c u s s e d , h e c o u l d fi n d t h e y - i n t e r c e p t f o r t h e g r a p h g i v e n t h e e q u a t i o n e i t h e r i n g e n e r a l o r f a c t o r e d f o r m . H e k n e w t h e p a t t e r n o f d a t a f o r a q u a d r a t i c f u n c t i o n r e v e r s e d d i r e c t i o n s . R e c a l l t h a t d u r i n g t h e s o r t , h e e n t e r e d t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n , P r o fi t = - 3 0 0 p 2 + 3 6 0 0 p - 1 5 0 0 o n c a r d B i n t o t h e c a l c u l a t o r a n d b e c a m e c o n f u s e d b y t h e b e h a v i o r o f t h e n e g a t i v e n u m b e r s w i t h l a r g e m a g n i t u d e s , a s h e e x p e c t e d t h e m t o c h a n g e d i r e c t i o n s , a n d t h e y d i d n o t . W h e n h e p i c k e d u p c a r d R ( d i s c u s s e d a b o v e u n d e r l i n e a r f u n c t i o n s ) , h e fi r s t s a i d h e w a s l o o k i n g f o r a p a r a b o l a , b u t r e j e c t e d i t b e c a u s e t h e n u m b e r s c o n t i n u e d t o d e c r e a s e a n d d i d n o t g o b a c k u p . S a m s a w q u a d r a t i c f u n c t i o n s a s h a v i n g U - s h a p e d g r a p h s a n d c l a s s i fi e d T , a n i n c r e a s i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , a s a p a r a b o l a , s a y i n g i t c o u l d c o n t i n u e g o i n g u p o n t h e l e f t . M o s t o f t h e s t u d e n t s v o l u n t e e r e d t h i s s a m e r e a s o n i n g . T h e d i f f e r e n c e s A l w c D c f h o o l t c e d n h n i i s f e h t t f d e h o i d i d n e i v i s d v a v . i e ' c v r s s y e j p a s r e u o n m s d - v i y p x e t s t m 2 y o i e f o t + r e f n e 2 a a i n x c c s a h l x b a + i m o h 2 fl e v e w t e a i e t h g x h i h d s e a e t m w c h o y a r i f s f i t n r e b m m r e n m e s 2 9 m e t h d c t t n t t e h d n c e a e r a ? p s e t h e o v e t g e h e o r o f t f a h h t i i h n e s e w d e a i t v . e l r fl l e . 2 0 3 b e t w e e n ” h a l v e s " o f e x p o n e n t i a l g r a p h s a n d ” h a l v e s ” o f q u a d r a t i c s a p p e a r v e r y s l i g h t , a n d s t u d e n t s w o u l d n o t b e e x p e c t e d t o b e a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e m e a s i l y 9 u n l e s s t h e y w e r e a b l e t o s e e t h e s i d e o f t h e g r a p h t h a t w a s a s y m p t o t i c t o t h e x - a x i s , w h i c h d i d n o t a p p e a r o n c a r d T . S a m m a t c h e d t a b l e Z , a q u a d r a t i c , w i t h T , b e c a u s e h e h a d e n t e r e d Z ’ s d a t a i n t o t h e c a l c u l a t o r , m a d e a s c a t t e r g r a p h , a n d s a w a s h a p e l i k e a p a r a b o l a . O t h e r t i m e s S a m c o n s i d e r e d p u t t i n g U - s h a p e d g r a p h s t o g e t h e r , h e c o n s i d e r e d G a n d M , b u t r e j e c t e d t h e m w i t h o u t s a y i n g w h y . T h a t g r a p h G w a s a b u m p y , n o t a s m o o t h , l i n e g r a p h m a y h a v e i n fl u e n c e d h i s r e j e c t i o n . F i g u r e 4 . 1 9 : C a r d s M a n d D o f S o r t P r o b l e m 9 T h e y h a d n o t b e e n e x p o s e d t o c o m p u t i n g s e c o n d d i f f e r e n c e s t o d e t e r m i n e q u a d r a t i c f u n c t i o n s . 2 0 4 S a m s h o w e d e v i d e n c e o f a t l e a s t b e i n g f a m i l i a r w i t h a n a l g o r i t h m f o r fi n d i n g t h e v e r t e x o f a p a r a b o l a , w h e n h e a t t e m p t e d t o m a t c h c a r d D , a p a r a b o l i c g r a p h , w i t h c a r d M . A s h e r e a d M , b e s a i d : I w a s j u s t t h i n k i n ’ a b o u t p u t t i n ’ t h i s o n e w i t h t h i s o n e . ( M w i t h D ) [ p i c k s u p D a g a i n ] , b u t t h e r e a s o n I ’ m n o t i s b e c a u s e t h a t r i g h t t h e r e , y o u ’ r e s u p p o s e d t o d i v i d e t h a t b y 2 [ p o i n t i n g t o 2 X o n M ] . I t w o n ’ t g i v e h i m a o n e , s o t h e v e r t e x ( o f D ) s h o u l d h a v e b e e n o n 1 a n d i t ’ s n o t . I f i t w o u l d n ’ t p u t t h a t , I w o u l d h a v e p i c k e d t h a t o n e . [ p o i n t s t o v e r t e x o n g r a p h o n D , o f w h i c h x c o o r d i n a t e i s a t 2 . 5 ] S a m w a s s t i l l a t t e m p t i n g t o s o r t c a r d s i n t o p a i r s a n d r e j e c t e d t h i s m a t c h b e c a u s e t h e v e r t i c e s w e r e n o t i d e n t i c a l . H i s r e f e r e n c e t o d i v i d i n g b y 2 i s t h e fi r s t s t e p o f a n a l g o r i t h m t o c o m p l e t e t h e s q u a r e a n d p u t t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n i n t o t h e s t a n d a r d f o r m , y = a ( x - h ) 2 + k , f r o m w h i c h t h e x c o o r d i n a t e o f t h e v e r t e x a p p e a r s a s h . I n t h i s c a s e , h w o u l d b e 1 . H e g r o u p e d t o g e t h e r c a r d s H , a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n ( t a b l e ) , a n d J , a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n ( g r a p h ) , b y t h e p a t t e r n o f d a t a a n d s i t u a t i o n a l c o n t e x t , s a y i n g t h e y b o t h d e c r e a s e d w i t h t i m e . C a r d H h a d a v a r i a b l e , y e a r s i n s t o r a g e , a n d J h a d a n a x i s l a b e l " t i m e ( s e c . ) . " F i n a l l y , i n s p i t e o f r e c o g n i z i n g t h e f o r m o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n o r f l m c t i o n r u l e , a n d s e v e r a l a t t r i b u t e s o f i t , s u c h a s o r i e n t a t i o n a n d y - i n t e r c e p t , S a m w a s u n a b l e t o t r a n s l a t e a n e q u a t i o n t o a g r a p h b y h a n d . A t t h e e n d o f o u r d i s c u s s i o n a b o v e o n g r a p h i n g e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s t h a t t u r n e d i n t o a d i s c u s s i o n o f l i n e a r e q u a t i o n s , I a s k e d S a m t o g r a p h y = x 2 . H e s a i d h e c o u l d o n l y g r a p h i t w i t h t h e c a l c u l a t o r . S o S a m ’ s d i f fi c u l t i e s w i t h g r a p h i n g e q u a t i o n s t h a t r e q u i r e d g e n e r a t i n g p o i n t s c u t a c r o s s f u n c t i o n c l a s s e s . I n c o n c l u s i o n , S a m h a d s o m e k n o w l e d g e o f i n d i v i d u a l c o n c e p t s a s s o c i a t e d w i t h q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s , b u t t h e y d i d n o t s e e m v e r y c o h e r e n t . E x p o n e n t i a l f u n c t i o n s S a m u s e d a t t r i b u t e s o f t h e d i f f e r e n t f u n c t i o n c l a s s e s t o t r y t o m a t c h p a i r s o f c a r d s , b u t o n l y f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f l m c t i o n s . H e d i d n o t m e n t i o n e x p o n e n t i a l 2 0 5 f u n c t i o n s a t a l l d u r i n g t h e s o r t . H e d i d n o t d i s t i n g u i s h e x p o n e n t i a l g r a p h s f r o m t h o s e o f q u a d r a t i c s , e v e n t h o u g h a t l e a s t a s m u c h c l a s s t i m e w a s d e v o t e d t o e x p o n e n t i a l f l m c t i o n s a s t o t h e o t h e r t w o t y p e s . D u r i n g t h e s o r t h e a n n o u n c e d t h a t i n c l a s s t h e y h a d d o n e a p r o b l e m l i k e c a r d H , w h i c h c o n t a i n e d t a b u l a r d a t a a b o u t r a d i o a c t i v e d e c a y ( a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n ) . T h e d a t a f o r t h e i n t e r v i e w p r o b l e m w a s a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e o n e g i v e n i n c l a s s , a n d t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t w a s i d e n t i c a l . O n h i s h o m e w o r k t h a t d a y , S a m h a d c o r r e c t l y p l o t t e d p o i n t s f o r t h e t a b l e t h a t w a s g i v e n a n d h a d m a d e a t e n t a t i v e g u e s s o f 1 0 0 - . 8 6 . ( I t i s l i k e l y h e m e a n t 1 0 0 - . 8 6 " . ) W h e n a s k e d t o u s e t h i s r u l e t o p r o d u c e a n e w t a b l e o f v a l u e s t o b e c o m p a r e d t o t h e r a w d a t a i n t h e o r i g i n a l t a b l e , S a m p r o d u c e d a c o r r e c t t a b l e f o r t h e r u l e y = 1 0 0 - ( . 8 7 5 ) " . H e d i d n o t , h o w e v e r , r e c o r d t h i s r u l e . I n t h e m a r g i n o f h i s p a p e r w a s a 9 7 a n d e i g h t y s o m e t h i n g , t o o f a i n t t o s e e . T h e s e n u m b e r s a r e s i m i l a r t o t h o s e t h a t S a m w o u l d h a v e f o u n d ( 9 7 . 5 a n d . 8 7 1 ) h a d h e u s e d t h e a u t o m a t i c c u r v e fi t t i n g f e a t u r e o n t h e c a l c u l a t o r f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s t h a t M r . B a i l e y h a d s h o w n t h e m i n c l a s s t h a t d a y t o c o m p a r e w i t h t h e r e s u l t s o f t h e i r t r i a l a n d e r r o r m e t h o d . S a m h a d a t l e a s t e x p l o r e d u s i n g t h e c a l c u l a t o r t o fi t e x p o n e n t i a l c u r v e s a u t o m a t i c a l l y . R e c a l l t h a t S a m m a t c h e d c a r d H w i t h a g r a p h o f a n o t h e r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n b y s h a p e a n d s i t u a t i o n a l c o n t e x t . B o t h c a r d s h a d a c o m b i n a t i o n o f d e c r e a s i n g c h a n g e a n d t i m e a s a c o n t e x t f o r a v a r i a b l e . S a m h a d r e c o g n i z e d t h a t h e h a d s e e n a s i m i l a r p r o b l e m , b u t h e d i d n o t a s s o c i a t e i t w i t h a n e x p o n e n t i a l f t m c t i o n . W h e n S a m u s e d t h e c a l c u l a t o r f o r g r a p h i n g e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s i n c l a s s , h e h a d a n u n u s u a l a m o u n t o f d i f fi c u l t y . R e c a l l t h a t w h e n h e a t t e m p t e d t o g r a p h t h e f u n c t i o n u s i n g t h e f l m c t i o n g r a p h e r , h e fi r s t e n t e r e d t h e e n t i r e e x p r e s s i o n , i n c l u d i n g t h e Y = a n d t h e n e n t e r e d t h e e q u a t i o n w i t h a c o n s t a n t , r a t h e r t h a n x , o n t h e f u n c t i o n l i s t . A b o v e , w h e n S a m t u r n e d e q u a t i o n s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n t o g r a p h s o f l i n e a r f u n c t i o n s , h e c l e a r l y h a d s o m e d i f fi c u l t y i n t e r p r e t i n g t h e v a r i a b l e , a s d i d a l l o f t h e o t h e r f o c a l s t u d e n t s . A t t h e t i m e , I t r i e d t o fi n d o u t i f h e k n e w h o w t o g r a p h a n y 2 0 6 e q u a t i o n s f o r w h i c h h e w a s r e q u i r e d t o c h o o s e a n a r b i t r a r y x a n d fi n d t h e c o r r e s p o n d i n g y . R e c a l l t h a t h e t h o u g h t t h e c o r r e c t g r a p h d e p e n d e d o n w h a t t h e t e a c h e r w a n t e d . S a m d i d n o t h a v e e n o u g h t i m e d u r i n g i n t e r v i e w 4 t o c o m p l e t e t w o o f t h e i n t e r v i e w p r o b l e m s t h a t d e a l t w i t h e x p o n e n t i a l p r o b l e m s , s o i t i s p o s s i b l e t h a t h e w a s n o t g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o a d e q u a t e l y d i s p l a y w h a t h e k n e w . H o w e v e r , o n t h e o t h e r t w o p r o b l e m s , h e d i d n o t f o c u s o n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n t h e fi r s t , 4 B - l d i s c u s s e d b r i e fl y a b o v e u n d e r l i n e a r f u n c t i o n s , h e w a s s o fi x e d o n b + 3 a s r e p r e s e n t i n g a l i n e a r f u n c t i o n t h a t h e d i d n o t m a k e m u c h p r o g r e s s i n t e r p r e t i n g t h e g r a p h o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n g i v e n . I n p r o b l e m 4 B - 2 , f r o m a g r a p h o f g ( x ) = a - 2 " , h e w a s a s k e d t o i d e n t i f y a . A f t e r q u e s t i o n i n g m e a b o u t w h e t h e r h e w a s t o fi n d a n u m b e r f o r a , h e r e p h r a s e d h i s t a s k t o b e fi n d i n g t h e n u m b e r f o r " t h a t p o i n t , ” ( t h e y - i n t e r c e p t ) . T h u s , h e u n d e r s t o o d t h a t a w a s t h e y - i n t e r c e p t , a t o p i c d i s c u s s e d i n c l a s s t h a t d a y . S a m t h e n e n t e r e d y = x - 1 . 5 " o n t h e c a l c u l a t o r a n d s p e n t m o s t o f t h e t i m e a d j u s t i n g v i e w i n g w i n d o w s i n a n a t t e m p t t o g e t t h e s h a p e o f t h e g r a p h s t o a g r e e . A f t e r s o m e p e r i o d o f t i m e , I fi n a l l y t o l d h i m t h a t t h e r e w a s a p r o b l e m w i t h h o w h e e n t e r e d t h e f u n c t i o n d e fi n i t i o n b e c a u s e a w a s a s p e c i fi c n u m b e r , n o t a v a r i a b l e . S o S a m d e t e r m i n e d i t w a s 2 0 0 b y r e a d i n g i t o f f t h e g r a p h , t h e n c h e c k e d h i s t h i n k i n g b y g r a p h i n g y = 2 0 0 - l . 5 " a n d c o m p a r e d t h e g r a p h s . O v e r a l l , i t a p p e a r s S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n a n y r e p r e s e n t a t i o n w a s l i m i t e d . I n c o n c l u s i o n , S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f f l m c t i o n c l a s s d e p e n d e d o n t h e f u n c t i o n c l a s s , t h e r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e t a s k . I n g e n e r a l , S a m h a d m o r e k n o w l e d g e o f l i n e a r a n d q u a d r a t i c f l m c t i o n s t h a n h e d i d f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , b u t h i s k n o w l e d g e o f e a c h f u n c t i o n c l a s s w a s f r a g m e n t e d . S u m m a r y S a m ’ s p r o b l e m s o l v i n g i n v o l v e d m o r e t h a n m a t h e m a t i c s . H e u s e d a s p e c t s o f t h e d i s c o u r s e i n a s t r a t e g i c w a y d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g . H e s o u g h t c l u e s t h r o u g h 2 0 7 e x t e n s i v e q u e s t i o n i n g o r b y a t t u n i n g t o m y q u e s t i o n s a n d r e s p o n s e s t o r e fi n e t h e p r o b l e m s t a t e m e n t , s i g n a l a n e x p e c t e d r e s p o n s e , o r d e t e r m i n e a d i r e c t i o n i n w h i c h t o p r o c e e d . H e d e fl e c t e d o r i g n o r e d q u e s t i o n s u n t i l t h e q u e s t i o n a s k e d w a s s u f fi c i e n t l y f o c u s e d s o t h a t h e c o u l d a n s w e r i t . S a m c h a i n e d t o g e t h e r h i s r e s p o n s e s , g o i n g f r o m o n e t o t h e n e x t , o f t e n d i s r e g a r d i n g p r e v i o u s , r e l e v a n t r e s p o n s e s . S o m e t i m e s b e i n t e r p r e t e d q u e s t i o n s t h a t I s a w a s m a t h e m a t i c a l i n a v a l i d , b u t n o n - m a t h e m a t i c a l , w a y . T h u s , t h e r e w e r e c o m m u n i c a t i o n m i s m a t c h e s b e t w e e n u s . S a m a p p r o a c h e d f u n c t i o n s f r o m b o t h c o r r e s p o n d e n c e a n d c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s , fi n d i n g d y n a m i c v e r s i o n s s a l i e n t . L i k e T o n i , h i s w o r k w i t h f u n c t i o n s w a s i m p l i e d t h r o u g h h i s w o r k w i t h r e p r e s e n t a t i o n s . H e d i d n o t t a l k a b o u t f u n c t i o n s d i r e c t l y , d i d n o t u s e f u n c t i o n c l a s s a s a n o r g a n i z i n g c o n c e p t , a n d s e e m e d n o t t o b e a w a r e ( w i t h m i n o r e x c e p t i o n s ) t h a t c o n c e p t s h e t a l k e d a b o u t w e r e f u n c t i o n c o n c e p t s . S a m ’ s w o r k w i t h r e p r e s e n t a t i o n s w a s u n e v e n . H e c o u l d p l o t p o i n t s f r o m a t a b l e a n d u n d e r s t o o d t h e c o n c e p t , o r d e r e d p a i r s i n n a k e d c o n t e x t . W h e n p l o t t i n g o r i n t e r p r e t i n g p o i n t s o n a g r a p h o f a s i t u a t e d p r o b l e m , h o w e v e r , h e w a s i n fl u e n c e d t o i g n o r e m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s b y t h e s i t u a t i o n , t h e p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e t a s k d e s c r i p t i o n . E x c e p t f o r l i n e a r e q u a t i o n s i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m , S a m c o u l d n o t p l o t a g r a p h b y h a n d w h e n g i v e n a n e q u a t i o n . S a m w a s f a c i l e a t fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s w h e n t h e g r a p h c o u l d b e v i e w e d t e m p o r a l l y a n d e i t h e r t h e c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e m a t c h e d t h e r i s e a n d f a l l o f t h e g r a p h d i r e c t l y o r a d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g e m a t c h e d a d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g i n g s l o p e o f t h e g r a p h . O n s e v e r a l o c c a s i o n s , p a r t i c u l a r l y w i t h t a b l e s a n d g r a p h s , S a m r e a s o n e d o n l y w i t h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n c l a s s e s w a s f r a g m e n t e d . H e u n d e r s t o o d t o s o m e e x t e n t a l g o r i t h m s f o r t r a n s l a t i n g a l i n e a r f u n c t i o n i n t o a g r a p h , a t a b l e f o r a l i n e a r f u n c t i o n i n t o i t s s y m b o l i c f o r m , a n d t o a l e s s e r e x t e n t , h o w t o fi n d t h e x - c o o r d i n a t e o f t h e v e r t e x o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n i n g e n e r a l f o r m . H e r e c o g n i z e d t h e 2 0 8 g e n e r a l f o r m o f a q u a d r a t i c a n d t h e s l o p e - i n t e r c e p t f o r m o f a l i n e a r f u n c t i o n . H e r e c o g n i z e d o r i e n t a t i o n o f b o t h t h e i r g r a p h s . S a m h a d a r o b u s t u n d e r s t a n d i n g o f r e c o g n i z i n g o r p r o d u c i n g t h e y - i n t e r c e p t f o r b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , b u t w a s n o t a b l e t o u s e t h e y - i n t e r c e p t s u c c e s s f u l l y i n t r a n s l a t i n g f r o m g r a p h s t o s y m b o l i c f o r m f o r l i n e a r f u n c t i o n s . S l o p e w a s a l s o a s a l i e n t a t t r i b u t e o f a g r a p h f o r S a m . H i s s u c c e s s i n u s i n g t h e s e c o n c e p t s , h o w e v e r , d e p e n d e d o n t h e t a s k a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n . H e a s s o c i a t e d e q u a l c h a n g e w i t h l i n e a r g r a p h s , a n d r e l i e d o n p a t t e r n s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d s h a p e o f g r a p h a s o r g a n i z e r f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n c l a s s e s . S a m h a d n o s u c h o r g a n i z e r s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I f a p r o b l e m w a s s i t u a t e d , S a m r e l i e d h e a v i l y o n t h e s i t u a t i o n . H e r e p e a t e d l y i n t e r p r e t e d a n d a n s w e r e d m y q u e s t i o n s i n t e r m s o f t h e s i t u a t i o n o n l y , w h i c h s o m e t i m e s l e d t o c o n t r a d i c t o r y r e s u l t s . S a m r e a s o n e d d i r e c t l y i n t h e s i t u a t i o n , a n d w h e n i t w a s u s e f u l , e n h a n c e d t h e s i t u a t i o n t o a c c o m m o d a t e o r j u s t i f y a n e x t s t e p i n h i s p r o b l e m s o l v i n g , e v e n w h e n t h e e n h a n c e m e n t m a d e n o s e n s e m a t h e m a t i c a l l y . H i s i n f o r m a l m o d e l f o r p r o fi t i n t e r f e r e d w i t h h i s u n d e r s t a n d i n g a m o d e l o f p r o fi t a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e . H e u n d e r s t o o d a m o d e l , w h i c h w a s g i v e n a s a f u n c t i o n r u l e , t o b e a f o r m u l a f o r c o m p u t i n g , r a t h e r t h a n a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v a r i a b l e s . O v e r a l l , S a m ’ s k n o w l e d g e w a s f r a g m e n t e d , d e p e n d i n g o n t h e f u n c t i o n c l a s s , t h e r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e t a s k w i t h i n o r b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s . H i s h e a v y r e l i a n c e o n t h e s i t u a t i o n a n d h i s r e a s o n i n g w i t h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o n l y i n t e r f e r e d w i t h h i s a c c e s s i n g k n o w l e d g e o r m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s t h a t h e w a s a b l e t o a c c e s s o n o t h e r o c c a s i o n s . F u r t h e r , m a n y o f h i s p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s r e l i e d h e a v i l y o n a s p e c t s o f t h e d i s c o u r s e o r w h a t w a s r e q u i r e d i n s c h o o l . " i l l i n i ‘ l n j fl l l fl l l l fl l j l g l l l fl i l l fl l fi ! . . t . I . r . e . 1 . x 5 . . I 1 0 2 1 I I ~ 5 1 7 . . 3 . . 5 . . . ” . . . ‘ ; 9 2 " l . . 1 z . ‘ a 3 . . . v q 4 u v 3 : . . . I 1 ; s n , . a - ! : t Y ~ A . 1 ‘ V . . . V . s A - . . . ‘ . \ V , I = 2 . n . . . . . t . k l . V . ¢ . 4 < z t . . . . . : : . . . i 3 . . c . J S E R A . . ‘ 1 3 . . . . . 2 ' 6 . 2 2 : 1 1 . . . ' 3 s 3 : ‘ m ( / - . 3 d 9 5 ) S T I G A N «Wmx\\\\\\3\\\w\\\4\\\2\\§3\\\1\\;\\\\\\\\\\w I A R E S I B U N I V E R T Y A T E L S 3 1 2 9 R 8 I 9 M i c L U I h n i i B g v R a e A n r s R S i Y t t a y t e P L A C E I I R E T U R N B O X t o m o v e t h i s c h o c k o m f r o m y o u r m o o d . : I ' O A V O I D F I N E S M u m o n o r b a t o n d d . d u o . D A T E D U E D A T E D U E D A T E D U E H m ? ? — W m m m - - - - r C H A P T E R 5 C R O S S C A S E R E F L E C T I O N S : F I N D I N G S T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y w a s t o e x p l o r e t h e c o n c e p t i o n s a b o u t f u n c t i o n s , f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , a n d t h e i r v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s t h a t s t u d e n t s h a v e w h e n g i v e n a n o p p o r t u n i t y t o s t u d y l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n a n i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g t h a t w a s d e s i g n e d t o p r o v i d e e x p e r i e n c e s r e c o m m e n d e d b y t h e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) . F u n c t i o n w a s t h e c e n t r a l o r g a n i z i n g t o p i c o f t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . T h e s t u d y s o u g h t t o d e t e r m i n e w h a t c o n c e p t i o n s s t u d e n t s d e v e l o p e d a b o u t f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s i t u a t i o n s a n d h o w s t u d e n t s w o r k e d w i t h t h e p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n s . I t s o u g h t t o d e s c r i b e c o n n e c t i o n s s t u d e n t s m a d e a c r o s s e i t h e r f u n c t i o n a l o r r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s a n d t o d i s c o v e r i f a n d t o w h a t e x t e n t p r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s c o n t r i b u t e d t o o r h i n d e r e d s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s . F i n a l l y , i t a t t e m p t e d t o d e t e r m i n e i f t h e r e w e r e o t h e r f a c t o r s t h a t c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s ’ t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s c h a p t e r s t e p s b a c k f r o m t h e c a s e s o f T o n i a n d S a m p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s t w o c h a p t e r s t o r e fl e c t o n t h e m a n d , g u i d e d b y t h e r e s e a r c h q u e s t i o n s , p r e s e n t s t h e fi n d i n g s . T h e p r i n c i p a l r e s e a r c h q u e s t i o n w a s : W h a t s e n s e d o s t u d e n t s i n t h i s i n s t r u c t i o n a l s e t t i n g m a k e o f f u n c t i o n s a n d t o w h a t e x t e n t a r e t h e i r c o n c e p t i o n s t i e d t o s p e c i f i c m a t h e m a t i c a l o r r e p r e s e n t a t i o n a l c o n t e x t s ? T h e r e a r e s e v e n m a j o r s e c t i o n s i n t h e c h a p t e r . T h e fi r s t fi v e a r e : F u n c t i o n s a s M a t h e m a t i c a l C o n t e n t , P r o p o s i n g a n A l t e r n a t i v e F r a m e w o r k f o r F u n c t i o n s , S t u d e n t s ’ C o n c e p t i o n s o f F u n c t i o n s , C o h e r e n c e a n d C o n n e c t i o n s i n F u n c t i o n s a n d F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s i n P r o b l e m s , a n d t h e S p e c i a l N a t u r e o f S i t u a t e d P r o b l e m s . T h e s e fi v e s e c t i o n s a d d r e s s t h e fi r s t t w o r e s e a r c h s u b q u e s t i o n s a n d t h e i r s u b s i d i a r y 2 0 9 2 1 0 q u e s t i o n s : A . W h a t c o n c e p t i o n s d o s t u d e n t s h a v e a b o u t f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? H o w d o t h e y t a l k o r r e a s o n a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s ? W h i c h c o n c e p t s a r e m o s t s a l i e n f ? O n w h a t d o t h e y f o c u s t h e i r a t t e n t i o n ? W h a t r e s o u r c e s d o s t u d e n t s b r i n g t o t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s ? W h a t k i n d s o f c o n n e c t i o n s d o t h e y m a k e b e t w e e n p r o p e r t i e s a n d c o n c e p t s o f f u n c t i o n s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n a l o r m a t h e m a t i c a l c o n t e x t s ? B . I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t d o e s t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t c o n t r i b u t e t o o r h i n d e r s t u d e n t s ’ a b i l i t i e s t o u n d e r s t a n d o r s o l v e p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s ? T h e t h i r d s u b q u e s t i o n i s : C . I n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t i s a t e a c h e r / r e s e a r c h e r p e r s p e c t i v e d i f f e r e n t f r o m o r c o n s i s t e n t w i t h s t u d e n t s ’ p e r s p e c t i v e s a b o u t c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s , f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ? W h a t r o l e d o a s s u m p t i o n s p l a y ? H o w d o p e r s p e c t i v e s a f f e c t c o m m u n i c a t i o n ? H o w a r e p e r s p e c t i v e s r e l a t e d t o p r o b l e m s o l v i n g a c t i v i t y ? D i s c u s s i o n o f i s s u e s r e l a t e d t o t h i s l a s t s u b q u e s t i o n c u t s a c r o s s a l l s e c t i o n s o f t h e c h a p t e r . T h e s i x t h c h a p t e r s e c t i o n i s O t h e r F a c t o r s A f f e c t i n g S t u d e n t U n d e r s t a n d i n g o f F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s . S o m e q u e s t i o n s i n t h i s s e c t i o n , s u c h a s w h a t r e s o u r c e s s t u d e n t s b r i n g t o p r o b l e m s o l v i n g , a r e d i s c u s s e d i n p r e v i o u s s e c t i o n s , b u t o n l y f r o m a m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e . T h e s e r e s p o n s e s a r e e x p a n d e d t o i n c l u d e f a c t o r s o t h e r t h a n m a t h e m a t i c s , s u c h a s i s s u e s r e l a t e d t o s c h o o l i n g a n d c o m m u n i c a t i o n . F i n a l l y , t h e l a s t s e c t i o n i n t h i s c h a p t e r s u m m a r i z e s t h e fi n d i n g s . F u n c t i o n s a s M a t h e m a t i c a l C o n t e n t I n m u c h o f S a m ’ s a n d T o n i ’ s t h i n k i n g d u r i n g i n t e r v i e w p r o b l e m s , t h e y s e e m e d n o t t o b e a w a r e o f f t m c t i o n s . U s u a l l y , t h e y f o c u s e d t h e i r a t t e n t i o n o n a t t r i b u t e s o r p r o p e r t i e s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f o r o n t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . S o m e t i m e s f u n c t i o n s w e r e m o r e r e c o g n i z a b l e i n t h e i r a c t i v i t i e s , b u t i n g e n e r a l , t h e s t u d e n t s d i d n o t t a l k a b o u t f u n c t i o n s d i r e c t l y . T h e y a l s o s e e m e d n o t t o t h i n k a b o u t f u n c t i o n s o f t e n , a l t h o u g h t h e r e w e r e o c c a s i o n s w h e n t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s c o u l d b e i n f e r r e d 2 1 1 f r o m t h e i r t a l k a n d a c t i v i t i e s . S i n c e b o t h t h e c l a s s r o o m c u r r i c u l u m a n d i n t e r v i e w q u e s t i o n s h a d f u n c t i o n s a s a m a j o r p a r t o f t h e i r c o n t e n t , i t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d w h y s t u d e n t s p a i d s o l i t t l e e x p l i c i t a t t e n t i o n t o f u n c t i o n s . A l t h o u g h s o m e i n t e r v i e w p r o b l e m s d i d n o t f o c u s e x p l i c i t l y o n f u n c t i o n s , w h e t h e r t h e p r o b l e m w a s a b o u t f u n c t i o n s w a s a m a t t e r o f p e r s p e c t i v e . T h e r e w a s a l a r g e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i n t e r v i e w e r ’ s p e r s p e c t i v e o f t h e c o n t e n t o f t h e s e p r o b l e m s a n d t h e s t u d e n t s ’ . T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r t h e u s e o f " a t e a c h e r p e r s p e c t i v e " i s i n t e n d e d t o c o n v e y b o t h t h e r e s e a r c h e r ’ s p e r s o n a l p e r s p e c t i v e a s a p r a c t i c i n g t e a c h e r a n d a b e l i e f t h a t i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h e p e r s p e c t i v e i s w i d e l y s h a r e d a m o n g m a t h e m a t i c s t e a c h e r s . I t i s n o t , u n l e s s s p e c i fi e d , a s t a t e m e n t a b o u t M r . B a i l e y ’ s ( t h e c l a s s r o o m t e a c h e r ) v i e w s . T e a c h e r P e r c e p t i o n o f C o n t e n t F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e , f u n c t i o n w a s a c e n t r a l o r g a n i z i n g c o n c e p t o f t h e c u r r i c u l u m . M a t h e m a t i c a l f u n c t i o n w a s a f u n d a m e n t a l a s p e c t o f t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a n d e a c h o f t h e h o m e w o r k p r o b l e m s o r i n t e r v i e w q u e s t i o n s . B o t h a c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s a n d p a t t e r n s o f c h a n g e i n d a t a w e r e i m p o r t a n t o r g a n i z i n g c o n c e p t s i n C o m p u t e r - I n t e n s i v e A l g e b r a ( C I A ) . L a n g u a g e o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s ( L P G ) a n d U C S M P c u r r i c u l u m m a t e r i a l s a l s o d e c l a r e d t h e m s e l v e s t o b e a b o u t f u n c t i o n s . E v e n t h o u g h t h e C I A m a t e r i a l s t o o k a n i n t u i t i v e a p p r o a c h t o w o r k i n g w i t h f u n c t i o n s , t h e m a t e r i a l s i n t r o d u c e d a n d e x p l i c i t l y u s e d fi m c t i o n t e r m i n o l o g y , s u c h a s i n p u t , o u t p u t , d e p e n d e n c y , a n d n a m e s o f f u n c t i o n c l a s s e s . S e v e r a l s e c t i o n s h a d s p e c i fi c f u n c t i o n c l a s s e s a s p a r t o f t h e i r t i t l e s . F o r e x a m p l e , t w o o f t h e s e c t i o n s w e r e t i t l e d , " A p p l y i n g E x p o n e n t i a l F u n c t i o n s " a n d " R e c o g n i z i n g Q u a d r a t i c F u n c t i o n s . " E x e r c i s e s w e r e p r o v i d e d s p e c i fi c a l l y t o c a l l s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n t o f u n c t i o n t e r m i n o l o g y a n d t o c o n n e c t i n g n o t a t i o n u s e d f o r t h e s a m e c o n c e p t s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . P r o p e r t i e s a n d a t t r i b u t e s o f l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l fi m c t i o n s w e r e e x p l i c i t l y 2 1 2 r e f e r r e d t o i n e x e r c i s e s t h a t i n t r o d u c e d t h o s e f u n c t i o n c l a s s e s . W i t h i n e x e r c i s e s s t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o m p a r e a n d c o n t r a s t f u n c t i o n c l a s s e s b y c o m p a r i n g t h e i r b e h a v i o r i n t a b u l a r a n d g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . M r . B a i l e y , t h e c l a s s r o o m t e a c h e r , u s e d e x p l i c i t f u n c t i o n t e r m i n o l o g y , b o t h i n a n n o u n c i n g g o a l s f o r i n s t r u c t i o n a n d i n r e f e r r i n g t o e x e r c i s e s p r e s e n t e d o r d i s c u s s e d i n c l a s s . T h u s , a t e a c h e r w o u l d s e e h o m e w o r k p r o b l e m s a n d c l a s s d i s c u s s i o n s a n d m a t e r i a l s a s o r g a n i z e d a r o u n d f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n c o n c e p t s . W h e n v i e w e d f r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e , t h e i n t e r v i e w t a s k s , t o o , w e r e a b o u t f u n c t i o n s a n d t h e i r a t t r i b u t e s o r p r o p e r t i e s . A n e x c e p t i o n w a s t h e fi r s t i n t e r v i e w t a s k , l - l , G o i n g t o S c h o o l , w h e r e s t u d e n t s h a d t o m a t c h p l a c e s o n a m a p w i t h p o i n t s o n a p o i n t g r a p h . E v e n i n p r o b l e m 1 - 1 w h e n s t u d e n t s h a d t o c o m p a r e i n f o r m a t i o n e m b e d d e d i n t w o p o i n t s o n t h e g r a p h , t h e y c o u l d h a v e t h o u g h t o f t h e p o i n t s a s b e i n g o n t h e g r a p h o f a l i n e a r f u n c t i o n . S o m e t i m e s t h e i n t e r v i e w t a s k t h a t w a s s e t r e f e r r e d d i r e c t l y t o i n p u t , o u t p u t , f u n c t i o n s , f u n c t i o n r u l e s , o r a f u n c t i o n c l a s s . O t h e r t i m e s , s u c h a s i n t h e T i m a n d D o n n a p r o b l e m , t h e r e w a s n o d i r e c t r e f e r e n c e t o f u n c t i o n s . A l t h o u g h a n i n t e r v i e w p r o b l e m t a s k ( S e e e s p e c i a l l y i n t e r v i e w s 3 , t h e p r o fi t p r o b l e m , o r 5 , t h e s o r t . ) m i g h t b e m o r e c o m p l e x o r s l i g h t l y d i f f e r e n t f r o m t h o s e g i v e n i n c l a s s , i n g e n e r a l t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s w e r e t h e s a m e , a n d t h e m a t h e m a t i c a l t e r m s u s e d w e r e t h e s a m e . F o r e x a m p l e , t a b l e h e a d e r s w e r e l a b e l e d i n p u t / o u t p u t , a s t h e y o f t e n w e r e i n c l a s s . T h e f ( x ) n o t a t i o n f o r f u n c t i o n r u l e s a p p e a r e d r e g u l a r l y i n t e x t m a t e r i a l s a n d w a s u s e d b y t h e t e a c h e r . I n s u m m a r y , f r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e , c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , c l a s s d i s c u s s i o n , a n d i n t e r v i e w q u e s t i o n s w e r e a b o u t f u n c t i o n s a n d e x p l i c i t l y r e f e r r e d t o f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a t t r i b u t e s , p r o p e r t i e s , o r c o n c e p t s . A t e a c h e r w o u l d e x p e c t t h a t i f s t u d e n t s w e r e e n g a g e d i n t h e s t u d y o f f u n c t i o n s , s t u d e n t s w o u l d u s e f u n c t i o n c o n c e p t s t o o r g a n i z e t h e i r t h i n k i n g . F o r e x a m p l e , w h e n s t u d e n t s i n t h i s s t u d y c o n n e c t e d p a t t e r n s o f e q u a l c h a n g e i n a t a b l e w i t h a g r a p h o f a l i n e , a t e a c h e r w o u l d h o p e t o s e e e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s w e r e t h i n k i n g b e y o n d a n A 2 1 3 a l g o r i t h m f o r m a t c h i n g t w o r e p r e s e n t a t i o n s t o s e e i n g e a c h a s b e i n g a m e m b e r o f a s i n g l e f r m c t i o n c l a s s . F u r t h e r , a t e a c h e r w o u l d e x p e c t t h a t n o t a l l t a l k o r u s e o f f u n c t i o n c o n c e p t s w o u l d b e i m p l i c i t . E v e n i f s u c h t a l k o r u s e w e r e m a i n l y i m p l i c i t , a t e a c h e r w o u l d e x p e c t i t t o o c c u r w i t h s o m e a m o u n t o f r e g u l a r i t y . . F o r e x a m p l e , a s t u d e n t m i g h t u s e r a t e o f c h a n g e w i t h o u t r e f e r e n c e t o i t a s T o n i d i d i n t h e T i m a n d D o n n a p r o b l e m . W h e n I a s k e d h e r h o w s h e c o u l d t e l l f r o m t h e g r a p h t h a t D o n n a w a s r u n n i n g , s h e s a i d , " B e c a u s e i t ’ s ( t h e g r a p h ) g o i n g u p f a s t e r . I t ’ s a l m o s t g o i n g s t r a i g h t u p i n a l i t t l e a m o u n t o f t i m e , a n d s h e i s c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e . " T o n i ’ s r e s p o n s e t o m y q u e s t i o n d e s c r i b e d r e l a t i v e r a t e s o f c h a n g e i n t w o v a r i a b l e s , t h u s p r o v i d i n g e v i d e n c e t h a t i n t h i s p r o b l e m s h e h a d a n i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t o f r a t e o f c h a n g e a s a c o v a r i a t i o n o f t w o s e t s o f v a r i a b l e s . W h e t h e r o r n o t T o n i w a s e x p l i c i t l y a w a r e t h a t h e r d e s c r i p t i o n w a s o f a f u n c t i o n c o n c e p t , r a t e o f c h a n g e , i n a d d i t i o n t o a m e a n s o f m a t c h i n g a s i t u a t i o n t o a n a t t r i b u t e o f a g r a p h , h o w e v e r , i s i m p o s s i b l e t o t e l l . A s w i l l b e s e e n b e l o w , t h e s e k i n d s o f r e s p o n s e s w h e r e s t u d e n t s e x h i b i t e d f u n c t i o n c o n c e p t s t h a t c o u l d b e r e c o g n i z e d b y a t e a c h e r a s s u c h , w e r e r a r e . W h e n t h e y d i d o c c u r , i t o f t e n w a s i m p o s s i b l e t o t e l l w h e t h e r t h e s t u d e n t h a d a n y e x p l i c i t a w a r e n e s s t h e y w e r e a b o u t f u n c t i o n c o n c e p t s . A t e a c h e r w o u l d c o n s i d e r t h a t i f s t u d e n t s r e f e r r e d t o f u n c t i o n s o r fi m c t i o n c o n c e p t s o n l y i m p l i c i t l y , t h a t i s , w i t h o u t a n y e v i d e n c e o f e x p l i c i t a w a r e n e s s , t h a t t h e i r u n d e r s t a n d i n g s o f f u n c t i o n s w o u l d b e l e s s r o b u s t t h a n i f t h e y h a d n a m e d o r h a d u s e d f u n c t i o n c o n c e p t s e x p l i c i t l y . I f , o n t h e o t h e r h a n d , a s t u d e n t d i d n o t t a l k d i r e c t l y a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s , d i d n o t s e e m t o u s e f u n c t i o n c o n c e p t s i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g , a n d s e e m e d n o t t o a t t e n d t o t h e a t t r i b u t e s o r p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n s ( r a t h e r t h a n r e p r e s e n t a t i o n s o n l y ) , a t e a c h e r w o u l d l i k e l y a s s u m e t h a t t h e s t u d e n t w a s n e i t h e r a w a r e o f n o r u n d e r s t o o d f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n c o n c e p t s . 2 1 4 S t u d e n t P e r c e p t i o n o f C o n t e n t A w a r e n e s s o f f u n c t i o n s . A l t h o u g h a t e a c h e r m i g h t p e r c e i v e f u n c t i o n s t o b e t h e p r i n c i p a l m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f t h i s c l a s s a n d t h e s e i n t e r v i e w p r o b l e m s , s t u d e n t s d i d n o t s h a r e t h i s p e r c e p t i o n . S a m a n d T o n i r a r e l y s e e m e d a w a r e o f f u n c t i o n s i n t h e i n t e r v i e w t a s k s . G e n e r a l l y t h e y d i d n o t t a l k a b o u t f u n c t i o n s , b u t r a t h e r t a l k e d a b o u t t h e d e t a i l s o r a t t r i b u t e s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n i t s e l f o r s o m e t h i n g u n r e l a t e d t o m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e , t h e y t a l k e d a b o u t i t e m s s u c h a s l a b e l s o n a n a x i s , a p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s , o r a n a t t r i b u t e o f t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t . T h e y a s k e d w h e t h e r t h e y c o u l d w r i t e o n t h e p a p e r s t a t i n g t h e p r o b l e m . T h e y d i d n o t u s u a l l y i n i t i a t e t a l k a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s . T h e y s e l d o m m e n t i o n e d f u n c t i o n s d i r e c t l y u n l e s s t h e p r o b l e m e x p l i c i t l y r e f e r r e d t o f u n c t i o n s . I n t h o s e c a s e s , t h e y r e f e r r e d t o f u n c t i o n t e r m s o n l y t o s e e k c l a r i fi c a t i o n o f t h e i r m e a n i n g o r t o d e t e r m i n e w h a t w a s e x p e c t e d i n t h e p r o b l e m . F o r e x a m p l e , T o n i a s k e d f o r c l a r i fi c a t i o n w h e n w o r d s i n v o l v i n g f u n c t i o n s w e r e u s e d i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . I n p r o b l e m 4 B - l , w h e r e a d o t w a s p l a c e d o n t h e g r a p h o f f ( x ) = . 3 ( 2 ) " f o r i n p u t b , a n d s t u d e n t s w e r e a s k e d t o p l a c e a d o t o n t h e g r a p h t h a t r e p r e s e n t e d t h e f u n c t i o n v a l u e f o r i n p u t b + 3 , T o n i c h e c k e d t o s e e i f h e r u n d e r s t a n d i n g o f i n p u t w a s c o r r e c t : " W h a t ’ s i n p a r e n t h e s e s i s t h e i n p u t , i s n ’ t i t ? " S h e w a s c h e c k i n g f o r a fi t b e t w e e n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t a n d h e r t h i n k i n g a b o u t i n p u t , w h i c h s h e s a w a s a n a m e t o i d e n t i f y s u b s t i t u t i o n s i n a p r o c e d u r e , n o t a s a f u n c t i o n c o n c e p t . S t u d e n t s s o m e t i m e s u s e d f u n c t i o n c o n c e p t s , b u t i t w a s u n c l e a r w h e t h e r t h e y h a d a n y a w a r e n e s s t h a t t h e y w e r e c o n n e c t e d t o f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , w h e n s t u d e n t s u s e d a f u n c t i o n a t t r i b u t e , s u c h a s r a t e o f c h a n g e , t h e y d i d n o t r e f e r t o i t d i r e c t l y a s a r a t e , b u t r a t h e r j u s t u s e d i t . I t w a s u n c l e a r w h e t h e r t h e y w e r e a w a r e o f t h e a t t r i b u t e a s a r a t e a n d i n a d d i t i o n t h a t i t w a s a f u n c t i o n c o n c e p t . G e n e r a l l y , w h e n S a m a n d T o n i t a l k e d a b o u t f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s , i t w a s o n l y i m p l i c i t l y . 2 1 5 F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e t h e c l a s s w a s a b o u t t h e s t u d y o f f u n c t i o n s i n g e n e r a l a n d a b o u t l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n p a r t i c u l a r , s o i n t h e s o r t p r o b l e m a t e a c h e r w o u l d e x p e c t a s t u d e n t w i t h a r o b u s t u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e f r m c t i o n c l a s s e s t o u s e t h e m , a t l e a s t a t s o m e p o i n t i n t h e p r o c e s s , a s o r g a n i z e r s i n t h e i r s o r t i n g . N e i t h e r S a m n o r T o n i i n i t i a t e d t h e u s e o f f u n c t i o n c l a s s a s a s o r t c a t e g o r y . I n T o n i ’ s c a s e , o n l y w h e n I s p e c i fi c a l l y a s k e d h e r t o s o r t i n s o m e w a y c o n n e c t e d t o t h e f u n c t i o n c l a s s e s w e h a d s t u d i e d d i d s h e u s e t e r m s a s s o c i a t e d w i t h f u n c t i o n s p e r s e o r c o n s i d e r f u n c t i o n c l a s s e s a s p o s s i b l e o r g a n i z e r s . S h e c o u l d r e c o g n i z e a n d i d e n t i f y l i n e a r f u n c t i o n s a n d s h e a s s o c i a t e d p a r a b o l a s w i t h t h e s y m b o l i c f o r m o f q u a d r a t i c s , b u t s h e d i d n o t m e n t i o n t h e s e a s c l a s s i fi c a t i o n s u n t i l a s k e d t o s o r t b y f u n c t i o n c l a s s . S a m u s e d a t t r i b u t e s o f l i n e s o r p a r a b o l a s t o t r y t o p a i r c a r d s , u l t i m a t e l y e n d i n g u p w i t h t w o c a t e g o r i e s h a v i n g o n e p a i r e a c h : " ( T , a n e x p o n e n t i a l ) l o o k e d l i k e i t f o r m e d a p a r a b o l a a n d Z d i d " a n d " ( R , K ) m a d e s t r a i g h t l i n e s . " Y e t h e p l a c e d o t h e r c a r d s t h a t h e h a d i d e n t i fi e d a s l i n e a r o r q u a d r a t i c f t m c t i o n s i n t o o t h e r g r o u p s . S o w h i l e S a m h a d u s e d s h a p e s o f g r a p h s ( o f f u n c t i o n c l a s s e s ) a s a w a y t o g r o u p c a r d s i n a l i m i t e d w a y , h e s e e m e d m o r e t o b e g r o u p i n g " g r a p h s h a p e s , " r a t h e r t h a n s o r t i n g c a r d s i n t o f u n c t i o n c l a s s e s o n t h e b a s i s o f a n a t t r i b u t e o f t h e f u n c t i o n c l a s s , t h e s h a p e o f i t s g r a p h . B e c a u s e T o n i a n d S a m d i s p l a y e d u s i n g f u n c t i o n c l a s s e s a s o r g a n i z e r s i n a m i n o r w a y , w e c a n o n l y i n f e r t h a t t h e s e c l a s s e s w e r e s a l i e n t f o r t h e m . I n s u m m a r y , S a m a n d T o n i d i d n o t u s u a l l y i n i t i a t e t a l k a b o u t f u n c t i o n s p e r s e , a n d w h e n t h e y u s e d f u n c t i o n c o n c e p t s i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g , t h e y d i d n o t u s u a l l y r e f e r t o t h e m d i r e c t l y . T h e y d i d n o t n o r m a l l y i n i t i a t e u s i n g f u n c t i o n c l a s s e s a s o r g a n i z e r s f o r t h e i r t h i n k i n g . I n g e n e r a l , T o n i a n d S a m d i d n o t s e e m t o c o n s i d e r t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n t o b e a c e n t r a l i d e a a m o n g t h e p r o b l e m s ; i n d w d , m o s t o f t h e t i m e , f r o m w h a t c a n b e i n f e r r e d f r o m t h e i r t a l k a n d a c t i v i t i e s , t h e y s e e m e d u n a w a r e 2 1 6 t h a t t h e p r o b l e m s w e r e a b o u t f u n c t i o n s a t a l l . T h u s t h e i r p e r c e p t i o n o f t h e c o n t e n t o f t h i s c l a s s w a s d i f f e r e n t f r o m a t e a c h e r ’ s . N o n a w a r e n e s s m a y n o t b e a b s e n c e o f u n d e r s t a n d i n g . S t u d e n t s ’ n o t a t t e n d i n g e x p l i c i t l y t o f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n c o n c e p t s p e r s e d o e s n o t n e c e s s a r i l y m e a n t h e y h a v e n o u n d e r s t a n d i n g o f t h o s e c o n c e p t s . E v e n t h o u g h t h e s t u d e n t s w e r e n o t g e n e r a l l y a w a r e o f f u n c t i o n c o n c e p t s , t h e y u s e d f u n c t i o n c o n c e p t s , s u c h a s r a t e o f c h a n g e , t o s o l v e p r o b l e m s - - a l t h o u g h t h a t u s e h a d t o b e i n f e r r e d f r o m t h e i r p r o b l e m s o l v i n g a c t i v i t y . F o r e x a m p l e , i n m a t c h i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , S a m a n d T o n i m a d e e x t e n s i v e u s e o f c o o r d i n a t i n g a d e s c r i p t i o n o f t h e s l o p e o f t h e g r a p h w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h e s p e e d o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . I t a p p e a r e d t h a t t h e y t h o u g h t o f t h e s e r a t e s a s b e i n g c o n n e c t e d w i t h e i t h e r t h e g r a p h o r t h e s i t u a t i o n , n o t w i t h f u n c t i o n s ; t h a t i s , t h e y a s s o c i a t e d t h e r a t e w i t h t h e t w o r e p r e s e n t a t i o n s , n o t w i t h f u n c t i o n s p e r s e . T h e y t r e a t e d r a t e o f c h a n g e i n a t a b l e r e p r e s e n t a t i o n s i m i l a r l y . W h e n t h e y u s e d r a t e s o f c h a n g e i n t a b l e s , t h e y d e s c r i b e d t h e m a s p a t t e r n s o f c h a n g e , w h i c h c a n b e d e s c r i b e d a s r a t e s , b u t d o n o t h a v e t o b e . N e v e r t h e l e s s , e v e n t h o u g h t h e y u s e d t e r m s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s , r a t h e r t h a n f u n c t i o n s , s t u d e n t s w e r e u s i n g f u n c t i o n c o n c e p t s - - w h e t h e r o r n o t t h e y d i s p l a y e d a n y a w a r e n e s s o f f t m c t i o n s . W h i l e T o n i a n d S a m d i d n o t u s e f u n c t i o n c l a s s e s a s o r g a n i z e r s i n a n o v e r a r c h i n g w a y , t h e y d i d u s e f t m c t i o n s a s o r g a n i z e r s i n a c o n t e x t u a l i z e d m a n n e r . D u r i n g t h e s o r t p r o b l e m , t h e m o s t s a l i e n t f e a t u r e f o r t h e m w a s t h e r e p r e s e n t a t i o n . A t fi r s t , e a c h h a d s o r t e d t h e c a r d s b y s u p e r fi c i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s , u s i n g c a t e g o r i e s l i k e w o r d p r o b l e m s , t a b l e s , o r g r a p h s w i t h g r i d s . S a m a n d T o n i d i d n o t l i m i t t h e i r s o r t s t o t h e s e c a t e g o r i e s , h o w e v e r , b u t m a d e s o m e c o n n e c t i o n s b e t w e e n s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s a n d s p e c i fi c f u n c t i o n c l a s s e s . F o r e x a m p l e , a U - s h a p e d g r a p h w a s s e e n a s r e l a t e d t o a t a b l e o f v a l u e s t h a t r e v e r s e d d i r e c t i o n s i n o u t p u t c o l u m n ( w h i l e i n p u t c o l u m n i n c r e a s e d ) , a n d a s t r a i g h t l i n e g r a p h w a s r e l a t e d t o a c a r d v e r b a l l y d e s c r i b i n g a l i n e a r r e l a t i o n s h i p . S a m a n d T o n i t a l k e d a b o u t t h e s e 2 1 7 c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s , i m p l y i n g t h e y h a d a t l e a s t a t e n t a t i v e u n d e r l y i n g , i m p l i c i t c o n n e c t i o n t o t h e f u n c t i o n c l a s s e s . T e a c h e r a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e m i s m a t c h e s . B e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e i n t e r v i e w p r o b l e m s , o n e m i g h t n o t a l w a y s e x p e c t s t u d e n t s t o a t t e n d t o f u n c t i o n s p e r s e . S e v e r a l e x e r c i s e s , h o w e v e r , w e r e s i m i l a r t o f u n c t i o n p r o b l e m s g i v e n i n c l a s s a n d fi m c t i o n s w e r e e x p l i c i t l y r e f e r r e d t o i n a l l i n t e r v i e w p r o b l e m s e x c e p t l - l , G o i n g t o S c h o o l , p r o b l e m s 4 A t o d e t e r m i n e s t u d e n t s c o n c e p t i o n s o f v a r i a b l e s , a n d t h e T i m a n d D o n n a p r o b l e m . T h u s , s t u d e n t s m i g h t b e e x p e c t e d t o m e n t i o n f u n c t i o n s m o r e f r e q u e n t l y . C e r t a i n l y d u r i n g t h e s o r t p r o b l e m , a f t e r T o n i h a d h a d a n o p p o r t u n i t y t o g e n e r a t e h e r o w n s o r t c a t e g o r i e s a n d s h e w a s s p e c i fi c a l l y a s k e d t o s o r t i n c o n n e c t i o n w i t h t h e f u n c t i o n c l a s s e s t h a t w e r e g i v e n i n c l a s s , o n e w o u l d e x p e c t h e r t o b e a b l e t o d o s o . Y e t s h e h a d t r o u b l e w i t h t h i s t a s k , a s d i d B o b l w h e n a s k e d t h e s a m e t h i n g . A l t h o u g h E d y s t a r t e d t h e s o r t u s i n g f u n c t i o n c l a s s g r a p h s a s a g u i d e f o r c a t e g o r i e s , s h e w a s u n s u c c e s s f u l a s s h e i n c l u d e d c a r d E i n a c a t e g o r y w i t h g r a p h s o f l i n e s , b u t t h e o n l y l i n e t h a t w a s o n c a r d E w a s a n a x i s . S a m w a s n o t a s k e d t o s o r t b y f u n c t i o n c l a s s e s b e c a u s e h e h a d t i m e f o r o n l y o n e s o r t . F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e , i f e a c h o f t h e s e s t u d e n t s h a d m u c h c o h e r e n c e t o t h e i r f u n c t i o n k n o w l e d g e , t h e y c o u l d b e e x p e c t e d t o h a v e a t l e a s t m e n t i o n e d f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s a n d t o m a k e g r e a t e r c o n n e c t i o n s t o f u n c t i o n c l a s s e s . W h a t c o n n e c t i o n s s t u d e n t s d i s p l a y e d b e t w e e n f u n c t i o n c l a s s e s , h o w e v e r , w a s t i g h t l y b o u n d t o s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s o f f u n c t i o n s a n d d e p e n d e d o n t h e f u n c t i o n c l a s s i t s e l f a s w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w . T h i s p h e n o m e n o n o f s t u d e n t s n o t t a l k i n g e x p l i c i t l y a b o u t f u n c t i o n s o r t a l k i n g a b o u t f u n c t i o n s o n l y i n d i r e c t l y m i g h t b e e x p l a i n e d , h o w e v e r , b y t h e i r p e r s p e c t i v e b e i n g d i f f e r e n t f r o m t h a t o f t h e t e a c h e r / r e s e a r c h e r . F r o m t h e s t u d e n t p e r s p e c t i v e , t h e s e p r o b l e m s m a y n o t b e p r i n c i p a l l y a b o u t f u n c t i o n s , b u t r a t h e r a r e j u s t p r o b l e m s 1 B o b a n d E d y w e r e t w o o t h e r f o c a l s t u d e n t s i n t h e s t u d y . 2 1 8 t h a t h a p p e n t o u s e s o m e o f t h e t e r m i n o l o g y o f f u n c t i o n s a s o n e o f m a n y o t h e r f e a t u r e s . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s r e l a t e d t o t a s k p u r p o s e , s o l v i n g t h e p r o b l e m . T o n i a n d S a m m a y h a v e i n d e e d b e e n a w a r e t h e p r o b l e m s c o u l d b e t h o u g h t o f a s b e i n g a b o u t f u n c t i o n s , b u t t o s o l v e t h e p r o b l e m s a t h a n d o r t o d i s c u s s t h e m , a t t e n t i o n h a d t o b e f o c u s e d o n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f u n c t i o n , t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m s o l v i n g t a s k , o r e l s e w h e r e . R e c a l l M a s o n ( 1 9 8 7 ) d i s t i n g u i s h e d a t t e n t i o n " o n s y m b o l s " t h e m s e l v e s f r o m a t t e n t i o n " t h r o u g h s y m b o l s ” t o a l a r g e r w h o l e . H e d e s c r i b e d a p r o c e s s o f r e a d i n g a p i e c e o f m a t h e m a t i c a l t e x t w h e r e a t t e n t i o n i s s p l i t b e t w e e n t h e d e t a i l o f t h e s y m b o l s a n d t h e s h a p e o f t h e w h o l e a r g u m e n t , w h i l e g u i d i n g y o u r s e l f t o w a r d a g o a l . O n e c o u l d m a k e a p a r a l l e l d i s t i n c t i o n f o r a t t e n t i o n w h e n s o l v i n g a p r o b l e m . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y s e e m e d f o r t h e m o s t p a r t t o f o c u s t h e i r a t t e n t i o n " o n t h e s y m b o l s , ” t h a t i s , t h e c h a r a c t e r i s t i c s o r a t t r i b u t e s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e m s e l v e s , i n c l u d i n g a t t r i b u t e s o f s i t u a t i o n s . W h e n t h e i r a t t e n t i o n s h i f t e d t o a w h o l e , t h a t i s , " t h r o u g h t h e s y m b o l s , " i t w a s o n w h a t e v e r w a s n e c e s s a r y t o s o l v e t h e p r o b l e m . G e n e r a l l y t h e i r a t t e n t i o n w a s o n d e t e r m i n i n g t h e n a t u r e o f t h e t a s k , c h o o s i n g a s t r a t e g y , o r s e e k i n g c l u e s a b o u t h o w t o p r o c e e d f r o m t h e i r m a t h e m a t i c a l r e p e r t o i r e o r f r o m i n t e r a c t i o n w i t h t h e i n t e r v i e w e r . I n n e i t h e r c a s e w a s s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n o n t h e n a t u r e o f f u n c t i o n s o r f u n c t i o n c o n c e p t s a s a t e a c h e r m i g h t h o p e . P r o p o s i n g A n A l t e r n a t i v e F r a m e w o r k f o r F u n c t i o n s I n s p i t e o f a t t e n t i o n t o a t t r i b u t e s o f r e p r e s e n t a t i o n s , t o i n d i v i d u a l c o m p u t a t i o n a l o r p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s e s , w h e t h e r o r n o t t h e y w e r e a w a r e o f i t , b o t h S a m a n d T o n i d i d d i s p l a y s p e c i fi c c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s t h a t c o u l d b e i n f e r r e d f r o m t h e i r t a l k a n d a c t i v i t i e s . T h e i r i m p l i c i t d e fi n i t i o n s o f f u n c t i o n s w e r e c h a r a c t e r i z e d a s i n v o l v i n g s o m e k i n d o f c o n n e c t e d c h a n g e o r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s . T h e i r p e r s p e c t i v e s o n f u n c t i o n s i n v o l v e d b o t h s t a t i c a n d d y n a m i c v e r s i o n s , a s w e l l a s g l o b a l a n d p o i n t - w i s e v e r s i o n s . T h e y i n v o l v e d a t t e n t i o n o n b o t h p i e c e s a n d w h o l e s . T o b e t t e r fi t t h e c o n c e p t i o n s o r p e r s p e c t i v e s o f f u n c t i o n s t a k e n b y s t u d e n t s i n t h i s 2 1 9 s t u d y , a n e w f r a m e w o r k t h a t s y n t h e s i z e s a n d m o d i fi e s t h o s e p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e i s d e v e l o p e d b e l o w . T h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t i t i s i m p o r t a n t t o t r y t o s e p a r a t e t h e l a n g u a g e o f a t e a c h e r p e r s p e c t i v e f r o m t h a t o f t h e s t u d e n t ’ s p e r s p e c t i v e o n f u n c t i o n s . I n o r d e r t o d o s o , t h e l a n g u a g e u s e d t o t a l k a b o u t s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g n e e d s r e v i s i o n . T h e w o r d c o n c e p t i o n o f f l m c t i o n s e e m s t o i m p l y t h a t s t u d e n t s ’ a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n f u n c t i o n s a s a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t a n d t h a t t h e r e i s s o m e k i n d o f e n t i t y t h a t c a n b e s p o k e n o f a s a w h o l e . P e r s p e c t i v e , i n c o n t r a s t , i m p l i e s a p o i n t o f v i e w s t u d e n t s t a k e w h e n e n g a g e d i n w o r k i n g w i t h f u n c t i o n s a n d p r o b l e m s i n v o l v i n g f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s . C o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s , b y w h i c h I m e a n t h e p e r s o n a l m e a n i n g s t u d e n t s h a v e o f f u n c t i o n s , s e e m s s t i l l t o i m p l y a c u r r i c u l a r g o a l t h a t t e a c h e r s t h e m s e l v e s t a k e a s s h a r e d b y t h e m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y a n d t o w a r d w h i c h t h e y w o u l d l i k e t o g u i d e s t u d e n t s . P e r s p e c t i v e s s e e m s m o r e c l o s e l y r e l a t e d t o d e s c r i b i n g s t u d e n t a c t i v i t y , s o I w i l l u s e t h a t t e r m t o d e s c r i b e s t u d e n t s ’ t h i n k i n g . S t u d e n t P e r s p e c t i v e s o n F u n c t i o n s S t u d e n t s i n t h i s s t u d y t a k e p e r s p e c t i v e s o n f u n c t i o n s t h a t c a n b e d e fi n e d b y t w o b r o a d a p p r o a c h e s , c o r r e s p o n d e n c e a n d c o v a r i a t i o n ( C o n f r e y & S m i t h , 1 9 9 4 ) . E a c h o f t h e s e a p p r o a c h e s h a s b o t h a d y n a m i c v e r s i o n a n d a s t a t i c v e r s i o n . T h a t i s , a s t u d e n t 1 t a k e s o n e o f f o u r p e r s p e c t i v e s : a c m i , . _ . . _ l - , a c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c , a c o v a r i a t i o n - d y n a m i c , o r a c o v a r i a t i o n — s t a t i c ( F i g u r e 5 . 1 b e l o w ) . A c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h e n c o m p a s s e s M o s c h k o v i c h e t a l . ’ s ( 1 9 9 3 ) p r o c e s s p e r s p e c t i v e , w h e r e a f u n c t i o n i s p e r c e i v e d a s l i n k i n g x a n d y v a l u e s , a n d C o n f r e y a n d S m i t h ’ s ( 1 9 9 4 ) c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h . T h e d y n a m i c v e r s i o n c a n b e t h o u g h t o f p r o c e d u r a l l y a s a n i n p u t o f x p r o d u c i n g a ( u n i q u e ) y . F o r e x a m p l e , a n x c a n b e s u b s t i t u t e d i n t o a r u l e a n d a y d e t e r m i n e d . A v a l u e f o r y c a n b e r e a d f r o m a c o r r e s p o n d i n g t a b l e e n t r y f o r x , t h a t i s , a c r o s s t h e t a b l e , o r a y v a l u e c a n b e r e a d f r o m a g r a p h b y fi r s t fi n d i n g x , m o v i n g u p t o t h e g r a p h , a n d t h e n o v e r t o t h e y - a x i s 2 2 0 D y n a m i c S t a t i c C o r r e s p o n d e n c e F u n c t i o n p e r c e i v e d a s l i n k i n g x F u n c t i o n p e r c e i v e d a s l i n k i n g x a n d y a n d y v a l u e s t h r o u g h a p r o c e s s . v a l u e s t h r o u g h a r e l a t i o n s h i p , t h a t i s , t h e r e l a t i o n s h i p i s r e c o g n i z e d . C o v a r i a t i o n F u n c t i o n p e r c e i v e d a s F u n c t i o n p e r c e i v e d a s e n c a p s u l a t i n g o p e r a t i o n a l l y m o v i n g f r o m o n e y t h e r e s u l t o r r e l a t i o n s h i p o f m o v i n g t o t h e n e x t , w h i l e c o o r d i n a t i n g f r o m o n e y t o t h e n e x t , w h i l e p a r a l l e l m o v e m e n t f r o m o n e x t o c o o r d i n a t i n g p a r a l l e l m o v e m e n t f r o m t h e n e x t . o n e x t o t h e n e x t . F i g u r e 5 . 1 : P e r s p e c t i v e s S t u d e n t s T a k e w i t h F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s i n P r o b l e m s a n d r e a d i n g i t o f f . E a c h o f t h e s e c o r r e s p o n d e n c e s c a n ( f o r t h e c o n t e n t i n t h i s c l a s s ) b e r e v e r s e d . 2 B y i t s n a t u r e , t h e d y n a m i c v e r s i o n i s p r o c e d u r a l a n d o f t e n c o m p u t a t i o n a l . S t a t i c v e r s i o n s o f c o r r e s p o n d e n c e s w o u l d b e r e c o g n i z i n g t h a t a n ( x , y ) p a i r f o r m s a c o r r e s p o n d e n c e ( i n a d v a n c e d t e r m i n o l o g y , t h e y w o u l d b e " i n r e l a t i o n " ) . F o r e x a m p l e , i n w o r k i n g a p r o b l e m , w h e n s t u d e n t s r e c o g n i z e t h a t a n ( x , y ) p a i r s a t i s fi e s a f u n c t i o n r u l e o r a r e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t t h a t i s o n t h e g r a p h o f a p a r t i c u l a r f u n c t i o n , t h e i r t h i n k i n g c o u l d b e c o n s i d e r e d t a k i n g a c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c p e r s p e c t i v e . A t t e n t i o n i s p r i n c i p a l l y o n o n e i n s t a n c e o f t h e r e l a t i o n s h i p , w h e t h e r a d y n a m i c o r s t a t i c v e r s i o n i s t a k e n . T h e c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s o v e r l a p w h a t S f a r d ( 1 9 9 1 ) c a l l s o p e r a t i o n a l , a n d o t h e r s ( B r e i d e n b a c h , D u b i n s k y , H a w k s , & N i c h o l s , 1 9 9 2 ; D u b i n s k y & H a r e l , 1 9 9 2 ; M o s c h k o v i c h , e t a l . , 1 9 9 3 ) c a l l a p r o c e s s c o n c e p t i o n . I t i s , h o w e v e r , n o t e q u i v a l e n t t o t h e s e b e c a u s e i t i n c l u d e s b o t h o p e r a t i o n a l a n d s t r u c t u r a l a s p e c t s ( S f a r d , 1 9 9 1 ) . F u r t h e r , i t i s m o r e l o c a l a n d p o i n t - w i s e o r i e n t e d t h a n B r e i d e n b a c h e t a 1 . ( 1 9 9 2 ) i n t e n d b y t h e i r p r o c e s s c o n c e p t i o n , w h i c h i n c l u d e s a t t e n t i o n t o f u n c t i o n s a s w h o l e s . I t i s m o r e c l o s e l y r e l a t e d t o 2 S t u d e n t s d o n o t n e e d t o p e r c e i v e t h e s e a s f u n c t i o n s p e r s e , b u t m e r e l y a s r e l a t i o n s , a n d t h u s t h e y a r e r e v e r s i b l e . 2 2 1 B r e i d e n b a c h e t a l . ’ s a c t i o n c o n c e p t i o n , w h e r e e m p h a s i s i n o n a s i n g l e a c t i v i t y w i t h i n a _ l 1 p r o c e s s . T h e C u - ' p e r s p e c t i v e i s c o n s i s t e n t w i t h S f a r d ’ s o p e r a t i o n a l o r i e n t a t i o n , a n d t h e c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c p e r s p e c t i v e i s c o n s i s t e n t w i t h S f a r d ’ s s t r u c t u r a l c h a r a c t e r i z a t i o n , b u t d i f f e r s f r o m i t i n t h a t t h i s d e fi n i t i o n a t t e n d s t o s i n g l e i n s t a n c e s o f t h e r e l a t i o n s h i p , r a t h e r t h a n t h e w h o l e , a s i s h e r i n t e n t i o n . C o v a r i a t i o n i s t h e s e c o n d a p p r o a c h . F o l l o w i n g C o n f r e y a n d S m i t h ( 1 9 9 4 ) , a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h i n v o l v e s m o v i n g o p e r a t i o n a l l y f r o m o n e y t o t h e n e x t , c o o r d i n a t i n g p a r a l l e l m o v e m e n t f r o m o n e x t o t h e n e x t . F o r t a b l e s , i t i n v o l v e s c o o r d i n a t i o n o f t h e v a r i a t i o n i n t w o o r m o r e c o l u m n s a s o n e m o v e s u p o r d o w n t h e t a b l e . O n a g r a p h , i t m e a n s c o o r d i n a t i n g t h e c h a n g e s i n y w i t h c h a n g e s i n x a s o n e m o v e s a c r o s s t h e g r a p h . W h i l e k e e p i n g a s y m b o l i c f o r m o f a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n i n ' m i n d , f o r e x a m p l e , o n e m i g h t n o t e t h a t y ’ s a r e i n c r e a s i n g a s x ’ s a r e i n c r e a s i n g a s o n e t r a c e s a l o n g i t s g r a p h o n t h e c a l c u l a t o r . A c o v a r i a t i o n a p p r o a c h i s m o r e h o l i s t i c t h a n a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h a s d e fi n e d h e r e i n t h a t i t i n v o l v e s w o r k i n g w i t h p a t t e r n s a n d r a t e s o f c h a n g e i n , s a y , a t a b l e o r g r a p h a s a w h o l e . W h i l e t h i s a p p r o a c h i s p r i n c i p a l l y d y n a m i c , i t h a s a s t a t i c v e r s i o n . F o r e x a m p l e , i n t a b l e s , w h e n t h e a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n p a t t e r n o f c h a n g e a s a w h o l e a n d i t i s r e c o g n i z e d a s h a v i n g s o m e a t t r i b u t e , s u c h a s t h e r e b e i n g e q u a l c h a n g e b e t w e e n t a b l e e n t r i e s f o r y p e r u n i t c h a n g e f o r x , t h e n t h e t a b l e c a n b e p e r c e i v e d s t a t i c a l l y a s h a v i n g a n a t t r i b u t e t h a t e n c a p s u l a t e s t h i s c h a n g e . T h e s t u d e n t ’ s a t t e n t i o n i s o n t h e p a t t e r n o f c h a n g e a s a w h o l e , w h i c h i s d i s t i n c t f r o m f o c u s i n g a t t e n t i o n o n t h e m o v e m e n t c o o r d i n a t i n g t h e t w o s e t s o f n u m b e r s . T h i s d i m e n s i o n , c o v a r i a t i o n - s t a t i c w o u l d b e i n c l u d e d u n d e r S f a r d ’ s s t r u c t u r a l c a t e g o r y . S t u d e n t A w a r e n e s s o f F u n c t i o n a n d o f fi m c t i o r t W h o l e n e s s F i n a l l y , i n a d d i t i o n t o t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n c o r r e s p o n d e n c e s b e t w e e n s p e c i fi c x - v a l u e s a n d y - v a l u e s a n d c o o r d i n a t i n g s i m u l t a n e o u s c h a n g e i n t w o s e t s o f n u m b e r s , e i t h e r a s p r o c e s s e s o r a s r e l a t i o n s h i p s , a n o t h e r k i n d o f p e r s p e c t i v e i s 2 2 2 n e c e s s a r y t o d e s c r i b e s t u d e n t a c t i v i t y . I f o n e i s t o h a v e a c o n n e c t e d u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s , u l t i m a t e l y o n e m u s t c o m e t o s e e f u n c t i o n s s t r u c t u r a l l y a s a w h o l e , a s o b j e c t s o r e n t i t i e s t h a t c a n t h e m s e l v e s b e o p e r a t e d o n ( S f a r d , 1 9 9 1 ) . Y e t p r o b l e m s o l v i n g w i t h f u n c t i o n s i s c o m p l e x a n d w i t h i n s t u d e n t a c t i v i t y w i t h f u n c t i o n s o n e c a n d i s c e r n m a n y l e v e l s o f w h o l e n e s s . F u n c t i o n s c a n b e d i s t i n g u i s h e d a l o n g t h r e e l e v e l s o f w h o l e n e s s : i n s t a n c e , e n t i t y , a n d o b j e c t ( F i g u r e 5 . 2 b e l o w ) . I f o n l y p o r t i o n s o f t h e f u n c t i o n a r e a t t e n d e d t o , s u c h a s a n x p r o d u c i n g a y , t h e l e v e l o f w h o l e n e s s w i l l b e c o n s i d e r e d a i n s t a n c e l e v e l . W h e n a f u n c t i o n i s s e e n a s a w h o l e , t h a t i s , p e r c e i v e d a s a s i n g l e e n t i t y r e p r e s e n t i n g a s i n g l e f u n c t i o n w i t h o u t r e f e r e n c e t o d e t a i l s , r a t h e r t h a n a s a n i n s t a n c e o f a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n a n x - y p a i r , i t w i l l b e a s s i g n e d a n e n t i t y l e v e l . I t i s n o t , h o w e v e r , s e e n a s a n o b j e c t t h a t c a n b e o p e r a t e d o n i n i t s o w n r i g h t . F o r e x a m p l e , a g r a p h c a n b e t h o u g h t o f a s a w h o l e w i t h o u t a n y u n d e r s t a n d i n g t h a t i t s w h o l e c o u l d b e o p e r a t e d o n a s a n o b j e c t . I n a d d i t i o n , a f u n c t i o n r u l e c a n b e t h o u g h t o f b o t h a s a w h o l e e n t i t y a n d a l s o a s a n o b j e c t t h a t c a n b e t r a n s f o r m e d t h r o u g h t r a n s l a t i o n s o r i n c o m b i n a t i o n w i t h o t h e r f u n c t i o n s t o c r e a t e ( p o s s i b l y n e w ) o t h e r f u n c t i o n s v i a a r i t h m e t i c o r c o m p o s i t i o n . F o r t h i s l a t t e r l e v e l o f w h o l e n e s s , I r e s e r v e t h e w o r d o b j e c t . A l l l e v e l s o f w h o l e n e s s b u t t h e l a t t e r i n v o l v e o n l y o n e f u n c t i o n ; w h e r e a s t a k i n g a n o b j e c t a p p r o a c h i n v o l v e s t h e p o s s i b i l i t y o f c r e a t i n g n e w f u n c t i o n s b y t r a n s f o r m i n g i n s o m e w a y t h e f u n c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y o f t e n u s e d f u n c t i o n c o n c e p t s i m p l i c i t l y , b u t w i t h o u t a p p a r e n t a w a r e n e s s t h e y w e r e d e a l i n g w i t h f u n c t i o n s . S t u d e n t u n d e r s t a n d i n g t h a t i n c l u d e s a w a r e n e s s o f f i m c t i o n s w o u l d b e c o n s i d e r e d b y t e a c h e r s t o b e a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s a n d w o u l d b e a n e c e s s a r y p a r t o f c u r r i c u l u m g o a l s f o r m a n y m a t h e m a t i c s c l a s s e s , p a r t i c u l a r l y t h o s e t a k e n b y c o l l e g e i n t e n d i n g s t u d e n t s . B u t t o l i m i t j u d g m e n t o f u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s o n l y t o i n c l u d i n g s u c h a w a r e n e s s d i s c o u n t s t h e r i c h , i n t u i t i v e k n o w l e d g e t h a t s t u d e n t s b r i n g t o s o l v i n g p r o b l e m s 2 2 3 i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s . F u r t h e r , t h e c u r r e n t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r e f o r m m o v e m e n t i n a l g e b r a a d v o c a t e s a c t i v i t i e s f r o m w h i c h e v e n y o u n g s t u d e n t s c a n c o n s t r u c t a s e n s e o f f t m c t i o n s , w h i l e n o t b e i n g b o g g e d d o w n b y m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s c o m p l e t e l y d e v o i d o f s i t u a t i o n a l c o n t e x t . I n t h o s e c a s e s , s t u d e n t s m i g h t b e e x p e c t e d t o m a k e u s e o f f t m c t i o n c o n c e p t s w i t h o u t e x p l i c i t a w a r e n e s s o f f u n c t i o n s . I f a w a r e n e s s w e r e m a d e a n e s s e n t i a l c r i t e r i o n f o r u n d e r s t a n d i n g , s t u d e n t s ’ k n o w l e d g e w o u l d t h e n l i k e l y b e d i s c o u n t e d . T h u s , t o b o t h r e c o g n i z e n a i v e , t e n t a t i v e s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g , w h i l e s t i l l d i s t i n g u i s h i n g a r o b u s t l e v e l o f u n d e r s t a n d i n g a b o u t f u n c t i o n s , I h a v e a d d e d a n o t h e r d i m e n s i o n t o t h i s f r a m e w o r k : a w a r e o f j u n c t i o n - n o t a w a r e o f f u n c t i o n . T h r e e l e v e l s o f w h o l e n e s s c r o s s e d w i t h t w o l e v e l s o f a w a r e n e s s r e s u l t s i n s i x n e w p e r s p e c t i v e s : i n s t a n c e - a w a r e , i n s t a n c e - n o t a w a r e , e n t i t y — a w a r e , e n t i t y - n o t a w a r e , o b j e c t - a w a r e , a n d o b j e c t - n o t a w a r e . A w a r e o f F u n c t i o n N o t A w a r e o f F u n c t i o n p e r c e i v e d a s a w h o l e , e x p l i c i t l y a s r e p r e s e n t i n g a f u n c t i o n , a n d i n a d d i t i o n , a s a n o b j e c t t h a t c a n b e o p e r a t e d o n t o ( u s u a l l y ) p r o d u c e n e w f u n c t i o n s . I n s t a n c e A n a s p e c t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n i s A n a s p e c t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n i s r e c o g n i z e d a s a n i n s t a n c e o f a n o t r e e o g n i z e d a s a n i n s t a n c c o f a f u n c t i o n , b u t a t t e n t i o n i s o n a p a r t , f u n c t i o n , a n d a t t e n t i o n i s o n a p a r t , n o t t h e f u n c t i o n a s a w h o l e . n o t t h e r e p r e s e n t a t i o n a s a w h o l e . E n t i t y A r e p r e s e n t a t i o n f o r a f u n c t i o n i s A r e p r e s e n t a t i o n f o r a f u n c t i o n i s p e r c e i v e d a s a w h o l e , t h a t i s , a p e r c e i v e d a s a w h o l e , b u t n o t s i n g l e u n i t , a n d e x p l i c i t l y a s e x p l i c i t l y a s r e p r e s e n t i n g a r e p r e s e n t i n g a f u n c t i o n . f l m c t i o n , n o r a s a n o b j e c t t h a t c a n b e o p e r a t e d o n . O b j e c t A r e p r e s e n t a t i o n f o r a f u n c t i o n i s A r e p r e s e n t a t i o n i s p e r c e i v e d a s a w h o l e a n d a s a n o b j e c t t h a t c a n b e o p e r a t e d o n , b u t i s n o t p e r c e i v e d a s r e p r e s e n t i n g a f u n c t i o n . F i g u r e 5 . 2 : W h o l e n e s s a n d E x p l i c i t A w a r e n e s s o f F u n c t i o n s 2 2 4 N a t u r e o f P e r s p e c t i v e s W h a t i s d i s t i n c t i v e i n e a c h o f t h e s e p e r s p e c t i v e s , s t u d e n t p e r s p e c t i v e s o f f t m c t i o n a n d w h o l e n e s s / a w a r e n e s s p e r s p e c t i v e s , i s w h e r e t h e f o c u s o f a t t e n t i o n l i e s . F r o m b o t h p e r s p e c t i v e s o f t h e c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h , i t i s b e t w e e n p a i r s o f x ’ s a n d y ’ s , t h a t i s , a n i n s t a n c e o f t h e f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p . F o r t h o s e i n t h e c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s , i t i s o n c o o r d i n a t i n g c h a n g e s i n t w o s e t s o f n u m b e r s o r r e c o g n i z i n g t h e c h a n g e r e l a t i o n s h i p . F i n a l l y , t h r o u g h t h e w h o l e n e s s / a w a r e n e s s p e r s p e c t i v e s , p e r s p e c t i v e s t a k e n a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e e x t e n t t o w h i c h a f u n c t i o n i s s e e n a s a w h o l e a n d w h e t h e r i t s r e p r e s e n t a t i o n i s s e e n a s a f u n c t i o n . F u r t h e r , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e t w o k i n d s o f p e r s p e c t i v e s a r e c o m p l e m e n t a r y . N o r m a l l y , a t a n y o n e t i m e , a s t u d e n t ’ s v i e w i n s o l v i n g p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s w o u l d i n c l u d e o n e f r o m e a c h k i n d , t h a t i s , o n e p e r s p e c t i v e o f f u n c t i o n a n d o n e p e r s p e c t i v e o f w h o l e n e s s / a w a r e n e s s . F o r e x a m p l e , s e e i n g a t a b l e a s a s t a t i c e n t i t y w i t h e q u a l c h a n g e a s r e p r e s e n t i n g a l i n e a r f u n c t i o n w o u l d b e c o n s i d e r e d t a k i n g a c o v a r i a t i o n - s t a t i c p e r s p e c t i v e o f f u n c t i o n , a s w e l l a s s e e i n g t h e t a b l e a s a n e n t i t y t h a t r e p r e s e n t s a f u n c t i o n ( e n t i t y - a w a r e ) . O n t h e o t h e r h a n d , r e c o g n i z i n g a t a b l e o f v a l u e s a s a n e n t i t y , b u t n o t o n e t h a t c o n s t i t u t e s a f u n c t i o n a n d w i t h o u t a t t e n t i o n t o p a t t e r n s o f c h a n g e , w o u l d b e c o n s i d e r e d t a k i n g a c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c p e r s p e c t i v e a n d a n e n t i t y - n o t a w a r e p e r s p e c t i v e . A l t h o u g h t h e s i x a w a r e n e s s / l e v e l o f w h o l e n e s s p e r s p e c t i v e s a r e m u t u a l l y e x c l u s i v e , p a i r s w i t h i n e a c h o f t h e f o u r s t u d e n t p e r s p e c t i v e s o f f u n c t i o n , c a n f o r m m u l t i p l e a s p e c t s o f t h e s a m e f u n c t i o n a s w h e n s t u d e n t s " s e e " t h a t x m u s t b e m u l t i p l i e d b y 5 i n a r u l e t o p r o d u c e a p a t t e r n o f i n c r e m e n t s b y 5 w h i l e r u n n i n g d o w n a t a b l e c o l u m n . I t w o u l d b e e x p e c t e d t h a t s t u d e n t s c o u l d t a k e m o r e t h a n o n e p e r s p e c t i v e o f e a c h k i n d w i t h i n a s i n g l e p r o b l e m . I n d e e d , s t u d e n t s w o u l d b e e x p e c t e d t o m o v e fl u i d l y a n d fl e x i b l y b e t w e e n a n d a m o n g p e r s p e c t i v e s i n s o l v i n g p r o b l e m s , j u s t a s i t w o u l d b e e x p e c t e d t h e i r a t t e n t i o n m o v e s b e t w e e n b e i n g o n s y m b o l s o r t h r o u g h 2 2 5 s y m b o l s w i t h i n a s i n g l e p r o b l e m . F u r t h e r , a t t i m e s , s o m e p e r s p e c t i v e s m a y a p p e a r t o o v e r l a p w i t h b o u n d a r i e s b l u r r e d . D o m a i n a n d R a n g e W i t h i n t h i s f r a m e w o r k n o a t t e n t i o n i s g i v e n t o t h e m o r e c o m p l e t e d e fi n i t i o n o f f u n c t i o n w h i c h i n c l u d e s a l l t h r e e a s p e c t s o f a fi m c t i o n , i t s d o m a i n , r a n g e , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n s h i p o r d e p e n d e n c y b e t w e e n t h e m . T h e s e c o n c e p t s w e r e n o t i n c l u d e d b e c a u s e f o r t h e f r m c t i o n c l a s s e s t h a t w e r e t h e f o c u s o f t h i s s t u d y , l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , d o m a i n s a r e a l l r e a l n u m b e r s , a n d l i t t l e d i r e c t a t t e n t i o n w a s g i v e n t o d o m a i n a n d r a n g e i n t h e c l a s s r o o m a n d i n t e r v i e w s . T h e f r a m e w o r k c o u l d r e a d i l y b e e x t e n d e d , i f n e c e s s a r y , t o a d d a l e v e l o f w h o l e n e s s b e t w e e n e n t i t y a n d o b j e c t t o i n c l u d e u n d e r s t a n d i n g o f a s i n g l e f u n c t i o n a s c o n s t i t u t e d o f t h e t h r e e p a r t s , d o m a i n , r a n g e , a n d c o r r e s p o n d e n c e . S t u d e n t s ’ C o n c e p t i o n s o f F u n c t i o n s T h i s s e c t i o n b e g i n s w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s f r o m b o t h c o r r e s p o n d e n c e a n d c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s , i n c l u d i n g e x a m p l e s o f h o w t h e y t a l k a b o u t f u n c t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n s , w h a t c o n c e p t s t h e y f o u n d s a l i e n t , h o w t h e y r e a s o n e d a b o u t t h e c o n c e p t s ( i n c l u d i n g l e v e l s o f w h o l e n e s s ) , w h a t p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s t h e y u s e d , a n d p a r t i c u l a r d i f fi c u l t i e s t h e y h a d . W h e n e v e r p o s s i b l e , e x p l a n a t i o n s a r e p o s i t e d . S u b s e q u e n t r e l a t e d s e c t i o n s a d d r e s s v a r i o u s k i n d s o f c o h e r e n c e t h a t c a n b e a s s o c i a t e d w i t h f t m c t i o n s , b o t h f r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e a n d f r o m s t u d e n t s ’ w o r k . C o m s p o r t d e n c e P e r s p e c t i v e s E x c e p t d u r i n g s p e c i fi c p r o b l e m t a s k s , s u c h a s fi t t i n g s i t u a t i o n s t o g r a p h s , a n d s o m e o f t h e t i m e w h e n w o r k i n g w i t h t a b l e s , s t u d e n t s g e n e r a l l y t o o k a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h t o f t m c t i o n s . T h e y r e a d i l y i n v o k e d b o t h d y n a m i c a n d s t a t i c v e r s i o n s a n d e a s i l y m o v e d b e t w e e n t h e t w o p e r s p e c t i v e s . S t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l i n a w i d e v a r i e t y o f t a s k s i n m a n y r e p r e s e n t a t i o n s , b u t h a d d i f fi c u l t y w i t h s o m e i n d i v i d u a l t a s k s . 2 2 6 E x a m p l e s U s u a l l y s t u d e n t s c o u l d c a r r y o u t p r o c e d u r e s s u c h a s e v a l u a t i n g a f u n c t i o n r u l e o r r e a d i n g o f f c o o r d i n a t e s o f a p o i n t o n a g r a p h ( d y n a m i c ) . G i v e n a t a b l e o f v a l u e s , t h e y a s s o c i a t e d c o r r e c t x a n d y v a l u e s b y r e a d i n g a c r o s s t a b l e . S t u d e n t s c o u l d t r a n s l a t e a t a b l e t o a g r a p h b y p l o t t i n g p o i n t s , t h u s c o n n e c t i n g p a i r s o f c o r r e s p o n d e n c e s i n t w o d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . U s u a l l y t h e y r e c o g n i z e d t h a t a t a b l e e n t r y o f z e r o w o u l d g i v e a p o i n t o n a n a x i s o f i t s g r a p h ( s t a t i c ) . S a m c o u l d e a s i l y fi n d y - i n t e r c e p t s i n s e v e r a l r e p r e s e n t a t i o n s . T o n i , h o w e v e r , s e e m e d a b l e t o fi n d t h e m o n l y s o m e t i m e s i n t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s a n d t o s o m e e x t e n t i n g r a p h s , b u t h a d d i f fi c u l t y c o n n e c t i n g t h e c o n c e p t w i t h o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s s u c h a s r u l e s . I n t h e A l i c e , B e a , C a r o l i n a p r o b l e m ( 2 A - l ) , T o n i c o n n e c t e d t h e l a s t e n t r y i n a t a b l e ( 1 0 , - 4 ) , w i t h t h e x — i n t e r c e p t , r a t h e r t h a n u s i n g t h e t a b l e e n t r y ( 2 , 0 ) . W h e n s t u d e n t s c h e c k e d t h e c o r r e c t n e s s o f t e n t a t i v e f u n c t i o n r u l e s i n p r o b l e m 2 A - 2 b y s u b s t i t u t i n g i n p u t s f r o m t h e t a b l e t o s e e i f t h e c o r r e c t o u t p u t w a s p r o d u c e d , t h e y u s e d a c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c p e r s p e c t i v e t o r e c o g n i z e t h e c o n c e p t t h a t t h e x a n d y m u s t b e r e l a t e d b y t h e i r r u l e a n d a d y n a m i c v e r s i o n t o c a r r y o u t t h e c h e c k i n g . B o t h S a m a n d T o n i u n d e r s t o o d t h a t a n e n t r y i n a t a b l e o r a n i n p u t / o u t p u t p a i r f o r t h e f u n c t i o n s h o u l d b e a s s o c i a t e d w i t h a p o i n t o n t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n , a s t a t i c v e r s i o n o f c o r r e s p o n d e n c e . W h e n S a m m i s c a l c u l a t e d v a l u e s f o r i n p u t a n d o u t p u t f o r a f u n c t i o n i n p r o b l e m 4 B - 1 ( d y n a m i c ) a n d t h e r e s u l t i n g p o i n t ( s t a t i c ) w a s n o t o n t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n , b e r e c o g n i z e d t h i s i m m e d i a t e l y a s p r o b l e m a t i c . S a m d i d n o t a l w a y s u s e t h i s c o n c e p t c o n s i s t e n t l y . I n p r o b l e m 2 B - 2 , t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m , b e c o n n e c t e d o n l y o n e q u a n t i t y , n o t t w o , t o e a c h p o i n t o n a g r a p h . S a m a n d T o n i w e r e s u c c e s s f u l o n p r e / p o s t t e s t p r o b l e m 9 , w h e r e s t u d e n t s h a d t o r e a d a n o r d e r e d p a i r f r o m a g r a p h o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n ( d y n a m i c ) , t h e n i n t e r p r e t i t i n t h e s i t u a t i o n t o g i v e a m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e f o r p r o fi t a n d t h e t i c k e t p r i c e t h a t w o u l d p r o d u c e t h a t a m o u n t o f p r o fi t ( d y n a m i c a n d s t a t i c ) . I n b o t h c a s e s , t h e i r A 2 2 7 a t t e n t i o n w a s f o c u s e d o n t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t w o s p e c i fi c n u m b e r s . I n a d d i t i o n , m a n y e x e r c i s e s i n c l a s s i n t e n d e d f o r s t u d e n t s t o m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n n o t a t i o n o f t h e s a m e c o r r e s p o n d e n c e i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . T h e s e e x e r c i s e s , s u c h a s a s k i n g f o r t h e m i s s i n g n u m b e r i n D ( ) = 1 0 2 , g i v e n a t a b l e o f v a l u e s f o r t h e s i t u a t e d f u n c t i o n D , a s k i n g f o r a n i n t e r p r e t a t i o n i n t h e s i t u a t i o n o f D ( l 8 ) = 1 8 3 , o r fi n d i n g w h i c h o f t w o x - y p a i r s o f v a l u e s i n a t a b l e h a d a l a r g e r c h a n g e i n f u n c t i o n v a l u e ( y ) , r e q u i r e d a f o c u s o n i n d i v i d u a l i n s t a n c e s o f t h e f u n c t i o n , a c o r r e s p o n d e n c e . G e n e r a l l y , s t u d e n t s w e r e c o m f o r t a b l e w i t h t h e c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s , w i t h d i f fi c u l t i e s c o n fi n e d t o s p e c i fi c , i s o l a t e d i n s t a n c e s . A l l s t u d e n t s , h o w e v e r , h a d t r o u b l e w i t h o n e t a s k i n v o l v i n g t h e s e p e r s p e c t i v e s , c r e a t i n g g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s b y h a n d . T h i s p r o b l e m i s d i s c u s s e d a t l e n g t h u n d e r a l a t e r s e c t i o n o n c o h e r e n c e . L e v e l s o f W h o l e n e s s M o s t a c t i v i t i e s i n v o l v i n g b o t h c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s l e n t t h e m s e l v e s b y d e fi n i t i o n t o a t t e n d i n g p r i n c i p a l l y t o s i n g l e i n s t a n c e s o f a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p , t h a t i s , a n i n s t a n c e l e v e l o f w h o l e n e s s . Y e t w i t h i n c e r t a i n p r o b l e m s , s t u d e n t s s o m e t i m e s c o n n e c t e d c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s t o v i e w i n g f u n c t i o n s a s e n t i t i e s , p a r t i c u l a r l y r u l e s a n d g r a p h s . T h i s g e n e r a l l y h a p p e n e d w h e n e i t h e r t h e e n t i t y w a s i n f o r m a t i o n t h a t w a s s t a t e d a s g i v e n i n t h e p r o b l e m o r w a s t h e t a r g e t o f t h e p r o b l e m t a s k . I n p r o b l e m 9 a b o v e , s t u d e n t s ’ r e c o g n i z i n g t h a t t h e v e r t e x o f a p a r a b o l a r e p r e s e n t e d a m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e f o r p r o fi t a n d c o r r e c t l y i n t e r p r e t i n g i t i n t h e s i t u a t i o n m e a n t t h a t t h e y h a d t o v i e w t h e g i v e n i n f o r m a t i o n , a g r a p h o r a r u l e , a s a n e n t i t y f o r t h e f u n c t i o n f r o m w h i c h t h e y m u s t p i c k o u t a p a r t i c u l a r p o i n t . S o m e t i m e s t h e g o a l o f a t a s k , s u c h a s c r e a t i n g a g r a p h o r s e e k i n g a r u l e f o r a t a b l e o f v a l u e s c o u l d b e v i e w e d a s a n e n t i t y . F o r e x a m p l e , S a m h a d a fi r m g r a s p o f a n a l g o r i t h m f o r g r a p h i n g l i n e a r f u n c t i o n s i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m . I n t h a t t a s k h i s g o a l w a s t o d e t e r m i n e a g r a p h , a n e n t i t y , a n d h e u s e d t h e c o n c e p t s s l o p e a n d i n t e r c e p t t o fi n d s p e c i fi c p o i n t s ( i n s t a n c e s ) 2 2 8 t o p r o d u c e t h e g r a p h . O b j e c t l e v e l s o f w h o l e n e s s w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r u n d e r c o h e r e n c e o f t h e f u n c t i o n c o n c e p t . I n s u m m a r y , s t u d e n t s o f t e n t o o k a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h i n e a c h o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s , r u l e s , t a b l e s , a n d g r a p h s . T h e s e c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s a r e i n h e r e n t i n t a s k s s u c h a s e v a l u a t i n g f i m c t i o n s , i n t e r p r e t i n g s i n g l e p o i n t s , p r o c e s s e s t h a t i n v o l v e t r a n s l a t i n g s i n g l e i n s t a n c e s b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s , a n d r e c o g n i z i n g c o n c e p t s t h a t r e l a t e i n d i v i d u a l x ’ s a n d y ’ s . I n g e n e r a l , c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s i n v o l v e d i n s t a n c e l e v e l s o f w h o l e n e s s a n d i n v o l v e d e n t i t i e s o n l y a s e i t h e r s t a r t i n g p o i n t s o r g o a l s f o r p r o b l e m t a s k s . G e n e r a l l y , s t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l w i t h a c t i v i t i e s w h e n t h e y u s e d c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s , b u t t h e r e w e r e e x c e p t i o n s , m o s t n o t a b l y g r a p h i n g e q u a t i o n s b y h a n d . C o v a r i a t i o n P e r s p e c t i v e s S t u d e n t s a l s o f o u n d t h e c o v a r i a t i o n a p p r o a c h t o f u n c t i o n s u s e f u l . I n p a r t i c u l a r , t h e y f o u n d b o t h p a t t e r n s o f c h a n g e i n d a t a a n d r a t e o f c h a n g e t o b e s a l i e n t c o n c e p t s . T o n i , S a m , a n d o t h e r s t u d e n t s r e l i e d o n t h i n k i n g a b o u t d y n a m i c c h a n g e s i n v a r i a b l e s t o r e a s o n a b o u t p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s . H o w t h e y u s e d t h e s e i d e a s d e p e n d e d o n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m , t h e f t m c t i o n c l a s s , a n d t h e t a s k a t h a n d . P a t t e r n s o f C h a n g e P a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w e r e p a r t i c u l a r l y s a l i e n t f o r s t u d e n t s i n t a b l e r e p r e s e n t a t i o n s , w h e t h e r o n p a p e r o r t h e c a l c u l a t o r , a n d i n s h a p e s o f g r a p h s . S t u d e n t s e m p l o y e d b o t h d y n a m i c a n d s t a t i c v e r s i o n s o f t h i s k i n d o f c o v a r i a t i o n a s a c o n c e p t t o r e a s o n w i t h , a s p a r t o f a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y , t o i d e n t i f y l i n e a r a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s , a n d t o m a k e c o n n e c t i o n s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s w i t h i n b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n c l a s s e s . W h e n w o r k i n g w i t h p a p e r v e r s i o n s o f t a b l e s , s t u d e n t s o f t e n c o m p u t e d o r d e s c r i b e d a p a t t e r n o f c h a n g e , e s p e c i a l l y i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . D u r i n g t h e s o r t 2 2 9 p r o b l e m b o t h S a m a n d T o n i u s e d p a t t e r n s o f c h a n g e v o l u n t a r i l y t o c l a s s i f y t a b l e s o r g r a p h s a s e i t h e r q u a d r a t i c o r l i n e a r . T h e y d e s c r i b e d p a t t e r n s o f d a t a f o r q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n t a b l e s o r g r a p h s a s g o i n g d o w n a n d t h e n u p ( o r v i c e v e r s a ) o r a s " t u r n i n g a r o u n d " a n d a s s o c i a t e d t h e m w i t h o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s f o r q u a d r a t i c o r l i n e a r f u n c t i o n s . R e c a l l t h a t S a m r e j e c t e d q u a d r a t i c f o r t h e k i n d o f f t m c t i o n f o r a t a b l e o n c a r d R b e c a u s e t h e d a t a d i d n o t r e v e r s e i t s e l f a n d g o b a c k u p . S a m d e s c r i b e d c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e f o r l i n e a r f u n c t i o n s i n t a b l e s a s e i t h e r c o n t i n u i n g t o i n c r e a s e o r c o n t i n u i n g t o d e c r e a s e . P e r i o d i c a l l y , h e i n c o r r e c t l y a t t r i b u t e d l i n e a r i t y t o n o n l i n e a r f t m c t i o n s b a s e d o n t h i s f e a t u r e o n l y . T o n i a l s o u s e d p a t t e r n o f c h a n g e f o r l i n e a r f u n c t i o n s t o c o n n e c t r e p r e s e n t a t i o n s . E a r l y i n t h e c o u r s e , w h e n s o l v i n g t h e A l i c e , B e a , C a r o l i n a P r o b l e m i n i n t e r v i e w 2 , T o n i b r i e fl y w a s c o n v i n c e d ( i n c o r r e c t l y ) t h a t t h e t a b l e ’ s g r a p h s h o u l d b e a s t r a i g h t l i n e b e c a u s e t h e p a t t e r n i n t h e t a b l e e n t r i e s f o r o u t p u t ( o n l y ) h a d e q u a l i n c r e m e n t s b e t w e e n e n t r i e s . W h i l e S a m w a s m o r e l i k e l y t o a t t e n d o n l y t o t h e p a t t e r n o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , T o n i w a s m o r e l i k e l y t o a c t u a l l y c a l c u l a t e t h e a m o u n t o f c h a n g e ( i n t a b l e s ) i n b o t h v a r i a b l e s a n d c o r r e c t l y a t t e n d t o t h e m a s a r a t e o f c h a n g e , n o t j u s t t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n o n e v a r i a b l e . O n c e d u r i n g t h e s o r t , w h i l e t r y i n g t o i l l u s t r a t e a n o n l i n e a r f u n c t i o n , T o n i p i c k e d o u t c a r d R w i t h a p a t t e r n o f n o n - e q u a l c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . S h e a t t e m p t e d t o j u s t i f y h e r c h o i c e b y c a l c u l a t i n g t h e r a t e o f c h a n g e . W h e n i t t u r n e d o u t t o b e e q u a l , s h e q u i c k l y r e v i s e d h e r c l a s s i fi c a t i o n t o l i n e a r . S o m e t i m e s s t u d e n t s u s e d p a t t e r n o f c h a n g e i n f u n c t i o n v a l u e s a s p a r t o f a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y , p a r t i c u l a r l y i n c a l c u l a t o r r e p r e s e n t a t i o n s o f g r a p h s . S a m u s e d t h e T R A C E f e a t u r e o n t h e c a l c u l a t o r g r a p h o f a q u a d r a t i c ( c a r d B ) , t o e x p l o r e t h e d a t a p a t t e r n i n t h e y - c o o r d i n a t e b e c a u s e h e f o u n d t h e g r a p h d i s p l a y e d p u z z l i n g . B o b , a n o t h e r f o c a l s t u d e n t , t w i c e u s e d t h e T R A C E f e a t u r e t o i n v e s t i g a t e t h e p a t t e r n o f d a t a ( i n y ) o n t h e g r a p h o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n i n t h e p r o fi t p r o b l e m o f i n t e r v i e w 3 . O n c e h e u s e d t h e p a t t e r n t o fi n d a s u i t a b l e v i e w i n g w i n d o w f o r h i s c u r r e n t g r a p h . 2 3 0 A n o t h e r t i m e h e u s e d i t a s p a r t o f a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y w h e n h e w a s s t u c k , s a y i n g h e t h o u g h t i f h e l o o k e d a t t h e p a t t e r n o f t h e n u m b e r s , i t m i g h t g i v e h i m a n i d e a f o r h o w t o p r o c e e d . R a t e s o f C h a n g e R a t e o f c h a n g e w a s a l s o a s a l i e n t c o n c e p t f o r s t u d e n t s , e s p e c i a l l y i n t a b l e s a n d g r a p h s . W h e n t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s e x t e n d e d t o i n c l u d e b o t h s e t s o f v a r i a b l e s i n a f u n c t i o n , i t b e c o m e s r a t e o f c h a n g e . S t u d e n t s a c c e s s e d r a t e o f c h a n g e i n c o l u m n s o f t a b l e s o r i n s l o p e s o f g r a p h s . A s w i t h p a t t e r n o f c h a n g e , s t u d e n t s e m p l o y e d b o t h d y n a m i c a n d s t a t i c v e r s i o n s o f r a t e o f c h a n g e a s a c o n c e p t t o r e a s o n w i t h o r a s p a r t o f a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y . T h e y u s e d i t t o m a k e c o n n e c t i o n s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s w i t h i n b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n c l a s s e s , t o c o n n e c t l i n e a r o r q u a d r a t i c f u n c t i o n c l a s s e s t o t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s ( e s p e c i a l l y t a b l e s a n d g r a p h s ) , a n d , i n a d d i t i o n , t o fi t s i t u a t i o n s t o g r a p h s f o r g e n e r a l f u n c t i o n s . W h e n w o r k i n g w i t h t a b l e s , T o n i a n d S a m i n i t i a t e d a c o v a r i a t i o n - s t a t i c p e r s p e c t i v e o f r a t e o f c h a n g e t o r e a s o n w i t h . T h e y c r e a t e d c a t e g o r i e s o f e q u a l c h a n g e , u n e q u a l c h a n g e , a n d i t " g o e s a l l o v e r " o r " d o e s s t r a n g e s t u f f , " t o o r g a n i z e f u n c t i o n s i n t o t h e c l a s s e s l i n e a r , q u a d r a t i c , o r " o t h e r , " a n d t o c o n n e c t t a b l e s t o g r a p h s . ( S o m e t i m e s S a m a n d o t h e r f o c a l s t u d e n t s c o n s i d e r e d o n l y p a t t e r n o f c h a n g e , n o t r a t e o f c h a n g e , i n t h e s e s i t u a t i o n s . ) I n c l a s s , i t w a s n o t e d t h a t l i n e a r f u n c t i o n s h a v e e q u a l ( r a t e o f ) c h a n g e w h e r e a s q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s h a v e u n e q u a l ( r a t e o f ) c h a n g e . E v e n t h o u g h s t u d e n t s h a d i n s u f fi c i e n t i n f o r m a t i o n t o d i s t i n g u i s h t h e t w o k i n d s o f u n e q u a l c h a n g e i n q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s a n d w e r e u n s u r e a b o u t h o w t h e s e t e r m s s h o u l d b e a p p l i e d t o o t h e r f u n c t i o n s , t h e y h a d a t l e a s t e n c a p s u l a t e d a c o n c e p t , t h e r a t e ( o r p a t t e r n ) o f c h a n g e r e p r e s e n t e d i n a t a b l e , a n d t h o u g h t o f t h e t a b l e a s a w h o l e , t h a t i s , a n e n t i t y t h a t r e p r e s e n t e d a p a r t i c u l a r k i n d o f f u n c t i o n o r g r a p h . M o r e w i l l b e s a i d a b o u t t h e s e c a t e g o r i e s o f e q u a l - u n e q u a l c h a n g e u n d e r d i s c u s s i o n o f s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n c l a s s e s . 2 3 1 S o m e t a s k s i n v o l v i n g t a b l e s , s u c h a s p r o b l e m 2 A - 2 , s e e k i n g a f u n c t i o n m l e f o r a l i n e a r f u n c t i o n r e p r e s e n t e d b y a t a b l e , l e n d t h e m s e l v e s n a t u r a l l y t o u s i n g r a t e o f c h a n g e . R a t e o f c h a n g e c a n b e f o u n d b y c o m p u t i n g v e r t i c a l c h a n g e p a t t e r n s w i t h i n e a c h c o l u m n o f t h e t a b l e a n d c o m p a r i n g t h e m , e i t h e r b y n o t i n g c h a n g e s i n y p e r u n i t c h a n g e i n x o r b y c o m p u t i n g a r a t i o o f c h a n g e b e t w e e n p a i r s o f t a b l e e n t r i e s . S t u d e n t s a t t e m p t e d t o u s e r a t e o f c h a n g e i n p r o b l e m 2 A - 2 , b u t h a d m i x e d s u c c e s s . I n t h a t p r o b l e m t h e o u t p u t d e c r e a s e d a s i n p u t i n c r e a s e d , r e q u i r i n g a n e g a t i v e m u l t i p l i e r ( - 5 ) o n x i n t h e r u l e f o r t h e r a t e o f c h a n g e . S a m , T o n i , a n d B o b a l l b e g a n b y d e s c r i b i n g c h a n g e s i n o u t p u t r e l a t i v e t o c h a n g e s o f o n e i n i n p u t , t h a t i s , a n a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e g i v e n v e r b a l l y a s d y n a m i c - c o v a r i a t i o n . B o t h T o n i a n d S a m d e s c r i b e d i t c o r r e c t l y . S a m i m m e d i a t e l y c o n n e c t e d - 5 t o i t s r o l e a s a m u l t i p l i e r o n t h e x i n t h e d e s i r e d r u l e . L a t e r w h e n a s k e d w h y h e h a d c h o s e n m u l t i p l i c a t i o n , r a t h e r t h a n s u b t r a c t i o n , h e s a i d , " i t g e t t h e r e f a s t e r . " H i s r e s p o n s e s u g g e s t s h e w a s t h i n k i n g b e y o n d a n a l g o r i t h m f o r p r o d u c i n g a l i n e a r f u n c t i o n r u l e f r o m t h e t a b l e t o t h i n k i n g e x p l i c i t l y a b o u t a r a t e o f c h a n g e , t h a t i s , r a t e a s a q u a n t i t y . T o n i , h o w e v e r , g o t s t u c k a n d c o u l d n o t c o r r e c t l y c o n n e c t t h e r a t e o f c h a n g e s h e h a d j u s t d e s c r i b e d t o a f u n c t i o n r u l e . B o t h s h e a n d E d y c h o s e t o s u b t r a c t 5 i n s t e a d o f m u l t i p l y i n g b y 5 i n t h e i r t e n t a t i v e r u l e s , p r o b a b l y b e c a u s e o f t h e d e c r e a s i n g p a t t e r n o f c h a n g e . B o b h a d d i f fi c u l t i e s w i t h t h e p r o b l e m t h a t w e r e a s s o c i a t e d w i t h d i s t i n c t i o n s b e t w e e n i n f o r m a l , e v e r y d a y w o r d s a n d m a t h e m a t i c a l u s e o f t h e s a m e t e r m s . H e s e e m e d t o u n d e r s t a n d t h e a l g o r i t h m f o r fi n d i n g a r u l e g i v e n i n c l a s s s i n c e h e d e s c r i b e d p a r a l l e l p a t t e r n s o f c h a n g e i n b o t h c o l u m n s a n d c o r r e c t l y c h o s e t o m u l t i p l y x b y h i s r a t e , 5 . H e h a d t r o u b l e , h o w e v e r , b e c a u s e h e h a d d e s c r i b e d t h e p a t t e r n i n t h e t a b l e a s " i n c r e a s i n g " ( m a g n i t u d e o n l y ) b y a f a c t o r o f 5 , r a t h e r t h a n " d e c r e a s i n g ” ( m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n ) b y a f a c t o r o f 5 . H i s e v e r y d a y l a n g u a g e w a s a t o d d s w i t h t h e m a t h e m a t i c a l u s e b e c a u s e i t d i d n o t i n c l u d e d i r e c t i o n . 2 3 2 I n c l a s s , s t u d e n t s h a d b e e n i n t r o d u c e d t o a p r o c e d u r e f o r c o m p u t i n g r a t e o f c h a n g e , w h i c h t h e y f o u n d p a r t i c u l a r l y s a l i e n t f r o m a c o v a r i a t i o n - d y n a m i c p e r s p e c t i v e . Y e t t h e y h a d d i f fi c u l t y c o n n e c t i n g r a t e o f c h a n g e t o i t s r o l e i n t h i s fi m c t i o n m l e . W h y ? O n e p o s s i b i l i t y i s t h e p r e s e n c e o f t h e n e g a t i v e m u l t i p l i e r , w h i l e m o s t o f t h e i r p r a c t i c e h a d b e e n w i t h p o s i t i v e n u m b e r s . F u r t h e r , t h e r e w a s i n t e r f e r e n c e f r o m e v e r y d a y l a n g u a g e u s e o f " i n c r e a s i n g " w i t h t h e r e s t r i c t e d m a t h e m a t i c a l u s e o f t h e t e r m . T e a c h e r s o f t e n u s e " i n c r e a s i n g " i n t h e s a m e w a y t h a t B o b d i d t o r e f e r t o i n c r e a s e i n m a g n i t u d e , b u t w i t h a b r i e f d i s c l a i m e r t o p o i n t o u t t h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e . O n c e B o b ’ s a t t e n t i o n w a s c a l l e d t o t h i s d i s t i n c t i o n b y m y a s k i n g w h e t h e r t h e n u m b e r s w e r e i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g , h e c h a n g e d h i s m u l t i p l i e r t o - 5 . S o h e k n e w t h e d i f f e r e n c e . B o b ’ s e a r l y c o m m e n t s i n d i c a t e t h a t t e a c h e r s c a n n o t a s s u m e s t u d e n t s w i l l a t t e n d t o t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n e v e n w h e n t h e y k n o w t h e d i f f e r e n c e . T o n i a n d E d y f o u n d t h e i r i n t u i t i v e n o t i o n o f " g o i n g d o w n b y fi v e " s t r o n g l y b o u n d t o s u b t r a c t i o n . E a c h g i r l t r a n s l a t e d d i r e c t l y t h e o p e r a t i o n e m b e d d e d i n t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e t a b l e , s u b t r a c t fi v e , i n t o t h e s a m e o p e r a t i o n i n t h e i r p r o p o s e d r u l e . E v e n t h o u g h t h e y k n e w t h e r e s h o u l d b e a c o n n e c t i o n b e t w e e n g o i n g d o w n b y fi v e a n d t h e r u l e , t h e y w e r e u n a b l e t o c o n n e c t t h e a d d i t i v e p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e t a b l e t o t h e m u l t i p l i c a t i v e c h a n g e i n t h e r u l e . T h i s r e s u l t i s c o n s i s t e n t w i t h t h a t f o u n d b y K a p u t ( 1 9 9 2 ) , w h e r e h e r e p o r t e d s t u d e n t s w o r k i n g w i t h a m o d i fi e d v e r s i o n o f a c o m p u t e r p r o g r a m t o g u e s s f u n c t i o n r u l e s , w h e n g i v e n o u t p u t f o r i n p u t g u e s s e s ( t a b l e e n t r i e s ) , t e n d e d t o t r a n s l a t e d i r e c t l y f r o m n a t u r a l l a n g u a g e d e s c r i p t i o n s o f a n o p e r a t i o n d i r e c t l y t o i t s a l g e b r a i c f o r m . I n t h i s c a s e , E d y a n d T o n i t r a n s l a t e d " g o i n g d o w n b y fi v e " t o s u b t r a c t fi v e . F u r t h e r , K a p u t ’ s d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f K G , a s t u d e n t , i n d i c a t e d t h a t n e g a t i v e m u l t i p l i e r s g a v e h e r m o r e . d i f fi c u l t y t h a n p o s i t i v e o n e s . W h i l e a l l s t u d e n t s f o u n d r a t e o f c h a n g e s a l i e n t a n d a t t e m p t e d t o u s e i t i n t h e p r o b l e m s o l u t i o n , a n d b o t h S a m a n d B o b w e r e a b l e t o c o n n e c t i t t o a m u l t i p l i e r i n t h e p r o p o s e d f u n c t i o n r u l e , o n l y S a m i m p l i e d r a t e o f 2 3 3 c h a n g e w a s a c t u a l l y a s p e c i fi c r a t e w h e n h e a s c r i b e d a s p e e d t o t h e c h a n g e a n d a p p l i e d h i s o r d e r f o r v a r i o u s r a t e s o f c h a n g e t o a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s . A l t h o u g h t h e r e w e r e s p e c i fi c a t t r i b u t e s o f t h i s p r o b l e m , s u c h a s m u l t i p l i c a t i o n b y a n e g a t i v e , t h a t m i g h t h a v e c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s ’ t r o u b l e , a n o t h e r p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e i r d i f fi c u l t y i s t h a t s t u d e n t s w e r e a t t e m p t i n g t o g o f r o m a t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n t h a t t h e y s a w d y n a m i c a l l y a s a c o v a r i a t i o n o f t w o s e t s o f n u m b e r s t o a r u l e r e p r e s e n t a t i o n , a s t a t i c e n t i t y , t h a t t h e y g e n e r a l l y v i e w e d f r o m a c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e . T h u s , t o m a k e t h i s t r a n s i t i o n , t h e y w o u l d n e e d t o m a k e a t r a n s i t i o n a c r o s s p e r s p e c t i v e s f r o m c o v a r i a t i o n - d y n a m i c t o c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c , a p p a r e n t l y n o t a n e a s y t r a n s i t i o n . I n a d d i t i o n t o a c c e s s i n g r a t e o f c h a n g e i n t a b l e s , s t u d e n t s f r e q u e n t l y u s e d i t w h e n t h e i r t a s k w a s t o c h o o s e a n d j u s t i f y t h e fi t o f a g r a p h ( o f a g e n e r a l f u n c t i o n ) t o a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a s i t u a t i o n . R e c a l l t h a t T o n i w a s q u i t e fl u i d i n h e r a b i l i t y t o c o o r d i n a t e t h e s h a p e o f a g r a p h w i t h a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f a s i t u a t i o n i n a l l s u c h p r o b l e m s s h e w a s g i v e n . I n t h e T i m a n d D o n n a p r o b l e m , w h e r e t h e g r a p h w a s d i s t a n c e o v e r t i m e , a n d s p e e d w a s g i v e n i n d i r e c t l y t h r o u g h a d e s c r i p t i o n o f m o d e o f t r a v e l , e i t h e r w a l k i n g o r r u n n i n g , S a m , T o n i , a n d B o b a l l r e l i e d o n b e i n g a b l e t o c o o r d i n a t e a d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g e i n r a t e ( s p w d ) o f c h a n g e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( d i s t a n c e o v e r t i m e ) w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g e i n s l o p e o f t h e g r a p h t o j u s t i f y t h e i r m a t c h e s . B e i n g a b l e t o v e r b a l i z e t h i s m a t c h s e e m e d t o h e l p t h e m f e n d o f f d i s t r a c t o r s i n t h e g r a p h i t s e l f , n a m e l y , t h a t t h e g r a p h c o n t i n u e d t o r i s e w h i l e t h e s p w d ( r a t e o f c h a n g e i n d i s t a n c e / t i m e ) w e n t d o w n , a c o m m o n r e a c t i o n i n s t u d e n t s w h e n a t t e m p t i n g t h e s a m e t a s k o r a s i m i l a r t a s k ( B e l l , B r e k k e , & S w a n , 1 9 8 7 ; E v e n , 1 9 8 9 ; J a n v i e r , 1 9 7 8 ; K e r s l a k e , 1 9 8 1 ) . M o r e w i l l b e s a i d a b o u t t h e r o l e o f l a n g u a g e l a t e r . A l t h o u g h s t u d e n t s r e c o g n i z e d t h a t a s t e e p s l o p e w a s c o n n e c t e d t o a f a s t r a t e o f c h a n g e , a s t a t i c v e r s i o n o f c o v a r i a t i o n , t h e y t h o u g h t a b o u t r a t e o f c h a n g e a s d y n a m i c , 2 3 4 r a t h e r t h a n s t a t i c . W h e n a s k e d w h y a s t e e p s l o p e w a s a s s o c i a t e d w i t h r u n n i n g ( i n T i m a n d D o n n a P r o b l e m ) , b o t h T o n i a n d B o b d e p i c t e d r a t e o f c h a n g e d y n a m i c a l l y a s c o v e r i n g m o r e d i s t a n c e i n s h o r t e r t i m e . R a t h e r t h a n d e s c r i b i n g c h a n g e i n d i s t a n c e p e r u r t i t c h a n g e i n t i m e o r a s a fi x e d r a t i o , a s i s u s u a l l y g i v e n i n d e fi n i t i o n s o f r a t e o f c h a n g e , t h e y d e s c r i b e d t h e c o o r d i n a t i o n o f t w o s e p a r a t e v a r i a t i o n s , c h a n g e s i n d i s t a n c e r e l a t i v e t o c h a n g e s i n t i m e . R e c a l l e v e n w h e n s t u d e n t s c o m p u t e d c h a n g e i n o u t p u t p e r u n i t c h a n g e i n t a b l e s , t h e y d e s c r i b e d i t d y n a m i c a l l y i n t e r m s o f e a c h v a r i a b l e : o u t p u t c h a n g e s b y s o m u c h a s i n p u t c h a n g e s b y s o m u c h . T h e y s e e m e d n o t t o s e e r a t e o f c h a n g e a s a s i n g l e q u a n t i t y . I n a d d i t i o n t o u s i n g d e s c r i p t i o n s t o c o o r d i n a t e t h e s a m e r a t e o f c h a n g e i n t h e t w o r e p r e s e n t a t i o n s , v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s a n d g r a p h s , b o t h S a m a n d T o n i a t t e n d e d p r i n c i p a l l y t o o n l y o n e v a r i a b l e w h e n r e a s o n i n g a b o u t g r a p h s i n a d y n a m i c w a y . A l s o , w h e n t h e y w e r e s u c c e s s f u l , t h e y r e l i e d o n e x p e r i e n c i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t e m p o r a l l y . F o r e x a m p l e , i n e a c h i n t e r v i e w p r o b l e m , e i t h e r t i m e w a s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( T i m a n d D o n n a p r o b l e m ) , o r a s i n b o t h p r o b l e m s o f i n t e r v i e w 2 , T o n i c h o s e t o i n t e r p r e t t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a s p a s s a g e o f t i m e . I n t h e g u i t a r p r o b l e m , s h e l i t e r a l l y r e n a m e d ” a m o u n t o f p r a c t i c e , " t i m e . I n t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m , T o n i r e l i e d o n d e s c r i b i n g d i f fi c u l t y o f w o r k a s c h a n g i n g o v e r t i m e f o r s o m e g r o u p ( o f s t u d e n t s ) i n j u s t i f y i n g h e r c h o i c e . H e r f a c i l i t y a t fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s s o fl u i d l y m a y h a v e b e e n d u e i n p a r t t o h e r a b i l i t y t o c h o o s e a s u i t a b l e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h a t c o u l d b e e x p e r i e n c e d t e m p o r a r i l y . I n t h a t c a s e , i n c r e a s i n g h o r i z o n t a l c h a n g e s a r e c o n s i s t e n t w i t h p a s s a g e o f t i m e w h e n v i e w i n g o r s k e t c h i n g a g r a p h f r o m l e f t t o r i g h t . B o t h c h a n g e i n s i t u a t i o n v a r i a b l e a n d t h e p a s s a g e o f t i m e c a n b e e x p e r i e n c e d i n t u i t i v e l y a n d s i m u l t a n e o u s l y , w i t h o u t m u c h o v e r t a t t e n t i o n . T h u s a t t e n t i o n i s f r w d u p t o d e a l w i t h o t h e r a s p e c t s o f t h e p r o b l e m , s u c h a s c o o r d i n a t i n g t h e r a t e o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h t h e s l o p e o f t h e g r a p h w i t h o u t g e t t i n g c o n f u s e d o r d i s t r a c t e d b y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e e i t h e r t h e 2 3 5 s i t u a t i o n o r t h e g r a p h . T h i s r e s u l t , t i m e a s i n d e p e n d e n t v a r i a b l e f a c i l i t a t i n g g r a p h i n g , i s c o n s i s t e n t w i t h t h a t r e p o r t e d b y L e i n h a r d t , Z a s l a v s k y , a n d S t e i n ( 1 9 9 0 ) . W i t h s l i g h t l y m o r e d i f fi c u l t y , S a m c o u l d fi t g r a p h s t o s i t u a t i o n s a s w e l l , a s l o n g a s h e c o u l d v i s u a l i z e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a s i n c r e a s i n g o v e r t i m e . H i s d i f fi c u l t y i n t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m c a m e a b o u t i n p a r t b e c a u s e h e fi r s t c h o s e e d u c a t i o n a l v a l u e f o r t h e x - a x i s . Y e t e d u c a t i o n a l v a l u e d i d n o t c o n t i n u o u s l y i n c r e a s e a s d i f fi c u l t y o f w o r k c h a n g e d . I t w e n t u p a n d d o w n , s o S a m c o u l d n o t u s e t h i s s t r a t e g y o f " i g n o r i n g " t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , e d u c a t i o n a l v a l u e , w h i l e c h a r t i n g c h a n g e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , d i f fi c u l t y o f w o r k , a s t r a t e g y t h a t h e u s e d i n t a b l e s a n d o t h e r p a t t e r n s o f d a t a . O n c e h e d e c i d e d t o s e l e c t a n o t h e r g r a p h p u t t i n g d i f fi c u l t y o f w o r k o n t h e h o r i z o n t a l s o t h a t v a r i a b l e c o u l d b e v i e w e d i n t u i t i v e l y o r e x p e r i e n c e d t a c i t l y a s i n c r e a s i n g , h e w a s s u c c e s s f u l w i t h h i s m a t c h . H e c o u l d t h e n t h i n k o f e d u c a t i o n a l v a l u e a s g o i n g u p a n d c o m i n g d o w n a g a i n a s i t d i d i n b o t h t h e s i t u a t i o n a n d t h e g r a p h t h a t h e h a d c h o s e n w h i l e g i v i n g o n l y t a c i t a t t e n t i o n t o d i f fi c u l t y o f w o r k , w h i c h h e d e s c r i b e d a s c h a n g i n g o v e r t i m e . A t t e n d i n g t o e i t h e r p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e d a t a o r r a t e o f c h a n g e s e e m e d n a t u r a l t o t h e s e s t u d e n t s . T h e s e c o n c e p t s a r e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h t o f u n c t i o n s . B o t h S a m a n d T o n i w e r e s u c c e s s f u l i n p a r t b e c a u s e t h e y w e r e a b l e t o f o c u s t h e i r a t t e n t i o n p r i n c i p a l l y o n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , w h i l e g i v i n g o n l y c u r s o r y a t t e n t i o n t o t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h i s p a t t e r n o f r e a s o n i n g i s s i m i l a r t o w h a t t h o s e f a m i l i a r w i t h t h e s e c o n c e p t s m i g h t i n v o k e w h e n fi t t i n g s i t u a t i o n s t o g r a p h s i n a fl u i d w a y . W h e n w o r k i n g w i t h t a b l e s , s t u d e n t s u s e d t h i s s a m e i n t u i t i v e , d y n a m i c a p p r o a c h t o f u n c t i o n s , w h e r e m o s t o f t h e i r a t t e n t i o n w a s o n t h e v a r i a t i o n o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h l i t t l e o n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n s u c h c a s e s i t i s e a s y t o s e e w h y s t u d e n t s m i g h t c o n f u s e l i n e a r a n d n o n l i n e a r f u n c t i o n s . T h e v a r i a t i o n i t s e l f d r a w s m o s t o f t h e i r a t t e n t i o n , a n d t h e y m i g h t t a c i t l y a s s m n e t h e o t h e r v a r i a b l e i n t h e 2 3 6 t a b l e i s i n c r e a s i n g s t e a d i l y b y s i n g l e u n i t s . S i n c e r e g u l a r i n c r e m e n t s i n x a r e n e c e s s a r y t o s e e t h e r e g u l a r i t y o f c h a n g e i n y , f o r y = f ( x ) , s t u d e n t s l i k e l y s e e f a r m o r e e x a m p l e s i n c l a s s w h e r e i t i s u n n e c e s s a r y t o a t t e n d t o t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h a n o t h e r w i s e . G i v e n t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s , p a r t i c u l a r l y t h e h e a v y u s e o f t a b u l a r r e p r e s e n t a t i o n s w h e r e c h a n g e c o u l d b e r e a d i l y c o m p u t e d , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h e n t h a t c e r t a i n c o n c e p t s , s u c h a s r a t e o f c h a n g e i n v a r i a b l e s o r p a t t e r n o f c h a n g e i n d a t a , w e r e s a l i e n t f o r a l l f o c a l s t u d e n t s . L a n g u a g e a s M e d i a t o r i n R e a s o n i n g a b o u t C h a n g e N a t u r a l l a n g u a g e fi g u r e d p r o m i n e n t l y i n s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g w i t h a c o v a r i a t i o n a p p r o a c h . T h e y r e l i e d o n i t w h e n w o r k i n g w i t h b o t h p a t t e r n s o r r a t e o f c h a n g e . I n a d d i t i o n , n a t u r a l l a n g u a g e s o m e t i m e s c o n f o u n d e d p r o b l e m s o l v i n g . S t u d e n t s d e p e n d e d o n d e s c r i p t i o n s o f p a t t e r n s i n t a b l e s t o d i s t i n g u i s h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . I n p r o b l e m 2 A - 2 ( d i s c u s s e d a b o v e ) , t o fi n d a r u l e f o r a l i n e a r f u n c t i o n g i v e n i n a t a b l e , t h e t a s k c o u l d b e t h o u g h t o f p r o c e d u r a l l y , b u t i t h a d b e c o m e c o m p l e x f o r s t u d e n t s b e c a u s e t h e y h a d e i t h e r a n i n c o m p l e t e o r n o w o r k i n g a l g o r i t h m f o r i t . I n a t t e m p t i n g t o c o o r d i n a t e c h a n g e h e r e i n m o r e t h a n o n e r e p r e s e n t a t i o n , t h e y r e l i e d o n t h e a m o u n t o f c h a n g e a n d a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f t h e s e n s e o f t h e c h a n g e , b o t h s p e e d a n d d i r e c t i o n . S a m h a d a n i n f o r m a l n o t i o n a b o u t t h e r a t e o f c h a n g e a s " s p w d " o f r e a c h i n g a d e s t i n a t i o n , t h a t i s , h o w f a s t n u m b e r s c h a n g e d . H e s e e m e d t o h a v e a n o r d e r i n g f o r t h e r a t e o f c h a n g e c o n n e c t e d t o o p e r a t i o n s s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , a n d e x p o n e n t i a t i o n , g o i n g f r o m s l o w t o r a p i d c h a n g e , r e s p e c t i v e l y . S a m t h o u g h t o f d a t a i n t a b l e s a s " g e t t i n g t h e r e f a s t e r " a n d d e s c r i b e d t h e c h a n g e a l o u d : " e v e r y t i m e t h i s o n e r i s e o n e , t h a t o n e r i s e — . I t g o d o w n . I t g o d o w n fi v e . " T h e c o m b i n a t i o n a l l o w e d h i m t o q u i c k l y c h o o s e - 5 a s t h e c o r r e c t c o e f fi c i e n t f o r x i n t h e e q u a t i o n . W h i l e h e m i g h t s i m p l y h a v e b e e n d e s c r i b i n g t h e s e c h a n g e s , h e s e e m e d t o u s e t h e l a n g u a g e a s a m e a n s o f o r d e r i n g . R e c a l l B o b c o n f o u n d e d h i s a b i l i t y t o fi n d a c o r r e c t m u l t i p l i e r b y u s i n g e v e r y d a y l a n g u a g e " i n c r e a s i n g " r a t h e r t h a n m a t h e m a t i c a l 2 3 7 l a n g u a g e " d e c r e a s i n g " t h a t i s n e c e s s a r y t o a v o i d c o n f u s i o n w i t h n e g a t i v e n u m b e r s i n c r e a s i n g i n m a g n i t u d e a s t h e y g e t s m a l l e r . H e r e m a i n e d s t u c k o n + 5 u n t i l I h e l p e d h i m r e a l i z e t h a t h i s t a b l e h a d t o b e t h o u g h t o f a s d e c r e a s i n g , t h u s c r e a t i n g a c l o s e r m a t c h b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c a l r a t e o f c h a n g e a n d h i s e v e r y d a y d e s c r i p t i o n o f i t . W h e n s t u d e n t s ’ t a s k s w e r e fi t t i n g s i t u a t i o n s t o g r a p h s , a s d i s c u s s e d a b o v e , t h e i r r e a s o n i n g w a s a l s o m e d i a t e d b y u s e o f n a t u r a l l a n g u a g e d e s c r i p t i o n s o f c h a n g e s t o c o o r d i n a t e t h o s e i n t h e g r a p h w i t h t h o s e i n t h e s i t u a t i o n . T h e y h a d t o c o o r d i n a t e c h a n g e i n a q u a n t i t y t h a t r e p r e s e n t e d r a t e o f c h a n g e i n v a r i a b l e s w i t h t h o s e o n t h e g r a p h , a n d u s i n g d e s c r i p t i o n s s e e m e d e s s e n t i a l t o a v o i d d i s t r a c t o r s . I n t h e D o n n a p r o b l e m , E v e n ( 1 9 8 9 ) r e p o r t e d t h a t c o l l e g e m a t h e m a t i c s m a j o r s w h o w e r e p r o s p e c t i v e t e a c h e r s w e r e d i s t r a c t e d b y t h e s u p e r fi c i a l f e a t u r e s o f t h e g r a p h a n d s w i t c h e d t o a g r a p h o f s p e e d . R e c a l l t h a t S a m b e g a n t h i s w a y , b u t o n c e h e r e a l i z e d h e w a s d e s c r i b i n g a g r a p h o f s p e e d , h e c o r r e c t l y s w i t c h e d t o d i s t a n c e a n d d e s c r i b e d a m a t c h — - a l b e i t f r a g i l e - - b y c o o r d i n a t i n g d e s c r i p t i o n s . H i s r e a s o n i n g , t o o , w a s m e d i a t e d b y l a n g u a g e . T h e s e r e s u l t s f o r t r a n s l a t i n g s i t u a t i o n s i n t o g r a p h s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h o s e f o u n d b y J a n v i e r ( 1 9 7 8 ) , w h o r e p o r t e d l a n g u a g e a s a m e d i a t o r i n s e v e r a l c o m p l e x t r a n s l a t i o n t a s k s , p a r t i c u l a r l y w h e r e s t u d e n t s h a d t o s e l e c t f r o m a m o n g s e v e r a l i n s t a n c e s o f a g r a p h a n d n e e d e d t o c o o r d i n a t e c h a n g e s . H e f o u n d i n h i s c l a s s i c r a c i n g c a r t a s k ( t o c h o o s e a n a p p r o p r i a t e r a c i n g c a r t r a c k f r o m a m o n g s e v e r a l f o r a g r a p h o f t h e c a r ’ s s p w d o v e r t i m e ) t h a t s t u d e n t s c o u l d n o t t r a n s l a t e b a s e d o n l y o n v i s u a l c u e s , b u t n w d e d t o b o t h v e r b a l l y s u m m a r i z e t h e t r a c k s a n d s p e a k t h e m a l o u d w h i l e a t t e m p t i n g t h e c o o r d i n a t i o n . H e p o i n t e d o u t t h a t s i n c e t h e m i n d c a n n o t f o c u s o n b o t h r e p r e s e n t a t i o n s - t h e g r a p h a n d t h e p i c t u r e - s i m u l t a n e o u s l y , s o m e s t r a t e g y h a d t o b e i n v e n t e d . V e r b a l d e s c r i p t i o n s w a s o n e . C l e a r l y , m a t c h i n g a g r a p h w i t h a r a c e t r a c k i s a d i f f e r e n t t r a n s l a t i o n t a s k t h a n t h e o n e h e r e , b u t b o t h t h i s t a s k a n d t h e r a c i n g c a r t a s k i n v o l v e t w o s e p a r a t e r e p r e s e n t a t i o n s . I n D o n n a ’ s c a s e ( T i m a n d D o n n a 2 3 8 P r o b l e m ) , t h e r e i s a g r a p h o f d i s t a n c e o v e r t i m e , a n d a d e s c r i p t i o n o f t r a v e l i n g m o d e ( s p e e d g i v e n i n d i r e c t l y ) , t h a t i s , r a t e o f c h a n g e f o r d i s t a n c e o v e r t i m e . T h e r e a r e s i m i l a r i t i e s , i n e a c h , h o w e v e r . I n D o n n a ’ s , a p o s i t i o n ( d i s t a n c e ) i s c h a n g i n g a n d m u s t b e c o n n e c t e d i n d i r e c t l y t o i t s r a t e o f c h a n g e ( s p w d ) b y c o o r d i n a t i n g t w o r e p r e s e n t a t i o n s o f i t , a n i n d i r e c t v e r b a l d e s c r i p t i o n a n d t h e s l o p e o f a g r a p h . I n t h e I ' [ J I r a c e c a r p r o b l e m , a s p e e d i s c h a n g i n g a n d i t s c h a n g e ( ) m u s t b e c o n n e c t e d i n d i r e c t l y t o i t s r a t e t h r o u g h i t s p o s i t i o n a n d v i s u a l c u e s a b o u t s h a r p n e s s o f c o m e r s a n d l e n g t h s o f s t r a i g h t a w a y s . I n a n y c a s e , J a n v i e r ’ s w o r k g i v e s s u p p o r t f o r t h e t a s k b e i n g c o m p l e x e n o u g h t o r e q u i r e m e d i a t o r s a n d s t r a t e g i e s t o d e a l w i t h t h e p r o b l e m c o m p l e x i t y . L a n g u a g e i s o n e , a n d a s w e h a v e s e e n a b o v e , a s t r a t e g y t o n a r r o w t h e f o c u s o f a t t e n t i o n t o o n l y o n e v a r i a b l e i s a n o t h e r . L e v e l s o f W h o l e n e s s A c c e s s i n g d y n a m i c p a t t e r n s o f c h a n g e r e q u i r e s a t t e n d i n g t o a p a t t e r n i n t h e r e p r e s e n t a t i o n a s a w h o l e . E v e n t h o u g h i t m a y r e q u i r e i n d i v i d u a l c o m p u t a t i o n s b e t w e e n p a i r s o f y ’ s o r r e a d i n g o f f i n d i v i d u a l y ’ s , i t i s f o c u s e d o n a t r e n d i n t h e w h o l e t a b l e . S i m i l a r l y , w h e n u s i n g d y n a m i c c o v a r i a t i o n t o fi t a s i t u a t i o n t o a g r a p h , a t t e n t i o n i s o n m o v i n g a c r o s s t h e g r a p h a s a w h o l e . T h u s , i n e a c h c a s e , a t t e n t i o n i s , a t l e a s t i m p l i c i t l y , o n e n t i t i e s r a t h e r t h a n i n s t a n c e s o f a f u n c t i o n . O b j e c t l e v e l s o f w h o l e n e s s w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r u n d e r c o h e r e n c e w i t h i n t h e f u n c t i o n c o n c e p t . S u m m a r y S t u d e n t s f o u n d c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s , e s p e c i a l l y d y n a m i c v e r s i o n s , u s e f u l i n t a b l e s a n d g r a p h s . T h e y u s e d b o t h d y n a m i c a n d s t a t i c v e r s i o n s o f p a t t e r n s o r r a t e o f c h a n g e t o r e a s o n w i t h , a s a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y , t o i d e n t i f y f u n c t i o n c l a s s e s a n d t o c o n n e c t m o r e t h a n o n e r e p r e s e n t a t i o n o f a f u n c t i o n . T h e y u s e d o v e r a l l p a t t e r n s o f c h a n g e i n d a t a i n t a b l e s t o c o n n e c t t a b l e s a n d s h a p e o f g r a p h f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d t o e x p l o r e t h e b e h a v i o r o f c a l c u l a t o r g r a p h s . T h e y u s e d a s t a t i c v e r s i o n o f e q u a l r a t e o f c h a n g e t o s e p a r a t e l i n e a r f r o m o t h e r k i n d s o f f u n c t i o n s . T h e c o n c e p t 2 3 9 o f u n e q u a l r a t e ( p a t t e r n s ) o f c h a n g e w a s p r o b l e m a t i c f o r s t u d e n t s , p r o b a b l y b e c a u s e o f h o w i t w a s t a u g h t w h e r e i n s u f fi c i e n t d i s t i n c t i o n s w e r e m a d e b e t w e e n i t s c h a r a c t e r i s t i c s i n q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S o m e t i m e s s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f p a t t e r n o f c h a n g e w a s r o b u s t a n d c o n n e c t e d t o r a t e o f c h a n g e a n d o t h e r t i m e s i t w a s n o t . S t u d e n t s h a d m i x e d s u c c e s s i n c o n n e c t i n g d y n a m i c r a t e o f c h a n g e i n a t a b l e w i t h s t a t i c r a t e o f c h a n g e i n a c o r r e s p o n d e n c e ( r u l e ) , i n p a r t b e c a u s e o f c o n fl i c t b e t w e e n e v e r y d a y a n d m a t h e m a t i c a l u s e o f l a n g u a g e , b u t p o s s i b l y b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f a n e g a t i v e m u l t i p l i e r . I n b o t h t a b l e s a n d g r a p h s , s t u d e n t s s a w r a t e o f c h a n g e d y n a m i c a l l y a s t w o s e t s o f n u m b e r s v a r y i n g . W h e n s t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , t h e y d e p e n d e d o n b e i n g a b l e t o t h i n k p r i n c i p a l l y i n t e r m s o f v a r i a t i o n o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w h i l e e x p e r i e n c i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t e m p o r a l l y . L a n g u a g e s e r v e d a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e s e c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s . S t u d e n t s u s e d v e r b a l d e s c r i p t i o n s t o c o o r d i n a t e c h a n g e s i n t h e s t e e p n e s s o f t h e g r a p h w i t h c h a n g e s i n t h e s i t u a t i o n t o j u s t i f y t h e fi t . T h e y n a m e d s t a t i c c a t e g o r i e s o f c h a n g e , u s e d l a n g u a g e t o ' d e s c r i b e p a t t e r n s ( s o m e t i m e s i n a p r o b l e m a t i c w a y ) , a n d r e l i e d h e a v i l y o n l a n g u a g e t o c o o r d i n a t e t h e t w o r e p r e s e n t a t i o n s w h e n fi t t i n g s i t u a t i o n s t o g r a p h s . F i n a l l y , w h e n s t u d e n t s t a k e c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s , g e n e r a l l y t h e i r a t t e n t i o n i s o n e i t h e r s t a t i c o r d y n a m i c p a t t e r n s i n a t a b l e a s a w h o l e o r c h a n g e s i n s l o p e a c r o s s a g r a p h a s a w h o l e , t h u s , a t t e n d i n g t o e n t i t i e s i s i n h e r e n t i n t h e s e p e r s p e c t i v e s o f f u n c t i o n s . C o h e r e n c e a n d C o n n e c t i o n s i n F u n c t i o n s a n d F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s i n P r o b l e m s M a n y p r o b l e m t a s k s , i n c o m b i n a t i o n w i t h r e p r e s e n t a t i o n s g i v e n , l e n d t h e m s e l v e s t o t a k i n g e i t h e r a c o r r e s p o n d e n c e o r c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e w h e r e s t u d e n t s m i g h t b e e x p e c t e d t o a t t e n d t o i n d i v i d u a l i n s t a n c e s o r t o t h e f u n c t i o n o r r e p r e s e n t a t i o n a s a w h o l e , r e s p e c t i v e l y . Y e t i n a n y p r o b l e m i n v o l v i n g f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , a s u c c e s s f u l p r o b l e m s o l v e r m o v e s fl u i d l y b e t w e e n d e t a i l e d , i s o l a t e d p i e c e s a n d l a r g e r , 2 4 0 c o h e r e n t w h o l e s . A t e a c h e r w o u l d e x p e c t s t u d e n t s t o c o n n e c t f u n c t i o n c o n c e p t s t o b o t h p i e c e s a n d w h o l e s o f r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e c h a n g e b e t w e e n t w o p a i r s o f y - v a l u e s i n a t a b l e ( f o r c o n s t a n t c h a n g e i n x - v a l u e s ) m u s t b e e q u a l f o r t h e f u n c t i o n r e p r e s e n t e d t o b e l i n e a r , a n d t h i s p a t t e r n m u s t e x i s t f o r t h e t a b l e a s a w h o l e . I n a d d i t i o n , a t e a c h e r w o u l d l i k e s t u d e n t s t o p e r f o r m c o n s i s t e n t l y a c r o s s b o t h r e p r e s e n t a t i o n s a n d f u n c t i o n c l a s s e s a n d w o u l d l i k e s t u d e n t s t o p e r f o r m s i m i l a r t a s k s c o n s i s t e n t l y , e s p e c i a l l y w i t h i n t h e s a m e f u n c t i o n c l a s s o r r e p r e s e n t a t i o n c l a s s . U n d e r s t a n d i n g f u n c t i o n s t h u s i n v o l v e s c o h e r e n c e a m o n g a n d b e t w e e n i d e a s a n d m a k i n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n , a m o n g , a n d w i t h i n f u n c t i o n c l a s s e s , r e p r e s e n t a t i o n c l a s s e s , f u n c t i o n c o n c e p t s , a n d p r o b l e m t a s k s . T h i s s e c t i o n , b r o k e n i n t o f o u r s e g m e n t s , d i s c u s s e s h o w c o h e r e n t o r c o n n e c t e d w a s s t u d e n t t h i n k i n g . T h e fi r s t s e g m e n t d i s c u s s e s m a i n l y c o h e r e n c e i n p r o b l e m s o l v i n g , t h a t i s , c o n s i s t e n c y b e t w e e n , a m o n g , a n d a c r o s s p r o b l e m s i n v o l v i n g s i m i l a r t a s k s , c o n c e p t s , o r r e p r e s e n t a t i o n s . I t a d d r e s s e s c o n n e c t i o n s b e t w e e n c o n c e p t s a n d r e p r e s e n t a t i o n s . T h e s e c o n d s e g m e n t d i s c u s s e s a s p e c i fi c e x a m p l e a b o u t g r a p h i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s b y h a n d w h e r e c o n n e c t i o n s a r e c l e a r l y m i s s i n g . T h e t h i r d s e g m e n t a d d r e s s e s c o h e r e n c e w i t h i n a s i n g l e f u n c t i o n c l a s s b e t w e e n a n d a m o n g r e p r e s e n t a t i o n s , c o n c e p t s , a n d t a s k s . T h e f o u r t h s e g m e n t , u s i n g t h e l e v e l s o f w h o l e n e s s p e r s p e c t i v e t o f r a m e d i s c u s s i o n , e x a m i n e s c o h e r e n c e w i t h i n t h e f u n c t i o n c o n c e p t a n d , f o r c o m p l e t e n e s s , d i s c u s s e s t h e c o n c e p t s d o m a i n a n d r a n g e a n d t h e i r c o n n e c t i o n t o t h e f u n c t i o n c o n c e p t . P i e c e m e a l D r i n k i n g F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e , i f s t u d e n t s a r e t o h a v e a c o n n e c t e d u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s , t h e y n e e d t o m a k e c o n n e c t i o n s i n t h e i r p r o b l e m s o l v i n g b e t w e e n , a m o n g , a n d a c r o s s s i m i l a r p r o b l e m t a s k s , c o n c e p t s , o r r e p r e s e n t a t i o n s , a n d b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s a n d c o n c e p t s . F o r s t u d e n t s i n t h i s s t u d y , m u c h o f t h e i r t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s w a s p i e c e m e a l a n d d i s c o n n e c t e d . A l t h o u g h i n s o m e i n t e r v i e w p r o b l e m s , A 2 4 1 s u c h a s 1 - 1 , G o i n g t o S c h o o l , a n d t h e p r o b l e m s i n v o l v i n g fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s w h e r e T o n i h a d g o o d o v e r a l l s t r a t e g i e s f o r h e r p r o b l e m s o l v i n g , g e n e r a l l y h e r t h i n k i n g f o c u s e d o n s i n g l e p r o c e d u r e s , c o m p u t a t i o n s , o r s o m e d e t a i l e d a s p e c t o f a r e p r e s e n t a t i o n . F o r e x a m p l e , i n t h e p r o fi t p r o b l e m , w h i c h t o o k m o r e t h a n h a l f t h e p a g e t o s t a t e a n d i n v o l v e d t w o s e p a r a t e f u n c t i o n r u l e s , T o n i s t a r t e d s i m p l y b y m u l t i p l y i n g o u t t h e p o l y n o m i a l , ( t - 3 ) 2 + 7 0 0 ( t - 3 ) — 2 0 0 , s a y i n g , " I ’ m d o i n g t h i s o n e r i g h t h e r e , " a s i f s h e h a d a n e q u a t i o n t o s o l v e . R e c a l l t h a t i n t h e A l i c e , B e a , C a r o l i n a p r o b l e m o f i n t e r v i e w 2 , T o n i w a s s o f o c u s e d o n t h e s c a l e b e i n g e q u a l f o r e a c h a x i s t h a t s h e r e j e c t e d B e a ’ s g r a p h a s a v a l i d m a t c h t o a g r a p h w i t h a n a l m o s t i d e n t i c a l s h a p e t h a t s h e h e r s e l f h a d j u s t c r e a t e d b y p l o t t i n g p o i n t s f r o m t h e t a b l e g i v e n . S h e i n s i s t e d B e a ’ s s c a l e w a s w r o n g - - e v e n t h o u g h n o s c a l e w a s g i v e n . W h e n t a s k s d i f f e r e d , T o n i w a s u n a b l e t o c o n n e c t c o n c e p t s f o r t h e s a m e t y p e f t m c t i o n i n t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n s . F o r e x a m p l e , w h e n s h e w a s a s k e d i n p o s t t e s t p r o b l e m 1 2 t o s e l e c t t h e g e n e r a l s y m b o l i c f o r m , y = a x + b ( f r o m a m o n g t h o s e f o r q u a d r a t i c s a n d e x p o n e n t i a l s ) f o r a t a b l e r e p r e s e n t i n g a l i n e a r f u n c t i o n , s h e s a w t h e t a b l e a s r e p r e s e n t i n g a d i f f e r e n t f u n c t i o n f o r e a c h t a b l e e n t r y . S h e d i d n o t s e e i t a s r e p r e s e n t i n g a s i n g l e f u n c t i o n a s s h e h a d d o n e r e p e a t e d l y d u r i n g i n t e r v i e w s . I n a d d i t i o n , T o n i h a d p r e v i o u s l y u s e d c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e a s a n o r g a n i z i n g c o n c e p t b o t h f o r i d e n t i f y i n g a n d j u s t i f y i n g t a b l e s a s r e p r e s e n t i n g s i n g l e l i n e a r f u n c t i o n s . H e r e i n p r o b l e m 1 2 , t h e e x i s t e n c e o f t h e p a r a m e t e r s i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t m i g h t h a v e t r i g g e r e d m u l t i p l e l i n e a r f u n c t i o n r u l e s , b u t i n a n y c a s e , h e r r e s p o n s e i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e c l e a r u n d e r s t a n d i n g s h e e x h i b i t e d i n h e r w o r k w i t h t a b l e s o f l i n e a r f t m c t i o n s a t o t h e r t i m e s . B e s i d e s r e c o g n i z i n g t h e s a m e c o n c e p t s f o r a p a r t i c u l a r f u n c t i o n c l a s s i n t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n s , a t e a c h e r w o u l d e x p e c t s t u d e n t s t o m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n t h e s a m e c o n c e p t s i n d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s a n d a c r o s s f u n c t i o n c l a s s e s . Y e t T o n i ’ s u n d e r s t a n d i n g o f c o n n e c t i o n s b e t w e e n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s a n d g r a p h s , o r b e t w e e n 2 4 2 h a n d g r a p h s , c a l c u l a t o r g r a p h s , a n d g r a p h c o n c e p t s l a c k e d c o h e r e n c e . S h e u n d e r s t o o d m a n y p r o c e s s e s a n d s p e c i fi c c o n c e p t s c o n n e c t e d t o s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s , b u t o f t e n d i d n o t c o n n e c t t h e m . F o r e x a m p l e , T o n i r e c o g n i z e d t h a t a t a b l e w i t h e q u a l c h a n g e h a d a l i n e g r a p h , a n d d u r i n g t h e s o r t p r o b l e m , s h e h a d e x p l a i n e d t h a t a g r a p h f o r a r u l e o f t h e f o r m y = a x 2 + b x + c w o u l d b e a p a r a b o l a a n d w o u l d b e U - s h a p e d . S h e c o u l d p l o t p o i n t s a c c u r a t e l y f r o m t a b l e s i f b o t h a x e s a n d t a b l e s w e r e l a b e l e d . A b o u t m i d w a y t h r o u g h t h e c l a s s , h o w e v e r , s h e w a s u n a b l e t o p l o t b y h a n d t h e g r a p h s o f e i t h e r e x p o n e n t i a l o r o n e - t e r m p o l y n o m i a l f u n c t i o n r u l e s . F u r t h e r , o n p o s t t e s t p r o b l e m 6 , T o n i w a s u n a b l e t o g r a p h c o r r e c t l y a n y o f t h r e e f u n c t i o n c l a s s e s g i v e n i n r u l e f o r m . S h e g r a p h e d t h e l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s a s s i n g l e p o i n t s u s i n g c o n s t a n t s i n t h e f u n c t i o n r u l e s f o r c o o r d i n a t e s . T o n i o m i t t e d t h e g r a p h f o r t h e q u a d r a t i c e v e n t h o u g h p r e v i o u s l y s h e h a d i d e n t i fi e d s i m i l a r r u l e s a s h a v i n g U - s h a p e d g r a p h s . S t u d e n t s h a d u s e d t h e c a l c u l a t o r r e p e a t e d l y d u r i n g t h e c l a s s t o c r e a t e g r a p h s f o r a l l t h r e e t y p e s o f f t m c t i o n s , a n d T o n i h a d u s e d g r a p h s h a p e a s a n o r g a n i z e r f o r f u n c t i o n c l a s s f o r b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . U s i n g f u n c t i o n r u l e s , s t u d e n t s h a d e x t e n d e d t a b l e s i n c l a s s p r i o r t o c r e a t i n g g r a p h s b y h a n d . Y e t T o n i w a s u n a b l e t o a c c e s s o r s e e m e d n o t t o h a v e m a d e c o n n e c t i o n s b e t w e e n c a l c u l a t o r g r a p h s a n d p a p e r o n e s o r b e t w e e n h a n d p l o t t i n g g r a p h s o f f u n c t i o n s g i v e n i n s y m b o l i c f o r m a n d t r a n s l a t i n g t a b l e s t o g r a p h s . T o n i ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o n c e p t , i n p u t t o a f u n c t i o n , w a s a l s o f r a g m e n t e d . S h e c o n n e c t e d i n p u t t o a p r o c e s s i n o n e r e p r e s e n t a t i o n ( w h a t i s s u b s t i t u t e d i n p a r e n t h e s e s i n a r u l e ) a n d k n e w i n p u t c o u l d b e a l a b e l o n a t a b l e o r g r a p h . W h i l e s h e u n d e r s t o o d t h e r e s h o u l d b e c o n s i s t e n c y i n l a b e l i n g , s h e d i d n o t k n o w t h e c o n v e n t i o n f o r g r a p h i n g i n p u t o n t h e h o r i z o n t a l . F u r t h e r , T o n i d i d n o t u n d e r s t a n d t h a t i n p u t w a s c o n s i d e r e d t h e v a l u e t h a t w a s g i v e n fi r s t i n e v a l u a t i n g a f u n c t i o n o r a q u a n t i t y t h a t o t h e r v a l u e s d e p e n d e d o n ( t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ) . 2 4 3 A p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r T o n i ’ s l i m i t e d u n d e r s t a n d i n g o f i n p u t m a y b e i n e x e r c i s e s s t u d e n t s w e r e g i v e n t o h e l p t h e m u n d e r s t a n d t h e n o t a t i o n o f v a r i o u s r e p r e s e n t a t i o n s . P r o b l e m s w e r e c o n s t r u c t e d t o r e q u e s t i n t e r p r e t a t i o n s g o i n g f r o m b o t h i n p u t t o o u t p u t a n d o u t p u t t o i n p u t i n r e p r e s e n t a t i o n s : t a b l e s , f u n c t i o n r u l e s w i t h f ( x ) n o t a t i o n , a n d g r a p h s . S o s t u d e n t s a t t e n d e d a s m u c h t o t h e c o r r e s p o n d e n c e a s t o t h e d e p e n d e n c y d i r e c t i o n . R e c a l l t h a t w h e n T o n i h a d t o c r e a t e g r a p h s f r o m t a b l e s g i v e n h o r i z o n t a l l y , s h e , a s d i d s e v e r a l o t h e r s , a s s i g n e d a v a r i a b l e f o r t h e h o r i z o n t a l i n d e p e n d e n t l y f r o m w h i c h v a r i a b l e d e p e n d e d o n t h e o t h e r . S o T o n i ’ s d i f fi c u l t y h e r e m i g h t h a v e b e e n a n a r t i f a c t o f t h e c l a s s e x e r c i s e s t o e m p h a s i z e c o n n e c t i o n s . I t m i g h t a l s o h a v e b e e n c o n n e c t e d t o h e r p r o p e n s i t y t o l o o k f o r v i s u a l o r p r o c e d u r a l c u e s , w h i c h i n t h i s c a s e g o t i n p u t f o r a f u n c t i o n ( g i v e n a s a s y m b o l i c r u l e ) c o n n e c t e d t o a p r o c e d u r e f o r s u b s t i t u t i n g i n t o p a r e n t h e s e s , r a t h e r t h a n t o t h e f u n c t i o n c o n c e p t o f i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , w h i c h , b y c o n v e n t i o n , i s g r a p h e d o n t h e h o r i z o n t a l . S a m , t o o , t h o u g h t a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s a n d f u n c t i o n s i n a p i e c e m e a l , d i s c o n n e c t e d m a n n e r . H e c o u l d a c c e s s b i t s a n d p i e c e s o f c o n c e p t s a n d p r o c e d u r e s , b u t w a s u n a b l e t o u s e t h e m v e r y c o n s t r u c t i v e l y o r c o n s i s t e n t l y . R e c a l l h i s d i s j o i n t t h i n k i n g a b o u t l i n e a r f u n c t i o n s a c r o s s d i f f e r e n t p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , h e c o u l d c r e a t e a n e q u a t i o n f o r a l i n e a r f u n c t i o n f r o m a t a b l e , b u t n o t f r o m a g r a p h . H e c o u l d u s e s l o p e t o g r a p h , b u t c o u l d n o t c o m p u t e s l o p e a c c u r a t e l y g i v e n a g r a p h . I n s o m e c a s e s , h e g a v e a n i n c o r r e c t a n s w e r o n a p o s t t e s t i t e m w h e n h i s a n s w e r o n t h e s a m e i t e m o n t h e p r e t e s t h a d b e e n c o r r e c t . T h e m o s t v i v i d e x a m p l e o f p i e c e m e a l t h i n k i n g w i t h i n a s i n g l e p r o b l e m w a s i n 2 B - 2 , t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m . R e c a l l h e h a d m a d e a p o o r c h o i c e f o r t h e g r a p h , a n d t h e n i n t e r p r e t e d e a c h i n t e r c e p t i n t e r m s o f o n l y o n e v a r i a b l e . H i s t h i n k i n g i n t h i s p r o b l e m c o u l d a t b e s t b e l a b e l e d a n a t t e m p t t o m a t c h i n d i v i d u a l i n s t a n c e s o f a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o r e p r e s e n t a t i o n s , a s i t u a t i o n a n d a g r a p h , b u t i t w a s r e s t r i c t e d t o c o n s i d e r i n g t h e t w o q u a n t i t i e s b e i n g r e l a t e d o n l y o n e a t a t i m e w i t h o u t r e f e r e n c e t o t h e o t h e r . H e d i d 2 4 4 n o t a c c e s s k n o w l e d g e t h a t h e h a d d e m o n s t r a t e d a t a p r i o r t i m e o n o t h e r p r o b l e m s fi t t i n g s i t u a t i o n s a n d g r a p h s . H e i g n o r e d m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s a n d p r o c e s s e s t h a t h e h a d c o r r e c t l y u s e d o n o t h e r o c c a s i o n s . P r e v i o u s l y , h e h a d i n t e r p r e t e d p o i n t s a s h a v i n g t w o v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h t h e m a n d h a d w o r k e d a c c u r a t e l y a n d fl e x i b l y w i t h o r d e r e d p a i r s f o r p o i n t s o n g r a p h s , b o t h i n p o i n t - p l o t t i n g a n d i n i n t e r p r e t i n g p o i n t s o n g r a p h s c o r r e c t l y i n t e r m s o f t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t . S o m e o f t h i s i n c o n s i s t e n t p r o b l e m s o l v i n g m i g h t b e e x p l a i n e d b y S a m ’ s p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g i e s . H e r e g u l a r l y a t t e n d e d t o t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , e s p e c i a l l y i n t a b l e s a n d g r a p h s , w h i l e s e e m i n g t o i g n o r e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n m a n y p r o b l e m s , t h i s c a u s e d l i t t l e d i f fi c u l t y . I n o t h e r p r o b l e m s , p a r t i c u l a r l y t h o s e w i t h s i t u a t e d c o n t e x t , h e r e s p o n d e d t o i n t e r v i e w e r q u e s t i o n s o r a d i f fi c u l t y i n t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s b y a n s w e r i n g w i t h s o m e e l e m e n t i n t h e s i t u a t i o n , b y i n v e n t i n g a s p e c t s o f t h e s i t u a t i o n t o fi t h i s a n s w e r , o r s i m p l y m o v i n g f r o m o n e r e s p o n s e t o t h e n e x t , s o m e t i m e s i g n o r i n g p r e v i o u s c o r r e c t r e s p o n s e s . S a m i n v o k e d a s t r a t e g y , w h i c h I c a l l " l i v i n g i n t h e m o m e n t , ” u s i n g w h a t e v e r w a s m o s t r e c e n t l y a t h a n d — e i t h e r t h i n g s a s s o c i a t e d w i t h t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m b e i n g d i s c u s s e d o r q u i t e o f t e n w i t h w h a t e v e r w a s t a k i n g p l a c e i n t h e s o c i a l i n t e r a c t i o n . T h i s s t r a t e g y t o c o p e w i t h m a t h e m a t i c s a n d s c h o o l t h a t w i l l b e d i s c u s s e d f u r t h e r u n d e r n o n - m a t h e m a t i c a l i s s u e s . M i s s i n g C o n n e c t i o n s , a P u z z l e m e n t O n e o f t h e m o s t p u z z l i n g fi n d i n g s a b o u t s t u d e n t s ’ w o r k w a s t h e i r f a i l u r e t o c o n n e c t k n o w l e d g e a n d s k i l l s t h a t t h e y h a d e x h i b i t e d o n o t h e r o c c a s i o n s t o a t a s k g i v e n i n c l a s s d u r i n g t h e t h i r d w e e k . E i g h t o f t h e n i n e s t u d e n t s a t t e n d i n g c o u l d n o t s k e t c h ( b y h a n d ) a c o r r e c t g r a p h f o r t h e e q u a t i o n s y = 5 " , y = 2 ‘ , y = . 5 " a n d y = . l " . K e n , a f o c a l s t u d e n t w h o d r o p p e d o u t , s k e t c h e d t h e fi r s t t w o c o r r e c t l y , b u t m a d e s i m i l a r , i n c o r r e c t , i n c r e a s i n g g r a p h s f o r t h e l a s t t w o . T h e r e s t o f t h e c l a s s g r a p h e d 2 4 5 e i t h e r f o u r d o t s a l o n g o n e o f t h e a x e s o r p r o m i n e n t d o t s a l o n g a n a x i s a t 5 , 2 , . 5 , a n d . 1 w i t h s t r a i g h t l i n e s t h r o u g h t h e m . F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e , s t u d e n t s s h o u l d h a v e b e e n a b l e t o d o t h i s t a s k . S t u d e n t s h a d h a d m a n y e x e r c i s e s f o r o t h e r t y p e s o f f u n c t i o n s i n w h i c h t h e y c r e a t e d g r a p h s b y p l o t t i n g p o i n t s b y h a n d o r u s i n g t h e c a l c u l a t o r g r a p h e r . T h e y h a d e x t e n d e d t a b l e s t h e m s e l v e s f o r m a n y k i n d s o f f u n c t i o n s a n d t h e n p l o t t e d t h e p o i n t s o n g r a p h s . T h e c l a s s h a d i n t e r p r e t e d v a l u e s o f c o o r d i n a t e s a n d c r e a t e d f u n c t i o n r u l e s f o r s e v e r a l k i n d s o f e l e m e n t a r y f u n c t i o n s f r o m p a t t e r n s i n t a b l e s b y g u e s s i n g a n d t e s t i n g r u l e s . P r i o r t o t h i s g r a p h i n g e x e r c i s e s t u d e n t s h a d q u i t e a b i t o f e x p e r i e n c e w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , e s p e c i a l l y w i t h t h e i r g r a p h s . I n c l a s s t h e y h a d e x p l o r e d y = 4 - ( . 8 4 ) " i n a s i t u a t i o n a b o u t d r u g a b s o r p t i o n , h a d c r e a t e d a t a b l e f o r x = 0 t o 1 0 , a n d h a d m a d e a s c a t t e r g r a p h f o r t h e t a b l e . T h e y h a d c o n t r a s t e d t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h i s f u n c t i o n ( p e r u n i t c h a n g e i n x ) a n d t h a t f o r a l i n e a r f t m c t i o n a n d h a d d i s c u s s e d t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n i t s t a b l e a n d c u r v a t u r e o f t h e g r a p h . T h e c l a s s h a d c r e a t e d a t a b l e f o r y = 4 - ( 0 . 5 ) x a n d h a d d i s c u s s e d t h e s i t u a t i o n a l d i s t i n c t i o n t h a t y = 4 - ( 1 . 1 5 ) x w o u l d b e a f o r m u l a f o r a d r u g a m o u n t t h a t w a s i n c r e a s i n g r a t h e r t h a n b e i n g a b s o r b e d a s h a d p r e v i o u s g r a p h s i n t h e a c t i v i t y . S t u d e n t s h a d d o n e t w o s i t u a t e d h o m e w o r k p r o b l e m s t h a t i n v o l v e d d o u b l i n g , a n e x p o n e n t i a l f i m c t i o n . I n o n e , t h e c o n t e x t w a s m o n e y d o u b l i n g p e r u n i t o f t i m e , a n d s t u d e n t s h a d t o m a k e a n i n v e s t m e n t c h o i c e . T h e o t h e r i n v o l v e d b a c t e r i a i n a s w i m m i n g p o o l , a n d s t u d e n t s h a d t o e x t e n d a t a b l e o f v a l u e s a f t e r d i s c o v e r i n g t h e p a t t e r n o f d o u b l i n g . T h e c l a s s h a d g o n e o v e r t h e s e t w o p r o b l e m s a n d h a d r e l a t e d t h e fi r s t p r o b l e m t o c o m p o u n d i n t e r e s t . T h e y h a d s p e n t a h a l f h o u r d i s c u s s i n g t h i s p r o b l e m a n d i t s e x t e n s i o n s , w h i c h i n c l u d e d c o m p a r i n g d i f f e r e n t c o m p o u n d i n g p e r i o d s . E v e n t h o u g h s t u d e n t s h a d s e e n g r a p h s c r e a t e d b y h a n d f r o m r u l e s , h a d d i s c u s s e d p a t t e r n s o f c h a n g e i n t h e t a b l e a n d t h e i r c o n n e c t i o n t o s h a p e o f t h e g r a p h , h a d s e e n s e v e r a l g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , a n d h a d h a d t h e i r a t t e n t i o n c a l l e d t o 2 4 6 e x a m p l e s w i t h b a s e s e i t h e r l e s s t h a n 1 o r g r e a t e r t h a n 1 , s t u d e n t s c o u l d n o t g r a p h t h e s e f o u r f u n c t i o n s w h e n a s k e d . N o o n e b u t K e n m a d e a c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e s e e q u a t i o n s a n d t h e t a b l e s a n d g r a p h s t h a t t h e y h a d j u s t s p e n t t w o d a y s d i s c u s s i n g . F u r t h e r , n o o n e s e e m e d t o c o n n e c t t h e s e g r a p h i n g p r o b l e m s t o t h o s e o f o t h e r f u n c t i o n s p r e v i o u s l y d o n e i n c l a s s , h o m e w o r k , a n d i n t e r v i e w s . W h y ? O n e p o s s i b i l i t y i s t h a t t h i s t a s k r e q u i r e s a n a d d i t i o n a l s t e p o f n e e d i n g t o a r b i t r a r i l y c h o o s e x - v a l u e s t o c r e a t e a t a b l e o f p a i r s f r o m w h i c h t o g r a p h . C r e a t i n g a t a b l e i n v o l v e s k n o w i n g t h a t i t i s n e c e s s a r y t o d o s o a n d a n u n d e r s t a n d i n g o f v a r i a b l e s . W h i l e M r . B a i l e y o f t e n c r e a t e d t a b l e s f o r f r m c t i o n s i n c l a s s p r i o r t o t h i s t i m e d u r i n g t h e t h i r d w e e k o f c l a s s , a n d s t u d e n t s f r e q u e n t l y w e r e a s k e d t o c r e a t e g r a p h s f r o m t a b l e s , s t u d e n t s w e r e n e v e r g i v e n a n e q u a t i o n o n l y a n d t o l d t o c r e a t e a g r a p h b y h a n d . W h e n s t u d e n t s h a d t o c r e a t e a g r a p h f r o m a t a b l e i n c l a s s o r f o r h o m e w o r k , e i t h e r t h e g r a p h w a s t o b e d o n e o n t h e c a l c u l a t o r o r e l s e e x p l i c i t i n s t r u c t i o n s w e r e g i v e n f o r h o w t o p r o c e e d . B e f o r e p l o t t i n g p o i n t s , s t u d e n t s w e r e e i t h e r g i v e n a c o m p l e t e d t a b l e o r t o l d h o w t o c o n t i n u e a p a t t e r n i n a n e x i s t i n g t a b l e . S o c r e a t i n g a t a b l e " f r o m s c r a t c h " f r o m a r u l e w i t h t h e p u r p o s e t o g r a p h t h e o r d e r e d p a i r s w a s n o t p a r t o f s t u d e n t s ’ e x p e r i e n c e . S t u d e n t s m a y n o t h a v e d e v e l o p e d t h e s e s k i l l s b e c a u s e t h e y w e r e n o t r e q u i r e d o f s t u d e n t s d u r i n g c l a s s r o o m g r a p h i n g a c t i v i t i e s t h a t t r a n s l a t e d r u l e s t o g r a p h s . B e r e i t e r a n d S c a r d a m a l i a ( 1 9 8 9 ) c a l l a p r o c e s s , s u c h a s t h i s , w h e r e t e a c h e r a n d s t u d e n t s c r e a t e g r a p h s t o g e t h e r a " j o i n t c o g n i t i v e p r o c e s s . " T h e y d e fi n e a j o i n t c o g n i t i v e p r o c e s s a s a s i n g l e p r o c e s s t h a t h a s d i f f e r e n t p a r t s c a r r i e d o u t b y d i f f e r e n t p e o p l e , w i t h t h e p r o c e s s p a r t i t i o n e d a m o n g d i f f e r e n t a g e n t s , c o n t r o l p a s s i n g f r o m o n e a g e n t t o a n o t h e r , a n d w i t h t h e " p o s s i b i l i t y t h a t d i f f e r e n t g o a l s m a y b e o p e r a t i n g s i m u l t a n e o u s l y i n d i f f e r e n t p a r t s o f t h e p r o c e s s " ( p . 3 8 1 ) . F u r t h e r , B e r e i t e r a n d S c a r d a m a l i a h y p o t h e s i z e t h a t s k i l l s a s t u d e n t a c q u i r e s i n a n i n s t r u c t i o n a l i n t e r a c t i o n a r e t h o s e t h a t a r e r e q u i r e d b y t h e i r r o l e i n t h e j o i n t c o g n i t i v e p r o c e s s . I n t h i s a c t i v i t y 2 4 7 t h e c l a s s r o o m t e a c h e r a n d s t u d e n t s j o i n t l y c r e a t e d g r a p h s b y h a n d o n t h e b o a r d . F o r s t u d e n t s t o b e a c t i v e i n t h i s p r o c e s s , t h e y n w d e d o n l y t o g e n e r a t e a p p r o p r i a t e y — v a l u e s f o r x - v a l u e s c h o s e n b y t h e t e a c h e r . I t w a s o n l y t h e t e a c h e r ’ s r o l e t o g e n e r a t e x ’ s a n d t o d i r e c t t h e s t e p s i n c r e a t i n g t h e g r a p h . S t u d e n t s e n c o u n t e r e d t h e r e q u i r e m e n t t o g e n e r a t e x ’ s f o r t h e fi r s t t i m e d u r i n g t h e a c t i v i t y t o s k e t c h t h e s e f o u r e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s . T h e i r f a i l u r e t o c h o o s e x ’ s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e i r r o l e s i n t h i s j o i n t c o g n i t i v e p r o c e s s , t r a n s l a t i n g r u l e s f o r e x p o n e n t i o n a l f u n c t i o n s t o g r a p h s b y h a n d . T h e h y p o t h e s i s t h a t s t u d e n t s h a d n o t l e a r n e d t o c r e a t e a t a b l e w a s s u p p o r t e d d u r i n g i n t e r v i e w s a s s t u d e n t s d i s c u s s e d t h e i r r e c o l l e c t i o n s a b o u t g r a p h i n g t h e s e f o u r f u n c t i o n s i n c l a s s . I h a d a s t r o n g s e n s e a t t h e t i m e t h a t t h e y d i d n o t k n o w t h e y t h a t t h e g r a p h i n g t a s k i n c l u d e d fi r s t c r e a t i n g a s e t o f p a i r s , t h a t i s , s o m e f o r m o f t a b l e . N o n e o f t h e f o u r f o c a l s t u d e n t s c r e a t e d a T - c h a r t ( t a b l e ) a s t h e i r t e a c h e r h a d d o n e i n c l a s s . W h i l e e a c h t r i e d t o c o n n e c t a s i n g l e x w i t h a s i n g l e y , e x c e p t f o r B o b , t h e r e w a s n o e v i d e n c e t h a t t h e y k n e w t h e y s h o u l d c h o o s e a d d i t i o n a l v a l u e s f o r x t o g e t a d d i t i o n a l p a i r s . F o r y = 2 " , B o b d e s c r i b e d fi n d i n g x - y p a i r s , y = 2 1 = 2 f o r x = l a n d y = 2 2 = 4 f o r x = 2 , b u t g r a p h e d t h e s e a s p o i n t s a t ( 0 , 2 ) a n d ( 0 , 4 ) , i g n o r i n g t h e v a l u e s o f x h e h a d j u s t u s e d . W h e r e a s B o b k n e w t o s e l e c t m o r e t h a n o n e x a n d c o m p u t e i t s c o r r e s p o n d i n g y , h e f a i l e d t o u s e t h e x ’ s c o r r e c t l y . D u r i n g t h e i n t e r v i e w h e d i d s a y h e w o u l d c o m p l e t e t h e g r a p h s b y d r a w i n g h o r i z o n t a l l i n e s t h r o u g h t h e p o i n t s j u s t p l o t t e d o n t h e y - a x i s , i n d i c a t i n g h e k n e w t h e g r a p h s h o u l d n o t c o n s i s t o f o n l y o n e p o i n t . R e c a l l t h a t S a m r e p o r t e d i n c l a s s h e h a d m a d e x = 1 , a fi x e d v a l u e , f o r e a c h e q u a t i o n , e v a l u a t e d t h e f u n c t i o n a n d u s e d i t f o r t h e y - i n t e r c c p t f o r a s t r a i g h t l i n e g r a p h i n e a c h c a s e . A s w i t h B o b , h i s m a k i n g a l i n e i n d i c a t e s h e k n e w t h e g r a p h s h o u l d c o n s i s t o f m o r e t h a n o n e p o i n t , b u t h e d i d n o t u n d e r s t a n d t h e p r o c e s s o f fi r s t c r e a t i n g a t a b l e . L a t e r i n t h e i n t e r v i e w , w h e n p r e s s e d t o c r e a t e a t a b l e f o r y = x 2 , S a m c o u l d o n l y p r o d u c e y — v a l u e s f o r x - v a l u e s t h a t I c h o s e , a n d t h e n o n l y a f t e r I s h o w e d h i m t h a t I w a n t e d h i m t o c o m p u t e y - v a l u e s . E v e n t h o u g h h e s a i d t h e y g a v e 2 4 8 " w h e r e t h e p o i n t w a s o n t h e g r a p h , " S a m s a i d h e d i d n o t k n o w h o w t o m a k e t h e g r a p h , c l a i m i n g o n l y t h e c a l c u l a t o r " k n e w h o w . " T h u s h e d i d n o t c o n n e c t t h e t a b l e t o a m e a n s o f g e t t i n g f r o m a r u l e t o a g r a p h . P e r h a p s h e e x p e c t e d s o m e f u n c t i o n - s p e c i fi c a l g o r i t h m f o r g r a p h i n g l i k e t h e o n e h e u n d e r s t o o d f o r g r a p h i n g a l i n e a r f u n c t i o n i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m . I n a d d i t i o n , n e i t h e r E d y n o r T o n i u s e d m o r e t h a n o n e x - v a l u e . B o t h g i r l s g r a p h e d o n l y o n e p o i n t f o r e a c h f u n c t i o n . A t o n e p o i n t i n t h e d i s c u s s i o n I g a v e E d y a n o t h e r e q u a t i o n , y = x 2 , a l o n g w i t h a t a b l e w i t h s e v e r a l x - y p a i r s f o r t h i s f r m c t i o n a n d a s k e d i f s h e c o u l d m a k e t h e g r a p h . E v e n t h o u g h s h e h a d p l o t t e d p o i n t s t o c r e a t e a g r a p h f r o m a t a b l e i n i n t e r v i e w 2 , s h e s a i d s h e h a d n o i d e a h o w t o p r o c e e d a n d b e g a n t o l o o k i n h e r n o t e s f o r h e l p . S o E d y d i d n o t k n o w t h e g r a p h i n g p r o c e s s i n c l u d e d m a k i n g a t a b l e o f p a i r s a n d w a s u n a b l e t o u s e a t a b l e s h e w a s g i v e n . R e c a l l t h a t T o n i a l s o d i d n o t c o n n e c t g r a p h i n g i n t h e s e p r o b l e m s t o t h e p o i n t p l o t t i n g t h a t s h e h a d d o n e e a r l i e r o n h o m e w o r k a n d i n i n t e r v i e w 2 . S h e r e f e r r e d t o t h e 5 " a s 5 x a n d t o o k 5 a s t h e v a l u e f o r x i n y = 5 " a n d s a i d s i n c e s h e h a d n o v a l u e f o r y , s h e d i d n o t m o v e h e r p o i n t o f f t h e a x i s . T o n i ’ s w o r k i s c o n s i s t e n t w i t h t h a t o n o t h e r o c c a s i o n s i n b o t h i n t e r v i e w s a n d p r e - a n d p o s t t e s t s w h e r e s h e f a i l e d t o c r e a t e g r a p h s f r o m r u l e s a n d w h e r e s h e i n t e r p r e t e d c o n s t a n t s i n t h e p r o b l e m a s v a l u e s o f v a r i a b l e s . L a t e r i n t h i s i n t e r v i e w , T o n i t r i e d t o c a l c u l a t e a y v a l u e f o r a n o t h e r r u l e t h a t I g a v e h e r , y = 5 x 3 , b u t s h e c o n f u s e d t h e r o l e o f x a s s h e t r i e d fi n d i n g y v a l u e s o n t h e c o m p u t a t i o n s c r e e n o f t h e c a l c u l a t o r . S h e e n t e r e d t h e e x p r e s s i o n w i t h t h e v a r i a b l e x , i n s t e a d o f a c o n s t a n t v a l u e f o r x . S i n c e t h e r e a c t u a l l y w a s s o m e p r e v i o u s v a l u e o f x s t o r e d i n t h e c a l c u l a t o r ’ s m e m o r y , t h e c o m p u t a t i o n w a s d o n e w i t h t h a t v a l u e , w h i c h g a v e a p u z z l i n g y v a l u e . I n a n y c a s e , T o n i d i d n o t s e e m t o u n d e r s t a n d a p r o c e s s o f c h o o s i n g a n x v a l u e , c a l c u l a t i n g t h e c o r r e s p o n d i n g y , p l o t t i n g t h e v a l u e , a n d r e p e a t i n g t h i s p r o c e d u r e . I n a d d i t i o n , s h e h a d s o m e d i f fi c u l t y w i t h t h e r o l e o f v a r i a b l e i n t h i s c o n t e x t , a s d i d B o b , E d y , a n d S a m . 2 4 9 T o p r o d u c e a t a b l e o f p a i r s f o r a f u n c t i o n , o n e w o u l d h a v e t o r e c o g n i z e t h a t v a r i a b l e s c a n t a k e o n m a n y v a l u e s . T o e x p l o r e t h e p o s s i b i l i t y t h a t s t u d e n t s h a d t r o u b l e w i t h t h e s e p r o b l e m s b e c a u s e t h e y h a d n a i v e c o n c e p t i o n s a b o u t v a r i a b l e s , I a d d e d s e v e r a l q u e s t i o n s f r o m t h e c l a s s i c C S M S s t u d y ( K u c h e m a n n , 1 9 8 1 ) t o i n t e r v i e w 4 . ( S e e p r o b l e m s 4 A - 1 t o 4 A - 7 . ) F r o m t h e s e q u e s t i o n s , I c o n c l u d e d t h a t a l l f o u r f o c a l s t u d e n t s u n d e r s t o o d t h a t v a r i a b l e s c o u l d t a k e o n m a n y v a l u e s , a l t h o u g h S a m ’ s u n d e r s t a n d i n g o f t h i s m a y h a v e b e e n f r a g i l e . A l l b u t S a r n u n d e r s t o o d t h a t d i f f e r e n t n a m e s c o u l d s t a n d f o r t h e s a m e n u m b e r i n t h e s a m e p r o b l e m . A l l f o u r s a w v a r i a b l e s a s u n k n o w n s i n e q u a t i o n s . N o n e , h o w e v e r , w a s a b l e t o a c c e p t l a c k o f c l o s u r e , t h a t i s t o a c c e p t t h a t a v a r i a b l e h a s a y e t t o b e d e t e r m i n e d v a l u e , b u t c a n b e u s e d i n e x p r e s s i o n s a s i f i t i s k n o w n . F o r e x a m p l e , r e c a l l p r o b l e m 4 A - 6 w a s : S a m d r e w t h e fi g u r e b e l o w w h i l e b a b y s i t t i n g f o r t h e n e i g h b o r . I t h a s n s i d e s ; e a c h h a s l e n g t h 3 . U n f o r t u n a t e l y , t h e b a b y s p i l l e d p a i n t o n t h e d r a w i n g j u s t a s S a m w a s c a l c u l a t i n g t h e p e r i m e t e r o f t h e fi g u r e . W h a t i s t h e p e r i m e t e r ? ( T h e fi g u r e s h o w e d 1 3 s i d e s o f a s t a r - s h a p e d fi g u r e w i t h t h e r e s t o f o b s c u r e d b y a b l o b o f p a i n t . ) N o n e o f t h e s t u d e n t s w a s a b l e t o w r i t e a n a l g e b r a i c e x p r e s s i o n , 3 n , f o r t h e p e r i m e t e r , e v e n t h o u g h t h e y a l l e x p l a i n e d a p r o c e s s t o fi n d t h e p e r i m e t e r . E a c h s a i d t h e y c o u l d n o t d o s o w i t h o u t k n o w i n g t h e n u m b e r o f s i d e s . W h i l e E d y g u e s s e d n + 3 , s h e s e e m e d s i m p l y t o b e t r y i n g t o u s e t h e v a r i a b l e a n d n u m b e r g i v e n i n t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . W h i l e a c c e p t a n c e o f c l o s u r e i s n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d a l g e b r a , i n o r d e r t o c r e a t e a t a b l e o f v a l u e s i n t h e e x p o n e n t i a l g r a p h i n g p r o b l e m , a c o n c e p t i o n o f v a r i a b l e t h a t i n c l u d e d a v a r i a b l e b e i n g a b l e t o t a k e o n m a n y v a l u e s s h o u l d h a v e b e e n s u f fi c i e n t . Y e t s o m e t h i n g p r e v e n t e d s t u d e n t s f r o m c o m p u t i n g s u c h v a l u e s . I t i s p o s s i b l e t h a t s t u d e n t s d i d n o t s e e t h e e x p r e s s i o n y = 5 " a s a w h o l e , t h a t i s , t h e y d i d n o t v i e w i t a s s t a n d i n g f o r a w h o l e s e t o f x - y - p a i r s , a n e n t i t y s e e n f r o m a c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c p e r s p e c t i v e . T h u s , t h e y d i d n o t s e e a n e e d t o g e n e r a t e a t a b l e o f v a l u e s t o p l o t . 2 5 0 I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t s t u d e n t s m i s i n t e r p r e t e d w h a t " f r e e d o m " t h e y h a d w i t h v a r i a b l e s . W h e n a s k e d a b o u t t h e i r g r a p h s , b o t h S a m a n d E d y r e p o r t e d t h a t t h e t e a c h e r h a d s a i d " x c o u l d b e a n y t h i n g " . 3 I n t h e i r r e c a l l o f t h i s e x e r c i s e , b o t h r e p o r t e d i n c o r r e c t i n t e r p r e t a t i o n s o f " x c o u l d b e a n y t h i n g . ” I n y = 5 " , E d y h a d m a d e x z e r o a n d t r e a t e d i t a s t h e v a l u e o f t h e x - c o o r d i n a t e , b u t h a d e v a l u a t e d 5 0 a s 5 a n d g r a p h e d t h e p o i n t ( 0 , 5 ) . F o r t h e s a m e e q u a t i o n , S a m h a d m a d e x a n . a r b i t r a r y c o n s t a n t t h a t r e m a i n e d fi x e d w h i l e h e h a d g r a p h e d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n a s a l i n e , fi r s t w i t h a r b i t r a r y s l o p e t h r o u g h t h e p o i n t , ( 0 , 5 ) , a n d t h e n d u r i n g t h e i n t e r v i e w c o r r e c t e d i t t o b e a h o r i z o n t a l l i n e , y = 5 . B o t h s t u d e n t s h a d i n t e r p r e t e d " x c o u l d b e a n y t h i n g " a s i f t h e v a r i a b l e r e p r e s e n t e d a s i n g l e a r b i t r a r y c o n s t a n t , r a t h e r t h a n a v a r i a b l e , w h e r e t h e s p e c i fi c c h o i c e f o r x o f t h e m o m e n t c o u l d b e a r b i t r a r y . S u t h e r l a n d ( 1 9 8 7 ) , i n r e p o r t i n g a s t u d y o f t h e p o t e n t i a l f o r p r o g r a m m i n g i n L o g o t o e n h a n c e a l g e b r a i c u n d e r s t a n d i n g o f v a r i a b l e u s e , r e p o r t e d s i m i l a r b e h a v i o r i n a s t u d e n t w h o i n a p r o b l e m i n v o l v i n g v a r i a b l e s M a n d N , a s k e d w h e t h e r M m e a n t a n y n u m b e r . T h e r e s e a r c h e r r e p l i e d , " M i s a n y n u m b e r a n d N i s a n y n u m b e r . " I n a l a t e r p r o b l e m a b o u t J o h n h a v i n g J m a r b l e s a n d P e t e r h a v i n g P m a r b l e s , t h e s t u d e n t w a s a s k e d h o w m a n y t h e y h a d a l t o g e t h e r , a n d h e w r o t e 9 b e c a u s e J o h n b e g a n w i t h J a n d h a d 4 l e t t e r s a n d P e t e r b e g a n w i t h P a n d h a d 5 l e t t e r s . T h e " x c a n b e a n y n u m b e r " g o t t r a n s l a t e d i n t o a f o r m t h a t m a d e s e n s e t o t h e s t u d e n t , i n t h a t c a s e , l i t e r a l l y " x c a n b e a n y t h i n g . " E d y a n d S a m j u s t i fi e d t h e i r i n t e r p r e t a t i o n s w i t h a s i m i l a r t r a n s l a t i o n . T h e y c l a i m e d t h a t t h e t e a c h e r h a d s a i d , ” x c a n b e a n y t h i n g , " a n d s i m p l y r e i n t e r p r e t e d t h i s p h r a s e i n a w a y t h a t w a s m e a n i n g f u l t o t h e m , b u t u n l i k e t h e s t u d e n t s i n t h e S u t h e r l a n d s t u d y , r e s t r i c t e d t h e i r m e a n i n g t o t h e d o m a i n o f n u m b e r s . 3 T h e t e a c h e r a c t u a l l y m a d e t h e s t a t e m e n t , ' X c a n b e a n y n u m b e r , “ a f t e r s t u d e n t s h a d m a d e t h e i r 2 5 1 D u r i n g h i s i n t e r v i e w S a m d i s p l a y e d a d d i t i o n a l i n c o n s i s t e n t t h i n k i n g a b o u t v a r i a b l e s i n h i s d i s c u s s i o n o f t h e p r o b l e m , y = 5 " . B e s i d e s g i v i n g t h e e x p o n e n t a n a r b i t r a r y , fi x e d v a l u e i n t h i s a n d o t h e r e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s , h e t r e a t e d t w o d i s t i n c t x ’ s w i t h i n a s i n g l e e q u a t i o n a s h a v i n g d i f f e r e n t p r o p e r t i e s o r p u r p o s e s . R e c a l l t h a t a t o n e p o i n t w h i l e S a m w a s e x p l a i n i n g h i s w a y o f g r a p h i n g a l i n e f o r y = 5 " , h e h a d a d d e d a 3 x t o t h e e q u a t i o n t o i l l u s t r a t e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e 3 x a n d t h e s l o p e o f a g r a p h . W h e n h e g r a p h e d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n , y = 5 " + 3 x , h e t r e a t e d t h e e x p o n e n t a s t h e c o n s t a n t , 1 , b u t i m p l i e d t h e x i n 3 x w a s a v a r i a b l e a n d c r e a t e d a c o r r e c t g r a p h f o r y = 5 + 3 x . S i n c e S a m r e f e r r e d t o 3 x a s t h e s l o p e , h e m a y a c t u a l l y n o t h a v e s e e n x a s a v a r i a b l e , b u t t h e t e r m 3 x s i m p l y a s b e i n g p a r t o f a s y m b o l i c f o r m t h a t m u s t b e p r e s e n t b e f o r e h e c o u l d a p p l y t h e s l o p e - i n t e r c e p t g r a p h i n g a l g o r i t h m . I n a n y c a s e , S a m h a d t r e a t e d t h e t w o x ’ s w i t h i n o n e e q u a t i o n d i f f e r e n t l y . A n o t h e r p o s s i b i l i t y f o r s t u d e n t s ’ p i e c e m e a l t h i n k i n g i s t h a t t h e r e w a s s o m e t h i n g a b o u t e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s t h a t s o m e h o w c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s ’ i n a b i l i t y t o m a k e c o n n e c t i o n s t o e x p e r i e n c e s t h e y h a d i n c l a s s . B u t e x c e p t f o r S a m ’ s g r a p h i n g l i n e a r f u n c t i o n s i n s l o p e — i n t e r c e p t f o r m , n o n e o f t h e s e s t u d e n t s , w h e n a s k e d , c o u l d g r a p h c o r r e c t l y s i m p l e p o l y n o m i a l f t m c t i o n s . O n l y B o b w a s a b l e , a f t e r q u e s t i o n i n g , t o m a k e r e a s o n a b l y v a l i d c o n n e c t i o n s a m o n g c r e a t i n g t a b l e s , p l o t t i n g p o i n t s , a n d g r a p h i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S o f a r I h a v e c o n s i d e r e d s e v e r a l h y p o t h e s e s f o r s t u d e n t s ’ d i f fi c u l t i e s w i t h t h i s g r a p h i n g a c t i v i t y : t h a t i t d i d n o t o c c u r t o s t u d e n t s t o c r e a t e t h e i r o w n t a b l e s , t h a t t h e i r c o n c e p t i o n s o f v a r i a b l e w e r e f r a g i l e , t h a t t h e i r e x p e r i e n c e w i t h e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s w a s t o o l i m i t e d , o r t h a t t h e r e w a s s o m e t h i n g a b o u t t h e n a t u r e o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i t s e l f t h a t w a s i n h e r e n t l y d i f fi c u l t . A n o t h e r c o n j e c t u r e f o r t h e i r t r o u b l e i s r e l a t e d t o s t u d e n t s ’ a p p r o a c h e s t o p r o b l e m s o l v i n g . T o n i ’ s g e n e r a l a p p r o a c h t o s y m b o l i c p r o b l e m s w a s t o t r y t o r e c a l l s o m e p r o c e d u r e o r d o s o m e m a n i p u l a t i o n o n t h e s y m b o l i c f o r m ; s h e w a s u n a b l e t o g r a p h a n y o f t h e f u n c t i o n s 2 5 2 b e c a u s e t h e r e w a s n o t h i n g t o m a n i p u l a t e a n d s h e h a d n o t h i n g t o r e c a l l . I n a d d i t i o n , T o n i h a d s o m e d i f fi c u l t i e s w i t h c o n n e c t i o n s b e t w e e n s y m b o l i c a n d g r a p h i c a l f o r m s i n g e n e r a l a n d o f t e n r e s o r t e d t o i n t e r p r e t i n g t h e n u m b e r s w i t h i n t h e s y m b o l i c s t r i n g a s d i r e c t l y m e a n i n g f u l a s p o i n t s i n t h e p r o b l e m . I n t h e e x p o n e n t p r o b l e m s s h e m i g h t h a v e b e e n s i m p l y r e s o r t i n g t o t h i s p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y . S a m h a d f r a g i l e c o n c e p t i o n s o f v a r i a b l e s , b u t c l e a r l y k n e w a n a l g o r i t h m f o r g r a p h i n g l i n e a r f u n c t i o n s a n d m i g h t h a v e e x p e c t e d o t h e r a l g o r i t h m s s h o u l d e x i s t . A fi n a l c o n j e c t u r e r e l a t e s t o t h e u s e o f t h e c a l c u l a t o r . S i n c e d a t a g a t h e r i n g , I h a v e n o t e d b e h a v i o r s i m i l a r t o S a m ’ s a n d T o n i ’ s i n m y o w n a l g e b r a c l a s s e s t h a t u s e t h e g r a p h i c s c a l c u l a t o r . M y c l a s s e s h a v e e x t e n s i v e t a b l e e x p l o r a t i o n , i n c l u d i n g e x e r c i s e s i n w h i c h I , w i t h i n p u t f r o m s o m e s t u d e n t s i n t h e c l a s s f o r b o t h x a n d y v a l u e s , c r e a t e t a b l e s f r o m a n e q u a t i o n o n t h e b o a r d a n d s k e t c h g r a p h s b y h a n d . W h e n s t u d e n t s c r e a t e g r a p h s o n l y o n t h e c a l c u l a t o r , t h e y o f t e n h a v e n o i d e a h o w t o c r e a t e a g r a p h b y h a n d u n t i l t h e y a r e s p e c i fi c a l l y t o l d t o c h o o s e v a l u e s f o r x a n d c o m p u t e c o r r e s p o n d i n g y ’ s . S o s t u d e n t b e h a v i o r m i g h t b e a n a r t i f a c t o f c a l c u l a t o r u s e . W h e n s t u d e n t s c l e a r l y h a v e a t l e a s t o n e g o o d m e a n s , a c a l c u l a t o r , t o fi n d a g r a p h , t h e y m a y s e e l i t t l e n e e d f o r h a n d m e t h o d s . T h u s , t h e t e c h n o l o g y m a y r e d u c e t h e i r n e e d t o r e m e m b e r a p r o c e s s o r t o b e a b l e t o d u p l i c a t e a t e a c h e r ’ s b o a r d m e t h o d s . I s t r u g g l e d w i t h t r y i n g t o d e t e r m i n e w h y s t u d e n t s i n t h i s s t u d y h a d s u c h d i f fi c u l t y w i t h g r a p h i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s f r o m a n e q u a t i o n w h e n t h e y h a d h a d s o m u c h e x p e r i e n c e w i t h t a b l e s a n d g r a p h s , g e n e r a l l y w e r e s u c c e s s f u l w i t h c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s , a n d d i d u n d e r s t a n d t h a t v a r i a b l e s c o u l d t a k e o n m u l t i p l e v a l u e s . Y e t c l e a r l y c o n n e c t i o n s w e r e m i s s i n g i n s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e g r a p h i n g p r o b l e m s , a n d i n s p i t e o f t h e e x p e r i e n c e s s t u d e n t s h a d , t h e y w e r e u n a b l e t o u t i l i z e s k i l l s a n d k n o w l e d g e t h a t t h e y h a d d e m o n s t r a t e d p r e v i o u s l y . I t a p p e a r s t h a t i n d i v i d u a l s t u d e n t s m a y h a v e h a d d i f f e r e n t d i f fi c u l t i e s . I t i s l i k e l y , h o w e v e r , t h a t s t u d e n t s d i d n o t u n d e r s t a n d c r e a t i n g a t a b l e w a s p a r t o f a g r a p h i n g p r o c e s s , h a d 2 5 3 s o m e w h a t n a i v e c o n c e p t i o n s o f v a r i a b l e s , a n d t h a t p o s s i b l y t h e f u n c t i o n s b e i n g e x p o n e n t i a l m i g h t h a v e c o n t r i b u t e d t o t h e i r p r o b l e m s . I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t s t u d e n t s t e n d e d o n l y t o l e a r n p r o c e d u r e s t h e y w e r e t a u g h t o r w e r e r e q u i r e d t o e x e r c i s e i n a j o i n t c o g n i t i v e p r o c e s s . T h e y m a y n o t h a v e h a d a d i s p o s i t i o n t o a t t e m p t t o m a k e c o n n e c t i o n s u n l e s s r e q u i r e d t o - - e v e n w h e n c o n n e c t i o n s s e e m e d o b v i o u s t o a t e a c h e r . N o n e o f t h e d a t a h e r e i s c o n c l u s i v e , h o w e v e r , a n d I c a n o n l y s p e c u l a t e o n w h a t s p e c i fi c d i f fi c u l t i e s f o r s t u d e n t s m i g h t h a v e b e e n . C o h e r e n c e w i t h i n F u n c t i o n C l a s s U n d e r s t a n d i n g c h a r a c t e r i s t i c s a n d c o n c e p t s u n i q u e l y a s s o c i a t e d w i t h a p a r t i c u l a r c l a s s o f f u n c t i o n s i s a n o t h e r k i n d o f c o h e r e n c e . S t u d e n t s ’ c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t h r e e f u n c t i o n c l a s s e s — l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l - w e r e c o n t e x t u a l i z e d a n d d e p e n d e d o n t h e f t m c t i o n c l a s s a n d r e p r e s e n t a t i o n . S t u d e n t s h a d c l a s s i fi c a t i o n i d e a s a n d m a d e c o n n e c t i o n s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , b u t h a d f e w s u c h c o n n e c t i o n s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . W h a t c o n n e c t i o n s t h e y m a d e a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s w e r e w e a k . B o t h S a m a n d T o n i u s e d s h a p e o f g r a p h , p a t t e r n o r r a t e o f c h a n g e i n d a t a i n t a b l e s , a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f c h a n g e , a n d t h e f o r m o f t h e f u n c t i o n r u l e a s c l a s s i fi e r s f o r f u n c t i o n c l a s s m e m b e r s h i p . L i n e a r f u n c t i o n s . S t u d e n t s h e l d s t r o n g c o n n e c t i o n s b e t w e e n s o m e c o n c e p t s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s f o r l i n e a r f u n c t i o n s . A s h a s b e e n s h o w n , s t u d e n t s a s s o c i a t e d g r a p h s o f s t r a i g h t l i n e s , e i t h e r e q u a l p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e o r c o n s t a n t r a t e o f c h a n g e i n a t a b l e , a n d p a t t e r n s o f d a t a t h a t e i t h e r i n c r e a s e d o n l y o r d e c r e a s e d o n l y , w i t h l i n e a r f u n c t i o n s . S a m r e c o g n i z e d a n d c o r r e c t l y i n t e r p r e t e d e q u a t i o n s ( f u n c t i o n r u l e s ) o f l i n e a r f u n c t i o n s i n s l o p e - i n t e r c e p t f o r m d u r i n g s e v e r a l t a s k s . I - I e c o r r e c t l y t r a n s l a t e d f r o m a t a b l e o f v a l u e s t o a s y m b o l i c f o r m . Y e t o n o t h e r t r a n s l a t i o n t a s k s , s u c h a s c r e a t i n g a n e q u a t i o n f r o m a g r a p h o r a s s o c i a t i n g a l i n e w i t h a n e g a t i v e s l o p e w i t h a n e q u a t i o n , y = a x + 7 , w h e r e a h a d a n e g a t i v e v a l u e , 2 5 4 n e i t h e r h e n o r T o n i w a s a b l e t o a c c e s s t h i s i n f o r m a t i o n o n t h e p o s t t e s t . T o n i w a s n o t a b l e t o c r e a t e b y h a n d a g r a p h o f a l i n e a r f u n c t i o n . Q u a d r a t i c f u n c t i o n s . S t u d e n t s a l s o h a d s t r o n g c o n n e c t i o n s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s f o r q u a d r a t i c f t m c t i o n s . G r a p h s w e r e p o w e r f u l o r g a n i z e r s f o r q u a d r a t i c f u n c t i o n s . E v e n t h e n a m e , p a r a b o l a , s u p e r s e d e d q u a d r a t i c , w h e n s t u d e n t s d i s c u s s e d t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s . T h e y s a w t h e g r a p h s a s U - s h a p e d . D u r i n g t h e s o r t p r o b l e m a l l f o c a l s t u d e n t s r e f e r r e d t o p o r t i o n s o f g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a s h a l v e s o f p a r a b o l a s . B e c a u s e t h e o n e g r a p h i n c r e a s e d a s a f u n c t i o n o f t i m e ( t _ > _ 0 ) a n d o n e s h o w e d o n l y a s m a l l p o r t i o n o f t h e p a r t t h a t w a s a s y m p t o t i c t o t h e x - a x i s , b o t h g r a p h s s h o w e d m a i n l y t h e p a r t o f t h e g r a p h t h a t w a s f a i r l y s t e e p , t h a t i s , b o w l - s h a p e d . I n a l l c a s e s , s t u d e n t s s u g g e s t e d e x t e n d i n g t h e g r a p h i n t o a p a r a b o l a , r a t h e r t h a n t h a t i t m i g h t fl a t t e n o u t l i k e t h e g r a p h o f a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . S a m a n d T o n i a l s o c o n n e c t e d p a t t e r n s o f d a t a a n d s y m b o l i c f o r m s w i t h q u a d r a t i c f u n c t i o n s . ( T o n i r e f e r r e d o n l y t o p a r a b o l a s a n d d i d n o t u s e t h e t e r m q u a d r a t i c f o r t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s . ) T h e y a s s o c i a t e d q u a d r a t i c s w i t h p a t t e r n s o f d a t a i n t a b l e s t h a t r e v e r s e d d i r e c t i o n s . S t u d e n t s w e r e f a m i l i a r w i t h t h e g e n e r a l f o r m y = a x 2 + b x + c a s g i v i n g a p a r a b o l a a n d a s s o c i a t e d U - s h a p e d g r a p h s w i t h e q u a t i o n s o r f u n c t i o n s r u l e s o f t h i s s o r t . S o m e c o n n e c t i o n s b e t w e e n q u a d r a t i c s , r e p r e s e n t a t i o n s , a n d c o n c e p t s w e r e m o r e f r a g i l e . S a m ’ s w o r k w i t h t h e s y m b o l i c f o r m i n d i c a t e d h e u n d e r s t o o d t h e s i g n o f t h e l e a d i n g c o e f fi c i e n t p r o d u c e d a g r a p h o r i e n t e d a s o p e n i n g d o w n w a r d a n d s u g g e s t e d h e h a d s o m e f a m i l i a r i t y w i t h a n a l g o r i t h m f o r fi n d i n g t h e v e r t e x o f a p a r a b o l a f r o m t h e s y m b o l i c f o r m ( n o t t a u g h t i n t h i s c l a s s ) . Y e t n e i t h e r S a m n o r T o n i w a s a b l e t o s k e t c h b y h a n d a g r a p h o f y = x 2 - 2 x + l o n t h e p o s t t e s t . T o n i a n d B o b w e r e u n a b l e t o d i s t i n g u i s h a o n e t e r m q u a d r a t i c f r o m a n e x p o n e n t i a l . I n g e n e r a l , e a c h o f t h e a b o v e a s s o c i a t i o n s d e p e n d e d o n b e i n g a b l e t o s e e t h e q u a d r a t i c i n n o n s i t u a t e d f o r m . B o t h S a m a n d T o n i w e r e a b l e t o s u c c e s s f u l l y w o r k 2 5 5 w i t h q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n s o m e s i t u a t e d p r o b l e m s s u c h a s c e r t a i n c a r d s f r o m t h e s o r t p r o b l e m a n d p r e / p o s t t e s t p r o b l e m s , 9 ( g r a p h ) a n d 1 3 ( r u l e ) , i n v o l v i n g p r o fi t a n d t i c k e t p r i c e , b u t w h i c h a p p e a r e d m o r e l i k e s c h o o l p r o b l e m s . T o n i w a s u n a b l e t o e v a l u a t e o r i n t e r p r e t a q u a d r a t i c f u n c t i o n m o d e l w i t h i d e n t i c a l v a r i a b l e s , w h e n i t o c c u r r e d i n a m o r e c o m p l e x s i t u a t e d p r o b l e m i n i n t e r v i e w 3 . B e c a u s e o f i n t e r f e r e n c e o f h e r e v e r y d a y u n d e r s t a n d i n g o f t h e s i t u a t i o n , s h e w a s u n a b l e e v e n t o c o m p u t e f u n c t i o n v a l u e s i n t h e p r o fi t p r o b l e m u n t i l I h a d s p e n t c o n s i d e r a b l e e f f o r t g e t t i n g h e r t o i g n o r e t h e s i t u a t i o n t h a t g e n e r a t e d t h e m o d e l i n t h e fi r s t p l a c e . B o t h S a m a n d E d y w e r e a b l e t o w o r k i m m e d i a t e l y w i t h t h e q u a d r a t i c g i v e n i n t h e p r o fi t p r o b l e m , b u t a l s o h a d i n t e r f e r e n c e f r o m t h e s i t u a t i o n w h e n t h e y t r i e d t o i n t e r p r e t t h e r e s u l t s t h e y c o m p u t e d . B o b w a s a b l e i n i t i a l l y t o w o r k w i t h t h e t w o q u a d r a t i c f u n c t i o n s g i v e n a n d u n d e r s t o o d t h e y w e r e t o b e c o m p a r e d , b u t h e a l s o h a d t r o u b l e w i t h t h e s i t u a t i o n . A t o n e p o i n t h e b e g a n t o i g n o r e w h a t h e s e e m e d t o " k n o w " a b o u t q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n n a k e d c o n t e x t a n d a t t r i b u t e d s i t u a t i o n q u a n t i t i e s t o t h e c o e f fi c i e n t s i n o n e o f t h e r u l e s . I n s u m m a r y , w h i l e s o m e r e p r e s e n t a t i o n s , s u c h a s s h a p e o f g r a p h , t h e g e n e r a l s y m b o l i c f o r m ( y = a x 2 + b x + c ) , o r o n e i n w h i c h t h e r e w a s a s q u a r e d t e r m , w e r e s t r o n g c o n n e c t i o n s f o r s t u d e n t s t o t h e c l a s s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s , o t h e r c o n n e c t i o n s w e r e f r a g i l e . S t u d e n t s c o u l d n o t d i s t i n g u i s h o n e t e r m q u a d r a t i c s f r o m e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h e y a l s o c o u l d n o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n q u a d r a t i c s o r e x p o n e n t i a l s w h e n w o r k i n g w i t h ( t m e q u a l ) r a t e s o f c h a n g e . F i n a l l y , s i t u a t e d p r o b l e m s t h a t d i d n o t a p p e a r a s s c h o o l p r o b l e m s c a u s e d c o n s i d e r a b l e d i f fi c u l t y . T o n i h a d s e p a r a t e d t h e n a m e , q u a d r a t i c , f r o m " p a r a b o l a , " h e r n a m e f o r b o t h t h e g r a p h a n d t h e c l a s s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s . E x p o n e n t i a l fi t n c t i o r t s . U n l i k e l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , S a m a n d T o n i h a d n o s u c c e s s f u l o r g a n i z e r s s u c h a s g r a p h s h a p e , p a t t e r n o r r a t e o f c h a n g e , o r s y m b o l i c f o r m f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T o n i h a d a n i n a c c u r a t e c o n c e p t i o n o f t h e r u l e f o r m , b u t t h e r e i s n o t e n o u g h d a t a t o s a y w h e t h e r S a m h a d a n y s y m b o l i c f o r m 2 5 6 a s s o c i a t e d w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . D u r i n g t h e s o r t p r o b l e m t h e y b o t h v i e w e d g r a p h s o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a s h a l f - p a r a b o l a s . O n l y a f t e r a l o n g p a s s a g e w h e n I h e l p e d T o n i r e c a l l w h a t a n e x p o n e n t i a l f t m c t i o n w a s a n d I h a d s h o w n h e r a g r a p h o f a d e c r e a s i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n t o t r y t o j o g h e r m e m o r y , d i d s h e s a y t h a t c a r d I ( g r a p h ) c o u l d p o s s i b l y h a v e b e e n a n e x p o n e n t i a l f t m c t i o n , r a t h e r t h a n a q u a d r a t i c b e c a u s e t h e g r a p h l o o k e d " l i k e i t m i g h t s t r a i g h t e n o u t " o n t h e r i g h t s i d e . T o n i , i n p a r t i c u l a r , h a d a s t r o n g s e n s e t h a t e q u a l c h a n g e w a s a s s o c i a t e d w i t h l i n e a r a n d u m q u a l w e n t w i t h t h e n a m e q u a d r a t i c , w h i c h s h e i n c o r r e c t l y t h o u g h t w a s d i f f e r e n t f r o m p a r a b o l a s . W h i l e s h e m a y h a v e t h o u g h t t h e n a m e q u a d r a t i c w e n t w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , i t i s u n c l e a r s i n c e s h e h a d a n o t h e r c a t e g o r y , " g o e s a l l o v e r . " S h e w a s c o n f u s e d , h o w e v e r , a b o u t w h e t h e r t h i s l a t t e r c a t e g o r y w e n t w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , w i t h s c a t t e r g r a p h s , m o r e g e n e r a l c o n t i n u o u s g r a p h s , o r p o s s i b l y m o r e t h a n o n e k i n d . B o t h T o n i a n d B o b i n d i c a t e d f o r p a r t o f t h e t i m e t h a t t h e y s a w t h e s y m b o l i c f o r m o f a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a s a s i n g l e t e r m q u a d r a t i c , t h a t i s , y = a x z . T o n i ’ s a n d S a m ’ s c o n n e c t i o n s b e t w e e n f u n c t i o n c l a s s e s , g r a p h s , a n d s y m b o l i c f o r m s , w h i l e r e a s o n a b l y i n t a c t f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s ( g i v e n T o n i ’ s l a b e l p a r a b o l a ) , c o m p l e t e l y b r o k e d o w n f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , i n s p i t e o f m a n y e x e r c i s e s a n d c o m p u t a t i o n s i n a l l r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s e f u n c t i o n s . S t u d e n t s h a d b e e n i n t r o d u c e d t o e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a s r e p e a t e d m u l t i p l i c a t i o n , w h e r e t h e e x p o n e n t w a s t h e n u m b e r o f m u l t i p l i e s . F o r s y m b o l i c f o r m s , t h e n u m b e r o f t e r m s i n a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s e e m e d m o r e i m p o r t a n t t o t h e m t h a n t h e f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e , w h i c h i s t h e p o s i t i o n o f t h e v a r i a b l e . W h i l e I d o n o t h a v e s u f fi c i e n t d i r e c t e v i d e n c e f o r t h i s c l a i m , i t m a y b e t h a t p a r t o f t h i s p a r t i c u l a r c o n f u s i o n i s r e l a t e d t o a c t i v i t i e s o f c u r v e - fi t t i n g t h a t w e r e . n e c e s s a r y f o r t e a c h i n g m o d e l i n g . D u r i n g a n e x p e r i m e n t w h e r e s t u d e n t s t i m e d p i n e r a c i n g c a r s r u n n i n g d o w n a r a m p , t h e y h a d t o s e a r c h b y t r i a l a n d e r r o r f o r s u i t a b l e p a r a m e t e r v a l u e s f o r a a n d b i n y = a - b " , a n d s a w a , b , a s w e l l a s x a n d y a s 2 5 7 v a r i a b l e s . O t h e r t i m e s d u r i n g c l a s s s t u d e n t s s t u d i e d t h e e f f e c t o f c h a n g e s i n c e r t a i n p a r a m e t e r s , a n d I r e c a l l a t l e a s t o n e o f t h e s t u d e n t s r e f e r r e d d i r e c t l y t o a l l t h r e e , a , b a n d x a s v a r i a b l e s . T h u s , r e l a t i v e p o s i t i o n o f v a r i a b l e w o u l d c e a s e t o b e a s u f fi c i e n t d i s t i n c t i o n b e t w e e n q u a d r a t i c s a n d s i n g l e t e r m e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o d i s t i n g u i s h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s f r o m q u a d r a t i c s u s i n g e i t h e r p a t t e r n s o f c h a n g e o r s h a p e s o f g r a p h s , s a l i e n t c o n c e p t s f o r t h e m . T o n i , i n p a r t i c u l a r , w a s c o n f u s e d a b o u t w h a t f u n c t i o n s s h o u l d b e a t t a c h e d t o u n e q u a l c h a n g e . O n e p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h i s c o n f u s i o n a b o u t c a t e g o r i e s f o r u n e q u a l c h a n g e a n d s h a p e s o f g r a p h s i s t h a t s t u d e n t s w e r e fi r s t i n t r o d u c e d t o c o n n e c t i o n s b e t w e e n u n e q u a l c h a n g e i n a t a b l e a n d c u r v a t u r e o f a g r a p h u s i n g a q u a d r a t i c e x a m p l e , y = x 2 . O n J u l y 1 0 , d u r i n g t h e s e c o n d w e e k o f c l a s s , s t u d e n t s w e r e l e a r n i n g t o r u n a t a b l e - p r o d u c i n g p r o g r a m 4 o n t h e c a l c u l a t o r . T h e y h a d n o t y e t s t u d i e d q u a d r a t i c o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a s c l a s s e s o f f u n c t i o n s , b u t h a d s e e n s i m p l e q u a d r a t i c s b e i n g u s e d i n a f e w e x e r c i s e s w h e n t h e y w e r e b e i n g i n t r o d u c e d t o t h i s p r o g r a m . O n t h i s d a y M r . B a i l e y u s e d y = x 2 t o i n t r o d u c e t h e t a b l e p r o g r a m f o r x b e t w e e n - 5 a n d 5 . H e t h e n u s e d t h e t a b l e t o i n t r o d u c e u n e q u a l c h a n g e i n y p e r u n i t c h a n g e i n x a n d c o n n e c t e d i t c u r v a t u r e i n t h e g r a p h b y a s s o c i a t i n g l a r g e c h a n g e s ( p e r u n i t c h a n g e ) w i t h a s t e e p g r a p h s e g m e n t s a n d s m a l l c h a n g e s w i t h fl a t t e r s e g m e n t s . W h e n t h e t e a c h e r i n t r o d u c e d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a s a c l a s s o f f u n c t i o n s , u n e q u a l c h a n g e w a s a s s o c i a t e d i n t h e s a m e w a y w i t h p o r t i o n s o f t h e g r a p h , w i t h o u t m a k i n g s u f fi c i e n t d i s t i n c t i o n s b e t w e e n e x p o n e n t i a l a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s . A s e c o n d p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r c o n f u s i n g u n e q u a l c h a n g e a n d t h e s e t w o f u n c t i o n s c l a s s e s i s t h a t , p r i o r t o t h e s t u d y o f e i t h e r q u a d r a t i c s o r e x p o n e n t i a l s a s f u n c t i o n s c l a s s e s , t h e c l a s s h a d e x p l o r e d t h e r o l e o f c h a n g i n g p a r a m e t e r s ( s y m b o l i c r e p r e s e n t a t i o n ) i n e f f e c t i n g h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l t r a n s f o r m a t i o n s i n t h e g r a p h s o f ‘ T h e t a b l e p r o g r a m t a k e s a s i n p u t a l o w e r a n d u p p e r b o u n d f o r x ’ s t o b e e v a l u a t e d , a l o n g w i t h t h e s i z e o f i n c r e m e n t i n x . I t p r o d u c e s x , y p a i r s f o r t h e f u n c t i o n l i s t e d i n t h e p r o g r a m f o r t h e s e x ’ s . 2 5 8 b o t h l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . T h e s e e x e r c i s e s m a y h a v e h a d t h e e f f e c t o f a s s o c i a t i n g a U - s h a p e d g r a p h w i t h q u a d r a t i c s . T h e e x e r c i s e s h a d b e e n p a r t o f a b r o a d s t r a t e g y t o i n t r o d u c e s t u d e n t s t o f u n c t i o n c o n c e p t s a n d g a i n p r a c t i c e w i t h g r a p h i n g o n t h e c a l c u l a t o r a c r o s s a w i d e v a r i e t y o f f u n c t i o n s p r i o r t o s t u d y i n g t h e a t t r i b u t e s o f t h e f u n c t i o n c l a s s e s t h e m s e l v e s . S t u d e n t s ’ i n f o r m a l i n t r o d u c t i o n d u r i n g t h e s e c o n d w e e k o f c l a s s t o p a t t e r n s o f c h a n g e i n q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d t h e i r c o n n e c t i o n s t h e r e t o s h a p e o f t h e g r a p h f o r a n e q u a t i o n y = x 2 t h a t w a s f a m i l i a r t o t h e m , c o u p l e d w i t h a d d i t i o n a l f a m i l i a r i t y w i t h p a r a b o l a s g a i n e d f r o m t h e t r a n s f o r m a t i o n e x p l o r a t i o n s , m i g h t h a v e b e e n e n o u g h t o fi x t h e a s s o c i a t i o n o f u n e q u a l c h a n g e , U - s h a p e d g r a p h s , a n d y = x 2 fi r m l y i n t h e i r m i n d s . W h e n u n e q u a l c h a n g e i n e x p o n e n t i a l g r a p h s w a s d i s c u s s e d i n t h e s a m e w a y a s f o r q u a d r a t i c s , t h e i r a t t e n t i o n m i g h t h a v e b e e n o n n o t i n g t h e y h a d s e e n t h i s p h e n o m e n o n b e f o r e . B y t h e t i m e t h e y t a l k e d t o m e a b o u t t h e s e f u n c t i o n s i n t h e s o r t , t h e y m a y h a v e f o r g o t t e n e x p o n e n t i a l s o r t h e y m i g h t h a v e h a d a s t r o n g c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e i d e a s o f u n e q u a l c h a n g e a s a r e s u l t o f t h e i r e a r l y i n t r o d u c t i o n w i t h a f a m i l i a r f u n c t i o n , y = x 2 . - F u r t h e r , s t u d e n t s h a d n o w a y o f d i s t i n g u i s h i n g e x p o n e n t i a l a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s i n t a b u l a r f o r m b y t h e i r r a t e o f c h a n g e , a n o t h e r s a l i e n t c o n c e p t . W h e n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s w e r e i n t r o d u c e d a n d c h a n g e w a s c o m p u t e d i n t h e t a b l e , a s m e n t i o n e d a b o v e , M r . B a i l e y u s e d a n a l m o s t i d e n t i c a l s c e n a r i o a s w i t h q u a d r a t i c s t o d i s c u s s i n f o r m a l l y t h e i r r a t e o f c h a n g e b e i n g u n e q u a l . W h e n t h e y c o n s i d e r e d t h e i n t e r v a l s f o r o n e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , h e p o i n t e d o u t t h e a m o u n t o f c h a n g e i t s e l f w a s g o i n g u p , a t o p i c t h a t w a s n o t d i s c u s s e d w i t h q u a d r a t i c s . T h e c l a s s d i d n o t , h o w e v e r , c o n t r a s t t h e n a t u r e o f t h e u n e q u a l c h a n g e b e t w e e n t h e t w o f u n c t i o n c l a s s e s . T h u s , s t u d e n t s h a d n o m e a n s t o d i s t i n g u i s h t h e q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n c l a s s e s o t h e r t h a n t h a t a n e x p o n e n t i a l m i g h t g o u p ( o r d o w n ) a l o t f a s t e r , a f e a t u r e t h a t g e t s b l u r r e d d e p e n d i n g o n t h e s p e c i fi c c o n s t a n t s i n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n t h a t c a s e , i f fi r s t d i f f e r e n c e s b e t w e e n f u n c t i o n v a l u e s o n l y a r e c o m p u t e d , i t i s h a r d t o c o m p a r e 2 5 9 t h e i r r e l a t i v e s i z e s ; t h a t i s , t h e c h a n g e b e t w e e n t h e s e f u n c t i o n d i f f e r e n c e s m a y n o t r e a d i l y a p p e a r a s q u a d r a t i c o r e x p o n e n t i a l u n l e s s t h e n u m b e r s a r e v e r y " n i c e . " T h e s t u d e n t s d i d n o t h a v e a c c e s s t o t h e o n e f e a t u r e , s e c o n d d i f f e r e n c e s i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h a t w o u l d a l l o w t h e m t o d i s t i n g u i s h t h e s e t w o k i n d s o f f u n c t i o n s ( s e c o n d d i f f e r e n c e s f o r q u a d r a t i c s a r e c o n s t a n t , w h i l e f o r e x p o n e n t i a l s t h e y a r e n o t ) . I h a d s p e c i fi c a l l y a s k e d M r . B a i l e y n o t t o t e a c h s e c o n d d i f f e r e n c e s s b e c a u s e I t h o u g h t t h a t s i n c e s t u d e n t s c o u l d n o t u n d e r s t a n d t h e o r i g i n o f t h e c o n c e p t , t h e y c o u l d u s e i t o n l y a s a m e m o r i z e d a l g o r i t h m . A n o t h e r f e a t u r e o f c l a s s t h a t c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s n o t b e i n g a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e s e t w o f u n c t i o n c l a s s e s w a s t h a t t h e y w e r e i n t r o d u c e d i n r e v e r s e o r d e r o f t h e t e x t . T h e e x e r c i s e s c o n t r a s t i n g t h e t w o c l a s s e s w e r e o m i t t e d w h e n t h e fi r s t f u n c t i o n c l a s s w a s s t u d i e d b e c a u s e t h e y i n v o l v e d a f u n c t i o n c l a s s y e t t o b e s t u d i e d . W h e n t h e s e c o n d f t m c t i o n c l a s s w a s s t u d i e d , e x e r c i s e s n e e d e d t o b e a d d e d t o e x i s t i n g o n e s , w h i c h M r . B a i l e y a n d I d i d n o t t h i n k t o d o . I n s u m m a r y , s t u d e n t s m i g h t n o t h a v e b e e n a b l e t o a c c e s s c o n c e p t s t h e y f o u n d s a l i e n t , p a t t e r n s o f c h a n g e i n a t a b l e a n d s h a p e s o f g r a p h s , b e c a u s e o f t h e o r d e r t h e s e c o n c e p t s w e r e i n t r o d u c e d i n c l a s s , t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e i r p r e s e n t a t i o n s , a n d t h e f a c t t h a t s t u d e n t s w e r e n o t t a u g h t t h e p r i n c i p a l m e a n s o f d i s t i n g u i s h i n g t h e s e t w o k i n d s o f f u n c t i o n s u s i n g r a t e s o f c h a n g e i n t a b l e s . T h e y w e r e n o t a b l e t o d i s t i n g u i s h h a l f - g r a p h s o f e x p o n e n t i a l s f r o m q u a d r a t i c s b e c a u s e o f s i m i l a r a p p e a r a n c e s w h e n e x p o n e n t i a l s a r e m i s s i n g t h e ” t a i l " o f t h e g r a p h t h a t i s a s y m p t o t i c t o t h e x — a x i s t h a t a l l o w s o n e t o r e a d i l y d i s t i n g u i s h t h e t w o . F i n a l l y , e x e r c i s e s i n v o l v i n g p a r a m e t e r e x p l o r a t i o n s m a y h a v e h e l p e d o b s c u r e t h e fi m d a m e n t a l d i f f e r e n c e i n t h e r u l e f o r m o f q u a d r a t i c s a n d e x p o n e n t i a l s , n a m e l y , t h e p o s i t i o n o f t h e v a r i a b l e . 5 1 1 m c o n c e p t u s u a l l y r e q u i r e s c a l c u l u s . 2 6 0 C o h e r e n c e w i t h i n t h e fi n c t i o n C o n c e p t L e v e l s o f W h o l e n e s s . A n o t h e r k i n d o f c o h e r e n c e f o r t h e f u n c t i o n c o n c e p t c o n c e r n s l e v e l s o f w h o l e n e s s f o r f u n c t i o n s . F o r s t u d e n t s t o h a v e a s o l i d u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s , t h e y m u s t b e a b l e t o t h i n k o f f u n c t i o n s b e y o n d i n d i v i d u a l o r s e q u e n c e s o f i n s t a n c e s o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s . F u n c t i o n s n e e d t o b e s e e n a s w h o l e e n t i t i e s , a n d u l t i m a t e l y a s o b j e c t s t h a t t h e m s e l v e s t h a t c a n b e o p e r a t e d o n i n t h e i r o w n r i g h t . A s d i s c u s s e d a b o v e , T o n i a n d S a m o f t e n d e a l t w i t h r e p r e s e n t a t i o n s a n d p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n a p i e c e m e a l f a s h i o n . Y e t a t t i m e s t h e y w e r e s u c c e s s f u l w i t h i n d i v i d u a l p r o b l e m s a t b o t h i n s t a n c e a n d e n t i t y l e v e l s o f w h o l e n e s s . T h e y c o u l d a d o p t b o t h c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s f o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , w h i c h l e n t t h e m s e l v e s t o a n i n s t a n c e l e v e l o f w h o l e n e s s . F u r t h e r , s o m e t i m e s t h e y s a w t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s m o r e h o l i s t i c a l l y a s e n t i t i e s , p a r t i c u l a r l y t h r o u g h g r a p h s a n d t a b l e s f r o m c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s . S a m a n d T o n i t o o k b o t h i n s t a n c e a n d e n t i t y p e r s p e c t i v e s a s i m p o r t a n t o r g a n i z e r s , e s p e c i a l l y f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s . S t u d e n t s s a w g r a p h s a n d t a b l e s a s a w h o l e , b u t o n l y r a r e l y d i d t h e y t a k e a n o b j e c t p e r s p e c t i v e . T h i s a b s e n c e w a s t o b e e x p e c t e d a s t h e C o m p u t e r I n t e n s i v e A l g e b r a c u r r i c u l u m w a s d e s i g n e d f o r b e g i n n i n g a l g e b r a s t u d e n t s a n d , i n a d d i t i o n , t h e c l a s s c o v e r e d o n l y a b o u t h a l f o f t h e m a t e r i a l i n t h e t e x t . E x c e p t f o r a s m a l l n u m b e r o f e x e r c i s e s i n C I A a n d a f e w g e n e r a t e d b y M r . B a i l e y t o e x p l o r e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s o f g r a p h s , t h e s t u d e n t s d i d n o t h a v e m u c h e x p e r i e n c e w i t h p e r s p e c t i v e s o n f u n c t i o n s t h a t v i e w e d t h e m a s o b j e c t s t h a t c a n t h e m s e l v e s b e m a n i p u l a t e d . Y e t t w i c e d u r i n g t h e i n t e r v i e w s , B o b m a n a g e d t h i s l e v e l o f w h o l e n e s s . E a c h t i m e h e c o n n e c t e d a p p r o p r i a t e s y m b o l i c f o r m s t o e f f e c t a h o r i z o n t a l , l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f a g r a p h . O n c e i t o c c u r r e d i n p r o b l e m 2 A - 2 , t o fi n d t h e f u n c t i o n y = - 5 x + 1 5 f o r a t a b l e , a n d o n c e i n t h e p r o fi t p r o b l e m . I n t h e fi r s t c a s e B o b h a d u s e d a n a u t o m a t i c l i n e g r a p h e r t h r o u g h t h e d a t a p o i n t s f r o m t h e t a b l e t o g e t a g r a p h o f t h e l i n e . H e t h e n s a w t h a t h i s o w n g u e s s , y = 2 6 1 - 5 x , w a s p a r a l l e l t o i t , e s t i m a t e d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o l i n e s a l o n g t h e x - a x i s a s 3 , a n d c o r r e c t l y s u b s t i t u t e d ( x - 3 ) f o r x , a r r i v i n g a t t h e c o r r e c t e q u a t i o n f o r t h e t a b l e . I n t h e p r o fi t p r o b l e m , h e u s e d a s i m i l a r s t r a t e g y . I n t h a t p r o b l e m s t u d e n t s w e r e t o c r i t i q u e t w o q u a d r a t i c f u n c t i o n s , g i v e n t h e s u g g e s t i o n t h a t t h e fi r s t p a i d o u t 2 0 0 d o l l a r s t o a n e m c e e a n d t h e s e c o n d h a d a t i c k e t p r i c e t h r e e d o l l a r s l o w e r t h a n t h e f i r s t . B o b g r a p h e d b o t h f u n c t i o n s a n d c o m p a r e d d i f f e r e n t v a l u e s f o r t h e s a m e p r o fi t v a l u e ( p r o fi t = 0 ) t o s e e i f t h e t i c k e t p r i c e h e e x p e c t e d o n t h e fi r s t w a s t h r e e d o l l a r s l o w e r t h a n t h e s e c o n d . W h e n h e s a w t h e x - i n t e r c e p t o n t h e s e c o n d w a s a p p r o x i m a t e l y t h r e e h i g h e r ( r a t h e r t h a n l o w e r ) t h a n t h e fi r s t , h e d e c i d e d t o t r a n s l a t e t h e f u n c t i o n i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n b y s u b s t i t u t i n g t + 3 i n p l a c e o f t - 3 . W h i l e h e f a i l e d t o a c c o u n t f o r t h e e f f e c t o f a v e r t i c a l t r a n s l a t i o n o f - 2 0 0 i n o n e f u n c t i o n , h e n e v e r t h e l e s s t h o u g h t o f t h e s e f u n c t i o n s a s e n t i t i e s o n w h i c h a c t i o n s c o u l d b e t a k e n . I n b o t h t h e s e e x a m p l e s B o b u s e d b o t h a n i n s t a n c e l e v e l o f w h o l e n e s s t o c o m p a r e x - i n t e r c e p t s a n d a n o b j e c t l e v e l o f w h o l e n e s s a s h e a t t e m p t e d t o p i n d o w n a n d c o r r e c t d i f f e r e n c e s i n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o g r a p h s a s w h o l e s . T h i s k i n d o f t h i n k i n g d i d n o t o c c u r w i t h a n y o t h e r f o c a l s t u d e n t s , e x c e p t K e n , w h o d r o p p e d o u t o f t h e p r o g r a m . O n e c o u l d a r g u e t h a t p e r h a p s B o b w a s s i m p l y a p p l y i n g a t r a n s l a t i o n a l g o r i t h m , b u t w h e n y o u c o n s i d e r t h e e x t r e m e d i f fi c u l t y T o n i , S a m , a n d E d y ( a s w i l l b e s e e n ) h a d w i t h t h i s p r o b l e m , i t s e e m s q u i t e s o p h i s t i c a t e d t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s . B o b c l e a r l y s a w t h e g r a p h s a s r e p r e s e n t i n g w h o l e e n t i t i e s a n d o p e r a t e d o n t h e m a s o b j e c t s b y t r y i n g t o c o m p a r e t h e i r d i f f e r e n c e s a s g r a p h s b y l o o k i n g a t a p a i r o f p o i n t s . I n t h e c a s e o f e a c h p e r s p e c t i v e , h o w e v e r , B o b u t i l i z e d t h e n o n - a w a r e d i m e n s i o n . D o m a i n a n d r a n g e . A c o m p l e t e d e fi n i t i o n f o r t h e f u n c t i o n c o n c e p t i n c l u d e s t h e c o n c e p t s d o m a i n a n d r a n g e , a s w e l l a s a r e l a t i o n s h i p o r d e p e n d e n c y b e t w e e n . v a r i a b l e s . S o d o m a i n a n d r a n g e m u s t a t l e a s t b e m e n t i o m d u n d e r c o h e r e n c e . W h e n s t u d e n t s i n t h i s s t u d y u s e d d o m a i n s a n d r a n g e s , i t w a s c o n s i s t e n t w i t h h o w t h e y w e r e t a u g h t . D u r i n g c l a s s s t u d e n t s d e a l t i n f o r m a l l y w i t h d o m a i n s a n d r a n g e s w h e n t h e y 2 6 2 h a d t o fi n d a s u i t a b l e v i e w i n g w i n d o w o n t h e c a l c u l a t o r t o d i s p l a y a g r a p h . W h e n p r o b l e m s w e r e s i t u a t e d , i t w a s n e c e s s a r y t o a t t e n d t o d o m a i n s a n d r a n g e s t o g u a r a n t e e s e n s i b l e i n t e r p r e t a t i o n s o f r e s u l t s . F o r e x a m p l e , i n t h e p r o fi t p r o b l e m b o t h S a m a n d T o n i i m p l i c i t l y d i s c u s s e d d o m a i n w h e n t h e y s u g g e s t e d a s u i t a b l e t i c k e t p r i c e f o r a t a l e n t s h o w a n d d i s c u s s e d r a n g e i n f o r m a l l y w h e n t h e y c o n c l u d e d t h e r e w a s a l i m i t t o p r o fi t e a r n e d b e c a u s e t h e n u m b e r o f p e o p l e a t t e n d i n g w a s l i m i t e d . T h e y w e r e d i s c u s s i n g t h e s i t u a t i o n , h o w e v e r , w i t h o u t a n y a p p a r e n t c o n s c i o u s n e s s t h a t i t w a s c o n n e c t e d t o t h e c o n c e p t o f d o m a i n o f a fi m c t i o n . T h i s i n f o r m a l a t t e n t i o n t o d o m a i n s a n d r a n g e s i n i n t e r v i e w p r o b l e m s w a s e n t i r e l y c o n s i s t e n t w i t h h o w d o m a i n s a n d r a n g e s w e r e d e a l t w i t h i n c l a s s . A l t h o u g h s t u d e n t s w o r k e d w i t h d o m a i n s a n d r a n g e s , t h e t e r m s w e r e n o t u s e d a n d w e r e n e v e r d i s c u s s e d a s f u n c t i o n c o n c e p t s , a n d t h u s , a r e n o t r e l e v a n t t o t h e c o h e r e n c e d i s c u s s i o n . S p e c i a l N a t u r e o f S i t u a t e d P r o b l e m s T h i s fi n a l s e c t i o n r e l a t e d t o s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s d i s c u s s e s s p e c i a l i s s u e s t h a t a r o s e w h e n p r o b l e m s w e r e s i t u a t e d i n a r e a l i s t i c c o n t e x t . T h e u s e o f r e a l i s t i c s i t u a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s t o m o t i v a t e m e a n i n g f u l n e s s i n p r o b l e m s a n d t o p r o v i d e t h e b a s i s f o r p r o b l e m f o r m u l a t i o n , p r o b l e m s o l v i n g , a n d c o n c e p t d e v e l o p m e n t i s i n t e g r a l t o t h e m a t h e m a t i c s r e f o r m m o v e m e n t . I n t h e g r a d e s 9 - 1 2 s e c t i o n o f t h e N C T M C u r r i c u l u m a n d E v a l u a t i o n S t a n d a r d s ( 1 9 8 9 ) e a c h o f t h e s e c t i o n s - a l g e b r a , g e o m e t r y , t r i g o n o m e t r y , a n d f u n c t i o n s - l i s t e d r e a l i s t i c s i t u a t i o n s o r a p p l i c a t i o n s ( w i t h i n o r o u t s i d e m a t h e m a t i c s ) , r e a l w o r l d p r o b l e m s , o r m o d e l i n g a s t o p i c s t o r e c e i v e i n c r e a s e d a t t e n t i o n . I n t h e c u r r i c u l u m m a t e r i a l s u s e d i n t h i s c l a s s , m o d e l i n g w a s a n i n t e g r a l p a r t a n d a l l c o n c e p t s w e r e i n t r o d u c e d t h r o u g h s i t u a t i o n s . F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e t h e u s e o f s i t u a t i o n s c a n g i v e m e a n i n g t o c o m p u t a t i o n s a n d a t t h e s a m e t i m e l e n d s u p p o r t t o s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g a b o u t a p r o b l e m , f r o m w h i c h m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s a n d u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s c a n a r i s e . I n a d d i t i o n , t h e u s e o f r e a l s i t u a t i o n s m a y a l l o w t h e s t u d e n t t o s e e c o n n e c t i o n s 2 6 3 b e t w e e n m a t h e m a t i c s a n d a p p l i c a t i o n s i n o t h e r fi e l d s . A l t h o u g h u s e o f r e a l i s t i c s i t u a t i o n s i s s e e n a s n e c e s s a r y t o s t u d e n t s ’ d e v e l o p i n g m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s , u s e o f r e a l i s t i c s i t u a t i o n s i s n o t s u f fi c i e n t . I f s t u d e n t s a r e t o d e v e l o p m a t h e m a t i c a l p o w e r , e i t h e r w i t h i n o r o u t s i d e m a t h e m a t i c s , t h e y m u s t b e a b l e t o m o v e a w a y f r o m a s p e c i fi c r e a l w o r l d s i t u a t i o n a n d u n d e r s t a n d t h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s w i t h o u t r e f e r e n c e t o t h e s p e c i fi c s i t u a t i o n i n w h i c h i t w a s l e a r n e d a n d u l t i m a t e l y w i t h o u t r e f e r e n c e t o a n y r e a l i s t i c s i t u a t e d c o n t e x t . S i t u a t i o n s , I n f o r m a l M o d e l s , a n d R e a s o n i n g I n t h i s s t u d y p r o b l e m s t h a t w e r e s i t u a t e d h a d m i x e d v a l u e f o r s t u d e n t s . S o m e t i m e s s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g w a s b o u n d t o t h e p a r t i c u l a r s i t u a t i o n a l c o n t e x t s o s t r o n g l y t h a t t h e m a t h e m a t i c s m i g h t h a v e b e e n i n v i s i b l e t o t h e m , t h a t i s , t h e y w e r e u s i n g m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s t h a t t h e y w e r e u n a w a r e o f . F o r e x a m p l e , b o t h T o n i a n d S a m w e r e s u c c e s s f u l w i t h fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s f o r p r o b l e m s t h a t e v e n a d v a n c e d s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y w i t h ( E v e n , 1 9 8 9 ) . B o t h r e l i e d h e a v i l y o n c o o r d i n a t i n g d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s w i t h d e s c r i p t i o n s o f c h a n g e s i n g r a p h s o v e r t i m e i n o r d e r t o p r o d u c e a fi t , m a k i n g t h e m a t h e m a t i c s a p p e a r i n t u i t i v e a n d a l m o s t c o m p l e t e l y i n v i s i b l e , e s p e c i a l l y t o a n o b s e r v e r . I t w a s n o t c l e a r w h a t m a t h e m a t i c s , i f a n y , s t u d e n t s c o n s c i o u s l y t h o u g h t a b o u t o t h e r t h a n s h a p e o f g r a p h . O n o t h e r o c c a s i o n s , s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g w a s b o u n d t o t h e p a r t i c u l a r s i t u a t i o n s o s t r o n g l y t h a t m a t h e m a t i c s t h e y u n d e r s t o o d i n o t h e r c o n t e x t s w a s i n a c c e s s i b l e t o t h e m . R e c a l l t h a t S a m r e g u l a r l y r e s p o n d e d t o q u e s t i o n s a b o u t a p r o b l e m b y s i m p l y a n s w e r i n g w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h e r e a l w o r l d s i t u a t i o n a l c o n t e x t i n t h e p r o b l e m o r a n e n h a n c e m e n t t o t h e s i t u a t i o n . T h i s s t r a t e g y w o r k e d w e l l u n t i l t h e d e s c r i p t i o n c o n fl i c t e d w i t h t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n a s i t d i d i n t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m w h e n S a m c h o o s e a n i n c o r r e c t g r a p h . H i s r e l i a n c e o n t h e s i t u a t i o n o b s c u r e d m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e h e h a d s u c c e s s f u l l y u s e d o n o t h e r o c c a s i o n s . 2 6 4 T h e p r o fi t p r o b l e m , a c o m p l e x , s i t u a t e d p r o b l e m a b o u t p r o fi t f r o m a s c h o o l t a l e n t s h o w , g a v e f o u r o f t h e f o c a l s t u d e n t s d i f fi c u l t y . B e c a u s e t h e s i t u a t i o n c o n n o t e d b y t h e p r o b l e m c o n fl i c t e d w i t h s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s o f t h e s i t u a t i o n , t h e y w e r e u n a b l e t o m a k e s e n s e o f t h e p r o b l e m w i t h o u t a g r e a t d e a l o f h e l p . T h e p r o b l e m s t a t e m e n t i t s e l f a s k e d f o r a c o m p a r i s o n o f t w o p r o p o s e d f u n c t i o n r u l e s , a n i n h e r e n t l y d i f fi c u l t t a s k . Y e t e v e n w h e n I a s k e d s t u d e n t s t o f o c u s o n o n l y o n e f u n c t i o n r u l e , t h e y h a d t r o u b l e . I h a d w r i t t e n p r o fi t a s a d i r e c t f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e , w h i c h a l s o c o m p l i c a t e d t h e p r o b l e m f o r s t u d e n t s . T h e p r o b l e m m i g h t h a v e b e e n t o o c o m p l e x f o r s t u d e n t s w i t h t h e i r b a c k g r o u n d s s i n c e i t i n v o l v e d s o p h i s t i c a t e d a s p e c t s o f m o d e l i n g . H o w e v e r , i t m a y b e t h a t s t u d e n t s ’ n a i v e u n d e r s t a n d i n g s b e c a m e v i s i b l e p r e c i s e l y b e c a u s e t h e y h a d a p r o b l e m t h a t c o u l d n o t r e a d i l y b e e x t r a c t e d f r o m t h e s i t u a t i o n . F r o m s t u d e n t s ’ c o m m e n t s , t h e y c l e a r l y u n d e r s t o o d t h a t p r o fi t d e p e n d e d i n d i r e c t l y o n t i c k e t p r i c e b e c a u s e i t a f f e c t e d t h e n u m b e r o f p e o p l e t h a t w o u l d c o m e . W h i l e T o n i u n d e r s t o o d t h i s , s h e c o u l d n o t a c c e p t , a n d w a s u n a b l e t o u s e , p r o fi t a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e w i t h o u t a l s o k n o w i n g , t h e n u m b e r o f t i c k e t s s o l d . S h e c o u l d n o t m o v e b e y o n d t h e s i t u a t i o n t o o p e r a t e o n t h e f u n c t i o n r u l e c o m p u t a t i o n a l l y , e v e n a f t e r I r e p e a t e d l y s u g g e s t e d i t . I n s t e a d , T o n i c o n t i n u e d t o t r y t o m a k e s e n s e o f t h e s o u r c e o f t h e r u l e i t s e l f . O t h e r s t u d e n t s , l i k e S a m a n d E d y , c o u l d c o m p u t e p r o fi t f o r s p e c i fi c t i c k e t p r i c e s u s i n g t h e r u l e , i d e n t i f y t h e i r a n s w e r s a s p r o fi t , b u t c o u l d n o t c o r r e c t l y i n t e r p r e t t h e i r r e s u l t s b e c a u s e o f c o n f u s i o n o v e r i n c o m e a n d p r o fi t . E a c h a l t e r n a t e l y r e f e r r e d t o i n c o m e a s p r o fi t . B o t h S a m a n d E d y s t r u g g l e d w i t h t h e i s s u e o f w h e t h e r t o s u b t r a c t $ 2 0 0 a f t e r t h e y h a d c o m p u t e d t h e p r o fi t . F r o m t h e i r p r i o r e x p e r i e n c e t h e y u n d e r s t o o d t h e c o n c e p t t h a t m o n e y w a s n o t c o n s i d e r e d p r o fi t u n t i l e x p e n s e s w e r e p a i d . H o w e v e r , e v e n t h o u g h t h e y h a d i n d i c a t e d P ( t ) w a s p r o fi t , t h e y i n s i s t e d o n s u b t r a c t i n g $ 2 0 0 t o p a y t h e D J f r o m t h e v a l u e t h e y h a d j u s t c o m p u t e d f o r p r o fi t . 2 6 5 P e r h a p s i n s c h o o l e x p e r i e n c e s p r o fi t a n d i n c o m e a r e a c t u a l l y m u c h c l o s e r t o e q u a l i t y t h a n t h e y a r e i n b u s i n e s s d e a l i n g s o u t s i d e o f s c h o o l . I n f u n c t i o n s s u c h a s a c l a s s e v e n t , w h i c h p r o v i d e d t h e c o n t e x t f o r t h i s p r o b l e m , e x p e n s e s m i g h t b e a b s o r b e d b y t h e s c h o o l w i t h t h e r e s u l t t h a t t i c k e t s a l e s ( i n c o m e ) a n d p r o fi t a r e t h e s a m e . I n t h a t c a s e , i n c o m e w o u l d a l w a y s b e t h o u g h t o f a s t i c k e t p r i c e t i m e s n u m b e r a t t e n d i n g a n d c o s t w o u l d b e t h o u g h t o f o n l y a s t h o s e q u a n t i t i e s t h a t a r e e x p l i c i t l y a n n o u n c e d , s u c h a s t h e c o s t o f t h e D J i n t h i s p r o fi t p r o b l e m . I f t h e r e w e r e n o o t h e r f a c t o r s i n t h e i r e x p e r i e n c e s t h a t c o u l d p r o d u c e d i f f e r e n t m o d e l s f o r p r o fi t , s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s f o r p r o fi t l e g i t i m a t e l y w o u l d b e a l i g n e d w i t h i n c o m e m o d e l s . S i t u a t i o n s a n d t h e M o d e l C o n c e p t T h e c o n c e p t o f m o d e l w a s p r o m i n e n t a m o n g C I A c u r r i c u l u m m a t e r i a l s . Y e t i n c l a s s r o o m e x e r c i s e s , e x c e p t d u r i n g c u r v e - fi t t i n g p r o b l e m s , s t u d e n t s d i d n o t n e e d t o a c t i v e l y a t t e n d t o t h e m o d e l c o n c e p t f o r p r o fi t a n d i n c o m e b e c a u s e t h e f u n c t i o n m o d e l p r e s e n t e d c o u l d b e t h o u g h t o f a s r e p r e s e n t i n g a m a t h e m a t i c a l p r o c e s s ( r u l e ) o r r e l a t i o n s h i p ( t a b l e o r g r a p h ) t h a t w a s a d i r e c t a n a l o g t o s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s f r o m e v e r y d a y e x p e r i e n c e . F o r e x a m p l e , t h a t p r o fi t i s a f u n c t i o n o f n u m b e r o f t i c k e t s s o l d o r a t t e n d a n c e ( C I A , p . 2 - 2 6 , 2 — 2 7 ) a n d t h a t a t t e n d a n c e i s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e ( C I A , p . 2 - 1 6 ) m i r r o r s t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d p o s s i b l y t h e i r p e r s o n a l e x p e r i e n c e . T h u s , t i c k e t s s o l d o r a t t e n d a n c e w e r e r e a d i l y a c c e p t e d a s p r e d i c t o r s , a n d s t u d e n t s c o m p u t e d a n s w e r s t o p r o b l e m s i n w h i c h t h e y w e r e a s k e d t o m a k e p r e d i c t i o n s . W i t h n o c o n fl i c t b e t w e e n t h e m o d e l a n d t h e i r e v e r y d a y s e n s e o f t h e p r o b l e m , s t u d e n t s c o u l d s h i f t t h e i r a t t e n t i o n a w a y f r o m t h e s i t u a t i o n t o t h e m a t h e m a t i c s i t s e l f , t h a t i s , t o t h e r e p r e s e n t a t i o n s ( o t h e r t h a n s i t u a t i o n a l c o n t e x t ) a n d t o t h e p r o b l e m s o l v i n g p r o c e s s . T h e y d i d n o t n e e d t o a t t e n d t o o r e v e n a c k n o w l e d g e t h a t t h e g i v e n r e p r e s e n t a t i o n w a s a m o d e l ; a t t e n t i o n c o u l d b e ” t h r o u g h " t h e m o d e l " t o ” t h e c o m p u t a t i o n o r p r o c e s s o f d e t e r m i n i n g a n a n s w e r . 2 6 6 S h i f t i n g a t t e n t i o n i m m e d i a t e l y t o t h e r e p r e s e n t a t i o n o r s o l u t i o n p r o c e s s c o u l d e x p l a i n h o w T o n i a n d S a m w e r e a b l e t o s o l v e p r e / p o s t t e s t p r o fi t p r o b l e m s 9 a n d 1 3 , w h i c h a l s o i n v o l v e d p r o fi t a s q u a d r a t i c f u n c t i o n s o f t i c k e t p r i c e w i t h a p u b l i c e n t e r t a i n m e n t f u n c t i o n ( r o c k c o n c e r t o r c l a s s p l a y ) f o r a s i t u a t i o n a l c o n t e x t . B o t h T o n i a n d S a m a n s w e r e d q u e s t i o n s a b o u t t h e g r a p h ( 9 ) o n b o t h p r e - a n d p o s t t e s t w i t h o n l y m i n o r e r r o r s . T o n i o m i t t e d a n d S a m g a v e i n c o r r e c t a n s w e r s f o r t h e f u n c t i o n r u l e ( 1 3 ) o n t h e p r e t e s t , b u t b o t h c o m p u t e d s a t i s f a c t o r y a n s w e r s o n t h e p o s t t e s t . W h i l e o n t h e p o s t t e s t t h e y m i g h t h a v e " l e a r n e d ” h o w t o d o t h i s p r o b l e m a s a r e s u l t o f i n t e r v i e w 3 , t h e p r o fi t p r o b l e m , i n n e i t h e r c a s e w a s t h e r e a c o n f o u n d i n g o f t h e p r o b l e m b y t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t a s t h e r e h a d b e e n i n i n t e r v i e w 3 . W h y m i g h t t h i s b e ? P e r h a p s T o n i a n d S a m s a w t h e s e e x e r c i s e s a s s c h o o l p r o b l e m s o n a s u r v e y o r t e s t a n d t h u s e x p e c t e d t h e m t o h a v e c o m p u t a t i o n a l a n s w e r s . T h e s e p r o b l e m s d i d n o t r a i s e t h e q u e s t i o n o f v a l i d i t y o f t h e m o d e l o r e v e n a t t e n d t o t h e i d e a o f a m o d e l . S t u d e n t s w e r e a s k e d t o c o m p u t e o r i n t e r p r e t v a l u e s f o r t h e s i t u a t i o n t o g e t a n a n s w e r , a n d s o t h e i r a t t e n t i o n c o u l d b e i m m e d i a t e l y f o c u s e d m a i n l y o n t h e g r a p h o r e q u a t i o n , r a t h e r t h a n s i t u a t i o n i f t h e y e x p e c t e d a n a n s w e r w e r e p o s s i b l e , a s i s u s u a l l y t h e c a s e i n s c h o o l p r o b l e m s . I n t h e p r o fi t p r o b l e m , h o w e v e r , t h e t a s k w a s m u c h m o r e c o m p l e x a n d o p e n - e n d e d . T h e p r o b l e m a s k e d s t u d e n t s t o c o m p a r e t w o m o d e l s . I n a d d i t i o n , s i n c e t h e c o s t o f t h e D J w a s $ 2 0 0 a n d t h e c o n s t a n t t e r m i n o n e p o l y n o m i a l w a s - 2 0 0 , t h e p r o b l e m s t a t e m e n t i t s e l f s u g g e s t e d t h a t i n d i v i d u a l c o e f fi c i e n t s i n t h e p r o b l e m m a p p e d o n t o “ q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n . S t u d e n t s c o u l d n o t i g n o r e a t t e n d i n g t o t h e m o d e l ( s ) i t s e l f ; t h u s , t h e s i t u a t i o n r e m a i n e d i n t h e f o r e g r o u n d a n d w a s i m p o s s i b l e t o i g n o r e . S i n c e t h e m o d e l c o n fl i c t e d w i t h s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s , T o n i , e s p e c i a l l y , w a s i n i t i a l l y u n a b l e o r u n w i l l i n g t o ( c a r r y o u t e v e n s i m p l e c o m p u t a t i o n s o n a s i n g l e p o l y n o m i a l . E m b e d d e d i n t h e i n t e r v i e w p r o fi t p r o b l e m a r e s o m e i n h e r e n t l y d i f fi c u l t c o n c e p t s a b o u t m o d e l i n g . O n e s u c h c o n c e p t i s t h a t o n c e a m o d e l i s e s t a b l i s h e d , e v e n t h o u g h i t 2 6 7 i s b a s e d o n p a s t b e h a v i o r o f v a r i a b l e s , t h e p r o c e s s o f g e n e r a t i n g t h e m o d e l i s n o l o n g e r r e l e v a n t . E x c e p t f o r a t t e n d i n g t o w h a t c o n s t i t u t e s a s u i t a b l e d o m a i n , t h e m o d e l m u s t b e a c c e p t e d a s v a l i d w i t h o u t f u r t h e r r e f e r e n c e t o h o w t h e m o d e l w a s g e n e r a t e d i n t h e fi r s t p l a c e . T h i s i s a s o p h i s t i c a t e d c o n c e p t , a n d w h i l e s t u d e n t s h a d g a t h e r e d d a t a t o c r e a t e t h e i r o w n m o d e l s a n d h a d r o u t i n e l y u s e d m o d e l s g i v e n i n t h e C I A c u r r i c u l u m t o m a k e p r e d i c t i o n s a b o u t r e a l s i t u a t i o n s , t h e y h a d g r e a t d i f fi c u l t y i n t h e p r o fi t p r o b l e m p e r h a p s b e c a u s e t h e y c o u l d n o t i g n o r e t h e m o d e l c o n c e p t i t s e l f . S i t u a t i o n s a n d A s s u m p t i o n s B e s i d e s i n f o r m a l m o d e l s a n d t h e m o d e l c o n c e p t , o t h e r s i t u a t e d p r o b l e m s c a u s e d d i f fi c u l t y . S a m , i n p a r t i c u l a r , c o u l d n o t s o r t o u t w h a t h e w a s a l l o w e d t o a s s u m e . I n w o r k i n g t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m , S a m c o n t i n u o u s l y i n v e n t e d a s p e c t s o f o r a d d e d t o t h e s i t u a t i o n t o t r y t o m a k e i t fi t h i s g r a p h c h o i c e . H i s i n s i s t e n c e t h a t o n e p o i n t c o u l d h a v e t w o v a l u e s f o r d i f fi c u l t y o f w o r k f o r o n e e d u c a t i o n a l v a l u e l e d m e t o q u e s t i o n h i m a b o u t t h e n a t u r e o f h o w t o i n t e r p r e t a s i n g l e p o i n t o n t h e g r a p h . W h a t S a m n e e d e d t o d o w a s t o r e d u c e t h e c o n s t r a i n t s i n h o w h e s a w t h e s i t u a t i o n t o m a k e a t w o - d i m e n s i o n a l g r a p h p o s s i b l e , b u t w h a t h e e f f e c t i v e l y d i d ( w i t h o u t a p p a r e n t a w a r e n e s s ) w a s a d d t o t h e s i t u a t i o n s o t h a t a t h i r d d i m e n s i o n w o u l d a c t u a l l y h a v e b e e n n e c e s s a r y t o g r a p h h i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s i t u a t i o n . F u r t h e r , I , t h e i n t e r v i e w e r , s a w t h e g r a p h a s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o v a r i a b l e s f r o m w h i c h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t w o q u a n t i t i e s i n t h e s i t u a t i o n c o u l d b e d e s c r i b e d i n d e p e n d e n t o f i n f o r m a t i o n a b o u t a b r o a d e r s i t u a t i o n a l c o n t e x t , s u c h a s w h e t h e r t h e s p e a k e r r e f e r r e d t o s i t u a t i o n s f o r t w o d i f f e r e n t c l a s s e s , o n e s t u d e n t ’ s e x p e r i e n c e i n a c l a s s o v e r t i m e , o r s o m e o t h e r a s p e c t o f a s i t u a t i o n t h a t w a s c o m p l e t e l y i m m a t e r i a l . I k n e w t h e s e w e r e j u s t ” n o i s e ” a n d c o u l d b e i g n o r e d b e c a u s e i n f o r m a t i o n w a s n o t g i v e n f o r t h e m . A s a t e a c h e r , I k n e w I n e e d e d o n l y t o t h i n k o f e a c h p o i n t a s a d i f f e r e n t i n s t a n c e o f t h e r e l a t i o n s h i p a n d i n t e r p r e t i t o n l y i n t e r m s o f h i g h a n d l o w n u m b e r s ( v a l u e s ) w i t h l a b e l s ( i d e n t i f y i n g q u a n t i t i e s ) . S a m d i d n o t . 2 6 8 O n c e h e h a d i n t r o d u c e d t i m e i n t o t h e d i s c u s s i o n a s a r e a s o n f o r w h y t w o v a l u e s f o r d i f fi c u l t y o f w o r k w e r e a s s o c i a t e d w i t h o n e e d u c a t i o n a l v a l u e , t h e b r o a d e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s i t u a t i o n a l d i s t i n c t i o n b e t w e e n p o i n t s o n t h e g r a p h b e c a m e a n i s s u e . F o r a f u n c t i o n t o r e p r e s e n t a s i t u a t i o n , t h e r e m u s t b e s o m e t h i n g i n t h e b r o a d e r s i t u a t i o n a l c o n t e x t t h a t a c c o u n t s f o r t h e e x i s t e n c e o f d i s t i n c t p o i n t s o n t h e g r a p h . U s u a l l y b y t h e t i m e m a t h e m a t i c i a n s h a v e g e n e r a t e d a g r a p h , t h e y n e e d n o l o n g e r a t t e n d t o t h e s e ( c a u s a l o r e x p l a n a t o r y ) s i t u a t i o n a l d i s t i n c t i o n s b e t w e e n p o i n t s o n t h e g r a p h t o a n a l y z e t h e m a t h e m a t i c a l d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e p o i n t s . Y e t s t u d e n t s r i g h t l y r e c o g n i z e t h a t t h e s e b r o a d e r c o n t e x t s a r e w h a t m a k e t h e p a r t i c u l a r g r a p h r e p r e s e n t i n g a s i t u a t i o n u s e f u l i n a p p l i c a t i o n s , e v e n t h o u g h t h e y a r e n o t r e l e v a n t i n t h e s e s i t u a t e d s c h o o l p r o b l e m s . B e c a u s e i t i s s e n s i b l e t o d o s o , s t u d e n t s m a y a t t e n d t o t h e s e b r o a d e r s i t u a t i o n a l d i s t i n c t i o n s u n t i l t h e y l e a r n w h a t c a n b e i g n o r e d . T h e y n e e d o u r h e l p i n l e a r n i n g w h a t c a n b e a s s u m e d a n d w h a t c a n b e i g n o r e d i n p a r t i c u l a r p r o b l e m c o n t e x t s . M o s c h k o v i c h e t a l . ( 1 9 9 3 ) s t a t e t h i s w e l l : P e o p l e f a m i l i a r w i t h a d o m a i n k n o w w h a t t o i g n o r e a n d w h a t t o f o c u s o n , n e w c o m e r s d o n o t . [ s i c ] W h a t e v e r i s o b v i o u s t o u s m a y n o t e v e n b e a p p a r e n t t o t h e m . T h e l a r g e p a r t o f o u r t a s k i s t o l e a r n t o s e e t h e d o m a i n a s s t u d e n t s d o , a n d t o h e l p t h e m d e v e l o p t h e u n d e r s t a n d i n g s t h a t a l l o w t h e m t o p e r c e i v e a n d u n d e r s t a n d t h e o b j e c t s i n i t i n a m a n n e r c o n s i s t e n t w i t h o u r p e r c e p t i o n s a n d u n d e r s t a n d i n g s . ( p . 7 8 ) I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t i n t h i s e x a m p l e i t w a s n o t j u s t a m a t t e r o f f a i l i n g t o s o r t o u t w h a t a s s u m p t i o n s w e r e a p p r o p r i a t e , b u t r a t h e r t h a t S a m w a s e x e r c i s i n g a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y t o e n h a n c e a s i t u a t i o n t o fi t a n a t t r i b u t e o f t h e g r a p h i n o r d e r t o p r o g r e s s s u c c e s s f u l l y , a s w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w u n d e r s t u d e n t r e s o u r c e s . H e m i g h t n o t h a v e a t t e n d e d m u c h t o t h e m a t h e m a t i c s . B u t e v e n i n t h e e v e n t t h a t h e w a s s i m p l y p u s h i n g t h e d e fi n i t i o n o f t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t a s f a r a s h e c o u l d b e c a u s e h e w a s d e a l i n g w i t h a p r o b l e m c o n s i d e r a b l y l e s s w e l l - d e fi n e d t h a n t h o s e o r d i n a r i l y g i v e n i n s c h o o l , i t i s s t i l l u n l i k e l y t h a t h e w a s c l e a r a b o u t w h a t h e c o u l d a s s u m e a b o u t t h e s i t u a t i o n . S e v e r a l t i m e s E d y a l s o a d d e d t o s i t u a t i o n s t o a t t e m p t t o j u s t i f y s o m e 2 6 9 p r o b l e m s o l v i n g a c t i o n o r t o s i m p l i f y a p r o b l e m . O t h e r t i m e s , s h e w o u l d a s k d i r e c t l y w h a t s h e w a s a l l o w e d t o a s s u m e . T h i s c o n f u s i o n o v e r w h a t c a n b e a s s u m e d w h e n d e a l i n g w i t h d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s i s f a m i l i a r t o m e a s I h a v e o b s e r v e d i t r e p e a t e d l y i n m y o w n a l g e b r a c l a s s e s a t t h e u n i v e r s i t y w h e n s t u d e n t s a r e g i v e n s i m i l a r p r o b l e m s . B e s i d e s f o c a l s t u d e n t s , o t h e r s t u d e n t s i n t h e c l a s s h a d d i f fi c u l t y m o v i n g b e y o n d a s s u m p t i o n s t h a t s e e m e d l i n k e d t o t h e i r p r e v i o u s m a t h e m a t i c s e x p e r i e n c e . D u r i n g t h e fi r s t w e e k o f c l a s s s t u d e n t s w e r e a s k e d t o s k e t c h g r a p h s f o r t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n : S u p p o s e y o u w e r e t o c h o o s e , a t r a n d o m , 1 0 0 p e o p l e a n d m e a s u r e h o w h e a v y t h e y a r e . Y o u t h e n a s k t h e m t o p e r f o r m i n 3 s p o r t s : H i g h l u m p i n g , W e i g h t L i f t i n g a n d D a r t s . ( T h r e e a x e s a r e s h o w n , o n e f o r e a c h g r a p h , w i t h b o d y w e i g h t o n t h e h o r i z o n t a l ) A t fi r s t s t u d e n t s m a d e d o t s i n l i n e s , a n d o n l y a f t e r a l o t o f p r o d d i n g b y M r . B a i l e y , d i d t h e y c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y t h a t d o t s c o u l d b e p l a c e d a b o v e e a c h o t h e r , t h a t i s , m o r e t h a n o n e p e r s o n c o u l d h a v e t h e s a m e w e i g h t . E v e n t h e n , s o m e g r o u p s m a d e g r a p h s s h a p e d g e n e r a l l y l i k e p a r a b o l a s w i t h o n l y a f e w d o t s b e l o w t h e a r c h . A p p a r e n t l y s t u d e n t s h a d f e w g u i d e l i n e s f r o m s t a n d a r d s c h o o l i n g t o h a n d l e s u c h p r o b l e m s . T h o u g h t h e y w e r e r e l u c t a n t a t t h e b e g i n n i n g t o c o n s i d e r a b r o a d r a n g e o f p o s s i b i l i t i e s f o r s i t u a t i o n s , l a t e r b o t h E d y a n d S a m s e e m e d t o e x p a n d w h a t a s s u m p t i o n s t h e y c o u l d m a k e t o t h e e x t e n t t h a t t h e y i n c l u d e d i n v a l i d o n e s a s w e l l . I n s u m m a r y , f r o m a t e a c h e r ’ s p e r s p e c t i v e , s i t u a t e d p r o b l e m s a n d m o d e l i n g a r e a d v o c a t e d b e c a u s e t h e y s u p p o r t r e a s o n i n g a n d p r o v i d e a m e a n i n g f u l c o n t e x t f o r t h e m a t h e m a t i c s b e i n g l e a r n e d . Y e t s i t u a t e d p r o b l e m s c a u s e d s t u d e n t s d i f fi c u l t y , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e i r i n f o r m a l m o d e l s c o n fl i c t e d w i t h a fi m c t i o n b e i n g m o d e l e d . S t u d e n t s r e l i e d o n t h e i r e v e r y d a y k n o w l e d g e t o m a k e s e n s e o f t h e s i t u a t i o n a n d t h e m a t h e m a t i c s . W h e n t h e t w o w e r e n o t c o m p a t i b l e , s t u d e n t s w e r e u n a b l e t o c o p e ‘ w i t h e v e n f a m i l i a r m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s . I n a d d i t i o n , w h e n w o r k i n g w i t h s i t u a t i o n s , t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t t h a t w a s n o l o n g e r r e l e v a n t i n t h e m a t h e m a t i c a l 2 7 0 r e p r e s e n t a t i o n c o n t i n u e d t o " i n t r u d e ” o n t h e i r m a t h e m a t i c a l i n t e r p r e t a t i o n , i n p a r t , b e c a u s e s t u d e n t s r e l i e d o n t h e s i t u a t i o n f o r s u p p o r t i n t h e i r r e a s o n i n g . S t u d e n t s w e r e g e n e r a l l y a b l e t o c o p e w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s w h e n t h e c o n c e p t o f a m o d e l w a s t r a n s p a r e n t , b u t h a d d i f fi c u l t y w h e n b y t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m t h e i r a t t e n t i o n w a s c a l l e d t o t h e c o n c e p t o f m o d e l a s p r e d i c t o r f o r f u t u r e s i t u a t i o n s . F i n a l l y , w h e n w o r k i n g w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s , s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y u n d e r s t a n d i n g w h i c h a s p e c t s o f t h e s i t u a t i o n c o u l d b e a s s u m e d a s v a l i d a n d w h i c h c o u l d b e i g n o r e d . O t h e r F a c t o r s A f f e c t i n g S t u d e n t U n d e r s t a n d i n g o f F u n c t i o n a l R e l a t i o n s h i p s S t u d e n t R e s o u r c e s T h i s s e c t i o n r e c a p s w h a t r e s o u r c e s s t u d e n t s b r i n g t o t h e i r p r o b l e m s o l v i n g f r o m m a t h e m a t i c s , a n d t h e n e x p l o r e s t h o s e t h e y b r i n g f r o m o t h e r s o u r c e s . T h e s e c t i o n d i s c u s s e s k n o w l e d g e o f s c h o o l m a t h e m a t i c s p r o b l e m s a n d t h e r o l e o f t h e c a l c u l a t o r . F i n a l l y , i t e x a m i n e s i n t e r a c t i o n i s s u e s c o n n e c t e d t o w h a t i t m e a n s t o b e i n s c h o o l a n d t h o s e c o n n e c t e d t o c o m m u n i c a t i o n . F r o m m a t h e m a t i c s . A s h a s b e e n m e n t i o n e d u n d e r s e c t i o n s r e l a t e d t o s t u d e n t c o n c e p t i o n s o f fi m c t i o n s a n d f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s , s t u d e n t s b r o u g h t m a n y r e s o u r c e s t o t h e i r p r o b l e m s o l v i n g . T h e y r e l i e d o n t h e i r e v e r y d a y e x p e r i e n c e s w i t h t h e m a t h e m a t i c s t o m a k e s e n s e o f p r o b l e m s a n d w e r e t r o u b l e d w h e n p r o b l e m s w e r e a t o d d s w i t h t h i s k n o w l e d g e . M a n y s t r a t e g i e s , s u c h a s a t t e n t i o n t o p a t t e r n s o f c h a n g e i n t a b l e s , s e e m e d r e l a t e d f a i r l y d i r e c t l y t o t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s a n d s k i l l s t h a t w e r e t a u g h t o r e x p e r i e n c e d i n c l a s s . S t u d e n t s f o u n d t h e s e i d e a s s a l i e n t a n d u s e d t h e m t o b u i l d o n i n t h e i r s e n s e - m a k i n g , p a r t i c u l a r l y f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . O t h e r s t u d e n t a c t i o n s w e r e i n d i c a t i v e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h e y h a d l e a r n e d p r i o r t o t h i s c l a s s o r o u t s i d e o f c l a s s . F o r e x a m p l e , S a m h a d a n a l g o r i t h m f o r _ g r a p h i n g l i n e a r f u n c t i o n s a n d f o r t r y i n g t o fi n d c o o r d i n a t e s o f a v e r t e x o f a p a r a b o l a f r o m t h e m i d d l e t e r m o f t h e p o l y n o m i a l . N e i t h e r w a s t a u g h t i n t h i s c l a s s . 2 7 1 K n o w l e d g e o f s c h o o l m a t h e m a t i c s . S t i l l o t h e r k n o w l e d g e s t u d e n t s u s e d f o r p r o b l e m s o l v i n g w a s l e s s d i r e c t l y r e l a t e d t o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d m o r e c l o s e l y r e l a t e d t o w h a t i t m e a n s t o d o m a t h e m a t i c s i n s c h o o l . S o m e t i m e s s t u d e n t s s i m p l y m a n i p u l a t e d s y m b o l s o r t r i e d t o r e m e m b e r a r e l e v a n t p r o c e d u r e . O n m o r e t h a n o n e o c c a s i o n w h e n e i t h e r T o n i o r E d y w a s s t u c k , e a c h m e n t i o n e d t h a t t h e y w e r e t r y i n g t o r e m e m b e r a p r o c e d u r e . R e c a l l T o n i b e g a n t h e c o m p l e x p r o fi t p r o b l e m b y r e m o v i n g p a r e n t h e s e s i n o n e f u n c t i o n r u l e , t h a t i s , b y s i m p l y m a n i p u l a t i n g t h e s y m b o l i c f o r m . O t h e r t i m e s s t u d e n t s s e e m e d t o e x p e c t t h a t a s i n g l e , r e a s o n a b l e a n s w e r e x i s t e d f o r a p r o b l e m a n d t h a t t h e y s h o u l d b e a b l e t o c o m p u t e i t . B o t h S a m a n d E d y b e g a n t h e p r o fi t p r o b l e m b y c a l c u l a t i n g p r o fi t f o r a s p e c i fi c t i c k e t p r i c e f o r e a c h c a t e g o r y ( w i t h a n d w i t h o u t a D J ) a n d m a d e a j u d g m e n t a b o u t t h e p r o b l e m b a s e d o n o n l y o n e i n s t a n c e , r a t h e r t h a n c o m p a r i n g m u l t i p l e p o s s i b i l i t i e s f o r t i c k e t p r i c e s . R e c a l l S a m ’ s a n d T o n i ’ s a b i l i t y t o c o p e w i t h a s i m i l a r p r o b l e m , p r o fi t a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e , o n t h e p o s t t e s t , w h e r e t h e t a s k w a s s c h o o l - l i k e . H o w e v e r , i n i n t e r v i e w 3 ’ s p r o fi t p r o b l e m , a t fi r s t w h e n I a s k e d t h e m t o fi n d t h e t i c k e t p r i c e t h a t w o u l d m a x i m i z e p r o fi t u s i n g a s p e c i fi c r u l e , t h e s a m e t a s k , t h e y h a d g r e a t d i f fi c u l t y . T h e m a t h e m a t i c s o f t h a t v e r b a l p r o b l e m , fi n d i n g t h e m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e i n a s i m i l a r q u a d r a t i c p o l y n o m i a l f u n c t i o n r u l e w i t h a s i m i l a r s i t u a t i o n a l c o n t e x t , w a s a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e m a t h e m a t i c s o n a s i m i l a r p r o b l e m o n t h e p o s t t e s t . T h e p r o b l e m s e t t i n g o f i n t e r v i e w 3 , h o w e v e r , w a s m o r e c o m p l e x a n d l e s s s c h o o l - l i k e . R o l e o f t e c h n o l o g y . F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e t h e g r a p h i c s c a l c u l a t o r w a s a n o t h e r r e s o u r c e f o r s o l v i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s . I t w a s u s e d d a i l y i n c l a s s a n d s t u d e n t s u s e d i t f o r h o m e w o r k . S t u d e n t s ’ u s e o f t h i s r e s o u r c e i n i n t e r v i e w s w a s u n e v e n . T o n i d i d n o t g e n e r a l l y t u r n t o t h e c a l c u l a t o r a s a t o o l t o s o l v e p r o b l e m s . e x c e p t f o r c o m p u t i n g v a l u e s t h a t s h e c o u l d n o t d o b y h a n d , s u c h a s e v a l u a t i n g 5 0 o r e v a l u a t i n g a p o l y n o m i a l . I n t h e p a i n t / p e r i m e t e r p r o b l e m ( 4 A - 6 ) , s h e m e t i c u l o u s l y w r o t e d o w n a n d a d d e d u p 1 3 3 ’ s i n s t e a d o f u s i n g t h e c a l c u l a t o r . E v e n t h o u g h T o n i 2 7 2 s e e m e d v i s u a l l y o r i e n t e d , s h e s e l d o m u s e d c a l c u l a t o r g r a p h s w h e n I w o u l d h a v e e x p e c t e d , s u c h a s fi n d i n g t h e m a x i m u m f u n c t i o n v a l u e i n i n t e r v i e w 3 . I n t h a t p r o b l e m s h e r e l i e d o n c o m p u t e d f u n c t i o n v a l u e s o n t h e c a l c u l a t o r . E d y a n d S a m r e l i e d o n d i s c r e t e c o m p u t a t i o n s i n t h a t p r o b l e m a s w e l l . N o n e o f t h e f o c a l s t u d e n t s b u t B o b u s e d g r a p h s t o s o l v e t h a t p r o b l e m . S a m a n d B o b , h o w e v e r , o f t e n u s e d t h e c a l c u l a t o r f o r e x p l o r a t i o n s o f a p r o b l e m w h e n n o t s u r e o f a n e x t s t e p . B o t h e x p l o r e d t h e n a t u r e o f t h e c a l c u l a t o r i t s e l f , c h o o s i n g t h e x y - l i n e f o r g r a p h i n g d a t a p o i n t s , e v e n t h o u g h i t h a d n o t b e e n t a u g h t . C a l c u l a t o r u s e l i k e l y c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s ’ l e a r n i n g , p a r t i c u l a r l y a b o u t s h a p e s o f g r a p h s , w h i c h b o t h S a m a n d T o n i f o u n d t o b e a n i m p o r t a n t o r g a n i z i n g t o o l f o r f u n c t i o n c l a s s . C a l c u l a t o r s m a y a l s o h a v e c o n t r i b u t e d t o s o m e o f t h e i r t r o u b l e s , h o w e v e r . N e i t h e r T o n i n o r S a m s a w c l e a r d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e f o r m o f s y m b o l i c r u l e t o b e e n t e r e d f o r d o i n g c o m p u t a t i o n s a n d t h a t o n t h e f u n c t i o n d e fi n i t i o n s c r e e n ( f o r g r a p h i n g ) . B o t h S a m a n d T o n i s o m e t i m e s e n t e r e d c o m p u t a t i o n s w i t h x ’ s r a t h e r t h a n n u m b e r s , a n d m o r e t h a n o n c e S a m e n t e r e d f u n c t i o n d e fi n i t i o n s w i t h c o n s t a n t s s u b s t i t u t e d f o r t h e x ’ s . S t u d e n t s h a d a n o p p o r t u n i t y t o g r a p h d a t a p o i n t s o n t h e c a l c u l a t o r a n d w e r e a b l e t o u s e g u e s s a n d t e s t m e t h o d s t o e x p l o r e c u r v e fi t t i n g o f a n a p p r o p r i a t e f u n c t i o n . F r o m a t e a c h e r p e r s p e c t i v e t h e s e e x e r c i s e s s h o u l d h a v e b e e n u s e f u l b e c a u s e t h e y c o u l d g i v e s t u d e n t s a b e t t e r s e n s e o f w h a t a n a l g e b r a i c m o d e l i s . Y e t t h e s e a c t i v i t i e s m i g h t h a v e c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s ’ f a i l u r e t o u n d e r s t a n d t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n e x p o n e n t i a l f t m c t i o n s i n s y m b o l i c f o r m a n d a o n e - t e r m q u a d r a t i c a s t h e p o s i t i o n o f v a r i a b l e s ( v a r i a b l e s a n d p a r a m e t e r s ) w e r e n o t a d i s t i n g u i s h i n g c h a r a c t e r i s t i c . C a l c u l a t o r s m a y h a v e h i n d e r e d a s w e l l a s h e l p e d i n u n d e r s t a n d i n g o f c u r v e fi t t i n g . M o r e t h a n o n c e s t u d e n t s t r a c e d a l o n g a l i n e a r g r a p h t h a t t h e y h a d j u s t c r e a t e d f r o m t w o p o i n t s ( c h o s e n f r o m a l i n e t h e y h a d d r a w n t o fi t a s c a t t e r g r a p h ) t o s e e i f t h e t w o p o i n t s w e r e o n t h e g r a p h . F i n a l l y , t h a t t h e y p r i n c i p a l l y u s e d t h e 2 7 3 c a l c u l a t o r f o r g r a p h i n g m a y h a v e c o n t r i b u t e d t o t h e i r i n a b i l i t y t o g r a p h f u n c t i o n r u l e s b y h a n d . T h e s e r e s u l t s c o u l d b e e x p l a i n e d i n p a r t b y t h e s h o r t p e r i o d o f i n s t r u c t i o n ( 5 w e e k s ) a n d s t u d e n t s ’ i n a c c e s s i b i l i t y t o c a l c u l a t o r s . S t u d e n t s h a d t o s h a r e c a l c u l a t o r s w i t h t w o o t h e r s e c t i o n s d u r i n g s t u d y h a l l a n d d i d n o t h a v e a c c e s s t o c a l c u l a t o r s o v e r n i g h t . S o t h e y h a d l i t t l e o p p o r t u n i t y t o e x p l o r e o r p r a c t i c e w i t h t h e m a c h i n e s . I n a d d i t i o n , e x c e p t f o r c u r v e fi t t i n g , m o s t u s e o f t h e c a l c u l a t o r r e q u i r e d b e g i n n i n g w i t h t h e r u l e r e p r e s e n t a t i o n o f f u n c t i o n s a n d t r a n s l a t i n g t o o t h e r r e p r e s e n t a t i o n a l f o r m s . E x c e p t f o r r e c o g n i z i n g c e r t a i n s y m b o l i c f o r m s b y f u n c t i o n c l a s s , f o r s t u d e n t s i n t h i s s t u d y , t h e m o s t s a l i e n t c h a r a c t e r i s t i c s o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s w e r e d y n a m i c - w a s i n t a b l e s a n d g r a p h s . T h e y w e r e n o t a s s o c i a t e d w i t h r u l e r e p r e s e n t a t i o n s , e x c e p t f o r c o m p u t i n g s p e c i fi c v a l u e s . S o i t i s p o s s i b l e t h e d o m i n a n c e o f t h e r u l e f o r m i n c a l c u l a t o r u s e m i g h t h a v e m a d e c e r t a i n c o n c e p t s l e s s a c c e s s i b l e . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e i n t e r v i e w p r o b l e m s w h e r e s t u d e n t u s e o f t h e c a l c u l a t o r w a s n o t t h e p r i m a r y f o c u s , I d o n o t h a v e e n o u g h d a t a t o s u b s t a n t i a t e t h e s e c l a i m s , b u t r a t h e r o n l y t o s u g g e s t p o s s i b l e w a y s t h e c a l c u l a t o r w a s a u s e f u l o r p o t e n t i a l l y l e s s u s e f u l r e s o u r c e f o r t h e s e s t u d e n t s . I n t e r a c t i o n I n t e r a c t i o n a n d s c h o o l a c t i v i t i e s . S o m e s t u d e n t a c t i v i t i e s d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g w e r e m o r e r e l a t e d t o w h a t i t m e a n s t o b e i n s c h o o l t h a n t o s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . S t u d e n t s w e r e ” m o d e l ” s t u d e n t s i n a l l i n t e r v i e w s . F o r e x a m p l e , t h e y w e r e a l w a y s v e r y c o o p e r a t i v e w i t h m e w h e n I h a d t o a d j u s t i n t e r v i e w s c h e d u l e s . T h e y s h o w e d u p o n t i m e a n d s e e m e d t o m a k e a s e r i o u s e f f o r t a t d o i n g t h e p r o b l e m s . S o m e t i m e s t h e i r b e h a v i o r w a s v e r y ” c l a s s r o o m - l i k e . " T h e y a s k e d f o r . p e r m i s s i o n t o w r i t e o n t h e p a p e r s t h a t s t a t e d t h e p r o b l e m o r a s k e d i f t h e y c o u l d u s e t h e c a l c u l a t o r o n s p e c i fi c p r o b l e m s e v e n t h o u g h I b e g a n e a c h i n t e r v i e w b y p o i n t i n g o u t t h a t t h e r e w a s p a p e r , g r a p h p a p e r , t h e c a l c u l a t o r , a n d a p e n t h a t t h e y w e r e 2 7 4 w e l c o m e t o u s e . O n o n l y o n e p r o b l e m d i d i t s t a t e t h e y w e r e n o t t o u s e t h e c a l c u l a t o r , a n d o n c e o r t w i c e I a s k e d s t u d e n t s t o u s e t h e p e n , r a t h e r t h a n t h e p e n c i l s t h e y b r o u g h t w i t h t h e m , s o t h e i r w r i t i n g w o u l d s h o w u p o n t h e v i d e o t a p e . S i n c e I w a s t a p i n g a n d s o m e t i m e s i n d i c a t e d v e r b a l a n s w e r s w e r e s u f fi c i e n t , b u t o t h e r t i m e s w e r e n o t , s t u d e n t s o f t e n a s k e d i f t h e y n e e d e d t o r e c o r d t h e i r a n s w e r o n t h e p r o b l e m s h e e t . T h e s e b e h a v i o r s s e r v e d u s b o t h b y c r e a t i n g a g o o d r a p p o r t b e t w e e n u s . T h e i r b e h a v i o r s m a t c h e d m y e x p e c t a t i o n s o f w h a t g o o d s t u d e n t s a r e a n d r e m o v e d a n y n e e d f o r u s t o s p e n d a l o t o f e n e r g y t o b u i l d r a p p o r t . I w a s g r a t e f u l f o r t h e i r c o o p e r a t i o n a n d t h e i r a c t i o n s , t h r o u g h c o m m u n i c a t i o n , h e l p e d u s s o r t o u t w h a t w a s e x p e c t e d f r o m t h e m a n d w h a t w o u l d m e e t m y n w d s a s a r e s e a r c h e r i n m u c h t h e s a m e w a y t h a t i t w o u l d i f I w e r e t h e i r t e a c h e r . I n t e r a c t i o n a n d p r o b l e m s o l v i n g . O t h e r s t u d e n t a c t i v i t y i n v o l v e d i n t e r a c t i o n s w i t h m e a n d i n c l u d e d " s c h o o l b e h a v i o r ” t h a t s e e m e d m o r e d i r e c t l y r e l a t e d t o p r o b l e m s o l v i n g . O f t e n s t u d e n t s t o o k c u e s f o r h o w t o p r o c e e d f r o m m y s t a t e m e n t s d u r i n g i n t e r v i e w s . E d y , e s p e c i a l l y , t o o k m y q u e s t i o n s t o p r o b e o r c o n fi r m h e r r e s p o n s e s a s a n n o u n c e m e n t s t h a t h e r p r e v i o u s a n s w e r w a s i n c o r r e c t a n d o n t h i s b a s i s , c h a n g e d h e r a n s w e r . A t l e a s t p a r t o f t h e t i m e , a l l s t u d e n t s t o o k c o n t i n u e d q u e s t i o n i n g o n a p r o b l e m a s a s i g n t h a t t h e i r r e s p o n s e w a s t o s o m e d e g r e e i n s u f fi c i e n t . A r e s e a r c h e r ’ s p r o b i n g i s v e r y s i m i l a r t o a q u e s t i o n i n g t e c h n i q u e t h a t i s o f t e n u s e d b y c l a s s r o o m t e a c h e r s f o r a v e r y d i f f e r e n t p u r p o s e : t o a v o i d t e l l i n g a s t u d e n t t h e i r r e s p o n s e i s w r o n g , w h i l e a t t h e s a m e t i m e g i v i n g t h e s t u d e n t a h i n t a b o u t h o w t o p r o c e e d . A t l e a s t p a r t o f t h e t i m e e a c h o f t h e s e f o c a l s t u d e n t s r e s p o n d e d t o m y i n t e r v i e w q u e s t i o n s a s i f t h e y u n d e r s t o o d t h i s s c h o o l q u e s t i o n i n g s t y l e a n d a s i f i t m a t c h e d m y i n t e n t i o n s a s a n i n t e r v i e w e r , e v e n t h o u g h i t d i d n o t . T h i s b e h a v i o r s o m e t i m e s m a d e . i n t e r v i e w i n g m o r e d i f fi c u l t a s I h a d t o e x p e n d m o r e e n e r g y a v o i d i n g g i v i n g c l u e s t h a n I h a d h o p e d . 2 7 5 I n a d d i t i o n , s t u d e n t s u s e d t h e i r o w n q u e s t i o n s t o l e a r n h o w t o p r o c e e d . S a m b e g a n s e v e r a l i n t e r v i e w p r o b l e m s w i t h a l o n g s e q u e n c e o f q u e s t i o n s a b o u t t h e p r o b l e m t h a t s o m e t i m e s s e e m e d m o r e l i k e a s e a r c h f o r c l u e s t o t h e s o l u t i o n p r o c e s s t h a n f o r c l a r i fi c a t i o n o f t h e p r o b l e m s t a t e m e n t . O t h e r t i m e s h e r e s p o n d e d t o a n y q u e s t i o n s w h e r e I g a v e h i m a n e i t h e r - o r c h o i c e b y s i m p l y a g r e e i n g t o t h e l a s t a l t e r n a t i v e . O n c a r e f u l a n a l y s i s a f t e r t h e i n t e r v i e w s , I d i s c o v e r e d t h a t m o s t o f t h e s e t i m e s I u s e d a q u e s t i o n i n g s t y l e s u c h t h a t w h e n I g a v e t w o a l t e r n a t i v e s , t h e l a t t e r w a s t h e c o r r e c t o n e . S a m m i g h t h a v e r e a l i z e d t h i s o r s i m p l y h a v e a d o p t e d a s t y l e o f r e s p o n d i n g t o t h e l a t t e r a l t e r n a t i v e . R e c a l l a l s o t h a t i n o n e i n t e r v i e w S a m c a l l e d o n e o f m y p r o b i n g q u e s t i o n s a h i n t t h a t m a d e s o l v i n g t h e p r o b l e m p o s s i b l e . S a m ’ s s t r a t e g i e s a r e r e m i n i s c e n t o f t h o s e r e p o r t e d i n a d i f f e r e n t c o n t e x t b y A n d e r s o n , B r u b a k e r , A l l e m a n - B r o o k s , a n d D u f f y ( 1 9 8 3 ) . T h e y s t u d i e d y o u n g c h i l d r e n d o i n g s e a t w o r k d u r i n g r e a d i n g i n s t r u c t i o n a n d c o n t r a s t e d p o o r r e s p o n d e r s ( l o w a t t e n t i o n a n d p o o r p e r f o r m a n c e ) w i t h a d e q u a t e r e s p o n d e r s ( h i g h a t t e n t i o n a n d h i g h p e r f o r m a n c e ) . T h e l o w a c h i e v e r s o f t e n w e r e a w a r e t h a t w o r k w a s p r o b l e m a t i c o r d i d n o t m a k e s e n s e t o t h e m , b u t t h e a w a r e n e s s d i d n o t l e a d t o s t r a t e g i e s f o r c l a r i f y i n g t h e i r u n d e r s t a n d i n g . R a t h e r , s t u d e n t s f r e q u e n t l y d e v i s e d s t r a t e g i e s t h a t i n v o l v e d s h o r t - t e r m g o a l s , s u c h a s t o g e t a n a n s w e r o r t o c o m p l e t e t h e a s s i g n m e n t , n o t n e c e s s a r i l y t o u n d e r s t a n d t h e w o r k . S i m i l a r l y , S a m ’ s r e s p o n s e s o f t e n a p p e a r e d a s i f h e w e r e s i m p l y t r y i n g t o m a k e p r o g r e s s i n t h e i n t e r v i e w r a t h e r t h a n w i t h t h e m a t h e m a t i c s . M i s m a t c h e s i n c o m m u n i c a t i o n . O n s e v e r a l o c c a s i o n s , t h e r e w a s a m i s m a t c h i n c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n f o c a l s t u d e n t s a n d m e . I w o u l d a s k o n e q u e s t i o n , a n d s t u d e n t s a n s w e r e d a n o t h e r . G e n e r a l l y w h e n t h i s h a p p e n e d , I t h o u g h t m y q u e s t i o n w a s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s , b u t s t u d e n t s a n s w e r e d a b o u t t h e s i t u a t i o n a l c o n t e x t , t h e i r g m o t i v a t i o n , o r s o m e t h i n g e l s e . F o r e x a m p l e , r e c a l l I a s k e d S a m w h y h e n w d e d t h e 1 5 ( t h a t h e h a d j u s t a d d e d t o - 5 x t o c r e a t e a n a c c u r a t e f u n c t i o n r u l e y = - 5 x + 1 5 i n p r o b l e m 2 A - 2 ) . I e x p e c t e d a n a n s w e r a b o u t t a b l e e n t r i e s s a t i s f y i n g o n e e q u a t i o n b u t 2 7 6 n o t a n o t h e r o r s o m e a r g u m e n t j u s t i f y i n g t h e m a t h e m a t i c a l n e c e s s i t y o f a d d i n g t h e 1 5 . H e s a i d h e d i d i t t o fi n i s h t h e p r o b l e m a s i f i t w e r e t h e t a s k p u r p o s e , r a t h e r t h a n a m a t h e m a t i c a l r e a s o n w h y 1 5 , i n p a r t i c u l a r , w a s n e c e s s a r y . S a m ’ s a n s w e r m i g h t h a v e m e a n t t h a t 1 5 w a s n e c e s s a r y t o m a k e t h e e q u a t i o n c o r r e c t , a l e g i t i m a t e a n s w e r , b u t o n e t h a t w a s d i f f e r e n t f r o m w h a t I w a s a s k i n g . I h a v e n o t e d t h e s a m e p h e n o m e n o n i n m y o w n t e a c h i n g a n d h a v e h a d o t h e r t e a c h e r s e x p r e s s t h e i r c o n c e r n o v e r h o w t o p h r a s e q u e s t i o n s w h e n a t t e m p t i n g t o c o m m u n i c a t e t o s t u d e n t s t h a t y o u a r e l o o k i n g f o r m a t h e m a t i c a l j u s t i fi c a t i o n . S e v e r a l t h i n g s c o u l d e x p l a i n t h i s p h e n o m e n o n . F i r s t , p e r h a p s I d i s p l a y e d i n e p t n e s s a s a n i n t e r v i e w e r b y w o r d i n g a q u e s t i o n t o o p o o r l y f o r s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d i t s i n t e n t . S u r e l y t h i s h a p p e n e d n o w a n d t h e n , a s I a m a n o v i c e . r e s e a r c h e r . S e c o n d , s t u d e n t s m i g h t n o t k n o w t h e a n s w e r t o t h e j u s t i fi c a t i o n q u e s t i o n I w a s a s k i n g a n d a n s w e r e d i n a w a y s o a s t o d e fl e c t t h e q u e s t i o n o r t o d i s g u i s e t h i s f a c t , p o s s i b l y t o n o t l o s e f a c e . W h i l e i n g e n e r a l I t h i n k t h i s w a s n o t t h e c a s e , S a m , i n p a r t i c u l a r , s o m e t i m e s s e e m e d t o u s e t h i s s t r a t e g y i n h i s i n t e r a c t i o n s . A t h i r d p o s s i b i l i t y i s t h a t s t u d e n t s e i t h e r d o n o t i n t e r p r e t a q u e s t i o n a s b e i n g a b o u t j u s t i f y i n g o r m i g h t k n o w i t i s a b o u t j u s t i f y i n g a n a n s w e r , b u t d o n o t u n d e r s t a n d w h a t t h a t e n t a i l s m a t h e m a t i c a l l y . T h e y d o n o t h a v e f a c i l i t y w i t h w h a t D a v i d P i r n m ( 1 9 8 7 ) , q u o t i n g H a l l i d a y , c a l l s t h e ” m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r . " A r e g i s t e r i s a l i n g u i s t i c t e r m t h a t d e s c r i b e s a s e t o f m e a n i n g s t h a t i s a p p r o p r i a t e f o r a p a r t i c u l a r f u n c t i o n o f t h e l a n g u a g e . I n t h i s c a s e , m a t h e m a t i c s r e g i s t e r r e f e r s t o t h o s e m e a n i n g s t h a t b e l o n g t o t h e m a t h e m a t i c a l u s e o f n a t u r a l l a n g u a g e a n d w h i c h t h e l a n g u a g e m u s t e x p r e s s i f i t i s u s e d f o r m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s . I n t h i s c a s e , s t u d e n t s d o n o t k n o w w h a t w o u l d b e t h e m a t h e m a t i c a l i n t e r p r e t a t i o n o r e x p e c t a t i o n o f t h e q u e s t i o n , " w h y ( S a m a d d e d a + 1 5 ) . " P i r n m c l a i m s t h a t i n o r d e r f o r s t u d e n t s t o c o m m u n i c a t e m a t h e m a t i c a l l y , t h e y m u s t d e v e l o p l a n g u a g e c o m p e t e n c e w i t h t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r . I f t e a c h e r s u s e t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r a n d s t u d e n t s d o n o t , t h e n a c c u r a t e c o m m u n i c a t i o n i s n o t 2 7 7 p o s s i b l e . S t u d e n t s i n t h i s c a s e m a y n o t h a v e d e v e l o p e d s u f fi c i e n t s e n s e o f t h e m a t h e m a t i c s r e g i s t e r t o u n d e r s t a n d m y q u e s t i o n s , a n d l i k e w i s e , I w a s s u r e l y n o t a w a r e t h a t I w a s e v e n u s i n g a " l a n g u a g e ” t h a t w a s " f o r e i g n ” t o t h e m u n t i l a f t e r t h e y h a v e r e s p o n d e d . S u m m a r y T h i s s e c t i o n s u m m a r i z e s t h e fi n d i n g s i n t h r e e b r o a d a r e a s : m i s m a t c h e s b e t w e e n s t u d e n t a n d t e a c h e r ( r e s e a r c h e r ) p e r s p e c t i v e s ; s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , i n c l u d i n g i s s u e s o f c o n t e x t u a l i z a t i o n a n d r e s o u r c e s s t u d e n t s b r i n g t o p r o b l e m s o l v i n g ; a n d i s s u e s s u r r o u n d i n g p r o b l e m s s i t u a t e d i n e v e r y d a y c o n t e x t s . M i s m a t c h e s : T e a c h e r a n d S t u d e n t P e r s p e c t i v e s R e v i s i t e d W h e r e v e r p o s s i b l e t h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r , fi n d i n g s w e r e c o m p a r e d a n d c o n t r a s t e d f r o m t e a c h e r a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e s . T h e m a j o r p o i n t s w e r e : 0 t h e m a t h e m a t i c a l c o n t e n t o f t h e c u r r i c u l u m a s b e i n g a b o u t f u n c t i o n s d e p e n d s o n t e a c h e r / s t u d e n t p e r s p e c t i v e O e x i s t i n g f r a m e w o r k s f o r d i s c u s s i n g f u n c t i o n s t h a t a r e l i m i t e d t o p r o c e d u r a l ( o p e r a t i o n a l ) o r s t r u c t u r a l ( o b j e c t ) , w h i l e c l o s e l y r e l a t e d t o c u r r i c u l a r g o a l s , a r e i n s u f fi c i e n t t o d e s c r i b e s t u d e n t a c t i v i t y w i t h f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s 0 l a c k o f e x p l i c i t a w a r e n e s s o f f u n c t i o n s s h o u l d n o t b e c o n f u s e d w i t h a b s e n c e o f u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s 0 b o t h t h e p u r p o s e a n d c o n t e n t o f s t u d e n t / r e s e a r c h e r q u e s t i o n s a n d a n s w e r s w e r e a m a t t e r o f s t u d e n t / t e a c h e r p e r s p e c t i v e 0 w h e t h e r t a s k s w e r e a b o u t s c h o o l a c t i v i t i e s o r m a t h e m a t i c s w a s s o m e t i m e s a m a t t e r o f s t u d e n t / t e a c h e r p e r s p e c t i v e 0 u n d e r s t a n d i n g s o f w h a t c a n b e a s s u m e d a n d w h a t c a n b e i g n o r e d i n p r o b l e m s a b o u t e v e r y d a y s i t u a t i o n s d i f f e r s b y s t u d e n t / t e a c h e r p e r s p e c t i v e T h a t s t u d e n t s a n d t e a c h e r t a k e d i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s a c r o s s m a n y a s p e c t s o f t e a c h i n g , l e a r n i n g a n d c o m m u n i c a t i o n i s p e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t g e n e r a l fi n d i n g o f t h i s s t u d y . T r y i n g t o t m d e r s t a n d s t u d e n t s ’ p e r s p e c t i v e s , w h a t a r e l e g i t i m a t e p e r s p e c t i v e s f o r k n o w l e d g e a b l e , c a r i n g t e a c h e r s , a n d w h a t i m p a c t t e a c h e r s ’ 2 7 8 p e r s p e c t i v e s m i g h t h a v e o n h o w t h e y i n t e r p r e t s t u d e n t s ’ w o r k , t h e i r t e a c h i n g , a n d m a t h e m a t i c s f o r m s t h e b a s i s o f d i s c u s s i o n o f i m p l i c a t i o n s i n t h e n e x t c h a p t e r . F u n c t i o n s a n d R e p r e s e n t a t i o n s S t u d e n t t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s c o u l d g e n e r a l l y b e c h a r a c t e r i z e d a s b e i n g a b o u t f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s w i t h a t t e n t i o n p r i n c i p a l l y o n t h e r e p r e s e n t a t i o n s t h e m s e l v e s a n d o n l y i m p l i c i t l y a b o u t f u n c t i o n s p e r s e . E x c e p t d u r i n g s p e c i fi c p r o b l e m t a s k s , s u c h a s fi t t i n g s i t u a t i o n s t o g r a p h s a n d c o m p u t i n g p a t t e r n s o f c h a n g e i n t a b l e s , s t u d e n t s g e n e r a l l y t o o k a c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h t o f u n c t i o n s w i t h e a c h o f t h e r e p r e s e n t a t i o n s r u l e s , t a b l e , a n d g r a p h s . T h e y r e a d i l y i n v o k e d b o t h d y n a m i c a n d s t a t i c v e r s i o n s a n d e a s i l y m o v e d b e t w e e n t h e t w o p e r s p e c t i v e s . S t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l i n a w i d e v a r i e t y o f t a s k s i n m a n y r e p r e s e n t a t i o n s , b u t h a d d i f fi c u l t y w i t h s o m e i n d i v i d u a l t a s k s , s u c h a s g r a p h i n g a r u l e o f a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n b y h a n d . M o s t a c t i v i t i e s i n v o l v i n g b o t h c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s l e n t t h e m s e l v e s b y d e fi n i t i o n t o a t t e n d i n g p r i n c i p a l l y t o s i n g l e i n s t a n c e s o f a f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p , t h a t i s , a n i n s t a n c e l e v e l o f w h o l e n e s s . Y e t w i t h i n c e r t a i n p r o b l e m s , s t u d e n t s s o m e t i m e s c o n n e c t e d c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s t o v i e w i n g f u n c t i o n s a s e n t i t i e s , p a r t i c u l a r l y r u l e s a n d g r a p h s w h e n t h e y c o n s t i t u t e d w h a t w a s g i v e n o r t h e p r o b l e m g o a l . S t u d e n t s a l s o f o u n d t h e c o v a r i a t i o n a p p r o a c h t o f u n c t i o n s u s e f u l . I n b o t h t a b l e s a n d g r a p h s , s t u d e n t s f o u n d b o t h p a t t e r n s o f c h a n g e i n d a t a a n d r a t e o f c h a n g e t o b e s a l i e n t c o n c e p t s . T h e y u s e d t h e s e c o n c e p t s t o r e a s o n a b o u t p r o b l e m s i n v o l v i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s , a s a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y , t o i d e n t i f y f u n c t i o n c l a s s e s , a n d t o c o n n e c t m o r e t h a n o n e r e p r e s e n t a t i o n o f a f t m c t i o n . H o w t h e y u s e d t h e s e i d e a s d e p e n d e d o n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m , t h e f t m c t i o n c l a s s , a n d t h e t a s k a t h a n d . T h e y u s e d o v e r a l l p a t t e r n s o f c h a n g e i n d a t a i n t a b l e s t o c o n n e c t t a b l e s a n d s h a p e o f g r a p h f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f t m c t i o n s a n d t o e x p l o r e t h e b e h a v i o r o f c a l c u l a t o r g r a p h s . T h e y u s e d a s t a t i c v e r s i o n o f e q u a l r a t e o f c h a n g e t o s e p a r a t e l i n e a r f r o m o t h e r k i n d s o f f u n c t i o n s . T h e c o n c e p t o f u n e q u a l r a t e ( p a t t e r n s ) o f c h a n g e 2 7 9 w a s p r o b l e m a t i c f o r s t u d e n t s , p r o b a b l y b e c a u s e o f h o w i t w a s t a u g h t , w i t h i n s u f fi c i e n t d i s t i n c t i o n s b e i n g m a d e b e t w e e n i t s c h a r a c t e r i s t i c s i n q u a d r a t i c a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . S o m e t i m e s s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f p a t t e r n o f c h a n g e w a s r o b u s t a n d c o n n e c t e d t o r a t e o f c h a n g e , a n d o t h e r t i m e s i t w a s n o t . S t u d e n t s h a d m i x e d s u c c e s s i n c o n n e c t i n g d y n a m i c r a t e o f c h a n g e i n a t a b l e w i t h s t a t i c r a t e o f c h a n g e i n a c o r r e s p o n d e n c e ( m l e ) , i n p a r t b e c a u s e o f c o n fl i c t b e t w e e n e v e r y d a y a n d m a t h e m a t i c a l u s e o f l a n g u a g e , p o s s i b l y b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f a n e g a t i v e m u l t i p l i e r , o r b e c a u s e i t r e q u i r e d a t r a n s l a t i o n b e t w e e n p e r s p e c t i v e s o n f t m c t i o n s . W h e n s t u d e n t s w e r e s u c c e s s f u l fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s , t h e y d e p e n d e d o n b e i n g a b l e t o t h i n k p r i n c i p a l l y i n t e r m s o f v a r i a t i o n o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e w h i l e e x p e r i e n c i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t e m p o r a l l y . l a n g u a g e s e r v e d a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e s e c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s t o n a m e s t a t i c c a t e g o r i e s o f c h a n g e , t o d e s c r i b e p a t t e r n s o f d a t a , " a n d t o c o o r d i n a t e t w o r e p r e s e n t a t i o n s w h e n fi t t i n g s i t u a t i o n s t o g r a p h s . F i n a l l y , a t t e n d i n g t o f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s a s e n t i t i e s i s i n h e r e n t i n t h e s e c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s o f f u n c t i o n s . S t u d e n t t h i n k i n g a b o u t fi m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s a c r o s s t a s k s , c o n c e p t s , r e p r e s e n t a t i o n c l a s s e s , a n d f u n c t i o n c l a s s e s w a s g e n e r a l l y p i e c e m e a l a n d f r a g m e n t e d . S t u d e n t s e x h i b i t e d s o m e c o h e r e n c e w i t h i n t h e f u n c t i o n c o n c e p t , t h i n k i n g a b o u t f u n c t i o n s a s e n t i t i e s w h e n t a k i n g a c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e . T h e y r a r e l y t o o k o b j e c t p e r s p e c t i v e s , w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e c u r r i c u l u m . S t u d e n t s ’ c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t h r e e f t m c t i o n c l a s s e s - l i n e a r , q u a d r a t i c , a n d e x p o n e n t i a l - w e r e c o n t e x t u a l i z e d a n d d e p e n d e d o n t h e f u n c t i o n c l a s s a n d r e p r e s e n t a t i o n . S t u d e n t s m a d e c o n n e c t i o n s a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n s , b u t h a d f e w s u c h c o n n e c t i o n s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h o s e t h e y m a d e a c r o s s r e p r e s e n t a t i o n s f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s w e r e w e a k . B o t h S a m a n d T o n i u s e d s h a p e o f g r a p h , p a t t e r n o r r a t e o f c h a n g e i n d a t a i n t a b l e s , a v e r b a l d e s c r i p t i o n o f c h a n g e , a n d t h e f o r m o f t h e f u n c t i o n r u l e a s c l a s s i fi e r s f o r f u n c t i o n c l a s s m e m b e r s h i p . 2 8 0 S t u d e n t s b r o u g h t m a n y r e s o u r c e s t o p r o b l e m s o l v i n g : k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c s l e a r n e d i n c l a s s o r p r e v i o u s l y , e v e r y d a y k n o w l e d g e , k n o w l e d g e o f w h a t c o n s t i t u t e s a s c h o o l m a t h e m a t i c s p r o b l e m o r w h a t k i n d s o f a c t i v i t i e s w o r k i n g o n s c h o o l p r o b l e m s e n t a i l . T o a l i m i t e d e x t e n t t h e c a l c u l a t o r w a s a r e s o u r c e . S t u d e n t s b r o u g h t c o m m u n i c a t i o n s k i l l s : h o w q u e s t i o n i n g i n m a t h c l a s s e s i s u s u a l l y i n t e r p r e t e d a n d h o w t h e i r q u e s t i o n s c o u l d b e u s e d t o g a i n i n f o r m a t i o n a b o u t h o w t o p r o c e e d w i t h t h e m a t h e m a t i c s . T h e r e w e r e m i s m a t c h e s i n c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n t h e r e s e a r c h e r a n d s t u d e n t s p e r h a p s b e c a u s e o f d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s a b o u t s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f t h e m a t h e m a t i c a l r e g i s t e r . S i t u a t e d P r o b l e m s S i t u a t e d p r o b l e m s h a d m i x e d v a l u e f o r s t u d e n t s , b o t h s u p p o r t i n g a n d h i n d e r i n g r e a s o n i n g . S o m e t i m e s s t u d e n t s ’ r e a s o n i n g w a s b o u n d t o t h e p a r t i c u l a r s i t u a t i o n a l c o n t e x t s o s t r o n g l y t h a t t h e m a t h e m a t i c s m i g h t h a v e b e e n i n v i s i b l e t o t h e m , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e y u s e d i t t o fl u i d l y fi t s i t u a t i o n s a n d g r a p h s . O t h e r t i m e s i t c o n f o u n d e d t h e i r p r o b l e m s o l v i n g w h e n e i t h e r t h e y c o n t i n u e d t o r e a s o n i n t h e s i t u a t i o n , i g n o r i n g m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s , w h e n t h e y w e r e u n s u r e w h a t c o u l d b e a s s u m e d , o r w h e n t h e m a t h e m a t i c s a p p e a r e d t o c o n fl i c t w i t h t h e i r i n f o r m a l m o d e l s f r o m e v e r y d a y l i f e . T h e r e m a y b e a n i n t e r a c t i o n b e t w e e n s t u d e n t d i f fi c u l t i e s w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s a n d t h e c o m p l e x i t y o f t h e t a s k o r t h e e x t e n t t o w h i c h t h e m o d e l c o n c e p t c a n b e i g n o r e d . S t u d e n t s w e r e g e n e r a l l y a b l e t o c o p e w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s w h e n t h e c o n c e p t o f a m o d e l w a s t r a n s p a r e n t , b u t h a d d i f fi c u l t y w h e n , b y t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m , t h e i r a t t e n t i o n w a s c a l l e d t o t h e c o n c e p t o f m o d e l a s p r e d i c t o r f o r f u t u r e s i t u a t i o n s . F i n a l l y , w h e n w o r k i n g w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s , s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y u n d e r s t a n d i n g w h i c h a s p e c t s o f t h e s i t u a t i o n c o u l d b e a s s u m e d a s v a l i d a n d w h i c h c o u l d b e i g n o r e d . C H A P T E R 6 I M P L I C A T I O N S T h i s c h a p t e r h a s t h r e e g e n e r a l s e c t i o n s : s i t u a t i o n s , c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s , a n d m i s m a t c h e s i n t e a c h e r a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e s . W h e n e v e r p o s s i b l e , t h e c h a p t e r e x p l o r e s h o w a t e a c h e r p e r s p e c t i v e a n d a s s u m p t i o n s t h a t a r e i n h e r e n t i n i t c a n i m p a c t t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f f u n c t i o n s . I t s u g g e s t s f u t u r e d i r e c t i o n s f o r r e s e a r c h . S i t u a t i o n s T h e u s e o f s i t u a t i o n s i s a d v o c a t e d b y t h e c u r r e n t r e f o r m m o v e m e n t , a n d m a n y c u r r i c u l u m p r o j e c t s a t t h e m i d d l e s c h o o l l e v e l o r a b o v e a r e b e i n g d e v e l o p e d a r o u n d m o d e l i n g , a p p l i c a t i o n s , o r p r o b l e m s t h a t a r e g r o u n d e d i n s i t u a t i o n s . ( S e e , e . g . , T h e C o n n e c t e d S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o j e c t o f M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y o r T h e M i d d l e - s c h o o l M a t h e m a t i c s t h r o u g h A p p l i c a t i o n s P r o j e c t o f t h e I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n L e a r n i n g . ) I n t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e , h o w e v e r , t h e w o r d s i t u a t e d i s o f t e n u s e d t o r e f e r t o m a n y k i n d s o f c o n t e x t s : t h e n a t u r e o f k n o w i n g a n d l e a r n i n g ( B r o w n , C o l l i n s , & D u g u i d , 1 9 8 9 ; L a v e , M u r t a u g h , & R o c h a , 1 9 8 4 ) , t h e s o c i a l a s p e c t s o f l e a r n i n g ( S a x e , 1 9 9 1 ; W e r t s c h , 1 9 8 5 ) o r a k i n d o f p r o b l e m . D e b a t e a b o u t a d e fi n i t i o n o f w h a t ” s i t u a t e d " m e a n s i s a t a n a s c e n t s t a g e . I n s t u d i e s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f fi m c t i o n s , h o w e v e r , " s i t u a t i o n s " d e fi n e d a s a k i n d o f p r o b l e m a r e o f t e n c o n s i d e r e d , a s i n m y o r i g i n a l r e s e a r c h q u e s t i o n , s i m p l y o n e r e p r e s e n t a t i o n i n a c a t e g o r y t h a t i n c l u d e s v e r b a l d e s c r i p t i o n s o f s i t u a t i o n s , t a b l e s , s y m b o l s , a n d g r a p h s ( J a n v i e r , 1 9 8 7 ; R o m b e r g , F e n n e m a , & C a r p e n t e r , 1 9 9 3 ) . T h i s s t u d y h a s s h o w n t h a t s i t u a t e d p r o b l e m s n e e d t o b e t h o u g h t o f a s a d i f f e r e n t t y p e o f r e p r e s e n t a t i o n f r o m t h e s e o t h e r s . T h e d e f i n i t i o n o f s i t u a t i o n a l c o n t e x t a s a k i n d o f p r o b l e m ( o r r e p r e s e n t a t i o n ) n e e d s r e fi n e m e n t . O n e d i s t i n c t i o n t h a t n e e d s t o b e c l a r i fi e d w i t h i n t h e d e fi n i t i o n o f ” s i t u a t e d " p r o b l e m s i s t h e r o l e s i t u a t i o n s p l a y d u r i n g t h e p r o b l e m s o l u t i o n p r o c e s s i n h o w a n d 2 8 1 2 8 2 w h e n a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n t h e s i t u a t i o n i t s e l f . I n t h i s s t u d y a t t e n t i o n t o t h e s i t u a t i o n v a r i e d w i t h t h e p r o b l e m t a s k . I n p r e / p o s t t e s t p r o b l e m s o n p r o fi t o r t h e s o r t p r o b l e m i n v o l v i n g s i t u a t i o n a l c o n t e x t s , s t u d e n t s c o u l d m o m e n t a r i l y s u s p e n d t h e s i t u a t i o n , d o t h e m a t h e m a t i c s , a n d r e t u r n t o t h e s i t u a t i o n t o i n t e r p r e t t h e m a t h e m a t i c s . T h i s s t y l e i s t y p i c a l o f a p p l i c a t i o n p r o b l e m s i n t r a d i t i o n a l a l g e b r a c l a s s e s . W h i l e s u c c e s s w i t h s u c h p r o b l e m s r e q u i r e s m o r e i n t e r p r e t a t i o n t h a n w i t h t h o s e i n n a k e d c o n t e x t , s i t u a t i o n s h e r e m a i n l y p r o v i d e q u a n t i t i e s f o r t h e v a r i a b l e n a m e s a n d p o s s i b l y s o m e h e l p i n r e m e m b e r i n g g e n e r i c p r o b l e m t y p e s . F o r e x a m p l e , s t u d e n t s m a y a s s o c i a t e p r o j e c t i l e c o n t e x t s w i t h q u a d r a t i c s a n d p o p u l a t i o n p r o b l e m s w i t h e x p o n e n t i a l s . S i t u a t i o n s t h e m s e l v e s a r e i n t h e b a c k g r o u n d . I n t h e P r o fi t P r o b l e m , h o w e v e r , f o r T o n i e s p e c i a l l y , t h e s i t u a t i o n r e m a i n e d c o n s p i c u o u s - 4 n p a r t b e c a u s e a s u c c e s s f u l s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m r e q u i r e d i t . T h e s i t u a t i o n w a s c r i t i c a l t o f o r m u l a t i n g t h e p r o b l e m s o l u t i o n , a s t w o m o d e l s b a s e d o n t h e s i t u a t i o n w e r e b e i n g p r o p o s e d , a n d c h o i c e s h a d t o b e e v a l u a t e d a g a i n s t t h e s i t u a t i o n . T o n i c o u l d n o t i g n o r e t h e s i t u a t i o n m o m e n t a r i l y , t r e a t t h e p r o b l e m a s a c o m p u t a t i o n , a s i n a " s c h o o l p r o b l e m , " a n d r e t u r n t o i t l a t e r , a s d i d s o m e o t h e r s t u d e n t s , b e c a u s e s h e w a s a c t i v e l y e n g a g e d i n s e n s e — m a k i n g , a n d t h e m o d e l d i d n o t m a k e s e n s e t o h e r . O t h e r s t u d e n t s , w h o t r e a t e d t h e t a s k fi r s t a s a s c h o o l p r o b l e m a n d c o m p u t e d v a l u e s , u l t i m a t e l y h a d d i f fi c u l t y b e c a u s e t h e i n t e r p r e t a t i o n r e q u i r e d m o r e t h a n a s s i g n i n g q u a n t i t i e s t o v a r i a b l e s . H o w a c t i v a t e d t h e s i t u a t i o n m u s t r e m a i n t h r o u g h o u t t h e p r o b l e m s o l v i n g t a s k a p p a r e n t l y m u s t b e t a k e n i n t o a c c o r m t w h e n d e fi n i n g w h a t c o n s t i t u t e s a s i t u a t e d p r o b l e m . A n o t h e r i s s u e r e l a t e d t o t a s k i s i t s c o m p l e x i t y . T h e P r o fi t P r o b l e m w a s a l e n g t h y p r o b l e m t h a t w a s c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l e x t h a n c l a s s o r h o m e w o r k t a s k s . I t r e q u i r e d s t u d e n t s t o a t t e n d c o n t i n u o u s l y t o b o t h t h e p r o b l e m s t a t e m e n t a n d s i t u a t i o n a l c o n t e x t s . P e r h a p s t h i s t a s k w a s t o o c o m p l e x f o r s t u d e n t s s o t h a t d e a l i n g w i t h t h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m t a s k u n d e r m i n e d t h e i r c o n fi d e n c e t o d e a l w i t h t h e p r o b l e m i n w a y s t h a t o t h e r w i s e m i g h t h a v e b e e n a c c e s s i b l e t o t h e m . O n t h e o t h e r 2 8 3 h a n d , a t a s k o f t h i s c o m p l e x i t y m i g h t b e n e c e s s a r y t o b r i n g t o l i g h t i s s u e s a b o u t s i t u a t e d p r o b l e m s t h a t c o u l d b e m i s s e d i n p r o b l e m s w h e r e s t u d e n t s c a n s u c c e e d b y a t t e n d i n g p r i n c i p a l l y t o t h e n a k e d c o n t e x t . B e i n g a b l e t o m o v e fl u i d l y b e t w e e n s i t u a t i o n a n d t h e " n a k e d " m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s i t u a t i o n i s c e r t a i n l y a g o a l o f i n s t r u c t i o n f o r p r o b l e m s a t m a n y l e v e l s o f c o m p l e x i t y , i n c l u d i n g s o m e l i k e t h o s e i n i n t e r v i e w 3 . B u t i f t e a c h e r s g i v e n o p r o b l e m s o f s u f fi c i e n t c o m p l e x i t y t o r a i s e i s s u e s a b o u t m o d e l i n g o r s i t u a t i o n s a n d s t u d e n t s c a n m a s s a g e s i t u a t e d p r o b l e m s i n t o s c h o o l - l i k e p r o b l e m s , i t i s h i g h l y p o s s i b l e t h a t a s s e s s m e n t o f s t u d e n t k n o w l e d g e w i l l l e a d t o m i s i n t e r p r e t a t i o n . F o r e x a m p l e , S a m ’ s e a r l y i n t e r p r e t a t i o n s o f p r o b l e m s fi t t i n g a g r a p h t o a s i t u a t i o n w e r e b o t h fl u i d a n d c o r r e c t . U n t i l h e w a s g i v e n a p r o b l e m i n w h i c h a d e s c r i p t i o n o f t h e g r a p h d i d n o t m a t c h a d e s c r i p t i o n o f t h e c h a n g i n g r a t e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d i n w h i c h h e h a d d i f fi c u l t y , t h e r e w a s n o t h i n g i n h i s w o r k t o r e f u t e t h e a s s u m p t i o n t h a t h e h a d a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f i n t e r p r e t i n g g l o b a l f e a t u r e s o f g r a p h s . F u r t h e r , b o t h a c t i v e s e n s e - m a k i n g a n d t h e d i s p o s i t i o n t o r e j e c t a s p e c t s o f p r o b l e m s t h a t d o n o t m a k e s e n s e a r e c h a r a c t e r i s t i c s r e f o r m - m i n d e d m a t h e d u c a t o r s a r e t r y i n g t o h e l p s t u d e n t s d e v e l o p . T o n i ’ s t e n a c i o u s l y i n s i s t i n g t h a t t h e m o d e l s h o u l d m a k e s e n s e i n t h e P r o fi t P r o b l e m m i g h t h a v e b e e n m i s s e d a l t o g e t h e r h a d s h e n o t b e e n g i v e n a p r o b l e m o f t h i s c o m p l e x i t y . F u r t h e r , w i t h o u t n o n t r a d i t i o n a l p r o b l e m s s u c h a s fi t t i n g g r a p h s t o s i t u a t i o n s f o r n o n s t a n d a r d f u n c t i o n s , w h e r e s h e d i s p l a y e d a n e x q u i s i t e fl u i d n e s s i n i n t e r p r e t i n g t h e g r a p h s , T o n i ’ s a b i l i t y a n d p r o g r e s s i n a m a t h e m a t i c s c l a s s m i g h t b e j u d g e d o n l y o n h e r p i e c e m e a l a c t i v i t y w i t h m o r e s c h o o l - l i k e p r o b l e m s . T h u s , t h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t p r o b l e m s o f s u f fi c i e n t c o m p l e x i t y i n v o l v i n g s i t u a t i o n s m i g h t g i v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o d i s p l a y t h e i r d i s p o s i t i o n s t o s e n s e - m a k i n g a n d b o t h . s u c c e s s f u l a n d p r o b l e m a t i c a r e a s o f p r o b l e m s o l v i n g . I t s u g g e s t s c o m p l e x p r o b l e m s s h o u l d b e i n c l u d e d i n c u r r i c u l a . 2 8 4 A n o t h e r q u e s t i o n r e l a t e d t o t a s k c o m p l e x i t y w a s r a i s e d b y t h e P r o fi t P r o b l e m a n d i t s c o n n e c t i o n t o s c h o o l t a s k s : W h a t d e p t h o f u n d e r s t a n d i n g a b o u t t h e c o n c e p t o f m o d e l i n g i s n e c e s s a r y t o d o t h i s p r o b l e m ? I n t h i s p r o b l e m , o n e c o u l d i g n o r e t h e s i t u a t i o n e x c e p t a s b a c k d r o p a n d b e g i n c o m p u t i n g . Y e t t o a c t u a l l y c o m p l e t e t h e p r o b l e m o n e n e e d e d t o c o m p a r e m o d e l s , t o u n d e r s t a n d a n d a c c e p t n o t o n l y c o n s t r a i n t s s u c h a s w h a t m i g h t c o n s t i t u t e a s u i t a b l e d o m a i n , b u t a l s o t h e f t m d a m e n t a l i d e a o f w h a t a m o d e l i s a n d w h y i t i s l e g i t i m a t e t o u s e a m o d e l . W e r e t h e s e c o n c e p t s t o o a d v a n c e d f o r t h e s e s t u d e n t s ? A f u n d a m e n t a l a s p e c t o f a m o d e l i s t h a t p r e d i c t i o n s a b o u t u n k n o w n o r f u t u r e c a s e s c a n b e m a d e f r o m t h e m o d e l . I n t h e P r o fi t P r o b l e m T o n i c o u l d n o t a c c e p t t h a t o n e c o u l d c o m p u t e p r o fi t u n l e s s i t w a s i n f o r m a t i o n f r o m t h e p a s t . O n e p o s s i b l e r e a s o n w a s t h a t s h e h a d a n i m p l i c i t f u n c t i o n m o d e l t h a t a c t u a l l y i n v o l v e d c o m p o s i t i o n I o f f t m c t i o n s : i n c o m e a s a f u n c t i o n o f t i c k e t p r i c e a n d n u m b e r o f t i c k e t s s o l d , f o l l o w e d b y p r o fi t a s a f u n c t i o n o f i n c o m e a n d c o s t . I n c l u d i n g t h e s e c o m p u t a t i o n s i n t h e m o d e l e n t a i l s k n o w i n g t h e n u m b e r o f t i c k e t s a l r e a d y s o l d . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t T o n i b e l i e v e d p r o fi t c o u l d n o t b e c o m p u t e d e x c e p t a f t e r t h e c o n c e r t , a b e l i e f t h a t n e e d s t o b e s u s p e n d e d i n t h e m o d e l c o n c e p t . A g a i n , t h e r e i s n o t e n o u g h d a t a i n t h i s s t u d y t o t e s t h e r u n d e r s t a n d i n g o f m o d e l , a n d c u r r i c u l a m a t e r i a l s w e r e n o t i n t e n d e d t o e x p l o r e d i r e c t l y t h i s a s p e c t o f t h e m o d e l c o n c e p t . I n t h i s c l a s s , s t u d e n t s h a d g a t h e r e d t h e i r o w n d a t a o r w e r e g i v e n d a t a a n d u s e d c u r v e fi t t i n g t o c r e a t e m o d e l s . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s w e r e p r e s e n t e d w i t h s o m e f u l l - b l o w n m o d e l s t o p r o v i d e a s i t u a t i o n a l c o n t e x t w h e n c e r t a i n f u n c t i o n c l a s s e s w e r e i n t r o d u c e d . I n a l l c a s e s , s t u d e n t s w e r e a s k e d t o m a k e p r e d i c t i o n s f r o m s o m e r e p r e s e n t a t i o n o f e a c h m o d e l , b u t t h e v a l i d i t y o f p r e d i c t i n g d i d n o t b e c o m e a n i s s u e . I f s t u d e n t s w o r k o n l y p r o b l e m s w h e r e t h e y d o n o t q u e s t i o n t h e p r e d i c t i v e a s p e c t o f t h e m o d e l c o n c e p t w i l l t h e i r a t t e n t i o n b e t h r o u g h t h e m o d e l c o n c e p t , r a t h e r t h a n o n i t ? A n d i f i t i s n o t o n t h e c o n c e p t o f m o d e l , w h a t c a n b e s a i d a b o u t t h e i r u n d e r s t a n d i n g o f i t ? 2 8 5 I n t h i s s t u d y t h e i d e a o f s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f a m o d e l " a c c e p t e d o n f a i t h ” a s a p r e d i c t o r i n c e r t a i n s i t u a t i o n s a r o s e q u i t e b y a c c i d e n t . I h a d n o t i n t e n d e d t o r a i s e i t a n d w a s s u r p r i s e d b y t h e s t u d e n t s ’ r e s p o n s e s t o i n t e r v i e w 3 , p a r t i c u l a r l y T o n i ’ s . O n e r e a s o n t h e i s s u e c a m e u p w a s b e c a u s e T o n i c o u l d n o t a c c e p t p r o fi t d i r e c t l y a s a f l m c t i o n o f t i c k e t p r i c e ; t h e p r o b l e m ’ s m o d e l o f p r o fi t d i d n o t fi t h e r i n f o r m a l m o d e l . S a m a n d E d y h a d s i m i l a r d i f fi c u l t i e s . S o a n o t h e r q u e s t i o n a r i s e s a b o u t w h e r e a t t e n t i o n l i e s : I f p r o b l e m t a s k s a r e s e t s o t h e p r o b l e m m o d e l e d c o n f o r m s t o s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s , t h e n t h i s a s p e c t o f t h e m o d e l c o n c e p t m i g h t b e i n v i s i b l e t o s t u d e n t s a n d n o t a t t e n d e d t o a t a l l . T h u s , i t m i g h t n o t e v e r b e t h o u g h t a b o u t . I f p r o b l e m t a s k s a r e s e t s o t h a t i t b e c o m e s a n i s s u e , d o e s t h a t m a k e t h e t a s k p r o b l e m a t i c i n o t h e r w a y s a s i t d i d i n i n t e r v i e w 3 ? M o d e l i n g i s a m a j o r p a r t o f t h e r e f o r m m o v e m e n t , a n d w e n e e d t o k n o w m o r e a b o u t w a y s s t u d e n t s t h i n k o f m o d e l s . T h e P r o fi t P r o b l e m r a i s e d q u e s t i o n s a b o u t s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g s o f m o d e l s , t h e i r c o n n e c t i o n s t o s i t u a t i o n s , s t u d e n t s ’ i n f o r m a l m o d e l s , a n d p r o b l e m t a s k s . T h e s e i s s u e s s h o u l d b e e x p l o r e d i n a d d i t i o n a l r e s e a r c h . S i t u a t i o n s c o n f o u n d e d p r o b l e m s o l v i n g i n o t h e r w a y s f o r S a m d u r i n g t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m ( 2 B - 2 ) . H e r e l i e d o n t h e s i t u a t i o n t o a n s w e r q u e s t i o n s w h i l e i g n o r i n g m a t h e m a t i c a l c o n n e c t i o n s o f o r d e r e d p a i r s , a x e s , a n d c o o r d i n a t e s o f p o i n t s o n a g r a p h o f a f u n c t i o n t h a t b e a c c e s s e d s u c c e s s f u l l y a t o t h e r t i m e s . H i s d i f fi c u l t i e s a r o s e i n p a r t b e c a u s e o f h i s s t r a t e g y t o a n s w e r q u e s t i o n s w i t h i n f o r m a t i o n m o r e r e a d i l y a v a i l a b l e i n t h e p r o b l e m d e s c r i p t i o n t h a n t h a t p o t e n t i a l l y a v a i l a b l e i n t h e m a t h e m a t i c s a n d p o s s i b l y b e c a u s e h e c o n s i s t e n t l y r e a s o n e d o n l y a b o u t t h e v a r i a t i o n o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . H i s w o r k , h o w e v e r , f o r c e d t h e d i s c u s s i o n t o t u r n t o t h e m e a n i n g s a s s o c i a t e d w i t h a s i n g l e p o i n t o r p a i r s o f p o i n t s o n t h e g r a p h i n t h e s i t u a t i o n a l s e t t i n g f o r t h e r e l a t i o n s h i p . T h i s s e t t i n g w a s i r r e l e v a n t f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e i n g g r a p h e d a n d s h o u l d h a v e b e e n i g n o r e d . W h e t h e r t h e g r a p h d e p i c t e d h o w d i f f e r e n t p e o p l e v i e w e d t h e s a m e l e s s o n , t h a t i s , h o w g o o d a fi t w a s 2 8 6 d i f fi c u l t y o f w o r k f o r d i f f e r e n t p e o p l e , w h e t h e r i t d e p i c t e d d i f f e r e n t s i t u a t i o n s f o r o n e p e r s o n o v e r m a n y d a y s , o r s o m e t h i n g e l s e a l t o g e t h e r , b e c a m e a n i s s u e . W h i l e s u c h p o i n t s w o u l d b e o f i n t e r e s t i f t h e p r o b l e m w e r e s e t i n a l a r g e r c o n t e x t w h e r e s u c h i n t e r p r e t a t i o n s c o u l d b e m a d e , n o s u c h s e t t i n g w a s p r o v i d e d h e r e . S a m d i d n o t u n d e r s t a n d w h a t s h o u l d b e i g n o r e d . T h a t h e c o u l d i m a g i n e m a n y s u c h c o n t e x t s o n l y m a d e m a t t e r s w o r s e . F u r t h e r , I , t h e r e s e a r c h e r , i n a t t e m p t i n g t o d i r e c t S a m ’ s a t t e n t i o n t o t h e m a t h e m a t i c a l d i f fi c u l t i e s , a t fi r s t m i s i n t e r p r e t e d h o w h e w a s u s i n g t h e s i t u a t i o n a n d c o n t r i b u t e d a s w e l l t o t h i s g r o w t h o f c o n f u s i n g , ” p o t e n t i a l ” c o n t e x t s . S t u d e n t s n e e d h e l p i n l e a r n i n g w h a t t o i g n o r e w h e n p r o b l e m s a r e s i t u a t e d . T e a c h e r s c a n n o t a s s u m e t h a t w h a t t h e y t h e m s e l v e s s e e a s i r r e l e v a n t w i l l b e s e e n a s s u c h b y s t u d e n t s . B e c a u s e o f t h e d i r e c t i o n d i s c u s s i o n t o o k i n t h e e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k p r o b l e m , t h e m e a n i n g o f a s i n g l e p o i n t o n a g r a p h o r t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n p a i r s o f p o i n t s b e c a m e r e l e v a n t . T e a c h e r s m a y b e p r e p a r e d t o e x p l o r e a n d c o n t r a s t t h e s e m e a n i n g s i n m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s i n n a k e d c o n t e x t , y e t i t i s c l e a r f r o m S a m ’ s w o r k t h a t t e a c h e r s c a n n o t a s s u m e t h a t s t u d e n t s c a n j u s t a s e a s i l y r e l i n q u i s h t h e s i t u a t i o n . F u r t h e r , t e a c h e r s n e e d t o b e p r e p a r e d t o d i s t i n g u i s h i n t e r p r e t a t i o n s i n t h e s i t u a t i o n f o r t w o d i s t i n c t p o i n t s o n a g r a p h i n c a s e s s u c h a s t h o s e p r o v o k e d b y S a m ’ s i n t e r p r e t a t i o n . S t u d e n t s ’ l a c k o f e x p e r i e n c e i n s o r t i n g o u t t h i s l e v e l o f i n t e r p r e t a t i o n a n d t e a c h e r s ’ p o t e n t i a l l a c k o f a w a r e n e s s o f i t a s a n i s s u e m a y b e a t t h e h e a r t o f a d i s c r e p a n c y b e t w e e n s t u d e n t s ’ a b i l i t y t o w o r k w e l l w i t h m a t h e m a t i c s c l a s s a p p l i c a t i o n s a n d t h e i r i n a b i l i t y t o i n t e r p r e t t h e m i n a p p l i c a t i o n s , s a y i n p h y s i c s c l a s s e s , w h e r e u n d e r s t a n d i n g m u s t b y n e c e s s i t y a c c o u n t f o r a n o t h e r l e v e l o f f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e s i n i n t e r p r e t a t i o n o f s i t u a t i o n , t h a t i s , d i s t i n c t i o n b e t w e e n p o i n t s i n a b r o a d e r s i t u a t i o n a l c o n t e x t . D i s t i n c t i o n s b e t w e e n p o i n t s i n t h e l a r g e r s i t u a t i o n a l c o n t e x t o f t e n a r e n o t a d d r e s s e d a t a l l i n a l g e b r a c l a s s e s a n d r a r e l y i n p r o b l e m s w h e r e a s i t u a t i o n i s u s e d t o 2 8 7 c r e a t e a n a l g e b r a i c m o d e l , f o l l o w e d s i m p l y b y a n i n t e r p r e t a t i o n o f s o m e d i s t i n c t i o n b e t w e e n q u a n t i t i e s ( v a r i a b l e s ) . T e a c h e r s a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s n e e d t o l o o k h a r d a t a s s u m p t i o n s t h e y t h e m s e l v e s h o l d a b o u t s p e c i fi c r e p r e s e n t a t i o n s , i n t h i s c a s e g r a p h i c a l , a n d w h a t t h e y h a v e l e a r n e d t o i g n o r e . T h i s s t u d y s u p p o r t s M o s c h k o v i c h e t a l . ’ 5 ( 1 9 9 3 ) c o n t e n t i o n t h a t p e o p l e f a m i l i a r w i t h a d o m a i n k n o w w h a t t o f o c u s o n a n d w h a t t o i g n o r e w h i l e n e w c o m e r s d o n o t . Y e t M o s c h k o v i c h e t a l . w e r e t a l k i n g a b o u t p r o b l e m s i n n a k e d c o n t e x t . T h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t t h e r e a r e i s s u e s a b o u t w h a t n e e d s t o b e a d d r e s s e d a n d i g n o r e d w h e n p r o b l e m s a r e s i t u a t e d t h a t m a y n o t e v e n h a v e b e e n t h o u g h t a b o u t i n t h i s w a y . M a t h e m a t i c s e d u c a t o r s n e e d t o e x a m i n e t h e a s s u m p t i o n s t h e y t h e m s e l v e s m a k e a b o u t r e p r e s e n t a t i o n s a n d e x a m i n e c a r e f u l l y w h a t t h e y i g n o r e . F u r t h e r , t h e y n e e d t o e x a m i n e t h e a s s u m p t i o n s t h e y m a k e a b o u t s t u d e n t s ’ a s s u m p t i o n s a b o u t t h e s e s a m e i s s u e s . F i n a l l y , t h i s s t u d y i m p l i e s t h a t n o t o n l y d o m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s n e e d t o a d d r e s s i s s u e s p o t e n t i a l l y a b s e n t f r o m t h e c u r r i c u l u m a n d t h e i r o w n a s s u m p t i o n s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s , b u t t h a t t h e y c a n n o t c o n t i n u e t o t h i n k o f s t u d e n t s ’ a s s u m p t i o n s a s b e i n g f a u l t y a n d o f t h e i r t a s k a s o n l y b e i n g t o h e l p s t u d e n t s g a i n t h e t e a c h e r s ’ p e r s p e c t i v e . T h e s e s t u d e n t s ’ p u z z l e m e n t s w e r e r i c h s o u r c e s o f i n f o r m a t i o n a b o u t s u b t l e n u a n c e s o f b o t h m o d e l s a n d s i t u a t i o n s t h a t m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n i n s t r u c t i o n . T h e s t u d y s u g g e s t s m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s n e e d t o a t t e n d t o h o w s t u d e n t d i f fi c u l t i e s i n f o r m w h a t t h e i r o w n a s s u m p t i o n s a b o u t t h e m a t h e m a t i c s w e t a k e - a s - s h a r e d . A l t h o u g h c u r r i c u l a n e e d t o t a k e a s s u m p t i o n s i n t o a c c o u n t , t h e r e i s a d i l e m m a . P r o b l e m s t h a t a r e c o m p l e x e n o u g h t o r a i s e t h e i s s u e s m a y c o n f o u n d i t i n o t h e r w a y s . I n a d d i t i o n , o n e d i f fi c u l t y w i t h u s i n g s i t u a t e d p r o b l e m s t o t e a c h a b o u t b o t h t h e a s s u m p t i o n s n e c e s s a r y t o c o n s t r a i n t h e m a t h e m a t i c s a n d a b o u t w h a t t o i g n o r e i s h o w t o f o r m u l a t e p r o b l e m s t h a t g i v e t h i s e x p e r i e n c e w i t h o u t c o n f o u n d i n g i t . O n e o n g o i n g 2 8 8 s t r u g g l e i n m y o w n t e a c h i n g i s h o w t o w r i t e p r o b l e m i n s t r u c t i o n s w i t h e n o u g h s p e c i fi c i t y s o t h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d i n s t r u c t i o n s t o i n c l u d e a s s u m p t i o n s t h e y m a k e a b o u t a s i t u a t i o n w i t h o u t b e i n g s o s p e c i fi c t h a t o n e " g i v e s a w a y " w h a t s t u d e n t s a r e t o e x p l o r e a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p . O n e p r o b l e m t h a t I r e g u l a r l y g i v e t o u n i v e r s i t y s t u d e n t s i n a c o l l e g e a l g e b r a c l a s s i s t o g r a p h t h e n u m b e r o f b o x e s t h a t fi t i n a v a n a s a f u n c t i o n o f b o x s i z e ( L F G , 1 9 8 5 ) . S t u d e n t s f r e q u e n t l y i n t r o d u c e m u l t i p l e v a n s , w h i l e v a r y i n g b o x s i z e a n d n u m b e r o f b o x e s w i t h i n a g i v e n v a n . T h e y h a v e d i f fi c u l t y t h i n k i n g t h a t t h e y n e e d t o a s s u m e a s i n g l e v a n a n d t o s o m e h o w fi x a d e fi n i t i o n o f b o x s i z e . S a m ’ s w o r k i m p l i e s t h a t w h a t c a n o r c a n n o t b e a s s u m e d a b o u t a s i t u a t i o n a n d h o w i t r e l a t e s t o t h e m a t h e m a t i c a l c o n s t r a i n t s o f t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p a t h a n d m u s t b e a d d r e s s e d d i r e c t l y i n p r o b l e m s u s e d f o r i n s t r u c t i o n , e s p e c i a l l y w h e n t h e p r o b l e m s a r e a b o u t s i t u a t i o n s . F i n a l l y , e a c h o f t h e s e i s s u e s a b o u t t e a c h i n g w i t h s i t u a t i o n s s u g g e s t s a n o t h e r , w h i c h i s s i m i l a r t o t h a t a b o v e a b o u t t h e m o d e l c o n c e p t . W h i l e t h e r e f o r m m o v e m e n t i s g r o u n d e d i n p r o v i d i n g s t u d e n t s w i t h e x p e r i e n c e w i t h r e a l i s t i c p r o b l e m s s o t h e y c a n a t t a c h m e a n i n g t o t h e m a t h e m a t i c s , p a r t o f t h e p o w e r o f m a t h e m a t i c s i s b e i n g a b l e t o a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a w a y f r o m s p e c i fi c s i t u a t e d c o n t e x t s . T h e p a s t h a s s h o w n u s t h a t i f t e a c h e r s b e g i n i n s t r u c t i o n w i t h f u l l - b l o w n a b s t r a c t f o r m s o f m a t h e m a t i c s a n d a p p l i c a t i o n s , s t u d e n t s o f t e n e n d u p m a n i p u l a t i n g m e a n i n g l e s s s y m b o l s o n g e n e r i c p r o b l e m s a n d c o n f u s i n g t h e m a t h e m a t i c s w i t h t h e s y m b o l s ( S c h o e n f e l d , 1 9 8 6 ) . O n t h e o t h e r h a n d i f t e a c h e r s s t a r t w i t h s i t u a t i o n s s o t h a t s t u d e n t s c a n a t t a c h m e a n i n g t o t h e s y m b o l s a s t h e y a r e i n t r o d u c e d t o c o n c e p t s , s t u d e n t s m a y c o n t i n u e t o r e a s o n a b o u t t h e s i t u a t i o n i t s e l f a n d n o t d e v e l o p m e a n i n g f o r t h e s y m b o l s o r t h e c o n c e p t s t h e s y m b o l s a r e i n t e n d e d t o r e p r e s e n t . I f s t u d e n t s r e l y h e a v i l y o n t h e s i t u a t i o n s t o s u p p o r t r e a s o n i n g , t h e r e i s s o m e d a n g e r t h a t t h e y m a y n o t b e a b l e t o a b s t r a c t a w a y f r o m t h e s i t u a t i o n s a n d w o r k w i t h t h e s a m e f u n c t i o n s i n n a k e d c o n t e x t o r r e a s o n a b o u t f t m c t i o n s t h e m s e l v e s , n o t j u s t f t m c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s 2 8 9 i n p r o b l e m s o r o n l y a b o u t s p e c i fi c a t t r i b u t e s o f t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s s t u d y s u p p o r t s J a n v i e r ’ s ( 1 9 7 8 ; 1 9 8 1 ) c l a i m t h a t t h e r e a r e i n h e r e n t d i f fi c u l t i e s i n t e a c h i n g w i t h s i t u a t i o n s a n d B e l l a n d J a n v i e r ’ s ( 1 9 8 1 ) c a l l f o r i n c l u d i n g i n i n s t r u c t i o n a n a l y z i n g c o m p l e x g r a p h s w i t h o u t r e f e r e n c e t o s i t u a t i o n s . T h i s s t u d y f o l l o w e d o n l y fi v e w e e k s o f i n s t r u c t i o n w i t h t e x t u a l m a t e r i a l t h a t w a s g e a r e d t o w a r d a n i n f o r m a l , i n t u i t i v e a p p r o a c h a n d w h i c h d e a l t p r i m a r i l y w i t h s i t u a t e d d a t a . T h e r e w a s l e s s f o c u s o n d a t a i n n a k e d c o n t e x t t h a n t h a t w h i c h w o u l d h a v e c o m e l a t e r i n t h e r e m a i n i n g t e x t , h a d s t u d e n t s s t u d i e d i t . B o t h T o n i a n d S a m h a d h a d t w o y e a r s o f h i g h s c h o o l a l g e b r a a n d w e r e o l d e r t h a n t h e i n t e n d e d a u d i e n c e f o r t h e m a t e r i a l s . H o w e v e r , t h e i r p r o p e n s i t y t o u s e t h e s i t u a t i o n s a s s u p p o r t , a n d i n S a m ’ s c a s e , t o c l i n g t e n a c i o u s l y t o t h e s i t u a t i o n - e v e n w h e n i t w a s n ’ t s e n s i b l e t o d o s o - a t l e a s t r a i s e s t h e q u e s t i o n a b o u t w h e t h e r t h e y w i l l u l t i m a t e l y b e a b l e t o a b s t r a c t a w a y f r o m t h e s i t u a t i o n . A d d i t i o n a l s t u d y i s n e e d e d t o f o l l o w i n d i v i d u a l s t u d e n t s t h r o u g h c u r r i c u l a s u c h a s t h i s o n e , w h i c h i s r i c h i n s i t u a t i o n s a n d w h e r e a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n i n t e r p r e t i n g t h e v a r i o u s c o n n e c t i o n s b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s , o n t o t h e s a m e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s i n n o n s i t u a t e d c o n t e x t s . R e s e a r c h i s n e e d e d t o d e t e r m i n e i n w h a t w a y s a n d t o w h a t e x t e n t s t u d e n t s a r e s u c c e s s f u l i n b u i l d i n g o v e r a r c h i n g c o n c e p t s , s u c h a s t h o s e r e l a t e d t o a s i n g l e f u n c t i o n c l a s s , t h a t c o m e t h r o u g h a b s t r a c t i o n . I n r e f o r m i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n , ” m a t h e m a t i c s f o r a l l " i s c o n s i d e r e d i m p o r t a n t ; t h u s , o n e q u e s t i o n t h a t m u s t b e a d d r e s s e d i s a t w h a t a g e o r l e v e l o f s c h o o l i n g i s i t a p p r o p r i a t e f o r u s t o e x p e c t s t u d e n t s t o d e a l w i t h t h i s k i n d o f a b s t r a c t i o n ? I s i t s u f fi c i e n t f o r m o s t s t u d e n t s t o b e a b l e t o r e c o g n i z e a n d a p p l y p a t t e r n s i n s i m i l a r , b u t d i f f e r e n t s i t u a t i o n s w i t h o u t a b s t r a c t i n g o u t a g e n e r i c p a t t e r n f o r a l l s i m i l a r s i t u a t i o n s ? I s t h i s a b s t r a c t i o n n e c e s s a r y f o r a l l s t u d e n t s ? T h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y , h o w e v e r , w e r e c o l l e g e - i n t e n d i n g s t u d e n t s a b o u t t o e n t e r t h e i r j u n i o r y e a r , a n d t h u s , m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n s h o u l d , b y n e c e s s i t y , b e p a r t o f t h e i r g o a l s . 2 9 0 S t u d e n t C o n c e p t i o n s o f F u n c t i o n s M o d e l s o f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g . I n g e n e r a l , m o d e l s f o r s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s h a v e b e e n d e fi n e d p r i n c i p a l l y b y m a t h e m a t i c a l g o a l s . T h e l i t e r a t u r e ( H a r e l & D u b i n s k y , 1 9 9 2 ; K i e r a n , 1 9 9 2 ; S f a r d , 1 9 9 1 ) c h a r a c t e r i z e s c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s a s o p e r a t i o n a l ( p r o c e s s e s ) a n d s t r u c t u r a l ( o b j e c t s ) , a s w e l l a s v a r i a t i o n s o r e x p a n s i o n s o f t h e s e t h e m e s . T h e s e c h a r a c t e r i z a t i o n s fi t w e l l t h o s e o f m a t h e m a t i c i a n s a n d c u r r i c u l a r g o a l s o f a l g e b r a r e f o r m a n d , t h u s , s h o u l d g u i d e t e a c h e r s i n i n s t r u c t i o n . H o w e v e r , t h i s s t u d y h a s s h o w n t h e m t o b e i n a d e q u a t e f o r d e s c r i b i n g s t u d e n t s ’ a c t i v i t y w i t h f u n c t i o n s o r f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s a n d t h a t m o d e l s f o r s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s n e e d t o b e r e fi n e d t o m o r e a c c u r a t e l y r e fl e c t s t u d e n t a c t i v i t y . O n e p r i n c i p a l i s s u e t h a t a r o s e w a s t o d i s t i n g u i s h s t u d e n t a c t i v i t y w i t h f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s f r o m t h a t i n w h i c h s t u d e n t s a r e a w a r e o f f u n c t i o n s p e r s e . B e c a u s e o f a s s u m p t i o n s I , t h e r e s e a r c h e r , w a s m a k i n g d u r i n g a n a l y s i s , c r i t i c a l a s p e c t s o f s t u d e n t a c t i v i t y w i t h f u n c t i o n s w e r e a t fi r s t i n v i s i b l e t o m e . T h e w o r d i n g o f t h e o r i g i n a l r e s e a r c h s u b q u e s t i o n s h a d b u i l t i n t o t h e m a s s u m p t i o n s t h a t s t u d e n t s w o u l d b e e x p l i c i t l y a t t e n d i n g t o f u n c t i o n s . T h e s e a s s u m p t i o n s a r e c o n s i s t e n t w i t h c u r r i c u l a r g o a l s w i t h i n t h e m a t h e m a t i c s c o m m u n i t y f o r u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s . Y e t f o r a l o n g t i m e d u r i n g t h e a n a l y s i s , I d i d n o t t h i n k t h e s t u d e n t s a t t e n d e d t o f u n c t i o n s a t a l l . T h e d i f fi c u l t y w a s n o t s o l e l y w i t h s t u d e n t a c t i v i t y , b u t r a t h e r i n h o w I t h o u g h t a b o u t t h e i r a c t i v i t y . T h e m i s m a t c h i n v o l v e d c o n f u s i n g s t u d e n t s ’ a w a r e n e s s o f f u n c t i o n s p e r s e w i t h p r e s e n c e o r a b s e n c e o f u n d e r s t a n d i n g f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s . A l t h o u g h I w a s a c t i v e l y l o o k i n g f o r w a y s t o c h a r a c t e r i z e t h e i r s e n s e - m a k i n g a n d c o n n e c t i t t o f u n c t i o n s , I . u n d e r e s t i m a t e d w h a t t h e y w e r e d o i n g b e c a u s e i t w a s n o t e x p l i c i t l y a b o u t f u n c t i o n s a n d b e c a u s e t h e y s e e m e d n o t t o b e a w a r e o f f u n c t i o n s . T h e r e i s s o m e d a n g e r t h a t o t h e r s t a k i n g a t e a c h e r p e r s p e c t i v e w h o o b s e r v e a p p a r e n t d i s j o i n t e d n e s s a n d i n c o h e r e n c e i n 2 9 1 s t u d e n t s ’ t h i n k i n g a b o u t f t m c t i o n s w i l l , a s I d i d , l e t t h i s p e r s p e c t i v e o v e r s h a d o w t h e a c t i v e p r o b l e m s o l v i n g a n d s e n s e - m a k i n g a c t i v i t i e s t h a t s t u d e n t s w e r e e n g a g e d i n b e c a u s e i t s e e m s s o f a r f r o m c u r r i c u l a r g o a l s o f a r o b u s t u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s . I f w e a r e t o u n d e r s t a n d h o w s t u d e n t s c o m e t o d e v e l o p r i c h u n d e r s t a n d i n g s o f f u n c t i o n s , w e n e e d a v e h i c l e t o d e s c r i b e t h e i r e m e r g i n g u n d e r s t a n d i n g s a n d n a i v e a c t i v i t y . T h i s s t u d y s u g g e s t s t h a t t h e r e a r e s e v e r a l l e g i t i m a t e k i n d s o f u n d e r s t a n d i n g s a b o u t f u n c t i o n s , s o m e o f w h i c h a r e o n l y i m p l i e d b y s t u d e n t a c t i v i t y . I t a l s o s u g g e s t s t h a t a n a w a r e n e s s - n o n a w a r e n e s s d i m e n s i o n b e i n c l u d e d i n d e s c r i b i n g s t u d e n t s ’ a c t i v i t y w i t h f u n c t i o n s t o r e c o g n i z e r e a s o n a b l e s t u d e n t a c t i v i t y w h i l e d i s t i n g u i s h i n g r o b u s t n e s s o f u n d e r s t a n d i n g . I n a d d i t i o n t o l e g i t i m a t i n g i m p l i c i t f u n c t i o n c o n c e p t i o n s b y i n c l u d i n g a n a w a r e n e s s c o m p o n e n t , m o d e l s r e fl e c t i n g s t u d e n t a c t i v i t y m u s t i n c l u d e w a y s o f d e s c r i b i n g i n s t a n c e s , t e n t a t i v e w h o l e s , a n d r o b u s t u n d e r s t a n d i n g s o f f u n c t i o n s . O t h e r w i s e , a s s e s s i n g s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f l e v e l s o f w h o l e n e s s m i g h t r e s u l t i n a d i c h o t o m y - u n d e r s t a n d i n g o r n o t u n d e r s t a n d i n g . T h i s j u d g m e n t c o u l d h a v e r a m i fi c a t i o n s f o r s t u d e n t s ’ a t t i t u d e s t o w a r d m a t h e m a t i c s a n d f o r t e a c h e r s ’ a s s e s s m e n t o f s t u d e n t s ’ w o r k . F u r t h e r , t e a c h e r s w o u l d l o s e a r e s o u r c e f o r i n f o r m i n g i n s t r u c t i o n t h a t b u i l d s o n s t u d e n t c o n c e p t i o n s i f s t u d e n t s a r e j u d g e d t o h a v e n o t h i n g t o c o n t r i b u t e . I n a d d i t i o n , m a n y m o d e l s o f s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s d i s t i n g u i s h o n l y c o r r e s p o n d e n c e p e r s p e c t i v e s o f f u n c t i o n s . Y e t t h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y f o u n d c o v a r i a t i o n p e r s p e c t i v e s o n f u n c t i o n s p a r t i c u l a r l y s a l i e n t . T h u s , m o d e l s n e e d t o i n c l u d e s u c h p e r s p e c t i v e s . B e s i d e s b e i n g s a l i e n t t o s t u d e n t s , t h e s e p e r s p e c t i v e s i l l u s t r a t e t h a t s o m e t i m e s s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s — a l b e i t n a i v e - a r e o n e n t i t i e s r a t h e r t h a n o n i n s t a n c e s o f f u n c t i o n s , a n d t h u s c o n s i s t e n t w i t h o n e c u r r i c u l a r g o a l . F u r t h e r , h e l p i n g s t u d e n t s t o d e v e l o p d y n a m i c v e r s i o n s o f f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s c o u l d c o n t r i b u t e t o b r i d g i n g t h e g a p b e t w e e n o p e r a t i o n a l a n d 2 9 2 s t r u c t u r a l p e r s p e c t i v e s o n f u n c t i o n s a s h a s b e e n s u g g e s t e d b y K i e r a n ( 1 9 9 2 ) . I n r e v i e w i n g t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f a l g e b r a , s h e p o i n t s o u t t h a t m u c h o f s c h o o l a l g e b r a i s p r e s e n t e d a s f u l l - b l o w n s t r u c t u r e s t o b e m a n i p u l a t e d . U s i n g t h e a l g e b r a r e s e a r c h l i t e r a t u r e a s h e r b a s i s , K i e r a n c a l l s f o r m o r e a t t e n t i o n t o o p e r a t i o n a l ( d y n a m i c ) a s p e c t s o f a l g e b r a a n d a s e a r c h f o r w a y s t o p r o v i d e a m o v e f r o m o p e r a t i o n a l t o s t r u c t u r a l ( s t a t i c / r e l a t i o n a I / o b j e c t ) s o s t u d e n t s c a n b e c o m e fl u i d w i t h b o t h t h e o p e r a t i o n a l a n d s t r u c t u r a l c o n c e p t i o n s o f f u n c t i o n s . T h e s p e c i fi c c u r r i c u l u m t h a t t h e s t u d e n t s i n t h i s s t u d y e n g a g e d i n g a v e s t u d e n t s a n o p p o r t u n i t y t o fi t s i t u a t i o n s t o g r a p h s a n d m a d e h e a v y u s e o f t a b l e s , w h i c h l e n d t h e m s e l v e s t o p a t t e r n s o f c h a n g e . T h e s e k i n d s o f a c t i v i t i e s n o d o u b t c o n t r i b u t e d t o s t u d e n t s t a k i n g a c o v a r i a t i o n - d y n a m i c p e r s p e c t i v e . Y e t , r e s e a r c h i s n e e d e d t o a n a l y z e t h i s p a r t i c u l a r c u r r i c u l u m f o r t a s k s t h a t a r e i n h e r e n t l y r e l a t e d t o e a c h p e r s p e c t i v e t o d e t e r m i n e h o w m u c h e x p e r i e n c e s t u d e n t s h a d w i t h e a c h . S u c h r e s u l t s c o u l d p e r h a p s i n d i c a t e w h e t h e r s t u d e n t s w e r e s i m p l y p r o d u c i n g w h a t t h e y w e r e t a u g h t . I n a d d i t i o n , t h e r e w a s l i m i t e d e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s h a d d i f fi c u l t y w i t h t a s k s t h a t r e q u i r e d c u t t i n g a c r o s s p e r s p e c t i v e s . F o r e x a m p l e , w h e n s t u d e n t s u s e d r a t e o f c h a n g e ( b e y o n d u s i n g a m e m o r i z e d a l g o r i t h m ) t o fi n d a r u l e f o r a t a b l e r e p r e s e n t a t i o n o f a f u n c t i o n , t h e y h a d d i f fi c u l t y m o v i n g b e t w e e n c o v a r i a t i o n - d y n a m i c a n d c o r r e s p o n d e n c e - s t a t i c p e r s p e c t i v e s . S o r e s e a r c h i s n e e d e d t o a n a l y z e s t u d e n t a c t i v i t y i n t a s k s t h a t c u t a c r o s s o r m o v e ( t r a n s l a t e ) b e t w e e n p e r s p e c t i v e s , p a r t i c u l a r l y c o v a r i a t i o n a l a p p r o a c h e s a n d c o r r e s p o n d e n c e a p p r o a c h e s . C u r r i c u l a n e e d t o b e a n a l y z e d a l o n g t h e s e s a m e l i n e s t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e fi n d i n g s o f t h i s s t u d y w e r e a n a r t i f a c t o f t h i s s p e c i fi c c u r r i c u l u m o r a r e m o r e w i d e s p r e a d a m o n g s t u d e n t s . R o l e o f t e c h n o l o g y : G r a p h i n g b y h a n d . T h e m o s t p u z z l i n g fi n d i n g o f t h e s t u d y w a s t h e s t u d e n t s ’ i n a b i l i t y t o g r a p h f u n c t i o n s b y h a n d . O n e p o t e n t i a l r e a s o n f o r t h e i r d i f fi c u l t i e s w a s t h a t t h e f u n c t i o n s w e r e e x p o n e n t i a l , b u t a n o t h e r p o s s i b l e r e a s o n w a s a s s o c i a t e d w i t h t h e g r a p h i c s c a l c u l a t o r . T h e c a l c u l a t o r w a s u s e d i n t h i s s t u d y f o r 2 9 3 a l m o s t a l l g r a p h i n g , f o r t a b l e c o n s t r u c t i o n , a n d b o t h g u e s s a n d t e s t a n d g r a p h i c a l s o l u t i o n s t o a l g e b r a i c p r o b l e m s . E a c h o f t h e s e u s e s w a s p r i n c i p a l l y a s a s u p p o r t t o o l t h a t e x t e n d e d o r r e p l a c e d t r a d i t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s a n d r e p r e s e n t a t i o n t a s k s . O n l y t h e c a l c u l a t o r ’ s u s e t o c r e a t e s c a t t e r g r a p h s w a s n o n t r a d i t i o n a l . T h e r e i s l i m i t e d e v i d e n c e , h o w e v e r , t h a t s t u d e n t s r e l i e d t o o h e a v i l y o n t h e g r a p h i n g c o m p o n e n t o f t h e c a l c u l a t o r a n d t h u s f a i l e d t o p a r t i c i p a t e i n t h e f u l l p r o c e s s o f c r e a t i n g g r a p h s b y h a n d , w h i c h r e q u i r e d a n a d d i t i o n a l t r a n s l a t i o n s t e p o f c r e a t i n g o r d e r e d p a i r s . A l t h o u g h t h e r e i s n o t s u f fi c i e n t e v i d e n c e f o r t h i s c o n c l u s i o n , i t n e v e r t h e l e s s r a i s e s q u e s t i o n s a b o u t a s s u m p t i o n s t e a c h e r s c a n m a k e a b o u t w h i c h t a s k s w i l l s e e m o b v i o u s t o s t u d e n t s w h e n t e c h n o l o g y i s i n t r o d u c e d a s a t o o l i n t h e c l a s s r o o m . R e s e a r c h i s n e e d e d t o e x p l o r e e f f e c t s o n l e a r n i n g a n d i n s t r u c t i o n w h e n t e c h n o l o g y r e p l a c e s a c t i v i t i e s t h a t w e r e p r e v i o u s l y d o n e o n l y b y h a n d . M i s m a t c h b e t w e e n T e a c h e r a n d S t u d e n t P e r s p e c t i v e s T h r o u g h o u t t h i s s t u d y m i s m a t c h e s b e t w e e n t e a c h e r a n d s t u d e n t p e r s p e c t i v e s w e r e a n i s s u e . W h e n p e r s p e c t i v e s d i f f e r , c o n fl i c t i n g a s s u m p t i o n s c a n o p e r a t e . A s s t a t e d a b o v e , a s s u m p t i o n s w e r e a m a j o r c o n c e r n i n d e a l i n g w i t h s i t u a t e d p r o b l e m s . T h e y a l s o w e r e a n i s s u e i n d e fi n i n g w h e t h e r o r n o t w o r k w i t h f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s i n p r o b l e m s c o n s t i t u t e d w o r k w i t h f l m c t i o n s . T h i s s t u d y r a i s e d a n u m b e r o f o t h e r p o i n t s r e l a t e d t o a s s u m p t i o n s . E a c h s u g g e s t s f u r t h e r a c t i o n s . C u r r i c u l a r t a s k s n e e d t o b e e x a m i n e d f o r a s s u m p t i o n s b u i l t i n t o t h e m t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e y b u i l d o n c o n c e p t i o n s t h a t s t u d e n t s fi n d s a l i e n t a n d i n t u i t i v e . F o r e x a m p l e , C h a z a n ( 1 9 9 3 ) h a s t a k e n t h i s p o s i t i o n a n d s u g g e s t s b u i l d i n g a c o n c e p t i o n o f e q u a l i t y b a s e d o n f u n c t i o n s ( f ( x ) = g ( x ) ) , r a t h e r t h a n o n e b u i l t o n e q u a t i o n s . H e c l a i m s t h e f o r m e r a l l o w s s t u d e n t s t o m a i n t a i n c o n n e c t i o n s a n d ( p o t e n t i a l ) c o h e r e n c e a m o n g v a r i a t i o n a n d q u a n t i t i e s t h e y fi n d s a l i e n t , b u t w h i c h a r e l o s t a l m o s t i m m e d i a t e l y a f t e r a n e q u a t i o n s o l u t i o n p r o c e s s b e g i n s w i t h a q u a n t i t y a d d e d t o e a c h s i d e . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y f o u n d d y n a m i c d i m e n s i o n s o f b o t h 2 9 4 c o r r e s p o n d e n c e a n d c o v a r i a t i o n a p p r o a c h e s s a l i e n t ; y e t , l i t t l e a t t e n t i o n i s p a i d i n t r a d i t i o n a l c u r r i c u l a t o c o v a r i a t i o n a l a p p r o a c h e s . I n a d d i t i o n , s t u d e n t s f o u n d p a t t e r n s o f c h a n g e a n d r a t e s o f c h a n g e a s t w o d y n a m i c a l l y c h a n g i n g s e t s s a l i e n t f e a t u r e s , b u t a l m o s t n e v e r d i s p l a y e d a n y a w a r e n e s s t h a t t h e y c o n s i d e r e d " r a t e o f c h a n g e " a s a s i n g l e q u a n t i t y e v e n w h e n t h e i r d e s c r i p t i o n s i n c l u d e d " p e r u n i t c h a n g e s ” i n t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . W h e n r a t e o f c h a n g e i s d i s c u s s e d i n t h e c l a s s r o o m , i t i s u s u a l l y d e fi n e d a s a q u o t i e n t o f d i f f e r e n c e s a n d t h e n s i m p l y u s e d a s a s i n g l e q u a n t i t y , s u c h a s s l o p e o f a l i n e . S t u d e n t s a r e a s k e d t o m o v e i m m e d i a t e l y t o a s t a t i c f o r m o f r a t e , q u i c k l y l e a v i n g b e h i n d t h e i r d y n a m i c v e r s i o n s . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y h a d d i f fi c u l t y w i t h e x p o n e n t i a l f l m c t i o n s . T h e y d i d n o t r e c a l l t h e f l m c t i o n c l a s s n a m e , h a d n o o r g a n i z e r s f o r t h e c l a s s , s u c h a s s h a p e o f g r a p h , p a t t e r n o f c h a n g e i n t h e t a b l e , o r p o s i t i o n o f t h e v a r i a b l e i n t h e s y m b o l i c f o r m . S t u d e n t s a p p a r e n t l y d i d n o t d e v e l o p a n i n t u i t i v e " f e e l ” f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , p e r h a p s b e c a u s e d y n a m i c v a r i a t i o n , a f e a t u r e s t u d e n t s fi n d s a l i e n t , i n a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i s m u l t i p l i c a t i v e , b u t r a t e o f c h a n g e i s g e n e r a l l y d e fi n e d a s a d d i t i v e . C o n f r e y a n d S m i t h ( 1 9 9 4 ) s u g g e s t t h a t o n e s o l u t i o n t o h e l p i n g s t u d e n t s u n d e r s t a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i s t o m o v e a w a y f r o m t h e n a r r o w d e fi n i t i o n o f r a t e o f c h a n g e a s a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e a s d e fi n e d i n c a l c u l u s a n d c r e a t e t w o n e w k i n d s o f r a t e s o f c h a n g e f o r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h e fi r s t i s a m u l t i p l i c a t i v e r a t e o f c h a n g e , t h a t w h i c h i s f o u n d b y c a l c u l a t i n g t h e r a t i o s b e t w e e n s u c c e e d i n g y - v a l u e s . I n t h a t c a s e , a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n c a n b e s e e n a s a m u l t i p l i c a t i v e f u n c t i o n w i t h a c o n s t a n t ( m u l t i p l i c a t i v e ) r a t e o f c h a n g e . T h e s e c o n d r a t e o f c h a n g e i s ” a p r o p o r t i o n a l n e w t o o l d ” r a t e o f c h a n g e , w h i c h e n t a i l s v i e w i n g t h e a m o u n t b e i n g a d d e d o n e a c h t i m e a s a f u n c t i o n i t s e l f m u l t i p l i e d b y a c o n s t a n t . T h e y g i v e a n e x a m p l e t h a t i n a t a b l e w i t h c o n s t a n t m u l t i p l i e r 9 , t h e a m o u n t b e i n g a d d e d e a c h t i m e b e t w e e n e a c h e n t r y i s e i g h t t i m e s a s l a r g e a s t h e p r e v i o u s e n t r y . ( I f t h e fi r s t t h r e e t a b l e e n t r i e s w e r e 2 , 1 8 , 1 6 2 , t h e n t h e a m o u n t a d d e d o n w o u l d b e 1 6 a n d 1 4 4 , r e s p e c t i v e l y , a n d 1 4 4 = 8 . 1 8 . ) T h i s 2 9 5 c o m p u t a t i o n i s e x a c t l y a n a l o g o u s t o t h e r o l e o f r a t e o f i n t e r e s t , r , i n t h e f o r m u l a f o r c o m p o u n d i n g i n t e r e s t a n n u a l l y l , P f = P i ( 1 + r ) ‘ . T h e i r s u g g e s t i o n s s t e m f r o m o b s e r v a t i o n s i n t h e i r r e s e a r c h w i t h s t u d e n t s b u i l d i n g t h e s e r a t e c o n c e p t s w h i l e w o r k i n g w i t h p r o b l e m s a b o u t e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T o a c c o m m o d a t e t h e s e d e fi n i t i o n s , C o n f r e y a n d S m i t h ( 1 9 9 4 , p . 1 4 1 ) r e d e fi n e r a t e o f c h a n g e a s a u n i t p e r u n i t c o m p a r i s o n , t h u s a l l o w i n g fl e x i b i l i t y i n u n i t s i n b o t h n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r . T h e y g o o n t o e x p l a i n t h a t w h a t c o n s t i t u t e s a u n i t h e r e i s c o n s t r u c t e d b y t h e s t u d e n t . N o t a d h e r i n g s t r i c t l y t o a d d i t i v e r a t e s o f c h a n g e s a l l o w s s t u d e n t s t o c o n s t r u c t r a t e s o f c h a n g e t h e y fi n d i n t u i t i v e . I n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , a r a t e o f m u l t i p l i c a t i v e u n i t p e r a d d i t i v e u n i t r e s u l t s i n a c o n s t a n t f u n c t i o n . F o r e x a m p l e , i n t h e f u n c t i o n y = 8 ( 5 ) " , a s e a c h y e a r i s a d d e d t h e r e i s a c o n s t a n t m u l t i p l i e r o f 5 . A n a d d i t i v e u n i t p e r a d d i t i v e u n i t c h a n g e , h o w e v e r , r e s u l t s i n v a r y i n g r a t e o f c h a n g e . F o r e x a m p l e , a s x i n c r e a s e s f r o m 1 t o 2 , y i n c r e a s e s 1 6 0 ( f r o m 4 0 t o 2 0 0 ) , b u t a s x i n c r e a s e s f r o m 2 t o 3 , y i n c r e a s e s 8 0 0 ( f r o m 2 0 0 t o 1 0 0 0 ) . S t u d e n t s i n t h i s s t u d y h a d s t u d i e d p a t t e r n s o f c h a n g e o n l y i n t e r m s o f a d d i t i v e r a t e s o f c h a n g e . L i k e C o n f r e y a n d S m i t h ’ s s t u d e n t s , t h e y f o u n d d y n a m i c - c o v a r i a t i o n a l a p p r o a c h e s s a l i e n t . P e r h a p s t h e i r d i f fi c u l t i e s w i t h e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s c o u l d b e a t t r i b u t e d i n p a r t t o t h e m i s m a t c h b e t w e e n a n a r r o w , a d d i t i v e r a t e o f c h a n g e , w h i c h c o n s t i t u t e d t h e i r e n t i r e " f o r m a l " e x p e r i e n c e o f r a t e o f c h a n g e i n t h i s c l a s s , a n d t h e m o r e i n t u i t i v e r a t e s o f c h a n g e p r o p o s e d b y C o n f r e y a n d S m i t h a s b e i n g s a l i e n t i n s t u d e n t s ’ c o n s t r u c t i o n o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . M a t h e d u c a t o r s n e e d t o e x a m i n e t a s k s i n c u r r i c u l u m m a t e r i a l s f o r m a t c h e s o r m i s m a t c h e s b e t w e e n s t u d e n t p e r s p e c t i v e s a n d t e a c h e r p e r s p e c t i v e s t o d e t e r m i n e i f 1 1 f i n t e r e s t i s 0 . 0 8 % , a n d P d o l l a r s i n t h e a c c o u n t w e r e i n v e s t e d f o r a y e a r , t h e a m o u n t a d d e d o n e a c h y e a r , 0 . 0 8 P , i s 0 . 0 8 t i m e s t h e a m o u n t i n t h e a c c o u n t a t t h e b e g i n n i n g o f t h e y e a r , P , a s s u m i n g n o m o n e y i s w i t h d r a w n . A t t h e e n d o f a n y o n e y e a r , t h e a m o u n t i n t h e a c c o u n t w o u l d b e ( P + 0 . 0 8 P ) a n d a t t h e e n d o f t h e n e x t y e a r t h e a m o u n t w o u l d b e : ( P + 0 . 0 8 P ) + ( P + 0 . 0 8 P ) ( 0 . 0 8 ) . T h e a m o u n t a d d e d o n i s a l w a y s a m u l t i p l e o f 0 . 0 8 . 2 9 6 t a k e n - a s - s h a r e d d e fi n i t i o n s o f ” c o r r e c t ” m a t h e m a t i c s a r e t o o c o n fi n i n g a n d t h u s f a i l t o e n h a n c e o r b u i l d o n s t u d e n t s ’ c o n c e p t i o n s . F u r t h e r , t h e y n e e d t o e x a m i n e t h e i r o w n p e r s p e c t i v e s a s t e a c h e r s o f f u n c t i o n s ( a n d r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e m ) t o s e e i n w h a t w a y s t h e y c o u l d a d j u s t i n s t r u c t i o n t o b u i l d o n w h a t s t u d e n t s fi n d i n t u i t i v e o r s a l i e n t a b o u t f u n c t i o n s a n d t h e i r r e p r e s e n t a t i o n s . I n a d d i t i o n , m a t h e d u c a t o r s n e e d t o a t t e n d t o h o w s t u d e n t d i f fi c u l t i e s a n d f a c i l i t i e s i n f o r m t h e i r o w n a s s u m p t i o n s r e g a r d i n g s t u d e n t a s s u m p t i o n s a b o u t w h a t t a s k s s t u d e n t s a r e e n g a g e d i n . F i n a l l y , i n t h i s s t u d y s o m e a c t i v i t i e s d u r i n g p r o b l e m s o l v i n g w e r e m o r e r e l a t e d t o w h a t i t m e a n s t o b e i n s c h o o l t h a n t o s t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s . S a m u s e d d i s c o u r s e a s a p r o b l e m s o l v i n g s t r a t e g y . A t t i m e s m i s m a t c h e s o c c u r r e d i n c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n s t u d e n t s a n d m e , p a r t i c u l a r l y w h e n I w o u l d a s k a m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n a n d s t u d e n t s w o u l d a n s w e r a n o n m a t h e m a t i c a l o n e . T h e s e fi n d i n g s i m p l y t h a t t e a c h e r s m u s t t a k e i n t o a c c o u n t t h e p o s s i b i l i t y t h a t s t u d e n t s h a v e d i f f e r e n t p u r p o s e s t h a n t h e y t h e m s e l v e s h a v e a n d t h a t t h e y c a n n o t a s s u m e t h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d t h e i r c o m m e n t s a n d q u e s t i o n s a s b e i n g a b o u t t h e t o p i c t h e y h a v e i n m i n d . C o n c l u s i o n I b e g a n t h i s s t u d y w i t h c e r t a i n a s s u m p t i o n s f r o m m y u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s , m y t e a c h i n g a n d t h e r e s e a r c h l i t e r a t u r e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h a t s t u d e n t t h i n k i n g c o u l d b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f h o w c o n t e x t u a l i z e d o r d e c o n t e x t u a l i z e d s t u d e n t t h i n k i n g w a s i n t h e s t u d y o f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s . I h a d a n o p e n m i n d t o t r y t o h e a r s t u d e n t v o i c e a s I b e l i e v e d t h a t s t u d e n t s h a d r i c h , b u t n a i v e , i d e a s o f t h e c o n c e p t s t h a t I u n d e r s t a n d t o b e s h a r e d b y t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y . N e v e r t h e l e s s , I w a s n o t p r e p a r e d f o r h o w p e r v a s i v e w e r e m y a s s u m p t i o n s . a b o u t t h e i r a c t i v i t i e s , a n d h o w d i f fi c u l t i t w a s t o t u r n o f f t h e " m a t h e m a t i c s m a s t e r ’ s v o i c e . " I n a d d i t i o n , w h i l e I h a d w i t n e s s e d m y o w n s t u d e n t s ’ d i f fi c u l t y j u s t i f y i n g m a t h e m a t i c s w i t h s i t u a t i o n a l a r g u m e n t s , I w a s s u r p r i s e d b y t h e t e n a c i t y o f t h e 2 9 7 s i t u a t i o n a l c o n t e x t a n d t h e i n f o r m a l m o d e l s i n t h e s e s t u d e n t s ’ t h i n k i n g . F u r t h e r , s i n c e s t u d e n t s f o u n d d y n a m i c p e r s p e c t i v e s s o s a l i e n t , b u t m u c h o f a l g e b r a t e a c h i n g h a s i n v o l v e d w o r k i n g w i t h s t a t i c r e p r e s e n t a t i o n s , m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s m u s t r e c o g n i z e t h a t t h e i r o w n v i e w o f m a t h e m a t i c s m a y b e l i m i t e d . T h u s , m a t h e d u c a t o r s m u s t t a k e r e s p o n s i b i l i t y f o r s o m e o f s t u d e n t s ’ d i f fi c u l t y i n u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c s b e c a u s e t h e i r w a y o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s m a y n o t b u i l d o n w h a t s t u d e n t s k n o w a n d fi n d s a l i e n t . F i n a l l y , s i n c e s t u d e n t s a n d t e a c h e r s a r e s o m e t i m e s e n g a g e d w i t h d i f f e r e n t c o n t e n t a n d f o r d i f f e r e n t p u r p o s e s , t e a c h e r s m u s t b e e v e r v i g i l a n t a b o u t w h a t a s s u m p t i o n s t h e y a r e m a k i n g i n t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h s t u d e n t s . A P P E N D I C E S A P P E N D I X A I n t e r v i e w 1 - P r o b l e m 1 - 1 I G O I N G T O S C H O O L 1 0 L 1 2 3 l A G r a h a m S c a l e ( m i l e s ) J a n e P a u l 0 P e t e r J a n e . G r a h a m . S u s a n . P a u l a n d P e t e r a l l t r a v e l t o s c h o o l a l o n g t h e s a m e c o u n t r y r o a d e v e r y m o r n i n g . P e t e r g o e s i n h i s d a d ' s c a r . J a n e c y c l e s a n d S u s a n w a l k s . T h e o t h e r t w o c h i l d r e n v a r y h o w ' t h e y t r a v e l f r o m d a y t o d a y . T h e m a p a b o v e s h o w s w h e r e e a c h p e r s o n l i v e s . T h e f o l l o w i n g g r a p h d e s c r i b e s e a c h p u p i l ' s j o u r n e y t o s c h o o l l a s t M o n d a y . 1 h 6 ‘ 1 . . L e n g t h 4 d O o f j o u r n e y t o s c h o o l ( " I I I “ ) 2 4 . . U : 0 « i i i A T i m e t a k e n t o t r a v e l t o s c h o o l ( m l n u t e s ) i ) L a b e l e a c h p o i n t o n t h e g r a p h w i t h t h e n a m e o f t h e p e r s o n i t r e p r e s e n t s . i i ) H o w d i d P a u l a n d G r a h a m t r a v e l t o s c t h o n M o n d a y ? i i i ) D e s c r i b e h o w y o u a r r i v e d a t y o u r a n s w e r t o p a r t ( i i ) ( u : 5 1 0 " » ( c o n t i n u e d ) 2 9 8 2 9 9 P r o b l e m 1 - 2 G O I N G T O S C H O O L ( c o n t i n u e d ) i v ) P e t e r ' s f a t h e r i s a b l e t o d r i v e a t 3 0 m p h o n t h e s t r a i g h t s e c t i o n s o f t h e r o a d . b u t h e h a s t o s l o w d o w n f o r t h e c o r n e r s . S k e t c h a g r a p h o n t h e a x e s b e l o w t o s h o w h o w t h e c a r ' s s p e e d v a r i e s a l o n g t h e r o u t e . t r h a r s h e r - m a m 3 0 . . C a r ’ s S p e e d 2 0 ‘ ( m p h ) l 0 « 0 i i . ‘ l I 5 8 T D i s t a n c e f r o m P e t e r ‘ s h o m e ( m i l d ) 3 0 0 I n t e r v i e w 2 - P a r t A P r o b l e m 2 A - 1 B e l o w i s a t a b l e f o r a f u n c t i o n r u l e . A f t e r s e e i n g o n l y t h e t a b l e , A l i c e , B e a , a n d C a r o l i n a e a c h s k e t c h e d a g r a p h . T h e i r g r a p h s a r e l a b e l e d a , b , a n d c , a n d a r e s h o w b e l o w . i n p u t o m p m o | 4 1 | 2 2 | o 5 | . 2 1 0 | . 4 D i s c u s s w h y y o u a g r e e o r d i s a g r e e w i t h e a c h c h o i c e . E x p l a i n y o u r r e a s o n i n g . I f y o u d o n o t a g r e e w i t h a n y o f t h e c h o i c e s , p l e a s e m a k e y o u o w n g r a p h a n d e x p l a i n i n w h a t w a y i t i s a b e t t e r c h o i c e . 4 ‘ [ P A A \ 7 \ ¥ T ‘ 7 ‘ W u 5 “ ” C w u ' P r o b l e m 2 A - 2 F o r t h e t a b l e b e l o w , w h a t i s t h e f u n c t i o n r u l e ? W h a t i s t h e o u t p u t f o r i n p u t 1 5 ? i n p u t 3 0 ? i n p u t o u t p u t 1 | 1 0 2 | 5 3 | 0 5 | - 1 0 1 0 | - 3 5 . 2 1 L 1 3 0 1 I n t e r v i e w 2 - P a r t B P r o b l e m 2 B — l W h e n I s t a r t e d t o l e a r n t h e g u i t a r , I i n i t i a l l y m a d e v e r y r a p i d p r o g r e s s . B u t I h a v e f o u n d t h a t t h e b e t t e r y o u g e t , t h e m o r e d i f fi c u l t i t i s t o i m p r o v e s t i l l f u r t h e r . ( p r o fi c i e n c y / a m o u n t o f p r a c t i c e . ) P r o b l e m 2 B - 2 I f s c h o o l w o r k i s t o o e a s y , y o u d o n ’ t l e a r n a n y t h i n g f r o m d o i n g i t . O n t h e o t h e r h a n d , i f i t i s s o d i f fi c u l t t h a t y o u c a n n o t u n d e r s t a n d i t , a g a i n y o u d o n ’ t l e a r n . T h a t i s w h y i t i s s o i m p o r t a n t t o p i t c h w o r k a t t h e r i g h t l e v e l o f d i f fi c u l t y . ( e d u c a t i o n a l v a l u e / d i f fi c u l t y o f w o r k ) K K b ) ( e ) ( 0 ( h ) l : V : l ( g ) : ( j ) ( k ) ( I ) 5 [ — I T ( L F e ) 3 0 2 I n t e r v i e w 3 T h e P r o fi t P r o b l e m C a r l h a s b e e n a s s i g n e d t o c o m e u p w i t h t h e p r i c e t o c h a r g e f o r t i c k e t s f o r a c o n c e r t t h e s e n i o r c l a s s i s u s i n g f o r a f u n d - r a i s e r . F r o m p r e v i o u s y e a r s , C a r l h a s l e a r n e d t h a t i f t h e y h i r e a c e l e b r i t y e m c e e , t h e f u n c t i o n r e l a t i n g t i c k e t p r i c e a n d p r o fi t w a s P ( t ) = m m 2 + 7 o o t - 2 0 0 . C a r l r e a s o n e d t h a t i f t h e y d i d n ’ t h i r e t h e e m c e e , t h e y c o u l d s a v e h i s $ 2 0 0 f e e . H i s f r i e n d B e t h s a i d h e s h o u l d r e c o n s i d e r t h e p r o b l e m b e c a u s e h e w o u l d n e e d t o l o w e r t h e t i c k e t p r i c e b y a t l e a s t 3 d o l l a r s t o g e t a n y o n e t o c o m e i f n o e m c e e w a s h i r e d . S h e t o l d h i m h e c o u l d c o n s i d e r t h i s n e w s i t u a t i o n b y u s i n g t h e f u n c t i o n P ( t ) = = - 1 0 0 ( t - 3 ) 2 + 7 0 0 ( t - 3 ) W a s s h e c o r r e c t ? W h i c h p l a n s h o u l d h e f o l l o w ? D o e s t h e s i z e o f t h e a u d i t o r i u m m a k e a n y d i f f e r e n c e ? 3 0 3 I n t e r v i e w 4 - P a r t A ( m o d i fi e d f r o m H a r t , 1 9 8 1 ) P r o b l e m 4 A - l : W h a t c a n y o u s a y a b o u t c i f c + d < 1 0 ? ( w r i t t e n ) W h a t c a n y o u s a y i f d i s 5 ? ( g i v e n o r a l l y ) P r o b l e m 4 A - 2 : x + y + z = x + p + z i s a l w a y s , s o m e t i m e s , o r n e v e r t r u e ? E x p l a i n . P r o b l e m 4 A - 3 : I f a + 6 = 2 5 , w h a t c a n y o u s a y a b o u t w h a t i s a + 6 + c ? P r o b l e m 4 A - 4 : W h i c h i s l a r g e r , 2 n o r n + 2 ? P r o b l e m 4 A - 5 : I f e + f = 5 0 , w h a t c a n y o u s a y a b o u t e + f + g ? P r o b l e m 4 A - 6 : S a m d r e w t h e fi g u r e b e l o w w h i l e b a b y s i t t i n g f o r t h e n e i g h b o r . I t h a s n s i d e s ; e a c h h a s l e n g t h 3 . U n f o r t u n a t e l y , t h e b a b y s p i l l e d p a i n t o n t h e d r a w i n g j u s t a s S a m w a s c a l c u l a t i n g t h e p e r i m e t e r o f t h e fi g u r e . W h a t i s t h e p e r i m e t e r ? 5 “ ) “ 1 P r o b l e m 4 A - 7 : B l u e p e n c i l s c o s t 5 c e n t s e a c h a n d r e d p e n c i l s c o s t 6 c e n t s e a c h . I b u y s o m e b l u e p e n c i l s a n d s o m e r e d p e n c i l s , w h i c h c o s t m e 9 0 c e n t s . I f h i s t h e n u m b e r o f b l u e p e n c i l s b o u g h t a n d i f r i s t h e n u m b e r o f r e d p e n c i l s b o u g h t , w h a t c a n y o u w r i t e d o w n a b o u t b a n d r ? 3 0 4 I n t e r v i e w 4 - P a r t B P r o b l e m 4 B - 1 B e l o w i s a g r a p h o f a f u n c t i o n f ( x ) = 3 ( 2 ) " . T h e p o i n t o n t h e g r a p h t h a t r e p r e s e n t s t h e f u n c t i o n v a l u e s f o r i n p u t b i s l a b e l e d w i t h a d o t . P l a c e a d o t o n t h e g r a p h t h a t r e p r e s e n t s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n f o r i n p u t b + 3 . 3 0 5 P r o b l e m 4 B - 2 B e l o w i s a g r a p h f o r a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n o f t h e f o r m g ( x ) = a 1 . 5 " . W h a t i s a ? P r o b l e m 4 B - 3 f ( x ) = 1 0 - 3 " W i t h o u t u s i n g t h e c a l c u l a t o r , g i v e t h e f u n c t i o n v a l u e i f i ) x i s b ? i i ) x i s 4 . 5 ? 3 0 6 P r o b l e m 4 B - 4 W i t h o u t u s i n g t h e c a l c u l a t o r d e t e r m i n e w h i c h f u n c t i o n b e s t fi t s t h e g r a p h b e l o w ? a . f ( x ) = b . g ( x ) = 1 0 x 1 c h ( x ) = 1 0 - d . j ( x ) = 1 0 x x I n t e r v i e w 5 P r o b l e m 5 - 1 : T i m a n d D o n n a P r o b l e m ( t a k e n f r o m E v e n , 1 9 8 9 ) T i m a n d D o n n a l i v e 1 k m f r o m t h e i r s c h o o l . U s u a l l y t h e y w a l k t o g e t h e r t o s c h o o l . Y e s t e r d a y t h e y b o t h l e f t t h e i r h o u s e s 1 0 m i n u t e s b e f o r e s c h o o l s t a r t e d . T i m s t a r t e d t o w a l k b u t D o n n a w a s a f r a i d t o b e l a t e a n d s t a r t e d t o r u n . A f t e r a w h i l e T i m r e a l i z e d t h a t a l t h o u g h h e t r i e d t o w a l k f a s t e r a n d f a s t e r , h e h a d t o r u n i f h e d i d n o t w a n t t o b e l a t e , a n d s t a r t e d t o r u n . A t t h e s a m e t i m e , D o n n a b e c a m e t i r e d a n d h a d t o w a l k i n s t e a d o f r u n . T h e y b o t h r e a c h e d s c h o o l e x a c t l y o n t i m e . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g g r a p h s i s T i m ’ s _ a n d w h i c h o n e i s D o n n a ’ s ? i , . e 3 ( r ) i . 9 } : M M i s “ W t i e c i r p e h t ? 0 o e 5 t l u d r e t e a h . $ s e l g t e r r y s b i 0 a h c t 0 , y c 5 s r u 1 n a - d a l o l r p p m o p 0 d o n n i i 0 6 c 3 e a h , m t s + s m t i n a ? e c r ; h o 0 w y f 0 n e , 4 E ' a E s d p r m a - l a m d o n l t s c o d fi i a o n r t i P fi o , t fi o r s p r p e g t e r a h h a h T c W a , D , B , A s d r a C t r o S : 5 e m w D e i v r e t n I i t f o t n u o m a e h t , s e l b u o . d f l s a h r e n k i r t o u w c f s o i r k e r b o m w u e n h t e h o t d s o A t B 3 0 7 d n n o a i t e c p n a u t f o e a d i s i v t , s c r i , f e e h t g r a h t e c t R ? t u p t u n e l a r t o u W p 0 0 0 o 0 t 4 2 1 n u ~ t o o t o t . i d t a h w c n s u e i I || II | f v a " 0 i g 0 { f t o “ u g p o 0 0 5 b n “ i A t 2 3 3 s d n k s fi n i l r e o h t t h c s a y b f o s t u p n i n A R d n a , Q , P , M s d r a C t r o S : 5 e i v Q r e t o d w s e r h e t a T n l e l r o . d e s p e 3 a t s e l p a t a o r a h n e o d i i t v c i d f d o e r o a , t s h n c l a , a e r t n r e e b o r f m o r u e a n d l e i l h o t v d f A o 1 . r f f e i t l a c w . e v i e d e h h t n s t i i f a h e o r f t v e o e f o c , b h g d r n p o a e t n i e e a s d p ? s ' , e e l I a e c r n h e r e u n s i i . t e e r t c h p . e m e c m r s m o a 0 h t e 7 h 2 i r t e , h t i g s v e e b h f t a f e i l m s e p r t e 8 b 9 f a 2 i 2 w r s y c f i e a m t m k + o r h n t e f t i p c o e s d h o h t w e c a d t r e d 0 ) e t a 0 u i o r t p h t e f l 3 n ' h i r 8 o e - e o s r v w e 2 e " u d n a r i o s = v e l + ( a s g ) , n s 9 e r c r x h x c e 2 a s t f i e a e m + r f n o o y 2 y i x r s t d - e i y ( g t , l 8 e n m e r a d b o i r l c a m o n d i t a e s p i o s u l y n e r e - y b y l p i l = , s n v m e o a - u p r j s s e y e r v ’ v n R t i d a t o p b a e d t e a u , s n l n m e o f e ’ e r i , v d e d o v y c s e i i v r s n t c i o r i d i e o h n e f i t d h f t i e l h n i s g g n a n n p l i m o u f d a o o ; d n ; c c t e e n f o h o A w c I D e 1 v h c s d e n 1 i h n A 2 T i F 4 4 5 5 2 5 0 7 4 6 8 4 4 3 0 8 e n o t e l u r n o t a i u n o s o t p c t n u u o f a n r ( o o t f u e l p n t i " e h t b a t A . e l e s a e r c n i y , s e s a e r c n i x s t i Y W Y d n a , W , T , S s d r a C t r o S : 5 w e i s v t r n a r e t u n a I t s e r d o o f t s a f e m o s t . , m m ” a s g n i n v u S h c a e r o F r e s l a u d i v i d n I ( ‘ 5 0 0 l b ” I I n ! “ , o c c ' 7 : 1 0 L o v e ' V S o O J O O O ( 6 ’ : o m K / u o n m 9 3 9 1 1 0 0 y e a r 5 W h a t i s t h e p r e d i c t e d c o l l e g e t u i t i o n f o r t h e y e a r 2 0 0 0 ? l . m a m m — n — n m — I c — a m I o W V M N — ‘ O — 3 0 9 K K d n a , J , H , G s d r a C t r o S : 5 w e l l d i n w a e a m e i r t G a . v a c t i J fi i h c w r e e t n I ' d p t s A a . n d i e y n a o r i p t s a l s u a p w o p e d t i c c e i s r u o n s t ? h n i e c i e 0 s 0 n 0 n a 1 i m e i t b a s n e t e a l n e o c r n i i s t w a o l d l u e e s p b s o a p h p p a e t c e r s m g i n t i e e e h h h T t t T h e a m o u n t o f r a d i o a c t i v e c o b a l t i n a s u b s t a n c e d e c a y s ( d e c r e a s e s ) “ i t o v e r t i m e . T h e t a b l e b e l o w g i v e s t h e a m o u n t o f r a d i o a c t i v e c o b a l t l e f t a f t e r s e v e r a l y e a r s i n s t o r a g e a s m e a s u r e d b y a s c i e n t i s t . W h a t k i n d o f f u n c t i o n b e s t fi t s t h e d a t a ? 0 s u m u ; s m o q m o s ; m m u o H J I n J O 3 1 0 3 1 1 A t a b l e f o r a f u n c t i o n r u l e i n p u t o u t p u t - 5 I s o - 3 | 1 8 - 1 | 2 1 | 2 3 | 1 8 s I s o 7 | 9 8 G i v e t h i s f u n c t i o n ’ s g r a p h . Z A P P E N D I X B P r o t e s t w i t h C o v e r S h e e t ( P o s t t e s t I d e n t i c a l e x c e p t f o r C o v e r ) N a m e : N o : S e c t i o n : S U R V E Y O F M A T H E H N T I C S B A C K G R O U N D T h e p u r p o s e o f t h i s s u r v e y i s t o l e a r n s o m e t h i n g a b o u t y o u r m a t h e m a t i c s b a c k g r o u n d . T h i s i n f o r m a t i o n i s i m p o r t a n t b e c a u s e y o u c o m e f r o m m a n y d i f f e r e n t s c h o o l s w h e r e c l a s s e s m a y b e o r g a n i z e d q u i t e d i f f e r e n t l y f r o m e a c h o t h e r . S o m e o f t h e p r o b l e m s o n t h e s u r v e y m a y b e o n t o p i c s t h a t y o u h a v e n o t y e t h a d , a n d s o m e m a y a p p e a r i n f o r m s t h a t a r e n o t f a m i l i a r . W e a s k t h a t y o u t r y t o w o r k a l l o f t h e p r o b l e m s e v e n i f s o m e m a y b e n e w t o y o u . I t i s f i n e t o g u e s s w h a t y o u t h i n k s o m e t h i n g m e a n s . D o n o t w o r r y a b o u t n o t k n o w i n g t h e ” c o r r e c t " a n s w e r . T h i s i s n o t a t e s t o f y o u r a b i l i t y , b u t a s u r v e y o f w h a t k i n d o f m a t h e x p e r i e n c e s y o u h a v e h a d . S h o w u s a s m u c h o f y o u r w o r k a s p o s s i b l e , e s p e c i a l l y i n p r o b l e m s y o u t h i n k y o u c a n n o t f i n i s h . P L E A S E F I L L I N Y O U R N A H E a b o v e . ( I g n o r e N o . a n d S e c t i o n ) . 3 1 2 1 . 3 1 3 M a t h e m a t i c s S u r v e y T h e p o i n t s h o w n i n t h i s g r a p h r e p r e s e n t s 2 p o u n d s o f s u g a r c o s t i n g $ . 4 0 . M A R K a n d L A B E L t w o p o i n t s , A , r e p r e s e n t i n g 5 p o u n d s c o s t i n g 5 . 9 0 a n d , 8 , r e p r e s e n t i n g 1 0 p o u n d s c o s t i n g $ 1 . 5 0 . a c o s t ( c e n t s ) \ I p o u n d s a . M u l t i p l y o u t : ( x + 7 ) ( 2 x + 1 ) b . I f x - - 1 o ; w h a t i s 3 x + 4 ? c . W r i t e 2 " 2 a s a d e c i m a l . E a c h p o i n t i n t h i s g r a p h r e p r e s e n t s a b a g o f f r u i t . W h i c h p o i n t ( o r p o i n t s ) r e p r e s e n t s t h e t ; h e a v i e s t b a g ( s ) ? . E / \ . W h i c h p o i n t ( o r p o i n t s ) r e p r e s e n t s b a g ( s ) t h a t c o s t l e a s t ? c o s t ° D ( c e n t s ) 9 ' W h i c h p o i n t s r e p r e s e n t b a g s o f t h e s a m e ' ° w e i g h t ? - C W h i c h p o i n t s r e p r e s e n t t h e s a m e c o s t s ? W h i c h o f F o r c w o u l d g i v e t h e b e s t v a l u e 9 3 1 9 fi t f o r t h e m o n e y ? H o w c a n y o u t e l l ? ( p o u n d s ) W h i c h o f B o r C w o u l d g i v e t h e b e s t v a l u e f o r t h e m o n e y ? H o w c a n y o u t e l l ? W h i c h t w o p a c k e t s w o u l d g i v e t h e s a m e v a l u e f o r t h e m o n e y ? H o w c a n y o u t e l l ? “ I 3 1 4 4 . y - a x + 7 I f a i s a n e g a t i v e n u m b e r , t h e g r a p h o f y i n F i g u r e 1 l o o k s l i k e I , I I , o r I I I b e l o w ? Y I I I I I I ; / \ A ’ X F i g u r e 1 s . F i n d f v a l u e s f o r t h e f o l l o w i n g : a . y - 2 ( x - l ) ( x + 4 ) i f x - 3 y - b . y - x ° ° 5 i f x - 9 y - c . y - f ( x ) - - 2 x 2 + 5 i f x - 2 y - d . f ( a ) - i f f ( x ) - 4 x - 1 6 f ( a ) - 6 . G r a p h t h e f o l l o w i n g : b . y - x 2 - 2 x + l a . y - 3 x + 4 3 1 5 T h e s l o p e o f t h i s g r a p h i s . E x p l a i n y o u r a n s w e r . ( 9 , 1 ) A n e q u a t i o n f o r t h e g r a p h i s . E x p l a i n h o w y o u f o u n d A g r a p h c o u l d b e m a d e f o r t h e r e l a t i o n s g i v e n b e l o w . I n e a c h c a s e , w h a t w o u l d b e t h e y - i n t e r c e p t ? E x p l a i n h o w y o u f o u n d i t . a . y - - 3 x 2 - 4 x + s T h e y - i n t e r c e p t i s . I f o u n d i t b y b . y - 2 ( x - 7 ) ( x + 1 ) T h e y - i n t e r c e p t i s . I f o u n d i t b y l 3 5 6 T h e y - i n t e r c e p t i s . I f o u n d i t b y T h e y - i n t e r c e p t i s . I f o u n d i t b y 1 0 . 3 1 6 T h e p r o f i t f r o m a r o c k c o n c e r t d e p e n d s o n t h e t i c k e t p r i c e . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t t h e g r a p h i n F i g u r e 2 g i v e s p r o f i t i n t e r m s o f t h e t i c k e t p r i c e . I n e a c h c a s e e x p l a i n h o w y o u g o t y o u r a n s w e r . W h a t p r o f i t c a n b e e x p e c t e d w h e n t i c k e t s c o s t $ 8 ? W h a t i s t h e m a x i m u m p r o f i t t h a t c a n b e e x p e c t e d ? W h a t t i c k e t p r i c e i s p r e d i c t e d t o g i v e t h e m a x i m u m p r o f i t ? I L ( D a u t r ' a Y . 0 I ' m 3 " d i s u s e - l s ) L S ' 8 . 0 1 ) - l i t [ o r 5 " 1 ‘ A ( d o l l a r s ) ¥ g t o i s i s I s i s F i g u r e 2 T h i s g r a p h s h o w s J a n e ‘ s p r o g r e s s a s s h e g o e s f o r a c o u n t r y w a l k . D e s c r i b e a s c a r e f u l l y a s y o u c a n w h a t m i g h t h a v e h a p p e n e d . B e a s s p e c i f i c a s y o u c a n . 4 \ ‘ v b D i s t a n c e 5 ' - f r o m h o m e y a w ( m i l e s ) 3 « L A ‘ 1 ‘ 1 + T i m e ( h o u r s ) 3 1 7 1 1 . T h i s g r a p h d e s c r i b e s t h e d i s t a n c e s A a n d B t r a v e l e d . : 1 9 “ . 2 ? : a . F o r w h a t t i m e s h a d A t r a v e l e d f u r t h e r t h a n 3 ? E x p l a i n . b . A t w h a t t i m e d i d A t r a v e l t h e f a s t e s t ? E x p l a i n . c . W h o t r a v e l e d f a s t e r b e t w e e n 1 . 5 : 3 0 a n d 6 : 0 0 ? i i . 8 : 0 0 a n d 9 : 0 0 ? d . W h o t r a v e l m o r e k i l o m e t e r s b e t w e e n i . 6 : 3 0 a n d 8 : 0 0 ? i i . 1 0 : 0 0 a n d 1 1 : 0 0 ? 3 1 8 1 2 . S o m e T y p e s o f E q u a t i o n s I . y - a x 2 + b x + c I I I . y = C o ( a ) " ’ C 7 0 I I . y s a x + b I v . A n y e q u a t i o n n o t o f T y p e I , I I , o r I I I . I f a , b , c a n d c a r e r e a l n u m b e r s , t h e n T y p e s I , I I , a n d I I I c a n e a c h r e p r e s e n t a w h o l e s e t o f e q u a t i o n s . F o r e x a m p l e , y - 2 x 2 + 3 x - 7 a n d y - - x 2 - 1 . 4 + 5 a r e b o t h o f T y p e I , y - - 5 x + 1 8 a n d y - 2 x a r e o f T y p e I I , y - 3 0 4 5 ) x a n d y - ( 0 . 4 ) x a r e o f T y p e I I I , a n d y H ‘ x G + 1 3 x ‘ - 1 2 i s o f T y p e I v . I n e a c h p a r t b e l o w , a t a b l e r e l a t e s x a n d y f o r a n e q u a t i o n . D e t e r m i n e w h i c h T y p e o f e q u a t i o n ( I , I I , I I I , o r I V ) c o u l d g i v e t h e t a b l e . O n l y o n e t y p e i s c o r r e c t . C h e c k i t s b o x , b u t b e s u r e t o e x p l a i n f o r E A C H t y p e w h y y o u c h o s e o r r e j e c t e d i t . - a . x _ _ T _ _ y [ ] T y p e I . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r - 2 2 b e c a u s e - 1 2 . 5 O 3 1 3 . 5 2 4 3 4 . 5 4 5 [ ] T y p e I I . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e [ ] T y p e I I I . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e [ ] T y p e I v . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e T y p e I v b e c a u s e . 1 ‘ 3 1 9 1 2 . ( c o n t i n u e d ) E q u a t i o n T y p e s 1 . y - a x 2 + b x + c I I I . y - C - ( a ) " , ( 7 0 I I . y - a x + b I V . A n y e q u a t i o n n o t o f T y p e I , I I , o r I I I . b . x y [ ) T y p e I . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r - 2 - 1 b e c a u s e - 1 - 2 0 ' 1 1 1 2 7 3 1 4 4 2 3 [ ] T y p e I I . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e [ ] T y p e I I I . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e [ ] T y p e I V . I c h o s e / d i d n o t c h o o s e T y p e I V b e c a u s e 1 3 . T h e p r o f i t f r o m s a l e s f o r a s c h o o l p l a y d e p e n d s o n t h e t i c k e t p r i c e . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t w h e n a n e m c e e i s h i r e d , p r o f i t i s r e l a t e d t o t h e t i c k e t p r i c e b y y - P ( t ) - ~ 5 0 t 2 + 8 0 0 t - 1 9 5 0 . I n e a c h c a s e e x p l a i n h o w y o u g o t y o u r a n s w e r . a . W h a t i s t h e t i c k e t p r i c e t h a t g i v e s t h e m a x i m u m p r o f i t ? b . W h a t i s t h e m a x i m u m p r o f i t ? c . W h a t p r o f i t c a n b e e x p e c t e d i f t i c k e t s s e l l f o r $ 1 0 ? 1 4 . 3 2 0 W h i c h o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s c o u l d b e t h e e q u a t i o n f o r t h e g r a p h i n F i g u r e 3 . O n l y o n e a n s w e r i s c o r r e c t . D e s i g n a t e i t b y c h e c k i n g t h e b o x , a n d e x p l a i n f o r E A C H e q u a t i o n w h y y o u c h o s e o r r e j e c t e d i t . [ J y - x 2 - 4 x + 5 I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e Y 4 [ ] y - - - x 2 + 4 x - 1 0 I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e . 4 1 r ! [ ] y - - - x 2 + 4 x I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e [ 1 y - - x 2 + 4 x - s I c h o s e / d i d n o t c h o o s e t h i s a n s w e r b e c a u s e F i g u r e 3 [ ] N o n e o f t h e a b o v e e q u a t i o n s c a n b e t h e e q u a t i o n o f t h e g r a p h i n F i g u r e 3 , b e c a u s e A P P E N D I X c V V ‘ V v V V H O M E W O R K S i t u a t i o n : T h e d i a g r a m b e l o w s h o w s t h e t e m p e r a t u r e i n F r o s t b u r g , M a r y l a n d b e t w e e n m i d n i g h t a n d l 0 : 3 0 a m o n a t y p i c a l D e c e m b e r d a y . T h e ' t e m p e r a t u r e i s a [ m o t i o n o f t h e t i m e o f d a y . T e m p e r a t u r e i n D e g r e e s C e l s i u s 4 5 T i m e o f D a y F o r e a c h o f t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s , g i v e c o o r d i n a t e s o f p o i n t ( s ) t h a t g i v e t h e a n s w e r . T h e n w r i t e y o u r a n s w e r i n a s e n t e n c e . E s t i m a t e c o o r d i n a t e s w h e r e n e c e s s a r y . ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( 0 ( g ) ( h ) W h a t w a s t h e t e m p e r a t u r e a t 4 a . m . ? W h a t w a s t h e t e m p e r a t u r e a t 1 0 : 3 0 a m ? W h e n w a s t h e t e m p e r a t u r e - 2 ° C ? W h e n w a s t h e t e m p e r a t u r e 3 ° C ? W h a t w a s t h e m a x i m u m t e m p e r a t u r e a n d w h e n d i d i t o c c u r ? W h a t w a s t h e m i n i m u m t e m p e r a t u r e a n d w h e n d i d i t o c c u r ? W h e n w a s t h e t e m p e r a t u r e r i s i n g ? W h e n w a s t h e t e m p e r a t u r e f a l l i n g ? 3 2 1 3 2 2 I n w h a t t w o - y e a r i n t e r v a l d i d D a w n g r o w t h e f a s t e s t ? B y h o w m u c h d i d s h e g r o w a n d h o w d o e s t h i s c o m p a r e w i t h t h e i n c r e a s e i n a v e r a g e h e i g h t f o r f e m a l e s b e t w e e n t h e s a m e a g e s ? H O M E W O R K S i t u a t i o n : T h e t a b l e b e l o w g i v e s t h e a v e r a g e h e i g h t s o f A m e r i c a n m a l e s a t s p e c i f i c a g e s . ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( D . 1 1 . 1 | . . 0 m m 5 2 2 8 7 4 1 0 3 6 1 1 6 8 1 2 7 1 0 1 3 8 1 2 1 5 0 1 4 1 B 1 6 1 7 4 1 8 1 7 7 A t w h a t a g e i s t h e a v e r a g e h e i g h t o f m a l e s 1 5 0 c m ? U s e f u n c t i o n n o t a t i o n t o w r i t e t h e s e n t e n c e . ‘ T h e a v e r a g e h e i g h t o f m a l e s a t a g e 1 4 i s 1 6 3 c m . ‘ H i n t : M L ) a . M ( 2 ) - W r i t e i n w o r d s t h e m e a n i n g o f M ( 8 ) - 1 2 7 . I n w h a t t w o - y e a r p e r i o d , s h o w n b y t h e t a b l e f o r m a l e s . d o e s t h e a v e r a g e h e i g h t i n c r e a s e t h e m o s t ? W h a t i s t h a t i n c r e a s e ? H o w d o e s t h e p a t t e r n o f c h a n g e i n a v e r a g e h e i g h t f o r m a l e s c o m p a r e t o t h a t f o r f e m a l e s ? ( C M ) l - I O 3 2 3 2 . S i t u a t i o n : T h e T a l e n t S h o w a d v i s o r f o u n d t h e f o l l o w i n g r e c o r d o f p r o fi t s f r o m p r e v i o u s T a l e n t S h o w s . ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( 0 2 : 3 ) ; P m fi ; ( i n g g l l m ) 1 9 8 0 - 2 2 1 1 9 8 1 4 5 5 1 9 8 2 ~ 1 8 1 9 8 3 2 3 3 1 9 8 4 8 4 7 1 9 8 5 1 8 3 8 1 9 8 6 1 7 5 0 1 9 8 7 2 1 3 3 ( N o t e : N e g a t i v e p r o f i t m e a n s t h e s h o w l o s t m o n e y . ) I n w h a t y e a r d i d t h e T a l e n t S h o w m a k e t h e g r e a t e s t p r o f i t ? T h e a m o u n t o f p r o fi t i s a f t m c t i o n o f t h e y e a r . W h a t d o e s P ( 1 9 8 1 ) - - 1 5 5 t e l l a b o u t T a l e n t S h o w p r o f i t ? I n 1 9 8 5 t h e T a l e n t S h o w h a d a p r o f i t o f 8 1 8 3 8 . E x p r e s s t h a t i d e a u s i n g f u n c t i o n n o t a t i o n . I n w h i c h y e a r d i d T a l e n t S h o w p r o f i t i n c r e a s e t h e m o s t f r o m t h e p r e v i o u s y e a r ? W r i t e t h e c a l c u l a t i o n s n e e d e d t o f i n d e a c h y e a r - t o - y e a r c h a n g e a s f o l l o w s : P 0 9 8 1 ) : P 0 9 8 0 ) - ( 4 5 5 ) - { - 2 2 1 } - 6 6 T h e n u s e y o u r c a l c u l a t o r t o f i n d t h e r e s u l t s . B e t w e e n w h i c h c o n s e c u t i v e y e a r s d i d t h e p r o f i t d e c r e a s e ? D e s c r i b e t h e o v e r a l l t r e n d i n T a l e n t S h o w p r o f i t s s h o w n i n t h e t a b l e a n d m a k e a p r e d i c t i o n a b o u t p r o f i t t h a t c o u l d b e e x p e c t e d f r o m t h e 1 9 8 8 s h o w . ‘ ( C I A ) H i S N O I T C N U . l f . s t f s d f e g a p c o f i . c e i n b o n O h e t a i e t fi s ( t s l e d r d ! y s h r l l a h t e ' i i r e p t s p o s k o w w o e m c b g w n d k o l u u h n a i d t r g n n l o l n n s t d u a e u t a e i a o c r o r T e t i e h e r c o f n v a p h f p s y s i f . i e O i h t F t o L A I T N s g u E r N D O c P i X t o E n p T y A H G t i g y r h e h o r d a d r t h u n o d e r t p . o a h t y d y d t t t a s e n h e h e e x s i o ‘ t v a b s h e e i t i t n a i m w t h r e , d c f r a e d b o n s o d e e h e e i e r h h fi e r s w c a t r t t h n c , p o fi e h s e s d n f , n e t l o r f o , e g r e l g u . n i e e i p e s m h b n h p o c i n t e e r i m c T h n h a e u s t s a t t r x n m r a p . n t o e o N o l l o ) a a m l t d s e o a c h a r s c e n t n t g o m o s o o n y o f r d i e s ) u i i i s s s t h , t l t a w t c t o i w f , r l e o i i l r n o r a s p r m m e o e p f a e h l s e o m w u o d t m g f i n f , r ' s e o i e l o g n r r r t p h e e i n s e e s d e e t s n i g l h u g r m e i t o l a O r u q n m u u S p s ( d d r b u y r e i a o o h w d c I K O O L 3 B y o l s e t r a u r o u f e e b f s t c o o i h h h c a g i t t t c n f s e o e i : f t n n i r o u w o l p e o f e g e u z e h r d i s b e y t w e h f t n w f o h t w t . i o n o n s a w h h u g s n t w o m o g n d i i u s n d e s o d g u t u o b a e 4 t i r w a g n d i t o n a n e k o n t o o i k h s e p fi l t r h e p a r o d u t o g t a t a . h s r " o f p a e u y o a o r t h g e y f r e f e t e v a u e c h t n c h t a y s “ d e h S e c e r r n s n t h a a k a u ? i . a c e d h o a . e t r t c w m t e ? k n e f a v e s t t s e n i p o w m t s w n o ' x l s a r n p e u s n o e h o n a o a o e o a l o h h d d o d a i a g e t i h a l o t c y p o w z d r e a d t a a e o t w i a t s i t o i k t r i u c j r o i r f l r n m n g D I M i D T A H b i W e t h n a h o C o t D ‘ ' — s i w h e l a v p t e r y w i b . t s s s h n h t o r o r o g a w t g p i n i e h h f v c a s l i p l . l a e f l p i g u o f o n r r f a e o h a x H e t e r 3 2 4 e h t w o h ? a a : 1 w o s a h d e e d r n w d t a x e o h o o l a d p m o ) t n i s r b y u c s o t e o h y s e f b . i h e f u l l ? p h o c e g a c t t g o e a l t t w s . r r . a . t r o t n i a t l f r u . e Y c n r a o r u n c s l r a u c o l g u r i a r s Y t e g e “ r e d a t c d o t l w h s u W x o l T u i h h “ p l f o a d s i . t e t l y t e b u s o h h w w a k 3 c a s e w o t r g r o o h p t u d t k e h a u i r s ‘ r . u w a r o l g l e l g d n 0 a , e " o i s y a h m g f o l g f 0 . n o 1 h i t p s s a u r r i n f g w e o t h t o m l 4 A e g b n p e i o l r t b u a d t d e n a d u p i t t 0 f r r n x w a Y o c l l u x f — n o d E e o s h ? e p h r t c h p i p i a t o o a a a s e p r f i h f f e y f e ) n f o o g e h s t r t s r o u e n o a u h n ( e o i w d t g e n u u m o r i o X h u h w t o e h d o m e e c l ‘ e f h o n h i a i e t r s h o s h e s t o W w h s d a ! t c ' l i p h x Y t y e g l u n u G n e a k h o 0 4 ( O W j C d Y T W E O ‘ ‘ . d o o s l e b m d g " o n ? o i l w m b h o o y C ‘ ) e h c t e d l n m b a a . 5 b d . 0 d ( o s e h c ’ e s s r s e t ) s i n e d 4 h u e o 8 t a s i i o s e X l . t b e o 0 a d s n r ( s o p o A e d h o x u ” g , , h c t t y n t o ‘ e = r s e r l e g ) n e a a y i b e e d e A p 4 8 4 . h v w s e t a g n i u d r l ? e . d f 0 k m h s / h = y g s t b ) f n i ' o i r n l h r w c o s i e d n : o y t r a i ( a , I x e w l t i s e e e r o s e s s m 2 t f o a a f g o c s h a e c e o l i a a 4 d i t l n r l , w i ‘ r ) s l h u e e l t u p a s l H l e l g b n ' r i d l u u t ' a = m r m i 0 g e ( y f u r r i v a e o i n i t n t " p r e w o o t h n e é t o . l t n c r a e d o e t h f i t n t r e e a e e r n f i h h a i i o a h s h h h a d l s t t t c m u B o t s t e ( o o e . l l a l b z h a s a c m i a i a s w t t g r e a e o e m n o d t z e i m g i e , m i n n s a t m e o t o a l l o a t a l b n , o r a T n e y t r l o e i h l i h i d p t k y k y t e l a l d c t x A e z s o t c a i y r e n i h p t s e a c o e l t l o i u a o a a h p r r e n n n o T c u k l q i h Y r t b o r u l r o o o P p t c g t g e n w o E o n a e u t e e m f r v h o L . I e t A H d M K F I ‘ D r u g n a m e ( a n d B r a n d n a m e ) A p p r o x i m a t e f o r m u l a 3 . 3 6 ( - 4 x 0 . 8 4 ) C — N T r i a z o l a m ( H a l c i o n ' ) ' y = A X ( 0 . 8 4 ) ‘ 2 ' 8 2 ( ' 3 ' 3 6 x 0 ' 8 4 ) N i t r a z e p a m ( M o g a d o n ' ) y = A x ( 0 . 9 7 ) ‘ P e n t o b o m b i t o n e ( S o n i t a n ' ) y = A x ( 1 . 1 5 ) ‘ X 3 2 5 3 2 6 C O M P U T E R E X P L O R A T I O N 1 1 N o w u s e a c o m p u t e r t a b l e s p r o g r a m t o a n s w e r q u e s t i o n s i n t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n s . F o r e a c h q u e s t i o n y o u m a y w i s h t o l o o k a t m o r e t h a n o n e t a b l e i n o r d e r t o “ z o o m i n " o n a n a n s w e r t h a t s e e m s a c c u r a t e e n o u g h . S i t u a t i o n 4 . 2 . T h e p r o f i t f o r a p l a y i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n r e v e n u e ( t o t a l a m o u n t o f m o n e y r e c e i v e d ) a n d e x p e n s e s ( t o t a l a m o u n t o f m o n e y p a i d o u t ) . P r o fi t g e n e r a l l y d e p e n d s o n t h e t i c k e t s a l e s f o r t h e p l a y . S u p p o s e p r o f i t i s r e l a t e d t o t i c k e t s a l e s t b y t h e r u l e P ( t ) - - 0 . 0 2 t 2 + 9 t - 2 0 0 U s e t h i s r u l e a n d t a b l e s o f v a l u e s ( t . P ( t ) ) f o r t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s : 1 . F i r s t d e s c r i b e t h e o v e r a l l p a t t e r n i n t h e r e l a t i o n b e t w e e n t i c k e t s a l e s a n d p r o f i t . T h e n r e c o r d t h e i n f o r m a t i o n y o u e n t e r e d f o r t h e t a b l e t h a t b e s t s h o w e d y o u t h e p a t t e r n . P a t t e r n : T a b l e d a t a : S m a l l e s t t - L a r g e s t t : - S t e p s i z e - 2 . F o r w h i c h n u m b e r s o f t i c k e t s a l e s d o e s t h e p l a y m a k e a p o s i t i v e p r o fi t a n d f o r w h i c h d o e s i t l o s e m o n e y ? P r o fi t : L o s s : 3 . W h a t n u m b e r o f t i c k e t s a l e s g i v e s t h e g r e a t e s t p r o fi t ? 4 . W h a t n u m b e r s o f t i c k e t s a l e s g i v e a t l e a s t $ 5 0 0 p r o fi t ? 5 . W h a t i s P ( O ) . a n d h o w d o y o u e x p l a i n t h e f a c t t h a t t h i s I S a n e g a t i v e n u m b e r ? ( c m ) 2 - 2 7 3 2 7 S i t u a t i o n 4 . 3 . T h e d a i l y p r o fi t f t m c t i o n f o r t h e B u d g e t B o x O f fi c e t h e a t e r i s P ( a ) - 2 . 5 0 a - 3 0 0 , w h e r e a i s t h e a t t e n d a n c e . U s e t h i s r u l e t o a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s . C h o o s e s t a r t i n g a n d e n d i n g v a l u e s a n d s t e p s i z e f o r a t a b l e t h a t o f f e r s a g o o d o v e r a l l v i e w o f t h i s p r o fi t f u n c t i o n . S m a l l e s t a - L a r g e s t a - S t e p s i z e - D e s c r i b e t h e o v e r a l l p a t t e r n a n d a n y e s p e c i a l l y i m p o r t a n t v a l u e s i n t h e t a b l e y o u p r o d u c e d i n ( 1 ) . P a t t e r n : K e y v a l u e s : F o r w h i c h a t t e n d a n c e n u m b e r s d o e s t h e t h e a t e r m a k e a ( p o s i t i v e ) p r o f i t ? F o r w h i c h d o e s i t l o s e m o n e y ? F o r w h i c h d o e s i t b r e a k e v e n ? P r o fi t : L o s s : B r e a k e v e n : W h a t a t t e n d a n c e s e e m s l i k e l y t o g i v e m a x i m u m p r o fi t ? H o w i s t h e p r o fi t f u n c t i o n f o r t h e B u d g e t B o x O f fi c e d i f f e r e n t f r o m t h a t o f t h e p l a y ? D o e s o n e o f t h e m . a s a m o d e l f o r i t s s i t u a t i o n . s e e m t o b e m o r e r e a s o n a b l e t h a n t h e o t h e r ? I f s o . w h i c h o n e ? W h y ? 2 2 4 8 3 2 8 C h a p t e r 4 Q U A D R A T I C F U N C T I O N S T h e d i s t a n c e r e q u i r e d t o s t o p a m o v i n g c a r d e p e n d s o n t h e s p e e d . m a s s . a n d b r a k i n g s y s t e m o f t h e c a r a n d t h e c o n d i t i o n o f t h e r o a d o n w h i c h t h e . c a r i s t r a v e l l i n g . T h e p a t h o f a b a s k e t b a l l s h o t o r a n a r t i l l e r y s h e l l d e p e n d s o n t h e i n i t i a l v e l o c i t y a n d e l e v a t i o n o f t h e s h o t a n d t h e f o r c e o f g r a v i t y . T h e p r o fi t o f a b u s i n e s s d e p e n d s o n t h e p r i c e s . s a l e s , a n d c o s t s o f i t s p r o d u c t s . I n e a c h o f t h o s e s i t u a t i o n s , t h e i m p o r t a n t v a r i a b l e s a r e o f t e n r e l a t e d b y a r u l e o f t h e f o r m f ( x ) - t u t 2 + b x + c ( a I : 0 ) , w h e r e t h e n u m b e r s a . b , a n d c a r e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d b y s p e c i fi c c o n d i t i o n s i n t h e s i t u a t i o n . t h a t t h e f u n c t i o n m o d e l s . F u n c t i o n s l i k e t h i s a r e c a l l e d q u a d r a t i c f u n c t i o n s . B y t h e e n d o f t h i s c h a p t e r y o u s h o u l d b e g o o d a t r e c o g n i z i n g s i t u a t i o n s i n w h i c h q u a d r a t i c f u n c t i o n s o c c u r a n d a t u s i n g v a r i o u s m e t h o d s f o r a n s w e r i n g q u e s t i o n s a b o u t t h o s e s i t u a t i o n s . A s y o u s t u d y a n y f a m i l y o f f u n c t i o n s , i t i s i m p o r t a n t t o fi n d p r o p e r t i e s c o m m o n t o a l l f u n c t i o n s i n t h a t f a m i l y . F o r i n s t a n c e , i n C h a p t e r 3 , y o u s t u d i e d f t m c t i o n s w i t h r u l e s o f t h e f o r m f ( x ) - r n x + b . Y o u l e a r n e d t h a t a f u n c t i o n o f t h a t t y p e a l w a y s h a s a g r a p h w i t h c o n s t a n t s l o p e - t h e g r a p h i s a s t r a i g h t l i n e . F r o m t a b l e s o f v a l u e s f o r s u c h l i n e a r f u n c t i o n s y o u o b s e r v e d t h a t o u t p u t v a l u e s a l w a y s c h a n g e a t c o n s t a n t r a t e s a s i n p u t v a l u e s c h a n g e . F o r l i n e a r f u n c t i o n s t h e v a l u e s o f t h e c o n s t a n t s m a n d b h a v e s p e c i a l i m p o r t a n c e i n d e t e r m i n i n g t h e p a t t e r n s o f g r a p h s a n d t a b l e s o f ( i n p u t . o u t p u t ) V a l u e s . T h e g r a p h a l w a y s c r o s s e s t h e f ( x ) a x i s a t ( 0 , b ) . T h e c o n s t a n t s l o p e i s t n . F o r e a c h i n c r e a s e o f I i n t h e v a l u e o f x . t h e v a l u e o f f ( x ) i n c r e a s e s b y m . T h e a d d i t i o n o f t h e q u a d r a t i c o r s q u a r e t e r m ( 2 : 2 ) i n a q u a d r a t i c f u n c t i o n r u l e g i v e s q u i t e d i f f e r e n t p a t t e r n s i n t h e g r a p h s a n d t a b l e s o f v a l u e s . T o fi n d p r o p e r t i e s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s i t w i l l b e h e l p f u l t o c o m p a r e t h e m t o p r o p e r t i e s o f f u n c t i o n s y o u h a v e s t u d i e d e a r l i e r . A s y o u e n c o r m t e r a n e w q u a d r a t i c f u n c t i o n r u l e . i t i s g e n e r a l l y a g o o d i d e a . t o s t a r t b y g e n e r a t i n g a g r a p h a n d a t a b l e o f v a l u e p a i r s ( x . f ( x ) ) . U s e t h e g r a p h s a n d t a b l e s t o a n s w e r s p e c i fi c q u e s t i o n s o f i n t e r e s t . b u t l o o k a l s o f o r c o n n e c t i o n s b e t w e e n p a t t e r n s i n t h o s e g r a p h s a n d t a b l e s a n d t h e c o n s t a n t s a . b . a n d c t h a t d e t e r m i n e t h e f u n c t i o n r u l e . ( C 1 “ ) 4 - 1 E I H I H U . — M ~ N H D H O O l l l 3 2 9 N e x t p l o t t h e d a t a f r o m y o u r t a b l e t o m a k e a g r a p h f o r d ( s ) o n t h e g r i d p r O V i d e d n e x t t o t h e t a b l e . M a k e s u r e y o u m a r k y o u r s c a l e s o n t h e g r i d . C h e c k y o u r g r a p h b y u s m g a c o m p u t e r p r o g r a m f o r g r a p h i n g . - S p e e d i n k i l o m e t e r s p e r h o u r U s e t h e t a b l e a n d / o r g r a p h t o a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s . a ) D e s c r i b e t h e t r e n d i n s t o p p i n g d i s t a n c e v a l u e s a s t h e s p e e d i n c r e a s e s . A ( b ) W h a t p r o p e r t i e s o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n s p e e d a n d s t o p p i n g d i s t a n c e c a n b e l e a r n e d b e s t f r o m t h e t a b l e ? A n d w h a t p r o p e r t i e s f r o m t h e g r a p h ? ( c ) H o w d o e s t h e g r a p h o f t h i s f u n c t i o n s e e m t o d i f f e r f r o m t h o s e o f l i n e a r f u n c t i o n s y o u h a v e s t u d i e d ? ( d ) H o w d o e s t h e t a b l e o f v a l u e s s e e m t o d i f f e r f r o m t h o s e o f l i n e a r f t m c t i o n s y o u h a v e s t u d i e d ? ( e ) U s e t h e r u l e t o c a l c u l a t e d ( - 5 0 ) a n d d ( 3 0 0 0 ) . W h a t w o u l d t h e s e r e s u l t s m e a n i n t h i s s i t u a t i o n ? 3 3 0 W i t h t h e a i d o f c o m p u t e r t a b l e , g r a p h . o r s y m b o l m a n i p u l a t i o n p r o g r a m s o r y o u r h a n d c a l c u l a t o r . a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s a b o u t t h e s t o p p i n g d i s t a n c e f u n c t i o n : d ( s ) - . 0 0 5 5 2 + . 1 4 5 R e m e m b e r t h e i n p u t v a r i a b l e , 5 . i s t h e s p e e d o f t h e v e h i c l e i n k i l o m e t e r s p e r h o u r a n d t h e o u t p u t , d ( s ) , i s s t o p p i n g d i s t a n c e i n m e t e r s . F o r e a c h q u e s t i o n : ( i ) U s e f u n c t i o n n o t a t i o n t o w r i t e a n a l g e b r a i c e q u a t i o n o r i n e q u a l i t y m a t c h i n g t h e g i v e n q u e s t i o n . ( i i ) D e c i d e o n t h e b e s t t o o l o r t o o l s t o s o l v e t h a t a l g e b r a p r o b l e m . ( i i i ) S o l v e t h e p r o b l e m . T h e n w r i t e a s e n t e n c e s t a t i n g y o u r a n s w e r t o t h e o r i g i n a l q u e s t i o n ; G i v e y o u r a n s w e r t o t h e n e a r e s t m e t e r ( f o r s t o p p i n g d i s t a n c e ) o r t o t h e n e a r e s t 5 k m / h r ( f o r s p e e d ) . 1 . W h a t i s t h e s t o p p i n g d i s t a n c e f o r a c a r t r a v e l i n g 5 0 k i l o m e t e r s p e r h o u r ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : 2 . W h a t s p e e d r e q u i r e s e x a c t l y 3 5 m e t e r s s t o p p i n g d i s t a n c e ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : 3 . W h a t i s t h e s t o p p i n g d i s t a n c e f o r a s p e e d o f 1 5 0 k i l o m e t e r s p e r h o u r ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : 3 3 1 W h a t i s t h e s t o p p i n g d i s t a n c e f o r a s p e e d o f 0 k i l o m e t e r s p e r h o u r ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : W h a t s p e e d ( s ) p e r m i t a c a r t o s t o p i n l e s s t h a n 9 0 m e t e r s ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : A c a r s t o p p e d i n 1 2 5 m e t e r s . H o w f a s t w a s i t g o i n g ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : W h a t a r e t h e s t o p p i n g d i s t a n c e s f o r s p e e d s g r e a t e r t h a n 1 0 0 k i l o m e t e r s p e r h o u r ? E q u a t i o n o r i n e q u a l i t y : T o o l o r t o o l s u s e d : A n s w e r : A P P E N D I X D U p w a r d B o u n d R e g i o n a l S c i e n c e a n d M a t h e m a t i c s C e n t e r , S u m m e r 1 9 9 1 S y l l a b u s a n d S c h e d u l e o f L e s s o n s f o r M a t h e m a t i c s M a t e r i a l s u s e d c o m e p r i m a r i l y f r o m : C o m p u t e r I n t e n s i v e A l g e b r a ( C I A ) p u b l i s h e d b y U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d , C o l l e g e P a r k , M D ( 1 9 9 1 ) . L a n g u a g e s o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s ( L F G ) , p u b l i s h e d b y S h e l l C e n t r e f o r M a t h e m a t i c a l E d u c a t i o n a n d t h e J o i n t M a t r i c u l a t i o n B o a r d , N o t t i n g h a m , E n g l a n d ( 1 9 8 5 ) . L i m i t e d m a t e r i a l s a r e t a k e n f r o m A l g e b r a , d e v e l o p e d b y t h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o S c h o o l M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( U C S M P ) , ( 1 9 9 0 ) . T h e r e m a i n i n g a r e t e a c h e r - g e n e r a t e d . K e y t o A b b r e v i a t i o n s : A l l n u m b e r s o f t h e f o r m 2 - 3 0 r e p r e s e n t p a g e n u m b e r s f r o m C o m p u t e r I n t e n s i v e A l g e b r a ( C I A ) ; L F G A 3 p . 8 2 s t a n d s f o r w o r k s h e e t A 3 f r o m l a n g u a g e o f F u n c t i o n s a n d G r a p h s , p a g e 8 2 o f t h e d u p l i c a t i n g m a s t e r s . O t h e r n o t a t i o n s s u c h a s B - l r e f e r t o p a g e n u m b e r s f o r t e a c h e r - g e n e r a t e d m a t e r i a l s u n l e s s s p e c i fi c a l l y l a b e l e d o t h e r w i s e . M a t e r i a l s f r o m U C S M P a r e l a b e l e d a s s u c h . 3 3 2 D a y S c h e d u l e o f L e s s o n s T o p i c M a t e r i a l s M a t h m o d e l i n g , V a r i a b l e s 1 - 2 t o 1 - 8 ; r e l a t e d b y t a b l e s ; I n t r o d u c t i o n t o c a l c u l a t o r I n t e r p r e t i n g p o i n t s ; L F G A l 1 , 2 , 4 , S c a t t e r g r a p h s ; C o n s t r u c t i n g p . 6 4 g r a p h s f r o m t a b l e s ( c a l c ) ; 1 - 1 6 t o 1 — 1 9 S c a l e / r a n g e I n t e r p r e t i n g g l o b a l F e a t u r e s L F G A 2 , p . 7 4 o f g r a p h s ; S c a t t e r g r a p h s 1 - 2 3 M a t c h i n g g r a p h s w i t h L F G A 3 , p . 8 2 s i t u a t i o n s ; V a r i a b l e s r e l a t e d 1 - 3 3 t o 1 - 3 5 b y R u l e s 1 - 5 5 U s i n g t h e c a l c u l a t o r t o s o l v e 2 - 1 5 t o 2 — 1 8 ; p r o b l e m s ; I n t r o d u c t i o n t o 1 — 6 1 t o 1 — 6 3 m o d e l i n g d a t a V a r i a b l e s r e l a t e d b y t a b l e s ; P r o g r a m P r o g r a m m i n g t h e c a l c . t o H a n d o u t ; p r o d u c e a t a b l e ; M o d e l i n g 1 - 6 6 t o 1 - 6 9 d a t a : B a l l d r o p e x p e r i m e n t C u r v e - fi t t i n g : l i n e a r 2 - 2 4 t o 2 - 2 6 ; f u n c t i o n s ; C r e a t i n g a n d B - 1 , B - 2 e x p l o r i n g t r e n d s i n t a b l e s f o r f u n c t i o n s ; L i n e a r t r a n s l a t i o n s U s i n g t a b l e s t o s o l v e H o m e w o r k a n d p r o b l e m s ; E x p l o r i n g t e a c h e r g e n e r a t e d ’ a l g e b r a i c f o r m s o f f u n c t i o n s : e x a m p l e s R e l a t i n g t a b l e s , s y m b o l s , a n d g r a p h s F i t t i n g l i n e s t o U C S M P p . 4 1 , s c a t t e r g r a p h s ; C r e a t i n g 4 3 g r a p h s f r o m d a t a p o i n t s o n c a l c . 3 3 3 H o m e w o r k 1 - 9 t o 1 - 1 3 F i n i s h L F G , A 1 , 4 ; 1 - 2 1 t o 1 - 2 2 F i n i s h L F G , A 2 , 5 ; 1 - 2 4 t o 1 - 3 1 F i n i s h L F G , A 3 , 2 3 ; 1 - 3 9 t o 1 - 4 2 2 - 1 9 t o 2 - 2 0 2 - 2 4 t o 2 - 2 6 2 - 2 7 t o 2 - 3 0 B - 3 , B - 4 8 - 5 t o 8 - 6 U C S M P p . 4 2 1 0 1 1 l 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 7 1 8 1 9 2 0 F i n d i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n s i t u a t i o n s ; T h e n a t u r e o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s E x p o n e n t i a l f u n c t i o n s i n s i t u a t i o n s : C o m p o u n d i n t e r e s t ; R e c u r s i v e a n d c l o s e d f o r m d e f i n i t i o n s ; N e g a t i v e e x p o n e n t s P r o p e r t i e s o f l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s a n d t h e i r g r a p h s ; C u r v e - fi t t i n g : e x p o n e n t i a l E x p l o r i n g q u a d r a t i c f u n c t i o n s i n s i t u a t i o n s ; M a x i m i z i n g a f i m c t i o n P r o p e r t i e s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s ; E f f e c t s o f p a r a m e t e r s a a n d c i n y = a x 2 + b x = c o n g r a p h E x p l o r i n g p r o p e r t i e s o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s ; E f f e c t s o f p a r a m e t e r b P r o p e r t i e s o f q u a d r a t i c s ; m a x i m a , m i n i m a , s y m m e t r y , v e r t e x P o s t - A s s e s s m e n t ; M o d e l i n g D a t a : S k a t e b o a r d e x p e r i m e n t C u r v e - f i t t i n g f o r s k a t e b o a r d p r o b l e m : F i n d i n g t h e b e s t f i t f r o m s e v e r a l f u n c t i o n c h o i c e s F u r t h e r w o r k o n c u r v e - fi t t i n g q u a d r a t i c s S c i e n c e O l y m p i a d 3 3 4 L F G 1 3 3 , p . 1 2 0 D i s c u s s i o n o f h o m e w o r k C - l t o C — 3 ( m o d i f i e d f r o m C I A ) L F G , 1 3 2 p . 1 1 6 4 - 2 t o 4 5 T e a c h e r g e n e r a t e d e x a m p l e s t o e x p l o r e t o g e t h e r H a n d o u t f o r g r o u p e x p l o r e ; 4 — 1 5 t o 4 - 1 9 4 - 2 7 t o 4 — 3 0 6 — 4 5 t o 6 - 4 6 6 — 4 7 t o 6 - 4 9 4 - 4 4 t o 4 - 4 6 ( m o d i fi e d ) 5 4 t o 5 - 5 5 - 6 t o 5 - 1 0 F i n i s h c l a s s w o r k 4 - 6 t o 4 - 9 4 5 6 . 5 8 . 5 9 , 6 1 ; E x p e r i m e n t w i t h p a r a m e t e r s f o r c u b i c a n d q u a r t i c f u n c t i o n s 4 — 2 0 t o 4 — 2 5 F i n i s h c l a s s w o r k F i t c u r v e o f y o u r c h o i c e t o t h e d a t a 4 4 4 m 4 — 4 6 L a s t d a y o f c l a s s , n o h o m e w o r k L I S T O F R E F E R E N C E S L i s t o f R e f e r e n c e s A A A S ( 1 9 8 9 ) . A p r o j e c t 2 0 6 1 p a n e l r e p o r t : M a t h e m a t i c s . W a s h i n g t o n , D C : A u t h o r . A r t i g u e , M . ( 1 9 9 2 ) . F u n c t i o n s f r o m a n a l g e b r a i c a n d g r a p h i c p o i n t o f v i e w : C o g n i t i v e d i f f i c u l t i e s a n d t e a c h i n g p r a c t i c e . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( p p . 1 0 9 - 1 3 2 ) . W a s h i n g t o n , D C : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . B a u e r s f e l d , H . ( 1 9 9 1 ) . P l e n a r y A d d r e s s : I n t e g r a t i n g t h e o r i e s f o r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n R . G . U n d e r h i l l ( E d ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T h i r t e e n t h A n n u a l M e e t i n g o f P M E - N A ( V o l . 1 , p p . 2 6 9 - 2 9 0 ) . B l a c k s b u r g , V A : V i r g i n i a T e c h . B e l l , A . ( 1 9 8 6 ) . D i a g n o s t i c t e a c h i n g 2 : D e v e l o p i n g c o n fl i c t - d i s c u s s i o n . M a t h e m a t i c s T e a c h i n g , 1 1 6 , 2 6 - 2 9 . B e l l , A . ( 1 9 8 9 ) . D i a g n o s t i c t e a c h i n g 3 : P r o v o k i n g d i s c u s s i o n . M a t h e m a t i c s T e a c h i n g , 1 1 8 , 2 1 - 2 3 . B e l l , A . , B r e k k e , G . , & S w a n , M . ( 1 9 8 7 a ) . D i a g n o s t i c t e a c h i n g 4 : G r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n . M a t h e m a t i c s T e a c h i n g , 1 1 9 , 5 6 - 5 9 . B e l l , A . , B r e k k e , G . , & S w a n , M . ( 1 9 8 7 b ) . D i a g n o s t i c t e a c h i n g 5 : G r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n t e a c h i n g s t y l e s a n d t h e i r e f f e c t s . M a t h e m a t i c s T e a c h i n g , 1 2 0 , 5 0 - 5 7 . B e l l , A . , & J a n v i e r , C . ( 1 9 8 1 ) . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f g r a p h s r e p r e s e n t i n g s i t u a t i o n s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 2 ( 1 ) , 3 4 — 4 2 . B e r e i t e r , C . , & S c a r d a m a l i a , M . ( 1 9 8 9 ) . I n t e n t i o n a l l e a r n i n g a s a g o a l o f i n s t r u c t i o n . I n L . R e s n i c k ( E d . ) , K n o w i n g , l e a r n i n g a n d i n s t r u c t i o n : E s s a y s i n h o n o r o f R o b e r t G l a s e r ( p p . 3 6 1 - 3 9 2 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . B i s h o p , A . J . ( 1 9 8 8 ) . M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n i n I t s C u l t u r a l C o n t e x t . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 1 9 ( 2 ) , 1 7 9 - 1 9 1 . B o g d a n , R . , & B i k l e n , S . K . ( 1 9 8 2 ) . Q u a l i t a t i v e r e s e a r c h f o r e d u c a t i o n : A n i n t r o d u c t i o n t o t h e o r y a n d m e t h o d s . B o s t o n : A l l y n a n d B a c o n . B r e i d e n b a c h , D . , D u b i n s k y , E . , H a w k s , 1 . , & N i c h o l s , D . ( 1 9 9 2 ) . D e v e l o p m e n t o f t h e p r o c e s s c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 2 3 , 2 4 7 - 2 8 5 . 3 3 5 3 3 6 B r e k k e , G . ( 1 9 8 7 ) . G r a p h i c a l I n t e r p r e t a t i o n : A s t u d y o f p u p i l s ’ u n d e r s t a n d i n g a n d s o m e t e a c h i n g c o m p a r i s o n s . N o t t i n g h a m , E n g l a n d : S h e l l C e n t r e f o r M a t h e m a t i c a l E d u c a t i o n , U n i v e r s i t y o f N o t t i n g h a m . B r o w n , J . S . , C o l l i n s , A . , & D u g u i d , P . ( 1 9 8 9 ) . S i t u a t e d c o g n i t i o n a n d t h e c u l t u r e o f l e a r n i n g . E d u c a t i o n a l R e s e a r c h e r , 1 8 ( 1 ) , 3 2 - 4 2 . C a r p e n t e r , T . P . , F e n n e m a , E . , P e t e r s o n , P . L . , C . C h i a n g , & L o e f , M . ( 1 9 8 8 ) . U s i n g k n o w l e d g e o f c h i l d r e n ’ s m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g i n c l a s s r o o m t e a c h i n g : A n e x p e r i m e n t a l s t u d y . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , N e w O r l e a n s , L A . C h a z a n , D . ( 1 9 9 3 ) . F ( x ) = G ( x ) ? : A n a p p r o a c h t o m o d e l l i n g w i t h a l g e b r a . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 1 3 ( 3 ) , 2 2 - 2 6 . C l a r k e , D . , & H e l m e , S . ( 1 9 9 4 ) . T h e r o l e o f c o n t e x t i n m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y . I n D . K i r s h n e r ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e S i x t e e n t h A n n u a l M e e t i n g o f P M E - N A ( V o l . 1 , p p . 2 3 9 - 2 4 6 ) . B a t o n R o u g e , L A : L o u i s i a n a S t a t e U n i v e r s i t y . C l e m e n t s , D . ( 1 9 8 9 ) . C o m p u t e r s i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . E n g l e w o o d C l i f f s , N J : P r e n t i c e - H a l l . C o b b , P . ( 1 9 8 6 ) . C o n t e x t s , g o a l s , b e l i e f s , a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 6 ( 2 ) , 2 - 9 . C o b b , P . , Y a c k e l , E . , & W o o d , T . ( 1 9 9 2 ) . A c o n s t r u c t i v i s t a l t e r a t i v e t o t h e r e p r e s e n t a t i o n a l v i e w o f m i n d i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 3 ( 1 ) , 2 - 3 3 . C o l l e g e E n t r a n c e E x a m i n a t i o n B o a r d . ( 1 9 9 4 ) . P a c e s e t t e r " l M a t h e m a t i c s . N e w Y o r k : A u t h o r . C o n f r e y , J . ( 1 9 8 0 ) C o n c e p t u a l c h a n g e , n u m b e r c o n c e p t s a n d t h e i n t r o d u c t i o n t o c a l c u l u s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , N Y . C o n f r e y , J . ( 1 9 8 8 ) . M u l t i p l i c a t i o n a n d s p l i t t i n g : T h e i r r o l e i n u n d e r s t a n d i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n M . J . B e h r & M . M . W h e e l e r ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T e n t h A n n u a l M e e t i n g o f P M E - N A ( p p . 2 5 0 - 2 5 9 ) . D e K a l b , I L : N o r t h e r n I l l i n o i s U n i v e r s i t y . C o n f r e y , J . ( 1 9 9 2 ) . U s i n g c o m p u t e r s t o p r o m o t e s t u d e n t s ’ i n v e n t i o n s o n t h e f u n c t i o n c o n c e p t . I n 8 . M a l c o l m , L . R o b e r t s , & K . S h e i n g o l d ( E d s . ) , T h i s y e a r i n s c h o o l s c i e n c e 1 9 9 1 : T e c h n o l o g y f o r t e a c h i n g a n d l e a m i n g ( p p . 1 4 1 - 1 7 4 ) . W a s h i n g t o n , D C : A A A S . C o n f r e y , J . ( 1 9 9 4 ) . S p l i t t i n g , s i m i l a r i t y a n d r a t e o f c h a n g e : A n e w a p p r o a c h t o m u l t i p l i c a t i o n a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n G . H a r e ] & J . C o n f r e y ( E d s . ) , T h e d e v e l o p m e n t o f m u l t i p l i c a t i v e r e a s o n i n g i n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 9 3 - 3 3 0 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . C o n f r e y , J . ( i n p r e s s ) . V o i c e a n d p e r s p e c t i v e : H e a r i n g e p i s t e m o l o g i c a l i n n o v a t i o n i n s t u d e n t s ’ w o r d s . R e v u e d e s s c i e n c e s d e l ’ e d u c a t i o n ( S p e c i a l I s s u e ) . 3 3 7 C o n f r e y , J . , & S m i t h , E . ( 1 9 9 3 ) . A p r o p o s a l f o r t e a c h i n g e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s c o n s t r u c t i v e l y . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e J o i n t M e e t i n g s o f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c s S o c i e t y a n d t h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a , ( p p . 5 1 ) . S a n A n t o n i o , T e x a s . C o n f r e y , J . , & S m i t h , E . ( 1 9 9 4 ) . E x p o n e n t i a l f t m c t i o n s , r a t e s o f c h a n g e , a n d t h e m u l t i p l i c a t i v e u n i t . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 2 6 , 1 3 5 - 1 6 4 . C o n f r e y , J . , S m i t h , R . , P i l i e r o , S . , & R i z z u t i , J . ( 1 9 9 1 ) . T h e u s e o f c o n t e x t u a l p r o b l e m s a n d m u m - r e p r e s e n t a t i o n a l s o f t w a r e t o t e a c h t h e c o n c e p t o f fi t n c t i o n s . F i n a l P r o j e c t R e p o r t t o t h e N a t i o m l S c i e n c e F o u n d a t i o n ( M D R - 8 6 5 2 1 6 0 ) a n d A p p l e C o m p u t e r , I n c . T h e C o n n e c t e d M a t h e m a t i c s P r o j e c t ( i n p r e s s ) . M e n l o P a r k , C A : D a l e S e y m o u r P u b l i c a t i o n s . C o o n e y , T . J . , G r o u w s , D . A . , & J o n e s , D . ( 1 9 8 8 ) . A n a g e n d a f o r r e s e a r c h o n t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . I n D . A . G r o u w s & D . J o n e s ( E d s . ) , P e r s p e c t i v e s o n r e s e a r c h o n e fi ’ e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ( p p . 2 5 3 - 2 6 1 ) . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . D a v i s , R . B . ( 1 9 8 4 ) . L e a r n i n g m a t h e m a t i c s : T h e c o g n i t i v e s c i e n c e a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . N o r w o o d , N J : A b l e x . D a v i s , R . 8 . , Y o u n g , S . , & M c L a u g h l i n , P . ( 1 9 8 2 ) . T h e r o l e s o f " u n d e r s t a n d i n g " i n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . U r b a n a / C h a m p a i g n C u r r i c u l u m L a b o r a t o r y , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s . D i S e s s a , A . ( 1 9 8 7 ) . T h e t h i r d r e v o l u t i o n i n c o m p u t e r s a n d e d u c a t i o n . J o u r n a l o f R e s e a r c h i n S c i e n c e a n d T e a c h i n g , 2 4 , 3 4 3 - 3 6 7 . D r e y f u s , T . , & E i s e n b e r g , T . ( 1 9 8 2 ) . I n t u i t i v e f u n c t i o n a l c o n c e p t s : A b a s e l i n e s t u d y o n i n t u i t i o n s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 1 3 , 3 6 0 - 3 8 0 . D r e y f u s , T . , & E i s c n b e r g , T . ( 1 9 8 3 ) . T h e f u n c t i o n c o n c e p t i n c o l l e g e s t u d e n t s : L i n e a r i t y , s m o o t h n e s s , a n d p e r i o d i c i t y . F o c u s o n L e a m i n g P r o b l e m s i n M a t h e m a t i c s , 5 , 1 1 9 - 1 3 2 . D r e y f u s , T . , & E i s e n b e r g , T . ( 1 9 8 4 ) . I n t u i t i o n s o n f u n c t i o n s . J o u r n a l o f E x p e r i m e n t a l S t u d i e s , 5 2 , 7 7 - 8 5 . D r e y f u s , T . , & H a l e v i , T . ( 1 9 8 8 ) . Q u a d fi m : A c a s e s t u d y i n p u p i l - c o m p u t e r i n t e r a c t i o n . P a p e r p r e s e n t e d t o t h e t h e m e g r o u p o n M i c r o c o m p u t e r s a n d t h e T e a c h i n g o f M a t h e m a t i c s a t t h e m e e t i n g o f t h e S i x t h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o n M a t h e m a t i c a l E d u c a t i o n , B u d a p e s t , H u n g a r y . D r e y f u s , T . , & V i n n e r , S . ( 1 9 8 2 ) . S o m e a s p e c t s o f t h e f u n c t i o n c o n c e p t i n c o l l e g e s t u d e n t s a n d j u n i o r h i g h s c h o o l t e a c h e r s . I n A . V e s m a n d e l ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e S i x t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( p p . 1 2 - 1 7 ) . A n t w e r p , B e l g i u m . D u b i n s k y , E . , & H a r e l , G . ( 1 9 9 2 ) . T h e n a t u r e o f t h e p r o c e s s c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f fi t n c t i o n ( p p . 8 5 - 1 0 6 ) . W a s h i n g t o n , D C : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . 3 3 8 D u g d a l e , S . ( 1 9 8 9 ) . B u i l d i n g a q u a l i t a t i v e p e r s p e c t i v e b e f o r e f o r m a l i z i n g p r o c e d u r e s : G r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a s a f o u n d a t i o n f o r t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s . I n C . A . M a h e r , G . A . G o l d i n , & R . B . D a v i s ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e E l e v e n t h A n n u a l M e e t i n g o f P M E - N A ( V o l . 1 , p p . 2 4 9 - 2 5 5 ) . N e w B r u n s w i c k , N J : R u t g e r s U n i v e r s i t y . E i s e n b e r g , T . ( 1 9 9 2 ) . O n t h e d e v e l o p m e n t o f a s e n s e f o r f u n c t i o n s . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f fi t n c t i o n ( p p . 1 5 3 - 1 7 4 ) . W a s h i n g t o n , D C : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . E v e n , R . ( 1 9 8 9 ) . P r o s p e c t i v e t e a c h e r s ’ l o r o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g a b o u t m a t h e m a t i c a l fi t n c t i o n s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , M i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y , E a s t L a n s i n g , M I . F e y , J . T . , & H e i d , M . K . ( E d s ) . ( 1 9 8 9 ) . C o m p u t e r - i n t e n s i v e a l g e b r a . C o l l e g e P a r k , M D : U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d . F i s c h b e é n , E . ( 1 9 8 2 ) . I n t u i t i o n a n d p r o o f . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 3 ( 2 ) , - 1 8 . F r e u d e n t h a l , H . ( 1 9 8 3 ) . D i d a c t i c a l p h e n o m e n o l o g y o f m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s . D o r d r e c h t : D . R e i d e l P u b l i s h i n g C o m p a n y . G i n s b u r g , H . P g . ( 1 9 7 7 ) . O t i l d r e n ’ s a r i t h m e t i c : T h e l e a r n i n g p r o c e s s . N e w Y o r k : V a n N o s t r a n d . G l a s e r , R . ( 1 9 8 4 ) . E d u c a t i o n a n d t h i n k i n g : T h e r o l e o f k n o w l e d g e . A m e r i c a n P s y c h o l o g i s t , 3 9 , 9 3 - 1 0 4 . G o l d e n b e r g , P ( . 1 9 8 7 ) S e e i n g i s b e l i e v i n g . I n J . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r a n ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e E l e v e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( V o l . 1 , p p . 1 9 7 - 2 0 3 ) . M o n t r e a l : U n i v e r s i t e d u Q u e b e c a M o n t r e a l . G o l d e n b e r g , P . , L e w i s , P . , & O ’ K e e f e , J . ( 1 9 9 2 ) . D y n a m i c r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e d e v e l o p m e n t o f a p r o c e s s u n d e r s t a n d i n g o f f u n c t i o n s . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f fi t n c t i o n ( p p . 2 3 5 - 2 6 0 ) . W a s h i n g t o n , D C : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . G r e e n o , J . ( 1 9 8 9 ) . A p e r s p e c t i v e o n t h i n k i n g . E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g i s t , 4 4 , 1 3 4 - 1 4 1 . G r e e n o , J . G . ( 1 9 8 7 ) . T h e m o n i t o r i n g o f s c h o o l m a t h e m a t i c s : B a c k g r o u n d p a p e r s ; v o l . 2 ; M a t h e m a t i c a l c o g n i t i o n : A c c o m p l i s h m e n t s a n d c h a l l e n g e s i n r e s e a r c h ( P r o g r a m R e p o r t N 0 . 8 7 - 2 ) . W i s c o n s i n C e n t e r f o r E d u c a t i o n R e s e a r c h , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n . G r o u w s , D . A . ( E d . ) . ( 1 9 9 2 ) . H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g : A p r o j e c t o f t h e N C T M . N e w Y o r k . M a c m i l l a n . H a r e l , G . , & D u b i n s k y , E . ( E d s ) . ( 1 9 9 2 ) . T h e c o n c e p t o f fi t n c t i o n : A s p e c t s o f e p i s t e m o l o g y a n d p e d a g o g y . W a s h i n g t o n , D C : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . 3 3 9 H a r e l , G . , & K a p u t , J . ( 1 9 9 1 ) . C o n c e p t u a l e n t i t i e s i n a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g : T h e r o l e o f n o t a t i o n s i n t h e i r f o r m a t i o n a n d u s e . I n D . T a l l ( E d . ) , A d v a n c e d m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g . L o n d o n : R e i d e l . H a r t , K . M . ( E d . ) . ( 1 9 8 1 ) . C h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s : 1 1 - 1 6 . L o n d o n : J o h n M u r r a y . H i e b e r t , J . ( 1 9 9 1 ) . R e m a r k s m a d e a s d i s c u s s a n t t o S I G / R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n I n v i t e d A d d r e s s b y J . S t i g l e r a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , C h i c a g o , I L . H i e b e r t , J . , & L e f e v r e , P . ( 1 9 8 6 ) . C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s : A n i n t r o d u c t o r y a n a l y s i s . I n J . H i e b e r t ( E d . ) , C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l l a t o w l e d g e : T h e c a s e o f m a t h e m a t i c s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . J a c o b , E . ( 1 9 8 7 ) . Q u a l i t a t i v e r e s e a r c h t r a d i t i o n s : A r e v i e w . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h , 5 7 , 1 - 5 0 . J a n v i e r , C . ( 1 9 7 8 ) T h e i n t e r p r e t a t i o n o f c o m p l e x C a r t e s i a n g r a p h s - - S t u d i e s a n d t e a c h i n g e x p e r i m e n t s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f N o t t i n g h a m , E n g l a n d . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 1 ) . U s e o f s i t u a t i o n s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 1 2 , 1 1 3 - 1 2 2 . J a n v i e r , C . ( E d . ) . ( 1 9 8 7 a ) . P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . J a n v i e r , C . ( 1 9 8 7 b ) . R e p r e s e n t a t i o n a n d u n d e r s t a n d i n g : T h e n o t i o n o f f u n c t i o n a s a n e x a m p l e . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 6 7 - 7 2 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . J a n v i e r C . ( 1 9 8 7 c ) . T r a n s l a t i o n p r o c e s s e s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n C . J a n v r e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 7 - 3 2 ) . H i l l s d a l e , N J . E r l b a u m . J a n v i e r , C . ( 1 9 9 0 ) . C o n t e x t u a l i z a t i o n a n d m a t h e m a t i c s f o r a l l . I n T . J . C o o n e y ( E d . ) , T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s i n t h e 1 9 9 0 ’ s ( p p . 1 8 3 - 1 9 3 ) . J o n e s , P . , & C o x f o r d , A . ( 1 9 7 0 ) . A h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t o t h e U n i t e d S t a t e s a n d C a n a d a . R e s t o n , V A : N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . K a p u t , J . ( 1 9 9 2 ) . P a t t e r n s i n s t u d e n t s ’ f o r m a l i z a t i o n o f q u a n t i t a t i v e p a t t e r n s . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f M o t i o n ( p p . 2 9 0 - 3 1 8 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . K a p u t , J . , & W e s t , M . M . ( 1 9 9 4 ) . M i s s i n g - v a l u e p r o p o r t i o n a l r e a s o n i n g p r o b l e m s : F a c t o r s a f f e c t i n g i n f o r m a l r e a s o n i n g p a t t e r n s . I n G . H a r e ! & J . C o n f r e y ( E d s . ) , T h e d e v e l o p m e n t o f m u l t i p l i c a t i v e r e a s o n i n g i n t h e l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 3 5 - 2 8 7 ) . A l b a n y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . 3 4 0 K e r s l a k e , D . ( 1 9 8 1 ) . G r a p h s . I n K . M . H a r t ( E d . ) , C h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s : 1 1 - 1 6 ( p p . 1 2 0 - 1 3 6 ) . L o n d o n : J o h n M u r r a y . K i e r a n , C . ( 1 9 9 2 ) . T h e l e a r n i n g a n d t e a c h i n g o f s c h o o l a l g e b r a . I n D . G r o u w s ( E d . ) , H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n m a t h e m a t i c s t e a c h i n g a n d l e a r n i n g ( p p . 3 9 0 - 4 1 9 ) . T o r o n t o : M a c m i l l a n . K u c h e m a n n , D . ( 1 9 8 1 ) . A l g e b r a . I n K . M . H a r t ( E d . ) , C h i l d r e n ’ s u n d e r s t a n d i n g o f m a t h e m a t i c s : 1 1 - 1 6 ( p p . 1 0 2 - 1 1 9 ) . L o n d o n : J o h n M u r r a y . L a v e , J . , M u r t a u g h , M . , & R o c h a , 0 . d . L . ( 1 9 8 4 ) . T h e d i a l e c t i c a l c o n s t r u c t i o n o f a r i t h m e t i c i n g r o c e r y s h o p p i n g . I n J . L a v e & B . R o g o f f ( E d s . ) , E v e r y d a y c o g n i t i o n : I t s d e v e l o p m e n t i n s o c i a l c o n t e x t ( p p . 6 7 - 9 4 ) . C a m b r i d g e , M A : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . L e i n h a r d t , G . , Z a s l a v s k y , 0 . , & S t e i n , M . ( 1 9 9 0 ) . F u n c t i o n s , g r a p h s , a n d g r a p h i n g : T a s k s , l e a r n i n g , a n d t e a c h i n g . R e v i e w o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h , 6 0 , 1 - 6 4 . L e s h , R . , P o s t , T . , & B e h r , M . ( 1 9 8 7 ) . R e p r e s e n t a t i o n s a n d t r a n s l a t i o n s a m o n g r e p r e s e n t a t i o n s i n m a t h e m a t i c s l e a r n i n g a n d p r o b l e m s o l v i n g . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 3 3 - 4 0 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . M a r k o v i t s , Z . , E y l o n , B . , & B r u c k h e i m e r , M . ( 1 9 8 6 ) . F u n c t i o n s t o d a y a n d y e s t e r d a y . F o r t h e L e a r n i n g o f M a t h e m a t i c s , 6 . M a r k o v i t s , Z . , E y l o n , B . , & B r u c k h e i m e r , M . ( 1 9 8 8 ) . D i f f i c u l t i e s s t u d e n t s h a v e w i t h t h e f u n c t i o n c o n c e p t . I n A . F . C o x f o r d ( E d . ) , T h e i d e a s o f a l g e b r a K — 1 2 ( p p . 4 3 - 6 0 ) . R e s t o n , V A : N C T M . M a s o n , J . ( 1 9 8 7 ) . W h a t d o s y m b o l s r e p r e s e n t ? I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 7 3 - 8 2 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . M a t h e m a t i c s F r a m e w o r k f o r C a l i f o r n i a P u b l i c S c h o o l s ( 1 9 8 5 ) . M e r r i a m , S . B . ( 1 9 9 1 ) . C a s e s t u d y r e s e a r c h i n e d u c a t i o n : A q u a l i t a t i v e a p p r o a c h . S a n F r a n c i s c o : J o s s e y - B a s s . M i c h i g a n D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n ( 1 9 8 8 ) . M i c h i g a n E s s e n t i a l G o a l s a n d O b j e c t i v e s f o r M a t h e m a t i c s E d u c t i o n . A u t h o r . M i c h i g a n D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n ( d r a f t ) . M i c h i g a n M a t h e m a t i c s C u r r i c u l u m F r a m e w o r k P r o j e c t . M i d d l e - s c h o o l M a t h e m a t i c s A p p l i c a t i o n s P r o j e c t . ( i n p r o g r e s s ) . I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h o n L e a r n m g , P a l o A l t o , C A . M o k r o s , J . , 8 : T i n k e r , R . ( 1 9 8 7 ) . T h e i m p a c t o f m i c r o c o m p u t e r - b a s e d l a b s o n c h i l d r e n ’ s a b i l i t y t o i n t e r p r e t g r a p h s . J o u r n a l o f R e s e a r c h i n S c i e n c e T e a c h i n g , 2 4 ( 4 ) , 3 6 9 - 3 8 3 . 3 4 1 M o n k , G . S . ( 1 9 8 9 ) . A f r a m e w o r k f o r d e s c r i b i n g s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f fi t n c t i o n . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n , S a n F r a n c i s c o , C A . M o n k , G . S . ( 1 9 9 2 ) . S t u d e n t s ’ u n d e r s t a n d i n g o f a f u n c t i o n g i v e n b y a p h y s i c a l m o d e l . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f M o t i o n ( p p . 1 7 5 - 1 9 4 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . M o s c h k o v i c h , J . , S c h o e n f e l d , A . H . , & A r c a v i , A . ( 1 9 9 3 ) . A s p e c t s o f u n d e r s t a n d i n g : O n m u l t i p l e p e r s p e c t i v e s a n d r e p r e s e n t a t i o n s o f l i n e a r r e l a t i o n s a n d c o n n e c t i o n s a m o n g t h e m . I n T . A . R o m b e r g , E . F e n n e m a , & T . P . C a r p e n t e r ( E d s . ) , I n t e g r a t i n g r e s e a r c h o n t h e g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f fi t n c t i o n s ( p p . 6 9 - 1 0 0 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 9 ) . C u r r i c u l u m a n d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 9 1 ) . P r o f e s s i o n a l s t a n d a r d s f o r t e a c h i n g m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V A : A u t h o r . N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l ( 1 9 8 9 ) . E v e r y b o d y c o u n t s : A r e p o r t t o t h e n a t i o n o n t h e f u t u r e o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . W a s h i n g t o n : N a t i o n a l A c a d e m y P r e s s . N e m i r o v s k y , R . , & R u b i n , A . ( 1 9 9 1 ) . I t m a k e s s e n s e i f y o u t h i n k a b o u t h o w g r a p h s w o r k , b u t i n r e a l i t y . . . I n F . F u r i n g h e t t i ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e F i f t e e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( p p . 5 7 - 6 4 ) . A s s i s i . N o r m a n , A . ( 1 9 9 2 ) . T e a c h e r s ’ m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e o f t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( p p . 2 1 5 - 2 3 2 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . P i a g e t , J . ( 1 9 7 0 ) . G e n e t i c E p i s t e m o l o g y . N e w Y o r k : W . W . N o r t o n . P i m m , D . ( 1 9 8 7 ) . S p e a k i n g M a t h e m a t i c a l l y . L o n d o n : R o u t l e d g e & K e g a n P a u l . P u t n a m , R . , L a m p e r t , M . , & P e t e r s o n , P . ( 1 9 9 0 ) . A l t e r n a t i v e p e r s p e c t i v e s o n k n o w i n g m a t h e m a t i c s i n e l e m e n t a r y s c h o o l s . I n C . B . C a z d e n ( E d . ) , R e v i e w o f r e s e a r c h i n e d u c a t i o n ( p p . 5 7 - 1 5 0 ) . W a s h i n g t o n , D C : A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . R e s n i c k , L . ( 1 9 8 9 ) . I n t r o d u c t i o n . I n L . R e s n i c k ( E d . ) , K n o w i n g , l e a r n i n g , & i n s t r u c t i o n : E s s a y s i n h o n o r o f R o b e r t G l a s e r ( p p . 1 - 2 4 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . R e s n i c k , L . , & F o r d , W . ( 1 9 8 1 ) . T h e p s y c h o l o g y o f m a t h e m a t i c s f o r i n s t r u c t i o n . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . R i z z u t i , J . ( 1 9 9 1 ) H i g h s c h o o l s t u d e n t s ’ u s e s o f m u l t i p l e r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e c o n c e p t u a l i z a t i o n o f l i n e a r a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . U n p u b l i s h e d d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , N Y . 3 4 2 R i z z u t i , J . , & C o n f r e y , J . ( 1 9 8 8 ) . A c o n s t r u c t i o n o f t h e c o n c e p t o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . I n M . J . B e h r , C . B . L a c a m p a g n e , & M . M . W h e e l e r ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T e n t h A n n u a l M e e t i n g o f P M E - N A . D e k a l b , I L : N o r t h e r n I l l i n o i s U n i v e r s i t y . R o g o f f , B . , 8 : L a v e , J . ( 1 9 8 4 ) . E v e r y d a y c o g n i t i o n . C a m b r i d g e , M A : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . R o m b e r g , T . , & C a r p e n t e r , T . ( 1 9 8 6 ) . H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g . N e w Y o r k : M a c m i l l a n . R o m b e r g , T . A . , F e n n e m a , E . , & C a r p e n t e r , T . ( E d s . ) . ( 1 9 9 3 ) . I n t e g r a t i n g r e s e a r c h o n t h e g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n s o f fi t n c t i o n s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . R u b i n , A . ( 1 9 9 1 ) . T a p e m e a s u r e : V i d e o a s d a t a f o r s t a t i s t i c a l i n v e s t i g a t i o n s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . C h i c a g o , I L . S a x e , G . ( 1 9 9 1 ) . C u l t u r e a n d c o g n i t i v e d e v e l o p m e n t : S t u d i e s i n m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S c h o e n f e l d , A . H . ( 1 9 8 5 ) . M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g . N e w Y o r k : A c a d e m i c P r e s s . S c h o e n f e l d , A . H . ( 1 9 8 6 ) . O n h a v i n g a n d u s i n g g e o m e t r i c k n o w l e d g e . I n J . H i e b e r t ( E d . ) , C o n c e p t u a l a n d p r o c e d u r a l k n o w l e d g e : T h e c a s e o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 2 5 - 2 6 4 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S c h o e n f e l d , A . H . , S m i t h , J . P . , 8 : A r c a v i , A . ( 1 9 9 0 ) . L e a r n i n g : T h e m i c r o g e n e t i c a n a l y s i s o f o n e s t u d e n t ’ s e v o l v i n g u n d e r s t a n d i n g o f a c o m p l e x s u b j e c t m a t t e r d o m a i n . I n R . G l a s e r ( E d . ) , A d v a n c e s i n I n s t r u c t i o n a l P s y c h o l o g y . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S c h r a m , P . , & W i l c o x , S . ( 1 9 8 8 ) . C h a n g i n g p r e s e r v i c e t e a c h e r s ’ c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c l e a r n i n g . I n M . J . B e h r , C . B . L a c a m p a g n e , & M . M . W h e e l e r ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T e n t h A n n u a l M e e t i n g o f t h e P M E - N A ( p p . 3 4 9 - 3 5 5 ) . N o r t h e r n I l l i n o i s U n i v e r s i t y , D e K a l b , I L : S c h w a r t z , J . , & Y e r u s h a l m y , M . ( 1 9 9 2 ) . G e t t i n g s t u d e n t s t o f u n c t i o n i n a n d w i t h a l g e b r a . I n G . H a r e ] & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( p p . 2 6 1 - 2 8 9 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . S c h w i n g e n d o r f , K . , & D u b i n s k y , E . ( 1 9 9 0 ) . C a l c u l u s , c o n c e p t s a n d c o m p u t e r s - I n n o v a t i o n s i n l e a r n i n g c a l c u l u s . I n T . T u c k e r ( E d . ) , P r i m i n g t h e p u m p : I n n o v a t i o n s a n d r e s o u r c e s ( M A A N o t e s S e r i e s ) , N o . 1 7 . W a s h i n g t o n , D C : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . S c h w i n g e n d o r f , K . , H a w k s , J . , & B e i n e k e , J . ( 1 9 9 2 ) . H o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l g r o w t h o f t h e s t u d e n t ’ s c o n c e p t i o n o f f u n c t i o n . I n G . H a r e ] & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( p p . 1 3 3 - 1 5 0 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . 3 4 3 S f a r d , A . ( 1 9 8 7 ) . T w o c o n c e p t i o n s o f m a t h e m a t i c a l n o t i o n s : o p e r a t i o n a l a n d s t r u c t u r a l . I n J . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r a n ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e E l e v e m h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( V o l . 3 , p p . 1 6 2 - 1 6 9 ) . M o n t r e a l . S f a r d , A . ( 1 9 9 1 ) . O n t h e d u a l n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t i o n s : R e fl e c t i o n s o n p r o c e s s e s a n d o b j e c t s a s d i f f e r e n t s i d e s o f t h e s a m e c o i n . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 2 2 , 1 - 3 6 . S f a r d , A . ( 1 9 9 2 ) . O p e r a t i o n a l o r i g i n s o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a n d t h e q u a n d a r y o f r e i fi c a t i o n : T h e c a s e o f f t m c t i o n . I n G . H a r e ] & E ; D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( p p . 5 9 - 8 4 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . S i l v e r , E . ( 1 9 8 5 ) . T e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g : M u l t i p l e r e s e a r c h p e r s p e c t i v e s . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . S t e f f e , L . , 8 : C o b b , P . ( 1 9 8 8 ) . C o m m o t i o n o f a r i t h m e t i c a l m e a n i n g s a n d s t r a t e g i e s . N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g . S u t h e r l a n d , R . ( 1 9 8 7 ) . A s t u d y o f t h e u s e a n d u n d e r s t a n d i n g o f a l g e b r a r e l a t e d c o n c e p t s w i t h i n a L o g o e n v i r o n m e n t . I n J . C . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r a n ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e E l e v e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( V o l . 1 , p p . 2 4 1 - 2 4 7 ) . M o n t r e a l : U n i v e r s i t e d u Q u e b e c a M o n t r e a l . S u t h e r l a n d , R . ( 1 9 8 9 ) . D e v e l o p i n g a l g e b r a i c u n d e r s t a n d i n g : T h e p o t e n t i a l o f a c o m p u t e r b a s e d e n v i r o n m e n t . I n J . R o g a l s k i , G . V e r g n a u d , & M . A r t i g u e ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e T h i n e e m h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( V o l . 3 , p p . 2 0 5 - 2 1 2 ) . P a r i s , F r a n c e : G . R . D i d a c t i q u e C N R S - P a r i s V . S w a n , M . ( E d . ) . ( 1 9 8 5 ) . T h e l a n g u a g e o f fi t n c t i o n s a n d g r a p h s . N o t t i n g h a m , E n g l a n d : S h e l l C e n t r e f o r M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . T a l l , D . , & V i n n e r , S . ( 1 9 8 1 ) . C o n c e p t i m a g e a n d c o n c e p t d e fi n i t i o n i n m a t h e m a t i c s w i t h p a r t i c u l a r r e f e r e n c e t o l i m i t s a n d c o n t i n u i t y . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 1 2 , 1 5 1 - 1 6 9 . T h o m p s o n , P . ( 1 9 9 4 ) . T h e d e v e l o p m e n t o f t h e c o n c e p t o f s p e e d a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o c o n c e p t s o f r a t e . I n G . H a r e l & J . C o n f r e y ( E d s . ) , T h e d e v e l o p m e n t o f m u l t i p l i c a t i v e r e a s o n i n g ( p p . 1 7 9 - 2 3 4 ) . A l b a n y , N Y : S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k P r e s s . T h o m p s o n , P . ( 1 9 8 7 ) . C o m p u t e r p r e s e n t a t i o n s o f s t r u c t u r e i n a l g e b r a . I n J . B e r g e r o n , N . H e r s c o v i c s , & C . K i e r a n ( E d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e E l e v e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f P M E ( V o l . 1 , p p . 2 4 8 - 2 5 4 ) . M o n t r e a l : U n i v e r s i t e d u Q u e b e c a M o n t r e a l . U C S M P ( 1 9 9 0 ) . A l g e b r a . G l e n v i e w , I L : S c o t t , F o r e s m a n , a n d C o m p a n y . V e r g n a u d , G . ( 1 9 8 7 ) . C o n c l u s i o n . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n i n t h e t e a c h i n g a n d l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s ( p p . 2 2 7 - 2 3 2 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . 3 4 4 V i n n e r , S . ( 1 9 8 3 ) . C o n c e p t d e fi n i t i o n , c o n c e p t i m a g e a n d t h e n o t i o n o f f u n c t i o n . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n i n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , 1 4 ( 3 ) , 2 9 3 - 3 0 5 . V i n n e r , S . ( 1 9 9 2 ) . T h e f u n c t i o n c o n c e p t a s a p r o t o t y p e f o r p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . I n G . H a r e l & E . D u b i n s k y ( E d s . ) , T h e c o n c e p t o f f u n c t i o n ( p p . 1 9 5 — 2 1 4 ) . W a s h i n g t o n , D . C . : T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . V i n n e r , S . , & D r e y f u s , T . ( 1 9 8 9 ) . I m a g e s a n d d e fi n i t i o n s f o r t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n , 2 0 ( 4 ) , 3 5 6 - 3 6 6 . v o n G l a s e r f e l d , E . ( 1 9 8 7 ) . L e a r n i n g a s a c o n s t r u c t i v e a c t i v i t y . I n C . J a n v i e r ( E d . ) , P r o b l e m s o f r e p r e s e n t a t i o n s i n t e a c h i n g a n d l e a r n i n g m a t h e m a t i c s ( p p . 3 - 1 8 ) . H i l l s d a l e , N J : E r l b a u m . W e l c h , W . ( 1 9 7 8 ) . S c i e n c e e d u c a t i o n i n U r b a n v i l l e : A c a s e s t u d y . I n R . S t a k e & J . E a s l e y ( E d s . ) , C a s e s t u d i e s i n s c i e n c e e d u c a t i o n . U r b a n a , I L : U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s P r e s s . W e r t s c h , J . V . ( 1 9 8 5 ) . V y g o t s k y a n d t h e s o c i a l f o r m a t i o n o f m i n d . C a m b r i d g e , M A : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . W h i t s o n , J . A . ( 1 9 9 4 ) . P l e n a r y A d d r e s s : E l e m e n t s o f a s e m i o t i c f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g s i t u a t e d a n d c o n c e p t u a l l e a r n i n g . I n D . K i r s h n e r ( E d . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e S i x t e e m h A n n u a l M e e t i n g o f P M E - N A ( V o l . 1 , p p . 3 5 - 5 0 ) . B a t o n R o u g e , L A : L o u i s i a n a S t a t e U n i v e r s i t y . W i t t r o c k , M . C . ( E d . ) . ( 1 9 8 6 ) . H a n d b o o k o f r e s e a r c h o n t e a c h i n g ( 3 r d e d . ) . N e w Y o r k . M a c m i l l a n . Y e r u s h a l m y , M . , & C h a z a n , D . ( 1 9 9 0 ) . O v e r c o m i n g ' v i s u a l o b s t a c l e s w i t h t h e a i d o f t h e S u p p o s e r . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s , 2 1 ( 3 ) , 2 0 0 - 2 1 9 . Z a s l a v s k y , O . ( 1 9 9 0 ) . C o n c e p t u a l o b s t a c l e s i n t h e l e a r n i n g o f q u a d r a t i c fi t n c t i o n s . P a p e r p r e s e n t e d a t t h e A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n A s s o c i a t i o n o f E d u c a t i o n a l R e s e a r c h , B o s t o n , M A . M I C H I G A N S T A T E U N I V . L I B R A R I E S W W I I I “ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ” W W I I H I I H H I H W I I 3 1 2 9 3 0 1 4 2 0 1 6 8 9